Dictionnaire des sciences mathématiques pures et appliquées

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DICTIONNAIRE

DES SCIENCES

MATHEMATIQUES.

© IMPRIMERIE DE C.-J. DE MAT.

DICTIONNAIRE

DES SCIENCES

MATHEMATIQUES

PURES ET APPLIQUÉES,
PAR UNE SOCIÉTÉ
D'ANCIENS ÉLÈVES DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE.
SOUS LA DIRBGTION DE

A.-S. DE MONTFERRIER,

MENBRE DE L'ANCIENNE SOCIÉTÉ ROYALE ACADEMIQUE DES SCIENCES DE PARIS, DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES DE MARSEILLE,
DE CELLE DE METZ, EIC., ETC.

TOME PREMIER.

BRUXELLES.

\ LA LIBRAIRIE CLASSIQUE ET MATHÉMATIQUE n'Azex. DE MAT.

RUE DE LA BATTERIE, N° 24.

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INTRODUCTION.

Les sciences mathématiques constituent, dans leur ensemble, l'ordre de réalitésle plus complet, auquel
le savoir humain soit parvenu jusqu'à ce jour. En effet, les lois générales de l'univers et la plupart des
manifestations phénoméniques qui en découlent, n'ont été expliquées à notre intelligence que par le
concours de ces seules sciences, qui embrassent dans leur immense empire les rapports multipliés des
quantités et de l'étendue, la mesure du temps et celle de l'espace. C'est dans le sanctuaire des vérités
immuables qu'elles ont établies, que l'homme a surtout le droit de se souvenir de sa céleste origine, en
contemplant dans une religieuse admiration l'œuvre auguste de sa propre raison, Ces vérités, contre
lesquelles ne saurait prévaloir aucune puissance intelligente ; il ne les a point créées sans doute , mais en
les découvrant, il s'est élevé jusqu’à leur principe même , etil a brisé ainsi les barrières qu'une philosophie
désespérante avait imposées à sa raison.

Mais ce n’est qu'après de bien longs travaux, bien des essais infructueux : bien des recherches et des
tentatives vaines, que l'humanité s’est trouvée en possession de quelques vérités, d autant plus infaillibles,
qu'elles portent en elles leur eriterium. Cette certitude absolue qui accompagne les propositions mathéma-
tiques, en général, manque encore aux autres sciences, qui cependant doivent être liées entre elles dans la
raison humaine comme les déductions d’un seul et même principe intellectuel. Ainsi de nos jours encore
plusieurs mathematiciens, confondant la science même avec les objets sur lesquels elle s'exerce, prétendent
vainement la faire descendre du haut rang qu'elle occupe dans l'intelligence , jusqu'à celui des connais-
sances pratiques, obtenues par l'observation, et la renfermer tout entière avec sa puissance universelle,
dans le cercle borné d'une simple méthode empirique. Erreur étrange et vraiment inconciliable avec les
progrès des mathématiques, qui n'ont pu s'effectuer sans que la considération de L'INFINI m'entrât
comme élément nécessaire dans toutes les propositions élevées de la science. Cette nécessité de l’abstrac-
tion, qui se rencontre dans toutes les constructions mathématiques, établit d'une manière incontestable
la spiritualité du principe d'où la science découle.

Il doit paraître inexplicable, au premier aspect, qu'une division aussi profonde, aussi difficile à dé-
truire, existe dans la connaissance des principes générateurs d'une science, dont la plupart des déductions,
ou si l'on veut des applications, ont un caractère irréfragable de certitude et de vérité, L'histoire générale
des mathématiques, considérée du point de vue philosophique où nous nous placons, peut nous aider à

-résoudre ce problème. L'histoire, en effet, nous montre la science participant de toutes les modifications
successives que subit la société humaine. Elle lutte d'abord péniblement contre les besoins dont le monde
est assailli dès l'aurore de sa civilisation. Ses preraières fonctions pratiques furent certainement de régler
les rapports des choses entre elles , en établissant parmi les hommes un moyen juridique et supérieur de
constater l'étendue et la quantité réelle des objets, dont le partage entre les familles et le maintien dans
chacune d'elles, d'après certaines règles, devaient fonder une des bases essentielles du contrat social ; ainsi,
comme Ja morale, la science dut d'abord être législatrice.

A l'époque où elle déterminait les formes et les limites de la propriété, la science était appelée à me-
surer la marche du temps et à régler ainsi, avec la mème autorité, les rapports les plus nobles et les plus
élevés des associations humaines. Dès ce moment elle entra avec hardiesse dans le vaste domaine de la
spéculation ; et, quand la morale se formula dans le sentiment religieux, la science devint l'un des attributs
les plus respectés du sacerdoce. À mesure que la civilisation s'éloigne de son berceau, les liens qui en-
chaînent ces deux produits supérieurs de la raison se resserrent plus étroitement, et ensemble ils con-
courent à abréger l'enfance de l'humanité, C'est ici que commence l'histoire sociale, et dans toutes les
alternatives qui marquent son cours, dans toutes ses phases de progrès ou d'hésitation, on retrouve les
mêmes puissances intellectuelles, présidant aux perfectionnemens successifs de toutes les forces de l'hu-
manité.

Néanmoins, si les faits résultant de la morale et les faits résultant de la science s'établissent d'abord
partout sans contradiction, on voit aussi dès les premières pages de l'histoire, l'homme ne faire usage de
son intelligence émancipée que pour se poser des doutes sur les lois mêmes de ces causalités. Ces doutes se
retrouvent dans l'explication du principe auquel se rattachent les sciences mathématiques ; et d’ailleurs,
toutes les philosophies se résument, en effet, dans deux idées opposées : le but de la raison est aujour-
d'hui de les ramener à un principe identique et absolu.

Afin de réaliser plus spécialement dans la science ces vues élevées, il était nécessaire de procéder à un
grand travail préparatoire, pour réunir, en les élaborant, les élémens divers et nombreux de cette
synthèse philosophique. Telle a été la pensée première des auteurs de ce dictionnaire.

Depuis long-temps l'Allemagne et l'Angleterre avaient devancé le France dans cette marche scientifique.
Ces deux pays , à qui l'humanité est redevable de si prodigieuses recherches et de si admirables travaux
dans toutes les branches du savoir, possédaient des recueils assez semblables, quant à la forme, à celui
que nous publions. Néanmoins ces ouvrages estimables, et qui nous ont souvent été d'une indispensable
utilité, ne portent point encore l'empreinte de l'idée philosophique, dont nous avons eu le dessein de pré-

VI

parer la production féconde au sein de la science. Nous venons donc accomplir, en France, une tâche
nouvelle et qui présentait de graves difficultés. Parmi les traités qui composent l'Encyclopédie , il en
existe bien un qui est intitulé : Dictionnaire des Mathématiques, mais cet ouvrage incomplet devait, au
reste, être pour nous un obstacle plutôt qu'un modèle ou un moyen. D’ailieurs, soit qu'on considère
l'œuvre encyclopédique sous le point de vue spécial de son utilité scientifique, soit qu'on l’envisage comme
une application à la science, du système philosophique dont elle émane, elle est tombée, sous ce double
rapport, dans un discrédit complet. D'une part les progrès de la science ont dépassé, en beaucoup de points
importans, les travaux mathématiques qui ÿ sont rassemblés, et d'autre part la pensée philosophique,
qu'ils avaient pour but de fortifier, ne peut plus prétendre à exercer sur les esprits l'influence dont elle a
été en possession. La place était done vacante , et nous l'avons prise. Mais nous nous sommes élancés dans
cette voie nouvelle sans le secours d'espérances trop vives et trop prochaines. De tout temps dé rudes
épreuves et d'amères déceptions ont été le partage des efforts les plus généreux ; à toute vérité il faut une
époque, à tout homme qui la produit il faut la constance et la foi en lui-même.

Nous devons done ajouter ici que nous avons seulement en nous cette conscience complète de l’utiité
t de l'importance de notre œuvre, qui donne seule le courage nécessaire pour commencer les grandes
ittes. Car au moment où nous écrivons, le monde intellectuel n'est pas seulement divisé sur quelques!
points isolés de ses connaissances : l'hostilité des principes auxquels sont, de part et d'autre, attribués les!
développemens du savoir, se rencontre avec plus de force que jamais dans toutes les idées sociales ou seu-
lement spéculatives dont l'humanité est en possession. Peut-être ces combats, que le progrès à dû soutenir!
clans toutes les périodes historiques de la science, ont-ils été nécessaires, pour qu'aucune vérité n'ait pu!
s'établir dans le monde, sans avoir été soumise à l'orageuse épreuve de l'examen et du temps. Mais cepen-
dent les événemens de l'histoire sociale moderne sont trop profondément empreints d'un caractère provi-
dentiel, c'est-à-dire d'une direction supérieure à la volonté et aux prévisions humaines, pour n'avoir pas
produit une réaction spontanée dans l'intelligence, qui a dû se tourner vers ce principe supérieur comme
vers un guide plus infaillible que l'expérience. A l'aide de cette dernière méthode, l'homme ne peut s'é-
lever, avec quelque certitude, qu'à la connaissance souvent imparfaite des faits; les causes qui les ont pro-|
duits lui demeurent inconnues, et c’est vers la découverte de ces grands mystères, que dans l'état de|
culture intellectuelle où elle se trouve, marche aujourd'hui l'humanité, :|

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Dans l'espoir de favoriser ce mouvement progressif de la raison, nous n'avons pas dû borner nos tra-
vaux à rassembler, dans un ordre favorable aux recherches , les seuls enseigsnemens pratiques de la science.
Nous avons voulu que les spéculations les plus élevées, comme les propositions les plus élémentaires ÿ
fussent présentées avec l'histoire, et surtout la philosophie, de laquelle toutes les découvertes scientifiques
ne sont que des déductions. Ainsi nous nous adressons à toutes les intelligences, comme nous avons dû
prendre la vérité partout où nous l'avons rencontrée; car, ainsique nous l'avons déjà exprimé, notre dic-
tionnaire n'est en effet qu'une œuvre synthétique , dans laquelle tous les travaux antérieurs à notre époque
devaient trouver leur place.

Notre intention avait d'abord été d'exposer ici toutes les déductions du principe philosophique de la
science, mais nous avons pensé que cette importante doctrine devait faire partie de l'ouvrage même dont
elle a dicté l'inspiration ( Voy. Marnémariques et Paicosopure DES MarnÉMariQuES ). Il n'en est pas de
même de l'histoire , dont chacun de nos articles renferme seulement quelques aperçus particuliers, qu'il
nous semble absolument nécessaire de considérer ici dans leur ensemble,

n'est pas possible d'établir dans l'histoire spéciale de la science une division différente de celle que
les grandes périodes de civilisation ont fait établir dans l'histoire sociale. En faisant même la part de cette
antiquité conjecturale, que quelques nations ont prétendu s'attribuer , les temps historiques se partagent
en trois âges ; la venue du quatrième est d'une part dans le secret de la Providence, d'autre part dans le
développement plus où moins hâtif de la raison. Ainsi dans le premieräge de l'histoiresociale naissent et se.
développent successivement toutes les formes de civilisation. La société humaine, qui tend vers l'unité,
arrive par le fait de la puissance romaine sur les limites de cette destination, mais elle y arrive comme
vers un but négatif, et guidée par la seule FaraLirÉ; ici l'unité va produire une matérialisation complète
de l'humanité, et tel n'est pas son but social. Le second âge s'ouvre par la venue de Jésus-Christ, dont la
aission auguste sauva le monde de ce danger ; il donne à la morale l'autorité absolue qui lui avait manqué
dans l’âge précédent, et l'humanité se recommence pour ainsi dire elle-même, dirigée par la PROVIDENCE.
Durant cette époque la société recompose tous ses élémens de civilisation d'après le principe supérieur qui
lui a été apporté, puis elle arrive au terme de ce but transitoire , plus consciente de ses buts définitifs. Le
troisième âge commence à la réformation, et l'humanité se trouve encore aujourd'hui dans la crise où a
dû la plonger le principe d'examen , duquel découle la supériorité de la raison.

Nous allons voir maintenant la production scientifique de la vérité s’harmoniser complétement dans le
développement successif et général des faits sociaux.

Durant les siècles incertains où s'élabora l'antique civilisation humaine, la science que nous avons mon-
trée déjà présidant à la création des relations sociales, ne s'élève point d'abord au-dessus du but purement
matériel qu’elle a en vue. Le petit nombre de vérités qu'elle produit ne sont en effet que des déductions

Vil

empiriques des faits. Mais elle prend son essor avec l'humanité, et depuis Thalès jusqu'à Archimède , d'im-
menses travaux reculentles bornes du savoir et tendent à généraliser les connaissances humaines; ces travaux
demeurentnéanmoins incomplets, et cet effort infructueux:ils se résumentdans quelques brillantes indivi-
dualités, et la marche générale de ja science reste enchaînée dans le cercle que parcourt l'histoire

sociale.

Au second âge la science semble d'abord s'arrêter tout-à-coup, elle n'entre point comme éjément dans
la rénovation de l'humanité. Elle jette cependant encore quelques lueurs dans l'école d'Alexandrie, mais
après Diophante, son flambeau s'éteint partout. Quelques siècles plus tard, la science renaît et est rendue
au monde par le peuple mème qui l'avait frappée dans son dernier asile etavait livré aux flammes la célèbre
bibliothèque d'Alexandrie où se trouvait le recueil de tous les travaux scientifiques antérieurs. Les grands
événemens sociaux qui marquent la fin de cet âge sont précédés par des découvertes qui annoncent une
ère brillante et nouvelle, dans laquelle l'humanité se précipite avec ardeur.

Enfin , au troisième âge, la science entre en possession des grandes théories, dont les âges précédens
avaient à peine eu le pressentiment ; la lutte qui s'établit alors dans l'ordre moral, passe dans l'ordre scien-
üfique, et l'intelligence humaine, avide de découvertes, agrandit par l'examen et la discussion la sphère
de ses connaissances positives. Est-il réservé à notre époque de couronner cet auguste édifice du savoir
humain, œuvredetant de siècles, pir une puissante doctrine qui réunisse toutes les branches encore isolées
de ce savoir, en les faisant découler d'un seul principe absolu, objet des recherches de la philosophie
moderne? C'est ce qui a été tenté, avec plus ou moins de succès , par les écoles philosophiques modernes,
etparticulièrement par un géomètre étranger , dont nous aurons souvent l'occasion de rappeler les travaux
dans le cours de ce dictionnaire.

Remontons maintenant le torrent des âges pour y surprendre la marche didactique de la science,
qui doit confirmer l'appréciation philosophique de ses développemens supérieurs que nous venons
d'exposer.

Thalès , qui vivait dans le septième siècle avant Jésus-Christ , est le premier des géomètres dont les tra-
vaux puissent indiquer la production scientifique des mathématiques. Avant lui sans doute les idées de
nombre et de mesure existaient dans le monde, et les hommes les exprimaient par des moyens particuliers.
Mais la science n'était qu'en germe dans l'arithmétique des Phéniciens, dans la géométrie de l'Egypte et
de l'Inde , dans les vagues observations des Chaldéens. Thalès remplaça ces procédés informes par une mé-
thode rigoureuse qui commenca à environner d'une certitude plus complète les démonstrations élémen-
taires de la science, Ce philosophe cultiva avec le même succès l'arithmétique, la géométrie et l'astronomie;
et l'école ionienne, dont il estle fondateur, se divisa après lui en diverses sectes qui embrassèrent dans
leurs recherches toutes les parties du savoir humain.

Pythagore apparut alors dans le monde : ce philosophe, que l'humanité dans sa reconnaissance salua du
titre de divin, pénétra plus avant que Thalès dans le domaine de l’abstraction mathématique; il fit faire
à la science d'importans progrès, et telle dut être la joie religieuse où le plongea la découverte qu'il
fit de l'égalité du carré de l'hypothénuse, dans le triangle rectangle , avec la somme des carrés des deux
autres côtés, qu'on a avancé qu'il sacrifia cent bœufs aux dieux immortels, comme s'il eût voulu constater
par cet hécatombe la source auguste de l'inspiration humaine. Grand et admirable spectacle que présente
la science au sortir de son berceau, en rendant ainsi hommage au principe créateur et éternel du sein du-
quel elle venait de s’élancer!

L'illustre Pythagore ne tarda pas à s'élever jusqu’à la perception des vérités les plus sublimes, Il enseigna
à ses disciples la sphéricité de la terre, dont Anaximandre avait eu l'idée, et décrivit son mouvement
autour du soleil. Ainsi les premiers pas de l'homme dans la science sont marqués par la découverte de la
vérité; et cependant, aussitôt abandonnée comme une rêverie, elle a besoin, pour se produire denouveau
dans sa certitude majestueuse , du concours d'immenses travaux , durant une longue suite de siècles.

Depuis Thalès et Pythagore jusqu'à l'établissement de l’école d'Alexandrie, les recherches de la philo-
sophie grecque étendent les progrès de la science dans un grand nombre de ses propositions particulières.
OEnopide et Hypocrate de Chio sont à la tête de ce mouvement progressif. Le problème de la duplication
du cube est posé, et Menechme applique à sa solution la théorie des sections coniques. Ge problème, celui
de la trisection de l'angle et plusieurs autres, dont la seule proposition indique la marche ascendante de
l'esprit humain, sont agités dans l’école de Platon; ce philosophe écrit sur la porte de son école ces paroles,
qui établissent une liaison nécessaire entre toutes les vérités : Nul n'entre ici s’il n'est géomètre.

Alors l'école d'Alexandrie produit le grand Euclide, dont le livre célèbre des élémens est à peu près le
premier où les enseignemens et les propositions de la science aient été classés dans un ordre méthodique.
Ru apparait l'illustre Archimède , le plus grand des géomètres de l'antiquité, qui pose et résout
avec toûte la puissance du génie, les problèmes les plus élevés de la science. Les travaux d’Apollonius de
Perge, de Conon et Dositée, de Germinus de Rhodes, d'Hipparque, de Ptolémée, de Dioclès, et enfin
de Diophante , remplissent tout le premier âge de la science, Mais il faut remarquer que tous ces travaux
sont pour ainsi dire individuels ; que les progrès de l'arithmétique, de la géometrie, de l'astronomie , de

viii

la mécanique, de l'hydrostatique et de l'optique, marchent tous isolément , et que rien n'indique, dans
cette première phase, ce point de vue général où la science devait être amenée pour accomplir ses buts
les plus élevés. 1l faut encore remarquer que Ptolémée et Diophante, bien qu'ils aient vécu dans le
deuxième âge social, appartiennent cependant par cette considération supérieure, au premier âge de la
science , dont les travaux complètent, pour ainsi dire, les découvertes possibles dans la direction qu'elle
avait subie jusqu'alors (Voy. Écor.E D'ALEXANDRIE).

Quand l'histoire sociale nous montre le monde en proie aux grandes misères qui durent accompagner la
chute de l'empire romain et la réorganisation des nationalités , sous l'égide du christianisme, l'histoire de
la science demeure silencieuse. Durant les premiers siècles de ce second âje, on aurait pu penser que
l'humanité en était revenue aux instincts grossiers des temps les plus éloignés, mais ce n'était là qu’une ap-
parence, car il y avait en elle un principe puissant qui ne devait pas tarder à la ramener dans des voies
plus augustes. L'influence que la civilisation arabe exerca sur celle de l'Europe, ne contredit en rien ces
vues philosophiques de l'histoire. On n'a pas remarqué, en effet , que le brillant mouvement de progrès
de cette illustre nations dépendit malheureusement de la volonté et du caractère de quelques souverains ;
Jislamisme a étouffé cette haute tendance, mais le christianisme l'a recue et fécondée.

Durant ce deuxième âge, toutes les branches des mathématiques recoivent de grands développemens;
la science des nombres commence à sélever à des considérations générales : l'algebre naît. Il serait beau
de parcourir un à un les anneaux de cette chaîne merveilleuse de travaux qui commencent à Diophante et
aboutissent à Euler et Lagrange ; mais il nous aura suffi d'en embrasser ici l'ensemble et d'en caracté-
riser la tendance. {Voyez dans le dictionnaire l'article MATHEMATIQUES.)

Si l'Europe recut des Arabes les traditions de la science, elle ne tarda pas à rivaliser et à vaincre ses
maîtres; aux Albatenius, aux Ebn-[onis, aux Alhazen , elle opposa bientôt Roger Bacon, Albert le Graud,
Sacro-Bosco, Purbach et Regiomontanus. Enfin l'illustre Copernic apparut aux derniers jours de cet
âge, comme Diophante à la fin du premier. Il recommenca l'astronomie en lui donnant pour base ce sys-
tème de limmobilité du soleil au centre de l'univers, et du double mouvement de la terre, que Pythagore
avait pressenti et que lui eutla gloire d'exposer et derendre plusévident que les apparences sur lesquelles

était fondée l'opinion de Ptolémée (Voy. AsTRoNOMIE).

Ici commence le troisième âge de la science, dont les progrès, comme nous l'avons déjà exprimé
semblent intimement unis à la marche générale de l'humanité. Au moment où Luther jetait dans l'ordre
moral le principe de l'examen, Copernic l'appelait dans l'ordre scientifique par la production du vrai
système du monde. Alors se succèdent en Europe ces génies immortels et sublimes dont la main puissante
soulève le voile de plomb qui couvrait les hauts mystères de la science. Galilée, Descartes, Leibnitz, Newton,
apparaissent dans le monde, et l'homme ne peut plus douter de la réalité du savoir et du principe supé-
rieur qui est en lui.

Non-seulement à cette époque toutes les branches des connaissances humaines sont poussées à un point
excessif de perfection individuelle, mais on voit toutes les forces de la science converger vers le grand but
d'unité qu'elle doit atteindre. La sublime découverte du calcul infinitésimal détermine cette haute
tendance philosophiqne dont le développement extrème, ou plutôt la finalité appartient à l'avenir.

Nous regrettons de n'avoir pu qu'indiquer ici, et d'une manière rapide, les points principaux de T'histoire
des sciences mathématiques, mais nous avons saisi avec empressement, dans notre dictionnaire , toutes les
occasions qui se sont présentées de les exposer avec plus de détails : c'est là qu'on doit les chercher. Il
nous suffisait de cet apercu pour donner quelque idée du point de vue philosophique dans lequel nous
nous sommes placés.

Enfin nous nous sommes attachés à coordonner les divers articles de chaque branche particulière de
la science, en les faisant correspondre par des renvois; nous donnerons à la fin de l'ouvrage une
table où ils serontclassés de manière à établir un ensemble systématique, formant des traités spéciaux. Les
noms des auteurs yseront joints.

5

Les MATRÉMATIQUES PURES se divisent en deux branches
principales : l’une de ces branches a pour objet les
Nombres; l'autre a pour objet l'Étendue. La science des
nombres, prise dans sa généralité, est connue sous le
nom d'ALGÈBRE. Quelques auteurs la nomment Antrn-
MÉTIQUE UNIVERSELLE ; d’autres ANALYSE ; On à proposé
récemment de lui donner le nom d’ALGoriTaMIE, qui,
dans l’état élevé où cette science a été portée de nos

‘jours, paraît en effet la désigner de la manière la plus
convenable. La science de l'étendue se nomme GEomr-
‘rue. (Voyez, dans l’ouvrage, les mots 4/gèbre et Géo-
métrie.) Quant à l’origine de cette division fondamen-
tale desmathématiques pures, elle est suffisamment dé-
veloppée au mot mathématiques, où se trouvent
également exposées les diverses branches dans lesquelles
se subdivisent ces sciences ainsi que leurs nombreuses
applications. M

La science des nombres emploie, comme celle de
l'étendue , des abréviations et des signes particuliers
qui.se trouveront tous exposés dans leur ordre alpha-
bétique; mais , à cause du mode de publication de cet
ouvrage, nous avons cru devoir placer ici l’explica-
tion des“signes les plus usuels, en y joignant une des-
cription succincte des objets les plus élémentaires de
l'algèbre et de la géométrie, afin de faciliter aux lec-
teurs les plus étrangers aux mathématiques, l'étude de
nos premiers articles, où l’usage fréquent que nous fai-
sons de ces signes leur présenterait d’insolubles difficul-
tés. Ce travail préparatoire n’estau reste qu’un aperçu
qui sera complété, dans le cours de l'ouvrage, pour
chaque objet en particulier.

I. Scrence pes NomBres. 1. On représente en particu-
lier les nombres par des chiffres, et en général, par des
lettres, lorsqu'on examine leurs propriétés indépendantes
de toûtes valeurs déterminées, La première considéra-
tion générale est celle-ci : lorsque deux ou plusieurs
nombres sont connus, on peut toujours, par leur réunion
ou leur somme, construire un nouveau nombre, Par
exemple, 3 ajouté à 6 forme 9, et 9 est dit la somme de
3 et de 6. Le signe de cette opération, qu’on nomme
ADDITION , est + (plus), ainsi 3 Æ 4 exprime 3 plus 4 ; le
signe de l'égalité est = ( égal à); donc 3 +4 = 7 signi-
fie 3 plus 4 est égal à 7. On aurait de même 5 + 7 +

NOTIONS PRÉLIMINAIRES. |

8— 90, 5 plus n plus 8 est égal à 20. En général dési-
goant par les lettres a, b, c, d, des nombres quelcon-
ques dont la somme est égale au nombre m2, la formule
a+ b+c+ d=— m, exprimera cette égalité.

2. Du moment qu’un nombre quelconque c est cons-
truit paï la réunion de deux autres a et b, il s'ensuit
nécessairement que si de ce on retranche l’un des nom-
bres a, b, qui le composent on doit obtenir l’autre pour
résultat. Cette opération, qui se nomme SOUSTRACTION ;
s'exprime par le signe — (moins ); l’on écrit donc c —
a= b ce qui se lit c moins a est égal à b. C'est ainsi que
l'égalité particulière 3 + 4 — 7 nous conduit à l'égalité
inverse 7 — 4 — 3. Le résultat de l'opération se nomme
alors différence.

3. Lorsqu'on a plusieurs nombres égaux à ajouter
ensemble, l'opération change de nature, et s’indique
par un nouveau sigae. Ainsi, pour exprimer que le nom-
bre 7 ajouté 6 fois à lui-même est égal à 42, au lieu d’'é-
crie 7 +7 +7 +747 +7 —42, on écrit simple-
ment 7 X 6 — 42; ce qui signifie 7 pris 6 fois, ou, ce
qui est la même chose, 7 multiplie par 6, est égal à 42.
L'opération se nomme alors MULTIPLICATION, et son signe
est X (multiplié par). On la désigne encore par un seul
point (.); et, lorsque les nombres sont exprimés par des
lettres, on se contente presque toujours de les écrire les
uns à côté des autres : les trois expressions &æ X b, a.b,
ab signifient également & multiplié par b. Le résultat de
l'opération se nomme ici produit ; le nombre qui est
multiplié se nomme le multiplicande, et celui qui mul-
tiplie, {e multiplicateur; on désigne encore par le nom
commun de facteurs le multiplicande et le multiplica-
teur: ainsi, dans la multiplication générale a X b= 0
a etb sont nommés les facteurs de c, parce qu’ils entrent
tous deux de la même manière dans la construction de
c, etqu'on a en général a X b=b X a.

4. Pour exprimer le produit d'une somme de plu-
sieurs nombres 4, b, c, par un autre nombre 77, on écrit
la somme entre deux accolades, et l’on placele multipli-
cateur à côté, ainsi qu’il suit : (a + b + c) X m ou!
(a+b<+c).m ou enfin (a+b+c)m.

5. La multiplication donne, ainsi que l'addition;
naissance à une opération inverse. En effet, puisque

dans l'égalité 7 X 6 = 42, le nombre 42 est composé

des nombres 5 et 6, on peut se proposer de décomposer
42 par le moven de l’un de ces nombres et dans le but

de retrouver l’autre. Cette dernière opérationse nomme
42
DIVISION, ets'exprimeiadifféremment par —oupar 42:7.

{

Er Ron . em
ainsi les deux égalités °° = 6, 42: 7 = 6 signifient 42
divisé par 7 est égal à 6. On donne alors le nom de di-

vidende au produit, celui de diviseur au facteur connu,

et celui de quotient au facteur cherché. Ainsi, dans l’ex-

b

seur, et a le quotient.

pression générale — — a, cest le dividende, b le divi-

a+ b+c

[LL

,(a+b+c):n

désignent l’une et l’autre que la somme des trois uom-

Les deux expressions

bres a, b, c, est divisée par le nombre 7».

6. Lorsquela division d’un nombre par un autre n’est
pas possible, ce qui arrive, 1° lorsque le diviseur est
plus grand quele dividende, 2° lorsque le diviseur n’est

pas contenu dans le dividende un nombre exact de fois,
. D + 0 se
on conserve la notation genéraie D et la quantité que

cette forme représente prend le nom de Fracriow dans

le premier cas, et celui de nombre fractionnaire dans le

2

e] . 7
second. Par exempie,— est une fraction, et = est un

4 4

nombre fractionnaire.

: > . «a .
La somme de plusieurs fractions 5 , s'exprime

C e
, F1

a c e à a e e

L PAT + _ + et leur produit par ce x na pa F
rene
ou pal ue 7 . f

7. Lorsqu'on multiplie l'un par l'autre plusieurs nom-
bres égaux, l'opération change encore de nature, et con-
séquemmeni s'écrit d’une manitre différente de la sim-
ple multiplication. Par exemple, pour exprimer que le
nombre 64 résulte de la multiplication du nombre 2 six
fois parlui-même, au lieu d'écrire X2X2X2X2X 2
— 64 on écrits? = 64. Dans ce cas le nombre 2 prend
le nom de base, 6 celui d'exposant , et 64 celui de pus-
sance : ainst, l'égalité2° = 64 signifie : 2 cleve à la
sixième puissance est égal à GY.

8. L'opération que la forme générale a? — c repré-
sente ; se nomme ÉLEVATION AUX PUISSANCES. On donne
en particuher les noms de carré et de cube aux puis-
sances seconde et troisième : ainsi, dans les égalités a?
= m,a— non dit que» est le carré, et que » est
le cube de a. Ces dernières expressions sont tirées de
la géométrie : la surface. d’un carré étant égale à la se-
conde puissance d’un de ses côtés, et la solidité d’un cube
étant pareillement égale à la troisième puissance d’un

de ses côtés.

)D 1}, ||
AXEL:

x
Yi

ï

INAIRES.

— 1
=C

9. Les deux égalités précédentes, d'addition : à + à

et de multiplication : a X b = c, nous ont conduit aux

deux opérations inverses de soustraction : c—a— bet
de division : - = b, l'égalité de puissance : 4ë — c nous
Fe -

conduit également à une opération inverse qu’on
NOMINC EXTRACTION DES RACINES, et dont le but.est de
trouver Ja base d’une puissance, lorsque cette puissance
est connue. Par exemple, chercher le nombre dont la
sixième puissance est 64, c'est extraire {a racine sixième
de 61; car, dans ce cas, la base de la puissance prend le
nom de racine. Cette opération se désigne par le signe
V/ qu'on nomme radical ; et dans le cas particulier dont

G
il s’agit on écrirait V2 64 = 2, ce qu'on lit, racine
sixième de G4 est égale à 2.
10. Lorsqu'il s'agit des racines secondes ou carrées,
on écrit le radical sans exposant ; ainsi \/a, vb signi-
fient racine carrée de & et racine carrée de b. Dans

tous les autres cas, on place l’exposant de la puissance

dans le signe V_ de sorte que V désigne en général la
racine du degré 7.

11. Les expressions(a+b+c+d)m,et {a+
bYc+ ad) désignent : la première, l'élévation à la
puissance 72 de la somme a + b + c+ d, et laseconde,
l'extraction de la racine »2 de la même quantité.

Les expressions Gy ; V : désignent également la

(4
ai

12. L’extraction des racines s'exprime encore par des

puissance et la racine 77 de la quantité fractionnaire

Li
exposans fractionnaires: ainsi @ * est la même chose que
LS 4
V/a , a*est la même chose que Va. En général
L: m

les deux expressions a “et y/a désignent toutes deux
la racine »2 de a. On peut donc écrire indifféremment

C0)

:
a+ bLc),(a+b+c)" pour exprimer la ra-
cine »2 de la quantité a+b+e.

13. Dans l'opération de l'élévation aux puissances
at —c, les deux nombres composant à et b n’entrent
pas de la même manière dans la composition du résul-
tat e, et le problème de trouver l’exposant lorsque la
base et la puissance sont données, cesse d’être élémen-
taire. Ce n’est pas ici le lieu de nous occuper de cette
considération. /’oyez LoGARITHMES.

14. Les six opérations précédentes : l'addition, la
soustraction, la multiplication, la division, l'élévation
aux puissances , et l'extraction des racines, renferment,
comme nous le verrons en son lieu, tous les modes élé-
mentaires de la construction des nombres. Ainsi toutes
les opérations possibles sont comprises dans les trois

formes directes :

NOTIONS PRÉLIMINAIRES. 5

AEN—Cr ab C; ETES

et dans les trois formes inverses.

6
CD = pee Vans Jy/e—=
15. Lorsqu'on compare deux nombres ensemble, on
trouve uécessairement que ces nombres sont égaux où
inégaux. Le signe de l'égalité nous est connu. Celui de
l'inégalité est + ainsi, a > bou b a signifie que «a
est plus grand que b. Le plus petit nombre devant être
placé à la pointe ,du signe 7. L'égalité ne peut, dans sa
simplicité élémentaire, nous fournir aucune considéra-
tion nouvelle; mais l'inégalité peut être envisagée sous
deux aspects différens : 1° comme donnant naissance à
une différence ; 5° comme déterminant un quotient.
Les deux nombres 12 et 4, par exemple, comparés en-
semble, nous fournissent les deux relations.

192— 4 —$ , 19448;

et, dans ce cas, 8 et 3 se uomiment les rapports des nom-
bres 1% et 4, savoir : 8 le rapport arithmétique, et 3 le
rapport géometrique.
16. Deux rapports égaux constituent une PROPORTION.
Ainsi, l'égalité
12—4—=15—7

est une PROPORTION ARITHMÉTIQUE dont le rapport est 8,
et l'égalité ®
129 — 2010

est une PROPORTION GÉOMÉTRIQUE dont le rapport est 4.

On écrit encore la proportion géométrique de la ma-
nière suivante, 12 : 3 :: 20 : 5. Ce qui se lit 12 est à 3
comme 20 est à 5.

17. Une suite de rapports égaux forme une ProGnrts-
sion. La progression est arithmétique lorsque les rap-
ports sont arithmétiques, et se désigne ainsi :

z 2.4.6.8.10.12.14.16.18.20.92, etc.
C’est l’abréviation de
2—4=4—6:-6—8—8—10—10—19—192—14— , etc.

La progression est géométrique lorsque les rapports
sont géométriques. Elle se désigne par

7 2:14:8::146:182: 641: 198 : 256.:

etc.
C’est l’abréviation de
2:4=4,:9 —6 : 16 — 716 : 32 — 5 "64 = etc.

‘els sont 16s principaux objets employés dans la par-
tie élémentaire de la science des nombres. Quant aux
algorithmes supérieurs, il nous serait impossible, dans
cet examen si superficiel, d’en donner aucune notion sa-
tisfaisante, et nous ne pouyons que renvoyer aux articles
qui les concernent.

ÏT. SCIENCE DE L'ÉTENDUE.

18. L’étendue est uné portion déterminée de l’espace
indéfini. Ainsi, la place que les corps occupent dans cet
espace forme l'étendue particulière des corps.

19. L’étendue dés corps à trois dimensions : /on-
gucur , largeur et épaisseur. On‘la nomme s611pE.

20, Si l’on fait abstraction de l’une de ces dimensions,
on a la conception d'une étendue en longueur et largeur
seulement, que l’on nomme surracr. Les surfaces peu-
vent être considérées comme tes limites des corps.

21. En faisant encore abstraction d’une des dimen-
sions des surfaces, on a la conception d’une étendue en
longueur seulement; el cette étendue se nomme riGNE.
On peut considérer les lignes comme les limites des sur-
faces.

22. Les extrémités ou les limites d’une ligne se nom-
ment poinrs, On donne encore le nom de point à l’en-
droit où deux lignes se rencontrent. Le point mathé-
matique doit être conçu comme n'ayant aucune espèce
détendue.

La génération des lignes, des surfaces et des solides
s'opère, pour l'intelligence, dans un ordre inverse de
celui que nous venons d'établir (Joy. GÉomÉrRIE) ;
mais il s’agit seulement ici d’en donner une idée popu-
laire.

23. On considère deux espèces de lignes : les droites
et les courbes.

24. La ligne droite, que l’on nomme simplement la
droite, est celle dont toutes les parties ont une même di-
rection. IÏ n’y à conséquemment qu’une seule espèce de
ligue droite.

25. La ligne courbe est celle dont la direction varie à
chaque point, en la considérant comme formée par une
infinité de points placés les uns à côté des autres. Il y a

plusieurs espèces de lignes courbes.

On désigne une ligne ‘A B
par les lettres placées à ses
extrémités. AB: est: uner : 22277000 LU RQ
CT D

ligne droite, et CD une
ligne courbe.

26. La surface plane cst celle sur laquelle étant pris
deux points quelconques, si lon ‘suppose une droite
menée par ces deux points, cette droite sera entière-
ment contenue dans la surface, et se confondra avec elle.
I n’y a qu'uné seule espèce de surface plane. On la
nomme aussi simplement plan,

27. La surface courbe est celle sur laquelle on ne peut
appliquer une ligne droite dans tous les sens. If y a
plusieurs espèces de surfaces courbes.

28. Nous supposcrons, dans ce qui sûit, que toutes

4 NOTIONS PRÉLIMINAIRES.

les lignes dont nous allons parler sont tracées sur un
même plan. A c

Lorsque deux droites se rencon-
trent, elles forment un axeze. Le
point de rencontre se nomme le som-
met de l'angle, et les droites en sont
les côtés. On désigne un angle par
trois lettres, en plaçant celle du som- :
met au milieu. Ainsi, l'angle formé
par les deux droites AB, BC, se nomme l'angle ABC.
Quelquefois on désigne l’angle parla seule lettre du
sommet.

29. La grandeur d’un angle ne dépend pas de la lon-
gueur des lignes qui le forment, mais de la différence

de leurs directions. Plus

b
cette différence est grande CS
et plus l'angle est grand. \ 73
Ainsi, l'angle BAC aug- » D san
| SN}
menterait successivement RE

si le côté AB prenait SE À
directions Ab", Ab”, Ab"', etc. ; et enfin il arriverait à
son maximum de grandeur, si le côté AB prenait la
direction Ab” opposée à celle de l’autre côté AC. Le
maximum de grandeur d’un angle est donc l’état dont
il peut approcher indéfiniment, mais qu'il ne peut at-
teindre sans cesser d'exister, puisqu’alors ses côtés ne
forment plus qu’une seule ligne droite.

30. On nomme angles contigus où angles de suite

deux angles qui ont un

D

côté commun, et dont les ; T
deux autres ne forment 4 |
A C

qu’une seule ligne droite. B
els sont , par exemple, les angles BAD , DAC.

31. Lorsque deux angles contigus sont égaux, c'est
qu’alors la droite AD rencontre la droite BC sans
pencher plus vers AB que vers D
AC, ou que les différences de
sa direction avec celles de
chacune de ces droites est la
même de part et d'autre. La D A €
droite AD est dite alors PERPENDICULAIRE sur la droite
BC , et les angles égaux BAD , CAD, prennent le nom
d'ANGLES DROITS.

32. Lorsqu'une droite en rencontre une autre sans lui
être perpendiculaire , elle est dite oBLIQUE par rapport
à cette dernière, et les angles qu’elle forme sont plus
ou moins grands que les angles droits.

33. On nomme angle obtus tout angle plus grand
qu’un angle droit, et angle aigu tout angle plus petit.
Par exemple ( fig. 1 ), l'angle BAD est obtus , et l'angle
DAC est aigu.

34. Lorsque deux droites se coupent en un point,
telles que AC et DB les angles qu'elles forment, et qui

sont construits d'une manière opposée, A D
sont égaux; ils se nomment verticaux
ou opposés pour le sommet. Ainsi, les
angles égaux AOB, COD sont des angles
verticaux. Îl en est de même des angles
AOD, BOC.

35. Deux droites AB, CD, qui ont
la même direction, et qui, par consé- L È

quent, ne peuvent se rencon- à B

trer lors méme qu’on les pro-
longerait à l'infini, se nom-
ment lignes parallèles. C D
36. Lorsque deux parallèles sont rencontrés par une
troisième droite, cette droite, qu’on nomme en général
transversale, forme avec les parallèles trois classes d’an-
gles égaux deux à deux.
1°. Les angles situés dans le même sens, l’un en de-
dans, l’autre en dehors des pa- A C
rallèles, ettous deux d’un même
côté de Ja transversale, se nom-

ment angles correspondans. EL
mlee , AFC G
els sont. les angles égaux AFG, É
CGH. E
2°, Les angles situés en de-
dans des parallèles, et d’un p D

côté différent de la transversale, se nomment angles al-
ternes internes. Tels sont les angles égaux AFG, FGD.

3°. Enfin les angles situés en dehors des parallèles,
et d’un côté différent de la transversale, se nomment
angles alternes externes. Tels sont les angles égaux
EFB, CGH.

On nomme en général angles internes tous ceux qui
sont compris en dedans des parallèles, et angles exter-
nes ceux qui sont en dehors. Les angles AFG, BFG,
CGF, EGD, sont les angles internes, et les angles AFE,
BFE, CGH , DGH, sont les angles externes.

37. Lorsqu'un plan est limité par des lignes, on le
nomine figure, particulièrement figure
rectiligne lorsque les lignes sont droites,
et figure curviligne lorsque les lignes
sont courbes. Les figures rectilignes se
nomment en général polygones; les
droites qui forment la limite, prises en-
semble, en sont le contour ou le peri- fan
mètre.

38. On nomme en particulier TRIAN-

GLE un polygone de trois côtés(1); QUA-
DRILATERE, Celui de quatre côtés (2); 3
PENTAGONE, celui de cinq côtés(3); HExA-

Gone , celui de six côtés, etc., etc.

39. Un polygone étant composé d’angles et de côtés,
peut être considéré sous ces deux rapports. Si l’on fait

NOTIONS PRÉLIMINAIRES. 5

cette application au triangle, on aura les deux classifica-
tions suivantes :
1°. Considéré par rapport aux an- c
gles, il prend le nom de :
Triangle rectangle lorsqu'il à un
angle droit; alors le côté opposé à
l'angle droit prend le nom d'Aypothc-
nuse. Par exemple, dans le triangle

rectangle ABC , le côté BC est l'hypo- à D
thénuse.

Triangle obtusangle où amblygone, s'il a un angle
obtus ;

Triangle acutangle où oxigone, si ses trois angles
sont aigus.

2°, Considéré par rapport aux côtés, il prend le
nom de :

Triangle équilatcral, si ses trois côtés sont égaux ;

Triangle isocèle, si deux seulement de ses côtés sont
égaux ;

Triangle scalène, si ses trois côtés sont inégaux.

On appelle sommet d'un triangle le sommet d’un
quelconque de ses angles; et alors le côté opposé à cet
angle se nomme la base du triangle. On prend ordi-
nairement pour sommet du triangle isocèle le sommet
de l'angle formé par les deux côtés égaux. On nomme
hauteur d’un triangle la perpendiculaire abaissée de sou

sommet sur sa base.

lier :
Quarré, celui dont e:

quatre côtés sont égaux et

40. Quant aux quadrilatères, on nomme en particu-
1 2 |
E | }
les quatre angles droits
(1);

Rectangle, celui dont =

Pi on moe

Lozange où rhombe, celui dont les côtés sont égaux

LE]
\

les quatre angles sont
droits , sans que les côtés

soient égaux (2);

sans que les angles soient droits (3).

Parallélogramme, celui dont les côtés opposés sont
parallèles (4) ;

Et enfin trapéze, celui qui n’a que deux côtés paral-
lèles (5).

41. On nomme en général polygone équilatcral celui
dont tous les côtés sont égaux ; polygone équiangle,
celui dont tous les angles sont égaux, et polygone régu-
lier celui dont les angles et les côtés sont respectivement
égaux.

42. De toutes les figures curvilignes, on ne considère
que le cencce dans la géométrie élémentaire. C’est un
plan limité par une ligne courbe dont tous les points
sont à égale distance d’un point pris dans l’intérieur de

la figure, et qu’on nomme le centre. La courbe qui li-
init cette figure se nomme cérconférence du cercle, où
simplement circonférence. Telle est la figure POSBP.
La ligne courbe PQSBP est la circonférence ; l'espace
renfermé dans cette ligne est le cercle, et le point A est
le centre.

Les droites que l’on pourrait supposer menées du
centre à divers points de la circonférence, et qui sont
toutes égales, se nomment rayons. Telles sont les ligues
AË, AB, etc. Une droite PQ,

menée dans le cercle, et qui EE

D M

Bo — 15, R
TN JRESQI
)
se termine de part et d'autre .

RE
À
Q

\/
p.

double du rayon, tous les diamètres sont égaux.

à la circonférence , se nomme

ma

corde. Lorsqu'une corde

passe par le centre, comme

}
7

BE

DC, elle prend le nom de d'a-

mètre. Un diamètre étant le

La partie de la circonférence interceptée, ou , comme
on le dit, sous-tendue par une corde, se nomme are de
cercle. PmQ cst l'arc sous-teudu par la corde PQ.

Une droite telle que MN, qui coupe Ja circonférence
en deux points, æ nomme sécante.

Une droite comme TR, dont la direction coïncide
avec celle de la circouférence dans un seul point de
cette courbe se nomme /angente. Le point S, commun
aux deux lignes, se nomme point de contact.

Une portion de cercle EAB, terminée par deux
rayons €t par l'arc intercepté, se nomme secteur. On
appelle segment la partie 737PQ comprise entre l'arc
QP et la corde PQ.

42. Les relations des lignes entre elles sont considé-
rées dans un même plan; mais celles des lignes avec les
surfaces, ainsi que celles des surfaces entre elles, sont
con:idérées dan; l’espace indéfini.

Une droite est dite perp : diculaire à un plan lors-
qu’elle forme des angles B
droits avec toutes les droites
qu'on peut mener dans le
plan en partant du point où
elle le

rencontre. Ainsi,

la ligne AB sera perpendicu- MÈ= P
laire au plan MC, si en menant les droites AD, AE,
AC, etc., dans ce plan, les angles BAC, BAD, BAE,
etc. , sont droits.
43. Un plan CB
est perpendiculaire
sur un autre plan
MN, si d’un point
quelconque o pris
dans ce plan, abais-

sant une perpendi-

culaire oD sur la

6 NOTIONS PRELIMINAIRES.

section AB des deux plans, cette perpendiculaire est
également perpendiculaire au plan MN.

44. Lorsque deux plans QP et QR se rencontrent , ils
formentun angle qu'on me- .
sure par l'angle des droites
AB et AC, menées dans ces
plans, toutes deux perpen-
diculaires à la section QS, =
au méme point À decette ©

section.

45. Deux plans AB, CD, sont parallèles lorsque pro-

longés indéfiniment de toutes parts, ils ne peuvent ja-
mais se rencontrer; alors leurs sections MP et ON,
avec un troisième plan, qui les coupent tous deux, con-
sidérées dans ce dernier plan, sont deux droites paral-
lèles. La distance des deux plans parallèles est mesurée
par une perpendiculaire QR, abaissée de l’un quel-
conque de ces plans sur l’autre.

46. On appelle angle solide un angle O formé par la

réunion de plusieurs plans MON, MOS, SON, qui se

coupent en un même point.

47. On nomme en général polyèdres les solides ter-
minés par des plans. Si ces plans sont égaux et réguliers,
les polyèdres sont réguliers.

Il n’y a que anq polyèdres réguliers : le tetraèdre,
terminé par quatre triangles équilatéraux égaux;
l’aexaèdre ou le cube, terminé par six quarrés égaux ;
l'octaèdre , terminés par huit triangles équilatéraux

Tégaux; le dodécaëdre, terminé par douze pentagones
réguliers égaux ; et l'icosaèdre , terminé par vingt

triangles équilatéraux égaux.

48. L’hexaèdre, terminé par huit
plans parallèles deux à deux,se nomme
parallélipipède ; c’est un parallélipi-

‘ pède rectangle lorsque les plans sont
des rectangles; et enfin c’est un cube
comme nous l'avons dit ci-dessus, lors-
que les plans sont des quarrés.

49. Le prisme droit (x) est un polvèdre qui a deux plans
polygonaux parallèles et égaux . et dont tous les autres
plans sont des rectangles perpendiculaires à la Fois à ces
deux polygones.

50. Le prisnie oblique (2) a ; comme le prisme droit,
deux faces égales et parallèles ; mais ses autres plans sont
des paralléiogrammes non perpendiculaires aux deux
polygones.

51. Lorsque les plans parallèles sont des triangles, les
prismes se nomment prismes triangulaires. On les
nomme encore prismes quadrangulaires, lorsque ces
plans sont des quadrilatères ; prismes pentagonaux, lors-
qu'ils sont des pentagones; prismes hexagonaux , lors-
qu'ils sont des hexagones, etc., etc. Les prismes (1) et
(2) sont des prismes pentagonaux.

On donne indifféremment le nom de base à chacun
des pians polygonaux d’un prisme. Sa hauteur est la
perpendiculaire qui mesure la distance de ces plans.

52. La pyramide est un polvèdre dont une des fa-
ces, nommée buse, est un polygone quelconque, et
dont tous les autres plans sont des triangles qui s'élèvent
sur les côtés de ce polygone, et vont se réunir par leurs
sommets à un inême point, qu’on appelle le sommet de
la pyramide ; (1) et (2).

Une pyramide est dite triangulaire, quadrangulaire,
pentagonale, hexagonale, etc., etc., selon que sa base
est un triangle, un quadrilatère, un pentagone, un
hexagone, etc.

On nomme pyramide droite celle dont tous les plans
qui se réunissent au sommet sont des triangles isocèles
de même hauteur (1), et pyramide oblique celle où ces
triangles ont des hauteurs différentes (2).

La hauteur d'une pyramide est la perpendiculaire
abaissée de son sommet sur le plan de sa base.

53. De tous les solides terminés par des surfaces cour-
bes, on ne considère dans la géométrie élémentaire que

le cylindre, le cône et la sphère.

NOTIONS PRELIMINAIRES. va - 7

Le cylindre est un solide terminé par trois surfaces, lorsque l’axe est perpendiculaire à la base; il est oblique
dont deux sont planes et parallèles entre elles, et dont
la troisième est convexe et circulaire. On peat le consi-
dérer comme un prisme dont les bases seraient des po-

lorsque l'axe est incliné (2). La hauteur d'un cône est la
perpendiculaire abaissée de son sommet.sur le plan de
sa base.

RES Re ; — 7
lygones réguliers d’un norabre infini de côtés. 55. La sphère est un solide terminé par une seule sur

Le cylindre est droit (1) lorsque la perpendiculaire,
abaissée du centre de l’une de ses bases sur l’autre, tombe
sur le centre de cette dernière Il est oblique (2) dans

face courbe, dont tous les points sont également éloi-
gnés d’un point pris dans l'intérieur, et qu'on nomme
centre.

: Toutes es droites 5 ‘e à É
tous les autres cas. On nomme are du cylindre la tes 1es droites menées du centre à la surface de la

: PAT . s or ar : . AE
droite qui joint les centres de ses bases. Sa hauteur est phère sont par conséquent égales ;

; : ; : on les nom e ‘ticu-
la perpendiculaire qui mesure la distance de ses bases. ! e me chacune en particu
k j lier rayon de la sphère. Une droite
54. Le cône est un solide dont la base est un cercle, |

qu passe par le ceutre, et se ter-

et qui se termine par le haut en une pointe qu’on ap- : E
G P 2 P Le P7 mine de part et d’autre à la surface,

elle Je;ssommet. On peut considérer le cône comme se
Bb P E se üvmme axe ou diamètre. Tous

une pyramide dont la ait ur lvgone régulier Fe :
P' t la base serait un polyg Li les diamètres d'une sphère sont

d’un nombre infini de côtés. , PE
égaux , puisqu'ils sont tous composés de deux rayons.

La ligne droite menée du sommet d’un cône au cen-
tre de sa base se nomme l’axe. Le cône est droit (1)

ABRÉVIATIONS EMPLOYÉES DANS LE COURS DE L'OUVRAGE.

Acoust. — Acoustique.

Ag. — Algèbre.
Arch. — Architecture.
Arith. — Arithmétique.
Arp. — Arpentage.
Art. — Artillerie.
Ast. — Astronomie.

Cal. diff. — Calcul différentiel.

Catopt. — Catoptrique.
Cos. — Cosinus.
Cosec. — Cosécante.
Cos. vers. — Cosinus verse,
Cot. — Cotangente.
Diopt. — Dioptrique.
Dyn. — Dynamique.
Géod. — Géodésie.
Geog. — Géographie.
Géom. — Géométrie.
Gnom. — Gnomonique.

Hydraul. — Hydraulique.

Hydrog. — Hydrographie,

Hydrod.
Hydrost.
Mec.
Nav.
Op.
Persp.
Pneu.
iSée.

Sin.

Sin. vers.

Stat.
Tang.
Trig.
Voy.

Hydrodynamique.

Hydrostatique.

Mécanique.

Navigation.

Optique.

Perspective.
Pneumatique.
Sécante.

Sinus.

Sinus verse.
Statique.
Tangente.
Trigonomttrie.
Voyez.

Dans les renvois, le chiffre qui suit le chef d'article

indique le paragraphe. Ainsi (Foy. Alg. 13), signifie :
Voy. l'article ALGÈBRE, paragraphe 13.

DICTIONNAIRE

DES

SCIENCES MATHÉMATIQUES

PURES ET APPLIQUÉES.

À

AB

ABACO , ou plutôt Ausaco ( Paur de l) naquit à
Florence au commencement de ce XIV® siècle, célèbre
par l'invention de la boussole, découverte qui favorisa les
tentatives hardies des navigateurs du siècle suivant. Paul
doit être compté parmi les savans de cette épeque, dont
les utiles travaux préparèrent les progrès qui ne tar-
dèrent pas à s’opérer dans le vaste domaine des connais-
sances mathématiques. Contemporain du Dente, de
Cino et de Pétrarque, quelques biographes, sans le placer
au même rang que ces grauds poètes, vanteut quelques-
unes de ses productions littéraires, qui malgré leur in-
correction, révèlent un talent remarquable. Mais Paul
dut surtout sa renommée à ses prodigieuses connais-
sances en arithmétique ct en géométrie; elles lui mé-
citèrent le surnom &’Abbaco , car Paolo del Abbaco si-
guifie littéralement Paul de l'arithmétique. On croit
qu'il fut un des premiers mathématiciens qui pratiquè-
rent l'algèbre. On lui doit aussi d'importantes observa-
tions astronomiques, qu'il fit à laide d'instruments de
son invention. Il mourut en 135, peu de temps avant
Boccace.

: ABACUS ou AvaqQue. Instrumenten usage dans Fan-
fiquité pour faciliter les calculs arithmétiques. I parait
que £’était dans l’origine une petite table couverte de pous-
sière sur laquelle on traçait les figures et où l’on exécutait
les opérations. Cet instrument semble aussi ancien que
l'arithmétique elle-même et on le retrouve chez les
Grecs, les Romains, les Chinois, les Allemands et les
Français. Sa forme varia avec le temps ; il devint enfin
un cadre long divisé par plusieurs cordes parallèles
dans chacune desquelles étaient cafilées dix petites bou-
les. La première ligne à droite était celle des unités, la

« seconde celle des dixaiues, la troisème celle des cen-

AB

taines, etc. Pour écrire un premier

5300||

uombre sur l’abacus, on commen-

çait par relever toutes les boules la 1}

partie supérieure de l'instrument,

——2000600%02|

et ensuite on abaissait sur chaque
ligue, à la partie inférieure, un
nombre de boules égal aux unités,

de l’ordre de ces lignes. Ainsi, par

exemple, pour écrire le nombre

3564 on abaissait 4 boules à La partie

inférieure de la première ligne, 6 à
celle de la seconde, 5 à celle de Ja troisième ct 3 à celle
de la quatrième. Le nombre 3564 se trouvait ainsi re-
présenté comme il l'est dans la figure (1) ci-contre.

Ce nombre étant écrit, s’agissait-il de lui ajouter ua
autre nombre 53529; on commençait par abaisser 9
boules de la partie supéricure de la première ligne
à la partie inférieure ; et comme, dans le cas présent, il
n'en restait que G, après avoir abaissé ces 6 boules, on
relevait les 10 à la partie supéricure, en abaissant une
boule, pour cette dixaine, à la seconde colonne, et on
achevait l'opération , sur la première, en abaissant 5
boules pour compléter les 9 qu'il s'agissait d’abaisser,
Passant à la seconde colonne, on abaissait 2 boules pour
le chiffre 2 des dixaines du nombre 53329. Arrivé à la
troisième colonne, on abaissait d’abord les à boules res-
tantes, ensuite on remontait le tout, en abaissant, pour
la dixeine, une boule de la quatrième colonne et on re-
descendait 2 boules à latroisième colonne pour com-
pléter le chiffre 7. Passant à la quatrième colonne, on
abaissait 3 boules pour le chiffre 3 des mille et enfin ou
abaissait 5 boules à la cinquième colonne pour le chiffre
5 des dixaines de mille. L'apparence finale de l’abacus

2

40 AB

était, après cette opération, celle de la figure 2, et le
nombre 55293 quis’y trouve écrit, à la partieinférieure,
est la somme des deux nombres 3564 et 53529. Pour
ajouter un nouveau nombre à 55293 on agirait de la
même manière et ainsi de suite. On voit donc qu’a l’aide
de cet instrument les additions des nombres peuvent
s'effectuer avecla plus grande facilité ; il en estde même
des soustractions, qu’on peut exécuter par une marche

inverse de celle que nous venons de décrire.

L'abacus abandonné par toutes les nations euro-
péennes se trouve encore en Chine et dans quelques
parties des Indes.

Agacus de Pythagore. Table pour faciliter les calculs.
C'était probablement une table de multiplication sem-
blable à celle que nous avons encore et qui porte lenom
de Pythagore.

ABAISSEMENT (4/gèbre). On appelle abaissement
d’une équation la réduction de cette équation à un
degré inférieur. Par exemple, l'équation du sixième
degré x$ + pas + q = 0 s’abaisse au second en fei-
sant xŸ— y, car alors on a y? = x et en substituant ces
valeurs de x?, x° dans l'équation, elle devient y? + py
+ q = 0. En général, une équation de la forme x +
p æ"—+ q —o peut toujours s’abaisser au second
degré en y faisant x" = y ; et une équation du degré
mn et de la forme

m (n—1 m(n—2)

112 nm

æ is À x de A;x etc... An1x H A;=0o
s'abaisse au degré » par la substitution d’une nouvelle
inconnue ÿ = x". |

En géométrie on dit abaisser une perpendiculaire
d’un point sur une ligne ou sur une surface, et dans ce
cas, ce mot abaisser signifie mener.

ABaissemENT de l'horizon sensible. Vovez Horizon.

Awaissement des planètes par l'effet de la parallaxe
(Astr.) Voyez ParaLLaxe.

ABaAIssEMENT d’un astre sousl’horizon. (4str.)Ilest me-
suré par l’arc du cercle vertical, compris entre Pastre et

horizon. f’oyez VErricar.

ABEILLE (45tr.). Constellation méridionale, nom-
mée aussi mouche indienne ; elle n’est point visible en
Europe. De toutes les étoiles qui la composent, les trois
plus remarquables ne sont que de la quatrième grandeur.

ABENEZRA (Astr.Ÿ. Nom arabe de l'étoile de la
première grandeur, parmi les hyades qui font partie
de la constellation du Taureau; ce nom signifie la grande
étoile, la principale étoile. Les Grecs l'appelaient Lam-
padias où Hypochiros. Les Latins Palilicium ou Parili-
cium et Subrufa. Elle est connue aussi sous la dénomi-
nation d'œil-du-taureau et plus généralement sous le
nom d’Aldeboran. On croit aussi que cette belle étoile
est Je génie Taschter des Indiens, qui préside à l’éani-

AB

noxe du printemps. Elle est située fort près des Pléiades,
sur la ligne menée de l’épaule occidentale d’Orion.

ABERRATION (4str.). Mouvement apparent des
corps célestes causé par la combinaison du mouvement
de la iumière avec celui de la terre autour du soleil, Le
changementde position qui résulte pour les étoiles fixes de
ce mouvement est si petit que les astronomes anciens ne
s’en étaient point apercus; et quoiqu'il soit un produit
nécessaire de deux causes connues, au moment de sa dé-
couverte il w’ayait point été entrevu par la théorie lors-
qu'il fut annoncé au monde savant en 1728. C’est au
célèbre astronome anglais Bradley qu’on doit cette im-
portante découverte dont il a exposé lui-même l’his-
toire dans le numéro 406 des Transactions Philosophi-
ques. Il y fut conduit accidentellement par plusieurs
observations faites avec un soin éxtrême, À l’aide d’ins-
trumens à grandes dimensions, et entreprises dans le but
de détesniner la parallaxe annuelle des étoiles fixes.
(F’oyez PARALLAXE. )

Le phénomène de l’aberration peut être conçu de la
manière suivante :

Soit À une étoile, dont une molécule lumineuse par-
court la distance AB qui la sépare de la terre dans un
temps quelconque. Si cette molécule rencontre au point
m le centre de l’ouverture su-

; D 1A Le
périeure d'un tube creux ou Q
d’un télescope z2c incliné par
rapport à BA; la molécule lu-
mireuse , si le tube est immo-
bile, ira frapper sa surface inté-
rieure, elle sera conséquemment
absorbée ou réfléchie, ct ne
parviendra pas en c à l'œil de

l'observateur. Muis si l’on sup-

Bic c2c

pose que le tube soit transporté
parallèlement à lui-même decen B, et cela, dans le
même temps que la molécule lumineuse parcourra la
distance »B, il est évident que cette molécule descen-
dra librement le long de l’axe du tube, se trouvant en o
lorsque le tube est en 72" c', en o' lorsque le tube est en
m"c" ct enfin parvenant en B, à l’œil de l'observateur
lorsque le tube arrive dans la position »2'"B. Aïnsi la
lumière, tout en suivant la route #4B, se sera toujours
trouvée dans l’axe du tube, et l'observateur qui renvoie
l'image de l’objet dans la direction BD, où il la reçoit
verra l'étoile en D et uon en A. La différence qu'il y a
entre la véritable place et le lieu apparent de l'étoile ou
l'angle ABD, constitue l’aberration. T7

Or, dansle triangle 2Bc on a la proportion (Tricoxo-
mÈTRIE) CB : By : : sinus Brnc : sinus Bcm d’où l’on tire

sin Bric = sin Bem.

AB

Mais dans la construction de notre figure, nous avons
supposé que la distance <B était parcourue par la terre
dans le même temps que la lumière parcourait la dis-
tance »B, ces distances sont entr’elles comme la vitesse
de la terre est à celle de la lumière, on a par conséquent
cB
Bra — vitessede la lumière

vitesse de la terre
, et comme l'angle Bye est

égal à l’angle d’aberration ABD on a aussi
vitesse de la terre.

sinus aberration=sin Bern. — — -—
vitesse delalumière,

Si l’on désigne par 1 la vitesse de la terre dans un
temps donné celle de la lumière est à peu près 10168
dans le même temps, nous avons donc encore (a).

sinus aberration — sin Bem.

Il suit de l'expression (a) que l’aberration est la plus
grande possible lorsque l'angle BCyra est droit, car alors
sin Bern — sin go° — 1. Mais dans ce cas (a) devient

sinus aberration = 7335 = Sin 20”,

ainsi la plus grande aberration est de 20” ou pour plus
d’exactitude de 20”,253, ce qui résulte d’âilleurs des
observations. Le mouvement de la terre autour du s0-
leil se trouve donc confirmé par l’expérience, et ne
peut plus étre mis en doute.

La théorie de l’aberration s'explique d’une manière

des forces.

plus rationnelle par le parallélogramme
{ Pôyez Comprosrriox des forces. } En
effet, soit À une particule lumineuse
rencontrant er O avec une vitesse repré:
sentéé par la ligne AO pour un temps T;
l'œil de l'observateur mu de C en Bavéé
une vitesse représentée par la ligne CO,

pour lé même temps T. Or le choc en O

rénverrait le rayon lumineux suivant la B 0 €
direction OA , en vertu de la seule vitesse AO, et suivant
la direction OB, en vertu de la seule vitesse CO. I en
résulte donc une direction mixte OD suivant la diago-
nile du parallélegramme ADBO construit sur AO et
OB = CO et l'observateur verra l’étoileen D et non en
A. L'angle d’aberration AOD sera donné, dans le
triangle BOD par la proportion sin BDO — sin AOD
: sin BOD : : BO : BD — AO d’où l'on tirera comme
ci-dessus

sin aberration — sin BOD. sin (20”, 253)

L'aberration varie avec l'angle BOD depuis son maxi-
mum 20,253 jusqu'à 0, ce qui arrive lorsque OD deve-
nant taigente à l'orbite de la terre, l'angle BOD est nul,
Son effet général est de porter toujours l'étoile en avant,
daus le sens et dns le plen où la terre se meut, ce qui
paraît lui faire décrire une petite ellipse dont le grand
axe est de 40”,50 et dont le petit axe varie suivant Ja
latitude de l'étoile, Ce petit axe est nul pour les étoiles

.…

AB 11

situées à l’écliptique; dans ce cas l'étoile paraît osciller
sur une ligne droite.

Plusieurs auteurs ont écrit sur laberration après
Bradley. Parmi cux uovs citerons Clairaut (qui a donné,
Mémoires de l'Académie des sciences 17357, les formules
pour calculer l'effet de l'aberration sur les latitude, lon-
gitude, ascension droite et déclinaison des ästres);
ThomasSimpson, Manfredi, Frisiet Fontaine Descrutés.
Euler a traité cette question avec sa supériorité accou-
tumée dans les Mérmorres de Berlin 1546 tome 2. Delam-
bre a calculé des tables d’'aberration pour toutes les
planètes. Voyez les détails dans son Traité d' Astronomie.
“Les aberrations en longitude et latitude sont données,
pour les étoiles fixes, par les deux formules suivantes,
démontrées par Falande (Æ4stronomie, 2846, 2853)
avec autant de facilité que de clarté.

Soient ? la longitude d’une étoile, s la longitude du
soleil, on a

20,253. cos()=— 5)
aber. long. = — \

,

cos. lat.
aber. lat, — 90",253. sin (15). sin ar.

A l’aide de ces équations, on obtient facilement, pour
les changemens produits par l'aberration sur l'ascension
droite et la déclinaison des étoiles fixes, les deux ex-
pressions :

cos (i—s}cos p + sin ()—5)sinp. sin lat.

COS dl.

N=—— 207,253 [cos ()—s) sin p — sin (}—s) cos p. sinlut.|
MT désignant laberration en ascension droite, et N l’a-
berration en déclinaison; p étant l'angle de position, et
d la déclinaison.

Lorsque la déclinaison est australe, on change les
signes des deux termes du second membre de la se-
conde équation.

I existe d’autres formules qu'on trouvera dans les
traités d'astronomie.

AgennarTion des planètes. L'aberration doit avoir éga-
lement lieu pour les planètes comme pour les étoiles
fixes; et c’est en effet ce que l’observation confirme.
Quoiqu’elle soit alors le résultat de trois mouvemens
différens, elle est beaucoup plus simple à calculer que
celle des étoiles fixes.

Soit P une planète se mouvant avec la vitesse Pp dans
un temps T, et soit PD la vitesse d’un rayon lumineux
dans le même temps. Ce rayon, participant des deux vi-
tesses Pp et PD, arriverait par la diagonale PB à la terre,
si on la supposait immobile en B; et l'observateur placé
au point B verrait la planète en P, lorsqu'elle est arri-
vée en p. Mais supposons que pendant le même temps
T la terre vienne de M en B avec la vitesse BM, elle
rencontrera le rayon Iumineux en B, et la vitesse PB
du rayon, combinée avec celle de la terre, BC— BM,

produira une sensation composée suivant la diagonale

Ln

qui est égal au mouvement de la

12 AB

Bp' du parallélogramme p'PBC, construit sur les vites-
es BC et PB. Ainsi, l'observateur
verra la planète en p'etse trompera

conséquemment de l'angle p'Bp,

planète, plus le mouvement de la

terre. Si le mouvement de la pla-

nète s’effectuait dans le même sens \]
que celui de la terre, on aurait la D © B M

différence au lieu de la somme des mouvemens. Dans

tous les cas, l’aberration est égale au mouvement relatif.

On aurait encore le même résultat en transportant à
la planète, en sens contraire, le mouvement de la terre
allant de M en B; car, en considérant la terre comme
immobile en B, et supposant, pour remplacer son mou-
vement, que la planète va de p'en P, le mouvement
total p'p sera l’aberration. Mais ce mouvement total
n'est autre chose que le mouvement géocentrique de la
planète, c'est-à-dire son mouvement apparent de trans-
lation autour de la terre, qui se croit immobile.

Soit donc m1 le mouvement géocentrique d’une pla-
nète pendant une seconde de temps, d sa distance à la
terre , et v la vitesse de la lumière pendant une seconde
de temps, dv sera le temps que la lumière mettra à
venir de la planète à la terre, et conséquemment, r29v
le mouvement géocentrique de la planète dans le temps
dv. Nous aurons donc

aberration = r7dv:== m0. (493"),
l'observation ayant donné v—8 13,2 de temps, ou
493" de degré (Foy. Mouveurxr de Ja lumière).

Selon que 72 sera le mouvement géocentrique en lon-
gitude, latitude, ascension droite ou déclinaison, cette
formule donnera l’aberration en longitude, latitude,
ascension droite Gu déclinaison (Voy. Astronomie de
Delarbre , tome INT, ch. XXX, pour les développe-
mens). Les »7aximum d'aberration en longitude des
planètes sont les suivans :

Uranus. . ..

Saturne . . .
Jupiter. .##11508.

Mars. . . . . 37”,8.
Vénus. . . . 43,2.
Mercure . . . 59”,0.
La lune .-. . o”,8.

L’aberration vafie entre o et ces nombres. Celle du so-
leil est invariable , étant constammént de 20"”,253. L'a-
berration des planètes en latitude est presque insensible,
parce qu’elles sortent peu du plan de l'écliptique. La
plus grande, qui est celle de Mercure, est d’envi-
ron 4”,3.

On pourrait croire que le mouvement diurne de la
terre, ou sa rotalion sur son axe en vingt-quatre heu-
res, dût exercer une influence sensible sur l’aberration.

AB

Ce phénonrene a lieu en effet; et c’est ce qu’on nomme
aberration diurne ; mais il n’est, à son maximum, que
: de seconde; et aucun astronome n’en tient compte.

AgErRaTION (Optique). Dispersion des rayons lumi-
neux traversant Jes verres d’une lunette; ce qui fait que
l'œil ne reçoit qu'une image confuse. Il y a deux causes
d’aberration : la première est la forme sphérique des
verres ou miroirs; Cet la seconde, la différente réfrangi-
bilité des rayons (Foy. OPTIQUE Ct ACHROMATIQUE. ).

ABONDANT ( Arithmetique). Un nombre abondant
est celui dont la somme des diviseurs est plus grande
que le nombre. Par exemple, 12 est un nombre abon-
dant, parce qu’il a pour diviseurs les nombres 1, 2,
3,4, 6, dont la somme est 16. Un nombre tel que 10,
plus grand que la somme 8, de ses diviseurs 1, 2, 5, est
un nombre déficient ou défectif. Entre le nombre abon-
dant et le nombre déficient se trouve le nombre parfait;
c'est celui qui est égal à Ja somme de tous ses diviseurs.
Gest un nombre parfait, parce qu’il est égal à la somme
de ses diviseurs, 1,2, 3.

ABRACHALEUS ( Astronomie). C'est un des noms
de la seconde étoile des Gémeaux, marquée 8 dans les
catalogues. On l’appelle aussi Pollux.

ABRAHAM-BEN-CHIJA où CHAJA, surnommé /e
prince, rabbin espagnol , né en 1050, avait des connais-
sances astronomiques et géographiques remarquables
pour son temps. Parmi ceux de ses ouvrages qui se trou-
vent à la bibliothèque du Vatican, et qui intéressent
spécialement l’histoire des mathématiques, nous cite-
rons principalement celui qui est intitulé : SpAera
mundè describens figuram terræ, dispositionemque or-
bium cælestium et motus stellarum.

Ou doit encore à Abraham-Ben-Chija un autre ou-
vage astronomique, dans lequel il traite des planètes,
des deux sphères, et du calendrier des Grecs, des Ro-
mains et des Ismaélites; il est aussi l’auteur d’un traité
de géométrie, dans lequel il aborde l'explication des
triangles sphériques et la conversion des angles et des
cercles. Tous ces écrits, qui sont au moins le fruit
d'une prodigieuse érudition, ne sont curieux aujour-
d’hui qu’à cause du temps où ils furent composés, et
parce qu'ils peuvent servir à marquer le point de départ
etles progrès des sciences mathématiques durant le
moyen-àge.

ABRAHAM ZACHUT, savant rabbin du XV° siè-
cle, s'acquit une si grande réputation dans les sciences
mathématiques, qu’une foule de chrétiens, malgré les
préjugés du temps, se pressaient à ses leçons. Il profes-
sait l'astronomie à Carthage, en Afrique; et il vint plus
tard l’enseigner à Salamanque. L'ouvrage le plus re-
marquable qu'on ait de lui, et qui a été imprimé à Ve-
nise en 1472, est intitulé : A/manach perpetuum, seu
Ephemerides et Tabulæ septem planetarum. Le système

AB

qu’Abraham essaye d'établir dans cet écrit est ingénieux.
Suivant lui, tous les mouvemens célestes seraient ré-
duits à des périodes qui ramèneraient Les planètes à des
points où les mêmes inégalités recommenceraient de
nouveau. La période étant, pour le mouvement du so-
leil, de 4 ans, dont 1 bissextile à quelques minutes près,
Abraham la fait de 31 ans pour la lune , de 8 pour Vé-
nus, de 125 pour Mercure, de 59 pour Saturne, de
85 pour Jupiter, et enfin de 79 ans pour Mars; mais
tous ces nombres inéritent peu d'attention, car ils ne
reposent que sur des hypothèses tout-à-fait arbitraires.

ABRÉVIATION (Algèbre). C’estla réduction d’une
quantité composée à une expression plus simple. Pour
abréger l'équation

2xi— ax — cr +abx =abc— acx —bex + br,
on commence d'abord par faire passer dans le premier
membre tous les termes affectés de æ, ce qui donne

a — ax? — ba? —cx* + abx Lacx + bex = abe.

On met ensuite entre des parenthèses les diverses quan-
tités qui multiplient une même puissance de x, et l’on a

a — (a+ b + ec) xt (ab + ac +bc)x = abe.
Siles quantités a, b, ce, étaient des nombres, on ef-
fectucrait les opérations indiquées, et en supposant

qu'on ait dans ce cas
abtb+c—=A,
ab+ac+bc=B,
abc = C:
L’équation proposée se réduirait à la forme
x— Ax? +Bzr=cC.
IL est important de ramener toujours les formules aux
expressions les plus simples qu’elles puissent avoir.

ABSCISSE (Géométrie), (de abscindere,

Pour déterminer la position d’un point sur un plan, on
?

couper).

le rapporte à deux droites ;
AX, AY, perpendiculaires

l'une sur l’autre, et don-
nées de position sur ce plan.
Ces droites se nomment les
axes, et, particulièrement, Y|777
AX se nomme l'axe des ab-
scisses, et AY l'axe des or-

données. La distance By ou
Azx du point B à l'axe AY À
se nomme l’anscisse de ce point, et se désigne généra-
lement par la lettre +. La distance Bx où Ay du même
point B à l’axe AX se nomme l’ordonnée de ce point,
et s'exprime généralem nt par la lettre y.

L'abscisse et l'ordonncée portent conjointement le
nom de coordonnées.

Si les axes ne sont pas perpendiculaires l’un sur l’au

AB 43

tre, ce qui est nécessaire dans certaines questions, alors
les coordonnées ne sont pas non plus perpendiculaires à
ces axes, mais leur sont parallèles, savoir : l’abscisse à
l’axe des abscisses , et ordonnée à l'axe des ordonnées.

Les abscisses se comptent généralement sur leur axe:
ainsi, pour désigner l’abscisse du point B, on prendra
Ax etnon By.

Lorsqu'une courbe MN est rapportée à deux axes, et
que la relation des abscisses Ax', Ax”, Ax'”, ete., ou,

comme on l'écrit communément, des abscisses æ', x"

, I

At L , D
æ”", etc., avec les ordonnées correspondantes LT,

x°y", x"y"", etc., ou y',y", y"", eic., est donnée par
une expression algébrique, cette expression est ce qu'on
nomme l'équation de la courbe. (Foy. Appricariox de
l'algèbre à la géométrie.)

ABSIDE,. loy. Arsip.

ABSOLU ( {lgèbre). Terme ou nombre absolu. C'est
la quantité ou le nombre entièrement déterminé qui
fait un des termes d’une équation, etauquel on égale la
somme de tous les autres. Ainsi, dans l'équation æ°+
pa +qz=r, r est le nombre absolu. Vière le nom-
mai homogeneum comparationts ; mais les mathémati-
ciens modernes le classent simplement avec les autres
coefficiens des puissances de l’inconnue +, le conside-
rant comme celui de x°. Le terme absolu d'une équa-
tion quelconque est toujours formé par le produit de
toutes ses racines. (J'oy. ÉQUATION et Racine.)

ABSTRAIT. Mathématiques abstraites où mathéma-
tiques pures. Lois des nombres et de l’étendue considé-
rées en elles-mêmes, et abstraction faite des objets sen-
sibles auxquels elles peuvent s'appliquer.

AssrraAIT (Æ4rith.). Nombre abstrait. Nombre consi-
déré comme exprimant une collection d’unités iudépen-
dantes d'aucun objet en particulier. Par exemple, 5 est
un nombre abstrait lorsqu'il ne désigne pas des objets
déterminés ; mais lorsqu'il désigne 5 francs ou 5 mètres,
le nombre 5 est alors un nombre concret. (Foy. Cow-
CRET. )

ABSURDE. Réduction à l'absurde : forme de raison-
nement par lequel on prouve la vérité d’une proposi-
tion, en partant de la supposition que la proposition
est fausse, ct en tirant des conséquences absurdes de
cette hypothèse ; ce qui force nécessairement à conclure
que la proposition ne peut être que vraie. Ce mode de
démonstration n’est satisfaisant que lorsqu'il s'applique
à des propositions inverses ou réciproques d’autres pro-
positions directement démontrées. Ainsi, par exemple,
après avoir établi, par un raisonnement direct, que,
dans un triangle isocèle, la perpendiculaire abaïssée
du sommet sur la base partage cette base en deux par-
ties égales, si Von voulait démontrer la proposition ré-

ciproque, que la droite qui passe par le sommet et le

44 AC

milieu de la base d'un triangle isocèle est perpendicu-
laire à cette base, on devrait employer la réduction à
l'absurde, parce qu’en effet cette seconde proposition
est tellement liée à la première, qu’on ne peut la suppo-
ser fausse sans renverser cette première, dont la vérité
a été rendue évidente. Mais lorsqu'il s’agit de démon-
trer une proposition directe, la réduction à l'absurde
ne peut plus satisfaire l'intelligence , car elle ne lui ap-
prend rien sur l’origine de la propriété qui fait l’objet
de cette proposition. Plusieurs auteurs modernes ont
fait un abus déplorable de cette méthode de démons-
tration, pour éviter, en géométrie, la considération de
l'infini, sans laquelle il est cependant impossible d’avoir
la conception d’une ligne courbe.

ACAMPTE. Terme employé par Leibnitz pour dési-
gner des figures qui ne réfléchissent pas la lumière,
quoiqu'elles soient opaques et polies, et conséquemment
douées des propriétés nécessaires pour opérer cette ré-
flexion. ( Op. Leib., tome n1, page 203.)

ACCÉLÉRATION (Mécanique). Accroissement de
vitesse que reçoit un corps en mouvement. C’est l'opposé
de RETARDATION, qui signifie diminution de vitesse. Un
corps qui tombe librement par l'effet de sa pesanteur
acquiert à chaque instant de sa chute une acceleration
de vitesse. (F’oyez AccELÉRE.) Au contraire, un corps
lancé de haut en bas par une force quelconque éprouve,
à cause de sa pesanteur, une retardation de vitesse, et
la résistance de l'air modifie encore la courbe qu'il dé-
crirait s’il était lancé dans le vide. ( Voyez Prosecrire.)

ACCÉLÉRATION pe LA cHuTE DES convs ( {stoire.)
Aügiientation de vitesse qu'un corps acquiert dans sa
chute en tombant librement et par l'effet de sa seule
pesanteur:

Cette partie importante de la physique mathématique
a été long-temps régie par des théories qui, basées sur
l'illusion des sens, et consacrées par d'anciennes doc-
tines philosophiques , ont dû résister d'autant plus aux
démonstrations de la science. Les propriétés réelles du
mouvement étaient encore inconnues vers Ja fin du
seizième siècle. Les plus savans mathématiciens de cette
grande époque, à laquelle se rattachent d'ailleurs les
plus belles découvertes de lesprit humain, bornaient
leurs recherches et leurs travaux en mécanique à des
commentaires sur le livre consacré par Aristote à cette
branche des mathématiques, et intitulé : Questions
mécaniques. Get ouvrage est apprécié aujourd'hui à sa
juste valeur, et les aperçus ingénieux qu'il renferme
sont loin de constituer les réalités indestructibles que la
science moderne a mises à leur place.

À l’époque encore récente où la doctrine du philo-
sophe de Stagyre sur le mouvement était généralement
adoptée par les physiciens et les mathématiciens , on ne
pouvait soupçonner que tout mouvement étant recti-

AC :
ligne de sa nature, devait nécessairement se perpétuer
dans la même direction, s'il ne rencontrait aucun obs-
tacle. On croyait au contraire qu’il existait deux sortes de
mouvemens, les circulaires et les rectilignes ; que les
premiers étaient naturels, et les seconds violens. Ainsi,
dans l'application de ce système, on établissait que les
astres se mouvaient d’une manière circulaire, en vertu
de lois qui étaient de l'essence même de ces corps, tan-
dis que le mouvement rectiligne était le résultat d’une
impulsion donnée aux corps par une force motrice,
diamétralement opposée à leur nature. Sous ce dernier
point de vue, on pensait donc, par exemple, qu'une
pierre lancée dans l’espace ne pouvait s’y mouvoir que
par l'application continuelle de la force étrangère, ou
le maintien de l'impulsion qui avait décidé son mouve-
ment. Mais comme le premier mouvement de la pierre
se continue lorg-temps encore après qu’elle a été lancée,
et par conséquent sans l’application suivie de la même
impulsion, expérience qu'il est bien facile d'acquérir,
il était nécessaire d'expliquer cette contradiction mani-
feste entre la théorie et le fait. On se contentait de ré-
pondre encore avec Aristote, par qui l’objection avait
été prévue, que l'air dont le corps est suivi par-derrière
continue à Jui faire suivre l'impulsion primitive qu'il a
reçue.

La certitude de ces vagues et imparfaites explications
du mouvement en général, et qui s'appliquaient alors
en grande partie à la théorie de F'accélération des graves,
était loin d’être contestée, lorsque l'illustre Galilée dé-
couvrit Jes véritables lois de ce phénomène. Ce fut à
Pise, où il étudiait alors la philosophie, qu'il commença
à soutenir des thèses contraires aux doctrines de ses
maitres. Pour combattre celles qui étaient professées
sur Ja propriété du mouvement, il dut d’abord éta-
blir en principe qu'il n’y avait que peu de différence
dans le temps de la chute des corps graves d’une pe-
santeur tout-à-fait inégale, lorsque la matière de ses
corps différait peu de densité , et que cette vitesse serait
exactement la même dans le vide. Galilée tirait de ce
principe la juste conséquence que la vitesse de la chute
n'était pas en même raison que la pesanteur, ainsi que
le formulait un prétendu axiome de l’école péripatéti-
cienne.

Galilée faisait reposer la démonstration de ce prin-
cipe sur un raisonnement d’une admirabie simplicité,
et que nous allons reproduire ici, comme le plus propre.
à donner une idée juste de la question alors en discus-
sion. Qu’on laisse tomber, disait-il, d’un côté une once
de plomb, de l’autre dix onces séparées de la même ma-
tière, mais simplement posées l’une sur l’autre, on verra
que des deux côtés la vitesse sera égale. Ainsi, soit que
ces dix onces de plomb forment une masse compacte, soit
qu’elles forment dix masses faiblement adhérentes, on

° AC
ne saurait dire que leur adhérence influe en rien sur leur
accélération, puisque, de leur nature, chacune de ces
masses tombe avec une égale vitesse, et que le poids de
la première n’ajoute rien à celui de la seconde, le poids
de la seconde à celui de la troisième, ainsi de suite. Il
est donc impossible que dix livres ou dix onces de plomb
tombent plus vite les unes que les autres , et conséquem-
ment que dix onces tombent plus vite qu’une seule.

Nous devons néanmoins faire observer que s’il est vrai
de dire que tous les corps tombent avec une égale vitesse,
cela doit toujours s'entendre eu égard à la résistance du
milieu dans lequel ils se meuvent. Ainsi 4 résistance que
l'air oppose à la chute des corps légers est beaucoup plus
considérable que celle qu'il présente aux corps graves.
Mais dans le vide, c'est-à-dire en supposant la neutrali-
sation complète de l'air, tous les corps tombent avec une
égale vitesse, quelle que soit l'inégalité de leur pesan-
teur, le plomb comme la plume. Les expériences faites
au moyen de la machine pneumatique ne permettent
plus aucun doute à cet égard; mais Galilée devait, avant
tout, prouver par un fait palpable la justesse du raisou-
nement qui précède.

Cette expérience fut faite à Pise, en présence d’un
nombreux coucours de savans et de citoyens, et son ré-
sultat confirma pleinement la nouvelle théorie de l’au-
dacieux étudiant qui venait venger la science et la raison
des erreurs d’Aristote. Sans doute, avant cette époque,
on avait pu juger facilement que l'accélération d’un
corps grave, dont la masse n’éprouve ni altération ni
obstacle, s'augmentait en raison de la distance qu'il par-
courait dans sa chute, puisque son choc est d’autant
plus fort que cette distance a été plus grande. Mais Ja
doi même de cette accélération était encore un mystère,
et c'était cette loi que Galilée venait de découvrir, en
établissant que l'accroissement de la vitesse suit le rap-
port du temps, c’est a-dire qu'après un temps double la
vitesse est double , triple après un temps triple, etc.

Galilée fut d’abord obligé de supposer cette loi de
l'accélération ; il en rechercha ensuite les propriétés, et
ayant prouvé par l'expérience qu’elle convenait à la
chute des corps graves, il en conclut que cette loi était
celle de la nature. Il démontra donc que aans les temps
1,2, 3, 4, les espaces parcourus sont 1, 3, 5, 7, et
que tous pris ensemble depuis le commencement de la
chute, ils sont entre eux comme les carrés des temps.
Ensuite il prit une longue pièce de bois, dans laquelle il
fit creuser un canal, et l'ayant inclinée de manière que
la lenteur du mobile lui permit de comparer le temps
avec l’espace parcouru, il trouva toujours que dans un
teraps double l’espace était quadruple, dans un temps
triple neuf fois aussi grand, etc. Enfin, pour se créer une
idée plus précise de l'accélération du mouvement, il
imagina des plans inclinés par des lignes tirées des

AC 15
extrémités du diamètre d'un cercle, et 1l représenta la
direction perpendiculaire par le diamètre même. Quoi-
que toutes ces ligues fussent inégales, il démontra que
le mobile parcourait chacune d’elles dans le même temps
qu'il aurait emplové à parcourir le diamètre.

La loi de l'accélération, ainsi donnée par Galilée,
devint bientôt fertile en déductions importantes. Tel est
le caractère des grandes découvertes : elles frappent
d’abord par leur extrême simplicité et la facilité avec
laquelle elles sont accessibles à toutes les intelligences,
et elles deviennent ensuite une source inépuisable de
progrès dans leur application à toutes les parties de la
science à laquelle elles se rattachent. Galilée se servit
lui-même de sa théorie pour analyser la nature de la
courbe décrite par les corps projetés obliquement, et
par ce moyen il expliqua le premier la route parabolique
des projectiles. Cette application de la récente loi de
l'accélération était elle-même une découverte qui déter-
mina une révolution complète dans les procédés de l’ar-
üllerie, et surtout daris l'emploi de ses machines au siège
des places: c'est ainsi que les connaissances de cette par-
tie si importante de l’art militaire sont entrées dans le
domaine des sciences mathématiques. Par une consé-
quence logique de sa principale découverte, Galilée fut
aussi conduit à s'occuper du mouvement des pendules.
Si, sous ce dernier rapport, ses démonstrations ne furent
pas aussi décisives, c’est à cet homme de génie qu’on
doit du moins l'idée première de la théorie au moyen
de Jaquelle on mesure aujourd’hui le temps avec une
précision si remarquable.

Nous ne pouvons accorder plus de place dans cet arti-
cle aux diverses applications de la loi générale d’accélé-
ration, chacune d’elles devant être décrite avec toute
l'étendue que comporte leur importance scientifique au
mot spécial sous lequel on les désigne; nous devons
nous borner à achever en peu de mots l’histoire de la
découverte de Galilée.

On fut généralement frappé de la certitude et de
l'évidence de la nouvelle théorie proposée par ce grand
mathématicien; mais elle ne laissa pas de rencontrer
de vives oppositions, et de soulever contre lui la haine
impuissante de ces hommes qui s’effraient de tous les
progrès, et se font une religion fanatique des préjugés
les plus insensés. La loi de l'accélération ne pouvait
échapper à cette destinée des vérités nouvelles : elle
servit de texte, pendant plusieurs années , à une polé-
mique vive et passionnée. Ce fut seulement en 1638
que Galilée publia sa découverte, dont la démonstra-
tion remontait évidemment à une époque plus éloignée.
Durant la même année, un noble Génois, nommé Ba-
liani , et qui avait alors une réputation de bon physicien,
publia aussi un ouvrage, dans lequel il s’accorda presque
entièrement avec Galilée sur l'accélération de la chute

46 AC

des graves. (De motu naturali fluid. ac solid.) En 1648,
Baliarni fit paraitre une nouvelle édition de son ouvrage,
augmentée de cinq livres, où, changeant complétement
de système, il teuta de produire une autre loi d’accélé-
ration. Un père Casrée, jésuite, que Gassendi a réfuté,
essaya aussi de démontrer la fausseté du système de
Galilée, qui, au reste, ne manqua pas de défenseurs.
Benoit Castelli et le célèbre Toricelli, ses disciples,
développèrent tous deux les théories de leur illustre
maitre, dont la mémoire, malgré Finjuste opposition
de quelques-uns de ses contemporains , arrivera grande
et pure à la postérité, qui ne saura point les noms de
ses obscurs ennemis. ( F’oyez GaLiLÉE et MouvEmENT. )

ACCÉLÉRATION du mouvement diurne des étoiles.
C’est la quantité dont les levers , couchers et passages
au méridien des étoiles fixes avancent chaque jour. Elle
est de 3° 55 9 de temps : ainsi une étoile qui aurait
passé au méridien, un jour donné, à minuit, le leude-
main passerait à 11% 56" 4," 1. Cette accélération est
causée par le mouvement apparent du soleil d’occident
en orient, lequel est de 59° 8," 2 de degré par jour, ce
qui exige 3° 55," 9 de temps, et dont l’effet est consé-
quemment de le ramener chaque jour au méridien
5° 55," 9 de temps plus tard que la veille. Il en résulte
que l'étoile dont le passage au méridien se serait effec-
tué hier en même temps que celui du soleil, se trouve
aujourd'hui de 5y° 8," 2 plus occidentale, et arrive au
méridieu 3° 55," 9 avant le soleil.

Cette accélération n’est la même tous les jours que
par rapport au {emps moyen où temps des pendules,
car le mouvement apparent du soleil varie selon les
diverses saisons de l’année. ( Voyez Temps vrai et
Temps MOYEN. )

ACCÉLÉRATION d'une planète. On dit qu’une planète
est accélérée dans son mouvement, lorsque son mouve-
ment diurne réel est plus grand que son mouvement
diurne moyen. Et vice versä, on dit que la planète est
retardée, lorsque son mouvement diurne réel est plus
petit que son mouvement diurne moyen. Cette inéga-
lité provient du changement de la distance de la planète
au soleil qui varie sans cesse; son mouvement autour de
cet astre, s’effectuant dans une ellipse dont il occupe
Pun des foyers. La planète se meut toujours plus vite
dans son orbite quand elle approche du soleil, et plus
lentement quand elle s'en éloigne. (foyez TraJECTOIRE.)

ACCÉLÉRATION du mouvement moyen de la lune.
Halley a découvert le premier cette accélération, en
comparant quelques éclipses, qu’il avait observées, avec
d'anciennes observations d’éclipses faites à Babylone, et
celles d’Albaténius au neuvième siècle. Il ne put pré-
ciser da vitesse de cette accélération, parce que les lon-
gitudes de Bagdad, d'Alexandrie et d'Alep, où les ob-
servations eurent lieu, n'avaient pu être exactement

AC

déterminées. Mais depuis, la longitude d'Alexandrie
ayant été fixée par Chazeller, et Babylone étant située
à 5o'à l’est d'Alexandrie, si nous en croyons le calcul
de Ptolémée, M. Dunthorn se basa sur ces données pour
comparer plusieurs éclipses anciennes et modernes, et
il confirma pleinement l’assertion d’Halley, que le mou-
vement moyen de la lune était plus rapide dans les
temps modernes que dans les anciens temps. Non con-
tent de constater simplement le fait, il résolut de dé-
terminer la quantité de cette accélération, et à l’aide
des plus anciennes éclipses observées à Babylone 521 ans
avant l'ère vulgaire, il conclut que l'accélération , en la
supposant uniforme , était de 10” par siècle.

Lalande fit de semblabies recherches, et parvint au
même résultat. ( Mémoires de l’Académie, 1757. )
Mayer en avait parlé dans les Aémorres de Gœttingue,
en 1552. Dans ses Z'ables de la lune , 1 établit une équa-
tion, qu'il appelle séculaire, pour corriger, selon le
siècle postérieur ou antérieur à 1750, le mouvement
moyen de la lune. Malgré ces recherches, le fait lui-
même, paraissant inexplicable , était encore contesté, et
méme rejeté entièrement par plusieurs géomètres, au
nombre desquels nous sommes forcés de compter La-
grange, lorsque, le 19 décembre 1587, Laplace annonça
qu'il avait trouvé les causes de cette accélération. Elle
résulte en effet de la variation de l’excentricité de la
terre produite par l'attraction des planètes; et loin d’al-
ler toujours en croissant, comme on l'avait supposé , elle
suit d’une manière inverse les lois de cette variation , et
augmente où diminue selon que l’excentricité diminue
ou augmente. Ainsi ce qui parait une accélération au-
jourd’hui se convertira en un retardement dans la suite
des siècles, pour redevenir plus tard une accélération.
Lagrange a confirmé cette explication, qui lui avait d’a-
bord échappée, quoiqu’elle pût se déduire de ses for-
mules générales de perturbation. L’équation séculaire
qui résulte de cette théorie est de

(G0”,18)# + (0",0185) à,
£ étant le nombre de siècles écoulés depuis 1700.

ACCÉLÉRÉ (Mécanique). Mouvement accelcre :
c’est celui qui reçoit à chaque instant et pendant toute
sa durée une accélération de vitesse. Il est l'opposé du
mouvement retarde: mouvement dont la vitesse dimi-
nue continuellement. On désigne, en général, les mou-
vemens accélérés et retardés sous le nom commun de
mouvemens variés.

Dans la théoïie générale du mouvement, après le cas
d’une vitesse constante qui donne le mouvement uni-
Jorme , le cas le plus simple est celui où la vitesse croit
ou décroit par degrés égaux. Le mouvement est dit
alors uniformément varié, et particulièrement wnifor-
mément accéléré, lorsque la vitesse augmente, ei uni-

| AC
formément retarde, lorsque la vitesse diminue. Tout ce
que nous allons dire ici sur le mouvement uniformé-
ment accéléré s'applique également, dans un ordre in-
verse, au mouvement uniformément retardé,

La force qui produit un mouvement uniformément
accélcré est donc une force accélératrice constante ;
c’est-à-dire qu’elle agit constamment sur le mobile de
la même manière, en augmentant sa vitesse d'une quan-
tité égale en temps égaux pendant toute la durée du
mouvement. Pour se rendre compte de l'effet d’une
telle force, on doit concevoir le temps pendant lequel
clle agit comme divisé en une infinité d’intervalles
égaux et infiniment petits , au commencement de chacun
desquels la force accélératrice donne au mobile une
nouvelle impulsion. Alors, considérant le mouvement
comme uniforme pendant la durée de chaque intervalle
en particulier, le mouvement accéléré se composera
d’une suite de mouvemens uniformes d’une même du-
rée infiniment petite, et de vitesses différentes. Ainsi,
désignant par @ la vitesse pendant le premier intervalle,
les vitesses suivantes formeront la progression arithmé-
tique,

20, 39, 4Ds 59, 6D.-..... 19,
t désignant le nombre total des intervalles ou le temps
du mouvement. Nommant donc v la vitesse fnale ou
la vitesse acquise pendaut le temps {, on aura l'équa-
tion (a)
v= t@.

Mais pendant le temps d'un mouvement uniforme,
les espaces parcourus par le même mobile sont propor-
tionnels aux vitesses, et peuvent conséquemment se re-
présenter par ces vitesses. Donc l’espace parcouru pen-
dant chaque instant successif infiniment petit est égal à
la vitesse de cet instant , et la somme de tous ces espaces
ou de toutes ces vitesses est égale à l’espace total par-
couru pendant le temps £. Désignons cet espace pare,
nous aurons

e=?p+2p+3p+ip+5P....... Hi.
Or, la somme des termes du second membre de cette
égalité est (9 + 19) ou E® + v)t, à cause de 19 — v.
(Poyez Procnessions anrramÉriques.) Nous avons donc
e—; (+ v)t,
®, représentant la vitesse pendant le premier instant
infiniment petit, est une quantité infiniment petite,
puisque le mobile était en repos au commencement de
cet instant, elle doit donc être considérée comme o par
rapport à v. ( Foyez CALCUL DIFFÉRENTIEL.) Ainsi, en la
retranchant, on a définitivement (b)
e =£vt.

Les deux équations (a) et (b) renferment toute la théo-

rie du mouvement uniformément accéléré,

AC 17

Il résulte d'abord immédiatement de l'équation (8)
une considération importante. Si nous prenons le temps £

pour l'unité de temps, nous avonse— {+ ; ainsi l'espace

2

parcouru dans la première unité de temps est la moitié
de la vitesse acquise à la Jin de ce temps. Or, comme
on peut prendre pour unité tel intervalle de temps
qu’on voudra, on a donc cette proposition générale :
Une force accélératrice constante communique à un
mobile dans un temps quelconque une vitesse double de
l’espace qu'il a parcouru dans ce méme temps. Si donc
après un intervalle de temps quelconque la force accé

lératrice cessait d'agir, et que le mobile continuit à so
mouvoir d'une manière uniforme avec la vitesse acquise,
celle vitesse lui ferait parcourir dans un second inter-
valle, égal au premier, un espace double de celui qu'il
a parcouru dans ce premier.

Si nous désignons maintenant par v' une autre vitesse
acquise dans un autre temps {', et par e’ l'espacespar-
couru , nous aurons également

v'=tp et e —!vt;
des deux expressions —19 et v' = t'$, on déduit la
proportion
pivisitst,
c'est-à-dire que Les vitesses finales sont proportionnelles
aux temps pendant lesquels elles ont été acquises.

Les deux expressions e = !v et e = 1v'1" deviennent
e—@l,e —@l?, en y substituant à la place de v et de v’
leurs valeurs 49 et '$. On a donc aussi la proportion

ese'::t:t;
ce qui nous apprend que Les espaces parcourus sont
entre eux comme les carrés des temps.

I suit de cette dernière proposition que , si un corps
mu d’un mouvement uniformément accéléré parcourt
dans un temps donné un espace également donné, il
parcourra dans un temps double du premier un espace
quadruple, et généralement que si les temps forment la
progression arithmétique

,

2,084 0 0,07, 8, M0, 10,2...

Les espaces parcourus seront

1,64, 9% 16, 25:36, 49, 64, 81, 100.....

Or, en prenant la différence de chacun des termes de
cette dernière suite avec celui qui le précède, nous au-
rons les espaces parcourus duns chaque instant en parti-
culier, Ces différences sont :

TROT ONE 10,017, 10veeee
Donc les espaces parcourus successivement dans des
portions égales de temps sont entre eux comme la suite
des nombres impairs.

Ainsi, connaissant l’espace g parcouru pendant la
première seconde d'un mouvement uniformément accé-

3

>
léré, pour trouver celui parcouru pendant fa huitième
seconde en particulier, on poserait la proportion
PeTOr ST — 0e,
tandis que pour avoir l’espace total parcouru pendant
les huit secondes , on poserait celle-ci :
AOC HME

Toutes les déductions des formules précédentes peu-

: x — 64g.

vent être récapitulées ainsi qu'il suit :

ete :: 0:

es ei:
v

LA v'é,
(4
. ? . er e
ti ee
y v
ls d':: ev :ev’,

D'après ce que nous venons de dire, en prenant la
seconde pour unité de temps, il suffit de connaitre la
quantité g ou l’espace parcouru peudant la première
seconde du temps d'un mouvement uniformément accé-
léré, pour pouvoir, à l’aide des formules précédentes ,
calculer toutes les circonstances de ce mouvement. Il est
donc important de faire entrer dans les formules cette
quantité constante g, afin de les rendre immédiatement
applicables aux cas particuliers. Or, nous avons , en gé-
néral,e:e'::4 : 4°, et par conséquent e:g::42:1,
ce qui donne (ni)

e= gl.
Mais g étant l’espace parcouru pendant la première se-
conde , la vitesse finale à la fin de cette seconde sera 2g,
et conséquemment la vitesse finale, après le temps 4
sera (7)
—= 9281,
+ exprimant un nombre de secondes.

Des deux équations(m) et (x), on tire les théorèmes

pratiques suivans qui embrassent toutes les questions

qu’on peut se proposer sur le mouvement uniformément

T2. + e
accéléré :
e
v ra 2e Ce
TD — b..T= 0 Lg... 1= Ve
28 6° s
; 2e
a VI ALL G...v—2Veg 10. = —
p? dv
Rise 6 7... e=— Il. e——
AS 2
4 e g y p?
…. rs does L— — 12%. L—=——
8 PTS 97 4e

La chute des corps pesans dans le vide nous donne
un exemple d'un mouvement uniformément accéléré ;
car l'expérience a démontré que les espaces qu'ils par-
courent sont proportionnels aux carrés des temps, et
que les vitesses qu'ils acquièrent sont simplement pro-
portionnelles aux temps. La pesanteur est donc, comme

A (8

l'a découvert Galilée , une force accélératrice constante ;
et, connaissant seulement l’espace parcouru par un corps
pendant la première seconde de sa chute, on pourra
déterminer avec exactitude toutes les particularités du
mouvement de ce corps. Nous devons cependant faire
observer que la pesanteur n’est une force constante que
pourdes chutes d’une médiocre hauteur; car rigoureuse-
ment elle varie en raison inverse des carrés des distances
au centre de la terre. (Foy. Arrracriox. ) Mais lorsque
la hauteur dont un corps tombe est peu sensible par
rapport au rayon de la terre, on peut alors supposer,
sans erreur, comme nous le verrons plus loin, que la
pesanteur est constante.

Des expériences faites avec un soin extrème ( ay.
Pexpure), ont démontré que l’espace parcouru , pen-
dant la première seconde, par un corps qui tombe li-
brement, en vertu de la seule pesanteur, varie avec la
latitude des lieux, et qu'il est le même pour tous les
corps, à la même latitude. À Paris, cet espace est égal à
4 mètres,9044. Nous avons donc pour Paris g—4",0044;
et, à l’aide de ce nombre, nous pouvons résoudre tous
les problèmes relatifs à la chute des corps. Dans ce qui
suit, nous faisons abstraction de la résistance de l'air,
ou,ce qui est la même chose, nous considérons les
mouvemens comme s’effectuant dans le vide.

I. Prosriwe. Quel espace a parcouru un mobile
dans une chute de 10 secondes, et quelle est sa vitesse
finale ? Ici nous avons {= 10; donc(5),e=10°X4,9044
= 490,44. L'espace parcouru pendant la chute était
donc de 490,44. De même (2),
98,044, dernière vitesse acquise.

II. Pros. Quel nombre de secondes emploicra un

v—92.10.4,9044 —

corps pour tomber d'une hauteur de 400 mètres? Ici

nous avons e — 400, et la formule (9) nous donne

400
t= — —= 9 secondes à peu près.
4,9044
IL. Pror. Combien de temps un corps doit-il tomber
pour acquérir une vitesse finale de 100 mètres par se-

conde ? Nous avons v— 100, et la formule (1)nous donne

= — 10 secondes 314 peu près.
2. 2.4,90! 44 10

IV. Pros. Trouver la hauteur de laquelle un corps
doit tomber pour acquérir une vitesse finale de 100 mé-
tres par seconde. En faisant v = 100 dans la formule (;),

100?

elle donnee= > — 509,7461. Ce problème se

4.4,9044
présente souvent dans la mécanique.

L'action de la pesanteur sur un corps est indépen-
dant de la vitesse qu'on pourrait lai communiquer en
le lançant de haut en bas avec une force quelconque;
car son effet étant d'imprimer au corps des vitess®s
égales en temps égaux à toutes les époques du mouve-
ment, quoiqu'il soit, à ces différentes époques , animé

AC

de vitesses différentes, il est évident que cette action ne
dépend pas de la grandeur de la vitesse du mobile, et
qu'en désignant par a la vitesse communiquée au meo-
bile par une force quelconque, au moment de sa chute,
la vitesse finale sera a H ogt, et l’espace parcouru
atbge, les deux forces impulsion et de pesanteur
ayant agi toutes deux en même temps sur le mobile,
comme si chacune d’elle en particulier était seule. Or,
il est naturel de supposer que pareille chose doit arriver
en sens inverse, c’est-à-dire que dans un corps lancé
verticalement de bas en haut la pesanteur doit diminuer
continuellement la vitesse par les mêmes degrés qu’elle
l'augmenterait pendant la chute du corps, c’est-à-dire
que si l’on désigne par a la vitesse initiale du corps, sa
vitesse à la fin de la première seconde sera a— 2g, à la
fin de la seconde a—4g, à la fin de la troisième a —Gg.
C’est en effet ce que l’expérience confirme : ainsi il suffit
de rendre g négatif dans les deux expressions précé-
dentes pour obtenir le mouvement d’un corps pesant
lancé de bas en haut avec une vitesse initiale 4, on a

donc
p=a—2g e—al-gl,

g étant toujours égal à 4w,9044 pour la latitude de Paris.

Le corps s’élevera jusqu’à ce que la vitesse devienne
nulle, et alors il commencera à redescendre; si nous dé-
signons par À la plus grande hauteur à laquelie il puisse
parvenir, et par 9 le temps qu'il emploiera pour y arri-
ver, nous aurons.

o=a—92g9, h—aî—g,

d’où l’on tire
“ he ;

peurs
28 Âg

parvenu à cette hauteur A, le corps retombera vers la

0=

terre reprenant successivement, par l'effet de sa pesan-
teur, tous les degrés de vitesse qu'il avait perdus en
montant; Car sa vitesse finale en tombant de Ja hauteur

ga? mA
hsera(6),24/gh— »\/E ——=4y/a = a. D'où lon con-
4

(

clut que pour élever un corps à une hauteur donnée,
il faut lui imprimer une vitesse égale à celle qu'il ac-
querrait en tombant de cette hauteur.

Ainsi, d’après le problème L, si un corps était lancé
de bas en haut avec une vitesse initiale de 98,088 par
seconde , il s’éleverait à une hauteur de 480"44, et
quand il serait retombé de cette hauteur, sa vitesse finale
serait redevenue égale à 98,088.

Passons aux mouvemens des corps qui glissent sur des
plans inclinés (Voyez PLan incriné). La pesanteur se
décompose alors en deux forces , l’une perpendiculaire
et l'autre parallèle au plan ; la première est détruite,
ct c'est :: seconde seule qui produit le mouvement.
Pour se rendre compte de la nature de ce mouvement,
il faut partir du principe que les vitesses communiquées

AC 19

en temps égaux, à un même corps, par des forces diffé-
rentes sont entre elles comme les intensités de ces forces.
En vertu de ce principe, si la force agissant parallèle-
ment au plan était la moitié de la force absolue de‘a
pesanteur, la vitesse qu'elle imprimerait dans un temps
quelconque serait la moitié de la vitesse qu'imprimerait
la pesanteur dans le même temps. Ainsi le mouvement,
le long d'un plan incliné, sera uniformément accéléré,
el l'espace parcouru pendant la première seconde serait
égale à ?g dans le cas présent.

Généralement, pour un plan incliné quelconque dont
la hauteur est A et la longueur {, la force parallèle agis-
sante étant à la force absolue dans Îe rapport de À à Z,

: = k :
la vitesse, dans la première seconde, sera 57; substi-
tuant donc cette quantité à la place de g dans les équa-
tions précédentes, on aura les équations du mouvement
«ccéléré sur un plan incliné. Nous trouverons de cette
manière les trois équations fondamentales

gh ogh he
=. ep v=92 É.

Il résulte de ces équations plusieurs particularités re-
marquables que nous devons signaler.

En y faisant e—7, c’està-dire en supposant que‘la
longueur entière du plan‘incliné ait éte parcourue, nous

trouvons

pour l'expression du temps employé par le mobile, et

v—2vy/gh

pour l'expression de la vitesse finale à la fin de la chute.
Cette valeur de v nous apprend que la vitesse acquise,
lorsque le corps a par-
couru toute la longueur

du plan incliné, est la nn
même que s’il füt tombé BCD E.F
verticalement de la hauteur du plan. Sil’on avait donc
une suite de droites AB, AC, AD, AË, partant toutes
d’un même point À, et aboutissant à un même plan
horizontal, les mobiles qui glisseraient sur ces droites,
en partant ensemble du point À, acquerraient toutes
des vitesses finales égales en arrivantau plan horizontal.

Il résulte de la valeur
de t, que toutes les cordes
AB', AB”, AB", partant
de

diamètre

l'extrémité À d'un
AB,
dans un cercle quelcon-

vertical

que, seront décrites dans
le même temps par des
corps pesans qui parii-
raient au même instant du point À, Car, en supposant que

20 AC

£ soit la longueur de la corde AB, en abaissant du point
B' la perpendiculaire B'C sur le diamètre, AC sera la
hauteur À du plan incliné AB'; désignant donc le dia-
mètre AB par d, nous avons , dans le triangle rectangle
ABB ( Voy. Crneue), AB° — AB X AC ou Z — dh.
Substituant cette valeur de Z dans celle de 4, elle
donne

d
{= Ve
expression indépendante de la corde AB", et qui con-

- ; À .
vient également à toutes les autres. Mais Ve exprime

le temps de la chute par le diamètre AB. Donc, dans un
cercle, toutes les cordes sont parcourues dans le même
temps que le diamètre.

Mouvement variable accéléré. Lorsqu'une force accé-
lératrice varie pendant le temps qu’elle agit sur le mo-
bile, la vitesse acquise dans chaque unité de temps va-
rie également, et le mouvement produit n’est plus uni-
formément accéléré. Dans les corps pesans tombant
d'une grande hauteur , la variation de la gravité due à
leur rapprochement du centre de la terre, nous offre
l'exemple d'un pareil mouvement; le frottement et la
résistance des fluides nous présentent aussi des exemples
de mouvemens variés. Quelle que soit la nature du mou-
vement varié, l’espace parcouru, la vitesse acquise à
chaque instant et la force accélératrice sont trois fonc-
tions du temps liées entre elles par des lois.

Représentons, comme ci-dessus, le temps par #,
l’espace parcouru par e, la vitesse acquise par v, et la
force accélératrice par ?. Cela posé, si nous concevons
qne le temps { croisse d’une quantité infiniment petite
dt (dtest ce qu'on nomme la différentielle det), l’es-
pace parcouru croîtra d’une quantité correspondante de;
mais, comme nous pouvons supposer que, pour parcou-
rir cet espace, le mobile n'a été animé que de la vi-
tesse », qu'il avait au commencement de dt, nous au-
rons de = vdt, d'où (y)

de
: — &
première équation fondamentale.

Pour pouvoir mesurer la force que nous avons dési-
gnée par ? , il faut la comparer avec une force accéléra-
trice uniforme , et, conséquemment , il faut prendre les
vitesses produites dans des intervalles de temps infini-
ment petits, afin quon puisse considérer l'intensité de
ces forces comme constante pendant ces instans. Soit
donc f une force accélératrice uniforme, qui communi-
que au mobile une vitesse v’ pendant l'unité de temps,
v'dt sera la vitesse due à cette force pendant l'instant dt;
mais, pendant le même instant dt, la force @ produit
une vitesse dy; car la vitesse du mobile étant p à la fin

AC

du temps #, et v + do à la fin du temps t + dt, dvest la
vitesse produite pendant le temps dt. Nous aurons

donc
de: dv : v'dt;
d'où
_Sf dv
? — v' . d'

On simplifie cette expression en supposant que f soit
l'unité de force et v' l'unité linéaire; c’est-à-dire eu pre-
nant pour unité de force celle qui produit dans l'unité
de temps une vitesse égale à l'unité de longueur. Par
cette considération, la valeur de @ devient

__ dv
PT
Mais, en différenciant l'équation (y), on a dv — ée
Le

substituant cette valeur de dy dans celle de #, elle de-
vient (z)
de
P — de”
seconde équation fondamentale.

Ex prenant la pesanteur pour l'unité de force, et la
seconde pour l’unité de temps, l'unité linéaire sera
égale à 9" ,8088, ou au double de la quantité que nous
avons désignée ci-dessus par g. Exprimant donc, au
moyen de ces unités, le temps et les quantités linéaires
qui entrent dans les deux équations (y) et (z), ces équa-
tions nous feront connaître, en les intégrant, les rap-
ports des données avec les inconnues des problèmes
qu’on peut se proposer sur le mouvement varié.

Nous nous contenterons ici d’une application impor-
tante, celle de déterminer le mouvement d’un corps
tombant verticalement dans le vide, en ayant égard à
Ja variation de la pesanteur.

Soient r le rayon de la terre, 2g la pesanteur à sa
surface , À la distance du mobile au centre de la terre,
à l'instant où le mouvement commence.

Lorsque le corps aura parcouru un espace e en tom-
bant , sa distance au centre sera k—e; par conséquent,
sa pesanteur, ou la force accélératrice qui agit sur lui,
sera donnée par la proportion

p:ag::r:(h—e),

l’action de la pesanteur étant en raison invérse du carré
de la distance (Joy. ATTRACTION ).
On tire de cette proportion
2gr°
[.) = AR TE"
(A—e)
Substituant cette valeur de @ dans l'équation (2), elle

donne pour l'équation du mouvement cherché

de __2g"
de (h—e}

AC
En intégrant cette équation , et la résolvant successi-
vement, par rapport à w et à 4, on obtient les deux

expressions

—: cs
en h(h—e)
1 h 7 ne
= = [VUe —e ) + _ are (cos. =") |,

qui embrassent le problème sous tous ses aspects.

Lorsque le mobile tombe d’une petite hauteur , e est
très-petit par rapport à d, et d ne diffère que très-peu

de r; la première expression se réduit à
? Ï
D V'eg.

: h—2e
Quant à la seconde, observant que arc Ce

p
6 : he—e? :

=arc| sin —2 ral etque le sinus >
4 à

étant très-petit, peut être confondu avec son arc, elle

2 —

hé

e?
h°

se réduit, en négligeant e*,
de, à

très-petit par rapport à

LE

ar.

; Ve. 2Vre= =

Ces valeurs de v et de £ sont les mêmes que celles dé-
Juites ci-dessus pour le mouvement uniformément ac-
céléré. On peut donc, ainsi que nous l’avious dit, con-
sidérer la pesanteur comme une force accélératrice con-
stante.

Les deux équations fondamentales (y), (z), s'appli-
quent également au cas du mouvement variable retardé,
comme nous le verrons en son lieu.

ACCORD ( Musique). Co-existence de plusieurs sons
dont les intervalles sont consonnans. L'accord est parfait
lorsqu'il se compose de la tierce, de la quinte et de
l’octave du premier son. ( J’oyez Musique.)

ACCORES ( Architecture navale ). Supports d'un
vaisseau en construction. Ce sont des pièces de bois
placées obliquement.

ACCROISSEMENT ( 4/gèbre). On appelle accrois-
sement l'augmentation que reçoit une quantité variable.
Cet accroissement peut être fini ou infiniment petit;
dans le premier cas il prend le nom de DiFFÉRENCE et se
désigne par la caractéristique A; dans le second, il

prend celui de DtFFÉRENTIELLE et se désigne par la ca-
ractéristique d. Ainsi Ax représente l'accroissement
fini ou la différence de la variable æ, et dx son
accroissement infiniment petit ou sa différentielle. Lors-
que dans une fonction quelconque d’une variable x
que nous désignerons par gx, æ reçoit un accroisse-
ment Ax ou dx, elle devient alors 9 (x + 4x) ou
? (x + dx) et croit conséquemment d’une manière

AC 24

correspondante à l'augmentation de la variable; ces
accroissemens se désignent encore par Agx et dpx et
se nomment respectivement la différence et la différen-
tielle de la fonction gx. Les accroissemens des fonc-
tions ont des lois particulières qui sont l’objet d’une
branche de la science des nombres nommée CaLcur
DES DIFFÉRENCES, et dont les deux subdivisions princi-
pales forment le calcul des différences finies et le
calcul des difftrences infiniment petites où Île calcul
différentiel. ( Foyez ces mots. )

ACHARNAR ( Astr. ). C'est le nom arabe d’une
belle étoile de première grandeur, qui est à l'extrémité
de l’Éridan. Elle est désignée dans les catalogues par la
lettre «.

ACHROMATIQUE (Optique). De xropx couleur,
et d’z privatif; nom donné par Lalande à une lunette
qui corrige l'aberration de réfrangibilité ; phéno-
mène produit par la décomposition d’un faisceau de
rayons parallèles, qui en traversant un milieu diaphane,
se divise en différentes couleurs. Pour que l’image d’un
objet soit bien distincte et bien nette, il est cependant
nécessaire que ces rayons se réunissent au même point.
Oa à cru long-temps qu’il était impossible de construire
des instrumens au moyen desquels on püt arriver à ce
résultat si important pour la précision et la régularité
des observations. L’illustre Newton, lui-même, a fait
à ce sujet des expériences imparfaites, et le télescope
construit d’après ses calculs et ses plans ne remplit point
ce hut. Vers le milieu du xvin° siècle le savant Euler
proposa d'employer des lentilles composées de substan-
ces différemment réfringentes. Il pensait que les veux
sont achromatiques , c’est-à-dire qu'ils réunissent en un
point toutes les espèces de rayons colorés. D’après ce
principe il ne suffisait plus que d’imiter la nature pour
parvenir au même résultat. Dollond , célèbre opticien
anglais, appliqua le calcul d'Euler, en employant les
réfrangibilités résultantes des expériences de Newton,
et se convainquit de l'impossibilité de réussir par ce
moyen. Une polémique s’éleva à ce sujet entre Euler
et Dollond. Un tiers, Klingenstierna, mathématicien
suédois, se mêla à la discussion, et parvint à prouver à
Dollond que l’expérience de Newton reposait sur une
erreur. Après divers essais, cet opticien mesura la force
de dispersion de plusieurs substances ; il trouva que celle
des verres qu’on appelle en Angleterreflintglass et crown-
glass était dans le rapport de trois à deux ; il employa
ces deux espèces de verres à former une lentille qu'il
parvint à rendre achromatique , en ce sens qu’elle dimi-
nuait considérablement les aberrations de réfrangibilité
et même de sphéricité.

Les objectifs achromatiques qui ont été long-temps
composés de deux lentilles de crownglass, séparées

par un verre de flintglass, concave des deux côtés,

99 AC

ne se forment plus aujourd’hui que de deux verres
accolés, dont l’un est une lentille de crownglass et
l'autre un verre de flintglass bi-concave. (Joy. OPTIQUE.)

ACLASTE (Optique). Nom des figures qui laissent
passer les rayons de la lumière sans les réfracter, quoi-
qu’elles aient toutes les propriétés requises pour opérer
la réfraction. Ce mot a été inventé par Leibnitz. (Foyez
Leibnitz op. tome n1, page 203.)

ACOUSTIQUE. C’est une des branches de la phy-
sique générale qui a pour objet le mouvement vibra-
toire des corps considéré dans ses effets sur les organes
de l’ouïe, ou dans la production des sons.

On appelle mouvement vibratoire, les oscillations que
font les molécules d’un corps élastique pour reprendre
leur position primitive lorsqu'elles en ont été écartées
par l’action instantanée d’une force quelconque. Ce
mouvement est rendu sensible à l'œil dans une lame de
ressort maintenue-fixément par une de ses extrémités et
dont on écarte l'extrémité libre de sa position d'équilibre;
dès qu’on abandonne cette extrémité à elle-même, la
lame revient vers sa première situation, la dépasse en
vertu de la vitesse acquise, retourne de nouveau en
arrière, et exécule une suite d’oscillations d’une éten-
due de plus en plus petite, jusqu'a ce que, par la perte
successive de force due à la résistance du poiut d'appui
et à la communication du mouvement à l’air environ-
nant, elle rentre dans le repos.

Lorsque ces vibrations, communiquées à l'air envi-
ronnant, sont assez rapides et assez fortes pour arriver
de proche en proche à la membrane du tympan d’une
oreille humaine, agiter cette membrane et se trans-
mettre à l'air renfermé au-dessous, elles produisent sur
les nerfs acoustiques une impression de laquelle résulte
la sensation du son.

Siles vibrations d’un corps sonore sont appréciables
et régulières, elles forment le son distinct, ou le son
proprement dit ; lorsque ces vibrations sont irrégulières
elles forment le bruit.

L’acoustique est particulièrement la science des sons
distincts; elle les envisage : 1° Dans leurs modes de gé-
nération selon les divers corps sonores ; 2° Dans leurs
rapports numériques; 3° Dans leur propagation; et,

[9

afin, 4° Dans la sensation ou l’ouïe.

La génération, la propagation et les rapports numé-
riques des sons forment la partie mathématique de l’a-
coustique; l’ouïe est l'objet de sa partie physiologique.

L'acoustique, restreinte pendant long-temps à la con-
sidération musicale des sons, a été cultivée dès la plus
haute antiquité, et Pythagore n'est pas moins célèbre
par la découverte des rapports entre les longueurs des
cordes vibrantes qui rendent différens tons, que par ses
autres travaux. Cette science fit cependant peu de pro-
grès jusqu’à la fin du xvn° siècle, C’est à Sauveur, mem-

AC

bre de l’Académie des sciences, qu'est dü l'honneur
d’avoir fait de la théorie des cordes vibrantes et de son
application à la musique, une des branches importantes
de la physique. Après lui, Taylor, danssa Méthode des
incrémens, a traité le même problème des cordes
vibrantes d'une manière beaucoup plus approfondie;
Daniel Bernouilli développa ensuite et généralisa la
théorie de Taylor; mais la solution générale et rigou-
reuse du problème est due à Euler et à d’Alembert.
Notre iliustre Lagrange s'est également occupé de cette
question qui paraît avoir donné naissance au calcul des
differentielles partielles.

Malgré tous ces travaux l’acoustique se bornait encore
à quelques considérations particulières, lorsque l’admi-
rable découverte faite par Chladni, de la vibration des
surfaces élastiques, en ouvrant un champ vaste et nou-
veau aux mathématiciens et aux physiciens, a permis
enfin d’embrasser la production du son dans toute sa
généralité, d'étendre le domaine de sa science et d’en
compléter l’idée. Les expériences de Chladni sont con-
signées dans son Traité d'acoustique, publié en 180g.

Depuis cette époque M. Savart, en généralisant et
variant les expériences de Chladni, s’est élevé à des con-
sidérations nouvelles dont les conséquences, pour l'é-
tude de la constitution moléculaire des corps, font de
lacoustique une des sciences les plus utiles et les plus
intéressantes. [l s’est attaché aux mouvemens individuels
des molécules ; il a déterminé le sens, les lois et les carac-
tères physiques des divers modes d’ébranlemens qu’elles
peuvent recevoir ; la transmission à toute la masse d’un
corps du mouvement vibratoire imprimé à certaines de
ses parties; la communication de ce mouvement aux
corps contigus; les modifications que reçoivent ces
phénomènes par la nature particulière des divers corps
solides; et, enfin, 1l a déduit, d’une immense suite
d'observations, une analyse des organes de l’ouïe et de
la voix, supérieure à tout ce qu'on avait pu tenter jusqu’à
lui. Aidés de ces nouvelles données, MM. Porsson et
Cauchy ont déterminé les équations du mouvement
vibratoire en considérant les corps élastiques, dans les-
quels il s'opère, comme de simples agrégats de molé-
cules matérielles, retenues en équilibre par des forces
inconnues, mais assujéties à la condition de décroitre
rapidement avec la distance. Les formules auxquelles
ces géomètres sont parvenus se sont jusqu'à présent
trouvées complètement d'accord avec toutes les obser-
vations qu'on a pu leur comparer.

Nous traiterons des rapports numeriques des sons à
l'article Moxoconpe ; de leur génération par la vibration
des corps sonores aux articles : Corpes vipranres, Corps
SONORES, SURFACES ÉLASTIQUES ; et de leur propagation aux
articles : Sox, Écno, Porrr-voix, CORNET ACOUSTIQUE.

ACRE. Ancienne mesure de superficie différente

AC

selon les pays. En France, l'introduction du mètre a
fait disparaître cette variété de mesures qu'on rencon-
trait d’une province à l’autre, et dont ilest à désirer que
le souvenir puisse s’effacer entièrement. L’acre d'An-
gleterre contient 43,560 pieds carrés anglais, ou 4840
yards carrés. Le pied anglais, tiers du yard , vaut 3 dé-
cimètres 48 millimètres, ou exactement 3,04794409 dé-
cimètres, et conséquemment l’acre équivaut à 0,404671
hectare.

ACRONIQUE ( Astronomie ). On appelle lever
acronique le lever d'une étoile au-dessus de l'horizon
au moment ou le soleil se couclie. On nomme également
coucher acronique, le coucher des étoiles qui s'effectue
en même temps que celui du soleil, Ce lever et ce cou-
cher sont les opposés du lever et du coucher cosmiques
qui ont lieu dass l’instant où le soleil se lève. (Foy. Lr-
VER. )

ACTION (Mécanique). On désigne sous ce nom
l'effort que fait un corps ou une puissance contre un
autre corps où une autre puissance, où plus exactement
le mouvement qu'un corps communique réellement ou
tend à communiquer à un autre corps.

Si un corps est sollicité par des actions égales et con-
traires, il demeure en repos; mais si l’une des actions
est plus forte, elle déterminera le mouvement en détrui-
sant d’abord l’action opposée et en agissant ensuite par
son excès de force.

Il est bon d'observer que l’action d’un corps sur un
autre dans un espace qui se meut d’une manière quel-
conque est la même que si l’espace était en repos; ainsi
le mouvement des corps à bord d’un bâtiment qui fend
les flots s'effectue de ta même manière que si le bâti-
ment était en repos; le mouvement de la terre autour
de son axe ne produit aucun effet sur l’action des corps
et des agens à sa surface. En général l’action d’un corps
sur un autre ne dépend que de son mouvement relatif.

QuanriTé D’acrION. Terme employé par Maupertuis
pour désigner le produit de la masse d’un corps par sa
vitesse et l’espace parcouru. On doit à ce savant le prin-
cipe suivant : Lorsqu'il arrive quelque changement dans
la nature, la quantité d'action qui Le produit est La
plus petite possible. Ce principe, désigné sous le nom de
LEx PARGIMONLE ( Loi d'économie), est, malgré les plai-
santeries de Voltaire, une des lois les plus importantes
des sciences physico-mathématiques, et il en résulte plu-
sieurs conséquences très-importanres qui seront exposées
successivement. Maupertuis y fut conduit en cherchant
les lois de la réfraction, et l’appliqua ensuite à celles de
l'équilibre ainsi qu’à celles du choc des corps; il s'éleva
même à des considérations d’un ordre supérieur en con-
cluant que les lois du mouvement ramenées à ce prin-
cipe et jointes à la notion métaphysique des causes
finales, étaient à ses yeux une preuve plus convaincante

AD 25

de l'existence de Dieu , ou d’une cause première intelli-
gente, que tous Îles autres argumens puisés dans l’ordre
de la nature.

Euler a fait une brillante application de la Loi d’éco-
nomie dans son ouvrage : Methodus inventendi lineas
curvas mactmi, vel minimi proprietate gaudentes. 1
prouve que pour les trajectoires que les corps décrivent
par des forces centrales, la vitesse multipliée par l’élé-
ment de la courbe est toujours un minimum. Depuis,
Lagrange, à l’aide du calcul des variations qu’il a dé-
couvert, a démontré de la manière la plus rigoureuse et
la plus élégante que leiprincipe s’étendait à tout système
de corps soumis aux lois de l'attraction, et agissant d’ail-
leurs les uns sur les autres d’une manière quelconque.
C'est particulièrement à cette belle proposition de La-
grange,qu'on a attaché en mécanique le nom de Principe
de la moindre action. ( Foy. Taasecroine.)

ACUTANGLE (Géométrie). Triangle acutangle ;
c'est celui dont les trois angles sont aigus. Qn le nomme
encore triangle oxigone. ( Foy. Notions PRÉLIMI-
NAIRES, 39.)

ACUTANGULAIRE ( Géométrie). Section acutan-
gulaire d'un cône; cest la section d’un cône faite par
un plan oblique à son axe. (/’oy. Cônr.)

ADAR. Nom du douzième mois de l’année lunaire
des juifs. Il était de 30 jours dans les années embolis-
miques, et de 9 jours dans les années communes.
(Poy. ANNÉE.)

ADDITION. Opération dont le but est d'exprimer l&
valeur totale de plusieurs nombres par un seul.

Appiriow, en arithmétique , est la première des opé-
rations fondamentales de cette science. Elle est simple
ou composée : simple, lorsque les quantités qu’on veut
ajouter sont toutes des nombres entiers; composée,
lorsque ces quantités contiennent des parties fraction-
maires.

L’addition simple est donc la méthode de réunir, en
un seul, plusieurs nombres entiers, exprimant d’ailleurs
des collections d’un même objet.

Pour ajouter ensemble de petits nombres, tels que
5et 4, il ne faut qu'ajouter successivement à l’un d’eux
les unités qui composent l'autre : ainsi où dirait, 5 plus
1faitG, G plus 1 faits, 7 plus 1 fait8, et enfin 8 plus
1 est égal à 9. Par l'habitude, on acquiert la facilité de
faire tout d’un coup de semblables opérations, et cela
est nécessaire pour pouvoir additionner de grands nom-
bres, eu suivant la règle que nous allons exposer.

Règle. Ecrivez les nombres que vous voulez ajouter
les uns sous les autres de manière que les chiffres de
même ordre se correspondent, c’est-à-dire que les uni
tés soient sous les unités , les dixaines sous les dixaines,
les centaines sous les centaines, etc., etc.

Ajoutez successivement ensemble les chiffres de la

94 AD

première colonne verticale ou de la colonne des unités.
S'il en résulte un nombre plus grand que 9, et qui, par
conséquent, renferme des dixaines et des unités, écrivez
les unités seules sous la colonne des unités, et réservez les
dixaines pour les ajouter avec les chiffres de la colonne
suivante; ajoutez ensuite les chiffres de la colonne des
dixaines, écrivant de nouveau les unités du résultat sous
cette colonne, et retenant les dixaines de ce résultat,
s'il yen a, pour les ajouter avec les chiffres de la co-
lonne suivante. Continuez ainsi de colonne en colonne
jusqu'aux chiffres de la dernière, dont vous écrirez la
somme telle qu’elle aura été trouvée.

Ainsi, pour additionner les nombres 79345 , 6854,

les a

364, 9876 et 32624, on les écrira les uns sou

(71

ainsi qu'il suit
79345
6854
364
9856
32624

129063

Et, commencant par la colonne des unités, on dira:
5et 4 fonto, 9 et 4 font 13,13 et 6 font 19, 19 et4
font 23 ; on écrira 3 sous cette colonne, eton retiendra 2.
Passant aux dixaines, on dira : 2 de retenu et 4 font 6,
et 5 font 11, et 6 font 17, et 7 font 24, et 2 font 26;
on posera 6, eton retiendra 2. Passant aux centaines, on
dira : > de retenu et 3 font 5, et 8 font 13, et 3 font 16,
et 8 font 24, et 6 ront 30; on posera o etonretiendra 3.
Passant aux mille, on dira : 3 de retenu et 9 font 12,
et 6 font 18,et 9 font 27, et 2 font 29; on posera 9 et
on retiendra 2. Enfin, arrivant aux dixaines de mille ,on
terminera en disant: 2 de retenu et 7 font 9, et 3 font 19,
et l’on écrira 12.

Ainsi, 129003 est la somme des cinq nombres pro-
posés.

Siles nombres qu’on veut additionner étaient com-
posés d’entiers et de fractions décimales, la règle serait
absolument la même; car les chiffres, croissant toujours
de dix en dix, en allant de droite à gauche, il faudrait
seulement encore écrire dans une même colonne verti-
‘cale les chiffres d’un même ordre ; en se réglant sur ceux
des unités, opérer l'addition colonne par colonne,
comme nous venons de le faire, sans porter aucune at-
tention aux décimales , et placer à la fin de l'opération
la virgule qui doit séparer les chiffres entiers des chiffres
décimaux, immédiatement avant la colonne des unités.

Exempes.
34,5064 835,575
148,35 750,35
7,8603 85,655
4567,45 315,7255
4758,:667 2020,3055

AD

Lorsque les fractions qui accompagnent les entiers
sont des parties déterminées de l’unité, et dont le nom
suffit pour connaitre leur rapportavec cette unité, telles,
par exemple, que des onces à l'égard delalivre de poids,
des sous à l'égard de la livre monétaire , etc. , l'addition
prend le nom de complexe. Pour exécuter‘une addition
complexe , il faut encore écrire les quantités de même
nature les unes sous les autres. Par exemple, s'agital de
quantités composées de livres, onces et gros, on écrira
les livres sous les livres, les onces sous les onces, les
gros sous les gros, en faisant correspondre dans une
même colonne verticale les unités du même ordre de

chaque espèce en particulier.

ExempLes.
livres. onces. gros. livres. sous. deniers.
198 14 6 256 19 11
64 7 3 370 715 006
170415 7 834 13 o
8:13. 2 74 15 ro

220 3 2

On prendra d’abord la somme des plus petites es-
pèces, et l’on verra si cette somme ne contiendrait pas
une ou plusieurs unités de l’espèce plus grande ; dans ce
cas, on retiendrait ces unités, et l’on n'écrirait que le
surplus sous la colonne additionnée. C’est ainsi que,
dans le premier exemple , la somme 18 des gros étant
équivalente à 2 onces 2 gros, on n’a écrit que 2 sous la
colonne des gros, et l’on a conservé 2 pour ajouter avec
les onces. La somme des onces étant 49 , et conséquem-
ment 51 avec les 2 de retenu , cette somme équivaut à
3 livres 3 onces; on a donc écrit seulement 3 sous la
colonne des onces ; et l’on a reporté 3 pour ajouter avec
les livres. C’est de cette manière qu'on a trouvé la
somme 220 livres 3 onces 2 gros.

Dans le second exemple, pour chaque 12 deniers, on
a reporté un sou à la colonne des unités de sous, pour
chaque 20 sous, 1 livre à la colonne des unités de livres.

Depuis l'établissement en France du système décimal,
les opérations complexes n’y sont plus exécutées pour
les besoins ordinaires que par une vieille routine qui se
perd de jour en jour. Mais il est essentiel de comprendre
le principe de ces opérations, lorsqu'on veut calculer
des mesures étrangères dont les subdivisions sont sur
une autre échelle.

Appiriox de fractions. Lorsque les fractions pro-
posées ont le même dénominateur, il suffit d'ajouter
ensemble les numérateurs , et de donner à leur somme
le dénominateur commun: c’est ainsi qu’on trouve que

la somme de £ et de À est, et que la somme des

dr se
TER EE TL ER

évidente, puisqu'il s’agit d’additionner des quantités de

quatre fractions est #. Cette règle est

même espèce , savoir : des douzièmes dans le premier

AD

cas, et des quinzièmes dans le second ; ce qui ne peut
danner pour résultats que des quantités de même na-
ture, le dénominateur ne faisant que donner le nom
des unités de la fraction.

Si les dénominateurs sont différens, comme on ne
peut ajouter ensemble que des quantités de même na-
ture, et qu'il est impossible de réunir, par exemple,
x et ! dans une somme qu'on‘puisse nommer 2; il faut
réduire les fractions au même dénominateur , ce qui ne
change pas leurs valeurs, et ce qu'on effectue, pour deux
fractions, en multipliant les deux termes de chacune
d’elles par le dénominateur de l’autre; et, pour plusieurs
fractions, en multipliant les deux termes de chaque
fraction par le produit des dénominateurs de toutes les
autres ( J’oyez Fracriows ). Cela fait, on additionne
tous les numérateurs, et on donne à leur somme le dé-

nominateur commun.

ExEmpPLes.

4 9.
CRT

ainsi

15. On demande la somme des trois fractions #, 2,2.
On réduit d’abord ces fractions aumême dénominateur,
et l'on a

5 _5.9-17 765 7
88.917 12247

__7-8.17 992 3 2.8.9 144
9 98.17 12247 17 17.8.9 1224"

Additionnant ensuite les numérateurs 765, 952, 144,
1861

on obtient pour la somme demandée ———.
1224

Avopirion, en algèbre , est l'opération par laquelle on
trouve la somme de plusieurs quantités algébriques. Il
faut ici tenir compte des signes dont les quantités sont
affectées. Par exemple, S'il s’agit d'additionner + a ct
+6, on exprimera la somme par + a+ b; lorsqu'on
aura La et + 5a, on écrira + {a+ 5a , et en rédui-
saut + ga. Mais s’il s'agissait de + a et de — D, cette
somme serait a— b. En effet, la quantité b précé-
dée du signe — est ce qu’on nomme une quantité nc-
gative, c'est-à-dire une quantité douée d’une fonction de
diminution, et qui doit.exercer cette fonction partout où
on l’ajoute (J’oyez ALGEvrE). Ainsi, la somme de + 34
et de — a sera + 3a— a, où +2a en réduisant ; celle
de +4a et de —5a sera + {a—5a, où —a; et ainsi
de suite. Lorsque les quantités qu’on veut additionner
sont composées de plusieurs termes, il faut les écrire
les unes sous les autres, en faisant correspondre les
termes où se trouvent une même lettre précédée ou

non de coefficiens numériques; on réduit ensuite cha-

AD 5

que colonne verticale en un seul terme, par l'addition
des coefficiens numériques, comme nous venons de ré-
duire + 4a+5a et Æ4a— 5a, en opérant suivant
les signes.

ExempLes.

On demande la somme des quantités 7a+ ob— 3e,
5b— 4ja+Sd et 9c—oa— 10b— 114. Ecrivant ainsi

qu'il vient d’être prescrit , on aura.

ja + ob —3c
— ha 68 +84
— 2a —10b +ogc —11d.
Or,

7421, 9+5—10—=4, —-34+9—6, +8—11——3.

La somme demandée sera donc a + 4b+Gc—3d.Toute
quantité qui n'est précédée d'aucun signe est supposée
positive , ou avoir le signe +-.

On trouvera de même que la somme des quantités

suivantes, écrites dans l’ordre désigné

— quai + Bab — 5a«b? + Gac

ai—11ab — 5ac+Gad+e
— Sai + ja + 3ad+5e
— ab -— Cab? + 4ac —3e,

est égale à

—rai—riaib— hab + Sac +oad+ 3e.

Apprrion de fractions algébriques. Opération qui a
pour but de trouver la somme de plusieurs fractions
algébriques.

Si les fractions ont le même dénominateur , on addi-
tionnera les numérateurs , et on donnera à leur somme.

le dénominateur commun. Ainsi on a

a 5a. Ba 204
nai be 0 A0) dd aib

5a 104 3a hé 24

178, 190 tuagbn «M8

5a’b 2@b Sac? 2 jab—5ac?
chier

Lorsque les fractions ont des dénominateurs diffé-
rens, on commence par les réduire au même dénomi-
nateur ; ce qui s'effectue de la même manière que pour
les fractions numériques, en multipliant les deux ter-
mes de chaque fraction par le produit des dénomina-
teurs de toutes les autres, et ensuite on opère l'addition

comme il vient d’être dit.

ExEmpLes.

. . 3a' 94 5c de.
I. Additionner les fractions LE 35° Gb Rédui-

û

26 AD

sant au même dénominateur , on aura
3a° _3a X 3b X 6h? 5ha’bi
4 4 X 3b X Gb jobs ?
2a 2e X 4h? X Gb? 48a°b*

3b 7285 ?

3b 7 3b X 4b? X GB
Go be.

5e __5cX4PX3b
68 GX 4 X 3b — jab ?
et la somme des trois fractions sera
54 a bi + 48 05 + Gbc
PPS

expression qu'on réduit à

oab+L8ab+ioc

120 È

en remarquant qu’on peut diviser les deux termes par
63 (Foy. Fracrions).

On évite de semblables réductions en ramenant direc.
tement les fractions à leur plus petit commun dénomi-
nateur; ce qui s'effectue en multipliant les deux termes
de chaque fraction par les facteurs différens qui entrent
dans tous les autres dénominateurs , et que le sien ne
contient pas. Ainsi, dans l’exemple précédent, les dé-
nominateurs étant 4b°, 3b, Gb', ou 2.2. b. D, 3.b, 2.
3. b.b. b, on prend d’abord les facteurs différens 3, b,
>, b.b, qui entrent dans les deux derniers {on considère
comme différens les facteurs répétés plusieurs fois, tels
que 2, 2;b,b,etc.); on enretranche les facteurs 2, b,
b, qui sont contenus dans le premier dénominateur, et
on multiplie les deux termes de la première fraction par

2h

. «a
les facteurs restans 3, b, ce qui donne a ; on prend

ensuite les facteurs différens 2, 2, 3, b, b, b, qui entrent
dans le premier et le dernier dénominateur ; on en re-
tranche les facteurs 3, b, contenus dans le second, et
l'on multiplie les deux termes de la seconde fraction par
les facteurs restans 2,2, b, b, ou 4b*; ce qui donne.
Enfin, on prend les facteurs différens 2,2, 3,b,b,
des deux premiers dénominateurs ; on en retranche les
facteurs 2, 3, b, b, contenus dans le troisième , et l’on
muluplie les deux termes de la troisième fraction par le
10C

12 DS
trois fractions, on obtient immédiatement

gæb + Sa b° Loc

1205 2

” facteur restant 2; ce qui donne Additionnant les

ou l'expression réduite ci-dessus.
IT. On trouverait , d’après cette règle, que pour ré-
duire les trois fractions
4e? 5a? qa?c
3@b Ÿ obc ? 110

au même dénominateur, il suffit de multiplier les deux

AD

termes de la première par oc, ceux de la seconde
par 33æb, et ceux de Ja troisième par 6a*c. Effectuant
ces opérations, on obtient les trois fractions suivantes :
88h03 165aib 4oa{b?
66@be * G6a be * 66&be
égales aux proposées, et dont la somme
88b?c3 Æ 165afb L 4oaib?
G6añbe — ?
est exprimée le plus simplement possible.

ADpiTion des quantités radicales. C’est trouver la
somme de plusieurs quantités radicales ou irrationnelles
qu’on ne peut exprimer en nombres rationnels.

Règle. Réduisez toutes les quantités données à leur
plus simple forme, et ajoutez ensuite les coefficiens des
radicaux égaux.

ExempLrs.
Ainsi VB8+vV18=2y2+3v2—=5y2
Vir+vV27=2vV3+3V3—5y3
$ 5 s - 3 3
V'108ai + \/32a =3a\/fa +o\/{a = (3a+ 2) Va.

Quaud les quantités sont réduites à leur plus simple
expression, et que les radicaux sont inégaux, ils ne peu-
vent étre ajoutés ensemble qu'au moyen du-signe +
placé entre eux. Ainsi, y/18 + y/108 = 3y/2<+ 63

ne peut être réduit à une forme plus simple que la der-

.nière. Et de même dans les divers cas.

ADÉRAIMIN ou ALDÉRAIMIN ( Astronomie).
Nom grec de l'étoile marquée # dans la constellation de
Céphée.

ADHÉSION (Physique). C'est une espèce d’attraction
qui a lieu entre les surfaces des corps, et dont les effets
sont extrémement curieux. Muschenbræck nous apprend
que deux cylindres de verre, d'à peu près deux pouces
de diamètre chacun, étant chauffés au degré de l’eau
bouillante, et joints l’un à l’autre avec un peu de suif,
adhèrent avec une force égale à 130 livres. Deux cylin-
dres de plomb, dans les mêmes circonstances, adhèrent
avec une force de 195 livres, et deux cylindres de fer
avec une force de 300. Martin rapporte, dans sa PArlo-
sophie britannique, qu'ayant pris deux balles de plomb
pesant l’une et l’autre à peu près une livre, il forma sur
chacune d'elles, avec une lame de canif, une surface
plane d’un tiers de pouce carré ; il appliqua ensuite ces
surfaces l’une contre l’autre , en soumettant les balles à
une très-forte pression, et l’adhérence fut telle, qu'un
poids de 150 livres ne fut pas suffisant pour séparer les
balles. Deux plaques de cuivre de { pouces ? de diamèe-
tre, graissées avec du suif et appliquées l’uue contre
l'autre par le même observateur , adhéraient, dit-il,
avec une si grande force, qu'il ne put trouver deux
hommes capables de les séparer.

Ces exemples suffisent pour donner une idée de la

AD

nature de cette force, dont l'effet est proportionnel au
nombre des points de contact des surfaces appliquées ;
ce nombre dépendant de la forme des molécules consti-
tuantes des corps, ainsi que du degré de finesse et de
poli des surfaces. On a employé divers moyens pour me-
surer la force d'adhésion entre des substances non simi-
laires , et sous des températures et dans des circonstan-
ces differentes ; muis le meilleur est celui qui a été
trouvé par le docteur Brook Taylor qui, à force d’ex-
périences, a été amené à conclure que l'intensité de
l'adhésion peut être déterminée par la force nécessaire
pour produire la séparation des surfaces appliquées. Ce
principe aété, depuis, vérifié etdéveloppé avec beauroup
de succès par Guyton de Morveau. Ce physicien fit con-
fectionner des cylindres de divers métaux et d’un pouce
de diamètre, tous également épais; les ayant attachés à
un petit anneau , pour les tenir en équilibre, il les sus-
pendit l’un après l’autre au fléau d’une balance mise en
équilibre par des poids suffisans, et les appliqua sur du
mercure placé, à deux lignes de distance, en les faisant
couler le long de la surface pour éviter l'interposition
de l’air. Il marqua ensuite exactement le poids néces-
saire pour vaincre l'adhésion, ayant, de plus, le soin de
changer de mercure après chaque expérience.
Les résultats qu’il obtint sont les suivans :

L'or adhère au mercure avec une force de 446 grains.

ATDODLS eee -a-ece-enees-wee se 1 420
HET CRM RE 1:
PR D .--ccsétss. : 2007

DÉMO eee -ceueore. Le 072
PIALINE, 2: epasiereiss res. s,e.
CUVE PEER La lelne eee dfeeiaie set pics qe 2
ATÉLIMOITE ste seins à stele sie soie) hi e.7Coe se see

OL rs > mice ds croi oucesto cad 11)

GODAID RE En se ef à comes code 8

Cette méthode, qui, toutes les fois qu'on peut l’ap-

pliquer, est la plus directe et la plus exacte de toutes
ceiles qu’on a imapinées, a été employée avec encore
plus de précision et de netteté par M. Achard, ainsi
que par quelques autres.

11 résulte de toutes les expériences : 1° qu'il existe une
tendance d'adhésion entre plusieurs et peut-être entre
toutes les substances physiques, absolument indépen-
dante de la pression atmosphérique où de toute autre
pression extérieure; 2° que la force dé cette adhésion
entre les solides résulte de leurs affinités chimiques: et
que celle entre les solides et les fluides est en raison in-
verse de la température du thermomètre, et en raison
directe du carré des surfaces ; 3° que chaque solide ad-
hère à chaque liquide avec une force particulière, et
que cette force est exprimée par le poids nécessaire pour

AE 27

rompre l'adhésion, toutes les fois que le solide peut se
dégager du fluide sans en être mouillé, mais que, dans
le cas contraire, ce poids est le résultat de la combinai-
son de deux forces différentes, savoir, de l'adhésion en-
tre la surface du liquide et celle du solide, et de la co-
hésion entre les parties constituantes du liquide.

ADHIL ( Astronomie). Étoile de la sixième gran
deur , qui fait partie de la constellation d’Andromède.

ADIGÈGE ou ADAGÈGE( Astronomie). Nom arabe
de la constellation du Cygne.

ADJACENT (Gécometrie). Qui est à côté. Deux an-
gles sont adjacens lorsqu'ils ont un côté commun. Tou-
tefois, on nomme plus particulièrement angles adjacens
des angles contigus, tels que CAD et BAD. ( Norrons
PRÉLIM. , 30.) Dans un triangle ou un polygone quel-
conque, on nomme côtés adjacens les côtés qui forment
un même angle.

AEGOCEROS ( Astr.). Nom donné par quelques
auteurs à la constellation du Capricorne.

AÉROSTATION, AÉRONAUTIQUE (Histoire).
Ces mots, dont le premier, dans son sens primitif et
littéral, s'applique à la science des poids suspendus en
l'air, servent alternativement aujourd’hui à désigner
l’art de se soutenir ou de naviguer dans air, au moyen
d’un appareil qu'on à appelé acrostat ou ballon, à
cause de sa forme sphérique. On donne le nom d’aé-
ronaute à l'observateur qui dirige l’aérostat. Ces divers
mots comprennent ainsi la théorie et la pratique de
cette science que nous désignerons habituellement sous
celui d’aéronautique.

La découverte réelle de l'aéronautique est tellement
récente, son histoire est d’ailleurs si généralement con-
nue, qu'il paraît difficile d'y rattacher aucune considéra-
tion nouvelle. Mais la popularité même de cette décou-
verte, l'importance que pourrait avoir la réalisation
complète des espérances qu'elle avait fait concevoir,
non-seulement pour lascience, mais même pour l’ordre
social tout entier, nous déterminent à lui accorder une
mention assez étendue dans ce dictionnaire

L'homme qui a gravi les pics les plus élevés de la
terre et parcouru les immenses solitudes de l'Océan,
a dû songer de tout temps à pénétrer aussi dans les vastes
régions de l'air, où se forment la foudre et les orages,
où il semble qu'un grand mystère dont la révélation
lui est promise, y appelle souvent sa pensée. N'est-ce pas
ce vague sentiment de curiosité ou de puissance qui
lui a fait attacher une idée religieuse à cette faculté
qu'il enviait de se mouvoir et d'agir dans l'air? Des
êtres divins, où dont la nature était supérieure à celle
de l'homme, jouissaient seuls, dans toutes les mythologies
anciennes, d u pouvoir de parcourir rapidement les zones
inconnues et sans limites où des lois éternelles règlent

les mouyemens des astres, Les enchanteurs que le moyen

28 AE

âge avait empruntés aux poétiqiès täiditions de l’Ara-
bie, Réritèrent de ce privilége, qu'ils partagèrent avec
les anges : Le christianisme, en conservant l'antique
croyance, a su au moins borner l'intervention des êtres
spirituels, dans les choses humaines, à quelques rares
circonstances, où la bonté de la Providence envers les
hommes avait besoin de se manifester.

Il parait néanmoins que l'antiquité, tout en n’accor-
dant qu’à des intelligences supérieures la faculté de se
mouvoir dans l’espace atmosphérique, ne renonça pas
pour l'humanité à la conquête de cette merveilleuse puis-
sance ; l’idée de s'élever dans l'air au moyen d’un appa-
reil aérostatique , comme des ailes d’une envergure assez
grande pour supporter le poids d’un homme, se retrouve
dans quelques anciens écrits. Mais ces rares tentatives
qui se rattachent toutes, pour la plupart, à des fictions
poétiques comme l'aventure fabuleuse de Dédale et
d'Icare, sont demeurées sans résultat et sans intérêt pour
la science. On est donc fondé à dire que les hommes ne
possédaient aucun moyen pour résoudre ce grand
problème avant la découverte dont Joseph Montgol-
fier, né à Darvezieux près Annonay, le 6 août 1740,
fit à Avignon la première expérience au mois de dé-
cembre 1782, expérience qu'il renouvela à Annonay
le 5 juin 1783.

Les Anglais ont voulu ravir à la France l'idée pre-
mière de cette découverte, dont ils racontent ainsi
l'origine : Quelque temps après que Cavendish eut étudié
et fait connaitre les propriétés du gaz hydrogène, le
docteur Black assura que si un appareil mince et léger,
comme une vessie, était rempli de ce gaz, il formerait
une masse moins pesante qu'un égal volume d’air
atmosphérique, et pourrait, par conséquent, s’y élever
et s’y soutenir, L’honorable docteur développa cette
idée davws ses cours publics en 1563 et 1768, ct il annon-
ça mème une prochaine expérience par le procédé qu’il
avait indiqué; mais de nombreuses occupations l’em-
péchèrent de mettre ce projet à exécution. La possibi-
lité de construire un appareil qui, rempli de gaz
hydrogène, s'élevât dans l'atmosphère, se présenta aussi
à l'esprit de M. Cavallo. C’est à lui qu’il faudrait accor-
der le mérite des premières expériences faites à ce sujet,
et qu'il aurait exécutées au commencement de l’année
1782, expériences sur lesquelles un rapport fut lu à
la Société royale de Londres, le 20 juin de la même
année. M. Cavallo se servit inutilement de plusieurs
vessics; la plus mince de toutes celles qu’il essaya,
quoique préparée avec le plus grand soin, se trouva
encore trop pesante. Il employa ensuite du papier de
Chine ; mais l'air inflammable s'échappait par les pores
de cette matière, comme l’eau passe au travers de la
toile d’un tamis. Après avoir échoué dans ces diverses

entreprises, quoiqu'il eût tour à tour enduit ses appareils

AE

de gomme, de vernis et de couleurs à l'huile, il fut
obligé d'exécuter ses expériences avec des bulles de
savon, qu'il chargeait d'air inflammable au moyen
d’une vessie pleine de ce gaz.

En admettant comme certains tous ces faits, que nous
n'avons aucune raison pour révoquer en doute, on voit
du moins que l'aéronautique germait, pour ainsi dire,
en Angleterre au moment où Montgolfer achevait en
France une expérience concluante. Nous devons aussi
faire observer en passant, que la découverte de Caven-
dish ne paraît pas avoir inspiré à Montgolfer l’idée de
la sieone, puisqu'elle reposait entièrement sur Ja puis-
sance qu'il attribuait à la raréfaction de l'air : ce fut en
brülant du papier au-dessous du globe en taffetas qu'il
avait fait préparer, que Montgolfier en obtint l’as-
cension. Et c’est en énonçant seulement ce procédé, que
l'intendant de la province du Vivarais transmit la nou-
velle de la découverte à l'Académie des sciences. La-
lande, en rendant compte de cet événement, ajoute :
« Nous dimes tous, cela doit être; comment n’y a-t-on pas
pensé? » On voit qu'à cette époque il n’était nullement
question des propriétés de l’air inflammable et de son
application à l'aéronautique, puisque le simple procédé
de Montgolfer parut à un corps savant, qui comptait
dans ses rangs des mathématiciens et des physiciens cé-
lèbres, le seul à l’aide duquel on püt résoudre le pro-
blème de la navigation dans l'air.

La nouvelle d’un événement aussi extraordinaire se
répandit rapidement en France, etelle y futaccueillieavec
un enthousiasme difficile à décrire. On ne douta pas dès
ce moment qu’il ne füt facile d'imprimer aux aérostats
une direction utile, en maîtrisant leur marche dans les
airs, et que par conséquent la navigation aérienne ne
devint bientôt aussi commune que celle de l'Océan.
L'homme crut avoir fait une immense conquête, et
l’Académie des sciences invita Montgolfier à venir à
Paris renouveler ses expériences, à ses frais et sous les
yeux de ses membres. Ce fut Étienne Montgolfer , frère
de l'inventeur des aérostats, et qui paraît avoir pris une
assez grande part à ses études sur cet objet, qui se rendit
aux vœux de l’Académie. Les expériences qui furent’
aussitôt tentées, sur une échelle plus grande que celle
qui avait eu lieu à Avignon, paraissent avoir été faites
dans le sens de ces espérances. Il était d’abord im"
portant de constater la puissance de l’aérostat sur
des poids étrangers à sa masse. Le premier appareil
construit dans ce but était une sorte de sac en toile
doublé de papier, et d’une capacité d'environ 23,000
pieds cubes. On adapta à cette machine un poids
qui en éleva la pesanteur totale à 500 livres, et
une certaine quantité de laine ct de paille hachée fut
brülée à son ouverture inférieure. Elle ne tarda pas 4
s'enfler et à s'élever dans l'atmosphère; en moins de dix

AE

minutes l’aérostat atteignit une hauteur de 6000 pieds; et
quand sa force ascensionnelle ne fut plus en proportion
de la résistance qu’il éprouvait , il retomba sur la terre à
une distance de 7668 pieds du lieu où il avait été lancé.

Diverses expériences de ce genre, quoique souvent con-
trariées par l’état de la température, permirent de croire
à la réalité de cette découverte. Les mémoires du temps,
écrits par des savans distingués, retracent la naïve admi-
ration qu’elle inspira, et l’exagération des espérances
dont elle fut l’objet. Une cage renfermant divers ani-
maux avait été attachée à un ballon de forme elliptique
d’une assez grande capacité, et quoiqu’un violent coup
de vent eût considérablement endommagé la machine,
elle ne s’éleva pas moins, avec ses passagers, destinés à
ouvrir les premiers à l’homme un chemin dans les airs,
à une hauteur de 1440 pieds; elle s’y soutint environ
huit minutes, et tomba à une distance de 10,200 pieds
du point où avait eu lieu son ascension. Les animaux
n'éprouvèrent aucun accident.

La puissince des machines aérostatiques étant ainsi
constatée, et la graduation avec laquelle s’opérait leur
descente éloignant toute idée de danger pour l’observa-
teur qui s’éleverait dans l’air avecelles, Pilatre des Rosiers
s’offrit le premier pour faire l'essai .de cette navigation.
Son nom mérite d’être transmis à la postérité, car il y
avait de l’audace et de la grandeur à s’exposer, dans un
léger esquif, au sein de l’immensité des airs, et à aller
ainsi, nouveau Christophe Colomb, prendre possession,
au nom de l'humanité, de cette région orageuse où elle
devait peut-être découvrir de grands mystères qui
étaient demeurés cachés aux générations passées. Après
plusieurs essais de Pilatre, qu’il tenta d’abord seul, en-
suite avec un compagnon de voyage, Giroud de Villette,
essais qui eurent pour but de s'assurer des moyens de
diriger l’aérostat, et de le faire descendre à volonté,
une expérience décisive fut tentée le 21 novembre 1783.
Comme elle occupe une place importante dans l'histoire
de l'aéronautique, nous croyons devoir en rendre compte
avec quelques détails.

La machine construite au faubourg Saint-Antoine, chez
Réveillon, dont le nom devint tristement célèbre quel-
ques années après, était de forme ovale, et avait environ
48 pieds de diamètre sur 54 de hauteur; on la char-
gea de toutes sortes d'ornemens et d’élégantes peintures
qui représentaient les signes du zodiaque et les armes
royales. Une galerie pourvue d’un treillage avait été
pratiquée autour de l'appareil, pour que l’aéronaute eût
toutes les facilités possibles d'entretenir le feu ou de le
diminuer suivant qu'il voudrait monter ou descendre,
Le poids de cet appereil, combiné avec celui des deux
hardis observateurs qui allaient en faire usage, était
d'environ 1600 livres.

Ce fut le marquis d'Arlandes qui accompagna Pilatre.

dé

AE 29
L'aérostat, parti du jardin de Réveillon, s’éleya rapide-
ment à une prodigieuse hauteur, et vingt-cinq ou trente
minutes après, il descendit à terre à cinq lieues de Paris,
Le marquis d’Arlandes nous a laissé un récit de ce voyage
aérien qui est rempli d'intérêt. I] paraît que les aéronautes
rencontrèrent différens courans d'air qui influèrent
sensiblement sur la marche de la machine, La direction
des divers chocs qu’elle éprouva sembla s’opérer de haut
en bas. Le ballon faillit devenir la proie des flammes :
Ce ne fut pas sans éprouver une vive terreur que le
marquis aperçut dans la partie inférieure de l'appareil
plusieurs trous occasionnés par le feu. L'intrépide Pi-
latre reconnut aussitôt la justesse des observations de
son compagnon de danger; mais il arrêta facilement les
progrès de l’incendie au moyen d’une éponge mouillée,
et toute apparence de danger s’'évanouit.

C'est à ce dernier voyage de Pilatre et du marquis
d’Arlandes que finit l’histoire de la découverte de Mont-
golfier, c’est-à-dire celle des machines aérostatiques
s’élevant par le secours du feu. Pour mieux comprendre
l'emploi de l’air inflammable qui fut substitué à ce pro-
cédé par le célèbre physicien Charles et son frère Ro-
bert, nous croyons utile d'entrer ici dans quelques dé-
tails sur la théorie de l'aéronautique.

Les principes de cette science reposent entièrement
sur les lois de la pesanteur, de la pression, de l’élasticité
de l'air, sur celles de la pesanteur spécifique de ce fluide
et des corps destinés à voguer dans l’espace qu’il occupe.
Il est établi d’une manière absolue, par l’ensemble de
ces lois, que tout corps qui est spécifiquement, ou à
égalité de volume, plus léger que l'air atmosphérique,
doit s’y élever et y être soutenu à peu près comme le
bois ou le liége s'élèvent et se soutiennent dans l’eau.
Mais comme il existe une progression décroissante dans
Ja densité de l'atmosphère, qui est en raison de la dimi-
nution de la pression de l’air supérieur, le corpsqui s'élève
ne peut continuer son ascension au-delà du point où l'air
environnant égale sa pesanteur spécifique; parvenu à
cette hauteur, il flotterait ou serait poussé dans la direc-
tion des courans d’air avec lesquels il entrerait en con-
tact. Un aérostat ou ballon est un corps de ce genre,
dont toute la masse doit être d’une pesanteur spécifique
moindre que celle de l’air atmosphérique dans lequel il
doit s'élever.

On sait que la chaleur appliquée à l'air le raréfie, le
dilate , et en diminue par conséquent la pesanteur spé-
cifique. Cette diminution de la pesanteur s'effectue en
proportion du degré d'intensité de Ja chaleur. Pour
chaque degré du thermomètre de Farenheit, la chaleur
parait dilater l'air d'environ 5 ainsi 400 degrés
de chaleur, ou plus exactement 435, doubleront juste le
volume d'une masse d’air. Si donc l’air renfermé dans

uu appareil quelconque, est modifié par la chaleur, et

AE

se trouve dilaté, par conséquent, au point que sa pe-

50

santeur soit moins considérable qu'une masse d’air égale,
cet appareil doit s'élever dans l'atmosphère jusqu'à ce
que l'air qu’il contient devienne plus froid et se condense
davantage , où bien que l'air environnant devenant
moins dense, ces deux espèces d'air aient atteint une
pesanteur spécifique égale. Dans cette circonstance, l'ap-
pareil doit redescendre graduellement si la chaleur n’est
renouvelée et ne diminue de nouveau sa pesanteur.
Mais si, au lieu d'avoir recours à ce moyen, dont les
procédés fort difficiles ne sont pas sans danger, l'appareil
était rempli d’un fluide élastique, plus léger que l'air
atmosphérique, il continuerait à s'élever jusqu'à uné
hauteur où les couches d’air environnantes auraient le
même degré de pesanteur spécifique.

Ce dernier problème fut résolu par l'emploi du gaz
hydrogène. Comme nous l'avons dit plus haut, le phy-
sicien Charles et son frère Robert s’exposèrenrt les pre-
miers aux hasards de cette expérience. L'appareil qu'ils
firent construire , à l’aide d’une souscription qui fut
immédiatement remplie, différait sous beaucoup de
rapports des montgolfières. Il était de forme sphérique,
en taffetas enduit de vernis de caoutchonc, d'un dia-
mètre de 27 pieds et 1/2. Un filet fut tendu sur l’hé-
misphère supérieure de ce ballon et assujéti au cercle qui
en marquait le milieu;il était terminé par des cordes aux-
quelles on suspendit une nacelle dans laquelle les aéro-
nautes devaient se placer, et d’où ils pouvaient faire ma-
nœuvrer une soupape pratiquée au sommet de l'appareil,
au moyen d’une corde dont l'extrémité était entre leurs
mains. Cette disposition avait pour bat de permettre aux
voyageurs, sinon de diriger le ballon, au moins de le
rendre plus lourd à volonté, en donnant issue à une
certaine quantité de gaz. ( PL.T, fig. 1.) |

Ce fur le 1°* décembre 1583, que cette expérience
eut lieu dans le jardin des Tuileries. Les deux frères
montèrent dans la nacelle à quatre heures moins un
quart , et s'élevèrent rapidement dans l'air aux applau-
dissemens et aux cris de joie d’une foule immense,
accourue de toutes parts dans la capitale de la France,
pour jouir de ce spectacle si étrange et si nouveau.

Nous n’entreprendrons point de rapporter toutes les
expériences qui furent tentées depuis cette époque pour
améliorer cette découverte. Quelques-unes ont eu des
suites funestes; Pilatre des Rosiers, qui avait attaché son
nom à la premiére de toutes, périt avec Romain, son
compagnon, le 14 juin 1585. MM. Biot et Gay-Lussac,
et ensuite M. Gay-Lussac seul, entreprirent, en 1804,
des expériences d’aéronautique dans un but tout scienti-
fique; car jusqu’alors cette découverte n’avait guère servi
qu'a exciter la curiosité publique, et à augmenter l'attrait
des fêtes populaires. Les Français crurent cependant

1

pouvoir appliquer l'aéronautique à l’art de la guerre ;

AE

mais l'essai qu’on en fit à la bataille de Fleurus n'a pas
été renouvelé depuis, ce qui prouve suffisamment qu’il
fut à peu près infructueux.

Ce fut seulement le 15 septembre 1784 que l'italien
Vincent Lunardi essaya en Angleterre un voyage aérien.
Le célèbre Blanchard, accompagné de M. Sheldon, pro-
fesseur d'anatomie à l'Académie royale, y renouvelèrent
Ja même expérience le 16 octobre suivant. Nous ne
devons pas oublier que Garnerin y fit pour la première
fois, le 21 septembre 1802, l'expérience audacieuse de
monter dans un ballon et d’en descendre à l'aide d’un
parachute , appareil qui avait été imaginé par Blanchard.
Le parachute n’est autre chose qu'un vaste parapluie en
toile, d'environ 30 pieds de diamètre , mais sans baleine
et sans poignée, disposé de manière qu’il puisse être
ouvert par l’aéronaute qui se place, alors au’il veut
faire usage de l’appareil, dans un panier d’osier qui y
est attaché. Quand le parachute se trouve séparé du
ballon, il s'ouvre nécessairement en raison de la résis-
tance de l'air, et permet à l’aéronaute de descendre
graduellement à terre. Cette expérience reussit complè-
tement à Garnerin. Lorsque ce célèbre aéronaute coupa
la corde pour la séparer du ballon et descendre en
parachute, il tomba d’abord avec une grande rapidité,
mais quelques nstans après, quand la machine s’ouvrit,
il descendit très- doucement et graduellement. En
arrivant à terre, Garnerin éprouva plusieurs chocs : il
avait les traits décomposés au moment où on l’aida à
sortir de son panier, mais il reprit bientôt connaissance.
CRT fe 051)

On ne fait plus aujourd'hui aucune expérience aéro-
nautique sans employer l’insufflation du gaz hydrogène
dans le ballon. Ce moyen est fort coûteux, et rend par
conséquent assez difficiles les progrès dont cet art est
peut-être susceptible.

JL existe plusieurs moyens de préparer le gaz hydro-
gène qui sert à remplir les ballons. Tous sont plus ou
moïns coûteux. Celui qu'on obtient par l’incinératiou
du charbon de terre, nécessite une perte de temps qu’il
est convenable d'éviter dans ces sortes d'expériences , et
d’ailleurs exige l'emploi d’un appareil trop embarrassant.
On se sert généralement du gaz obtenu par la décompo-
sition de l’eau à l’aide de l'acide sulfurique et de la
limaille de fer, et c’est à ce procédé qu'est employé
l'appareil dont nous donnons la figure ( PL. T, fig. 4).

B, B, sont deux réservoirs entourés de tonneaux qui
contiennent l’eau et la limaille de fer; ces tonneaux ont
à leur partie supérieure des tubes d’étain qui plongent
au fond des réservoirs. À, A, sont deux appareils qui
recouvrent les réservoirs B, B, et qui donnent passage
au gaz par deux autres tubes d’étain, auxquels on
adapte des tubes flexibles qui pénètrent dans l’inté-
rieur du ballon. Lorsqu'on verse l'acide sulfurique

AF

dans les tonneaux, ce qui se fait par des trous pla-
cés à leur partie supérieure, qu'on ferme exactement
après cette opération, l’eau se décompose, et le gaz
produit dans les divers tonneaux se rassemble dans
les réservoirs B, B, d’où il est conduit dans l’inté-
rieur du ballon par les tuyaux’ flexibles dont nous
venons de parler.

Nous croyons avoir exposé dans ce rapide résumé de
l'histoire de l’aréonautique tout ce qui peut intéresser
plus directement la science , et nous n'avons pu nous li-
vrer à des considérations spéculatives sur cette décou-
verte. Elle n’a fait que peu de progrés depuis l'expérience
de Charles, et le problème de la navigation dans l'air
est demeuré à demi résolu. Il reste maintenant à décou-
vrir les moyens de diriger l’aérostat : aucune des expé-
riences entreprises dans ce but n’a réussi jusqu’à ce jour.
Mais ce n’est pas une raison pour désespérer du succès,
et d’un moment à l’autre une nouvelle combinaison de
la science peut enrichir l'humanité de la solution com-
plète de cet important problème.

AÉROSTATIQUE (De éhp air et de raw je m'ar-
réte). Science de l’équilibre de Pair. Les lois princi-
pales de l’hydrostatique s'appliquent à l’air considéré
comme un fluide pesant. ( Voyez HyprosTATIQUE. ) On
peut donc poser les principes suivans :

1°. Chaque pression se propage également dans tous
les sens.

2°. La pression est égale sur tous les points de chaque
plan horizontal ; mais à cause de la grande légèreté de
l'air, cette pression diminue beaucoup plus lentement
que dans les liquides, à mesure qu’on s'élève, et suit
d’ailleurs une autre loi de décroissement.
- 3°. Chaque corps qui se trouve dans l'air perd autant
de son poids que pèse Le volume d'air qu'il déplace,

4°. Un corps plus léger qu’un égal volume d’air afmo-
sphérique, s'élève dans l’atmosphère jusqu’à la hauteur
où 1l se trouve en équilibre avec l'air environnant, la
densité de l'air diminuant en raison de sa hauteur au-
dessus de la surface de la terre. C’est sur ce principe
qu’est fondée la théorie des aérostats ou ballons. Voyez
AËROSTATION.

5. L'air étant non-seulement un fluide pesant, mais
encore un fluide élastique, et l’élasticité des fluides ten-
dant constamment à augmenter leur volume, il est né-
cessaire, pour que l’équilibre puisse subsister , que la
pesanteur soit égale à la force élastique : ainsi, comme
la pesanteur augmente ou diminue avec la densité,
lélasticité de l'air augmente ou diminue dans le même
rapport. Voyez Arr.

AFFECTÉ ( 4lg.). Terme qu'on emploie pour ex-

primer qu'une quantité est modifiée par le concours

d’une autre quantité où d’un signe particulier. Par

AG 51

exemple, dans l'expression 3x la quantité æ est affectée
du coefficient 3; dans l'expression —zx, cette même
quantité est affectée du signe —; enfin, dans l’expres-
sion Vx, æ est affectée du signe radical y.

AFFECTION (Gcom.). Ancienne expression qui si-
guifie la même chose que propriété. Ainsi, on disait
jadis : cette courbe a telle affection, pour dire, a telle
propriété.

AFFIRMATIVE (4/g.). Quantité affirmative. C'est
la même chose qu'une quantité positive , où qu'une
quantité affectée du signe +.

AGE de la lune ( 4s4r.). C’est le nombre des Jours
écoulés depuis la nouvelle lune. On détermine l'âge de
la lune, pour un jour donné, à l’aide de l’épacte de
l'année dans laquelle se trouve le jour proposé. Fay.
Epacre.

AGENT (Méc.). Force ou puissance qui produit un
mouvement ou tend à le produire.

AGNESL(Manra Garrawa) naquit à Milan le 16 mars

718, et devint un des rares exemples de la précocité
de l'intelligence, en même temps qu'elle se distingua
par des connaissances élevées , acquises au prix d’études
abstraites que semblent interdire à son sexe sa faiblesse
naturelle et ses habitudes sociales. A l’âge de neuf ans,
Marie expliquait déjh, avec une clarté et une facilité
remarquables, les passages les plus obscurs des auteurs
latins. Mais la jeune fille dédaigna bientôt ces travaux
élémentares; elle voulut apprendre le grec , l'hébreu ,
le français, l'allemand et l'espagnol, Elle réussit avec
une promptitude qui tient du prodige dans ce projet,
dont ses parens et ses maîtres essayèrent en vain de la
dissuader. Jusque-là on aurait pu comparer les étonnantes
dispositions dont Marie Agnesi était douée, à celles que
l'Italie avait précédemment admirées dans Pic de la Mi-
randole; mais elle ne tarda pas à appliquer aux plus su-
blimes conceptions de l'intelligence ces connaissances :
qui appartiennent souvent aux seules facultés de ja mé-
moire, et peuvent n'être ainsi que le résultat d’une
heureuse organisation. La jeune Marie se livra à
l'étude de la philosophie avec la confiance et la te-
nacité qu’inspire l'amour de la science et de la vérité.
Elle y apporta les inspirations d’un esprit supérieur,
et soutint, à l’âge de 19 ans, 191 thèses publiques sur
les sujets les plus controversés de la métaphysique
et de la psycologie. Ges thèses furent réunies et im
primées à cette époque sous ce titre : Propositiones
philosophicæ (Milan 1738).

Tant de travaux n'avaient point épuisé, dans cette
jeune fille , ni son ardeur pour la science , ni cette mer-
veilleuse facilité de l’acquérir, qui en font à peu près un
être à part dans l’histoire de l'esprit humain. Le père
de Marie occupait avec quelque éclat une chaire de ma.

thématiques à l'université de Milan; elle les étudia avec

32 AI

succès et ne fut point arrêtée par les graves difficultés
que présentent les parties transcendantes de cette science.
C'est surtout à ces derniers travaux que Marie Agnesi
doit la renommée qui environne encore son nom. C’est
à ce titre aussi que cette femme célèbre devait occuper
une place dans ce dictionnaire.

La réputation de Marie devint européenne; ses
concitoyens enthousiastes l’entourèrent de leur admira-
tion en lui décernant ces honneurs populaires, que l'I-
talie a su rendre si chers aux beaux talens. Ses divers
biographes la représentent comme une personne simple
et bonne, presque timide; et qui ne paraissait pas com-
prendre la vive impression qu'occasionait sa présence
dans les réunions publiques et privées de Milan. En
1750, son père étant tombé malade, Marie sollicita et
obtint du pape Benoît XIV l'autorisation d'occuper sa
chaire. Ce fut à cette époque qu’elle publia ses Znstitu-
zione analytiche, qui ne sont point aujourd’hui même
au-dessous du progrès de la science.

Peu d'années après, Marie Agnesi, jeune encore,
termina sa vie scientifique. En proie à une secrète mé-
Jancolie dont la cause est demeurée inconnue, elle re-
nonça aux travaux qui avaient rendu son enfance si re-
marquable , aux études qui avaient illustré sa jeunesse,
et se consacra entièrement au service des pauvres et des
malades. Ainsi, tout devait être extraordinaire dans
cette belle vie, que la calomnie , si funeste au talent,
n’osa point troubler. Ce n’est pas ici qu'il convient de
se livrer aux réflexions que suggère la détermination
si peu explicable de Marie Agnesi au milieu des enivre-
mens de la gloire et de la renommée; mais il est impos-
sible de ne pas remarquer combien la science a perdu à
cette sorte d’exil volontaire auquel elle se condamna ,
et qu’elle supporta jusqu’à la fin de ses jours -avec la
persistance et la forte volonté que ses premiers travaux
avaient révélées en elle. Maria Gaetana Agnesi est morte
à Milan , le 9 janvier 1799.

Ses Instituzione analytiche ont été traduites en fran-
çais par Anthelmv, sous les yeux de Bossut, et impri-
mées avec des notes de ce dernier savant sous ce titre :
Traités élémentaires du calcul différentiel et du cal-
cul intégral. Lyon , 1775. in-8°.

AIGU (Geom.). Angle aigu. C'est celui qui est plus
petit qu'un angle droit. Foy. Notions PRÉLIM. 33.

AIGLE ( Astr.). Nom d’une constellation située dans
l'hémisphère boréal.

AILE (Méc.). Partie du volant d’un moulin à vent.
Les ailes de moulin sont de grands châssis #n forme d’é-
chelle, sur lesquels on étend des toiles pour recevoir
l'impulsion du vent. Les plus grandes ont de 12 à 13
mètres de longueur sur deux mètres de largeur — On
donne encore le nom d’ailes aux dents d’un pignon.
Voy. Dents.

AI

AIR. Substance fluide, transparente , élastique, pon-
dérable et dilatable qui entoure le globe terrestre , et
forme son atmosphère. Les anciens considéraient l'air
comme un élément ; mais la chimie moderne a reconnu
qu'il est un mélange de deux gaz, l'oxigène et l'azote,
et que ce mélange est à peu près dans le rapport de
1:4. L'air contient en outre une petite quantité de
gaz acide carbonique; il tient sans doute aussi en disso-
lution beaucoup d’autres substances. Les propriétés
mécaniques de l'air ou sa pesanteur et son élasticité
sont les seules qui doivent nous occuper ici.

Les anciens avaient quelque idée de la pesanteur de
l'air, quoique leurs opinions sur ce sujet fussent con-
fuses et incomplètes. Aristote affirme ( De Cælo,
lib. 1v), qu'une vessie remplie d’air pèse plus qu’une
vessie vide. Empédocle attribue la respiration à la
pesanteur de l'air qui, par sa pression , s'introduit
dans les poumons. Asclépiade avait la même opinion.
Héron d'Alexandrie, et son contemporain Ctésibius,
connaissaient tous deux la gravité et l'élasticité de l'air,
et c’est d’après ces principes qu'ils ont inventé les fusils
à vent que l'on croyait une découverte moderne. On
doit encore au premier une machine ingénieuse dans
laquelle l’eau jaillit au-dessus de son niveau par l'effet
de la pesanteur de l'air, combinée avec son élasticité.
(Poyez Fonraxe D'HEÉRON. ) Il parait donc étrange que
les successeurs d’Aristote aient pu abandonner les doc-
trines de leur maitre , et soutenir pendant plusieurs
siècles des opinions contraires. Les effets résultant du
poids et de l’élasticité de l'air ont été long-temps attri-
bués à un principe imaginaire nommé füga vacui, où
l'horreur que la nature a pour le vide. On savait depuis
long-temps qu'en aspirant l'air contenu dans un tube,
dont l'extrémité est plongée dans l’eau , ce fluide s’éle-
vait au-dessus de son niveau, et prenait la place de
l'air, C’est d’après cette observation qu’on avait inventé
les pompes aspirantes et diverses autres machines hy-
drauliques, dans lesquelles on expliquait l'élévation de
l’eau par le Juga vacui. Galilée lui-même, malgré sa
sagacité, n'avait rien trouvé de plus satisfaisant ; cepen-
dant il avait été forcé de donner des limites à cette
horreur pour le vide, ayant remarqué que les pompes
aspirantes ne soulevaient plus l’eau au-delà de la
hauteur de 32 pieds. Ce physicien distingué était ce-
pendant bien familiarisé avec la pesanteur de l'air : il
enseigne dans ses Dialogues deux moyens de la démon-
trer et de la mesurer; mais il n'avait pas été au-delà ,
et l'honneur de découvrir la pression de l’atmosphère
était réservé à son disciple Torricelli.

En 1643, Torricelli eut enfin l’heureuse idée que
cette force qui soutient les fluides au-dessus de leur
niveau dans les tuyaux privés d'air, ne pouvait être que

la colonne atmosphérique qui pèse sur leur surface ex-

al
térieure. Ce principe adopté, il en conclut qu'un fluide
plus pesant que l’eau ne s’éleverait pas à 32 pieds, et
que la hauteur qu’il pourrait atteindre serait en raison
iuverse de son poids comparé à celui de l’eau. Ainsi, le
mercure étant à peu près 14 fois plus lourd que l’eau,
ne doit s'élever qu’à la quatorzième partie de 32 pieds,
c’est-à-dire à 29 ou 30 pouces. Torricelli prit en con-
séquence un tube de verre de plusieurs pieds de lon-
gueur, fermé hermétiquement à l’un de ses bouts ; il
le remplit de mercure, le renversa ensuite , en bouchant
l'ouverture avec un doigt, et ayant plongé cette partie
du tube dans un vase plein de mercure , il retira son
doigt. L'événement justifia sa conjecture : le mercure,
contenu dans le tube, descendit jusqu’à ce qu'il n’en
restât plus qu’une colonne d’une hauteur d’à peu près
30 pouces au-dessus de la surface du mercure qui se
trouvait dans le vase.

L'expérience de Torricelli devint bientôt populaire ;
le père Mersenne la répéta en 1644, et en envoya le
rapport aux savans français avec qui il était en corres-
pondance. Pascal et Petit la vérifièrent de nouveau , et
le premier publia à ce sujet un traité remarquable sous
le utre : Expériences nouvelles touchant le vide. Pascal
ayant adopté, après quelques hésitations, l'opinion de
Torricelli, imagina plusieurs expériences pour la con-
firmer. Il détermina son beau-frère, M. Périer, à exé-
cuter Ja célèbre expérience du Puy-de-Dôme , dans la-
quelle on trouva que la hauteur de la colonne de mer-
cure, soutenue dans le tube de Torricelli, était plus
petite à mi-côte qu’au pied de la montagne, et plus pe-
tte encore au sommet. Par ce moyen, la question fut
complétement résolue, et il ne fut plus permis de dou-
ter que ce fût la pesanteur de l’atmosphère qui tint la
ce-pnne de mercure en équilibre, puisqu’en s’élevant
dara l'air, et en rendant ainsi la colonne atmosphérique
plus courte et par conséquent moins pesante, celle de
mercure diminuait en même temps.

On doit à cette expérience la première idée de la me.
sure des hauteurs par le baromètre. (Foy. ALTIMÉTRIE.)
Les lecteurs ont déjà sans doute reconnu, dans le tube
de Torricelli, l'instrument devenu si populaire sous le
nom de baromètre. (#’oy. BarnomÈrre. )

La pesanteur de l'air se montre
encore d’une manière très-sensible
dans un phénomène connu de tout
le monde: c’est celui du Syphon.

On nomme syphon un tuyau l'e=

courbé ABC composé de deux agen

branches inégales AB et BC. Si l'on al: [ll k
MIT {| Il,
plonge la plus courte AB dans un k

vase MN plein d’un liquide quel- , =

conque, et qu’on ôte l’air contenu
dans ce tuyau en le sucaut par le

A 5})
bout C, la liqueur du vase montera dans le syphon et
s’écoulera par l'ouverture C, pourvu que cette ouver-
ture soit au dessous de la surface du liquide.

Ce phénomène est de la même nature que celui du
tube de Torricelli ; car il est évident qu'une fois le vide
opéré par la succion , l'eau du vase doft monter en B,
et s'écouler ensuite par l'ouverture C; mais cet écoule-
ment ne laissant plus pénétrer l'air dans le syphon, la
pression atmosphérique doit faire continuellement mon-
ter de nouveau liquide dans le tube AB, tant que le
poids de Ja colonne BC est plus grand que celui de la
colonne AB, puisque cet excédant de poids empécue
l'équilibre que la pression atinosphérique au point C
ferait à cette même pression en A; mais si ces deux
colonnes deviennent égales, l'équilibre des pressions
s'établit au même instant, l’eau ne monte plus dans le
tube AB , et l'écoulement cesse.

Depuis l'invention de la machine pneumatique (v07.
ce mot), la pression de l'atmosphère a été vérifiée de
mille manières différentes, et la pesanteur de l'air,
dont elle est une conséquence, a été le sujet d'un grand
nombre de travaux. Après l'expérience de Torricelli, le
père Mersenne entreprit de déterminer la pesanteur
spécifique de l'air; mais il approcha encore moins de la
vérité que Galilée; car ce dernier l'avait évaluée à +,
et Mersenne l’évalua à ,55, celle de l’eau étant prise
pour unité. Boyle obtint un résultat plus exact, en trou-
vant +5. Hawksbee le fixa à 55. Mais, dans toutes ces
recherches, il est essentiel de tenir compte de l’état de
l'atmosphère ; et il résulte enfin des expériences de
MM. Biot et Arago que le poids de l'air atmosphérique
sec, à la température de la glace fondante et sous Ja
pression de 0",76, c’est-à-dire, le thermomètre marquant
o,etie baromètre 0",76, est, à volume égal, ;°3 de celui
de l’eau distillée. |

Avant d'examiner les autres propriétés de l’air, nous
devons dire ici qu'il parait que Descartes avait reconnu
sa pesanteur avant Torricelli, et que l’idée première de
l'expérience du Puy-de-Dôme lui appartient également.
C’est ce qui setrouve constaté dans le recueil de ses let
tres.

L'élasticité de l’air est une propriété de ce fluide qui
consiste à céder à toute pression quelconque, en resser-
rant son volume, qu’il reprend aussitôt que la pression
cesse d'agir. On a cru long-temps que l'air atmosphéri-
que était le seul fluide élastique qui se trouyät dans la
nature. Mais les travaux des chimistes de notre époque
nous ont appris qu'il existe un grand nombre de ces
fluides, auxquels on a donné le nom générique de gaz.
L'élasticité de l'air se manifeste visiblement dans une
vessie pleine de ce fluide, et dont on a fermé exacte-
ment l’ouverture; on l'aplatit en la pressaut eutre les

mans, et alors on éprouve une résistance sensible, due

Al

à la réaction des molécules comprimées. Dès qu'on la

Co |
Lu +

laisse libre, elle reprend sa première forme. Si la pres-
sion est assez forte pour que la réaction surpasse la tena-
cité des parois de la vessie, elle crève avec bruit.

Quant au degré d'intensité de la force élastique de
l'air ,ila été prouvé par les expériences les plus satis-
£aisantes que, pour une pression modérée, il est toujours
proportionnel à la densité de la masse d'air comprimée,
et que cette densité est égale à la force compressive.
Pour s’en assurer, on prend un tube de verre recourbé,
dont l'une des branches est beaucoup plus longue que
l'autre ; on ferme hermétiquement la plus courte bran-
che, et ensuite on verse du mercure par l’extrémité ou-
verte dé la plus grande. En remplissant peu à peu la
grande branche, et mesurant successivement l’espace
qu'occupe l'air renfermé qui se comprime de plus en
plus dans la petite branche , on trouve que les espaces
sont en raison inverse des poids qui pressent l'air. Or,
comme ces poids sont. la mesure de lélasticité, l'élasti-
cité est donc aussi en raison inverse de l’espace, ou en
raison directe de la densité , puisque la densité est elle-
mêmé en raison inverse de l’espace. On pose en consé-
quence la loi générale qui suit :

La densité d'üne masse d'air croît et décroit dans le
rapport des pressions, tant que Sa température et sa
combinaison chimique sont les mêmes.

Cette loi importante se nomme la oi de Mariotte.
Élle fut decouverte presque en même temps par Robert
Royle et Townley en Angleterre, et par Mariotte à Pa-
ris. 11 résulte des expériences de Gay-Lussac et de Dal-
ton, que cette loi est exacte sous toutes les tempéra-
türes.

Les physiciens se sont demandé si la force élastique
de l'air pouvait être détruite; mais Boyle n’a trouvé au-
cun degré de raréfaction capable de produire cet ef-
fet. Désaguliers renferma de l’air dans un fusil à vent,
ét vit qu’au bout de six mois il n'avait perdu aucune de
ses qualités primitives. Roberval, répétant cette expé-
rience, obtint les mêmes résultats après un temps
beaucoup plus long. De là, on peut conclure qu'aucun
état'de raréfaction ou de condensation ne saurait entiè-
rement détruire le pouvoir élastique de l'air. Cepen-
dant , le colonel Roy a prouvé que les molécules d’une
masse d’air peuvent être déplacées de manière à perdre
À une grande partie de leur force élastique. Il résulte en-
core de ses expériences que l’air humide est plus élas-
tique que l'air sec, et que l'air atmosphérique, dans son
‘état naturel, est proportionnellement plus élastique que
lorsque sa densité est considérablement augmentée par
la pression. Hawksbec a trouvé aussi que l’élasticité de
l'air peut être tellement affectée par une violente pres-
sion, qu’il lui faut ensuite quelque temps pour revenir à
son état primitif. Enfin, le docteur Hale prétend qu'il

AI

existe différens cas où cette élasticité est affaiblie et al-
térée.

L'air étant un fluide pesant, si l’on conçoit l’atmo-
sphère partagée en une infinité de couches, il est évi-
dent que les couches inférieures portant le poids des su-
périeures seront plus comprimées, et conséquemment ,
que la densité de l'air doit varier avec son élévation au-
dessus de la surface de la terre. Pour trouver la loi de
cette variation, supposons les couches infiniment petites,
et alors nou: pourrons considérer chacune d’elles comme
homogène dans toutes ses parties, &ésignons par d, d',
d', les densités de trois couches successives dont 4 est
l’inférieure ; désignons én outre par p le poids de touté
la colonne atmosphérique qui pèse sur la prémière coù-
che, ou le poids de la colonne qui commence à la se-
conde couche, par p' le poids dé cette colonne, en la
commençant à la troisième couche, et enfin par p" lé
poids de la colonne qui pèse sur la troisième couche.
Le poids particulier de la seconde couche, en le consi-
dérant isolément , sera donc p —p', et celui de la troi-
sième sera p'—p".

Or, comme les densités dé deux corps égaux en vo-
lumes sont dans le rapport direct de leurs poids (voyez
DexsirE), on a

d':d':p—p':p—p".
Mais, d’après la loi de Mariotte ; on a aussi :
d'd'sspiipls
puisque p' et p” sont les pressions qui détérminent les
densités d' et d”.
De ces deux proportions, on tire

p—p'ip—P'P'iP")
ce qui donne ( 7oy. Proportion)
p:p':p:pe

Mais les densités d, d', d’ sont proportionnelles aux
poids p, p', p", on a donc également

d':d':: d': à”,

C'est-à-dire que la densité d’une couche quelconque
est moyenne proportionnelle entre la densité de la cou-
che qui la précède et celle de la couche qui la suit.

Il résulte de cette propriété que les densités des cou-
ches atmosphériques forment une progression géomé-
trique. Nous avons, à la vérité, supposé ces couches
infiniment petites ; mais comme, dans une telle progres-
sion, les sommes d’un même nombre de termes succes-
sifs sont elles-mêmes en progression géométrique (voyez
PROGRESSION GÉOMÉTRIQUE), nous pouvons considérer
comme démontré le théorème principal de l'aérostati-
que, savoir :

Dans l’état d'équilibre , la densité de l'air décroït de
bas en haut en série géométrique , lorsque la nature

AT

chimique et la température de la colonne sont egales
dans toute sa hauteur.

L’élasticité de l’air se manifeste toujours de la même
manière dans toutes les occasions : qu'il soit libre ou
comprimé, elle s'exerce dans toutes les directions et
lui fait contracter une forme sphérique. Cela se voit
clairement dans les liqueurs placées sous le récipient
d’une machine pneumatique; car, en pompant l'air, il
apparait d’abord, sur la masse liquide, une multitude de
petites bulles d’eau qui vont en grossissant, tout en
conservant leur sphéricité ; et ces bulles ne sont produi-
tes que par l'air contenu dans le liquide, qui se dilate à
mesure que la.pression de l'air extérieur diminue par
l'action de la machine. C’est pour la même raison qu’on
forme toujours un globe, quand on souffle à travers un
tube de fer dans une masse de verre fondu. L'expansion
de l'air, lorsqu'on enlève tout à coup la force com-
pressive, est telle, qu’il occupe dans certains cas un
espace 13 à 14,000 fois plus grand que son espace
primitif, et cela par sa force de dilatation seule, et sans
l'application du feu.

La chaleur exerce sur la densité et l’élasticité d’une
masse d'air une influence qui fait l’obiet de la pro-
position suivante :

Dans une masse d'air parfaitement renfermée , et
qui ne peut changer son volume, lélasticité croit,
par la chaleur, dans le méme rapport que son volume
serait augmenté, si, la pression restant la même , il
lui était possible de se dilater,

Gay-Lussac ayant découvert que tous les fluides élas-
tiques sont également dilatés par la chaleur lorsque la
pression reste la même , et que cette dilatation, entre la
température de la congélation jusqu’à celle de l’ébulli-
tion , est de 0,375 ou des ? du volume que la masse avait
à la première température , il faut donc que, dans les
mêmes limites, l’élasticité d’une masse d’air renfermée
croisse dans le rapport de 1 à 1,375 ou de 8 à v1. Il est
facile d’en conclure que l'aceroissement d'élasticité est
de 325, ou, à peu près, de -+; pour chaque degré du
thermomètre centigrade. Foy. TaERMOMÈTRE,

Ain de vent. V’oy. Boussote.

AIRE ( Géom.). Superficie d’une figure. Pour
mesurer l'aire ou la surface d’une figure plane, on
prend pour unité de mesure l’aire d’un carré dont les
côtés sont l'unité linéaire. Ainsi, en adoptant le mètre
pour unité des mesures linéaires, et la surface du carré
construit sur un mètre pour unité de surface, l’aire
d'une figure quelconque sera déterminée, quand on
connaîtra combien elle contient de mètres carrés ou de
parties de mètre carré. Toutes les propositions de la
géométrie relatives à l'aire des figures planes peuvent
se ramener aux suivantes

AI 55

I. Tout rectangle a pour mesure le produit de sa base
par sa hauteur.

La ligne CF étant prise pour l'unité linéaire, le carré
GCFE sera l'unité de surface. Or, A
on voit, par l'inspection de la fi-
gure, que le rectangle ABCD con- !

à l
tient autant de ces carrés qu’il ya @

d'unités das ie produit qui résulte PE ———— D
en multipliant le nombre d’umités linéaires contenu
dans la base CD, par le nombre d'unités contenu dans
la hauteur AC, Ici ces nombres sont 4 et 5, et leur pro-
duit 0 exprime en effet le nombre des carrés GCFE
contenus dans ABCD.

Il faut cependant remarquer que le mot produit n'a
pas le sens arithmétique ordinaire; car, en arithméti-
que, le produit est toujours de même neture que le
multiplicande, ou, en général , que l’un des facteurs À
tandis qu'ici il est d’une tout autre espèce que les fac-
teurs; ses unités expriment des surfaces et non des
ligaes.

Si l'unité linéaire n'était pas contenue un nombre
exact de fois dans la base et la hauteur du rectangle,
l'aire de ce rectangle n’en serait pas moins exprimée par
le produit de sa base par sa hauteur; car, en compa-
rant deux rectangles quelconques , tels que ABCD et
GCFE, on a la proportion : (V’oy. RecranGe)

surf. ABCD : surf. GCFE :: AC X CD : GC XCF.

Or, le carré GCFE étant pris pour unité de mesure,
on à

GC—=1,CF= 1, d'où GCXCF=:;
et, par conséquent
surf, ABCD : surf. GCFE :: AC X CD':1.

Donc, le produit AC X CD contiendra autant d'unités
et de parties d’unité que le rectangle ABCD contiendra
de fois le carré BCFE. Ce produit exprimera donc, dans
tous les cas, l’aire du rectangle. |

Un carré n'étant qu'un rectangle dont la base et .
hauteur sont égales, son aire sera exprimée par la se-

conde puissance d'un de ses côtes.

II. L’aire d'un triangle est égale à la moitié de
celle d'un rectangle de méme base et de méme hauteur.
Ou, ce qui revient au même, l'aire d'un triangle est
cgale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur.

Il y a trois cas :

est le triangle ABC. Il est visiblement
la moitié du rectangle ABCD, de
même base BC et de même hauteur
AB.

2°, La perpendiculaire qui mesure

56 AI
la hauteur dutriangletombe M_..A......:N
dans l’intérieur du triangle. i 7. 7e
Tel est le triangle ABD, Î PA
Ë ; Ne

dont la hauteur est AC. ve E Ne
Mais ce triangle peut être y i :

€ D

considéré comme la somme
des deux triangles rectangles ABC, ACD, dont le pre-
mier est la moitié du rectangle AMBC, et le second,
la moitié du rectangle ANDC. Donc le triangle entier
ABD est aussi la moitié du rectangle entier MBDN, de
même base BD et de même hauteur AC.

3°. La perpendiculaire qui mesure la hauteur du
tiangle tombe hors du triangle.
Tel est je triangle BAD. On peut
le considérer comme la différence
des deux triangles BCD et BCA ,
égaux à la moitié des rectangles
BCDN et BCAM , il sera donc
lui-même égal à la moitié de la différence de ces deux

Cr LA TenD

rectangles, ou égal à la moitié du rectangle MADN , de
méme base AD et de même hauteur AM ou BC. L’aire
de tout triangle est donc égale à la moitié du produit
de sa base par sa hauteur.

Corvllare. Deux triangles ayant même base ou des
bases égales, et compris entre les mêmes parallèles, sont
épaux en surface.

Toutes les figures rectilignes étant décomposables en
triangles, la proposition précédente suffit donc pour
déterminer leur surface (f’oy. Porxcowes).

1H. L’aire d'un parallélogramme est égale au pro-
duit de sa base par sa hauteur.

Car, en menant une diagonale, on divise le parallé-
logramme en deux triangles qui ont des bases égales, sa-
voir, deux côtés opposés du parallélogramme, consé-
quemment égaux et parallèles ; ces deux triangles sont
donc égaux , d’après le corollaire précédent, Or, Paire
de chacun d’eux est égale au demi-produit de sa base
par la hauteur commune, qui est en même temps celie
du parallélogramme. Donc, leur somme ou l'aire du
parallélogramme est égale à deux fois ce demi-produit ,
c’est-à-dire au produit entier.

IV. L'aire d’un trapèze est'égale à la moitié du pro-
duit de sa hauteur par la somme des deux bases paral-

lèles. :
En menant la droite CB, on partage le trapèze ABDC

en deux triangles CAB et C E D
BCD, qui ont une même
hauteur EF, et dont le
premier a AB pour base, ë a
et le second CD. Gr, l'aire A F B
du triangle CAB est égale à L EF X AB, et l'aire du

triangle BCD est égale à? EF X CD. Donc, la somme
de ces deux triangles , ou l'aire du trapèze est égale à

AT

1EF X ABL:EF X CD, ou, ce qui revient au même,
à: LF X (AB + CD).

Voyez, pour Faire des surfaces terminées par des
ligues courbes, le mot Quanrarure. Quant aux surfu-
ces des solides, elles seront traitées pour chaque solide
en particulier.

Aires proportionnelles aux temps (Astronomie ).
C’est une des lois du mouvement ©
des planètes, découvertes par Ké- Fi de

pler (Joy. Lois »E Képzen). Voici

>

en quoi elle consiste : si l’on sup- *
pose que des diverses positions 4, :

b,c, d’une planète, prises sur son i 4

orbite, on mène des droites idéales *
S

aS, LS, cS, au foyer de cet orbite
occupé par le soleil, les aires ren- de
fermées entre ces droites et les portions correspondantes
ab et be de l’orbite ;telles que Sab, Sbe, seront propor-
tionnelles aux temps employés par la planète pour par-
courir les arcs ab etbhe. Si donc ces temps étaient égaux,
l'aire Sab serait égale à l’aire Sbc; si le premier était
la moitié du second, Sab serait pareïllementla moitié
de Sbe , et ainsi de suite.

Newton, dans son livre des Principes, a fait voir que
cette loi était une suite nécessaire de l'attraction univer-
selle , et en a donné la démonstration suivante :

Soit B le lieu d’une planète tournant autour du so- .
leil S, et venant de parcourir la très-petite portion AB
de son orbite, que nous pouvons considérer comme une
ligne droite ; le rayon SA, ou le rayon vecteur, ayant
passé de À en B, a décrit l'aire SAB dans un temps très-
petit, que nous supposerons une minute; Or, si la pla
nète parvenue en B était abandonnée à elle-même , elle
continuerait à se mouvoir en ligne droite, parcourant
dans une seconde minute un espace BD égal à AB; et
sonrayon vecteur décrirait l'aire
SBD égale à la première aire

D

SAB, puisque ces aires sont deux
triangles qui ont une même
hauteur, et dont les bases AB,
BD, sont égales. Mais, arrivée
en B, la plarète est attirée par

le soleil; et si elle n’était sollici-
tée que par cette seule force,
elle prendrait la direction BS, et parcourrait dans
une minute un espace que nous désignerons par BP.
Ainsi, au point B la planète est sollicitée par deux
forces, dont l’une lui ferait parcourir BD, et l’autre BP,
en une minute; elle décrira donc, dans le même temps,
la diagonale BC du parallélogramme BDCP , construit
sur BD et BP, et l'aire décrite par le rayon vecteur sera
le triangle SBC. Or, les triangles SBD et SBC sont

égaux, puisqu'ils ont une même base SB, et qu'ils sont

AL

compris entre les parallèles SB et DC. { J’oyez Aime ET.)
Donc, l'aire SBC, décrite dans la seconde minute, est
égale à l'aire SAB, décrite dans la première. En pour-
suivant de la même manière pour toutes les minutes
suivantes, et pendant toute la durée de la révolution,
on démontrerait que la planète décrira toujours la
même aire dans une minute, quelle que soit la portion
de son orbite dans laquelle elle se trouve, tant que
des causes étrangères ne viendront pas troubler l'action
des forces primitives qui la font mouvoir.

Voyez au mot Lois ne Krpcer, l’histoire de cette
découverte, et au mot Arrracrion le parti que Newton
en atiré pour établir son système, Pour la déduction
mathématique de cette loi, »0y. Trazecroinr.

ALAMAK ou AMAK (4str.). Nom donné par les
Arabes à une étoile de seconde grandeur, qu'on trouve
dans le pied austral d'Andromède. Elle est indiquée par
le signe 7 dans les catalogues.

ALBATÉNIUS. Nom latinisé de Mouammen-Brv-
Dyaser BEN-SENAN, AROU-ABDALLAH, l’un des plus cé-
lèbres mathématiciens arabes, né dans la ville de Batan,
en Mésopotamie, d’où lui est venu le surnom d’ar-
BATTAN OU EL-BATTANY, sous lequel il est généralement
désigné en Europe. On ignore l'époque précise de la
naissance de ce grand homme ; mais il est certain qu'il
florissait 50 ans environ après le khalyfe El-Mämoun,
c’est-à-dire vers l’an 880 de l’ère chrétienne. Il n'était
point musulman , et professait au contraire le sabéisme,
ou cuite des étoiles. Comme la plupart des mathémati-
ciens arabes, Albaténius appliqua surtout la science
à l'astronomie, dont il aborda ainsi l'étude avec la dou-
ble puissance du sentiment religieux et des connaissan-
ces humaines. Albaténius, malgré sa religion, en horreur
aux Musulmans, était gouverneur de Syrie pour les kha-
lyfes. Ses observations furent toutes faites à Antioche
ou dans la ville de Ragqah, en Mésopotamie, d’où il a
été désigné, dans quelques anciens auteurs, sous le
nom de Mahometus Aractentis. Voici l'idée générale
qu'on peut se faire des travaux d’Albaténius, si remar-
quables pour l’époque où ils furent entrepris.

Cet illustre astronome adopta à peu près le système
et les hypothèses de Ptolémée; mais il les rectifia en
plusieurs points, et fit d’ailleurs plusieurs découvertes
qui lui ont mérité une place distinguée parmi les hom-
mes dont les travaux ont enrichi la science astrono-
mique.

Albaténius approcha beaucoup plus de la vérité que
les anciens , en ce qui concerne le mouvement des fixes.
Ptolémée leur faisait parcourir un degré seulement en
100 ans ; l’astronome arabe leur fait parcourir cet es-
pace en 70 ans; et, suivant les modernes, ce sont 72
ans qu’elles y emploient. En second lieu, Albaténius

mesura la grandeur de l’excentricité de l'orbite solaire,

AL 5T
et l'on né pouvait arriver à une appréciation plus juste.
IH le 3465

100,000; et ce calcul s'accorde avec celui de plusieurs

détermina de parties, le rayon étant
astronomes modernes,

La détermination de la grandeur de l’année solaire,
dont s'occupa Albaténius, ne parait pas d'abord une
opération aussi heureuse, En comparant ses observations
avec celles de Ptolémée, il la composait de 365 jours
5 heures 46° 24"; supputation où il se trouve une er-
reur d'environ 2°. Le célèbre Hallev justifie Albaté-
nus en attribuant l'erreur de cet astronome à la trop
grande confiance qu'il a eue dans les observations de
Ptolémée, dont plusieurs sont si peu d'accord avec les
mouvemens du soleil connus aujourd'hui, qu’elles sem-
blent plutôt fictives que réelles. Celle qu'Albaténius à
employée dans sa détermination est de ce nombre. C’est
un équinoxe que Ptolémée dit avoir observé la troisième
année d’Antonin, et qui devait tomber le 20 du mois
Athir, et non le 21, comme il l'avance. Le savant as-
tronome anglais remarqne encore que si Albaténius eût
comparé ses observations avec celles d'Hipparque rap-
portées par Piolémée, il aurait beaucoup plus approché
de la vérité. C'est néanmoins cette détermination vi-
cieuse , qui a persuadé à quelques astronomes du XVI°
siècle que l’année solaire tropique avait diminué jusqu’à
lui, et qu’elle recommençait à augmenter ; conjecture
hasardée qui n’est nullement d'accord avec les observa-
tions modernes. Une des découvertes les plus belles qui
se rattachent au nom et aux travaux d’Albaténius est
celle qui est relative à la détermination du mouvement de
l'apogée du soleil. Avant cet astronome, on avait regardé
l'apogée du soleil comme fixe dans le même point du
zodiaque, immobile et imaginaire, qu'on conçoit au-delà
des étoiles. [l'avait paru tel à Ptolémée lui-même. Mais
Albaténius , aidé d'observations plus éloignées entre
elles, déméla ce mouvement, et le distingua de celui
des fixes. [l fit voir qu'il était un peu plus rapide,
comme semblent le confirmer les observations les plus
récentes. Albaténius remarqua l'insuffisance et les dé-
fauts de la théorie de Ptolémée sur la lune et les autres
planètes; et, s'il ne les corrigea pas entièrement, il rec-
tifia du moins ses hypothèses dans beaucoup de détails.
Sa découverte du mouvement de l'apogée du soleil le
porta à soupçonner qu’elle était applicable au mouve-
ment des autres planètes ; ses conjectures ont encore été
vérifiées sous ce rapport. Enfin, Albaténius construisit
de nouvelles tables astronomiques, et les substitua à
celles de Ptolémée , qui commencçaient à s’écarter sensi-
blement du ciel. Ces tables, beaucoup plus parfaites que
les premières, eurent une graude célébrité en Orient , et
furent long-temps en usage. Laplace a insinué, dans son
Histoire de l'astronomie, qu’on avait eu tort d'attribuer
au travail d’Albaténius les changemens avantageux qu'il

58

AL

paraissait apporter aux élémens des tables de Ptolémée.
I'appuie son opinion sur un fragment d'Ebn-Younès, tra-
duit par M. Caussin , duquel il résulterait que ces chan-
gemens sont dus aux auteurs de la table vérifiée. Quel
que soit notre respect pour Ja décision de Laplace,
nous ne sommes nullement convaincus, dans cette cir-
constance, de la justesse de son objection.Outre que le
mérite de la traduction de M. Caussin aurait besoin
d’être apprécié, il n’est pas inutile de faire observer
que l’astronome Ebu-Younès vivait vers l’an 1000,
sous le Khalrfat d'El-Hakem, en Égypte, et que les
dernières observations d'Albaténius sont de l'an 918.
Nous ne comprenons pas bien la confiance qu’on accor-
derait au fragment d'Ebn Younès, dont l’assertion, entout
état de cause , ne nous semblerait pas suffisante pour at-
ténuer la gloire d'Albaténius, qui reste ainsi entière sui-
vaut nous.

L'ouvrage d’Albaténius, où sont consignées ses dé-
couvertes , et auquel il donna le titre de Table sabeenne
(zrdj-séby), a été traduit en latin sous ce titre : De
ccientid stellarum ; mais un biographie d'Albaténius fait
observer avec raison que le traducteur ne savait ni l'a-
rabe ni le latin. Cette traduction est en effet remplie de
fautes graves, et ne peut donner qu’une idée impar-
faite des travaux si remarquables d'Albaténius. La pre-
mière édition parut à Nuremberg, en 153%, in-f°. La
seconde, aussi peu exacte, malgré les promesses de
l'éditeur , a été publiée à Bologne, en 1645 , in 4°. On
croit que l'original se trouve à la bibliothèque du Vati-
can. Albaténius, que Lalande a classé parmi les qua-
rante-deux plus célèbres astronomes, mourut, suivant
Aboul-Farug , l'an 929 de l’ère chrétienne ( de l’hégire
317).

ALBEGALA (Astr.). C’est un des noms de Ja Ivre,
constellation boréale.

ALBERT :-1E-Granp , nommé par divers autenrs AL-
BERTUS THEUTONICUS, FRATER ÂLBERTUS DE COLOSIA, AL-
BERTUS RATISBONENSIS, et enfin ALBERTUS GROTUS , de la
famiile des comtes de Bollstædt, naquit à Lawingen, en
Souabe, en 1193, suivant quelques-uns de ses biogra-
phes, et en 1205, suivant d’autres. La vie de cet homme
extraordinaire a été le sujet des plus étranges dissenti-
mens, comme ses connaissances si profondes, si étendues
pour l’époque dans laquelle il a vécu, ont servi de
texte à des contes absurdes, dont la vulgarité et le peu
de fondemens n’ont pas moins trouvé des échos hors
de la tourbe ignorante et grossière où ils avaient pris
naissance. L’auteur de la biographie du grand Albert,
dans l'Encyclopédie, a adopté, en parlant de cet homme
célèbre, un ton de persiflaye ct de plaisanterie de mau-
vais goût , que le caractère religieux dont il était revêtu
avait sans doute inspiré.

Albert a du le surnom de Grand, qui lui a été déféré

]

AL

par son siècle, à ses connaissances, que ses contempo-
rains seuls ont dù croire surnaturelles, et non pas à la
corruption du mot grot ou great, qu'on a cru être le
surnom distinctif de sa famille. Il est prouvé qu'aucune
branche de la maison de Bollstædt n'a jamais été ainsi
désignée.

Quoi qu'il en soit, Albert-le-Grand fitses études à l’u-
niversité de Paris , où l'influence du célèbre Jordanus,
l’un de ses maîtres, le décida à entrer dans l’ordre de
Saint: Dominique. 11 vint à Paris à l’époque où les théo-
ries d’Aristote ( Foy. ce mot) étaient proscrites par la
Sorbonne et le Saint-Siége. 11 commenta publiquement
les doctrines de ce philosophe, et il fut assez heureux
pour triompher des répugnances de l'église qui les avait
anathématisées. Albert ne s’occupait pas seulement de phi-
losophie et de ce que l'on appelait alors dialectique ; il
s’adonnait sérieusement à l'étude des sciences positives.
Vers l'an 1254, désigné par la haute renommée qui
récompensait ses travaux , il fut promu par les chefs de
son ordre à la dignité de provincial des Dominicains en
Allemagne. Il se retira alors à Cologne, où bientôt après
il devint évéque de Ratisbonne.

C'est dans la première de ces villes, qu’Albert, au
sein de ses études solitaires, résolut quelques problèmes
difficiles des sciences mathématiques. I] construisit, s’il
faut s'en rapporter à la fois à la naïve admiration de
ses amis et à la haine de ses ennemis, un automate doué
du mouvement et de la parole. Ce chef d'œuvre de l’art,
que cinq siècles après renouvela Vaucanson, lui attira
les plus ridicules accusations ; et Saint- Thomas d'Aquin,
son élève, dans un triste excès de zèle pour la religion,
brisa cet ouvrage merveilleux , dans lequel il crut re-
connaitre l'inspiration du démon. Vaucanson fut plus
heureux.

Albert-le-Grand, évêque de Ratisbonne , a composé
un grand nombre d'écrits. La plupart de ses ouvrages,
ou du moins de ceux qui lui furert attribués, se trouvent
dans : Fabricit, Bibl. lat. med. et inf. ætatis, au mot
Azserrus, édit. de Pierre Jamimi. Albert-le-Grand est
mort à Cologne, en 1280 , à l’äge de 87 ans.

Les b'ographes qui, dans leur ignorance, ont cru pou-
voir s'égayer avec le nom de cet homme célèbre, au-
raient dû ajouter que les ridicules rapsodies intitulées :
Secrets merveilleux du grand et du petit Albert, n'étaient
pas de lui, et n’étaient en aucune façon extraites de ses
œuvres.

ALBIREO (Astr.). Nom qu'on a donné à une étoile
du cygne marquée 8 dans les catalogues.

ALCUIN , moine anglo-saxon, disciple de Bède, et
maître de Charlemagne, né dans le VILI* siècle, La bie-
graphie de cet homme célèbre appartient plus à
l'histoire littéraire du moyen äge, qu’à ceile des sciences
mathématiques, dont il favorisa néanmoins les pre-

AL

grès, et dans lesquelles il possédait des connaussan-
ces remarquables pour son siècle. Le prince abbé de
Saint-Emeran a donué, en 1777, une belle édition des
œuvres d’'Alcuin, dans lesquelles on trouve les écrits
: 1° De

cursu et sallu lunæ et de bissexto; 2° De reperienda

suivans sur diverses parties des mathématiques

luna paschali per 19 annos ; 3° Proposiliones arithme-
ticæ ad acuendos juvenes. Ce dernier ouvrage est un
recueil de questions arithmétiques du genre de celles de
l'anthologie grecque : on pourrait le regarder comme le
germe du livre si connu des Accreations mathémati-
ques. Il est probable que Bachet, auteur de l'ouvrage
intitulé : Problèmes plaisans et délectables qui se font
par les nombres (Lyon, 1613, in-8°), avait lu le livre
d’Alcuin, déjà imprimé en 1543, sous le nom de Bède.

Alcuin servit avec un noble zèle les projets de civili-
sation de Charlemagne. Il a attaché son nom à ce règne,
qui brille commeun météore dansla nuit du VIl'siècle.
Mais ses travaux mathématiques, et l’ardeur avec la-
quelle il favorisa l'étude de l'astronomie, ne paraissent
pasavoir influé sur les progrès de cette science en France.
La postérité, qui lui a su gré de ses efforts, le place dans
un rang distingué parmi les hommes qui ont le plus
illustré l'étude des sciences.

ALCYON (Astr.). C’est le nom de la plus brillante
des Pléiades, marquée y dans 1es catalogues.

ALDEBARAN (l’oyez ABENEZRA).

ALDHAFERA ( 4str. ). Étoile de la troisième gran-
deur dans la constellation du Lion.

ALEMBERT (Jeanx-cr-Ronp D’), littérateur et ma-
thématicien célèbre, né à Paris le 16 novembre 1717.
On a toujours recherché avec un vif intérêt les détails
les moins importans de la vie des grands hommes. Toutes
les circonstances qui se rattachent, même de fort loin,
à leurs travaux et à leurs succès, semblent faire partie
de leur gloire. Cette espèce de culte que la postérité
voue au génie, est le résultat d’un sentiment à la fois
enthousiaste et curieux, qui s’augmente à mesure que
le temps passe sur leur renommée sans y porter aucune
atteinte. Nous aimons à nous asseoir au berceau des
hommes dont le nom a survécu à leur époque, comme
pour y surprendre leur première pensée, et découvrir
jusque dans les jeux de leur enfance le germe du talent
qui illustra leur carrière. Sous ce point de vue, la bio-
graphie de d’Alembert pourrait présenter une foule de
traits remarquables, mais auxquels nous ne pouvons
accorder dans ces pages, plus particulièrement consa-
crées à la science, qu’une place peu importante : nous
nous plairons néanmoins à retracer ceux qui font le plus
d'honneur à son caractère.

Durant la nuit du 16 novembre 1717, un enfant nou-
veau-né, faible et chétif, fut trouvé sous le porche de
l'église de Saint-Jean-le-Rond, et porté , suivant l'usage,

AL 39

chez le commissaire du quartier. Soit que cét homme
eût été prévenu par les parens de cet enfant, soit qu'il
eüt pitié de cette innocente et fréle créature, il exerça
envers elle un acte d'humanité que les devoirs de sa ma-
gistrature ne lui imposaient pas. Il confia l'enfant à la
femme d’un vitrier, qui lui prodigua les soins les plus
touchans. On lui donna le nom de Jean-le-Rond, qu'il
devait un jour rendre célèbre avec celui de d'Alem-
bert. Peu de jours après cet événement, on put déjà
supposer que le petit Jean-le-Rond avait été ainsi
abandonné par de riches parens, pour cacher la faute
dont il était le fruit malheureux, car une pension de
douze cents livres fut constituée sous son nom. Plus
tard, on a cru savoir qu’il était le fils de madame de
Tencin , femme aussi célèbre par son esprit que par sa
beauté, et de Destouches , commissaire provincial d'ar-
tillerie, qu’on avait surnommé Canon, pour qu’on ne
le coufondit pas avec le poète dramatique Destouches.
Quoi qu’il en soit, d'Alembert annonça de bonne heure
les plus heureuses dispositions, et, contre l'habitude des
eufans doués d’une précocité prodigieuse, il tint parole
en devenant homme. Quand sa renommée naissante le
fit accueillir dans le monde avecune honorable distinc-
tion, madame de Tencin, chez laquelle il était reçu,
lui fit, dit-on, connaître ie secret de sa naissance. Le
jeune d’Alembert reçut cet aveu avec une dignité froide,
et déclara qu’il ne reconnaîtrait jamais pour sa véritable
mère que la pauvre femme dont il avait sucé le
lait, et qui avait pris un soin si tendre de sa débile en-
fance.

D’Alembert fut mis en pension dès l’âge de quatre
ans. Il en avait à peine dix que son maître se déclara
hors d'état de lui apprendre rien de plus que ce qu’il
savait déjà. Mais la faiblesse de son tempérament exigeait
encore des soins assidus. Ce fut seulement deux années
après qu'il entra au collége Mazarin, où il acheva ses
études d’une manière brillante. La mémoire de ce pre-
mier maitre dont il avait été l’élève bien-aimé , fut tou-
jours chère à d’Alembert. Malgré la médiocrité de sa
fortune , il fut assez heureux plus tard pour l'aider à
élever ses enfans, et pour lui offrir de fréquens secours.
Au sortir du collége, il voulut aussi retourner auprès
de sa bonne nourrice, et il a passé près de trente années
de sa vie avec cette femme, à laquelle il donua toujours
le doux nom de mère.

Ces traits, et un grand nombre d'autres que nous
sommes obligés de passer sous silence, dessinen' no-
blement le caractère de d’Alembert, caractère qu'il
ne démentit pas dans le cours de sa vie. I futun homme
de mœurs douces et d’un commerce aimable et facile,
malgré la malignité de son esprit et son peuchant pour
l'épigramme. Si ses ouvrages révèlent en lui une intelli-
gence supérieure et forte, ses actions privées révèlent

: 10 AL

aussi une âme élevée et un cœur sensible et généreux.
Après cet éloge mérité de d'Alembert, il nous sera sans
doute permis de dire que nous n’aurons point à nous
occuper de ses œuvres littéraires , et moins encore de ses
préteadustravaux philosophiques. Entraîné par un esprit
vif et inquiet dans le mouvement qui a dominé son
siècle, cet illustre écrivain a malheureusement adopté
et préconisé avec un remarquable talent ïes grossières
erreurs des réformateurs de son temps, parmi lesquels
il occupe du moins une place distinguée. À uue autre
époque , et il est douloureux de le dire, dans un autre
pays que la France, où la nouveauté et la hardiesse des
idées exercent un empire plus facile et plus puissant
que la vérité, il est permis de croire que d’Alembert
aurait rempli une mission plus digne de son génie et
plus utile à l'humanité.

Les heureuses dispositions que d’Alembert avait ma-
nifestées dès l'enfance se développèrent rapidement au
collége, où il réalisa bientôt les espérances qu'il avait
fait concevoir à son premier maître. Il n’est pas inutile
de remarquer que cet enfant studieux et melancoïique
sembla d’abord promettreun éloquent défenseur au chris-
tianisme, dont il devait cependant contribuer à ébranler
les croyances. Ses professeurs jansénistes dirigèrent ses
premières idées vers la théologie, et, émerveillés de ses
travaux, crurent un moment que le collége Mazarin allait
voir renaître Pascal, l’illustre solitäire de Port-Royal.
En effet, des sa première année de philosophie , d’Alem-
bert écrivit un remarquable commentaire sur l’épitre
de saint Paul aux Romains : ainsi, dit Condorcet, il
commença comme Newton avait fini.

Ce fut néanmoins durant cette période de sa vie d’étu-
diant que d’Alembert prit goût aux mathématiques,
dont il poursuivit avec ardeur l'étude laborieuse et pé-
nible. Il ne tarda pas à prendre une place élevée parmi
les hommes dont les utiles travaux ont fait faire des
progrès à ces hautes sciences. Après avoir successivement
étudié pour le barreau et la médecine, il débuta dans
la carrière de son choix et objet de sa plus vive prédi-
lection, par deux mémoires qu’il présenta à l'Académie
des sciences : le premier, sur le mouvement des corps
solides à travers un fluide; le second, sur le calcul inté-
Igral. Ces premiers travaux l’élevèrent tout à coup au
rang des plus savans mathématiciens, et l’Académie
les récompensa ea ouvrant, dès 1741, ses portes à leur
auteur.

En 1543, d’Alembert publia son Traité de dyna-
mique. La méthode dont il se servit dans cet écrit ré-
duit toutes les lois du mouvement des corps à celle de
Jeur équilibre, et ramène conséquemmient la dynamique
à Ja statique. En rapportant ainsi, dit Lagrange , à une
méthode uniforme la mise en équation des problèmes de
ce genre, qu’on faisait dépendre de principes incohé-

ES

AL

rens, plutôt devinés que rencontrés, il mit fin aux
espèces de défis que les géomètres s’adressaient sur cette
matière.

Le Traité des fluides ; suite nécessaire du Traité de
dynamique, parut en 1744. D'Alembert fut encore
obligé, dans cet ouvrage , de s’astreindre aux hypothèses
par lesquelles Jean et Daniel Bernouilli étaient parve-
nus à rendre le mouvement des fluides accessible au
calcul; mais en appuyant ses solutions sur le principe
qu'il avait appliqué à la recherche du mouvement des
corps solides, il rectifia quelques erreurs échappées à ses
illustres devanciers, et mit du moins ce qu'ils avaient
trouvé d’exact à l’abri de toute difficulté.

Dans la même année, d’Alembert publia le mémoiresur
la T'hcorie des vents, qui remporta le prix proposé par
l’Académie de Berlin. En 1748, il fit paraître ses Recher-
ches sur les cordes vibrantes. Ce beau travail! fixa l’at-
tention des géomètres sur le calcul intégral aux diffé-
rentielles partielles, dont la découverte est un des plus
beaux titres de gloire de d’Alembert.

Enfin, en 1549, parurent les Recherches sur la préces-
sion des équinoxes. On trouve dans cet ouvrage impor-
tant la première détermination générale du mouvement
de rotation d’un corps de figure quelconque. Ces re-
cherches font époque dans la dynamique aussi bien que
dans l'astronomie physique.

D'Alembert consacra à des travaux purement litté-
raires plusieurs années de sa vie; il est l’auteur du dis-
cours d'introduction de l'Encyclopédie, et d'un grand
nombre d'articles relatifs aux sciences mathématiques
insérés dars cet ouvrage. Le 29 octobre 1783, d’Alcm-
bert mourut de la pierre, avant d’avoir été opéré, à
l’âge de soixante-dix ans.

Voici l’ordre dans lequel on peut classer ses princi-
pales œuvres mathématiques, qui ont rarement été
réunies dans les collections de ses écrits.

1°. Traité de dynamique, 1 vol, in-4°, 1743, 1758.
2° Traité de l'équilibre et du mouvement des fluides,

* Réflexions sur la cause

1, Vol. in-4°,.1940, 1770. 3
géncrale des vents, in-4°, 1747. 4° Recherches sur la
précession des équinoxes et sur la mutation de l’axe de
la terre, 1 vol. in-4°, 1749. 5° Essai d'une nouvelle
théorie sur la résistance des fluides, 1 vol. in-4°, 1552.
6° Recherches sur différens points importans du sys-
tème du monde, 3 vol. in-4°, 1754, 1556. 7° Opuscules
mathématiques, 8 vol. in-4°, publiés successivement
en 1701,1764; 1967, 1968, 1773, 1780.
ALEXANDRIE (Écoze p'). L'histoire de cette an-
tique et célèbre institution est, sans doute, intimement
liée à celle des lettres; mais les sciences mathématiques
doivent à ses illustres disciples de si importantes décou-
vertes et de si mémorables travaux, qu’elle semble sur-

pes

AL

tout appartenir à ces hautes connaissances, dont leurs
travaux ont agrandi le domaine. Sous un autre point de
vue, l’histoire de cette noble école se rattacherait en-
core à l’enseignement supérieur de ces sciences, quand
elle n’aurait-eu que la seale gloire d’en conserver dans
son sein le précieux dépôt durant des périodes funestes
aux progrès de l'humanité.

La ville d'Alexandrie, située entre le lac Mareotis et
la Méditerranée, à l'extrémité de l'angle occidental de
l'Egypte, fur fondée par Alexandre-le-Grand vers la

‘€ année de la exn* olympiade, environ l’an du

1
monde 3670 , et 334 ans avant Jésus-Christ. Alexandre,
ce conquérant civilisateur, qui n'eut point d'enfance et
W'arriva point jusqu'à l’âge mür ; cet homme prodigieux,
dont la vaste pensée embrassait le monde, qu'il par-
courut en triomphateur, voulait que la ville dont il
traça l'enceinte, servit pour ainsi dire de lien entre
l'Orient et l'Occident. Cette noble idée qui rattachait
ainsi à un avenir inconnu tout le passé de la terre des
Pharaons, ne finit point avec la vie et la puissance hu-
maine de celui qui l'avait conçue, et participa ainsi de
ce caractère de durée qui défend contre le temps les
inspirations du génie. Alexandrie a rempli, en effet,
sous plusieurs rapports, la destinée que lui avait assi-
guée son glorieux fondateur.

Après la mort d'Alexandre, le vaste empire que for-
maient ses conquêtes , fut livré à d’effroyables déchire-
mens. Chacun de ses capitaines prit une couronne, Celle
d'Égypte échut à Lagus, qui, respectant du moins la pen-
sée de son maitre, transporta à Alexandrie le siége de
son autorité. Bientôt cette cité effaça, par la beauté et le
nombre de ses monumens, la splendeur de ces villes an-
tiques, berceau des orgueilleuses traditions de l'Égypte.
La douceur du gouvernement de Lagus attira dans ses
murs les savans et les philosophes de la Grèce : les ar-
tistes accoururent sur leurs pas , et la brillante civilisation
d'Athènes, dont la gloire et la liberté venaient de mourir,
transportée ainsi sous le beau ciel de l'Égypte, y jeta en
peu d'années de fécondes racines. C'est à cette époque
qu'il faut placer l'établissement de l’école d'Alexandrie.
Mais Ptolémée-Philadelphe, fils et successeur de Lagus..
donna à cette institution naissante des marques si écla.
tantes de sa protection, que la gloire de sa fondation lui
en est généralement attribuée. Il logea les savans et les
philosophes, à qui l’école était ouverte, dans un magni-
fique édifice attenant à son palais. (Srrason, Géogr.
hb. xur.) I fournit libéralement à toutes les dépenses
des entreprises tentées dans le but des découvertes et
du perfectionnement des sciences, et commença enfin à
rassembler à grands frais cette immense et célèbre biblio-
thèque , où furent successivement déposés tous les livres
de l'Égypte, et tous ceux que produisirent les progrès
des connaissances humaines, La perte de cette collection

AL 41

unique est encore, après plus de mille ans, l'objet des
regrets les plus justes et les plus douloureux.

Au premier rang des maitres qui, sous le rapport des
sciences mathématiques, vinrent dès son origineillustrer
l'école d'Alexandrie, on doit placer le grand Eudclide,
qu'il n’est plus permis aujourd'hui de confondre avec
Euclide de Mégare, le philosophe , et le disciple de So-
crate, mort un siècle avant l'époque du géomètre.
Euclide rassembla toutes les vérités élémentaires de la
géométrie découvertes avant lui. Il apporta dans cet
ouvrage une méthode si certaine et si avancée, il mit
entre ses propositions un enchainement si précis et si
rigoureux , que depuis lui, tous les efforts des géomètres
ont été impuissans pour réformer ses démonstrations,
à l'évidence et à la force desquelles ils n’ont pu porter
atteinte. Après plus de deux mille ans, les élémens
d'Euclide n’ont pas cessé de former la base essentielle
de la science, et nul bras n’a été assez fort pour briser
la chaine formée par l'ancien géomètre. Nous examine-
rons avec plus de développemens les importans tra-
vaux d'Eudide à l'article biographique que nous lui
consacrerons. Il en sera de même des doctrines et des
découvertes des savans que nous allons nommer dans
le cours de cette notice, spécialement consacrée à l’en-
semble des connaissances mathématiques que l’école
d'Alexandrie a répandues dans le monde.

Tandis qu'Euclide jetait ainsi les bases indestructibles
de l’arithmétique et de la géométrie, l'astronomie sor-
tait, à Alexandrie, de l’état d'enfance où elle était
encore plongée, et où l'avaient laissée les philosophes
grecs depuis Thalès. Aristille et Timocharis, dont nous
ne connaissons malheureusement les travaux que parce
qu'ils ont été analysés dans l’almageste de Ptolémée,
cessaient de se livrer à de vaines conjectures , et com-
mençaient à sentir la nécessité des observations aux-
quelles on a dû le premier système d'astronomie ; fondé
sur une comparaison réfléchie des phénomènes célestes,
et propre à les représenter avec quelque vérité. Aristille
et Timocharis paraissent avoir été les premiers astro-
nornes qui aient déterminé d’une manière approxima-
tive la position des étoiles fixes par rapport au zodia-
que, en marquant leurs longitudes et leurs latitudes.
Un autre astronome, Dionysius, se faisait en même
temps remarquer à l’école d'Alexandrie par la produc-
tion d’une ère particulière, où les noms des mois sont
dérivés de ceux du zodiaque. À peu près à la même
époque, l’école voyait fleurir Aristarque de Samos, dont
les travaux astronomiques acquirent une grande célé-
brité, car ils eurent pour objet le système de l'univers :
il se rallia à l'opinion que l'école pythagoricienne avait
émise sur le mouvement de la terre, et fit de nombreux
efforts pour faire prévaloir cette hypothèse à Alexan-

drie, Avistarque de Samos a composé divers écrits ma-

42 AL

thématiques dont malheureusement il n’est venu jusqu'à
nous qu’une faible partie; mais le témoignage de ses
contemporains a déposé en faveur de son génie et con-
solidé sa gloire. Il créa une nouvelle méthode pour
mesurer la distance du soleil à la terre par la dichoto-
mie de la lune, qui fit une profonde sensation à l’école
d'Alexandrie; car cette proposition qui reculait consi-
dérablement les bornes de l'univers, était contraire à
toutes les connaissances scientifiques, et surtout à la cos-
mogonie de l’époque.

Eratostènes, qui suivit de près ces hommes célèbres,
prit à Alexandrie une place distinguée parmi les savans
maîtres de l’école, par ses travaux dans la géométrie et
l'astronomie, branches des sciences mathématiques aux-
quelles il s’'adonna spécialement. Il donna une solution
du problème de la duplication du cube, conservée par
Eutocius dans ses commentaires sur Archimède. On lui
doit encore une méthode ingénieuse pour trouver les
nombres premiers. Ce fat par les conseils d'Eratostènes
que Ptolémée-Evergetes fit établir et placer sous le por-
tique de l’école d'Alexandrie de grands instrumens pour
l'observation des astres ; la science lui doit aussi la con-
struction des armilles, fameuses dans l'histoire de l’astro-
nomie grecque, qui a exécuté par leur moyen ses prin-
cipales observations. La tentative d'Eratostènes pour me-
surer la grandeur de la terre, en observant le passage du
soleil au-dessus du puits de Syène, dont il avait remar-
qué que le fond était illuminé à midi, le jour mème du
solstice d'été, fit époque dans la science, quoique l’éva-
luation de la grandeur du degré terrestre due à ce pro-
cédé, n’offre qu'une approximation peu concluante. Il
en est de même de l'observation que fit encore ce savant
de l’obliquité de l’écliptique.

Parmi les mathématiciens qui se formèrent à l’école
d'Alexandrie sous les successeurs d'Euclide, Appollo-
nius de Perge est un de ceux dont le génie a jeté le
plus d'éclat, et dont les travaux ont le plus contribué
aux progrès de la science. Appollonius a écrit avec une
étonnante fécondité sur toutes les parties des mathéma-
tiques ; maisson Traité des coniques aurait seul suffi pour
immortaliser son nom. Ce chef-d'œuvre, dont les Arabes
avaient entrepris une traduction sous le règne d'El-Mà-
moun, a été long-temps inconnu à l'Europe. Les quatre
premiers livres de cet ouvrage précieux étaient les seuls
qu'on y possédät , quand vers le milieu du XVII° siècle,
les derniers furent heureusement recouvrés. Au reste,
l'histoire de ces vicissitudes bibliographiques sera
plus naturellement placée à l’article que nous consacre-
rons à Appollonius.

On ne s’est pas attendu sans doute à trouver ici la
nomenclature exacte des mathématiciens qui firent hon-
neur à l'école d'Alexandrie; nous avons seulement dû
choisir, dans l’ordre chronologique, les hommes supé-

AL

rieurs, dont les travaux font époque dans l'histoire de
cette institution , et marquent un progrès dans la science.
L'esprit humain n'arrive que par des gradations lentes
et successives à la découverte des grandes vérités; et
l'on peut se faire une idée de la marche suivie par les
sciences mathématiques, en mesurant les phases de leurs
progrès dans l'intervalle des deux siècles qui séparent
les Élémens d'Euclide du ‘Fraité des coniques d’Appol-
lonius. On ne doit pas oublier, au surplus, que nous
avons passé sous silence l'histoire de ces progrès hors
de l'école d'Alexandrie, quoiqu’elle füt alors comme
le centre d’un grand système, et que son influence et ses
enseignemens se répandissent au loin parmi les nations
civilisées, Ainsi au nombre des grands mathématiciensde
ce temps, dont nous n'avons pas mentionné les travaux,
brille l’illustre et immortel Archimède. Mais un tel
homme s’appartient à lui-même, ses œuvres appartien-
nent au monde, et aucune école ne peut revendiquer la
gloire qui s'attache à son nom.

Après les grands hommes dont nous venons de rap-
porter succinctement les titres à l'admiration de la posté-
rité, l’ordre naturel des temps place dans les fastes de
l’école d'Alexandrie le nom justement célèbre d'Hip-
parque, né à Nicée en Bithynie, durant le cours du
IT' siècle avant notre ère. Si l'époque précédente semble
plus remplie, dans l’histoire des mathématiques ; por les
progrès de la géométrie, Hipparque vint marquer celles
des découvertes dont l'astronomie devait s'enrichir, en
établissant des hypothèses qui ont mis la science sur le
chemin de la vérité. Cet astronome détermina avec plus
de précision qu’on ne l'avait fait avant lui , la durée des
révolutions du soleil; il mesura l'excentricité de cet astre
et détermina son apogée. Le génie de cet homme célè-
bre s’éleva ainsi jusqu'aux plus hautes conceptions de la
science. C’est à lui que l’on doit le premier catalogue
d'étoiles fixes, qui servit ensuite à Ptolémée pour dres-
ser les tables du ciel. Ce prodigieux travail, qui n'ef-
fraya ni la patience, ni le courage d'Hipparque, mit la
science sur la voie d’une de ses plus brillantes déceu-
vertes, celle du mouvement des étoiles, et révéla à
l'humanité la connaissance de l’ordre admirable qui
préside au système du monde. Les mouvemens de ces
astres innombrables qui se meuvent dans l’immensité ,
cessèrent d'être pour l’homme un mvstèré inexplicable,
et désormais il eut l’espoir, que la science a réalisé, de
pénétrer plus avant dans le sanctuaire des lois immua-
bles qui régissent l'univers. Sainte et puissante faculté
de Ja raison, qui place l’homme au premier anneau de
la chaîne des êtres, et lui découvre une partie des secrets
de sa haute destination, en développant en lui cette
virtualité créatrice qui l'élève jusqu’à Dieu! Quelque
imperfection qui existe dans les découvertes des an-
aens, il estimpossible de ne pas admir2r les ingénieuses

ne

AL

hypothèses qu'ils fondèrent sur des observations exécu-
tées en l'absence des instrumens que la science moderne
a créés, et sur des observations antérieures dont ils n’a-
vaient aucun moyen de vérifier l'exactitude et la pré-
cision. Ils apportèrent en effet une admirable aptitude
et une étonnante sagacité dans l'emploi des seules mé-
thodes qui fussent à leur disposition. Le chemin par-
couru par la science astronomique depuis Thalès jusqu’à
Hipparque est immense, et l’école d'Alexandrie a eu la
gloire de marquer chacune de ses périodes par quelque
grand progrès. En suivant par la pensée cette marche
lente, maissüre, on voit peu à peu se dissiper les nuayyes
qui dérobaient à la raison humaine les connaissances qui
lui sont maintenant acquises; on voit se briser une à
une les vieilles erreurs cosmogoniques des premières
races civilisées, et la science préparer ainsi le monde à
recevoir la première révélation de l'Évangile,

Tous les hommes qui se distinguèrent dans les sciences
depuis Hipparque jusqu’à l’ère chrétieune, appartien-
nent directement ou indirectement à l’école d'Alexan-
drie. Leurs travaux ne sont en réalité que le dévelop-
pement des travaux des illustres maitres, que cette
iustitution vit sortir de son sein. Ctésibius et Hé-
ron, son disciple, tous deux d'Alexandrie, se livrent
alors avec succès à l’étude de la mécanique et reculent
les bornes de cette science ; Possidonius se distingue par
son habileté et ses profondes connaissances dans toutes
les parties des mathématiques; Géminus trace l’histoire
de l'astronomie; Cléomède écrit les élémens de cette
science, et commence ainsi à en populariser l'étude;
un autre astronome, Sosigènes, rattache son nom à la
réformation du calendrier opérée par Jules - César;
Divnysiodore résout le problème posé par Archimède de
la division d’un hémisphère en raison donnée par un
plan parallèle à la base; enfin, le géomètre Théodore
pose les principes de l'astronomie sphérique, et fait
faire un progrès à la gnomonique en construisant un
cadran universel et portatif.

Durant le premier siècle de l'ère chrétienne l’école
d'Alexandrie 2e produisit aucun mathématicien dont la
postérité ait dù conserver le nom. Elle n’en brilla pas

_ moins d’un vif éclat dans les autres branches du savoir
humain, dont nous n’avons point à nous occuper ici.

Chaque siècle a un développement intellectuel qui
lui est propre; et à cette époque les grands événemens
politiques qui venaient de changer la face du monde,
durent donner à l'esprit humain une direction qui
affecta les progrès des sciences. Toutes les idées se por-
tèrent vers les questions sociales, que devait faire agiter
la perte de tant de nationalités envahies par l'immense
monarchie qui s’éleva sur les débris de la liberté ro-
maine. D'un autre côté, le christianisme commençait à
répandre dans le monde les bienfaits de ses hautes doc-

AL 43
trmes, et influait sur la préoccupation des esprits de
toute la puissance que la morale exerce dans les rapports
sociaux.

Vers l’an 130 de cette ère de rénovation, l’école
d'Alexandrie accueillit avec enthousiasme les travaux
de Ptolémée, né à Ptolémaïde en Égypte. Hipparque
avait eu le projet de fonder un cours complet d’études
astronomiques ; Ptolémée le réalisa, et rectifiales théories
de ce maitre par de nouvelles observations, auxquelles
il donna plus d’extension, et un caractère de certitude
qui fit de ses hypothèses la science elle-même, dont ses
devanciers n'avaient pu aborder tous les problêmes,
Nous parlerons ailleurs avec plus de développemens
des découvertes de Ptolémée; il nous suffira de dire ici
que cet illustre astronome, en posant ses doctrines
comme une limite qu’il n’était plus permis de dépasser,
ferma pour ainsi dire l’école d'Alexandrie au progrès,
Son sytème fat généralement adopté et servit de base
aux observations des Arabes, quand les mathématiciens
de cette nation restaurèrent l'astronomie. En recevant
d’eux la science , l'Europe moderne accepta les principes
sur lesquels elle était fondée; ils furent aussi les seuls
qu’on enseignät dans nos écoles, jusqu’au temps plus
près de nous où de prodigieuses découvertes vinrent
renverser un système qui avait régi la ‘science pendant
près de quatorze siècles.

Les travaux de Ptolémée semblent avoir donné un
élan nouveau à l'étude des sciences mathématiques ;
maisses livres furent seulement l’objet de commentaires
plus ou moins ingénieux, sans que, comme on vient
de le dire, les bornes qu'ils avaient imposées à l’astro-
nomie fussent jamais dépassées. Cependant des géo-
mètres célèbres, tels que Hvpsicle, Porphyre, l’évêque
Anazolius, Philon de Thyane, Tymaridas, Achille
Tatius, conservèrent dignement depuis Ptolémée jus-
qu’à Diophante l'antique renommée de l’école d'Alexan-
drie.

C’est à ce dernier mathématicien qu'on attribue l'in-
vention de l'algèbre; il est du moins le premier des
Grecs dans les ouvrages duquel on découvre les plus
anciennes traces de cette science. Après lui, Pappus,
Théon et la célèbre Hvpatia, sa fille, apparaissent dans
l’école d'Alexandrie comme les derniers rayons de l’astre
majestueux des sciences mathématiques. Vers le milieu
du cinquième siècle, le philosophe Proclus, chef de la
secte platonicienne, ouvrit une école nouvelle à Athènes,
où se trouva ainsi transporté le siège des mathéma-
tiques. Depuis lors, l’école fondée par Lagus et Ptolé-
mée-Philadelphe fut presque exclusivement ouverte
aux disputes dogmatiques et aux doctrines de cette
philosophie, remarquable par sa tendance à opérer la
fusion des principes les plus opposés, tentative impuis-
sante que l'éclectisme de notre époque semble vouloir

44 AL

reproduire, au mépris des travaux intellectuels de
l'Allemagne , qui ont fait faire aux sciences philosophi-
ques un progrès aussi réel sur les doctrines de lécole
d'Alexandrie, que ceux qui, dans les sciences mathé-
matiques, ont dépassé les hypothèses de Ptolémée.

En l'an 641 de notre ère, la ville d'Alexandrie tomba
au pouvoir des Arabes. Ce désastreux événement arriva
sous le khalyfat d'Omar, le deuxième successeur de
Mahomet, dont la religion avait en peu de temps em-
brasé l'Asie d’un enthousiasme frénétique. Le monde
civilisé fut un moment menacé de tomber sous le glaive
des sectaires ardens et fanatiques du Koran ; et Alexan-
drie, alors encore le refuge des savans et le dépôt des
connaissances humaines, n’échappa point à leur aveugle
instinct de destruction. Les monumens vénérables de
l’antiquité qui peuplaient cette ville furent détruits ou
mutilés, et la flamme dévora sa précieuse bibliothèque,
où avaient été laborieusement recueillis tous les livres
écrits durant neuf siècles, sur toutes les parties du savoir
humain.

L'histoire a conservé le nom du philosophe Philo-
pone, dont le dévouement et les généreux efforts furent
néanmoins impuissans à prévenir cette catastrophe. Il
parvint cependant à en faire suspendre l'exécution, et
il ébranla assez fortement les convictions d’Amrou,
pour que celui-ci crût devoir consulter le Khalyfe sur le
parti qu'il avait à prendre. Voici la réponse que fit
Omar, réponse que sa barbarie sophistique a rendue cé-
lèbre. « Les livres dont tu me parles, ditl à l'envoyé
de son lieutenant, sont conformes ou contraires au Ko-
ran : dans le premier cas il faui les bruler comme inu-
tiles; dans le second ils sont dignes du feu comme dé-
testables. » Cet arrêt fut exécuté, et tel était le nombre
immense des volumes qui formaient cette collection,
que tous les historiens s'accordent à dire qu'ils servirent
pendant près d’un an à chauffer les bains publics de la
malheureuse Alexandrie.

| Ainsi périrent à la fois et cette célèbre école, qui du-
rant une suite non interrompue de dix siècles, avait
si puissamment coopéré aux progrès de l'esprit hu-

main, et cette bibliothèque où avaient, dit-on, été

jf classés dans un ordre admirable, tous les livres qui
contenaient la pensée de l'antiquité. Cette perte inappré-
ciable ne fut sans doute pas une des causes qui contri-
buèrent le moins à répandre sur le monde le sombre
nuage d’ignorance et de barbarie qui ne s'est dissipé
que lentement et après une longue suite d'années.

Par une de ces réactions inespérées et presque inexpli-
cables, qui semblent indiquer l'influence de la main
puissante qui dirige l’humanité, ces mêmes Arabes qui
avaient anéanti, dans leur étrange fanatisme, l’école et
la bibliothèque d'Alexandrie, et étouffé pour ainsi
dire la science dans leurs mains sanglantes, furent la

AL

première nation qui rétablit son culte, et qui honora
son caractère social par d’importans travaux, auxquels
Jes lumières modernes doivent jeurs développemens
primitifs.

ALGEBAR ou ALGÉBOR ( 4str.). Nom arabe de la
constellation d'Orion.

ALGÈBRE. Science des nombres considérés en QUE
néral, ou science des Lois des nombres. (F'oyez Ma-
THÉMATIQUES. )

L'origine de cette science ne peut être dérerminée
avec exactitude, et, quoiqu'il en existe des traces dans
les écrits des plus anciens mathématiciens, ce n'est pro-
prement que depuis Diophante qu'elle a formé une
branche de la science des nombres distincte de l'arith-
métique. En effet, toutes les considérations numériques
des anciens ne sortaient point de la sphère des propriétés
individuelles des nombres. Diophante même ne s'élève
à quelques vérités générales que dans cette partie de
l'aigèbre nommée théorie des nombres, que Gauss et
Legendre ont portée récemment à un si haut degré de
perfection. 1

Le mot algèbre est dérivé de l'arabe ; mais son étv-
mologie a été diversement interprétée. Les Arabes, qui
nous ont transmis les premières notions de cette impor-
tante science, l'avaient nommée é/-dyaber él-moqabelah;
ce qui signifiait la science des restitutions, des propor-
tions et des solutions. Quelques auteurs ont pensé que
l'algèbre tirait son nom de Geber, mathématicien, à qui
ils en attribuent l'invention, quoique l'existence de
ce Geber ne soit pas bien prouvée. Sans nous arrêter
à d’autres versions étymologiques plus ou moins fondées,
nous allons jeter un coup d'œil rapide sur les premiers
déveioppemens de la science des nombres, suivre ses
progrès lents et insensibles à travers les siècles, et men-
tionner les principaux auteurs dont les utiles travaux
l’ont successivement amenée à la certitude rationnelle
qui la distingue si éminemment des autres sciences.

Le plus ancien ouvrage que nous connaissions sur
l'algébre est celui de Diophante, auteur grec d’Alexan-
drie, qui vivait Pan 350 : il était composé de treize
livres dont six seulement nous sont parvenus. Xylander
en a publié une traduction latine en 1575; et, en 1621
et 1650, Gaspard Bachet et l'illustre Fermat en don-
nèrent des éditions grecques et latines accompagnées de
commentaires. Les six livres qui nous restent de Dio-
phante ne renferment pas un traité sur les parties élé-
mentaires de la science; ils contiennent seulement une
collection de questions difficiles sur les nombres carrés
et cubes, ainsi que plusieurs autres propriétés des
nombres. Dans ses observations préliminaires, ou dans
sa préface qui est adressée à un Dionysius, pour lequel
l'ouvrage paraît avoir été écrit, Diophante donne la

nomenclature ct la génération des puissances ; il nomme

AL

les secondes puissances ou les carrés dynamis ; les cubes,
cubus ; les quatrièmes puissances dynamo-dynamis; les
cinquièmes, dynamo-cubus; les sixièmes, cubo-cu-
bus , etc., selon la somme des exposans des puissances.
L exprimait une quantité inconnue par le mot æpiôgos
(nombre), et la désignait dans la solution par la seule
finale os. Dans ses recherches sur la multiplication, il
observe que moins multiplié par moins produit plus,
et que moins multiplié par plus produit moins. À
l'égard des signes d’addition et de-soustraction, il n’en
employa qu’un seul pour la dernière et c’est un 4 ren-
versé et un peu tronqué. Le mérite principal de l’ou-
vrage de Diophante consiste dans l'adresse avec laquelle
il résout des problèmes indéterminés. Dans ces pro-
blèmes, ainsi nommés parce qu'ils sont susceptibles
d’une infinité de solutions, il s’agit particulièrement
d'éviter les valeurs irrationnelles auxquelles conduit la
méthode ordinaire. Les anciens ne considéraient point
les quantités irrationnelles comme de véritables nom-
bres, et conséquemment, lorsqu'on demandait un ou
plusieurs nombres propres à satisfaire une question, il
ne fallait pas donner de ces quantités. Diophante les
évite au moyen de certaines équations feintes, dont
l'artifice mérite d'être développé. Nous allons en don-
ner un exemple.

Soit proposé de diviser un carré donné en deux autres.
Si le carré donné est 25, exprimant l’un des carrés cher-
chés par æ?, le second sera 25 — x?, ce qui doit être un
nombre carré. Pour qu’il le soit nécessairement, formez,
dit Diophante, un carré quelconque de la racine du
carré donné, augmentée où diminuée d’un nombre de
fois l’inconnue x, que vous égalerez au précédent
25 — x’. Ce nombre étant arbitraire, supposons - le
égal à 3; on aura, pour la racine du carré fictif, 5—3x,
dont le carré 25 — 30ox + 9x? sera égal à 25 — x.
Ainsi, dans cette équation, 25 peut être retrauché des
deux membres, et il restera seulement

92? — 307 = — x’;

ce qui donne, en divisant le tout par æ, et résolvant
l'équation du premier degré 9x3—30=—x , x —3.
Ainsi , les carrés cherchés seront 9 et 16.

Mais en formant autrement le carré fictif, en pre-
nant, par exemple, pour racine 5— 4x, on aurait
1600
289

De

, 0 A A2
trouvé x — e , dont le carré , ôté de 25, donne
5625

289

pour le second carré demandé. Ce nombre est en

3 | Cr

effet le carré de Æ . Ainsi, voila encore deux nombres

carrés dont la somme est égale à 25; et en poursuivant
de la même manière, on trouverait une foule d’autres
solutions.

AL 45

Diophante est le seul auteur grec sur l'algèbre dont
les écrits nous aient été transmis. Nous savons seulement
que la célèbre Æypathia, fille de Théon, fit un com-
mentaire sur les treize livres de Diophante; mais ce
commentaire a été perdu, ainsi que les sept derniers
livres. Comment les Arabes devinrent-ils possesseurs de
cette science ? C'est ce qu'on ignore. Quelques-uns sup-
posent qu'ils la tenaient des Grecs , et d’autres soutien-
nent qu’ils la doivent aux Indous. Il est certain que les
Bramines avaient quelques connaissances algébriques ;
mais était-ce antérieurement aux Arabes ou postérieu-
rement ? Voilà ce qu’on ne peut préciser. Quoi qu’il en
soit, l’algèbre et son nom ont été transmis à l'Europe,
et particulièrement à l'Espagne par les Arabes ou Sarra-
sins, vers l’an 1100, ou un peu avant.

L'Italie paraît avoir cultivé cette science, après son
introduction en Europe, avant toutes les autres nations;
et Lucas Paciolus où Lucas de Burgo fut un des pre-
miers qui écrivit sur ce sujet : il publia plusieurs traités
d'algèbre en 1470, 1476, 1481, 1487 et 1509. Son
principal ouvrage, intitulé : Summa arithmeticæ et
geometriæ proportionumque et proportionalitatum , fut
publié à Venise en 1494, et réimprimé en 1593. Il Y
fait mention de Leonardus Pisanus, qui parait avoir
vécu au commencement du XIII siècle. Ce Pisanus,
dont le véritable nom est Bonacct, était un marchand
qui exploitait les côtes d'Afrique et du Levant. C’est de
là qu’il avait rapporté l'algèbre; et c’est indubitablement
à lui que l'Italie dut la connaissance de cette science. Il
ne faut pas corifondre Léonard Bonacci avec un autre
Léonard de Pesar, auteur d’un livre intitulé : Liber de-
sideratus. Montucla, dans son histoire des mathémati-
ques, parle de deux autres savans qui auraient précédé
Leonardus Pisanus dans la science algébrique : Paul de
l’Abacco et Belmondo ou Beldomondo de Padoue.
Néanmoins, on connaissait très-peu l’algèbre en Europe
avant les ouvrages de Lucas de Burgo ; et nous voyons,
par ces ouvrages, que la science à cette époque (1500)
ne s’étendait pas au-delà des équations du second de-
gré, dont on tirait seulement les racines positives. On
n’employait encore aucuns signes, excepté quelques
signes d’abréviation des mots. Il ne s'agissait, au reste,
que de la solution de problèmes numériques.

Après Lucas de Burgo, la science fit des progrès sen-
sibles, et se répandit davantage. Elle fut principale-
ment cultivée par le célèbre Jérôme Cardan de Bona-
mia, dont les écrits sur les mathématiques, en neuf
livres, furent imprimés à Milan , où il professait la phy-
sique etles mathématiques, dans l'année 1539. En 1545
Cardan publia un dixième livre, sous le titre d’Arte
magna, contenant la résolution des équations du troi-

sième degré, résolution qui lui avait été révélée en par-

46 AL

tie par Nicolas Tartalea, mais qu'il compléta et dé-
montra.

Cardan est le premier qui ait aperçu la multiplicité
des valeurs de l’inconnue dans les équations , et leur dis-
tinction en positives et négatives. On lui doit en outre
la remarque du cas dit rréductible dans les équations
du troisième degré. Il avoue dans son #rte magna que
la méthode de résoudre les équations cubiques appar-
tient à Scipion Ferrco, de Bologne. Celui-ci cacha pen-
dant long-temps sa découverte, ne l'ayant communi-
quée qu’au seul Antoine Florido, son élève. Ce der-
nier ayant proposé, dans un combat littéraire, à Nicolas
Tartalea quelques problèmes qui conduisaient à des
équations du troisième degré , son adversaire travailla
avec tant de succès qu'il trouva enfin la solution dési-
rée. Tartalea découvrit la règle à Cardan, mais ne lui
communiqua point la démonstration. A force de médi-
tations et de travaux, Cardan découvrit cette démons-
tration, et perfectionna la formule qui a conservé son
nom. Dans l'A#rte magna se trouve encore une autre dé-
couverte bien remarquable : c'est la résolution des équa-
tions du quatrième degré, due à Scipion Ferrari, élève
de Cardan.

Nous ne connaissons de Tartalea ou Tartaglea qu'un
ouvrage publié en 1546 sous le titre : Quesite inven-
zioni diverse. Ce qu'on y trouve de plus remarquable,
c’est la résolution des équations cubiques et le récit des
difficultés qui s’élevèrent à ce sujet entre Cardan et fui.

A la même époque la science algébrique fut cultivée
en Allemagne par Stifelius et Scheubelius. L’ Arithme-
tica imtegra de Stüfelius fut publiée à Nuremberg en
1544, par consèquent une année avant la putlication
del’ Arte magna de Cardan. Ce fut Stifelius et quelques
autres mathématiciens allemands qui inventèrent les si-
gnes +, —, y, pour exprimer plus, moïns et les raci-
nes. Jean Scheubelius écrivit aussi plusieurs ouvrages ;
mais il paraît n'avoir pas connu les équations cubiques,
car il n’en fait aucune mention.

Quelques années après la publication de ces écrits en
Italie et en Allemagne , Robert Recorde, céièbre phy-
sicien du pays de Galles, prouva par ses écrits que l'al-
gèbre n’était pas tout-à-fait inconnue en Angleterre.

La première édition de son arithmétique fut publiée
en 1552, et la seconde en 1557, sous le titre de The
F hetson of svitte. On y trouve l'extraction des racines
des quantités algébriques composées, et l’usage du signe
de l'égalité, =.

En 1558 fut publié à Paris l'ouvrage de Peletarius ,
Jacobi Peletarii cenomant de occulta parte rumero-
rum quam algebram vocant Lib. duo. C’est une com-
position remarquable, dans laquelle toutes les parties
alors connues de l'algèbre sont traitées avec beaucoun

AL

de profondeur. Peletarius découvrit qu'une racine d'nne!
équation est diviseur du terme absolu,

L'Italie nous présente encore Raphaël Bombelli, qu
fit plusieurs désouvertes utiles, et dont l'algèbre parut
en 1579. C’est Bombelli qui reconnut le premier que,
dans le cas irvéductible des équations du troisième de-
gré, la racine est toujours réelle. On lui a attribué la ré-
solution des équations du quatrième degré, quoique le
principe de sa solution soit le mème que celui de Fer-
rari, dont il n’a fait que développer la découverte.

Nous devons encore mentionner Sÿmon Steven, de
Bruges, dans les ouvrages duquel on trouve des amé-
liorations et quelques aperçus nouveaux. Il écrivit en
1585.

Depuis les découvertes de Cardan et de Ferrari, la
science avait fait peu de progrès réels, lorsque la France
vit naître dans son sein Francois Viète, cet illustre
géomètre dont les travaux allaient changer la face de
l'algèbre. Sortant enfin des considérations individuelles,
il envisagea les nombres d’une manière beaucoup plus
générale , et établit l'usage des lettres pour représenter
toutes les quantités connues ou inconnues; ce qui fit
donner à son algèbre le nom de spécieuse, qu’elle a
gardé long-temps, parce que tout y est représenté par
des symboles. Les diverses transformations qu'on peut
faire subir à une équation, pour lui donner une forme
plus commode, sont pour la plupart de l'invention de
Viète. Il en traite dans son livre : De ernendatione
æquationum, et enseigne la méthode d’auginenter, de
diminuer, de multiplier et de diviser les racines d’une
équation. C'est par un artifice semblable qu’il fait dis-
paraître le second terme des équations, opération qui
résout directement celles du second degré et prépare
les autres. Partant de ces considérations, Viète s'élève
jusqu’à la résolution générale des équations de tous les
degrés. Personne avant lui n'avait embrassé un sujet
aussi vaste. Il propose des règles pour trouver les raci-
nes par approximation; et si la méthode qu'il invente
est longue et laborieuse, il ne lui reste pas moins le
mérite d’avoir ouvert la carrière parcourue ensuite avee
tant de succès par Descartes, Newton, Euler et La-
grange. Où doit encore à Viète l’application de l'algèbre
à la géométrie, du moins cette application dont l’objet
est la construction des formules sans employer les coor-
données. Quelques géomètres du XVI siècle avaient, à
la vérité, trouvé plusieurs solutions particulières; mais
comme ils assignaient tous des valeurs numériques aux
lignes données des problèmes , et qu'ils se bornaient à
trouver celles qu'ils cherchaient de cette manière, leurs
solutions étaient privées de cette généralité que la nou-
velle forme que Viète avait donuée à l’algèbre, par l’ad-
option des lettres pour représenter les grandeurs, lui
permettait d'erbrasser. Nous ne devons pas omettre

AL

que la doctrine es sections angulaires doit être mise au
nombre des découvertes de ce grand mathématicien, et
qu'il entrevit la loi que suivent les développemens des
puissances d’un binome; loi trouvée depuis par Newton,
et qui est l’ubjet du fameux théorème connu sous le
nom de binome de Newton. La considération de l'infini
ne fut pas non plus étrangtre à Viète, car on lui doit

la formule remarquable suivante :

VEXVEHVIXVEHVEHVE) X etc... à l'infini,
qui exprime le rapport du carré au cercle circonscrit,
le diamètre étant 1.

Les ouvrages algébriques de Viète furent écrits vers
l'année 1600, mais quelques-uns d’entre eux ne furent
publiés qu'après sa mort en 1603. Le recueil de ses
œuvres complètes compose un volume in-folio, que
François Schooten fit imprimer en 1646.

Albert Gerard, en Flandre, et Harriot, en Angle-
terre, s’illustrèrent au commeucement du XVII° siècle
par d'importantes découvertes. Gérard dans son livre,
Invention nouvelle en algèbre, publié en 1629 , enseigne
à construire géumétriquement les trois racines de l’équa-
tion cubique, su moyen de la trisection de l’angle, et
il les représente par trois cordes inscrites dans le cercle.
I prouve que daus le cas irréductible il ÿ a toujours
trois racines réelles.

Gérard parait être le premier qui se soit occupé des
racines imaginaires, et qui ait découvert qu’une équa-
tion à autant de racines réelles ou imaginaires qu’il v a
d'unités dans l’exposant de la plus haute puissance de
l'inconnue., Il fut également le premier qui montra
l’usage des racines négatives dans les constructions géo-
métriques.

La principale découverte d’'Harriot consiste dans les
lois de la formation des équations de tous les degrés qu’il
montre être le résultat du produit de binomes du pre-
mier degré. De cette formation découle une foule de vé-
rités intéressantes pour l'algèbre, et on ne peut nier que
le géomètre anglais n'ait fait faire un pas immense à la
science , et qu'il n'ait grandement facilité les travaux
de Descartes sur les équations. La résolution numérique
des équations de tous les degrés fut aussi considérable-
ment perfectionnée par Harriot, Les signes > et
pour désigner plus grand et plus petit, sont de son an-
vention. Ses ouvrages furent publiés en 1631 par son
ami Waruer.

Avant de quitter ces premiers fondateurs de l’al-
gebre, nous ne devons pas oublier de mentionner
Ougtred, dont les ouvrages ont été pendant quelque
temps regardés comme classiques dans les universités
eoglaises. Il écrivit le premier les fractions décimales
fans leurs dénominateurs, comme on le fait actuelle-

AL 47

ment, ét introduisit le signe X pour exprimer la mul-
tiplication.

Pendant la longue période que nous venons de par-
courir, nous avons vu presque tous les efforts des géo- *
mètres tournés vers les équations, et l’histoire de!
l'algèbre se borne au récit de leurs travaux, plus ou
moins heureux, sur cette partie de la science, impor-
tante à la vérité, mais qui est loin de la renfermer tout
entière. Ce n’est qu'à partir des découvertes de Viète.
et de Harriot que ses autres parties sont cultivées avec
succès, et il nous devient impossible de continuer cette
revue biographique d’auteurs, liée si intimement aux
premiers progrès de l'algèbre. Désormais les décou-
vertes se pressent et se succcèdent avec rapidité; d’im-
menses matériaux s'accumulent ; le cercle jadis si borné
de la science des nombres s'étend de la manière la plus
vaste et la plus inattendue; les phénomènes de la na-
ture sont soumis à ses lois, et la création devient tri-
butaire de ses caïculs. Le XVII® siècle nous apparaît
brillant entre tous les siècles; avec lui les Descartes,
les Fermat, les Waillis, les Galilée, les Kepler, les
Newton, les Leibnitz, les Bernouilli, et tant d'autres
non moins illustres, s’élancent dans la carrière. Une
découverte ingénieuse, celle des logarithmes, salue son
aurore; une découverte admirable, celle du calcul dif-
férentiel, couronne son déclin. Héxitier de tant de
gloire, le XVIIT® siècle enrichit encore le vaste domaine
qui lui est transmis : Moivre, Stirling, Cotes, Lambert,
Waring, Maclaurin, Maupertuis, d'Alembert, La-
grange, Laplace et surtout Euler, développent et per-
fectionnent successivement toutes les branches de la
science; mais les limites qui nous sont fixées dans ce
dictionnaire nous forcent à renvoyer aux articles qui
concernent en particulier chacun de ces hommes célèbres
le récit de leurs travaux. Nous allons aborder la science
elle-même que des investigations plus modernes ont
enfin complétée.

1. Les nombres peuvent être envisagés sous deux
points de vue différens : celui de leur construction ou
génération, et celui de leur relation réciproque ou
comparaison. Il en résulte deux subdivisions géné-
rales pour la science de leurs lois, qui se partage
ainsi en deux branches, dont la première a pour objet
les lois de la construction des diverses espèces de nom-
bres, et la seconde, les lois de fa comparaison de ces
nombres. Établissons d’abord en quoi consiste la con-
struction des nombres.

2. Nous n'avons ja conception primitive que du seul
nombre un, car nos perceptions ne nous offrent que
des individus, et si nous formons des collections d'objets
c'est par la force synthétique de notre entendément
qui nous fait réunir plusieurs perceptions en une seule
perception générale ou conception; ainsi deux percep-

48 AL

tions d'un même objet ou d'objets semblables nous
donnent la conception du nombre deux et par suite
celle des nombres 3, 4, 5, G, etc. Les nombres se pré-
sentent donc d’abord à l'intelligence comme de simples
agrégats d'unités, et le premier mode de construction
qu’elle peut embrasser est de continuer indéfiniment
cette agrégation d’unités, pour s'élever successivement
à des nombres de plus en plus grands, depuis l'unité
primitive jusqu’à l’évfint, qui n’est lui-même que l'unité
totale. Nous avons, dans les NorTioOns PRÉLIMINAIRES,

assigné à ce mode de construction la forme générale
a+b=ce.

a et b exprimant des quantités quelconques d'unités et
c le nombre formé par la réunion ou la somme de ces
unités.

Si nous étions bornés à ce mode primitif de construc-
tion, toute la science se réduirait évidemment à /’addi-
tion et à la soustraction, qui n’en est que la considéra-
tion inverse, et nous ne connaitrions d’autres nombres
que 1es nombres entiers ; mais ces nombres étant une
fois construits, l’entendement s'en empare, y applique
ses facultés diverses, et s'élève à de nouveaux modes de
constructions qui nous font successivement connaitre
d'autres espèces de nombres soumis à de nouvelles con-
sidérations. C’est ainsi que du mode primitif a + b —c,
nous parvenons au mode intermédiaire «a X b=ce,et

enfin au mode final a — €.

Ces trois modes de construction des nombres étant,
comme nous le verrons plus loin, les seuls possibles,
c'est d'eux que nous devons déduire la nature particu-
lière de toutes les espèces de nombres, ainsi que les lois
générales qui les régissent; reprenons donc les trois
formes

a: bb= ca bc;

= C

et généralisons ce que nous avons exposé dans les no-
tions préliminaires.

La prenuère forme a + b = c ne peut, comme nous
l'avons déjà dit, nous faire connaître que les nombres
entiers : la conception du nombre £ étant dans tous les
cas celle d’un agrégat d'unités tant que à et b sont eux-
mêmes de tels agrégats : mais l'égalité a + b = c nous
donnant nécessairement l'égalité inverse © — a — b,
cette dernière devient, à son tour, susceptible d’être con-
sidérée dans toute sa généralité, indépendamment des
valeurs particulières de e et de à, et doit toujours nous
donner la construction du nombre b, quels que soient
act c. Or il se présente un cas remarquable dans cette
construction, c'est celui où, dans l'expression générale
c—a—b;onac# a,etouil est conséquemment im-

possible de retrancher a de ce, Dans ce cas supposons que

AL

l'excès de a sur c soit d ou que l'on ait a — c + d;
alors ce — a deviendra

c—c—d

puisqu'il est évident que pour retrancher a de c il faut
retrancher les deux quantités « et d qui lui équivalent,

et l’on aura, € — c se détruisant,
c—c—d=—4

L'idée que nous pouvons attacher au nombre d, pré-
cédé ainsi du signe —, est celle d’une quantité ayant
une fonction de diminution, car partout où elle entrera
elle opérera une soustraction. Nous sommes donc ame-
nés à reconnaître dans les nombres, indépendamment
de leurs grandeurs, une qualité d'augmentation et de
diminution, et c’est ce qu'on appelle état positif ou
négatif d'un nombre. Nous désignerons donc, selon
l'usage , par le nom de nombre positif tout nombre qui
a une fonction d'augmentation, et par celui de nombre
négatif, tout nombre qui a une fonction de diminution.

3. Il est important de remarquer que l’état positif ou
négatif d’un nombre n’exerce aucune influence sur la
grandeur de ce nombre considéré isolément, mais
qu’elle influe d’une manière majeure sur celle du résul-
tat des opérations d’addition ou de soustraction dans
lesquelles il peut entrer. En effet, si nous désignons
toute quantité positive par (+ A), et toute quantité
négative par (— B), l'addition de ces quantités sera
exprimée par

GA) + (+8)

ou par A —B,en ne considérant que la grandeur des
nombres A et B, puisque la fonction de diminution du
nombre (— B ) lui fait opérer une soustraction partout
où il peut être placé. Quant au résultat de l'opération,
il sera positif si l’on a À > B et négatif si l’on a À < B.
C'est ainsi, pour donner un exemple de cas parti-

culiers , qu’on trouve :

CAUSE Lt)
D Co

Si le nombre auquel on ajoute un autre nombre

7—4=(+3)
a er os D

Î

était lui-même négatif, il entrerait également dans l'o-
pération avec sa fonction de diminution, {l est donc fa

cile de voir qu’on aurait aussi

SRE dt D) CE
(9) FES Tai).

Nous conclurons donc que, lorsque les quantités qu’on

I

]

additionne sont toutes deux positives, ou toutes deux né-
gatives, le résultat est égal, en grandeur, à la somme de
ces deux quantités, mais positif dans le premier cas et
négatif dans le second ; que, lorsque ces quantités sont

AL
de natures différentes, le résultat est égal à leur diffé-
rence ; et de même nature que la plus grande.

4. La soustraction opérée à l’aide des mêmes quantités
(+A),(—B), sera exprimée par

(es 20 Re

ou simplement par À + B, car il faut considérer que B
ayant une fonction de diminution, diminuerait (+ A)
s’il lui était ajouté; il doit donc opérer un effet con-
traire, lui étant soustrait. L'opération de la soustraction
est donc ici artificielle; et soustraire un nombre est la
même chose que l’ajouter en changeant le signe de sa
qualité. Nous aurons, par la même raison,

(—A)—(—B)=—A+8B.

D'où nous tirerons les exemples particuliers suivans,
qui embrassent tous les cas de la soustraction :

(HB)—C+4) = 8—4=(+ 4)
(+8)—(—4) 8+4—(+12)
E—8)—(+4) = —8—{=(— 12)
(—8)—(—4) = —8+{=(— 4)

5. Les anciens mathématiciens commençaient leurs ou-

Il

I

vrages élémentaires par l'exposition de certaines propo-
sitions nommées axiomes, sur lesquelles ils établissaient
successivement leurs théorèmes, en suivant une marche
progressive ou synthétique.

Ces axiomes sont des propositions évidentes par elles-
mêmes, et dont la certitude , fondée sur le principe lo-
gique de contradiction ( principium contradictionis et
identitatis), ne peut admettre aucune discussion. Tels
sont :

1°. Deux quantités égales à une troisième sont égales
entre elles.

2°. Le tout est plus grand qu’une de ses parties,

3°. Lorsque deux quantités sont égales, si l’on aug-
mente ou si l’on diminue chacune d'elles de la même
manière , les résultats sont égaux,

Dans une égalité quelconque MN, les quantités
M et N se nomment les #2embres ; particulièrement M
le premier membre, et N le second. En leur appliquant
le troisième axiome ci-dessus, on peut encore le généra-
liser de la manière suivante :

Quelles que soient les opérations qu'on puisse exécu-
ter sur le premier membre M de l'égalité M =N, si l’on
fait subir les mémes operations au second membre N,
des deux résultats seront égaux.

Nous avions besoin de poser cette proposition évi-
dente pour ce qui va suivre.

6. Jusqu'ici nous avons considéré chaque nombre
comme formé seulement par l'addition de deux autres ;
mais il est facile d'étendre ce que nous venons de dire ;

AL 49

car , si nOus avons une suite de nombres construits de ja
manière suivante :

a+b=e, c+d=e, FT £, g+h—i, ik, etc. ,

nous obtenons immédiatement la forme générale :

a+b+dLf+h+LKL etc... =M.
D'où nous pouvons conclure qu'un nombre peut être
formé par l'addition d’une quantité quelconque d’au-

tres nombres. Lorsque tous les nombres composans sont
égaux , ou lorsqu'on à

a+a+tatabat+ec..…. =e,

e désignant la scmme, la construction de e devient ré-
gulière, et s’exprime par «a X b—c. b désignant la
quantité des nombres a (Norioxs pRÉLIM. , 3).

La génération du nombre c, obtenu de cette manière
à l’aide des deux nombres & et b, diffère essentielle-
ment de la génération primitive que nous venons d’exa-
miner, et constitue conséquemment un nouveau mode
de construction des nombres.

7. Nous devons d’abord remarquer que, quelque
différentes que puissent être les idées qu’on attache aux
fonctions des nombres a et b dans la génération axX b=e
du nombre ec, ces deux nombres entrent de la même

manière dans cette génération , c'est-à-dire qu’on a
ab ba:

En effet, a X b, ou, pour mieux fixer les idées, 4 X 3
désigne 4 +4 +4; mais 41 +114: ainsi,

4 X 3 est la même que la somme des unités

1Hitrt+i
1+i+itki
1+i+ibi.

Or, de quelque manière qu'on opère l'addition de ces
unités , soit en les comptant par tranches horizontales ,
soit en les comptant par tranches verticales, on obtieu-
dra nécessairement le mênie résultat, Mas de la pre-
mière manière on à 3 fois 4 unités, et de la seconde
4 fois 3 unités; donc

1X3=3X4.

Il est facile d'étendre cette démonstration aux nom-
bres quelconques d'unités a et b.

8. Ce mode de construction a , comme le précédent,
sa branche directe et sa branche inverse. La branche di-
recte constitue l'opération de Ja multiplication que nous
venons de déduire; la branche inverse, celle de la divi-
sion dont la forme générale est

= = b,
a

Avant d'examiner plus particulièrement Jes nombres

:0 AL

qui peuvent être construits par ces nouvelles opérations,
il est important de considérer l'influence que peut exer-
cer sur la nature de leurs résultats l’état positif ou né-
gatif des nombres sur lesquels on opère.

9. La grandeur d’un produit ne recoit aucun change-
ment de la qualité particulière de ses facteurs. Quant à
sa qualité, il se présente trois cas pour la déterminer :
1° les deux facteurs sont positifs; 2° les deux f cteurs
sont négatifs; et 3° l’un des facteurs est positif, et l'autre
négatif.

Lorsque les deux facteurs sont positifs, le produit est
positif; car (+ A) X(+B) est la même chose que
(+A)+(+A)H(+A)+etc., dont la somme est
nécessairement positive.

Lorsque les deux facteurs sont négatifs, le produit est
encore positif, car (— A) X(—B) désigne que la
quantité (— À ) est ajoutée négativement B fois à elle-
même, ce qui est la même chose que (4)

—(—A)—(—A)—(—A)—(—A)— etc...
Or, nous savons (4) que—{(—A)= + À ; ainsi, l’ex-
pression (a) est la même chose que

HA+LAHAHE AL AE A —Hetc.……,
dont la somme est positive.
Lorsqu'un des facteurs est négatif et l'autre positif,
le produit est négatif; car (—A) X (+B) est l'ex-
pression abrégée de

(—A)+(—A)+(—A)+(—A)+ etc,
ce qui revient (3) à
A AAA SEA GÉANT AN EE À à

dont la somme est évidemment négative.

Si au lieu d’avoir (— A) X (+ B) on avait (+ À) X
(—3B), le produit serait encore négatif, puisque (4A) X
(—E)=(—B)X (HA).

La règle générale est donc celle-ci: Le produit est po-
sitif lorsque ses deux facteurs ont le méme signe ; et il
est négatif lorsqu'ils ont des signes différens.

10. Dans opération de la division il se présente éga-
lement trois cas différens pour déterminer la qualité du
quotient à l’aide des qualités du diviseur et du divi-
dende, savoir :

1°. Le diviseur et le dividende sont positifs; et alors

.le quotient est aussi positif; car dans l'égalité géné-
rale

c devant être produit par la multiplication des facteurs
aet b, il faut que ces facteurs soient tous deux positifs
‘ou tous deux négatifs, pour que a puisse être positif.
Ainsi, dans le présent cas & étant positif, b est épale-
ment positif.

2°. Le dividende est positif, et le diviseur négatif;

AL

alors, par la même raison que ci-dessus, le quotient est
négatif. Si le dividende était négatif et le diviseur po-
sitif, il est facile de voir que le quotient serait encore
négatif.

3°. Enfin le dividende et le diviseur sont tous deux
négatif ; dans ce cas, le diviseur est nécessairement po-
sitif, puisqu'il faut que les facteurs aient dés signés dif.
férens pour que le produit soit négatif.

La règle générale est donc la même que celle de la
multiplication ; c'est-à-dire que Le résultat de la division
est positif lorsque les nombres sur lesquels on opère sont
tous deux de même signe, et qu'il est négatif lorsque ces
nombres ont des signes différens.

11. La formation d’un nombre entier au moyen de
facteurs suppose l'existence de certains nombres entiers
qui ne peuvent être décomposés en facteurs; car, si
dans la génération générale A X BC, on pouvait
considérer dans tous les cas l’un des nombres À comme
formé aussi par le produit de deux autres nombres A",
B', et successivement A’ comme résultant du produit
de A” par B”, etc., etc. Les nombres A, A’, A" etc.,
B,B',B",etc. devenant de plus en plus petits, on
pourrait continuer cette décomposition jusqu’à ce que
les derniers facteurs fussent égaux à l’unité. Mais 1 X 1
ne donne jamais que 1 : on ne peut donc admettre gé-
néralement une telle décomposition; et il existe néces-
sairement des nombres entiers qui ne peuvent être for-
més par le produit d’autres nombres entiers.

Ces nombres se nomment nombres premiers. Tels
sont2,3,5,7,11,13, 17, etc., dans la suite des nom-
bres naturels 1,2, 3,4,5,6, etc. Tous les autres peu-
vent être formés par leurs produits.

Ainsi, dans l'expression À X B—C si l’on suppose
A formé par le produit de deux nombres premiers a et
b; et B par celui des nombres premiers c et d, le nom-
bre C sera le produit des quatre nombres 4,b,c, d,et
l’on aura

a.b.c.d = C.

Le moyen d'opérer cette décomposition d’un nombre
en ses facteurs premiers west point ici notre objet
(voyez Facteurs) : nous nous contenterons d'observer
que, quel que soit l’ordre des facteurs, le produit est
toujours le même, et qu'on à

a.b.e.d = a.c.d.b = b.c.da = êtc ;

ce qui est la conséquence de la propriété a.b = b.a. (7)
19. La construction des nombres par la division gé-

nérale

= À

B
présente un cas particulier remarquable : c'est celui où
le nombre B contient des facteurs premiers qui ne se
trouvent pas dans G, Par exemple, soit C composé

AL

(des eux facteurs premiers «&, b, et B composé des deux
facteurs premiers 4.d, on aura

C__a.b

B a.d'
Or, si l’on avait simplement 4.b à diviser par a, le quo-

tient serait évidemment égal à b. Mais, au lieu de divi-
: b
ser par a il faut diviser par a.d. Ce quotient est donc Tr
[4
Les deux nombres b et d étant des nombres premiers,
la division de b par d est impossible; car on ne peut
avoir b = d X m, puisque b est indécomposable en fac-
teurs. Donc la division de C par B, qui se réduit à celle
de b par d n’est pas possible. 11 en serait encore de
même si les nombres C et B étaient prerniers entre eut,
c’est-à-dire s'ils n'avaient aucuns facteurs communs.

Cependant, le nombre À qui répond au quotient L’
devant toujours être obtenu, quels que soient Get B,
nous sommes conduits à reconnaitre l'existence d’une
autre espèce de nombre que celle des nombres entiers,
dont nous nous sommes occupés jusqu'ici. En effet , sup-

posons C— 3, B—2, nous aurons
3 3
SC nigar
La valeur de À est donc plus grande que 1, et plus pe-

üte que 2, et n’est point par conséquent un nombre en-
tier.

Ces nombres nouveaux, dont la division vient de
nous donner la génération, se nomment Fracriows. fl
en existe une infinité dont les grandeurs sont entre o et
1,1et%,2et53, etc. Dans l'arithmétique, on ne nomme
proprement fractnns que ceux de ces nombres compris
entre oetr, c'est-h-dire dans lesquels on a B>> C; les
autres se nomment zombres fractionnaires, parce qu’en
effectuant la division autant qu’elle est possible on peut
toujours les réduire à une fraction. ?, par exemple, est
la même chose que 1 ++. Quoi qu'il en soit, nous dési-
guerons sous le nom de fraction tous les nombres de la
ÿ
B
tient un nombre entier. .

forme lorsque là division ne peut donner pour quo-

La manière d’énoncer les fractions dérive de l’opéra-
tion qui les fait naître. Ainsi, pour énoncer la fraction Z,
on dira la huitième partie de sept ; pour énoncer la frac-
tion #©, on dira la quatrième partie de onze, etc. Dans
l'arithmétique, comme on ne nomme fractions que
celles de ces quantités qui sont plus petites que l'unité,
on Îles considère comme des parties de l’unité ; et au lieu
de dire, par exemple, la troisième partie de deux pour
énoncer la fraction à, on dit deux troisièmes où deux
tiers. On suppose alors que l'unité est divisée en trois
parties, et que ; représente deux de ces parties, Par la

AL 51

même raison, pour la fraction ?, qu’on énonce en di4
sant sept neuvièmes, on suppose que l'unité est divisée
en neuf parties, et que la fraction en contient sepe.
Ainsi de même pour tous les autres cas. On donne en

général le nom de aumérateur au dividende, et celui de

y à 1 re . cv
dénominateur au diviseur. Ainsi, dans la fraction —

bÈ
a est le uumérateur et b le dénominateur. a et b se
nomment encore les deux termes de la fraction.

13. Il résulte immédiatement de la construction des
fractions : 1° qu'on les multiplie en multipliant leurs nu-

mérateurs ou en divisant leurs dénominateurs. En ef-

PE _. ; Ua
fet, si lon multiplie le numérateur à d’une fraction —

b

r b ] Île devient 27; or, 1
pa un nomDre que conque mn, elle devient 9 or, e

dividende devenant »2 fois plus grand, doit contenir #4
fois davantage le diviseur. De même, en divisant le

, : : . a
dénominateur D par #2, la fraction devient -—— , et le

b:m
diviseur étant 72 fois plus petit doit être contenu 7» fois
davantage dans le dividende. On a donc

am a

Bb TT bim
2°. Qu'on divise une fraction en divisant son numéra-
teur ou en multipliant son dénominateur. Car, dans le
premier cas, en nous servant des mêmes nombres que

. . Var
ci-dessus, la fraction devient gr ct dans le second,

a “ À : à
in 91» lorsque le dividende devient 2 fois plus peti
D,.712

par la division , il contient »2 fois moins le diviseur; et
lorsque le diviseur devient 2 fois plus grand par la mul-
tiphcation , il est également contenu 72 fois moins dans
le-dividende, On a donc aussi

: 1712 «a

bn

3°. Qu'une fraction ne change pas de valeur lorsqu'on

multiplie ou qu'on divise ses deux termes par le même

nombre. Effectivement, dans le premier cas la fraction
am

devenant -—-
b.m

, le dividende et le diviseur deviennent
tous deux 2 fois plus grands qu’ils n'étaient ; le premier
ne peut donc contenir le second qu’autant de fois qu'il
le contenait avant la multiplication; c’est-à-dire que la
fraction conserve la même valeur; dans Je second cas,
nr

! a:
la fraction devenant ———

B , le dividende et le diviseur
:m

deviennent tous deux 2 fois plus petits; et, conséquem-
ment, le second ne peut être contenu dans le premier
que le même nombre de fois qu'il l'était avant la divi-

am aim

ont donc Ja
bn b;m?

sion. Les deux expressions

même valeur,

58

AL

4. A suit des propriétés précédentes que si les deux

termes d’une fraction avaient un facteur commun, on

pourrait le retrancher sans changer la valeur de la frac-

tion. Soit, par exemple, la fraction G’ dans laquelle A

— ap, et B— bp, où aura
A __ ap «&
B bp ep

en supprimant le facteur commun p.

Lorsque les deux termes d’une fraction n’ont aucun
facteur commun , elle est dite #rréductible où à sa plus
simple expression.

15. On peut exécuter sur les fractions les quatre opé-
rations qui nous ont été données par les deux premiers
l'addition,
la soustraction , la multiplication et la division.

modes de construction des nombres, savoir :

Les deux premières opérations ne peuvent s’exécuter
immédiatement que lorsque les fractions sur lesquelles
on veut opérer ont le même dénominateur ; mais il est
toujours possible de ramener les autres cas à celui-ci,
par la propriété que possèdent ces nombres de pouvoir
changer de forme sans FR de valeur. Par exemple,

si l’on à plusieurs fractions © : ; On peut aisé-

b? . F
ment les transformer en d’autres fractions qui leur soient
respectivement égales , et qui de plus aient le même dé-
pour cela, que multiplier les

nominateur; il ne faut,

deux termes de chaque fraction par les dénominateurs

de toutes les autres, et alors elles deviennent

g.b.d.f

af h cbfh
Bd fh LfA

e.b.d.h
arr
Or, ces fractions ont le même dénominateur , puisqu'on
ab.dfh = db.fih = fb.dh = hb.df (5); et elles
sont égales aux proposées, puisqu'elles ont été formées
en multipliant les deux termes de chacune de ces pre-

mières par un même nombre (13).

À l’aide de cette préparation, qu’on nomme réduc-
tion au mème dénominateur, Yaddition des fractions ne
présente aucune difficulté : il suffit d’additionner les
numérateurs et de donner à leur somme le dénomina-

teur commun. /’oy. Abpirion des fractions.

16. La soustraction des fractions s'exécute en prenant
la différence des numérateurs et en donnant à cette dif-

férence le dénominateur commun. Par exemple, pour

3 9
retrancher — de _ on retranche 3 de 0, et on donne
: c

xx

au reste 6 le dénominateur commun 113 on a ainsi

9 3 298 1:16

11 TIR NOTE DUrT.

Les raisons de cette règle sont les mêmes que celles
de l'addition.

 É

On a donc en général

Siles fractions ont des dénominateurs différens , on
commence par les réduire au même dénominateur , et
on opère ensuite comme ci-dessus, Ainsi, pour les deux

fractions géné srales + £ Sp on obtient
a cad cb _a.d—c.b
bd bd bd b.d

17. Pour multiplier une fraction par une autre frac-

tion , il faut mulüplier les deux numérateurs l’un par

l'autre et les deux dénominateurs l’un par l’autre; le

premier produit est le numérateur du résultat, et le se-

ET LUC
C'est-à-dire que + X —

b d est

cond est son dénomivateur.

égal à à TT

eva
En effet, en multipliant -

3 seulement par €, on ob-

5 ;
duit est d fois plus grand que celui qu’on demande,

tient, d’après ce qui a été dit (13), mais ce pro-

eee _. ©
puisqu'il s’agit de multiplier par gp Ctnon pas parc,

et que D est d fois plus petit que c; il faut donc rendre

Te d'fois plus petit; et pour cela il sufit de multiplier

son dénominateur par d (13), le résultat 2° 5 Ta est donc le
à , a ,c

véritable produit de 5 x .

On trouverait par suite que

a CE lguiN=ndiGre-prelce
b X d X FX h SE b.d.f.h,etc.

18.La division des fractions se change en multiplication
en renversant l'ordre des termes de la fraction diviseur;

d

a. : a
-à-dire que 3: st la même chose que 3 X:=
ce

c’est Le
b D
a.d 7, ; :
PRES On peut trouver aisément les raisons de cette rè-
.C

gle; mais nous en allons donner une démonstration qui

sera en même temps un exemple du mécanisme de l’al-
s 1 : » 2
gèbre. Désignons le quotient cherché par -, æety

étant des nombres inconnus qu'il s’agit de déterminer,

et nous aurons

ROSES

bd y

: CL. a
Mais alors get étant les facteurs de Gr nous de-
c Y
vons avoir

a Cox

1 —aXÿ

AL
ce qui donne, d'après les règles de la multiplication,
| | ace
b dy
Or, multipliant ces deux quantités égales par 4, l'é-
galité ne sera pas détruite et deviendra

ad" °cir
Brnonpr?
et, divisant actuellement par c, on obtiendra
Ta
CO _Y
TG C 4 chauds... a.d
Mais ÿ Fa donc D JE où Ainsi, comme ee
est la même chose que ne il en résulte la règle

énoncée.
19. Si nous concevons une suite de nombres construits
à l’aide du second mode de génération, de la manière

suivante :
AXB=C, CXD=E, EXF=H ; etc. etc... LXM=N;
en introduisant les facteurs de C dans la seconde éga-

lité, ceux de E dans la troisième, et ainsi de suite de
proche en proche jusqu’à la dernière, nous obtiendrons

AB ICDICE NH etc NN;

expression qui nous apprend qu’un nombre peut être
construit par une quantité quelconque de facteurs ; ce
que nous pouvions déja conclure de ce qui précède.
Cette expression ne nous présente donc aucune consi-
dération nouvelle tant que les nombres A, B, D, F, etc.
sont différens les uns des autres ; mais, lorsque tous ces
facteurs sont égaux , la génération de leur produit, que
nous désignerons par C, devient

AUDE ANOAC ASC Are. = GC;

et s'exprime d’une manière entièrement déterminée par

la forme générale

AB CG:
B placé ainsi au-dessus de A désignant le nombre des
facteurs A. ( Foy. Norioxs PRÉLIM. 8.)

Cette génération d’un nombre C, au moyen de deux
autres nombres À et B, est évidemment différente de
celles qui résultent des deux premiers modes généraux
de construction des nombres : AHB—=C,AXB—C;
elle constitue donc un mode nouveau dont l'examen va
nous faire connaître de nouvelles opérations et de nou-

velles espèces de nombres.
R
Sa branche inverse s'exprime par vC = À.

20. On nomme en général quantités exponentielles
les quantités dont la forme est Am, Ba, etc. Comme les
diverses transformations dont elles sont susceptibles for-
ment une partie impostauie de Ja gamstruction des nom-

AL 53

bres , nous allons donner la déduction de leurs proprié-
tés principales.

Le produit de deux puissances Am, Br, dont les
bases sont inégales, ne peut s'exprimer différemment
de celui de deux nombres quelconques ; mais lorsque
les bases sont égales, on a

Am X An — Am+n,
puisque le nombre des facteurs A est alors 72 + n.

Par la même raison,
Am An X AP X Ag X Ar Xetc. —Am+n+p+q+r+etc.

21. La puissance m2 d'un produit a. b. c. d. e. etc.
peut s'exprimer indifféremment par (a.b.c.d.e.etc.)"
et par am.bm,cm.dm.em, etc. C’est encore un résultat

immédiat de la construction des puissances.
: : . a ,
22. La puissance 72 d’une fraction quelconque 5° ob-

tient en prenant les puissances du même degré de ses
deux termes; c’est-à-dire qu’on a

NM: 47
b) br”
En effet, on a cette suite d’identités :

a.a.a .. etc. am

a\mn a a a
() mt AT Li Li) + x M7 à

; q
23. Le quotient de deux puissances quelconques R?

s'exprime par A9—*, C’est une conséquence directe de
la propriété 20 ; car , de l'égalité
AM An — Am+n

6 AM+NR :
on tire Am — re Faisons m+ n—g, on aura m—
qg—n, et par conséquent
Ag
= en
= Ag—n,

24. Il résulte plusieurs conséquences importantes de
cette dernière expression.
1°. Si les exposans g et x sont égaux, on a A9: AI —
. Ag :
A9—9— A0; mais TE donc A9 — 1. La puissance

zéro d’une quantité quelconque est donc égale à l'unité.
o°, Si dans la même expression on fait g —0, elle

devient

Ainsi, une puissance dont l’exposant est négatif est égale
à l'unité divisée par cette même puissance, en faisant
l’exposant positif.

5. Le produit et le quotient de deux puissances à
exposans négatifs suit donc les mêmes lois que dans le

cas des exposans positif; et l'on a

A—m
A—m > 4 AR = A—m-n , AR —= A—ma#n ;

#4 AL

car Am = =:

ainsi, Am x An — xx X = je CD)
Or, Re = AT

de même, _ = 5 ; DT = An—m (16).

26. On élève une quantité exponentielle à une puis-
sance quelconque en multipliant son exposant par celui
de cette puissance; c'est-à-dire que (Am)n — Ant,

L'expression (An désigne le produit Am X A" X
Am Am X etc... n étant le nombre des facteurs At;
mais ce produit se réduit à Am+mHmr ele, ou à Am,
puisque »+m-m+ etc. = mn.

La puissance { d’un produit Am. Ba. Cp. D4. etc.
s'exprimera donc indifféremment par (A7, Br. Cr. D.
etc. } ou par Amt, Bnf. Ci. etc.

n
27. La racine n d'une quantité A% ou V/An est égale
mn

à Al; car, soit » = ph, nous avons

n n, L,
V/Am = VA = \/(Ar)n.
" n n
Mais, en général, V/X2 —X; donc, V/Am = AP —
m
A% , puisque l'égalité m=pn nous donne p =.

Cette déduction suppose que »2 est divisible par n»,
ou que p est un nombre entier; seul cas dans lequel on
peut prendre exactement Ja racine. Lorsque cela n’a pas
lieu, on conserve néanmoins la notation

ñn ui

V/An — A",
qui nous donne la signification d’une puissance à expo-
sant fractionnaire.

28. Les quantités dont la forme générale est ve se
nomment quantités radicales Jorsqu’on les considère
dans toute leur généralité. Il se présente un cas remar-
quable dans cette construction des nombres, c’est celui
où il n’existe aucun nombre entier A capable de don-

ner légalité.
B

VC = A.
Par exemple, la racine carrée de 5 est plus grande
que 2, puisque 2’ — 4; et cependant elle est plus pe-
tite que 3, puisque 3 — 9; la valeur du nombre y5
est donc entre 2 et 3. Or, il n'existe aucun nombre
fractionnaire qui puisse répondre à cette valeur; car,

; ; ns a
s’il pouvait s’en trouver un, en le désignant par Fo 08

RAT ALAN Gi = * te
aurait (5) = ÿ étant une fraction, la division

AL

de 4 par à n'est pas possible ; et conséquemment, non
plus celle de a X a par b X b( Voy. Tnéonte pes now-

æ
b?

gres), - ne peut donc être un nombre entier; ct l’éga-

lité . —=

nombre entier ni un nombre fractionnaire, et fuit con-

5 ne peut être admise. Ainsi, y/5 n’est ni un

séquemment partie d’une nouvelle espèce de nombres.

Ces nombres nouveaux se nomment nombres 1rra-
tionnels , parce que leurs rapports avec l'unité ne peu-
vent être assignés exactement. 7’oy. Nompres IRRATION-
NELS.

29. Le produit de deux nombres irrationnels du
même degré, ou eu général de deux quantités radicales

m m m
VA et VB peut s'exprimer par V/AB. :

En effet, soient VA = x'et VB = y, on aura Aussi
Am et B= y", et par suite AB — x ym; mais (21)
am.ym = (x.y)", ainsi AB = (xyÿ". Prenant la racine
m , cette dernière égalité devient

VAR 2 où VABZ A X (78!

On aurait aussi

VA X VB X VC XV/D.etc. =V/(A.B.C.D. etc.).

30. On peut toujours ramener au même degré, sañs
changer leurs valeurs, les quantités radicales de degrés

m n
différens. Par exemple, VA et V/B étant la même

I 3

chose que A, B* (27), en réduisant les deux fractions

1 ; : 3 ;
=, —, au même dénominateur (15), elles deviennent
n

nt

= Le t les tité oposées sont identi
3 uantités proposées sont identique-
mn mn” { Proc T

Hs us mn mn

ment les mêmes que A7, B"*, ou que V/A#, V/Bm.
Donc,

mn, mn

VA KXVB= Van X V'Bn = V/ArEn.
31. On a, par les mêmes raisons,

Van x V/Ba = VA X \/ Bmg — = V/A7r.Ena.

Si dans cette expression on suppose AB, elle de-
vient (a)
VA Fm.

(an X VAI —

7
Mais Van = A, V/AG 2 AP, VRP = ASE,

étant évidemment la somme

Or, la A PA
mp

des deux fractions + ; # l'égalité (a) est la même

AL

chose que
k 13 ie
Am A9— Am 9-
Ainsi, la règle donnée (20 et 25) pour les exposans

enticrs, positifs et négatifs, s'étend aux cas des expo-
sans fractionnaires positifs.

32. Le quotient de la division d’une quantité radi-

m m
cale V/À par une autre quantité radicale VB, du même

m
, z À :
degré; s'exprime par Ur Pour le démontrer, sup-

m

m
posons vA = x et vB = y; alors nous aurons

am
B ya

, am PAUL À PAUL
Mais Ga) 2) , donc ñ =(*) É

Prenant la racine #1 des deux membres de cétte der-
nière égalité, elle devient

A=œm, B—ym et

m m ,— ne
ya A _VA
By ou BE ="

33. Lorsque les quantités radicales sont de degrés dif-
férens, on les ramène d’abord au même degré comme
ci-dessus (50), et l’on obtient sans difficulté,

m mit mn mn

vA c VB 1/4 ny V/B" — V/An : Bm,
m ñ ui mn
VA» : v/B4 =

VAN: V/Bma= Van : Bmg.
34. Faisant À —B dans la dernière de ces expres-
sions, elle devient

VA» à \/A = VAT =.

où, identiquement , (b)

LRU LE
AM: AN — AM n°
La règle du numéro 23 s'étend donc aussi au cas des ex-
posans fractionnaires.

35. Si dans légalité (b) on fait P. = 0, elle devient

I
q=AÀ
Aù

Ainsi. les puissances à exposans fractionnatres négatifs

ont la même signification que les puissances à exposaus

entiers négatifs (24).

Test facile de conclure, de cette dernière proposi-
tion, en suivant la marche du numéro 25, que les rè-
gles de Ja muluplication et de la division des puissances
d’une même bas? embrassent le cas des exposans frac-

tionnaires négatifs; c'est-à-dire que, quels que soient

AL 55

les éxposans 7 ét n entiers où fractionnaires , positifs ou
négatifs, on à généralement

An
Am X An AMEN etes Amen,

n n
36. La puissance mr d’une quantité V/A, où (VA,
m 125
est la même chose que VAn, et la racine m de cette
hm,n mn
même quantité, où 1/{V/A), est égale a V/A.
n n nn,
En effet (Am exprime le produit vA x VA S'é

n
VA. etc. , 27 étant le nombre des facteurs, Or, ce
produit peut se mettre sous la forme

n nl
VA X A X AK A...ete.) ou V/Am.
Quant à la racine +, si nous supposons l'égalité
m ñn x
V(VA)= VA;
nous obticndrons d'abord, en élevant les deux mem-
bres à la puissance m, une seconde égalité

n ZT,
VA = V'Am.
Donc, élevant ençore les deux membres à la puissance 7,
nous aurons la troisième égalité

À = VAm.
Élevant enfin les deux membres de cette dernière à
la puissance x, nous obtiendrons
A: — Ar,
Ce qui nous donne x = mn, et par conséquent
m On mn,
V(VA)= VA.

37. H nous reste à examiner de quelle manière la
qualité des résultats, où leur état positif et négatif. est
liée avec celle des quantités données dans les deux opé-
rations de l'élévation aux puissances et de l'extraction
des ‘racines. Commençons par l'élévation aux puis-
sances.

Quatre cas se présentent ;

1°. La base et l'exposant sont positifs. Alors il est
évident que la puissance est également positive, et
qu’on a

(HA? = (4 0).
Désignant, comme nous l'avons fait ci-dessus, par les
signes Æ et — renfermés entre des accolades, l’état des
nombres sur lesquels on opère , afin de mieux faire sai,
sir les règles de leurs combinaisons.

2°. La base est négative et l’exposant positif. La puis-
sance peut être dans ce cas positive ou négative, selon
que l’exposant sera pair où impair; c'est-à-dire selon
que l’exposant sera multiple où yon de 2. En effet,
soit #2 un nombre quelconque, 0, 1, 2, 3 etc. depuis

56 AL

o jusqu’à l'infini, 2m représentera tous les nombres
pairs possibles, et 22 + 1 tous les nombres impairs.
Ainsi, lorsque l’exposant est pair, la puissance sera
.— À} et (— A 241 lorsqu'il est impair. Nous nous
dispensons de donner le signe + aux exposans et de les
senfermer entre des accolades , parce qu’il est convenu
que toute quantité qui n’est précédée d'aucun signe est
considérée comme positive.

Mais, d’après les règles de l'élévation aux puissances
des quantités exponentielles (26), nous avons

(—A}r =[(=AYT
Or (9), (— A} = (— À) X (— A) = + A7. Donc,
(— Apn (2H Asÿe = + Am.

La puissance est donc positive lorsque l’exposant est
pair.

Nous avons aussi (20)

(— Anti 2 (— A) X (A)
Cette égalité est la même chose, d’après ce qui vient
d’être dit, que
=

La puissance est donc négative lorsque l’exposant est

Apm+i — (4 Am) (— A) = —Amt+i,

impair.
3°. La base est positive et l’exposant négatif. La puis-
sance se réduit alors à une fraction; car , ainsi que nous
l'avons déjà vu (24)
CD =
(+4) AB
4°. Enfin, Ja base et l’exposant sont négatifs. On a
aussi

I

A "ap

et selon que B sera pair ou impair, la puissance sera
positive où négalive.

38. Dans l'opération de l'extraction des racines il se
présente également quatre cas différens pour détermi-
ner l’état positif ou négatif de la racine.

1°. Le nombre et l’exposant sont positifs. La qualité
de la racine dépend de la grandeur de l’exposant; car,
si l’exposant est pair , comme on a (37)

HAPM= (HO et (—Apn=(+O.

il en résulte

2m, am
VHO=(4HA) e& VH+O=(A).
Dans le cas de l’exposant pair, la racine est donc po-
sitive ou négative. On exprime cette propriété par la
formule

2m

V4 0)= (HA).

Si l’exposant est impair, comme on a

(APM = (HO,

AL
d'ou il résulte

241

VHC) = (#A),
la racine est donc toujours positive lorsque l’exposant
est impair.
>». Le nombre étant positif, et l'exposant négatif,
la racine prend une forme fractionnaire. En effet,

(2) nr
V/C est la même chose que CP ë
C
Donc,
{—B)
vG— F-

vC
3°. Le nombre et l’exposant étant négatifs, on trouve
de la même manière
(2)

VC) =

ve ©
4°. Enfin, le nombre étant négatif et l'exposant posi-
tif, si l’exposant est 2mparr,
car de

la racine est negative,

2/n+1

(— A}m+i = (— Cj).on tire V/ (— C)—(

la génération de la racine,

=,
Mais si l’exposant est pair,
quoique possible en idée, devient impossible en réalité :
ce nombre ne pouvant être alors ni positif n! négatif.

En effet, V/{—C) ne peut être une quantité positive
(+ À), puisque (HA): est positif, et il ne peut être
Aj2m
est également positif (37). Ce cas, extrêmement remar-

non plus une quantité négative (— A), puisque (—

quable, nous offre donc la construction d’une espèce par-
ticulière de nombres auxquels il est impossible d’atta-
cher aucune interprétation quelconque, quoiqu'ils
soient d’un usage fréquent et utile dans les calculs. On
a donné à ces nombres le nom de quantités imaginai-
res (voyez ce mot), qui est loin d’en définir exactement
l'origine; car l'imagination est une faculté psychologique
qui ne concourt en aucune manière à la génération des
nombres opérée par l’enteudement.

Si nous observons que la génération d’un nombre né-
gatif au moyen de l'unité est en général

(—1)XM,
am,
nous pourrons donner à la quantité V{— C) la forme

am

Verx ac qui revient (27) à V/(+C) SAVE

2m

Or, la quantité VA (+ C) étant réelle, le facteur imagi-

2m, À En s
naire V/—1, peut être seul l’objet de considérations

nouvelles,

Les quantités dites imaginaires peuvent donc s’expri-

2m
mer à l’aide de la seule V— 1, ct leur forme générale

est

M étant une quantité réelle quelconque.

48. Nous nous sommes élevés successivement de la
génération primitive des nombres À + B— C aux gé-
nérations À X B—Cet AB—C; nous avons examiné
les diverses espèces de nombres engendrés par ces trois
modes différens de construction, et déterminé leur na-
ture; il nous reste à prouver que le mode AB— C est
le dernier mode élémentaire possible de construction,
et, conséquemment , que ce qui précède renferme tous
les élémens de la science des nombres. Pour cet effet,
reprenons la marche qui nous a conduits (6) de A +
B—C à A XB—C et de cette dernière (19) à AB —C.
Formons donc une suite de nombres

at=c,cd—æe,ef—g;,gh=ti,etc., etc.
En substituant la valeur de ce dans celle de e, nous
avons
(ab )d — e ou (26) abd — e,
Substituant ensuite cette valeur de e dans celle deg,
elle devient
(abd\f = g ou abdf — g.

Continuant donc de la même manière de proche en
proche , eu désignant par m1 la dernière puissance, nous

aurons
abdfh.. ete. — mn ;

qui, lorsque toutes les quantités b, d,f, h,k, etc.,
sont égales, se réduit à

anb = ; D

en désignant le nombre de ces quantités'par #1.

Or, cette expression ne diffère en aucune manière de
AB — C. Ilest donc impossible de trouver un mode de
génération élémentaire qui ne soit pas compris sous
l’une des trois formes déjà trouvées ; et ces trois formes
renferment en effet tous les élémens possibles de la
science des nombres considérée dans sa plus grande gé-
néralité.

Ever est le premier qui se soit aperçu de la liaison
qui existe entre les divers modes des générations élé-
mentaires, et qui ait fait remarquer que chacun d’eux
donne naissance à de nouvelles espèces de nombres. Les
mathématiciens qui lui ont succédé , et particulière-
ment les auteurs d'ouvrages élémentaires semblent ne
point avoir saisi tout ce qu'il y a d’important dans cette
considération , qui seule permet de coordonner les di-
verses parties de l'algèbre, et de l’amener à cette unité
systématique sans laquelle une science n’est qu’une col-
lection de faits ou de lois sans liaison. Ces auteurs se
sont contentés, pour la plupart, de présenter l'algèbre
comme un moyen particulier de résoudre des problè-

AL 57

mes , confondant ainsi ce qui a pu conduire à découvrir
la science avec la science elle-même ; et ils sont partis
de questions particulières pour arriver à des équations
dont la résolution généralisée forme , suivant eux, la
base de la science des nombres. Cette marche est évi-
demment vicieuse : les nombres constituent un ordre de
réalités dont les lois sont nécessairement indépendantes
de toute application numérique ou géométrique; et,
comme tels, leur generation doit précéder nécessaire-
ment leur comparaison, de laquelle dépendent les
équations.

Mais cette génération présente deux points de vue
distincts : le premier est celui dans lequel on ne consi-
dère que les modes élémentaires et primitifs, pris isolé-
ment, de la construction des nombres; le second est
celui dans lequel on considère la réunion de ces modes
primitifs et les constructions dérivées qui naissent de
cette réunion. Le premier point de vue constitue la ge-
nération élémentaire que nous venons d'exposer ; le se-
cond, la génération systématique qui sera développée
successivement. La comparaison des nombres nous pré-
sente également deux parties, dont la première, la com-
paraison élémentaire, nous donne les pRoPoRTIONS et
les PRoGREssIONS, et dont la seconde, la comparaison
systématique , nous donne les ÉQuaTIoNs. Foy. ces mots
et ALGORITHMIE.

ALGÉBRIQUE. Ce qui appartient à l'algèbre. On
dit caractères algébriques , quantités algébriques , cour-
bes algcbriques, etc.

On partageait jadis les lignes courbes en courbes
géométriques, algébriques , transcendantes et mécani-
ques, et le terme algébrique se rapportait à celles de ces
lignes dont la nature peut être exprimée par'une équa-
tion élémentaire, c’est-à-dire par une équation qui ne
renferme aucune quantité transcendante. Mais aujour-
d’hui où la génération de toutes les quantités fait partie
de l'algèbre, ces distinctions n’ont plus aucun fonde-
ment. Toutes les équations sont essentiellement algébri-
ques, et le rapport des abscisses aux ordonnées d’une
courbe quelconque étant toujours représenté par une
équation immanente ou transcendante, la classifica-
tion de ces lignes doit suivre celle des équations.
(Voyez Courses et ÉqQuarions. )

AL-GEDY ( Astr.). Nom de l'étoile du Capricorne
marquée y dans les catalogues, et qui signifie Le Che-
vreau. Les Arabes donnaient aussi ce nom à la constel-
lation entière, ainsi qu’à l'étoile polaire.

ALGENEB ou ALGENIB, et plus correctement AL-
Gens Fersaous ( Z côté de Persée). ( Astr.). Quelques
observateurs ont donné ce nom à la ceinture de Persée;
mais il a été mal à propos confondu par plusieurs au
teurs avec le nom de AL-GEnau (l'aile), donné à uue

étoile de la seconde grandeur, située dans la constella-
8

AL

tion de Pégase. On la marque dans les catalogues par la

98

lettre y.

ALGOL, ei plus exactement rA5 AL-cnouL (téle de
furie).( Astr.) Nom de l'étoile vulgairement appelée
Téte de Méduse, marquée B dans la constellation de
Persée. Cette étoile est sujette à une variation pério-
dique dans l'intensité de sa lumière : elle passe en » jours
48 ou 49° de la deuxième grandeur à la quatrième ou à
la cinquième grandeur. Cette observation a été faite
pour la premièré fois en 1783 par un gentilhomme du
duché d’'Yorck, appelé Goodricke. L'étoile Algol ne
reste à Paris sous Fhorizon que pendant 1 heure 27".
(Poyez Érorres cHANGEANTES. )

LGOMEIZA, et plus correctement AT-GHAMEYSSA.
( Astr.). On donne ce nom à Procvon, lune des étoiles
de la constellation du Petit-Chien, et quelquefois à la
constellation entière. ( ’oyez Procyon.) Quelques as-
tronomes arabes ont écrit ce nom AL-GOMEYZAN, qui si-
gnifie petit Sycomore.

ALGORAB ( Astr. ). Nom de l’une des étoiles de la
constellation méridionale du Corbeau, marquée ; dans
les catalogues. Le nom d’ar-cnorar, qui signifie le cor-
beau, est donné par les Arabes à la constellation entière.

ALGORITHME. Terme dérivé du mot arabe AL-
GORETM, Qui signifie racine en général, et qu'on a
employé, par extension, pour calcul. On l'emploie
pour désigner chaque forme particulière de génération
desnombres. Ainsi, parexemple, «& = c est l'algorithme
des puissances; A9 x=@ (x+Ax)—@x est l'algorithme
des différences; F x=A co + Ai Z4A ,x2+4# A3 ti,
etc.., est l’algorithmé des séries, ete., ete. La science
dont le but est d’embrasser les faits et les lois des nom-
bres, et par conséquent tous les algorithmes, devrait
donc être nommée par excellence a/gorithmie ; et nous
devons faire observer à ce sujet que l'adoption d’un moi
particulier pour exprimer la science générale des nom-
bres, est d'autant plus nécessaire que cette science n’a
recu , jusqu'ici, aucune désignation spéciale qui puisse
l'empêcher d’être confondue avec l’une ou l’autre de ses
branches, l’artthmétique et l'algèbre. M. Ampère, dans
sa classification des connaissances humaines, propose le
ot arithmologre ; mais ce mot ne nous parait pas aussi
bien approprié à son objet que celui d’a/gorithrnie, qui
est déjà employé dans plusieurs ouvrages importans.

ALGORITHMIE. C'est sous ce nom qu'un géomètre
moderne, M. Wronski, désigne l’une des branches
fondamentales des mathématiques pures : celle qui à
pour objet les nombres. Le but de ce savant, dans les
nombreux ouvragesqu’ila publiés en France depuisi8r1,
paraît être de fonder en général la philosophie des ma-
thématiques, et de constituer en particulier une bran-
che nouvelle de ces sciences, à laquelle il donne le nom
de Technie. Les vues nouvelles qu'il propose, l’unite

AN

qu'il veut établir entre les nombreuses parties des ma
thématiques, la loi universelle qu'il a découverte, loi
qui, d'après le rapport du célèbre Lagrange, embrasse
toutes les lois connues pour le développement des fonc-
tions, ne nous permettent pas de passer sous silence une
doctrine dont l’avenir de la science ne peut manquer de
se ressentir. ( J’oyez PniLosoPiE DES MATREMATIQUES. )

ALHABOR, ct plus correctement AL 4arour. (4str.)
Nom arabe de Sirius.

ALHAIOTIT, et plus correctement ar-asovo. (Astr.)
Nom arabe de la belle étoile de la Chèvre, qui se trouvé
dans la constellation du Cocher, et que les Syriens nom-
ment ayouTo. flle est indiquée par quelques auteurs
comme une étoile de la troisième grandeur dans la con-
stellation du Capricorne. C’est une erreur à laquelle le
nom vulgaire de cette étoile, attribué aussi quelquefois
à cetie dernière constellation, a pu donner naissance.
L'étoile de Za Chevre est désignée encore par le nom
d'ALnatOD.

ALHAZEN, nom vulgaire sous lequel les savans
d'Europe ont désigné le célèbre et savant mathématicien
arabe dont le nom est AL-RASSAN, BEN-HASSAN, AEOR-ALY,
BEN ÉL-RAYTHAM : il était natif de Basrah, et vivait en
Égvpte à la cour du khalyfe ÉL-nakEm, vers l’an 400 de
l'hcgire ( 1009 de notre ëêre). Il mourut au Kaire l’an
430 (1038). Il s’occupa Spécialement d'astronomie et
d'optique, et mérite sous ce rapport d’être cité avec dis-
tinction parmi les hommes de sa nation, dont lestravaux
et les recherches ont le plus contribué à répandre en
Europe les sciences et les lumières. Nous avons de lui
un Traité d'optique, dont quelques parties révèlent une
haute instruction, et des tentatives heureuses pour arri-
ver à l'explication des phénomènes que présente cette
science, et qui étaient encore regardés comme insolubles
au temps d’Alhazen, Ce livre est encore recommandable
sous un autre rapport : il peut être fort utile à l’histoire
littéraire et critiqué des sciences chez les Arabes, dont
il résume les progrès dans un tableau des connaissances
que possédait cette illustre nation. Cet ouvrage est, au
reste, divisé en trois parties. La première, consacrée à
Ja physique, n’est pas exemipte d’erreurs : Alhazen y dé-
veloppe quelques fausses doctrines sur la cause de la vi-
sion et sur les couleurs, On y trouve néanmoins des
aperçus fort judicieux sur la réfraction astronomique,
sur la grandeur apparente des objets, et spécialement
sur le phénomène du grossissement apparent du solcil
et de la lune, vus à l'horizon. La seconde partie, qui
est consacrée à la catoptrique, est traitée par Alhazen
avec plus de supériorité, quoiqu'il s’v soit aussi glissé
quelques erreurs, telles que ses appréciations sur le ïieu
apparent de l’image dans les miroirs courbes, et celles
sur le foyer des miroirs caustiques. La troisième partie
est consacrée à Ja dioptrique, Les connaissances d’Alba-

AL

zen, sous ce rapport, quoique fort étendues, sont néan-
moins encore imparfaites. On trouve cependant dans
cette partie de son ouvrage l'exposition d'ingénieuses
théories pour expliquer la réfraction. Huygens a accusé
Alhazen d’une grave erreur, dont il n’est point coupable,
en lui faisant dire que les angles rompus sont propor-
tionnels aux angles d’inclinaison. Ce mathématicien
arabe aperçut très-bien, au contraire, qu'il n’y avait
entre eux aucune raison constante, et il recourut à
l'expérience pour déterminer la quantité de réfraction
convenable à chaque obliquité ; il en donne même ure
table, qui détruit complétement l’assertion d'Huvgens.
L'optique d’'Alhazen, traduite de l'arabe, et réunie à
celle de Vitellion, a été publiée pour la première fois à
Bäle, en 1532, par Risner, sous le titre de : Thesaurus
opticæ, in-folio.

Il existe d’autres mathématiciens du nom d’Alhazen,
dont les travaux sont moins importans, et que nous n’a-
vons pas jugé utile de mentionner ici.

AL-HOOT ( Ze Cétacce ). ( Astr.). Nom arabe de
l'étoile marquée : dans nos catalogues, et qui est la pre-
mière de Ja queue de la Grande-Ourse. On la désigne
encore sous les noms altérés de AL1OT, ALIATH, ALLIOTH,
Miracu, et sous celui de Mizar dans l’Uranomeétrie de
Bayer. La connaissance de cette étoile est surtout utile
aux marins.

ALIDADE ( Géom. ). Règle mobile de bois ou de
métal, portant une pinnule à chacune de ses extrémités,
dont on se sert pour viser les objets et tracer les lignes
de leurs directions lorsqu'on lève les plans à l’aide de
l'instrument nommé Planchette. (Foy. PLancnerre.)
Ce mot vient de AL-HiDAD, qui signifie tout à la fois en
arabe, pinnule de fer, but ct point déterminé. On ap-
pelle encore Alidade la règle mobile qui, tournant au-
tour du centre d’un cercle divisé en degrés, peut en par-
courir tout le limbe pour mesurer les angles. Elle porte
aussi des pinnules, ou bien est surmontée d’une lunette.
(Voyez GrapaomËTRE et CERCLE RÉPÉTITEUR. )

ALIGNEMENT (4rp.). Voyez ARPENTAGE.

ALIEMINI (Astr. ). Nom donné dans les Tables
Alphonsines à la belle étoile du Grand-Chien, plus
habituellement désignée sous le nom de Sirius. Aliemini
est le mot arabe corrompu AL-YEMINY , Ou AL-YEMANIER,
qui signifie placé à droite.

ALIQUANTE (Arith.). Parties aliquantes d’un nom-
bre. Ce sont celles qui ne le divisent pas exactement,
ou qui ne sont pas ses facteurs. Par exemple, 5 est une
partie aliquante de 8, parce que 5 n’est pas facteur de 8,

ALIQUOTE ( Arith.). Parties aliguotes d’un nombre.
Parties d’un nombre qui le divisent exactement ou qui
sont ses facteurs, Par exemple, 2 est une partie aliquote
de 8, parce que 2 est facteur de 8. ( Voyez Murriecica-
TION. }

AL 39
ALKAMELUZ (Astr.). Nom donné par quelques

auteurs à l’étoile Arcturus, située dans la constellation
du Bouvier. Cette dénomination est corrompue du nom
d’ar-ramene (le lancier ) que lui donnent les Arabes.

ALLIAGE. Règle d’alliage (Ærith.). On donne in-
distinctement en arithmétique le nom d’alliage à tout
mélange de diverses matières susceptibles d'être réunies.
Les questions qu'on peut se proposer sur ces mélanges
offrent deux points de vue différens : 1° Les valeurs et
les quantités des matières composantes étant données, on
veut déterminer la valeur du mélange. 2° La valeur et
la quantité du mélange étant données,ainsi que les valeurs
des matières composantes, on veut déterminer les quanti-
tés de ces matières. Les opérations arithmétiques qu’il
faut faire pour résoudre ces deux ordres de propositions,
se nomment règles d’alliage, savoir : règle d’alliage
directe dans le premier cas, et règle d’alliage inverse
dans le second.

Règle d'alêiage directe. Le cas le plus simple est celui
qui a pour objet de déterminer le prix d’un mélange. II
faut d’abord bien préciser l’idée attachée au mot prix.

En exprimant la quantité d'une marchandise quel-
conque par un nombre, l’unité de ce nombre désigne
toujours une cértaine quantité déterminée, dont on est
convenu d'avance, et c’est particulièrement la valeur en
argent de cette unité que nous nommons le prix de la
marchandise. Ce prix, multiplié ensuite par le nombre
d'unités que la quantité de marchandise renferme, fait
connaître la valeur de cette quantité. Par exemple,
12 mètres d’étoffe, à 3 fr. le mètre, valent 36 fr. Le
nombre 12 exprime la quantité de la marchandise, le
nombre 36 sa valeur, et le nombre 3 son prix.

Le prix est donc la valeur spécifique d’une chose, ou
la valeur de l’unité de cette chose.

Ceci étant posé, voilà la règle : Multipliez Le prix de
chaque matière par sa quantité respective; divisez la
somme des produits par celle des quantités ou par la
quantité totale du mélange: le prix trouvé sera le prix
du mélange.

Ex. I. On a mélé ensemble 3 sortes de ble à diffé-

rens prit, Savoir :
?

10 sacs de blé à 15 fr.
15 à 19
8 à 12

On demande le prix du mélange.

Multipliant chaque nombre de sacs par son prix, on

trouve :
Valeur des r0 sacs 150 fr.
15 199
(e) 96
Valeur totale des 53 sacs 4x fr.

60 AL
Divisant 441 par 33, on trouve 13 fr. 36 c. pour le prix
du sac de mélange.

Ex. II. Voulant fondre ensemble plusieurs lingots
d'argent à différens titres, on veut connaître le titre du
mélange.

On nomme tre de l'argent la quantité de métal pur
contenu dans un marc, et on évalue ce titre en suppo-
sant le marc divisé en 12 parties, qu’on nomme deniers,
et le denier en 24 grains. Ainsi quand on dit que le titre

d’un lingot est de 10 deniers 3 On entend qu’un marc
de ce lingot contient 10 deniers 12 gr. d'argent pur, et
1 denier 12 gr. de quelque autre métal inférieur, Lors-
qu'un lingot d'argent est entièrement pur, on dit qu'il
est à 12 deniers.

Le titre de l'argent indique donc en même temps le
prix qu'il a dans le commerce; ct nous devons agir ici
comme dans l'exemple précédent. Ainsi, ayant fondu
eusemble

25 marcs d'argent à 10 = deniers de fin
38 9 3
42 11 z

pour trouver le prix du mélange, on multiplie chaque
titre par le nombre de marcs auquel il appartient, et on

trouve
Valeur des 25 marcs 262 : deniers
38 351 =
42 472 à
Valeur des 105 marcs 1086 2 denicrs.

2

Divisant le nombre total des deniers par celui des marcs
on obtient 10 deniers 9 grains pour le titre de l’al-
liage.

Le titre de l'argent ainsi que celui de l'or, s'exprime
en France, depuis l'introduction du système décimal,
en millièmes de l'unité : ainsi l'argent pur est dit à 1000
millièmes ; et l'argent qui contient 90 ou 100 millièmes
d’alliage, est dit au titre de 0,910 Où 0,900.

En examinant le procédé suivi dans la règle d’alliage
directe, il est facile d’en concevoir les raisons. En effet
A,B,C,D, etc., étant des quantités quelconques de
marchandises dont les prix respectifs sont m, m',m",
m'", etc., les valeurs de ces marchandises sont mA, m'B,
m'C, m"D, etc., et par conséquent la valeur totale de
leur mélange sera

mA + m'B + m"C+ m" D + etc.
La quantité du mélange étant

A+B+C+D etc.
Or, pour trouver la valeur d’une marchandise, il faut
multiplier sa quantité par son prix: donc, en divisant
is valeur par la quantité, on trouve le prix. Ainsi, divi-
Sant m A + m B+m" C+m"D ro CÉC-> pan

AL

AB+C+D+,etc., on aura le prix du mélange.

Régle d'alliage inverse. Dans la règle d'alliage inverse,
lorsqu'il y a plus de deux objets mélangés, le probléme
est indéterminé, et peut admettre un grand nombre de
solutions : il surpasse alors les forces de l’arithmétique
ordinaire. ( foyez Axazyse iNpÉrermiNÉE. ) Nous n’exa-
minerons donc ici que le cas de deux objets.

Le prix de chacune des matières étant connu, ainsi
que celui du mélange, il s'agit de déterminer la quan-
tité de chacune des matières composantes. Voici la
règle : Otez Le plus petit prix du prix du mélange ;
Ôtez ensuite le prix du mélange du plus grand Prix ,
cela vous donnera deux différences. Partagèz ensuite
la quantité du mélange en deux parties qui soient
entre elles dans le méme rapport que les deux diffe-
rences trouvées, et ces deux parties seront les quan-
tités demandées, savoir : la plus grande, celle dont le
prix est le plus petit, et la plus petite, celle dont le prix
est le plus grand.

1 Exemple. Un sac de blé à 15 francs est composé
d’une partie de blé à 19 francs et d’une autre à r9 francs.
On demande les quantités de chacune de ces parties.

Première différence. 15 — 12 = 3
Seconde différence. 19 — 15 = 4

Il faut donc partager le sac en deux parties qui soient
cutre elles comme 3 : 4. Ainsi, le sac étant l’unité, ces
parties sont ? et À; il y a donc dans le mélange 3 de sac
à 19 francs et #

1° Exemple. 500 boutalles de vin à 3 fr. sont le
produit du mélange de deux espèces de vins, l’une à
5 fr. et l’autre à 2 fr. On demande les quantités qu’on

a dû prendre de chacune de ces espèces.

à 12 francs.

Première différence. 3 — 2 = 1.
Seconde différence. 5 — 3 = 2.

Les quantités cherchées sont donc dans le rapport de
2 : 1. Pour les trouver, on pose les deux proportions

2 : 333
166

On a donc pris 166 3 bouteilles à 5 fr. , et 333 3 bou-
teilles à 3 fr.

Cette règle peut se démontrer de la manière suivante :
Soit À la quantité d’une des matières, et m2 son prix;
B la quantité de l’autre matière, et » son prix; M la
quantité du mélange, et p son prix : on a, par la règle
directe

3 : 5oa ::
3 > DOO 20 T à

lo oym

mA+LnB=pM
Mais M est la même chose que A + B, donc on a aussi
mA+nB=pA+pB

Réunissant dans ie même membre les quantités qui ont

un facteur commun, on a

mA—pA=pB—nB

AL

Ou
(m—p)A=(p—n)B

Ce qui donne

Le rapport des quantités À et B est donc en effet le

même que celui des différences p — n et m — p.

ALLONGÉ ( Géom. ). Ce qui est plus long que large.
Le sphéroïde allongé est un sphéroïde produit par la
révolution d’une demi-ellipse autour de son grand axe,
(Poyez sruéroïpe.) Au contraire, si le sphéroïde est
formé par la révolution d'une demi-ellipse autour de son
petit axe, on le nomme sphéroide aplati. Cette der-
nière figure est à peu près celle de la terre. (Foyez
TERRE. )

La Cyctoide allongée estcelle dont la base est plus
grande que la circonférence du cercle générateur.
(Foyez CxcLoiDE. )

ALMAGESTE (Histoire littéraire des sciences ma-
thématiques.) Tél est letitre donné d’après les Arabes au
Trauté d'astronomie composé par Ptolémée vers lan
140 de notre ère. C’est en même temps l’un des plus
célèbres livres de l'antiquité, et le plus ancien ouvrage
d’astronomie qui soit parvenu jusqu'a nous. Ce nom est
formé du mot grec geyirror, érès-grand, que les Arabes
n’ont fait que transcrire en y joignant leur article arabe
al dans le titre de tahryr àl-megesty : il: signifie ainsi
le très grand ouvrage, l'ouvrage par excellence. L’en-
thousiasme avec lequel l’Almageste fut accueilli, à l’é-
poque où il fut écrit, lui avait précédemment fait dé-
cerner un titre analogue par les astronomes de l’école
d'Alexandrie. (M:yæny Euvraïis, grande composition. )
Les Arabes donnent aussi à cet ouvrage de Ptolémée le
titre de sountaksys.

L’Almageste a été, depuis son apparition, jusqu’à une
époque assez rapprochée de nous, l’objet d’un très-
grand nombre de commentaires ; c'est la destinée com-
mune à toutes les productions qui ouvrent une car-
rière nouvelle aux investigations de la science et
aux progrès de l'esprit humain. Les plus anciens et
les plus remarquables de ces commentaires furent ceux
de Théon et de Pappus, mathématiciens célèbres qui
honoraient au IV® siècle l’école d'Alexandrie. La partie
du travail de Théon, échappée aux vicissitudes des
temps, s'arrête au dixième livre de l'Almageste; le
reste est sans doute perdu pour toujours, ainsi que les
commentaires de Pappus, dont nous ne possédons que
des fragmens relatifs au cinquième livre de l’ouvrage
de Ptolémée. On doit regretter avec tous les mathéma-
ticiens modernes qui se sont occupés de l’histoire litté-
raire de la science, que ces restes précieux des connais-
sances astronomiques de l'antiquité n'aient jamais été

AL 61

tradui s; car il est impossible qu’ils ne contiennent pas
des aperçus curieux sur l'astronomie et la géométrie.

Vers l’an 212 de l'hégyre, ou 827 de l’ère chrétienne,
c’est-à-dire à l’époque où un grand mouvement civilisa-
icur s'opéra dans la race arabe, et où ce peuple donna
asile aux sciences, si cruellement proscrites à Alexandrie
par les soldats d'Omar, l’illustre khalyfe El-Mämouu fit
exécuter à Baghdad une traduction arabe de l’Almageste.
On rapporte que ce prince, vainqueur de l’empereur
Michel fl, lui imposa comme une condition de la paix,
qu’il consentit à faire avec lui, le don d'une coilection
des meilleurs livres de la Grèce. C’est à cetribut, qui ho-
nore la mémoire d'El-Mämoun, et atteste son amour
pour les sciences, que les Arabes durent l'ouvrage de
Ptolémée, auquel ils donnèrent alors le nom de T'ahryr
dl-megesty, dont nous avons fait celui d’A/mageste. Le
musulman él-Hassan ben-Yousef et le chrétien Sergius
en furent, dit-on, les traducteurs.

De nombreuses copies de l'Almageste circulèrent dès-
lors parmi les Arabes, et popularisèrent chez cette grande
nation les connaissances astronomiques, qui avaient
illustré l’école d'Alexandrie. On cite Thabet-ben-Qorrah
et Nassir-éd-dyn , entre tous les savans Arabes, dont les
commentaires contribuèrent le plus à en expliquer les
diverses hypothèses, et à en faciliter l'étude.

Au commencement du XII siècle, époque où les
sciences renaissantes jetèrent quelques rayons de lu-
mière au sein des ténèbres qui enveloppaient l’Europe
occidentale, l'empereur Frédéric II, qui protégeait
l'astronomie, et cultivait lui-même cette science, fit tra-
duire l'Almageste sur la version arabe. Vers le milieu
du siècle suivant, une autre traduction de cet ouvrage
fut entreprise par Gérard de Crémone.

La première édition latine de l’Almageste fut faite à
Venise en 1515. Il est probable que la version de Gé-
rard de Crémone fut celle dont on se servit pour ce tra-
vail, monument remarquable , et devenu très-rare, des
premiers essais de art typograhique. Un siècle avant
cette époque, Georges de Trébizonde, l'un des savans
grecs qui vinrent chercher un refuge en Italie, après la
chute de l'empire byzantin, traduisit l'Almageste de sa
langue natale en latin. Son ouvrage, conservé. long-
temps manuscrit, fut successivement imprimé à Venise
en 1507, et à Bâle en 1541 et 1551. Eu 1538, J. Walder
imprimait à Bâle le texte grec de l'Almageste, avec celut
des commentaires de Théon, mais sans traduction cn
regard. Cette édition, remarquable par la pureté des
caractères et l'exactitude du texte, est regardée comme
un des plus beaux ouvrages qui soient sortis des presses
de ce célèbre typographe.

L'Almageste contient un recucil précieux et impor-
tant d'anciennes observations : ce sont les seules que l'an-

tiquité ait léguées à la science astronomique; quoique

62 AL

Ptolémée en ait presque toujours tiré des conclusions
erronées, qui ont été réctifiées par la science moderne,
nous examinerons à l’article biographique de ce grand
astronome, les principales hypothèses fondées sur ces
anciens erremens de la science. Voyez ProLEMÉE.

ALMAMON. Foyez EL-Mamoux.

ALMANACH ( Astr. ).
contient les jours de l’année et les phénomènes les plus

Calendrier ou Table qui

remarquables des corps célestes, tels que les éclipses,
les conjonctions et oppositions des planètes, ‘elc,, etc.
Le bureau des longitudes publie tous les ans, outre un
almanach nommé Connaissance des temps, dans lequel
l'état du ciel est calculé plusieurs années à l'avance,
pour l'usage des navigations de long cours, un A4n-
nuaire qui renferme les objets d’une utilité générale et
populaire. Le mot a/manach est formé de l'article
arabe al et du mot manakh, qui signifie dans cette lan-
gue, calendrier, cphémerides, cadran solaire. On
trouve le mot a/menichiacum employé dans ce sens par
saint Augustin dans son traité de /a Cité de Dieu.
Voyez CarenDnier.

ALMERZAMONNAGIED ( 4str.). Nom de l'étoile
qui forme la partie la plus orientale de l'épaule d'O-
rion.

ALMICANTARATS ou ALMUCANTARATS(A4str.).
Petits cercles parallèles à l'horizon, que l’on conçoit pas-
ser par tous les degrés du méridien; leurs centres sont
situés sur Ja verticale qui joint le zénith au nadir. On
les appelle aussi cercles de hauteur, parallèles de hau-
teur, parce qu'ils servent à marquer la hauteur d’un
astre au-dessus de l'horizon. Ce mot est arabe : dans
cette langue, d/-moganttarät signifie formant la voüte,
en forme d'arcade ou de pont. (Voyez SPHÈRE ARMIL-
LAIRE. )

ALMUCÉDIE où ALMUREDIN ( Astron.). Nom
donné par les Arabes, suivant Casius, à l’étoile mar-
quée : dans la constellation de la Vierge. Ces deux dé-
nominations également fautives , ne sont que l’altération
commise par nos copistes des mots 77igd&m-él-qitiàf
(annonce de la vendange), nom réel que donnent les
Arabes à cette étoile.

ALPHERAZ (Astr.). Plus exactement &/-faras (le
cheval). Nom uonné tant à la constellation de Pégase,
qu'a celle du Petit-Cheval. On les distingue par les dé-
nominations de dl-faras-al-aazem (le Grand-Cheval ),
et de gattat-él-faras (section du cheval). Quelques-uns
de nos astronomes donnent à tort à la belle étoile qu’on
trouve à l'aile de Pégase, et qui est marquée + dans les
catalogues, tantôt le nom d'a/pharaz, tantôt celui de
markab. C'est par iguorance qu’on a séparé en deux
noms différens une seule dénomination. Cette étoile est
appelée par les Arabes markab-&l-faras (le véhicule du
cheval).

AL

ALPISETA (4str.). Nom corrompu de celui de
al-fekah, donné par les Arabes à la constellation entière
de la Couronne septentrionale. Nos astronomes ont
douné par erreur ce nom à une étoile particulière de
cette même constellation dont lenomestmoanyr-4l-fekah
(la lumineuse de la Couronne) : c’est celle qu’on appelle
aussi : lucida “Coronæ, ou luisante de la Couronne.

ALPHONSE X, surnommé le Sage et lAstronome,
roi de Castille et de Léon, fiis de Ferdinand le saint
et de Béatrix d'Allemagne, succéda en 1252 à Ferdi-
nand IIE, son frère. Ce prince déploya, en faveur de
l'astronomie , un zèle qui a rendu son nom célèbre dans
les fastes de cette science, dont il faisait son occupation
favorite. On montre encore aujourd'hui dans l'Alcasar,
ou le palais de Ségovie, la chambre où il faisait ses
observations, et le cabinet où il les rédigeait. Le règne
d’Alphonse a été fort agité; mais la protection qu'il
accorda aux sciences lui acquit plus de gloire que les
guerres où l’entraina son ambition de devenir empe-
reur. C’est à ses frais et par ses ordres que furent dressées
les Tables astronomiques qui portent son nom. (Woyez
ÂALPHONSINES. )

Le jésuite Mariana , auteur d’une histoire d’Espagne,
faisant allusion aux malheurs de ce prince et à son-
goût pour l'astronomie, dit : « Qu’it perdit la terre à
« force de contempler le ciel.» Une accusation d’impiété,
plus grave que ce mauvais jeu de mots, a été injuste-
ment imputée à Alphonse, à propos de quelques paroles
un peu libres qui lui échappèrent à la vue des hypothè-
ses ermbarrassées qu’il fallait admettre pour cencilier
tous les phénomènes célestes : « Si Dieu, dit-il, m'avait
« consulté, lorsqu'il créa l'univers, les choses eussent été
« dans un ordre meilleur et plus simple.» Cette plaisan-
terie prouve seulement qu’Alphonse n’était poirt satis-
fait du système astronomique de son temps, et qu’il avait
un vague pressentiment des découvertes qui ne permet-
tent plus désormais d'adresser un pareil reproche à
l'ordre de l’univers. Ce prince mourut le 4 avril 1284.

ALPHONSINES ( 4str.). On a donné ce nom aux
Tables astronomiques dressées à Tolède par les ordres
du roi Alphonse X. Ce prince entreprit le premier de
remédier aux défauts de l'astronomie ancienne, et sur-
tout de corriger les tables de Ptolémée, dont la théorie
s’écartait toujours de plus en plus des observations nou-
velles. Alphonse appela à Tolède un grand nombre
d’astronomes chrétiens, juifs et arabes, quitravaillèrent
collectivement à l'exécution de cet important projet.
Après quatre ans d’études, les Tables Alphonsines farent
publiées en 1252. Elles furent corrigées en 1256 sur les
observations d'un astronome arabe célèbre, dont nos
astronomes ont altéré le nom de Æassan Abou-l- Hassan
en celui d’Ælboaren (voyez ce nom ). Les astronomes

AL

qui prirent le plus de part à la confection de ces Tables
furent, suivant divers auteurs , le juif fshaq Aben-Saïd,
AI-Kabith, Aben-Ragel, Aben-Mousa, Mohammed, etc.

Les connaissances astronomiques du temps d’Alphonse
étaient insuffisantes pour réaliser la pensée de ce roi.
Les Alphonsins ont commis plusieurs graves erreurs,
notamment leur hypothèse sur le mouvement des fixes.
Cependant ils déterminèrent le lieu de l'apogée du so-
leil plus exactement qu’on ne l'avait encore fait, et ne
se trompèrent que de 28” sur la durée de l’année. Les
Tables Alphonsines, dont la première édition a été faite
en 1492, ont été depuis réimprimées plusieurs fois.

ALRAMECH ou ARAMEH ( Astr. ), corrompu pour
âl-rämèhh (le lancier), nom arabe de la belle étoile
Arcturus, dans la constellation du Bouvier.

ALRUCCABAH ( Astr.), plus exactement d/-reka-
béh (le char). C’est un des noms arabes de l'étoile Po-
laire, suivant les astronomes; mais les Arabes n’ont
donné ce nom, qui est emprunté de la langue chal-
déenne, qu’à la constellation de la Petite-Ourse.

ALTAIR, ATAIR ou ALCAIR (A4str.). Noms diver-
sement corrompus par les astronomes européens du nom
dl Uayr (Yoiseau), sous lesquels on désigne la bel'e
constellation de l’Aigle; ce nom est aussi donné à la
constellation du Cigne.

ALTERNATION (-4{g. ). Changement d'ordre ou de
position de plusieurs objets les uns à l'égard des autres.
( Voyez PERMUTATION. )

ALTERNE (Géom.). Lorsque deux droites paral-
lèlles AB et CD (v0y. Notions pRÉLIM. , 36) sont cou-
pées par une transversale quelconque EH, les angles
formés par ces lignes se nomment angles alternes, lors-
qu’on les prend en sens contraire deux à deux, soit en
dedans, soit en dehors des parallèles, Ainsi, les deux an-
gles AFG, FGD, sont deux angles alternes intérieurs, ou
deux angles alternes internes ; et les deux angles AKE,
DGH, sont deux angles alternes extérieurs, où deux an-

gles alternes externes. (Voyez ANGLes.)

Dans une proportion géométrique quelconque,
LI

AE BR": 6 7D
Si l’on fait changer de place aux deux termes moyens
Bet C, on obtient une autre proportion

A:C::B:D
qu'on appelle proportion alterne par rapport à la pre-
mière. ( Voyez Prororrion.) Dans les anciens ouvrages
ce changement de place des termes moyens est exprimé
par le mot alernando.

ALTIMETRIE ( Géom. : (De altus haut, et de
merper mesure). Partie de la géométrie pratique qui à
pour objet la mesure des hauteurs accessibles et inacces-
sibles.

AL 63

On donne le nom d'accessibles aux objets dont on
peut approcher dela base pour mesurer sa distance au
point de la station d’où la hauteur doit être prise. On
donne au contraire le nom d’inaccessibles aux objets
dont on ne peut approcher,

Il existe plusieurs méthodes pour mesurer la hauteur
des objets : les unes ne demandent que la connaissance
des principes les plus élémentaires de la géométrie ; les
autres reposent sur ceux de la trigonométrie. Nous al-
lons les faire successivement connaitre par des exemples.

Les instrumens dont on.sesert communément pour
ces opérations, sont les 7alons, le graphomètre, le théo-
dolite et le baromètre. ( Voyez chacun de cs mots.)

Proszème i*. Mesurer la hauteur AL d'une tour
accessible (PL. IT fig. 1), en n'employant pour cette
mesure que de simples jalons.

On choisira une station F convenable, c’est-à-dire de
niveau avec le pied de la tour (Joy. ArPenTAGE), et l'on
y plantera un jalon CF, en ayant soin de l’établir exacte-
ment perpendiculaire à l'horizon, ce qui s'exécute très-
facilement à laide d’un fil d'aplomb. On s’éloignera
ensuite du jalon d’une distance quelconque FG, et l’on
plantera un second jalon DG, plus petit que le premier,
qu'on enfoncera dans la terre jusqu’à ce qu’en visant
par son extrémité D, cette extrémité, celle du premier
jalon C et le sommet A de la tour, se trouvent dans une
même ligne droite ou dans le même rayon visuel DA.
Cela étant exécuté, on mesurera avec soin les distances
IG et FG, et les hauteurs des jalons GF et DG.

Les triangles semblables ABD, GED donneront la
proportion (voy. TRIANLGES )

ED : CE :: BD : AB,

de laquelle on tire (v0y. ProronrTion });

or, connaissant AB, il suffit de lui ajouter BI ou DG,
hauteur du plus petit jalon, pour avoir la hauteur
cherchée AT. Supposons, par exemple, que la distance
mesurée IG soit de 80 mètres, FG de 10 mètres, la
hauteur du premier jalon CF de 3 mètres, et celle du
second, DG, de 1": 255. On aura CE —CF — DG —

*3—1,275—1%,795; ED—FG=10 ; et BD = IG = 80...
Donc

in 1.725 X 80

= 13,800;

ajoutant à cette dernière valeur BI = DG = 1,255,
on aura définitivement pour la hauteur cherchée
Al=,15%,005.

On pourrait également faire cette opération ec un
seul jalon; mais il faut alors, après avoir planté ce
jalon CF, trouver exactement le point H, déterminé

64 AL

par le rayon visuel AC. Les deux triangles semblables
ATH, CFH fournissant la proportion

IH : FH::: AI : CE
on en tirera immédiatement
it LIEX CE
FH
Ainsi, substituant dans cette expression les valeurs de
IH, CE et FH, qu'on aura préalablement mesurées
avec exactitude, on trouvera celle de AT.

Le problème de mesurer une hauteur accessible sans
faire usage de la trigonométrie, peut encore se résoudre
par la réflexion des rayons visuels opérée dans un mi-
roir, où par le moven de l'ombre que projettent les
objets; mais ces deux méthodes ne fournissent que des
approximations peu précises, et nous nous contenterons
de donner une idée de la dernière.

Pros. Il. Mesurer la hauteur AB d’une colonne par
le moyen de l'ombre qu'elle projette. (Pr. 1, fig. 4.)

Mesurez la longueur BC de l'ombre; plantez un jalon
DE, et mesurez également sa hauteur, ainsi que la lon-
gueur EF de son ombre. Les longueurs des ombres étant
entre elles comme les hauteurs des objets, vous aurez la
proportion (7)

EF : DG:::,BCi: AB
d’où vous tirerez facilement la valeur de AB.

La détermination de AB sera d’autant plus exacte que
les ombres auront été plus nettes, et conséquemment
plus faciles à mesurer exactement; de plus, il est impor-
tant de les mesurer en même temps, car leurs lengueurs
variant à chaque instant ; les rapports de ces longueurs
ne sont réellement égaux aux rapports des hauteurs des
objets que dans un même instant. Ainsi, pour plus
d’exactitude, il faut commencer par marquer les points
F et C sur le terrain, et mesurer ensuite les lignes BC
et, EF.

Dans le cas présent, si l’on avait trouvé BE — 3 mèt.,
BC — 65 inèt., et EF — 4":,533 , en substituant ces va-
leurs dans la proportion (#72), on obtiendra

65 X:3

AB == — = — 3 mètres.
4,533 À

Pros. II. Mesurer une hauteur accessible BC à

3

l’aide d’un graphomètre ou d'un instrument propre à
relever les angles. (PL. IL. fig. 2.)

Ayant choisi unestation À, et mesuré sa distance AC,
au pied du mur dont on veut connaître la hauteur, on
y placera le graphomètre en lui donnant une position
verticale. On dirigera ensuite l’alidade de manière à
apercevoir le sommet B dans le rayon visuel des pin-
nules, ou dans l’axe AB de la lunette, si l’instrument en
est muni, et on relevera sur le limbe le nombre des de-

AL

grés de l'angle BAC. Cela fait, le triangle rectangle
ABC donnant la proportion ( Foyez Tnic.)

R : tang BAC :: AC : BC,
on en conclura

AC X tang BAC

BC in :

R désignant le rayon. En opérant par les logarithmes,
cette expression devient :

Log. BC — Log. AC + Log. tang BAC — Log. R.

Supposons, pour exemple, la distance AC = 60 mètres
et l'angle BAC — 29° 50’, alors, par la formule précé-
dente,

Log. AC ou Log 80 — 1,9030900

Log. tang 29°.50" — 9,696:745

11,5098049

10,0000000

Le logarithme de BC répondant au nombre 39,798, la
hauteur BC est donc de 39," 508. Ajoutant à BC la
hauteur du graphomètre, ou aura la hauteur totale du
mur.

Nous avons supposé, dans ce qui précède, que le
terrain sur lequel on a mesuré AC, était de niveau avec
le pied du mur; si cela n’avait
pas lieu, la ligne visuelle AC
étant toujours parallèle au ter-
rain ( fig. ci-contre), letriang le
ABC ne serait plus rectangle
en C. Dans ce cas, ayant déter-
miné le point C tel que CN soit
égal à la hauteur AM du gra-

phomètre, on mesurera AC ou
MN , ainsi que les deux angles BAC et CAM; mais les
lignes AM et BN étant parallèles, les angles alternes
internes CAM et ACB sont égaux ( J’oyez ANGLES );
et par conséquent connaissant deux angles du triangle
ACB, on déterminera le troisième angle ABC, en re-
tranchant la somme de ces deux angles de deux angles
droits. ( f’oyez Anezes.) Or dans le triangle ABC, on
a la proportion

Sin ABC : sin BAC :: AC : BC
qui donne, pour calculer BC, l'expression

AC. sin BAC
nr des sin ABC
Ou, employant les logarithmes,
Log. BC = Log. AC + Log sin BAC — Log. sin ABC.
Avant effectué le calcul, il suffit d'ajouter à BC la
hauteur du graphomètre pour avoir la hauteur de-
mandée BN.

AL

une hauteur inaccessible CD.

Pros. IV. Mesurer
(PL. IL. fig. 3.)

Ayant choisi et mesuré une distance MN bien de ni-
veau , on fera deux stations, l’une en M et l’autre en N,
mesurant avec le graphomètre les angles CAD et DAB
de la première, ainsi que les angles ABC et ABD de la
seconde. Cela fait, dans le triargle ACB on calculera le
côté AC par la proportion

Sin ACB : sin ABC :: AB : AC

et l’on aura, pour la valeur de ce côté,

AB. sin ABC
Tim sin ACB ?
l'angle ACB étant égal à deux droits, moins les deux
angles observés CAB, ABC.
Dans le triangle ADB, on calculera également le côté

AD par la proportion

Sin ADB : sin ABD :: AB : AD

qui donne, vour la valeur de ce côté, l'expression

AB. sin ABD

Dee 7 sin ADB ?

l'angle ADB étant aussi égal à deux droits, moins les
deux angles observés DAB, ABD.

Ayant effectué les calculs, on connaît les deux côtés
AC et AD du triangle ACD, ainsi que l'angle observé
CAD, compris entre ces côtés, il ne s’agit donc plus
que d'obtenir le troisième côté CD de ce triangle.
Pour cet effet, on remarquera que, connaissant l’angle
CAD, on aura la somme des deux autres angles ACD
et ADC , en le retranchant de deux angles droits, et que
la différence de ces mêmes angles est donnée par la
proportion

AC + AD : AC -— AD :: tang £S : tang 3 D,

S désignant la somme, et D Ja différence des angles
ACD, ABC. Or, connaissant la somme et la différence
de deux quantités, on obtient la plus grande en ajoutant
la moitié de la somme à la moitié de la différence, ct
la plus petite en retranchant de la moitié de la somme
la moitié de la différence. En effet, soient M et N deux
quantités quelconques, £ M + © N sera la moitié de
leur somme, et ? M — EN la moitié de leur différence :
on a évidemment

MIN +!
LM+IN—:

M—:N—M

et M+iN=N

Ainsi, dans le triangle ACD on connaîtra les trois
angles et les deux côtès AC et AD ; et, pour obtenir le
troisième côté, on posera la proportion

sin ADC : sin CAD :; AC : CD.

AL

D'où l’on obtiendra définitivement, pour la hauteur de.

65

mandée, l'expression

AC X sin CAD

Ce sin ADC

Soient, par exemple, AB — 10 mèt., CAB = 29°,30",
ABC = 130°.10', DAB — 15°.6’, ABD — 148°.28' ct
CAD — 14° 24

Des valeurs des angles observés on conclura celle des

deux angles ACB, ADB, savoir: ACB — 18°.20", et
ADP — 15°.54".

Substituant ces valeurs dans les expressions trouvées,

on aura

— 10° $
AC = -—= ©" — 23,564,
sin 18°,
10 X sin 14 .58" à
AD — TE = 10",672 ;

sin 15 _S

et, conséquemment, AC + AD = 42,436 et AC — AD—
4,691.
. . 180°— 140.24
Dans le triangle ACB on a 2S — SUNSRNS ee,
>
82°.48', et par suite

4,691 X tang 52°.48'

tang <D — - ro RE
63 42,436
ce qui donne, en effectuant les calculs, D—/1°.49".40".

A l’aide des valeurs de !S et de :D on trouve l'angle
ADC = 124°.37'.40", et l'angle ACD — 40°.58'.20
On a donc

'

23,564 X sin 14 _ :

Sen sin 124°. 37.4

TUE TON
La hauteur inaccessible CD est donc égale à 7" ,157.

Proc. V. Mesurer la hauteur d'une montagne.(PL. M,
fig. 5.)

Après avoir mesuré Ja distance AB des deux stations,
on relevera, à la station À, l'angle CAB ainsi que i'angle
d'élévation CAD ; à la station B, on relevera l’angle
ABC. Le triaugle CAB donne

AB : AC :: sin ACB : sin ABC,

et, par conséquent,

AB X sin ABC

IN QE
à sin ACB

J'angle ACB étant égal à 180° moins la somme des deux
angles observés CAB, ABC.
Le triangle CAD , rectangle en D, donne

R : sin CAD :: AC : CD.

D'où l'on tire
_ AC AG X sic CAD

CD — ki

GG AL

Substituant daus cette valeur de CD celle de AG donnée

ci-dessus, on obtiendra

AB X sin ABC X sin CAD

RE sin ACB X R ?

expression qu'on peut facilement calculer par les loga-
rithmes , car elle devient alors

log CD = log AB + log sin ABC + log sin CAD — log sin ACB —logRe

En ejoutant à la valeur de CD la hauteur de l’instru-
ment, on aura la hauteur totale CE.

Psos. VI. Mesurer la hau-
teur d'un objet inaccessible
AB, de trois stations C,D,
E, prises sur une même
ligne droite CE.

On mesurera les trois an-
gles d’élévation AEB, ADB
et ACB, ainsi que les dis-
tances DG et DE; et la hau-
teur AB sera donnée par la
formule

D

ee V3 cot a + deot2b—D cot2c)"

dans Jaquelle on a D— EC, d—CD, d—ED: l'angle
ACB— a, l'angle ADB =D, et l'angle AEB= c.
Voy. TRiGoNOMÉTRIE.

Lorsqu'on se trouve à une grande distance des objets
qu'on mesure, les calculs ont besoin de quelques petites
corrections (voyez Correcrion). Dans la pratique, on
ne considère comme erreur que celle qui dépend de la
différence du niveau vrai avec le niveau apparent {voyez
Nivezcemenr); mais cette erreur est très-peu de chose
comparativement à celles qui peuvent résulter de Ja me-
sure des angles lorsque le graphomètre est trop petit ou
mal divisé. On ne peut compter sur les opérations qu’en
se servant de bons instrumens, et encore, lorsqu'il s’a-
git de grandes hauteurs l'emploi du baromètre est sou-
vent préférable,

Mesure des hauteurs par le baromètre. L'application
du baromètre à la mesure des hauteurs s’est présentée à
l'esprit des mathématiciens bientôt après la fameuse ex-

“périence du Puy-de-Dôme, faite pour confirmer la dé-

couverte de Toricelli; cepeudant, la première idée pré-

cise de cette méthode est due à -Halley (Voyez Trans-

actions. philosophiques, n°

181). Depuis lors elle est
devenue l’objet d'un grand nombre de travaux dont
nous donnerons les résultats. Nous allons commencer
par exposer les principes sur lesquels elle est fondée.

Si nous concevons l'atmosphère partagée en couches
d’égales hauteurs, les densités de ces couches formeront
une progression géométrique décroissante (voyez Ars);
&e sorte qu’en désignant par 1 la hauteur de la pre-

AL

mière couche, par 2 celle de la seconde, par 3 cale de
la troisième , etc., par 1 la densité à la hauteur o, ou la
I

densité à la surface de la terre , par 1

la densité à L;, hau-

I £
teur, par la densité à la hauteur 2, etc., etc. Nous

aurons les deux suitcs

Hauteurs.

0; 2, 3; is 50.6; 7» 8, etc.
1, d1, d2, d5, d4, d5, d6, d1, d8, etc.

Dens. cor.

dont la première forme une progression arithmétique,
et la seconde une progression géométrique. On peut
donc considérer les termes de la première œimn.e les
Jlogarithmes des termes correspondans de la seconde,
particulier de logarithmes (}”oy. Lo-

carirumes). Nous désignerons les logarithmas de ce

dans un système

système par la caractéristique L.
Si donc H et H' sont deux hauteurs qnelconques, et

re: HN Me
LT les densités atmosphériques correspondantes à

I I
ces hauteurs, on aura H=L—, H' = L--,etpar con-
s mr nm

séquent

H—H'=L 1 LT".
m n m
Mais les hauteurs du mercure dans le baromètre tant
preportionnelles aux poids des colonnes d’air «qui pè-
sent sur lui; et ces poids étant eux-mêmes proportion-
nels aux densités des couches dans lesquelles se tmve
le baromètre, les hauteurs du baromètre sont une

entre elles comme les densités. Ainsi, désignant jar À

la hauteur du baromètre dans la densité _ et par"

SL:
cette hauteur dans la densité 7? Nous aurons
k n
RL m'

et, conséquemment,
!
HW = LT LL.

La différence de niveau des hauteurs H, I', est
donc égale à la difference des logarithmes des hauteurs
du mercure; et il suffit, pour mesurer une hacteur
quelconque, de prentre les hauteurs du baromètie à
sa base et à son sommet, et de retrancher le logarithme
de la seconde hauteur observée de celui de la pre-
mière.

Mais ces logarithmes ne sont pas ceux qu’on {inuve
dans les tables; et il faut les y ramener pour ren-
dre les calculs praticables. Or, pour passer d’uri sys-
tème quelconque de logarithme à celui des tables, il
faut déterminer son module (Foy. MopuLe), et multi-
plier chaque logarithme par ce module; désiguuus-le

donc par =, nous aurons, en général,

1
M

AL
qe LA =logA ou LA —MlogA,

et, pour le cas qui nous occupe,
H—H'=M(log# —logk],

formule dans laquelle tout est déterminé, excepté le
facteur constant M.
Mais on tire de cette expression
H—H
M=
log A" — log A
cé qui nous apprend que pour déterminer M, il suffit de
deux vlservations faites à des hauteurs dont on connaît
la différence de niveau.

C’est ainsi qu'ayant trouvé, à une première station, la
bäuteur du mercure égale à 348 lignes de Paris, ct à
une seconde station, supérieure à la première de 12 toi-
ses 49", cette hauteur égale à 347 lignes, on en a conclu

10707,408
M— RES — lg — 8640000.
10797, 408 étant le nombre de lignes contenues dans
12 Loises 497.
Ainsi, les hauteurs du baromètre étant exprimées en

lignes, la formule

H— H' = 86/0000 [logh'—log A]
donnera également en lignes la différence des deux
hauteurs I, H'. Mais en observant que la toise con-
tient 864 lignes, on peut ramener cette deruière for-
mule à la suivante, qui donne immédiatement en {oises
de Paiis les différences de niveau demandées

H — H' = 10000 [log h'—logA].

Exewpze, Le baromètre marquant 28 pouces À lignes
au bas d’une montagne, et 18 pouces 10 lignes à son
sommet, on demande la hauteur de cette montagne ou
la différence du niveau de sa base à celui de son
sommuol. -

Réluisant les hauteurs barométriques en lignes, on a
pour ces hauteurs 340 lignes et 226 lignes, dont les lo-
garitlanes tabulaires sont 2,5314389 €t 2,3541084. La
différence de ces logarithmes, 0,1773705, multipliée
par 16006, produit 1773 toises 705. La hauteur de la
montagne est donc égale à 1773 toises 705.

Telle serait la marche extrêmement simple que l’on
devrait suivre si la température était partout la même;
mais comme elle varie dans les deux stations où le ba-
romètre se trouve plagé, les dilatations du mercure va-
rient également, et, conséquemment, ses hauteurs dans
le tube én sont influencées. Pour corriger l'erreur que
cette influence peut entrainer, on cherche la tempéra-
ture moyenne entre les températures des deux stations ,
ce qui se fait en prénant la moitié de la somme des hau-
teurs du thermomètre observées à chaque station. Si
cette témpérature moyenne se trouve justement de 16°?

AL L GT

du thermomètre de Réaumur, ce que Deluc appelle la!

tempcraiure normale, il n’est älors nécessaire de faire

aucune réduction; mais, si elle est plus grande ou

plus petite, il faut ajouter ou soustraire de la hau-

teur calculée, d’après la méthode précédente, autant
:

de fois +5 de cette méme hauteur qu'il y a de degrés

en plus ou en moins de La formule devient

16° 3.

4
donc, en désignant par le nombre de degrés dont la
température moyenne diffère de la température nor-
male, et par x la différence des niveaux,

A ts
æ=10000{[logh' —logA].[12—; ).
Ü 3 21 5

On prend ie signe L lorsque la température moyenne
est la plus grande, et le signe — lorsqu'elle est la plus
petite.

Trembley à trouvé, par une suite d'observations,
qu'on approchait encore plus de la vérité en prenant
1192 pour température normale, et en ajoutant ou re-

LI

franchant -1-
193

sus ou au-dessous de cette température.

de la hauteur pour chaque degré au-des-

Laplace à traité cette quéstion dans sa Mécanique cé-
leste , t. 1v, avec toute la généralité dont elle est sus-
ceptible. Si l'on exprime par F la température de l’air
en degrés du thermomètre centigrade, et par H la hau-
teur du baromètre dans la station inférieute; par £et A
les valeurs analogues dans la station supérieure , et en-
fin par x la différence des niveaux, on aura, d’après ce
géomètre ;

H
n(i+5

TS)

Cette formule donne la valeur de x en mètres.

2 = 16336 | : nm. + . log

1000

Le coefficient constant 18336 porte le nom de coef-
ficient de Ramond ; il a été déterininé par ce physicien
à l’aide d'un très-grand nombre d'observations faites
dans les montagnes des Pyrénées. Il dépend du rapport
entre le poids d’un volume déterminé de mercure et
celui d’un volume égal d’air à la température de la glace
fondante et à la hauteur moyenne du baromètre, qui
est celle du niveau de la mer, laquelle est à peu près de
28 pouces ou de 0®,756. MM. Biot et Arago, par une
suite d'expériences sur les densités de l'air et du mer-!
cure; ont trouvé ce même coefficient égal à 18332, ré-
sultat qui s'accorde d’une manière bien remarquable
avec celui de M. Ramond.

La formule de Laplace admet encore une correction
pour le changement de la pesanteur, qui a lieu sur les
points très-élevés au-dessus du niveau de la mer; mais
cette correction est peu sensible. Voyez la Mecanique
céleste ou la deuxième édition de lA4stronomie phy-
sique de Biot.

Nous devons remarquer que lés ébsérvations baromé-

63 . AM

triques et thermométriques doivent être faites aux deax
stations dans le même moment. Il faut donc deux ob-
servateurs munis d’instrumens parfaitement semblables.
Voyez à ce sujet le mémoire très-intéressant que M. Ra-
mond a publié en l'an XIII. Voyez aussi : De Luc, Re-
cherches sur les modifications de l'atmosphère , Horse-
ley et Maskeline, Transactions philosophiques, vol.
zx1v ; Trembley et Saussure, vol. 11; Roy, Trans: phil.,
1977; Laplace, Mec. cél., vol. n1, p. 189. M. Prony
a donné, dans la Connaissance des temps, de l’année
1816, une formule qui dispense de faire usage des lo-
garithmes. On trouve également, dans l'Annuaire du
bureau des longitudes , une table, due à M. Oltmanns,
d'un usage extrémement facile.

AMBIGENE (Géom.). Courbe hyperbolique du
troisième ordre, dont "
l’une des branches in-
finies estsituée hors des
asymptotes. La courbe
DEF est une telle hy-
perbole:sabrancheDE
est inscrite à l'asymp-s
tote AB, et son autre C F
branche EF est circon-
scrite à Fasymptote AC. Newton s’est servi le premier
du mot ambigène pour désigner cette espèce particulière
d'hyperbole. Foy. HyrErboLE.

AMBLYGONE ( Gcom. ).

/

Triangle amblygone :
c’est un triangle dont un des angles est obtus. On le
nomme plus ordinairement triangle obtusangle. ( No-
TIONS PRÉLIM. 30.)

AMTABLE ( Arithm.). Nombres amiables. C’est une
paire de nombres dont chacun est égal à la somme des
parties aliquotes de l'autre. Tels sont, par exemple,
les nombres 284 et 220. Les parties aliquotes du pre-
mier sont : 1,2, 4, 71,142; celles du second : 1,2,
4, 5, 10, 11, 20, 22, 44,55, 110; etl’on a

28%4—=1+2+4+4+ 5+ 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 10,
20—=1+2+4 + 91 + 14.

On ne connait, jusqu'à présent, que trois paires de

nombres amiables :

172002. 18410

9363538....09437056
Ts ont été donnés par Schooten dans ses Exercitationes
mathematicæ, sec. 9. Ce mathématicien paraît avoir,
le premier, employé le terme amiable pour désigner
ces nombres, quoique Rudolff, Descartes et autres les

aient traités avant lui.

AMONTONS (Guillaume), membre de l'Académie
des sciences, né en 1663, mort en 1705, a rendu son
nom célèbre dans la mécanique par la découverte de

AM

plusieurs procédés importans, et surtout par la règle
qu'il a donnée pour calculer le frottement. On sait que
dans toute machine le frottement est ordinairement une
partie assez considérable du poids à mouvoir. Mais cette
théorie n’avait point été expliquée avant Amontons. On
ne saurait évaluer & priori le poids équivalent à l’action
du frottement , parce que cette action étant une résis-
tance occasionnée par l’aspérité des surfaces qni se meu-
vent pressées l’une contre l’autre, les éminences de
l’une s’engrènent dans les inégalités de l’autre; la puis-
sance qui tire ne peut entrainer le poids ou la surface
qui le soutient sans le soulever un peu. Il faut néces-
sairement pour cela une force proportionnelle au sou-
lèvement. Il serait donc nécessaire de connaître la nature
de ces inégalités pour calculer rigoureusement le frot-
tement. Amontons employa la méthode de l'expérience
pour résoudre ce problème, et en renfermer la théo-
rie dans deux propositions fondamentales. La pre-
mière est que la résistance occasionnée par le frotte-
ment est à peu près le tiers de la force qui applique les
surfaces l’une contre l’autre; la seconde, que le frotte-
ment ne suit pas, comme on serait tenté de le penser,
le rapport des surfaces, mais seulement celui des pres-
sions. C’est d’après ces principes qu'Amontons donne
des règles pour calculer la quantité du frottement et la
quantité de puissance nécessaire pour le surmonter.
(Voyez Mémoires de l Académie des sciences, 1690. )
On doit encore à Amontons de curieuses expériences
sur le baromètre, le thermomètre, etc., qui setrouvent
consignées dans les Mémoires de E Académie des
sciences des années 1608, 1699, 1702,
1703, 1704 et 1705.
AMPLIFICATION (Opt.). Ce mot,
en optique , signifie l'augmentation du

BA

diamètre d’un objet vu dans une lunette.
L’amplification d’unelunette astronomi-
que simple à deux verres est équiva-

lente au nombre de fois que le rayon de
sphéricité, ou la longueur du foyer de M D>N
l'objectif, contient le rayon de sphéri-
cité de l’oculaire. En effet, soit A le
centre et B le bord d’un objet, le point
À sera vu de l’œil O par le rayon À aO
qui traverse les deux lentilles sans éprou-
ver de réfraction; nous faisons abstrac-
tion de tous les autres rayons partis du
point À, et qui vont se réunir au foyer
par la réfraction de l’objectif. Le bord B
envoie également un rayon principal Bb
au foyer ab de l'objectif; ce rayon, pour-
suivant sa route, éprouve une réfraction
en entrant dans la seconde lentille: il en
éprouve aussi une seconde, en e, en sortant de cette len-

AM

ülle, et se rend au foyer O de l’oculaire, en sorte que
Oe est parallèle à Eb. L'image est donc vue sous l'angle
eOE — bEa ou plus simplement sous l'angle O, tandis
que son angle primitifest ADB ou D : l’amplification est
donc dans le rapport des angles D et O. Or, les triangles
rectangles Eba, Dab donnent

ab = Ea X tang E, ab = Da X tang D

on tire de ces égalités

ab Da

tang E — D X tang D.

Désignons donc par R le rayon de sphéricité Da de
l'objectif, et par r le rayon Ea de l’oculaire, nous au-

rons
tang E 1% tang D, ou bien E — > x D.

Car pour de petits angles les tangentes peuvent être
considérées comme proportionnelles aux arcs.

L’angle sous lequel l’image est vue est donc augmenté
dans le rapport des deux rayons de sphéricité, et con-
séquemment le diamètre de l’image sera augmenté dans
le même rapport. Le grossissement sera donc d’autant
plus grand, que le foyer de l’oculaire sera plus courten
comparaison de celui de l'objectif. Ainsi, par exemple,
un objectif de à mètres de foyer, combiné avec un ocu-
laire de 5 centimètres, grossira le diamètre d’un objet
40 fois, parce que 5 centimètres sont contenus 40 fois
dans 2 mètres.

Les lunettes astronomiques grossissent ordinairement
de 70 à 100 fois; quelques-unes même grossissent 300
fois. Il ne faut pas cependant donner un sens trop ri-
goureux à cette amplification, car l’on se tromperait
beaucoup si l’on croyait, par exemple, trouver la lune
100 fois plus grande dans une lunette qui serait donnée
pour grossir 100 fois. Il s’agit seulement ici de l’angle
de vision ; mais cet angle ne détermine pas seul la gran-
deur que nous attribuons aux objets; la distance à la-
quelle nous les supposons y entre aussi pour beaucoup.
( Voyez OPTIQUE. )

AMPHORA (Astr.). Nom latin donné quelquefois à
la constellation du Verseau,

AMPLITUDE ( 4str.). C’est l'arc de l'horizon com-
pris entre le point où un astre se lève ou se couche, et
les vrais poiuts de l’est ou de l’ouest. L'amplitude se
nomme ortive, lorsqu’on la compte du point de l’orient,
pour un astre qui se lève; elle se nomme occase lors-
qu'on la compte du point de l'occident, pour un astre
qui se couche.

L’amplitude, soit ortive, soit occase, est toujours sep-
tentrionale pour les astres qui sont entre l'équateur
céleste et le pôle nord, et elle est mcridionale pour
ceux qui sont entre l'équateur et le pôle sud. Ainsi l'am-
plitude du soleil est septentrionale depuis l’équinoxe

du printemps jusqu’à celui d'automne , et elle est méri-

AM 69

dionale depuis le dernier de ces deux points jusqu’au
premier.

Soient : ROAH le cercle de l'horizon vrai, RZPH Je
méridien du lieu, Z le zénith, P le pôle, O le point de
l’est ou de l’ouest, et
A le lieu d’un astre
qui se lève ou se cou-
l'arc OA sera

l'amplitude de cet as-

che :

tre. Pour calculer cet

arc, abstraction faite

o #
de la réfraction et de la hauteur de l'œil RE du
niveau de la mer, deux causes qui concourent à rendre
l'amplitude apparente différente de l’amplitude wrare,
on considère letriangle sphérique APH, rectangle en H,
dans lequel on a PA égal au complément de la déclinai-
son de l’astre au moment donné, et PH égal à la lati-
tude du lieu : ce triangle donne ( voyez Tricon. ) la
proportion
cos PH : R :: cos PA : cos AH

de laquelle on tire

cos AH — R X cos PA

cos PH
Mais, AH—OH—OA—go° —OA: donc cos AH
— sin OA. Ainsi, désignant par d la déclinaison de l’as-
tre, par / la latitude du lieu , et négligeant R, que dans
toutes Les formules de trigonométrie on suppose égal à
l'unité, nous aurons
sin d
cos /
Exemple. Trouver l'amplitude du soleil, à une lati-
tude de 48°.30'.15", sa déclinaison étant de 21°.54’.
Nous avons ici 9 —21°.54, 1 — 48°.30'.15"; opérant
par logarithmes, nous trouverons
log sin9— 9,5716946
log cos / — 9,8212527

sin amplitude —

log sin amplitude — 0,7504419 = log sin (34°.15'.27").

L'amplitude demandée est donc égale à 34°.15'.27".
Lorsqu'il s’agit de calculer l'amplitude apparente ,
dont on a particulièrement besoin en mer , il faut ima-
giner que ROAIT est un cercle parallèle à l'horizon, et
qui en est éloigné, en dessous, de 37', valeur de la rétrac-
tion, y compris l’abaissement de l'horizon dü à la hau-
teur de l'œil, au-dessus du niveau de la mer ; alors le
triangle sphérique ZAP , dont on connaît les trois côtés,
savoir : ZP complément de la hauteur du pôle ou de la
latitude , PA complément de la déclinaison , et ZA égal
à 90°.37', donne, en désignant par S la demi-somme
des côtés, ZP, ZA, PA,
sin (S—ZP).sin(S—ZA)
= ER |
Or, l'angle PZA est le complément de l'angle d'am-

sin + PZA = y [

70 AN

plitude OZA ou de l'are OA; l'ayant donc calculé à
l'aide de cette formule, il suffit de le retrancher de 90°
pour avoir l'amplitude cherchée.

Exemple. Supposons les mêmes données que ci-des-
sus, et nous aurons ZP — 90° — 48.30.15" — 41°.29".
45", PA 90° — 21°.54—68°.6", ZA = g0°.37'. De
la demi-somme 100°.6'.22", des trois côtés, retranchant
successivement ZP et ZA, nous obtiendrons

S — ZP = 58°.36'.37",
Effectuant les calculs , nous trouvérons

log sin (58°.36.37") — 9,9312769

16p Sin ( 9°.29.2"2) = 9,2i71308

et S—ZA = 9.509.924",

lôg sin (41°.59°.45”) — 9,8212289
log sin (g0°.37) = ),9090746
19,8212035

Retranchant la seconde somme de la première, et pre-
nant , pour extraire la raeitie carrée, là moitié de la dif-

férence 19,3272642, nous aurons

Log. in ? PZA — 9,6636021

et par sute, 3 PZA = 27° 26° 41": Retranchant le
double de ce nombre de go°, nous aurons définitive-
ment 35° 6° 28” pour l'amplitude apparente démandée.

Cette amplitude est celle du centre du soléil. Si l'on
voulait avoir l'amplitude apparente de l’an des bords,
au lieu d'employer dans le calcul 90° 37' pour ZA, on
ajouterait à ce nombre ou on en retrancherait le demi-
diamètre du soleil, selon qu'il s'agirait aa boïd inférieur
où du bord supérieur.

Les navigateurs se servent de l’amplitude pour trouver
la déclinaison de l'aiguille aimantée ou la variation du
compas. Pour cet effet, ils observent, à l'aidé du com-
pas de variation (voyez ce mot), l'amplitude du bord
inférieur du soleil au moment de son lever ou de son
coucher; ils calculent ensuite, comme nous venons de
le faire ; l'amplitude appärénté de ce même bord , et la
différence entre l'amplitude calculée, ét l'amplitude
observée leur dônne la fariation. Foyéz BouisoLe.

L’amplitude d'un astre est toujours le Complément
de son azimut, de sorte que l’un de cés arcs détérminé
immédiatément l’autre. Voyez Azimur.

AMPEITUDE { Geo. ). On nomme amplitude d’un are
de parabole à droite horizontale qui mésure la distance
du point où l'arc parabolique commence, à celui où il
finit. Ce terme est particulièrement employé dans le jet
des projectilés. Voyez PArisoce et Projecrire.

ANABIBAZON ( 4str.). Nom donné à la queue du
Dragon, ou au nœud ascendant de la Lune: Voyez
Nour.

ANACAMPTIQUE ( Acoust. j. ( Dé araxémis,

AN

je réfléchis). C’est le nom donné aux sons réfléchis , tels
que les échos que l’on dit être des sons anacampliques.
Voyez Ecno.

ANACHRONISME. C’est, en chronologie, une ér-
reur dans le calcul du temps, par laquelle un événe-
ment est placé avant l'époque réelle où il est arrivé:

ANACLASTIQUE ( Opi.}, (De «sx, à travers, et de
xàaû je brise.) Nom ancien de la partie de l'optique
nommée aujourd'hui dioptrique ; et qui a pour objet la
propagation de la lumière par réfraction. Foyez
DiorrriQue:

Mairan a nommé eourbes anacläsliques cértaines
courbes apparentes qui se forment au fond d’un vase
plein d’eau, quand l'œil de l'observateur est placé au-
dessus. Voy. Mém. de l’ Acad. des sciences, 1740.

Verres anäclastiques. Espèces de fioles sonores, fabri-
quées particulièrement en Allemagne, qui ont la pro-
priété d’être flexibles, et d'émettre un bruit violént lors-
qu’on aspire avec la bouche l'air qu'elles renferment.

ANALEMMATIQUE. Foyez Capran.

ANALEMME (Astr.). (De uyanemmu, hauteur) C'est
une projection orthographique de la sphère sur lé plan
du méridien, l’œil étant supposé à une distance infinie,
ét placé au point oriental ou occidental de l'horizon.
Cette projection, dans laquelle l'équateur ét l'horizon
sont représentés par des lignes droites , donne, parune
simple opération graphique, la hauteur de soleil pour
une heure quelconque; et vice versü. Elle sert encore
pour déterminer le temps du lever et du coucher du
soleil pour une latitude et un jour déterminés: Nous
4llons donner un exemple de son emploi.

Soit ab l'horizon, aBAb le inéridien, BO l'équateur,
ét À le pôle. Prenons
BC égal à la déclinaison
du soléil, et menons
CQ perpendiculaire
sur AO ; CQ sera le
rayon du parallèle
diurnedusoleilCDME,
prenons aussi KN égal

IKOL

äu sinus de la hauteur du soleil à l'instant où l’on veut
connaître l'héure, et du point N ménons ND perpendi-
culaire sur CQ ; le point D où cette perpendiculaire
réncontre le parallèle CDME détermine l’arc CD égal
à l'arc horaire du soleil ou à sa distance du méridien.
Cette distance convertie en temps fait connaitre heure
correspondante à la hauteur dont KN éstrle sinus. On
aurait agi d’une manière inverse si l’on avait voulu dé-
terminer la hauteur du soleil pour une heure donrée.
Voyez Prosecrios.

ANALOGIE. Ce mot, pris dans son acception mathés
matique, est le synonyme de Proportion

AN

On nomme ordinairement Analogies de Neper, quatre
formuies découvertes par ce géomètre pour la résolution
des triangles sphériques. Ces formules, très-utiles dans la
pratique, sont les suivantes :

tangs (b +e) = ct; a X ge BFC
Mngsth=ec) = cote ant NE,
ang à + © œ ent à x SE ÈS,
ang Be D) et A KT

dans lesquelles A, B, C désignent les trois côtés d’un
trangle sphérique, et 4, b, 0 les angles respectivement
opposés à ces côtés.

Ces formules ont été données par Néper sans démons-
tration, et l’on ignore comment il y avait été conduit.
On les trouve indiquées dans son ouvrage posthume
intitulé : Mirifici logaritimorüm canonis constructto ;
mais c’est Henri Briggs qui les a développées, et qui leur
a donné la forme sous laquelle nous venons de les pré-
senter. Waillis est le premier qui les ait démontrées.
Depuis elles l'ont été de plusieurs manières différentes.
Voyez TnicoNOMÉTRIE.

ANALYSE, { De æveavs, je décompose.) Les mathé-
maticiens modernes désignent sous le nom d'analyse la
méthode de résoudre les problèmes par des calculs gé-
néraux. Quelques-uns d’entre eux ont étendu tellement
la signification de ce mot, qu'ils lui ont fait embrasser
toutes les branches de la science des nombres: c'est ainsi
qu'ils ont nommé l'algèbre, analyse finie; le ealcul
différentiel, analyse infinttésimale, etc., ete. Ces di-
verses dénomifations sont d'autant plus mal fondées que
la science des uombres, loin de procéder toujours par
analyse, emploie la synthèse, tout aussi bien que la géo-
métrie pour la génération des objets dont elle s'occupe.

L'analyse, dans l’acception rigoureuse du mot, est
une méthode de raisonnement qui procède par voie de
décomposition’ ou de l'inconnu au conuu ; en ce sens, elle
est l'opposé de la synthèse, méthode de raisonnement qui
procède par voie de composition où du connu à l'inconnu.
Ces deux méthodes s'appliquent également à toutes les
branches des mathématiques, et si les découvertes des
modernes ont laissé si loin derrière elles les travaux
des anciens , ce n’est point parce que ces derniers igno-
raient Ja méthode analytique, mais bien parce que la
science des nombres n'existait point encore pour eux,
ou que du moins ils n’en connaissaient que les premiers
élémens. C’est l'emploi des signes généraux , pour repré-
. senter les quantités, qui a facilité aux modernes la
découverte des lois des nombres ; mais c’est seulement à
cette découverte qu'ils doivent leur supériorité incon-
testable ; car toutes les considérations mathématiques les

AN 71

plus élevées peuvent se ramener à des considérations de
nombres.

La distinction qu’on a voulu établir entre l’analyse
ancienne gt l'analyse moderne ne repose donc, en der-
nier lieu, sur rien de réel. I] n’y a, en effet, qu’une
seule et même méthode analytique; seulement elle
s'exerce aujourd’hui sur une multitude de créations nou-
velles de la seience, inconnues par conséquent aux an-
ciens, et ses moyens sont d'autant plus prompts et plus
sûrs, que ses instrumens spnt plus parfaits. |

C’est à Platon qu’on attribue l'invention de l'analyse
géométrique, ou plus exactement de l'application de la
méthode analytiqueaux constructions de la géométrie, car
l'analyse, comme forme logique de raisonnement, était
connue avant ce philosophe. Cette application a eu de si
heureuses conséquences pour la perfection de Ja géomé:
trie, qu'il est essentiel d’en donner une jdée exacte. Elle
consiste à supposer vrai ce qui est en question : on cons-
truit ce qui est à exécuter; on tire de ces suppositions les
conséquences qui en dérivent, et de celles-ci de nouvelles,
jusqu'à ce que l'on soit parvenu à quelque chose d’évi-
demment vrai ou faux, d’évidemment possible ou im-
possible. La nature de cette dernière conséquence décide
de la vérité ou de la possibilité de la proposition qu’on
examine. Pour comparer l’analyse et la synthèse, nous
ajouterons que dans la première méthode on décompose
une proposition encore incertaine en ses parties, les-
quelles doivent se trouver vraies et liées ensemble si la
proposition est vraie, ou fausses et sans liaison possible
si la proposition est fausse ; tandis que dans la seconde
méthode on assemble, on joint en quelque sorte plu-
sieurs vérités, de la liaison desquelles résultent de nou-
velles vérités. Eu un mot, dans l'analyse on va des
rameaux au tronc, et dans la synthèse on va du tronc
aux rameaux. Nous allons éclaircir ces procédés par
quelques exemples.

Progcème I. Trouver un point C sur le segment
de cercle donné BCA,
CA et CB aux extrémités de la corde AB, ces droites
soient entre elles dans le rapport des droites données
Met N.

tel qu'en menant les droites

ANALYSE,

Supposons le point G connu( fig. ci-après), et me-
nons AC et BC ,nous aurons

AC : BC :: N : M.

Si l'on mène la droite AD de manière que l'angle
BAD soit égal à l'angle ACB, et qu'on prolonge BG
jusqu’en D, on aura les deux triangles ACB et ABD qui
( Voyez

sont équiangles , et par conséquent semblables.

TaranGues sempLAgLes. ) On a donc la proportion

AG : BG :: AD : AB

72 AN

et par couséquent

AD : AB :: N :

Or, dans cette der- 3
nière proportion, AB C
étant connu, AD se
trouve entièrement
déterminé, etil est fa-
cile d'arriver par son
moyen à la solution du
problème.

SYNTRÈSE.

Construction. Menons au point A la droite AD qui
fasse avec la droite donnée un angle BAD égal à celui
dont est capable le segment BCA donné. Cette droite
étant de plus quatrième proportionnelle aux droites
données AB, M,N, c’est-à-dire telle que l’on ait

M : N:: AB : AD.
Menons la droite BD, et du point C où elle rencontre
le cercle, menons AC, le problème sera résolu.

Démonstration. Les triangles ABC, ABD sont équian-
gles, car l’angle B est commun, et l’angle BAD est par
construction égal à tous les angles dont le segment est
capable, et conséquemment à l’angle BCA. Ces deux
triangles sont donc semblables et donnent

BG: AG: AB: AD: M: N
les deux droites, AG et BC, ont donc le rapport de-
mandé.

Pros. II. Inscrire un carré dans un triangle donné.
ANALYSE.

Soit ABC le triangle donné. Supposons le problème
résolu , et que DEFG soit le carré inscrit : par les point
A et E menons la droite
AE prolongée jusqu’à ce
‘qu’elle rencontre en O Ja
‘ligne CO parallèle à la base
AB, et abaissons la per-
lpendiculaire Of sur cette

base prolongée s'il est né-

cessaire ; abaissons égale-
ment la perpendiculaire CH qui sera la hauteur du
triangle. Les triangles CAO et DAE étant semblables,
ainsi que les triangles OAI et EAF, on a les deux pro-
portions

AE : ÀO :: DE : CO

AE : AO :: EF : OI.

Mais les trois premiers termes de la première sont égaux
aux trois premiers termes de la seconde, car EF = DE;

AN

donc les quatriémes termes sont nécessairement égaux,
et l’on a

OL. =1CO —= CH:

Ainsi, la figure CHIO est un carré dont le côté est égal
à la hauteur du triangle donné, et il ne faut que cons-
truire ce carré pour obtenir le point E, et par consé-
quent résoudre le problème.

SYNTHÈSE.

Construction. Sur la hauteur CH du triangle donné,
construisez le carré CHIO ; joignez les points A et O
par une droite; du point E, où cette droite rencontre
le côté CB du triangle, abaissez la perpendiculaire EF
sur la base, menez par ce même point E la droite ED
parallèle à la base; abaissez enfin la perpendiculaire
DG, et la figure DGFE sera le carré inscrit demandé.

Démonstration. Les triangles ACO et ADE, ainsi que
les triangles AOT et AEF sont semblables par con-
struction , on à donc :

AO : AE :: CO : DE
AO : AE :: OI : FF.

Mais CO est égal à OI, donc DE —EF = DG = GF;
ainsi, la figure DGEF ayant ses quatre côtés égaux est
un carré, puisque ses angles sont droits.

Ces exemples sont suffisans pour faire connaître la
différence des méthodes analytique et synthétique, et
pour donner une idée de la manière dont les anciens
les employaient. Nous traiterons à Particle APPLICATION,
des moyens nouveaux d’analyse géométrique. Quant à

’analyse algébrique, ses procédés seront successivement
décrits dans les divers articles qui se rapportent à la
science des nombres.

ANALYTIQUE. Ce qui appartient à l'analyse. La-
grange a voulu remplacer le calcul différentiel par une
méthode artificielle, à laquelle il a donné le nom de
Calcul des fonctions analytiques. Le but de ce géo-
mètre, si recommandable d’ailleurs par ses brillantes
découvertes, était d'éviter la considération de l'infini,
dont le calcul différentiel reçoit sa signification, et de
ramener ainsi les principes de cette branche de la science
des nombres aux principes élémentaires de l’algèbre.
C’est dans cette intention qu’il désigne sous les noms de
fonction prime , fonction seconde, fonction uerce, etc.,
les dérivées différentielles d’une fonction quelconque
fx, d’une variable x, qui entrent dans le développe-
ment de Taylor :

DE 6 LC LS Là
+ =

dx? ‘1.2

Se+d=fi+

dx

Les fonctions prime, seconde, ctc., n'étant autre chose

AN

que les coefficiens différentiels de ce développement,
savoir :

! dfx (4 df. La 12 d fx
Sr JE = Es sf = » etc.

Outre que les procédés du calcul des fonctions analy-
tiques sont loin d’avoir la simplicité de ceux du calcul
différentiel, la méthode de Lagrange n’est évidemment
qu'une transformation, un emploi indirect de ce der-
nier calcul, et ses fonctions dérivées n’ont par elles-
mêmes aucune signification, ainsi que nous le prouve-
Calcul différentiel et Calcul des

fonctions analytiques.

rons aux articles

Les diverses espèces de quantités qui forment l'objet
de la science des nombres sont autant de réalités intel-
lectuelles, présentant des ordres différens, soumis à des
lois différentes. Vouloir ramener toutes ces quantités aux
mêmes considérations élémentaires, c’est non-seulement
méconnaître , tout à la fois, la nature de la science et ses
immenses progrès, mais C’est encore matérialiser l’esprit
humain, lui ravir ses plus nobles facultés, et imiter le
grossier anatomiste qui, le scalpel à la main, croit
trouver dans la mort les secrets de la vie.

ANAMORPHOSE ( Persp.). Projection monstrueuse
ou représentation d’une image défigurée, sur un plan
ou sur une surface courbe, et qui cependant parait
régulière et faite avec d’exactes proportions, étant vue
d’un certain point. Voyez PERSPECTIVE.

ANAXAGORAS, de Clazomène en lonie, fut l’un
des successeurs de Thalès dans la direction de l’école
lonienne, fondée par ce célèbre philosophe : il com-
mença à acquérir de la réputation vers l'an 500 avant
J.-C. Il s’est principalement occupé de géométrie et
d'astronomie. Ses livres, qu’on regarde comme les plus
anciens de la Grèce savante, ne sont point venus jusqu’à
nous, et nous n'avons guère une idée de ses travaux
que par les écrits de Plutarque et de Platon, qui
les ont accidentellement mentionnés. On attribue à
Anaxagoras la découverte de la cause des éclipses de
lune; il est du moins certain que ses opinions sur ce
phénomène, qui parurent hardies et peu conformes à la
cosmogonie de son temps, lui attirèrent d’injustes persé-
cutions. Comme Galilée, le sage de Clazomène fut le
martyr de la vérité. Il est douloureux de penser que de
tout temps les hommes ont repoussé les lumières, et ont
été disposés à condamner ce qu’ils ne peuvent com-
prendre. Il est probable qu'Anaxagoras à partagé les
opinions erronées de l’école Tonienne sur la plupart
des grands phénomènes dont les lois nous sont aujour-
d’hui mieux connues; mais cela ne prouve rien contre
son génie, ni contre celui des philosophes de l'antiquité,
dont les travaux , qui marquent le point de départ de la

science, inspireront toujours sous ce rapport un vif

AN

intérêt. F n’est pas au reste bien certain que nous inter-

15

prétions avec exactitude le sens de leurs propositions
scientifiques ; et d’ailleurs toutes les idées qu’elles résu-
ment n’ont pas été détruites par l’expérienceet les progrès
de la science. Ainsi que ses prédécesseurs, et le célèbre
fondateur de l’école Tonienne , Anaxagoras regardait le
soleil comme une masse enflammée, mais dense et sem-
blable à la terre, opinion qui est conforme aux lois de la
gravitation universelle. Quand ce philosophe soutenait
que les cieux étaient de pierre, voulait évidemment
dire que tous les corps célestes étaient d’une matière
pesante et à peu près semblable à celle de la terre. On
demandait à Anaxagoras, contre ce sentiment sur la
matérialité des astres, comment il arrivait que ces corps
si pesans ne tombaient pas. Il répondait à cette objec-
tion, que la cause en était dans leur mouvement circu-
laire, et que leur chute serait immédiate si ce mouve-
ment cessait. Cette opinion remarquable est la plus
ancienne trace , qu’on trouve dans l’histoire de la science,
de la connaissance de la force centrifuge qui retient
les corps célestes dans leur orbite. Anaxagoras, à qui
l'on a aussi attribué des recherches sur la.solution du
problème de la quadrature du cercle, mourut à Lam-
psaque, vers l’an 469 avant J.-C., dans un âge avancé.
(Poyez Tuarës, pour les détails historiques relatifs à
l'école Tontenne:)

ANAXIMANDRE, de Milet, né vers l’an 620 avant
J.-C. , successeur de Thalès dans la direction de l’école
Tonienne, a attaché son nom aux premiers progrès des
sciences. Quelques auteurs l'ont rangé, d’après des do-
cumens historiques peu certains, parmi les philosophes
qui ont connu le mouvement de la terre. Mais il est
probable que les opinions d’Anaximandre à ce sujet
n'avaient rien de plus décisif que celles du fondatèur de
l'école d’'Ionie. Ce géomètre se persuada néanmoins,
dans ces jours d'enfance de l'astronomie, que le soleil
était une masse enflammée , aussi grosse que la terre;
et quoique cette opinion ne füt en lui que conjecturale,
elle doit faire concevoir une idée avantageuse de son
génie, car elle prouve que plusieurs siècles après il eut
eu peu de peine à s'élever jusqu'aux réalités dont la
science est maintenant en possession. Diverses inventions
ingénieuses qui eurent lieu à cette époque, et qui furent
le résultat des travaux de l’école Tonienne , ont été attri-
buées à Anaximandre. Il parait étre l'inventeur de la
sphère, c’est-à-dire qu'il construisit un instrument qui
représentait le système céleste, tel qu’on le concevait de
son temps. Mais l'invention qui a le plus contribué à
illustrer le nom d’Anaximandre est celle du gnomon.
11 s’en servit pour observer les solstices. Les sciences ma-
thématiques doivent enfin à Anaximandre les cartes
géographiques et les horloges solaires. I mourut l'an 545
avant l'ère chrétienne.

10

T4 AN
ANAXIMEÈNE, de Milet, disciple d'Anaximandre, et

son successeur à l’école Ionienne, suivit avec éclat les
traces de ses prédécesseurs. Pline lui attribue l'invention
des cadrans solaires, qui appartient évidemment à son
maître Anaximandre. L'incertitude qui règne dans la
chronologie de cette époque, et le peu de documens
historiques qui nous sont restés de ces âges reculés,
ne permettent guère que des conjectures à l'égard des
faits qui intéressent le plus l'histoire de la science.
Anaximène s’occupa spécialement de gnomonique et
de géographie, et sa position à l’école de Thalès a na-
turellement fait attacher son nom aux premiers progrès
de ces sciences. On ignore la date précise de la naissance
de ce philosophe; mais il succéda à Anaximandre vers
l'an 545 avant J.-C., et il est probable qu’il était alors
parvenu à l'âge mür. On croit qu'il mourut vers l'an
500 avant la même époque.

ANDERSON (AzEexanpre), géomètre écossais, qui
vivait dans les premières années du XVII siècle, a dû
sa réputation à l'amitié du célèbre Viète, dont il était
aussi le disciple. Il a rendu aux sciences mathématiques
un seryice important, en publiant plusieurs ouvrages
de géométrie et d'analyse, laissés par ce savant mathé-
maticien, Alexandre Anderson possédait aussi fort bien
l'analyse ancienne, et il en a donné la preuve dans son
Supplementum Apolloni redivivi (Paris 1612), travail
dans lequel il a suppléé à tout ce que Ghetaldi avait
Jaissé d’incomplet dans son ouvrage.

ANDROIDE ( Mec. ). Du grec éwp, génitif, évèpes,
homme, et d'tides, forme, ressemblance; automate qui a
reçu une forme humaine, et qui, au moyen de ressorts
disposés dans son intérieur, exécute divers mouvemens
et diverses fonctions qui appartiennent à l'homme.
Albert-le-Grand construisit, dit-on, uue de ces ma-
chines, qui, malgré le génie qu’elles permettent de sup-
poser dans leurs auteurs, offrent plus d'intérêt à la
curiosité, qu'elles ne sont réellement utiles aux progrès
de la science. Dans le dernier siècle, Vaucanson s’ac-
quit, par un ouvrage semblable, une célébrité qui
depuis n’a point été dépassée. Le flüteur automate que
coustruisit, en 1736, cet habile mécanicien, excita à
Paris la plus vive admiration: où courut en foule pour
voir ce chef-d'œuvre de mécanique, exécuté avec une
rare perfection. L’automate jouait plusieurs airs sur la
flûte, et imitait parfaitement tous les mouvemens d’un
musicien. L'Académie des sciences, dont Vaucanson
était membre, nomma dans son sein une commission
pour examiner l’androïde, à qui la renommée était loin
de se montrer défavorable, car elle lui accordait une
foule de facultés qu'il n’est pas au pouvoir de la science
de donner à la matière. Cette commission constata que
le mécanisme employé pour faire rendre des sons à la

flûte, exécutait rigoureusement les mêmes opérations

AN

qu'un véritable musicien, et que le mécanicien avait
imité à Ja fois les effets et les moyens de la nature, ayec
une exactitude etune précision auxquelles on n'avait pas
imaginé qu'il fût possible d’atteindre.Vaucanson a publié
un mémoire qui a reçu les éloges de l’Académie, et où
l'on trouve la description de son joueur de flûte. (Voyez
Mémoires de l'Académie des sciences, 1738, etl'En-
cyclopédie, au mot Anxproïne.) Quelques années après,
Vaucanson construisit un nouvel androïde qui n'eut
pas moins de succés : c'était un joueur de tambour pro-
vençal, qui tirait en même temps des sons d’une flûte, et
frappait sur un tambour.

L’androïde n’est qu’une sorte d’automate. On donne

généralement ce dernier nom à

toute machine qui
porte en elle le principe de son mouvement, et sur-
tout à celles qui imitentle mouvement des corps ani-
més. Il vient du grec #èréwaros, spontané, de soi-même,
composé d’adros, soi-même, et de pau, je veux, je
désire. L'histoire fait mention d’un assez grand nombre
d’automatest mais ces relations, la plupart fort dou-
teuses, ne donnent aucune idée des moyens d'exécution
employés par les auteurs de ces machines. Archytas
construisit, dit-on, un pigeon qui pouvait voler; mais
le célèbre Vaucanson acheva un canard, dont le méca-
nisme Jui faisait exécuter toutes les fonctions du boire,
du manger et de la digestion, ou du moins de la tritu-
ration des alimens,

Les développemens qu’on pourrait donner à la des.
cription de ces ingénieuses machines ue peuvent entrer
dans cet ouvrage; on les trouvera dans les recueils que
nous avons cités plus hant. Cependant nous ne pouvons
passer sous silence une découverte que fit Vaucanson en
construisant son flûteur , et qui peut intéresser la science.
Ce célèbre mécanicien, en combinant les vents dont il
avait besoin pour produire l'effet qu’il cherchait, re-
connut que la petite flûte est un des instrumens qui
fatiguent le plus la poitrine des joueurs. Il faut que les
muscles de ce viscère fassent un effort équivalent à un
poids de 56 livres (28 kïlog.), puisqu'ils ont besoin
de cette force, ou de cette pesanteur, pour produire le
si d'en haut, note la plus élevée que puisse atteindre
cet instrument.

ANDROMÉDE (A4str.). Constellation située dans
l'hémisphère boréal. ’oyez CONSTELLATION,

ANELAR ou ANHELAR (Astr.), Nom de l'étoile
marquée « sur la tête de Castor, constellation des Gé-
meaux.

ANÉMOMÈTRE (Mec.)( de dysues, vent, et de
wérper, mesure). Machine pour mesurer la force du
vent. Le premier instrument de ce genre paraît avoir
été inventé par Wolf, en 1708, et perfectionné en-
suite par Martin.

Dans les Transactions philosophiques de 1766,

AN

M. A. Brice expose une méthode qu'il a pratiquée avec
succès, pour mesurer la vitesse du vent par l'ombre dés
nuages qui passent sur la surface de la terre.

M. d'Ons en Bray a donné, dans les Mémoires de
l'Académie des sciences, annéé 1734, la description
d'un anémomètre de son invention, qui marque sur un
papier les différens vents qui ont soufflé pendant vingt-
quatre heures avec les temps de leur durée, et leurs
vitesses différentes.

Où trouve la description de plusieurs autres instru-
mens du même genre dans l'Encyclopédie britan-
niquë.

ANÉMOSCOPE (Mcc.). Machine qui indique les
variations du vent.

ANES ( Astr.). Étoiles de la constellation du Cancer
ou de l'Écrevisse, marquées 7 et d dans les catalogues.
Elles sont désignées sous le nom d’Anes dans l'Æ{/mageste
de Ptolémée.

ANGLE ( Géom.). On nomme angle, l'inclinaison
d’une droite CB vers une autre AB À c
qu’elle rencontre quelque part en B.

Le point de rencontre B est le som-

met de l'angle, et les droites elles-

mêmes AB et CB en sont les côtes.

Comme on peut prolonger indéfini-

ment ces deux droites sans que leur

inclinaison mutuelle en soit affectée,

il est visible que la grandeur d’un angle ne dépend pas
de la longueur de ses côtés, mais seulement de la diffé-
rence de leurs directions.

Un angle est donc d'autant plus grand que la diffé-
rence des directions de ses côtés est plus grande, et son
maximum de grandeur a licu lorsque ces côtés, ayant
des directions opposées, ne forment plus qu’une seule
ligne droite. (Noriows pRÉLIMINAIRES, 29.) De cette
seule considération on peut facilement déduire, ainsi
que nous allons le faire, tous les rapports des angles
entre eux. Quant à leurs noms particuliers, pour ne pas
nous répéter, nous renvoyons aux Norioxs PrÉLimI-
NAIRES.

1. Tuéonème. La somme: de deux angles contigus
est équivalente à celle dé deux angles droits.

La somme de deux angles contigus est égale au maxi-
mum de grandeur des an-
gles : car l'angle DAC est,
en d’autres termes, la dif- 2
férence de la direction de B * PU TUE
DA, avec la direction de AC ; l'angle BAD est également
la différence de la direction de BA avec celle de AD;
donc la somme de ces angles ou de ces différences, est
égale à la différence de la direction de BA avec celle de
AC, c'est-à-dire à un maximum.

Il suit de Jà, que la somme de deux angles contigus est

AN 75
égale à la somme de deux au- D L
tres angles contigus quelcon-
ques. Or, les angles droits ( ft- F
guré 2) sont deux angles con-
Ba RAT PAe c

tigus; donc la somme de deux
angles contigus est équivalente à celle de deux angles
droits.

2. Corollaire. Tous les angles droits sont égaux
entre eux; car un angle droit est la moitié de deux
angles contigus.

3. Tuéorèur. Les angles verticaux formés par deux
droites AG, DB, qui se coupent en un point O, sont

égaux. A D
La somme des deux angles contigus \ :

AOD, DOC, est équivalente à celle \

des deux autres angles contigus DOC, Ne

COB; c’est-à-dire qu'on a l'égalité
AOD +- DOC — DOC + COB.
Retranchant DOC de part et d'autre, /

il reste
AOD = COB.

On a, par les mêmes raisons, AOB = DOC. On voit
immédiatement, par l'inspection äe la figure, que la
somme des quatre angles AOD , AOB, COB, DOC, est
équivalente à celle de quatre angles droits. On aurait
évidemment toujours la même somme , en divisant ces
angles par des droites menées au point O; comme on
n'aurait aussi qu'une somme équivalente à deux angles
droits, en divisant deux angles contigus par un nombre
quelconque de droites menées au sommet commun. On
exprime ces propriétés de la manière suivante :

- 4. Tous les angles formés autour d’un point pris sur
une droite, et situés d’un même côté de cette droite,
ont pour somme deux angles droits.

5. Tous les angles formés autour d’un point, et situés
dans toutes les directions, tant d'un côté que de l’autre
d’une droite qui passerait par le point donné ; ont pour
somme quatre angles droits.

G. Tniorèus. Les angles correspondans formés par
la rencontre de deux paral- A c
léles AB, CD, ct d’une trans- |
versale EH, sont égaux.

Les droites AB et CD étant
paralliles, ont une même di- f
rection; conséquemment, la E
différence de la direction de AB
avec celle de EH est identique- L D
ment la même que la différence de la direction de CD
avec celle de la même droite EH. En d'autres termes,
les deux angles correspondans AFG, CGH, sont égaux.
Ilen est évidemment de même des autres angles corres-

pondons AFE ct CGE , EFB et FGD, BFG et DGH.

76 AN

Fa ConozLatrE. L'égalité des angles correspondans
entraine nécessairement celle des angles alternes inter-
nes , ainsi que celle des angles alternes externes.

En effet, les angles verticaux FGD, CGH étant

égaux (3), on a en même temps les deux égalités :
FGD=CGH et AFG—CGH.
D'où l’on conclut
FGD = AFG,
et ainsi de même pour les autres angles alternes in-

ternes.

Quant aux angles alternes externes, on a aussi les
deux égalités :
EFB = FGD

et FGD —CGH,

desquelles on tire

EFB = CGH;
c'est-à-dire l'égalité des deux angles alternes externes
EFB et CGH : raisonnement qui s'applique aussi aux
autres angles alternes externes.

8. Turorimx. La somme des trois angles d'un trian-
gle quelconque ABC est équivalente à deux angles
droits.

Prolongeons la base AC jusqu’en D; et, par le point
C, menons la droite CM parallèle au côté AB. Nous au-
rons autour du point C les trois angles ACB, ACM,
MCD, dont la somme est égale à deux angles droits (4),
égalité que nous exprimerons par

ACB + ACM + MCD — 2 droits.
Mais les angles ABC et MCD sont correspondans par
rapport à la transversale BD, et les angles ACM et BAC
sont alternes internes par rapport à la transversale BD;

‘on à donc (3)

BAC — ACM et ABC — MCD.
Substituant BAC et ABC à M
la place de ACM et de MCD

: dans la première égalité, elle
deviendra B en

ACB + ABC + BAC — 2 droits.

Donc la somme des trois angles du triangle ABC est
égale à deux angles droits.

9. CorozLaire. L’angle extérieur ACD, formé par le
côté AC d'un triangle, et le prolongement du côté ad-
jacent BC, est équivalent à la somme des deux angles
intérieurs opposés CAB, ABC.

Car CAB — ACM, ABC — MCD; donc

CAB + ABC — ACM + MCD — ACD.

10. CorozLaAIRE. Un triangle ne peut avoir qu’un an-
gle droit , et, à plus forte raison qu’un angle obtus.

11. CoroLLaIRE. Dans un triangie rectangle, la
= :

AN

somme des deux angles aigus est égale à un angle
droit.

12. Turorime. Dans un méme cercie ou dans des
cercles égaux , les angles égaux qui ont leurs sommets
au centre interceptent des ares égaux sur la circonfe-

rencee

K&

Soient les deux cercles égaux B et », et les angles
égaux ABC, abc, qui ont leurs sommets aux centres de
ces cercles. Les arcs AC et ac interceptés par les côtés
de ces angles sont égaux.

Car , si l’on suppose Je cercle b transporté sur le cer-
cle B, de manière que les centres coïncident, et que le
rayon ab tombe sur le rayon AB, ces deux cercles, étant
égaux, coincideront parfaitement dans toutes leurs par-
ties; mais alors, comme l'angle abc est égal à l'angle
ABC, le côté be tombera sur le côté BC; et comme ces
côtés sont des rayons égaux, le point c se trouvera sur
le point C; et, conséquemment, les arcs ac et AC co-
incideront parfaitement. Ces arcs sont donc égaux.

Réciproquement; les ongles qui ont leurs sommets au

centre, el que interceptent des arcs égaux sur la circon-

Jtrence, sont égaux.

Soient les deux arcs égaux AC, ac; les angles ABC,
abc, dont les côtés interceptent ces arcs, sônt égaux;
car, s'ils ne l’étaient pas, on pourrait t ujours construire
un angle abd plus grand ou plus petit que abc, et qui
serait égal à ABC ; mais, d’après la proposition directe
les ares AC et ad seraient égaux. Or, on a supposé AC
— ac: on aurait donc aussi 4e = ad, ce qui est absurde.
Donc, puisqu'il ne peut y avoir un angle plus grand ou
plus petit que abc, qui soit égal à ABC, ces deux an-
gles sont nécessairement égaux.

13. Turorème. Les angles qui ont leurs sommets au
centre d'un méme cercle ou de cercles égaux sont entre
eux comme les arcs interceptés par leurs côtés.

Soient les deux angles MBN, bn, qui ont leurs
sommets aux centres des deux cercles égaux B et b, et
dont les côtés interceptent les arcs MN et 77 : on a la
proportion

MBN : nbn :: MN : mn.
Car les arcs MN et mn étant mesurés. à l’aide d'un arc
quelconque Mr, pris pour unité de mesure, nous pou-
vons supposer que le premier contient 2 fois la mesure

Mir, et que le second contient x fois cette même me-

AN

sure, ou que le rapport de ces deux arcs soit le mème
que celui des nombres », »; c’est-à-dire qu’on ait la
proportion

MN :mn::mi:n.

Or, les nombres » et x peuvent être rationnels ou
irrationnels; où, ce qui est la même chose, les deux
arcs MN et mn peuvent être commensurables ou incom-
mensurables. Dans le premier cas, divisant l’arc MN
en m parties égales, Mr,12,23, 34, 45, etc., l'arcman
contiendra x de ces parties 7211, 12, 23, 34, 45, etc. Si
par les points de division on mène les droites Br, B2,
B3,B4 ,etc.. b1,b2, b3, b4 , etc., l'angle MBN sera
partagé en »2 angles égaux (12), et l'angle bn sera
partagé en » angles égaux; le rapport de ces deux
angles sera donc celui de »2 : 2, ou le même que le rap-
port des arcs MN et mn. On a donc effectivement

MBN : mnbn :: MN : mn.

Si les deux arcs MN et nn étaient incommensurables,
c'est-à-dire s’il n'existait aucun arc Mi, quelque petit
qu'on puisse le supposer, qui fût capable d’être con-
tenu un nombre exact de fois dans MN et dans mn , le

rapport de ces arcs serait néanmoins encore le même

que celui des angles MBN et bn; car le rapport _

serait dans ce cas égal à une quantité irrationnelle que
nous supposerons d’abord égale à y/3, pour faire mieux
saisir l’esprit de la démonstration: on aurait donc

MN :mn::1:y3.
V3 est égal à la fraction 1,732050817, etc. , la suite des
chiffres décimaux étant infinie.

Or, on pourrait prendre 1, ou 1,7, ou 1,73, Ou 1,732,
etc., pour valeurs approchées de y/3; et il est évident
que plus on prendrait de décimales et plus on appro-
cherait de la véritable valeur. Prenant donc 1,7 pour

A PAR MN »
première approximation, Je rapport Fe sera à peu

. I 10 els .
près —— ou Fr et, divisant MN en 10 parties égales,
)

l'arc in contiendra 17 de ces parties, plus un reste quel-
conque on; alors, supposons menéc la droite bo , uous
aurons , d’après ce qui précède,

MBN : m1b0 :: MN : m0.

Prenons actuellement 1,73 pour valeur approchée de

AN Fr

V3,lera rat eu près ——, ou; di
< PRO re EP ER UE

1,
visant l’arc MN en 100 parties, l’arc mn contiendra
173 de ces parties, plus un reste o'r évidemment plus
petit que on. Supposons encore menée la droite bo",

nous aurons aussi
MBN : mbo' :: MN : mo’.

En prenant 1,732 pour valeur approchée de y3,
nous tomberions de même sur un arc o’m qui donne-
rait

MBN : mbo" :: MN : mo’.
et ainsi de suite,

On voit aisément que les arcs mo, mo', mo", etc.,
augmentent successivement , et diffèrent de moins en
moins de l'arc proposé »1r , et qu’en prenant pour va-
leurs approchées de 1/3 les quantités 1,7; 1,73; 1,732;
etc., on est tombé sur des angles z2bo, mbo', mbo', etc.,
dont les rapports avec l'angle MBN sont les mêmes que
ceux de leurs arcs respectifs 20, mo', mo", etc. , avec
l'arc MN. Il est évident qu’en prenant un plus grand
nombre de décimales pour la valeur de \/3 on trouve
rait toujours des angles qui auraient la mème propriété.
Donc cela aura lieu pour un nombre quelconque de
chiffres de la suite 1,320, et, par conséquent, pour la
totalité de ces chiffres ou pour la quantité y3, qu'ils
représentent. Ainsi, On a dans tous les cas

MBN : mbn :: MN : mn.

Pour généraliser cette démonstration, fondée entiè-
remeut sur la nature des quantités incommensurables
ou irrationnelles (Foy. ces mots), il suffit de remarquer

MN :
que lorsque le rapport Es est incommensurable, c’est
qu'il est égal à une quantité dont la forme générale est

m
VA, et dont le développement, composé d’un nombre
infini de termes, est de la forme

B+C+D+HE+HF+EG + etc.
Ainsi, les rapports
T:B,
1:B+C,
1:B+C+D,

ctc., etc.,
se MN
approchent de plus en plus du véritable rapport ra

Or, en procédant comme nous venons de le faire, on
voit qu'à chaque somme B,B+C, B+LC+D,etc.,
répond un angle dont le rapport avec l’angle MBN
est égal à celui des arcs interceptés; il en est nécessai-
rement de même pour la somme d’un ombre quelcon-
que de termes de la série B4+C+4+D+4+E+FÆLG+ etc,
et, conséquemment , pour la somme de tous Les termes
»

18 AN

ou pour le nombre VA, que cette somme représente.
14. Tuéorèume. Un angle quelconque étant donné, si
l'on suppose décrit un cercle qui aït son centre au som-
met de cet angle, l'arc intercepté par ses côtés pourra
lux servir de mesure.
Soit l'angle ABC, dont le sommet est placé au centre
B d’un cercle. Cet angle

TO
aura pour mesure l'arc vd
AC. 1
Unanglene peut être me- | 2 Si
é ei Ë

suré que par unautre anple, f IN
pris pour unité de mesure; \ f

car; on ne peut comparer 4 X

que des quantités de même À susre nerffié

nature; mais si MBN est cette unité, on a la proportion
ABC : MBN :: AC : MN.
Or, si l'on prend MN pour mesure des ares, le nom-
bré qui éxprimera la mesuré de AC sera _ où, cé qui
AC
MN
exprime donc la mesure de nel ABC au moyen de

l'angle MBN.
15. Scnoue. Dans l'ancien système métrique, suivi

ABC
est la mênie chose, MEN Le TADEDEE des deux arcs =-

encore aujourd'hui dans toute l'Europe, on prend pour
unité de mesure l'augle dont les côtés interceptent la
300° partie de la circonférencé décrite de son sommet ;
et cette partie se nomme degre.Ainsi , lorsqu'on dit, par

exemple, qu'un angle a 30 ee c'est que cet angle
interceplérait, entre ses eiés » #0. 36s © dela circonférence.

Le degré se subdivisé en 60 parties, qu’on nomme #ié-
nutes ; la minute en 60 parties, qu’on nomme secondes ;
la seconde en 60 uerces, etc., etc. L’angle droit est
dans ce système un angle dé 90 degrés.

Dans le système métrique français, l’angle droit ést
pris pour unité de mesüre: on le divise en 100 degrés ,
le degré en 100 minutes ; la minute en 100 secondes ,
etc., etc. La circonférence entière est alors partagée en
400 degrés.

Ü La première division se nomme division Sexagesi-

male , et la seconde division centésimale. La plupart des

instrumens en usage étant divisés en 360 degrés, nous

nous servirons habituellement , dans cet ouvrage, de la

division sexagésimale, à moins que nous n’avertissions

À expressément du contraire pour quelques Cas particu-
liers. [1 est, du reste, extrémement facile de passer de
l'une des divisions à l’autre
360 : 400.

e, leur rapport étant celui de

16. Tuéoniur. L’angle Jormé par une tangente et
par une corde a pour mesure la moitié de L'are sors:
tendu par la corde. *

AN

Soi l'angle BAG formé par la re AG et ijar
la corde AB, cet angle

a pour mesure la moi- Fa

tié de l’arc AB. F4 \ |
Car, si l’on mène les / S MEN

rayons AD et DB, l’an- | D fo |

gleDAGseradroit(f’oy. | E "6 l

Cencce ). Mais, dans le # ”
triauglé isocèle ADB, Le i / |

les angles à la base sont LT aie
égaux (Foy: Tnrance 160cëLE ); donc Fl'anglé, au
sommet ADB ; est égal à deux droits moins deux fois
l'angle DAB. Or, l'angle proposé BAC est égal à un
droit moins l'angle DAB ; donc cet angle est la moitié
de ADB. Ainsi, la mesure de l'angle ADB étant l'arc
AB(14), la mesure de l'angle BAC sera la moitié de
cet arc.

17. Tuorème. Un angle qui a son sommet à la cr-
conférence d'un cercle a pour mesure la moitié de l'arc
interceplé pär ses CÔLES.

Soit un tel angle ACB : si l'on mène la tangente CD,
on aura les deux angles DGA et DCB, dont les mesures
respectives seront les moitiés des arcs CA et CAB ; mais
l'angle proposé est la différence de ces deux angles,
donc sa mesure sera la différence de leurs mesures ou
la moitié de l'arc AB compris entre ses côtés.

18. CorozzarRE I. Tous les angles qui ont leurs som-
mets à la circouférence d’un r
mème cercle, et dont les co- end GET

£ 7 up

d’une même corde, sont " / [P.-

tés passent par les extrémités

égaux entre eux, puisqu'ils
ont tous pour mesure la
moitié du même arc.

19. Cotottaime IT Un
angle qui a son sommet à la
circonférence d’un cercle, et dont les côtés passent par

NS
si
N

les extrémités du diamètre, est droit, puisqu'il a pour

mesure le quart de la circonférence.

50. Tiforème. Un angle qui à son somntet dans l'in.
térieur d'un cercle a pour mesuré la moitié de la sorte
des ares interceptés par $és côtés et par le prolongement
de ces mêmes côlés.

Soit l'angle APB : sj l’on prolonge ses côtés jusqu’à

‘ce qu’ils rencontrent la circonférence en CetenE, la

mesure de cet angle sera : (AB + CE); car, si l'on
mène la corde AC, l'angle APB, extérieur par rapport
au triangle APC, sera égal à la somme des deux angles
intérieurs opposés CAE, ACB (9). Sa mesure sera doac
égale à la somme des mesures dé ces angles, c’est-a-dire

1 4 (AB + C).

AN

o1. Œuronime. L'angle formé par deux secantes à
pour mesure la mottic de la différence des arcs inter-
ceptés par ses côlés.

Soit ABC un tel angle, sa mesure sera + (AC — DE).

+8

Car, si l’on mène la corde
AE, l'angle AEC, exté-
rieur au triangle AEB,
sera égal à la somme des
deux angles ABE, BAE.
On à donc

ABC—AEC — BAE;

et, par conséquent, la
mesure de l’angle ABC sera égale à la différence des me-
AC DE

9

3

sures des angles AEC, BAE, c'est-à-dire à

,

ou, ce qui est la même chose, à (AC — DE).

22. Si la sécante BA devenait tangente en «, l’angle
aBC aurait aussi pour mesure la moitié de la différence
des arcs aAC, aDE,

23. On démontrerait encore de la même manière que
siles deux côtés de l'angle, dont le sommet est hors du
cercle, sont des tangentes, comme MP et Pa, cet angle
a pour mesure la moitié de la différence des ares Mma
et MDACa.

24. ProëcÈme I. Construire sur une ligne donnée AB
‘un angle égal à un angle donné D.

Du point D décrivez, avec un
rayon quelconque, l'arc FE, qui
rencontre les deux côtés de
Fangle donné D. Du point À,
avec le même ravon, décrivez
un arc an, et prenez in égal à
FE; par lé point m1, menez la
droite AC, l'angle CAB sera
égal à l'angle D.

25. ProeLème Il. Diviser un R

angle donné en deux. \
Prenez Am égal à An, et, \

des deux points » et n, décri- \

vez, avec le même rayon, des mn\

arcs qui se coupent en un point
O; menez de ce point la ligne
OA ; elle partagera l'angle BAC

en deux angles égaux, Voyez

À

PERPENDICULAIRE.

26. La mesure des angles à l'aide d’instrumens qui
font connaitre le nombre des degrés, minutes, secon-
des , etc., de leurs arcs, est une opération d'un grand
usage dans la Navigation, l'Arpentage, l'Astronomie ,
etc. (J’oy. ces mots,) Lorsqu'ils sont sur le papier, on se

sert du RAPPORTEUR Où du COMPAS DE PROPORTION: Foy.
ces mots,

AN 19

27. Jusqu'ici nous n'avons considéré que les angles
formés par des droites sur un même plan; mais il existe
encore a’autres espèces d’angles , tels sont :

Les angles curvilignes, formés par deux lignes
courbes ;

Les angles miriilignes, formés par une droite et par
une ligne courbe;

Les angles plano-linéaires, formés par l’inclinaison
d’une droite sur un plan ;

Les angles plans, formés par l'inclinaison de deux
plans;

Les angles solides, formés par le concours de plu-
sieurs plans au même point. Foy. les mots Curvirr-
anE , MixTILIGNE , PLAN, etc.

Quant aux relations des angles des figures planes,
voyez TRIANGLE, PARALLÉLOGRAMME , PoLYcowr.

ANGLES (_4str. — Méc. — Opt. — l'ortification).
Les angles reçoivent dans plusieurs sciences des déno-
minations particulières. Tels sont, pour l'Astronomic,
les ANGLES d’élongation ; de position, azimutal, paral-
lactique, etc.; pour la Mécanique, les axçGres de
direction, d'élévation, d'inclinaïison, etc. ; pour l Op-
uque, les anGLes d'incidence, de réflexion, de réfrac-
tion, etc. ; et pour la Fortification, les axGLEs saïllans,
rentrans, flanquans, morts, etc. (J’oyez ces divers
mots. )

ANGLE OPTIQUE. C’est l'angle formé par deux rayons
visuels, menés du centre de l’œil aux extrémités d’un
objet.

ANGUINEE (Géom.). Nom d’une espèce particu-
lière d’hyperbole du troisième ordre, qui ayant des
points d’inflexions , serpente autour de ses asymptotes.
(Voyez HyrEr20OLE.) e

ANGULAIRE. Ce qui est relatif aux angles.

Mouvement ANGuLaire. C’est celui qui est effectué
par un corps tournant autour d’un centre, le sommet
de l'angle étant au centre du mouvement. Ainsi, les pla-
nètes décrivent un mouvement angulaire autour du
soleil; un pendule décrit un mouvement angulaire
autour de son point de suspension, etc. Le mouvement
angulaire d'un corps est d'autant plus grand qu'il décrit
un plus grand angle dans un temps donné. Deux corps
peuvent avoir le même mouvement angulaire, quoique
leurs mouvemens réels soient différens. En effet tous les
points d’un pendule, mis en oscillation, décrivent le
même angle, et cependant les mouvemens réels ou
absolus de chacun de ces points sont d'autant plus grands
qu'ils sont plus éloignés du centre de suspension.

Sections AxGuLAIRES. Terme employé par Viète pour
désigner les ares multiples de la circonférence du cercle.
Viète a découvert la loi d'accroissement des cordes de
ces arcs, et il l’a signalée, en 1550, dans son Canon
mathematique, qui nest autre chose qu'une table de

80 AN

sinus construite suivant cette loi. Cet ouvrage est extré-

_ mement rare; car l’auteur y ayant découvert un grand

nombre de fautes typographiques, a détruit tous les
exemplaires qu'il a pu se procurer.

Viète démontre que si une demi-conférence AB est

divisée en arcs égaux BC, CD, DE, EF, etc., en dési-

gnant le rayon par l'unité, et la corde supplémentaire

AC par æ, on a les valeurs suivantes :

AB —= 2

AG = x

AD = 2— a

AF — ai — 3x

AF = x — 4x +

AG = x° — 5x + 5x

AH = 2x5 — Gri + gx? — 2
etc. etc.

Dans lesquelles les
puissances de x dé-
croissent de 2en,
et dont les coeffi-

ciens numériques

à Â
sont : l’unité, pour [e]

les premiers termes; les nombres triangulaires , en com-
mençant par 2, pour les seconds termes; les nom-
bres pyramidaux, pour les troisièmes termes; les
nombres triangulo-triangulaires, pour les quatrièmes
termes, etc., etc.

En cherchant le rapport des cordes elles-mêmes, Viète
trouve encore, en désignant la corde BC par 7.

y —= BC

2 — y? — BD

o 7 Fr —=BE

D ANS = DE

57 — 5 Lys = BG
etc. etc.

La loi des coefficiens étant la même que dans la suite
précédente, et les signes des puissances de y étant les
opposés de ceux des mêmes puissances de x.

Ces formules sont aujourd’hui facilement démontrées.
(Foyez Conpes.) Mais dans l’état où la science se trou-
vait à l’époque des travaux de Viète, elles sont une
preuve incontestable du génie supérieur de cet homme
célèbre.

ANISOCYCLE (Balistique). Ancienne machine de
guerre, dont le ressort, de forme spirale, servait à
lancer des flèches. Elle est décrite dans l’4#rchitecture
de Vitruve.

ANNEAU pe Sarunxe ( Astr. ). Corps solide, opaque
et circulaire, qui entoure la planète de Saturne. Il est
composé de deux bandes, plates, larges et très minces,
couchées dans un même plan et à peu près concentri-
ques. La première de ces bandes ou l'anneau intérieur,

AN

est séparé du globe par un intervalle de 6,972 lieues ;
Ja seconde bande, ou l’an- :
neau extérieur, est séparé
du premier par un inter-
valle seulement de 648
lieues; leur épaisseur est
au plus de 36 lieues ; en-
fin le diamètre extérieur

de l’ensemble des trois

parties qui composent
cette planète singulière est de 63,880 lieues L'existence
de ce merveilleux appendice de Saturne, qui excite
notre étonnement et notre admiration , a été inconnue
aux anciens; son observation est due à la perfection ré-
cente des instrumens astronomiques. Le résumé rapide
de l’histoire de cette découverte facilitera nécessaire-
ment l'intelligence du phénomène qu’elle nous a révélé.

Ce fut seulement vers l’an 1612 que l’illustre Galilée,
aidé d’un télescope d'une puissance bornée et d’une
construction incomplète, crut voir Saturne accompagné
de deux globes, qu’il jugea être des satellites immobiles
de cette planète, à laquelle il les crut même adhérens,
puisque cette découverte lui fit donner à Saturne l’épi-
thète de Triformen, composé de trois parties. Le vif
étonnement que lui causa ce phénomène ne le céda
qu’à celui dont il fut frappé, lorsqu’après deux années
d'observations , il vit disparaître ces prétendus satellites.
Quoiqu'il ne füt pas possible à Galilée d’entrevoir la
cause de ces apparences, il osa néanmoins prévoir le re-
tour des deux prétendus globes qui avaient cessé d’être
visibles. Mais leur réapparition , qui confirma sous ce
rapport ses prévisions, ne servit durant long-temps
qu'à lui fournir, ainsi qu'aux astronomes dont cette dé-
couverte avait éveillé l'attention, un texte à des conjec-
tures, que les hypothèses de Gassendi, d'Hévélius, de
Roberval et de Cassini même, laissèrent sans solution
scientifique. Mais, en 1655, le célèbre Huygens, au
moyen d'instrumens perfectionnés dont il était l’auteur,
découvrit les véritables causes de ce phénomène, et en
établit la théorie, qu’il publia en 1656, telle a peu près
qu’elle est admise aujourd’hui. En effet, les deux globes
de Galilée apparurent à ce savant observateur comme
une longue bande de lumière presque adhérente à Sa-
turne, À mesure que cette planète passa dans d’autres
positions à l'égard du soleil et de la terre, il remarqua
que ses longues anses s’élargissaient et prenaient la forme
d’une ellipse fort alongée; le mouvement de la planète
continuant, cette ellipse s’élargissait davantage encore,
et prenait l'apparence de deux cercles concentriques
vus obliquement. Cette observation le détermina à pen-
ser que le phénomène était produit par un corps plat et
circulaire, semblable à un anneau. Depuis cette décou-
verte d'Huygens, que la perfection toujours croissaute

x

AN

des instrumens a permis de véffier diverses particula-
rités de Saturne, qui avaient dû lui échapper, ont été
déterminées ; mais les observations les plus récentes, et
qu'on est autorisé à croire les plus exactes, n’ont apporté
que peu de changemens dans l'appréciation du phé-
nomène que présente l'anneau de Saturne proprement
dit, dont il nous reste maintenant à expliquer les phases
de disparition et de réapparition.

L'ombre que projette cet anneau ou plutôt ces an-
neaux, sur le corps de la plauète, du côté le plus voisin
du soleil , et l'ombre que la planète projette elle-même
sur eux du côté opposé, démontrent qu’ils sont un corps
solide et opaque. L'axe de rotation de Saturne est per-
pendiculaire au plan des anneaux, et durant le mouve-
ment de la planète dans son orbite, il conserve toujours
son parallélisme. Le plan des anneaux conserve aussi à
peu près la même inclinaison sur le plan de l’orbite.
L’inclinaison à l’écliptique est de 28° 40’, et les nœuds
des anneaux correspoudent à 170° et 350° delongitude.
Aünsi, quand la planète paraît à l’un ou à l’autre de
ses nœuds, le plan des anneaux passe par le soleil qui
l'éclaire de côté ; dans les mêmes époques la terre qui
enrest plus éloignée en raison de la petitesse de son
orbite, passe nécessairement dans le plan peu d’instans
avant ou après que ce plan passe exactement par le
centre du soleil, Alors, bien que les anneaux soient
encore éclairés, ils ne paraissent plus que comme une
seule ligne droite très-déliée, qui coupe le disque de la
planète et la dépasse des deux côtés; mais il faut des
instrumens d’une puissance extraordinaire pour l'aper-
cevoir. Ceci explique la première observation de Ga-
lilée.

Ce phénomène de la disparition des anneaux se re-
produit deux: fois durant la révolution de Saturne,
c’est-à-dire à des intervalles de 15 ans; mais par suite
de la lenteur du mouvement de cette immense planète,
la terre ayant le-temps de rencontrer deux autres fois
le plan des anneaux, leur disparition est double en gé-
néral.

La science qui a pu déterminer les mouvemens des
astres et les lois d’après lesquelles ces mouvemens s’o-
pèrent, est encore impuissante à expliquer les causes de
la construction merveilleuse de plusieurs d’entre eux.
Cependant, en décrivant Saturne et le système complet
de cette planète, nous rendrons compte avec plus de
développemens des autres particularités qui lui sont
communes avec ses anneaux. ( Voyez SATURNE. )

ANNEAU. L’anneau astronomique où universel est
un instrument composé de plusieurs cercles, qui sert à
trouver l'heure du jour en un lieu quelconque de la
terre. Il est représenté PL, IV, fig. 2. (Voyez Gnomo-
NIQUE et Cana.)

ANNÉE (Hist. Astr.) L'étymologie de ce mot est

AN 81

fort controversée ; nous ne chercherons point à la fixer.
Il est du moins à peu près certain pour les Français
qu'année vient du mot latin annus, qui signifie la même
chose. On appelle ainsi un certain nombre de jours qui
forment une période fixe ou variable, solaire ou lunaire,
suivant qu'on mesure le temps par les révolutions du
soleil ou par celles de la lune.

Le premier besoin des hommes réunis en société 2
dû être de diviser l'année par parties égales, d’après lc
retour périodique et la durée des saisons. C’est là le point
de départ de l’histoire , car la tradition écrite ou orale ne
retracerait que devagues souvenirs, si ellene se rattachait
à des époques authentiques, également remarquées par
toutes les nations. C’est donc sur l'observation du cours
des astres que la détermination de l’année a toujours ét
fondée. Mais quoique les phénomènes astronomiques qui
servirent de base aux premiers calculs, soient le résulta:
de lois immuables, et se renouvellent uniformément, il:
n'ont pas lieu nécessairement dans le même temps, rel:-
tivement aux peuples qui habitent des zones différentes,
c'est-à-dire qu'ils ne produisent pas les mêmes effets
d’une manière générale. Il est résulté des appréciations
relatives de ces effets divers, que toutes les nations ne
se sont pas accordées entre elles, dans leurs rapports
sociaux, sur la manière de compter le temps et d’en
opérer la division. Telle est sans aucun doute la source
des fables chronologiques qui voilent les premiers:pas
de l’homme sur la terre, et qui ont attribué à quelques
races primitives une antiquité, dont la religion et la
science ont également démontré la folle exagération.
C’est à la science seule que nous devons en appeler ici ;
l'histoire de ses découvertes et de ses progrès successifs,
dont nous pouvons embrasser l'ensemble, est à la fois
un monument irrécusable de l'âge plus récent de l’hu-
manité et de la puissance de perfectibilité dont elle est
douée. Il n’est pas possible que les connaissances hu-
maines aient acquis en près de six mille ans le degré
d’exactitude et de réalité où elles sont parvenues, tar-
disque, durant d'immenses périodes qui auraient précédé
cette époque historique, l'homme ne serait péniblement
arrivé qu’à la découverte de vagues hypothèses. Il fau-
drait du moins supposer que sa destination et ses facul-
tés intellectuelles ont subi depuis ces temps inconnus
une modification essentielle ; ce qui ne peut être admis
par la raison , parce que dans les divers modes de divi-
sion de l’année, adoptés par les anciens peuples, on
peut déjà reconnaitre une haute direction intellectuelle,
et des évaluations ingénieuses des mouvemens célestes
fondées sur l'expérience. La science n'est venue plus
tard ajouter à ces découvertes que l’exactitude et la ri-
goureuse précision de ses formules.

L'année, prise dans son acception didactique, est

astronomique ow. civile, suivant que cette division du
LE:

82 * AN

temps s'applique spécialement aux phénomènes célestes
ou aux usages SOCIaux.

1, ANNÉES ASTRONOMIQUES. On donne à l’année as-
tronomique diverses dénominations que nous allons
successivement expliquer; mais il est nécessaire avant
tout de déterminer sa durée réelle.

>. La durée de l’année astronomique solaire, cal-
culée sur le temps qu'emploie le soleil à faire le tour de
l'écliptique, c'est-à-dire le temps qui s'écoule entre un
solstice et un solstice semblable, ou bien entre un équi-
noxe et un équinoxe semblable, est de 365 jours, 5 d
48" 51”.

3. La durée de l’anuée astronomique lunaire est cal-
culée sur la durée de 12 lunaisons, chacune d'elles étant
de 29 j. 12*44/2" Æ, cette année se compose ainsi de
354 jours 8 + 48° 34".

Ce sont ces fractions de temps difficilement appré-
ciables pour les usages de la vie sociale, qui forment la
différence existante entre l’année civile et l'année astro-
nomique. On va voir, par les exemples que nous cite-
rons , que cette différence était encore plus considérable
chez les anciens peuples qu'aujourd'hui.

4. L'année tropique est l’année solaire vraie, c'est-à-
dire le temps que met le soleil à revenir au même tro-
pique, et par conséquent celui qui est nécessaire pour
que chaque saison se reproduise dans le même ordre.
C'est par cette raison que les astronomes l’appellent
aussi annce équinoxiale.

5. L'année sidérale est celle qui est calculée sur le
retour apparent du soleil à la même étoile. Cette année
excède l’année tropique de 20" 20”. En voici la raison :
la rétrogradation des points équinoxiaux étant de 50" 1,
le soleil, après qu'il est parti d’un équinoxe, doit paraître
rencontrer ce même équinoxe, l’année suivante, dans
uu point un peu en deçà de celui où il l'a quitté, et
avant d’avoir ainsi achevé sa révolution entière, c’est-
à-dire après avoir parcouru seulement 359° 59° 9”, 9, du
cercle qu’il paraît décrire, ce qui produit la différence
que nous venons d'exposer.

6. On donne le nom d’année anomalistique à une
révolution entière de l’anomalie; elle excède l’année
tropique de 25’ 27” 2. Elle est employée par les astro-
nomes pour déterminer le lieu de l'apogée, d’après la
méthode proposée par Lacaille.

7. ANNÉES crvices. L’année civile a toujours été chez
tous les peuples ou solaire ou lunaire; mais de la
diversité des modes établis pour calculer cette période,
sont nées les dénominations d’embolsmique, de ju-
dienne, de grégorienne, de bissextile et de commune,
sous laquelle elle a été désignée, dénominations dont
mous expliquerons successivement la signification.

Cette période a dù nécessairement se former des di-
visions de période moins longues ct d’un calcul plus

AN

facile, par chacune des phases qui marquent une révo-
lution entière du soleil (2) ou de la lune (3). Ainsi, un
certain nombre de jours a formé la semaine ou la décade
des Grecs, un certain nombre de semaines ou de décades,
le mois, un certain nombre de mois, l’année. À quelle.
époque cette division de l’année, qui simplifie les cal-
culs chronologiques, et facilite les relations sociales,
s’est-elle établie? C’est ce qu'il n’est pas possible de dé-
terminer d’une manière précise et incontestable, et c’est
au reste une question entièrement dans le domaine des
sciences littéraires. En rappelant ici les usages des peu-
ples les plus célèbres de l'antiquité, relativement à la
division de l’année, nous avons dùü mettre de côté
toutes les conjectures, et ne prendre que des faits histo-
riquement démontrés. Il sera nécessaire pour mieux
saisir l’ensemble de ce rapide résumé, de parcourir le
tableau placé à la fin de cet article, en observant toutefois
que les mois des peuples dont nous décriyons l’année,
y sont seulement classés d’après l’ordre qu'ils occupaient
dans les anciens calendriers, et non pas dans l’ordre des
rapports qu’ils peuvent avoir entre eux; concordance
que le lecteur pourra établir lui-même avec facilité.

8. L'année civile des Égyptiens était une année solaire
composée de 360 jours , divisée en 12 mois qui étaient
invariablement de 30 jours chaque ; après le 12° mois on
ajoutait cinq jours épagomènes ou additionnels, qui por-
taient ainsi à 365 jours la durée totale de l’année,

L'année égyptienne était une année vague, parce
qu’elle n’avait point de commencement fixe, comme
cela est établi dans les calendriers actuellement en usage.
Ce commencement rétrogradait d’un jour tous les quatre
ans et répondait successivement à toutes les saisons Les
Égyptiens ne connaissaient pas l’année bässextile (13) et
perdaient environ 6 heures tous les ans, de façon que
1461 de leurs années n’équivalent qu’à 1460 années
juliennes (4)

9. L'année des Juif était une année /unaire , compo-
sée de douze mois alternativement de 30 et de 29 jours;
elle était ainsi de 354 jours dans les années communes ,
et de384 dans les années enbolismiques ou intercalaires.
Dans cette dernière circonstance, on ajoutait un treizième
mois de 29 jours nommé Veadar, où deuxième Adar,
et alors Adar était de 30 jours.

Chaque septième année, chez les Juifs, se nommait
encore l’année sabbatique. Pendant sa durée toutes
les terres demeuraient en jachères. Le retour de chaque
septième année sabbatique, c’est-à-dire chaque 49°
année, s'appelait l’année du jubilé ; c'était une année re-
ligieuse qui était célébrée avec la plus grande solennité,

10. L'année grecque était lunaïre et composée de
12 mois alternativement de 29 ou de 30 jours. Elle était
embolismique, comme l'année juive, les 3°, 6°, 8°, etc.,
du cycle lunaire.

AN

Le mois des Grecs était divisé en trois décades : la
première s'appelait épzomivos, du mois commencant,
la seconde, pécoëvros, du mois à son milieu, la troi-

sième , @éivouvros , du mots finissant (14).

11. L'année arabe ou turque est aussi lunaire, et le
cycle de 30 ans s’y partage également en années com-
munes et en années embolismiques. Elle se compose de
12 ou de 13 mois, alternativement de 29 ou de 30 jours
suivant qu’elle est dans l’une de ces deux condi-
tions. On ajoute un jour épagomène à chaque 3°, 5,
7°, 10°,139,.15°, 18°, 21°, 24°, 26° et 29° ännée du
cycle trentenaire de la lune. Les années communes sont
ainsi de 354 jours, et les années embolismiques de 355,
La première année de l'hégire, qui est Père des Maho-
métans , a commencé le vendredi 16 juillet de l'an 622
de J.-C, (14).

12. L'année persane, composée de 12 mois de 30
jours chacun et de 5 jours épagomènes, est une année
solaire semblable à l’année égyptienne. Versle milieu du
onzième siècle on entreprit de corriger le calendrier per-
san, en intercalant un jour de quatre en quatre années.
Mais parce qu’on avait déjà reconnu que l'année solaire
n’est pas exactement de 365 jours 6 heures, il fut décidé
qu'alternativement, après sept ou huit intercalations, on
intercalerait la cinquième et non la quatrième année.
L'année persane diffère donc très-peu de l’année gré-
gorienne.

13. Romulus avait fait l’année romaine de dix mois
seulement. Numa en ajouta deux nouveaux, et en l'an
304 de Rome, les décemvirs intervertirent l’ordre dans
lequel ce législateur les avait placés. Les grands-prêtres,
à qui la loi laissait Le soin de déterminer les intercala-
tions que nécessitait cette méthode antique de diviser le
temps, avaient plus souvent consulté leur intérêt et leur
caprice que les règles indiquées par la science et la rai-

son. Ii était résulté de cet état de choses un désordre et
une confusion que Jules-César, investi de la dignité
pontificale, résolut de faire cesser pour toujours, en
donnant à l’année une constitution régulière et inva-
riable. Il fit venir à Rome Sosigènes, astronome
d'Alexandrie, qui l’aida à accomplir cet utile et impor-
tont projet, en lui indiquant une mesure de l’année so-
laire plus exacte que celle sur laquelle était fondée
l’ancienne année romaine. La réforme de Jules-César a
été depuis lors adoptée par tous les peuples de l'Europe:
elle est désignée dans la science astronomique sous le
nom d’ère Julienne.

Sosigènes ayant supposé que l’année moyenne était
de 365 j. +, César établit que l’année commune serait
trois fois de suite de 365 jours , et la quatrième de 366,
pour employer les quatre quarts excédans. Ce jour épa-
gomène se plaçait six jours avant les calendes de mars,

AN 83

et on l’appelait bissexto-calendas, d'où nous avons
donné à cette année le nom de bissextile.

14. L'année julienne, telle qu'elle avait été calculée
par Sosigènes, était trop longue d'environ 11° 10 ou 12”
qui produisent à peu près un jour en 134 ans, ou 3 jours
en 400 ans. En 1582, las inconvéniens qui résultaient de
l'erreur astronomique sur laquelle était établi le calen-
drier julien devinrent assez manifestes, pour quele pape
Grégoire XIII cherchât à y remédier par une nouvelle
réforme. En effet l’équinoxe du printemps, qui, du
temps du concile de Nicée, en 325, tombait au 21 mars,
arriva cette année le 11 de ce mois. On fut obligé de
retrancher 10 jours à l’année civile, etle 5 du mois d’oc-
tobre 1582 fut compté pour le 15, de façon que l’équi-
noxe du printemps revint l’année suivante le 21 mars.
Afin qu’une pareille confusion ne se renouvelät plus, on
convint de retrancher ce qu'il y avait de trop dans l’année
julienne, c’est-à-dire un jour sur 134 aus, et par consé-
quent 3 jours sur 400 ans. ( Voyez CALENDRIER. )

Cette réforme n’est peut-être pas complètement satis-
faisante pour les astronomes; mais elle a été générale-
ment adoptée sous le nom d’ère grégorienne. Les pays
protestans refusèrent long-temps de l’accueillir; c’est
seulement en 1700 qu’elle fut reçue en Allemagne, et
on ne commença en Angleterre à s’en servir, pour l'an
née civile, que le 1° janvier 1752. Le calendrier julien
n'est plus suivi aujourd'hui qu’en Russie, où l’on n’a-
dopta pas le retranchement des 10 jours d'octobre 1582,
ordonné par le pape Grégoire. La manière de compter
des Russes s'appelle le vieux style, par opposition à
celle en usage dans le reste de l'Europe et qu’on appelle
nouveau style.

L'année civile grégorienne est donc une année solaire,
dans laquelle les fractions de temps dont se compose
l’année astronomique (2) ont pu entrer au moyen d'in-
tercalations d’une application facile. C’est aussi une
année fixe , parce qu’elle commence toujours à la mème
époque après une révolution complète du soleil ; c’est le
contraire, par exemple, pour l’année turque, qui, étant
lunaire et composée seulement de 354 jours, ne peut
pas toujours recommencer à la même saison, et consé-
quemment est une année vague, comme l'était aussi,
l’année égyptienne. ( Voy. pour les détails, CazenDrier.)

15. En 1792, on imagina en France une réforme
complète du calendrier, que nous ne pouvons passer sous
silence, quoiqu’elle n’ait pas survécu aux temps orageux
au sein desquels elle avait pris naissance. On emprunta
aux Égyptiens (8) la division de l’année en douze mois
de 30 jours avec l'addition de jours épagomènes, qu'on
appela complémentaires , au nombre de cinq ou de six,
suivant que l’année était commune où bissextile , etaux
Grecs (10) la division du mois en trois décades. L'idée
de cette réforme avait été inspirée par des considé-

54

“HONVAUODNON) APN, # apubridxa vus Éroanon ef anod ajeaana8 aporqiam ef surtout np no ‘auEp1OIU09 2129 ‘SUOISTAIPAUS 52P 21110, SAOUUOP SUOU JUOP ÉsaHUUE sp uontsOds1p e[ suep oouvp
109009 oun 1704040 sed ane ou rnb ‘up efop suoae snou onb a9 11 suosaypodder snoN ‘strônesy so8esauo sap edojd ej suep a1qe1oçdap oxotueu auu,p sain#pap ‘SIOu $2p SOU So[qEIN9A So]
Aqua 9p aueuodur 2jquos » snou [1 ‘quouuonaedde sopo sayponbxur so[dnod sap xneaën So[ suep quaauosoi as 250d09 25 ne2[q81 29 JUOP s21[97 *aouas e] 1nod joraqur sus ‘juaumoubsuos
fuos sajponb 12 ‘onbruononse no anbriojstq a8e1ano unone sarp sop£ojdma queanon »s ou sajpo,nb ooued ‘roqaed np sed suoae,u snou juop oouue,[ 2p suorstatpqns sonne p 2109u2 21s1x0 I]

EE EEE Ua

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1€ squos(|og essegnN|Of poumepuessgiog soçeosaqedx|og nomogdoarg |of inorfa|6z moyg|oc-6c ypSeg--nog|o fioupayy |0€ uosan| rt |

€ quon |0€ STAR |0E uewoqag|6c sogrdiox)|07 vortex |1e ay|oc qv|0€ wppeb--noq|og qfax|0e mddal 1 |

1€ 1290P%0|0€ uÂs|0€ 4aloç soo|og uorqyfunog|1€ znoweqy|6z znomeq y [Ôc penorq9|0€ qunomeg|o€ tukeg| o1 |

0€ saquaydos|o€ requin |0€ ap |66 sowoueg|Cz uortoqose[g|0€ ueifozep|0€ uomIs|0€ uypeury|0€ suogeg|0€ uoqtra| 6 |

LE snysnäny log vételtn 0€ ugqy|o€ soreglog uonersoquy|re sefy|6c aek|6e uequeqn|0€ qpnomaeg|0€ vpnoueqg| g |

[ra snrnf|oc qqusen|0€ sœn|6z SOISTU9IY uorpwen|oc uesiN|0€ uesIN|oC qoiey [og Jequaeg|oc gouoweuyq| £ |

0€ sntung|o€ qgeyex |0€ Jemtueqeqn|o sorpurx [oc uooptasoq|re sepy|6z aæpy{6ôz Aoe-j9 Épemon log afqon (0€ soqwnl y |
1€ soie [0€ KL {oc pypion|6z sonsiq|6c uorsdouefq|6c-gc 4,49lo 1449/0€ ‘ponor-p9 Apeuan|og ° geqnor |0€ EL] ç

0€ suudy|og sestqy |0€ L|0€ sonuaglog uongreurelog © unouey|6z aq11|6" duei-1o Cqey [oc aeqlx|0€ qq # |

[LE snnae|0€ sepx|0€ prpioqy|6c sowuip{y |6c uorwoipoog|1€ «1 unouey|og mapeylog jonoe-19 qeylog anorey|0€ pyle |

l6c-g5 SUHENI9 T|O0€ dub |0€ Apogeqemy|0c soreppedy 0€ uotuytoStyap OC © uuyaqg|6e UENOSSAHIE A 6c sepes [0€ dPqeg|0€ tqdueq| z |
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"S4TIdAAd SUHAIG ZAHIO AANNVT AΠSNOISIAIGAINS SAG

AVATAVI

AN |

rations toutes politiques, et il fut difficile aux astro-
nomes qui furent chargés de ce travail, de mettre d’ac-
cord leurs exigences avec celles de la science. Le calen-
drier républicain n’a été en usage que durant environ
douze ans; mais il est nécessaire de connaitre sa concor-
dance avec le calendrier grégorien pour établir la chro-
nologie, dont l’ordre a été interverti par son applica-
tion rigoureuse dans tous les actes civils et politiques
de cette époque. Cette année commençait le jour de
l’équinoxe d’automne : les noms de ses mois étaient
vendémiaire, brumaïre, frimaire, nivose, pluviose,
ventose, germinal, floral, prairial, messidor, thermi-
dor et fructidor. Ces dénominations beaucoup trop si-
gnificatives, puisqu'elles établissaient un état particulier
de la saison pour chaque mois, ne pouvaient évidem-
ment devenir d’un usage général, les saisons n’arrivant
point à la même époque pour tous les peuples du
monde. L'ère républicaine date du 22 septembre 1792,
qui était ainsi le 1° vendémiaire de l'an 1‘; et cesten
partant de cette époque qu’on peut établir la concor-
dance de ce calendrier avec le calendrier grégorien.
Voyez CALENDRIER, Êne et PÉRIODE.

ANNUEL (Astr.). Ce qui est relatif à l’annce, on
dont la durée est d’une année , comme mouvement AN-
nuEL de la terre, argument de longitude, épacte, équa-
tion, etc. Poy. Terre, ARGUMENT, ÉPacre, etc.

ANNUITÉ (Arith.). C'est une rente qui n’est payée
que pendant un certain nombre d'années, à des époques
déterminées , et dont la quotité est telle que le débiteur
se trouve, à l'expiration de ce temps, avoir acquitté
son emprunt, avec les intérêts, en donnant annuellement
une même somme.

Pour déterminer les relations qui existent entre la
somme à rembourser et la quotité de l’annuité, il faut
rapporter à une même époque la valeur de cette somme
ainsi que celle des paiemens successifs. Soit donc A une
somme empruntée actuellement, et qu’il s'agit de rem-
bourser en 727 paiemens annuels égaux , que nous dési-
guerons par a. Si l’emprunteur devait simplement rem-
bourser la somme A avec ses intérêts au bout d’une an-
née, il devrait payer à cette époque.

A Ar.

r étant ce qu'on nomme le taux de l'intérêt ou le rap-
port qu’il ÿ a entre une somme de 100 francs, prise pour
terme de comparaison, et l’intérèt de cette somme.
Ainsi, rest égal à :55, si l'intérêt est à 5 pour 100; il
est égal à ;f si l'intérêt est à 6 pour 100 et ainsi de suite.
Il est évident que pour trouver l'intérêt d’une somme
quelconque À, il suffit de la multiplier par le taux.

Désignons donc par A' ce que l’emprunteur doit:
Payer en capital et en intérêts à la fin de l’année, et
nous aurons l'égalité

A'=A+Ar—A(r1+7).

AN 85

Mais si, au lieu de s'acquitter à la fin de la première
année, lemprunteur venvoyait le paiement à la fin de
la seconde , il devrait alors rembourser non-seulement
la somme A", qu'il devait au commencement de la se-
conde année, mais encore les intérêts de cette somme
pour an an, qui sont A'r; il aurait donc à payer

A'+ A'r— A'(1 br).

Substituant à la place de À, sa valeur A (1 +7), on a

pour la valeur du paiement l'expression
A(r+ry.

En poursuivant de la même manière, on voit aisé-
ment que si l'emprunt durait trois ans, la somme à
rembourser à la fin de la troisième année serait

A (1+r,
et qu’en général, si l'emprunteur n’effectue son paie-
ment qu'après 72 années, cette somme serait

A (1).

Telle est donc la valeur de la somme A, empruntée
actuellement, rapportée à l'expiration des » années de
l'emprunt, en admettant qu'il ne soit fait aucun rem-
boursement dans l’intervalle.

Mais, dans le cas des annuités, l’emprunteur paie
au prêteur une somme & à la fin de chaque année suc-
cessive. Il faut donc également évaluer les valeurs de
ces divers paiemens en les rapportant tous à la fin de la
dernière année.

Or, le premier paiement a, étant fait »m—1 ans
avant l'expiration de l’emprunt, vaut entre les mains
du prèteur qui le reçoit

a(i + rt,

Le second paiement étant fait »3—2 ans, avant la

même époque, vaut

a+,
et ainsi de suite jusqu’au dernier; lequel, rapporté au
moment de l'échéance, vaut seulement a.

Mais il faut nécessairement que toutes les sommes re-
çues par le prêteur, à l'expiration du prèt, soient équi-
valentes à la valeur du prêt, c’est-à-dire à

A(i1+r}y.
On à donc l'égalité
A Grp a (+ rpm a (nr + ny
+a(i+r)s Hetc..…. a(r +r) + a.

Le second membre de cette égalité forme une pro-
gression géométrique décroissante dont la somme est
(Foy. Proc. GEO.)

al+rm—i]
|

Elle se réduit donc à (a)
A (trie REIN

Cette dernière égalité renferme la solution de toutes

86 AN
les questions qu'on peut se proposer sur les annuités.

On eu tire d’abord les deux formules

pe}
(2)... a = (m2) .
É (x {GG Er mr

dont la première sert à déterminer la valeur d’une

somme remboursée par une annuité dont on connaît la
quotité, et dont la seconde sert à déterminer la quotité
de lannuité, quand on connait la somme à rembourser.

Nous allons appliquer ces formules à quelques exem-
ples.

I. Exemprze. On demande quelle somme il faut payer
annuellement ponr rembourser en 10 années un em-
prunt de 4000 francs, avec ses intérêts à 6 pour 100.

Nous avons, dans ce cas: A —4000, m—10,etr=

GRR
—, Substituant ces valeurs dans la formule (2), on ob-
0

10619
L. LAN I00

tient

io0oX x <( hi mn)

ie

, 10610 :
Evaluant (5) , par le moyen des logarithmes ,*on
100

ie

106 1° >
trouve (& 2) = 1,790849, et par suite
100

240 X 1,700849
0,790849

Effectuant le reste des calculs par les logarithmes , ou
directement, on trouve définitivement a = 543 f. 47 c.
Telle est donc la somme qu'il faut payer annuellement
pendant 10 ans.

IT. Exrmpze. On demande quelle somme il faut pré-
ter pour obtenir une annuité de 500 fr. pendant 12 ans,

l'intérêt étant à 4 pour 100.
Ici nous avons : a — 00, m— 12, etr = ——

La formule (1) donne

I 12
5oo 14 —) —:1
25
LE I 12 I
1H— ) —
Pas 25

Calculant la valeur de (: +) ou de (&)’, on la

trouve égale à 1.60103, et l’on a
K 4 a

25 K 500 X 0,60103

De eo NOR es
1,00103

Ainsi, l'intérêt étant à 4 pour 100, il faudrait prêter
4692 f. 53 c. pour recevoir pendant 10 ans une annuité
de 500 francs.

AN

Les calculs qu'exigent les questions relatives aux an-
nuités étant embarrassans pour les personnes auxquelles
l'usage des logarithmes n’est pas familier, nous avons
cru devoir joindre ici une table qui rend leur emploi
inutile. Cette table contient les sommes qu’il faut prè-
ter pour recevoir une annuité de un franc pendant un
nombre d'années dépuis 1 jusqu’à 60, et pour des inté-
rêts depuis 3 pour 100 jusqu’à 6 pour 100. I suffit d’une
seule multiplication ou d’une seule division pour réali-
ser les opérations qui sont indiquées dans les formules
(1) et(2). Par exemple, pour trouver la somme qu’il
faut prêter pour obtenir une aunuité de 500 francs,
pendant 12 ans, à 4 pour 100 d'intérêt, il ne faut que
chercher le nombre qui, dans la colonne 4 pour 100,
répond au nombre 12 de la colonne des années, et le
multiplier par 5oo. Ce nombre est 0,385074, et son
produit par 500, est 4692 fr. 53 c.; comme nous l'avons
trouvé dans le second exemple. S'il s'agissait, au con-
traire , de déterminer quelle est la somme qu'il fau-
drait payer annuellement pendant dix ans pour rem-
bourser un emprunt de 4000 à 6 pour 100, on cherche-
rait, dans la table , le nombre de la colonne 6 pour 100
qui correspond au nombre 10 de la tolonne des années,
et l’on diviserait la somme proposée par ce nombre. Il
est ici égal à 7,360087, et le quotient est 543 fr. 47 c.
C’est le même résultat que celui du premier exemple.

Cette table est construite à l’aide de la formule (1),
en y faisant successivement, pour un même taux d’in-
térêt,
égal à 1.

On peut encore se proposer sur les annuités deux
problèmes différens des précédens, savoir : 1° Détermi-

Mm—=1, n=2, m—3, etc, «a étant toujours

ner le nombre d'années nécessaires pour éteindre une
dette, lorsque cette dette, l'intérêt et l’annuité sont
connus ; et 2°, déterminer le taux de l'intérêt, lorsque le
nombre d'années , l’annuité et la dette sont connus.

Dans le premier cas, dégageant (1 + r}" de la for-
mule fondamentale (a), on obtient

Gr =

expression dont on ne peut tirer la valeur de 77 qu en
ayant recours aux logarithmes. Prenant donc les loga-
rithmes des deux membres de cette égalité, il vient
mlog (1+r) =loga— log(a— Ar).
D'où
loga— log (a — Ar)
TT JogG+r) ‘

Nous allons montrer l'usage de cette dernière for

m =

mule en l’appliquant à un exemple.

TI. Exemrze. On demande le nombre d’années pen-
dant lequel il faudra payer une annuité de 500 fr. pour

ANNEES.

3 pour 100.

0,970874
1,913470
2,828611
3,716098
4579708
5,419191
6,230283
7019692
7,786109
8,530203

9,252624
9954004
10,634055
11,296073
11,937935

12,561102
13,166118
13,753513
14,323709
14877475

15,415024
15,936091n
16,1436c8
16,935542
17,413148

17,876842
18,325031
18,764108
19,188455
19,600441

20,000428
20,388965
20,765792
21,131837
21,487220

21,832252
22,167235
22,492462
22,808215
23,114772

23,412400
23,:01359
23,981g02
24,254274
24,518713

24775449
25,024708
25,266707
25,501657
23,729764

25,951227
26,166240
26,374990
26,577660
26,774428
26,965464
27,150936
2753331005
27,50583t

27075564

32 Pour 100.

4,515052

5,328553
6,114544
6,873956
7605687
8,316605

9,001551
9:663334
10,302738
10,920520
11,919411

12,094117
12,651321
13,189682
13,709837
14,212403
14697974
15,167125
15,602410
16,058368
16,481515

16,89035a
17,285364
17,667019
18,035767
18,392045

18,736276
19,068865
19,390208
19,700684
20,00066£

20,290494
20,570525
20,841087
21,102500
21,355072

21,599104
21,834882
22,062689
22,282791
22,495450

22,700918
22,899438
23,091244
23,256564
23,455618

23,628616
23,795765
23,957260
24,113295
24,264053
24,4097 13
24550448
24,086423
24,817800
24,944734

TABLEAU
DE LA VALEUR DES SOMMES PRODUISANT UNE ANNUITÉ D'UN FRANC,

Pendant un nombre d'années compris entre 1 et 60, et pour des intérêts depuis 3 jusqu’à 6 pour 100.

4 POUR 100.

0,961538
1,886095
2,775097
3,629895
4451822

5,242137
6,002055
6,732945
75435332
8,110896

8,760477
9385074
9985648
10,563123
11,118387

11,652296
12,165669
12,659297
13,133839
13,590326

14,029160
14,451115
14,856842
15,246963
15,622080

15,932569
16,329580
16,663063
16,983715
17,292033

17,588494
17,893551
18,146674
18,411198
18,66461:13

18,908282
19,:42579
19,367864
19,584485
19792774

19,995052
20,185627
20,370795
20,54884r
20,720040

20,884652
21,042936
21,195131
21,341472
21,482185

21,617485
21,747582
21,872675
21992957
22,108612

22,219819
22,326549
22,429367
22,528430
22,62 3490

8

43 POUR 100.

0,956938
1,872668
2,748964
3,587526
4389977
5,159872
5,892701
6,595886
7:268790
75912718
8,528917
9,118581
9,682852
10,222825
10,739546
11234015
11,707191
12,159992
12,503294
13,005936

13,404724
13,784425
1414797975
14,495478
14,528209

15,146611
15,451303
15,742874
16,021889
16,288889

16,544391
16,78889x
17,022862
17,246758
17,461012

17,666040
17,862240
18,049990
18,229656
18,401584

18,566109
18,3923550
18,874210
19,018383
19,126343

19,288377r
19414709
10,935607
19,651298
19,762008

19,865950
19969330
20,066343%
20,159181
20,248021t

20,492236
20,566953
20,63802a

5 POUR 100,

ne | | nn mme

2,723248
3,543950
4329477
5,075602
5,786373
6,463213
7,107822
9721735

8,306414
8,863252
9:393573
9,898641
10,379658

10,837770
11,274066
11,689587
12,085321r
12,462210

12,821153
13,163003
13,488574
13,793642
14,093945

14,395185
14,6/43034
14,898127
15,141074
15,392451

15,592810
15,802677
16,002549
16,192904
16,374194

16,546852
16,711287
16,867893
17,017041
17,159086

17,204368
17,423208
17,915912
17,662573
1737794070
17,880066
17,981016
18,079158
18,168722
18,255925

18,338997
18,418073
18,493405
18,165146
18,633472
18,698545
18,760519
13,819542
18,855754

18,929290

5 L pour 100.

0,947867
1,8463r9
2697971
3,505149
4,270286

4:995529
5,682969
6,334567
6,952198
7537627

8,092539
8,618699
9117075
9589649
10,037582
10,462162
10,86 ,606
11,240054
11,605653
11,950359

12,270244
12,583168
12,855046
15,151700
13,413930

13,662493
13,898103
14,121418
14,333098
14,533746

14,723926
14,904200
15,035072
15,237034
15,390550

15,636063
15,664256
15,804726
15,928660
16,046126
16,157462
16,263000
16,363033
16,457844

16,547724

16,632910
16,713664
16,790187
16,802749
16,931517

16,99670t
17,058485
17:117045
17,172553
19,225191
17:27504 ;
17,322323
17,367127
15,41 9602

17:449356

6 Pour 100.

0,943306
1,833393
2,673012
3,465106

4,212364

4917324

5,58238r

6,209794

6,801692

7:360087

7886835

8,383844

8,852683
9:294984
9:712249
10,105805
10,477260
10,827603
11,158116
11,469921
11,764073
12,041582
12,303359
12,550358
12,783356
13,003166
13,210534
13,406164
13,590321
13,76483r
13,929086
14,084043
14,230230
14368141
14498246
14,620986
14,7 36:80
14,846019
14949075

19,040297

24370
5* 59028

1
1

15,650027
15,707572
15,761861x
15,813076
15,861303
15,906974
15,949976
15,990543
16,028814
16,064919
16,0989$0
106,131113
16,161428

RER D eme

7

88 AN

éteindre une dette de 4692 fr. 53 c., l'intérêt étant à

4 pour 100.
1

Nous avons a = 500, A 4692,53, r = —— = —,
100 25
26
et 1 T= —.
1 25

On trouve, en évaluant, a— Ar —312,2988. Cher-
chant donc, dans les tables, les logarithmes de ces nom-
bres , on a
2,6989700 — 2,4945703
14149733 —1,3979400

m =

Le tableau peut aussi servir pour résoudre les ques-
tions de ce genre avec beaucoup de facilité. En effet,
divisant 4692,53 par oo, on trouve le nombre 9,38506,
qui est la somme correspondante à un franc d’an-
nuité : les autres conditions du problème étant les
mêmes. Cherchant donc dans la colonne 4 pour 100
le nombre qui approche le plus de 9,38506, on trouve
9,382074, qu'on peut considérer comme lui étant en-
tièrement égal : le nombre 12, placé en face, dans la
colonne des années, est donc le nombre d'années
cherché.

Le second cas qui nous reste à examiner est un des
plus compliqués de la science des nombres; car il con-
duit à une équation d’un degré infini dont on ne peut
exprimer l’inconnue que par une série également infi-
nie. Les calculs sont alors d'autant plus pénibles que la
série est moins convergente.

Reprenons la formule (a), et donnons-lui la forme

A MT
= =;[: —(1+7r) |
Développons ensuite le binôme (1 + r)-" (Voy. Br-
NÔmME), et faisons
2 [am— A]
am (m +1)

= 9)

nous aurons

! [2] =:
een) no. PÈRE
Dent DCE D n + etc .

Enfin, dégageant r de cette série (Foy. Retour pes
suiTes), nous obtiendrons (b)

r=g+ Ut, .+@T er CRIE
+ PENSE SEE 44 ete.

Dans le plus grand nombre des cas, cette série est
peu convergente ; et, pour obtenir une approximation
suffisante, il est essentiel de caiculer dix à douze termes,
ce qui devient très-long et très-pénible, par l'extrême
complication des coefficiens qui suivent celui du qua-

trième terme. Il est alors plus simple de calculer seule-

AN

ment les quatre premiers termes, et de se servir ensuite
de la règle de fausse position; car, à l'aide de cette rè
gle, il est facile de pousser l’approximation aussi loin
qu'on peut le désirer. Voy. Fausse PosITION.

Pour donner une application de la formule (b), nous
nous servirons des mêmes données que dans l'exemple .
précédent; c'est-à-dire, nous supposerons qu’étant con-
venu de rembourser 4692 fr. 53 c. par 12 annuités de
500 fr. , on ne connaisse pas le taux de l'intérêt, et qu'il
s'agisse de le déterminer.

Nous aurons alors

2? 2 [am — A]
am (m — he

Faisant »: — 12 dans les coefficiens de (b), on trouve

(
_ 130747 |

2[500 X 12—4692,53]
” 3900000

500 X 12 X 13

130747 14 130747 Ÿ+
7 3900000 | 3 * \3900000
469 130747 21035 130747 \‘
us 18 ‘ 3900000 135 a RS

Exécutant les calculs indiqués , on obtient

0,033524..
0,038769...
NAT 5
0,039948..

Premier terme
Somme des deux premiers —

Somme des trois premiers
Somme des quatre premiers

En examinant la marche de ces quantités, on voit
qu’elles approchent de plus en plus de 0,04, qui est en
effet la véritable valeur de r.

Si nous transformons la série (b) en fraction continue
(Foy. FRACTION CONTINUE), nous trouverons l'expres-

sion

1— Ctc.

Les premiers termes de cette fraction sont très-sim-
ples; et il suffit d'en employer trois pour obtenir un
degré d'approximation bien supérieur à celui que
donne la somme des quatre premiers termes de la sé-
rie (b). Pour faire usage de cette formule, nous y fe-
rons
__ 130747

TL —= 12
? 3900000

,

et nous aurons , conséquemment,

M—I IT

12 12

37 30
Réalisant ensuite les opérations, nous trouverons

0,033524

D Le
0,0309742

Pour la première fraction intégrante. .
Pour les deux premières. . . .
Pour les trois premières. . . . . . . . ns

AN
La dernière valeur ne diffère de la véritable, 4
1

que de deux millionièmes.

La table des annuités peut encore abréger tous ces
calculs, lorsqu'ils se rapportent à des questions compri-
ses entre ses limites; car, après avoir divisé 4692 f. 53 c.
par 500 , afin de connaître la somme correspondante à
1 franc d’annuité, 1l suffit de chercher dans la colonne
horizontale de chiffres placée devant 12 années le nom-
bre qui approche le plus du quotient trouvé. Ce nom-
bre étant ici 9,385074 , de la colonne 4 pour 100, nous
voyons immédiatement que le taux demandé est _
Si le quotient ne se trouvait pas exactement, c'est que
le taux serait compris entre ceux des deux colonnes
dont les nombres seraient immédiatement au-dessous et
au-dessus de ce quotient. Prenant alors la différence de
ces nombres, ainsi que la différence du plus petit et du
quotient, on pourrait, à l’aide d’une règle de trois, cal-
culer la différence du plus petit taux avec le taux cher-
ché, car on a en effet, à peu près, la proportion : La
différence des nombres est à la différence du plus petit
et du quotient comme la différence des taux est à la
différence du plus petit taux et du taux cherché. En se
bornant aux millièmes, ce qui suffit dans le plus grand
nombre des cas, tous les chiffres seront exacts.

I! résulte de la formule (a) plusieurs autres particula-
rités dont il sera fait mention aux articles InrsrÈr et
ASSURANCE.

ANNULAIRE, Éccipse ANNULAIRE (Astr.). On a
donné cette dénomination à une éclipse de soleil qui a
lieu lorsque le disque de cet astre et celui de la lune se
trouvent concentriques, et que cependant le diamètre
apparent de la lune est moindre que celui du soleil.
Dans cette circonstance, le centre de cette planète est
seul éclipsé; sa lumière déborde autour du cercle obs-
cur occupé par la lune, et forme pendant quelques mi-
nutes un mince anneau lumineux. Ce phénomène sin-
gulier ne se reproduit qu’à de rares intervalles. Voyez
Écrrpse.

ANOMALIE (de & privatif, et de opunos, régulier).
Distance angulaire d’une planète au sommet de l’axe de
son orbite où au point de son aphélie. On a donné le
nom d'anomalie à cette distance parce qu’elle déter-
mine l'inégalité du mouvement de la planète, et qu’elle
sert à Ja calculer dans les divers lieux de sa marche,
Elle est mesurée par l'angle formé entre le rayon vec-
teur et la ligne des apsides , en partant de l'apogée pour
la lune et le soleil, et en partant de l’aphélie pour les

autres planètes. On distingue trois sortes d'anomalies :
moyenne, excentrique , et vraie.

L'anomaLiE moyenne était, dans l’astronomie des an-
ciens, la distance supposée uniforme de la planète au

AK 8g

point de l'apogée. Cette distance était alors proportion
nelle au temps du mouvement; c’est-à-dire que, pour
une planète qui décrirait en six mois la moitié de son
orbite, ou qui parcourrait uniformément en six mois
les 180 degrés de ce demi-orbite , en allant de l'apogée
au périgée, l'anomalie serait de 30 degrés à la fin du
premier mois, de 60 degrés à la fin du second mois, de
90 degrés à la fin du troisième, etc.

Mais, en réalité, une planète décrivant autour du s0-
leil une ellipse dont il occupe l’un des foyers, et les
arcs elliptiques n'étant pas proportionnels aux temps
pendant lesquels ils ont été parcourus, l’astronomie mo-
derne donne le nom d’anomalie moyenne au temps seul
du mouvement. Ainsi, deux heures après le passage
d'une planète à son aphélie, l'anomalie est de 2h;
3 heures après, elle est de 3" , et ainsi de suite.

Soit S Le foyer de l'orbite occupé par le soleil, AMDP
la moitié de l'orbite, A l’aphélie, P le périhélie, et M
le lieu d'une planète , l’anomalie moyenne sera le temps
que la planète aura mis pour parvenir de A en M.

Or, d’après les lois de Képler , l’aire elliptique ASM
est proportionnelle au temps du mouvement selon AM
(Poy. Ares proportionnelles au temps). Cette aire
peut donc aussi représenter l'anomalie moyenne. De
plus, si l’on imagine un demi-cercle AKP décrit sur
l'axe AP , et que l’on mène par le lieu M de la planète
une perpendiculaire MR à l’axe, cette perpendiculaire
déterminera un point N, duquel menant la ligne NS
on formera un espace mixtiligne ANS, toujours pro-
portionnel au secteur elliptique AMS par une propriété
connue de l’ellipse (Foy. Errrrse). A l’aide de cet es-
pace, l’anomalie moyenne pourra être exprimée en de-
grés du cercle; ce qui est essentiel pour la faire entrer
dans les calculs astronomiques, ces calculs ne s’exécutant
que par le moyen des degrés circulaires.

En effet, si du point S on
abaisse la perpendiculaire ST
sur le rayon NC prolongé, etque
l'on prenne ensuite l'arc NX
égal à ST, l'arc de cercle ANX
sera l’anomalie moyenne ; car
le secteur circulaire CXN est
égal autrianglerectiligne CNS :
la surface du premier étant
IXN X NC, et celle du se-
cond :ST X NC. Donc l’es-
pace mixtiligne ANS est égal

au secteur circulaire AXC ; et ce secteur, et conséquem-
ment son arc ANX , peuvent servir à mesurer le secteur
elliptique AMS oul’anomalie moyenne, puisqu'il y aura
toujours le même rapport entre le nombre de degrés
de l'arc ANX et 360° qu'entre le secteur elliptique AMS
et la surface entière de l’ellipse. On peut donc considé-

LE]

90 AN

rer l'arc ANX comme l’espace que parcourrait unifor-
mément la planète sur la circonférence ANP, pendant le
temps qu’elle décrit réellement larc elliptique AM sur
son orbite.

L’anomaLie excentrique où du centre est l'arc AN du
cercle, intercepté entre Paphélie et le sommet N de la
perpendiculaire NR. Elle sert à trouver l'anomalie vraie.

L’avomarte vraie est l'angle ASM formé par le rayon
vecteur SM et l’axe AP.

Le problème de calculer l'anomalie vraie par le
moyen de l’anomalie moyenne, ou de déterminer
l'angle ASM à l'aide du secteur elliptique qui forme cet
angle , est un des plus importans de l'astronomie, puis-
qu'il renferme le moyen de déterminer le vrai lieu
d’une planète pour un temps donné. On le nomme
Prorrème pe Képrer. Il fut en effet posé par ce grand
astronome, qui en a donné une solution approximative
dans son bel ouvrage de Stella martis. Waillis et New-
ton l’ont résolu par le moyen de Ja cycloïde alongée;
mais leurs solutions ne sont poiat en usage dans la pra-
tique. Plusieurs mathématiciens, tels que La Hire,
Keil, Cassini, Herman, Machin, Sinpson, Lalande,
Cagnoli, etc., l'ont envisagé de diverses manières
(Voy. Mémoires de l'Académie des Sciences, 1710,
1719; Transactions philosophiques, 1507,
moires de Pctersbourg, t. 1; Trigonometrie de Cagnoli;

de
1713; Me-

Astronomie de Lalande). Mais toutes leurs solutions ne
reposent que sur des moyens plus ou moivus indirects.
Bossut, Prix de l'Académie, 1506, et Klugel, 4stro-
misches yahr-bach, 1789, ont traité directement le
problème de Képler, dont nous possédons encore une
solution complète donnée par Lagrange dans les Aem.
de l Académie de Berlin, 1769, comme application de
sa belle formule de développement en série d'une fonc-
tion quelconque Fx, d’une variable x engagée dans une
équation (x—a) + xx; ou gx est aussi une fonction
quelconque de x. ( Foyez DéyrLorpemEnr.)

Désignons par a le demi-grand axe AC de l’ellipse,
par e l’excentricité CS, par u l'anomalie vraie ou laugle
ASM, par x l’anomalie excentrique ou l'arc AN, et par
z l’anomalie moyenne ou l'arc ANX,

On à, dans les triangles rectangles MRS et NCR
(ris,

Ut Of
CRT SR SM
tang Lx — L EN
MAR TT

De ces deux égalités on tire (72)
tangzu RM CR + a
Em RN SR EISM
Mais , d’après les propriétés de l’ellipse , on a
RM. CD Le a+ e
+= = — SI SN PR: ———
EN RE HSM = PR os

AN
et de plus
PR — CR + a.
Substituant ces valeurs dans l'égalité (m), elle devient
ungiu _CD _(CR+d.a _ CD
tangix a (CR+a)(a+e) a+e
Or, CD, étant le demi petit axe de l’ellipse, est égal

à V/æ —e; donc on a définitivement (u)

ta 1 t LT fes
nglu—=tang Lx. ER
gi gi à

Cette formule, qu'on doit à Lacaille, fait connaître
Panomalie vraie par l’anomalie excentrique. Pour obte-
unir cette dernière, reprenons l'égalité surf ACX —
surf ASN , ou plutôt

surf ACX = surf ACN + surf CNS ;
c’est-à-dire
Laz = ax +leX NR.
NR étant le sinus de l’angle ACN ou de l’arc AN, cette
dernière égalité , en la multipliant par 2, se réduit à

az = ax + esin x,

équation transcendante dont on ne peut tirer la valeur
de x que par approximation ou par des séries infinies.

Cette expression, trouvée par Képler, est ce qui lui
avait fait croire que le problème était insoluble, et
qu'on ne pouvait arriver que par tâtonnement à des va-
leurs approchées de x, Le moven direct d’obtemr x est
de substituer dans cette équation , à Ja place de sin æ, la
série qui donne la valeur du sinus au moyen de l'arc;
car on a alors

et ——— #5 ns «|
x.2.3:405 12340107

dont on peut tirer la valeur de æ, exprimée en z, par
la méthode du Retour des surtes.

L'anomalie excentrique étant connue, la formule (x)
donne sans difficulté l’anomalie vraie.

ANOMALISTIQUE (Æ5tr.). La révoiution anomalis-
tique d’une planète est le temps pendant lequel elle par-
court son orbite, en partant d’un point quelconque de
cet orbite jusqu’à son retour au même point. Cette ré-
volution ne différerait pas de Îa révolution sidérale ou
du retour à la mème étoile, si les orbites des planètes
étaient fixes ; mais l'aphélie ou le grand axe de l’orbite
ayant un mouvement propre, selon l’ordre des signes,
il faut plus de temps à la planète pour revenir à son
aphélie qui s'est avancé pendant ja durée de la révolu-
tion que pour revenir à la même étoile. Ce mouvement
de l'aphélie étant pour la terre de 50" par année, l’an-
née anomalistique est plus longue que l’annéesidérale de
4!.47".33. Foy. Axxée ct Précessiow.

ANSE pe paxier (4rch.). Courbe formée par la ren-
contre de plusieurs arcs de cercle, et que, dans l’archi-
tecture, on substitue à l’ellipse pour former les cintres

des voûtes,

AN
Le nombre des ares qui composent ces courbes est
toujours impair, et d'autant plus grand que la voûte
doit être plus surbaissée. Ce que nous allons dire pour
les anses de panier à trois et cinq arcs, ou, comme on
les nomme, à trois et cinq centres, pourra s'appliquer
facilement à tous les autres cas. Celui de trois centres

est du reste le plus employé.

Soit la droite AB , sur laquelle il s’agit de dé-
crire une anse de panier; et soit DC la hauteur de la
voûte , ou sa montée. Supposons que la courbe soit tra-
cée; c’est-à-dire que des centres K et M, et avec les
rayons égaux AK et BM, on ait décrit les arcs AF et
BH, et que du centre E on ait également décrit le troi-
sième arc FDH. Pour que la courbe soit régulière, et
que les arcs se touchent seulement aux points de rencon-
tre F et H, il faut qu'en menant de ces points les
droites FK et HM, ces droites prolongées se rencon-
trent au centre E.

Nommons n la demi-base AC, 4 la montée DC, x le
rayon KF ou HM, et y le rayon DE.

Nous aurons CK=—n—x, CE—7y—}h,EK—EF
—KF=7y— x; et de plus EF — EH, KF = KA —
MH — MB, d’après la nature de la courbe.

Le triangle rectangle KCE donne ( Foy. RecrANGLE)

(Y—x}=(n— x} +(y—h};
égalité dont on tire, en développant les puissances, (41)
ne + oxy — onx — 0hy = 0.
Telle est l'équation de condition entre les quantités
données et les rayons x et y.

Or, pour que la courbure des arcs soit la moins iné-
gale, où pour que anse de panier ait la forine la plus
elliptique il faut que la différence y —x des rayons
soit dans le plus petit rapport possible avec chacun de
ces rayons. Les rapports

LE
dr
doivent donc être des minima.
Différenciant ces rapports (Foy. Minima ), ils don-
nent l’un et l’autre.
xdy — ydx = 0.

Substituant dans cette équation la valeur de y, tirée
de l’équation (#2), elle devient

AN à
— ondx (ht?) — dr (h—5æ). (re hreix) — 0.

, » pois S
Divisant par dx, et résolvant par rapport à x, ôn ob-
tient

x CHR ER). vVr+k

211

Enfin, substituant cette valeur de æ dans l'équation

(2), et résolvant par rapport à y, on trouve

LR CRD Ve +2
PSE oh

DE

Le double signe H nous apprend que ces valeurs
0
peuvent se construire de deux manières; mais nous pren-
drons seulement les sigues inférieurs, parce que dans le
0

cas qui nous occupe y doit être plus grand que x.

Construction. Menons par les points À et D la droite
AD, et prenons CX — CD; portons AX de Den T;et,
sur le milieu Z de AT élevens 1 perpendiculaire ZK.,
prolongée jusqu'a sa rencontre avec DC prolongé. Les
points K et E, où cette perpendiculaire rencontrera la
base AB et le prolongemiert de la montée DC seront les
centres cherchés. I ne faut plus que prendre BM égale

à AK pour avoir le troisième centre.

En effet, nous avons par construction
AD=Y rm + k,
AT—AD—AX— VV +ir—{ñ—h),

47 —(n his VA + he

»

Mais les triangles semblables ACD et AZK donnent
AG : AD :: AZ : AK.

Donc

Re + li te De LAN LS

on
Les trianoles semblables ACD et ECK donnent aussi
CD : AG :::-CK : CE.

D'où l'on tire

7 + (n — h)\/r2 &

: ol re

CE —

et enfin

ED — mL + = BV +R .

à cause dé ED — PC + CE = ñ + CE: -

}

Si l'on voulait détérminer par le caleul lès rayons
AK, ED, ainsi que les angles AKF, FEH, il faudrait
simplement substituer dans les valeurs de.ces rayons la
grandeur numérique de a et de D ,;.et employer ensuite
les formules trigonométriques qui servent à trouver les

angles d'un wiangle par Le moyen des côtés.

92 AN

Nous allons considérer actuellement l'anse de panier
(à cinq centres.

Le]

Soient AB la base, DC la montée, AS — TB le rayon
des arcs égaux AF et IB, FK —IL le rayon des arcs
égaux FG et HL, et enfin DO le rayon de l’arc moyen
GDH. La figure ci-dessus montre suffisamment Jes po-
sitions respectives que ces rayons doivent avoir entre
eux pour que la courbure soit uniforme; nous croyons
donc inutile d’entrer dans de plus longs détails.

Il est facile de voir que si la base et la montée étaient
seules données , le problème pourrait admettre une in-
finité de solutions ; mais ordinairement, dans la prati-
que, on suppose connu le rayon AS des arcs extrêmes ,
et l’on prend en outre l'angle ASF de 60° et les angles
FKG et GOD chacun de 15°. Menons la perpendicu-
laire KN , et faisons

AC=a,CD—AhA, AS—n, KF=x, et OD—7y;
nous aurons
KS—x—n,KN—KS.sin 60° —(æ—n) sin 60°,
SN =KS. cos 60° — (x—n) cos 6o°,
CN = KZ—a—n— {(x—n) cos 60°,
OZ —OC—CZ —OC —KN = y—}h—(x—n)sin 60°,
et enfin
OK — OG—KG—y— x.
Cela posé, le triangle rectangle OZK donne
OK’ OZ’ + KZ’,
ou (p)
Ga) = (ah (2) 4 (y hi (an) 3)"
| V3

en substituant à la place de sin 60° sa valeur et à

la place de cos 60° sa valeur +.
Telle est l'équation de condition entre les quantités
données a, h, n et les deux rayons x et y. Si l’on vou-

lait déterminer ces rayons par la condition que la cour-
bure soit la plus uniforme possible, il faudrait prendre

AN

: —x ne
comme ci-dessus le rapport © pour un 7ninimum ;
l

Es
ce qui donnerait l'équation xdy — ydx — 0, dans la-
quelle on mettrait les valeurs de y et de dy, tirées de
l'équation (p); et on continuerait en suivant la même
marche que pour le cas des trois centres.

La somme de tous les arcs qui forment une anse de
panier doit toujours être égale à une demi-circonfé-
rence ou à 180°.

ANSES (Astr.). C’est le nom donné par Galilée aux
parties sensiblement éminentes de l’Anneau de Sa-
turne, qui ont en cffet, dans certains cas, l'apparence
de deux anses attachées à cette planète. Voyez ANNEAU
DE SATURNE.

ANTARCTIQUE( Astr.). Antarcticus (d’&vri, contre,
opposé, et &p#ros, Ourse, opposé à la Grande-Ourse ).
C’est le nom donné à l'extrémité méridionale de l'axe
de la terre, l’un des deux pôles autour desquels s'opère
le mouvement de rotation de ce globe.

On nomme cercle antarctique ou cercle polaire an-
arctique, VYun des petits cercles de la sphère, qui est
parallèle à l'équateur, et éloigné du pôle méridional
de 23° 25" par opposition à un autre cercle qui est à la
même distance du pôle septentrional et qu’on désigne
sous le nom de cercle arctique polaire. Voyez Arcri-
QUE, Quese, PôLe et Zoe.

ANTARES (Astr.). Du grec A’yrépns, nom d’une
étoile de la première grandeur, située dans la cons-
tellation du Scorpion.

ANTÉCANIS. J’oyez Procton.

ANTÉCÉDENT ( 4{g.). On donne ce nom au pre-
saier des deux termes qui composent un rapport. Ainsi
dans le rapport M: N, M est en général l’antécédent.
Voyez Prororriow.

ANTECEDENTIA ou PRECEDENTIA, termes d’as-
tronomie. Lorsqu'une planète paraît aller vers l'occident
contre l’ordre des signes, comme de la Vierge dans le
Lion, on dit en astronomie qu’elle se meut en antece-
dentia où precedentia. On dit au contraire qu’elle se
meut in consequentia lorsqu'elle suit l’ordre des signes
et va vers lorient, comme du Sagittaire au Capricorne.

ANTHEÉMIUS, de Tralles, né durant le VI° siècle,
se rendit célèbre sous le règne de Justinien, par la
supériorité avec laquelle il fit l'application des mathé-
matiques à l'architecture, à la mécanique et à l'optique.
11 fut l'ami d'Eutocius, le savant commentateur d’Ar-
chimède et d’Apollonius de Perge, et fit le plus grand
honneur à l’école platonicienne de Proclus, dont il a été
le disciple. On sait que cette école, établie à Athènes
vers le milieu du V° siècle, hérita durant une assez
longue période, de toute la gloire que les sciences ma-
thématiques avaient méritée à l’école d’Alexanärie.

La renommée gu’Anthémius s'était acquise dès sa

AN

jeunesse, le fit choisir par l'empereur Justinien pour
diriger, de concert avec Isidore, la construction de la
basilique de Sainte-Sophie, chef-d'œuvre de l'art,
qu’il acheva seul après la mort de ce grand architecte.
C'est à lui qu'on attribue, avec raison, l'invention
des dômes , couronnement qui termine avec autant de
hardiesse que de majesté les monumens de ce genre.

Nous ne connaissons malheureusement les travaux
d’Anthémius dans la mécanique et l’optique que par les
fragmens de son ouvrage : zepi ræpadobuy pnyævnmara,
de Machinis paradoxis, etc., dont Dupuy, de l’Aca-
démie des inscriptions, a publié la traduction. Dans
cet écrit, dont l'analyse nous conduirait trop loin,
Anthémius résout plusieurs problèmes ingénieux d’op-
tique, entre autres celui d'exécuter ce qu’on raconte
d’Archimède brülant les vaisseaux romains avec des
miroirs. Voyez Mémoires de l'Académie des inscrip-

tions, tome xL11.

ANTI LOGARITHME (4/g.). Nom donné par quel-
ques auteurs au complément arithmétique du logarithme
d’un sinus, d’une tangente ou d’une sécante, c’est-à-
dire à la différence entre ce logarithme et celui du
rayon.

ANTICHTONES ( Astr. ). ( D'évri, contre, opposé,
etde xfav, la terre. Peuples qui habitent dans les hémi-
sphères opposés de la terre, mais à des latitudes égales :
ainsi de deux peuples antichtones, V'un a l'été tandis que
l’autre a l'hiver, Foyez ANTIPODES.

ANTINOUS (Astr.). Constellation boréale vague-
ment indiquée par Ptolémée comme une des étoiles qui
avoisinent l’Aigle, mais qu'Hévélius ajoute la première
au catalogue donné par cet ancien astronome, et place au-
dessous de cette constellation. On ignore si ce noma été
donné au groupe d'étoiles qui le portent, par les astro-
nomes du temps d’Adrien, dont la douleur pour la
perte de son favori se manifesta par d'inexcusables folies,
ou si l’Antinous céleste est le même que Ganymède. Les
étoiles %; 41 #), de la constellation de l’Aigle, sont repré-
sentées dans nos cartes du ciel, comme placées sur la
figure d’Antinoüs, et indiquent la position qu’occupe
cette constellation, en l’admettant comme telle,

ANTIPODES (Astr. — Geogr. — Math.) D'art,
contre, opposé, et de æës, modes, pied. Points diamé-
tralement opposés du globe terrestre. Cette expression
ne s'applique vulgairement qu'aux êtres qui habitent
des contrées placées dans cette situation : la science a dû
l'entendre d’une manière plus précise, et dans le sens de
la définition que nous venons de donner. Les pays qui
sont sur des parallèles à l’équateur, à un égal éloigne-
ment de ce cercle, les uns au midi, les autres au nord,
enfin qui ont le même méridien , et qui sont sous ce mé-
ridien à la distance les uns les autres de 182°, c’est-à-

AP 93
dire de la moitié de ce méridien, sont antipodes les
uns aux autres, et leurs habitans marchant dans un sens
contraire, ont effectivement les pieds diamétralement
opposés. Les antipodes éprouvent à peu près les mêmes
degrés de chaleur et de froid, et ont des jours et des nuits
d’une égale grandeur ; mais ils subissent ces variations de
température et de durée des jours en des temps opposés.
Ainsi, quand il est midi pour l’un des antipodes, il est
minuit pour l’autre ; et lorsque les jours ont atteint leur
plus grand accroissement pour l’un, ils sont pour
l’autre au point le plus court de leur durée.

AOÛT (Astr.). Sextilis, et ensuite ÆAugustus, le
sixième mois, le mois d’Auguste. Le nom de sextilis
avait été donné à ce mois, à cause du rang qu’il occupait
dans l’année de Romulus, qui n’était que de dix mois. Il
devint le huitième de l’année de Numa, et conserva
néanmoins son nom primitif jusqu'à l’époque où Au-
guste lui imposa le sien.

Pendant le mois d'août ou d’Auguste, le soleil paraît
parcourir la plus grande partie du signe du Lion, et
entre vers le 23 au signe de la Vierge.

APHÉLIE (4str.). (De ame, loin, etde “es , soleil.)
Point de l'orbite d’une planète où sa distance au soleil
est la plus grande; c’est l’une des extrémités du grand
axe de l’ellipse que les planètes décrivent autour de
cet astre. L'autre extrémité de ce grand axe se nomme
peérihélie.

Dans les anciens systèmes d'astronomie, où l'on sup-
posait la terre immobile au centre de l'univers, l’aphe-
die devient l'apogée. Foyez Arocée.

Les aphélies des planètes ne sont point fixes, parce
que l'attraction mutuelle qu’elles exercent les unes sur les
autres donne à ces points un mouvement continuel plus
ou moins grand dans les diverses planètes, et qui se fait
selon l’ordre des signes. L'exposition des lois de ce mou-
vement n’est point ici notre objet. ( l’oyez PErTursa-
rio.) Nous devons d'abord expliquer comment on
détermine la position de l’aphélie par les observation
astronomiques.

Soit donc EBACE l’orbe ellip-
tique d’une planète, et S le foyer

D_À

de cet orbe occupé par le soleil.
Soit de plus ASP le grand axe, ou
comme on le nomme, la ligne des
apsides. À sera le point de l’aphe-
lie, et P le point du perihelie. Or,
l'axe partage l’ellipse en deux par-
ties égales qui sont parcourues en
temps égaux et avec les mêmes de-
grés de vitesse, la plus grande vi-

tesse étant au périhélie et la plus

petite à l’aphélie. Mais si l’on tire
par le foyer $ une autre droite DE, elle partagera l’el-

94 AP

jipse en deux parties qui ne seront ni égales a1 parcou-
rues dans un même temps : car la partie DACE sera vi
lemment décrite dans un temps plus long que la par-
tie DBPE. Ainsi, choisissant deux observations d'une
planète, où les longitudes réduites au soleil se twouvent
diamétralement opposées entre elles, si les temps de ces
observations sont éloignés entre eux de cekui dune
demi-révolution de la planète, alors ces observations
auront été faites dans la ligne même des apsides; si au
contraire l'intervalle de ces temps diffère de celui de
la demi-révolution, les positions observées se rappro-
cheront d'autant plus de laphélie et du périhélie que la
différence sera plus petite.

Cette méthode réussit très-bien pour les planètes dont
les oppositions sont fréquentes; mais pour celles dont
ces oppositions n’ont lieu qu'à de longs intervalles de
temps, on est obligé d'employer une autre considération.
On prend deux observations faites l’une aux environs
du point À, ét l’autre aux environs du point CO, situé à
la distance moyenne de la planète au soleil : On à ainsi
le mouvement vrai ou l'angle ASF; mais, par la durée
entière de la révolution, on connait le mouvement moyen
pour un intervalle de témps quelconque. La différence
du mouvement vrai au mouvement moyen doit être
d'accord avec l'équation de lorbite calculée, si Pobser-
vation faite vers À répond exactement à ce point; mais
sielle ne s’y rapporte pas, il y aura une erreur dans
l'équation calculée vers le point A , où elle change rapi-
dément, tandis qu'il n’y en aura presque point vers la
moyenne distance F, où l’équation, étant à son maximum,
ne varie que très-peu. Donc le mouvement total, calculé
de À en F ne sera conforme au mouvement observé que
quand on aura employé un lieu véritable de l’aphélie A.
If faudra done changer d'hypothèse jusqu’à ce. que le
calcul soit conforme à l’observation, et l’on aura alors
la véritable situation de l’aphélie.

Lalande a employé, pour déterminer l’aphélie de
Mercure, une méthode dont nous allons donner uné
idée
nète

: Soit T la position de la terre, et F celle de la pla-
vers les distances moyennes; la terre verra la pla-
nète suivant le rayon visuel TF qui touche l'orbite en
F, et qui marque la plus grande digression STF. Pour
peu qu'on change la direction de la ligne des apsides,
le rayon SF change de position et sort de l'angle STF
du côté du point G, de sorte que l'angle d’élongation
devient STG, et alors le calcul ne s'accorde pas avec
l'observation supposée faite dans la ligne TF. Il faut
donc faire diverses hypothèses jusqu’à ce qu’on ait la vé-
ritable. Cette méthode fait connaitre l’aphélie à l’aide
de l’angle d’élongation.

Il existe d’autres méthodes pour trouver l’aphélie des
planètes. Delambre paraît en avoir employé une nou-
velle, dont i] fait l'essai dans son Traité d'astronomie ,

AP

sur la planète de Mars. M. Bouvard l'avait aussi décou.
verte de son côté. ( Voyez Delambre, Astronomie,
chap. xx1, t 11.) Pour le mouvement de l’aphélie
voyez LÉMENS DES PLANÈTES.

APIAN ou APIANUS (Pierre ), né à Leipsick en
1499, astronome et professeur de mathématiques à
fugolstadt, a composé un grand nombre d’ouvrages
qui lui acquirent de la célébrité parmi ses contempo-
rains, ét lui valurent les faveurs de l’empereur Charles-
Quint. Mais de tous ses écrits, dont la plupart se ressen-
tent des préjugés du temps où ils furent composés,
l'Astronomicon cæsareum contient seul une partie qui
intéresse vivement la science astronomique. Apian y
consigne les observations qu’il a faites des comètes de
1531, 1532, 1533, 1538 et 1539. Celle qui eut pour
objet la comète de 1532 est surtout d’une grande im-
pôrtaänce, puisqu'elle a servi à calculer le retour pério-
dique des comètes, et ainsi agrandi la sphère des con-
naissances astronomiques. Le célèbre Halley, ayant
déterminé les élémens paraboliques de la comète qui se
montra en 1682, put conclure de la grande similitude
des élémens, que cette comète était identique avec celle
de 1607. Il assignait ainsi à cet astre une révolution de
74

l'attraction des planètes pouvait apporter à sa marche.

à 76 ans, en faisant la part des perturbations que

L'observation faite par Apian en 1531. et qui remontait
à 76 ans avant l'apparition de 1607, justifia les conjec-
tures de Halley, et ne permit pas de douter de la
périodicité de la comète dont il se hasarda à prédire la
réapparition pour la fin de 1758 ou le commencement
de 1959. Clairaut, de l'Académie des sciences, résolüt
le difficile problème posé par Halley, en déterminant
avec exactitude la valeur des perturbations que la co-
mète devait éprouver, eu égard au ralentissément que
l'attraction des planètes apporterait dans sa marche. Il
annonça que le passage au périhélie aurait lieu vers le
milieu d'avril 1759; mais il avertit toutefois que les
fractions de temps négligées dans ses calculs, faits rapi-
dement, pourraient s'élever à plus où moins de 30 jours
sur les 76 ans. La comète passa en effet au périhélie le
‘19 mars 17950. Il est certain aujourd’hui que la comte
observée à Ingolstadt, en 1531, par Apian, est celle qui
avaitapparu précédemment en 1456, et ensuite en 1607,
1682 et 1759. Le peu d’exactitude des observations anté-
rieures au X V° siècle ne permet pas de suivre plus loin
dans le passé la chronologie de ses retours périodiques;
mais la science est du moins à même d’en déterminer
la marche future. M. Damoiseau , du bureau des longi-
tudes, institution qui rend de si grands services à la
science , a calculé la date du prochain retour de la fa-
meuse comète de 1759, et l'a fixé au 16 novembre 1835,

Apian, dont cette digression nous à un moment fait

perdre de vue les travaux, est aussi célèbre par des

AP

observations d’éclipses et une cosmographie qui a été
long-temps consultée. Il mourut en 1552 à Ingolstadt,
âgé de 57 ans. Son fils Philippe, qui se consacra aussi à
l'astronomie, n’a rien écrit de remarquable; du moins
le seul ouvrage de lui que nous connaissions est une
lettre au landgrave de Hesse, sur létoile qui parut
tout à coup dans Cassiopée, en 1572.

APOCATASTASE ( Astr.). Révolution entière des
points équinoxiaux , qui s'effectue à peu près en 25,860
ans. On a donné à cette période le nom d’apocatastase
ou de grande année. Voyez Précessiox.

APOGÉE ( Astr.). (De «ro, loin, et de 74, laterre.)
C’est dans l'astronomie ancienne le point de la plus
grande distance d'une planète à la terre. En ne considé-
rant que l’apparence des phénomènes, on dit encore
aujourd'hui que le soleil est à son apogce lorsque la
terre est à son aphélie. L’apogée est opposé au périgee
qui est la plus petite distance d’une planète à la terre.

APOJOVE ( Astr. ). Nom donné par quelques astro-
nomes au point de la plus grande distance des satellites
de Jupiter à cette planète, ou à l’apside supériewe de
leurs orbites. Ce nom est formé du mot grec #xe, loin,
et du mot latin jovis.

APOLLONIENNE ( Géom.). Courbes apollonien-
nes. C’est le nom sous lequel on désigne souvent l’hy-
perbole et la paraboleordinaires, pour les distinguer de
quelques autres courbes auxquelles on à aussi donné le
nom d’hyperboles et de paraboles. Par exemple, la
courbe dont l'équation est y? = Ax est la parabole
apollonienne, et la courbe dont l'équation est A? = xy
est l'hyperbole apollonienne ; tandis que les courbes
exprimées pary = A?x et A — xy? sont des para-
boles et des hyperboles du troisième degré. { Joyez
Parasoze et Hypensoze.) Le nom d’epollonien vient
du célèbre mathématicien Apollonius, auquel on doit
un traité très-remarquable sur les sections coniques.
Foyez AvorLonius.

APOLLONIUS , né à Perge en Pamphilie vers lan
244 avant J.-C., sous le règne de Ptolémée-Evergète I,
fut un de ces hommes rares dont le génie féconde les
sciences, et les fait marcher en avant de leur siècle. L’an-
tiquité lui décerna le titre de grand géomètre, de
géométre par excellence à l'époque même où l'ilustre
Archimède finissait sa brillante carrière. Elle sembla se
partager entre ces deux hommes prodigieux, mais la
postérité, tout en. admirant les travaux d’Apollonius,
a cassé cet arrêt, et placé le nom du géométre syracusain
en tête de tous ceux que la science environne d’une gloire
immortelle.

Apollonius, de Perge, étudia à l’école d'Alexandrie
sous les successeurs d'Euclide, et ce fut là qu'il acquit
ces connaissances supérieures et cette habileté en géo-
métrie qui ont rendu son nom fameux. Il fut l'un des

AB * 95

écrivains les plus profonds et les plus féconds qu’aient
eus dans l'antiquité les sciences mathématiques, dont ses
ouvrages formèrent Jong-temps le traité le plus complet.
Entre tous les écrits d’Apollonius, celui qui a le plus
contribué à sa célébrité et qui donne la plus haute idée
de son génie, est son Traité des coniques, sur lequel
nous croyons intéressant et utile de rapporter quelques
détails bibliographiques, sans entrer néanmoins trop
avant dans l'explication scientifique du sujet même de
ce livre, qu’on trouvera exposé ailleurs. Voyez Sections
CONIQUES.

Archimède avait connu le nom de parabole, puisqu'il
s’en est servi dans le titre même de l’ouvrage où il carre
cette courbe : il est donc peu exact de croire d’après
Eutocius, qu'Apollonius ait donné, le premier, aux
courbes les noms qu’elles portent aujourd’hui. Cepen.
dant c’est dans son livre des sections qu'on trouve pour
la première fois ceux d’e/lipse et d’'hyperbole, et cet ou-
vrage, quelle que soit l’origine des synonymies employés
par Apollonius, n'est pas moins un des plus précieux
écrits que nous ait laissés l'antiquité. Ce livre était divisé
en huit parties. Nous n'avons, durant long-temps, pos-
sédé que les quatre premières, dans lesquelles l’auteur
rassemble seulement toutes les découvertes en géomé-
trie qui l'avaient précédé, en étendant et développant
leurs théories. Mais les quatre dernières parties du livre
des coniques, contiennent les découvertes propres
d’Apollonius, et attestent qu'il dut être doué d’une
prodigieuse force d'esprit, pour qu’il ait pu suivre, sans
s’égarer, des recherches dont la plupart exigent une
grande aptitude à se servir des procédés de l'analyse
moderne. Deux de ces parties sont spécialement très-
importantes : ce sont la cinquième et la septième. Apol-
lonius y traite les questions les plus difficiles de la géo-
métrie, savoir, celles de zzaximis et de minimis sur
les sections coniques. Dans la cinquième, l’auteur exa-
mine particulièrement quelles sont les plus grandes et
les moindres lignes qu’on peut tirer de chaque point
douné à leur circonférence.: Il y expose tout ce que les
méthodes analytiques modernes peuvent apprendre sur
ce sujet, jusqu'a la détermination même de nos déve-
loppées, puisqu'il fait très-bien remarquer qu’il existe
upe suite de points dans l’espace au-delà de J'axe d’une
section conique, d’où l’on ne peut tirer à la partie oppo-
sée qu'une ligne qui lui soit perpendiculaire. Apollonius
va plus loin ; il détermine ces points que nous connais-
sons aujourd’hui sous le nom de centres d'oscultation.
Toutes les questions qui appartiennent à ces recherches,
que nous ne faisons qu'indiquer ici, sont à peu près
résolues dans cette cinquième partie. La sixième ne
ue Je

i
s'applique à des sections couiques semblables. On trouve

présente { développement des mêmes idées, et

dans 11 septüème l'exposition des diverses proprié

96 AP

remarquables de ces courbes ; telles sont celles-ci : que
dans l'ellipse et les hyperboles conjuguées, les parallé.
Jogrammes formes par les tangentes aux extrémités
des diamètres conjugués ; sont constamment les mêmes :
— Que dans l'hyperbole la différence des carrés de
deux diamètres conjugués, et dans l’ellipse, leur somme,
est toujours la méme. La huitième partie, dont nous
n'avons eu connaissance que par l'ingénieux et estimable
travail d'Halley, renfermait un grand nombre de pro-
positions semblables, qui servent de fondement : la
résolution des problèmes de maximis et de minimis,
problèmes d'une certaine difficulté, tel, par exemple,
que celui-ci : dans une hyperbole quelconque, détermi-
ner le diamètre dont le paramètre est le moindre, ou
bien celui dont le carré avec celui de son paramètre
fasse lu plus petite somme.

Les coniques d’Apollonius ont été l’objet d’un grand
nombre de commentaires et d’annotations. Pappus
d'Alexandrie, Hypatia, la savante fille de Théon, et
Eutocius d’Ascalon, en donnèrent successivement l’expli-
cation, et en éclaircirent les points qui paraissaient
obscurs à leurs contemporains. Le commentaire de Pap-
pus nous est seul parvenu en entier. Cet ouvrage
d’Apollonius fut un ceux que le khalyfe ÉI-Mämoun fit
traduire en arabe, lorsqu'il donna asile aux sciences
abandonnées dans le reste du monde. Apollonius n’a été
apprécié dans l'Occident que vers la fin du XV® siècle.
La mort précipitée de Régiomontanus, qui en méditait
une édition, le priva de la gloire de faire connaitre ce
grand géomètre. En 1507, Memmius, noble vénitien,
en donna une traduction latine fort imparfaite ; celle de
Commandin, qui parut en 1566, avec le commentaire
d'Eutocius et les Lemmes de Pappus, est de beaucoup
supérieure. Mais ces traductions et beaucoup d’autres
que nous passons sous silence, ne portaient que sur les
quetre premières parties du livre d’Apollonius. Viviani,
l’un des plus illustres élèves de Galilée, se proposa de
rétablir cet ouvrage dans son entier. Cet ingénieux et
immense travail a été publié sous ce titre : Divinatio
in V Apollon conicorum. En 1658, Borelli re-
trouva beureusement, dans la bibliothèque des Médicis,
à Florence, un manuscrit arabe qui renfermait l’œuvre
d’Apollonius. Il le traduisit en latin, à l’aide du célèbre
orientaliste Abraham Echelleuris, et le publia à Rome
en 1661. Mais il est à remarquer que cette dernière
traduction ne comprenait encore que les sept premiers
livres d’Apollonius. La meilleure édition que nous pos-
sédions est celle qu’en a donnée Halley (1710, in-folio).
Ce célèbre mathématicien y a rétabli la huitième partie
sur les indications de Pappus; et ses connaissances

péciales dans la géométrie ancienne, permettent de
penser qu'on ne doit plus regretter la perte de l'origi-

nal, Halley, Snellius, Marin Ghetaldi et Viète se sont

AP

occupés des autres écrits d’Apollonius, en publiant tout
ce qu'ils renferment d’intéressant pour la science.

Apollonius mourut sous le règne de Ptolémée-Philo-
pator, c’est-à-dire au commencement du siècle qui sui-
vit celui de sa naissance. Pappus le représente comme
un homme vain, jaloux du mérite des autres, et saisis-
sant volontiers l'occasion de les déprécier. Il est pos-
sible qu'un tel travers d’esprit ait diminué l’estime que
le génie d'Apollonius avait inspirée à ses contemporains ;
mais il est possible aussi que cette jalousie qu’on lui
reproche ait dicté les jugemens peu favorables dont:il
a été l'objet de la part des savans d'Alexandrie. Quoi
qu'il en soit, la gloire d’Apollonius est réelle, et les
talens élevés qui la lui méritèrent exciteront seuls l’at-
tention de la postérité.

APOMECOMÉTRIE ( Géom.).(De ære, loin, unes
longueur, et de perpey, mésure.) Art de mesurer la
distance des objets éloignés. Foyez Disrance.

APOTHÈME ( Gcom. ). Perpendiculaire abaissée
du centre d’un polygone régulier sur l’un de ses côtés.
L’aire d’un tel polygone est égale à la moitié du pro-
duit de son apothème par son côté. Voyez Poryxcower.

APOTOME ( 4/g.). (De «roreuos , séparé, coupé.)
Différence de deux quantités incommensurables. Telle
est V/2— 1, ou la différence entre le côté d’un carré et
sa diagonale. Euclide, dans son dixième livre, traite
de ces quantités, et les subdivise en plusieurs ordres;
mais sa classification n’est d'aucune utilité réelle.

APPARENCE ( Persp.). C'est la représentation ou la
projection d’une figure ou d’un corps quelconque sur le
plan du tableau. Woyez Perspecrive et PROJECTION.

L’appareNcE directe, en optique, est la vue d’un
objet par des rayons visuels directs, c’est-à-dire, sans
1éflexion ni réfraction. En Astronomie, les apparences
sont plus communément appelées phénomènes ou
phases.

APPARENT (Math. et Astr.). Se dit des objets tels
qu'ils nous apparaissent, pour les distinguer de ce qu’ils
sont réellement : car l’état apparent des choses est sou-
vent très-différent de leur état réel; comme dans les
cas d’éloignement, d’élévation, etc.

Conjonction ApparENTE des planètes. Elle à lieu
lorsqu'une ligne droite supposée menée à travers les
centres des planètes, passe par l'œil du spectateur;
tandis que la conjonction réelle est celle dans laquelle
cette même droite passe par le centre de la terre. — En
général, la conjonction apparente de plusieurs objets
est leur position dans une même ligne droite qui passe
par l'œil de l’observateur.

Diamètre ApparexT. On nomme diamètre apparent
d'un objet, non la longueur de ce diamètre, mais
l'angle qu’il sous-tend à l'œil, et sous lequel il apparaît.
Cet angle diminue à mesure que la distance augmente,

AP

de manière qu'un petit objet situé à une petite distance
peut avoir le même diamètre apparent qu’un objet plus
grand situé à une plus grande distance; il suffit pour
cela que ces objets sous-tendent des angles égaux. Le
diamètre apparent varie donc avec la situation de
l'objet.

Distance ApparENTE. Voyez Disrance.

Hauteur AppareNTE des corps célestes. La hauteur à
laquelle les astres nous apparaissent au-dessus de l’ho-
rizon est augmentée par l'effet de la réfraction et de la
parallaxe.( Voyez ces mots.) La hauteur des objets ter-
restres est aussi affectée par la réfraction.

Forme apparente. C'est la forme sous laquelle nous
voyons un objet, d'une certaine distance. Cette forme
diffère souvent beaucoup de la véritable; car une ligne
droite peut ne paraître qu'un point, une surface ‘ne
paraitre qu’une ligne, et un solide ne paraitre qu’une
surface , selon leurs situations relativement à notre œil.
Ainsi, l'arc d’un cercle peut offrir de loin la forme
d’une ligne droite, un carré peut présenter celle d’un
trapèze ou même d’un triangle, un cercle peut paraitre
une ellipse, des corps angulaires peuvent sembler
ronds. Tous les objets ont aussi une tendance à s’arron-
dir par l'éloignement. À une grande distance les aspé-
rités disparaissent , et les corps nous semblent unis.

Mouvement Apparenr. C’est le mouvement que nous
remarquons dans un corps éloigné qui se meut, ou le
mouvement que paraît avoir un corps en repos pendant
que notre œil est lui-même en mouvement. ;

Les mouvemens des corps situés à une grande distance,
bien que s’effectuant d’une manière égale et uniforme,
peuvent paraitre inégaux et irréguliers à l'œil qui ne
sait en juger que par le changement apparent de l'angle
visuel.

Lieu Avparent d'un objet. C'est l'endroit où nous
parait un objet, vu à travers un milieu qui fait dévier
les rayons lumineux. Cet endroit diffère toujours de la
véritable place.

Station APpvARENTE ( 4str.). C’est la position d’une
planète qui semble demeurer plusieurs jours au même
point du zodiaque. Ÿ’oyez STATIONNAIRE.

APPARITION ( 4str. ). C’est un mot dont on se sert
pour indiquer qu’une étoile ou que d’autres corps lumi-
neux commencent à devenir visibles, après avoir été
cachés. Dans ce sens, le terme apparition est l'opposé de
celui d'occultation. Ainsi le lever héliaque (voyez Lx-
VER ) est plutôt une apparition qu’un véritable lever.

APPLATI { Géom.). Sphéroïde applati. C’est celui
dont l’axe est plus petit que le diamètre de l’équateur.
Voyez SruénoïDE.

APPLIQUÉE (Gcom. ). Lizne droite menée dans le
plan d’une courbe, d'un de ses points à un autre, et

AP 97

qui coupe son diamètre, C’est ce qu’on nomme commu-
nément double ordonnée. Voyez ORDONNÉE.

APPLICATION DE L'ALGÈBRE A LA GÉO-
MÉTRIE. La science de l'étendue se divise en deux
parties, dont l’une a pour objet les modes distincts et
indépendaus de la génération et de la comparaison des
diverses espèces d’étendues, et l’autre la généra‘ion et
la comparaison universelles de ces étendues. La pre-
mière partie est généralement connue sous le nom de
gcométrie élémentaire. La seconde sous celui, assez
vague, d'application de l'algèbre à la géométrie. Quel-
ques auteurs ont nommé, cette dernière, géométrie ana-
lytique ; mais cette désignation inexacte n’est pas plus
appropriée à son objet que celle d’analyse à la science
générale des nombres. Dans cette branche supérieure
de la Gromérrie, les lignes, les surfaces et les solides
sont considérés d’une manière générale, comme autant
d'espèces de quantités, soumises conséquemment à
toutes les considérations des nombres, et tirant des lois
universelles de leur science, les lois qui leur sont propres.

Mais les lois de la science des nombres sont élémen
taires ou systématiques, c'est-à-dire, particulières ou
générales : les premières donnent naissance aux rap-
ponts des quantités, les secondes, aux ÉQUATIONS.
L'application de lalsèbre à la geomctrie doit donc
avoir deux branches correspondantes aux rapports et
aux équations. Ces C°ux branches existent en effet,
elles forment : 1° l'ap; lication de l’algèbre à la géo-
métrie sans coordon: ées, ou la construction indi-
viduelle des LIEUX 6 omÉrriques; 2° l'application de
l'algèbre à la géomét.ie avec des coordonnées, ou la
coustruction universelle des ÉqQuarions. (F'oyez le Dis-
cours »'Inrropucrion et l’article PnicosopuiE DEs Mare.)
Nous allons exposer successivement les propositions fon-
damentales de chacune de ces branches.

L Lieux GéomÉTRIQUES. 1. Pour appliquer les lois des
nombres à l’étendue , 11 faut exprimer en nombres les
lignes , les surfaces et es solides ; ce qui s'exécute facile-
ment en prenant pour &ntté une droite quelconque, d’une
grandeur déterminée ou tacitement sous-entendue :
c’est ainsi, par exemple, que, a exprimant le nombre
d'unités linéaires contenues dans le côté d’un carré,

V2 exprimera la diagonale de ce carré, et a? sa
surface. De même, & et b étant les nombres d'unités
linéaires de deux côtés contigus d'un rectangle, aXb
exprimera la surface de ce rectangle, et a, b, ce étant
les trois arêtes contiguës d'un parallélipipède rectangle,
le produit aXbXc exprimera la solidité de ce parallé-
lipipède.

2. En général, un nombre isolé a représente toujours

une ligne ; \e produit de deux nombres, tel que ab, re-

13

98 AP

présente une surface, et le produit de trois nombres,
tel que abc représente un solide.

S'il s'agissait donc de construire géométriquement les
trois étendues exprimées par 4, ab, abc, on tracerait ,
pour la première, une droite dont la longueur contien-
tiendrait & fois l'unité linéaire ; pour la seconde,
un rectangle dont la base serait a et la hauteur b; pour
la troisième, un parallélipipède rectangle dont la lar-
geur serait &, la longueur b, et l'épaisseur c.

3. On nomme, en général, lieu géométrique, l'étendue
particulière exprimée pour chacune des formes a, ab,
abc; et la construction de ces lieux ou l'évaluation de
leurs grandeurs numériques est spécialement l'objet de
cette partie de la géométrie dont nous nous occupons.

4. Le lieu de toute expression algébrique dont la
valeur finale n’a qu’une seule dimension, esttoujours une

à me . @ ab ab
droite : ainsi les expressions —, —, ——, etc., etc., re-
c

e
présentent des lignes; car toutes ces formes n'ont en
réalité qu’une seule dimension, puisque le nombre des
facteurs du numérateur ne surpasse que d’une unité
celui des facteurs du dénominateur. Les lieux de cette
espèce ou d’une seule dimension, se nomment lieux du
premier ordre. Dans la résolution des questions géomé-
triques on ramène autant que possible la construction
des autres lieux à celles des lieux du premier ordre ; ce
qui s’exécute facilement toutes les fois que ces ques-
tions peuvent se réduire à la recherche de la valeur
d’une ligne droite.

5. Lorsqu'une question géométrique est proposée, il
faut d'abord tracer une figure qui représente les parties
et les conditions de la question ; observer ensuite avec
soin les rapports que les différentes parties ont entre
elles, ou avec d’autres droites arbitraires qu’on peut
mener à volonté dans la figure; exprimer enfin les rap-
ports trouvés, par des signes généraux , et établir l’éga-
lité qui doit exprimer la relation des lignes inconnues
ou cherchées avec celles qui sont connues. L'égalité
une fois posée, on pourra en évaluer numériquement
les inconnues, ou les construire géométriquement à
l’aide des règles générales que nous ahons exposer.

6. La construction des lieux du premier ordre se
réduit à cinq cas, qu'on peut exprimer de la manière
suivante, en désignant par x le lieu cherché, et par
la, b,c, d, etc., les droites données dont il dépend :

1.T—a—b+c—etc.,
ab

Bee TL — —
C ?

3e. x=V&,
ke. x=Va# +,
en Va —b.

AP

7- Pour construire le lieu x =a—b+c— d +0
etc. , on rassemblera toutes les quantités négatives afin de
donner à l'expression la forme

x =(a+c+etetc.)—(b + d+f+ete.).
Elle représente, de cette manière, la différence entre la
somme des droites &, c,e, etc., et celle des droites b,

d, f, etc.

a
O —
Co ———
A H F E p
(» B c
id

On prendra donc, sur une droite indéfinie AD , à par-
tir du point À, AB—a,BC—c,CD =e;et, en sup-
posant qu’il n’y ait que ces trois droites, on aura

AD =at+c+e.

On portera ensuite de D vers À, DE—b,EF—d,

FH — f'; ce qui détermine

DH=b+d+f
Et l’on a, conséquemment,
AH = AD — DH = (a+b+c) —(b+d+f) = x.
AH est donc le lieu demandé.
On agirait de la même manière pour un plus grand
nombre de lignes.
Il est important de remarquer que l’addition doit tou-

jours s'effectuer de gauche à droite, et la soustraction
de droite à gauche.

; ; ab Pe.
8. Pour construire le lieu æ ——, on le réduit à la
c

proportion
DT:

ce qui nous apprend que x est une quatrième propor-
tionnelle aux trois droites &, b, c. Or, une quatrième
proportionnelle peut s’obtenir de deux manières :

1°. Formons un angle quelconque avec des droites
indéfinies AX , AY;et,
à partir du point A,

prenons sur AX,
AB= c, AC=&, et L è
sur AY, AD —b, tirons À D M Y

BD , et menons par C une paralièle CM à BD , le pont
M, où cette parallèle coupe AY, déterminera À MT.
En effet les triangles semblables ABD , ACM, donnent
AB : AC :: AD: AM ou
c:a::b: AM.
Donc AM 2 ab —T:
Æ
2°. Sur une droite indéfinie AY, prenons AD = €,

AP

AM = a; du point D tirons une droite quelconque DB
et precons BD—b ; par les points A, B menons AX, ct,
par le point M, MC parallèle à BD. La ligne MC sera
égale à x, car cette construction donne
° AD : AM :: BD : MC

c; æ::b: MC.

9. Le lieu x — V/ab, exprime une moyenne propor
tionnelle entre a et b; car cette expression devient
Ci: De

ou

D ab, d'ou, a;

On peut encore le construire de deux manières :
1°. Sur une ligne indéfinie AD, prenons AB — a,

BD—b, puis sur AD—a<+b, pris pour diamètre,

décrivons une demi-cir- ë

conférence ACD ; et éle- HE

vons la perpendiculaire

BC. Cetté perpendicu- Le

laire est, par une pro- ; \
priété du cercle, moyenne £ à D
proportionnelle entre les re segmens AB et BD du dia-

mètre (voy. CercLe). Nous avons donc

AB : BC :: BC : BD
ou a:BC::BC:b.

Dôtic FC" = 4b, et BC =V/ab=x.

2. Sur üne ligne AD — 4, décrivons une demi-cir-
conférence; prenons AB — b, et du point B élevons la
perpendiculaire BC : tirons ensuite la corde AC, elle
sera égale à æ. En effet, par une propriété connue du
cercle, on a

AB : AC :: AC : AD
ou a:AC::AC:b.

Donc

AC = ab, et AC —Vab= x.

se

10. Le lieu x— Va+b, \

représente d'un Ê

triangle rectangle dont les côtés #7
de l'angle droit sont a et b (voy.
Recraneze). Il suffit donc, pour

l’hypothénuse

le construire, de faire un angle
droit BAC, de prendre AB — a,
AC=—b; et de tirer BC; car on a 4 G'Y

11. Enfin, le lieu x —\/a —1* représente l’un des
côtés de l'angle droit d’un triangle rectangle dont a est

T.

l'hypothénuse et b l’autre côté. On peut le construire
de trois manières.

1°. Traçons un angle droit YAX ; prenons AC = b;
puis, du point C comme ceutre avec un rayon BC = 4;

AP 99

décrivons un arc de cercle qui coupe AX en un point B,
AB sera égal à, car otia
AB LCR’ RC = —b?, ou AB =\ a Er.

2°. Sur AB—a, comme
diamètre, décrivons la
demi-circonférence ACB,
et prenons Ja corde
AC—Db; menons CB, et : :
vous aurons CB = x; ce à or n
qui est évident, puisque le triangle ACB est rectangle
en C.

3°. L'expression \/a —?, peut se mettre sous la
forme \/ (a@+b) (a —b); elle représente alors une
moyenne proportionnelle entre a + b et a— b. On peut
donc encore la construire par les procédés du numéro
9, après avoir préalablement construit les droites 4 +
cta— b.

12. Toutes les expressions algébriques les plus com-
pliquées peuvent se construire au moyen de celles qui
précèdent, comme on le verra dans le cours de cet ou-
vrage. Pour ne pas nous étendre inutilement ici > nous
allons seutement employer ces constructions à la solu-
tion de deux questions géométriques, qui rendront plus
évidentes leur application et leur utilité,
la valeur du côté d'un
carré inscrit dans un triangle donné.

13. Pronrime. Déterminer

Soit ABC le triangle donné. Supposons que le carré
soit inscrit, et que
EG soit son côté.
Abaissons la perpen-
diculaire CD , et dé-
signons AB par a, |
CD par h,et EG A GD ir à P à
par æ. Nous aurons GH — FH — EF —EG— ID — æ
et par conséquent CI = CD — ID = } — x. Cela posé,
les triangles semblables ABC, CEF donnent la pro
portion

AB : CD:: EF : CI

ou a:h::x:h—x.

on en tire a(h—x)=Ahx, où ah —=ax+hx=x(a+h),
et, enfin,
ah
| aFh

Cette expression donnera la valeur numérique du
côté du carré inscrit à l’aide de celles de la base et de
la hauteur du triangle donné. Pour Ja construire géo-
métriquement, ou pour trouver une droite égale au
côté du carré inscrit daus un triangle, on cherchera une
quatrième proportionnelle aux trois lignes 4, h et a+,

par le procédé du numéro 8.

100 AP

Mais, pour faire immédiatement usage de la hauteur
h, nous nous servirons de l'angle CDB. Prolongeant
donc AB, nous porterons AB, ou «, deD en P, et CD, ou
h, de P eu Q. Nous joindrons les points C et Q par une
droite; et, par le point P, nous mènerons PI parallèle
à CQ. La quatrième proportionnelle cherchée, ou le
côté du carré sera ID. Nous devons faire observer ici
que les constructions géométriques sont d’autant plus
élégantes qu’on y fait entrer moirs de lignes étrangères
aux données de la question.

14. Pros. Partager une droite en moyenne et extrème
rason; c'est-à-dire eu deux parties, dont l’une soit
moyenne proportionnelle entre là ligne entière et l'au-
tre partie.

Soit a la ligne donnée; désie ons par æ, la partie
moyenne proportionnelle, alors l'autre partie sera a—x.
Or par l'énoncé du problème, on doit avoir

a: Li: (at)
Cette proportion donne
L’'=am—ax,

équation du second degré dont les deux racines sont
(Foy. ÉqQuarions)

La première de ces valeurs peut seule satisfaire à la
question; car la seconde, abstraction faite du signe —,
est évidemment plus grande que a. Occupons-nous d'a-

bord de cette première. Elle est composée de deux par-
: a?
FE
4

nuse d’un triangle rectangle qui aurait pour côtés de

ties dont l’une (re , Exprime (10) l'hypothé-

. A t
l'angle droit, les ligues a et É

2

a
; et dont l'autre, —-, est
, 2

une simple ligne droite égale à la moitié de la propo-
sée. Cette dernière étant négative, il faut donc com-

. [12
mencer j'ar Construire + —-, ct ensu te en re-
4

«
trancher -

pour obtenir x,

Meñous donc une ligne AB = 4; à l'extrémité B, éle-

AP

a

vons la perpendiculaire BC — -

et joignons les points

AetC, nous aurons évidemment

AC — a+.

a : a
Pour retrancher = de cette ligne, portons — de C en
5 2

M,etle reste AM sera la valeur de x. AM est donc la
partie cherchée de AB ; et il suffit de la porter sur AB
de A en N pour opérer le partage demandé. Cette der-
mère condition s'exécute en décrivant du point A
comme centre, avec AM pour rayon, l'arc MN; car on
a alors AN — AM.

La construction que nous venons de donner est préci-
sément la même que celle que l’on trouve dans les élé-
mens de géométrie.

Il nous reste à examiner ce que signifie la seconde

raleur de x,

Nous pouvons lui donner la forme

+ > +=.

Cette dernière expression indique qu'après avoir con-

; |, DE
struit \/# + 7 > Somme nous l'avons fait, il faut

: a AU s
ajouter = ; prolongeons donc AC jusqu’à sa rencontre

en D avec le cercle décrit du point C comme centre,
avec CB pour rayon, et nous aurons CD = CB, et par

conséquent
a at
AD — CD +AC= - + OU ns

Mais æ étant négatif, on doit le prendre en sens in-
verse de ce qu’on aurait fait s’il était positif. Ainsi, au
lieu de le porter sur AB, de À dans la direction AB,
on le portera dans une direction opposée, de A en P
sur le prolongement de AB, et l’on obtiendra de cette
manière une droite PB qui sera le quatrième terme de
la proportion

AB : AP :: AP : PB.

Quoique cette solution ne satisfasse pas entièrement à
l'énoncé du problème , puisque AB n'est point partagé
en deux parties, elle le résout cependant. dans toutes
ses autres circonstances; car l’une des lignes trouvées
est moyenne proportionnelle entre l’autre ligne et a,
ct, de plus, la somme de ces deux lignes, en prenant x
négativement, est égale à a.

Il résulte de cette remarque, et d’autres semblables
qu'on pourra faire dans des questions du même genre,

AP

que lorsqu'on trouve plusieurs valeurs différentes pour
l'inconnue d’un problème, ce problème est susceptible
de plusieurs solutions. Si donc son énoncé n’en com-
porte qu’une seule, c'est qu'il a été trop restreint, et
que la question peut être envisagée d’une manière plus
générale. Par exemple, dans le cas qui nous occupe, en
l’énonçant comme il suit :

Une droite AB étant donnee, trouver sur cette droite
ou sur son prolongement un point tel que sa distance au
point À soit moyenne proportionnelle entre sa distance
au point B et cette droite AB.

On lui fait embrasser les deux solutions données par
les deux valeurs de x, puisque les points N et P rem-
plissent tous deux la condition demandée.

Pour établir, dans ce dernier cas, les rapports entre
les quantités cherchées et la quantité connue, il n’y a
pas de raison pour supposer le point demandé plutôt à
droite qu'à gauche de A. On peut donc adopter indiffé-
remment l’une ou l’autre de ces hypothèses, dont la
première donne a—x pour la distance du point de-
mandé au point B, et dont la seconde donne a + x
pour cette distance, et l’on obtiendra, toujours, les deux
mêmes valeurs de + trouvées ci-dessus.

15. Lorsque les lieux gcométriques ne peuvent se
construire par de simples intersections de lignes droites
et d’arcs de cercle, ce qui arrive toutes les fois que l’ex-
pression algébrique qui les représente renferme des
quantités variables élevées à des puissances , ils exigent
l'emploi des lignes courbes. On les nomme alors Lieux
du second ordre, du troisième ordre, etc., suivant que
les puissances des variables sont du second degré, du troi-
sième degré, etc. Les lieux du second ordre se construi-
sent à l’aide des sections coniques, et les lieux des ordres
plus élevés à l’aide des courbes supérieures. On trou-
vera dans le cours de cet ouvrage des exemples de ces
constructions. Nous ne nous y arréterons point ici,
parce qu’elles sont considérées d’une manière beaucoup
plus générale dans la seconde branche de l'application
de l'algèbre à la géométrie. Ce n’est même que depuis
la découverte de cette branche snportante, que les
sciences mathématiques doivent à notre immortel Drs-
CARTES, qu’on peut ramener à des lois générales le petit
nombre de ces constructions, obtenues par les anciens
de la manière la plus laborieuse.

IT. Équarions. 1. Toutes les relations qui existent
entre les quantités s'expriment par des rapports où par
des équations ( Foy. Comparaison). Lors donc que l’on
considère les diverses espèces d’étendues comme antant
de quantités diverses, leurs relations doivent également
s'exprimer par des rapports et par des équations. Nous
venons de montrer comment la construction des rap-
ports conduit à la solution des questions géométriques :
il est facile d’entrevoir que la construction des cqua-

AP 401
tions, dont celle des rapports n'est qu'un cas particu-
lier, doit embrasser toutes les propriétés de l'étendue.

Or, les relations de l'étendue, prises dans leur plas
grande généralité ; ne sont que des relations de lignes
droites ou courbes décrites sur un même plan, ou tra-
cées dans l’espace ; car c’est en effet seulement avec des
lignes qu’on forme toute étendue linéaire, plane ousolide,

Pour étudier ces relations, il faut donc préalablement
déterminer la situation arbitraire des lignes soit sur un
plan indéfini soit dans l’espace absolu, en les rapportant
à quelque chose de fixe et d’invariable qui permette
d'en suivre avec exactitude toutes les circonstances.
Nous trouvons donc ici deux subdivisions pour cette
partie de la géométrie générale, correspondantes au plan
indéfini et à l'espace absolu, dans lesquels il s’agit de
considérer les relations des lignes. La première est ce
qu'on nomme aujourd’hui, GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A
DEUX DIMENSIONS ; la seconde, GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A
TROIS DIMENSIONS. Avant d'exposer leurs lois fondamen-
tales, nous devons faire encore observer que le terme
analytique, dérivé de celui d'analyse donné à l'algèbre,
n’exprime point exactement la nature de ces bran-
ches de la géométrie, puisque la méthode analytique
n'y est point exclusivement employée. Si le mot a/go-
rithmie est adopté par les géomètres , toutes les parties
qui composent l'application de l'algèbre à la géométrie
devront être réunies sous le titre géuéral de GÉOMÉTRIE
ALCORITHMIQUE.

2. Deux droites indéfinies, perpendiculaires l’une sur
l'autre, étant données sur un plan, la position d’un
point quelconque pris sur ce plan sera entièrement dé-
terminée lorsqu'on connaitra sa distance à chacune de ces
droites. En effet, soient XX’, Y Y' deux droites rectan-
gulaires; a, la distance d’un point o à la droite YY';et
b la distance de ce même point à la droite XX’. Il est
évident que si l’on prend Ax — a, et que par le point x
on mène xo parallèle à YY', tous les points de cette pa-
rallèle se trouvant à une distance a de YY , le point o
sera nécessairement un de ces points; de même, si l’on
prend Ay=b, et
que par le point y
on mène yo paral-
lèle à XX’, tous les
points de cette pa-
rallèle se trouvant
à une distance b de
XX, le point o se-
ra encore un de ces
points. Or, le point
o devant se trou-

veren mêmetemps
sur les deux droites yo et xo, ne peut être évidemment
situé qu’à l'intersection de ces droites. Donc, lorsque

402 AP

Ax et Ay, ou a et b, sont connus, la position du point o
est fixée.

Cependant, la construction que nous venons de faire
pouvant avoir également lieu dans chacun des quatre
angles X'AY, X'AY', XAY, XAY', il faut de plus
connaître celui de ces quatre angles dans lequel doit se
trouver Je point o, pour que sa situation soit entière-
ment déterminée sur le plan indéfini des droites XX",
YY'. Cette dernière condition est remplie de la manière
suivante : on considère toutes les distances mesurées sur
XX", en partant du point À, comme positives , lorsque
leurs directions vont de A vers X, et comme négatives
lorsque leurs directions vont de A vers X'; de même on
considère toutes les distances mesurées sur Y Y',en partant
du point À , comme positives, lorsqu'elles sont dirigées
de A vers Ÿ , et comme négatives lorsqu’elles sont diri-
gées de À vers Y'. De cette manière, les signes des
quantités a et b déterminent toujours l'angle dans le-
quel le point se trouve. Si ces quantités sont toutes deux
positives, le point est en o dans l’angle YAX ; si & est
négatif et b positif, le point est en o' dans l'angle X'AY;
dans
l'angle XAY'; et enfin si a et b sont négatifs, le point
est en 0” dans l’angle X'AY”.

Les quantités & et b se nomment toutes deux les coor-

si æ est positif et b négatif, le point est en 0”

données du point o. En particulier, à senommel’abscrsse,
et b, l'ordonnee. Les deux droites XX’, YY'sont les axes
des coordonnées , savoir : XX’, l'axe des abscisses, et
YY'Vaxe des ordonnées. Le point d’intersection À se
nomme l’origine des coordonnées ou simplement l’ori-
gine. On désigne encore, pour abréger, XX'sousle nom
d'axe des æ, et YY' sous celui d’axe des y, parce que les
abscisses sont généralement exprimées par la lettre x, et
les ordonnées par la lettre y.
Les égalités
Y —= D

D — A
se nomment les équations du point. Ces équations pré-
sentent les quatres combinaisons

Ta z=+a x—=—u Lx=—a
y=+<b y=—-b y=+b jÿ =—8
qui caractérisent, ainsi que nous venons de le dire, les
quatre positions différentes ©, o', 0", 0", que peut
avoir le point qu’elles représentent.

3. Lorsque dans les équations générales du point,
æ=a,y—=b, a cst égal à zéro, Péxpféssion x = 0
indique que la distance du point à l'axe des y est nulle;
le point est donc alors situé sur cet axe même à une
distance D de l’origine ; lorsqu'au contraire b est égal à
zéro, l'expression y = 0 indique que Ja distance du
point à l’axe des x est nulle; le point est donc alors
situë sur l'axe de +, à une distance a de l'origine. Enfin,
Jorsqu'on à, à la fois, & = o ct y — 0, le point est

situé à l’origine même,

AP

4. Siau lieu de rapporter la position d’un point à deux’
axes rectangulaires, on se servait d’axes obliques, et
faisant entre eux des angles quelconques, il est évident
que cela ne changerait rien aux considérations précé-
dentes, les coordonnées étant toujours parallèles aux
axes. Il est essentiel, dans plusieurs cas importans, d’em-
ployer des axes obliques; mais comme il est toujours
facile de passer d’un système d’axes quelconques an sys-
tème des axes rectangulaires, et réciproquement (voyez
TRANSFORMATION DES COORDONNÉES), nous- ne considé-
rerons d’abord que ces derniers.

5. Si de tous les points d’une ligne droite ou courbe
menée d’une manière quelconque dans le plan de deux
axes rectangulaires ; nous abaissons des perpendiculaires
aux deux axes, nous aurons, pour chaque point, deux
équations de la forme

4; Ÿÿ'—b.

Or, sil existe la méme relation entre les coordonnées
de tous ces points,
cette relation uni-
que pourra tou-
jours s’exprimer
d’une manière gé-
nérale , et consti-
tuera ce qu’on ap-
pelle
de la ligne. Lors
donc que l’équa-

l'équation .

tion d’une ligne
sera connue, on

connaitra aussi les équations de chacun de ses points, et
par conséquent toutes les circonstances de son cours.

6. Soit CD une droite quelconque. Si d'un point o
de cette droite nous menons les coordonnées 0x, 07,
et si du point B où la droite rencontre l’axe des y, nous
menons BN parallèle à Ar, nous aurons un triangle rec-
tangle dans lequel l'angle DBN sera le même que l'angle
DCX que fait la droite avec l’axe des x; ce triangle
donne, en désignant le rayon trigonométrique par un,

| tang DBN :: Bn :

faisons tang DBN = &, et AB — ?;
Brn—Ax—x et de n6 —0x—nx=0x—AB —y— b,

I: no

alors, à cause de

cette proportion devient
lue Œrsnbue pi A
d'où l’on tire
ÿ = ax + b.

Telle est l'équation de la ligne droite, car nous obtien-
drons évidemment la même expression, quel que soit le
point que nous choisissions sur la droite CD.

7- Examinons d’abord comment l'équation générale
Y = ax + b représente toutes les circonstances de la
situation d’une droite dans le plan des axes XX’, YY'..

AP

D'abord, si dans cette équation on fait x = 0, elle
devient y = b, et les deux expressions
5, = 0,7 = b.
Sont (3) les équations d’un point situé syr l’axe des y à
une distance b de l'origine. Ce point est celui où la
droite CD coupe l’axe YY”. i
Si l’on fait ensuite y — 0, l’équation générale devient

o = ax + bou æ = —- et les deux équations,

T=-- XF O0

sont celles d'un point situé sur l'axe des x à une distance

b ent SRE = ; :
— de l'origine, dans la direction AX’, Ce point est celui
« {

où la droite CD coupe l'axe XX”.

La position de CD est donc entièrement fixée par son
équation, car il n’y a qu'une seule droite qui puisse
passer par les deux points G et B.

8. Les quantités & et b qui entrent dans l'équation
générale y = ax + b, doivent être considérées comme
des quantités indéterminées, susceptibles de tous les états
de grandeur, et auxquelles 1 suffit d’attribuer les ya-
leurs dépendantes des conditions imposées à une drojte
pour obtenir l'équation particulière de cette droite. Ces
valeurs sont en général : la tangente trigonométrique
de l'angle que fait la droite avec l'axe des x, tangente
que nous avons désignée par &, et l’ordonnée du point
ou cette droite coupe l’axe des y, ordonnée que nous
avons désignée par b. Toutes les questions qu’on peut
se proposer sur des lignes droites se réduisent donc à
la détermination des quantités a et b de l'équation
y = ax +b. Mais avant de passer à l'examen de ces
questions, nous devons encore examiner les formes par-
ticulières que cette équation peut prendre dans certains
cas qu’il est important de signaler.

9. Si la droite devait passer par l’origine, son équa-
tion serait simplement

Va =
puisque dans ce cas b — 0.

az,

10. Si la droite était parallèle à l'axe des x, son équa-
tion se simplificrait encore, car alors l'angle DCX étant
nul, sa tangente serait zéro, et l’équation deviendrait

Y = b,
c’est-à-dire que quelque valeur qu’on pôt donner à æ
on aurait toujours y — b. Ce qui exprime évidemment
le parallélisme de la droite avec l’axe des x.

11, De même, une équation de la forme x =, ap-
partient à une droite dont tous les points sont à une
même distance »1 de l’axe des y. Elle représente donc
une parallèle à cet axe, éloignée de l’origine de cette
quantité m1. |

12. Trouver l'équation d'une droite assujetie à pas-

ser par deux points donnés, o et P.

AP 103

Soient x —x'ety — y" les équations du point o,
etxz — x", y = y" les équations du point P.

Au point 0, les coordonnées de la droite devant étre
les mêmes que ceux de ce point, on exprime cette cir-
f

constance en faisant , dans l’équation générale, x = x
ety =y',etl’ona (7)

ÿ! = ax +'b.
Par la même raison l’équation (7)
y" = ax" + b

exprimera qu’au point P les coordonnées de la droite
sont les mêmes que celles de ce point.

Mais la droite doit passer par les deux points : ainsi
les deux équations (77) et (7) subsistent en même
temps, et déterminent par leur concours les valeurs de
a et de à qui fixent entièrement la position de cette
droite. Résolvant donc ces équations , en considérant
a et b comme les inconnues (voyez ÉQUATION), nous
aurons
FR

zx"

x'y"—x"y"
; B— 2 7 —e
TI —ZT

a =

Substituant ces valeurs de a et de b dans l’équation
générale, elle devient (p)

Telle est donc l'équation de la droite qui passe par
les deux points x’, y' et x”, 7". Nous désignerons doré-
navant un point par ses coordonnées ; c’est-à-dire qu’en
disant un point x’, y’ nous entendrons le point dont les
coordonnées sont x' et y".

On peut donner à l'équation (p) une forme plus sim-
ple en opérant ainsi qu'il suit :

Si de l'équation générale y =ax+b nous retranchons
J'=ax'+b, nous aurons (4)

FJ—Y'= ax — x),
qui sera l’équation de la droite assujettie à passer par le
point 2}, y.

Dans cette dernière , mettons la valeur de a , obtenue

ci-dessus, nous aurons (r)

pour l'équation de la droite qui passe par les points
x yhet LA pe

Nous ferons remarquer que dans léquation (g) la
quantité a demeure indéterminée parce qu'il y a une in-
finité de droites qui peuvent passer par le point x", y",
et que la condition de passer par ce point ne détermine
en aucune manière l’angle dont a est la tangente. Il n'en
est pas de même dans les équations (p) et (r), dans les-

’

quelles la condition de passer par deux points æ', 3" et
æ", y" détermine entièrement la situation de la droite

ct conséquenment la tangente a.

104 AP

IL est facile de voir que les équations (p) et (r) ne
différent que par la forme ; car il est facile, en déve-

loppant la première, d'arriver à la seconde.

13. En considérant le triangle rectangle PB’, dans la
figure précédente, on trouve aisément que la distance
de deux points o et P, ou la partie de la droite com-

prise entre ces points, a pour valeur l'expression

VO +,
x et y étant les coordonnées du point o et x'et y

celles du point P. Cette expression est d’un usage fré-
quent.

14. Trouver l'équation d'une droite DO assujétie à
passer par le point Q,et qui de plus soit parallèle à

une autre droite IL donnee de position.

Soit y —ar+b lé-
quation de la droite don-

Y

née IL, æx'et y'les coor-
données du point Q, et
y =ax + bd

cherchée.

l'équation

Cette équation, devant
exprimer la circonstance
que la droite DO passe par
le point Q, prendra la

forme

J—F'=a(x — x).

Mais les deux lignes IL et DO étant parallèles , les an-
gles qu’elles forment avec l'axe des x sont nécessaire-
ment égaux; ainsi les tangentes de ces angles sont égales,
et lon a

a =«a
L'équation demandée est donc
y —y' =a(x— x),

15. Si les deux droites FD et DE (fig. ci-après ) sont
perpendiculaires l’une sur l’autre, dans les deux
équations générales de ces lignes,

> =ax+b
y=ax+b",

I
on aura a = ——.
a

En effet, par l’origine À menons les deux autres
droites AB et AC respectivement parallèles aux propo-
sées, les équations de ces derrières seront ()

MALE AT:

Or, si nous prenons AP égal au rayon trigonométrique,

AP
et que nous menions MN perpendiculaire à AP, PM

E

sera la tangente de l’angle BAX , et PN celle de l'angle
CAX ; c'est-à-dire qu’on aura

PM—a et PN— a.
Mais le triangle rectangle MAN donne

PN : AP :: AP : PM.
ou

1 —.
Donc a —-, et comme de plus PN est négatif, les
a

équations (4) seront

SEAT ; JET;

et les équations générales proposées deviendront
y =ax+b

I
= x +0".
nn

.
Telles sont les équations de deux droites perpendicu-
laires l’une sur l’autre.

16. Trouver l'équation d'une droite EF perpendi-
culaire sur une autre droite donnée CD et assuietie à

passer par ur point E.

Si y —ax+b est l'équation de CD; celle de EF
aura la forme y = — Lx bi) Mais EF devant

passer par le point E, si nous désignons par x", y’ les
coordonnées de ce point, l'équation de EF, d’après (12),
sera

’ I U
jy =— (ex).

17. Si l’on demandait la grandeur EF de la perpen-

AP
diculaire , il faudrait dans l'expression générale

VTT +G@—x),
qui donne (13) la distance de deux pointsx, #@ x", y',
substituer les valeurs des Y
coordonnées des points E et
F. Or, les coordonnées du
point E sont x’, y'; et quant
à celles du pointF, en con-
sidérant que ce point est
commun aux deux droites
EF et ED, on voit facilement
qu'elles doivent vérifier en
même temps les deux équa-
tions de ces droites. Ainsi, A h:9p!

prenant x et y pour inconnues, les équations
Yÿ = ax + b
! I G
—Y =— (Lt —Z).
PT at?)

Nous donnerons, pour les valeurs de x et de y , les eo-
ordonnées du point F; mais, comme dns l'expression
de la distance de deux points, les coordonnées des points
p’entrent que par leurs différences, on arrivera plus
vite au résultat en cherchant immédiatement les quantités
x—zx'ety— 7". Pour les obtenir, on donnera à l’é-

quation
y =ax+b
\a forme

y —y'=a(x—x)—y +ax +b;

,

et ou en retranchera l’équation de la perpendiculaire
' L L
Ver: =)
on obtiendra ainsi
CRETE

D'où l’on tirera
et par suite

Gubstituant ces valeurs dans

VO—rY+@—xry.
On aura, pour la distance cherchée , l’expression

y'—ax'—b

Vi — FR
18. Déterminer l'angle que font entre elles deux
droites dont les équations sont données.
Soient y —axr +b,y— a'x+b", les équations don-
nées, Il est évident que l'angle de ces droites ne chan-

AP 405

gera pas en les faisant mouvoir parallèlement à elies-
mêmes jusqu’à ce que le
sommet de l'angle soit à
l'origine. Ainsi, nous pou-
seule-
ment deux droites AM et
AN, dont les équations
sont alors

vons considérer

J=AT, y=ux.

Prenons sur AM un A
point M dont les coordonnées soient x’, y’, et abais-
sons de ce point MN perpendiculaire sur AN, la gran-
deur de cette perpendiculaire sera (17)

Y' De a'x'

MN — = 60 0 000
Vita

(v)

à cause de b' — 0.
Mais en considérant AM comme le rayon trigonomé-
trique, on aura (u)
AM =1i=x+y".

et comme le point M est sur la ligne AM, dont l’équa-
tion est y —ax, on aura aussi

J'=ax",
et par suite (2)

y" — ax,

des expressions (u) et (z) on tire

4 1 ; a
vire ve

Substituant ces valeurs dans (v), on obtient
PRE re
Vioate
Mais MN est le sinus de l'angle MAN; donc l'angle
formé par deux droites dont les équations sont

Y = ax + b

J'=ax+b",
a, pour sinus, la valeur

MN

a— a
Va+æ).(+a)
Pour obtenir la tangente du même angle, on partira de
l'égalité (voy. Sixus)
cos P—1—-Ssin #,
d étant un angle quelconque.
On aura donc
D'où l’on tirera
cos MAN — TR — ,
V'G + a) (+4) k

406+ AP

ct par suite
sin MAN a— a!
MAN ee ip NES

Nous allons appliquer ce qui précède à la solution de
quelques questions géométriques.

19. Pros. I. Deux droites CA et CB étant données de
position par les angles giwelles forment avec une troi-
sième droite AB = p, trouver sur une quatrième droite
AY perpendiculaire à AB, un point G tel qu'en menant
GK. parallèle à AB, la partie HK interceptée entre les
droites AC et CB soit égale à une ligne donnée m.

Soient & la tangente de l'angle CAB et a’ celle de
l'angle CBA.

Prenant le point À pour l'origine des coordonnées,
l'équation de AC sera

Y=AX;
et celle de CB sera
f=—a(x—p),

puisqu'elle doit passer par le point B, dont les coor-
données sont 2=p y
et y —0o, et que de
plus y diminuant lors-
que æ augmente, a”
doit être pris négati-
vement.

Or, pour trouver
les points H et K, où C|-—
les droites AC: et CB
rencontrent GK, il

suffit de faire dans iles À k TE

BE
équations de ces droites y = AG,ouy=7%, désignant

par 3 l’inconnue AG. Ces équations deviendront
Z—AX,
z=—a'(x—p).
La première donne

et la seconde,

Ces valeurs sont celles des abscisses A et Ah, dont la
différence Ak — Ah, est Ak ou HK = "1, ligne donnée,
On a donc

équation dans laquelle tout est connu, excepté z. On en
tire

(p—m)aa

atrau

Si au lieu de donner à HK une valeur déterminée mn,

2 —

on eût demandé que HK — AG, ce qui revient à trou-
ver le côté du carré inscrit dans un triangle, on aurait

A!
faut
pa'—2z 23 Ne
a! ta
et on aurait cu
. paa
nee

20. Pro». Il. Trois lignes qui se con ent deux à deux
étant données, trouver %
ls angles qu'elles for-
ment, ainsi que la sur-
Jace du triangle dont
elles sont les côtés.

Soient AB, BC, AC les
droites données. Suppo-
sons le sommet d’un des
angles placé à l’origine
des coordonnées, et fai- :
sons

|
|
Les: ï
Ap=m Bp—=n
Ag=m' Cq=n',
l'équation de AB sera

— n pp
= ie ?
celle de AC
Lis
he
et celle de BC
n—n
J—n— rep (t— m).

Les distances comprises entre les points À et B, À et
C, Bet C ou les côtés AB, AC, BC du triangle seruut

AB= VER
AC — V7" — n°
BC = VAm — my} +(n—n).
Si l'on fait AB — a, AC—b, BC = c, on aura
e=m +R
B=mi+tnt
Ci (m— m'} + (nn) = nm L

m—omn + n+n°—oann,
et, par suite,

@ + br 0 = 2 (mm +nn'),
ou
mm! + nn'=2(a + b?— c°).
Or, le cosinus de l'angle BAC est, d’après (18)

nn
1+

= mm

V'Cra) (+33)

oun +nn'

V' (re +) men)

Substituant dans cette expression les valeurs en côtés

AP

da triangle, on aura définitivement

co AGE Fe
2ab

égalité qui donne la valeur d’un angle au moyen des
trois côtés du triangle.
On obtiendrait de la même manière, pour les deux

autres angles,

ABC = a He —b
24ac

HAS Qu sut Les
2bc

Pour trouver la surface du triangle, il faut abaisser
du sommet À une perpendiculaire AD sur le côté BC
cu ce, dont l’équation est

2 n— n ( m°)
—)N— L—

Y mi — mn de

ou (12)
LA ' ’

n—n mn — mn

= = x À =

Fm + m—m

O1, la longueur d’une perpendiculaire abaissée d’un
point æ, y' sur une ligne

J7=ax+b
est, d’après (17),
J'—ax —b
VA as
Jasnous avons
Ne n—n FA mn — mn
St bé + m— Im mm

Nous aurons donc

m'n— mn

rs nm} + nn) d

AD

on, à cause de c — v{ m—im} +(n—n) ,

Dm

AD =

Mais en désignant par S la surface du triangle ; on a
S—YAD $ BC — —
Donc, en substituant la valeur de AD, on à

, NN—= mn

2.

Pour changer cette expression en une autre qui ne
dépende que des côtés du triangle, il faut chercher
l'expression de #1'n—mn' en fonctions de ces côtés. Or;
on a

@ = n° + nr

à —=m?+n"

æ + D? et
o

= mm + nn,

AP ACT
Multipliant les deux premières égalités l’une par l’au-
tre , et retrancharit du produit le carré de la troisième,

on trouve

æ& + b2 —=)
PSE .

(m'n—mn} = ab — (

ce qui donne

SVT CFE
On peut mettre cette expression sous la forme
S = V/5(5—a) (—b)(—0).
en faisant s égal à la demi-somme des trois côtés a, b, c,
ou en posant l'égalité s = = (a4-b4c).

o1. Si l'on avait un Ÿ
quatrième point D dont
les coordonnées fussent
m',n’, en désignant
par d, d', d" les distan-
ces AD, BD, CD de ce

point aux sommets des

trois angles du triangle,

on aurait
pat
mn = dd
(n'—m) + (n'—n) = d°
On) + (n'y = d”"
en développant les deux dernières égalités, et en substi-
tuant les valeurs des coordonnées en côtés, on trouve

a +d—d'"?
mm'+nn" = + =p
Lo ]

» b+dbd"
m'm'+ nn" = LA es 2 —0#
2

p etg désignant, pour abréger, les seconds nombres
de ces égalités. Dégageant alors #2" et n° on obtient

mr Ap—nq

IL — 7 ;
DU —HIL I

?
3 DT MP
mn —mn

Substituant ces deux valeurs dans l’équation 72"? +

C

n" = d, elle devient

CH +R hs

MN NN mn —m'n

et, en développant,

n°p? Hg —onn'pq + n°qg +m'p—onmum'pq
=. (mn mn},
ou

p°(n?Æn°) + q(n8 +) 2pq(mm'4nn)
=@&.(mn—m'n}).
Substituant, dans cette dernière, les valeurs des coordon-

nées en côtés, on obtient

ag + bp —2py (°

\

4108 AP
éqution qui renferme toutes les propriétés des quadri-
latères.

En faisant d = d' = d", alors le point D est dans l’in-
térieur du triangle , à égale distance des trois sommets :
on peut donc le considérer comme le centre d’un cercle
circonscrit (Foy. CErce). Les expressions ci-dessus de-
viennent

a
Ps
b
Ta
et, par suite,
__ @b4 ,afbt ab: [a+ bic,
RE pet

ce qui se réduit à

&dS = abc,
d’où l’on tire ;
abc
d= T5

expression très-remarquable du rayon du cercle circon-
scrit à l’aide des trois côtés du triangle.

2. Pros. III. Trou- »
ver La valeur du rayon
d'u: cercle inscrit dans
un .riangle.

Les équations des trois
côtés étant comme ci-
dessus

un
Choer re
,
Pme ———— X

il s’agit d'exprimer la circonstance de la situation du
point o à égale distance de ces trois côtés. Or, les coor-
données de ce point étant m", n", les perpendiculaires
op ; 0q, or, auront pour valeurs

ñ
n— —m" TT
m mn'—m'n
OP = —; > —=
rm V'r+r k
Frs
'
La (4
NO — mn
m'n"—m'n
09 = — © = ——
n° V/m+n
1+ m'?
' ’
ER em —mn
nm— 1m M— mm

or =

Il

Gm—m) n° — (n—n')m'—mn + nn

V'(n=m)} + (an) ?

ou bien
à mn'—m'n
PER a
m'n"—m"n
oq —

b æ

(nn mn) — (m"n—m"n) — (mn'—m'n)
OP = —————

(a

Mais, la formule qui donne l'expression générale de la
perpendiculaire résultant d’une extraction de racine a
le double signe + ; les expressions précédentes peuvent
donc être prises dans les deux sens. Pour ne faire usage
que des valeurs positives, seules nécessaires dans la
question qui nous occupe, il faut remarquer que dans
la figure construite on a

"

n n non
= 7 > nm 3

mm" m

n'
DE

TE

et par conséquent
m'n>>mn" , mn>m'n, mn>mn.

D'où il suit que pour n'avoir que des valeurs positives, il
faut changer les signes de la première, qui devient
alors

m'n— mn"

Op —= —.
à a

m'n” étant plus grand que »"n»', il ne faut rien changer
à la seconde, Quant à la troisième, l'équation de BC
étant
n—n
— æ
LT de

mn —m'n
—m"

Mm—m

Si nous faisons dans cette équation x—m", le point de
BC qui répond à l’abscisse m” est nécessairement une or-
donnée plus grande que n»", nous avons donc

mn mn

m" +

m—m

ou
mn" — mr" mn — m'n + mn — mn;
ce qui revient à
mn'— mr — m'n+ m'n<mn—mn,
en retranchant »"n—m"n' des deux membres. Mais

dans la valeur de or, mn'—m'n est pris négativement.
Ainsi, comme on a mn >mn',

— (nn — mn)

sera une quantité positive plus grande que la somme de
toutes les autres; et conséquemment or est positif. [l ne
faut donc pas changer ses signes.

Cela posé, soit

og = €" or=e",

op =e
on aura (p)

ae +be +cc=mn--mn= 28.

|
|

AP
Mais, dans le cas du cercle inscrit, e—e'=e”, donc
128 |
FE 2Fb+e

C’est la valeur du rayon du cercle inscrit.
23. Si l’on faisait a—b=—c dans l'équation (p) on au-
rait
e 28
€ + € +e” = 7 ;

ce qui fait voir que si d’un point quelconque, pris dans
l'intérieur d’un triangle équilatéral , on abaisse des per-
pendiculaires sur les côtés, la somme de ces perpendi-
culaires sera égale à la hauteur du triangle ; car, pre-
nant a pour base, et nommant À la hauteur, on a

Lah=S, d'où k=®,
et, par conséquent , e+-e'+e"— Ah.

24. Il résulte des principes que nous avons précé-
demment exposés, et des applications que nous venons
d’en faire, que la solution des questions géométriques
qui dépendent des relations des lignes droites, se ré-
duisent à déterminer dans l'équation générale

y = ax + b

les valeurs particulières de a et b qui conviennent aux
droites cherchées. Cette équation étant en même temps
l'équation générale du premier degré à deux inconnues
(voyez Équarions), on doit conclure réciproquement
que toute équation du premier degré peut se cons-
truire par une ligne droite. Si de ces équations
nous passons à celles de degrés plus élevés, nous verrons
qu’elles représentent des lignes courbes de diverse na-
ture; mais pour nous élever successivement aux consi-
dérations nouvelles qui découlent de cette manière d’en-
visager les propriétés de l'étendue, nous allons d’abord
rechercher l'équation de la circonférence du cercle,
courbe que sa régularité et sa facile construction ren-
dent presque aussi simple que la ligne droite; nous
montrerons ensuite que cette équation n’est qu’un cas
particulier de l’équation générale du second degré, qui
embrasse dans sa généralité toutes les courbes nommées
sections coniques , comme l’équation générale du troi-
sième degré embrasse toute une autre espèce de courbes,
et ainsi de suite. Cette recherche nous donnera un
exemple de la méthode qu’il faut suivre pour trouver!
l'équation d’une courbe dont quelques-unes des pro-
priétés sont connues, tandis que la construction des
équations générales nous offrira les moyens de déter-
miner la nature des courbes qu’elles représentent, et
d’arriver à la connaissance de toutes leurs propriétés.

Soient AX et AY les axes des coordonnées et o le
centre d’un cercle dont les coordonnées sont op = p
etog = q.

AP 109

Si nous prenons sur la circonférence un point quel-
conque c, dont nous désignerons les coordonnées par
x ety'; la distance de ce point au point o sera d’après (13)

= VE nn)
Mais cette distance est la même pour tous les points de
la courbe. Si donc nous désignons par r le rayon du

cercle où la quantité à laquelle cette distance doit être
constamment égale, nous aurons l'équation (2)

on: nn Ed 0 NE Un
ou x +g—2qx + +p my =r,
qui sera celle de la cir-
conférence d’un cer-
cle, puisqu'elle con-
vient à tous les points
de cette courbe.

Les trois quantités
constantes p, g, rp|…
qu'elles renferment,
servent à indiquer en
quoi une circonféren-
ce de cercle diffère en

grandeur et en posi-|
tion d’une autre cir-
conférence de cercle.

L'équation (m») change de forme suivant la position
du cercle par rapport aux axes. Par exemple, si l’ori-
gine était située sur l’un des points de la circonférence,
on aurait

p+g=r
et l'équation prendrait la forme plus simple(n)
2? + ÿ° — 2pX — 2qY = 0.
Si l'un des axes passait par le centre, et si l’autre tou-
chait la courbe au point où elle est coupée par le pre-
mier, On aurait
g = 0 et

ou q =

p="r
r et p—= 0,

et l'équation (n) deviendrait

Æ'+ÿ—ary =0 où x + y — 2rx — 0.
Enfin, si l’origine des axes était au centre, on aurait en
même temps

g=0 € p = 0,
et l’équation générale se réduirait à (0)
my = 7,

Cette dernière est celle dont on se sert le plus commu -
nément.

25. Pour trouver l'équation d'une courbe il suffit donc
d'exprimer algébriquement les relations fondamentales
qui existent entre ses points et les droites qui s'y rap-

110 AP

portent d’une manière déterminée. Cette équauon une
fois trouvée, toutes les particularités de. la courbe en
découlent naturellement, comme aussi celles qui peu-
vent résulter de son concours avec d’autres lignes quel-
conques dont les équations sont données.

C’est ainsi qu’en combinant les équations du cercle et
de la ligne droite nous pourrons déduire toutes les pro-
positions géométriques qui se rapportent à ces lignes.
Voyez CERCLE.

26. L’équation générale du second degré à deux in-
déterminées est de la forme (voyez ÉQUATIONS )

Ax? + By° + Cxy + Dx + Ey + F—o.
Or, en supposant À = 1, B— 1 e1C — 0, cette équa-
tion devient

& + y + Dr + Ey +F=o.
Faisantdans cette dernière
D=—2q,E=-2p,F=q+p —r,
elle se réduit à

2? + y — 297 — 0py FI+P Tr =;
équation que nous avons trouvée pour le cercle.
L’équation du cercle n’est donc en effet qu’un cas
particulier de l'équation complète du second degré.

27. En cherchant les équations des courbes par la mar-
che indiquée (25), nous trouvons

Vi — 3x
pour celle de la parabole, voyez PARABOLE;
À: y2 + B? à = A: >,
pour celle de l’ellipse, voyez Erzrrse; et
A y? Lt Br = — A2h:
pour celle de l'hyperbole, voyez HyrersoLe.
Ges trois équations sont encore évidemment des cas

particuliers de l'équation générale du second degré à
deux indéterminées.

28. Mais si, au lieu de chercher ces équations par les
propriétés connues des courbes, nous construisons di-
rectement l’équation générale du second degré qui les
embrasse toutes, chacune de ces courbes sera détermi-
née par des hypothèses particulières faites sur les coeffi-
ciens de l’équation, et leurs propriétés fondamentales
se déduiront aisément de leurs équations individuelles.
Voyez ConsTRucTION.

Il en est de même pour les équations des degrés su-
périeurs. Voyez Courses.

29. Géométrie à trois dimensions. La position d’un
point dans l’espace indéfini est déterminée lorsqu'on
connait ses distances à trois plans donnés.

Soient trois plans YAZ, XAZ, XAY perpendiculaires
entre eux, et dont les sections sont les trois droites AZ,

AP

AY, AX, dont chacune est ainsi perpendiculaire aux
deux autres. Voyez PLan.

Désignons par 2, n, p les distances d’un point O à

ces trois plans, et supposons d’ailleurs que ce point soit
situé dans l'angle trièdre AXYZ.

Prenons sur AX, Am = m;sur AY A,n—n; sur
Z

AZ, Ap =p,et

menons par les
points »,n, p,
des plans parallè-
les aux plans don-

nés. Le point O

sera situé. à l’in- ©*
tersection com- È
mune des trois Li,
plans parallèles,et
conséquemment

sa situation dars
l’espace est entiè- +
rement fixée. En effet, puisque les deux plans Om et On
ont tous leurs points placés aux distances m1 et n des plans
YAZ et XAZ, l'intersection Oo de ces plans aura éga-
lement tous ses points à ces mêmes distances de YAZ ct
de XAZ : ainsi, le point O devant se trouver en même
temps sur les deux plans Om et On, ne peut se trouver
que sur la droite Oo qui leur est commune. De plus, ce
point doit également se trouver sur le troisième plan
parallèle pO placé à une distance p de XAY; donc ce
point ne peut être autre part qu’en O, où le plan pO
coupe encore l'intersection Oo.

On désigne par x, les distances au plan YAZ, comptées
surAX ; par y, les distances au plan XAZ, comptées sur
AY; et enfin par z, les distances au plan XAY, comptées
sur AZ. De cette manière, les trois intersections AX,
AY, AZ sont les axes des x, des y et des z. On les
nomme axes coordonnées, et x, y,2, ou les distances aux
trois plans, se nomment les coordonnées du point.

On nomme encore, pour abréger, plan des yz, le
plan YAZ perpendiculaire à l’axe des æ; plan des xz,
le plan XAZ perpendiculaire à J’axe des y; et plan des
æy le plan XAY perpendiculaire à l’axe des z. Ce dernier
plan est considéré ordinairement comme ayant une po-
sition horizontale. D’après ces notations, les équations
du point O sont

T m, =,

Zz = pP;

et les quantités », #, p, lorsqu'elles sont connues suf-
fisent pour fixer la position du point dans l’espace.
Comme les trois plans coordonnés ; étant prolongés
indéfiniment en tous sens, forment huit angles trièdres
âu point À , pour déterminer dans lequel de ces angles
est situé le point, on régarde comme positives les dis-
tances comptées sur AX à la droite de À, ct comme ne-

AP

gatives les distances comptées à la gauche de À, ou de
A vers X'. De même, les distances comptées sur AY et
AZ sont considérées comme positives de À vers Y et Z,
et comme négatives de À vers Y' et Z'.

Ainsi, la position d’un point dans l'espace se trouve
entièrement fixée par les signes des distances 71, n;,p;
lorsque d’ailleurs ces distances sont connues. C’est ainsi
que les équations du point sont :

Dans l’angle

AXYZ . 2=%m, ÿ=+n, 2=+p:.
AXYZ ee = mm, ÿ—=+4n, 2 =+p.
AXYZ . x=+tni, y=—n, 5: =+p:
AXYZ' ... #—=+m, Y=+n, 3—=—p.
AXYZ Om, y=—n, 2=+p.
AXYZ'... xm——m, Y=<+n, z2—=—p.
AXYZ'... x=+m, yY=—n, 3 =—p.
AX'YZ'... a=—=m, Y=—nN, 2—=—p:

30. Lorsque dans les équations générales du point,
T=MY =, T7 = Pp,

une des quantités 7, n, p est zéro, cette circonstance
indique que le point est situé dans le plan des deux
autres coordonnées ; ainsi, par exemple, l'équation
z = o correspond à un point placé dans le plan xy.

Lorsque deux de ces distances sont nulles en même
temps, le point est situé sur l’axe de la dernière : ainsi
les équations

D = V — 0) 2 —\0
té : ie ;

sppartiennent à un point situé sur l'axe de æ.

Fnfn, Ies trois équations

= 0 T=EUzS=e

désignent l'origine À des plans coordonnés.

31. Lorsque les plans coordonnés nesont pas perpen-

à à «
diculaires les uns sur les autres, les axes se nomment
axes obliques, et les équations du point expriment alors
des distances comptées parallèlèment à ces axes. Voyez
TRANSFORMATION DES COORDONNÉES.

32, Si de tous [es points d'une droite située dans

Z

l'espace on abaisse des perpendiculaires aux plans coor-
donnés, on aura sur chacun de ces plans la projection

AP 444

de la droite; mais il suffit de deux de ces projections
pour déterminer la position de cette droite. (Foy.
GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. } Ordinairement on choisit les
projections faites sur les plans des xz et des yz, dont
l'axe commun AZ est regardé comme l'axe des abscisses,
alors AX est l'axe des ordonnées sur le plan des æz, et
AY l'axe des ordonnées sur le plan des yz.

Soient douc PQ une droite quelconque, et pg et
p'q ses projections sur le plan des æz et des yz, les
équations de ces projections sur chacun de leur plan
auront la forme

zx = az + b

Vi + d.
act © étant les tangentes des angles que forment pg
et p'q! avec l'axe des z, et b et d les distances de l’ori-

CZ

gine aux points où ces droites rencontrent l'axe des x
et celui des y.
Or, la droite étant entièrement connue lorsque ses

projections sont connues, les équations
az + b,y cz + d

sout en même temps les équations de la droite dans

D œi—|

l'espace.

A l’aide de ces équations on peut résoudre toutes les
questions qui se rapportent à la ligne droite dans l’es-
pace; mais c'est surtout en les combinant avec celle
du plan qu’on obtiendra des résultats nouveaux et im-
portans: Joy. Pan et Surrace.

APPLICATION d’une science à une autre. Usage
qu'on fait des principes et des vérités qui appartiennent
à une science pour perfectionner et augmenter une autre
science.

Toutes les sciences et tous les arts étant liés, le do-
maine du savoir humain se compose en grande partie
d'applications de chacune de ses branches fondamentales
à toutes les autres. C’est ainsi qu’elles se prêtent un mu-
tuel secours et concourent au même but, celui d'élever
le savoir à l'unité systématique vers lequel il gravite sans
cesse depuis les premières traces de la vérité parmi les
hommes.

APPLICATION (Géom.). Superposition de deux
figures égales. C’est par l’application qu'on démontre
les propositions fondamentales de la géométrie élémen-
taire; par exemple, que deux triangles sont égaux
lorsqu'ils ont un angle égal compris entre des côtés
égaux, etc. Foy. SUPERPOSITION.

APPLIQUÉE ( Géom. ). Ligne droite qui coupe le
diamètre d’une courbe et dont les deux extrémités sont
des points de la courbe. On la nomme encore double
ordonnée. Foy. ORDONNEE.

APPLIQUER. Transport d'une ligne soit dans un
cercle , soit dans toute autre figure, en plaçant les extré-

mités de la ligne sur le périmètre de la figure.

412 AP

Appliquer est encore pris quelquefois dans le sens de
diviser. Ainsi, 4 appliqué à 20 signifie 20 divisé par 4.
Cette expression, très-commune dans les auteurs latins,

est rarement employée aujourd’hui.

APOLLON (Astr.). Nom donné par quelques au-
teurs à l'étoile des Gémeaux, plus connue sous celui
de Castor, et marquée x dans les catalogues.

APPROCHE (WMeéc.). Courbe aux approches égales,
accessus æquabilis. Courbe célèbre que Leibnitz de-
manda aux géomètres de son temps, qui ne voulaient
point admettre les principes du calcul différentiel, et
dont ces géomètres ne purent trouver l’équation.

Un corps, abandonné à l'effet de la pesanteur, par-
court, soit en tombant librement par la perpendiculaire,
soit en roulant sur un plan incliné, des espaces d'autant
plus grands en temps égaux, qu’il s'éloigne davantage
du point où sa chute a commencé. ( Voyez ACCÉLÉRE. )
Mais ce corps reste un temps d'autant plus grand à par-
courir la même ligne avec une vitesse déterminée,
qu’elle forme un angle plus petit avec l’horizon. Il doit
donc exister une courbe telle, que l’obliquité de ses
diverses parties compensant la vitesse avec laquelle elles
seront parcourues , le mobile approchera uniformément
de la ligne horizontale, c’est-à-dire parcourra en temps
égaux des espaces égaux, pris dans le sens perpendicu-

laire.

Tel est le problème proposé par Leibnitz en ces

termes :

Trouver une courbe xx'x", le long de laquelle un
corps descendant par l’action seule de la pesanteur,
approche également de l'horizon en temps égaux, ou
dont les parties xx, xx', x'x", etc., déterminées par
les lignes horizontales xy, x'y', x'y" également dis-
tantes l'une de l'autre, soient parcourues dans des
temps égaux.

Cette question n'ayant point été résolue, Leibnitz
publia sa solution en 1689 (Act. À .
erud. ), sans laisser entrevoir la
marche qu'il avait suivie pour y
parvenir. Bientôt après Jacques
Bernouilli, à l’aide des nouveaux
calculs de l'infini qu’il commençait

- à cultiver, trouva la même solution,
eten publia l’analyse ( Act. Erud.,
1690). Varignon généralisa ensuite
le problème en cherchant la courbe
qu'un corps doit décrire dans le
vide pour s'approcher également
de l'horizon en temps égaux, la loi

de la pesanteur étant supposée quel-
conque. Enfin, Maupertuis le ré-

solut complètement dans sa plus grande généralité,

AP

en prenant l'hypothèse d'un milieu résistant. Voyez
Mémoires de l'Académie des sciences , 1699 et 1730.

L’équation de la courbe, dans le vide, s'obtient fa-
cilement de la manière suivante :

Supposons que le mobile parvenu au point x, ait
acquis un degré de vitesse égal à celui qu’il aurait obte-
nu en tombant perpendiculairement de la hauteur Ay;
menons zn parallèle à xy, et du point x abaissons xm
perpendiculaire sur 22; prenons Ay pour l'axe des x,
et faisons Ay = x, xy — y. Si nous concevons yz
infininent petit, ou si nous prenons yz pour la diffe-
rentielle de Ay, alors nn sera la différentielle de y;
et l'arc æn sera la différentielle ou l'élément de la
courbe. Nous aurous donc, à cause de æm = y = dx,
et de mn = dy,

æn = V/dx° + dy
Mais la vitesse au point x est égale à \/Ay ou V/x.

Ainsi, en désignant par dt le temps de la chute suivant
l'arc infiniment petit x», nous avons

æn = dt. \/%.
Or, d’après la nature du problème dx = dt, done
æn = dx, V/x,

et, par conséquent,

dxV/x — Ve + dr.
D'où l'on tire

dy = dx. Va—:1, (
et , en intégrant,
= fdx .Va—i =2(x—1) 5
ce qui nous donne définitivement
S'=i(@— 1),
ou, faisant x — 1 3,
47 =.

Cette équation est celle d’une parabole cubique dont
l'abscisse égale z, l’ordonnée y et le paramètre = 2.
V'oy. PARABOLE.

Pour avoir le point où la courbe rencontre l’axe Ay,
si nous faisons 2—0 , nous avons æ=1 ; d’où il suit que
l'origine n’est point en A, mais en P, en faisant AP —1.
Ainsi, pour que le mobile descende selon la loi qu’exigele
problème, avant d'atteindre le sommet P de la courbe.
il doit avoir une vitesse égale à celle qu’un corps ac-
querrait en tombant librement de la hauteur AP. Cette
hauteur étant égale à l’unité, lorsque le paramètre est ?,
on peut dire, en général, que le corps doit d’abord
tomber librement des # du paramètre avant de ren-
contrer la courbe, pour qu'ensuite il puisse s'approcher
également de l'horizon en temps égaux.

APPROCHES (Fonrirication). Nom que l’on donne
à tous les travaux que l’on fait dans an siége pour s'a-

AP

vancer vers la place en se mettant à couvert de son feu.
Voy. FoRTIFICATION.

APPPROXIMATION (Aritk. et Alg.). Méthode d’é-
valuer une quantité en approchant de plus en plus de
sa véritable grandeur. A l'exception des nombres ra-
aonnels , entiers ou fractionnaires, tous les autres nom-
bres n’ayant point de rapport fini avec unité, lors-
qu'il s'agit de les mesurer ou de les comparer à l'unité,
on a besoin de connaître les nombres rationnels dont ils
diffèrent le moins, afin d’assigner les valeurs approchées
des rapports qu’il est impossible d'obtenir exactement.
Par exemple, si l'on voulait comparer 2, à l'unité,
où si l’on désirait connaître combien d'unités et de par-
ties d'unité contient V/2, il faudrait calculer les nom-
bres rationnels qui diffèrent le moins de la véritable va-
leur de V/2; et comme cette véritable valeur, exprimée
en fractions décimales, contient un nombre infini de
chiffres , il est évident que plus on prendra de ces chif-
fres, et plus on approchera du rapport exact de 1 et de
V/2. C'est ainsi qu’en se contentant d’une valeur appro-
chée à moins d’un centième, on a

V2=i1,4r..

Que si l’on demande cette valeur, à moins d’un mil.
lième , on a

V2=:1,414..
Et qu’enfin si l’on a besoin de pousser l’approximation
jusqu’à un dix-millième, on trouve

V2= 1,4142....

Or, la méthode d'approcher ainsi de plus en plus de
la grandeur d’une quantité est ce qu’on nomme approxt-
mation.

Dans les calculs ordinaires on se contente encore des
valeurs approchées des nombres fractionnaires , lorsque
ces nombres sont exprimés par une trop grande quantité
de chiffres pour que leur rapport avec l'unité dont ils
dépendent, puisse être facilement apprécié. C’est ainsi,
par exemple, qu'ayant trouvé 150 mètres et À28E de
mètre, pour résultat d’un calcul dans une question où il
est inutile de considérer les quantités plus petites que le
millimètre, on réduit la fraction ordinaire en fraction
décimale en s’arrêtant au troisième chiffre du quotient
de la division ; ce qui donne

D'où l’on conclut que le résultat trouvé est, à moins
d'un millimètre près, égal à 150,168. Dans ces sortes
de questions, l’approximation est toujours suffisante
lorsqu'elle s'élève aux plus petites subdivisions des quan-
tités sur lesquelles on opère.

Il y a encore, pour les fractions ordinaires , une ap-
proximation d’une nature différente : c’est lorsqu'on

AP 413

demande d’autres fractions ordinaires qui diffèrent très-
peu des proposées , et qui soient exprimées par de plus
petits nombres. J'oyez, pour toutes ces questions , es
mots : Fracrion, Fracrion pÉcImALE ét FRACTION con-
TINUE.

Quant à l’'approximation des nombres incommensu-
rables , voyez EXTRACTION DES RACINES.

APPROXIMATION des racines des équations. La résolu-
tion théorique des équations, à partir du cinquième
degré, étant encore un problème au-dessus des forces
actuelles de la science, et celle même des équations du
troisième et du quatrième degré étant souvent très-la-
borieuses par les regles générales, les efforts des géomè-
tres se sont tournés du côté des méthodes d’approxima-
tion. Sous ce rapport, du moins, leurs succès ont été
plus complets. Saus parler ici des premières tentatives
de Viète, qui ne peuvent plus compter que pour l’his-
toire de l'algèbre, nous allons exposer successivement
les procédés généraux que l’usage a consacrés.

Le plus populaire de ces procédés est dü à Newton,
qui le communiqua à Barrow dès l’année 1669, dans son
écrit intitulé : Analysis per æquationes numero termi-
norum infinitas. Voici en quoi il consiste :

Soit l'équation générale du degré », ayant des rac-
nes réelles,
am + À ami A am? LE A; m5 — etc... + Am —0.
et soit a, une valeur approchée d’une de ces racines, va-
leur qu’il est toujours possible de trouver, à moins
d’une unité près. Joy. Limrres.

Désignons par z, la quantité dont à diffère de la véri-
table valeur de x, et nous aurons l'égalité

—= 4 + Z.

C’est donc la valeur de z qu'il s’agit de déterminer.
Pour cet effet, substituons (a + z) à la place de x dans
l'équation proposée, elle deviendra

(a +2) + As (a+sÿi it As (a+z)rs LE etc.

+ An —=o0.
Développant les puissances des binômes, en ordonnant

par rapport à z, nous obtiendrons une équation en z de
la forme

B+B:z<+ be 2 LB; 2 + etc... + 2 — 0.
Or, ane devant différer de x que d’une quantité plus pe-
tite que l'unité, z sera une fraction, et par conséquent z?,
23,74 ,etc., seront aussi des fractions de plus en plus
petites. Négligeant donc les termes où ces quantités se
trouvent , nous aurons l'équation

BLB,z=0,
d'autant plus exacte que z sera plus petit. La valeur ap-
prochée de z sera donc

35

144 AP

et, par suite, celle de x

B:1
Maintenant, en exprimant par 72 cette première ap-
proximation, et par z' la quantité dont elle diffère de la

véritable valeur de +, nous aurons encore
æ = mn + 3.
z'à la place de x,

Substituant 2 +

proposée, et continuant comme ci dessus, nous parvien-

dans l'équation

drons à une nouvelle équation en z'

CH Ci z' + Ce: 32 + Cs 35 + etc... — 0;
laquelle, en négligeant tous les termes affectés des puis-

ra NOT ES
sances supérieures de z", se réduira à
C —- Ci 2e 0:

D'où nous tirerons

Ë G
Anar Qui
et par suite
papa hr
(a BC:

seconde valeur approchée de +. En continuant de la
même manière, nous obtiendrons successivement des
valeurs qui différeront de moins en moins de la vérita-
ble, dont nous pouvons ainsi approcher indéfiniment.
Un exemple va rendre ce procédé plus sensible,

Exéuprr. On demande une des racines de l'équation
a— 9x —5—0.

Après avoir trouvé qu'une des racines est comprise

entre 2 et 3, on fera

L—2$7

Substituant dans l'équation, on aura

D'où 103— 1 —o, en négligeant les termes affectés de
z2 et de z°.

ï
Cette dernière équation donne z2=—. On a donc
10

pour première valeur approchée de æ

1
=2 + — —02,1
26 10
Faisant actuellement

d'=S;1#2

car il est inutile de prendre un autre caractère que z,

ou æ— 2,1 +3;

et substituant dans la proposée, nous aurons

a} — (2,1) H 3(2,1)z + etc.
— 2(2,1)— 23

—)d —=—),

|
à
Ï

t, par conséquent , 0,061 4- 11,233 = 0.

D'ou

_ r
—— 0,0004 ,

en se bornant au quatrième chiffre décimal.

Nous avons donc pour seconde valeur approchée
de x

&—2,1—0,0004 —2,0946.
Faisons encore
—2,0946+72,
et nous aurons

a —(2,09406) + 3(2,0946)z + etc.

— 2% = — 2(2,0946) — 2z
—) —=—5.
D'où
0,000541708+#11,16196z=—0,
et

0,00054 1708
,10196

—=—0,0000/853 ;
ec qui donne pour troisième valeur approchée de æ

2=9,0946—0,00004853=—2,09455147,

dont les sept premiers chiffres décimaux sont exacts.

En continuant de la méme manière, on obtiendrait un
aussi grand nombre de chiffres exacts qu’on pourrait le
demander...

Avant de passer aux méthodes plus modernes, nous
devons parler de deux autres procédés fondés sur le
même principe, et qui ont été trouvés par Halley et
Raphson, peu de temps après la découverte de New.
ton, dont il parait prouvé qu'ils n'avaient point connais--
sance.

Le procédé de Halley ne diffère de celui de Newton
qu’en ce qu'il conserve dans les équations successives les
termes où se trouvent les secondes puissances de z; mais,
par un moyen ingénieux, dont il fait honneur à Lagny,
il réduit encore toute l'opération à une simple division.
Voyez Transactions philosophiques,
1694.

Le procédé de Raphson n’est en réalité qu’une sim-

n° 210, année

plification de celui que nous venons d'exposer. Comme
tel cependant, il mérite de trouver place ici.

Soit,
moins d’une unité, d’une des racines de l’équation (72)
am + A4 ami As am LA; am etc... + An —0.

Eu multipliant chaque terme de cette équation par

comme ci-dessus, « la valeur approchée, à

l'exposant de la puissance de x qui s'y trouve, et dimi-
nuant ensuite tous ces exposans d’une unité, on obtient
l'expression (2)

mari (nr )A a 2 (no) A ans Letc... Arret,

qui west autre chose que la dérivée différeutiel{e de

AP
Véquation. Dans cette opération on considère le terme
absolu À, comme s’il était A, x°, et alors en le multi-
pliant par l’exposant zéro il disparait.

Si nous désignons par M, ce que devient l'équation (mr)
lorsqu'on y substitue a à la place de x, et par N ce que
devient l'expression (x) par la même substitution, la
valeur approchée de x , sera

M
T=Aa— TV.
A l’aide de cette valeur on obtiendra une seconde ap-
proximation en opérant de la même manière, et ainsi
de suite. Nous allons faire une application de cette mé-
thode à l’équation de l'exemple précédent.
L’équation donnée étant (r)

x—92x—5=0,
sa dérivée est (2)
3x1 — 0.

Nous avons d’ailleurs a — 2.
Substituant 2 à la place de x dans (1) et (2), nous
trouverons

8—4—5—M
12—9—=N.
D'où
M 1
BE DER UT

Substituant de nouveau 2,1 dans (1) et (2), nous au-
rons
(2,1) 22,1) —5=M,
3(2,1)—9 = N.
1où

0,061
L=2,1— 0, 1— ——— 2,0946.

N 11,23
Substituant encore 2,0946 dans (1) et (2), nous ob-
tiendrons
(20946) — 2(2,0946) —5—M,
3(2,0946 —2=N,

et, par suite ,
M
x—2,0946— N— 2,09425147.

Chaque substitution nous donne donc les mêmes va-
leurs ‘que dans le procédé de Newton; seulement la
marche est plus simple. Raphsona encore facilité l'appli-
cation de son procédé, en calculant des tables à laide
desquelles on obtient les quantités que nous avons dési-
guées par M et N, pour chaque équation, jusqu’à celles
du dixième degré inclusivement. Voyez Analysis
æquat. univ. London, 1600.

Tne faut cependant pas conclure, de approximation
rapide que nous venons d'obtenir pour la valeur de x,
das l'équation x—2%—5=—0, que le procédé de Raph-

AP 4145
son ou de Newton puisse s’appliquer avec le même avan-
tage dans tous les cas. Si la première valeur approchée
a différait de la véritable de plus de, l'approximation
serait beaucoup plus lente, et l'opération exigerait un
grand nombre de substitutions. Il est donc important,
ayant d'employer ce procédé, de trouver une valeur de
æ dont les limites scient plus rapprochées que & et a +
1 ; une simple application de la règle de Fausse posITION
peut abréger les calculs. Par exemple, après avoir
trouvé que l'équation x—2x--5 se réduit à —r en fai-
sant x — 2 et à +16 en faisant æ=—3, ce qui montre
d’abord évidemment que la valeur de æ est plus près de
2 que de 3, on multiplie le résultat de chaque substitu-
tion par la valeur de l'autre substitution, et l'on divise
la somme des produits par celle des résultats. Le quo-
tient est déjà une valeur plus approchée de x que 2 et 3
(foyez Fausse rostrion), et l'application du procédé
de Newton amène alors une approximation beaucoup
plus prompte.

Nous aurons ici
1X3—H16X2 35

=: —9,05
17

?

1+106
en nous bornant aux centièmes.

Partant donc de cette valeur, la première substitu-
tion donnera æ—2,07, qui diffère bien moins de la vé-
ritable que æ=2,1 trouvée ci-dessus ; et, conséquem-
ment, les substitutions suivantes donneront également
des résultats plus approchés.

Dans son bel ouvrage sur la Résolution des équations
numériques, Lagrange à examiné la certitude de ces
procédés et le degré d’approximation qu’on peut attein-
dre par chaque substitution successive. Les détails dans
lesquels il est entré ne laissant rien à désirer, nous y
renvoyons ceux de nos lecteurs qui voudraient appro-

fondir entièrement la question.

On doit aux illustres frères Jean et Jacques Ber-
nouilli plusieurs méthodes ingénieuses d’approximation
dont l'exposition nous entrainerdit trop loin (Voy. Jean
Bernouïlli, opera, tome UK, et Actes de Leipsick, 1689).
Taylor (Trans. Philosoph. 1717), Thomas Simpson
(Essays on several curions et usufiuls subjets. London,
1740. — Select exerëises for young profiéients. Lond.,
1952), M. de Courtivron (Mém. Acad. des Se., 174),
et le mathématicien allëmand Kæstner ont également
découvert des procédés particuliers que les limites de
ce dictionnaire nous permettent seulement de mention-
ner. Cependant, la méthode dé Daniel Bernouilli , ex-
poséé dans le Commentaire de l'Académie de St,<Pe-
tersbourg, tome HI, et développée ensuite par Euler
dans son ouvrage : /ntroductio in an4lÿysin infintorunx,
ctc., repose sur des considérations. si différentes de

toutes les autres méthodes, que nous croyons deveur:

416 AP

laonner au moins une idée du procédé élégant qu'Euler
enatiré.

La méthode de Bernouilli consiste à trouver une série
récurrente (voy. ce mot) telle que lun de ses termes, di-
visé par celui qui le précède, donne une valeur de plus
en plus approchée d’une racine de l'équation, selon
que les termes employés sont plus grands. Supposons
donc, dit Euler, que nous connaissions déjà les termes
successifs p, q, r, s, t, etc. de cette série , il faudra que

. , . les % .
L indique la racine x dejà assez exactement; c’est-à-dire

LS

qu’on ait à très-peu près us æ. On aura de même

VIS

= x; et la multiplication des deux valeurs donnera : ve

s ss
= x°. De plus, comme 7 = Y On aura aussi à

: : t t Se
x; ensuite, puisque -=x, on aura in æi,et ainsi
s
de suite.
Si, dans une équation

æi+Ar+Bz+C=o,

nous substituons ces valeurs , elle deviendra

s r
SH HAE t;
ou
s+Ar+ Bg+ Cp= 0;
ce qui nous donne
s—=—Ar—Bq—Cp;

expression qui montre comment cha jue terme de la sé-
rie récurrente doit être formé par ceux qui le précè-
dent : de sorte qu'ayant seulement, «ans le cas qui nous
occupe , les trois premiers termes, or est en état de con-
tinuer la série aussi loin qu’on le voudra. Quant à ces
trois premiers termes, on peut les prendre à volonté.
Nous allons éclaircir ceci par un exemple, faisant obser-
ver, avant tout, que le second terme de l’équation ne
doit pas manquer. Soit l'équation

A X1— 2L— 1 —O.

Faisons — æ =" : x= À, nous aurons
P P q
RER PRET
P P P
D'où
s=r+2q+p.

Par où l’on voit que chaque terme de la série doit ré-
su!ter de la somme des trois termes qui le précèdent,
après avoir préalablement multiplié par 2 le terme du
inilieu. Le commencement de la série étant arbitraire ,

AP

prenons 0,0,1 pour les trois premiers termes, et nous
trouverons pour les suivans

0,0,1,15,59,0,13,20; 60,120, 27/7, etc,
Ainsi , les valeurs de x seront

28 Go

129 277
130158

60 ? 129 ?

27
17 , nous au-
29

12 “rt GTS
I

: t
PS Dm 5 etc.
Oo "010400 30006

Si nous prenons pour x la fraction
I

rons
L'— 2,147,

valeur exacte jusqu’au chiffre des millièmes.

Nous devons faire observer que toutes les équations
ne sont pas de nature à pouvoir y appliquer cette mé-
thode avec avantage, et que souvent on est forcé de
calculer un très-grand nombre de termes de la série pour
obtenir une faible approximation. En outre, le choix
des premiers termes n’est pas entièrement arbitraire, et
il est facile de s'apercevoir qu’on peut, en les détermi-
nant convenablement, rendre l’approxanation plus ra-
pide. Quoi qu'il en soit, le procédé d’Euler n’en est
pas moins un des plus ingénieux qui ait été trouvé jus-
qu'à ce jour. Nous ferons connaitre, à l’article sÉR1ES RÉ-
curreNTEs, les principes sur lesquels il est fondé, et
dont la découverte est due, ainsi que nous l’avons déjà
dit , au célèbre Daniel Bernouilli.

Il est assez difficile de pouvoir reconnaître exacte-
ment le degré d’approximation qu’on obtient par les
méthodes précédentes ou de savoir, dans chaque opé-
ration, quels sont les chiffres décimaux auxquels on doit
s'arrêter pour ne pas rendre inutilement les calculs suc-
cessifs trop laborieux. Sous ce rapport , le procédé de
Lagrange, que nous allons exposer, est supérieur à tous
les autres, quoiqu'il ne donne que des approximations
plus lentes , et qu'il ne soit en réalité qu'une méthode
de tétonnement.

Soit, comme ci-dessus,

x" HA;xm—A HE Ac DUT JE À; as L'etc.. = 0,

une équation d’un degré quelconque dont une racine
réelle est comprise entre à et a+-1, ou dont a est la
partie entière.

ee 1 5 :
En désignant rs , la partie fractionnaire de cette
racine, nous aurons
x=a+ d
ex Et)
VA
é pe Le.
et nous obtiendrons, par la substitution de a +- à Ja
Ÿ

place de x, dans la proposée , une équation en y dont la
forme sera

PT + B; “dc | Be RES E B; L'an + eiC; — 10.

Cette équation aura nécessairement une racine réelle

AP

positive, plus grande que l'unité, et n’en aura qu'une
seule , s’il n’y a, comme nous le supposons ici, qu’une
seule racine x comprise entre a et a + 1. Dans ce der-
nier cas, après avoir trouvé la partie entière de cette
valeur de y (Foy. Limites), désignons-la par b, et nous

aurons
I
3 =b+ 50
étant la partie fractionnaire inconnue de cette même
z
racine.
14. x ;
Substituant b+ — à la place de y, dans l'équation

en ÿ , nous obtiendrons une nouvelle équation en z de
la forme :

2m Ci ami EL Ce 22 LC; 2-5 L'etc... — 0,
qui n'aura également qu’une seule racine positive plus
grande que l'unité. En désignant encore par c, la partie
1 I : à ;
entière de cette racine et par 2 la partie fractionnaire,

nous aurons

Opérant encore comme ci-dessus , nous obtiendrons
pour # une valeur de la forme

I
w=d+-,
P
et ainsi de suite.
Or , réunissant les diverses racines

Le

1 I 1
CO LE En ME CLR MP tent etc.,

si nous substituons dans la première la valeur de la se-
conde , elle deviendra

a=at

Substituant dans cette dernière la valeur de z, et succes-
sivement celles de w, etc., etc., la racine cherchée sera
exprimée par la fraction continue

Le a+ ————
LE Maya TEE
c+

d+ etc.

et il est évident que plus on prendra de fractions inté-
grantes, plus on approchera de la véritable valeur de
æ. Pour fixer les idées, nous allons appliquer ce qui
précède à l'équation x?— 2x— 5 — 0, déjà traitée par
la méthode de Newton.

La valeur entière d’une des racines de cette équation
étant 2, nous aurons

L=2+-
+;

AP 417

Et, en substituant et ordonnant par rapport aux puis-

, Ë b
sances de y , l'équation en y sera

FP— 107? — 67 — 1 —0,
dont la racine réelle est comprise entre 10 et 11. Fai-
sons donc
! I
J —=10 + EL
nous obtiendrons
G123— 942? — 203 — 1 — 0
pour l’équation en z. Cette équation a une racine entre
‘ : L',
1et2. Par la substitution de 1 + — à la place de z dans
w
cette dernière, l'équation en 4 sera
54av} + 254vt — Bow — 61 — 0,
dont la racine est encore entre 1 et 2.

En continuant de la même manière, on trouve, pour
les nombres que nous avons désignés ci-dessus par a, b,
c, d, etc., et qui ne sont que les parties entières des
racines de chaque équation successive, les valeurs 2,
10,1,1,2,1,3,1,1,12, etc.; de sorte que la ra-
cine cherchée est exprimée par la fraction continue

1+etc.

D'où l’on tirera ( Foy. FRACTIONS CONTINUES } les frac-
tions

21 23 44 vu 155 576 731 1307 16415
10/11/21) 53) 74 275? 349 G24 ! 7837 ? 10

2
1°

qui seront alternativement plus petites et plus grandes
que la valeur de x

16415
7537
cine cherchée ; mais on sait, par la théorie des fractions

La dernière fraction

est plus grande que la ra-

4 : I
continues , que l'erreur sera moindre que =
»q q (835) ; Ou

que 0,0000000163... en réduisant en fraction décimale.
qn°! Dusx64xbaès: ne
Ainsi, la fraction Dur ,; également réduite en fraction

décimale, donnera une valeur de x exacte jusqu'à la
septième décimale. Cette valeur est

TX —=2, 09455148....
Ainsi, la racine cherchée est entre 2,09455149 et
2,09455147.

Cette méthode, comme celle de Newton, suppose
qu'il n’y a qu’une seule racine comprise entre deux
nombres & et & + 1 qui ne diffèrent que d’une unité.
Cependant, lorsque cette condition n'existe pas, on peut
encore, ef cherchant la plus petite différence des ra-

418 AP

cines, déterminer des limites assez rapprochées pour
rendre ces procédés applicables. Voyez ÉQUATION Aux
DIFFÉRENCES, Limires, RÈGLE DES siGNES.

Le procédé de Lagrange entraîne souvent dés calculs
si longs et si rebutans , que dans la pratique on préfère
celui de Newton, ou qu’on a recours à des méthodes en-
core plus expéditives. Celle que Xramp expose dans son
Arithmétique universelle, et celle que donne Cagnoli,
Trigonometrie rectiligne et sphérique, fondées toutes
deux sur les mêmes principes, ne demandent que des
opérations arithmétiques d’une exécution facile. M. Bu-
dan de Boislaurent, daus sa Nouvelle méthode pour
la resolution des équations numériques, propose un
procédé de la plus grande simplicité. F’oyez Limires.

On a classé parmi les méthodes d’approximation
l'emploi des séries pour lévaluation des racines des
équations; mais cette classification est inexacte; car les
séries constituent un mode de génération qui embrasse
par une loi unique la construction complète d’une quan-
tité; très - différentes en cela des procédés que nous
venons de décrire, dont les accroissemens successifs sont
indépendans les uns des autres. C’est par cette considé-
ration que nous renvoyens au mot SÉRIES tout ce qui
concerne la résolution des équations obtenue, d’une
manière générale, par ces fonctions importantes.

APPUI. Point p’arpur d'un levier (Méc.). Point
fixe autour duquel le poids et la puissance se font équi-
libre dans le levier. J’oyez Levier.

APPULSE ( Astr.). Passage de la lune près d’une
planète ou d’une étoile sans l’éclipser. L’instant de l’ap-
pulse est celui de la plus courte distance des bords: On
observe les appulses pour déterminer les Zeux de la
lune, les erreurs des tables astronomiques et les longi-
tudes des lieux.

APPUYE ( Géom.). Un angle est appuyé sur un arc
de cercle lorsque, ayant son sommet sur la circonfé-
rence, il intercepte cet arc entre ses côtés.

Tous les angles appuyés sur le même arc sont égaux,
puisqu'ils ont sa moitié pour commune mesure. Voyez
ANGLES.

APSIDES (4str.). Extrémités du grand axe de l’or-
bite d’une planète.

Le mot «is signifie courbure, voûte. L'apside la
plus éloignée dans les orbites dont le soleil occupe Fun
des foyers, ou l'apside supérieure, se nomme aphélie.
(&ro #Aiay où 49° #Aior, loin du soleil.) L’apside infe-
rieure se nomme périhelie ( x£pi xd, près du soleil).

Quand il s’agit du soleil ou de la lune, l’apside supé-
rieure prend le nom d'apogce, et l’apside inférieure
celui de périgée.

Le grand axe de l’orbite se nomme aussi la ligne des
apsides. C’est sur cet axe qu'on mesure l’excentricile.
Voyez ce mot. Voyez aussi OrriTE et PLANÈTE.

AR

APUS ou APOUS ( Astr. ). Constellation méridionale
nommée en français Oiseau de paradis. Elle est compo-
sée de douze étoiles dans les cartes de Bayer; mais elle
en renferme un plus grand nombre dans les catalogues
de Lacaille. La principale étoile de cette constellation
n’est que de la cinquième grandeur.

AQUARIUS. Voyez Verseau.

AQUEDUC (Arch. et Hyd.). Canal de pierre cons-
truit sur un terrain inégal pour conserver le niveau de
l’eau, et la conduire d’un lieu à un autre.

Les aqueducs sont extérieurs et visibles ou souter:
rains. Les premiers sont quelquefois construits à de
grandes hauteurs, à travers les vallées, et soutenus par
des piliers et des rangées de voûtes. Les derniers passent
a travers des montagnes qu’on a percées pour cet objet.
Is sont bâtis en pierres, briques, etc., et couverts de
planchers voûtés, ou de dalles pour abriter l’eau contre
le soleil et les pluies. Quelques-uns sont doubles , d’au-
tres triples, c'est-à-dire supportés par deux ou trois
rangées d’arches superposées les unes sur les autres.Parmi
ces derniers, on peut placer le pont du Gard, en Lan-
guedoc, qu’on suppose avoir été construit parlesRomains
pour conduire l’eau dans la cité de Nimes ; l’aqueduc de
Constantinople, et celui qui fut construit par Cosroës,
roi de Perse, près de Petra en Mingrélie. Ce dernier
avait trois conduits dans la même direction, situés les
uns au-dessus des autres.

L'’aqueduc le plus moderne et le plus étendu est celui
que Louis XIV a fait bâtir près de Maintenon, pour
conduire les eaux de la rivière du Bucq à Versailles, il
est composé de 242 arches. Sa hauteur est de 4158 mètres
et sa longueur de 11369 mètres.

ARAMECH. J’oyez ArcTURUS.

ARBALETE ou ARBALESTRILLE ( 4str.). Ancien
instrument, dérivé des règles parallactiques de Ptolé-
mée, jadis en usage dans la marine pour observer les
hauteurs du soleil. Cet instrument , dont on ne pouvait
obtenir que des approximations insuffisantes , fut rem-
placé par le quartier anglais, qui, après plusieurs amé-
liorations successives, a été lui-même abandonné pour
l'Ocraxr. Voyez ce mot.

ARBRE (Mec.). Axe tournant d’une machine. Les
arbres des grandes machines telles que les manèges, exi-
gent des pièces de bois qu’on ne peut souvent se procurer
qu'à grands frais. [ vaut mieux alors les exécuter en
fonte , en forme de tuyaux qui s’emboitent les uns dans
les autres. L'emploi du fer donne toujours plus de légè-
reté et de solidité aux machines.

ARC (Géom.). Portion d'une courbe. Voyez Couree.
Are de cercle. Parties de la circonférence d’un cercle.
Les arcs d’un même cercle où de cercles égaux sont

égaux lorsqu'ils contiennent le même nombre de de-

AR —

grés, minutes, etc. Les arcs des cercles diflérens sont
semblables lorsqu'ils ont la même mesure; leur rapport
est alors égal à celui des rayons de leurs cercles respectifs.
Les arcs sont concentriques lorsqu'ils appartiennent à des
cercles qui ont le même centre.

La circonférence d’un cercle étant incommensurable
avec son rayon, on ne peut trouver aucune expréssion
finie qui puisse faire connaitre la grandeur d’un arc don-
né en parties du rayon. Mais lorsque le sinus ou la tan-
gente d'un arc quelconque x sont connus, on peut
obtenir la valeur de l'arc par les séries suivantes ( voyez
Sinus), le rayon étant l'unité,

2 = tangæ— Etangx + Etang’ x — ;tang7 æ + etc.
=
- sinÿ æ + sine
+ etc., etc.

2 F5 ke
æ—sinx + sin æ + =:

Lorsque la grandeur d’un arc est connue en parties
du rayon, pour trouver le nombre de degrés qu'il
contient on pose les proportions

200 :
x"

3,1415926 : æ ::

8,14:5926 : x :: 180 :

x’ étant le nombre des degrés pour la division céntési-
male, et x" ce même nombre pour la division sexagé-
simale ; 3,1415926 -est la demi-circonférence dont le
rayon est l’unité.

Si de la valeur d’un arc en degrés on voulait passer à
sa valeur en parties du rayon, on ferait encore usage
des mêmes proportions ; alors x' ou x"”seraient la quan-
tité donnée, et x les quantités cherchées.

Anc (Astr.). Les arcs reçoivent dans l'astronomie
diverses dénominations, selon les cercles de la sphère
céleste sur lesquels on les considère.

Arc diurne du soleil. C'est la partie du cercle paral-
lèle à l'équateur décrit par le soleil, dans sa course
apparente, entre son lever ?t son coucher. L’arc noc-
turne est de même nature, entre le coucher et le lever.
On appelle encore semi-diurne et semi-nocturne les moi-
tiés de ces arcs. |

Are de progression ou de direction. Arc de l’éclip-
tique, sur lequel une planète parait passer quand son
mouvement est direct, ou suivant l’ordre des signes.

Arc de rétrogradation. C’est un arc de l’écliptique
qu'une planète semble décrire en se mouvant en sens
contraire de l’ordre des signes.

Arc d'émersion ou de vision. C’est l’arc dont il faut
que le soleil soit abaissé au-dessous de l'horizon pour
qu'un autre astre soit visible à la vue simple. Cet are
n’est pas le même pour toutes les planètes. On l'estime
ordinairement de 10° pour Mercure, 5° pour Vénus,
11° + pour Mars, 10° pour Jupiter et 11° pour Saturne.
Cependant cet arc est loin d’être constant car on aper-

AR: 119

coit quelquefois Vénus en plein jour. Il varie en outre
un peu suivant la latitude et la déclinaison,

Arc de position où angle de position. Arc de l'équa-
teur compris entre le méridien et le cercle de décli-
naison d’un astre. C’est le même que l’angle horaire. :

ARC-BOUTANT (A4rch.). Support placé dans l’an-
gle de deux parties d’une construction, dont l’une fait
saillie au dessus de l’autre.

Le problème suivant peut trouver son application
dans l’architecture.

Prosième. Étant donnée une pièce de bois AB sup-
portée par une autre pièce verticale, on demande la po-
sition d’un arc-boutant mn d'une longueur donnee,
pour que la pièce AB soit soutenue le mieux qu'il est
possible.

Représentons la force absolue de l’arc-boutant par la
droite »n; comme cette
force est oblique à la pièce
AB, on la décomposera en
deux autres »A nD, en
construisant le parallélo-
gramme AnDm. Or, la |
force D soutiendra la
pièce AB ; et si l’on con-
çoit que cette pièce fait
effort pour tourner sur

le point d'appui À, A
sera le bras du levier par le moyen duquel la force xD

fait résistance; donc le produit A X nD doit étre
un MAXIMUM.

Soit maintenant 27 = a, nD—mA—x; on aura,

= —3 2 et R
dans le triangle rectangle Amn, mn — mA + nA ;
d’où
rA = V/(& — x?)

et, par suite,

nA X nD — xV/(@ —x).
Cette quantité devant être un zaximum , il faut égaler
sa différentielle à zéro ( Foyez Maximis); donc

x’dx

Ve —x)

Divisant par dx et réduisant, on obtient

daV/(@ — x) —

A+==9%7 —O OU X— a/2.

Cette valeur nous apprend que æ doit être le côté
d’un carré dont a est la diagonale. ( Voyez DiAGONALE.)
Aiïnsi, Fangle Amn que l’arc-boutant fait avec la pièce
verticale AC, doit être de 45°, ou la moitié d’un angle
droit.

ARCAS (A4str.). Nom donné quelquefois à la bril-

lante étoile Ancrurus, de la constellation du Bouvier.

ARC-EN-CIEL où IRIS (Op«). Météore semis

420 AR

circulaire, coloré, qui apparaît dans les nuées lors-
que le temps est pluvieux. Il est produit par plu-
sieurs réfractions et réflexions des rayons du soleil
opérées dans les gouttes sphériques d’eau qui rem-
plissent l'air. Cet arc est ordinairement accompagné
d'un second arc qui l'entoure à une certaine distance et
dont les couleurs, plus faibles, sont dans un ordre op-
posé. Ê

L’arc-en-ciel ne paraît jamais que dans les endroits où
il pleut, et où le soleil luit en même temps. Pour l’aper-
cevoir, il faut être placé entre le soleil et la nuée qui se
résout en pluie.

L’explication de ce phénomène fut long-temps incon-
nue aux physiciens. Le premier qui l’aborda avec succès
‘est Marc-Antoine de Dominis, archevêque de Spalatro
‘en Dalhmatie. Dans son ouvrage imprimé à Venise en
‘1617, sous le titre De radüs et Lucio, Dominis prouve
que l'arc coloré est le résultat de deux réfractions, sé-
parées par une réflexion de la lumière solaire dans les
gouttes rondes de pluie. Nous devons dire cependant
que Képler exprime une idée à peu près semblable dans
une de ses lettres écrite à Hariot, en 1606.

L'ouvrage de Dominis est loin , au reste, de contenir
une théorie complète de cet intéressant phénomène. Ce
qu’on y trouve sur l'arc extérieur prouve évidemment
que l’auteur n’en soupçonna Jamais les véritables causes.
Descartes, en partant de l'idée principale de Dominis,
perfectionna l'explication de l'arc intérieur, et déter-
mina la marche des rayons lunrineux dans l'arc exté-
rieur. Mais quoiqu’on doive à ce grand homme la ma-
jeure partie de ce qu'il y a d’exact dans la théorie de
Y'ris, il était réservé à Newton de compléter entière-
ment cette théorie par son importante découverte de la
composition des rayons lumineux.

Nous avons déjà dit qu'on apercevait ordinairement
deux arcs-en-ciel : un intérieur ou principal, dont les
couleurs sont vives , et un extérieur ou secondaire, dont
les couleurs sont plus faibles. L'ordre des couleurs est

° mwiolel,

pour le premier, en allant de bas en haut, 1
2° indigo, 3° bleu, 4° vert, 5° jaune, 6° orangé, et
7° rouge; pour le second, cet ordre est inverse, c’est-à-

: dire que le rouge A
est à la partie su-
‘ périeure de l'arc,
et le wrolet à la
partie inférieure.
Pourconcevoir
la production de

ce phéromène,

représentons par

R 1e
É “n
goutte de pluie : le rayon solaire Ss venant frapper obli-

quement cette goutte en s, au lieu de continuer sa direc-

le cercle sIPO une

AR

tion Sa, sera réfracté en s’approchant de la normale sA
(voy. Rérracriox), et ira frapper la paroi de la goutte
en 1; la portion de ce rayon qui ne traversera pas la
goutte sera réfléchie vers OP, en faisant son angle de
réflexion égal à celui de son incidence, et, au lieu de
continuer sa route vers », il sera réfracté une seconde
fois en s’écartant de la normale à OP, parce qu’il passe
obliquement de l’eau dans l'air. Mais comme ce trait lu-
mineux , quelque mince qu’il soit, est un faisceau de
rayons plus réfrangibles les uns que les autres, le violet,
qui l’est le plus de tous, se rendra au point V, etle rouge
qui l’estle moins, se rendra au point R ; les autres se ran-
geront dans l’espace ROPV selon l'ordre de leurs degrés
de réfrangibilité. Si donc l'œil de l'observateur est placé
en R, il n'apercevra que le rouge dans la direction RP;
si ensuite l'œil s'élève en V, il verra successivement
toutes les autres couleurs, et apercevra enfin le violet
dans la direction VO. Pareille chose arrivera encore si
l'œil de l'observateur restant en R, la goutte de pluie
descendait ; et conséquemment lorsque l’espace est rem-
pli de gouttes, il doit apercevoir en même temps, et
sous des angles différens, toutes les couleurs prisma-
tiques.

Or, l'œil se trouvant au centre d’un cône decrit par
la révolution du rayon visuel, et recevant des impres-
sions dans le sens de toute la surface conique, verra cha-
que couleur comme un arc de cercle; et l’ensemble des
couleurs formera donc une bande semi-circulaire, dont
la largeur sera proportionnelle à la différence qu’il y a
entre les rayons les plus réfrangibles et ceux qui le sont
le moins.

Quant à l'arc extérieur, soit QPOTSs une autre goutte
de pluie qu'un trait lumineux Ss frappe obliquement
en s; au lieu de continuer sa route dans cette di-
rection, il se réfrac-
tera en s'appro-
chant de la nor-
male, etira heurter
Ja paroi concave de
la goutte en I. La

portion de cette lu-
mitrequinetraver- vV

sera pas la goutte

sera réfléchie vers O ; une partie de cette même portion
sera encore réfléchie vers PQ, et ensuite, au lieu de con-
tinuer sa route en ligne droite, elle se réfractera une
seconde fois en s’éloignant de la normale. Ce trait de
lumière, quoique beaucoup plus affaibli que dans le cas
précédent, étant un assemblage de rayons plus réfran-
gibles les uns que les autres, le rouge, qui l’estle moins, se
rendra au point R, et le violet, qui l'est le plus, se rendra
au point V; les autres rayons se rangeront dans l’espace
RPQY selon l'ordre des degrés de leur réfrangibilité.

AR

Par les mêmes considérations que ci-dessus, l'œil aper-
cevra donic une bande colorée, dont les couleurs seront
plus faibles que celles de la première, et placées dans un
ordre inverse.

Ainsi, quand une nuée fond en pluie, comme il se
trouve des gouttes dans toutes les places convenables
pour que les rayons réfractés puissent former les angles
nécessaires à la vision des couleurs, l'observateur dans
l'œil duquel ces rayons iront converger, verra en même
temps deux arces-en-ciel. Pour que cette convergence des
rayons ait lieu, il faut que l’œil soit placé de telle ma-
nière que OP (Pz. VIIT, fig. 1 ) étant une ligne pa-
rallèle aux rayons solaires S,S,S, etc., l'angle EOP de
vision soit de 40° 17", et l'angle de vision FOP de 49°
1° 40": alors l'angle FOE de 1° 45’ comprend la largeur
de l'arc principal, le rouge apparaissant en F et le violet
en E. Au-dessus de 42° 2’ les rayons réfractés ne peuvent
plus parvenir au point o et se perdent dans l'air; mais à
50° 57" les rayons réfléchis deux fais dans l’intérieur
de la goutte commencent à se réunir au point o, etil
en est de même jusqu’à 54° 7'. Ainsi, HOP étant un angle
de 54° 7! et GOP un angle de 50° 57, la différence de
ces angles ou l'angle HOG:, de 3° 11”, comprendra l'arc
secondaire, dont le rouge apparaîtra en G et le violet
en H. Les deux arcs seront séparés par un espace angu-
jaire GOF de 8° 55’, dans lequel aucun rayon coloré ne
peut parvenir à œil.

Toutes les particularités de l'apparition des deux arcs
se déduisent rigoureusement de deux formules que nous
allons faire connaître.

Soit Ss un rayon lumineux, réfracté en s en entrant
dans la goutte d’eau, puis réfléchi en B et de nouveau ré-

N

fracté en GC; le rayon CA est ce qu’on nomme le rayon
d'émergence, par opposition à $s qui est le rayon d’inci-
dence. En prolongeant ces deux.rayons jusqu'à leur ren-
contre en D, on formera l'angle SDA, qui est l'angle
de la déviation de la lumière, et qu'on nomme simple-
ment la déviation.

Désignons par 2 la déviation, par à l'angle d'incidence
SN, et par r l'angle de réfraction OsB. O est ie cent

AR 491

de la goutte. Cela posé, observons que l'angle OBs,
extérieur par rapport au triangle sBD est égal à la somme
des deux angles opposés sDO et BsD (Foy. Ancces, 0),
et, qu'en outre, OBs — OsB—7r, OsD — SsN — 5.
BsD — OsD — OsB et sDB — ? sDA — !

2

9, nous au-
rons donc

r=i—r+;d,
d’où l’on tire

d = Gr — rt.

Mais la déviation 9 variant , en même temps que le:
quantités r eti, est susceptible d’un maximum, puis-
que les angles r et ? sont liés par la relation

Sini=nsinpr,

dans laquelle »# est une quantité constante, nommée
l'indice de réfraction. Voyez RÉFrACTION.

Pour trouver cette valeur #aximum , faisons d? — 0.
(Foyez Maximis) nous aurons aussi
2dr = di,

&dr— 2di=o, ou

Mais en différenciant l'égalité sin ? = n sin r, nous
avons dé cos à = ndr cos r, d’où

di. cosi

dr =

I.COosSr

Ainsi, substituant cette valeur de dr, dans 2dr = di,
on a
Or. cos &
n,Cosr |

di —T

Ce qui donne, en divisant par &?,
2. COST — 2 COS 2.
Cette égalité, élevée au carré et combinée avec
snz—nsinr,
pareillement élevée au carré, donne
r°(cos’r+sin"r) = 4 cos’ i + sin"i= 3 cos’ {+ (cos 14-sini),
qui se réduit à
Rm=Scosi+t,
à cause de cos r + sinr= 1, et de cos? +sini= 1.
De cette dernière égalité, on tire (a)

La valeur maximum de la déviation a donc lieu pour
une incidence dont l’angle est déterminé par la rela-
tion (a).

A l’aide de ce résultat, nous allons maintenant déter-
miner toutes les circonstances de la production des cou-
leurs. Commençons d’abord par le rayon rouge, qui est
le moins réfrangible , et dont l'indice dé réfraction est,

d’après les expériences de Newton (Joy, Lumière),

kr

422 AR

Substituant cette valeur de » dans celle de cos à, nous
obtiendrons

1 59° 23'30".

D'où il suit que le rayon rouge qui rencontre la goutte
sous un angle d'incidence égal à 59° 23° 30”, est de tous
les rayons rouges incidens celui qui éprouve la déviation
maximum. Pour connaitre cette déviation, substituons
les valeurs de et de 7 dans la relation

sini—nsinr,

et nous trouverons r— 40° 14! 40". Connaissant z et,
l'égalité 9—4r—si, donne

d = 42

Tel est le plus grand angle sous lequel on puisse aper-
cevoir la couleur rouge; car la déviation est égale à
l'angle de vision. Or , si SsBCA représente la route de
ce rayon, il est évident que deux autres rayons très-
proches, et qui tombent, l’un avec une obliquité un peu
plus grande, et l’autre avec une obliquité un peu
moindre, serout, à leur sortie de la goutte, sensible-
ment parallèles à AC, puisqu'ils ont tous deux une dé-
viation un peu moindre que celle de Ss. Ainsi, le petit
faisceau rouge aAa, composé de ces rayons émergens, se
propagera dans l'air sans diminuer d'intensité, et pourra
produire une impression sur l'œil de l’observateur,
tandis, au contraire , que tout autre faisceau étant com-
posé de rayons qui divergent, diminue d'intensité en se
répandant dans l'air et devient insensible.

Ainsi, en menant de l'œil de l'observateur placé en o
(PL. VIIT, fg. 1) une ligne droite oP qui, prolongée,
passe par le centre du soleil, si nous en imaginons une se-
conde 0F, faisant avec la première un angle de 42° 1" 40",
et qui tourne autour de celle-ci en conservant son incli-
naison , elle décrira une surface conique ; mais, comme
en décrivant cette surface elle rencontrera des gouttes
de pluie , dont nous supposons l'air rempli, l'œil par-
courra en même temps un cercle de lumière rouge, ou
plutôt un arc rouge, puisqu'il ne peut considérer que
la partie du cercle supérieure à l'horizon.

Le disque du soleil envoyant des rayons de chacun
de ses points , et cet astre étant vu de la terre sous un
angle de 50’, il est encore évident que l'œil apercevra
une ligne rouge pour chaque point du soleil, et que
l’ensemble de ces lignes lui apparaîtra comme une bande
rouge circulaire sous-tendant à l’œil un angle de 30’.

En opérant comme nous venons de le faire , on trou-
verait facilement les angles de vision sous lesquels les
autres couleurs doivent se montrer, chacune dans une
bande d'une largeur égale à celle de la bande rouge;
nous nous contenterons d'examiner la situation du rayon
violet qui termine l'arc. L'indice de réfraction de la lu-

AR

mière violette étant égal à #2, nous donne , en le sub-
stituant dans (a), = 58°; d’où 9— 40° 17". Pour avoir
la position de larc violet , il faut donc mener de l'œil o
uue droite 0E faisant l’angle PoE— 40° 17". Ainsi, la
largeur totale de arc-en-ciel correspond à 1° 44" 40",
différence des deux angles extrêmes 42° 140" et 40° 17".

Examinons maintenant l’arc-en-ciel extérieur. A l’aide
d’une construction semblable à la précédente, nous trou-
verons facilement que ie maximum de déviation, dansle
cas de deux réfractions séparées par deux réflexions,
correspond à un angle d'incidence donné par Fexpres-
sion

2
cost — —-

En réalisant les calculs pour la lumière rouge, dont

PE Pr 108

l'indice est, comme nous l'avons déjà vu, n— + et
4 ; qe 10

pour la lumière violette, dont l'indice est = ;

nous trouverons que la déviation du rouge est de 50°
59', et que celle du violet est de 54° 9'. La largeur de
l'arc extérieur se présente donc sous un angle de 3° 10',
et le rouge occupe la partie inférieure de cet arc éloi-
gnée de la partie supérieure de l'arc principal d’une
distance qui correspond à
50° 59° — 42° 1° 40”;

c'est-à-dire à 8° 47' 2".

Tous les résultats de cette théorie, due à Halley,
sont exactement conformes aux expériences de Newton.

Quelquefois, mais très-rarement, on aperçoit un troi-
sième arc-en-ciel dont les couleurs sont encore plus fai-
bles que celles de Farc secondaire. 11 est le résultat de
trois réflexions successives de la lumière ; et, à l’aide de
ce qui précède, on peut facilement s’en expliquer la
formation. Halley a calculé ses dimensions, ainsi que
celles d’un quatrième, qu’on pourrait apercevoir dans
des circonstances favorables (Voy. Transactions phil.,
1700.)

Lorsque la lune est pleine, elle peut aussi produire
des arcs-en-ciel; mais leurs couleurs sont toujours très-
päles. On les nomme arcs-en-ciel lunaires.

On forme artificiellement des arcs-en-cielen projetant
dans l'air des jets d’eau qui retombent en pluie. Pour
les apercevoir , il faut choisir entre cette pluie et le so-
leil une position convenable.

ARCHE ( 4rchit.) Voûte d'un pont ou d’un aque-
duc. Les arches se construisent de diverses manières,
et sont désignées sous différens noms, suivant leur
forme , tels que circulaire, elliptique, cycloidale, etc.

Les arches semi-circulaires sont ceiles dont la forme

est un exact demi-cerele avant son centre sur le milieu

AR

de la droite menée d’une extrémité à l’autre. On les
nomme encore arches plein-cintre.

Les arches surhaussées et surbaissces sont celles dont
la hauteur de la voûte est plus grande ou plus petite que
le diamètre. L’arche surbaissée se nomme aussi ause de
panier (Foy. ce mot).

On nomme arche d'équilibre, dans la théorie des
ponts, celle dont toutes les parties ont une égale force,
n'ayant conséquemment aucune tendance à se briser
dans un point plutôt que dans un autre. Trouver cette
arche est le problème principal &e la construction des
ponts. Sa forme n’est point une courbe particulière, la
même pour tous les cas; elle varie selon la figure de
l'extrados ou de la surface extérieure dela voute : cha-
que différent extrados requérant un intrados particu-
lier ou une surface intérieure particulière, de manière
à ce que l'épaisseur de chaque partie soit proportion-
nelle à la pression.

Par exemple, si l’extrados est une surface plane, ho-

rizontale , la courbe de lintrados sera exprimée par

l'équation
a+ x+y/(oax+x)"
log [EEE il
RE PE TE SCT OU
ee |

dans laquelle x—Ax,y=xy,r=AB, = CB cta—
AD. Lorsque a, hetr
sont données en nombre,
on prend pour æ des va-
leurs de plus en plus gran-
des depuis o jusqu'à r,
et les valeurs correspon-
dantes de y, calculées à

l’aide de cette équation, permettent de construire la
courbe pour chaque cas particulier. AD est ce qu'on
nomme la hauteur de la clef ou du voussoir central.

Dans le cas, au contraire, où la courbe de l’intrados
serait donnée, ainsi que la hauteur de la clef, on de-
vrait alors calculer l'équation de l’extrados. Ce pro-
blème ne présente aucune difficulté pour les arches se-
mi-circulaires.

Soient AC la moitié du demi-cercle, H le centre et

AD la hauteur de Ja clef.

Du point C, avec ur rayon

AR 423

égal à HD, déterminons le point M sur AH, et menons
MN perpendiculaire sur cette droite; d’un point quel-
conque de l’intrados, menons ensuite la ligne Hy cou-
pant MN en Q. Menons ensuite QP perpendiculaire sur
IC, et prenons Hy — PD. Alors y sera un point de
l'extrados dont tous les autres pourront être déterminés
dela même manière. Hy esttoujours plus grand que HQ,
mais se rapproche continuellement de cette grandeur,
à mesure que l'arc Dy croit. Ainsi, MN est une asymp-
tote de l’extrados dont l'équation, tirée de la construc-

tion que nous venons de donner , est

IVe ERA]

V(r—b)
dans laquelle x =Tx, xy =y, HA=a, HM=—4.

La courbe de l’extrados d'une arche semi-circulaire
est donc très-ressemblante à la conchoïde de Nicomède.
Voy. ce mot.

Pour la théorie des arches , voy. Bossut, Recherches
sur l'équilibre des voites, et Prony, Architecture hy-
draulique. Atwood et Gregory se sont également occu-
pés de cet objet, traité de la manière la plus complète
par le docteur Hutton, dans son ouvrage intitulé :
Principles of Bridges.

ARCHIMÈDE, né à Syracuse vers l'an 287 avant
J.-C., fut un de ces hommes qui n'apparaissent sur la
terre qu'à de longs intervalles, et dont le génie créa-
teur laisse après eux un long sillon de lumière. Les
sciences mathématiques doivent à cet illustre géomètre
des travaux précieux qui marquent pour elles dans l’an-
tiquité, une ère brillante de progrès et de découvertes.
Ces travaux font encore aujourd'hui l'admiration des
mathématiciens qui cultivent la science avec cet amour
noble et pur, source féconde des grandes découvertes et
des vérités sublimes qu’elle renferme,

Les biographes d’Archimède ont négligé de nous faire
connaitre sous quels maîtres il commença à étudier.
Quels qu'ils aient été, il les a tellement dépassés que la
gloire du disciple n'aurait laissé tomber, en effet, que de
faibles rayons sur l’école d’où il s’élança avec ce génie
puissant ct original, dont les manifestations énergiques
n’appartiennent qu'à lui. Mais, comme nous l’ayons dit
ailleurs (voyez Écorx D'ALEXANDRIE), il est probable
que les connaissances mathématiques, répandues par
Euctide etsessuccesseurs, étaient, au tempsd’Archimède;
les seuls guides élémentaires qu’on püt suivre. Ainsi, le
monde doit sans doute Archimède à Euclide, comme il
doit Newton à Képler.

Toutes les branches des mathématiques furent éga-
lement l’objet des études et des recherches d’Archimède;
mais la géométrie et la mécanique sont néanmoins
celles dont il embrassa les connaissances avec plus d'é-

tendue et de supériorité, On sut qu'il cultivait ces

124 AR

sciences avec une telle ardeur,avec une telle abnégation
de lui-même, qu'il oubliait pour elles les besoins les plus
impérieux de la vie, et que ses serviteurs étaieut obligés
de le contraindre quelquefois à accepter leurs soins.
Quoiqu'une préoccupation aussi profonde, causée par
une application trop constante à un même sujet, ne soit
pas toujours une preuve de génie dans un homme, on
l’a souvent retrouvée chez ceux qui se sont Le plus élevés
dans les régions de l'intelligence. C'est qu'il va, sans
doute, dans les hautes révélations de la science, quelque
chose d’intime et d’exclusif, qui place dans une sphère
toute exceptionnelle l'homme assez heureux pour en
avoir la perception.

Nous possédons beaucoup d'écrits d'Archimède sur la
géométrie ; mais il est certain que le plus grand nombre
de ceux qu'il a composés ne nous sont point parvenus.
Ce qui nous reste suffit néanmoins pour rendre sa mé-
moire immortelle, et pour jusufier l'enthousiasme avec
lequel s'exprime Wallis, savaut mathématicien anglais,
du XVII' siècle, qui s'écrie en'parlant de l'illustre géo-
mètre de Syracuse : « I[omme d'une sagacité prodi-
gieuse, qui a jeté les premiers germes de la plupart des
découvertes que notre âge se glorifie d'avoir dévelop-
pées ! » (Jir stupendæ sagacitatis, qui prima funda-
menta posuil inventionum ferè omniunt , de quibus
promovendis œtas nostra gloriatur 1)

Dans ses deux livres sur /&« sphère et Le cylindre,
Archimède mesure ces corps, soit par rapport à leur
surface, soit par rapport à leur solidité, soit entiers,
soit enfin coupés par des perpendiculaires à leur axe
commun. Ces traités sont terminés par la belle proposi-
tion :
sort en solidité, du cylindre circonscrit. Cette dé-

Que la sphère est les deux tiers, soit en surface,

couverte des rapports de la sphère et du cylindre
sausfit tellement Archimède, qu'il manifesta le désir
de n'avoir sur son tombean d'autre épitaphe qu'une
sphère inscrite dans un cylindre. Ce vœu du génie
fut exaucé , et environ deux siècles après sa mort
glorieuse , cette simple mais éloquente inscription servit
à Cicéron pour retrouver, sous les ronces ct parmi des
monceaux de ruines, la tombe du grand Archimède,
déjà oubliée et inconnue de son irgrate ct malheureuse
patrie.

Le traité sur la Mesure du cercle n'est pour ainsi
dire que la suite ou le développement de ceux que nous
venons de citer. Archimède y démontre, en commen-
çant, cette vérité fondamentale : Que tout cercle et tout
secteur circulaire est égal à un triangle, dont la base
est la circonférence ou l’arc du secteur, et la hauteur
le rayon. C’est en partant de ce principe qu’il déter-
mine les limites du rapport entre la circonférence et le
rayon. l’oyez CErcre.

Archimède ayant à peu près épuisé Les recherches des

An

propriétés que présentent les corps réguliers, avait be
soin d'ouvrir à son génie un champ de spéculation plus
vaste, til composa son traité des Conoïdes et des Sphc-
roïdes. Ce fat ainsi qu'il nomma les corps formés par la
revolution des sections couiques autour de leur axe.
Après avoir examiné dans ce traité les rapports de ces
corps , il les compare, soit entiers, soit coupés par :eg-
mens, avec les cylindres ou les cônes de même base et
de méme hauteur. C'est dans cet ouvrage qu'il dé-
montra le premier : Que le Conoïde parabolique est
égal à une fois et deme le cône de méme base et de
méme sommet, ou à la moitié du cylindre de même base
et de méme hauteur; et que le conoïde hyperbolique et
ses segmens sont aussi at cylindnélou au cône de mémg
base et de méme hauteur, cn raison donnée. Foyez
Côxes.

A ces importantes découvertes géométriques, il faut
en ajouter d’autres qui ontencore contribué davantage,
s’il est possible, à l'illustration d'Archimède. Celles de la
quadrature de la parabole et des propriétés des spirales
seront dignes, dans tous les temps, de l'attention des géo-
mètres. Il emplova deux méthodes différentes pour
arriver à la première, et toutes deux honorent égale-
ment son génie. L'une de ces méthodes est fondée sur
les principes d’une statique tout intellectuelle, au
moyen de laquelle il parvint à reconnaitre ce qui se
passerait si l’espace parabolique et l’espace rectiligne
équivalent étaient pesés à l’aide d’une balance, telle qu'on
la conçoit mathématiquement, c’est-a-dire sans frotte-
ment et sans aucune considération matérielle. L'autre
méthode était purement géométrique, et C’est en em-
ployant la formation d'une progression décroissante,
qu'il donna le premier exemple de la véritable qua-
drature d’une courbe. Foyez PararoLe.

C’est à un géomètre, nommé Conon, et que l'amitié
d'Archimède a rendu célèbre, qu'on doit l'invention
de la courbe, à laquelle on a depuis donné le nom de
spirale d’Archimède, car le premier il en découvrit les
propriétés, telles que le rapport de son aire, la posi-
tion de ses tangentes , et démontra que tout secteur de
spirale est le tiers du secteur qui le renferme. J'oyer
SPIRALE.

Nous croyons devoir passer sous silence la méthode
qu'Archimède employait dans le cas où nous faisons
usage de la considération de l'infini : cette méthode doit
être exposée ailleurs avec tous les développemens qu'elle
comporte. ( F’oyez MÉTHODE D'EXHAUSTION. ) Nous ne
mentionnerons pas davantage quelques autres ouvrages
de pure théorie, dont nous ne possédons plus qu'une
faible partie, pour arriver à un autre ordre de travaux
de l'illustre géomètre syracusain.

Les découvertes importantes qu'Archimède a faites
en mécanique lui donnent le droit d’être considéré

AR

comme le créateur de cette branche des sciences mathé-
matiques. Toutes les connaissances qu’on possédait avant
lui sur cette matière, y compris le traité d'Aristote, ne
s'élevaient pas au-dessus des premières notions ou des
vagues hypothèses qu'on retrouve habituellement au
berceau d’une science. Archimède se plaçant tout à coup
À une immense distance de ses devanciers, posa le pre-
mier les vrais principes de la statique et de l'hydrosta-
tique daus deux traités, dont le premier, divisé en deux
livres ou parties , est intitulé : De æqui ponderantibus ,
et le second également en deux livres : De instdentibus
in fluido. Sa statique est fondée sur l'idée du centre de
gravité, idée dont la priorité lui appartient aussi, et
qui est devenue, par l'usage fréquent qu'on en fait en
mécanique, un des moyens de recherches les plus usiLés,
Voyez HYDROSTATIQUE et STATIQUE.

Voici de quelle manière on rapporte la circon-
stance qui aurait fourni à Archimède l'occasion de
ses découvertes en hydrostatique. Iliéron, roi de
Svracuse, soupçonnant un orfèvre qui lui avait fa-
briqué une couronne en or, d'avoir falsifié le métal
en y mélant une certaine quantité d'argent, consulta
Archimède sur les moyens de découvrir la fraude dont
il croyait avoir à se plaindre. Après de longues médita-
tions, Archimède se procura, dit-on, deux masses’or
et d'argent, chacune d’un poids égal à celui de la cou-
ronne. Il plongea successivement ces matières dans un
vase rempli d’eau, en observant avec soin la quantité
de liquide que déplaçait l’immersion de chacune de ces
masses de métal; il soumit ensuite à la méme épreuve

la couronne elle-même, et trouva ainsi un meyen cer-
tain d'apprécier la proportion d’or et d’argent dont elle
était composée. On ajoute que cette ingénieuse solution
du problème qui lui était proposé, se présenta sponta-
nément à son esprit pendant qu’il était au bain, et qu'il
en sortit transporté de joie en criant : J'ai trouvé! j'ai
trouvé ! (evpyxæ! eupnræ!) Au reste, la théorie de cette
découverte est tout entière exprimée dans cette pro-
position de son livre ( De insidentibus in fluido ) : Que
tout corps plongé dans un fluide y perd de son poids
autant que pèse un volume d'eau égal au sien.

L’antiquité a attribué à Archimède jusqu'à quarante
inventions mécaniques d’une haute importance, mais
qui n’ont point toutes été décrites par ses biographes ct
ses commentateurs. La vis inclinée où hydraulique, qui
porte encore son nom, la machine dont se servaient
les navigateurs anciens pour vider l’eau des sentines
des navires, la vis sans fin et la mouffle, sont générale-
ment regardées comme des productions de son fécond
génie. Quelques auteurs anciens parlent aussi avec en-
thousiasme d’une sphère en verre entièrement com-
posée par lui, et qui représentait avec exactitude les
mouyemens des corps célestes,

AR 495

Les bornes qui nous sont imposées ne nous permettent
pas de donner ici plus de développemens à ces rechér-
ches sur les inventions mécaniques d’Archimède ; l’im-
mense renommée qui, sous ce dernierrapport, est demeu-
rée attachée à son nom chez toutes les nations civilisées,
atteste à la fois leur nombre, leur utilité et leur impor-
tance. On connait aussi la proposition qu'il fit au roi
Hiéron : « Donnez-moi, lui ditl, un point d'appui et
un levier, et je soulèverai le monde. » Mais ce mot, qui
est devenu célèbre, a donné lieu à un calcul curieux
qui n’est pas aussi connu : c'est celui de déterminer,
par exemple, combien de temps Archimède aurait
employé à soulever la terre seulement d’un pouce.
Ozanam a fait ce calcul, et il établit qu'il aurait mis
3.653,545,176,808 siècles.

Les derniers jours de ce grand homme tieanent une
belle place dans sa vie. Il les consacra à la défense de
Syracuse, sa patrie, assiégée par le consul Marcellus, et
devint l'âme de la résistance la plus habile et la plus
longue dont l'histoire fasse mention.

Archimède construisit-il des miroirs ardens, à l’aide
desquels il brüla la flotte romaine? Il nous suffira de
dire ici que cette question, si fort controversée parmi Les
savans, n'en est point une pour l'histoire traditionnelle,
malgré le silence que gardent sur ce moyen nouveau
et terrible de destruction, Tite-Live, Piutarque et Po-
lvbe , qui cependant retracent avec une noble sympathie
les exploits d’Archimède au siège de Syracuse. Mais ce
qui est du moins hors de doute, c’est que ce mémorable
siége lui offrit une glorieuse occasion de révéler l’éten-
due de ses connaissances mécaniques, et environna son
nom de la double auréole de la gloire que dispensent
les sciences, et de celle que donnent le courage et le
patriotisme.

Les Romains ont abordé en Sicile, où la terreur de
leur non» et la puissance de leurs armes ont dispersé de-
vant leurs légions victorieuses tout ce qui avait pu son-
ger à leur opposer quelque résistance. Ils arrivent sous
les murs de Syracuse avec la rapidité de l’aigle. Syra-
cuse seule est encore libre-dans toute la Sicile; mais ses
citoyens consternés ne songent point à se défendre. Un
homme seul, un vieillard respecté à cause de sa science
et de ses vertus, s’élance sur la place publique, et ose
promettre la victoire à ses concitoyens découragés. Aux
machines de guerre des Romains, il opposera des ma-
chines dont la puissance est encore inconnue dans l'art
militaire; aux traits de l'ennemi il répoudra par une
pluie meurtrière de lourdes pierres et de matières en-
flammées. Cet homme, c’est Archimède, dont le dévoue-
ment de citoyen est fortifié de toute la confiance que
peuvent inspirer les certitudes de la science. Bientôt, en
effet, d'horribles pertes viennent arrêter l'audace des

Romains ; d'énormes masses tombent sur leurs bataillons,

426 AR

en écrasent des rangs entiers; leurs vaisseaux qui blo-
quent le port de Syracuse, sont brûlés ou bien arra-
chés par de gigantesques harpons , ils sont lancés dans
l'air, et retombent brisés dans la mer, Pour la première
fois peut-être les intrépides soldats de Marcellus s’ar-
rétent, épouvantés à l'aspect de ces prodiges, et chaque
fois qu'une de ces terribles machines qui vomissent la
mort dans leurs rangs, se dresse sur les remparts de
Syracuse, ils reculent, et refusent de marcher au com-
bat. L'aigle romaine s'incline un moment devant le

génie d'un vieillard. Marceilus, dé

spérant de triom-
pher d’une telle résistance, convertit le siége en blocus,
en attendant, pour s'emparer de cette ville, une circon-
stance favorable, qui ne tarda pas à se présenter. Un jour
que, dans la confiance que leur avaient inspirée les mi-
racles multipliés d'Archimède, les Syracusains offraient
un sacrifice à Diane, les Romains préparèrent brusque-
ment l'escalade, et pénétrèrent dans la ville, qui fut
prise et livrée aux horreurs d’une exécution militaire.

Le consul Marcellus, pénétré d’estime et de vénération
pour Pillustre Archimède , avait formellement ordonné
qu'on épargnät ses jours, et qu'on respectât sa demeure.
Un soldat y pénétra néanmoins. Archimède, insensible
au bruit occasionné par une aussi grande catastrophe,
s'occupait, dit-on, à tracer des figures géométriques, et
ce soldat lui passa son épée au travers du corps... Jm-
pius miles l s'écrie un auteur ancien, en retraçant cet
affreux événement. L'histoire n’a point conservé le nom
de ce parricide , pour que l’immortalité attachée à celui
de la noble victime ne rejaillit point sur son stupide
meurtrier.

Ainsi mourut Archimède de Syracuse, l'an de Rome
542 et 212 ans avant J.-C. ; il ne survécut pas à sa patrie
que ses travaux avaient illustrée, et que sa science avait
protégée contre l'ennemi. Son nom est un des plus
beaux de ceux qui décorent les fastes de la science
et de l'humanité. s

Ceux des ouvrages d’Archimède qui ont échappé au
naufrage des temps, forment un recueil assez étendu, et
qui a été souvent imprimé. Une des plus anciennes et
des meilleures éditions que nous connaissions, est ainsi
désignée dans les bibliographies : Ancnimenis opera,
gr. lat. cum comment. Euvrocr, ex recens. Venatorü,
Bazireæ, 1544, in-folio. Mais l'édition la plus complète
qui existe des œuvres d’Archimède a été imprimée à
Oxford , en 1793; elle est due aux soins du savant Joseph
Torelli, de Vérone. Une traduction française, fort esti-
mée, a aussi été publiée par M. Peyrard , en 1807, 1 vol.
in-4°, fig. L'édition la plus récente de cette traduction
est celle de 1808, 2 vol. in-8°, fig.

ARCHITECTURE (Hist., application des mathce-
matiques aux arts)

L'architecture est ur art physique ; comme tel, il peut

AR

être considéré sous le pont de vue esthétiqué , c'est-x-
dire sous le rapport de l'élégance des formes et de la
beauté des ornemens, et sous le point de vue mathé-
matique , c'est-à-dire sous le rapport de la solidité et de
l'exactitude des proportions. En nous occupant acci-
dentellement de l'architecture sous le premier de ces
points de vue, on ne croira point que nous ayons pour
but l'appréciation de PArr, tel. qu’on l'entend, ou plu-
tôt tel qu’on voudrait aujourd’hui le faire entendre en
France, où une sorte de secte littéraire est venue tout
à coup embarrasser la marche progressive de la civilisa-
tion, par la production de théories vagues et insensées
qui déjà ont étendu leur funeste influence sur toutes les
œuvres de l'esprit. 11 faut le dire, puisque l’occasion
s'en présente ici naturellement, cette littérature qui
manque de principe, et qui par conséquent n’a point
de but, affecte de s'attacher à la direction déplorable
qu’elle suit, pour obéir à ce qu’elle croit être un impé-
rieux besoin de nouveauté, dont l’humanité serait pré-
occupée. On verra bientôt qu’en admettant l'existence
d’une pareille cause générale, cette littérature du moins
ne fait pas preuve d’une connaissance bien approfondie
du passé , paisqu’elle s'imagine faire du nouveau, en pra-
tiquant avec une exagération malheureuse de très-an-
cienges idées dont la philosophie a depuis long-temps fait
justice. Elle prend ainsi pour un progrès le mouvement
rétrograde qu’elle cherche à imprimer à l'esprithumain,
en remplaçant toutesles lois de l'esthétique par les procé-
dés matériels de l’imitation. En effet, le but essentiel de
l’art n’est point l’imitation de la nature, quel que soit au
reste l’objet de cette imitation : nulle part la nature
n'offre le modèle des beautés que le génie humain a fait
jaiïllir du marbre, a jetées sur la toile, a répandues sur les
merveilleuses constructions qui embellissent les cités.
L'art appartient donc tout entier àla volonté de l'homme;
c’est le produit de sa spontanéité, et c’est dans cette pro-
duction qu’il manifeste surtout la puissante faculté de
création qui est en lui. La science, au contraire, a pour
objet la vérité, qu’il n’est donné à l’homme ni de mo-
difier, ni de dépasser. Cependant le principe de l’art
n’est nullement arbitraire, et c’est dans la coordiuation
des élémens dont il se compose, que se déploie libre-
ment la faculté créatrice dont nous venons de parler.
Ces considérations générales se rattachent d’une ma-
nière intime au sujet qui nous occupe.

Suivant un trop grand nombre d’architectes moder-
nes, qui ne font au reste qu'adopter à cet égard des
opinions anciennes, l'architecture au lieu de comprendre
la science complète des constructions, se réduirait à
Vart de les embellir et d’en disposer les ornemens.
Cette dernière appréciation de l’objet de l’architecture
est évidemment fausse ; elle est une conséquence de ces
deux principes erronnés ; que le but principal de toute

AR

construction est de plaire aux yeux, et que cebutne peut
être atteint que par limitation. Dans ce système, les
ordres d’architecture ne seraient qu’une imitation de la
structure du corps humain et de la cabane, premier
abri que les besoins de la famille firent imaginer à
l'homme contre l’intempérie des saisons. Nous avons
dit que cette idée n’était pas nouvelle; elle se trouve à
peu près exprimée ainsi dans Vitruve : « Un bâtiment,
« dit-il, ne peut être bien ordonné, s’il n’a cette propor-
tion et ce rapport de toutes les parties les unes à

2

A

l'égard des autres, qui se trouvent dans un homme
« bien conformé. » Ce célèbre architecte, en exposant
l’origine des ordres primitifs de l’architecture grecque,
exposition dont nous aurons à nous occuper tout à l'heure,
développa ce principe avec plus d’étendue. Il est ainsi
bien établi que cette théorie de l’art appartient tout en-
tière à l’antiquité.

On pourra juger par l’ensemble de ce résumé s’il existe
en effet quelques rapports entre les ordres d’architec-
ture et le corps humain; mais on doit se häter de dire
avant tout que le but réel de cet art est luriLiré.

Ce n’est qu’en se livrant à des considérations philoso-
phiques de l’ordre le plus élevé, qu’il est possible d’ob-
tenir quelques notions exactes sur le premier développe
mentdes facultés intellectueiles de l’homme. Mais jusqu’à
présent l’histoire n’a point employé de méthode à priori,
pour découvrir les causes inconnues des faits, qu’elle se
borne à constater, et c’est pour cela qu’elle ne peut en-
core être regardée comme une science. Nous ne croyons
pas devoir devancer sa marche dans cette circonstance,
et nous dirons qu’il n'existe aucun moyen de déterminer
historiquement l’époque où l’architecture a commencé à
être un art, et celle où la science est venue régulariser ses
productions. Si l’homme, à son apparition sur la terre,
ne conservait plus, dans sa chute, le souvenir de quel-
que révélation antérieure, la nécessité a dù être le pre-
mier véhicule de son intelligence. Ainsi, l'art de bâtir
n’a été, dans cette dernière hypothèse, que le résultat
nécessaire de l’organisation humaine, c’est-à-dire de son
instinct social. C’est en effet de l'accroissement de la fa-
mille qu'est née la société, et l’art de bâtir a dû suivre
les progrès de la civilisation sociale.

Est-ce d’abord au sein de la terre que l’homme s’est
creusé des abris grossiers? en at-il cherché plutôt sous
le couvert des vastes forêts, dans les anfractuosités des
montagnes? Cette question n’est qu’une conséquence de
celle que nous avons posée en commençant ce résumé
historique; elle ne peut être résolue avec plus de certi-
tude. Néanmoins, les traditions les plus reculées des races
primitives permettent de supposer que si l’homme s’est
jamais trouvé dans cet état d'enfance et de dénuement,
ce n’a pu être que pendant une période assez bornée,
puisqu’au berceau méme des sociétés, le souvenir de

AR 427

grandes agglomérations d'êtres humains formés dans des
villes, se retrouve partout.

Suivant la plupart des auteurs qui ont écrit l’histoire
de l'architecture, LA caraxeaurait été le premier ouvrage
architectural de l’homme, et c’est dans LA NATURE,
qu'il aurait trouvé le modèle des formes qu’il donna à
ce premier asile que se créa son intelligence. L'un de
ces écrivains, Laugier, qui a adopté cette opinion avec
plus d’enthousiasme que de raison, a fait, en décrivant
la cabane primitive, une sorte de poétique de l’archi-
tecture, que tout le monde connaît. Mais quelque talent
qu’on puisse déployer dans ces appréciations purement
idéales et arbitraires, on ne peut jamais, sans inconvé-
nient, les considérer comme devant servir de bases aux
préceptes d’un art, et moins encore aux lois d’une
science. On n’a pas réfléchi d’ailleurs que la construc-
tion de 4 cabane, en l’adoptant comme type pri-
mordial, n’a pu s'effectuer qu'a l’aide d’instrumens
dont l'invention ne saurait avoir été immédiate, et
qu'elle suppose enfin ure exploitation exécutée par
l'emploi de machines déjà compliquées, et avec des
moyens propres à façonner des masses importantes. La
charpenterie qui, dans le système de la cabane, aurait
précédé l’art de bâtir, n’exige pas moins la connaissance
des proportions et des notions de mécanique pour la
superposition et l'ajustement des poutres et des solives.
En second lieu, où trouve-t-on dans /« nature le mo-
aèle de La cabane? Si ce modèle eût existé, l’homme
s’en serait de préférence emparé. La hutte de l’Indien
du nouveau-monde, celles du Caffre et du Hottentot,
construites d’après des exigences de climat et d’habitudes
sociales peu développées , attestent bien un produit in-
telligent du besoin ; mais nous ne savons pas que la na-
ture en ait indiqué les formes sur le sol où elles sont
élevées. On peut donc logiquement tirer de ces diverses
objections la conséquence que, d’une part, quand
l'homme a été à même de construire la cabane, il avait
également les moyens de se faire une habitation plus
durable ; et d’autre part, que c’est dans la spontanéité
de sa raison seule qu’il a puisé l’idée des formes dontil a
revétu sa première œuvre architecturale.

Si nous avons donné quelque développement à l’expo-
sition de ces hypothèses, qui ne nous paraissent pas, au
reste, intéresser expressément l’histoire de l’art, c’est que
nous avons cru utile de soumettre au jugement de la saine
raison, dès son point de départ, un système ou si l’on veut
une poétique qui sourit à l’imagination des jeunes gens
destinés à la carrière d'architecte, et qu'ils ne sont que
trop disposés à admettre. Nous allons maintenant cher-
cher l’origine et suivre la marche de l’art, non plus dans
l'histoire traditionnelle, mais dans les fastes authentiques
des nations civilisées, sur les tombeaux desquelles de

grands monumens qui ont résisté aux tempêtes des

128 AR

siècles, nous offrent encore aujourd’hui des moyens de
comparaison et d'irrécusables témoignages de l’intelli-
gence des âges passés.

L'ordre chronologique donne à l'architecture des
Égyptiens la première place dans l'histoire de l’art de
bâtir. Il est vrai que la cabane ne peut l'avoir pré-
cédé chez cette nation, dont la civilisation est comme la
grande aïeule de la nôtre, et dont cependant l’antique
sociabilité est demeurée pour nous un impénétrable
mystère. Au lieu de forêts, le sol de l'Égypte ne renferme
que des carrières qui produisent dés pierres faciles à
mettre en œuvre. Force a donc été à l’homme de se
construire dans ce pays des abris plus solides que la
cabane , et de chercher ailleurs que dans la nature les
modèles des vastes édifices qu’il y a construits.

Le caractrèe grave et tout national de l'architecture
égyptienne n’a point permis aux peuples modernes d’a-
dopter aucune de ses formes. A l'aspect de ces masses
imposantes, mais qui semblent porter l'empreinte d’un
système impitovable de servitude, destiné à enchai-
ner le passé et l’avenir dans une effrayante immobilité ,
Vart a dû s'arrêter, comme l'intelligence se perd dans
un problème insoluble.

C’est à tort cependant qu’on a dénié à ce système
d'architecture des règles théoriques, comme celles dont
les ordres grecs offrent l'application. C’est également
à tort qu'on l’a considéré comme constatant une absence
totale de science, d'invention et de gout. Nous n’en ju-
geons point ainsi. On tombe dans de semblables erreurs
toutes les fois qu'on essaie de séparer les œuvres de
l’homme de leur principe intellectuel. Mais si les meil-
leures lois sont, pour un peuple, celles qu'il peut le
mieux supporter, et qui conviennent d'ailleurs à son
génie, les plus beaux édifices sont aussi ceux qui, dans
leur destination d'utilité, s'harmonisent le mieux avec le
climat, les mœurs et les idées générales des peuples où
ils sont élevés. L'architecture égyptienne nous parait réu-
nir au degré le plus éminent les conditions de durée et
de stabilité que les institutions religieuses et politiques
de ce peuple avaient en vue. Ses monumens les plus an-
ciens n’offrent aucune différence remarquable avec ceux
qu’il a construits dans les derniers temps de sa nationa-
lité; ils ont le même caractère , les mêmes proportions,
les mêmes dispositions, et semblent également, dans
leur sombre majesté, élevés pour le même but.

IL est donc impossible dene pas reconnaître dans l'ar-
chitecture égyptienne une suite de règles plus sévères
encore et plus exigeantes que celles dont les Grecs éta-
“blirent l'usage. Ces règles, dit-on, rendaient du moins
tout progrès impossible; le progrès, tel que nous le con-
cevons, n’entrait point comme élément social dans la
législation égyptienne. Elle n'avait pas voulu que les
caprices du goût pussent jamais affecter l'ordre religieux

AR

et politique qu’elle avait établi : l'architecture nationale
devait donc subir ses prescriptions absolues. Mais sous
le rapport de la science, cette architecture suppose des
connaissances mécaniques puissantes, et sous ceux de
l'invention et du goût, nous ne pouvons l’apprécier
sans faire la part du climat, de la religion et des mœurs
publiques, dont il lui était ordonné de reproduire par-
tout les symboles respectés.

La connaissance de l'architecture égyptienne ne fait
point partie des études auxquelles se livrent les jeunes
architectes de nos jours. Sans doute Ja pratique en
grand de cet antique système de construction formerait
avec nos mœurs mobiles et nos frivoles habitudes une
choquante disparate; mais quelquefois cependant on en
rencontre dans nos cimetières quelques souvenirs incom-
plets. On dirait que la douleur, commune à l'humanité,
etdontle langage est universel, vient rappeler à l'artiste,
en présence d’un tombeau, les traditions de l'architec-
ture égyptienne, si puissante sur l'âme, car sou carac-
tère grave et mélancolique est aussi empreint de l'idée
de l'éternité.

Il est à peu près établi que la Grèce reçut de l'Egypte
ses premiers colons; ce fait historique n’est pas du moins
contesté. Mais la civilisation du Delta ne pouvait être
transplantée dans le Péloponèse aussi facilement qu’un
arbre étranger, dont le doux soleil de cette contrée ent
favorisé le développement. Cette civilisation dut v re-
cevoir immédiatement des modifications importantes.
En effet, les Grecs, quels que soient leurs ancêtres, ap-
paraissent dans l’histoire avec une cosmogouie, une le
gislation et des mœurs qui n’appartiennent qu'a eux.
On disait bien en Grèce que l'Égypte était la terre natale
des dieux et des arts; mais on n'y priait pas aux mêmes
autels, et les arts ne s’y animèreut pas des nèmes inspi-
rations.

On trouve dans les plus anciens poètes dela Grèce des
descriptions fastueuses de palais et de grands édifices qui
ne permettent pas de douter qae les hommes y renon-
cèrent aussi de très-bonne heure à la cabane pour des
habitations plus durables : mais il n’existe ni dans l’an-
tique Homère, ni dans Hésiode, l'indication, mêmevague,
d'aucun système régulier d'architecture. Suivant un
penchant aussi naturel à l'enfance des sociétés qu’à l’en-
fance de l'homme, ces poètes s'occupaient beaucoup plus
de la matière que de Ja forme des monumens. Les palais
des dieux et des rois sont représentés par eux comme
de somptueuses constructions revêtues d'or, de marbre,
de porphyre; mais ils ne font nulle mention de leurs
dispositions architecturales, et paraissent ignorer l'exis-
tence des ordres, à l'un desquels cependant la tradition
donna plus tard une origine bien antérieure.

Le célèbre Vitruve a adopté cette tradition avec ses

naïives ct poétiques erreurs. Nous allons lui emprunter

AR

son récit, qui intéresse au fond l'histoire authentique
ae l'art, et qui d’ailleurs est la source de cette fausse
idée, que l'architecture doit l’origine de ses belles formes
à J’imitation de la nature. Voici donc comment le
prince des architectes , pour nous servir d’une expression
familière aux anciens, explique la naissance des ordres
grecs et gréco-romains.

« Dorus, roi du Péloponèse, ayant fait bâtir un
temple à Junon dans Argos, il se trouva par hasard, de
cette manière, que nous appelons dorique, l’ordre qu’il
mit dans cette construction.

« Alorsles Athéniens envoyèrent dans l’Asie-Mineure
plusieurs colonies sous la conduite d’Ion , et ils nommè-
rent Ionie la contrée où celui-ci s'établit. Ils y bâtirent
d’abord des temples doriques, principalement celui d'A
pollon. Mais comme ils ne savaient pas bien quelle pro-
portion il fallait donner aux colonnes, ils cherchèrent
le moyen de les faire assez fortes pour soutenir le faite
de l'édifice , et de les rendre en même temps agréables
à la vue. Pour cela, ils prirent la mesure d’un pied d'un
homme, qui est la sixième partie de sa hauteur, sur
laquelle mesure ils formèrent leurs colonnes, de sorte
qu'ils leur donnèrent six diamètres. Ainsi, la colonne
dorique fut mise dans les édifices, ayant la proportion,
la force et la beauté du corps de l’homme. » Voyez pour
la forme et les proportions géométriques de cet ordre
la Prancne III, n° 2.

« Quelque temps après ils bâtirent un temple à Diane,
et cherchèrent quelque nouvelle manière qui füt belle,
par la même méthode : ils imitèrent la délicatesse du
corps d’une femme. Ils élevèrent leurs colonnes, leur
donnèrent une base en forme de cordes entortillées,
pour en être comme la chaussure; ils taillèrent des vo-
lutes aux chapiteaux, pour représenter cette partie de
cheveux qui pend à droite et à gauche; ils mirent sur
le fronton des colonnes des cymaises et des gousses pour
imiter le reste des cheveux qui sont liés et ramassés au
derrière de la tête des femmes ; par les canelures, ils
imitèrent les plis des robes, et cet ordre inventé par les
Joniens prit le nom d’ionique. » Voyez Pr. UT, n°3.

« Le corinthien représente la délicatesse du corps
d’une jeuné fille, à qui l’âge rend la taille plus dégagée
et plus susceptible des ornemens qui peuvent augmenter
sa beauté naturelle, L'invention de son chapiteau est due
à cette rencontre. Une jeune fille de Corinthe, prète à
marier, étant morte, sa nourrice posa sur son tombeau,
dans un panier, quelques petits vases qu’elle avait aimés
pendant sa vie, et afin que le temps ne les gâtât pas si tôt
étant à découvert, elle mit une tuile sur le panier, qui
ayant été posé par hasard sur une racine d’acanthe, il
arriva, lorsqueles feuilles vinrent à pousser, quele panier,
qui était au milieu de la racine fit élever le long de ses
côtés les tiges de la plante, qui, rencontrant les coins de

AR 429
la tuile, furent contraints de se recourber, et de faire le
contournement des volutes. Callimaque, sculpteur et
architecte, vit cet objet avec plaisir et en imita la forme,
dans le chapiteau des colonnes qu'il fit depuis à Co-
rinthe, établissant sur ce modèle les proportions de
l’ordre corinthien. » Voyez Pr. II, n° 4.

« Plusieurs colonies grecques ayant apporté dans V'É-
trurie, aujourd’hui la Toscane, la connaissance de l’ordre,
dorique, qui était le seul dont on fit usage dans la
Grèce, cet ordre y fut long-temps exécuté de la même
manière que dans le pays d’où il tirait son origine. Mais
enfin on y fit plusieurs changemens, on alongea la co-
lonne, on lui donna une base , on changea le chapiteau,
on simplifia l’entablement, et cet ordre ainsi changé fut
adopté par les Romains sous le nom d'ordre toscan. »
Voyez PL. III, n° 1.

& Long-temps après, les Romains, qui avaient adopté
les trois ordres grecs, imaginèrent de placer les volutes
ioniennes dans le chapiteau corinthien : ce mélange fit
donner aux colonnes où on le remarquait le nom d’or.
dre composite. » Voyez PL. II, n° 5.

Nous abandonnons à la sagacité du lecteur le soin de
déméler dans ces historiettes du bon Vitruve la vérité
qui s’y trouve si étrangement liée à des fables popu-
laires. Ainsi, sans nous arrêter davantage à chercher
l'origine de l’ordre dorique, et à savoir s’il a priscenom
de Dorus où des Doriens, et à quels Doriens il a pu
l’emprunter, uous pensons qu'il est certainement le
premier dont on ait fait dans la Grèce un usage systé-
matique et régulier. La simplicité de ses formes, qui
comporte en architecture l’idée de force et de solidité,
place son origine au berceau de l’art. Il est difficile néan-
moins de préciser l'époque où l’ordre dorique commença
à être employé; on peut affirmer seulement qu'il a été
à peu près d’un usage général en Grèce, puisque tout
ce qui nous reste des monumens les plus anciens de ce
pays en conserve Île style dans sa pureté primitive.

Les deux autres ordres grecs ont dù prendre nais-
sance durant la période historique qui s’est écoulée entre
l'époque de Périclès et celle d'Alexandre. La Grèce
sortit alors d’une longue lutte : elle eut à réparer les
destructions de la guerre qu’elle avait soutenue contre
les Perses. La victoire de Marathon commença pour elle
une ère de repos social, au sein duquel elle demanda
aux beaux-arts de compenser la perte de sa liberté.
C’est effectivement pendant ce laps de temps que la
statuaire et la peinture fleurirent en Grèce, et que l'ar-
chitecture dut participer de leurs progrès. Alors s’éle-
vèrent dans le Parthenon et les propylées, ces nobles
et gracieux édifices , modèles parfaits de grandeur et de
beauté, qui semblent fixer la limite que l'art peut
atteindre.

Il ne faut donc point chercher ailleurs que dans les

22

450 AR
vicissitudes sociales ia cause réelle des développemens
successifs de l'architecture. L'ordre dorique, dans son
énergique et belle simplicité, convitit long-cemps à la
Grèce jeune et libre. I y a dans la mollesse de l'ordre
ionique, dans la richesse de l’ordre corinthien , un style
recherché qui annonce, en même temps, un degré de
civilisation plus avancé, et uni c'angement important
dans les mœurs. Alors la Grèce n'est plus aussi passion-
née pour la gloire et la liberté; la glaire s’est réfugiée
dans l'atelier des artistes, et le patriotisme énervé ne
cherche plus à $@ manifester que dans la grandeur et la
beauté des édifices publics.

: L'histoire de l'architecture va suivre à Rome les
mêmes progrès en raison de la modification des institu-
tions nationales.

Ce n’est pas un point historique bien déterminé que
les Étrusques , qui se vantaient de leur antiquité et de
leur origine pélagienne , aient reçu des Grecs la pre-
mière idée de l'ordre d’architecture qu’ils adoptèrent.
Mais soit que l’ordre toscan ait une origine italique,
soit qu'il dérive de l’ordre dorique, la simplicité sévère
de son style se trouva seule bien long-temps en harmo-
nie avec les mœurs austères de la république pauvre,
laborieuse, ettoute préoccupée de sa grandeur militaire.
L'ordre composite ne prit naissance qu’à l’époque où les
institutions qui avaient fait de Rome la souveraine du
monde, commencèrent à être perverties. Cette cité
guerrière né renfermait encore qü’un très-petit nombre
de monumens quand la république fit place à l'empire,
puisqu'Auguste se vantait, dans sa vieillesse, d’avoir
transformé en marbre cette Rome d'argile qui s'était
donnée à lui.

C’est sous le règne de cet empereur que vivait Vitruve
(Pollio), architecte célèbre, dont l’ouvrage est pré-
cieux pour l’histoire de l’art, en même temps qu'il ren-
ferme un assez grand nombre de théories ct de pres-
criptions dont l'étude ne peut être inutile aux archi-
tectes modernes. Ce traité traduit depuis dans diverses
langues, et intitulé : Virruvir Porrionis, de architec-
turd, lb. x, ad Cœsarem, a été souvent imprimé. On
croit que la première édition qui en a été faite est celle
publiée à Rome, en 1486, par Jos. Sulp. Verulani. La
traduction française de Perrault, publiée à Paris,
en 1623, est encore la meilleure édition qu’on puisse
consulter.

Dès ce moment, ce n’est plus la Grèce qui va fournir
ses plus belles pages à l’histoire de l'architecture. Rome
et l'Italie deviennent pour l’art un centre actif de pro-
ductions. Le Panthéon s'élève par les soins d’Agrippa, le
gendre d’Auguste; la Sicile et cette partie de l'Italie qui
porte lé nom de Grande-Grèce, se couvrent de temples
majestueux, et leurs villes d'argile deviennent, comme

fôme jeur réine, des villes de marbre, Tibère, Cali-

AR

gula et Claude attachent leurs noms à d'importantes
constructions. Néron Mmi-même se livre, avec toute l’os-
tentation de son caractère, à la passion des grands édi-
fices. C’est pour cet empereur que les architectes Sévère
et Céler construisent la zrarson dorce. Mais déjà le goût
antique est profondément affecté des profasions de ce
temps. Il se débauche avec Rome au sein des saturnales
de l'empire; tant il est vrai que chez tous les peuples
et à toutes les époques, Part se montre fortement em-
preint d’un caractère social qu'on ne peut lui dénier
sans fouler aux pieds la philosophie de l’histoire. Le
règne de Trajan, l’un des plus vertuéux empéreurs
que Rome ait donnés an monde, arrêta momentanément
la décadence de l'art. H reprend, sous ce nouveau maître,
quelque chose de la mâle pureté de ses formes antiques.
Le forum, les ares de triomphe, et tous les édifices que
Trajan fait construire ; semblent appartenir à un autre
âge; et c’est dirigé par le poût austère de l’empereur,
que l'architecte Apollodore élève la colonne triom-
phale, monument éternel de son nom, de éà gloire et
de la grandeur de son règne.

La décadence de l’art reprend son cours sous Adrien
et les Antonins. C’est à peu près à cette époque, et sous
le règne d’Aurélien, que s'élèvent en Syrie les villes
monumentales de Palmvyre et de Balbeck. Rome, mai-
tresse des cités, veut les reconstruire à son image. Ce-
pendant de nouvelles idées qui se répandett dans le
monde vont influer profondément sur l'architecture.
Cette révolution s'annonce de loin : l’are de Séptime-
Sévère, le luxe qu’étale encore Dioclétien dans la cons:
traction des thermes, son vaste palais de Spalatro ;
offrent l’image d’un combat entre le goût ancien et les
idées nouvelles, ou, si l'on veut, entre le bon pot.
et la barbarie qui s’avance à grands pas. C’est que cette
époque est celle d'une lutte entre deux principes s0o-
ciaux, lutte dont le résultat ne peut être étranger aux
progrès de l’art. Mais d’une part, le goût n’a pas de
principes absolus; et d'autre part, la barbarie se mani-
feste plutôt dans la destruction que dans la production
d’une forme nouvelle. La translation du siége de l’ém-
pire à Byzance marque décidément la fin de l’ère antique.
C’est en vain que Constantin, jaloux de rendre sa jeune
capitale aussi belle que Rome , rassemble auprès de lui
tous les artistes de la Grèce et de l'Italie. Les artistes
accourent; mais l'art, appelé par une puissance supé-
rieure à la sienne à subir une transformation, ne pro-
duira plus, dans le système primitif, que des ébauches
imparfaites et des vagues souvenirs de sa jeunesse bril-
lante.

Peu de temps après, les fortes races du Nord, que les
légions romaines, déchues de leur vicille renommée, ne
peuvent plus contenir, s’élancent par mvriades du sein

de leurs froides ct orageuses contrées. Les Goths ét ES

#

AR

Vandales, precédant d’autres colonies de leur grande
famille, se jettent sur l'Italie, et portant en tous lieux le
fer et la flamme, se partagent les dépouilles du monde
sur les ruines qu’ils amoncèlent autour d'eux.

A l'architecture ancienne, dont l’histoire semble dès
ce moment terminée, succède alors une autre architec-
ture appelée gothique , qui, dédaigneuse du passé, élève
ses masses colossales sur les débris de l'art antique. Les
architectes, mal conseillés par les faux principes qu'ils
assiguent à l’art, n’ont pu expliquer ni l'origine, ni le
nom de l'architecture gothique. I faut, il est vrai, re-
noncer à y chercher limitation du corps humain et de
la cabane; mais puisque l’histoire de l’art ancien ne
repose que sur un choix d’hypothèses diverses, on pour-
rait en hasarder une sur l’art gothique : nous allons du
moius l’oser.

Ce n’est pas tout-à-fait sans raison , comme on le pré-
tend généralement, que l'architecture du moyen äge a
reçu la dénomination de gothique. Entre tous les
hommes du Nord, les Goths furent les premiers dont
l'invasion ébranla l’ancien système social, et ceux qui
laissèrent des traces plus profondes de leur passage.
C’est à l’époque de leurs migrations, que commence
réellement la période historique à laquelle est demeurée
attachée le nom de moyen âge. Ærchitecture gothique
signifie donc : Architecture employée depuis l'invasion
des Goths. I n’y a rien cependant dans cette désignation
qui puisse s'appliquer à la nation elle-même, car il est
bien évident qu’elle n’apporta pas du Nord un système
quelconque d'architecture; et d’ailleurs sa domina-
tion n’a point été assez générale et n’a eu nulle part assez
de durée et d'influence sociale pour que cela puisse se
supposer. Aussi n’est-ce point dans un goût qui aurait
été propre aux races teutoniques , qu'il faut chercher le
principe esthétique de l'architecture du moyen âge. Ce
principe est tout entier dans le génie du christianisme,
dont les historiens de l’art ont trop négligé d’apprécier
la puissance. La décadence de l’art ne commence-t-elle
pas sous Néron, et ne suit-elle pas depuis lors dans une
progression contraire la progression ascendante du chris-
tianisme? Si Constantin ne réussit point à faire de Bysance
une seconde Rome, c’est que sous son règne la foi du chré-
tien condamnait déjà l'enthousiasme de l'artiste pour un
système d’architecture dont le polythéisme avait, pour
ainsi dire, usé la majesté. Il fallait au christianisme des
temples d’une forme nouvelle, comme l'étaient sa forme
et sa parole, grave et mélancolique comme sa législation
et ses prières. Les premiers chrétiens, persécutés, avaient
célébré les saints mystères dans des cryptes profondes,
dont la sombre grandeur s’alliait parfaitement à la pensée
intime du culte. Cette pensée, les chrétiens la transpor-
tèrent dans leurs édifices religieux, lorsque, arrivés au
pouvoir, ils se livrèrent sans contrainte à toute la fer-

+

AR 151
veur, au génie de leur croyance. Elle se retrouve tout
entière, cette peusée. daus les admirables monumens que
nous devons à l'architecture du moyeu âge; elle respire
sous ces voûtes à plein cintre, dans ces grandes ogives,
dans ces portiques majestueux, dont la construction a
exigé trop d'efforts et de patience pour qu’elle ne soit
pas le résultat d’une puissante direction intellectuelle.

Nous deyons ajouter à ces considérations générales
deux observations qui viennent à l'appui de cette hypo-
thèse, Les premières invasions des races teutoniques
remontent à peu près à l’époque où le christianisme
devint la religion de l'Empire, et où, par conséquent,
il commença à construire des temples d’après les inspi-
rations de sa foi. Le nom de gothique a donc logique-
ment désigné cet âge intermédiaire de l'architecture.

La seconde observation que nous avons à présenter
porte sur le caractère même de l’art au moyen âge. Ne
retrouve-t-on rien de l’architecture égyptienne dans
les assises massives, dans les vastes proportions des
monumens gothiques? Nous n’admettons certainement
aucun système arrêté d’nnitation dans l’origine de ce
style; il a, pour qu'on doive le supposer, un carac-
tère trop prononcé de spontanéité, et, si l'on peut le
dire, de sociabilité. Mais nous voulons tirer de ce rap:
port, qui nous à souvent frappés, une conséquence dont
la logique confirme le principe, que nous avons trouvé
partout, de l'influence des idées sociales sur l’art. La
pensée égyptienne, comme la pensée gothique, était reli-
gieuse, et les deux architectures ont dù se rencontrer
quelquefois. Si l’on veut faire la part de la différence
des climats et des temps, celle surtout de l’excentricité
des croyances, on verra qu'il est difficile de trouver
des rapports aussi identiques entre les productions du
même art à deux époques si éloignées l’une de l'autre.

Quant au style arabe où moresque, qui, durant le
moyen äge, vint modifier sous quelques rapports l’ar-
chitecture gothique, il est facile de juger par la simple
comparaison qu'il ne forme point dans l’art un ordre par-
ticulier. Il n’est en effet qu’un développement du même
principe. Ses dentelures, ses ornemens fantastiques, ses
rinceaux élégans nw’affectèrent nullement le système
gothique que les Arabes pratiquèrent en Europe avec
leur génie national. Les chrétiens l’adoptèrent dans quel-
ques-uns de leurs monumens, parce que les Arabes alors,
seuls en possession des sciences, exerçaient en Europe
une influence sociale assez importante pour qu’elle s’é-
tendit sur les arts.

Néanmoins, et malgré l'usage dominant de l'archi-
tecture gothique, le goût ancien essaya plusieurs fois,
durant le moyen âge, de reprendre son influence. La
première tentative qui fut faite sous ce rapport remonte
au VII* siècle, époque où Justinien fit bâtir à Constanti-

nople l'église de Sainte-Sophie. L'architecte Isidore jeta

152 AR

les fontemens de cette basilique, et en dirigea les pre-
iniers travaux concurremment avec le géomètre Anthé-
mius, qui eut la noble et grande idée du dôme qui la
couronne. Ce mouvement de retour vers l’architecture
grecque, qui mit près de huit siècles à s’accomplir,
commença dès le X1° à devenir très-prononcé en Ita-
lie, où Buschetto, mettant en œuvre des matériaux
qui provenaient de constructions antiques, bâtit la ca-
thédrale de Pise. On admire encore aujourd’hui, et avec
raison, la composition de cet édifice. À la même époque,
s'élevait à Venise l’église de Saint-Marc, souvenir impar-
fait du goût antique, mais où se retrouve la même ten-
dance à revenir aux ordres gréco-romains.

Dans les siècles suivans, la tour de Pise, l’église de Pa-
doue, de la Trinité et la basilique de Sainte-Croix s’éle-
vèrentsuccessivement en Italie, et donnèrentà laréaction
un caractère de persistance qui, vers le commencement du
XV: siècle, fut couronnée de succès. Le célèbre Brune-
leschi vint apporter en faveur de l'architecture ancienne
Vautorité de son beau talent. Il retrouva les vrais prin-
cipes de cet art, et en fit l'application dans admirable
coupole de Sainte-Marie-aux-Fleurs de Florence, qui est
sans contredit la plus belle protestation que le génie de
l'architecture püt faire contre lestyle gothique. Bruneles-
chi, né à Florence en 1375, mort en 1444, esthonorépar
les architectes comme le restaurateur de l’art, et c’est à
lui que commence l’époque à laquelle on a donné le nom
de renaissance, et plus tard celui de siècle des Médicis,
à cause de l’éclatante protection que cette maison accorda
aux artistes et aux beaux-arts.

Une foule d'hommes de génie s’élancèrent alors dans
la carrière, et déterminèrent la déchéance de l’architec-
ture gothique. Léon-Batista Alberti publia un traité
d'architecture, devenu célèbre, etqui, sous le point de
vue esthétique, et dans l'analyse de l’art antique, est sou-
vent bien supérieur à l'ouvrage de Vitruve. En 1444,
au moment même où Bruneleschi descendait dans la
tombe, naissait Lazari, qui a rendu si illustre le nom de
Bramante, sous lequel il est plus généralement désigné.
1 mourut en 1514. Dans le même siècle Raphaël Sanzio
et Michel-Ange Buonarotti, le premier né à Urbin en
3483, le second en 1434, firent les délices de l'Italie.
Après ces grands artistes, nous ne citerons plus que Jac-
ques Barozzio, dont le surnom de Vignola est devenu
si célèbre et si populaire. Cet architecte a composé un
traité des cinq ordres, qui l’a fait surnommer par les
artistes, juges un peu passionnés de son mérite, le légis-
lateur de l'architecture. Son ouvrage est au surplus de-
meuré le meilleur guide élémentaire qu'on puisse encore
choisir; mais en général les écrits des architectes de la
renaissance et malheureusement ceux de la plupart des
architectes modernes, sont entièrement dépourvus de
philosophie, et la science s'y trouve continuellement

AR

sacrifiée à l’art. Barozzo, né à Vignola , village des en-
virons de Modène, est mort à Rome, le 16 avril 1573,
dans sa 66° année.

Icise termine l'histoire de l'architecture, dont nous
ne pouvions présenter qu’un tableau rapide et succinct.
Les diverses expositions pratiques des parties de cet art
qui se rattachent aux sciences mathématiques, se retrou-
veront dans cet ouvrage aux mots spéciaux sous lesquels
on les désigne. Nous regrettons seulement que les
bornes qui nous sont imposées ne nous permettent pas
d'ajouter quelques considérations relatives à l'étude de
l’art. Il nous suffira de dire que la France manque encore
d'une bonne école d’architecture, où l’étude des mathé-
matiques forme la base essentielle de l'instruction des
jeunes artistes qui en suivraient les cours. Leur éduca-
tion est aujourd'hui loin d’être satisfaisante sous ce rap-
port; car on semble perdre entièrement de vue le grand
but d'utilité publique assigné par la raison à l’architec-
ture, pour laisser les jeunes gens s’abandonner sans
mesure à la seule étude du dessin et des arts graphiques,
dont ils ne peuvent retirer toute l'instruction qui leur
est nécessaire pour l'architecture utile.

Les architectes regardent comme une période de bar-
barie le temps qui s’est écoulé depuis l'introduction en
Europe du style gothique jusqu'à la renaissance. C’est
une erreur : durant ces dix siècles, l'humanité n’a pas
sommeillé. L'architecture gothique était le produit d’une
pensée sociale; elle était venue dans le monde comme un
type nouveau ; elle a cessé d’être pratiquée quand ce type
a été usé et cette pensée modifiée. Tel est le secret de la
renaissance, ou, si l’on veut, de la restauration de l’art
antique. Le XVI° siècle, durant lequel s’effectua ce mou-
vement, vit attaquer à la fois les croyances chrétiennes et
l'ordre social qui s'était établi à la suite de leur manifes-
tation et des invasions teutoniques. Depuis cette époque,
l'humanité est entrée dans une voie dont le terme est
inconnu, dont le but n’est pas même bien défini. La pen-
sée sociale n'exerce plus sur l'art qu'une influence indi-
recte, car la tendance morale de la société n’a plus cette
grande unité qui a caractérisé les civilisations anciennes.

ARCHYTAS, de Tarente, philosophe pythagoïicien

et mathématicien distingué de cette antique écoie, a

vécu durant le quatrième siècle avant J.-C. Il ne nous
reste plus que les titres de quelques-uns des nombreux
ouvrages qu'il avait composés, et qui sans doute furent
anéaotis dans la catastrophe où il saccomba lui-même,
puisque Platon, qui avait connu Archytas, et qui parle
de lui avec l'intérêt de l'amitié, Géplorait déja Ja
perte de ses écrits. On sait du moins qu'Archytas donna
peut-être le premier, un but d'utilité réelle aux spéct-

lätions abstraites de la géométrie, ca les appliquant aux

usages de la vie. C'est dans cette intention Gil s'efforça
de fonder aue théorie de Ja tuecuniçu. et qu'il con-

AR

struisit diverses machines hydrauliques qui lui méritè-
rent la reconnaissauce et l’admiration de ses contempo-
rains. L'antiquité regarda surtout comme une œuvre
digne de limmortalité sa célèbre colombe artificielle,
dont le mécanisme était si ingénieusement combiné,
qu’elle imitait, dit-on , le vol des colombes naturelles. Il
y a probablement quelque exagération dans l’apprécia-
tion de cet automate. C’est au génie d’Archytas que nous
devons la méthode de découvrir mécaniquement les
moyennes proportionnellés entre deux lignes données,
dans la solution du problème de la duplication du cube;
on attribue aussi à ce géomètre l'invention des vis et
celle des grues , agens mécaniques d’une grande impor-
tance. On trouvera des détails plus étendus sur les tra-
vaux d’Archytas, dans la Bibliothèque grecque , dans
Diogène Laërce et Eutocius, qui en font également
mention. Les connaissances astronomiques et géogra-
phiques d’Archytas ont été célébrées par Horace dans
une de ses plus belles odes, où il fait allusion à sa mort
funeste en ces termes :

Quid profuit illi
Æthereas peragrasse domos, animoque profunduia

Percurrisse polum , morituro ?

Archytas périt en effet dans un naufrage, et son
corps fut retrouvé sur les côtes de la Pouille, où il avait
été rejeté par les flots, l’an 408 avant J.-C.

ARÇON ( Jean-CLaune-ÉLéonore Lemicxaun D’),
célèbre ingénieur, né à Pontarlier en 1733. Les parens
de d’Arçon le destinaient à l’état ecclésiastique; mais il
manifesta dès sa plus tendre enfance un penchant décidé
pour les sciences mathématiques appliquées à l’art de
la guerre. Les progrès remarquables qu’il fit dans l’étude
de ces sciences, et la persistance qu’il montra dans ses
premières dispositions, triomphèrent de la répugnance
de ses parens, qui le laissèrent enfin libre d’entrer dans

la carrière de son choix. Admis, en 1754, à l’école de

Mézières, le jeune d’Arçon y acquit, dès l'année suivante,
le titre d'ingénieur, qui avait été l’objet de ses vœux et
de ses travaux. La gucrre de sept ans lui offrit presque
immédiatement l’occasion de se-distinguer : durant cette
longue et désastreuse campagne, son nom fut souvent
prononcé, et il rendit d’importans services à l’armée
française.

D'’Arcon, dont la réputation commençait à grandir,
fut chargé, en 1774, de lever la carte du Jura et des
Vosges. Il s’acquitta de ce devoir en ingénieur habile, et,
commença dès-lors à manifester cette aptitude supé-
rieure dont il était doué, pour les opérations les plus
compliquées du génie militaire, C’est à cette occasion
qu'il employa, pour la première fois, le lavis avec un
seul pinceau, plus expéditif, et produisant plus d'effet
que la manière ordinaire,

AR 133

Durant la même année et l’année suivante (1774,
1772 ),ilse méla de la discussion soulevée par l'opinion
de Guibert, sur l’ordre profond et l'ordre mince, et
publia à cette occasion une suite de brochures sous le
titre de : Correspondance sur l’art militaire, qui ache-
vèrent de lui mériter un rang distingué parmi les offi-
ciers de la classe savante de l’armée à laquelle il appar-
tenait.

En 1780, d’Arçon, qui faisait partie, en qualité d’in-
génieur général, du corps auxiliaire français que le duc
de Crillon conduisit au siège de Gibraltar, conçut le
plan des batteries flottantes dont on devait faire usage
contre les formidables défenses de cette ville, regardée
comme imprenable du côté de la terre. Ce projet auda-
cieux, et qui ne pouvait être mis à exécution qu’à l’aide
d’un appareil extraordinaire, à fait du bruit en Europe;
mais il a été, en général, trop mal apprécié, pour que
nous ne pensions pas devoir, dans l'intérêt de la mé-
moire de d’Arçon, en retracer rapidement l’histoire.

La situation de Gibraltar ne permettait pas d'y appli-
quer les opérations communes d’un sége régulier. Cette
circonstance seule aurait dû faire pardonner à d’Arçon ce
qu'on à appelé la singularité de son plan, si cet homme
de talent avait eu besoin de justification. Après de
longues méditations et des expériences suivies sur la
combustion, il rédigea, sous la forme de projet, le plan
de ses batteries insubmersibles et incombustibles. Dans
l'exécution, d’Arçon les destinait à faire brèche au corps
de place du côté de la mer; mais en même temps,
pour favoriser leur approche et seconder leur effet,
d’autres batteries avancées sur le continent devaient
prendre de revers tous les ouvrages enfilés de front par
ses batteries flottantes. Le conseil espagnol adopta avec
enthousiasme le plan de l'ingénieur français, qui fit
preuve d’un rare talent dans la manière dont il en pré-
para l'exécution. Il fit construire cinq machines à deux
rangs de batteries, et cinq autres à un seul rang, qui for-
maient ensemble une artillerie de 150 pièces portées
sur des prames, que leurs rames permettaient de diri-
ger contre le vent.

L'expédition, on le sait, eut lieu le 13 septembre 1782;
mais elle parut être conduite avec l'intention évidente
de la faire échouer. Vainement d'Arçon, monté sur un
frêle esquif, s’exposa à tous les dangers pour surveiller
l'exécution de ses ordres; vainement il unit dans cette
circonstance la patience du savant à l’intrépidité d’un
chef militaire : aucunes de ses dispositions ne furent sui.
vies, et les batteries flottantes, ruinées par le canon an-
glais, furent incendiées en peine mer, sans avoir avancé
les opérations du siege. Ou attribua avec raison le non-
succès de cette entreprise au peu d'accord qui existait
entre les généraux français et espagnols. Mais le défen-

scur de Gibraltar, Elliot, comme un autre Marcellus,

434 AR

rendit un glorieux hommage à l'Archimède français. Ge
+ fut la seule consolation que reçut d'Arçon, péniblement
affecté de ce revers et qui ne trouva dans sa patrie que
des rieurs, peu disposés à faire la part de son génie dans
cette douloureuse circonstance. I] défendit néanmoins
son invention dans un mémoire où les hommes de l’art
purent le juger plus favorablement. Dans les anmées
suivantes, d’Arçon publia un autre ouvrage de théorie
sur les lunettes à réduit et à feux de revers, dont l’objet
est d'établir une résistance imposante , quoiqu’à peu de
frais, sur un très-petit espace isolé. En 1703, d’Arçon fut
chargé de faire une reconnaissance au mont Saint-Ber-
nard , et il se distingua ensuite dans la campagne d’in-
vasion de la Hollande, où ses combinaisons livrèrent
plusieurs places, et entre autres Breda , aux armées ré-
publicaines. Proscrit deux fois dans l'intervalle de ces
deux expéditions, et toujours sauvé par le respect qui
environne le talent, d'Arçon, membre de l’Institut, fut
appelé au Sénat, en 1700, par le premier consul Bo-
naparte, qui honorait son caractère et sa science. Mais
il jouit peu de temps de la faveur du jeune chef de
l'État : il mourut à Paris le 1°" juillet 1800, âgé de
67 ans.

D’Arçon était un homme remarquable à tous égards,
doué d’une puissante imagination et d’une infatigable
activité : il appartient à la fois à la théorie et à la pra-
tique de l'art militaire. Ses écrits se distinguent par une
grande abondance d'idées, et sont semés de traits de
génie qui font passer sur les négligences de style qu’on
y remarque quelquefois.

Le plus important des écrits publiés par d’Arçon
et celui qui en forme à peu près le résumé, est intitalé :
Considérations politiques et militaires sur les fortifica-
tions, Paris, imprimerie de la république, 1795, in-8°.

ARCTIQUE (A4str.). D'épxros, ourse, nom du pôle
septentrional, qui lui a été donné parce que la dernière
étoile de la constellation boréale, qu’on appelle Za Pe-
tite-Ourse, en est très-Voisine.

Le cercle polaire arctique est un petit cercle de la
sphère, parallèle à l'équateur, et éloigné du pôle de
23° 28". Comme le cercle polaire antarctique, qui lui
est opposé, il est décrit par le pôle de l’écliptique. La
partie de la terre qu'on appelle zone septentrionale, est
comprise dans la distance qui existe entre le cercle po-
laire arctique et le pôle arctique même. Foy. PôLe et
Zonr.

ARCTOPHILAX (Astr.), (d'épxres, ourse, ct @iraË,
gardien, c'est-à-dire, le Gardien de l Ourse), cest le
nom qu’on donne à la constellation voisine à la fois de
la Grande et de la Petite-Ourse, et qu’on appelle plus
communément /e Bouvier. Foy. ce mot.

ARCTURUS ( Astr.). (D'épräpos, queuc de l’Ourse,
mot formé d’äpxres, Qurse, et de pe, queue.) Étoile fixe

AR

de la première grandeur, située dans fa constellation
du Bouvier , vers laquelle paraît se diriger la queue de
la Grande-Ourse.

Les Arabes ont donné à cette étoile le nom d’Ara-
mecu. On observe dans Arcturus un mouvement qui lui
est propre, et qui est de 4’ environ par siècle; c'est-à-
dire que cette étoile avance vers le midi de cette quan-
tité, et diminue par conséquent de latitude. Elle est
marquée + dans les catalogues. |

ARCTUS ou ÂPKTOZ (Astr.). Nom donné par les
Grecs aux deux constellations de l’hémisphère septen-
trional , que nous désignons d’après eux sous ceux de
Petite-Ourse et de Grande-Ourse. Voy. Ounse.

ARE ( Métrologie ). Unité des mesures agraires dans
le nouveau système métrique français. C’est un carré
dont le côté a dix mètres de longueur, et conséquem-
ment cent mètres carrés de superficie. L’hectare, ou
l’arpent métrique, est composé de cent ares.

Le rapport du mêtre à l’ancienne toise de Paris étant
celui de 1 à 0,513074, l’are est à la toise carrée comme
1 est à 26,3244920476. Ainsi, pour convertir un nombre
quelconque d’ares en toises carrées, il faut multiplier
ce nombre par 26,3244929456, et, réciproquement
pour convertir un nombre quelconque de toises carrées
en ares, il fant le diviser par cette même quantité. C’est
de cette manière qu’on trouve qu'un hectare équivaut
à 2632,44929476 toises carrées, et que l'ancien arpent
de Paris, composé de 900 toises carrées, équivaut à
34,188) ares, ou, ce qui est la même chose, à 3418,87
mètres carrés.

ARÉOMÈTRE (PAys.), (de épœss, léger, subtil, et
wsrpoy, mesure). Instrument pour mesurer la densité des
liquides. L'invention de cet instrument est due, selon
quelques auteurs, à Hypathia, fille de Théon; mais
selon d’autres, il était déja connu et employé par Ar-
chimède. Il consiste aujourd’hui, le plus communé-
ment, en un petit globe de verre qui se prolonge en
un tube long, étroit et cylindrique ; on ferme ce tube
hermétiquement, après avoir introduit dans le globe une
quantité de mercure suffisante pour faire prendre à l'ins-
trument une situation verticale lorsqu'on le plonge dans
un liquide. La densité d’un liquide est estimée. par le
plus où moins de profondeur à laquelle le globe des-
cend, c’est-à-dire que le fluide dans lequel il descend le
plus est le plus léger, et que celui dans lequel il descend
le moins est le plus lourd. Foy. PESANTEUR SPECIFIQUE.

Pour établir une comparaison entre la densité des di-
vers liquides, il suffit donc de placer le long du tube une
échelle dont les nombres indiquent immédiatement ces
densités, en partant d’un point fixe. Par exemple, lors-
que l’aréomètre s'enfonce jasqu'’à la division marquée
1200, la deusité est 1200; s'il s'enfonce jusqu’à 800, la

AR

densité est 800. La densité de l’eau est marquée par
1000 , qui est le point fixe de départ.

Ce que l’on nomme pèse-sels, pèse-acides, pèse-es-
prits, sont des espèces d’aréomètres dont les degrés de
l'échelle ne sont pas destinés à faire connaitre la densité,
mais seulement le degré de concentration des liquides.
Le plus populaire de ces instrumens est le pêse-acide ou
aréomètre de Baumc. Pour le graduer, on marque o le
point où il s'arrête dans l’eau pure, et 15 celui où il s’ar-
rête dans un mélange de 85 parties d’eau et de 15 de
sel marin. L’intervalle de ces deux points étant divisé
en 15 parties égales, on prolonge l'échelle au dessous
de o ét au-dessus de 15, avec ces mêmes parties. Deux
liquides de poids inégaux donneront évidemment des
degrés différens sur l’aréomètre ; mais on n’en pourra
rien conclure immédiatement sur les densités réelles de
ces liquides. Aussi cet aréomètre, ainsi que tous les
autres du même genre, sont-ils seulement des instru-
mens de commerce qui servent à régler le prix des
marchandises.

ARÉOMÉTRIE. C'est l’art de mesurer la pesan-
teur spécifique ou la densité des liquides. Foy. Dexsite.

ARGETENAR, ou plus exactement ANGÊT-ÉL-
NAHR (Astr.). Nom d’une étoile de la quatriéme
grandeur, qu'on trouve dans la constellation d'Ént-
DAN.

ARGO (LE NAVIRE ), où LE VAISSEAU DÉS ARGONAUTES
(Astr.). Nom de l’une des constellations de l'hémisphère
méridional , qu’on appelle plus communément le Na-
vire Ou le Vaisseau, et qui, suivant Flamsted, est com-
posé de 64 étoilés.

ARGUMENT ( Asir.). C’est, en général, un nombre
qui sert à en trouver un autre dans une table; ét, en
particuliér, c'est une quantité de laquelle dépend une
équation , une inégalité ou une circonstance quelconque
du mouvement d’une planète. Ainsi :

L'ancumenr de latitude est la distance d'une planète
à son nœud ascendant, parce que cette distance sért à
calculer Ja latitude de la planète.

L’ancumenr annuel est la distance du soleil à l'apo-
gée de la lune, ou l'arc de l’écliptiqué compris entre le
soleil et cette apogée.

L'ancumenr de l’équation du centre, est l'anomalie
ou la distance à l’aphélie ou à l'apogée, parce que l'é-
quation du centre se calcule, dans une orbite ellij'tique,
pour chaque degré d’anomalie, et qu’elle varie suivant
les changemens d’anomalie.

L'ancumenr de la parallaxe est l'effet qu’elle pro-
duit sur une observation , lequel sert pour déterminer
la parallaxe horizontale.

ARIDED (4str.). Nom de l'étoile qui paraît former
ce qu’on appelle a queue du Cygne, dans la constella-
tion de ce nom, et qui est marquée dans les catalogues.

AR 413%

ARIES ( Astr.). Voyez BErier.

ARISTARQUE, de Samos, géomètre et astronoms
célèbre, appartient à la première et brillante époque
de l’école d'Alexandrie, quoique ses opinions sur le
mouvement de la terre l’aient souvent fait désigner
comme un disciple de l’école pythagoricienne. Il vivait
durant le troisième siècle avant J.-C. Ptolémée rap-
porte en effet une observation de solstice faite par Aris-
tarque la 50° année de la première période de Callipe;
qui correspond à la 281° avant l’ère chrétienne. Cette
circonstance remarquable ne permet pas de se tromper
sur l’époque réelle de son existence; malgré le dissenti-
ment des biographes modernes à ce sujet.

On a déjà eu l’occasion de mentionner ailleurs (voyez
Écore p'ALexanDrte) quelques-uns des travaux d’Aris-
tarque de Samos; et l’on sait que, parmi les découvertes
dont l'antiquité lui à fait honneur, sa méthode pour dé-
terminer la distance du soleil à la terre par la dichotomie
de la lune, tient imcontestablement le premier rang.
Voyez DicuoTomif.

Aristarque à peut-être acquis une gloire plus solide et
plus grande, en tentant de généreux efforts pour faire
revivre l’opiniôn pythagoricienne du mouvement de la
terre, et la faire prévaloir à Alexandrie sur l'hypothèse
contraire, adôptée alors par tous les astronomes, hypo-
thèse que les travax de Ptolémée érigèrent depuis en
système. Il n’est pas sans intérêt pour l’étude de la science
de reporter quelquefois la pensée vers ces luttes antiques
entre l’erreur et la vérité, car elles renferment en elles de
hautes leçons philosophiques. L'opinion de Pythagore
était juste ; mais elle était trop évidennnent contraire à la
cosmogonie anciénñé, qui reposait spécialement sur l’im-
mobilité delaterré au centréde l'univers, pour triompher
tout à coup des vieilles erreurs de l’homme, quoiqu’elle
expliquât les apparencessur lesquelles ces erreurs s'étaient
établies. Aristarque, qui avait ermbrassé cetté opinion,
ävait senti la nécessité d'en démontrer les principes avec
plus de développement que ses prédécesseurs. Il com-
posa un livre sur ce sujet, dans lequel il s'appliqua à
réfuter toutes lès objections que l'hypothèse pythagori-
cienne avait fait soulever. Ce livre est perdu; mais
Archimède en parle avec assez d’étendue dans un de ses
immortels éctits (Ærenarius), pour qu'on puisse se
faire une idée de son importance scientifique. D’après
les citations qu’en fait cetillustre maître, on voit qu’Aris-
tarque plaçait le soleil immobile au milieu des fixes,
ñe laissant de mouvement qu’à la terre , dans son orbite,
autour de cêt astre: À l’objection tirée de ce que; dans
cette disposition , lés étoiles fixes seraient sujettes à une
diversité d'aspect , suivant les différentes places que la
terre occuperait, Aristarque répondait que toute l’or-
bite de cëtte planète ne remplissait dans l'espace qu'un
point d’une grandeur insensible; comparée à la dis-

45 AR

tance de ces astres. Ainsi se manifesta dès cette époque,
si rapprochée du berceau de la science, la tendance irré-
sistible de l’esprit humain vers la vérité.

Cet ouvrage d’Aristarque, de Samos, devait néces-
sairement contenir des développemens importans de ces
idées premières, plus propres sans doute à être appré-
ciées par nous que par la génération dont ils n’eurent pas
le pouvoir de modifier les croyances, et l’on doit sous
ce rapport en déplorer la perte. Mais peut-être la science
doit-elle regretter davantage que le grand Archimède
ne se soit pas formellement prononcé dans cette grave
question; car l’opinion d’un tel homme, appuyée de
toute l'autorité de sa science et de son génie, eût sans
doute déterminé le triomphe de l'hypothèse pythago-
ricienne, et avancé ainsi de plusieurs siècles les progrès
de l'astronomie.

Vitruve attribue à Aristarque l'invention d’une hor-
loge qu’on a appeléescaphé. C’étaitunsegment desphère,
sur lequel était élevé un style, dont le sommet répon-
dait au centre, et qui marquait les heures. L'histoire,
au reste, ne nous apprend rien de plus important sur
sa vie. Elle s’écoula sans doute dans cette solitude pai-
sible où l’homme de science oublie au sein de ses utiles
travaux les agitations du monde. Néanmoins, d’après un
passage mal interprété de Plutarque, quelques auteurs
ont avancé qu'Aristarque fut accusé d’irréligion, pour
avoir osé, par son système , troubler le repos de Vesta.
Cléante, disciple de Zénon, avait en effet écrit contre
lui, puisque Diogène Laërce cite un passage de son
livre, qui a trait à une vague accusation de ce genre;
mais rien ne prouve que les tribunaux aient été appelés
à se prononcer dans ce débat, qui se réduit ainsi à une
polémique un peu vive entre deux disciples d'école dif-
férente.

Le seul ouvrage d’Aristarque, de Samos, que nous
possédions, De magnit. et dist. solis et lunæ, a été im-
primé en 15792, in-4°. Pappus, dans sa Collection ma-
thématique, en a aussi rapporté un précis.

ARISTÉE, de Crotone, célèbre géomètre de l’anti-
quité, qu’on croit avoir été un disciple de l’école de
Platon, florissait, en Grèce, durant le quatrième siècle
avant l’ère chrétienne. Sa renommée a survécu à ses
ouvrages, qui ne sont pas venus jusqu’à nous, et qui nous
sont connus seulement par les citations qu’on en trouve
dans quelques écrivains d’un autre âge. Peut-être aussi
l'amitié d'Euclide, dont on a pensé qu’il avait été le
premier maître, n’a-t-elle pas peu contribué à illustrer
sa mémoire. Il paraît du moins certain qu’Aristée est
l’auteur d’un ouvrage divisé en cinq livres, sur les
sections coniques, dont il est probable qu’Apollonius
s’est servi dans la première partie du traité remarqua-
ble qu’il a composé sur le même sujet. On lui attribue
_également un autre écrit sur es lieux solides, qui com-

ÂR

prenait aussi cinq fivres, et qui n’a pas été moins utile
que le premier de ces ouvrages aux progrès de la géo-
métrie, Pappus en fait mention dans le septième livre
de sa Collection mathématique. Pendautle XVIT' siècle,
Viviani, disciple de Galilée, à peine âgé de 23 ans, qui
s'était déja rendu célèbre par sa iviration sur le cin-
quième livre des Coniques d'Apollonius, résolut de réta-
blir par la même méthode l'ouvrage d'Aristée sur Les
Lieux solides, c'est-à-dire relatif aux propriétés locales
de ces courbes. Ce travail ingénieux, qui parait même
avoir été l’un des premiers qui ait appelé les méditations
de Viviani, est néanmoins le dernier que ce savant ait
publié. Il parut en 1501, époque où il était parvenu à
une extrême vieillesse. f’oyez Viviaxr.

ARISTOTE , l’un des plus célèbres philosophes de
l'antiquité, naquit à Stagvre, petite ville de l'Olinthie,
en Macédoine, dans la première année de la 09° olvm-
piade (an 354 avant J.-C.). Ce n’est pas seulement sur
ses contemporains que les doctrines d’Aristote ont exercé «
une immense influence dans toutes les branches du savoir.
Fondateur d’une école rivale de celle de Platon, non-seu-
lement il acquit de son temps une autorité presque sans
bornes, car son génie encyclopédiqueavaitembrassétoutes
les connaissances acquises jusqu'à lui, mais encore il est de-
meuré long-temps après sa mort, et chez tous les peuples
civilisés , le législateur absolu de l'intelligence. Le secret
de cette renommée, dont aucun homme ne partage avec
lui la puissance et l'étendue, est dans le principe même
sur lequel repose le dogmatisme de ses idées. Au ratio-
nalisme de Platon, il substitua l’empirisme, c’est-à-dire,
qu'il n’admit d’autres connaissances que celles qui éma-
nent des faits et résultent de l'expérience. Les apparences
grossières de cette doctrine, dont les intelligences les
moins cultivées peuvent saisir facilement les déductions
logiques, durent frapper les Grecs, soumis à une religion
toute matérielle qui n’avait pu envisager que comme un
système impie le spiritualisme de Socrate. Néanmoins
Aristote n'avait pu arriver à établir ses catégories qu’à
l’aide de l’abstraction: mais les résultats de sa doctrine
séduisirent assez les esprits pour qu’on ne s’occupät pas
du principe intellectuel d’où elles étaient tirées. Il y a
deux choses à remarquer dans Aristote. La première,
c'est que son système, si complétement opposé à la héo-
rétique du christianisme , aitservi si long-temps de base
à l'éducation des peuples modernes, malgré l’anathème
dont il avait été l’objet de la part des premiers pères de
l'Église. La seconde, c’est que ce philosophe, à qui l'on
ne peut refuser un esprit exact et scrutateur, ait à peu
près négligé l’application des sciences mathématiques
aux faits qu’il expliquait par des raisounemens tirés de
leurs rapports avec les sens et par l'expérience. C’est ce-
pendant sous ce seul et dernier point de vue que nous
devons examiner ici ses travaux.

AR

Les seules branches des mathématiques appliquées,
dont on trouve des traces dans les écrits d’Aristote, sont
l'astronomie, la mevanique et l'optique. Les raisonne-
mens, quelquefois judicieux, du philosophe de Stagyre,
sur le système du monde, ne peuvent être envisagés
comme formant un système astronomique. Ce fut cepen-
dant à l’aide des idées les plus fausses en physique, sur
le mouvement et la pesanteur, sur la nature et l’arran-
gement des corps célestes, qu'il parvint à renverser le
système pythagoricien sur l’immobilité du soleil. C’est
dans les deux premiers livres de Cæœlo que ses idées
astronomiques se trouvent exposées. Il n’est peut-être
pas surprenant qu’Aristote ait de son temps facilement
tiiomphé d’un système qui, pour être regardé comme
une vérité fondamentale, a eu besoin de tous les pro-
grès de la raison; mais il est moins facile d’expliquer le
respect que les plus illustres maîtres de l’école d’Alexan-
drie conservaient pour les opinions de ce philosophe,
et l'influence qu’elles ont exercée sur la science jusqu’à
une époque si rapprochée de nous. Les questions méca-
niques, qui acquirent à Aristote une renommée que
tous ses ouvrages, au reste, ont eu le privilége d’exciter,
ne renferme que des appréciations entièrement fausses de
cette science. Il y débute par un raisonnement puéril
sur la raison pour laquelle le levier ou la balance à bras
inégaux, met en équilibre des poids ou des puissances
inégales, et qu’il cherche dans les propriétés du cercle,
doat il donne une longue et inutile énumération.
« Comment s'étonner, ajoute-t-il en terminant, qu’une
« figure si féconde en merveilles en produise une de
« plus, en mettant en équilibre des puissances inégales? »
Aristote n’a pas été plus heureux dans ses recherches sur
Joptique; tout ce qu’il en dit est vague, erroné, et
annonce les premiers pas d’une science qu’il n’était pas
donné à son génie de créer. Aristote mourut à 63 ans,
c’est-à-dire l’an 2 de la 114° olympiade (an 322 avant
notre ère). La raison humaine a enfin triomphé du long
esclavage dans lequel l'ont retenue d’une manière si
inexplicable les doctrines de ce philosophe. Tous ses
travaux scientifiques ont été tellement dépassés qu’il ne
peuvent être considérés aujourd’hui que comme des
monumens historiques de l'intelligence. Il en devrait
étre de même des principes sur lesquels repose sa phi-
losophie, quoique son empirisme soit encore bien supé-
rieur au matérialisme stupide et abrutissant que l'igno-
rance des plus simples lois de l’entendement cherche
encore à opposer, de nos jours, à la saine philosophie.

ARITHMÉTIQUE (de épiêuos , nombre, et de TE LV)
art). Seconde branche de la SCIENCE Des Nomones, et
dont l'objet est la réalisation des calculs ou les faits des
nombres.

Les nombres, comme tous les objets des connnaissan-

ces humaines peuvent étre considérés en général ct

AR 4137
en particulier ; c’est-à-dire sous le rapport de leurs Lois
et sous celui de leurs faits. Par exemple, cette proposi -
tion : Za somme de deux nombres, multipliée par leur
différence , est égale à la difference de leurs carrés , est
une /oi des nombres, parce qu’elle s'applique géné-
ralement à tous les nombres; tandis que celle-ci : onze
multiplié par cinq est égal à cinquante-cing , est un fait
des nombres, parce qu’elle ne s'applique qu'aux seuls
nombres 11, 5 et 55.

Cette distinction partage la science des nombres en
deux branches générales, dont la première, celle qui
traite des lois, est J’aLcèBre, et dont la seconde, celle
qui traite des faits, est l'ARITHMÉTIQUE.

Il résulte nécessairement de cette déduction de l'ob-
jet de l’arithmétique, que les subdivisions particulières
de cette science ne peuvent être fondées que sur les sub-
divisions de l’algèbre. Nous devons donc encore envisa-
ger les faits des nombres sous le double aspect de la gé-
néralion et de la comparaison (voy. ALGÈBRE); mais,
avant d'examiner la nature des opérations qui naissent
de ces deux points de vue distincts, nous allons donner
ici un aperçu historique de la marche progressive de
l'arithmétique, marche tellement liée avec les premiers
efforts de l'intelligence, que ses traces remontent à la
plus haute antiquité, et vont se perdre dans le berceau
du genre humain.

L'origine de l’arithmétique, comme celle d’une foule
d'autres sciences, est si obscure et si compliquée de fa-
bles et de traditions incertaines , dans les écrits des his-
toriens anciens, qu'il ne nous est parvenu que peu de
renseignemens satisfaisans à cet égard, malgré les nom-
breuses investigations des modernes. Les écrivains qui
se sont occupés de cette quéstion sont loin, d’ailleurs,
d’être d'accord sur les peuples auxquels ils attribuent
l'invention de l’arithmétique.

Ainsi, Josèphe (Antig. Jud., iv. 1, ch. 9) affirme
qu’Abraham, ayant quitté la Chaldée pour se rendre en
Egypte pendant la famine , fut le premier qui enseigna
aux habitans de ce pays l’arithmétique et l'astronomie,
dont ils n'avaient aucune connaissance ; tandis que PLa-
ton (in Phædro) et Diogène Laërce (in Præmio) préten-
dent, au contraire, que l’arithmétique et la géométrie
étaient d’origine égvptienne. Ces deux sciences, selon
eux, auraient été communiquées aux Égyptiens par
leur dieu Theut où Thot, divinité dont les attributs,
assez semblables à ceux que les Grecs accordèrent en-
suite à leur Mercure, s’étendaient sur le commerce et
sur les nombres.

D'un autre côté, Strabon (Géograph., liv. 17) dit que
l'arithmétique et l’astronomie sont, d’après l'opinion
reçue de son temps, d’origine phénicienne ; mais cette
opinion est évidemment erronée, puisque c’est aux

Chaldéens, qui sont un peuple bien plus ancien, que
18

/
e
k 358 AR
nous devons la connaissance de certains cycles ou pé-
riodes astronomiques dont la détermination suppose
déjà une science assez avancée.
al est sans doute inutile de nous appesantir sur ces

questions ; peut-être insolubles ; car il est certain qu'une

idée plus où moins parfaite des nombres doit être née,

des besoins naturels de l’homme et des premiers déve-
loppemens de son intelligence. Sans doute la méthode
du calcul doit avoir été extrêmement limitée dans l'en-
fance des sociétés ; mais, à mesure qu’elles avançaient en
civilisation, les hommes eurent l’occasion de rendre
leurs transactions plus fréquentes; les notions numéri-
ques s’étendirent graduellement ; des signes furent in-
ventés, et des méthodes pour aider la niémoire et abré-
ger le travail prirent bientôt naissance. Préciser l’épo-
que à laquelle ces signes et ces méthodes s’établirent,
c'est ce qui nous est impossible; car aucun écrit de cette
époque n’est parvenu jusqu'à nous, à l'exception d'un
fragment que Proclus nous a transmis dans ses Commen-
taires sur le premier livre d'Euclide. Cependant, au mi-
lieu de toutes les incertitudes que les recherches histori-
ques ont eues pour résultat , il est au moins constant que
presque toutes les nations ont été conduites à poser la
même échelle numérique pour base de leur arithméti-
que; car, à l'exception des Chinois et d’une tribu obs-
cure dont parle Aristote, tous les autres peuples ont
choisi la division décuple, ou la méthode de calculer
par période de dix, comme la plus naturelle et la plus
commode.

Cette conformité générale des diverses nations n’a pu,
évidemment, avoir d’autres causes que l'habitude, con-
tractée dès l'enfance, de compter sur ses doigts. On a
commencé de compter depuis un jusqu’à dix; puis on a
recommencé de la même manière; de là la formation
de l'échelle décimale ou de la division décuple des nom-
bres. Les hommes ont donc choisi le nombre de leurs
doigts pour base de l’arithmétique; et il est probable
qu’un peuple qui aurait eu six doigts à chaque main eût
compté par périodes de douze.

Nous devons cependant faire observer qu'à l’excep-
tion de la pratique de diviser les nombres en unités,
dixaines, centaines, etc. , l’arithmétique ancienne diffé-
rait beaucoup de la moderne, non-seulement par les
signes des nembres, mais encore par la manière d’exé-
cuter les opérations élémentaires de la science. Les Hé-
breux et les Grecs en particulier, et après eux les Ro-
mains , eurent recours aux lettres de l'alphabet pour re-
présenter les nombres. Comme ils ne savaient pas
donner à leurs caractères une valeur locale , les opéra-
tions de multiplication et de division étaient compli-
quées de nombreuses difficultés.

La supériorité de notre système de numération sur
celui des anciens est tellement remarquable que, depuis

AR

son introduction en Europe, toute autre méthode em-
ployée antérieurement a été presque complétement oa-
bliée. Les vestiges qui en restent sont si rares et si diffi-
ciles à découvrir, que les relations incomplètes de
Wallis et les renseignemens fournis par Delambre sont
tout ce que nous possédons aujourd’hui de certain sur
ce sujet; car il est bien avéré que les auteurs des an-
ciens ouvrages se sont contentés de donner les-résultats
de leurs calculs sans montrer la nature des procédés
qu’ils employaient où les différentes parties de leurs
opérations. Toutefois, comme les règles des anciens
peuvent avoir quelque intérêt , au moins pour l'histoire
de la science, nous allons essayer de donner une idée
générale de l’arithmétique des Grecs.

ARITHMÉTIQUE DES Grecs. Les Grecs, ainsi que nous
l'avons dit, divisaient les nombres en périodes de dix;
mais comme ils ignoraient la méthode de lés représen-
ter par les mêmes caractères simples, en donnant à ces
caractères des valeurs locales, ils furent obligés d'ém-
ployer trente-six caractères différens, presque tous tirés
de leur alphabet, pour rendre leur arithmétique aussi
régulière que possible.

Ainsi, pour exprimer nos unités primitives;

1,2,3,4,5;6,9,8,9;
is firent usage des lettres

Ls Bis Voidin.E 1 SC ra 0:
Pour les dixaines,

10 , 20 , 30 , 40 , 50 , 60 , 70 , 80 , œ ,
ils employèrent

QE DE

À

et pour les centaines,

CRE UE ET r 3 À

PT Tv rx V0 D;

Mais les mille: 1000, 2000, 3000, etc, étaient re-

présentés par

MR, 595 356,5 8, 5 CS Mes
c’est-à-dire parles mêmes caractères que ceux des unités
simples, en plaçant au-dessous, pour les distinguer, un
petit trait ou un Zofa.

Avec ces trente-six caractères, les Grecs exprimaient
tous les nombres au-dessous de io000 ou d’une myriade,
en écrivant les uns à côté des autres les caractères qui
représentaient les unités des différens ordres. Par
exemple,

991 était exprimé par 3 44,
9999 - cesse... 8,2 18,
7302. ...s.vereere ÊTTB ;
8090 e.e--- eee AS 5
ootissnistomeenndes

D'où il est évident que l’ordre des caractères , ainsi que

AR

leur nombre, n’étaient d'aucun effet pour fixer la valeur
des quantités ; car
6 à LGestla même chose que à 15, ou que ol - 0, etc.
Cependant, pour plus de régularité on écrivait les ca-
ractères selon leurs valeurs, comme nous l’avons fait
dans les exemples ci-dessus.

Pour exprimer un nombre quelconque de myriades ,
les Gress faisaient usage de la lettre M, qu'ils plaçaient

au-dessous des caractères qui désignaient ce nombre de

myriades. Ainsi ’ °
« B n d
M, M, M, M, etc.
signifiait

10000 , 20000 ; 30000 ; 40000 , atc.

De cette manière,

1€ d roB

M, représente 37000, et M — 43720000.
Généralement, la lettre M placée sous un nombre le
rendait 10000 fois plus grand. Cette notation, évidem-
ment incommode pour les calculs, est employée par Eu-
tocius dans ses Commentaires sur Archimède.

Diophante et Pappus représentent les myriades par

les deux lettres Mv, placées après le nombre; on a
alors

æ.My—10000 p.My— 20000, etc.,

et
370000 —àa$.M , 43720000 — 4,708 . ML.

De mème

43728097 est exprimé par à r08.M LE,
et 99999999: -........... 0,3 L0.Muo 5 20.

Les mêmes auteurs emploient encore souvent une no-
tation plus simple : ils suppriment le signe M», et se
contentent d’un seul point pour indiquer les myriades,
Ainsi, au lieu de

d 708.M» Lt , ils écrivent drole,
etpour 4,3 48.Mv440..... 03 Lo.6 > La.

Ce dernier nombre devient, en lui ajoutant l'unité,
(10000) — 1000000000 , où le plus grand nombre de
l’arithmétique vulgaire des Grecs. Cette limite était
plus que suffisante pour les besoins ordinaires; car les
unités de poids et de mesure de longueur chez les Grecs,
tels que le talent et le stade, étaient beaucoup plus
grands que notre kïlogramme et que notre mètre. Les
géomètres et les astronomes seuls pouvaient donc trou-
ver des inconvéniens à une telle limitation ; mais enfin
ces inconvéniens existaient, et ils durent chercher les
moyens de les faire disparaitre. Archimède, par exem-
ple, dans son ouvrage de Arenarius , pour exprimer

\a quantité des grains de sable que pourrait contenir

AR 139

une sphère dont le diamètre serait égal à la distance
alors présumée de la terre aux étoiles fixes, trouve qu'il
faudrait un nombre qui exigerait soixante-quatre figures
dans notre système de numération. Afin de représenter
ce nombre, il prend la myriade carrée, ou 100000000
pour une nouvelle unité, et il nomme nombres du se-
cond ordre ceux qu’on peut former avec cette unité;
ce qui lui donne le moyen d’exprimer les quantités pour
lesquelles il nous faut seize figures. Prenant encore
(100000000) pour unité, il parvient à exprimer les
quantités qui nous demandent trente-quatre figures, et
ainsi de suite. De cette manière, il arrive enfin à pou-
voir exprimer le nombre en question, lequel, ainsi que
nous l’avons déjà dit, demande soixante-quatre figures
de notre échelle de numération. Archimède entreprit
ce singulier calcul pour réfuter quelques personnes qui,
peu instruites de la nature des nombres et des progres-
sions, prétendaient qu'aucun nombre, quelque grand
qu'il füt, ne pourrait exprimer la quantité de grains de
sable répandus sur les bords de la mer. Pour mieux
faire ressortir leur erreur, Archimède démontra qu’en
supposant les bornes de l'univers beaucoup au-delà de
celles qu'on lui donnait alors, le cinquantième terme
d’une progression géométrique décuple croissante était
plus que suffisant pour exprimer le nombre des grains
de sable qu’il pourrait contenir.

D'après Archimède , tous les nombres se partageaient
donc en périodes ou ordres de huit figures , qu’il nom-
mait octades. Cette méthode, comme nous l’apprend
Pappus, fut considérablement perfectionnée par Apol-
lonius, qui réduisit les octades en périodes de quatre
figures, dont la première est celle des unités, la seconde
celle des r1yriades, la troisième celle des doubles my-
riades , etc. , et ainsi de suite indéfiniment.

Apollonius était donc capable d’écrire tous les nom-
bres qui peuvent être exprimés par notre système de
numération. C’est ainsi, par exemple, que sil avait
voulu représenter la circonférence du cercle dont le
diamètre est une myriade du huitième ordre, il aurait
écrit

vrais rbe, y m8. €, AB. vous. Bxuy.y,w2B. 2 v.
3 1415 9265 3589 7932 3846 92643 3832 7650.

Il nous reste à expliquer comment les Grecs représen-
taient les fractions. Lorsque le numérateur de la frac-
tion était simplement l’unité , ils marquaient d’un petit
trait le nombre du dénominateur. Ainsi, par exemple,
J' signifiait &, d signifiait £; £ signifiait #7, et ainsi de
suite; mais la fraction Æ avait un caractère particulier,

comme &G,ou< c', ou K.
r À 2

Quand le numérateur était aatre que l'unité, le déna-
iinateur se plaçait à côté, un peu au-dessus, comme

440 AR

nous le faisons pour n6s exposans, Ainsi,

2 D , L RG TS.
1857, représentait 15°*, Où 33

Êrtt, représentait 5°, Où 337
De même,

? Van ris SEE CPS 2633544
C4 27270 R SEE ETES ENTER RES

Cette dernière fraction se trouve dans Diophante,
Liv. IV, quest. 46.

Avec un système si compliqué de numération, les
calculs étaient longs et pénibles, et il x a apparence que
les opérations s'exécutaient presque à force de tête. On
pourra se former une idée de leur difficulté par les
exemples très-simples que nous allons donner.

ExemPLe D'ApDIT'ox

tiré d'Eutocius, théorème &, sur La mesure du cercle.

OuL . 7 De 847 3921
10 6o 8400
D n. Brua 908 2321

Dans cet exemple, le procédé est assez sensible pour
ne demander aucune explication ; on l’exécute exacte-
ment comme notre addition complexe de livres, sous
et deniers.

ExempLe DE sousrnacriox.

ÆEutocius, théorème 3, sur la mesure du cercle.

d She 93636
B8.7,v 8 23409
Ês. x£ 70227

On peut encore suivre ici l'opération sans difficulté ;
en procédant de droite à gauche; et, il est si évidem-
ment plus avantageux de suivre cette marche, qu’on
peut difficilement comprendre pourquoi les Grecs
avaient adopté la marche opposée. Ils exécutaient toutes
leurs opérations de gauche à droite.

ExEmpLeE DE MULTIPLICATION.

y
pr
MAT
58,9 pv
Ter8
L.7v8

Les Grecs écrivaient les produits partiels dass la mul-

AR

tiplication sans aucun ordre apparent ; mais comme cha-
cun de leurs caractères conserve la même valeur, queile
que soit la place qu'il occupe, le seul inconvénient qui
pouvait résulter de cette méthode était de rendre l’ad-
dition finale plus laborieuse. Nous pouvons nous repré-
senter les détails de la multiplication précédente, prise
encore dans Eutocius, de la manière suivante :

pXp—= 100X 100 —= 10000 — z.My

»Xp—= 5oX100 — 5000 —:,

7Xp= 3X 100 — 300 =7; :
ensuite,

p Xy— 100X 50 — 5000 —:,

r Xr— So X 50° — 25500 — 89

7Xr= 383X50 — 150—=p;
enfin,

s Xy7— 100X 3 — 300=7

» KXy—= 90X 3 — 1950 — pr

7Xr= 3X 3 — 9—4
dont l'addition est 23404 = B.y,v8

Les opérations supérieures, telles que la division et
l'extraction des racines, deviennent tellement compli-
quées, qu'il nous serait impossible d’en faire connaître
la marche sans entrer dans des détails beaucoup trop
longs pour ce dictionnaire. Delambre a joint a la tra-
duction française des ouvrages d’Archimède un essai sur
l'arithmétique des Grecs auxqneis nous renvoyons ceux
de nos lecteurs qu’une semblable matière peut intéres-
ser. Ils doivent encore consulter l'histoire de l’astrono-
mie ancienne du même auteur.

Eu prenant pour point de départ le perfectionne-
ment introduit par Apollonius dans la numération grec-
que , il serait assez vraisemblable de supposer que quel-
que autre mathématicien, frappé des avantages de la,
réduction des périodes de huit chiffres d’Archimède
en périodes de quatre chiffres, ait cherché à réduire
encore ces dernières, et que par une suite d’améliora-
tions ou soit enfin parvenu à reconnaitre qu’il suffisait
de considérer des périodes d'un seul chiffre pour pou-
voir exprimer tous les nombres; mais il n’en est point
ainsi : notre système numérique n’est pas le résultat
d’une semblable transformation successive; car les Grecs
ne s’élevèrent jamais au-dessus de la méthode d’Apol-
lonius.

Il est à regretter que nous ne sachions pas à qui nous
devons la brillante invention de l'échelle décimale, dont
il paraît cependant que l'idée première appartient aux
Indiens. C’est en effet de ces peuples que Jes Arabes,
qui nous l'ont transmise, déclarent la tenir; et les au-
teurs qui ont voulu donner une origine purement arabe

AR

à la aumération actuelle se sont manifestement trompés.
Sans doute, cette numération fut long-temps familière
aux Arabes avant de péuétrer dans nos contrées; mais
ce serait faire à ce peuple un honneur qu'il reconnait
être dû à un autre, si on lui en attribuait l’invention. A
la vérité, Boëce (de Geometria) nous apprend que
quelques pythagoriciens employaient dans leurs calculs
neuf caractères particuliers, pendant que les autres se
servaient des signes ordinaires, savoir les lettres de l’al-
phabet ; et d’autres auteurs s'appuient sur cette assertion
pour revendiquer en faveur des Grecs une priorité dé-
mentie par des documens irrécusables. En admettant
que l’on connüt dans l’école de Pythagore une manière
de noter les nombres semblable à la nôtre, on peut seu-
lement conjecturer que c'était une de ces connaissances
puisées chez les Indiens par Pythagore, et qui, trans-
mise par ce philosophe à un petit nombre d'initiés, de-
meura stérile entre leurs mains.

Les savans arabes sont tous d’accord sur l’origine de
leur arithmétique. C’est aux peuples de l'Inde qu’ils
ont emprunté, vers le dixième siècle de notre ère, les
caractères que nous nommons chiffres arabes , et qu'ils
nommaient chiffres indiens. Ces caractères sont à peu
près les mêmes que ceux dont nous nous servons actuel-
lement, sauf le zéro, dont le signe est un point (.). Le
nom même de l’arithmétique chez les Arabes, hendes-
séh, signifie la science indienne.

Au nombre des arithméticiens arabes, se trouve le
célèbre Avicenne, non moins fameux chez les Orien-
taux par ses connaissances mathématiques que par sa
science médicale. Ce savant, dont le véritable nom est
Abou-Aly Ébn-Syna, a composé un grand nombre
d'ouvrages dont il sera fait mention à l’article qui le
concerne, et dont la plupart sont demeurés inconnus aux
Européens. M. J. J. Marcel, ancien directeur de l’im-
primerie nationale au Kaire, et membre de la com-
mission d'Égypte, possède dans sa bibliothèque un
manuscrit d'Avicenne intitulé : Ressalet fatyhat äbouäb
èl-medresséh, fy beyän oussoul él hissdb ou-êl-hen-
desséh; ce qui signifie littéralement : Lettre qui ou-
vre les portes de l'académie, par l'exposition des raci-
nes du calcul et de l'arithmétique. W a bien voulu tra-
duire, à notre prière, un fragment curieux de ce ma-
nuscrit, que nous croyons devoir insérer ici, parce qu'il
peut donner une idée xacte de la manière dont les
Arabes envisageaient l’arithmétique. C’est le début de
l’ouyrage.

» Au nom de Dieu clément et miséricordieux.

» Louange à Dieu, qui a créé l'univers et tous les
êtres, qui a réglé par poids et par mesures toutes ses
créations ; il a créé à la fois et fait sortir du néant les

AR AM
nombres et les choses, le Æmps et l’espace, et les di-
verses influences des nombres, qui modifient l'espace ct
le temps. I a doté l’homme, fils d'Adam, de la science
des nombres, afin que par les nombres il püt conquérir
la puissance des choses, et qu'il dominât le temps ct
l'espace, l'un et l'autre abimes sans limites, lui qui oc-
cupe sur cette petite terre un espace si borné, lui dont
le temps d'apparition dans cette vie inférieure est res-
serré dans des limites si étroites, au milieu de la mer
immense des siècles se roulant les uns sur les autres, »

» Et que la bénédiction du Dieu très-haut, du Dieu
dont le nombre est un, soit sur le prophète chéri, sur
Mahomet , dont la mission n’a eu lieu qu’au temps pré-
fixé déterminé irrévocablement par les calculs sublimes
de la Providence unique, et dont le nom a clos le #0m-
bre des prophètes élus de Dieu. »

» Or donc, comprenant qu'à l'insu de l’homme il
existe une puissance surnaturelle et indéfinissable dans
les nombres, j'ai voulu composer cet opuscule. Que
Dieu fasse miséricorde au pauvre auteur de ce petit
livre, comme à ceux qui le liront et en feront bon
usage. »

» Et d’abord , sache que tout nombre , quel qu'il soit,
west autre chose que le nombre Q ou son multiple, plus
un excédant; car les signes des nombres n’ont que 9 ca-
ractères et valeurs, plus le point (zéro) qui lui-même
n’exprime aucun nombre. »

» Si tu parviens à connaître cet excédant et le multi-
plicateur novénaire , le nombre entier te sera connu.

» — Tout multiple novénaire, si tu additionnes en-
semble horizontalement les signes qui le composent,
sans faire attention à leur valeur de position, te donnera
nécessairement le nombre 9, soit seul, soit extrait du to-
tal par la même opération. Ainsi,

18 donne 1 plus 8 égal à 9
274 00-12 PLUS 750010)
SO + 3 PIUS Os Q
Hess te HIPIUS 0e. 10
Elise ss EC. 5... etc.
2763 donne 2 plus 7 plus 6 plus 3 égal à 18 qui donne 9
3456: .....3 plus 4 plus 5plus6..... 18...5.... 9
17847...... 1 plus plus8 plus 4 plus 7.27 ....... 9

(ASS CODE ClCoo ee ss ee MélCes ses CLCe

» Toutes les fois qu'additionnant ainsi les signes d’un
nombre quelconque tu trouveras 9 pour résultat de ton
opération horizontale, sois assuré que c'est un multiple
de 9; sinon, après avoir extrait ce nombre il te restera
un excédant seulement variable de 1 à 8.

» — Tout nombre composé de signes dissemblables
change nécessairement de valeur si l’on change l'ordre
des signes. Ainsi, 23 devient 32, 164 peut devenir 146,
416, 4613; 614, G4r, etc.; mais sache aussi qu'entre le

142 AR

premier nombre et le second, le troisième, etc,, il ne
peut jamais y avoir pour différence que neuf ou un mul-
tiple de 9.»

» Ainsi, 12 retourné fera 21, différence 9

AD Sie de
Besse DB. .eorese 27 ce 3 FOIS Q
BDs so sseces JJDesscersse 10: + 2 F0 0
Id.......... 537.......,180..20 fois 9
Id. sso B7Bcesces re 2166 24 fOÏs 9

ClCospporeoss Close goes a Go seroeo os

Dfhesooe er ee 18/OU 9 FOIS 9

» ADDITION.

» Quand tu auras additionné ensemble différentes
sommes, si tu veux t'assurer de l'exactitude de ton opé-
ration , tu procéderas ainsi : 1°. Additionne horizontale-
ment chaque valeur des signes isolés, écris le nombre
trouvé inférieur à 9, ou, si tu as un nombre plus fort,
additionne de nouveau ses signes, et porte le restant
dans une colonne latérale, puis additionne tous ces ex-
cédans, et inscris au-dessous ce qui t'en reste en défini-
tif, après avoir obtenu un nombre inférieur à g en ad-
ditionnant les signes isolés comme ci-dessus. 2°. Fais la
même opération sur le total que ton opération d’addi-
tion, faite suivant la marche ordinaire, t'avait donné
pour la somme résultante des sommes partielles ; addi-
tionne jusqu’à ce que tu aies un nombre inférieur à 9,
et tu auras de même un excédant. »

» Si ton opération avait été bien faite en premier lieu,
tes deux excédans seront identiques ; sinon, ton opé-
ration avait été mauvaise; recommence-la avec pa-
tience. »

» Vois l'exemple suivant :

Preuve.

En

Addition ordinaire.
es

1147 somme des chiffres :

381...
100 Rat etu care
D sesrergenere mecs
OI eee cs sara es du

13,secondesomme: 4
0
TO semestres O
TA spa nee ae. D
D eee À

enosoosonapesess IDosvsossssse

DO arcanes dent TD itassrects eos

(OS NT PE RE RPC Portrait 00

Tot. 29784 .. .somme des chiffres 30 30
excédant 3...... excédant 3

» SOUSTRACTION.

» Pour verifier si ton opération de soustraction faite
à l’ordinaire est exacte, voici le maven : 1° Opère
comme ci-dessus horizontalement sur la somme que tu as
eue a soustraire et sur celle que tu as eue pour résidu ; ad-

ditionne les excédans et note à part l’excédant final;

AR

2° opère de même sur la somme dont tu as soustrait , et
si ta soustraction est exacte, tes deux excédans seront
identiques. »

» Vois pour exemple :

Soustraction.

2165 somme des signes : 14, excédant ... 5

—

JA eds door eninn-2n sus h

Hétdu, ‘BE, 15e t6rarur 0

Somme des excédans........ 14

Excédent final.............. à
MULTIPLICATION

» Quand tu as multiplié une quantité par un nombre
quelconque , si tu veux reconnaître l’exactitude de ton
opération et t’assurer que tu n’as commis aucune erreur
en suivant la marche vulgairement usitée , tu feras la
vérification suivante : »

» 1°, Additionne horizontalement comme ci- dessus
les valeurs isolées des chiffres de ton multiplicande, de
manière à en extraire le chiffre restant, au-dessous de
9, par tes additions successives, et que j'appellerai,
pour plus de brièveté, le chiffre radical. »

» 2°, Fais la même opération sur le multiplicateur. »

» 3°. Multiplie l’un par l’antre les deux chiffres ra-
dicaux que tu viens d'obtenir. »

» 4°. Extrais le chiffre radical de ee produit. »

» 5°. Extrais de même le chiffre radical du produit
que t'avait donné l’opération ordinaire. »

» Si celle-ci avait été bien faite et sans erreur , ces
deux derniers chiffres radicaux doivent être les mé-
mes. »

» Vois ici pour exemple : »

multiplicande 495, 1° somme 14, ehiffre radical 5

multiplicateur 122....1d..,. 5.,.... Idssrsee
550. produit... 25. . .chiff, rad. 7
55o é
295 .
produit 33550... 11° somme 16.,.,..... chiffre radical...

DIVISION.

» Et pour vérifier une opération dans laquelle tu au-
ras divisé un nombre par un autre, suis la même mar-
che; et, après avoir extrait les chiffres radicaux du di-
viseur et du quotient, multiplie ces deux nombres l’un
par l’autre, le chiffre radical de ce produit devra être le
même que celui de ton dividende , si tu n'as pas commis
d'erreur. »

» Au reste, sache que les quatre opérations précé-

AR

déntes ne sont que la permutation de nombres com-
plexes, souvent susceptibles de mettre en erreur, par la
multiplicité des signes et des calculs partiels qu'ils né.
cessitent, en un nombre simple, d’une seule figure, qui
y est caché, comme le noyau de la datte au milieu du
fruit, et qui représente parfaitement, dans toutes leurs
fonctions, les nombres, quels qu'ils soient, dont il est
enveloppé. Ce nombre, par sa simplicité, n’est plus sus-
ceptible d'erreur comme celui qu’il représente ; et je l'ai
nommé chiffre radical, parce qu'il est la racine réelle
des autres, et en rend maître , comme on l’est d’un ar-
bre, eût-il mille branches, quand on est maitre de sa
racine; comme aussi dans une maladie on maîtrise les
symplômes les plus compliqués êt les plus alarmans,
quand on a connu et attaqué avec succès la cause latente
de la maladie, et qu’on en a extirpé la racine. »

Ce fut vers le commencement du XIIL° siècle que l’a-
rithmétique arabe se répandit en Europe. Le plus an-
cien ouvrage écrit sur cette matière, intitulé : Ælgorith-
mus demonstratus , est de Jordanus de Namur, à qui
nous sommes encore redevables d’un traité d’arithmé-
tique, commenté ensuite et publié par Jacques Faber
d’Étaples aussitôt après l'invention de l'imprimerie
dans le XV° siècle. Le moine Planude, contemporain
de Jordanus, écrivit aussi un ouvrage intitulé : Arith-
métique indienne, où manière de calculer suivant les
Indiens, dont il existe encore des manuscrits. À peu
près à la même époque, Jean Halifax , plus connu sous
le nom de Sacro-Bosco, donna son arithmétique en
vers latins, dans laquelle la forme des chiffres est pres-
que déjà identique avec la nôtre.

Bientôt après la science numérique reçut de grandes
améliorations , auxquelles contribuèrent d’une manière
assez remarquable Lucas de Burgo et Nicolas Tarta-
glea. En France, Clavius et Ramus; en Allemagne,
Suifelus et Henischius; en Angleterre, Buckley, Diggs
et Recorde, peuvent être cités comme les principaux
arithméticiens de cette première époque de la science.
Mais ce n’est qu'aux immenses progrès de l’algèbre,
opérés durant les deux derniers siècles, que l’arithmé-
tique doit son entier developpement; et, si nous pou-
vons ici l’embrasser dans son ensemble, nous en sommes
redevables à ces hommes illustres qui cultivèrent avec
tant de succès, pendant cette seconde époque, la science
générale des nombres, Foy. ALGÈBre,

1. Les nombres se présentent d’abord à l'intelligence
comme dés collections d'unités (voy. ALcÈpne 9). Aussi
Les anciens les définissaient-ils : l'assemblage de plusieurs
unités. Mais cette définition incomplète ne s'applique
réellement qu'aux nombres entiers; ét comme ces nom-
bres ne sont pas les seuls dont la science doive s’occu-
per, les modernes ont cherché infructueusement à la

AR - 443
généraliser. Celles de Wolf et de Newton, qui se rédui-
sent à considérer les nombres comme le rapport d’une
quantité à une autre de la même espèce, prise pour
unité, renferment déjà implicitement l'idée primitive
de nombre; et il eu est à peu près de même de toutes
les autres, que nous nous abstiendrons de rapporter.
Les nombres, abstraction faite de tout objet extérieur ,
sont un produit de l’entendemert formant une classe
particulière de réalités intellectuelles; leur définition
est donc une véritable construction philosophique qui
n’est plus du domaine de leur science; et l’on ne doit
päs s'étonner si toutes les tentatives des mathématiciens
sur ce sujet ont complétement échouées. En effet, la phi-
losophiié seule peut remonter à l'origine des objets pri-
mitifs des sciences, comme elle peut seule aussi expli-
quef leurs principes et légitimer leurs lois; c'est au
moins l’idéal de cette science des sciences, et nous ver:
rons, à l’article Puiro3opRié pes marnÉMarIQUES , de
quelle manière elle prétend aujourd’hui réaliser cette
haute fonction. Notre but ne pouvant être ici que de
donner une exposition purement élémentaire de l’arith
métique, nous devons nous contenter des déductions
vulgaires suivantes, qui nous paraissent suffisäntes pour
en faire connaître l’ensemble et les procédés.

2. L'unité est un objet quelconque pris pour terme
de comparaison avec tous les objets de même espèce.

3. Un nombre est l'assemblage de plusieurs unités,
Ainsi, lorsqu'on désigne la longueur d’un espace en di-
sant qu'il a trois mètres, trois est un nombre qui ex-
prime combien cet espace contient de fois l'unité de
longueur ou le mètre.

4. Mais le mètre, ou généralement l'unité quelconque
de mesure, péut étre considéré comme ayant des par-
ties; il n'y a donc pas d'unité absolue, et celles dont
nous nous servons, telles, par exemple, que

Le franc, pour les monnaies,

Le gramme, pour les poids,

Le mètre, pour les longueurs,

L’'are, pour les surfaces,

Le Ztre, pour les liquides,

L'heure, pour les jours ,

etc.,
sont nécessairement arbitraires.

etc.,

5. Considérée en elle-même, l'unité est ce qui est
opposé à plusieurs, l'élément premier de toute collec-
tion.

6. On peut aussi considérer les nombres indépendam
ment des objets : ils se nomment alors nombres abstraits,
tandis qu’on les nomme nombres concrets lorsqu'ils ex-
priment des objets déterminés. Ainsi, cinq est un nom-
bre abstrait tant qu'on ne l'applique à aucun objet; mais
cinq mètres où cinq grammes est un nombre concret.

144 AR

7. Comme il est évident que, quelles que soient les
propriétés individuelles du nombre cinq, ces propriétés
auront toujours lieu, soit qu’il exprime des mètres, des
grammes ou toute autre espèce d'objets, il suffit de con-
sidérer les nombres abstraits dans la recherche des pro-
cédés de l’arithmétique.

8. L'arithmétique se divise en deux parties, dont
l’une a pour objet la construction des nombres, et l’au-
tre leur comparaison. Dans la première, on s'occupe à
former les nombres; dans la seconde, on recherche,
lorsqu'ils sont formés, leurs relations ou leurs rap-
ports.

9. Le premier mode primitif de formation des nom-
bres est l’anpirion. C’est en ajoutant d’abord l'unité
avec elle-même que nous formons deux ; et c’est ensuite
en ajoutant l'unité avec deux que nous formons #rors, et
ainsi de suite. Lorsqu'un nombre est une fois formé,
nous le représentons par un caractère particulier ou
chiffre qui sert à le distinguer de tous les autres :
ainsi, deux est représenté par 2, trois par 3, quatre
par 4, etc., etc. Mais comme nous pouvons former une
infinité de nombres, et qu'il nous serait impossible d’a-
voir pour chacun d’eux un caractère particulier, il faut
nécessairement trouver le moyen d'exprimer tous les
nombres par une quantité limitée de caractères.

10. La première opération de l’arithmétique, sur
laquelle repose sa possibilité, a donc pour objet de re-
présenter un nombre quelconque à l’aide d’autres nom-
bres que l’on cousidère cornme simples, et qu’on repré-
sente par des signes particuliers. Cette opération se
nomme NUMERATION.

11. Dans l’arithmétique actuelle , les caractères adop-
tés pour représenter les nombres considérés comme
simples et ces nombres eux-mêmes , sont :

OÙ 1, 2,000 04-00 1081 7E,

zéro, un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf.

8, 0:

12. Pour exprimer tous les nombres au moyen de ces
dix caractères , on leur attribue deux valeurs : l’une ab-
solue, indiquée par la quantité d'unités qu'ils renfer-
ment ; l’autre relative, déterminée par la place qu'ils
occupent lorsqu'on les écrit sur une même ligne hori-
zontale. Par exemple, 2 pris isolément exprime deux
unités; placé à la gauche d’un autre chiffre, il exprime
une quantité dix fois plus grande , ou deux diraines,
comme or est convenu de le nommer alors.

En général, lorsque plusieurs chiffres sont écrits les
uns à côté des autres , tels que

299299 ,

le premier , à droite, n’a que sa valeur absolue; le se-
cond vaut dix fois plus, le troisième cent fois plus, le

AR

quatrième mille fois plus , et ainsi de suite en allant de
droite à gauche.

13. On est donc convenu de nommer diraine l’assem-
blage de dix unités, et de compter par dixaines comme
on compte par unités, c'est-à-dire d’avoir une, deux,
trois, etc., jusqu’à neuf dixaines ; et, pour les expri-
mer, on voit qu’il suffit de placer au second rang le
chiffre qui exprime le nombre de ces dixaines; 60, par
exemple, exprime six dixaines, tandis que G seul n’ex-
prime que six unités.

Le caractère o sert particulièrement à donner aux
chiffres le rang qu'ils doivent occuper.

14. On nomme centaine la collection de dix diraines,
mille celle de dix centaines ; et on compte par centaines
et par mille comme par unités et par dixaines. Il suffit,
d’après ce qui précède , de placer au troisième ou au
quatrième rang le chiffre qui indique le nombre des
centaines et des mille pour lui faire exprimer sa double
valeur. Ainsi, 500 désigne cinq centaines , et 5000 cinq
mille.

15. Cela posé (nous supposons les noms des nombres
connus), pour écrire sir cent quaranle-cinq , On remar-
quera que ce nombre est composé de cinq unités sim-
ples, de quatre dixaines et de six centaines. On placera
donc le chiffre cinq au premier rang , le chiffre quatre
au second , et enfin le chiffre six au troisième, et 645
exprimera le nombre proposé.

16. Passé mille, on compte par diraines de mille et
centaines de mille ; dix centaines de mille se nomment
un million. On compte ensuite par dixaines de millions
et centaines de millions; dix centaines de millions se
nomment un billion; dix centaines de billions un tril
lion, etc., etc. On donne plus particulièrement le nom
de nilliard au billion. Ainsi, pour exprimer le nombre
huit milliards deux cent millions deux cent vingt-quatre
mille cing cent trente-huït, on écrira :

8 200 224 538,
mettant des zéros à la place des unités de millions et d
dixaines de millions qui ne se trouvent pas dans le nom
bre proposé.

17. Pour éuoncer un nombre écrit par des chiffres,
il faut le diviser en périodes de trois chiffres, en allant
de droite à gauche , la première période sera celle des
unilés simples, Va seconde celle des znille, la troisième
celle des millions, etc. , etc.; et il suffit alors d’énoncer
successivement chaque tranche comme si elle était seule,
en joignant au nombre d'unités qu’elle renferme son
nom particulier. Par exemple, pour énoncer le nombre
88:5648585607832506, on le partagera par tranches

_de trois chiffres, ainsi qu'il suit

8,835 ,648, 585, Go7 , 832 , 506;

AR

et, remarquant que la dernière tranche est celle des
quintillions, on lira : huit quintillions, huit cent soixante-
quinze quatrillions, six cent quarante-huit crillions ,
cinq cent quatre-vingt cinq béllions, six cent sept mil-
lions , huit cent trente-deux mille, cinq cent six unités.

18. D’après ce qui précède, on voit qu'il ne peut
exister de nombre, quelque grand qu’il soit, qu'on ne
puisse représenter au moyen des dix caractères adoptés,
et qu’ainsi le problème de la numération est compléte-
ment résolu.

Nous verrons à l’article NuméraTIoN qu’on peut éga-
lement représenter tous les nombres en employant plus
ou moins de dix caractères, c’est-à-dire en prenant une
échelle numérique quelconque différente de dix.

19. Les nombres étant ainsi construits d’une manière
générale, la première opération de l’arithmétique est
Vanprriow’, de laquelle on déduit la sousrracrion; de
l'addition on passe à la mucripzicarion , dont dérive la
Division; et enfin de là on arrive à l'ÉLÉVATION AUX
PUISSANCES €t à son inverse l’EXTRACTION DES RACINES.
(Voy. ces divers mots, ainsi que FracrIoNs.)

20. Les rapports des nombres nous donnent les pro-
porTIONSs et les PROGRESSIONS (voy. ces mots), et des di-
verses considérations qu’on peut en faire dériver nais-
sent : la RÈGLE DE Trois, celle de soci£ré, celle d'az-
LIAGE, celle d’EscCOMPTE, d’INTÉRÈT, de FAUSSE PoOsI-
TION ; la règle consointE, et même les LOGARITHMES , en
les considérant d’une manière purement arithmétique.
Voy. ces divers mots.

ARITHMOMÈTRE ou ARITHMOGRAPHE, Ins-
trumens sur lesquels sont tracées des divisions logarith-
miques , et qui servent à exécuter les calculs arithmé-
tiques.

Peu de temps après la découverte des logarithmes ,
Edmund Gunter, astronome anglais, eut l’idée de les
construire linéairement sur une règle de bois ou de mé-
tal, pour pouvoir effectuer, à l’aide d’un simple com-
pas, toutes les opérations qui exigent l'emploi de ces
nombres. Cette ingénieuse construction fut bientôt per-
fectionnée par #ingate, Ougthred, Milburne, et sur-
tout par Lambert, qui rendit inutile l’usage peu certain
du compas, en employant deux règles au lieu d’une.
Avant Lambert, J. Biler, en 1606, avait construit deux
demi-cercles tournant l’un sur l’autre, et portant sur
leurs limbes les nombres , les sinus et les tangentes. La
règle logarithmétique , où règle glissante , en usage au-
jourd’hui, et que les Anglais nomment encore échelle
de Gunter, est le résultat de ces perfectionnemens.

Cet instrument, d’un usage aussi simple qu’avanta-
‘geux, demeura long-temps inconnu en France; la
première tentative faite pour l'y introduire est due, à
ce que nous croyons, à M. Jomard, de l'Institut. De-
puis, l’échelle de Gunter reçut un nouyeau perfection-

AR 445
nement par la construction circulaire des logarithmes
sur deux limbes concentriques; ce qui permet d’obte-
air une plus grande exactitude, en rendant néanmoins
l'instrument plus portatif.

Si le cercle logarithmique n’est pas devenu en France
d'un usage aussi général que la règle glissante ne l'est
en Angleterre, où les enfans apprennent à s’en servir
en apprenant à lire, on ne peut l’attribuer qu’à l’exécu-
tion défectueuse de ceux de ces instrumens qui ont été
jusqu'ici livrés au public; car la plus légère inexactitude
dans les divisions où dans la centration rend le cercle
logarithmique entièrement inutile. Il n’en est pas de
même de l’Arithmomètre que nous avons en ce moment
sous les yeux : c’est un véritable instrument de préci-
sion, exécuté avec autant de soin que les meilleurs cer-
cles répétiteurs, et sur lequel on peut trouver en un
instant les résultats des calculs les plus compliqués de
l’arithmétique.

Un dépôt de ces Arithmomètres Venant d’être établi’
chez les Éditeurs de notre dictionnaire, nous nous dis-
peuserons de plus longs détails sur cette utile et intéres-
sante machine, que tout le monde peut aujourd’hui se
procurer. On trouve également au même dépôt des mo-
dèles de cercles logarithmiques d’une plus grande di-
mension pour les calculs supérieurs du cadastre , du gé-

nie et de la marine.

ARMILLAIRE (Astr.). Sphère armillaire. Assem-
blage de plusieurs cercles de métal, de bois ou de car-
ton, au centre desquels on place un petit globe qui
sert à désigner la terre. Ces cercles ont été em-
ployés pour représenter les mouvemens des astres selon
le système de Ptolémée; c’est-à-dire dans l'hypothèse
de la terre immobile au centre de univers. Quoique le
véritable système du monde soit aujourd’hui hors de
toute discussion, la sphère de Ptolémée est cependant
la plus usitée, comme étant la plus simple; elle suffit,
en effet, pour les notions élémentaires de l'astronomie
et de la géographie, et sert à classer les faits apparens
du mouvement des corps célestes. On ne sait pas au
juste quel est l’inventeur de la sphère armillaire ; quel-
ques écrivains en ont attribué la première idée à T'ha-
les, et d’autres à Archimède. Mais, d’après les témoi-
gnages les plus authentiques, nous croyons qw'elle est
due à Anazximandre. Le nom d’armillaire est dérivé
d'armilla, bracelet. Tous les cercles qui composent cette
sphère sont effectivement des bandes circulaires assez
semblables à des bracelets.

1. On distingue dans la sphère armillaire dix cercles:
six grands et quatre petits. Les grands cercles sont ceux
qui passent par le centre de la sphère, et qui par con-
séquent la partagent en deux parties égales que l’on ap-
nelle hémisphères. Les petits cercles sont ceux qui ne

146 AR

passent pas par le centre; ils divisent la sphère en deux
parties inégales.

2. Les prands cercles sont (PL. IV, fig. 1): l'horizon,
le méridien, V'équateur, le zodiaque, qui renferme l’e-
cliptique, et les deux colures.

3. Les petits cercles sont : les deux tropiques et les
deux ceroles polaires.

4. Les dix cercles de la sphère servent à expliquer
les mouvemens des astres ou à déterminer leur situa-
tion. Nous allons donc exposer successivement l'usage
particulier de chacun de ces cercles ; mais nous devons
rappeler d’abord qu'il y a deux sortes d’astres : les
étoiles fixes et les planètes, Les étoiles fixes sont des
astres qui paraissent garder toujours la même situation
entre eux; c’est ce qui leur a fait donner l’épithète de

fixes. Les planètes, au contraire, changent continuel
lement de situation les unes à l'égard des autres, et
par rapport aux étoiles fixes. Les anciens, qui met-
taient le soleil et la lune au nombre des planètes, en
comptaient sept, savoir : le Soleil, la Lune, Mercure,
Venus, Mars, Jupiter et Saturne. Aujourd'hui , nous
comptons onze planètes principales : Mercure, Venus,
la Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Uranus (découvert
par Herschel en 1781), Cérès, Pallas, Junon et Vesta
(découvertes récemment par MM. Piazzi, Harding et
Olbers), et dix-sept planètes inférieures ou satellites,
savoir : la Lune, satellite de la Terre, quatre satellites
de Jupiter, sept de Saturne et cinq d’Uranus. Quant
aux étoiles fixes, leur nombre est immense; et, pour
pouvoir distinguer les principales, on en a formé diffé-
rens groupes qu’on nomme constellations.

On remarque dans les étoiles et dans les planètes deux
sortes de mouvemens, dont le premier s'effectue en
viogt-quatre heures d’orient en occident; on le nomme
diurne ou journalier ; ce mouvement étant à peu près
le même dans tous les astres, on lui donne encore le
nom de mouvement commun. Le second mouvement,
opposé au premier, se fait d'occident en orient : on le
nomme périodique et propre. Quand il s’agit du soleil,
on le nomme aussi annuel, parce qu'il se fait dans l’es-
pace d’une année. Sa durée diffère pour chaque pla-
nète ; elle est tellement grande pour les étoiles fixes, que
ce n’est que par une immense suite d'observations qu’on
a pu constater chez ces astres l'existence d’un mouvoment
propre.

Pour concevoir comment ces deux mouvemens oppo-
sès peuvent convenir aux mêmes corps, il faut imaginer
une roue qui tourne sur son axe, et sur laquelle une
mouche marche en sens contraire de la rotation; le
mouvement communiqué à la mouche par la roue peut
représenter le mouvement commun des astres vers l’oc-
cident , tandis que le mouvement propre de la mouche
peut représenter leur mouvement propre vers lorient.

AR

Toutefois, il est important de remarquer que cette
complication dé mouvemens n’existe qu’en apparence,
et que nous décrivons ici les phénomènes tels qu’ils ap-
paraissent à nos sens, et non tels qu’ils sont en réalité.

Le mouvement diurne fait décrire à tous les astres des
cercles parallèles, qui ont tous par conséquent le même
axe, que l’on appelle l'axe du monde, ét dont les deux
pôles sont aussi les pôles du monde. Le pôle qui est
dans la partie du ciel visible pour les peuples de l'Eu-
rope se nomme septentrional, arctique où boréal; et le
pôle qui lui est opposé s'appelle méridional, antarcti-
que où austral. Cela posé, passons à l’explication des
cercles de la sphère.

5. L’aomizon divise la sphère ou le monde en deux
parties égales, dont l’une est visible, et dont l'autre nous
est cachée à cause de la terre, qui la dérobé à nos re-
gards. La partie visible se nomme l'hémisphère supé-
rieur , et la partie invisible l'hémisphère inférieur.
L’horizon est donc représenté par le cercle posé sur les
quatre supports qui sont attachés au pied de Ja sphère.
(Foy. PL. IV, fig. 1. Il est essentiel d’avoir cette figure
sous les yeux pour comprendre exactement ce qui va
suivre. )

7. L’axe de l'horizon est une ligne droite quel'on eon-
çoit passer par le point du ciel qui est directement au-
dessus de notre tête, et par le point diamétralement op-
posé, et qui répond à nos pieds : le premier se nonmne
cénith, et le second nadir. Cet axe passe aussi par le
centre de la terre.

8. L’horizon sert à déterminer le lever et le coucher
des astres. C'est ainsi, par exemple, qu’on dit que le 50-
leil se lève lorsqu'il monte au-dessus de l'horizon, et
qu'il se couche lorsqu'il descend au-dessous. On distin-
gue plusieurs espèces d'horizons; mais cette considé-
ration est étrangère à la sphère armillaire (Foy. Ho-
RIZON ).

9. L'horizon se partage en deux moitiés, dont l’une
se. nomme ortentale et l’autre occidentale. Ces deux
moitiés sont séparées l’une de l’autre par ie méridien.

10. Le MEriDren est un grand cercle qui passe par
les deux pôles. Il divise la sphère en deux parties,
nommées hémisphère ortental et hémisphère occidental.
Ce cercle, qui est perpendiculaire à l'horizon et qui passe
aussi par le zénith et le nadir, a été inventé pour déter-
miner le milieu de la course des astres au-dessus de cet
horizon. On le nomme méridien, parce qu'il est mid
pour tous ceux qui ont le même méridien, ou plus
exactement le même demi-méridien; lorsque le soleil y
est parvenu, il est alors minuit pour ceux qui ont le
demi-méridien opposé.

11. Chaque lieu ayant nécessairement un méridien
particulier sur lequel se trouvent son zénith et son na-
dir, on voit qu'il ÿ a un nombre infini de méridiens

AR

qui vont tous se couper aux pôles du monde. Pour dis-
tuinguer un de ces méridiens des autres , il faut lui ajou-
tér , lorsqu'on en parle, le nom du lieu auquel il appar-
tient. C'ést ainsi qu’on dit : le méridien de Paris, le mé-
riien de Londres , etc., etc. On doit encore remarquer
que par cette désignation on sous-entend un endroit par-
ticulier de Paris ou des autres villes, lequel est ordinai-
rement l'observatoire de ces villes. De cette manière,
par lé méridien de Paris, on entend le méridien qui
passe par le zénith de lobservatoire. La ligne corres-
pondante tracée sur la surface de la terre se nomme mé-
ridienne, Tous les points de la méridienne ont seuls le
même méridien. Les pôles du méridien se nomment
l’ortent et l'occident vrais; ce sont les points où le soleil

,

se lève et se couche dans le temps de l’équinoxe.

12. L'ÉqQuateun est un grand cercle qui a les mêmes
pôles et le même axe que la sphère , et qui la divise en
deux hémisphères, dont l’un se nomme septentrional
ou boréal, parce qu'il contient le pôle du même nom,
et dont l’autre se nomme méridional ou austral par Ja
même raison. Ce cercle est nommé cquateur à cause de
l'égalité des jours et des nuits, qui a lieu pour toute la
terre lorsque le soleil occupe un de ses points, ce qui
arrive deux fois par an, savoir, vers le 21 mars et le
23 septembre, et ce qu’on appelle l’éequinoxe. L'équa-
teur coupe l'horizon en deux points, qui sont l’est ou
lorient, et Y'ouest ou l'occident. Ces points sont les pôles
du méridien.

D’après cette définition de l'équateur, on voit qu'il
est coupé perpendiculairement par tous les méridiens,
puisque tous les méridiens passent par ses pôles.

13. L'ÉCLIPTIQUE est un autre grand cercle qui coupe
obliquement l'équateur et fait avec lui un angle d’envi-
ron 23° 28’. Cet angle se nomme l’obliquité de l'éclip-
tique. L’écliptique occupe le milieu d’une bande nom-
mée ZopraqQuE dont la largeur est de 16 à 18 degrés. Le
soleil ne s’écarte jamais du cercle de l’écliptique dans Ja
route qu’il paraît parcourir par son mouvement propre;
mais les planètes s'en éloignent tantôt vers un pôle et
tantôt vers l’autre, les uns plus et les autres moins.
C'est pour cette raison queles premiers astronomes ont
formé le zodiaque, auquel ils ont donné une largeur suf-
fisante pour qu'il pût contenir les orbites des planètes
qu'ils connaissaient.

14. L'écliptique, ou plutôt son plan, faisant un angle
avec le plan de l'équateur, les axes de ces cercles font
nécessairement le même angle; c’est-à-dire que le pôle
de l’écliptique est éloigné de 23° 28° de celui de l'équa-
teur.

15. On partage le zodiaque en douze parties égales,
qu’on appelle signes. Chaque signe a une étendue de
30° : le cercle entier étant supposé divisé en 360°. Les

ù AR 447

noms de ces Signes, ainsi que les époques de l’année où
le soleil paraît les atteindre, sont :

Y le Bélier, 21 mars.
© le Taureau, 20 avril.
H les Gémeaux, 21 mai.
& le Cancer, 22 juin,
8, le Lion, 23 juillet.
np la Vierge, 23 août.

+ la Balance,
MA le Scorpion, 24 octobre.
> le Sagittaire, 23 novembre,
% le Capricorne, 22 décembre,
= le Verseau,
X les Porssons,

23 septembre.

20 janvier.
19 février.

16. Le soleil parait parcourir les trois premiers signes
pendant le printemps, les trois suivans pendant l'été,
les trois autres pendant l'automne et les trois derniers
pendant l'hiver.

17. On nomme points équinoxiaux les points où l'é-
cliptique coupe l'équateur, et points solsticiaux les deux
points de l’écliptique les plus éloignés de l'équateur, Ces
quatre points séparent les signes d’une saison de ceux
d’une autre.

18. Les colures sont de grands cercles qui se coupent
perpendiculairement aux pôles de la sphère, et dont
l'un passe par les points équinoxiaux, et l’autre par les
points solsticiaux : ils divisent le zodiaque et l’équateur
en quatre parties égales. On les distingue par les noms
de colure des solstices et colure des équinoxes, d’après
les points où ils passent, Ges deux cercles sont de vérita-
bles méridiens.

19. Les Troriques sont deux petits cercles parallèles À
l'équateur qui touchent l’écliptique aux points solsti-
ciaux. Celui qui est dans la partie septentrionale se
nomme {ropique du cancer, et V'autre tropique du capri-
corne. Ces noms leur ont été donnés parce qu'ils tou-
chent l’écliptique aux commencemens des signes du can-
cer et du capricorne. “

Dans le chemin que le soleil semble parcourir sur l’é-
cliptique, si l’on suit sa trace en partant de l’un des
points où ce cercle coupe l'équateur, on le voit s’éloi- Ë
gner de l'équateur, en décrivant chaque jour, par l'effet

. du mouvement diurne, des cercles de plas en plus petits,

parallèles à ce dernier, ou plus justement des portions
de spirale à peu près parallèles. Parvenu à l'un des
points solsticiaux, il décrit le cercle tropique, puis se
rapproche ensuite de l'équateur et le dépasse en s’en
éloignant pour aller atteindre l'autre point solsticial , et
s’en rapprocher ensuite de nouveau. C’est pour cetta
raison qu’on a donné le nom de tropiques aux deux pe-
tits cercles qu'il décrit à ces poïnts solsticiaux où il pas

148 AR
raît retourner vers l'équateur Le mot fropique Venant
du grec rptæw , je relourne.

20. Les points du cercle de l’horizon où le soleil se
lève et se couche dans nos climats, lorsqu'il décrit le tro-
pique du cancer, se nomment lorient et l'occident d'été,
et ceux où il se lève et se couche lorsqu'il décrit le tro-
pique du capricorne se nomment lorient et l'occident
d'hiver.

21. Les deux cERCLES poLAIRES sont décrits par les
pôles de l’écliptique, tandis que la sphère entière fait sa
révolution autour des pôles de l'équateur. Ces cercles
sont donc éloignés des pôles du monde de 23° 28".

22. Outre les cercles dont nous venons de parler , et
qui composent la sphère armillaire, il y en a d’autres,
soit grands soit petits, dont la connaissance est indispen-
sable pour l'astronomie et la géographie. On les nomme
cercles verticaux, cercles de déclinaison, de latitude, et
cercles horaires. Voy. DÉcrinaison, Larirune, VErTi-
CAUX.

23. Il nous reste à parler des différentes positions de
la sphère, désignées sous les noms de sphère droite,
sphère oblique et sphère parallèle.

La spnère Droite est celle dans laquelle l'équateur
coupe l'horizon à angles droits. Ainsi, tous les peu-
ples qui sont sous la ligne équinoxiale, ou dont le zé-
nith est sur l’équateur céleste, ont la sphère droite.

La spnÈRE oBLIQUE est celle dans laquelle l'équateur
coupe obliquement l'horizon. Telle est donc la position
de la sphère pour tous les peuples de la terre, excepté
pour ceux qui sont sous l’équateur ou sous les pôles.

Enfin, la spnÈRE PARALLÈLE est celle dont l’équateur
se confond avec l'horizon : alors le zénith est à l’un des
pôles du monde.

Il est facile de comprendre que, dans ces trois posi-
tions de la sphère, les apparences des mouvemens cé-
lestes doivent être entièrement différentes. V’oy. Lever,
Covcuer, Jour NATUREL et JOUR ARTIFICIEL.

ARMILLE. Ancien instrument dont les astronomes
se servaient pour leurs observations. Il était composé de
deux cercles de cuivre fixés l’un dans le plan de l’équa-
teur, l’autre dans celui du méridien, et d’un troisième
cercle mobile. Depuis long-temps cet instrument a été
abandonné.
= ARPENTAGE (dérivé d’arpert, nom de plusieurs
mesures agraires employées en France). Art de mesu-
rer les terrains , ou application de la géométrie à la me-
sure des terrains.

Tous les écrivains s'accordent à placer en Egypte l’o-
rigine de l’arpeutage; mais ils la racontent de diverses
manières : suivant les uns (Proclus in 1), les crues pé-
riodiques du Nil confondant les limites des propriétés,
il devint indispensable de se former des règles pour as-

AR

signer à chacun ce qui lui appartenait avant l’inonda-
tion; et cette nécessité fit naître les premières notions de
la géométrie. Suivant d’autres (Hérodote, liv. 1), dont
les conjectures paraissent mieux fondées, sous le règne
de Sésostris, l'Égypte fut coupée par de nombreux ca-
naux, que ce prince répartit entre ses sujets. Ce
partage s’effectua d’après les instructions de Thot,
ninistre de Sésostris, qui jeta à cette occasion les fon-
demens de la géométrie. Quoi qu’il en soit de ces ver-
sions , que nous examinerons autre part (v0y. GÉOMÉ-
TE) , il parait certain que le besoin de déterminer la
figure et les dimensions des terrains a donné naissance à
cette branche importante des mathématiques, si res-
treinte à son origine, si vaste de nos jours, et que nous
désignons sous le nom de géométrie , quoique ce nom,
qui signifie littéralement en grec mesure de la terre,
soit loin d’en caractériser la nature et l’objet.

L’arpentage , en donnant à ce mot sa plus grande ex-
tension, se divise en trois parties : la première se com-
pose des opérations qu'il faut exécuter sur le terrain
même ; la seconde, des opérations qui ont pour but de
représenter sur le papier la figure et les proportions du
terrain mesuré; la troisième, des calculs nécessaires
pour arriver à la connaissance de la superficie ou de
l'aire du terrain.

La première partie est proprement l’arpentage; la
seconde , le /evé des plans , et la troisième ; le toise.

1. Les instrumens dont on se sert pour opérer sur le
terrain sont : l’éguerre , le graphomètre, la boussole , la
planchette et le niveau. 1] faut de plus une chaine et
des fiches pour mesurer les longueurs, et des jalons pour
tracer les alignemens.

2. Les jalons sont des bâtons droits ferrés en pointe
par le bas et fendus par le haut , pour recevoir un petit
carré de papier; leur longueur est arbitraire. On trace
un alignement à l’aide des jalons de la manière sui-
vante :

Soit proposé de mener sur le terrain une ligne droite
qui passe par les deux points À et B, et qui se prolonge
plus loin en E. Pour cet effet, on plantera deux jalons
AetB(Pz. V, fig. 2) perpendiculairement à l'horizon :
ces deux jalons détermineront l'alignement. A une dis-
tance BC, prise à vue d’œil, égale à AB, on plantera
un troisième jalon C, dont on ajustera la tête en avan-
ant ou reculant, de manière que le rayon visuel qui
passe par C et B rencontre À dans une même ligne
droite. On fera une semblable opération en D, en pre-
nant la distance CD à peu près égale à BC ou AB ; c’est-
à-dire qu’on plantera un troisième jalon D, en ayant
soin que le rayon visuel DC passe par les points B et A:;
ce que l’on connait lorsqu’en visant de D en C, les ja-
lons Bet À sont cachés entièrement par le jalon C. On
continuera de même aussi loin qu’on le voudra,

AR

Si le terrain sur lequel on veut prendre un aligne-
ment est montueux , On en suivra les sinuosités de trois
en trois jalons, en alignant chacun de ces jalons avec
les deux qui le précèdent, et se servant de jalons plus
petits les uns que les autres, suivant le besoin.

3. La chaine est une chaîne de fer de dix mètres de
Jongueur, Elle est divisée de mètre en mètre par des
anneaux de cuivre; et chaque mètre est encore subdi-
visé en moitié ou en quart par de plus petits anneaux.
Elle se termine à chacun de ses bouts par un anneau plus
large, qu'on nomme poignée, et dans lequel on peut
passer la main pour la tendre. Les poignées font partie
de la longueur de la chaine.

On se sert aussi, au lieu de chaine, d’un ruban de
fil divisé en mètres et parties de mètre,

4. Les fiches sont des tringles de fer d’un demi-mètre
de hauteur, et d’une épaisseur suffisante pour qu’on
puisse les enfoncer en terre sans les courber.

5. Pour mesurer uve ligne droite avec la chaine et
les fiches, il faut deux personnes : la première, qui est
l'aide ou le porte-chaïne, marche en avant, tenant les
fiches de la main gauche et une poignée de la chaine de
la main droite; la seconde, ou l’arpenteur, suit en ar-
rière en tenant l’autre poignée. Après avoir planté une
première fiche au point de départ, le porte-chaîne
marche directement sur l'alignement en se dirigeant à
l'aide des jalons préalablement posés. Lorsqu'il se sent
arrêté par l’arpenteur , qui appuie sa poignée contre la
première fiche, le porte-chaine tend la chaine en pas-
sant une fiche dans la poignée, et eu enfonçant ensuite
cette fiche dans la terre. Cela fait, il continue sa route
jusqu’à ce que l’arpenteur, arrivé à cette seconde fiche,
l'arrête de nouveau pour tendre la chaîne et planter une
nouvelle fiche. Ils continuent d'opérer de cette manière
tant que le porte-chaine à des fiches : lorsqu'il les a
toutes employées , l’arpenteur, qui les lève à mesure,
les lui rend , en cotant leur nombre sur un morceau de
papier, sauf la première, qui demeure pour servir en-
core de point de départ. Ordinairement, il y a en tout
onze fiches. Ainsi chaque cote est de 10.

L'opération se continue de la même manière jusqu’au
poin’ où l’on doit arriver. Lorsque la distance de ce
point à la dernière fiche est plus petite que 10 mètres,
on a soin de la mesure: exactement, et on l'ajoute au
nombre total des fiches, qui vaut dix fois autant de
mètres.

Cette opération, quoique très-simple, demande ce-
pendant une grande attention; car, si la chaîne n’est
pas suffisamment tendue à chaque station, ou si le porte-
chaine s’écarte de l'alignement, la mesure n’est plus
exacte.

Nous allons exposer les principales opérations d'ar-
pentage qui ne demandent que la chaine et les jalons.

AR 149

6. ProgLÈME Î. Mesurer une distance inaccessible AB
(PL. V, fig. 1).

Prolongez à volonté AB vers C, et du point C menez
une droite CF faisant avec AC un angle à peu près droit.
Etablissez ensuite, avec des jalons, la ligne BF; et du
point D, milieu de CF, menez une ligne droite BD, et
prolougez-la vers G en prenant DG—BD. Par les
points F et G, menez l’alignement FE, et par le point
D menez ug autre alignement vers À , que vous prolon-
gerez au-desses de CF jusqu’à ce qu'il rencontre FE
en E, où vous planterez un jalon. Mesurez enfin EG,
cette ligne est égale à la distance demandée AB.

En effet, AC et FE étant parallèles par construction,
les angles CAD et DEF sont égaux (voy. Anczrs, n° 7).
Ainsi, les triangles BDA et EDG, cui ont les côtés
égaux BD et DG, et les angles égacx CAD et DEF,
BDA et EDG, sont entièrement égaux (voy. TatancLrs)
donc AB—GE.

»

7- ProsLème I. Tracer sur le terrain une ligne per.
pendiculaire à une autre
ligne donnée. C

Soient AB la ligne
donnée, et D le point
où doit tomber la per-
pendiculaire. MenezDE
de maniere que l’angle
EDB soit aigu; prenez
DE=DB;et, par les
points E et B, tracez un

alignement BEC; mesu- A D B
rez BE avec soin, et faites CB égal à

2DB

“EB'

Le point C appartiendra à la perpendiculaire, dont l’a-
lignement se trouvera ainsi déterminé par les deux
points C et D.

En effet, le triangle CDB étant rectangle en D, si
l’on conçoit DF perpendiculaire sur l’hypothénuse CB,

on aura (v0y. TRIANGLE RECT.)
DB — CB X BF.
Mais, par construction , BF — 3EB ; donc on a aussi
DB = : CB X EB;

et, conséquemment ,

» |
2 DB
CB=—°.
EB
Par exemple, si l’on avait DB — 100 mètres, et que

l’on eût mesuré EB — 98 mètres, on trouverait par le

\
f

calcul

20000

BEST

—= 204",08.

450 AR
On prendrait donc sur Falignement BC une longueur
de 204,08, et le point C serait déterminé.
8. S'il s'agissait d’abaisser c
une perpendiculaire d'un
point donné C, sur AB, on
mènerait CA et CB de ma-
nière que les deux angles
CAB et CBA fussent aigus,
et l’on déterminerait le pied
D de la perpendiculaire en A D B
calculant DB par l'expression
Echo.
DB UTÉ

Voy. TRIANGLES. |

8. Pros. III. D'un
point donné À sur le

terrain,menerune ligne

parallèle à une autre

ligne donnée BC. E A
Formez un triangle

BDC dont un côté DC

passe par le point don-

né À, mesurez BD, DC

et AD, et calculez DE par la formule

B C

Le point E sera l’un des points de la parallèle deman-
dée dont il ne s'agira plus que de faire passer l’aligne-
ment par À et E. La valeur de DE est une conséquence
de la similitude des triangles EDA et BDC. Foy. Trian-
GLES SEMBLABLES.

9. L'emploi de l'équerre rend la solution des problè-
mes précédens beaucoup plus simple; mais nous avons
voulu donner une idée des ressources que les arpenteurs
peuvent tirer de la géométrie, dont, en général, ils ne
possèdent pas une connaissance assez approfondie. Foy.
au mot EQuERRE l’usage de cet instrument.

La description et les usages de la planchette et du
graphomètre seront également donnés aux mots PLan-
cuerTE et GRAPHOMÈTRE. Voyez aussi LEVÉ DES PLANS,
Mesure, NivVELLEMENT, SURFACE , VOLUME et Pory-
GOKES.

ARTIFICIEL. On donne quelquefois le nom de
nombres artificiels aux sinus, tangentes et sécantes.

En astronomie, on appelle sphère artificielle le globe
par lequel on représente la voûte concave du ciel.

L'horizon artificiel est le même que l’horizon ration-
nel ou mathématique qui passe par le centre de la terre,
il est différent de l’horizon sensible qui pour chaque
observateur varie suivant le plus ou le moins d’éléva-
tion, Voyez Honizon.

AR

Le jour artificiel est Ve nychthémère des Grecs, où le
jour de of heures, par opposition au jour naturel qui
est Le temps de la présence du soleil au-dessus de l’ho-
rizOn.

ARTILLERIE, ars tollendi, de ars, art, moyen, et
du gérondif de tollere, enlever, — lancer au loin. Ce mot
sous lequel on a d’abord désigné , dans le moyen-âge, les
engins ou balistes qui servaient à l'attaque ou à la dé-
fense des places, s'applique expressément aujourd’hui
à la théorie des projections opérées au moyen de la
poudre ; on le donne aussi par extension au corps mili-
taire chargé spécialement de diriger l'emploi des ma-
chines consacrées à ce service.

Considérée seulement sous le point de vue historique
de son utilité militaire, l'artillerie a fait d'immenses pro-
grès, depuis l’époque où, pour la première fois, on ap-
pliqua à l’art de la guerre la découverte de la poudre. Ce
moyen terrible de destruction, sur l’origine duquel on
n’est pas parfaitement d’accord , soit qu’on en attribue
l'invention à Roger Bacon, à Bertholde Schwarts ou à
Constantin Anchtzen, exerça une prodigieuse influence,
non-seulement sur la tactique militaire, mais encore sur
l’ordre social tout entier. Les armes à feu ont en effet
beaucoup plus contribué à la chute du système féodal,
que toutes les spéculations des publicistes ou la politique
des rois, à qui l’on fait honneur d’une lutte qui a changé
les formes de la civilisation. Elles firent disparaitre du
champ de bataille l'inégalité des classes, et ce sont au-
jourd’hui les masses uniformément armées, bien plus que
le courage personnel, qui y décident du sort des empires.
Ainsi, quand l’armure défensive des chevaliers fut deve-
nue impuissante à les garantir.contre l’attaque même loin-
taine d’un obscur fantassin, la chevalerie cessa d’être une
institution dominante; elle perdit bientôt ses priviléges,
en abandonnant son ancienne forme, dépouillée désor-
mais du vieux prestige de sa supériorité. Néanmoins l’ar-
tillerie ne sortit que lentement de l’état d’enfance, et
long-temps encore après ses premiers essais, l’absurde
préjugé qui semblait interdire l'étude des sciences,
comme une occupation méprisable, aux hommes d’une
naissance élevée, fit abandonner, par les gouverne-
mens, à des mains inhabiles, la direction de cette arme
nouvelle. Mais la prééminence militaire qu’elle ne tarda
pas à assurer aux nations qui en adoptèrent l'usage,
devait déterminer tôt ou tard une révolution complète
dans la tactique.

L'histoire de la science a plutôt pour but de constater
des résultats que de se livrer à de minutieuses recher-
ches sur des origines douteuses. Il nous parait donc peu
essentiel de décider si ce sont les Vénitiens , en 1336, au
siége de Clodia-Fossa, ou les Anglais à la bataille de
Crécy, en 1346, qui les premiers ont employé la poudre
à l’aide de machines, auxquelles on a donné depuis Le

AR

nom de canons. Il est certain que cette arme meurtrière
ne commença réellement à faire partie du matériel de
la guerre que durant la seconde période du XV* siècle.
Les canons dont on se servait alors n'étaient qu’un
assemblage de pièces de tôle roulée, ajustées les unes
aux autres et cerclées en fer. On les posait sur des ma-
driers, presqu'à fleur de terre, et l’on ignorait ainsi
complétement l’art d’en diriger le feu. Ces procédés
grossiers compromirent souvent la vie des artilleurs, et
firent d'abord négliger une découverte dont l'usage
présentait de si graves dangers, sans amener aucun résul-
tat bien décisif, La construction des canons en fonte de
fer et d’un énorme calibre, qu’on transportait pénible+
ment sur de lourdes voitures, ne permit pas davantage
d'en améliorer la manœuvre, On ne se servait guère
de ces pièces que dans les sièges, où elles remplaçaient
avantageusement l'emploi des anciennes balistes, À cette
époque, on ne se servait généralement encore que de
projectiles en pierre; les machines d’une dimension plus
portative, dont on arma les fantassins, comme l’arque-
buse à croc, n'étaient point même chargées de projec-
tiles d’un autre genre. Le chevalier Bayard fut tué à la
retraite de Rebecco, le 30 avril 1524, d’un coup de pierre
lancée par une arquebuse. Cependant, dès les premières
années du X VI siècle, on commençait à perfectionner
la fonte des canons, et à les monter sur un appareil
spécial nommé affüt, qui en facilita la manœuvre. Les
premiers modèles de ces nouveaux véhicules furent
d’abord lourds et grossiers; leur transport difficile et
coûteux gênait là marche des armées, et explique la
lenteur avec laquelle s’opéraient alors les grands mouve-
mens militaires. Ces premiers essais furent successive-
ment suivis d'améliorations importantes dans le matériel
de l'artillerie, dont une des plus décisives fut la con-
fection de canons d’un calibre moins fort, et obtenus
par une fonte de cuivre et d’étain , alliés dans des pro-
portions données. Ces progrès de l'artillerie qui furent
dus moins à l'expérience qu'aux connaissances mathé-
matiques, qu’on appliqua à la confection et à l'emploi
des machines, décidèrent enfin de la supériorité de
cette arme, dont la direction ne put, dès-lors, être
confiée qu’à des officiers éclairés, qui sont deveuus
l'élite des armées de l’Europe. Cependant le haut degré
de perfection où est parvenue l'artillerie, quoique suscep-
tible encore de réformes et de progrès, n’a été acquis à
cette arme que depuis une date récente, et pour ainsi
dire de nos jours,

La construction des appareils de l'artillerie, et
l'art d’en diriger l'emploi, présentent peu de diffé
rences chez les diverses nations de l'Europe. Ces dif-
férences, si elles existent, se réncontrent soit dans le
calibre des pièces, soit dans les conditions du matériel,
Le officiers d'artillerie de toute l'Allemagne se font

AS 451

remarquer par une instruction profonte; fes officiers
de ce corps Anglais et Russes laissent, au contraire,
beaucoup à désirer sur ce point, et nous ne croyons
pas sacrifier à l'entrainement de l’esprit national, en
avançant ici que le corps d'artillerie française, tant
sous le rapport de l'instruction des officiers , que
sous celui du matériel, a depuis long-temps acquis
une supérioritéincontestable et qu’il a su conserver. Un
grand nombre de sous-offciers et de soldats de cette
arme sont parvenus, en France, à des grades élevés et
ont fait d’excellens officiers; ce qui n’est arrivé chez
aucun autre peuple de l’Europe.

La théorie de l'artillerie, qui doit être l’objet spécial
de nos travaux, repose sur l'application de diverses
branches des sciences mathématiques et physiques. Elle
comporte surtout une connaissance approfondie de la
théorie des courbes et de la mécanique; elle exige des
études étendues en géométrie , dans les arts graphiques,
en chimie, et en physique proprement dite. Nous expo-
serons ailleurs sous tous ces rapports scientifiques, et
dans tous les détails qu’elle implique, cette branche
importante de la tactique. Voyez BALISTIQUE.

ARTIMON ( Marine). Mit de l'arrière, ou troisième
mât d’un vaisseau; il donne son nom à la voile qu’il
porte.

ARZACHELL (Anranam), ou E1ZARACHELL, né à
Tolède dans le XIT° siècle ou à la fin du XI°, est un
des plus savans et des plus laborieux observateurs qu’ait
eus l’astronomie. Arzachell a laissé un ouvrage sur les
éclipses et les révolutions des années, et des tables du
ciel, auxquelles on a donné le nom de Toledanes, Ces
écrits, Gont le dernier surtout dut être consulté par les
rédacteurs des Tables alphonsines, n’ont point été tra-
duits, et ils n’existent que manuscrits dans quelques bi-
bliothèques, où peu de savans ont pu les consulter. Ar-
zachell a été plus utile à la science par le nombre consi-
dérable d'observations qu'il a été à même de réunir, pour
déterminer les élémens de la théorie du soleil, comme
le lieu de son apogée et de son excentricité. Il fxa l’obli-
quité de l’écliptique à 23° 34’. Cet astronome, qui a eu
long-temps de la célébrité, était de la religion juive.
On ignore l’époque précise de sa naissance et celle dé sa
mort.

ASCENDANT ( Astr.). Mouvement qui se fait en
montant. Le r7œud ascendant d'une planète est le point
où elle traverse l’écliptique en allant du midi au nord,
tandis que le zœud descendant est celui par lequel elle
passe pour aller du nord au midi. Le nœud ascendant de
lalune, nommé aussi anabibazon , se représente par le
signe Q; le nœud descendant de cet astre a le signe
opposé Ü.

On nomme signes ascendans les trois premiers et les
trois derniers du zodiaque, savoir : Le Bélier, le Tau-

452 AS

reau, les Gémeaux, le Capricorne, le Verseau et les
Poissons, parce que le soleil, en parcourant ces signes,
s’élève de plus en plus au-dessus de l'horizon dans ros
contrées septentrionales, et semble monter vers le zénith.
Les six autres signes sont appelés descendans pat la rai-
son contraire. Les signes ascendans deviennent descen-
dans, el vice vers& pour les peuples qui ont le pôle boréal
au-dessus de l'horizon.

On donne encore le nom d’ascendant au point de
Yécliptique situé dans l'horizon oriental, c’est-à-dire au

point qui se lève,

ASCENDANTE (Arith.). Progression ascendante ;
c’est celle dont les termes vont en croissant : telle est la

progression arithmétique.
LOS DIET OUT T T135 "etc,
ou la progression géométrique

25 4» 8: 10, 32, 6%, 128, etc,

ASCENSION ( Astr.). Arc de cercle mesuré sur
l'équateur, et compris entre le point équinoxial et le
point de l’équateur qui se lève en même temps qu’une
étoile ou qu’une planète, On distingue l'ascension en

droite et oblique.

L'Ascension protTE d’un astre est l’arc de l'équateur,
compté dans l’ordre des signes, depuis le commence-
ment du Bélier jusqu’au point où il est coupé par le
méridien de cet astre, ou, ce qui est la même chose,
c’est l’arc équatorial compris entre le point équinoxial
et le point de l'équateur qui passe au méridien en même
temps que l’astre.

L’'ASGENSION O8LIQUE d’un astre est l’arc de l'équateur
compris entre le premier point du Bélier ou le colure
‘des équinoxes, et le point de l'équateur qui se lève en
même temps que l’astre. L’ascension oblique est donc
plus ou moins grande selon la différente obliquité de
[a sphère; tandis que cette obliquité n’exerce aucune
influence sur l'ascension droite. La différence entre ces
‘deux ascensions se nomme différence ascensionnelle.

La position d’un astre est entièrement déterminée,
sur la voûte céleste, lorsque son ascension droite est
connue, ainsi que la distance où il se trouve de l’équa-
teur au moment de son passage au méridien : l'arc du
méridien qui mesure cette distance se nomme déclinac-
son de l’astre. L’ascension droite et la déclinaison sont
donc, pour un astre, la même chose que la longitude
et la latitude pour un lieu terrestre.

On ne peut déterminer l’ascension droite d’une étoile
fixe que par celle du soleil. Mais cette dernière se trouve
facilement, comme nousle verrons plus bas, au moyen de
sa déclinaison. Lorsque l'ascension droite d’une étoile fixe
est connue, celles de toutes les autres étoiles peuvent

AS

en être déduites sans aucune difficulté : ainsi, la détermi-
nation de l'ascension droite du soleil est la base de
toute l'astronomie, car cette science ne repose que sur
la détermination exacte des lieux que les étoiles occu-
pent sur la voûte céleste.

Le mouvement propre des étoiles fixes étant presque
insensible, leur ascension droite et leur déclinaison va-
rient très-peu; tandis que celles du soleil et des planètes
varient chaque jour d’une quantité plus ou moins consi-
dérable.

Pour trouver la déclinaison du soleil, il faut observer
sa hauteur méridienne au jour donné, et en retrancher
l'élévation de l'équateur au-dessus de l'horizon, le reste
est cette déclinaison. Ainsi, par exemple, à Paris,
où la hauteur de l'équateur est de 41° 10’, si l’on
trouve à midi que celle du soleil est de 50° 15', on
en conclut qu'au même instant la déclinaison du soleil
est de 9° 5". Cette déclinaison étant connue, on peut cal-
culer aisément l’ascension droite qui est l’un des côtés
du triangle sphérique rectangle formé par le méridien,
lécliptique et l'équateur. Nous allons éclaircir cette pra-
tique par un exemple.

Prosrèmr. Connaïissant la déclinaison du soleil, trou-

ver son ascension droite.

Soient ASPBE le méridien, P le pôle, AB l’équa-
teur, SE l’écliptique, N le point équinoxial, et S la posi-
tion du soleil sur le méridien , AS fera la déclinaison.

Tous les méridiens étant perpendiculaires à l’équateur,
le triangle sphérique SAN est rectangle en A : on connait
donc dans ce triangle | P
l'angle droit SAN, l'angle
ANS qui est l’obliquité de
l’écliptique, le côté AS ou

la déclinaison observée,
etil s’agit de calculer le
côté AN, c’est-à-dire la
distance du point équi-
noxial au méridien sur le-
quel le soleil se trouve, ou l'ascension droite.

Or, dans tout triangle sphérique rectangle, la tan-
gente d’un angle est à la tangente du côté opposé comme
le rayon est au sinus de l’autre côté. Nous avons donc ici

tang ANS : tang AS :: R : sin AN,
d'où
R X tang AS

NET ANS

L’obliquité de l’écliptique étant de 23° 28", supposons
AS égal à 9° 5’, et nous aurons

REX tang (9°5) &

taug (23° 287 ©

sin ascension droite =

Opérant par logarithmes, nous trouverons

AS

log. R — 10.0000000

iog. taug (0° 5’) 9.203785

19.2037925
9-6376100

Somme —

log. tang (23° 25°)
Différence —

Ce résultat est le logarithme du sinus de 2r° 36° 33"3,
ou du sinus de 158° 23! 37” 7. Pour savoir lequel de ces
arcs convient à l'ascension droite cherchée, il faut con-
naître dans quel quart de l’écliptique se trouve le soleil ;
car s’il est dans le premier quart l’ascension droite est de
21° 36' 33" 3; tandis que s’il est dans le second, c’est le

supplément de cet arc qu’il faut prendre.

I

9.661719

Comme l'ascension droite se compte d’occident en
orient depuis 0°, c’est-à-dire depuis le point équinoxial
jusqu’à 360°, ou le retour au même point, on voit aisé-
ment que si le soleil se trouvait dans le troisième quart
de l’écliptique , il faudrait ajouter 180° à 21° 36° 33"3,
pour avoir son ascension droite; comme aussi il fau-
drait retrancher ce dernier nombre de 360° pour obtenir
cette ascension, si le soleil était dans le quatrième quart.

En comparant les passages au méridien du soleil avec
ceux d’une étoile, on détermine l'ascension droite de
l'étoile, et il suffit ensuite de cette dernière pour obte-
air celles de toutes les autres étoiles, car la différence
des ascensions droites de deux astres n’est que la diffé-
rence des temps de leurs passages au méridien convertie
en degrés. En effet, le mouvement diurne de la sphère
céleste faisant décrire à chaque point de cette sphère
360° en 24 h. ou 15° par heure, deux astres, dont l’un
passe 5 heures avant l’autre au méridien, sont situés sur
des cercles de déclinaison éloignés l’un de l’autre de
5 fois 15°, ou de 75° en mesurant cette distance sur
l'équateur; mais cette distance est en mème temps la
différence de leurs ascensions droites : ainsi lorsqu'une
de ces ascensions est connue, l’autre s'obtient par une
simple addition ou par une simple soustraction.

Lorsqu'on observe les hauteurs du soleil pour obtenir
sa déclinaison, :l est indispensable de tenir compte des
effets de la parallaxe et de ceux de la réfraction qui con-
courent à modifier ces hauteurs,

La DIFFÉRENCE ASGENSIONNELLE est, comme nous l’avons
déjà dit, la différence entre l'ascension droite et l’ascen-
sion oblique d’un astre, Elle est donnée par cette pro-
portion :

Le rayon est à la tangente de la latitude du lieu de
l'observation, comme la tangente de la déclinaison du
soleil est au sinus de la différence ascensionnelle.

Lorsqu'on connaît cette différence, on connaît en
même temps l'ascension oblique ; car si le soleil est dans
un des signes septentrionaux, il ne faut qu'ôter cette dif-
férence ascensionnelle de l'ascension droite, et la lui

AS 453
ajouter, au contraire, lorsque le soleil est dans les signes
méridionaux.

La différence ascensionnelle sert à connaître de com-
bien les jours de l'année auxquels elle répond diffèrent
du jour de l’équinoxe. Voyez Jour.

ASCHEMIE ( 4str.). Nom du petit chien Procyon.

ASCHÈRE (Ast.). Nom du grand chien Sirius.

ASCIENS (A4str.). De & privatif, et cxioi, ombre. On
appelle ainsi les peuples qui sont quelquefois privés
d’ombre à midi. Les habitans de la zone torride peu-
vent être asciens deux fois dans l’année, quand le soleil
est à leur zénith. On appelle Æntisciens ceux qui ont des
ombres opposées ou dans une direction contraire : tels
sont les peuples des zones froides ; et Hetérasciens ceux
qui ne voient jamais l'ombre que d’un même côté : tels
sont les peuples qui habitent les zones tempérées,
comprises entre les tropiques et les cercles polaires.

ASPECT (A4str.). Situation des étoiles et des planè-
tes les unes par rapport aux autres. On considère cinq
principaux aspects, lesquels, avec leurs signes respec-
tifs, sont :

d ; conjonction, quand l'angle de deux pla-
nétestquelconquesiests..5...1 #10
* , sextile, quand cet angle est de....,....
Le quartiers essteneiets: mO00
AANUTINE Jensen deer de ssl L2O

GEVOPPOSHION etes see Aesennielle cit 0100)

Les angles des aspects se comptent par les degrés de
longitude des planètes; c’est-à-dire que l'aspect est
censé le même , que les planètes soient ou ne soient pas
dans l’écliptique.

Ces termes, ainsi que plusieurs autres inutiles à rap-
porter, ont été introduits dans la science par les astro
logues, qui considéraient les aspects des astres comme
le fondement de leurs prédictions. Quoique les réveries
astrologiques aient passé de mode, les signes précédens
sont encore employés dans quelques ouvrages astrono-
miques.

Lorsque les planètes ont exactement entre elles les
distances ci-dessus, les aspects se nomment aspects par-
tiles ; mais lorsque les distances n’ont pas précisément
ces mesures, les aspects se nomment aspects platiques.

ASPIRANTE (ydraul.). Voy. Pompe ASPIRANTE.

ASSURANCE, contrat synallagmatique, en vertu
duquel une ou plusieurs personnes, agissant en nom

collectif, s'engagent envers une autre personne ou une
association quelconque, au moyen d'une rétribution
ordinairement annuelle, et qu'on appelle Prime, à
garantir les propriétés ou les objets désignés dans
l'acte, de tout risque, dommage ou destruction. Ce con-
trat s'applique, sous diverses dénominations et condi-
tions réciproques. aux propriétés mobilières ou immo-

20

154 AS

bilières, aux chances de la navigation, et en général à
tous les objets dommageables : on l’a étendu aussi à
l'épizootie et à la mortalité humaine. Celui des contrac-
tans qui garantit se nomme ASSUREUR ; l’autre contrac-
tant est désigné sous le nom d’Assure. Les conditions
de l'assurance sont de deux matures en France. Les
premières sont purement civiles; les secondes sont
d'ordre public, c’est-à-dire qu’elles inteydisent toute
stipulation contraire aux lois. L'acte où les conditions
sont énumérées se nomme Pouice. Il existe aussi deux
modes d'assurances : l’ASSURANCE À PRIME, c’est-à-dire
celle où le prix de la garantie est fixé d'avance, garantie
à laquelle l'assureur s'engage de satisfaire, soit que le
dommage dépasse ou non ses prévisions; l'ASSURANCE
MUTUELLE où la quotité de la garantie s'établit par con-
tribution, suivant celle du dommage, entre toutes les
personnes qui se sont mutuellement assurées.

Le système des assurances, dont nous allons successi-
vement exposer l'histoire, l’économie et la théorie, est
une heureuse déduction du principe de l’association,
principe fécond en immenses résultats. L'industrie et le
commerce lui doivent surtout leur prospérité: il a porté
la fertilité dans des champs long-temps arides et in-
cultes, agrandi les villes, favorisé toutes les relations so-
ciales, en établissant de grands centres d'action, dont les
produits se sont écoulés par mille canaux , et ont porté
partout la civilisation et le mouvement créateur qui lui
est propre. Il faudrait faire une abnégation expresse de
sa raison, pour ne pas comprendre que l’action continue
de plusieurs hommes qui suivent une direction uni-
forme, est de beaucoup supérieure à celle du même
nombre d'hommes agissant isolément dans le même
but.

Néanmoins, nous devons nous hâter de dire que, de
nos jours, le principe même de l'association a été l’objet
des systèmes les plus hasardés, des théories les plus dan-
gereuses. On a confondu l'esprit d’association avec l’es-
prit de secte, qui n’ont entre eux aucun point de contact
ou de ressemblance. On a oublié peut-être de part et
d'autre que la société humaine, fractionnée en diverses
nationalités, n’est elle-même qu’une grande association,
dont les associations intermédiaires doivent avoir pour
but essentiel d'accélérer la marche et d'améliorer la
prospérité, mais dont elles doivent avant tout respecter
les principes généraux et les formes politiques. Nul pro-
grès ne peut s'établir en dehors de la science, et jamais
lascience n’est conjecturale; elle n’agit, en effet, que dans
un ordre parfait de réalités. Elle prend la société telle
qu’elle est, et ne rêve point pour elle un type de per-
fection, qu'il n’est donné à l’humanité d'atteindre qu’a-
près un grand nombre de modifications successives.

On comprendra, nous l’espérons, quelle distance sé-
pare ces principes simples et rationnels des dogmes arbi-

AS

traires ct fantastiques proposés par quelques sectes
prétendues réformatrices, dont les audacieuses préten-
tions, colorées de tous les charmes de l'imagination et
de l'éloquence, ont déjà apporté dans la société un
trouble et un malaise que la raison , aidée de la science,
doits’attacher à neutraliser, et que seule elle peut guérir.

On attribue à tort l'invention du système des assu.
rances aux juifs qui, persécutés durant le moyen-äge,
et souvent arbitrairement dépouillés de leurs propriétés,
trouvèrent ainsi le moyen de se prémunir contre l'in-
juste et cruel préjugé dont ils étaient continuellement
les victimes. C’est une erreur , car, d’après le texte formel
des législations de ces temps déplorables, la propriété
immobilière était à peu près partout interdite aux juifs,
et la propriété mobilière ne leur était concédée qu'à
certaines conditions. C’est probablement la méthode de
transporter sans risques de grands capitaux au moyen
de lettres de change, qui est due à ces circonstances,
méthode qu’on a mal à propos confondue avec les assu-
rances. D’autres personnes ont aussi pensé que le systèine
des assurances n’avait point été inconnu à l'antiquité ;
mais on n’en trouve de traces dans aucune législation,
et l’on est fondé à croire que cette allégation n’est pas
moins hasardée que la première.

C’est en Angleterre, sous le règne de la reine Anne,
au commencement du dernier siècle, que la plus
ancienne compagnie d’assurance connue s'établit à
Londres. Cette compagnie existe encore sous le nom de
Société amie, qu’elle prit dès sa formation. Elle a vour
objet les assurances sur la vie.

Plusieurs compagnies s’y établirent successivement, et
appliquèrent ce système aux divers risques de la pro-
priété. Peu à peu la théorie des assurances se rectifia
suivant les progrès de la science; et les compagnies
modifièrent leurs opérations basées d’abord sur des
principes peu exacts. Aujourd’hui le système prévoyant
des assurances est populaire dans ce pays, et ils’applique,
avec un égal avantage pour les assurances et les assurés,
à une foule d’objets qui, par la nature de leur destina-
tion, paraissaient les moins susceptibles d’entrer dans
des prévisions de ce genre. La fortune publique se res-
sent, en Angleterre, de la sécurité qui environne les
propriétés privées placées sous la sauvegarde de ces
institutions, dont le principe, garanti par la loi, est
néanmoins abandonné, dans son application, àla spécu-
lation individuelle.

L'Allemagne a adopté le système des assurances, mais
en général avec une modification essentielle : il y est
devenu une loi de l'État. Le gouvernement a remplacé
les associations ou les compagnies : il est lui-même l’as-
sureur, et prélève les primes d'assurances comme un
impôt spécial, obligatoire pour tous les propriétaires.
Ces deux modes d'assurances conviennent également au

AS

génie des deux natious auxquelles ils s'appliquent. Il
semble que la marche suivie en Angleterre soit plus
conforme à l'esprit des institutions politiques de la
France, quoiqu'une grande partie de ses riches pro-
vinces, nous le disons avec douleur, végète encore
dans les chaînes de préjugés malheureux, qui leur ren-
draient nécessaire la protection paternelle dont fes gou-
vernemens de l'Allemagne environnent leurs sujets. Il
est certain que la raison publique a fait en France assez
peu de progrès pour que le système des assurances contre
les risques de la propriété en général, et celui qui a pour
objet l’accumulation des capitaux, d’après les probabi-
lités de l’existence humaine, y soient encore mal com-
pris, et presque repoussés comme des spéculations inté-
ressées, sans avantage pour ceux qui y participent à titre
d'assurés. Sous ce rapport, et comme avant tout nous
devons la vérité à notre pays, nous dirons que cet état
de choses tient presque autant aux procédés incomplets
et à la marche, souvent embarrassée de contestations
minutieuses, des compagnies d'assurances, qu’à l'igno-
rance malheureusement encore bien profonde des po-
pulations. Nous n’entendons point accuser ici d’une
manière absolue, ni la probité des compagnies d'assu-
rances, ni l'intelligence nationale , mais des faits nom-
breux ne prouvent que trop l'influence de ces deux
causes sur l'éloignement du public pour un mode de
conservation de la propriété, dont l’efficacité est démon-
trée par la raison et l'expérience. En effet, it est cons-
tant, d’une part, que l'application trop restreinte du
système des assurances, ne contribue pas peu à en em-
pêcher la propagation. La plupart des compagnies sont
instituées seulement pour les cas d'incendie; et toutes
ont établi dans la série d’accidens dont elles s'engagent
à réparer le dommage, un nombre considérable d’excep-
tions qui bornent leur intervention à des cas excep-
tionnels heureusement assez rares. Ainsi, les accidens
atmosphériques ou géologiques sont, en général, formel-
lement exclus de l'assurance; et les compagnies formées
pour assurer les propriétes rurales contre la grêle et con-
tre le feu du ciel, qui devraient être un bienfait immense
pour les campagnes, restent encore à établir; car, celles
en petit nombre, qui existent sous cette dénomination,
ontdes policestellement surchargées de prévisions excep-
tionnelles, que leur garanticest à peu près une dérision.
Les capitalistes français qui entrent dans ces associations
ne paraissent pas assez pénétrés de la haute utilité du
mandat qu'ils acceptent dans ces circonstances; l'appât
du gain est évidemment le mobile principal de leur
adhésion aux statuts des compagnies d'assurance, Cette
ayidité ou du moins cette äpresollicitude qu’ils montrent
avant tout pour leurs intérêts, est cependant une des
causes qui nuisent le plus à leurs spéculations, Ce n’est
pas ainsi qu'agissent eu Angleterre les hommes habitués

ete Le p 9

AS

aux grandes opérations du commerce, parce qu'ils ne

455

sont dépourvus ni de connaissances scientifiques, ni de
la moralité qui, à l'époque de civilisation où nous
sommes arrivés, doivent épurer les sources de la pros-
périté individuelle.

D'autre part enfin, ce n’est pas sans raison que nous
accusons l'ignorance publique, puisque naguère, dans la
Chambre des députés même, assemblée où l’on doit
supposer qu'il existe une intelligence plus éclairée des
intérêts généraux, le système des assurances, exposé dans
tous ses développemens avec beaucoup de clarté et de
talent par un de ses membres, n’a trouvé que des au-
diteurs distraits, et en résultat une résolution hostile.
Sur le chapitre du budget consacré AUx SECOURS sp£-
craux, M. Colomès proposa une réduction de 200,000 f.,
en s'appuyant sur les considérations les plus positives
en économie politique. ( ’oyez ze Moxireur , séance
de la Chambre des députcs, du vendredi 2 mars 1832.)
Nous sommes heureux de pouvoir rappeler ici quel-
ques-unes des paroles de cet honorable député. Ce fut
ainsi qu'il s’exprima : — « Je viens appeler votre atteu-
« tion sur les dégâts causés à notre agriculture par la
« grêle et les autres accidens atmosphériques, vous
« démontrer en même temps que la somme destinée
« dans le budget à la réparation de ces maux est perdue
« pour le trésor, sans soulager aucune infortune; enfin,
« soumettre à vos méditations un moyen, selon moi,
« puissant, pour atténuer les effets désastreux de cet
« horrible fléau... Il est une classe toujours trop
« nombreuse, qui songe rarement à réserver le superflu
« des temps heureux pour les besoins de l’adversité;
« et ce défaut de prévoyance devient plus grand à
« mesure que l’on descend dans échelle sociale. Peut-
« être est-il injuste d’accuser cette classe infortunée, si
« peu au-dessus de ses besoins, Le mal provient sans
« doute en grande partie de la faiblesse de ses ressour-
« ces... Qui de vous n’a été profondément affligé de
« l'état déplorable de nos campagnes, lorsque la grêle
« où d’autres accidens atmosphériques sont venus dé-
« truire les espérances du laboureur, le travail de ses
« bras, le produit de ses capitaux?... Ses bestiaux meu-
« rent de misère et de maladie, ses champs languissent
« sans culture, ses forces physiques s’énervent, et les
« suites du désastre deviennent plus affligeantes que le
« désastre lui-même. Et ne croyez pas que ce tableau
« déchirant ne se rencontre que dans une classe peu
« nombreuse : elle constitue, au contraire, la très-
« grande majorité des propriétaires de fouds de terre;
« et pour preuve de mon assertion je vous citerai des
« chiffres irrécusables. Sur dix millions de familles
« agricoles, huit millions, c'est-à-dire les quatre cin-
« quièmes, paient moins de 20 francs de coutribu-
« tions, »

156 AS

Après ces considérations générales qui auraient dû
frapper une assemblée entièrement composée de grands
propriétaires ruraux, M. Colomès entre dans l'exposi-
tion spéciale de son sujet. Il résulte de ses recherches que
le gouvernement dépense chaque année près de deux
millions de secours spéciaux , mais que les pertes que ce
fonds est destiné à soulager dépassent souvent cent mil-
lions, et sont rarement au-dessous de cinquante. Il est
évident que la répartition de la somme allouée ne peut
produire aucun bien: le contingent assigné à une com-
mune dont les champs ont été dévastés par la grêle, ne
dépasse que dans des circonstances fort rares la somme
de deux cents francs !

En cherchant quel remède on pourrait opposer à un
mal aussi intense, et dont le retour périodique attaque
la production dans son principe, M. Colomès rend jus-
ess au système des assurances , qui offre, suivant lui,
ile meilleur moyen de suppléer à l'imprévoyance des
hommes ; mais il ne pense pas que les compagnies d’assu-
rance contre la grêle, établies d’après le principe de
la mutualité puissent présenter des résultats aussi heu-
reux que dans les autres circonstances où ce principe
est appliqué; il s'appuie à cet égard sur un raisonne-
ment assez concluant. « Il y a pour ces compagnies,
« dit-il, dans la nature même de leurs assurances, un
« principe de mort auquel elles ne peuvent de
« long-temps échapper : c’est l'inégalité des chances
a courues par les divers assurés, Il n’en est pas de la
a grêle comme des incendies. Dans ces derniers, les
« sinistres peuvent être le résultat de l’incurie des
« hommes, qui est à peu près la même partout ; tandis
a que pour la grêle les chances varient à chaque pas.
« Telle commune se souvient à peine d’avoir été frap-
« pée par ce fléau, tandis que la voisine l’est presque
« annuellement. C'est que les courans atmosphéri-
« ques qui entrainent les nuages et contribuent à leur
« formation, sont le résultat de la configuration du sol,
« et affectent plus particulièrement de certaines direc-
« tions... C’est donc se bercer d'illusions que d’avoir
« foi dans l'avenir des sociétés d'assurance contre la
« grêle, établies sur le principe de la mutualité. Une
« société à prime, dans laquelle le paiement intégral du
« sinistre serait garanti par l'assureur, deviendrait en-
« core plus impossible , à moins qu'il n’y eût pour cha-
« quelieu, pour chaque champ, une prime différente ;

NS ie. ;
« car si l’on établissait une prime moyenne, la même

« pour tous les lieux, un inconvénient semblable se
« reproduirait, et l'assureur serait bientôt ruiné. »
Nous espérons prouver bientôt que ces appréciations
de l'assurance à prime et mutuelle ne sont exactes que
Mans l'hypothèse choisie par l'honorable député ; hypo-
thèse d’après laquelle l'assurance serait bornée à une

localité donnée, comme un département, et restreinte

AS

aux dommages causés par la grêle. Mais ce n’est pas le
seul risque qui puisse atteindre la propriété rurale.
M. Colomès se demande s’il n’existe que ces deux moyens
de produire le bien qu’on attend d’une compagnie d’as-
surance contre la grêle. Il s’élève d’abord contre le pré-
jugé qui fait souvent aussi regarder une assurance comme
une affaire lucrative, dans laquelle l’assuré reçoit plus
qu'il ne donne; et il propose ensuite un système d’an-
nuités par contribution ou primes remboursables en
dix ans, dont le fonds de terre frappé par la grêle serait
la garantie. Dans la crainte d'établir une centralisation
qu'il croit dangereuse et nuisible, il ne veut pas faire
dépendre d’un point unique les intérêts matériels de la
France entière, et il se borne à demander des annuites
départementales, c'est-à-dire une organisation d’assu-
rance par département. C’est en cela que M. Colomès à
avec les intentions les plus louables, nous parait s'être
trompé , et n'avoir pas envisagé son sujet sous un point
de vue assez vaste. Au reste son système est ingénieux et
d’une application facile, il aborde d’ailleurs une question
fort grave , et il est triste qu'il n’ait point été approfondi
par la Chambre, qui lui refusa l'appui de ses lumières
en passant à l’ordre du jour.

Nous devons donc observer ici que plus un système
d'assurance embrasse de risques, en s'appliquant à une
grande superficie, plus il s'ouvre de chances de les cou-
vrir par le nombre plus considérable d’assurés qu’il doit
réunir, N’examinons l’économie de ce système que dans
son application aux risques de la propriété rurale, à part
ceux des habitations. Il est évident, par exemple, qu’en
restreignant les opérations d’une grande compagnie aux
assurances contre la grêle, elle n'aura pour assurés que les
habitans des localités où ce fléau se reproduit le plus
souvent, et que cette compagnie établie sur le principe
de la prime ou sous celui de la mutualité, peut voir en
une seule année se consommer toutes ses ressources.
Dans ce cas certainement, M. Colomès a raison. Mais,
outre que l'affection particulière des courans atmosphé-
riques pour certaines directions n’est pas démontrée,
puisque la formation et la précipitation de la grèle s’ef-
fectuent spontanément, ct toujours avec les anomalies
les plus bizarres, les propriétés rurales sont soumises à
d’autres risques, qui, dans une vaste superficie comme
celle de la France, compenseraient les uns par les autres
ce qu’il y a de local et d’accidentel dans leurs sinistres.
Ainsi, la gelée, la pluie, la sécheresse, l'invasion des
insectes, les inondations, les éboulemens de terrain,
sont des accidens qui peuvent affecter plus ou moins, et
à différens intervalles, les propriétés rurales dans toutes
les parties de la France. C’est seulement dans une vaste
association, dans une assurance générale à prime ou
mutuelle,
maux occasionnés par de tels désastres. L'égoisme de

qu'on pourrait trouver la réparation des

AS

localité disparaîtrait nécessairement dans cette combi-
naison , car le canton qui n’est point exposé à la grêle
est soumis à d’autres risques. fl résulte des recherches
statistiques auxquelles a dù se livrer M. Colomès, que les
pertes occasionnées par ces divers accidens s’élèvent an-
nuellement en France à ure valeur de 50 à 100 millions.
En prenant la moyennede ces deux sommes pour basedes
opérations d’une puissantecompagnie d'assurance, et celle
de dix millions de propriétaires dans le cas d’y partici-
per comme assurés, on verra que d’une part il serait
facile d'établir une échelle de primes , aujourd’hui sur-
tont que les opérations cadastrales touchent à leur fin,
d’après des bases facilement appréciables; et que, d’autre
part, il y aurait garantie suffisante dans les recettes de la
compagnie pour indemniser les assurés, pourvoir aux
frais de l'administration, et pour la réalisation de béné-
fices considérables en faveur des actionnaires du fonds
social. Sans doute une telle entreprise exigerait peut-
être des dispositions législatives toutes spéciales, et par
conséquent le concours actif de tous les pouvoirs de
l'État. Aussi ne présentons-nous point cette hypotlièse
comme une théorie réalisable immédiatement, mais seu-
lement comme un aperçu du bien que le système des
assurances largement appliqué est susceptible de réaliser.

Nous avons dit en commencant que les compagnies
d'assurances étaient établies d'après deux modes princi-
paux : l'assurance à prime et l'assurance mutuelle. Les
compagnies d'assurances à prime sont les plus nom-
breuses ; elles semblent présenter en effet plus de ga-
ranties , tant sous le rapport de leur organisation firan-
cière que sous celui de la surveillance légale dont elles
sont l’objet. On appelle compagnie d'assurance à prime
une association de capitalistes, qui, présentant un fonds
social d’une valeur déterminée, s'engage, moyennant le
paiement annuel d’une contribution fixe, établie d’après
un tarif joint à ses statuts, à garantir contre tout risque ;
suivant sa spécialité, contre l’incendie, la grèle, les
désastres maritimes, et les habitations, les navires, les
propriétés rurales, etc. Cette contribution ou prime est
ordinairement établie d’après une échelle de proportion
des objets à assurer. Ainsi, par exemple, la prime à payer
pour l'assurance de constructions en pierres est moins
élevée que celle exigée pour les constructions en bois.
L’assuré passe avec l'assureur un contrat ou police où
sont énumérées les conditions de l'assurance ; et où sont
prévus tous les cas qui pourraient l’annuler. L'assurance
se contracte pour un certain nombre d'années, et il
arrivesouvent que les compagnies qui entrent en concur-
rence avec celles établies précédemment, proclament
comme un nouveau système d'assurance les changemens
insignifians qu’elles apportent à ces conditions. La plu-
part de ces compagnies sont instituées contre l'incendie j
et les primes sont établies d'après l'évaluation en argent

AS 157

des objets immobiliers ou mobiliers soumis à l'assurance;
cette prime, par exemple, est fixée à 50 c. pour chaque
1,000 fr. de la valeur conventionnelle de l’objet assuré ;
muis cette valeur ne saurait être fictive, et en conséquence,
au moyen d’une prime de 10 fr. qui représenterait ainsi
une valeur de 20,000, on ne pourrait assurer une pro-
priété dont la valeur réelle ne serait que de 10,000. Il
est arrivé quelquefois que la négligence apportée par
les compagnies dans l'estime des objets assurés, les a
rendues victimes des spéculations les plus coupables.

La législation française, semble favoriser les opéra-
tions des compagnies d'assurances, en rendant le locataire
responsable de l'incendie. Le Code civil s'exprime ainsi :
« Art. 1733. Le locataire répond de l'incendie, à moins
« qu’il ne prouve que l'incendie est arrivé par cas for-
« tuit, force majeure, ou par vice de construction, ou
« que le feu a été communiqué par une maison voisine.
e —Art. 1734. S'il y a plusieurs locataires, tous sont soli-
« dairement responsables de l'incendie, à moins qu'ils
« ne prouvent que l'incendie a commencé dans l’habi-
« tation de l’un d’eux, auquel cas celui-là seul en est
« tenu ; ou que quelques-uns ne prouvent que l'incendie
« n’a pas commencé chez eux, auquel cas ceux-là n’en
« sont pas tenus. » En couséquence, les compagnies
garantissent habituellement les locataires de la respon-
sabilité résultante de cette loi. Mais l'établissement, en
France, d’un grand nombre de corps de pompiers,
institués daus presque toutes les communes, et qui se
portent rapidement sur les lieux incendiés, a rendu les
désastres occasionnés par l'incendie assez peu fréquens ;
et la sécurité qu'ils inspirent dans les villes surtont a
beaucoup influé sur le peu de succès des compagnies d’as-
suraxces. Ce devrait être pour elles une raison puissante
de donner plus d’étendue à leurs opérations.

Les compagnies mutuelles n’ont point de fonds social ;
l'assuré y est assureur comme l'assureur y est assuré :
elles se forinent par la réunion d’un certain nombre de
personnes qui s'engagent à se garantir mutuellement
contre les risques de l'incendie, suivant des conditions
déterminées. Ce système n’est pas sans inconvénient,
car la réparation des sinistres ne peut s’y opérer qu'avec
lenteur et lorsqu’à la fin d'un exercice un appel de fonds
est fait aux associés; la quotité de chaque contribution
étant établie d'après celle des dommages. Il peut arriver
que, d'après ce mode, onsoit parfaitement garanti durant
plusieurs années sans être soumis à aucune contribution,
et que tout à coup cette contribution s'élève à une forte
somine ; ce qui dépend absolument du nombre de cas
d'incendie et de celui des membres de l'association.
L'assurance à prime fixe est donc préférable; car, d’ail-
leurs, il ne peut jamais s'élever de contestation sur sa
quotité. Les compagnies d’assurance à prime, et les
compagnies d'assurance mutuelle ne peuvent opérer

158 AS

qu’en vertu d’une ordonnance royale qui en a reconnu
l'existence légale , et qui en a approuvé les statuts.

Les assurances maritimes sont toujours à prime; elles
paraissent avoir même en France une existence assez
ancienne, bien qu’elles fussent connues sous d’autres
dénominations, et que le contrat qui lie l'assureur et
l'assuré n’eût pas les mêmes conséquences. Les risques
maritimes sont un des objets qui présentent le plus
d’éventualités : aussi la loi s’est-elle attachée à régler
avec une haute prévoyance cette partie essentielle du
système d’assurance. Il parait même que la loi française
repose, à cet égard, sur des principes assez généraux
d'équité et de bonne foi, pour qu’elle ait été adoptée
par toutes les nations de l'Europe.

Il existe à Paris un assez grand nombre de compagnies
d'assurances qui s'appliquent à des risques éventuels et
spéciaux, comme celle qui assure les propriétaires de
voitures contre la responsabilité qu'ils encourent des
dommages qu’ils peuvent causer , etc. Ces associations ,
qui ont toutes un but utile, reposent sur les principes
généraux que nous avons exposés.

Il n'en est pas de même de l'assurance sur la vie:
nouvellement introduite en France, on peut la définir ;
un contrat au moyen duquel on peut léguer à autrui un
capital après sa mort, ou se préparer à soi-même des
ressources pour un âge plus avancé. Cette assurance
s'opère par une prime annuelle ou une fois payée: elle
peutavoir lieu pour un certain nombre d’années, et dans
une foule de circonstances prévues par la police d’assu-
rance. Les primes sont déterminées pour chaque âge, et
suivant les professions qui présentent plus ou moins de
chances de mortalité.

Telle est l'économie générale du système d'assurance
dont il nous reste à exposer la théorie mathématique.

Tous les calculs relatifs aux assurances reposent sur
la probabilité de la perte de l’objet assuré; il est donc
essentiel de connaître exactement cette probabilité pour
pouvoir établir le contrat d'assurance sur des bases
équitables. En effet , la situation relative de l’assureur
et de l’assuré peut être comparée à celle de deux joueurs
dont les chances sont inégales, et qui veulent compenser
cette inégalité par celle de leurs mises. Or, cette com-
pensation a lieu toutes les fois que le rapport de ces
mises est égal à celui des chances respectives ; car, pour
mieux fixer les idées, supposons que Je gain de la partie
dépende d’un coup de dé dont l’un des joueurs ait cinq
faces en sa faveur, tandis que l'autre n’en a qu’une ; le
nombre total des chances étant 6, et ces chances ayant
autant de probabilité les unes que les autres, le pre-
mier joueur peut donc parier cinq contre un qu'il ga-
gnera la partie; et, conséquemment, sa mise doit être
cinq fois plus forte que celle du second. Si donc les en-
jeux réunis forment une somme de 120 francs, celui du

AS

premier joueur doit être les cing sixièmes , et celui du
second Je sixième de cette somme; c’est-à-dire 100 fr.
et 20 fr. Il en est de même d’un assureur qui s'engage
à payer üne somme de 120 francs dans le cas de la des-
truction d'un objet quelconque, lorsque la probabilité
de cette destruction est égale à +; ses chances favorables
sont «lors égales à 3, et il peut parier 5 contre 1 que le
cas funeste n'arrivera pas. La prime de l’assuré, par la
même raison , doit être la cinquième partie de ce que
risque l'assureur , ou la sixième partie de la somme to-
tale qui doit appartenir finalement à l’un ou à l’autre à
l'issue de l'événement. Ainsi, dans le cas présent, cette
prime doit être le sixième de 120 francs, ou 20 francs,
lesquels, étant payés d'avance, réduisent à 100 francs
la perte réelle de l'assureur dans Je cas qui lui est défa-
vorable,

Si l'on pouvait admettre qu'en faisant en même temps
six opérations semblables l’assureur ne dut en rencon-
trer qu'une seule de funeste, il est évident qu’il n’aurait
alors ni profit ni perte, puisqu'il recevrait 6 primes de
20 francs, ou 120 francs, et qu'il paierait 129 francs
pour l’objet perdu. Dans ce cas, pour obtenir un béné-
fice il lui suffirait d'exiger une prime un peu plus forte.
Mais la probabilité % ne signifie pas que sur 6 opéra-
tions une seule est nécessairement funeste, et l’on se
tromperait étrangement en l'interprétant de cette ma-
nière; car, pour continuer notre comparaison, la pro-
babilité d'amener le point de 2, par exemple, en jetant
un dé est bien ?, ct cependant on peut le jeter 10 fois,
20 fois, 30 fois, etc. , sans amener ce point; comme
aussi ce point peut se présenter plusieurs fois de suite.
Tout ce que l’on peut conclure de cette probabilité +,
c'est que sur un très-grand nombre de jets du méme dé,
le point 2 se présentera dans le rapport de 1 à 5; la
probabilité d'obtenir ce rapport augmentant avec le
nombre des jets (Joy. ProBariLiTÉ). Ainsi, l'assureur
ne peut espérer une exacte compensation des chances de
gain et de perte qu’en étendant le cercle de ses opéra-
tions, et les primes doivent être calculées de manière à
le dédommager non-seulement de ses risques généraux,
mais encore à lui payer l’intérèt de ses fonds et ses frais
d'administration,

D'un autre côté, la probabilité de la perte d’un objet
quelconque ne peut s’évaluer avec la même certitude
que celle des chances d’un jeu dont les conditions sont
déterminées. Pour le jeu, la probabilité est déduite «
priori du nombre des chances possibles , et l'expérience
ne fait que confirmer les calculs, Pour l'objet des assu-
rances , la probabilité ne peut être déduite qu'a poste-
riori, et l'expérience doit précéder les calculs.

Ce n’est donc qu'à l’aide de recherches statistiques
qu’on peut se procurer les élémens du calcul des assu-
rances; et, nous devons le dire, ces élémens sont encore

AS

trop incomplets aujourd’hui pour qu’il soit possible d'é-
tablir une théorie rigoureuse. Les chances de la vie hu-
maine, quoique beaucoup mieux connues que toutes les
autres, ne sont pas même déterminées d’une manière
certaine ; ainsi, on doit considérer la théorie actuelle
des assurances comme une approximation à peu près
suffisante, et que des travaux ultérieurs perfectionne-
ront successivement.

Les assurances contre les risques maritimes, les incen-
dies , la gréle, etc.; et en général contre la destruction
d’un objet matériel quelconque, se calculent de la même
manière, On évalue l’objet à assurer; le montant de
cette évaluation est la somme que l'assureur s'engage à
payer en cas de perte; et cette même somme, multi-
pliée par un facteur constant , qui est la probabilité sup-
posée de la perte, forme la prime due par l'assuré.
Ainsi, l'expérience ayant établi qu'il périt moins de un
sur cent des vaisseaux anglais baleiniers, le facteur con-
stant adopté par les compagnies d'assurances pour ces
batimens est +; le propriétaire d’un tel vaisseau doit
donc payer une prime égale à la centième partie de la
valeur de sa propriété pour la faire assurer.

Les assurances sur la vie se partagent en deux grandes
divisions : 1° les assurances dont les sommes doivent
être payées après la mort des assurés ; 2° les assurances
payables du vivant des assurés. Ces divisions présentent
une foule de combinaisons particulières dont on peut
trouver les détails dans les statuts des compagnies d’as-
surances. Quant aux calculs que ces combinaisons exi-
gent, ils sont tous fondés sur les probabilités de la vie
humaine; mais comme leur théorie est intimement liée
à celle des rentes viagères , nous renvoyons sou expo-
sition à l’article qui traite de ces rentes, j

La France possède peu d'ouvrages sur les assurances;
et nous devons regretter que l'excellent traité de
M. Francis Baïly, intitulé : the Doctrine of life an-
nuïlies and assurances n'ait point encore été traduit.

ASTAROTH (4str.). Un des noms de la planète de
Vénus.

ASTÉRÉOMÈTRE. Instrument destiné à calculer le
lever et le coucher des astres dont on connait la décli-
naison et l'heure du passage au méridien, La descrip-
tion de cet instrument a été donnée par M. Jeaurat dans
les Mémoires de l Académie des Sciences pour 1779.

ASTÉRIO (Astr.). Nom d'un des chiens de la con-
stellation des CniEns DE CHASSE.

ASTÉRISME (4str.). Da latin asterimus , dérivé du
grec &kp, étoile. Ce mot s’'employait autrefois dans la
langue astronomique pour celui de CONSTELLATION.

ASTÉROIDES (A4str.). Nom donné par Herschell
aux quatre nouvelles planètes, Junon, Pallas, Vesta et
Cérès, découvertes par MM. Piazzi, Olbers et Har-
ding. Ce qui a fait dire, sans doute à tort, que le célèbre

AS = = 159

Anglais ne voulait accorder qu’à lui seul l’honneur d’a-
voir découvert une planète.

ASTÉROPE (Astr.). C’est le nom de l’une des sept
étoiles principales qui composent les Pléïades.

ASTRAL (4str.). Ce qui a rapport aux astres , ou ce
qui dépend des étoiles et des astres, comme année as-
trale, sydérale , etc. Ce mot est peu en usage.

ASTREE. C’est un des anciens noms de la constella
tion de la Vierce. Voy. ce mot.

ASTRES (du latin astrum). Mot général qui s’appli-
que aux étoiles, aux planètes et aux comètes.

ASTRODICTUM (Astr.). Instrument astronomique
inventé par M. Wetghel, par le moyen duquel plu-
sieurs personnes peuvent voir le même astre dans le
même instant,

ASTROGNOSIE. Nom d’une branche de l’astrono-
mie qui a pour objet la connaissance des étoiles fixes,
c'est-à-dire leurs noms , leurs rangs , leurs situations,
etc., etc,

ASTROKION, Un des noms de la belle étoile, plus
connue sous celui de Sirius.

ASTROLABE (de arr, astre, et de Aæu£are , je
prends). Ancien instrument astronomique très-ressem-
blant à notre sphère armilliaire, Il y a plusieurs espèces
d’astrolabes : le premier et le plus célèbre instrument de
ce genre est celui que fit construire Hipparque à
Alexandrie , et qui lui servit pour diverses observations
astronomiques. Aujourd’hui on ne fait plus usage des
astrolabes, dont les curieux d’antiquités peuvent trou-
ver la description dans les ouvrages de Clavius et
d'Adrien Metius.

ASTRONOMIE (Histoire). D’Acr#p, astre, et'yépos ;
loi. Science des lois des astres , ou des mouvemens des
corps célestes.

L'astronomie est une des branches les plus impor-
tantes des mathématiques appliquées. Elle comporte
trois grandes divisions spéciales ; la première est l’as-
tronomie sphérique, c'est-à-dire qui explique les phé-
uomènes célestes d’après cette hypothèse, que la terre
est au -centre d’une sphère dont les astres occupent la
surface; la seconde est l'astronomie théorique, science
qui expose les différens rapports des corps célestes entre
eux, comme leur position relative, leur éloignement,
leur vitesse, et qui par conséquent, s'applique à décrire
la véritable forme de l’univers ; la troisième est l’astro-
nomie physique, dont l’objet est de déterminer les cau-
ses des mouvemens célestes par les principes de la mé-
canique. Ces divisions de la science, établies par Ké-
pler et adoptées depuis lui, en comprennent toute la
théorie, dont l'application générale aux observations,
à la confection des instrumens, aux calculs, se nomme
par opposition astronomie pratiques

Diverses sciences , telles que la géographie mathéma-

160 AS

uque, la navigation, la gnomonique, la chronologie et
l'optique, sont nées de l'astronomie; c’est-à-dire qu’elles
sont déduites des principes sur lesquels repose sa théo-
rie. Mais chacune de ces subdivisions de la science exi-
geant un examen spécial sera exposée ailleurs, et nous
ne nous occuperons ici que de l'astronomie en général,
c'est-à-dire de l’histoire de son origine et de ses progrès
chez les diverses nations de la terre.

Nul homme ne peut jeter les yeux vers le ciel et con-
templer froidement le grand spectacle qu'il présente. A
l'aspect de ces astres innombrables, de ces soleils qui
peuplent l’immensité et éclairent des systèmes inconnus,
une pensée grave et forte s'empare de lui. Dans la pro-
fonde méditation où le plonge cette harmonieuse et
puissante poésie du ciel, l'idée de l'Être éternel qui a
imposé par sa parole d'immuables lois à ces globes lui
devient plus claire et plus précise. "Ce n’est plus seule-
ment une vague intuition, un besoin d'avenir pour sa
faiblesse, c’est une certitude consolante qui le grandit
et remplit son âme d’une noble et sainte espérance.
Car la pensée de l’homme, souveraine à son tour, s'em-
pare dès lors de ces grands mystères, comme s'ils étaient
pour lui un éclatant manifeste de la puissance qui lui a
été donnée de s’élancer au-delà de cette sphère bornée,
où il subit un exil passager. Partout, dans ce livre im-
mense où seul , de tous les êtres qu'il connaît, il lui a été
réservé de lire, il aperçoit la main du Père, qui n’a pu
lui donner une vie intellectuelle sans la faire participer
de sa propre immortalité. Telle fut sans doute la pre-
mière révélation de la destination humaine qui ait été
faite à notre raison.

L’astronomie , qui explique l’ordre de l'univers et ré-
forme les illusions de nos sens en posant la vérité là où
de trompeuses apparences semblent le plus démentir la
science, a été de tout temps pour l'humanité un objet
important de recherches et de travail, un but fixé à son
intelligence. Si l’on veut s'assurer de l'antiquité de ses
tentatives pour se créer une conviction sur les mouve-
mens des astres ; si l’on veut s’assurer dece penchant na-
tifquiesten elle, de ce besoin énergique qu’elle éprouve
de chercher quel lien mystérieux, mais puissant, il existe
entre elle et les phénomènes célestes ; qu’on prenne au
hasard un homme bien organisé, mais entièrement dé-
pourvu des notions les plus élémentaires du savoir, et
que , d’un lieu où il est possible de découvrir une assez
grande étendue du ciel, on lui explique en langage sim-
ple et facile le système du monde, on verra cet homme,
attentif et soucieux , écouter dans un recueillement pro-
fond ces paroles nouvelles pour lui, on le verra subir tour
à tour les impressions les plus opposées, suivant que les
démonstrations de son maître seront admises ou rejetées
par sa raison encore peu développée. Quelquefois un
sourire de doute viendra effleurer ses lèvres; mais plus

AS

souvent un sentiment imprevu d'admiration et d'éton-
nement s’emparera de lui, et lai causcra cette indéfinis-
sable émotion qu’excitent en pous les accens d’une har-
menieuse musique et la majesté sévère des grands phé-
nomènes de la nature. Soyez certain qu'aucune de vos
paroles n'aura été perdue, et qu’il restera dans la mé-
moire de cet homme une trace ineffaçable de votre en-
tretien. Et, lorsque solitaire et placé dans les mêmes
conditions, en présence de ce grand spectacle, ses re-
gards se reporteront involontairement vers les astres
dont les lois lui auront été dévoilées, il aimera à repas-
ser dans son esprit les sublimes leçons qu’il aura reçues.
A son tour, et parmi des êtres de sa classe aussi dépourvus
que naguère il l'était lui même de toute instruction, cet
homme répétera, avec une satisfaction presque orgueil-
leuse, tout ce qu’il aura pu retenir de vos leçons. Au-
tour de lui s’éleveront certainement des contradicteurs;
et, parmi ses compagnons émerveillés, plusieurs se le-
veront pour opposer à ses explications le témoignage de
leurs sens et de l’expérience. Bientôt des hypothèses
nouvelles naîtront de ces discussions; et il faudrait, pour
y mettre un terme, que la science elle-même, avec ses
preuves infaillibles, vint briser tous les doutes etéclaircir
toutes les suppositions que cette espèce de tradition au-
rait fait naître parmi ces hommes. Telles sont à peu
près les vicissitudes de la vérité sur la terre : l’histoire
de l’homme que nous venons de supposer va se retrou-
ver avec toutes ses périodes de recherches, de décou-
vertes, de doutes et de certitudes, dans l’histoire de
l'astronomie.

On ne peut fixer, d’une manière conforme aux erre-
mens positifs de la science, l'époque certaine des pre-
mières observations astronomiques : nous croyons avoir
suffisamment démontré que ces tentatives spontanées,
ct dans tous les cas isolées, touchent au berceau de l’hu-
manité. C’est pour cette raison qu'avant d’adopter un
ordre chronologique rigoureux, nous exposerons d’a-
bord les connaissances primitives des peuples dans
l’ordre de leur antiquité présumée.

Il résulte évidemment de toutes les traditions histo-
riques, et de nombreux faits géologiques, qu’à une
époque récente dans les temps, le globe terrestre, sou-
mis à une immersion plus ou moins complète, a subi
des modifications telles, que la plus grande partie des
races humaines présentes à cette catastrophe durent
périr. Sans entrer ici dans l’examen d'une question,
qui suivant nous est purement philosophique, et qui ne
se rattache que de loin au sujet dont nous nous occu-
pons, nous dirons qu’il n’est resté sur la terre aucun mo-
nument qui puisse indiquer le degré de civilisation où
l'humanité était parvenue à l’époque de ce désastre.
D'après l'hypothèse la plus conforme à la raison, hypo-
thèse à laquelle Jes plus récentes découvertes de la géo-

AS

logie donnent un caractère prononcé de cer titude et. de
réalité, les eaux de l'Océan couvriraient aujourd’hui des
continens primitivement habités, et la plupart de ceux
que nous habitons auraient été leur lit antérieur, Il est
donc impossible d'admettre, comme des faits dignes
d'être cités à l'appui des recherches scientifiques, les con-
jectures hasardées des plus anciens écrivains sur l’évène-
ment terrible qui semble avoir séparé pour toujours
l'histoire mystérieuse de la race anté-diluvienne de celle
qui lui a succédé. Il faut en conséquence rejeter comme

une fable, reflet incertain de quelque vague et antique

tradition, les assertions de Josèphe et de Manethon, fon-
dées, suivant l’un, sur les colonnes construites en pierre
et en brique, où les pères du genre humain auraient
gravé les principes de la science astronomique et la pré-
diction du cataclysme qui devait bouleverser la terre ; et
suivant l’antre, sur les prétendues colonnes égyptiennes
de Sothis ou de Thot. Manethon cependant a osé parler
de ce dernier monument. comme, ayant été, consulté
par des écrivains peu.antérieurs à lui, qui vivait durant
le troisième siècle avant l’ère chrétienne. On doit d’a-
bord supposer .que Josèphe n’a imaginé les colonnes
d'Adam et de Seth que d’après l'inspiration de. Ma-
nethon, et qu’ainsi ces deux traditions ont une ori-
gine commune. Mais, si du temps de ce dernier histo-
rien, un monument semblable existait encore en Égvpte
dans la mémoire des prêtres, comment n’aurait-il pas
été conservé lui-même par les hommes comme un objet
sacré , ou comment Manethon, seul dans l'Égypte reli-
gieuse et éclairée, avait-il pu entendre parler de ces

titres saints et méconnus qui attestaient les malheurs

et l'antiquité du genre humain, et dont pour la pre-
mière fois il invoquait le témoignage ?

Nous nous sommes arrêtés un moment sur ces hypo-
thèses puériles, parce qu’il nous a paru utile d’en dé-
montrer l’absurdité. Un préjugé fortement enraciné at-
tache l’homme à de vieilles erreurs, et nous avons un

penchant irrésistible. à à juger de la réalité d’un fait par

16 antiquité de l'historien qui le rapporte. D'ailleurs ,

il convient d'aborder l’histoire de la science avec un es-
prit dégagé de toute préoccupation étrangère à des dé-
monstrations précises, et de ne chercher sou véritable
berceau que là où la civilisation, en formulant ses be-
soins, commence à montrer les premiers développe-
mens de la raison humaine.

PRE Le doux climat de l’orient, son ciel pur, la hau-
teur de quelques-unes de ses montagnes, où peut-être
les restes de la race anté-diluvienne cherchèrent un re-
fuge, et descendirent ensuite dans les vastes et fertiles
plaines qu'arrosent le Tigre et l'Euphrate, durent Y ap-
peler de bonne heure des habitans et favoriser leur re-
production. L’astronomie chaldéenne est la première,
en effet, de laquelle l’histoire ait conservé quelques ob-

AS 161
servations qui annoncent le point de départ réel de la
science. On a souvent fait deux;mations distinctes des
Chaldéeus et des Babyloniens : cette erreur u’a pas peu
contribué à jeter de la confusion dans la chronologie,
d'ailleurs si vague et si embrouillée de ces races primi-
tives. Il est certain que le nom de Chaldéen, poar des
raisons qui nous sont inconnues et qui sont ensevelies
dans le secret des anciens idiomes orientaux, fut donné
dans la Babylonie à des sages, peut-être à un collége
de prêtres ou à une secte philosophique. Quoiqu’on ne
puisse point juger des civilisations passées par la nôtre,
il est un fait inhérent à l'espèce humaine, et qui est
commun à toutes les sociétés, c’est que les connaissances
scientifiques, toujours excentriques et individuelles,
ne sont partout que le privilége d’un petit nombre
d'hommes. Les Chaldéens , pris comme peuple, ne
sauraient donc être regardés comme les fondateurs de
l'astronomie ; et c’est dans le.sens le plus restreint que
nous emploierons cette expression pour désigner ces
auciens observateurs des astres. }

Comme toutes les connaissances humaines, les con-
naissances astronomiques ont dù avoir une longue en-
fance. La division du temps a d’abord été ieur seul ob-
jet; car c’est le premier besoin social qui se fasse sentir
dans uue agglomération d'hommes. Aussi lastronomie
des Chaldéens consista-t-elle, avant tout, dans l’observa-
tion du zodiaque, dans celle du lever et du coucher hé-
liaque des constellations, c’est-à-dire dans leurs mouve-
mens par rapport à celui du soleil; dans celle de la mar
che de cet astre et des phases de la lune. H fallut. en-
suite donner des noms à tous, ces astres, pour les recon-
naître et les suivre dans leurs mouyemens divers. On
avait remarqué que le soleil, la lune et les planètes
alors connues, ne s’écartaient jamais d’une zône céleste,
dans l’étendue de laquelle s’opéraient tous leurs mouye-
mens. Cette observation donna l’idée du cercle imagi-
maire , qu’on a nommé zodiaque, et de sa division eu
douze constellations.

Ce fut seulement quand elle posséda ces premières
notions, que l'astronomie chaldéenne put se livrer à
des observations plus régulières; mais ces notions, filles
d’une expérience acquise d’après des apparences, et
souvent de traditions populaires transmises d’âge en âge,
ne reposant sur aucuns principes positifs, ne pouvaient
encore constituer une science. Néanmoins , ces antiques
observations sont précieuses, et méritent d’être recueil-
lies par l’histoire; car, plus nous avons de peine à con-
cevoir aujourd’hui comment il a été possible d'expliquer
et d'annoncer les éclipses en s'appuyant sur les plus folles
hypothèses du système du monde, et souyent même en
l'absence de toute hypothèse, plus nous devons montrer
de respect et d’admiration pour ces premières tentatives

de l'émancipation intellectuelle de l'homme. C’est toute
au

162 AS

autre chose quand il s’agit de transporter dans ja science
même ces appréciations vagues des phénomènes célestes,
Les premières paroles de l'enfance ont une naïveté et un
charme auxquels on ne peut être insensible ; mais ce lan-
gage, que dans notre âge mûr nous nous souvenons à
peine d’avoir balbutié, ne forme point une branche essen-
telle de l’idiome national,

Les Chaldéens se vantaient de posséder un recueil
d'observations astronomiques qui remontaient à 493,000
ans. Ces incohcevables exägérations, que nous rencon-
trerons quelquefois dans les sipputations de l’astrono-
mie ancienne, né méritent pas d’être contredites. Mais
peut-être n’estil pas inutile de dire qu’ellés ne sont sans
douûte que le résultat de l'incéhérence qui règne dans la
détérminätion primitive de l’année, et de l'ignorance ab-
solue dans laquellé nous sommes à cet égard. En suppo-
sant, cormmé tout porte à le croire, que cette longue pé-
riode chaldéenne puisse se réduire à des jours, on trou-
véräit encôre que leurs travaux astronomiques remontent
à une haute antiquité. Les plus anciennes observations
chaldéennes qu’il soit possible d'admettre sont celles de
trois éclipses de lüné qui auraient eu lieu durant les an-
nées 719 ét 720 avant J.-C. (ans 27 et 28 de l’èré de
Nabonassar), ét dont Ptolérnée S'ect servi, probable-
ment d’après Hipparque, le premier astronome qui ait
recueilli avec discernement et méthode les observations
antérieures à l'astronomie des Grecs. Il est naturel aussi
de penser que ces observations chaldéennes n’étaient pas
les premières qui eussent été faites à Babylone. Elles sup-
posent évidemment des études fondées sur une longue
expérience; mais les déterminations qui étarent r'ésultéés
de cés premières tentatives n’avaiént point le câractère
de précision et dé cértitude qui peut seul utiliser la éon-
naissancé des éclipsés. Simplicius, cité par Porphvre,
assure qu'Aristôte se fit communiquer, par l’éntrémise
de Calisthènes, un recuéil d'obsérvations chaldéennes
qui remontaient à 1900 ans avant Alexandre. Cela est
fort possible, quoiqu’Aristote lui-même te parle nuile
part d’un fait qui intéressait si expressément la Science ;
mais ces observations, aujourd’hüi perdues, ne pouvaient
l'être pour Ptolémée , qui a dû les rejeter én s’arrétant à
celles des années 719 et 520, dont nous fénons dé parler,
parce qu’ellés ne présentaient point le éme dégré de
certitude et d’exactitude. Î] est cepeñdant demeuré établi
que les Chaldéens avaient la connaissance dé plusieurs
Périodes astronomiqués dont nots ne pouvons apprécier
za justessé, paï la raison déjà doniée de l'impossibilité
où nous sômmes de détériiner là signification qu'ils at-
tachaient au mot de leur langue qui correspond à celui
d'année, Cés connaissances , au reste, qui ont du être le
Fruit de lôngués observations , ne peñmeéttént cependant
aucune supposition favorable à l'antiquité de la &ience,
$i l’on considère surtout que les mathématiques étaient

AS

à peu près ignorées des Chaldéens, dônt les éonnais-
sances, sous ce rapport, se bornaient à un système dé nu-
mération pratique , et qué leurs opinions sur le système
du monde n’avaient rien de positif et de satisfaisant.

2. Les commencemens de l’astronomié égÿptiénne
sont demeurés cachés dans le mystère qui énvéloppait,
chez ce peuple singulier , les institutions religieuses,
muettes dépositaires de sa civilisation et dé $on éavoir.

On à voulu tirer une conséquence favôrable aux con-
naissances astronomiques des Égvptiens de la directidn
exacte des faces de léurs pyramides vers lés quatre
points cardinaux. Certainement le hasard ne peut avoir
constamment produit cetté disposition remarquable de
leurs plus anciens monumens; mais cependant aucunes
dés observations égyptiennes ne nous ont été conservées.
1] est au contraire historiquement prouvé que les astro-
nomes de l’école d'Alexandrie recoururent aux obser-
vations chaldéénnes, D’un autre côté, long-temps avant
cette époque, Thalès, Pythagore, Eudoxe et Platon
étaient venus de la Grèce visiter les prêtres égyptiens,
ét ils puisèrent dans leurs entretiens les connaissances
qu'ils rapportèrent dans leur patrie. D'où viént donc
que les monumens èt les prêtres de l'Égypte sont de-
meurés muets pour les savans d'Alexandrie? C’est là,
si l’on peut s'exprimer ainsi, une de ces singularités
de l’histoire qui doivent restér à jamais inexplicables,
et qu’il faut se borner à faire remarquer.

Manethon, prêtre égyptien , dont nous avons déjà êu
l'occasion de parler, composa, vers l'an 260 avant J.-C.,
une histoire de soti pays pour l'instruction de Ptoléthée-
Philadelphé, fils et successeur de Lagus. Il n’est pas
possible de savoir si cet écrivain, en compilant ls éontés
les plus absurdes , et en faisant remonter l’origine dé la
civilisation égyptienne à une antiquité fabuleuse, répé-
tait dés opinions reçues par la caste privilégiée dont il
faisait partie, ou s’il voulait tromper sciemment un
prince dé race étrangère, en lui inspirant du respect pour
une nation dont les dieux eux-mêmes avaient gouverné
les ancêtres durant une période immense. Quoiqu’on ne
puisse tirer aucune induction certaine de tout ce chaos
historique, il est demeuré prouvé, par des ônumens
et des témoignages non suspects, que l'Égypte, dès une
antiquité relativé fort reculée, possédait des connais-
Sanéés astronomiques déjà avancées, que les mouve-
mens de Mercure et de Vénus autour du soleil y avaient
été observés ; qu’elle avait une année civilé de trois cent
$oixante-cinq jours, divisée en douze mois de trente
jours, et cinq jours épagomènes; que l’observation du
lever héliaque de Syrius, dont le retour était rétardé
chaque annéé d’un quart de jour, y avait fait fonder la
période sothique de 1461 ans, qui ramenait les mois
ct les Fètes, à peu de variations près, aux mêmes
saisons. Enfin, les zodiaques égyptiens qui se sont con-

AS

serwés jusqu'à nous, attestent lesoin avec lequel ce peuple
observait la position des solstices dans les constellations
ou signes de la zone zodiacale. On lui attribue aussi l’éta-
blissement de la période de sept jours qui formaient la
semaine, et qui étaient placés dans l’ordre où l’ancienne
astronomie plaçait le soleil, la lune et les planètes, d’après
leur distance de la terre, et en partant de la plus grande :
Saturne, samedk ; Jupiter, jeudi ; Mars, mardi ; le Soleil,
dimanche; Vénus, vendredi ; Mercure, mercredi ; la
Lune, lundi. Les chrétiens, qui, par un motif religieux,
ont appelé le jour du soleil dimanche ou jour du Sei.
gneur, ont complétement interverti cet ordre, en com-
mençant la semaine par le jour de la lune ou le lundi.
3. I existe à l’est et au nord de l'Asie un immense
empire, dont la population homogène, régie par les
mêmes lois, et surtout par les mêmes mœurs, se compte
par myriades d'individus. Cette nation, dont la civilisa-
tion traditionnelle se perd dans un passé sans bornes,
et ne participe point de la nôtre , nation d'hommes qui
ne se mêlent point aux autres hommes, qui ne connais-
sent pas leurs ancêtres, et prétendent posséder une liste
non interrompue de souverains, dont les plus rappro-
chés de nous dans cette étrange chronologie, régnaient
à une époque où, suivant nos connaissances religieuses
et historiques , l’homme n’avait point encore apparu sur
la tevre, la nation Chinoise enfin, se vante de conser-
ver dans ses annales les observations astronomiques les
plus anciennes. Quelques savans, sans adopter néan-
moins les prétentions historiques des Chinois, semblent
leur accorder ce dernier avantage sur les autres peuples.
Nous n’adoptons point cette opinion; car il ne faut qu’exa-
miner avec un peu d’attention ce qu’on nous a commu-
niqué de ces annales, pour être convaincu qu'elles
n'offrent qu'un assemblage incohérent de faits impossi-
bles. Le plus ancien livre de Ja Chine, le Chouking,
attribué à Confutzée ou Confucius, et qui aurait été écrit
par lui il y a environ deux mille deux cent soixante ans,
en supposant qu’il en ait été conservé des copies authen-
tiques , n’attribue point à cet empire une origine qui
choque d’une manière aussi tranchante toutes les idées
del’histoire. Confutzée commence celle de la Chine à un
empereur nommé Ya0, lequel s’occupa de l’écoulement
des eaux qui s'étaient élevées jusqu’au ciel. Ceci est
fort remarquable; car, d’après ce document, Yao aurait
vécu à 4163 ou 3943 années de nous, c’est-à-dire un
peu moins de deux mille ans avant notre ère, époque
à laquelle toutes les traditions reçues placent la fin du
grand cataclysme qui bouleversa le monde, et où se
retrouve le berceau des sociétés. Ce fut, ajoute-t-on,
environ mille ans après Yao, que l’empereur Tcheou-
Kong fit les premières observations astronomiques qui
puissent être utiles à la science. Mais nous ne croyons pas
devoir nous étendre sur ce fait, pas plus que sur ceux de’

AS 165

la conjonction de cinq planètes et de l’éclipse de soleil,
qui avaient été observées en Chine durant les années2514
et 2436 avant notre ère. Les astronomes du dernier siècle
ont vainement voulu soumettre les prétendues observa-
tions de ces antiques phénomènes aux lois du calcul : il
n’est résulté de ces tentatives, et de Ja polémique dont
elles ont été la cause, que des appréciations à peu près
aussi vagues que celles des Chinois. Cependant, quel que
soit l’origine de ce grand peuple, il n’est pas douteux
que son astronomie pratique n’ait une date fort an-
cienne. Dès l’époque la plus reculée, il existait en Chine
un tribunal des mathématiques chargé de diriger et de
vérifier les observations des astronomes, d’après lesquelles
ce tribunal fixait le calendrier et annonçait les éclipses.
Nous accordons aussi qu’on y a observé dès long-temps
les ombres méridiennes du gnomon aux solstices, et le
passage des astres au méridien : mais en faisant la part
du tort réel que dut faire au progrès de la science l’in-
cendie des livres chinois, ordonné par l'empereur Chi-
Hoanti, vers l’an 213 avant notre ère, nous nous éton-
nerous que la marche de la civilisation ait suivi chez cette
nation une marche tout opposée à celle qu’elle a suivie
partout ailleurs, c’est-à-dire qu’elle ait commencé par
d'immenses découvertes, et fini par l'ignorance la plus
complète des premiers élémens de la science. En général,
il est constant que l'Europe a été dupe des contes mer-
veilleux que lui ont faits les voyageurs du moyen-âge, y
compris Marc Paul, sur une race d'hommes dont les insti-
tutions bizarres, les préjugés et les mœurs se prétaient
si bien, par leur singularité, à toutes les exagérations de
l'imagination. Les premiers missionnaires européens qui
pénétrèrent en Chine y trouvèrent les sciences dans un
état peu florissant , et peu d'accord par conséquent avec
l'antiquité depuis laquelle les Chinois se vantaient de les
posséder. Leur géométrie ne consistait qu’en quelques
règles très-élémentaires de l’arpentage. Ils connaissaient
la propriété du triangle rectangle ; mais ils n’en faisaient
aucune application. La trigonométrie sphérique, si essen -
tielle à l’astronomie, ne leur avait point été connue
avant le X° siècle, et il est probable qu'ils la tenaient
des astronomes arabes. Leur arithmétique se borne
encore aujourd’hui à quelques règles d’un usage com-
mun, et s'exécute au moyen d’un instrument assez
semblable à un abacus. Ils en étaient également aux
élémens de la mécanique et de la navigation; ils n’a-
vaient aucune idée de l'optique. Ces objections, qui
reposent sur des données certaines, nous paraissent
concluantes; elles nous dispenseront de parler de l’astro-
nomie indienne, et de celle des anciens Parsis, qui se
trouvent à peu près dans les mêmes conditions , et pré-
sentent dans leurs observations le même degré d’inexac-
titude et d’exagération chronologique.

4. Avant d'aborder l'histoire authentique de l'astro-

154 AS

nomie , dont nous suivrons désormais en Grèce les vé-
ritables progrès et les découvertes scientifiques, jus-
qu'au moment où les vicissitudes des temps transporte-
ront cette science au sein d’autres nations , il nous parait
convenable de rappeler ici quelques circonstances qui se
rattachent évidemment à'son origine et à son usage dans
les siècles que nous avons appelés héroïques. [n'y a pas
de doute que toutes les anciennes cosmogonies, une
seule peut-être exceptée, ont plus ou moins pour base
des observations astronomiques. Les premiers noms des
planètes sont partout ceux des dieux. Le Soleil a régné
en Égypte comme Mercure ; le Temps, regardé comme
le père des dieux, est personnifié dans Saturne, la pla-
nète qu’on croyait alors la plus éloignée du système de
la terre; la Lune, sous le nom de Diane, a des rapports
fréquens avec les habitans de notre globe. Tout fait pré-
sumer que l’histoire des héros de tous les mythes anciens,
dont les noms sontdemeurés attachés à des constellations,
n’est aussiqu'une allégorie astronomique. Avec le temps,
ces allégories et ces fables prirent dans l’esprit des socié-
tés naïssantes le caractère grave de croyances religieuses.
Cela est probable, en effet ; et l’on peut même, à l’aide
d’une facile érudition , retrouver dans l'histoire des ci-
vilisations passées, un nombre considérable de ces rap-
ports étranges entre les phénomènes célestes et les théo-
gonies ; mais il faut se garder, comme d’uñe erreur dan-
gereuse, de donner une extension sans bornes à cette
hypothèse historique. C'est cette erreur soutenue avec la
persistance la plus aveugle , qui a malheureusement ins-
piré un livre moderne, où la science et la raison sont
continuellement sacrifiées à des appréciations arbitraires,
exposées dans l'intérêt d’un coupable système. Nous
voulons parler de l’Origine de tous Les cultes, production
où l'audace du mensonge, colorée de toutes les séductions
d’un style simple et peu scientifique, met les fausses idées
de son auteur à la portée de toutes les intelligences. Le
plan de Dupuis fut évidemment d'achever l'œuvre en-
cyclopédique, en prouvant que la religion chrétienne
n'avait pas d’autres bases que celles empruntées à l’ob-
seryation du mouvement des astres par les anciennes
cosmogonies, et qu'en conséquence Je christianisme
n’était, lui aussi, qu’une fable astronomique: L'extra-
vagance des suppositions où l’auteur est entrainé
pour coordonner toutes les parties de.son absurde:sys-
tème, aurait dû nous dispenser d’en parler dans cette
partie d’un travail sérieux, où la science semble n’avoir
à remplir qu'une mission spéciale, Mais si les jeunes
générations auxquelles ous nous adressons ont beau-
coup à apprendre, elles ont aussi beaucoup à oublier;
et nous regardons comme un de nos devoirs les plus
sacrés de leur signaler au moins les écueils contre les-
quels leur intelligence pourrait aller se briser. Peu de
mots suffiront, au resæ, pour placer la théogouie de

AS

Moïse hors des atteintes de Dupuis. L'origine du système
du monde west point cachée dans la Genèse sous le voile
des allégories; c’est une exposition sublime par sa sim-
plicité, d'une grande révélation, ou, si l’on veut, d’une
théosophie qui n’a rien de choquant pour la raison. Là, il
n'y a rien d'emprunté à des traditions humaines. En prin-
cipe Dieu créa le ciel et la terre : les astres, la lumière
et le temps, tout est l'œuvre de sa parole. S’il nous
semble dans l'histoire de l’homme que quelque chose
reste inexpliqué, c’est sans doute que l’auteur sacré
n’a voulu que traduire en langage humain un problème,
dont l'explication n’appartenait point à la mission qu’il
venait remplir sur la terre. Mais il est impossible de
trouver dans le Sepher de Moïse aucun rapport, même
éloigné ; avec les élémens cosmogoniques des reli-
gions de l’antiquité. Si l’on songe ensuite que ce livre,
qui est le plus ancien et le plus authentique dont l’hu-
manité puisse se prévaloir, ne renferme rien qui soit
en opposition aux lois connues de la science, :et que
chaque jour, au contraire, les nouvelles découvertes
viennent en justifier les appréciations phénoméniques,
on conviendra qu’on ne doit en aborder la lecture qu’a-
vec un profond sentiment de vénération et d'amour
pour la vérité,

Lorsque l'homme eut trouvé dans les phénomènes cé-
lestes la réalisation des idées qu'il s'était faites sur la divi-
nité, dont il avait partagé le pouvoir créateur entre une
foule de puissances iomortelles , il se persuada facile-
ment que les astres, doués d’une intelligence supé-
rieure , exerçaient une influence directe sur sa destinée.
Comme il avait fait ses dieux avec toutesses passions,
il dut s’habituer à les considérer sous le point de vue de
leur double nature divine et humaine; et enfin le désir
de pénétrer dans l'avenir, désir qui se manifeste chez
l'homme dans tous les degrés de civilisation qu’il subit,
dut lui faire attacher une haute importance à certains
signes ou aspect des astres ; dont son esprit égaré par une
expérience trompeuse, tira des conséquences absolues.
Telles sont probablement les idées qui donnèrent nais-
sance. à l’ASTROLOGIE JupicraiRE, c'est-à-dire: à l’art
prétendu. de prédire l'avenir par les aspects, les posi-
tions et les influences des corps célestes. C’est chez le,
peuple qu’on suppose avoir eu, le premier, des notions,
astronomiques, qu’on trouve aussi les premières traces
de l'astrologie; tant il est vrai que dans le développe,
ment intellectuel de l'homme, l'erreur touche de près à
la vérité! Ce mot servit long-temps à désigner la science
même ; ce qui prouve que dans l'antiquité on ne faisait
nulle différence entre l'art conjectural de quelques
imposteurs, et la connaissance scientifique des lois, des
astres. Les Chaldéens et les Égyptiens paraissent avoir
eu un penchant décidé pour l'astrologie : c'est encore
sur leur autorité que s'appuient les charlatans auprès du

AS

vulgaire. Il est probable qué cette aberration de l'intel-
ligence n’a pas étéle moindre obstacle qu'aient rencon-
tré les progrès de lascience durant tant de:siècles,
où. elle n’était cultivée que pour satisfaire une vaine
curiosité, au moyen de calculsiet d'observations chimé-
riques. Quoi qu’il en soit, les Chaldéens etles Égyptiens
avaient dans toute la terre une réputation prodigieuse
sous ce rapport; et s’il est vrai, comme le raconte
Vitruve, qu'un prêtre chaldéen, nommé Bérose, vint
autrefois en. Grèce, et y reçut des honneurs presque
divins, à cause de ses connaissances astrologiques, il
faut convenir que les hommes sont toujours disposés à
accueillir favorablement les mensonges qui flattent leurs
préjugés et leurs secrets penchans. Nous ne serions guère
plus raisonnables si nous adoptions comme des décou-
vertes réelles et des faits incontestables toutes les pré-
tendues observations de l'astronomie ancienne, qui, si
l'on ne les sépare pas des exagérations chronologiques
dont elles sont accompagnées , peuvent bien n’être que
des rêveries astrologiques, mal appréciées à l’époque où
l'astronomie fut l’objet de travaux plus sérieux.

Jusqu'à une époque assez rapprochée de nous, les
folies de l’astrologie judiciaire ont souvent usurpé une
grande place dans l’histoire de la science. On les retrouve
dans le moyen-âge, chez les Arabes même, à qui nous
devons des travaux si importans et si réellement scienti-
fiques. L'Europe au XV* siècle était infatuée de cette
prétendue science, que la grande et puissante décou-
verte du véritable système du monde a seule pu faire
descendre du trépied sur lequel elle rendait ses oracles.
De nos jours on retrouve encore quelques traces de
l'astrologie judiciaire dans des almanachs malheureu-
sement populaires, et qui réunissent un nombre trop
considérable de crédules lecteurs.

5. Quoique l’illustre Newton ait pris pour l’une des
bases de sa chronologie le fabuleux voyage des Argo-
nautes, nous sommes peu disposés à chercher quels
rapports peuvent exister entre cette expédition et les

* connaissances astronomiques de la Grèce ancienne. Il

est certain qu'avant Thalès et Pythagore, l'astronomie
des Grecs se bornait à l'observation des levers et des
couchers héliaques ou achroniques de quelques étoiles
remarquables; observation pratique, et qui avait sa
source dans les besoins de l’agriculture. On ne trouve
rien dans Homère et surtout dans Hésiode, les plus
anciens poètes qu’on puisse consulter à défaut d’histo-
riens, qui s'élève au-dessus de ces notions vulgaires.
La division du ciel en consteltations et à peu près avec
les noms que les Grecs leur donnèrent, subsiste encore
dans notre astronomie. Mais il serait peut-être hardi de
vouloir déterminer l’époque où cet ingénieux travail fut
accompli dans la Grèce. Si, comme le pensent de savans
astronomes , ce travail était antérieur au siége de Troie,

AS 465

on.eu:trouverait des traces dans les poètes que nous ve-
uous de nommer. Néanmoins l'imagination brillante de
ce peuple, et ce génie de la fiction qui lui est propre,
éclatent partout dans ce monument ingénieux de l’an-
cienneastronomie. Tout porte donc à croire que les Grecs
sont.en grande partie les auteurs de la division du ciel,
ou que du moins ils eurent l’art d'y rattacher de bonne
heure toutes leurs traditions nationales. Le groupe nom-
breux des Pléiades, dont l'étymologie grecque est zac,
beaucoup, plusieurs , sera pour eux la réunion des filles
de l'antique Atlas; Calisto et son fils sont les Ourses; le
brillant groupe d'étoiles qu’on découvre au midi de la
Grèce; est le navire Argo; Castor et Pollux, Hercule,
le Vautour qui gardait la toison d’or, le Bélier qui l’a-
vait fournie, tous ces êtres ou ces objets imaginaires
seront placés par eux dans le ciel, où la religion yien-
dra bientôt consacrer leur migration poétique.

Sans entrer dans aucune discussion au sujet de l’ori-
gine des constellations et de la division du zodiaque,
qui parait appartenir à des peuples plus anciens que les
Grecs, nous dirons que cette nation, dont l’histoire se
lie plus intimement à la nôtre, a dû emprunter par-
ticulièrement aux Égyptiens, d’où la tradition faisait
sortir sa civilisation, une grande partie des premiers
wavaux de son astronomie. Cette science ne commence
en effet à mériter ce nom dans la Grèce qu'a l’époque
où le célèbre Thalès de Milet fonda l’école ionienne.
Ce philosophe naquit vers l’an 640 avant notre ère: il
u’était déja plus jeune lorsqu'il alla puiser en Égypte
des connaissances qu’il n'avait point trouvées dans sa
patrie, où il revint apporter une vaste instruction
qu'il avait acquise, dit-on, dans ses entretiens avec les
prêtres égyptiens. Le premier dans la Grèce, Thalès
enseigna Ja sphéricité de la terre, l’obliquité de l’éclip-
tique, expliqua les vraies causes des éclipses, et en
prédit une au moyen d’une méthode qui nous est de-
meurée inconnue. Cette éclipse arriva, suivant le té-
moignage de Pline et les calculs ‘d’un astronome mo-
derne, l'an 585 avant J.-C., ou la quatrième année de
la XLVIII olympiade.

Après Thalès, l’école ionienne vit fleurir successive-
ment Anaximandre, Anaximène et Anaxagore, qui
professèrent les doctrines de leurs maîtres, et introdui-
sirent en Grèce l’usage du gnomon et des cartes géo-
graphiques : le dernier fat, dit-on, proscrit par les
Athéniens comme impie. Ces trois philosophes, nom
sous lequel on désignait alors généralement les hommes
dont les connaissances s’élevaient au-dessus-du vulgaire,
établirent ainsi en Grèce les premiers principes d'une
astronomie scientifique. Mais dans le même temps, un
disciple de Thalès fondait en Italie une école dont la
réputation et la gloire devaient effacer celles de l’école
ionienne. L’'illustre et célèbre Pythagore, né à Samos,

466 AS

vers l'an 590 avant notre ère, se fit remarquer de bonne
heure, par sa haute intelligence, parmi ceux qui venaient
écouter comme lui la parole de Thalès. Le philosophe
ionien devina le génie de son jeune disciple, et lui
donna le conseil d’aller chercher la science aux sources
où lui-même avait été la puiser. Pythagore partit pour
l'Égypte, où il fut initié aux mystères célèbres de ce
pays; mais son amour pour la science lui fit dépasser ce
terme des voyages de son maître : il alla sur les bords
du Gange, et puisa, dit-on, dans les entretiens des
brahmanes les opinions, souvent si avancées, que
professa l'école philosophique à laquelle il donna son
nom. Sous le rapport de l'astronomie, Pythagore donna
un développement important aux principes enseignés
dans Fécole ionienne, en y ajoutant l'explication des deux
mouvemens dela terre sur elle-même et autour du soleil.
Il compléta ces notions , si justes, du vrai système du
monde, par l'hypothèse du mouvement régulier des
comètes et dé toutes les planètes autour du soleil. On
enseigna plus tard dans son école, ct l’on peut penser
que ces opinions furent aussi les siennes, que les pla-
nètes étaient habitées, et que les étoiles étaient autant
de soleils placés au centre d’autant de systèmes plané-
taires. Les pythagoriciens expliquèrent également la
distribution ou Pordre de la sphère céleste, l’obliquité
de l'écliptique, la rondeur de la terre, l’existence des
antipodes, la sphéricité du soleil, la cause de la lumière
de la lune, celle de ses éclipses,
éclipses du soleil. La plupart de ces idées leur furent

ainsi que celle des
communes avec l’école de Thalès, et avaient été émises
par ce philosophe lui-même ; mais le système pythago-
ricien les rassembla toutes, et les exposa, camme on vient
de le dire, avec plus d’étendue et d'ensemble.

On se demande comment la possession des vérités
fondamentales de ce système a pu échapper à l’huma-
nité, qui s’est glorifiée, après une longue suite de siècles,
de les avoir reconquises. La plupart des astronomes,
tout en témoignant leur enthousiasme pour ces grandes
découvertes, et leur admiration pour le génie sublime
de Pythagore, n’ont point cherché à expliquer ce phé-
nomène historique. Mais dans le point de vue philoso-
phique sous lequel nous examinons ici la marche de la
science, cette circonstance est trop essentielle, pour
qu’elle ne soit pas, de notre part, l’objet de quelques
rapides réflexions. Et d'abord est-ce bien des brahmanes
ou des prêtres de l'Égypte que Pythagore tira des leçons
aussi remarquables par la grandeur et la justesse des
vues qu’elles expriment? Il est au moins permis d’en
douter. L’astronomie des Indiens et des Égyptiens n’é-
tait plus avancée que celle des Grecs, à cette époque,
que sous des rapports pratiques; mais rien n ndique
nulle part dans leurs observations, leurs monumens et
le peu de documens authentiques que nous possédions sur

AS

leur antique histoire, que la science s'y fût élevée à le
hauteur de l'hypothèse pythagoricienne. D'ailleurs, coms
ment Thalès qui avait eu avec les prêtres égyptiens les
mêmes rapports que Pythagore, n’en avait-il pas reçu
les mêmes révélations ? Faudrait-il ajouter foi à l’exis-
tence de ces divers degrés d'initiation , dont on suppose
que la connaissance entière des mystères était précédée ?
Mais si les prêtres étaient en possession des idées que
Pythagore professa sur le système du monde, pourquoi
les maîtres ont-ils gardé le silence sur un objet qu’il a
été permis au disciple de dévoiler? et pourquoi enfin
cette faculté, parmi tous les hommes qui subirent les
degrés les plus élevés de l'initiation, a-t-elle été le par-
tage du seul Pythagore? On sent bien que toutes ces
questions compliquent le problème au lieu de le résou:
dre ; mais on les a exposées pour démontrer l'incertitude
qui règne dans l'histoire de ces temps éloignés, et la
hardiesse qu'il y aurait d'adopter, sans aucune critique,
des faits présentés par les écrivains des siècles intermé-
diaires avec une confiance qui ne prouve rien en faveur
de leur authenticité. On ne peut donc que hasarder des
hypothèses plus ou moins probables sur ces hâtives ma-
nifestations de l'esprit humain, qui surgissent de loin
en loin comme des clartés inattendues dans la nuit mys-
térieuse de l’antiquité. Ainsi, il est possible que Pytha-
gore ait profité de quelques vagues aperçus des brah-
manes et des prêtres de l'Égypte, pour fonder son opinion
sur le système du monde. Mais ce système lui-même dut
naître dans la spontanéité de son génie, puisque, avant
et après lui, l'univers entier, fidèle à ses vicilles erreurs
méconnut les vérités qu’il était venu lui révéler. Au
reste, il ne faut pas non plus accuser l'humanité d’une
disposition trop prononcée à dédaigner les découvertes
scientifiques. Elle n’entre dans le progrès qu'en vertu des
lois qui le déterminent, c’est- à-dire qu'il n ya progrès
pour l'humanité que là où les découvertes : scientifique-
ment exposées, deviennent incontestables. Pythagore
enveloppa sa doctrine des formes mystiques de l'initia-
tion; il ne la présenta que dans un langage mystérieux
et obscur, et mélée à des doctrines philosophiques « d'un
ordre tout différent. Peut-être ce grand homme craignit-
il à la fois d’exposer ses dogmes aux raïllerics du vul-
gaire, dont ils offensaient les préjugés, etses disciples
à des persécutions dont les malheurs d’Anaxagore ayaient
été le prélude dans la Grèce. Au reste, son école con-
serva long-temps, jusqu’à un certain point, la direction
intellectuelle qu’elle avait reçue de lui; et il paraît alors
moins surprenant qu’elle n'ait pu se placer en tête des
progrès de la science. Philolaüs de Crotone, fut le pre-
mier disciple de Py thagore, qui professa publiquement
l'opinion de ce philosophe sur le mouvement de la terre :
elle était demeurée jusqu’! à lui enveloppée dans le mys-
tère qui couvrait les doctrines de cette école.

AS

Environ un sièele après Pythagore , deux astronomés
grecs, Meton et Euctemoti, exposèrent aux jeux olym-
piques une table astronomique où était expliqué l’ordre
d’une période nouvelle qui devait servir à rectifier le
calendrier de la Grèce, en conciliant les mouvemens de
la lune et du soleil. Cette période, que les Grecs adop-
tèrent avec enthousiasme, à été célèbre sous le not
d’enncéadécatéride, où cycle de 19 ans. Elle était de dix-
neufannées luuaires, dont douze se composaient de douze
lunaisons, et les sept autres de treize. Callipe apporta
plus tärd quelque changement à cette période qui anti-
cipait de quélques heures sur les révolutions précises du
soleil et sur celles de la lune. Il quadrupla le cycle de
Meton, et en forma un nouveau de 76 ans, aù terme
duquel on devait rétrancher un jour. Cette autre période,
qui a été appelée cellipique, du nom de son auteur, avait
été formée d’après l'évaluation de l’année à 365 jouts
G heures, et offrait encore une anticipation dé quelques
minutes. Ce défaut fut remarqué par le célèbre Hippar-
que; mais l’usage du cycle de Callipe prévalut sur celui
que présenta cet astroriome. Il n’est pas inutile de rap-
peler ici que la réforme du calendrier, en 1582; fut
nécessitée par laccumulation des anticipations de ce
eycle depuis l’époque du concile de Nicée, jusqu'à
cette année du seizième siècle.

Où attribue encore à Meton et Euctemoïñ une ob-
sérvation ästronomique fort importante pour l’histoire
de la bcience dans la Grèce, et que nous né pouvons
passer sous silence : c'est celle du solstite d'été de
Fan 435 avant J:-C: Dans le siècle suivant, c’est-ä-dire
à peu près du temps d'Alexandre, la république de
Marseille vit naitre Pytheas, qui s’est illastré comnte
féographe ct comme astronomé: Nous aurons l’occasion
d'envisager sé$ trafaux sous ce double rapport : il suf-
fira de dire, dans te rapide résumé de l'histoire de l'as-
ironomié, qu’à cette époque Pythéas obsefya à Mar-
seille la longueur méridienne du gnomoen añ rôlstiee
d'été. Cette observation rémalquablé à cause dé sôn
antiquité, est surtout précieuse pour les astionomes, en
cé qu’elle confirmé les diminutions suctessives dé l'obh-
quité de l’écliptique.

C’est à Pytheas de Marseille que finit véritablement
la première période de l'histoire de l'astronomie éhez
les Grecs, car elle renferme tous les progrès qui s'effec-
tuèrent dans la science depuis Thalès jusqu'à Alexandre.
Nous croyons donc devoir passer sous silente des tra-
vaux de quelques astronomes du siècle qui p'écéda la
fondation de l’école d'Alexandrie, tels qu'Archslas,
Leucippe, Démocrite, dout les observations w'appor-
tèrent aucun changement essentiel aux hypothèses adop-
tées avant èux. [l en est de-mêmie de Platon et de l'école
célèbre qu'il créa. On sait que cet homme prodigiéux,
et à qu le monde est redevable d'une philosophie qui

AS 167

donna üne si haute direction aux sciences morales , avait
néanmoins adopté le système du monde, généralement
reçu de son temps, et qui fait la terre immobile au centre
de l’univers. Cependant Plutarque assure qu’arrivé aux
bornes de la vie, le divin Platon renença à cette erreur,
et embrassa le système pythagoricien. (PzuT. Quest.
plat. 7.) Les principaux disciples de Platon qui s’occu-
pèrent d’astronomie, comme Hélicon de Cysique et
le célèbre Eudoxe , professèrent des opinions si erronées
sur cette matière , que leur exposition est devenue com-
plétement étrangère à l’histoire de la science. Aristote
et l’école péripatéticienne ne s’occupèrent pas d’astrô-
nomie, ou ne l’envisagèrent que dans le sens des fausses
hypothèses dont elle était l’objet, et à l’aide d’une mau-
vaise physique. Ce fut cependant l'opinion d’Aristote,
basée sur des principes aussi peu solides , qui porta le
dernier coup au système pythagoricien. Cette opinion
fut adoptée par les plus célèbres astronomes d’Alexan-
drie, et durant quatorze siècles l'intelligence humaine
gravita dans le cercle étroit que l’empirisme avait tracé
autour d'elle. Il nous reste maintenant à suivre la mar-
che de la scierice pendant cette longue période, et à con-
sidérer pär quels immenses travaux l’humanité racheta
la conquête de la vérité qu’elle avait dédaignée deux
mille ans auparavant.

G. On a vu que l’astronomie des divers peuples civi-
lisés, dont nous avons interrogé l’histoire, était entière-
ment pratique. Les phénomènes des saisons, des éclip-
ses, l'apparition des comètes, n'étaient observés que
dans l'intérêt des besoins sociaux, et peut-être aussi
dans celui des préjugés, que nourrissaient les frayeurs
occasionnées par l'accomplissement de ces grandes lois
générales. Toute la science consistait dans la connais-
sance des diverses périodes calculées sur de longues
observations ; elle ne rassemblait sur le système de
l'univers qne des conjectures, dont la plupart étaient
malheuréuses et fondées sur les rappôrts des sens avec les
appärences des mouvemens planétaires. À dater de la foñi-
dätion dé l’école d'Alexandrie, l'astrondinie va prendre
ünié place plus distinguée dansles connaissances humäinés.
Les observations s’exécuteront dès lors à l’aidè d’ins-
t'umens ingénieux et propres à mesurer les angles :
eHés seront calculées d’après les méthodës trigonomé-
uiques. Des cercles du ciel seront dressés, et la posi-
tion des étoiles sera déterminée avée uñé exactitude
dont toutes des Observations añtérieures n'avaient point
approché: Des mouvemens du soleil et de ln lune,
ceux des planètes seront appréciés et saisis avec plus de
jüstesse ; etenfin de l’énsemble des travaux entrepris
au seih de cétté illustre écolé ; sortira ie premier Système
astronomique complet; malgré les erreurs qu'il consä-
crera, et qui, adopté par toutes les nations; donnera

du moius à la science ce caractère d'unité à Paide duquel

168 AS

s'établira sa marche progressive vers le vrai système du
monde.

De toutes les branches des sciences mathématiques,
dont les travaux de l’école d'Alexandrie accélérèrent
les progrès, aucune ne fut cultivée avec plus d’ardeur
et de succès que l’astronomie. Nous avons déjà présenté
daus un article de ce Dictionnaire, sous un point de vue
général, l’ensemble de l’histoire de la science, en par-
lant de cette institution célèbre : nous croyons devoir y
renvoyer le lecteur. (#oyez ALEXANDRE (ÉCOLE D.)
Cependant, pour intervertir le moins possible l’ordre
des recherches spéciales auxquelles nous nous livrons
ici , nous résumerons dans quelques considérations nou-
velles cette partie si importante de l’histoire de l’astro-

nomie.

Si ce que nous avons dit plus haut relativement aux
prétendues connaissances attribuées aux prêtres égyp-
tiens, et à l'antiquité non moins douteuse de leurs
observations (2), avait besoin d’être plus particulièrement
démontré, les travaux des astronomes alexandrins
“seraient un témoignage irrécusable de la justesse de nos
objections. Ni Aristille, ni Timocharis, ni le judicieux
Hipparque, ni le savant et ingénieux Ptolémée, ne
purent se servir des observations si vantées de l’antique
et mystérieuse Égypte. Les premiers de ces grands astro-
nomes, aidés de toute la faveur des successeurs de
Lagus, durent avoir à leur disposition tous les docu-
mens utiles à la science qu’ils pratiquaient ; et il est pro-
bable que dans un pays dont les monumens étaient cou-
verts de caractères qui dans l'opinion générale conser-
vaient les fastes nationaux, ils eurent tous les moyens
possibles de s’éclairer. Cependant la plus ancienne
observation, rapportée par Ptolémée, est empruntée
aux annales de Babylone, et elle ne remonte qu’à
l'an 719 avant l'ère chrétienne (1).

C’est donc à tort qu’inclinée devant ces antiques restes
d’une civilisation à peu près inconnue, et qui ont sur-
nagé sur les vagues des siècles, la science rêveuse cher-
che à lire ces pages muettes pour elle, et à soulever le
voile qui couvre le passé.

Long-temps avant Hipparque, Aristarque de Samos
essaya vainement de faire prévaloir à l’école d’Alexan-
drie l'opinion pythagoricienne sur le système du monde.
N'est-ce donc pas une preuve évidente de l’excentricité
de ce système, que la profonde indifférence avec la-
quelle il fut accueilli dans la terre même où l’on a pré-
tendu qu’il avait pris naissance? Et plusieurs siècles
après , lorsque le studieux Ptolémée rassembla tous les
travaux astronomiques des temps anciens , la production
de ce système ne changea rien à ses opinions, et il
dépensa un immense talent pour expliquer le système
opposé, qui était celui de l'Égypte, par une complica-

AS

tion prodigieuse de combinaisons et d’hypothèses qui
attestent seulement la fécondité brillante de son génie.

Cette noble tentative d’Aristarque de Samos, les
observations importantes d'Hipparque, et les travaux
synthétiques de Ptolémée, nous semblent caractériser
les trois ages de l'astronomie dans l’école d'Alexandrie,
Du temps d’Aristarque, le système général du monde
est encore en discussion ; mais ce premier travail est inu-
tile, et Hipparque n'apporte que peu de changemens à
l'opinion reçue, en faisant mouvoir le soleil uniformé-
ment dans un: ordre circulaire, et en éloignant la terre
de la vingt-quatrième partie da rayon, au lieu de la pla-
cer à son centre. Ptolémée s'empare en maitre de ces
divers travaux , il les coordonne ; les rectifie suivant de
nouvelles observations opérées à l’aide de meilleurs
instrumens ; et forme un système qui diffère peu de celui
d'Hipparque et de celui des Égyptiens ; mais il l’entoure
d'explications qui étonnent l'imagination, et qui sup-
posent en lui une science si profonde que nul après
lui n’osera porter la main sur son œuvre,

La découverte qui a immortalisé Hipparque est celle
de la précession des équinoxes ; et ce fut pour expliquer
ce phénomène réel de l'inégalité des deux intervalles
d’un équinoxe à l’autre, qu'il proposa son hypothèse
sur le mouvement du soleil. Ptolémée confirma cette
découverte par de nouvelles observations, mais il n’en
donna pas des explications plus satisfaisantes. La plus
importante de celles qu’on attribue à ce gramd astro-
nome est celle de l’évection de la lune. ( Voyez ce mot. )
Voici au surplus l’idée générale qu'on peut se faire de
son système, et qu’il est important de connaître pour bien
comprendre la nature des progrès de l’astrondmie mo-
derne et l'importance des travaux des Arabes durant le
moyen-âge. Nous empruntons à La Place l’expositionque
ce savant et illustre géomètre en a faite en ces termes :
« Ce fut, dans l'antiquité , une opinion générale, que le
« mouvement uniforme et circulaire, comme le plus par-
« fait, devait être celui des astres. Cette erreur s’est
« maintenue jusqu'a Képler, qu’elle arrêta pendant
« long-temps dans ses recherches. Ptolémée l'adopta,
« et plaçant la terre au centre des mouvemens célestes,
« il ‘essaya de représenter leurs inégalités dans cette
« hypothèse. Que l’on imagine en mouvement sur une
« première circonférence dont la terre occupe le centre,
« celui d’une circonférence sur laquellese meut le centre
« d’une troisième circonférence ; et ainsi de suite jus-
« qu’à la dernière que l’astre décrit uniformément. Si
« le rayon d’une de ces circonférences surpasse la somme
« des autres rayons, ce mouvement apparent de l’astre
« autour de la terre, sera composé d’un moyen mou-
« vement uniforme, et de plusieurs inégalités dépen-
« dantes des rapports qu'ont entre eux les rayons des
« diverses circonférences , et des mouvemens de Jeurs

AS

« centres et de l’astre. On peut donc, en multipliant et
« en déterminant convenablement ces quantités , repré-
« senter toutes les inégalités de ce mouvement apparent.
Telle est la manière la plus générale d'envisager l'hy-
« pothèse des épicycles et des excentriques; car un
« excentrique peut être considéré comme un cercle

=

« dont le centre se meut autour de la terre avec une
« vitesse plus ou moins grande, et qui devient nulle
« s’il est immobile. »

« Ptolémée suppose le soleil , la lune et les planètes
« en mouvement autour de la terre dans cet ordre de
« distances : la Lune, Mercure, Vénus, le Soleil,
« Mars, Jupiter et Saturne. Chacune des planètes su-
« périeures au soleil était mue sur un épicycle dont le
« centre décrivait autour de la terre un excentrique
« dans un temps égal à celui de la révolution de la
« planète. La période du mouvement de l’astre sur
« l’épicycle, était celle d’une révolution solaire, et il
« se trouvait toujours en opposition au soleil lorsqu'il
« atteignait le point de lépicycle le plus près de la
« terre. Rien ne déterminait dans ce système la gran-
« deur absolue du cercle et des épicycles : Ptolémée
« n’avait besoin que de connaître le rapport du rayon
« de chaque épicycle à celui du cercle décrit par son
« centre. Il faisait mouvoir pareillement chaque pla-
« nète inférieure sur un épicycle dont le centre décri-
« vait un excentrique autour de la terre; mais le mou-
« vement de ce point était égal au mouvement solaire,
« et la planète parcourait son épicyle pendant un temps
« qui, dans Fastronomie moderne, est celui de sa révo-
« lution autour du soleil; la planète était toujours en
« conjonction avec lui, lorsqu'elle parvenait au point
« le plus bas de son épicycle. Rien ne déterminait
encore ici la grandeur absolue des cercles et des épi-
« cycles. Les astronomes antérieurs à Ptolémée étaient
« partagés sur les rangs de Mercure et de Vénus dans
le système planétaire. Les plus anciens dont il suivit

2

l'opinion, les mettaient au-dessous du soleil ; les
autres plaçaient cès astres au-dessus : enfin quelques

=

« Égyptiens les faisaient mouvoir autour du soleil. »

Telles sont les hypothèses principales du système de
Ptolémée. Ce système dont l’adoption générale rendit
tout progrès impossible, marque un point d'arrêt dans la
marche de l'esprit humain. Comme il rassemblait toutes
les connaissances antérieures à sa production, il fut
aussi durant une longue période, l’axe sur lequel vinrent
se grouper toutes les recherches postérieures.

7- Tandis que l’Europe et cette partie de l’Asie, quéla
politique romaine y avait rattachée par ses conquêtes et ses
lois, subissaient une transformation complète dans leurs
mœurs , leur religion et leur droit public; tandis que
de puissantes révolutions changaient la ficé du monde
civilisé, que des royaumes s’élevaient sur les débris des

AS 169

royaumes, que des nations nouvelles s’élançant d'une zonc
inconnue, venaient s'asseoir au foyer dévasté des viciies
nations , et que les sciences et les lettres disparaissaient
comme englouties sous les ruines des anciens monu-
mens : une nâtion jeune, malgré ss antiques traditions,
brave, spirituelle et remarquable par l'énergie de son
enthousiasme religieux, se révélait au monde par sa puis-
sance intellectuelle, après l'avoir menacé par la puis-
sance victorieuse de ses armes. Les sciences et les lettres
trouvèrent un refuge chez cette noble nation , alors que
leur flambeau s’éteignait dans le sang des peuples où il
avait autrefois répandu de vives clartés. La religion
nouvelle, qu’elle adopta avec l’ardeur naturelle de son
caractère, modifia durant quelque temps ses mœurs
patriarchales, en lui inspirant une ferveur de prosély-
tisme qui lui fit soumettre la raison au tranchant du
sabre. Mais quand ses prémiers khalyfes eurent accompli
la pensée de Mahomet par d’immenses conquêtes, elle
retrouva dans les loisirs de la paix toutes les traditions
de sa belle civilisation, Passionnée pour la poésie et pour
l’éloquence, elle eut de nouveau des palmes pour les
poètes et les orateurs ; elle cultiva les sciences mathé-
matiques, et surtout l’astronomie, dont son ciel sans
nuages devait favoriser les observations; et l'Europe,
courbée sous la hache des hommes du Nord , ne la suivit
que lentement, et de bien loin, dans la voie de la régé-
nération ct du progrès.

Telle fut la nation arabe, dont les glorieusés annales
renferment tant de faits intéressaris pour l’histoire des
sciences , et que d’aveugles préjugés nous ont long-temps
montrée comme une nation barbare, en calomniant
jusqu’à sa religion.

Nous ne parlerons point de l'astronomie des anciens
Arabes : leurs connaissances pratiques dans cette science
ne s’élevaient guère ‘au-dessus de celles que les Grecs
possédaient avant Thalès, et ce fut seulement sous lés
kbalyfes de la dynastie des Abbassydes qu’ils cominen:
cèrent à en faire l’objet de recherches sérieuses. Lie cé-
lèbre El-Mansour, surnommé Abou-Djafar ( Almanzor-
le-Victorieux), eut la plus grande part à la révolution
intellectuelle qui s’opéra chez les Arabes. Ce khalyfe, qui
monta sur le trône vers le milieu du huitième siècle ( a
de J.-C. 754, de l'hégyre 136), encouragea les sciences |
par ses libéralités, par la faveur dont il hoñorait ceux
qui les cultivaient, et surtout par son propre exemple,
car il s’adonna lui-même avec beaucoup d'ardeur à
l'étude de l'astronomie. Ses successeurs marchèrent Sur
ses traces ; le célèbre Haroun-äl-Raschyd et sôn fils Mu£
hamed-el-Amyr favorisèrent dé tout leur pouvoir1é
mouvement civilisateur qui s'était manifesté paires
Arabes. Le brillant règne de ces princes à lasséqaris
l'Orient d’impérissables souvenirs; les cotites inffénieurs}

qui ont amusé notre enfance, ne sont qu'un seflet Ge

ee

470 :- - _——- AS

ete époque de progrès, que plus tard l'imagination
ardente de ces peuples qui viven de poésie, reproduisit
dans leurs traditions avec l’exagération et l'amour du
merveilleux qui lui sont naturels. Mais parmi tous les
princes arabes qui s’illustrèrent par leur amour pour les
sciences, le khalife Él-Mamoun-Abd-Allah, deuxième
fils d'Haroun, et qui monta sur le trône l'an 198
de l’hégyre (813-14 de J.-C.), mérite une mention
particulière. Il protégea les sciences en souverain et en
philosophe ; car, magnanime comme Alexandre, il
n’oublia pas dans ses expéditions guerrières le noble but
qu'il s'était fixé : il imposa à Michel HI un tribut en
livres, trésor de l'antique civilisation de la Grèce, et
plus tard il fitla guerre à Théophile qui avait refusé
de laisser partir pour Bagdad Léon, archevèque de
Thessalonique, que cet empereur chrétien laissait vivre
du prix des leçons qu’il était obligé de donner aux escla-
ves. À dater du règne d'Él-Mamoun toutes les sciences »
et particulièrement l'astronomie, prirent chez les Arabes
un développement prodigieux, et une foule d'hommes
remarquables par leurs travaux et leur aptitude scienti-
fiques, se pressèrent autour de son trône. L’Æ/mageste
fut traduit comme tous les ouvrages mathématiques de
la Grèce et de l’école d'Alexandrie. Les astronomes de
Bagdad firent un grand nombre d'observations impor-
tantes, et dressèrent de nouvelles tables du soleil et de
la lune, plus exactes que celles de Ptolémée, auxquelles
on a donné le nom de Tables vérifiées. Is détermi-
nèrent avec plus de précision qu'Hipparque la durée de
l’année tropique, et mesurèrent dans une plaine de la
Mésopotamie un degré du méridien, dans le but d’ob-
tenir une évaluation juste de la grandeur de la terre.

Nous aurions à citer un grand nombre d’astronomes
célèbres qui se distinguèrent par d’utiles et grands tra-
vaux sous le règne d'Él-Mamoun, et sous celui de ses
successeurs ; car l'astronomie se ressentit long-temps de
la protection puissante que lui avait accordée ce prince
éclairé. Cette revue intéressante nous ferait dépasser de
beaucoup les bornes qui nous sont imposées; nous con-
sacrerons des biographies à ceux dont les découvertes
ont le plus contribué aux progrès de la science, et nous
renverrons le lecteur, pour les autres, au recueil de
d'Herbelot, et aux diverses bibliothèques orientales,
Voyez ALuASEN, ALBATENIUS, etc.

Les Arabes ne se bornèrent pas à des observations,
dont lascience moderne a souvent l’occasion d'apprécier
l'exactitude; ils donnèrent aussi tous leurs soins à la
perfection des instrumens astronomiques; et lorsque,
par leur invasion en Espagne, ils furent à même de
communiquer à l'Europe les connaissances qu'ils avaient
acquises, ce moyen puissant d’en vérifier les calculs et
les résultats contribua beaucoup à les répandre.

Aiusi, l’époque à laquelle nous avons donné le nom

AS

de moyen-äge, qui fut pour nous une époque de ténè-
bres et de servitude, renferme la période la plus bril-
lante de l’histoire des Arabes. Lorsque nos chevaliers,
aussi braves qu’ignorans, suivirent en Orient ces my-
riades de pélerins armés qu'y conduisait l’exaltation
religieuse, ils s’imaginaient aller combattre des bar-
bares , dignes à peine de tomber sous leur noble épée.
Ils eurent affaire à une nation aussi vaillante qu’éclairée,
et la civilisation arabe triompha de cette attaque for-
midable : mais les chrétiens rapportèrent d'Orient des
idées qui germèrent en Europe, et concoururent plus
tard à sa rénovation intellectuelle. Tel fut le résultat le
plus positif des croisades. Il est grand sans doute, et
témoigne éloquemment de la direction providentielle
que subit l’histoire sociale.

8. Vers le milieu du XI° siècle, les Persans, long-
temps soumis aux Arabes, secouèrent le joug de leurs
khalyfes; mais ils continuèrent à pratiquer les sciences
que leurs conquérans leur avaient enseignées. Omar-
Cheyau , l’un de leurs plus célèbres astronomes, reforma
leur calendrier, dans lequel on trouve une intercala-
tion que Dominique Cassini , à la fin du XVII° siècle,
proposa comme plus exacte que l’intercalation grégo-
rienne. Ce savant paraîtavoir ignoré l'existence déjà an-
cienne de ces progrès astronomiques chez les Persans.
Deux siècles après, Holagu-Ilecoukan, souverain de la
Perse, donna aux études astronomiques les plus louables
encouragemens, et Ulugh-Beigh, un de ses successeurs,
doit être mis lui-même au rang des meilleurs obser-
vateurs. Il mesura, en 1477, l’obliquité de l’écliptique,
et dressa des tables astronomiques que celles de Tycho-
Brahé surpassèrent seules en exactitude et en perfection.

La Chine participa durant le moyen-âge de ces pro-
grès généraux de l'astronomie dans l'Orient. Nous de-
vons aux missionnaires chrétiens, et particulièrement
au savant jésuite Gaubil, la connaissance d’une suite
d'observations qui s'étendent de l’an 1100 avant notre
ère, jusqu'en 1280 après. Dans le V® siècle, un habile
astronome chinois, nommé Tsoutchong, avait déter-
miné la grandeur de l'année tropique avec plus d’exac-
titude que les Grecs et les Arabes, en la fixant à
365 jours 24282. Cette évaluation est à peu de chose
près celle de Copernic.

En 1271, Kobilai, cinquième successeur de Genpgis-
Kan, protégca l'astronomie, en Chine, ayec autant de
zèle et de générosité que son frère Holagu-[lecoukan
en Perse. Il est curieux de suivre ces migrations diverses
de la science : des Arabes chez les Persans, des Persans
chez les Tartares, des Tartares chez les Chinois, Kabilai
nomma chef du tribunal des mathématiques Cocheou-
King, qui est le Ptolémée de la Chine. Ce célèbre
observateur a. laissé des travaux remarquables que le
père Gaubil a communiqués à l'Europe. Il fit construire

AS

an grand nombre d’instrumens supérieurs à ceux dont
on avait fait usage jusqu'alors, et entre autres un gno-
mon d’une grande dimension, à l’aide duquel il put
faive des observations importantes sur les diminutions
de l'obliquité de l'écliptique et de l’excentricité du
globe terrestre.

9. C’est à peu près À cette époque qu’Alphonse, roi
de Castille, et Frédéric IT, empereur d'Allemagne,
côminencèrent à encourager les études astronomiques,
ét que la science, rendue à l’Europe par les Arabes,
jeta quelques rayons de lumière au milieu des épaisses
ténèbres ‘qui couvraient ce pays. Les tables astrono-
miqués drossées pari les soins du premier de ces princes,
Ja traduction de V'{lmageste de Ptolémée, due aux
encouragemens du second, furent les premiers indices
importans de la révolution intellectuelle que Europe
aaitsubir dansles siècles suivans. L’astronomie, dont les
connaissances étaient alors mélées à beaucoup d'erreurs
el de rêveries astrologiques, fut spécialement l’objet de
quelques utiles travaux, parmi lesquels se distinguent
ceux de Sacro-Bosco (Jean de Halifax), de Campanus de
Novarre , de Girard de Crémone, qu’on croit avoir été
le premier traducteur de lA/mageste en latin.

Ce mouvement continua durant le XIV° et le XV*
sièele: Pierre d’Apono, Marc de Bénévent et George
Purbacb se jetèrent avec une sorte d’enthousiasme sur
los écrits des anciens, les commentèrent, les analysèrent,
et préparèrent ainsi la voie des découvertes dans laquelle
la science ‘allait s’élancer après eux. Ce fut alors que

pürut le célèbre Jean Muller, plus connu sous 1e nom

dé Regiomontanus, l’un des observateurs les plus re-
marquables du système astronomique de Ptolémée, dont
il découvrit même, dit-on, les erreurs, qu’il fut sur le
point de sacrifier à l’ancienne opinion pythagoricienne.
Mais le moment m'était pas venu de cette grande et
heureuse révolution, et l'honneur de la commencer
était réservé à un autre. Regiomontanus acheva d’im-
inenses travaux dans toutes les parties de l’astrono-
mie, et son observation de la comète de 1472, pour
laquelle il écrivit un traité spécial, est encore aujour-
d'hui d’un haut intérêt. Cet astronome, qui mourut
jeune, laissa à de nombreux disciples le soin de perfec-
tionner sa méthode et de continuer ses observations.
Parmi eux se distingue Bernhard Walther, que, suivant
l'usage de ce temps, on a appelé ##/altherus. I est le
premier astronome moderne qui ait observé le phéno-
mène de la réfraction.

Ces savans et laborieux astronomes, ainsi qu’un grand
nombre d’autres qui tiennent une place honorable dans
l’histoire de la science, ne firent aucune découverte im-
portante ; mais ils préparèrent celles du XVI® siècle, ère
de rénovation dans laquelle nous allons enfin entrer, et
où nous allons voir poux la dernière fois le génie aux

AS 174
prises avec les préjugés et les erreurs dont une longue
suite de siècles avaient pour ainsi dire consacré la ja -
louse autorité.

10. Le système de Ptolémée, comme on l’a dit plus
haut, avait résumé toute l'astronomie ancienne : il fut
durant près de quatorze cents ans la base fondamentale
de la science ; il régna sans contestation, et toutes les
observations furent faites dans le sens de l’hypothèse
qu’il avait convertie en loi. Ainsi, l’histoire de l’astro-
nomie, envisagée d’une manière générale, peut se di-
viser en trois grandes périodes, La première est celle
des systèmes pratiques, si l'on peut s'exprimer ainsi,
c’est-à-dire celle où chaque nation avait adopté une hy-
pothèse suivant ses préjugés, ses besoins sociaux et ses
croyances religieuses. Cette époque est peut-être celle
des plus grands travaux de l'humanité : à travers de
nombreuses erreurs, on voit cependant peu à peu chez
toutes les nations des idées raisonnables, des appréciations
justes des phénomènes célestes, servir de base à des
observations utiles. Durant cette périvde, l’homme par-
vient à s'assurer de la sphéricité de la terre et de celle
des planètes : il observe la déclinaison de l’écliptique, et
découvre la précession des équinoxes. Alors un sage ex-
pose sur le système de l’univers une idée juste, qui ne
peuttriompher des préjugés existans, fondés sur des ap-
parences, que cette idée trop avancée n’explique pas
d’une manière assez précise, assez satisfaisante. Une se-
conde période historique commence à Ptolémée; elle n’a
pas d’autre nom que celui de cet astronome, qui, mettant
un terme aux vagues incertitudes du passé, s'empare de
l'avenir, et enchaîne la raison humaine dans les cercles
ingénieux que son hypothèse a tracés dans le ciel. Alors
les travaux astronomiques n’ont plus d’autre but que de
trouver une mesure plus exacte de la terre, une division
du temps qui tienne compte des distances les moins sai-
sissables par les sens, de déterminer avec plus de préci-
sion l'apogée du soleil, l'inclinaison de lécliptique et
tous les phénomènes célestes. Après quatorze siècles ,
l'humanité conçoit enfin des doutes sur la réalité de ce
système. Une troisième et brillante période commence
pour l'histoire de l’astronomie : c’est celle de Copernic.
Une fois le préjugé vaincu dans sa base essentielle, l’es-
prit humain marche de découvertes en découvertes, et
en moins de deux siècles tous les travaux des généra-
tions passées sont anéantis, toutes les hypothèses ren-
versées ; la science, dans son vol hardi, ets’appuyaytsur
d’incontestables certitudes, mesure la distance de la terre
au soleil, pèse tous les globes dans sa main puissante , et
détermine les lois en vertu desquelles ils se meuvent
dans l’espace; elle pénètre au sein de tous les mystères
de la création, et explique tous les phénomènes célestes
avec une autorité qui n’admet ni doute ni hésitation.

15 Sclare : LE 'ARUR. «
L'homme, en vertu de sa raison, déclare alors être en

479

ÀAS

possession de la vérité! Ce spectacle est beau, cette
révolution est immense, et cependant la science n’est
encore qu’à l'aurore de son règne.

Ce fut le 19 février 1473, que Nicolas Copernic na-
quit à Thorn, petite ville de la Prusse. Cet homme, dont
le nom est désormais immortel, manifesta de bonne
heure son goût pour les hautes études astronomiques. 11
alla s'instruire en Italie aux leçons de Dominique Maria,
et obtint à Rome une chaire de professeur. Déjà des ob-
servations avaient commencé, et la complication bizarre
des hypothèses de Ptolémée lui avait fait penser que
le système du monde reposait sur un ordre différent.
Pourvu d’un canonicat dans la ville de Fravenberg, il
se livra dans la retraite à de profondes méditations, et,
frappé de la majestueuse simplicité de l'opinion pytha-
goricienne, elle servit de point de départ à ses travaux.
Copernic appliqua à ce système toutes les observations
qui avaient été faites dans l'hypothèse de Ptolémée; et
il vit avec joie que ces observations se liaient admira-
blement à la théorie du mouvement de la terre. I1 se
rendit compte de la révolution diurne apparente du
ciel par le mouvement de rotation de la terre, et de
la précession des équinoxes par le mouvement d’oscil-
lation qui s'opère dans J'axe de la terre. Ainsi, les
cercles imaginés par Ptolémée n’expliquèrent plus à
Copernic les mouvemens directs et rétrogrades des pla-
nètes ; il jugea que ces phénomènes n'étaient que des
apparences produites par la combinaison du mouve-
ment de la terre autour du soleil avec celui des pla-
nètes; cette découverte le mit à même de déterminer
les dimensions de leurs orbes. Ce fut après trente-six
ans d’études , de méditations et d'observations, que Co-
pernic, parvenu déjà à une extrême vieillesse, publia
l'ouvrage dans lequel il avait consigné et expliqué le
vrai système du monde, sous le titre de : Révolutions cc-
lestes (De revolutionibus cœlestibus ); mais il n'osa le
présenter que sous la forme d’une hypothèse ; car il
comprenait toute la force du préjugé qu'il venait com-
battre, et de quelles difficultés est entourée la produc-
tion d’une vérité nouvelle. L'illustre Copernic ne put
être témoin du succès de son ouvrage : il mourut tout à
coup à l’âge de soixante-onze ans, peu de jours après
avoir reçu le premier exemplaire de sou livre , imprimé
à Nuremberg.

Joachim Rheticus, qui avait quitté sa chaire de pro-
fesseur à Wittemberg pour venir entendre Copernic,
dont les idées nouvelles sur le système du monde com-
mençaent à se répandre, fut le premier de ses disciples
qui adopta publiquement ce système. C'était lui qui avait
tiomphé de la répugnance timide de l’illustre vieillard
pour la publicité, et qui l'avait déterminé à livrer son
ouvrage à l'impression. Mais si tous les esprits éclairés

furent frappés de l'évidence des idées de Copernic, elles

AS

eurént alors à triompher d’un obstacle plus difficile à
vaincre que les préjugés de la routine et des opinions
populaires. Il est douloureux de le dire, l'Église ro-
maine crut trouver dans ce système une démonstration
contraire aux enseignemens de la religion. La décou-
verte admirable du télescope et les progrès des sciences
mathématiques vinrent bientôt confirmer toutes les ap-
préciations de Copernic; et cependant, Galilée, déjà
vieux, fut obligé d’humilier sa raison devant un tribu-
nal ecclésiastique, en niant la réalité d’un mouvement
qui lui était démontré.

Au moment où Copernic descendait dan la tombe,
le Danemarck voyait naître Tycho-Brahé, l’un des plus
grands observateurs qu’ait eus l'astronomie. Les tra-
vaux de cet homme célèbre appartiennent entièrement
aux théories de la science : ils seront exposés ailleurs;
et nous ne croyons pas utile de donner ici une idée qui
serait nécessairement incomplète de l’hypothèse à la-
quelle il a donné son nom, et qu’il vint jeter entre le
système de Ptolémée et celui de Copernic. Les décou-
vertes de Galilée; bientôt après, les admirables lois de
Képler, disciple.cependant de Tycho-Brahé; les tra-
vaux d'Huygens, et les progrès toujours croissans des
sciences mathématiques, mirent, dès la fin du dix-sep-
tième siècle, les opinions de Copernic à l'abri de toute
discussion.

Cependant, la découverte des lois des mouvemens
célestes n’était pas le dernier point où, après tant de
travaux et d'efforts, l’esprit humain devait parvenir ; il
lui restait encore à s'élever jusqu’à la cause immédiate,
jusqu’au principe général dont ces lois dérivent. Un
philosophe français, dont les travaux ont été si utiles
aux sciences, et dont le beau nom n’est pas encore en-
vironné dans sa patrie d’assez de respect et d’admira-
tion, Descartes enfin , songea le premier à résoudre ce
grand problème, en ramenant à la mécanique la cause
de ces mouvemens ; mais il s’égara dès son point de dé-
part. « Il était réservé à Newton, dit La Place, de nous
» faire connaitre le principe général des mouvemens
» célestes. La nature, en le douant d’un profond génie,
» prit encore soin de le piacer dans les circonstances les
» plus favorables. Descartes avait changé la face des
» sciences mathématiques par l'application féconde de
» l'algèbre à la théorie des courbes et des fonctions va-
» riables. Wallis, Wren et Huygens venaient de trouver
» les lois de la communication du mouvement. Les dé-
» couvertes de Galilée sur la chute des graves, et celles
» d'Huygens sur les développées et sur la force centri-
» fuge, conduisaient à la théorie du mouvement dans
» les courbes. Képler avait déterminé celles que décri-
» vent les planètes; et il avait entrevu la gravitation

‘» universelle. Enfin Hook avait très-bien vu que les
» mouvemens planétaires sont le résultat d’une force

AS

».primitive de projection combinée avec la force attrac-
» tive du soleil. La mécanique céleste n’attendait ainsi ,
» pour éclore, qu’un homme de génie, qui, rappro-
» chant et généralisant ces découvertes, sût en tirer la
» loi de la pesanteur. C’est ce que Newton exécuta dans
» son ouvrage des Principes mathématiques de la philo-
» sophie naturelle. »

Mais dès ce moment l'astronomie n’a plus d'histoire ,
ou plutôt son histoire n’est que le développement de
ses théories et l’exposition scientifique des observations
dont elles se composent : c’est la science elle-même. 11 se-
rait contraire à notre plan de donner plus d’étendue à
ce résumé des travaux astronomiques qui ont précédé
Yépoque où le système général de l'univers a été établi
sur des bases certaines. Ce que nous avons voulu sur-
tout, dans ce rapide exposé, a été de montrer par
quelles voies lentes et multipliées l'esprit humain a dùû
passer pour arriver à la découverte de la vérité. C'est
dans ce but que nous avons recherché avec plus de dé-
tails l’origine des premières connaissances astronomi-
ques chez les nations les plus célèbres de l'antiquité.
Nous avons évité à dessein de porter le même examen
dans l’histoire des peuples moins avancés en civilisation,
comme les habitans du sud de l’Afrique, les Péruviens
et les tribus qui habitent l'Océanie. Les phénomènes in-
tellectuels que nous avons observés parmi les nations
antiques se retrouvent partout avec de légères différen-
ces, qui tiennent au climat et aux mœurs; partout
l'homme s’est laissé guider par des apparences trom-
peuses; partout l'erreur se présente avec les ‘mëmes
caractères.

De toutes les sciences; l’astronomie est peut-être celle
dont l’histoire est le plus intimement liée à l’histoire in-
tellectuelle et sociale de l’homme. Ce rapprochement,
nous l’espérons , aura frappé le lecteur qui se sera élevé
avec nous à toutes les considérations philosophiques
qu'il doit inspirer. Après bien des jours; après avoir
subi le joug de toutes les erreurs, l'humanité triom-
phante, émancipée par la science, se trouvera bientôt
digne d’entrevoir l’accomplissement de sa haute desti-
nation , et la réalisation des sublimes espérances qui se
révèlent à sa raison. C’est avec cette direction d'idées
qu’on doit aborder l’étude des sciences; et ce résumé
des vicissitudes historiques de l’astronomie, ne doit être
considéré que comme une introduction nécessaire à la
méthode philosophique, à laquelle fera bientôt place le

- froid empirisme des anciennes méthodes élémentaires.

ASTRONOMIQUE. Ce qui a rapport à l'astronomie,

Calendrier astronomique. Voy. CazenoriEr.

Heures astronomiques. Voy. Heure.

Fractions astronomiques. Nom donné par quelques au-
teurs aux fractions sexagésimales dont on fait usage pour
la division des degrés du cercle. F, SexagésimaLes.

A5

473
Tables astronomiques. l'oy. Tavre.
ASTROSCOPE (de «ohne, astre , et de cxomtw, je con-

sidère ). Instrument astronomique, composé de deux
cônes, sur les surfaces desquels les étoiles et les constella-
tions sont décrites; ce qui donne le moyen de les re-
trouver facilement dans le ciel. Cet instrument est de
l'invention de Schukhard, professeur de mathémati-
ques à Tubingen , qui publia en 1698 un traité particu-
lier à ce sujet.

ASTROTHÉSIE. Ancien terme, à peu près syno-
nyme de constellation.

ASUGIA (Astr.). Un des noms de la constellation
d’'Orion.

ASYMETRIE (de a, privatif, de uw, avec, et de
ænrper, mesure). Sans mesure. Défaut de proportion
entre les parties d’un objet, comme entre le côté d’un
carré et sa diagonale, dont le rapport, celui de 1 : y2,
ne peut être exprimé ni en nombres entiers ni en nom-
bres fractionnaires. Voyez INCOMMENSURABLE.

ASYMPTOTE (Geom.) (de x privatif, de sw, avec ;
et de rirrw, je tombe, c’est-à-dire qui ne rencontre pas,
ou qui ne coincide pas). Ligne droite qui s'approche de
plus en plus d’une ligne courbe sans pouvoir la rencon-
trer, lors même qu’on les suppose l’une et l’autre pro-
longées à l'infini, et que leur distance puisse être alors
considérée comme plus petite que toute quantité finie
assignable.

On étend quelquefois le terme d’asymptote en l’ap-
pliquant à des branches de courbes qui ne peuvent éga-
lement se rencontrer, quoiqu’elles s'approchent les unes
des autres à l'infini. Ainsi, les asymptotes peuvent se

diviser en droites et courbes; mais, lorsqu'on ne lui

donne pas une acception autrement déterminée, le mot
asymptote ne désigne qu’une ligne droite.

La nature des asymptotes ne peut être que difficile-
ment conçue par les personnes peu familiarisées avec les
constructions de la haute géométrie. En effet, comment
comprendre que deux lignes peuvent s'approcher indé-
finiment sans qu’il soit possible qu’elles se touchent ou
coïncident? Ce mystère néanmoins s’éclaircit avec faci-
lité lorsqu’on examine la génération de la courbe nom-
mée conchoide.

474 AS

Soit MN une ligne droite indéfinie: d’un point A
situé en dehors, menons les droites AB, Aa, Ab, Ac,
Ad, etc., et prenons les diverses parties CB, fa, gb,
he , id, etc., toutes égales entre elles ; la courbe Babcde,
qui passe par les extrémités B, a, c,d,e, etc., est là
conchoide, et la droite MN est son asymptote; car
il est évident que la courbe ne peut jamais toucher MN,
quoique chacun de ses points a, b,c,d,e,etc., sen
rapprochent de plus en plus.

Toutes les courbes ne sont pas susceptibles d'avoir des
asymptotes ; parmi celles du second degré , l'Ayper.
bole seule est dans ce cas, et parmi celles des degrés
plus élevés, lesquelles généralement en ont plusieurs,
on compte un grand nombré de courbes dépourvues de
cette propriété. Nous allons exposer les moyens de re-
connaître les courbes susceptibles d’asymptotes, ainsi
que les procédés nécessaires pour effectuer la construc-
tion de ces droites.

pis

Soit AyN une branche de courbe rapportée à deux
axes rectangulaires AX et AY, et soit BM l'asymptote
de cette branche. Si l’on examine les diverses situations
que peut prendre une tangente Cy de la courbe, par
rapport à l’asymptote , on voit que plus le point de con-
tact y est éloigné de l'origine À, plus le point € doit se
rapprocher du point B ; comme aussi le point O du point
D. Ainsi, comme il est en outre évident que AC ne
peut devenir plus grand que AB, ni AO plus grand que
AD, AB et AD sont donc les limites ou les grandeurs
extrêmes des valeurs de plus en plus grandes que peu-
vent acquérir AG et AO, à mesure que la tangente Cy
se rapporte à un point de contact de plus en plus éloi-
gné de l’origine À, ou, ce qui est la même chose , on
peut confondre l’asymptote BM avec une tangente dont
le point de contact serait à une distance infiniment
grande de l’origine. L'équation de l’asymptote est donc
la tangente; seulement il
faut lui faire exprimer la circonstance de la distance infi-

la même que l'équation de

nie du point de contaët à l'origine; ce qui s'effectue en
égalant à l'infini Y'abscisse de ce point. Or, x", y' étant
les coordonnées d’un point quelconque d’une courbe,
l'équation de la droite, tangente à ce point, est (Voyez
TANGENTE)

AS

En faisant æ = 0 dans cette équation, ÿ devient égal
à AO (Voy. Agë. DE L’ALG. À LA GÉOM., IL, n° n ), et
l'on à
dy'

AO=ÿ'— x' de .(e)

De même, faisant y = 0, x devient égal à AC, et

l’on obtient
4

AG=zx'—y' ETC)

Les deux expressions (a) et (b), en y faisant = ,
donnent les valeurs de AC et de AD, et suivant que ces
valeurs sont finies ou infinies, réelles ou imaginaires , il
existe ou n'existe pas d’asymptote pour la courbe dont
l'équation aura préalablement fait connaître Ja relation
générale des coordonnées x’ et y’. Nous allons éclaircir
cette théorie par quelques exemples.

PrOëLÈME Ï. Déterminer si La courbe dont l'équation
esty* — Âx a des asymptotes.

Dans les expressions (a) et (b), le point x'‘y' devant
appartenir à la courbe, on exprime cette circonstance
en faisant x =x',y—y', et l'équation proposée de-
vient

J'= A2".
En cette dernière pour avoir les rapports
dx'

2 > € er on trouve
dy" = Adx'.
D'où l’on tire
HE et dz' _2y"
dx’ = dé TA?

Ces rapports substitués dans (a et () donnent

A "y Ag ‘og = Ax
= ! = g —— = —
AIX TE 29" AV/Ax"
= VAT)
2
—_ 2 Ax'— y" Ax A Az" _.
AC =x y", … dos obus F
=— 24%.

Mais AO devient égal à AD, et AG à AB, lorsque x est
infini, Faisant donc z'= © , nous avons

AD =:iV/AS,

AB—=—2%,
valeurs qui, ne pouvant être construites , nous appren<
nent que la courbe y? — Ax n’a point d’asymptote.
Cette courbe est la parabole apollonienne.

Propzème If, Déterminer les asymptotes de la couroe
y Ar + Ba.

L’équation proposée nous donne

AS

J?=Azx+Bzx,
qui devient , en différentiant ,
v'dy'=Adzx' + 2Bzx'dx’.
D'où l'on tire
dy! _ALoBzx dz' 2y
Ag = ape » €t CE SET à

Substituant dans (a) et (b), on obtient
,__Azx'+92Bz" _ 2y2— Ar — 1Br"
29
RE dus.
ah de /a

AO=7Yy

_ Ax'+ 2Bx°—27"

PEUT A-PaBe

Faisant, dans ces expressions æ'= %, on a définitive»
ment

Or, ces valeurs pouvant être construites , la courbe
proposée est susceptible d’asymptotes, pourvu toutefois

ea
V/—B

L’équation proposée est celle de l’Ayperbole lorsque
B est positif, et celle de l'ellipse, lorsqu'il est négatif.

que B soit positif, car s’il était négatif » Serait

imaginaire.

En faisant B — 0, elle devient encore celle de la para-
bole. Dans ce cas, les valeurs de AD et de AB devien-
nent toutes deux infinies, comme dans l'exemple précé-
dent. Voyez au mot Hyrervoce, pour la construction
des valeurs de AD et de AC.

Si dans les expressions (a) et (b), en faisant x'=,
l’une des quantités AD ou AC devenait infinie, l’autre
restant finie, c’est que la courbe aurait une asymptote
parallèle à l'axe sur lequel se trouve la quantité infinie.

Pros. IE. Trouver les asymptotes de la 1ocarrTT-
MIQUE, dont l'équation est y — a".
Cette équation nous donne

Y' — CIE
et, en différentiant,
dy'=a", loga.dx'.

D'où
dy! ze! dx ) 6
T4 .loga, et PT TEE

Substituant dans (a) et (b) , nous avons

AT

AO=ÿ'—x'a".loga = a — x'a:'loga,

475

AC=—zx—7". = : 20 Loder'ilégest et L
at" log a ar',loga
: ‘
Re,
log a

Faisant x’ —%, nous obtenons

AD — — x —0o,
AB — ©.

Ges valeurs nous apprennent qu’il y a une asymptote
parallèle à l’axe des abscisses, et située à une distance
AD — 0 de cet axe. L'asymptote se confond donc avec
l'axe des abscisses , ou, ce qui est la même chose, dans
la logarithmique , Vaxe des x est asymptote à la courbe,
I ne suffit pas qu’une droite s'approche à l'infini
d’une courbe, pour qu’elle lui soit asymptote; car alors,
dans la figure précédenté, une parallèle quelconque
bm à BM serait asymptote à la courbe AyN ; mais la dis-
tance de bm à la courbe ne peut jamais devenir plus
petite que sa distance à BM , qui est une distance finie et
assignable. Aïnsi , br ne satisfait pas à la définition que
nous avons donnée des asymptotes. Voyez, pour la
théorie complète des asymptotes , l'ouvrage de Cramer,
fntitulé : Zntroduction à l'analyse des lignæ courbes.
Voy. aussi le Traité des fluxions de Maclaurin, les
Institutions analytiques de Marie Agnesi, et, dans ce
Dictionnaire, les articles Courpes et Brancues.

ASYMPTOTIQUE (Géom.). Espace asymptotique.
C’est l’espace renfermé entre une courbe et son asymp-
tote. Quoique d’une longueur indéfinie, cet espace est
quelquefois fini; dans le plus grand nombre des cas,
est infiniment grand. Poy. HYPERSOLE.

ATAIR (Astr.). Nom de la belle étoile de l'aigle.

ATAUR (As), Un des noms de la constellation du
Taureau.

ATELIER DU SCULPTEUR (Astr.). Constellation
méridionale introduite par La Caille dans son plani-
sphère des étoiles australes. Elle est située sur le colure
des solstices, au-dessus de la Grue et du Phénix. La
plus belle étoile de cette constellation n’est que de la

cinquième grandeur.

ATHÉÈNÉE, de Cysique, mathématicien grec de l'é-
cole de Platon, vivait vers lan 210 avant J.-C. I est
au nombre des disciples du lycée, dont Proclus nous a
transmis les noms et les travaux. Athénée paraît s'être
adonné spécialement à l'application des mathématiques
à la mécanique. Il est l’auteur d’un traité sur les ina-
chines de guerre, qu'il adressa au consul Marcellus,
peu de temps après la prise de Syracuse. On ne sait si
cette démarche d'Athénée lui fut dictée pat la ftousie,

que la gloire dont le grand À rchimède Yenait alors de

476 — AT

& couvrir avait pu lui inspirer. Il est plus juste peut-
être de l’attribuer à l’orgueil excusable dans un honume
de talent, d'expliquer à un chef militaire, aussi distin-
gué que Marcellus, les moyens à l’aide desquels un
vieillard lui avait si long-temps disputé la victoire.
Dans cette hypothèse, on a fait observer, avec plus
d'esprit que de raison, qu’Athénée aurait rendu un plus
grand service au consul, en lui dévoilant plus tôt le se-
cret de la résistance d’Archimède. Au surplus, cet ou-
vrage d’Athénée est venu jusqu’à nous; on le trouve
dans le recueil intitulé: Mathematici veteres, Paris,
Imprimerie Royale, 1693, in-f°.

ATIN, ATIR ou ATYR (A4str.). Noms de Fétoile ap-
pelée aussi 4/débaran.

ATLANTIDES (Astr.). Nom quelquefois donné aux
sept étoiles des Pleiades.

ATLAS {Astr.). Nom que Dupuis suppose avoir ap-
partenu à la constellation du Bouvier, dans l'explica-
tion qu'il donne des fables d’Atlas, à l'aide de cette con-
stellation.

ATMOSPHÈRE (de lues, vapeur, et de caigæ,
sphère). Fluide gazeux ou aériforme, qui entoure un
corps de toutes parts et qui participe de tous ses mou-
vemens.

ATMOSPHÈRE TERRESTRE. Masse d'air dont les proprié-
tés mécaniques ont été déja examinées à l’article Air.
Nous ne considérons donc ici l'atmosphère que comme
formant un corps, c'est-à-dire comme ayant forme, di-
mensions et pesanteur.

L'atmosphère enveloppant toutes les parties de la
surface de la terre, il est certain que si l’une et l’autre
étaient en repos, et n'étaient point astreintes à une
rotation diurne autour de leur axe commun, l’atmo-

sphère serait complétement sphérique, d’après les lois
de la gravitation; car les parties de la surface d’un
fluide en état de repos doivent être toutes également
éloignées de son centre. Mais la terre, ainsi que
Ja masse d’air qui l’entoure , ayant un mouvement
diurne , leurs différentes parties ont une force cen-
trifuge d'autant plus considérable qu'elles sont plus
éloignées de l'axe; et, conséquernment ; la force cen-
tripète qui retient toutes ces parties autour du cen-
tre de gravité doit être affectée proportionnellement ,
c'est-à-dire, doit perdre d’autant plus de son intensité
que la force opposée est plus grande. Ainsi, la forme de
l'atmosphère doit être celle d’un sphcroïde aplati vers
les pôles, parce que les parties qui correspondent à l’é-
quateur ont une plus grande force centrifuge que celles
qui correspondent aux pôles.

Une autre cause concourt encore à augmenter l’apla-
tissement du sphéroïde atmosphérique: c’est la dilata-
tion opérée par les rayons du soleil qui frappent plus di-
rectement les régions de l'équateur que celles des pôles;

AT

d'ou il résulte que là masse d'air, ou la parue de l'at-
mosphère des régions polaires, étant moïns échauffée}"
doit moins se dilater ‘ét-‘moiné s'élever. Cependant,
comme la même force qui contribue à élever l'air on,,àt
lui faire occuper un plus grand espace, diminue la
pression sur la surface de la terre, de hautes colonnes
d'air, près de l'équateur, ne seront pas plus pesantes
que des colonnes d’air moins élevées du côté des pôles,
toutes les autres circonstances étant les mêmes; mais,
au contraire, sans quelque compensation elles devraient
être plus légères, en conséquence de la diminution de
la pesanteur:

La hauteur de l'atmosphère a été l’objet d’un grand
nombre de recherches, qui n’ont jusqu'ici donné que
des résultats approximatifs plus ou moins contestables.
Si l'air n'avait point de force élastique, mais qu'il fût
partout de la mème densité, depuis la surface de la terre
jusqu'aux limites extrèmes de l'atmosphère, il suffirait,
pour déterminer avec exactitude la hauteur de l'atmo-
sphère, de connaître le rapport de la densité du mer-
cure à cette densité constante de l’air; car alors ce rap-
port serait le même que celui dela hauteur du mercure
dans le baromètre à la hauteur totale de la colonne d'air
qui le soutient. En effet, la pesanteur spécifique d’une
colonne d'air de 27 millimètres de haut étant à la pesan-
teur spécifique d’une colonne de mercure, de même
base et de même hauteur comme 1 : 10470, il est évi-
dent que 10450 fois une colonne d’air de 27 millimètres
de haut, c’est-à-dire une colonne d'air de 282 mètres se-
rait égale en poids à une colonne de mercure de 27 mil-
limètres. Mais la colonne entière d'air atmosphérique
fait équilibre dans le baromètre à une coloune de mer-
cure de 560 millimètres ou de 28 fois 27 millimètres :
cette colonne d’air devrait donc être 25 fois plus haute
que 282 mètres. Ainsi, en admettant la densité con-
stante , la hauteur de l'atmosphère serait à peu près de
7896 mètres. Mais il est loin d'en être ainsi: la densité
de l'air décroit en proportion géométrique à mesure
que les élévations croissent en progression arithméti-
que (voy. Ai); et si la loi de Mariotte était exacte
pour tous les degrés imaginables de raréfaction, la dila-
tation de l'atmosphère serait illimitée et sa hauteur
infinie. Cependant, cette conclusion ne.s’accorde pas
avec les observations astronomiques dans lesquelles on
n’aperçoit aucune trace de l'influence qu'un milieu ré-
sistant exercerait sur les mouvemens des planètes.

Il est certain, en outre, que l'atmosplière térrestr2
ne peut s'étendre au-delà du centre commun d’attrac-
tion de la terre et de la lune; car , au-delà de ce ceutre
l'attraction de la lune surpassant celle de la.terre, eile
entrainérait vers son propre centre toutes Jes partis de
notre atmosphère, et il se formerait un vide entre les

deux atmosphères de la terre et de la lune , ou bica es

AT

linites de ces atmosphères seraient au centre commun
d'attraction de ces corps. Une autre cause encore, sa-
voir la force centrifuge, s’oppose à l'extension indéfinie
de l’atmosphère; car l'air partageant le mouvement
diurne de la terre, il est évident que la limite de l’at-
mosphère doit se trouver au point où la force centri-
fuge est égale à la force de gravité, puisque au-delà, le
fluide serait lancé dans l’espace par le mouvement de
rotation, et ne resterait pas uni avec la terre.

Quoiqu’on ne puisse déterminer d’une manière abso-
lue la hauteur de l'atmosphère, on l’évalue ordinaire-
ment à 80000 mètres, parce qu'il résulte de la théorie
des mesures barométriques, qu’à cette distance de la
surface de la terre l’air doit être au moins aussi rare que
dans le vide de la machine pneumatique. Nous avons
vu à l’article ALrImÉTRIE que la formule générale qui
sert à déterminer la différence de niveau de deux points,
pour une température moyenne de 16° % Réaumur , est

æ=— 10000 [logh'—logh |],

h' étant l'élévation en lignes de Paris du mercure dans
le baromètre au point le plus bas, et À son élévation au
point le plus haut.

Donnons a cette expression la forme
4
x = 10000.log 7?

ou, ce qui est a même chose,

loe 2
æ=10000 log,

étant la densité de la couche d’air qui donne la hau-

CRE

! 1 ee Je
teur barométrique z ; et = la densité de la couche d’air

qui donne la hauteur k' : ces densités ayant le même rap-
port que ces hauteurs.

De cette dernière formule on tire

à x + 10000logm
log n = z+ 10000l0gm
10000
Ainsi, prenant pour unité la densité de l’air au niveau

. I
* de la mer, ou faisant = 1, nous aurons log m

log 1=0 , et par suite

log nr =
ë 10000 ?

formule à l’aide de laquelle, en faisant successivement

T=0,L—= 100, X—200, x = 300 toises, etc., nous

obtiendrons les densités correspondantes à ces hauteurs.

C'est de cette manière qu’on trouve :

AT aix
hauteurs en toises densités
Or aeseeeT
TOO sise nette + 0,9772
200........... 0,9549
300........... 0,0332
400..:...:...: 0,9120
Boos. 52... ‘0,801
Gonesse 0,8710
700. Tereece: 0,851K :

800:7..;.757: 0,8318
900 vers 10,8128
1000... 07043
10000... 0,1000
HODOOe sa... ere 0,000

Ainsi, d’après cette théorie, la densité de l'air serait
dix mille fois moindre à la hauteur de 40000 toises qu’à
la surface de la mer; ce qui est un degré de raréfaction
bien au-Gessus de celui qu’on peut obtenir dans les meil-
leures machines pneumatiques.

Malgré cette extrême raréfaction, il est hors de doute
que l'atmosphère s'étend à une plus grande hauteur ;
car , en estimant l’élévation de quelques météores, tels
que les aurores borcales, les globes de feu, etc., etc. ,
ainsi que la durée du crépuscule, on est forcé d’admet-
tre qu'à une hauteur de plus de vingt lieues il doit y
avoir non-seulement de l'air atmosphérique, mais en-
core beaucoup d’autres substances. Foy. CrÉpuscuLEs.

L’atmosphère possède une puissance réfractive, cause
d’un grand nombre de phénomènes, et dont l'influence
s'exerce particulièrement d’une manière puissante sur
les apparences célestes (Foy. Rérracrion). Elle est en
outre sujette à un grand nombre d’altérations et de
changemens pour l'appréciation desquels on a inventé
plusieurs instrumens nommés: BaromÈTRE, TuEermo-
MÈTRE , HYGROMÈTRE, ANÉMOMÈTRE, etc. Voyez ces di-.
vers mots.

ArmospnÈRE des planètes. Les planètes et leurs satel-
lites étant universellement reconnus aujourd’hui pour
des corps d’une nature semblable à la terre que nous
habitons, il est naturel de supposer que ces astres sont
entourés d’atmosphères analogues à celle dont nous ve-
nons d’exposer les propriétés. Les observations astrono-
miques confirment en effet cette conjecture, du moins
pour les planètes principales; car la petitesse apparente
des satellites n’a pas permis jusqu’à présent que nos
connaissances sur leur état physique soient fort avan-
cées. Cependant la lune paraït former une exception
singulière : il est certain qu’elle ne présente ni nuages à
sa surface, ni rien qui puisse indiquer la présence d’une
atmosphère, quelque peu de densité qu’on veuille lui
attribuer. L'aspect de ce satellite de notre terre, hérissé
de montagnes, dont quelques-unes n’ont pas moins de

2800 mètres de hauteur, est entièrement volcanique ;
23

178 AT
les taches auxquelles on à donné le nom de mers sont
des excavations profondes où il est impossible de recon-
naître l'existence d'aucun fluide semblable à l’eau; et
tout fait présumer que la lune est dépourvue de végé-
tation, d’eau ct d'air,

Dans son Système du monde, Ya-Place est entré dans
de grands détails sur les atmosphères des planètes.

« Toutes les couchies atmosphériques , dit-il, doivent
« prendre, à la longué , un mêmemouvément angulaire
« de rotation, commun aweorps qu'elles environnent ;
« car le frottement de ces couches, les unes contre les
«autres et contre Ja surface du corps, doit accélérer les
« mouvemens les plus lents,et retarder les plus rapides,
« jusqu’à ce qu'il ÿ ait entre eux une parfaite égalité.
« Dans ces changemens, et généralement dans tous
« ceux que l'atmosphère éprouve, la somme des pro-
« duits des molécules du côrps et de son atmosphtre,
« multipliées respectivement par les aires que décrivent
« autour de leur centre commun de gravité, leurs
« rayons vecteurs projetés sur le plan de l'équateur,
« reste toujours la même en 1émps égal. En supposant
« donc que, par une cause quelconque, atmosphère
« vienne à se resserrer, ou qu'une partie se condense à
« la surface du corps; le mouvement de rotation du
« corps et de l'atmosphère en sera accéléré; car Jes
« rayons vecteurs des aires décrites par les molécules
« de l'atmosphère primitive, devenant plus petits, Ja
« somme des produits de toutes lés molécules, par les
« aires correspondantes ; ne peut pas rester la même, à

« moins que la vitesse de rotation waugmente,

& À la surface extérieure de l'atmosphère, le fluide

ét a figure de
« cette surface est telle, que la résultante de la force

« n’est retent que par sa pesanteur,

« centrifuge et de fa force attractive du corps, Jui est
« perpendiculaire. L'’atmosphère est aplatie vers ses
« pôles,etrenflée à son équateur ; mais cet aplatissement
« a des limites; et dans le cas où il est le plus grand,
« le rapport des axes du pôle et de l'équateur est celui
« de deux à trois.

« L’atmosphère ne peut s'étendre à l'équateur, que
« jusqu’au point où la force centrifuge balance exac-
« tement sa pesanteur; car il est clair qu'au-delà de
« cette limite, le fluide doit se dissiper. Relativement
« au soleil, ce point est éloigné de son centre, du
« rayon de l’orbe d’une planète qui ferait sa révolution
« dans un temps égal à celui de la rotation du soleil,
« L’atmosphère solaire ne s'élève donc pas jusqu'à
« l'orbe de Mercure, etpar conséquent, elle ne produit
& point la lunnère RAR qui parait s'étendre au-
a delà même de l’orbre terrestre, D’ ailleurs, cette atmo-
& sphère dont l'axe des s pôles doit être au moins les

« deux ticrs de celui de son Équateur . est fort éloignée

AT

d'avoir la forme lenticulaire que les ‘observations

donnent à la lumière zodiacale, »

ATMOSPHÉRIQUE. Ce qui appartient à latmo-
sphère , ou ce qui se rapporte à l’atmosphère.

Flux atmosphériques. Ce sont de certains mouve-
mens périodiques dans l’atmosphère,semblables en quel-
que sorte à ceux de l'Océan, et provenant à peu près
des mêmes causes, Foy. Laplace, Æxposiion du sys-
tème du monde, Liv IV.

ATTOUCHEMENT (Géom.). Point d'attouchement
où de contact. C’est le point commun entre une courbe
et sa tangente, cu dans lequel deux courbes se touchent
sans se couper. ’oy. TANGENTrE.

ATTRACTION (ad, vers, traho, je tire). Terme
général employé en physique pour désigner la cause, la
force ou le principe qui fait que tous les corps tendent
mutuellement Fun vers l’autre, et adhèrent jusqu’à ce
qu'ils soient séparés par quelque autre force. Les lois,
les phénomènes, etc., de l'attraction, forment le sujet
principal de la théorie newtonienne; car l'attraction
se retrouve dans presque toutes les merveilleuses opé-
rations de la nature.

Le principe de lattraction, dars le sens newtonien, à
été d'abord entrevu par Copernic. «Quant à la gravité,
dit-il, je ne la considère que comme une certaine appé-
tence naturelle (appetentia) que le Créateur a imprimée
sur toutes les parties de la matière, afin qu’elles tendis-
sent à s’unir en forme globulaire pour se mieux conser-
ver; etil est probable que la même force est aussi inhé-
rente au soleil, à la lune, et aux planètes , afin que ces
corps puissent constamment se maintenir dans la forme
ronde que nous leur voyons. » (De revol. ob. cœlest.,
Hib. 1, cap. 9.) Képler appelle la gravité une affection
corporelle et mutuelle entre des corps semblables, afin
de s'unir (4str. nov. in introd.). Et il prononça plus po-
sitivement qu'aucuns corps quelconques n'étaient abso-
lument légers, mais qw'ils n'étaient seulement aïmsi que
relativement, et, conséquemment, qué toûte lt matière
était sujette à la puissance et aux lois de la gravitation.

Le premier qui, en Angleterre , ait adopté l’idée de
l'attraction fut le docteur Gilbert,
magnete ; et le second füt François Bacon, dans son No.
organ., lib. IE, aph. 36, 45, cap.
33; aussi dans son traité De motu, particulièrement

dans son livre De
48; Sylv. cent., EF,

dans les articles sur Les 9° et 13° sortes de mouvemiens N°
En France, Fermat et Roberval l’admirent , et en Ita-
lie Galilée et Borelli. Mais jusqu’à Newton ce principe
avait été très-imparfaitement défini et même appliqué.
Avant Newton, personne n'avait eu des idées aussi
exactes ét aussi claires de la doctrine de l'attraction uni:
verselle que le docteur Hooke, qui, dans son Æssai
pour prouver le mouvement de la terre, 1654, fait ob-

server que l'hypothèse d'après laquelle il explique le

AT

système du monde est fondée sur trois principes :
1° Que tous les corps célestes ont non-seulement une at-
traction ou gravitation vers leurs propres centres, mais
qu'ils s’attirent mutuellement lun l’autre dans leur
sphère d'activité. 2° Que tous les corps qui ont un mou-
vement simple et direct continuent à se mouvoir en
droite ligne, si quelque force, dont l’action est con-
stante, ne les contraint pas de décrire un cercle, une el-
lipse, ou quelque autre courbe plus compliquée. 3° Que
l'attraction est d'autant plus puissante que les corps atti-
raus sont plus près l’un de l’autre. Mais Hooke ne put pas
résoudre le problème général relatif à la loi de la gravi-
tation qui forcerait un corps à décrire une ellipse autour
d’un autre corps quiescent , placé à l’un de ses foyers.
Cétte admirable découverte , qui exige le secours de la
géométrie transcendante, et fait le plus grand honneur
à l'esprit humain , était réservée au génie de Newton.

L’attraction peut étre considérée relativement aux
corps célestes, aux corps terrestres, et relativement aux
imoindres particules des corps , aux atomes. Le premier
de ces cas est ordinairement désigné sous le nom d’at-
traction où gravitation universelle ; Je second , par gra-
vitation; et le troisième, par les mots affinité, attrac-
tion chimique , attraction moléculaire. Plusieurs savans
sont maintenant d'opinion que c’est la même force con-
sidérée sous différens aspects, et cependant toujours su-
jette à la même loi.

A une distance finie, tous les corps de la nature s’at-
tirent l’un l’autre en raison directe des masses, et en
raison inverse du carré des distances, ce qui peut se
démontrer ainsi : ‘

Suivant une loi de Képler , déduite de l'observation,
les rayons vecteurs des planètes et des comètes décri-
vent autour du soleil des aires proportionnelles aux
temps; mais cette loi peut seulement avoir lieu autant
que la force qui fait dévier chacun de ces corps de la
ligne droite est constamment dirigée vers un point fixe,
qui est l’origine des rayons vecteurs. Donc, la tendance
des planètes et des comètes vers le soleil découle néces-
sairement de la proportionnalité desaires décrites par les
rayons vecteurs aux temps de sa course. Cette tendance
est réciproque. C’est, dans le fait, une loi générale de
la nature, que l’action et la réaction sont égales et con-
traires. D'où il résulte que les planètes et les comètes ré-
agissent sur le soleil, et lui communiquent une ten-
dance vers chacun d’eux,

Les satellites d'Uranus tendent vers Uranus, et Ura-
nus vers ses satellites. Les satellites de Saturne tendent
vers Saturne, et Saturne vers eux. Le cas est le même
relativement à Jupiter et à ses satellites. La terre et la
lune tendent aussi réciproquement lune vers l’autre. La
proportionnalité des aires décrites par les satellites con-

AT 179
court, avec l'égalité de l’action et de la réaction, à
rendre ces assertions tout-à-fait inattaquables.

Tous les satellites ont une tendance vers le soleil; car
ils sont tous animés d’un mouvement régulier autour de
leurs planètes respectives, comme si elles étaient immo-
biles. D’où il résulte qu’ils sont entraînés par un mou-
vement commun aussi à leur planète; c’est-à-dire que
la même force par laquelle les planètes tendent inces-
samment vers le soleil agit aussi sur les satellites, et
qu’ils sont emportés vers le soleil avec la même vélo-
cité que leurs planètes. Et, puisque les satellites tendent
vers le soleil, il s’ensuit que le soleil tend vers eux, à
cause de l'égalité de l’action et de la réaction.

Des observations nous ont convaincus que Saturne dé-
vie un peu de sa route quand il passe près de Jupiter,
la plus grande des planètes; d’ou il suit que Jupiter et
Saturne tendent réciproquement l’un vers l’autre. Sa-
turne, ainsi que l’a observé Flamstead , trouble le mous
vement des satellites de Jupiter, et les attire un peu
vers lui; ce qui prouve que ces satellites tendent vers
Saturne, et que Saturne tend vers eux.

Ilest par conséquent vrai que tous les corps célestes
tendent réciproquement les uns vers les autres ; cepen-
dant cette tendance, où plutôt la force attractive qui l’oc-
casione, n'appartient pas seulement à leur masse, prise
comme agrégat; mais toutes les molécules y participent
ou y contribuent. Si le soleil agissait sur le centre de la
terre exclusivement, sans attirer aucune deses particules,
les ondulations de l'Océan seraient incomparablement
plus grandes et très-différentes de celles qui s'offrent
journellement à notre vue.La tendance de la terre vers le
soleil est donc la résultante de la somme des attractions
exercées sur toutes les molécules, qui, conséquemment,
attirent le soleil en raison de leurs masses respectives.
En outre, taut corps sur la terre est attiré vers son cen-
tre proportionnellement à sa masse, Il réagit donc sur
lui; car l'attraction agit d’après la même raison. S'il en
était autrement, si toutes les parties de la terre n’exer-
çaient pas l’une sur l’autre une attraction réciproque,
le centre de gravité de la terre avancerait d’un mouve-
ment constamment accéléré, jusqu’à ce qu’à la fin il se
perdit au-delà des limites de notre système,

L’attraction est donc universelle, réciproque, et pro-
portionnelle aux masses. Il reste à démontrer que cette
force agit dans une raison inverse du carré de la dis-
tance.

Les observations ont appris que les carrés des temps
périodiques des corps célestes sont proportionnels aux
cubes des moyennes distances. De plus, il est rigoureu-
sement démontré que quand des corps circulent d’une
manière telle que les carrés des temps périodiques soient
proportionnels aux cubes des distances, la forec centrale

qui les sollicite agit en raison inverse du carré de la &is-

18Q AT

tance. En conséquence, supposant que les planètes se
meuvent dans des orbites circulaires (et dans le fait, la
différence n'est pas grande), elles sont sollicitées vers
le soleil par une force qui varie dans une raison inverse
du carré de la distance. Cette supposition n’est pas ri-
goureuse; mais la relation constante des carrés des
temps périodiques aux cubes des distances étant indé-
pendante de l’excentricité, subsisterait sans doute dans
le cas où l’excentricité disparaitrait, c’est-à-dire si les
planètes se mouvaient dans des orbites circulaires. La
vérité de cette proposition pourrait être facilement éta-
blie relativement aux orbites elliptiques; mais nous
omettons la démonstration pour ne pas prolonger cet
article au-delà des bornes que nous nous sommes pres-
crites.

Si les planètes font leur révolution autour du soleil en
vertu d’une force centrale qui est réciproquement comme
le carré de la distance, il est naturel d’inférer de ce mou-
vement que la lune est retenue dans son orbite par une
force centrale dirigée vers la terre, et qui seulement dif-
fère de la gravité des corps terrestres en raison de la dimi-
nution occasionée par l'augmentation du carré de la dis-
tance de la lune. Or , on peut faire voir que la révolu-
tion de la lune autour de la terre est un phénomène de
la même espèce, et que l’on explique de la même ma-
nière (c’est-à-dire en considérant l’action simultanée des
forces de projection et de gravitation) que le mouve-
ment curviligne d’une pierre, d’un boulet, ou de tout
autre projectile à la surface de la terre. Si nous avions
des machines d’une force suffisante pour projeter un
corps, suivant une ligne droite parallèle à l'horizon,
avec une vélocité de 7903 mètres par seconde; ce corps,
en ne tenant pas compte de la résistance de l’air, tour-
nerait autour de la terre comme une lune; car 7903 est
une moyenne proportionnelle entre 12733557 mètres,
le diamètre moyen de la terre, et 4°,9044, l’espace par-
couru dans la première seconde par un corps tombant
librement vers la terre. Et le temps périodique d’un
semblable projectile serait d’enviren une heure 24 mi-
nutes 27 secondes. Si ce corps pouvait être transporté à
la distance de la lune et projeté, dans ia même direction
que la lune suit maintenant, avec une vitesse qui lui fe-
rait parcourir 61233 mètres par minute, il parcourrait
autour de la terre le même orbite décrit maintenant par
la lune. Nous savons, par expérience, que la force par
laquelle un corps placé à la surface de la terre tend vers
son centre lui ferait parcourir, en descendant, 4",9044
dans la première seconde. Supposons que cette force
diminue en raison inverse du carré de la distance; à la
distance de la lune, qui est égale à Go demi-diamètres
de la terre, elle serait Go X 60 fois moindre qu'à la sur-
face de la terre, et, par conséquent, à cette distance
elle serait suffisante pour faire descerdre un corps de

AT

4°,9044 en une minute. Ceci est effectivement l'espace
dont la lune, placée à Go demi-diamètres de la terre,
descend de la tangente de son orbite vers le centre de
la terre dans une minute de temps; car cet espace est
une troisième proportionnelle au diamètre de l'orbite
de la lune et à l'arc décrit dans le même temps, et le
diamètre de l'orbite de la lune, 7364505170 mètres, est à
61233 (l'arc décrit en une minute) :: 61233 : 4,9044.
Ainsi, le mouvement s'accorde en quantité aussi bien
qu'en direction avec les conséquences légitimes tirées du
mouvement des projectiles à la surface de la terre. Or
ces phénomènes sont tellement semblables, et coïnci-
dent si complétement, qu’on doit les rapporter aux mé-
mes principes, savoir : une force de projection et une
force de gravitation variant en raison inverse du carré
des distances.

En établissant cette loi de l'attraction, nous avons
considéré les centres des corps, quoique la gravité soit
propre à chacune des molécules, parce que dans les
sphères, ou les sphéroïdes, qui en diffèrent peu, l’at-
traction des molécules les plus distantes du point attiré
et celle des molécules les plus proches de ce point se
compensent tellement, que l'attraction totale est la
mème que si toutes les molécules étaient réunies au
centre de gravité.

Cette loi des sphères souffre diverses modifications,
quand les corps attirés sont à la surface ou à l’intérieur
des sphères. Un corps situé dans une sphère creuse,
partout de la même épaisseur, est également attiré de
tous les côtés; tellement qu’il restera en repos au milieu
des attractions qu'il éprouve. La même chose a lieu dans
une conque elliptique dont les surfaces intérieures et ex-
térieures sont similaires et placées de même. Supposons
donc que les planètes sont des sphères homogènes ; la
gravité dans leur intérieur diminue comme la distance
de leurs centres; car l'enveloppe extérieure ne contri-
bue point à la gravité, qui est seulement produite par
l'attraction d’une sphère d’un rayon égal à la distance
entre le corps attiré et le centre de la planète. Mais
cette attraction est proportionnelle à la masse de la
sphère divisée par le carré de son rayon : la gravité des
corps est en conséquence proportionnelle à un sembla-
ble rayon.

Il sera cependant bon d'observer: 1° Que ce résultat
est rigoureusement vrai seulement dans l'hypothèse de
l'homogénéité des planètes : elles sont probablement
composées de strates de plus en plus denses en appro-
chant du centre; alors la gravité au-dessous de la sur-
face diminue dans un moindre rapport que dans le cas
de leur homogénéité. 2° Les mêmes résultats ne peuvent
être exacts qu’en faisant abstraction de l'attraction mo-
léculaire que l'on trouve toujours dans les corps placés
à la surface d’une sphère. Cette attraction est très-

AT

grande au contact, et nulle à-une distance sensible :
d’où 1l résulte que les molécules en contact, et qui sont
situées à l'extrémité opposée du même diamètre, n’at-
tirent pas comme si elles étaient unies au centre.

ATTRACTION DES MONTAGNES. Suivant la théorie new-
tonnienne de lattraction , cette force pénètre les parti-
cules les plus minimes de la matière , et l’action combi-
née de toutes les parties de la terre forme les attractions
de la masse totale. Par la même raison, donc, qu’un
corps pesant tend vers le bas en parcourant une perpen-
diculaire à la surface de la terre , il doit être attiré vers
le centre d’une montagne voisine par une force plus ou
moins grande, suivant la quantiié de matière qu’elle
contient ; et l'effet de cette attraction, ou la force accé-
lératrice produite par elle, doit dépendre de la distance
de la montagne au corps gravitant, parce que cette
force augmente comme le carré des distances diminue.
D'après ces principes , il est évident que le fil-à-plomb
d’un quart de cercle ou de tout autre instrument astro-
nomique doit dévier de son aplomb d’une petite quan-
tité vers la montagne : ainsi les hauteurs apparentes, et
les distances des étoiles au zénith prises avec cet instru-
ment, ‘dans ce moment ; seront nécessairement fau-
tives; savoir : si la distance d’une étoile au zénith était
observée à deux stations , sous le même méridien, une
au-sud de la montagne, l’autre au nord , et que le fil-à-
plomb de l'instrument füt dévié de la verticale par l’at-
traction de la montagne, l'étoile devrait paraître tropau
nord par l’observation faite à la station méridionale , et
trop au sud par la septentrionale, et, conséquemment , la
différence des latitudes des deux stations, résultant des
observations, serait plus grande qu’elle n’est en effet.
Si donc, la vraie différence de leurs latitudes était déter-
minée, en mesurant sur le terrain la distance entre les
deux stations, l’excès de la différence trouvée par l'ob-
servation de l'étoile sur celle trouvée par le fait de la
mesure , doit avoir été produite par l'attraction de la
montagne ; la moitié de cette différence sera l'effet
de l'attraction exercée sur le fil-à-plomb à chaque obser-
vation , pourvu que la montagne attire également des
deux côtés.

La première idée de déterminer la quantité de cette
attraction fut suggérée par Newton, dans son Zraité
du système du monde ; mais on n’y avait fait aucune at-
tention , jusqu’à ce que, en 1738, Bouguer et La Conda-
mine mesurant trois degrés du méridien près de Quito,
dans le Pérou, crurent apercevoir une déviation de leur
fil à-plomb , par l'effet de l'attraction du Chimboraçao,
montagne dans le voisinage, que par aperçu ils jugèrent
être la 200° partie environ de l'attraction de la terre en-
tière. En observant les hauteurs des étoiles fixes à deux
stations, l’une au sud, et l'autre au nord de la mon-

tagne, ils trouvèrent, par la moyenne de leurs ob-

AU 481

servations, 74" en faveur de l'attraction de la montagne;
tandis que, selon la théorie, la ligne à plomb aurait dû
dévier de la verticale de 143”. Cependant, bien que le
résultat général fût favorable à la doctrine de Newton,
l'expérience fut faite dans des circonstances si désavan-
tageuses, qu’on n’en obtint pas toute la satisfaction
qu'on aurait désirée; et Bouguer termine le récit de
leurs observations en exprimant l’espoir que l’expé-
rience serait répétée dans des circonstances plus favora-
bles, soit en France, soit en Angleterre.

On ne fit rien, néanmoins, jusqu’à ce que le docteur
Maskelyne, célèbre astronome anglais, soumit à ce sujet
une proposition à la Société royale de Londres, en 1772;
eten 17974, il fut désigné pour faire l'essai avec les aides
nécessaires : muni des instrumens les plus exacts, il
fit choix de la montagne Schehallien, en Écosse, pour
la scène de ses opérations. Sa direction est presque de
l’est à l’ouest; sa hauteur moyenne au-dessus des vallées
environnantes est d'environ 2000 pieds anglais, et son
point le plus élevé au-dessus du niveau de la mer 3550
pieds. On choisit deux stations pour les observations :
l’une au nord , et l’autre au sud de la montagne. On
apporta un soin scrupuleux à tout ce qui pouvait con-
tribuer à l'exactitude de l'expérience; et, d’après les
observations de dix étoiles près du zénith, on trouva
une déviation d'environ 6 secondes. ( Transact. phil.,
vol. LXV, part. 2, n° 48 et 49.)

Ces données semblaient offrir la possibilité de déter-
miner la moyenne densité de la terre. Mais le calcul
exigeait nécessairement une grande exactitude, et en
même temps un immense travail. La tâche, cependant,
fut entreprise par le docteur Hutton, qui en donna la
notice avec le résultat de ses recherches dans les Tran-
sactions philosophiques et aussi dans les traités qu’il a
publiés. Il parait que la moyenne densité de la terre est
à celle de l’eau commune :: 5 : 1 environ.

ATTRITION ( Mec.) ( Attriio ). Frottement de
deux corps l’un contre l’autre. Voyez FROTTEMENT.

AUBES (Mec.). Palettes qui garnissent la circon-
férence d’une roue hydraulique, exposée à la percus-
sion d’un courant d’eau. Voyez ROUE HYDRAULIQUE

AUGES ( Astr.) C’est l’apside supérieure, le point
où le mouvement de la planète est le plus lent et com-
mence à croître : augere. Voyez ApnÈLiE et APOGÉE.

AUGMENTATION du diamètre ( Astr.). Phéno-
mène produit par les effets de la parallaxe sur le dia-
mètre des astres. Voyez PAnALLAXE.

AURIGA ( Astr.). Voyez Cocuer.

AURORE ( Astr. Phys.). Lumière faible qui com-
mence à colorer l'atmosphère lorsque le soleil est à
18° au dessous de l'horizon , et qui continue en augmen-
tant jusqu’au lever de cet astre. F’oyez Créruscutx.

AUSTRAL ( Astr.). (D'auster, vent du midi.) Sy-

182 AU

nonyme de meéridional. On dit indifféremment pôle
austral où pôle méridional, hémisphère austral ou
hémisphère méridional. Voyez ARMILLAIRE.

AUTEL ( Astr.), Constellation méridionale appelée
aussi {ltare, Thymale, Vesta, Pharus, Ara Thimia-
tis. La principale étoile de l'Autel est dé la troisième
grandeur.

AUTOLYCUS, de Pitane, ville éolienne de l'Asie,
mathématicien et astronome célèbre, vivait dans le
III siècle avant notre ère, à peu près vers le temps
d'Alexandre. Il est l'auteur de deux ouvrages sur la
sphère et le mouvement des astres, qui ont eu de l'im-
portance dans le temps où ils furent composés. Auto-
lycus y démontre rigoureusement, par la théorie des
sphériques, les divers phénomènes des levers et des
couchers des étoiles fixes. Ces écrits, que les progrès de
la science ont dépouillés de beaucoup d'intérêt, ont
été traduits plusieurs fois, avant que les découvertes
modernés eussent entièrement changé les principes de
l'astronomie. Conrad Dasypodius en a publiéle texte grec
avec la traduction latine en regard, 1° De sphera mobili ;
— 2° De ortu et occasu stderum , etc. ; Strasbourg, 1579,
ju-8° Le premier de ces traités a été de nouveau publié
par Jean Auria, en 1578, et le second en 1588. — La
traduction latine du livre De ortu, etc., se trouve aussi
dans le recueil du père Mersenne { Synopsis math.).

AUTOMATE ( Aec.). (De avros, soi-même, et de
gñe, je veux). Machine qui se meut d’elle-même, ou
qui porte en elle le principe de son mouvement. Voyez
ANDROÏDE.

AUTOMNE (Astr.). Troisième saison de l’année
qui commence le 23 septembre, lorsque le soleil entre
dans le signe de la Balance, et finit le 22 décembre,
lorsqu'il entre dans celui du Capricorne. Sa durée est
de 89 jours 16 heures . Depuis le premier jour d’au-
tomne, qui est celui de l’éguinoxe, les jours vont en
décroissant et sont toujours plus courts que les nuits
dans notre hémisphère septentrional.

AUZOUT (Adrien), mathématicien et opticien, né à
Rouen dans le XVIT* siècle, s’est rendu célèbre par la
perfection qu’il parvint à donner à quelques instrumens
astronomiques d’une grande utilité. On assure qu’ilavait
construit un objectif desix cents pieds de foyer; mais la
difficulté de trouver un emplacement convenable pour
l'établissement d’une pareille machine, ne lui permit
jamais d’en essayer l'usage et de s'assurer de sa portée.
Auzout a rendu un plus grand service à la science par
les améliorations qu'il apporta au micromètre, amélio-
rations qui ont tellement modifié cet instrument,
qu'un grand nombre d'auteurs lui en attribuent l’in-
vention. Mais avant Auzout, le célèbre Huygens avait
songé à mesurer l’espace occupé par les astres dans le
champ des lunettes. On connait la description qu'il a

AV

faite du micromètre à la fin de son Systema Sacrrrrn,
et l’on sait que cet ingénieux et savant observa-
teur se servait d’une lame de métal qu'il introduisait
dans le télescope par une fente latérale, pour trouve:
le diamètre apparent d’un corps céleste. Le marquis de
Malvasia, noble Bolonais, qui s’occupait avec un zèle
estimable de cette partie de la science, avait substitué à
ce mécanisme un réticule qu'il plaçait au foyer de la
Junette : c'étaient plusieurs fils qui se croisaient à angles
droits, et formaient plusieurs carrés, à chacun desquels
devait répondre un certain intervalle dans le ciel. Cet
instrument était peut-être préférable à celui d'Huygens
pour les observations; on évitait d’ailleurs par son
moyen l'effet de la diffraction de la lumière qui avait
lieu sur le bord des lames dans l’appareil qu'il avait
proposé. Mais d’un autre côté les fils étant fixes dans
l'instrument de Malvasia, il perdait un de ses princi-
paux avantages. C’est cette invention qu'Auzout per-
fectionna, et qu’il rendit plus propre à des détermina-
tions extrêmement délicates. Il ne conserva que des filets
parallèles avec un transversal qui les coupait à angles
droits ; et afin de renfermer toujours l’objet à mesurer
entre des filets parallèles, il imagina d’en faire porter
un par un châssis mobile, glissant dans les rainures de
celui auquel les autres étaient fixés. Auzout a publié la
description de son micromètre en 1667, les lecteurs qui
voudraient en prendre connaissance la trouveront dans
le tome VII des anciens Mémoires de l Académie des
sciences. C’est de cet instrument, avec les additions
qu'y fit depuis encore Bradley, que se servent les astro-
nomes. On peut aussi consulter à ce sujet l'introduction
des Tables astronomiques de La Hire, le Traité des
instrumens de mathématiques de Bion, Doppelmaver,
etenfin une dissertation de Towaley dans es Transac-
tions philosophiques. Auzout partagea avec Picard l'hon-
neur d’avoir appliqué le télescope au quart de cercle,
quoique ce dernier n’ait nullement parlé de cette colla-
boration dans son ouvragesur la Figure de la terre. Cette
idée heureuse a été aussi utile aux progrès de l’astrono-
mie, que le perfectionnement du micromètre et l'ap-
plication du pendule aux horloges.

Auzout, qui figure au nombre des premiers membres
de l’Académie des sciences, est mort à Paris eu 1691. Il
ne paraît pas avoir écrit d’autre ouvrage que son Traité
du micromètre. Paris, 16067,

AVELLAN ou AVELLAR ( Astr.). Nom de l'étoile
appelée aussi Pollux.

AVERROES ; ABOU-L-WALID-MOHAMMED-ÉEN-AUMED-
ÉDN-MORAMMED-ÉEN-RACHED, célèbre savant arabe, xt
à Cordoue durant le XII° siècle, est auteur d’un gra
nombres d’écrits, dont quelques-uns ont trait aux
sciences mathématiques. Averroës à professé dans sa
ville satale la philosophie et la médecine, sciences qui

in-4°.

AV

de son temps paraissaient inséparables, et qui, d’a-
près les préjugés du vulgaire, supposaient des con-
paissances presque surnaturelles dans ceux qui les pra-
tiquaient. L'époque d'Averroës est celle de la décadence
de la domination politique des Arabes en Espagne,
époque où cette grande nation vit aussi se perdre dans
son sein le goût des sciences qu’elle avait apporté à
l'Europe. À en juger par le nombre prodigieux de ses
ouvrages, Averroës, qui exerçait en outre à Cordoue les
fonctions d’iman et de cadi, a dù mener une vie toute
de méditation et de travail. Il est l’auteur d’une version
d’Aristote en arabe; mais cette version n’est pas la
première qui existât dans cette langue, comme l’avan:
cent plusieurs de ses biographes, puisque ce travail avait
déja été fait à Bagdad sous le brillant khalyfat d'Él-
Mämoun, Nous possédons divers manuscrits d’Averroës,
qui contiennent des traités de physique et de mathéma-
tiques pures, d’astronomie et d’astrologie ; car, malgré
leur savoir encyclopédique, les hommes célèbres de ces
vieux temps n'étaient pas au-dessus de toutes les erreurs
populaires. La science alors était environnée d’une sorte
de respect superstitieux, auquel Averroës, comme beau-
coup d’autres; doit la plus grande partie de sa re-
nommée. La plupart de ses ouvrages ont été traduits d’a-
rabe en hébreu; on en retrouve quelques-uns dans la
bibliothèque du célèbre Rossi (4pparatus hebræo-bibli-
eus, etc. —Specimen tneditæ , etc. — Parmæ-Bodont,
1975-1792.) La bibliothèque royale de Paris possède
jusqu'à vingt-sept commentaires de cé savant sur Aris-
tote, et divers opuscules mathématiques. ( Bibl. roy.
ms; n° 438 et suiv. )

Averroës est mort l'an 595 de l’hégyre (1198 de l'ère
chrétienne). L'époque précise de sa naissance ne se
trouve nulle part.

AVICENNE ; 4pou-ALY HOUSSÉYN-ÊBN ABD-ALHAH
ÉBN-SyNA , l’un des plus célèbres savans arabes, est né
à Assenah, village des environs de Bokharä, l'an 3750
de l’hégyre (980 de l’ère chrétienne), suivant ce qu’il
nous apprend lui-même dans lun de ses écrits. Long-
temps cet homme, extraordinaire par son savoir et
l'activité prodigieuse de son esprit, n’a été connu des
savans d'Europe que comme l’Hippocrate de l'Orient.
Mais Avicenne ne fut pas seulement un grand médecin ;
les sciences mathématiques lui doivent plusieurs tra-
vaux remarquables, et qui nous donnent, du moins, une

juste idée du point de vue sous lequel cés hautes con-

naissances étaient envisagées chez les Arabes, et du
degré de perfection qu’elles y avaient pu atteindre, La
vie d’Avicenne, pleine de travaux qui étonnent l’ima-
gination par leur nombre et leur importance, semée de
catastrophes et d’étranges aventures, ressemble beau-
coup à celles d'un héros fantastique de ces merveilleuses

AV 183

histoires qui portent l'empreinte du génie national des
Arabes.

Le grand Ébn - Syna, cest ainsi que dans tout
l'Orient on désigne encore Avicenne, révéla de bonne
heuré la puissante intelligence dont il était doué. Il
avait à 18 ans terminé toutes ses études dans les diverses
sciences qui devaient faire plus tard l'objet de travaux
admirés dans sa patrie, et ses titres à la gloire. À 21 ans,
il avait composé une Encyclopédie, à laquelle il ajouta
dans la suite un commentaire qui ne forme pas moins
de vingt volumes, Avicenne avait le goût des voyages :
il parcourut diverses contrées de l'Orient, et devancé
par la renommée, il fat tour à tour l’objet de la faveur
des princes et de disgrâces cruelles. Premier médecin
et vizir de Magd-êd-Doulah, sultan de la dynastie
des Bouïdes, deux fois il fut déposé et jeté dans les fers,
On attribue ces divers chängemens de fortune auxquels
il fut soumis, à des circonstances qui font peu d’hon-
neur à son caractère, et qui justifient l’épitaphe remar-
quable qu’un poète grava sur son tombeau. Il était fort
enclin à des excès de vin et de débauche, et il paraît
qu'il trahit son bienfaiteur pour Ala-êd-Doulah, prince
d'Ispahan, ennemi du sultan qui l'avait accueilli et
comblé d’honneurs. Après quatre ans d’une dure capti-
vité, il parvint à tromper la surveillance de ses gardes,
et il chercha un asile auprès de ce même Ala-êd-Doulah,
au service duquel il $’attacha. Au milieu de ses courses
périlleuses, et malgré les chagrins inséparables d’une
vie agitée, Avicenne ne negligea pas ses travaux scien-
tifiqués. Son goût pour l'étude et son activité étaient
tels, qi’il attesté lui-même n’avoir jamais laissé écouler
une seule journée sans écrire cinquante feuillets.

Ea liste des manuscrits qu'il a laissés et qu'on pos-
sède dans diverses bibliothèques de l'Europe, forme une
nomenclature assez étendue. Nous possédons de lui
une Dissertation Sur la division systématique des
sciences, un Recueil d'observations astronomiques , an
Traité complet des sciences mathematiques, et'une Col-
léction d'opuscules mathématiques et philosophiques.
Nous avons donné ailleurs la traduction d’un de ces
écrits. Voyez ARITHMÉTIQUE.

La fatigue de ses longues courses, et les excès de toute
espèce auxquels il se livra, abrégèrent les jours d’Avi-
cénné. Cet homme célèbre avait à peine atteint 56 ans
quand il mourut à Hamiadän, l'an 428 de l'hégyre
(1036 de notre ère). Voici l’épitaphe dont nous avons
parlé plus haut, et qui manque peut-être au tombeau de
plus d’un grand homme. « Le grand philosophe, le
« grand médecin Ébn-Synà est mort. Ses livres de:
« philosophie ne lui ont point appris l’art de bien
« vivre, ses livres de médecine l’art de vivre long-
« temps. » ;

AVRIL ( Calendrier). Quatrième mois de l’année,

184 AX

suivant notre calendrier. Il était le second de l’an-
cienne année romaine, avant la réforme de Numa.
Voyez CALENDRIER.

AXE (4str.). Ligne droite, imaginaire, supposée
passer à travers la terre, le soleil, les planètes, les sa-
tellites, etc., et autour de laquelle ils exécutent leurs
respectives rotations diurnes.

La terre et les planètes, dans leur mouvement
de translation sur leurs orbites, se meuvent de manière
que l'axe de chacun avance toujours parallèlement à
lui-même, ou est toujours dirigé vers les mêmes parties
du ciel.

L’axe de la terre est incliné à l’écliptique sous un
angle de près de 66°7, position la plus favorable pour
faciliter la fertilité de la terre et la rendre habitable.

Le docteur Keïll dans son examen de la Théorie de
la terre, de Burnet, a indiqué plusieurs avantages qui
résultent de l’inclinaison de l'axe, et particulièrement
celui de fairemurir les fruits de la terre; et il a démontré
la vérité de ce que Képler avait avancé sur ce sujet
dans son Epist. astron. Coperni. Parmi d’autres parti-
cularités curieuses, Keill a fait voir que tous ceux qui
vivent au-delà du 45° degré de latitude, et ont le plus
grand besoin de la chaleur du soleil, en ont davantage
pendaut toute l’année, que si l’équateur et l’écliptique
coïncidaient; tandis que ceux qui vivent entre l’équa-
teur et le 45° de latitude, et qui sont plutôt trop expo-
sés au soleil, ont cependant, à cause de l’inclinaison
actuelle, moins de chaleur que si la terre avait une
position droite. Ces considérations nous conduisent à
une admiration sans bornes pour la sagesse qui a pré-
sidé à l’organisation de l’univers.

Axe de l'horizon, de l'équateur, etc., est une ligne
droite tirée à travers le centre des cercles respectifs, et
perpendiculaire à leur plan.

Axe en gcométrie. C’est une ligne droite autour

de laquelle une figure plane fait sa révolution pour
produire ou engendrer un solide. Ainsi, un demi-
cercle qui se meut autour de son diamètre en repos,
engendrera une sphère dont l'axe est ce même dia-
mètre; et si un triangle rectangle tourne autour de sa
perpendiculaire en repes, il décrira un cône dont l’axe
est cette perpendiculaire.
- Axe est encore plus généralement employé pour dé-
sigper une ligne que l’on conçoit tirée du sommet d’une
figure au milieu de sa base. Ainsi, l'axe d’un cercle
ou d’une sphère, sera une ligne quelconque passant par
le centre, et terminée à la circonférence par ses deux
extrémités.

Axe d’un cône est une ligne tirée du sommet au
centre de la base.

Axe d’un cylindre est une ligne menée du centre
d’une de ses bases au centre de l’autre base.

Ax

Axe d'une section conique, Yoyez SEcrIOx contot.

Axe transverse dans l’ellipse et l'hyperbole : c’est le
diamètre passant par les deux foyers et les deux princi-
paux sommets de la figure. Dans l'hyperbole, c’est le
plus court diamètre; mais dans l’ellipse c'est le plus
long.

AxE conjugué où second axe daus l’ellipse et l’hy-
perbole, c’est le diamètre passant par le centre, et per-
pendiculaire à l’axe transverse, c’est le plus court des
diamètres conjugués.

Axe d'une ligne courbe est encore plus généralement
employé pour le diamètre qui a ses ordonnées à angle
droit quand cette position est possible.

AXE en mécanique est une certaine ligne autow de
laquelle un corps peut tourner. Il y a des axes de di-
verses espèces. Ainsi, on appelle :

Axe d'une balance, la ligne sur laquelle elle se
meut;

Axe de rotation, a ligne autour de laquelle un corps
tourne réellement lorsqu'il est en mouvement. L’im-
pulsion donnée à une sphère homogène, dans une di-
rection qui ne passe pas par le centre, la fera tourner
constamment autour du diamètre qui est perpendicu-
laire à un plan passant par le centre, et à la ligne de
direction de Ja force imprimée. De nouvelles forces
agissant sur toutes ses parties, et dont la résultante
passe par le centre, ne changeront point le parallélisme
de son axe de rotation. C’est ainsi que l’axe de la terre
reste toujours presque parallèle à lui-même dans sa ré-
volution autour du soleil, sans qu'il soit besoin de sup-
poser, avec Copernic, un mouvement annuel des pôles
de la terre autour de ceux de l’écliptique.

Si le corps possède une certaine figure, son axe de ro-
tation peut changer à chaque instant. La détermination
de ces changemens, quelles que puissent être les forces
agissant sur les corps, est un des problèmes les plus inté-
ressans de la mécanique des corps solides, à cause de sa
counexion avec la précession des équinoxes et la libration
de la lune. La solution de ce problème a conduit à un
résultat curieux et très-utile, savoir : que dans tous les
corps il existe trois axes perpendiculaires l’un à l’autre,
autour desquels le corps peut tourner uniformément
quand il n’est point sollicité par des forces extérieures.

C’est pour cela que ces axes sont appelés très-convena-

blement axes principaux de rotation.

Axe d’oscillation est une ligne parallèle à l'horizon,
passant par le centre autour duquel vibre un pendule et
perpendiculaire au plan dans lequel il oscille.

Axe du treuil, une des cinq puissances de la méca-
nique, consistant en une roue fixée à un arbre, La puis-
sance est appliquée à la circonférence de la roue, et
le poids est élevé par une corde qui s’euroule sur l'axe
tandis que la machiuetourne, On peut conceven la

_ AZ

puissance appliquée à l'extrémité d’un bras de levier
égal au rayon de la roue, et le poids comme appliqué à
l'extrémité d’un levier égal au rayon de l'axe; seule-
ment ces bras ne se rencontrent pas à un centre unique
de mouvemens, comme dans le levier; mais à la place
de ce centre, nous avons un axe de mouvement, savoir :
l'axe de la machine entière. (Voyez Treuir.) Dans les
anciens traités de mécanique cette machine est appelée
Aœis in peritrochio.

Axe en optique. L’axe optique ou l'axe visuel est un
rayon passant par le centre de l’œil, ou tombant per-
pendiculairement sur l'œil.

Axe d’une lentille ou d’un verre est l'axe du solide
dont la lentille est un segment, ou l’axe d’un verre est
la ligne joignant les deux sommets ou points centraux
des deux surfaces opposées du verre.

Axe d’un aimant. Ligne passant par le milieu d’un
aimant, dans le sens de la longueur; de quelque
manière qu’un aimant soit divisé, pourvu que la di-
vision se fassé suivant un plan dans lequel cette ligne
se trouve, l’aimant sera coupé ou séparé en deux au-
tres; et les extrémités de cette ligne sont appelés les
pôles de Paimant.

AXIFUGE (Meéc.). (D'axis, axe, et de fugere, fuir.)
Force avec laquelle un corps qui tourne autour d’un
axe tend à s'éloigner de cet axe. ’oyez CENTRIFUGE.

AXIOME ( D’xgsos, digne ). Proposition évidente
par elle-même, et qui n’a pas besoin de démonstration.
Par exemple :

Le tout est plus grand que sa partie.

Deux quantités égales à une troisième sont égales
entre elles.

Lorsque deux figures , étant appliquées l’une contre
l'autre, se recouvrent exactement, elles sont égales, etc.
Voyez ALGÈBRE 5. ;

Les mathématiques pures sont fondées sur des axiomes
et participent ainsi de la certitude de ces propositions.

AYUK ( A4str..). Nom de l'étoile appelée communé-
ment la Chèvre, dans la constellation du Bouvier.

AZELPHAGE (4str. ). Étoile qui est à la queue du
Cygne.

AZIMECH ( Astr. ). Nom arabe de l’'Epi de la
Vierge. Bayer l’applique à tort à Arcturus.

AZIMUT (Astr.). Arc de l'horizon compris entre le
vertical d’un astre et le méridien du lieu de lobserva-
tion

Soient RZPIH le méridien , RO'OEH l'horizon, Z le
zénith, P le pôle, et A la position d’un astre sur son
vertical A'AP, l’are OH sera l’azimut, Pour trouver cet
arc, on considère le triangle sphérique ZPA., dans le-
quel ZP est le complément de la hauteur du pôle au-
dessus de l'horizon ou de la latitude, AZ le complé-
ment de la hauteur de l'astre au-dessus de l'horizon,

AZ 185
et ‘AP le complément de la déclinaison de l’astre au
moment de l'observation. Si, EE étant l’équateur cé-

leste, l’astre était situé en A’ dans l’hémisphère op-
posé à celui dont le pôle est au-dessus de l'horizon,
l'arc A'Z ne serait plus le complément de la déclinai-
son, mais bien cette déclinaison augmentée de 90°.

Dans le triangle ZPA ou ZPA'", lorsqu'on connait les
trois côtés, il est facile de calculer l'angle AZP ou
A'ZP, dont la mesure OH ou O'H est l’azimut de-
mandé , par la formule

snic— - :
s V [ sin À . sin B

A et B étant les deux côtés qui comprennent l'angle €,

sin (S— À). sin (S — 2]

et S la demi-somme des trois côtés du triangle.

ExempLe. La hauteur observée du bord inférieur du
soleil étant de 27°, et la latitude du lieu de l’observa-
tion de 36° 45" nord, on demande l’azimut de ce bord
sachant d’ailleurs que la déclinaison du soleil est aus-
trale et de g° 50", et que l'élévation de l'œil au-dessus
du niveau de la mer est de 15 pieds.

Corrigeant la hauteur observée des effets de la réfrac-
tion , de la parallaxe, et de la dépression de l'horizon
due à la hauteur de l'œil, on a d’abord :

hauteuriobservée.….....4. 27°
dépression pour 15 pieds... — o

3.587

.# 20 246; 297
réfraction et parallaxe..... — o 1 45
hauteur vraie.... — 20° as 44 M
, . ! ll , sh
Ainsi O'A' = 96° 44' 17", et, par conséquent, A'Z —
63° 15° 43"; de plus, A'P— 9° 50° +90° — 99° 50",
et ZP — 90° — 36° 45! = 53° 15". Avec ces données,
nous trouverons

APE, 53015! Si: 106° 4o! aif
AMP: 100,150 ZPS5 53 1x5 0
AZ... CS T5 048? a

E S—7ZP —=:53° 25%ars

213° 20’ 43" S... 106° 40! 21"
demi-som. = 106 4o 21=S A'Z... G3 x15 43
S—A'Z— 43° 94! 38"

EM

185 AZ
Substituan! ces dernières valeurs dans la formule ci-
dessus, nous aurons

en UD ONE sin (53° 25’ 21").sin (43° 24° 38”)
CE 0 [ sin (69e r59ssin (03° 18° a |
LA

Opérant par logarithmes, ainsi qu’il suit;

log sin (53° 25° 21") = 9,9047434
log sin (43° 24! 38") — 9,8371178
comp. log sin (53° 15° 0”) — 0,0902299

0,0491133

19.8872043
log.sin+A'ZP = 9,9436o21

comp. log sin (63° 1543") —

nous obtiendrons définitivement + A'ZP — Gi 25" 41";
d'où O'H = 122° 51° 22”.

L'azimut calculé de cette manière sert à découvrir la
variation de l'aiguille aimantée : cette variation étant
égale à la différence qui se trouve entre le résultat du
calcul et l’azimut observé immédiatement à l’aide du
compas azimutal. Voy. Compas AZIMUTAL.

AZ

T’amphtude est le complément de l’azimut d’un astre à
l'horizon ou la différence entre 90° et cet azimut; on la
déduit done immédiatement de ce dernier, lorsqu'il est
coûnu, et vicé versa ; mais nous devons faire observer
à ce sujet que nous donnons ici de l'extension au mot
complément én lui faisant exprimer une différence
égale à

90° — x,

quel que soit x; car ce mot ne s’applique ordinairement
à une telle différence que lorsqu’elle est positive, c’est-à-
dire pour le casde x 90°. Danslesens général que nous
lui attribuons, le signe de go —x peut être positif ou
négatif : ce qui est utile à considérer; car, lorsque ce
signe est positif, l'amplitude est de même désignation
boréale ou australe que le pôle élevé; et, lorsqu'il est
négatif, elle est d’une désignation opposée. Foy. Am-
PLITUDE.

B.

BA

BACHET pe MEZIRIAC (Craune-Gasparp), né
dans le Bugey, vers la fin du XVI° siècle, mathémati-
cien distingué, et l’un des membres de l’Académie
française à l’époque où cette institution fut fondée. Il
était destiné à l'église, et il ft partie de la célèbre so-
ciété des Jésuites. Dès l’âge de vingt ans il professait la
rhétorique à Milan. On ignore quelles raisons le déter-
minèrent à quitter cet ordre religieux pour rentrer dans
la vie civile; mais il était encore très-jeune lorsqu'il vint
à Paris, où son esprit et ses connaissances le firent bien-
tôt remarquer. Nous wavons à nous occuper ici-que de
ses travaux mathématiques; mais on connaît de lui plu-
sieurs productions littéraires qui annoncent de lérudi-
tion et du goût.

On sait @me vers le milieu du XVI siècle, le livre
de Diophante fut retrouvé dans la bibliothèque du
Vatican, et publié par Xylander qui le traduisit et le
commenta. Cette traduction laissait beaucoup à désirer,
car on reprochait à l'auteur de ne posséder que des
connaissances imparfaites en mathématiques. Bachet en
entreprit une nouvelle qu'il publia avec un commen-
taire ; en 1621. L’historien de l’Académie française nous
apprend que ce travail fut achevé par Bachet, dans un
moment où il était malade de la fièvre quarte. Lui-
même il disait que, rebuté par les difficultés que pré-
sentait son entreprise, il ne l'aurait jamais achevé sans
Vopinidtreté mélancolique que sa maladie lui in pirait.

BA

Les matériaux qui étaient à sa disposition durent exi-
ger en effet de sa part un travail pénible et soutenu.
Le manuscrit de Diopbante, qu'il se proposait de tra-
duire , était altéré dans plusieurs endroits, et les notes
de Maxime Planude et de Xylander, souvent erronées
ou inintelligibles, étaient loin de suppléer à ce qui man-
quait dans le texte. Cette édition de Diophante fut
donc ce qu’on appelait alors une sorte de divination du
mathématicien grec, et on peut la regarder comme un
ouvrage original de Bachet. L’illustre Fermat fit de
savantes notes sur cet ingénieux travail, et son fils en
publia une nouvelle édition en 1670, augmentée de ces
notes et des découvertes de son père en aksèbre. Bachet
mérite d’être cité parmi les mathématiciens qui contri-
buèrent aux progrès de la science. On lui doit la réso-
lution générale et complète des équations indéterminées
du premier degré, quel que soit le nombre de ces indé-
terminées et des équations. Il est en effet le premier des
modernes qui se soit occupé de cette branche importante
de la science. Il annonça cette solution dans l'édition!
publiée à Lyon, en 1612, de son ouvrage intitulé :
Problèmes plaisans et délectables qui se font par les
nombres. 11 se borna alors à appliquer sa méthode à un
de ces problèmes curieux, mais il la développa dans
l'édition de 1624, et il serait difficile d’y rien ajouter,
ou de l’exposer avec plus de perfection. Bachet mourut
on 1628, âgé, suivant quelques biographes, de près de

BA

soixante ans, et suivant d’autres seulement de quarante-
cinq. | ;

BACON ( Roerr ), religieux anglais, de Pobservance
de Saint-François, mathématicien et astronome célèbre,
V'un des savans les plus remarquables du moyen-àge ,
naquit à Ilchester, dons le comté de Sonumerset ,
en 1214. Ses contemporains l’honorèrent avec raison du
titre de docteur admirable, et la postérité la placé au
premier rang des hommes de ce siècle, dont les tra-
vaux signalent les modernes efforts de l'intelligence
coutre les ténèbres qui couvraient encore l'Europe. Les
découvertes attribuées à Roger Bacon, ses ingénieux
aperçus, ses nombreux travaux dans toutes les branches
du savoir, et enfin les malheurs que lui attirèrent ses
connaissances , dans ces temps d’ignorance et de grossiers
préjugés, en font un de ces personnages pour lequels,
après de longues années, le biographe se sent encore
ému d'un profond intérêt.

Né dans une famille peu riche, mais de la classe de
celles qu'on appelle honorables en Angleterre, Roger
Bacon révéla dès son enfance les heureuses facultés que
l'étude des sciences devait un jour développer en lui.
Ce fut à l’université d'Oxford, et sous le professorat
d'Edmond Rich, depuis archevêque de Cantorbéry,
qu’il commença ses cours. Il les continua à Paris, où
l'appela , dans un âge un peu plus avancé, la réputation
dont jouissait l’université de cette ville. IL fut promu
dans cette école, alors célèbre , au grade de docteur en
théologie; science qui supposait, à cette époque, la con-
naissance de toutes les autres. On croit généralement
que ce fut à Paris, et après avoir obtenu, pour prix de
ses premiers efforts, ce titre si respectable, que le Jeune
Bacon prononça ses vœux dans un des ordres mineurs.
Ce fut sans doute avec l'espoir de pouvoir se livrer
exclusivement, au sein de la solitude du cloître, aux
études qu'il avait embrassées avec tant d’ardeur, qu’il
se sépara ainsi du monde. Mais sa renommée devait
tromper ses nobles espérances, et l'ignorance monacale
réservait à son âge mür d’étranges persécutions, qui
durent lui faire regretter le parti qu'il avait pris dans sa
jeunesse enthousiaste.

Bacon, dévoré du besoin de connaître tout ce que les
hommes pouvaient savoir de son temps , apprit succes-
sivement le latin, le grec, Phébreu et l'arabe. Il fut
bientôt à même de consulter les auteurs anciens dans
leur propre langue, et de comparer leur texte avec les
versions infidèles qu'on colportait dans les écoles. Mais
alors il éprouva cette amère déception qui attend souvent
l'homme de génie au moment même où il croit entrer
eu possession de la vérité : il ne trouva rien derrière
cêtte érudition stérile , acquise au prix de tant de
veilles. Doué d’un génie supérieur et digne d’un meil-

leur siècle, il voulut s'ouvrir une route plus large ct

BA 187

plus sûre dans les sciences. 11 se livra, en conséquence,
avec une ardeur nouvelle, à l'étude de la philosophie
naturelle, et comprenant enfin que la connaissance
des mathématiques pouvait seule attacher un caractère
de certitude aux découvertes scientifiques, il en fit l’ob-
jet principal de ses travaux. C’est sous ce dernier point
de vue seulement que la vie de Roger Bacon doit être
envisagée dans cet ouvrage.

Cet homme extraordinaire a rendu de plus grands
services à l'humanité, en prouvant l'utilité des mathé-
matiques dans la philosophie naturelle, qu'il n’a mé-
rité sa reconnaissance par des découvertes destinées à en
agrandir les connaissances. Néanmoins, ceux de ses bio-
graphes modernes qui se montrent les plus sévères envers
lui, ne lui refusent pas de grandes vues et une habileté
remarquable dans sa manière séduisante de les présenter.
L'un des ouvrages les plus importans qu’ait composés
Foger Bacon est son Traité de perspective, branche des
mathématiques qu’il paraît avoir affectionnée. Cet écrit
renferme des idées justes, et nouvelles alors, sur un grand
nombre de phénomènes qui s'expliquent par les lois de
l'optique. Telles sont les observations de l’auteur sur
la réfraction astronomique, sur la grandeur apparente
des objets, et sur l'apparence extraordinaire du soleil
et de la lune à l'horizon. Il n’y a pas de doute que Bacon
n'ait tiré un très-grand parti des travaux anciens sur
l'optique, de Ptolémée et de l’arabe Alhazen. Mais ce
serait un étrange reproche à adresser à un savant, que
celui d’avoir profité, dans ses recherches de la vérité, des
tentatives antérieures aux siennes. La plupart des grandes
découvertes dans les sciences n’ont été d’abord que des
aperçus, dont les développemens sont devenus peu à
peu des systèmes complets, suivant que des hommes de
génie s’en sont emparés. Cette observation s'applique
surtout à la découverte du télescope, attribuée à Roger
Bacon, d’après plusieurs passages fort remarquables de
son Opus majus. On a cramt, en lui faisant honneur de
cette puissante invention, de diminuer la gloire de l'il-
lustre Galilée; mais ce motif n’a aucune valeur ration-
nelle. Que Roger Bacon ait entrevu que des milieux figu-
rés d’une certaine manière, et disposés convenablement
entre l'œil et l’objet, pouvaient augmenter Fangle visuel,
et conséquemment l'apparence de l’objet, cela nous paraît
hors de doute. Mais il y aurait encore loin de cette cons-
tuction à priori d'un objectif de ce genre, Au télescope
de Galilée, comme l'instrument inventé par ce grand
homme est peu comparable à celui que les perfection-
nemens d'Huygens ont rendu si utile à la science. Ceci
une fois posé, qu’on fasse la part de tout ce que la bril-
lante et féconde imagination de Bacon pouvait lui
montrer d’exagéré dans les résultats de sa découverte,
il est difficile d'expliquer autrement qu'en sa faveur les

divers passages de l’'Opus majus ; où il ex

488 « BA

à ce sujet. Nous n’en citerons qu'un seul : De wisione
jracta majora sunt : nam de facili patet per canoneS
supradictos quod mazxima possunt apparere minima ;
et ëcontrà, et longè distantia, videbuntur propinquis”
sima, et è converso. Nam possumus sic figurare pers.
picua, et taliter ea ordinare respecti nostri visûs et
rerum , quod frangentur radii et flectentur quorsumque
voluerimus et sub quocumque angulo voluerimus, et
videbimus rem longè vel propè; et sic ex incredibili
distantia legeremus litteras minutissimas , et pulveres
ex arend numeramus.... el Si sic possel puer apparere
gigas, et unus homo videri mons et parvus exercilus
videretur maxinus.Sic etiam feceremus solem et lunam
descendere hic inferiüs , secundiumn apparentiam el super
capita inimicorum apparere, etc. C'est-à-dire, en ré-
sumé : « On peut tirer encore un meilleur parti de la
« vision rompue; car il est facile, en exécutant ce qui a
« été prescrit dans les canons susdits ( chapitres), de
& faire apparaître plus petits les plus grands objets et
« d'obtenir un résultat opposé, comme de rapprocher
« les objets les plus éloignés, et également le con-
« traire....., etc. » L'historien de l’université d'Ox-
ford, Wood , et Jebb, l'éditeur de l’ Opus majus, ont
cru pouvoir avancer, d'après ce passage ct divers autres
extraits des écrits et de la correspondance de Roger
Bacon, qu'il avait été en possession du télescope. Bayle
paraît adopter cette opinion; mais ce célèbre critique
n’était nullement compétent dans cette discussion; et
Montucla, dans son Histoire des mathematiques, soutient
l'opinion contraire par des raisons qui nous semblent
sans réplique. Cependant cet illustre savant, quelque
disposé qu’il soit à rendre hommage à l’étonnante pers-
picacité de Bacon, oublie que si l'invention du téles
cope lui a été mal à propos attribuée, il n’est pas moins
certain que ses écrits ont pu mettre sur la voie de cette
découverte. Rien ne prouve en effet que Galilée ne les
ait pas connus. On peut en dire autant des verres leuti-
culaires , dont on a également attribué l'invention à Ro-
ger Bacon. La théorie qu'il expose à ce sujet prouve
qu'il ne l’a jamais réduite en pratique, et que même ses
conjectures ont été, sous ce rapport, moins heureuses
que celles d’Alhazen; mais ce fut peu de temps après
Bacon que l'usage des lunettes fut connu en Europe, et
l'on ne peut lui refuser la gloire d’avoir contribué à
cette découyerte.

Dans l’un de ses écrits sur les Secrets de la nature,
il parle de la possibilité de construire une machine à
l'aide de laquelle l’homme pourrait se soutenir dans
air; mais il ajoute aussitôt qu’il pourrait s’en servir
comme l'oiseau de ses ailes. Son ardente imagination
l'entraine toujours au-delà des bornes de la science et de
Ja vérité. Cependant il est impossible de ne pas voir
das fe passage qui nous fournit cette observation, une

BA

idée de l'aéronautique, qu’il n’a point cherché nonplus
à réaliser.

Roger Bacon s’est beaucoup occupé d’astronomie : on
peut même dire avec le docteur Freind, auteur de
l'Histoire de la médecine, qu’il était le seul astronome
de son temps. Il est certain qu’il a eu lidée de Ja réfor-
mation du calendrier, qui eut lieu seulement sous Gré-
goire XII. C’est du moins l'opinion des savans docteurs
Jebb et Freind.

- L'invention de la poudre à canon est aussi attribuée à
Bacon avec plus de fondement, suivant de graves
auteurs. « On peut faire, dit-il dans une de ses lettres
« sur la chimie, avec du salpètre et d’autres ingrédiens
« un feu qui brule à telle distance qu’on veut. » Ailleurs,
il décrit la nature de cesingrédiens, et donne une formule
dans laquelle il entre des parties de soufre, de salpêtre
et de charbon ; il explique ensuite les effets produits par
cette composition d’une manière assez singulière pour
qu'elle mérite d’être citée : « Elle excite, ditl, un
« bruit sernblable à celui du tonnerre; elle brille comme
« les éclairs, et même d’une lueur plus effrayante : car
« une petite quantité, de la valeur, par exemple, d'un
« pouce, bien disposée, fait un bruit violent et une
« lueur extraordinaire. Cela peut se faire de diffe-!
« rentes manières capables de détruire des villes et des
« armées entières, à limitation du stratagème de Gé-
« déon, qui, ayant rompu les cruches, fit paraître le feu
« avec un bruit horrible, et le mit en état de défaire
« une puissante armée de Madianites avec trois cents
« hommes. »

Dans son Opus majus, Roger Bacon a abordé l’in-
telligence de toutes les branches du savoir humain. Mais
on ne trouve en effet, comme on l’a déjà dit, dans ses
nombreux ouvrages, que des aperçus étonnans, des
appréciations plus où moins heureuses. En se reportant
à l'époque où il vivait, on s'explique mieux ses erreurs,
et l’on apprécie mieux aussi la supériorité de son génie!

Les talens de Roger Bacon, ses opinions philoso-
phiques peu respectueuses pour celles d’Aristote qui
régnait alors en souverain sur nos écoles ; enfin l’impru-
dence qu'il eut de rendre publiques quelques expériences
chimiques qui le firent accuser d'entretenir un commerce
abominable avec l'esprit de ténèbres, mais peut-être
plus encore sa renommée et sa supériorité incontestable,
armèrent contre lui la haine et la jalousie des moines
de son ordre. Il fat mis en jugement dans un chapitre
général, et l’auteur du livre de Nullitate magiæ fut
déclaré magicien : on lui fit défense d’écrire, et on le
condamna à une prison perpétuelle. L’infortuné Roger
Bacon ne recouvra sa liberté que dans une extrême
vieillesse : il n’en jouit que peu de temps, et il mourut
accablé de chagrins et d'infirmités, suites des traitemens

odieux qu’on Jui avait fait subir, en l'année 1202, à l’âgede
? 2 2 G

BA

78 ans. Ses ouvrages les plus recherchés des bibliophiles
et des savans sont : Roc. Baconis, vi eminentissin ,
Perseecriva, etc., Joh. Combachii, Francf., 1514, in-4°.
— Opus majus, Roc. Baconis, nunc primum edidit,
S. Jebb, London, 1733, in-folio. — De secrets naturæ
et arts et nullitate magiæ. Paris ; 1542, in-8°, 1b., 1622,
in-8°. La bibliothèque d'Oxford possède divers autres
ouvrages de Bacon, entre autres : Opus minus , etc.,
Opus terüium, etc., et un Traité du Calendrier, dans
lequel sont consignées les observations astronomiques
dont nous avons parlé,

BACULAMETRIE ( Géom.), vieux mot par lequel
on désignait l'art de mesurer les distances avec des
bâtons ou des verges. J’oyez ALTIMÉTRIE et ARPENTAGE.

BAILLY (Jean-Sivain), membre de l’Académie des
sciences, de l'Académie française et de celle des Inscrip-
tions, moins célèbre peut-être par ses talens que par ses
malheurs, naquit à Paris en 1736. Il se fit d’abord
connaître par des poésies et des pièces de théâtre, et ce
fat dans l’amitié du savant abbé Lacaille, qu'il puisa
du goût pour des travaux d’un ordre plus élevé. L’astro-
uomie fut, de la part de Bailly, l’objet d’études spé-
ciales, dans lesquelles il ne tarda pas à acquérir de la
réputation. Néanmoins il a plus souvent envisagé cette
science en littérateur qu’en géomètre. On trouve, il est
vrai, dans ses écrits, quelques justes appréciations des
phénomènes célestes, scientifiquement exposées, et qui
supposent des connaissances assez étendues ; mais en
général, cet écrivain affectionne des hypothèses qui rap-
pellent trop ses premières productions littéraires. C’est
surtout dans l’Æistoire de l'astronomie indienne que
Bailly s’est abandonné à tous les caprices de son imagi-
nation, en prenant au sérieux de prétendues observa-
tions astronomiques qui feraient remonter la civilisation
de cette nation à une antiquité exagérée. Ces supposi-
tions romanesques plaisent aux gens du monde, et elles
eureut surtout du succès à une époque où l’école ency-
clopédique s’avisait de transporter, même sur le terrain
de la science, le combat qu’elle soutenait contre la rai-
son et la saine philosophie. Bailly fut successivement
appelé à siéger dans trois Académies. L'aménité de ses
mœurs, la douceur de son caractère, la bienveillance
aimable qu’il portait dans toutes les relations de la vie,
contribuèrent sans doute beaucoup plus que l'importance
de ses écrits, à lui faire cueillir tant de palmes académi-
ques. Le caractère ctle talent de cet écrivain lui attirèrent
en même temps les dangereux honneurs de la popula-
rité... On sait par quelle cruelle catastrophe il expia sa
funeste confiance dans les principes philosophiques qu'il
avait contribué à répandre. Illustre victime de la fureur
des factions et de la brutale ignorance des masses popu-
laires, Bailly, dont la mémoire restera à jamais pure et
honorable, sera aussi à jamais un d'ouloureux exemple

BA 189

pour les hommes de science et de progrès, qui descen-
dent quelquefois, des hauteurs où les placent leurs tra-
vaux, dans la lice brülante des partis. Condamné à mort
par le tribunal révolutionnaire, après avoir été l’idole
des Parisiens, Bailly fut exécuté au Champ-de-Mars,
le 12 novembre 1503, avec des circonstances atroces.
Ses principaux ouvrages sont : Æssai sur les satellites
de Jupiter, avec les Tables de leurs mouvemens,
Paris, un vol. in-4°, 1766. — Histoire de L Astronomie
ancienne, depuis son origine jusqu’à l'établissement
de l'école d'Alexandrie. Paris, 1981, in-4°. — His-
toire de l’ Astronomie moderne, depuis la fondation de
l'école d'Alexandrie jusqu'en 1782. Paris, 1785,
3 vol. in-4°. — Histoire de l' Astronomie indienne et
orientale. Paris, 1787, in-4°.

BAKER ( Tnomas ), mathématicien anglais, né à
Iton, dans le Sommerset, en 1625, s’est rendu célèbre
par la publication d’une méthode pour la résolution des
équations du 3° et du 4° degré. En 1645, il avait été ap-
pelé à occuper une chaire de mathématiques au collége
de Wadham; il fut plus tard recteur de la paroisse de
Bishop-Nympton, dans le comté de Devon. On ignore
dans quelles circonstances cet ecclésiastique fut mis en
prison pour dettes à Newgate; mais ce fut dans cette
maison qu’il écrivit l’ouvrage où il proposa sa méthode
de résolution des équations, sans aucune préparation,
par un cercle et une parabole. Peu de temps avant sa
mort, la Société royale de Londres lui soumit plusieurs
questions importantes et difficiles, qu'il résolut de la
manière la plus satisfaisante. Cette compagnie lui décer-
na ure médaille d’or, où une flatteuse inscription rap-
pelait ses titres à cette récompense. Thomas Baker
mourut en 1690. Voici le titre de son ouvrage : The
geometrical key, or a gate of œquations un locked, etc.,
ou Clavis geometrica catholica, seu janua æquationum
relevata. London, 1684, in-4°. :

BALANCE (4str.). Ce nom s'applique également à
une constellation située dans l'hémisphère austral et au
septième signe du zodiaque, marqué #2.

Avant la découverte de la précession des équinoxes,
ou du mouvement des points équinoxiaux, on croyait
que le soleil, revenant au même équinoxe, se trouvait
correspondre exactement aux mêmes étoiles; et l’on
avait partagé l’écliptique en 12 parties égales ou signes,
faisant de chacune de ces parties une constellation dé-
terminée à l'aide d’un groupe d'étoiles. Alors le pre-
mier signe correspondait à la constellation du Bélier,
le second à celle du Taureau , et ainsi de suite, Depuis
cette époque, l’état du ciel a entièrement changé; et,
par la rétrogradation des points équinoxiaux, les signes
ne correspondent plus aux mêmes constellations. Ce-
pendant, on a conservé aux signes les noms qu'ils

avaient dans l’origine; et, par une convention généra-

490 BA

lement adoptée, le premier point da signe du Bélier

répond toujours à l’équinoxe du printemps, et celui de

la Balance à l'équinoxe d'automne; tandis que les con-
stellations du Bélier et de la Balance, ainsi que toutes
les autres se sont éloignées de ces signes de près de 30°
ou d’un signe entier. Poy. PRrÉCEssi0N.

BALANCE (Méc.). Machine qui sert à comparer les
masses des corps, ou à déterminer l'égalité ou l'inégalité
de leurs poids.

La balance est une application du levier (Foy. ce
mot), et comme telle on en distingue plusieurs espèces ;
les principales sont la éalance ordinaire , nommée sim-
plement balance, et la balance romaïne ; ou le peson.

La BALance ORDINAIRE est composée d’un levier
droit AB (PL. XII, fig. 8), nommé fléau, aux extrémités
duquel sont suspenäus deux bassins C et D, qui reçoi-
vent les corps qu'on veut peser. Le fléau est suspendu
par son milicu, de manière à pouvoir osciller librement
lorsque l'équilibre des bassins est détruit par l'addition
d’un poids dans Fun ou dans l'autre.

Le fléau AB est donc un levier du premier genre,
partagé en deux bras égaux par son point d'appui x,
et chargé de Veffort des deux puissances qui sont dans
les deux bassins C, D, et dont les directions sont pa-
rallèles entre elles, faisant avec le fléau des angles droits
lorsqu'il est horizontal, ou des angles dont les sinus sont
égaux lorsqu'il est incliné. 11 n’y a donc que des masses
égales qui puissent être en équilibre sur un pareil le-
vier. ‘ |

Pour que la balance ordinaire soit exacte , elle doit
réunir au plus haut degré possible les trois qualités
suivantes : 1° Elle doit être très-mobile, pour que le
plus petit poids ajouté d’un côté ou de l’autre fasse tré-
bucher le fléau. 2° Ses bras doivent être toujours égaux;
car, dans le cas contraire, les masses qui se feraient
équilibre ne seraient point égales en poids. 3° Les bras
doivent être dans une même direction, afin de pouvoir
juger avec plus de facilité s'ils font réellement des an-
gles égaux de part et d’autre avec les directions verti-
cales du poids.

Pour donner une grande mobilité à la balance or-
dinaire , il faut rendre le frottement qui se fait au point
d'appui le plus petit possible, et faire correspondre
exactement le centre du mouvement avec le centre de
pesanteur. On remplit la première condition en don-
nant au point de suspension la forme d’un couteau dont
le tranchant seul porte sur l'appui. Quant à la seconde,
on la néglige dans les balances destinées aux usages or-
dinaires, parce qu’une extrême mobilité deviendrait
alors incommode , et qu’il est indifférent de se tromper
d’une petite quantité dans les évaluations commerciales
auxquelles ces machines sont employées.

La longueur des bras d’une balance contribue aussi à

BA

lui donner de la mobilité; car un très-petit poids, agis-
sant à l'extrémité d’un plus long bras, fait autant d’ef-
fet qu'un plus grand poids agissant sur un plus petit
bras. Mais on ne peut tirer un grand parti de cette re-
marque; car la longueur des bras doit toujours être en
proportion avec leur solidité; des bras trop longs deve-
nant flexibles et cessant d’être égaux en se courbant ;
le fléau, d’ailleurs, devant être le plus léger possible,
pour diminuer la pression sur le point d'appui.

Une balance peut paraitre juste en se tenant en équi-
libre dans une situation horizontale, et cependant avoir
des bras de levier inégaux. Il suffit pour cela que le bras
le plus court ou son bassin soit plus pesant que l’autre
bras ou que l’autre bassin ; mais on reconnaît facilement
ce défaut; car, après avoir chargé les bassins de ma-
nière qu'il y ait équilibre, si l’on change les masses d’un
bassin à l’autre, l’équilibre ne subsistera plus après ce
changement. En effet, dans le premier cas cet équilibre
n'existait que parce qu’une plus grande masse corres-
pondair au bras le plus court, tandis que dans le second
cette plus grande masse, correspondant au bras le plus
long, doit nécessairement emporter l’autre. Voyez le
mot Levier pour la démonstration des propriétés et
pour la théorie de la Barance.

Lorsqu'une balance est fausse, on peut néanmoins
s’en servir, pour peser exactement, en procédant de la
manière suivante :

Après avoir mis en équilibre une masse Q par un
poids P , en plaçant, par exemple, Q dans le bassin C,
et P dans le bassin D ; on transporte Q dans le bassin D,
et on observe quel poids il faut mettre dans l’autre bas-
sin pour lui faire équilibre; soit P' ce nouveau poids.
Connaissant P et P', le véritable poids de Q est égal à

VPxPr.

En effet, d’après les principes de l'équilibre du le-
vier, si nous désignons par > la longueur du bras à
l’extrémité duquel est le bassin C, et par » la longueur
de l’autre bras, nous aurons.les deux égalités

mP=nQ et nP'=mQ,
dont le produit
mnPP' = mnQ,
étant divisé par le facteur commun 7», donne
PP'—Q où Q—=V/PP.

Ainsi, par exemple, en supposant que la première
pesée ait donné un poids P — 38 grammes, et que la
seconde ait donné P'— 42 grammes, le véritable poids
de Q sera

VX 42 = V/1596 — 39,05.
Si les poids P et P’ différent très-peu, on peut gé-

BA

pargner la longuéur d’une extraction de racine carrée ;
car on peut faire alors

P:
Que

2
En effet, soit P'— P — p, nous avons
PP=P: + Pp.
Mais V/(P? + Pp) est à très-peu de chose près égale à
P + Ê , lorsque p est très-petit par rapport à P; on
peut donc faire dans ce cas

P __2P+p P+P
0sPHhS ou Q— ER RIRE NP

Dans l'exemple ci-dessus on trouverait, en employant
cette dernière formule, Q — 40 grammes ; ce qui ne

é Le
diffère de la véritable valeur que de moins de 3 de
gramme , quantité sans importance pour les usages or-
dinaires,

La Bacance RomAINE est un levier dont les bras sont
inégaux ; elle se compose d’un fléau AB (PL. XIT, fig. 7).
suspendu par une anse EK ; le bras le plus court porte
un bassin C, ou un crochet destiné à soutenir l’objet
qu'on veut peser, et un poids constant P, coule au
moyen d'un anneau le long du bras le plus long. Cette
machine à l'avantage de n'avoir besoin que d’un seul
poids pour peser les corps les plus lourds; car, d’après
la théorie du levier, l'équilibre a lieu lorsque la dis:
tance de P au point de suspension est en raison inverse
de la distance du corps pesé au même point. 1l suffit
donc d'établir sur le bras EB des divisions dont le nom-
bre, à partir du centre de suspension, puisse faire con-
naitre immédiatement le poids du corps pesé.

Par exemple, si le corps pesé = 10 kilogrammes, et
que le poids constant soit un kilogramme, l'équilibre
aura lieu lorsque la partie Ka sera égale à 10 fois le
bras AK.

Ainsi, en admettant que chaque division du grand
bras soit égale au petit bras, lorsqu'il faudra mettre, par
exemple, le poids P à la cinquième division , pour faire
équilibre à un objet Q placé dans le bassin, en en con-
clura que le poids de Q est égal à 5 fois P, et ainsi de
suite. Les subdivisions de ces parties donneront égale-
ment Les subdivisions de poids au-dessous de P.

Pour que cette balance soit juste, il faut qu’elle soit
en équilibre dans une position horizontale indépen-
damment du poids P et de tout objet à peser.

Toutes les autres espèces de balances ne sont que des
modifications de ces deux premières. Nous en explique-
rons la théorie au mot Levier.

Dazance uypnasriQué. Machine qui sert à trouver la

BA 491

pesanteur spécifique des corps solides ou liquides. Foy.
PEsanTEUR SPÉCIFIQUE. :

BALANCEMENT. Foy. Oscillation.

BALANCIER (Aéce.). Nom générique qu’on donne à
toute partie d’une machine qui a un mouvement d’os-
cillation ; et qui sert à régler le mouvement des autres
parties.

BALEINE (4str.). Constellation méridionale, dans
laquelle on remarque une étoile changeante fort singu-
lière: La Baleine contient 07 étoiles dans le catalogue
de Flamstead. On la nomme encore Cetus, Cete,
Draco ; Leo ; Ursus Marinus , Canis tritonis. Les Ara-
bes lui donnaient le nom de Kaëtos ou Elketos. Elle est
située au-dessous de là costellation des Possons, entre
celles du F’erseau et de V Éridan.

BALISE (/fce.). Corps flottant , attaché à des chaînes
d’amarrage, qui sert à indiquer aux navires, pendant
la nuit, la direction qu’ils doivent prendre.

BALISTE ( A4rt de là guerre), Antique machine de
guerre, Qui servait à lancer des traits dont la longueur
et le poids étaient souvent extraordinaires. (Voyez Ar-
chitecture de Vitruve, ou Polybe, avec les commen-
taires de Fülard. )

BALISTIQUE (ars balistica, du grec Bzrw, je
lance). Théorie des projectiles ou du jet des bombes.

On désigne en général sous le nom de Balistique la
théorie et la pratique des corps solides lancés en l'air à
l'aide d’un moteur quelconque. Depuis l’invention et
les progrès de l'artillerie, ce terme a été plus particulie-
rement consacré aux projectiles lancés par les bouches à
feu; et, sous ce dernier aspect, la balistique forme
une des parties les plus importantes de l'art de la
guerre,

Jusque vers le milieu du seizième siècle; l'artillerie
fut traitée d’une mänière tout empirique; et ses pro-
cédés, incomplets et grossiers, n'étaient’ susceptibles
d'aucun résultat certain. Le premier qui s’occupa de re-
cherches scientifiques sur cet objet est Tartaglia, géo-
mètre distingué, auquel la science est redevable sous
d’autres rapports. Il trouva qu'aucune partie de la di-
rection du boulet n’était une ligne droite, et qu’un angle
d’élévation de 45° donnait la plus grande portée (Della
nova scienziaæ, Venise, 1537). Les principes sur les-
quels il fondait sa théorie étaient, sous beaucoup de
rapports, inexacts et erronés : la loi de la chute des corps
graves n'étant point encore découverte, Néanmoins,
comme un artilleur soutenait que la plus grande portée
avait lieu sous un angle de 30°, Tartaglia développa sa
théorie en 1546, dans son ouvrage: Queæsiti ad inven-
ziont; ce qui donna lieu à beaucoup d'expériences, et à
la construction de tables d'élévation calculées sans au
cune base solide. Ces tables furent considérées corame
très-exactes , jusqu'a ce que Galilée, appliquant à la ba-

192 BA

Xstique sa nouvelle loi de la chute des graves (70y. Ac-
cÉLÉRATION ), démontra que la direction des bombes
devait être une parabole. Le père Mersenne, et surtout
Toricelli, se livrèrent à de nouvelles expériences, et
cherchèrent à déterminer les points qu’un boulet lancé
d’abord verticalement, et ensuite horizontalement,
pourrait atteindre; ce qui ne procura aucun résultat
pratique. Le jésuite Deschales fut plus heureux sous le
dernier rapport; car il indiqua la direction du canon
nécessaire pour atteindre un point plus haut ou plus
bas (Mundus mathem., tom. IT, stat. lib. 2). En 1641,
Collado recommença tous les essais de Tartaglia sur un
fauconneau de trois livres de balles; et, mesurant avec
soin les élévations, à l’aide d’un bon cadran d’artille-
rie , il établit les portées suivantes , dont les longueurs
sont exprimées en pas :

Angles Angles

d'dévauions. Portés. d'élévation. Portées.

0°,0 268 45°,0 1053

7 50 594 20 900
15 ,0 794 60 ,0 700
22 ,5 954 | 67,5 400
30 ,0 1010 | 75,0 150
37 ,5 1040 62 ,o 12

Les ekpériences de Bourne, faites probablement avec
une pièce d’un plus petit calibre, donnèrent des résul-
tats plus exacts (Pratica manuale dell artigleria, Mi-
lan, 1641). Au lieu de mesurer les angles d’élévation
par les points du cadran d'artillerie, divisé de 7°,5 en
7°,5, il se servit des degrés, et admit la distance hori-
zontale au point de mire comme unité; ce qui lui fit ob-
teÿ les portées suivantes :

Élév. Portées, Élév. Portées.
0° 1 15? 43
5 23 20 4È
10 33 42 5E

La dernière élévation donnait, terme moyen, la plus
grande portée dans un temps calme; mais Bourne
trouva que cette portée changeait lorsque le vent se fai-
sait sentir ; ce qui plaçait son angle d’élévation entre 36°
et 45° (Art of shooting in great ordon , 1643).

Galilée avait déjà fait voir dans ses discours que la
direction d’un boulet ne pouvait être une parabole que
lorsque la résistance de l’air ne la modifiait pas; mais on
oublia complétement cette importante remarque, et on
appliqua rigoureusement la théorie parabolique à la ba-
listique, dans la supposition que l'air, comme milieu
très-faible, ne pouvait exercer aucune influence sur des
corps aussi lourds que des boulets de fer. C’est d’après

préiuges que furent modifiés les essais que fit Ro-
Anderson, et qu'il publia en 1690. L'ingénieur

BA

français Blondel (Art de jeter les bombes), et même le
célèbre Halley (Trans. phil., 216, pag. 68), s’efforcè-
rent de défendre la théorie parabolique contre les ex-
périences qui s’en écartaient. Mais, malgré tous les ef-
forts d'Anderson; il ne put accorder ses essais avec la
théorie, lorsqu'il s'agissait de déterminer les petites et
les grandes vitesses iritiales. Malgré les objections qui
s’élevèrentalors en foule, l'ouvrage de Blondel demeura
long-temps comme autorité.

Cependant, la loi de la résistance de l'air devint l’ob-
jet de beaucoup de recherches. On admit généralement
l'hypothèse de Newton (Principes, lib. IT, prop. 40),
que cette résistance est proportionnelle au carré de la
vitesse du mobile; et l’on s’efforça de l’appliquer à la
directior aes boulets. Æuygens { Discours de la cause
de la pesanteur. Leyde, 1690) avait déjà prouvé que
Ja direction du boulet, dans un espace rempli d'air,
devait s’écarter d’une parabole ; et néanmoins, malgré
les efforts d’un officier d'artillerie, Resson, qui mo:-
tra (Mém. de l'Acad. des Sc., 1716) que la théorie de
la balistique était insuffisante pour la pratique, cette
théorie n’en demeura pas moins en vigueur jusqu’à ces
derniers temps même, et on en déduisit des tables qui
ne peuvent rendre aucun service.

Cependant , les géomètres étant couvaincus de l'in-
fluence que doit exercer la résistance de l'air, il s’agis-
sait de trouver la courbe qu’un boulet doit décrire sous
cette influence. Jean Bernouïlli avant manifesté quel-
ques opinions sur ce problème difficile, Ke! l'engagea,
en 1718, d’en donner une solution, lui proposant à ce
sujet une espèce de défi. Bernouilli annonça qu'il avait
résolu le problème, mais ne voulut pas donner sa théo-
rie avant que Keil ne publiät la sienne. Ce dernier
n’ayant rien pu produire, Jean Bernouilli fit connaître
sa solution en 1719, ainsi qu'une autre, due à son ne-
veu Nicolas Bernouilli (J. Bernouilli opera, W). De-
puis cette époque, les plus grands géomètres se sont oc-
cupés de la courbe balistique sans qu’on puisse dire que
l'analyse ait complétement réussi dans cette tâche. Dans la
plupart des calculs de ce genre, on a pris pour données
expérimentales les essais importans que Robirs à faits
avec autant de soin que d’exactitude (Robins new prin-
ciples of gunnery ,
fut interrompu dans ses travaux par une mort préma-
turée; mais le célèbre Æutton se livra en 1775 à de nou-
veaux essais, répétés depuis et confirmés par un grand
nombre d’artilleurs. Ces divers travaux, en y compre-
nant les recherches théoriques faites en France, en Italie
et en Allemagne vont être résumées dans l'exposition

742). Malheureusement, Robins

suivante :

1. Varesse ixiTiaze. Pour pouvoir déterminer avec
exactitude la route d’un corps lancé dans l’espace : il est
essentiel de connaître sa vitesse initiale, ou la vitesse

BA

avec laquelle il se meut dans un temps donné, suivant
la direction qui lui est primitivement communiquée.
Or, les effets de la poudre à canon sont tellement dé-
pendans de circonstances accessoires, que les détermina-
tions sont loin de réunir le degré de certitude néces-
saire. C’est ainsi que Daniel Bernouïlli trouve que la
vitesse initiale d’un projectile est de 6004 pieds par se-
œnde, en admettant que la force d’expansion de la
poudre enflammée est de 10000 atmosphères; tandis
que Robins, qui ne prend la force de la poudre que
pour 1000 atmosphères, obtient des résultats qui s'ac-
cordent beaucoup mieux avec l'expérience. Pour se ren-
dre compte de toutes les circonstances du problème, il
faut examiner avec soin les phénomènes produits par
Vinflammation de la poudre, suivant la nature des ob-
jets dans lesquels elle est contenue.

2. Le boulet se trouve placé dans un espace cvlindri-
que, le canon, et comprime la poudre, dont l'explo-
sion doit le lancer. Cette explosion, due au dégagement
subit des gaz élastiques qui se développent au moment
de l’inflammation, chasse le boulet avec une force d'au-
tant plus grande que le développement du gaz est plus
grand et plus complet; mais le frottement du boulet
‘contre les parois du canon, jusqu’au moment de sa sor-
tie, neutralise une partie de cette force; et la vitesse
initiale s’en trouve nécessairement modifiée.

3. On pourrait croire que la vitesse initiale d’un bou-
let peut être augmentée sans limite par l'augmentation
de la quantité de la poudre: il n’en est point ainsi; l’in-
flammation de la poudre n’a lieu que successivement,
Ainsi, dans le premier moment quelle que soit la lon-
gueur du cylindre formé par la poudre derrière le bou-
let, la pression contre le boulet, et, conséquemment ,
son déplacement dans le canon, sont dus au dégage-
ment des gaz de la première couche qui s’enflamme : il
peut donc arriver que le boulet soit chassé de la pièce
avant que toute la poudre soit enflammée. Ainsi, comme
l'effet de la partie enflammée de la poudre a lieu ins-
tantanément , il peut arriver, lorsque la charge est trop
considérable, qu’une certaine quantité de poudre non
brülée soit lancée hors de la pièce avec le boulet; ce
que les essais ont suffisamment prouvé. Il existe donc
un maximum pour la quantité de poudre capable de
produire la plus grande vitesse initiale; mais la déter-
mination théorique de ce maximum est impossible,
parce que non-seulement la qualité de la poudre à ca-
non est extrêmement variable, mais qu'il existe encore
une foule de circonstances accessoires qui exercent sur
ses effets une influence importante.

4. Il résulte des considérations précédentes que le
maximum de la charge doit être dans un certain rapport
avec la longueur du canon. D’Arcey ( Mém. de l'Acad.
des Sc., 1751, p, 57), qui fit beaucoup d'expériences

BA 495

pour déterminer les effets de la poudre, tronva que le
rapport de la longueur de la charge à la longueur du
canon devait être celui de 100 : 171, pour obtenir Ja
plus grande vitesse initiale. Ce résultat s'accorde admi-
rablement avec les calculs et les observations de Robins,
d’après lesquels le rapport est 1 : 1,718.

La longueur des bouches à feu ne doit donc pas non
plus dépasser une certaine Kmite; et cette assertion, dé-
fendue par le comte de Martillière, Scharnhorst, et
d’autres savans artilleurs, est devenue assez évidente
pour changer le matériel de l'artillerie: toutes les piè-
ces modernes sont beaucoup plus courtes que les an-
ciennes.

5. Robins, et ensuite ÆZutton, ont trouvé que pour
les canons de longueur suffisante les vitesses initiales
étaient entre elles en raison directe des racines carrées
des quantités de poudre, et en raison inverse des racines
carrées des poids des boulets. Il en résulte un calcul
très-facile, en admettant toutefois que la qualité de la
poudre employée soit la même que celle de la poudre
d'artillerie anglaise, dont Hutton se servit à Wolwich;
les essais avant donné, pour un boulet d’une livre lancé
par une charge de huit onces de poudre, une vitesse
initiale de 1600 pieds anglais, la vitesse initiale d’un
boulet de 24 livres, lancé par 8 livres de poudre, ou
198 onces, sera donnée par la proportion

128 =
—- :: 1600: x.
2

vs !
D'où
æ = 1306 picds.

Mais, comme un boulet du poids d'une livre a eu
besoin de huit onces de la meilleure poudre ou de la
moitié de son poids pour obtenir une vitesse de 1600
pieds, le boulet de 24 demandera 12 livres de poudre
pour avoir la même vitesse. On pourrait donc établir
le tableau suivant des vitesses initiales communiquées
par diverses charges de poudre, en prenant le poids du

boulet pour unité.

Polds de la Vitesses initiales Poids de la Vitesses initiales

poudre. … pieds anglais. pieds franc. poudre. pieds anglais. pieds franc
need
ss sf 1 511 DOË 75 OO à Lo) 652
toeses sb #19 4806 sis stshs,237 Dh 708
Fos. 100 500 Zussite]x0000 750
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Fo. 628 589 Bosco :.1306:7y:# 1225
4 6 008 G13 l Eoscsee 1000 1501
7... 682 640 Tes 4 12080 2723

Ces valeurs ne doivent être considérées que comme
35

approximatives; nous verrons plus loin qu'elles ne s’ac-
cordent pas complétement avec le résultat des expé-
riences exécutées en France.

6. En adoptant les conclusions de Hutton, si l’on dé-
signe par V la vitesse initiale, par P le poids du bou-

let et par p celui de la poudre, on aura l'expression

V = 1600 2E

qui donne en pieds anglais la viteste initiale. Le coet-
ficient constant 1600 est la vitesse communiquée par
une charge de poudre dont le poids est la moitié de
celui du boulet.

En réduisant 1600 en pieds français ou en mètres,
c’est-à-dire en le remplaçant dans la formule par les
nombres

1507 pieds

ou 487",671.

Cette formule donnera en pieds français, ou en mètres,
la vitesse initiale. Désignons donc en général par v le
coefficient constant, nous aurons

Paie

En tirant de (a) la valeur. de p on a

formule à l’aide de laquelle on peut calculer le poids
de la poudre pour fes divers boulets et pour les diffé-
rentes vitesses. Par exemple, si l’on demandait le poids
de la poudre nécessaire pour communiquer à un boulet
de 24 livres une vitesse initiale de 2000 picds anglais,
en substituant les nombres aux lettres, on trouve

— _ . _ = 18,75 livres.

Pour une vitesse initiale de 3000 pieds anglais, la for-
mule donne 42 livres; ce qui n’est déjà plus conforme
à l'expérience. On ne peut compter sur l'exactitude des
résultats que pour des vitesses peu différentes de la vi-
tesse normale 1600.

7- Pour trouver théoriquement les grandeurs respec-
tives des boulets, de la quantité de poudre et des vitesses
initiales, nous exprimerons par
la longueur AB de la charge (PL. XIV, Jig. 4).
la longueur AE de l’âme de la pièce.
le diamètre du boulet.
le poids d’un pied cube de la masse du boulet,

nr DA

l’espace parcouru par un corps dans la première
seconde de sa chute

w la vitesse initiale.

mt la pression de l'air sur une surface d’un pouce

Carre,

BA

n lélasticité de la vapeur de Ia poudre.

p le poids du boulet.

r la circonférence du cercle dont le diamètre est r.

æ la longueur variable AC.

La surface d’une sphère étant égale à quaire fois la
surface de son grand cercle (Foy. Srnkre), la surface
du boulet sera —2rD°; et, par conséquent, la moitié
de cette surface sera — xD’. Ainsi, la pression atmo-
sphérique sera exprimée par m#rD?, et celle de la va-
peur de la poudre par #mrD°. Mais, comme la force
de la vapeur de la poudre, d’après la loi de Mariotte,
est proportionnelle à sa densité, la farce au dedans de
AB est à la force au dedans de AC comme AC : AB.
Ainsi,

mnarD:

æ:a::smnrD?: med

ce qui donne la force mouvante dans BC.
D’après cela,

p_ px
désignant par f la force mouvante.
De cette expression on tire la formule différentielle

2gmnarD? dx

vdv = 9gfdx = à x =)

dont l'intégrale est

jee . logx+c.

logæ étant le logarithme naturel de x, et C üne con-

2 —

stante qu’on détermine en faisant x — a et Pb —0; ce
qui réduit la formule à

___ 4gmnarD?

Fr
pv? log,

ou

v=V pere s log? |.

Ainsi, en désignant généralement par À la longueur
du cylinäre rempli de poudre , longueur plus grande
que a lorsque le boulet ne touche pas la poudre, la vi-
tesse avec laquelle le boulet sort du canon sera

is AgmnhrD? b
v=V Fes . log <l: see (M2);

Le volume du boulet étant — 3 rD?, son poids sera
=? erD?; on a donc p = %erD; de plus, g est égal à
16 pieds anglais (4”,9044 pour Paris), et m — 230 on-
ces. Si l’on substitue ces valeurs dans la formule, elle
devient

= 1785 \/ Un log z

ou

4 BA
nh b
v = 06 V5 . L 2]:
b « ; b
L étant le logarithme vulgaire de rs

Pour un boulet de fer, on a e— 9400, et pour un

boulet de plomb, e — 1325 ; la formule devient donc

TA Es Le].

pour les boulets de fer, et

v—25,42V [5 - L°|

pour les boulets de plomb. a, b, D et A peuvent expri-
mer des pieds ou des pouces anglais.
Hutton, appliquant ces formules à quelques cas parti»
culiers , trouve
v — 11359 pieds,
l'expérience lui ayant fourni

= 1180;

ce qui prouve que la valeur qu’il donne à n, n = 1000,
d’après Robins, est trop petite.

Dans les essais que fit Robins avec des balles de
plomb de + delivre , chassées par 12 dragmes de pou-
dre, il trouva la vitesse initiale de 1650 pieds de Lon-
dres(502 mètres). Les expériences que Prony fit en com-
mun avec Grobert, moyennant un appareil conyena-
ble, donnèrent, pour des balles de plomb pesant
24,70 grammes, et chassées par la moitié de leur
poids de poudre, une vitesse de 390,47 mètres (1202
pieds) avec un fusil de cavalerie de 0,756 mètres de
long, et une vitesse de 428 mètres (1317 pieds) avec un
fusil d'infanterie, de 1,137 mètres de long (Prony. Le-
; I, 158; Grobert, Machine pour
mesurer la vitesse initiale des mobiles de différens ca-

çons de méc. analyt.

libre. Paris, 1804). Les essais d’Æ{ntoni à Turia don-
nent une vitesse de 1030 à 1227 pieds. Pour comparer
ces divers résultats, il faudrait pouvoir tenir compte
des qualités différentes des poudres employées.

Dans la formule générale (m), que l’on peut reudre
fâcilement applicable aux mesures françaises, on n’a
pas tenu compte de la pression atmosphérique conte le
boulet, grandeur qui peut être négligée sans incomvé-
nient; mais, en même temps, on a aussi négligé
d’autres circonstances qui entrent comme conditions du
problème , telles que le frottement du boulet, la com-
bustion simultanée ou non de la poudre, et surtout la
perte de la vapeur par la lumière de la pièce et sur les
côtés de la balle.

8. Lorsqu'on veut prendre en considération le poids
de la poudre et de la cartouche, la formule pour les

boulets de fer, en désignant ce poids par 2# , devient

BA
APR]
nhD?

ou , plus exactement,
p+r n°] …. (o),

v = 46,1V [=
en faisant une légère correction pour la pression atmo-

195

sphérique contre la balle.

9. Dans toutes ces formules, la valeur de n, si diver-
sement indiquée , est une donnée principale de l’exacti-
tude de laquelle dépend celle du résultat. Or, si nous
dégageons » de (0), nous aurons

Le A D
=" [ES] 12 2h

formule à l’aide de laquelle, en connaissant par expé-

ricuce les valeurs de pour des cas déterminés, on peut
arriver à la connaissance de celle de ».

Les essais faits à Wolwich avec quatre canons de dif-
férens calibres donnent les résultats suivans: b,n,h,p,
#, ayant les significations précédentes, mais, étant ex-
primés en pouces anglais; G désigne le poids de la
poudre en onces ; la colonne » contient les valeurs non
corrigées de », et la colonne »' ces valeurs corrigées de
la manière la plus exacte, et pour toutes les condi-
tions.

bB|Glalh|p+r| + n n'
28,53] 4 | 3,98] 2,54| r9,06 | rroo | 1182 | 1700
» 8 | 6,321 5,08| 21,19 | r340 | 1319 | 182t
» 16 |11,40|10,16| 25,49 1430 1531 2079 !
38,43| 4 | 3,781 2,54] 19,06 | 1180 | 1192 | 1720
» 8 | 6,32] 5,08|21,r9 | 1480 | 1440 | 2015
» 16 |11,40|10,16| 25,47 1660 1526 | 2068
57,70] 4 | 3,981 2,54| 19,06 | 1300 | 1238 | 1784
» 8 | 6,32] 5,08| 21,19 | 1970 | 1622 | 2241
» 16 |1x1,40|10,16| 25,47 | 2000 | 1670 | 2264
80,23| 4 | 3,28] 2,54] 19,06 | 1370 | 1231 | 1996
» 8 | 6,32! 5,08! 21,19 1940 | 1664 | 228r
» 16 |11,40110,16| 25,47 | 2200 | 1684 | 230c

On voit que v augmente avec la longueur des bou-
ches à feu , et que la différence entre » et n' est plus pe-
tite lorsque le poids de la poudre est plus grand. D'où
il résulte, qu'avec la quantité de la poudre, la chaleur,
et par suite l'expansion des gaz élastiques produits, aug-
mentent. Ainsi, en prenant pour # une valeur moyenne
de 2200, et en exprimant alors «a et b en unités de cà-
libre, on a pour la plus grande vitesse initiale

a b
v =585V LE sŒt «|

C’est d’après cette formule qu’on a calculé la table
suivante, dans laquelle # exprime le poids de la pou-
dre, celui du boulet étant pris pour unité, et v la plus

496 BA

grande vitesse avec laquelle le boulet sort de la bouche
de la pièce.

0,63 3,171 0,12 810
1,20 3,333 0,23 1129
1,92 | 3,488 | 0,33 | 1348
2.20 3,636 0,42 1529
2,64 3,988 0,90 1681
3,05 3,934 0,58 1813
3,43 4,082 0,05 1929
3,78 4,233 0,71 2033
4,11 4,380 0,78 2127
4,42 4,525 0,84 2213
471 4,671 | 0,90 2202
4:99 4,810 | 0,95 2366
5,25 4,952 1,00 2434
5,50 5,001 1,05 2498
5,73 5,235 1,09 2558
5,96 5,369 1,13 2614
6,17 5,510 1,17 2668
6,37 5,651 1,21 2719
6,56 5,703 1,25 2707
6,75 5,926 1,28 2813
6,03 6,o61 1,32 2857
710 6,197 1,95 2899
7:27 6,328 1,35 2039
743 6,460 1,41 20978
7,58 6,506 1,49 3015
72 6,736 1,46 3051
54 7,56 6,870 1,49 3085
56 8 00 7,000 1,952 3118
58 8,13 7,134 1,55 3150
60 8,26 7,264 1,97 3150

10. Dans toutes les recherches sur les vitesses initiales
on voit qu'il a fallu toujours recourir aux quantités
trouvées par des essais, et que la théorie seule a été
jusqu'ici impuissante pour résoudre le problème fonda-
mental de la balistique, dont la solution est d’ailleurs
bien éloignée d’être complète, Avant d'aller plus loin,
il nous parait nécessaire d'examiner la nature des essais
qui ont été tentés, et jusqu’à quel point on peut se fier
à leurs résultats. Les premières expériences qui excitè-
rent l'attention générale sont celles de l'anglais Robins,
dont nous avons déjà parlé. Il inventa une ingénieuse
machine, à laquelle le nom de pendule balistique est
demeuré, et dont D’Arcy et Hutton se servirent après
lui. Ce pendule est composé d’une forte pièce de bois
suspendue par des tiges de fer à un axe autour duquel
elle peut osciller quand elle vient à recevoir le choc de
la balle dont on veut déterminer la vitesse. Robins fit
tous ses essais avec des balles de fusil; mais Hutton, en
les renouvelaut en 1775, à Woolwich, se servit en
outre de boulets de 1 à 3 livres, et même de quelques-
uns de 24 livres. Les travaux de Hutton sont de la plus
grande importance tant par leur nombre que par leur
exactitude; ils lui valurent une médaille d’or de la So-

BA

cicté rovale de Londres. Le comie de,Rumford , en
1579, Cutreprit également une suile d'expériences a
laide du pendule balistique; mais, de tous ces essais,
les plus complets et les plus importans sont ceux du gé-
néval Bloomjield, exécutés de 1583 à 1591 à Woolwich,
sous Ja direction de Hutton. Dans ces derniers, la vi-
tesse des boulets ne fut pas seulement calculée par la
vitesse du mouvement communique au pendule, mais
encore par l'arc que parcourt le canon suspendu lui-
même comme pendule.

11. Le pendule dont se servit Hutton se composait
d’un épais morceau de bois À (Pr. XIV, fig. 1 )rendu
plus pesant par beaucoup de fer, d’une forte verge de
suspension en fer aa, et des bras de levier bb d'acier
très-dur, reposant par leur tranchant sur des plaques
d'acier poli. Sous le pendule était situé un stilet d’a-
cier s, terminé en pointe très-fine, qui, par ses inci-
sions dans une masse de cire molle, indiquait les degrés
de l'angle de déviation du pendule de la ligne verticale.

Pour trouver le centre d’osaillation, on fait vibrer le
pendule, et, en désignant par » le nombre d’oscilla-
tions dans un temps de secondes —1, la longueur du

pendule à secondes étant /, on a
L'SCR SEE

= est donc la longueur corrigée du pendule balistique
re?

entre le centre d’oscillation et celui de gravité. ( Foy.
PENDULE. )
Soient donc

Longueur du pendule balistique....,..
Poids du pendule......s.seseeese ee
Poids du boulet...
Distance du centre de gravité.........

Distance du point frappé par le boulet...

CROATIE CECI ECC OI EUR IC

Corde de l'arc parcouru. ........:...

Rayon de l'arc parcouru...:...:.....
Vitesse avec laquelle le boulet frappe. .

Lo A MY È

Alors Pi? sera la .sonune des forces avec lesquelles le
boulet frappe contre le pendule; pym la somme de
celles du pendule, et Pi + pm la somme totale des
forces. Mais, vPi étant la quantité de mouvement du
boulet, (P# + pm) Xz sera la quantité de mouvement
du pendule et du boulet réunis, en désiguant par 3 la
vitesse du point frappé. Ainsi,

= vPer
Fo Pe Lpgm

12. Mais la distance du centre d'oscillation étant chan-
gée lorsque le boulet pénètre dans le bois, pour trouver
cette distance, que nous désignerons par, il faut divi-
ser la somme des forces par la somme des momens sta-

tiques (Foy. Momexr), on a donc

BA
_pqm - pe

Or, z étant calculé pour la distance r, lorsque cette
distance devient y, on à

; vPr? i
AA EE
et
: sPr
— En LIRE E (75) #

z' est la vitesse du véritable centre d’oscillation.

13. D'uu autre côté , d’après la nature du cercle,

2m3,C 2: C2
2r

CA : :
Sn est le sinus verse de l'arc dont la corde est c. De
FE

même ,
ce? C2 Y

iii —: —-
D

€? ; J +2
et sé est le sinus verse de l'arc décrit par le rayon y.
27

Mais la vitesse de l’oscillation dans l’arc est égale à celle
qui résulte de la chute libre selon le siuus verse (Foy.
Penpure). Ainsi, désignant par g l’espace parcouru
librement par un corps dans la première seconde de sa

chute, nous aurons ( Ÿ’oy. AGGÉLÉRE),
og : 28° 28 VC.
R VA 2gr*
Nous avons donc cette seconde expression de la vitesse
du véritable centre d’oscillation

Rs 2VCT |

85 V7 gr = Vos

En y substituant à la place de y, sa valeur donnée ci-

de Si,

dessus, et à la place de g, 16,09 pieds anglais pour Lon-
dres et 15,06 pieds français pour Paris, on obtient Tes
deux formules suivantes :

NE c pqm + Pa
2 —5,6727 : -— ———— —
Ha | pq +iP
ce pqm + Pi
Ve J'
dont la première se rapporte aux mesures anglaises, et
la seconde aux anciennes mesures françaises.

z= 5,48817 .

14. En égalant la valeur (a) de 3’ trouvée ci-dessus

avec les EE ET! on obtient pour Londres
v= 5,6727. Dr: V'[(pqm+ Pë).(pg +Pi],
et pour Paris
v= 5488175 V l(pame + Pà).(pg + Pi],

15. Lorsqu'on veut se contenter d’une valeur ap-
proximative à deux dix millièmes près, on a pour

BA 497

Paris

48817. cg PT LV.

De plus, nous avons vu (10) que

nu”
LT
et, pour faciliter les calculs, nous pouvons prendre 1 =
Go secondes : alors la longueur du pendule à seconde,
pour Paris, étant 440,3998 lignes , on a

TIO10

H= ———

Substituant cette valeur de »7 dans celle de v, elle de-
vient

0 = 535,8655.e0 LE...

16. Comme le pendule balistique augmente de poids
par chaque nouveau boulet qui y pénètre, il faut faire
successivement , après chaque expérience,

p=p+?,

er
— . P, ou presque exactement IE Tph
D nd presq ak PE
= ESS ; ou presque exactement 72 = me +-
[0
im
py+Pi

lorsque P est très-petit par rapport à p.
57. La valeur de »2 étant donnée en fonction de »,
on en déduit pour n

V/A1010
N = =——————
vom

ou
_ 363,8
Va
en réduisant les pieds en pouces.
À l’aide de cette valeur et des formules précédentes,
on obtient, en désignant par 4 la correction qu'il faut
faire subir à x après chaque expérience,

I
an=363,5.| Vm

ou presque exactement
n
im P2
pq+Pi on
Substituant à 2 sa valeur en »#, on obtient enfin, pour
Paris,

An=n—

1 +

niP.[n°i— 132120]

— 264240pq +iP[ri+ 132120)

198 BA

Cette valeur, déduite ainsi de chaque valeur précé-
deute de », est négative; ce qui doit être évidemment,
puisqu’à mesute que le poids du pendule augmente le
nombre des oscillations diminue,

18. Au nombre des obstacles qui doivent être pris en
considération lorsqu'on veut obtenir des résultats exacts
par ces calculs, on doit placer : 1° la résistance du
point de suspension du pendule; 2° la résistance de l'air
contre le pendule en mouvement; 3° le temps dont le
boulet a besoin pour pénétrer dans le bois; et 4° la ré-
sistance de l’air contre le boulet en mouvement. Lorsque
le pendule se meut sur des tranchans, et qu'il est très-
pesant par rapport au boulet, au moins dans le rapport
de 500 à 1, les trois premiers obstacles deviennent insi-
gnifians; mais le dernier ne peut être apprécié qu'en
déterminant préalablement la vitesse initiale. On peut
calculer exactement cette grandeur en suspendant le
canon pour en faire un nouveau pendule, et en déter-
minant, par l'arc d'oscillation, qu'il décrit après le
coup, la vitesse initiale du boulet. La différence de cette
vitesse avec sa vitesse finale , donne la perte de vitesse
due à la résistance de l'air. La vitesse initiale du boulet
se calcule également par la formule (p), eu y substi-
tuant à la place de p4- P le poids du canon. Désignons
donc par I le poids, et nous aurons pour Paris

II
nrPi

= 595,8655cq

I »’y a point de correction à faire à cette formule,
le poids 1 n'étant susceptible d'aucune augmentation.

19. En déterminant plus loin la direction, nous fe-
rons usage des résultats obtenus à l’aide du pendule ba-
listique. Nous nous contenterons ici d'indiquer les prin-
cipaux : la vitesse des boulets d’un poids de 16 onces
13 dragmes augmenta avec la grandeur de la charge et
la longueur de la pièce jusqu’à un maximum au-delà
duquel elle diminua. Le maximum de la vitesse initiale
fut de 2200 pieds anglais avec 18 onces de poudre et
une longueur dé 80,2 pouces anglais. Cependant l’exac-
titude de ces résultats dépend beaucoup de l’espace
entre le boulet et la paroi interne du canon. Cet espace,
que nous nommons vent du boulet, et que les Anglais
appellent windage, est plus grand lorsque le boulet
west pas tout-à-fait sphérique. Dans lartillerie anglaise,
la différence des diamètres du canon et du boulet — +,
tandis que dans l'artillerie française elle est seulement

553 lorsqu'elle dépasse 35, il échappe le tiers et jus-
qu'à la moitié de la vapeur de la poudre autour du
boulet.

20. Direcrion nrs Pnrosecrises. Le probléme de
déterminer la nature de la ligne que parcourt un boulet
est un des plus difficiles des mathématiques appliquées ;

et malgré tous Jes cfforts des plus grands géomètres, on

BA

est encore bien éloigné d'en posséder une véritable so-
lution. Dans nos meilleurs traités de mécanique, on
suppose d'abord que le boulet se meut dans le plan
vertical qui passe par l'axe du canon, ce que la pratique
confirme très-rarement. Les expériences les plus exactes
ont prouvé qu'il existait une déviation dont on a cru
trouver la cause dans le recul des pièces, quoique les
calculs de Hutton aient montré que ce recul était insuf-
lisant pour produire une semblable action. Une autre
cause s'offre d’elle-même, et n’est méconnue de per-
sonne : les balles, et surtout les boulets, ne peuvent
toucher de si près les parois du canon qu’il n’y ait lieu
à un ébranlement au moment du départ; de plus, la direc-
tion que prend le boulet à sa sortie de la bouche de Ja
pièce est encore une cause de déviation qui dépend
alors de l’angle plus ou moins grand qu'il suivra. Mais
lorsqu'on réfléchit à l’extrême exactitude qu’on obtient
maintenant dans la construction du calibre et dans celle
de la sphéricité du boulet, exactitude qui rend presque
nul l'espace entre ce dernier et les parois de la pièce ;
qu'outre cela, la grande vitesse communiquée au mo-
ment de lexplosion, détermine puissamment lim-
pulsion droite du boulet, maintenu d’ailleurs par l’étoffe
qui l'entoure et qui n’est pas encore détruite par la
vapeur de la poudre très-comprimée, et qui remplit
tous les vides, on ne peut s'empêcher de rechercher
d’autres causes à la déviation latérale qui s’est manifestée
d’une manière si sensible dans les fimeuses expériences
de Woolwich, déviation qui s’est élevée jusqu'à 15
degrés. Ces mêmes expériences établirent aussi que la
ligne suivie par le boulet n’est pas contenue dans an
même plan vertical, c’est-à-dire que les projections des
points de cette ligne sur le plan horizontal ne donnent
pas une droite. La cause principale de ce phénomène est
incontestablement la résistance inégale de l'air dans
lequel le boulet se meut. Robins l'avait déja découvert
et le confirma en se servant de canons courbés; il donnii
de cette manière une direction artificielle à ses balles,
cttrouva qu’elles écartaient toujours du côté convexe
du canon.

21. Pour rendre ceci plus sensible, admettons que le
boulet C (PL. XIV, fig. 3) se meuve dans la direc-
tion ce, et fasse une rotation sur [ui-même aans la
direction indiquée par la flèche. Plus le mouvement du
boulet sera rapide, plus l'air qui est devant lui sera
condensé, et plus celui qui est derrière sera dilaté.
Ainsi, comme la figure l'indique, l'air est plus dilaté
à m, et le plus condensé à n; mais alors le bou-
let qui rencontre de l'air de plus en plus con-
densé, arrive vers » en frappant ce dernier de chaque
point de sa surface dans la direction de la tangente de
sa rotation. Par ce mouvement de rotation, la surface

du boulet rencontre en une résistance au num,

BA

et en 2 une résistance au maximum : le boulet sera donc
détourné de sa première direction vers d. I] est évident
que la ligne du boulet peut être courbée en divers sens
à chacune de ses parties, mais chaque fois dans une
direction opposée à sa rotation. Cette déviation qui
rend la courbe balistique si compliquée, exerce en gé-
néral une grande influence sur sa détermination , même
lorsqu'on admet que la déviation de 15°, dont nous
avons parlé plus haut, n’est qu’une de ces rares excep-
tions qui ont lieu dans les bouches à feu les mieux con-
fectionnées. Mais un calcul exact de cette influence est
probablement hors des limites de la science, parce
qu'elle n’a aucun moyen pour déterminer la direction
«et la vitesse de la rotation des boulets. De plus, dans
l'accélération de la vitesse du boulet, le milieu qu'il
traverse éprouve une plus grande inégalité de conden-
sation, et produit par-la une plus grande déviation.
‘M. de Rhode, dans sa dissertation sur la déviation des
projectiles du plan vertical (Berlin, 1795, 4), soutient
‘que la rotation du boulet n’a aucune influence sur cette
déviation, et il cherche à prouver géométriquement
que la résistance de l'air n’y entre également pour rien.
Mais dans ce calcul il n’a pas tenu compte de l'inégalité
de densité que l’air peut acquérir, jusqu’à laisser un
espace vide derrière le boulet, et par conséquent sa
démonstration n’a aucune valeur.

22. Le mouvement de rotation du boulet peut être
conçu facilement; ses causes sont le contact du boulet
avec le tube du canon à un moment quelconque de son
passage au travers de ce tube; la position du centre de
gravité hors du centre de figure, due à la densité iné-
gale de sa masse, suite nécessaire du refroidissement
non simultané de toutes ses parties dans le moule; et
surtout l'inégalité d’impulsion communiquée par la
poudre éclatant derrière. ( Montalembert. Mémoires de
l'Académie , 1752, page 463.)

23. Le problème particulier de la balistique est de
frapper un objet par un projectile: or, en n'ayant point
égard aux obstacles que nous venons de mentionner, et
en admettant que le boulet se meuve effectivement dans
le plan vertical de l’axe du canon, d’après la loi d'inertie,
le boulet devrait continuer à se mouvoir en ligne droite
avec sa vitesse initiale, s’il n’était assujéti à la pesanteur,
dont la force, agissant constamment sur lui , le fait
dévier à chaque instant de sa première direction. Si le
boulet n’éprouvait aucune influence étrangère à ces
deux forces principales, celle de projection et celle de
gravité, il décrirait une courbe dont la nature est facile
à trouver; mais il se meut dans l'air, dont la résistance
s'accroît avec la vitesse du boulet, et devient une fonc-
tion de la vitesse; ce qui rend le problème plus com-
pliqué. Pour mieux faire ressortir toutes les circons-

tance: de cette question importante, nous allons d’abord

BA 499

l'envisager en faisant abstraction de la résistance de l'air;
puis nous examinerons les modifications que cette résis-
tance apporte, en comparant les résultats de la théorie à
ceux de l'expérience.

24. Des corps lancés verticalement. Lorsqu'un mo-
bile est lancé perpendiculairement de bas en haut dans
le vide avec une vitesse initiale quelconque, il s'élève à
la hauteur de laquelle il devrait tomber librement, en
vertu de sa seule pesanteur, pour acquérir cette vitesse
( Voyez AccéLéré). Si donc À exprime la hauteur de
la chute, t le temps pendant lequel elle s'effectue, et
y la vitesse finale; g étant l’espace que la gravité fait
parcourir aux corps pendant la première seconde, nous

avons les équations connues

pv = 2 V£h; v = 2gt,;
desquelles on tire
v2 v
h = — l = —
48? 38

Expressions dont la première donne la hauteur à laquelle
s'élevera, dans le vide, un:corps grave quelconque
lancé verticalement avec une vitesse initiale », et la
seconde, le temps qu'il mettra pour atteindre cette hau-
teur.

Ainsi, dans le cas où le projéctile aurait une vitesse
initiale de 670 mètres par seconde, il s'éleverait à une

hauteur
pa 448900 Se
h= = 22878 mètres
TR FX o0 9
en employant pour cet effet le temps
sic o@TP D pr 3
dif ODA

25. Ou obtient des résultats tout différens, si l’on
tient compte de la résistance de l'air par lequel le bou-
let est le plus fortement retardé au commencement êt à
Ja fin de son mouvement.

Si lon pose préalablement, avec Newton, la résis-
tance de l'air proportionnelle au carré de la vitesse,
qu'on nomme v cette vitesse, et a un coefficient que
l'expérience doit nous faire trouver, av? sera la résis-
tance de l’air. Soit ensuite la pesanteur du boulet — p;
av? + p séra l’obstacle à vaincre, et la force résistante
étant en proportion inverse du poids du boulet, on
aura

Las vd
STE

pour la force de résistance.

Si l’on compare la vitesse # avec celle qu’un corps
tombant par une chute libre acquiert en une seconde,
et que l’on nomme æ la hauteur à laquelle doit s'élever

200 BA

un boulet on à, tant que la résistance agit contre Île
mouvement ,

"+p

— vdv = 2gf.dx = X 25:dx.

Delà,
MEL DT
pm+i.
a

Donc

aie s'as P
Rss PA e+2)+c.

Si l’on fait x — 0, et v — +", c’est-à-dire égal à la vi-

tesse initiale , on aura

— la P
So v +2),

L'intégrale complète est donc

2 av bp
isa TEA

et pour v—0o, moment où le boulet a atteint sa plus

Z = log.nat.
grande hauteur et va retomber, on a

Le
hga

Ici il s’agit de déterminer le coefficient 4 par des ex-

Hp

x = ;—. log. nat. à ———

périences sur la résistance de l'air, si on veut pouvoir
le comparer en poids avec p.

Hutton trouve, par ses expériences, que la résistance
contre un boulet du diamètre de deux pouces, dont le
poids est —1 3 livre (avoir du poids) et la vitesse de
2000 pieds anglais est égale à 109 livres. Mais afin d’ob-
tenir une valeur moyenne pour a, comme la vitesse di-
minue aussitôt par la résistance, il pose a — 59 livres,
pour une vitesse moyenne’de 1500 pieds anglais.

De la proportion

1500? : #2 ::
on obtient
a = 0,000026 5;
ainsi, pour le boulet donné, dont le poids p est—13liv.,
et #'— 2000 pieds angl., x deviendra — 2930 pieds.
26. Les différens boulets de canon sont mesurés d'a-
près leur diamètre. Si donc l’on prend le diamètre du
boulet en question, 2 pouces, comme unité, et qu’on
considère que les surfaces présentant de la résistance sont
entre elles comme les carrés des diamètres, on aura pour
un autre boulet d’un diamètre = D

as D:
4 %
et, en substituant la valeur qu’on vient de trouver
pour a,

résistance —

D?

résistance = ———,
352542

Soit

2542
on aura Ja force qui retarde
DD " ar p

nr re

,
rs ia

et, de la même manitre,
Dr ?
— vdv = 2gdx X — uni
D'où
LE vdv
LL D 2 +p
est comme plus haut

LE ne: nat. BD°v. EP;
p

T5

v' désignant la vitesse initiale. D'après cette formule,

dont l'intégrale “ie

(e]

un boulet de 24 livres, d'un diamètre de 5 à 6 pouces,
et d’une vitesse initiale de 2000 pieds, atteint une hau-
teur de 6463 pieds.

27. Hutton trouva toutefois, par une grandesérie d'es-
sais, que le calcul ne concordait pas avec l’expérience
quand on pose la résistance de l'air eomme propor-
tionnelle au carré de la vitesse. Une concordance plus
exacte se présenta, au contraire, quand, outre celte se-
conde puissance de la vitesse, il introduisit encore la
première. D’après cela, si les indications sont comme
plus haut, et si on introduit à la place du coefficient a
les deux nouveaux »3 et n, on aura

eavr—nv)D'Æp
P. P

pour la force retardatrice.

TVR — nv

DHr-/

On obtient ensuite, de plus, comme ci-dessus

je 19e A) X
—vdy = gdz (2 lun )E ER)

op
et de là
es P. vdv
Le 2g X ner — nv)? + p
—p vds
7 og} RENTE
| mi MER #4 D?
dont l'intégrale complète est
21 )
SR Een V3 2 A eu EEE
P 1 : | m + mb?
=? Jlog.nat. —- —
de 4gmD? 6 _P. ÿ
mD'

ce qui donne la plus grande hauteur que le boulet peut
atteindre. Hutton trouva, par ses expérieuces mention-
nées plus haut,

m = 0,0000308 et 2 — 0,007

28. Si l'on considère maintenant que ces valeurs ont

été trouvées pour un boulet de deux pouces de diamètre,

2
et que Lu est le rapprrt du diamètre en pouces, on

4

BA
aura
Zn? — nv)D? = (0,000007565" — 0,000175v)D?:.

Tel est le coefficient de la résistance pour chaque bou-
let du diamètre — D , en pouces anglais, ce qui peut
facilement être réduit en toute autre mesure.

Si l’on prend ensuite de pius v — 2000 pieds, ce qui
est presque la plus grande vitesse initiale, on trouve
pour un boulet de 2 pouces de diamètre la plus grande
hauteur — 2653 pieds, et pour un boulet de 24 livres,
dont le diamètre est 5 ou 6 pouces, cette plus grande
hauteur — 5382 pieds. Le temps que le premier boulet
de 1 5 livre emploie pour atteindre cette hauteur, est de

"

11"; pour le second, il faut 15"

rs:
29. Corps lancés horizontalement. Ce cas ne peut

proprement point avoir lieu, si l’on considère que le
corps lancé, aussitôt qu’il vole librement, est toujours
soumis à l’action de la pesanteur; par conséquent il
doit descendre et s'éloigner de la direction horizon-
tale. Cependant il résulte en même temps de cette
observation que, pour le coup de niveau , ou du moins
pour le coup ainsi nommé, il ne faut pas comprendre
une portée dans laquelle le boulet parcourt un trajet
horizontal; car cela ne pourrait avoir lieu que pour des
corps non pesans. Bien plus, le boulet va toujours en
descendant, tel court que soii l’espace qu'il traverse ho-
rizontalement. Mais le coup de niveau , dans lequel le
rayon lumineux, paraissant courir parallèlement à l'axe
du canon , frappe au centre du but, où doit aussi porter
le boulet (coup de haute volée), est le coup dans lequel
l'espace , dont le boulet descend par son mouvement,
est corrigé par le canon même.

Pour rendre ceci visible, soit A le canon (Pr. XIV,
fig. 10}, ab sa surface supérieure (où se trouve la mire,
le bouton), c le centre du but à atteindre : en visant,
le rayon lumineux abc prolongé devra frapper dans ce
centre du but; mais l’axe prolongé du canon porte
en f, point situé au-dessus de ce centre. Si on reculait
maintenant le but à la distance r, p, n, e, il faudrait que
le boulet descendit de l’espace sr, gp, mn, etc., pour
toucher le but. Comme les intervalles sont entre eux
comme les distances, la carrière du boulet ne coïncide
[pas parfaitement avec les fixations; mais la déviation
est si faible, qu'on peut presque entièrement négliger
la différence.

L'on sait également , depuis Galilée, que la voie que
uace un boulet tiré en direction horizontale est une pa-
rabole. Il suffit d’une simple démonstration pour prou-
ver que cela résulte nécessairement des lois de la
pesanteur.

Soit cc (Pr. XIV , fig. 2) l'axe des abscisses, cy celui
des ordonnées. Le premier sera partagé dans les in-

tervalles 4, qui appartiennent au mouvement du

BA 201
boulet, en portions de temps égales, 1, 12, 23, Deer
le second en de telles parts semblables, qu’elles appar-
tiennent à l'intervalle de la chute dans un temps égal
aux portions de temps admises. Le boulet sera donc solli-
cité de parcourir dans la première portion de temps l’es-
pace c1, dans la seconde l’espace 12... Mais comme le
boulet descend en même temps perpendiculairement l’es-
pace cI dans la première portion de temps; que dans
la seconde il fournit trois fois l’espace cT; dans la troi-
sième cinq fois cl, il faut qu'il se trouve, après les
temps, 1,2,3,4...., dans les points d,e, f,g..….,
ainsi ayant

ci cl = cl 0, clV— 10,

on trouve aisément

pour l'équation de sa route , ce qui est en même temps
l'équation de la parabole apollonienne, conséqueimment
sa voie, c, d,e, f,g, est une parabole ordinaire.

Ceci donne immédiatement la profondeur jusqu’à la-
quelle le boulet de canon doit descendre quand le temps
de son vol est connu, ainsi que la direction du canon
requise.

Soit donc OC (Pr. XIV, Jg. 7) la direction de l'axe
du canon à partir de son orifice O jusqu'à e, le point
central du but; O2 la partie de la parabole que parcourt
ie boulet pour arriver jusqu’au plan acb traversant c;
par conséquent, cb la hauteur perpendiculaire, dont
descend le boulet durant son mouvement horizontal
oc; aoc = boc sera l'angle d’élévation requis du canon.
Si le temps qu’exige le boulet pour atteindre de O en
c—ten secondes, on aura

ge = cb ;
le temps de la chute perpendiculaire, quand g désigne
l'intervalle de la chute pour une seconde.

Soit, par exemple , une seconde, le temps employé
par un boulet pour atteindre le but qui se trouve à un
éloignement de 200 pieds, on aura

5 ac = 15 pieds,
et pour cela l’angle d’élévation du canon = 4° 18/.
Si au contraire le boulet vole dans la moitié du temps
jusqu’en e, on aura !
Je=().15pieds = 3,75 pieds;
et l'angle d’élévation nécessaire pour cet effet — 2°9":
d’où il découle, relativement à ce qui a été dit plus haut
pour le coup de niveau, qu'avec des charges demeu-
rant égales le boulet ne pent pas toucher le centre du
but si ce but est rapproché de la moitié de sa distance
primitive; biez lus, il faut que chaque boulet sortant
d’un canon pour lequel on a déjà donné, pour la dis-
tance du coup de niveau, l'angle d'élévation requis, at-

tcigne le but au-dessous du centre, et au-dessus au cas

26

202 BA

contraire, quand la distance est augmentée, comme le
rend sensible la différence des espaces de et fe; ce qu’on
pourra compenser en renforçant la charge dans le pre-
mier cas, et en Ja diminuant dans le second.

30. On a coutume de rendre cette loi sensible par une
machine particulière appelée machine parabolique (P1.
XIV, fig. 8). La pianche AC5D est découpée d’après
une ligne courbe à volonté ABD ; on y introduit une ri-
gole, et celle-ci, rendue aussi unie que possible, ou faite
avec une substance causant peu de frottement, comme
l'ivoire Si la cowbure est dans le sens de la ligne ho-
rizontale , et si on laisse rouler une lourde balle dans la
rigole ABD , cette balle atteindra en D une vitesse qui
appartient à la hauteur de chute AE. Applique-t-on au
côté Dr une autre planche rectangulaire, Dour, sur la-
quelle est dessinée la demi-parabole DM du sommet
Det du paramètre = 4AE, la balle tombera dans cette
parabole.

Comme il est facile de suivre de l'œil la voie dela
balle, et d’apercevoir quand elle se rencontre avec la
ligne tracée, il est moins conforme au but d'employer
des cercles pour laisser tomber la balle au travers. Si
l’on prend sur le côté horizontal de la planche DN, Nn,
nv, également grands, les ligues perpendiculaires NM,
nm, vu, seront entre elles comme 1: 4:93; et, si lou
prend Dr— AE, on a, d'après les propriétés de la pa-
rabole,

ru = 2ÂE;
delàona
DN=— Nn=—nv—=;%AE, Dp—;AE.
ce qui rend une telle machine facile à construire.

Si, pour l'expérience l’on se sert d’une balle de
plomb, la résistance de l’air pourra être négligée.

31. Les déterminations que nous venons de douner
sont considérablement modifiées par la résistance de
l'air. Si nous supposons d’abord que la recherche ne
porte que sur le mouvement horizontal du boulet et sur
l'angle d’élévation dans lequel le canon doit ètre dirigé
pour atteindre un objet qui se trouve dans Fhorizon, on
peut en conclure aisément que cette résistance, relative-
ment au mouvement perpendiculaire du boulet, et à sa
chute libre pendant son mouvement, ne doit point être
importante, et peut étre négligée comme si elle était
nulle.

D'après cela , les intervalles parcourus Éne avec
l’axe des ordonnées Cy (PL. XIV , fig. 2), resteront les
mêmes; mais l'influence sur les intervalles parcourus pa-
rallèles avec l’axe des abscisses cx est très-grande, car,
loin de rester égaux entre eux, ils diminueront de plus
en plus, à cause de la résistance incessante de l’air;
d’où il suit qu’ici la voie du boulet ne sera point une
parabole ordinaire. Maïs , comme cette diminution des

BA

espaces parallèles avec les abscisses parcourus daus dés
temps égaux est une fonction de la résistance de l'air,
il s’agit de connaître cette diminution exactement ; et on
n'y esl point encore parvenu, comme on a pu le voir
par tout ce que nous venons d’exposer.

Plusieurs géomètres, et parmi eux Borda, particu-
lièrement, ont donné des formules d’après lesquelles
on peut évaluer la diminution de la vitesse initiale,
d’après une distance donnée du chemin parcouru.

De tous ces travaux, les plus estimables sont ceux de
Hutton, qui, des résultats des expériences de Wool-
wich, a déduit une règle convenable pour la plupart
des cas.

Soit généralement le diamètre du boulet — D, son
poids — p, la vitesse initiale — v'; celle existant en-
core après l’espace parcouru = v, on aura, d’après la
formule donnée pour le mouvement dans l'air,

Pl P — vdv
Li 2gD? TRES nv
Me RECU _
7 2gD: X mv—n = DE X

ñ
ÿ——,
nm

dont l'intégrale est

me X log.nat.v — — + C;

la constante C étant déterminée en faisant

LT —0,e6t/ —#
on a

Substituant les valeurs numériques trouvées plus haut
pour netn, on aura

p p'— 9231

D— D log.nat. MALE PS

Pour réduire le coefficient

es

2gD?m
à la quantité unique D, on a : 4, 3 onces, le poids d’une
gueuse de fonte d’un pouce cube anglais, et, d’après
cela,

P = 0,5236D? x 4,3 = 2,25148D*,

ou , plus exactement, — ?D°; par conséquent, en liv.,
_— 3
P=%% D".
Ainsi, substituant de plus la valeur de g en mesures
anglaises, on aura

pre — — 581,25D ;

BA

et, par suite

v'— 9231
TL —:001,20 D.log.nat.- RE

ou

p—931
= 1338 D. log. vul. —— =.
T 19 op. vu FACE

Cette formule sert uniquement pour des vitesses au-
dessus de 200 à 300 pieds parce qu'alors les va-
leurs »2 et x sont connues. Pour de plus petites vitesses,
lou peut prendre la résistance comme proportionnelle
au carré de Ja vitesse; mais il faudrait alors, dans la
formule pour la résistance = as? , que le coefficient &
fût découvert d’une manière plus certaine par des expé-
riences.

32. Il est clair qu'on peut trouver, à l’aide de cette
formule, l’espace parcouru par un boulet dont la vi-
tesse initiale est donnée — 4", et la vitesse finale — v.
Mais on peut demander encore à connaître une autre

quantité, savoir, le temps qu'un boulet mettra pour
parcourir un certain espace avec une vitesse initiale

connue.

Soit s cet espace, nous aurons, d’après ce qui pré-
cède,

p'— 9531
= 1338D.log.—"3
d’où
s A #9" — 931
1338.D By 23

Qu'un boulet de 24 livres, par exemple, d'un diamètre
de 5,446 pouces anglais ait parcouru un espace — 1000

pieds de Londres avec une vitesse initiale = 1780
pieds, alors
x S . __ 1000
T338.D 1338%0,446 — ©1947
'
Cette dernière quantité est le logarithme de es x
| =, LI

dont le nombre correspondant est 1,3635, nous avons
donc

D'où
v= 1361;

Ceci connu, on prend approximativement ia moyenne
ürithmétique entre v et la vitesse initiale comme vi-
tesse uniforme du-boulet; et on trouve, en divisant
l'espace donné = s par la vitesse moyenne trouvée,
le temps ten secondes presque exactement ; d’où l’on

peut déterminer la hauteur de la chute du corps lancé.

L'exemple suivant éclaircira cette règle,

BA 303

{in lance un boulet de 24 livres, avec 6 livres de
poudre, vers un but distant de rooo pieds, combien
de temps mettra-t-il à descendre ?

La quantité de poudre, dans ce cas, est =; par
conséquent, d’après le tableau ci-dessus, v'= 1131
pieds. De plus, 1131— 231 —goo; et, en faisant
usage de Ja formule ci-dessus, nous avons

231=891= vla vitesse finale.

u
v +v
En 1011;
2

1000 0 — .
122 est presque = 1;

c’est-à-dire la vitesse moyenne ;
par conséquent, 1 seconde est le temps du mouvement,
et, par suite, la hauteur de la chute est de 16 pieds de
Londres ou de 15 pieds de Paris.

33. Hutton rapporte eette règle à une formule géné-
rale,

Soient, en mesures anglaises,

La distance donnée en pieds.........
Le diamètre du boulet en pouces.....

s
D
Le poids du boulet enlivres......... b
Le poids de la poudre.,.,..:.%..... €
La vitesse initiale en pieds........,. v
La vitesse finale. 5h. ist. sera
Le temps du mouvement du boulet... #

nous aurons

v'— 1600 _
Ps + su,

N étant le nombre correspondant au logarithme de

v' — 931
9 — 9231?

et

ou, plus rigoureusement ,
ea LC CEE +) ,
231
de plus
_Gis
CEE

est la hauteur de laquelle tombe le boulet, et

ge = 16€ =

g® _16® _ 64
sun OST (PH)
la tangente de l'angle d’élévation du canon.
L'on voit qu'il ne sera pas difficile de calculer des
tables, d’après cette formule, pour l'usage pratique.

9% BA

34. Projectile lancé sous un angle avec l'horizon. Un
corps lancé sous un angle pris à volonté, avec l’horizon,
décrit toujours dans son élévation et dans sa chute, des
branches de parabole, égales entre elles, et sembla-
bles à celles que l’on a désignées plus haut, comme la
voie d’un corps lancé horizontalement.

Soit ce (PL. XIV, jig. 6) la direction première du
boulet; et cg l’espace qu’il parcourt dans une portion
de temps donnée, c1.

S'il n’était affaissé par la pesanteur , il se trouverait,
à la fin de chaque portion nouvelle de temps, dans les
points d’intersection, des lignes 11, 211. Toutefois,
comme la diagonale cg, qu'il parcourt dans la première
portion de temps, peut être décomposée en la ligne
horizontale c1, et la perpendiculaire cl, la première
restera sans être diminuée, mais la dernière sera rac-
courcie de g», vartie dont la gravité fait décliner le
boulet.

Dans la seconde portion de temps, ce boulet, sup-
posé sortant de 77, devrait, sans Ja pesanteur, venir
jusqu’à >; mais comme dans cette portion de temps il
décline de 3 X gm, il viendra en »; et si l’on prend les
intervalles de la chute = 1:3:5,etc., correspondant
de la même manière aux temps 1,2, 3... Il décrira, à
travers les espaces cm2, mn, op, pq et gd, dans lesquels
il est supposé tomber, les deux branches de la para-
bole cod.

Pour trouver l'étendue et la hauteur appartenant à
un semblable jet, on se sert de l'observation suivante,
qui, outre cela, fait mieux connaitre la disposition de
la voie. .

Soit lancé un corps avec une vitesse initiale = À dans
la direction AC (Pc. XIV, fig. 5), qui fait avec l’hori-
zou l’angle CAB —%, sa vitesse se décomposera en la
ligne horizontale AQ et la ligne verticale QN, dont la
première est = À cos.2; l’autre = # sin. La gravité
n’agit pas sur la première, et elle deviendra, après le
temps ?,

AQ — k cos «.t.

Mais, la seconde après le temps #, sera diminuée de gF,
et ainsi

QM=QN—NM = sin «.t— gr.

Pour le point B, où le corps lancé retrouve le plan
horizontal, on obtient

QM = 0; ;
ainsi,
ksina.t—gt,
et
__ ksin &
D TE

BA
donc, lorsque AQ devient AB on a

AB 2 sin u.cosix Asin 24
£ dé

Si l’on cherche le point où QM devient un maximum,
en posant

dQM = À sin &.dt — 2gtdt = 0,
il en résultera
he k sin «

EE LU

28

c’est-à dire la moitié de ce qu’il est pour le point B.
Ceci, substitué à £ dans la valeur de AQ, donne

k2 sin &.cos x k2 sin 24
AE = = — ===
28 4g

Par conséquent, AE — 1AB; et en le substituant dans
la valeur de QM, on obtient l'élévation qu’'atteint le jet.

k2 sin 2x

4g

k2 sin ?«

28 48

De ces équations pour AE et DE, il résulte

k coS x

AE: — DE,

c’est-à-dire que la courbe est une parabole qui a D pour

k cos

sorimet, et pour paramètre. Le temps {, dans

lequel est décrite la partie AM, est = AN _ AQ5e.

k k d
ainsi, AQ est proportionnel au temps. Mais le temps #,
; e ; AB sec. x
jusqu'à ce que le corps arrive en B, est — PT

= sue comme on l’a déjà trouvé plus haut. Des
valeurs trouvées pour AB (étendue du jet), et DE
(hauteur atteinte ), il résulte enfin qu’elles sont toutes
deux proportionnelles au carré de la vitesse initiale
= À. Mais à des valeurs égales pour 4, DE ou la hau-
teur est proportionnelle au carré du sinus de l'angle
d'inclinaison , et elle sera par conséquent la plus grande
si l'angle estle plus grand possible, c’est-à-dire pour
un angle de 90°, ou si le coup est tiré perpendiculaire-
ment. L’étendue AE est proportionnelle au sinus de
l'angle d'inclinaison double; elle disparait donc quand
on a sin? — 0, c’est-à-dire pour « = 0 et — go°.
A une projection perpendiculaire ou complétement
horizontale, le corps lancé n’atteindra aucune distance
étendue. La première proposition est claire en elle-
même ; la seconde, qui semble renfermer une contra-
diction avec l'expérience, est explicable par-là, qu'il ne
peut être question d'aucun mouvement sous le plan hori-
zontal. Si l’on suppose, par exemple, la paroi inférieure

du canon exactemert dans le plan horizontal ; le boulet,

BA

en s'échuppant de l'orifice, touchera ce plan; etcomme,
d’après les lois de la chute, ïl doit tout aussitôt s’affaisser!,
il traversera ce plan, et son mouvement horizontal de-
vieudra nécessairement — 0. Mais il y aura lieu à la
plus grande distance, si sin2> devient un maximum,
c'est-à dire; pour + = 45°; et comme des valeurs égales
au-dessus et au-dessous de cette quantité répondent à
une valeur égale de sin 2x, la distance étendue du
jet diminuera de quantités égales pour des varia-
tions égales de l'élévation au - dessus ou au - dessous
de 45°.

Les formules sont toutes établies pour le cas où l’objet
à atteindre est dans un plan horizontal avec le canon.
Mais il en résulte que, si l’objet se trouvait à un angle
7 au-dessus ou au-dessous de ce plan, l'angle d’éléva-
tion appartenant au jet le plas étendu serait dans le pre-

= 45 + 5 y, et dans le second = 45° — © y.

mier cas — 45

Eclaircissons ceci par un exemple. Si nous prenous
la vitesse initiale À — 2000 pieds, l'angle d’élévation
a — 45°, nous aurous la hauteur atteinte

4000000 sin?

4

et, pour g pris = 16 pieds de Londres, DE = 312507

DE

pieds , on aura de même

4000000
ER

AB = 125000 pieds.

Bien que ces formules ne comportent point d’appli-
cation pratique , elles répondent néanmoins encore aux
deux questions suivantes qui y ont rapport . d’abord,
dans quel angle faut-il qu’un canon soit incliné pour,
avec une vitesse initiaie donnée, atteindre un objet à
une distance donnée? Et secondement quelle doit être
la vitesse initiale pour atteindre un obiet placé à une
distance donnée, et avec un angle d’élévation donné du
canon ?

L'on répond facilement aux deux questions à l’aide
de la formule

re A3 sin 24
26
donnée plus haut , d’où l’on tire
sin9æ — es et

+ / AB .2g

GE sin 2x
Si l’on devait atteindre un objet à une distance de
10,000 pieds, et avec une vitesse initiale de 2000
pieds, il faudrait donc un angle d’élévation de °°

F

9" 2" ou de 87° 50° 55”

55", Si au contraire l'objet à attein-

dre étant à cette même distance, l'angle d’élévation

BA 205
était de 45°, la vitesse initiale ne serait que 5477
pieds en une seconde,

35. Telle simple que soit la construction de la courbe
que décrit un boulet lancé dans l’espace vide, aussi
impossible est-il de la trouver tout-à-fait exactement,
eu égard à la résistance que présente l’air, attendu que
l'équation différentielle exigée ici n’est pas intégrale,
d’après les moyens fournis jusqu’à présent par l'analyse.
Il y a long-temps déjà que J. Bernouilli, Hermann et
Taylor cherchèrent une solution générale de ce pro-
blème. Au nombre des recherches les plus savantes il
faut ranger les observations de L. Euler sur l'ouvrage de
Robins : Nouveaux principes d'artillerie, dans lesquelles
il calcule la résistance d’après une loi propre adoptée.
Graevenitz a, d'après cela, dressé des Tables pour
l'usage pratique. Newton, qui trouva déjà que l’équa-
tion différentielle pour ces propositions n’était pas inté-
grable, chercha à la résoudre par approximation, et
trouva par ce moyen que la courbe ressemble plus à une
hyperbole qu'a une parabole, résultat auquel, d’après
lui, sont revenus plusieurs autres géomètres. Lambert
aussi chercha une solution de ce problème, et essaya
d’en faire une application pratique à l'artillerie. I] faut
compter parmi les recherches les plus importantes
a ce sujet celles de Borda, qui tenta en même temps
de découvrir, par des expériences particulières, la loi
de la résistance de l'air. Par des calculs étendus, il trouva
pour un boulet de 24 livres, d’un diamètre de 5,444
pouces de Paris, et un angle d’élévation du canon de
45°, les quantités suivantes :

a ——— , a ————_—_—_ ——_—__—

Vitesse DisTANCEs Disraxces Havreurs
initiale. dans le vide, dans l'air, atteintes.
Pieds français Toises. Toises. Toises.
100 55 13
‘ 200 221 53
400 883 170
6oo 1987 306
800 3532 442
1000 5519 57o
1200 7947 635
1500 12417 839
1800 17981 975
2100 24338 1095
2400 31758 1203
2700 40232 1292
3000 49669 1407
3500 67605 1525

Dans une expérience avec un boulet de 24 livres, la
charge étant de 16 livres, et l'angle d’élévation de
45°, le boulet parcourut une distance de 2250 toises,
qui appartient, d'après la table, à une vitesse initiale
de 2038 pieds.

206 BA

Pour les angles d’élévation, qui appartiennent au jet

lezplus étendu, le calcul donne les valeurs suivantes :

ANGLES
d'élévation.

VITESSE
initiale.
Pieds francais,

(LED 2 I 2 SRE EE 2 D en | ce A Ce RE

300 ka? 10

Goo 36 30

1000 33 o

1200 31 40

; 1500 30 10
1800 28 5o

2000 28 10

Quelques expériences faites à Brest par Borda avec un
boulet de 6 livres et une charge de 3 livres de poudre,
donnèrent, à un angle d’élévation de 45°, une distance
de 1590 toises, et pour 30°, 1700 toises.

La première distance, d’après la table, appartient à
une vitesse initiale de 2050 pieds; et si, pour cette
vitesse initiale, on cherche la distance, pour un angle
d’élévation de 30°, on obtient 1715 toises, ce qui coïn-
cide avec l'expérience, au-dessus de ce que l’on pouvait
espérer, et prouve la certitude des formules de Borda.

36. Des recherches assez savantes, mais pas assez ap-
plicables à la pratique, et insuffisantes d’ailleurs sur le
trajet du boulet au milieu de la résistance, ont été
teutées par Bezout. Ces recherches, ainsi que les travaux
faits auparavant par Euler et par Lambert, furent mises
à profit par Kraft; il prit pour base le principe de New-
ton, d’une résistance de l'air proportionnelle au carré de
la vitesse, développa les formules trouvées par Bezout,
mais non achevées par lui, et calcula des tables qui,
malgré cela, sont toujours trop restreintes, pour l'usage
pratique, ainsi qu'il l’avoue lui-même.

Plus tard, la question de balistique, proposée pour
sujet du prix par l’Académie des sciences de Berlin,
engagea Legendre à se livrer à de nouvelles recherches
sur la courbe que doit décrire un corps lancé sous un
angle d’inclinaison avec l'horizon, pris à volonté.

Pour une résistance proportionnelle au carré de la
vitesse dans un milieu d’égale densité, il trouva que
la courbe s’approche beaucoup d’une hyperbole qui a
deux asymptotes : l’une dans un plus grand angle avec
l'horizon, comme est l'angle d'inclinaison du canon;
l'autre perpendiculaire. Le calcul étendu , par lequel on
trouve les nombres isolés, rend malheureusement cette
solution impraticable pour l'usage ordinaire, et Legendre
l'avoue lui-même. On peut en dire autant de l’expé-
rience qui teud à faire trouver les deux bras de cette
courbe hyperbolique, lun s’élevant, l’autre s’abaissant,
chacun isolément, par approximation, et il reste tou-
jours à demander jusqu’à quel point les résultats de ces

BA

recherches théoriques concorderaient avec l'expérience,
tant de conditions diverses étant mises en avant.

37. T'empelhof s'occupa simultanément de ces recher-
ches, et le plus amplement pour ce qui concerne la
balistique; il essaya aussi de déterminer la courbe
que décrivent des boulets et des bombes en tenant
compte de la résistance de l'air, Kraft reprit de nou-

veau ce problème, principalement dans le butde trouver
l'angle d’élévation du jet le plus étendu ; il pose la résis
tance de l'air proportionnelle au carré de la vitesse, et
n'introduit qu'un coefficient pour les grandeurs des
boulets, parce que, d’après Robins, la résistance avec
de petits boulets a été trouvée moindre qu'avec les plus
grands. Le calcul donne : que dans l’espace vide un
angle d’élévation = 45° appartient à la plus grande
étendue, mais que dans le milieu résistant, la grandeur
de l’angle est en rapport inverse de la vitesse initiale,
puisque , pour une vitesse infinie, il faudrait que
cet angle devint = o. Pour la coustruction des
tables de l'angle d’élévation du jet le plus étendu, il
faut surtout connaître la loi de la résistance (qui est
admise comme proportionnelle au carré de la vitesse,
d’après Newton, Robins et Lambert); la vitesse ini-
tiale, le poids et le calibre du boulet ou de la bombe :
Le calcul donne pour un boulet de 24 livres avec
une vitesse initiale de 1884 pieds, dans l’espace vide,
une portée de 113583 pieds, et dans l'air, seulement
une portée de 14603 pieds; ce dernier nombre est
encore trop grand, d’après ce que nous savons par l'expé-
rience.

38. Moreau à publié ( Journal de l'Ecole poly-
technique, cahier IT), un beau travail sur ce su
jet. D'abord, par un calcul élégant, il établit la
carrière du boulet dans le vide, montre qu’elle est
une parabole, et qu’un angle d’élévation de 45° doit
donner la plus grande distance du jet; chaque quantité,
égale au-dessus ou au-dessous de ce nombre, donne
des diminutions égales de chaque étendue du jet. Toute-
fois, il ne trouve pas non plus l’équation générale inté-
grable pour le trajet du boulet, en tenant compte de la
résistance de l'air, et il la détermine par approximation
dans ses parties isolées. Il remarque, en outre, que
quand même on voudrait, d’après cette méthode, dres-
ser des tables pour l'emploi pratique, la quantité prin-
cipale nécessaire pour cela, ainsi que la vitesse initiale,
éprouverait trop de modifications par la qualité inégale
de la poudre, et beaucoup d’autres influences, pour
pouvoir arriver à une conclusion certaine et rigoureuse.

Pour donner un exemple de l'emploi de ses formules,
dans lesquelles il pose pour base l'hypothèse d’une ré-
sistance proportionnelle au carré de la vitesse, il trouve
pour un boulet de 24 livres à uu angle d’élévation de
45°, la hauteur du jet—1668 ", 86; sa distance —3:08 w;

BA

ja durée de l'élévation = 14" 94; celle de l’abaissement
= 21” 03. Dans le vide, au contraire, on aura pour la
hauteur du jet 5941", 4; la distance 23765 "6, et la
durée du mouvement 97" 7.

39. Au milieu de toutes ces difficultés iasurmontables
pour obtenir une solution complète du problème de la
balistique, les meilleurs résultats, les plus applicables,
se tirent des méthodes d’approximation de Hutton.

® Celui-ci aussi admet que le trajet du boulet est com-
posé de deux branches hyperboliques différentes, AV,
VC(Pz. XIV, fig. 9), avec des asymptotes ED, FG,
dont l’une a une plus grande inclinaison vers l'horizon
que le canon, et dont l’autre est perpendiculaire. D'a-
près cela, l'angle d’élévation appartenant à la plus
grande distance; ne pourra pas être — 45°;
dernier appartient à la plus petite vitesse et au plus
grand boulet, et il décroît insensiblement, à mesure

mais ce

que la vitesse augmente et que le boulet diminue, tan-
dis que la résistance de l’air croît proportionnellement
à cette dernière quantité. Il en résulte qu'une fixation
exacte du jet le plus étendu ne rentre pas dans les limites
de Panalyse. En attendant, on peut mettre à profit les
découvertes suivantes, au moins par approximalion,
faites par Newton, Robins, Euler, Robison.

40. D'abord, par les résultats des expériences expo:
sées plus haut sur la résistance que rencontre un boulet
d’une grosseur donnée , avec une vitesse donnée à travers
atmosphère, on peut calculer par quelle vitesse finale
—v; la résistance atteint son maximum, et quand
le mouvement passera d’une vitesse accélérée à une
vitesse uniforme. Appelons P Je poids du boulet de fer
en livres, D son diamètre en pouces, V la vitesse fi-
nale, H la hauteur dont le boulet doit être tombé dans
l’espace vide, pour atteindre cette vitesse; enfin T le
temps de la chute libre à laquelle cette hauteur appar-
tient; la table suivante donne un aperçu des valeurs
qui se correspondent les unes aux autres.

E D v H TL

1 1,923 247 948 772
2 2,423 279 1193 8,06
3 2,773 297 1371 9,28
4 3,053 311 1503 9,72
6 3,494 333 1724 10,41
9 4,000 356 1070 11,12
12 4.403 354 2174 11,09
18 5,040 400 2488 12,50
24 5,546 419 2729 13,09
32 6,106 440 3010 19,72
36 6,550 449 3134 14.03
42 6,684 461 3304 14,37
48 6,958 470 3444 14,07

Les quantités P, D, Het T se donnent d'elles-mèmes

BA 20?

dans cette table, Quant à la quantité V, Hutton latrouve
de la manière suivante, Avec un boulet d’un diamètre de
1,965 pouces anglais, le coefficient de la résistance dans la
chute où la vitesse atteint son maximum, a été trouvé
— 0,000016865. Si l’on pose maintenant la résistance
comme proportionnelle au carré de la vitesse, on a
0000016865 V? — P. Mais le poids de ce boulet était
1,05
0,000016865
d’où l'on trouve V — 249.52. Le poids des boulets

— 1,05 livres, par conséquent V? —
2 ?

croissant comme le cube de leur diamètre, et la résis-
tance comme le carré, l’on obtient pour un boulet d’un
diamètre quelconque

Pour trouver, au moyen de cette table, l'angle
d’élévation appartenant au plus grand jet, et l’éten-
due du jet elle-même, Hutton nous donne une
autre table, où w : » désigne le quotient qu’on
obtient en divisant la vitesse initiale par la vitesse
finale, et 2 le facteur qui y appartient, par lequel la
plus grande hauteur doit être multipliée pour obtenir

l'étendue du jet,

ANGLE D'ÉLÉVATION. m

0,6910 44,0 0,4110
0,944 43 15 0,0148
1,1980 42 30 0,9170
1,4515 41 45 1,0210
1,700 41 0 1,2244
1,9585 4o 15 1,4278
2,2120 39 30 1,021
2,4655 38 45 1,8346
2,7190 58 0 2,0379
2,972 57 LMIO 22419
3,2260 36 30 2,4447
3,4705 35 45 2,648
3,7330 39 o 2,8915
3,980 34 15 3,0549
4,2400 33490; 3,25593
44935 32 |45 3,4616
4,7470 92 0 3,6650
5,0000 PME 3,8684

A l'aide de ces tables on peut facilement, et par
une simple interpollation, obtenir les quantités inter-
médiaires. Veut-on savoir, par exemple, à quel augle
d’élévation un boulet de 24 livres, avec 1640 pieds
de vitesse initiale, atteint la plus grande distance?
La première table donne la vitesse finale d’un boulet
de 24 livres = 419 pieds et la hauteur de la chute
libre qui appartient à cette vitesse finale — 2729
pieds. Les deux vitesses divisées l’une par l'autre,
daunent y" :

V=

3,92 comme argument, lequel on

208 BA

cherche dans la seconde table ; le nombre semblable
le plus proche dans cette table indique l'angle d'é-
lévation = 34° 15’. Si on le prend, sans interpollation,
à cause du peu de différence, le facteur 3,0549 = m
lui appartiendra; d’où 2729 X 3,0549 — 8336 pieds,
est la plus grande distance du jet.

41. Il n’est pas sans intérêt de comparer à ceci les
résultats obtenus, d’après Bezout, dans des expériences
faites à La Fère en 1740 et 1741. Elles furent exécutées
avec une pièce de 24, le boulet avait 5,1 pouces de
diamètre, et elle était chargée avec 8,4 livres de poudre.

On obtint les résultats suivans :

a ————_—_—_—_——

AxGues | Disrances | Temps | Anczes | Disrances | Temrs
d'élév. [en pieds fr.|en secondes] d'éev. |en pieds fr.|en secondes
52 5520 11706 | 32,80
10 7392 13098 | 34,00
15 9600 12348 | 34,00
20 10356 11556 | 36,00
25 10830 9986 | 43,50
30 10944 7410 | 46,00
35 11286 5394 | 48,75

On voit immediatement que les distances du jet obte-
nues ici sont bien différentes de celles que les calculs
pourraient donner; mais on doit remarquer que les élé-
mens de la dernière table, que Hutton emprunte à Ro-
bison , sont pris d'expériences faites avec de plus petits
boulets, et qu’il existe de plus une foule de circonstan-
ces qui peuvent aisément produire des aberrations im-
portantes.

Les distances trouvées par ces dernières expériences
paraissent sans doute très-grandes , cependant les quan-
tités obtenues ainsi par le calcul sont-elles encore vrai-
semblablement trop petites de beaucoup. Les expé-
riences faites par Bezout avec les quantités que Borda
avait calculées d’après ses formules, présentent plus de
concordance.

Voici les résultats :

ELU

ViTessEes ANGLES D'ÉLÉV. Disrances Disraxces

initiales, du jet du jet. du jet

le plus étendu. sous l’éley. de 45°,

—————_——, ————— | ee
600 D LD: 6210 Gr20
700 36 20 7350 7155
300 939 20 8430 8190
900 4 35 9456 9108
1000 332 55 10434 9954
1100 3310 920 11304 10755

Les plus grandes distances furent obtenues dans les
expériences faites à Strasbourg, en 1740, d’après D’Arcv,
avec une pièce de 24, sous un angle d’élévation de 45°,
et l'emploi qu’on y fit de boulets polis et de poudre

BA

passée au tamis, ne fut certes pas sans influence : de plus,
on avait fixé les canons si solidement qu’ils ne pou-
vaient pas reculer. Mais ce qui frappe le plus, c’est que
dans les deux séries d'expériences, les plus petites et les
plus grandes quantités de poudre donnèrent les plus
grandes portées pour le coup tiré. On obtint les résul-
tats suivans :

———————————
]

LE 31 AOoUT. LE 11 sEPTEMPRRE,
EE
Charges. Distances. Charges. Distances.
a
livres. pieds.|| livres.
8 13068 24
9 14100 18
10 14100 16
11 12462 15
12 13596 14
13 14610 13
14 13800 12
12 14520 2
16 14700 10
18 13380 9
24 13200 8

42. D’après la Afartillière, pour tous les calibres, un
angle d’élévation de 35° et une charge de + du poids du
boulet donnent la plus grande distance, qui est, pour
une pièce de 24, 14088 pieds français; mais la vitesse
initiale n'y est que de 642 pieds, quantité qui est évi-
demment donnée trop petite par le calcul.

Les portées des plus petits fusils, quoiqu’avec des
balles de plomb, sont relativement plus faibles, parce
que la vitesse initiale est plus petite, et que la résistance
del’air est plus grande. Les expériences exactes d’Antoni,
donnèrent, en moyenne de deux séries d'expériences
corrélatives, les valeurs suivantes :

1°. Avec une carabine de ? pouces de calibre, les
balles étant de ? d’once;

© ——— —_—"——

VITESSE ANGLES PORTÉES PorTÉES
initiale. d’élévation. des coups. dans le vide,
> —————

19, 0 1590 35410

1160 DE O 1662 53115

45, o 1584 7o821

>. Avec un fusil d'infanterie d’un pouce de calibre,
et avec des balles de -; d’once.

ViTEssE ANGLES PorTÉES Portes

initiale. d'élévation. des coups. dans le vide.
———————— | ——
ms 2 1689 13059
15, 00 2310 >-018
1030 ? 2r/ HE
24, 20 2504 41577
45; Mc 2090 55636

BA

43: De Morla a publié beaucoup d'observations sur la
portée de la grosse artillerie : de ces observations les
plus importautes sont, sans contredit, celles résultant de
nombreuses expériences faites en 1784 à Barcelonne.
Elles donnent ponr moyenne :

a ———_—_—_—_—__—_]_——— aa
|

CANON DE 24. Caxow De 16.
ef ——— —
ANGLES
d'élévation. | Charges. Portées. Charges. Portéees.
livres. pieds. livres __ pite
12950 10 9795 10, 3 5592
10 9 7296 6 7972
9 10 5686 10, 3 75372
9 9 7506 6 6870
6 12 6120 8 5646
5 9 5286 6 5202
3 12 3942 5 3912
5 ( 3870 6 3828
o | 12 348 8 315

44. 1l est rare de chercher la distance du jet par l'arc
qu'il décrit avec la direction première du boulet, on le
fait généralement pour les bombes, avec lesquelles il
est plus facile d’atteindre une plus grande distance.

Hutton employa aussi, pour ces dernières, le sys-
tème de calcul que nous avons exposé. Ainsi D, set
H conservant leur signification; appelons de plus le
diamètre du mortier D'; le poids de la bombe vide p;
le poids de la bombe remplie p'; le poids d’un boulet
de canon d’une égale grosseur p”; les valeurs suivantes
seront corrélatives.

D D‘ P P' P'" 0 H
ne —— a
4,53 4,6 8,3 9,0 12,75 318 1580
5,72 5,8 16,7 18,0 25,50 356 1980
7,90 8,0 43,8 47,9 67,00 420 2756
9:34 10,0 85,5 91,9 | 130,00 468 3422
12,80 13,0 187,8 201,0 | 286,00 534 4430

La manière dont on trouve les quantités d’après cette
table ne présente aucune difficulté. Les valeurs de V
sont données comme il suit : le rapport d’une bombe
pleine avec un boulet d’une grosseur égale est 1 :
d’après cela, la formule du numéro 40

V=i:8VD;
donne pour la bombe,

L
142

L'emploi de cette table est aussi simple. Qu'on lance,
par exemple, une bombe de 13 pouces avec une vitesse
initiale de 2000 pieds (la plus grande qu’on puisse at-
teindre d’après Hutton), on aura

; v
= 534; ct ——=——
v

BA 209

ce qui dans la table {{0) répond à un angle d'élévation
I (4 F 6

nr0o

de 35° 0°. Le nombre voisin m — 2,8515 multiplié par
le nombre qu'on trouve dans la première table, sous
H— 4430, donne 12632 pieds pour la plus grande dis-
tance du jet. É
Hutton reconnait lui-même que les Français, nom-
mément au siége de Cadix, lancèrent des bombes beau-
coup plus loin, en ce qu’ils recoururent au moyen de :
les remplir avec du plomb, de sorte qu’elles purent être !
lancées à une plus grande distance que des boulets
de canon de fer massif. Veut-on appliquer cette res-
source de manière à en faire une loi générale ? Soit alors
le poids du boulet de fer = p, un boulet d’une autre

masse = p', et D = q; d'où nous aurons la vitesse

v = 178 V?.

Ceci admis, pour le cas présent, le diamètre du creux

finale

d'une bombe de 13 pouces est — 9 pouces. Un boulet
de plomb de ce diamètre pèse 139,3 livres; à cela joi-
gnez le poids de la bombe même — 187,8 livres, en-
semble 327 livres = p'; le poids d’un boulet de fer de

grandeur égale — 286 = p, et … = 0,8783 — g. Mais

comme D est = 12,8 pouces, on aura

v = 178 AE — 680 , et À — Po = 7235
+

(la hauteur de la chute g — 16 pieds anglais)

Si l’on à v' = 2000 pieds, on aura

nombre qui, dans la table, donne par interpollation
l'angle d’élévation = 37° 20', qui répond à une va-
leur de »1 — 2,2153. La plus grande distance du jet est
donc

7225 X 2,2153 = 16005 pieds.

45. Ni la théorie ni l'expérience n’ont donc pu nous
faire connaître encore la hauteur et la distance que
peuvent atteindre des boulets ou des bombes lancés
sous un angle à volonté. Cependant l’une et l’autre
nous apprennent que des boulets d'une égale force,
sous le même angle d'élévation, et avec des vitesses
proportionnelles à la racine carrée de leur diamètre,
décrivent des courbes semblables, résultat que Borda
avait déjà trouvé,

Le calcul des expériences étendues de Woolwich ,
pour un angle d’élévation de 45°, qui, d'après la théo-

rie, appartient au jet le plus étendu, et ayec un boulet
27

210 BA

de 24 livres, donne les résultats réunis dans la table sui-
vante, dans laquelle v’ représente la vitesse initiale ;
sv la distance du jet dans Pespace vide, ww cette dis-
tance dans l'air d’une égale densité, et ww" cette même
distance, en ayant égard à la diminution de la densité
de Pair, et À la hauteur atteinte; toutes ces quantités en

pieds anglais.

y’ w w” a! k
ee me

200 1249 960 990 300

400 4966 3000 3057 900

600 11103 4173 4257 1200

500 19890 5oGt 5157 1392
1000 31186 5520 5634 154
1200 44766 5802 5934 1683
1400 60930 6234 6387 1818
1600 79584 6618 679% 1090
1800 100722 6078 7173 2082
2000 124350 7314 7530 2914
2200 150405 766 7806 2334
2400 170164 7920 5175 2448
2600 210150 5202 84069 2556
2800 243723 8481 8548 2661
3000 270780 8745 9006 2706
3200 318333 5982 9220 2088

L'emploi de cette table est facile. Supposons que nous
avons à ‘déterminer l'étendue du jet et la hauteur
qu'atteint un boulet de 12 livres lancé sous l'angle d’é-
lévation de 45° sur l'horizon, et avec 1600 pieds de
Vitesse initiale, on obtiendra la vitesse correspondante
du boulet de 24 livres par la proportion suivante : les
Ulinméétél des deux sont 5,546 et 4,403 pouces; et
attendu que les courbes qu’ils décrivent sont semblables
quand les vitesses sont entre elles comme les racine car-

rées des diamètres, on a
V/ 4403 : V/5,546 = 1600 : X;

ainsi, X = 1706. Pour cette vitesse, cherchant la dis-
c

tance et la hauteur, par interpollation, dans la table
précéderte, on trouve 7158 et 2076 pieds; par con-

séquent l'on a

Il

7158 : 5682
2076 : 1647,

ainsi, 5682 pieds sera la distance du jet, et 1647 pieds,
la hauteur atteinte.

Veut-oritrouver ces deux quantités pour des bombes,
il faut en même temps tenir compte du poids différent
d'après la méthode donnée. S'il faut trouver, par exem-
ple , les deux quantités pour une bombe de 13 pouces,
lancée avec une vitesse initiale de 2000 pieds, on a

V/ 12,8 2

vitesse initiale appartenant au boulet de 24 livres,

V/5,546 = 2000 : 1317,

j|

BA

mais, comme pour des corps de grandeurs différentes et
de poids différens, d’après les règles posées plus haut,

les vitesses sont généralement dans la proportion de

ou, s'il faut seulement avoir égard au poids plus faible
des bombes pleines qu'a celui des boulets également
grands dans le rapport 1 : 1,42; on a

I
1,42?

178 : 178
ou 178 : 149,4 ; ainsi la vitesse réduite est

149,4

1317 X 187

— F
= 1109,

A cette valeur appartiennent dans la table précédente,
par interpollation, 5500 et 1617 : par conséquent l’on a
5,546: 12,8 = 5700 : 13365 — la distance du jet,
5,546 : 19,8 — 1619: 3732 — la plus grande hauteur.

11 faudrait calculer une table semblable pour chaque
angle d’élévation, si l’on osait considérer les tables don-
nées ci-dessus comme parfaitement concordantes avec
l'expérience.

46. Dans les équations,les résultats desexpériences ten-
tées à La Fère par Bezout, peuvent aussi servim pour les
bombes. Une bombe, pesant 142 livres, ayant un dia-
mètre de 11 pouces 10 lignes , et lancée avec 3,95 livres
de poudre, donna les vileurs corrélatives suivantes,
{v' désignant la distance du jet en pieds françäis, et £ le
temps du mouvement en secondes.

Ang. d'élev. sw” t Angl. d'elév. ww" €
10° 1434 4,00 45° 3090 | 15,2
0 2484 7,33 50 2082 | 16,0
30 2904 | 10,75 Go 2682 | 10,3

-. 40 3408 | 14,06 70 1986 | 28,0
43 3144 | 14,00 | 75 1620 | 22,0

47. D'après Morla, les expériences les plus récentes,
des plus grandes distances du jet, obtenues avec des
mortiers de mer anglais, donnent les résultats suivans

corrélatifs.

Bouses DE 13 roucEs. BomBes DE 10 POUCES.

[l L
EE —

Charges. | Temps du jet.| Distance. | Charges. [Temps du jet.|Distanc.
|

ET) ME SEMEENT MEME ms ne

liv p!| liv. Fr
10 15,0 | 19381: | : 4 29255 | 5650
15 10,2 9018 6 23,0 1,1 .6090
20 25.0 9900 | 8 9330 5400
25 26,5 [109230 | 9 24,95 6000
28 27,5 [11380 |! “10 >5,0 6600
50 20,0 12000 | 11 25,5 10020
30 29,5 13039 À 12 20,0 10200

ue

mp

BA

Il est difficile d'espérer des développemens impor-
tans et des améliorations dans l'artillerie à moins d’em-
ployer la vapeur, que déjà Papin et Vauban avaient mise
en avant. Il est probable aussi qu’on ne pourra attendre
d'aucun mélange faisant explosion, de plus grands
effets que ceux obtenus avec la poudre à tirer, lors-
qu’elle est composée et mélangée avec toute la per-
fection dont elle est susceptible.

Notre célèbre Lagrange s'est occupé du problème
fondamental de la balistique, et plusieurs formules re-
latives au mouvement des boulets dans l'intérieur des
canons, ont été extraites de ses manuscrits par M. Pois-
son, et insérées dans le 21° cahier du Journal de l'École
polytechnique , auquel nous renvoyons nos lecteurs. La
longueur de cet article nous force également à passer
sous silence de nouvelles expériences faites récemment
en Angleterre ; on les trouve décrites en détail dans les
voyages de M. Charles Dupin.

BANDES pe Juriter Er DE SATURNE (A4str.). Ce sont
des zones obscures qui paraissent entourer ces planètes
et faire partie de leurs disques. Ces bandes ne présentent
pas toujours le même aspect; leurs grandeurs et leurs
positions changent , mais jamais leur direction générale.
Une longue suite d'observations sur les bandes de Jupi-
ter ont fait connaitre que cette planète tourne autour
d’un axe perpendiculaire à leur direction, dans la très-
courtepériodede gb 55". D'après les lois dela gravitation,
un mouvement si rapide de rotation devait influer d’une
manière majeure sur la forme de la planète, et c’est ce
qu’en effet les observations démontrent clairement.
Jupiter est un élipsoïde très-aplati vers les poles; le
rapport de ses diamètres équatorial et polaire est égal
à 107: 100, exactement le même que celui que donne
la théorie pour des circonstances semblables de dimen-
sion et de durée de rotation. La fig. 2, PL. XVIII, re-
présente Jupiter tel qu’on l’a observé à Slough, le 23 sep-
tembre 1832, avec un réflecteur de 20 pieds.

Les bandes de Saturne sont plus larges et-moins ap-
parentes; elles sont parallèles au plan de l'anneau.
(Foy. Pr. XVIII, Jig. 5.) C’est aussi par leur moyen
qu'on a appris que la durée de la rotation de cette sin-
gulière planète est de 10 ?- 18’. Herschel suppose que
les bandes de Jupiter et de Saturne subsistent dans les
atmosphères de ces planètes et qu’elles n’en sont que
des parties plus transparentes, au travers desquelles on
entrevoit les corps mêmes des planètes. Il les attribue à
des courans analogues à nos vents alisés, Huygens
aperçut aussi une espèce de bande sur le disque de Mars ;
mais elle n’a pas été revue depuis. La fig. 1 de la
Pr, X VII représente l'aspect de Mars tel qu’on l’ob-
serve avec les meilleurs télescopes.

BAROMÈTRE (de £apos, poids, et xnrpor, mesure.).
Instrument pour mesurer le poids de l'atmosphère, et

BA 241

déterminer ses variations. L'origine de cet instrument
remonte à la célèbre expérience de Toricelli, par la-
quelle ce physicien démontra le premier la pesanteur de
l'air (Foy. Air.). Il se compose d’un tube de verre d’en-
viron un mètre de longueur et de 5 à 6 millimètres de
diamètre; ce tube, rempli de mercure coulant bien pu-
rifié, est fermé hermétiquement à l’une de ses extrémi-
tés, tandis que l’autre qui est ouverte plonge dans une
cuvette, pleine de mercure ou se recourbe en forme de
fiole. L'air agissant par sa pression sur la fiole ou la
cuvette tient le mercure élevé dans le tube à la hau-
teur moyenne de 56 centimètres. Une échelle divisée
en pouces, ou en centimètres, placée le long du tube,
fait connaitre les variations de cette hauteur moyenne,
auxquelles correspondent autant de variations dans
l'état de l'atmosphère. Nous avors exposé à l’article
AvrimÉrRiEe l’application du baromètre à la mesure des
hauteurs. Voyez notre DicrionnaiRE DE PHYSIQUE pour
la construction de cet instrument et ses divers usages
dans les sciences physiques.

BAROSCOPE. Nom donné au baromètre par quel-
ques physiciens. Ce mot, qui est dérivé de Bapos, pe-
santeur, et de cxersw , je vois, n’est plus en usage.

BARROW (Isaac), géomètre célèbre, né à Londres
en 1630, monira dès j'enfance autant d'aptitude que
d’ardeur pour toutes les connaissances qui exigent des
études sérieuses et approfondies. Il affectionna spéciale-
ment celles des langues, de la théologie et des mathé-
matiques, dans lesquelles il ne tarda pas à se distin-
guer. Jeune encore, il se mit sur les rangs pour obtenir
la chaire de grec à l’université de Cambridge, mais la
révolution anglaise’ était alors dans sa période la plus
intense de ferveur religieuse et de sombre intolérance.
Soupçonné de faire partie d’une secte dissidente, celle
des Arméniens, Barrow vit ses prétentions repoussées
par l'influence des fanatiques qui disposaient des liber-
tés et de la fortune de l’Angleterre. Il s’expatria volon-
tairement , voyagea quelque temps en Europe, et alla se
fixer à Constantinople où l’appelait son goût pour les lan-
gues orientales. En 1660, Isaac Barrow revint en Angle-
terre, et il entra en possession de la chaire, qui d’abord, !
lui avait été refusée. IL n’occupa cette place que durant!
deux années, et il la quitta pour professer la géométrie
au collége de Gresham, À cette époque, néanmoins, le
chevalier Lucas ayant fondé une chaire pour cette
science à l’université de Cambridge, il fut choisi pour
la remplir, et il rentra avec joie dans le sein de cette
école célèbre, témoin de ses premiers travaux et de ses
premiers succès. Ce fut la qu’il dicta ses Lecons de géo-
métrie et d'optique, qui furent imprimées quelques
années après, mais qui lui méritèrent dès-lors un rang
distingué parmi les plus savans mathématiciens de son

temps. Au nombre de ccux qui suivaicut ses cours,

919 BA

avec assiduité, il y avait à Cambridyre un jeune homme,
solitaire et studieux, qui débutait alors dans la géomé-
rie avec ces hautes dispositions qui révèlent aussitôt un
maitre à la science. Barrow eut le bonheur de deviner
le génie de cet étudiant, génie sublime et fécond, qui
devait un jour éclairer l'univers; et pour l’attacher à
l'Université, dont il prévoyait qu’il serait la gloire, il
descendit de sa chaire où il le fit monter à sa place. Ce
jeune homme était Isaac Newton!

Les travaux de Barrow, comme ceux de son illustre
contemporain Wallis, doivent être comptés au nombre
des plus heureux efforts qui aient été faits, avant ceux
de l’immortel créateur de la mécanique céleste, en fa-
veur des progrès de la géométrie. Les Lectiones geome-
tricæ de ce savant professeur forment, en effet, un
ouvrage remarquable et rempli de recherches profondes
sur la dimension et la propriété des figures curvilignes.
On y admire surtout sa belle méthode des tangentes,
qu'il n’est pas inpossible d'appliquer aux expressions
irrationnelles. Mais les théorèmes nouveaux et curieux
qu’il a exposés dans cet ouvrage ne constituent pas,
comme on l’a avancé plusieurs fois, même les premiers
germes du calcul différentiel, dont nous exposerons
ailleurs la véritable origine. F’oyez Carcuz DiFRÉRES-
TIEL.

Les Lectiones opticæ , qu’on doit également à cet homme
célèbre, renferment une foule de propositions d'optique
du plus haut intérêt, et auxquelles il appliqua la géomé-
trieavec une élégance dont on trouve peu d'exemples.
Barrow s’attacha dans cet ouvrage à exposer une théorie
nouvelle des foyers des verres formés de différentes
convexités ou concavités, combinées d’une manière
quelconque. Avant lui, les opticiens ne déterminaient
les foyers de ces sortes de verres, que par l'expérience.
Barrow donne dans son ouvrage une solution com-
plète de ces problèmes, et propose une formule pour
déterminer ces concours dans tous les cas des rayons
incidens, parallèles, convergens ou divergens. Il fit
fréquemment usage, dans ses leçons d'optique, d'un
principe nouveau sur le lieu apparent de l'image des
objets vus par réflexion ou par réfraction. Nous nous

, bornons à indiquer ici la pensée première des travaux

Iscientifiques d'Isaac Barrow : elle suffit en effet pour
honorer sa mémoire, et justifier la célébrité dont il a
joui. Voyez Orrique.

Isaac Barrow se livra dès-lors à l'étude de la théo-
logie: il ne tarda pas à se distinguer dans cette Faculté,
etil y parvint en peu de temps au grade de docteur.
Le célèbre et savant docteur Tillotson se fit, en 1613,
l'éditeur de ses sermons et de ses œuvres théologiques.
Néanmoins l’ancien professeur de mathématiques, qui
avait été un moment le maitre de Newton, ne renonça

pas entièrement à la science dont il avaitillustré l'étude,

BA

et il publia successivement divers travaux sur les géo-
mètres de l’antiquité. On sait que ce savant était fort
attaché au parti de la royauté. La restauration parut un
moment l'oublier, et il en manifesta sa mauvaise hu-
meur dans un distique latin, qui lui fut une recomman-
dation plus puissante que son talent et sa fidélité à
Charles IT, car il fut promu à la place, si honorable en
Angleterre, de chancelier de l’université de Cambridge.
Ce fut là qu'il mourut, le 4 mars 1677, dans un âge
peu avancé , et dans des sentimens philosophiques dignes
de sa haute raison. 11 vit approcher la mort avec une
sorte de joie, car, disait-il aux amis qui environnaient son
lit de douleurs : « Je vais enfin apprendre dans le sein
de la Divinité la solution de beaucoup de problèmes de
géoméirie et d'astronomie... O Seigneur! quel géomètre
tu es! » Barrow futenterré à Westminster, où ses amis
lui ont fait élever un monument. Ses écrits sont remar-
quables par ure concision qui ne nuit point à leur clarté.
Voici les divers titres de ceux qu’il a publiés, et qui
intéressent plus spécialement les sciences mathéma-
tiques. I. Zectiones oplicæ et geometricæ, in quibus
phænomenon opticorum genuinæ rationes inveskgantur
ac exponuntur, et generalia curvarum linearum symp-
tomata declarantur. Londres, 1674, in-4°. II. Archi-
medis opera, Apollon Pergæi, conicorum libri IV,
Theodosi spherica, methodo nova illustrata et suc-
inctè demonstrata. Londres, 1675, 1 vol. in-4°. III.
ÆEuclidis elementorum libri XV, breviter desmons-
trati. Londres, in-12, 1659-1658. A Ja suite de cette
dernière édition on trouve une leçon de Barrow sur les
théorèmes d’Archimède, concernant la sphère et le
cylindre, exposée par la méthode des indivisibles. IV.
Et enfin: Issacr Bannow mathematicæ, professoris
Lucasiani, lectiones habitæ in scholis publicis Acade-
miæ Cantobrigiencis. Londres, 1684, 1 vol. in-12.

BASE (Gcom.). (De Bus:s, fondement, appui.)
Partie la plus basse d’une figure, ou celle qui est opposée
au sommel. On peut prendre indifféremment pour base
d’un triangle un quelconque de ses côtés, et alors son
sommet est celui de l’angle opposé à ce côté : cependant
on prend assez ordinairement l’Aypothénuse pour base
dans les triangles rectangles, et le côté inégal aux deux
autres pour base dans les triangles isocèles.

La pase d’un cylindre cest l’une quelconque deses sur-
faces planes.

La vase d'une pyramide est le polygone sur lequel
elle est construite.

La n4sE d’un cône est également le cercle sur lequel
il est construit.

La pase d’une section conique est la ligne droite que
forme l'intersection du plan coupant avec la base du
cône ; dans la parabole ct l’Ayperbole.

Base en arpentage. Ligne droite, mesurée sur le

BA

ter su avec la plus grande exactitude possible, et sur
laquelle on construit une série de triangles pour déter-
miner la situation et la place des objets. Foyez Levée
DES PLans.

Base en astronomie. Distance mesurée sur la terre
entre deux points fixes très éloignés, dans le but de
trouver l'étendue des degrés terrestres, et par consé-
quent la grandeur de la terre. Foyez Ficure DE LA
Terre.

BASILICUS ( Astr.). Nom donné par quelques au-
teurs à la belle étoile du Lion, plus connue sous celui
de Régulus. Les Arabes l’appellaient Xolebeleced.

BASSANTIN (Jacouss), célèbre astronome écossais,
nésousle règne de Jacques IV, vers la fin du XV° siècle.
Il était de la famille des /airds ou seigneurs de Bassan-
tüin, dans le comté de Mers; et à cette époque où la
noblesse écossaise, la plus belliqueuse, c’est-à-dire la
plus barbare de l'Europe, ne vivait que de l'épée, il
donna un exemple remarquable de son amour pour les
sciences, en se livrant, malgré les préjugés de sa caste
et de son pays, à des etudes pacifiques. Aussi le jeune
Bassantin, après avoir étudié quelque temps à Glascow,
fut-il contraint de s'expatrier, afin de se livrer li-
brement aux goûts honorables qui le dominaient. Il
voyagea long-temps, moins en gentilhomme qu'eu sa-
vant Jaborieux, dans les Pays-Bas, la Suisse, l'Italie,
l'Allemagne et la France. Il occupa une chaire de ma-
thématiques à l’université de Paris, quoiqu'il ne parlât
le français qu'avec beaucoup de difficulté; mais il se
distingua néanmoins par ses connaissances mathématiques
dans ce dernier pays, où il séjourna fort long-temps,
et où il acquit par extraordinaire une grande réputation
et une grande fortune.

Bassantin s’adonna surtout à l’étude de l’astronomie,
et 5es ouvrages sur cette science et sur d'autres branches
des mathématiques donnent une haute idée de son
savoir et de son intelligence, quoiqu'on y trouve à
regret un mélange d'idées superstitieuses qui nuisent
souvent à la gravité de ses observations. Le noble Bas-
santin s’avisa de prédire au célèbre sir James Melvil
les événemens qui menaçaient l’infortunée Marie Stuart,
alors réfugiée en Angleterre. Quelques-uns de ces évé-
nemens se réalisèrent ; et il ne serait pas impossible que
l'astrologie judiciaire, au moyen de laquelle il fit ses
prédictions, ait été la véritable cause de sa fortune et
de sa réputation. De retour dans sa patrie, à un âge
déjà avancé, Bassantin entra dans le parti du comte
Murray, qui était aussi celui de la réforme. 11 mourut
à Édimbourg en 1568. Voici le titre un peu ambitieux
de l'ouvrage le plus important qu’il ait publié : 4stro-
nomia JAcort BassanTiNt scoti, opus absolutissimum, in
quo quicquid unquam peritiores mathematici in cœlis
observarunt, eo ordine edque methodo traditur, ut cui-

BA NS

os post hac facile innotescant quæcumque de astris ac
planetis, necnon de eorum variis orbibus, motibus, pas-
sionibus, etc., dici possunt, ingens et doctum volumen ter
editun latinè et gallicè. Genève, 1599, in-folio. On
voit par ce titre, où le savant est trahi par l’orgueil du
lard, ane l'ouvrage de Bassantin, écrit d’abord en
écossais, avait été publié en français. La traduction
latine est de Jean Tornesius. Les autres ouvrages de
Bassantin, sont : I. Paraphrases de l’astrolabe, avec une
explication de l'usage de cet instrument. Lyon, 1555,
— Paris, 1617; in-8°. IL. Super mathematic. geneth-
liaca. WA. Arithmetica. IV. Musica secundum Plato-

nem. V. De mathest in genere.

BASTION ( rt de la guerre). Masse de terre revêtue
de maçonnerie ou de gazon, placée en saillie sur les
augles d’une place fortifiée, pour en défendre toutes
les parties. Un bastion est formé par quatre lignes,
deux desquelles font un angle saillant À ou B, vers
la campagne ( loyez PL. XI, fig. 1 ), et que l’on nomme
angle flanque. Chacune des deux autres lignes qui
joignent les faces de l'enceinte, se nomme les flancs.

Voyez FonTiFIcATION.

BATARDEAU ( Fortif.). Massif de maçonnerie qui
traverse toute la largeur d’un fossé d’une place forte
pour en retenir les eaux. On construit ordinairement les
batardeaux vis-à-vis les angles saillans des bastions et des
demi-lunes; quelquefois ils tiennent lieu d’écluses au
moyen d’une vanne qu’on établit au milieu , pour laisser
écouler ou pour retenir les eaux suivant le besoin.

Les batardeaux sont employés lorsque les fossés de la
place ne sont pas de niveau, qu'il y a de l’eau dans une
partie et que l’autre est sèche, ou qu’on peut disposer
de quelque ruisseau ou petite rivière pour la faire entrer
dans le fossé : on construit alors ces ouvrages pour em-
pècher l'écoulement dans les parties les plus basses.

BATN-ÉL-GEYTTORS (Astr. ). (Le ventre du Cé-
tacée.) Ce nom altéré par nos astronomes en ceux de
Batan-él-K aitos, Beten-Ketos, et mème de Bata-Kaïtos,
est celui que donnent les astronomes arabes à une
étoile du ventre de la Baleine. Cette étoile est marquée
€ dans les catalogues.

BATN-ÉL-HOAT (Astr.). (C'est-à-dire ventre du
Poisson.) Nom donné par les astronomes arabes a troi
étoiles, à la tête et à l’épine dorsale du Poisson boréal,
c’est suivant eux la XXVIIT station de la Lune.

BATON DE JACOB (Astr.). Nom donné quelquefois
aux trois étoiles situées en ligne droite sur la ceinture
d'Orion.

BATYN ou ÉLB-ATTYN (4sur.). Nom douné par
les Arabes à trois étoiles très-petites et très rapprochées

l’une de l'autre dans le ventre du Betier.

244 BA

* BATTYAT ou BATTAT ( Astr.), (Le Vase). Nom
donné par les Arabes, soit à l'étoile de la Coupe,
commune avec la constellation de l'Æydre, soit à la
constellation entière de la Coupe, dans laquelle ils comp-
tent 7 étoiles. Ce nom, qui s'écrit plus correctement ÉtL
Battyat, à été altéré par nos astronomes en celui
d'Albatina. Les Arabes lui donnent aussi le nom d'Æ/-
Kas ( Galice, Vase à boire), qui a été différemment
désigné par les modernes ; car on le trouve écrit : Ælkis,
Alches, Alkes, Alhas, Alhes, Alkarso.

BAYER (Jean), né à Augsbourg vers la fin du
XV® siècle, s’est rendu célèbre par l'exécution d’un
ouvrage fort important, dont la publication rendit à
l'astronomie un service signalé. Ce fut en 1603 que,
sous le titre d'Uranometria, il publia dans sa ville
natale, où il exerçait le ministère évangélique, une
description des constellations célestes, et le catalogue
des étoiles qu’elles contiennent. Bayer eut l'heureuse
idée de désigner chaque étoile par une lettre grecque
ou latine, désignation qui a été depuis adoptée par
tous les astronomes, et qui facilite considérablement Îes
études et les recherches uranographiques. D'après sa
méthode, que nous avons suivie dans cet ouvrage, la
principale étoile d’une constellation, ou celle qui parait
la plus brillante et la plus belle est marquée x, la se-
conde 8, la troisième y, et ainsi de suite jusqu’à ce que
alphabet grec ne suffise plus: alors on se sert de lettres
latines, et enfin de chiffres arabes, si ce dernier alpha-
bet devient également insuffisant.

L'ouvrage de Bayer fut accueilli avec distinction dans
le monde savant, quoique son exécution typographique
laissât beaucoup à désirer. Bayer n'avait probablement
pas fait attention que si un dessin est gravé tel qu'il
doit être vu, il en résulte qu'à l'impression le côté droit
devient le côté gauche sur le papier. Voilà aussi pour-
quoi les figures de l'Uranometrie paraissent toutes à
l'envers. Mais ce défaut n’est pas essentiel dans un tra-
vail de ce genre, dont la classification méthodique des
étoiles est la pensée importante.

La plupart des biographes confondent mal à propos,
avec l'ouvrage de Bayer, le Cœlum stellarum christanum
qui parut en 1627. Cette dernière œuvre à laquelle il
n’est pas impossible cependant que Bayer ait contribué,
au moins par ses conseils, appartient à Jules Schiller, un
de ses compatriotes. C'était un jeune homme d’une
piété exaltée, qui, choqué de voir les astres et les cons-
tellations désignées toujours sous des noms mythologi-
ques, conçut le dessein de leur en imposer de plus con-
! formes à la religion chrétienne, et de substituer aux
figures antiques des figures tirées de la Bible. En consé-
quence, il plaça les douze apôtres dans le zodiaque, et
donna aux constellations méridionales des roms puisés

dans l'Ancien Testament, et il prit dans le Nouveau

BE
ceux qu'il appliqua aux constellations septentrionales.
Cette entreprise bizarre, qui ne tendait à rien moins
qu'a entraver les études astronomiques, en portant
dans cette science d’inutiles embarras, ne pouvait avoir
aucun succès.

On sait peu de choses intéressantes sur la vie de Jean
Baver. Le zèle ardent et souvent peu éclairé avec lequel
il remplit les devoirs de son ministère, lui suscita des cha-
grins et de ficheuses affaires. C’est sans doute cette exal-
tation religieuse dont il a donné trop de preuves, qui lui
a fait attribuer une grande part dans la composition de
l'ouvrage de Schiller. Il fut, dit-on, anobli en 1669
par l'empereur Léopold. Il n’a, au reste, publié aucun
autre ouvrage que celui dont il a été question dans cette
notice. Barert Rhaïnani (Joh.), Uranometria, omnium
asterismorum continens schemata. Augustæ-Vindelico-
rum, 1603. — Ulmiæ, 1723, in-folio, fig.

BEAUNE (FLrormmoxp pe), né à Blois en 1607 , géo-
mètre célèbre, dont l’amitié de l’illustre Descartes ré-
compensa les travaux et honora la vie, entra d’abord
dans la carrière militaire. Les habitudes de cette pro-

-fession convenaient peu à son caractère paisible et à ses

goûts solitaires. Il quitta l'épée pour la toge, et acquit
une charge de conseiller au présidial de sa ville natale.
C’est là qu’il passa le reste de ses jours, dont il partagea
les instans entre l'étude et les devoirs de sa magistra-
ture. On ignorait néanmoins quelle science Florimond
de Beaune cultivait avec tant de zèle, lorsque la géo-
métrie de Descartes parut. La France , peu soucieuse
ordinairement de ses véritables grands hommes,
aurait eu la honte de méconnaitre cette production
supérieure, si un magistrat obscur, d’une petite ville,
dont le talent jusqu'alors était aussi ignoré que la vie,
eût pris en main, du fond de sa retraite, la gloire
de Descartes, et n’eût entrepris d'expliquer son œuvre
à son pays. l'iorimond de Beaune ne se contenta pas
d'avoir obtenu l'intelligence de la géométrie carté-
sienne, il voulut encore en sonder les profondeurs
et en dévoiler les mystères à ses contemporains. Il
rédigea des notes dans le but d'éclaircir les endroits
de cet ouvrage qui, dans l’état où se trouvait alors
la science, auraient pu passer pour obscurs, et il sou-
mit ses observations à Descartes lui-même, avec le-
quel il avait eu l'occasion de se lier en 1626. C'est là
une de ces amitiés qui donnent la gloire. On trouve
dans la csrrespondance de cet illustre philosophe (Voy.
Lettres de Descartes, tome HE, p. 254 et suiv.) la haute
opinion et la reconnaissance que lui inspirèrent les tra-
vaux de son ami. À cette époque, Florimond de Beaune
était jeune encore, puisque c'est seulement en 1637
que parut la géométrie de Descartes. Il se fit le défen-
seur de ce grand ouvrage avec tout le zèle de la science
et l'ardeur d’une noble anitié. Il réduisit au silence les

BE

envicux et les demi-savans, toujours empressés de flé-
tirles plus belles œuvres du génie, et parvint à faire
partager son admiration pour la nouvelle géométrie à
tout ce que la France renfermait alcrs d'hommes capa-
bles d’en apprécier les conceptions élevées. On voit,
dans la correspondance dont nous avons parlé, que Des-
cartes faisait plus de fond sur les lumières et Pappro-
bation de Florimond de Beaune, que sur celles de tous
les autres géomètres qui s'étaient prononcés en faveur
de son ouvrage. Un pareil éloge suffit à la vie d'un
homme; mais l’ami de Descartes a d’autres titres en-
core à la gloire que dispense la science. Le premier, il
formula la proposition de déterminer la nature d’une
courbe par les propriétés données de sa tangente. C’est
ce qu'on appelle aujourd’hui la méthode inverse des
tangentes, parce qu’elle est en effet l'inverse de celle
qui sert à trouver la tangente par les propriétés de la
courbe. Dans une de ses lettres, Descartes loue beau-
coup son ami de quelques découvertes qu'il avait faites
à ce sujet. « Pour vos lignes courbes, dit-il, la pro-
» priété dont vous m’envoyez la démonstration m'a
» paru si belle, que je la préfère à la quadrature de la
» parabole trouvée par Archimède; car il examinait
» une ligne donnée , au lieu que vous déterminez l’es-
» pace contenu dans une qui ne l’est pas encore. »

On croit que ce fut à cette occasion que Florimond de
Beaune proposa à Descartes un problème qui est de-
venu célèbre, et qui a retenu son nom. Il s'agissait de
trouver la construction d'une courbe, telle que le rap-
port de l’ordonnée et de la sous-tangente fut le même
qüe celui d’une ligne donnée et d’une portion de l’or-
donnée comprise entre la courbe et une droite tirée de
l'origme , formant un angle de 45°
(Voy. Actiones calculi integralis de Jean Bernouilli).
Florimond de Beaune est encore l’auteur d’une théorie
nouvelle en algèbre, celle des limites des équations ,

avec l'axe des x

théorie très-utile pour leur résolution. Foy. Équartox.

En 1644, Descartes avait été à Blois rendre visite à
son ami : il passa quelque temps avec lui, et sa corres-
pondance témoigne en plusieurs endroits de tout le
charme qu'il trouva dans la société de ce savant mo-
deste. La géométrie n’occupa pas seule la studieuse vie
de Florimond de Beaune. Il s’'adonna aussi à la con-
struction des télescopes ; et ses succès dans les perfec-
tionnemens dont ce puissant instrument était suscep-
tible, l'avaient mis de bonne heure en relation avec
Bouillaud , Midorge, le père Mersenne et d’autres sa-
vans astronomes, Une maladie cruelle l’enleva à 51 ans
à ses anis, qui honoraient son caractère , à la science,
qu'il cultivait avec tant de distinction. On comprendra
difficilement aujourd'hui qu'il ait fallu lui faire subir
l'amputation d’un pied pour le guérir d'une goutte
même opiniatre et maligne. Ce furent les suites de cette

BE A5

douloureuse opération qui caustrent sa mort. Le célè-
bre Erasme Bartholin , qui avait été le voir à Blois peu
de temps avant ce triste événement, obtint de ses héri-
tiers les lambeaux épars de ses manuscrits, et les fit im-
primer en 1659, à la suite du conimentaire de Schooten
ur la géométrie de Descartes. On trouve les deux écrits
qui nous restent de lui dans l'édition latine Æ/zévir de
cer ouvrage de notre grand philosophe : Florimundi de
Beaune in Cartes geometriam notæ breves; et De
æqualionum constructione et limitibus opuscula due in-
cepta à Florimundo de Beaune, absoluta vero et post
mortem ejus edita, ab Erasmo Bartholino.

BEDOS DE CELLES (pou Fraxcois). Religieux bé-
nédictin de la congrégation de Saint-Maur, l'un des plus
savans hommes de cette illustre compagnie, naquit à
Caux, dans ie diocèse de Béziers, au commencement
du XVIII: siècle. La gnomonique, dont les observa-
tions et les procédés ont pour base l'astronomie, avait
suivi les progrès de cette science ; mais il restait néan-
moins à mettre d'accord avec la pratique toutes les
théories dont elle avait été l’objet. Telle fut l'œuvre
Gno-

monique, où l'art de tracer les cadrans solaires. qu'il

qu’entreprit dom Bedos. Son ouvrage, intitulé :

publia en 1:60, est un des traités les plus complets et
les plus savans qui aient paru sur cette partie intéres-
sante des mathématiques. Il suffit, pour classer dom
Bedos parmi les géomètres les plus distingués. Une
nouvelle édition de cet écrit, considérablement aug-
mentée de nouvelles recherches, parut en 1774.

Ce religieux, qui était membre correspondant de
l'Académie des sciences, ec sur lequel il ne reste que
peu de détails biographiques, mourut le 25 novembre
ji: 779, dans un äge avaricé.

BEGALA ou BEGALO (A4str.). (Plus correctement
ÉL-BAGHLÉH, qui signifie la J/ule.) Nom donné par
quelques astronomes Arabes à la Luisante de la Lyre.

BELIDOR (BennarD Forer pr). Ingénieur et ma-
thématicien célèbre, fils d’un officier français ; il naquit
en Catalogne, pendant la campagne de 1697. On pense
qu'il perdit son père au siége de Barcelonne : il est cer-
ain, du moins, qu'il fat orphelin dès le berceau. Un
ingénieur de l’armée, dont on ignore le nom, l’adopta
et fit son éducation. Il annonça de bonne heure de
grandes dispositions pour les mathématiques, et un
goût décidé pour l'honorable profession de son bienfai-
teur. Bélidor, qui s'était distingué dans ses études, devint
successivement professeur à l’école militaire de La Fère
et commissaire provincial d’artillerie. Ce fut en s’adon-
nant aux devoirs de son emploi qu’il fut amené à ré-
soudre un problème important pour l'art militaire : ce-
lui d'obtenir, avec une moindre quantité de poudre,
un effet semblable à celui produit par une plus

grande, Ses expériences eurent un grand succès, et il

BE

fit honneur de sa découverte au cardinal Fleurv. Le

216

prince de Conti, alors grand-maitre de l'artillerie, fut
piqué de la préférence qu’il avait accordée au ministre,
et le priva de son emploi. C’est peut-être à cette injuste
persécution que nous devons les nombreux ouvrages
publiés par Bélidor, et dont la plupart sont encore fort
estimés de nos jours. On a de Jui: E. Sommaire d'un
cours d'architecture militaire, civile et hydraulique ;
Paris, 1720, in-12. I. Le Bombardier francais, ou nou-
velle méthode de jeter les bombes avec précision ; Paris,
1731,in-4° fig. II. Traité des fortifications; Paris, 1735,

2 vol. in-4°. IV. La Science des ingénieurs dans la
conduite des travaux de fortification et d'architecture
militaire ; Paris, 1549, grand in-4°. fig. V. Archiütec-
ture hydraulique, ou l'art de conduire Les eaux ; Paris,
1937.— 2° édit. 1753, 4 vol. in-4°, fig. Cet ouvrage,
fort estimé et fort recherché , renferme, sur cette partie
des sciences mathématiques, des découvertes impor-
tantes qui n’ont point été dépassées depuis sa publica-
tion. Une traduction allemande de cet excellent écrit a
été publiée à Augsbourg en 2 vol. in-fol., 1564-1966.
VI. Nouveau cours de mathématiques à l'usage de l'ar-
tillerie ; Paris, 1757, in-4°. Il existe encore d’autres
écrits de Bélidor, tels que des Traités sur le toisé et l'ar-
pentage, et enfin un Dictionnaire portatif de l'inge-
nieur, qui parut en 1755, et dont Jombert a donné une
nouvelle édition avec des éclaircissemens et des aug-
mentations, en 1768.

L’incontestable talent de Bélidor, et ses hautes con-
naissances dans diverses parties des mathématiques ap-
pliquées, lui ouvrirent, en 1756, les portes de l'Aca-
démie des Sciences. Lorsque le maréchal de Belle-fsle
fut appelé au ministère de la guerre, il s’attacha le cé-
lèbre et savant auteur de l'Architecture hydraulique et
du Bombardier francais, et le nomma inspecteur de
l'artillerie. [l mourut à Paris, à l’Arsenal, où il était
logé en raison de ses fonctions, le 8 septembre 1761.

BÉLIER ( Astr.). Nom d’une constellation, et du
premier des douze signes du zodiaque, marqué Y.. Le
commencement du signe du Bélier est le point équinoxial
ascendant, V'un des deux où l’écliptique coupe l'équateur.
Lorsque le soleil, dans sa course apparente, sort des
régious australes du ciel, et nous amène Le printemps, il
traverse le point ascendant vers le 21 mars, et s'élève
ensuite chaque jour en se rapprochant du pôle boréal,
jusqu’à ce qu’il soit parvenu au signe du Cancer ou de
l'Écrevisse; là il paraît un moment stationnaire , redes-
cend après, en s’éloignant peu à peu du pôle, jusqu’au
signe de la Balance où il quitte notre hémisphère vers
le 23 septembre, en traversant le premier point de ce
dernier signe, c’est-à-dire le point équinoxial descen-
dant.

Le mouvement rétrograde des points équinoxiaux

BE
ayant changé la correspondance des signes avec les cons-
tellations dont ils portent les noms ( Voyez Barance),
la constellation du Bélier est aujourd'hui presque
tout eutière dans le signe du Taureau. Cette constella-
3 de la

troisième grandeur, 1 de la quatrième, 2 de la cin-

tion renferme 19 étoiles remarquables, savoir :

quième et 13 de la sixième.

BÉLIER (Mec. ). Machine de guerre des anciens;
elle consistait en une grosse poutre suspendue, dont
ils se servaient, en lui imprimant un mouvement oscil-
latoire, pour produire des chocs violens qui ébranlaient
et renversaient les murailles. Voyez Polybe, avec les
Commentaires de Folard.

BELIER uyprauriQuEe. Machine très-ingénieuse pour
élever l’eau, inventée par Montgolfier. Nous en doune-
rons la description et les usages

BELLATRIX (4str.). Nom de l'étoile marquée y
dans la constellation d'Orion. Cette étoile, remarquable
par sa couleur rougeûtre est située à la partie supérieure
occidentale de la constellation.

BELLÉROPHON ( Astr.). Nom donné quelquefois
à la constellation de Pégase.

BENAT-ÉL-NAACH ( Astr.). Nom donné par les
astronomes arabes aux trois étoiles qui forment la queue
de la grande Ourse. Ce nom a été corrompu par nos
astronomes qui l’ont écrit Benet-Nasch, Benec-Nasz,
et mème Jene naim.

BÉRÉNICE ( Astr.) Voyez Cneveuvre DE Béré-
NICE.

BERNOUILLI. Il n’existe point dans les sciences de
nom plus célèbre que celui de cette famille, qui a suc-
cessivement donné aux deux derniers siècles jusqu’à
huit hommes d’un génie supérieur, et dont quatre
au moins peuvent étre mis au premier rang des plus
grands géomètres. Tandis qu'une loi sévère de la
nature permet si rarement la transmission du père
au fils des talens ou des vertus, la famille Ber-
nouilli a seule donné au monde ce noble spectacle
de l'hérédité du savoir dans plusieurs générations.
C’est dans l'exil que la gloire est venue tirer cette fa-
mille de l'obscurité. Établis originairement à Anvers,
les Bernouilli, qui professaient la religion protestante,
furent obligés, vers la fin du XVI siècle, de fuir leur
patrie, abandonnée alors par l'Espagne aux frénétiques
fureurs de l’infime duc d’Albe. Ils se réfugièrent
d’abord à Francfort, et se retirèrent ensuite à Bâle, où on
les voit de bonnc heure occuper d’inportantes magistra-
tures dans cette république. Mais l'illustration que cette
fanulle acquit dans le siècle suivant , parles travaux etles
découvertes, dans diverses parties des sciences mathéma-
tiques, de Jacques et de Jean Bernouilli, est d'un ordre
plus élevé; elle durera désormais aussi long-temps que
la civilisation humaine conservera Îe dépôt des sciences.

0

BE

Dès l'apparition sur la scène du monde savant de ces
deux illustres géomètres, l’histoire de leur famille est
tellement unie à celle des progrès de la science, que les
événemens de leur vie n’offrent plus d’intérêt que par
leur liaison avec des découvertes scientifiques, qui furent
l'unique but de leur laboricuse existence. C’est par cette
raison que notre intention a d’abord été d'exposer l’en-
semble des travaux dus aux mathématiciens du nom de
Mais
sommes bientôt aperçus qu’entrainés par la marche

Bernouilli dans un récit commun. nous nous
de la science, nous aurions été trop souvent obligé
d'anticiper sur celle du temps, et de tomber sou-
veut dans la confusion que la ressemblance des pré-
H:0mS à Occasionnée à la plupart des biographes des
Bernouilli. Nous avons en conséquence adopté la mé-
thode généalogique qui nous a paru la plus simple et
en même temps la plus propre à nous faire éviter ce
grave inconvénient. Ainsi, nous examinerons successi-
vement la vie et les travaux : 1° De Jacques I BEr-
ouiLLi; 2° de Jean I, frère du précédent; 3° de Nico-
LAs [, neveu des précédens; 4° de Nicoras IT, fils de
Jean I; 5° de Danrez, frère du précédent; 6° de Jean IT,
également frère du précédent; 7° de Jean HE, fils de
Jean Il; 8° et enfin de Jacques IE, frère du précédent.
Voyez Commentarii Academiæ Petropolitanæ, tome I,
et Nova. acta, etc., tome VII.

BERNOUILLI (Jacques, premier de ce nom ) na-
quit à Bâle le 27 décembre 1654, de Nicolas Bernouilli
qui occupait une charge importante dans cette répu-
blique. IL était destiné par sa famille à la chaire évan-
gélique; mais ses dispositions naturelles l’entrainaient
impérieusement vers l’étude des sciences mathématiques,
quoiqu'il ne laissât point encore pressentir les succès qui
l'attendaient dans cette carrière. La persistance de ces
goûts, auxquels il fut long-temps obligé de se livrer en
secret, triompha de l'opposition de son père, et il en
obtint la permission de voyager. L’astronomie fut le
premier objet de ses travaux : ilavait, dit-on, pris pour
emblème Phaéton conduisant le char du soleil, avec
cette devise qui s’appliquait assez bien à sa position per-
sonnelle : Znvito patre sydera verso. Heureusement cette
opposition aux volontés paternelles n'eut pas pour Jac-
ques Bernouilli des conséquences aussi ficheuses que
limprudence de Phaéton. Il parcourut tour à tour la
France, la Hollande et l'Angleterre, recucillant par-
tout dans les entretiens des savans et dans l’étude de
leurs productions les plus importantes, les lumières et
les connaissances qui devaient régulariser les premiers
aperçus de son génie; car, comme le dit Fontenelle, il
avait été son seul précepteur. De retour dans sa patrie,
Jacques Bernoulli publia, en 1681, son premier ouvrage
qui a pourtitre: Conamen novi systematis planetarum.

Son principal but en composant cet écrit avait été

BE en rm NC
de démontrer que les comètes n'étaient pas des météores,
mais des astres qui obéissent à des lois qui régularisent
leur marche et les assujétissent à des retours périodiques.
Cette vérité, soupconnée depuis quelque temps par les
astronomes, avait déjà été exposée par plusieurs d’entre
eux, mais elle ne fut mise hors de doute, peu de temps
après, que par les démonstrations de Newtonet de Halley,
car cette première production de Jacques Bernouilli, peu
digne de la célébrité qu'il acquit et qu'il mérita depuis,
n’exerça que peu d'influence sur les progrès de la science.
En 1652, il publia un nouvel ouvrage sous ce titre :
Cogitationes de gravitate ætherts, qui, expression de la
physique de son temps, n’est pas plus estimé aujourd’hui
que son premier écrit. Jacques Bernouilli ne commença
à occuper un rang distingué parmi les mathématiciens
qu'à l'époque où, suivant les véritables inspirations de
son génie, il expliqua les théorèmes les plus compliqués
de la géométrie de Descartes. Il ne tarda pas alors à
mettre le sceau à sa réputation ct à sa gloire, en dévelop-
pant avec un rare bonheur les bases posées par Leibnitz
du calcul différentiel et du calcul intégral. La plupart
des géomètres les plus habiles de ce temps ne virent pas
à quelles découvertes importantes pouvaient conduire
ces calculs alors nouveaux ; ils s’obstinèrent à confondre
la méthode de Leibnitz avec celle de Barrow (voyez ce
nom ), en convenant cependant qu’elle en était un.per-
fectionnement. On sait quelle révolution l'application
de ces calcuis à la géométrie produisit dans les mathé-
matiques. Jacques Bernoulli eut la gloire de la deviner
et de la commencer par ses travaux ; mais il est juste de
dire ici que son frère Jean, dont nous parlerons bientôt,
mérita de lui être associé dans l’honneur de ces dé-
couvertes. L’'illustre Leibnitz, avec une sincérité digne
d’un grand homme, dit Fontenelle, avoua que sa mé-
thode, ainsi perfectionnée par les deux Bernouilli, leur
appartenait autant qu’à lui.

Leibnitz avait proposé , en 1687, le célèbre problème
de la courbe rsochrone, qui fixa l'attention de tous les
géomètres. On croit que c’est en en cherchant la solu-
tion que Jacques Bernouilli fit le premier essai des
calculs dont nous venons de parler. On sait qu’il s’agis-
sait de déterminer dans ce problème le long de quelle
courbe un corps devait tomber, afin qu'il s’éloignât
d’un point donné proportionnellement au temps, et
que c’est pour cette raison que son auteur lui donna le
nom d’ésochrone paracentrique. Leïbnitz ne se hâta pas
d’en publier la solution, et les deux Bernouilli paraissent
d’abord lavoir vainement cherchée. Un peu plus tard,
les efforts de Jacques Bernouilli furent plus heureux : il
résolut le problème dont son frère Jean Bernouilli et
Leibnitz lui-même ne firent connaître qu'après lui la
solution qu'ils en donnèrent. À cette époque, Jacques

Beruouilli posa à son tour le problème de la chaïnette,
25

218 BE

devenu non moins célèbre que celui de la courbe iso-
chrone. Il s’agissait de déterminer la courbe que prend
une chaîne, ou un fil pesant et infiniment flexible, qui
est suspendu par ses deux bouts.

Nous reviendrons ici sur quelques circonstances de la
vie de Jacques Bernouilli qui sont intimement liées à
ses travaux mathématiques. Dans l’année où Leibnitz
avait proposé son problème, il fut élu professeur de
mathématiques à l’université de Bäle. Ses concitoyens
ne trouvèrent pas de meilleur moyen d’honorer ses ta-
lens et son caractère. Cette récompense dans une petite
république, et surtout à une époque où la science
était comptée pour quelque chose, devait en effet avoir
du prix aux yeux d’un homme aussi dévoué à ses progrès
que Jacques Bernouilli. Alors, dit Pauteur de son éloge,
il fit paraître.un nouveau talent: c’est celui d’instruire,
L’extréme netteté de ses leçons, et les progrès qu’il fai-
sait faire en peu de temps, attirèrent à Bâle un grand
concours d'étrangers. Peut-être est-ce à ces travaux de
tous les instans, à ces exercices spontanés, inattendus,
qu’exigent les devoirs du professorat , que nous devons
les recherchesles plus importantes de Jacques Bernoulli
sur les sinus et sur le calcul différentiel et intégral. 11
publia en 1661, dans les Actes de Leipzig un essai ou
plutôt un traité de ce calcul, où, à l’occasion d'une espèce
particulière de spirale, il donne toutes les règles pour
déterminer les tangentes, les points d’inflexion, les
rayons de la développée, les aires, et les rectifications
dans toutes les courbes à ordonnées, soit parallèles, soit
convergentes. Ces recherches le conduisirent à la décou-
verte des propriétés remarquables de la spirale luga-
rithmique. Jacques Bernoulli en éprouva autant de joie
et de satisfaction que jadis Archimède en avait fait écla-
ter lorsqu'il eut reconnu les rapports entre la sphère et
le cylindre. On sait que le grand géomètre de l'antiquité
voulut qu’on gravät sur son tombeau la figure géomé-
trique qui attestait ainsi sa gloire et son génie. Le grand
géomètre moderne désira qu’on gravât sur le sien
une spirale logarithmique, avec ces mots : Eädem mu-
tata resurgo; heureuse allusion à sa découverte et à
l'espérance du chrétien, dont la vie recommence après
la mort, comme la propriété de cette courbe est d’être
continuellement renaissante.

En 1699 , l’Académie des sciences de Paris, usant de
la liberté que lui laissait un nouveau réglement, de
choisir huit associés étrangers, s’honora en y appelant,
à l'unanimité des suffrages, Jacques Bernouilli et son
frère. Is furent également associés en 1701 à l’Académie
de Berlin, récemment fondée, et qui se trouvait alors
sous la direction de Pillustre Leïibnitz.

Nous n'avons point eu l'intention d’exposer ici, même
d’une manière fort restreinte, les travaux si nombreux
ctsiimportans dans la théorie et l'histoire dela science, de

BE

Jacques Bernouilli, cette énumération nous entraîtierait
trop loin. Lenomde cecélèbre géomètre, souventrappelé
dans divers articles de ce Dictionnaire, y sera souvent
encore cité dans ceux qui sont spécialement consacrés
à expliquer ses découvertes. Nous nous bornerons à
dire qu’il a embrassé en homme de génie les parties les
plus élevées des mathématiques, qui doivent à ses tra-
vaux leur développement et leurs modernes progrès : il a
eu l'honneur de publier la première intégration d’une
équation différentielle; et la découverte du calcul des
variations, par Lagrange, est due sans doute à la solution
qu'il donne du problème des isopérimètres dont nous
allons parler à l’article de son frère Jean. Enfin, Jacques
Bernouilli fut naturellement amené par ses profondes
études du calcul différentiel, à concevoir tout ce qu’on
pouvait attendre du calcul des probabilités, que Pascal
et Huygens n'avaient encore considéré que par rap-
port aux chances des jeux. Il reconnut que ce calcul
pouvait s'appliquer à de hautes questions sociales. Mais
il n'eut pas le temps de réunir ses travaux dans cette
partie des mathématiques sous la forme de traité; cette
gloire fut réservée à Nicolas Bernouilli, son neveu.

Jacques Bernoulli, suivant Fontenelle et la plupart
de ses biographes , était d’un tempérament bilieux et mé-
lancolique, caractère heureux sous quelques rapports,
puisqu'il donne plus que tout autre l’ardeur et surtout
la constance nécessaire pour accomplirles grandes choses.
Cette disposition particulière le voua à des études assi-
dues et opiuiâtres. Dans toutes les recherches auxquelles
il se livra, sa marche était lente, mais sûre. L’habitude
des succès ne lui avait point inspiré une orgueilleuse
confiance; il ne publiait aucun travail qu’il ne l’eût
plusieurs fois et successivement soumis à un minutieux
examen, tantilredoutait le jugement du public, malgré là
vénération que ce public avait pour lui! Quand on songe
avec quelle légèreté on jette aujourd’hui dansle monde de
nouvelles idées, combien ne doit-on pas regretter les
habitudes des savans respectables qui nous ont précédés
dans la carrière, et dont les travaux étaient, pour ainsi
dire, empreints de l’austérité qui distinguait leurs vertus
privées. Les travaux continuels de cet homme célèbre,
causés par les devoirs du professorat qu'il remplissait
avec un rare dévouement, par l’avidité de savoir et
d'acquérir, et peut-être aussi la joie de ses succès, le
rendirent sujet de bonne heure à une grave affection
goutteuse. Les derniers accès qu'il eut à éprouver de
cette cruelle maladie le firent enfin tomber dans une
fièvre lente, dont il mourut le 16 août 1705, ägé
seulement de 5r ans. Il s'était marié à l’âge de 30
ans, et il laissa de son union un fils et une fille.
Voici sous quels titres il faut chercher ses ouvrages :
I. Jacobi Bernouïlli bastleensis opera: Genève, 1944,
in-4°, 2 vol, IL, Jacobi Bernouïlli ars conjectandi, opus

BE

posthumum , accedil tractatus de seriebus infinitis. Bâle,
1713, in-4°, un vol. La première partie de cet ouvrage
a été traduite en français, par L. G. T. Vastel. Caen,
1801, in-4°.

BERNOUILLI (Jean I), frère du précédent, naquit
à Bâle. le 27 juillet 1667. Il fut, comme son frère, des-
tiné à une carrière pour laquelle il n’éprouvait qu'un
dégoût invincible. Cette circonstance qu’on voit sou-
vent se reproduire dans la vie des hommes les plus
célèbres, quelle que soit l’époque où ils ont apparu sur la
scène du monde, accuse dans l'éducation sociale un vice
profondément enraciné. Lorsque le jeune Bernouilli eut
terminé ses études, il fut envoyé par son père à Neu-
châtel pour y apprendre à la fois la langue française
et le commerce. Mais le goût qu'il ne tarda pas à mani-
fester pour les sciences, l’enleva bientôt à des occupa-
Ligps auxquelles il ne s'était livré qu'avec répugnance.
Les mathématiques furent aussi l’objet vers lequel l’en-
traipa la voix du génie. I] fut d’abord le disciple de son
frère. Ses progrès furent rapides sous un tel maitre,
dont il devint en peu d'années le collaborateur, et ensuite
le compagnon de gloire. L'esprit élevé, mais inquiet ct
jaloux, de Jean Ber nouilli, le guida de bonne heure dans
le vaste champ des découvertes, où il acquit une re-
nommée que Les nombreux travaux de sa longue vie
ont confirmée de Ja manière la plus glorieuse ct la plus
éclatante.
| Les deux frères, qui suivaient la même carrière en
généreux émules, y devinrent enfin riYaux ; et il est
triste de dire que, dans la lutte souvent animée à
laquelle ils se livrèreut, le caractère de Jean Bernoulli
ue par ut pas toujours exempt d’amertume et d'i injus tice.
On sait que Jean Bernouilli se montra, comme son frère,
un aident promoteur des calculs nouvellement exposés
par Leibnitz, et dont nous avons parlé à l’articie bio-
graphique de Jacques. A l’aide de ces calculs, Jean
Bernoulli résolut un grand nombre de problèmes fort
difficiles, agités parmi les géomètres de ce temps; et
ses travaux dans ce genre servirent activement à l’avan-
cemént de la science. On trouve dans les Actes de Leip- t
zig béancoup d’écrits de ce savant géomètre ; ils renfer-
ment une foule de découvertes qui toutes ont été fort
utiles au perfectionnement du calcul intégral. Au nom-
bre de ces travaux qui ont mérité à Jean Bernouilli
une illustration si belle, il en est qui exigent, par leur
importance, une mention spéciale, tel est, par exemple,
le calcul exponentiel, dont l'idée créatrice appar tient il
est vrai à Leibnitz, mais qui peut néanmoins étre
regardée comme une découverte de Jean Bernouilli.
Ce fut en 1697 qu'il en publia les premiers essais, Aux
procédés pour différencier et intégrer les fonctions à
exposans variables, qui sont l'objet de ce calcul, il ajouta
la méthode pour intégrer les fonctions rationnelles,

BE 219

Nous avons déjà dit que l’histoire des géomètres du
nom de Bernoulli, et surtout celle de Jacques et de Jean,
serait l'histoire de la science même : nous ne pouvons
dans ces notices qu'indiquer seulement les principaux
travaux de ces hommes célèbres, surtout quand ils se
rattachent à des circonstances de la vie privée, que le
biographe nesaurait passer sous silence. Ainsi, nous par-
lerons rapidement des problèmes connus sous le nom de
brachystocrone et des isopérimètres, parce qu'ils ont don-
né lieu à des faits qui doiventservir à nous faire connaître
le caractère de ces grands géomètres. C'était alors l'usage
parmi les savans de s'adresser mutuellement des espèces
de défis, où le vaincu succombait sans honte, vu le
vainqueur, heureux des applaudissemens publics, ne son-
geait qu'à la gloire. Ces pacifiques combats tournaient
tous à l’avantage de la science, et caractérisent ce XVHI°
siècle si grand dans Fhistoire des progrès de l'humanité,
et qui en forme pour ainsi dire les temps héroïques.
Jean Bernoulli, peut-être un peu trop fier de ses talens,
susceptible, emporté, donna et reçut un assez grand
nombre de ces cartels scientifiques. Parmi les problèmes
les plus remarquables qu’il soumit aux géomètres ses
émules, celui de la plus courte descente mérite surtout
d'être cité. Deux points qui ne sont ni dans la même
perpendiculaire, ni dans la même horizontale, étant
donnés, il s’agit de trouver la ligne le long de laquelle
un corps roulant de l'un à l’autre y emploierait le moins
de temps possible. Bernouilli donna à ce problème le
nom de brachystocrone, nom dérivé du grec, et qui
signifie le temps le plus court (voyez ce mot). C'était
un de ceux que l’illustre Galilée avait vainement tenté
de résoudre. Tous les géomètres de l'Europe s'en occu-
pèrent alors: Leibnitz, Newton , Jacques Bernouilli, le
marquis de L’Hôpital envoyèrent des solutions ; Jean
Bernoulli après avoir prorogé le délai de six mois qu'il
avait accordé, en donna deux solutions qui ajoutèrent à
l'honneur qu'il avait acquis en proposant une décou-
verte si curieuse et si difficile.

Il était professeur de mathématiques : à Groningue,

tandis que son frère honorait la même chaire dans leur
patrie commune. Une émulation vive se mit entre les
deux frères, dit un célèbre écrivain contemporain x
émulation fomentée encore par leur éloignement qui les
réduisait à ne se parler presque que dans les j journaux,
et qui était propre à entretenir long temps entre eux le
malentendu, s’il en pouvait naître quelqu’ un. Enfin
l'aîné ramassant toutes ses forces, lança pour ainsi dire
un problème qu'il adressait non-seulement à tous les
géomètres, mais aussi à son frère en particulier, lui
promettant même publiquement une certaine somme
s'il le pouvait résoudre. Jean Bernouilli le résolut, et
même assez promptement ; mais il donna sa solution
saus analyse, Ce problème est célèbre, comme nous

220 BE
Vavons déjà dit, sous le nom des ssopérimètres. I] s'agis-
sait de trouver d’une manière générale, entre une infi-
nité de courbes qui ont le même périmètre, ou
la même longueur, celles qui, dans certaines condi-
tions, renfermaient les plus grands ou les plus petits
espaces, ou, en faisant une révolution autour de leur
axe, produisaient les plus grandes ou les plus petites
superficies, ou les plus grands et les plus petits solides.
Jacques Bernouilli trouva la solution de son frère dif-
férente de la sienne , et il demanda à voir l'analyse pour
connaître la cause de cette différence. Telle fut l’ori-
gine de la division qui régna depuis lors entre les deux
frères. TL résulte de l'opinion de tous les contemporains,
que dans ce triste démêlé Jean n'eut raison ni pour le
fond ni pour la forme, et qu’il opposa à la modération
de son frère Jacques une äâpreté et une véhémence qui
n'honorent point son caractère. Jean montra la même
susceptibilité et la même irritation avec un grand nom-
bre de savans dignes d’estime, tels que Taylor, Côtes
et Keil. FH accueillit même d’une manière peu encou-
rageante les succès de son fils Daniel et, loin de voir en
lui un digne successeur , il fut profondément affecté de
partager avec lui, en 1734, le prix proposé par l’Aca-
démie des sciences, sur la théorie des déclinaisons des
planètes. Cependant on a remarqué avec raison que,
malgré ces faiblesses, Jean Bernouilli, dont les travaux
sont si dignes de l'estime et de la reconnaissance de la
postérité, ne repoussa pas toujours le mérite. Il conser-
va en effet une constante amitié au grand Leibnitz,
placé encore plus haut que lui dans l’opinion publique.
Il accueillit avec empressement les premiers essais d'Eu-
ler, dont il fut le maître, et prouva quelquefois qu'il
savait mettre de la politesse dans la discussion , malgré la
violence qu’il apporta malheureusement dans ses démêiés
avec son frère, auquel aurait du l’attacher la reconnais-
sance que le maitre doit inspirer à l’élève. Jean Bcr-
nouilli a été membre de l’Académie des sciences de
Paris, de celles de Berlin, de Saint-Pétersbourg, de
la Société royale de Londres et de l’Institut de Bologne.
Il était professeur à Groningue depuis l'année 1605.
Après la mort de son illustre frère, il vint le remplacer,
en 1705, dans la même qualité, à l'université de Bäle,

où il est mort à l’âge de 80 ans, le 1°°

janvier 1748.

On trouve dans les Mémoires de l’Academie des
sciences de Paris, dans les Acta eruditorum de Leipzig,
et dans toutes les coltections littéraires et savantes du
temps, la plupart de ses productions qui furent recueil-
lies sous ses yeux, à Genève, par le célèbre Cramer,
en 1742, et publiées sous ce titre : Johann Bernoutilli
opera omnia. Lausanne et Geuève, 1742, in-4°, 4 vol.
On doit y joindre sa correspondance avec Leibnitz,
Got-Gul, Leibnitzi et Johan. Bernouilli,

commercium plilosophicum +1 mathematicum. Van-

intitulée :

BE

sanne et Gonève, 1745, in-4°, 2 vol. Jean Bernouilli
s'est aussi occupé de physique, de théologie et même
de poésie; mais nous n’avons point à apprécier son mé-
rite sous le rapport de ces divers travaux.
BERNOUILLI { Nicoas [), neveu des deux précé-
dens, naquit à Bâle, le 10 octobre 1687. Il suivit éga-
lement la carrière des sciences, et cultiva surtout les
mathématiques; mais les succès qu’il y remporta n’ont
pu, malgré son rare mérite, le placer au même rang
que ses illustres parens. Nicolas Bernouilli a été l’édi-
teur de l’Ars conjectandi de son oncle Jacques, et il a
résolu d’une manière brillante plusieurs des problèmes
proposés par Jean Bernouilli. Il est juste de remarquer
que le germe de la théorie des conditions d’intégralité
des fonctions différentielles, se trouve dans la solution
de l’un de ces problèmes. Il a successivement professé à
Padoue les mathématiques et la logique, et la science
du droit à Bâle. Membre de l’Académie de Berlin, de
la Société royale de Londres et de l’Institut de Bologne,
Nicolas Bernouilli est mort à Bäle, le 29 novembre
1759. Ce géomètre n’a point publié d’écrits séparés.
On trouve quelques morceaux de lui dans les œuvres de
Jean Bernouiili, son oncle, dans les Acta eruditorum
de Leipzig, et dans le Giornale de’ Letterati d'Italia.
BERNOUILLI ( Nicozas IT), fils aîné de Jean Ber-
nouilli, naquit à Bäle, le 27 janvier 1605. Il hérita,
sinon des talens, au moins dés heureuses dispositions
que son père avait montrées des l’enfance pour les ma-
thématiques. Objet des prédilections paternelles , il put,
dès l’âge de seize ans soulager Jean Bernouilli dans sa
correspondance avec les savans. On sait au reste peu
de choses sur ce géomètre, dont le nom se perd dans
les rayons de gloire qui environnent celui de son père.
En 1925, il fut appelé à Saint-Pétersbourg, avec son
jeune frère Daniel, pour y professer les mathématiques.
Une maladie cruelle l'enleva tout à coup dans cette
ville à la science et à sa famille le 26 juillet 1726. Les
œuvres de Jean Bernouilli et les Acta eruditorum de
Leipzig contiennent quelques-uns de ses mémoires sur
diverses branches des sciences mathématiques.
BERNOUILLI (Daxier), second fils de Jean Ber-
nouilli, géomètre célèbre et digue de son nom, naquit
à Groningue, le 9 février 1760. Par une étrange bi-
zarrerie, sa famille voulut le destiner au commerce;
mais il ne montra pas plus de goût que son père n’en avait
montré lui-même pour cette profession. Il parut plus
disposé à étudier la médecine, science dans laquelle
il prit le grade de docteur. Au milieu de ses études,
ses dispositions naturelles pour les mathématiques , dont
son père lui avait donné des leçons, se manifestèrent
avec force. Il continua néanmoins, en Italie, sous Mi-
chelotti et Morgagni, à étudier à fond: les diverses bran-

ches de la médecine, et il ne tarda pas à prendre part aux

BE

discussions des géomètres, et à s’acquérir une brillante
réputation. Il refusa à vingt-quatre ans la présidence
d’une Académie nouvellement fondée à Gênes, et accom-
pagna son frère à Pétersbourg, où il professa les mathé-
matiques. Il quitta cette ville en 173, revint se fixer
dans sa patrie, où il occupa successivement une chaire
d'anatomie et de botanique , de physique et de philoso-
phie spéculative. C’est là qu’il s’occupa de la mécanique,
dont il démontra les principes fondamentaux avec plus
de précision et de rigueur qu'on ne l'avait essayé jus-
qu'alors. Son Traité d'hydrodynamique est fort estimé,
bien qu’il soit fondé sur un principe indirect, celui de
la conservation des forces vives : c’est en effet le pre-
mier ouvrage qui ait été publié sur ce sujet aussi diffi-
cile qu'important.

Daniel Bernouülli, doué d’une rare sagacité, et remar-
quable par son assiduité au travail, s’est rendu célèbre
par les nombreux mémoires académiques qu’il a publiés.
Ses biographes citent parmi les sujets qu'ilatraités, et qui
offrent des applications utiles et des résultats piquans par
leur singularité , ses recherches sur l’inoculation , sur la
durée des mariages, sur le milieu pris entre des obser-
vations, sur la détermination de l'heure à la mer lors-
qu'on ne voit pas l'horizon. Il a également traité d’une
manière fort remarquable deux questions d'astronomie
physique: la première, concurremment avec son père,
sur l'inclinaison des orbites planétaires; la seconde, sur le
flux et le reflux de la mer. Il partagea le prix proposé pour
la première, en 1734, avec son redoutable rival; et
celui de la seconde, en 1740, avec Euler, Maclaurin, et un
autre-personnage dont le nom n’est pas connu. C’est à
l'occasion du concours de 1734, que Condorcet s’ex-
prime ainsi, dans son éloge de Daniel Bernouilli :
« Jean, dit-il, ne vit dans ce fils qu’un rival, et dans
son succès qu’un manque de respect qu’il lui reprocha
long-temps avec amertume. » Le célèbre écrivain dont
nous venons de rapporter quelques paroles , a exposé
avec l'élégance et la précision qui caractérisent son talent,
les tœavaux et la marche de l'esprit de Daniel Bernouilli.
11 fut associé étranger à l'Académie des sciences de Paris,
et se fit assez long-temps une sorte de revenu des prix
qu'elle proposait : il les a remportés ou partagés dix
fois. Cet illustre savant a été membre des Académies de
Saint-Pétersbourg , de Berlin et de la Société royale de
Londres. Environné de respect et d’admiration , d’un
commerce doux et agréable, Daniel Bernouilli eut une
vie très-heureuse : il conserva dans un âge très-avancé
toute sa présence d'esprit, toute la force de sa haute
raison : il ne se fit remplacer dans ses fonctions de pro-
fesseur, par son neveu Jean Bernouilli, qu'à l'âge de
soixante-dix-sept ans; il en avait quatre-vingt-deux
quand il mourut à Bäle le 17 mars 1782. Ses ouvrages
mathématiques sont : 1. Danielis Bernoulli e xercita-

BE

tiones quædam mathematicæ. Vencetis, 1724, in-4°,

224

1 vol. IL Danielis Bernoutlli hydrodynamica, seu de vr-
ribus el motibus fluïidorum commentarti, opus academi-
cum ab auctore dum Petropoli ageret, congestum. Ar-

»

gentorati, 1738, in-4°, 1 vol. Ses divers mémoires sur
les autres branches des sciences mathématiques et phy-
siques n’ont point été recueillis ni imprimés séparé-
ment des collections académiques où ils se trouvent.
BERNOUILLI (Jean IT), troisième fils de Jean I
Bernouilli, uaquit à Bâle, le 18 mai 1710. Comme les
autres membres de sa famille, il s’est distingué ‘dans les
sciences mathématiques qu'il professa à Bâle, en 1743,
dans la chaire illustrée par son oncle Jacques et par sou
père. Il a concouru avec son trère Daniel, pour les
prix proposés par l’Académie des sciences de Paris.
Trois de ses mémoires + ont été couronnés; ce sont :
celui sur la propagation de la lumière, celui sur le ca-
bestan , et celui sur l’aimant. Membre de l’Académie de
Berlin, il est mort à Bâle, le 17 juillet 1790.
BERNOUILLI (Jran I), fils du précédent, est
également né à Bâle, le 4 novembre 1744. Ses disposi-
tions naturelles le portèrent vers les mathématiques,
l'astronomie et la philosophie. Ses études, qu’il acheva
à Bâle et à Neuchâtel, furent dirigées dans ce sens. Il
acquit de bonne heure une éclatante réputation, etil
n’était âgé que de dix-neuf ans quand l'Académie de
Berlin l'appela dans son sein comme astronome. Après
avoir obtenu la permission de voyager, et avoir visité
la plus grande partie de l'Europe, il revint, en 1779,
se fixer à Berlin, où il fut nommé directeur de la classe
des mathématiques de l’Académie, et honoré du titre
d’astronome royal. Jean Bernouilli a aussi étéémembre
des Académies de Pétersbourg et de Stockholm. Il est
mort à Berlin le 13 juillet 1803. Il est le dernier de cette
illustre famille qui ait rendu son nom célèbre dans notre
siècle. Ses travaux sont nombreux; nous ne citerons ici
que ceux qui ont les mathématiques pour objet. L. Ae-
cueil pour les astronomes, 1772-76, 3 vol. in-S°.
IT. Lettres astronomiques, 1781. TT. Élémens d’al-
gébre d'Eurer, traduits de l'allemand. Lyon, 1585,
2 vol. in-8°. Il à publié avec le professeur Hindenburg
trois années du Magasin pour les sciences mathéma-
tiques. Un grand nombre de ses observations 5e relrou-
vent dans les Mémotres de l’Académie de Berlin, et
dans les Ephémérides astronomiques de cette ville.
BERNOUILLI (Jacques 11), frère du précédent,
naquit à Bâle, le 17 octobre 1759. C'est le dernier de
cette pléiade de savans, dont uous n'avons pu que rap-
peler succinctement les titres à la gloire. Il n’a point eu
une destinée aussi brillante. Jacques Bernouilli fat le
disciple de son oncle Daniel, et c’est lui qui fut son
suppléant à la chaire de physique de l’université de

Bâle. Mais il ne put lui succéder. L’inquiétude de son

BE

esprit, ou le chagrin d’avoir échoué dans ime espérance

223

que son nom et ses talens avaient du lui faire légitime-
ment concevoir, le porta à voyager. Il vint se fixer à
Pétersbourg, où il occupa une chaire de professeur de
mathématiques, et s’unit à une petite-fille d’'Euler. Il
était membre de l’Académie de cette ville, de la Société
de physique de Bäle, de la Société royale de Turin. Ses
premiers travaux insérés dans les Nova acta Academ.
Petropol., donnaient une haute idée de ses talers, et
annonçaient qu'il allait marcher sur les traces de son
oncle Daniel ; mais il périt tout à coup d’une attaque
d’apoplexie, à l’âge de trente ans, en se baignant
dans la Néva. Ce malheur arriva le 3 juillet 1780.

BÉROSE. Deux personnages de ce nom, dont l’un
se serait rendu célèbre par des travaux astronomiques,
et l'autre comme historien, ont-ils existé dans l’anti-
quité, ou ne sont-ils en effet que le même individu?
Cette question toute littéraire ne saurait être résolue
ici. Pline parle d’un astronome chaldéen, nommé Bé-
rose, à qui les Athéniens avaient élevé une statue, dont
la langue était d’or, pour faire allusion à son éloquence.
Vitruve en parle avec plus de détail, comme d’un prêtre
de Babylone, contemporain d’Alexandre. I] lui attri-
bue l'invention d’un cadran solaire de forme semi-cir-
culaire, et qui pouvait recevoir une position conve-
nable à diverses latitudes. La détermination précise de
ce fait intéresserait sans doute l’histoire de la gnomo-
nique, mais il n’y a pas d'espoir d’y arriver aujourd’hui.
Bailly, dans l'Histoire de l'astronomie antique, s'est
malheureusemont appuvésur les absurdités apoeryphes,
publiées à diverses époques sous le nom de Bérose, pour
donner à la civilisation et aux connaissances humaines
une antiquité impossible.

BEZE ou ALBEZE. Nom que nos anciens astro-
noines ont prétendu mal à propos avoir été employé
par les Arabes pour désigner la constellation du Cen-
taure.

BEZOUT (Ériexxe), mathématicien distingué, est
né à Nemours, le 31 mars 1730. Le nom de cet esti-
mable géomètre est cher aux hommes de notre généra-
tion qui ont puisé les premières notions de la science
dans ses ouvrages élémentaires. On a peu de détails sur
son éducation et ses premières années; on sait seule-
ment qu'il fut obligé, par son peu de fortune, de donner
de bonne heure des leçons particulières de mathéma-
tiques. Cette situation pénible n'éteignit point en lui,
par la fatigue et le dégoût qu’elle inspire souvent, la
noble ambition de pénétrer dans les régions les plus
élevées de la science. La persistance et le généreux en-
thousiasme de Bezout ne lui furent point défavorables.
L'Académie des sciences distingua plusieurs de ses mé-
moires, et l'appela dans son sein en 1758; le duc de
Choiseul le plaça, en 1763, à la tête de l'instruction

BE

de fa marine royale, comme examinateur des gardes
du pavillon. Ce fut cette circonstance qui valut à la
France la publication d’un cours complet de mathéma-
tiques, où Ja science est exposée avec autant de clarté
que d’élévation.

Les travaux de Bezout sont trop généralement connus
de toutes les personnes qui cultivent les mathématiques,
pour qu'il soit nécessaire de les énumérer ici, même
d’une manière sommaire; il nous suffira de dire que,
s’il s’est rendu célèbre par ses ouvrages élémentaires, |
ses recherches sur la résolution des équations algébriques
lai ont mérité une place distinguée parmi les mathé-
maticiens de son époque. Le caractère de cet excellent
et honorable professeur lui mérita toute sa vie une
considération digne d'envie, comme sa réputation de-
viut populaire par les nombreuses éditions de ses cours.
Sa vie a été paisible, pure et heureuse. Condorcet a
relevé, dans l’éloge de ce géomètre, un trait qui ho-
nore à la fois, suivant nous, son courage et la bonté
de son cœur. Deux jeunes aspirans de la marine à
Toulon étaient malades de la petite-vérole que Bezout
n'avait pas eue. [Il était alors dans un âge déjà avancé, et
il eüt été dangereux pour lui de contracter à cette époque
cetie cruelle maladie. Mais il n’hésita pas entre cette
crainte et celle de retarder d’un an l'avancement de
ses jeunes disciples : it alla les examiner dans leur lit.
On ne dit pas que Bezout ait eu l'habitude de n’agréer
que ceux de ces élèves qui avaient étudié les mathéma-
tiques dans ses livres ; les professeurs de notre époque
ont seuls le triste droit de réclamer l'honneur d’un
pareil progrès. Etienne Bezout est mort à Paris, le 27
septembre 17583. Ses ouvrages, souvent réimprimés,
sont : I. Cours de mathématiques à l'usage des gardes
du pavillon et de la marine. Paris, 6 vol. in-8°, y
compris son Zraïtc de la navigation. I. Cours de ma-
thématiques à l'usage. du corps royal de l'artillerie.
Paris, in-8°, 4 vol. II. T'corie générale des équañons
algébriques. Paris, 1779, in-4°, 1 vol.

BILLION ( 4rith.) Mille millions. Un billion est
une unité du dixième ordre : on l’écrit 1 000 000 000.
Dans l'usage ordinaire on se sert plutôt du mot nulliard
pour exprimer les quantités de cet ordre. Foyez Arnira-
MÉTIQUE. |

BIMÉDIAL ( Géom. ). Terme inusité aujourd’hui,
employé par Euclide pour désigner la somme de deux
droites commensurables seulement en puissance. Cette
somme est toujours incommensurable par rapport à
l'une des deux lignes composantes. J’oyez Evcur,
livre X, prop. 33. |

BINAIRE. Nombre binaire. C'est un nombre com-
posé de deux unités.

ARITHMÉTIQUE rBINAIRE. Nous avous vu ( ArtTu. IE. ),
que le problème fondamental de l’arithmétique est la

BE

construction de tous les nombres, au moyen d’une
quantité limitée de nombres que l’on considère comme
simples ou comme donnés immédiatement. Or, cette
quantité de nombres simples est entièrement arbitraire,
et si l'échelle décimale de la numération indienne a été
généralement adoptée, c’est qu’elle présentait un avan-
tage tellement frappant sur la numération grecque, que
personne ne s’est avisé de rechercher si une autre
échelle composée de plus ou de moins de dix carac-
tères, ne rendraient pas l'exécution des calculs plus
simple et plus facile. Cependant le choix de l'échelle
décimale, déterminée sans doute primitivement par
l'usage umversel de compter par périodes de dix, n’est
pas le plus avantageux qu'on aurait pu faire, car une
échelle de douze chiffres simplifierait singulièrement le
plus grand nombre des opérations. ( F’oyez Numéra-
sion.) De toutes les échelles de numération, la plus
sunple est évidemment celle qui ne serait composée que

de deux chiffres
Oureb ES

Or, l'aritimctique binaire est précisément fondée sur
cette echelle numérique.

1. Pour exprimer tous les nombres à l'aide des deux
caractères O6 et 1, on assigne au chiffre 1, outre sa va=
leur absolue, une valeur relative dépendante de la
place qu’il occupe. Ainsi, 1 isolément désigne une unité;
1 à la seconde place, tel que 10, exprime une dixaine;
mais ici la dixaine ne se compose que de deux unités;
1 à la troisième place, tel que 100, exprime 10 fois 10,
c’est-à-dire 4 unités; 1 à la quatrième place, tel que
1000, exprime 10 fois 100, ou 8 unités. Enfin, le carac-
tère 1 vaut 2 fois plus à la seconde place qu’à la pre-
mière, 2 fois plus à la troisième qu’à la seconde, ou 4
fois plus qu’à la première, 2 fois plus à la quatrième
qu'à la troisième, ou 8 fois plus qu'à la première, et
ainsi de suite. C’est absolument le même principe que
celui de notre numération décimale ; seulement, au lieu
d'augmenter de dix en dix en allant de droite à gauche,
les chiffres croissent de deux en deux.

2. Ilest facile de voir que tous les nombres quel-
conques peuvent s'exprimer dans le système binaire
aussi bien que dans le système décimal, et que

Système binaire. Système décimal,
HCXPAIME eee LT
TO der eisete sete 00

Ilossoosoeoosoeeoese

LOT srsielois slotsjeis nles 0e o10.e

TlOsis ee ses scies celO
TT. sarcie s'ietqee, 7
TOOD se ss et elere RE PA
MOOD ae béritenelera à amiens NO)

225
Système binaire, Système décimal,
TOIOI-csennes ete 58e O
LOT -s Pris lnemte ait ae STI
TIOOsssoute 6$ Juyson 12
LIOLsétastn SVT 425 D
LÉO Milenlece ter 107%
1ITTMe ue emasso ss ONs
10000 .16 4 does es 10
ÉtCS te PRIS RS IRIS

Sans la grande quantité de figüres qu'il faut pour
exprinier des nombres, iiême très-petits , mille ; par
exemple, exige déjà dix figures : 1r11100100, l'arith-
métique binaire serait supérieure à la nôtre, car les
opérations les plus compliquées n'y présentent aucune
difficulté, puisqu'on n'opèrce jamais que sur l'unité, et
que, par conséquent, les multiplications et les divi-
sions pourraient s'effectuer aussi facilement que les
additions et les soustractions, Mais la prolixité des fi-
gures est un inconvénient tellement grave qu'il détruit
tous ces avantages,

3. Leibnitz, à qui nous devons la première idée
de l'arithmétique binaire, pensait que dans des recher-
ches difficiles elle pourrait conduire à des spéculations
plus élevées que l’arithmétique ordinaire, et nous
croyons avec lui qu'il est possible d’en faire des appli-
cations importantes. C’est une question qui sera traitée
ailleurs. Voyez LocariTaMEs.

Le père Bouvet, célèbre jésuite, missionnaire de la
Chine, à qui Leibnitz avait communiqué son invention,
lui écrivit qu'il était convaintu que l’arithmetique. bi-
naire donnait le véritable sens d'une ancienne inscrip-
tion chinoise laissée par l’empereur Fohi, et dont l'in-
telligence s'était perdue depuis près de mille ans, mal-
gré les recherches des lettres, qui ne voyaient plus dans
ce monument qu'une allégorie puérile ou chimérique.
Cette inscription consiste dans différentes combinaisons
d’une ligne droite et d’une ligne brisée, en supposant
avec le père Bouvet que la ligne droite ——, exprime
l'unité, et la ligne brisée — — zéro, on trouve les
mêmes expressions des nombres que donne l’arithmc:-
tique binaire ; ainsi les figures

—d
—
nt cn un mes cm Meme Gen DO MONMNENENN SEEN CNE MEN

us ms mms SEE CNE MES DE en LES
nn — ee me st ns nn ÉNN s nns

signifieraient

D LUE — 14 ,5-8n0 cé EN 0.6 L , 7e
Cette conformité des combinaisons des lignes de Folu
et des deux uniques caractères de l’arithmétique de
Leibnitz, fit croire au père Bouvet que Fohi et Leiboitz

avaient eu la même pensée.

4. A1 nous reste à exposer le moyen de traduire en
arithmétique binaire un norabre écrit dans notre sys-
tème, et réciproquement. Soit, par exemple, 29 à expri«

224 BE

mer en système binaire; on divisera 29 par 2, ce qui
donnera un quotient et un reste. Le reste sera le pre-
mier chiffre cherché ou le chiffre du premier ordre.
On divisera de nouveau le quotient trouvé par 2, et
lon obtiendra un nouveau quotient et un nouveau
reste : ce nouveau reste sera le chiffre du second ordre;
on divisera encore. le dernier quotient par 2, et l’on
continuera de la même manière, en divisant successive-
ment chaque dernier quotient par 2, jusqu'a ce que
l'opération ne soit plus possible. Les restes des divisions
seront les chiffres du nombre donné, exprimé dans le
système binaire; ainsi,

29

; 14,reste 1, = 3, reste 1,

— = 7, reste o,

D (3

3 L
- = 1,reste1, —— oO, reste 1.
2 2

29 sera donc exprimé par 11101.

De même, pour traduire 17 eu arithmétique bi-
paire, On aura -

= 9, resteo ,

LI

1 8

11 = Greste 1, — = À, reste o
? D +

2 2

2 1
— = 1,resteo, — = 0, reste I,
2 2

donc 17 est exprimé par 10001.

5. Lorsqu'il s’agit au contraire de traduire em arith-
métique décimale un nombre écrit dans le système bi-
naire , il suffit de former une table des puissances de 2,
et une simple addition donne immédiatement l’expres-
sion demandée. En effet, le nombre 11101, par exemple,
est composé d’une unité simple, d’une unité du troi-
sième ordre, d’une du quatrième et d’une du cinquième.
Or, dans notre numération, l'unité du premier- ordre
vaut 1, celle du troisième vaut 2 — 4, celle du qua-
trième vaut 2? — 8, et celle du cinquième vaut 24 = 16,
le nombre 1101 vaut donc

1+o+4+8—H 16 = 29.
Ces transformations sont trop simples pour qu'il soit
besoin d'entrer dans de plus longs détails, les principes
sur lesquels elles reposent devant être d’ailleurs expo-
sés à l'article NumÉRATION.

BINOME (Ælg.) (de Bis, deux fois , et de vou, part).
Quantité composée de deux parties ou de deux termes.
Ainsi, AB, a+ 3x, ba—x, 8x — 3a«b, etc.,
sont des binomes.

Une quantité qui n’a qu’un seul terme se nomme »10-
nome. On lui donne le nom de trinome lorsqu'elle en a
trois, comme A+ B—C, et en général celui de poly-
nome ou multinome.

Binome ne Newron. On donne ce nom à la formule
qui exprime le développement d’une puissance quel-

BE

conque d’uu binome. Cette formule, l'une des plus im-
portantes de l'algèbre, et qui forme la première loi
théorique de la scieuce des nombres, fut découverte
par l'immortel Newton dès ses premiers pas dans la
carrière qu'il parcourut avec tant de gloire. Voici en
quoi elle consiste : Soit a + b un binome quelconque
et x un nombre également quelconque, positif ou ñé-
gatif, entier ou fractionnaire, on a (74)

m(In—

(a+b}" = a" LE mani b + D us be +

m(m—1)(rr—2)
1:2:3

Lorsque »2 est un nombre entier positif, le second
membre de cette égalité a un nombre fini de termes;

— am—5 bi + etc.

mais , dans tous les autres cas, ce nombre est infini. Si
nous faisons, par exemple, m=3, le cinquième cocff-
cient
m(m—1) (m—2) (m—3)
1.294

devient o à cause du facteur (#1—3) qui devient 3—3—
—0; et comme ce facteur entre également dans tous les
coefficiens suivans, l'égalité (m1) se réduit à

(a+b) = a 3ab + 3abr + bi,
Lorsqu’au contraire l’exposant 2 est négatif ou frac-
tionnaire, aucun facteur ne devient o, et le second

membre de (”) a un nombre indéfini de termes. Si,
par exemple, »2——1, nous aurons

(a+ b) = a a? b + a br — a 4b5 + etc, à l'in-

fini.
D'où
ar Mb Ab DE Di Et
(a + b) A mate ete, à l'infini.
Si m—"+, nous aurons
a Ta ÉG— 1) à
(@+D za tra F4 a +
ee 5
+ RE T a bi Letc.
ou
+ + SU , À
(a+b) = « [r+iis |

Ce théorème se démontre très-facilement lorsque »2
est un nombre entier positif. En effet,

Pour avoir la puissance 72 d’un binome (a+4-b), il faut
observer que, d’après les lois de la multiplication
(Foy. Murrirzicarion), cette puissance doit se compo-
ser de la somme de tous les produits formés par toutes
les combinaisons »2 à m des deux lettres & et b. Par
exemple, le produit de a + b par a4-b. ou la seconde
puissance de (a4-b) est

aa + ab + ba + bb,

BI

ou la somme des produits deux à deux des lettres à, b;
et ces produits se trouvent exprimés par toutes les coni-
binaisons deux à deux de ces mêmes lettres. Si l’on
multiplie cette dernière quantité par a+, le résultat

aaa + aab + aba + baa + abb + bab bba + bbb,

ou la troisième puissance de a+ b, contient la somme
des produits exprimés par toutes les combinaisons érois
à trois des lettres a et b.

De même, en multipliant encore cette dernière quan-
tité par a+b, on formerait la quatrième puissance
de a+b, qui serait évidemment composée de tous les
produits formés par les combinaisons quatre à quatre
des deux lettres a et h, et ainsi de suite.

Le produit de » binomes a+-b, ou la puissance m
du binome &æ+- b doit donc contenir la somme de tous
les produits formés par toutes les combinaisons 73 à m3
des deux lettres a et b.

Mais des groupes différens de combinaisons peuvent
exprimer le même produit, ab, par exemple, est la
même chose que ba; abb, que bab, ou que bba, etc.,
etc. (roy. ALGÈsrE, 7 et 11); il faut donc remarquer
qu'un produit quelconque se trouve, de cette manière,
répété autant de fois que les lettres qui le composent
admettent entre elles d’arrangemens différens ou de
permutations. Si l'on demandait donc, par exemple,
la quatrième puissance de (a+4-b), il faudrait commen-
cer par former les groupes de combinaisons qui ne con-
tiennent pas les mêmes lettres, tels que

aaaa , aaab , aabb, abbb, bbbb;

et ensuite on donnerait à chacun de ces produits tous
les arrangemens différens dont les lettres qui les com-
posent sont susceptibles pour former toutes les autres
combinaisons. On aurait donc

aaaa + aaab + aabb + abbb + bbbb
+ aaba + abab Æ babb
+ abaa + baab + bbab
+ baaa + baba + bbba
—+ bbaa
+ abba.

D’où l’on conclurait :
(a+ bi = ai Lab Æ Gab? Æ 3ab3 + bé,

On doit donc considérer-deux espèces de groupes de
combinaisons, savoir: ceux qui expriment des produits
différens, tels que aaab et aabb, et ceux qui expriment
le même produit, tels que aaab et abaa. Les premiers
se nomment simplement combinaisons, les deux en-
semble se nomment combinaisons avec permutations :
ainsi, aa, bb, ab, sont les combinaisons deux à deux
deaet deb,et aa, ab, ba, bb, sont les combinaisons
deux à deux avec permutations des mêmes lettres,

BI 295
Pour former la puissance »# d’un binome a+b, il ne
faut donc que former toutes les combinaisons m2 à m des
deux lettres a et b, prendre les permutations de chaque
combinaison , et la somme de tous les groupes exprime
la puissance demandée.
Or, les combinaisons » à m de « et de b sont :
a répété 71 fois, ou
AAA A Ailirres —=A7,
a répété »—1 fois, et b une fois, ou

a répété 77 —2 fois, et b deux fois, ou

a.a.a.a.. = ani,

BoBililrsc ob = AIR,

arépété m—3 fois, et b trois fois, ou

a. a.a.a.....b.b,b = an-3b5,
etc. etc.
Et enfin b répété m fois, ou
bb: bib:b. =:

Chacun de ces groupes doit se trouver à son tour ré-
pété autant de fois qu’il admet de permutations.

Pour avoir l’expression générale de la puissance 7#
du binome a+b, il ne s’agit donc plus que de connaîi-
tre le nombre des permutations qu’admet chaque groupe
de combinaisons, représentant un produit différent. Car,
désignant par À, le nombre des permutations du groupe
exprimé par a"—tb, par A, celui du groupe a—b;
par A; celui du groupe a"—b?, et ainsi de suite, nous
aurons évidemment (n\

(a+-b}" = an HA, am—1 DH A, am—2 D +
A, am—3 B+etc.... + A4 abm—1 Lhn

Les groupes a”, b", n’admettent point de permuta:
tions, puisqu'ils sont composés d’une seule lettre.

On sait, d’après la théorie des permutations, qu’un
groupe de »2 lettres différentes admet un nombre de
permutations représenté par le produit

1.2.3.4.5.6.7..(m—1).m,

c’est-à-dire par le produit de tous les nombres entiers
depuis l'unité jusqu'a m. Et que si ce groupe ne con-
tient que deux lettres différentes , il faut, pour connai-
tre son nombre de permutations, diviser ce produit gé-
néral par le nombre des permutations que pourrait for-
mer la quantité de chacune de ces lettres, si elles étaient
différentes.
Ainsi, lorsqu'un groupe de m lettres a et b contient
n fois la lettre b, et m—n fois la lettre a, le nombre de
ses permutations est exprimé par (4)
1.2.3.4.5.6..(m—1)m
1.2.3..(m—n).1.2.3..n

Voyez PERMUTATION.
29

226 BI

Ceci posé, if est facile de trouver la valeur des coef-
À; , Ày, ele,
dans l’expression (n); car A; , désignant le nombre des

ficiens que nous avons désignés par A; ,

permutations d’un groupe de deux lettres dans lequel
une de ces lettres se trouve une fois, est égal à

1.2:3.4:..(m—i)m
dd (SD EU

A; , désignant le nombre des permutations du groupe
dans lequel a 5e trouve m— 2 fois et b,2 fois, est
égal à

1.9.3.4...(m—1).m mi)
1.2:3...(0—9).1.9 1.2

Enfin, faisant successivement n—2, n=3, n—4,etc.,
dans l'expression générale (a), on trouvera de même

m(m—1)(m—2)

1:23

m(m—i)\m—92)m—3)

152364 |

A3 , A,

etc., etc.
La puissance 72 du binome (a+b) est donc définiti-
vemeént

—

(a+b)"— a+ mail LÀ 1) a"

m(m—1)(m—9) m—3
( X VE

3
1209 suis

dont la loi de génération des termes est visible,
Si l’on voulait, au moyen de cette expression générale
trouver la quatrième puissance de (ab), il faudrait

commencer par calculer les coefficiens 72, ee ,
etc., en faisant m = 4, on trouverait
m = 4
m(m—1) _4:3
ENCORE
n—i)(n—2) 4.3.2 4
FAT ES ne
mm—i1Xm—2\m—3) 4.3.2.1
1:92.3:4 T Roe3.4
m(m—1Xm=2\m—3Xm—#) 4.3:2.1.0
2.3.4 MÉNTS TiS

1 n’y a donc plus de termes passé le cinquième, et
Ja puissance demandée est

(a+ bi = ai b+Geb ab 4;
comme nous l’avions déjà trouvé ci-dessus.
Foutés les considérations particulières sur la forme
- de l'expression générale (2),
ses termes , toujours égal à 2241, Fégalité des cocffi-

telles que le nombré de

ciens également éloignés des extrémités, elc., etc.,
pouvant se déduire sans aucune difficulté de cette ex-

pression méine où de Fi marche qui nous v a conduits,

BI

nous nous coutenterons de faire remarquer une pro-
priété des coefficiens qui consiste en ce que leur somme,
pour une puissance quelconque n, est égale à 2° , et
que la somme des coefficiens de l’ordre impair, c’est-à-
dire le premier, le troisième, le cinquième, etc. , est
toujours égale à la somme des coefficiens de l’ordre
pair. En effet, dans l'expression générale (n) faisons
a—1 et b=1, nous aurons

iles n(n—1\n—2)

1:29

QG+1)" = 27 =1+° + —
+ etc...

Faisons actuellement a=— 1, et b —— 1, nous aurons

— +

En PRE ner

I1)} =O—=I—-
( ) I 1,2 1:2:8
etc...

Or, cette dernière égalité ne peut avoir lieu qu’au-
tant que la somme des coefficiens positifs est égale à la
somme des coefficiens négatifs, ce qui est la même
chose que la propriété énoncée.

L'expression générale (m1) a été gravée sur le tombeau
de Newton,
l’une de ses plus brillantes découvertes. Nous devons

dans l’abbave de Westminster, comme

dire cependant que le cas des puissances entières posi-
tives avait été entrevu par Viète et surtout par Briggs

(Voy.

même dans ce simple cas, ne s'était élevé à la forme gé-

Trigonometria britarnica): mais aucun d'eux,

nérale des coefficiens

te ...(nm— n + he
rB O4 s si

forme qui constitue la /oi du développement. Ainsi,
quelqu'emprunt que Newton ait pu faire à ses devan-
ciers, il lui reste l'honneur plein et entier d’avoif fe-
connu que l'expression qui porte lé nom de son binôme
embrasse toutes les valeurs de l’exposant »1. La pre-
mière communication qu'il fit de cette importante dé-
couverte se trouve dans une lettre écrite à Oldenbourg,
le »{ octobre 1676; il paraît qu’il y fut conduit par l'é-
tude du célèbre ouvrage de Wallis : l’Arithmetique de
l'infini. Le binome fut donné par Newton sans démon-
stration; mais la grande utilité de cette formule la ren-
dit bientôt l’objet des travaux des mathématiciens : Jac-
ques Bernouïlli, Moivre, Euler et d’autres, en donnè-
rent diverses démonstrations; cependant, mêmeé au-
jourd’hui, il n’en existe pas encore une entièrement sa-
tisfaisante pour le cas général de l’exposant quelconque;
le plus grand nombre des démonstrations connues ne
sont rigoureusement que des vérifications ; les autres,
fondées sur le développement des fonctions en séries,
sont de véritables cercles vicieux dans lesquels on re-
garde comme établi ce qui est précisément en question.

L'examen de ces démonstrations nous entrainerait trop

”

f

: BI
loiu, et n’est point d’ailleurs notre objet. Nous devons
nous contenter de donner ici les formes particulières de
l'expression (#), dont nous aurons l’occasion de faire
de nombreuses applications. Lorsque 72 est entier, posi-
tif, ou négatif, on peut donner au binome les formes
suivantes, plus commodes pour les calculs,

m(m—1) a

+

1.2 ‘bt

HD" [ins AUS

m(m—1)(m—2) b

+ Ed etc. |

1.2.3
Cu Ltd Et” Port 2
DITES TS Ox Tee
et = fin DE —
Sr etat]
an "fs + Li sr

mm x )(rm 4) b

Sie 15330

ste]

Dans le cas de »2 fractionnaire, on trouve également

(a-+bÿ — =az “[° KE + p? 2 + Bb E D Hd |

g 1.2

+ P(P—9)(P pe UP + ae]

y db?
roy Ath La —

& q a g:1.2 @
__np+g)(p+2q) b

PA RE TIC a + ete. |

Quand b est négatif, il faut changer les signes des ter-
mes qui contiennent des puissances impaires de b dans
ces deux dernières expressions. #oy. ExTrAGTION Des

RACINES.
BiNOME DES FACTORIELLES. Xramp et Æ#rbogast ont

donné le nom de factorielle au produit des termes
d’une progression arithmétique, tel que

a.(a+r).(a4-2r).(a+-3r)..

que Vandermonde ; auquel on doit la découverte de ces

etc,

fonctions très-importantes (voy. Mém. de l'Ac. des se.,
1772) , avait désigné sous celui de puissances du second
ordre. Nous adopterons ici la dénomination de Kramp
ainsi que sa notation, plus commode que celle de Van-
dérmonde , et surtout beaucoup plus simple que celle
que Legendre, on ne sait trop pourquoi, a voulu lui

BI

substituer. Nous poserons donc

arr = a(a+r) (a4-2r) (a43r). ... (a{m—i}r).

Voy. l'article FactTorIELLE.
Nous aurons ainsi
alr=a
æV = a(a+r)
aÿlr = a{a+r) (ar)
air = a(a+r) (a+-2r) (a4-3r)
etc, etc.

Sans entrer ici dans des détails qui se trouveront autre
part, nous allons exposer le théorème principal des fac-
torielles, qui est : L

La factorielle à base binome(a#b}"\", a pour dévelop-
pement l'expression

an pm am—irbife E ei): am—21rb}r

n(m—
ra

m(m—1)\m—2) dre
NET b | + etc.

+

Les coefficiens sont les mêmes que ceux du binome
de Newton, et la loi des termes est évidente. Vander-
monde, à qui nous devons ce théorème, ne l'a envisagé
que dans le cas particulier de r= — 1, Kramp, qui l’a
reproduit ensuite, sans faire mention de Vandermonde,
l'a traité dans toute sa généralité, mais il ne l’a pré-
senté que sous la forme d'un problème; et rien ne lé-
gitime la supposition dont il part. (Foy. Kramp, Arith.
univ., page 358.) Nous allons essayer ici de suppléer à
ces démonstrations.

D'après la nature des factorielles, quel que. soit l’ex-
posant m, entier ou fractionnaire , positif ou négatif,
on a

am = (a+ (m—i)r). ami
= (a—r)am—ilr mr ant
= (a—ryrlr om ran—ilr
Faisant a—a—br, on obtient (1)
(a+ anlr À mr (abr)n-itr,
Mas, en vertu de cette dernière expression , on a
aussi |
(a+nmilr = gite Æ (m—i)r(atnn2lr
(a-Hnn—2tr = am—2lr (m—o) r(a+-r)e sfr
(a+ = am—5lr Æ (m3) n(a4-rr—4lr

etc. etc.

(a+r)m-lr = an—b|r + (m—u) r(a+r)nk—ilr

Ainsi, substituant chacune de ces expressions dans la
précédente, on obtiendra

(a—brpnir = antr om am—itr.rm(m—i)amalr re

+ m(m—i) (m—2)ar-sir.r + etc...
+ mm—i)(m—2).. (mn) (a+) tt,

228 BI

#2 étant un nombre entier positif quelconque, si on
le fait égal à m, on a, lorsque mn est lui-même entier
vositif,

m(m—1)(m—2)...(m—p#)=0.
D'où il suit que, dans le cas de » entier positif, le dé-
veloppement précédent n’a que m1 termes, et que le
dernier terme est
m(m—i)(m—2)...(m—p+4i)r(atrm-mlr,
ou simplement
m(m—i)(m—a)...3.2.17,

à cause de

(a+r}mir = (atr)lr = 0.

Dans le cas de toute autre valeur de », ce développe-
ment prend un nombre indéfini de termes. On a donc
en général (p)

(a+rÿri = ant + mam—\rr + m(m—i)an—2\rr 4
H m(m—1)(m—o2)an—sir, ri etc.

Cela posé, si l’on fait dans cette dernière expression
a=a+r, elle.devient

(a+orÿtr = (a+r)rl Æ m(a+r)r -11r,r3 Æ
+ m(m—i)(a+r}—2ir 78 Æ etc.
Développant (a+rÿrir, (a4-r}—1lr, etc. par la même
loi (p) on obtient
(a+arÿtr = ant + man—iir,rbm(m—i)ar-2 rer,
+ me am ir m(m—i)an 1 re +.
+ m(m—i)an-slr re.
ne.
et, par couséquent,
(a+2r) = ant om amie, + 3 m(m—) as L
+ 4m) (m—o2)an-sir.rs + etc.
Faisant ercore dans cette dernière expression 4=#+
r, et opérant comme ci-dessus, on a

(a+3r)" Ca L man—tirer He m(m—i)am-sir,. rm +.
+aman—tir.rbom(m—i)an—2lr,r+..
+m(m—i)an-2 rm.
+.
et, en additionnant,
(a+3rÿrir= ant + Sman—i\r LL 6 m(m—1)am—21r,r 4
+i5m(m—iXm—o)an-sir, 3 Æ ete.

En suivant la même marche , on trouverait encore

(a+ rpl = amie & fm ami LE 10 mm— 1)am—2ir, pe
+ 20m (m—i)(m—o2)an- 517,73 L etc.
Or, en examinant la formation des coefficiens numé-

riques, on reconnait facilement que ceux de {a+44r)

BI
sont donnés par la somme de ceux de (a+3r), et ces

derniers par la somme de ceux de (a+ ar) lesquels
forment la suite des nombres naturels.

1512 ,192:40 10,0 O1, 10:21etc:

7119

Ces cocfficiens sont donc les nombres figurés ( Foy. ce
mot) des divers ordres ; et comme en substituant tou-
jours successivement a4-r à la place de a dans chaque
nouveau développement, les coefficiens numériques se-
ront nécessairement des nombres figurés d’un ordre de
plus en plus élevé, il est évident que les coefficiens nu-
mériques de (a+-nr)"i" seront

Con MH) mabiins)
EE EE DE T:2.3110 000

ou qu’on a en général
(a+nrÿlr = ar LE nm ami +

+ _ m{m— 1)am—t|r,r +
nn) (ne)

| is —

+ ————

m(m—i)(m—92) ar-5lr,.r Æ etc...

Or, le terme général de cette suite est, en désignant
par v le rang des termes,

LE NEeee (3) DCE

(n—v+2)an-v+tlr pes,

Mais on a
n(n+41)n+2)\n+43)...(n+v—s)= nt,
et de plus (voy. FAcTORIELLE),
a À (0 3 ur
On peut donc donner à ce terme général la forme

m(m—3)\(m—°2)... (m—v+2)

1.2.3.4...(v—2)

an—v+ir, (ar)—ilr,

Ainsi, faisant nr = b, on a définitivement

at

(aHb}ntr= ar om ami, ER an—2lr, btir
m(m—1)\m—2)

am—slr, s|r os
NE SR bslr L etc

+

n étant nécessairement un nombre entier, cette dé-
monstration n’est entièrement rigoureuse que lorsque &
est un multiple exact de r; mais nous déduirons autre
part ce binome en laissant les quantités a, b, m,r,
dans toute leur généralité, Nous devons seulement faire
remarquer ici qu’en faisant r infiniment petit et » iufi-
viment grand, on a toujours pour b un nombre fini; et
conune dans ce cas la factorielle générale a”l” se réduit

BI

à la simple puissance a” , la formule ci-dessus se réduit
aussi à celle de Newton (V’oy. Bixomx ne Newrow), qui
se trouve par là démontrée pour toutes les valeurs de

. l'exposant.

BIQUADRATIQUE { 4lg.). Nom donné par les
anciens algébristes à la quatrième puissance d'une quan-
tité. Ainsi 16 est la biguadratique puissance de 2, parce

"que 24 = 16.

ÉQUATION BIQUADRATIQUE. C’est une équation du qua-
trième degré, ou dans laquelle la quantité inconnue est
élevée à la quatrième puissance, La forme générale de
ces équations est

æi + Axi + Br? + Cr + D —o,

dans laquelle À, B, C, D sont des quantités quelcon-
ques positives, négatives ou zéro.

La résolution générale des équations du quatrième de-
gré fut trouvée en premier lieu par Louis Ferrari, élève
de Cardan, ainsi que ce dernier nous l’apprend dans
son Arte magna, publiée en 1540. Bombelli, en 1574,
décrivit, dans son Algèbre, la règle de Ferrari, avec quel-
ques développemevus, et pendant long-temps il en fut
cru l'inventeur. Depuis, Descartes parvint au même
résultat en suivant une marche nouvelle, et ensuite
plusieurs autres méthodes furent données par #aring,
Euler, Simpson, ete., etc. Mais quelque différens que
puissent paraître les procédés de ces mathématiciens,
ils conduisent au même but, sont, en principe, esssn-
tiellement les mêmes, et donnent une même forme aux
racines de l'équation.

1. Méthode de Ferrari, nommée improprement règle
de Bombelli. Soit l'équation générale du quatiiime
degré,

xt + ax LE bx? + cx + d = 0.

Supposons cette équation identique avec
(a +5 ar + p)?—(qe+r)? = 0,

p,getr étant des quantités inconnues qui vost être
déterminées par cette supposition.

En effet, on a, en développant les puissances,

(A +s ar +p}= xt + ax + £a x + apx +p°
+ 2p x?

— jf XL —2q4rL— 7,

— (gx + r)

Or, en comparant avec la proposée il faut, pour que
ces expressions soient identiques, que les coefficiens des

mêmes puissances de + soient les mêmes ; on a donc

«a
$®—Hop— gp —=b
ap—%qr = c

st p+r-d.

Il
à

BI 229

Au moyen de ces équations les valeurs de P; ger
peuvent être facilement obtenues. On en tire d’'a-

bord
8p? — 4bp° + (2ac — 8d) p —æ@d + 4bd — © — 0,

équation du troisième degré qui ne contient plus que
P; ainsi on peut considérer cette quantité comme étant
entièrement connue. Mais p étant connu, la valeur de
4 donnée par la seconde équation,

qg=VG + 2p—b)
et celle der, donnée par la troisième

Le Gp C

r —
EVA

se trouvent déterminées.

Les quantités p, g, r étant ainsi trouvées on en
obtient immédiatement les quatre valeurs de x de
l'équation proposée; car cette équation est alors effec-
tivement identique avec

(2 +rac+p}— (gx +r} =o,
qui donne
Ce + ia +p} = (gx +ry.

Prenant la racine seconde des deux membres, nous
avons

m+rar+p=t(gz+r),

d’où l’on tire, à cause du double signe Æ, les deux
égalités

æ'+(sa—qg)z=r—p
C+(ra+q)zx=p—r.

Équations du second degré dont les racines

4 / [CET 4e]
Aie
Et [CE]
ie /[ (EE) er]

sont les quatre racines demandées. On voit que cette
méthode fait dépendre la solution de l'équation du

ZX =

OU —

quatrième degré de la solution préalable d’une équation
du troisième. Il en est de même de toutes les autres.

II. Règle de Descartes. L’équation proposée étant
privée de son second terme (voyez TRANSFORMATION),

ou ramenée à la forme

xi+pr+qr+r=o.

250 BI

On peut la considérer comme formée par le produit de
deux facteurs du second degré

a +ar+b, x + cx + d,
les coefficiens &, b, c, d étant des quantités que la con-
dition d'égalité
ai + pr gx res (a+ ax +b)(x*+ ox + d)

va nous servir à déterminer,
Effectuant la multiplication indiquée, nous avons

a+ pr? Lg kr 2i + ax + br?
+ cx5 + acx* + bcx
+ dx? + adx + bd,

Ce qui donne les équations de conditions

a+c—=o
b+ac+d=p
bc + ad = q
bd=r.

La première donne c — — a; substitugnt — a, à la
place de c, dans les deux suivantes elles deviennent

b—a+d=p
ad — ab = q.

Multipliant la première par &, et l’ajoutant ensuite à la
seconde on obtient

2ad — a = pa + q,
d’où l’on tire
4 S+ra+g
= = ;

Cette valeur de d étant substituée dans la dernière équa-
tion de condition, elle donne

2 der
NETET

Enfin substituant ces valeurs de à et de d dans l’équa-
tion ad — ab — q, on trouve définitivement

4 ai. opai + pa — q—4r = 0.

Cette équation, qui se nomme la réduite, quoique
étant du sixième degré, peut se résoudre comme celles
du troisième. (’oyez ABalsseMENT. ) On peut donc con-
sidérer la valeur de & conime connue. Mais les deux
facteurs du second degré, en y substituant à la place de
a L,ce, d les valeurs de ces quantités, deviennent

27

LR ET 7e
& HP

ie m—artie+iptT= 0.

BI

ue ait donc plus que de résoudre ces deux équa-
tions du second degré pour obtenir les quatre racines
de la proposée. Ces racines sont :

ERHS
1 \/: 2r
L=—s;0— 3 —
& + p +1
r=+sat\/ Zi ip
F F q

x=—!a—

IT. Règle d'Euler. Si l’on remarque que la résolu-
tion d'une équation du second degré se réduit à prendre
la racine carrée d’une certaine fonction de ses coefficiens,
et que celle d’une équation du troisième degré se réduit
également à prendre la racine troisième de deux fonc-
tions de ses coefficiens, l’analogie porterait à conclure
que la résolution d’une équation du quatrième degré
doit pouvoir se ramener à l'extraction de la racine qua-
trième de trois fonctions semblables de ses coefficiens,
c'est-à-dire que la forme d’une des racines de cette
équation doit être

5 î 4
VM+VN+VO,
M, N, O étant trois fonctions des coefficiens de l’équa-
tion.

Mais en observant que l'extraction d’une racine qua-
trième peut s'effectuer par deux extractions successives
de racines secondes, nous pourrons donner aux ra-
cines de l'équation du quatrième degré la forme plus
simple (a)

2 2 2
x=Va+Ve+Ve,
@, æ', ?” étant les fonctions des coefficiens p, g, r de
l'équation générale

LT — pr — QE —r = 0.

Pour déterminer ces fonctions , élevons d’abord l’éga-
lité (a) à la seconde puissance, nous aurons
a=g+9 +9 +oV/99 +aV/99" +a1/99",
ou

2 — À =a/p9 + 209" + 21/98",
en faisant A — @ + @' + Ÿ”.
Élevant encore cette dernière égalité à la seconde

puissance, nous aurons
xi—0Ax + A° = 499 +499" +499" +

+8 V#999"+8V9"29" +849",
faisant 9’ + 69" + 99” —B,et #9?" = C, nous

BI L
ponrrons ramener cette expression à la forme

2x4 — 2Ax° + À? — 4B + 8xV/C
à cause de V/® + V9 + V/9"= x.

Nous avons donc l'équation
æ4 — 9Axt — 8V/C.x + A1—4B—=0o

qui doit être identique avec la proposée; ce qui nous
donne les équations de condition

P — 2À
q = 8VC
r — {4 — A!
desquelles on tire (2)
ÀA=:3p
PARTIS
G= CE
À
Mais puisqu'on a
g+? +9 =A
g9 + 99" +9e —=B
gb?" = 0,

il est évident que les quantités 9, ®', ®” sont les trois
racines de l’équation du troisième degré. Voyez Équa-
TIONS.

—Ar Er 6 =0

Ainsi les coëfficiens de cetté équation étant donnés par
les égalités (b), on peut regarder commé connues les
quantités @, ®’, ®’. Une des racines de l'équation pro-
posée sera donc

Zz=VE+VE + Va".

Cétte formule renferme nécéssairement les quatre
racinés demandées à cause dés différens signes qu’on
péut donner aux radicaux; bien plus, on pourrait
croire qu’elle peut mêmé donner huit valeurs diffé-
rentes pour x; mais il faut observer que V/#6'9” doit
être égale à vC — d5 donc si . est une quantité pos-
tive, le produit des quantités \/9, V/?', V/®" doit être
positif, et il ést par conséquent nécessaire dans ce cas
de prendre les trois radicaux avéc le signe +, ou bieu
deux avéc lé signe —; les valeurs de æ sont donc
alors (1)

z= VR+Ve +Ve
x=. Ve—Ve — Ve
= —Ve+Vr — Ve"
T=—Ve—Ve + ve.

si { ést une quantité négative les valeurs de x seront

les suivantes : (2)

BI 934
x= Ve+Ve' — Ve
z= Ve—Ve +Ve"
t=—-VR+Vg +Ve"
x=—\/p—Vg —V?.

Pour donner un exemple de l'application de ces for-
iules , soit

ai = 25x? Æ Gox = 36 = o

une équation du quatrième degré, sans second terme ;
en comparant avec l’équation générale on a

p=25, g—=—60, r = 56.
Substituänt ces Valeurs dans les égalités (b) on trouve
À #25
2
= 150
10
La réduite du troisième degré est donc
r° À 4 18 — =,
afin d’éliminer les fractions faisons y = 7 et ; Substi-

tuant, nous aurons après les réductions
25 — 5oz? + 769: — 3600 = 0.
Cétte équation ayant uné racine 4 = 9, divisons-la par
z— 9,il vient
Z — 13 + 400 — 0,
équation du sécond degré dont les racines sont z = 16
et z — 25. Ces trois valeurs mises dans y = £

4

donnent pour les trois racities de la réduite les quantités

5 25
9, 4 et ER nous ayons donc @ — 9 p=4etp" =;
ä 4 4 Â

nous

15 rs ,
— —, ainsi, d’après les for-
2

mais V/?9'?" = J =

mules (2) les racines de l'équation proposée sont :

re ns DE
1 fe dieiee ee L = phares 1
5
e Ze — -—
HODOUC À = 27: 2
D demo sectes z=—)+i+= Fi
e 3 5 _
A eee mt piera ie Die ie 2 ee 6.

Nous ne nous sommes point arrêtés à prouver que, dans
les deux méthodes précédentes, comme daus cette der-

252 BL

nière, les diverges combinaisons des signes des radicaux
ne donnent jamais que quatre racines différentes pour
l'équation proposée du quatrième degré. Cette démons-
tration se trouve daps tous les traités d’algèbre. Quant
aux différentes valeurs réelles ou imaginaires qui résul-
tent de la nature des coefficiens, Voyez ÉQUATION CU-
giQue. Nous devons faire observer que la règle de
Ferrari, exposée en premier, a été généralisée par
Simpson.

BIQUINTILE (Astr.). Aspect de deux planètes
situées à 144° de distance l’une de l’autre. Voyez
ASPECT.

On nomme cet aspect hiquentile, parce que la dis-
tance est alors double de l’aspect quintile, ou 2 fois 72°.

BISSECTION Division d’une étendue
quelconque en deux parties égales.

BISSEXTILE ( Calendrier.). Année composée de

366 jours, et que l’on forme de 4 en 4 ans par l’inter-

( Géom. ).

calation d’un jour au mois de février qui se trouve
alors de 29 jours, tandis qu'il n’en a que 28 dans les
année communes. Cette addition a pour but de recou-
vrer les 6 heures dont l’année civile diffère de l’année
astronomique lorsque cette première n’est composée que
de 365 jours. F’oyez ANNÉE et CALENDRIER.

Lors de la réformation du calendrier romain par Jules
César, le jour intercalaire que l’on convint d’ajouter de
4 ans en 4 ans, fut placé immédiatement après le 24 de
février, qui portait le nom du sixième jour avant les
calendes, de là lui vient celui de bissexto calendas,
d'où les années dans lesquelles se «trouvaient une telle
intercalation furent nommées bissexules.

BLAGRAVE (Jan), savant mathématicien anglais,
né vers le milieu du XVI° siècle, .dans le comté de
Berk. La vie studieuse et solitare de Blagrave offre peu
d’événemens. On sait seulement qu'après avoir fait de
brillantes études à Reading et à l’université d'Oxford,
il se retira dans sa propriété de Southcote-Lodge. Les
mathématiques furent le seul objet de ses méditations
dans cette paisible retraite, où ne vinrent pas l’atteindre
les orages de son siècle, dont les révolutions tiennent
une si grande place dans l’histoire sociale. Jean Blagrave
a composé un assez grand nombre d’écrits estimables ,
dans le seul but de rendre l'étude des mathématiques
plus facile et plus générale. Après avoir été long-
temps le bienfaiteur des pauvres, il mourut à Reading
le 9 août 1611. Ses amis et ses parens lui firent élever
un monument dans l’église de cette ville, dédiée à
saint Laurent, où il fut enterré. Son testament qu'on
peut trouver bizarre, ‘révèle à la fois la générosité de
son cœur et l'esprit exact et prévoyant d'un mathéma-
ticien. On a dit que c'était un de ses meilleurs ouvrages.
C'est ainsi qu’un de ses biographes en expose les détails

les plus intéressans, « Blagrave n'ayant jus toèur ié,

BL D

et par le testament de son père, ayant la disposition des
biens de sa famille pendant 09 années, à compter de
l'année 1591, il légua à chacun des enfans et des-
cendans de ses trois frères, pendant cet espace de temps,
la somme de 50 liv. sterl. qui leur serait payée lorsqu'ils
auraient atteint 26 ans; il calcula sa donation avec tant
d’exactitude, que près de quatre-vingts deses neveux en
recueillirent le produit. Parmi d’autres charités , il laissa
10 liv. sterl. pour être distribuées de la manière sui-
vante : le vendredi-saint, les marguilliers de chacune
des trois paroisses de Reading, devaient envoyer à l’hôtel-
de-ville une fille vertueuse qui aït vécu cinq ans avec
son maitre; Va, en présence des magistrats, ces trois
filles vertueuses devaient tirer aux dés pour les 1olivres.
Les deux filles qui n'avaient rien étaient renvoyées
l’année suivante avec une troisième, et de même la
troisième année, jusqu’à ce que chacune eût tiré trois
fois pour le prix. » Blagrave a laissé les ouvrages sui-
vans : [. Bijou mathématique, etc. Londres, 1585,
in-folio. IT. De la construction et de l'usage du bâton
Jamiier, ainsi nommé parce qu'il peut servir égalemens
pour se promener et mesurer geométriquement toutes les.
hauteurs. Londres, 1590, in-4°. IIL. Astrolabium ura-
nicum generale, etc., ou Consolation et récréation
nécessaire et agréable pour les navigateurs dans leurs
longs voyages, contenant l'usage d’un astrolabe, etc.
Londres, 1596, in-4°. IV. L'Art de faire des cadrans
solaires. Londres, 1600, in-4°.

BLONDEL (François), mathématicien et architecte
célèbre, naquit à Ribemont, en Picardie, en 1617. Le
hasard l'ayant mis en relation avec une famille puissante,
il parut de bonne heure sur la scène du monde, et s’y
trouva favorablement placé pour y développer ses talens.
Tandis que tant d'hommes n’ont envisagé l’étude et le
savoir que comme des moyens pour arriver à la for-
tane, Blondel ne semble avoir au contraire accepté
des emplois élevés que pour pouvoir se livrer avec
plus de facilité et de distinction à des travanx, auxquels
il doit en effet toute sa renommée et la gloire, qui
auraient pu l'oublier dans les rangs des courtisans vul-
gaires. Le succès qu’il obtint dans une mission diplo-
matique à Constantinople, le fit choisir par Louis XIV
pour enseigner au Dauphin son fils les belles-lettres et
les mathématiques. Ses profondes connaissances dans
ces dernières sciences, qu'il professa aussi au collège
royal, lui servirent éminemment à régulariser ses pro-
ductions en architecture, art auquel il se livra tout à
coup dès 1665, et qu'il cultiva depuis avec ardeur. Son
premier ouvrage fut la restauration d’un pont à Saintes
sur la Charente, qu’il rétablit avec hardiesse, et sur
lequel il plaça un arc de triomphe. Nous n’entrerons
pas dans de plus grands détails à ce sujet, nous ajou-
serons seulement quele talent de Blondel parut se pro-

BO

noncer avec plus de sympathie pour ce dernier genre
de construction. En 1669, il fut nommé membre de
l'Académie des sciences, et des lettres-patentes du roi
l’investireut du titre d'architecte de la ville de Paris, ct
le chargèrent seul de l'exécution des monumens destinés à
orner cette capitale. Il est l’auteur dela porte monumeu-
tale de Saint-Denis, mais il est juste de faire observer
que les deux portes latérales de cetarc de triomphe sont
des fautes qui lui furent imposées dans un intérêt d'ordre
public par les échevins de la ville, car alors ce monu-
ment n’était point isolé comme aujourd’hui. Les talens
de l’heureux Blondel furent récompensés par la place de
directeur et de professeur à l’Académie d'architecture
qui avait été établie en 1671. Ce fut la qu’il rédigea sous
le titre de Cours d'architecture, les leçons qu’il don-
nait à ses élèves; ouvrage remarquable qui atteste des
connaissances étendues dans son art et l’heureuse appli-
cation qu’il a su y faire des mathématiques. La car-
rière de Blondel ne devait point cependant se ter-
miner ainsi. Îl composa successivement un art de jeter
les bombes, et un traité de la fortification des places,
qu’il présenta au roi. Ce prince le récompensa de ces
nouveaux travaux par le titre de maréchal de camp.
Blondel mourut dansle mois de février 1686, les artistes
enthousiastes lui ont souvent donné le nom de Grand ;
on doit au moins convenir qu’il a traité d’une manière
fort remarquable toutes les branches de la science et de
l'art dont son génie capricieux et brillant le porta à
s’occuper. Les principaux ouvrages de Blondel sont :
I. Cours d'architecture. Paris, 16758. IL. Histoire
du calendrier romain. Paris, 1682, in-4°. III. Cours
de mathématiques pour le Dauphin. Paris, 1683, 2 vol.
in-4°. IV. L'Art de jeter des bombes. La Haye, 1685,
in-12. V Nouvelle manière de fortifier les places. Paris,
1683, in-4°.

BOISSEAU. Ancienne mesure de capacité équivalente

; : : 692 :
à 13 litres. L’hectolitre vaut pese borsseaux.

BORDA {Jxan-CnanLes), savant mathématicien et
l'un des plus célèbres ingénieurs du dernier siècle,
naquit à Dax, le 4 mai 1733. Les dispositions brillantes
qu'il manifesta pour les sciences mathématiques, furent
d’abord contrariées par sa famille, qui appartenait à
cette partie de la noblesse dont l'illustration était toute
militaire. Cette circonstance de sa vie lui est commune
avec un grand nombre d'hommes supérieurs , qui furent
obligés de lutter comme lui contre les préjugés ou les
vues de leurs parens. Néanmoins ces dispositions furent
assez exclusives dans le jeune Borda, qui avait com-
mencé ses étndes au collége des Carmélites de sa ville
natale, et qui les acheva à celle de La Flèche, dirigé
par les jésuites, pour déterminer ses parens à le laisser
libre du choix de sa carrière. Il fut admis avec éclat

BG 253
dans le génie militaire, mais peu de temps apits il
entra dans les chevau-légers, corps dont le séjour per
pétuel à Paris lui permettait de s Hvrer avec plus
d'avantage à l'étude spéciale des mathématiques, science
dans laquelle il avait fait des progrès remarquables. En
effet, dès l’année 1958, c'est-à-dire à peine âgé de 23
ans , il lut à l’Académie des sciences un mémoire swr
le mouvement des projectiles, qui obtint une honorable
mention, et lui mérita le tire de membre associé de
cette célèbre compagnie. La guerre qui éclata à cctte
époque l’arracha momentanément aux sciences qu'il
cultivait avec autant d’ardeur que de succès ; mais après
la compagne de 1757 et la bataille d'Hastembeck où il
assista, en qualité d’aide-de-camp du maréchal de
Maillcbois , il rentra dans le génie militaire, et fut im-
médiatement employé dans les ports. Borda résolut dès-
lors d'appliquer à l’art nautique ses hautes connaissances
en mathématiques : il publia successivement en 1763,
1766 et 1767, divers mémoires relatifs à ce nouvel objet
de ses recherches. Il s'était proposé dans ces écrits de
détesminer, d’après l'expérience, les lois de la résis-
tance des fluides, et celles de l'écoulement des fluides
par des ouvertures très-petites. Il publia encore en 1767
un mémoire sur la meilleure forme à donner aux vannes
des roues hydrauliques et aux roues elles-mêmes, pour
qu’elles reçoivent du courant d’eau qui les fait tourner,
la plus grande impulsion possible. Ces expériences qui
intéressaient si essentiellement l’art nautique, le firent
appeler, dès 1767, au service de mer : il commença
immédiatement sa première campagne. Nous ne devons
pas oublier de dire que les travaux de Borda ne se bor-
nèrent pas, à cette époque , à des recherches sur l’appli-
cation des mathématiques à des objets de physique
expérimentale ; il s’occupa aussi avec un égal succès de
plusieurs branches importantes des mathématiques pures;
Il publia encore, dans l’année 1767, un mémoire remar-
quable par sa clarté et son élégance, dans lequel il eut
pour but d’exposer les vrais principes du calcul des va-
riations , récemment découvert par Lagrange. ( Foyez
Bennouizzt Dane. ) Enfin il publia également à cette
époque un mémoire sur la Théorie des projectiles , en
ayant égard à la résistance de l'air.

Nous ne suivrons pas Borda dans la nouvelle carrière
où l'avaient appelé ses talens: sa vie appartient dès-lors
autant à l’histoire militaire qu’à l’histoire de la science.
Cependant nous devons dire qu’il ne tarda pas à y mé-
riter les plus hautes distinctions, et à y acquérir cette
illustration glorieuse qui environna son nom. Au milieu
des vicissitudes de Ja vie de marin, Borda recueillit les
élémens de la carte des Canaries et des côtes d'Afrique,
dont il a enrichi la géographie. Ce fut aussi dans les
mêmes circonstances, qu'il fit exécnter son cercle ak

réflexion, instrument d'une utilité incontestable pour
30

"

234 BO

les marins, et que nous déerirons ailleurs. 7’oyez CERCLE
DE RÉFLEXION.

Jean Charles Borda a fait faire à la physique moderne
d’importans progrès qu’il ne nous est pas possible de
mentionner ici. Mais dans toutes ses recherches et dans
toutes ses inventions , on reconnait, dit un deses savans
biographes, le physicien géomètre qui sait allier habile-
ment le calcul à l'expérience, et atteindre par les pro-
cédés les plus simples, la dernière précision. L'influence
de cet illustre mathématicien n’a pas été moins heureuse
et moins grande sur l'art nautique ; car c’est à dater de
ses observatious que la marine française s’arrachant
enfin des vieilles voies de la routine, a marché de pro-
grès en progrès à l’aide des sciences exactes. Borda,
membre de. l'Académie des sciences, et plus tard de
l'Institut, capitaine de vaisseau, et en dernier lieu chef
de division au ministère de la marine, est mort à
Paris le 20 février 1799. Tous ses mémoires se trou-
vent dans le recueil de ceux de l’Académie des sciences,
sous la date à laquelle ils ont été successivement publiés.
ses autres ouvrages imprimés séparément sont : [. Voyage

fait par ordre du roi, en 1771 et1772, en diverses par-
ties de l'Europe et de l’ Amérique, pour vérifier l'utilité
de plusieurs méthodes et instrumens servant à déter-
miner la latitude et la longitude, tant du vaisseau que
des côtes, iles et écueils qu'on reconnait; suivi de
recherches pour rectifier les cartes hydrographiques.
Panis, 1778, 2 vol. in-4°. Cet ouvrage a été publié par
Borda en société de Verdun de la Creuse et Pingré.
IL. Description et usage du cercle de réflexion. Paris,
1787, in-4°. LIL. Tables trigonometriques décimales ou
Tables des logarithmes des sinus, sécantes et tangentes,
suivant la division du quart de cercle en cent degrés.
Paris, x vol. in-4°. M. Delambre a donné, en 1804,
une nouvelle édition de ces Tables revues et augmentées.

BORÉAL ( Astr. ). On donne indifféremment le nom
de boréal ou celui de septentrional à tout ce qui est
situé dans l'hémisphère nord de la sphère. (Voyez
ArmLLAIRE.) Cet hémisphère lui-même se nomme é-
misphère boréal.

BORELLI (J£an-Azpnonse) médecin célèbre et savant
mathématicien , naquit à Naples, le 28 janvier 1608.11
professa long-temps les mathématiques à Pise et à Flo-
rence, où il composa plusieurs ouvrages importans,
qui ont surtout pour objet les travaux des géomètres de
antiquité. On lui doit la restitution du troisième des
quatre derniers livres d’Apollonius, qu'il parvint à
déchiffrer avec l’aide, dit-on, d'Abraham Echellensis,
d’après une paraphrase de quelques anciennes traduc-
tions de larabe. Il fit à la même époque des recherches
semblables sur jes travaux d'Euclide. Ses divers bio-
graphes le représentent comme un homme d'un esprit
mobile et inquiet, et d’un caractère peu sociable. Soit

BO

qu'il eût éprouvé à l’université de Pise des sujets. de
mécontentemens réels où imaginaires, ou quil fût
préoccupé d'intérêts autres que ceux de la science,
Borelli passa à Messine au moment où cette ville essayait
de se ravir par l'insurrection à la domination de l’'Es-
pagne. I prit à cette sédition une part très-active, et
courut les plus grands dangers quand l'autorité du roi
d'Espagne l’eut emporté sur le mouvement désespéré
des habitans de Messine, Il parvint néanmoins à prendre
la fuite, et il se retira à Rome, oùil trouva un asile dans
la maison des religieux des Écoles pies. Borelli s’est
occupé d’astronvmie, et il tächa de déduire, des obser-
vations de l’astronome sicilien Hodierna , la théorie des
mouvemens des satellites de Jupiter. On remarque dans
les principes sur lesquels il établit cette théorie quel-
ques idées de l'attraction, qui sont loin sans doute
de la détermination précise des lois de ce phénomène,
mais qui révèlent du moins en lui une haute portée
intellectuelle, Borelli est surtout célèbre par ses travaux
en médecine. Il passa avec Bellini pour le chef de la secte
iatro-mathématicienne, qui a long-temps dominé en
Italie. On sait que cette secte avait pour objet de sou-
mettre au calcul tous les phénomènes de l’écono-
mie animale. Nous n'avons point à nous occuper ici de
cette hypothèse et des recherches qu’elle a occasionnées
à Borelli. Il est mort à Rome le 31 décembre 16709,
Ses ouvrages mathématiques sont : I. Apolonii pergœæi
corucorum, libri V, VI et VI. Florence, 1661, x vol.
in-f°. 11. Æuclides restituluis. Pise, 1628, 1 vol. in-4°.
L'ouvrage sur lequel se fonde encore aujourd'hui la
réputation de Borelli n'appartient qu'indirectement aux
sciences inathématiques; il est intitulé : De motu ani-
malium , etc. Rome, 1680-1681, 2 vol. iu-4°.

BOSCOVICH (Rocer-dosepn), polygraphe célèbre
et savant mathématicien, naquit à Raguse le 18 mai
1711. Il entra chez les Jésuites de Rome, pour y conti-
nuer ses études, à l’âge de 14 ans. Il annonçait déjà ce
qu'il devait être un jour par les rapides progrès qu'il
fit,en peu de temps, dans la philosophie et les mathéma-
tiques. Aussi, par une dérogation spéciale aux lois de
cette institution, dans laquelle il prononça ses vœux,
fut-il nommé professeur de ces deux sciences au collége
romain, avant d’avoir pris les degrés prescrits par les
statuts. Le père Boscovich, qui acquit bientôt une bril-
lante réputation par l’étendue de ses connaissances, son
esprit et son caractère, fut tour à tour honoré de la
confiance de plusieurs papes, et de celle de la répu-
blique de Lucques, qu le choisit pour arbitre d'un
différend qui s'était élevé entre elle et la Foscane.
Mais c’est surtout de la partie de sa vie qu'il consacra à
des travaux scientifiques, que nous devons nous occuper
ici.

Boscovich s'est principalement livré à des recherches

BO

d’astronomie et d'optique. Il avait embrassé les opinions
de Newton, dont il commenta la philosophie dans un
ouvrage renarquable qu'il publia en 1758. En 1736,
Boscovich avait débuté par une dissertation sur les
taches du soleil (De maculis solaribus ). C’est dans cet
écrit qu'on trouve la première solution géométrique qui
ait été donnée du problème astronomique de l’équa-
teur d’une planète, déterminé par trois observations
d’uue tache. Il publia successivement à cette époque
plusieurs dissertations astronomiques qui ont pour objet
la méthode d'observer les éclipses de lune, et latmo-
sphère de ce corps céleste. Après la suppression de
son ordre, ce savant distingué fut accueilli par le grand-
duc de Toscane, qui le nomma professeur de l'univer-
sité de Pavie; mais il n’occupa sa chaire que fort peu
de temps. En 17553, Boscovich fut appelé à Paris pour
remplir l'emploi de directeur de optique de la marine,
auquel furent attachés des émolumens considérables. Il
était alors membre de la Société royale de Londres, et
avait vu s’augmenter la renommée attachée à son nom,
par le choix que cette illustre compagnie avait fait de
lui pour aller observer en Californie, le second pas-
sage de Vénus, et par la manière dont il s'était acquitté
de cette mission. À cette époque, Boscovich s’attacha à
perfectionner presque exclusivement la théorie des In-
nettes achromatiques. Cette branche des mathématiques
appliquées, occupe la plus grande partie de l'ouvrage
considérable qu'il publia en 1785. Boscovich , obligé de
quitter la France par des raisons qui sont demeurées
inconnues, se retira à Milan, où l’empereur d’Alle-
magne le chargea d’inspecter une mesure du degré en
Lombardie. Il était environné d’une considération gé-
nérale quand il mourut à Milan le 12 février 1787.
Peu d’écrivains , même parmi ceux qui nese sont oceu-
pés que de sujets frivoles, ont déployé autant de faci-
lité et de fécondité que Boscovich. Nous ne citerons ici
que ceux de ses ouvrages qui se rattachent à l'étude ou
à l’histoire des sciences mathématiques, et dont voici
les titres:1. E/ementa universa matheseos. Rome, 1754,
3 vol iu-8°. IT. Philosophie naturalis theoria, redacta
ad unicam legem virium in natur& existentium. Vienne,
1758, fig. TT. De lentibus et telescopis dioptricis.
Rome, 175, in-4°. Cet ouvrage à été traduit en alle-
mand et én français. IV. Rog. Jos. Boscovich, opera
ad opticam et astronomiam maximé ex parte nova et
omnia hujusque inedita, in NV tomos distributa. Bas-
sano , 1795, in-4°, fg.

BOSSUT (Cnantrs), mathématicien distingué, na-
quit, le 11 août 1730, dans un village des environs de
Lyon. Il fut admis à l’âge de 14 ans au collége des
Jésuites de cette ville, et continua avec succès sous ces
maîtres célèbres des études pour lesquelles il avait réveié

dès l'enfance les plus heureuses dispositions. Il fat

BO 255
accucilli à Paris, où l’appela, au sortir du collége,
son goût pour les sciences, par le vénérable Fontenelle et
par d'Alembert. Ilse lia plus étroitement avec ce dernier,
et devint en quelque sorte son disciple. Ces relations et
les connaissances déjà profondes qu’il manifesta dans les
mathématiques, le firent nommer, à 22 ans, profes-
seur de ces sciences à l’École militaire de Mézières. C’est
alors qu’il composa une assez grande partie des ouvrages
sur lesquels sa réputation est fondée, et qui lui ouvrirent
les portes de l’Académie des sciences. La révolution vint
troubler sa carrière en le privant de ses emplois. Il se
retira à la campague pendant ces jours orageux, et fut
assez heureux pour éviter, dans la solitude qu’il avait
choisie, le sort funeste de plusieurs homenes de talent
dont il était l’ami. Sous le consulat, il fut successivement
nommé membre de lInstitut, de la Lépion-d'Hon-

._neur, et l’un des examinateurs de l'Ecole polytechnique,

Charles Bossut était aussi membre associé de l’Institut
de Bologne, des Académies de Pétersbourg, de Turin,

et d’un assez grand nombre de Sociétes savantes ou lit-
téraires , qui jouissent d’une renommée moias brillante.

Ilest mort à Paris le 14 janvier 1814. Bossut a fait
peu de découvertes remarquables; mais ce qui le place
au-dessus des mathématiciens vulgaires, ce sont, d’une
part, ses talens incontestables pour le professorat, et
d’autre part ses nombreux et utiles travaux. II était

de mœurs douces et simples, qu’il unissait néanmoins

à un caractère ferme et élevé. La seconde édition de
son Âistoire des mathématiques lui suscita quelques
ennemis, car il avait eu l’imprudence d’y apprécier
avec une justice trop impartiale les travaux des mathé-
maticiens vivans. Cependant son honorable vieillesse
fat constamment entourée du respect et de la considéra-
tion dont elle était digne. Le gouvernement s’associa aux
pieux égards dont il était l’objet, en lui conservant
jusqu’à la fin de ses jours le traitement des divers em-
plois, dont son âge ne lui permettait plus de remplir
les devoirs. Les ouvrages de Bossut qui intéressent plus
spécialement les sciences mathématiques sont : I. Traité
élémentaire de mécanique et de dynamique, 1763.
IT. Traité élementaire de mecanique statique, 1771.
IT. Traité élémentaire d'hydro-dynamique , 177%.

IV, Truite élémentaire d'arithmétique, 1772. V. Traité
élémentaire de géométrie, et de la manière d'appliquer

l'algèbre à la géométrie, 1774. VI. Cours de math:
matiques à l'usage des écoles militaires, 1782. VIT. Cours

complet de mathématiques, 1800-1801. VIII. Essai sur

l'histoire générale des mathématiques, 2° édition, 1810,

2 vol. in-8°, Cet ouvrage, très-inférieur à celui de Mon-

tucla, convient néanmoins beaucoup mieux aux étudians

et aux gens du monde. Il renferme des appréciations

rapides, mais justes, des progrès généraux de ia science

jasqu'aux travaux des mathématiciens modernes.

256 BG

BOUC ( Astr.). Nom donné par quelques auteurs à
la constellation du Capricorne. D'autres donnent ce
nom à la belle étoile de la Chèvre qui est dans la cons-
tellation du Cocher.

BOUGUER (Pierre), géomètre célèbre, naquit au
Croisic, en Basse-Bretagne, le 16 février 1658. Il était
fils de Jean Bouguer, professeur d’hydrographie, et dont
nous possédons un Traité de navigation , qui fut remar-
qué à l’époque où il fut publié (1699-1706). Le jeune
Bouguer n’eut pas en mathématiques d’autres maîtres que
son père, et il le dépassa de bonne heure. Il concourut
en 1727, 1729 et 1731, pour des prix proposés par l’Aca-
démie, sur des sujets qui embrassaient diverses branches
des sciences mathématiques et physiques. En 1527, son
mémoire sur la mâture des vaisseaux remporta le prix.
Celui qui fut également couronné en 1729 avait pour
sujet la meilleure manière d'observer les astres à la mer.
Enfin, son troisième mémoire sur la méthode la plus
avantageuse pour obtenir à la mer la déclinaison de lai-
guille aimantée , obtint aussi le prix en 1731. La répu-
tation que Bouguer s’acquit par ses succès comme géo-
mètre et comme physicien, et la publication de son
Traité de ta gradation de la lumière, ui méritèrent le
titre de pensionnaire de l’Académie des sciences, et le
firent choisir pour accompagner ceux de ses membres
qu’eMe chargea, vers cette époque, de mesurer deux
degrés de latitude, l’un vers l'équateur, l’autre près du
pôle, pour déterminer la figure de la terre. Bouguer fut
chargé avec Godin et La Condamine d'aller à l'équateur.
On sait que cette expédition scientifique eut le plus
heureux succès ; et il est certain que les vastes connais-
sances et le talent supérieur de Bouguer lui méritèrent
Ja plus grande partie de la gloire qu’acquirent ces géné-
reux apôtres de la science , au milieu de tous les dangers
et detoutes les fatigues. Bouguer a publiéles résultats de
cette importante opération dans un écrit remarquable qui
est encore aujourd’hui le meilleur guide que puissent
suivre les observateurs en astronomie et en physique. Cet
ouvrage eut un très-grand succès, et plaça Bouguer au
rang le plus distingué des savans de cette époque. Il fut
successivement nommé membre de l’Académie des
sciences de Paris, de la Société royale de Londres, et reçut
le titre de correspondant des plus illustres compagnies
savantes de l’Europe. On sait que cet ouvrage qui mit
de comble à la gloire de Bouguer, lui causa plus tard
.de graves chagrins, qui désolèrent les dernières années
de sa vie. L'histoire de sa querelle avec La Condamine
est connue. Il mourut le 15 août 1558, âgé d’un peu
‘plus de 60 ans, après avoir contribué d’une manière
remarquable aux progrès des sciences, durant une vie
‘pleine de travaux, et que ses vertus avaient rendue
aussi honorable que ses talens. Il n'avait trouvé d'autre
moven pour rabattre l’orgueil de son heureux et bril-

Dot

BO

lant rival, que de donner au publicune seconde édition
de son ouvrage sur Ja gradation de la lumière; la mort
vint le frapper avant que l'impression füt terminee.
Mais il eut dans le digne et savant abbé Lacaille un ami
fidèle qui remplit ses intentions avec un soin reli-
gieux. Voici les ouvrages et les travaux de Bouguer qui
intéressent plus spécialement les sciences mathéma-
tiques : I. De la mâture des vaisseaux. Paris, 1727,
in-4°. IT. Acthode d'observer sur mer la hauteur des
astres. Paris 1729, in-4°. I. Essai d'optique sur la
gradation de la lumière. Paris, 1729, in-12. IV. Ma-
nière d'observer en mer la déclinaison de la boussole.
Paris, 1729, in-4°. V. Théorie de la figure de la terre.
Paris, 1749, in-4°. VI. Traité d'optique sur la grada-
tion de la lumière, édition posthume, augmentée d’un
Essai d'optique, et publiée par Lacaille. Paris, in-4°,

fig. Bouguer est l'inventeur de l’hcliomètre, instrument

qui sert à mesurer les diamètres apparens du soleil et
des planètes. On lui doit un grand nombre d’excellentes
observations sur la longueur du pendule simple à diffé-

rentes latitudes; des recherches non moius curieuses

sur la dilatation des métaux, sur la densité de l'air à
diverses hauteurs, sur les réfractions atmosphériques,
et sur un nombre considérable d'objets qui intéressent
} géométrie et l'astronomie. Bouguer a été aussi l’un des
principaux rédacteurs du Journal des Savans jusqu'en
juin 1955. Il n’est pas inutile d’ajouter ici que cet
homme célèbre qui avait malheureusement adopté les
principes philosophiques des encyclopédistes, y renonça
solennellement plusieurs années avant sa mort. Ces dé-
tails sont consignés dans un ouvrage curieux, et qui a
pour titre : Relation de la conversion et de La mort de
M. Bouguer, par le père Laberthonie, dominicain.
Paris, 1784, in-12.

PBOULLIAU (Ismarz), célèbre astronome, naquit a
Loudun le 28 septembre 1605. Bailly fait un grand
éloge de ses travaux dans son Histoire de l'astronomie
ancienne; mais On sait que cet honorable écrivain
adoptait avec un trop facile enthousiasme toutes les
idées qui favorisaient ses hypothèses si souvent
hasardées. Le fait est que Boulliau ne fit que réunir
des observations astronomiques peu connues, et qui
existaient à la bibliothèque royale. Ces observations
avaient pour objet des conjonctions de planètes, des
occultations présumées , faites environ vers l'an 500 de
notre ère, et qui n'auraient plus aujourd’hui pour la
science l'intérêt qu’elles pouvaient présenter à l’époque
où Boulliau les fitconnaitre. Boulliau acquit des connais-
sauces étendues et variées dans ses voyages en Europe
et dans le Levant. Il entra en correspondance avec les
savans les plus distingués de son temps, et cette cir-
constance n’a pas peu contribué à répandre son nom. Le
plus important ouvrage qu'on ait de lui, et il a beau-

BO

coup écrit sur l'astronomie, la théologie et l'histoire,
est son Astronomia philolaica. a eu le malheur, dins
cet écrit, d'attaquer les fameuses lois de Képler : néan-
moius on y trouve des constructions ingénicuses c£ des
preuves d'un travail immense. Quelques-unes de ses
recherches sur les mouvemens de la lune méritent d'être
rapportées. Boulliau voulant expliquer la seconde inéga-
lité, découverte qui a honoré le génie de Ptolémée, il
en donne pour raison un déplacement du foyer de lel-
lipse lunaire, qui n’est pas fixe au centre de Ja terre:
de là le nom d'évection qu'il donne à cette inégalité, nom
que la scicnce à conservé.

Cet ouvrage de Boulliau fut vivement attaqué par le
célèbre docteur Seth- Ward, évêque de Salisbury. Ce sa-
Vant prit en main la défense des théories de Képler et
démontra les erreurs de son adversaire, qui reconnut
naïvement sa méprise dans un écrit publié pour servir
de complément à son premier travail.

Ismaël Boulliau, qui avait été élevé dans la religion
protestante, se fit catholique romain, et mourut à
l'abbaye Saint Victor, à Paris, où il s'était retiré, le 25
novembre 1694. Ces principaux ouvrages sont : L. Thco-
ries Snyrnæi mathematica, 1644, in-4°, grec et latin.
IL. Astronomia philolaica, 1645, in-folio. JT. Æstro-
nomiæ philolaicæ fundamenta explicata, 1657, in-4°.
IV. Opus novum ad arithmeticum infinitorum, 168,
in-fäio. V. Ad astronomos montta duo, 1667. Dans cet
ouvrage Boulliau explique le changement de lumière
qu’on observe dans quelques étoiles, par une révolution
sur leur axe, qui nous montre successivement des par-
ties obscures ou lumineuses. On n’a point encore donné
une explication plus satisfaisante de ce phénomène.

BOUSSOLE ( Astr.). Une des quatorze nouvelles
constellations formées par Lacaille dans l'hémisphère
austral. Elle est située au-dessus du Navire, très-
près du tropique du Capricorne. Lacaille a donné
une figure exacte de cette constellation dans les Aé-
moires de l’Académie des sciences, année 1752. Elle
est dessinée sur les cartes en forme de boussole ou com-
pas de mer.

BOUSSOLE (Nav.). Boîte dans laquelle on suspend
librement sur un pivot une aiguille d’acier, qui, ayant
été aimantée, à la propriété singulière de se diriger
vers un mème point de l'horizon dans la direction du-
quel elle retourne constamment lorsqu'on l’écarte à
droite ou à gauche de la position où elle est en repos.
La ligne de direction de l’aiguille aimantée se nomme
la méridienne magnétique. Cette ligne forme, avec la
méridienne d’un lieu un angle plus ou moins grand,
qu’on appelle la déclinaison ou la variation de V'ai-
guille (voy. ces mots). La boussole sert à diriger la
route d'un vaisseau, et à faire que cette route coupe sous
un augle constant tous les méridiens qu’elle traverse.

BO 237

On nomme loxodromique la courbe que décrit ainsi le
vaisseau sur la surface sphérique de la terre. f'oyez
Loxoproute.

L'invention de la boussole est généralement attri-
buée à Flavio de Gioia, Napolitain qui vivait dans le
XII siècle. Mais, malgré la dissertation de M. Gri-
maldi, publiée dans les Mémoires de l'Acuil. étrusque,
il parait certain que cet instrument était connu en
France avant l’an 1200. C’est ce qui résulte positive-
ment des poésies de Æugues de Sercy ct de Jean de
Mehun, cités lun et l’autre par Pasquier, dans le qua-
trième livre de ses Recherches sur la, France. Guyot
de Provins, vieux poète français du douzième siècle,
parle aussi de l'usage de laimant pour la navigation.

© Les Anglais s’attribuent sinon la découverte même
de 15 boussole, au moins l'honneur de l'avoir perfec-
tionnée ; et, sous ce dernier rapport, leurs prétentions
paraissent assez bien fondées. Quelques auteurs ont
avancé que la première application des vertus de l'ai-
guille magnétique à la navigation est due aux Chinois.
Ils se fondent sur ce qu'aujourd'hui encore on n’em..
ploie l’aiguille aimantée, à la Chine, qu’en la faisant
nager sur un support de liége, comme on le faisait au-
trefois en Europe, et qu’il est probable que quelques
Vénitiens, dans un voyage à la Chine, auront été té-
moins de cette expérience importante, et l’auront en-
suite fait connaître à leur retour; mais il en est peut-
être des découvertes des Chinois comme de leur haute
antiquité. L'invention de la boussole, ainsi que toutes
les inventions dont il est impossible de nommer aujour-
d’hui les auteurs, sont dues sans doute à plusieurs per-
sonnes, qui successivement se sont emparées d’un germe
donné quelquefois par le hasard, l'ont modifié, amé-
lioré et amené peu à peu à une plus grande perfection.

Tout imparfaite qu’elle était alors que son usage com-
mença à s’introduire dans la marine, la boussole parut
aux navigateurs un moyen sûr de connaître en tout
temps la position du nord, et de se guider dans ieur
route. Pendant long-temps on crut que l’aiguille aiman-
tée se tournait toujours dans la direction de l'axe de la
terre, et indiquait ainsi les véritables points du nord et
du sud ; on s’y abandonna aveuglément, sans soupçon
ner la moindre erreur. Il fallut trois siècles pour que a
déclinaison de cette aiguille fût bien constatée; et en-
core ne l’admit-on qu'après y avoir opposé tout ce que
les faux principes de la physique d’alors purent four
nir de sophismes.

La boussole dont on se sert aujourd’hui est üne boi &
ronde , au centre de laquelle l'aiguille aimantée est po-

sée sur un style de cuivre. Cette aiguille est plate, et
forme un losange évidé en forme de chape à son centre
de gravité, qui doit être exactement le centre de sus-
pension, ou bieu elle est percée d'un trou rond à ce

258 BR

centre , auquel on adapte alors une chape d’agathe. Sur
la chape est appliqué un cercle de carton, de tôle ou de
cuivre très-mince ; en sorte que l'aiguille, dans son
mouvement, est obligée d’entrainer avec elle ce petit
cercle, qui par son poids modère un peu la trop grande
facilité qu’elle aurait à vaciller.

Le petit cercle appliqué à l'aiguille est découpé, et
présente 32 points qui divisent la circonférence en 32
Parties égales nommées rwmbs. Le cercle s'appelle rose
des vents. Les quatre pointes principales désignent les
points cardinaux de l'horizon : le nord, l’est, le sud
et l’ouest. Quatre pointes intermédiaires portert les
noms composés de nord-ouest, nord-est, sud-est et sud-
ouest. Ces huit rumbs divisent le cercle en autant d’arcs
de 45°, lesquels sont partagés chacun en deux parties
égales par des pointes dont les noms sont : nord-nord-
est, nord-nord-ouest, sudsud-est, sud-sud-ouest, est-
sud-est, est-sud-ouest, ouest-sud-ouest, Ouest-nord-ouest.
Enfin, ces derniers arcs sont divisés en deux par les
pointes dont les dénominations sont ord 3-nord-est,
nord $-nord-ouest, etc.

Cet instrument, qu'on nonne plus particulièrement
compas de mer, est suspendu daus une autre boîte, à la
manière de la lampe de Cardan > afin que le rouis et le
tangage du vaisseau ne lui fassent jamais perdre sa posi-
tion horizontale.

Outre la rose des vents, fixée sur l'aiguille, et qui par-
tageses mouvemens, on place autour du bord de la boîte
un cercle divisé en 360 degrés, et concéntrique avec le
pivot. Ce cercle sert à faire connaître les angles formés
par la direction de l'aiguille et celle du vaisseau , et
donne en même temps les moyens de tenir exactement
compte de la déclinaison de l'aiguille. La seconde boîte
de la boussole est ordinairement carrée et couverte d’une
glace (voy. PL. VII fig. 7); on la place près du gouver-
nail, afin que le matelot qui tient la barre puisse l’a-
voir toujours sous les yeux, et diriger la route du vais-
Seau suivant le rumb nécessaire,

Outre la boussole marine, on construit encore des
boussoles plus simples dont on se sert Pour orienter les
plans dans l’arpentage , et que l’on emploie même pour
les lever lorsqu'il n’est pas besoin d’une grande exacti-
tude. Voy. LevÉ Des prans.

BOUVIER ( 4str. ). Constellation boréale qui a 53
étoiles dans le catalogue de Flamstead. La plus belle
étoile de cette constellation porte aujourd’hui générale-
ment le nom d’Arcturus; les Arabes la nommaient
Aramech. Voyez ce mot.

BRACHYSTOCHRONE (Géom.) (de Épäxicres, très-
Court, et de xpèros , temps). Nom donné par Jean Ber-
nouilli à la courbe de la plus vite descente. I] proposa
le problème de déterminer cette courbe, dans les 4ctes
de Leïpsick , en 1696; sous la forme suivante :

BR j

Prorcema NovumM
Ad cujns solutionem mathematici invitantur,

« Datis in plano verticali duobus punctis AetB, assi-
» gnare mobili M, viam AMB > Per Quam gravitate sua
» descendens, etmoveri incipiens a puncto À. brevissimo
» tempore perveniat ad ultrum punctum B. »

C'est-à-dire : Trouver la courbe le long de laquelle
un corps descende d'un point donné A à un autre point
donné B, l’un et l’autre dans le même plan vertical, en
employant le temps le plus court possible.

Il semble, au premier aspect, que la ligne deman-
dée doive être une ligne droite; car une telle ligne est
la plus courte qu’on puisse mener d’un point à un autre;
mais si l’on considère qu'il s’agit ici d’un mouvement
accéléré, et que, dans une courbe concave, décrite
d’un point à un autre, le corps descend d’abord dans
une direction plus rapprochée de la perpendiculaire, et,
conséquemment, acquiert une plus grande vitesse que
sur le plan incliné plus écarté de cette perpendiculaire,
on peut comprendre que le corps peut arriver au point
B en employant moins de temps sur la courbe que sur
la ligne droite.

Ce problème fut résolu par Leibnitz, Jacques Ber-
nouilli, Newton et le marquis de L'Hôpital. Jacques
Bernouilli et Newton publièrent leurs solutions dans les
Actes de Leipsick de mai 1697. Le dernier garda l’in-
cognito, et se contenta de dire que la courbe demandée
était une cycloïde ; mais Jean Bernouilli remarqua, à
cette occasion, qu’il était facile de reconnaitre l’ongle
du lion.

Euler, dans le second volume de sa Mécanique , im-
prané à St-Pétersbourg en 1736, donne une solution
très-élégante de ce problème, en prenant l'hypothèse
d’un milieu résistant ; ce qui complique extrêmement la
question , et ce que personne n'avait fait avant lui.

On trouve, dans les Mémoires de l Acad. pour 1718,
deux solutions du problème de la brachystochrone dans
le vide, données l’une et l’autre par Jean Bernouilli , et
toutes deux fort simples. Nous allons faire connaitre la
plus élémentaire de toutes ces solutions.

Prosèmr. Trouver la courbe de La plus mite des-
cente, ou la brachystochrone AM : Par le moyen de 4a-
quelle un corps À parvienne de À en M dans le moindre
temps possible, en supposant le milieu sans rÉSi=
tance.

BR

Ayant mené les ordonnées PM, pm et Nn, que nous
supposerons infiniment proches, ainsi que les autres
lignes que représente la figure, soient AP =x, et PM
=}, on aura Pp=Mr=mf=nF = dx, dx étaut
l'accroissement infiniment petit ou la djffcrenticlle de
x; de même »r— dy, et l'élément de la courbe =
Mn = V/dx+dy:. Soit de plus rF = b, on aura mF
—=b— dy, et mn =\V[(b—dy) + dx].

La vitesse le long de l’arc infiniment petit Mme pou-
vant être regardée comme uniforme et comme égale à
celle que le corps acquiert en tombant de la hauteur
AP, supposons cette vitesse —+», et désignons par V la
vitesse acquise le long de Ap ou la vitesse avec laquelle
l'arc mn'est parcouru. Soit enfin £ le temps employé à
parcourir l'arc AM: alors le temps, le long de Mm,
sera — di. Or, dans le mouvement uniforme, les espa-
ces sont en raison composée des temps et des vitesses ,
nous avons donc

Mn = V/(dx? + dy?) = vdt,
mn —= V/[(b— dy} + dx] = Vat.

Ainsi, le temps employé à parcourir l'arc Mn sera

Mais la courbe An doit être telle que si le corps des-
cendait de M en », il devrait employer le moindre
temps possible ; donc le temps 24df est un minimum. On
a donc d(2dt) — 0, ou

M dy&y dyd&y—bdy
PE Ts + ds) VCD Ed”

en supposant dx constant.

Divisant par dy, et transposant, on obtient 8

dy b— dy
va + dy) VV — dy +de]

C'est-à-dire, en remettant les lignes,

mE
V.mn'

rm
v.Mm
ou
v.Mm

rar

V.mn

Jr
Ainsi, puisque la vitesse est comme V/AP, et la vi-
tesse V comme \/Ap,

V.mn
mE —

le produit de la racine de l’abs-
cisse par l'élément de l'arc correspondant étant divisé
par la différentielle de l’ordonnée , donne toujours une
quantité constante. Désignons cette quantité par V/a, et
nous aurons

V2. Vide? + dy?)

dy =V/a.

259

D'où l’on tire

æxdzx?
PE ae
et
= D CARE [ES |
2V/(ax—x) L2V/{ax—x:)

Ce qui donne en intégrant , C étant une constante,

adx
DE J' aV/(ax—x)
Supposons que AB — a soit le diamètre du demi-cer-
cle AQB, l’ordonnée QP sera —\/{ax—2), et

— V/(ax—x).

adx = Ladx
pre V/ax — x)

sera l’arc AQ ; donc
C+y—AQ—QP.

Mais lorsquey—o, l'arc AQ et l’ordonnée QP de-
viennent o ; donc C=—0, et l’on a définitivement

7 =AQ—QP.

C'est-à-dire l’ordonnée de la courbe cherchée est égale
à l'arc du cercle correspondant , dont le diamètre est 4,
moins le sinus de cet arc; ce qui est une des propriétés
fondamentales de la cycloïde. La courbe demandée est
donc une cycloide. Foy. ce mot.

L'équation de la brachystochrone réclame le secours
du calcul des variations pour être déterminé d’une
manière directe, Voyez le Traité de mécanique de
Poisson. C’est à l’aide de ce calcul que cet habile géo-
mètre résout le problème de Jean Beruouilli avec cette
clarté et cette élégance qui distinguent si éminemment
toutes ses productions.

BRADLEY (Jacques), grand et célèbre astronome,
naquit vers la fin de l’aunée 1692, a Shireborn, en An
gleterre, dans le comté de Glocester. La vie de cet
bomme illustre, qu'on a surnommé avec raison le m0-
dèle des astronomes, est tout entière dans ses travaux,
qui en renferment les événemeus les plus importans.
Destiné à l’état ecclésiastique, il prit ses grades, et ter.
mina ses études à Oxford, Il fut successivement pourvu
des cures de Bridstow et de Welfrie, dans le comté
de Pembroke. Mais il renonça aux espérances d’ svan-
cement qu’il était à même d’obtenir dans cette carrière
pour se livrer aux observations astronomiques, dont
l'étude des mathématiques avait développé en lui le
goût exclusif, En 1721, à l’âge de 29 ans, Bradley, qui
avait résigné ses fonctions évangéliques, fut nommé
professeur d'astronomie du collége de Saville, à Ox-
ford. Dès ce moment sa vie appartient tout entière à la
science, dont il allait hâter les progrès et développer,
les connaissances par d’immortelles découvertes. Ge fut

240 BR

en 1727 qu'il publia ses importantes observations sur
l’aberration de la lumière (’oy. AsenraTion). Dans la
même année, il exposa dans une lettre adressée à lord
Masclesfield sa découverte du phénomène de la mutation
de l'axe terrestre (Foy. Nurariow). Ces deux décou-
vertes de Bradley ont eu une grande influence sur les
progrès de l'astronomie; elles portent en effet sur les
plus grands phénomènes de la nature, et expliquent
la cause, jusqu'alors inconnue , des petits mouvemens
des corps célestes. Elles ont permis d'apporter dans les
observations astronomiques une exactitude rigoureuse
et un degré de certitude dans celles des spéculations de la
science qui en paraissaient le moins susceptibles. C’est
aussi Bradley qui, ayant reconnu la principale inégalité
du premier satellite de Jupiter, démontra comment
les éclipses de ce satellite , corrigées de cette inégalité,
pouvaient servir à mesurer les différences de longitude.
Trois aunées après la découverte de l’aberration de la
lumière, en 1730, Bradley, que l'éclat de ses travaux
astronomiques avait environué d’une brillante réputa-
tion, fut nommé professeur d'astronomie et de philoso-
phie naturelle au muséum d'Oxford. Plus tard, en
1741, après la mort du célèbre Halley, on lui déféra
la place d'astronome royal, et il alla résider à Green-
vich. On peut dire qu’alors Bradley n’eut plus de vœux
à former: toute l’ambition qui avait pu remplir ce
‘cœur simple et bon était alors satisfaite. Il se trouva au
milieu des objets et des instrumens utiles à la science
dans laquelle se concentraient toutes ses affections et
toutes ses pensées ; et il commença ces longues et admi-
rables observations, dont il remplit plusieurs volumes
in-folio ; collection unique par son importance, et qu’on
a peine à croire l’auvrage d’un seul homme. De cette
mine féconde, dit un savant biographe, on a tiré des
milliers d'observations du soleil, de la lune, des pla-
nètes, qui, habilement combinées, et, pour ainsi dire,
fondues ensemble par le calcul, ont porté l'exactitude
dans toutes nos tables astronomiques. Ce fut là que le
célèbre astronome Mayer puisa les élémens de ses Tu-
bles de la lune , les premières qui aient rempli par leur
exactitude l'espoir des marins et des géomètres.
Bradley se voua entièrement, et avec un désintéres-
sement sans exemples, à ce grand travail, qui a rempli
sa vie. On ne trouve de lui que quelques mémoires in-
sérés dans les Transactions philosophiques; mais son
nom, recueilli par la reconnaissance et l'admiration des
savans, peut se passer de tous les autres titres de gloire
qu'il sacrifia à des travaux solitaires et spéciaux. Bradley
était associé-étranger de l’Académie des Sciences de Pa-
ris, membre de la Société royale de Londres, de l’A-
cadémie impériale des Sciences de Pétersbourg et
de l'Iustitut de Bologne. Comme le biographe dont
nous venons de rapporter le jugement sur quelques tra-

BR

vaux de Bradley, nous sommes heureux de pouvenr
dire que les savans français devancèrent, par les hom-
mages qu'ils rendirent au talent de ce grand homme,
ceux qui dans sa patrie récompensèrent son génie, son
admirable patience et ses vertus. Jacques Bradley mou-
rut, après deux années de souffrances cruelles, à Green-
vich, le 13 juillet 1562, âgé de 50 ans.

BRANCHE DE COURBE (Géom.). C'est un terme
usité pour désigner les parties d’une courbe qui s'éten-
dent indéfiniment sans retourner sur elles-mêmes. On
les appelle aussi branches indéfinies. Tels sont les deux
côtés de la parabole et de l’hyperbole (Foy. ces mots).
Pour mieux faire comprendre la nature de ces branches,
designons par x l’abscisse, par y l’ordonnée, et par gx
une fonction de x, de manière que

Y = x

soit l'équation d’une courbe. En donnant successive-
ment à x des valeurs arbitraires, nous trouverons les va-
leurs correspondantes de y, qui nous donneront autant
de points différens de la courbe, au moyen desquels nous
pourrons la construire. Or, si pour chaque valeur post-
tive de x la fonction #x donne deux valeurs pour y,
l'une positive et l'autre négative, cette circonstance
nous indiquera que la courbe a deux branches: l'une si-
tuée à droite de l’axe des x, et l’autre à gauche; et si
de plus les valeurs de y croissent en même temps que
celle de +, ces deux branches s’étendront indéfiniment.
De plus, en faisant æ négatif dans la fonction @x, si
nous obtenons également deux valeurs pour y, l'une
positive et l’autre négative, nous aurons deux autres
branches s'étendant également à la droite et à la ganche
de l'axe des x, mais du côté des x négalifs. Lorsqu’en
faisant x négatif, la fonction 9x devient imaginaire,
c'est qu'alors la courbe n’a pas de branches du côté né.
gauf de l'axe des abscisses.

Soit, par exemple, ° = px l'équation d’une courbe,
cette équation donne y = V/pz. Ainsi, pour chaque
valeur de x correspond une valeur positive et une va-
leur négative pour y; la valeur +\/pr appartient aux
ordonnées situées à la droite de l'axe des x, et la va-
leur —\/px appartient aux ordonnées situées à la gau-
che de cet axe. Nous avons donc d’abord dans ce cas
deux branches différentes ; et comme y augmente indé-
fiuiment à mesure que æ augmente, ces deux branches
sont indéfinies. Mais si nous faisons x négatif, l'équa-
tion devient

Y=EV re.
Ce qui nous apprend que la courbe n’a pas de branches
du côté des x négatifs, puisque V/—=pz est une qua

tité imaginaire. Cette courbe est la parabole apollos

nienrie,

BR

Si l'équation de la courbe était

d’où l’on tire
+ 2

nous aurions d’abord évidemment deux branches infi-
nies du côté des x positifs. Faisant x négatif, l'équation
devient

EN
ME 5 V'(x—Bx).

Or, cette quantité est imaginaire tant que Bx est plus
grand que x? , et devient o lorsque x? — Bx, ou lors-
qu'on fait x—B. Ainsi, pour toutes les valeurs néga-
tives de æ, depuis-r = o jusqu’à æ=B, il n'existe pas
de valeurs réelles pour y; mais si l’on donne à æ des
valeurs plus grandes que B, on trouve pour y des va-
leurs réelles; ce qui nous apprend qu'à la distance B
de l’origine et du côté négatif de l'axe des æ recom-
mencent deux branches s'étendant à l'infini à droite et
à gauche de cet axe. La courbe dont nous examinons
l'équation a donc quatre branches infinies. C’est l’Ay-
perbole apollonienne.

Parmi les courbes du second degré, la parabole et
l’Ayperbole ont seules des branches infinies : le cercle et
l'ellipse n’en ont point; ces dernières sont des courbes
qui rentrent en elles-mêmes.

Les branches infinies des courbes supérieures se divi-
sent en deux espèces. On les nomme branches paraboli-
ques lorsqu'elles sont susceptibles d’avoir pour asymp-
totes des paraboles d’un ordre quelconque , et branches
hyperboliques lorsqu'elles ont pour asymptotes des
lignes droites ou des hyperboles également d’un degré
quelconque. (Voyez l’Zntroduction & l'analyse des
lignes courbes, de Cramer.) Foy. Counress.

BRAS DE LEVIER (#Méc.). Partie d’un levier cora-
prise entre le point d'appui et le point où est appli-
quée la puissance ou la résistance. Voyez Levier.

BRASSE. Ancienne mesure de longueur en usage
dans la marine. Il y en avait de trois espèces : la grande
brasse dont se servaientles vaisseaux de guerre ; elle avait
six pieds (1,94904 mètres). La moyenne dont se servaient
les vaisseaux marchands, elle était d’une longueur de
cinq pieds et demi (1,78662 mètres); et enfin, la
petite brasse, en usage parmi les patrons de barque,
dont la longueur était seulement de cinq pieds (1,62420
mètres.)

BRIGGS (Hewni). Célèbre mathématicien anglais, né
vers lan 1560 dans le York-shire, de parens pauvres
et d’une condition qui, d’après lès prejugés du temps,
semblait devoir lui fermer la carrière des sciences. Mais
les premières études du jeune Briggs furent si brillantes,
et il y manifesta des dispositions si extraordinaires,

BR 241

que sa famille se condamna à tous les sacrifices pour
l'envoyer à l’université de Cambridge, où il fut admis
en 15709. C’est là, dit-on, qu'il connut pour la première
fois les mathématiques, dont il embrassa l'étude avec
ardeur. Il ne tarda pas d’y faire des progrès tellement
supérieurs, que le chevalier Gresham, qui établit et
dota en 1569 le collége de Londres qui porte son nom,
nomma Briggs à la chaire de géométrie. Il sy distingua
dans des entreprises utiles aux progrès de l'astronomie
et de la géographie; mais son plus beau titre de gloire
est d’avoir le premier saisi toute l'utilité de la décou-
verte des logarithmes de Neper, alors toute récente.
Henri Briggs fit plusieurs voyages de Londres à Edim-
bourg pour canférer avec cet homme célèbre sur cet
important sujet. On pense qu'il forma, concurremment
avec Neper, le projet de changer la forme de ses loga-
rithimes, Ce dernier n'eut que le temps de lui en recom-
mauder l'exécution, car il mourut au moment où Briggs
se disposait à faire un troisième voyage auprès de lui
pour cet objet. Il + travailla avec tant d’ardeur , que
dès 1618 il publia une table des logarithmes ordinaires
des 100 premiers nombres, comme essai d’un travail
beancoup plus étendu, qu'il promettait. Il se proposait
de composer deux immenses tables : l’une contenant
tous les logarithmes des nombres naturels depuis 1 jus-
qu’à 100,000 , et l’autre, ceux des sinus et des tangentes
pour tous les degrés et ;4; de degré du quart de cercle.
Il ne put exécuter qu'une partie de ce prodigieux tra-
vail; la mort vint le surprendre à Oxford , le 25 jan-
vier 1630. Henri Briggs fut ainsi le premier promoteur
de la théorie des logarithmes, et il est sans contredit
celui qui contribua le plus par son travail à la propaga-
tion de cette mémorable découverte. Cet éloge suffirait
à la gloire de plusieurs noims. Voici la liste de ses prin-
cipaux ouvrages : L. Logarithnorum chilias prima,
Londres, 1617, in8°. Il. Arithmetica logarithmica,
Londres, 1624, in-fol. ; ouvrage d’un travail immense,
et qui à servi de modèle à toutes les tables de logarith-
mes publiées depuis cette époque- Celles de Briggs
contiennent les logarithmes des nombres naturels de 1 à
20,000 et de 00,000 à 100,000 , avec 14 décimales ; elles
renferment aussi ceux des sinus et des tangentes pour
chaque -E, de degré, également avec 14 décimales, les
sinus naturels avec 15 décimales, et les tangentes et sé-
cantes naturelles avec 10 décimales. On attribue aussi à
Briggs des travaux fort estimables sur les géomètres de
l'antiquité, et la plus grande partie de la trigonométrie
britannique; Trigonometria britannica , Goudal , 1623,
in-folio.

BROUETTE (HMce.). Caisse suspendue sur une roue,
qui sert à transporter des matériaux de construction et
autres. Cet appareil d’un usage extrêmement commun

est susceptible de plusieurs perfectionnemens qui ont
31

242 BY

été indiqués plusieurs fois, et que la routine aveugle a
lconstamment repoussés. M. Person, dans son Recueil
le mécanique, propose une nouvelle forme de brouette
‘où le caisson est construit de manière que son centre de
gravité porte le plus directement possible sur l’essieu
formant le poiut d'appui du brancard (/oy. PL. XII,
fig. 2). De cette manière, le plus grand bras du levier
formé par le brancard se trouve beaucoup moins chargé
et le conducteur peut mettre la brouctte en mouvement
avec moins de force. On peut faire usage de ce prin-
cipe sur les brouettes ordinaires et éviter les frais de
nouvelles constructions en prolongeant en b (Foyez
PL. XIT, fig. 1) les deux jumelles au-delà de l’essieu
pour ÿ adapter un massif de plomb ce. Alors le brancard
devient levier du premier genre; et la charge c de son
petit bras balançant une portion du poids que porte le
grand bras, diminue d'autant l'effort du conducteur.

BROUNKER (Guirraume), lord, vicomte de Castle-
Lyons, mathématicien anglais célèbre par sa décou-
verte des fractions continues, naquit en 1620. Atta-
ché à la cause royaliste, il fut un des nobles qui si-
gnèrent la fameuse déclaration de 1660 en faveur de
Mouk. Après la restauration, il fut chancelier de la
reine Catherine, garde du grand sceau, et l’un des
lords commissaires de la Tour. Il était du nombre
des savans dont la réunion forma la Société royale de
Londres. il en fut élu président. Lord Brounker culti-
vait les sciences mathématiques avec beaucoup de dis-
tinction; mais ce qui lui mérite l'honneur d'être cité
parmi les plus grands géomètres, c’est son inven-
tion des fractions continues. Wallis a publié sa décou-
verte et la méthode par laquelle le noble savant v est
parvenu (Voyez Fracrions conrinuEs et Wazis). Lord
Brounker est mort à Westminster, en 1684. On trouve
plusieurs égrits de lui dans les Transactions philoso-
plhiques,

BURIN (A4str.). Constellation méridionaie établie
par La Caille dans son planisphère austral. Elle est pla-
cée entre l’Éridan, la Colombe et la Dorade. Son
étoile principale est de la cinquième grandeur.

BYRGE (Jusre), mécanicien et astronome célèbre, na-
quit à Lichstensteig, en Suisse, vers l’année 1549. Guil-
Jaume IV, landgrave de Hesse, dont le nom est cher aux
sciences, auxquelles il accorda une généreuse protection,
appela Byrge à Cassel, où sa réputation d’astronome et de
mécanicien l’avait devancé. Il y construisit plusieurs ins-
trumens d'astronomie et diverses machines remarqua-
bles par leur singularité, et se livra aux observations as-
tronomiques avec son protecteur, qui cultivait spéciale-
ment cette science. En 1597, et après la mort de Guil-
laume, Bvyrge fut nominé mécanicien de l’empereur.
Képler le représente (voy. Tasces Runozrmnes, fol, H)

BY

comme un homme doué de beaucoup de génie, vais
pensant si modestement de ses inventions, et si indiffé-
rent pour elles, qu’il les laissait enfouies dans la pous-
sière de son cabinet. C’est par cette raison , ajoute ’u-
lustre auteur, que, quoique fort laborieux, il ne donna
jamais rien au public par la voie de l'impression. Il pa-
raît que, sous ce dernier rapport du moins, Képler
était dans l'erreur. Benjamin Bramer, son disciple et
son beau-frère, dans un ouvrage qui a pour objet ja
description d’un instrument pour la perspective et le
levé des plans, s'exprime ainsi: « C’est sur ces prin-
cipes que mon cher beau-frère et maître Juste Byrge a
calculé, il y a vingt ans (cet ouvrage paraissait à Cassel
ea 1630), une belle table des progressions , avec leurs
différences de 10 en 10, calculées à 9 chiffres, qu’il a
aussi fait imprimer sans texte à Prague, en 1620; de
sorte que l'invention des lagarithmes n’est pas de Néper,
mais a été faite par Juste Byrge long-temps avant. »
Une telle prétention ne pouvait manquer d’exciter l’at-
tention des savans. On objecta avec raison que, en sup-
posant que Byrge eut publié ses tables en 1620 , on ue
pouvait en conclure qu’il eut découvert les logarithmes
avant Néper, dont l’ouvrage avait paru en 1614. Cette
date est importante pour fixer l'opinion sur le mérite
de l’antériorité, qui est demeuré à Néper.

L'ouvrage de Byrge ne se retrouva pas; et ce fut le
hasard qui le fit découvrir vers 17940, par Gotthelf
Koœstner, géomètre allemand, connu par un traité
de gaomonique analytique. Ce savant fut conduit, par le
passage de Bramer que nous venons de citer, à recon-
naitre les tables de Byrge parmi d’autres, qu'il avait
achetées avec quelques anciens ouvrages mathématiques,
qu'il n'avait jamais examinés. Voici la traduction du
titre qu’elles portent : « Tables progressives, arithmé-
tiques et géométriques , avec une instruction sur la ma-
nière de les comprendre et de les employer dans toutes
sortes de calculs, par J, B. (Juste Byrge), imprimées
dans la vieille Prague, 1620. »

Ces tables se composaient de sept feuilles et demie
d'impression in-f°; mais on n’y trouve pas l'instruction
annoncée dans le titre. D'où l'on a dû conjecturer que
quelques circonstances particulières avaient empêché la
continuation de cet ouvrage. Kæstner fit savoir qu’elles
n'étaient pas de la forme des tables logarithmiques or-
dinaires. Dans celles de Byrge, ce ne sont pas les nom-
bres, mais les logarithmes , qui croissent arithmétique-
ment de 10 en 10; ils sont imprimés en rouge, et les
nombres naturels exprimés en 9 chiffres sont imprimés
en noir, en regard , de cette manière :

0.....100000000

10 ++ + + 100010000
20,,+.:100020001
30.....100030003

EE

BY

Nous n’accorderons pas plus d’étendue à cetexemple,
qui suffit pour donner une idée de la marche adoptée par
Byrge. Sans doute, c’est à Néper qu’appartient la gloire
de cette découverte ; mais il est impossible de ne pas
rendre justice au talent de Byrge, à qui une occasion
seule a peut-être manqué pour être associé à l’honneur
de cette ingénieuse invention. Byrge mourut à Cassel

DY

en 1633, ägé ainsi de quatre-vingt-un ans. On a attribué

245

à cet habile mécanicien l'invention du compas de pro-
portion ; mais son instrument ayant été décrit par Levin
Holstius, dans son ouvrage intitulé : Tractatus ad geo-
desiam spectantes ; où l'on en trouve aussi la gravure;
il en résulte que le compas de Byrge n’est autre chose
que le compas de réduction. Voy. Gompas et GALILÉE.

C.

CA
CABESTAN (Mec.). Treuil vertical, que l’on fait

tourner circulairement avec des barres ou leviers hori-
zontaux. Il se compose d’un roulean de bois cylindrique
ou un peu conique AB (voy. FL. XIT, jig. 5), posé ver-
ticalement dans un bâtis de bois, et dont la tête cubique
A est percée de manière qu'on puisse y introduire les
leviers GE et HF, qui servent à le faire tourner.

Avec cette machine, on peut vaincre de très-grandes
résistances à l’aide d’une force beaucoup moindre. Pour
s’en servir, on fait faire plusieurs tours à la corde CD,
qui tient en D le fardeau à mouvoir; on fixe l’extré-
mité de cette corde, ou on la fait tenir par des hommes,
et on en applique d’autres aux leviers GE et HF. Lors-
que ces derniers font tourner le cylindre, la corde se
roule de plus en plus autour, en faisant avancer la résis-
tance D. Il est évident que le cabestan agit comme un le-
vier du premier genre, ou plutôt comme un assemblage
de leviers, et que le bras de la résistance est plus court que
celui de la puissance; car le premier est le demi-diamè-
tre, ou le rayon du cylindre, tandis que le second est
ce même rayon prolongé de la longueur des leviers en
croix.

Plus ces leviers seront longs, plus la puissance devien-
dra capable de surmonter une plus forte résistance , seu-
lement il lui faudra plus de temps, parce qu’elle aura
eu un plus grand espace à parcourir. Foy. Treuiz et
Levier.

Cette machine est employée sur les vaisseaux pour
lever les ancres où autres fardeaux, auxquels sont amar-
rés les cäbles que l’on fait passer autour du cylindre.
Pour cet effet, il y a ordinairement deux cabestans sur
les vaisseaux; savoir, un grand, qu’on appelle cabestan
double, et un petit, qui est le cabestan ordinaire. Le
cabestan double est placé sur le premier pont, derrière
le grand mât; il s'élève jusqu’à quatre ou cinq pieds au-
dessus du second pont. Son nom de cabestan double lui
vient de ce qu’on peut mettre des hommes sur les deux
ponts en même temps pour le faire tourner, et doubler

CA

ainsi sa force. Il sert particulièrement à lever les ancres
Le cabestan ordinaire est placé sur le second ou le troi-
sième pont, et sert à hisser les mâts de hune et les
grandes voiles, et dans toutes les occasions où l’on peut
lever les ancres avec peu de force.

Il existe aussi des cabestans mobiles, qu’on peut trans-
porter avec facilité d’un lieu à un autre. Ils servent dans
l'architecture, ou plutôt dans la construction des bâti-
mens, pour mettre en mouvement les grosses pierres.

Le cabestan est sujet à plusieurs inconvéniens, qu’on
n'a pu encore corriger. Il exige un homme qui serve
uniquement à faire filer le câble au fur et à meswe qu'il
s’enroule, pour que les tours qu’il fait sur le cylindre
ne sy accumulent pas. La partie du câble qui s’enve-
loppe, s’élevant ou s’abaissant progressivement , on est
obligé de temps en temps d’arrêter la machine, afin de
remettre le cäble dans la position qu’il doit occuper.
Cette opération, que les ouvriers nomment choquer ;
fait perdre un temps considérable,

L'Académie des sciences de Paris proposa pour sujet
de prix, en 1739, de trouver un cabestan qui eût les
avantages de l’ancien, sans en avoir les défauts. Ce prix,
qui ne fut pas remporté, fut remis au concours en 1741.
et, sur un très-grand nombre de mémoires, les quatre
suivans furent couronnés: Discours sur le cabestan, par
Jean Bernouilli le fils; Dissertation sur la meilleure
construction du cabestan, par un anonyme ; De ergatæ
navalis præstabiliore usu , dissertatio|, auctore Joanne
Poleno; Recherches sur la meilleure construction du
cabestan, par Ladot, avocat en parlement. Trois au-
tres mémoires obtinrent des accessits ; ce sont : A/Cmoire
sur le cabestan, par de Pontis; Recueil d'expcriences
sur le cabestan, par Fenel, chanoine de Seus; Cabes-
tan à ccrevisses et cabestan à bras, par Delorme. Ces
sept mémoires furent imprimés en 1745. Toutefois,
l’Académie dit dans son avertissement qu’elle n’a trouvé
aucun des cabestans proposés exempt d’inconvéniens ;
mais elle reconnait qu'il y a d’excellentes choses, prin-

244 CA

cipalement sous le rapport de la théorie dans chacun
des ouvrages couronnés. :

En 1793, un ingénieur mécanicien français, nommé
Cardinet , présenta au bureau de consultation un cabes-
tan d’une construction plus simple que tous ceux pro-
posés jusqu'alors, et dans lequel on évite Fopération de
choquer. Cardinet s’est à la vérité servi d’une invention
qu’on trouve dans les mémoires cités ci-dessus de Jean
Bernouilli et de Ladot; mais il l'a considérablement
perfectionnée ; et sa machine offre des avantages incon-
testables. En 1594, E. C. de La Lande, professeur de
mathématiques à l’école de La Flèche, inventa un nou-
veau cabestan que l'illustre Borda déclara supérieur à

, tout ce qui avait été fait avant. Voyez, pour ce qui
concerne le cabestan : Recueil des pièces qui ont rem-
porté le prix de Académie, tome V ; et le volume in-
titulé Mouvement des fardeaux , du Traité de mécani-
que appliquée aux arts, de M. Borgnis.

CADMUS (Astr). Nom de la constellation du S$er-
pentaire. Voy. ce mot.

CADRAN SOLAIRE (Gnom.). Instrument sur le-
quel sont tracées des lignes qui indiquent l'heure par
Jombre d’un style ou par un ravon solaire. Foy. Gxo-
MONIQUE.

CAILLE ( Nicozas-Louis DE La), l’un des plus cé-
lèbres et des plus savans astronomes du dernier siècle,
est né à Rumigny, près de Rosoy en Thierache, le 15
mars 1713. Il terminait ses études au collége de Lizieux,
où il s'était déjà fait remarquer par son application et
son goût pour les sciences, quand son père mourut, et
le laissa sans ressources. Heureusement pour cet enfant
qui donnait de si belles espérances , le duc de Bourbon,
protecteur de sa famille, vint à son secours, et lui four-
ait les moyens de se livrer à des études d'un ordre élevé.
La douceur du caractère de La Caille, la générosité de
son cœur, son ardeur pour le travail, lui avaient dès-
lors concilié l'amitié de ses maitres et de ses condisciples;
ses succès éclatans ne tardèrent pas à justifier l'intérèt
qu'il inspirait à tout le monde. Le moment arriva enfin
où il dut songer sérieusement au choix d’une carrière.
Son père, ancien officier d'artillerie, qui s'était retiré à
Anet où il était attaché à la duchesse de Vendôme comme
capitaine des chasses, lui avait de bonne heure inspiré
ie goût des sciences , etl’avait même initié à la connais-
sance des mathématiques qu'il appliquait spécialement
à la mécanique. Le jeune La Caille, conservant dans un
âge plus avancé Fheureuse direction d'idées qu'il avait
recues dès l'enfance, résoiut de se youer à l'état ccclésias-

Üique, qui pouvait 4 la fois iui assurer une existence in-

dépeñdante, et:lui offrn: assez Ge loisirs pour culuüver

les hâutes sciences, vers desquelles l'entrsineit un pen-

chant qui se développait eu hui de sus enpibas Dé

cette époque. La Caille avait dirige toutes &c

9

CA

vers l’astronomie, que, durant son cours de théologie,
il étudiait en secret, saus instrumens et presque sans
livres. [1 fit cependant des progrès si remarquables dans
cette science, que le savant Fouchy, auquel il fut recom-
mandé peu de temps après, eu 1736, s’étonna qu’un jeune
homme de 23 ans eût pu pénétrer aussi avant daus ces
connaissances supérieures.
La Caille ayant éprouvé quelques contrariétés à
l’époque où il subit son premier examen théologique,
à l'issue duquel il reçut le sous-diaconat , se détermina
à ne point chercher d'autre avancement dans les ordres.
La hardiesse et la nouveauté de quelques-unes de ses
réponses avaient irrité l'un de ses examinateurs, vieux
docteur habitué aux subuilités de l’école, et aux yeux
duquel l'indépendance des idées était un crime irré-
missible. On fut sur le point de lui refuser le titre de
maitre-ès-arts, et le jeune La Caille comprit sans doute
qu'il aurait de noimbreux obstacles à vaincre dans Ja
carrière qu'il avait voulu embrasser : il renonça dès ce
moment à la théologie, et se livra sans réserve aux obser-
vations de la science qu’il afféctionnait. Ce fut dans ces
circonstances que l'abbé La Caille fut présenté à Jacques
Cassini, qui, appréciant ses talens, l’accueillit avec
bonté, et lui donna même un logement à l'Observatoire.
Il se trouva ainsi en possession, dès son entrée dans la
carrière, d'une position qui lui offrait l’inappréciable
avantage de pouvoir vérifier les observations des meil-
leurs maitres à l’aide des instrumens les plus puissans et
les plus parfaits qu'on possédät alors. Dès l’année qui
suivit sou entrée à l'Observatoire, l'abbé de La Caille
fit, avec Maraldi qui l'avait pris en amitié, la descrip-
tion géographique de la France, depuis Nantes jusqu'à
Bayonne. On s'occupait à cette époque de la vérification
de la méridienne. L’exactitude et la précision que La
Caitle avait mises dans son premier travail, le firent juger
digne d’être associé à cette grande et importante entre-
prise. 1 commença ses opérations le 30 avril 1730, ct
avant l'expiration de cette année, il avait achevé tous
les triangles, dit le plus illustre de ses biographes,
depuis Paris jusqu'à Perpignan; mesuré les bases de
Bourges, de Rhodès et d'Arles; observé les azimuts ct
les distances des éioiles au zénith à Bourges, Rhodès et
Perpignan ; et avait enfin pris la plus grande part à la
mesure du degré de longitude qui se termine au port
de Cette. La Cuille, en continuant ses travaux pendant
le rigoureux hiver de 1740, eutl'occasion de démontrer,
par des calculs d’une exactitude inattaquable, que les
soupçons sur la vraie longueur de la base de Picard,
iesurée par cet acadéwicien, en 1669, en s'appuyant
sur le moulin de Juvisy, étaient fondés. Il trouva que
cette base était non de 5,663 toises, comme Picard l'avait
mesurée, mais seulement de 5,657, c'est-à-dire moindre

d'euvitca une toise par mille, et que par conséquent la

CA

toise dont s'était servi Picard était au moins d’une ligne
plus courte que celle de l’Académie. Cette différence
étant enfin bien reconnue et constatée, La Caille pro-
céda avec Gassini à la vérification des triangles depuis
Paris jusqu’à Dunkerque. A peu près à cette époque ;
ces deux astronomes se livrèrent à une autre opération
non moins importante, et qui confirme comme la me-
sure exacte du méridien, l’aplatissement de la terre :
c’est la mesure d’un.degré du parallèle passant au 43° +
de latitude. Ils trouvèrent la longueur de ce degré égale à
41,358 toises, tandis qu'il cût du être moindre de 260
toises dans l'hypothèse de ia terre sphérique, et de plus
de 500 dans celle de la terre allongée. Foyez Menibirx.

Pendant que l'abbé La Caille se livrait ainsi à ces utiles
travaux, le docteur Robbe, sur la foi de sa réputation,
le nomma professeur de mathématiques au collége Maza-
rio. Les devoirs de ses nouvelles fonctions suspendirent la
continuation de la méridienne dans la partie du nord,
qu'il termina en quelques mois lautomne suivant. À
époque de la révolution française, et lorsqu'il fut ques-
tion de prendre pour ünité de mesure la dix-millionième
partie du quart du méridien, Delambre et Méchain
furent chargés de refaire et de vérifier avec des moyens
nouveaux la plus grande partie des travaux de La Calle.
Le premier de ces savans , qui a rendu aussi d’importans
services à l’astronomie , et qui est le biographe que
nôus avons cité plus haut, ne parle de ces travanx
qu'avec un sentiment de respect et d’admiration qui
honore son caractère et ses talens. Nous croyons devoir
lui emprunter ici quelques traits particuliers de la vie
scientifique de La Calle, car nous avons déjà eu loc-
casion de le dire, il est rare que toute la vie d’un
homme de science ne soit pas renfermée dans l’histoire
de ses travaux, et il n'existe guère plusieurs manières de
les exposer.

Au retour de ses excursions pour la mesure du méri-
dien, La Caille se livra aux calculs qu’entrainait une si
longue opération, et, par la comparaison des divers arcs
qu'il avait mesurés, il démontra que les degrés allaient
en croissant de l'équateur vers le pôle, conclusion dia-
métralement opposée à celle qui résultait de l’ancienne
mesure. En 1741, La Caille entra à l'Académie des
sciences, et de cette époque date la plus grande partie
des écrits qu’il a consacrés à la partie théorique de la
science qu’il pratiquait avec tant de zèle et de distinction.
Ses traités de géométrie, de mécanique, d'astronomie
et d'optique, qui se succédèrent à des intervalles très-
rapprochés, prouvent avec quelle assiduité il remplis-
sait ses fonctions de professeur. Ses éphémérides et les
nombreux et-importans mémoires qu'il publia dans le
recueil de l'Académie des sciences, ses calculs d'éclipses
pour dix-huit cents ans, insérés dans la première édition de
l'Art de vérifier les dates, prouvent aussi avec quelle ar-

CA 245

deur il poursuivait ses travaux astronomiques. ILavait
entrepris la vérification des catalogues d'étoiles, Les lu-
nettes méridiennes étaient presque inconnues en France,
et celles qu’il avait pu avoir ne lui inspirant que peu
de confiance, il s’attacha à la méthode des hauteurs
correspondantes, qu’il regardait comme la seule qui püt
lui assurer l'exactitude à laquelle il aspirait. Fidèle à
cette méthode pénible qu’il avait préférée pendant qua-
torze aps, La Caille passa les jours et les nuits à obser-
ver le soleil, les planètes, et surtout les étoiles, pour
rectifier les catalogues et les tables astronomiques. On
lui avait abandonné les deux secteurs de six pieds, avec
lesquels il avait mesuré la méridienne de France, Ce
travail lui inspira l’idée d’une expédition lointaine, qui
a offert à la science des résultats importans. Nous en
parlerons avec quelque détail.

Ce fut en 1751 que l'abbé La Caille, dans le but de
connaitre et de vérifier les étoiles australes qui nese
lèvent jamais sur l'horizon de Paris, entreprit de faire
un voyage au cap de Bonne-Espérance. Ce déplacement
devait en outre offrir d’importans avantages pour l’ob-
servation de la parallaxe de la lune, de celle de Vénus
et de Mars, comme pour les réfractions, Le judicieux
La Caille embrassa d’un coup d’œil ces diverses circons-
tances , et se prépara à son expédition, pour laquelle il
obtint facilement l’assentiment du gouvernement et de
l'Académie des sciences. Il donna avis de son voyage à
tous les astronomes de l'Europe ,'daus l'espoir que quel-
ques-uns d’entre eux se joindraient à lui : un horloger
seul l’accompagna. La Caille rapporte lui-même qu’à
son arrivée au Cap, il crut, durant plusieurs mois, qu’il
ne pourrait atteindre l’objet de son voyage. Lorsque le
vent de sud-est, qui se fait sentir fréquemment dans ces
latitudes, venait à souffler, tous les astres paraissaient
dans une agitation continuelle; les étoiles même pre:
naient la figure et les apparences des comètes , et la vio-
lence du vent ébraulant les instrumens, il devenait à peu
près impossible de se livrer à des observations suivies.
La persévérance de La Caille, etson zèle pour la science,
triomphèrent néanmoins de ces obstacles imprévus, et
il observa avec une étonnante précision jusqu’à dix mille
étoiles, dont il fut obligé de former quatorze nouvelles
constellations, pour les lier méthodiquement entre elles.
Hevélius et Halley avaient aussi précédemment formé
des constellations nouvelles (voyez ce mot); mais ces
savans astronomes avaient fait entrer quelques vues per-
sonnelles dans les noms qu’ils leur avaient imposés. La
Calle suivit une autre marche, et voulut consacrer sa dé-
couverte aux sciences et aux arts. Ou trouve le nom de
ces constellations placées dans l’ordre des ascensions
droites, et telles qu'il les rapporte lui-même, dans es
Mémoires de l'Académie des sciences de 1752, et dans

le journal de son voyage, ainsi qu'il suit :

246 CA

2°. L'ATELIER DU SCULPTEUR : il est composé d’un sca-
bellon qui porte un modèle , et d’un bloc de marbre sur
lequel on a posé un maillet et un ciseau; 9° Le rounxeau
CHIMIQUE avec son alambic et son récipient; 3° L'non-
LOGE à pendule et a secondes; 4° LE RÉTICULE RHOMLOÏIDE,
petit instrument astronomique composé de plusieurs fils,
et qui se place au foyer d’une lunette pour mesurer le
diamètre des astres ; 5° Le suriN pu craveur: la figure
est composée d’un burin et d’une échoppe en sautoir
liés par un ruban ; 6° Le cuevaLer Du PEINTRE auquel
est attachée une palette; 5° La BOUSSOLE Où LE com-
PAS DE MER; 8° LA MACHINE PNEUMATIQUE avec son
récipient , instrument qui appartient à la physique
expérimentale; 3° L’ocrantT ou LE QUARTIER DE RE-
FLEXION dont on se sert en mer pour observer les lati-
tudes et les longitudes; 10° Le compas; 11° L’ÉQuERRE
XT LA RÈGLE, attributs de l'architecture, auxquels il
ajouta en forme de niveau, le triangle austral qui sub-
sistait déja; 12° LE TÉLESCOPE Où LA GRANDE LUNETTE
ASTRONOMIQUE suspendue à un mât; 13° LE micROSCOPE :
comme attribut de l'histoire naturelle, cet insrument
est représenté par un tuyau placé au-dessus d’une boîte
carrée ; 14° LA MONTAGNE DE sARLE, nom d’un lieu cé--
lèbre au cap de Bonne-Espérance, où La Caille acheva son
grand travail sur les étoiles ; il l’a placée au-dessous du
GRAND NUAGE, pour faire allusion à un nuage blanc qui
couvre cette montagne aux approches des vents violens
du sud-est. La Caille, en formant ces quatorze constella-
tions, indiqua par des lettres grecques et latines, suivant
la méthode employée par Bayer, en 1600, chacune des
étoiles visibles à l'œil nu. Il reforma sous quelques rap-
ports les catalogues de cet ancien astronome, en chan-
reant les lettres qu'il avait mal à propos attribuées aux
étoiles de diverses constellations.

Le voyage de La Caille dura quatre ans, et ses décou-
vertes, auxquelles on a justement donné le nom de con-
quête astronomique, ne coùtèrent au gouvernement, en
y comprenant les frais de construction ct d'instrumens ;
que la somme de 9,144 livres 5 sous. Le modeste et
scrupuleux La Caille, dont la naïve probité étonna, dit-
on, les agens du trésor royal, lorsqu'il leur rendit ses
comptes, fut épouvanté de la célébrité et de la gloire
que son noble dévouement aux progrès de la science
venait de lui acquérir. À son retour à Paris, en 1754;
il fut accueilli avec un empressement qu'il était loin
de rechercher, et auquel il se déroba en s’enfermant
dans l'observatoire qu’on avait construit pour lui en
1748, au collége Mazarin. Il eut un moment le projet,
dont ses amis eurent de la peine à le détourner, de se
retirer dans une province méridionale, où les impor-
tuns et les curieux ne vinssent pas troubler ses études
solitaires. Cette époque de la vie de La Caille est celle
oùil produisit ses plus importans ouvrages. On est surpris

CA

de l'inmensité des travaux qu'a atégimpiis € isa lux
ctsavanl astronome, durant une carrière malheureuse-
nient si courte, dont il trouva encore le moyen de con-
Sacrer une parue à la pratique des plus douces vertus,
etaux devoirs de l'amitié. (Voyez Boueuer.) Un vio-
lent accès de goutte vinttout à coup interrompre les tra-
vaux de La Caille; mais il les reprenait avec une ardeur
inprudente durant les intervalles de repos que lui lais-
sait Ja douleur. Ce fut ainsi qu'il usa ce qui lui restait de
forces, et qu'il contracta une maladie mortelle, eu pas-
sant les nuits, pendant un hiver entier, couché sur
les dalles de san observatoire, pour achever son cata-
logue des étoiles. Il avait déjà éprouvé au Cap la
fièvre violente dont il fut saisi. Le repos alors l'avait
guéri sans le secours de l’art; les talens des médecins de
Paris lui furent moins favorables. Il vit approcher ses
derniers momens avec le calme et la résignation d’une
âme forte et religieuse, fit de nombreuses dispositions
qui prouvent jusqu’à quel point il avait conservé l’usage
deses facultés, et il mourut le 21 mars 1562, à peine âgé
de 49 ans. Sa perte fut grande pour la science ; et les
ombreux travaux de La Lande, qui se glorifiait d’avoir
été son disciple, ne la firent point oublier. La Caille est
un des hommes les plus remarquables qu’ait produits la
France, Son noble caractère ne se démentit jamais.
Simple dans ses goûts, modeste, laborieux, on aurait
dit que la gloire le fatiguait, et qu'il fuyait la célébrité
avec autant de soin que d’autres en mettent à exalter
un mérite douteux. Accueilli par les chefs de la secte
encyclopédique, sa raison fut assez forte pour dérober
sa jeunesse à l'entrainement des idées qui emportaient
alors la France, idées fatales contrelesquelles elle estenfin
entrée en lutte, dans sa généreuse ardeur de rénovation
et de progrès. Les principaux ouvrages de l'abbé La
Gaille sont : 1. Astronomiæ fundamenta, etc. Paris,
1957, in-40. Il. Cœlum australe stelliferum. Paris,
1700 , in-4°. C’est dans cet ouvrage que sont consignées
les découvertes et les observations faites par l’auteur au
cap de Bonne-Espérance. III. Tables des logarithmes
pour des sinus el tangentes de toutes les minutes du quart
de cercle, etc.; édition revue par l'abbé Marie. Paris,
an vu (1799), in-8°. IV. Tables solaires, etc. Paris,
1758. V. Lecons élémentaires de mathématiques. Paris,
1741-1807, in-8°. VI. Lecons de mécanique, 1743, in-8°.
VII. Leçons d'astronomie, 1746, 4° édition, publiée
par La Lande, 1730. VIIL. Élemens d'optique. Paris,
1750-1807 et 1808, IX. Éphémerides depuis 1745 jus-
qu'à 1775. La Caille est aussi l’auteur d’un Zraité de na-
vigation, d'observations faites au cap de Bonne-Espé-
rance pour les parallaxes de Vénus et de Mars, etc.

CALCUL. Réalisation des opérations qu'il faut faire
sur les nombres donnés par une question pour en con-
naitre le résultat. Ce mot est dérivé de calculus, pierre,

CA

parce que les anciens employaient de petites pierres
pour effectuer les règles de l'arithmétique. On l’étend
encore à toutes les branches de lx science des nom-
bres qui emploient des procédés qui leur sont pro-
pres pour exécuter des recherches ou des opérations
mathématiques. C’est daus ce sens que l’on dit calcul
différentiel, calcul des variations, ete., etc. Nous avons
ainsi :

CaLcuL DIFFÉRENTIEL, V0Y+ DiFFÉRENTIEL.

CALCUL INTEGRAL, v0Y. INTEGRAL.

CALCUL DES FONCTIONS , voy. Foncrion.

CALCUL DES LIMITES, v0y. LIMITES.
CALCUL DES FLUXIONS, V0Y. FLUXIONS.
CALCUL DES DÉRIVATIONS , V0ÿ. DÉRIVATION.

CALCUL EXPONENTIEL , VOY. ÉXPONENFIEL,

CALCUL DES DIFFÉRENCES PARTIELLES, VOY« DIFFÉREN-
CES PARTIELLES.

CALGUL DES PROBABILITÉS, V0Y. PROBABILITÉ.

CALCGUL DES VARIATIONS , VOY. VARIATION.

Cazcuz numérique. C’est la même chose que l’Antre-
MÉTIQUE.

CALENDES (Calendrier). C'était ke nom que les Ro-
mains donnaient au premier jour de chaque mois Voy.
CALENDRIER.

CALENDRIER. Distribution du temps en périodes
plusou moins longues, imaginées pour les usages sociaux.
On entend encore par ce mot une table qui contient
l'ordre des jours , des semaines, des mois et des époques
remarquables, ou des fêtes qui arrivent pendantle cours
de l’année.

Le nom de calendrier est dérivé de calendes : c’est
ainsi que les Romains désignaient le premier jour de
chacun de leurs mois, d’après le grec xæAtw , j'appele,
parce que c'était en ces jours qu'on appelait le peuple
aux assemblées.

La perfection du calendrier a été de tout temps un
des premiers besoins des peuples civilisés; et ee, n’est
en effet qu’en déterminant une manière invariable de
compter le temps, qu’on peut désigner avec exactitude
le retour des mêmes travaux, des mêmes cérémonies,
conserver à la postérité la date des événemens, et fixer
enfin lesépoques de l'apparition des phénomènes célestes
que la science est parvenue à calculer si long-temps à
l'avance.

1. La division du temps en jours se présente d’abord
naturellement à tous les hommes : cependant les dif-
févens peuples n'ont point attaché à ce met la même
signification, Le jour est raturel où artificiel. Par jour
naturel, nous entendons le temps pendant lequel le soleil
achève sa révolution complète d’orient en occident,
ou le temps écoulé entre deux midis consécutifs, Le
jour naturel renferme donc non-seulement le temps de

: . L
l'apparition du soleil au-dessus de l'horizon; ce qui cons-

CA 217

titue le jour proprement dit, mais encore le temps de
sa présence au-dessous de l'horizon, où la nuit. Le jour
artificiel, au contraire, est seulement le temps pendant
lequel le soleil demeure au-dessus de l'horizon. C’est sui-
vant cette dernière signification que le jour est opposé
à la nuit.

2. Quelques peuples, comme les Assyriens, ont pris
le commencement du jour naturel au lever du soleil,
d’autres Font pris au coucher, comme on le fait en Ita:
lie, en Bohème et ailleurs; plus généralement comme
en France, et dans presque tous les états de l'Europe, le
jour naturel commence à minuit; alors l'intervalle de
temps compris entre deux minuits consécutifs forme le
jour civil. Les astronomes et les navigateurs com-
mencent le jour à midi, parce que le passage du soleil
au méridien es! un phénomène facile à observer et qui
est par cela très-propre à indiquer le commencement
d’un nouveau jour. C’est là l’origine du jour astrono-
mique où du jour vrai. Voyez Jovr.

3. Le jour naturel se divise en 24 parties qu'on
appelle heures; nous faisons ces parties égales entre
elles. Il y a eu des peuples qui donnaient 12 heures au
jour artificiel et 12 heures à la nuit ; alors les heures des
jours et des nuit étaient bien égales entre celles, mais
non les premières aux secondes, excepté le jour de
l’équinoxe.

Les Juifs et les Romains divisaieat le jour artificrel en
quatre parties égales, quatre heures principales qu’ils
nomimaient prime, tierce, Seæle el RONE, dont la pre-
mière commençait au lever du soleil. L'Église se sert
encore de ces quatres heures principales pour l'office.

4. Après avoir divisé ainsi le temps en jours, on cher-
cha à former des périodes plus grandes, composées
d’un nombre déterminé de jours, et ensuite d’autres
périodes composées de celles-ci, pour établir un moyen
pratieable de fixer le retour des événemens physiques
ou sociaux. La révolution synodique de la lune ou Finter-
valle de temps compris entre deux nouvelles Tunes of-
frit un avantage précieux pour les peuples encore peu
ävancés, en ce que les phases de cette planète servent
éllesmémes de subdivisions à sa révolution entière.
Aussi les Juifs, les Grecs , les Gaulois, les Saxons, etc.,
employaient:ls le retour de la nouvelle ou de la pleine
lune pour l'indication de leurs réunions politiques et
religieuses. La révolution synodique de la lune s’effec-
tuant à peu près en 29 jours, on donna à cette période
le nom dé mois, et r2 mois réunis composèrent l'année
lunaire.

5. Mais la division du temps en /unaisons où mois
lunaires, quoiqu’en apparence la plus simple , est loin
cependant d’être la plus avantageuse; le retour des
mêmes saisons eu offre une autre beaucoup plus impor-
tante et qui dépend entièrement de la révolution du

248 CA

soleil. Cette révolution est le temps employé par le
soleil pour faire le tour de l’écliptique d’occident en
orient, ou l'intervalle qui sépare l’équinoxe du prin-
temps du même équinoxe suivant. Cet intervalle, qui
est de 365 jours et à peu près 6 heures. forme l’année
solaire où astronomique. On tâcha de concilier ces deux
divisions; et comme douze révolutions de la lune rem-
plissent à peu près la durée d’une révolution du soleil,
on prit cette dernière pour unité, sous le nom d'année,
et on la divisa en 12 parties auxquelles on donna,
comme nous l'avons déjà dit, le nom de mois, mot dé-
rivé de celui de la lune dans toutes les langues anciennes.
Douze lunaisons différant de près de 11 jours d'une
révolution solaire, on s'aperçut bientôt que les saisons
ne correéspoudaient plus, après quelques années, avec les
mêmes mois des années précédentes ; et la difficulté de
faire concorder les mouvemens de la lune avec le mou-
vement du soleil jeta les astronomes dans le plus grand
embarras. Quelques peuples, tels queles Égvpüens, tran-
chèrent la difficulté, en s’en tenant au seul mouvement
solaire; d’autres, au coutraire, tels que les Arabes,
s’attachèrent uniquement à celui de la lune. Les Grecs
s’obstinèrent à concilier les deux mouvemens, et ce fut
chez eux l’occasion d’un grand nombre de tentatives
qui contribuërent puissamment aux progrès de l’astro-
nomie.

6. Une révolution complète de la lune étant d’en-
viron 29 jours +, et la nécessité de composer le mois
d’un nombre entier de jours ne permettant pas de s’en
tenir rigoureusement pour sa durée au temps de cette
révolution, on imagina d’abord de faire alternative-
ment les mois de 29 et de 30 jours, afin de regagner sur
l'un ce qu'on était forcé de perdre sur l’autre. Soon,
qui institua cette compensation , donna le nom de caves
aux mois de 29 jours, et de pleins à ceux de 30; le
trentième jour des mois pleins fut désigné par lui sous le
nom de &%y xs veu», dernier et premier, parce que ce
jour était le dernier de la lunaison qui finissait, et le
premier de la lunaison qui commençait. Mais 12 lunai-
sons , ainsi déterminées, ne faisant que 354 jours, et la
révolution solaire étant de 365 £, on fit l’année tantôt
de 12 et tantôt de 13 mois, c’est-à-dire que sur une
période de huit années, cinq seulement se composaient
de 12 mois, tandis qu'aux trois autres suivantes, la troi-
sième, la cinquième et la huitième, on intercalait un
treizième mois plein où de 30 jours. De cette manière
comme cette période de huit ans se composait de 2922
jours, et que huit révolutions solaires de 365 ; font
également 2922 jours, on voit qu’en admettant la durée
du mois lunaire égale à 29 jours +, les mouvemens du
soleil et de la lune devaient coïncider exactement de
la même manière à chaque période de huit ans. On fait

honneur de l'invention de cette période, nommée

CA

octuctéride, à Cléostrate de Tenédos, astronome, à ce
qu’on croit, peu postérieur à Thalès,

7- Cet arrangement du calendrier grec aurait été fort
heureux, si les 99 mois qui composent la période de
Cléostrate eussent eu précisément la même durée qne
99 lunaisons ; mais la révolution de la lune s’effectuant
en 29 jours 12 heures 4o minutes 2# secondes, 99 lu-
naisons font réellement 2923 j. 12 h. 40° 37", de sorte
que la lune qui aurait dû se renouveler à l'expiration
des huit années lunaires, ne le faisait qu'après un jour et
demi. Pour remédier à ce défaut, qui ne tardä pas à se
faire sentir, on se contenta pendant assez long-temps de
faire quelques corrections pour rapprocher les octaétéri-
des de l'état du ciel; ce qui finit par jeter un si grand
désordre dans le calendrier, que tous les astronomes s’ef-
forcèrent à l’envi de chercher les moyens d’y remédier.
Plusieurs périodes furent successivement proposées et
rejetées, lorsqu’enfin parurent Méton et Euctémon qui
inventèrent la célèbre enneadécatéride, où cycle de
19 ans.

8. Cette période, qui ramène les nouvelles lunes aux
mêmes jours de l’année, et presque aux mêmes heures,
se composait de 19 années lunaires, dont 12 étaient
communes où de 12 lunaisons, et 5 de 13 lunaisons, en
tout 235 lunaisons : les années où l’on intercalait étaient
les 3°, 6°, 8°, 11°, 14°, 19°, 19°. On les nommait an-
nées embolismiques , du nom des mois ajoutés, qui s’ap-
pelaient embolismiques ou intercalaires. La distributiox
des mois caves et pleins n’était pas tout-à-fait la mêrne
que celle de Solon: il y avait 110 mois caves, et 125
pleins. Par ce moyen, les mouvemens du soleil et de la
lune sont très-heurement conciliés, et ces deux astres se
rencontrent à la fin de la période, à très-peu de chose
près, dans le même lieu du ciel d’où ils étaient partis
au commencement.

9. Le cycle de Méton avait cependant un inconvé-
nient qui exigea bientôt une correction que l’astronome
Calippe effectua environ un siècle après. Les 235 mois
lunaires, tant caves que pleins, qu'il renfermait, for-
ment 6940 jours, tandis que 235 lunaisous ue font que
6939 jours 16 heures 32 minutes: ainsi la période anti-
cipait de sept heures et demie, et la nouvelle lune, qui
aurait dûavoir lieu précisément à l'instant où recommen-
çait la période, se trouvait déjà avancée de sept heures
et demie; cette erreur multipliée ne pouvait manquer
de devenir sensible dès la troisième révolution du cycle.
De plus, 19 années solaires de 365 + ne font que 6039
jours Ÿ : ainsi la période de Méton anticipait aussi sur
les révolutions du soleil. Calippe commença d’abord
par la quadrupler, ce qui fit un nouveau cycle de 56
ans, au bout duquel on devait retrancher un jour, c’est-
à-dire que son cycle était composé de quatre cycles de
Méton, dont les trois premiers étaient de 6940 jours, et

CA

le dernier de 6939. L'effet de cette correction devait
être de retarder l’anticipation des nouvelles lunes de
plus de 300 ans, et en même temps de faire mieux
accorder toute la période avec le mouvement du
soleil. En effet, l'intervalle des quatre cycles de
Méton diminué d’un jour, fait 27759 jours, et les 940
lunaisons qui les composent font 27558 jours 18 heures
8 minutes, tandis que 96 révolutions du soleil font
27759 jours. Ainsi, le mouvement de la lune n’eût anti-
cipé sur la période entière que de 5 heures 52 mi-
nutes, et, par conséquent, que d’un seul jour environ
après quatre de ces révolutions, ou 304 ans. A la vérité, sa
concordance exacte avec l’année solaire n’était qu'appa-
rétite, puisque cette année n’est pas exactement de 365
jours +; mais à cette époque il était impossible de le
prévoir. Cette période de 36 ans, appelée calppique,
du nom de son auteur, commença l’an 331 avant J.-C.,
la septième aunée du sixième cycle métonien. Elle fut
adoptée surtout par les astronomes qui y lièrent leurs
ubservations, comme on peut le voir dans Ptolémée qui
en fait fréquemment mention. Nous verrons plus loin
qu’elle répond à notre cycle lunaire combiné avec les
année juliennes.

10. Cette combinaison des années solaires et lunaires
rendait le calendrier des Grecs très-compliqué et très-
peu commode; nous ne l’avons exposée en détail que
parce que notre calendrier actuel la renferme également,
quoique-notre année soit purement solaire : uue partie
des fêtes que nous célébrons étant attachée au cours du
soleil et l’autre à celui de la lune. C’est ce qui forme la
distinction des fêtes immobiles qui ont un jour fixe dans
l’année, et des fêtes mobiles qui se célèbrent tantôt un
jour et tantôt un autre.

Nous avons donné au mot année les divisions adoptées
par les principaux peuples dans leurs calendriers ; nous
ne nous y arrêéterons donc point ici : mais comme nous
tenous en grande partie le nôtre des Romains, avant de
développer les principes sur lesquels il est fondé, nous
allons jeter un coup d'œil sur son origine.

11. Lors de la fondation de la république romaine,
Romulus, législateur barbare et ignorant, n'avait com-
posé l’année que de 340 jours divisés en 10 mois; mais
Numa qui possédait sans doute quelques connaissances
astronomiques, fixa la durée de l’année solaire à 365
jours, et celle de l’année lunaire à 354. Il voulut en
conséquence que l’année romaine fût composée de 12

mois alternativement de 9 et de 30 jours, afin de se

conformer aux mouvemens de la lune, et que de

deux en deux années on ajoutät un mois intercalaire
alternativement de 22 et de 23 jours, pour l’accorder
avec le mouvement du soleil.

D'après ce que nous avons dit plus haut, il est facile

de voir que Numa était loin d'atteindre son but, puis-

919

CA

que son année ne s’accordait que de deux en deux ans
avec le cours du soleil, et rarement, ou même seule-
ment par hasard, avec celui de la lune. Il sentit, à.ce
qu'il parait, l'imperfection de son. calendrier, puisqu'il
préposa les pontifes pour y veiller et pour l'accorder
avec les mouvemens célestes. Mais les intentions de ce
prince furent bien mal remplies , car le peuple conqué-=
rant, Ja grande nation dominatrice de l'univers, de-
meura jusqu'a Jules-César, sous le rapport du calendrier,
au-déssous de tous les peuples connus , et même de ceux
que Kome traitait de barbares.

12. Le calendrier romain était tombé, du temps de
Jules-César, daus une si prodigieuse confusion que l’équi-
noxe civil s’écartait de l’équinoxe astronomique de près
de trois mois, et que l’ordre des saisons se trouvait
entièrement interverti. César, d’après les conseils de
l'astronomé Sosigènes, ayant déterminé l’année solaire
astronomique de 365 jours G heures, adopta cette année
comme plus commode pour la conformer à l’état du ciel.
En conséquence, il décida que l’année civile serait
pendant trois ans de 365 jours, ct qu’à chaque qua-
trième aunée, on intercalerait un jour pour recouvrer
les 24 heures dont 4 années communes diffèrent de

4 années astronomiques.

Suivant cette manière de compter, le soleil n’a pas
fait sa révolution entière à la fin de la première année
civile, il s’en faut alors de G heures; à la fin de la se-
conde , ils’en faut de 12 heures; à la fin de la troisième,
il s’en faut de 18; ct enfin il s'en faudrait de 24 heures
à la fin de la quatrième si on ne la faisait pas plus lon-
gue d’un'jour que la précédente. Grâce à cet arrange-
ment, les saisons se reproduisent exactement aux mêmes
époques de 4 en 4 années.

13. Pour opérer sa réformation, César ajouta à l’an-
née courante83 jours afin de ramener l’équinoxe du prin-
temps à sa place; ce qui fit donner à cette année le nom
d'année de confusion. K fixa, comme Numa, le com-
mencement de chaque année au premier janvier, et fit
les 12 mois alternativement de 31 et de 30 jours, à
l'exception du mois de février qui ne devait être que
de 29 jours dans les années communes, et de 30 jours
dans les années dites bissextiles, par la raison que nous
allons exposer.

14. Notre période de sept jours, ou la semaine, qui
ramène invariablement les différens jours dans le même
ordre, quoique fort ancienne et fort répandue, n’en-
trait cependant pas dans le calendrier des Grecs ni dans
celui des Romains. Les Grecs divisaient le mois en trois
décades, usage qu’on avait voulu renouveler dans le
calendrier français républicain; les Romains parta-
geaient également le mois en trois parties, mais ils Je

faisaient de la manière la plus incommode pour les
3»

250 CA

calculs. Ces parties se nommaient calendes, nones et
ides.

Les calendes étaient le premier jour de chaque mois;
les nones arrivaient le 7 dans les mois de mars, de mai,
de juillet et d'octobre, et le 5 dans les autres mois; les
ides tombaient au 15 dans les mois de mars, de mai,
de juillet et d'octobre ; et le 13 dans les autres mois.
Les jours qui précédaient ces trois termes en tiraient
leurs dénominations; c’est-à-dire que les jours compris
entre les calendes et les nones se nommaient les jours
avant les nones ; ceux qui étaient compris entre les
nones et les ides étaient appelés jours avant les ides; et
enfin les jours compris entre les ides d’un mois et les ca-
lendes du mois suivant étaient nommés Jours avant les
calendes de ce dernier mois. Ainsi, les ides de mars
tombant le 14 de ce mois, le jour d’après était le Aui-
tième jour avant les calendes d'avril, le suivant, le sep-
tième avant les calendes d'avril, et ainsi de suite.

15. Jules-César ayant arrêté que le jour intercalaire
dont on augmenterait l’année tous les quatre ans serait
placé entre le G° et le 7° jour avant les calendes de mars,
on comptait dans cette année deux sixièmes jours des
calendes, et l’on disait sexto calendas martit, et en-
suite bi-sexlo calendas martit; ante est sous-entendu.
C'est ce qui a fait donner à l’année de 366 jours le nom
de bissextile.

16, Le calendrier institué par Jules-César, et adopté,
ensuite généralement, sauf quelques légères modifica-
tions dont nous parlerons plus loin, sous le nom de ca-
Lendrier julien, eut besoin, du temps d’Auguste, d’une
espèce de correction dont Pline parle de manière à
prouver qu’il n’avait aucunes connaissances astronomi-
ques. Les prêtres chargés, comme avant la réformation,
de la direction du calendrier, avaient anal compris ce
que César avait ordonné, savoir, d’intercaler un jour
après chaque quatrième année révolue; et ils avaient
intercalé, après chaque quatrième année commençante,
c’est-à-dire de trois ans en trois ans. Cette erreur avait
déja duré 36 ans, et l’équinoxe commençait à arriver
trois jours plus tôt qu'il ne fallait, lorsqu'Auguste, ayant
fait examiner par les astronomes la cause de ce désor-
dre, ordonna qu’on ne ferait aucune intercalation pen-
dant 12 années, et qu’ensuite on ne le ferait qu’à la fin
de la quatrième année.

CA

17. Les noms des mois romains furent conservés par
Jules-César tels qu’ils se trouvaient dans l’ancien calen-
drier. Les deux mois que nous nommons Juillet et août
s’appelaient alors guintile et sextile, parce que l’un était
le cinquième et l’autre le sixième de l’année de Romu-
lus commençant au premier mars; mais dans la suite on
donna le nom de Jules-César à quintile, et celui d'Au-
guste à sextile. Pour que le mois d'Augustus ne fût pas
inférieur à celui de Julius, on prit un jour de février pour
le reporter sur août, qui fut alors de 31 jours, tandis que
février n'eut plus que 28 jours dans les années commu
nes, et 20 dans les années bissextiles. C’est ainsi qu’on
dérangea l’ordre commode que Jules-César avait établi
en ordonnant que les mois auraient alternativement 30
et 31 jours. Les mois du calendrier romain, et par suite
les mois de notre calendrier actuel, sont donc distri-

Luës comme il suit :

1.Janvier....31 jours 7.Juillet......3r1 jours
2.Février.s..260u2091 8.Août....:..7.31

3.Mars..
h:ANrilL......30
5: Mai...

Oduin,.....80

es ol 9.Septembre...30
10.O0ctobre.....31
01 11.Novembre...30
12.Décembre...31

Pour aider la mémoire, on donne les deux règles sui-
vantes: 1° Fermez la main; et sans tenir compte du
poucé, comptez les mois par les racines des quatre
doigts, et par les trois creux qui les séparent, en comp-
tant l'index pour janvier, eten recommençant la série à
ce même doigt lorsqu'elle est épuisée. Tous les ntois qui
tomberont sur les doigts auront 31 jours, et ceux qui
tomberont dans les intervalles n’en auront que 30.
e° Ouvrez la main et baissez le second et le quatrième
doigts , les doigts levés indiqueront les mois de 31
jours, en commençant par le pouce affecté.au mois de
mars; les doigts baissés indiqueront les mois de 30 jours.
Il faut faire attention seulement que le mois de février
désigné dans ces deux procédés comme ayant 30 jours
n’en à réellement que 28 dans les années communes,
et 29 dans les années bissextiles.

18. Le tableau suivant comprend tout le calendrier
romain. Nous y avons fait l'année bissextile; et le jour

intercalaire est marqué par une étoile au 25 février.

|

JANUARIUS,

sous la protection de
Junon.

1[Galeudis Jan.
V Nonas.
IT Nonas.
! idiè Nonas.
3[Nonis Januar.

LE

VI ildus.
VIT Idus.
VI Idus.

V Idus.
IV Idus.

FEGRUARIUS,
sous la protection de
Neptune,

1 Calendis Feb.

2| IV Nonas.
3| TITI Nonas.
a|Pridiè Nonas.
5[Nouis Februar.

6| VIII Idus.
7| VII Idus.
8 VI Idus.
9

V Idus.
o! IV Idus.

CALENDRIER ROMAIN.

[IT Idus.
Pridiè Idus.
fdibus Januar.
X'!'X Cal. Feb.
5|X VIII Cal.

III Iüus.
2|Pridiè Idus.
3|Idibus Febr.
XVI Cal. Mar.
XV Calendas.

6 XVII Cal.

XVI Cal.
XV Cal.
XIV Cal.
XITI Cal.
XII Cal.

> CEA

X: Cal.

IX Cal.
VIII Cal.

"IP OA)

XIV Cal.
7 XIII Cal.
8| XII Cal.
XI Cal.
X Cal
IX Cal.
VIII Cal.
VII Cal.
>4 NI Cal

DUBLIN

af Prid. Cal. Feb.{

>5 *Cal:
6 V Cal.
27| : IV Cal.
28| ITT Cal.

Prid, Cal. Mar.

»1l XII Cal. |
>| XI Cal:

56| VII Cal.

MARTIUS ,

sous la protection de |
Minerve

1|Calendis Mart.|
2| VI Nonas.
5| V Nonas.
4| IV Nonas
5| TITI Nonas.
6|Pridiè Nonas.
71Nonis Marti.
8| VIIE Idus,
g| VII Iaus.
10 VI Idus.
11 V ldus
12 IV idus,
15| III Idus.
14|Pridiè Tdus
15|fdibus Marti,
16/X VII Cal. Ap.
191 XVI Calend,.
18" XVC “a

19! XIV Cal.
“ XLIT Cai.

25, X Cal.
4| IX Cal

Lil.

5| VIII Col.

>6

)7 VI Cal.
>< V Cal.
20 EN Cal.

301 III Cal.

51 |Pridiè Cal. An.!

9 & Ÿ DE
Cr DIR =

il

| APRILIS,

| sous la protection de
V ecaus.

DUT (trlengis Apr.

a! IV Nonas.
3| III Not:

4|Pridiè Nonas.
5'Nonis Aprilis.

MAIUS,
sous la prote.tion
d'Apollon.

Laleudis Mau.
VI Nonas.
V Nonas.
IV Nonas.
III Nonas.

VIII fdus.
VIi Idus.
VI Idus.

V Idus.
IV idus.
LI Ldus.

Lridiè dus.

Idibus Aprilis.

X VIII Ca. Ma

XVII Calend:

5 © ON

OIL DIN

)|Pridiè Nonas.

Nonis Mau.

| VIII Idus.

VII Idur.
VI Idus

mn V Idus.

IV Idus.
IIT Jdus.
4|Pridiè Idus.
5{Idibus Mau.

251

JONIUS,
sous la protection de
Mercure.

en mens
1/Calendis Junn.
IV Novas.
III Nonas.
Pridiè Nonas.
Nonis Junit.
VIII Idus.
VII Idus.
VI Idus.
V Idus.
IV Idus.

III Idus.
Pridiè Idus.
3{Edibus Junit.
4IX VIII Cal. Jul
5! XVII Cal,

© ŒNI a CE ©, D

| XVI Cal.
XV Cal.
XIV Cal.
| XIII Cal.
XII Cal.

IX VII Ca. Jun.
XVI Cal:
XV Cal.
XIV Cal.
XIII Cal.

XVI Cal.
XV:Cal.
XIV Cal.
XIII Cal,
XII Cal.

XI Cal.
X Cal.
JX Cal.
VIII Cal.
VII Cal.

XII Cal:
XI Cäl.
X Cal.
TX Cal:

VIIT Cal.

VI Cal.

] Cal.
IV Cal.
III Cal.

5o|Prid. Gal. Maiil5

50

Pridié Cal. Jur

XI Cal.
X Cal.
IX Cal.
4| VIII Cal.
VII Cal.
NI-Cal.
V Cal.
EV Cal.
29] TI Cal. Joli.
30|Pridiè Cal. Jul.

Î

|

alu or =

JULIUS,

sous la protection de
Jupiter.

a
Calendis Julri.

VI Nouas.
V Nonas.
IV Nomas.
ITL Nonas.
Pridiè Nonas.
Nonis Jul.
VIII Idus.
VII Idus.
VI Idus.
V Idus.
IV Idus.
III Idus.

4|Pridiè Idus.

OO OI

5{fdibus Julii.

AUGUSTUS,
sous la protection de
Ceres.

|[Calendis Aug.
IV Nonas.
III Nonas.
4|Pridrè Nonas.
5[Nonis August.
VIIL Idus.
VII Idus.
VI Idus.
V Idus.
IV Idus.

5 EAN]

SEPTEMBER ,
sous Ja protection de

Vulcoin.

Calendis Septe.
IV Nonas.
IIT Nonas.
Pridiè Nonas.
5[Nonis Septem. |

| OUTOBER.
| sous la protection de

Mars.

[Calendis Octo.
VI Nonas.
V Nonas.
IV Nonas,
ITI Nonas.

NOVEMBER,
sous la protection de
Diane.

1, Caleudis Nov.
2| IV Nonas.
ITIT Nonas.
Pridiè Nonas.
5/Nonis Novem.

)| ViII Idus.
VII Ilus.
VI Idus.
V Idus.
IV Idus.

Pridié Nouas.
Nonis Octobris
VITi Idus.
VIT dus.
V Ï Jdus.

3 Ol Gi cie D

VIII Idus.
VII Idus.
VI Idus.
V Idus.
IV Idüus.

DECEMBER ,

sous la protection dé
Vesta.

1|Calendis Dec.
“| IV Nonas.
III Nonas.
Pridiè Nouas.
5/Nonis Decemb.
RTE PRET
| VIII Idus.
VIT Idus.
VI Idus.
V Idus.
IV Idus.

111 Idus.
Pridiè Idus.
Idibus Augnsti
XIX Cal. Sept
XVIIL Cal.

OZ ON —

ITE Tdus.
>|Pridiè Idus.
3|Idibus Septeni.|
4|X VIII Ca. Oct
5|X VII Cal

V tdus.
IV Idus.
III Idus.

4lPridiè Jdns.
[idibus Octobr.

16[XVEL Ca.

Au.
XVI Calendas.
XV Cal.
XIV Cal.
XIII Cal.

)'XVILC al.

XVI Cal.
XV Cal.
| XIV Cal.
XIII ve l:

°NSNÉNY

srqruo1dae

TITI Cal.
31|Pridiè Ca. Aug

31

Pi idié Ca, Sept

‘SL1{O10)

o|Pridiè Cal, Oct.

IX VIE. Ca. Nov
XVI Cal.
XV Cal.
XIV Cal.
XIIXL Gal.
XII Cal.

XI Gal.

X Cal:
IX Cal.
VIII Gal.

VTE CAT

VI Cal.

Y Cal.

IR Cal.
o|Pridiè Cal, Oct.

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|

22

ÊÎ IIT Idus.
Pridiè dus.
dibuis Novem
XVIII Ca. Der
5|X VII Gal:

HI Idus.

2! Pridiè Idus.
Idibus Decemb
XIX Cal. Jan.

5[X VII Cal,

16! X V1 Gal.
5| XV Cal.
18] XIV Cal.
19| XIII Cal,
»vo| XII Cal.

o1l XI Cal

21

X Cal:
3] IX Cal.
24] VIII Cal.
25| VII Cat.

26
27 V Cal.
28] IV Cal.
gl III Cal.
30|Pridiè Ca. Dec.

"STIQUI0N(T

Vi: Cal:

| X VII Cal.

XIII Cal.

XI Cal.
X Cal.
2 XI Cal.
5| VIII Cal.
VII Cal.
VL Cal.
Ÿ Cal.
IV Cal.
III Cal.
31|Pridiè Ca. Jan.

‘IIENUR p

9252 CA

19. Lorsque la religion chrétienne commença à rem-
plir sa mission civilisatrice , l’année lunaire reparut
dans le calendrier romain, dont Jules-César l'avait ban-
me. Il fallait en effet se servir des révolutions de la lune
pour fixer chaque année la fête de Pâques, instituée
à Fimitation de la Päâque des juifs, quoiqu’en mémoire
d’un événement bien différent, Les Juifs céléhbraient
cette fête le 14 de leur premier mois, qu'ils nommaient
Nisan, et ce premier mois était celui dont le 14° jour
de la lune tombait à l'équinoxe du printemps ou le sui-
vait de plus près. L'Église relint cet usage quant à la
détermination du mois; mais à l’épard da jour elle vou-
lut qu'il ne fût célébré que le dunanche.

La division du mois en semaines ou périodes de 7
jours, commune aux Juifs et aux premiers chrétiens,
remplaca bientôt dans le calendrier romain les anciennes
subdivisions de calendes, d'idées et de nones; mais la
concordance des deux années lunaire et solaire se fit
d’une manière si inexacte dans les premiers siècles de
l'Église, que le concile de Nicée, tenu en 325, fut obligé
de prendre un arrêté réglementaire à ce sujet. Ce con-
cile décida que la fête de Pâques serait célébrée le pre-
inier dimanche qui suit la pleine lune de l’équinoxe du
printemps, ou qui vient immédiatement après cet équi-
noxe : c’est-à-dire que si la nouvelle lune tombe au 8
de mars, la pleine lune tombera le 21, qui est le jour
de l’équinoxe, et par conséquent cette pleine lune sira
paschale : la fête de Pâques devra donc être célébrée
le premier dimanche suivant. De même, si la nouvelle
lune tombait après le 8 1aars, la pleine lune suivaute
serait aussi paschale, tandis qu’au contraire, si la nou-
velle lune arrivait du 1‘* au 7 mars, la pleine lune
tomberait avant l’équinoxe, et par conséquent il fau-
drait attendre la pleise lune suivante, et prendre poër
le jour de Päques le dimanche après cette dernière.

20. Le problème de déterminer avec exactitude les
nouvelles lunes, devint donc le plus important du ca-
lendrier chrétien. Après plusieurs tentatives impuis-
santes et mal conçues, dont il est inutile de rappeler les
auteurs, Eusèbe de Césarée introduisit le cycle de Me-
ton, ou autrement le cycle lunaire, dont nous ayons
parlé ci-dessus (8).:L’usage de ce cycle, sous le nom
de nombre d'or, fut confirmé par le concile de Nicée et
le calendrier, arrangé définitivement, garda la forme
dont nous allons parler, jusqu'a l’égoque de la grande
réforme opérée sous le pontificat de.Grégoire XIII.

or. L'Église ayant adopté le calendrier julien et les
années bissextiles , il s'agissait de faire concorder avec
les jours du mois ceux de la semaine, ainsi que les jours
de la lune. Pour cet effet, on se servit d’un cycle de 28
ans, nommé cycle solaire et du cycle lunaire.

22. Le cYcLE soLAIRE est uue période de 28 années
qui renferme toutes les combinasons possibles des jours

CA

de la semaine avec ceux du mois. Ces combinaisons
naissent de ce que tous les ans les dimanches ne tom-
bent pas les mêmes jours des mois. Par exemple, si
l'année de 365 jours a commencé par un lundi, et que
par conséquent le 7 de janvier ait été un dimanche,
l'année suivante ne commencera pas par un lundi, mais
par un mardi, etle premier dimanche sera le 6 de janvier.
Lorsque l'année est bissextile ou de 366 jours, la diffé-
rence est de deux jours; c’est-à-dire, que si l’année bis-
sextile a cominencé par un lundi, l'année suivante com-
mencera par un mercredi.

Cette variation est due à ce que l’année solaire ne
contient pas un nombre exact de semaines : l’année
commune contient 52 semaines, plus 1 jour, et l’année
bissextile 52 semaines plus 2 jours.

23. Si toutes les années étaient communes ou de 365

jours, le cvcle solaire serait seulement de 3

ans ; car
dans cette période toutes les combinaisons seraient épui-
sées, puisqu'en supposant que la première année du
cycle commençät par un lundi, la seconde commence-
rait par le mardi, la troisième par le mercredi, la qua-
trième par le jeudi, la cinquième par le vendredi, la
sixième par le samedi, et la septième par le dimauche ;
la huitième année, ou la première du cycle suivant, re-
cominencerait donc par le lundi et ainsi de suite. Mais
il arrive une année bissextile de 4 en 4 ans; et comme
cette année produit un jour de différence de plus que
les autres années , il faut 5 années bissextiles pour que le
jour excédant de chacune produise 7 jours ou une se-
maine. Or, 5 années bissextiles ne peuvent se présenter
qu'en 28 ans : il faut donc une révolution complète de
28 ans pour que les jours de la semaine correspondent
de nouveau, de la mème manière, avec les mêmes jours
du mois.

24. On détermine les jours de la semaine à l’aide des
sept premières lettres de l'alphabet que l’on place vis-à-
vis les jours des mois dans le calendrier perpétuel. Ces
lettres, auxquelles on a donné ie nom de LETTRES DoxI-
NICALES, sont disposées comme il suit : À est à côté du
premier de janvier, B à côté du second, C à côté du
troisème, et ainsi de suite jusqu'au G qui est à côté du
septième jour. A revient après au huitième, B au neu-
vième, etc., etc., en continuant cet ordre jusgr'au 31
janvier, auquel correspond la lettre C, février commence
ensuite par D, et enfin on poursuit de la même ma-
nière jusqu’au 31 décembre.

Ces lettres sont nommées Domunicales, parce qu’on
s'en sert pour marquer tous les dimanches de l'année.
Ainsi, À étant la lettre dominicale d’une année, tous les
jours des mois vis-à-vis desquels se trouve V'A sont des
dimanches. Il en est de même des autres lettres qui de-
viennent successivement dominicales.

25. Dans les années bissextiles il y a toujours deux

CA

lettres dominicales, dont l’une sert depuis le commèn-
cement de l’année jusqu’à la fête de saint Mathias, et
l’autre depuis le jour de cette fête iuclusivement jusqu’à
la fin de l’année.

Nous devous remarquer qu’actuellement on ne change
de lettre dominicale qu’à compter du premier mars; de
cette manière, la fête de saint Mathias est toujours le
24 février.

26. Les lettres ne deviennent pas dominicales d’une
année à l’autre, suivant le rang qu’elles tiennent dans
l'alphabet, mais dans un ordrerenversé, c’est-à-dire que
si la lettre C est dominicale pendant une année, B le
deviendra l’année suivante; et ainsi de suite jusqu’à À,
après laquelle on recommence par G. Cela résulte de ce
que nous avons dit plus haut (22).

27. LecycLe LUNAIRE est comme nous l'avons vu une
période de 19 ans (8), qui renferme toutes les variétés
qui peuventarriver aux nouvelleslunes par rapport aux
jours des mois. En admettant que cette période soit en-
tièrement exacte, les nouvelles lunes tomberaient, daus
une année, aux mêmes jours auxquels elles arrivaient 19
ans auparavant, et il suffirait de connaître la situation
des nouvelles lunes pendant 19 années consécutives pour
établir un calendrier perpétuel.

Après la découverte du cycle lunaire de 19 ans, on
marquait à Athènes l’année de ce cycle par des chiffres
d’or qui étaient gravés en grand dans un lieu public.
C’est pour cette raison que le nombre qui désigne l'an-
née du cycle lunaire est encore appelé de nos jours le
nombre d'or. Dans les anciens calendriers on écrivait
aussi ces nombres en caractères d’or.

28. On se servait de ces nombres pour marquer dans
le calendrier les jours de chaque mois auxquels arri-
vaient les nouvelles lunes, d’une manière analogue à
celle dont les lettres dominicales étaient employtes
pour marquer les dimanches. Ainsi, lorsqu'on était
dans la première année: du cycle lunaire, le chiffre I
indiquait dans le calendrier tous les jours de nouvelles
lunes pendant cette année. Dans la seconde année du
cycle, le chiffre 11 indiquait les jours des nouvelles
lunes, et ainsi de suite. On avait donc disposé les nom-
bres d’or dans les anciens calendriers, comme on le verra
dans la table suivante, de manière qu'on connaissait
immédiatement les jours des nouvelles lunes à l’aide du
nombre d’or de l’année.

Nous donnerons seulement ici les trois premiers mois
de l’année ; ce qui est suffisant pour faire connaître lé mé-
canisme du calendrier. Le nombre d’or II répond au
premier janvier, parce qu'x Fépoque où lon a intro-
duit le cycle de Méton dans le calendrier chrétien, la
nouvelle lune arrivait le premier de janvier dans la
troisième année de ce cycle. Il y a 11 jours dans janvier,

10 dans février, et 11 dans mars, à côté desquels il n’y a

CA 953
point de nombres d’or; ce sont ceux où il w'arrivai

pas alors de nouvelles lunes pendant la révolution di
cycle.

CALENDRIER ANCIEN DE L'ÉGLISE.

JANVIER. FEVRIER.
J. du | Let. | Sal lSda | La, | Neon.

|
Dom. d'or. mois. | Doi.
a | mme emmmnns | communs

A D
B E

x

G
A
B
C

2

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© CI OUTE ON D NE
OF CIN

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P

=
CO

POAHODOT-OmMOO0N-OTHECQ
QE

T

2100 w>- O0 On

29. Ge système de calendrier renfermait deux fausses
suppositions. La première, que la révolution du soleil
est exactement de 365 j. Gh.; et la seconde, que 19
années solaires sont égales à 235 lunaisons. Ces deux
erreurs, qui sont peu sensibles pour un petit nombre d'an-
nées , le sont devenues d’une manière assez considérable
dans la suite des siècles. L'année solaire étant de 365 j.
5 h. 48" 52”,

dre que 365 j. G h., il en résultait un avancement

c’est-à-dire d’à peu près 11 minutes moin-

successif des équinoxes de 11 minutes par an, ou de
3 jours en 400 ans. Cet avancement avait fait passer
l'équinoxe du printemps, du 21 mars où il était lors du
concile de Nicée, au 11 mars dès le XVI° siècle. De
plus, le cycle de Méton ne ramenait pas précisément
les nouvelles lunes au même point de l’année julienne:
celles qu'annonçait le calendrier précédaient déjà de
4 jours les véritables au milieu du même siècle , et sans
la réformation qui se fit alors, les âges suivans auraient
fini par avoir la pleine lune quand le calendrier aurait
indiqué la nouvelle.

Dès l'an 300 de l'ère chrétienne, le célèbre Bède

avait signalé l’anticipation des équinoxes qui arrivaient

254 CA

déjà trois jours plus tôt qu’il ne fallait. Cingsiècles après,
Jean de Sacro-Bosco et Roger Bacon, le premier dans
son livre De anni ratione , et le second dans son projet
de réformation intitulé : De reformatione calendar,
exposèrent les défauts, devenus encoré plus saillans, du
calendrier ; mais leurs travaux demeurèrent sans résul-
tats. Enfin, dans le cours du XV° siècle, Pierre d’Ailly
renouvela le projet de réformer le calendrier de l'Église,
et présenta, sur ce sujet, au concile de Constance, des
projets et des mémoires qui firent mettre la matière en
délibération. Vers la même époque, le célèbre cardinal
de Cusa en fit autant pour le concile de Latran. Le pape
Sixte IV, frappé lui-même des désordres du comput
ecclésiastique, entreprit, en 1474, la grande tâche qu'il
n'était point destiné à remplir. Il fit choix de l’astro-
nome Regiomontanus pour travailler à la réforme ; mais
la mort précipitée de ce mathématicien célèbre rendit
vaine la bonne volonté de Sixte. Plusieurs astronomes
de divers pays s’occupèrent à l’envi de cette question
devenue des plus importantes : Jean Angelus, en 1504,
Jean Stoeffler, en 1516, Albertus Pighius, en 1520,
Jean Schôner, en 1 522, Lucas Gauricus, en 1525, pu-
blièrent des projets de réformation. Paul de Middel-
bourg, évêque de Fossembrone, calcula les lunaisons
pour les 3000 premières années de l’ère chrétienne, et
détermina astronomiquement celles qui étaient pas-
chales. Pierre Pitatus de Vérone, fit un grand nombre
d'observations pour déterminer au juste les périodes
solaires et lunaires ; il en présenta les résultats, avec un
plan de réformation, en 1550, aü pape Pie IV. Le
guomon élevé dans l’église de saint Pétrone à Bologne,
par Egnazio Dante, n’a d’abord eu d’autre objet que de
rendre sensible à tout le monde l’anticipation considé-
rable de l’équinoxe. Le pape Grégoire XIIL exécuta
enfin la réformation désirée depuis tant de siècles.

Le plan qui réunit tous les suffrages fut celui de
Aloysius Lilius, astronome et médecin véronais, que
la mort enleva lorsqu'il était sur le point de le pré-
senter au pape: ce fut son frère qui renælit cette mis-
sion. Grégoire XIIT ayant donné le travail de Lilius à
examiner à d'habiles mathématiciens, il fut jugé d’une
exécution facile, et dès-lors l'affaire de la réformation
fut entamée. Pour la traiter et la conduire à sa fin, le
pape demanda l'avis de tous les souverains catholiques,
et, après s'être assuré du consentement universel, il
donna au mois de mars 1582, un bref par lequel il
abrogea l'usage de l’ancien calendrier, et lui substitua le
nouveau. Cette année, 1582, eut la particularité singu-
lière d’avoir un mois de 20 jours, car on passa immé-
diatement du 4 au 15 octobre, afin que l’équinoxe
revint au 21 mars de l’année suivante 1583. Nous allons
exposer la construction du calendrier grégorien, devenu
le calendrier de tous les peuples chrétiens, à l'excep-

CA

tion des Russes qui n’ont point encore adopté la réfore
mation.

30. Dans le calendrier julien, les années étaient bis-
sextiles de 4 en 4 ans, c’est-à-dire qu'en partant de
l'année 1° d’un siècle, les années 4, 8, 12, 16, 20,
24, etc., étaient composées de 366 jours. On reconnaissait
ainsi qu'une année devait être bissextile lorsque le nom-
bre de cette année est divisible par 4. Toutes les années .
séculaires ou les années dont le nombre finit par deux 0,7
telles que 100, 200, 1000, 1200, 1800, etc., étaient
douc bissextiles. Dans le calendrier grégorien, on ne fait
bissextile qu’une seule année séculaire sur quatre con-
sécutives, pour éviter l’anticipation de l'équinoxe de
3 jours sur 400, causée par la règle julienne. Ainsi, des
quatre années 1600, 1700, 1800, 1900, la seule année
1600 est bissextile, et les trois autres doivent être com-
munes. Il en est de même dés années 2000, 2100,
2200, 2300, dont la première doit être seule bissextile,
et ainsi de suite. De cette manière, la règle pour trou-
ver les années bissextiles se compose de deux parties :

12

. Pour les années qui ne sont pas séculaires ne
prenez que les deux premiers chiffres à droite, et di-
visez par 4 : si la division se fait exactement l'année
est bissextile ; dans le cas contraire elle est conunune.

2°. Pour les années séculaires , retranchez deux zéros
à droite et divisez les chiffres restans à gauche par 4;
l’année sera bissextile si la division se fail exacte-
ment.

D’après cette règle, si l’année proposée est 1534, on
retranche 18, et l’on divise 34 par 4; la division ne pou-
vant se faire exactement, 1834 est une année commune;
si l’année proposée est 2400, on retranche deux zéros
et l’on divise 24 par 4 : la division pouvant s’effectuer
exactement , 2400 est une année bissextile.

31. D’après cette combinaison, 400 années grégo-
riennes se composent de 97 années bissextiles, et de 303
années communes; ce qui forme un total de 146067 j.;
mais 400 années solaires de 365 j. 5 h. 48° 52”, font
146096 j. 21 h. 46" 40": il y a donc encore en 400 ans
une différence de 2 h. 13° 20"; ce qui finira par pro-
duire un jour en 4 ou 5000 ans. Ainsi, pour rétablir
l'équinoxe, il faudra alors faire quatre années séculaires
de suite non bissextiles ; mais on a le temps de se pré-
parer à cette correction ; et si la réforme de Lilius n’est
pas entièrement satisfaisante pour les astronomes, elle
suffit amplement à tous les besoins civils.

32. La restauration de l’année solaire, et la fixation
de l’équinoxe au même jour, n’étaient pas la partie diffi-
cile de la réformation du calendrier; il s'agissait d'v
lier l’année lunaire; et c’est ce que Lilius a fait d'une
manière très-ingénieuse a l’aide des épactes.

33. Les Épacres sont trente nombres, depuis À jus-
qu'à XXX, que l’on écrit à côté des jours du mois,

CA

comme on écrivait autrefois les nombres d’or, avec cette
différence toutefois qu’on les place sans interruption, de
manière qu'il y a des épactes devant tous les jours des
mois.

Ces nombres sont placés dans un ordre rétrograde,
de sorte que l’astérisque * qui tient lieu de l’épacte XXX
est à côté du premier janvier; ensuite l’'épacte XXIX
est à côté du deux, XX VIIT est à côté du trois, et ainsi
de suite jusqu’à l’épacte T, après laquelle on recom-
.mence XXX ou l’astérisque *.

34. Les 30 épactes ainsi disposées répondent à 30
jours, et par conséquent elles désignent les 30 jours des
mois lunaires pleins (6); mais comme il y en a six dans
l’année lunaire qui sont caves, C'est-à-dire de 29 jours,
on a mis ensemble les deux épactes XXV et XXIV,
en sorte qu’elles répondent à un même jour dans six

différens mois, savoir : au 5 février, au 5

avril, au 3
juin, au 1° août, au 29 septembre et au 27 novembre.
Par ce moyen , les 30 épactes ne répondent qu’à 29 jours
dans ces six mois.

35. Le nom d’épactes donné à ces nombres, du grec
kæaxrès, surajouté, vient de ce que celui qui appartient
à chaque année est le nombre de jours dont la nouvelle
lune précède le commencement de l’année civile. Par
exemple, il y a XX à l’épacte en 1834, parce que la lune
avait 20 jours lorsque cette année a commencé. On peut
encore définir l’épacte d’une année, le nombre de jours
qui restent au mois de décembre de l’année précédente,
après la lune qui s’est terminée dans ce mois.

36. D'après l’ordre rétrograde dans lequel les épactes
sont écrites, on voit aisément que la nouvelle lune de
janvier, pour une année quelconque, doit arriver le jour
devant lequel cette épacte est placée; car pour l’année
1834 l’épacte étant XX, ce nombre signifie qu’au
1° janvier la lune avait 20 jours, ou que la lunaison de
décembre s’est terminée le 11. Ainsi, la Junaison de
janvier ayant commencé le 12 décembre, doit finir le
10 janvier, puisque du 12 décembre au 10 janvier in-
clusivement il ÿ a 30 jours : la nouvelle lune de janvier
arrive donc le 11, justement marqué par le chiffre
d’épacte XX, à cause de l’ordre rétrograde. Ainsi,
comme cette épacte XX se trouve successivement écrite

*«

CA 255

à 30 et 29 jours de distance, elle indique les nouvelles
lunes pour toute la durée de l’année.

37. Il est évident que cette manière de déterminer
les nouvelles lunes est loin d’être exacte, et que la vé-
ritable nouvelle lune diffère souvent de un, deux et
même trois jours; mais cet arrangement a été choisi
exprès pour que la Pâque des Chrétiens ne concordât
pas avec celle des Juifs.

38. Au lieu d'écrire le nombre XXX, on s’est servi
de l’astérisque *, parce qu’on peut prendre ce signe
pour o ou pour 30 selon que le besoin peut s’en pré-
senter. Lorsque la lune se termine au premier décembre,
l’épacte est alors XXX; mais si elle se termine au 31,
l'épacte est o ; et comme ces deux cas placent la nou-
elle lune de janvier au premier de ce mois, on s’est
servi d’un signe qui pouvait être pris indifféremment
pour o ou pour XXX.

39. Nous verrons plus loin comment on calcule
l’épacte d’une année donnée. Ce qui précède estsuffisant
pour faire comprendre le calendrier suivant, qui est le
calendrier grégorien, aujourd’hui en usage dans tous les
pays catholiques. La première colonne de chaque mois
contient l’ordre des jours, la seconde les lettres domi-
nicales , et la troisième les épactes.

4o. Le chiffre 19 placé à côté de l’épacte XX au 3r
décembre, sert lui-même d’épacte pour les années dans
lesquelles lenombre d’or 19 concourt avecl’épacte XIX.
Dans cette année, qui est la dernière du cycle lunaire,
la lune, qui commence au second jour de décembre doit
finir le trente du même mois, puisque cette lunaison est
cave ou de 29 jours; par conséquent, la nouvelle lune
doit être le 31 : ainsi l’épacte 19 doit aussi se trouver à
côté de ce jour. L’épacte de l’année suivante étant I,
et ce chiffre ne se rencontrant plus qu’au 30 de janvier,
il n’y aurait point eu de nouvelle lune indiquée sur le
calendrier depuis le 2 décembre jusqu’au 30 juillet, si
l'on n’avait pas remédié à cette difficulté en plaçant le
chiffre 19 au 31 décembre.

Quant au chitfre 25 placé à côté de XX VI dans les
mois où les deux épactes XXV et XXIV répondent au
même jour, et à côté de XXV dans tous les autres,
nous verrons plus loin son usage.

256

JANVIER. FEVRIER, MARS.
1e ST RE
je |? Cyde = | Cycle z |* Cycle
3 5 des épactes, 3 [5 | des épactes. [3 |5 des épactes,
5 |! #5 F |É
1|Al* 11D [xxix 11D |*
2|B{xxix 2lE [xxvut 21E fxxix
51C laxvur 31F [xxvir SE fxxvir
41 D xxvrr 416 |25.xxvt 41G fxxvir
5[Elxxvr SIA [xxv.xxrv 5IA [xxvi
61 F 125 xxv 6IB lxxrr 6!B 125. xxv
71G{xxiv 710 fxxir 7|C [xx1v
8|A {xx 8|D |xxr SD [xx
918 xx glE |xx o[E [xx
10|C[xxr 10!F |x1x 10!F [xxr
11/D}xx 11/G [xviir 11/G [xx
121 E/x1x 12 |A |xvir 12 |A |xix
13|F}xvrr 131B |xvr 13/B |xvirr
14/Gfxvir 141 [xv 14[C |xvir
15| A |xvr 15 [D |xrv 15[D |svr
h6|Blxv GIE |xur I6IE |xv
17 Clxiv 17 F |xrr 171E [xrv
18 D'xur 181G |xr 281G [xx
ol Efxir 19|[A |x 19|A |xir
20! Flxt 20|B |tx 20|B [xt
211G x 22|C |vuir 21|C [x
22! À |ix 221D [vit >2[D [1x
251B{vur 23/E |vr 231E [vrrr
24IE |v 24|F |vrr
251G |rv 251G |vr
26/A |r1r 26/[A |v
271B [1 27|D |rv
28IC |r >8[C fur
29|D |1r
3o[E |
51|F

CALENDRIER GRÉGORIEN,

JUILLET. AOÛT. SELTEMBRE.
F ue ls
Ha Cycle Al ES Cycle a | Cycle
© | des épactes. 3 a des épactes. 3 ë des epactes.
5 F |? GE
1G [xxvi 110 [xxv.xxiv Oil fxxur
31A [25 xxv 2|[D [sx 21G fxxrr
31B [xxiv 3SIE {xx1r 3 A |xxr
4[C Peu 4lE [xxr 41B [xx
51D fxxn 51G [xx 51C [xrx
GlE |sxr G[A x1x 61D |xvrr
IF xx 71B [xvir 7lE |xvn
81G [xrx SIC [xvrr 8 le XVI
À OA vu 9[D [xvr 916 |xv
101B [xvir 10/E [xv 10 [À |x1v
nie XVI 11|E [xrv 11B |xurr
121D |xv 12[G [xrr r2|C |xrt
Asie uv 15|A |xir 13/D |xr
PARU 14 B XI 14/E |x
4,51G [xt 15 |x 1518 |rx
6IA |x1 16|D |1x 16[G |vur
1718 X 171E VIII 17|À VII
18 C rx 1SIE lvrr 19 B vi
19[D VIII 19|G |vr 1g|U v
LolE [vir 2o[A |v 0|D {iv
(pe EF |vr 21|B |rv o1lE lu
do21G | 29|C [rrr >2lE fr
3) A [IV 23 D Il 231G |
24 3 III 2i E nt 24|A |*
5 C {ir 25|E0 5 25 B XXIX
26 D ' 26[G [xxix 26!C xxvrr
27 E 27|A |xxvirr 27 D XXVIT
,81E [xxrx 281B [xxvir BE |xxvr
29 G |xxvrir 29 C XXVI 29 [ XXV. XXIY
|A |xxvir 50|D |25.xxv 50[@ | xx
5118 25.xxvI 51lE [xxiv

|

| AVRIL. MAI. JUIN.
Il

Sn le T ob

| Cycle Ge Cycle En Cycle
E |E des epactes E des epactes. El Es des epactes.

| me |

plu fxxix 1B fixvut al [xxvir
214 [sxvut 2[C [xxv oF [25.xxvr
5113 [xxvir 3|D |xxvr 31G [xxv.xxrv
41C [25.xxvi 4ÏE |25.xxv 4lA {sxur
31D [xxv.xxIv SE fxxiv 51B {xx
[GIE [xx €lG [xsxur 61C [xxr

716 [xx 7lÀ [xxir 71D [xx

SIG [xx SIB |xxr SIE [xrx

glA |xx 9 C [xx 9ÙF [xvur
101B [xx 10! D |xix 10[G [xvir
ilC pavot nlE |xvrt nf A fxvr
121D [xvit 121E |xvr 121B [xv

131E [xv 13|G |xvr 1310 [xiv
14lE [xv 14| À |xv 141D fxur
151G fxiv 151B [xiv 151E |x1r
M6|A [xui 1610 lxrr 16!1F |xr

171B fx 171 |xn 171G |x

181C [xt 18E |xr 18|A [1x

19|D [x 191F [x 191B |vrir
20[E fix 20[G [1x 2o[C |vir
21lE |vur ou[A [vit 21|D [vr

221G [vit 22|B |vrr 22/E [v
123|A |vr 2310 |vr 23|E {iv
1241B |v 241D |v 241G lt
291C {iv 25[E |rv »5|A [rt

26/D [rx 26[K lt 261B Îr

27lE lux 271G | 27|C |*
281E |r 28/A |r 28 1D [xxrx
lolG |* 29|B |* 29[E |xxvir
3ol A [xxix 30|C |xxix 3olF |sxvir

31|D xxvur |
E. NOVEMBRE. DECEMBRE.

17

Cycle
des épactes. |

Cycle

des épactes.

Cycle

des épactes.

“sou np'£

XX
xXIX
XVIII
XVII
XVI

XXI
XX
XIX
XVIII
XVII
XVI
XV
XIV
XIII
XII
XI
x

IX

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==>:

feseur mpeg
SI C DE CID =
aw®ie-

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XXIX
XXVIIT
XVII
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25.X2V

XXIX
XXVIII
XXVIT
25.xxvr
AXV.XXIY
XIII
AIT

XXI

XXIA
XXVII
XXVIT
XXVI

CA

41. I résuite, de ce que nous venons d’exposer, que
lorsqu'on connaît le nombre d’or, la lettre dominicale
et l’épacte d’une année, le calendrier de cette année se
trouve entièrement déterminé à l’aide du tableau pré-
cédent. Il nous reste donc, avant d’aller plus loin, à dé-
velopper les moyens de trouver ces différens nombres.

42. Pour trouver le nombre d’or ou le cycle lunaire
d’une année proposée, il faut faire usage de la règle sui-
vante : Ajoutez 1 à l’annce dont il s’agit; divisez en-
suite la somme par 19, et le reste de la division sera le
nombre d'or. Par exemple, pour trouver le nombre
d’or de l’année 1834, il faut d’abord ajouter 1 à 1834,
et puis diviser la somme 1835 par 19, le reste 11 de
cette division est le nombre d’or demandé.

La raison de cette règle est facile à comprendre : on
ajoute 1 à l’année proposée, parce que la première année
de l'ère chrétienne était la seconde du cycle lunaire,
ou que le cycle avait commencé un an avant notre ère.
Ea divisant ensuite par 19, le quotient indique néces-
sairement le nombre de cycles entiers qui se sont suc-
cédé depuis l’année qui a précédé le commencement de
l'ère chrétienne jusqu’à l’année proposée, et le reste in-
dique le nombre des années du cycle qui s'écoule, ou

CA £5T

l’année de ce cycle. Ainsi, dans l'exemple précédent, le
quotient de la division étant 96, nous voyons que de-
puis l’an un avant l'ère chrétienne, il y a eu 96 cycles
lunaires révolus, tandis que le reste 11 nous apprend
qu’en sus de ces 96 cycles entiers, il y a encore 11 an-
nées d’écoulées, ou que nous nous trouvons dans la
11° année du 97° cycle.

43. La table suivante contient tous les nombres d’or,
depuis l’origine de l’ère chrétienne jusqu’à l’année 5600.
Son usage est des plus faciles. On a mis dans le haut
trois rangées de chiffres qui renferment toutes les années
séculaires ; au-dessous sont les nombres d’or. A la gauche
des nombres d’or, sont les années des siècles depuis
jusqu’à 09. Pour trouver le nombre d’or d’une année
proposée 1744, par exemple, on cherche 1700 dans les
années séculaires, et on descend le long de la colonne
correspondante des nombres d’or jusqu’à ce qu’on soit
arrivé au nombre placé horizontalement vis-à-vis de 44,
pris dans les années des siècles , ce nombre qui est ici 6,
est le nombre d’or. Lorsqu'il s’agit seulement d’une
année séculaire, le nombre d’or est alors.le premier de
la colonue: vour 1700, par exemple, ce nombre
est 10.

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258

CA

44. Pour trouver la lettre dominicale d’une année,
on fait usage de plusieurs règles particulières. Nous
allons exposer les deux les plus usuelles avant de donner
la règle générale.

Si l'annee proposée est entre 1700 et 1800, on prend
Le nombre de l'année, sans tenir compte des siècles ; on
lui ajoute 5 , et de plus autant d'unités qu'ily a d'annces
bissextiles dans ce temps ; on divise ensuite la somme
par 7, et le resie de la division, s'il y en a un, désigne
la lettre dominicale, pourvu qu’on compte ces lettres
dans un ordre rétrograde, c’est-à-dire, en prenant G
pour 1, F pour2, E pour 3, D pour 4, C pour 5, B
pour 6 et À pour 7. S'il n’y a point de reste après la
division faite, la lettre dominicale est 7. Par exemple,
on veut connaitre Ja lettre dominicale de 1534 : 1° on
prend le nombre d'années 34 et on lui ajoute 5, et de
plus 8 parce qu’il y a eu 8 années bissextiles en 34 ans;
2° ou divise la somme 47 par 7; le reste est 5 : d’où l’on
conclut que la lettre dominicale de 1734 est C.

45. Cette règle est facile à comprendre : on ajoute 5
au nombre d'années, parce que la lettre dominicale de
l’année 1701 était B, et que, par conséquent, avant
1701 il y avait déjà à lettres dominicales qui avaient
servi : G,F,E,D, C; on ajoute ensuite autant d’uni-
tés qu'il y a eu d’années bissextiles depuis 1701 jusqu’à
l’année proposée, parce que chaque année bissextile a
deux lettres dominicales, dont l’une sert jusqu’à la fin
de février, et l’autre pendant le reste de l’année.

Pour trouver le nombre des années bissextiles ,
il suffit de diviser le nombre de l’année proposée
par 4, sans tenir compte du reste de la division :
le quotient indique les années bissextiles. Ainsi, dans
l'exemple ci-dessus, 34, divisé par 4, donne 8, et c’est
pour cette raison que nous avons ajouté 8.

46. Lorsque l'année proposée est bissextile, Ja lettre
trouvée par la règle précédente est la première lettre
dominicale de cette année ; on trouve la seconde en pre-
nant celle qui suit immédiatement dans l'ordre rétro-

CA 259

grade que nous avons assigné. Ainsi, en opérant sur

‘1744 commeil vient d’être dit, on a un reste 3 qui donne

E pour lettre dominicale, mais 1744 est une année
bissextile (30), donc sa seconde lettre sera 4 ou D.

47. Voici une autre règle pour les années au-dessus
de 1800.

Si l’année proposée est entre 1800 et 1900, on
prend également le nombre d'années, sans tenir compte
des siècles; on lui ajoute son quart lorsque ce quart est
exact, ou son quart par excès dans le cas contraire ; on
divise ensuite la'somme par, et on retranvhe le reste
de la division de 6 : La différence indique la lettre domi-
nicale, en prenant toutefois les lettres dans l’ordre
alphabétique , c’est-à-dire en prenant À pour 1, B pour
2, etc. Si la différence est o, la lettre dominicale
est G. À

Soit, par exemple, 1834 l’année proposée; le quart
de 34 étant plus grand que 8, on ajoute Q à 34, ce qui
donne 43; en divisant ensuite 43 par 7, on obtient uu
reste 1, qui, retranché de 6, donne 5:la lettre dominicale
de 1834 est donc la cinquième dans l’ordre alphabé-
tique ou E.

48. La table suivante contient les lettres dominicales
de toutes les années, depuis 1600 jusqu’à 5600. Elle est
disposée d'une manière semblable à la table des nombres
d’or : dans le haut sont les années séculaires, au-dessous
les lettres dominicales, et à gauche les années de chaque
siècle, depuis 1 jusqu’à ag.

Pour s’en servir, on cherche la partie séculaire de l’an-
née proposée, et on descend ensuite dans Ja colonne des
lettres dominicales qui lui correspond, jusqu’à ce qu’on
soit vis-à-vis de la partie excédante des années. La lettre
ainsi trouvée est la lettre dominicale demandée. Par
exemple, pour 1834, on cherche 1800 dans les années
séculaires, et on descend ensuite verticalement dans la
colonne des lettres située au-dessous de 1800 jusqu'à la
lettre E placée en face de 34, pris dans les années de
chaque siècle : E est donc la lettre dominicale de 1834.

260

TABLE DES LETTRES DOMINICALES

ue pEruIs 4600 susou’a 5699.

ANNÉES SÉCULAIRES, OU LES DERNIÈRES
DES SIECLES,.
1000
1700 2100 1800 2200 1900 2300 2000 2400
2500 2000 2600 3000 2700 3100 2800 3200
3300 3700 400 3800 3500 3900 3600 4000
4100 4500 4200 4600 4300 4700 4400 4Boo
4900 5300 5000 5400 5100 5500 5200 5600
Apnée de cune € E G BA
1 29 957 95 B D 15) G
2 30 58 86 A C E F
3 31 59 97 G B D E
4 32 60 55 FE AG CB DC
5::33,:01:'199 D EF A B
6 34 62 90 C E G A
35 63 0x1 B D F G
36 64 92 AC CB ED FE
9 37 65 93 F A C D
10 38 66 94 E G D C
11 39 67 95 D F A B
12 40 68 96 CB ED GF AG
13 41 69 97 A C E F
1 4 42 70 98 G B D E
15 43 71 99 F A C D
16 44 72 ED. GF BA CB
7 45 73 C E G A
18 46 74 B D F G
19 47 75 A C E E
20 48 76 GE BA DC ED
21 49 77 E G B C
29:50:75 D F A B
23 51 79 C E G A
24 B5a 8o BA DC FE GF
25 53 "81 G B D E
26 54 82 F A C D
27:55 -83 E G B C
28 56 84 DC FE AG BA

49: Il nous reste à exposer la règle générale qu’on
doit employer pour calculer la lettre dominicale d’une
aunée quelconque. Soit N le numéro de la lettre domi-
nicale d’une année donnée, en prenant les lettres dans
l’ordre alphabétique : alors, comme les lettres rétro-
gradent d’une année à l’autre (26), le numéro de la lettre
dominicale de l’année suivante sera N — 1, et après un
nombre d’années égal à a, il sera N — a. Mais, comme
il arrivera presque toujours que a sera plus grand que
N, pour rendre la soustraction possible, on ajoute
un multiple de 7 ou 7», m étant un nombre entier
quelconque : de cette manière la formule générale est

N+qm— a.

1} suffit donc de connaître la lettre dominicale d'une

année donnée pour trouver celles de toutes les années
suivantes. Or, c'est un fait que l’année première de
notre ère commençait par un samedi; ainsi À indiquait
le samedi et par conséquent B le dimanche; B était donc
la lettre dominicale de l’an 1; d’où il suit que C, dont le
numéro est 3, était la lettre dominicale de l’an 0. Faisant
donc N —3, nous aurons

qmm+3—a
pour le numéro de la lettre dominicale, & étant le
nombre d’années écoulées depuis l’an 0.
Mais sur 4 années il y en a une bissextile, et chaque
intercalation fait rétrograder la lettre d’une unité; la
formule deviendra donc (a)

Ju+3—a—;a.

CA

a : Lave
ñ est toujours un nombre entier, et l’on néglige le reste

de la division lorsqu’elle en offre un.

Pour donner une application de cette formule, sup-
posons qu’il s'agisse de trouver la. lettre dominicale de

, = + «a
l’année 545; on a ici a = 545 Sr — 136; la formule
devient

7m + 3 — 681 ou 7m — 678.

Or, m2 étant un nombre arbitraire, il faut le choisir de
manière que 7m soit plus grand que 678 , mais de ma-
nière cependant aussi que la différence de ces nombres
ne soit pas au-dessus de 7. Faisant 2 = 97 , nous aurons

7m =679, et par suite
679—678 = 1.

La lettre dominicale de l’année 545 est donc A.

Pour trouver immédiatement le plus petit nombre
m qui rende 79» >a, il faut diviser a par 7, et, sans
tenir compte du reste de la division, prendre le quo-
tient augmenté d’une unité pour 2.

5o. Cette règle n’est bonne que pour les années qui ont
précédé la réformation grégorienne, ou pour le calen-
drier julien, dans lequel l’intercalation bissextile arrive
régulièrement tous les quatre ans. Pour l’étendre aux
années qui ont suivi la réformation , il faut réduire la
date grégorienne en date julienne, en se rappelant qu’en
l’année 1582 on a retranché 10 jours, et que le 5 oc-
tobre est devenu le 15. Ainsi, depuis.le 5 octobre 1582
jusqu'en 1700, nous avons compté 10 jours de plus
que ceux qui ont conservé le calendrier julien. En
outre, ayant fait commune l’année 1700, qui devait
être bissextile, nous avons dès-lors compté 11 jours de
plus; et enfin, ayant fait une nouvelle suppression en
1800, nous comptons en ce moment 12 jours de plus.
Le premier mars 1900, nous compterons 13 jours de
plus, et ainsi de suite. Ainsi, pour réduire au calen-

CA 261

drier julien, il faut retrancher d’abord les 10 jours omis
en 1582, plus la correction 3(5—16), s étant le nombre
qui marque le siècle. La formule (a) deviendra donc,
en portant cette correction avec un signe contraire,

qi+3—a—;a+is—16) +ro,

qu'on peut mettre sous la forme (2), plus commode
pour le calcul ,

74 G—a—iac+(s—16)—1%(s—16)

Cette dernière servira pour toutes les années postérieu-
res à la réformation. Quant aux années antérieures, on

s’en tiendra à la formule (a).

Soit à trouver la lettre dominicale de 1834, on a

a—1834 , Fa—458 , s—18 , s—16—2, {(s—16)—0;
ainsi la formule devient
74 6—22092+#2,
ou
7n—2284

Faisant m—327, nous aurons 7»—2289 et 2289—929284
=5; ainsi, à étant le numéro de la lettre dominicale,
cette lettre est E.

Les formules (a) et (b) ont été données par Delambre.

51. Quand on connaît la lettre dominicale de l’année
et le quantième du mois, on peut trouver immédiate-
ment le jour de la semaine à l’aide du tableau suivant,
qui forme un calendrier civil perpétuel.

Sachant, par exemple , ce qu’on trouve dans Ja table
du numéro 48, que les lettres dominicales de l’année
bissextile 1812 sont GF, si l’on voulait savoir à quel
jour de la semaine répondait le 22 février, comme la
lettre G sert jusqu’à la fin de février, on descendrait dans
la colonne correspondante à G jusqu’à ce que l’on soit en
face du 22 février; et l’on verrait que ce jour était un
mardi. Pour les mois suivans, on prendrait la seconde
lettre E.

262

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CA

52. Pour compléter tout ce qui a rapport au calen-
drier grégorien, il nous reste à déterminer l’épacte d’une
année proposée. Ce problème est très-facile à résoudre
lorsqu'on connait l’épacte de l’année précédente , car il
suffit d'ajouter 11 à cette dernière, et si la somme
n'excède pas 30, elle est l’épacte demandée ; si elle sur-
passe 30, on en retranche cenombre, et le reste est alors
l’épacte. Par exemple, l’épacte de 1834 étant XX, celle
de 1835 sera 20 + 11 — 31; et comme cette somme
est plus grande que 30, il faut en retrancher 30; ce qui
donne 1 pour l’épacte de 1835. Ainsi l'épacte de 1836
sera 1+- 11 Ou 12.

53. Les 11 unités qu’on ajoute à l’épacte de l’année
précédente viennent de ce que l’année lunaire est plus
petite que l’année solaire de 11 jours. Or, ces 11 jours
ajoutés les uns aux autres forment les sept mois embo-
lismiques composés de 30 jours d’un cycle lunaire; il
faut donc retrancher toujours 30 de la somme qu’on
obtient, en ajoutant successivement 1 1 chaque année, au
lieu de retrancher alternativement 30 et 29.

Cependant, comme le dernier mois du cycle n’est que
de 29 jours, et qu’en retranchant 30 on diminuerait d’une
unité le reste de la soustraction, au lieu d’ajouter 11 à
la dernière année du cycle on ajoute 12. Ainsi, lorsque
l’année proposée est la première du cycle lunaire, ou
bien qu’elle a I pour nombre d’or, on trouve son
épacte en ajoutant 12 à l’épacte de l’année précédente.

54. Pour trouver l’épacte d'une année, à partir de
1700 , lorsqu'on ne connaît pas celle de l’année précé-
dente, on fait usage de la formule suivante :

Soit a le nombre d'années écoulées depuis 1700, et
b le nombre de fois que le nombre d’or I $’est présenté
pendant le temps 4, formez le nombre (c)

11a+b+o. d

Divisez ce nombre par 30, et le reste de la division sera
l’épacte demandée. Lorsque ce reste est o, l’épacte est
XXX ou plutôt l’astérisque * qui tient la place de 30.

S'il s'agissait, par exemple, de trouver l’épacte de
1746, on aurait a — 46, b — 2 et par conséquent

ia+b+ og = 517.

Or, 517 divisé par 30, donne pour reste 7, donc l’épacte
de 1746 est VII.

Le nombre d’or I ayant été celui de l’année 1710, et

ue devant se présenter que tous les 19 ans, il est donc

CA 263

venu deux fois de 1700 à 1710 + 19, 3 fois de 1700 à
1710 +2. 10, et enfin n fois de 1700 à 1910 +(n—1) 19,
jusqu'à 1910 L(n—1) 194 18 inclusivement. On peut
ürer, de là, la règle suivante pour calculer b : de l’année
proposée retranchez 1509, et divisez le reste par 19;
si la division se fait exactement, le quotient sera égal a b;
s'il y a un reste, b sera égal au quotient augmenté d’une
unité,

Soit 1834, l’année dont on demande l’épacte. Nous
aurons 1834 — 1709 — 125, et 125 divisé par 19 donne
G avec un reste : ainsi b = 7; mais nous avons de plus
a = 134. Substituons ces valeurs dans (c), nous trouve-
rons

11a+b + 9— 1490.

Ainsi, divisant 1490 par 30, le reste 20 sera l'épacte
de 1834.

On peut se servir des formules précédentes sans aucune
correction jusqu’à l’année 1900 ; mais dans cette année
il y aura ce qu’on appelle une z2étemptose, c'est-à dire
que la nouvelle lune tombera un jour plus tard qu’elle
ne sera arrivée auparavant, et par-la l’épacte sera moin-
dre d’une unité cette année et les suivantes qu’elle n’au-
rait été sans la métemptose. Mais comme à l’aide de la
Table étendue des épactes , il est plus facile de trouver
ces nombres que par aucun autre moyen, nous n’entre-
rons pas dans des détails d’ailleurs sans intérêt, car tout
l’échafaudage des épactes ne vaut pas, pour tronver
les nouvelles lunes, la plus grossière détermination
astronomique.

55. Dans la table étendue des épactes , composée de
30 suites horizontales d’épactes désignées chacune par
uue lettre ou indice différent, ces suites sont divisées en
19 colonnes verticales, répondant aux 19 nombres d’or
du cycle lunaire. Pour faire usage de cette table, il faut
donc connaître 1e nombre d’or de l’année dont on cher-
che lépacte, et de plus la lettre ou l'indice de la suite
d’épactes qui appartient à cette année. Cet indice ne
varie pas pour chaque année, mais seulement de siècle
en siècle, ou de plusieurs siècles en plusieurs siècles,
par leffet de la métemptose, ou de la correction qu'il
faut faire subir de temps à autre à la suite des épactes,
pour empêcher les nouvelles lunes qu’elles indiquent
de trop s’écarter des nouvelles lunes moyennes astrono-
miques. Cette variation se nomme l'équation des epactes.

Voici les indices correspondans aux années séculaires.

264 CA

ÉQUATION DFS ÉPACTES.

Tadices. Annevs.

1100
1400
1582 après la réf.
1600
1700
1800
1900
2000
2100
2200
2300
2400
2500
2600
2700
2800
2900
3000
3100
3200
3300
3400
3500
3600
5700
3800
3900
4000
4100

. 4200

SR STANNQN NN R ER DEEE OOo SAR T 2

On voit d’après cette table que toutes les années com-

Jadices.

HELD DDZMAMRSESORRREe SSSR RE RS me mm Ne

Annces

4300
4400
4500
4600
4700
4800
4900
5000
5100
5200
5300
5400
5500
5600
5700
5800
5900
Gooo
G100
6200
6300
6400
6500
6600
6700
6800
6900
7000
7100
7200
7300
7400
7500
7600

CA

prises depuis 1700 jusqu'a 1899 inclusivement ont C
pour indice. Ainsi, pour trouver l’épacte de 1834, par
exemple, on cherchera dans la colonne horizontale de
l'indice C; dans la table des épactes, le chiffre écrit au-
dessous du nombre d’or de 1834. Ce nombre d’or étant
11, l'épacte XX qui lui correspond est celle de l’année

proposée.

56. I faut remarquer que dans la table des épactes
on a mis 5 en chiffres arabes au lieu de XXV dans
toutes les colonnes dont les nombres d’or surpassent 11,
tandis que dans les autres on a mis XXV. Cette dispo-
sition est relative à celle des épactes dans le calendrier
universel grégorien (n° 40 ), où l’on a placé 25 à côté
de XXVI, dans les mois qui ont les deux épactes XXV
et XXIV au même jour, et à côté de XXV dans les
autres mois. On a pris cet arrangement pour que les
nouvelles lunes ne fassent pas indiquées plusieurs fois
au même jour dans l’espace de 19 ans, ou pendant la
durée d’un cycle lunaire, ce qui effectivement serait
une erreur, Or, on évite cet inconvénient à l’aide de
la combinaison de ce nombre arabe 25; car dans les
huit suites où les deux épactes XXIV et XX V se trou-
veut ensemble, au lieu de XXV on a mis 25 qui, dans
le calendrier , se trouve partout un jour plus haut que
XKXIV : ces huit suites sont celles qui ont les indices
b,e,k,n,r, B,E, N. Et pour éviter le même in-
convénient par rapport à 25 et à XX VI qui répondent
au même jour dans six mois différeus, on a mis XXV
au lieu de 25 dans les huit séries qui contiennent les
épactes XXV et XX VI. Ce sont les séries qui ont pour
indices c,:f, lp 5; CE, P.

57. Si l'on avait voulu conserver les nombres d’or
pour indiquer les nouvelles lunes, il aurait fallu
faire 30 calendriers différens, à cause des variations qui
ré&ultent du défaut de concordance des années solaires
et lunaires après la révolution de plusieurs cycles lu-
naires : c’est ce dont les 30 séries d’épactes contenues
dans la table suivante tiennent lieu.

265

fraxx [ax 1 !
{naxxl frax [a AXX AIX fu fixx [x & XIX { { fux Ul q
xxx Lirax [ia faxx AX Al [rrxx fix { XX 1 frraxx AIX {ni I
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‘UOŒ SAUANON

*SANQ'T SATIVENON SAHG SALOVAH SAQ HAONALH H'IAVE

34

266 CA

58. L'usage principal des épactes consiste à faire
connaître le jour où doit se célébrer la fête de Päques,
jour qui sert ensuite à déterminer ceux de toutes les
fêtes mobiles. Quant à la détermination des nouvelles
lunes qu’on obtient par leur moyen, depuis long-temps
elle n’est plus en usage que dans les calendriers ecclé-
siastiques , les calendriers civils ou les almanachs con-
tiennent aujourd’hui les nouvelles lunes astronomiques.

D'après le concile de Nicée, le jour de Päques doit
être célébré le dimanche qui suit la pleine lune du jour
de l’équinoxe du printemps, ou qui vient immédiate-
ment après cet équinoxe. Or, si la nouvelle lune de
mars tombe au 8, le 14° jour de la lune ou la pleine
lune tombera le 21, jour de l’équinoxe : alors cette
pleine lune sera paschale; c’est-à-dire qu’il faudra célé-
brer Pâques le premier dimanche qui la suivra. Si le 21
était un dimanche, le jour de Pâques tomberait 7 jours
après, ou le 28. Par la même raison, si la nouvelle lune
tombait aprèsle8 de mars la pleine lune suivante serait
aussi paschale. Mais, au contraire, sila nouvelle lune ar-
rive avant le 8 de mars, la pleine lune tombera avant le
21,etnesera pas paschale: il faudra conséquemmentatten-
dre la pleine lune suivante pour célébrer Päques le di-
manche d’après. Pâques ne peut donc arriver plus tôt
que le 22 mars, d’après ce qui vient d’être dit; son plus
graud retard est le 25 avril; car, lorsque la nouvelle
lune de mars tombe le 7, le jour de la pleine lune est
le 20; et comme il faut attendre dans ce cas la pleine
lune suivante qui arrive le 18 d'avril, et que si ce jour
est un dimanche il faut aller jusqu’au dimanchesuivant,
qui est le 25 d'avril, il s'ensuit que le jour de Pâques
ne peut jamais tomber plus loin que le 25 avril.

59. Voici la règle à l'aide de laquelle on trouve le
jour de Pâques pour une année proposée.

1°. Cherchezla lettre dominicale de l’année proposée,
ainsi que son épacte.

2°. Voyez ensuite quel est le premier jour après le 7
mars auquel répond l’épacte trouvée dans le calendrier
grégorien (40), Ce jour est le premier de la lune pas-
chale.

3. Comptez 14 jours depuis celui de la nouvelle lune
inclusivement , le quatorzième sera la pleine lune pas-
chale.

4° Enfin, voyez le premier jour après cette pleine
lune, auquel répond la lettre dominicale; ce jour est le
dimanche de Päques.

Supposons, par exemple, qu’il s'agisse de déterminer
le jour de Pâques de l’année 1834. L'épacte de cette
année, prise dans la table du n° 57, ou calculée par la
méthode du n° 52, étant XX, nous chercherons dans
le calendrier grégorien ( 40) le jour, après le 7 mars,
devant lequel se trouve l’épacte XX. Ce jour est le 11.
Comptant ensuite jusqu’à 14, en prenant 11 pour 1,

CA
nous arriverons au 24, jour de la pleine lune paschale ;
cherchant ensuite, après le 24, le jour qui correspond
à la lettre dominicale E de l’année 1834, nous trouve-
rons cette lettre devant le 30 mars. Le dimanche de
Pâques de 1834 est donc le 30 mars.

S'il s'agissait de 1835, la lettre domigicale de cette
année étant D, et l’épacte I, nous trauverions de la
même manière que le dimanche de Pâques doit arriver
le 19 avril. |

60. Delambre à donné, dans son Traité d' Astronomie,
la table suivante par laquelle on trouve immédiatement

le jour de Pâques au moyen de J’épacte et de la lettre
dominicale.

TABLE POUR TROUVER LA FÊTE DE PAQUES.

LS. LETTRES DOMINIGALES.
è D 0 0 0 € 2 conan
31 D E F G A B G
23122 mars! 23 mars|24 mars|25 mars|26 mars|27 mars|28 mars
22129 23 24 25 26 27 28
21129 30 34 25 26 29 28
20129 30 31 25 26 29 28
19129 30 31 x avril|26 27 28
18/29 30 31 I 2 avril|27 28
15129 30 SL 1 2 3 avrill28
16/29 30 31 1 2 3 4 avril
15] 5 avril| 30 31 1 2 3 4
14} 5 6 avril|31 1 2 3 4
131 3 6 7 avril] 1 2 5 4
12) 5 6 7 8 2 3 4
11] 5 6 7 8 9 8 4
10) 5 6 7 8 9 10 4

5 6 7 8 9 10 LT

(3 6 7 8 9 10 11

12 13 7 8 9 10 1

12 13 14 8 9 10 ti

12 13 14 15 9 10 IT

£a 13 14 15 16 10 IL

12 13 14 15 16 17 It

12 13 14 15 16 17 15

19 13 14 15 16 17 18

19 20 14 15 16 17 18
29/19 20 21 15 16 17 18
28119 20 21 22 16 17 18
27119 20 21 22 23 17 18
26/19 20 21 22 23 2 18
25119 20 21 22 45 24 25
24/19 avril|20 avrill2r avril|22 avril\23 avril|24 avrill25 avril

La première colonne de cette table renferme les
épactes, et les colonnes suivantes, en tête desquelles sont
les lettres dominicales, donnent le jour de la fête de
Pâques dans le point qui répond à la fois à la lettre
dominicale et à l'épacte. C'est ainsi qu'on trouve au-
dessous de la lettre E, et devant l’épacte 20, le 30 mars
pour le jour de Pâques de l’année 1834.

61. Gauss a donné deux formules pour déterminer

CA

immédiatement le jour de Pâques sans le secours des
léttres dominicales, ni des épactes ; nous allons les faire
confiaitre. -

Soit : à le reste de la division de l’année proposée par 19,
b le résté de la division du même nombre par #4,
c le reste de là division du même nombre par 7.

Divisons 19 a + M par 30, et nommons 4 le reste de
la division; divisons également 2b + 4c + 6d+ N
par 7, et nommons € le reste.

Nous aurons pour le quantième du jour de Päques
les deux expressions (71)

(22 + d+e), mars
( d + é — 9), avril.

Pour le calendrier julien; les quantités Met N, sont
constamment M = 15 et N = 6, et pour le calendrier
grégorien on à
M N
Depuis 1582 jusqu'a 1699:::::.2%,:4:3
ADOO: 5458179096. 550235. 53
18065 + à à #3 818995 5 5 6528 à 5 « 54
19006 «2458 1909206245. . 55
2OOO: à «5 à à à 62090. » so 5 + De 5 5 D
BLOG à a à à 5 à 2199 à 5 8 à 8 24 5 5 + 40
2200, : à à 8 6 82200: 6 6 à +525 à 56 10
2BOO:5 55 . à 32909 s 445. 260csa0t
2400: 15.15: 249956, 5.26.5ai15

Nous allons éclaircir l'usage de ces formules par un
exemple, Cherchons Päques pour l’année 1835, nous
aurons

= 95 rate 11= 4

1835
4

1835

7

= 458, reste 3 = b
— 26», reste i = €.
Cornme lés quantités M et N sont respectivement 23

et 4 pour toutes les années depuis 1800 jusqu'à 1899;
noûs aurons deplus

19a+M 932

DD DS 7 ; reste 22 = d
2b44c46d+N 6
SERTÈTS = 148 = 26, r'éste 6 —é.

De cés valéars nous tirons, par les formules (#),

Päques 5o mars

22% Æ 29 + 6, mars =

où = 92 + G6— 9, avril = 19 avril,

. à 5 ë

La première valeur est identique avec la seconde, éaf
en retranchant les 31 jours de mars de 50, il reste 19,
qu'il faut nécéssairement reporter eur avril.

CA %T.

Cette règle, qui est générale pour le calendrier julien,
souffre une exception pour le caléndrier grégorien à si
le calcul donne un nombre au-dessus du 25 avril, il
faut rétrancher 7 jours où une semäine,

G2. Lorsque le jour de Pâques est trouvé, on en dé:
duit les jours de toutes les fêtes mobiles, ainsi qu'il suit:

Le jeudi quarantièmé jour après Päqués est l'Ascéh-
sion:

Le dimanche cinguantième jour après Pâques ést la
Pentecôte.

Le dimanche après la Pentecôte est la Thinité.

Le jeudi après la Trinité est la Féte-Dieu.

Si l’on compte, en rétrogradant de Pâques, si£ dis
manches, on a le premier dimanche de carêmié où la
Quadragésime ; le mercredi qui précède la quadragé-
sime est le Aferéredi des cendres ; le dimanche avant les
cendres est la Quinquagésime, et le dimanche qui là pré-
cède est la Sexagésime; enfin, le dimanche avant
sexagésime est la Septuagesime.

63. Lorsque le calendrier grégorien parut, il fut objet
de vives attaques, la plupart injustes et sans fondement.
Les auteurs de ce calendrier voulaient détérminer la fête
de Pâques dans de certaines limites, en satisfaisant atix
conditions qu’ils s'étaient imposées, et ils ÿ ont réussi
autant qu’ils ont pu le désirer. Lors de‘la réformation,
en 1582, les états catholiques adoptèrent seuls le calën-
drier grégorien; le retranchenient des 16 jours opéré
par le bref de Grégoire XI fut cause d'uné différence
dans la manière de compter les jours en Europe, et qui
y à subsisté lonig-temps. Ainsi, tandis qu'en Angleterre
on comptait le 3 janvier, en France on comptait lé 12,
c’est-à-dire 10 jours de plus. En 1700 les États protes-
tans d'Allemagne adoptèrent le calendrier grégorien
pour tout ce qui concerne l'année solaire; mais ils ré-
glèrent les nouvelles lunes et les fêtes qui dépenderit du
jour de Pâques par les calculs astronomiques. En Angle-
terre, cétte réforme n’a commencé qu’au mois de sep«
tembre 1752.

La Russie est aujourd’hui le seul pays de l’Europe où
l’on se serve encore du calendrier julien, et comme en
1700 les Russes ont eu une añnée bissextile que nots avons
fait commune , leur manière de compter les jours diffë-
rentde 12 jours delanôtre: par exemple, lorsqu'ils datent
du 1, nous datons du 13 ; et ainsi dé suite. On désigneleur,
manière de compter sous le nom de vieux style. Dans
les actes publics ou privés de ce peuple, on écrit les
deux dates l’une au-dessus de l’autre: par exemple, pouf

désigner le 6 février, on écrit £ février, etc.
G4. Lorsque la France fut constituée en république,

les législateurs de cette sanglante époque voulurent ré-
former le calendrier grégorien, et lui substituer ane

268 CA

copie du calendrier égyptien, perfectionné cependant.
Cette tentative n’ayant pas eu de résultat, et l’œuvre de
la force étant tombée avec la puissance désorganisatrice
qui avait voulu Périger, nous n’en parlerons point ici.
On peut pour cet objet consulter Lalande et Delambre,.
Toutes les améliorations dont le calendrier est suscep-
tible ne peuvent être désormais que l’œuvre de la
science, et ce n’est que du temps et des progrès de la
civilisation des peuples, qu’il est permis de les attendre.

Le calendrier grégorien a été l’objet d’un immense
travail publié en 1603 par Clavius ,sous le titre de Ro-
mani Calendarii à Gregorio XIII, P. M., restituti
explicatio. Cet ouvrage est assez curieux pour que nous
y renvoyious ceux de nos lecteurs qui voudraient appro-
fondir la question.

65. On considère comme faisant partie du calendrier
plusieurs cycles ou périodes dont nous n’avons point
encore parlé ; ce sont : Les PÉRIODES Juzienxe et Vicro-
RIENNE , et l'Inpicrion romaine. ’oyez ces divers mots.

CALIPPE, astronome grec, qui vivait dans les pre-
‘mières années du IV° siècle avant J.-C. Il est célèbre par
l'invention d’un nouveau cycle, dont la durée était de
176 ans, et qui fut substitué au cycle de Méton. On a donné
à cette période, qui commença à être employée en l’an-
‘née 331 avant notre ère, le nom de Calippique. Foyez
ASTRONOMIE D.

CAMÉLEON (Astr.). Nom de l’une des douze constel-
lations méridionales ajoutées durant le X VI‘siècle à celles
que les anciens avaient reconnues au midi du zodiaque.
Elle estsur le colure des équinoxes et au-dedans du cercle
polaire antarctique. Le caméléon n’est composé que de
neuf étoiles dans l’Uranometria de Bayer ; mais La Caille
‘ena ajouté un grand nombre d’autres dans son catalogue
des étoiles australes, dressé au cap de Bonne-Espérance
en 1751. Ce savant astronome et le célèbre Halley, qui,
avant lui, avait été dans le même but à l'ile de Sainte-
Hélène, ont déterminé la position des étoiles de cette
constellation. Celle que Ea Caille a marquée x dans son
catalogue, et qu’il a observée avecle plus de soin, avait,
suivant lui, au commencement de 1750, 126°8' 38"
d’ascension droite, et 56° 7° 12” de déclinaison australe.

CAMUS (Cuarze-Érienxe-Louis), géomètre distin-
gué du dernier siècle, naquit à Cressy-en-Brie le 25 août
1699. Comme la plupart des hommes qui se sont fait un
nom dans les sciences, Camus manmifesta dès l'enfance
un goût décidé pour les mathématiques. Ses dispositions
précoces déterminèrent ses parens à lui ouvrir, malgré
lexiguité de leur fortune, la carrière dans laquelle il
désirait entrer avec tant d’ardeur. I fit ses études à Paris,
au collége de Navarre, où il ne tarda pas à se faire re-
marquer par son assiduité au travail et par ses progrès.
Deux ans après son entrée au collége, il fut assez fort
en mathématiques pour pouvoir en donner des leçous

CA

particulières, dontle produit le mit à mème de se passer
du secours de ses parens. Il fit plus tard son cours de
géométrie sous Varignon. Camus se fit connaître dans
le monde savant, en 1727, par un mémoire qu'il soumit
au concours ouvert par l’Académie des sciences pour le
prix qu’elle avait proposé sur la manière la plus avan-
tageuse de müter Les vaisseaux. Ce fut Bouguer que
l'Académie couronna; mais elle s’empressa de recevoir
dans son sein Camus, dont le mémoire révélait un talent
remarquable. Il fut du nombre des académiciens envoyés,
quelques années après, dans le Nord, pour déterminer la
figure de la terre. Nommé examinateur des écoles du
génie et de l'artillerie, Camus composa pour les élèves
de ces corps un Cours de mathématiques qui a été
long-temps estimé, mais que les progrès toujours crois-
sans de la science ont rendu inférieur aux livres élémen-
taires publiés depuis.

Ce mathématicien estimable, que son génie appela à
des travaux plutôt utiles que brillans, n’a laissé que des
manuscrits dont on ignore le sort. Dans le recueil de
l'Académie des sciences, on trouve à l’année 1728 un
mémoire intéressant de Camus, sur les forces vives, et
à celui de 17933, un autre sur les dents des roues et êes
ailes des pignons. En 1730, il lut à l'Académie plusieurs
fragmens d’un grand travail sur l’Aydraulique, qui n’a
point été imprimé. La meilleure édition de son Cours
de mathématiques est celle de Paris, 1766, 4 vol. in-8°.
Camus, membre de l’Académie des sciences et de la
Société royale de Londres, mourut à Paris le 2 fé-
vrier 1768.

CANCER ou ÉCREVISSE (Astr.). Nom d’une con-
stellation boréale et du quatrième signe du zodiaque,
qu’on représente par cette figure 65.

On appelle Trorique pu Cancer l’un des petits cer-
cles de la sphère parallèles à l’équateur ; et qui passe à
l’une des extrémités du signe zodiacal, dont il emprunte
le nom. Le tropique du Cancer, qui est situé dans l’hé-
misphère septentrional, est éloigné de l'équateur de 23°
28". C’est ce cercle que le soleil paraît décrire le jour
du solstice d'été. Foy. EcREvissE et ARMILLAIRE.

CANICULE (Asu.). C'est le nom de la belle étoile
de la constellation du Grann Cuiex , que les Grecs ap-
pelaient œéposs, Sirius, et les Égyptiens Sothis. Cette
étoile occupait une place importante dans l'astronomie
pratique des anciens. Dans les temps reculés, le lever
héliaque de la canicule coïncidait à peu près avec le sol-
stice d'été, époque des inondations périodiques du Nil.
Les Égyptiens choisirent pour point de départ de leur an-
née tropique l'apparition de cette étoile, qui leur an-
nonçait l'approche d’un phénomène si important pour
eux. L'étoile Sirius, sous le nom de Sothis, joua le plus
grand rôle dans toute leur mythologie et leurs rites re-
ligicux. Les autres peuples ivilisés, pour qui le lever

CA

héliaque de Sirius était au contraire l'annonce des plus
grands maux, puisqu'il précédait immédiatement les
plus fortes chaleurs de l’année, qui engendrent souvent
de graves maladies, sacrifiaient à cette étoile comme à
un dieu malfaisant. Le lever héliaque de la canicule a lieu
maintenant dans le mois d'août.

On appelle caniculaires un certain nombre de jours
qui précèdent et qui suivent celui où a lieu le lever hé-
liaque de la canicule. C’est une habitude populaire de
les compter par ceux qu'emploie le soleil à parcourir le
signe du Lion, c’est-à-dire depuis le 22 juillet jusqu'au
23 août.

CANON (Alg.) (de xaysov, règle). Expression générale
qui embrasse comme règle une infinité de cas partieu-
liers. Ce mot, aujourd'hui peu usité, a été remplacé
par celui de formule, Par exemple, l'expression

sfr

est un canon à l’aide duquel on obtient les valeurs de x
dans l'équation générale du second degré x?+ax+4b—o;
il suffit pour cet effet d’y substituer à la place de &
et de b les valeurs particulières données par chaque
question. De même, les deux expressions

#3 cb'—c'b
Tab
__ ac'—a'e
FD — ab

sont les canons qui donnent, pour toutes les valeurs par-
ticulières des quantités a,b, ce, a", L', c', celles des in-
connues x et y , des deux équations du premier degré

ax + by =c
d'x+b'y=c".

Les tables des logarithmes, sinus, tangentes, etc.,
sont aussi quelquefois désignées sous le nom de canons,
parce qu’au moyen d’une quantité déterminée ces tables
font connaître une autre quantité correspondante.

CANOPUS (Astr.). Nom d’une belle étoile de la pre-
mière grandeur, qui parait située à l'extrémité méridio-
nale de la constellation Argo , dans l'hémisphère boréal.
Elle est indiquée dans le catalogue de Bayer, sous les
divers noms de Canobus, de Piolomæon, de Suel.
Elle est, après la canicule ou Sirius, une des plus bril-
lantes étoiles du ciel.

CAPABLE (Géom.). Un segment de cercle est ca-
pable d’un angle donné lorsque ce segment est tel que
tous les angles qu’on peut y inscrire, et qui sont égaux
entre eux, puisqu'ils ont chacun pour mesure le même
arc, savoir la moitié du reste de la circonférence, sont
égaux à cet angle donné.

Il y a plusieurs procédés pour décrire un semblable

CA 269
segment; nous donnerous Île suivant, qui est le plus
usité dans la pratique. Soit
la droite AB, sur laquelle il
s’agit de décrire un segment Less
capable de l'angle M.

Faites l'angle CAB égal à
l’angle donné M. Du som-
met À , menez la droite AO
perpendiculaire sur AC ; et
du point E, milieu de AB,
menez à cette droite la per-
pendiculaire EO. Du point GO, rencontre des deux per-
pendiculaires avec AO pour rayon, décrivez la circon-
férence AMBrA, le segment AMMMB sera le segment
demandé. En effet, l’angle donné M ou CAB, qui lui
est égal, a pour mesur: Ja moitié de l'arc AmB ; mais
cette moitié est aussi la mesure de tous les angles AMB
inscrits dans le segment AMMMB (Voy. angle, 18 et
17) : donc tous ces angles sont égaux à l'angle M;
donc, etc.

a

Cette construction sert dans la levée des plans, pour

donner graphiquement la position d’un point, quand on

connaît les angles sous lesquels on aperçoit, de ce point,
trois autres dont les distances respectives sont connues.
Soient, par exemple, À, B, C, trois points donnés de
position, et soit D un quatrième point, duquel on a
mesuré les angles ADB et BDC. Pour placer ce pot
sur la carte, où se trouvent déjà A, B, C, décrivez sur la
droite AB un segment capable de l'angle ADB, et, sur
la droite BC, décrivez un segment capable de l'angle
BDC; le point D, où les cercles se coupent, est évidem-
ment le point demandé, puisqu'il est le seul d’où l’on
puisse apercevoir en même temps les droites AB et BC
sous les angles ADB et BDC.

CAPACITÉ ( Géom.). Volume d’un corps. Ce mot
est plus communément employé pour désigner la quan-
tité de matière qu’un vaisseau peut contenir; c’est ainsi
qu’on dit : la capacité d’une bouteille, d’un tonneau,

d’une cuve, etc.

nr : s
On nomme mesures de capacité celles qui servent à

déterminer le volume des liquides et des matières sèches

270 CA

divisées, telles que les grains, les racines alimentaires;
le charbon, etc., etc.

Mesures DE capacité pour les liquides. La esuré
prise pour unité est le Zitre, dont le volume est égal à
celui d’un cube qui aurait pour côté uñe longueur d’un
décimètre. Cette mesure se subdivise en demi-litre et en
quart de litre, auxquels on a adapté populairement
les anciens noms de chopine et de demi-setier.

Avant l'introduction du nouveau système métiique
français, les mesures de capacité étaient différentes daris
chaque province : on nommait pinte l'unité de ces me-
sures pour Paris; la demi-pinte prenait le nom de cho-
pine; le quart de pinte, celui de demi-setier, et le
demi-quart, celui de poisson. L'emploi du litre évant
aujourd’hui le seul toléré , et le litre différant d’ailleurs
très-peu de l’ancienne pinte (le rapport du litre à la
pinte est égal à 50,462248 : 48), on se sert encore
quelquefois du nom de pinte pour le désigner;

D'après la terminologie adoptée dans notre système
métrique, les subdivisions décimales du litre sont : le
décilitre, dixième du litre, et le certilitre, centième
du litre. Les multiples décimaux du litre sont : le déca-
litre où dix litres, l’hectolitre ou cent litres, et le Aïlo-
litre où mille litres.

Le litre, ou la pinte, contient un kilogramme d’eau
distillée.

5 décilitres, ou la chopine, contiennent 5 hecto-
grammes où 500 grammes d’eau distillée.

2 + décilitres, ou le demi-selier, en contiennent 250
grammes:

1 décilitre, ou ? de poisson, contient 100 grammes.

1 centilitre contient 10 grammes.

Mesures DE CAPACITÉ pour les matières sèches. Le
Ltre est encore l'unité de ces mesures qui se composent
de ces multiples décimaux. L'unité des añciennés me-
sures était le boisseau, et 12 boïsseaux faisaient un
selier.

Le rapport de l’hectolitre au setier ést égal à 1 : 0,64;
c'est-a-dire que 641 setier$ équivalent à 1000 hecto:
litres.

Le rapport du boisseau au litre est égal à 5:13,
c'est-à-dire que 13 litres équivalent à un boisseau. Féyez
Mesures,

CAPRICORNE (A45t.). Caper, nom du dixième sipñie
du zodiaque ; qu’on indique par cette figure %: Le ca=
pricorne donne son nom au trôpique méridional ; c’est
à-dire à l’un des cercles parallèles qui touchent à l’éclip-
tique.

Mayer et La Caille ont considérablement augmenté
le nombre des étoiles de cette constellation. On n’en
comptait que 51 dans les catalogues dressés avant leurs
découvertes. Foy. ARMILLAIRE.

CARACTÈRE (de yxoxxrio, marque). Signe dont on

CA

se dert en mathématiques pour désigner une quantité.

Les caractères numériques se nomment en général
chiffres. Nous avons Yü à l’article ArtramÉTiIQuE quels
sont Jés. chiffres de l’arithinétique actuelle, ainsi que
ceux de l’arithmétique grecque; nous allons exposer ici
les caractères employés par les Romains dans leur sys-
tème de numération, ces caractères étant encore usités
parmi les peuples modérnes.

Les chiffres romains sont au nombre de sept :

(LYS ENT (Ce DM
dont les valeurs sont
5;
En combinant ces chiffres comme il suit, on forme
tous lés nombres :
T placé à Ka gauche de V, tel qe IV, exprime 4 ; placé
à la droite, VE, il exprime 6. On a de cette manière
1, I, HI, IV, Ÿ, VI, VIL, VII.
Ten 0 in 19) 10 utgulsie ie

.

1 ; 10, DO, 100, 506, 1000.

De la inême manière, I placé à la pauche de X ex-
primé 4; tandis que placé à la droite il exprimé ri; on
a douce äinsi

IX, X, XI, XIE, XIII, XIV, XV, XVI.
010, 11; 19 ÿ 14, 16,
et ainsi de suite jusqu'à XXXIX, 30.
Le chiffre X agit par rapport aux chiffres L et C de la
même manière que Î par rapport à V; c’est-à-dire que

124 15},

placé à leur gauche il les diminue de 10 ; tandis que
placé à leur droite il les augmente dé la même quantité.
Ainsi, XL signifie 40, et LX, 60; XG signifie go, et
CX, 110.

De 1 à 100 les dixaines sont donc exprimées par
X, XX, XXX,XL,L,LX,LXX, LXXX, XC, C.
10, 36, 36, 46,50, 60, 76, 86,
A la suite de ces dixaines, on écrit les caractères qui
désignent les unités, de manière que 63 s'écrit LXVIT;
84, LXXXIV ; 105, CV, etc.

De 100 à 1000 , les centaines sont exprimées par

G, CG, CCG, CECC, D, DC, DEC, DCEC, PCCCC, M
160, 560, 300, 460, 5od, 600, 700, 800, 900, 1000

go , 100.

et l’on écrit également à la suite de ces caractères ceux
qui expriment les dixaines et les unités ; ainsi, 547 s'écrit
DXLVII; 839 s'écrit DCCCXXXIX,, etc., etc.

On agit de la même manière pour les nombres au-
dessus de mille. Par exemple,

MDXCVII signifie 1597.
MDCCCXXXIV signifie 1834.

Outre la lettre D, qui exprime 500, on peut encore

CA
désigner ce nombre par un Î devant un € renversé de
cette manière In. Quelquefois aussi, au lieu de M, on
se sert de I entre deux C, dont l’un est renversé
comme Cl). Suivant cette notation, on peut exprimer
600 par 19C; 700 par 19CC, etc.

L'addition de C devant et après CI augmente ce
nombre en raison décuple. Ainsi, CCI exprime 10000,
CECI 99) exprime 100000 , etc.

Les Romains exprimaient encore les nombres au-des-
sus de mille par une ligne — placée sur les caractères.
Par exemple, V signifiait 5000; XL, 40000 ; M, 100000;
MN, 2000000 , etc. , etc.

On n’est pas d'accord sur la manière dont les Romains

effectuaient leurs calculs avec un système si incommode
de numération; mais on peut attribuer en grande"partie
à ce système la longue nullité de ce peuple sous le rap-
port des connajssances mathématiques.
À CARACTÉRISTIQUE, La caractéristique d’un loga-
rithme vulgaire est le nombre entier qui entre dans ce
logarithme. Par exemple, 2 est la caractéristique de
2,02118930, logarithme de 105; et o est la caractéris-
tique de 0,6989700 , logarithme de 5.

Les logarithmes vulgaires des nombres étant les expo-
sans des puissances auxquelles il faut élever 10 pour
obtenir ces nombres, et les puissances successives de 10
étant

Q

OL — I
0! = 10
10 — 100
10? — 1000
10$ — 10000
10Ÿ — 100000
etc. etc.

On voit que les nombres compris entre 1 et 10 ont pour
logarithmes o plus une fraction; 1 plus une fraction,
lorsqu'ils sont compris entre 10 et 100; 2 plus une frac-
tion, entre 100 et 1000, etc., etc. On connaît donc im-
médiatement la caractéristique du logarithme d’un nom-
bre par la quantité de chiffres qui le composent ; car
cette caractéristique est toujours égale à cette quantité
moins un. Ainsi la caractéristique du logarithme de 4799
est 3, parce que ce nombre a 4 chiffres, ou qu'il est
compris entre 1000 et 10000, Il suffit donc de connaître
la partie fractiounaire d'un logarithme, pour le con-
naître entièrement; et c’est par cette raison que dans
les tables de logarithmes on ne trouve que cette partie
fractionnaire, et que les caractéristiques y sont sous-
entendues. Foyez Locantrumes.

On nomme en général caractéristique une marque,
ou caractère, par laquelle on désigne une certaine fonc-
tion d'une quantité : c'est ainsi que la lettre d est la
caracleristique des quantités différentielles, ou que dx

CA 271

exprime la différentielle de x, suivant Leïbnitz. Dans
la notation de Newton, cette caractéristique est un
point (.) placé sur la quantité : +, est donc, d’après
Newton, la fluxion ou la différentielle de x. Voyez
DirrérenTiez et FLuxton.

CARDAN (Jérôme), médecin et géomètre célèbre,
naquit à Milan suivant quelques-uns de ses biographes, et
à Pavie suivant d’autres, le 23 septembre ou le 24 no-
vembre de l'an 1501. Cardan, qui a souvent parlé de lui
dans ses écrits, n’avait lui-même aucune certitude À cet
égard , d’où l’on a cru pouvoir tirer la conséquence que
sa naissance était illégitime. Quoi qu'il en soit il est du
moins certain que le jeune Jérôme fut élevé h Milan dans
la maison de Faccia Cardan, son père, savant médecin et
jurisconsulte éclairé, qui fut son premier maître. Il ne
s’en sépara qu’à l’âge de 0 ans, époque à laquelle il
alla à Pavie pour achever, à l'Université de cette ville,
ses études et recevoirses grades. Ce fut dans cette célèbre
institution que Jérôme Cardan acquit les premières no-
tions des mathématiques, sciences dans lesquelles il de-
vait plus tard illustrer son nom. Il fut bientôt à même
d'expliquer Euclide, et dans la suite:il professa succes-
sivement la médecine et les mathématiques à Pavie, à
Bologre, à Milan et à Rome. Cardan était doué d'un
génie fertile et d’une brillante imagination. Si ces heu-
reux dons de la nature lui facilitèrent l'intelligence de
toutes les connaissances humaines, car il fut À la fois, à
un degré remarquable, orateur, naturaliste, géomètre,
médecin, physicien, moraliste et philologue, ils contri-
buèrent aussi à égarer quelquefois sa raison , en le jetant
dans des travers et des contradictions inexplicables.
Ainsi, il cultiva avec une incroyable ardeur , et défen-
dit avec un fanatisme aveugle les vaines pratiques de
lastrologie judiciaire; erreur à laquelle la plupart des
savans de son siècle ont au reste payé un large tribut,
Mais Cardan exagéra même les folies que l'astrologie a
pu suggérer à des hommes beaucoup moins familiers que
lui avec les vérités de la science. Il avait tracé plusieurs
fois, et toujours inutilement, comme cela devait être,
l’horoscope de sa mort, et il eut le courage d'attribuer
publiquement la fausseté de ses prédictions, non à l’in-
certitude de l’art, mais à l'ignorance de l'artiste. Car-
dan avait si bien réussi, sous ce rapport, à établir sa ré-
putation, que le bruit se répandit, après lui, qu’il s'était
laissé mourir de faim à l’âge de 75 ans, pour ne pas faire
mentir sa dernière prédiction, ou plutôt pour éviter la
honte ou les railleries que ce nouvel essai de son art
mensonger devait attirer sur lui. Enfin, Cardan a publié
deux traités sous ces titres : De subtilitate et De rerum
varietale, où sont consignées toutes les extravagances que
l'astrologie inspira à cette imagination vive et exaltée.
Ces traités, dit un de ses biographes, embrassent l'en-
semble de sa physique, de sa métaphysique et de

272 CA

ses connaissances en histoire naturelle, et peuvent pa-
raitre curieux à ceux qui aiment à voir dans quelles
erreurs s'est promené l'esprit humain. Jules Scaliger
s'attacha particulièrement à réfuter le traité De subtili-
tate avec l’urbanité et la modération, dont ce célèbre
critique avait coutume d’'user envers les malheureux
auteurs des livres qui avaient pu exciter son irritabilité
pédantesque : il se vanta d’avoir tué à la fois Cardan et
son livre par la vivacité et la force de sa critique. Au
reste, la vie agitée de Cardan a trouvé en lui-même un
juge plus sévère que celui qu’auraient pu inspirer la
haine et les passions des nombreux ennemis que son
caractère lui avait attirés. Dans celui de ses ouvrages
intitulé : De vita propria, et qu'on peut regarder
comme des Mémoires d'une irréprochable authenticité,
il a dépassé, en parlant de ses vices, toute la hardiesse de
la calonnie. Il nous apprend dans ce livre, ajoute son
biographe, que dans le monde il ne savait dire que ce
qui devait déplaire à ceux qui l’entouraient, et qu’il
persévérait dans cette mauvaise disposition, quoiqu'il
en vit les effets; qu’il recherchait les souffrances phy-
siques, parce qu’elles le préservaient des orages qui
s’élevaient fréquemment dans son esprit en proie à une
sombre mélancolie; qu'il se procurait lui-même des
sensations douloureuses dans cette vue , et pour jouir de
la volupté qu'il éprouvait à leur cessation ; enfin, qu'il
employait aussi ce moyen comme un remède ou comme
un palliatif dans les grandes afflictions morales. Nous
abrégeons ces tristes aveux d’un homme de génie lut-
tant avec un inconcevable cynisme contre des souvenirs
qui, sans doute, venaient troubler sa vieillesse. De
grandes infortunes l'avaient déjà puni de ses erreurs et
de ses vices, dans tout ce que l’homme a de plus cher
et de plus doux sur cette terre, les affections de famille.
Son fils aîné, Jean-Baptiste Cardan, jeune homme de
26 ans, qui s'était déjà acquis de la réputation dans la
médecine, fut convaincu d’avoir empoisonné sa femme,
et eut la tête tranchée à Milan. Les désordres de son
second fils n’eurent pas un résultat aussi funeste, mais
causèrent à ce malheureux père d’inexprimables cha-
grins qui peut-être troublèrent sa raison et lui occa-
_sionnèrent des accès de folie. C’est ainsi qu'ont pensé
de lui lillustre Leibnitz et Naudé, et c’est sous ce rap-
- port seulement que Cardan peut être jugé avec quelque
indulgence.

Tel fut l'homme cependant qui a conservé des
titres réels à la gloire et à la reconnaissance des savans,
quoique ses découvertes en mathématiques se rattachent
encore à une conduite peu délicate et peu scrupuleuse
de sa part, si l'on doit ajouter foi à l'opinion que ses
contemporains en ont manifestée. Cardan était depuis
long-temps étroitement lié avec Nicola Tartalea ou Tar-
taglia de Brescia, mathématicien, que son savoir ct ses

CA

productions avaient déjà rendu célèbre. L'algèbre était
une connaissance pour ainsi dire au berceau, et qui,
depuis son introduction en Europe, n'avait guére été
cultivée qu’en Italie. A l'époque où vivaient Cardan et
Tartalea, les recherches dont cette science était l’objet
excitaient une vive émulation entre les mathématiciens
de ce pays. On était alors dans l'usage de proposer et
d'accepter des défis publics dans les sciences aussi bien que
dans les arts, etlesgraves géomètres, cornme les musiciens
et les peintres, allaient de ville en ville exposer leurs
découvertes et leurs talens devant les curieux, qui se
réunissaient dans les églises, où l’on jugceait du mérite
de ces rivaux de gloire et de savoir : c’étaient les temps
chevaleresques de la science. fl paraît que Tartalea avait
triomphé plusieurs fois dans de semblables défis, au
moyen de la résolution des équations du troisième de-
gré. Cardan conçut, dit-on, le vif désir de conuaiître la
méthode qu'emplovait son ami pour obtenir an résultat
si important et si inutilement cherché par les géomètres.
Comme ses premières sollicitations avaient été inutiles,
et que Tartalea avait besoin de la protection d’un grand,
suivant l’usage du temps, Cardan employa, pour déci-
der son ami à se rendre à ses désirs, une étrange super-
cherie, Il lui fit savoir que le marquis del Vasto dési-
rait faire sa connaissance, et s’entretenir avec lui de sa
découverte. Tartalca se rendit avec empressement à
cette invitation; mais Cardan se trouva seul dans l'hôtel
du marquis, où le rendez-vous avait été'indiqué. Ce fat
ainsi que ce dernier, après de vives instances, obtint,
sous la foi du secret et du serment , la communication
des méthodes de Tartalea.

Telle serait, suivant les partisans de Tartalea , la vé-
rité sur la découverte de la résolution des équations du
troisième degré, attribuée à Cardan , qui la publia peu
d’années après dans son 4rs magna. Mais selon Cardan,
il n'aurait point ainsi violé la foi de sa promesse, ni
trahi la confiance de Tartalea, dont il n'aurait reçu que
la formule du procédé de la solution, tandis que seul il
avaittrouvé la démonstration. Quant à la formule même,
Cardan soutenait que la première découverte n’appar-
tenait ni à lui ni à Tartalea, mais à Scipion Ferrco,
mathématicien bolonais. La publication de l'4rs magna
exata les vives plaintes de Tartalea : il reprocha amère-
meut sa conduite à Cardan, et publia leur correspon-
dance pour prouver sa duplicité. Il proposa aussi à son
ancien ami, maintenant son adversaire et son ennemi,
la solution de plusieurs problèmes , et l'on doit conve-
nir que l'honneur de la lutte ne demeura pas à Cardan.

Quoi qu'il en soit, Jérome Cardan est, en résultat, le
premier qui ait publié la méthode de résolution des
équations du troisième degré, et celui à qui est restée la
gloire de cette découverte. On donne encore aujourd’hui
à cette méthode le nom de formule de Cardan. West

CA

enfin beaucoup mieux établi encore que Cardan décou-
vrit plusieurs cas nouveaux dont nous allons parler, et
qui, d’après l'aveu de Tartalea, n'étaient pas compris
dans la règle qu’il avait donnée.

On doit en effet à Cardan la remarque de la limi-
tation du cas irréductible, cas particulier des équations
cubiques , qui est celui où il arrive que l'extraction de
la racine carrée, qui entre dans la formule, n’est pas pos-
sible. Il est également le premiér qui ait aperçu la mul-
tiplicité des valeurs de l’inconnue dans les équations,
et leur distinction en positives et négatives. Mais il ne
paraît pas qu'il ait reconnu l’usage de ces racines néga-
tives, découverte cependant qui, avec celle de Viète,
a servi de fondement à celles d'Harriot et de Descartes
sur l'analyse des équations. Si l’on ajoute à l’exposition
de ces importans travaux, que la résolution des équa-
tions du quatrième degré a été l'ouvrage, non contesté,
de Louis Ferrari, disciple de Cardan, on re saurait
refuser à cet homme extraordinaire, malgré les récri-
minations de Tartalea, une grande part dans ces pro-
grès de l'algèbre. ( J’oyez Ferranr. ) Telle est l'opinion
du savant Cossali, dans son Histoire de l'algèbre en
Jialie ( Origine e trasporto in Ttalia del algebra, 1.11),
qui ayant eu à sa disposition les plus anciens manuscrits
italiens, ajoute qu’on peut revendiquer en faveur de
-Cardan la méthode de l'application de l'algèbre aux pro-
blèmes de géométrie déterminés. Il y a sans doute quel-
que exagération dans ce jugement de Cossali, car cette
découverte est justement et généralement attribuée à
‘notre célèbre Viète.

On croit communément que Jérôme Cardan mourut
VA Rome en 1575, quoiqu'il y ait quelque incertitude
sur la date précise de cet événement. Nous nous croyons
‘dispensés de donner ici la liste deses nombreux ouvrages,
qui ont tous été réunis et publiés par Charles Spon , sous
ce titre : Hieronymi Cardani opera. Lyon, 1663, 10 vol.
fin-folio.

CARDINAUX ( Astr. ). On a donné ce nom aux
quatre points les plus diamétralement opposés de l'ho-
rizon, l’est et l’ouest, le nord et le sud. Les points car-
dinaux du zodiaque sont les premiers degrés des signes
où l'entrée apparente du soleil détermine les saisons,
c’est-à-dire le Bélier, le Cancer, la Balance et le Capri-
corne. «

CARNOT ( Lazare-Nicozas-MarGUERITE ), mathé-
maticien célèbre, général, membre de l'Institut et de
la Légion-d’'Honneur, naquit à Nolay en Bourgogne,
le.10 mai 1753. L'illustration de Carnot appartient à la
science et à l’histoire moderne; les grands événemens
dans lesquels il a figuré sont encore jugés en France
avec trop de passions, pour qu’il nous soit convenable
d'apprécier, sous ce dernier point de vue, une vie si
pleine de nobles actious et d'erreurs déplorables, C’est

CA 275

du savant seul que nous avons à nous occuper. La fa-
mille de Carnot occupait dans le morale une position
recommandable, elle avait déjà fourni à la France des
officiers de mérite et des jurisconsultes distingués. Il fit
d'excellentes études, et manifesta de bonne heure le
goût qui l’entraiîna vers celles des mathématiques. En
17971, Carnot entra au service dans l'arme du génie.
En 1780, il n’était encore parvenu qu'au grade de ca-
pitaine, quoique son Éloge de Fauban eût été cou-
ronné par l’Académie de Dijon, et que son Essai sur
les mathématiques eût obtenu un grand succès. En 1797,
le département du Pas-de-Calais, où résidait le corps
dans lequel il servait, le nomma député à l'Assemblée
législative. Dès ce moment sa vie fut entièrement con-
sacrée aux triomphes des opinions politiques qu'il avait
embrassées. On sait qu’il occupa les plus hautes dignités
de l'État dans ces temps désastreux, où la France se
souvient avec reconnaissance qu'il organisa en peu de
mois ses nombreuses armées. Lorsque Napoléon parvint
à la couronne, Carnot résigna les fonctions de ministre
de la guerre qu’il occupait, et se livra dans la retraite
aux travaux qui avaient honoré sa jeunesse. Il publia,
en 1808, son traité si remarquable De la défense des
places fortes. Cet ouvrage le rappela à Napoléon, qui lui
fit offrir les brillans avantages auxquels il avait renoncé.
Carnot vivait alors dans un état voisin de l'indigence,
lui qui avait un moment présidé aux destinées politiques
de la Nation française. Il eut le courage de sacrifier
ces avantages à ses principes, et il demeura dans la
retraite. Mais en 1813, à la suite des désastres qui frap-
pèrent alors son pays, il offrit spontanément son épée
à l'empereur, qui accepta le dévouement de cet homme
antique. Il s’enferma dans Anvers qu’il défendit jusqu’à
l’époque où une nouvelle révolution changea en France
la forme du gouvernement. Il s’acquit pendant ce siège
mémorable qu'il soutint, une renommée digne de ses
talens et de son caractère. Après les Cent-Jours, Carnot
qui était un moment rentré au pouvoir, dans des espé-à
rances qui ne devaient point se réaliser, fut compris $:
dans une liste de personnes que le gouvernement des,
Bourbons crut devoir éloigner de la France. Il fixa d
sa résidence à Magdebourg, où il reprit ses travaux :
scientifiques, et continua à vivre dans la solitude. Il
mourut en 1823 avec le calme d’une âme pure et chré-
tienne, si l’on doit s’en rapporter aux journaux du‘
temps; digne de respect pour les travaux dont il a en-
richi la science, et du regret de toutes les âmes élevées,
pour des erreurs vers lesquelles du moins ne l'entrainè-
rent jamais les calculs d’un vil intérêt.

Ses meilleurs écrits sont : I. Traité de la défense des
places fortes, 1 vol in-4°, avec planches; 3° édition;
1819. IL. Mémoire sur la fortification primitive, pour
servir de suite au Traité sur la défense des places fortes,

LP]

974 È ‘A

in-4°, fig, 1823. IT. Géométrie de position, in-4°,
1803. [V. Mémoire sur la relation qui existe entre les
distances respectives de cinq points quelconques pris
dans l'espace; suivi d'un Essai sur la théorie des trans-
versales, in-4°, 1806. V. De la corrélation des figures
de géométrie, an 1x, in-8°. VI. Réflexions sur la méta-
plysique du calcul infinitésimal, in-8°, fig., 2° édition,
1813. VII. Principes de l'équilibre et du mouvement,
-in-8°, 1803.

CARRÉ (Louis), savant mathématicien, naquit en
1663, le 26 juillet, à Clofontaine, près de Nangis en
Brie. Son père était un honnête et pauvre laboureur de
ce village, qui le fit étudier pour qu'il pût embrasser
l'état ecclésiastique. Mais il ne crut pas avoir la voca-
tion nécessaire, et ce fut par obéissance qu’il suivit du-
rant trois années un cours dethéologie. A cette époque,
comme il refusa d'entrer dans les ordres, et que d’ail-
leurs son père ne pouvait plus lui fournir l'argent qui
lui était nécessaire pour continuer ses études et pour
subsister à Paris, il tomba dans l’'indigence ; mais il fut
assez heureux, dans son infortune, pour trouver un
asile chez l’illustre père Mallebranche, dont il devint je
copiste. Ce fut sous ce grand maître que Louis Carré
apprit les mathématiques, et qu'il fut initié à une phi-
losophie bien supérieure à l’obscure métaphysique de
l’école. L'histoire de sa vie est tout entière dans le culte
qu'il voua à ces deux sciences ; il fut bientôt assez fort
pour acquérir son indépendance en donnant des leçons
de mathématiques et de philosophie. Il affectionnait
particulièrement cette dernière science, et ik eut surtout
pour disciples beaucoup de femmes et des religieuses.
Cette circonstance a inspiré à Fontenelle des réflexions
qui rendent intéressant l’éloge qu'il a fait de Carré,
document auquel nous renvoyons le lecteur. Il continua
ses études mathématiques sous Varignon, qui le mit
au nombre de ses élèves pour l’Académie, Carré ne
tarda pas à faire honneur à un tel maître; il publia un
ouvrage sur le calcul intégral, qui eut beaucoup de suc-
cès, malgré les imperfections et les erreurs qu'il con-
tient, erreurs qu’il rceonnut ct corrigea dans la suite.
Reçu, en 1697, membre de l’Académie des sciences,
il fournit plusieurs mémoires à la collection de cette
illustre compagnie, entre autres un Abrégée d’un traité
sur la théorie générale du son, sur les différens accords
de lamusique, et sur Le monochorde. I donna également
un grand nombre d’articles au Journal des savans. Carré
avait toujours été d’une santé faible et délicate , il mou-
rut à Paris le 11 avril 1755, avant d’avoir pu achever
un travail dont l'abbé Bignon l'avait chargé, sur les
instrumens de musique les plus usités en France. Son
ouvrage le plus important est intitulé : Aéthode pour
la mesure des surfaces, la dimension des solides, leurs

centres de pesanteur, de percussion, d'oscillation, par

D CE ré tm—

CA

l'application du caleul intégral. Paris, 17005 == 9° édi-
tion, 1710, in-4°.

CARTE (Géographie Mathém. ). Figure plane qui
représente la terre ou une de ses parties.

L'invention des cartes géographiques est attribuée à |
Anaximandre, qui le premier, dit-on, exposa aux
veux des Grecs le tableau de la Grèce et des pays et des
mers que fréquentaient les voyageurs de cette nation.
Depuis cette époque la construction des cartes est deve-
nue l’une des parties les plus importantes de la géogra-
phie mathématique. La surface de la terre étant courbe,
une carte ne peut représenter avec exactitude que
des parties très-bornées de cette surface; car lors-
qu'il s’agit de parties considérables la carte n’est plus
qu'une projection faite suivant certaines lois de la per-
spective. F’oyez ProjEcrioN.

Les cartes sont universelles ou particulières. Les
cartes universelles représentent toute la surface de la
terre, où seulement la surface d’un hémisphère. On les
nomme particulièrement m#appemondes.( Voyez Mavre-
monpe.) Les cartes particulières représentent quelques
parties déterminées de la terre.

Ces deux espèces de cartes sont souvent désignées
sous le nom de cartes géographiques ou cartes terrestres
pour les distinguer des cartes hydrographiques ou ma-
rines dans lesquelles on ne représente que la mer, ses
îles et ses côtes. Voyez Hynrocrapuie.

On distingue encore les cartes topographiques qui
représentent de petites parties de la terre. Voyez Toro-
GRAPHIE et LEVÉE DES PLANS ;

Les cartes célestes qui représentent la position des
étoiles fixes, telles que nos planches IX et X 3.

Les cartes sélénographiques qui contiennent la des-
cription ou les apparences soit de la lune entière soit de
quelques-unes de ses parties. La planche XVIII ren-
ferme une carte générale et sélénographique. Foyes
Jig. 3 et Lune.

La théorie et la pratique de la construction de toutes
ces sortes de cartes seront données aux mots PERSPECTIVE
et PROJECTION DE LA SPRÈRE ; voyez aussi les mots R£-
DUCTION ET TERRE.

CAS IRRÉDUCTIBLE (4/g.). C’est celui où les trois
racines d’une équation du troisième degré sont réelles
et inégales. Les expressions générales des racines don-
nées par la formule dite de Cardan se présentent alors
compliquées de radicaux imaginaires qu’il est impos-
sible de faire disparaître, à moins de les développer en
séries, et, encore, ces séries sont si rarement COnver<
gentes , que dans la pratique on est forcé d’avoir re-
cours aux méthodes de résolution des équations numé-
riques.

Soit x'+px+g=0o une équation quelconque du

Fr

CA

troisième degré, sans second terme, ses trois racines
sont (a) (Joy. ÉQUATIONS QUBIQUES) :

es V[-24v (EH
HV (HD)

NE (ae
HV (EH)

3.2 [-2+v(e Fun

+V[- VE

- Le
Lorsque les valeurs de pet de g sont telies que Le +
— est une quantité négative, ce qui arrive toutes les
27

3 2
Êe ‘ad alors

4
GBA ue ue ; ;
V ( re) devient imaginaire , et par suite les trois

fois que est négatif et plus grand que

racines le sont également. Par exemple, si l'équation
proposée est

x—7x+6—0.

Comparant avec les formules précédentes, on a p=—7
et 9 =6, d’où l’on obtient pour la première racine

2=V[-54/ + —5—

expression zmaginaire, dont il est po ble de rien
conclure pour la valeur de x. Quant aux deux autres
racines, elles se trouvent doublement compliquées d’i-
maginaires. On prouve cependant avec facilité que dans
ce cas les trois racines sont réelles. En effet, faisons en
général

VISE =
nous aurons, pour la première racine, (b)
5 5
=VAHBV—1] + VB a].

3 3
Or, si l’on développe VIA+BV/—1] et V[A—B\/—1]
par la formule de Newton (voy. BinomE) , on obtient

HV A | 1+3 iv HR

DB?

ds 7 AS V— 1+— 243 Pa ete |

Désignant par M la somme des termes impairs où la
quantité V/—71 ne se trouve pas, et par N la somme
des coefficiens de \/—1, ces deux expressions devien-
nent

[AB —1$ = AMEN —1]
[A—By/—1$ = AM-Ny—1]

dont la somme est

—»A3M 3
quantité réelle.
Ainsi, la première racine est une quantité réelle
dont la valeur est donnée par la série

10 Bi

33 1

3
æ=2Â GIF HE E:5 6

+ ete. |.

Les deux autres racines deviennent

Eu -3

2: SAME AN 1) X —

se PAR K ee
ee 3,
us

Ce qui se réduit, en effectuant les multiplications , à

3, TA M TN VE

. + [ASMAîN Eu

2....%—=—AÎM-+ ASNV/3

Lu :
3....x——AM—ASNy/35.
Ges racines sont donc également réelles.

Il est donc prouvé que lorsque p est négatif et que :
lon à

les trois racines sont réelles, et que malgré la forme
imaginaire sous laquelle elles apparaissent on peut les
développer en séries; mais ces séries, par leur compli-
cation de quantités irrationnelles, n’offrant qu’un moyen
insuffisant pour arriver à l'évaluation des racines, il
faut avoir recours à d’autres procédés (Foy. ArproxI-
MATION , ÉQuarIoNSs, RAGINES CoMMENSURABLES). C’est
ainsi qu’en appliquant la méthode des racines com-
mensurables à l'équation

2x—7x+6=0,

on obtient, pour les trois valeurs de x, =, 425

1

276 En

x—-3; tandis que, par les formules ci-dessus, la plus
simple de ces racines est

100 10000

it

10
243

59049

z=— vs [its +],
série si peu convergente ; qu'un très-grand nombre de
termes ne peut faire soupçonner sa véritable valeur.

La difficulté du cas irréductible se présenta bientôt à
Cardan, lorsque Tartalea lui eut communiqué sa mé-
thode pour résoudre les équations cubiques. Dans une
lettre adressée à ce dernier le 4 août 1539, Cardan lui
annonce que la méthode est en défaut pour l'équation
x—o9x— 10 —0, et demande des explications à ce su-
jet. Dans sa réponse, loin d'aborder la question, Tar-
talea s'étend en récriminations sur la conduite de Car-
dan, qui allait à cette époque rendre public ce qui lui
avait été confié sous le secret ; il se contente de lui dire
qu'il n’a pas su employer la formule ; et qu’elle est ri-
goureuse dans tous les cas. Mais Tartalea n’était pas ca-
pable de lever une difficulté demeurée insurmontable
aux plus grands géomètres.

L'emploi des fonctions trigonométriques fait dispa-
raître les quantités imaginaires des racines (a) dans le

cas irréductible ; et ces fonctions présentent ainsi le

moyen le plus prompt et le plus direct pour résoudre
les équations du troisième degré. C’est ce que nous al-
lons développer : reprenons la racine (b)

PNA TEE LAS),

à la quantité

et remarquons que nous pouvons donner
A+By —1 la forme (c)
_—_. A a
VAT VA+B'VA+FE

ce qui est évident.

vi} :

Mais A et B étant des quantités réelles, |/A°ÆB7 est
; A
plus grand que À; et, par conséquent, Var
B
VA +B.
A 1 :
VAR est le cosinus

d’un arc inconnu z, puisqu'en prenant le rayon pour

plus petit que l'unité. Il en est de même de

On peut donc supposer que

unité, les cosinus peuvent avoir toutes les valeurs com-
prises entre o et 1. Or, de l'égalité

\

COST = —

V'A+B

on tire
sine — VAT A?
in?z = 1 — 05 PRIT: :
ou Z£ D #1

sin?z — pee
“A+:
et enfin
B
SZ = — = ——
VA +B:
L'expression (c) devient donc
VB" |cosz+ sinzl/—1], 3

et l’on a conséquemment

3 Gé =

VIA+By —1] = VA +B [cosz-sinzy/—1},
On obtiendrait de même
3 6

VIA+ByV —1]= VASHB[cosz—sinz|/—1 8.

Ces valeurs substituées dans (2) donnent (4)

GC} ——
T= 2V/AHB.cosiz,
en observant que (voy. Sinus)

+

(cosz

sinz/—1)

Pour rapporter cette dernière valeur de x aux racines

(a), nous avons

A7
2

ser (45]

p°

L
étant négatif et plus grand que ee dans la dernière
4

égalité. Or,

nous avons donc

Substituaut ces valeurs de À et de B dans (d), nous
obtiendrons définitivement (e)

T—=2 cosiz.V/P.
3

L’arc z étant donné par la relation (f)

Telle est donc l'expression générale et réelle d’une des
racines de l’équation

T'—pr+q=e
p°

lorsque À ; C'est-à-dire dans le cas irréductible.

CA

Les deux autres racines se produisent également sous
une forme à la fois réelle et finie; mais sans entrer dans
des calculs qui du reste n’offrent aucune difficulté, con-
tentons-nous de faire observer que la formule (e) ren-
ferme déja implicitement les trois racines par les va-
leurs différentes de z, que donne la relation (f). En
effet, » étant la demi-circonférence du cercle dont le
rayon est 1, les arcs z, 252, 442, Go+z, etc.
tous le même cosinus (voy. Sinus). Ainsi, on peut

., ont

prendre indifféremment le tiers d’un de ces arcs pour
le substituer dans (a); mais, à cause de la périodicité
des valeurs des sinus et des cosinus, il n’y a que les trois
arcs

2p+F

É kHz
38 3 Siroil

qui donnent des valeurs différentes pour leurs cosinus,
tous les autres se réduisent à ces trois derniers. Or,

2 360° +2 _
3 nn 100 °HLz
et
z _720°—Lz :
He = <+— = = 240°—2z.

Les trois valeurs de x, ou les trois racines de l’équation
a—px+q=0 sont donc

VE

1....4—2C0S
2e. #22 cos (120° + 12) /À

Dee L—2 cos (240° +32) À

Appliquons ces formules à l'équation x—5x4+6—0,
nous avons p—7, g—6, et par conséquent

ha 18.V3
TARN

Pour ne pas tenir compte du signe —, rappelons-nous
que

COST —

— cosz — cos(180°+:),

et nous aurons
cos (180°Æz) — ne

Opérant par logarithmes, nous trouverons
log cos(180°+2) = 9,92515607.
D'où
180° + z — 32° 4o' 41",
et par conséquent

32=—147° 19"

CA HT

dont le tiers est 3z2=—— 49° 6’ 27"; l'arc 3z étant néga-
tif, nous avons

COS (120427) = cos (120°=/09° 6' 27") — cos (70° 5333"
cos (2404-52) = cos(240°—49° 6 27")— cos (190°53'33").

Le cosinus d’un arc négatif étant le même que si l’arc
était positif, les trois racines cherchées sont donc

ee 7
OO 2.
De cos( 70°53' 33”)
Do D 2 Ver cos (190° 53° 33”).

La dernière racine est négative et se réduit à

3... — 2 | / 2. cos (10° 53 337)

à cause de la propriété générale, cos (180° + ) = —co
Réalisant les calculs nous trouverons

cos( 49° 627")

2....T—=2

Log 7 — 0,8450980
Log 3 — 0,4771212

7
Log /2
Log 2 = 0,3010300

Log 2 v72 = 0,4850184.

Première racine

Log 2 A: —= 0,4850184

Log cos (49° 6° 27") — 9,8160116

0,36:9768

= 0,1839884

0,3010300 — Log 2.

Seconde racine

Log» \/ 1

Log cos (70° 53° 33") — 9,5149816

— 0,4850184

0,0000000 = Log. 1.

Troisième racine

Log 2 173 = 0,4850184

Log cos (10° 53° 33") — 9,9921028

0,4771212 = Log 3.

Les racines de x? — 7x + 6 — 0, sont doncæx = 3,
Lx, Z=— 3.

On peut encore se servir des fonctions circulaires ou

278 CA

trigonométriques dans tous les cas des équations du
troisième degré. Voyez RÉésorurion.

CASSINI (Jeanx-Dommique). Les grands hommes
appartiennent, comme la science, à l'humanité tout
entière. Cependant la France revendique avec quelque
raison le célèbre, ingénieux et savant astronome dont
nous allons rapidement esquisser la vie et exposer Les
travaux. Le roi Louis XIV eut assez d'influence pour
l'enlever à Pitalie, et assez d'amour de la véritable
gloire pour le fixer dans le royaume par des honneurs et
de justes récompenses. La France est devenue sa seconde
patrie. Les travaux qui lui ont acquis le plus de gloire
ont été achevés dans son seiu, et entrepris pour elle.
Enfin, il a laissé des enfans qui ont dignement porté son
nom, et accepté pour eux l'honorable adoption dont
leur père avait été l’objet.

Cassini naquit le 8 juin 1625, à Perinaldo, dans le comté
de Nice. Son pére, gentilhomme italien , sé nommait
Jacopo Cassini, et sa mère Julia Crovesi. La fortune deses
parens lui permit de recevoir une éducation distinguée,
sous un habile professeur, qui fut dès son enfance atta-
ché à sa personne. Il alla achever ses études à Gênes,
chez les Jésuites de cette ville, où il ne tarda pas à se
disüinguer. Ses premières dispositions le portèrent vers
les lettres, pour lesquelles il manifesta un goût très-vif.
Il composa un assez grand nombre de poésies latines qui
ont été imprimées en 1646, avec celles de ses maitres,
dans un recueil in-folio.

Ce fut, diton, le hasard qui décida son penchant
pour l'astronomie, et le fit entrer dans la glorieuse car-
rière où nous allons suivre ses pas. Voici comment lil-
lustre et spirituel auteur de léloge académique de
Cassini raconte cette circonstance intéressante de sa vie :
« Il fit une étroite liaison d'amitié avec M. Lercaro, qui
fut depuis doge de la république de Gênes. I était allé
avec lui à une de ses terres, lorsqu'un ecclésiastique lui
prêta, pour l’amuser, quelques livres d’astrologie judi-
ciaire. Sa curiosité en fut frappée, et il en fit un extrait
pour son usage. L'instinct naturel qui le portait à la con-
naissance des astres se méprenait alors, et ne démélait
pas encore l’astronomis d'avec l'astrologie. Il alla jusqu’à
faire quelques essais de prédictions qui lui réussirent.
Mais cela même qui aurait plongé un autre dans l’er-
reur lui fut suspect. Il sentit, par la droiture de son
esprit, que cet art de prédire ne pouvait être que chi-
mérique, etil craignit, par délicatesse de religion , que
les succès ne fassent la punition de ceux qui sy appli-
quaieut. Au travers du frivole et du ridicule de l’astro-
logie, il avait aperçu les charmes solides de l’astro-
uomie, et en avait été vivement touché,» Ce fut dès-lors
que Cassini se livra aux sérieuses études qu’exige cette
science : il y fit de si rapides progrès, que le sénat de
Bologne, sur les pressantes recommandations du mar-

CA

quis Coruelio Malvasio, l'appela en 1650, et quand il
n'était ainsi ägé que de 25 ans, à occuper la chaire de
professeur d'astronomie, vacante à l'Université de cette
ville par Ja mort récente du célèbre Cavalier, auteur
de la méthode des indivisibles. En 1652, le jeune pro-
fesseur observa la marche d’une comète, et tira de ses
observations la juste conséquence, que le mouvement
de ces astres n'était inégal qu'en apparence, et qu’ils
étaient soumis à des lois régulières comme les autres
planètes. Vers la même époque, Cassini résolut un pro-
blème fondamental pour l'astronomie, et qui avait paru
d’une difficulté iuabordable à Képler lui-même et à
Boulliaud. IL détermina géométriquement l'apogée et
l'excentricité d’une planète, les deux intervalles entre
le lieu vrai et le lieu moyen étant donnés. Dès l’année
1653, le génie de Cassini s'appliqua à un objet non
moins essentiel aux progrès de l'astronomie et à la ré-
gularité de ses observations. Il aspirait à éclaircir quel-
ques points difficiles et importans de la théorie du soleil
par des observations d'une exactitude particulière; mais
la méridienne tracée à Bologne par le père Ignazio Dante,
dans l'église de Sainte-Pétrone ou Pétronille, et qui
existait encore à cette époque, était insuffisante pour
arriver au résultat cherché par Cassini. Ce n’était qu’une
ligne qui déclinait quelques degrés du soleil, et que ce
savant avait tracée dans la seule vue d'observer combien
l'équinoxe du printemps s’écartait du 21 mars. L'aup-
mentation qu'on fit, en 1653, aux bâtimens de Sainte-
Pétrone, fut une occasion heureuse pour Cassini de
mettre à exécution l’idée qu'il avait conçue. Il résolut
de tracer une méridienne plus grande et plus exacte
que ceile de Dante. Les dispositions de l'édifice sem-
blaient présenter un obstacle insurmontable à ce projet:
la méridienne devait passer entre deux colonnes, contre
l'une desquelles on devait craindre qu’elle n’allàt frapper.
Les magistrats s'opposèrent d’abord aux vues de Cassini,
pour cette raison et à cause de l'incertitude où l’on étaitde
la réussite de l’entreprise. Mais il parvint à triompher de
leur répugnance et des difficultés plus réelles que présen-
tait cette opération. La nouvelle méridienne de Sainte-
Pétrone , une des plus grandes et des plus exactes qu'on
ait jamais construites, fut terminée en moins de deux ans.
Il invita, par un écrit public, les astronomes de l'Europe
à y venir observer le solstice d'hiver de 1655. « Il disait
dans un style poétique, que la sécheresse des mathé-
matiques ne lui avait pas fait perdre, ajoute Fontenelle
que nous avons cité plus haut, qu'il s'était établi dans un
temple un nouvel oracle d'Apollon ou du Soleil, que l'on
pouvait consulter avec confiance sur toutes les difficultés
d'astronomie.» Le gnomon de Cassini, dont la description
peut intéresser les personnes qui s'occupent de cette
science, était en effet construit de manière à produire

les résultats merveilleux annoncés par son auteur. La

CA

ligne méridienne qu’il traça d’abord, passa entre Îles
deux colonnes, sans éprouver le contact qu’on avait dû
craindre; perpendiculairement au-dessus de cette ligne,
et à la hauteur de 1000 pouces bolonnais (environ 83
pieds de France ), il plaça horizontalement une plaque
de bronze solidement scellée dans la voûte, et percée
d’un trou circulaire qui a précisément un pouce de dia-
mètre. C’est par ce trou que pénétrait le rayon solaire
qui formait tous les jours à midi sur la méridienne
l'image elliptique du soleil. Cette élévation considérable
fait qu’à la variation de 1° en hauteur, répondent quatre
lignes de différence près du solstice d'été, et près de celui
d'hiver deux pouces une ligne ; de sorte que les moindres
inégalités , soit dans la déclinaison, soit dans le diamètre
apparent du soleil, sont extrêmement sensibles. Ce gno-
mon existe toujours , et les révolutions dont l'Italie a été
le théâtre, paraissent avoir respecté ce bel ouvrage de
Cassini, qui n’a pas cessé d’être utile à la science, et qui
fait encore l’ornement de l’église de Sainte-Pétrone.
Nous ne devons pas oublier de dire néanmoins que lors-
qu'après trente ans de séjour en France, Cassini, dans sa
vieillesse, alla revoir sa patrie, il ne manqua pas de visi-
ter son gnomon. Il trouva que le cercle de bronze qui
lui sert de sommet était un peu sorti dela ligne verticale
où il devait être, et que le pavé de marbre sur lequel
était tracée la méridienne s'était un peu affaissé. I] rétablit
les choses dans leur ancien état; et Dominique Gugliclmi
fit de cette opération le sujet d’un livre intitulé : La
meridiana di S. Petronia, revista el retirala per le
osservaziont del S. dom Cassini. ( Bol. in-folio, 1696.)
À l’aide de ce puissant instrument, le jeune professeur
‘d'astronomie apporta à la théorie du soleil des correc-
tions importantes. Il trouva que la déclinaison de léclip-
“tique devait être diminuée d'environ 1° 30”, c’est-à-
‘dire qu’au lieu de 23° 30’ que lui donnaient la plu-
part des astronomes, elle n’était, en 1660, que de 23°
28! 42". Les mêmes observations l’aidèrent à déterminer
T'excentricité , ou la demi-distance des foyers de l'orbite
‘solaire à 1700 parties. Képler l'avait faite, dans ses tables,
‘de 1800, l’axe entier étant de 100000. Il reconnut
lensuite une erreur qu'avait commise Tycho-Brahé, en
fondant les réfractions solaires que jusqu’au 45° d'élé-
lvation. Ses observations prouvèrent que ce phénomène
s'étend jusqu'au zénith. Cassini obtint enfin de ce qu'il
appelait le nouvel oracle d'Apollon, des tables du
soleil plus parfaites, une mesure très-rapprochée de
la parallaxe de cet astre, et une excellente table des
réfractions. Ces suecès éclatans, à une époque où la
science tenait le premier rang dans l'estime des na-
tions, méritèrent à Cassini une brillante réputation.
Mais bientôt la confiance que les magistrats de Bo-
Jogne avaient dans ses connaissances mathématiques ,

le força d'interrompre momentanément ses occupa-

SON à CA 279
tions astronomiques, et le fit descendre, dit Fonte-
nelle, de la région des astres, pour s'appliquer à des
affaires purement terrestres. Les irrégularités et les
inondations fréquentes du Pê occasionnaient entre
Ferrare et Bologne de fréquens différends que le pape
avait à juger, comme souverain de ces deux Etats, qui
se gouvernaient alors séparément par leurs lois munici-
pales. Dans une circonstance de ce genre, la ville de
Bologne envoya le marquis de Tanara comine ambassa-
deur extraordinaire auprès d'Alexandre VIT; mais elle
voulut que ce personnage fût accompagné de Cassini,
qui accepta cette mission. Il la remplit dignement, et
publia un ouvrage savant et remarquable sur le cours du
P6, si changeant et si dangereux. Cet ouvrage éclaircit un
grand nombre de points difficiles, relativement à la na-
vigation de ce fleuve. I fit, en présence des cardinaux de
la congrégation des eaux, quantité d'expériences qui
appartenaient à cette matière, et y apporta cette exacti-
tude dont il avait donné tant de preuves dans ses tra-
vaux astronomiques. Le sénat de Bologne lui donna
alors en récompense la surintendance des eaux de
l'État, fonctions qui le mirent en relation avec plusieurs
dignitaires de V’Église, et firent briller d’un vif éclat
l'esprit dont il était doué. En 1663, dom Mario Chigi,
frère du pape, lui donna la surintendance du fort d’'Ur-
bin, dont il eut à faire réparer les fortifications. Dans
un démélé qu’Alexandre VIT eut avec le grand-duc de
Toscane , relativement aux eaux de la Chiana, Cassini
fut encore chargé des intérêts du Saint-Père, qui, pour
lui témoigner sa satisfaction et l'estime qu’il avait pour
ses talens, lui fit offrir des avantages considérables
s’il voulait embrasser l’état ecclésiastique. Cassini ne
se sentant pas la vocation que sa piété véritable lui
faisait regarder comme indispensable dans cette circon-
stance, refusa d'entrer dans l'Église. Au milieu des occu-
pations nombreuses que ses diverses fonctions lui occa-
sionnaient, Cassini, ajoute Fontenelle, ne laissait pas
de jeter de temps en temps quelques regards vers le ciel.
À la fin de 1664 , il parut une comète qu’il observa à
Rome, dans le palais de Chigi, en présence de la reine
Christine, cette célèbre reine de Suède, qui semblait
avoir abandonné le trône pour les sciences. Il eut la joie
de vérifier dans cette circonstance le système qu’il avañt
précédemment émis sur les mouvemens des comètes, et
de voir se réaliser toutes ses prévisions. Ce fut en 1665,
à Citta della Picde, en Toscane, et dans l’un des inter-
valles que lui laissait la discussion de l'affaire de la Chia-
na , que Cassini reconnut, pour la première fois, avec
quelque certitude, les ombres que les satellites de Jupi-
ter projettent sur le disque de cette planète, lorsqu'ils
passent entre elle et le soleil. Les astronomes avaient
reconnu les taches qui restent fixes à la surface de Jupiter;
mais Cassini sut distinguer les ombres mobiles, occasion-

280 CA
nées par les occultations de ses satellites d'avec ces acci-
dens qui paraissent inhérens à sa masse. Il se servit des
ombres mobiles pour compléter et vérifier la théorie des
mouvemens des satellites qu’il venait de proposer, et ce
fut au moyen des ombres ou des taches fixes qu’il recon-
nut et mesura la rotation de cette planète sur elle-même.
Il fixa son mouvement à 9 h. 56’, mouvement beaucoup
plus rapide que celui de la Terre, qui est cependant près
de quinze cents fois plus petite que Jupiter. Ce fut éga-
lement par l'observation des taches semées à sa surface,
que Cassini put reconnaître la rotation de Mars : il trouva
que son mouvement était de 24 h. 4o'. Cassini avait
aperçu la rotation de Vénus ; mais il n'avait pu la déter-
miuer avec la même précision : il la supposa néanmoins
peu différente de celle de Mars. Des observations ré-
centes ont confirmé ce résultat des recherches de Cassini.
La rotation de Vénus, comme on le sait, s'opère en
23h. 21" à peu près, en effet, comme celles de la Terre
et de Mars.
L'importance et l'utilité réelle des observations astro-
nomiques auxquelles Cassini aimait à se livrer, ne lui
évitèrent pas les obsessions de ses admirateurs, qui ré-
clamèrent trop souvent son intervention pour des objets
étrangers à ses hautes études. Outre les emplois étrau-
gers à l'astronomie qu'il avait déjà, on le chargea de
l'inspection de la forteresse de Perrugia et du pont
Félix que le Tibre menaçait d'abandonner. Il fit cons-
truire divers ouvrages qui prévinrent ce dommage. Lui-
même, d’ailleurs possédé d’un amour général pour les
sciences, se livrait quelquefois à des distractions volou-
taires. Lorsqu'il traitait de l'affaire de la Chiana avec
Viviani, en Toscane, il avait fait sur les insectes un
graud nombre d'observations physiques, que Montal-
bani, auquel il les adressa, fit imprimer dans les ouvrages
d’Aldrovandus. Il eut aussi la curiosité de répéter chez
lui, à Bologne, les expériences, nouvelles alors, de la
transfusion du sang , faites en France et en Angleterre.
La réputation qu'il s'était acquise par l’universalité de
ses connaissances, était telle, enfin, que lorsque, dans ses
voyages de Bologne à Rome, il passait par Florence, le
grand-duc de Toscane et le prince Léopold faisaient
tenir en sa présence les assemblées de l’Académie del
Cimento, persuadés qu’il y laisserait de ses lumières.
En 1668 , Cassini publia les Éphémérides des satellites
de Jupiter, que depuis Galilée on nommait encore, à
cette époque, en Italie, les astres de Médicis. On peut
se faire une idée de la difficulté et de l'importance de ce
travail, si l’on considère quelle multiplicité d’élémens,
qu'il fallait alors déterminer pour la première fois,
durent lui servir de bases. Ces tables, comparées avec
celles du ciel, parurent à tous les astronomes du temps
d’une exactitude que l’observation trouvait plus rigou-
reuse encore que leur auteur ne l'avait pensé, Mais si

CA

l'on compare aujourd'hui ces tables avec celles de De-
lambre, on est encore plus étonné de trouver cette
exactitude si imparfaite, tant les progrès de l’astro-
nomie mathématique, depuis Cassini jusqu’au célèbre
astronome moderne, ont été considérables. u

Nous sommes enfin parvenus à cette époque de la
vie de Cassini où son génie brilla sur une scène immense,
au sein d’une grande nation où alors tous les talens étaient
admirés, récompensés avec éclat, et surtout honorés :
époque glorieuse en effet, pour l’homme célèbre dont
nous esquissons la vie, et pour la France, dont on ne
peut voir aujourd'hui, sans une profonde tristesse, l’in-
différence pour les nobles travaux qui l'ont jadis illus-
trée. Alors la France marchait réellement au-devant
de l'humanité; elle avait une part dans toutes les dé-
couvertes; elle servait de modèle à tous les peuples :
elle était vraiment la grande nation. Aujourd’hui.ses
savans isolés ne révèlent qu'à de rares intervalles l'an-
cienne puissance intellectuelle dont elle était douée.
Tels sont les fruits amers des discordes intestines, et
de ces révolutions fatales où s’use le génie d’un peuple,
que la Providence semble abandonner à son aveugle
présomption.

L'Académie des sciences, fondée à Paris, en 1666,
par ordre de Louis XIV, voulut avoir Cassini pour
correspondant; mais Colbert, le ministre influent de
cette époque, et dont le nom se rattache à cette
grande institution, fit plus encore : il sentit la né-
cessité d'appeler en France le célèbre astronome de
Bologne, honneur qu'il devait partager avec Huy-
gens. Cette affaire fut alors l’objet d’une négociation
diplomatique, qui dura fort long-temps, entre le roi de
France, le pape et le sénat de Bologne. Il fut enfin dé-
cidé que Cassini viendrait en France , mais seulement
durant quelques années , après lesquelles il retournerait
en Italie, où on lui conserva les émolumens des places
qu'il occupait. Ce fut au commencement de 1669 que
Cassini arriva à Paris, où il fut reçu par le roi avec la
distinction qu’il méritait. Il fut vivement touché des
preuves honorables d’empressement et d'admiration
qu’il reçut de toutes parts; et l’on voit que, dès l’année
1673, Colbert lui fit expédier des lettres de grande na-
turalité. Dans la même année, Cassini contracta avec une
Française un mariage qui reçut l'approbation du roi; et
c'est ainsi, dit Fontenelle, que la France faisait
des conquêtes jusque dans l’empire des lettres : con-
quêtes pacifiques , dont la France devait tirer des fruits
plus heureux que de toutes celles qui, sous le même
roi, lui avaient coûté tant de sang.

Jean-Dominique Cassini ne tarda pas à se montrer
digne de l'estime flatteuse dont il était l’objet dans sa nou-
velle patrie; il comprit qu’on atteudait beaucoup delui,
et que pour ue pas tomber au-dessous de sa réputation,

CA
il fallait que ses nouveaux travaux surpassassent l'éclat
des premiers. Le plan de cet ouvrage ne permet pas de
les exposer en détail; nous ne pouvons que mentionner
les plus remarquables de ceux qu’il entreprit, et les dé-
couvertes essentielles dont son génie patient et hardi
enrichit alors la science. Dès 1672, Cassini avait eu assez
d'influence dans le sein de l'Académie pour faire entre-
prendre à des observateurs, envoyés par elle, le voyage
de Cayenne, dont le résultat fut de fixer les idées sur
plusieurs points importans relatifs à la figure de la terre,
en même temps qu'il fit découvrir le décroissement
d'intensité de la pesanteur terrestre, en allant du pôle
vers l'équateur ; phénomène qui offre une confirmation
frappante de la théorie de la gravitation. La fameuse
comète de 1680 fournit à Cassini l’occasion de faire de
nouvelles observations qui confirmèrent la théorie qu'il
avait précédemment exposée sur la marche des corps
célestes. Nous n’avons pas besoin de faire remarquer ici
que cette, théorie, quelque respect qui soit dû à son cé-
lèbre auteur, n’était pas complétement rigoureuse. Son
hypothèse, aujourd'hui modifiée sous plusieurs points,
était du moins la plus'scientifique qui eût été émise jus-
qu’à lui. En 1683, Cassini découvrit la lumière zodia-
cale, cette lueur blanchâtre qui entoure le soleil comme
une lentille aplatie dont il serait le centre, et dont les
bords s'étendent dans le plan de son équateur au-delà
de l’orbe de Vénus. Il en fit connaître la forme avec
exactitude ; et, d’après sa position relativement à l’éclip-
tique , il détermina les circonstances où elle devait s’ob-
server le plus exactement. Ce fut à peu près à la même
époque que Cassini découvrit encore que l’axe de rota-
tion de la terre n’était pas perpendiculaire à l'écliptique,
comme, on l'avait cru jusqu'alors, et que ses positions
successives dans l’espace n'étaient point parallèles entre
elles : phénomène important, et qui n’avait point encore
êté observé dans le système du monde. Les lois de ces
mouvemens, qu'il assigna avec autant d'élégance que
d’exactitude, doivent être mises au rang de ses plus belles
découvertes. Huygens n'avait encore aperçu qu’un seul
satellite de Saturne, en 1655: c’est le plus gros de tous,
et le sixième dans l’ordre des distances. En 1671, Cas-
sini avait vu le septième, et en 1672 le cinquième; en
mars 10684, il découvrit le troisième et le quatrième; ce
qui portait à cinq le nombre des satellites de cette pla-
nète. On crut qu'il n’était plus possible d’en reconnaître
d’autres. Une médaille fut frappée à cette occasion, avec
cette légende : Saturni satellites primum cognité. Cela
fait dire à Fontenelle, dans l'éloge de Cassini, que ce
grand astronome mit alors la dernière main au monde
de Saturne. Les conquêtes de l'astronomie ont depuis
fait justice de cette exagération poétique, et l’on sait
que le célèbre Herschell découvrit, en 1789, le deuxième,
et ensuite le premier satellite, Er 1687, Cassini donna à

CA 281

l’Académie des recherches sur le calendrier indien, dont
il avait retrouvé les fondemens dans la méthode empi-
rique en usage à Siam, ét qu'avait rapportée de ée pays
l'ambassadeur du roi, de La Loubère. En 1693, il publia
de nouvelles tables des satellites de Jupiter, plus exactes
que celles de 1667. Picard avait commencé, en 1669,;une
méridienne qui devait être la 45° partie de la circonfé- ;°
rence terrestre; elle avait été continuée par de La Hire, ,
au nord de Paris, en 1680; elle fut poussée, en 1920, par
Cassini, jusqu'à l'extrémité du Roussillon. C’est cette
même ligne qui fut mesurée de nouveau, quarante ans
après, par un autre Cassini et jar La Caille, et enfin
une dernière fois par Delambre et Méchain. Mais l'il-
lustre auteur de l'éloge de Dominique Cassini n’a pas
moins raison de dire que ce grand astronome, seul au-
teur de la méridienne de Bologne, et auteur de la plus
grande partie de celle de la France, a eu la gloire d’at-
tacher son nom aux deux plus beaux monuméns que
l'astronomie pratique ait jamais élevés sur la terre.

Dans la dernière année de sa vie, Cassini perdit la

vue. Ce malheur, qui lui a été commun avec le grand
Galilée, a inspiré à Fontenelle une de ces appréciations
ingénieuses qu’on trouve souvent dans ses écrits et qui
mérite d’être conservée. « Selon l'esprit des fables, dit-il,
ces deux grands hommes qui ont fait tant de découvertes
dans le ciel, ressembleraient à Tirésias, qui devint
aveugle pour avoir vu quelque secret des dieux. »
Cassini mourut à Parisle 14 septembre 1712, sans avoir
éprouvé aucunealtération dans sa santé, sans douleur: il
avait alors quatre-vingt-sept ans et demi. La perte de
ce grand homme fut vivement ressentie. Sa statue en
marbre est aujourd’hui dans les salles de l'Observatoire.
Jean Dominique Cassini était d’une constitution saine et
robuste ; il était doué d’une extrême activité, qui a suffi
aux nombreux emplois qu’il a occupés, aux nombreux
ouvrages qu'il a publiés. Cependant cet homme qui
semble avoir mené une vie si pleine et si agitée, avait
un esprit égal, tranquille, exempt d'inquiétude; il
était d’un commerce agréable, et d’une gaîté que l’af-
fiction dont il fut frappé dans sa vieillesse ne put lui
faire perdre. I devait à la religion et à son austère mo-
ralité ce calme délicieux qui a embelli sa longue exis-
tence. On sentait en lui, ajoute Fontenelle, avec lequel
il avait été long-temps lié, cette candeur et cette sim-
plicité que l’on aime tant dans les grands hommes, et
qui cependant y sont plus communes que chez les autres.
Il communiquait sans peine ses découvertes et ses vues,
au hasard de se les voir enlever, il désirait plus qu’elles
servissent aux progrès de la science qu'à sa propre
gloire. On trouve dans la Bibliographie de Lalande la
nomenclature des ouvrages de Cassini.

CASSINI ( Jacours), astronome et géomètre distin-

gué, fils de Jeau-Dominique Cassini et de Geneviève
36

282 CA

Delaitre, uaquit à Paris en 1677. Comparé à son père
et à son fils, Jacques Cassini ne saurait prétendre à une
part égale dans leur célébrité; mais ses travaux utiles
et importlans n’en méritent pas moins une menlion spé-
ciale , car ils assignent à leur auteur un rang élevé parmi
les hommes qui ont le plus contribué aux progrès de la
science. Dominique Cassini fut le professeur de son fils,
qui, dès l’année 1694, fut reçu membre de l'Académie
des sciences. On conçoit facilement que ce jeune homme
ait dû puiser de bonne heure dans les entretiens des
nombreux savans qui fréquentaient la maison pater-
nelle, des connaissances supérieures qui justifiaient la
faveur dont il était l’objet. Jacques Cassini accompagna
son père en Italie en 1605: il voyagea depuis en Hol-
lande et en Angleterre, pays où il fut accueilli, et où il
eut le bonheur de se lier d'amitié avec des hommes tels
qué Newton, Halley et Flamstead. En 1696, il fut recu
mémbre de la Société royale de Londres. Au retour de
ses voyages, il selivra avec ardeur, dans le sein de l’Aca-
démie, à des travaux qui attestent la multiplicité et
l’éténdue des connaissances qu’il avait acquises. On
trouve en effet dans la collection de ce corps savant un
grand nombre de mémoires de Jacques Cassini sur
divers sujets d'astronomie, d’optique et de physique.
Ce fat en 1717 qu'il acheva, et qu'il présenta à l'Aca-
démie des sciences un travail considérable et important
sur l’iclinaison de l'orbite des satellites et de l’anneau
de Saturne.

Les premiers travaux-astronomiques et géométriques
de Jacques Cassini avaient eu pour objet la mesure d’un
degré du méridien , opération dans laquelle il avait aidé
son père, en 1701, qui avait prolongé cette mesure jus-
qu'au Canigou. En 1718, il en avait seul exécuté Ja
partie septentrionale jusqu’à Dunkerque : il était donc
tout-à-fait compétent dans la discussion que fit naître
alors entre les géomètres le résultat proposé de cette
expérience, qui avait pour but de donner une détermi-
nation plus exacte de la figure de la terre. La mesure
géométrique de la méridienne de Paris, prolongée au
travers de Ja France, avait paru démontrer que le degré,
loin de croître de l'équateur au pôle, allait au contraire
en décroissant. On trouvait que la grandeur moyenne
que donnaient les 6 degrés 3 mesurés au midi de Paris,
était de 57,092 toises ; tandis que celie des degrés me-
surés au nord, n’était que de 56,960. Il résulte de cette
différeuce un accroissement de degré en allant du pêle
à l'équateur, qui est d’environ 30 toises, et l’on devait
en conclure que la terre avait la forme d’un sphéroïde
alongé, et que le rapport de son axe au diamètre de
son équateur était de 96 : 95. Ce résultat était diamé-
tralement opposé à la détermination de la figure de
la terre, donnée par Newton et Huygens. Ces grands
aoms avaient sans doute de l'autorité; mais des opé-

CA

rations faites par les Cassini, Maraldi, La Hire et
d’autres babiles géomètres qui les avaient secondés dans
leurs travaux, n'étaient pas moins concluantes, pas moins
dignes d’attention. On se partagea donc dans la science
pour ou contre laplatissement ou l’alongement de Ja
terre vers les pôles. Ce fut dans ces circonstances que
Jacques Cassini publia son Traité de la grandeur et de
la figure de la terre, Paris, 1720 , in-4°. La publication
de cet ouvrage ne décida point la question, le système
de Newton conserva de nombreux partisans parmi les
géomètres et les philosophes du continent, mais surtout
en Angleterre. Ils objectaient avec raison, contre le ré-
sultat des opérations des deux Cassini, que la figure
alongée de la terre ne pouvait, d’une part, se concilier
avec les lois de la mécanique; et d’autre part, que la
différence des degrés mesurés en France était trop peu
considérable , pour que la mesure füt à l’abri des erreurs
que pouvait produire l’imperfection des instrumens dont
cuseservait. (Voy. Mémorres de l’ Académie pour 1720.)
La discussion continuait encore en 1733, et alors l’Aca-
démie fut chargée par le roi de mesurer la perpendicu-
laire à la méridienne, depuis Brest jusqu’à Strasbourg.
Cassini dirigea ce travail. Accompagné de quelques autres
astronomes de l'Académie, il mesura d’abord, en 1733
et 1734, la partie de cette ligne entre la méridienne de
Paris et la partie la ples occidentale de la Bretagne; il
en fit de même de la partie orientale de cette ligne,
interceptée entre l'observatoire et le méridien de Stras-
bourg. Ces différentes mesures donnèrent encore le
degré de longitude plus court qu’il n'aurait du l'être
dans l'hypothèse newtonienne: elles confirmèrent Cassini
dans son opinion de l’alongement de la terre vers les
pôles. Cette opération nouvelle était cependant moins
concluante et moins susceptible d’exactitude que celle
de la mesure des degrés du méridien : aussi les objections
ne manquèrent-elles pas à ce résultat. Elles portèrent
surtout, et avec raison, sur ces circonstances principales à
Que lorsque les académiciens qui acccompagnaient Cas!
sini arrivèrent à Strasbourg, Jupiter approchant de sa
conjonction, ils se bornèrent, pour en déterminer la
longitude, à faire usage de quelques anciennes observa-
tions dessatellitesde cette planète faites par Eisenschmidt,
et de celles de Picard et de La Hire, dout l'exactitude
était précisément en discussion. On ajoutait que du temps
de ces astronomes, d’ailleurs fort habiles, il n'existait
aucun instrument assez perfectionné pour une opération
aussi délicate : l'horloge à pendule d'Huygens leur était
à peine connue. Ils ne pouvaient donc répondre d’une
erreur d’une demi-minute sur le moment précis de :
l’émersion des satellites. Or, une demi-miuute sur le
temps dans une observation pareille en entraine une de
7' + de longitude; ce qui ferait sur l'arc du parallèle
entre le méridien de Paris et la côte de Bretagne plus

CA

de 5009 toises, Gomme la mesure était prise sur environ
6° +, cette différence donnait pour chaque degré ure
erreur presque certaine de 750 toises, quantité qui
excédait la différence possible d’un degré d'un parallèle
quelconque de même latitude, sur la sphère et sur le
sphéroïde dans les deux hypothèses de l’alongement ou
de l’aplatissement. On sait que l'hypothèse de Cassini
a complétement succombé devant des observations pos-
térieures, et que le système de l’aplatissement de la
terre a été depuis démontré d’une mauière positive.
Nous exposerons ailleurs les principes sur lesquels est
fondée ‘cette détermination précise de la figure de la
terre. Foyez MÉRIDIENNE Ct SPHÉROÏDE.

Jacques Cassini mourut dans sa terre de Thury, le
16 avril 1756, dans sa 50° année. Outre les mémoires
académiques et l'ouvrage que nous avons cité, ses prin-
cipaux écrits sont : I. Élémens d'astronomie. Paris,
1746 in-4°. Cet ouvrage, entrepris sur la demande du
duc de Bourgogne, a depuis été traduit en latin par le
père Hell, professeur à Vienne. IE. Tables astronomiques
du soleil, de la lune, des planètes, des étoiles et des
satellites. Paris, 1740, in-4°.

CASSINI DE THURY ( CésanmÆrancois), géomètre
et astronome, célèbre surtout par ses travaux géodé-
siques, fils de Jacques Cassini, naquit dans la terre dont
al porta le nom, le 17 juin 1714. Son enfance fut confiée
aux soins du savant Maraldi, qui avait été le collabora-
teur et l’ami de son illustre aïeul. Le jeune Cassini se
montra à la fois digne du nom qu’il portait, et des leçons
d’un tel professeur. Il avait à peine 22 ans, quand il fut
reçu à l’Académie des sciences, en qualité de membre
adjoint surnuméraire : il prit dès ce moment une part
très-active à ses travaux. Les recueils si curieux et si
remarquables de cette Société contiennent un grand
nombre de mémoires, rédigés par Cassini de Thury, sur
des questions intéressantes d'astronomie , de géométrie,
et surtout de topographie , science à laquelle il s’est spé-
cialement consacré. On a vu ailleurs (voyéz J.-D. Cas-
sint, J. Cassint, La Carre) les discussions qui s’éle-
vèrent en France parmi les géomètres, dans la première
partie du XVII siècle au sujet de la mesure d’un degré
du méridien et du résultat qu’on prétendait en tirer
pour ja détermination de la figure de la terre. En 1740,
les académiciens chargés de faire au Nord l'opération
qui avait excité en France tant de réclamations, revin-
rent de leur voyage avec une mésure qui, rectifiant le
degré de Picard, ne permettait pas de douter qu’il ne
se fût glissé quelque erreur importanté dans les travaux
de ses continuateurs ; erreur qui avait pour conséquence
de détruire l'hypothèse de D. Cassini. Cassini de Thury
s'étant assuré de la discordance qui existait entre les

opérations faites dans le Nord, et celles faites en

France, entreprit de rectifier les dernières. On sait qu’il

CA 283

fut habilement secondé dans cette entreprise par |le sa-
vant La Caille, et nous avons déjà exposé les résultats
de leurs opérations à l'article biographique consacré à
cet illustre astronome. ( Voyez La Caizre. ) On sait au
reste que toutes ses mesures ont été refaites avec un
nouveau soin, et à l’aide d’instrumens perfectionnés par
Delambre et Méchain, dans les années 1702 à 1799, et
il ne reste plus aucun doute sur la théorie newtonienne
relative à l’aplatissement de la terre vers les pôles.

Cassini de Thury se présentera à la postérité avec un
titre incontestable de gloire : nous voulons parler du
grand travail qui porte le nom de sa famille, et dont le
temps n’a pu encore diminuer fa perfection. Voici com-
ment parle Condorcet, dans l'éloge de Cassini, de cette
belle opération : on avait, dit-il, formé le projet de
faire une description géométrique de la France ; le jeune
Cassini conçut le plan plus étendu de ne pas borner
cette description à la détermination des points des grands
triangles qui devaient embrasser toute Ja surface du
royaume, mais de lever le plan topographique de la
France entière; de déterminer par ce moyen la distance
de tous les lieux à la méridienne de Paris et à la per-
peudiculaire de cette méridienne. Jamais on n'avait
formé en géographie une entreprise plus vaste et d’une
utilité plus générale. Une entreprise si utile, et en même
temps si difficile, exigeait de la part du gouvernement
des secours extraordinaires, et Cassini les obtint. Cepen-
dant, dès l’année 1756 , le gouvernement cessa de don-
ner des fonds, et l’entreprise fut abandonnée aux seules
ressources de son auteur. Alors Cassini forma le plan
d'une compagnie qui se chargerait des avances, et qui,
devenue propriétaire de l'entreprise, retirerait ses fonds
sur la vente des cartes. L'opération se continua sous
cette nouvelle forme avec plus de rapidité et de mé-
thode. Bientôt le gouvernement accorda de nouveau
quelques encouragemens ; différentes provinces même
contribuèrent à la dépense, et Cassini, bien qu’une mort
prématurée l'ait enlevé à la science , a eu la consolation
de voir terminer presque entièrement un travail si
étendu, et d’en devoir à lui-même presque tout le suc-
cès. Cassini mourut de la petite-vérole, le 4 septembre
1754, membre de l'Académie des sciences, maître des
comptes et directeur de l'Observatoire. Son fils, Jacques-
Dominique Cassini, depuis membre de l'Institut, et
comte de l'empire, continua cette belle entreprise. La
Carte de Cassini forme une collection devenue très-
rare , de cent quatre-vingt-deux feuilles.

Ce grand et excellent ouvrage a fait une révolution
dans la géographie, et il méritait de servir de modèle
à tous les travaux qui ont cette science pour objet. Son
exécution est admirable, toutes les mesures s'y rappor-
tent à la méridienne et à la perpendiculaire de f'Obser-
yatoire de Paris ; la projection est celle des cartes plates,

9284 CA

et l'échelle est d’une ligne pour cent toises , c’est-à-dire
86, En réunissant les cent quatre-vingt une feuilles

300°

d’un
dont se compose ce chef-d'œuvre detopographie (la carte
des triangles forme une feuille à part), on établit une
seule carte de trente-trois pieds de long sur trente-
quatre de large. Les autres principaux ouvrages de Cas-
sini de Thury sont : 1. La Mcridienne de l'Observatoire
royal de Paris, vérifiée dans toute l'étendue du royaume,
ete., 1744. IL. Cartes des triangles de la France( en
société avec Maraldi), 1944, in-4°. IT. Addition aux
tables astronomiques de Cassini, 1756, in-4°. IV. Des-
cription géométrique de laterre, 17795, in-4°. Descrip-
tion géométrique de la France, 178%, in-4°, etc.

CASSINOÏDE ( Géom.), nom que l’on donne à la
courbe proposée par Jean-Dominique Cassini, pour re-
présenter l'orbite des planètes. C’est une courbe ellip-
tique, dans laquelle le produit des deux droites tirées
des foyers à la circonférence est une quantité constante,
savoir : le produit des distances aphélie et périhélie de
la planète. Mais, sauf quelques cas particuliers, les
observations astronomiques ne s'accordent pas avec une
telle courbe, et elle n’a pu être admise. On en trouve
la déscription dans les Élémens d'astronomie de Cas-
sini, page 149.

CASSIOPÉE ( Astr.), nom d’une constellation bo-
réale, située près du pôle nord, l’une des 48 formées
par Ptolémée ; elle renferme 55 étoiles principales dans
le catalogue britannique.

En 1572, une nouvelle étoile, surpassant en gran-
deur et en éclat la planète de Jupiter, apparut tout à
coup dans cette constellation; mais elle diminua peu à
peu, et finit par disparaitre entièrement au bout de dix-
huit mois. Un phénomène si extraordinaire ne pouvait
manquer d’appeler l'attention des astronomes de cette
époque, et nous lui devons en eftet plusieurs écrits de
Tycho-Brahé, de Képler, de Maurolycus, etc. Quel-
ques observateurs prétendirent que c'était une comète ;
on alla même jusqu’à prétendre que c'était la même qui
avait paru à la naissance du Christ; mais Tycho-Brahé ré-
futa victorieusement toutes ces assertions dans un grand
ouvrage intitulé : De nova stella anni 1552. On sup-
pose que cette étoile à un mouvement périodique, et
qu’elle était déja apparue en 945 et 1264 : cependant
cette conjecture est encore loin d’être appuyée sur des
preuves satisfaisantes. Voyez ÉroiLes CHANGEANTES.

CASTELLI( Bexoir ), mécanicien célèbre, et regardé
comme le créateur d’une nouvelle partie de l'hydrau-
lique (la mesure des eaux courantes) , naquit à Brescia

-en 1553. Il devint abbé d’un couvent de Bénédictins de
la congrégation du Mont-Cassin. Les hautes fonctious
religieuses dont il était revêtu n’empêchèreut pas le
père Castelli de se livrer avec ardeur à l'étude des ma-
thématiques, qu'il professa avec distinction à l’univer-

CA

sité de Pise, et ensuite au collége de la Saprenza de
Rome. Ce savant prit chaleureusement la défense de
lillustre Galilée, dont il fut un des plus célébres dis-
ciples, à l’occasion des découvertes hydrostatiques ,
qu’on osa disputer à ce grand maître, en 1615. Le pape
Urbain VIT, qui l'avait appelé à Rome pour y profes-
ser les mathématiques, le chargea d'indiquer les moyens
de perfectionner les travaux destinés à contenir les eaux
des fleuves, dont les crues extraordinaires et fréquentes
occasionnent en Italie de graves dommages, et donnent
lieu à de nombreuses contestations. C’est le fruit de ses
recherches et de ses réflexions sur cet objet, qu'il donna
dans son traité intitulé : Della misura dell acque cor-
renti; ouvrage peu considérable par le volume, dit un
historien, mais précieux par la solide et judicieuse doc-
trine qu'il contient. Ce livre, qui parut en 1638, fut tra-
duit en français en 1664. Castelli est avec Torricelli,
dont il fut le professeur de mathématiques, un des dis-
ciples de Galilée auxquels les théories de ce grand homme
doivent leurs premiers accroissemess. 11 mourut à Rome
en 1664. Les autres opuscules publiés par Castelli n’inté-
ressent point spécialement les mathématiques, et sont
d’ailleurs fort au-dessous del’ouvrage que nous avonscité.
CASTOR ( Astr.). Nom de l’une des deux belles
étoiles de la constellation des Gémeaux. Elle estmarquée
« dans les cartes célestes.
CASTRAMETATION (Art de la guerre ). ( De
castrum , camp, ) Art de camper les armées,
CATABIBAZON (Astr.), nœud descendant de la
lune, nommé aussi Queue du Dragon. Voyez Luxe.
CATACAUSTIQUE ( Opt.). Courbes catacaustiques
(de *4ræ, contre, et de xaiw, je brüle). Ce sont de
espèces de courbes
caustiques formées L
de la manière sui-
vante par la réfle-
xion des rayons lu-
mineux : soit un
point lumineux A,
duquel une infinité
de rayons AB, AC,
AD, vont
frapper une courbe
donnée BCDH, et

sont réfléchis en fai-

etc:,,

sant chacun un angle de réflexion égal à celui de leur
incidence. (Voyez Carorrrique. ) La courbe GEI, à la-
quelle les rayons réfléchis, ou les droites BI, CE, DF,
etc., sont toutes tangentes, est la catacaustique, ou la
caustique par réflexion ; c’est-à-dire qu’en supposant une
iufinité de rayons réfléchis infiniment proches les uns des
autres, la courbe se trouve formée par les points de
rencontre de ces rayons.

CA

On donne ie nom de catacaustique à celte courbe,
pour la distinguer de la diacaustique où caustique par
réfraction. F’oyez CAUSTIQUE et DrAcAUSTIQUE.

Si l'on prolonge le rayon réfléchi IB en K, en faisant
BK — AB, et que la courbe KMNL commençant au
point K, soit la développet (voyez ce mot) de la cata-
caustique, commençant au point Ï, une tangente -quel-
conque EM, de cette dernière, sera toujours égale à la
partie correspondante EI de la courbe, plus la droite
IK. Nous avons donc

EI == EM —IK,
ou, ce qui revient au même

EI = EC + CM—IB—BK;,

ce qui peut se mettre sous la forme
EI =(EC—IB) +(AC—AB),

à cause de BK — AB, CM— AC. Ainsi, une partie quel-
conque de ia diacaustique est égale à la différence des
rayons extrêmes réfléchis ajoutée à la différence des
rayons extrêmes incidens.

Lorsque la courbe BCDH est une courbe géométrique,
la catacaustique l’est également, et se trouve toujours
rectifiäblé. La catacaustique du cercle est une cycloïde
ou épicycloïde formée par la révolution d’un cercle sur
un cercle. La catacaustique d’une cycloïde commune,
quand les rayons luruineux sont parallèles à l’axe, est
elle-même une cycloïde commune. Celle de la spirale
logarithmique ‘est aussi une spirale de même nature.
Voyez Causrique.

CATADIOPTRIQUE ( Op&). On se sert de ce mot
pour désigner ce qui appartient à la fois à la catoptrique
et à la dioptrique, ou les appareils d'optique daus les-
quels on fuit usage en même temps de la réfraction et de
la réflexion de la lumière. Foyez Técescore DE n£-
FLEXION. |

CATALOGUE pxs Éroires ( Astr. ), table des posi-
tions des étoiles fixes à une époque donnée.

Pour déterminer la situation d’un point sur le globe
terrestre, on mène de ce point deux cercles imaginaires
dont l’un est supposé passer par les pôles de la terre, et
dont l’autre est parallèle à l'équateur. Le premier se
nomme #néridien, et le second cercle parallèle. Ya po-
sition du méridien est déterminée lorsque sa distance,
mesurée sur l'équateur, à un autre méridien fixe nommé
premier méridien et pris pour point de départ, est con-
nue; de même la position du cercle parallèle est déter-
minée lorsque sa distance à l’équateur mesurée sur le

méridien est aussi connue, La distance du méridien d’un

CA 285
lieu au premier méridien est la longitude du lieu, et
celle du cercle de latitude à l'équateur, ou, ce qui est la
même chose, la distance du lieu à l'équateur, mesurée sur
le méridien, est la latitude. On emploie le même moyen
pour déterminer la situation d’un astre sur la voute cé-
leste ; toutefois on nomme ascension droite ce que nous
nommons longitude sur la terre, et décéinaison ce que
nous nommons latitude. L’ascension droite d’un astre
est donc la distance du méridien de cet asire au premier
méridien céleste ; ce premier méridien, dont le choix est
arbitraire, est ordinairement celui qui passe par le nœud
équinoxial du printemps, ou par l'un des points de con-
cours de l'équateur et de l’écliptique. La déclinaison est
Parc du méridien compris entre l'astre et l'équateur.
Voyez AScENSION DROITE et DÉCLINAISON.

On rapporte encore la position des astres à d’autres
cercles qui sont par rapport à l’écliptique, ce que sont
les méridiens par rapport à l'équateur. Alors la distance
de l’astre à l’écliptique, mesurée sur l'arc d’un grand
cercle qui passe par les pôles de l'écliptique, est la lat.
tude de V'astre , tandis que la distance de ce grand cercle
au point équinoxial, mesurée sur l’écliptique, en est la
longitude. X ne faut donc pas confondre les latitudes et
longitudes célestes, avec les latitudes et longitudes ter-
restres.

Si les étoiles que l'on nomme fixes n’avaient aucune
espèce de mouvement réel ou apparent, lorsqu'une fois
on serait parvenu à déterminer leurs ascensions droites et
déclinaisons , ou leurs latitudes et longitudes, on pour-
rait dresser des catalogues invariablés comme ceux que
nous possédons pour la position géographique des villes
et autres lieux terrestres; il n’en est point ainsi, les
étoiles fixes ont un mouvement apparent sur la sphère
céleste, très-lent à la vérité, et qui ne devient sensible
qu'à de longs intervalles, mais dont linfluence cepen-
dant fait assez variér leurs positions pour qu'il soit essen-
tiel de corriger chaque année les ascensious droites et
déclinaisons données dans les catalogues. f’oyez Pré-
cession et NUTATION.

Le plus ancien catalogue d’étoiles est celui que Prolé-
mée nous a conservé dans son A/mageste ; il renferme
les latitudes et longitudes de 1022 étoiles pour l’année
137 de notre ère, exprimées non en degrés et minutes,
mais en degrés et fractions de degré. En admettant que
les observations aient été bien faites, l'imperfection des
moyens alors employés ne permet de compter sur ces
longitudes qu’à 8 où 10 minutes près.

C'est en comparant ces longitudes avec celles qu'Hip-
parque avait observées 267 ans avant lui, que Ptolémée
vérifia la précession des équimoxes déjà découverte et

annoncée par son illastre prédécesseur,

286

CATALOGUE DE 100 ÉTOILES POUR 1830, D'APRÈS CELUI DE PIAZZI.

; - ASCENSION DROITE MOYENNE ; DÉCLINAISON MOYENNE |
NOMS 1°t janvier 1890 1°f janvier 180. À
1 a — —————
et — > ES DE
Variation Variation Variation
GRANDEURS DES ÉTOILES. | H+ M. S. mtedo De Me: $e ee | More Se he
s.
te he bte mt À RUE) PR ETIEN PSN TEUTS
31 à Andromède 3 47.53 |'29 55 43,7 Br 19.87
27 7 Cassiopée 3 52.97 | 59 47 45,5 B | + 19,65
45 # Baleine 3 44. 99 9 545,2 AN —"18,97
68 ar 3 45 49.24 Hr1g :58 27,5 B | + 17.96
113 « Poissons 6 53 ° 15,6 56918 18 253,2 46,35 1 1 56 24,5 B| + 17.64
= “|
57 y Andromède 2 53 29.4 3,63, 28 22 21,7 54,45 À 41 30 34,0 B | + 17.65
82 à Baleine 3 2 30 4b,7 3,06 | 37 41 3598 £. 45.93 ) 24 55,2: À |j— 15 85
85 Bileine 3 31 20,6 2,89 | 37 50 9.6 45,27 12 55 51,0 À | — 15.85
86 ; Baleine fs) 54 20.8 S'HLNIS 58 37 26,5 46,58 2, 30 52,3 B | + 15,66
3 Eridan 3 48 7,8 2,02, 1242) LA 567 43,76 9 34 40,4 À | — 14,88
235 2 Eridan à A5 GT 2,65 153 46 40,7 435,06 10 20 55:49 Al = Tr,25
25 » Pléiades 3 39:123:3 3,54 | 54 20 47.9 53,13 | 23 34 ne 1 B| + 11,69
34 7 Eridan 5 5o 6,0 2:79 07 31 29.4 41,81 13 59 49. 9 A | —:10. 76
54 y Taureau 3 4 lo 17 3:39 | "62:.381., 54,811 40,85,11.15,-212,, 36,6,B.|, +: 9:94
67 8 Lridan 5 59 29:7 2,99 {174 52 25,2 44,22 5 18 44,4 À | — 5.25
19. igel 1 HA O0 2,88 | 56 35 31.9 45,14 8 24 14,7 À | — 4,65
114 Lièvre 3 25 13.9 2,64 | 8r 18 28,9 39,60 À 17. 57:02 À 3,03
129 5 Taureau 3 27. - 28,7 5,58 | 81 52 9.9 55.65 | 21 To 52 DUB UE En SS
53 Orion 2.5 59 415 2,84 | 84 55 22,8 À 42,60 |. 9 44 7,8 AT 1,7
z Colombe 3: 44 58,t 2,10 | 86.,:14 31,8 31,57 39 50 25,2 A | — 1,91
ARE UE À ; 7 7 . ant // É / p +
34 3 Cocher 2.3 47 3:4 440 | 86 45 51,7 65.97 À 44 55 11,4 B,| +2 1,18
7 à Gémeaux 2.9 6 4 56,6 5,62 | 91. 91185 54,35 À 22 92 52,9 3 | 22 6,40
19 s Gémeaux à) 19 40,2 3,62 | 93,.:10.,,,2:8 54,55. 1 22 95. ,34,7B| — 1,11
15 Gr.-Chien 2,3 13: 4733 2,30 | 95 26 5o,2 34,47 | 29 59 41,8 A+ 1,01
2 2 Gr.-Chien 2.3 25,.12:7 2.64 | 95 48 9,9 39,57 | 17 52 45,7 A | + 1,33
74 1 Gémeaux 20 27 53,0 3,46 | 96 58 15,1 51,93 16 32 15.5 B| — ,243
or: Gr-Chien 5 51 56,6 2,35 [102 59 8,7 35,31 | 28 44 42,8 A | + 4.50
43 >; Gémeaux 3 A ND 3,56 [103 30 18,1 53,43 | 20 48 40,8 B | 4 4.68
à 7 Gr.-Chien 2 56 3,8 2,70 [104 0 56,8 À 40.67 | 15 25 14,1 AT — 4,55
5 d Gr.-Clhien 2 7 ÉLS 9877 2,44 |105 922 ‘9,7 36,54 | 26 7 42,0 A | + 5,31
55 à Gémeaux 3 9 57.6 3,59 [107 29 24.6 53,85 À.22,: 17: 15,7 B | -— 6,02
Fr DR Hs 11 7,6 2,12 |1c7 46 55,7 31,74 50 47 49,0 A | + 6,12
1% Gr.-Chien 2 1929196 2,37 [109 20 24,4 35,55 À 28 58 35,6 A | 4 6,635
5 £ Petit-Chien 5 17 55,2 5,26 liog 28 48,1 À 48,80 | 8 57 55,5 B | — 6,68
5 Navire 2 271230: 2,11 [119 24 7,8 31,62 | 59 51 40,8 A | + 9.84

el

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287
Suite du Catalogue des Étoiles.

ASCENSION DROITE MOYENNE, DÉCLINAISON MOYENNE ;

NOMS

1er janvier 1830. 1e" janvier 1830.

et

Variation
anauelle, D. i- Me : Si

Variation
annuelle,

GRANDEURS DES ÉTOILES. | H+ M:

S. s.

47 < Vierge 3 | 12 53 42,8 | +3,00 45.05 Tir 52 35,2 B | — 19,49

2 y Cont. Hydre 31309 41,7 3,25 48,48 À 22 16 14,0 A | + 719,12
« Centaure 5h13 14, ,4,9 3,36 50,43 À 35 48 41,3 A ++ 19.09
50 £ Gr .-Ourse 2 17 2,9 2,42 36,29 55 48 56.8 B | —

79 #- Vierge 3 26 9,5 3,07 45,99 o 16 39.3 B

8» Bouvier 3 46 35,2 2,86 42,88 19 15 13,9 B

5 4 Centaure 2.3 56 43,1 5.49 52,36 | 35 51 46.9 À

30% Bouvier Bhi435200% 2,85 42,83 14 97 48,7 B

74 Petite-Ourse 3 51 17,5 | —0,29 — 4:29 À 74 50 55:9 B

27 2 Balance 2.5 | 15 7 52,0 3,22 48,27 8 44 55,7 À

y» Loup 3 23 50.8 3,96 1230. 57 41.4 59,55 À 40 355 9,7 À

13 à Serpent 3 26 40,9 2,06 951 40 13,2 42,95 11. 6 5o.9 B
28 8 Serpent 5 38 20,4 2,76..1234 55 5,4 #r,55 À 15 57 421 B
417 Serpent 5 48 56,5 3,74 [237252911446 41,22 16 .:141:%332: B
8£ Scorpion 2 55 54,0 3:47 1238 55 . 29;8 52,04 19: 19. 53,5 À

MT

1 Ophiuchus 3, 1 16 ‘5 26,3 3:13 a4i 21 34.9 + 9.6:
27 8 Hercule 3 22 54,3 2:90 245 43 55.9 — 8,24
135 Ophiuchus 2.5 27 48,3 3,29 246 57 4,3 + 7:82
26 © Scorpion 3 39 10,1 3,87 |249 47 51,3 + 6.92

p1 Scorpion 5 4o 22,2 4,04 125025 33,6 Eu: 6:8
ns ee +
35 n Ophiuchus 2.3 17 a 38,1 3,43 255 9 32,2 51,39 15-301 40,0 À L + 5,13
65 à Hercule 3 8... 2,1 2,46 257 O0 32,1 36.90 25 2 48.6 B|— 4,51
35 à Scorpion 3 22 4,6 4,06 |»60 36° 9:7 66,96 |"36 58° 3,5 À | £ ‘3,30
* Scorpion 3 30 44,0 4,14 [962 41 o,6 62,08 | 58 55 533 A! 4. 2,55
: Scorpion 3 35 41,7 418.263 55 25,6 | 62,78 | 4o 2 58.9 AÏ + 2,12
62 y Ophiuchus 3 39 22,0 3,00 45,04 2 46 46,4 B| -- 1,80
32 ? Dragon 3 50 34.8 1,02 15,50 56. 54 5,2 B | — 0,82
20 { Sagittaire 2.3-1.18 -22,-53,5 3,98 59,74 | 34 27 7,4 A | — 1,13
3 à Petite-Ourse 3 27 5,1 19,17 287.50 86 35 5,7 B 2.36
34 < Sagittaire 2.3 44 43,3 3,72 55,83 26 29 54.9 A | — 3,89
58 ; Sagittaire 3 51: 47,4 3:82 |o83 56 50,5 57,55 | 30 6 49.6 A — 4.4
16 Aigle 3 57 13,1 3:18. |. 84 18 16,6 47.76 5 7 4253 A | — 203
ce r Sa: gittaire 3 59 38,9 3,57 [284.54 43.9.| 55.57 21 27 4.3. A | — 5,6
? Dragon 3 | 19 12 29,1 DIGMERIER 17 16,9 0,34 67 21,.44,6B | + 6,23
UE Aigle 3 16 1:55,5 9:01, 1289 ‘15 49.8 45,10 3 47 29 B|+ 6,60
ner | mener | eng

68 Cygne 3 23 51.6 2,42 90.57 54,6 36,24. 27 36, 31,6 B | +, 9:17
182 Cygne 3 39 394 1,87 194 54 51,7 | 2802 | 44 43 214,1 B| +. 8,44
55% Aigle 3 45 481 3,00 295 57 1.9 | 45,84 | o 34 372 B|+ 8.77
6o 8 Aigle 3 46 57,7 2,94 1296 44 24.0 | 44,14 5 59 21,5 B|+ 8,48

5x Capricorne 3.4 | 20 8 15,0 3,55 |302 , 3 15,3 49.95 13. 1 31,4 A | — 1064
bus, pates nos nee td À 7 Qi à

-96 gr Capricorne 3 11. 27,0 3,37 302 51 45,6 50,62 15 18 35,1 À | — 10,88

377 Cygne 3 160 7,9 2,19 {304 sum 495 lnu32,22- 1 395 450 2,n:B |1#9° 11,22

ga Dauphin 3 31 44,5 2,78 |507 56 . 7.3 41.69 À 15 .19. 9,4, B | + 12.32

8 « Pégase 2.3 | 21 35 5o:1 2:94 825 57 31.5 44,13 9 6 2,8 B | + 16,21
49 © Capricorne 3 37 38,8 9,00 1324 24 42,1 49,56 16 53 34,1 À | + 16,30
| ——————— | —————— | ——————_——— | ——————— À ——— | —————

y Grue si 43 35,9 3,66 |325 53 59,1 54,85 | 3 9 30,6 A | — 16.60
8 Poisson A 3 297 91 49.4 5,45 355 27 20,7 51,46 33 12 50,6 A | — 18,23

4235 Pégase 3 32. 58,9 2.98. [338 14 44,1 44,73 a 56 52,9 B | + 18.6r

62 Verseau &) 45 ‘37,1 3,20 |341 24 197,r 47:94 16 43 15,4 A | — 19.00

3 Ë Pégase 2 55 32,4 2,88 1343 53 55 es 27 9 491 B| + 19,25

288 CA

Il paraît certain que Ptolémée n’a point observé réel-

lement le grand nombre d’étoiles que contient son cata-
logue, mais qu'il n’a fait que réduire le catalogue
d'Hipparque à l’année 137 en ajoutant 2° 4o' à toutes
les longitudes, pour tenir compte de l'effet de la pré-
cession. Cette quantité était trop petite; et les longitudes
de Ptolémée, quoique appliquées par lui à l'année 137,
se rapportent à peu près à l'an 6.

783 ans après Ptolémée, Albaténius vérifia quelques
positions et les trouva plus avancées de 11° 50°. Ulugh-
Beig, prince Tartare, nous a laissé un catalogue pour
l'an 1437, que Flamstead donne dans son Histoire cé-
leste, avec ceux plus étendus et plus exacts de Tycho-
Brahé et d'Hévélius. L'histoire céleste de Flamstead,
publiée en 1725, contient le grand catalogue de ce
célèbre astronome. Ce grand ouvrage, célèbre sous le
nom de Catalogue britannique, renferme 2884 étoiles.

Lemonier, en 1742, donna, en plusieurs parties, un
catalogue des étoiles zodiacales; et à peu près à la même
époque, La Caille entreprit un grand travail sur ces
étoiles, travail pour lequel il ft son voyage au cap de
Bonne-Espérance. (Joy. Caire.) Depuis, Mayer, Brad-
ley, Maskeline, Cagnoli, le baron de Zach, Delambre et
Piazzi se sont livrés à de grands travaux, soit pour
perfectionner les catalogues, soit pour les augmenter. Le
Français Lalande a déterminé les positions de 50000
étoiles boréales avec un grand quart de cercle de Bird;
ouvrage immense qui assure à son auteur la reconnais-
sance de la postérité.

Piazzi a publié à Palerme un catalogue de 6500
étoiles pour l’époque de 1800, que les astronomes re-
gardent comme le plus parfait de tous ceux qui existent.
Nous en extrayons la table jointe à cet article et qui
renferme 100 étoiles dont les positions ont été ramenées
à l’époque de 1830 par le bureau des longitudes. Pour
les besoins de l'astronomie et de la ravigation, la Con-
naissance des temps contient chaque année un catalogue
des positions de 67 étoiles principales, dans lequel les
ascensions droites et les déclinaisons sont données de 10
jours en 10 jours. Dans les observations et calculs astro-
nomiques il est très-souvent essentiel de réduire les
degrés du cercle en temps, c'est-à-dire d’exprimer en
heures ascension droite d’un astre. Or, comme la
sphère céleste fait sa révolution diurne en 24 heures,
24 heures équivalent à 560°, et conséquemment 1 heure
équivaut à 15°, une minute d'heure à 15 miuutes de
degré et ainsi de suite. Cette réduction se trouve toute
faite dans la Connaissance des temps ainsi que dans la
table ci-jointe. Voyez CONSTELLATION, Éroite, Lari-

Tune, LoncrrupE et Passace au MÉRIDiEx.

CATAPULTE (Aféc.). Nom d’une ancienne ma-
chiue de guerre qui servait à lancer des pierres. Voyez

; CA
Vitruve; — Ammien Marcellin; — Polybe avec les
Commentaires de Folard.

CATHÈTE ( Géom.). (Dexabirns, perpendiculaire.)
Droite tombant perpendiculairement sur une autre.
Ainsi les cathètes d'un triangle rectangle sont les deux
côtés qui comprennent l’angle droit.

Carnère d'incidence en oPTIiQuE , est une ligne droite
menée d'un point éclairé et rayonnant perpendiculai-
rement au plan du miroir réfléchissant.

Caraire de reflexion, c'est une perpendiculaire me-
née de l'œil ou d’un point quelconque d’un rayon
réfléchi sur le plan de réflexion. F’oyez Oprique.

CATOPTRIQUE (Opr.) L'une des branches de l’op-
tique, qui a pour objet les lois de la réflexion de la lu-
mière. Nous donnerons au mot OpTique l'histoire de
cétte science depuis ses premières traces jusqu'a nos
jours.

Toutes les surfaces polies réfléchissent Ja lumière;
mais comme parmi les corps solides il n’y a que quelques
métaux simples et quelques amalgames qui soient sus-
ceptibles de prendre un poli parfait, on ne construit
les miroirs qu'avec des substances métalliques. Les mi-
roirs de verre ne sont eux-mêmes que des miroirs mé-
talliques ; car ils ne doivent leurs propriétés réfléchis-
santes qu’à l’amalgame de mercure et de zinc dont leur
surface postérieure est revêtue.

Les miroirs de verre ne peuvent être employés pour
les expériences exactes d’optique, parce qu’ils opèrent
dans les rayons lumineux une double réflexion, et
même une double réfraction aux deux surfaces du verre.
Les phénomènes qu’on peut observer par leur moyen
ne résultent donc point de la seule réflexion des rayons.
Ainsi nous supposerons, dans tout ce qui va suivre, que
les miroirs employés sont des surfaces métalliques d’un
poli mathématique.

De toutes les formes qu’on peut donner aux miroirs,
nous distinguerons particulièrement celles des miroirs
plans et celles des miroirs sphériques concaves , el con-
vexes, mais, quelle que soit la forme du miroir, tous
les phénomènes reposent sur la loi générale suivante,
qu'on peut considérer comme le fondement de toute la
catoptrique :

I. Loi roNDamENTALE. Lorsqu'un rayon de lumière
mA (Pi. XVI, fig. 1, 2, 3) tombe sur une surface quel-
conque, el qu’on élève au point d'incidence À la droûe
AI, perpendiculaire au miroir, lorsqu'il est plan (fig. 1),
ou perpendiculaire au plan tangent du miroir ax
point À, lorsqu'il est sphérique (fig. 2 et 3); si ensuite
on imagine un plan passant par celle perpendiculaire et
le rayon incident, le rayon réfléchi se trouvera aussi
dans ce plan, et fera avec la perpendiculaire AT un
angle IAm égal à l'angle IAn, formé par le rayon in-

cident avec la perpendiculare.

CA

L’angle IAm se nomme l'angle d'incidence, et l'angle
IAn l'angle de réflexion. La loi précédente peut donc
s’énoncer plus simplement en disant que lorsqu’un rayon
de lumière est réfléchi par une surface polie quelconque,
l'angle d’incidence est toujours égal à l'angle de ré-
flexion. Cette loi est donnée par l'expérience.

2. Si un rayon tombe perpendiculairement sur un
miroir , l'angle d'incidence ainsi que celui de réflexion
sont nuls : alors le rayon est réfléchi sur lui-même.

3. A l’aide de la loi précédente on peut facilement
expliquer les phénomènes du miroir plan, connus de
tout le monde. Soit AB (PL. XVI, fig. 4) la coupe d’un
tel miroir , et soit 22 un point rayonnant placé devant sa
surface, si le rayon incident © est réfléchi suivant Cx',
un œil situé en x’ recevra la sensation de la lumière
dans la direction n'n, et renverra conséquemment dans
cette même direction l’image du point 7». Or, si du
point m on abaisse la droite mD, perpendiculaire au
miroir, et qu'on la prolonge jusqu’à sa rencontre en 7
avec le rayon réfléchi, également prolongé, les deux
triangles rectangles DC et DCn sont égaux; car les
deux angles DC et BCn', complémens des angles d'in-
cidence et de réflexion, sont égaux, et par conséquent il
en est de même des angles CD et DC; donc nD=Dyn.
Or, cette construction sera la même pour tous jes
rayons venant de 72, et réfléchis par le miroir ; c’est-à-
dire que les directions de ces rayons passeront toutes
par le point ». Donc un œil placé dans une de ces direc-
tions, tel que n', doit voir er x une image du point mr.
Mais comme ce que nous venons de dire du point 72
s'applique nécessairement à tous les autres points d’un
objet, on peut concevoir comment l'image de l’objet
doit se montrer dans le miroir, et en apparence der-
rière sa surface, à une distance égale à sa distance réelle.
Nous allons retrouver plus loin cette propriété comme
cas particulier d’une formule générale pour tous les mi-
roirs.

4. Des miroirs sphériques. Soit G (PL. XVI, fig. 5)
le centre de la sphère dont le miroir AB est un segment,
Le point D, milieu du segment, se nomme le centre op-
tique, le point C est le centre géométrique ; et la droite
menée par D et C représente l'axe. CD est le rayon du
miroir, et DA ou DB sont les ouvertures. Lorsque la
surface intérieure est polie, le miroir est concave ou
convergent; lorsqu'au contraire c’est la surface exté-
rieure qui sert à réfléchir la lumière, alors le miroir est
convexe ou divergent.

5. Lorsqu'on dirige l'axe d’un miroir concave vers le
soleil, tous les rayons solaires qui viennent le frapper
sont réunis par la réflexion dans un petit espace situé
justement en F au milieu des deux centres. Il se produit
non seulement à ce point une lumière éclatante; mais

il s’y développe de plus une chaleur d’une prodigieuse

CA 289

intensité. Ce petit espace se nomme le foyer du miroir,
et la distance DF se nomme la distance focale.

G Pour se rendre raison des phénomènes que pré-
sentent les miroirs sphériques, il faut examiner préala-
blement la marche des rayons réfléchis dans ces sortes
de miroirs. C’est l’objet des deux théorèmes suiyans:

I. Un rayon lumineux qui tombe parallèlement à
l'axe, sur un miroir concave, est réfléchi entre les deux
centres, et d'autant plus près du foyer qu'il passe plus
près de l'axe.

Soit EA ce rayon, et C le centre géométrique (PL. XVI,
Jig. 11), si l’on mène AC, cette droite sera un rayon
de la sphère, et sera par conséquent perpendiculaire en
A à Ja surface du miroir. Si l’on fait l’angle CAF égal
à l'angle CAE, AF sera le rayon réfléchi (1). Mais dans
le triangle AFC les angles FAC et FCA sont égaux ; car
EAC—FCA comme angles alternes internes ( Voyez
AnGre, 7) et EAC — FAC; donc les côtés opposés à ces
angles sont égaux, et l’on a AF = FC. Por. IsocèLe.

Ainsi, si l’on avait AF— DF, on aurait aussi DF—
FC, ctie point F scrait le milieu de DC ou de la dis-
tance des deux centres; mais cela n’arrive pas exacte-
ment pour tous les rayons. Cependant la différence
entre AF et DF est d'autant plus petite que l’arc AD est
petit par rapport à DF; lors donc que l’angle AFD est
très petit, on peut supposer sans erreur sensible DF —
AF — FC.

IL Un rayon lumineux qui tombe parallèlement à
l'axe sur un miroir convexe est réfléchi dans la direc-
tion de la droite mence du milieu de l'axe au point de
contact.

Soit ADB Île profil d’un miroir convexe (PL. XVI,
Jig. 8), et soit AË un rayon parallèle à l’axe CD , et
qui frappe le miroir en A. Si du centre géométrique C
on mène le rayon CA, et qu'on le prolonge en G pour
faire l'angle HAG égal à l'angle d'incidence GAE , AH
sera le rayon réfléchi, lequel, suffisamment prolongé,
passera par le point F, milieu de CD. La démonstra-
tion est la même que la précédente, et l'égalité de AF
er de FD n’est rigoureuse que pour un arc AD infini-
ment petit. ]

Dans le miroir convexe, le point 6ù les rayons ré-
fléchis coupent l'axe se nomme le foyer négatif, et sa
distance derrière le miroir La distance focale negative.

7. Nommons 2a le rayon CD d’un miroir sphérique AB
(PL. xvi, fig. 13), a sera la distance focale ; uommons
encore d la distance DE du point lumineux E, et a’
la distance DF, à laquelle le rayon réfléchi AE coupe
l'axe.

GC étant le centre géométrique du miroir, si nous
menons CA, nous aurons CA—CD=%2a ; CA sera per-
pendiculaire en A à la surface du miroir, et par con-

32

290 CA
séquent, d’après la loi (1) CAF=CAE ; mais on à
(ANGLE ©)
CAF—AFD—ACF
et
CAE=—ACF—AEC.
Donc

AFD—ACF—ACF—AEC,
ou, ce qui est la même chose, (72)
2 ACF—AFD+AEC.

Mais, dans un triangle rectangle (v0y. TRIGONOMÉTRIE),
lorsqu'un des angles aigus est très-petit, cet angle est à
très-peu près proportionnel au côté opposé divisé par
le côté adjacent, et cela d'autant plus exactement que
le côté opposé est plus petit. Supposons donc que l'arc
ADrest très-petit, nous pourrons le considérer comme
une Jigne droite perpendiculaire sur l’axe DC, et alors
les triangles ADF, ADC et ADE seront des triangles rec-
tangles dontles angles er F, en Cet en E seront très-pe-

tits, nous aurons donc

, AD

Il angle ACF— DC
AD

l'angle AFD = DF
: A NAD

1 angle AEC = DE

Substituant ces valeurs dans l'égalité (#) elle de-
vient

= AD AD

DE TDF
et, en divisant par AD,
2
DG—DÉTDF”
ou, définitivement (x),
I I ï
a -dta

équation qui embrasse toute la théorie des miroirs sphé-
riques.

8. Le quotient qu’on obtient en divisant l’unité par une
quantité quelconque se nomme ordinairement la valeur

réciproque de cette quantité; ainsi 7 St en général la

valeur réciproque de ». En appliquant cette dénomi-
nation aux quantités de la formule (x), et en nommant
de plus d=DE ct a'-=DF, les deux distances de réu-
ñion tles rayons, on peut énoncer en ces termes la loi

répréentés par la formule (x).
i l {

CA

La valeur réciproque de la distance focale est égale
à la somme des valeurs du die des deux distances

de réunion des rayons.

9. Dans la construction géométrique qui nous a servi
à trouver la formule (2) nous avons considéré les quan-
tités a, a’, d comme positives; mais si une de ces lignes
se trouvait avoir une situation opposée à celle qu’elle a
dans la figure 13, il faudrait lui donner un signe négatif;
et avec cette modification la formule s'applique égale-
ment aux miroirs convexes. Ainsi, pour un miroir con-
cave (fig. 12) vers lequel un rayon lumineux GA ne
vient pas d’un des points de l’axe , mais au contraire se
dirige vers un de ces points, la distance DE — d se
trouve dans un sens opposé, et alors il faut l’exprimer
par —d. Si le miroir est convexe, le rayon et la dis-
tance focale ont une direction opposée à celles qu’indi-
quent les figures 12 et 13; il faut donc représenter la
distance focale par —4, et par conséquent la fosmule
(n) devient (p)

TT ACT
Ta-ata
pour les miroirs convexes.

10. Il résulte des formules (x) et (p) plusieurs consé-
quences importantes que nous alloë exposer. D'abord,
puisque tous les rayons qui partent d’un objet éclairé et
qui tombent sur le miroir , à peu de distance du centre
optique, vont passer par le foyer, ou du moins très-
près de ce point, il doit s’y former une image de l’ob-
jet qui sera visible pour un œil placé de manière à rece-
voir, à quelque distance, les rayons réfléchis.Cette image
est devant le miroir lorsque la valeur de a’ est positive,
et elle’est derrière lorsque cette valeur est négative.

Si l'on fait a— d, c'est-à-dire si l’on suppose le 2 pa
rayonnant placé au Pas on a

ETUI
a ata"

D'où
I ’
Tes et Aa =D,

Ce qui signifie que lorsque les rayons incidens partent
du foyer, ils deviennent parallèles à l’axe après la ré-
flexion; ou que leur point de réunion est à une distance
infinie. On observe ce phénomène en plaçant une bou-
gie allumée au foyer d’un miroir concave : l’image de
la bougie ne se trouve nulle part; mais la lumière est
réfléchie parallèlement à l'axe, et se propagerait à une
distance infinie, si elle n’était pas absorbée par le mi-
lieu dans lequel elle passe. On se sert de ceite propriété
des miroirs concaves pour transmettre une vive clarté à
de grandes distances.

11. Jusqu'ici nous avons considéré le point rayonnant

CA

comme placé sur l'axe, examinons maintenant ce qui
doit arriver lorsqu'il est situé hors de cet axe, mais à
peu de distance.

Soit G (fig. 15) un point rayonnant près de l’axe, et
GK le rayon incident; menons la droite GCH par le
centre géométrique, cette droite peut être considérée
comme uu axe, puisque KDB est sphérique. Si donc le
rayon réfléchi coupe GH en L, en faisant GH=d et
UL = a', nous aurons comme ci-dessus

RAS LR :
a ata

et tout ce que nous venous de dire par rapport à l’axe
doit s'appliquer à la ligne GH ; c’est-à-dire que chaque
point rayonnant situé sur la ligne GH produit une image
quelque part dans la direction de cette même ligue,
image qui peut être tantôt devant, tantôt derrière le
miroir, et tantôt à une distance infinie selon les divers
cas.

12. Eu faisant différentes suppositions sur la distance
à laquelle un objet exposé à la surface réfléchissante
d’un miroir sphérique concave peut se trouver, nous
déterminerons le lieu de son image par les formules (»)
et (p). Donnons d’abord à {n) la forme

et supposons da ; d—a sera une quantité négative,
et par conséquent a’ le sera également. Ainsi, lorsque
l’objet est placé entre le foyer et le centre optique, l'i-
mage est derrière le miroir.

Nous avons examiné ci-dessus le cas de d—a; faisons
maintenant da, alors a' est toujours positif, et l’image
doit apparaître devant le miroir. Si l’on a d—a,
c'est-à-dire si l’objet est placé au centre géométrique, a!
devient

; 24?
24—a

= 24.

Donc lorsque l'objet est au centre l'image y est aussi.
n étant un nombre quelconque, supposons généralement
d=na, la formule devient

$ na n
= S ?

Ti]

1A4—@

et cette dernière expression explique tous les phéno-
mènes du miroir concave. En effet, soit successivement

NY )

n—=0 , =}, N=1yn—È, n—=2, n=3,n—=k4,
etc., nous aurons 4'—=0, 4 —=—7i4a, d'=—a, a =,
' “ ’ ‘ 2m | LEE |
d'—3a,a—1a,@—ÿîa,a—;a, Ctc.
D'où il suit que lorsque la distance de l’objet croît
depuis o jusqu’à & ou jusqu'a la moitié du rayon, l'i-
mage s'éloigne derrière le miroir depuis o jusqu'à l’in-

fini; passé « l'image est devant le miroir, et s’en rap-

CA soi

proche à mesure que l’objet s'éloigne, jusqu’à parvenir
au foyer lorsque la distance est infinie.
13. Pour les miroirs convexes, la formule devient

,_ ad
nr.
Faisons comme ci-dessus, d—na, nous aurons
a na? n :
D = = ——.4.
a+na 1+n

Or, quelles que soient les valeurs qu’on donne à »,
comme a’ reste négatif, nous voyons que dans les m1-
roirs convexes l’image est toujours derrière. Faisons
successivement 2—0, n—E, =, N=1,N—2, n=3,
etc., nous aurons, abstraction faite du signe —,

a'=0,a'=ia, a'=ïja, a —1la, a'—3a, a —$a, etc.

Il résulte de ces valeurs que lorsque la distance de l’ob-
jet au miroir croit depuis o jusqu’à une quantité égale
à la moitié du rayon, l’image s'éloigne derrière le mi-
roir depuis o jusqu’à a; c’est à-dire depuis o jusqu’au
quart du rayon. Passé cette grandeur, l’image s'éloigne
toujours derrière le miroir, à mesure que l’objet s'é-
loigne; mais sans pouvoir s’écarter plus que de la
moitié du rayon; car lorsque » est infini, on a a'=a.

14. Si nous supposons infini le rayon de sphéricité
a, nous pourrons considérer les miroirs comme plans,
et la formule {#) nous donnera toutes Jes propriétés de
ces miroirs. En effet ; elle devient alors

D'où l’on tire

Cette égalité nous apprend que l’image est toujours,
derrière le miroir, à une distance égale à celle de l’ob-
jet; c'est ce que nous avions vu précédemment {n° 3).

15. Dans les miroirs sphériques , les images n’ont pas
la même grandeur que les objets, et paraissent quel-
quefois droites et quelquefois renversées. 7oy. Miroirs
aoncaves et Miroirs CONVEXES.

CAUDA LUCIDA (4str.). Belle étoile de la pre-
mière ou de la seconde grandeur , placée à la queue du
Lion , et marquée B dans les catalogues.

CAUS, premier inventeur des machines à feu. Foyez
SALOMON DE CAUs.

CAUSTIQUE (Géom.). Courbe formée par l’inter-
section des rayons lumineux partant d’un point rayon-
nant, et réfléchis ou réfractés par une autre courbe.
Chaque courbe a ses deux caustiques ; l’une produite par
la réflexion, se nomme catacaustique (voy. ce mot);
l’autre, produite par la réfraction , se nomme diacaus-
tique. Foy. ce mot.

L'invention de ces courbes est attribuée à Tschirn-
hausen, qui les proposa à l'Académie des sciences en

292 CA

1682. Elles ont cette particularité remarquable, que,
lorsque les courbes qui les produisent sont géométri-
ques, elles sont toujours rectifiables. J. Bernoulli, le
marquis de l'Hôpital et Carré se sont occupés des caus-
tiques, pour lesquelles on peut consulter leurs ouvra-
ges, ainsi que les Mémoires de l'Acad. des sciences
de 1705. Nous donnerons autre part les moyens de
déduire de l'équation d'une courbe celles de ses causti-
ques. Joy, Counnes ENVELOPPANTES.

CA VALIERI ou CAVALLERI (Bonavenrure ), l’un
de ces grauds géomètres du XVII siècle, dont les dé-
couvertes font époque dans l'histoire des mathéma-
tiques, naquit à Milan en 1598. Il était entré fort jeune
dans l’ordre des Jésuates ou Hyéronimites, et il avait
révélé dès lors, et durant ses premières études, une
intelligence si remarquable, que les chefs de son ordre
crurent devoir l'envoyer à Pise, dont l'Université, cé-
lèbre alors, présentait plus de moyens que le cloitre
pour initier le brillant novice à tous les degrés de Ja
haute instruction. El y avait alors une louable émulation
entre les diverses congrégations religieuses, et elles lais-
saient rarement échapper l’occasion de développer les
intelligences supérieures qui se mauifestaient dans leur
sein. L'Église, en ces temps déjà loin de nous, marchait
en tête de l'humanité, et gouvernait le monde chrétien
autant par la science que par la foi. C’est donc à tort
que quelques modernes biographes de Cavalieri ont
dit que les moiues cherchèrent à le détourner de son
goût pour les études scientifiques, comme d’occupations
profanes. Ses supérieurs, au contraire, eurent à lutter
contre sa modestie et sa timidité naturelles, pour le dé-
cider à aller à Pise; et d’ailleurs le jeune Cavalieri était
déjà en proie à la mélancolie qu'une maladie doulou-
reuse acheva d'imprimer à son caractère durant la
courte durée de sa vie. Tristesse sublime du génie qu’on
observe dans tous les hommes supérieurs, dans Des-
cartes comme dans Corneille, dans Newton comme dans
Mallebranche et Pascal! Cavalieri eut le bonheur d’étu-
dier les mathématiques, à Pise, sous le père Benoît
Castelli, le disciple et l'ami de Galilée, qui lut dans
l'avenir de son jeune élève, et lui procura la conuais-
sance de l’illustre philosophe de Florence. La géométrie
fut l'objet spécial des travaux de Cavalieri; et, dit un
historien, il y fit de tels progrès, et épuisa si prompte-
ment dans ses lectures tous les géomètres anciens, que
Castelli et Galilée prédirent dès-lors la haute célébrité à
laquelle il devait atteindre.

On est fondé à croire que, dès 1629, Cavalieri étaiten
possession de sa Hethode des indivisibles, qu'il ne publia
cependant que quelques années après, car, à cette époque,
il fut nominé à la chaire d'astronomie, vacante alors à
l'université de Bologuc; et il soumit aux magistrats un

mémoire sur cette méthode nouvelle de traiter la géo-

CA

métrie, et un autre sur les sections coniques, qui le
firent admettre imméaiatement. Ce fut en s’élevant à
des considérations de l'infini, que Cavalieri résolut
divers problèmes posés par Képler, et qu'abrégeant les
démonstrations employées par les géomètres anciens
dans la nature des figures curvilignes, il envisagea les
élémens de ces figures, et remonta jusqu’à ceux qu’il
appela indivisibles. Il concevait ainsi les lignes comme
formées d’un nombre infini de points, les surfaces d’une
infinité de lignes, et les volumes ou solides d’une infinité
de surfaces. Nous exposons ailleurs scientifiquement cette
méthode ( foyez Innivisisces et [nxrint); mais nous
pouvons dire ici qu’elle a ouvert un champ plus vaste et
plus fécond aux recherches des géomètres, et que la
considération de l'infini, dont elle est le résultat , atteste
une haute et saine philosophie, que certains biographes
ont néanmoins appelée des idées monacales. C’est à de
semblables idées que la science doit cependant tous ses
progrès; et si l’on comparait aux merveilleuses décou-
vertes qu’elles ont enfantées, le petit nombre de celles
qui sont nées dans le domaine restreint de l’empirisme
on comprendrait mieux Ja puissance de leur sublime
inspiration.

Les principes de Cavalieri furent vivement attaqués
par quelques géomètres contemporains ; mais ils furent
acceptés avec enthousiasme par ceux qui étaient le plus
à même d’en juger. L’illustre Pascal se servit de la géo-
métrie des indivisibles. Son suffrage dut consoler Cava-
lieri des vives attaques de Guldin etdes prétentions de Ro-
berval, qui réclama pour lui l'invention d’une méthode,
dont la publication était de deux ans antérieure à celle
qu'il proposait. Un biographe fait la remarque qu’il y eut
entre Pascal et Cavalieri cette singulière conformité ,
qu'ils cherchèrent dans la culture de la géométrie un
adoucissement à de grandes douleurs physiques. Cava-
lieri ressentit de bonne heure de fortes atteintes de
goutte, et Pascal éprouvait de longues insomnies, occa-
sionnées par de cruels maux de dents.

Cavalieri parait avoir été le premier géomètre qui
aitaccueilli en Italie la mémorable découverte de Néper.
Il publia à Bologne , en 1632, une trigonométrie, dans
laquelle on trouve les sinus, tangentes, sécantes et sinus
verses, avec leurs logarithmes en 8 chiffres, pour tous
les degrés et minutes du quart de cercle. Ces tables
renferment même une addition importante aux autres
tables ; savoir : de seconde en seconde pour les cinq pre-
mières et cinq dernières minutes du quart de cercle; de
cinq en cinq secondes pour les cinq minutes suivantes;
de 20 en 20 jusqu’à 30'; de 30 en 30 jusqu’à 1° 30"; et
enfin pour le reste du quart de cercle de minute en mi-
pute. Les logarithmes des nombres naturels ÿ sont don-
nés seulement jusqu'à 2000.

Après avoir mis la dernière main à sa géométrie des

CE

indivisibles, Cavalieri mourut d’une attaque de goutte
le 3 décembre 1647. Voici les titres des ouvrages de ce
célèbre géomètre, qui renferment pour la plupart des
aperçus neufs, une érudition remarquable, et doivent
tenir un rang distingué dans l’histoire scientifique du
XVIL' siècle. I. Traité des sections coniques , en italien,
sous ce titre : Lo spechio ustorio, overo trattato delle
settioni coniche ; Bologne, 1632, in-4°. II. Directorium
generale uranometrieum, in quo trigonométriæ loga-
ritimiæ fundamento ac regulæ demonstratur ; Bologne,
1632, in-4°. III. Geometria indivisibilibus continuorum
nové guédam ratione promota, in häc postremä editione
ab erroribus expurgatd ; Bologne, 1635-1653. IV. Tri
gonometria plana et spherica, linearis et logarithmica;
Bologne, 1605. V. Exercitationes geometricæ sex ; Bo-
logne, 1647, iu-4° : ouvrage remarquable, le dernier
de Cavalieri, dans lequel il a développé sa méthode
des indivisibles, et où il a répondu aux objections des
géomètres de son temps contre sa découverte. En 1776,
le père Frisi a publié un éloge de Cavalieri, qui ren-
ferme une exposition fort détaillée des travaux scienti-
fiques de ce célèbre géomètre.
= CEGINUS (Astr.), nom d’une étoile de la troisième
grandeur, dans l'épaule gauche du Bouvier, et mar-
quée y dans les catalogues.

CÉLÉRITÉ (Mec.). Vitesse d’un corps en mouve-
ment Voyez Vitesse.

CÉLESTE. Se dit de tout ce qui a rapport au ciel;
comme globe céleste, sphère céleste, etc. Voyez GLoze
et SPHÈRE.

CENTAURE ( 4st.). Constellation méridionale qui
ne renfermait que cinq étoiles dans le catalogue de
Flamstead, mais qui en a un grand nombre dans celui
de Lacaille, une.entre autres de la première grandeur.
Voyez CONSTELLATION.

CENTÉSIMALE (Arüh.). Division centésimale du
cercle. Le quart de la circonférence étant pris pour unité,
on le divise en 100 degrés, le degré en 100 minutes, la
minute en 100 secondes, etc. Cette division qui fait partie
du système métrique français, quoique employée dans
beaucoup d'ouvrages nouveaux, n'a pu faire oublier
l’ancienne division sexagésimale, beaucoup moins com-
mode sans doute, mais universellement adoptée par
toutes les nations.

CENTRAL ( Mée.). Ce qui est relatif à un centre.
Nous avons ainsi éclipse centrale, force centrale, etc.

Écupse cexrraze. Il y a éclipse centrale quand les
centres de deux astres coïncideut exactement, et sont
en ligue droite avec l'œil de lobservateur. Voyez
Écurs.

Foncrs CENTRALES, Ce sont ces forces qui proviennent
directement d'un certain point où centre, où qui Y

terdent; ou bien ce sont ls forces qui déterminent un

CE 295

corps en mouvement à tendre vers un centre ou à s'en
éloigner : aussi les at-on divisées en deux espèces, selon
leurs rapports différens avec le centre, savoir, lors-
qu’elles approchent ou qu’elles repoussent du centre.
On les appelle forces centripètes &ans le premier cas,
et dans le second, forces centrifuges.

La doctrine des forces centrales dépend de la pre-
mière loi du mouvement, savoir : Tout corps persiste
dans son état de repos, ou de mouvement uniforme
dans une ligne droite, jusqu’à ce que l’action de quel-
que force extérieure opère un changement.

De là, quand un corps en repos tend incessamment
à se mouvoir, ou quand la vitesse d’un mouvement
reculigne est continuellement soit accélérée, soit retar-
dée, ou qu'il décrit une ligne courbe; ces change-
mens indiquent évidemment l’action ou l'influence de
quelque force extérieure qui agit sans cesse sur le corps
en repos ou en mouvement. Dans le premier cas, on
mesure cette force par la pression du corps en repos
coutre l’obstacle qui s’oppose à son mouvement; dans
le second, si le corps est mu en ligne droite, on mesure
la forcé par la quantité de l’accélération ou du retarde-
ment; et si le corps se meut en décrivant une courbe,
la courbure de cette ligne sert à évaluer la force, c’est-
à dire qu’on l’évalue d’après l'écart constant du corps
de sa voie rectiligne, en ayant égard, dans tous ces cas,
au temps pendant lequel ces effets sont produits et aux
autres circonstances , suivant les principes de la méca-
nique.

Tout ce qui est soumis à la puissance ou à la force de
gravité tombe, selon une constante observation, près
de la surface de la terre; car la même puissance qui
rend les corps pesans quand ils sont en repos, les accé-
lère quand ils tombent, et les retarde quand ils mon-
tent ou quand ils sont projetés dans quelque autre
direction que celle de la gravité; mais nous ne pouvons
juger des forces ou puissances qui agissent sur les corps
célestes, que par les phénomènes de cette dernière
espèce de mouvement. De là vient que la doctrine des
forces centrales est d’un si grand usage dans la théorie
des mouvemens planétaires.

La doctrine des forces centrales pour les orbites
circulaires fut d’abord examinée par Huygens; mais
Newton a traité le sujet plus en général, et dans les
livres E et IL de ses Principes il a démontré ce théorème
fondamental, savoir : Les aires décrites par le rayon
mené d'un centre immobile à un corps en révolution,
dans un méme plan immobile ,:sont proportionnelles
aux temps pendant lequel elles sont parcourues.

Cette loi, découverte d’abord par Képler, est la seule
loi générale dans la doctrine des forces centrales ; muis
püuisqu'elie ne peut (ainsi que Newton l'a prouvé)

s'appliquer, quand un corps à une tendance, par sa

CE

pravité vers un autre que ce seul ét saëme point, il

294

semble nous manquer quelque loi qui serve à expli-
quer le mouvement de la lune et des satellites qui ont
une gravité vers déux centres différens. Voici célle
que ce grantl honane pose pour cet objet, savoir : qu'un
corps sollicité par deux Jürces, tendañt constamment
vers deux pointé Jtces, décria, par dés lignes tirées de
ces deux points fixes, des solides égaux dans des temps
égaux, autour de la ligne joignant ces deux points.

Des mathématiciéns distingués out traité avéc élé-
gance le mème sujet, quand le mouvement est dirigé
vers plus de deux centres; et des règles pratiques ont
été données pour calculer la marche des planètes et dés
satellites, par Lagrange, Laplace, Waring, etc: Voyez
Mécanique céleste, Transactions philosophiques, ét
les Mémoires des Acädémies de Paris et dé Berlin.

Moivre, dans ses Mémoires analytiques, page 331,
ainsi que dans les Transactions philosophiques, a écritsur
ce sujet, et nous lui devons plusieurs théorèmes élégans,
relatifs à la doctrine des forces centrales. Varignon,
Maclautin, Simpson, Euler, Emerson et de L’Hôpi-
tal, etc., s’en sont également occupés. Nous devons à
ce deruier la proposition générale suivante :

1. Sun corps d'un poids déterminé se meut unifor-
mément autour d'un centre avec une vilesse donnce,
sa force centrifuge Sera déterminée par celte propor-
Lion :

Le rayon du cercle décrit est au double de là hau-
teur due à lu vitesse comme le poids du corps est & la
force centrifuge.

Ainsi, si P représente le poids du corps ou la force
avec laquelle il tend vers le centre, 2g—9",8088 la
force de la gravité, V la vitesse et R le rayon du cercle
décrit, nous aurons d’abord, par la loi de la chute des
corps;

2

V ;
—— = là hauteur due à la vitesse,

48

et énsuité en vertu de la proportion énoncée ,

: Us : D: me — la force centrifuge.
2g 2gR
Il suit de cette expression que si la force centrifuge
était égale à la force centripèté, ce qui a toujours lieu
dans les mouvemens circulaires des corps libres , onau-
räit, en désignant là première par f,

Ps
et par conséquent
V2=58R ;
on

V—oV/giR

ette dernière égalité nous apprend qu'alors la vitesse

CE
est la même que celle que le corps acquerrait en tom-
bant librement d’une hauteur égale à la moitié du
rayon.

3. La forcé centrale d’un corps quise meut sur la cir-
conférence d’un cercle est proportionnelle au sinus verse
AM de Parc infiniment petit AE; ou bien elle est pro-
portiontfiellé aü carré de cet arc divisé par le diamètré.
Ex-effet, péndanit le temps que le corps décrit l'arc AE,

ee > A »

7 MN
il
|

it

B

il descend de la tangénte AD, de la quantité AM. AM
est düne la véritable mesure de la force centrale, puis-
que l'intensité d’une force accélératrice s'évalue par le
doublé de l’espace qu’elle fait parcourir dans la pre-
mièré unité dé temps; mais AË étant supposé uès-pe-
tit, et par cette raison égal à sa corde, nous avons par
la nature du cercle
7 2
AB : AE :: Ft em
AB
3. Si deux corps roulent uniformément dans des cer
cles différens, leurs forces centrales sont en raisun des
carrés de leurs vitesses respectives divisées par les dix
mètres ou rayons des cercles; c’est-à-dire qu'on à
Fu: sr ë =
d RE
F,V,D,R étant la force, la vitesse, le diametre et le
rayon pour l’un des corps, et f, v, d, r, ces mêmes quan
tités pour l’autre ; car la force, suivant le dernier ar-
2 / E2 .
AB % D? et la vitesse V est conne
l’espace AE uniformément décrit.

ticle, est comme

4. H suit de là que si les rayons ou diamètres sont en
raison inverse des carrés des vitesses, les forces centrales
seront en rapport inverse des carrés des rayons, ou en
rapport direct des quatrièmes puissances des vitesses; car
ayant

V:viareR,
on entire, d’après ce qui précède, :
Fifi rss: Vésvé

5. Les forces centrales sont entre elles comme les da
mètres des cercles divisés par les carrés des temps pé-

TA

54

riodiqu: s: car gi € est li crconférence décrite dans le

temps T avec la vitesse V, alors l’espace C=TV, ou
C ‘ ,

V— T' De là, emplovaut la valeur de V du numéro 3,

on a

CHEDNd AR. r
Fu re ‘de T'eT'e:

puisque le diamètre est comme la circonférence.

6. Si deux corps roulant dans des cercles différens
sont poussés par la même force centrale, les temps pé-
riodiques sont en raison directe des racines carrées des
diamètres ou des rayons des cercles ; car lorsque F=/,

d
alors ==, et l'on a
ue

Ta
D:di Titi: VTiN4,
ou

DAV: A/r

7. Si les vitesses sont réciproquement comme les dis-
tances à partir des centres, les forces centrales seront
réciproquement comme les cubes des mêmes distances,
ou directement, comme les cubes des vitesses; car si

MéparsR,

alors on a

HE UP REV Ps

8. Si les vitesses sont en raison inverse des racines
carrées des distances centrales, les carrés des temps se-
ront comme les cubes des distances. En effet, de

VE NTI 7R
on tire
Wiswtsp:R,
et, par ce qui précède,
ne Ni: 7

On déduit la même loi en supposant les forces cen-
trales dans le rapport inverse des carrés des rayons ou
des distances centrales.

9. Des théorèmes précédens nous déduirons la vitesse
et le temps périodique d’un corps roulant dans un cercle
au moyen desa propre gravité , ou lorsque la force cen-
trifuge est égale à la force centripète, à toute distance
donnée du centre de la terre.

Soit g l’espace parcouru par un corps pesant à la
surface de la terre, pendant la première seconde de

temps, où 4",9044—AM dans la figure précédente ;
2g mesurera la force de gravité à la surface et r étant
pris pour le rayon AC de la terre, la vitesse du corps

dans un cercle , à sa surface, sera dans une seconde,

AE=V/(AB.AM)=\/2rg— 0903 mètres environ,

le rayon moven de la terre étant 63663-8 mètres.

CE

Mais nous avons de plus, x étant la demi-circonfc-

90Ë

rence du cercle dorit le rayon est 1,

ar
V'org : 2mr :: 1": mV/—.

£
Car 27r représente la circonférence d’un ceréle dont le
rayon est r, et le rapport de cette circonférence à l'arc
AË, ou org, est le même que celui des temps em-
ployés pour les parcourir.

Le temps périodique est donc

or 2.6366778
t= rV/ = 314160 s.\/ 1,
Ve 141592 4,9044

Réalisant les calculs, nous aurons

t= 1 24!

27" = 5067”.

Si R représente maintenant le rayon d’un autre cercle
décrit par un corps pesant autour du centre de la terre,
comme la force de la gravité varie en raison inverse du
carré de la distance, nous aurons

VR:Vr:: Vie

| .
vy K 2 la vitesse daus le cercle dont le rayon est R,

et d’après (8)
Vr:VRsc:t
TE
? 73 sera le temps périodique dans le même cercle.

Or, puisque nous avons trouvé ci-dessus » = 7903"
et 4 = 5067", ces formules deviennent

(1)« CEE _.

(2):.:::» 067

dont la première donne la vitesse, et la seconde le
temps d’une révolution, r étant le rayon de la terre.

10. Pour appliquer cette théorie à la lune , comme le
rayon de son orbite est à peu près égal à 6o rayons de la
terre, nous ferons R—Gor, et nous trouverons

7903V/#— 1020 mètres

5067 3V 21600 = = 27> jours à peu près,

Ainsi, la vitesse de la lune est à peu près de 1020 mètres
par seconde; et le temps de sa révolution périodique

ASTON ER
d'environ 27 j. +.

On peut déterminer de la même manière les vitesses

des planètes et leurs divers temps périodiques, leurs

distances étant données, et, réciproquement ; le temps

CE

périodique de la révolution de la terre et sa distance au

296

soleil étant supposés connus.

11. Il est bon d'observer que quoique nos premiers
théorèmes se rapportent uniquement au mouvement cir-
culaire, ils sont cependant également vrais pour des or-
bites elliptiques; les géomètres que nous avons cités
ayant démontré d'une manière satisfaisante que la même
loi doit s'appliquer dans ce dernier cas, pourvu que la
révolution soit faite autour de l’un des foyers de l'el-
lipse , ainsi que cela est le cas dans tous les mouvemens
planétaires, l'axe semi-transverse étant pris comme dis-
tance moyenne.

12. Nous pouvons calculer de la méme manière encore
la force centrifuge d’un corps à l'équateur, due à la ro-
tation de la terre; car il a été démontré plus haut que
Le temps périodique, quand la force centrifuge est égale
à la force de gravité, est 5067 secondes ; pour l'équateur,
vù le rayon de la terre est 6376406 mètres, on trouve-
rait de la même manière ce temps égal à 3078". On
sait, de plus,.que 23 heures 56minutes 4 secondes, ou
86164 secondes, est la période de la rotation de la terre
sur son axe : c'est pourquoi on a par l'art. 5

86164? : 5078? :: 1 : 559.
34 est donc la force centrifuge demandée; et cette force
est par conséquent la 289° partie de la gravité à la sur-

face de la terre.

13. Pour un autre exemple, supposons A une boule
d’une once ( fig. ci-dessus) tournant autour du centre C,
de manière à décrire le cercle ABE ; chaque révolution
s’effectuant en une demi-seconde , et la longueur de la
corde AC=2 pieds; d'où T=—+, R=—2. Ayant trouvé

plus haut que VE test le temps périodique à la

circonférence de la terre quand la force centrifuge est
égale à la gravité, on a, par l’art. 5,

LieourtF,

laquelle proportion devient

Bet ne 2 = 1677 ff à
AE Le — 0,819

Ainsi la force centrifuge , ou celle par laquelle la corde
est tendue, est environ 10 onces, c’est-à-dire dix fois
le poids de la boule.

14. Enfin, supposons la corde et la boule suspendues
d’un point D, et qu’elle décrive dans son mouvement une
surface conique ABD ; posant DC—a, AC=R, AD—# ;
et faisant f — 1, la force de gravité comme ci-des-
sus; le corps A sera affecté par trois forces, savoir

CE

la gravité, agissant parallèlement à DC, une force cen-
wifuge dans la direction CA,
et la tension de la corde,
ou force par laquelle elle
est tendue dans la direction
DA. De là, ces trois puis-
sancesserontrespectivement
comme les trois côtés du
triangle ADC, et par consé-
quent CD ou a: AD ou

hh :
his: Dit la tension de

la corde comparée avec le poids du corps.
De même

DCoua:ACouR::1 228

ge

,

expression générale de Ja force centrifuge trouvée ci-
dessus. D'où

24
gl?—2ar? , UT 108V/a.

1,108V/« est donc le temps périodique. Voyez les Hé.
de l’Acad, pour 1500, 1701 et 1710; voyez aussi Ae-
can. anal. de Lagrange, Mécanique de Poisson, et les

mots MouvEMENT et GRAVITÉ.

CENTRE, dans un sens général, désigne un point
également éloigné des extrémités d’une ligne, d'une
surface ou d’un solide. Ce mot vient de xeyrpor, qui ori-
ginairement signifie un point.

Le CEnrre d'attraction d'un corps est ce point dans
lequel, si toute sa matière était réunie, son action sur
uue molécule éloignée serait toujours la même, ainsi
que cela est tant que le corps conserve sa propre forme.
Ou bien c’est le point vers lequel des corps tendent
par leur gravité, ou autour duquel une planète tourne
comme autour d'un centre, y étant attirée ou poussée
par l’action de la gravité.

On désigne quelquefois par le centre commun d'at-
traction de deux ou de plusieurs corps, le point dans
lequel une molécule de matière étant placée, l’action
de chaque corps sur cette molécule serait égale, et dans
lequel elle resterait par conséquent en équilibre, n'ayant
point de tendance à se mouvoir dans uu sens plutôt
que dans un autre.

Le nom donné à ce point par quelques auteurs, de
point d'égale attraction, est plus convenable. La puis-
sance d'attraction étant directement comme les masses
des corps attirans, et réciproquen:ent comme les carrés
de leurs distances, nous avons la méthode suivante pour
trouver le centre commun d'attraction de deux corps
dont les masses et les distances sont données.

Représentons par M et n les massés de ces deux corps

PS

"2

|
:
î

:

|

CE

et par d la distance qui les sépare. Désignons par zx la
distance du point d’égale attraction à M, et par y la
distance du même point à m2; nous aurons æ + y = d,
et par les lois de l’attraction, Foyez ATTRACTION,
m:M:Y:2
ou
VA : vM ML)

de là on tire

Vm+ÆVM:Vmiy+x:x

VrÆEVM:VM:y+zx:7.
D'où
he dV/m
= mn + Vi
dV/M
Se PM

Le CEngne d’un cercle est ce point, dans un cercle,
qui est également distant de tous les points de la cir-
conférence, ou duquel le cercle a été décrit.

Si plus de deux lignes égales peuvent être tirées
d’un point à la circonférence, dans un cercle, ce point
sera le centre.

Le Cenrre d’une section conique est le point qui di-
vise en deux son diamètre, ou le point dans lequel tous
les diamètres s’entrecoupent l’un l’autre. Dans une ellipse
ce point est dans la figure; il est dehors dans l'hyper-
bole ; et dans la parabole il est à une distance infinie du
sommet.

Cenrre de conversion en mécanique , terme employé
par M. Parent. On peut le comprendre ainsi : si on
place un bâton sur de l’eau stagnante, et qu’on tire le fil
auquel il est attaché, de manière à ce que ce fil fasse tou-
jours le même angle avec lui, on trouvera que le bâton
tourne autour d’un certain point. C’est ce point qu’on
appelle centre de conversion. Voyez l’Abrégé des Mé-
moires de À Académie des sciences , vol. T, page 197.

Le Cenrre d'une courbe de la plus haute espèce,
est le point où concourent deux diamètres, et quand
tous les diamètres concourent au même point, on l’ap-
pelle le centre général. Voyez, sur ce sujet, l'abbé de
Gua, Usages de l'analyse de Descartes, et Cramer,
Introduction à l'analyse des lignes courbes.

CEnrre d’un cadran est le point où le gnomou ou
style, qui est placé parallèlement à l'axe de la terre,
coupe le plan du cadran. J’oyez GNomowique.

Centre d'équant. C'est, dans l’ancienne astronomie,
un point sur la ligne d’aphélie , aussi distant du centre
de l’excentrique vers l’aphélie, que le soleil l’est du
centre de l’exceutrique vers le périhélie.

Le Genre d'équilibre est le même, pour les corps
plongés dans un fluide, que le centre de gravité est

CE SO

pour les corps dans l’espace libre ; ou bien c’est un cer-
tain point sur lequel un corps ou un système de corps
resteront en équilibre dans toutes positions s'ils v sont [
suspendus. !

Le CENTRE de gravité de tout corps, ou de tout système
de corps, est ce point sur lequel tout corps ou système
de corps, actionné seulement par la force de gravité,
se maintient en équilibre dans toutes les positions; ou
bien c’est un point qui étant supporté, le corps ou le
système sera supporté, de quelque manière qu'il soit
situé sous les autres rapports. Il suit de là que si une
ligne où un plan passant par le centre de gravité sont
supportés , le corps ou le système sera supporté aussi.
Et réciproquement, si un corps ou un système sont en
équilibre sur une ligne ou un plan, dans toutes les posi-
tions, le centre de gravité est dans cette ligne ou ce
plan. Il résultera de la même manière, que si un corps
reste en équilibre quand il est suspendu par un point,
le centre de gravité de ce corps ou système est dans
la perpendiculaire abaissée du centre de suspension.
C’est de ces principes que dépend la méthode mécanique
de trouver le centre de gravité des corps.

Trouver mécaniquement le centre de gravité des corps.

Pour cette opération, il suffit de disposer un corps
dans deux positions différentes d'équilibre à l’aide de
deux forces, dans des directions verticales, appliquées
successivement à deux différens points du corps, et le
point d'intersection de ces deux directions sera le
centre cherché.

Nous allons le démontrer par quelques exemples : Si
le corps a les côtés plans comme un morceau de planche,
suspendez-le par un point, alors le fil d'aplomb suspendu
du mème point passera par le centre de gravité; après
avoir tracé cette direction sur la planche, suspendez-la
par un autre point, et appliquez le fil aplomb pour
trouver une autre ligne semblable; leur intersection in-
diquera le centre de gravité.

Ou bien encore suspendez Îe corps par deux cordes
partant du même point, et fixées à différentes parties du
corps; le fil d'aplomb suspendu au même point tom-
bera sur le centre de gravité.

Autre méthode. Placez le corps sur le tranchant d’un
prisme triangulaire, ou de quelque autre de ce genre, le
changeant de place jusqu'a ce que les parties des deux
côtés soient en équilibre, et marquez-y une ligne tout
contre le bord du prisme; mettezle en équilibre de
nouveau dans une autre position, et marquez une autre
ligne au bord du prisme: la ligne verticale passant par
l'intersection de ces lignes passera pareillement par le
centre de gravité. On obtiendra le même résultat en
posant le corps sur le bord d’une table, jusqu'a ce qu’il
soit prêt à tomber, et en y marquant une ligne le long

de ce bord; ceci répété dans deux positions du corps,
35

298 CE

fera connaître de la même manière .:e centre de gra-
vité.

Trouver le centre de gravité de certains corps géome-
triquement.

Pror. I. Trouver le centre de gravité de deux corps
donncs.

Soit A et B les deux corpsdonnés, prenezAG:BG::B:A,
le point G sera le centre de gravité de ces deux corps:
cela est évident par le principe du levier; car les corps
étant suspendus sur le point G, resteront en équilibre.
Voyez Levier.

Prop». II. Trouver le centre de gravité d’un triangle
ABC.

Partagez en deux chacun des deux côtés, AC, CB,
aux points Det E; joignez AE et BD, le point d'inter-
section G sera le centre de gravité
du triangle. En effet, le triangle
serait en équilibre sur chacune des
lignes AE, BD; car ces lignes par-
tageant également les lignes BC,
AC, partagent toute section paral-

lèle, et par conséquent le poids de
chaque côté est égal, et également m"
distant de ces lignes.

Pro». II. Trouver le centre de gravité d'un trapèze.

Divisez-le en deux triangles; trouvez le centre de
gravité de chaque triangle, puis, par la proposition I,
le centre de gravité de ces deux : ce sera le centre de
gravité du trapèze. On trouvera de la même manière le
centre de gravité de toute figure terminée par des ligne
droites.

Lois générales et détermination du centre de gravité.

Pror. I. Trouver le centre de tout nombre de corps
placés dans une ligne droite.

8 A m ce __
La

Soit A, B, GC, D, etc., les corps réunis dans leurs
centres de gravité respectifs; S, tout point dans la ligne
droite SAD; O le centre de gravité de tous ces corps.

Alors puisque les corps se font équilibre en O, nous
avons, par le principe du levier, E

AXAO+BXBO—=CXCO+DYXDO,
de là

A K (SO —SA)-+B X (SO — SB)—
C X(SG—S0) + D X (SD —SO),

CE
d'où l'en tire
A X:SO +HBX SOLCX SO + D X SO —
AXSA+BXSB+CXSC-ÆHD XSC,
et, conséquemment ,

RER nr Enre et

A EBEG LD

Si quelqu'un des corps est placé en sens inverse de la
IUT L “ l

SÙ

direction SD, leur distance doit être considérée comme
négative; et si SO est négatif, la distance SO devra
être mesurée de S selon cette direction qui a été sup-
posée négative dans le calcul.

Pop. II. 4S7 d’un nombre quelconque de corps on tire
des perpendiculaires sur un plan donne, la somme des
produits de chaque corps, par sa distance perpendicu-
laire respective du plan, est égale au produit de la
somme de tous les corps par la distance perpendicu-
laire de leur centre commun
de gravité au plan.

Soient A,B, C, etc., les
corps réunis dans leurs cen-
tres respectifs de gravité;
PQ le plan donné; tirez Aa,

Bb, Ce, à angles droits sur |

PQ, et par conséquent pa-
rallèles entre eux; joignez >

AB et prenez
AE : EB::B:A.

E est donc le centre de gravité de A et B; tirez Ee per-
pendiculaire à PQ, ou parallèle à AQ, et x perpen-
diculaire a Aa, ou Bb; donc dans les triangles sem-

blables AEr, EBy on aura

Azx : AL :: By : BE
° Ax : By :: AE: BE ::B: A,
c'est pourquoi
A X Az = B X By,

ou
A(xa—Aa)=B(Bh—7yb),

et, puisque Ea et EP sont des parallélogrammes
A (Ee— Aa) — B (Bb — Ee)
d'où
A X Ee+B X Ec= A X Aa +B X Bb,
ce qui donne
(A+HB)Ee = A X Aa +B X B6,
De plus joigrez EC, et prenez |
CG:GE::A+B:C,

CE
donc G est le centre &e gravité des corps À, B, C; tirez
Gg perpendiculaire à PQ, et on trouvera de même
(À + B)Ee + C X Ce—(A LB +C) Gg,
ou
(AH BE C)Gg = À X Auf B X BBC X Ce.
Il est évident que l’on peut étendre la même démonstra-

tion à tout nombre de corps.
Par conséquont

Ca AXAa+BXBbHCKCCLDKDAHetc.
LE “AFB+FC+DHetc.

Et si un plan est tiré parallèlement à PQ, à une distance

Gg, le centre de gravité sera quelque part dans ce plan.
Où trouvera de la même manière deux autres plans,
dans chacun desquels se trouve le centre de gravité, ct
le point où les trois plans se coupent l’un l’autre est le
centre de gravité du systéme.

Maintenaut de l’expression précédente , pour le centre
de gravité de tout'système de corps, on peut déduire uñe
méthode générale pour trouver ce centre. Car A, B,
C: etc., étant considérés comime les molécules élé-
mentairés d’un corps, dont la somme où masse est
M—A+B+C-+D +, etc.; À X Aa; B X Bb;
C x Ce, D,x Dd, etc, Sont les divers momens de
toutes cés parties. ( foyez Momens.) De là dohc, dans
tout corps, trouvez une expression péïérale pour là
somme des momens, et divisez-la pär la masse du corps ;
le quotient sera la distance du centre de gravité au sümi-
met où à tout autre point fixe, à partir duquel les mo-
mens sont évalués. Mais maintenañt pour trouver l’ex-
pression générale de la somme des momens , 2e problème
se divise en différens cas, suivant qu’on demande de
trouvér le centre dE fravité d’un solde, où d'une sur-
face plane où courbe, où d’une ligne courbe de toute
description. Nous examinerons chaque cas séparément.

Prop. I. Trouver le centre de gravité d'un corps
‘considéré comme aire , solide, surface d’un solide, ou
ligne courbe:

Soit ALV une liÿne courbe quelconque, RL l'axe
dans léquel devra se trouver le centre de gravité, car,
comme il partage toute ,

ordonnée IF en deux PS
parties égales en N, les

parties de chaque côté
dekKLseferontéquilibre |
les unes aux autres; le Rss |
corps sera donc en équi- A
libre sur RL, et par con- |
séquent le centre de gravité doit être quelque part dans
cette ligne.

Faisons LN = x,IN = y,1L = 2, et tirons PQ pa-

CE po

railèle à IF : si nous considérons donc ce corps comme
étant composé d’un nombre iufini de corpuscules, et si
nous multiplions chacun d’eux par sa distance à PQ, la
sonne de tous les produits divisée par la somme de tous
les corpuscules, où par la masse du corps, nous donnera
la distance du centre de gravité à L, ainsi que celà a été
démontré plus haut dans la proposition précédente.

Maintenant pour obtenir la somme de tousles produits,
nous devrons trouver d’abord la différentielle de la
somme , et son intégrale sera la somme elle-méme.

Soit ds la différentielle ou l'élément du corps, ou en-
core la différentielle de la somme des molécules, à la
distance LN=zx;, alors xs sera la différentielle de la
somme de tous les produits, et respectivement les in-
tégrales

ds: et: frds
seront la première, la somme des molécules, et 1x 8e-
conde, li somme des produits.

Désignons par D la distance du point L au centre de
gravité, et nous aurons, d’après ce qui vient d’être
dit (a),

D fé,
J'ds

Nous allons appliquer cette formule à plusieurs cas
particuliers. |

Soit la courbe ALV la parabole vulgaire dont l’équa-
tion est y?—ax, a étant le paramètre.

1. Trouver le centre de gravité de l’aire parabolique
ALV. Nous avons

L 4
Y=V ax = ax",
De plus, l'élément ds, puisqu'il s’agit d’une surface ,
est 2ydx ; nous aurons donc
1 5 & 5
> Jade is

S'x dæ. z'dx 2x

= ÿx—5LR quand x = LR.

D

2. Trouver le centre de gravité de la courbe para-
bolique ALV. Ici, puisqu'il s’agit d’une simple ligne,
l'élément ds devient

ds =V/dx+dÿ;
mais l'équation y?—ax nous donne en différentiant
dy—ïai.x-idx ou dÿ=}ax-dæ.

Nous avons donc :

Var = dev [14%]

et par conséquent
L 3 a
fEv Le + Fe Jéz
U _L &x.

p= RL + a
if av [r + Je

CE
__J'x V(4x+a)dzæ

JS VUz+adr
Les intégrales étant trouvées, leur quotient donnera la
distance demandée.

3. Trouver le centre de gravité du paraboloïde formé
par la révolution de la parabole ALV autour de son
axe LR.

L'élément ds étant pour un solide ry°dx , dans lequel
r est la demi-circonférence dont le rayon est 1, nous au-
rous, à cause de y°—=ax

J'ax*dx x
np: axdx Tix

= 3x LR quand x= LR.

4. Trouver le centre de gravité de la surface du pa-
raboloiïde. L'élément d’une surface courbe étant ds —

ryV/Ax® + dy*, nous trouverons , en substituant dans (a)

_ Jai (4x +a)dx
LE: V(4x+a)dz"

dont les intégrales, étant trouvées, feront connaître la
distance cherchée.

Le centre de gravité pourra se déterminer de la
mème manière dans tous les autres cas où l’on pourra

exprimer la courbe par une équation algébrique. Ainsi,
par exemple, en désignant par a la droite qui joint le
sommet et le milieu de la base, nous trouvons pour les
centres de gravité des corps suivans, les expressions

5. Dans un triangle plan...... 3a.

+lu wire

6. Dans un cône droit...... .. 34.

7. Pour un secteur circulaire nous avons : l’arc est à

la corde comme les & du rayon sont à la distance du

centre de gravité au Le du cercle.

La hauteur du segment d’une sphère, d’un sphéroïde
ou d’un conoïde , étant représentée par +, et tout l'axe
par & , la distance du centre de gravité au sommet, dans
chacun de ces corps, sera comme il suit : pour
8. La sphère ou sphéroïde.......... es

Aa— 4x

RE TS SR 5
9. Demi-sphère ou demi-sphéroïde.... 2x.

10. Conoïde parabolique....,......., x.
4a+3x

11. Conoïde hyperbolique............ ae

La position, la distance , et le mouvement du centre
de gravité de tout corps, sont les moyennes des posi-
tions ct distances de toutes les molécules de ce corps.
Cette propriété de ce centre a déterminé plusieurs au-
teurs à le nommer le centre de position, d’autres, le
centre de la distance moyenné, etc. Et c'est sur ce
principe qu'il est si important, dans toutes les questions

CE
mécaniques, de déterminer le centre de gravité des
corps. Car, ce centre trouvé, on considère tout le corps
comme condensé dans ce seul point, au moyen de quoi
on obtient la plus grande simplicité possible. Foy. CEn-
TRODARIQUE.

Centre de mouvement circulaire. Ce centre d’un
corps ou d’un système de corps est le point dans lequel,
si toute la masse était réunie, une force donnée appli-
quée à une distance donnée de l’axe de suspension pro-
duirait la même vitesse angulaire dans le même temps,
que si tous les corps étaient mis en mouvement à leurs
distances respectives. Ce pomt ne diffère du centre
d’oscillation qu’en ce que, dans ce dernier cas , le mou-
vement est produit par la gravité du corps ou de ses
molécules ; tandis que, dans le cas du centre de mouve-
ment circulaire, le corps est mis en mouvement par
quelque autre force agissant sur un de ses points.

Déterminer le centre du mouvernent circulaire.

Soient A, B, C, etc. , les
molécules d’un corps, ou les
corps qui forment ensemble
un système; P la force don-
née appliquée en D; R le
centre du mouvement cir-
culaire. Donc la force qui
accélère D pendant que ces
corps sont à leurs distances
respectives est

PXSD
AXSA+BXSBLCXSCHetc.

Soit maintenant toute la masse réunie en R, alors la
force d'accélération sur D sera

PXSD
(A+B+C-+etc.) X SR

Mais puisque P, et la vitesse angulaire de D sont, d’a-
près la définition, les mêmes dans les deux cas, la vi-

tesse absolue de D est aussi la même, et conséquem-
ment aussi la force accélératrice. Ainsi,

M=N.
D'où

SR=V ts XSA + BXSE + etc. ]

Et, par conséquent , si ds est la différentielle du corps
à la distance x de l’axe, on aura (b)

SR — =]

CE

1. Dans le cas d’une ligne droite, cette formule de-

vient
| 2. d

2. Pour le plan d’un cercle ou d’un cylindre roulant

autour de l'axe, on a
SR — rayon X V/+.

3. Pour la périphérie d’un cercle autour du dia-
mètre ,

SR=—rayonX +.

4. Pour une roue avec un bord très-etroit, tournant

autour de son essieu ,
SR = rayon.
5. Pour le plan d’un cercle autour du diamôtre,
SR = +rayon.
6. Pour la surface d’une sphère autour du diamètre,
SR = rayon X V/3.
7. Pour un globe autour du diamètre,
SR = rayon X V/+-
8. Enfin, pour un cône, autour de l'axe,
SR = rayon X y À.

La distance du centre du mouvement circulaire à
l’axe du mouvement est une moyenne proportionnelle
entre la distance du centre de gravité et celle du centre
d’oscillation au même axe. Ainsi, quand deux de ces
distances sont connues, on déterminera facilement la
troisième.

Cenrre d'inertie. Voy. CENTRE de gravité.

Cenrre de grandeur. C'est le point également distant
des parties externes d’un corps.

Cenrre des distances moyennes. Voy. CENTRE de gra-
vilé.

Cenrre de mouvement. Point autour duquel tournent
plusieurs corps ou un système de corps.

CenrRE d'oscillation. C’est le point dans axe de sus-
pension d’un corps ou d’un système de corps , sur le-
quel toute force appliquée, en supposant la masse du
système réunie en ce point, produirait la même vitesse
angulaire, dans un temps donné, que si cette même
force était appliquée au centre de gravité, les parties
du système oscillant à leurs places respectives; ou bien
encore, puisque la force de gravité sur tout le corps
peut être considérée comme une simple force, équiva-
lente au poids du corps, appliquée à son centre de gra-
vité, le centre d’oscillation est ce point, dans un

CE 301

corps vibrant, qui, si toute la masse était concentrée
dans ce point, vibrerait dans le même temps que le
fait le corps dans son état naturel. ?

Mersenne proposa le premier à Huygens le pro-
blème de trouver le centre d’oscillation de plusieurs
corps de formes différentes, particulièrement de sec-
teurs circulaires à différens points de suspension, et
c'est à ce dernier que nous en devons la première solu-
tion complète, quoique plusieurs cas particuliers aient.
été considérés auparavant par Descartes, Fabry, etc.
Depuis la découverte du calcul différentiel, cette ques-
tion se trouve résolue dans presque tous les ouvrages
élémentaires; mais nous renverrons le lecteur curieux
de connaître les premières méthodes employées pour la
solution de ce problème, aux Actes de Leipsic, de
1691 à 1714, où le sujet est traité de la manière la plus
ingénieuse par Bernoulli. Foyez aussi Herman, De motu
corporum solidorum et fluidorum ; et Huygens, Horlo-

gium oscillatorium.

Déterminer le centre d’oscillation.

Faites osciller plusieurs corps autour du point S,
comme si la masse de chacun
était concentrée dans les point

S

A,B,C. L'action produite par
la gravité de chacun de ces
corps peut être décomposée en
deux forces, dont l’une est dé-
truite par la résistance du cen-
tre de suspension, que sa di-
rection traverse, et dont l’autre
est perpendiculaire dans la di-
rection de la première; cette
dernière seule est efficace pour
mouvoir le corps ou le système.

La gravité tendant à imprimer la même vitesse aux
points À, B, C, dans la direction verticale, nous dési-
gnerons cette vitesse par g, et par m, n,p, les sinus
des angles que les barres supposées inflexibles, SA, SB,
SC, etc., forment avec la verticale SL. Tirant AM, BN,
CP, parallèles à SL, et chacune égale à g, elles représen-
teront les forces accélératrices des points À, B,C, ou
les espaces qu’ils décriraient dans la première unité de
temps, s'ils étaient abandonnés à eux-mêmes. Mais si, à
cause.de l’obliquité de ces forces sur SA, SB, SC, on
construit les rectangles am, bn, cp, les espaces parcou-
rus seront seulement Aa, Bb, Cc; et comme les angles
AMa, BNb, CPc, ont pour sinus 72, 7, p, nous aurons

Aa=m.g, Bb=n.g, Cc=p.g, etc.

D'où il suit que les corps A, B, C, pris séparément, se
meuvent avec des vitesses différentes, Mais si nous les

302 CE

supposons réunis ensemble d’une manière invariable,
de façon à former toutes leurs vibrations dans le
même temps, la vitesse des uns $era augmentée ; tandis
que celle des autres séra diminuée; et comme la somme
des forces qui sollicitent le système est toujours la même,
la somme des mouvemens perdus doit nécessairement
être égale à celle des mouvemens gagnés, ou la somme
de ces mouvemens doit être égale à zéro; considérant
les premiers comme positifs et les derniers comme né-
gatifs.

Représentons par À, B, C les masses des trois corps;
par a, b;, c leurs distances du point de suspension, et
par z,B, 7 les vitesses initiales qu’ils perdent où qu’ils
gagnent, les quantités de mouvement perdues ou ga:
gnées seront Az, B8; Cy, qui devront se faire équilibre :
ainsi la Sonime des momens pris par rapport au point
S est zéro; et comme les distances respectives de ce point
sont a, b; ©, nous aurons

Aaz + BEBE Ccy — 0.

Soit f'la vitesse que recevrait dans la première unité de
temps le point À soumis aux lois du système. Comme
tous les points décrivent des arcs semblables, leurs vi-
tesses initiales sont proportionnelles aux distances du

centre de suspension

Lf

ne?

: c'est pourquei celle de B sera
C nee 1:

et celle de C sera ce Or, l4 vitesse perdue par

chaque corps est égale à la vitesse qu'il aurait eue 7noÏns

celle qu’il a réellement : donc

bf

a?

\ D < c
a=m.g—f, Ê=n.g— v=pe—%.

d’où, substituant ces valeurs dans l'équation précédente,
nous aurons

DIN. 2e ©. x
Aaim.8 +8 n8— 7) + (ps Ÿ = 0.

Maltipliant pat 4 pour débarrasser cette équation dés
fractions , et dégageant f, nous aurons

glAa*m+Babn+ Cacp]
Aa+Bb+Ce

sd —

Des points A; B, C; abaissez les perpendictlaires AT;
BK, CL, sur SL; et de IH; centre dé gravité du systotié,
tirez HG perpendicüläire à la rnême ligne. La soriiié
dés momens des points A; B, C, par rapport au püirit
S, est égale du moment dé leur résultante qui traverse
le point H, dofic

A.AI + B.BK + C.CL = (A + B+C).Hg.
Les triangles SAI, SBK, SCL, SHG étant donnés,

faisons SIL — A, et désignons par r le sinus de l'angle
HSG, nous aurons

CE
AI = AS;sin ASI — an, BK — BS. sin BSK = bn
CL = CS. sin CSL = c.p, HG = SG. sin GSH = Air.
Substituant donc à ces lignes leurs valeurs, dans l’équa-
tiou précédente, nous aurons
Aam + Bbn + Cep = (À Æ BÆC) hr;

d’où résulte

— ag[A+B<+C]Ar

7 Aa + Bh + Ceci

Pour constater la position actuelle du point, dont la
connexion invariable avec le système ne change pas la
vitesse, soit æ la distance au centre de suspension} et s
le sinus de l'angle que la barre inflexible qui l’attache à
ce point fait avec la verticale; sa force accélératrice,
quand il se meut simplement, est gs; au cas contraire,
elle est pruportionrielle à sa distance du point S; et par

conséquent elle est égale à LS mais ces deux forces,
ou les vitesses initiales qu’élles produisént, devrorit être
égales : donc 2 =; niettant dans cette égalité la valeur
précédente trouvée pour f, il en résulte

(A ÆB +C)ghrx e
Am +Br+Ce 6”

d’où nous trouverons

s Aa + Bb: L Ce?

F (A+TB+EC)A

Pour que le point désigné soit le centre d’oscillation,

D a —

il n’est pas seulement nécessaire que ces deux vitesses
soient égales dans le premier moment, elles doivent
l'être encore à chaque instant de la descente : c’est pour-
quoi x restant le même, l’équation aura lieu, quelle que
soit la position de ce point et celle du centre de gravité,
relativement à la Verticale, c'est-à-dire, quêls que soient

$
s et r; le rapport - est constant, et nous avons par
F

conséquent en même temps r—0, $ —0; ce qui
prouvé que le cëntre d'ostillation, lé centre de gravité,
et le point de suspetision, sütit dans une seule et mêmi
ligne droite d'où il résulte s = r; et

Âa 4 Bb: + Ce

FTUATFBEOR
Le même gente de raisonnement s'applique éxactement,;
quel que soit le nombre des molécules. Donc; pour
trouver le centre d’oscillation d’un système de molécules
ou de corps, il faut multiplier le poids de chacune d'elles
par le carré de sa distance au point de suspension, et
diviser la somme de ces produits par celle des poids
mulupliée par la distance du centre de gravité au centre

CE

de suspension ; le quotient exprime la distance du centre
d'oscillation au point de suspension mesurée sur la
droite menée par le centre de gravité et ce point.

Pour rendre l'expression ci-dessus homogène à celles
des articles précédens, nommons $S le point de suspen-
sion, O le centre d’oscillation , ou SO Ja distance du
centre d’oscillation au point de suspension; soit ds la
différentielle du corps à la distance x, la formule ci-
dessus devient alors

Proposons-nous pour exemple de trouver le centre
d’oscillation d’une ligne droite, ou d’un cylindre sus-
pendu à à un point.

Dans ce cas

C'est-à-dire que le centre d’oscillation est aux 4 de toute
la longueur, à partir du point de-suspension. Si du
centre d’oscillation nous faisons le point de suspension ;
le point de suspension deviendra le centre d'oscilla-
tion. | |

Les centres d'oscillation pour différentes figures yi-
brantes sont, comme on le voit ci-dessous, savoir :

Nature de la figure.

Triangle isocèle. .

Suspendue par le sommet.
3 de sa hauteur.

Parabole commune. de sa hauteur.

ss... 7

_—s X Ja hauteur.

Toute parabole. ...........

Comme dass les figures mues latéralement ou par côté,
le mouvement se fait autour d’un axe perpendiculaire
au plan de la figure, il est difficile de trouver le centre
d’oscillation, parce que toutes les parties du poids, dans
le même plan horizontal, ne se meuvent pas avec la
même vitesse en raison de leurs distances inégales du
point de suspension, C’est ce qu a démontré Huy gens
dans son /Zorol. oscil. nl trouve, dans ce Cas, la distance

du centre d’ oscillation au- PS de |’ axe, . say oir :

Dans un cercle..... DDR 3 du ddtre.

ss.

Dans un rectangle suspendu |
] L .. 3 de la diagonale,

par un angle.
Dans une parabole + tt

5 1
: - axe 3 param,
par son sommet 7 F- 3 P:

La même perdue par le
+. axe ++ param.

milieu de la base.

3 arc X rayon

Dans un secteur de cercle... LD pe
4 corde

(rayon base}

baxe

Dans DUNCONDe en. ?axe+

CE 303

Dans une sphère... ......,...: +2
où rest le rayon, et g—=a—+r le rayon ajouté à la lon-
gueur a du fil par lequel elle est suspendue.

Emerson , dans sa Mécanique, place le centre d’oscil-
lation d’un cône aux + de son axe, à compter du som-
met ; partant de la supposition erronée que chaque mo-
lécule, dans Ja base du cône, se meut avec la même
yitesse; mais quand la hauteur du cône est égale au
demi-diamètre de sa base, le centre de la base est le
centre d'oscillation ; et quand le demi-diamètre de la
base excède la hauteur, ce centre tombe toujours au-
dessous de la base : ce qu'on peut déduire de l'expression
donnée ci-dessus pour le centre d'oscillation d’un cône.

Le CENTRE de percussion, dans un corps en mouve-
ment, est le point où la percussion ou le choc est le plus
fort; le point dans lequel toute la force de percussion
du corps est supposée réunie, ou autour duquel l'élan
des parties est balancé de chaque côté de manière à être
arrêté par un obstacle immuable à ce point, et à y res-

ter sans agir sur le centre de suspension.

1e Quand] le corps Ten roule autour d’un point
fixe, le centre de percussion ne fait qu'un avec le cen-
tre es et il est déterminé de la même ma-
nière, savoir, en considérant le choc violent des parties
comme autant de poids appliqués : à une ligne droite,
inflexible, sans gravité; ÿ € ’est-à-dire en divisant ei
par leurs distances du point de suspension , par la
somme des forces. C’est pourquoi ce qui a été démontré
plus baut pour le centre d' oscillation peut s'appliquer
aussi au centre de percussion , quand ! le corps tourne au-
tour d un point fixe. Par exemple, le centre de percus-
sion dans un cylindre est à + de sa longueur, à partir du
point de suspension; ainsi un bâton, de figure cylindri-
que, en supposant le centre de mouvement à la main ;
frappera le coup le plus fort au point qui se trouve en-
yiron aux ; de sa longueur, à partir de la main.

2. Mais si le corps se meut avec un mouvement paral-
lèle, ou qu'il meuve toutes ses parties avec la même
vitesse, alors le centre de percussion est le même que le
centre de gravité; car les momens sont les produits des
poids et des vitesses ; et multiplier des corps d’un poids
égal par la même vitesse est la même chose que de
prendre des multiples égaux : mais les multiples égaux
de corps de poids égaux pèsent également aussi ; donc
des momens équivalens sont disposés autour du centre
de gravité, et par conséquent les deux centres coïnci-
dent dans ce cas, et ce qui a été montré pour l’un sert

pour l'autre. à

CENTRE phonique (Acoust.). C'est la place où l’audi-
teur entend des échos polysyllabiques et articulés.

504 CE

CenrTre phonocamptique. C’est la place où est l’objet
qui renvoie le son.

Cenrre de position (Méc.), désigne un point d’un
corps quelconque, ou d’un système de corps choisi de
manière à ce que nous puissions estimer exactement la
situation et le mouvement du corps ou du système par
le mouvement et la situation de ce point.

Cenrre de pression, ou Meta centre d’un fluide contre

‘un plan, est le point que soutient une force égale et op-
posée à toute la pression appliquée contre lui, de sorte
que le corps sur lequel s'exerce la pression demeure en
équilibre ; c’est le même que le centre de percussion, en
supposant l'axe de mouvement à l'intersection de ce
plan avec la surface du fluide; et le centre de pression
sur un plan parallèle à l'horizon ou sur tout plan où la
pression est uniforme, est le même que le centre de gra-
vité de ce plan.

Le cexvre de rotation spontanée est le point qui reste
en repos au moment où un corps est frappé, ou autour
duquel le corps commence à tourner. Dans un court
écrit intitulé Specimen theoriæ turbinium , Segnes a dé-
montré que si on abandonne entièrement à lui-même,
après des mouvemens de rotation ou circulaires, tout
corps de telle forme ou dimension que ce soit, il aura
toujours trois axes principaux de rotation; c’est-à-dire,
tous les mouvemens de rotation peuvent constamment
se réduire à trois, lesquels sont accomplis autour de
trois axes perpendiculaires l’un à l’autre, passant par le
centre de gravité, et conservant toujours la même po-
sition dans un espace absolu , tant que le centre de gra-
vité demeure en repos ou avance dans une ligne droite.
Ce sujet est plus développé dans un des Mémoires de
l'Acad. des sciences, 1761, sur l’Arrimage des vais-
seaux , par A. Euler, fils du célèbre Léonard Euler. Ce
dernier a écrit aussi sur le méme sujet dans les Mem.
d: Berlin, 1759, et encore dans sa Theoria motus cor-
porum rigidorum. Foyez aussi les OEuvres de d’Alem-
bert, vol. I et IV.

Cexrne vélique ou point vélique, est le centre de
gravité d’une voile équivalente , ou d’une seule voile,
dont la position ct la grandeur seraient telles, qu’elle
püt recevoir l'action du vent, de manière que le mou-
vement du vaisseau soit le même que celui qui a lieu
pendant que les voiles ont leurs positions usuelles.
Bouguer, dans son Traité sur les vaisseaux, publié en
1746, examine la meilleure position pour les mäts,
l'extension à donner aux voiles, et les différens mouve-
mens de tourner par rapport aux changemens du point
vélique; et la science pratique qu’il unissait à ses pro-
fondes connaissances théoriques, le rendirent capable de
jeter une telle lumière sur cette question, que s’il eût
continué, il aurait pu être d’une grande utilité aux navi-

gateurs pratiques.

CE
CENTRER ( Opt.). Action de placer ie centre de

l'axe d’une lunette , de manière que toutes les parties
du champ soient semblables et situées de la même ma-
nière par rapport à cet axe. De tous les movens emplovés
pour obtenir ce résultat, le plus simple est celui de cou-
vrir l’objectif avec un diaphragme que l’on promène
sur sa surface, en le présentant au soleil : il faut alors
que l’image réfléchie par la partie convexe fasse un
cercle concentrique et parallèle à celui de l’image don-
née par la surface concave.

CENTRIFUGE (Méccan.), force centrifuge (de cen-
trum, centre, et de fugare, chasser). C’est celle par
laquelle un mobile qui tourne autour d’un centre, fait
effort pour s'éloigner de ce centre.

Pour avoir une idée précise de cette force , considé-
rons un point matériel P attaché à un centre fixe C par
un fil CP, et supposons qu’on lui imprime une vitesse
quelconque dans une
direction PM perpen-
diculaire à ce fil. Ce
point matériel décrira
un cercle dont le cen-

M

tre sera le point fixe

C, etle rayon la lon-

gueur du fil CP. Pen-

dant le mouvement,

le fil éprouvera une

tension qui sera précisément la force centrifuge. En
faisant abstraction du fil, et appliquant au mobile une
force égale à cette tension, et constamment dirigée vers
le point fixe C, on pourra considérer le mobile comme
entièrement libre, mais obéissant à l’action simultanée
de deux forces , dont l’une, la force centrifuge, si elle
agissait seule, l’entrainerait dans la direction PM, et
dont l’autre, la force centripète, si elle agissait égale-
ment seule, lui ferait prendre la direction CP, tandis
que le concours de ces deux forces oblige le mobile à
décrire le cercle C. Voyez CENTRAL.

CENTRIPÈTE (Mécan. ), force centripète (de cen-
trum, centre, et de peto, je tends). C’est celle par la-
quelle un mobile lancé suivant une droite PM ( fig. ci-
dessus), est continuellement détourné de son mouve-
ment rectiligne, et se meut dans une courbe. Cette force
est ioujours égale à la force centrifuge. Foyez CENTRAL

et TRAJECTOIRE.

CENTROBARIQUE (Mecan.), (de xirrper, centre,
et de Bagos, pesanteur, gravité). Méthode centrobarique,
ou procédé pour déterminer le volume des solides de
révolution par le mouvement des centres de gravité.

Le père Guldin, jésuite, se rendit célèbre dans le
XVII siècle par le théorème suivant, dont la décou-

CE

verte fui fut ensuite contestée par plusieurs savans.

Toute figure formée par la rotation d'une ligne ou
d'une surface autour d'un axe immobile, est le produit
de la grandeur génératrice par le chemin de son centre
de gravité.

Cette belle proposition se trouve énoncée à peu près
de la même manière dans la préface du septième livre
des Collections mathématiques de Pappus d'Alexandrie ;
et ii paraît difficile de disculper Guldin du plagiat dont
ii fut accusé. Quoi qu'il en soit, Guldin ne put parvenir
à démontrer son théorème d’une manière satisfaisante ;
et ce n’est qu’en l’appliquant à des problèmes déjà ré-
solus, qu'il conclut par induction qu'il était rigoureux
et général. La première démonstration géométrique qui
eu fut donnée est due à Antonio Roccha, disciple de
Cavalleri. Depuis la découverte des calculs différentiel
et intégral, le théorème de Guldin à été démontré de
plusieurs manières.

Soient x' et y’ les coordonnées du centre de gravité G
d’une surface plane PMM'P' J
dont nous représenterons l'aire
par =; le moment de l'élément
de cette surface, par rapport à
l'axe des æ, est +y Xydy;
mais la somme des momens des
élémens est égale à celle du
centre de gravité (voy. CENTRE

DE GRAVITÉ ), et nous avons

SEvdr= y. à P° P A

En multipliant les deux membres de cette égalité par
27, 7 étant la demi-circonférence du cercle dont le rayon
est 1, elle deviendra

JSry?dx = ?ry'3.

Or, l'expression f'ry’dx cest celle du volume engendré
par la révolution de PMM'P' autour de l’axe Ax, et
2ry'E est le produit du chemin décrit par le centre de
gravité autour de l’axe Ax par la surface génératrice
PMM'P', d'où il suit le théorème énoncé ci-dessus,

Pour donner quelques applications de cette méthode,
proposons-nous de déterminer les volumes du cône ct du
cylindre, c

La génératrice du cône est le
triangle rectangle CAB, qui fait
une révolution autour de l’axe
AC; cette génératrice a donc pour
aire + AB X AC. (J’oyez Arme.)
Menows les droites BE et AF sur
les milieux des côtés BC et AC,
le centre de gravité du triangle |
CAB est au point de concours O 2
de ces droites,etl’onaLO—1BE.
( Voyez Cenrax pe cnayisé. ) L'ordonnée du centre de

(>

505

gravité sera donc la perpendiculaire OD, dont la valeur

VA

s’obtiendra par la proportion

EO : EB :: OD : AB,
ou

2209.11: OD : AB,
d’où l’on tire
OD — 5 AB.

Mais dans la révolution de CAB autour de AC, le
centre de gravité O décrit un cercle dont OD est le
rayon, et dont par conséquent la circonférence est
égale à 27 X OD, où 57 X AB. En multipliant
cette circonférence, ou le chemin du centre de gravité,
par l'aire de la génératrice qui est + AB X AC, on aura
37. AC X AB”, pour le volume du cône. Or, r.AB° est
la surface du cercle dont AB est le rayon. ( J’oyez
Cercre.) Donc le volume du cône est égal au tiers du
produit de sa base par sa hauteur.

Le cylindre étant produit par la révolution du rec-
tangle ABCD autour de l’axe
AB, et l’ordonnée GE du
centre de gravité G de ce rec-
tangle étant égale à + AC, le
chemin décrit par le centre de
gravitéserar.AC.Multipliant
cette expression par l'aire de
la génératrice qui est égale à
£B K AC,
r.AC X AB, pour le volume
du cylindre, c’est-à-dire que

nous aurons,

ae

ce volume équivaut au pro-
duit de sa base par sa hauteur.

Lorsque la génératrice est une ligne, sa révolution
autour d’un axe produit une surface à laquelle le théo-
rème s'applique également. ( Foyez Poisson, Traité de
mécanique statique, 114.) Varignon a fait plusieurs appli-
cations curieuses de cette propriété du centre de gravité,
dans un mémoire intitulé : Réflexions sur l'usage que
la mécanique peut avoir en géométrie, et inséré dans
les Mémoires de l'Académie pour 1714.

CÉPHÉE ( Astr. ). Nom d’une constellation boréale
composée de 35 étoiles, dans le catalogue britannique.
Elle est située entre le Dragon et Cassiopée. Voyez
Prancne IX.

CERBÈRE ( Astr. ). Nom d'une constellation boréale
introduite par Hévélius. Flamstead l’a adoptée dans son
catalogue, et elle est figurée à côté d'Hercule dans son
Atlas céleste. Cette constellation renferme seulement
quatre étoiles qui sont aux environs de la main d'Her-
cule.

CERCLE (Gcom.). Figure plane terminée par une

39

306 CE

ligne courbe dont tous les points sont à égale distance
d'un point pris dans l’intérieur de la figure, et qu'on
nomme le centre.

Le cercle est la seule figure plane curviligne dont la
géométrie élémentaire s'occupe, et les anciens géomètres
ne donnaient le nom de constructions géométriques
qu'à celles qui peuvent s'exécuter à l’aide de la ligne
droite et du cercle. Plusieurs problèmes fameux dans
l'antiquité, tels que la quadrature du cercle, la dupli-
cation du cube et la trisection de l'angle n’ont conservé
la popularité dont ils jouissent encore aujourd'hui parmi
les personnes les plus étrangères aux mathématiques,
que par l'aveugle obstination avec laquelle on s'est
efforcé de les ramener dans le champ borné des con-
structions géométriques élémentaires. Nous devons faire
observer à cette occasion qu'il ue faut pas considérer
comme une imperfection de la science l'impossibilité où
elle se trouve de satisfaire à des exigences qui n’ont
rien de rationnel : la véritable imperfection, ou plutôt
l'ignorance, réside dans les efforts infructueux qui ont
été faits pour résoudre avec. la ligne droite et le cercle
des questions qui sont du ressort d’une géométrie plus
élevée.

Le cercle est donc une des figures les plus impor-
tantes de la géométrie élémentaire ; et, sans rappeler i ici
les définitions que nous avons données ailleurs, ainsi
que les noms que prennent les lignes droites dans leurs
rapports avec sa circonférence (voyez Norions PRELI-
MINAIRES, n° 42), nous allons exposer les théorèmes
principaux qui le concernent.

Turoxème. La perpendiculaire abaïssée du centre
d'un cercle sur une corde , partage cette corde en deux
parues égales.

Soit le cercle À, la perpendiculaire AM menée du
centre sur la corde BC,
partage cette corde en
deux parties égales.

Car en supposant les
rayons AB, AC, le trian-
gle BAC est isocèle, et
par conséquent la per-
pendiculaire AM menée

du sommet à la base
BC, partage cette base en deux parties égales. ( 7’oyez
IsocÈre. )

Tuéonème. Dans un méme cercle ou des cercles
égaux, les cordes situces à égale distance du centre
sont égales. Boss

Soient le cercle O et les deux cordes AB, CD, situées
à égale distance du centre de ce cercle, ces cordes sont
égales.Carsi on suppose menées les perpendiculairesOM,
ON. ces perpendiculaires seront égales, puisqu'elles sont
les distances du centre O aux cordes AB, CD , et de plus

CE

elles partageront ces cordes en parties égales (1); sup-
posant de plus les rayons”
OA, OC, on pourra con-
sidérer ces rayons comme

deux obliques égales par

ee:
A
a D
«M
HAE
p< R

rapport aux perpendicu-
laires égales OM, ON : ces
obliques s’écartent donc
également de leurs pieds :
AM est donc égal à CN;
mais AM, CN sont les moi-
tiés des cordes AB, CD.
Donc ces cordes elles-mêmes sont égales.

3. Tnéorème. De deux cordes inégalement éloignées
du centre d'un cercle, La plus proche est la plus grande,
et réciproquement.

1. Soit dans le cercle O les deux cordes AB, AC,
inégalement éloignées du cen-

tre, de manière que AB soit la
plus proche; elle sera la plus

longue;
Car si on mène les deux

perpendiculaires OE, OD, on

aura

AM > AD;

car AM est oblique par rapport à la perpendiculaire
AD : mais AE est plus grand que AM; donc on aura
à fortiort

AE >> AD.

Or, AE, AD, sont les moitiés des cordes AB, AC (r);
donc aussi AB est plus grand que AC.

Soient dans le cercle O les cordes AB, AC, de
ou e que AB soit plus grande que AC. Elle sera plus
près du centre;

Car, si cela n’était pas, sa distance au centre ne pour-
rait être que plus petite ou égale à celle de l’autre.
Mais dans le premier cas, d’après la proposition directe
elle serait la plus petite, et dans le second cas elle serait
égale à l’autre, ce qui est également contre l'hypo-
thèse. Elle ne peut donc être que la plus proche du
centre.

4. Corozvarre. On peut conclure de cette proposi-
tion la réciproque de la précédente, c’est-à-dire que
les cordes égales dans un méme cercle ou dans des
cercles égaux sont à Cgale distance du centre;

Car il est évident qu'on ne peut le supposer autre-
ment.

2e ”

5. Turonèmr. Dans un méme cercle où dans des
cercles égaux, les arcs égaux sont soutendus par des
cordes égales , el réciproquement.

0

1”. Sotent les deux cercles O , o égaux, et les deux

CE
arcs égaux ACB, acb : les cordes AB, ab qui soutenden:
ces arcs sont égales; car si l’on conçoit le cercle O su”

c

perposé au cercle o, de manière que les deux points
A, a coïncident, ces cercles étant égaux coïncideront
dans toutes leurs parties, et par conséquent les circoufé-
rences ACB , acb se confoudront; mais puisque le point
A coïncide avec le point a, et que les arcs ACB,
acb sont égaux, le point B coïncidera avec le point b,
et les deux cordes AB, ab, ayant leurs extrémités con-
fondues , evincideront parfaitement, et sont donc égales

2°, Soient dans les cercles égaux O, o les cordes égales
AB, ab. Les arcs ACB, acb soutendus par ces cordes
sont égaux ;

Car si l'arc acb w’était point égal à l’arc ACB, on
pourrait en concevoir un autre ac, plus grand ou plus
petit; qui le serait; et alors menant la corde &m, d’après
ce qui précède, on aurait

AB = am.

Mais am est plus près ou plus éloigné du centre que &b;
dans le premier cas on aurait

am > ab,
et dans le second (2)
am < ab.
On en conclurait donc dans le premier cas

AB < ab,
et dans le second
AB > ab,

ce qui est également contre l'hypothèse. Donc l'arc
ACB ne pouvant être ni plus grand ni plus petit que
l'arc acb, lui est égal.

6. CorozLaimE. La perpendiculaire menée du centre
d'un cercle sur une corde, partage l'arc soutendu en
parties égales ( fig. du n° 1).

On a démontré, n° 1, que cette perpendiculaire par-
tageait la corde BC en deux parties égales. Donc, puis-
que BM — MC, en supposant menées les cordes BD,
DC, ces cordes seraient égales, et par conséquent les
arcs soutendus égaux : le point D est donc le milieu de
l’are BDC.

3. Tüéorème. Les cordes parallèles interceptent dans

cercle des arcs égaux.

CE 207
Soient les cordes parallèles AB, CD, dans le cuicie O,
Les arcs AC, AD, qu'elles interceptent; son: égaux ;
Car, en supposant menée
la droite CB, on aurait les
angles BCD, ABC qui au-
raient pour mesures les moi-
tiés des arcs BD, AC, qu'ils
interceptent (voy. ANGLE O).
Mais ces angles sont égaux
internes.

comme alternes
Donc les moïitiés des arcs AC, BD, sont égales, et par
conséquent ces arcs eux-mêmes sont égaux.

S. Taronème: Lorsque deux cercles se coupent, la
droite qui joint leurs points d'intersection est partagée
en deux parties égales et à angles droits par celle qui
joint leurs centres.

Soient lés deux cercles A; B; qui se coupent aux points
GC, D, la drusite CD qui
joint leurs points d’in-
tersecton est parti- £
gée en deux parties r
égales et à anples  ;
droits, par la droite &

ABquijointleurscen- "D

tres : car ie centre A

estégalement éloigné des d ux points C, D, extrémités de
Ja Jroite CD, 6es points se trouvant sur la circonférence
de son cercle; par la même raison, le centre B est ass!
également éloigné de ces deux extrémités. Donc la droite
AB ayant deux de ces points également éloignés des
extrémités de la droite CD, lui est perpendiculaire, et
la partage en deux parties égales. Foy. PERPENDICULARE.

9. Tuéorèue. Par trois points dorines qui ne sont
pas en digne droite, on peut toujours faire passer une
circonférence de cercle.

Soient les trois points À; B;, C qui ne sont pas en
ligne droite, on pourra toujours faire passer une cir:
conférence de cercle par ces trois points.

Pour le prouver, il ne s’agit que de faire voir qu’il
existe un point à égale dis-
tance des points donnés À,
B, C. Or, si l’on eonçoit ces
points joints par les droites
AB, BC, et que sur les mi-
lieux dé ces droites on ait
élevé les perpendiculaires
EO, DO, cés perpéndicu-
laires se rencontréront nécessairement en un point quel-
conque O, car elles ne peuvent être parallèles, puis-
qu'en menant la droite ED, la somme des angles in-
ternes OED , EDO est évidemment plus petite que deux
angles droits. Mais le point O, comme appartenant à la
perpendiculaire EO, est également éloigné des deux

508 CE

points À, B, et, comme appartenant à la perpendiculaire
DO, il est également éloigné des deux points B, C : donc
il est également éloigné des trois points A, B, C,et par
conséquent c’est le centre de la circonférence qui passe-
rait par ces points. On se sert de cette construction pour
trouver le centre du cercle qui doit passer par trois points
donnés.

10. CorozLatrE. La perpendiculaire élevée sur le
milieu d'une corde passe par le centre du cercle ;

Car les droites AB, BC, deviendraient des cordes si
on faisait passer une circonférence de cercle par les trois
points A, B, C.

11. ScoutE. On peut conclure des numéros 1,6 et 10,
que le ceutre d’un cercle, le milieu d’un arc et celui de
la corde qui le soutend, sont en ligne droite, et que
par conséquent , en faisant passer une ligne droite par
deux de ces points, elle passera par le troisième.

12. Turorème. Un triangle quelconque peut étre
inscrit et circonscrit à un cercle.

Soit un triangle quelconque ABC; ce triangle peut
être inscrit et circonscrit à un cercle.

D'abord il peut être. inscrit, puisqu'on peut toujours
faire passer une circonférence de cercle par trois points
qui ne sont pas en ligne droite (9).

Il peut être aussi drconscrit, car si l’on suppose les
angles À, B, divi-
sés en deux par-
ties égales par les
droites AO, BO,
le point O, ren-
contre de ces deux
droites, est à égale
distance des trois
côtés du triangle.

Pour le prouver,

supposons menées les droites Oa, Ob, Oc, perpendicu-
laires aux côtés AB, BC, AC, et le triangle BO& trans-
porté sur le triangle BOb de manière que le côté BO
reste commun : alors, comme par construction, l'angle
OBa est égal à l'angle OBb, le côté Ba prendra la di-
rection du côté Bb; mais ces deux triangles étant rec-
tangles, le troisième angle BOa est égal au troisième
angle BOP, et par conséquent, à cause de l'égalité de ces
angles, le côté Oa prendra la direction du côté Oh. Donc
le point «a devant être en même temps sur les directions
des droites Ab, Ob, ne peut tomber qu’au point à com-
mun à ces deux droites; donc les deux perpendiculaires
Oa, OL coincideront parfaitement et sont égales.

On démontrerait de même que Oa, Oc, et par consé-
quent que les trois perpendiculaires Oa, Ob, Oc, sont
égales.

On peut donc faire passer une circonférence de cercle

par les trois pointsa, b, ce, et alors les trois côtés du

CE

triangle ABC étant perpendiculaires aux extrémités des
rayons Oa, Ob, Oc, seront des tangentes, et ce triangle
sera circonscrit. Donc, etc.

13. Tuéorème. Un polygone régulier, d’un nombre
quelconque de côtés, peut étre inscrit dans un cercle.

Soit le polygone régulier ABCDEF, Il peut être in-
scrit dans un cercle;

Car si des points M,
N, milieu des côtés
AB, BC, on suppose
élevées les perpendi-
culaires Mo, No, à ces
côtés, le point d’inter-
section O de ces per-
pendiculaires est le

centre de la circonfé-
rence (9) qui passerait par les trois points A,B, C.

Il ne s’agit donc que de prouver que les autres som-
mets D, E, Fse trouvent sur cette circonférence, ou
qu’ils sont également éloignés du point O. Pour cet effet,
supposant menées les droites AO, BO, CO, etc., les deux
triangles OAB , OBC auront les deux angles AOB, BOC
égaux, puisque ces angles ont leurs sommets au centre
d’un même cercle, et qu'ils interceptent des arcs égaux
AB, BC, sur la circonférence; la somme des deux angles
OAB, ABO du triangle OAB, sera donc égale à la somme
des deux angles OBC, BCO du triangle OBC (52); mais
ces deux triangles sont isocèles par construction, puis-
que les trois côtés OA, OB, OC, sont rayons d’un même
cercle; on a donc

OBC — BCO et OAB — ABO,
donc
OBC + BCO — OAB + ABO
est la même chose que
20BC — 2ABO,
d’où l'on conclut

OBC — ABO.

La droite OB partage donc en deux parties égales
l'angle B du polygone; mais l'angle OBC étant égal à
l'angle BCO, ce dernier sera aussi la moitié de l’angle
B ou de son égal C, et par suite l'angle OCD sera l’autre
moitié.

Donc si l’on suppose le triangle OBC transporté sur
le triangle DOC, de manière que le côté OC reste com-
mun, le côté BC prendra la direction du côté CD, à
cause de l'égalité des angles OCB , OCD; et comme de
plus ces côtés sont égaux, le point B tombera sur le
point D, et le côté OB ayant ses extrémités confondues
avec celles du côté OD, lui coïncidera parfaitement: ces

deux côtés sont donc égaux,

CE

On démontrerait de même que OD—OE—OF= etc.
Donc tous les sommets du polygone sont également
distans du point O, et par conséquent la circonférence
ABC devra passer par tous ces sommets, et ce polygone
peut donc être inscrit.

14. Scoue. Les angles AOB, BOC, COD, etc., se
nomment angles au centre du polygone; ils sont tous
égaux puisqu'ils interceptent des arcs égaux , et ilssont
équivalens au quotient de la division de quatre angles
droits par le nombre des côtés du polygone :car la
somme de tous ces angles équivaut à quatre angles
droits, puisque cette somme a pour mesure la circon-
férence entière, et qu’il y en a autant que de côtés de
polygone.

Par exemple, l'angle au centre de l'hexagone régulie
est équivalent à 4 ou 3 d'angle droit.

15. Tuxonème. Un polygone régulier d'un nombre
quelconque de côtés peut étre circonscrit à un cercle.

Car soit le polygone régulier ABCDEF, nous avons
démontré (13) que ce
polygone pouvait être
inscrit; donc tous les
côtés AB, BC, CD, etc.,
peuvent êtreconsidérés
comme des cordes éga-
les ; mais alors ces cor-
des sontégalementéloi-
gnées du centre (4), et

par conséquent les per-
pendiculaires om, on, op, etc., que l’on peut concevoir
menées du centre sur ces côtés sont égales, et les points
m, n, 0, p, etc., sont également éloignés du centre 0. On
peut donc par tous ces points faire passer une circonfé-
rence de cercle : alors tous les côtés du polygone seront
des tangentes, puisqu'ils sont perpendiculaires aux
extrémités des rayons, et le polygone sera circonscrit.

Un polygone régulier peut donc toujours être cir-
conscrit à un cercle.

16. ScoLiE. Dans un polygoné régulier les centres
des cercles inscrits et circonscrits sont le même point.

La perpendiculaire om, qui est le rayon du cercle
inscrit, se nomme aussi l’apothéme du polygone.

17. Tuéorème. Dans un demi-cercle, si de l'extré-
milé du diamètre on mène des cordes, et que de l’autre
extrémité de ces cordes on abaisse des perpendiculaïres
sur le diamètre, les carrés de ces cordes seront entre
«uæ comme les segmens adjacens.

Soit le demi-cercle ABCE ; si de l'extrémité À du dia-
mètre, on mène les cordes AB, AC, et que de l’extré-
mité de ces cordes on abaisse sur le diamètre les per-
pendiculaires BF, CG, on aura

AB? : AC” :: AF : AG,

509

car si l’on suppose
menéesles cordesBE,
CE,lestriangles ABE,
ACE étant rectangles
(angle n°6), on aura
(voyez TRIANGLE)

AB'—AE XAF, AC — AE X AG,

d’où l’on tire la proportion
“AB° : AC° :: AE X AF : AE X AG.

Divisant le dernier rapport par le facteur commun

AË, on aura
Ris
AB : AC ::AF : AG,

ce qui est la propriété énoncée.

18. Scome. Il résulte encore des propriétés du
triangle rectangle que la perpendiculaire abaissée d’un
point de la circonférence sur le diamètre est moyenne,
proportionnelle entre les deux segmens du diamètre,
car le triangle ABE étant rectangle, on a

AF : BF :: BF : FE.

19. Taéorime. Dans un cercle, lorsque deux cordes
se coupent, le rectangle formé entre les deux parties de
l’une, est équivalent au rectangle formé entre les deux
parties de l'autre.

Soient AB et CD deux cordes qui se coupent au point
O , on aura

AO X OB — CO X OD
car, menant lescor-
des AC, DB, les
deuxtrianglesACO
DBO, ayant les an-
gles CAO et ODB
égaux, comme
ayant chacun pour
mesure la moitié de
l'arc CB (angle 17),

sontentre eux COm-

me les produits‘ des
côtés qui forment ces angles (voyez Trraxcze), on a
donc

ACO : DBO :: AC X AO : BD X OD.
Mais ces deux triangles ont aussi les angles ACO et OBD

égaux, comme ayant chacun pour mesure la moitié de
l'arc AD (ANGLE n° 17), on a donc aussi

ACO : DBO :: AC X CO : OB X BD;

310 CE

mais le rapport ACO : DBO étant commun à cette pro-
portion et à la précédente, on en conclura

AC X AO : BD x OD :: AC X CO : OB X BD.

Divisant les antécédens par AC, et les conséquens par
BD, on aura

AO : OD :: CO : OB,
donc

AO X OB = CO X OD,

donc, etc.

20. Turorème. 8ÿ d'un point pris hors d'un cercle
on lui mène une tangente et une sécante, le carré de la
tangente sera équivalent au rectangle construit entre
la sécante entière et sa partie extérieure.

Soit: Je cercle ABCEA ; si d’un point quelconque D
pris au dehors de ce cercle, on mène la tangente BD et
la sécante AD, on aura

BD° = AD KX CD,

car, menant les cordes AB, D
BC, les deux triangles ABD,
CBD auront les trois angles
égaux chacun à chacun,
savoir l'angle D commun,
les deux angles DBC, BAC
comme ayant chacun pour
mesure la moitié de l'arc
BC, et les deux autres an-
gles BCD , ABD à cause de
l'égalité des deux premiers
(ANGLE 8).

Or, à cause de l'égalité des deux angles BAD, CBD,

on à

"+

ABD : CBD :: AB X AD : BC K BD;
et
ABD : CBD :: AB X BD : BC X CD,
à cause de celle des deux angles ABD, BCD.
Mais le rapport ABD : CBD étant commun aux deux
proportions, les autres rapports sont égaux, et l’on a
AB X AD : BC X BD :: AB X BD : BC x CD,
ou
AD : BD :: BD : CD,

en divisant les antécédens par AB et les conséquens
par BC.
D'où l’on tire
BD° = AD X CD.
Donc, etc.

CE

21. Tnéorème. SE d’un point quelconque pris hors
d'un cercle; on lui mène deux sécantes, le rectangle
formé entre l'uhe de ces sécantes et sa partie extérieure
sera équivalent au rectangle formé entre l'autre sécante
et sa partie extérieure.

Soit le cercle ci-dessus; si d’un point D pris au dehors
ou mène les sécantes AD, DE; on aura

AD *X CD — DE X DF.

Car, menant les cordes AF, CE, les déux triangles
AFD, CEF; auront leurs trois angles égaux chacun à
chacun; savoir : ADE qui est commun, DAF et DEC
comme ayant chacun pour mesure la moitié de l’are CF
et AFD, DCE à cause de l'égalité des autres.

Or, l'égalité des angles DAF, DEC, donne la pro-
portion

AFD : ECD :: AD X AF:DE KX CE,
et l’on a aussi

AFD : ECD :: AF X DF : CE X CD,
à cause de celle des deux angles AFD , DCE.

Mais le rapport AFD : ECD étant commun aux deux
proportions , on en tire

AD X AF:DE X CE :: AF X DF : CE X CD,

d'où; en divisant les antécédens par AF, ét les consé-
quèns par CE,
AD : DE :: DF : CD,
ce qui donne
AD X CD — DE X DF.
Doc, etc.

22. TuéorÈme. $ÿ dans un demi-cercle on élève une
perpendiculaire sur le diamètre , et que de l'extrémité
de ce diamètre on mène une droite qui Coupe la
perpendiculaire et la circonference, le rectangle formé
entre les distances, prises sur cette droite, de l’extrc-
mité du diamètre à la perpendiculaire et au cercle, sera
équivalent au rectangle formé entre le diamètre et son
segment adjacent à cette droite.

Soit le demi-cerclé ADC; si on élève la perpen-
diculaire BD sur
lé diamètre AC,
et que de lextré-
mité À de ce dia-
mètre, on mène la
droite AE qui cou-
pe la perpendicu-
laire en F, et la cir-
conférence en E,
on aura

AE X AF = AC X AB

CE
car, menant la corde CE, les deux triangles ACE, ABF
seront rectangles, le premier en E, le second enB, et
douncrort par conséquent

ACE : ABF :: AE X EC : AB X BF,
mais l'angle À étant commun à ces deux triangles, le
troisième angle ACE du premier est égal au troisième
augle AFB du second, et on a aussi
ACE : ABF :: AC X EC : AF x BF.

Le rapport ACE : ABD, étant commun aux deux
proportions, on en conclura

AE X EC: AB X BF :: AC X EC: AF X BF,

d’où l’on tire, en divisant les antécédens par EC, et les
conséquens par BF,

AE : AB :: AC: AF,
ce qui donne

AE X AF — AC X AB.
Donc, etc.

23. Une ligne courbe pouvant être considérée comme
un assemblage de lignes droites infiniment petites, la
circonférence du cercle n’est que le périmètre d’un po-
lygone régulier d’un nombre infini de côtés, et le cerele
lui-même n’est qu'un tel polygone.

Envisagé de cette manière, on voit immédiatement
que le cercle doit avoir toutes les propriétés des poly-
gones réguliers (voyez Porxcone). En conséquence,

24. Tous les cercles quelconques sont semblables
entre eux.

25. Les secteurs de différens cercles formant au centre
des angles égaux entre eux, sont aussi semblables entre
eux.

26. Les circonférences de cercles différens, de même
que les arcs qui sous-tendent des secteurs semblables,
sont entre eux comme les rayous de ces cercles.

27. Les surfaces des cercles, de même que celles des
secteurs circulaires semblables , sont entre elles comme
les carrés de leurs rayons ou de leurs diamètres.

28. La surface du cercle est égale au produit de sa
circonférence par la moitié du rayon ; ou bien à la moi-
tié du produit de la circonférence par le rayon.

29. La surface d’un secteur circulaire est égale à la
moitié du produit de son arc par le rayon.

30. Turonèue. Trouver le rapport du diamètre à la
circonference ; ou bien, le rayon étant supposé égal à
l'unité, trouver la demi-circonférence.

Ce rapport étant trauscendant, comme nous le ver-
rons plus loin, la géométrie élémentaire ne peut ré-
soudre le problème que par approximation. £i l’on con-
sidère que la circonférence ‘est plus grande que tout
polygone inscrit, quel que soit le nombre de ses côtés,

et plus petite que tout polygone cireonscrit, le moven

CE 51

le plus simple qui se présente pour arrlver à une éva-
luation approchée de la circonférence, consiste à calcu-
ler les périmètres de deux polygones, l’un inscrit et
l’autre circonscrit, et d’un nombre de côtés assez grand
pour que la différence de leurs périmètres soit au-des-
sous du degré où lon veut pousser l’approximation :
alors la grandeur de la circonférence qui est entre cellesde
ces périmètres sera connue d’une manière satisfaisante.

C’est ainsi que le rayon du cercle étant 1, on trouve :

Polygones inscrits.

Nombre de côtés. Demi-périmètres.

3 Se seotcese 30000001
6 sosie DJ: 1000200
12 ss sos ses J1020200
24 ss: 01909002
48 sssse.sse. 31410319
96 soccer 91414020
102 essossoss 3,1415576
384 ssssesces. 3,1415839
768 coossssse 3,1415004
1536 sissscses 31410020

Polygones circonserits.

fMombre de côtés, Demi-périmètres.

3 séscsosor 34041016
6 ssl 2 1000
12 Sos ose cs 1021000000
24 ss sos 1914008002
43 sessreoie 3,1427140
96 ss ss see 31410 TOI
192 sieste MO: 1410030
384 sessssses 3,1416102
768 ses... 3314150790
1536 soso. 3,1410987

La demi-circonférence du cercle tient le milieu entre
deux demi-polygones inscrit et circonscrit d’un même
nombre de côtés; mais elle n’en est pas la moyenne
arithmétique. L’algèbre nous apprend qu'il faut ajouter
à la première valeur, non la moitié, mais le &ers de Leur
différence, pour avoir la valeur très-rapprochée de la
demi-circonférence du cercle. En faisant ce ealcul, voici
les résultats qu’on obtient :

3 o..s.or.s 3,1423497
6 ........: 3,1416391
13 scies. 31415955
2H Lthareeacee 0;1410029
HO Re eeee. J1410027
96 Ve 3,1415927
192 +. à 3,1415927
Stat EN . 3314159027
RENE ETS 3,14150927
130 see 3,1415927

512 CE

Les six derniers nombres de cette table, absolument
égaux entre eux, prouvent que le rayon étant supposé
égal à l'unité, la demi-circonférence est 3,1415927, sans
qu'il y ait l'erreur d’une unité sur la septième décimale.

Le rapport 1 : 3,1415927 peut se réduire à des rap-

10000000

ports plus simples, en réduisant 199%%%%% en fraction

continue (voyez ce mot). On en retire les quotiens suc-
cessifs 3, 7, 15, 1; d'où il résulte les rapports suivans :

De tous les nombres, ceux-ci sont les plus petits qui
expriment le plus exactement possible le rapport du
rayon à la demi-circonférence, ou du diamètre à la cir-
conférence.

Archimède est le premier qui se soit occupé de cette
recherche importante : il yemploya les polygones inscrits
et circonscrit de 96 côtés chacun, et trouva que ce rap-
port devait étre renfermé entre les limites 9:92 et
71: 223. Le premier revient à 3,1425; l'autre à 3,1408 :
ils différent donc du véritable rapport, savoir : l’un
de 5 par excès, et l'autre de ès par défaut.

Adrien Métius, géomètre de Franeker, se rendit cé-
lèbre par la découverte des nombres 113 : 355, dont le
plus grand mérite est d'être faciles à retenir , ce rapport
étant composé des trois premiers nombres impairs 1, 3,
5, répétés chacun deux fois de suite. Il revient à
3,1415929 : ainsi, il ne diffère du véritable, par excès,
que de =.

Avant Métius, Ludolph Var Ceulen, avec un tra-
vail d'une longueur effrayante , en continuant les cal-
culs d’Archimède, par l'inscription et la circonscription
des polygones, porta à 34 le nombre des décimales
exactes du rapport. Plus récemment, l'infatigable Lagny,
à l’aide de nouveaux moyens, poussa l’approximation
jusqu'à la cent vingt-huitième décimale. Enfin, on
trouve ce calcul porté à 155 décimales dans un manus-
crit de la bibliothèque de Ratclif, à Oxford. Ainsi, le
rayon du cercle étant 1, la circonférence est égale à

3, 14159 26535 80793 23846 26433 83279
50288 41971 69399 37510 58209 74944
59230 78164 06286 20899 86280 34825
34211 70679 82148 08651 32823 06647
69384 46095 5o582 37172 53594 08128
4802 + etc...

Cette approximation étant de beaucoup au-dessus de ce
que peuvent exiger les calculs les plus délicats, nous
pouvons mettre le rapport du diamètre à la circonfé-
rence au nombre des quantités entièrement connues.

CE

31. Eu désignant le nombre 3,141592... etc. par la
lettre grecque #, qui lui est généralement consacrée,
nous aurons, d’après ce qui précède (24, 26, 27, 28), R,
Cet S étant respectivement le rayon, la circonférence

et la surfac d’une cercle quelconque,

1:2x::R:C.
D'où
C—=2r.R

S = 2r.R XÈ=r.Re.

Ainsi, lorsque le rayon d’un cercle est connu, on
trouve sa circonférence en multipliant ce rayOu par 2,
et sa surface en multipliant par + le carré de ce même
rayon.

32. Exposons maintenant quelques-uns des moyens
que possède la science pour déterminer directement la
nature et la valeur de ce nombre r.

Soit z un arc quelconque de cercle, et x la tangente
de cet arc, ou soit (a)

T—=tangz,

le rayon du cercle étant 1.

Il s’agit donc de dégager z de cette équation; car le
problème sera résolu quand on connaîtra la valeur d’un
arc par celle de sa tangente. En effet, si nous pouvons
obtenir une expression générale qui donne z en fonction
de æ, comme on sait que la tangente de l'arc égal à la
huitième partie de la circonférence est égal au rayon,
en faisant dans cette expression æ=— 1 On aura ÿr —2,
et x sera déterminé. Pour arriver à ce résultat, prenons
la différentielle des deux membres de (a), nous aurons

z = dtang z.
Mais

sin z cos z.dsin.z—sinz.d cosz
cos?z

d'ange =a[ TE — !
Or, dsinz— coszdz et dcosz — — sin z dz (Voyez

DrrréRENTIELLES). Substituant ces valeurs, nous obtien-

drons
cos?z. dz + sin°z. dz
diangs = —
cos?z
ou
dz
dtangz — ;
cos?z

à cause de cos’z+sinz=1.
Cette dernière égalité nous donne ()
dz=cosz.dtangz.
Mais, pour faire disparaître la quantité auxiliaire
cos’z, rappelons-nous que

sinz = cosz.tangz,

CE

et que, par conséquent,

cos:z + cos?z.tang?z = 1.
D'où l’on tire

CUS?3 — Re
1 +tang?z
Substituant daus (b) , nous aurons

dtangz
1-+tangz

Z =

ou (c)

dx
1+ 2x2?
en remplaçant tangz par x,

En prenant l'intégrale des deux membres de cette
égalité, nous obtiendrons (d)

dz—

3 — -E Us GC;
C étant une constante arbitraire que nous déterminerons
plus tard.

Ainsi pour connaître l’arc z, il faut intégrer l'expres-

sion ——— ; cetteintégration se fait par série de la ma-
1+ x
nière suivante : On a
dx
—— = dx (1+2)-
I + zx? ( +

développant le binome (1 + x°) —1 par la formule de
Newton (Woy. Binome), et multipliant ensuite chaque
terme par dx, nous obtiendrons

JS var tar ads +

+ xfdx — etc. |.

Prenant l'intégrale terme par terme, en observant qu’on

a en général,
LÉ Me TU
si FE ms

cette expression devient

dx DENT M ET NDS IE
FR RP NT TN TS

et nous avons définitivement (e)

x “x'1

FETE + etc...

n
1

x x° _æ1
CC OR US

Quant à la constante, elle est nulle; car, si nous ob-
servons que lorsque z est o, nous devons avoirxæ = 0,
et que dans ce cas, l'égalité (e) devient o = 0 + C, on
voit immédiatement que C = o.

CE

Telle est donc la série qui donne l'arc par la tangente;

513

ainsi, faisant x — 1, cas Où nous avons z — +7, nous
obtiendrons l’expression très-remarquable ( f).
1 tre:
—,f
=4ii--+e—-+-— etc...
l 3.2 07,0

qui est due à Leibnitz et à laquelle il est parvenu par
des procédés bien différens.

Cette série est très-peu convergente, mais on enseigne
dans tous les ouvrages de mathématiques les moyens de
la transformer en d’autres d’une convergence telle qu’il
est plus facile d’obtenir 200 décimales exactes par leur
moyen, que d’en calculer 20 par le procédé d’Archi-
mède.

33. Les nouvelles fonctions introduites dans la science
des nombres par Vandermonde et ensuite par Kramp,
sous le nom de factorielles, donnent une expression du
nombre, dont nous allons exposer la déduction comme

un exemple de leur usage.

Le binome des factorielles ( voy. ce mot ) étant ap-
pliqué au développement du trinome (a+4+b+4+c)1-—1
donne

(a+b+o) Ti (a+) (a)? ali c LE

+200 ED toc
Multipliant les deux membres de cette égalité par
a 011 elle devient (1)

(a+b+o) a li Cet) et ot

al 1

TC en ps c

ne Hb)i-si-iq=bis gai

b(b+1)(0- is 2)

1.

sg —bt cit

HET ab)

+ etc...

Mais; nous avons en général (Voy. FacroneLces)

a" — alla — 17)
et par conséquent, en faisant m— — m;b—— bet
2—=—1,
a"! mie ui — CD) NX

Ainsi, en vertu de cette dernière expression, nous
avons successivement
go

314 CE

(a-p3} 1 ri a°=t
Ce ai

(ab) 1-1 à —bl 1 ali
étc. etc.
CH TAaTiE La Ari .

Substituant dans (1), nous obtiendrons
(ab Chr t.a- tt à Æ bia-tit, cils Æ
b( G—2

+ —— —_'g—2l-A1 ç 2-1
.2
D(b—1)b—2) se 2812
La 1:23 ns Es is
+ etc.
ce qui devient, eu faisant c = — à

b bi, —Ù —1 =1#baT lt (a) +

b(b—
+ Le Sen

b( (b—1Xb—2) Es
1:29
+ etc...

Mais on a généralement

a) 31—1

—1(—

ali

TND

Donc, l'expression précédente se réduit à (2)

ae ni ru Ce Et bfB=r), (=apttet

bôl 1,a—û SN tra (a+
bb—1)\b—92) (—aÿt-1

KE 1:270 Mo rt

Ceci posé, l'intégrale de la quantité prxPm—t,(1 —xr)
est, en développant le binome (1—x?)",

PR f 2e ml —ar)"=pnf | amd —naxr rt) dx

ME Danmts)s de

ALLO À

1.2.3 REINE

+ ete...

En intégrant la série terme par terme , et faisant en-
suite = 1, nous trouverons (3)

CE
pm | xPm-1.(1=xry.dx Res à
(æ=1) m1
m n(n—1)
MES 12.
mn RES)
ee PE PTT LAN

Maintenant pour comparer les expressions (2) et (3),
remarquons qu’en gérérak

mp't

CE CP Gap

m
mp
à cause de

mn (mtpXmt tt met m(m+ x),
et de
(—1)P.mPt=(—m}rl-s,

Ainsi, l'expression (3) peut $e mettre aussi sous la

forme (4)

pme flam-stixr)" din

(—m)l=1

TEEN LE

n(n=1) (=m}l=:
1.2 (m+i)alt

n(r—3) (n—2) (—m}l-s

1.243 (m+1) Gino ttc is

+

+

faisant donc x — betm—a, les seconds membres de
(2) et de (4) deviennent identiques, et l’on à nécessaire-
ment (5)

pa far dr =bii,a-tit,
=)

ER SE *
a =}, b=—;

Pour les valeurs déterminées p=2, LR

cette intégrale devient (6)

_ A

à cause de

d’où
1 +
(—37* f=o(:) |

Or, lorsque x = 1 est le sinus d’un arc, l'intégrale
est la valeur de cetarc, alors égal à + #,car en diffé-
rentiant l'égalité

CE
Ainsi dans Je cas de x = 1 , nous avons
de
ps |

Vas.

#=[@ LR T

4!

et par conséquent

d’où enfin
TC

Cette élégante expression de 7 nous apprend que ce
nombre est une quantité irrationnelle d'un ordre su-
périeur aux irrationnelles élémentaires.

34. Jean Bernouilli, par la considération des loga-
rithmes des quantités dites imaginaires, est arrivé à une
expression de 7 également remarquable : c’est la sui-
vante :

1, log. Vs
? V3

C'est en faisaut observer qu’il entre dans cette égalité

des logarithmes qui sont déjà des fonctions dérivées, et
que pour obtenir l'expression théorique d’un nombre
(ce qui constitue sa nature), il ne faut employer que des
fonctions élémentaires entièrement primitives (l'addi-
tion, la multiplication, les puissances et leurs inverses),
que M. Wronski parvient à la belle expression

Le) ss —

Her Vers CV — a) — (iv —:1)°

— 1
qui ne contient plus en effet que des fonctions primi-
tives et qui dévoile la nature entièrement transcen-
dante de ce fameux nombre. (Vov. /ntroduction à la
phil. des math. , page 26.)

Æn développant les binomes( (HV GevMEsf

par la formule de Newton, on retrouve la série de
Leibnitz.

35. Pour compléter, autant que la nature de cet ou-
vrage nous le permet, ce qui a rapport au cercle, nous
ne devons pas passer sous silence les produites continues
de Wallis. Ce célèbre géomètre a trouvé

22-44.0-8-8-B-10, 10.12.01...
1:3.325 5871-0401 L4 LI. CIC,

QC

T'=—

fraction qui, lorsqu'on se-borne à un nombre fini de
termes, comme on y est obligé lorsqu'on veut réaliser
les calculs, donne des valeursalternativement plus petites
et plus grandes que la véritable, suivant qu'on prend
un nombre des termes pair où impair, C’est ainsi que
2 2.2
: esttrpp grand et que rs

est trop petit, De même

CE 515
2. A
n —. 22-408 = “À £ sera trop grand, ete if ge. ee sera trop

petit. On obtient donc par ce moyen des limites de plus
en plus rapprochées entre lesquelles se trouve la vraie
valeur de x.

36. Brounker s’est rendu célèbre par la fraction con-
tinue suivante :

Er =—
1H
2+9
2 +25
2 +49
2 + 81
2 + etc.

dont les numérateurs sont la suite des carrés des nom-
bres impairs 1, 3,5, 7,etc.

Cette fraction n’est qu’une transformation de la série
de Leiïbnitz, et elle est tout aussi peu convergente que
cette dernière ; c'est-à-dire qu’un nombre quelconque de
termes de la fraction donne précisément la même valeur
qu’un pareil nombre de termes de la série.

Euler s’est beaucoup occupé de toutes ces expressions
singulières du nombre +; nous ne pouvons que ren-
voyer à son Zntroduction à l'analyse des infiniment pe-
tits, ceux qui voudraient approfondir cette matière.

37. Nous terminerons cet article en donnant la frac-
tion continue suivante, à laquelle nous sommes parve-
nus par l’application de nouvelles formules sur ces im-
portantes fonctions. Voyez FRACTIONS CONTINUES.

La loi en est facile à saisir : les numérateurs des frac-
tions particulières sont, comme dans la fraction de
Brounker, la suite des carrés des nombres impairs 1, 3,
5, etc.; et les dénominateurs sont les produits deux à
deux successifs de ces mêmes nombres. Cette fraction est
beaucoup plus convergente que celle de Brounker ; il
suffit de 6 termes pour approcher dela valeur de x à
moins de == près.

Pt
516 CE
Cencies des degrés supérieurs. Ce sont des courbes

représentées par l'équation générale
VTT ES =Xx" (a—xy .

dans laquelle a est l'axe, x l’abscisse, et y l’ordonnée.

Ces courbes sont des espèces d’ovales lorsque m et n
sont des nombres entiers, et se réduisent au cercle or-
dinaire lorsque » = 1 et n — 1. On leur a donné le
nom de cercles, parce que leur équation embrasse celle
de cette figure comme cas particulier.

Cencres de la sphère, Voyez SPhÈRE ARMILLAIRE.

Cenczes de hauteur, Voyez ALMICANTARATS.

Cencces de déclinaison. Ce sont de grands cercles qui
passent tous par les deux pôles de la sphère céleste.

Cencres diurnes. Ce sont des cercles parallèles à l’é-
quateur, et supposés décrits par les étoiles et autres
points du ciel dans leur rotation diurne apparente au-
tour de la terre.

Nous devons faire observer que la plus grande partie
des cercles de la sphère sont transportés du ciel à la
terre, et servent aussi bien à la géographie qu’à l’as-
tronomie. On imagine, pour cet effet, que de chaque
point d’un cercle céleste est abaissée une perpendicu-
laire à la surface de la terre; toutes ces perpendicu-
laires tracent sur cette surface un cercle absolument
semblable au cercle céleste. C’est ainsi que l'équateur
terrestre correspond directement ayec la ligne équi-
noxiale ou l’équateur céleste.

Cencces verticaux, Voyez Azimur.

Cereces de latitude, de longitude, etc., Voyez La-
TITUDE , LONGITUDE.

CÉRES (Astr.). Nom donné par l’astronome Piazzi,

‘de Palerme , à la planète qu’il a découverte le 1° jan-
vier 1807.

M. Piazzi, dans une courte relation qu'il a publiée
sur la découverte de cette planète, raconte qu’occupé
de la confection du grand catalogue qui porte aujour-
d’hui son nom, il cherchait une étoile que Wollaston
avait placée danssa collection sous le nom de87° deMaver,
quoiqu’elle ne soit réellement pas dans le catalogue de
cet astronome. Il paraît que par une faute de copie ou
de calcul Wollaston l'avait changée de zone. Piazzi, ne
pouvantla reconnaitre à la place indiquée, s’attacha à dé-
terminer les petites étoiles qui s’y trouvaient. Le pre-
mier janvier 1801, il observa une étoile qui, le lende-
demain , lui parut avoir changé de place; 11 réitéra son
observation les jours suivans, et il s’assura que cette
étoile avaitun mouvement diurne et rétrograde de 4' en
ascension droite, et de 3',5 en déclinaison vers le pôle
boréal. Après en avoir suivi la marche jusqu’au 23 jan-
vier ,il écrivit le 24 à MM. Bode et Oriani, leur don-
nant les positions que l’étoile avait le premier et le 23 ;

ais la planète était déjà perdue dans les rayons du so-

CE

leil, lorsque la lettre parvint 4 ces astronomes, et ce ne
fut que le 7 décembre suivant que M. de Zach put la
retrouver. Dans l'intervalle MM. Olbers, Burckhard et
Gauss calculèrent, sur les observations de Piazzi, l'orbite
decette nouvelle planète àlaquelle il venait de donner le
nom de Cérès. Le premier trouva une orbe circulaire
et les deux autres une orbe elliptique.

Cette découverte ne fit que confirmer une idée de
Képler, qui avait soupçonné l'existence d’une planète
entre Mars et Jupiter, par la lacune qui semblait exister
dans l’ordre des distances des planètes au soleil. En effet,
c’est en partant de cette idée que MM. Lambert, Bode
et Wurm trouvèrent une loi très-remarquable dans les
différences premières des rayons vecteurs en nombres
ronds. En prenant celui de Ja terre pour 10 , ces rayons
vecteurs sont :

Mercure... 4—4

Vénus .... 7—4+#3.2
Terre..... 10—4+43.2:
Mars...... 16—4<+3.2
Ts hors MOOGE ES 98
Jupiter. ... 52—4+3.24

Saturne ... 100—4+3.95
Uranus. ... 196—4+43.95

Ainsi, en exprimant par » le rang de la planète, à
commencer par Vénus, l’expression générale du rayon
vecteur serait

4+3.2r—

La lacune entre Mars et Jupiter est évidente.

Quoi qu’il en soit de cette loi, connue aujourd’hui
sous le nom de Loi de Bode et qui n’est du reste qu’une
approximation empirique , la lacune s’est trouvée rem-
plie beaucoup mieux qu’on n’aurait pule supposer, car
la découverte de Cérès fut bientôt suivie de celles de
trois autres planètes Pallas, Junon et Vesta, également
situées entre Mars et Jupiter. (Joy. ces mots).

Voici les élémens de Cérès d’après Gauss.

Moyenne distance au soleil......,. 2,767
Excentricité. 1806.............. 0,0785028
Diminution annuelle............ 0,00000583
Nœud ascendant. 1806..........° 80° 53 31",a
Mouvement annuel............. 1,48
Inclinaison de l'orbite. 1806...... 10 37 3r,2
Diminution annuelle.........,.. 0, 46

Révolution sydérale............ 1681 jours 12b0

En prenant, comme on le fait dans la loi de Bode,
la moyenne distance de la terre pour 10, celle de Cérès
est 27,67; ce qui se rapporte assez bien avec ce que
demande cette loi, c'est-à-dire l’existence d’une planète
dont le rayon vecteur soit 28.

L CE

L'extrème petitesse de Cérès n’a pas encore permis de
déterminer son diamètre ni le temps de sa rotation sur
elle-même.

CEULEN, ou plutôt KEULEN (Luporpn van), cé-
lèbre géomètre hollandais, naquit à Hildesheim vers
1550. Sa famille était originaire de Cologne, et c'est à
cette circonstance qu'il doit le surnom néerlandais de
Ceulen ou Keulen, sous lequel il est plus généralement
désigné dans l’histoire de la science. Professeur de ma-
thématiques à Breda et ensuite à Amsterdam , van Lu-
dolph s'était acquis de la réputation par la publication
de quelques écrits et pour l'habileté avec laquelle il sa-
vait faciliter à ses nombreux auditeurs l'accès des pro-
blèmes les plus difficiles, lorsqu'il se rendit tout à coup
célèbre par l’approximation qu’il donna du rapport du
diamètre du cercle àla circonférence. Le résultat auquel
il parvint, par un immense travail, l’emporta de beau-
coup sur celui où étaient parvenus Archimède, Metius,
Viete et Adrianus Romanus, qui s'étaient évertués à
resserrer de plus en plus les limites de ce rapport. Il y
avait, en effet, quelque temps qu’Adrianus Romanus
avait poussé cette approximation jusqu'à 17 décimales.
Van Ludolph la porta à une exactitude bien plus satis-
faisante; il démontra que le diamètre du cercle étant
l'unité, suivie de 35 zéros, la circonférence est plus
grande que3,14159265358579323846264338327950288
et moindre que le même nombre augmenté de l’u-
nité; ainsi l'erreur est moindre qu'une fraction dont
l'unité serait le numérateur et le dénominateur un
nombre de 36 chiffres. L'imagination est effrayée, dit
Snellius, cité par les biographes de Ludolph, lorsqu'elle
tente de se représenter la pctitesse de cette fraction :
elle est beaucoup moindre, à l'égard de l'unité, que ne
serait l'épaisseur d’un cheveu sur la circonférence d’un
cercle , dont le rayon serait la distance qui existe entre
la terre et les fixes les plus voisines. Van Ludolph ex-
posa cette approximation dans son livre de Circulo et
adscriptis, qu'il publia en hollandais en 1610, et que
Snellius traduisit en 1615. On a observé avec raison
que ce travail du géomètre hollandais annonçait plus de
patience que de génie. Il suivit simplement le procédé
d’Archimède, en doublant continuellementle nombre
des côtés des polygones inscrits et circonscrits, jusqu’à
ce qu’il fût parvenu à deux, dont les contours diffé-
rassent de moins que l'unité sur un nombre composé
de 35 chiffres. Néanmoins Van Ludolph fut émerveillé
de la découverte de son approximation que la science
détermine autrement aujourd’hui (voy. Crrcre); et à
l'exemple d’Archimède, il désira que ces nombres fus-
sent gravés sur son tombeau. Ses dernières volontés
furent respectées : il mourut à Leyde en 1610, l'année
même où il publia son travail sur lerapport du diamètre
du cercle à la circonférence, il fut inhumé dans l’église

CE 517

de Saint-Pierre de cette ville où l’on voit son tombeau
avec l’inscription qui rappelle sa principale découverte.
Van Ludolph Ceulen est du petit nombre des géomètres
distingués qui parurent dans les Pays-Bas au commen-
cement du XVII® siècle; parmi ses ouvrages nous cite-
rons seulement les deux suivans : undamenta arithme-
tica et geometrica, traduction latine de Snellius, Leyde,
1615, in-4°, L'original hollandais a été réimprimé à
Leyde en 1716, in-fol. Zetemata ( ceu protesnata) geo-
metrica, Leyde. Dans ce dernier écrit Van Ludolph
s’escélevé à des considérations algébriques, qui attestent
son habileté à se servir de l’analyse mathématique.
CÉEVA (Tnomas), géomètre distingué, né à Milan, le
20 décembre 1648, était entré fort jeune dans l’ordre
des Jésuites, association aussi remarquable alors par sa
puissanceque parle savoir élevé dela plupartde sesmem-
bres, et où son mérite comme mathématicien ne tarda
pas à être remarqué. En 1695 , le P. Thomas Céva , déjà
connu en Italie, publia la découverte d’un instrument,
à l'aide duquel on pouvait exécuter mécaniquement la
trisection de l'angle. Le marquis de L’Hospital donna la
même découverte dans son Traité des sections coniques,
qui paruten 1707, et les géomètres italiens lui repro-
chèrent de n'avoir fait, en la rapportant , aucune men-
tion de Céva. Ce géomètre publia en 1699ses Opuscula
mathematica, où Von trouve diverses considérations
ingénieuses sur la multisection de l’angle, soit mécanique
au moyen de son instrument, soit géométrique par le
secours de certaines courbes. Le P. Céva ne s’occupait
pas seulement de mathématiques, il était poète aussi, et
l'on a de lui uu poème latin en quatre livres sur la phy-
sique ancienne et moderne ; il est mort à Milan le 3 fé-
vrier 1736. — CEVA (Jean, le marquis), l’un des frères
du précédent , commissaire de la chambre archiducale,
mérita aussi la réputation d’un savant mathématicien.
Le P. Grandi en parle avec éloge dans son ouvrage inti-
tulé : Geometrica divinatio vivianeorum problematum,
mais il classe son mérite au-dessous de celui de son
frère, malgré le nombre considérable de ses ouvrages,
la plupart fort estimables Le premier ouvrage de Jean
Céva, De lineis rectis se invicem secantibus constructio
statica, publié à Milan en 1678, in-4, est un traité de
géométrie remarquable pour l’époque. On Y trouve sur
les centres de gravité use théorie profonde et supérieure
du moins à ce qu’on avait publié jusqu'alors. Ses autres
écrits sont: I. Opuscula mathematica, Milan, 1682,
in-4°. II. Geometrica motus, Bologne, 16c2, in-4°. Cet
ouvrage est fort rare, et paraît avoir obtenu ur grand
succès lors de sa publication. L'auteur y traite du mou-
vement des eaux; il fut probablement publié à l'occa-
sion des contestations qui s'élevaient souvent entre Bo-
logne , Ferrare et d’autres villes d'Italie, au sujet du
cours irrégulier des fleuves de ce pays. (Voy. Cassini

348 CH

Dom.) Lé célèbre et savant Wolf recommande spéciale-
ment cet écrit, que bien des géomètres français ont pu
consulter. INT. Trra problemala geometris proposita,
Mantoue, 1710, in-4°. IV. De re nummerid, quoad
fieri potuit, geometricè tractat&. Mantoue, 1711, im-4°.
V. De mundo fabricä, unico gravitatis principio innixa,
deque fluminibus, etc., Mantoue, 1715, in-4°. VI. Hy-
drostatica, Mantoue , 1928 ,in-4°.

CHAINE (4rp.). Instrument dont on se sert pour me-
surer les distances sur le terrain. Voy. ARPENTAGE.

CHAINETTE (Gcom.).Ligne courbe formée par une
corde parfaitement flexible, qui, suspendue lâchement
à deux points fixes, est abandonnée à l’action de sa seule
pesanteur.

Le problème de déterminer la nature de cettecourbe,
fut un de ceux que Jacques Bernouilli proposa aux géo-
mètres du XVIT° siècle. Il est devenu célèbre par toutes
les controverses qu’il a fait noître. Galilée s’en était déja
occupé, mais il avait jugé sans aucune raison valable
que la courbure de la chatnette était celle d’une parabole;
et cette opinion soutenue par le père Pardies, à l’aide
de grossiers paralogismes, n'avait pu résister aux dé-
monstrations expérimentales de Jungius.

Quatre solutions répondirent à la demande de Jacques
Bernouilli ; elles furent publiées dansles actes deLeipsik,
en 1691, et sont dues à Jacques et Jean Bernouilli,
Leibnitz et Huygens. Ces illustres géomètres ont donné
leurs résultats sans analyse, probablement, dit Montucla,
dans son Histoire des mathématiques, afin de laisser
encore quelques lauriers à ceux qui viendraient à bout
de la deviner. En 1697, Grégory tenta de compléter
leurs travaux, en exposant la théorie de la chaînette
dans les Transact. philos., vol. W, page 48, et il pré-
tendit que cette courbe renversée était la meilleure
figure qu’on pût donner à une arche. Hutton a récem-
ment prouvé dans son ouvrage: Principles of Brigdes
que cela n’avait lieu que dans quelques cas particuliers.
L'usage important qu’on peut faire de cette courbe dans
l'architecture, et les propriétés, tout-à-fait remarquables,
dont elle est douée , exigent que nous entrions dans quel:

ques détails à son sujet.
A

2 œ

oœ

BB

eennesnnnnem en ene sem ememems comen |

Soit une corde ADB parfaitement flexible, supendue

CH

par ses extrémités en À eten B, ct prenant par son
propre poids une courbure AyDFB. Prenons AB pour
l'axe des abscisses, et faisons Ax — x et l’ordonnée
yx ==Y, en choisissant le point À pour origine. Par les
points À et y, menons les tangentes AO ,yO qui se
rencontrent en O, et par ce point, abaissons Oh per-
pendiculaire à l’axe. D’après la théorie de la machine
Juniculaire (voy. ce mot), si nous supposons que le
poids de la corde est appliqué en O, nous aurons
T:P::sin AOy : sin AOy

T désignant la tension en A et P le poids de la portion
Ay de la corde.

La tension T agissant suivant la tangente AO, dési-
gnons par @ l'angle OAB formé par cette tangente et
l'axe horizontal AB, et nommons s l'arc Ay. Remar-
quons en outre que si nous prenons pour unité de poids
une quantité quelconque p, nous aurons d’abord P=5p,
et ensuite T—np, n étant un coefficient constant qui
exprime le rapport de cette unité de poids avec celui
de la tension de la portion de la corde Ay. La propor-
tion ci-dessus devicadra donc

np:sp::sin AO: sin AOY,
ou (a)

n:s::sin AOy:sin AOy

en supprimant le facteur commun p dans le premier
rapport.

Ceci posé, imaginons le triangle élémentaire ny,
c’est-à-dire, preuons 27 pour la différentielle de d'or-
donnée, alors »n sera la différentielle de l'absçisse, et
my celle de l'arc, ou nous aurons

ny =dy, mn=dx, my=ds

Or, ce triangle étant rectangle en », nous donne

: nn yn
sin myn my cos PYn = Fra

ou, ce qui est la même chose,

5 dx dy
Sin JAY — = COS AY — Æ .

Mais l’angle myn se confond avec l'angle Oyx, lors:
que »2y est infiniment petit, et l'on a évidemment, à
cause des parallèles AO , yx

l'angle Oyx = l'angle GO

donc
dy

Ë
COL A

Ai GO —

De plus, les angles GOk et AOy ainsi que les angles:
AOGet AOy, sont supplémens l’un del'autre; on a donc

sin GOA — sin kOy

CH

sin AOy = sin AOG = sin (GO4 — hOAÿj.
D'où (Foy. Sinus)
sin AOy — sin GO. cos AOA — sin AOA. cos GO

et, substituant les valeurs de sin GOZ et de cos GO ,

—-, cos AOA DM

ee PE sin AOA

sin AOy —
Le triangle AO étant rectangle en , les deux
angles AOA et OA sont complémens l’un de lautre.
Ainsi, ayant désigné OA par @, nous avons

cos AOA — sin ét Sin AOA = cos?,
d’où
: Æ dx . dy
sin AOy= Te » Sin®— 7 cos ?.
Etenfin, en substituant les valeurs précédentes dans (a),
on obtient (b)

dredr dy
ni ST 2 snpE 5 COS @:

De cette dernière proportion, on tire (c)

é d
S—=nSINŸ —n ——

dx SP:

En différentiant l'équation (c), elle devient

ds——n T cos ?.

dx
Mais pas la nature du triangle élémentaire »ny, on a
aussi.
ds — Vdx'+dy..
Donc,
Var = n0T. 606 4
HE ,

D où l’on tire facilement

À EE nos pa

Intégrant cette dernière équation, on obtient

Y=—n cos ? 17128. it

qui, en mültipliant par dx et dégageant le rapport

pl <
A devient ( /)

CH 919

dy V{C—r)—n0c0s?
dx n cos @ |

Nous déterminerons la constante C en remarquant
qu’au point A ,ona

X—= 0,7 —0 €t dy —= tango.
dx
Ces valeurs substituées dans (d) donnent
ntang . cos ? — VC cos’?
ou, à cause de tängÿ. cos à — sii @(Poÿ. Sixvs),
n sin ÿ = V/Ü—rc05@
Élevant au carré, ôn obtient
sin 9 — Crncos 9
et par conséquent,

Ch" sing—cos ?)=7?*

Ainsi C = n et l'équation différentielle de la chainette,
est définitivement (e)

dy LV (a—yÿ cos g
dx A COS ® :

Pour intégrer cette équation ; faisons

N—Y=3, n COS —IM

now aurons
dy = — d,
et elle deviendra
indé
dx = — ——
VE —7r

Sous cetté forme, l'intégrale est (log. désiguant le loga-
rithme naturel),

x=m log nc — V3 ns |+ C.
Ainsi , en remettant pour z et 72 leurs valeurs, on a
X=n cos @ log[ (unir cure | +C.

Pour déterminer la constante C, faisons æ — 0 et
!
y = 0 dans cette dernière équation, et nous obtien-

drons
= — A COS @. Log[ x (1— Vi cor) |,

d’où résulte pour l'équation élémentaire de la chaînetter
l'expression (f)

(n —y) =V{n—r) Pan LEee)

n—n\/1—c05 @ g

æ=ncoseog|

320 CH

de laquelle on peut aisément déduire toutes les propriétés
de cette courbe. Nous verrons ailleurs qu’elle est rec-
tifiable et quarrable. Voy. QUADRATURE et RECTIFICA-

TION.
Cette équation peut être mise sous une forme plus

simple en la résolvant par rapport à y. En effet, E
désignant la base des iogarithmes naturels, on a en gé-
néral

el &P=p,

et, par conséquent, en faisant ; =,

1 COS®

n—n\/1— =D

remarquant que V/1— cos’? — sin @, et dégageant y,
on obtient (g)
— 95 |

y=n [1

Ilentre dans leséquations(f) et(g) deux quantitésret®,
dont on ne peut déterminer les valeurs qu’en sachant
quelles sont les coordonnées du second point de suspen-
sion, ainsi que la longueur totale dela corde. Supposons
pour plusde généralité queFsoitcesecond point dont nous
désiguerons les coordonnées AE et EF par x'ety', et
que / soit la longueur de la corde comprise entre A et F';
en substituant ces valeurs dans (c) et dans (f), nous ob-

tienudrons

—3-(sinp).e

= nsing—V/(1—y'}—ncosp

(a _ DV arr co p

x'=n cos. tof = a Vi cos 9)

équations à l’aide desquelles on pourra déterminer » et
cos @ en fonctions de x’ et de y”.

CHAMBRE OBSCURE (Opt.). Instrument d'optique
quireprésente les images des objets en leur conservant
leurs couleursetleursmouvemens.La premièreinvention
de ce curieux appareilest généralement attribuée à Bap-
tiste Porta qui en a donné une description dans son ou-
vrage, Magia naturalis, publié à Anvers en 1587.Cepen-
dautle docteur Friend (Æistory of physic). affirme que la
chambre obscure était connue de Roger Bacon, et il
v’est guère possible de rejeter les preuves qu'il rapporte
à l'appui de son assertion.

i 1 théorie de cet appareil est facile à comprendre. Si
un objet AB envoie des rayons à travers une petite ou-
verture € sur un fond blanc opposé, et que la place de
V'irradiation soit sombre derrière C, l'image de AB se
peindra renversée en ab sur le fond; car l'ouverture C
étant très petite, les rayons qui viennent du point A
tomberont en a, et ceux de B en b; et comme ces rayons

CH
sont réfléchis par le fond blanc, une image de AB se
montrera sur ce
fond; image né-
cessairement ren-

versée, puisque la f
partie supérieure D
setrouveréfléchie !

en sens inverse de

la partie inférieu-

Quant à la
grandeur de l’image, lorsque le fond de la chambre est
parallèle à l'objet, elle sera à celle de l’objet dans le

même rapport que celui de sa distance au point C, à la
distance de l’objet au même point; c’est-à-dire qu’on
aura

AB : ab :: CD: Cd,

oc qui est évident par l'inspection des triangles sem-
blables Cd, CAD et Cad, CBD.

On pourrait donc construire une chambre obscure au
moyen d’un seul trou très-petit, sans y mettre de verre;
mais lorsqu'on adapte en C une lentille convexe dont
le foyer est en d, on obtient une image beaucoup plus
distincte. De toutes les formes qu’on peut donner à cet
instrument, la suivante est Ja plus simple et la plus com-
mode pour le rendre facilement transportable.

Soit MNCD une boite rectangulaire d’une longueur de
20 à 24 pouces, et d’une largeur de 10 pouces. Cette
boîte doit être fermée de tous les côtés, sauf l’espace
FGED qu’on recouvre d’une glace ou d’un papier trans-
parent, et d’un trou L auquel on adapte un tube portant
un verre lenticulaire d’un foyer égal à la longueur de |
la boite. Les rayons d’un objet quelconque AB, placé
devant le tube, sont interceptés par un miroir, plan ID,
incliné de 45° au fond de la droite, lequel les renvoie.
sur le transparent FGED, où se peint l’image a'b'de
l'objet, Comme il est nécessaire que le transparent ne
soit pas affecté par la lumière extérieure, on le recouvre
d’une autre boîte àlaquelle on ne réserve qu’une ouver-
ture opposée à L pour regarder dans l’intérieur.

On peut varier de plusieurs manières cette cons-
truction, comme on peut aussi redresser la situation de
l'image , en ajoutant au tube L un second verre lenti-

cujaire.

CH

CHAMP (Opt.). On désigne sous ce nom l'étendue
des objets qu’on peut embrasser avec une lunette, un
télescope ou un microscope. La grandeur du champ d’un
instrument dépend de la grandeur du foyer et de l’ou-
verture de l’oculaire. Plus ce foyer est long et plus l’ou-
verture est grande, plus le champ est considérable.
(Foy. DiorTRIQUE.)

CHANGEANTES 4str.).Étoiles qui changent d'éclat
ou dont la lumière augmente et diminue alternative-
ment, On les nomme plus particulièrement étoiles pé-
riodiques.

L'une des plus remarquables est la changeante de la
Baleine, signalée par Fabricius en 1596, et dont la
période fut fixée approximativement à 333 jours, par
Bouillaud, en 1667. Cette étoile conserve son plus
grand éclat pendant environ quinze jours, elle est alors
de la seconde grandeur, elle décline ensuite pendant
trois mois, jusqu’à devenir invisible, ce qui dure à peu
près cinq mois, ensuite elle reparaît, et va en croissant
pendant les trois derniers mois de sa période, dont la
durée est de 333 à 334 jours.

Aigol ou Bde Persée passe en 2j. 20! 48" ou 49'de la
seconde grandeur à la quatrième. 6 de la Lyre passe en
6 jours ob + de la troisième à la cinquième grandeur.
Voici la liste des étoiles périodiques telles qu’on les
connaît en cemoment.

VARIATION
NOMS DES ÉTOILES. | »Erloprs. | de
Bide Persée... 2 20 48 draf
HdeGéphée.. se... 5 837 | 3.4— 5
Bidelaliyré....... ; 0MGEr 3 —,.5
n d’Antinoüs......... ; 7 415 | 3.4—4.5
cidiHerculests tes... sos 60 6 o 3 — 4
Anonyme du Serpent....[ 180 » » 7 —.0
n de la Baleime..... Al r334. 210 0 2 — 0
x du Cvgne..... ere 300220 6 —11
B67de l'Hydre:.. 1... 494 » » 4 —10
BA dB YEN... eus 18 ans. 6 — 0
{20 du Lion.....:- OA : 7 — 0
x du Sagittaire. ........ po 3 — 6
AAA Ion lee ‘ 6 — o

Pour expliquer ce phénomène, on a supposé que ces
étoiles avaient des parties moins brillantes ou totalement
obscures, que leur rotation sur elles-mêmes nous mon-
trait successivement; mais cette hypothèse, ainsi que
plusieurs autres proposées par Maupertuis, Goodricke,
etc. , ne peuvent être encore soumises à aucune théorie
certaine, On pourrait peut-être ranger dans les classes des
étoiles périodiques, ces astres qui ont apparu dans di-
verses régions célestes, et qui, après avoir présenté pen-
dant des temps plus ou moins longs tous les caractères
des étoiles fixes, ont disparu sans laisser de traces. S'il
en était ainsi, leurs périodes de réapparition ne serait

pointencorearrivée. Cependant, quelques faits détruisent

CH 394

cette analogie; tel est entre autres celui de cette étoile
découverte par Anthelme, en 1670, dans la tête du
Cygne, qui, après avoir éprouvé pendant deux ans
plusieurs variations de lumière, finit par disparaître en-
tièrement, et n’a jamais reparu. Il est certain en outre
que plusieurs étoiles marquées dans les anciens cata-
logues, ne se retrouvent plus aujourd’hui.

CHAPITEAU (Architecture). Partie du haut d’une
colonne qui pose eur le füt. Les architectes grecs distin-
guaient trois sortes de chapiteaux : le Dorique (P1. III,
Sig. 2), V'Ionique (fig. 3) etle Corinthien (fig. 4). Les
Romains ont ajouté à ce nombrele chapiteau composite
(Jig. 5). Quant au chapiteau Toscan(fig. x), il ne diffère
pas du Dorique.

CHARIOT (A4str.). Constellationnommée aussi grande
Ourse. Foy. ce mot.

CHÊNE DE CHARLES II (4str.).Nom d'une cons-
tellation méridionale, introduite par Halley, en mé-
moire du chène royal sur lequel Charles II se cacha
pendant 24 heures, après sa défaite à Worcester, le
3 septembre 1651. Cette constellation composée en
grande partie des étoiles du Navire, n’a point été adoptée
par tous les astronomes.

CHERCHEUR (astr.). Petite lunette adaptée aux té-
lescopes dont le champ est petit, pour trouver plus fa-
cilement les astres et les amener dans l’axe optique.

CHÉRUBIN ({e Père), capucin, fut un géomètre etun
mécanicien habile; il naquit vraisemblablement à Or-
léans, vers le milieu du XVII° siècle, d’une famille in-
connue. Les recherches biographiques les plus minu-
tieuses n’ont pu nous faire découvrir ni son véritable
nom, ni aucun détail relatif à ses premières années.
Voué de bonne heure aux austères pratiques de son
ordre, ilsut. du moinsallier lesdevoirs qu’elles imposent,
avecla culture des sciences mathématiques.La géométrie
et la mécanique ont été les principaux objets de ses
études; mais c’est surtout par ses travaux en optique,
qu'il s’est acquis de la célébrité. Chérubin a fabriqué des
instrumens dont la supériorité relative a été utile aux
progrès de cette dernière science, sur la théorie de
laquelle il a publié un assez grand nombre d'ouvrages,
qui fortrecherchés à l'époque où ils parurent, peuventen-
coreaujourd’hui être consultésavec fruit.Le père Rheita,
religieux de l’ordre auquel appartenait Chérubin, avait
imaginé la construction du télescope binocle. X1 perfec-
tionna cette invention quelques années après, et en 1676,
itfut admis à présenter au roi un de ces instrumens.Il est
formé de deux télescopes égaux et disposés de manière à
diriger la vuesurle même objet, qu’on mire ainsiavecles
deux yeux.f arrive ici un phénomène au moins curieux :
lorsqu'on regarde par un seul des deux tubes, on aper-
çoit l'objet comme on l’apercevrait avec un télescope de
la même portée et de la même dimension; mais si l’on

4:

52 CH

regarde dans les deux à la fois, le champ de la vision
semble s’agrandir , et l'objet se rapprocher. Ce n’est à
en effet qu'une illusion de la vue. L'action dés deux té-
lescopes n’est point réellement supérieure à celle d’un
seul , et à l'aide du binocle, on ne peut découvrir ce qué
ne montrerait pas une seulé dé ses branches , où un té:
lescope ordinaire de force égale à l'uné de ces branches.
Cependant il résulte de céttè combinaison un degré de
clarté, qui favorisé les observations. L'on dut croire
que lé téleséope binocle, suscéptible au reste de nou-
veaux pérfectionnemens, conservérait la supériorité
qu'il paraissait avoir sur Iles lunettés astronomiques
dont on se servait alors. Mais l'usage, devenu général,
d’un instrument bien plus puissant, celui du télescope
à réflexion, fit abaudouner l'invention des PP. Rheita
et Chérubin. Néarmoins, le regrét qu'ont manifesté
divers mathématiciens du dernier Siècle, de l'oubli dans
lequel où avait laissé toinber cette invérntion, éstaujour-
d’hui saus ébjet; elle a été appliquée avec avantagé, de-
puis quéiques années, aux lunéttés achromatiqués d’une
petite dimension, dont on se sert dans les spectaclés où
dans les réunions publiques, pour agrandir la vision, ct
rapprocher les objets. Les perféctionnémens de l'acous-
tique ont aussi occupé Je Père Chérubin. 11 raconte lui-
même dans unclettré du 2 février 1675, -adresséé à
TFoinard , une expérience exécutée én présencé du gé-
néral de son étrdre. «Je fis, dit, énténdre très-distinc-
tement à quatre vingts pas dé distance, et discerner lés
voix des particuliérs, dans une multitude, qui parlaient
ensemble, quoique dans Je milieu on ne les püût aucu-
nement entendre, car ils ne parlaient qu’à voix basse, et
néanmoins on n’en perdait pas une syllabe. » Son supé-
rieur lui défendit de donner de la suite à une pareille
invention, qu'il considéra comme pouvant devenir dan-
gercuse pour la société civile. On n'aurait en effet aucun
moven de défense contre ce procédé qui mettrait à la
merci du preinier venu les secrets les plus intimes. Avant
et après la Père Chérubin, son invention, qui aurait fa-
cilité l’inquiète curiosité de la tyrannie, n'aurait peut-
être pas été repoussée par la haute moralité qui la fit
condamner par le général de son ordre. L'ingénieux
Chérubin respecta scrupuleusement la défense qui lui
avait été faite ; mais il avoue avec naïveté à Toinard
que dans une
térêts de son

seule circonstance, où il s'agissait des in-
ordre, il avait fait usage de son méca-
nisme, et découvert des secrets importans qui favori-
saient son parti.

Comme l’époque de sa naissance, celle de la mort du
Père Chérubin demeura un secret du cloitre. On a de
lui : L La Dioptrique oculaire , ou la théorique , la po-
stive et La mécanique de l'oculaire dioptrique en toutes
ses espèces, Paris, 1671, in-fol. avec Go planches et un

frontispice. If. La Vision parfaite, ou le Concours des

CH

deux actes de la vision en 1m seul point de l'objet,
Paris, 1659, in-fol. L'année suivante, Chérabin publia
la traduction latiné dé cét ouvrâgé, de T'isione perfecta,
etc. ,eten 1687, letomeÏT du même ouvrage, sonsce titre :
LaV'ision parfaite, où la Vice disinète. WA. Effets le La
Jorce de lacontiguritedu corps, par desqitels on repond aux
expériences dela crainte du ride et à celle deTa pesanteur
de l'air, Paris, 1650, im-r12. L'auteur, dit I P. Ber-
nard de Bologne, biographé dés capucins, parlé dans
cet ouvrage d’une machine telesgrapliique, à Yaide dé
laquelle il dessinait les objets éloignés; et ils’y plaint
que le Journal des savans eût mentionné avec éloge les
nucroscopes de Hooke, inférieurs à ceux qu'il avait
établis. IV, L'expérience justifiée pour l'élévation des
eaux par un nouveau moyen, à telle hauteur ét en telle
quantité que ce soit, Paris, 1681, in-19. V. Disserta-
tion en laquelle sont résolues quelques difficultés pré-
tendues au sujet de l'invention du binoclé, in-13; sans
date. Le P. Chérubin a encore publié divers -ouvrages
sur l’impénétrabilité du verre , sur le télescope ét le mi-
croscope binocle; sur la nature et la construction du té-
lescope; enfin, sur ka machine qu’il appélle felesgra-
phique, espèce de pantographe à dessinèr la pérspectivé;
mais le Père Berrard né donne que les titres de ces écrits,
sans rapporter aucuns détails relatifs à leur publication,

lation de Pégase.

CHEVALET DU PEINTRÉ (455.1. Uné dés cofis-
tellations boréales formées par La Caïlle : elle renferme
25 étoiles, dont la plus brillante, marquée #, n’est qué
de la cinquième grandeur.

CHEVELURE pe BÉRENICE ( 4str.}. Ancienne
constellation boréale, formée par le mathématicien
Conon, en l'honneur de la reine Bérénice. Les historiens
racontent que Bérénice, femme de Ptolémée Evergète,
roi d'Égypte ,avant fait le vœu de couper ses cheveux
si son mari revenait vainqueur de l’Asie, les consacra
en effet dans le temple de Vénus, et qu’ils disparurent
le lendemain. Ptolémée avant manifesté un grand regret
de cette perte, Conon lui montra sept étoiles qui n’ap-
partenaient à aucune des constellations alors existantes,
en lui disant: c’est la chevelure de Bérénice.Gette cons-
tellation renferme aujourd'hui 43 étoiles dans le cata-
loguebritannique.

CHÈVRE (Méc.). Machine qui sert à lever des far-
deaux. Elle se compose de trois pièces de bois (PL. XII,
fig. 4), AR, BR, CR, écartées par en bas, et réuniés par
le haut, où se trouve une poulie suspendue.Sur la poulie
passe une corde dont une extrémité soutient le fardeau
à lever M, et dont l’autre s'enveloppe sur un cylindre T
qu'on fait tourner à l’aide des leviers LT.

CHÈVRE (4s4r.). Nom d'une brillante étoile de pre-
mière grandeur, située dans la constellation du Cocher

CH

On Janomme aussi Capra, Hircus, Cabrilla, Amalthea.
Les Arabes l'appelaient AZ Æyoug. Cette étoile est la
plus belle de celles qui ne se couchent pas à Paris, Sa
déclinaison moyenne sera, au premier janvier 1835, de
45° 49° 46”,7 et son ascension droite de 36° 7° 40”,05.

CHEVREAUX (Astr.). La constellation du Cocher
renferme aussi les Chevreaux : ils sont formés par trois
étoiles s, & et n qui font un triangle isocèle,dont l'angle
du sommet est très-aigu. Ce triangle est placé à trois
degrés au midi de la Chèvre, et sert à distinguer cette
étoile des autres de première grandeur.

CHIENS (Astr.). Constellations au nombre de trois
dont deux anciennes, méridionales, et une nouvelle,
septentrionale.

Le cravp Cuir, Canis major, contient 31 étoiles, au
nombre desquelles on remarque $%rius, la plus brillante
de toutes les étoiles de première grandeur.

Le »erir Curew, canis minor, contient 14 étoiles, dont
une de la première grandeur, nommée Procyon,

Les CuiEns DE CHASSE, canes venalici, contient 25
étoiles. Cette dernière, introduite par Hévélius, se
nomme aussi Asterio et Chara.

CHILIADE (Arith.). Assemblage de plusieurs choses
semblables qu’on compte par mille. C’est ainsi que dans
les tables de logarithmes on nomme première chiliade les
logarithmes des mille premiers nombres naturels. Une
chiliade ou un mille sont la même chose.

CHILIOGONE (Géom.).Polygone régulier de mille
côtés. Quoiqu'il ne soit pas possible à nos sens de dis-
tinguer un polygone de 1000 côtés d’un autre de9g9g ou
de 1001, nous n’en avons pas moins une idée claire
dans l’esprit, et jamais notre intelligence ne pourra les
confondre. Nous savons que la somme de ses angles est
égale à 1996 droits (voy. Porxcowes), et nous pouvons
trouver avec facilité le rapport de son périmètre avec
celui du cercle inscrit ou circonscrit. Cette certitude
qui accompagne toutes les constructions géométriques,
même celles qu’on ne peut réaliser dans l’espace et dont
il est par conséquent impossible d'acquérir la sensation
ou l'expérience, aurait dù faire remarquer plutôt la
grande différence qui existe entre les sciences physiques
etles sciences mathématiques; les premières, comme
cela n’est pas contesté, ne peuvent s'élever, sans le
secours des secondes, qu’à une certitude conditionnelle,
ou à posteriori; tandis que les dernières sont éminem-
ment douces de la certitude rationnelle ou 4 priori; ce
qui doit faire chercher leur origine et leurs lois hors du
domaine de l’observation. Foy. PniLosovute pes ma-
THÉMATIQUES.

CHOC (Meécanique.). Rencontre de deux corps qui se
heurtent.

Le choc peut être direct ou oblique.

Le choc direct est celui où 12 point de contact des

CH 323

corps se trouve sur la droite supposée menée par leurs
centres de gravité,

Le choc oblique est celui qui se fait de toute autre ma-
nière.

Les corps qui se rencontrent peuvent être tous deux
en mouvement, ou l’un de ces corps peut être en repos.
Dans le premier cas, on a deux considérations diffé-
rentes, savoir : lorsque les mouvemens s'effectuent dans
le même sens, ou lorsqu'ils ont lieu dans un sens opposé.

Quoiqu'il n’y ait point dans la mature de corps par-
faitement élastiques, ni de corps parfaitement durs ou
sans ressorts, nous sommes obligés, pour établir les lois
du choc, de considérer les phénomènes qui peuvent ré-
sulter de la rencontre de tels corps; nous supposerons,
de plus, que les mouvemens n'éprouvent aucune alté-
ration du milieu dans lequel ils s'opèrent.

1. Choc des corps sans ressort. Lorsque deux tels
corps, dont les mouvemens ont lieu dans le même sens,
yiennent à se rencontrer, la quantité de mouvement qui
se trouve dans les deux corps se distribue de manière
qu'il en résulte la même vitesse pour tous deux après le
choc ; car celui qui va le plus vite agit sur l’autre, seu-
lement jusqu'à ce que celui-ci ayant acquis autant de vi-
tesse qu’il en reste au premier, ne fait plus obstacle au
mouvement.

Soient À et a deux corps saus ressorts qui vont du
même côté, a étant le premier, et soient V et » leurs
vitesses respectives. Si À va plus vite que a, ou que V
soit plus grand que v, il l'atteindra nécessairement, et
alors les mobiles se comprimeront réciproquement jus-
qu’à ce qu’ils soient animés d’une vitesse commune.

Désignons par F et f'les forces qui ont communiqué
aux mobiles À, a, les vitesses V, 2 ; comme ces forces
peuvent être représentées par la quantité de mouvement
qu’elles produisent, et que la quantité de mouvement
{voy. ce mot.) d'un mobile est égale au produit de sa
masse par sa vitesse, nous aurons

F= AV, f= av.
Mais d’après le principe de la composition des forces
(voy. ce mot), celles qui s’exercent dans la même direc-
tion doivent s'ajouter, ainsi (1)

F+f = AV + av.

Pour obtenir une autre expression de la somme des
forces F + f', désignons par x la vitesse commune après
le choc, alors nous pouvons considérer À Æ a comme
un seul corps, et cette vitesse x comme le résultat del'apz
plication de la force F+#+/: Nous aurons donc encore (2)

F + f = æ(A +a),
des équations (1) et (2), nous tirerons

æ(A + a) = AV + av

324 CH

et par conséquent (3)
AV + av
Ata?

expression générale de la vitesse finale.

2. Si les corps se meuvent dans un sens opposé, ou
vont à la rencontre l’un de l’autre, on doit considérer +
comme négatif, et l'expression (3) devient (4)

AV — av

A+a

TL=

3. Si le corps a était en repos lorsque A vient le cho-
quer on aurait —o et la formule deviendrait (5)

ue AV
7 Ata

Les trois expressions (3), (4) , (3), renferment toute la
théorie du choc des corps sans ressort.

4. Maupertuis parvient à ces formules par une appli-
cation élégante de son fameux principe de la moindre
action (/ex parcimoniæ ); nous croyons devoir l’ex-
poser ici, en rappelant qu'on désigne, d’après ce géo-
mètre, par le nom de quantité d'action, le produit de
la masse d’un corps par sa vitesse et l’espace parcouru.

Conservant les désignations données ci-dessus aux let-
tres À, V, a, v, x, nous aurons pour la vitesse perdue
par À au moment du choc

V— x,
et pour celle gagnée par a
ZX —v.

Les espaces parcourus en temps égaux par ces vitesses,
étant entre eux comme ces vitesses, la quantité d’action
employée par le corps À sera comme

A (V—zx},
et la quantité d'action gagnée par le corps & sera
comme

a (x —v};

La quantité totale d’action est donc comme
A (V—x} + a(x—v},

et cette quantité doit être un minimum d’après la loi
de Maupertuis.

Différentions donc cette expression , nous aurons
A[—2Vdx + oxdx] + a[2xdx — 2vdx]=0
divisant par dx , et dégageant x, nous obtiendrons

__AV + av
7 A+a?

ce qui nous apprend, comme ci-dessus (1), que la vitesse
commune, après le choc, est égale à la somme des

CH ÿ-

quantités de mouvement divisée par la somme des
masses.

5. Choc des corps élastiques. Lorsque des corps par-
faitement élastiques se reucontrent, pendant qu'ils se
choquent, le choc est employé à plier leurs parties, à
tendre leur ressort, et ces corps ne demeurent appli-
qués l’un contre l’autre que jusqu’à ce que leur ressort
les sépare ense débandant, et les fasse éloigner avec au-
tant de vitesse qu’ils s’approchaient : car la vitesse res-
pective étant la seule cause qui ait bandé leur ressort,
la réaction de ce ressort doit reproduire la même vitesse
respective qui avait lieu auparavant.

Soient À et « deux corps élastiques que nous suppo-
serons d’abord se mouvoir dans le même sens avec les
vitesses V et v. Ces corps devant se choquer, si a est d’a-
bord le plus avancé, il faut que l’on ait V > v. Cela
posé, désignons par x la vitesse du corps A, et par x’
celle du corps 4, après le choc.

La vitesse perdue par À sera donc V—x, et la vitesse
gagnée par a sera x'—v, et la quantité d'action em-
ployée dans le changement qui résulte du choc, sera

A (V—zx} + a (x'—v},

cette quantité devant être un rxinimum, nous aurons

en différentiant (a)
A [—2Vdx + 2xdx]— a [2x'dx'—2vdx'"]=0.

Mais dans les corps parfaitement élastiques, la vitesse
respective étant la même avant et après le choc, nous
avons

V—v=z'—x,

ou
x'=V—-v+x,

ce qui donne
dx' = dx,

En substituant ces valeurs de &' et de dx' dans (a),
nous obtiendrons (71)
AV— aV + sav
ET TE
et ensuite par la substitution de x —=x'—V+v et de
dx= dzx' dans la méme expression, nous trouverons (x)

à l’aide des deux expressions (2) et (x), nous pouvons
examiner toutes les particularités du choc de deux corps
élastiques.
6. Supposons d’abord les masses égales, ou faisons
A=a , (m) et (n) se réduisent à
-2AY
2A

=Y

TL=

CH

LA 2AV
{Far

=,

ce qui nous apprend que dans ce cas les mobiles chan-
gent de vitesse après le choc.

7- Si les deux corps se meuvent en sens opposé, ou
vont à la rencontre l’un de l’autre, il faut faire v négatif,
et les expressions (2) et(n) deviennent (p)

AV —aV — 2av
L= —— PRE

A+a
,_ Av — av +2AV
n Aa ?

dans ce cas, lorsque A=«, on a
z=—v,et z'=V,

c’est à-dire que les mobiles changeront de vitesse et s’é-
carteront ensuite.

8. Siles corps qui vont à la rencontre l’un de l’autre
ont des vitesses égales, en faisant V=v, les équations (p)
donnent
PACE - 3a) V V

FA Ha a

_(3—a) V
RUA ET.

d’où il résulte que si la masse du corps A est triple de

celle de a, sa vitesse après le choc est o, c’est-à-dire que
ce corps s'arrêtera tandis que le corps & aura obtenu une
vitesse double de la vitesse primitive de A ; car en faisaut
A=—3a, on obtient

Z=0, x'=92 Vi.
. Si l’un des mobiles était en repos, a, par exemple
9 P ,

‘on aurait v—0o. Substituant cette valeur dans (m) et (7),
l
ces équations deviennent

__ AV —aV
A+a

_ (A—a)V
Aa.

Lorsque les deux mobiles sont égaux, on a Aa, et ces
valeurs se réduisent à

LOL —V,,

c’est-à-dire que dans ce cas la mobile A perd sa vitesse , et
la donne à 4.

10. Par d’autres suppositions sur la grandeur des quan-
tités qui entrent daus les équations générales (mn) et (n),
on trouverait de la même manière les résultats du choc
dans les cas particuliers de ces hypothèses : c’est ainsi,
par exemple, que nous apprenqns que :

1° Si deux corps élastiques égaux se choquent direc-

CH 325

tement en sens contraire avec des vitesses égales, ils se
réfléchiront après le choc, chacun avec la Yiese qu'il
avait, et dans la même ligne.

2° Si les vitesses des deux mêmes corps sont en raison
inverse de leurs masses, ils rejailliront chacun de son
côté avec la même vitesse qu'ils avaient avant le choc,

11. Le principe de la conservation des forces vives
(voy. ce mot) dans le choc des corps élastiques, dont la
découverte est due à Huygens , fait l'objet de la loi sui-
vante :

Lorsque deux corps élastiques se rencontrent, la
somme des forces vives est la méme avant ou après le
choc.

En conservant les mêmes significations pour À, V, x,
dy V, T's
est

la somme des forces vives, avant le choc,

AV: Han,
et celle des forces vives après le choc est
Az + ax;
on doit donc avoir. en vertu de la loi énoncée
AV: + av — Az? + ax.
En effet , reprenons les deux équations (2) et (x)

AV — aV + sav

FRE
,_ av— Av oAV
= A+a À

et donnons-leur la forme

[AV + av]
MER
, 2[AV + a]
SR AS

En faisant, pour plus de simplicité, la quantité com-

TL

mune
AV VE av
7 Aa

ces expressions deviendront

shorts: (P),s

T= 29 —V
L'= 29 —v
nous aurons donc

Ax Lac? =A(2@—V} + ap—v}.
Développant le second nombre de cette égalité, nous
aurons

4A gp? — KAQV + AV? + ap — hagv + av?

ou, ce qui est la même chose,

AV: + an + ip[Agp + ap —AV— av];

526 CH

mais letroisième terme de cette expression se réduit à0,
car l'égalité (r) donne Ag + g @= AV + av, donc nous

avons définitivement
Axt + ax? = AVitan,

ce qui est le principe de Huygens.

12. Lorsque les corps ne sont point parfaitement élas-
tiques , la loi dela conservation des forces vives n’a plus
lieu, et la perte de ces forces est d'autant plus grande,
que l’élasticité est plus imparfaite. Pour les corps par-
faitement durs, la déperdition des forces vives, ou la diÿ*
Jerence entre ces forces avant et après le choc, se
trouve égale à la somme des forces vives qu'auraient
les masses animées des vitesses perdues ou gagnées. Ce
théorème, découvert par Carnot , se démontre aisément
à l’aide de formules données pour le choc des corps
sans ressort.

13. Les corps parfaitement durs d’une part et les corps
parfaitement élastiques de l’autre, forment les limites
entre lesquelles tous les autres sont compris. On voit que
les formules précédentes ne peuvent être considérées
que comme des apnroximatious, lorsqu'il s’agit de les
appliquer aux phénomènes physiques et que les résultats
du calcul se rapprocheront d'autant plus de la réalité des
faits, que les corps seront eux-mêmes plus près de l’état
dur ou élastique expressément sous-entendu dans ces
formules. Pour embrasser les divers degrés d’élasticité
qui peuvent se manifester dans les corps, on donne aux
formules (m) et (n) l'expression plus générale

.
è

T—
rest alors un coefficient constant qui dépend du plus
ou moins d’élasticité des corps. Lorsque ? = 1, on a
æ=x',etces formules se réduisent à l'égalité (3) : c’est
le cas des corps durs ; lorsque 7 —2, on obtient les ex-
pressions {m7) et (x) : c’est le cas des corps élastiques.
entre ces deux valeurs 1 et 2, sont compris tous les cas
intermédiaires, et il faut alors donner à » les valeurs
trouvées par des expériences sur la nature des corps
qu’on veut considérer.

14. Le choc oblique présente un grand nombre de
variations, dont l'examen ne peut trouver place ici.
Nous considérerons seulement un cas particulier très-
important, en ce qu'il sert à démontrer la loi fonda-
mentale de la catoptrique. (Joy. Carorthique I.)

Soit une boule élastique P qui vient frapper une
surface résistante MN, sous une direction oblique MN.
En prenant la ligne AC pour représenter la force du
choc, on pourra décomposer cette force en deux autres,

CH
dont l’une NC est parallèke à la s:rface, et dont l'autre
DC lui est perpendiculaire. Or, si la force DC agissait

seule, son effet serait de faire rebondir le corps A,
P

avec une force égale et opposée en direction CD, tandis
que si la force NC agissait seule, le corps A serait poussé
dans la direction CM. Après le choc, le corps est donc
sollicité par deux forces, dont l’une le pousse dans la
direction CD, et l’autre dans ja direction CM. Il suivra
conséquemment la diagonale CB, c’est-à-dire, que l’an-
gle d'incidence ACD sera égal à l'angle deréflexion BCD.
Les molécules lumineuses agissant comme des corps par-
faitement élastiques, cette démonstration s'applique aux
phénomènes de la réflexion opérée par les miroirs.

On peut, en décomposant de la même manière tous
les cas du choc oblique, les ramener aux lois du choc
direct. Voy. Percussion.

CHRONOLOGIE{de xpéres, le tempset x67es, raison,
discours). Science dela mesureoudeladivision du temps ;
elle se partage en deux branches spéciales, qui sont Ja
chronologie théorique etla chronologie appliquée. La pre-
mière est une déduction de l'astronomie , car elle est le
résultat de l'observation des phénomènes célestes, dont
cette science explique les lois; la seconde est une appli-
cation aux événemens humains de cette déduction de
la science astronomique : comme telle, elle forme la
base essentielle de l’histoire , mais nous n'avons point à
Ja considérer sous ce dernier point de vue.

Les annales authentiques de toutes les nations sont
nécessairement postérieures aux premières observations
de l'as'ronomie, qui durent avoir pour objet la division
du temps en périodes déterminées. Ainsi, par exemple,
avant qu’on eût caleulé la durée de l'annee suivant le
cours apparent du soleil, ou les phases de la lune, qu'on
eût ensuite divisé l’année en 105$, et partagé les mois
en certains nombres de jours , il paraît difficile que les
hommes aient pu conserver d'une manière exacte le
souvenir des choses passées. Ce travail a dû commencer
par la détermination des périodes les moins longues.
Ainsi, le terme qui s'écoule du lever ou coucher da
soleil àunautre lever ou coucher, a, vraisemblablement,
servi d’étalon pour la fixation des périodes plus longues.
On peut logiquement diviser en temps incertains ct en
temps historiques ceux qui ont précédé ou suivi les pre-
miers produits de la science. Néanmoivs, en adoptant
même ce point de départ, nne grande incertitude règne
aujourd'hui dans la chronologie; les dissidences dont

CI

elle est la cause , les aberrations monstruenses qu’elle a
enfantées , proviennent à la füis de la diversité des mé-
thodes qu’adoptèrent les nations les plus ânciennement
civilisées, et del’impossibilité où nous sommes, de déter-
mineravec certitude le véritable sens des expressions dont
elles se servaient pour exprimer les périodes que nous
appelons années, mois et jours. Le but que doit se pro-
poser la science, maintenant qu’elle esten possession de
la connaissance certaine de quelques grands événemens,
qui, combinés avec des observations astronomiques pré-
cises, peuvent déterminer d'une manière invariable les
époques principales , est évidemment d'établir une con-
cordance mathématique entre les chronologies de tous
les peuples.Malgré dénombreux et d’estimables travaux,
cette œuvre est à peine commencée.

On a expostailleurs (voy. Année et Cazenprien) l’his-
toire et la théorie des élémens de la chronologie; il nous
reste à faire connaître diverses parties de cette science ,
quine devaient point entrer dans les considérations prin-
cipales , qui ont fait l’objet de ces articles ; elles seront
successivement traitées dans le cours de cet ouvrage.
Voyez Ênxs des Arméniens , chrétiennes, de Constanti-
nople, d'Espagne, de l'Hégtre, de Nabonassar, etc.
Juor, Mois, Orymrianr, PERIODES.

CHRONOMÈTRE ( de yes, temps, et de wsrpor,
mesure). Nom générique des instrumens qui servent à
mesurer le temps. Il est plus particulièrement consacré
à une espèce de montre construite avec une assez grande
précision, pour donner exactement des subdivisions
d’une seconde. On s’en sert en mer pour trouver les
longitudes. Foy. ce mot.

CHUTE(YMec.). Espace parcouru par un corps pesant
qui s'approche du centre dela terre.

Nous avons donné aux articles ACCÉLÉRATION €t ACCÉ-
LERE, l’histoire de la découverte, faite par Galilée, des
véritablés lois de la chuté des graves, ainsi que la dé-
duction mathématique de ces lois.

CIEL (4su.). Voûte sphérique concave, lieu app-
rent des astres.

CIRCONFÉRENCE (Géom.). Ligne courbe qui ren-
ferme un cercle (voy. Cence). Ce mot vient de circum,
autour , et de fero, je porte. On dorine quelquefois ce
nom, par extension, au Contour d’une courbe quel-
conque.

CIRCOMPOLAIRES (Astr.). On nomme etoiles cir-
compolaires les étoiles situées près de notre pôle bo-
réal, et qui tournent autour, sans jamais s’abaisser au-
dessous denotre horizon, Plus le pôle est élevé au-dessus
del’horizon d’unlieu, et pluslenombredes étoilescircom-
polaires est grand pour ce lieu. A Paris, var exemple,
où le pôle estélevé de 48° 50° 14" au-dessus de l'horizon,
si l'ob finagine an cercle parallèle à l'équateur, et situé
à ectte même distance du pôle, la zone comprise æntne

CI 527

le pôle et ce cercle renfermera toutes les étoiles qui
ne se couchent jamais pour Paris.

CIRCONSCRIRE (Géom.). Décrire une figure autour
d’un cercle ou de toute autre fgure courbe, de manière
que tous ses côtés soient des tangentes à la circonfé-
rence.

Les polygones réguliers, quel que soit le nombre de
leurs côtés, peuvent tous être circonscrits au cercle. f’oy.
CERCLE, n° 15. ;

On se sert encore de ce terme pour exprimer la des-
cription d’un cercle autour d’un polygone. Le cercle est
alors cérconscrit au polygone, ou plutôtle polygone est
inscrit dansle cercle. Nous renverrons aux mots CarRÉ,
Hexacone, Penracone, Trianëre, etc., les procédés
géométriques au moyen desquels on inscrit et circonscrit
ces figures.

CIRCONVOLUTION (Géom.). On emploie quelque:
fois ce mot à la place de révolution. C'est ainsi qu’on
dit, par exemple, qu'un cône est formé par la circon-
volution où par la révolution d’un triangle rectangle au-
tour de l’un des côtés de son angle droit.

CIRCUIT (Gcom.). Contour ou périmètre d’une
figure.

CIRCULAIRE (Geom. et Astr.). Tout ce qui a rap-
port au cercle. C’est ainsi qu’on appelle arc circulaire,
un arc ou portion de la circonférence d’un cercle;
secteur circulaire, une partie d’un cercle comprise
entre deux rayous et l'arc intercepté; mouvement circut-
laire, le mouvement d’un corps autour d’un cerclé, etc.

Ou donnait anciennement le nom de nombres cireu-
laires à ceux dont toutes les paissances se terminent par
le chiffre qui les exprime : ainsi 5 et 6 étaient des
nombres circulaires, parce que toutes leurs puissances
25,125, 625, etc., 36, 216, 1296, etc. se terminent
par ces nombres mêmes.

CISSOIDE (Géom.). Nom d’une courbe inventée par
le géomètre grec Dioclés, pour résoudre le problème,
alors celèbre, de la construction de deux movennes pro-
portionnelles entre deux lignes données. ( Foy. Cusr.)

Voici la génération de cette courbe.

B 277

Soit un ceréle quelconque AZBM ; si dé l'extrémité A
du diamètre AB, on mène une infinité de droites Aya

tous les points de la droite By, tangente à l’autre extré -

528 CI

mité B de ce diamètre, et que l’on prenne sur chacune
de ces lignes, la partie xy égale à la corde correspon-
dante Ad, la courbe qui passera par tous les points x
est la céssotde.

Pour trouver l'équation de cette courbe, désignons
AB pour a,et PM par 2,
AP =2x, et l'ordonnée Pr 7, et menons le diamètre
Méd et la corde AM. L'angle dAM étant droit (ANGLES,

faisons de plus l’abscisse
P

n° 19), le triangle xAM est rectangle, et comme AP est
perpendiculaire sur la base xM, on a ( voy. RECTANGLE)

Pzx : AP :: AP : PM
ou

Vi TL: Be
Cette proportion donne
Lt —=Yredse (1)

Mais en menant la corde BM, on a un autre triangle
ABM, qui donne

AP : PM::PM:PB,
c'est-à-dire,
T'2::72:a4—X.
Ainsi 2 —=ax—a,etz = # V/az — 2? Substituant
cette valeur de z dans (1), on obtient

Li EY Var —2?,;
ce qui devient, en élevant au carré et dégageant y

2?

= Han: (2).

.

Telle est l'équation de la cissoïde.
Il résulte de cette équation que, pour chaque valeur
de x, ilexiste deux valeurs de y égales et de signes con-
traires. Ainsi la courbe se compose de deux branches
parfaitement semblables , situées l’une à droite et l’autre
à gauche de l'axe. ,
Si l’on fait x—a les valeurs de y deviennent

Eve — 0

C'est-à-dire que 1a courbe ne rencontre la droite By
qu'a des distances infinies du point B, ou que cette
droite est une asymptote (voy. ce mot), par rapport
aux deux branches de la cissoïde,

Une des propriétés remarquables de cette courbe,
c'est que l’espace asymptotique indéfini, compris entre
l’asymptote et les deux branches de læ cissoïde , est un
espace fini égal à trois fois la surface du cercle généra-
teur AdBr2. Pour le démontrer il ne faut que substituer
la valeur de y, donnée par l'équation (2), dans l’expres-
sion générale

Sydx,

CL

qui représente la surface renfermée entre une portion
quelconque de courbe et les coordonnées x et y (vor.
QuapraTuRE) : l'intégrale demandée est doncici
3
x* dx

æ © RCE
(a—x)"

PRE ; ; : 1
en multipliant lenumérateur etle dénominateur par x?)
Intégrale dont la valeur, prise depuis x=o jusqu'ax=a,
est

a?r.

Or, cette quantité est la moitié de l’espace asympto-

3
4

tique ; donc cet espace entier est égal à ? 47, ou à trois
fois la surface du cercle dont 44 est le rayon, ou a le
diamètre,

La cissoïde résoudrait directement le problème des
deux moyennes proportionnelles , s’il était possible de la
coustruire géométriquement; car en prenant le rayon CB
pour une des lignes données, et élevant du point C la
droite Cg perpendiculaire à l'axe; si l’on prend Co égale
à l’autreligne et que du pointe, où la droite indéfinie Bo
passant par les points B et o, coupe la courbe, on
mène à l’origine À, Ja ligne Ae prolongée jusqu'à ce
qu’elle coupe Cgen A, Ch sera la première des deux
moyennes cherchées. Onaen effet ch=—hf, par la nature
de la courbe, et c’est atrouver le point h, capable de
donner cette égalité, que Pappus a ramené la solution
du problème. Foy. PROPORTIONNELLE,

Newton a indiqué le moven de décrire la cissoïde par
un mouvement continu, ce que Dioclès n'avait pas
trouvé.

CITADELLE (Fortification). Lieu particulier d’une
place de guerre fortifiée de manière à commander sur
la place et sur la campagne. On place ordinairement les
citadelles sur l'enceinte, de manière qu’une partie est
enclavée dans la ville et l’autre saillante sur Ja campagne.
Voy. la fig. 1°, PL. IL, et l’article FoxtiFricaTION.

CLAIRAUT (Azexis-CLaube), l'un des plus celèbres
géomètres du dernier siècle, naquit à Paris, le 7 mai 1513.
Les utiles et importans travaux auxquelsil a attaché son
nom, lui ont sans doute acquis dans la science un rang
où l’on ne parvient qu’à l’aide du génie; mais quelque re-
marquables qu'ils soient, ils ne sont peut-être pas tels
qu'on aurait pu les attendre de lui, d’après la renom-
mée qui le préceda dans le monde. Clairaut' fut dès son
enfance uu rare exemple de précocité, et parvint à l'in-
telligence des combinaisons les plus élevées en mathé-
matiques, à un âge où les esprits, doués des plus heu-
reuses dispositions, commencent à peine àrévéler vague-
ment leur supériorité. Il faisait à dix ans sa lecture ha-
bituelle des Sections coniques du marquis de l'Hopital,
et cet ouyrage, l’un des plus importans que possédait

= CL

alors la science sur l'application de l'algèbre à la géo-
métrie et sur la théorie des courbes, ne lui présentait,
dit-on , aucune difficulté sérieuse. Il ne tarda pas à lire
avec le même intérêt et à l’expliquer avec autant de fa-
cilitéle Traité des infiniment petits de cet illustre géo-
mètre. L'époque où vivait Clairaut est trop peuéloignée
de lanôtre, et les témoignages en faveur de cette particu-
larité de sa vie sont trop nombreux et trop res-
pectables pour qu’il soit permis d’en douter. Jean-
Baptiste Clairaut son père, professeur de mathématiques
distingué et associé à l’Académie de Berbin, l'initia de
bonne heure aux élémens de la science; il suça pour
ainsi dire la géométrie avec le lait, suivant l'expression
d’un historien qui a été son ami ; mais ces circonstances
qui ont été communes à un grand nombre d'hommes
n’expliquent pas entièrement l'aptitude prodigieuse que
lejeune Clairaut montra pour lesmathématiques à un âge
aussi tendre. Quoi qu'il en soit, en 1726, le jeune Clairaut
qui n’avait encore que douze ans ethuit mois, soumit à
l'Académie des sciences de Paris, un mémoire sur quatre
courbes douées de propriétés remarquables. Ce corps
savant pensa d’abord que la main de quelque maitre
habile avait passé sur l’œuvre de l'enfant qui se présen-
tait à son jugement. Mais cet enfant subit un examen sé-
vère, et répondit avec tant de clarté et de précision aux
questions qui lui furent adressées, qu’il fut impossible de
douter de la loyauté de son travail et de sa prodigieuse ca-
pacité. Fontenelle délivra au jeune Clairaut, au nom de
l'Académie, un certificat qui attestait l'authenticité de ces
faits. Ce certificat et le mémoire qui l'avait motivé sont
imprimés dans le tome [V des Miscellanea-Berolinensia
à la suite d’un écrit de Jean-Baptiste Clairaut. Le jeune
géomètre qui venait de débuter avec tant &’éclat, ne
laissa pas à la renommée le temps de l'oublier; il n’avait
que seize ans, lorsqu'il fit paraître ses recherches sur les
courbes à double courbure. Cet ouvrage eut un tel
succès , que l’Académie songea à ouvrir ses portes à
l’auteur ; mais ce candidat n'avait que dix-huit ans, et
des ordres spéciaux du roi étaient nécessaires pour qu'on
pût l’admettre au sein de cette compagnie, malgré les
réglemens d'autant plus respectés qu’ils paraissent cho-
quans. Que fait l’âge pour la science et le talent? d’ail-
leurs, le cas exceptionnel dans lequel se trouvait le
jeune Clairaut, ne se présente que trop rarement ; il fut
admis à l'Académie des sciences avec l’agrément du roi,
qu’on n'a jamais eu depuis l’occasion desolliciter pour
le même motif. Le nouvel académicien ne parut point,
malgré sa jeunesse, embarrassé de la gloire qui couron-
nait sespremiers travaux. Il eut le courage de supporter
avec une noble modestie l'accueil empressé qu’il reçut
dans fe monde. C’est qu'il avait été préparé de bonne
heure à mériter les honneurs qui venaient à lui dès ses
premiers pas dans la carrière. Il avait reçu une éduca-

, CL 329

tion distinguée; son père avait voulu qu’il fit marcher de
front avec l’étude des mathématiques, celle des langues
et des belles lettres. Ses premières dispositions semblaient
l’entrainer vers l’état militaire. En 1722, un camp avait
été formé à Montreuil près de Paris, pour l’instruc-,
tion de Louis XV, encore enfant; Clairaut qui n'avait
alors que neuf ans, savait déjà assez de fortifications
pour comprendre et développer scientifiquement les
opérations d’un simulacre de siége qu'on y exécuta. Il
montra depuis un vif désir de se destiner au service, et
les promesses de son père, à cet égard, furent un vif
stimulant pour son jeune élève, qui se livra avec plus
d’ardeur à l'étude des mathématiques. Il avait grandi au
milieu des savanset desartistes, dans la société desquels,
à l’âge de treize ans, il était en état de tenir sa place.
Aussi à dix-huit ans, la distinction honorable dont il était
l’objet, ne fit-elle qu’augmenter son ardeur pour le tra-
vail. Il assistait avec ponctualité aux séances de l’Aca-
démie, et il y lisait de nombreux mémoires sur diverses
branches de la science, dans lesquels on remarque le dé-
veloppement successif de cette noble intelligence.

Nous avons pensé qu’on ne trouverait pas sans intérêt,
dans cet ouvrage, des détails sur l’enfance de Clairaut;
nous reviendrons plus tard sur quelques circonstances de
sa vie, dont nous allons d’abord exposer succinctement
les plus remarquables travaux.

Clairaut fut du nombre desacadémiciens qui, en 1736
allèrent en Laponie pour mesurer un degré du méridien.
La question de la figure de la terre occupait alors tous
les savans d'Europe et en particulier l'Académie de
Paris : Clairaut se livra avec l’ardeur qui lui était natu-
relle, aux recherches qu’occasionna cet important pro-
blême. On sait qu’il résulta des trois mesures du mé-
ridien, en France, en Laponie et au Pérou, la consé-
quence certaine que la terre est un sphéroïde aplati
vers les pôles. Le premier degré du méridien à partir
de l'équateur, fut trouvé de 56750 toises; celui de
France, par une latitude de 43°23, futtrouvé de 57075
toises ; celui de Laponie de 47438 toises : d’où il résulte
évidemment que la valeur du degré augmente considé-
‘ablement en allant de l’équateur en France et en La-
ponie; ce qui confirma les admirables théories de Newtou
et d'Huygens. (Foy. Bouquer, La Caizre, Cassini DE
Taury.)

La part que prit Clairaut à la discussion qui s’éleva
ensuite sur quelques points de la théorie de la terre, et
qui dura long-temps, est indiquée par son ouvrage in-
titulé : Figure dela terre tirée des lois de l'hydrosta-
tique, qu'il publia en 1740.

Dans cet ouvrage, Clairaut résout les problèmes qui
avaient alors été posés par Bouguer et Maupertuis
(voy. ce nom), et à cette occasion, il fait voir qu'il
existe une infinité d’hypothèses de pesanteur, où le

42

330 CL

fluide ne demeure pas én équilibre, quand même les
deux principes de Huygens et de Newton seraient
observés À la fois. Clairaut donne ensuite les caractères
généraux pour reconnaître les hypothèses qui admet-
tent l’équilibre, et pour détermiuet la figure que le
fluide doit prendre ; il applique sa théorie à divers phé-
nomènes, et entre autres à celui des vaisseaux capillaires.
C’est alors qu'il aborde le véritable objet de la question,
c’est-à-dire, la recherche de la figure de la terre, en
supposant que ses particules s'attirent en raison inverse
des carrés des distances, et qu’elletourne autour de son
axe. Il commence par le cas de lhomogéuéité de la
masse fluide; et sur ce point, il abandonne sa propre
inéthode pour suivre et adopter celle de Maclaurin,
qui trouvait que les deux axes de ce sphéroïde sont
entre eux comme 330 et 229, ainsi que Newton l'avait
conclu de ses principes. Sans plus rien emprunter de
personne , Clairaut se livre ensuite à d’autres recherches
très profondes; il explique, par exemple, la ma-
nière de reconnaître les variations de la pesanteur de-
puis l'équateur jusqu’au pôle, dans un sphéroïde com-
posé de couches, dont les densités et les ellipticités sui-
vent une loi donnée, du centre à la surface ; il détermine
la figure que la terre aurait, si, en la supposant d’ail-
leurs entièrement fluide, elle était un assemblage de
couches de différentes densités; enfin, il compare sa
théorie avec les observations, et dans cette comparaison,
il examine les erreurs qu’il faudrait attribuer aux obser-
vations , afin que les dimensions du sphéroïde terrestre
fussent à peu près telles que la théorie le demande. Ces
vues utiles et nouvelles ajoutèrent aux découvertes de
Newton, et l'ouvrage de Clairaut doit être comme
une des productions les plus remarquables, et qui ho-
norent le plus les travaux scientifiques du dernier
siècle.

En 1752, un mémoire sur la théorie de la lune, de
Clairaut , remporta le prix proposé par l’Académie de
Saint-Pétersbourg. Il tira les principales raisons de cette
théorie du problème des trois corps, dont la solution
fut, quelques années après, l’occasion d’un vif ressenti-
ment entre lui et d’Alembert. Le mémoire couronné
était un résumé des nombreuses et difficiles recherches
auxquelles Clairaut s'était livré sur ce sujet. Il ÿ consi-
dère la lune comme soumise à l’action de quatre forces,
dont la première et la principale est sa tendance vers la
terre , les trois autres sont des forces perturbatrices qui
proviennent de l'action du soleil. Clairaut donneles for-
mules qui expriment les mouvemens provenant de l’ac-
tion de ces diverses forces, etilentire la détermina-
tion de la latitude de la lune. D’après sa méthode,
on à finalement le lieu de la lune dans le ciel, pour un
instant quelconque ; ce qui était l’objet du problème des
mouvemeps de la lune,

CL

Une circotistance importante, et que nous ne pouvons
passer sous silence , se rattache à fa production de cette
ihéoïie. Dans Îes nombreux et difficiles calculs des iné-
galités de ja lune que Clairaut fut obligé d'entreprendre,
il s'était d'abord mépris sur lé mouvement de l'apogée :
il ne l'avait trouvé qu'environ la moitié de ce qu'il est
réellement éuivant les observations. Ce résultat dont il
se croyait bien sûr, et qu'ilse hâta frop d'annoncer dans
Vassemblée publique de l'Académie des sciences du 14
novembre 1747, aflligea beaucoup les partisans de
Newton, et réjouit d’autant ceux dé Descäries, cär à
cette époque les savansétaient encore mcertains entre les
théories de ces deux grands hommes. Aussitôt les carté-
siens firent retentir les journaux de ce qu'ils appelatent
la découverte de Clairaut. Ils éspéraient que le $Ystème
Newtonien, convaincu de faux dans un point essentiel,
ne résisterait pas à un nouvel examen, et disparaîtrait
entièrement. Leurs espérances et leur trioraphe ne
furent pas de longue durée. Clairaut ayant revu ses cäl-
culs avec sévérité, s’aperçut qu'il n'avait pas poussé
assez loin l’'approximation de la série qui devait don-
ner le mouvement de l'apogée; il corrigea donc son
erreur , et il trouva la totalité de ce mouvement, sans
rien ajouter ni rien changer à la loi de là théorie new-
tonienne. Clairaut donna dans cette circonstance une
preuve nouvelle de sa loyauté et de son ambur exclusif
pourla science, indépendamment des intérêts de l’amour-
propre, que bien des hommes ont placés avant. Îl ré-
tracta publiquement et avec franchise son ässertion pré-
cipitée. Ainsi, dès ce moment, la loi de Newton reçut
une éclatante confirmation. Au mémoire qu’il envova
au concours à Saint-Pétersbourg sur cet important sujet,
Clairaut avait joint des fables qui se trouvèrent un pêu
défectueuses, soit par quelques erreurs dans les For-
mules analytiques , soit par l’inexactitude des observa-
tions qui leur servaient de base. Mais en 1765 et peu de
temps avant sa mort, il donna une nouvelle édition de
cet ouvrage avec des additions théoriques et de nou-
velles tables, qui satisfirent les astronomes, et jouissent
encore d’une grand réputation.

En 1997, Clairaut lut à J'Académie un mémoire sur
l'orbite apparente du soleil autour de la terre, en ayant
égard aux perturbations produites par la lune etpar les
planètes principales. Ce mémoire, imprimé par antici-
pation dans un volume de l'Académie, pour 1754,
est une nouvelle application de la méthode que l’auteur
aYait employée dans la théorie de la lune; il est remar-
quable par laclarté avec laquelle sont exposées les ques-
tions qui y sont traitées.

Le célèbre Halley avait annoncé le retour de la co-
mète de 1682 pour 1759 ; ce grand astronome avait re-
connu que ce corps céleste, en vertu de l'attraction de
Jupiter , avait dû mettre un peu plus de temps à faire

CL

sa révolution de 1607 à 1682, qu'elle n’en mettrait à
faire la révolution suivante; mais son calcul ne pouvait
pas avoir l'exactitude de ceux qu'on devait obtenir à
l'aide des méthodes plus modernes. De plus, Halley
avait négligé l'attraction de Saturne, dont la masse est
d'environ le tiers de la masse de Jupiter, ce qui devait
aussi produire un dérangement sensible dans Ja marche
de la comète. Quant aux attractions de la Terre et des
autres planètes, comme elles sont très-petites, on croyait
pouvoirdes négliger.

Clairaut fut le premier géomètre qui entreprit de dé-
tecmiyer les inégalités de cette comète, en ayant égard
aux attractions de Jupiter et de Saturne. On doit re-
marquer que ce problème, quoique semblable dens le
fond à celui qui a pour objet la détermination des iné-
galités des planètes, en diffère cependant en deux
points essentiels. Dans le mouvement des planètes, les
orbites sont peu excentriques les unes par rapport aux
autres. Dans le mouvement des comètes, les rayons vec-
teurs changent considérablement, et l'orbite de la co-
mète peut décrire un très-grand angle avec lorbite de
Ja planète. perturbatrice. Or, ces différences changent
nécessairement la nature ou le choix des moyens qu'il
faut employer dans ces deux cas, pour parvenir à des
séries convergentes. Clairaut selivra avec ardeur à ce
nouveau travail; et avec le secours de quelques disciples
qui l’aidaient à convertir en nombres les formules ana-
lytiques, il se trouva en état d'annoncer dans l'assemblée
publique de l’Académie des sciences, du 14 novem-
bre 1758, que la comète paraîtrait au commencement
de 1759, et qu’elle passerait à son périhélie vers le 15
avril suivant. Cette annonce que Clairaut présenta avec
réservé et modestie, fit une profonde sensation dans le
monde savant, car, de sa réalisation, dépendait la con-
firmation d'une importante théorie, et la solution d’un
des plus beaux probièmes astronomiques. La comète fut
aperçue en Saxe, en 1758, et fut observée à Paris, le
4 janvier 19959. Clairaut en retira une grande renommée,
son nom fut proclamé avec des éloges, dont on ne com®
prend plus l'enthousiasme aujourd’hui, que les plus
belles découvertes de la sciencesont accueillies avec une
si déplorable indifférence. Mais il faut convenir que les
amis de Clairaut dépassèrent dans cette circonstance
toutes les bornes d’une juste admiration, et qu'ils ou
blièrent beaucoup trople graud Halley, dont le nom fut
à peine prononcé. (l’oyez Apran et HaLLey.)

La théorie du mouvement des comètes, que Clairaut
publia en 1:60, devint l’occasion, comme nous l’avons
dit plus haut, d’une vive discussion entre lui et d’Alem-
bert, dans laquelle il parait qu’il n'eut pas toujours rai-
son. On trouvera les détails de cette lutte fâcheuse entre
deux hommes de génie, qui avaient chacun un mérite

paruculier, dans le Journal des savans des mois

CL 531
d'août 1759, décembre 1760, et janvier 1761. Nous
nous bornerons à dire ici que le public saisissant avec
plus de facilité les travaux d’application de Clairaut,
que les recherches théoriques et abstraites de d’Alembert,
donna raison au premier ; les savans ne furent pas en-
tièrement de l'avis du public.

Nous nous contenterons d'indiquer les autres travaux
de Clairaut, par le titre des ouvrages où ils sont ex-
posés. La vie de ce célèbre géomètre a été bien remplie,
et son nom sera honoré aussi long-temps que la science
tiendra le premier rang parmi les hautes productions de
l'intelligence humaine. Voici le jugement que porte sur
lui un de ses contemporains qui avait vécu dans son in-
timité : Il avait le faible de tous les grands hommes :
il aimait un peu trop la célébrité. Adroit à saisir tous
les moyens de s’attirer des applaudissemens, il dirigeait
ordinairement ses recherches vers des objets dont un
grand nombre de personnes pouvaient apprécier, sinon
la théorie , au moins les résultats. Il travaillait ses ou-
vrages avec un extrême soin, et presque toujours il]
leur donnait la perfection dont ils étaient susceptibles.
Ses élémens de géométrie et d’algèbre Jui firent des
partisans nombreux et zélés, parmi les jeunes étudians
de ces sciences , flattés d’avoir pour guide un géomètre
d’une aussi grande célébrité. Un caractère doux et hant,
une grande politesse, une attention scrupuleuse à ne
blesser l’amour-propre d’autrui, lui donnèrent daus le
grand monde une existence, une considération, que le
talent seul n’aurait pas obtenues. Par malheur pour les
sciences, il se livra trop à l’empressement général qu’on
avait de le connaître et de le posséder. Eutrainé par la
dissipation du grand monde , et voulant allier Le plaisir
à ses travaux ordinaires, il perdit le repos et la santé,
quoique son excellente constitution physique parüt lui
promettre une longue carrière. Clairaut fut enlevé aux
sciences et à l'amitié, le 17 mai 1765, ägé seulement
de cinquante-deux ans, On lit dans l'éloge académique
de cet illustre géomètre, que son père eutle malheur
de lui survivre ; il ne fut jamais marié, etle roi, en
considération de son nom et de son mérite, fit une
pension de 1,200 1. à sa sœur, qui resta seule d’une fa-
mille de vingtenfans qu'avaiteus Jeax:-Baptiste Clairaut,
leur père. Un frère puîné d’Alexis Clairaut avait éga-
lement faiten mathématiques des progrès assez rapides,
pour être en état, à l’âge de quatorze ans, de lire à l'A-
cadémie des sciences un mémoire de sa composition.
Les espérances que donnait cet enfant ne purent mal-
heureusement pas se réaliser, la petite vérole l'emporta
en deux jours, à l’âge de seize ans, un an après qu’il eut
publié un Traité des quadratures circulaires et hyper-
boliques, qui parut revêtu de l'approbation et des éloges
de l’Académie. Voici la liste des principaux ouvrages de
l’académicien célèbre dont nous venons d’esquisser les

CL

travaux. I. Recherches sur les courbes à double cour-

592

bure; Paris, 1731, in-4°. IL. Elémens de géométrie;
Paris, 1741, 1765 ,in-8. III. Théorie de la figure de
da terre; Paris, 1743, in-b°; réimprimé en 1800.
IV. Éiémens d’algèbre; Paris, 1753, in-8°. La troisième
édition de cetouvrage, revue par Clairaut, paruten 1760;
elle est encore fort estimée. En 1797, il en parut
unenouvelle édition avec des additions tirées en partie
des lecons données à l’école normale, par La Grange
et La Place, et précédée d'un traité élémentaire d'arith-
métique ; 2 vol. in-8°. V. Théorie de la lune déduite du
seul principe de l'attraction; in-4°. Pièce couronnée par
l’Académie de Saint-Pétersbourg, en 1752; elle a eu
une seconde édition à Paris, en 1565, accompagnée des
tables de la lune, rectifiée par l’auteur. VI. Théorie
du mouvement des comètes; Paris, 1760, in-8°. Un grand
nombre de mémoires de Clairaut sur l’algèbre , la me-
canique et l'optique se trouvent dans le Journal des
savans , et dansle Recueil de l'académie des sciences ;
ils n’ont jamais été, malgré la célébrité de leur auteur,
nirecueillis, ni imprimés à part.

CLAVIUS (Cunisropne), savant et célèbre mathéma-
ticien du XVI° siècle, naquit à Bamberg, en 1537. Il
entra chez les Jésuites, dont il prit l’habit; il ne tarda
pas à s’acquérir une grande réputation de savoir mathé-
matique; les chefs de son ordre l’envoyèrent à Rome,
où il fut employé par Grégoire XIII, en 1581, à la
réformation du calendrier. Il parait qu’il fit tous les
calculs nécessaires à l'exécution de cette entreprise qu’il
fui ensuite spécialement chargé de justifier contre les at-
taques des protestans et contre celle des géomètres du
temps , qui prirent cette utile réforme comme un texte
de critique. I] eut à réfuter Viète, Meæstlin, Lydiat et
le fameux Scaliger. Sa dispute avec ce polygraphe,
qui avait la manie pédantesque de tout savoir, peut
donner une idée de l’urbanité dont on usait dans la cri-
tique littéraire de ce temps. À défaut de bonnes raisons,
Scaliger écrivit de grossières injures contre son adver-
saire. Voici, par exemple, comment il jugeait le savant
Clavius. « C’est une bête, disait-il, un gros ventru d’Al-
lemaud; c’est un âne que ce Clavius, qui ne sait rien
que son Euclide, asinus est iste Clavius, qui præter
Eucliden nihil seit; et il ajoutait avec la grâce parti-
culière qui caractérise ses écrits : C’est ün esprit lourd et
patient, et c'est ainsi que doivent être les mathématiciens;
un grand mathématicien ne saurait être doué d’un esprit
élevé : et tales debent esse mathemativi ; præclarum in-
geniurm non polest esse magnus mathematicus. Scaliger,
on le voit, avait un profond mépris pour les mathémati-
ciens, parce qu'ils opposaient trop souvent à sa faconde
doctorale des raisons péremptoires; il ne regardait pas les
mathématiques comme unescience, parce qu’il ne les sac
vait pas. Aujourd'hui, les utiles travaux du père Clavius

CL

sont justement appréciés, tandis que les nombreux 1n-fo
io de Scaliger sont à peine connus par leurs titres de
quelques patiens bibliographes. Gérard-Jean Vossius,
juge plus éclairé que l’insolentScaliger du méritemodeste
de Clavius, en parle autrementque lui dans son livre de
Scientiis mathematicis , où il le considère comme l’au-
teur du calendrier grégorien. {1 a reçu des éloges aussi
exagérés que les critiques de Scaliger, car il est appelé
dans quelques ouvrages l'Euclide de son siècle. Le
P. Clavius mourut à Rome, le 6 février 1612. On a de
lui de nombreux ouvrages dont nous citerons seulement
les principaux. 1. Æuclidis elementorum libri AVI,
cum scholüs; 1574. Malgré la longueur des commen-
taires qu’il contient, cet ouvrage fort estimé a souvent
été réimprimé. IT. Calendarii romani gregoriani expli-
catio, jussu Clementis VF IIT; Rome, 1600. C’est sur
cet ouvrage qu'est fondée la réputation de Clavins; il est
peut être le meilleur écrit qui ait été publié sur le ca-
lendrier romain, malgré Ja prolixité des détails dans
lesquels l’auteur est entré. :

Indépendamment des écrits importans, on trouve
dans le Recueil des œuvres de Clavius, imprimé à

Mayence, en 1612, en 5

vol. in-fol., plusieurs traités
de géométrie, d’algèbre, d'astronomie, ét surtout de
gnomonique, branche de science à laquelle Clavius avait
consacré, en 1581, un énorme in-fol. Parmi les pièces
que contient ce vaste recueil , aujourd’hui peu consulté,
celle intitulée : Castigatio castigationis Josephi Scali-
gert, dans laquelle le pédant adversaire de la réforma-
tion du calendrier est rigoureusement traité , mérite de
fixer l'attention.

CLEPSYDRE (de xxumrs, Je cache, et de vdwp,
eau). Instrument ou horloge d’eau, dont les anciens se
servaient pour mesurer le temps.

Perrault, dans ses remarques sur Vitruve, expose les
diverses formes que l'on donnait à ces horloges, dont il
existait un grand nombre d'espèces, toutes cependant
fondées sur le même principe, savoir : l'abaissement pro-
gressif de la surface d’une colonne d’eau renfermée dans
un vase, et s’écoulant par un petit orifice situé à la
parüe inférieure du vase.Les clepsydres les plus simples
consistaient en un large tube de verre, portant une
échelle divisée de manière à ce que le niveau de l’eau,
en s'abaissant, indiquait les heures par sa correspon-
danceavecles divisions. L'usage de cetinstrument est très-
ancien, Il fut inventé, à ce que l’on croit, en Egyptesous
les Ptolémées. Le peu de précision dontil est susceptible
l'a bien vite fait abandonner, dès qu’on eut inventé des
moyens plus certains de mesurer le temps. On trouve
dans le premier volume des Machines approuvées par
l'Académie des sciences, la description de nouvelles
clepsydres supérieures à celles des anciens. Nous y
renverrons nos lecteurs, ainsi qu’au vol. XLIF des

OÙ

Transactions philosophiques, ou se trouvent également
des renseignemens précieux sur la théorie et la pratique
de ces instrumens.

CLIMAT (Géom.) (de xxiwa«, inclinaison). Terme
employé dans la géométrie ancienne, pour désigner les
parties ou zones du globe terrestre comprises entre deux

cercles parallèles à l'équateur, et distinguées les unes des .

autres, par la durée de leur plus long jour d’été. Les
anciens se servaient des climats pour déterminer la si-
tuation des lieux sur la surface de la terre, avant qu’on
eût imaginé d'employer les latitudes.

La largeur de chaque climat est déterminée demanière
qu'il y ait un accroissement d’une demi-heure entre le
plus long jour du parallèle qui termine l’un d’eux et le
plus long jour du parallèle qui termine le suivant, en
allant de l'équateur vers le pôle. Ainsi, le premier climat
est celui à l’extrémité duquel le plus long jour est de
12 heures +, le second, celui où il est de 13 heures, et
ainsi de suite. On compte, par conséquent, 24 climats,
depuis l’équateur jusqu’au cercle polaire, parce qu’à
l'équateur, le jour est constamment de 12 heures, tan-
dis que sur les cercles polaires , le plus long jour est de
24 heures, c'est-à-dire, de 12 heures, plus 24 demi-
heures. On a donc pu diviser cet espace en 24 parties,
croissant successivement d’une demi-heure. Passé le
cercle polaire, on ne compte plus que six climats pour
aller au pôle, mais le plus long jour de chacun de ces
climats surpasse d’un mois celui du précédent jusqu’au
dernier , qui se termine au pôle, où il n’y a qu’un seul
jour de six mois, et une nuit également de six mois.
Cette division a lieu pour l’un et l’autre hémisphère;
ainsi, il y a trente climats dans l’hémisphère septentrio-
nal, ettrente dans l'hémisphère méridional, savoir :
24 climats d'heures et6 climats de mois. Quelques géo-
graphes comptent les premiers climats de quart d’heure
en quart d'heure, et les seconds, de 15 en 15 jours.
Ils forment ainsi 60 climats différens.

Les climats , soit d'heures, soit de mois, n'ont pas la
même largeur. Les premiers sont d’autant plus larges,
qu'ils sont plus près de l'équateur, tandis que les se-
conds, au contraire, vont en s’élargissant vers les pôles.
Cette différence vient de ce que les climats d’heures
dépendent de la grandeur de l’arc du tropique voisin qui
est sur l’horizon, au lieu que les climats de mois dé-
pendent de l'arc de l’écliptique, lequel reste toujours
sur l’horizon, pendant que la sphère fait sa révolution
diurne. En examinant la situation de l’écliptique sur une
sphère armillaire, on se rendra facilement compte de
toutes les variations des climats.

La table suivante indique le cercle de latitude auquel

se termine chaque climat, ainsi que l'étendue de sa lar-
geur.

355
le

PEUS LONG ,
‘JOUR.

CLIMATS. LATITUDE, |. LARGEURe

AN æ

m
0 D On CGR M

4
4
3
2
2
2
I
I
I
I
Oo
o
o
o
o
Oo
o
o
o
o
2
3
5
5
F

Lorsqu’on connait Le plus long Jour d’un lieu, on peut
trouver immédiatement le climat dans lequel il est situé,
et réciproquement. Par exemple, ce jour étant pour
Paris de 16 heures, on ôte 12 de 16, et il reste 4 heures
ou 8 demi-heures; Paris est dans le huitième climat,
puisqu’il y a 8 demi-heures de différence entre le plus
long jour de Paris, et celui de l’équateur. Si l’on savait
au contraire que Paris est dans le huitième climat, et
qu’on voulût trouver son plus long jour, il suffirait d’a-
jouter à 12 heures, 8 demi-heures, ce qui donnérait
16 heures. Quant aux climats de mois, l’opération s’exé-
cuterait en ajoutant ou retranchant un mois par climat,
en partant du premier.

Les anciens géographes qui ne connaissaient qu’une
bien petite partie de la terre, et qui croyaient le reste
inhabitable , ou du moins inhabité, n'avaient établi que
sept climats, dont le premier avait 13 heures. Ilsles dési-
gnaient par les noms des lieux les plus remarquables qui
y sont situés: ainsi, le premicr était celui de Meroe; le
second, celui de Syène; le troisième, celui d’Ælexan-
drie; le quatrième, celui de Rhodes; le cinquième, celui
de Rome ; le sixième, celui du Pont-Euxin; et le sep-
tième, celui de l’embouchure du Borysthène. À ces
climats , Ptolémée en ajouta plus tard sept autres, éga-
lementseptentrionaux, etlorsque les progrès de la science
eurent fait connaître les diverses contrées de la terre,
les géographes complétèrent cette subdivision, beaucoup

354 co
trop vague, du globe, qu'ils auraient mieux fait d'aban-
donner.

CO.CHEOU-KING, l'un des plus célèbres astronpmes
chinois, naquit à Chun-te-Fou, ville de la province de
Pé-Tché-Li,
Khan, que les Chinois ont appelé Ghi-Tson, le cinquième

vers le milieu du XIII siècle. Koublai-

successeur de Gengis-Khan, et le fondateur de la dy-
nastie des Yven, en 1271, fit refleurir les sciences à la
Chine, et favorisa particulièrement l'astronomie. La ré-
putatipn de savoir et d’habileté que s'était attirée Co-
Cheoy-King le fitappeler par ce prince dans la capitale
de l'empire, et nommer chef de l'antique et célèbre tri-
bunal des mathématiques. Ce grand obseryateur fit
construire des instramens beaucoup plus exacts que
ceux dont on avait fait usage jusqu'alors. Le plus pré-
cieux de tous était ua gnomon de quarante pieds chi-
nois, terminé par yne plaque de cuivre yerticaleet percée
par un trou du diamètre d'une aiguille. C’est du centre
de cette ouverture que Co-Cheou- King comptait la
hauteur du gnomon : il mesurait l'ombre jusqu’au
centre de l’image du soleil. « Jusqu'ici, dit-il dans un
écrit rapporté par le P. Gaubil (ist. de l'astronomie
chinoïse), on n’obseryait quele bord supérieur du soleil,
et on avait de la peine à distinguer leterme del’ombre :
d’ailleurs, le gaomon de huit pieds, dont on s’est cons-
tamment servi, est trop court. Ces motifs m'ont porté à
faire usage de gnomon de quarante pieds, et à prendre
le centre de l’image. » En comparant les ombres méri-
diennes d’une longue suite de jours avant le solstice,
avec une pareille suite d'observations faites après le
solstice, il détermina que le solstice d'hiver était arrivé
à Péking , en 1280, le 13 décembre, à 1 heure 36! 24/
après minuit, C’est de ce jour que date d’ère nouvelle
de l’astronomie chinoise, à laquelle les travaux de Co-
Cheou-King apportèrent de nombreux et importans
changemens, D’après le P. Gaubil, cet astrenome dé-
termine, pour ce moment , le lieu du soléjl dans Îes
constellations , le mouyement d’anemalie et de latitude
de la lune, et lelieu de chaque planète; il marque aussi
pour ce moment l'épacte et tousdes autres élémens du
calcul astronomique. Co - Cheou -King conclut encore
de ces observations, que la plus grande déclinaison du
soleil était de 23° 38 40" 17 ou 18”. L'abbé de La Caille
verifia cette ancienne détermination de l'obliquité de
l'écliptique, qui lui parut un fait très-intéressant pour
l'astronomie. En calculant d’après la longueur des
ombres méridieuues observées par Co- Cheou- -King, et
ayant égard à la réfraction et à la parallaxe, l’astro-
nome français trouva que l’obliquité de l’écliptique
avait été, eu 1270, de 23° 32' 11 ou 12”; puis, com-
parant ensuite cette obliquité ayec celle qu’il avait déjà
déterminée pour l’année 1950, de 23° 18° 43”, il en
conclut que la diminution réelle de l’obliquité, a été de

‘a 565 jours 5 heures 49° 12

CO

3° 43" en 471 ans, c'est-à-dire de 47" 3 par siècle. Ce
qui confirme la détermination obtenue par Euler,
d'après sa théorie physique. A la suite de l'observation
de quatre autres solstices, rapportée par le P. Gaubil,
et en les comprenant avec celui qu'avait observé, en
460, l'habile Co-

Chcou-King détermina la quantité de l’année solaire,

l’ancien astronome Tchou-Tsong,

»", C’est en partie d’après
ces anciennes observations chinoises , que l'abbé de La
Caille détermina la durée de l'année solaire à 365 jours
5 heures 48° 49”. On regarde co nmunément, à la Chine,
Co-Cheou-King commele premier mathématicien de ce
pays, qui ait fait usage de la trigonométrie sphérique.
C'est sans doute pour exécuter des opérations sur cette
base, que Co-Cheou King , comnie chef du tribunal des
mathématiques, envoya divers membres de ce tribunal
dans différentes provinces de la Chine, dans la Tar-
tarie et la Corée. Le P. Gaubil a rapporté les observa-
tions qu'ils firent de la hauteur du pôle; mais il ne
paraît pas qu’il ait pu retrouver d’autres détails de
leurs travaux astronomiques. Co-Cheou-King ayant
examiné les instrumens confectionnés sous les dynasties
précédentes, les trouva défectueux, ct les fit construire
de nouveau; mais comme, après lui, l'astronomie fut
derechef négligée à la Chine, jusqu’à l'avènement de la
dynastie de Ming, qui succéda à celle des Yven, ces
instrumens , qui avaient passé pour être d'une grande
précision , furent déposés à Péking, dans une salle basse
du tribunal des mathématiques, où il ne fut plus pos-
sible de les voir, et dont par conséquent on ne fait
plus usage. On ignore la date de la mort de Eo-Cheou-
King , le plus habile astronome qu'ait eu la Chine, et
dontdes observations, précieuses parleurexactitude, m'ont
pas été inutiles aux progrès de l'astronomie moderne.

COCHER (Astr.). Nom d’une constellation boréale,
composée de 66 étoiles dans le catalogue de Flamstead.
L'étoile la plus brillante de cette constellationse nomme la
Chèvre (voy. ce mot). Le cocher est situé au-dessus du
Taureau;entre Persée etles Gémeaux (voy PL. IX). On
lui donne-ençoreles noms de Æwriga, Aurigator, Agi-
taior Currüs, Arator, Héniochus, Habenifer, Erich-
thonius, Qrus, Phaeton, Bellérophon, Trochikus,
Absyrthe, Lustos Caprarum, Ænomaus , Hippolytus.

GOEFFICIENT (4/g:). Quantité par laquelle une
autre quantité «st multipliée. Ainsi dans 3a, Ax,
(aHn)æ? ,etc., 3 est le coefficient de a, A celui dexet
mn celui de x?

Lorsqu'une lettre n’est précédée d'aucun nombre,
elle est toujours censée avoir 1 pour coefficient , parce
qu’en général M est la même chose que 1 XM.

Dans une équation quelconque
ar + Am! Æ Bxr-? L Cri Hetc...+ Z =0o,
Grdonnée par rapport aux puissances décroissantes de x,

co

le coefficient du second terme est égal à la somme de
toutes les racines de l'équation prise avec un signe con-
traire.

Le coefficient du troisième terme est égal à la somme
des produits deux à deux des racines.

Le coefficient du quatrième terme est égal à la somme
des produits trois à& tros des racines prise avec un signe
contraire.

Et ainsi de suite jusqu’au dernier Z, lequel est consi-
déré comme le coefficient de x° et qui est égal au pro-
duit de toutes les racines:

Par exemple, soit l'équation du troisième degré
x + Ai +Bx +C— 0,
dont les racines sont à, b, ce, nous aurons

A=— (a+ b+c)
B— ab ac + bc
C —=

abc.

V'oy. Equariox.

MÉTnoODE DES COEFFIGIENS INDÉTERMINES. Cette mé-
thode, l'une des plus fécondes de la science des
nombres, fut entrevue par Viète, mais c’est à Descartes
qu'on en doit le développement et la première ap-
plication importante ; depuis on Pa employée avec
succès dans les parties les plus élevées de la sciénce,
soit coimmé moyen de démonstration, soit comme
moyen de découverte. Elle consiste généralement à
supposer une équation avec des coefficiens indétermi-
nés dont on fixe ensuite là valeur par la comparaison de
ses termes avec ceux d’üné autre équation qui lui doit
être égale. C’est ainsi que Descartes est arrivé à la solu-
tion f équations du quatrième degré. Voy. Biqua-
DRATIQUE.

La méthode des Coefficiens indéterminés est d'un
graud usage dans la génération des quantités par le
moyen des séries. Nous allons examiner ici divers cas
particuliers afin de rendré plus sénsibles et la méthode
elle-même et les divers procédés dont elle se sert.

I. Supposons d’abord qu'il s'agisse de développer en

a
b+x

quelconque, ou, comme on le dit, uñe quantité variable.

série la quantité , dans laquelle æ est un nombre

Nous poserons l'égalité (a)
re =A + Bx + Ca + Ca Dot HE Letc....

et A, B, GC, D, etc., seront donc les coefficiens dont il
faut déterminer la valeur,

Avant de poursuivre, nous devons faire observer que
la forme de l'égalité (a) n’est point arbitraire, mais
qu’elle est fondée sur la proposition suivante dont nous

donncrons ailleurs la démonstration.

CO 355

Une fonction quelconque d'une quantité variable

x peut toujours étre développée en série procédant sui-

vant les puissances progressives de x, c'est-à-dire @x

étant une fonction quelconque de x etA,, A,, A, etc.

des quantités indépendantes de x, maïs déterminées par
la nature de La fonction, on a (2)

pr =Aÿ+A,x+A,x + ATH Ari Letc...
Oéti posé ; et la forme de l'égalité (a) ainsi légitimée
(voy. Foxcrio x), multiplions les deux membres de cette

égalité par b+x, et faisant passer ensuite a dans le se-
cond membre , nous aurons (b)

0 = Ab + Bbx + Cbx? + Dbx3 + Ebxi— etc.
—a + Ax + Bz + Cri + Dri + etc.
L’éfalité (a) devant subsister quellé que soit le valeur
de x, il en est nécessairement de méme de cette dur.
nière ; mais lorsqu'on fait x=—6 elle devient
Ab—a—o,

d’où l’on tire
a
À = nm .

donc cette valeur de A dit restér la ième pour toute
autre valeur de x, ét pair conséquent Ie preltiiér coëf-
ficieut Se trouve ainsi déterminé: Rétrañchatt dans (D)
les quantités Ab; et==a qui se détruisent, cetté équation
se réduit à:

0 — Bbx + Cha? + Dr + Ebri + Fbx L etc.
+ Ax + Baf L Cr + Dai + Ex + etc.,
ou , divisant par æ, à (c)

o — Bb + Chr À Dh + Fr À TEA ele :
+ A + Br + Cr + Dr + Exf etc
Cetté équation deVant encore Subäicter pour toute valeur

de x, faisons x—o et nous aurons

Be + À O0,
D'où
À
B— = pa
et enfin
a
B=— Re 7e

en substituant À fa place de À, sa Valeur Ÿ trouvée ci-
»

dessus.
Retranchant B5-HA=0 de (ec) ct divisant par æ, il
nous restera (d)
= Cb + Dbx + Eba? + Fbaxÿ + Gbzf — etc.
+ B + Cx + Dar + Ex + Fri + etc.

336 Co
faisant de nouveau x—0 , nous aurons
Cb + B= o
d'où
B,A4&
C—=— 3 =5

- , a
en substituant à la place de B sa valeur — -—.

b?
Il est évident qu’en continuant de la même manière
nous tomberions sur les égalités

Dr +C—=0o
Eb + D —=o
Fb+E —o
etc. = etc.

à l’aide desquelles les coefficiens D, E, F, etc., se trou-
xent déterminés.

Remplaçant dans (a), À, B, C, D, etc, par leurs valeurs,
nous aurons définitivement (71)

«a a

a [74
sb ut pe — 57 a + etc...
ce qui est le développement demandé.

En se reportant à l'équation (b), on voit aisément
que la marche que nous venons de suivre se réduit à éga-
ler séparément à zéro les quantités qui multiplient une
même puissance de x; et, en effet, il faut nécessaire-
ment que ces quantités soient toutes o pour que cette
équation puisse subsister daus toute sa généralité, c’est-
à-dire x étant une quantité quelconque.

Si dans l'expression (m)nous faisonsa=1 , elle devien-

I ; ee
dra, pus étant la même chose que (b4+x) o
—{ ï TZ “2 x° x4
G+x) Rp pal pe lp els)

ce que nous obtiendrions également en développant

G+x)

ainsi qu’on arrive aux mêmes résultats par des procédés

‘ par la formule de Newton (v0y. Binome). C’est

pien différens, et que se manifeste la certitude de la

science.

IT. Appliquons maintenant la méthode des coefficiens
indéterminés à des questions plus importantes, et com-
mençons par la détermination des quantités À,, À,,A,,
A,, etc., qui entrent dans le développement général (z)
de toute fonction en série ; soit donc (1)

px—=A,+ A,;x + A,at + A;xi LA ri etc...

si, dans cette expression nous faisons x—o, nous
aurons

CO
le point placé sur x indiquant qu'il faut faire æ=o dans
la fonction gx pour obtenir la valeur de A.
Prenant ensuite la différeutielle des deux meinbres de

l'égalité

(1), nous obtiendrons
dx = Aidx + 2A,xdx +3A,x'de + 4A aux + etc.
et, divisant par dx, (2)

d
_ = A:+2A,x+3A;x + 4A,t + etc.
cette égalité devant aussi avoir lieu quel que soit x, on

a, en faisant x=0,

Différentiant de nouveau les deux membres de l’éga-
lité (2) et divisant ensuite par dx, nous aurons (3)

d
PT OA, pasle 3. (A mé At Det

dx?
ce qui donne , en faisant x—0,

do
2dx*

Aa

Différentiant encore les deux membres de (3) et di-
visant par dx, nous trouverons aussi
dx

és = 2.3A5+2.3.4A4x+3.4.5A x etc.

d’où nous tirerons, en faisant x—0,

Do

Às 2.342

Il est évident qu’en poursuivant de la même manière
nous obtiendrons successivement

d'gx
= 2.3.4dxt?
too
PATENT LA
etc. etc.,

et en général, # étant un indice quelconque,

Fe d'où
Fo .23.4. (1). pe dE”

substituant ces valeurs dans (1), nous avons enfin (n)

Le æ

qu=qu+ HET, a

de 1.2

dx x
“da 1.2.

mie

dont la loi est manifeste, ainsi, ilsuffit de savoir prendre
les différentielles successives d’une fonction quelconque
pour obtenir son développement en série.

Soit, pour fixer les idées, x—(a+x)", nous aurons
(voy. DirFÉRENTIEL)

co

ee = m(a+zx}r-1,

LCR ca = m(m—1)(a 4x):
LORD nms)(m—)(a+a—,
CL. etc.

faisant dans toutes ces expressions x—0o, et substituant
dans (7) en observant que

gi =(a+ à)" =a,
nous aurons

(a + x)r — am + man—1 2 + a am—222
m(m—1)(m—)2)

129

+

am—3x3 + etc...,

c’est-à-dire le binome de Newton.

Or, comme les expressions précédentes sont indépen-
dantes de toute valeur particulière de #2, le binome de
Newton se trouve ainsi démontré pour un exposant
quelconque.

La loi générale (7), dont nous venors de donner une
déduction, est connue sous le nom de théorème de Ma-
claurin, nous verrons ailleurs en exposant le ‘hcorème
de Taylor{voy. ce mot), qu’elle n’est qu’un cas particu-
lier de ce dernier.

II. Une fonction quelconque d’une variable æ pou-
vant être encore développée en série, procédant suivant
les factorielles progressives xl, x?*, x3l:, etc., de la
variable, cherchons maintenant la loi des coefficiens de
ce développement. Nous poserons donc (1)

dx =A,+A,xtls+ A als HA ,xsls E Aile etc.

Prenant les différences successives des deux membres
de cette égalité, en prenant = pour l’accroissement de la
variable # (voy. Dirrérence), nous aurons les égalités

Aÿx —7A;—+923A,xti + 3zA ,x21:Letc....

Mr = 27%À,+4 9.37" Arts 3./4zA,xtl: E etc.

Apr = 2.37/À, + 2.3.425A xls +

+ 3.4.5 A xl: L etc. ...
Afpx — 2.3.47AÀ, + 2.3.4.5z4A ils
+ 3.4.5.623A xl Letc..

etc. CO

faisant dans toutes ces égalités, à commencer par (1),
x=0, nous obtiendrons

A5 =#@?,

CO 331,
Aie
27?
Az
me 2:32
etc. , etc. ,

et en généra', 72 étant un indice quelconque
2 q q ?

ArQX
DDR LT

mm

le point placé sur x indiquant, comme ci-dessus,
qu’il faut faire æ—0o après avoir pris les différences.
La loi demandée est donc (2)

k Apt xl | A als
TT = TX se —— ——
# ? EH FA I 2? 1.2
Aÿx al:
——. —; etc
LA z4 1:23 sr

Lorsque l'accroissement z est infiniment petit, les
factorielles deviennent de simples puissances et le déve-
loppement (2) se réduit à celui de Maclaurin qu'il em-
braste ainsi comme un cas très-particulier, quoiqu’ilne
soit lui-même que le cas le plus simple de la for-
mule donnée par M. Wronski, pour le développement
des fonctions en séries (voy. Facurrés et Séries). Nous
nous contenterons ici d'appliquer cette loi au binome
des factorielles , soit donc

gx = (a+).

Quelles que soient les quantités a, x, m, =, nous avons,
# étant un nombre entier quelconque, (voy. Dirré-
RENCE)

Aa) = m(m—i)...(m—u+i)atc)-#zs,

et, par conséquent
»P ;

gi = a"t,
Aÿx
= — mails,
A°Dx
és = m(m—1)a"—21,
_
etc., etc.

substituant dans (1) nous aurons donc
(a + Cyr = al: + man—1l: œil: +

+ DATE) am-als, xls, etc...
1:2

etle binome des factorielles se trouve ainsi généralement

démontré.

Nous donnerons dans plusieurs articles d’autres appli-
cations de la méthode des coefficiens indcterminés (voy.
FRACTIONS CONTINUES , SERIES RÉCURRENTES); Ce qui pré-

43

sres) CO

cède est suffisant pour montrer la haute utilité de cette
méthode, qu’on peut appliquer à la recherche des lois
les plus générales de la science.

COEUR pu on, où RecuLus (Astr.). Étoile de la
première grandeur , dans la constellation du Lion. Foy.
RecuLus.

COEUR 5e ’uspre (Astr.). Étoile de la seconde
grandeur, dans la constéllation de l’Æydre. PVoy. ce
mot. :

COIHÉSION (Mec). Force qui unitles parties des
corps, les retient ensemble etles constitue en une même
masse.

COIN {Héc.). Prisme triangulaire de fer que l’on
fait entrer par uue de ses arètes dans la fente d’un
corps pour en augmenter Pouverture. L'arète qui pé-
nètre Je corps se nomme le tranchant du coin, la face
opposée en est la téte, etes deux autres faces quadran-
gulaires er sont les cotes.

Le coin étant frappé sur sa tête (voy. PL. XVII, fig.)
reçoit une impulsion que nous supposerons perpendieu-
laire, où agissant suivant la droite BE. Cette impulsion
tendant à écarter les côtés de la fente re put être con-
trebalancée que par l'adhérence mutuelle des particules
qui composent le corps; mais comme cette adhérence
n’est pas la même dans toutes les substances, il devient
impossible d'évaluer en général le rapport de la puis-
sance à la résistance dans cette machine, que l’on
compte parmi les six puissances mécaniques élémen-
taives. Nous pouvons seulement chercher le rapport
de la puissance aux pressions exercées sur les côtés du
coin.

Soit donc A BC le profil du coin ; représeutons par la
droite arbitraire DO la
force qui tend à le faire
pénétrer, et ayant mené
sur fes côtés AC, BC, les
perpeudiculaires DE et
DFE, achevons le parallé-
Jlogramime IDHO , en re-
présentant par DI et Dit

ies pressions exercées sur C

les côtés. Nommous donc F la force et P et P' ces pres-
sions; les triangles semblables ABC , IDO , nous don-
nerGnt

DO : DI :10 :: AB : AC : BC
où , en remarquant que IO—DH, :
F:P:P':: AB :AG:RC,
nous aurons donc aussi, H étant un nombre quelconque,
F:P:P'::H X AB:HX AG:}H X BG,

mais si H représente la largeur du coin, H % AB sera

CO
la surface de la tête, ét H X AB, H % BC les surfaces

des côtés; ainsi la puissance F etles efforts P et P', qui
agissent sur les côtés du coin, sont preportionnels à sa
tête et à ses cotés.

Il suit de cette théorie que plus le coin deviendra
tranchant et plis a mênre puissance acquerra d'avantage
sur les résistances, et plus, par conséquent, le coin
trouvera de facilité à s’enfoncer.

Nous avons supposé que la force agissait perpendicu-
lairement à la tête, et il suffit en effet &e considérer ce
cas ; car lorsque la force agit obliquement on peut la dé-
composer en deux autres, lune perpendiculaire à la
tête du coin et l'autre dirigée dans son plan : or, comme
cette dernière force ne tend qu’à faire glisser la puissance
sur le plan de la tête, elle demeure sans action sur la
résistance.

COÏNCIDER (Gcom.). Lorsque deux lignes ou deux
surfaces appliquées l’une sur l'autre se confondent de
manière à ne former qu’une seule ligne ou qu’une seule
surface , on dit qu’elles coëncident.

La coincidence désigne donc une égalité parfaite dans
les figures ; et tous les géomètres, d'après Euclide, dé:
montrent la plupart des propositions élénrentaires par
le seul principe de Ix coïncidence ou superposition.

COLLIMATION {Opr.) (de colimo, je vise). Nom
dela ligne optique, supposée passer par les deux pinules
d'un graphomètre lorsqu'on vise un objet. Dans une lu-
nette, c’est l’axe optique, ou la ligne qui passe par le
centre des verres.

COLLINS (Jean), géomètre anglais, né à Wood-
Laton , près d'Oxford, en 1624. Il avait des connais-
sances étendues dans les diverses branches des mathéma-
tiques et passa surtout pour un des plus habiles calcula-
teurs qui eüt jamais existé. Ces connaissances et la
publication de quelques ouvrages sur des sujets de ma-
thématiques 1e firent admettre, en 1€67, dans la société
royale de Londres. Les relations qu’il établit alors entre
les savans , par ses correspondances avec eux , l’ont fait
surnommer le Jersène anglais, et comme le Françaisil
servit utilement la science par l’émulation qu'il excita
entre ceux qui les cultivaient. Les papiers de Collins,
tombés vingt-cinq'ans après sa mort entre les mains du
savaut William Jones, ont jeté du jour sur plusieurs
questions controyersées et qui intéressent l’histoire des
sciences mathématiques. Ils ont fourni la plupart des
pièces d’après lesquelles quelques savans anglais ont
voulu attribuer à Newton seul l'invention des calculs
différentiel et intégral, dant Leïbnitz doit au mots par-
tager l'honneur avec lui. (Foy. Prrrérenrrez.) Ces
pièces ont été publiées sous ce titre : Comnrercium epis-
tolicum D. Johannis Collins et aliorum de analysæ
promotd, jussu societatis regiæ in lucem editum,

Londres, 1912, in-4° et 1725 in-8°. — Jean Collins,

Co

savant modeste, dont la vie fut marquée par peu
d’événemens, est mort le 16 novembre 1683. Outre
plusieurs dissertations curieuses dont il est l’auteur, et
qu'on trouve dans les Transactions philosophiques ,
voici les principaux ouvrages qu’il publia : 1. Zntroduc-
tion à la tenue des livres , 1652, in-f° et 1665, avec un
supplément. IL. The Sector on aquadrant, 1658, in-4°.
Cet ouvrage contient la description et l'usage de quatre
sortes de cadrans. IT. Za gnomonique géométrique,
1659 , in-4°,

COLLISION (Mec.), (de collisio, choc}. C’est la
même chose que Cnoc. Foyez ce mot.

COLOMBE ( 4str.). Nom d’une constellation méri-
dionale placée près du tropique du Cancer, au-dessus
du Lièvre et à côté du Grand Chien (voy. Pr. X). Elle
ne contient que 10 étoiles dans le catalogue de Flamstead ;
mais La Caille en à considérablement augmenté le
nombre, dans la description qu’il en a donnée, AMém.
de l’'Acad. des Sc., 1752. La plus brillante étoile de
cette constellation, marquée #, est de la seconde gran-
deur ; elle est visible en Europe, puisqu'elle est au mné-
ridien près de 7° au-dessus de l'horizon de Paris.

COLURES ( Astr.). On donne ce nom à deux grands
cercles qui passent par les pôles du monde : l’un par les
équinoxes, et l’autre par les solstices. Foy. ArmirraIRe.

COMBINAISON (4/g.). Réunion de plusieurs objets
en groupes composés d’un nombre quelconque de ces
objets. Par exemple, les cinq lettres a, b, e, d, e,
étant données, les groupes ab, be, ed, de, ac, etc.,
formés par la réunion de ces lettres deux à deux, ou les
groupes abc, abd, cbd, etc., formés par la réunion de
ces mêmes lettres trois à trois, et ainsi de suite, sont les
combinaisons des cinq lettres a, b,c, d,e.

Lorsqu'il s’agit de nombres représentés par des let:
tres; comme les produits sont les mêmes , quel que soit
l'ordre des facteurs, on ne donne proprement le nom
de combinaison qu'aux groupes qui expriment des pro-
duits différens : ainsi les trois quantités À , B, C, admet-
tent bien six arrangemens en les combinant deux à
deux, savoir :

AB, BA, AC, CA, BC, CB;
mais dans ces six arrangemens il n’y en a que trois :
AB, AC, BC.

qui donnent des produits différens; et. c’est seulement
ces trois derniers qu'on désigne sous le nom des combi-
naisons deux à deux des trois quantités À, B, C.

Par la même raison, quoique les arrangemens des
quatre lettres À, B, GC, D, combinées trois à trois,
puissent former 24 groupes, leurs combinaisons où pro-
duits différens ue sont qu’au nombre de quatre :

ABC, ABD, BCD, ACD.

co

Si l’on considère que dans le nombre total des arran-

239

gemens possibles, chaque produit doit se trouver répété
autant de fois que les lettres qui le composent admettent
de changement de situation , on verra facilement que le
problème de déterminer le nombre des combinaisons de
plusieurs quantités se réduit à celui de déterminer le
nombre des arrangemens, et à diviser.ce dernier par le
nombre qui exprime tous les changemens de situation
des divers facteurs d'un groupe. En effet, pour éclaircir
ceci par un exemple, dans les six arrangemens deux à
deux

AB, AC, CB

BA , CA, BG

des trois lettres À, B,C, chaque produit différent se trouve
répété deux fois : AB, BA; AC, CA ; CB, BC, parce que
deux lettres admettent deux changemens de situations.
ainsi, dans ce cas, le nombre des produits ou des combi-
naisons est la z2ort1é de celui des arangemens. De même
dans les 24 arrangemens 3 à 3 des quatre lettres À, B,
C, D, chaque produit ABC, ABD, BCD, ACP se trouve
répeté G fois, parce que trois lettres présentent six
changemens de situation

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Le nombre des combinaisons est donc la sixième partie
du nombre des arrangemens.

En général, si M exprime le nombre total des arran-
gemens de 7» lettres en groupes de » lettres, et si N ex-

prime le nombre des changemens de situation qne peu-

M
vent admettre » lettres, — sera le nombre des combi-

N
naisons » à 7 des 71 lettres.
On donne le nom de permutations aux changemens
de situation des lettres entre elles , ainsi

AB, PA,
sont les permutations des deux lettres À et B,

ABC, ACB, DAC, BCA, CAB, CBA

sont les permutations des trois lettres A, B, C; ct ainsi
de suite.

Il s’agit donc préalablemeut de déterminer le nombre
total des arrangemens que peuvent présenter plusieurs
lettres, en les réunissant deux à deux, trois à trois, etc.

Or, pour former les arrangemens de trois lettres deux
à deux. il est évident qu’à côté de chacune d’elles il faut
écrire les deux autres; de cette manière, &, b, © , étant

ces lettres, on a
al ic} ou ab, ac

1 ac | ou ba, be

540 CO

c| a, b Lou ca , cb

|

S'il s'agissait de quatre lettres «4, b, C, 4, arrangées
deux à deux, ontrouverait de même

al b,r, a} ...ab, ac, ad
b{a, cd |...ba, be, bd
cla,b, d| ...ca, cb ,cd

d\a, b, c} da, db, de

Pour trouver les arrangemens #rois à trois, on voit
aisément que devant chaque lettre il faut écrire tous les
arrangemens deux à deux de toutes les autres lettres:
ainsi pour quatre lettres, par exemple, on aurait

albe, cb, bd, db, cd, de

b{ac, ca, ad, da, cd, de)

c{ab, ba, ad, da, id, db}

d\a, ba, ac, ca, bc, cb}

et, en réunissant les groupes,

abc, acb, abd, adb, acd, adc
bac, bca, bad, bda, bcd, bde
cab, cha, cad, cda, cbd, cdb

dab, dba, dac, dca, dbc, dcb

En général, il est évident que pour former tous les ar-
rangemens d’un nombre quelconque de lettresen groupes
de n lettres , il faut écrire devant chaque lettre tous les
arrangemens #7—1 à »—1 dont toutes les autres sont
susceptibles. Si nous désignons doncpar An) le nombre
des arrangemens de » lettres en groupes de » lettres, et
par A{n—4,m—1) le nombre des arrangemens de m—1
lettres en groupe de 2—1 , nous aurons

Ajnm) = M. Â{n=1, m—1)

Mais cette relation ayant nécessairement Keu, quels
que soient les nombres 77 et n, n étant d’ailleurs plus
petit que 7, nous aurons aussi

A(n—1, mt) = (m—1) Ans, m3)

Aqn—i,ms) — (1—92) Âfn_3,m—3)

A(u—3, m3) = (M—3) A(n—$, mi)
etc. .. etc.

A(ns,my) = (N—p) Afin i,m—u1);

CO

substituant successivement ces valeurs l’une dans l’autre
nous obtiendrons {1)

Afn,m) = Nm—1)m—2)....(m—p) Â(n-pu-1,m-;1)

expression dans laquelle tout sera connu si nous pouvons
déterminer la valeur de

A(n=u 1,mu—1)

correspondante à une valeur du nombre arbitraire ge.
Or, si nous faisons &—n—2, cette quantité devient

A1, mnt 1)

c’est-à-dire le nombre des arrangemens une à une de
m—n+:1 lettres, mais un nombre quelconque de lettres
admet autant d’arrangemens une à une qu'il y a de
lettres, ainsi

Ann) = MR,

donnant donc, dans (1), la valeur 7—2 à la quantité
arbitraire # nous aurons définitivement pour le nombre
total des arrangemens » à » de "1 lettres, l'expression (b)

An, m) =m{m—i\m—2)....(m—n+4+2)\m—n+1).

Dans le cas de m—4 , n—3, nous avons

A(3,4) = É5902— 24%

comme nous l’avons trouvé ci-dessus.

Le nombre des arrangemens étant ainsi exprimé , il
ne s’agit plus, pour déterminer celui des combinaisons,
que de connaître le nombre des permutations de chaque
groupe formant un produit distinct; c'est ce que nous al-
lons exposer.

Les permutations d’un groupe de deux lettres se for-
ment en écrivant chacune de ces lettres devant l’autre,
comme il suit

ab, ba.

Celles d’un groupe de trois lettres , en écrivant devant
chacune d’elle les permutations des deux autres

{ |
LE cb:

a . abc; acb

bac, ca} .. bac, bca

c\ab, ba ...cab, cha
On trouvera de la même manière les permut tions
d'un groupe de quatre lettres, c’est-à-dire qu'on
écrira

a bed, bdc, cbd , cdb , de, deb)

blacd, adc, cad, eda, dac, dea|

CO

c{abd, adb, bad, bda, dab, dba)

d\abe, acb, bac, bca , cab, cha

et, en réunissant

abcd , abde , acbd , acdb, adbc , adcb
bacd, bade , bead , boda, bdca , bdca
cabd, cadb, chad, cbda, cdab, cdba
dabe, dacb, dbac, dbca , dacb, dcba.

Ainsi le nombre des permutations de trois lettres est
égal à trois fois celui de deux lettres ; le nombre des
permutations de quatre lettres est égal à quatre fois celui
de trois lettres, et ainsi de suite. » étant un nombre en-
tier quelconque si nous exprimons, CN général , par pes
le nombre des permutations de # lettres, nous aurons la

suite d’égalités

P; — 3P:

P; = 4P3

Ps —5P4

Ps — 6GPs

etc. etc.
Piu = (n—1)Piee
Le —= nP,-1

substituant chacune de ces valeurs dans celle qui la suit,
nous obtiendrons

P,= n(n—in—2).....6.5.4.3.P:,

mais Ps—9, car deux lettres n’admettent que deux per-
mutations: ainsi cette dernière expression devient (2)

P,,—=2.3.4.5.6.5.... (71) 7.

c'est-à-dire que le nombre des permutations de » lettres
est égal au produit de tousles nombres naturels depuis
1 jusqu’à 7.

Si l’on demandait combien dix objets peuvent ad-

mettre de variations de positions , ou de permutations

“il suffirait donc de faire 7—10 dans (3) et l’on aurait

P, = 2.3.4.5.6.7.8.9.10 — 3628800.

Ceci posé, comme le nombre des combinaisons de m
lettres 7 à n se trouve en divisant le nombre total des
arrangemens 7 à n, par celui des permutations des groupes
de » lettres, si nous désignons ce nombre de combinai-
sons par C{um), NOUS aurons (4)

m(m—\)\m—92)....(m—n+#1)
SNA SE Te =

C(nm) =

En faisant successivement, dans cette expression géné-

rale, n=1,n—2,n—3, etc., on trouve

mm—1) mm—i)(m—0) m(m—i)(m—2)\m—3)
2 NET ——<etc

ER EE A
HEAR 2.3 à

CO 341

qui sont , respectivement, les nombres des combinaisons
1à1,2à2,3à3,4à4,etc., de m lettres, et qui
forment la suite des coefficiens de la formule de Newton,
Voyez Binoue.

Pour donner au moins un exemple de l’application
de la formule (4), supposons qu’il s'agisse de trouver le
nombre des combinaisons 4 à 4, de 8 lettres; nous ferons
m= 8 etn—4, etcommele dernier facteur du numéra-

teur devient 7—n—+1=8—4+1=5, nous trouverons,

8.7.6.
JON

Css T7

La théorie des combinaisons reçoit de nombreuses
applications dans diverses branches de l'algèbre, telles
que la théorie des équations , le calcul des probabilités,
etc., etc. On les trouvera aux articles consacrés à ces
divers objets. F’oyez aussi PERMUrATION.

COMÈTE (Astr.) (de youn, chevelure). Corps lumi-
neux qui apparaît dans le ciel, presque toujours accom-
pagné d’une trainée de lumière, et qui, pendant le temps
de son apparition, a un mouvement propre généra-
lement semblable à celui des planètes.

Avant qu'on eût découvert le télescope, et suivi
avec exactitude le cours de ces masses lumineuses de-
puis l'instant où il est possible de les apercevoir, jusqu’à
celui où elles se perdent dans l’espace, elles semblaient
apparaître et disparaître presque subitement, et leur
présence imprévue les faisait regarder comme l'an-
nonce de grands événemens. Si le progrès des sciences
astronomiques ne permet plus aujourd'hui d’attacher
aucune idée superstitieuse à des phénomènes soumis,
comme tous les autres, à des lois fixes et déterminées ; si
la science est enfin parvenue à un degré assez élevé pour
pouvoirsuivre dans les champs sans limites de l'univers
la marche de ces corps singuliers, tracer la courbe de
leurs orbites, et déterminer à l'avance l’époque de leur
apparition, les comètes n’en demeurent pas moins les
objets les plus propres à stimuler la curiosité humaine;
et, malgré les travaux immenses dont elles ont été l'objet
de la part des astronomes et des physiciens, elles sont
encore une énigme dont le mot se perd dans le secret
de la création.

Que penser en effet de corps, dont les uns nous ap-
paraissent comme des masses compactes semblables à la
terre, et dont les autres, simples vapeurs lumineuses,
plus ou moins contractées, selonleur proximité du soleil,
n’offrent aucun caractère desolidité, et cependant par-
courent, sans se dissiper, des espaces immenses ?

On divisait jadis les comètes en trois classes, savoir :
les barbues, les chevelues et les comètes à queues ;
mais ces distinctions ne se rapportent à aucune diffc-

rence dans ces corps enx-mêmes; elles sont seulement re+

342 co

latives aux circonstances sous lesquelles nous les voyons,
car il y a beaucoup de comètes qui n’ont ni queue, ni
barbe ni chevelure. L’astronomie moderne considère
trois parties distinctes dans une comète : Ja {éte, masse
de lumière large et éclatante , mais terminée d’une ma-
nière confuse ; le noyau, partie beaucoup plus brillante
et plus franchement découpée, située au centre de la tête;
la queue, trainée lumineuse plus ou moins large et dif-
fuse, qui part de la tête dans une direction opposée
au soleil, et qui se subdivise quelquefois en. plusieurs
bandes. Cestrois parties ne se rencontrent pas dans toutes
les comètes; quelques-unes n’ont point de queue,
d’autresmanquent de noyau, etsont tellement diaphanes
que les étoiles sont visibles au travers de leur disque.

Tvycho-Brahé découvrit le premier, en observant, pen-
dant un mois, la comète de 1585, que ces corps ne pou-
vaient être de simples météores engendrés dans rotre
atmosphère , comme on le supposait alors communément.
Il fit ainsi revivre une ancienne idée de Sénèque, qui,
avec cette pénétration du génie qui devance les décou-
vertes de l'expérience, avait rangé les comètes au nom-
bre des planètes de notre système solaire. « On ne peut
point encore connaitre ,, dit-il ( Questions naturelles,
Liv. VID, le cours des comètes , et savoir si eiles ont des
retours réglés, parce queleurs apparitionssont trop rares;
mais leur marche non plus que celles des planètes,
n’est point vague et désordonnée comme celle des mé-
téores qui seraient agités par le vent. On observe des
comètes de forme très-différente ; mais leur nature est
semblable, et ce sont en général des astres qu’on n’a pas
coutume de voir, et qui sont accompagnés d’une lumière
inégale; elles paraissent en tout temps, et dans toutes les
parues du ciel, mais surtout vers le nord ; elles sont,
comme tous les corps célestes, des ouvrages éternels de
la noture : la foudre et les étoiles volantes et tous les
feux de l'atmosphère sont passagers, et ne paraissent
que dans leurs chutes.Les comètes ont leur route qu’elles
parcourent ; elles s'éloignent, mais ne cessent pas
d'exister, »

Képler entreprit de calculer l’orbite d’une comète;
mais il put reconnaitre seulement que cet orbite n’était
point arculaire. Hévélius fit un plus grand pas, en re-
connaissant, nou-seulement que la route des comètes
se courbait autour du soleil, mais encore que cette
courbe était de la nature de la parabole. Plus tard,
Newton compléta cette théorie, en démontrant que les
comètes circulent autour du soleil:, en vertu des mêmes
lois que les planètes, et qu'elles décrivent des ellipses
très-alongées dont le soleil occupe l’un des foyers. Enfin
la célèbre comète de Halley, dont nous allons parler,
vint donner à cette théorie le dernier degré d’évi-
dence et de certitude,

La parabole est une courbe qu'on peut considérer

-CO

comme la limite de lellipse, et qui en diffère d’autant
moins que le grand axe de cette dernière a .plus d’é-
tendue. On peut remarquer en cffet dans la génération
de ces courbes, au moyen d’un cône coupé par un plan
(vor. Cône) que la parabole n’est qu’une ellipse dontle
grand axe est infiniment grand. Il est donc à peu près
égal de considérer une petite portion de l'orbite, sur-
tout près du périhélie, comme un arc de parabole ou
comme un arc d’ellipse, lorsque le grand axe de l’el-
lipse est très-grand, et c’est en employant cette méthode
que Halley calcula le premier les orbites des comtes, et
qu’en se servant des observations d’Apian sur la comète
de 1531, de celle de Képler et de Longomontanus sur
la comète de 1607, et enfin de celles de Lahire, Picard,
Hévélius er Flamstead sur la.comète de 1682, qu’il re-
connut que ces trois comètes n'étaient qu'un seul et même
astre, dont il lui fut possible d'annoncer le retour.

Les résultats de ces calculs furent les élémens para-
boliques suivans.

Comète de 1531 :

Juclinaison. Longitude Longitude Distance

du uœud, du périhéle. au périhél

17° 56’ 49° 25’ 301° 39' 0, 57-
Gomète de 1607

172. DO 1e 302° 16" 0, 58.
€Comète de 1682

qe 4e! 5o° 48 301° 56 … «0,58.

Les mouyemens propres de ces comètes s’effectuant
en outre tous les trois dans l’ordre rétrograde, c'est-à-
dire en sens inverse du mouvement diurne apparent
de la sphère céleste, il était évident , en tenant compte
des erreurs inévitables des observations et des pertus-
bations que devait éprouver la comète par l'attraction
des planètes, que ces trois orbites appartenaient à un
seul astre, et que la même comèteétait apparue en 1531,
1607, 1682, c'est-à-dire que la durée de sa révolution
était de 55 à 76 ans, et qu’elle serait de nouveau visible
xers 1725 ou 1759.

La prédiction de Halley éveilla l'attention de tous les
astronomes, et Clairaut entreprit derechercher l'influence
que l'attraction des grosses planètes devait apporter sur
la marche de la comète : il calcula pour cet effet l’or-
bite réel, en transformant les élémens paraboliques en
élémens elliptiques, et trouva que le retour au péri-
hélie serait retardé de 100 jours, par l’action de Sa-
turne; et de 518 au moins par celle de Jupiter (voyez
Perrursarion); et en conséquence, il fixa ce retour vers
le 12avril 1559, annonçant toutefoisque le temps l'ayant
forcé de négliger dans son calcul de petites quantités,
il pourrait y avoir upe différence de 30 jours en plus ou
luoins. La comète passa en effet à son périhélie le

CO

so mars 1959, et ses élémens paraboliques furent tels

que Elairaut les avaient calculés, savoir :

Inélinaison, Longitude Longitude Distance
du nœud. da périhélie. au périhélie.
17° 38’ 53° 48" 303° 10° 0, 58.

Le prochain retour de cette comète au périhéliea été
calculé par MM. Damoiseau , du bureau des longitudes,
et Pontécoulant, en tenant compte de l'effet pertur-
bateur d'Uranus, dont l'existence n’était pas connue du
temps de Clairaut, le premier fixe ce retour au 16, et le
second au 7 novembre 1835. C’est en prenant pour base
les élémens donnés par M. de Portécoulant, que M. Lit-
trow, astronome de Vienne, a calculé les circonstances
suivantes de l'apparition de cetastre.Vers le mois d'août,
au matin, on commencera à apercevoir la comète dans
la constellation du Faureau ; sa lumière sera encore très-
faible, et sa distance à la terre d'à peu près 67 millions
de lieues. Le 6 octobre, la comète se trouvera à sa plus
courte distance de la terre ,6,198,000 lieues, c'est-à-dire
à une distance cinq à six fois plus petite que celle du
soleil; c'est alors qu’elle paraîtra dans son plus grand
éclat. Le 7 novembre, elle atteindra sa plus courte dis-
tance du soleil, 20,112,000 lieues. Après avorr passé au
périhélie, elle se rapprochera de nouveau de Ja terre,
au commencement de 1836. Au mois de mars elle en
sera éloignée d'environ 25,000,000 de lieues, puis elle
disparaitra pour ne revenir qu’en février 1912.

Cette comète est la même qui, en 1456, causa en
Europe la plus vive consternation par l'immense queue
qu’elle développait sur l'horizon; mais cette queue dont
l'étendue embrassait alors 60°, a toujours été en dimi
nuant de grandeur et d'intensité, et quoiqu'il soit pro-
bable, par la grande proximité dort la comète sera de la
terre en 1833, qu’elle nous offre encore une apparence
très-brillante , on ne peut espérer de revoir ces majes
tueux et sublimes phénomènes, qui firent commander
jadis des prières publiques pour conjurer la maligne
influence qu’on leur attrihuait.

L'hypothèse du mouvement elliptique des comètes,
vérifiée dans celle de Halley, et dans la marche de plus
de 100 autres, dont les nombreuses observations sont
exactement représentées par cette théorie, est aujour-
Thui universellement adoptée, quoiqu'on ait soup-
çonné plusieurs fois que quelques-uns de ces astres
avaient des orbites hyperboliques, et qu'accidentelle-
ent engagés dans notre système solaire, après avoir
subi l'action attractive du soleil, ils s'en éloignaient
pour toujours.

Toutes les comètes dont on a pu se procurer des ob-
servatious exac'es, sont inscrites dans un catalogue; et
lorsqu'on en découvre une nouvelle, après avoir déter-

mia les élémens dé son orbite, on les compare à ceux du

ë CO 343
catalogue , et on cherche s’il s’en trouve qui leur ressem-
ble. Si ce cas se présente, on en conclut que la comète a
déjà paru dans une autre deses révolutions, mais l'égalité
parfaite des élémens n’est pas entièrement nécessaire; car
ils peuvent avoir subi des perturbations qui les aient al-
térés. I suffit qu’ils aient entre eux beaucoup de ressem-
blance , pour obtenir déjà un grand degré de probabilité
en faveur de l’identité des comètes auxquelles ils appar-
tiennent; c’est ainsi que le professeur Encke, de Berlin,
a reconnu dans la comète découverte à Marseille, par
M. Pons, le 26 novembre 1818, celle qui avait été ob-
servée en 1786, 1705 et 1805. Il constata le premier le
retour périodique de cette comète, dont il prédit l’ap-
parition pour 1822, 1825, 1828, 1832; ce que l’expé-
rience à confirmé. Elle doit être de nouveau visible
en 1835.

La très-courte période de cette comète, qui se com-
pose de 1207 jours, n’est pas ce qui la rend la plus inté-
ressante pour les astronomes ;: elle présente encore cette
circonstance singulière, qu'à chacun de ses retours, le
grand axe de l’ellipse qu’elle décrit et sa moyenne dis-
tance au soleil diminuent progressivement, et qu’on est
forcé d’en conclure qu’elle finira par tomber dans le
soleil, à moins qu’elle ne se dissipe auparavant : ce que
semblerait annoncer le décroissement de son éclat, et
l'extrême rareté de sa substance au milieu de Jaquell:
on ne découvreaucun noyau.

Une autre comète à courie période, dite comète de
Biela, du nom d'un astronome de Jobanisberg , qui en
reconnut la périodicité, décrit en 6 ans ? une ellipse
peu excentrique. Dans sa dernière apparition, arrivée
en 1832, si la terre eût été en avance d’un mois sur son
orbite, elle aurait traversé cette comète, coincidence
bizarre qui aurait pu amener de singuliers phénomènes,
mais dont la probabilité est si petite, qu’elle ne peut ins-
pirer aucune inquiétude. La comète de Bicla est au
reste assez iusignifiaute; elle ne présente n1 queue ni
noyau.

Les comètes de Halley, de Encke et de Biela sont les
seules jusqu’à ce jour , dont le retour périodique ait été
constaté par le fait. Les orbites présumées de beaucoup
d’autres, sont tellement excentriques que leur retour
ne peut s'effectuer que dans des périodes trop grandes,
pour que les plus anciennes observations connues puis-
sent les embrasser; et il faudra des siècles avant de les
voir reparaître.

Une comète que nous ne pouvons passer sous silence,
est celle dont Exell avait calculé la période et prédit le
retour, et qui cependant ne s’est pas représentée. Cette
disparition , due à l'attraction de Jupiter, ainsi que le
calcul l'a complétement démontré, est une nouvelle
preuve de la réalité indestructible des lois découvertes

pär l’immortel Newton.

344 (O s

Toutes les hypothèses physiques faites jusqu'ici dans
le but d'expliquer les phénomènes variés que les comètes
nous préseutent, sont encore trop éloignées d'offrir le
moindre degré de certitude, pour nous permettre de
les exposer, et nous nous bornerons à renvoyer nos lec-
teurs à la notice de M. Arago, insérée dans l'Annuaire
du Bureau des longitudes pour 1832; ils y trouveront,
avec l’ensemble complet des connaissances actuelles sur
ces astres singuliers, la réfutation de plusieurs erreurs
populaires ou scientifiques auxquelles ils ont donné nais-
sance ; et si, dans quelques cas, l'opinion de l’auteur
nous parait beaucoup trop tranchante, les idées qu'il
combat sont loin d'offrir un assez haut degré de proba-
bilité pour qu’on puisse se prononcer en leur faveur
avant de nouvelles recherches et un nouvel examen.

La planche XXII contient quelques-unes des appa-
rences sous lesquelles les comètes les plus célèbres se
sont moutrées.

La détermination de l'orbite des comètes exige des
calculs longs et compliqués, dont il nous est impossible
de donner ici l'exposition; nous devons nous contenter
d’en démontrer seulement la possibilité, en faisant con-
naître une mthode graphique assez expéditive, qui,
si elle ne donne qu’une approximation insuffisante, met
au moins dans tout son jour la difficulté du problème
pour la solution duquel nous ne possédons encore au-
cune méthode directe.

Ayant tracé sur un morceau de carton le cercle
TT'T'BA pour représenter l’éciptique, où détermi-
nera les points T, T', T”, etc. , de la position de la terre
au moment des observations successives de la situation
de la comète sur la sphère céleste, et de ces points on
tirera les droites indéfinies Tr, T'r, T'p, en tendant
des fils suivant les directions de la comète dans l’espace
au moment de chaque opération. D'autre part, ayant
tracé plusieurs paraboles d’un même foyer F, on décou-
pera chacune de ces paraboles, que l’on placerasuccessive-

CO
ment dans le cercle, de manière que leur foyer F coïncide
avec le centre du soleil S. Pour cet effet on a préalable-

EN

ment évidé l'intérieur du
cercle de manière à pouvoir
y faire entrer les paraboles.
On donne à ces paraboles
différentes inclinaisons, jus-
qu'à ce qu’elles touchent au
moins deux des droites de
direction; et parmi toutes

celles qu’on a découpées, on | |
choisit celle qui touche trois !
droites en même temps. Cette courbe étant trouvée, on
marque dessus les points de contact re, n,p; et menant
de chacun de ces points des droites au foyer F, on com-
pare entre eux les secteurs hyperboliques » S n, m S P;
afin de s'assurer s'ils sont proportionnels aux temps
écoulés entre chaque “observation. Comme il n'existe
qu'une seule parabole qui #yant son foyer en S, puisse
toucher en même temps toutes les lignes menées de la
terre à la comète, on peut donc toujours obtenir par
le tätonnement cette parabole unique, qui indique la
marche de la comète; et d’après sa position sur le cercle
représentant l'écliptique , on peut déterminer immédia-
tement, 1° la position du périhélie; 2° sa distance SP du
centre du soleil; 3° l'instant du passage de la comète au
périhélie; 4° l'inclinaison de l'orbite sur l'écliptique;
5° la position des nœuds A et B. On connaît donc de
cette manière tous les élémens paraboliques de la co-
mète.

Les méthodes algébriques consistent, en général, à ca!-
culer une parabole qui satisfasse à deux observations ; à
déterminer ersuite sur cette parabole le lieu de la co-
mète à l'instant de la troisième observation, et le com-
parer à celui observé. Si ces lieux ne coïncident pas,
on fait une nouvelle hy] othèse, jusqu’à ce qu’on ait
trouvé celle qui satisfait aux trois observations ; et en-
suite, counaissant la position de cette parabole, on en
déduit les élémens nécessaires pour déterminer la mar-
che de la comète. Pour pouvoir annoncer le retour de
la comète dont on a trouvé la parabole, :l faut calculer
l'orbite elliptique véritable dont cette parabole n’est
qu'une première approximation, et déterminer consé-
quemment la longueur du grand axe de l’ellipse. Mais
ces caiculs sont rarement susceptibles d’une exactitude
suffisante, par la petitesse de l'arc de l'orbite que par-
court la comète pendant qu’on peut l’observer; et ce
n'est guère qu'après deux apparitions d'une même co-
mète qu'il est possible de compléter sa théorie. Voyez
Pingré, Cométographie; La Place, Théorie du mouvement
des planètes ; Lagrange, Mécanique analytique ; Olbers,
Abhandlung über die leichteste and bequemste die bahn
eines cometen, etc.; Delambre, Astronomie; Bude,

—

co

Considcrations genérales sur les orbites des plénètes et
des comètes, etc., etc.

COMMANDIN , ou plutôt COMMANDINO (Frép£-
rIC), savant mathématicien, naquit à Urbin en 1509.
Après la mort de Clément VII, dont il avait été le ca-
mérier privé, Commandin entraàl’Université de Padoue,
où il suivit des cours de lettres grecques, de philosophie
et de médecine qu’il se destinait à pratiquer. Après de
longues études, il reçut à Ferrare le grade de. docteur
dans cette science; mais son esprit juste et éclairé se ré-
volta contre les pratiques dont elle était alors l’objet. Il
se voua dès-lors tout entier à l'étude des mathématiques,
qu'il enseigna au duc d’Urbin , Gui-Ubalde de Monte-
Feltro et au.jeune duc François-Marie If, successeur de
ce prince.

Commandin n’a point fait de découvertes en mathé-
matiques; mais ses traductions et ses commentaires des
travaux des anciens ont été assez utiles aux progrès de la
science pour que son nom mérite d’être conservé. Géo-
mètre habile, et profondément instruit, versé dans la
connaissance des langues anciennes , il montra dans tous
ses ouvrages une remarquable intelligence des textes
qu'ilentreprend d'expliquer; il éclaircit les endroits dif-
ficileset obscurs par des notes précises, claires et instruc-
tives. « Quand on s’acquitte ainsi de son devoird’éditeur
et de commentateur, dit Montucla, on mérite une place
à côté des bons originaux. » On lui doit une traduction
latine, fort estimée et enrichie de notes importantes,
des Collections mathématiques de Pappus : elle est la
seule qui ait paru; et probablement , sans la patience
laborieuse de Commandin, cet ouvrage si important
pour l’histoire ancienne des sciences mathématiques
n'aurait jamais vu le jour. En 1558, Commandin avait
déjà publié une traduction latine, avec un commentaire
remarquable des livres d’Archimède de its quæ vehuntur
in aqud , dont le texte grec est perdu. Il avait publié
précédemment, en 1558, une traduction de la plus
grande partie des œuvres de cetillustre géomètre, dont
ses savans commentaires expliquentles endroits difficiles.
En 1563, il publia la traduction latine des quatre pre-
miers livres des Coniques d'Apollonius, avec le com-
mentaire d'Eutocius et les Zemmes de Pappus, qui en
sont à la fois le commentaire et l'introduction. Cet ou-
vrage précieux est également couvert desnotes de Com-
mandin. Sa nouvelle et célèbre traduction latine des
Élémens d'Euclide, parut en 1572. Il en fit une traduc-
tion en italien qui parut à Pésaro en 1575, et qui a été
réimprimée dans la même ville en 1619. La traduction
latine d'Euclide, par Commandin, a eu dans toute
l'Europe un succèsremarquable , elle estencoreclassique
en Angleterre, où elle a été réimprimée souvent. On
doit encore à Commandin les meilleures traductions la-
tines que l’on possède des divers ouvrages anciens,

CO 545

comme les traités du Planisphère et de l'Analemme de
Ptolémée, le livre d’Aristarque de Samos, sur les gran-
deurs et distances du soleil et de la lune; les Preuma-
tiques d'Héron et la Géodéste attribuée à Mohammed de
Bagdad, dont le géomètre anglais Jean Dée lui fournit -
l'original. Le texte des deux traités de Ptolémée, dont
nous venons de parler, étaient perdus, et il n’en existait
que des traductions latines très-défectueuses qui avaient
été faites sur les traductions arabes. Commandin com-
para les textes de ces traductions, en corrigea les contre-
sens, en remplit les lacunes avec un zèle et ane patience
qu'on ne saurait trop louer. Il mourut le 3 septembre
1970:

COMMENSURABLE. Nom par lequel on désigne
les quantités qui peuvent être mesurées par une mesure
commune. Ainsi, deux lignes droites, dont l’une aurait
15 mètres de long et l’autre 17, sont deux lignes com-
mensurables , parce qu’elles sont toutes deux mesurées
par une même ligne prise pour unité, et qui est ici le
mètre. Si la longueur de la premièreligne était 1°,750,
et celle de la seconde 0",805; ces lignes seraient encore
commensurables ; mais la commune mesure serait aiors
un ruillimètre. En général, deux lignes sont commen-
surables, lorsqu'il existe une troisième ligne, quelque
petite qu’elle soit, qui peut les mesurer toutes deux
exactement. Dans le cas contraire, elles sont 27com-
mensurables.

Tous les nombres entiers pouvant ètre mesurés par
l'unité, sont comunensurables ; il en est de même des
nombres fractionnaires, soit entre eux, soit avec les
nombres entiers, car on peut toujours trouver une unite
fractionnaire qui les mesure: par exemple,

12 ct55

peuvent être mesurés par +, car 12 est la mème chose
que #52, Ainsi, 12 contient 852 fois 4+, et ? contient
35 fois ;?: ces deux nombres ont donc une commune
mesure. Il n’en est pas de même de 1/2 et d’un nombre

entier ou fractionnaire quelconque : il est impossible de
trouver une quantité assez petite pour servir de mesure
commune; aussi V/2 est un nombre ircommensurable
(voy. ce mot), comme toutes les quantités de la forme

m
vA , lorsqu’elles ne sont pas des nombres entiers.

COMMUN-DIVISEUR (4rith. et Alg.). Quantité
qui divise exactement deux ou plusieurs autres quan-
tités. Par exemple, 3 est commun-diviseur de 12 et
de 30; 5 est commun-diviseur de 25 et de 35, etc., parce
que 12 et 30 sont exactement divisibles par 3, ainsi que
25 et 35 par 5.

Deux nombres admettent autant de communs-divis,
seurs qu'ils ont de Facteurs communs, ainsi : 210 étant

formé par le produit des nombres 2, 3, 5, 7,et 330 par
l4

546 CO

celui des nombres 2, 3, 5, 11; 210 et 330 auront pour
comimuns-diviseurs, non-seulement 2, 3 et 5, mais cu-
core tous les nombres qu'on peut formér par les pro-
duits de ces derniers, savoir : 6, 10, 15, 30. Ona en

effet :

210—=2% 105=3 X 390=5 X 42=6 X35=—
—io0oX21—=15 X14—=30 X 7.

330 —2 X165=3 X110=5 X06=6X55—
—10 X33—15 X 32=30 X 11.

Le dernier diviseur 30, formé par le produit de tous
Jes facteurs premiers communs aux deux nombres 210
et 330, se nomme le plus grand cominun-diviseur.

La connaissance des communs-diviseurs de deux
nombres est particulièrement utile, lorsqu'il s'agit de
réduire les fractions,ou de les exprimer par demoindres
nombres. Si l'on avait, par exemple, la fraction 355, en
divisant successivement ses deux termes par 2, 3, 5, G,
10, 15, 30, on aurait une suite de fractions

105 70 42 35 211 14 7
1659 Ti0? 66? 559 339 229 11
iontes égales entre elles et à la proposée. La fraction 7,

qui résulte de la division des deux termes de 315

leur plus grand commun-diviseur, est dite réduite à sa

par

plus simple expression, et en effet 7 et 11 n'ayant pins
aucun facteur commun, cette fraction est irréductible,

Si la recherche des diviseurs d’un nombre est, dans
certains cas, un problème assez compliqué (voy. Fac-
Treurs); celle du plus grand commun-diviseur de deux
nombres fait l’objet d’une règle qui ne présente aucune
difficulté ;

montrerons les principes sur lesquels elle est fondée.

nous allons d’abord l’exposer, puis nous dé-

Règle du plus grand commun-diviseur. 1° Divisez le
plus grand des nombres proposés par le plus petit;
2° divisez le plus petit par le reste de la première di-
vision ; 3° divisez le reste de la première division par
celui de la seconde ; 4° continuez de la même maniere,
en prenant successivement chaque dernier reste pour
diviseur, et chaque reste précédent pour dividende,
jusqu’à ce que vous trouviez zéro pour reste, ou que la
&ivision se fasse exactement, le dernier diviseur sera le
plus grand commun-diviseur demandé.

Eclaircissons cette règle par un exemple pris sur les
nombres ci-dessus 210 et 330.

2:
13. -00090

1° division —— — 1, reste 120.
210

210 t
—— = ], resteoo
120 o Ets

DU ere

120
3° Mr se 1, reste 30:

eee

= 3, resteo.
30 ?

CO

Le dernier diviseur 30 est donc le plus grand commun
diviseur des nombres 210 et 330.

Cette règle est fondée sur la proposition générale sui-
vante : Tout commun-diviseur de déux nombres divise
exactement le reste qon oblient en divisant le plus
grand de ces nombres par le plus petit

Soit A et B, deux nombres quelconques tels que Pon
ait A>B; désignant par Q lequotient de À divisé par B,
par R le reste de cette division, et par D tout diviseur-
commun de A etdeB, de

À
PB = Q, resteR.

Nous tirons l'égalité
A—BQHR,

et, en divisant les deux membres par D,

A

Bou
D 264

; EL AE A
Or, D étant parhypothèse diviseur de A, == estun nom-

B R ,
Se l'est aussi nécessaire-

bre entier, et son égal D

2B
ment; His ÈQ

D tu nombre entier, puisque B,et par

conséquent, BQ est divisible par D; il faut donc que :

soit aussi un nombre entier, ou que R soit divisible
par D.

Ainsi, tout diviseur-commun de À et de B est en
même temps commun-diviseur de A, Bet R. Mais en
vertu de la même loi, si l'on désigne par R'le reste de
Ja division de Bpar R, tout commun-diviseur de B et
de R doit aussi diviser exactement R'. Ainsi ÀA,B,R
et R' auront le même commun-diviseur. En désignant
par R", R", etc., les restes successifs des divisions de R
par R', R'par R”, etc. on voit facilement que tout com-
mun diviseur des nombres À et B est aussi commun-
diviseur des restes successifs R, R', R”, etc. Ceci pesé,
lorsqu'on est arrivé à un reste égal à o, le reste pré-
cédent, qui a servi de dernier diviseur, est le plus grand
commun-diviseur entre À et B; car le plus grand com-
mun-diviseur de A etde B, devant également diviser
tous les restes des divisions successives, doit pouvoir di-
viser le dernier reste; ilne peutdonc pas être plus grand;
et comme le dernier reste divise lui-même A et B, ce
reste est lui-même le plus grand commun-diviseur cher-
ché.

En effet, la suite d'opérations

= Q,resteR

= Q', reste R'.

Him tl?

+

co

R L

- Fe "resté R”.
R :
Fr= Q", reste R”.
etc. — etc.

nous donne les égalités

A=BQ +R,

B— RQ +R,
R=RQ'+R",
R=RQ+R",
etc. = elc.

Etil ne sâgit que de supposer un reste quelconque
égal à zéro pour reconnaitre que le diviseur correspon-
dantest le plus grand commun-diviseur des nombres
A et B. Soit d'abord R = o. L'opération se termine à la
première division, et l’on a

À B
er Cf Le

Le plus petit des deux nombres est alors le plus grand
commun-diviseur. Soit maintenant R'=0, on a deux
divisions successives qui donnent

A—BQ+R
B—kQ’,

ou, en substituant la valeur de B dans celle de À,

AZ RQQ+HR
B=RQ"

À et B sont donc divisibles par R; et comme tout divi-
seur de A et B doit aussi diviser R, R est donc le plus
grand commun-diviseur.

Si lopération ne se terminait qu’à la troisième di-
vision, c’est-à-dire, si l’on avait R” = 0, les trois
égalités

A=BQ+LR
B—RQ'+R"
R=R'Q"

-donneraient par lasubstitution de la valeur de R dans
celle de B, et de ces deux dernières dans celle de A,

AZ R'X(QQ'Q'+Q+40")
B=R'X (QQ'+1),

c'est-à-dire, que R'est diviseur exact de A et B;il est
donc en même temps le plus grand commun-diviseur ,
puisque d’après ce qui précède ce dernier doit diviser
A;B,RetR'.

En continuant de la même manière, il devient évi-
dent que, quel que soit le sombre des divisions succes-
sives, lorsqu'on est parvenu à trouver o pour reste, le

co sAY

dernier diviseur est le plus grand commun-diviseur des
deux nombres sur lesquels on opère.

Les applications de la théorie du plus grand commun-
diviseur , ne sout pas moins importantes dans l'algèbre
que dans l’arithmetique. Nous allons les indiquer.

Deux polynomes étant ordonnés par rapport aux puis-
sances d’une même lettre, tels que

(4 ai—5a+bartix—6
(2)....x—109x+30,

on désigne sous le nom de leur plus grand commun-divi-
seur, le polynomele plus grand, sous le rapport des puis-
sances de cette lettre, qui les divise l’un et l’autre exacte-
ment.L'opérations’exécute d’ailleurs delamème manière
que pourles nombres entiers ; seulement il faut avoir le
soin, à chaque division, deretrancher les facteurs numé-
riquesouautresquinesetrouventpasen même temps dans
le dividende, et dans le diviseur : ces facteurs ne pouvant
faire partie d'aucun diviseur commun ; c’est ainsi qu'en

divisant (1) par (2), nous aurons pour premier reste
(3)....24x—1907+ 144,

polynome dont tous les termes sont multiples de 24.
Or, comme 24 est un facteur qui n'entre pas dans (2),

il faut le retrancher; ce qui réduit (3) à (4)
æ—5x +6 ;

opérant la seconde division, c’est-à-dire celle de (2) per
(4), on obtient zéro pour reste, et l’on en conclut con-
séquemment, que x?—5x4-6 estle plus grand commun
diviseur des deux polynomes proposés. Nous avons en
effet

at—523+ 5x4 5x —6—(x—5x+6) (x7—1).
23—19x430—(x°—5x+4-6) (x+45).

Le retranchement des facteurs communs à tous les
termes d’un polynome, et qui ne se trouvent pas dans
l'autre, est l’objet de plusieurs règles particulières qui
ne sont que des conséquences de la règle générale. Elles
sont exposées dans tous les traités d’algèbre. Nous
verrons plus loin quelques usages importans du plus
grand commun-diviseur. Foy. Eiminariox , Racixis
ÉGALES.

L2

COMMUNICATION pu mouvemenT (/éc.). Action
par laquelle un corps met en mouvement un autre corps.
Voy. Cuoc et Mouvemenr.

COMMUTATION (Ast.). L’angle de commutation
est celui qui est formé au centre du soleil par le ravon
vecteur de la terre et celui d’une autre planète, Où
peut encore définir la commutation : là distance entre
la terre et lé lieu d’une planète 1 éduit à l'écliptique.

COMPAGNIE, rèGrx DE comeaGnis (4ruh.), Opc-

348 CO

ration qui a pour but de partager le gain ou la perte
d’une association entre tous les intéressés, proportion-
nellement à la mise de chacun. Cette règle n’est qu’une
application des propriétés des rapports géométriques
(voy. ce mot); car la mise de chaque associé doit être à
sa part de gain ou de perte comme la mise totale est
au gain total ou à la perte. Il s’agit donc seulement de
faire autant de règles de trois {voy. ce mot) qu'ily à
‘d’associés. Un exemple suffit pour faire comprendre la
Marche de l'opération.

Exemple. Trois négocians ont fait un fonds de
120000 fr., avec lequel ils ont gagné 24000 fr. Com-
bien revient-il au premier dont la mise est de 20000 fr.;
au second dont la mise est de 40000 fr. ; et au troisième
dont la mise est 60000 fr. ?

Comme le rapport de la mise totale au gain total doit
être le même que celui de chaque mise particulière au
gain correspondant, nous aurons, en désignant par
Li, 2, , &, les parts demandées, les trois proportions.

120000 : 24000 :: 20000 : Lr
120000 : 24000 :: 40000 : æ,
120000 : 24000 :: 60000 : x;

D'où nous conclurons, en effectuant les calculs

PE — 4000
x, = 8000
Ts = 12000.

La somme des gains particuliers devant être égale au
gain total, il suffit de les additionner pour vérifier la
justesse de tous les calculs précédens.

Nous avons supposé, dans ce qui précède, que les
fonds mis en commun avaient été employés pendant
le même temps et devaient alors rapporter proportion-
nellement les uns autant que les autres, mais ce n’est là
que le cas le plus simple de la règle de compagnie. Les
associations commerciales peuvent présenter un grand
nombre de circonstances particulières, et quelquefois le
partage des bénéfices entraînerait des calculs très-com-
- pliqués si l’on exigeait une solution mathématique rigou-
reuse, Examinons, par exemple, le cas suivant, qui est
un de ceux qui se rencontrent le plus communément.

Deux particuliers se sont associés pour une opération

trois ans ;

qui a duré ils ont mis d’abord : le premier
une somme 72, et le second une somme 7. A la fin de
la première année le second, a mis de plus une somme
n',etle premier a ajouté une autre somme 772! à la fin
de ta seconde année. Que revient-il à chacun sur le bé-
uéfice réalisé à la fin de la troisième année.

Pour résoudre cette question , il faut considérer cha-
que sonime mise dans la société comme un fonds qui
travaille pendant tout le temps que cette.somme y de-

meure, c’est-i-dire, depuis le jour de son versement

co

jusqu’à celui du partage; ce qui revient à l’envisager
comme de l'argent placé à un certain intérêt dontle taux
dépend du bénéfice total , mais doit être le même pour
tous les intéressés. Ainsi, désignant par æ cetaux pour
une année, comme on sait qu’en général une somme
quelconque A devient A(1+x}r, en p année, et que, par
conséquent le bénéfice qu’elle produit est (voy. InTé-
RÊT.)

A(1+x} — À — A[ti+ey 1] :

les sommes m» et r ayant travaillé pendant trois ans,
1 urs produits seront

m [ar — | 2 [+ — | ,

tandis que ceux des sommes 1! ct n! seront

mx, n [u+ar — 1] ;

puisque la première n’a travaillé qu’un an et la seconde
deux.
Le bénéfice du premier intéressé sera donc

mm [ua — | + mx
et celui du second

n [+a 1] +» [o+er 1]:

Quantités qui seraient faciles à calculer si l’on connaissait
la valeur de +. Mais la somme des gains partiels doit être
égale au gain total ; nous aurons donc, en désignant le
gain total par g, l'équation

(min) Lo: | + nt — ‘| _ m'x—g,

à Paide de laquelle on pourra déterminer cette valeur.

Où voit que la qnestion très-simple qui nous occupe
nous conduit à une équation du troisième degré, et
qu’en supposant une durée de société plus grande, le
degré de l'équation finale serait égal à cette durée. On
ue peut donc résoudre les questions de ce genre que par
approximation ; mais dans le commerce on ne tient pas
compte de l'intérêt des intérêts et les calculs deviennent
plus faciles. Par exemple , le taux étant toujours x pour
un an, les produits des sommes »2 et n sont 3mx et
3nx, pour trois ans, et ceux des sommes 72’ et »' sont
m'x et an'x, la première pour un an et la seconde pour
deux.

Le bénéfice du premier intéressé est donc alors

4 .
3mx + m'x;
celui du second,
| 4
3nx+on'x,

FF CO
et l’on a, pour déterminer x, l'équation

3mx + m'x+ 3x +onx=g

de laquelle on tire

pese un pen
3m + m'+3n+2m

Substituant cette valeur dans les expressions précé-
dentes , on a définitivement pour la part du premier,

(Gm+ m").g
3mm'+3n+2m

et pour celle du second,

Gn+on)g
3m + 3n + om"

Si l’on examine la forme de ces valeurs , on voit aisé-
ment qu’en les désignant par x etæa, elles donnent les

proportions

(Bm+m'+3n+on) : g::(3m—bm) :x
(3m+m'+3n+on):g::(3n4on") : Ls

c’est-à-dire que la somme totale des mises, multipliée
chacune par le temps pendant lequel elle a été employée,
est au gain total, comme les mises particulières de chaque
associé, multipliées par le temps correspondant , sont à
la part de gain de cet associé. Cette règle serait la même
pour un nombre quelconque d’intéressés. On la nomme,
règle de compagnie à temps

Soit, pour en montrer l'application, la question sui-
vante : 5642 fr. ont été gagnés en 25 mois par une com-
pagnie de trois régocians dontle premier a fourni2436f.,
le second 3542 fr., et le troisième 4848. Mais le second
seul a fait travailler ses fonds pendant les 25 mois, ceux
du premier n’ont travaillé que pendant 15 mois, et ceux
du troisième que pendant les 7 derniers mois de l’asso-
ciation. Il s'agit de déterminer la part de chacun. Mul-
tiplions chaque somme par son temps , nous trouverons
d’abord

104... 124360 10 — 36540,
du... 03542005 — 88550,
SU 4BASIX. 7—133036,

et la somme de ces produits étant 159026, nous aurons
les trois proportions

159026 : 5642 :: 36540 : x,

159026 : 5642 :: 88550 : x,,,

159026 : 5462 :: 33936 : x,,
d’où nous tirerons
Lr=11206, x, — 3142, x, —= 1204.

Telles seront les parts demandées.

CO 349

COMPAS (Géom.). Instrument composé de deux
branches s’ouvrant à charnière, dont on se sert pour
décrire des cercles, mesurer des lignes, etc.

L'invention du compas ordinaire remonte aux temps
fabuleux de l'antiquité, les poètes grecs l’attribuent à
Talaüs, neveu de Dédale. Il est certain que l’idée de
cet instrument a dû venir avecles premières conceptions
géométriques, car la ligne droite et le cercle sont les
fondemens de toute la géométrie élémentaire. Aujour-
d’hui, nous avons des compas de différentes espèces : les
uns ont leurs pointes droites, d’autres les ont courbes ;
ceux-ci ont diverses pointes que l’on peut ôter et re-
mettre selon le besoin; quelques-uns ont trois branches :
ils servent à prendre trois points à la fois. Enfin, on a
varié Ja construction et la forme du compas de manière
à satisfaire aux besoins des arts graphiques. Mais nous
croyons qu’il est inutile de donner la description d’ins-
trumens qui se trouvent entre les mains de tout le
monde, et dont l'usage est trop simple pour présenter
aucune difficulté.

Compas DE ProporTION. Instrument dont l'invention
a été disputée à Galilée par Balthasar Capra, un de ses
élèves. Il consiste en deux règles de cuivre fixées l’une
à l’autre par une extrémité, et pouvant s'ouvrir angu-
lairement comme le compas ordinaire. Sur ces règles,
sont tracées plusieurs échelles , dont les principales sont
celles des parties égales, des cordes, des polygones, des
plans, des solides, etc. La figure 7 et 8 de la
planche XXV représente le compas de proportion vu de
ses deux faces.

Cet instrument , fondé sur les propriétés des triangles
semblables, sert dans l’arpentage , lorsqu'on n’a pas be-
soin d’une exactitude rigoureuse. Nous allons indiquer
quelques-uns de ses usages.

Pour diviser une ligne droite en plusieurs parties,
en 11, par exemple, après avoir pris, avec un compas
ordinaire la longueur de cette ligne, on ouvrira l’ins-
trument du côté des parties égales, jusqu’à ce que l’une
des pointes du compas ordinaire, étant placée sur un
multiple de 11, tel que 110, prissur la ligne des parties
égales, l’autre pointe tombe exactement sur le point 110
correspondant de la double ligne des parties égales. Le
compas de proportion étantainsi ouvert, on prendraavec
le compas ordinaire la distance du point 10 au point 10
des deux lignes des parties égales, et cette distance sera
la onzième partie de la ligne qn’on voulait diviser. En
effet, il est facile de voir qu’on a formé deux triangles
isocèles semblables, dont les côtés du premier sont à
ceux du second comme 110:.10, Où COMMEIT: TI.

La ligne des cordes, ainsi nommée parce qu’elle com-
prend les cordes de tous les degrés du demi-cercle qui
a pour diamètre la longueur de cette ligne, sert à me-
surer les angles tracés sur le papier; à diviser un angle

350 co

Ju un arc donné en parties égales, etc. Pour mesurer
un augle, après avoir de son sommet décrit un are de
cercle avec un rayon quelconque, on porte ce rayon sur
le compas de proportion ouvert de manière que l’une
despoiutes du compas ordinaire étant placée sur le point
Go de la ligne des cordes, l’autre pointe torabe sur Go de
la double ligne des cordes. On prend ensuite la gran-
deur de la curde de l'angle donné, et on cherche à la
faire correspondre aux mêmes points du compas de pro-
portion : le nombre de cette correspondance indique
celui des degrés de l’angle proposé. Si lon voulait, au
contraire, tracer sur le papier un angle d’un nombre de
degrés donné, il faudrait chercher sa corde en prenant
pour rayon une distance arbitraire des deux points Go de
la ligue des cordes, et à l’aide de cette corde et du
rayon , on pourrait construire l'angle.

Les lignes des polygones , des plans, des solides, ser.
vérit à inscrire des polygones dans le cércle, à construive
des figures dans un rapport donné avec d’autres figures,
à trouver les côtés de solides multiples lesuns des autres,
etc., etc. Nous ne pouvoris qu’'indiquer ici les divers
emplois du compas de proportion; ils ont fourni la ma-
tière d’un volume à Ozanam ; et cet ouvrage, intitulé :
Usage du compas de proportion, doit être consulté par
tous les dessinateurs de cartes et de plans; ils y trou-
verout beaucoup de constructions qui peuvent leur être
très-utiles pour abréger leur travail. Le professeur
Garnier, auquel on doit plusieurs ouvrages éstimables ;
a donné une nouvelle édition revue et corrigée du Treilé
d'Ozonam:

I ya un autre compas de proportion, que les Anglais
nomment secteur, sûr lequel sont marquées les lignes
des sinus, sécantes, tangentes ; etc. On peut résoudre
graphiquement par son moyen tous les problèmes de
la trigonométrie rectiligne.

Compas DE MER. V’oy. BoussoLe:

Compas DE VariATION. Il re diffère de la boussole
que parce que la boîte extérieure est garnie de deux
pinuules par lesquelles on vise aux objets dont on veut
connaître le fisement, c'est-à-dire l'air de vent auquel
ils répondent.

Compas AzimuriL. Boussole surmontée d’un cercle di-
visé en degrés, et portant un index mobile; avec une
féfite pour viser les objets, au-devant de laquelle est un
fil tendu ducentre de l'instrument au sonimet de l'index.
(Pe. VITE, fig. 5.) Pour preudre la direction du séleil ou
d’une étoile près de Fhorizoi, on tourne l'index jusqu'à
ce qué l'ombre du fil, s’il s’agit du soleil, tombe sur la
fente de l'index, ou jusqu’à ce que ce fil coupe l'étoile vue
au travers de la fente, s’il s'agit d’une étoile. Lé cercle
divisé fait connaître l’angle entre la direction de l'aiguille
aimantée et celle dé l’astre, c'est-à-dire, l'azimut ma-

guctique de l’astre; ce qui fait connaître la variation de

CO

l'aiguille, en comparant cet azimut avec l’azimut réel.
Voy. Azimur.

COMPAS (Astr.). Constellation. méridionale placée
entre le centaure et le triangle austral. Elle fait partie
des constellations formées par l'abbé de La Caille. Sa
plus belle étoile n’est que de la quatrième grandeur.

COMPLEMENT. Se dit en général de toute partie
qui ajoutée à une autre forme une unité naturelle ou
artificielle.

C'est ainsi que l’angle droit étant pris pour unité et
l'arc qui le mesure étant divisé en go degrés, d’après
la division sexagésimale, deux angles dont lès mesures
font ensemble 90 degrés, ou dont la somme épale un
angle droit, sont dits complémens Vun de l’autre. Par
exemple, le complément d’un angle ou d’un arc de 60°
est un angle ou un arc de 30°, parce que 60°+30°=90";
et ainsi dés autres.

Le sinus du complément d’un arc se nomme le co-
sinus de cetarc; c'est-à-dire, que le sinus de 30° est ia
même chose que le cosinus de Go°. 11 en est de même
des cotangentes et des cosécantes , qui ne sont que les
tangentés et sécantes du corrpléméit. Voy. ces divers
mots.

ComPLEMENT Artrumérique. Noñibre dont un autre
diffère de l’unité de l’ordre immédiateéinent su dessus.
Par exemple, 4 ést le complément dé 6, parce que 10 où
l'unité du second ordr2 est immédiatement au-dessus
de 6, et que 4+6—10; 373 estle complément de 63,
parce que 37 +63=7100, et que 100 est l'unité du tror-
sième ordre au-dessus de 63; 3545 est le complément de
6455, parce que 3545 + 6455 — 10000; et aiusi d' suite.

Pour avoir Le complément arithmétique d’un nombre,
il suffit de prendre pour chacun des chiffres qui le com.
posent ce qui lui manque pour égaler 9, sauf pour
le chiffre des unités, dont il faut prendre ce qui ini
manque pout égaler 10. Ainsi le nombre 55056432, par
exemple étant donné; on écrit comme il suit, pour

former toujours 9,

87056432
12943568

ï au-dessous de 8, 2 au-déssous de 7 ;ÿ âu-déssous de 0,
4 au-dessous de 5 ; 3au-dessous de6, 5 au-dessous de 4,
6 au-dessous de 3; et enfin arrivé au chiffre 2. des uuités;
on écrit 8 au-dessous pour former 10, et de cette ma-
nière, on a effectivement formé le complément du
nombre proposé car Ja somme totale ést 100000000,
unité de l’ordre immédiatement au-dessusde 85056432.

La facilité de former les complémens aritlimétiques,
les font employer avecavantage pour changer les sous-
tractions en additions. ce qui est particuliérement utile
dans les calculs où l’on emploie des logarithmes: En

effet, À étant un nombre quelcoique qu'il s'agit de

CO

soustraire d’un autre nombre B, si, au lieu d'effectuer
directement la soustraction

B—A,
on prend le complément arithmétique de À, ce com-

plément sera

m— À

m désignant le nombre des chiffres de A. Or, ajoutant
ce complément à B, on a

B+(

résultat qui ne diffère de B—A que par une unité de
l’ordre 72. Il suffit donc de retrancher cette unité pour

10®— À) —=B—A+10",

avoir le reste de la soustraction proposée. Soit, par
exemple 5678124 à soustraire de 7005432, le complé-
ment de 5678124 étant 4321856, on opérera l'addition
suivante

7005432

_4321876

11327308

Retranchant l'unité la plus élevée, 1326308 est le reste
de la soustraction ou la différence des nombres 7005432
et 5678124.

Les logarithmes étant des nombres composés d’une
partie entière, et d’une partie fractionnaire, leurs com-
plémens sont également composés d’une partie entière
et d'une partie fractionnaire; mais on les forme comme
si tout était entier, et la virgule seule indique la sépa-
ration des chiffres entiers et des chiffres fractionnaires.
Ainsi le complément de

4,5451710
logarithme de 36089, est

5,4548290.

Lorsqu'on fait entrer plusieurs complémens dans un
calcul , il faut avoir le soin de retraucher du résultat
autant d'unités de l’ordre le plus élevé qu’on a employé
de complémens. Nous allons terminer par un exemple
qui éclaircira toutes les difficultés.

Supposons qu'il s'agisse de trouver un nombre x dt-

pendant de plusieurs rapports, tels que

5o : 85 :: 40: y
89 8014: y: 3
63:26) 5

calculer y par la première pro-
35X 40

portion qui donne y — NN

ainsi, il faut d'abord c
substituer cette va-
leur aans sa seconde qui devient alors

35 X fo,
39 : 80 :: —— :

z
{ 50 4

CO

O1
ras
pe

et de laquelle on tire

35 X 40 X 80
7 boX37 à

etenfin, remplaçant 3, par sa valeur, dans la troisième
proportiou , on a

GS at ue 0) LR CRE

ESS

2

d’où l'on couclut

__ 35X40X80X 28
5 ) X37 X63 n

En opérant par logarithmes, on a

æ = log. 35 + log. 40 + log. 80 + log. 28 — log.50
— log.37 — log. 63.

ce qui se réduit à l'addition suivante, en substituant aux
logarithmes qu’on doit soustraire leurs complémens

arithmétiques.
log. 35 = 1,5440680
log. 40 — 1,6020600
log. 80 — 1,9030900
log. 28 = 1,4471580
comp. log, 50 — 8,3010300
compl.log. 57 = 8,4317983

compl.log. 63 —

Comme on a employé trois complémens, 11 faut re-
trancher trois unités du plus haut ordre dans le résultat,

qui devient alors
429864
Ce logarithme étant celui du nombre, 2,6906... ,ona
donc définitivement x = 2,6906...
COMPLEXE (449). Une quantité complexe est celle
qui est composée de plusieurs telles
A+B—C; Ax+y°—P, etc. Dans l’arithmétique,

qui sont formées

parties que
on
nomme quantités complexes celles
d’entiers et de fractions. Par exemple 8 À est un nombre
complexe ; Gri 8pe-; 3fr 55; 30° 20’, etc. , en sont égale-
ment.

COMPOSÉ (Arith.). Un nombre composé est celui
qui est formé par la multiplication de plusieurs autres:
ainsi 12; 1, 20, etc.,sont des nombres composées, parce

qu'on a

19—IN 4, 103X 0,204 XD, etc.
On les nomme ainsi par opposition aux nombres pre-
miers (voy. ce mot), qui ne peuvent être formés par le

produit d’aucuns autres, tels que 7, 11, 13, 19, etc.
Raison composée. C’est le rapport formé par le pro-

CO

duit des antécédens et par celui des conséquens de deux

992

ou de plusieurs rapports. Par exemple, 18 : 36 en raison
composée de 3 : 4 et de 6 : 9. Foy. ProPorTION.

Pexpuze comrosé ( Méc.). C’est celui qui consiste en
plusieurs poids conservant constamment la même posi-
tion entr’eux et oscillant autour d’un centre commun de
mouvement. Tous les pendules sont composés, car
chaque particule matérielle, soit de la verge, soit du
corps qu’elle tient suspendu, peut être considérée comme
un poids particulier. Voyez CENTRE d’osciLLaTION et
PeNDULE.

Mouvemenr composé (Méc.). Mouvement qui résulte
de l’action simultanée de plusieurs forces. Foy. Comro-

sir1oN et MOUVEMENT.

COMPOSITION pu mouvement (Mec.). Réduction
de plusieurs mouvemens à un seul.

Cette composition a lieu lorsqu'un corps est poussé ou
tiré par plusieurs puissances à la fois. Comme ces ditfé-
rentes puissances peuvent agir en suivant une même di-
rection ou des directions différentes, il en résulte plu-

sieurs lois fondamentales que nous allons exposer.

1. Si un mobile, quise meut en ligne droite, est
poussé par plusieurs puissances dans la direction de son
mouvement, sa vitesse seule changera, c’est-à-dire
augmentera ou diminuera selon le rapport des forces
impulsives ; mais le mobile parcourra toujours la même

ligne droite.

>. Si les mouvemens composans, ou, ce qui est la
même chose, les puissances qui les produisent n’ont pas
une même direction, le mouvementcomposé ne pourra
s'effectuer dans aucune de leurs directions particulières,
mais prendra une direction moyenne qui sera une ligne
droite ou courbe, selon la nature des mouvemens com-

posans.

3. En ne considérant que deux mouvemens compo-
sans, on trouve, 1° que si ces mouvemens sont toujours
uniformes eutr’eux, et font unangle quelconque, laligne
du mouvement composé sera une ligne droite comprise
dans cet angle. Il en sera encore de même si les deux
mouvemens sont accélérés ou retardés en même pro-
portion, pourvu qu’ils fassent toujours le même angle;
2° que si l’un des mouvemens est uniforme et l’autre
accéléré, ou s’ils sont tous deux variés dans des propor-
tions différentes, le mouvement composé s'effectuera
dans une ligne courbe. |

4. Les lois du mouvement composé sont liées à celles
de la composition des forces; et leurs démonstrations,
qui ont été l’objet d’un grand nombre de travaux des
mathématiciens du dernier siècle, ont été ramenées par
les modernes aux principes de l’équilibre en suivant la
carrière ouverte par d’Alembert, dans son Traïtéde dy-
nanuque. Nous donnerons ces principes avec tous leurs

co

développemens aux mots Force, MouvemenT et Sr4-
TIQUE.

COMPOSITION pe raprorts (4rith.). Dans une pro-
portion quelconaue ,

AB: G2D,

on sait que la somme des deux premiers termes est au
second comme la somme des deux derniers est au der-

nier, C'est-à-dire, qu’on à
A+B:B::C+D:D;

c'est ce qu’on appelle composition de rapports ou de

raisons. Ainsi de
Liassr6: 6,
on tire par composilion
6:2::94: 8.

PVoy. PrororTioN.

COMPRESSION (Méc.). Action de presser un corps
pour lui faire occuper un moindre volume. Voyez
Presse.

COMPUT sccrzsrAsTiQue (A4rith.). Ensemble des
calculs qui ont pour but de régler les fêtes mobiles.
Voy. Carexnrien.

CONCAVE (Géom. et Opt.). Surface concave, c’est
la surface courbe intérieure d’un corps creux. Cette ex-
pression s'applique particulièrement aux miroirs et aux
verres d'optique. Foy. Lenrizze et Mrrorr.

CONCENTRIQUE (Géom.). Ce qui a le même centre.
Deux cercles ou deux courbes quelconques qui ont un
même centre (voy. ce mot), se nomment concentriques.
Voy. Cercre, Pozycone, Courses.

CONCHOÏDE (Géom.) (de Kéyzm ns, conque).
Courbe inventée par le géomètre grec Nicomède , pour
résoudre les problèmes de la duplication du cube et de
la trisection de l'angle. Voici sa construction.

Du point À, pris au dehors d’une droite indéfinie
MN, ayant mené les droites AB, Aa, Ab, Ac, Ad, etc.
Si l’on prend les parties CB, fa, gb, he, id, etc., toutes
égales entre elles ; la courbe Babcde, qui passe par les

CO

extrémités B, a, c, d,e, etc., est la conchoide. Comme
on peut effectuer cette construction tout aussi bien au-
dessous dela droite MN qu’au-dessus, on a deux espèces
de conchoïdes. La première EBe se nomme conchoïde
uliérieure , et la seconde RFO, conchoïde citérieure. La
droite MN est une asymptote pour l’une et l’autre con-
choïde.

Ces deux courbes peuvent étre facilement décrites
par un mouvement continu , en faisant tourner AB au-
tour du point À, de manière que CD ou CF soient tou-
jours les mêmes, alors le point B tracera la conchoïde
ultérieure, et le point E la conchoïde citérieure.

Pour trouver l’équation de la conchoïde, prenons
AB pour l’axe des abscisses , et faisons

AC=a, AD=—x, ED=—y, CB—QE—+ et
CD—AD—AC—x—4.

Le triangle rectangle AED donne
AË —AD +ED
ou
AVE Fe
Mais les triangles AQC, AED, sont semblables: on a
donc
AE: QE:: AD: CD,
c’est-à-dire,
VÆ+r : b::x:(x—a)
et en élevant au carré
(x?+y?) : D? :: x? : (x —aY.
De cette dernière proportion on tire
(22H72 : a? 15 br (x — a : (x—a.
d’où

x? [2 — (x— ay |
2 — a —
Va (x—a}
équation qui convient également à la conchoïde cité-
rieure, en prenant CF—BC—#. Cette dernière peut
avoir des formes différentes, d’après le rapport de CF à
AC, F'étant le point décrivant, comme nous le verrons
ailleurs. /’oy. NoruD , Poinr conJuGur.

L'équation polaire de la conchoïde est beaucoup plus
simple que l’équation à coordonnées rectangulaires ;
on l’obtient directement par la seule considération du
triangle rectangle variable ACQ, car désignant par @
l'angle variable BAE, et par z la droite variable AE ou
AR, nous aurons

Par

CO d09

Mais AE = AQ + CB et AR = AQ — CF; ainsi
on a

Le signe +, servant pour la conchoïide ultérieure, et le
signe — pour la conchoïde citérieure, Nous verrons aux
mots Durzicarion et Trisecrion l’usage que les anciens
faisaient de ces courbes dont quelques géomètres du
siècle dernier se sont aussi occupés. Voyez Mem. de
l’Acad. des sc. 1708, 1733, 17934 et 1735. Newton,
Arith. universelle.

CONCOURANTES (cc). On nomme puissances
concourantes celles dont les directions ne sont pas pa-
rallèles, ou concourent à produire un effet. On les dis-
tingue ainsi des puissances opposées qui tendent à pro-
duire des effets contraires, et qu’on appelle puissances
conspirantes. Voy. Forces.

CONCOURIR (Géom.). Deux lignes ou deux plans
concourent lorsqu'ils sé coupent, ou que, sans se couper,
ils sont tels qu’ils peuvent se rencontrer étant suffisam-
ment prolongés.

CONCOURS (Géom.). Le point de concours de plu-
sieurs lignes est celui où elles se coupenteffectivement, ou
bien celui où elles se couperaient toutes, si elles étaient
suffisaaiment prolongées. Le centre d’un cercle est le
point de concours de tous ses rayons.

CONCRET (4rüh.). Un nombre concret est celui
qui est considéré comme représentant ‘une collection
d'objets déterminés. Ainsi 5 mètres, 8 litres, 60 degrés,
etc.,sont des nombres concrets , parce que 5,8 et 6o n'ex-
priment point ici des unités abstraites, mais des objets
conventionnels; savoir: des mètres, des litres et des degres.
Voy. ARITHMÉTIQUE, 6.

CONDAMINE (Cnarzes-Manie La), membre de l’A-
cadémie des sciences, de l’Académie française, de la
Société royale de Londres, des Académies de Berlin et
de Pétersbourg, naquit à Paris le 28 janvier 1901.
Quoiqu’on ne puisse le citer ni comme savant, ni comme
littérateur , La Condamine a eu dans le monde les plus
brillans succès , et a joui de toute la gloire qui s'attache
à la science et au talent. On disait de lui qu’à l’Académie
française , il était regardé comme un savant, et à l’Aca-
démie des sciences comme un homme très-spirituel.
La vérité est que La Condamine, doué d’un esprit vif et
pénétrant, et surtout inspiré par un irrésistible sentiment
de curiosité, était naturellement disposé à s'occuper de
tout ce qui peut exciter l’émulation du savoir ou la har-
diesse de l'intelligence. Jeune, ilse fit militaire, comme
il se fit savant plus tard par curiosité. Il faillit se faire
tuer au siége de Roses, où, durant un assaut, il exami-
nait fort tranquillement, à l’aide d’une lunette, le ser-
vice d’une batterie et la direction des boulets. {1 était

(5

554 CO
incapable d’une méditation sérieuse; mais son étrange
curiosité lui tenait lieu d’une plus noble ardeur pour
l'étude : aussi n’a-t-il fait qu'effleurer les matières dont il
s'est tour à tour occupé. Son nom ne se trouverait point
ici cependant, si La Condamine, en 1756, n'eut partagé
les travaux de Godin et du savant Bouguer, chargés par
l'Académie des sciences de mesurer un degré du méri-
dien au Pérou, dans le voisinage de l'équateur. Son in-
fluence ne fut pas étrangère à la décision du ministre
Maurepas, qui approuva ce vovage scientifique, et
fournit les moyens de lexécuter On sait que cette expé-
dition dura dix ans. I est de la justice de dire que si La
Condamine était inférieur à ses collègues sous le rapport
du savoir, il les aida activement dans tous les moyens
secondaires sans lesquels leur opération n'aurait pu avoir
lieu. La Condamine, d’ailleurs, habitué à la vice des
salons et à toutes les jouissances du monde, supporta
ayec un courage et une résignation dignes d'éloges, les
dangers et les fatigues d’une utile entreprise à laquelle
il s'était volontairement associé. Son intarissable gaité
fit souvent oublier à ses collègues les chagrins d’un long
exil, et les privations auxquelles ils furent en proie, dans
un pays où même aujourd'hui la civilisation a fait si peu
de progrès. À leur retour en Europe, Bouguer et La
Condamine publièrent la relation de leur voyage. Le
public accueillit avec une faveur marquée le travail du
dernier; et Bougucr, qui se voyait privé d’une gloire si
laboricusement acquise, attaqua avec humeur son spi-
rituel compagnon, qui luirépondit avec gaité. Le public,
incapable de juger le fond de la discussion, donna en-
core raison à La Condamine. Le{ février 1774, Charles-
Marie de La Condamine mourut comme il avait vécu,
pour s'être livré imprudemment à son penchant à la
curiosité, en faisant faire sur lui l'essai d’une opération
chirurgicale nouvelle, aux suites de laquelle il suc-
comba. Le Recueil de l’Académie, le Mercure de
France, et les divers journaux du temps contiennent
de nombreux mémoires de La Condamine sur toutes
sortes de sujets. Ses principaux écrits scientifiques sont :
1. The distance of the tropicks, 1738, in-8°. IL. La fi-
gure de la terre détermince par les observations de
MM. de La Condamine et Bouguer, Paris, 1749, in-4°.
I. Mesure des trois premiers degrés du méridien dans
l'hémisphère austral, Paris, 1751, in-4° , etc.

£ CONDORCET (Marie-Jean-AnrToine Nicoras Cari-

A FAT, Mmarquisde), membre célèbre de l’Académie des scien-
ces et de l'Académie française, naquit, en 1743, à Ribe-
mont, près de Saint-Quentin, en Picardie. Il fitsesétudes

_ au collége de Navarre, où avait fait entrer l’évêque de
Lizieux, son oncle. Ses parens crurent remarquer en
lui une aptitude particulière pour les mathématiques,
et ils dirigèrent en conséquence ses études vers cette
science, sur laquelle il soutint, à seize aus, une thèse

CO

qui recut les applaudissemens de D’Alembert, de Clai-
raut et de Fontaine, devant lesquels elle fut pronon-
cée, Ce succès décida de son sort, et il prit dès-lors la
résolution de se livrer tout entier à l’étude d’une science,
où l’approbation de savans aussi distingués dexait, en
effet, lui paraître d’un favorable augure. Malheureuse-
ment Condorcet ne se borna pas à accomplir cette ré-
solution: il envia une gloire plus brillante peut-être,
mais moins durable, et il se jeta avec ardeur dans une
carrière où il succomba, victime des principes désastreux
qu'il avait contribué à faire triompher. Au sortir du
collége, Condorcet, qui vint se fixer à Paris, où la pro-
tection du duc de La Rochefoucault lui procura les
moyens de se produire honorablement dans le monde ,
se lia avec les plus célèbres géomètres de lépoque , et
particulièrement avec Fontaine. 1 débuta par un essai
sur le calcul intégral, qui fut publié en 1765; eten 1767
il donna un mémoire sur le Problème des trois corps.
Ces deux ouvrages, que l’Académie des sciences avait
jugés dignes d’entrer dans la collection des travaux des
savans étrangers , lui méritèrent honneur d’y être admis
en 1769.Ce fut alorsque Condorcet se lia plus intimement
avec les principaux membres dela secte encyclopédique,
dont il devint bientôt un des adeptesles plus passionnés.
I était assez jeune pour recueillir l'héritage de ses
maîtres, qui, plus heureux que lui, ne virent pas les
orages que la popularité malheureuse de leur philoso-
phie appela sur la France. Condorcet fut effectivement
le dernier écrivain de quelque valeur intellectuelle, que
l’empirisme philosophique du X VITE" siècle ait conservé
à l’Acadéniie dessciences. Son esprit, sans doute, n’y est
pas mort avec lui: if y compte encore aujourd’hui de
nombreux partisans; mais leur impuissante colère pro-
tège mal contre les progrès toujours croissans de la rai-
son, uné philosophie désolante dont la funeste mission
est heureusement accomplie. Sur les ruines qu’elle avait
amoncelées autour d’elle, l'esprit humain jette aujour-
d'huiles bases d’un monument plus durable. Son travail
sera peut-être long et pénible, et ceux qui apportent à
ce grand labeur la part de leur talent et de leur généreuse
conviction, doivent connaître d'avance les difficultés de
l'œuvre à laquelle ils se sont voués. En effet, la philo-
sophie du XVII siècle, qui, en prétendant seulement
exercer l'autorité de ses préceptes contre l'ignorance et
les préjugés, a flétri les croyances les plus respectables,
confondu les principes de toutes choses et jeté l'huma-
nité dans une fausse voie, n’a plus aujourd’hui de refuge
que dans l'ignorance et les préjugés.

Les travaux scientifiques de Condorcet sont peu im-
portans : il s’estsurtout exercé danslesdiverses branches
du calcul intégral; mais, ainsi que le dit avec raison un
de ses contemporains, ses vues ont pu être nouvelles
sans produire aucune découverte; car il s'est borné

CO

presque entièrement à des généralités qui ont elles-
mêmes gfand besoin d’être dévéloppées. Condorcet s’est
surtout acquis de la célébrité par les éloges des acadé-
miciens, qu'il a composés , et par d’autres travaux de lit-
tératute et d'économie politique dont nous w’avons point
à nous occuper.
Où sait quelle fat la fin déplorable de Condorcet.
Ses crreürs fureñt expiées trop cruellement par ses in-
fortunes, pour qu’on puisse lui refusér des regrets. Doué
d’un esprit vif et pénétrant, d’une instruction profonde,
d’une facilité de travail remarquable, il était appelé,
par les plus heureuses dispositions; à occuper parmi les
géomètres un rang plus distingué que celui où il est
parvenu. Sesécrits scientifiques sont :[. Æssai d'analyse,
Paris 17368, in-4° : ce recueil comprend le traité du
Calcul intégral et celui du Problème des trois corps; qui

déjà avaient été pübliés séparément. IL. Æ/oges desaca-,

démiciens de l'Académie royale des sciences, morts
depuis 1666 jusqu'en 1699; Paris 1993, in-19. IIL, Æs-
sai sur L'applicution de l'analyse à la probabilité des de-
cisions rendues à la pliralüté des voix, Paris ; 1785,
in-4°, IV. Ælémens du calcul des probabilités, ete., 1804,
in-8°. V.Moyen d'apprendre à compter sürement el avec
facilité, Paris , an vir (1709), in 12. Ila en outre consa-
cré un grand nombred’articles mathématiques à l’Eney-
clopédie , et l’on trouve dans le recueil de l’Académie
des stiences plusieurs mémoires sur des questions qui se
rattachent aux diverses branches de lascience, tels qu'un
Essai sur la théorie des comètes , sur la résistance des
guides, etc. Ces divers écrits n’ont point été publiés sé-
parément.

CONE (Géom.). L'un des trois corps ronds dont s’oc-
cupe la géométrie élémentaire. l’oyez Norions PRÉ-
LM. 54.

On défiñit le cône droit, le solide formé par la révolu-
tion d’un triangle rectangle ABC (PL. XIX, fig. 4) au-
tour d’un de ses côtés, tel que AG Dans cette révolution,
le côté CB décrit un cercle BDE, qui est la base du cône,
et l'hypothénuse AB en décrit la surface convexe.

Pour étendre cette définition au cône obliqué, on 1a
généralise en disant : un cône quelconque est produit
par la révolution d’une droite assujétie à passer par un
point fixe A (Jig. 3 et 4), en glissant autour d’un cercle
BDE.

Si l’on conçoit cette droite indéfiniment prolongée,
elle décrira dans son mouvement deux surfaces convexes
opposées par le sommet, comme dans la fig. 1.

1. Il résulte immédiatement de la construction du cône
droit que toutesles sections faites par des plans parallèles
à la base, sont des cercles dont les rayons décroissent de-
puis la base jusqu'au sommet, dans Ie rapport même de
leurs distances à ce sommet.

2. Toutes les sections faites suivant l'axe AC sont des

CO J9Ù
triangles isocèles, tels que BAE, doubles du triangle
générateur.

3. Toutes les sections faites dans le cône par des plans
qui ne sont ni parallèles à la base, ni suivant l'axe, sont
des lignes courbes connues sous le nom de SEcrions co-
NIQUES. Ÿ’oy. ce mot. :

4. On nomme cône tronqué une portion de cône
dont on a retranché la partie supérieure, en le coupant
par un plan parallèle à la base. ACDÉ, fig. 8, est un
cône tronqué. On peut le concevoir comme formé par
la révolution du trapèze AFCG autour de son côté FG..

5. Un cercle devant être considéré comme un poly-
gone régulier d’un nombre infini de côtés, toutes les
propriétés des cônes peuvent se déduire de celles des
pyramides ; et c’est même la seule manière directe d’ar-
river à la connäissance de ces propriétés: car les sup-
poser d’äbord, comme on 16 fait dans les ouvrages élé-
mêéntaires, puis les déiiontrer pit une contlüsion à l'ab-
surde (boy. AnsurpE), n'indique En aucuñe manière la
génération d'idées qui a pu amener à les découvrir. Ce
serait peut-être ici l’occasion de signaler les défauts des
Élémens de Géométrie adoptés en France pour l’ensei-
gnement pnblic, défauts dont le plus essentiel est de
retenir constamment l'esprit des élèves enchaîné dans
les mêmes formes de raisonnement, de sorte que lé.
tude de cette science, Join de concourir à développer
l'intelligence, arrête son essor , et paralyse ses facultés.
La plupart des géomètres, entièrementétrangers à toute
idée philosophique, ont cru donner une grande r'gueur
à Icurs démonstrations, en écartant avec soin les consi-
dérations de l’énfinr, et en les remplaçant par un échafau-
dage d’argumens et de constructions qui cependant
n'auraient aucune siguification sans cet infeni qu'ils s’ef-
forcent si maladroitement de bannir. Quelques auteurs
élémentaires se sont imaginé de démontrer les axiornes,
sans s’apercevoir que leurs argumens étaient beaucoup
moins évidens que les objets en discussion; et il en est
même de très-estimables du reste, qui, après avoir passé
une grande partie deleur vie à faire età défaire la théorie
des parallèles, ont présenté ensuite comme une belle dé-
couverte une prétendue démonstration de l'égalité des
trois angles d’un triangle à deux angles droits, fondée
sur une construction successive de triangles, dont le
dernier doitavoir deux angles infiniment petits! (Voyez
Géométrie de Legendre, 19° édition, pag. 0 et 277.)
Mais nous reviendrons autre part sur toutes ces ques-
tions qui réclament une réforme complète. 7 oy. GÉo-
te ét Pitôsopni£ prs Maru.

G. Théorème. La surface convexe du cône droit est
égale à la moitié du produit de la circonférence de sa
base par le côté du cône.

Où nomme cèté du cône toute droite menée sur Ja

surface convexe du sommet à la base.

556 CO

Lasurface d’une pyramide régulière (voy. ce mot) est,
sans y comprendre sa base, égale à la moitié du produit
du périmètre de la base par l’apothème. Or, plus la py-
ramide a de côtés, et plus la différence entre son arête
et son apothème devient petit; et lorsque le nombre
de ces côtés est infiniment grand, cas où la pyramide
devient'un cône, l’arête et l’'apothème se confondent , et
deviennent l’une et l’autre le côté du cône : donc la
surface convexe du cône est aussi égale au demi-pro-
duit du périmètre ou de la circonférence de sa base par
son côté.

Si nous désignons par r le rayon de la base d’un cône
droit, et par k la hauteur de ce cône, son côté sera

VFEF
car, dans le triangle générateur (fig. 4) ABC, nous
avons AB'—BC’+AC*. Si donc 7 exprime la demi-cir-
conférence dont le rayon est l'unité, 27r sera la circon-
férence dont le rayon est r, ou la circonférence de la base
du cône, et

VE HET
sera sa surface convexe.

La surface convexe du cône oblique est l’objet d’un
problème très-difficile qui réclame les secours du calcul
différentiel. Foy. QuapraTurE.

7- Théorème. La surface convexe da cône tronqué
ACDB (fig. 8) est égale au produit de son côté AC par la
demi-somme des circonférences des deux bases,

En effet , la surface convexe du cône entier AEB est,
d’après ce qui précède , égale à
Lcir. AFXAE,
cir. AF désignant la circonférence, dont AF est le

rayon, Ou la circonférence de la base. De même la sur-
face convexe du cône retranché CED est égale à

L'cir. CG X CE.
Donc la surface convexe du cône tronqué ACDE, dif-
férence entre la surface convexe du cône entier et celle
du cône retranché , est égale à
Lcir. AFXAE — 1 ir. CGXCE.
Or, AE—AC+HCE, nous pouvons donc mettre cette
dernière expression sous la forme (1)

Loir. AFXACHZTcir. AF—cir. CG] X CE;
mais nous avons, à cause des triangles semblables AFE,
CGE,

AF : CG:: AE : CE
ct par conséquent,

cir. AF : cir. CG :: AE : CE,

CO
proportion d'où l'on tire
cir. AF—cir. CG : cir. CG :: AE—CE : CE,
ct, par suite
[cir. AF—cir. CGT X CE = cir. CGX AC

Substituant cette valeur dans (1), nous aurons pour fa
surface convexe du cône tronqué l’expression

+[cir. AF— cir. CG] X AC.
donc, etc.

8. Théorème. Le volume du cône est égal au tiers
du produit de sa base par sa hauteur. Voyez Pyra-
MIDE.

Désignant, comme ci-dessus, par 7 le rayon de la
base, et par A sa hauteur, qui, dans le cône droit est
la même que l'axe, nous aurons, V étant le volume,

V=3rrh.

9. Corollaire. Le volume d’un cylindre étant égal
au produit de sa base par sa hauteur (voy. CYLiNDRE),
un cône est le tiers du cylindre de même base et de
même hauteur.

10. Tuéorime. R étant le rayon de la base inférieure
d’un cône tronqué, r le rayon de la base supérieure et
H la hauteur du tronc, le volume du cône tronqué est
égal à |

3 rH[R + ERXr],
car, si À désigne la hauteur du cône total, —H sera

celle du cône retranché, et les volumes de ces cônes
seront

37rRh , 377 (h—H,.
Ainsi le volume du cône tronqué, étant la différence de
ces deux volumes, sera

ï 1 .

3 Re — 1 re (h—H),
ou (2)

3 (rRA — rh + 7H];

mais les circonférences des bases sont entre elles comme

les hauteurs des cônes ; nousavons donc
rR:rr::h:h—H,
proportion qui nous donne
rrh = rRh — rRH,
et par suite

RH = Rh — rh.

Substituant dans (2), à la place de #r°h, la quantité
rRrh — rRrH, qui lui est égale, et réduisant , on ob-

CO

tient
37 [r Eh — rh) + RrH + rH| F

ou
Le [run +RrH +]

ce qui est la même chose que la proposition énoncée.

10. Il résulte encore des théorèmes précédens :

1° Que les cônes de même base sont entre eux comme
leurs hauteurs ;

2° Que les cônes de même hauteur sont entre eux
comme leurs bases.

11. On nomme cônes semblables, les cônes dont les
axes sont entre eux comme les diamètres de leurs bases.

Les volumes de deux cônes semblables sont dans le
même rapport que les cubes de leurs hauteurs, ou que
les cubes des diamètres de leurs bases.

CONFIGURATION {Astr.). Situation des planètes
les unes par rapport aux autres. Joy. AsPecr.

On applique principalement ce mot aux satellites de
Jupiter que l’on ne pourrait distinguerles uns des autres,
sans le secours d’une figure où leurs positions respec-
tives sont indiquées. La connaissance des temps con-
tient les configurations des satellites de Jupiter pour
chaque jour de l’année.

On se servait jadis d’un instrument nommé jovilabe
( voy. ce mot) pour trouver ces configurations; mais
Delambre a donné dans la connaissance des temps de
1808 des tables qui dispensent de son usage.

Lalande a imaginé un instrument semblable au jovi-
labe pour la configuration des satellites de Saturne; ou
le trouve décrit et gravé dansson Traité d’ Astronomie.

CONGRUENCE ({4lg ). Nom donné par Gauss à la
relation de deux nombres inégaux, dont la différence
est multiple d’un nombre entier. Les nombres com-
parés se nomment congrus, et le nombre entier qui
divise exactement leur différence se nomme le module.

Ainsi, 11 et 21 sont congrus par rapport au module 5,
parce que la différence 21— 11, ou 10, est un multiple
de 5. Ils sont au contraire incongrus par rapport à un
autre module 7.

Chacun des nombres comparés prend le nom de résidu
par rapport à l’autre, lorsque ces nombres sont congrus,
et de non-résidu dans le cas contraire: par exemple, 11
est résidu de 21 par rapport au module 5, et il est non-
résidu par rapport au module 7.

Le signe de la congruence se compose de trois traits
horizontaux =; ainsi

A = B

signifie que À est congruent avec B, ou que la différence

de ces nombres, A—B, est multiple d'un module sous-

CO 367
entendu que nous désignerons par M. Si donc cette

différence est M, nr étant un nombreentier quelconque,
la congruence précédente revient à l'égalité

A—B=—nM ;

en ajoutant toutefois la condition expresse que les
quatre nombres À, B,7, M sont des nombres entiers,
condition que le signe — renferme.

Les nombres comparés, toujours entiers, peuvent être
positifs ou négatifs; mais le module doit être pris d'une
manière absolue, c’est-à-dire sans signe.

Lorsque cela est nécessaire, on écrit entre deux pa-
renthèses le module à côté de la congruence, de cette
manière

A=B (mod.M).

Nous allons exposer les principes fondamentaux des
congruences, principes sur lesquels repose toute la
T'hcorie des nombres. Foy. ce mot.

1. Deux nombres différens et congruens à la fois à un
troisième nombre, sont congrus entre eux, le module
étant toujours le même.

En effet les deux congruences

A=C, B=C
sont la même chose que les égalités
A—C—nM,B—C—mM,

n et m étant des nombres entiers; mais en retranchant la
seconde de la première, on a

A —B—{(n—1m) M
et par conséquent
A=B
puisque n—m est nécessairement un nombre entier.

2. Le module étant supposé le même, si on a plu-
sieurs congruences

A=B, C=D, E=F, etc.

leur somme sera également une congruence; c’est-à-
dire qu’on aura

A+C+E+etc =B+D<+EF + etc.

ce qui se démontre facilement.
On aura de même

A—C=B—D
A—C—E—etc—B—D—F— etc.

3. Lorsqu'on multiplie les deux termes d’une con-
gruence par un même nombre entier, les produits sont

encore congrus. Ainsi, p étant un nombre entier quel-

358

conque, la congruence

co

A=B
donne une autre congruence
pa= pB;
suivant ié même module.

4. Si l'on multiplie terme par terme plusieurs con-
gruences, les produits seront congrus. Soient

A=B, C=D,

on aura
A XC=BXD.
En effet, désignant par m2 ét n les facteurs qui
donnent |
A—B=—mM, C—D=—2M,
on à

A=B+iM, C=D+M,
et en multipliant,
A XC=—(B<+ »M)(DÆ+7M),
ou
AXC=B XD +B2M+DmM + mnMM.
Cette dernière égalité donne
AXD—BX D=[Br+<Dm+mnMIM.

Or , la quantité renfermée entre les crochets étant né-
cessairement un uombre entier, on a définitivement

AXC=BXD.

5. Il en serait de même pour un nombre quelconque
de congruences , c’est-à-dire , qu'ayant

AB. C—D:£—=r:0— 0H, de

On a aussi
AXCXEXG ; étc. ; = BXDXFXHXetc.

6: En prenant tous les nombres À; C; E; G, ete.,
égaux entre eux, ainsi que tous les nombresB; D; F;,H,
etc. ,on a

Au — Br

# étant le nombre entier qui exprime la quantité des
facteurs égaux. Ainsi, lorsque deux nombres sont con-
grus, toutes les puissances de ces nombres le sont égale-
ment.

7. Désignant par a, b, c; d, etc:, desnombres entiers
positifs, et par X une fonction quelconque de la variable
x, dont la forme soit ?

Au Brit L Ca + Dr + etc.

CO
À, B, C, D; etc., étant des nombres entiers quelconques
positifs oû régatifs “ di äta pläce dé # où et successive-
ment des nombres entiers congrus entre eux suivant le
même module, les valeurs qui en résulteront pour X
seront congrubntés entré ées:
Car, d’après ce qui précède (3 et 6) p et 4 étant des
nütnBfées congrus, üfi à

Aps = Âg: , Bp —Bgt, Cp = Cg ete,
et, d’après (2),
Ap° + Bpi + Cp etc... Ag HBg +Cg +Hetc.

8. Dans toute congruence on peut ajouter ou retran-
cher, soit des deux termes à la fois, soit seulement de
l’un d’eux, des multiples quelconques du module , c’est-
a-dire ayant la congruence

A =B

et p et g étant des nombres entiers, les nombres cémpris
sous les formes AÆ+pM; A—pM, d’une part, et B4+9M,
B—4M , de l’autre, sont tous congruens éntre eux.

‘9. Les congruences se classent comme les équations,
selon le plus haut degré des indéterminées qui entrent
dans leur composition : ainsi y étant un nombre entier
indéterminé,

Aÿ=B,

est la forme générale des congruences du premier
degré.

Résoudre une congruence, cest trouver li valeur
ou les valeurs de l’indéterminée qui peuvent la satisfaite,
ainsi M étant le module ;et x un nombfeentier, eomine
cette congruence revient à l'équation

Ay —B— xM »
d’où l’on tire

Ay—B

nn 2)

tous les merñnbres entiers, qui, mis à la place de y, dün-
neroht pour æ ün nombre également entier, résou-
dront la congruence. Donc trouver la racine de la con-
grüuence

Ay = B
èt résoudre l’équation indéterminée
Ay—B—xM

sont la même chose, lorsqu'on ne considère que les
nombres entiers positifs ou négatifs qui satisfont à l'équa-
tion.

10. L’équation indéterminée précédente qui re-
vient à

Ay =xM +B,.

co

n'est généralement résoluble en nombres entiers que
lorsque les facteurs À et M sont premiers entre eux. Si
ces facteurs avaient un. diviseur commun, l’équation
n’admettrait plus de solution générale, à moins que le
terme absolu B eût ce même diviseur : alors, opérant la
division sur tous les termes de l’équation , on la ramè-
nerait au cas où les facteurs des indéterminés sont pre-
mieys entre eux.

Eneffer, si À et M ne sont pas premiers entre eux, soit
D le plus grand commun diviseur de ces deux nombres,

nous aurons

A=pD et M=qD.

p et g étant des nombres premiers entre eux ; l'équation
deviendra donc

pDy = qDx + B

ou
B
PIE p
et il est évident que æ et y ne pourront être des
; ‘ : B
nombres entiers, à moinsque ==

D
c’est-à-dire, à moins que B ne soit divisible par D. Dans

ne le soit lui-même,

De onde a
cederpier cas, soit à +7, l'équation sera ramenée à

RIT RP
cas dont nous allons donuer Ja solution.
11. Soit l'équation générale
Ny = Mx +0
dans Jaquelle N et M sont des nombres premiers entre

M :
eux et tels queN< M; transfonmons = en fraction con-

N
tinue (voy. CONTINUE), nous aurons
M ï
— = a _
N AUTRE 1
a+ 1
a; +1
a;+etc.
+ 1
A

Construisons avec les quantités 4,, 4,, 4, etc... 4, les

deux systèmes de quantités

Pi a; OQ: =

P,—a,P;+1 Q; = a,

P,— a,P,+P, Q = 430, +Q

P,—aP;+?, Q, — 4a,Q;+Q,
etc.-— etc. CIC: = Etc;

PQ er + La Qu=a A Ou,

CO

Les valeurs des indéterminés x et y seront

Le = 2Qu + Qu O(—i)# tt
Y —= zP, + Pu-i O(—i}+t,

359

z étant un nombre entier arbitraire.

La déduction de ces valeurs est trop longue pour
pouvoir trouver place ici; mais on les vérifie d’une
manière générale sans aucune difficulté, car, multi-
pliant la première par P, et la seconde par Q:, on ob- ,
tient

Paz = P,Qu2 + Pu. Qu0O(—i}+t
Qur = LQu 2h PuaQu. Or) +t

et , retranchant la seconde égalité de ia première,
Por —Quy = [PoQui—PuiQu] O(—i) +.

Or, d’après les propriétés des fractions continues ,
on a
PM, Qu—=N
et :
PeQu—i—Pu1Qu =),
Substituant ces valeurs dans la dernière égalité, elle
devient

Mx — Ny F O(—i4rt,

mais quel que soit, 21 est un nombre impair, €

conséquemment (—1)##1=-1. Ainsi les yalenrs gé-
nérales, données pour x et y, ramènent à J'équation
Ny =Mx+oO,

et conséquemment la résolvent dans toute sa généralité.

12. Pour montrer J'application de ces formules , pro-
posons-nous les questions suivantes.

Proëème I. Trouver un nombre tel qu'en le divisant
par 39, on ait 16 pour reste, et ‘qu’en le divisant par 56
on ait 27,

Pésignant par x et y les quotiens entiers du nombre
demandé divisé successivement par 39 et par 56, nous
aurons , ce nombre lui-même étant désigné par X, (a)

X —397+16,et X = 56x +27
et, par conséquent,
3897 + 16 —= 56 x + 27.

Retranchant 16 des deux termes de cette équation, pour
la ramener à la forme générale du numéro précédent, elle
deviendra

39.7 = 56x + 11

et nous aurons

N=—39,M5=56,O0=ar.

360 CO
. 56 : :
transformant N ou 39° en fraction continue, nous trou-
verons
56

— 1, reste 17; d’où a; —1

3 .
7 = 2 reste 5; d’où a, = 2
17 .
=, reste 2; d’où a, = 3
5 De
= reste 1 ; d’où a, — 2

= 2, reste o ; d'oùa, = 2

d’où nous obtiendrons

be

Q = 7:
PP —=%3 Qi 2
P; = 10 QG= 7
P;=:23 Q, = 16
P, = 56 @ = 39
et enfin
x = 397 + 176
YF = 562 +253

Mais x et y sont ici des inconnues auxiliaires, et pour
avoir le véritable nombre demandé, il faut remplacer
dans les équations (a), x et y par leurs valeurs. Nous au-
rons , en nous servant seulement de la seconde,

X = 56 [393 + 176] + 27,
et, en réduisant ,
X = 2184z + 9883.

z étant un nombre entier quelconque, .on peut lui
donner toutes les valeurs positives depuis 1 jusqu’à
l'infini, et on obtiendra pour X des nombres entiers qui
satisferont à l'énoncé du problème ; mais si l’on donne

à z des valeurs négatives, on ne pourra pas dépasser

—4 ; car en faisant 2=—5 , la valeur de X serait néga-
tive. Or, en faisant z=—4, on à
X = 1147,

donc 1147 est le plus petit des nombres qui résolvent
le problème.

Proszème I. Résoudre la congruence
527 = — 32 (mod. 60).

Cette congruence est la même chose que l'équation in-
déterminée

527 + 32 = Go x

CO
ou
527 = 60x — 3,
en la ramenant à la forme générale.

Les facteursde x et de y n'étant pas premiers entr'eux,
cherchonsleur plus grand commun diviseur (voy.ce mot);
ce diviseur est 4, qui divise également le nombre absolu
32: ainsi l’équation est soluble en nombres entiers. Di-
visant tous les termes par 4, elle devient

13y — 152 —8
, 15
opérant sur =, nous trouverons &=1, 4,6, 4, =,
et parsuite
P: —:1 OR
Pi :7 Q, = 6
PE x5 O5 18

Nous avons donc, à cause de O——8 et de (—1)=+#1,

X = 132 — 48
Y = 153 — 56.

Si l’on ne veut avoir pour æ et y que des nombres en-
tiers positifs, il ne faut prendre pour z que des nombres
positifs plus grands que 3, faisant donc successivement
2=4 , 2=5, 2=6, etc., on aura la suite de valeurs

J= &
Ÿ — 19
<= 50, °Y—= 134
xæ=43, y —49
etc. ... etc.

T— 4,
TX — 17;

dont chaque couple satisfait à l’équation 527—60x2—32.

Il est facile de s’apercevoir que les valeurs successives
dexety forment des progressions arithmétiques, et qu’il
suffit de connaitre deux de ces valeurs pour avoir la
différence de la progression, et la continuer à l'infini
par de simples additions.

10. Les congruences du premier degré peuvent, ainsi
que les équations, renfermer plusieurs inconnues, et pour
les résoudre, il faut alors avoir autant de congruences
indépendantes que d’inconnues. Mais cette résolution,
qui forme la partie la plus importante de l’analyse in-
déterminée ( voy. INDÉTERMINÉE), ne peut entrer dans le
plan de ce dictionnaire. Nous renverrons donc à la
Théorie des nombres de Legendre, et surtout aux Àe-
cherches arithmétiques de Gauss. C'est à ce dernier
géomètre qu'on doit l'introduction dans la science de la
notation et de l’idée des congruences ; ila ainsi, le pre-
mier, donné une forme systématique à cette branche
importante de l'algèbre, nommée Théorie des nombres
(voy. ce mot), dans laquelle il a fait de nombreuses et
d'importantes découvertes,

CO
CONIQUE ( Géom.). Ce qui a rapport au cône : sur-

face conique, section conique , etc.

Secrions coniQues. Lignes courbes que donnent les
sections d’un cône par un plan. Il y en a de quatre es-
pèces différentes: ce sont le cercle, l’ellipse, la parabole
et l’hyperbole.

On pourrait mettre le triangle au nombre des sections
du cône; car toutes les fois que le plan coupant passe
par le sommet, la section est un triangle. Les anciens
ne nommaient sections coniques que l’ellipse, la para-
bole et l'hyperbole , que souvent ils désignaient simple-
ment sous le nom de coniques. Nous traiterons en dé-
tail, aux mots Ezrrrse, HyrErsoLE et Parasoze, de ces
courbes célèbres, dont les nombreuses propriétés font
une des parties les plus intéressantes de la science de
l'étendue. ;

CONJOINTE. RÈGLE conjointe (4rith.). Opération
qui a pour but de déterminer le rapport de deux nom-
bres dont les rapports avec d’autres nombres sont
connus.

La règle conjointe est encore une application des
propriétés des rapports géométriques, et l'exemple
suivant va faire comprendre sa marche et son exé-
cution.

Exemple. On demande ce que valent 36 toises an-
glaises en mètres. On sait que 59 toises françaises
valent 115 mètres, et que 76 toises françaises valent 81
toises anglaises.

Pour résoudre cette question , on voit qu'il suffit de
chercher le rapport de la toise anglaise au mètre, car ce
rapport une fois connu, en le multipliant par 36 on aura
la valeur des 36 toises exprimées en mètres.

Or, 76 toises françaises valent 8r toises anglaises ; le
rapport de la toise française à la toise anglaise est donc
égal à 76 : 81, ou, ce qui est la même chose,

1 toise française vaut : toises anglaises.

D'autre part, le rapport de la toisefrarçaiseau mètre
étant celui de 59 : 115 , on a encore

=

119 .
—— métres.

1 toise française vaut
59

Mais les valeurs de la toise française devant être équi-
valentes entre elles, on a

81

; 5 t TON Eu
- toises anglaises valent —— mètres.
6 59

En]

Donc le rapport de la toise anglaise au mètre est celui
8r 115

des nombres —, “Ho? ou , ce qui est la même chose,
7

: : GX 11
une toise anglaise vaut 22!
6 4 59X 81

5
— mètres,

CO 361
76X 115
59X 81
la valeur de 36 toises anglaises en mètres.
Pour l'ordinaire, on dispose les rapports comme il

11 faut donc multiplier 36 par pour avoir

suit, æ étant le nombre cherché,

x mètres : 36 toises anglaises,
81 toises anglaises : 76 toises françaises,

59 toises françaises : 115 mètres.

C'est-à-dire que chaque antécédent doit être de la même
espèce que le conséquent du rapport précédent. Or, le
produit des antécédens est égal à celui des conséquens ,
car ces rapports donnent les proportions

£ mètre : 1toise angl. :: æ: 36
1 toise angl. : rtoisefrang. :: 81: 76
1 toise franc. : x mètre :: HO TTD

dont le produit donne

rire 81 X 59: 36X 76 % +719.
On a donc .

x X 81 X 59 = 36 X 76 X 115.

D'où l’on conclut

__36X76X 115
UUCSr NEO

et, en réalisant les calculs x=56 mètres, à peu près.

La règle consiste donc à disposer les rapports de ma-
nière qu'après avoir écrit en tête celui qu’on veut trou-
ver, chaque antécédent du rapport suivant soit de la
même espèce que le dernier conséquent; cela fait, on
forme le produit de tous les antécédens et celui de tous
les conséquens , puis on divise le dernier produit par le
premier : le quotient de la division est le nombre de-
mandé, ou le premier antécédent de Ja suite des rap-
ports.

Les négocians font un emploi fréquent de la règle
conjointe pour les opérations de change ; et, quoiqu'il
puisse se présenter une multitude de cas différens, un
exemple suffira pour indiquer la marche toujours uni-
forme de ces calculs.

Exemple. Un négociant de Cologne veut envoyer
1000 francs à Paris, et ne trouvant pas à Cologne du
papier sur Paris à un taux convenable, il veut l’ache-
ter à Francfort. Lechange de Francfort sur Paris est à
76; et le papier sur Francfort perd à Cologne x pour
cent. On sait de plus que le rixdaler de Francfort est
partagé en 90 kreutzers, et que 138 kreutzers valent 115
stuvers de Cologne, que dans cette dernière ville, Go
stuvers valent un rixdaler; et qu’eufin 80 francs équi-
valent à 81 livres tournois. On demande combien le né-
gociant doit envoyer de rixdalers à Francfort pour
payer 1000 francs.

362 CO

Après avoir remaïqué que le change de Ffrancfoit sur
Paris étant à 96, cela signifie que 100 écus tournois Où
300 livres tournois équivalent à 70 rixdalers, et que da-
près la perte de + pour 100 du papier de Francfort sur
Cologne, 100 rixdalers de Francfort n'en valent que 99%
à Cologne ; uoûs disposerons nos rappoi {5 comme il suit,

d’après la règle ci-dessus :

æ rixdalers de Cologne — 1000 francs.

8o francs = Br livres toarnois.
300 livres tournois — 6 rixd.de Francfort.
100 rixdalers de Francfort 99,5 à Cologne.

1 rixdaler de Frantfort— go Kreutzers.
138 kreützers — 115 stuvers.
Go stuvers = r rixd. de Cologne.

Opérant les multiplications, et divisant le produit des
antécédens par celui des conséquens ; nous aurons

1000 X 81 X 76 _X 99,5 X 90 X 115 X 1
80 X 300 X 100 X 1 X 135 X 00

3

D'où z—319 rixdalers et 15 stuvers : telle est donc la
somme avec laquelle le négociant aura à Francfort 1000
francs sur Paris. Ces calculs qui sout presque toujours
d’une excessive longueur; se réduiraient à de simples
additions, si l’on voulait emplover les logarithmes,
mais la routine du commerce est plus forte que la
raison. |

CONJONCTION (4str.). Rencontre de deux astres
ou de deux planètes au même point du zodiaque.

La conjonction peut être considérée comme vraie ou
comme apparente. Elle est vraie, lorsque lés deux astres
out une même latitude ct une même longitude ; elle est
apparente lorsqu’ayant la même longitude, leurs latitudes
diffèrent. On divise encore les conjonctions en héliocen-
triques et géocentriques. Les premières sont celles qu’on
obser verait si l’on était dans le soleil ; les secondes sont
les conjonctions vues de la terre.

Les conjonctions géocentriques des planètes sont 2nfe-
rieures ou supérieures, selon que les planètes sont
entre la terre etle soleil, comme cela peut arriver pour
Mercure et Vénus, ou selon que le soleil est entre
la Terre et la planète,

Les grandes conjonctions sont celles où plusieurs
planètes sont vues, sinon au même point du zodiaque,
du moius très-près l'une de l’autre. Telle est, par
exemple, celle qui eut lieu en février 1524: Vénus,
Mars, Jupiter et Saturne étaient à côté les uns des
autres, et Mercure n’était élofgné du groupe que de 16°.
Le 17 de mars 1725, Mercure, Vénus, Mars et Jupiter
étaient si rapprochés qu'on pouvait les voir ensemble
avec le même télescope.

La conjonction est le premier aspect (voy: ce mot),
comme l'opposition est le dernier.

CO

Les observations dés conjonctions dé Méreurs 6 de
Vénus avec le soleil, sont très-impüortahtes pour ai-
ironomie. On s'en est servi ävautigeusement pour dé-
terminer avec exactitude la paraïlaxe du soleil, ét pâr
suite &à distance de là terre. Voyez Passice SUR LE
SOLEIL.

La lune se trouve tous les mois en conjonction â4vec
le soleil : c’est ce que l'on nomme nouvelle lune. Lors-
que la conjonction est parfaite, c'ést-h-dire lorsqu'ellé a
lieu daris les nœuds dé l'écliptique , où très’ près de ces
nœuds , il y a éclipse de soleil , parce que la terre, a
lune et le soleil se trouvent sur une même ligne droite.
Par la mémé raison, si, au moment dé l'opposition ,
C'est-à-dire au témps de la pleine lnne, élle se trôüve
près des nœuds , il ya éclipse dé lüné (toy: ÉCLIPSE).
Les conjonctions et les oppositiens de la lune prennent
le noïi commun de syzigies:

Les Chiñoïis ont dans leurs aïinäles un récit d’uue con-
jonction de tinq planètes arrivée, Selon eux; 2514 ähs
avant l'ère chrétienne. Ils donnent ce fait comte üine
preuve dé la haute antiquité de leur empire et de leur
science astronomique. Les calculs d& Cassini avaient re-
jeté cêtte cotijonction au rang dés fables; maïs d’autres
calculs faits depuis par Muller, Desvignoles, Kirch,
etc. ; sont plus favorables à la prétentiôn chinoise; il en
résulte qu'environ 2459 ans avant le Christ, la Eüné,
Jupiter, Saturne, Maïs et Mercure së irôhväient prés
l'un de l'autre dans la constellation des Pbis$ons: Of a
trouvé plus récemment, ense Sérvänt dé tablés plus
correctes, que cette conjonction à dû avoir effectivement
lieu le 8 février 2461 avant Jésus-Christ. Il est donc
certain qué le fait rapporté par les Chinois est réeilé-
ment arrivé à peu près à l’époque qu'ils lui fixent.
Mais n'est-il pas beaucoup plus simple de croire qüe
l'insertion qu’ils ont faite dans leurs atihalés résulte d’ün
calcul et non d’une observation? On connait l’impor-
tance que ce peuple attache à sa prétendue antiquité ; et
si la conjonction eût été observée, il ne pourrait se
trouver une différence de 53 ans entre l’époque qu'ils
assignent et l’époque réelle.

CONJUGUEÉ (Géom.). Axe conjugué de l’ellipse ou
de l’hyperbole. Foy. Axe.

Diamètre conjugue d’une section conique. Voy. Dra-
MÈTRE. |

Hyperboles conjugueées. Voy. HxPERBOLÉ.

Ovale conjuguée. Voy. OvaLe.

. CONOÏDE. {Géom.). Solide formé par la révolution
d’une section couique autour de son axe. Ges corps ont
diverses dénominations selon la nature de la courbe qui
les produit ; ainsi, le conoïde paräbolique, qu'on ap-
pelle aussi pæraboloïde (voy. ce mot), résulte de la ré-
volution de la parabole ; le conoïde elliptique, ou sphé-
roide (voy. ce mot) résulte de celle de l’ellipse, et le co-

CO

noïde hyperbolique ( voy. HyrersozrQuEe ) de celle de
l'hyperbole.

CONON, de Samos, astronome et géomètre célèbre
de l'antiquité, vivait vers la 120° et la 130° olympiade
(209 et 300 ans avant J.-C.). Les écrits de Conon sont
imulhceureusement perdus; mais les regrets que l’illustre
Archimède a donnés à sa mort , qui parait avoir été pré-
maturée, le témoignage de ses contemporains et celui
des plus célèbres écrivains des siècles suivans assigneront
tonjours à son nom une place distinguée dans l’histoire
de la science. On voit dans la préface au Traité des spr-
rales qu'Archimèdelui avait envoyé plusieurs théorèmes
sur la sphère et le cône; et quoique Conon n'en eût pas
deviné les démoustrations, le grand architecte de Sy-
racuse s'exprime ainsi sur son compte : « I les eût
trouvés , sans doute, s’il eût assez vécu; il y eüût ajouté
de nouveaux théorèmes, et fait avancer la science, car
il avait une sagacité extraordinaire et un grand amour
pour le travail.» En commençantson Trarté de la Qua-
drature de la Parabole, Archimède exprime encore
son opinion sur le savoir et le caractère de Conon : «Il
était mon ami, dit-il, et c'était un homme admirable
en mathématiques. » Il est aussi question des travaux
scientifiques de Conon dansle 4° livre des Sections
coniques d’Apollonius; mais ce célèbre géomètre, bien
qu'il y prenne sa défense contre Nicotélès de Cyrène,
lui est cependant moins favorable qu'Archimède. Enfin,
on voit dans le Recueil de Pappus (prop. XVIIT) que
Conon avait proposé aux géomètres de trouver, Ja
théorie de la spirale, et que c'est probablement cette
circonstance qui inspira à Archimède le Traité sur les
Hélices.On croit que Conon distingua le premier la cons-
tellation qui, depuis lui, est connue sous le nom de Che-
velure de Bérénice. Le poète Callimaque dont les vers
ont été traduits par Catulle, s’'appuya du moins du nom
de ce géomètre pour donner quelque autorité à la fiction
que lui suggéra la disparition subite de la boucle de
cheveux consacrée à Vénus par Bérénice, femme et
sœur de Ptolémée-Evergète, au retour d’une guerre que
ce prince avait soutenue glorieusement en Asie, Cepen-
dant les astronomes d'Alexandrie ne paraissent pas
avoir adopté d’abord cette invention de Conon.
Ptolémée qui vivait près de 300 ans aprèslui, ne cite
que deux ou trois étoiles de sa constellation qu'il met
comme informes à la suite de celles dont se compose la
constellation du lion. Il est du moins certain que Conon
s'est livré à d’importans travaux astronomiques. Sénèque
assure qu’il avait recueilli Les éclipses de soleil observées
en Égypte (Questions naturelles, VI, 3). Ptolémée cite
souvent Conon, et en appelle à son témoignage dans un
de ses priucipaux ouvrages (Phales fixcarum): I com-
posa aussi des éphémérides sur les observations faites en

ltalie, ettellesont eu assez de célébrité pour que Vir-

(0 (0) 503
gile en fasse mention dans ces vers de sa troisième
églogue :

In medio duo signa Conon , et quis fuit alter,

Descripsit radio totum qui gentibus orbum,

Tempora quæ messor, quæ Curous arator haberet ?

CONSÉQUENT (Arith.). Nom du second terme d’un
rapport, celui auquel l’antccédent est comparé. Foyéz
ANTÉCÉDENT, Rapport et ProporTIoN.

CONSEQU NTIA (Astr.). Mot latin, consacré dans
l'astronomie pour exprimer le mouvement réel ou ap-
parent d’un astre selon l’ordre des signes du zodiaque,
ou d’occident en orient. On dit alors que l’astre se meut
in consequentia. Ce mot est opposé à antecedentia.

CONSPIRANTES (/Mcc.). Les puissances conspi-
ranles sont celles qui agissent dans des directions qui ne
sont pas opposées et qui > par conséquent, concourent à
produire un effet. Foy. Force et MouvEmEnT.

CONSTANTE (A4!g.). Nom que l’on donne à toute
quantité qui ne varie pas par rapport à d’autres quantités
qui varient et qu’on nomme variables.

Lorsqu'on différentie une expression algébrique dans
laquelle il se trouvedes constantes isolées, ces constantes
disparaissent. En effet, la différentielle de Ax + B est
(voy. DirréreNTIEL) Adx + dB ou simplement Adx,
puisque, B étant invariable, dB—o. Ainsi, lorsqu'une
différentielle est donnée, telle que Adx, on ne peut
savoir immédiatement si elle est le résultat de la diffé-
rentiation de la seule quantité Ax ou de Ax + B.
Il faut donc toutes les fois qu'on prend l'intégrale d’une
quantité différentielle, ajouter une constante qui
peut bien être nulle, mais dont il faut savoir déterminer
la valeur d’après la nature de la question. On exprime
ordinairement cette constante par la lettre GC : par
exemple , gx étant l'intégrale de dgx, on pose

J'ux=ex+0.

Pour déterminer cette constante on donne ordinaire-
ment à Ja variable , ou aux variables qui entrent dans
l'intégrale, des valeurs particulières, telles qu’il en résulte
pour cette intégrale une valeur connug. Par exemple,
si l’on sait qu’en faisant æ—0 on obtient, pour f'dgx,;
une quantité quelconque que nous désignerons par M,
où écrira

gx +C=M,
le point placé sur la variable, indiquant la valeur 0

qu’elle doit avoir dans cette équation.
On a donc

C= ex +M

et l'intégrale complète est px-gx+M. Pour fixer les
idées, supposons qu'il s'agisse de prendre l'intégrale de

364 CO

la quantité dxV/x--a, qui est

3
J'ave=a = i(i—a) +- CG.

et supposons aussi que lorsque x — 0, cette intégrale
doit être zéro; nous aurons alors pour déterminer la

coustante l’équation

4—a) +C=0
D'où

3

3
C = 34°,
ainsi, dans ce cas, l'intégrale cherchée est

3

2 3
Java = j(x—a) + za.

Voyez INTÉGRAL.

CONSTELLATION (Astr.). Assemblage ou système
d'étoiles exprimé et représenté sous le nom et la figure
d’un homme, d’un animal , ou de tout autre emblème.

La méthode de partager le ciel en plusieurs parties ou
constellations paraît aussi ancienne que l’astronomie
elle-même ; et la seule manière, en effet, de ne pas se
perdre dans cette multitude innombrable d'étoiles qui
peuplent le firmament, était d’en former des groupes et
de les distinguer les uns des autres par des noms et des
figures propres à aider la mémoire. Tel a dû être le pre-
mier travail des premiers observateurs.

Les écrivains les plus anciens dont les ouvrages nous
sont parvenus , connaissaient cette division des cieux.
Dans le livre de Job, on trouve, chap. 1x, verset:
« C’est lui qui a créé les étoiles de l'Ourse, d'Orion, des
Hyades, et celles qui sont plus proches du midi.» Plus
loin, chap. xxxvinr, dans la sublime énumération qu’il
place dans la bouche du.Seigneur , l’auteur sacré en fait
une autre mention : « Pourrais-tu joindre ensemble les
étoiles brillantes des Pléiades, et détourner l’'Ourse de
son cours? » Nous trouvons dans la prophétie d’Amos
l’exhortation suivante (chap. v, verset 8): « Cherchez
celui qui a créé les étoiles de l'Ourse et celles d'Orion,
qui fait succéder aux ténèbres de la nuit la clarté du

‘matin, et la nuit au jour, qui appelle les eaux de la
mer et les répand sur la surface de la terre, son nom
est le Seigneur. » Dans ce passage remarquable les étoiles
de l’Ourse et d'Orion sont citées comme bien connues,
et par Amos, qui était un simple berger, et parle peuple
auquel il s’adressait. D'où l’on peut conjecturer qu’à
cette époque, c’est-à-dire environ 800 ans avant Jésus-
Christ, ces constellations étaient déjà inventées depuis
long-temps. Plusieurs constellations se trouvent aussi
mentionnées par Hésiode et Homère environ 900 ans
avant Jésus-Christ.

CO

Aratus de Tarse, le poète astronome qui vivait 274
ans avant l’ère vulgaire nous a laissé un traité de toutes
lesconstellations connues de son temps. Ce traité contient
leur situation les unes par rapport aux autres , ainsi que
leurs positions par rapport aux principaux cercles de la
sphère. Le célèbre Hipparque a montré qu’Aratus n’a-
vait fait que suivre la description d’Eudoxe, plus ancien
que lui de près d’un siècle, et il esttrès-probable que les
astronomes successeurs d’Hipparque continuèrent d’user
des mêmes figures de constellations jusqu’au temps de
Ptolémée, sauf quelques additions ou variations. L’Al-
mageste de Ptolémée a été l’objet d’une si grande vé-
nération , parmi les astronomes, que presque tous ceux
qui ont écrit depuis son temps ont adopté les figures
de ses constellations, et se sont efforcés autant que pos-
sible de les faire correspondre avec ses descriptions ; ce
qui du reste était bien nécessaire pour pouvoir compa-
rer les nouvelles observations aux anciennes.

La division des anciens avait lieu seulement dans la
partie du ciel qui leur était visible; elle se composait de
48 constellations distribuées comme il suit: douze for-
maient le zodiaque , vingt-une étaient disposées dans la
partie nord et seize dans la partie sud. On trouvera
leurs noms plus loin. Les étoiles non comprises dans ces
constellations, et qui cependant étaient visibles à l’œil
nu , étaient appelées 2nformes; plusieurs d’entre elles
ont servi aux astronomes modernes pour former de nou-
veaux groupes ou de nouvelles constellations. C’est ainsi
qu'Hévélius a placé le Petit-Lion entre le Lion et la
Grande-Ourse, le Lynx entre la Petite- Ourse et Auri-
ga, etc., etc.

Pour ne pas nous étendre inutilement, nous passe-
rons sous silence les tentatives faites sans succès pour
remplacer les anciennes fgures des constellations par
d’autres tirées soit de l'Ecriture-Sainte, soit des Ar-
moiries des princes de l'Europe; et nous empruntons à
Delambre le tableau suivant de toutes lesconstellations,
tant anciennes que modernes. Elles font l’objet de plu-
sieurs atlas dont le plus complet et le plus détaillé est
celui que Bodea publié à Berlin.

TABLEAU DES CONSTELLATIONS ANCIENNES ET MODERNES.

Les constellations de Ptolémée sont au nombre de 48.

1. Petite-Onrse ou Cynosure queue-du-Chien.
2. Grande-Ourse.
3. Dragon.
4. Céphée.
. Le Bouvier.

. L'Agenouillé (Hercule ).
. La Lyre.
9. La Poule on le Cygne.
10. Cassiépée ( Cassiopée ). LS
ur. Persée.

5
6. La Couronne boréale.
7
8

CO CO 365

12. Le Cocher. = É $. Le Paon.

13. Ophiuchus, ou le Serpentaire: 6. L'Oisean indien ou sans pied. TIR

14. Le Serpent, AL 7. La Mouche.

15. La Flèche (et le Renard). 8. Le Caméléon.

16. L'Aigle et Antinous, Sans compter le Cœur de Charles II, qu'il a placé sur

19. Le Dauphin. le Collier de Chara, l'un des Chiens d'Hévélius:

18. Section antérieure du Cheval ( Petit-Cheval ).
19. Le Cheval Pégase. Conitellations australes de Bayer.

20. Androméde,
1. L'Indien.

21. Le Triangle.
2. La Grue.

Toutes ces constellations sont au nord ; les suivantes sont dans 3. Le Phénix.
le zodiaque. 4. L'Abeille ou la Mouche.
5. Le Triangle austral.
22. Le Belier ( et la Mouche ). 6. L'Oiseau de Paradis,
23. Le Taureau. 7. Le Paon.
24. Les Gémeaux. 8. Le Toucan.
25. Le Cancer ou l'Écrevisse. 9. L'Hydre mäle.
26. Le Lion (auquel il a joint quelques étoiles de la Cheve- 10. La Dorade. ,
lare de Bérénice). 11. Le Poisson volant.

27. La Vierge. 12. Le Caméléon.

28. Les Serres (la Balance ).
29. Le Scorpion. Constellations australes de La Caille,
30. Le Sagittaire. Ù
31. Le Capricorne. 1. L'Atelier du Sculpteur.

32. Le Verseau. imi
2. Le Fourncau chimique.

30, Pes Poison 3. L'Horloge astronomique.
4. Le Réticule rhomboiïde.

Conitellations australes.
5. Le Burin du Graveur.

34. La Baleine, 6. Le Chevalet du Peintre.

35. Orion. 7. La Boussole.

36. Le Fleuve (l'Éridan ). 8. La Machine pneumatique. !

37. Le Lièvre. 9. L'Octant.

38. Le Chien. 10. Le Compas et le Cercle,

39. Procyon,, ou le Chien précurseur, 11. L'Équerre et la Règle. ) N

40. Argo. 12. Le Telescope.

41. L'Hydre. 13. Le Microscope.

42. La Coupe. da 14. La Montagne de la Table,

43. Le Corbeau. 15. Grand et petit Nuages.

44. Le Centaure: 16, La Croix. Royer.

45. La Bète ( le Loup).

46. L'Autel. Autres conxellations modernes,

47. La Couronne australe.

48. Le Poisson austral. Le Repne, Lemonnier,

Le Solitaire, Idem.
Les constellations ajoutées par Hévélius sont : Le Messier, Lalande.
Le Taureau de Poniatowski, Poczobat.

1. Antinous, au-dessons de l'Aigle. Les Honneurs de Frédéric, Bode,
2. Le mont Ménale, auprès du Bouvier. Le Sceptre de Brandebourg. Idem.
3. Les Chiens de chasse Astérion et Chara, Le Télescope de Herschel, . Idem.
4. La Giraffe, Le Globe aérostatique. Idem.
5. Cerbere entre les mains d'Hercule, Le Quart de cercle mural, Idem.
6. La Chevelure de Béréaice. Le Chat, Idem.
7. Le Leézard. Le Loch, Idem,
8. Le Lynx. La Harpe de George, Hell.

9- L'Écu de Sobieski.
10. Le Sextant d'Uranie.
11. Le petit Triangle.
12, Le petit Lion.

CONSTRUCTION pes ÉquarTIoNs (4/g. appl.). Pro-
cédés pour trouver les racines des équations par des
opérations graphiques, c'est-à-dire par des constructions

Les constellations ajontéesger Malar;dues la partis éométriques effectuées à l’aide de la règle et du com-
australe, sont : & q

pas, ou par des descriptions de lignes courbes.

1. La Colombe, L . A re
Rerlohus de Chates IL. Equations du premier degré. La forme générale de

3. La Grue. ( Voyez Payer.) | ces équations étant Ax—B ouAx=1 XB, il suffit decher-
4. Le Phénix. cher une quatrième proportionnelle aux lignes 1, AetB.

366 co

On prend donc une droite arbitraire pour unité; avec
cette unité on construit deux autres droites égales à A ct
B, puis on cherche la quatrième proportionnelle par
l’un des procédés donnés dans Particle AppricarioN Î,
n° 8. Cette quatrième proportionnelle est l’inconnue
demandée.

Equations du second degré. X’équation générale du
second degré est

+ pr +q—0;

petg pouvant être des quantités quelcopqnes, positives,
négatives ou zéro. Prenant une droite arbitraire pour
unité, construisons les droites p et g et ensuite deux
autres droites A et B, telles que l’on ait

A—:p, B— 9x 1;

ce qui se fait en prenant pour À la moitié de p et pour
B la moyenne preportionnelle entre B et 1 (voy. Arrz.
I, n° 9.)Ces quantités étant ainsi déterminées nous pou-
vons donner à l’équation la forme tout aussi géné-
rale

x? + 2Ax + B: — 0.

Les racines de cette dernière sont (voy. HÉQuarions)

2= A+ VAE, 2eme VAT
valeurs qu'on peut construire aisément à l’aide du
cercle. En effet,avec un
rayon AC—A ayant dé-
crit un demi-cercleADB,
prenons CE—B, et du

point E élevons la per- En
ED qui À Le CE

coupe la circonférence en D, cette perpendiculaire sera

pendiculaire

égale à1/A°—B?, car en menant le rayon CD nous ayons
le tri:pgle rectangle CDE qui donne

CÔ* — CE? + ED°

ou
A2— B° +- ED?
donc
ED — V/a°—B:

Si nous désignons ED par C, les deux vacines de-
viennent
Le x —A+C,x=——A—C,
ou ce qui est la même chose,
x = (A—C,r=—(A+0
Ainsi abstraction faite du signe—, les deux racines sont
la somme et la différence des deux lignes A et C.

Si le terme B* était négatif, les racines seraient

CO
2=—A4 VAE, x=—A VAE

et l’on construirait C— VA +Ben formant un triangle
rectangle dont l’hypothénuse serait = C, les deux côtés
de l’angle droit étant pris égaux à A et B.

Lorsque À est négatif, les deux racines deviennent

æ=A+C,x—A—C.

Elles sont donc, comme ci-dessus, la somme et la diffé-
rencg des ligues A et C.

Dans le cas où B serait négatif et plus grand que A, la
quantité v'A°—B: ne pourrait être construite :les ra-
cines sont alors imaginaires.

Equation du troisième et du quatrième degré. Les
racines de ces équations peuvent toujours être déter-
minées par les intersec-
tions de deux sections co-
niques; mais la construc-
tion la plus simple est
celle qu’on effectue par le
cercle et la parabole. Soit
yy"Ay"y" une parabole
dont l'axe est AB et ©

Un a

JET MN
le centre est C et le rayon

72

un cercle dont

Dal

Cy, coupant la parabole

dans les quatre points :
3Y,Y",; y'. De ces points, menons les ordonnées
xy, x y", x'y", æ'y"; menons en outre CD perpendicu-
laire à l'axe et CE perpendiculaire sur TV. Faisons
AD—a, CD—b, Ax—x, xy—y, ctdésignons par p le
paramètre de ja parabole, et par r le rayon Ey du

cercle. Ceci posé, l'équation de la parabole est
F° = PT)

et nous avons en outre

= CE + Er
ou

Cy=(Ax—AD) +(xy—CD}

C'est-à-dire
= (2—a) + (y by,
ce qui donne, en développant, l'équation

x—2ax + a'+y--2b5 + —r.

- P'cais

Substituant pour æ la valeur æ=—°—, prise dansl'équa-
P

tion }°=pæ, et ordounint par rapport puissances

de y, nousavons

D ERP np = 0

Equation du quatrième degré dont les racines sont

Fi—(2pa—p?) y —01

CO
æÿ, à", "y", x"y". I suffit donc, pour construire tte
équition du quatrième degré, de la faire coïncider dVéc
cette dernière. Or, la forme générale de cès équations
est, après avoir fait disparaître lé second térme (voyez
BIQUADRATIQUE),

æxi + Aa +Bx+C=o;
faisons donc
À = — 9pa + p°
B — — 2bp*
C=(&+b—7p .

et déterminons à l’aide de ces égalités les quantités &,
b; p;, r avec lesquelles nous construirons le cercle et la
parabole. Pour cet effet, prenons une droite arbitraire
pour unité, et choisissons en même temps cette unité
pour le paramètre de la parabole, c’est-à-dire, faisons
p—13 les coefficiens A, B, © étant ensuite construits
avec cette unité; nous aurons quatre droites connues
p, À, B, G. Mais les égalités ci-dessus donnent

Ar en
2p 2p
B
sn 2

FEV [ee].

Ainsi la Valeur de a se constrüira en prenant la somtié

ÿ ) : 44 = D ent
de deux droites dont la première e ou P est la moitié

A 10 2 F
de p, et dont laseconde est la moitié de À à cause

de p=1 : la valeur de b est simplement la moitié de
B ; puisque p°=—1 ; quant à la valeur de r; où construira
d’äbord une droite auxiliaire m2

puis on aurd
PV Var

qui se construit sans difficulté.
Quant à la droite auxiliaire »2, puisque p—1, on
rend son expression homogène en posant

m=\ Le Pa |

m=—= ve — Cp|

Ce qui revient à

Cette droite se construit en cherchant préalablement
une moyenne proportionnelle aux deux droites C et p;

car en désignant cette movenne parz,ona

n'=Cp

co 367

ét par conséquent ,

ce qui ramène 72 à être le troisième côté d’un triangle
rectangle dont b est l’hypothénuse, et » le second côté.
Voy. A»pLicarion I, n. 2.

Les valeurs de a, b et r étant ainsi construites , après
avoir décrit une parabole dont le paramètre soit 1 ou p,
on prend sur l’axe, AD—a; du point D, on élève la per-
pendiculaire DC=b , et du point C comme centre, avec
un rayon —r, on décrit un cercle : les ordonnées des
intersections du cercle et de la parabole sont les racines
de l’équation

ai Az +Br+C—0.

En discutänt les équations précédentes, on trouvera
facilement le cas où toutes les racines sont réelles, celui
où elles soût toutes imaginaires, et enfin celui où deux
rcinés sont réelles, ét deux imagibiaires.

La construction des équations du troisième degré ne
diffère de celle du quatrième, que parce qu’une des in-
tersections du cercle et de la parabole se trouve à l’ori-
gine de l'axe, alors une des ordonnées s'évanouit, etles

trois autres sont déterminées par une équation à trois

dimensions ou du troisième degré, avec laquelle il suffit
de faire coïncider une équation quelconque proposée du
troisième degré pour constr üire géométriquement ses

racines.

Vièté, Getaldus et Descätes ont donhé la construc-
tion des équations simples du prémier ét Ua second
degré. Ge dernier ainsi que Baker, dans sa Georetrical
Key, ont montré en outre comment on pouvait résoudré
les équations du troisième et du qduätrième degré par
un cerclè et une parabole; mais l'idée première de
leurs constructions est due à Sluzé . l'avait exposée
dans son ouvrage, Mesolabium , part. »: Newton, dans
son Ærithmetique universelle, traite cètte question en
employant ion seulement les sections coniques, mais en-
core la conchoïde et la eissoïde qui se décrivent avec
attant de facilité que ces dernières. Haileg , le marquis
de L’Hôpital et Maclaurin se sont égalemeat oceupés de
ces constructiüns, qui orit aussi fourni à Lähire le sujet
d’un petit traité intitulé : La construction des équations
, ainsi

ahalytiques. Nous renvetrons à leurs ouvrages

qu'aux traités plus récens d’äpplitation de l’algèbre
à la géométrie; pour Loutes les constructions des équa-
tions supérieures au quatrième degré, les découvertes
moderries sur Ja solution algébrique de ces équations
aÿant rendu les constructions géométriques plus curieuses

que véritablement utiles.

CONTACT (Gomi.). Lé poñit de contact est celui

368 CO

dans lequel une ligne droite touche une ligne courbe
ou celui dans lequel deux lignes courbes se touchent.

Angle de contact. Voy. CoNriINcEN ce.

CONTENU (Géom.). Terme communément employé
pour désigner le volume d’un corps : ainsi trouver le
contenu d'un corps est la même chose que trouver sa
solidité.

Par exemple le contenu d’un parallélipipède rec-
tangle de 3 mètres de côté, est 27 mètres cubes, c’est-à-
dire que ce parallélipipède est renfermé dans un espace
de 7 mètres cubes, ou que son volume a 27 mètres
cubes.

CONTIGU (Géom.).Les angles contigus sont ceux qui
ont un côté commun, et dont les autres côtés sont en
ligne droite : on les nomme aussi angles adjacens.
Voy. ce mot.

Onnomme corps contigus, ceux qui sont en contact
absolu.

CONTINGENCE (Géom.). On nomme angle de
contingence, un angle mixtiligne, tel que l'angle BA»
formé par un arc de cercle An et la tangente AB au point
A. On sait que la droite BC perpendiculaire à l’extré-
mité À du rayon, touche le cercle en un seul point, et
qu’on ne peut tirer ancune ligne droite entre le cercle ct
cette tangente (voy. Tancenre) et, par conséquent, que
l'angle de contingence est plus petit qu’un angle rec-
tiligne quelque petit qu’on puisse le supposer. La nature
de cet angle a été l’ob-
jet de grandes disputes Dion à
parmi les
des siècles derniers.
Pelletier du Mans, Oza-
narm et Wallis pré-
tendirent que l'angle

géomètres
mm,

de contingence n’était
point un angle vérita-
ble, et qu'il n’existait
pas. Clavius, au con-
traire, soutenait que cet angle était réel, mais d’une
nature hétérogène à celle de l'angle rectiligne. Toute
cette dispute ne reposait que sur un malentendu ;
car l'idée d’un angle en général, telle qu’elle résulte
de la considération de deux droites qui se coupent,
est inapplicable sans modification à celui de contin-
gence; les lignes droites sont des lignes dont toutes
les parties ont une seule et même direction , et un angle
rectiligne n’est que la différence des directions de deux
droites. Îln’en est pas de mêmé de l'angle de contingence;
la différence des directions de ses côtés varie à chaque
point de son côté curviligne, puisque la nature de toute
ligne courbe, en la considérant comme formée d’une infi-
nité de lignes droites infiniment petitesconsiste principa-
lementen cequelesdirections de deux partiesquelconques

co

qui se suivent immédiatement ne sont pas les mêmes. Il
faut donc reconnaitre que ce qu'on nomme angle de
contingence est une grandeur d'uue pature entièrement
différente de l'angle rectiligne , et qui ne peut lui être
comparée. Nous disons que l'angle de contingence est
une grandeur, parce qu’il peut exister de tels angles
plus grands ou plus petitsles uns que les autres, et par-
faitement comparables entre eux. En effet quoiqu’on ne
puisse faire passer une ligne droite entre l'arc Anet la
tangente AB, on peut néanmoins faire passer une infi-
nité d’autres cercles tels que AE, formant chacun un
angle de contingence différent. Newton a démontré que
le rapport de deux angles de contingence comme BAm,
BA était l’inverse de celui des racines carrées des dia-
mètres, c'est-à-dire qu’on a

Angle BA : angle BAn :: VAD: VAE

D'où il suit que ces angles peuvent être divisés en un
nombre quelconque de parties égales ou proportion-
pekes, en décrivant des cercles qui passent par le point
de contact.

L’angle de contingence ne se considère pas seulement
par rapport au cercle : on nomme encore ainsi l'angle
formé par un arc quelconque de courbe et la tangente à
l'extrémité de cet arc. l’oy. pour plus de détails le
premier livre des Principes, de Newton.

CONTINU (de continuus, qui ne cesse pas)se dit de
toutes les grandeurs dont les parties s’entre-tiennent et
ne sont pas divisées les unes des autres : surface con-
tinue , courbe continue, etc. Foy. ConrTinuiTé.

Fracrions conrinurs(A/g.).Espèce particulière de frac-
tion dont le dénominateur est composé d’un nombre en-
tier et d’une autre fraction qui a également pour dénomi-
nateur un nombre entier et unefraction, et ainsi de suite,
L'importance des fractions continues, surtout dans l’état
de généralité où elles ont été portées récemment, en font
une des parties les plus importantes de la science des
nombres ; nous allons donc en exposer là théorie avec
quelques détails, en commençant par les plus simples
de ces fractions; puis nous les considérerons comme
mode particulier de génération d’une fonction quel-
conque d’une quantité variable; nous donnerons alors
leurs lois générales, et nous terminerons par quelques
applications intéressantes , en jetant un coup d’œil sur
l'histoire de leur introduction dans la science.

N
M’
telle que N soit plus grand que M. Si l’on divise N par

M et que l’on désigne le quotient par a, et le reste par
N; on aura

1. Soit une quantité fractionnaire quelconque

ou, ce qui est la même chose

CO

N N:;
Meet
: . N:
N, étant nécessairement plus petit que M, mr

une fraction plus petite que l'unité; et si on la compare
à l'unité, on trouve
N, M N,
M— N, = As FN.
désignant par a, le quotient de la division de M par N;,

et par N; le reste de la division.

N, devant être aussi plus petit que N;, opérons sur
N, : N,
N. comme nous venons de le faire sur M

vons de la même manière sur les restes suivans ; nous

, et poursui-

obtiendrons cette suite de transformations , &,, 4;, a;, etc.
exprimant les quotiens et N,, N4, N;, etc. les restes suc-
cessifs.

PEN N ST,
ÉD nS E
ae N = N, = 45 + \
etc. etc. etc.

D = SE —

On continuera les transformations jusqu’à ce qu’on soit
parvenu à un reste N,—o, comme s'il s'agissait de trou+
ver le plus grand commun diviseur des deux nombres
N et M (voy. Commun-niviseur), opération qui est
identiquement la même que la précédente.

Des égalités ci-dessus on tire les suivantes :

Ne, enr

Le as + V

N, né 1

hE a + .
None,

DE as + .

etc etc.
Ny=—, fn. I
Ne ONE

dont la dernière est simplement

Non I
Nn—2 Wan

à cause de Ny=0,

CO 369
Substituant ces valeurs les unes dans les autres, à
: ; ! 6. UN Ne
partir de l’expression primitive NW = + M° * ob-
tient définitivement
N I
——=4«4 ——
M ’ + a+ I
a+
a;+x
a;+etc.
+1
Ami 1

Am

et telle sera la génération de la quantité fractionnaire
ns énération qu’on désigne sous le nom de fraction
M ? ÿ G q G S
continue.

2. On nomme fractions intégrantes les fractions
: I I . >
simples —, — etc., quientrent dans la composition

As «3

de la fraction continue. Ces fractions donnent le moyen
d'obtenir des valeurs approximatives d’une quantité

fractionnaire quel N : effécti la génér
ractionnalre que conque M’ effectivement la gene a

tion de cette quantité étant

si l’on s'arrête succcessivement à la première, seconde
troisième , etc. , fraction intégrante, on a les quantités

(mr)

I I
FN RE At SAR
: ai etc.

ai
qui approchent d’autant plus près de la véritable valeur

des qu’on prend un plus grand nombre de fractions

intégrantes. Il est évident d’ailleurs que cette véritable
valeur n’est donnée que par toutes ces fractions.

3. Les quantités (#1) que l’on obtient en s’arrêtant
successivement à la première, seconde, etc. fraction in-
tégrante, sont alternativement plus grandes et plus pe-

tites que la quantité ni
Fe Pa M”

car , en s’arrêtant d’abord à la

première fraction —; onnéglige la partie jointe au dé-
Aa

nominateur @,,et on rend par conséqnent ce dénomina-

= t

Pne © ar

z- »P

47

teur plus petit qu’il ne devrait être ; d’où

CO

et en opérant de même pour Ja suite des valeurs appro-

310 CO

suite &i + _ plus grand, ainsi

LA + —.
da

=l2

: ; 1
En sarrêtant à la seconde fraction FR: comnime cette
3

fraction devient plus grande, püisqu'on néglige la

partie qui devrait être jointe à son dénomirateur, il
nr 1 : +
s'ensuit que 4 +— est plus grand qu'il ne devrait être,
[Le

I

r suite — plus petit, d'où
et pa A: Plw I] ;

@3

No I
M pe MEET

a;

Par les mêmes raisons, en s’arrêtant à la troisième
N
fraction, on obtient une valeur plus grande que TE et
À
une valeur plus petite en s’arrêtant à la quatrième: ainsi
de suite.
On auradonc,en s'arrétant successivement à chaque frac-

Les ; j N
tion intégrante, une suite de valeurs approchées de M
dont les unes, dans lesquelles lé nombre des fractions
Rs : ; N
intégrantes est impair, sont plüs grandes que M’ etdont

les autres, dans lesquelles le nombre des fractions inté-
grantes est pair, sont plus petites.
Ainsi, comme on doit approcher d'autant plus près

de la véritable valeur des que l'on prend plus de

fractions intégrantes, les premières valeurs approchées
(les plus grandes) doivent être de plus en plus petites;
et les secondes, au contraire, de plus en plus grandes.

4. Lorsqu'une fraction continue est donnée, on trouve
la quantité qu’elle exprime en additionnant successive-
ment la partie entière etla partie fractionnaire de chaque
dénominateur en commençant par le dernier. C’est ainsi
qu’on‘trouve, par exemple

1 I
a Re = PR
+ CCE “a ait
a+ sai
LA &s
I ï
= 4 —- = 4 ——
«5 a, + ai a + a,aa;+a,+as Ni
ter”
asayi asashi
aa
= d; + in =
ame +a,
LL Mt, + a+ it
aasayLa+a, ia

chées d
hées de
' M

, On trouverait pour ces valeurs

aa, +3

@ : a + 1 de

5. En examinant la forme de ces valeurs successives

approchées de —, il est facile de voir qu’en désignant

N
M
par A;, A:, A3, etc. , B:, B:,B;, etc., des quantités dont
la généralion soit

A ,—=@ B,=1:
À,—@A:1 B,—a,
A3—a3A:+ A, B:=—aB:+41
Ai=ua;A;+A, B,=4,B:+8B,
A,=a;A;+A; B:—a,B,+B:
etc. etc. etc. etc.
on aura
A . À, _aa+H1 À; @aaa;+a, Le
Be CU 2 D) æmapu Don
Re 7 ASIA :
C'est-à-dire queles quantités pp ‘seront les va-
leurs successives de la fraction continue qui repré-
sente |
M !
Nous conserverons aux fonctions A, B le nom de me- i

diateurs qui leur a été donné par Kramp (voy. ARITH-
MÉTIQUE UNIVERSELLE), nous réservant d’en généraliser
plus loin la conception. Nous allons appliquer ce qui
précède à un cas particulier.

6. Problème premier. Réduire la fraction JE en frac-

tion continue.

On a d’abord

381 115
266 ? 266? :
, 11) dar net
opérant sur 566 comme il a été indiqué (1), on trouve
115 266 36
1526 ns Th
36 __ 115 7 |
ET |
2.763,50 0 |
15 56 = = —=5+ |
Te = 1 à PRE

Er par conséquent

381 I
266 D'IPRES

7. Problème second. Trouver les-valeurs successives
de la fraction continue

On construira les 2édiateurs suivans , en donnantaux
quantités &r, &:, &3, etc., les valeurs 1, 2, 3, etc.

Ait B:=1
A0, 1—= -3 B:—2
A;=3A:1tA;— 10 B:=3B,+B— 7
Ai=4Aï+A,;—= 43 B;=4B:+B;— 30

As=5Ai+A3— 2925
A6—GA:5+Ai—13093
Ay=7A;+A5=0976

B:=5B,+B:= 157
Bc—6B:+4B:= 972
B,—9B;+B:—6c67,

et on aura par conséquent pour les valeurs successives

demandées
De sr 08006
?2 7° 30° 157° 972’ 6961 ?

dont la dernière est celle de la fraction continue entière.

8. Les médiateurs formant la partie principale de la
théorie des fractions continues, et se trouvant étre d'un
usage majeur dans une autre branche de l'algèbre, nous
allons , ainsi que nous l’avons annoncé, généraliser la
conception de ces fonctions en adoptant la notation qui
a été proposée par M. Wronski, dans son Zntroduction
à la Philosophie des mathématiques.

Soient a, a, a, ete. des quantités quelconques
auxquelles nous donneronsle nom debases. En prenant

* lune de ces quantités ax pour former le premier mé-
diateur, etsuccessivement lessuivantes &n41, 4m +2, @tC.
prises ainsi dans un ordre direct, pour former les autres,

nous désignerons ces médiateurs par la notation sui-

[an | = An
[ «| —= Ami [ «| +1
a 2 1
[< n | = in j-, [« » | + [an]
= 3 a : :

vante :

CO

[< ».] = Gin+3 [ar] + [a]
4 3 2

etc.

[| nt [en] + «|
n H— I n—,

Mais on peut également former ces médiateurs, en pre-

74

GLC:

nant les bases dans un ordre rétrograde, c’est-à-dire,
en partant de la base a», et remontant aux basesam,
m2, €ic.; pour exprimer cette circonstance, nous
joindrons le signe — à l'indice de la première base dans

chaque médiateur, et nous aurons ainsi

[ | Gin
L
[ « m— | = mise | an
2
[ Am | — Un, [ con

3
An — | — Am—3 Am—
4

etcs

l
l
l

| Am— | =amnt] Am— | + [an]
n : ni n—2

D'après cette manière d'exprimer les médiateurs, on
voit que nous sous-entendons le signe 4- après l'indice

de la première base, dans les médiateurs directs,

9. Étant donné un nombre # de bases &n, @m4r,
etc... Amyn—1. Si on forme une suite de médiateurs
tant dans l’ordre direct que dans l’ordre inverse de ces
bases, le dernier médiateur direct, c'est-à-dire celui
dans la composition duquel entreront toutes les bases,
sera égal au dernier médiateur indirect, et on aura

[ «| — [avr — |
nm 112

IL est d’abord facile de voir que cela a lieu effective-
ment pour deux, trois, quatre, étc. bases, car faisant
n— 1,92, 3,4, etc., et construisant les médiateurs cor-
respondans , on a

[| — An
‘

[ar | —= nt Am 1
à

Lan] = (ln Has int in An +3 Am

etc. etc.

din — | = mn
t

CO
[emo — | — Un «Am +33

3

[amra- | —Am «+ Am Am +3 Am Un +3
3
etc. etc.

Ainsi, on peut déjà conclure que

[=] = [en | ; [ | —= [awrn- |] ;
= [ ] —= [ A(m+2)— ] etc.
3 3

Il s’agit donc seulement de prouver que cela a lieu

pour un nombre quelconque n de bases. Pour cela , sup-
posons que ce soit démontré jusqu'à un nombre n—+,
c’est-à-dire qu’on ait

[on | = [rain ] , [an | —
ps T1 2

= [amer] etc, etc.
A3

D'après la construction des médiateurs, on a

[e.| = Ann: [an] - [an]
n Ni Hs

Substituant dans cette égalité les médiateurs inverses
aux médiateurs directs correspondans, elle devient

(x)

[er] =antr| Am+n—3)— | + [atmins |
n n—i U—3

Mais d’après la formation des médiateurs inverses, nous
ayons aussi

[ Afm+n—2)— js —Am [ A(n+n—2)— ] +
N—a2
+ | A(n+n—2)—

[ an | —=Gn | A(m+n—3)—
n—a

+ | aura |
n=—=$

Substituant ces valeurs dans l’égalité (7), on a (p)

[| = Am 11m Ï An+n—;)— | +
n N—2

+ Am+n—. [ ana |

n—3

[ A{n+n—3)— | + [cer 2

+ am

CL)
Or, comme nous avons supposé que l'égalité entre les
médiateurs directs et inverses était démontrée jusqu’à
un nombre 7—1 de bases, on a

| anim | —= [an + ]
A3 A2

[ a . —= [ nv
n—3 n—3
[ « mins | —= [ms ']
n—3 n—3

Am+n—3)— | = [ar Bi,
n— n—4

Valeurs qui, substituées dans l'expression (p) la change
en (g)

[rw] —=in+n—; me | Am +x amtn—; Am+3
7e n—+a n—3

+ C7 | ans | + [em+. |
n—

n—4

ou (7)

[an], == Am Am+n—i. [an + | :+ Lam. ja) +

+amyn-s] an. | + [an+:]
n—3 n

Or, nous avons

mn. | am | + [an+ | = [an+:]

A—2 n—3 Ds

Annie [am | + [am ] = [am+. | ,
H—3 U— n—3

ct par conséquent (s)

[an] = an | am+ | + [am]
n Ji—3 Ts

expression qui, en substituant aux médiateurs directs

[an+.] : [+] , les médiateurs inverses cor-
—3 N—3

respondans | An+n— - | 3 [awinn- | , de-
P— 1] n—32

vient
[| — an] aurn-1 ] + | ann ]
72 H—; Ds
Mais

Ami [ A{n+n—:)— el + [ann | =

— [ Ann) — 1.

co

Donc ona définitivement

CES)

Ainsi, il suffit que la proposition soit démontrée jusqu’à
un nombre #—1 de bases pour qu’on puisse en conclure
qu’elle est également vraie pour un nombre ». Or,
nous avons vu plus haut qu’elle était vraie pour une,
deux et trois bases ; elle l’est donc pour 4, 5, etc., etc.,
et par conséquent pour un nombre quelconque de
bases.

10. L'égalité (s) nous fait voir qu’on peut encore cons-
truire les médiateurs de la manière suivante :

[an] = am

= An] am + | +1

an[ an+], + [a+
an[ an+s], +[an+]

etc.

DÉRONEESR

Nous aurons occasion de nous servir plus loin de
cette construction qui modifie notre forme générale

pente) 4e

11. Un médiateur [an]

formé par p bases am,
P

m4 se Am+p— est toujours égal au produit des deux
médiateurs qu’on obtient en partageant ses bases en deux

d’une manière quelconque [an] < [mn on
n p+n

étant un nombre entier quelconque depuis 1 jusqu'à p
inclusivement, plus le produit des deux médiateurs

[ «| ; [amint. | qu’on obtient des deux
n—1 P—n—

précédens en supprimant la dernière base de l’un et
la première de l’autre, c’est-à-dire qu’on a

[] = [an] . [an | +
p n p—n
+ [an] | ann | :
UE à pP=—"n—;

En effet , nous avons

ÉRACRECR

co

[ee] amie), +[ee).

Substituant la seconde égalité dans la première, elle
donne

[am] = Am+p—1e Am+p—se [an] +
p p—s

PORC

ESC

Li [er] famtpnantps se

ou

Expression qui, à cause de

Am+p—ie Am+p—2 + 1 =| Am+p—> I

Hd ee]

par sa

se change en (1)

Si dans cette dernière on remplace [an]

valeur an+p[ ar] + Len] on a
= p—4

[ | = Am+p—1 [an +
p p—3

+ Lam+r, |: Am+p—s Le]. + [en] _

PR Per ee

+ [en]: [amir- 1

Mais d’après la loi de formation

Am+p—1 + mp3. [ em+r- fl = Amtp1

+ Am+p—3e Am+p—s: Am+p—1 + Am+p—1 =

= [ An+ |,

d’où substituant (2),

ESS
+ [en] | A: |

remplaçant également dns cette expression [ «|
Jp—s

par sa valeur an+p— [ a | + [an] elle de-
pP—4 P—s

314

vient

ÉCART
HF]

Een] }e
Ha] Leo].

Or, en vertu de la loi (n° 10), ona

CO -

ou

el

Am+p—s [ Am+p—3 l+ | dm ps l= [ Am+p—k ]
à F 4

donc, substituant, (3)

ee) are fal fau]

Continuant ce système de transformations , on voit fa-

cilement que le médiateur [er] prendra suecessive-
Jp

ment les formes suivantes :

meta ete le]
: [em] _[ Gin p—s É +[ 0 LE dites I.
Pre)
RESTE)

et en général

Π[er], | di l+ [er], fetes

Si dans cette expression générale, on fait p — q =n, elle

dourera (4)
[a] . [ ana | +
n p—n%

[an] —=
P
+ [an] . [ann | n
n—1 jp—n—x

Ce qui est le théorème énoncé.

12. Lethéorème précédent nous fait voir que suivant
la loi de continuité de la formation des médiateurs,

fer [=

car en faisant »— p dans l'expression (4), elle donne

on a

(Ne

[| = [a] : [er] + cu] . [am |
P P o k—: —

égalité qui ne peut évidemment avoir lieu qu'en sup:

posant
[am] =TI;, [ami ]

ou en général

CONCIES

On peut en conclure de même

[ a Y'a Am— = 0
o —!

13. Il existe toujours entre quatre médiateurs qui se
suivent, tels que

[a] , [a]

nm D —1:

[+] ‘ [an+. ]
Ju—1 L n—3

la relation suivante

{Lee Lee LT feel)

En effet, nous avons

| Am ] —= mn] cn] + [a]
nm Ti 1 1—32
[et] — antn[am:] + [a]
n—1 n— à n— 3

d’où nous tirerons

DS ne

= 0

=(—>

= Am+n—1. [a] [su] +
n— ï 3
+ [a] . [an +]
n—2 n—2
= Ann [on] Lo] +
n—2 N—1

+ Ï ans] . []
n—3 n—1
et, par suite,

[a] . [ an +] > [a] + au +] —
n n—2 n—1 n—s
= [an] . [ans] = [em] . [ Am +]
n—2 2 HT n—3

Par une semblable transformation on trouverait

[ar : | am | — [an] an +1 | TT
Ua H— 3 N— 1 1—3

ÉRIC
Di 7)

[e[e)

= | Gn | Ami — [ar . an + | .
: H—3 n—\ n—3 n—3

et ainsi de suite on trouverait

Eee abirsler
nn a RESTE
= [ue] [me] [fe] [es]. =
Le TES EEE

Le
et en général

{ble
fe] fee 11

Ainsi toutes les différencesde ces produits étant égales
entre elles, mais alternativement positives et négatives,
ilreste simplement à connaître ce qu’est cette différénce
dans un des cas : or, en faisant p—n—3; on

19 [Ton] [amis ] [es] Lans |]

ou en développant

3. (Am+1.AmAm+1Am+s Ham+iamt,+

C1ÿ-
Am 14m) — (Am 43m + mt rtm À
+ An +,@m +1 Amam+ #)|
ce qui se réduit à
Xi = (if: (ye y.

Donc, on a définitivement

[en] Jam ] — [am] [ mx] = (—1)
Q n—2 n—=: A1

La différence est donc =1 lorsque le nombre » des
bases est impair, et 1 lorsque ce nombre est pair,
propriété très-rémarquablé dés médiatéurs, dont nous
ferons plus haut des applications importantes.

Ce théorème n’est qu'ün cas particulier du suivant.

14. Éntre quatre médiateurs

[ cn [a tn |
q q—n
[a] [ in + «|
q —j! J—p—n

_
CO STS
tels que les bases des deux seconds soient entièrement
comprises, et de la méme manière , entre celles des deux
premiers il existe toujours la relation suivanté.

He

= (—1)7+P+7 [an] [entr]
LE p=

I

En vertu du n°

El, [fe]. +

+ [am] _. ['amtnt. Le

ee], +
H[ef [ete],

multipliant la première de ces égalités parfa w|

110na

Eur es,

on en tire (a)

—n

[am] L'am+r] — [an] L'amtn] =
7 g—pin ÿ— g=n

= [an] | envi] : 'aménss ] =
Ni g—b—n | de Dé nn
+ [ann] : [ Gmat | |
g—n gep=h— j

mais d’après le mêmenuméro 71

[amn | À [ant] | auto | Ed
ne gen —p P
+ [ons] . [ Am+qg—p+ |
g=n—ps L ps:
[ Ann: ] —= [ Am+n+: ] | any | +À-
MR 7 PE r F5

+ Gin +s | Laxr-r+e] ra
Jon p

et la seconde par | ann]

--Substituant ces valeurs dans le sécond membre de l'é-

galité (a), ce second membre devient (b)

[an]: [ Am+q—p+ is X
à | [eme]. fee. mm

= ['an+r] . [ ann |
7—p—nr! J7—pn—s

Or, en fäisant
mn=u, q—p—n—";

dans la quantité-comprise entré les! aceolalles , elle se

376 CO
change en

[eus]. Le] —[e] [a+]

etse réduit à (—1}», d'après le théorème (13) ;substituant
donc (—1})>, ou plutôt (—1)7-?-—" à la place de cette
quantité, dans le second membre de l'égalité (a) et
observant que
(—1)9—p—n = (—1)7+P+n
à cause de
(—1)2n+2p = 1

on aura définitivement

[| . [an +» ] — |] + [am | =
F4 JG Chan 4 gen

= (—1)7+2+P . [em] . [am+y-r+s ]
Ni Vtl |

ce qui estle théorème en question.

15. Les médiateurs simples que nous avons désignés
par les lettres À,, A, etc., B:, B,, etc. seront, en suivant

notre notation

etc. etc. etc. etc.

t squent les fractions 2, À? , etc. qui expr

et par conséquent les fractions B° B° etc., qui expri-
2

ment les valeurs successives de la fraction continue

dont les dénominateurs des fractions iutégrantes sont

&, a, &, etc., seront dorénavant sous les formes (e)
r Mae ? »

EE PE
PL

1 1 L
Le. ] [ se ] [ % k
o 1
et c’est ainsi que nous allons les examiner.

16. Il suit du théorème du numéro 13, que si on
multiplie en croix les termes des fractions voisines dans

etc....

la suite des valeurs (c) d’une fraction continue, la dif-
férence des produits sera toujours l'unité positive ou
négative, c’est-à-dire qu’on aura en général

[elle]. Le] {el =

et en particulier

DICO

Il résulte de cette propriété que les fractions

REA el

2! etc, sont irréductibles, ou qu’elles

be

sont déjà à leur plus simple expression car si =—

Le]

par exemple, avait un diviseur-commun à ses deux
termes autre que l'unité, il s’en suivrait que le nombre

entier] a, | [ ,] [.] [e.] serait aussi divisible

par ce même diviseur, ce qui ne se peut à cause de

Lel{a]- [1

7. La différence qu'il y a entre deux fractions con-
sécutives (c) est la plus petite possible, c’est-à-dire,
qu'entre ces mêmes fractions , il ne saurait tomber au-
cune autre fraction quelconque, à moins qu’elle n’ait
un dénominateur plus grand que ceux de ces frac-
tions.

Car prenons, par exemple, les deux fractions

(«1

, leur différence est

ou

Le], Le

Puisque le numérateur se réduit à l'unité.
nr dre A :
Or, s'il existait une fraction ÿ dontla valeur tombât
entre celles de ces deux fractions, et dont le dénomi-

nateur fût moindre que [a 'h ou que [a L il faudrait

A Le Ï
que la différence entre et

El

qui est

ee:
] a, I

fut plus petite que

B a],
DER mais il est. évident
a. | "

que cette différence ne saurait être plus petite que

1

ment plus grande que

, donc si B [ a], elle sera nécessaire-

; de même, la dif-

I
[<.] | «|
î 3
[æ].
férence entre et ="

el

sera nécessairement plus grande que

ne pouvant être plus petite

. iB< |].

18. D’après ce qui précède , on voit que la diffé-
rence entre deux fractions consécutives quelconques est
toujours égale à l’unité divisée par le produit des déno-
minateurs de ces fractions, résultat qui est négatif,
lorsque le médiateur qui forme le numérateur de Ja
dernière fraction a un indice pair, et négatif dans le
ças contraire.

En effet, on a

= (ie ——
Mel

: PEN; ne
19. Un nombre fractionnaire NI étant réduit en frac-

h
tion continue , on peut, d’après ce qui précède , déter-
miner toujours d’une manière rigoureuse la différence
qui existe entre cette qnantité et les fractions consécu-

(],

[el

tives qui en sont des approximations. Soit

tO 371

la dernière fraction consécutive, c'est-à-dire celle qui
; , N ; ;

est exactement égale à ==, p étant un nombre entict

quelconque plus petit que =, une fraction consécutive
quelconque sera représentée par

[1
Êe

et la différence entre cette fraction etla quantité Ni

par

ou par

LE oi PA
FOIE

mais d’après le théorème du n° 14 le numérateur de
cette dernière fraction se réduit à

en | an-p+.]

Nous avons donc définitivement, en faisant »m —p=—n

(alles

expression qui sera encore plus facile à calculer, si à la

on substitue

M—Nn— 1

place du médiateur direct [ant ]

le médiateur inversel an] équivalent, parce

M—n—i1

qu’il ne faudra alors que calculer les trois suites de mé-

diateurs [a] : [a] , Lan} Suivant cette der-

E

; À : N À
nière substitution la quantité =—=- ouest successi-

[ ] M
&o k -

[=—=——

vement égale à

378

An
MN — 1

Hit
|

&, a,
Mi NY

égalités au moyen desquelles on peut cannaître facile-
ment le degré d’approximation que donne une des frac-
tions consécutives quelconque.

1733
—?—- en frac-

18. Exemple. Soit proposé de réduire 21E
142

tion continue et de.déterminer le degré d’approxima-
tion de toutes les fractions consécutives. Les divisions
successives donnent

a =3,a =1, M m8, 4x9, 87 d—=8

et on a par conséquent

1733 _ I
TRUE]
8+1
25
LE

8
Li
Il
c

8
—
I

Il

ER EE Len

à
a
œ
Il
©
Lea

ER SN
À

a Eh
Il
©

1733 Le]. = 445

3 4 35 74 553 1733
Fr 9197 142? 445
etona
1733 398
nl = 3 TE
NT
—’» Le 47
FL) 45X1

2e ;
929 22
= » + TAFÈS
9 4 X9
— 7 Bat
19 445X 719
-23à }
142 445X 142

74

anisi à fraction “=,
19

9
3

F ,
445X 19

par exemple, est plus grande que

; 53 .
la proposée de et la fraction F2 plus petite
1

à - x“ . . .

de ————. On connait donc ainsi avec exactitude le
445 X 142

degré d’approximation que donne chaque fraction con-

sécutive.

22. Dans tout ce qui précède, nous n’avons considéré
les fractions continues que dans leur acception arithmé-
tique, et comme donnant la génération d’une quantité
fractionnaire déterminée; il nous reste maintenant à les
examiner dans leur acception générale, c'est-à-dire
comme mode particulier de génération de toute quan-
tité quelconque, on de toute fonction. d’une variable.

Avant tout, nous devons indiquer au moins la dif-
férence qui existe entre la génération d'une quantité
donnée par l’un des modes primitifs et élémentaires de
génération, et celle qui est donnée par un mode uni-
versel, tel que les fractions continues. Nous avons vu
(Acc. 48) qu'il v’existe que trois modes élémentaires
pour la construction des nombres, représentés par les
formes générales.

A+HB—C, AXB=C, A5 =C, ;

Or, la construction d’une quantité par un de ces
modes de génération est ce qui nous donne la nature
particulière de cette quantité; par exemple, le côté
d’un carré, étant l'unité, sa diagonale est égale à V/2,
et cette expression ou cenombre \/2 nous fait connaître
Ja nature de la diagonale dont la grandeur est incom-
mensurable par rapport à l'unité. Mais si nous voulons
évaluer cette grandeur, c’est-à-dire, si nous voulons la
mesurer par la quantité prise pour unité, nous pouvons,
soit par l'opération arithmétique de l'extraction des ra-
cines, soit en développant V2 en série par le binome
de Newton, ou par tout autre procédé, trouver des
nombres dont la grandeur ne diffère de celle de V2
que d’une quantité aussi petite que nous le voudrons ;
ce qui nous permettra ainsi d'évaluer V/2, sinon .exac-
tement du moins dans des limites aussi rapprochées que
nous pourrons le désirer.

En examinant les diverses manières d'évaluer \/2, on
voit aisément que l'opération de l'extraction des racines
tout en nous faisant connaître des valeurs qui diffèrent

de moins en moins dela véritable, selon qu’on prolonge

co

davantage l'opération, ne nous apprend rien sur la /oë
elle-même de cette évaluation; car ces Valeurs sont
isolées les unes par rapport aux autres , et ne sont d’ail-
leurs quele résultat d’un tâtonnement de calcul, dont
l'ensemble ne peut être déterminé. Ainsi, en se bornant

successivement à 1,2, 3, etc. décimales , on obtient

SA. ne
LA ee
1,4145.,

1,4149..

évaluations dont les térmes ne sont liés par aucune loi.
11 n’en est point ainsi de la génération de ceite même
quantité obtenue par un procédé général de déve-
loppement, car cette génération est, en employant , par
exemple , le binome de Newton

V1 +-Eete..

c'est-h-dne une série dont l'ensemble est donnè par
son terme general; elle nous offre conséquemment une
évaluation soumise à des lois fixes et déterminées.

Il est donc essentiel de distinguer dans la génération
des quantités deux points de vue parfaitement distincts
dont l’un porte sur la zature, et l’autre sur la mesure
des quantités, M. W ronski est le premier qui ait établi
cette distinction importante, et partagé la science des
nombres en deux branches, dont la preinière sous de
nom de THÉORIE, a pour objet les modes primitifs et in-
dépendans de la géreration et de la comparaison des
quantités, et dont la seconde, sous celui de rEcuntE, a
pour objet les modes universels de cette generation et
de cette comparaison (voy. Philosoph. de la Technie).
Les fractions continues nous offrent précisément un
mode de génération technique universelle, et de là
dérive lextrème importance de ces fractions; impor-
tance que les géomètres modernes ne paraissent pas
encore avoir complétement entrevue. Nous allons es-
sayer de la mettre dans tout son jour.

23. Soit F(x), une fonction quelconque d’une quantité
variable x, dont il s’agit d’obtenir l'évaluation ou la
génération technique, en prenant pour 7»72esure une
autré fonction 4x de la même variable. Décomposons
d’abord la fonction proposée en deux autres A, et fx
telles que l’on ait d’abord (1)

Fa) = fe

et qu'ensuite f& $0it toujours comparable avec la me-

sure px, où que le rapport de ces deux fonctions ne
deviénne pas énfini , quelque valeur qu'on donne à +.
Ainsi fix doit devenir zéro, lorsque @x devient zéro,
et comme on à

cPYWHE &

F(x)—fox=A,

CO 379

si nous désignons par un point placé sur z la valeur
que prend la fonction F{x), lorsque x = 0, nous
aurons

F(à)= A,

A, peut donc toujours être déterminé , et la décompo-
sition (1) peut avoir lieu dans tous les cas.
Mais fx devant toujours être comparable à #z, le
rapport
ex
- x

ou son inverse

ox
Je

sera une nouvelle fonction de gr, que nous exprime-
rons par F, (x), et que nous décomposerons de même
en

F(z)=A:tfir;

fix étant une fonction comparable à gx et qui devient
zéro lorsque $x=—0. Exprimant de nouveau le rapport

par F, (x), nous aurons pour troisième transformation

F{2)=A + fr

et, continuant de la même manière, nous trouverons
en rassemblant les résultats,

F (x) = À + fx d'où F (*)=A

F;(x) = A: + fix F, (à) = A

F,(x) = A, + fx F, (à) =A,

F, (x) = A5 + fix F, (+) = Às

etc. etc. etc. etc.
$X _r# , _ _??
ré Fi(x) d'où fx — F(&)
PÆ,. pu: _
fa © F® FE Ex)
_ = F:(xi Jx—= Fa)

etc. etc. etc. etc.

D'où, substituant ces valeurs les unes dans les autres
(z)

F()=A+ Dre
A,+@x
A:+@r

A-etc.

Telle sera donc la forme de la génération technique de
la fonction Fr, en employant la fonction gx pour me-
sure,et en ne considérant que les rapports inverses de cette

580 ée
mesure. Si, au lieu de prendre +< repports inverses de
ox avec chacune des fonctions suc essives fa fiT, fat
etc., nous nous étions servis des rapports directs, nous
cussions obtenu une autre génération technique dont
nous n'avons point à nous occuper ici. Ÿoy. SÉRIES.

24. Pour mieux fixer les idées, supposons que la
fonction F(x) soit W/{a+x), et que la mesure gx soit
simplement x. En exécutant les opérations indiquées ci-
dessus nous trouverons, en partant de

F{x) = V/{a+x) .
À = Vlati) = Va

ce qui nous donnera d’abord

x
LUE Ve) — = V/a
à cause de
F(a)— As = fr
et de
T
= — F(x)

En faisant x—0 dans la valeur de F;x, nous devons
obtenir celle de A;, mais comme cette valeur devient

0 : ; Te
—, dans ce cas, il faut chercher préalablement à lui donner
o

une autre forme. Or, en multipliant les deux termes

de F;(x) par V/(a+x)+v'a, nous obtenons

ports
(a z)}—a

ce qui devient , en faisant x=o,
F, (æ) = À, =°2V/a

Passant de ces valeurs à celles de fix et de F;(x), nous
aurons, à cause de’,

fix =F(x)—A;,
fe = Wa+z)+

= {a+ +x)—

Ex)

Me=Ave
;
d’où ,

BE) = are

Ce qui nous donnera encore, en multipliant les deux

termes par V/(a+x)—V/a
L)— V{a+x) Va
et
Erfæ) — A, = 2V/a
En continuant de la même manière, on voit aisément

qu’on obtiendrait à l'infini, A3=2V/a, Ai=2\/a, etc.,
etc. , et que la génération de V/a+x), est

CO

Va ae

Ver
2V/a+etc.
fraction continue dont le nombre des termes est in-
défini.
Si nous faisons a — 1 etæ=—1, cette expression
devient

V{a+x) =

v2= a 21

24:
2+1
2+1
2+4-etc.

Elle nous donne alors l'évaluation générale de la quan-
tité V2

fraction continue (15) pour obtenir les fractions succes-

,etil suffit de construire les médiateurs de cette

sives alternativement plus petites et plus grandes que

V2.

25. Après avoir reconnu la forme (z) de la généra-
tion technique de toute fonction en fraction continue,
il nous reste à donner la détermination générale des
quantités À, , A;, A,, etc. , qui entrent dans cette frac-
tion. C’est ce que nous allons faire, en nous servant de
la méthode des coefficiens indéterminés (voy. Corrri-
CIENS ) pour donner un nouvel exemple de la fécondité
de cette méthode.

F(z) étant une fonction quelconque de x, et x une
autre fonction également quelconque prise pour me-
sure ; nous avons généralement, As, A, À,, etc. étant
des coefficiens dont les valeurs sont connues (voyez
SÉRIES ,

F(a) = Ao+AigzA,pa+A:9ztAipzi-tetc.
Mais nous pouvons faire successivement, À, A;', A,
ete , A7, A7, A", etc, A", A";, A", etc., étant des
coefficiens indéterminés (b)
Agx + À rt + Apxi + etc. —
: oz ss
7 AH A"pr+A' pr? +A "pr + etc.
A'px + A',gx? L Apr +etc. =
er pz
— A" HA"px+A" px ÆA "pri etc.
A',gx + A" ox? + A" x etc. =
= Fe
7 A"+A",pxA",pat + A"spx$ + etc.

etc. etc.

Ces expressions substituées les unes dans Jes autres,
nous donnent (c)

co

F(x) = = a+ Fgz
Apr
A",-betc.
Ainsi, il s’agit d'obtenir les valeurs des quantités indé-
terminées À, , A’, A", etc.
Or, en divisant la première égalité par @x, et ren-
versant les rapports, nous avons

Fe RE ON ie Sr à
A o+A :.ÿx+A 3PT +etc— A: + A, pr + A39x? + etc.

et, cette égalité étant indépendante de toute valeur par-
ticulière de +, en donnant à x la valeur qui rend $r=u,
nous aurons
A'o—= —
o À,
et par suite,

I 1
AHAgr-fetc. A:

À,@r+-A:@r + Apr +etc.
7 AA, HA A g7+A Ar +etc,

Substituant cette valeur dans la seconde égalité, après

A'px—+A' pr? + etc. ==

l'avoir préalablement divisée par gx, nous obtiendrons

A", + Az + Az? b etc. —

su __AïAi+ AA,gz + A;A3@x? + etc.
A, + Apr — A,dxt + etc.

et cette dernière devant subsister également quelles que

soient les valeurs de x, nous ferons comme ci-dessus
@x=0o, et nous trouverons

La valeur de A”, étant ainsi déterminée, en la retran-
chant des deux membres de la dernière égalité, nous
aurons

POP DE en Le me 1À,Qx

A,+Asgz + Le
re [aa apr (AAA om Le ]
7 AA HA,Aipx + A.Aigr A A6 + etc.

ce que nous pouvons mettre sous la forme

A,B:0z A, Bigz? + etc.

A';gx+A",pabetc. = — AR ee

en faisant pour abréger (d)

AA, —A,A;3 — B:

A,43 —A,;A —B,

A, A4 — AA: = B:
etc. etc.

A.An—;— A:Ân — B;

CO 381

Si nous substituons cette dernière valeur dans la troi-

sième des égalités (b), après l'avoir divisée par gx,
uous trouverons

AAA Aigr-A Aigr-etc

A,B3+A,B;gz—+A,B:pr—betc.

ce qui nous donnera en faisant gx—0

A"oHA";Dx+etc. = —

A. —— AA,
: AB,
continuant comme ci-dessus , nous aurons encore

À ,A,+HA,A,dr+etc.
AiB:+A,B;pr+etc.

A A
Sa AGE 1=— 2 —
A"ipr+A" gr TE
A, [A:B—A B)er+(AB—A.B) ex+ ee. |
7 A,B;B;+8B,B,B;pz+AB;B:@z+etc.
ou

A,C+A, C:pr+etc.

RP TE DEA F A. B:B;gx + etc.

en faisant également pour abréger (d)

BAS ABC,
BA —AB:s = Cs
B;A, —AB, —C,
etc. etc.
B3An—1— A,Bn — Cn

à l’aide de cette valeur , nous trouverons, en procédant
toujours de la même manière

ABB,
XG,

AU =—

Enfin, continuant la même opération, et faisant sac-
cessivement (d)

CB, —B;G = D:

CB, —B,Cc = D,

CB... —B,C; =D,
etc. etc.

CB, BC =D;

D,C; —CiDs — Es
D:C —CD, =E,
DC, —CD: —E

etc. etc.
D,Ci—:— C,DA = E,

etc. etc.

nous trouverons
| 2 A,C;C
A, — a
. À,B:D,
#s A,B,D;Ds

382 CO
avi — A CEE
° ” A,B;:D:F,
etc. etc,

En examinant les expressions des quantités A", A5,
A" , etc., on voit aisément qu’en prenant leurs produits
deux à deux, à l'exception toutefois de la première,
Ces produits ont une loi remarquable de formation

ae a he
As" A!" = _—
ANS . :
FT =
etc. PIC

La construction de ces quantités nous montre évi-
demment que la forme la plus simple de la fraction
continue qui donne la génération de F{x) serait celle
où les coefficiens A’, , A”; , etc. entréraient ainsi deux à
deux ; mais si nous divisons successivement chaque frac-
tion intégrante par Son dénominateur, l'expression (c)
deviendra

EX) A, dar x

1 + A! er px
TA
1 + etc,

ou simplement (e)
Mgz
M LM oz 1+M, px
1+Mgx
r + etc.
Les coefficiens M, M;, M,, etc. étant donnés par les
expressions (f)

FE) =

M, — À, :
M, = A:
À;
à M, = — A
B; .
M= AA —
E C
DL AB;
D:
M: = BG
Es
M: — CD:
etc. etc.

CO

Ainsi connaissant les coefficiens du développement
en série d’une fonction quelconque , on peut toujours,
à l'aide des formules précédentes, développer cette
même fonction en F action continue, ce qui donne une
génération entièrement différente de la série et toujours
plus convergente.

26. Pour obtenir les valeurs successives de la fonc-
tion F(x) qui résultent de la somme de un, deux, trois,
etc. termes de Ja fraction continue il faut:nécessairement
modifier Ja forme des médiateurs {1 r)} faisant donc

Po =M QE:
PP +<M,@r Q:—=Q
P,=P, +M grP Q=Q + M, çæ.Q,
P,—=P, +Mox.P, Q—=Q,, +M pxQ
Pi=P, +MiogrP, Q=Q +M, pz.Q,
etc. etc. etc: etc.

Pa= Pr + Mh9x.Pr_, Qu=Qu:+ Mh9z Qn—,
Les fractions successives alternativement plus petites et
plus grandes que F (2) seront
Ps CP: Le Jus
Q' Qi Q' @

appliquons les formules

etc.

27. Avant de poursuivre,
précédentes à quelques eas particuliers. Sôit d'abord
F(x) = (14+x)7.

Le développément de (14-æ," en série est d’après la
formule de Newton

(a) = 1m

etc.

m(m— le m Fi —1)(n—2) pe

1.2.3 7 A

x —

Nous avons donc ici

AS xt
À =m
UQ (mi)
nr
a = "irri)m—2)
… op Re)

ele, etc:

LS mm:)(m—), (mn)

1.2.3.4....(n—1)

et de plus, la fonction dx, prise pour mesure, est sim-
pleient +. |

Construisons les quantités générales Br , Cr , Dr ,
E,, etc. (d) nous trouverons, en empléyant-pour abréger
la notation des factorielles (voy. ce mot)

(a—2)m tar |:

be 1215,.7fs
= 2 A2 pli
Co — 2(3—n)m°l1.nl—t.m ”
ben 1217,154x, A a —

CO
(n=—3)(4—n)(2#minmetine line lime -ann2 |
D ee om
etc: etc.

à l’aide de ces quantités, Les expressions ( f') nous donne-
rons

M, = 1
M; = "2
M (1—m)
a Ce
ns — Ut)
7 2.3
_'(2=m)
Me 2.3.
De cr (EVE)
7 3:0
_ En)
Mers: 7555
n, = Gr)
J 2.7
etc. etc.

dont la loi est évidente.

Ainsi le développement du binome (r+x)" en frac-
tion continue est
IX
ZI ——————
Ve (1—m) x
2.1

(1x)

1 er eLc.

Lorsque m est un nombre entier positif ou négatif, la
fraction continue a toujours un nombre fini de termes ;

dans tous les autres cas, ce nombre est indéfini.

28. Soit, pour second exémple, F{x)—log.x, log. dé-
signant le logarithme naturel de æ&, On a la série (voyez
LOGARITHME)

Loge = (a—1)—4 (21) (ae) (a) et.

Ici, la fonction, gx est x —1; et les coefficiens A,, A,,

etc. , sont la suite des fractions ;, +, à, +, etc., de sorte
qu’on a en général

Formant les quantités B,, C,, D,, etc. , on obtient

CO 385

Fe à fie)
Ê + Ha)
+ s(x—1)
1 + her)
14 œ—1)
14)

29. Prenons pour dernier exemple F(x)=e, e étant
la base des logarithmes naturels dont le développement

en série est
CIRE HT + + —— ete
… I 1:29 1.2.3.4 :

1.2

Dans ce cas particulier xæ1, et le coefficient général

I
An on 0 . Nous trouverons
n—2 3—n
Br — 'OERETIE , Cr — 1311, qnlt
D, — (3—n)(n—4) Es (4—n)(n—5)
OCR CERN Se IT CET ENT VIE CNET
etc. etc.
et par suite
ï
e=i+ —
LS
Ii
z LI
I 3.3
x
ER
1——<

30. IL est important de faire remarquer que la géné-
ration d’une quantité obtenue, au moyen des fractions
continues, par les procédés que nous venons d'exposer,
est essentiellement différente de la transformation des
séries en fractions continues donnée par Euler daus son
introduction à l’analyse infinitésimale. Cette transfor-
mation ne produit aucune génération nouvelle ou dis-
tincte de celle qui est opérée par la série elle-même,
comme nous allons nous en assurer en rappelant ici la
méthode d’'Euler.

X étant une fonction quelconque soit

sa génération en fraction continue,

384 CO

En prenant successivement la somme de un, deux,
trois, etc., termes de cette fraction , on aura

a = a
a _ abba
F7 HR à
« ___abc+ Ba +ac
CÉGES btE
©
a __ abcd+Bad+acd+yab+ay
Re bed db
TH
d
etc. etc.

Il est évident que ces fractions successives, en prenant
a .. . ;
- pour la première, sont alternativement plus petites et
1

plus grandes que X ; mais, en prenant les différences de
chacune de ces fractions avec celle qui la suit, on voit
aisément que la différence entre la première et la seconde

œ ° , .
est 3; que la différence entre la seconde et la troisième

est me TS; entre la troisième et la quatrième :
cet ; etc., etc. : ainsi on peut exprimer
GcFBbed+ pd) ET dos

la valeur de la fraction continue par une suite determes,
de cette manière

25 «5

Hbc +9 Ÿ FD Cd) —

série dont le nombre de termes sera infini ou fini, selon

X=a+ £ = etc.
b
que la fraction coutinue s’étendra ou non à l'infini.

En supposant, pour simplifier, le premier terme a
égal à zéro, la fraction continue se trouve donc expri-
mée par une suite dont les termes sont alternativement
positifs et négatifs; et il est réciproquement très-facile
de transformer une suite quelconque de termes alterna-
tifs en une fraction continue dont la valeur soit égale à
la somme de la série proposée, car, soit en effet cette
série

X—=A—B+C—D+HE-F+etc.
en comparant avec la série engendrée par la fraction
continue, on aura les égalités

À — É

B B

À be+p
Ur

B bcd+fGd+;b

D. RUE")
C bcde+fBde+ ybe+dbc+ps
ctc. etc.

D'ou l’on tirera ;

æ— Ab
Béc

ns A—B
ne ACcd
1 [A—B)(B—C)
2 BDde

7 (B—C)(C—D)

_ CEef

7 (C—DXD—E)
etc. etc.

Avant ainsi trouvé les valeurs des numérateurs
a, B, 7,9, etc., on peut prendre arbitrairement les dé-
nominateurs b, c, d, e, etc., mais pour que ces nombres,
étant entiers, donnent des valeurs entières à x, 8, 7,4,
on fait

b—1 d'oùuil vient «—=A
cæA—C £=B
d=B—C 7—=AC
e=C—D d—=BD
J=D—E n=DC
etc. etc.

Ainsi, sil’on a
X—A—B+C—D+E-—F+etc.

on pourra exprimer la valeur de X en une fraction con-
tinue, comme il suit

D—E+etc.

Si tous les termes de la série étaient des nombres frac-
tionnaires comme

; I I 1, 1
FA DT E D pe

on obtiendrait la fraction continue

_—
A + AA gi
PAF =er ce
Chr
D—C+etc.

31. Telles sont les transformations d'Euler. Or, en
prenant, dans la première, les valeurs successives de la
fraction coutinue, on a

ë = À
= =
B
LAS re 5
ue PP EC
B
LE AG

RUE
etc. etc.

C'est-à-dire que ces valeurs sont identiques avec celles
que donnent les termes de la série proposée ; et que con-
séquemment les transformations en question ne sont
d'aucune utilité.

32. Pour mieux montrer la différence des fractions
continues dont nous avons donné les lois n. 25 et 26
avec ces dernières, proposons-nous d'exprimer en frac-
tion continue la demi - circonférence du cercle dont le
rayon est l’unité. Ce nombre, en le désignant par +,
est donné par la série (voy. GErcLe, n° 31)

1 TOUT I I I
FT X— Rs = = ——""elc
4 3 A CPE; de 9 11 +
En nous servant d’abord des formules d'Euler, faisons
=1, B=3, C=—5, D=7, etc., et nous aurons

Mi

ce qui est la fameuse fraction de Brounker. Ses valeurs
successives sont, en les réduisant en fractions déci-

males,

somme de 1 terme... 1
2 ........ 0, 6666666
SN hp 0107009008
AD. 10,07200004
Du cEe0r M0,,9347200
OMR ENO, TAAOTTS
M socrss. 10, 0200347
etc. etc.

D'où l’on voit que sept termes ne donnent pas une
seule décimale exacte.

Reprenons maintenant les formules des n. 20 et 21
et faisons

Ao=0, A1, À,——5,A:—",A;——7%,A;=—-, etc.

en prenant de plusla mesure gx pour l'unité, Construi=

(NE) 585
sons Îes quantités (4/) Bu, Cn, D, etc. et avec ces quan-
tités, nous trouverons

M=o, M—:1,M,=;, M—:*
M, M= ">, M, etc.
en général

D'où

fraction continue dont les valeurs successives sont

somme de 1:

terme... 1, 0000000
2 ses. 0, 7500000
3 .:...:. 0; 7910666
4 sosss.e 0, 7843120
Dihescessse 107 700880
OL. es 10; 7803687
ii sise eds 3 05 7894037
etc. etc.

Or, nous avons vu (CErcue, n° 30) que la valeur de x
est 3, 1415926...
D'où
1
lé = 0, 7853981...
Ainsi la somme de six termes ne diffère, en moins, de

la véritable valeur que de moins de 3 cent millièmes, et
a somme de sept termes ne diffère, en plus, que de moins
de 1 cent nullième, approximation déjà bien supérieure
au rapport d’Archimède. La génération produite ici par
la fraction continue diffère donc essentiellement de celle
que donne la série; puisque, comme nous l'avons dé-
montré plus haut, la fraction de Brouncker donne des
résultats identiques avec ceux de cette série.

33. C'est à lord Brouncker, chancelier d'Angleterre,
qu'ondoitl’invention des fractions continuesnumériques;
il y fut conduit en cherchant à transformer les expres-
sions indéfinies de Wallis pour la quadrature du cercle.
Huygens s’en servit ensuite, et elles devinrent bientôt
l’objet des recherches des plus célèbres géomètres.
Daniel Bernouilli, Euler, Lambert, Lagrange et Le-
gendre perfectionnèrent successivement leur théorie, et
les employèrent dans des questions importantes. Euler
et Lambert surtout considérèrent ces nouvelles fonctions

d’une manière généraie ou algébrique, et parvinrent à
19

3386 co

de véritables réductions des sériesen fractions continues.
On n’a fait depuis que reproduire ou développer les
procédés quileursont dus. Récemmentenñfin M. Wronski,
dans la seconde section de sa Philosophie de la techni,
a définitivement classé les fractiong£continues au nombre
des algorithmes techniques, en montrant qu'ekles
donnent toujours une génération différente des séries
et beaucoup plus convergente. 11 a pour ainsi dire
épuisé leur théorie , dans cet ouvrage , en les considé-
rant d’une manière encore plus générale que nous ne
l'avons fait aux n°° 23 et 25, et en donnant toutes les lois
qui les régissent. Les belles expressions (d) et (f°) lui ap
partiennent, au moins duns leur forme systématique, car
le procédé de réduction qu'elles renferment avait déja
ététrouvé par Euler. Mais la lougueur de cet article nous
force à renvoyer à l'ouvrage de M. Wronski ceux de
nos lecteurs qui voudraient approfondir la théorie des
fractions continues. Nous verrons ailleurs un usage très-
important de ces fractions.

FRACTIONS CONTINUES PÉRIODIQUES, v0yez PÉRIODIQUE.

CONTINUITÉ. — C’est une

rompue.

liaison non-inter-

La loi de continaité est celle par laquelle des quan-
tités variables passarit d’une grandeur à une autre,
passent par toutes les grandeurs intermédiaires, sans en
sauter aucune, Un gränd nombre de philosophes et de
métaphvsiciens ont regardé comme probable l'applica-
tion de cette loi aux opérations de la nature; mais le
père Boscovich a prouvé que la loi était universelle.
Ainsi nous vovons que la distance entre deux corps ne
peut pas être altérée sans qu’ils aient passé par toutes
les distances intermédiaires. Les planètes se meuvent
chacune avec des vitesses et des directions différentes
dans les diverses parties de leur orbite, mais toujours
en observant la loi de continuité. Dans les corps célestes
projetés, la vitesse croit et décroit suivant toutes les vi-
tesses intermédiaires, ct il en arrive de même dans l’é-
lectricité et le magnétisme. Aucun corps ne devient plus
ou moins dense sans passer par toutes les densités inter-
médiaires. La lumière du jour croit le matin et décroît
le soir, suivant tous les degrés intermédiaires possibles.
Et en examinant la nature avec tout le soin que réclame
un tel examen, nous voyons que partout la loi de
continuité existe. Il y a cependant des transitions brus-
ques ; ainsi quand en comparant un jour au suivant,
nous trouvons que celui-ci est plus court ou plus long
que le premier de deux à trois minutes, nous serions
tentés de dire qu’il y a transition brusque; mais si nous
considérons toutes les longitudes, nous trouverons qu'il
y 2 eu des jours de toutes les longueurs intermédiaires.
Quelquefois aussi , nous confondons un mouvement ra-
pideayecune impulsion instantanée. Ainsi, nous sommes
disposes à penser qu’une balle est lancée par la poudre,

CO

par une impulsion instantanée; mais par le fait, un
temps appréciable est nécessaire pour linflammation
graduelle de la poudre, la raréfaction de l'air et la com-
wmunication du mouvement à Ja balle. C’est ainsi qu'on
peut détruire toutes les objections qui pourraient être

faires à la loi de continuité.

CONTOUR (Géom.).Mot dont on se sert quelquefois

pour désigner le périmètre d’une figure.

CONTRACTION pe La veine FLuIDE (Hydrod.).
Resserrement qu'éprouve la colonne fluide qui sort d'un

vase par un orifice. Ÿ’oy. EcouLemENr.

CONTREGARDE. Ouvrage de fortification en forme
de flèche, placé devant un bastion, dont il est séparé
par un fossé. Son but est de protéger le rentrant: Foy.

FoRTIFICATION.

CONTRE-HARMONIQUE (4/g.). Trois nombres
sont eu proportion contre-harmonique lorsque la diffé:
rence entre le premicr et le second est à Ha différence
entre le second et le troisième dans le rapport imverse
du premier de ces nombres au troisième. Ainsi, les
nombres À, B, C seront en proportion contre-harmo-

rique, si l'on a (1)
(AB) : (B—C;:: C: A,

Cette proportion a été nommée contre-harmonique, par
opposition avec la proportion harmonique, qui a lieu
lorsque le rapport des différences est égal au rapport
direct des nombres, ou quand on a

(A—B) : (B—C)::4:C

Si la considération des proportions contre-harmoniques
est plus curieuse qu'utile, il n’en est pas de même de
celle des proportions harmoniques, dont nous donne-
rons ailleurs une application intéressante. Voy. Harmo-
NIQUE.

Des trois nombres A, B, C en proportion contre-har-
monique, le second prend le nom de moyen contre-har-
monique ; il est donné par légalité
= A? C:

AC
qu’on tire facilement de la proportion (1). Ainsi, si l’on
demandait quel est le moven contre-harmonique entre
Get3, il faudrait faire , dans cette égalité A=6 , C3;
et on trouverait B—5.

CONTREMINES. Galeries de mines construitesau-
tour de l'enceinte extérieure des places fortes, et des-
tinées à épier les mouyemens des mineurs assiégans, Woy.

FORTIFICATION.

À
1
Î
|

CO
CONVERGENT. On nomme droites convergentes

en géométrie celles qui se rencontrent en un point, ou
qui suffisamment prolongées se rencontreraient.

Les rayons convergens , en dioptrique, sont ceux qui,
en passant d’un milieu dans un autre, se rompent ou se
réfractent en se rapprochant l’un de l’autre, de ma-
nière à se rencontrer dans le même point ou foyer. Foy.
Lenriire , Microscope.

CONTRESCARPE. Paroi du fossé d’un ouvrage de
fortification du côté de la campagne. Dans les places
fortes, elle est revêtue en maçonnerie; dans les ouvrages
de campagne, c’est un simple talus en terre. Foy. For-

TIFICATION.

CONVERGENT (4/g.). On nomme séries conver-
gentes, les séries dans lesquelles la valeur de la somme
d’un nombre quelconque de termes diffère d’autant
moins de la valeur de la somme totale des termes que
ce nombre est plus grand. Dans le cas contraire , on les
nomme séries divergentes. Par exemple , la série

Le £ à pe pe
=; 142 + Loir Hat etc. à l'infini,
qui, lorsque x=—+, exprime la génération de la quantité
2 ou qui donne .

214 RER EE. CC.

est une série convergente , parce que les sommes succes-
sives

J

1++

+

ii

etc. etc.

approchent de plus en plus de la valeur totale 2.
Mais si dans cette même série, on fait æ=», elle
devient

14244484 16+432464+ etc.

c'est-à-dire une série divergente , car les sommes suc-
cessives

L

1+2

142 *

124 +8

etc. CC:

Différent de plus en plus de la valeur totale de la
série qui est alors —1.

]

Le caractère prin ipal des séries convergentes est
done que la différence cutre Ja somme d'un nombre
quelconque de termes et la valeur totale de la série

peut deveuir aussi petite quon le veut, c'est-chre

CO 387

moindre que toute grandeur donnée en prenant ce
nombre de plus en plus grand, ainsi :

1° Toutes les séries dont les termes étant alternati-
vement positifs et négatifs décroissent à l'infini, sont des
séries convergentes. En effet, soit

a—b+c—d+e—f+g—h+etc..…

une telle série, si nous représentons par N sa valeur
totale ou la quantité dont elle donne la génération,
nous aurons

N=a—b+c—d+e—f+g—h+ etc...

Or, en prenant un nombre quelconque de termes, par

exemple
a—b+c—d+e

et en désignant par M leur somme, nous aurons aussi

NM] tit tete. |
Mais les termes allant en décroissant, les différences suc-
cessives
J—£ ; hi, kil, mn, etc...
sont, à l'infini, des quantités positives, et conséquem-
ment la somme de toutes ces différences, ou, ce qui est
la même chose, la somme de tous les termes, à commen-
cer par f, est elle-même une quantité positive; si nous la
désignons par P, l'égalité précédente deviendra
N—M—P
Prenant maintenant ue terme de plus, et faisant
a—b+c—-d+e—f=M
nous aurons encore
N=M'+{g—h+i—h+limtetc….]
ou
N=M'+P'
en représentant par P' la quantité positive égale à la
somme des différences positives
g—h, ik, [—m, n—o, etc.
Ainsi la valeur de N est comprise entre celles de M et de
M', puisque nous avons

N>>M et NM

La différence entre M et M! étant le terme f, il suit
de ce quiprécède quela diflérence entre Net M est plus
petite que f, c'est-à-dire, en généralisant , quela somme

des mr premiers termes de la série ne diffère de la

588 co

somme totale que d'une quantité plus petite que le
m1 ième terme: donc la série est convergente, puis-
que ce terme peut devenir auss' petit que l'on veut en
prenant 7x suffisamment grand.

2°, Une série dont tous les termes sont positifs est con-
vergente lorsque ces termes sont décroissans à l'infini, car
soit

N=a+tb+c+d+e+f+g+h+ete.
une telle série; si nous fajsons

at s+<c+d+e=M
a+b+tc+d+e+f=M

nous aurons

N=M+f+g+h+ it etc.
N=M+g+h+itk+ etc.

d'où N>M et N>M'; mais M'diffère moins de N que
M puisqu'on a aussi M>M, donc la différence entre N
et la somme d’un nombre de termes peut devenir aussi
petite qu’on le voudra, en prenant ce nombre suffisam-
ment grand.

3° Toutes les séries dont les termes vont toujours en
croissant sont divergentes.

Quelque divergente que soit une série, lorsqu'elle n’a
point été formée par une suite de termes pris arbitraire-
ment, mais qu’elle exprime la génération d’une fonc-
tion d’une quantité variable , d’après des valeurs par-
ticulières de cette variable, on peut toujours la trans-
former en série convergente ; soit(1)

Fx = Ac+A fra, fa, fe friete.

une série divergente , Fx étant une fonction quelconque
de x, et fx une autre fonction également quelconque
de la même variable, etsoit (2)

Fr =B.+B,pr+B,or+B,0x+Bipzitetc.

la série transformée convergente, x étant une fonction
arbitraire de x.

Supposons que l’équation fx=0o donne x—u, et
construisons les fonctions fx, fx?, fx*,etc. avec les puis-
sances successives de x—a, nous aurons (v0y. SÉRIES),
en désignant par un point placé sur æ qu'il faut faire
æ=a, après avoir pris les différentielles ,

dfi L— a d fx
gene Ed LUE Un + de
fe=pr+ Con jee Ga + etc.

dx 1 dx?

; dfx — d'fx (x—a)
dpi (en
dr Lu n dx us dx 1.2 + etc.
etc. etc.

CO

Mais puisqu’en faisant x=a on à fz=0,

toutes les
quantités dans lesquelles entre/x se réduisent à zéro après

les différentiations, ainsi on a en général
dn fem — 0

tant que » est plus petit que »2; retranchant donc des dé-
veloppemens précédens les termes qui deviennent zero

et substituant ensuite dans (1), nous aurons

Fx = À: + A,dfà ee

(x—a}

pa [abri+aæri |

Fe [ar + A dfir + age | ee

+ etc. CC:

Choisissant la fonction arbitraire gx de manière qu’on
ait @x—0 , en faisant x—a, nous aurons de même

(x—a)

Fr = Be + Bidex

(x—a}
| 1.2

— (5. doix+B,dex at

F7, [Bert Bdei+B de |
+ etc. etc.

Donc, en comparant les deux développemens, nous
obtiendrons (3)

Ao=B,

A,dfà=Bdpx

A,dfà+A,dfx=B,dei+B,doi

A Œfi+Alfi+A, Di =Bdfx+B,dfr+
+B; dif x
etc. etc. etc.

équations de couditions par lesquelles on pourra dé-
terminer les quantités B,, B,, B,, etc., à l’aide des coef-
ficiens A,,A,, À,, etc.

Pour appliquer ces formules, soit la série générale
Fr=A,+A,(x—n)+A,(x—a}+A(x—a)+etc.

dans laquelle «& est une quantité donnée, telle que lors-
qu'on a æ_>a+1, cette série devienne divergente; A,,
A,, A,,etc., étant des nombres finis quelconques. On

aura ainsi
fx =(x—a).

La fonction gx devant être choisie de manière qu’elle
devienne zéro en faisant x—=a, donuons-lui la forme

Co
(x—a). (ÿx)"

ÿæ étant une fonction arbitraire de x et un nombre
arbitraire, et pour prendre la fonction la plus simple,

faisons

da=n+x etm——1

nous aurons
gx =(x—a). (n+x) !;

de cette manière la série tranformée (2) sera

de +) +B; É ©) +eic

et pourra devenir convergente, quelle que soit la valeur

Fx — B, +,

de x, au moyen de la quantité arbitraire ».

Substituons dans les équations de conditions (3) à la
place de fx et gx leurs valeurs particulières ci-dessus,
et nous obtiendrous (4)

À — PB;

A, (n+a) =B,

À, (ra) = B, — B,

A: (n+ta) = B, —2B,+ B,

A, (n+a)i — B; —3B;+3B,—B,

etc. etc.

Am (n-ba)r — Br Be Pt ee

(m—1)m—2)(m—3)
CS 1:9:3

Bn—,—+etc.
Nous allons éclaircir cette théorie par quelques exemples
numériques.

I. Lx désignant le logarithme naturel dex, on a la

série connue.
La = (x—i)—}{x—i) + (x ir) — Ha) + etc.

qui est divergente lorsque + est plus grand que 2; pour
la transformer en une série convergente, faisons
a—1etn—=1
nous avons de plus
Ao—0,A;—=—+, À, —+,A,—— +etc.
ce qui nous donnera en substituant dans (4)
B;:—0; B:—2:

Bo—0,'B;—2; Bi=o, B:—7, ctc.

Ainsi la série transformée sera

= I 4 T— 1 \$ fx 1° |
Lx = | L ) + il | etc
Eee $ WE UD KT +17 |
laquelle est convergente pour toutes les valeurs positives
de x,

CO

IT. Prenons pour second exemple le développement

28)

I
1x2 ri r$ Let...
D pre
qui devient divergent lorsque x n’est pas plus pett
que l’unité. Nous aurons a—o et

ÂAo=1 ; A;=—1 , A;=1 , A;——1 , Air , etc.

En conservant dans toute sa généralité la quantité arbi-
traire 7, nous obtiendrons

B=1 ,B—=—n,B—n—n, B,—=—n+on—n, etc.

et, conséquemment,

I D T2 En)
Te MR Den re)
nr (n—1) 7 —n(n—1)f. ET +etc.….

Pour x=1, où la série proposée devient la suite singu-
lière
I—i+i—iti—iti—iti—etc., etc.
dont les géomètres se sont tant occupés, la série trans-
formée est
n n(n—1) n(n—1) , n(n—1ÿ

—= GROS ŒHiÿ (n—1) eme etc.

qui, pour toute valeur positive de » est une série con-

vergente donnant la valeur +.

Ces transformations et les belles lois dont elles déri-
vent sont dues à M. Wronski (voy. Philosophie de la
Technie, seconde section); elles prouvent évidemment
qu'une série quelconque a, en elle-même, dans le
nombre indéfini de ses termes, une valeur déterminée
rigoureuse , sans avoir besoin d'aucune quantité complé-
mentaire comme plusieurs géomètres l'ont cru, puisqu’à
l’aide de ces mêmes termes, quelque divergente qu'elle
soit, elle donne toujours une série convergente (Foyez
SÉRIE).

On peut ramener toutes les suites infinies de nombres
déterminés dont on ne connaît pas les séries générales
correspondantes, aux formules précédentes, en remar-
quant que pour une telle suite

NHN HN HN EN, etc.

On peut admettre une série générale

Fx = A+ Aufr + Asfe + A, fa A fax etc.

en supposant que cette suite provienne de la série géné
rale pour une valeurdéterminée de la variable x. Cette
hypothèse arbitraire donne les relations (æ désignant la

valeur déterminée de x)

N=A.,N; = Afx,

2 N, — = A;f x? etc

390

dont ontire

CO

A=N,A,.= je LE DE . = jte.
es JE JE

Connaissant ainsi les coefficiens de la série générale,
on pourra déterminer sa valeur correspondante à Ja va-
leur +, et cette valeur particulière de la série sera néces-
sairement celle de la suite infinie proposée. Nousrenver-
rons à l'ouvrage déjà cité de M. Wronski, ne pouvant
qu'indiquer ici une théorie dont les limites de ce dic-
tionnaire ne nous permettent pas d'exposer les principes
supérieurs.

CONVERSE (Géom.). Propositions converses où ré-
ciproques. Foy. RÉcIPROQUE.

CONVERSION {4/g.). Ancien mot par lequel on
exprimait la proportion résultante des différences entre
les antécédens et les conséquens de deux rapports égaux

comparées aux conséquens. Ainsi ayant da proportion
A:B::C:D
la proportion dérive
A—B :B::C—D:D

se nommait proportion par conversion. Voyez Propor-
TION.

CONVEXE (Geéom.). La surface convexe est la sur-
face extérieure d’un corps rond. Ce mot est particuliè-
rement en usage dans la dioptrique et la catoptrique.
PVoy. Miroirs.

COORDONNÉES (Géom.). Nom commun donné
aux abscisses et aux ordonnces d'un point. Foyez Ars-
CISSE.

COPERNIC (Nicoras), l'illustre et célèbre rénoyateur
du véritable système du monde, naquit à Thorn, en
Prusse, le 19 février 1473, d’une famille distinguée,
suivant la plupart de ses biographes, et d’un paysan
serf du nom de Zopernick, suivant Zernecke auteur de
la Chronique de Thorn. Fils d’un gentilhomme ou d’un
serf, Copernic a environné son nom d’une illustration
dont l'éclat frappera seulla posterité; mais de ces deux
circoustances, la première cependant est la plus vraisem-
blable: l'éducation élevée que le jeune Copernic reçut
dans la maison de son père, où il apprit les lettres grec-
ques et latines, avant d'aller à Cracovie où il termina
ses études, ne pouvait être alors le partage de la classe
malheureuse dont on a prétendu le faire sortir. Quoi

qu'il en soit, Copernic se livra d’abord à la philosophie
et à la médecine; et obtint le grade de docteur dans
cette dernière science. Ce fut alors qu'il put s’'aban-
donner avec plus de liberté au goût ardent, que dèssa
plus tendre jeunesse, il avait manifesté pour les mathé-
matiques. I en fit l'objet d’études sérieuses, et aborda
en même temps la connaissance de l'astronomie, science

dans laquelle il devait immortaliser son nom. Le cé-

CO

libre Régiomontanus (Jean Muller) la professait à cette
époque en ftalie avec beaucoup d'éclat; le jeune Co-
peruic, entrainé peut-être par ce pressentiment de son
avenir quise révèle quelquefois aux grands hommes,
résolui d'aller enter dre ce maitre, et partit pour l'Italie
après s'être perfectionné dans les arts graphiques, qu’il
Jjugex utiles posr mettre ses leçons à profit. H étudia
successivement à Bologne sous Dominique Maria, et à
Rome sous Régiomontanus , et ces deux célèbres astro-
nomes, frappés de sa sagacité, de la hauteur de ses
vues et de ses nombreuses connaissances, que rendaient
plus remarquables en lui la bonté de son caractère et la.
douceur de ses mœurs, l’admirent dans leur intimité.
Après avoir suivi avec tout le zèle dont il était animé,
les leçons de ces illustres professeurs, et s'être fami-
liarisé avec l'emploi des instrumens astronomiques , Co-
pernic quitta Rome où le patronage de Régiomontanus
lui avait fait obtenir une chaire de mathématiques, et il
revint dans sa patrie, riche de l'instruction profonde
qu'il avait acquise, et des observations auxquelles il
avait pu se livrer, sous ce beau ciel de Ftalice, si favo-
rable alorsaux sciences renaissantes.L’évéquedeW armie,
son oncle, le pourvut d'un canonicat dans la petite ville
de Fraënburgou Fravemberg, où il se fixa pourtoujours,
et dès lors, cette vie, dont la laborieuse solitude allait
être si utile aux progrès de la science, fut troublée par
peu d’évènemens; il la partagea tout entière entre
trois occupations principales qui étaient d'assister aux
offices divins , d'exercer gratuitement la médecine pour
les pauvres, et de consacrer le reste de son temps à ses
études chéries. « Cependant, ajoute un deses biographes
les plus distingués, quel que fût son éloignement pour
les affaires, il ne put refuser l'administration des biens
de l'évêché, qu’on lui confia plusieurs fois, pendaut les
vacances du siège. Cette commission exigeait de la pro-
bité et du courage; il fallait défendre les droits de
l'évêché contre les chevaliers teutoniques, alors très-
puissans. Copernic ue se laissa ni éblouir par leur auto-
rité, nieffrayer par leurs menaces. Si l’on rapporte ces
détails qui semblent étrangers à sa gloire, c’est pour
montrer que dans ce caractère, l’esprit d'étude et de
conteraplation était uni avec la fermeté et la constance,
qualités non moins nécessaires que le génie pour atta-
quer etrenverser les préjugés consacrés par la croyance
des siècles. »

En rapprochant dans ses médita:ionssur l’ancienne as-
tronomie , ses profondes recherches sur la théorie des
planètes et ses propres observations, Copernictronvales
preuves certaines du double mouvement de la terre.
Les bases du système qu'il établit sur cette doctrine né
taient pas nouvelles, il est vrai, on a vu ailleurs (voy.

AsrronomiE) que Pythagore avait transporté du soleil

à la terre, Ile mouvement de révolution annuelle sur

:

CO
+

l'éc'iptique; d’autres philosophes avaient après lui attri-
bué à la terre un mouvement de rotation, pour expli-
quer la succession des jours et des nuits. Copernic en
combinant ces deux idées, est devenu le fondateur de
la véritable mécanique céleste. TI plaça le soleil au centre
de notre monde planétaire, et autour de cet astre, il fit
tourner d’occident en orient, suivant cet ordre de dis-
tance, Mercure, Vénus, la Terre, Mars, Jupiter et
Saturne ; quant à la lune, elle continua aussi &e tourner
d’occident en orient , autour de la terre, pendant que
celle-ci était emportée autour du soleil. Ïl supposa que
la terre tournait dans l'intervalle d'un jour , d'occident
en orient, autour d’un axe qui demeure toujours paral-
lèle à lui-même, etqui fait un angle d'environ 23°+ avec
l'axe de l’écliptique. Enfin, dit l’illustre Laplace, tout
annonçait dans ce système cette belle simplicité qui nous
charme dans les moyens de li nature, quand nous
sommes assez heureux pour les connaître. Copernic con-
sacra toute sa vie aux observations et aux études qui de-
vaient confirmer ses découvertes, evil n’entreprit d'en
exposer l’ensemble, que lorsqu'il eut acquis la certitude
complète de leur vérité. L'ouvrage fameux dans lequel
il déposa le fruit de tant d’études et de méditations,etoù
il soumit à une seule idée toute l'astronomie, fut divisé
eu six livres qu'ilintitula : De orbium cœlestiunr revo-
lutionibus ; il fat terminé vers 1530. Il hésita long-temps
à publier cet écrit, qui devait occasionner une véri-
table révolution dans la science. Le bruit de ses idées
s'était répandu en Europe, ses disciples et ses amis les
faisaient circuler ; tandis qu’elles étaient accueillies avec
respect par les savans les plus distingués, la foule dont
elles attaquaient les préjugés se passionna contre elles:
On taxa ce système de rêverie et d’'absurdité, et Co-
pernic lui-même fut comme Socrate, livré aux huées de
la multitude ignorante dans une pièce de théâtre. Co-
pernic commençait à vieillir, et des études si constantes
et si laborieuses avaient épuisé ses forces; il sentit, ajoute
le biographe célèbre que nous avons cité plushaut, qu’en
retardant plus long-temps la publication de ses recher-
ches , il laissait à l'ignorance un champ plus libre, et
que léxposition de vérités si évidentes, accompagnées
de preuves si nombreuses et si palpables, serait le meil-
leur inoyen de réfuter l'accusation d’absurdité, dont on
qualifait ses opinions. H permit donc à ses amis de pu-
blier son livre qu'il dédia au pape Paul TIE. « C’est, dit-
» ikàä ce poutife, pour que l’on nem’accuse pas de fuir
» Je jugement des personnes éclairées, ét pour que l’au-
» torité de votre Sainteté, si elle approuve cet ouvrage,
» megarantisse desmorsures de la calomnie.» L'ouvrage
s'imprima à Nuremberg par les soins de Rhéticas, l’un
des disciples dé Copernic. Le jour même de sa mort,
et seulement quelques heures avant qu'il rendit lé

dernier soupir, l'exemplaire de son ouvrage, envoyé

CO D

par Rhéticus, arriva : on le lui mit dans les mains; il
le toucha , il le vit, mais il était occupé d’autres soins.
Il mourut le 24 mai 1543, âgé de soixante-dix ans. Les
ouvrages que nous avons de Copernic sont : E. e revo-
lutionibus orbium cœlestium, Gibri VI; Nuremberg, 1545,
petit in-f° en 196 feuillets, 2° édition. Basilis, 1566,
avec la lettre de Rhéticus , imprimé à Dantzig, en 1540,
où étaient annoncés les travaux de Copernic. Édition de
Mulier, sous ce titre : Astronomia instaurata, avec des
notes; Amsterdam, 1617, — 1640, in-4°. II. De late-
ribus et angulis triangulorum , etc. ; Wittemberg ; 1542,
in-4°. C’est un traité de trigonométrie avec des tables
de sinus, et qu'on trouve aussi dans l’édition que Muller
a publiée du principal ouvrage de Copernic. Ses autres
ouvrages n’ont que peu de rapports avec les sciences
mathématiques.

CORBEAU (A5st.). Constellations australe, une des
anciennes de l'astronomie des Grecs. Elle est composée
dans le catalogue britannique de neuf étoiles, dont la
principale marquée 8 est de la seconde grandeur. Cette
constellation annonçait le solstice par son coucher hé-
liaque.

CORDES (Méc.). Les cordes dont on fait un si grand
usage dans les machines, sont formées de plusieurs tou-
rons, et ceux-ci de plusieurs fils de carret. Par la
doüble torsion du fil de carret pour former le touron, et
du touron en sens contraire, pour former la corde, le fil
de carret après Pachèvement de la corde se trouve ré-
duit à peu près au tiers de sa longueur. Nous ne parle-
rons point ici des procédés à suivre dans la fabrication
des cordes; ces détails sortiraient tout-à-fait de notre
sujet. Pour nous, les cordes ne sont qu'un moyen de
transmettre les forces.

Les calculs de la mécanique sont faits en supposant
que les cordes sont réduites à un fil inextensible et par-
faitement flexible; mais dans la pratique les cordes
ayant des diamètres souvent fort grands, etune roideur
d'autant plus considérable, qu’elles sont plus grosses,
les résultats du calcul ne sont pas applicables sans de
grandes modifications. Afin de pouvoir évaluer ces cor-
rections, Amontons, en 1699, fit des expériences directes
pour détermiiner comment la roideur des cordes était
fonction de leur diamètre. Mais, s'étant servi de ficelles
plutôt que de cordes, ses résultats n’étaient point ap-;
plicables à la pratique, et c’est à Coulomb qu’on doit de
pouvoir évaluer exactement quelle est la force néces-
saire pour vaincre la roideur d’une corde d’une grosseur
déterminée. Il se servit d’abord d’un appareil semblable
à celui d’Amontons; mais afin de pouvoir évaluer la
roideur d’une corde passant dans la gorge d’une poulie,
il employa l'appareil suivant, qui paraît le meilleur de
tous ceux auxquels on peut avoir recours.

Sur deux tréteaux solidement établis de six pieds de

592 Co

hauteur, reposent deux pièces de bois équarris, sur
lesquelles sont appliquées deux règles de chène dressées
et polies. Sur ces règles, bien mises de niveau, on place
un rouleau de gaïac ou de tout autre bois d’un dia-
mètre et d’un poids déterminés. A l’aide de ficelles de
2 lignes de diamètre, et dont la roideur n’est pas égale
à 3 de celle dela corde de six fils de carret, on sus-
pend de chaque côté du rouleau des poids de 5o livres.
Par ce moyen, on produit sur les règles une pression
déterminé. En ajoutant successivement de chaque côté
(Au rouleau de légers contrepoids, on détermine quelle
est la force nécessaire pour donner au rouleau un mou-

vement continu insensible, c'est-à-dire pour vaincre

.
MU
e.

son frottement. On trouve ainsi que le frottement des
cylindres roulant sur des plans horizontaux, est en
raison directe des pressions, et en raison inverse de leur
diamètre. (Joy. Fnorreuenr.) Le frottement des rou-
leaux étant déterminé, on cherche quel est le poids ad-
ditionnel qui peut produire un mouvement continu in-
sensible lorsque des cordes d'une dimension déterminée,
et chargées de poids donnés, sont pliées sur les rou-
leaux , et en en retranchant la partie du poids destinée
à vaincre le frottement des rouleaux , il est évident que
le reste sera la force nécessaire pour plier la corde sur
le rouleau.

TABLEAU DES EXPÉRIENCES FAITES PAR COULOMB, EN 1781,

POUR

DÉTERMINER LA ROIDEUR DES CORDAGES,

"CORDES EMPLOYÉES ESPÈCE DE BOIS,

dans diamètres et poids

les expériences.

| Corde blanche
n° 3, de 3o fils
de carret, ,

Méëme.corde.. .

Corde blanche
n°2, de 15 fils
de carret.,....

Corde blanche
n° 1, de 6 fils
de carret.

des rouliaux.

Orne...

de 12 po. de dia.
pesant 110 liv..

de 6 po. de diam.
pesant 50 livres.

Gaiac
de 6 po. de diam.
pesant 5o livres.

Gaiac
de 6 po. de diam.
pesant 50 livres.

se
| Gaïac
|
“|

|
|
|

POIDS
suspendus
de chaque côté

du rouleau.

res
190
300
500

200

Lies

208

500

200

EOtve | ROIDEUR DE IA CORDF,
additionnels PRESSION FROTTEMENT égale à la différence entre le
pour surmonter poids additiounel et le frottement

le frottement des des du rouleau,
er — —
du rouleau d'après d'anri |
2 d 4 a : 4 Le apres
Se ee rouleaux. rouleaux. la methode la : méthode
ù : de Coulomb. d'Amontons.
me | mms | mmmnmmmmmnmne | snnmense | nes
livres, livres livies. livres. livres. |
5 313 113 3,5 4,4
xt 721 3,6 AA 10,4.
20 1130 5,6 14,4 16,4
16 466 2,8 13,2 14,8
it 461 2,8 8,2 AA
24 1074 6,4 17,6 17,8
6 456 237 3,3 4

RD RD qu D 2 ENT I D QE EI 7 A EE à

On voit par ce tableau que la méthode d’Amontons
et celle de Coulomb fourmssent à peu près les mêmes ré-
sultats. Coulomb attribue les différences les plus grandes
à ce que le degré d’usure n’était pas le même dans les
cordes aux expériences correspondantes.

A l’aide de ces expériences, on détermine la force né-
cessaire pour plier une corde autour d’un rouleau, lors-
que le mouvement de celui-ci est insensible; mais afin
de pouvoir les appliquer à la pratique, il était néces-
saire de chercher si les résultats restaient les mêmes dans
le cas d’une vitesse finie. Coulomb a trouvé pour résul-
tat des expériences faites dans ce cas, que dans toute
machine de rotation le rapport de la pression au frotte-
ment peut toujours être supposé constant, et que l'in-
fluence de la vitesse est trop petite pour qu’on doive y
avoir égard. La résistance qu’il faut vaincre pour plier
une corde sur un rouleau est représentée par la formule.

5: 5 n+nT )

dans laquelle d# est une puissance du diamètre d de la
corde, D le diamètre du rouleau, # et n' des quantités
constantes déterminées par l'expérience, et T la tension
de Ja corde. La quantité # varie suivant la flexibilité
de la corde; dans les cordes neuves et dans les cordes
à 6 fils de carret et au dessus , —2;

dans les cordes plus qu’à demi usées, #—#

goudronnées de 5
. Voyez /a

Théorie des machines simple par Coulomb.

Les machines dans lesquelles les cordes sont le plus
généralement employées , étant le treuil et la poulie,
c’est à ces mots qu'il faut recourir pour voir comment
on a pu appliquer au calcul des machines, les résultats
fournis par l'expérience. Foy. PouriE, TRrEuIL.

CorDEs viBranTESs. ’oy. VIBRATION.

CORDE (Géom.) Ligne droite qui joint les deux ex-
trémités d’un arc. Foy. NoTIONS PRÉLIMINAIRES 42, et
CERCLE.

CO

CORNET ACOUSTIQUE (Æcous.). Instrument des-
tiné à transmettre les sons en augmentant leur intensité.
Le cornet acoustique remplit pour l'oreille une fonction
semblabie à celle des lunettes pour les veux. l’oy. Écxo
et Ponte-Voix.

COROLLAIRE. Conséquence tirée d’une proposition
établie et démontrée. Ainsi après avoir établi, par
exemple, que les trois angles d’un triangle sont égaux
à deux angles droits, on en déduit comme ConoLLAIRE,
que deux triangles dans lesquels deux angles de l’un sont
égaux à deux angles de l’autre, ont leurs trois angles
égaux chacun à chacun.

CORPS. Ce mot en géométrie désigne la même chose
que solide. Foy. Souipr.

CORRESPONDANTES (Astr.) mAUTEURS CcoRRES-
PONDANTES. On donne ce nom à deux hauteurs égales du
même astre au-dessus de l'horizon, observées l’une à
lorient, et l’autre à l'occident, pour en conclure l’ins-
tant précis du passage de cet astre au méridien. Foy.
PaAssAGE AU MÉRIDIEN.

COSÉCANTE (Géom.). On nomme cosécante d’un
arc ou d’un angle, la sécante du complément de cet arc
ou de cet angle. Ainsi, la cosécante d’un angle de 30°
est la même chose que la sécante del’angle deGo°,complé-
ment du premier. En général, +7 désignant le quart de
la circonférence du cercle dont le rayon est 1, et @ un arc
plus petit que +x, ou a

cosécante ® — sécante (x —®).

Voy.ComeLÉMENT et SÉCANTE.

COSINUS (Geéom.). C’est le sinus du complément d’un
arc ou d’un angle. Foy. ComeLÉMENT et SiNus.

COSMIQUE (A4str.). On nomme lever et coucher
cosmiques, d’une étoile, ceux qui s'effectuent quand l’é-
toile se trouve à l’horizon en même temps quele soleil.
PVoy. Lever et Coucuer.

COSMOLABE (4str.). Ancien instrument de mathé-
matiques très-ressemblant à l’astrolabe. Il servait à
prendre des hauteurs et à représenter les cercles de la
sphère ; depuis long-temps il n’est plus en usage.

COSSIQUE. RÈGLE cossiQue , nom sous lequel les
premiers auteurs italiens désignèrent l’ALGiere, lors de
son introduction on Europe. Il est probable que cette
dénomination venait du mot cosa, la chose, qu'ils don-
naient à l’ënconnue des problèmes.

COTANGENTE (Géom.). Nom donné à la tangente
du complément d’un angle où d’un arc, Foy. Compré-
MENT Ct'TANGENTE.

COTÉ (Géom.). On nomme côté d’une figure , toute
ligne droite qui fait partie de son périmètre.

Les côtés d’un angle sont les deux droites qui le for-
ment. Voy. ANGLE.

COTES (Rocen), célèbre géomètre anglais, physicien

CO 595
habile et savant astronome , naquit en 1682 à Burbach,
dans le comté de Leicester. Son père, qui était dans les
ordres, le destina au ministère évangélique, mais il
eut le bon esprit de laisser à son intelligence un libre
développement. Roger Cotes annonça de bonne heure
les plus heureuses dispositions pour les sciences, et par-
ticulièrement pour les mathématiques, dispositions
qu'un de ses parens lui fournit les moyens de cultiver.
Il n'avait encore que vingt-quatre ans, lorsqu’en 1706,
il fut choisi pour occuper le premier la chaire d’astro-
nomie et de philosophie expérimentale que Thomas
Plume, archidiacre de Rochester, venait alors de fonder
à l’université de Cambridge. Les travaux mathéma-
tiques de Cotes ne l’empêchèrent pas de se livrer en
même temps à l’étude des langues, et à celle des sciences
théologiques. Il soutint sa thèse, et entra dans les
ordres, en 1713, suivant la volonté de son père. Peut-
être ces travaux multipliés abrégèrent-ils cette vie qui
renfermait en elle tant d’espérances et d'avenir pour la
science. Roger Cotes mourut le 5 juin 1716, à l'âge de
trente-trois ans. Les seuls ouvrages qu’il publia de son
vivant, furent la seconde édition des Principia mathe-
matica de Newton, livre qu'il fit précéder d’une pré-
face remarquable, et deux mémoires insérés dans les
Transactions philosophiques; le premier, est un traité
d'analyse intitulé Logometria ; le second, contient la
description d’un météore observé en Angleterre, le
G mars 1716. La modestie de Cotes s’effrayait de la
publicité; ce fut aux sollicitations pressantes du docteur
Bentley, son ami, qu'il eéda en livrant à l'impression
son premier ouvrage. Son nom serait peut-être oublié
et la postérité ignorerait ses véritables titres à la gloire,
si Robert Smith, son ami, son parent etson successeur
à Cambridge, n'eût recueilli et publié des travaux plus
importans, élaborés dans le mystère de sa vie studieuse.
Cotes s’est beaucoup occupé du calcul intégral; on lui
doit la découverte du théorème qui porte encore son
nom , et qui fournit le moyen d'intégrer par logarithmes
et par arcs de cercles, les fractions rationnelles dont le
dénominateur est un binome. Ce théorème, que les pro-
grès de la science ont réduit à une propriété curieuse du
cercle, n’est qu'un cas particulier du théorème de Moi-
vre , que nous exposeron5 ailleurs. ’oyez ÉQUATIONS Bt-
nomes, Leibnitz et Jean Bernouilli s'étaient déjà occupés
de ces expressions; et en supposant que Cotes ait puisé
dans les écrits de ces grands géomètres l'idée de son théo-
rème, les applications ingénieuses qu'il en fit lui appar-
tiennent entièrement. La géométrie doit encore à Cotes
plusieurs autres découvertes dont les travaux d'Eweront
beaucoup diminué l'importance. L'ouvrage où ces divers
travaux ont été réunis par les soins de Robert Smith , est
intitulé : Harmonia mensurarum sive analysis et synthesis

per raliontum el angularum mensuras promo : accedunt

394 co

alia opuscula mathematica; Cambridge, 1722, in-4°.
Cet ouvrage a toujoursété fort rare, et peu de mathé-
maticiens peuvent le consulter; le père Walmsley, bé-
nédictin anglais et savant géomètre,en a publié unetra-
duction, qui cependant n’est point littérale, et dans
laquelle il s’est surtout attaché à donner des développe-
mens à la théorie de Cotes ; elle est intitulée : {Analyse
des mesures , des rapports et des angles, ou réduction
des integrations aux logarithmes et aux arcs de cercle ;
Paris, 1747, in 4°. Robert Smith a également publié
un autre ouvrage de Cotes sur la physique, qui contient
des propositions curieuses pour l’époque où elles ont
étéexprimées, il a été traduit en français par Lemonnier,
sous ce titre : Lecons de physique expérimentale sur
Téquibre

La mémoire de Cotes, que la publication de l'Æar-

£ lieueurs; Paris, 1740, in-4° fig.

monia mensurarum, rendait encore plus chère aux sa-
Vaus jui avaient pu apprécier son talent si élevé et si
modeste , ne fut point à l'abri de l'envie. Un pamphict
intitulé : Epistola ad amicum de Cotesiï inveniis, parat
à Londres queique temps après son ouvrage. On y ré-
duisait les découvertes du jeune géomètre, dont l’An-
gleterre savante déplorait la perte, à de simples dé-
ductions des théorèmes de Newton. Ainsi de tout temps
une basse jalousie s’attacha à flétrir les hommes de
progrès et d'avenir; elle ne s'arrêta pas alors devant
une tombe si prématurémentouverte! Le grand Neyrton
ne partagea point l'opinion des détracteurs anonymes
de Cotes, et à l’occasion de quelques recherches sur l'op-
tique, auxquelles le jeune géomètre s'était livré peu de
temps avant sa mort, il laissa échapper ces paroles, qui
peuvent tenir lieu de tous les éloges : « Si Cotes eût
vécu, nous saurions quelque chose. »

COUCHANT (Astr.), Ouest, Occident. Point du ciel
où le soleil parait se coucher. Ces trois expressions qui
désignent une même chose, sont plus particulièrement
employées , la première dans le discours ordinaire , la
seconde par Îles marins, et la troisième par les astro-
nomes.

Le couchant variant chaque jour, on a pris pour
point fixe , celui où le soleil se couche le jour de l'équi-
noxe , et qui partage, conséquemment, en deux parties
égales, le demi-cercle de lhorizon compris entre le
nord et le midi. La distance du couchant effectif diffère
d’autant plus de ce point fixe, qu'on nomme le vrai cou-
chant, que la déclinaison du soleil et la hauteur du pôle
sont plus considérables: c’est cette distance qu’on nomme
AMPLITUDE. Foy. ce mot.

COUCHER (Astr.). Moment où un astre quelconque
se cache en descendant au*dessous de l'horizon. On clas-
sait les couchers des astres » @D acronyque , cosmique et
Lcliaque (voy. ces divers mots), ainsi que leurs Zevers.
Nous donnerons au mot LEvER les méthodes employées

CO

paï les astronomes pour calculer Jes levers et1ès cou-
chers dés astres.
CC DUT )MB (Chancrs-AuvceustriN mi

et physicien célèbre, né à Angoulème,

, mathématicien

1525. Ses

en
travaux appartisnnent moins aux théories qu'à l'appli-
cation de la science, mais sous ce dernier rapport, ils
ont été fort utiles aux progrès de la mécanique. Gou-
lomb fit ses études à Paris, et entra de bonne heure
dans le génie militaire. Il fut successivement employé à
la Martinique, à Rochefort, à l'ile d'Aix et à Cherbourg,
où il dirigeaavec distinction les travaux confiés au corps
auquel il appartenait. Un caractère ferme et élevé, un
dévoument à toute preuve, et surtoutses talens lui mé-
ritèrent un avancement rapide. En 1784, il fat reçu à
l'unanimité, membre de l’Académie des sciences, et
occupa alors plusieurs places dont il se démit volon-
tairement à l’époque de la révolution pour se livrer à
l'éducation de ses enfans.

Dès 1556, Coulomb avait présenté à l’Académie des
sciences, un mémoire sur la statique des voütes qui ob-
tint du succès , et le fit connaître des savans. En 1539 et
1582, l'Académie proposa pour sujet de concours, la
théorie des machines simples , en ayant égard aux effets
de frottement et de la raideur des cordages. Ce fut
Coulomb qui remporta le prix, et son mémoire est en-
core regardé aujourd’hui comme le document le plus
remarquable et le plus complet qu’on ait publié sur
cette matière. { Voy. Corpes.) Ce fut deux ans après ce
succès queCoulomb entra à l’Académie à laquelle il donna
un grand nombre de mémoires importans sur diverses
questions de mécanique, sur le frottement, sur le ma-
gnétisme et l'électricité. Les observations remarquables
qu'il a faites dans ces dernières parties, méritent
d’être exposées avec quelque détail car elles renferment
des découvertes qui font époque dans histoire de la
physique mathématique. Nous ne pourrions avalyser ces
travaux intéressans avec plus de clarté, de précision et
d'élégance, qu’un célèbre biographe de Coulomb. C’est
ainsi qu’il s'exprime à ce sujet : « Coulomb avait entre-
pris une suite d'expériences sur l’élasticité des fils de
métal , et pour la connaître, il eut l’idée ingénieuse de
chercher à observer la force avec laquelle ils revenaient
sur eux-mêmes, quand ils avaient été tendus. Il décou-
vrit ainsi que ces fils résistaient à la torsion, d’autant
plus qu’on les tordait davantage, pourvu que l’on n’allät
pas jusqu’à les altérer dans leur constitution intime.
Comme leur résistance était extrémement faible, il con-
çut qu’elle pourrait servir pour mesurer les plus
petites forces avec une extrême précision. Pour cela, il
suspendit une longue aiguille horizontale à l'extrémité
d’un fil de métal. En supposant cette aiguille en repos,
si on l’écarte d’un certain nombre de degrés de sa po-

sition naturel, le fil qui se trouve ainsi tordu, tend à

NT

Ë

CO

l'y ramener par une suite d’oscillations, dont on peut
observer la durée; cela suffit pourque l’on puisse évaluer
par le calcul la force qui a détourné l'aiguille. Telle fat
l'idée de l'instrument ingénieux que Coulomb nomma
balance de torsion. KW s'en servit bientôt pour découvrir
les lois que suivent les attractionset les répulsions élec-
tiques. Il trouva qu’elles étaient les mêmes que celles
dl l'attraction céleste. Quelques années après, Caven-
Ceh se servit lu même procédé, pour mesurer l’attrac-

1n d’un globe de plomb, et la comparer à celle du
&tobeterrestre. Le célèbre astronome Fobie-Mayer était
aussi parvenu précédemment à découvrir la loi des at-
tractions magnétiques , mais par une voie plus pénible
que celle suivie par Coulomb. Ce dernier sentait trop
bien Putilité de l’'instrumert qu’il avait découvert pour
on pas multiplier les applications. Il entreprit de s’en
servir pour déterminer par l'expérience les véritables
lois de la distribution de lélectricité à la surface des
corps et du magnétisme dans Pintérieur. L'ordre qu'il
mit dans ses recherches n’est pas moins admirable que
l'exactitude et la nouveauté de ses résultats. Il com-
mença par déterminer la quantité d’électricité qui se perd,
dans un temps donné, par les divers supports ; alors, il
putnon-seulement déterminer la nature de ces supports
la plus favorable à la conservation de l’électricité ; mais
il put encore les considérer comme parfaits, et les
rendre tels par le calcul. Il prouva ensuite par l’expé-
rience que l'électricité se partage entre les corps, non
pas en vertu d’une affinité chimique, mais en vertu d’un
principe répuisif qui lui est propre; il prouva de
même que l'électricité libre se répand tout entière à
la surface des corps sans pénétrer à leur intérieur, et il
démontra par le calcul que ce résultat était une con-
séquence nécessaire de la loi de répulsion. Avec ces
données, il put chercher et déterminer par l'expérience,
la manière dont l'électricité se distribue à la surface des
corps conducteurs, considérés isolément, où en pré-
sence les uns des autres. Ces observations nombreuses
et précises étaient comme autant de conditions fonda-
mentales, auxquelles une bonne théorie devait satis-
faire, si un jour on parvenait à soumettre au calcul les
questions épineuses de l'électricité : c’est ce qu'ont ac-
compliles travaux si remarquables d’un de nos plus grands
géomètres, lesavant M. Poisson, Coulomb a préparé de
même à la théorie du magnétisme, les élémens qui doivent
servir alesoumettre à l'analyse; il détermina également la
manière dont le magnétisme se distribue dans l’intérieur
des corps aimantés, en se partageant entre cux. Ses ex-
périences conduites avec une méthode parfaite lui ap-
prirent les moyens qu'il fallait employer, soit pour
donner le plus haut degré de magnétisme, soit pour
connaître ce degré, lorsqu'il existe déjà, »

Coulomb fut nommé membre de l'institut dès l'épo-

co

que dela création de ce corps savant ; il fut également
nommé l’un des inspecteurs généraux de l'instruction
publique. Il eut souvent l’occasion dans l'exercice de

395

ces importantes fonctions de déployer le noble carac-
tère dont il avait fait preuve dans sa jeunesse, en résis-
tnt à la fois, malgré d’injustes persécutions, à un mi-
nistre et aux États de Bretagne qui voulaient le faire
adhérer, en sa qualité de commissaire royal, à une dé-
cision contraire à sa conscience, et aux prescriptions de
la science, Ilomme de mœurs austères, et cependant
douces, doué d'une bienveillance extrême, animé d’un
esprit remarquable de justice et d’impaitialité, Cou-
lomb qui fut heureux par ses affections de famille, le
fat encore par ses relations sociales. Il a laissé après lui
de nobles exemples à imiter, la réputation d’un homme
de cœur, et d’un savant consciencieux. Il est mort à
Paris le 23 août 1806. Les mémoires nombreux de
Coulomb se trouvent dans le recueil de lInstitut, il
n’a été imprimé séparément que son ouvrage intitulé :
Recherches sur les moyens d'exécuter sous l'eau toutes
sortes de travaux hydrauliques , sans employer aucun
épuisement ; Paris, 1779, in-8°, fig.

COUPE {4str.), Constellation méridionale placée sur
l'uyore. Elle renferme 31 étoiles dans le catalogue bri-
tannique.

COURBE (Géom.). Ligne dont les parties successives,
infiniment petites, ont des directions différentes. On ex-
plique la génération des courbes d’une manière méca-
nique, ainsi qu'il suit :

Si on conçoit qu'un point matériel reçoiye une im-
pulsion instantanée , il se mouvera, et dans son mou-
vement décrira une ligne droite, mais si à chaque instant
il est soumis à une force constante ou variable, agissant
dans une direction autre que celle de l'impulsion pri-
mitive , il décrira une ligne courbe. Cette ligne sera
plane si elle est contenue tout entière dans un plan; si
cette condition n’est pas remplie, elle sera dite à double
courbure. Les lignes courbes sont représentées anal yti-
quement par des équations.

Les courbes planes se divisent ordinairement en deux
classes ; les courbes algébriques où géométriques, et les
courbes transcendantes où mécaniques. Les premières
sont celles pour lesquelles la relation entre l’abscisse et
l'ordonnée est exprimée par des quantités algébriques
ordinaires; les secondes sont celles dont les équations
renferment des quantités transcendantes.

Ce fut Descartes qui le premier donna les moyens de
déterminer les courbes par des équations. Il appela
géométriques les courbes algébriques, les regardant
comme les seules qui dussent être employées dans la so-
lation des problèmes de géométrie ; mais Newton, et
après lui Leibnitz et Wolf, pensèrent que dans la con-
struction d’un problème, une courbe ne doit pas être

396 CG

préférée à une autre parce qu'elle à une éauauon plus

simple, mais bien parce qu'elle est d'une construt tinn

plus facile (Joy. Arithimetique universelle de Newton).
Les lignes ont été classées suivant le degré des équa-

tions qui les expriment. Lesligues du premier ordre qui

sont toutes comprises dans l'équation
Ay-+Bx+C=o,

exprimant seulement des droites, ne peuvent, à pro-
prement parler, être rangées parmi les courbes ; aussi
les lignes du second ordre ont-elles reçu le nom de
courbes du premier ordre. Elles sont exprimées par l’é-

quation
Ay?+Bzxy+Ca+Dy+Ex+F=o.

Ces courbes, qui sont aussi appelées sections COnIqUes,

comprennent le cercle, l'ellipse, l'hyperbole et la pa-”

rabole (Voyez ces mots).
L’équation qui comprend toutes les lignes du troi-
sième ordre, ou les courbes du deuxième, est la sui-

vante

A+ Bay°+ Caiy+ Dai Eye + Fay + Ga + Hy+
+Kr+L=o.

Les courbes du troisième ordre sont exprimées par

l'équation

Ayi+ Bay? + Cry? + Day + Ext + Fri + Gay? +
+ Hay + Ka + LD May +Nx°+ Py + Qx +
+R=—0,

et ainsi des autres.

L’équation des iignes du troisième ordre contenant
dix constantes arbitraires, on voit que ieur nombre doit
être extrêmement considérable. Newton le porte à 72;
mais Sterling avant découvert quatre nouvelles espèces
d’hyperboles de cet ordre, et Stone en ayant aussi
trouvé deux, le nombre total devrait être porté à 78.
Cependant Euler, qui les classe en seize genres, affirme
qu'il y en a quatre-vingts variétés. Il dit aussi qu'il y a
plus de cinq cents espèces de lignes du quatrième ordre,
ce qui fait juger à quel nombre doivent s'élever les
lignes des ordres suivans.

La théorie des courbes forme une des branches les
plus importantes des sciences mathématiques, et pour
traiter ce sujet avec tout le développement qu’il com-
porte, il ne faudrait pas être restreint par des limites
aussi étroites que celles de cet ouvrage qui, embrassant
la science dans tout son ensemble, ne peut donner sur
les différentes parties dont elle se compose, les détails
qu'on trouve dans les traités spéciaux ; aussi nous bor-
nerons-nous à exprimer ici des idées générales sur la
manière dont ou peut traiter les deux grands problèmes
dans lesquels se décompose la théorie des courbes planes.

CO

TI. Trouver lequation d'une courbe, sa description et
ses pl cpriclés carack ristiques clant données.

1° On se propose de déterminer l'équation d’une cir-
conférence de cercle, sachant qu'une de ses propriétés
caractéristiques est d’avoir tous ses points également
éloignés d’un point intérieur appelé centre.

Pour cet objet, imaginons par le centre O d'un
cercle les deux droites OX et OY perpendiculaires
entre elles; menons un rayon quelconque OM, et du
point M abaissons sur OX la perpendiculaire MP. Dans

le triangle rectangle OMP nous aurons la relation
_——2 _——-2 — »
OM = PM + OP
Or, pour tout autre rayon, nous pourrons construire

un triangle semblable au triangle OMP , et exprimer ce

rayon en fonction
d'une partie de la
OX et | |

d'une perpendi-

droite

culaire à cette x
#5

droite. Si donc

nous désignons

par r le rayon du
cercle, par x Île

côté suivant la
droite OX, et par y le côté qui lui est perpendiculaire,
la relation ci-dessus prendra la forme
n=p+x;

et elle sera évidemment l'équation de la circonférence
du cercle dont le rayon est r, puisque la ligne qu’elle
exprime est le lien de tous les points éloignés du centre
O de ia distance égale à r.

2° Supposons que les deux droites rectangulaires XX"
et YY' étant données, ainsi qu'un point O pris sur la

YF

droite XX’, on demande le lieu du point milieu du
côté EH de l’angle droit d’un équerre HEO, dont l'ex-
rémité HE est assujétie à s'appuyer sur la droite YY', et

7

CO
dont l’autre côté de l'angle droit EO prolongé suffisam-
ment, doit toujours passer par le point O. Le côté EH
de l’équerre étant de plus égal à la distance AO.

Nous prendrons les deux droites XX' et YY' pour
axes des coordonnées, c’est à-dire nous appellerons
æ les droites comptées sur la droite XX', ety les droites
comptées sur la droite YY', ou parallèlement à elle.
Soit M un point du lieu correspondant à la position
OEH de l’équerre. Des points Met E, abaissons MP et
ER perpendiculaires sur XX’, et menons EQ parallèle à
XX’. Faisons AP=—x, MP—y, EH—AO—24. Le point
M étant, d’après ce que nous avons supposé, le milieu
de la droite EH, ME=a et QE = PR = AP = x; par
conséquent on aura dans le triangle rectangle MQE

MQ = a — x’,

Mais les deux triangles OER et MQE sont semblables
et donnent la proportion

ER : OR :: EQ : MQ,

ou bien
ER : 2a+ox x: Va
d'où
ER = CES)
va — 7?
Mais
MP ou y — ER + MQ;
denc

__ 2x(a+-x)

JT Mae LVa x

ce qui donne, en effectuant les calculs et élevant les deux

r

membres au carré

Y'= (at)

a—x ?

équation qui est celle d’une cissoïde ( Voyez Cissoipe).

Ces deux exemples doivent suffire pour faire voir
comment , à l’aide des principes de la géométrie, com-
binés avec les moyens analytiques fournis par l'algèbre,
on peut trouver une équation exprimant les relations
qui existent entre les différens points d’une courbe dont
on connaît quelques-unes des propriétés.

IT. Etant donnce l'équation d'une courbe, la décrire,
et trouver ses principales proprictés.

Quand une courbe plane est donnée par son équation,
afin de pouvoir la décrire, on concoit deux droites fixes
qui se coupent, et sur lesquelles on porte les longueurs
qu’on attribue aux variables contenues dans l'équation.
Menant alors par ces points des droites parallèles à ces

droites fixes , qu’on appelle axes des roordennées, leu

CO

intersection détermine les points de la courbe. L’angle

59?

que les axes forment entre eux étant tout-à-fait arbitraire,
nous le supposerons droit dans toutes les discussions
qui vont suivre (J’oyez COORDONNÉES).
1° On demande de tracer la courbe exprimée par l’é-
quation ,
(9-2 = x,

on en tire pour la valeur de y

y = x (1+x")

Cette équation se décomposant en deux parties

Y=x (: +) ety=zx? ( —s)

On voit que la courbe aura deux branches , qui toutes
les deux passeront par l’origine des coordonnées,
puisque dans l’une et dans l’autre pour x=—o, ona y—0.
Considérons d’abord la première équation. À mesure
que x augmente positivement , y augmente aussi posi-
tivement, et pour æx=w,y=— ; cette branche s’étend
donc à l'infini dans le sens des X et des Y positifs. Si on

D[=

donne à x des valeurs négatives, æ*devientimaginaire,
et par conséquent cette branche de la courbe n’a pas de
points du côté des X négatifs.

Quand, dans la deuxième équation on supposexæ=1,
on a y—0,cette branche de courbe coupe donc l’axedesX
au point » , la distance An étant supposée égale à l’unité.

Pour toutes les valeurs positives de +, plus grandes que

l'unité, le facteur 1x" devient négatif, et par consé-
quent les valeurs de y sont négatives. Et comme pour
Z=X,7——, cette branche de courbe s'étend à l’in-
fini dans le sens des X positifs et des Y négatifs. Pour

LI
les valeurs négatives de +, x* devenant imaginaire, il

n’y a pas non plus de points de la courbe du côté des X
négatifs.

Si l’on différentie l'équation, en regardant x comme
la variable indépendante, on trouve, pour la dérivée,
par rapport à y

398 CO
en exprimant, pour abréger, la première dérivée diffé-
rentielle
dy
!
—— par ÿ'.
dx PNY
cette valeur devenant zéro pour x—0, lesdeux branches
de la courbe sont à l'origine tangentes à l’axe des X
(voy. Tancenres). Le point À, qui est commun aux
deux branches de la courbe, est un point de rebrous-
sement de deuxième espèce. ’oyez Point DE REsROoUs-
SEMENT.
2° Supposons que nous voulions construire Île lieu de
l'équation

(a—2x?) (x—b} = 2x7,

on en tire pour la valeur dey

La valeur de y étant affectée du double signe, à
chaque valeur de x correspondront deux valeurs de y
égales et de signes contraires, et par conséquent la courbe

aura deux branches.

Prenons AB—b et AC—a. Pour x=o0, y, les
deux branches de la courbe ne rencontrant l'axe des Y
qu'à l'infini, cette droite leur estasymptote (roy. Asymp-
Tore). Pour toutes les valeurs de x plus petites que D,
le facteur x—b est négatif, et alors la première valeur
; de y est négative, et la seconde positive. Les valeurs
décroissent à mesure que + augmente, et enfin pour
æ=—b elles deviennent toutes les deux nulles. Les deux
branches de la courbe passent donc parle point B. Pour
æ>-b le facteur æ—4 devenant positif, la première valeur
de y est positive et la seconde négative; c’est-à-dire que
la branche de courbe qui se trouvait au-dessous de l’axe
des X est passée au-dessus, et que celle qui était au-
dessus est passée au-dessous.

* SFR LE 1
Enfin, pour x=—a le facteur Va? — x? devenantzéro,
y=0 et les deux branches de la courbe passent par le

point C. Pour toutes valeurs de x plus grandes que a, le

facteur V/a— x? devenant imaginaire , il n’y a pus de

CO

point de la courbe au-delà du point C. Le point B ; par
lequel passent les deux branches de la courbe, s'appelle
point multiple (voyez Poixr murripre); et la partie
BdCsB est un nœud. Foyez Nour.

Si maintenant nous donnons àæ des valeurs négatives,
la valeur de y devient

L'inue _ V'a— x?

pour æ—0 , =, par conséquent l'axe des Y est en-
core asymptote des deux branches de la courbe. A me-
sure que la valeur de x augmente, a valeur de y di-
minue ; enfin pour x—4, y=0, et en ce point les deux
branches de la courbe coupent l’axe des X. Pour x>a
le facteur VË—x devenant imaginaire, il n’y a pas
de point de la courbe au-delà du point D.

Pour savoir s’il y a un point de rebroussement en D,
il faudrait différentier la valeur de y en regardant x
comme variable indépendante, et faire ensuite x=&
dans la valeur de y’. Or, on trouverait que dans ce cas
J'= ®, et par conséquent la courbe, en ce point, est
tangente à l’axe des Y. J'oyez Tancenres.

Si dans l'équation de la courbe on avait a=b, alors il
y aurait un point de rebroussement en B. Si a<b , on
aurait alors un point conjugué (doy. PoINT CONJUGEÉ).
Cette courbe est la conchoïde (roy. Coxcnoïve). Foyez
les ouvrages de Mac-Laurin, Euler et Carnot.

Newton a fait voir que les courbes peuvent être en-
gendrées par des ombres. Si, dit-il, sur un plan infini,
éclairé par un point lumineux , on projette les ombres
de certaines figures, on aura la projection des courbes.
Les ombres des sections coniques seront toujours des
sections coniques; celles des courbes du second ordre
seront de cet ordre, et ainsi pour les autres courbes.
La projeciogge l'ombre d’un cercle pouvant engen-
drer toutes les sections coniques, de même les cinq pa-
raboles divergentes engendreront par leurs ombres
toutes les autres courbes du second ordre. On pourra de
mème, dans les autres ordres, trouver quelquescourbes
parmi les plus simples qui , par leur ombre projetée sur
ua plan, pourront engendrer toutes les autres courbes
du même ordre,

On trouve dans les Mémoires de l'Académie une dé-
monstration de ces propriétés, ainsi que des exemples
de quelques-unes des courbes du second ordre, détcr-
minées par un plan coupant un solide engendré par le
mouvement d’uneligne droite indéfiaie sarune parabole
divergente, passant toujours par nn point donné au-
dessus du plan de cette parabole.

Mac-Laurin, dans son ouvrage intitulé Geometria
organica, indique les moyens de décrire plusieurs des
courbes du second ordre, stutout celles qui ont un

point multiple, par le mouvement de lignes droites et

CO

d'angles; mais Newtou regarde comme un des problèmes
les plus difficiles, de décrire d’un mouvement continu
celles qui n’ont pas de point multiple.

Lorsqu'on coupe une surface par un plan, on déter-
mine une courbe plane. Les intersections des surfaces
du second degré par une suite de plans parallèles sont
des courbes semblables ct semblablement placées (r0y:
Sunraces pu seconp prGr£). Deux courbes d'un ordre
quelconque , situées dans le même plan ou dans des
plans parallèles , sont semblables et semblablement pla-
cées , lorsqu’après avoir pris dans la première un point
O quelconque et mené divers rayons vecteurs OM, ON,

on peut trouver dans la seconde un point O' tel que Îles
rayons vecteurs O'M', O'N' menés parallèlement aux
premiers et dirigés dans le même sens, soient avec
les premiers dans un rapport constant, c’est-à-dire qu’on
ait

O'M' __ ON

ON

ON ÆURL ER

Les points O et O’ sont dits centre de similitude, et
il suffit de leur existence pour qu'il y en ait une infinité
d’autres.

Si les rayons vecteurs de la seconde courbe n'étaient
pas parallèles à ceux dé la première, mais faisaient des
angles égaux avec deux droites OX et O'X' de direction
différente, les courbes seraient seulement semblables ,
et pour qu’elles fussent semblablement placées, il suffi
rait de faire tourner Ja seconde courbe autour du point
O’ d’un espace angulaire égal à l'angle compris entre
les deux droites OX et O'X’. Si après ce mouvement on
transportait la seconde courbe parallèlement à elle-
même, de manière à faire coincider les deux points O
ut O", les deux courbes deviendratent concentriques

quant à leur centre de similitude.

Ces conditions de similitude peuvent être exprimées
analytiquement. Supposons que F(x,7)=0 et f{x',y')=0
Shiént les équations de deux courbes rapportées aux
mêmes axés. Prenons pour origine dés coordonnésle
centre de similitude de la prémière, et désignons par x
et Blésco:donnces dur eeritre de similitude de la seconde.

La Molation qui doit éxister , pour quelles deux courbes

CO 399

soient semblables, est

O'M'
OM =
Or, à cause des triangles semblables MOP et M'O'P', on
aura É
z'—s _OM _rJ$_ OM _%
z OM 7 OM

on déduit de ces deux équations

Re
RS 7e +

en substituant, dans l’équation de la première courbe,

fx'—0 TP)
‘à rh =
( KR "Æ 8

équation qui devra être identiqueavec f (x'.7')=0. Sion

onobtient

trouve alors pour «, 8, et K des valeurs réelles et finies,
la similitude existera. Cépendant K peut être imaginaire
sans que la similitude cesse d’avoir lieu sous le rapport
analytique, cequiarrive dansles hyperboles conjuguées.
Voyez HYPEnBOLE.

Lorsque deux surfaces se pénètrent elles déterminent,
par leur intersection une courbe qui, en général, est
à double courbure. Si les deux surfaces se traversent,
il y aura deux courbes d’intersection; et si la première,
ou courbe d’entrée, est plané , la seconde, ou courbe de
sortie , sera aussi plane. Si on conçoit qu'un point ma-
tériel, retenu par une force normale sur une surface
courbe, se meuve en vertu d’une force agissant cons-
tamment dans une direction différente, il décrira une
courbe qui participera aussi de Ja courbure de la surface,
et qui, par conséquent, sera à double courbure. En
général, les courbes à double courbure sont détermi-
nées par les équations des deux surfaces courbes dans
lesquelles on exprime que les coordonnées sont les
mêmes pour certaines valeurs particulières.

Uue famille de courbes comprend toutes celles qui
peuvent être exprimées par la même équation générale.
Ainsi a—1x—7" représente une famille de courbes,
dont le degré varie avec #2.

COURSE AUX APPROCHES ÉGALES. Voyez APPROCuE.

UNE COURBE EXPONENTIELLE est une courbe définie par
une équation exponentielle.

Courte FUNICULAIRE. Ÿoy. CHAÎNETTE.

Course DE nIVEAU. Voyez Nivrau.

COURBE REFLÉCHISSANTE. l’oyez ANACLASTIQUE.

Côvnre DE LA PLUS VITE DESCENTE. Ÿoyez BnacnisTos

a
CHRONE.

COURBURE (Géom.). On nomme courbure la quan-
tité dont un arc de courbe infiniment petit s’écarte de

400 co

la ligne droite. Comme on peut supposer que cet arc in-
finimeut petit appartient à un cercle, on mesure la
courbure d’une courbe quelconque, en un point donné,
par celle du cercle qui lui coïncide en ce point. Or, la
courbure des cercles étant d'autant plus grande que les

grayons sont plus petits, la courbure d’une courbe, à
chacun de ses points, est en raison inverse du rayon
du cercle coïncident. Le cercle coïncident se nomme
cercle osculateur. Foy. OscuLATEUR.

Le rayon du cercle osculateur, à l’aide duquel on
détermine la courbure d’une ligne courbe, en un point
déterminé, s'appelle rayon de courbure. Nous donnerons
au mot osculateur la déduction de l'expression diffé-
rentielle de ce rayon; ici, nous ne considérerons que
ses applications particulières.

fx étant une fonction de x, soit y=/fx, l'équation
d’une courbe quelconque; son rayon de courbure est
douné par l'expression

3
oo e
P— dxdy — dydx

(Déesse
æ et y étant considérées comme dépendantes d’une
autre variable.

Si l’on considère x comme une variable indépen-
dante, on aura d'x=o, et cette expression deviendra

dy
[: Tax
—%

(°]

_(dx+ dy)
— dxdy —

dx?

ou, pour plus de simplicité

3
LE

(2e... p y

en désignant par y' et y” les dérwces différentielles
dy dy
dx'dx*

La valeur de la normale, »=+yV/1+y", intro-
duites dans (2) ramène l'équation du rayon de cour-
bure à la forme très-simple

qui s'applique au calcul avec facilité.
Pour déterminer le rayon de courbure des courbes
du second degré dont l'équation générale est

P=2pX + q2x?
on différentierait deux fois de suite cette équation, afin
de déterminer y’ et y", pour lesquelles on trouverait

PIX 3 p
v A ra Te 4 FE

CO

ce qui donnerait pour la valeur de p, en se servant de
l'équation (3),

5
eue

frs ep=
P Li e

appliquons ces formules à quelques cas particuliers.
1. Soit la courbe proposée une parabole vulgaire dont
l'équation est
J°=2px
p exprimant le demi-paramètre.
Dans cette courbe, la normale étant » =V/7°+p?,

nous aurons, en substituant dans (4) et en ne prenant

que le signe +

+)
P°
C'est-à-dire que dans la parabole /e rayon de courbure
est égal au cube de la normale divisé par le carré du
demi-paramètre.
Ainsi pour avoir le rayon de courbure d’un point
quelconque de la courbe, il suffit de donner à y la va-

EE

leur qui correspond à ce point, par exemple, sil s’a-
gissait du sommet de la courbe où l’on a yÿ—0, en don-
nant cette valeur à + on aurait

P—P
ce qui nous apprend que la courbure de la parabole à

son sommet, est la même que celle du cercle décrit avec
le demi-paramètre pour rayon.

2. Cherchons maintenant le rayon de courbure de {a
cycloïde , courbe dont l'équation est

z=rfae. co? |- vY (2r7—ÿ) |

r étant le rayon du cercle générateur. Voy. CycLoïne.

En différentiant deux fois de suite, on trouve pour
ALT E

V2r—} .
LA = =
vYy

et on a de plus

=Vry,
valeurs qui , introduites dans l’équation (2), donnent |
pour p

p=aV/ary

Mais comme »=V/2ry, on arrive à cette conséquence
très-remarquable que dans la cycloïde, le rayon de
courbure est double de la normale.

Les équations d'un grand nombre de courbes étant
données en fonctions de coordonnées polaires, il était

CO

nécessaire d’avoir p exprimé en fonctions des mêmes
coordonnées. Sa valeur est

ee
+)
or" +7?

l'angle du rayon vecteur avec l'axe étanc pris comme
variable indépendante, r étant le rayon vecteur va-
riable, et r'et r”, les dérivées différentielles.

La valeur du rayon de courbure variant avec les coor-
données de la courbe, pour chaque point de celle-ci il
ya un cercle osculateur différent. Les centres de ces
cercles déterminent une nouvelle courbe qui est la dé-
veloppée de la première et à laquelle les rayons de cour-
bure sont tangents. P’oy. DÉVELOPPÉE.

Pour déterminer le rayon de courbure d’une courbe
à double courbure, on a la relation

Fr € dy, / diz
( er ds: =)

La variable indépendante étant l'arc de courbe s qui

est déterminé par l'équation differentielle,
ds=dx+dy+dz
Proposons-nous de chercher le rayon de courbure
d’une hélice. L’une des équations de cette courbe est

(1). +...2—=ararc tang T,

L’axe des Z est l'axe du cylindre sur lequel est tracé
l'hélice, et l’origine des coordonnées est à un des points
de la surface du cylindre, rest le rayon du cercle gé-
nérateur du cylindre; a—tang 9; 9 étant l’angle d’in-
clinaison de la droite engendrant l’hélice avec le plan
des XY, qui est perpendiculaire à l’axe des Z.

La seconde équation de l'hélice est

(2) Eee:

équation de la projection du cercle générateur du cy-
lindre sur le plan des XY.

En différentiant deux fois de suite les équations (1)
et (2), regardant s comme la variable indépendante , on
trouve

dx
ds?

dy
ds?

d3
—=0.
ds?

—7% —Y

nGi+e) rite)

Ën portant ces valeurs dans celle dep, on obtient

p=i+e)=rp sec?

ce qui indique que dans l’hélice le rayon de courbure
est constant.

La courbure des surfaces en un point donné se dé-

CO 401

termine par les rayons de courbure des sections faites
dans la surface par des plans passant par la normale.
Parmi ces sections, il y en a toujours deux principales
dont les rayons de courbure, qui portent le nom de
Les
plans de ces rayons sont perpendiculaires l’un à l’autre.

rayons principaux, Sont /24xtmiuIm OÙ NUREMEN.

Pour déterminer le

rayon de courbure » d’unesection

normale quelconque , on a la relation

TEnUT lo.
==. COS’ —, SIN 2ç
FR PEUR EeC

R' et R” étant les deux rayons principaux, et ® l'angle

que fait la section avec l’une des sections principales.

Cette relation a été trouvée par Euler.

Lorsque les deux rayons de courbure principaux sont
de même signe, le rayon de courbure p a aussi le même
signe ; et comme il en est de même pour toutes les sec-
tions normales, il suit que pour le point que l’on con-
sidère, elles sont toutes d’un même côté du plan tan-
gent à la surface; on dit alors que la surface est convexe
au point M. Le plus petit des deux rayous principaux
est un minimum, et l’autre un maximum.

Si R'=R", alors s—R', ce qui prouve que toutes les
sections normales ont même courbure, et quel’une quel-
conque d’entr’elles peut être prise comme section prin-
cipale. C’est ce qui a lieu pour tous les points d’une
sphère, et dans une ellipsoïde de révolution, pour les
deux points qui sont sur l’axe.

Si R'est positifet R' négatif, la surface sera non-
convexe, puisqu'il y aura des sections normales au-dessus
du plan tangent et d’autres au-dessous. R' sera un mi-
pimurn ; et —R” un maximum analytique seulement par
rapport aux rayons négatifs.

Le théorème de Meusnier donne les moyens de cal-
culer le raÿon de courbure p', d’une section oblique
quelconque, puisqu'il démontre qu'il est égal à la pro-
jection sur son plan du rayon de courbure p de la sec-
tion normale passant par la même tangente. Relation
exprimée par l'équation.

p=p COS w.

æ étant l'angle compris entre les plans des deux sec-

tions.

Ces différentes formules ne subsisteut que lorsque le
plan tangent à la surface au point que l'en considère,
est pris pour plan des XY; pour calculer ces, raxons
dans le cas général ; il faut avoir recours aux ligues de

courbure,
On appelle lignes de courbure d’une surface, la suite
des points par lesquels deux normales consécutives! se

rencontrent. Sur toute surface , il existe deux séries de
51

402 CO

lignes de courbure qui les partagent en quadrilatères
curvilignes infiniment petits, dont les côtés se coupent
à angies droits. Les deux ligues de courbure passant par
un point, sont tangentes aux deux sections principales.

Si on calcule les rayons de courburede lasurface pour
un point déterminé, c’est-à-dire les portions de la nor-
male comprises entrele point, et ceux où eile est coupée
par les deux normales voisines, on trouve qu'ils coïnci-
dent en grandeur et en position avec les rayons de cour-
bure des sections principales, ce qui généralise les ré-
sultats énoncés ci-dessus.

Pour de plus amples détails sur une théorie im-
portante, voyez les.ouvrages de Monge etde M. Leroy.

COURONNE (Zs4r.). Nom de deux constellations
situées l’une dans l'hémisphère australe , et Fautre dans
l'hémisphère boréal.

La couronne australe, qui parait à peine sur notre

1 Qui F F
horizon au commencement du mois de juillet, renferme
12 étoiles dont la plus remarquable n’est que de la cin-
quième grandeur.

La couronne boréale, située entre le Bouvier et er-
cule, renferme 21 étoiles daus le catalogue britan-
nique.

COURTINE. Masse de terre revêtue de maçon-
nerie, ayant pour but de réunir entre eux les plans de
deux bastions, de manière à fermer l’enceinte fortifiée.
PVoy. ForTiFicaTION.

COUSIN ( Jacques-Anroine-Josepx ), savant mathé-
maticien, naquit à Paris, le 29 janvier 1739. Il acquit
de la réputation par la publication d’un traité de
calcul intégral , auquel on a reproché un peu d’obscu-
rité et de désordre, mais qui contenait plusieurs pro-
positions nouvelles dans les différéAtes branches de
cette partie élevée de la science , et principalement sur
l'intégration des équations aux différences partielles.
Cousin fut reçu à l'académie des sciences en 1772. Il
avait été nommé, en 1760, professeur de mathématiques
à l’école militaire, oùil exerça durant vingt ans ces utiles
et honorables fonctions. Il était ésalement, depuis 1766,
professeur coadjuteur de physique au collége de France.
Cousin employait à des travaux scientifiques tout le
temps que lui laissaient les devoirs de son double pro-
fessorat ; sa vie douce et paisible, exempte d'ambition,
semblait devoir s’écouler dans la tranquille obscurité de

’étude et de l’enseignement, lorsque la révolution
éclata. Alors cet homme simple et modeste déploya un
caractère noble et énergique. Dès 1701 , il avait été élu
officier municipal et il fut, en cette qualité, chargé
spécialement de l’administration des subsistances. Em-
prisonné pendant la terreur, il échappa aux périls de
sa siluation et entra aussitôt, par le vœu de ses cenci-

CR

toyens , dans l'administration municipalé qu’il présidait
le 1° prairial an HT, et affronta avec conrège, Les plus
grands dangers pour comprimer la minorité qui vou-
lait rétablir le régime de la terreur. Le directoire lui
confia de hautes fonctions administratives, mais il donna
sa démission au 18 fructidor ; l’année suivante il fut élu
membre du corps législatif. Après le 18 brumaire,
Cousin fut successivement nommé membre de l'institut
et du sénat conservateur, Il mourut à Paris le 29 dé-
cembre 1800. Voici la liste des ouyrages qu’il a publiés.
1. Lecons de calcul différentiel et de calcul intégral,
Traité du

nn
1977

calcul différentiel et du calcul intégral, 1796, 2 vol.

, 2 vol. in-8°. 9° édition, sous ce titre :

in-4°. IL. Zntroduction à l'étude de l'astronomie phy-
sique, 1787, in-4°. IT. Traite élémentaire de Physique,
an JET, in-8°. IV. Traité élémentaire de l'analyse ma-
thématique , 1797, iu-8°. On trouve divers mémoires
de Cousin , dans les 4cta academiæ electoralis magun-
ünæ scientiarum queæ erfuti est.

CRAIGE, evmieux CRAIG (Joux), géomètre écossais,
s’est reudu célèbre par la publication de plusieurs ouvra-
ges importans en mathématiques , mais aucun de ses bio-
graphes n'a puindiquer lelicuet la date de sa naissance et
desa mort. Il commença à se faire uu nom dans Ja science,
vers la fin du XVII siècle, en faisant connaître, le pre-
mier, en Angleterre, le caïcul différentiel de Leibnitz.
Ce fut environ un an après que ce grand homme eut
publié sa découverte dans les Actes de Leipzig, en 1685,
que Craig s'en servit dans un traité sur la quadrature
des courbes. L’Angleterre a réclamé exclusivement pour
l'immortel géomètre qui a reçu le jeur dans son sein,
Newton , la découverte de ce calcul. La publication de
l'ouvrage de Craig prouve néanmoins que si à cette
époque Newton était en possession de sa méthode des

fluxions , il n'avait point encore jugé à propos de la

produire, ou il ne serait pas possible d'expliquer la

seusation que causa cet ouvrage dans le monde savant
de l’autre côté de la Manche. Cette circonstance remar-
quable semblerait donc prouver que le calcul diiféren-
tiel a été apporté du continent en Angleterre ; au reste,
nous examinons ailleurs cette question, qui doit paraitre
aujourd'hui fort secondaire (707. Lxrpxirz. Jean Ber-
nouilli a vivement critiqué un autre ouvrage de Craig,
surle Calcul des fluentes, qu'il publia ensuite, et qui
est écrit avec les notations de Newton et les idées de cet
illustre maître. Ce traité, peu remarquable même
pour son auteur, est aujourd'hui à peu près ou-
blié. John Craig s'est acquis d’ailleurs une grande
célébrité par la production d’une théorie fort cu-
rieuse, mais qui présente à l'imagination quelque
chose de bizarre. Il voulut appliquer le calcul algé-
brique à la théologie, en recherchant que! devait être
V'affaiblissement des preuves historiques suivant la dis-

CR

tance des lieux et l’intervalle du temps. Nous ne croyons
pas devoir exposer ici le résultat de ses recherches.
Tout en reconnaissant que Craig ignorait les véritables
principes du calcul des probabilités, un savant mathéma-
ticien à pensé que l'application de ce calcul à la vérité
des témoignages était un très-beau sujet; nous ne pou-
vous partager cette opinion, ni admettre ici comme une
réalité scientifique une hypothèse ingénieuse , à laquelle
aucun travail postérieur n’a encore pu donner le degré
‘de certitude mathématique qui lui est nécessaire. Au
reste, l’ouvrage de Craig excitala verve des théologiens
protestans, et semble avoir été enseveli sous le poids
de volumineuses réfutations. On trouve dans les Tran-
sactions philosophiques etles Acta eruditorum du temps,
un grand nombre de mémoires dont Craig est l’auteur;
ce géomètre a publié séparément les ouvrages suivans :
I. Meihodus figurarum lineis rectis et curvis compre-
hensarum , quadraturas determinandi, Londres, 1685,
in-4°. II. Tractatus mathematicus , de figurarum cur-
vilinearum quadraturis et locis geometricis; Londres,
1693 ,in-4°: IT, Theologiæ christianæ principia mathe-
matica ; Londres, 1609, broch. in-4° de 36 pages. 2°
édition de J, Daniel Titius, Leipzig, in-4°, 1755, avec
une réfutation de l'ouvrage et une notice sur l’auteur,
où manquent cependant les détails biographiques que
nous avons été obligés d’omettre ici. IV. De calculo
fluëñtium , libri duo, autbus subjunguntur libri duo de
optict analyticä; Londres, posth., 1718, 1n-4°.
CRAMER (Gagner), géomètre distingué, membre
de l’académie de Berlin, de la société royale de Londres,
de l'institut de Bologne ; naquit à Genève, le 31 juillet
1704. Il se livra de bonne heure à l'étude des branches
les plus élevées des mathématiques, et jouissait à 20 ans
d’une réputation de savoir assez bien établie, pour avoir
pu disputer dans un discours, avec Calendrini, la chaire
de philosophie de Genève. Son concurrent, qui était
aussi son ami, l’emporta , mais il avait soutenu le com-
bat avec tant d'honneur et d'éclat, que le conseil de la
république institua , en 1724, une chaire de mathéma-
tiques , où ces deux généreux membres, dont l'amitié
w’avait point eu à souffrir de cette rivalité, furent char-
gés de professér tour à tour, Gabriel Cramer s'était
déjà fait connaître par des thèses sur le son, qui lui
avaient mérité l'approbation des savans de ce temps,
les plus dignes d’apprécier ses travaux. Le jeune géo-
mètre avait une santé délicate, que son ardeur pour l’é-
tude avait encore affaiblie ; il quitta Gerève en 1727, et
voyägea dans l'espoir deserétablir.Maisils’arrèta d'abord
à Bile, où il suivit avec ferveur iesleçons de Jean et de
Nicolas Bernoulli, qui ne tardèrent pas à le distinguer
parmi tous feurs disciples et à lui accorder leur amitié.
I parcourut ensuite l'Angleterre et la France, et partout
ses connaissances élevées et ’aménité de son caractère

| CR 203
lui firent de nombreux amis. À son retour dans sa patrie,
il se remit à l’étude avec une nouvelle ardeur et parut
ambitionner la gloire des hommes célèbres qu'il avait.
eu l’occasion de connaître, en cultivant à la fois toutes Î

les sciences. L'ouvrage qui a consacré la célébrité de :
Cramer est celui qu'il intitula modestement : Zntroduc-
tion à l'analyse des lignes courbes algebriques (Genève,
1750, in-4°), Ce livre est connu de tous les mathéma-
ticiens. La théorie générale des lignes courbes avait oc- *
cupé le célèbre Euler, il en avait traité dans son Zntro- |
dectio in analysin infinitorum avec cette puissance de
talent et cette généralité de vues qui caractérisent toutes
ses productions. Mais il était nécessaire que-ce sujet fût
traité dans un ouvrage spécial, avec tous les dévelop-
pemens qu'il comporte, et présenté sous une forme
plus accessible à tous les géomètres. Tel fut le but que
se proposa Cramer, et qu’il remplit avec un rare bon-
heur. Cramer a donné des soius aux diverses éditions
des œuvres de Jeau et de Jacques Bernouilli, et au pré-
cieux recueil des lettres de Leibnitz et de Bernouilli. Il
obtint en 1731, le premier accessit du prix proposé par
l'académie des sciences de Paris, sur la cause de l’incli-
naison des orbites des planètes, qui fut remporté par
Jean Bernouilli. En 1550, la réputation qu’avait méritée
Cramer le fit nommer, sans concours, à la chaire de
philosophie qu'il avait disputée, dans sa jeunesse, à un
redoutable et heureux concurrent. Mais ses nombreux
travaux avaient de nouveau altéré sa santé ; il mourut

à Bagnols, où il avait été respirer un air plus pur, en
1722, à peine âgé de 48 ans. La liste complète des ou-
vrages de Cramer se trouve dans l'Histoire dütéraire de
Genève, par Sénebier.

CRATISTUS , géomètre grec, de l’école de Platon.
Son nom se trouve parmi ceux que Proclus nous a laissés,
dans son commentaire sur Euclide, des disciples les
plus remarquables de son illustre prédécesseur. Une
particularité assez rare se rattache au nom de Cratistus;
suivant Proclus, ce géomètre n’avait presque pas fait
d’études, mais il avait en lui le génie de la science à un
point si extraordinaire, qu’il pouvait résoudre immé-
diatement, au moyen de sa géométrie naturelle, les
problèmes qui émbarrassaient le plus les mathématiciens
de son temps. Montucla appelle Cratistus le Pascal def
l'antiquité; cette comparaison ne nous parait pas heu+'
reuse.

CRÉPUSCULAIRE (A4str.). On nomme cercle cré-
pusctilaire un petit cercle abaissé au-dessous de l'horizon
de 18° sexagésimaux et qui lui est parallèle : C’est le
cercle limite des crépuscules.

CRÉPUSCULE (Astr.). Lumière qui se répand dans
l'atmosphère, quelque temps avant le lever du soleil et

quelque temps après son coucher.

404 CR
Ce phénomène est produit par la réfraction des rayons
lumineux, opérée par l'air atmosphérique. Nous en don-

nerons l'explication et la théorie au mot Rérracrion.

CRIBLE (Arüh.). Nom donné par Eratosthène à
une méthode de son invention, pour déterminer les
‘nombres premiers.

Cette méthode consiste à exclure de la suite des
nombres naturels, 1,2,3, 4, etc., tous ceux qui ont
des diviseurs ; les nombres restants sont alors nécessai-

rement des nombres premiers.

Avant donc écrit les uns à côté des autresles nombres
naturels, on supprime d'abord tous les zombres pairs ,
parce qu’à l'exception de 2, tous les autres ont ce même
nombre pour diviseur, et ne peuvent conséquemment
être premiers ; il ne reste ainsi à considérer que la suite

des nombres impair:.

DU Ho 075 Om I, 125,10 17
RS + Let 99
10 20015 291; Ma 95% A0! :31% 93

35 ; 37; 39 ; 4t ; 45 , 45, #7 49
Hi 0h31,055, 0157: 50:1161, 0 63;11:08

191, 199: 109 > 137;
147 ; 140 101; 103, 109; 197, 100: 161

163/;: 165., 167% 169; 191, 173 , 199; 177

Ô
179, 181, 183, 185 , 187, 189 , 191, 193

195 , 197; 199 » MOTS EC:

Or, pour exclure tous les nombres qui ont 3 pour
diviseur, on voit facilement que chaque nombre , dans
cette suite, surpassant de 2 unités celui qui le précède,
le premier nombre, après 3, égale 342; le second,
3+2X 2; le troisième, 34+3X2; ce troisième nombre
sera donc divisible par 3 et il en sera de même, en con-
tinuant, de trois en troisnombres. Ainsi il y a toujours,
dans la suite ci-dessus, un multiple de 3 après deux nom-
bres qui ne le sont pas, et on peut aisément les exclure
en marquant d’un trait tous les troisièmes nombres de la
suite après 3.

Prenant maintenant 5 pour diviseur, tous les nom-
bres divisibles par 5 seront situés de manière qu'il y en
aura quatre entre les deux voisins qui ne seront pas di-

CR

visibles par 5 ; c'est encore une conséquence de l’accrois-

sement constant 2 des nombres qui se suivent. On mar-
quera donc tousles cinquièmes nombres après 5, comme
15, 2h, 35, etc. ;

En prenant ensuite 7 pour diviseur, on aura 6 inter-
médiaires non divisibles par 7, ainsi en marquant tous
les septièmes nombres après 7, on exclura tous les nom:
bres divisibles par 7.

Arrivé à 0, il est inutile de faire la même opération,
puisque 9 étant déjà marqué, tous les neuvièmesnombres
après lui le sont nécessairement aussi; on continuera
donc par le diviseur r1,et on marquera tous les on-
zièmes nombres, après lui, qui sont ses multiples.

On voit , en suivant l'opération, que tous les nom-
bres qui précèdent celui auquel on arrive comme der-
nier diviseur et qui ne sont pas marqués, sont des
nombres premiers. C’est de cette manière que nous
trouvous que les nombres premiers , au-dessous de 201,

sont :

1, 33 53 75 T1) 10, 17; 19; 29,20; 013 97, 413 4O3 47?
53, 59, Gr, 67, 71, 73, 79, 83, 89 , 97, 101, 103, 107,
109, 113, 127, 131; 137; 130; 149, 157, 163, 167, 173,
179; 181,191; 193; 197; 109-

Cette méthode est encore une des plus expéditives
qui aient été trouvées jusqu’à ce jour pour la détermi-
nation des nombres premiers. #oyez Nomeres PRE-

MIERS.

CRIC. — Machine fort employée dans tout ce quia
rapport au soulèvement des fardeaux.

Le cric simple se compose d’une barre de fer formant
crémaillère d’un côté, et dans laquelle s’engrène un
pignon que l’on fait tourner sur son axe au moyen d’une
manivelle. Le haut de la crémaillère, appelé tête du
cric porte une pièce de fer qui a la forme d’un crois-
sant, et qui est mobile. La partie inférieure est recourbée
à angle droit, et forme une saillie à l'aide de laquelle
on peut soulever un fardeau sans l’élever préalable-
ment.

Dans cette machine. la résistance Q dans le sens de la
la barre, et à la puissance P agissant sur la manivelle
comme le rayon R de la manivelle ;‘est au rayon 7 du
pignon; desorte qu’on a pour l'équation de l'équilibre :

P.R—Or.

Dans le cric composé, le pignon de la manivelle agit
sur une roue dentée dont le pignon s’engrène avec la
cremaillère; et si Rest le rayon de la roue, etr' celui de
son pignon, l'équation d'équilibre devient

P.R.R'=Qrr",

CT
CROISSANTE (44g.). Une quantité est dite crois-

sante lorsqu'elle augmente à l'infini ou jusqu’à un cer-
tain terme, par opposition à une quantité constante
(voy. Constant), ou à une quantité décroissante. C'est
ainsi que daus l'équation du cercle rapportée au centre,
l'ordonnee est croissante pendant que l’abscisse est dé-

croissante et vice Versa.

CROISSANT (Astr.). Nom que l’on donne à la lune
nouvelle ou en décours, qui nous montre une petite
partie de sa surface terminée par des pointes. Ces pointes

prennent le nom de cornes.

CROIX (Astr.). Nom donné quelquefois à la constel-

lation du Cygne.

CROIX ausrraze (4str.). Constellation méridionale,
qui contient 17 étoiles, dans le cœur australe stellife-
rum de la Caïlle. C’est parle moyen de quatre des étoiles
de cette con:tellation que les navigateurs trouvent le pôle
Sud. Elle a été formée par Royer. Foy. ConsreL-

LATION.

CRUSIFORME (Géom.). L'hyperbole crusiforme est
une ligne du troisième ordre, ainsi appelée par Newton
parce qu’elle est forméede deux branches qui se coupent

en croix. F’oyez HyrErnoLE.

CTÉSIBIUS, mécanicien célèbre, d'Alexandrie,
mais vraisemblablement d'origine grecque, vivait en
Égypte sous le règne de Piolémée Evergète IT, vers la
164° olympiade (124 ans, environ, avant J.-C.). Il était
le fils d’un barbier, dont il dut exercer la profession.
C’est dans cette condition obscure , qui semblait devoir
lui fermer l'accès de la science, que Ctésibius trouva
dans son génie les moyens de mériter la célébrité qui
s'attache au talent. On croit d’après Vitruve, qui nous
a conservé beaucoup de particularités relatives à cet
homme extraordinaire , qu’en s’occupant un jour, dans
la maison de son père, des devoirs de son état , il re-
marqua , en abaissant un miroir mobile, que les contre-
poids, en glissant dans le tube qui les contenaient, occa-
sionnaient un son prolongé par la pression de l’air.
Ctésibius en conçut l’idée de l'orgue hydraulique, dont
l'usage s’est conservé long-temps. Il construisit d’après
ce principe, une sorte de vase, en forme de trompe,
où l'eau qu'on y lançait rendait un son éclatant. Cet
instrument parut si merveilleux que ses concitoyens le
consacrèreut dans le temple de Vénus-Zéphyrides, Il se
livra ensuite à un grand nombre d’inventions. Parmi les
ingénicuses productions mécaniques de Ctésibius, dont
Vitruve nous a laissé la description, on citesurtout une
clepsydre, ou plutôt une horloge mécanique, fort re-
marquable et fort compliquée, qui montrait les heures

de nuitet de jour par un index mobile sur une colonne.

CÜ 405

On lui attribue aussi l'invention de la pompe aspirante
et foulante, qui d’ailleurs porte encore son nom. On
sait que cette machine est composée de deux pistons qui
se meuvent alternativement, de façon que tandis que
l’un d’eux monte et aspire, l’autre descend en refoulant
l'eau , et la fait pénétrer dans un tube commun. Le che-
valier Morland , célèbre mécanicien du dernier siècle,
et à qui l’on doit d'importantes recherches sur l’éléva-
tion des eaux, s’est beaucoup attaché à perfectionner
cette pompe, dont le mécanisme fort simple peut néan-
moius produire de grands avantages. Un autre écrivain
de l'antiquité, Philon de Bysance, attribue encore à
Ctésibius l'invention, non moins ingénieuse, d’un ins-
trument assez semblable au fusil à vent. Le traité qu’il
parait avoir composé sur les machines hydrauliques ne
nous est pas parvenu. Ctésibius avait une femme nom-
mée Thaïs, qui avait aussi des connaissances remar-
quables dans cette branche de la mécanique. Vitruve,
Pline, Athénée et d’autres écrivains célèbres de l’anti-
quité, parlent des talens et des ouvrages de Ctésibius
avec la plus grande admiration. Il a été égalé, si non
surpassé, par Héron l’ancien , qui fut son fils suivant
quelques biographes , mais qui bien certainement a été
son disciple.

CUBATURE DES SOLIDES ( Géom. ). Méthode
pour mesurer le volume des corps.

Lorsque les corps proposés sont des solides de révolu-
tion, c'est-à-dire, lorsqu'on peut les concevoir comme
cugendrés par la révolution d’une surface plane autour
d’un axe, le problème de déterminer leur volume dé-
pend d’une formule différentielle, très-simple , dont la
déduction ne présente aucune difficulté.

Soit en effet un solide »CDy formé par la révolution
de l'aire mixtiligne MAxy, autour de la d roite BX ;s
l’abscisse Ax—x reçoit un accroissement ær'=2, cette
abscisse deviendra æ+:, et le solide de révolution
mCDy s'accroitra du corps engendré par la révolution
du trapèze mixtiligne x)y'x' autour du même axe BX.

ne

406 CU

Maintenant si nous concevons z comme nfiniment petit,
ou comme la différentielle de x, alors l'arc infiniment
petityy" sera l'élément dela courbe my, letrapèze xyÿ'x"
sera l'élément de l'aire mAxy, etle solide 7y'ED , l’élé-
ment du corps mCDy. C’est ce dernier élément dont il
s’agit de trouver l'expression. Or, le trapèze xÿy x
peut être considéré comme un rectangle dont la révo-
lution produit un cylindre d’une hauteur dx et d’une
base qui a pour rayon l'ordonnée xy=—y ; le volume de
ce cylindre sera donc (oyez CxLINDRE)

ry°dx

# exprimant le nombre 3,1415926... ou le rapport
durayon à la demi-circonférence. Voyez Cercue:

Mais cette quantité représentant l'élément ou la diffé-
réntielle du solide, son intégrale sera le volume cherclié
et l’on aura, V désignant ce volume ,

(Prec Ve fiat

Nous n’avont poin employé, pour arriver à cette
expression, les procédés du calcul des limiies, qu’on
prétend encore maintenant substituer au calcul diffe-
rentiel, comme plus rigoureux ; quoiqu'il ne $6it qu’une
méthode indirecte que nous apprécierohs ailleurs, et
dont nous avons évité avec soin de nous servir dans nos
articles précédens. Nous nous attendons bien que ce
sera une nouvelle occasion , de la part d'un grand géo-
mètre , de nous accuser de n'être pas à la hauteur dés
mathématiques modernes; mais, si nous avonslé malheu
dene pas connaître les découvertes dont M. Poncelét à,
sans doute, enrichi la science, et qui lui ont mérité 16
titre demembre de l'institut, découvertes que nous nous
serions empressés de consigner dans notre dictionnaire
siles recherches que nous en avons faites avaient été
plus fructueuses, àous ne profiterons pas de cette cir-
constance pour lui renvoyer son rnnocente accusation,
ce qui d’ailleurs serait trop facile aujourd’hui pour eu
espérer la moindre gloire ; nous préférons attendre les
travaux futurs de cet académicien qu'aucun ressentiment
ne pourra nous empêcher de placer à côté des Euler et
des La Grange, s’il veut bien nous en fournir l’occasion.
Nous lui demandons seulement d’user de la même gé-
nérosité envers nous ét de suspéndre son jugement sur
notre ouvragejusqu'à ce qu'il soit terminé. Quant à nos
lecteurs, les motifs de notre préférence des procédés
simples, directs ctrigonrenx du eileul différentiel, pro-
prénient dit, aux procédés compliqués ét indirects Aù
calcul des limites , leur seront suffisimment dévoilés aux
articles CALCUL DIFFÉRÉNTIEL et CALGUL DES LIMITES.

Reprenons la formule (1) et appliquons-la à quelques
cas particuliers :

CU

I. Déterminer le volume de lellipsoïde alonge. Ce
solide étant formé par la révolution d’une demi-ellipse
autour de son grand axe, l’équation'de la courbe géné-
ratrice, rapportée au centre, est

Y* = (@— x)

a étant le demi grand axe, et ble demi petit axe.

Substituant cette valeur de ÿ*, dans (1), on ob-

tiendra
ba
Væ PE (@—2)dx ,
et, enintégrant,

Var E (ax 7 )+c.

F Pour déterminer la constante C, nous remarquerons

que l'intégrale est nulle pour la valeur x=—a puisque
la courbe se réduit alors à un seul point, nous aurons
donc
bo
C=7 —.- ai
a 3

et, par suite;

Si dans cette expression, nous faisons æ=a pour avoir
Fintégrale définie comprise entre les limites x= —a et
æ=a, nous trouverons

= an 4 à
Venise :

6ü, cé qui ést là méme chose,
V— Sat

tel est le volume de l’ellipsoïde allongé.

Si on avait a=b, l'ellipse deviendrait un cercle, et
ce volume serait celui de la sphère, Dans ce cas, on a

V— fa

D'ou l’on voit que le volume de la sphère est égal aux
3 de celui du cylindre circonscrit, puisque le volume
d’un cylindre qui a pour rayon de sa base 4, et pour
hauteur 24 est

ra X2a—Ara

CU

IT. Déterminer le volume du paraboloide de révo-
lution. L’équation de la parabole rapportée vu sommet
étant

Y?—=2px

dans laquelle »p est le paramètre; si nous substituons

dans (1), nous aurons

J V— fe r2pxdx

dont l'intégrale est
V=—rpzx+C

Le volume étant nul au sommet, où l’on a æ=o, nous
avons, pour déterminer la constante, l'équation o—04-C
d’où C—o, ainsi, l'intégrale complète est

V=xpr?.

Nous pouvons mettre cette expression sous la forme

æ
V=orpa.—
ou
x
V=ry

en remplacant 2px par sa valeur y”. Mais xy? est l'aire
d’ua cercle dont y est le ravon(voy. Cerce, n°31), et
par conséquent r}°.x représente le yolume du cylindre,
ayant ry° pour base, et x pour hauteur, c’est à-dire,
du cylindre circonscrit; ainsi le paraboloïde de révo-
lution ést égal en volume à la moiëé du cylindre cir-

conscrit.

La cubature du paraboloïde trouve son application
dans le calcul de lexcavation produite par le jet des
mines.

Pour les solides qui ne sont pas de révolution. Foy.
VoLumE,

CUBE (Géom.). Corps solide régulier, terminé par

six faces carrées égales entre elles. Voy. Hexarnre.

CUBIQUE (A4rüh.). Un nombre cubique est un
nombre formé par l'élévation d’un autre nombre à la

troisième puissance, par exemple 8 est un nombre cu-

"bique , parce que 8—2*.

Puissance CUuBIQUE, c’est la même chose que troisième
puissance ; comme racine cubique, et racine troisième
sont des expressions synonymes.

Une ÉQUATION GUBIQUE est également une équation
du troisième degré, Voyez pour ja formation des puis-

CU 407

sances cubiques le mot puissANcE, et pour l'extraction

- des racines cubiques, celui EXTRACTION DES RACINES.

Nous ne nous occuperons ici que des équations cubiques
quoique l’épithète cubique, pour désigner les équations
du troisième degré ait beaucoup vieilli.

ÉQUATION CuBiQUE ( A{g.). Les équations cubiques où
du troisième degré, sont des équations dans lesquelles
la plus haute puissance de l’inconnue est du troisième
degré. Leur forme générale est

xHAx+Br+C—0o
que l’on peut ramener à (1)

z'+px+q=0
eu faisant disparaître le second terme, Foy, Transror-
MATION.

Pour résoudre cette équation, faisons x=y+4-3, y et z
étant deux nouvelles inconnues dont la détermination
nous conduira à celle de x; élevant au cube, nous
aurons

Li (y +2) = 437224 3y28-hat
= + À +3y{y+2)
=yt 2 +3yar

ou
2—3yzx—y—2—0

Pour que cette équation soit identique avec (1), il fau

qu'on ait
= — 372
g = —y—<"
d'où l'on tire
9) one
(2)... 72= —3
(3)... += — q

Telles sont les conditions que les valeurs de y et de z
doivent remplir afin queleur somme donne une valeur
de x capable de satisfaire à l'équation (1). Or, énélevant
(2) au cube, on a

3
EE 0
F'r= 27
d’où
P°
= TF2

408

qui se réduit à

iquation du sixième degré qu’on peut abaisser au second,

3

en faisant 2°=1, ce qui donne

3

3 Por =
L+at 27—

Les racines de cette équation qu’on nomme la réduite ,
sont les valeurs de y? et de 2°, parce que ces valeurs sont
symétriques, et qu’en prenant dans (2) la valeur de 2°
pour la substituer dans (3), on serait parvenu à une
équation identique avec cette dernière. En la résolvant
,voy. second degré), on a

| VÉ: pi
=—+ À Ta

et, par conséquent,

on en conclut, à cause dex=y+z

VE

cette expression est nommée la formule de Cardan.V'oy.

À

ALGÈBRE, CarDax et CAs IRRÉDUCTIBLE.

La formule de Cardan semblerait ne donner qu'une
seule valeur pour x, mais on peut facilement la ramener
à lui faire exprimer les trois racines. Pour cet effet, re-
marquons qu’en général, w étant une quantité quelcon-
que, on a non-seulement

5
V8 =u

mais encore

1,2, 8 désignant Îes trois racines cubiques de l’unité.
Ainsi, représevtant par M et N les quantités comprises
sous les radicaux cubiques, les valeurs de y et de z sont

8M.
= EN.

CU

valeurs qui, étant combinées deux à deux pour former

—=}+7 donneront toutes les racines de la proposée.
Il est important de faire observer que parmi ces com-
binaisons , celles qui ne remplissent par la condition (2)

? : 4 : ,
3 = — P doivent être rejetées, et qu'il nereste que les

trois suivantes

x M+ N
x = aM + BN
x = 6M + 2N

ce qu'on peut aisément vérifier.
Les trois racines cubiques de l'unité étant (voyez Ra-
CINES).

mn 2 em

0]

1;

VS
2

celles de l'équation (1) sont définitivement

avt -4v(047)]+

Ame Col
sV[-1+(f+0)]x nn
e=v[-2 + (P+2)]x er

1H RE

Pour examiner la nature des racines données par ces

+1

expressions , ilsuffit de considérer le radical carré

Ver

qui sera réel ou #aaginaire , selon que la quantité sous
le signe sera positive où négative. Or, nous pouvons

avoir
CE LA OR EL ES 24
4 97 0; 4 27 707 + 27

Daus le premier cas la quantité sous le signe étant posi-
tive, le radical est une quantité réelle, et par consé-

D]

Eve)

quent les deux expressions
3 2
VIT VÉEE

5

Ve

CU

sont elles-mêmes des quantités réelles ; ainsi la première
racine, qui se compose seulement de la somme de ces
quantités, est réelle. Quant aux deux autres racines,
elles sont évidemment #7aginaires , puisque le produit
des quantités réelles par des quantités 2maginatres ne
peut être qu’imnaginatre.

Dans le second cas le radical carré devenant zéro,
les deux radicaux cubes sont réels, et la première ra-
cine seule est encore réelle.

y

Dans le troisième cas na — da étant négatif, ce qui

tarriver qu'autant create old
ne peu arrivel qu autan UT DRE etp us gran

que,

4

cubes sont des quantités compliquées d’imaginaires ; ce

le radical carré, et par suite, les deux radicaux

qui donne aux trois racines une forme imaginaire; ce
cas singulier a été examiné à l’article Cas 1RRÉDUCTIBLE.

Lorsqu'il n’y a qu’une seule racine réelle, on peut en-
corese servir des fonctions trigonométriques avec succès,
pour calculer sa valeur plus promptement qu’en réali-
santlesextractions de racines indiquées dans les formules.
Eu effet , nous pouvons poser en général

pe

7 — À. tang @

À étant une quantité quelconque et @ un arc déterminé
par la relation

Ainsi, pour rendre la quantité sous le radical carré
un carré parfait , il suffit de faire

car alors cette quantité devient

D'ELLES se 2
2 ; pus 2
HT uré ’

ce qu'on peut mettre sous la forme

q° L qq sin@
4 4 cos” @
ou
q° cos ?@ + q° sin °@
4 cos 2® |

sin?

: SN?® : 1 . ,
en remplaçant ang ‘@ pour cos? qui lui est égal,

Le radical carré devient donc

CU 409
V É ee 21] = V/cos#+sin@}
ES!
7 2co5®

,
à cause de cos °9 +sin?9 = 71.

Ainsi la première racine prend la forme

z=v|— 140] Ale me

Mais la relation

p° q°
— = —<- tang?
in di
donne
p°
9 Vois i=
D tang ?

Substituant cette valeur dans celle de x, on obtient,
après les réductions,

T= —92 cot2a.1/ À

l'arc w étant donné par la relation
3
tang w — \/tang 19

et l’angle & par la relation

2 p°
tang P —= q 27

Si 4 était négatif, la valeur de x deviendrait positive
et l’on aurait

æ= 2 cot241/Ë

Dans le cas de p négatif, ou de l'équation

23 — px +q =0

une marche semblable à celle que nous venons de suivre
nous conduirait aux trois équations

tang o — V'tanpg +?

T=—

=VË

sin 2 w

dont la troisième devient

T

VE

lorsque g est négatif, il est bien entendu que dans ces

"sind &

dernières expressions on a

PP q°
27 4

410 CÜ
Eclairassons par un exemple l'emploi decesformules.
Soit

L—2X—5—=0

l'équation proposée; en comparant avec la forme pé-
nérale

L—pr—ÿ=0 x

nous aurons p—2, 4=5 et la valeur de x dépendra des

trois expressions

2V/ £

(x). ZX CT

5

e nr
(2)... tango = y tang1®
2 =
(3)... sne=2Ver EP va /P
* 7 5 78 VS;
En substituant les valeurs de p et de g dans ces expres-
sions , nous aurons

Cp}

‘ 2
sin ® — 15 XV/3

et, opérant par logarithmes,

Log 2 — 0,3010300
Log 3 = 0,4771213
9,8239088

Log = 9,1195544

Log 2 — 0,3010300
2

Log V3 — 0,2120944

Log 2 := 0,3010300

4
Log 15= 1,1760912
Log sin & — 9,3350232

Ce qui donne g==12° 34! 33”,2. Prenant la moitié de
?, et cherchant dans les tableslelogarithme de tangr®,
on aura

Log. tang (6° 17" 16”,6) = 9,0421341

dont le tiers est

3 —
Log Vang ?, Ou (2) tang w — 9,0807114
Ce dernier logarithme fait connaître

#25 36" 49",5 et20 = 510 13! 30"

CÙÜ
Substituant dans (1) les valeurs de p et de 2,

ou à

Ps

sin{bivi

Ainsi, prenant dans les calculs précédensle logarithme,

déjà trouvé, du numérateur de cette dernitre expres-

sion, la valeur de æ est donnée par la simple ad
dition

2
Log. V3 — 0,2120844

Log. sin (51° 13° 30") — 9,8918933 de

Log. x — 0,3210g911
d’où l’on conclut
æ = 2,0945514.

Nous avons dans un autre article (voy. AprRoxIMA-
TON) traité l'équation z—22x—5—0, par des procédés
bien différens , et l’on peut s'assurer , en comparant les
calculs, de la supériorité de cette dernière méthode,
sous le rapport de la promptitude. Trouvé d'abord par
Bombelli, généralisé ensuite par Viète, puis étendu par
Albert Girard au cas irréductible, ce mode de résolu-
tion des équations cubiques ne présenté d'autre difficult
que le soin qu'il faut apporter dans le calcul des carac-
téristiques des logarithmes pour lequel il ne faut pas
s'écarter des règles exposées aux mots ExTRAGTION DES
RACINES et LocaniTumEs.

Construction des équations curiques. Voyez Con-
STRUCTION.

Parabole curiqun. Voyez Paranore.

Hyperbole cusiqur. Voyez HxrERBOLE.

Cuser un solide. Voyez Cuparüre.

CULTELLATION (Géom.) (de cultello, mettre à-
plomb, unir au cordeau). Expression dont quelques au-
teurs se sont servis pour désigner lamesure d’un terrain
projeté sur le plan de l'horizon. Voyez Torsé.

CULMINANT {Astr.). Le point culminant d’un astre
est celui où il est à sa plus grande hauteur au-dessus de
l'horizon ; ce qui arrive lorsque l’astre est au méri-
dien.

CULMINATION (4sur.). Moment du passage d’un
astre au méridien.

CUNETTE. — Petit fossé creusé suivant la ligne
milieu du fossé d’un ouvrage de fortifications, et destiné
à l'écoulement des eaux pluviales.

CUNITZ (Marre), femme savante, que ses connais-
sances en astronomie rendirent célèbre en Allemagne,
naquit, dans les premières années du XVIT siècle, à
Schweidnitz, en Silésie. Elle apprit dans sa jeunesse,
avec une grande facilité, plusieurs langues anciennes

et modernes, et étudia avec le même succès l’histoire,

CY

la médecine et les mathématiques ; elle s’occupa égale-
ment de peinture, mais ses goûts la portèrent plus par-
ticülièrement à cultiver l'astronomie, que suivant les
préjugés de son siècle, elle confondit quelquefois avec
les pratiques de l'astrologie judiciaire. Vers l'an 1630,
elle épousa son professeur de mathématiques, médecin,
suivant quelques biographes, gentilhomme silésien,
suivant d’autres, et qui se nommait Élias-a-Lewen. Ce-
pendant, malgré son mariage, elle continua à porter
son nom de famille, et le titre de demoiselle. Elle est
l’auteur d’un abrégé des tables rudolphines, qu'elle fit
paraître, en 1650, sous ce titre : Urania propilia, seu
tabulæ astronomicæ mire faciles , vin hypothesium plhy-
sicarum Kepleri complexæ ; etc. ; Oels, in-fol. Une se-
conde édition de cet ouvrage fut publiée à Francfort,
en 1351, avec une dédicace à l’empereur Ferdinand HT,
et précédéed’une introduction en latin et en allemand,
Marie Cunitz et Lewen s'étaient servis pour leurs cal-
culs des tables danoises de Longomontanus; mais ils
s’aperçurent qu’elles ne répondaient point à leurs ob-
servations, et ils adoptèrent les tables rudolphines de
Kepler, beaucoup plus exactes. L'usage de ces der-
nières était néanmoins difficile, à cause du fréquent
emploi des logarithmes , qu’il fallait souvent corriger :
lès époux astronomes cherchèrent les moyens de les
rendre plus commodes dans la pratique. M‘ Cunitz
commença cet important travail, qui fut interrompu
par les événemens de la guerre de trente ans. Elle fut
obligée de se réfugier avec son époux en Pologne où ils
reçurent l'hospitalité dans un couvent de femmes; ce
fut là que l’Urania propüia fut achevée. Plusieurs ma-
thématiciens , et notamment Wolf, font l'éloge de cet
ouvrage, où cependant les hypothèses de Kepler sont
trop souvent altérées. Suivant Lalande, Marie Cunitz
mourut à Pitscher , le 22 août 1664.

CUR VILIGNE (Geom.). Les figures curvilignes sont
des ares renfermées par des lignes courbes, comme le
cercle, l’ellipse, le triangle sphérique, etc. Voyez Fi-
GURE.

ANGLE cuRVILIGNE. C’est un angle formé par des lignes
courbes. f’oyez SPnire.

CYCLE (de xvxnes cercle ). Période ou révolution
toujours égale d’un certain nombre d’années, pendant
laquelle les mêmes phénomènes se reproduisent con-

stamment et dans le même ordre.

CY JA

ration , sans reconnaitre même qu’elle füt une courbe
particulière. C’est Galilée qui, le premier, la signala
vers 1615. Roberval, en 1634, détermina son aire;
quelques années plus tard , Descartes et Fermat lui me-
nèrent des tangentes, et en 1644 Roberval trouva le vo-
lume des solides engendrés par sa révolution autour de
sa base et de son axe. En 1658, Pascal, sous le nom de
À. Dettouville, proposa aux mathématiciens une série
de problèmes qui avaient rapport à la recherche de la
quadrature de certains espaces; à la détermination du
centre de gravité de la courbe et de certains segmens,
ainsi qu’à celle du volume de solides engendrés par la
révolution de certaines parties. Wallis réclama en vain
le prix qui avait été attaché à Ja solution de ces pro-
blèmes ; les commissaires reconnurent qu’il n'avait pas
atteint le but. En 1650, Pascal publia ses solutions
Huygens démontra que la développée de la cycloïde
était une cycloïde égale, placée en sens contraire. Leib-
nitzet Jean Bernouilli y découvrirent certains espaces
quarrables, et ce dernier fit voir qu'un arc de cycloïde
était la courbe de la plus vite descente.

Cette courbe est engendrée par un point fixe d’un

cercle roulant sur une droite. Chaque point d’une roue
en mouvement décrit une cycloïde.

D’après la génération de cette courbe, il est évident
que l'arc DP' est égal à la droite AD , et qu’ainsi la base
AG est égale à la circonference du cercle générateur.
Désignons donc AQ par x, PQ par y, ct par rle rayon
du cercle générateur. On aura

x=AD—QD=arc PD—QD

mais

;

f} Les principaux cycles sont le cYcLe LüunaImE (voyez

arc PD= arc sin PC —="arc [sin = Var) |

CatenDrier, n° 25), 16 cYCLE SOLAIRE (voy. CALEX TT
27) > CYCLE SOL E . ALENDRIE ?) k
É Mg ee DRIER, QD—PC=V/CD X EB = V/y (27 —7)
n° 29) et le cYGLE D'inpicriox. Voyez Inprcriow. 6 : “
: l'équation de la cycloïde sera donc

CYCLOIDE (Gégm.) (de xvxaos, cercle) où trochôide

(dé Teogos, roue). La découverte de cette conrbe a

LE ave[sin NF ET—T)

cé LES
attribuée ‘au Cardinal Cusa, et à Charles dé Bôvlle )

mais ces mathématiciens u'out fait qu'entrevoir hu

J

La droite BP est tangente à la courbe au point P, Er

412 CY

effet, si l'on différentie l'équation de la cycloïde. en re-

gardant x comme Ja variable indépendante;on aura pour
1

la valeur de la tangente trigonométrique de l'angie de

Ja tangente avec l'axe des x, T désignant cette tangente,

Voy. TANcENTEs.
Or, dans le triangle BPC, on a

BC

tang BPC—SE

expression qui devient, en multipliant les deux termes

par y, eten supprimant le facteur commun \/y{(2r—7),

tang Bpe=V? Er)
valeur trouvee ci-dessus pour la tangente trigonomé-
trique de l'angle de la tangente à la courbe avec l'axe
des x.

On déduit de là un moyen bien simple pour mener
à la courbe une tangente en un point quelconque P. 11
suffit pour cela de mener la droite PH parallèle à la
base, jusqu’à la rencontre de l'axe de la cycloïde; de
joindre par une droite le point K, où elle coupe le cercle
générateur, avec le point F, sommet de la courbe, et
de mener PB parallèle à cette droite KF.

L’aire de la courbe entière AFG est égale à trois fois
la surface du cercle générateur.

Les principales propriétés de cette courbe justement
cèlèbre appartenant à la mécanique, c’est aux différens
articles sur cette branche des sciences mathéinatiques
qu'il faut recourir pour pouvoir en apprécier toute l’im-
portance. Joy. BRACHYSTOCHRÔNE, QUADRATURE.

CYGNE (4sur.). Constellation boréale qui renferme
81 étoiles dans le catalogue de Flanistead, Elle et située
entie Céphée , la Lyreetle Renard. Foy. Pr IX,

11 y a dans cette constellation une étoile CHANGE ANTE.

>

Voyez ce mot. |

CYLINDRE (Géom.). Solide terminé par trois sur-
faces, dont deux sont planes et parallèles entre elles,
et dont la troisième est convexe et circulaire.

On nomme cylindre
droit {1) celui dans le-
quel la droite AB, qui
joint les centres des

A.

deux cerclesest perpen-
diculaire aux plans de

ces cercles. Dans tous

les autres cas (2) on le

- nomme cylindre oblique.

CY

Un peut concevoir la génération du cylindre droiten
le considérant comme produit par la révolution d’un
rectangle ABCD autour du côté immobile AB. Dans ce
mouvementles côtes AG et BD décrivent les deux cercles
et le côté DC la surface convexe.

La droite immobile AB pu
prend le nom d’axe du cy- |
dindre. Les deux cercles se
nomment les bases du ey-
lindre.

On

noinme hauteur du

cylindre la perpendiculaire

|
abaissée de Fun des points
d’une de ses bases sur le plan
de l’autre base; dans le cylin- LV PER
dre droit la hauteur est égale DS
à l'axe.

Un cylindre droit ou oblique peut être considéré
comme un prisme (voy. ce mot) dont les bases sont des
polygones d’un nombre infini de côtés, puisque le cercle
n'est qu'un tel polygone (voyez au mot Cône ce que
nous avons dit à ce sujet) ; ainsi toutes les propriétés des
cylindres peuvent se déduire de celles des prismes, et
nous pouvons établir les propositions suivantes.

1. Théorème. La surface convexe d’un cylindre droit
est égale au produit de la circonférence de sa base par
l'axe du cylindre ou par sa hauteur.

Si nous désignons donc par R le rayon de la base, et
par H la hauteur; # étant la demi-circonférence du
cercle dont le rayon est 1 , ou le nombre 5,1415296....,
cette surface convexe aura pour expression

2rRH.

En effet, la surface d'un prisme droit est, sans y
comprendre les deux bases, égale au produit du péri-
mètre de sa base par sa hauteur. Or, le périmètre est ici
la circonférence de la base; donc, etc.

Quant à la surface convexe du cylindre oblique, elle
ne peut être obtenue par les propositions de la géométrie
élémentaire. /’oyez QUADRATURE.

>. Théorème. Le volume du cylindre droit ou
oblique est égal an produit de sa base par sa hauteur.
Voyez Prismr.

Ce volume aura donc pour expression

rx RH

en conservant les mêmes désignations que ci-dessus.
Dansle cylindre droit, H sera la méme chose que l'axe;
dans le cylindre oblique IX sera la hauteur AC, fig. 2
ci-dessus. :
3. Théorème. Deux cylindres sont entre eux dans
le rapport des produits de leurs bases par leurs hau-
teurs.

CY

En effet C et C' désignant deux cylindres quelconques
dent les bases sont B et B'et les hauteurs H et H',
puisqu'on a , d’après le théorème précédent,

C=BH;;:C;=8.H;
on a aussi

C:,C':5 BH: BH.
Or, si B=B', cette proportion se réduit à
GC: CRU TH,

c'est-à-dire que les cylindres de méme base sont entre
eux comme leurs hauteurs. On en tirerait de même que
Les cylindres de méme hauteur sont entre eux comine
leurs bases.

4. On nomme cylindres semblables ceux dans lesquels
les axes ont le même rapport que les diamètres des
bases.

5. Il résulte de la construction du cylindre que toute

CY 413

section faite par un plan, parallèlement à la base, est un
cercle égal à la base.

Toute section faite par un plan parallèle à l'axe est
un parallélogramme. Dans le cylindre droit, ce paral-
lélogramme est toujours rectangle; et lorsque le plan
coupant passe par J’axe, la section est un rectangle
double du rectangle générateur.

Les sections formées dans le cylindre droit par des
plans inclinés à l'axe , sont des ellipses. La même chose
a lieu généralement dans le cylindre oblique; mais dans

certains cas ces sections sont des cercles.

CYLINDRIQUE (Gcom.). Ce qui a rapport au cy-
lindre, ou ce qui ena la forme.

CYLINDROIDE (Gcom.). Solide ressemblant au cy-
lindre ordinaire, mais dont les bases sont des ellipses au
lieu d’être des cercies.

CYNOSURE (Astr.). Nom que lesGrecs donnaient à
la constellation de la Petite-Ourse. Ce mot , formé de

oupa et xvuv, signifie queue de chien.

D.

DA

D'ALEMBERT. Poy. ALEmserr.

DANTE (Prrecrixo), plus connu sous le nom de
P. Ecxazio , qu'il prit en entrant dans l’ordre des Do-
minicains, appartenait à une famille qui avait déjà pro-
duit plusieurs mathématiciens distingués, mais il les
surpassa tous en talent et en réputation. Egnazio,
naquit à Pérouse, en 1537; il cultiva dès l’enfance les
mathématiques avec succès, et ne cessa pas de s’y ap-
pliquer dans la vie religieuse qu’il embrassa de bonne
heure. Il professa, jeune encore, la science à Bologne,
et s’acquit une renommée assez brillante, pour que
Cosme I® de Médicis manifestât le désir d’entendre ses
leçons, et lefit venir à Florence. Grégoire XIII et Sixte V
lui firent le même honneur, et l’appelèrent auprès
de leur personne, Le premier de ces souverains
pontifes employa le P. Egnazio Dante à lever le
plan de différentes places de l'état pontifical, et le
promut, en 1583, à l'évêché d’Alatri. Le P. Egnazio
est surtout célèbre par le service qu'il rendit à l’astro-
nomie moderne, en faisant construire le premier un
gnomon assez considérable pour fixer les équinoxes et

les solstices. Celui qu'il établit, en 1573 dans l’église

DA

Sainte-Pétrone de Bologne, n'avait pas cependant toute
la perfection désirable, il déclinait du méridien de
quelques degrés. Il ne se proposa au surplus dans la
construction de cet instrument, que de montrer par
une observation pour ainsi dire populaire, combien
l’'équinoxe du printemps s'écartait du 21 mars, auquel
il était censé arriver, et sous ce rapport, il n'avait pas
besoin d’une plus grande précision. C’est ce gnomon
qui servit de base à celui que construisit, en 1653, dans
la même église, Jean-Dominique Cassini. Le P. Dante
Egnazio a laissé un assez grand nombre d'ouvrages
parmi lesquels nous citerons surtout : 1. Traité de la
construction et de l'usage de l'astrolabe; Florence,
1583, in 4°,2° édit., 1578, avec la description de plu-
sieurs nouveaux instrumens astronomiques. IL. 7raduc-
tion italienne de la Sphère de Proclus; Florence, 1573,
iu-4°. III. Commentario alle regole della prospettiva di
Jacobo Barozzi; Rome, 1583, in 4°. Cet ouvrage ren-
ferme des démonstrations mathématiques des règles de
la perspective, dont Vignole n'avait donné que la pra-
tique, IV. Le scienze matematiche redott in tavole,

Bologne, 1577. Cet ouvrage se compose de quarante-

M4 DA

cinq tableaux synoptiques, dont la composition suppose
une grande érudition; on peur le consulter comme un
monumént curieux de l’état de la seience vers la fin du
XVI siècle, V. La prospettiva di Euclide, tradotta ,
con alcui annotazioni, insiame la prospectiva di elio-
dora; Florence, 1573, in-4°. Dante Egnazio mourut
le 19 octobre 1586, au moment où il allait quitter Alatri
pour serendre auxdesirs deSixte V. Nous croyons devoir
indiquericilesautres mathématiciens dunom de Dante.—
Pierre-Vincenr-pr-Rainazni, gentilhomme de Pérouse,
qui vivait dans lequinzième siècle, et quimouruten1 DE2;
eut une grande réputation comme mathématicien et

comme architecte. Ce savant, qui s’éccupait aussi de

poésie, s’imagina que ses compositions atteignaiént la -

sublimité de celles du Dante, pour lesqueltes il profes-
sait au resté une admiratiôn enthousiaste; il prit le nom
de ce grand homme, et ses descendans continuèrent à
Le porter. Il est auteur d’un commentaire italien sur la
Sphère de Sacro Bosco, imprimé à Pérouse; en 1544—
1574. — Juces Dante son fils, se rendit également cé-
lèbre par ses connaissances en mathématiques et en ar-
chitecture. C’est lui qui construisit la magnifique église
de saint François-d’Assise. Il estle père d'Egnazio Dante.
— Tuéonpora Danre, sœur de Jules, futle premier pro-
fesseur d'Egnazio, son neveu; elle fut aussi célèbre en
Italie par les grâces de son esprit que par ses talens éñ
mathématiques. — Danre (Jeax-Baprisre), autre ma-
thématicien de Pérouse, mais qui n’était probablement
pas de la même famille, acquit de la célébrité vers la
fin du XV° siècle, par une expérience de mécanique
qui mérite d’être rapportée. Au moyen de deux grandes
ailes de son invention, ilosa s’élancer de la tour la plus
élevée de la ville de Pérouse, il traversa la place et se
balanca quelque temps en l'air, aux acclamations de la
multitude. Malheureusement l'un des ressorts en fer de
son aile gauche se rompit tout à coup, et le hardi mé-
canicien tomba sur le faite d’une église voisine, et se
cassa la jambe. Après sa guérison , Jean-Baptiste Dante,
fut professeur de mathématiques à Venise, où il mourut
dans un âge peu avancé.

DASYPODIUS (Conan), mathématicien célèbre du
XVI° siècle, né à Strasbourg; il était fils de Pierre
Raucaruss, savant helléniste, de Frauenfeld , en Suisse,
qui avait changé son nom allemand (Pied velu), contre
le nom grec de Dasypodius, qui a la mêmesignification.
Conrad Dasypodius professa les mathématiques à Stras-
bourg ; il s'adonna spécialement à l’étude des géomètres
grecs, etil a publié des commentaires sur les six premiers
livres d'Euclide, à la suite d’un travail commencé par
Herlinus, qui l'avait précédé dans sa chaire, Cet ouvrage
intitulé : Analyses gometr. sex librorum Euclidi, etc.
Argent., 1566, in-f°, n’est qu'un travail pédantesque,

dans lequel les propositions du célèbre géomètre ancien
ü ;

DA

sont présentées sous la forme de syliogisines d'une éten-
due disproportionnée, qui eu obscurcissent les démons-
trations. Le premier et le cinquième livre sont de Her-
linus, les quatre autres seulement sout l'ouvrage de
Dasypodius. Ce mâthématicién à rendu néanmoins de
grands services à la science, par la publication en grec
et en latin de plusieurs livres d'Euclide, et par la tra-
duction de son optique et de sa catoptrique. On lui at-
tribue aussi la traduction des sphériques de Théodose.
C’est sur les dessins de Dasypodius que fut faite, en 1580,
la fameuse horloge de la cathédrale de Strasbourg qui
a long-temps passé pour la plus belle de l'Europe. Il en
à donné la description dans son Æ/eron mathematicus ;
Argent.; 1580. Il se proposait de réunir et de publieren
un seul eorps d'ouvrage tous les mathématiciens grecs,
mais il ne put exécuter ce dessein. La mort le surprit
le 26 avril 1600, à l’âge de 68 ans.

DAUPHIN ({str.). Constellation boréale située près
de l'équateur céleste (voy. PL. 9): l’une des 48 de Pto-
lémée. Elle renferme 18 étoiles dans le catalogue bri-
tannique.

DÉCADE (Arith.). Ce mot a été employée par d’an-
ciens auteurs pour désigner ce que nous nommons une
dixaine. Les auteurs du calendrier républicain lavait
adopté dans leur terminologie, et leurs trois pé-
riodes de dix jours dans lesquelles ils divisaient le mois,
portaient le nom de décades.

DÉCAGONE (Géom.) (de déve,
angle). Figure plane qui a dix côtés et dix angles.

dix et de yovia

Lorsque les angles sont égaux entre eux, ainsi que les
côtés, le décagone est dit régulier. H peut être alors in-
scrit et circonscrit au cercle. ay. Cencre , n°° 15 et 15.

La somme des angles d’un décagone étant égale à
8 fois 2 droits (voy. Porycone), ou à 16 droits, l'angle
du décagone régulier est équivalent à :$ d'angle droit.
Cet angle est donc de 144° sexagésimaux.

Si l'on désigne parr le rayon du cercle circonscrit à
un décagone régulier; le côté de ce décagone sera donné
par l'expression ;

RS a
2

cdésignant ce côté. Cette relation peut Servir à déter-
miner lé rayon du cercle circonscrit lorsque le côté est

connu ; pour cet effet, on lui donne la forme

2C

mvieT

Le

Elle résulte de la division en moyenne et extréme
raison du rayon du cercle circonscrit; le côté du dé-
cagone régulier étant égal au plus grand des deux

segments. Foy. ExXAGONE.

DE

Ainsi, zJour inscrire un décagone régulier dans un
cercle donné, il faut diviser son rayon en moyenne
et extrèmeraison (v0y. APPLICATION DE L'ALGÈBRE, N° 14),
et le plus grand segment est le côté du décagone.

La surface d’un polygone régulier quelconque étant
égale à la moitié du produit de son périmètre par son
apothème, comme le périmètre du décagone est égal

à 10 fois son côté, sa surface sera
S—5c.h

S désignant la surface, et À l'apothème. Mais l’apothème
étant l’un des côtés de l'angle droit du triangle rec-
tangle qui a le rayon du cercle circonscrit pour hypothé-
nuse et le demi-côté du décagone pour troisième côté,

nous avons

cV/(4r7—0c?)

Pour avoir cette surface seulement en fonction du
côté, ou seulement en fonction du rayon, il suffit de
substituer dans cette dernière égalité, la valeur deren €,

ou celle de e en 7, et l’on obtient

br
S = —
D °%

VA4a—2V/5

En calculant les coefficiens de c’ et de r?, ces deux
?

expressions se réduisent à

S— 7,694209 X c?
S — 2,938927 X r?

ce qui est suffisant pour la pratique.

On donne quelquefois le nom de DécacoNE à un ou-
vrage de fortification composé de dix bastions. Foyez
FonririCATIoN. .

DÉCAGRAMME. Mesure de pesanteur égale à dix

grammes,

DÉCALITRE Mesure de capacité égale à dix litres.
DÉCAMÈTRE. Mesure de longueur égale à dix

mètres. l’oy. Mrsune.

DÉCAN (As4r.). Nom donné par les anciens astro-
nomes à l'arc de 10 degrés, où au tiers d'un signe. Voy.
SIGNE.

DÉCEMBRE {Calendrier). Nom du dixième mois de
l’année romaine. C'est le douzième de Ja nôtre depuis

l’édit de Charles IX , en 1564. Be soktice d'hiver à licu

DE 445

vers le 21 de ce mois; le soleil entre alors dans le signe
du capricorne.

DÉCHARGE (Méc.). On appelle tuyaux de décharge
ceux qui, dans les machines hydrauliques sont destinés
à faire écouler le superflu des eaux. La détermination
de l’airede leur section étant, dans beaucoup de cas, une
question importante , elle sera traitée à l’article Écou-
LEMENT.

DÉCIL ou DEXTIL, (4str.). Vieux terme d'astro-
nomie ou plutôt d’astrologie sous lequel on désignait
l'aspect (voy. ce mot) de deux planètes éloignées l’une
de l’autre de 36° ou de la dixième partie du zodiaque.

DÉCIMALE. La division décimale est celle qui a lieu
de dix eu dix; ainsi notre échelle de numération est
une échelle décimale, parce que la valeur des chiffres
augmente de dix en dix suivant la place qu’ils occupent.
Voy. NumMÉRATION.

Fracrioxs DÉcImaALESs. Ce sont des fractions qui ont
pour dénominateurs des puissances entières de dix,
telles que À, L

1) 108? 1000?

etc. D’après la nature de notre
système de numération, on peut les exprimer, en faisant
abstraction de leurs déuominateurs, seulement par la
place qu’on fait occuper aux chiffres de leurs dénomi-
pateurs. En effet, étant convenu de donner à un chiffre
une valeur dix fois plus grande lorsqu'il est placé à la
gauche d’un autre, que celle qu'il exprime isolément, si
l'on adopte ceîte règle dans toute sa généralité, il est
évident que la valeur relative de plusieurs chiffres écrits
les uns à côté des autres, doit diminucr de dix en dix en
allant de gauche à droite; ainsi dans la quantité repré-
sentée par 5555, le second chiffre vaut 10 fois moins que
le premier,le troisième dix fois moins que le second, ou
cent fois moins que le premier, et le quatrième dix fois
moins quele troisième, ou cent fois moins que le second,
et mille fois moins que le premier. Si donc le premier
exprime 5 unités absolues, le second exprimera 5, le
troisième 55, et le quatrième 5. On indique cette
circonstance par une virgule placée aprèsle chiffre des
unités, c'est-à-dire que dans le cas en question on écrit
5,555, alors, les chiffres à la gauche de la virgule sont
les chiffres entiers et ceux à la droite sont les chiffres dé-
cimaux; de cette manière, l’échelle compléte de numé-
ration est

ClCesssogee LOL TS ET I TT CT
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SERRE Lozes
ZE X D EE k À
0 4 © 5 — © @ &. = à El
co E ET 2 D: En, D D EE E CC. soso
2 5 © ITR
= À : REP ne
& : * ® OO G-#=:
ë pe ee
5 &

Lorsqu'il n’y a point d’entiers, on remplace par o le

_s+
100

chiffre des unités; ainsi o,1 désigne :+, 0,54 désigne
0,002 désigne 2, etainsi de suite.

Cette manière d'écrire les fractions désimass, mtro-

416 LÉ

duite par le géomètre anglais Oughtred , facilite extré-
mement les calculs, et on peut voir aux articles ADDITION,
SOUSTAACTION |; MULTIPLICATION, DIVISION, EXTRACTION
DES RACINES , @L ÉLÉVATION AUX PUISSANCES Qu'On exécute
sur ces fractions toutes les opérations de l’arithmétique

avec autant de facilité que sur les nombres entiers.

On réduit une fraction ordinaire en fraction décimale,
en divisant son numérateur par son dénominateur,
après avoir ajouté préalablement autant de zéro: à la
gauche des chiffres du numérateur qu'il en est besoin
pour que l'opération se fasse exactement, ou pour ob-
teuir une approximation suffisante, si la fraction ordi-
naire ne peut s'exprimer exactement par une fraction
décimale. Pour réduire #, par exemple, en fraction dé-
cimale, il faut ajouter deux zéros, et l’on a

200 55
alors le dividende ayant été rendu cent fois plus grand,
le quotient est également cent fois trop grand; ainsi, au
lieu d’exprimer 95 unités, il ne doit exprimer qu’une
quantité cent fois plus petite, c’est-à-dire

75 F.
Too OU 0,79;

on a donc

S'il s'agissait de la fraction ordinaire $, quel que soit
le nombre des zéros qu’on ajoutât à 5, il serait impos-
sible d’effectuer exactement la division par 7,et dans
ce cas, on ne peut obtenir qu’une fraction décimale ap-
proximative ; ainsi, en ajoutant 1, 2, 3,4, 5, etc., zéro,
et divisant sans tenir compte du dernier reste, on a

5o

Gi = 7 de be

5oo

Su =7I Ou-—0,71

5000 5

—714 ou-— 0,71

7 7 = »714
a Led F

= Tifrou == 07142

Ce que l’on pourrait continuer à l'infini, parce qu'après
avoir trouvé 6 chiffres au quotieut, le dernier reste
est de nouveau 5, et la même période de 6 chiffres re-
commence; de sorte que l’on a
5
— 0,714285 7149285 714285 etc... à l'infini.
La fraction décimale prend alors le nom de fraction
périodique. Foy. PÉRIODIQUE.

Le problème de réduire une fraction ordinaire en
fraction décimale, peut être généralisé de la manière

suivante,

DE

4N ; hi.

Soit une fraction ordivaire quelconque, et
soient a, b, c, d,e,etc., les chiffres décimaux qui
dounent

N

M = 10—1+b.10—"4e.10—+d.10—1Letc.

nous avons NM, et il s’agit de déterminer a,b,c,
d', etc. |

Multipliant les deux membres de cette égalité par 10,
elle devient

de =a+b.10—1+c.10o—+d.10—+ etc.

Alors a exprime des entiers, et b devient le premier
chiffre décimal ou le chiffre des dixièmes. Nous avons
donc, en désignant par N'le reste de la division de

N.10 par M

— =D, reste N’
c’est-à-dire,
et par conséquent,
. =b10—14+c.10—+d.10—3+etc.

Multipliant de nouveau les deux membres de cette éga-
lité par 10, elle devient

LS =b+c.10-1Æd.10—24e.10—$+etc.
ou
se —b , reste N°

en désignant par N”, le reste de la division de N'.10
pour M. On a donc aussi

N'.10 N’

TM TM
et

"

=c.i10—1d.10—7+e.10— etc...

M

et ainsi de suite; d’où il est facile de conclure la règle
suivante : Multipliez le numérateur par 10, et divisez
le produit par le dénominateur, Je quotient sera le
premier chiffre décimal oule chiffre des divièmes; mul-
tipliez ensuite par 10 le reste de la division, et divisez
ce second produit par le dénominateur, le quotient
sera le second chiffre décimal ou le-chiffre des certièmes;

multipliez de nouveau par 10,lesecond reste, et di-

DE

visez le produit par le dénominateur, le quotient sera
le troisième chiffre décimal ou le chiffre des rnillièmes ;
multipliez encore le dernier reste par 10, et continuez
toujours de la même manière, jusqu’à ce que vous ayez
pour reste, zéro, ou un nombre déjà trouvé : Dans le
premier cas, l'opération est terminée; dans le second,
la période est trouvée. Si après avoir multiplié un des
restes par 10, le produit était plus petit que le déno-
mivateur , la division ne pourrait s'effectuer ; alors, le
chiffre décimal correspondant serait zéro , et il faudrait
considérer ce preduit comme un reste, ct le multiplier
par 10 pour obtenir le chiffre décimal suivant.

SysrèmEe pÉcIMAL. La division de dix en dix, faisant
le fondement de l’arithmétique, on a cru qu'il était na-
turel de l’adopter dans les poids et mesures, quoiqu’elle
ne soit pas la plus commode, et maintenant notre sys-
tème métrique est décimal. Nous l’exposerons au mot
Mesure.

DÉCLIN de la lune. Voyez Décours.

DÉCLINAISON (Astr.). La déclinaison d’un astre est
sa distance à l'équateur céleste, mesurée sur larc du
grand cercle qui passe par lastre et par les pôles de la
sphère. Elle est, par rapport aux corps célestes, ce
qu'est la latitude par rapport aux lieux terrestres.

La déclinaison est boréale ou australe, selon que
l'astre se trouve dans l’hémisphère boréal ou dans l'hé-
misphère austral.

Pour trouver la déclinaison d’un astre, on observe
préalablement la hauteur du pôleau-dessus de l'horizon
. ou la latitude du lieu de l'observation (voy. Larirune),

et on mesure ensuite la hauteur de l’astre au moment de
son passage au méridien ou sa distance auzénith, qui est
le complément de la hauteur. Lorsque la distance de
l’astré au zénith, qu’on nomme boréale si l’astre est dans
l'hémisphère boréal, et australe si Vastre est dans l'hé-
misphère austral, est de même désignation que la la-
titude, ieur somme est la déclinaison, laquelle est de
méme désignation que la latitude; lorsqu'au contraire
la distance au zénith est d’une désignation opposée à la
latitude , leur différence est la déclinaison , dont la dé-
signation est la même que celle de la plus grande des
deux quantités. Cette règle est assez évidente pour se
passer de démonstration.

Par exemple, l'élévation du pôle nord étant de 47°
20", on a trouvé la hauteur du soleil , lors de son pas-
sage au méridien, égale à 33° 25'; et par conséquent,
sa distance au zénith égale à 56° 35"; cette distance est
australe. Les désignations étant différentes, la difference
entre 56° 35" et 47° 20’ ou 0° 15’ est la déclinaison cher-
chée , laquelle est australe, parce que la distance aus-
trale est plus grande que la latitude boréale.

Les déclinaisons servent de concours avec les ascen-

DE AT

sions droites pour fixer la position des astres sur la voûte
céleste.

Le mouvement propre des astres et la précession des
équinoxes (v0y. ce mot), faisant varier continuellement
leurs ascensions droites et leurs déclinaisons, on trouve
ces quantités calculées à l'avance dans la Connaissance
des temps de chaque année pour les besoins de l’astrono-
mie et de la navigation. ’oyez Cararocue.

CERCLES DE DÉCLIN AISON. Grands cercles de la sphère
qui passent par les pôles du monde, et sur lesquels la
déclinaison est mesurée.

ParaLLÈLEsS DE DÉCLINAISON. Pêtits cercles dela sphère,
parallèles à l'équateur.

PARALLAXE DE DÉCLINAISON. Arc du cercle de décli-
naison, qui mesure la quantité dont la déclinaison d’un
ästre est augmentée ou diminuée par la parallaxe de
hauteur. Voyez ce mot.

RÉFRACTION DE DÉCLINAISON. Arc du cercle de décli-
naison, qui mesure la quantité dont la déclinaison aug-
mente ou diminue par l'effet de la réfraction.

DÉcriNAISON DU PLAN vErricaL (Gnom.). Arc de
l'horizon , compris entre le premier vertical et la sec-
tion du plan du cadran avec l'horizon. Voyez Décr-
NANT.

Décrinaisox de l’aiguilie aimantée ou de la boussole,

Voyez VARIATION.

DÉCLINANT (Gnom.). Les cadrans declinans sont
ceux dont la section avec l'horizon fait un angle avec le
premier vertical. Voyez GNoOmoniQuE.

DÉCLINATEUR ou DÉCLINATOIRE (Gnom.).
Instrument qui sert à déterminer l'inclinaison ou la dé-
clinaison des plans sur lesquels on veut trouver des ca-
drans solaires. Voyez GNomoniQuE.

DÉCOMPOSITION DES FORCES (Mec.). On peut
toujours remplacer une force par deux ou plusieurs
autres, agissant dans des directions différentes, et dont
elle serait la résultante. Ceite décomposition, dont la
possibilité repose sur les mêmes principes que ceux de
la compPosiTION DES FORGES est d’un grand usage dans la
imécanique. Ÿ’oyez Force.

DÉCOMPOSITION DES ÉQUATIONS (4/g.). Pour
résoudre une équation on la décompose souveat en plu-
sieurs autres qui sontses facteurs; c’est ainsi que Descartes
est parvenu à la solution des équations du quatrième

degré en décomposant l'équation générale
xi+Ax +Br+C=o,

en facteurs du second degré

a?+ax+b , x +cr+d
53

418 DE

ou en posant l'égalité hypothétique

diHAxÆBr4C — (a+ax+4b) (x + cx+d).

Voyez BIQUADRATIQUE.

DÉCOURS (4str.). On nomme décours la diminu-
tion de la lumière de la lune, depuis la pleine lune
jusqu’au moment de la nouvelle lune suivante. Cette
désignation est l’opposée de celle de croissant, qui s’ap-
plique à la figure dela lune, depuis lemomentou elle est
nouvelle jusqu’à celui où elle est pleine ; passé cette der-
nière époque la lune est en décours.

DÉCRIRE (Géom.). Action d’engendrerune étendue
par le mouvement d’un point, d’uneligne ou d’une swr-
face : ainsi un point qui se meut est dit décrire une ligme
droite ou courbe; une ligne, décrire une surface; et
une surface, décrire un solide. f’ayez GÉNÉRATION.

DÉCUPLE. Terme d’arithmétique qu’on emploie
pour désigner une quantité dix fois plus grande qu'une
autre. Par exemple, 40 est décrple de 4; 100 est de-
cuple de 10, etc., etc.

DÉCUPL#. On nomme rapport décuplé celui qui
existe entre les racines dirièmes de deux nombres.

Ainsi act b sont eu rapport décuple de a1° et b1; en géné-

[l
ral, M et N étant deux nombres quelconques, M NN
est le rapport décuple de M à N. Il est important de ne
pas confondre decrplé et décuple.

DÉCUSSATION (Opr.). Le point de décussation est
celui où plusieurs rayons se coupent , tel que le foyer
d’un miroir, d’une lentille, etc.

DÉE (Jzan), mathématicien anglais, né à Londresle
13 juillet 1527, de parens obscurs. 11 s’adonna de bonne
heure, avec ardeur, à l'étude des mathématiques et de
l’astronomie, et ne tarda pas à acquérir de la célébrité
par ses connaissances étendues dans les diverses branches
de ces sciences. Ce fut probablement cette renommée
exagéréc de son savoir qui plongea Dée dans de graves
erreurs, et donna à ses travaux scientifiques une direc-
tion malheureuse. Sa réputation le suivit sur le conti-
nent, oùil vint en 1548. À Louvain, il fut consulté
comme un oracle, et à Paris, où il donna des leçons de
géométrie et commenta publiquement Euclide, il fut
accueilli avec autant d’empressement. De retour dans sa

: patrie, il donna dans toutes les erreurs de l'astrologie
- judiciaire, et fut employé en cette qualité par la reine
Élisabeth. Il quitta de nouveau l'Angleterre et se livra
entièrement à des pratiques peu dignes de la science;
nous nele suivrons pas dans ces diverses phases de sa vie
qui fut triste, agitée par de vaines espérances, et usée
par des travaux sans résultats. La reine Élisabeth, ayant
la connaissance de la profonde détresse dans laquelle
cet homme célèbre était tombé, le rappela à Londres,
où il mourut en 1607. Malgré l’état de misère où il

DE

vécut long-temps, Dée était parvenu à se former une
très-belle bibliothèque et un cabinet de curiosités fort
remarquable. Parmi les ouvrages qu’il a publiés et qui
sont tous plus où moins empreints des idées qui le ren-
dirent malheureux , nous citerons seulement : I. Jonas
lieroglyphica, mathematicè, magicè, cabalisticè et
analogicè explicata ; Anvers, 1564, in-4°, 1584 : Franc-
fort, 1691, in-8°. IL. Propædeumata aphoristica de
præstantioribus quibusdam naturæ virtutibus; Londres,
1556-1558-1568 , in-4°, etc.

DÉFECTIF (Arith.). Un nombre défectif est la même
chose qu'un nombre déficient. Foy. ce mot.

Dérecrir (Gcom.). Newion à donné le nom d’Ayper-
boles défectives à des courbes du troisième ordre, qui
n'ont qu'une seule asymptote. Foy. HyrErzoux.

DÉFICIENT (Arith.). Lorsque la somme des parties
aliquotes d’un nombre est plus petite que ce nombre, on
le nomme deficient, par opposition avec le nombre
AtONDANr, dans lequel le contraire a lieu. 10, par
exemple , est un nombre déficient, parce que la somme

de ses parties aliquotes 1,2,

5, est plus petite que ce
nombre lui-même.

DÉFILEMENT (Fort). On appeMe plan de défile-
ment celui qui contient les crêtes intérieures d’un ou-
vrage de fortification. Après avoir fait le tracé d’un ou-
vrage ou d’un ensemble d'ouvrages , il faut déterminer
le relief de ses différentes parties, c’est-à-dire les hau-
teurs dont elles doivent s'élever au-dessus du terrain sur
lequel elles sont assises, pour abriter les défenseurs des
vues de la campagne. Remplir ces conditions, c’est défi-
ler un ouvrage. On y parvient en tenant les crêtes inté-
rieures des différens ouvrages dans des plans laissant
au-dessous d'eux tout le terrain environnant. La solution
complète de ce problème étant une des parties les plus
difficiies de la science de la fortification , nous allons en
traiter avec quelques détails.

La première opération à faire est de tracer les limites
entre lesquelles sont compris les points d'où l’ennemi
peut prendre des vues sur l’ouvrage et tirer des coups
dangereux. L'expérience a fixé entre 1200 et 1400
mètres la distance au-delà de laquelle les coups de l’en-
nemi ne sont plus à craindre, Si l'ouvrage à défiler est
isolé, de tous ses saillans, comme centre etavec unrayon
égal à 1400", on décrit des arcs de cercle qui, par leurs
rencontres , déterminent toute la partie du terrain dont
on a à se défiler. Si l'ouvrage fait partie d’un système,
alors des ouvrages environnans peuvent intercepter une
partie des coups , et il faut déterminer avec soin la di-
rection des coups extrêmes , puisque c’est elle qui fixera
la limite du terrain dont on devra se défiler. Cette dé-
termination, qui souvent offre de grandes difficultés,
se fait ordinairement par tâtonnemens; cependant on
peut « arriver d’une manière rigoureuse. En effet, si,

; DE

par le saillant de l'ouvrage à défiler et par la partie su-
périeuré de l’ouvrage couvrant, on fait passer une surface
cotiique dofit on cherchera l'intersection avec une sur-
face paralléle au terrain et suffisamment élevée au-dessus
de lui, tous les points compris entre cette intersection
etl’obstacle , et qui, par conséquent, sont au-dessous du
cône, ne peuvent diriger sur l'ouvrage que des coups
intercéptés. Alors la dernière direction des coups dan-
gereux, est laligneextrêéme menée vers cette intersection,
das à partie comprise entre l'obstacle et l'arc de cercle
tracé à 14007.

Ces différentes opérations préliminaires, pour la fixa-
tion dés limites , présentant une foule de particularités,
nous ne pouvons entrer dans les détails qui les concer-
nent; seulement nous ferons observer que cette déter-
mination étant ordinairement faite avant que le saillant
de l’ouvrage à couvrir et même la crête couvrante soient
définitivement arrêtés, il est nécessaire, après que le
tracé et le relief sont fixés, de vérifier si ces Innites sont
bien telles qu’elles doivent être.

Afin de nous occuper d’abord des cas les plus simples,
nous supposerons que l’ouvrage à défiler soit compléte-
tement tracé et quele relief de ses crêtes intérieures soit
fixé; que de plus, il ne se compose que de deux faces
formant un angle. Imaginons que le plan de ses deux
crêtes intérieures soit indéfiniment prolongé au-dessus
de tout le terrain dont on a à se défiler, terrain que
nous supposerons relevé de 1",40, quantité dont le plan
de défilement doit passer au-dessus de lui, pour être au-
dessus des ouvrages que peut construire l’assiégeant.
Nous releverons ainsi le terrain, en diminuant de 1,40
les côtés des courbes horizontales équidistantes qui ser-
vent à le déterminer. Ou ce plan laissera tout le terrain
relevé au-dessous de lui, ou il le coupera. Dans le pre-
mier cas le terre-plein de l'ouvrage, étant maintenu pa-
- ralléle au plan des crêtes et à 2,50 au-dessous de lui,
sera évidemment défilé. Dans le second cas, l'ouvrage
ne sera pas défilé, puisque des pærties du terrain relevé,
situé au-dessus du plan des crêtes , l'ennemi plongerait
dans l'ouvrage. Imaginons alors la crête d’une des faces
de l'ouvrage indéfiniment prolongée , et trois cas pour-
ront s’en suivre : ou toute la partie du terrain située au-
dessus du plan des crêtes sera en avant de cette droite,
ou ellesera percée par elle, ou elle sera en-arrière,

Examinons d’abord le premier cas. Si par cette crête
prolongée on fait passer un plan tangent à la partie du
terrain relevé située au-dessus du plan des crêtes, et
qu’on lui tienne parallèle et à 2w,56 au-dessous , le plan
du terre-plein , celui-ci sera défilé. Si la même circon-
Stance se présente pour l’autre face, on la défilera de la
même mänière. Alors les deux terre-pleins se couperont
suivant une droite passant par le saillant ct formant
gouttière. Si l’inclinaison des deux plans de défilement

DE 419
était très-grande, les déblais à faire pour obtenir les
terre-pleins seraient très-considérables. Afin d'éviter ce
grand remuement de terres, on ne prolonge pas les
plans de terre-plein jusqu’à leur intersection. Eu effet,
si on joint par des droites les deux points de tangence
des plans de défilement et le saillant de l'ouvrage, ces
deux droites, prolongées dans l’intérieur de l'ouvrage,
comprendront entre elles un angle, dont l’intérieur ne
pourra être vu, par-dessus le saillant ; que de la portion
de surface du terrain comprise entre les deux plans de
défilement, partie qui est au-dessous des plans de défile-
ment. Si donc par le saillant on imagine un cône tan-
gent au terrain , la nappe dans l’intérieur de l'ouvrage
se raccordera avec les deux plans de terre-plein, et on
pourra, en satisfaisant aux conditions de défilement, te-
nir le terre plein tangent à cette surface. Cette manière
de défiler un ouvrage s'appelle défilement par le terre-
plein (Pr. XXIX , fig. 1). Si la crête intérieure prolon-
gée fichait dans la partie du terrain relevé qui se trouve
au-dessus du plan de crête, il serait impossible de défiler
sans changer Le côté dela crête, à moins qu’on n’élevâtau
sailant une bonnette ou massif de terre, moyen qui est
toujours mauvais.

Si la crête prolongée laisse derrière elle une partie du
terrain relevé, situé au-dessus du plan des crûtes, il
faudranécessairement élever dans l’ouvrage unetraverse,
car le plan tangent du terrain relevé passant par la pre-
mière crête, laissera au-dessous de lui la seconde, qui
alors serait prise de revers. Cette traverse devra être
assez élevée pour atteindre le plan tangent. Pour lui don-
ner ce minimum de relief, il faudra le faire passer par le
saillant; mais comme cette disposition est génante pour
la défense, il vaudra mieux la rapprocher de la seconde
face; et lui donner un peu plus de relief. Si la seconde
face de l'ouvrage se trouve daus le même cas, il faudra
construire une seconde traverse pour empêcher la pre-
mière face d’être prise de revers. Mais si on dirige une
traverse suivant l'intersection des deux plans tangens
passant par les crêtes, elle suffira. Il arrivera souvent
qu’on sera obligé de briser cette traverse, afin de bais-
ser le saillant libre de manière à ce qu’on puisse y établir
uuc batterie à barbette. D’autres fois il faudra nécessai-
rement construire plusieurs traverses. Ce sont là des cas
particuliers qu’il est impossible de préciser à l'avance,
et qui ne peuvent se déterminer que suivant les localités
et en combinant entre eux les élémens de la facilité de
la défense, de l'abri qu'elles offrent et de la dépense
qu’elles oecasionnent (PL. XXIX , fig. 2).

Supposons maintenant que le tracé et la ligne de feux
soient à peu près déterminés, mais que le relief ne lesoit
pas entièrement, Alors trois cas encore peuvent se pré-
senter. 1° Le rclief est conou par deux points de l’ou-

virage mème. @ù par deux points d’un ouvrage cullaté-

420 DE

ral par lesquels le plan de défilement doit passer; 2° le
plan de défilement n’est assujéti à passer que par un seu
point; 3° le plan de défilement peut n'être assujéti qu’à
donner un relief compris entre certaines limites.

Dans le premier cas le plan de défilement étant déjà
assujétia deux conditions, il suffit, pour le déterminer,
de le rendre tangent au terrain relevé compris entre les
lignes assignées précédemment. Quand il sera possible
d'y satisfaire, ce probléme n'offrira aucune difficulté,
et la géométrie des échelles de pente fournira tout ce qui
est nécessaire pour le résoudre (roy. ÉCnELLE DE PENTE).
Mais il arrivera souvent que les points culminans du
terrain seront tellement élevés qu'on ne pourra, par la
droite donnée, mener un plan qui les laisse tous au-
dessous de lui ; ou bien , cette condition étant remplie,
le plan de défilement sera tellement raide qu’il donne-
rait au saillant un relief excessif, et à la gorge une han-
teur qui ne serait pas suffisante. Dans ce cas on prolon-
gera les deux crêtes des faces à défiler, ce qui partagera
le terrain en trois parties: les deux latérales et ceile
comprise entre ces deux droites. Si alors, par une des
faces, on peut mener un plan tangent aux hauteurs
latérales, ou le considérera comme le plan des crêtes , et
on défilera chaque face des hauteurs comprises dans
l'angle des faces , à l’aide de son terre-plein. Si la droite
donnée coupait le terrain latéral relevé, il ne serait plus
possible de défiler sans traverses. Alors on emploicrait
un plan particulier pour chaque face , et ces plans de
défilement ne seraient plus assujétis qu'à passer par un
point déterminé, circonstance que nous allons exa-
miner.

Si le plan de défilement était trop raide et que la rai-
deur fût due aux hauteurs comprises dans l’angle des
faces, on se défilerait des hauteurs latérales, ce qui di-
minuerait le relief du saillant , et on défilerait les faces
par leur terre-plein. Afin de diminuer la raideur de
celui-ci, au lieu de le tenir parallèle aux plans de défi-
lement, onle ferait perdre vers les saillans; ce qui ne
ferait qu'alonger les talus de banquette.

Si le plan de défilement n’est assujéti qu'à passer par
un point déterminé, on pourra le rendre tangent au
serrain relevé en deux points ; ou Lien en un seul point
autour duquel on le fera tourner de manière à satisfaire
le plus convenablement aux conditions exigées.

Examinons maintenant le cas où le tracé seul est
donné, circonstance la plus ordinaire, car il est rare que
les hauteurs des crètes intérieures soient tellement
fixées, qu’il ne soit pas possible de les faire varier. On
essayera d’abord de déterminer un plan tangent au ter-
rain dont on a à craindre. Si dans ce terrain il ne se
trouve que deux points dangereux, on appuiera le plan
sur ces deux points , et on le fera monter ou descendre,

en le faisant tourner sur une surface développable, tan-

DE

gente au terrain, jusqu'à ce qu'il donne un relief con-
venable. D’autres fois on relèvera le plan au-dessus de
l’un des points de contact , en l’assujétissant seulement
à étre tangent au terrain dans l’autre point. Alors on
joindra par une droite le point de tangence et le point
donné de l’ouvrage; et, les divisant de mètre en mètre,
on aura les points par lesquels doivent passer les hori-
zontales du plan cherché, horizontales que l’on devra
diriger de manière à satisfaire aux conditions exigées.
On arrivera ainsi, à l’aide de tâtonnemens, à trouver
le plan qui donne les reliefs les plus convenables.

Lorsqu'on a à défiler un ouvrage d’une certaine
étendue, il est rarement avantageux de n’employer
qu'un seul plan. Du reste le nombre des plans de défile-
ment auxquels on devra avoir recours, ne peut pas se
déterminer d'avance, et cette détermination doit résulter
d’une étude approfondie du terrain qui environne la
fortification que l’on doit défiler.

Indépendamment du défilement des ouvrages qui est
indispensable pour que les défenseurs soient à couvert,
l'ingénieur est encore astreint à la condition de défiler
les maçonneries des vues de l’assiégeant. La distance de
laquelle on doit se défiler est fixée à 800". Le problème
icise simplifie beaucoup, car au lieu d’une surface on
n’a qu'une ligne à mettre à l'abri. Trois cas sout encore
à considérer ; la hauteur de la maçonnerie peut être
fixée, la hauteur de la crête de l'ouvrage couvrant étant
indéterminée; la hauteur de la crête de ia Imasse cou-
vrante peut être donnée, celle de la maçonnerie étant
arbitraire; enfin, la hauteur de la crête de l’ouvrage
couvrant et celle de la maçonnerie peuvent être indé-
terminées.

Dans le premier cas on mène par la ligne terminant
la maçonnerie , un plan tangent aux hauteurs dont on a
à craindre, et la crête de Fouvrage couvrant ne doit pas
être au-dessous de ce plan, ce qui fournitune condition
de plus à considérer dans la détermination de cette crête.
Dans le second cas Qu fait passer le plan tangent parla
crête de la masse couvrante , et la ligne suivant laquelle
elle coupe le revêtement, détermine la limite au-delà de
laquelle la maçonnerie ne doit point s'élever. Dans le
troisième cas, enfin, une grande latitude est donnée,
et alors ce n’estque par tâätonnement qu’on peut arriver
à trouver le plan qui, avec un relief convenable pour
la crête, donne pour la maçonnerie, une hauteur satis-
faisant aux autres conditions exigées pour un revête-
ment.

D'après cet exposé rapide des principaux moyens
employés pour défiler les ouvrages de fortification , on
doit être convaincu que le problème à résoudre, ren-
fermant en général plus de données qu’il n’est néces-
saire, on ne peut arriver à sa solution que par un grand

nombre de tâtonnemens, ce qui nécessite des dessins

DE

longs et pénibles. Pour obvier à cet inconvénient, le
colonel Bellonet a inventé la machine à défiler, que
nous croyons devoir décrire pour compléter la théorie
que nous avons présentée.

Sur un chässis composé de quatre règles en bois
réunies par des boulons autour desquels elles peuvent
tourner de manière à former un parallélogramme quel-
conque, sont fixés des fils équidistans, parallèles entre
eux et à deux côtés du chässis. Découvrant plus ou
moins le chässis, on fait varier l’écartement des fils,
sans que pour cela ils cessent d’être parallèles à leur pre-
mière direction. Ces fils représentant les horizontales du
plan déterminé par ce châssis , à mesure que leur écar-
tement diminue, le plan qui les contient devient plus
raide, et si on laisse un des fils invariable, alors le plan
tourne autour de jui comme une charnière. Si l’écarte-
ment des fils ne variant pas, on change leur direction, le
plan alors restera également incliné.

Supposons maintenant qu'a l’aide de cette machine
nous voulions défiler une face de bastion , dont les côtés
extrêmes de la crête intérieure sont 21,50 et 22",50.
Afin d’avoir immédiatement le plan du terre-plein,
nous abaisserons ces côtes de 2",50, ce qui donnera 23"
et 24" pour les côtés extrêmes de la droite par laquelle
devra passer le plan tangent au terrain environnant,
que nous releverons de 1°,40. Plaçant les fils cotés 23 et
24 sur la machine, de manière qu’ils passent par les
points de la crête qui ont même cote, nous examinerons
si les horizontales du plan ainsi déterminé coupent ou
laissent au-dessous d'elles les horizontales du terrain
relevé qui ont même cote. Dans le second cas, le plan
du châssis sera le plan de défilement ; et en menant une
perpendiculaire à ses herizontales, on obtiendra immé-
diatement son échelle de pente. Dans le premier cas , on
fera varier la distance entre les horizontales, en assujé-
tissanc toujours celles cotées 23 et 24 à passer par les
points correspondans de la crête, de manière qu’elles
laissent au-dessous d’elles les courbes du terrain ayant
même cote. On arrivera ainsi au bout d’un temps très-
court, à trouver la position indiquée par la figure, et en
menant par le point coté 23" ou 24° une perpendicu-
laire à la direction de ces horizontales , on aura l’échelle
du plan de défilement cherché, qui ainsi se trouvera
complètement déterminé, (PL. XXX). Voyez Mémo-
rial de lofficier du génie , n° 6 et n° 10.

DÉFINITION. C’est en général la spécification des
caractères qui distinguent un objet, ou l’énumération des
idées simples qui forment une idée composée.

Les logiciens reconnaissent deux espèces de défini-
tions : celles des nos et celles des choses. Les premières
ont pour but d'expliquer le sens où la signification d’un
mot; les secondes, celui de Zarter un objet pour le dis-

tinguer de tous les autres, Les définitions mathéma-

DE 421

tiques , quoi qu’en ait prétendu d’Alembert dans l’encv-
clopédie, ne sont pas de simples définitions de noms;
elles ont même un caractère essentiellement distinct des
définitions purement physiques, car en physique. l'objet
est donné et précède sa définition, tandis qu'en mathé-
matiques l’objet est construit par sa définitiou même,
En effet, définir en mathématiques, c’est opérer une
synthèse intellectuelle dont le résultat est un objet éga-
lement intellectuel, réalisable à la vérité dans l'espace
ou dans le £emps, mais qui n'existait pas avant cette svn-
thèse. Ainsi, lorsque nous définissons le rR1ANGLE : une
étendue plane limitée par trois droites qui se coupent
deux à deux, non seulement nous fixons le sens du
mot (riangle, mais encore nous construisons intellec-
tuellement l'étendue particulière que nous désignerons
dorénavant par ce nom. Or, ce triangle, ce n'est ni un
triangle rectangle, ni un triangle 1socèle, ni uv triangle
équilatéral, ce west eufin aucun triangle particulier |
c’est le triangle en général, le triangle type, dont tous
ceux que nous pouvons décrire physiquement ne sout
que des images grossières , des cas particuliers. Pourra-
t-on nous dire ici, que nous nous sommes élevés par
abstraction à l'idée générale de triangle, après avoir
observé des triangles de diverses espèces , lorsque ce n’est
au contraire que par des nouvelles limitations ou de
nouvelles synthèses que de l’idée générale nous descen-
drons aux idées particulières de triangle rectangle, iso-
cèle, équilatéral, etc.? Le caractère distincuf de la de-
finition mathématique est donc de créer les objets de la
science dont la marche est ainsi douée du plus haut degré
de certitude, parce qu’elle n’opère que sur ses propres
constructions eL que dans toutes ses propositions la syn-
thèse a toujours précédé l'analyse.

DEGRÉ (4lg.). Terme employé pour désigner les
équations d’après la plus haute puissance de l'inconnue
qu’elles renferment. Ainsi, une équation du cinquième
degré, par exemple, est celle dans laquelle x est à la
cinquième puissance , ou qui contient æ°. Foy. Équa-
TIONS,

Drcré (Geéom.). C’est la 360° partie de la circonfe-
rence d’un cercle suivant la division sexagésimale ou la
400° suivant la division centésimale.

Toute circonférence de cercle étant supposée divisée
en degrés, on désigne la grandeur, d'un angle par le
nombre de degrés et de fractions de degré que ren-
ferme l’arc qui lui sert de mesure. Ainsi, un angle de
30° sexagésimaux est un angle qui, placé au centre
d’un cercle, intercepte entre ses côtés un arc dont la
rapport avec la circonférence entière est le même que
celui de 30 à 360. Joy. AxGce, n° 15.

Decré de latitude. Foy. LaTiTuDE.

Dseré de longitude. Foy. Lonçrrune.
£

422 DE

Decré terrestre. Si la terre était une sphère exacte,
un degré terrestre serait la 360° partie de sa circonfé.
rence (division sexagésimale); tous les degrés seraient
égaux, et les angles au seritre de la terre intércepteraient
entre leurs côtés des arcs qui leur seraient proportionnels.
Mais la terre est loin d’être parfaitement sphérique, et
conséquemment , les angles égaux au centre ne détér-
minent pas des aïcs égaux à la surface. Ce qu’on nomme

| degré terrestre est la portion d’un arc tertestre qui cor-
respond à un degré céleste ; ainsi, un degré nicsuré de
cette manière est un angle qui n’a pas son Sommet àäu
contre de la terre, mais au point de concours des vérti-
ales tirées des deux extrémités du degré céleste per-
peudiculairement à la terre. Un degré terrestre est donc
l'espace qu'il faut parcourir sur la terre pour que là
ligne verticaléaitchangé d’un degré.Cet espace étantd'au-
tant plus grand que lacourburcest plus petite, si laterre
est aplatie vers les pôles , les degrés terrestres mesurés
sur le méridien doivent être d’autant plus grands qu'ils
sont plus près du pôle, où la courbure est la plus grande,
et c’est ce que l’expérience a confirmé. #’oy Mesure
DELA TERRE.

DELAMBRE (Jean-Baptiste-Joseph le Chevalier),
l’un des plus célèbres astronomes de ce siècle, naquit à
Amiens, le 19 septembre 1549. Les dispositions qu’il
manifesta dans le cours de ses premières études, n’an-
noûçaient point le rang qu'il devait prendre un jour
dans la science. Il suivit les leçons de Delille , et l'affec-
tion particulière que lui voua cet ingénieux écrivain,
semblait, d'accord avec ses goûts, l’exciter à suivre la
carrière des lettres. Ce fut, en effet, seulement à l’âge
de treute-six ansans que Delambrecommencça à s'occuper
d'astronomie. Il est probable qu’il avait néanmoins déjà
des connaissances étendues en mathématiques, et qu’il
ue fit alors que se livrer plus spécialement à l'étude de
cette branche de la science. La Lande professait l’as-
tronomie au collége de France, Delambre devint
son élève de prédilection, etenfin son ami. Cet astro-
nome se plaisait à dire que Delambre était son meilleur
ouvrage;ilne tarda pas à Passocier à ses travaux, et
pour ainsi dire à sa renommée. Le grand travail de La
Flace sur les satellites de Jupiter servit de base à De-
Jambre pour calculer avec une précision remarquable
les tables de ces astres, qui parurent dans l'édition de
1792 de l’Astronomie de La Lande. Cet ouvrage ouvrit
à Delambre les portes de l’Académie des sciences , où il
fut reçu au mois de février de la même année. Il fut im-
médiatement chargé avec Méchain, membre comme lui
de ce corps savant, de la mesure de la méridienne de
la France. On pensa à cette époque que la perfection
qu'on était parvenu à donner aux instrumens, pourrait
conduire à des résultats précis, en mesurant ua plus

graud arc du méridien qu'ou ne l'avait encore essavé.

DE
Outre cet avantage que n'avaient pu avoir lés trataux
dorit elle avait été précédemment l'objet (voy. Cassinr
et LA Caïrce) , cette grande opération trigonométrique
devait avoir celui de fixer d’unemanière trés-éxacte une
unité fondämentale pour toutes les mesures d’éténdue.
L’arc du méridien, que‘Delambre et Méchain furent
chargés de mesurer, s'étend depuis Duñkerque jusqu’à

Barcelonne, et comprend environ neufdegrés; étendue |,

plus grande qu’aucune de cellesqu’on avait déterminées.
Delambre fut chargé dela partie boréale, à partir de
Dunkerque, et poursuivit jusqu'a Rhodés les opéra-
tions géodésiques et astronomiques de cette belle en-
teprise. On sait que l’Académie des sciences avait été
dissoute en 1793, Delambre n’en continua pas moins,
malgré les désordres de ce temps, et les difficultés phy-
siquesqu'il eut à surmonter, etavecun zèle etune persis-
tance qui l’honorent, l'important travail qui lui avait
été confié : il n’a été complétement terminé qu’en 1799
(voy. Mérinrexne). Depuis lors, Delambre a en-
core mesuré par des procédés nouveaux, et avec une
grande précision, deux autres bases de 6000 toises, l’une
près de Melun, et l’autre près de Perpignan. En 1505,
Delambre fut nommé membre de la classe des sciences
de l'institut, et presqu'en même temps, mémbre du
bureau de longitude. En 1810 , l'Académie des sciences,
à l’occasion des prix décénnaux, couronna l’ouvräge
de Delambre où sont exposés les élémens ét les résultats
de la grande opération qu’il avait exécutée avée son
collègue Méchain, et quia pour titre : Base du système
métrique. Delambre a exercé avec distinction dé hautes
Fonctions publiques, la plupart de ses ouvrages, qui
manquent peut être de clarté et de méthode, séront
long-temps estimés, et lui ont mérité une réputa-
tion distinguée parmi les astronomes et les géomètres
modernes. Chevalier et ensuite officier de la Légion-
d'Honneur , chevalier de l’ordre de Saint-Michel, ho-
ncré de l’estime générale, Delambre fut enlevé à la
science et à ses nombreux amis, dans lemois d’août 1822.
Voiciles titres de ses principaux ouvrages : I. Tables
du soleil, de Jupiter, de Saturne, d'Uranus et des sa-
tellites de Jupiter ; 1592 (insérée dans l'astronomie de
La Lande). II. Mcthode analytique pour la détermina-
tion d’un arc du méridien ; 1 vo}. in-4°, 1590. IT. Base
du système métrique cu mesure de l'arc dix méridien de
Dunkerque à Barcelonne ; 3 vol. in 4°, 1806 — 1814 ;
formant suite aux Mémotres de L'Institut. IV. Nouv lles
tables du soleil, in-4° 1806. V. Rapport historique sur
les progrès des sciences mathematiques; depuis l'an
1789, lu au conseil-d'État, le G février 1808; in-4°,
1810. VI. Abrégé d Astronomie; 1 vol. in-8°, 1613.
VII. Traité complet d'astronomie thCorique et pra-
tique; 3 vol.in-f° , 1814. VIIL histoire de l'astrono-

mie ancienne ; 2 vol. in-4°, 1817. IX: Zistourr de l'as-

DE

tronomie du moyen dge; 1 vol. in-4°, 1819. Histoire
ide l'astronomie moderne ; 2 vol. in-4°, 1821 , etc.
DEMÉTRIUS , mathématicien de l'École d’Alexan-
drie, cité‘par Pappus, dans ses Collectiones mathema-
icæ, où il lui attribue un traité des courbes, intitulé :
Lineares aggressiones. Cet ouvrage ne nous est pas par-
venu, mais la mention qu’en fait Pappus, peut fortifier
cette conjecture, que les anciens avaient sur ce sujet im-
portant des connaissances et une théorie plus étendue
qu’on ne le pense communément. On croit que Démé-
tius vivait durant le II siècle de notre ère.
DÉMOCRITE, l’un des plus célèbres et des plus il-
lustres philosophes de l'antiquité, naquit, suivant l’o-
pinion le plus généralement adoptée par les chronolo-
gistes, à Abdère, ville de la Thrace, dans la 3° année
de la 77° olympiade (450 avant J.-C). Pour donnerune
idée de ja fortune et de l'illustration de sa famille,
Diogène Laërce prétend, probablement d’après des
annalistes plus anciens, que son pére offrit l'hospitalité
au fastueux Xercès et à sa nombreuse suite. Suivant cette
tradition, le roi, touché des soins généreux dont il
avait été l’objet, laissa des Chaldéens et des Mages auprès
de son hôte pour qu'ils fissent l'éducation de son fils.
Ce serait à cette circonstance que Démocrite aurait dû
les connaissances morales et scientifiques qu'il répandit
bientôt après dans la Grèce étonnée. Malheureusement
ce fait est difficile à accorder avec l'invasion des Perses
qui n’eut lieu qu'environ dix aus après l'époque où l’on
croit pouvoir placer Ja naissance de Démocrite, Quoi
qu'il ea soit, après la mort de son père, le philosophe
abdéritain se tronya maître d’une fortune immense dont
il abandonua la plus grande partie à ses deux frères ; il
nese réserya que lFargent comptant, qui se montait,
dit-on, à cent talents, somme qui équivaut à un peu
plus d’un denu million de notre monnaie, et, inspiré
par l'amour des sciences , jl se mit à parcourir le monde
civilisé, l'Égypte , la Perse et l'Inde, IL vint ensuite
dans la Grèce, où il écouta les philosophes Leucippe,
Socrate et Anaxagore, De retour dans sa patrie, il éluda
la loi qui privait des honneurs de la sépulture quiconque
avait dissipé son patrimoine, en lisant à ses concitoyens
son Traité sur le grand monde. Le peuple, charmé de
la beauté de cet ouvrage, décerna à Démocrite les plus
grauds honneurs, et décida que ses funérailles seraient
faites aux frais du trésor public. Nous ne suiyrons pas ce
philosophe dans toutes les phases de sa vie, et il nous
suffira d'exposer ici quelques parties de son système qui
mériterait un examen approfondi et détaillé, La plupart
de ses idées sur le monde physique et moral appartien-
nent à l’école de Pythagore et à la secte Eléatique, dans
laquelle on enseignait le système des atomes et du vide,
Socrate disait de Démocrite, qu'il était digne d’être
comparé à ceux qui remportaient Ja palme dans les cinq

DE 425

espèces de combats des jeux olympiques. M faisait ainsi
allusion à l’étendue et à l’éclat de ses connaissances.
Suivant Cicéron, son style avait toute l’éloquence et
toute la beauté de celui de Platon; ainsi, à ia puissance
de la pensée, Démocrite joignait la puissance de l’ex-
pression. En parcourant la liste de ses ouvrages, dont
les titres nous ont été conservés par Diogène Laërce, on
voit que l'histoire naturelle , l'anatomie, la médecine,
la morale, les lettres , les arts, la géométrie et la phy-
sique occupèrent tour à tour les méditations de cet
esprit supérieur. Sous ces derniers rapports, les opinions
et les travaux de Démocrite appartiennent essentielle-
ment à l’histoire de la science.

La géométrie fut un des principaux sujets des études
de Démocrite; on conjecture, d’après les titres de
quelques-uns de ses écrits, qu’il exposa l’un des premiers
Ja doctrine élémentaire sur les contacts des cercles et des
sphères, sur les lignes irrationnelles et les solides.
Vitruve l’associe à Anaxagore, dans l'invention de la
perspective et de l'optique, dont il démontra les prin-
cipes dans un traité intitulé : Actinographia, ete. Aucun
des ouvrages de Démocrite sur l'astronomie physique et
mathématique n’a malheureusement résisté aux ravages
du temps, et nous sommes obligés de nous en tenir à
des conjectures d’après les titres des ouvrages qu'il con-
sacra à cette science. Il paraît avoir proposé un nouvel
arrangement du calendrier grec, il a publié des éphé-
mérides et une uranographie, et on lui attribue une
hypothèse heureuse sur la constitution de la voie lactée:
son éclat, disait-il, n’est autre chose que la clarté réunie
d’une multitude de petites étoiles, dont chacune en par-
ticulier échappe à notre vue, Nous avons plus de ren-
sejgnemens sur son système physique de l'univers, sys-
tème remarquable où l’on rencontre un grand nombre
d'idées reproduites plus tard par l'illustre Descartes. Dé-
mocrite attribuait le mouvement et la formation des
corps célestes à des tourbillons d’atomes, qui ayant
adhéré Jes uns aux autres, dans des circonstances par-
ticulières, avaient formé des concrétions sphériques. Il
pensait que le mouvement propre des planètes d'occi-
denten orient n'était qu’une apparence, qu'il n’y en
avait qu'un seul dont la direction était d’orient en occi-
dent; majs que Les planètes les plus voisines de notre
globe, étant les plus éloignées du premier mobile,
obéissaient moins à son mouvement et restaient en ar-
rière, d’où naissait leur mouvement apparent vers
lorient. Les idées fondamentales de Démocrite ont été
assez heureusement réduites dans les propositions sui-
vantes ; — Le savoir de l’homme n’est que le sentiment
de ses propres affections. — Rien ne se fait de rien, et
ne peut se résoudre en ce qui n’est pas; donc tout ce qui
est, est composé de principes subsistant par eux-mêmes.

Ces principes sont les atomes et le yide, — Dans tout ce

4224 DE
qui existe il n’y a de véel que ces deux principes. Les
atomes sont infinis en nombre, comme le vide l’est en
capacité. — Le mouvement des atomes n’a point eu de
commencement, il est de toute éternité : par lui les
atomes s’attirent, se vepoussent, s'uuissent, se séparent,
et de ces unions , de ces séparations résultent la compo-
sition et la décomposition de tous les cerps.—Les corps
ue diffèrent entre eux que par le nombre, la figuie et la
disposition réciproque des atomes dont ilsse composent.
—Les mondes eux-mêmes disséminés n'ont pas une autre
‘origine et sont soumis aux mêmes variations. Le mouve-
ment rapide des atomes est la seule ame qui pénètre ces
mondes avec l’activité du feu, etc.

On croit que Démocrite mourut dans un âge très-
avancé.

DEMI. C'est la moitié d’un tout; ainsi, on dit un
demi-cercle, pour la moitié d'un cercle, un demi-dia-
mètre pour la moitié d'un diamètre, etc., etc.

DEMI-LUNE. Ouvrage en forme de flèche, qui a
pour. capitale la droite perpendiculaire sur le milieu de
la courtine. Dans son intérieur est construit un ouvrage
semblable qui porte le uom de réduit de la demi-lune.

Ces deux ouvrages, qui sont séparés de l'enceinte par
le fossé du corps de place, font partie des dehors, et
ont pour but de donner de la force au système. Woyez
FoRrTiFICATION. |

DÉMONSTRATION. Raisonnement par lequel on
établit la vérité d’une proposition.

Démontrer, c'est décomposer la proposition énoncée
pour la ramener à ses élémens et la faire dépendre d'une
autre proposition déja démontrée ou évidente par elle-
inème. Toute démonstration suppose donc l'existence
de certaines propositions dont la vérité ne peut êwe
mise en doute, ou plutôt toute démonstration postule
un criterium de la vérité qui lui sert de base ; car sans
un tel criterium , il serait impossible de s'élever à au-
cune certitude ; or, il existe trois criterium logiques,
et conséquemment, trois modes différens de démonstra-
tions; ce sont

1° LE PRINCIPE DE CONTRADICTION ET D'IDENTITÉ;

2° LE PRINCIPE D'EXCLUSION ;

3° LE PRINCIPE DE RAISON SUFFISANTE,

Sur ces trois principes reposent les trois propositions
générales suivantes qui sont les fondemens de toutes nos
connaissances.

15 deux objets sont identiques, tout ce que l’on peut
affirmer de l'un peut étre cgalement affirmé de l'autre.
— Lorsqu'on ne peut affirmer d'un objet tout ce que
l’on peut affirmer d'un autre; ces deux objets ne sont
voint identiques.

2° L'eix objets quis’excluent mutuellement ne peu-
vent exist2r ensemble.

3°Une proposition dont la conséquence est fausse, est

DE

nécessairement fausse. — Une proposition dont toutes

les conséquences sont vraies est nécessairement vraie.

Les démonstrations mathématiques reposent en gé
néral surle principe de contradiction

DENDROMÈTRE (Géom.)(de divdper, arbre, et de
æsrper, mesure). Instrument pour mesurer le diamètre
et la hauteur des arbres.

DENEB (4str.). Mot arabe qui signifie queue, et dont
les astronomes se sont servis pour désigner quelques
étoiles comme Deneb adigege, la Queue du Cygne, Deneb
algedi, la Queue du Capricorne.

DÉNOMINATEUR (Arith.). Celui des deux nombres
d’une fraction qui indique en combien de parties l'unité
est divisée ; on l'écrit au-dessous de l’autre nombre, en
les séparant par un trait. Par exemple, dans la fraction
3

5 trois quarts, 4 est dénominaleur, et indique que

l'unité est divisée en 4 parties. Foy. ALGÈbrEe, n° 12 et
Fracrion.

DENSITÉ (Phys). Rapport de la masse d’un corps
à son volume ou quantité de matière que contient un
corps sous un volume déterminé. De deux corps égaux
en volumes, tels qu’un centimètre cubed’or el un centi-
mètre cube de bois de chêne, le plus dense est celui
qui est le plus pesant, et par conséquent qui contient le
plus de matière ou qui a la plus grande masse. La
masse est toujours proportionnelle au poids.

Les densités de deux corps quelconques qui ont un
même volume sont donc en rapport direct des masses;
et les densités de deux corps qui ont la même masse sont
en raison inverse des volumes.

En combinant ces deux propositions on en déduit la
proposition générale suivante, d’où découle toute la
théorie de la densité : Les densités de deux corps sont
en raison composée du rapport direct des masses el du
rapport inverse des volumes.

Désignant donc par D et D' les densités de deux corps
dont les masses sont M et M'et les volumes V et V',

nous aurons

M M'
(TN SD D PES

Vo
Les masses étant proportionnelles aux poids, nous pou-
vons poser cette autre proportion

(2) La DiD'Hg: E

P et P' représentant les poids.

Pour comparer les densités de plusieurs corps, il suffit
donc de connaître leurs poids et leurs volumes; car si
par exemple on sait qu'un premier corps, dont le vo-
lume est de 3 centimètres cubes, pèse 4 grammes, et
qu'un second corps, dont.le volume estde 5 ceutunètres

cubes , pèse 7 grammes, on a

d’où l’on conclut que la densité du premier corps est à
celle du second comme 20 : 21.

Les densités relatives des corps prenennt le nom de
pesanteurs spécifiques, lorsqu’en les comparant sous des
volumes égaux, on prend l’une de ces densités pour
unité ou pour terme de comparaison, Ainsi ayant trouvé
que 5oo centinrètres cubes d’or pèsent 9750 grammes,
que 500 centimètres cubes d'argent pèsent 5237 gram-
mes et que oo centimètres cubes d’eau distillée pèsent
500 grammes, et sachant d’après (2) qu'à volume égal
les densités sont comme les poids, on en conclut que les
densités de l’eau, de l’or et de l'argent sont entre elles
comme les nombres 500, 0750, 5237. Or, en divisant
ces trois nombres par 500, pour rendre le premier
terme égal à l’unité, leurs rapports ne changent pas :
donc ces densités sont encore entre elles comme
1: 19.5 : 10,474; C'est-à-dire que la densité de l’eau
étant prise pour unité, celles d’un méme volume d’or
et d'argent, ou, ce qui est la même chose, les pesan-
teurs spécifiques de l'or et de l’argent sont représentées
par 19,5 et 10,474.

Si l’on pouvait mesurer avec exactitude le volume des
corps solides, il suffirait d’une balance pour déterminer
leur densité; mais, dans le plus grand nombre des cas, il
est impossible d'obtenir cette mesure géométriquement,
et, dans tous, il est beaucoup plus prompt et plus exact
d’avoir recours aux moyens fournis par l'hydrostatique.
On sait qu’un corps solide plongé dans un liquide y perd
une partie de son poids égale à celui du volume d’eau
qu’il déplace; ainsi en pesant dans l’eau plusieurs corps
qui ont un même poids dans l'air, c’est-à-dire, en pe-
sant, par exemple, dans l’eau un kilogramme d’or et un
kilogramme d'argent, les pertes éprouvées en poids
seront les poids respectifs des volumes d’eau déplacés
par l'or et l'argent, volumes nécessairement égaux à
ceux des kilogrammes d’or et d'argent et dont le rap-
port est le même. Mais d’après (1) et (2), lorsque les
inasses ou les poids sont les mêmes, les densités sont en
raison inverse des volumes; ainsi, ces volumes étant
dans le rapport du poids des quantités d’eau déplacées,
il s’en suit que les densités sont en raison inverse de ces
mêmes poids et que l’on parvient de cette manière à
déterminer les densités sans avoir besoin de connaître
le volume des corps.

C'est pour cet objet qu'on a inventé la BALANCE
XV , jig. 3. Sous
chaque bassin se trouve un crochet, à l'un desquels on

HYDROSTATIQUE, l'eprésentée PL.

attache avec un crin où un fil très-délié l’objet dont on
veut connaître la densité. On met des poids dans l’autre

bassin, pour connaitre le poids absolu de cet objet,

DE 425
qu’ensuite on plonge dans l’eau : l'équilibre se rompt;
pour le rétablir, on met des poids sur le bassin du côté
du corps, et ces poids font connaître celui du volume
d’eau déplacé.

Il n’est pas même besoin que les corps dont on veut
connaitre la densité relative aient le même poids ab-
solu , car P et P' étant les poids absolus de deux corps,
et pet p'les poids qu’ils perdent lorsqu'on les pèse dans

!
l’eau, les rapports + 5 réduits au même dénomina-
: p P' JP se
teur deviennent > : D; on peut considérer PP"

comme le poids commun, et pP', p'P comme les poids
perdus.

Pour déterminer la densité relative des liquides, où se
sert encore de la balance hydrostatique, ou d’instrumens
nommés aréomètres (voy. ce mot). Quant aux corps
gazeux on évalue leur densité par la différence entre le
poids d’un ballon de verre rempli d’un gaz et le poids
du même ballon dans lequel on a fait le vide. Nous em-
prunterons à l’Ænnuaire du bureau des longitudes la
table suivante des pesanteurs spécifiques d’un grand
nombre de substances: c’est la plus exacte et la plus
complète qui existe.

Pesanteurs spécifiques des gaz, celle de l'air étant prise

pour unité.
ee . Noms
Densités Densités
Noms des gaz. trouvées, calculées, des
observateurs,
ILES à cute ments en LOO0DD ere con eee scores
Gazhydriodique.. 4,443 4,340 Gay-Lussac.

Gaz fluo-silicique.. 3,573 ...... John Davy.
Gaz chloro-borique 3,420 .....: Dumas.

Gaz chloroxi-carbo-

DIQUE are ee + +0 0! ose DID ee

CRC

Hydrog.arseniqué. 2,695 2,695 Dumas.
{ Gay-Lussac et

ÜÙ Thénerd.

Oxide de chlore... ..:..."2:315 ‘..5..:

Chlorer:-....../2/7014,2,420

Acide fluo-borique. 2,3 John Davv.

Acide sulfureux.. 2,234 : Thénard.
Cyanogène....... 1,806 1,619 * Gay-Lussac.
Hydrog.phosphoré 1,761 ...... Dumas.
Protoxide d'azote. 1,520 1,527 Colin.

Acide carbonique... 1,5245 .. Berzélius, Dulong.

Acide hydro -chlo-
TIQUE Te. see . Biot et Arago.

Hydrogène proto-
phosphoré ..... 1 Dumas.

Acide hydro-sulfu:} { Gay-Lussac et

1O12 = sheet
1,101 |

TIQUE ER ere Thénard.
OxXIPenC re etre MIAIODO Set . Berzélius, Dulong.
6 2? 2

54

426 DE DE

Son dés gi: Densité _Demsités Noms Lait. cr ado taire Se 1,09
è d observateurs, Eau distillée.. .., D re nacre ; 1,0000
Deutoxide d’azote. 1,0388 1,0364 Bérard. Vin de Bordeaux. .......... rise 0:0939
Hydrog.bi-carbon. 00700 ec. Th. de Saussure. Viu de DOUTROBNE.. css seen RS 0,9915
AZOLE - fo se 10070 ot Berzélius, Dulong. Huile d’olive........ des esmoee 0,9153
Oxide decarbone.. 0,957 0,967 Cruikshanck. Ether MUTIALIQUESS see asie » » eee De 0e ae 0,874
Ammoniaque..... 0,5967 0,5910 Biot et Arago. Huile essentielle de térébenthine. ...... 0,8697
Hydrog. carb. des Bitume liquide dit raphte............. 0,8475
marais......... 0,555 0,559 Thomson. AICOOL ABSOÏUS Een te serre ere 0,792
Hydrogène. ...... 0,0688 ...... Berzélius, Dulong. Ethel SUIIUrIQUe: - saone sata: 0,7155
Pesanteurs spécifiques des vapeurs, celle de l'air étant Solides.
prise pour unité, et les vapeurs élant ramenées par le be
caleul à 0 et 0,76. | nd DORE Die ++. 22,06090
Platine pue klafilière ss. ent 21,04 cv
AIRE dei de ec dé se 1 0000 ae a lee Sole e De Pa D
Bi-chlorure d’étain.... 9,199 8,993 Dumas. Leg ES MNT TE Hi
Vapeur d’iode........ BIG 0 us id Or P : Les RUN ETS eh DR
Vapeur de mercure... 6,976 ..... id (OCT tornrees Ne 19,258r
Vapeur de soufre. .... 6 E1 0 MSI 7 2 er op 5) D OR Eee SOU : g
Proto-chlorured’arsenic 6,300 6,297 id. Ploinb fnduss NS RE eu era
Chlorure de silicium... 5,939 5,959 id, . RU LEONE DT EURE Pas
Ether hydriodique. .. ,4749 ..….… Gay-Lussac. ee CARTE D LT EL 5,8
Camphre ordinaire... 5,468 5,314 Dumas. Rhodium....1.....-.. CPE tn EE LE A 3 # |
PE e 5éog 5,241 D. et Boullay. Argent fondu . :. 2. sossdossosessése 10,4743
Ethér oxaliqhes 5428, 8,087 5,081 id. Re fondu: sue stérile eds pe : 9,822
Proto-chlor. dephosph. 4,875 4,807 Dumas. PA énfils essais. PEER ET CEE Don
ES ace de terchenthine 45163 4,765 id. CEA Ionge fondu ss sois site als s 5: 87880
Chlorurejaunedesoufre 4,730 ...... id. ee susitidle crues has Le
Naphtaline........... 4,528 4,492 id. trs a LUDO A S CR sa
Vapeur dephosphore.. 4,355 4,325 1 ickel' fondu asstéese égntlant nt 5270

; Ufranés. 4h 48 se She eee 8 dir
Chlorurerougedesoufre 3,700 ...... id. d

Liqueur des Hollandais. 5,443 ...... Gay-Lussac. NP AGREE ARS RE SDS nue
Re Lu Cobalt fondu....... Mes Le SE Sen “. _7,8119
Acide hypo-nitrique... 3,180 ...... Dulong. ” bari du
Ether acétique....... 3,067 3,066 D. et Boullay. a a a RE Lis) ”
Sulfure de carbone.... 2,644 ...... Gay-Lussac. nn CES * 779
: Fer fondu......:....r4ie... 5355, © | 9,2070
Ether hyponitreux.... 2,626 92,606 Dum. et Boul. ne
: ne Zinc'fondu:53%32: 8300000 EE A 6,867
Ether sulfurique. ..... 2 060 - ce Gay-Lussac. AE 6
Éther hydro-chlorique. 2,212 eee Thénid. Antimoine fondu..,....,.... CSP ETAPE ;712
; A | Fellure:::45s 12e es CE 6,115
Chlorure de cyanogène. 2,111 2,112 Gay-Lussac. É :
Eco É Ghronie MERS ee MN ea enL 5,9
(Esprit pyro-acétique... 2,019 2,020 Dumas. Fu ais
Alcool... 10188... Gay-Lussac. mi “ IDE are RU pre
|Acide hydro-cyaniqne.. 09476 0,9360 id. path pesant..... ECC PR D AMC LE k
e : Jargon de Céylans see. cote 4,416r
Eau..........:....., 0,6235 0,624 id. ss
Rubis oriental........ A CE 4,2833
His j
iPesanteurs spécifiques des liquides et des solides ,; celle Sap us PER NES FE L Fa
de l'eau ctant 1 à 18° centigrades. Saphir du'Bresilir. ect en renee É 1307
Topase orientale...,.,,..... RS arte 4,0106
ACIDE SULUTIQUE.. secs sos e 0 0 1,8409 Topase\de Saxe... 17e: ENS :50 70
ACIdeMITEUR see asec ose o se 1,550 Bénil'oriental.. 25m 2 RES Mess emes 3,5489
Eau de la mer Morte....,......,.,.. 1,2403 Diamans les plus lourds (légèrement co-
AGUE HILTIQUE. <>. esecese LA IONÉS en TOSC) ep eRerrereecce 3,5310
PA 0e A Mélsrsss secs me ese cc 1 0209 — les plus légers. .... SDS ONE CE + 3,5010

La.

DE

Flint-glass (anglais). . .5.....4 0 3,3203
Spath fluor (rouge)................:. 3,1911

Mauemäline(vente)..e, sise sie einen e ol 0 3T0DD
A BhEste RAM eee ns eenmensrlemen ce1ts »2,0008
Marbre de Paros (chaux carbonatée la-

mellaire) nero eme 120070
Quartz-jaspeonyx................... 2,8160
Emeraude verte. ........s.......s.e 2,7705
Perles. eee ds ass dense cesse 27000

Chaux carbonatée cristallisée......... 2,7102
Quartz-jaspe....................... 2,701
Cnrail uemuos tion, eee 3: 72,660

Cristal de roche pur................. 2,6530

Quartzagathe..................0... 2,615
Feld-spath limpide.................. 2,5644
Verve de Saint-Gobain.....,......... ,4882

2
Porcelaine de la Chine.....,......... 2,3847
3

Chauxsulfatée cristallisée. ............ - 2,3117
Porcelaine de Sèvres................ 2,1457
SOnrena tisse ee se sages tee sons see 0 1230990
Ivoire ......oessessosvessesesssesse 139170
AIDALTES cos coment echec else til 150740

Anthraciteñadetnhatn les se deniers 1,

8

Mansion dessein s Tin sn 110,720
Houille compactes. ......s.ssecssees, 1,3

JAVEL ee CR oem ee oo emo ces à D 1,209
SUCCIN s4e es etes se se eee es Eh ee
Sodinmedereneht es dec ans esters 00720
Glace mem Aie ermrembs eme 03000
POtASS Me eee er eeects eee t LO;O0DI
Boisderhétres sas sde.
Eréner che scusemerte etes
HP net ecoles dem eseceseee#% 0007:
Bois diOrme: ets eme esesc esse 10000

Pommier. 1.440 2810 Ja ER Ron 33

Bois d'oranger... ....eseses sosonese 0,709
Sapinijaunessse seseomeneeessossses 03007
EURE RE RE Se Less aen oise see 1 0004

Bois de ayprès 252000. 00,500

Boisde dresse. 2.0. 1.020 /0,)07
Peuplier: blanc.d’'Espagne........... 0,529
Bois deshssalpass 2 ds rare uace 0,402
Peuplienordinaire es 204 see. 0,383
Liège Hire PR T lee a 200; 240

Pour établir une liaison entre les tables de pesanteurs
spécifiques qui précèdent, nousajouterons que, d’après
les recherches de MM. Biot et Arago, le poids de l'air
atmosphérique sec, à la température de la glace fon-
dante , et sous la pression de 0”,76 est, à volume égal,

nie de celui de l’eau distillée.
770

Par une moyenne entre un grand nombre de pesées,
on atrouvé qu'à zèro de température et sous la pression

DE 2427

de 0»,76, le rapport du poids de l’air à celui du mercure,
est de 1 à 10466.

Ces tables, dont l'usage est si important en physique,
donnent la solution d’un problème intéressant; elles ser-
vent à déterminer le poids absolu d’un corpsäl’aidedeson
volume et réciproquement. Par exemple, on veut savoir
ce que pèse un morceau de fer fondu dont le volume
est de 125 décimètres cubes; cherchant, dans la table des
solides , la pesanteur spécifique du fer fondu, on trouve
le nombre 7,207 qui nous apprend que les densi-
tés de l’eau et du fer sont comme 1 : 7,207; il suffit
donc desavoir ce que pèsent 125 décimètrescubes d’eau,
et de multiplier ce poids par 7,207 pour connaître le
poids de 125 décimètres cubes de fer. Or, la base de
notre système de poids est que

i centimètre cube d’eau distillée pèse un gramme;
conséquemment

1 décimètre cube, qui vaut 1000 centimètres cubes,
pèse 1000 grammes ou 1 kilogramme.

125 décimètres cubes d’eau pèsent donc 125 kil., et
125 décimètres cubes de fer fondu pèsent 125 X 7,207
ou 898 kil. , 875.

Si au contraire on demandait le volume d’un mor-
ceau d'ivoire pesant 255 grammes , la pesanteur spécifi-
que del’ivoire, 1,917, donnée par la table, nous apprend
que le poids d’un centimètre cube d’eau étant r gramme
celui du centimètre cube d’ivoire est 1 8,g17: ainsi divi-
sant 255 grammes par 18,917, on aura le nombre de
centimètres cubes contenus dans le morceau d'ivoire ou
son volume. Ce volume est donc égal à 133 centimètres
cubes, plus -525.

La densité des corps n’est pas toujours la mêmé, car
l’action de la chaleur qui les dilate plus ou moins aug-
mentant leur volume sans augmenter leur quantité de
matière, fait varier la densité, il est donc essentiel
lorsqu'on veut faire des expériences de ramener les
corps à la même température, et c’est au manque de ce
soin que sont dues les différences qui existent entre les
tables de pesanteurs spécifiques données par plusieurs
physiciens.

Densité pe LA TERRE. La détermination de la densité
de la terre, comparée à celle de Veau où d’un autre
corps connu, a vivement excité l'intérêt des mathé-
maticiens; et quoiqu'il paraisse au premier aspect que
la solution d’un tel problème est impossible, la science,
cependant, est arrivée à des résultats qui, s'ils ne sont
pas entièrement exacts, ont du moins le mérite d’une
approximation assez élevée.

La densité de la terre est une densité moyenne résul-
tante des densités de tous les corps qui la composent,
et il est évident que chaque partie isolée de la terre pos-
sède une densité particulière; ainsi, par cette expression,

nous entendons la densité movenne de la masse entière

298 DE

dela terre, 2n un mot le rapport qui existe entre s0#
poids et celui d’un égal volume d'eau, puisque nous
avons pris l’eau pour terme de comparaison.

La première idée de déterminer la densité de la terre
est due à Bouguer, elle lui fut suggérée par la déviation
du fil d’aplomb de ses instrumens ; occasionnée par l’at-
traction du mont Chimboraco, pendant qu'il était oc-
cupé à mesurer un degré du méridien près Quito, dans
le Pérou.

La quantité de cette déviation ne fat pas exactement
déterminée ; mais trente-quatre ans après, le célèbre as-
tronome anglais, Maskeline, mesura avecle plus grand
soin la déviation du fil à plomb produit par l'attraction
de la montagne Schchallien en Ecosse, et il devint dès
lors possible de comparer la force attractive de la mon-
tagne à la force attractive de la terre entière, et con-
séquemment la densité de la montagne à celle de la
terre. Hutton, après des calculs immenses, évalua cette
densité à 4 +, celle de l’eau étant 1, mais il avait pris
pour base une approximation de la pesanteur spé-
cifique de la montagne au-dessous de celle qu’elle devait
avoir, et depuis, de concours avec le professeur Playfair,
il recommeuca ses calculs et fixa la densité à 5.

À l’aide de semblables principes, mais en employant
des procédés entièrement différens, Cavendish a établi
que la densité de la terre est à celle de l’eau, comme
5,48:71. Ainsi, prenant une moyenne entre ces divers
rapports ; nous avons celui de 5,24 : 1 qui est probable-
meuttrès approché.

Dexsiré Des PLanÈTEs. Les densités des corps étant
daos le rapport composé du rapport direct des masses et
du rapport inverse des volumes (1), lorsque deux de ces
choses sont données, il est facile d’en conclure la troi-
sième : ainsi, le problème singulier de déterminer la
densité des planètes se réduit à celui de déterminer
leurs masses (voy. PLanÈres). Ces masses, obtenues à
l’aide des lois de l'attraction générale, donnent pour les
densités, celle de la terre étant prise pour unité,

Terres...
Soleil::ttee
Mercure...

1,00000
0,25226
2,58330
1,02400
0,65630
0,20093
0,10349
0,21055

Vénus......
Mars. 55e
Jupiter.....
Saturne ...,
Uranus.....

Voy. Masse et PLanères.

DENTS (Meéc.). Aspérités dont on arme la circonfé-
rence d’une roue pour transmettre le mouvement qui

lui est imprimé. Foy. EnGrenace.

DÉRIVATION (Alg.). Opération par laquelle des

DE

quantités sont produites par d’autres en employant un
procédé uniforme. Par exemple, gx étant une fonction
quelconque de la variable +, on nomme dérivée diffé.
rentielle de gx, la différentielle de cette fonction divisée

; … dÿx
par celle de la variable, ou la quantité Te 3 par
suite
af]
dx
dati
nr dp x se
est la dérivée de x °u la dérivée seconde de gx.
[e

Lorsque x est une variable indépendante, cette secoude

2 3

A A RU € = x
dérivée s'écrit simplement PTS De même ETES est
dx ax
dx dx

, Ou la seconde de

la première dérivée de
dx? dx

,

ou enfin la troisièmie de $r; et ainsi de suite. En gé-

néral

est la dérivée de l’ordre 72 de la fonction @x.
Pourreudre ces dérivations plus sensibles soit gx =",

dx"

la première dérivée de æ" est ou maæm—1 (poy.

dx
DrrrérenTiez) ; la seconde est

dima) ; dxm NEO
, u — — 1] me,
dx dx É d
la troisième est
dim(m—1)xm-2] dx»
CE t =m{m—1)\m—2)2m—3
dx dx? a X )

généralement la dérivée de l’ordre nest
diam

dan

On voit queles dérivées successives de +,

= m(m—1) (m—2).....(m—n+4i)xn-n

AI

m(m—1) xm—2

m(m—1) (m—2) x"—3
m(m—1) (m—2) (m—3) x—4

es. nu ee .

m(m—1) (m—2)...(m—n+4x) æn-n

sont formées en déduisant chacune d'elle de celle qui
la précède par le même procédé de dérivation ,savoir
en la multipliant par l’exposant de +, et en diminuant

ensuite cet exposant d’une unité.

Cazcus pes pÉrivarions. Calcul fondé sur la dépen-
dance réciproque des coefficiens des séries et présenté
par Arbogast comme devant remplacer le calcul diffé-
rentiel, et rendre inutile la considération de l'infini.

DE
.

Lorsque l’ouvrage d’Arbogast parut en 1800, Îles
principes matérialistes de lasecte encyclopédique étaient
alors si généralement adoptés que les mathématiciens
crurent y trouver lemoven, depuislong-temps cherché,
d’écarter de leur science tout ce qui s'y trouvait en-
core de trop intellectuel; et ceux que la méthode des
limites (voy. ce mot) ne satisfaisait pas entièrement
s'empressèrent de proclamer la supériorité du point
de vue métaphysique du calcul des dérivations, calcul
plus général que celui des fonctions analytiques (voy. ce
mot) déjà proposé par Lagrange pour remplacer et ex-
pliquer le calcul différentiel. Montucla, dans son Æis-
toire des mathématiques, où plutôt son continuateur,
ne craint pas de présenter le nouveau calcul d’Arbo-
gast comme le point le plus élevé de Ja science des
nomkres, d’en faire dépendre les progrès futurs de la
science, et de rabaisser le calcul différentiel à n'être
qu'un de ses cas particuliers. Un géomètre moderne a
fait justice de ces étranges prétentions , et il est aujour-
d'hui prouvé que le calcul des dérivations n’est qu’une
méthode indirecte qui peut bien à la vérité, dans les
applications, remplacer le calcul différentiel, mais qui
loin de l'expliquer, ne peut être conçu, et n’a absolu-
ment aucune signification sans ce calcul lui-même (voy.
Philosophie de l'infini). Quant au petit nombre de
résultats vraiment importaus auxquels sont parvenus
Arbogast et ensuite Kramp à l’aide des dérivations,
il est facile de les obtenir d’une manière directe et
beaucoup plus simple par les procédés, d’ailleurs
bien moins compliqués du calcul différentiel. Foy. Dir-
FÉRENTIEL , POLYNOME, Puissance et RETOUR DES SUITE.

DESARGUES (GEranrb), géomètre distingué, né à
Lyon, en 1503. Il appartenait à une famille ancienne
et pour obéir à d’honorables préjugés, il embrassa
d’abord la profession des armes. Il se trouva au siége
de La Rochelle où il connut Descartes; des goûts com-
muns les rapprochèrent, et ils se lièrent ensuite d’une
amitié solide et sincère. Désargues s’étant retiré du ser-
vice vint à Paris, oùil entra dans la société de Chantereau
Lefévre qui réunissait chez lui une sorte d’Académie
de mathématiciens. Il y connut Gassendi, Bouillau,
Roberval, Carcavi et Pascal ; quand Descartes eut pu-
blié son livre des Principes, qui jeta les fondemens de
sa réputation, Désargues prit chaleureusement sa défense
contre Fermat et le P. Bourdin qui avaient attaqué
quelques-unes de ses opinions. Il publia à peu près à
cette époque, un traité sur les Sections coniques qui lui
donna une place parmi les mathématiciens les plus re-
marquables de cette époque. Sa réputation était telleque
lorsque Pascal publia son traité sur le même sujet, Des-
cartes l’attribua à Desargues, qu’il regardaiteommeleseul
mathématicien en état de produire un semblable ou-

vrage. Désargues quitta ensuite Paris, et revint à Lvon

DE 429

où n se livra entièrement à ses goûts pour l'étude et où
il s’adonna surtout à la coupe des pierres; il se plaisait
même à faire aux ouvriers, dont il était entouré, des
leçons sur cette partie toute géométrique de l’architec-
ture. Désargues écrivait avec pureté, mais soit timidité
ou modestie, if confia à Abraham Bosse le soin de ré-
diger ses ouvrages, et c’est à cette ficheuse circonstance
qu'il faut attribuer l'obscurité dans laquelle ils sont
tombés. Désargues mourut à Lyon en 1662, on a delui;
—I. Traité de la perspective ; 1636 , in-f°. IT. Traite
des sections coniques ; 1630, in-8°. HI. Ouvrages rédigés
par Bosse.—La manière universelle pour poser l'essieu.
— La pratique du trait à preuve pour la coupe des
pierres. — La manière de graver en taille douce et à
l’eau forte. — La manière universelle pour pratiquer
la perspective. :
DESCARTES (Rëwé). Ces hommes d’un génie
rare et puissant qui semblent appelés par la Providence
à imprimer un grand mouvement à la marche inteliec-
tuelle du monde , n’appartiennent point au pays où ils
sont nés, mais à l'humanité tout entière. Cependant le
sentiment intime et profond de la nationalité ne consent
point à se perdre dans la sainte fraternité des sociétés
humaines , il aime à s’isoler et à s’enorgueillir d'une
fraternité plus restreinte. L’italie se prévaut avec fierté
du génie de Galilée , l'Allemagne de celui de Leibnitz,
l'Angleterre de celui de Newton , la France a le droit
de grandir son illustration de celui de Descartes. Tous
ces esprits forts et hardis , qui ouvrent à l'humanité des
voies nouvelles et qui la précèdent dans l'avenir, n’ap-
paraissent qu’à de longs intervalles. Les grandes pen-
sées ne viennent pas toujours à une époque assez bien
préparée pour les accueillir. Trop souvent la parole par
qui se révèle l’œuvre du génie, va parcourir un monde
qui n’a point d’écho pour elle. Mais cette parole ne
meurt pas et elle attend, brillante et féconde , dans le
sanctuaire de la vérité, qu'ilse lève un jour favorable,
où son retentissement sera immense , où tous les esprits
pourront la comprendre. Ce jour semble arrivé pour
l’immortel auteur du Discours de læ Méthode et de
tant de brillantes découvertes dans les parties les plus
élevées du savoir, dans les plus nobles spéculations de

Ja pensée, La France intellectuelle et savante, si long-

temps entrainée hors de la voie des grandes découvertes
par un philosophisme sans autorité , renaît enfin aux
clartés d’une philosophie plus digne de la sagacité mer-
veilleuse dont elle est douée. Déjà elle contemple, dans
une profonde douleur pour son long aveuglement, les
statues qu'elle æélevées aux dieux usés de la secte ency-
clopédique, dieux menteurs dont les autels sont ense-
velis sous les ruines amoncelées par leurs funestes
doctrines. Déja, dans un grand nombre d’écrits nouveaux

inspirés par une fécoude pensée de rénovation et d’a-

430 DE
venir, le nom glorieux de Descartes est rappelé aux
respects et à l'admiration de tous les hommes éclairés.
Et nous qui venons apporter notre part de pensées au
mouvement philosophiqueet progressifde notre temps,
nous ne craindrons pas, dans cette rapide analyse de la
vieet des travaux de Descartes, de proclamer hautement
notre admiration profonde ponr cette noble et pure
intelligence.

Réné Descartes naquit à la Have, petite ville de la
Touraine, le 31 mars 1506. Sa famille, originaire de
la Bretagne, était noble , mais peu favorisée du côté de
la fortune. Comme Newton , comme d’autres hommes
de génie, À était d’une constitution maladive et débile
qui causa, dans son enfance , de vives craintes a ses pa-
rens. Cependant il fut envoyé de boune heuré à La
Flèche pour y faire ses études, sous la direction des
jésuites nouvellement alors établis daas ce collége, Il
résulte des observations dont il fat l’objet de lu part de
ses maîtres qu'il ne se distingua d’abord des autres élèves,
ses condisciples,que parsonapplication plus vive à l'étude
et par son goût pour l'isolement et la solitude ; on attri-
buait ces peuchans méditatifs à la faiblesse de son organi-
sation, qui le rendait triste et mélancolique. Mais déjà
il vivait de pensées, déjà cet esprit fer et indépendant
avait sondé l’abime de la philosophie scholastique,
il avait apprécié la haute importance des mathéma-
tiques et il cherchait dans sa raison un principe de vé-
rité que ses études classiques ne lui avaient point révélé.
Voici comment il nous initie lui-même à ces premiers
élans de son génie : « J'ai été nourri’aux lettres dès mon
» enfance; et parce qu’on me persuadait que par leur
» moyen on pouvait acquérir une connaissance éclairée
» et assurée de tout ce qui‘est utile à la vie, j'avais un
» extrême désir de les apprendre. Mais sitôt que j'eus
» achevé ce cours d’études au bout duquel on à cou-
» tume d'être reçu au rang des doctes, je changeai en-
» tiérement d'opinion, car je me trouvai embarrassé
» de tant de doutes et d'erreurs, qu'il me semblait
» w'avoir fait aucun profit en tâchant de m'instruire ,
» sinon que j'avais découvert de plus en plus moù
» ignorance... Je crus que pour toutes les opinions
» que j'avais reçues jusqu'alors en ma créance, je ne
» pouvais mieux faire que d'entreprendre une bonne
» fois de les en ôter, afin d'y en remettre par après,
» ou d’autres meilleures, ou bien les mêmes lorsque
» je les aurais ajustées au niveau de ma raison. » Nous
reviendrons plus tard sur ces principes dont tous les
travaux de Descartes ne sont en effet que des déduc-
tions plus ou moins heureuses : achevons de jeter un
coup d’œil rapide sur les événemens de sa vie. Au sortir
du collége , à peine âgé de 19 ans, Descartes résolut de
voyager, pour mettre en pratique ses nouvelles idées,
tout voir par lui-même et chercher la vérité « dans le

DE
-.
grand livre du monde.» Il prit le parti des armes, et
servit successivement en qualité de volontaire dans les
troupes de la Hollande et dans celles du duc de Bavière.
« J'employai, dit-il , le reste de ma jeunesse à voyager,
à voir des cours et des armées, à fréquenter des gens de
diverses humeurs et conditions. » Mais Descartes était
doué d’une raison trop supérieure pour prendre réelle-
ment parti dans les querelles sanglantes au milieu des-
quelles il se trouvait. Le guerrier ne cessait pas d’être
philosophe sur les champs de bataille; ils w’étaient pour
lui qu'une grande scène ouverte à son observation. Ce
mélange d'hommes de divers pays, avec toutes les pas-
sions qui honorent ou affligent l'humanité, ces mouve-
mens imprévus qui naissent des chances de la guerre,
présentaient à cet esprit, calme au sein de l'agitation,
solitaire parmi la foule, tous les moyens de vé-
rifier par l'expérience les questions qu'il s'était posées;
il continuait ainsi sur un plan vaste et nouveau les
études les plus importantes, en appliquant aux faits et
aux accidens dont il était le témoin les principes des
sciences mathématiques et philosophiques, objets con-
stans de ses méditations et de ses uavaux. On rapporte
que se trouvant en garnison à Breda, il vit un jour un
grand nombre de personnes rassemblées devant une
affiche écrite en langue flamande ; c'était l'énoncé d’un
problème mathématique , que suivant l’usage du temps,
un géomètre inconnu proposait aux mathématiciens.
Descartes n'avait pas jugé à propos d'apprendre le fla-
mand et il pria un des spectateurs de lui traduire la
proposition exposée ainsi à un concours public. Le ha-
sard voulut que la personne à laquelle le jeune officier
étranger s'adressa fût uu professeur du collège de Dort,
nommé Bekman. Cedernier prit avec le militaire le ton
de supériorité d’un pédant qui doute qu’un autre puisse
s'élever à l'intelligence de ce qu'il ne comprend pas
lui-même. Mais le lendemain Descartes lui apporta la
solation complète du problème. Après avoir assisté à Ja
bataille de Prague en 1620 et avoir été témoin des re-
vers militaires dont la Hongrie fut ensuite le théätre,
Descartes quitta la profession des armes et continua ses
voyages, Il parcourut successivement la Hellande, la
France, l'Italie, la Suisse et le Tyrol, il fit un assez
long séjour à Venise et à Rome, toujours inspiré par le
désir d'acquérir des connaissances nouvelles et de vé-
vifier celles qu'il avait acquises. La plupart de ses bio-
graphes s’étonnent avec raison que, durant son voyage
en Italie, Descartes n’ait pas visité l'illustre Galilée,
alors en possession de ses principales découvertes, et
persécuté pour avoir produit quelques vérités sublimes.
Descartes ne s’est jamais expliqué à cet égard, et l'on a
remarqué que dans un âge plus ayancé il n'avait mari-
festé aucune admiration pour le génie de Galilée. C'est
qu’alors tout son système cosmo-physique était conçu

DE

dans sa raison et qu'il n'aurait pu , sans s’exposer à une
évidente contradiction, louer des doctrines qui n'étaient
point en harmonie avec les siennes. Mais ou sent que
cette considération est bien faible : il vaut mieux re-
noncer à expliquer une circonstauce inconcevable, dont
la cause est demeurée cachée dans le profoud mystère
de la pensée humaine. Au retour de ses voyages, Des-
cartes voulut se livrer tout entier à la seule occupation
qui lui parut convenir à un philosophe, celle de cultiver
sa raison. Il pensa qu'il ne trouverait pas en France
cette tranquillité dont il avait besoin, ce procul nego-
ciis sans lequel les hommes d'intelligence se perdent
daus la foule, et enfin cette liberté qui convenait sur-
tout à la fière indépendance de son esprit. Il se retira
en Hollande après avoir vendu une partie de son
patrimoine. Ce fut sur cette terre étrangère que
Descartes écrivit le plus grand nombre de ses ouvrages
et qu'il élabora dans une laborieuse solitude les hautes
pensées qui devaient le signaler au monde comme l’un
des plus beaux génies qui aient jamais captivé son admi-
ration. Mais ce fut là aussi, et quand une immense
renommée accueillit ses travaux, que Descartes eut à
lutter contre l'envie basse et cruelle qui s'attache aux
succès les plus mérités et aux œuvres les plus éclatantes
du génie, Nousne pouvons passer sous silence cette par-
ticularité si importante de sa vie. Gisbert Voët ou
Voëtius, premier professeur de théologie à l’université
d'Utrecht, se distingua parmi les ennemis de la gloire
de Descartes par un zèle frénétique , dont nous ne pou-
vous plus nous faire une juste idée , dans l’état actuel
de ros mœurs e& des relations sociales. Cet homme,
abusant de l'influence que lui donnaient les fonctions
dont il était chargé et de la réputation que lui avait
acquise lhypocrite austérité de ses formes et de ses
mœurs , fit d'abord combattre la doctrine de Descartes
dans des thèses publiques, où l’on osait insinuer contre
lui l'absurde accusation d’athéisme. Descartes athée ! lui
dont toutes les spéculations philosophiques avaient eu
pour but de démontrer l'existence de Dieu et l'immor-

talité de l'ame !

Mais dans l’aveuglement de sa haine,
le théologien protestant ne pouvait tenir compte des
admirables propositions où l’illustre auteur des Hédi-
tations s'élève souvent à la perfection la plus claire de
ces augustes vérités. Voët eut l'audace d’écrire au père
Mersenne pour l’engager asévir contreson ennemi en pre-
nant en main la défense dela religion catholique , qu’il
prétendait attaquée par la métaphysique de Descartes.
Mais le père Mersenne était l'ami le plus cher du phi-
losophe; de doux souvenirs se rattachaient à leur liaison
qui avait commencé au collége de La Flèche. Le sa-
vant religieux adressa à son ami sa réponse tout oùverte

ct Descartes la fit parvenir à Voët, sans daigner y
ajouter un seul mot, lui qui avait été si cruellement

DE 431
Outragé par son lâche adversaire. Voët ne perdit pas
courage, il continua de déclamer contre la métaphy-
sique de Descartes et de l’attaquer comme contraire à la
religion : on sait que par une manœuvre infme, il
parvint à faire condamner ses doctrines philosophiques
par les bourgmestres d’'Utrecht, étrangesjuges , il faut
Pavouer , dans des questions de ce genre! Ces persécu-
tions aggravées par des calomnies de tout genre , par
les accusationsles plus atroces, compromirent un moment
la tranquillité de Descartes , qui , retiré alors dans une
charmante solitude des environsde La Haye, accueilli et
aimé de la princesse palatine Elisabeth, n’attachait au-
cune importance à ces misérables attaques, et ne faisait
rien par conséquent pour en prévenir l'effet. Mais
quand sur l’odieux libelle , pour lequel Voët avait eu
la lächeté d'emprunter un nom étranger, sa condam-
mation eut été prononcée, le philosophe sortit de la
réserve dans Jaquelle il s'était enfermé. Il n'eut qu’à
paraitre pour déjouer la vile machination inventée pour
le perdre ; mais alors il éprouva un profond découra-
gement, et redoutant pour l'avenir les nouveaux cha-
grins que pouvait Jui susciter la haine que sa magna-
nimité ni ses talens n'avaient pu vaincre , il s’éloigna
d’un pays qui avait été le théâtre de sa gloire et celui
des plus étranges persécutions; il accepta alors l’asile que
la célèbre Christine, reine de Suède, offrait à son génie.

Les attaques de Voët firent de Descartes le chef d’une
nouvelle école philosophique qui eut ses adhérens et
ses adversaires; mais quel que soit le jugement dont ses
doctrines ont pu être l'objet. l'infânre nom de son persé-
cuteur est condamné à subir leur immortalité.

On considère en général sous trois points de vue
spéciaux le vaste génie de Descartes, et, séparant sa
philosophie de ses découvertes en physique et en mathé.
matiques, on a trop long-temps avancé que sous ce der-
nier rapport seulement sa gloire était incontestable.
Ainsi sa physique et sa philosophie n'auraient été que
de sublimes erreurs pour lesquelles ses travaux mathé-
matiques lui feraient trouver grâce. Nous ne pouvons
admettre ces distinctions aussi injustes qu'arbitraires;
et sans disconveuir que quelques-unes de ses hypothèses
cosmo-physiques ne sauraient être admises, nous consi-
dérons les doctrines de Descartes, dans toutes les bran-
ches du savoir, comme un majestueux ensemble qu’on
ne peut diviser; comme un tout dont les parties liées
entre elles par la même pensée et déduites du même
principe, ne sauraient être logiquement distraites les
unes des autres: telle fat du moins l'opinion de son
siècle , qui donna le nom de cartésianisme à l'ensemble
admirable de ses doctrines.

Descartes pensa par lui-même, il brisa le vieux joug
de laphilosophie péripatéticienne, et m'admit de règles

dans les choses de la raison que la raison elle-même,

À52 DE

Cette doctrine forma un grand nombre de penseurs. En
invitant chaque homme à rentrer en lui-même et à
partir de sa propre conviction , Descartes offrait un
moven de ne pas même s’égarer avec lui, dans lasuppo-
sition qu'il fût tombé dans quelques erreurs. Le service
qu'ilrendit ainsi à la philosophie est immense; ilréforma
la spéculation comme Coperric avait réformé l’astrono-
mie, En brisant l'esclavage de la pensée il suscita uu mode
actif de philosopher qui ruina le mode passif et historique
en usage avant lui, et il ne suffit plus de jurer par la
parole du maître pour triompher de toute idée raison-
nable aux applaudissemens de l’école pédantesque de la
philosophie aristotélique. La raison recouvra ainsi par
lui sa féconde et puissante autonomie.

Déjà, sans doute, le dogmatisme scholastique avait
été attaqué, avant Descartes, par des hommes tels que
Rabelais, Ramus, Sanchez, Montaigne et Charron, qui
tous, dans les formes spéciales de leur talent et de leur
caractère, l'avaient tour à tour poursuivi de leurs rail-
leries cyniques, de leurs sarcasmes, de leurs graves ob-
jections. Mais ils n'avaient pu Jui substituer qu'un
scepticisme exagéré, qui n’était réellement que la né-
gauon de toute science philosophique. Aussi, à peu
près à la même époque, des hommes de foi comme
Erasme et Mélanchthon , effrayés du néant que le pyr-
rhonisme amenait dans la spéculation, prétèrent-ils à la
scholastique l'appui de leur chaleureuse éloquence. Il
ne faut pas s'imaginer d’ailleurs que la scholastique fût
en elle-même une chose puérile, Les Thomas et les Scot
n'étaient point des esprits superficiels ou grossiers. Ces
hommes remarquables par l'étendue de leurs connais-
sances et la subtilité de leur dialectique avaient du moins
montré, dans toute son étendue , l'emploi que l'esprit
humain pouvait faire de l'instrument logique. Ils avaient
fait plus encore en purifiant , en intellectualisant l’idée
de l'être suprème. Ainsi la scholastique mettait l'esprit
humain sur le chemin d'une métaphysique rationnelle,
et par cela même valait toujours mieux que l’empirisme
et que le scepticisme. Telle fut l’œuvre de Descartes
qui réalisa, par l'émancipation de la raison, cet inappré-
ciable bienfait.

La devise de l’école cartésienne fut celle - ci :
« Pense par toi-même , et ne juge de rien sur parole. »
Elle renferme l’une des règles les plus importantes pour
l'esprit philosophique, et n’admet le doute que comme
une préparation à l'examen. Cette école célèbre illustra
la France etia fit comprendre parmi les nations les plus
éclairées. Le cartésianisme fut successivement adopté
par les esprits les plus forts, les plus élevés, les plus
indépendans du siècle de Louis XIV , par les Bossuet,
les Fénelon, les Mallebranche , par les principaux mem-
bres de l'illustre congrégation de l'Oratoire, par les

écrivains si distingués de la grande et célèbre école de

DE

Port-Royal, et enfin par une institution religieuse, au-
jourd’hui déchue, qu'on n’a du moins jamais accusée
d'ignorance. Si ces illustres adhésions ne suffisaient pas
pour établir la profonde influence que le cartésianisme
exerça sur son siècle et en même temps sa haute direc-
tion, les sarcasmes de Voltaire et de son école prouve-
raient assez qu'il était, pour l’empirisme du dernier
siècle, un principe fort et vivant qui condamnait ses dé-
plorables erreurs.

Ainsi la philosophie de Descartes n’est pas tellement
une faible conception qu’on n’en doive parler que pour
mémoire, et, n’eüt-il point d’autres titres à l’admira-
tion de la postérité, sa gloire serait encore immor-
telle.

Le principe rationnel que Descartes avait apporté dans
la métaphysique, il dut l'appliquer aussi à la physique.
Malgré la hardiesse et peut-être l’invraisemblance de
quelques-unes de ses hypothèses, on est frappé de la fé-
condité et de l'étendue de son génie en examinant l’en-
semble de son système. Néanmoins son ingénieuse idée
des tourbillons est presque la seule qu’on lui attribue
généralement , comme s’il était possible d'arriver à une
telle conception, quelle que soit, au reste, sa valeur
scientifique, sans avoir parcouru un cercle immense de

pensées et de recherches!

mais que de sublimes décou-
vertes n’a-t-il pas réalisées daus cesystème, etdecombien
d’autres conquêtes scientifiques ce système n'a-t-il pas
été la source ! aussi un écrivaio moderne a-t-il pu dire,
avec raison: s’il s’est trompé sur les lois du mouvement
il a du moins deviné le premier qu’il devait y en avoir.
Ne serait-ce point aussi en soumettant à l'examen de sa
haute raison les idées de Descartes, que le grand Newton
s’est trouvé naturellement dans la voie de ses immor-
telles découvertes?

Lorsque Descartes écrivit son discours sur la diop-
trique, la réfrangibilité inégale des divers rayons de la
lumière n’était pas connue; cependant, outre une
foule d'applications ingénieuses de la géométrie à cette
science, son traité renferme une exposition de la véri-
table loi de la réflexion , découverte immense que Huy-
gens a voulu vainement contester à Descartes. Dans le
traité des météores il a donné la véritable théorie de larc-
en-ciel. Ainsi, comme sa philosophie, la physique de
Descartes est empreinte de la pensée d’un génie puissant;
et si, dans son système du moude et dans l'explication
de quelques phénomènes naturels , il n’a pas aussi heu-
reusement rencontré la vérité, est-ce sous ce rapport
seulement que doivent être envisagés ses immenses tra-
vaux, et à quelle hauteur ne faut-il pas être placé soi-
même pour se prononcer sur les erreurs d'un tel
homme?

Les travaux géométriques de Descartes, qui doivent
maintenant nous occuper, lui assignent à jamais je rang

DE

le plus élevé ÿa mi les hommes de génie qui ont déter-
miné les progrès de la science. Ses droits, à cet égard,
furent reconnus même par ses plus cruels ennemis ; et
les théologiens hollandais, dont ileutà subirles attaques,
rendirent hommage à la beauté et à l'importance de ses
découvertes mathématiques. Mais nous avons eu raison
de dire que la haute aptitude de Descartes, dans cette
branche du savoir, découlait aussi du principe supérieur
sur lequel il fonda sa philosophie. Cette idée n’est point
nouvelle, et l'illustre Fontenelle avait dit avant nous,
en établissant un parallèle entre Descartes et Newton :
« Tous deux, géomètres excellens, ont vu la néces-
sité de transporter la géométrie dans la physique; tous
deux ont fondé leur physique sur une géométrie qu’ils
ne tenaient presque que de leurs propres lumières. » Ce
fut en effet par une faculté spontanée de sa raison que
Descartes opéra dans les mathématiques une révolution
heureuse; et, en effet, ses idées, exposées presque sans
ordre et surtout sans développemens , sont produites
dans sa géométrie sous la forme de principes que son
génie se contente de dévoiler, sans daigner s’astreindre
à en faire l'application.

Le traité de géométrie de Descartes parut à la suite de
la méthode , non pas comme on l’a dit, parce qu'il n’at-
tachait aucun prix à des méthodes dont il était l’inven-
teur et dont sa gloire devait cependant tirer le plus d’é-
clat, mais parce qu’il avait été amené par le raisonne-
ment, ou si l’on veut par la spéculation métaphysique,
à la découverte de ses plus beaux théorèmes.

La science doit à Descartes la connaissance de la na-
ture et de l'usage des racines négatives , et il est le
premier qui les ait introduites dans la géométrie; il a
donné une régle pour déterminer par la seule inspec-
tion des signes le nombre des racines positives et néga-
tives, et il a ainsi enrichi la théorie d’'Harriot, d’une
découverte que les injustes critiques de Wallis n’ont
pu dépouiller de son caractère d'originalité et d'utilité
aux yeux de tous les géomètres. On sait que la limita-
tion de cette règle consiste en ce qu'il faut que l’équa-
tion wait aucune racine imaginaire, Descartes , comme
l'ont prétendu Wallis et Roberval, n’a point ignoré
cette limitation , puisqu'il l'annonce lui-mème dans un
autre passage de géométrie, en disant que ces racines
tant positives quenégatives, ne sont pas toujours réelles,
mais quelquefois seulement imaginaires. Wallis a refusé
à Descartes , dans le même esprit d’injustice , une dé-

“couverte fort importante dans l'algèbre c’est la mc-
thode des coefficiens indéterminés, qui consistex supposer
une équation avec des cocfficiens indéterminés, dont on
fixe ensuite la valeur par Ia comparaison de ses termes
avec ceux d’une autre équation qui lui doit être égale.
Nous ne pouvons donner ici que l'énoncé des décou-

* vertes et des tarvaux de Descartes dans la géométrie cet

DE

l'algèbre ; elles sont exposées au mot qui les concerne,

455

daus tous leurs développemens , c’est pourquoi nous
passons sous silence les diverses querelles scientifiques
auxquelles ces découvertes ont pu donner lieu, soit du :
temps même de Descartes , soit après lui.

L'application de l'algèbre à la géométrie est sans con-
tredit une des plus belles découvertes de Descartes.
Il est le véritable fondateur de cette science aujour-
d’hui si féconde, désignée sous le nom inexact de Géo-
métrie analytique. On avait bien avant lui appliqué
l'algèbre aux problèmes de la géométrie, mais c’est à
Descartes qu’est due entièrement cette méthode de con-
struire l’étendue à l’aide des relations de deux quantités
variables, Il est ainsi bien certain que ces découvertes
dans la science, antérieures à Descartes, ne sont pour
ainsi dire qu’élémentaires relativement aux siennes;
et c’est réellement à ce qu'il y a ajouté qu'il faut
fixer l’époque d’une révolution qui a si énergiquement
favorisé les progrès de la géométrie. La méthode des
tangentes que donna ensuite Descartes, doit tenir un
rang distingué parmi ses découvertes , quoique depuis
lui on soit parvenu à en imaginer d’une expression plus
simple et plus commode. Il parle lui-même de sa mc-
thode avec une sorte d'enthousiasme : « De tous les pro-
blèmes, dit-il, que j'ai découverts en géométrie, il n’en
est aucun qui soit plus utile et plus général, et c’est de
tous celui dont j'ai davantage désiré la solution. » Plus
tard Descartes proposa dans sa correspondance une autre
méthode pour les tangentes, mais toutes deux sont
fondées d’ailleurs sur les mêmes principes.

Ainsi Descartes n’a abordé aucune des branches éle-
vées du savoir sans leur imprimer lamarque de son génie.
En mathématiques on lui doit d'importantes décou-
vertes dans toutes les parties de l'algèbre et principale-
ment dans la théorie des équations; l'application de
l'algèbre à la géométrie et une ingénieuse méthode pour
mener les tangentes aux courbes. Dans la physique ma-
thématique, la théorie de l’arc-en-ciel, la loi de Ja
réfraction et la démonstration du principe fondamental
de la mécanique sont des découvertes inappréciables
que la science doit à Descartes. On voit dans une des
lettres de ce grand homme, écrite en 1631, qu'il avait
reconnu ayant Torricelli la pesanteur de l'air et son
action pour soutenir l’eau dans les pompes et les tuyaux
fermés à une extrémité, puisqu'il y explique le phéno-
mène de la suspension du mercure dans un tube fermé
par le haut, en l’attribuant au poids de la colonne d’air
élevée jusqu’au dela des nues. Il a enfin déterminé ,
par le principe rationnelqu'il a mis dans la philosophie,
le grand mouvement intellectuel qui continue às’opérer
dans l'esprit humain.

Nousavons vu plus haut que l'illustre Descartes, pro-
fondément affligé des injust:s persécutions que ses opi-

55

454 DE

nions lui attiraient en Hollande, avait accepté l'asile
que la reine Christine lui offrit à sa cour. Ce ne fat point
cependant alors que la France se montra indifférente à
la gloire de cet homme prodigieux. Ses doctrines y
firent de rapides progrès, et le roi Louis XIIT lui fit en
vain offrir ses faveurs. Il accepta plus tard du cardinal
Mazarin une pension de 3,000 livres, qui lui fut exacte-
ment payée, malgré les troubles politiques qui agitaient
alors le pays. Il est vrai que l’année suivante le brevet
d’une pension plus considérable lui fut adressé et que,
quand il eut payé le: droits d'usage, il n’en entendit
plusparler. Mais qu'étaicnt-ce en cffet que ces tristes et
faibles rémunérations envers un homme comme Des-
cartes , tandis qu’une foule de poètes et de comédiens,
honorés dans sa patrie, y recevaient les récompenses qui
ne sont dues qu’au génie?

Le changement de vie que sa nouvelle position auprès
dela reine Christine imposa à Descartes, altérèrent bien-
tôt sa santé, qui avait toujours eu besoin des plus grands
ménagemens. Le froid climat de la Suède et la tyrannie
des habitudes de courtisan , qu'il fut obligé de prendre,
abrégèrent sa vie, Atteint d’une fluxion de poitrine, il
souffrit durant quelques jours et mourut à Stockholm le
11 février 1650, à peine âgé de 54 ans.

La reine de Suède donna des larmes à la mort de
Descartes, elle voulut le faire enterrer dans le tombeau
des rois, mais la Frauce réclama, par son ambassadeur,
sa dépouille mortelle, qui néanmoin: ne fut transférée,
de Stockholm à Paris, que dix-huit : ns après le doulou-
reux événement qui avait privé le monde savant des
vives lumières de son génie, et la France du plus grand
homme qui ait jamais reçu le jour dans son sein.

Les restes de Descartes furent déposés dans l’église
de Sainte-Geneviève , et l'on inscrivit sur son tombeau
l'épitaphe suivante quioffre un remarquable résumé de
sa vie et de ses illustres travaux.

D. ©. M.
RENATUS DESCARTES,

Vir supra titulos omnium retro philosophorum
Nobilis genere, armoricus gente, turonicus origine
[n Gallia Flexiæ studuit ,

In Pannonia miles meruit,

In Batavia philosophus delituit,

In Suecia r'ocatus occubuit.

Tanté viré pretiosas reliquias
Galliarum percelebris tune legatus, Petrus Chanut,
Christinæ, sapientissimæ reginæ, sapientium amatrici
Invidere non potuit, nec vindicare patriæ
Sed quibus licuit cumulatas honoribus
Peregrinæ terræ mandavit invitus,

Anno 1650, mense fébruario , ætatis 54.
Tundem post septem et decem annos
Ingratiam Christianissimti regis
Ludovici decimé queiti

: DE
Pirerum fns'gnium cultoris ct remunatorts
Procurante Petro d'Albert
Sepulchri p'o et amico violatore
Patrie reddite sunt,
Ein isto urbis et artium culmine positæ ,
Ut qui vivus apud exteros otum et famam quæsierat
Mortuus apud suos cum laude quiesceret,
Suis et exteris in exemplum et documentum futurus.
I aunc viator ,
Et divinitatis, immortalis que animæ
Maximum et clarum assertorem

Aut jam credefèlicem: aut precibus redde.

Nous ne croyons pas devoir ajouter ici la notice bi-
bliographique des œuvres de Descartes, réimprimées
plusieurs fois et sous tous les formats, elles sont connues
de tout le moude. Il x avait daus le caractère de ce
grand homme un mélange de douceur et de noble fierté
qui annonçaient à la fois la pureté de son ame et l’élé-
vation de son esprit. Il se laissa néanmoins emporter
quelquefois par la vivacité de son imagination dans des
querelles scientifiques où la raison n’était pas toujours de
son côté; mais ce sont là de ces taches, comme celles du
soleil, qu'on ne peut apercevoir qu'a l'aide de puis-
sans instrumeus et qui n’altèrent pas plus la beauté de
son géniequ'’elles n’obscurcissent l'éclat de cet astre. Du
reste , tous les témoignages contemporains attestent la
bonté du cœur, la générosité et la piété éclairée de
Descartes, dont un apologiste a dit avec raison : « On
peut avoir été plus loin que lui, mais c’est dans la route
qu'il a tracée; on peut Fètre élevé plus haut , mais c’est
en partant du point d’élévation où il a porté les esprits;
on peut enfin l'avoir combattu lui-méme avec succès,
mais c’est en se servant des armes qu'il a fournies. »

Qu'il nous soit permis , en terminant cette rapide no-
tice sur notre grand et illustre Descartes, d'émettre ici
un vœu qui sera compris de la France éclairée. Notre
pays a élevé des monumens et des statues à la mémoire
de quelques écrivains peu digues de l'enthousiasme
aveugle qu’ils ont excité et dont les travaux ort ébranlé
la morale et retardé la marche de l'humanité. Que la
mémoire de Descartes soit enfin honorée et que la sta-
tue de Voltaire ne fasse plus remarquer, dans le temple
même de la science, l’ingratitude de la France envers
l'illustre restaurateur de la philosophie rationnelle.

DESCENDANT | Asu.). Les signes descendans sont
ceux dans lesquels le seleil descend vers le pôle abaissé,

c'est-à-dire, du 3° au g° pour notre hémisphère boréal.

DESCENSION (Asur.). La descension d’un astre est,
comme son ascension (voy. ce mot), DROITE OU OBLIQUE,
selon qu’on la rapporte à la sphère droite ou à la sphère
oblique ; c’est en général la distance entre le point équi-
noxial et le point de l'équateur qui descend sous l’ho;
rizon en mème temps que l'astre. On nesesert plus au-

DE

jourd’hui que des ascensions droites pour déterminer la
position des astres.

DESCENTE Méc.). Les lois de la descente des
corps forment une branche importante de la mécani-
que ; elles sont exposées dans plusieurs articles. Voyez
ACCÉLÉRATION, PLAN INCLINÉ, RÉSISTANCE.

Lorsqu'un corps tombe librement, à la surface de la
terre , en vertu de sa seule pesanteur , le mouvement de
rotation de la terre le fait dévier de la verticale d’une
manière assez sensible, pour que ce mouvement si long-
temps contesté puisse être démontré par l'expérience.
Poy. Dévrarion.

DESCHALES (le P. François Milliet), religieux de
l’ordre de Jésus, a mérité le titre de savant et d'habile
géomètre durant le XVII siècle, si prodigieusement
fertile en grands maîtres dans les sciences mathémati-
ques. Il naquit à Chambéry, en 1611, et se distingua
par son savoir dans l'ordre religieux dont il avait pris
l'habit. I est l’auteur d’un cours de mathématiques qui à
pour titre : Cursus seu mundus mathematicus, etc.;
Lyon, 1693—1691, in-f°. Aux leçons d’arithmétique et
de géométrie qui forment le fond de cet ouvrage, le
P. Deschales ajouta un traité sur la perspective et un
autre sur la gnomonique. On place au nombre des meil-
leurs ouvrages d'hydrographie qui aient été publiés de
son temps un autre écrit du P. Deschales intitulé :
L'art de naviguer démontré par principes, etc. ; Paris,
1677, in-4°. Quoiqu'il fût entaché de quelques-uns des
préjugés qui animaient alors l'Église romaine contre le
système de Copernic, le P. Deschales eut le courage,
sinon de prendre la défense de ce système, du moins
de prouver la grossière ignorance en mathématique et
en physique de quelques-uns de ses détracteurs. Le mé-
rite particulier des ouvrages du P. Deschales est la clarté
avec laquelle il y expose les propositions les plus com-
pliquées. Il mourut à l’âge de 67 ans, en 1678, à Turin,
où il occupait encore une chaire de mathématiques.

DESCRIPTION ( Gcom.). Action de tracer une
figure, ou construction d’une figure; c’est ainsi qu'on
dit décrire un cercle, une parabole, etc.

DESCRIPTIVE. Géoméenxe pescmprivx. Une des
branches de la sance pe L’Érevnur. 'oy. Géomévne.

L'objet de la géométrie descriptive est la construction
ou la génération universelle de l'étendue par le moyen
des projections.

1. On nomme projection la trace déterminée, sûr un
plan donné de position, par les intersections des per-
peüdiculaines abaissées de tous les points d’une ligne ou
‘d’une surface situées hors de ce plan d'une manière
quelconque.Par exemple, si de touslespoints de ladroite
AB:on mène des perpendiculaires sur le plan MN, la
trace CD formée par les intersections de ces perpendi-

DE 235

culaires sera la projection de AB, et en , le particulier

point G sera la projection du point A, et le point D la
projection du point B.

2. La position de la droite AB dans l’espace sera donc
entièrement céte:minée si, connaissant d’ailleurs celle
du plan MN, aiusi que la projection CD , on conuaît
de plus la longueur des perpendiculaires AC et BD.

3. Cette position sera également déterminée par les
projections de la droite AB sur deux plans différens
donnés de position et perpendiculaires entre eux, tels
que les plans MN et MP ; car ab et a'b' étant ces ob-
jections, si l’on fait passer par la première un plan aB
perpendiculaire à MP , et par la seconde un plan A,
perpendiculaire à MN, l'intersection de ces deux plans
sera évidemment la droite AB.

4. Si du point « on abaisse la perpendiculaire 4x sur
l'intersection commune MQ, cette perpendiculaire e

M

sera également à la droite aA (»07.PLax), et par consé-
quent on pourra faire passer par les droites ax, aA, Aa
un plan perpendiculaire au plan MN, et dont l’inter-
section avec MN sera la droite a'x = aA. On a de plus
ax = Aa’, Ainsi, lorsqu'on connait les deux projections
«et a, d'un point À sur les plans rectangulaires MN ct
MP , si de ces projections on abaisse des perpendicu-
hüres ax et ax à l'intersection commune MQ, ces per-
pendiculaires se rencontreront en un même point x,
et seront respectives égales aux perpendiculaires me-
nées du point À à chacun des plans, ou aux perpendicu-
laires détérminant les projections æet 4".

5. Pouf se conformer aux usages habituels dela ligne
de niveau et du fil à plomb, on est convenu de suppo-

ser l’un des doux plans hor’=soztal et l'autre vertical

456 Di

Nous donnes ousie nom de base à la droite MG intersec-

tion commune des deux plans.

6.

Le but des projections est de représenter par des

figures faites sur un seul plan, et n'ayant par conséquent
que deux dimensions, tout ce qui concerne l'étendue
ayant deux ou trois dimensions. Pour cet effet, on con-
sidère le plan vertical comme ne faisant qu’un avec le
plan horizoutal, en supposant que le vertical , tournant
autour de la base comme charnière, ait fait un quart
de conversion pour ne plus former qu’un seul plan avec
l'horizontal. En vertu de ce mouvement, toute droite
située sur le plan vertical et perpendiculaire à la base,
restera perpendiculaire à cette base après que la conver-
sion aura été achevée, ct la projection verticale d’un
point quelconque se trouvera sur le prolongement de
la perpendiculaire menée de sa projection horizontale
à la base, car le plan MP prenant la position MF", les
perpendiculaires Ex et Fx ne font plus qu’une seule et
même droite perpendiculaire à la base MQ.

Ceci posé, nous allons donner les propositions fonda-
mentales de la géométrie descriptive.

7. Onnomme traces d’un plan quelconque lesdeuxin-
tersections qu’it fait avec les deux plans fixes, lorsqu'on
le prolonge suffisamment pour qu'il les rencontre, On
nomme de même {races d’une ligne les points O et I
(/ig. ci-dessus) , où cette ligue, prolongée s’il est besoin,
rencontre les plans fixes.

8. Les deux projections d'une droite étant données,
déterminer ses rraces sur les deux plans Jixes, c’est-à-
dire, les points où elle traverse le plan horizontal et le

plan vertical.

ee
re.

Soit ab la projection verticale, et a’ la projection

DE

horizontale. Prolongez ces projections jusqu’à cequ’elles
rencontrent la base, la première en E et la seconde en
C, et de ces points menez les perpendiculaires ED et CO
à la base, dont la première rencontre en D le prolonge-
ment de la projection &’b', ct dont la seconde rencontre
en O le prolongement de la projection ab, Les points D
et O, ainsi déterminés, seront les traces demandées.

En effet, CD et EO sont les projections d’une droite
OD, qui contient comme une de ses parties la droite
dont ab, a'b' sont les projections. Or, cette ligne OD
devant se trouver sur l'intersection de deux plans dif-
férens , l'un OCD mené par CD, et perpendiculaire au
plan horizontal, et l’autre OED, mené par OE, et per-
pendiculaire au plan vertical, passe nécessairement d’un
côté par l'intersection des droites CO et CE, et de
l’autre par l'intersection des droites ED et OE; puis-
que CD perpendiculaire à CO, se trouve sur le plan
perpendiculaire mené selon CO, et que ED perpendi«
culaire à OE se trouve sur le plan perpendiculaire mené
selon OË; ainsi ces intersections, ou les points O et D,
sont les traces de la droite OD, et conséquemment de
la droite dont ab ct a'b'sont les projections.

9. Si la droite OD était parallèle au plan horizontal,
sa projection horizontale CD pourrait bien faire avec
la base MQ un angle quelconque. Mais sa projection
verticale serait alors parallèle à la base, et il n’y aurait
point de trace horizontale D. On déterminerait comme
ci-dessus la trace verticale O. |

10. Réciproquement, si la droite OD était parallèle
au plan vertical, il n’y aurait point’ de trace verticale ;
sa projection horizontale serait parallèle à la base, et
l’on déterminerait seulement le trace horizontale D,

11. Les projections d'une droite étant ‘données, dé-
terminer les projections d'un autre droite parallèle à
la première , et assujélie à passer par un point dont les
projections sont également données.

Les projections horizontales de la droite donnée et
de la droite cherchée, doiventêtre parallèles entre elles,
puisqu'elles sont les intersections de deux plans per-
pendiculaires au plan horizontal, et par conséquent
parallèles entre eux.Par la même raison ; les projections
verticales doivent être aussi parallèles entre elles. Donc
en menant par les projections du point, des lignes pa-
rallèles anx projections de la droite donnée, ces paral-
lèles seront les projections demandées.

12. Déterminer la longueur d'une droite dont les pro-
jections sont connues.

Si la droite est parallèle à l’un des plans, ce que l’on
connait lorsque sa projection sur ce plan est parallèle
à la base , elle est égale à cette projection. Si elle n’est
parallèle à aucun des deux plans, elle est plus grande
que chacune de ses projections. Dans ce dernier cas, le
menant du point À (fig. du n° 4 ci-dessus) la droite

DE

AD parallèle à la projection horizontale a'b' ou, ce
qui est la même chose, perpendiculaire sur Bb", on
aura un triangle rectangle ABD dont la droite AB est
l’hypothénuse, et dont les deux autres côtés sontAD=—a'b"
et BD—B?'—Aa', mais la projection ad de AD sur Île
plan vertical détermine bd=BD, et cette projection
s'obtient en menant ad parallèle à la base ; ainsi les deux
côtés de l'angle droit du triangle rectangle ABD sont
donnés par les projections, et il suffit de construire ce
triangle pour obtenir l’hypothénuse ou la longueur de-
mandée de la droite AB.

Ainsi ab, a'b' étant les projections données, du point a
on abaissera sur bb’ la perpendiculaire ac sur laquelle
on prendra de cen o, co=a'b', on mènera bo et cette
droite sera égale à celle dont les projections sont
ab et a'b'.

13. Connaissant les projections d’une droite, trouver
les angles qu'elle fait avec chacun des deux plans
fixes.

slaere |
PS
de S ï
PRE "5
D C: DA 0
ni D Pat
i A Ed pe
; pet
! &.
: 3
| *
f ail
i a
H A
Z
Cd
Ÿ
vb”

Si ab et a" sont les projections données, on déter-
minera (8) les traces o et d, et alors l'angle odC sera
l'angle fait par la droite avec le plan horizontal,
et l’angle dE, l'angle fait par ta même droite avec le
plan vertical. Ces angles appartiennent aux triangles
rectangles oCd et dEo que l’on peut supposer entiè-
rement connus, puisqu'on a leurs bases Co et dE, et

DE. 437

leuvs hauteurs Cd et 0Ë. Il suffit donc de construire ces
triangles pour obtenirlesangles demandés. Ainsi, prenant
ED — Ed et CO = Ca, on mènera les droites oD et dO
dont la première fera connaître l'angle CO4 égal à
l'angle de la droite avec le plan horizontal et la se-
conde , l'angle oDE égal à l'angle de la droite avec le
plan vertical.

14. Connaïssant les projections de trois points quel-
conques , trouver les traces du plan qui passe par ces

trois points.

Soient a, b, cles projections verticales, et,a', b', c’,
les projections horizontales données; menons les droites
a'b', b'c', ab et ac; et prolongeons-les jusqu’à leurs points
de rencontre respectifs 72, n, 0, p avec la base; des
points o et p élevons, à la base, des perpendicu-
laires oA et pB jusqu'aux points À et B où elles
rencontrent les droites ab et be; élevons de même
des points » et m les perpendiculaires rC et mD
jusqu'aux points C et D où elles rencontrent les droites
a'b' et b'c’ ; les droites AB et CD seront les traces de-
mandées, lesquelles, prolongées, auront un point com-
mun E d’intersection où le plan proposé coupe la base.

Eneffet, ab et a'b! sont les projections d’une droite
menée dans le plan proposé par les points dont a et 4,
bet b', sont les projections, et d’après la construction
A et D sont les traces de cette droite; de même be et b'e’
sont les projections d’une seconde droite menée dans
le plan proposé par les points dont bet b', « et ec’ sont
les projections, et également d’aprèsla construction C etB
sont les traces de cette seconde droite. Or, le plan pro-
posé coupe donc le plan horizontal aux points À et B
et le plan vertical aux points C et D; ses intersections
avec cesplans ont donc lieu suivant les droites AB et
CD, et par conséquent AB et CD sont ses traces.

15. Les traces d'un plan ctant données ainsi que les
projections d'un point situé hors de ce plan, trouver les
traces d’un second plan parallèle au premier, et qui
passe par ce point.

Soient MN et NP , les traces du plan, eta et a' les
projections du point. Par le point a menons aÀ paral-
lèle à Ja base , et aB parallèle à la trace verticale MN,
jusqu’à sa rencontre en B avec la base. Par le point a’,

438 DE

menons également a'C parallèle à la base, et a'D paral-
lèle à la trace horizontale NP. Aux deux points B et D,
élevons les perpendiculaires à la base BG et DA jusqu’à
la rencontre des parallèles aA et 4'G, et par les points
A et C, menons les droites AO et CO parallèles aux
races données, ces parallèles seront les traces de-
mandées.

R
|

Lessobnsnemuve nn
#

4

|
|

En effet ;les points A et G sont les traces d’unedroite
dont la projection verticale est aB.et dont la projection
horizontale est «'C. Or, cette droite est parallèle au plan
donné, puisque sa projeètion verticale aB est parallèle
à la trace verticale de ce plan ,et par conséquent, elle
est contenue dans le plan cherché puisqu'elle passe par
de point dont les projections sont à et a’, Ainsi ce plan
coupe le plan vertical au point À et le plan-horizontal
au point C, et ces points sont situés sur ses traces;
mais les traces de deux plans parallèles sont nécessaire-
ment parallèlés. Ainsi, il suffit de connaître un :seul
point de chaque trace du second plan pour les dé-
terminer, et ces traces sont les droites AO+t CO qui,
par la natüre du problème , doivent se couper. à la base
‘én'un/même point O.

XGÉ tant données, les traces PB et:BC d'un planet
les projections a et «' d'un point ; construire 1°.les pra-
jections'de la’ttroite äbaïssée /perpendioulatrement du
point sure plan ; 2° Les projections du:point de: ren-
contreide le droite et duplan.

Dés points & et a menons les perpendiculaires am et
a'n sur les traces BP et BC; ces perpendiculaires seront
1és projections de la droite-demandée. Car si l’on con-
çoit un plan vertical mené par cette droite, ‘ce plan
-coupera le plan donné et le plan horizontal en deux

droites qui seront l’une et l’autre perpendiculaires à la

DE

commune intersection BC de ces plans, et dont la pre-
micre sera la projection du plan vertical, et en même

temps la projection de la droite; ainsi cette projection
devant passer par le point a et être perpendiculaire à
BC, sera a'n.

On démontre de la même manière que am est la
projection verticale.

Pour déterminer le point de rencontre, on doit re-
marquer que ce point se trouve nécessairement sur l’in-
tersection du plan donné par le plan vertical mené sui-
vant la droite cherchée, intersection dont 4'g estla pro-
jection horizontale, Or, si l'on avait la projection verti-
cale Pr de cette intersection, elle contiendrait celle du
point demandé, et comme de plus, ce point doit aussi
se trouver projeté sur la perpendiculaire @x, il serait
au point de rencontre r, de P£ et de am. Mais l'intersec-
tion dont il s’agit, rencontre le plan horizontal en n»,
dont on aura la projection verticale { , en menant xt per-
pendiculaire à la base; et comme elle rencontre le plan
vertical de projection en un poiut dont la projection ho-
nizontale.est g,rencontre de la base avec a’ prolongée,
s'il est nécessaire, et dont la projection verticale doit
se trouver en même temps sur la perpendiculaire gP et,
sur la trade PB, c’est-à-dire au point de rencontre P de
ces droites, on aura donc la projection verticale de l'in-
tersection en joignant par une droite les points P et £.
Cette projection étant connue, il suffit de prolonger &x
jusqu’à pour obtenir la projection verticale demandée
du point.de rencontre; quant à la projection horizon-
tale du même point, comme’elle doit se trouver en
même temps sur le prolongement de la perpendicu-
laire menée de r à la base et sur a'g, en abaissant cette
perpendiculaire, on la déterminera en s.

195 Étant données les projections d'une droite et
celles d’un point, construire les traces d'un plan mené
par Le point perpendiculairement à la droite.

Soient AB, ab les projections de la droite et D, d'célle
du point. Par le point d, menons la droite indéfinie dG
parallèle à la base, et par le point D, la droite DH,
perpendiculaire à la projection horizontale AB, jusqu’a
ce qu’elle coupe la base en H. Au point H, élevons à

DE
la base la perpendiculaire HG, et du point G, où cette
perpendiculaire rencontre la droite dG,menons GE per-
peudiculaire à la projection ab; du point C, où GC ren
contre la basé, menons également CE perpeñdiculaire
à la projection AB.GC,et CEseront les traces demandées.

Où sait déjà par ce qui précède que les traces de-
mandées doivent être perpendiculaires aux projections
données de la droite, et qu’elles se coupent en un
même point de la base; ainsi, il suffit d’unsecond point
trouvé sur l'une ou autre de ces traces pour les déter-
miner entièrement. Or, si parle point cherché, on con-
çoit une droite parallèle an plan horizontal de projec-
tion, et prolongée jusqu’à sa rencontre avec le plan ver-
tical, cette rencontre sera la trace de la parallèle, et se
trouvera*ur la trace du plan; mais les projections d'une
telle droite doivent être, la verticale, parallèle à la base;
et l'horizontale, perpendiculaire à AB; elles sont donc
les droites G et DH ; ainsi, d’après la construction, la
trace verticale de cette droite est au point G, et ce
point G fait également partie de la trace verticale du
plan demandé.

18. Les traces de deux plans étant données construire
les projections de leur commune intersection.

Soient AB, Ab lestraces du premier plan, et CD, Cd
les traces du second, Du point», intersection de AB et
de CD, abaissons zum" perpendiculaire à la base ; abais-

sons de même den’, intersection de Ab et de Gd, lt per-

DE 435

pendiculaire »’#; menons ensuite les droites mn, m'r',
ces droites seront les projections demandées.

En effet, tous les points des traces AB et CD se trou-
vant sur les plans proposés leur point de rencontre »2
se trouve en même temps sur ces deux plans, et fait con-
séquemment partie de leur intersection; il en est abso-
Jament de même du point 7, commun aux deux traces
Abet Cd; ainsi l'intersection des deux plans rencontre
le plan verticale en "1, etle plan horizontal en w. Or,
m' est la projection horizontale de 2, et n la projection
vertical de »', donc zx est la projection verticale de
l'intersection des plans donnés et 'n" sa projection ho-
rizontale.

rg: Construire l'angle formé par deux plans qui se

coupent , et donton connaît les traces.

LU

Soient AB ct CD , les traces verticales des plans, cet
Ab, Cdles traces horizontales. Construisons d’abord par
ce qui précède la projection horizontale E/ de l'inter-
section des deux plaus et d'un, point [ pris à volonté,
menons la droite GH perpendiculaire à Ef! Prenons fo
égale à Efet f à égale à JT ; menons eo; et du pointé,
abaissons sur cette droite la perpendiculaire £k ; portons
tk de Ten K, et eufin du point K, ainsi déterminé, me-
nons les droites KG et KH, l'angle GKH sera l'angle
demandé.

On peut considérer la droite GI menée par le point
arbitraire comme la trace d'un plan perpendiculaire à
l'intersection des plans proposés, et par conséquent per-
pendiculaire à ces plans eux-mêmes. Ainsi l'angle formé
par les intersections de ce troisième plan avec les pro-
posés, sera le même que angle de ces plans; et ces in-
tersections formeront avec GH, comme base, un triangle
dont l'angle au sommet sera l'angle demandé. Mais si
l'an conçoit le plan de ce angle abattu sur le plan ho-
rizontal, après avoir tourné autour de sa base GH, son
sommet tombera nécessairement sur Ef, et deviendra
l'un des points de cette droite; il suffit donc de déter-
miuer ce point, où la hauteur du triangle, pour pouvoir

\

440 DE

construire ce triangle, et conséquemment pour connaître
l'angle cherché.Or, la hauteur du triangle est la perpen-
diculaire abaissée du point I sur l'intersection des plans
proposés et elle est comprise dans le plan vertical mené
par E/. Si l’on conçoit donc que ce plan vertical soit
abattu sur le plan vertical de projection après avoir
tourné autour de fe, et quel’on prenne f I—fiet E/=fo,
le point I se trouvera en £, le point E en o, et l’inter-
section en eo. Ainsi du point ?, menant sur eo , la per-
pendiculaire 7, elle sera la hauteur du triangle; il
suffit donc de porter cette hauteur de I en K pour
achever ce triangleet construire l’angle demandé GKH.

20. Les projections de deux droites qui se coupent

dans l'espace étant données , construire l'angle qu’elles
forment.

nan an ma me mens

Soient AC et AB les projections horizontales et ac et
ab les projections verticales. Par le procédé du n°8,
déterminons d’abord les traces horizontales E et D des
deux droites et menons DE. Cette droite sera la base
d’un triangle dont les parties des droites proposées com-
prises entre leurs traces et leur point de rencontre,
seront les autres côtés. Il ne s’agit donc que de déter-
miner les longueurs de ces parties , pour pouvoir cons-
truire le triangle et conséquemment résoudre le pro-
blème. Or, il se présente un moyen plus simple pour
arriver à cette solution : du point À menons sur ED la
perpendiculaire indéfinie AF ; joignons les points a et A,
et portons AF de G en f'; tirons la droite af, et prenons
FH=4af. Da point H, menons enfin HD et HE; l’angle
EHD sera l'angle demandé.

En effet, la droite aA est perpendiculaire à la base,
püusqueles droites proposées devant se couper, le point &
est la projection verticale de leur point de rencontre etle
point A la projection horizontale de cemême point(5).Or,
AF est la projection horizontale de la hauteur du triangle
dont ED est la base, et dont les deux autres côtés sont

les portions des droites proposées, comprises entre

DE

leur point de rencontre et leurs traces E et D, car si
lon conçoit un plan vertical mené par la perpendicu-
laire abaissée du sommet de ce triangle sur sa base, ce
plan passera nécessairement par le point À, et sa trace
sera AF. Mais A est la projection horizontale de cette
hauteur, dont une des extrémités est F, et dont l’autre
se trouve élevée au-dessus du plan horizontal d’une
hauteur verticale égale à 4G; elle est donc égale à l’hy-
pothénuse d’un triangle rectangle aGf ayant aG et
Gf=AF pour côtés de l'angle droit. De plus, la hau-
teur du triangle, si l’on suppose son plan abattu sur le
plan horizontal, en tournant autour de ED, devant
prendre la direction de AF, il faut donc prendre sur
cette direction FH=—af, et le triangle se trouve construit
en menant HE et HD.

21. Connaissant les projections d'une droite et les
traces d’un plan, construire l'angle que la droite forme
avec le plan.

Cette question se ramène facilement à la précédente,
car si l’on imagine que par un point quelconque de la
droite , on abaisse une perpendiculaire au plan, l'angle
de cette droite avec la perpendiculaire sera le complé-
ment de l’angle cherché, et il suffira de le construire
pour résoudre le problème. Mais d’après le n° 16, si
l’on prend deux points sur les projections données qui
soient sur la même perpendiculaire à la base et que de
ces points, on élève des perpendiculaires aux traces res-
pectives du plan donné, on aura les projections hori-
zontales et verticales de la perpendiculaire au plan, et
il nes’agira plus que de construire l’angle formé par
deux droites dont on connait les projections, ce qui
s’exécutera par les procédés du numéro précédent.

22. Étant donné l'angle de deux droites qui se
coupent dans l’espace ainsi que les angles qu’elles for-
ment l’une et l'autre avec le plan horizontal, construire
la projection horizontale du premier de ces angles.

a gr
De

À vi /8
! /
!
}/
TA
#
‘1
#2
/,
#1
#
Fr
é
po)

ent À la projection horizontale du sommet de
+

DE

l'angle des deux droites, et AB la projection de ;a pre-
muère de ces droites. Du point À, élevons sur AB la
perpendiculaire indéfinie Aa, et d’un point arbitraire
d, pris sur Aa, menonsles droites dB et dC dont la pre-
mière fasse avec AB un angle dBA égal à l'angle donné,
que fait la première droite avec le plan horizontal, et
dont la seconde fasse l'angle dCA égal à celui de la se-
conde droite avec le même plan; menons de plus dD,
faisant avec dB l'angle DB égal à celui des droites;
prenons dD—dC, menons DB; et enfin des points À et B
comme centres, et avec ACet BD commerayons, décri-
vons deux arcs de cercle; du point E où ces arcs se
coupent, menons AE; l’angle BAE sera l'angle de-
mandé.

En effet, si nous supposons que le plan vertical de
projection passe par AB, ou que cette droite soit la
base ; la projection verticale du sommet de l'angle des
deux droites sera l’un des points de la perpendiculae
Aa; considérant le point d comme cette projection, et
Cd comme la projection verticale de la seconde droite;
il est évident que cette seconde droite ne pourra ren-
contrer le plan horizontal que dans l’un des ponts de
la curconférence du cercle décrit du point À comme
centre avec AC pour rayon, puisque cette seconde
droite fait avec ce plan un angle égal à dCA. I ne s’agit
donc plus que de déterminer celui des points de la cir-
conférence qui satisfait aux autres conditions du pro-
blème, et pour cet effet, il suffit de trouver sa distance
à quelqu’autre point fixe tel que B. Or, l’angle B4D
étant égal à l'angle des deux droites, le point D, déter-
miné par l'arc de cercle CD décrit du point 4 comme
centre avec dC pour rayon , se trouvera à la même dis-
tance du point B que le point cherché; ainsi, menant
BD et portant cette longueur de Ben E, ce point E sera
le point cherché, et par conséquent CAE l'angle de-
mandé. |

Ce problème connu sous le nom de réduction d'un
angle au plan de l'horizon, trouve une application fré-
quente dans la levée des plans. Foy. Pran.

23. Telles sont les propositions élémentaires de la géo-
métrie descriptive.

Les limites de ce dictionnaire nous forcent à passer
sous silence les applications curieuses et importantes
qu'elles offrent en foule, et pour lesquelles nous ren-
verrons nos lecteurs aux ouyrages de Monge, créateur
pour ainsi dire de cette branche de la géométrie (voy.
GÉomÉrtE), à ceux de Lacroix , et particulièrement au
Traité de géométrie descriptive de A1. F’allée.Les parties
plus élevées de cette science sont traitées dans notredic
tionnaire aux mots : NonmaLes, PLANS ranGENs, Pro-
JECTION ; SURFACES COURRES ; VOyYEZ aussi: ÉCHELLE pEs
cures, Epunes et TRANSVERSALE.

DÉTERMINÉ (Alg.).Les problèmes déterminés sont

DE 221

ceux qui »’admettent qu’un nombre déterminé de s6-
lutions. On les nomme ainsi, par opposition aux pro-
blèmes indéterminés dans lesquels le nombre des solu-
tions est indéfini. ’oy. INDÉTERMINÉE.

DÉTURBATRICE (4str.). On nomme force detur-
batrice celle qui est perpendiculaire au plan de la pla-
nète troublée. Foy. PErrurgaTioN.

DEUCALION (4str.). Nom donné par quelques au-

teurs à la constellation du VERSEAU.

DÉVELOPPANTE (Géom.). Courbe décrite par le
déroulement d’un fil enroulé sur sa développée. Voyez
Dévecorrée.

DÉVELOPPÉE (Géom.). Courbe lieu de tous les
points de rencontre des normales infiniment voisines
menées à une courbe donnée, Ces courbes ont été dé-
couvertes par Huygens.

Si l’on imagine qu'une courbe AB soit entourée d’un
fil flexible, infiniment délié et tout à fait inextensible,
à mesure que ce fil abandonnera la courbe à partir du
point À , sans cesser d’être enroulé sur elle, son extré-
mité décrira une nouvelle courbe, dont la première sera
sa développée. La courbe décrite OG sera la dévelop-
pante. Il est évident d’après ce mode de génération,
qu’en chaque point de la développante, le fil qui la dé-
crit lui est perpendiculaire; car si on considère la dé-
veloppée comme un polygone d’une infinité de côtés,
l'extrémité du fil décrira un arc infiniment petit de sec-
teur circulaire qui se confondra avec l'élément de la
courbe décrite. Le rayon de cet arcest le rayon de la dé-
veloppée, et comme il est tangent à cette courbe, on
peut la considérer comme le lieu du concours de toutes
les normales infiniment rapprochées de la développante.
En effet, si ces perpendiculaires sont à une distance
finie, elles formeront par leur rencontre un polygone
circonscrit à la développée, et quand on les supposera
infiniment proches, les côtés de ce polygone devien ;
dront infiniment petits et se confondront avec la déve- *
loppée.

De ce que chaque portion infiniment petite de la
courbe se confond avee un arc du secteur circulaire dont
le centre est sur la développée, il suit que sa courbure
en chacun de ses points est la même que celle du cercle

56

PE
t du rayon de Ja déveleppée; aussi ce rayon a-t-l
recu Je nom de rayon de courbure, ct le cercle celui
de cercle de courbure, ou cercle osculateur,
Cherchons maintenaut comment pour chaque point
d’une courbe nous pourrons déterminer son cercle 10s-
culateur, et partant le lieu de tous leurs centres, Si

uous comparons le cercle dont l'équation générale est
ay =p

avec une courbe y=fx, pour exprimer que ces deux
courbes ont un point commun, il faudra que dans l’une
et dans l’autre les coordonnées de ce point soient les
mêmes , ce qui donnera l'équation,

AA

En égalant les valeurs de y', première dérivée de y,
daus les équations des deux courbes , nous exprimerons
qu'elles ont une tangente commune au point x, y, et

nous aurous les relations

Voyez Foxcrions.
De ces deux équations on tire pour les valeurs de «

et de 5 en fonction de x, y, y" etp:

!
0Y

. p
RD y en
(6 or y 608 (r=y?)

sl

Si le rayon p était donné, le cercle dont les coor-
données du centre seraient « et 8, serait tel qu’entre
lui et la courbe, on ne pourrait faire passer au-
cun autre cercle du même rayon; car pour déter-
iniuer les coordonaées 1 et £ du centre de ce nouveau
cercle, on aurait les mêmes relations que celles qui ont
servi à déterminer « et £

Le cercle dont le rayon estp, étant tangent à la courbe
au point æ,,y indépendamment de toute valeur de p, si
on suppose le rayon indéterminé, et qu’on l’élimine
entre les valeurs de «et £, on aura la relation.

L

(4
ER)
Y

J B=Yy +

qui est l'équation d’une droite, laquelle sera par consé-
quent‘le lieu des centres de tous les cercles tangens à la
courbe au point æ, y,et qui alors sera normale à la
courbe en ce point.

Simaintenant nous exprimons que y” est le même

dans le cercle et dans la courbe, nous obtiendrons la re-
ation

= — À

(ea)

DE

qui permettra de déterminer «, £ etp en fonction de
x, y," et y". Le cercle sera alors complétement déter-
miné, etil sera tel qu'aucun autre cercle ne pourra
passer entre lui et la courbe au point x,y. En effet,
pour déterminer les coordonnés » et £ du centre de ce
nouveau cercle , et son rayon R, il faudrait exprimer
que dans ce nouveau cercle et dans la courbe, y,7' et 7”
sont les mêmes, ce qui donnerait les mêmes équations
que celles qui ont servi à déterminer «, B etp.

Le cercle que nous venons de déterminer a un con-
tact du second crdre au point x ,y avec la courbe. C’est
le cercle osculateur de cette courbe; et le lieu des centres
de tous ces cercles est la développée. Cherchons en effet
la courbe qui, en chacun de ses points aura un contact
du second ordre avec le cercle dont l'équation est

+0 bep,

et dont les élémens du contact «, B et p ont entre eux
la relation @ (x, £, p}=0.

Pour y parvenir, on pourrait substituer dans cette
dernière équation les valeurs de «, £, p trouvées ci-
dessus, et à l’aide de l’équation du second ordre ob-
tenue, on remonterait à l'équation primitive. Mais si on
suppose les quantités #, 8 et p constantes, ce qui re-
donnera l'équation au cercle , on aura l'équation primi-
tive complète; et si on fait varier «, B, p, de manière
que les équations primes et secondes de l'équation du
cercle, soient les mêmes que si ces quantités étaient re-
gardées comme constantes, ou aura une équation pri-
mitive qui sera celle de la courbe enveloppant tous les
cercles représentés par lamême équation.

On obtiendra cette équation en éliminant les quan-
6 +

=, entre les équations

tités c, B,pet—,,
g. &

“

(jee. (aa + (y—pf=p
(2)... æ—a+(y—fy'=0
(3)..... @(x, B, p)j—=0

et les équations primes de celles-ci prises relativement
aux seules variables «, B et p, et qui sont

f

Ge (eat (pet

£'
(b}.... I à J'=0

(6)s css @f ar ? BE + Ê, @' p=0

® à Lnéral
Mais les valeurs de æ et de y se présentent géncrale-
meut ainsi sous une forme compliquée, il est plus
simple de chercher à Les déterminer à l’aide d'une troi-

sième variable. e

DE

Étiminons d’abord y’ au moyen des équations (2) ct
(5), noûs aurons

at ee

£'
qui; combinée avec (1) donne immédiatement

pas
va°+6"
En substituant ces valeurs dans (4), on obtient :
p'=V a EE

équation qui, combinée avec #{x, 8, p)}=0, donnée par

LEA

F=B + Va+ p'*

le problème servira à déterminer z et 8 en fonction de
p, et par conséquent aussi æ et y.

Or, la relation p'=V/Tp" existant quelleque soit
lPéquation de la courbe lieu des éentres des cercles qui
ot un contact du second ordre avec la courhe cher-
chée, on voit que la courbe demandée est telle que le
rayon p est égal à l'arc de la courbe des centres. De plus
ce rayon est tangent à la courbe des centres. En cffct,
la tangente à cette courbe a pour tangente d'incli-

Là
. H : 1
naison La mais le rayon p est normal à la courbe dont
œ

les coordonnées sont x ety, et la tangente de l’angle

I e
qu'il fait avec l'axe des x est pr Or de la relation

Eh tete Ra tes
1 + r=0 On tire Vo donc le rayon p est

tangent à la courbe des centres.

Le rayon des cercles qui ont un contact du second
ordre avecune courbe étant toujours tangent à la courbe
lieu des centres de tous ces cercles, et en même temps
égal à l'arc de cette courbe; il suit qu’une courbe quel
‘conque peut être considérée comme engendrée par le
développement de celle qui est le lieu des centres de
tous les cerclés qui ont avec elle un contact du second
ordre. Cette dernière courbe est donc la développée de
la première; le cercle qui a un contact du second ordre
avec la courbe donnée est son cercle osculateur , et son
rayon est le rayon de courbure de cette courbe.

Appliquons mainténant cette théorie à quelques
éxémples. Proposons-nous de trouver la développée de
la parabole dont l'équation est

(1). +» Y°=PL:

En prenant les dérivées , on a

d'où

DE

ce qui donne pour les valeurs de x et de y

G— -

1 LE
nt)

En substituant dans l'équation (1), on obtient

P
*

P

Si maintenant on pose &— 7 — 0; c'est-à-dire, si on
>
transporte l’origine des coordonnées à l’origine de la dé-
veloppée, on aura pour l’équation de la développée,
169%

27p

=

Cette courbe aura deux branches, dont l’inféricure
engendrera la branche supérieure de la parabole, et vice
versé.

On pourrait, en suivant la même méthode, trouver
l'équation de la développée de la cycloïde, mais nous
allons déterminer la nature de cette courbe à l’aide de
considérations géométriques.

Le rayon de courbure de la cycloïde est égal à deux
fois la normale à la courbe (voyez RAYON DE COUREURE, ;
or ; la valeur maximum dela normale est celle qui cor-
respond à la position OD dans laquelle elle. est égale à
2r,r étant le rayon du cercle générateur, Donc le ravon
20D, et
le point D' appartient à la développée. 'Le point M,

de courbure a pour valeur maximum DD' =-

qui est sur le prolongement de la normale MR, et tel
que M'R=MR, est aussi, un point de la développée. Dé:
terminons maintenant. la nature de cette courbe: Pons
cela par le point D’ mesons D'E parallèle à AR; pro:
longeons le diamètre RG, jusqu'à sa rencontre, cn !°
avec cette droite, et menons FM!. Les deux triangles,
MGR. et M'F étant égaux, l'angle en M'est dreit puis:
que celui en M l’est aussi, ce qui prouve que le ecrele
décrit sur RE passe parle point M', Les deux droites
M'E et MG étant égales, les arcs qu'elles sous-tendleut
sont égaux, et on en déduit

444 à DE
arcM'E = arc RMG—arc RM—AO—AR=— RO FD’.
Comme ces relations existent‘pour tout autre point de
_la développée, il suit qu'elle est une evcloïde décrite
par le mouvement du cercle RM'FR de même rayon
que le cercle générateur de la première cycloïde, rou-
Jant sur la droite D'F, de D’, qui est l’origine, sur F.
A l’aide de considérations que nous allons rapidement
exposer, Monge est parvenu à prouver qu'une courbe

quelconque a toujours une infinité de développées.

Suppo sons que BAC soit une courbe à double cour-
bure quelconque, Par un point A de cette courbe menons
ua plan MNOP perpendiculaire à la tangente en A ; ime-
nons de même par le point A’, infiniment proche deA, un
plan MNO'P'perpendiculaire à la tangente en A'. Ces
deux plans se couperont suivant une droite OP qui sera
l'axe du cercle dont on peut supp oser que l'élément AA
de la courbe fait partie; de sorte que si on abaisse de ces
points des perpendiculaires sur cette droite, elles seron
égales entre elles et se rencontreront en un même point
qui sera le centre de ce cercle, lequel sera le cercle oscula-
teur de la courbe. Tous les autres points de cette droite
seront chacun à égale distance de tous les points de l'arc
infiniment petit AA’ et pourront par conséquent en être
regardés comme les pôles ; cette droite sera donc le lieu
géométrique des pôles de l'arc AA’. Si maintenant 6n
agit de même pour les points infiniment voisins A”,A"....
Fous les plans perpendiculaires aux tangentes à la courbe
en ces points, se rencontreront deux à deux suivant des
droites O'P', O"P”, OP”... qui seront les licux géo-
métriques des pôles des arcs A'A”, AA"... et ainsi de
suite; par conséquent, la surface courbe que ces droites
forment par leur assemblage est le lieu géométrique des
pôlesd e la courbe BAC.

DE

Menons maintenant par le point À et dans le plan
MNOP une droite quelconque et prolongeons-la jasqu’à
ce qu’elle rencontre PO en d; joignons A'et d par une
droite que nous prolongerons jusqu’à ce qu’elle ren-
contre O'P'en d',menons de même A"d'etainsi de suite;
nous obtiendrons de cette manière une courbe passant
par tous les points dd'd"d"... qui sera une développée
de BAC’. En effet, toutes les droites Ad, A'd', A'd"...
sont tangentes à la courbe d d'd"... puisqu'elles sont
les prolongemens des élémens de cette courbe; de plus,
si on conçoit que la première Ad tourne autour du
point d pour venir s'appliquer sur la suivante A'd', elle
n'aura pas cessé d’être tangente à la courbe 4 d'd", et
son extrémité À, après avoir parcouru l'arc AA', se
confondra avec l’extrémité A' de la seconde. Il en sera
de même pour les autres droites A'd', A"d'.... La
courbe d d'd" est donc telle que si on imagine qu’une de
ses tangentes tourne autour de cette courbe sans cesser
de lui être tangente, et sans avoir de mouvement dans
le sens de sa longueur, un des points décrira la courbe
BAC ; c'est donc une de ses développées. Mais nous
avons supposé que la direction de Ad était arbitraire,
par conséquent il en serait de même pour toute autre
droite menée par le point À dansle plan normal MNOP;
donc une courbe quelconque a une infinité de dévelop-
pées toutes comprises sur la surface ; lieu des pôles de
la courbe; cette surface, qui d’ailleurs est dévelop-
pable , est donc le lieu géométrique de toutes les deve-
loppées.

Si du point A on abaisse sur OP la perpendiculaire
AD , du point A’ sur O'P' la perpendiculaire A'D', du
point A” sur O’P" la perpendiculaire AD” et ainsi de
suite, les points D, D', D’seront les centres de cour-
bure des élémens correspondans de la courbe BAC, et
par conséquent la courbe passant parles points D, D', D”-
sera le lieu géométrique de ces points. Cependant cette
courbe ne sera une développée de la proposée, qu’au-
tant que celle-ci sera plane. En effet lorsqu'une courbe
est à double courbure, deux tangentes consécutives sont
bien dans un même plan, mais trois tangentes prises de
suite ne peuvent s’y trouver ; par conséquent trois plans
consécutifs, chacun normal à la courbe , ne peuvent pas
être perpendiculaires à un mème plan, et l'intersection
du premier et du second ne peut être parallèle à celle
du second et du troisième.

Si donc la courbe BAC est à double courbure, les
droites OP, O'P', OP’ ne sont pas parallèles, Il suit
de là que la droite AD étant perpendiculaira à OP ainsi
que la droite A'D, celle-ci prolongée jusqu'en A ne ren-
contrera pas O'P' perpendiculairement ; les deux droi-
tes AD et A'D' ne rencontreront donc pas la droite OP
dans un même point. Mais ces deux droites, considé-
rées dans des plans différens, ne peuveut se rencontrer

DE

que sur l'intersection des deux plans dans lesquels on les
considère , par conséquent elles ne se coupent pas et ne
sont pas situées dans un même plan. [l en est de même
des droites A'D', AD”, A"D" prises deux à deux consé-
cutivement; par conséquent elles ne peuvent être les
tangentes consécutives d’une courbe. Il suit aussi de là
que si, par deux points consécutifs D et D’, on conçoit
une droite tangente à la courbe DD'D", elle ne passera
pas par le point A'; mais én tant qu’elle est dans le se-
cond plan normal elle ne pourrait couper la courbe
BAC qu’en ce point A' où ce plan la coupe, donc la
courbe DD'D' est telle qu'aucune de ses tangentes pro-
longées ne rencontre la courbe BAC ; par conséquent
elle ne peut être une de ses développées.

Si la courbe BAC était plane, toutes les droites
OP, OP", O’P” seraient perpendiculaires au plan de
la courbe et par conséquent parallèles entre elles. Alors
les droites AD, A’D', A"D” seraient toutes dans le plan
de la courbe et se rencontreraient consécutivement dans
la courbe DD'D” dont elles seraient les tangentes. Il est
évident alors que cette courbe serait la développée de
la courbe BAC etprécisément celle que l’on a l'habitude
de considérer.

On pourrait maintenant se proposer de déterminer
l'équation de la surface développable, lieu géométrique
de toutes les développées d’une courbe dont les équa-
tions sont données ; et ensuite trouver l’équation d’une
développée déterminée; mais ces considérations nous
meneraient trop loin, et nous renvoyons ceux qui se-
raient curieux d'étudier cette théorie dans tous ses dé-
tails, à l'analyse appliquée à la géométrie de Monge.

DÉVELOPPEMENT, C’est, en géométrie , l’action
par laquelle on développe une courbe pour lui faire dé-
crire une développante. Foy. ce mot.

On se sert encore de cette expression pour indiquer
la réunion sur un plan de plusieurs figures planes dont
l’ensemble forme la surface d’un solide.

En algèbre, on entend par développement la forma-
tion de la série qui donne la génération d’une fonction.
Par exemple (a+x)" étant une fonction de la variable
æ, sa valeur,

am + mam—ix + ee a—2x2 +

m(m—1)\(m—02)
— ©" "%{ qn-3 3
UE a T ete...

+
obtenue par le binome de Newton, est ce qu’on nomme
son développement. Foy. Série.

DÉVIATION (Astr.). Ecart de position. On se sert
de ce terme pour exprimer la quantité dont une lunette
méridienne ou un quart de cercle mural s’écartent du
véritable plan du méridien, On trouve cette déviation

DE 445

en comparant le passage du soleil, observé dans la lu-
nette, avec le passage au méridien calculé par la mé-
thode des hauteurs correspondantes. Par exemple,
ayant calculé que le passage au méridien doit s’effec-
tuer à oh 2" 10", ct ce passage s'étant effectué dans la
lunette à o" 2° 6", on en conclut que la déviation de la lu-
nette est de 4" vers l’est, puisque le soleil a passé dans
la lunette avant de passer au méridien justement de
cette quantité.

Déviarion des corps dans leurchute libre. On nomme
ainsi la quantité dont un corps tombant librement à la
surface de la terre, s'écarte de la perpendiculaire menée
de son point de départ à cette surface. Si la terre était
immobile , il ne pourrait y avoir aucune espèce de dé
viation, car la force qui fait tomber un corps agissant
suivant la droite qui passe par le corps et par le centre
de la terre, tant que cette force est supposée agir, seule,
rien ne peut changer la direction du mouvement; mais
la terre tournant en 24 heures autour de son axe, et
toutes ses parties ayant une vitesse d'autant plus grande
qu'elles sont plus éloignées de cet axe, il est évident
que Île corps placé au-dessus de la surface et qui parti-
cipe du mouvement commun tant qu’il n’est pas libre,
décrit un cercle plus grand que celui décrit par le poin
dela surface auquel il correspond perpendiculairement.
Ainsi au moment de la chute, ou lorsque le corps de-
vient libre , il se trouve sollicité par deux forces dont
l’une le ferait tomber suivant la perpendiculaire et dont
l'autre lui ferait parcourir un espace plus grand que
l’espace parcouru par le pied de la perpendiculaire ; il
en résulte que le corps doit tomber un peu plus à l’est
que le pied de cette perpendiculaire, et cette déviation,
calculée d’après la théorie et vérifiée par l'expérience
devient ainsi une preuve de fait de la rotation de la terre
sur son axe.

La Place a donné la formule suivante pour calculer
la grandeur de la déviation d’après la hauteur de la

A=% nh sin A/?,
6

dans laquelle 4 désigne la déviation, À la hauteur de la

chute

chute, n l’angle de rotation de la terre pendant le
temps de la chute, 9 le complément de la latitude du
lieu et g l’espace parcouru par un corps pendant la pre-
mière seconde de sa chute, savoir g— 4",9044 pour
Paris. Voy. Bulletin des Sciences , n° 75.

Cette déviation, observée par MM. Guglielmini et
Benzemberg , a été trouvée par le premier, de 8 lignes
pour un corps tombant d’unchauteur de 241 pieds, et
par le second, de 5 lignes pour un cerps tombant de 260
pieds; mais de tels résultats ne peuvent être considérés

que comme une vérification générale du phénomène.

426 DI

DIACAUSTIQU (Geom.). Foy. CausrniQue.

DIAGONALE (Géom.) (de die, travers, et de yovæ,
angle). Droite menée du sommet de l'angle d’un paral-
lélogramme au sommet de l'angle opposé. Foy. Panau-
LÉLOGRAMME €t QUARRÉ.

DIAMÈTRE (Géom.) (de di«, à travers, et de æerpoy
mesure). Droite qui passe par le centre d’un cercle et
qui se termine de part et d’autre à sa circonférence. Le
diamètre d’un cercle est le double de son rayon. Woyez
NorionspréLim. , 42, et CERCLE , 30.

Le pramèrre d'une section conique est une droite qui
coupe toutes les ordonnées en deux parties égales. Lors-
que ce diamètre est perpendiculaire aux ordounées , il
prend le nom d’axe. Foy. chacune de ces courbes en
particulier.

Le pramèrre-d'une sphère est la même chose que le
diamètre du demi-cercle dont la révolution a engen-
dré Ja sphère. On le nomme aussi l'axe de la sphère,
Voyez SpuÈre.

Diamèirres pes PLANÈTES (Astr). Ils sont ou réels ou
apparens. Le diamètre apparent d'une planète est l’an-
gle sous lequel elle apparait aux observateurs,en prenant
pour rayon la distance de la planète à la terre. C’est-à-
dire, en menant de l'œil des rayons visuels à deux points
opposés du disque d’une planète, l’angle formé par ces
rayons et dont le diamètre de la planète est la corde,
forme ce qu'on appelle le d'amètre apparent. Cet angle
étant très-petit, on peut considérer la corde comme
confondue ayecl'arc ou comme étant sa mesure. Ainsi
les diamètres apparens d’une même planète sont en rai-
son inverse de ses distances à la terre, car il est évident
que ces diamètres doivent paraitre d’autant plus grands
que les distances sont plus petites.

Le diamètre réèl d'une planète est sa véritable gran-
deur mesurée à l’aide d’une grandeur connue telle que
le mètre, ou comparée avec le diamètre de la terre.

Les diamètres apparens servent à trouver les diamè-
tres réelslorsque les distances sont connues. C’est ce que
nous exposerons au mot Disrance.

La distance des planètes à la terre variant à chaque
instant par suite des mouvemens propres de ces corps ,
leurs diamètres apparens varient également , mais ces
variations s'effectuent entre certaines limites dont voici
la moyenne.

Moyens diamètres apparens.

Boleil 75 42. 8aint
Mercure.,...... 11,8
Ménuss suce oo yo. 57,9
MAS heros 8,94
Jupiter see os 39
Saturne. ss... 1e 18
Uranus ere 3,54
lallunes. ee eo

« DI

Les diamètres réels sont, en prenant celui de la terre
pour unie,

Diam. réels,
Soleil. ,..,.. 109,9300

Mercure,.... 0,3944
Vénus....... 0,9730
Marsa... 0,556
Jupiter...... 11,616
Saturne ..... 9,604
Uranus...... 4,2630
La lune,.... 0,2720

Il suffit donc de multiplier ces nombres par la valeur
du diamètre de la terre exprimée eu lieues ou eu
mètres pour connaître les diamètres des planètes expri-
mées en mesures semblables. Le diamètre équatorial de
la terre est de 12754863 mètres.

DICHOTOMIE (Astr.), (dedis, deux fois, et repos
partie). Terme dont se servent les astronomes pour
exprimer la phase de la lune dans laquelle elle est cou-
pée en deux, ou dans laquelle il n’y a exactement qu'une
moitié de son disque éclairée.

Le moment de la dichotomie de la lune a été em-
ployé pour déterminer la distance du soleil à la terre
par Aristarque de Samos, environ 260 ans avant l'ère
vulgaire; cette méthode, extrêmement ingénieuse :
mais peu susceptible d'exactitude par la difficulté de
saisir l'instant où la lumière est terminée par une ligue
droite, se trouve décritedansl’4stronomie de Lalande.
Voyez aussi l'Astronomie de Delambre, ch. 25,

DIFFÉRENCE (Arith., Alg.). Excès de grandeu
d’une quautité sur une autre, ou ce qui reste lorsqu'on
retranche une quantité d’une autre quantité, Par exem-
ple, la différence entre 8 et 5 est 3; et en général la dif-
férence entre a et b est a—b, quantité qui peut être
positive ou négative selon que b<a ou b>a.. Voyez
ALGËBRE.

Carcuz Des DIFFÉRENCES. Une des branches fonda-
mentales de la science générale des nombres. F'oyez
MATBEÉMATIQUES.

1. Le calcul des différences , considéré dans toute sa
généralité, c'est-à-dire comme embrassant le calcul
différentiel, a pour objet les lois de la variation des
quantités. ,

Par variation, nous entendons l'augmentation ou la
diminution de grandeur qu'éprouve une fonction quel-
conque de quantités variables lorsqu'on augmente où di-
minue ces variables.

2. Pour fixer les idées, considérons ce que devient la
fonction simple ax en faisant croître æ d'une quantité
quelconque m ; on a alors

alim) où ax + an ,

DI

ainsi la fonction ax a reçu un accroissement arr par
suite de l'augmentation éprouvée par æ. Si au contraire
on avait diminué æ de la même quantité », ax serait

devenue

{x —m) où ax —an ,

et par conséquent la fonction ax aurait éprouvé ane
diminution am correspondante à la diminution 72 de «.
Or c'est cette variation am, en plus ouen moins, qu'ou
nomme en géuéral prFFÉRENCE de la fonction ax.

3. De même, soit a-bx? une autre fonction de la
variable æ; en la désignant par y, nous aurons l'expres-
sion

7 =a+ bx

etil est évident qu'en faisant varier æ, y éprouvera une
variation correspondante. Désignons par y' ce que de-
vient y lorsqu'on augmente æ d’une quantité #7, nous

aurons

J'=a+b(itn}), °

mais la variation subie par y pour devenir y", ou y'—y,

est
[eite+nr | — [a+ bx |

c’est-à-dire,
a+ ba? + bnx + bn — a—ba? = bnx + bre.

Ainsi bar+br est l'accroissement ou la différence de
la fonction y.

4. Généralement, gx étant une fonction quelconque
de x, si noùs désignons par Ax l'accroissement qu’on
fait subir à la variable + et par Agx l'accroissement qui
en résulte pour la fonction gx, nous aurons

Apx = f(x +Ax)—@x,

et, si au lieu de faire varier æ en plus nous l’eussions
fait varier en z20ins , nous aurions eu

È APT = PL (x = AX).

5. px étant une fonction quelconque de la seule va-
riable x, si nous Ja désignons par y, nous aurons l’ex-
pression

YE= x;

et nous pourrons alors considérer y comme une autre
variable , mais dont les variations dépendent de celles
de æ. On dit alors que y est une variable dépendante ,
tandis qu’on nomme x une variable indépendante.

G. Les accroissemens qu’on fait subir aux variables
peuvent être considérés comme des quantités réelles ou

idéales , c’est-à-dire, commé des quantités fuites ou in-

AT

DI

fiuiment petites, dans le premier cas le calcul des diffe-

rences prend le nom de CALCUL DES DIFFÉRENCES FINIES,

et dans le second, celui de cazCUuL ptFFÉRENTIEL. Nous

allons procéder à l'exposition des lois générales de ces:
calculs et de leurs applications les plus importantes,

puis nous jetterons un coup-d’œil sur l'histoire de leur

introduction dans la science et sur les diverses considé-

rations métaphysiques auxquelles ils out donné lieu.

7. CALCUL DES DIFFERENCES FINIES. La diffcrence d’une
fonction étant la variation qu'elle éprouve lorsqu'on
fait croître les quantités variables qu’elle contient, la
règle générale pour trouver cette différence est donc
de retrancher la fonction primitive dela fonction variée,
et c’est ainsi que nous avons trouvé ci-dessus

Apr = gix+Ax)—x,
ou

APX = px — p(x —Ax)

en prenant l'accroissement négatif.

Il résulte de cette construction, que pour obtenir la
différence d’une quantité composée telle que ALBx,
dans laquelle A et B sont des quantités constantes et æ
une quantité variable, il suffit de faire varier le terme
qui contient x, c'est-à-dire qu’on a

A(A+Bx) — Ba,
car la quantité À, ne recevant aucun accroissement,

disparait lorsqu'on retranche la fonction primitive de

la fonction variée ; en effet on a

A(AHBzx) = (A+B(x+ax) — (ALBr)
= A+Br+Bar—A—Bxr
—= BAx

On aurait par la même raison

s[ A +Bx+ 07] — Bar +Caiy,

et ainsi de suite dans tous les cas semblables.
Il est facile de voir qu’en général la différence d’une
suite de termes telle que

ox +9 y + a+ ete.,

px, @y; g'z, désignant des fonctions quelconques des
variables x, y, z, se trouve en prenant la différence de
chaque terme, ou qu’on a

sf ex+gve"sete. [sert +aospere,

8. Agx désignant toujours l'accroissement ou la dimi-
nutiouépronvée par 4x, lorsqu'on augmenteou qu'on
diminue la variable æ de la quantité A, on peut consi-

448 DI

dérer cette quantité Ag comme une nouvelle fonction
de x qui peut admettre aussi un accroissement corres-
pondant à celui de la variable x. Ainsi, en supposant
que x croisse encore de la même quantité Ax, on au-

rait après l'accroissement
Ag(x+aAx),

et la variation correspondante de la fonction 4gzx , ou
la différence de cette fonction serait

A(ADX) = Aÿ(x+Ax)—Apx.

La différence de Agx ou A(Agzx), s'exprime par 4@x,
et c’est ce qu’on nomme la différence seconde dela fonc-
tion x.

9. On a donc pour la différence seconde de gx, l'ex-
pression

A°@x = Ap(x+Ar)—Apr.

Substituant la valeur de 4gx ou g{(x+Ax)—@x, cette
expression devient

A’Qx = Ap(x+Ax)—#(r+Ar)+ox,

mais on à aussi, d’après l'expression générale du nu-
méro 4 ;

AP(x+Ar) = pr +24x)—p(x tar).
Donc, la différence seconde est
AT = (x +24r)—2p(x+Ar)+hr.

10. Considérant de nouveau A°@x, comme une nou-
velle fonction de x, sa différence A{A@x) ou Agx sera
la différence troisième de gx, et, d’après ce qui précède,
on aura

Agx A" p(x+Ax)—Apx
Mais, d’après 9
Ap(x+Ax) = p(x+34r)—2p(x+24xrH#(x+ax)
Apr = (x +24r)—-29(x+ar)+x,
Ainsi, eu substituant , on trouvera
Apr = p(x+34x)—39(x+24r) + 30(x+Ar)—pr.

11. En suivant la même marche.on trouverait, pour
la différence quatrième de @x , l'expression

Aigr = q(x+hax)—4p(x+34x)+69(x4+24x) —
—he(x+ar)+ex

12. D'après ce qui précède , en remarquant que les
coefficiens numériques de ces développemens sont les
mêmes que ceux du binome de Néwton, on peut con

DI |
clure, par analogie , que la différence m ième de la fonc-
tion gx doit avoir pour expression générale
Apr = p(x+mAr) — mpix + (m—1)Ax) +

Le (x (m—2)ax)— etc... .(—1)"px,

+-

le dernier terme gx ayant le signe lorsque 72 est pair
et le signe — lorsqu'il est impair.

En renversant cette expression on peut lui donner Ja

forme plus commode

AM DL —(— 1 ÿ# [eme (x+Ax)

m(m—1)

+ —, f(r+2a7)

m(m—1) (m—2) m—3)

12.94 Tr PF)

ssmsssrte]

13. Pour donner une démonstration générale de

+

—etC....s.s

cette loi, il suffit de prouver qu’elle est vraie pour la
différence de l'ordre #21, en la supposant vraie pour
la différence de l’ordre 7; car il est évident que puis-
qu’elle se vérifie en faisant »m—4, il en résultera qu’elle
est également vraie pour »#1—5, et par suite pour toutes
les valeurs entières de 7».

Or, en désignant, pour abréger, par à l'accroissement
Az de la variable x , cette loi est (4).

Am px —(—1)" Lex—mete-+5) +

m(m—1)

ATEN) e(c+ai—ete.….]

—1

1.2
Prenant la différence des deux membres de cette éga-

lité, ona

A(AmDX)—=(— 1)" [acr+n—metr+an

m(m— 1)

— pr +3i)— etc. |

1.2

(0 {omete+D+

Late DETENTE PES ete... |

1.2

Ou , en effectuant l'addition des coefficiens des mê-
mes fonctions,

DI
Am HiIpa= (1) +, Lc 1).p(x+i)

+ (me UD) expo

… m (m—3) (pe

1209

m{(m—1) (m—2)m—3)

LE 1:2:044

poses ete. |

ce qui se réduit à (2)
AM H1IPX = (1). 1 Lez—(nHr).e(2t)

4 CU gatod—

CD Ch ete

1:253

Car, en nous servant pour abréger de la notation des
factorielles, on a en général, # étant un nombre entier

quelconque

m(m—1) (m—2)... EE mhi—1

TDR uit
m(m—) a dre (mike) _ mhtiITt
T.2030%e (+) RENE TEST

Mais, en réduisant au même dénominateur,

mit EH IA (gehr)rat mA
li PETER m7 til + A+

= (men (name

1#+ut

ns

HT 1

15 (mæ+r)e- tait

== ——
au+uit

expression qui , en faisant successivement #—0 , m=1,
#=—2, etc., donne les coefficie ns de (b), savoir :

(m+1), EC RER

Or, l'expression (b) est ce € que devient (a), lorsqu'on Cette loi qui, dans
y faitm=m4#, ainsi il suffit que la loi (a) soit vraie

7) ete hi)

ie SE (m+1 Den Fe

DI 449

pour une valeur quelconque de m pour qu’elle soit vraie
en général.

14. Lorsque l'accroissement de la variable est né-
gatif, la loi ci-dessus devient

2e LA Les. DRE EtCusse

AP = pen (ci) + ————°

ce qu’on déduit sans difficulté.

15. Fr et fx étant deux fonctions différentes d'une
même variable x, la différence de leur produit ou

A(Fx.fx)

se trouvera aisément par ce qui précède, car d’après la
conception générale des différences, on a

a(Fx.fx)=F(x+ax).f{x+ax)—Fr.fs
or
F(x+aAr)=Fr+AFr
Jletax)= fr+afe

] et par conséquent

F(x+ax).f(a+ax)=Fr fa+ fx. AFx+Fz.AFz+
+AFx Afr

donc
A(F 2.fr)=Fx.Afr+Afr.AFx+fr.AFz

La différence seconde du même produit s’obtiendrait
de la même manière. Cette différence est

A (Ex fc) =Fx.Afx+24Fr.a fr + AFr.fr
+24F x. A fx +24 Fz.Afr
+ 4Fzx.4'fx

En général, # étant un indice quelconque, on a (c)
AU(Fx fe) =F x. 48 fre Fr [ave afx |
os are NS [arret 2Au—1 fr + Au |
=E ele ee £ 2). AFx [a-petsae-re+

4 3au—sfra fx I

le cas des accroissemens neégatiff,

devient
57

450. BI

"1!

AP fe) = Prdsfe L eATr | Ab fx — SEA

4 nhisyye 50 L'oeuf,
+ = à Fe [à H—2 fx —2ART fx Lai]
(e—x)(e—2) vs nr
LE PAST Vin AFx AHT AU fa +
+ 34r-ife A ofr |
> etes.

est la loi fondamentale de la théorie des différences. Sa
démonstration générale peut s'effectuer en suivant la
marche que nous avons employée au n° 13.

16. É nous serait facile maintenant de trouverles dif-
férences de tous les ordres d’une quantité algébrique
quelconque ,mais sans nous arrèter ici à des déductions
particulières dont nous trouverons d’ailleurs plus loin
des exemples,
calcul des différenees n'a-pas seulement pour but de
trouver les différences des quantités données, mais qu'il
doit encore pouvoir remonter de ces différences aux
dérivent,
Cette distinction partage ce
calcu}--én:deñixbrañches-dont fa première considère les

difjérences directes, ou Les différences proprement dites,

fonctions dout elles lorsque les premières

seulement sont connues.

et la seconde les différences inverses ou sommes.

Ainsi, 4x étant la différence directe de ox, réci-
proquement 9x est la différence inverse ou la somme de
Apx.

On désigne les différences inverses par la caractéris-
tique >; de sorte que pour exprimer que er est la
somme de A9x : on écrit

px=2[ax|

17. Comme il y a des différences de plusieurs ordres,
il y a également des sommes de plusieurs ordres, par
exemple

[ax]

indique la somme seconde de 4x. En général Z# est
Ja caractéristique de la somme de l’ordre m.

i8. Pour remonter d’une différence quelconque à EE

fonction primitive, il est évident qu'il faut prendre Ja
somme du même ordre, et qu’on a

2[4"çx]=çx

‘19. Une fonction quelconque d’une variable étant
donnée, si on considère cette fonction comme la diffé-
rence d’une autré fonction inconnue , le problème de
trouver cétte dernière est donc le but du calcul des
différences inverses. Ainsi Fx étant la fonction donnés.

c’est ici le cas de faire remarquer que le

DI

trouver la somme de Fx ou XFx c'esttrouver une autre
fonction fx telle que Fon ait sa)

Fx=4fe

S'il est toujours facile de trouverles différences d’une
quautité donnée, il n’en est pas de même des sommes,
mais ce n’est point ici le Tieu de nous occuper deæce pro-
blème, qui forme Je but général du calcul des différen-
ces inverses, Où du CALCUL INTÉGRAL.

20. On considére encore les sommes comme des dif-
Jérences d'un ordre négatif, c'est-à-dire qu'on attache
la même signification aux caractéristiques 2” et A# ; de
cette manière

Z'ox et A—pox

sont des expressions identiques,

Si dans les lois (a) et (ce), on fait l'indice négatif, elles
s'appliquent immédiatément aux sommes. La première,
en ne considérant que les accroissemens négatifs, ce qui
est Le cas le plus snnple, devient (4)

mn mis)

L'on qu + me(a—i) + ———— (2 — 2) +

mi ae (+2) ne

DL 5: FFE

et la seconde (e)

Sn(Ee fr) =F 2 > fem AFx [ Butife — Enfer |
+ AE PO LE Enr 2204-fx +

è + por |-eic D

21. Nous allons montrer par quelques exemples l’ap-
plication de ces formules . £ désignant toujours l’accrois-
sement de la variable x, proposons-nous de trouver les
différences successives de la quantité +,

La première difference : ou Az” sera

ax = (æ+i}— 2x"
et en développant le bia: ome (æ+-i}"

n(n—

1.2

A = RMI # Ê Cite D ni

n(n—1)(r1

—2)
7 gn=—3j Let...
7 135330 +

Pour obtenir la différe) ace seconde, puisque d’après
la loi(a), ona

= 9x = 9 gai) + ple+2)

Aer =

à

= DI

en faisant rx», on obtiendra
aan = en — oo + (ao,

ou, en développant les binomes,

Acxn — x"
.. N(7—1 $
— 20m NA D, LR) an? 2 etc,
1.2
n(n—1)

an—2 Æ Ctc.

han + onan tit

mme:
et en réduisant

A7Xr — n(n—1 ini +6 al fren)h, spi etc.

ce.
on trouverait de mème pour la différence troisième
Aa = nfr—i)(n—2)2r + Anti Brr$$ etc,
en désignant, pour abréger, par À B C etc., les coefi-
ciens des puissances ii, 2°, 1°, etc.
“PP! . Tan
En général, la différence m ième aura la forme

ann n(n1) (n—2)...(n—m4#i)ar-nim +
AE Mar-n-iimtitetc.

Lorsque l’exposant » est entier et positif, le nombre
des termes de 4” x, diminuant d’une unité lorsque 72
augmente d’une unité, on voit facilement que dans le
cas de m—n,0ona

Amd — n(n—1)(n—2)...1.ùt

et que cette différence ne contient plus la variable x.
Il suit de cette remarque, que les différences d’un
ordre supérieur à 72 sont 0 , ou qu’on a en général

Amxn = 0

toutes les fois que 72 est plus grand que ».

En donnant des valeurs particulières à #7, nous au-
rons

A x? = 2x%ii

AE? = 91°
Aix? = 0
etc. etc.

A x3 — 3xiLaxi +
x = Grit6à

A3 — 68
Aixi — 0
etc, etc.

29. Proposons:nous maintenant de trouver les diffé-
rences successives de la factorielle æli en prenant pour

DI 451
accroissement de lavariable l'accroissement £:dela facto-
rielle , nous aurons

ir

AœnrÈ |, dr )nli jm ë : tbe ei
Or, par la nature des factoriclles

(ini = (ai) (am

dan ii D. (a+ int lÈ

Ainsi, opérant la soustraction

(a+ ini ami (xp [+ + mi— | :

donc

Agmi = pri(atipne ii,
En prenant les différences à accroissemens négatifs,
cette expression devient plus simple, car on alors

AZI — pm (x —i)r i
= (24 (ni ri) ant (gr) pm ré

= NU. xm—1 i,
La différence seéonce étant:

APXUEE = A(nris dm A à)

NU VAT

on obtient immédiatement , en vertu de l'expression
précédente,

AM = n(né ie am à,

En continuant de la mème manière il ést facile de voir
qu'on a en général

Ang nm)... (mini). ir anni,

Si au lieu de la simple factorielle æ#{ nous prenons
le binome (a+-x)"i nous aurons, en considérant tou-

jours les accroissemens comme négatifs,

Aa)" à = (a-prné 8 (aan
= (a+x + (n—r)à) (a+-x)n-ii
—(ata—i\ aa)
=nmiatrpenii,

et, par suite

An(a#x}rè m(m—x1)(m09) (nds) in

(a+a)mni,

Nous avons fait usage de ces différences à l'article Coxe
FICIENS INDÉTERMINÉS,

23. Les accroissemens dela variable! fuenütis vor
considérés comme égaux entre eux dins Tes différents

successives, peuyént admettre, dinisique notslé véto:

452 DI

ailleurs, des valeurs différentes. Mais avant d'aborder
les applications du calcul des différences , procédons à
l'exposition du cas des différences idéales qui forme la
partie la plus importante de ce calcul.

24s Cazcuz DiFFÉReNTIEL. Lorsque les accroissemens
des variables sont considérés comme infiniment petits, le
‘calcul des différences prend le nom de calcul différen-
tiel. Alors la nature purement idéale des quantités sur
lesquelles on opère apporte non-seulement des modifi-
cations dans les procédés du calcul, mais jui donne en-
core une signification particulière, qui, jusqu’à cette
époque, ne paraît pas avoir été saisie par le plus grand
nombre des mathématiciens. Nous allons essayer, autant
que les limites de ce dictionnaire peuvent nous le per-
mettre, d’éclaircir les difficultés qui , depuis l'invention
du calcul différentiel, ont porté quelques géomètres cé-
Jèbres à éluder l'idée de l'infini, en substituant aux pro-
cédés, si éminemment simple de ce calcul, des procédés
indirects et compliqués.

Remarquons avant tout que l'intelligence de l’homme
se compose de facultés différentes qui ont chacune leurs
lois propres, et que toute connaissance est le produit de
la double action, de l’objet de cette connaissance , sur
les facultés intellectuelles et des facultés sur cet objet.
C’est ainsi, par exemple, pour nous faire comprendre
par une image sensible ; que dans les sensations de l’or-
gane de la vue, la vision est le résultat composé de l’ac-
tion d’un objet matériel sur l'œil et de la réaction de
l'œil sur cet objet; de cette action réciproque nait la
sensañon de la couleur; couleur dont on ne peut cher-
cher exclusivement l’origine ni dans l’objet ni dans l’or-
gane affecté, mais bien dans la réunion de leurs activités.

Il en est de même pour les facultés de l'intelligence;
chaque faculté est douée de dispositions primitives ou
de lois particulières qui entrent comme parties consti-
tuantes dans les connaissances auxquelles nous nous éle-
vons par son moyen. Il est donc aussi essentiel de ne
pas confondre les produits de ces diverses facultés que
ces facultés elles-mêmes. Or, deux facultés opposées do-
minent toute l'intelligence humaine, ce sont l’ENTEN-
DEMENT et la RAISON, qui se neutralisent dans la faculté
intermédiaire du sucxmenr. Les fonctions de l’entende-
ment se rapportent aux objets sensibles, c’est-à-dire,
aux objets réels qui existent dans l’espace et daus le
temps. Cette-faculté agit en introduisant une unité intel-
lectuelledansles intuitions que nous avons de ces objets;
ses produits se nomment perceplions générales où con-
ceptions. Les fonctions de la raison ne s’exercent pas
sur les objets eux-mêmes ou sur leurs intuitions, mais
bien sur les conceptions de l’entendement que cette fa-
culté supérieure ramene à l’unité ; ses produits se nom-
ment conceplions générales, ou idées, en prenant le
‘mot idée dans son acception philosophique. Les fonctions

DI

du jugement s'exercent alternativement sur les concep
tions de l’entendement et sur les idées de la raison; cette
faculté, dont les produits se nommert jugemens, agiten
descendant des conceptions générales aux conceptious
particulières, ou en remontant des secondes aux pre-
mières.

Ceci posé, il est évident que l’idée de l'infini est un
produit de la raison et par conséquent un produit essen-
tiellement différent de celui de l’entendement qui doune
la conception d’une quantité finie. En effet la-concep-
tion d’une quantité finie sert à lier les intuitions que
nous avons des objets en les ramenant à l’unité, tandis
que l’idée de l'infini est absolument inapplicable aux
objets sensibles et ne peut se rapporter à aucune conpais-
sance réalisable par l'expérience. Mais cette idée de l’in-
fini, dernier terme de la raison, soumise à l'influence
du jugement, se transforme en idée de l’indéfini et de-
vient alors applicable aux conceptions de l’entendement
dans lesquelles elle introduit la dernière unité intellec-
tuelle.

Ainsi la conception d’une quantité finie porte toujours
sur des objets réels réalisables par l'expérience, et sert
de loi constitutive à des relations possibles dans ces
objets; tandis que l’idée d’une quantité indéfinie ne
porte que sur les fonctions même de l'intelligence et sert
de loi régulative ou de règle pour la géneration, non
de la quantité elle-même, mais de sa connaïssance.

Les quantités finies et les quantités indéfinies appar-
tiennent donc à deux classes opposées de connaissances
et conséquemment les lois des premières ne peuvent être
les mêmes que les lois des secondes. C’est à la confusion
de l’origine de ces deux espèces si différentes de quan-
tités que sont dues toutes les controverses dont le calcul
différentiel a été l’objet.

La première loi de ce calcul est :

Deux quantités quine diffèrent entre elles que d'une
quantité indéfiniment plus petite, sont rigoureusement
égales.

C'est sur cette loi que les géomètres ont tant peine à
comprendre que repose toute la question. Question pour
lasolution de laquelleil faut, à la vérité, s'élever au-dessus
de la niaise métaphysique de Condillac et de son grossier
mécanisme des sensations. La plupart des mathémati-
ciens modernes regardant encore la /angue des calculs
et d’autres inepties semblables comme le plus sublime
effort de l'intelligence, nous ne pouvons nous éton-
ner que malgré la publication faite en 1814, par
M. Wronski, d’un ouvrage intitulé Philosophie de l’in-
fini, et dans lequel la loi du calcul différentiel se trouve
démontrée de la manière Ja plus rigoureuse, ces mathé-
maticiens ayent persisté dans leur savante prétention de
bannir l'infini des mathématiques; mais nous ne pou-
yons nous empêcher de déplorer la condition des jeuues

DI

gens auxquels on impose l'étude d'ouvrages qui ne se
font remarquer que par l'absence totale d'idées philo-
sophiques.

La démonstration complète de la grande loi des
quantités infinitésimales repose sur la distinction néces-
saire qui existe entre les lois réelles des quantités finies
et les lois idéales des quantités indéfinies; distinction
dont nous n'avons pu ci-dessus que résumer les princi-
pes et pour laquelle nous renverrons nos lecteurs à la
Philosophie de l'infini, car c’est dans cet ouvrage seul
qu'ils pourront l’approfondir et conséquemment appré-
cier la démonstration dont elle est la base. Nous ne
pouvons ici qu’affaiblir cette démonstration en la résu-
mant comme il suit :

Les lois des quantités indéfinies n'étant, comme
comme nous l'avons dit plus haut, que des lois idéales
qui ne peuvent servir de règle que pour la génération
de la connaissance de Ja quantité , et non des lois réelles
de la relation même des quantités, il est évident que
deux quantités, A etB, quine different entre elles que
d’une quantité indéfiniment plus petite GC, sont rigou-
reusement égales. Car l’idée de la quantité indéfinie C
n'étant qu'une règle pour la génération de la connais-
sance des quantités de l'ordre de À et B, et ne pouvant
avoir conséquemment aucune réalité dans la sphère de
grandeur où se trouvent A et B, ne peut, par son in-
fluence purement idéale, changer en rien la relation de
ces dernières quantités considérée dans sa réalité.

25. On se sert de la caractéristique d pour désigner
les différences infiniment petites ou les différentielles.
Ainsi dr est la différentielle de x et dgx celle de @z.

dx étant une quantité infiniment petite; dx? est une
quantité infiniment petite du second ordre, ou une
quantité infiniment petite par rapport à dx; de même
dx est une quantité infiniment petite du troisième
ordre, et ainsi de suite.Le produit de deux quantités in-
finiment petites , telles que dx etdy, est aussi une quan-
tité infiniment petite du second ordre; le produit de
Lrois quantités infiniment petites dx , dy, dz est égale-
ment une quantité iufiniment petite du troisième ordre,
etc., etc. Foy. Inrini.

La loi des quantités infinitésimales embrassant les dif-
férens ordres de ces quantités, il est évident que les in-
finiment petits d’un ordre quelconque n’ont aucune
valeur à côté de ceux de l’ordre précédent, considérés
comme donnant lieu à une relation réelle, c’est-à-dire
que l'égalité

A=B+C
se réduit toujours à
A—=D

S1, quel que soit l’ordre de grandeur des quantités A ct

DI 455

B, C est une quantité infiniment petite par rappoit à
AetB.

26. Tout ce que nous avons ditsur lesdifférences peut
actuellement s'appliquer sans difficulté aux, différen-
elles. Par exemple la différence d'un produit de deux
variables simples x et y étant (15)

A(X.ÿ) = x Ay+Ax, Ay+yaz,

Si l’on prend les différences infiniment petites, cette
expression devient

d(x.y)=xdy+dx.dy+ydx,
ou simplement
d(x.y) = xdy+ydx,

en retranchant dx.dy qui est une quantité énfiniment
petite du second ordre et qui n’a, par conséquent, au-
cune valeur comparée avec celles du premier xdy
et ydr.

27. La loi fondamentale (a) lorsqu'on change l'ac-
croissement? en dx, se réduit à (e)

dE. fe) = Fa.dhfr+u.dEz.du—1fz

+ en ŒFx.du—2fz
1

m(e—1) (#—2)

3 5
+; .dFzr.dr—2fx

etc. etc.

en négligeant les quantités qui se détruisent. Cette loi
peut, comme le binome de Newton, avec lequel elle a
une grande analogie, se transformer en développement
de trois ou d’un nombre quelconque de facteurs.

28.Procédons maintenant à la déduction des différen-
tielles des fonctions élémentaires. Soit d’abord (gx}" la
fonction qu’il s’agit de différentier.

Si m est un nombre entier quelconque, faisons
m—=p+g, pet g étant eux-mêmes des nombres
entiers , et nous aurons

(gx) = (pxhp+7 = (px (ox)7.

Mais d’après la loi précédente
d (px). (ex) | — (gx). d(gi) + (ex. d(px)7.

Ainsi , faisant p—1 et successivement 91, 3, 3, 4, etc.
Di—1 , On à

d(px) =29x .dex

d(px)=3(ex) .dpx

d(pc={\(ex). dx

etc. elc.

454 DI
ét généralement (f)
dex}?=m(px)" dx
Si m est un nombre fractionnaire , en le représentant

P
ar —
d q

tion inconnue ÿx de la variable x, et poser

ST 54
nous pourrons cousidérer (gx), commeunce fonc-

p
(px)s = Ÿx

d’où
D... (gx = (dx)

et

[22]

ee | (ex E d\(yay}
ainsi, p et g étant des nombres entiers , on à

d} (px)? | = p(ypc)—1.dpx

a (Ja) | = gx) dr
et, par conséquent,
pexP—:.dex=q(br)—1. dx,
on tire de cette égalité
sos AVE — P .
4 Ÿ :
Mais d’après l'égalité 1
F La
dy = à {(xY |

et

CAES ETtP
ave (ele (eu) ?

substituant dans 4, on a

P

g\_P _GxpT
a] Gx) | __q PI +P
(ox) ?
LE
=? (+2) . dax.

Ainsi l’expression {f)a lieu lorsque 72 est un nombre po-
sitif entier ou fractionnaire.

Lorsque m2: est un nombre négatif, entier ou fract:on-
paire, nous pouvons poser

> pr)" — J T

d’où

et par suite
1 (px), x

Nous aurons donc aussi, à cause de d1=0, puisque x est
une quantité constante ,

o=4l (px)m. ve F
et d’après la lai (e)
o= dépx}. Ve + (ex) dhe,
c'est-à-dire «À

mloxhn—:. dx. dx ——oxm,.déx,

d'ou
‘ \m—1
\?PT )
d£ = —m — ,.dex.d4x
Ÿ Gen Ÿ
=—mlex)-1.dex 4x,
mais

dyæ=al (ox) | et Ve = (pr).

Donc, en substituant ces valeurs dans la dernière éga-
lité, on obtient définitivement

diex)-n =—mipx)-"-1.dex,

l'expression (f) se trouve ainsi démontrée pour toutes les
valeurs entières et fractionnaires positives et négatives
de l’exposant 71.

serait facile, en employant un procédé semblable à
celui dont nous nous sommes servis à l’article ANGLE,
u° 13, d'étendre cette démonstration au cas de l’expo-
sant irrationnel.

59. ILest facile à présent de trouver la différentielle
é . Ç æ
d’une expression fractionnaire telle que re ; Car on a
px
= = oX.(dTr)T!
Ÿx x .(ÿæx)
et par conséquent

a Æ = pr (pe) (pa). dx

= — 192.d($x)—2.dVx + (ÿx)-1dpe

x. dex—eox.d x
(E3E É

DI

30. En substituant, dans ces expressions générales, des
fonctions déterminées de x, on peut trouver facilement
les différentielles de ces fonctions. C’est ce que nous

allons éclaircir par les exemples suivans,

Soit
—(A+xt) ctn=+,
on a
d(A+z’h = (A+): d(A+æt),
pes
d(A+zx’)= dA+dx? = o+2xdx,
donc

d(AHathà = +. (A+a)-t.2xdx

dx
V(A+a)
On trouverait de la méme manière

pxr—*.dx

d| V' {ar + x?] | = n/ Feu Fe

à cause de 1—m——(m—i).
Soit actuellement

€

(px) = (a+ bar,
onaura

Ka+ban)” = m(a+bar)#— Ke, d{a+bær)
= m(a+bar)n— .nbaæn=\dx
= mb (aber da.

Prenons pour dernier exemple

ere[e+ÿ6-5)

nous aurons d’abord

a [av 2) 1%

= m [a+

Mais

afa+v(i— D, A

D [ afetv 6-5 |

À 455
1-5)
= —dcx—?

= +pex-p1,dx
pcdx
xP+2

donc en substituant

LH)
LC

31.L’expression théorique du logarithme d’un nom-
bre x, d’après la base &, élant
log æ = cp (. = 7
gx =X(x 1) PE
dans laquelle © représente un nombre infiniment
grand et La le logarithme naturel de la base a (voy. Lo-
GariTaMes). La différentielle est, d'après ce qui pré-
cède,

d loge = d] » x 1).

Le) œ
Lo” œ@ 1
nr æ* x a— dx
< _i dæ
7 La.x

Le
à cause de 2°" =x—1

S'ils’agissait d’un logarithme naturel, on aurait La—1
et

dx
dLx = —

On aurait de même, en général,

35. Cette derniéredifférentielle nous fournit le moyen
d'obtenir facilement celle de fa fonction exponentielle
a: Eu effet,

faisons

d: A)

DI

af +] — dy

Mais en prenant les logarithmes naturels des deux

456

nous aurons

Lo

membres de la première égalité, nous avons
ox.La=Lx
ce qui nous donne en différentiant

La.dpx —dly = #

“

Ainsi
dy=y.La.dyx

et par conséquent, en substituant les valeurs ci-dessus
de dy etdey,

d [ur] = a;*.La.dyx

33.Pourobtenirles différentielles des fonctions trigo-
aométriques sin æ et cos æ, nous pourrions partir des
expressions théoriques de ces fonctions (voy. Sinus),
mais il se présente un moyen plus simple de les obtenir
immédiatement. Nous avons généralement (7)

dex=g{x+dr)-9x

Ainsi
d'sinx— sin (x+dx)—sin x
or
sin(xÆdx)=sin x.cosdx+cosx.sindx
donc

d'sin x=sinx. cos dx +cosx.sinx

Or, dx étant une quantité infiniment petite
sin dx=sin x et cos dx 1 (voy. Sinus), par conséquent

dsinx.=cosx.dx
On trouverait dela même manière
dcosxæ ——sinx. dx

A l’aide des différentielles précédentes, on peut cou-
struire sans aucune difficulté celles de toutes les fonctions
composées, nous ne nous y arrèterons donc point, et
nous passerons immédiatement aux applications les plus
importantes du calcul des différences.

34. Le grand but du calcul des différences finies ou
indéfinies+, étant d'obtenir la génération d’une fonction
quelconque, par le moyen de ses accroissemens, dési-
gnous par Fx unetelle fonction , etexaminons ce qu’elle

devient lorsqu'on augmente successivement la variable

DI

z. Or, z étant considéré comme
l'accroissement de x, nous avons en général

æ d’une même quantité

AFx=F(x+z)—Fxr
d’où
F(x+z)=Fx+aFx

faisant successivement dans cette relation générale
Lx +2, x =2x+#25, xx +3, etc., et substituant
les unes dans les autres les valeurs que donne cette

même relation , nous obtiendrons la suite d'expressions

Fx+ 2)=Fr+aFx
F(x+22)=F{(xtboz)+al(x+oz)=Fxr+o4Fr+a4Fx
F(x+3z)=F{x+#02)+AF(x+402)=lr+3aFr+

+34 Fx+aFr

etc. etc. etc.
et en général (g)
F(x+mz)=F 2maF + MU aFz x +
m(m—1) (m—2) ,;
+ Ps po Fr+etc….

ce qu’on peut démontrer en suivant la marche employé
pour la loi du numéro 13.

Maintenant, y étant un multiple exact de z égal à 22,
on a =?, et substituant cette valeur dans (g), on

obtient (k)

Fr +7. ME rUD, APE 4

Ya} (9—22) es

de etc...

AT AT

Mais le nombre des termes de cette expression est d’au-
tant plus grand que la quantité z qui est sous-multiple
de y est plus petite; lors donc que cet accroissement est
infiniment petit, et alors , il peut toujours être con-
sidéré comme un sous-multiple exact de y, le nombre
des termes de (k) devient infiniment grand. Dans ce cas,
les différences deviennent des différentielles, z est
simplement dx, et l’expression (4) devient (t)

Le

Fete pr +20 2, CEE

12 da?

—— +

Telle est la génération de la fonction F(x+7). C'est
ce qu’on nomme le théorème de Taylor.

35. Pour appliquer ce théorème à la génération d'une

DI

fonction déterminée , on voit aisément qu'il suffit de
savoir trouver les différentielles successives de cette
fonction, ce qu’on peut toujours faire par les règles
données ci-dessus. Soit en effet F(x+y)=(z47)", nous
aurons Fx=—x”, et par conséquent

d'Fx—d{[xr]=mam-dx

dFx=d{rr]=dimen-dx]=m(m—1)x"-1dx?

DEx=d{xm]=d\m(m—rx"—- dx]
=m(m—1\m—2)x"-$dx

elc. —=etc. = etc.

la quantité dx étant considérée comme constante.

Substituant toutes ces valeurs dans le théorème (4),

on obtient.

_—

Gnome y me

Mn 1)(ni—2)

EVENE — xm—iy3 etc...

ou la formule de Newton, qui se trouve ainsi démontrée
pour un exposant quelconque 7.

36. Si dans le théorème(z),on fait x—0o,ona,en
désignant cette circonstance par un point placé sur æ
dans Fx,

es LE

+ 2.

1.2

F(y)=Fà +7

CE

es 33" NE Le etc...

changeant y en x, on a définitivement (4)

a &Fx

æ dFx 2e

Fa)= Fi + EE

.2 dx?

dFx

3
z
Te -— etc...

SU 1.2.3

formule connue sous le nom de thcorème de Maclaurin,
et dont on a revendiqué dernièrement la propriété en
faveur de Süurling.

Nous avons déjà donné une déduction de cette for-
mule par la méthode des coefficiens indétermines.

37. Éclaircissons Vusage de ces formules par quelques
exemples. Soit Fx=L'i-x), la caractéristique L dési-
goant le logarithme naturel de (14-x). Nous aurons les
différentielles successives de L{14-x)en faisant d’abord,
d’après (31)

et ensuite

DI
died [LE tai Se 1+x)—1.dx

dx?

= —1.(1+x)-.d2x= TRE

dUi4r)= a |- & | —=+(1+x)-3.d2
dx?
= +rG
dl ral=d] Le 3(14x)- 4 dut
+T)= . el —2.3(1+x)-é.dx
Tri
NS te
(1+x)t
etc... etc.
et en général
drL(i+zx) =2.3.41. nr) (—i)a—1

faisant dans toutes ces expressions 4=0, et les substi-
tuant ensuite dans (4) on obtient

ri 5

n 2 3
L(i+x) — Li+® "+ — AE — etc...

ou seulement

% Ne D 2
L(i+x)=x— + MR: + CAT + etc...
°
à cause de Li=o.
Soit actuellement Fx=sin{a—x), nous trouverons
pour les différentielles successives

d sin(a+4-x)=cos(a+x),dx
æsin{a+x)—d| cos(a+x).dx ]=—sin(a+x).dx
Bsin(a+x)=d|—sin(a4-x)dx"]=—cos(a+x).dx

disin(a+x)=d|—cos(a+-x)dx]=<+sin (ar).

dx

et ainsi de suite.
Faisant dans ces valeurs x=0 et substituant dans (4)

on à
LR : æ k
sin (ax) = sin a+ cos a.— — sin «. ee
Lil

13

x
— 3 + etc...

.2.9

— cos &,
1

si l’on fait «—0, on à sin o—0, cos o—1, et le dévelop-

pement devient

PACE Es etc..

On trouverait de la même manière pour cos æ, l’ex-

pression

458 ‘- DIT
= 2” ot Rte r | etc
CRT Slt Sie nt 00 Lo

38. Nous avons jusqu'ici considéré la variable x de la
fonction générale 9x comme une variable indépen-
dante, c’est-à-dire comme une variable qu’on peut dé-
terminer à volonté; mais il peut se présenter le cas où
cette quantité est elle-même fonction d’une autre va-
riable, des accroissemens desquels les siens dépendent ;
par exemple, æ peut être une fonction quelconque Ÿz
dez, et l’on peut avoir besoin de connaitre immédia-
tement l'accroissement de 9x correspondant à celui de
z, ou la différentielle de #x en fonction immédiate de az.
Pour mieux faire comprendre cette particularité, sup-
posons

gx ax? etz—=bz

en éliminant x entre ces deux équations, on obtient
gx—ab"z"
dont la différentielle , en faisant varier z, est
dox—2ab";dz

Or, cette élimination peutsouvent devenir très: com-
pliquée , et il est toujours facile d'obtenir immédiate-
ment la différentielle de #x en fouction de la variable
indépendante z.

Pour cet effet, remarquons que la différentielle d’une
fonction quelconque 9x est toujours de lg forme Mdx,

c’est-à-dire qu’on a en général
dox— Max

æ étant considérée comme variable indépendante, et
M étant une quantité dans laquelle x peut ou non se
trouver, selon que dans +, ilentre ou n’entre pas des
puissances de x. Or, en divisant l'équation précédente
par dx, ona

et M est ce qu'on nomme la dérivée différentielle de
ar.

Ainsi, dans le cas ou @x serait a + bx ca*, nous

aurions

dÿx = bdx + 2cxdx

= (b + ocx)dx
et, par conséquent,
dx
nn b+ ocx.
b+ocx serait la dérivée différentielle de ox.
de: ,
De même Je est la seconde dérwée différentielle

de gx , et ainsi de suite.

DI

Or, lorsque la dérivée différentieite d'une fonction
est connue, on obtient immédiatement sa différentielle,
car de l'équation générale

dmgzx _ X,

dm
on tire

dméx = X.dxn,

û
Ayant donc la fonction 9x dans laquelle x=4Ÿz2, ce qui
revient à

gx = g(Y2)
si nous parvenons à trouver la dérivée

dé(Yr) , der

ds ?

dz

nous aurons en même temps la différentielle de gx en
fonction de la différentielle d3 de la variable indépen-
dante z.

Mais si nous désignons par M la dérivée de gx, et
par N celle de 43, nous aurons

d$xr dYz
PR UN
d’où
Lz
CNRC
dx dz

Or, à cause de ===, on a dx —d#2, retranchant donc
le facteur commun aux deux termes de la fraction , il
reste

et conséquemment
dgx =M.N.d,

ce qui nous apprend que pour obtenir la différentielle
de gx, par rapport à la vañable indépendante 2, il faut
prendre le produit des dérivées de gx et Ÿz et le mul-
tiplier par dz. Appliquons d’abord cette règle à l'exem-

ple donné ci-dessus dans lequel

gx = ar et x — bz
ou à |
dpx = 2ax dx, et dx = bdz
d’où
d L
PE oax ; et —b
dx dz
ainsi
dpx dpx dx
eo de

et définitivement

DI

dgx = 2abx dz,

différentielle qui est identiquement la même que celle
obtenue par l'élimination, en substituant à la place de x
sa valeur bz.

Soit pour second exemple px —a+bx*etæ—mz+n2,
nous aurons

dgx 2 _
Rie 3bx?, » = 74-07
et
DE = 3bx(m+anz)
de
ou

dpx = 3bx*(m+onz)dz.

39. Si la variable x de gx, dépendait d’une autre va-
riable y, dépendant à son tour d’une troisième z, c’est-
à-dire , si l’on avait

x = Ÿy ety = 02,

y et 63 étant des fonctions quelconques de y et dez, on
obtiendrait la différentielle de gx, en fonction du seul
accroissement dz, par le produit des trois dérivées

dgxz dx dy.
dx * dy &°
c'est-à-dire qu'on aurait
d$x dx dy,
dpx = PES , dy me dz,

ce qui est une conséquence de ce qui précède et peut

s'étendre à un nombre quelconque d'équations auxi-
liaires.

40. Ces formules peuvent être employées avec ayan-
tage dans la différentiation des quantités compliquées;
un seul exemple suffit pour enseigner leur emploi.

Soit

pas
supposon
b mas d her (1)

et nous aurons

gx=(a+\/y)

l'équation (1) nous donnera

.. (2).

dy _ 2c
dx x

et l'équation (2)

DI 459

dox (a y}
dj _ 2Vyr
nous aurons donc
dex_ déx dy _ hat vy
de. dy ‘dx axi,\/y ?

d’où, en mettant pour y sa valeur,

fr. Sans nous arrêter ici à la déduction des différen-
tielles successives d’une fonction gx dans laquelle x est
une variable dépendante, déduction qui ne présente
aucune difficulté et dont ce qui va suivre offrira d’ail-
leurs un exemple , appliquons les considérations précé-
dentes à la génération de Ja fonction générale Fx, au
moyen des accroissemens dy d’une variable indépen-
dante y avec laquelle x est liée par l'équation x=4y.
La fonction Fx est alors proprement F(4y).

Or, en appliquant à cette dernière le théorème de
Maclaurin (4), nous aurons (2)

F(dn) =

J dy
F7

Le point placé sur y indiquant toujours qu'il faut
faire yo après avoir pris les différentielles.
Mais, d’après li formule du n° 38 , nous avons

dEx dEx dx

nous aurons évidemment

dA: - dA; dx
dy dx dy
et par conséquent
AA; … dFx
dy — dy?

désignons de nouveau cette seconde dérivée par À, , et
poursuivant de la même manière, nous trouverong, en

rassemblant les résultats,

dEfdy) dFx dFx dx dEx
tr Amel Ke 5 A4 = LL, — = = À,
d) dæ dx dy dy

460 Di

dy) dEx dA, dx dA;

E Pr = = - . — — = A,
dy dy? dx dy dy

ŒF(Ÿy) _ d'Ex dA, dx dA,

3 — = T = -7.e = - = À;
dy dy dx dy dy

déE(Ÿy) _ diFx dA dx dA,

—— — = — = - . =-— —=A,
dy{ dy dx dy dy

etc. etc.

Substituant ces valeurs dans l'expression (/), elle de-
viendra

ed LL ÿ* _ ÿ
Fe = Fit + A + he a etc...

Le point indiquant qu'après lesdifférentiations il faut
donner à la variable x la valeur qui résulte pour cette
quantité de la relation y = 0 dans l'équation x = y.
Mais si nous désignons par gx la fonction réciproque
qui donne y=@x, nous aurons définitivement (72)

Er Fèt, Pa EE pere.
et alors le point indique qu’il faut donner à x, après
les différentiations, la valeur qui rend gx=o.

Ceite formule, qui donne la génération en série d’une
fonction quelconque de la variable + au moyen des puis-
sances progressives gx , (x) ,[(@x)* d’une autre fonc-
tion arbitraire de la même variable, est appelée le {Aco-
rème de Paoli, du nom du géomètre qui l’a décou-
verte.

42. En examinant la formation des coefficiens A,, A,
A, on peut les exprimer ainsi qu’il suit, en les rendant
indépendans les uns des autres

dFx
d@ x

x a; dE &
AT px" +]
à I 1 fx
NT dx" ldgz"* ll

. _ à I I 1 dx
A ox‘ ldox'‘ (s " Al

etc,

À =

»

etc.

Si nous divisons ces valeurs par les coefficiens numé-

riques qui entrent dans l'expression (2) ou si nous fai-

sons

A2 RE Âs _
1.2 “)1.2,3 7 Ha
Nous pourrons lui donner la forme plus simple (x)

Pare FA gr Ai(ge) A (pr) (ox) etc.

DI

et alors ces nouveaux coefficiens seront

. dFx , dAï , AA,
Ru A; dx” 37,3 dx" etc., etc.
ou
Az : .%
dyx

: I dE &
A = 55 ge ae]

ï e dE
A, = 533: dy& dé . d mr |

= di de fo
* dex"" [do Ldox' &x |]

etc.

A4 = —

1:2:3:4

etc.

43. On peut encore obtenir d’autres expressions beau-
coup plus simples de ces mêmes coefficiens. Pour cet
effet, représentons par À, le terme Fx qui est une quan-
üté constante , et considérons comme entièrement indé-
terminés les coefficiens A4, A;, A, etc. de la série géné-
rale

Fr=Ac+A;ex+ÆA,ox+A:px LA ,pribetc.

désignant en général par gx” la puissance », non de x
mais de gx.

En prenant les différentielles successives des deux
membres de cette équation, nous aurons la suite d’é-
galités

d'Fx=A,d gx +A d ox? +Asd ex + A ,d pxi+etc.

dEFx=A,dyx+A, dox+A,dox +Aid'yx+etc.

DFx=A d'ox HA, dox +A dox+Aidyxi4etc.

d'iFx:=A ,diyx + À d'ex + A diexi+A dipxibetc.

etc. etc

Or , si l’on fait ox—o, toutes les différentielles dans
lesquelles l’exposant de #x est plus grand que celui dela
caractéristique deviennent zéro, car il est facile de voir
que dans la différentielle générale

d' x

lorsque »2 est plus grand que x, ox entre comme fac-
teur. Désignant cette circonstance par un point placé sur
æ, et observant de plus que lorsqu'on faityx=—0o, on a en
général

dexn = m(m—i\m—2) ... 3.2. (dpx)"
nous aurons les équations

Fr=A
d Fx=A,dpt

DI
d'Fx=A,d'ex+421A (dpx)
BFx=A,d'oex+Ad'ox+02.3.A (dpx)
dFx=A,diet+A,digr?+A;dio x +0.3.4.Au(dex)t

etc. etc.

d’où nous tirerons (0)

As== Fx
1.Â,— DE æ
1.2.Â,= - Da Hÿ [er X—A dy |
LB (7 api d'Fe A Pot dy |

IF > hop + in n2
1 4AS x diFi—A digä—A dei

—A dpi]
etc. etc.

Expressions à l’aide desquelles il devient très-facile
de calculer ces coefficiens les uns au moyen des autres.

44. Faisons de gx une fonction déterminée pour mon-
trer l'usage de ces formules. Soit , par exemple,

TI—n

TT z+n

ce qui nous donne æ+=n, dans le cas ae 9x =.
Prenant les différentielles successives de ÿx ou de

T—n :
, nous obtiendrons

ee
d'ox:= ins d,
dex= — 2
dyx — Dre
dipx = —2.3.1. G ES .dx
DC — T4 GE .dx°
etc. etc.

donnant à x, dans ces expressions, la valeur x, cui rénd
gx=0 ; NOUS aurons

: dx
d'yx— D

4 dx?
AN ?-Tonp

DI

etc.

7
d'ex=(—1)#+tr#li

(2n)4

461

avec ces expressions il nous sera facile de construire les

différentielles des puissances de 9x qui entrent dans les

coefficiens (0). En effet,

avons

+

ainsi

dx} = qx.d'ex+ odex.dyx + dox.ox

dt(?x) =dr PX.9X | = grdtyx + pdexdi—19x +

1)

et, conséquemment en faisant 9x—0,

æ(px) —

dx

(px) =

2dex.dox ,

2dx?

EDS

nous trouverions de la même manière

dx} =

(gt)
B(px)

dx)

etc.

Substituant ces valeurs dans les coefficiens ( o

viennent (p).

A =Fx
dE x
A; — (an). Le
dE à

A,=(an). + (an

12. dx5
Gr}

72. dx
(22)

Gdx?
(2n)$

72 da

(2n)t

etc.

d'oxdu—16x + etc.

d'après la loi (e), nous

ce qui nous donne, en substituant la valeur ci-dessus de

) ils de-

402 DI
dFä dFi dF
A = (on). pe AO Te ME
Fx
A, = (an). TE 3(an)- | 3(2n)—— LE +
es
+ (2r)t - T-2534 F dat
etc: etc.
\ FX
Au) EL (us Yon de

nm A

1: 159:34dx
(e—1Xe—2Yp—3), , _ dFä
æ 1,250 MT 3.4.dxi

+ etc.

et la série générale (7) prend la forme (g)
‘ x—n x—n\? X—n\
Fer) (EE) +) +

dans laquelle » est une quäntité arbitraire.

45. Appliquons cette loï particulière de génération à
quelques fonctionsélémentaires. Soit d’abord Fx=log.x,
log. désignant le logarithme naturel.

Construisons les différentielles successives de log. x,
et nous trouverons

dEx=d log. x= .
L

d 2

dEx=dlogaæ= 7
A

| 3

SEx = log. «— a

"4

diFx = dilog. a=s 3%

elc, etc.

Substituant ces valeurs dans les expressions (p), après

avoir fait =, nous obtiendrons

À,—2, À,—0, ÀA:—3, À,—0,Aï—", A:=o, A7 ét.

et, par conséquent ,

Log. x — log. n +2 É ei (2 =

+5 CE) +et

DI

ce qui devient en faisant #=1, d'où log. nr =log. 10
le développement connu

Log as |(EE) +4) +5 (5) +

lequel est convergent pour toutes les valeurs de x.
Prenons pour second exemple Fx = (1+x)-1. Les
différentielles successives de Fx sont, dans ce cas

+ etc.

dEFx— — (14)? dx
BFr— 2.(1-x)-$ dx?
BEx =—1.2.3(14x) 4 dx

dFx —1.2,3,4(1+x)—" dx

etc. etc.

Faisant x =», et substituant dans (p), nous aurons

CRE
A: = Re
bu MER
A AE
etc. Frs

et par suite

1 on fX—nR
te me 14 Re —)

on(n—1) fx—n?

hr Len)
>n( n—1) T—n
_ (in) (© =)

+ etc.

+

série convergente pour toutes des valeurs de la quantité
arbitraire ». Par exemple dans le cas de x=1, où le
développement de (1x): donne, par la formule de

Newton, l'expression singulière

Cp CS À 0 à etc.

vi

cette série devient

on(n=-1)

[l ll DA LA [72
rem NS à

Lee =) —elc.

DI

qui pour toute valeur de 7 est une série
donnant {.

convergente

En faisant n==1, On a immédiatement

I

1
2 141

La loi (g) peut ainsi, par des déterminations conve-

1 |

nables de la quantité arbitraire 7, donner des généra-
tions en séries toujours convergentes d’une fonction
quelconque Fx, ce que ne peut faire le théorème de
Taylor. Mais le développement des fonctions en séries
fait l’objet d’un autre article, dans lequel nous verrons
que le théorème de Paoli, duquel nous avons tiré la
loi (q), n’est lui-même qu'un cas très-particulier d’an
théorème général dont nous donnerons l'exposition.
Voyez Série et Trcnnie.

. 46. Nous verrons ailleurs comment on étend les déve-
loppemens que nous avons obtenus pour des fonctions
d’une seule variable aux fonctions qui en contiennent
plusieurs, Quant 4ux applications du calcul différentiel
elles s'étendent à toutes les parties des mathématiques
et nous renverrons également aux articles dans lesquels
il est employé. f'oyez particulièrement : AGCcÉLÉRÉ,
AsymPeToTE, Cuoc, Cusarure , DÉVELOPPÉE |, Maxima,
Nonmaze Et Sous-NormaLe, OsCULATRICE , Point sin-
GULIER , QuADRATURE, RACINES ÉGALES , RECTIFIGATION,
Tancente £r Sous-T'ancentre, Série, RETOUR DES sUITES,
etc., etc. Nous allons terminer en exposant son emploi
pour la détermination des vraies valeurs de certaines
expressions qui deviennent 3 dans quelques cas particu-
liers.

47. Toute quantité fractionnaire de la forme (a)

A (a—ay"
B'x— a)"

dans laquelle on fait &—#«, devient ©, c’est-à-dire com-
plètement indéterminée quoique sa véritable valeur soit
dans ce cas (b')

A

B (x—-à) mi —n

et qu’elle puisse être conséquemment finie ou indéfinie
selon que 72=n7 où que 7» est plus grand ou plus petit
que ».

Si le facteur (x—a) était en évidence, la détermina-
tion de la valeur de l'expression (4') n’offrirait sans doute
aucune difficulté, mais il n’en est pas toujours ainsi, et
C'est à ramener cette expression à la forme (4') que con-
siste le problème.

Soit, par exemple, la quantité

a—ax+ax—«

e à
L'—@

DI 465
dont on veut connaître la valeur, dans le cas de#=a,
en substituant & à la place de x, cette quantité devient

et rien ne peut nous indiquer ainsi quelle est la valeur
demandée ; mais si nous remarquons que le numérateur
d—cex<+ar—a peut se mettre sous la forme

(a —a)r+(x—da=(x—a)(x+a),

et que le dénominateur est

ou

en rotranchant le facteur commun +=a. Or, si l’on

fait dans cette dernière expression x=a , elle devient

et l’on peut en conclure que
q

a—ax Lara ax
X?— a? V9

lorsque #—a,

Daus les expressions plus composées, où il serait im-
possible de mettre ainsi les facteurs en évidence, on
pourrait encore tenter de chercher le commun diviseur
des deux termes (0y. ce mot); et une fois ce diviseur
commun trouvé , il suffirait d’en diviser les termes pour
le faire disparaitre. Mais ce moyen n’est pas toujours
praticable, et il est dans tous les cas beaucoup plussimple
d’avoir recours au procédé que nous allons exposer.

Soit une quantité qui devient ? pour une valeur

x
particulière &, de la variable æ ; contenue dans chacune
des fonctions X et X'; cette circonstance indiquant l’exis-
tence d’un facteur æ—a commun à ces deux fonctions,

nous pouvons faire

Pet Q étant les deux autres facteurs. Or, en prenant
les différentielles des deux membres de chacune de ces

464 DI

expressions, d’après le numéro 26, nous avons
dX — dP.(x—a)+P.dx
dX' = dQ.(x—a)+Q.dx

d’où
dX _ dP.(x—a)+P.dx
dX'7 dQ.(x—a)+Q.dx

quantité qui se réduit à
Pdx _P
Qdx Q
- orsqu'on fait x—a.
Ainsi, en admettant que P et Q ne contiennent plus

=

le facteur (x—a), G sera la véritable valeur de , dans
le cas de æ—a. Si au contiaire x—a entre encore dans
PetQ , ou si nous avons
P — P'{x—a)
Q = Qx—4)
“est que les fonctions X et X’ sont elles-mêmes
X = P'(x—a)
X'= Q'(x—a)
et alors il faut prendre les différentieiles se£bndes po
se débarrasser de ce double facteur; on a
EX =dP'.(x—a)+4(x—a)dx.dP'+2dxl"
dX'=d'Q'.(x—a) +4 (a—a)dx.dQ'+2deQ
et lorsque x—a

æX _odw.P' _P
EXT 4m Q ©

X ;
x Il est facile de

voir que si le facteur x—a entrait trois fois dans X etX",
il faudrait prendre les différentielles troisièmes pour le

c'est-à-dire la véritable valeur de

faire disparaître et ainsi de suite.
Par exemple, pour la quantité

ai—ax Lar—a

X1—0

en prenant les différentielles premières du numérateur

et du dénominateur , on a
d | ai—ax +ax—® | 3x dx —2axdx+adx
d(x—a’)—2xdx
ce qui donne

3 ax ei .
dix ax + ax æ| ile

27

da — & |

DI

et quand x=a

3a—0ax+ a 3a—2a+a
22 y 24

valeur que nous avons trouvée ci-dessus.
Si le facteur (x—a) était contenu un plus grand
nombre de fois dans un terme que dans l’autre, la va-
X

leur de x serait de la forme

X _M.(x—a)" M,
X N.{a—ar |_ N «(#—a)

et pourrait être æors infiniment petite ou infiniment
grande selon que »7 serait plus grande ou plus petite
o

N

que ». car sim >n, cette quantité devient et si

m<nelle devinte TS expressions dont la première repré-

sente une quantité infiniment petite ou zéro, et dont la
seconde représente une quantité infiniment grande. Les
différentiations successives font encore reconnaître ces
circonstances, car en nous rappelant que lorsque ?x==0,
on a toujours

d#@x—0
toutes les fois que <>, si nous développons par la loi
(e) les différentielles d'X, d''X", nous aurons
dX == dm | M (x— a)n | =drM.(x—a)"

Æmdm—iM.d(x—a)"

+ a. dn—2M.d (x a)"

+ etc....
+M.dr(x—a)"

drX'= dr | N(a—a)") = drN.(2—a)r.
Æmdm—iN.d(x—a)"

JU) nn (x a)"

1.2
+etc....
+ N.dm(x—a)"
Or, à cause de d{x—a)" = m{m—1)....2. 1dx" , si
l'on fait æ—a dans ces expressions, la premiere se ré-

duit à m(m—i)....2.1.M.dx"", et la seconde à 0.427;

en supposant »<{n, on a donc

dmX _ m(m—:1)...2.1.M
dix o

DI

À. Perte
Ce qui nous apprend que la valeur de x © infini-

ment grande. On trouverait de même lorsque #7>n, en
prenant les différences de l’ordre x, une expression de
la forme

d'X 0

deX KR
qui nous ferait connaître la valeur infinimént petite dela
Lx
quantité x
On peut conclure de ce qui précède la règle suivante :
GX :
Pour déterminer la vraie valeur d’une fraction x Ju

devient ? par une valeur particulière de la variable x ,
différentiez séparément les deux termes X et X' et exa-

minez si les résultats 7 se réduisent l’un et l’autre à o
€

par lu valeur hypothétique de la variable; si cela est,

; : : ŒX, PE
différentiezune seconde fois elexaminez si zx se réduit

encore à? ; continuez enfin à différentier jusqu'à ce que
les deux termes de la fraction ou seulement un ne s’éva-
nouissent pas par la valeur donnée à la variable , cette

, ’ X
dernière fraction sera la vraie valeur de x Cette va-

leur sera finie dans le premier cas , nulle si le numéra-
teur est 0 , et infinie si c’est le dénominateur.
48. Prenons pour exemple la fraction

a —52+2
a— 62 +L8x—3
: o .
cette fraction devenant ES lorsque x=—1.Prenant les dif-

férentielies premières, nous aurons

d a — 3x +2} 343
Se nn La—122L8
d di— 6x1 + 8x—3 | SE AE

faisant x—1, cette nouvelle fraction se réduit encore à

0 ° 01e :
. Différentiant de nouveau , nous trouverons
0 .

; FIOZ ; , à
ce qui se réduit à S'en faisant x—1. Le dénominateur

seul se réduisant À zéro, nous en conclurons que la quan-
tité proposée est infinie dans le cas de x=1,
Soit maintenant la fraction

a—bx

IE \ ES à

DI 465

qui devient $, pour æ—o. Différentions séparément les

deux termes, et nous aurons

d(aï— bx) ar. loga.dx—bzlog b.dx

dx dx

= azloga—brlogh

expression qui se réduit à log u — log b, en faisant
æ=0.

Lorsque le facteur commun , qui réduit la fonction
fractionnaire à ?, est élevé à une puissance fractionnaire
les différentiations ne peuvent le dégager, mais comme
ilest toujours possible alors de l'isoler, on peut immé-
diatement trouver la vraie valeur de la fonction.

49-Dans tout ce qui précède, nous avons considéré les
différences successives dans l’ordre direct, c’est-à-dire en
passant de la première à la seconde, de la seconde à la
troisième et ainsi de suite, et nous avons formé ainsiune
suite de fonctions dérivées

gt où ex
A gx d px
ex d'ex
Ac dx
etc. etc.

cette formation successive des différences dans l’ordre
direct, entraîne comme nous l'avons déjà dit, la con-
sidération opposée de leur formation dans l’ordre ir-
verse; or, le problème de construire la différence 4’4x,
parexemple, au moyen de la différence supérieure
Az est l’objet général dn calcul integral.

On nomme sntégrale où somme la différence prise
dans l’ordre inverse. Ainsi, > étant la caractéristique de
l'intégrale pour les différences finies, et J celle de l’in-
tégrale pour les différentielles, on écrit

ZA ox] —4’ox sf [dex]=dex

3[Atgx] =A pe sf [dgx]=d gx

Aagr]= gx vi Ciqx]= 9x

et, en continuant avec des indices négatifs,
Mal=age fral=d-ige
2[A—1gx] —A—2ypx

vi a 1ox]=d—sg0

Z[A—29x] —A—-Sox [td=2px)= d-3yx

99

466 DI

on a de même
2|z [A°e x] las Z[A’ox] = Apx

Je VA [dipx]] = f [de] — dyx

ou
Z'Alpx — Apx VE 2 Po —dyx
en général
2a[Anex]— AN mo f mEdrox]=dr-mox
Comme aussi les expressions
Zn) ct Ame , a mod) et d=m(ox)

sont équivalentes.

5o. En appliquant ces considérations à la loi fonda-
mentale (ce), elle devient pour le cas des différentielles
inverses ou des intégrales

Fa m (Fxfx) = Fx. JS m fa — dFx. LÉ m+ifa
ce frere

OR ape, ftp

+ etc...

en multipliant les deux nombres par dem.

Les applications de cette loi , ainsi que tout ce qui re-
garde le calcul des différences inverses, se trouveront à
l'article CALCUL INTEGRAL.

5r. I nous resterait à examiner le cas où les fonctions
que l’on veut différentier , contiennent plusieurs varia-
bles, mais ce cas ne présente aucune difficulté, et l’on
peut immédiatement conclure des principes précédens
que la différence d’une fonction F(x ,y,2, etc.) d’an
nombre quelconque de variables, reçoit par l’accroisse-
ment particulier de chaque variable un accroissement

ue ainsi désignant comme cest lusage par

(3 —— =) ax, l'accroissement ou la différence de la fonc-

tion F correspondante à l'accroissement Ax de la varia-
AF _. ,

olezpar (A ).ar, la différence correspondante à l’ac-

croisement Ay de la variable y, etc., la différence
générale sera la somme de ces différences particulières,
et nous aurons

DI
AF(x,7,2,etc...) = e ) Aa+ (©) Ay+
+ (hache,

et dans le cas des différentielles

dF(x, y, z, etc...)

(RE) (A )dr+
(9) dz+ etc...

c'est-à-dire, que la différence totale se trouye en prenant
la somme des différences prises pour chaque variable
en particulier comme si toutes les autres étaient con-
stantes.

Soit par exemple

F(x, y)=2+3xy+ory

en différentiant d’abord comme si y était constante,
nous aurons d’une part

(A ar sad +62 Y.dx+9ytdx

et, de l’autre, en différentiant comme si æ était cons-
tante

(ÉS En PV dy = Sedy+haydr
d’où , nous aurons pour la différentielle générale (z)
dE(x.y)=(32+6xy+427")dx+(3x+4xy)dy

En effet,

on a

par la construction même des différences,

Œ(xy)=F(x+dx , y+dy)—F(x,7)

c’est-à-dire, dans l'exemple qui nous occupe,

(ad) +3(a-da)" (y + dy) +a(atdn)(y + dr) —
—2—3xy—2xy°

ou, en développant les produits,

a+3xdx+3x.dx +dx
3xy <+6Gxy.dx +3ydx
+32" dy +6xdxdy +3dy.dx*
+oxyt +2y’dx
+ixrdy +hrdz.dy
+oxdy* 4-dx.dy*
—23—3xy—027x)"

opérant les soustractions et retranchant toutes les quan-

DI

utés indéfiniment petites des ordres supérieurs au pre-
mier , il reste

3 dx+62y.dx +29. de +32 dy +4xy.dy

ce qui est identique avec (2).

Nous verrons à l’article s£RIE comment ou peut éten-
dre aux fonctions de plusieurs variables les théorèmes
de Taylor, de Maciaurin, de Paoli, et d’autres encore
plus généraux.

Les équations de différences seront traitées au mot
ÉQUATION.

52. La découverte du calcul différentiel a été l'objet
d’une longue contestation, que nous aurons ailleurs
l’occasion de rapporter (voy. Leisnirz et NEwrow),
et quoiqu'il soit aujourd'hui démontré avec la dernière
évidence que l’accusation de plagiat dont les Anglais
ont voulu flétrir Leibnitz, ne repose sur aucun fonde-
ment, nous ne nous servirons point des argumeus que
les historiens français et allemand des mathématiques
ont accumulés pour venger sa mémoire. Selon nous, la
gloire de Leibnitz reste pure et inattaquable car non-
seulement ce grand homme à, le premier , produit le
calcul différentiel, mais il est encore le premier qui ait
compris la nature abstraite de ce calcul ; et ses infini-
ment petits des divers ordres, sont une conception phi-
losophique d’un ordre bien supérieur à celle des fluxions
de-Newton. En admettant donc ce qui parait assez pro-
bable que chacun de ces géomètres soit arrivé par la
seule force de son génie à la découverte d’une même
méthode de calcul, c’est à Leibnitz qu'appartient l'hon-
neur de s'être élévé jusqu'aux véritables principes méta-
physiques de cette méthode, et de l'avoir ainsi consti
tuée une des branches fondamentales de la science des
nombres.

Notre intention avait été d’abord d'examiner dans cet
article les diverses méthodes que quelques géomètres
ont voulu substituer au calcul différentiel, mais ces mé-
thodes devant être l’objet d'articles particuliers, et celui-
ci dépassant déjà les bornes qui nous sont prescrites, nous
renverrons aux mots : FONCTIONS ANALYTIQUES, FLUxIONS,
ÉvanouissanTes, Limires, Résipuezce. Voyez aussé,
MaTuÉMATIQUES, pour ce qui regarde la découverte du
calcul des différences finies.

DIFFRACTION (Ope.). On donne ce nom à la pro-
priété qu'ont les rayons de lumière de s'infléchir lors-
qu'ils rasent en passant un corps opaque. Voyez In-
FLEXION.

DIGRESSION (454). Éloignement apparent des
planètes inférieures au soleil. ’oy. ELoxcarion.

DIMENSION (Géom.). Longueur, largeur ou épais-
seur d’un corps. Nous concevons les Zignes comme
v’ayant qu'une seule dimension, la longueur; les sur-
faces comme ayant seulement deux dimensions, la on«

DI 467

gueur et la largeur, et enfin les solides comme ayant
trois dimensions longueur, largeur et épaisseur ou pro-
Jondeur. Voy. Lace, Soutne, SuRrAcE.

On se sert encore du mot dimension en algèbre ,
pour désigner le degré d’une puissance ou d’une équa-
tion; ainsi l’inconnue x est dite avoir une, deux , trois
etc. dimensions, selon qu’elle est élevée à la première,
seconde, troisième, etc. , puissance. En général, une
quantité a autant de dimensions qu'il entre de facteurs
dans sa composition : 4, par exemple, est d’une seule di-
mension, ab est de deux, abc de trois, abcd de
quatre , etc.

DINOCRATES , architecte et géomètre célèbre de
l'antiquité. Alexandre, vainqueur de Darius, et maitre
déjà d’une partie de l'Asie, entouré des chefs de son
armée, donnait audience aux rois qu’il avait soumis ,
lorsqu'un étrange murmure s’éleva de la foule qui en-
tourait sa tente royale, etsignala à l'attention du jeune
conquérant un personnage extraordinaire, qui parais-
sait désirer la faveur de lui parler. C'était un homme
d’une taille élevée, d’une beauté mâle et brillante : ses
noirs et longs cheveux tombaient arrondis en boucles sur
son cou nerveux , son regard était fier ct haidi; à lex-
ception d’une peau de lion jetée sur ses larges épaules,
il était entièrement nu, et avait le corps oint comme
un athlète; enfin sou front noble et élevé était ceim
d’une couronne formée de branches de peupliers, et il
s'appuyait sur une lourde massue. 1 dépassait de toute
sa tête la foule des chefs et des courtisars qui s’écarta
avec respect devant lui. Alexandre fut lui-même frappé
d'admiration et d’étonnement à son aspect, et il lui fit
signe d'approcher de son tribunal. — Qui que tu sois,
lui dit-il, que veux-tu d'Alexandre? — Je m'appelle
Dinocrates, répondit cet homme, et je suis architecte
macédonien. Jet’appoitele projet d’un monumentdigne
de ton grand nom et de ton génie. Parle, et je taillerai
le mont Atlas en forme de statue humaine ; la main
droite contiendra une ville immense, et dans sa gauche
une vaste coupe recevra les caux des montagnes, et les
déversera dans la mer.

Il est probable qu'Alexandre admira laudace et le
génie d’un artiste qui avait pu concevoir un pareil pro-
jet, mais sa réponse prouve que ce grand homme m’ai-
mait pas seulement la gloire qui s'attache à l'exécution
des choses difficiles; le but civilisateur qu'il avait en vue
le préoccupait davantage. Il se borna à demander à
Dinocrates, comment s’opérerait l'approvisionnement
d’une telle ville; l'artiste ne put résoudre cette difficulté,
et Alexandre le retint auprès de sa personne, en lui pro:
mettant d'appliquer bientôt ses talens à une œuvre plus
utile que celle dont il avaitrèvé l’accomplissement dans
son imagination. Effectivement , ce fut Dinocrates qui

présida à tous les travaux de la fondation d'Alexandrie,

468 DI

exécutée par ordre d'Alexandre durant la 112° olym-
piade , environ 332 aus avant J.-C. On attribue à Di-
nocrates le rétablissement du célèbre temple d'Éphèse,
brulé par Érostrate. La mort le surprit sous le règne du
premier Ptolémée, au moment où chargé par ce prince
de construire un temple en l’honneur d’Arsinoé, il vou-
lait y soutenir en l’air une statue de fer, au moyen d'une
voüte d’aimant. L'inspiration de l'artiste ne peut seule
aider à l’accomplissement des travaux exécutés ou mé-
dités par Dinocrates; aussi les anciens Mnstoriens qui
nous ont conservé son nom, en parlent-ils comme d’un
géomètre habile.

DINOSTRATE, géomètre grec de l’école de Platon,
dont il fut l'ami, vivait par conséquent à Ja fin du
IV® siècle avant J.-C. Il ne nous reste aucun de ses
écrits, mais Proclus le cite avec son frère Menechare
‘Procl. iv. IT, chap. IF, Commentaire sur Euclide),
comme ayant essentiellement contribué aux progrès de
la géométrie. On sait que le problème de la trisection
de l'angle a beaucoup exercé la patience des géomètres
anciens. Suivant Pappus (Collections mathématiques ,
prop. 25), Dinostrate imagina une courbe qui aurait eu
le double avantage de donner la trisection ou la multi-
plication de l'angle, et la quadrature du cercle, si on
eût pu la décrire d’un mouvement continu par la règle
etle compas. C’est pour cette raison que le nom de
quadratrice est demeuré attaché à cette ligne, qui est
du nombre des courbes mécaniques et ne remplit ri-
goureusement ni l’un ni l’autre des objets auxquels
elle était destinée. Pappus ne dit pas positivement que
Dinostrate fût l'inventeur de la quadratrice, mais il pa-
rait certain que ce géomètre observa le premier la pro-
priété remarquablede cette ligne; elle a d’ailleurs retenu
son nom. Nous ne possédons aucun autre renseignement
sur les travaux mathématiques de Dinostrate.

DIOCLÉS, géomètre grec qu’on suppose avoir vécu
durant le VI° siècle de notre ère, s'est rendu célèbre
par plusieurs découvertes en géométrie, et spécialement
par une ingénieuse solution du problème de la dupli-
cation du cube, qui consiste, comme on le sait, à trouver
deux moyennes proportionnelles entre deux lignes
données. Eutocius, l’un des commentateurs d’Archi-
mède, est le premier des écrivains anciens qui fasse
mention de cette solution que Dioclès obtint au moyen
d’une courbe qui areçu le nom de cissoïpe (voy. ce mot).
Le savant Pappus qui s’est beaucoup occupé des diffé-
rentes manières derésoudre ce problème, ne parle point
de celle qu’employa Dioclès, d’où l’on a tiré la juste
conséquence que ce géomètre lui était postérieur.

Eutocius attribue aussi à Dioclès une belle et savante
solution du problème posé par Archimède, dans son
livre de la Sphère et du cylindre, problème dont l’objet
est de couper la sphère en deux segmens, qui soient

DI

entre eux daus un rapport donné. Ce grand géomètre
avait promis derésoudreailleursce problème, et Eutocius
qui en rapporte trois solutions, prétend que la pre-
mière pourrait bien être d'Archimède; la seconde est
de Dionysidore, la troisième est celle de Dioclès. C’est
d’un ouvrage sur les machines à feu (De Pyrits) qu'Eu-
tocius a extrait ces parties remarquables des travaux de
Dioclès ; ces fragmens font regretter la perte de ce livre.
On ignore s’il composa d’autres écrits , et l’époque de sa
mort.

DIONIS DU SÉJOUR (Acmize-Prerre), mathéma-
ticien et astronome distingué, naquit à Parisle 1 1 janvier
1734. Destiné à la magistrature, il fut envoyé de bonne
heure au collége des jésuites pour y faire ses études ; il y
manifesta un penchant invincible et une heureuse apti-
tude pour les mathématiques. Le hasard lui donna pour
condisciple le jeune Goudin , destiné par ses parens à Ja
même carrière que lui et dominé par les mêmes gouts.
Ils se lièrent dès lors d’une amitié qui dura toute leur
vie, et se livrèrent ensemble à leurs études favorites.
Au sortir du collége Dionis et Goudin débutèrent dans
le monde savant par la publication de deux ouvrages re-
marquables, composés en commun. Le premier a pour
titre : Traité des courbes algébriques, Paris, 1756, un
vol. in-12, et lesecond: Recherches sur la gnomonique,
les rétrogradations des planètes et les éclipses de soleil,
Paris; 1 vol. in-8°, 1961. Ce dernier écrit attira l’atten-
tion des savans sur les jeunes géomètres , et particuliè-
rement sur Dionis qui parait en avoir composé la plus
grande partie ; mais ce succès ne put rien changer aux
vues de ses parens, et dans l'intervalle de la publication
de ces deux ouvrages, Dionis prit siége au parlement
de Paris, à la 4° chambre des enquêtes, en 1758, et à
la grand'chambre en 1750.11 continua néanmoins à se
livrer avec le même zèle à l’étude des sciences ; il suivit
les cours de Clairault, qui le remarqua parmi ses dis-
ciples, et qui , appréciant ses talens , contribua à le faire
nommer, en 1765, associé libre de l'académie des
sciences, dont il fut depuis associé ordinaire. Dioniss’est
rendu célèbre comme savant et comme magistrat. Il
était membre des académies de Stockholm, de Goët-
tingue et de la société royale de Londres. Malgré les
nombreuses correspondances qu'il entretenait avec les
principaux savans de l'Europe et sa consciencieuse per-
sévérance dans les recherches scientifiques auxquelles il
se livrait, il n’en remplissait pas moins avec distinction
ses fonctions de conseiller au parlement que les malheurs
du temps commençaient à rendre difficiles. A cette
époque la révolution éclata et Dionis fut membre de
l’assemblée constituante , après avoir été député aux
états-pénéraux pour l’ordre de lanoblesse. « Ilsoutint la
cause d’une liberté sage, qui était dans ses principes,
dit un de ses biographes, et fit rendre au célèbre La

PE |

DI

Grange la pension qu’un décret général lui avait ravie.
!lne se maria point et passa toute sa vie avec son père
qui lui survécut de quelques années. Il étonnait ses con-
frères par la quantité d’affaires qu'il expédiait, et dis-
cutait les procès avec une précision et une impartialité
rares. Sa vie de magistrat est remplie d'actions qui rap-
pellent son humanité et son caractère bienfaisant en fa-
veur des opprimés. Il ne connaissait que le sentiment de
l'utilité, et c’est en le cultivant qu'il parvint à mériter
les regrets dont on l’honore aujourd’hui comme géo-
mètre et comme magistrat. » Tels sont les justes éloges
que les amis nombreux de Dionis se sont accordés à
donnér à sa vie privée; nous devons maintenant rapi-
dement examiner sa vie scientifique.

Dès son entrée à l'académie Dionis se livra à l’appli-
cation de l'algèbre à l’astronomie. Les détails de ses
études et de ses découvertes sont consignés dans les A6-
moires de l'Académie des sciences , de 1761 à 1774.
Sans aborder la solution des grands problèmes que pré-
sente cette science , ses travaux n’en sont pas moins re-
commandables et ne méritent pas moins d’être cités
parmi ceux des géomètres du XVIIL siècle. Il traita
diverses théories importantes, auxquelles il fit des ap-
plications heureuses de ses formules, et l’on peut dire
qu’il a enrichi la science d’une foule de résultats intéres-
sans sur les éclipses , les comètes, les apparitions et les
disparitions de l’anneau de Saturne. Dionis a étendu sa
méthode aux passages de Vénus sur le soleil et il a an-
noncé ceux qu’attendent les astronomes au 8 décembre
1874 etau 6 décembre 1882. On sait qu’en 1775, le
bruit se répandit tout-à-coup que Lalande avait annoncé
Je choc d’une comète et qu’il lui avait été défendu de
lire à l'Académie le Mémoire dans lequel cet astronome,
alors en possession d’une grande popularité, avait établi
les conditions de ce phénomène. L’ignorance et la cré-
dulité avaient tellement accrédité cette étrange décou-
verte, que le chocde cette terrible comète faisait l’objet
de tous les entretiens et excitait les plus vives craintes
dans le public. Dionis entreprit de les faire cesser et il
publia à cette occasion son Æssai sur les comètes en ge-
néral, et particulièrement sur celles qui peuvent appro-
cher de la terre. Cet écrit fut lu avec avidité. Dionis y
siguala toutes les circonstances nécessaires pour amener
le choc de la terre par une comète , et démontra la
presque impossibilité de cette funeste rencontre. Quoique
cet ouvrage fût surtout destiné à cette partie du public
qui se préoccupe plus des résultats que des causes des
phénomènes, l’auteur sut + faire parler à la science son
langage rigoureux, sans diminuer en rien la ciarté de
ses démonstrations. L'année suivante, Dionis publia
son Æssai sur Les phénomènes relatifs aux dispositions
de l'anneau de Saturne ; Paris, 1776, in-8°. L'ouvrage

le plus important de ce géomètre est son Traité analy-

DI 469

tique des mouvemens apparens des corps célestes, Paris,
2 vol. in-4°, 1785-1789. Cet écrit est la réunion de.
nombreux traitês sur toutes les parties de l’astrono-
mie, dont il avait enrichi les mémoires de l’Académie
des sciences pendant vingt-quatre ans. Dionis les revit
avec le plus grand soin et en forma un véritable cours
d'astronomie analytique. Cette science n’occupait pas
seule ses méditations , la résolution générale des équa-
tions avait plasieurs fois appelé toute son attention. On
trouve dans les Afeémoires de l'Académie des sciences de
l'année 1772 les premiers résultats de ses recherches à
cet égard. Il les avait étendues aux équations du cin-
quième degré, et il se proposait de réunir en un corps
d'ouvrage ses divers travaux sur cette partie impor-
tante de l'algèbre , lorsqu'il fut atteint d’une maladie
grave, à sa terre d’Angerville où il vivait dans la re-
traite. Alors la révolution avait prisce caractère terrible
qui l’entraina dans de funestes violences; Dionis en res-
sentait une vive douleur que la perte de plusieurs de ses
confrères au parlement, frappés par la faux révolution-
naire, ne fit qu'augmenter. Ces chagrins hâtèrent les
ravages de la maladie dont il était atteint et il mourut,
regretté de tous ceux qui avaient su apprécier ses talens
et son honorable caractère, le 22 août 1594, à l’âge de
60 ans.

DIOPHANTE, d’Alexandrie. On ne saurait déter-
miner d’une manière précise l’époque à laquelle vivait ce
grand géomètre, si long-temps oublié, etdontles travaux
n'ont été rendus à l'Europe qu'au XVI° siècle. Néan-
moins la plupart des historiens des mathématiques qui
se sont livrés à de nombreuses recherches sur cet objet,
ont adopté l'opinion de l'arabe Al-bupharage qui , dans
un passage de l'Histoire des dynasties, parle de Dio-
phante et du philosophe Thémiste, comme ayant vécu
du temps de l'empereur Julien, c'est-à-dire vers le mi-
lieu du IV® siècle.

Diophante est l'auteur du plus ancien traité qui nous
soit parvenu sur l'algèbre. Des treize livres dont il était
composé , six seulement nous sont parvenus sous le titre
de: Arithmeticorum libri, avec un autre livre contenant
les nombres multangulaires ou polygones, intitulé : De
numeris multangulis.

Nous avons exposé aiileurs l'idée générale qu'on
peut se faire du travail de Diophante et de sa valeur
scientifique (voy. ALGivne). Nous nous bornerons à
ajouter ici quelques considérations particulières qui S'y
rattachent et celles qui peuvent intéresser l'histoire lit-
téraire de la science. Xilander, mathématicien d’un
médiocresavoir, fut le premier traducteur de Diophante,
son travail incomplet et rempli de fautes fut repris par
Bachet de Meziriac(voy. ce mot), qui en donna, en 1621,
une édition plus correcte, avec des commentaires qui

sont encorc estimés, Plus tard le célèbre Fermat y ajouta

470 DI

de savantes notés que son fils publit daws une édition
nouvelle en 1630. Sans exantiner ici li question, fort
peu importañte au reste, de savoir si Diophante doit
être regardé comme l'inventeur de l'algèbre, on peut
dire que ses premiers aperçus sur cétte science ont sin-
gulièrement favorisé ses progrès. Elle était en effet
restée à peu près stationnaire depuis Lucas Pacciolo qui
l'avait transportée d'Orient en Italie. Et d'ailleurs,
malgré l'opinion qui donne à l'algèbre l'Inde pour vé-
ritable berceau , il est au moins probable que Diophante
ne fut pas étranger à cette conquête scientifique des
Âïabes. Les géomètres de cette nation conrurent cer-
taiveinent l'ouvrage du muthématicien grec, et, si l'on
peut espérer de retrouver un jour les parties qui en sont
perdues, c'est dans une version arabe qui aurait échap:
pé aù naufrage des temps et à l’auéantissement des
sciences en Orient. Bachet de Meziriac raconte d’ailleurs
dans la préface de son édition; que le cardinal Duper-
ron lui assura avoir possédé un manuscrit complet de
Diophante qui lui fut emprunté par Gosselin pour en
préparer une nouvelle édition avec un commentaire, et
que ce savant étant mort d’üné maladie pestilentielle,
le manuscrit avait disparu. On peut donc espérer que
quelque heureuse circonstance rendra un jour à la
science l'important ouvrage de Diophante. Au nombre
des écrits de la savante ct célèbre Hypatia, qui périt en
415, Suidas met un commentaire du géomètre grec. Ce
travail est également perdu et il ne parait pas que les
Arabes en aient eu connaissance.
Nous n’aurions aucuns détails sur la vie de Diophante,
si, parmi les épigrammes de l’anthologie grecque, il ne
s'en était trouvé une, qui, sous la forme de l’énoncé
d’un problème, contient quelques explications inté-
ressantes. On ne peut penser que cette pièce soit,
comme beaucoup d’autres de ce recueil, un jeu de l’es-
prit, car elle expose des faits qu’on ne se serait pas
donné la peine d'inventer et dont l’arrangement seul a
dù sourire à l'imagination du poète. Bachet de Meziriac
en a donné une traduction latine , nous nous bornerons
à en rapporter limitation française, « Diophante passa
» dans l’enfance le sixième du temps qu'il vécut, un
» douzième dans l'adolescence, ensuite il se maria et
» demeura dans cette union le septième de sa vie, aug-
» menté de cinq ans, avant d'avoir un fils auquel il sur-
» vécut de quatre ans, et qui n’atteignit que la moitié
» de l’âge où son père est parvenu. Quel Âge avait Dio-
» phante lorsqu'il mourut ? » Il résulte ainsi de la solu-
tion de ce problème que ce géomètre a vécu quatre-
vingt-quatre ans.
Le traité de Diophante a souvent été réimprimé.
mais voici les éditions de cet ouvrage qu’on regarde
comme les meilleures et les plus complètes, excepté la

première, Ï. Diophanti Alexandrini rerum artihmetica-

DI

run, libri sex, quarum prina duo adjecta habent scho-
dia maximi (ut conjectura est) Planudis, item liber de
nummeris polygonis seu multangulis, opus incomparabile,
veræ artthmelicæ logisticæ perfectionem continens ;
paucis adhuc visum, à Guillelmo Xilandro Augustano,
éncredibili labore latinè redditum etcommentariis expla-
natum , inque lucem editum ; Bas. 1575, in-fe. II. Dio-
phanti Alexandrini, etc., nunc primum græce et latinè
editi; atque absolutissimis commentariis illustrati,
auctore C. G. Bacheto Meztriaco; Paris, 1621, in-F°.
HT, Driophanti Alexandrini, etc., cum commentaris
Bacheti et observationibus Petri de Fermat; Toulouse,
1670 , in-f°. L'édition allemande de Leipzig , 1810, est
aussi fort estimée.

DIOPTRIQUE (de d/«, à travers , et de ëxTomæ, je
vois). Science de la propagation de la lumière par ré-
fraction: G’ést une des branches de l’oprique. Foy. ce
mot.

Tout rayon lumineux qui , traversant un milieu quel-
conque; en rencontre un autre de densité ou de nature
différente, change de direction ; sil ne peut pénétrer
cesecond milieu, il se réfléchit à sa surface; s’il peut
le pénétrer, il se brise ou se rcfracte en y entrant. Les
lois de la réflexion de la lumière forment l’objet de la
CATOPTRIQUE (voy. ce mot), celles de la réfraction sont
l'objet de la pioprriQuE.

Cette science, dont les anciens n’ont eu qu'une con-
naissance très imparfaite, et qui semble ne dater chez
les modernes que de Snellins et de Descartes, a reçu
tout récemment un accroissement prodigieux par les dé-
couvertes de Fresnel, de Brewster, de Malus, du doe-
teur Young, et par les belles expériences de MM. Biot,
Arago et Herschel fils. Cependant, si la dioptrique s’est
étendue sous le rapport des connaissances pratiques, le
principe premier de cette science est encore demeuré
inaccessible à tous les efforts des observateurs, et les
deux hypothèses ou les deux systèmes de la propaga-
tion de la lumière ; savoir : celui de l'émission et celui
des ondulations (voy. GrriQue), qui divisent aujour-
d'huiles physiciens , ne sont encore revêtus ni l’un ni
l'autre d’un degré de certitude assez élevé pour pou-
voir s'établir exclusivement.

Mais l'examen de ces difficultés est entièrement du
ressort de la physique. et nous n’avons à considérer ici
que les résultats mathématiques de la science, ou du
moins ceux de ses résultats qui subsistent indépendam-
ment de toute hypothèse sur la nature de la lumière et
son mode de propagation. Ces résultats sont de deux
espèces, ils comprenuent 1° les propriétés générales de
la lumière, lorsqu’elle traverse des corps transjarens,
et 2° les phénomènes qui en résultent par rapport à la
vision des objets.

La première partie sera traitée au mot REFRACTION :

DI

la seconde sera le sujet de plusieurs articles. Foyez
Lenvire, Menisque Verre; voy. aussi ‘TELEsCOPE
et Micnoscore.

DIRECT (454). On dit en astronomie que les pla-
nètes sont “directes, lorsqu'elles paraissent se mouvoir
d'occident en orient suivant l'ordre des signes du zodia-
que. ’oy. PLanères.

La combinaison du mouvement propre de la terre
avec ceux des planètes donne à ces dernières diverses
apparences qu'on désignent par les mots : directe, sta-
tionnaire ct rétrograde ; ainsi, par opposition à planète
directe , on nomme planète rétrograde, celle qui paraît
se mouvoir dans l’ordre inverse des signes , ou d’orient
en occident, et planète stationnaire, celle qui parait
rester immobile au même point du ciel.

DIRECT (4/g.). Lorsque deux quantités m et n dé-
pendent de deux autres quantités M et N, et que le rap-
port des premières est le même que celui des secondes,
c'est-à-dire, lorsqu'on à

min::M:N.

on dit que »2 et » sont en rapport ou raison directe de
M et N; tandis qu'on nomme rapport inverse Où réci-
proque, celui qui aurait lieu, si on avait

n:m::M:N

Le premier soin qu’on doit avoir lorsqu'on veut éta-
blir une proportion pour opérer la règle de trois, c'est
d’examiner si les rapports sont directs ou inverses. Foy.
RÈGLE DE TRo1s.

DIRECTION (Yéc.). DroitesuivantJaquelle un corps
se meut ou est censé se mouvoir.

On nomme en particulier ligne de direction, celle
qui passe par le centre de gravité d’un corps, et par le
centre de la terre. Lorsque cette ligne ne passe pas em
même temps par le point d'appui du corps, supposé
élevé au-dessus de la surface de la terre, il faut néces-
sairement qu’il tombe sur cette surface.

L'angle de direction est l'angle compris entre les di-
rections de deux puissances conspirantes. Foy. Puis-
SANCE.

Das la géométrie, on dit que trois points ont une
même direction, ou sont dans la même direction lors-
qu'ilsse trouvent sur une seule et même droite.

DIRECTRICE (Gcom.). Droite le long de laquelle
on fait couler une autre ligne ou une surface pour dé-
crire une figure plane ou solide. Foy. GÉNÉrAmoN , et
les diverses SECTIONS CONIQUES.

DISCRÈTE (Arith.), Vieux mot par lequel on dé-
signait une quantité &ont les parties ne sont point eon-
- linues ou jointes ensemble. fo. Quanrrré.

DI AA
DISQUE (45t.). Corps d’un astre tel qu'il apparaît 4

nos yeux. La largeur du disque du soleil se divise en
douze parties qu’on appelle doigts ; il en est de même
de celui de la lune. C’est par le nombre des doigts qu’on .
mesure la grandeur d’une éclipse. Poy. ÉcLipse.

DISTANCE (Géom.). C'est proprement le plus court
chemin d’un objet à un autre. Ainsi la distance d’un
point à un autre est la ligne droite qui joint ces points ; !
et la distance d’un point à une ligne ou à une surface
est la perpendiculaire menée du point à la ligne ou à la
surface,

On mesure les distances par le moyen de la chaîne ou
du mètre. Foy. ARPENTAGE. Quand les distances sont
inaccessibles , on forme des triangles au moyen desquels
on peut les calculer. Voy. ArTIMÉTRIE, PLANCHETTE et
GhaPhoMÈTRE.

DISTANCE (454). Les distances des astres entre eux
sont réelles ou proportionnelles, on les distingue encore
en moyenne distance, distance aphélie, et distance péri-
hélic.

La pisrance aphélie des planètes est celle où elles
sont à leur plus grand éloignement du soleil.

La Disrance périhélie est celle au contraire où elles
occupent le point de leur orbite le plus rapproché du
soleil.

La pisrancr moyenne des planètes est la moyenne
entre leur plus grande et leur plus petite distance du
soleil où la moyenne entre leurs distances aphélieet pé-
rihélie.

Les pisrAnGEs celles sont les distances de ces corps
mesurées à l’aide de quelques mesures terrestres comme
les licues, les milles, ete.

Les nisrancrs proportionnelles sont les distances des
planètes au soleil comparées avec l’une d’entre elles
prise pour unité. Elles sont aisément déterminées à l’aide
de la troisième loi de Kepler, savoir : les carrés des
temps périodiques des révolutions de plusieurs corps
autour d'un centre commun, sont comme les cubes des
moyennes distances respectives. D’après cette loi, les
temps des révolutions des planètes étant connus, on
déduit les distances proportionnelles suivantes, celle de
la terre étant prise pour unité :

Distances proportionnelles

moyennes.
Mercure...... 0,3870981
Vénus..,..,., 0,7233323

La Terre,.... 1,0000000

Mais. ii 1,5230035
Wébta 1.544 2,2373000
Junon:: 4.4 44 2,0671630
GÉLCS LE... 2,7074060
Pallas. ...,.1. :2,9676920

Distances proportionnelles
moyennes,
Jupiter... 5,2025g911

Saturne....... 0,5357709

Uranus....... 19,1933050

Maintenant la distance moyenne réelle de la terre,
ayant été déterminée par le passage de Vénus (voy. Pas-
SAGE €t PanaLLAxE), à 39229 000 lieues de 2000 toises,
il suffit de multiplier par ce nombre les distances pré-
cédentes pour obtenir les distances moyennes réelles ex-
primées en lieues de 2000 toises. On trouve ainsi

Distances réelles
moyenues,

Mercure..... 15 185 465 lieues.
28 375 Goo

39 220 000

VéQUS.: 6.2

La Terre. ....

NTarse 72e .. 59772 960
Vestai 419167767020
Junons 0 104 630 140

Cérés....... 108 562 550
Palläsir eee se

Jupiter. .... ;

108 570 000
204 100 280
374 196 340
752 540 172

Saturne. .

Uranus......

Quant à la distance de la lune et celle des autres pla-
nètes secondaires, ’0y. SATELLITES.

Nous verrons pour chaque planète en particulier
comment on détermine ses distances aphélie et périhélie,
ainsi que ses distances à la terre. C’est à laide de ces
dernières qu’on calcule le diamètre réel d’une planète
dont on connaît le diamètre apparent.

La pisrance des étoiles fixes soit de la terre, soit du
soleil , n’a pu encore être déterminée par aucun moyen,
on sait seulement qu’elle est si grande, que le diamètre
entier de l'orbite de la terre qui est d'à peu près 80 mil-
lions de lieues , est comme un point par rapport à cette
distance, et ne forme aucune mesure sensible qu’on
puisse lui comparer.

Disrance APPARENTE de deux astres; c’est l’angle
formé par les rayons visuels qui vont de notre œil à
chacun d'eux, il est mesuré par l'arc du grand cercle
compris entre eux sur la sphère céleste.

Disrance accourctE. C’est la distance d’une planète
au soleil réduite au plan de l’écliptique, oula distance qui
est entre le soleil et la projection de la planète sur le
plan de l'écliptique. Les astronomes lui ont donné le
nom de d'stantia curtata; parce qu’elle est toujours plus
courte que la distance réelle. La différence entre ces
deux distances s'appelle curtation où réduction de la
distance.

DITTON (Huwpurey), habile géomètre anglais, né

DI

à Salisbury, en 1675. Il avait annoncé dès l'enfance les
plus heureuses dispositions pour l’étude des mathéma-
tiques , à laquelle il fut obligé de se livrer en secret, car
son père forca son inclination, en le consacrant à la car-
rière ecclésiastique. I] exerçait les fonctions du ministère
évangélique à Cambridge dans le comté de Kent, lors-
que lesdocteurs Harris et Wisthon purent apprécier ses
talens et lui fournirentles moyens de se livrer exclusi-
vement à son goût pour les mathématiques. Le grand
Newton lui-même le prit sous sa protection, et lui
fit obtenir la chaire de mathématiques de l’école insti-
tuée dans l'hôpital du Christ. I] ne jouit pas long-temps
de cette faveur qui comblait toutes les espérances de
son honorable et studieuse ambition. Il paraît que, con-
jointement avec Wisthon , il avait proposé une méthode
pour reconnaître la longitude en mer, et quoiqu’elle
eët été approuvée par Newton, cette méthode n’eut
aucun succès à l'expérience, Ditton en concçut un violent
chagrin, et il mouruten 1515, âgé seulement de qua-
rante ans. Parmi les nombreux ouvrages consacrés aux
mathématiques, ec qu’a publiés Ditton, nous citerons :
IL. Des tangentes des courbes. W. Traité de catoptrique
sphérique. Le premier de ces écrits a été imprimé dans
le 23° vol. Des transactions philosophiques, le second a
été également publié dans ce recueil, en 1705, et réim-
primé en 1707 dans les Acta eruditorum. NX. Lois ge-
ncrales de la nature et du mouvement, in-8° 1705.
IV. Méthode des fluxions , in-8, 1706. Cet ouvrage a
été de nouveau publié, en 1726, avec des additions et
des changemens par Clarke. V. Traité de perspective,
1712. VI. La nouvelle loi des fluides, 1714.

DIVERGENT. On nomme divergent tout ce qui par-
tant d’un point s’écarte ensuite de plus en plus de ma-
nière à ne pouvoir plus se rencontrer. Ainsi deux lignes
qui forment un angle sont divergentes du côté de l’ou-
verture de cet angle; elles sont au contraire convergentes
du côté du sommet.

On nomme série divergente , en algèbre, celle dont
les termes croissent continuellement, de sorte que la
somme d’un nombre quelconque de termes, loin d’ap-
procher d’autant plus de la valeur totale de la série que
ce nombre est plus grand, s’en éloigne au contraire da-
vantage. Poy. CONYERGENT.

DIVIDENDE {Arith.). Nombre sur lequel on veut
opérer une division. ’oy. Division.

DIVISEUR (Arith.). Nombre par lequel on veut divi-
ser un autre. Foy. Division et Commun DivisEuR.

Diviseurs cOMMENSURABLES, Ÿ’oy. RACINES COMMENSU-
RABLES.

DIVISION (Arith. et Alg.). Opération qui a pour but
de trouver l’un des facteurs d’un nombre donné lors-
qu’on connaît l’autre facteur.

Cette définition générale de la division est susceptible

DI

de deux modifications résultantes de cé qu’on peut con-
sidérer le facteur cherché comme étant le multiplicande
ou comme étant le maltiplicateur. Par exemple, 3 mul-
tiplié par 4 donne 12; ici , 3 est le multiplicande et 4le
multiplicateur. Si l’on se proposait donc de déter-
miner 3 au moyen de 12 et de 4, ou ce qui est la mème
chose de diviser 12 par 4, il est évident que l'opération
consisterait à chercher la quatrième partie de 12, puis-
qu’on sait que le.nombre demandé a dû être pris 4 fois
pour former 12. Si l'an connaissait au contraire 12, et
le multiplicande 3, et qu’on voulüt déterminer 4, on se
proposerait de chercher combien 3 est contenu dans 12.

Ces deux manières d'envisager la division se réunis-
sent dans l’idée générale de cette opération, parce que,
comme nous l'avons démontré (Ale. 7) les deux facteurs
eutrent de la même manière dans la composition du
produit et qu'il est, par conséquent, indifférent de
prendre l’un quelconque de ces facteurs pour multi-
plicande. Ainsi nous pouvons également dire, dans tous
les cas , que diviser un nombre par un autre c’est cher-
cher combien de fois le premier contient le second.

En prenant pour exemple les nombres 12 et 3, le
moyen qui s'offre d’abord pour trouver le facteur de-
mandé est de retrancher 3 de 12 autant qu’il y est con-
tenu, et de cette manière on aurait

192—3—0, 9—3—6, 6—3—3,3—3—0,

d’où l’on pourrait conclure que 12 contient 4 fois3,
puisqu'il a fallu exécuter 4 soustractions pour ne plus
trouver de reste.

Mais ces soustractions successives deviendraient im-
praticables s’il s'agissait d'opérer sur de grands nombres
et l’on sent la nécessité d’un procédé particulier qui soit
à leur égard ce qu’est la multiplication par rapport aux
additions successives d’une quantité avec elle-même.
Or, ce procédé ne peut être que l'inverse de celui de la
multiplication, et c’est en partant de ce dernier que nous

allons faire comprendre son mécanisme.

1. Le nombre qu’on veut diviser prend le nom de dri-
vidende ; le facteur connu , celui de diviseur, et le fac-
teur cherché celui de quotient. Ainsi dans la division

»2 est le dividende, 3 le diviseur, et 4 le quotient.

2. Pour diviser un nombre composé de deux chiffres
par un nombre composé d’un seul chiffre, on se sert de
la table des produits nommée table de Pythagore (voy.
Muvriricarion). Par exemple, pour diviser 56 par 7,
on cherche dans la septième colonne verticale lenombre
56 et l'ayant trouvé placé en face du 8 de Ja première

i

DI ATS

colonne , on en conclut que 56—73X8, et par conséquent
que le facteur cherché, ou le quotient, est 8.

3. Lorsque le dividende donné ne se trouve pas dans
la table, c’est qu'il n’est point exactement le produit de
deux facteurs. Dans ce cas la division laisse un reste;
par exemple, 8ne divise pas 5o exactement, car 8X6—48
et 8X7—56, on dit alors que 50 divisé par 8 est égal à
6 avec un reste 2 ; ce qui donne l'égalité 50=8X6+0.

4. Pour effectuer la division des nombres composés de
plus de deux chiffres, il faut prendre préalablement
l'habitude d'exécuter de mémoire celle des nombres de
deux chiffres, comme il faut savoir former les produits
simples pour pouvoir opérer une multiplication Nous
supposerons dorénavant qu’on sait trouver les quotiens
simples.

5. Soit maintenant à diviser un nombre composé de
plus de deux chiffres par un diviseur d’un seul chiffre.
Pour rendre le procédé plus sensible , multiplions un
nombre quelconque par un seul chiffre; par exemple,
6548 par 8, et prenons 8 pour multiplicateur afin de pou-
voir mieux examiner la composition du produit ; nous
aurons

6548
8

64
32
40
48

52384

Maintenant prenons 52384 pour dividende et 8 pour
diviseur , et faisons l’opération suivante :

8

48
43
40

38

3
64
64

Oo

Ayant écrit 8 à la droite de 52384, commençons par di-
viser les deux derniers chiffres à gauche 52 par 8; cette
division nous donne 6 pour quotient avec un reste 4
parce que GX8—48. Or, ce nombre 6 ainsi trouvé est
le chiffre des plus hautes dixaines du quotient demandé;
car d’après la formation de 52384, il est évident que les
deux derniers chiffres 52 contiennent le produit 48 du
dernier chiffre du multiplicande par8, plus les dixaines
du produit précédent 40, ajoutées dans l'addition finale;
donc 52 divisé par 8 doit donner pour quotient ce der-
à 60

414 DI
nier chiffre du multiplicande, avec un reste égal aux
dixaines ajoutées. é
Ayant retranché le produit de 6 par 8, ou 48, de 5»,
! et écrit à côté du reste 4, le chiffre suivant 3 du divi-
{ dende, on voit que 43 est le produit de l’avant-der-
: nier chiffre 5 du multiplicaude par 8, produit aug-
menté des dixaines 3 du produit précédent. Raisonnant
comme pour 52, ou trouvera quele diviseur 8 est con-
tenu 5 fois dans 43, avecun reste 3; on écrira donc 5
au quotient, et à côté du reste 3, on abaissera le qua-
trième chiffre 8 du dividende. 38 étant, par les mêmes
raisons que ci-dessus, le produit du second chiffre à
gauche du multiplicande, par le multiplicateur 6, aug-
menté des dixaines du premier produit, on trouvera
ce second chiffre en divisant 38 par 8, ce qui dounera
4 pour quotient, et 6 pour reste. Écrivant enfin, à
côté de ce dernier reste, le dernier chiffre 4 du divi-
dende, 64 sera le produit des unités du multiplicande,
et en divisant 64 par 8, on obtiendra ces uuités 8, qu’on
écrira au quotient. La division aura donc fait retrouver
exactement le multiplicande 6548.

6. Sans nous appesantir sur d’autres décompositions

semblables , nous poserons la règle suivante :

Pour diviser un nombre de plusieurs chiffres par un

nombre d’un seul chiffre, il faut :

1° Écrire le diviseur à côté du dividende, en les sé-
parant par un trait.

2° Chercher combien le premier chiffre du dividende
contient le diviseur , ou , si ce premier chiffre est plus
petit que le diviseur, combien les deux premiers chif-
fres du dividende contiennent le diviseur, et écrire ce
uombre au quotient;

3° Retrancher de la partie employée du dividende,
e produit du chiffre trouvé ;
le produit du chiffre t ;

4° Écrire à côté du reste obtenu par cette soustraction
le chiffre suivant du divideude, pour former un nou-
veau dividende partiel sur lequel on opère comme sur
le premier ;

5° Écrire le second quotient partiel à la droite du
premier et retrancher son produit du second dividende
partiel ;

6° A côté du reste de cette dernière soustraction,
écrire le chiffre du dividende général qui suit le dernier
employé, pour former un troisième dividende partiel ;

7° Continuer enfin de la méme manière jusqu’à ce
qu’on ait employé tous les chiffres du dividende gé-
néral,

Quelques exemples suffiront pour rendre cette règle
évidente,

DI -
7- Soit à diviser 61605 par g. Après ayoir disposé
comme il suit les nombres donnés

on dira : en 61 combien de foisg? 6 fois pour 54.On écrira
6 au quotient , et on retranchera 6 fois 9 ou 54 de 61,
ce qui donnera un reste 7, à côté duquel on écrira le
chiffre 6 du dividende. Continuant l'opération, ou dira :
en 76, combien de fois 9? 8 fois pour 72; on écrira 8
au quotient, et on retranchera 72 de 56, ce qui donnera
4 pour reste, à côté duquel on écrira le chiffre o du di-
vidende. On dira de nouveau, en 4o combien de fois g?
4 fois pour 36 ; on écrira 4 au quotient et à côté du reste
4, obtenu en retranchant 36 de 40, on écrira le dernier
chiffre 5 du dividende. On dira enfin, en 45 combien
de fois 9 ? 5 fois exactement, et l’on terminera l’opéra-
tion en écrivant 5 au quotient et o pour dernier reste,

Le quotient demandé est donc 6845.
5. Proposons-nous de diviser 8437 par 9. Ici, il n’est
pas besoin de prendre deux chiffres du dividende pour

commencer l’opération, parce que le premier le con-
tient déjà. On dira donc

en 8 combien de fois 7 ? une fois avec un reste r, Abäis-
sant le chiffre 4 , on continuera en disant en 14 combien
de fois 7? 2 fois sans reste, On écrira donc o pour reste,
et l’on abaissera le chiffre 3 du dividende ; ce qui don-
nera 03 ou seulement 3 pour troisième dividende par-
tiel; on dira donc en 3 combien de fois 3? La division
ne pouvant s'effectuer, on écrira o au quotient, et con-
sidérant 3 comme un reste, on écrira à côté le dernier
chiffre 3 du dividende. On terminer# enfin en disant :

7? 5 fois avec un reste 2.

en 37 combien de fois 7

Le quotient cherché est donc 1205; mais il y a un

reste, ce qui prouve que 7 n’est pas facteur exact de
8437.

9. Une décomposition semblable à celle du numéro 5,
va nous montrer la marche qu’il fant suivre lorsque le
diviseur a plusieurs chiffres. Ayant multiplié 856 par
464, et trouvé comme ci-dessous 406464, proposons-
nous le problème inverse de diviser 406464 par 876 : le

DI

quotient sera nécessairement 464; écrivons le diviseur à
côté du dividende, et opérons comme il suit :

876

- 464

3504
5256

200. (816

D'après la composition du dividende, on voit que le
produit du diviseur par le dernier chiffre 4 du quotient
est contenu dans les quatre derniers chiffres 4064 du di-
vidende, plus les dixaines provenant des autres produits
partiels. Ainsi, ayant séparé ces quatre chiffres par un
point, ilest évident que pour trouver le dernier chiffre
4 en question, il ne faut que chercher combien les chiffres
ainsi séparés contiennent de fois le diviseur. Nousdirons
donc en 4064 combien de fois 876? mais comme ici la
table de multiplication est insuffisante, nous remarque-
rons que 4064 étant le produit de 856 par le chiffre
cherché , le premier chiffre 4, ou à son défaut, les
deux premierschiffres 4o doivent contenir leproduit du
chiffre cherché par le dernier chiffre 8 de876; la question
se réduit donc à dire en 40 combien de fois 8? et comme
il y est 4 fois, nous en conclurons que 4064 contient
4 fois876. Cela posé, 4064 contenant en outre les dixaines
provenant des autres produits partiels, pour avoir ces
dixaines , il ne faut que multiplier 876 par 4, et retran-
cher le produit de 4064. Ayant donc écrit 4 au quotient
multiplions le diviseur par ce nombre, portons le pro-
duit 3504 sous 4064 , et retranchons-le de ce nombre,
nous aurons 560 pour reste.

Si à côté de ce reste , nous écrivons jes deux autres
chiffres 64 du dividende, il est bien évident que le
nombre qui en résulte 56064 ne contient plus que les
produits de 8736 par les deux premiers chiffres 64 du
quotient.

Remarquons de nouveau que le produit de 876 par
lavant-dernier chiffre 6 du quotient est contenu dans
les quatre premiers chiffres 5606 de notre nouveau di-
vidende plus les dixaines reportées du premier produit
partiel. Ainsi, pour trouver ce chiffre 6, il faut encore
chercher combien de fois 5606 contient 876, ou, comme
ci-dessus, combien 56 contient 8. Mais ici 56 contient 8
7 fois et non G fois. On pourrait donc croire qu’il y a
erreur dans Popération , si l’on ne se rappelait pas que

DI 475

non-seulement 56 contient le produit deS par le chiffre
cherché, mais qu’il contient encore de plus les dixaines
provenant des produits des autres chiffres de 896, et
cucore celles proveuantdu premier produit partiel 3504;
il arrive donc souvent que la division des deux premiers
chiffres du dividende par le premier chiffre du diviseur
donne un nombre plus grand que celui qui est cherché ;
et l’on ne peut regarder ce procédé que comme un ta-
tonnement , puisque pour être sûr qne le chiffre trouvé
n’est pas trop grand, il faut multiplier le diviseur entier
pour savoir si le produit ne surpasse pas les chiffres sé-
parés du dividende, car il ne faut pas perdre de vue
que la véritable question est ici de savoir combien 5606
contient 876.

Ainsi ayant trouvé 7, en disant : en 56 combien de
fois 8? multiplions 876 par 7, et comme le produit 6132
est plus grand que 5606, concluons que 7 est trop fort;
alors multiplions 876 par 6 , et comme le produit 5256
est contenu dans 5606, écrivons 6 au quotient et re-
tranchons 5256 de 5606; nous aurons 350 pour reste, à
côté duquel nous écrirons le dernier chiffre 4 du divi-
dende.

Or, il est évident que puisque nous avons retranché
successivement du dividende général, les produits du
diviseur par les centaines et les dixaines du quotient,
le dernier reste 3504 ne doit plus contenir que le pro-
duit du diviseur par le chiffre des unités du quotient,
et qu’il doit être ce produit même, puisque le dividende
proposé est exactement le produit du diviseur par le
quotient. Ainsi, pour trouver ce chiffre des unités,
nous dirons : en 3504 combien de fois 8,6? ou plus
simplement, en 35 combien de fois 8? 4 fois. Multiplions
donc 876 par 4 pour savoir sice chiffre n’est pas trop
grand , et comme le produit est justement 3504, écri-
vons { au quotient, eto pour dernier reste, ce qui de-
vait être nécessairement , puisque nous n'avons fait que
retrancher du dividende tous les produits partiels qui

le composaient.

10. De là il est aisé de conclure la règle générale
suivante :

On prendra sur la gauche du dividende autant de
chiffres qu'il est nécessaire pour contenir le diviseur.

Cela posé, on cherchera combien {a partie prise du
dividende contient de fois le diviseur, ce qui se fait en
cherchant seulement combien de fois Le premier chiffre
à gauche du diviseur est contenu daus le premier chiffre
du dividende, ou dans les deux premiers si le premier
ne suffit pas; on écrit le chiffre trouvé sous le diviseur.

On multiplie tous les chiffresdu diviseur par ce quo-
tient partiel, et on porte à mesure les chiffres du pro-
duit sous les chiffres correspondans du dividende par-
tiel. On fait la soustraction, et à côté du reste on abaisse

416° BI
le chiffre suivant du dividende général, ce qui donne
un second dividende partiel.

Oa opère sur ce second dividende partiel comme sur
yle premier , et on continue l'opération jusqu’à ce qu’on
‘ait abaissé tous les chiffres du dividende général.

Quelques exemple éclairaront les cas embarassans.
17. Soit à diviser 3730438 par 5364;

37304.38 (7304
36820 (506
45438
k 4184

4254

Ayant séparé par un point les cinq derniers chiffres
du dividende, parce que les quatre premiers sont in-
suffisans pour contenir le diviseur ; je dis : en 37 com-
bien de fois 7 ? 5 fois; j'écris 5 au quotient.

Je multiplie 3364 par 5, et je porte le produit 36820
sous 37304 , duquel je le retranche; à côté du reste 454
j'abaisse le chiffre suivant 3 du dividende, et j'ai pour
second dividende partiel 4543.

Qr, comme ce second dividende est plus petit que
le diviseur, j'agis comme dans le numéro 8, c'est-à-
dire que j'écris o au quotient , et que j’abaisse le dernier
chiffre 8 du dividende.

Je dis, eu 48438 combien de fois 5364? ou, en 48
combien de fois 7? je trouve 6 fois que j'écris au quo-
tient, je multiplie le diviseur par 6, et j'écris le produit
44184 sous le dividende 48438 duquel le retranchant,
j'ai 4254 pour reste.

Eu effet, en multipliant le diviseur par le quotient,
on trouve pour produit 3526184 qui diffère du divi-

/

dende donné du nombre 42544.
12. Il s’agit de diviser 8988186 par 596.

8988186 596
596 15080
3028
2950
4318
4768
506

Je prends seulement les trois premiers chiffres du di-
vidende parce qu’ils suffisent pour contenir le diviseur,
et au lieu de dire en 895 combien de fois 596? je dis :
en 8 combien de fois 5? je trouve 1 que j'écris au quo-
tient.

Jemultiplie 596 par 1, et je porte le produit 596
sous 895, je fais la soustraction, et à côté du reste 302,
j'abaisse le chiffre 8 du dividende, et je continue en

DI

disant : en 30 combien de fois 5? G fois, mais en mul-
tipliant le diviseur par 6, je trouve 3056 qui est plus
grand que le dividende, je n’écris donc que 5 au quo-
tuent.

Je multiplie le diviseur par 5, j'écris le produit 2980
sous 30928, je fais la soustraction, et à côté du reste 48
j'abaisse le chiffre 1 du dividende. Mais comme 481 ne
peut pas contenir le diviseur 506, je porte o au quo-
tient, et j'abaisse à côté de 481 le chiffre suivant du
dividende, ce qui donne 4818. Alors je dis : en 48 com-
bien de fois 5? IL y va 9 fois, mais pour la même raison
que ci-dessus , je ne pose que 8 au quotient.

Je multiplie le diviseur par 8, et ayant retranché le
produit 4768 de 4818 , j'ai pour reste 50 à côté duquel
j'abaisse le dernier chiffre 6 du dividende. Or, 506
étant plus petit que le diviseur, j'écris o au quotient,
et comme je w’ai plus de chiffres à abaisser, j'en conclus
que 8988186 contient 15680 fois 506, plus un reste 506.

13.Ces exemplessuffisent pour montrer la marche qu’on
doitsuivre dans tous les cas.Ïl nous reste à montrer com=
ment on peut abréger les multiplications qu’on est
obligé de faire pour savoir si le chiffre obtenu par la
division des deux premiers chiffres du dividende par le
premier chiffre du diviseur n’est pas trop grand. Par
exemple, dans l'exemple ci-dessus , au troisième divi-
dende partiel, nous avions : en 48 combien de fois 5?
9 fois, et nous n'avons mis que 8 au quotient, parce
que le diviseur multiplié par 9, donne 5364 qui est plus
grand que le dividende 4818. Or, nous aurions pu éviter
cette multiplication en faisant la remarque suivante :

Si 4818 contenait 9 fois 596, les derniers chiffres 48
devraient contenir Q fois 5 , plus un reste qui se com-
poserait des dixaines provenant de la multiplication des
autres chiffres du diviseur par O, retranchant donc
5 fois 9 ou 45 de 48, le reste 3 devrait être ces mêmes
dixaines. Or, 318 qui reste après avoir Ôté 45 centaines
de 4818, doit donc contenir les produits des deux au-
tres chiffres, 96 du diviseur par 9, et particulièrement
31 doit contenir le produit du chiffre 9 des dixaines
par 9; mais ce produit étant 81, et par conséquent
plus grand que 31, il s'ensuit que 9 fois 596 est
plus grand que 4818. Ainsi, sans être obligé de faire
la multiplication et seulement à l’aide de la différence
de 45 à 48, on reconnait que le chiffre 9 n’est point celui
qu’on demande.

Actuellement pour savoir si 8 n’est pas aussi trop
grand, car il se présente des cas où le premier chiffre
trouvé surpasse le chiffre cherché de deux unités; on
dira de même 8 fois 5 font 40, ôté de 48 reste 8; joi-
gnant 8 au troisième chiffre 1 de 4818, on dira : 8 fois 9
font 52 qui, ôté de81 , donne un reste 9 auquel on joint
le dernier chiffre 8 de 4818, et comme 98 qui en ré-

DI

sulte , est plus grand que 8 fois 6, il s'ensuit que 596
est contenu 8 fois dans 4818.

4818 (596
4o_\8

Avec de l’habitude, on aperçoit facilement dèsle pre-
mier reste, si le chiffre n’est pas trop grand; mais
dans tous les cas, comme il est inutile d’écrire, ainsi que
je lai fait ci-dessus, une opération qu’on exécute men-
talement, on abrège considérablement l’opération gé-
nérale.

On doit aussi prendre l'habitude d’exécuter les sous-
tractions des produits partiels sans écrire ces produits
et à mesure qu’on les forme; c’est ce qu'on trouve ex-
pliqué dans tous les traités d’arithmétique.

14. Division pes Fracriows. Diviser une fraction quel-
conque £ par une autre fraction 7, c’est la même chose
que multiplier £ par 7 renversé ou par 7. On a donc

RE LES 9

6 916 1
Les raisons de cette règle sont exposées à l’article AL-
GÈDRE, n° 18.

15. S'il s'agissait des fractions décimales, l'opération
se simplifierait beaucoupen remarquant que le quotient
de deux nombres ne change pas lorsqu'on multiplie ces
deux nombres par un même facteur. En effet, soit 0,45
à diviser par 0,5; en multipliant ces deux fractions par
100, elles deviennent 45 et 50 dont le quotient est la
fraction

45

50
qu’on peut réduire en fraction décimale par le procédé
exposé au mot DécIMALE.

On trouve ainsi

16. Si les nombres proposés étaient composés de par-
ties entières et de parties décimales, il faudrait les multi-
plier l’un et l’autre par un multiple de 10 , capable de
faire disparaître à la fois les deux parties décimales, et
opérer ensuite la division sur les nombres entiers résul-
tans. Ainsi, pour diviser 54,35 par 7,005, il faut com-
mencer par multiplier chaque nombre par 1000 ce qui
les transforme en 543500 et 70025 dont le quotient est
le mème que celui des nombres proposés.

On peut ainsi poser la règle générale de cette opéra-
tion : Ayant complétc par des zéros le nombre des dé-

.—
di

DI

cimales du dividende et du diviseur, on retranche la
virgule de part et d'autre, et on opère comme st les
nombres proposés étaient entiers. Par exemple, pour
diviser 154,05 par 3,2552, ou écrira

LA

154.0500|3.2552

et, en retranchant la virgule, on aura

1540500 Pa
238420 : +7
1056

Le quotient demandé est donc 47 plus un reste 20556.
Ce reste, qu’il faudrait encore diviser par 32552,

: : 6 £
fournit la fraction , etle quotient total est donc

1055
32552

FURE 10556

TT 3255

Si l’on ne voulait avoir que des fractions décimales, il
faudrait continuer la division ci-dessus en écrivant suc-
cessivement des o à côté de chaque reste, et l’on n’arré-
terait l'opération qu'après avoir obtenu le degré d'ap-
proximation dont on aurait besoin. En supposant, dans
l'exemple précédent, qu’on r’ait besoin de connaitre le
quotient qu’à un millième près, l'opération totale de-
viendrait
32552

5405 =
1540500 RE

238420
105560
79040
109360
9152

Le quotient de 154,05, divisé par 3,2552, est donc
47,324 à un millième près.

17. Lorsqu'on a exécuté une division, le moyen le
plus direct qui se présente pour la vérification du calcu
ou pour faire ce que l’on nomme la PREUvE de l’opéra-
tion, c’est de multiplier le diviseur par le quotient
puisque ces deux quantités sont les facteurs du dividende.
Ainsi cette multiplication doit reproduire exactement le
dividende, si la division n'a pas laissé de reste, et s’il y
a un reste le produit augmenté de ce reste doit être égal
au dividende.

Ilexiste encore une preuve deladivision qu’on nomme
preuve par Q , elle est exposée au mot AnITHMÉTIQUE,
dans le fragment d'Avicenne; nous verrons à l’article
Facreur les principes sur lesquels elle est fondée.

18. Division comPLexE. On nomme divisioncomplexe
celle qu'il's’agit d'effectuer sur des nombres composés
d'entiers et de fractions. Il se présente trois cas : 1° Le
dividende seul est complexe ; 2° le dividende et le divi-
seur sont tous deux complexes; 3° le diviseur seul est

complexe. Nous allons les examiner successivement.

4178 DI

1° Soit à diviser 345 20' 30" par 24 ; après avoir di-
visé 345 par 24, ce qui donne 14 pour quotient et Q
pour reste; on réduira ce reste g heures, en minutes, en
multipliant 9 par 60, puisque une heure équivaut à Go
minutes ; on augmentera le produit, 540, des 20” du di-
vidende, et on aura ainsi un nouveau dividende par-
tiel 560, qui , divisé par 24 , donnera 23 pour quotient
et 8 pour reste; on réduira de nouveau ce second reste
en secondes, en le multipliant par 60, et on ajoutera au
produit, 480 , les 30” du dividende général, ce qui don-
nera pour second dividende partiel 510; ce nombre,
divisé enfin par 24, donnera pour quotient 21 et pour
reste G. Le quotient général sera donc 14 heures, 23
minutes, 21 secondes , plus # de seconde. Voici les dé-
tails de l’opération :

345 20 30]?
105
Reste d’heures.... 9
6o

540
20

560

80

Reste des minutes. 8
60

480
30

ne

510
30
Reste de secondes... 6

S'il s'agissait d’un dividende composé de fractious or-
dinaires, on ramènerait l'opération à une division
simple en se débarrassant des fractions comme il suit :

Soit 5 à diviser par 49. Réduisant tout le divi-

dende en fraction, c'est-à-dire opérant l'addition

56 + À ë SRE

L'opération sera ramenée à la division de nc par 49.
Mais en retranchant le dénominateur 57, ou rend Ja
fraction 57 fois plus grande ; ainsi le quotient de 2097
par le diviseur proposé 49 serait 57 fois trop grand, il
faut donc multiplier préalablement le diviseur par 57,
et alors le quotient de 2097 par 49X 57 ou par 2693
sera le quotient demandé.

Larègle générale est donc deréduire tout le dividende
en une seule fraction, de multiplier ensuite le diviseur
par le dénominateur de cette fraction, et de diviser seu-
lement le numérateur par ce dernier produit.

DI

2° Si le dividende et le diviseur sont tous deux com-
plexes , on pourra se servir de plusieurs opérations pré-
paratoires dont la plus simple est de rendre le diviseur
incomplexe en le réduisant en unités de l’ordre le plus
bas de celles qu’il contient. Soit par exemple :

48 livres sterling 16 shellings 6 pences à diviser par
350 toises 5 pieds 10 pouces. On réduira le diviseur en
pouces, ce qui s’exécutera en multipliant d’abord 350
par 6, pour avoir le nombre de pieds contenus dans 350
toises, on ajoutera 5 à ce nombre 2100, puis on multi-
pliera 2105 par 12, pour avoir le nombre de pouces eon-
tenus dans 2105 , ajoutant 10 enfin à ce dernier nombre
25260, on saura que le diviseur proposé est équivalent
à 25270 pouces. Or, une toise contenant 72 pouces, le
nombre précédent, comparé à l’unité, est donc la frac-
tion

25270

72

et c’est par cette fraction qu’il faut diviser 48! 16° Gr.
Pour faire disparaitre le dénominateur 92, il ne s’agit
donc plus que de multiplier le dividende et le diviseur
par ce nombre, ce qui ne change pas le quotient; le se-
cond devient alors simplement 25250, et le premier, en
opérant lamultiplication, devient (voy. MuzrripLicaTioN)
3515! 8°. Voici les details de l'opération , pour laquelle
il faut savoir que ia livre sterling vaut 20 schellings et
le schelling 12 pences.

3515! 8° [2327 9

20 Lol 2° 9"

schellings 70300
8

70308
19768
12

39536
19768.

Ieste en schel.

Pences. . .237216
Reste.... 9786

Le quotient demandé est donc 2 schellings 9 pences

86
plus oee de pence.
29270

Il faut observer dans toute division que le diviseur
doit toujours être considéré comme un nombre abstrait,
et que le quotient ne peut être d’une autre nature que
le dividende. En effet , une division quelconque avant
pour but de trouver le nombre qui , ajouté à lui-même
un nombre de fois donné en produit un autre également
donné, il est évident que le nombre cherché est de
même nature que celui qu'il doit produire, ou que le di-
vidende; tandis que le diviseur, exprimant seulement

le nombre de fois que le quotient est contenu dans le di-

DI

vidende ; est essentiellement un nombre abstrait. Si
donc l’on divise des livres sterlings par des toises, C’est
qu'une telle division est Le résultat d’une question qui
considère seulement le rapport des nombres entre eux
indépendamment de leurs natures. Ainsi, par exemple,
si l’on savait que 350 toises 5 pieds 10 pouces d'un cér-
tain ouvrage de mäçonnefie ont coûté la somme de 48
livres 16 schellings 6 pences et qu’on voulüt connaitre ,
à l'aide dé ces nombres , quel est le prix de la toise , il
s'agirait de savoir d’abord quel est le rapport entre une
toise et le nombre en question, car si une toise est la
centième, la deut=centière , ttc. partie de ce nombre
son prix sera la centiènie païtie, la deux centième, etc.
de la somme conntie; e’est-ä-dire, que pour obtenir ce
prix il suffira de diviser cette somme par 100, ou 200,
ou etc. Mais le rapport d’une toise à 350° 5r 10P , et ce
nombre lui-même ; car en réduisant tout en pouces se

rapport est le même que celui de
72 pouces à 25270 pouces;

ou que le nombre abstrait

25270

72

C’est donc seulement pour abréger qu’on sous-entend la
nature abstraite du diviseur et qu’on lui conserve les dé-
nominations des nombres concrets dont ii est le rap-
port.

3° Lorsque le diviseur seul est complexe , on ramène
l'opération à une division simple en opérant sur lui
comme dans le cas précédent.

La division complexe, dans le cas des fractions déci-
males, a été déjà exposée ci-dessus, n° 16.

19. Division aLGEBRIQUE. Nous avons Vu ALGÈBRE,
n°10 , comment les signes du dividende et du diviseur
déterminent ceux du quotient, nous rappellerons seule-
ment ici, en désignant par À un dividende quelconque,

par B le diviseur, et par C le quotient, qu’on a en gé-

uéral :
CR —
5-0 AT

20. La division d’un polynome paï un monome s’o-
père en divisant chaque terme du polyÿnome en particu-
lier. Il est évident que

KABLESD ec. À B° CD
Mon MM MN:

Ja raison de cette règle est évidente.

Di 419

Tant que les lettres du dividende et du diviseur sont
différentes on ne peut opérer aucune réduction sur les
résultats, mais lorsqu'il y a des lettres semblables, ou
des coefficiens numériques, ces résultats peuvent être
simplifiés. Soit par exemple 6a%b—4ac?+2b?c à diviser
par 2ac; on a d'abord par la règle générale

. 2b?c
2ac

Ga?b— 4ac? + 2e

2ac

6æb . 4ac?
2ac

7 2ac
{- . n D
maté en examinant chaque terme du quotient on voit
que les numérateurs et les dénominateurs ont des fac-
teurs communs qui peuvent être conséquemment re-
tranchés sans changer la valeur des termes ; ainsi

Gaib
2ûc

., … 2ab
se réduit à 7»

en divisant les deux termes de cette fraction par le fac-
teur commun 2a ;

4ac?
2ac

se réduit à 2c

en divisant les deux termes par 2ac ; et enfin

ohe “abgracéi
se réduit à —
a

2ac

en divisant les deux termes par 24:
Le quotiet demandé est donc seulement

Secondexemple.Lepolynome 1 5afbc6—3añen+5b8c7
divisé par 15 a°b7 devient

15ab3c® 3aÿc': 5b8c7
1 ab? 1 54°b7 15a°b7
et se réduit à
a%c° eu be?
bi 5ab7 3@

après le retranchement”des facteurs égaux des deux
termes de chaque fraction. On peut encorë donnet à ce
quotient la forme

; I :
@b—icf — a —b—7en + aber
L5]

CS |

en se servant d’exposans négatifs, puisqu'on a en géné-
l b

L

ral — = —A-", Voy. ALGÈBRE , n° 24.

21. La méthode qu'on emploie pour diviser un poly-

nome par un autre polvnome est à peu près semblable

480 DI

à celle que nous avons donnée -dessus pour les nombres.
On ordonne d’abord le dividende et le diviseur par
rapport à une même lettre, commune à l’un et à l’autre,
de manière que les puissances consécutives aillent en dé-
croissant du premier terme au dernier. On divise en-
suite le premier terme du dividende par le premier du
diviseur, d’après les règles que nous venons d’exposer
pour les monomes, le quotient qu'on obtient est le pre
mier terme du quotient général demandé. Multipliant
le diviseur par ce terme trouvé, et retranchant le pro-
duit du dividende, on a un premier reste dont le pre-
mier terme divisé par le premier terme du diviseur
donne pour résultat le second terme du quotient. Opé-
rant ensuite comme ci-dessus, on obtient un second reste
lequel sert de la même manière à la détermination du
troisième terme du quotient, et ainsi de suite jusqu’à ce
qu’on trouve o pour reste, ou un reste qui ne puisse
plus être divisé.

Exemple 1°. On demande le quotient de la division
de 3a?+oga—5a—15 par 3a—5

3a—5
3 LE Fe Re
Lu . 7 a +3 quotient
9æ@—15 premier reste.
—9@ +15

o second reste — 0.

Les produits de 3a—5 par aet par 3 sont 3a—5a
et oa?—15, mais pour les soustraire il faut changer les
signes et ils deviennent —3a+5a, —ga+15.

Exemple 2°. On veut diviser 4a—17ab+2b; par

a+2b

—2b
Re b3 F Le |
ne JL en He 4aæ—8ab—b quotient
—8ab—17ab? premicr reste
—8abLi6ab?
—ab?+2b3 second reste
+ab—2bi

o troisième reste.
Exemple 3°. Diviser am—bm par a—b

a—b
PS mm pm rm
a Lab aa an a etc.
an bin
—am—1b+am—2hs
sa | Han—h— mt
—an—3b + am—3p3
er
—am 3h Lam—hpi
Han—hbi pm
etc. etc.

L'opération ne pourra seterminer tant que l’exposant
m restera ainsi général, mais il est facile de saisir la loi

DI

des termes du quotient; en effet , on voit que les puis-
sances de a décroissent à mesure que celles de b devien-
nent plus grandes, et on pourra conclure par analogie
que le dernier terme de ce quotient général est abm—1
et que ce quotient lui-même est

am E am—3h + am—3h3 Letc......
+ @bm-3 LE abm—3 L bn ;

pour s’en assurer il ne faut que le multiplier par «—b,
ce qui donne .

an E am—1ib L am—2h2 L etc.
+ dbm—3 Labs LL 'abm-1
—amTib—am—2h2 —etc....
—dbn—3 co bm—3abm 1h

dont la somme est effectivement a—bm.

Exemple 4°. Diviser a*—ab?+b5 par a4+b

a—abpp fe
—a—æb a—ab
—æ@b—ab
A ma
FT

Le quotient sera donc égal à &—ab plus la fraction
b3

a+’

a, on ne peut continuer la division sans trouver des

comme ici le numérateur ne contient plus la lettre

termes fractionnaires, et alors dans ce dernier cas, lors-
qu'on veut continuer la division, on peut la pousser à
l'indéfini car il n’y a plus de raison pour s'arrêter à un
terme plutôt qu’à un autre; le quotient pris donc en gé-
néral est composé d’un nombre indéfini de termes dont
chacun peut être déterminé par une loi très-simple au
moyen de ceux qui le précèdent, comme nous allons le
voir pour le cas dont il est question.

a
HP RE TE
——— RTE TA +etc.
bi :
. premier reste
bi bd
++
b5
+ _ second reste
b5 b5
7 à
—— 7

—— troisième reste
a

etc.

La loi des termes du quotient est facile à saisir, leur

bm+a

Fr = -
forme générale est —— et ils sont alternativement
a

DI

positifs et négatifs. On peut encore exprimer cetie der-
nière circonstance, en observant que (—1}"+1est positif
toutes les fois que #1 estimpair, c’est-à-dire que 711,3,
5, 7, etc., et négatif lorsqu'il est pair, c’est-à-dire que
m—2 , 4, 6,8, cetc.; en effet, lorsque 72 est impair,
mx est pair, et (—i)tt = + 1; lorsque 72 est pair
m + x est impair et (—1}"+1=— 1. Ainsi la forme
absolument générale des termes de ce quotient est

bn+2
( —] }a+1 >

a

Connaissant ainsi cette forme générale, pour trouver
un terme quelsonque, le quatrième par exemple, il faut
y faire »m—4 et on obtient

b5

lea
pour ce terme, comme nous l’avons obtenu ci-dessus
par la division. On appelle en général suite ou série une
quantité composée, comme le quotient en question, d’un
nombre indéfini de termes; et terme général de cette

Ni — 2

suite une expression, telle que (—1}#+, dont

on peut tirer tous les termes qui la composent.

Les restes successifs de cette division sont aussi liés par
une loi très simple ; en examinant leur génération

bi b5 b5 b1
70 = DNS A Mt
on voit avec facilité que leur forme générale est

bm+3
an h

(apr.

Si on voulait terminer l'opération au premier, second,
troisième reste, etc., pour compléter le quotient, il fau-
drait alors lui ajouter une fraction dont le dernier reste
serait le numérateur et le diviseur le dénominateur; c’est

ainsi qu’on pourrait avoir

DEDRAN D bi
akb a a(a+b)

b3 b5 bi b°
a$b «a « au a (a+b)

b3 b5 bi L5 ' Ad

a+b ne Ua fe a a{a+b)

etc. etc.

Mais en considérant le quotient danstoute sa généralité,

; b5 cr +
la fraction F2 est exprimée par la suite indéfinie
bi b3 bi b° OR
etc.
a+b a a a ai ?

DI 481
29. Nous aflons, avant de terminer cet article, exa-
miner les différentes formes sous lesquelles les suites pro:
duites par la division peuvent se présenter.
La division de a« par a—b, donne, en suivant les
principes exposés ci-dessus,

a b b2 b3 bi
—=1+—+ La tarpete

Si dans cette égalité on fait a=b, elle deviendra

_ = 14141 iii etc.

Le second membre de cette égalité pris dans sa généra-
lité est nécessairement infiniment grand, ainsi la division
d’un nombre quelconque par o produit l'infini. EfFeti-
vement si l'on considère ceque devient un quotient dont
on diminue successivement le diviseur, on remarquera
sa croissance rapide

a a a a
— = 1,5. =24,,-=4ha,;=8a,-— = 1604
a

L — —
24 44 84 160

Donc, lorsque le diviseur devient infiniment petit, ou
zéro, le quotient est infiniment grand; c'est ce que donne
l'égalité en question.

23. En faisant dans la même fraction

a
NE a=I1 et b=+

on a

ou

2 =

DHEA do ete.

Dans cette suite, les termes devenant de plus en plus
petits, on voit facilement qu’on peut, en n’en prenant
qu’une quantité déterminée obtenir des valeurs appro-
chées du nombre 2, qui est ici la valeur totale de la
suite; en effet on a

ie iii es ,

143

ititititie=isetc.

; à sr 7 LION OI
et il est évident que les quantités 1, S'£ 80 diffè-

rent d'autant moins de 2 qu’il entre dans leur composi-
tion un plus grand nombre des termes de la suite.

Les suites, dont les termes sont ainsi de plus en plus
petits, se nomment convergentes à cause de leur pro-

priété de pouvoir donner au moyen d’un nombre limité
Gi

482 DI

de leurs termes, des valeurs approchées de la valeur
générale qu’elles expriment par la totalité de ces mêmes
termes. L'usage de ces suites est d’un graud avantage
dans l'algèbre pour obtenir les valeurs approximatives
des quantités qui ne peuvent s'exprimer exactément bi

par des nombres entiers, ni par des nombres fraction-

2
naires, tels que V/3, etc.
24. Faisant actuellement a = 1 et b——2, nous
aurons

LL £ _:
Tous 1244 —8+16—32+64—0ctc.
me
Cette suite diffère essentiellement de la précédente,
car en additionnant successivement deux, trois, quatre
etc. de ses termes , on obtient les quantités

1,—1,+3,—5,<+11,etc.,

qui s'éloignent de plus en plus de la fraction 3, va-
leur générale de la suite : ici quelque grand que soit
le nombre des termesqu'on voudrait prendre, on ne
pourrait rien en conclure sur la valeur qu'exprime cette
suite, à laquelle onu donne pour cette raison le nom de
divergente ; ce n’est, commenous le verrous en son lieu,
qu’en les considérant dans le nombre indéfini de leurs
termes que les suites divergentes ont une signification ou
une valeur générale déterminée.

Nous verrons aussi que les suites divergentes peuvent
être, au moven de certains procédés, transformées en
suites convergentes. #’oy. CoNvERGENT et SÉRIE.

Division (Géom.). Diviser une ligne par une autre,
c'est chercher combien de fois cette ligne contient l’au-
tre , et alors on les compare toutes deux à une troisième
ligne prise pour unité, ce qui donne le moyen de les
‘exprimer par des nombres. Par exemple, soit à divi-
ser la ligne: A par la ligne B et soit Gl’unité de mesure;
supposons de plus que A contient 72 unités, et B, nuni-
tés; le quotient de »7 par x exprimera le nombre d’uni-
jLés C que contientle quotient dela ligne A par laligne B.
(Mais sans avoir besoin de recourir aux nombres, ce der-
Fa quotient, ou la ligne qui le représente, peut toujours
ètre obtenu par une construction géométrique. En
effet, |

À AN
BB
AXT ; à
et —— se construit en prenant une quatrième propor-

B
tionnelle aux trois lignes À, B, et 1 ou C. Foy. Arpui-
CATION , n° 8.

On obtiendra le quotient d’un produit de ngnes
droites a, b, c, d, etc. en nombre quelconque, par un
autre produit d’autres lignes droites », 7, 0,p, etc.

DI

en nombre également quelconque, par des construc-
tions successives de quatrièmes proportuonnelles. Si l’on
avait par exemple aXbXc à diviser par mxn comme
le quotient

on chercherait d’abord la quatrième proportionnelleaux
trois lignes a, b,m, et en la désignant par x, on au-
rait

construisant ensuite la quatrième proportionnelle aux
trois lignes x, c, r, on aurait le quotient demandé.

Tant que le nombre des dimensions du dividende
surpasse d’une unité celui des dimensions du diviseur,
on voit aisément qu’en agissant de la même manière on
parviendra à trouver une dernière quatrième propor-
tionnelle qui sera ie quotient général. Dans tous les
autres cas il faudra connaître l’unité de mesure et ajou-
ter cette unité comme facteur soit au dividende soit au
diviseur, de manière que le nombre des facteurs du divi-
dende surpasse d’une unité celui des facteurs du divi-
seur. Par exemple on donnera au quotient de

SRE
min pig
la forme

deb: C-Lra
m.n.p.q
et au quotient de

a.b.c.d

la forme
a.b.c.d

m.1.l

ce que l’on peut ensuite construire aisément par une
suite de quatrièmes proportionnelles.

Division pu cercLe. V’oy. PoLxGonE, CENTESIMALE et
SEXAGÉSIMALE.

DIURNE (Astr.). Ce qui a rapport au jour; par op-
position à octurne ; ce qui a rapport à la nuit.

Arc diurne. Arc décrit par un astre sur la sphère cé-
leste, depuis le moment de son lever jusqu’à celui de
son coucher. On nomme arc semi-diurne V'arc décrit par
un astre depuis son lever jusqu’à son passage au méri=
dien ou depuis son passage au méridien jusqu’àson cou-
cher. :

. Le cercle diurne est un cercle parallèle à l'équateur
sur lequel un astre paraît se mouvoir par son mouve-

ment diurne.

DO

On nomme mouvement diurne d’une planète, l'arc
céleste qu’elle parcourt dans l’espace de 24 heures par
son mouvement propre. Ainsi pour connaître le mouve-
ment diurne d’une planète il faut préalablement con-
naître le temps qu’elle emploie pour sa révolution en-
tière ; par exemple, sachant que le soleil fait sa révolu-
tion entièreen 365 jours et à peu près 6 heures ou 8766
heures, on posera la proportion

8366 : 24 :: 360° : &
d’où l’on trouvera
360°X 24

— n° LA
bn Pan so M

Ainsi le mouvement diurne du soleil est d'environ 59 mi-
nutes. (Division sexagésimale. )

Nous devons faire observer qu’une telle proportion
ne donne que le mouvement diurne moyen, car le mou-
vement diurne réel est variable Voy. PLanères.

Le mouvement diurne de la terre est sa rotation autour
de son axe, qui s'effectue en 24 heures et forme le jour
naturel.

DODÉCAËDRE (Géom.). (de dodexx, douze, et
de e9pa , base). Un des cinq solides réguliers. Il est ter-
miné par douze pentagones réguliers égaux. f’oy, So-
LIDES REGULIERS.

DODECAGONE (Geéom.).
par douze droites qui se coupent deux à deux.

Lorsque les douze côtés du dodécagone sont égaux

Figure plane terminée

entre eux, et qu'il en est de même des douze angles
formés par les intersections de ces côtés, le dodécagone
est dit régulier. Il est alors inscriptible et circonscrip-
tible au cercle.

Le problème d'inscrire un dodécagone régulier dans un
cercle donné revient à celui de diviser la circonférence
en douze parties égales , ce qui ne présente aucune dif-
ficulté, car il s’agit d’abord de diviser cette circonfé-
rence en six parties égales, par l'inscription d’un hexa-
gone régulier (voy. ce mot), et ensuite de diviser, en
deux également, chacun de ces six parties ; en menant
une droite de chaque point de division à celui qui lesuit
immédiatement , le dodécagone se trouve construit.

La plupart des questions qu’on peut se proposer sur
le dodécagone régulier exigeant la connaissance des
rapports qui existent entre le côté de cette figure et les
rayons des cercles insérits et circonscrits, nous allons
faire connaître ces rapports.

Soient BC (PL. XXXI, Jig. 2) le côté du dodécagone

| régulier, AB le rayon du cercle circonscrit; si du point À

on abaisse sur BC la perpendiculaire AF, cette droite
sera lerayon du cercle inscrit.
Le triangle BAC dont la surface est la douzième par-
tie dé la surface du : dodécagone à pour mésure la moi-

D9 483

tié du produit de sa base BC par sa hauteur AF , ou la
moitié du produit de son autre base AC par sa hauteur
BE, ainsi les deux quantités

4 BC X AF et AC X BE,

sont équivalentes entre elles et représentent chacune la
douzième partie de la surface totale du dodécagone.
Mais BE est la moitié de BD, côté de l'hexagone égal
au rayon AD ; ainsi désignant par R le rayon AB ou AC
du cercle circonscrit, par 7 le rayon AF du cercle inscrit,
par c le côté BC du dodécagone, et par S la surface de
cette figure , nous aurons les deux expressions (m1)

S = 12.1c,r = 6c.r
S=1a.3ÎR x za] = 3R°

et par conséquent
6c.r = 3R:
u (7)
B
r

LL à
C—=-. ,

mais le triangle rectancle ABF donne

=ÀF +BE
c’est-à-dire
R— 7 E (ich.
Substituant dans {n) cette valeur de R? nous avons

té |

équation du second degré, dont la solution donne la

2

ces:

valeur de c en fonction du rayon du cercle inscrit et ré-
ciproquement; si, pour plus de simplicité , nous faisons
ce côté égal à l'unité , nous trouverons

=:f+ vil

et en substituant cette valeur dans la première des expres-
sions (72) , nous aurons

=" [+V3] = 11,1001524

Or, les surfaces de deux figures semblables étant entre
elles comme les carrés de leurs côtés homologues, si
nous désignons par S' la surface d’un dodécagone régu-

lier dont le côté est C, nous aurons

484 DO

d'où
S'=CXxS

et conséquemment

s=3[2+ vlc
= C.11,1961524,

expression à l’aide de laquelle on obtient immédiate-
ment la surface d’un dodécagone régulier dont on con-
naît le côté. Toutes les autres relations du côté avec les
rayons s’obtiennent sans difficulté des équations précé-
dentes.

La somme des angles d’un polygone étant égale à
autant de fois deux angles droits qu'il a de côtés moins
deux, les douze angles d’un dodécagone régulier font
ensemble 2 X[12—2], ou 20 angles droits, ainsi chaque
angle vaut en particulier = 1 + 3 angles droits, c’est-
à-dire, go° 40'. Division sexagésimale.

DODÉCATEMORIE (Aser.). (de dedixæ, douze, et
de mspos, partie). Vieux terme employé jadis pour dé-
signer la douzième partie d’un cercle.

DOIGT (Astr.). Douzième partie du diamètre appa-
rent du soleil ou de la lune. On évalue la grandeur des
éclipses de ces astres par le nombre de doigts éclipsés
qui prennent alors le nom de doigts écliptiques.

DOLLOND (Jean), célèbre opticien, né à Londres
de parens français, en juin 1706. Cet artiste que ses con-
paissances en géométrie et en physique plaçaient déjà
au-dessus des plus habiles constructeurs d’instrumens
d'optique , acquit vers 1750 , une grande réputation, et
même un rang distingué dans la science par sa décou-
verte de certaines propriétés des corps réfringens ; qui
le conduisit à établir des lunettes achromatiques. Dol-
lond eut l'honneur à cette occasion d’entrer en discus-
sion surles principes fondamentaux de son art, avec
l’'illustre Euler. Tous deux déployèrent beaucoup de
talent dans cette lutte scientifique, au milieu de laquelle
un mémoire de Klingenstierna, célèbre géomètre et
astronomesuédois, vintapporter des considérations nou-
velles qui mirent Dollond sur les traces de la vérité.
Nous avons eu l'occasion d'exposer ailleurs les princi-
pales parties de cetteimportante discussion (voy. Acro-
MATIQUE). Nous devons nous borner ici à rappeler ce
qu’elle renferme de plus spécialement personnel pour
1Dollond; il est d’ailleurs impossible, dans un ouvrage
comme le nôtre d’éviter quelques répétitions.

Ce fur vers l’année 1747; qu'Euler entreprit de dé-
truire l’aberration de réfrangibilité par la combinaison
de plusieurs verres, entre lesquels on enfermerait de
’eau ou autre liqueur, et l’on sait qu’il appuvyait ce
nouveau principe de coustruction des objectifs, sur l’imi-

DO

tation de la structure même de l’œil humain. Les cal-
culs d’après lesqueis il détermina la forme de ces nou-
veaux instrumens durent exciter l'attention de tous les
opticiens, capables de comprendre les spéculations de
ce génie créateur, Dollond fut celui qui s’empara avec
le plus de puissance de cette idée générale; mais il crut
devoir substituer les expériences de Newton aux hypo-
thèses d'Euler , et c’est alors que commença la discus-
sion dont nous venons de parler. Dollond cherchait con-
sciencieusement la vérité; les objections de Klingens-
tierna l'amenèrent à penser que Newton avait pu se
tromper. On peut traduire ainsi la proposition expéri-
mentale du grand géomètre : « Siles rayons de lumière
traversent deux milieux contigusde différentes densités,
comme l’eau et le verre, soit queles surfaces réfringen-
tes soient parallèles, ou qu’elles soient inclinées, et que
cependant la réfraction de l’une détruise la réfraction
de l’autre, de manière que les rayons émergens soient
parallèles aux rayons incidens : alors, la lumière sort
toujours blanche. » (Newton, Opt. sive de reflexionibus
740.)

Cette conclusion formait tout le nœud du différend

et coloribus lucis, ete., Lond. et Laus.;

entre Euler et Dollond ; ce dernier renouvela l’expé-
rience de Newton, et c’est ainsi, suivant un historien
des mathématiques, qu'il en rend compte lui-même,
dans une lettre écrite, en 1757, au P. Pezenas, tra-
ducteur de l'optique de Smith.

« Près d’un petit trou d’environ un demi-pouce de
diamètre, pratiqué à la fenêtre d’une chambre obscure,
et destiné à introduire Ja lumière du soleil, Dollond
plaça un priime de verre, dont la section était un
triangle isocèle formant au sommet situé en haut, un
angle de 8° 52". A la face la plus éloignée du trou,
il adossa un second prisme creux posé en sens con-
traire, c’est-à-dire, de manière que la base était en haut,
Les faces de ce prisme qui devait contenir de l’eau,
étaient de minces plaques de verre, et on pouvait ou-
vrir plus ou moins l’angle de la pointe. Cela fait, en in-
troduisant la lumière du soleil par le petit trou de la
fenêtre , elle passait d’abord de l'air dans le prisme de
verre, ensuite dans le prisme d’eau, et enfin de l’eau
dans l'air; ainsi , elle éprouvait trois réfractions. Après
plusieurs tentatives, Dollond parvint à faire en sorte
que la direction de la lumière, au sortir du prisme d’eau,
fût parallèle à la direction qu'elle avait à son entrée
dans le prisme de verre; ce qui était le cas de la propo-
sition de Newton, mais alors la couleur des rayons
émergens ne fut point blanche comme Newton l'avait
affirmé; au contraire, le bord inférieur du soleil était
fortement teint de bleu , tandis que le bord supérieur
était d’une couleur rougeätre. Ainsi, Dollond reconnut
d’abord que l’eau ne disperse pas les couleurs autant
que le verre, à réfractions égales; ensuite ayant varié

DO
l'angle au sommet du prisme d’eau, de telle manière
que la dispersion des couleurs füt la même dans les deux
cas , il trouva qu’alors les deux réfractions n’étaient pas
ga es.»

Toutes ces observations firent revenir Dollond au
projet d'Euler , et il ne mit plus en doute la possibilité
de son exécution , sinon avec l’eau et le verre, du moins
avec d’autres matières transparentes de différentes den-
sités. Néanmoins, il employa d’abord le verre et l’eau,
comme l'avait proposé Euler ; mais il reconnut bientôt,
d’après la formule du géomètre allemand , que les cour-
bures à donner aux objectifs étaient trop considérables
pour ne pas produire une aberration fort sensible dans
l'ouverture des objectifs. Il est important de remarquer
ici qu'Euler avait senti etannoncé lui-même que c’étaient
là les seules et véritables difficultés que sa théorie püt
éprouver dans la pratique.

» Dollond, parfaitement versé dans la connaissance
des différentes espèces de verres, et convaincu qu’il s’en
devait trouver dont les pouvoirs réfractifs fussent fort
différens, imagina d'employer deux sortes de verres
connus en Angleterre sous le nom de fAntglass et de
crownglass. Le premier est un verre très-blanc et fort
transparent, qui donne lesiris les plus remarquables, et
par conséquent, celui dans lequel la réfraction du rouge
diffère le plus de celle du violet. Le second aunecouleur
verdâtre, et ressemble beaucoup en qualité à notre
verre commun , il donne la moindre différence entre la
réfraction du rouge et du violet. Dollond mesura les
rapports des réfrangibilités par le même moyen qu’il
avait employé pour le verre ct l’eau; il trouva que le
rapport des différences de réfrangibilités, dans les deux
matières, était environ celui de 3 à 2. Avant fait cette
substitution dans la formule d'Euler , il obtint d’abord
des résultats qui n'étaient pas très-satisfaisans. Mais
enfin , à force de tentatives et de combinaisons, soit
dans le choix des matières d'excellente qualité, soit dans
celui des sphères les plus propres, dans chaque cas, à
réunir les foyers de toutes les couleurs, il parvint à
construire des lunettes achromatiques, très-supérieures,
en parité de circonstances aux lunettes ordinaires. Du
reste, Dollond ne fit point connaître ses moyens, et la
question était de les découvrir ou d’en proposer d’autres
encore plus avantageux. »

Dollond ne tarda pas à éprouver les chagrins et les
attaques qui paraissent inséparables des grandes re-

‘nommées. Il eut plusieurs procès à soutenir, et on lui
contesta jusqu'à la priorité de son ingénieuse décou-
verte. Voici, au reste l’opinion de La Lande sur les di-
verses circonstances qui se rattachent à la production
des lunettes achromatiques et que Montucla considère
comme l'expression de l’exacte vérité.

» Ce fut, avance l’astronome français, Chestermouhall

‘DO 485

qui, vers 1750 , eut l'idée des lunettes achromatiques
Il s’adressait à Ayscough qui faisait travailler Bass. Dol-*
lond ayant eu besoin de Bass pour un verre que!
demandait le duc d'Yorck, cet habile artiste lui
montra du crownglass et du flintglass. Hall donna
une lunette à Avyscough qui la fit voir à plusieurs
personnes; il en donna Îa construction à Bird, qui
n'en tint pas compte. Dollond en profita. Dans le
procès qu’il y ent entre Dollond et Watkin, à la cour
du banc du roi, ces faits furent prouvés; mais Dollond
triompha de son adversaire, parce qu'il était réelle

ment le premier qui eût fait connaitre les lunettes achre

matiques. »

Quelque réalité qu’il y ait au fond de ces allégations,
il résulte des recherches consciencieuses de Dollond et
de l’expositionscientifique qu'il en a donnée, soit pen-
dant sa discussion avec Euler, soit après, que ce cé-
lèbre et savant artiste n’a pu déduire sa découverte de
quelques communications aussi incomplètes. Telle parait
avoir été l'opinion de la société royale de Londres, qui
s’honora , en 1761, en recevant Dollond au nombre de
ses membres. Malheureusement, il ne jouit pas long-
temps de cette juste récompense de ses travaux, il suc-
comba à une attaque d’apoplexie le 30 novembre de la
même année. Les divers mémoires de Dollond sur la
branche de l'optique dont il s’est spécialement occupé,
ont été recueillis dans les #ransactions philosophiques,
de 1750 à 1558.

DOMINICALE. Lettre dominicale. Voy. Caren-
DRIER, N° 24.

DOMINIS (Marc-Antoine de), célèbre pour avoir
le premier abordé la véritable théorie de l’arc-en-ciel,
naquit en 1566, à Arbe, capitale de l'ile de ce nom,
située sur la côte de Dalmatie. Sa famille était ancienne
et d’une grande illustration dans l’église à laquelle elle
avait donné un pape et plusieurs prélats recomman-
dables par leurs lumières et leurs vertus. Il montra dès
l'enfance une grande aptitude pour les sciences, et par-
ticulièrement pour les mathématiques. Les jésuites ses
maitres, qui dirigeaient le collége des Ilyriens à Lorette,
où il faisait ses études, furent frappés de ses dispositions
et de ses jeunes talens ; ils ne négligérent rien pour l’at-
tacher à leur ordre; Dominis y consentit et il alla achever
ses études à la célèbre université de Padoue. Durant
son noviciat , il professa avec le plns grand succès l’é-
loquence, la philosophie et les mathématiques. Dominis
était né avec un esprit inquiet et remuant, et les éloges
que son zèle et ses travaux lui attirèrent de la part de
ses supérieurs, développèrent dans son ame les germes
d’une ambition ardente, qui fut la cause de ses malheurs.
La vie paisible du cloître, les honorables mais obscurs
travaux du professorat, né convenaient point à son ca-

ractère, il sollicita et obtint sa sécuralisation, en même

486 DO

temps qu'à la recominandation de l'empereur Rodolphe
il fut promu à l’évéché de Sepni et deux ans après à
l’archevèché de Spolatro. |
Lorsque Dominis professait les mathématiques, il
avait composé un ouvrage sur les propriétés de la lu-
mière qui est aujourd'huison plus beau titre de gloire
et dont nous devons spécialement nous occuper. Les
causes de l’arc-en-cielavaient été entrevues, à cétte épo-
que de progrès scientifique, par Maurolic, Porta et
Kepler; Dominis les approfondit et les développa avec
un. talent remarquable. On sait dans quelles circon-
stances se manifeste ce phénomène. Déjà on avait com-
paré les gouttes de pluie à de petites sphères de verre,
et on avait cru que les sphères renuvoyaient par la ré-
flexion les rayons solaires vers l'œil du spectateur ; mais
cela n’expliquait point les couleurs de l’arc-en-ciel . car
les rayons de lumière ne se séparent les uns des autres
que par la réfraction. Domainis employa tout à la fois
la réflexion et la réfraction, et parvint à rendre assez
exactement raison de l’arc-en-ciet intérieur ; il fut moins
heureux pour l’arc-en-ciel extérieur, mais ses erreurs
à ce sujet viennent de l'ignorance générale où l’on était
alors sur la diverse réfrangibilité des rayons et des lois
de ce phénomène. L'illustre Newton, dans son traité
d'optique, a donné les plus grands éloges à la méthode
de Dominis; peut-être existe-t-il dans ces éloges assez
d'affectation pour qu'on ait pu croire qu’ils aient été
conçus dans le but de rabaisser notre Descartes. Bos-
cowich et Tiraboschi, juges éclairés dans cette cause,
n'hésitent pas à déclarer que Dominis, au talent duquel
ils rendenthommage, a pu mettre Descartes sur la voie
de sa découverte, mais que c’est lui qui doiten être re-
gardé comme le véritable auteur. Quoi qu'il en soit,
en lisant le traité de Dominis, on regrette que cet in-
génieux auteur n’ait pas consacré toute sa vie à lascience
pour laquelle il paraissait avoir un si véritable talent.
L’archevèque de Spolatro entreprit de réformer les
mœurs du clergé, mais il avança des opinions peu con-
formes à celle de l'église. Il fut obligé de résigner son
siége, etil seréfugia en Angleterre auprès de Jacques 1”,
qui, en sa qualité de théologien, lui fit un accueil ho-
norable et empressé. Sans adopter entièrement les prin-
cipes de la réforme, Dominis combattit plusieurs pré-
tentions du pape et accepta un bénéfice du roi d’Angle-
terre. Cependant tourmenté par sa conscience, suivant
quelques historiens ; mécontent des théologiens protes-
tans suivant d’autres, Dominis tourna de nouveau ses
regards vers Rome : le pape Grégoire XV le recüt en
grâce, etil abjura publiquement dans un temple de
Londres, les opinions qui l'avaient séparé de l'église. 11
jouit durant deux ans de quelque tranquillité, mais son
protecteur étant mort et les disputes théologiques aux-

quelles il se livra de nouveau offrant un prétexte à l'in-

DR

quisition qui le surveillait, il fut arrêté par 6rdré @
pape Urbain VIT, et enfermé au château Säint-Angé
oùil mourut peu de temps après, énséptenibre 1634. Lin:
quisition continua son procès , il fut déclaré hérétique;
son corps fut exhumé, pendu et brûlé avec ses écrits.
Nous ne citérons ici que célui qui intéresse la sciénce :
De radis visus et lucis in vitris perspectivis et tride;
Venise 1611, in-8°: Cet écrit qui est dévénü fort rare;
fut publié par Jean Bartole, l’un des élèves de Dominis;
long-temps après l'époque où il a été composé.

DONNÉ. Terme général par lequel on désigne en
mathématiques toute espèce de grandeur qu’on supposé
connue, Ainsi, on dit un nombre donné, une ligne
donnée, etc.

Eu général les données d’un problème sont les quañ-
iités connues au moyen desquelles il faut construire les
quantités inconnues ou cherchées.

Lorsque la position d’une figure géométrique est con-
nue, on dit encore que cette figure est donnce de po-
sttion. Par exemple, lorsqu'un cercle est réellement
décrit sur un plan, son centre est donné dé position , sa
circonférence est donnce de grandeur, et le cercle ést
donné de position et donné de grandeur.

DORADE (4sur.). Nom d’un poisson qu'on a donné à
une constellation méridionale, nommée aussi Yiphias ét
située entre Eridanet le Navire. La plus belle étoile de
cette constellation, marquée «, est de la troisième präñe
deur.

DOUBLE. Une quantité est double d’une autre, lors-
qu’elle la contient deux fois; elle esta contraire sois-
double, lorsqu'elle en est la moitié.

DOUBLÉ (Arith.). La raison ou le rapport doublé de
deux quantités, ét Le rapport de leurs carrés; ainsi le
rapport doublé de a à B est le rapport de a’ à b?; où dû
carré de & au carré de D.

Le rapport sous-doublé est celui des racines carrées;
lors donc qu’on dit qu'une quantité est égäle au rap-
port sous-doublé dea et deb,on entend que cette quañ-
tité est égale à V/a : V/b.

Il ne faut pas confondre double et doubie.

DRACONTIQUE (Astr.). Mois dräcontique ; expres-
sion qui n’est plus en usage et par laqnellé les âiciens äs-
tronomes désignaient l'espace de temps employé par la
lune pour revenir de son nœud ascendant appellé Capüt
draconis , tête du dragon, au même point; où la révo-
lution entière de la lune par rapport à son nœud. |

DRAGON (Astr.). Constellation boréale composée de
8o étoiles daus le catalogue britannique; les anciens la
nommaient encore : Serpens, Anguis, Hesperidurn cus-
tos, Coluber arborum conscendens, Sidus Minervæ ét
, Python.

. La téte et la queue du Dragon,

Bacchi, Esculapius
DRAGON (As1r.)

Caput et cauda draconis, sont lés nœuds ou les points

æ

DR
É
d’intersection de l'orbite de la lune avec l’écliptique.

On les marque ordinairement par ces caractères :@,
tête du dragon, et &, queue du dragon.

Les astronomes ont abandonné ces dénominations, et
ils nomment simplement nœud ascendant, celui par
lequel la lune passe pour aller au nord de l’écliptique,
dans la partie septentrionale de son orbite, et nœud des-
cendant, celui par lequel elle rentre dans la partie
méridionale de son orbite.

Le nœud ascendant est la tête du dragon, et le nœud
descendant la queue du dragon.

DREBBEL (CogneiLze Van), né à Alckmaer en Hol-
lande, à la fin du seizième siècle, célèbre par l'invention
dumicroscope, qui lui est généralement attribuée. Cetin-
strument a été pour la physique, ce que le télescope a
été pour l’astrouomie, ct il n’est pas étonnant que l'hon-
ueur d’une telle découverteait été vivementdisputé. Un
grand nombre d'écrivains représentent Drebbel comme
uu charlatan , qui , à l'aide d'un microscope, dontilsn’ex-
pliquent pas la possession entre ses mains, montrait au
public de Londres des curiosités dont il exagérait l’im-
portance suivant l'usage des gens de cette profession.
Ces critiques ajoutent que c'était un paysan de North-
Hollande, sans éducation, et par conséquent sans au-
cune Connaissance scientifique. La chronique d’Alckmaer,
patrie de Drebbel, s'exprime autrement sur son compte.
Suivant ce documeut dont on n’a aucune raison derévo-
quer en doute la sincérité, Drebbel, au contraire, né
de parens distingués , aurait reçu une brillante éduca-
tion ; il aurait manifesté de bonne heure une aptitude
remarquable pour les scicences; il aimait le merveilleux
et se kvrait volontiers à la recherche des secrets natu-
rels. Jeune encore, il alla en Angleterre, où il fut ac-
cueilli avec distinction par Le roi Jacques I, prince
assez éclairé et assez instruit pour n'être pas Ja dupe
d’un paysan ignorant et d’un bâteleur. Tout porte donc
à croire que Corneille Drebbel a été la victime d’une
étrange calomnie, etil est d’ailleurs certain qu’il ex-
posa à Londres vers 1618, le premier microscope qui
eût paru. Il n’y a aucune raison de penser qu’il n’en était
pas l’auteur. Néanmoins Pierre Borel, auteur de re-
cherches fort curieuses sur l'invention du télescope,
rapporte dans son ouvrage (De vero telescopit inven-
tore, etc.) diverses circonstances qui tendent à priver
Drebbel d’une grande partie de l'honneur que lui mé-
riterait la découverte du microscope. Cet écrivain cite
une lettre de l'envoyé des États-Unis en Angleterre,
Guillaume Boreel, dans laquelle ce diplomate, qui s’oc-
cupait de science, cite Zacharie Jans, lunetier de
Middelbourg ,

microscope. [l ajoute qu'il a vu entre les mains de

comme Je véritable inventeur du

Corneille Drebbel, sor ami, le microscope que Za-

charie et son père avaient présenté à l’archiduc Al-

DU 487

bert, et que ce prince avait donné à Drebbel. Ainsi
qu'il soit ou non l'inventeur de cet ingénieux instrument
il est du moins hors de doute que Drebbel est le pre-
mier qui l'ait fait connaître, et que cet homme à qui
l'on attribue aussi l'invention du thermomètre, honoré
de l'intérêt des souverains et de l’amitié d’un grand
personnage de son pays n’a pu être un aventurier. Dreb-
bel est mort à Londres, en 1634. Il n’a laissé que deux
ouvrages, mais ils sont étrangers à l’objet pour lequel
il figure dansce dictionnaire, ’oy. Microscore et Tnenr-

MOMÈTRE.

DROIT (Geom.). C'est en général l'opposé de courbe,
c’est-à-dire tout ce qui ne fléchit pas ou ne s'incline pas;
ainsi on nomme ligne droite , celle dont toutes les par-
ties indéfiniment petites ont une seule et même direc-
ton.

L'angle droit est celui qui est formé par une ligne
perpendiculjaire sur une autre, et qui, par conséquent
ne s'incline d'aucun côté.

Cône droit. Foy. Cône.

Sinus droit {voy. Sinus). L'adjectif droit ne s'emploie
ici que pour distinguer le sinus droit du sinus verse; et
toutes les fois qu’on parle de sinus sans y ajouter le

mot verse, on entend le sinus droit.

DUPLICATION DU CUBE (Hist.). Ce problème
est célèbre dans l’histoire de la science, et il se rattache
d’ailleurs à ses premiers développemens. Il s'agissait de
construire un cube double d'un cube donné er volume,
et de faire cette construction saus employer d’autres ins-
trumens que la règle et le compas. On sait que les au-
ciens géomètres ne regardaient en effet comme géomé-
triques que les opérations exécutées au moyen de ces
instrumens et qu'ils appelaient mécaniques celles qui
exigeaient l'emploi d’autres moyens. Ainsi posé, le
problème de la duplication du cube, dont la solution
est en effet impossible par le seul secours de la géomé-
trie ordinaire, dut exercer long-temps la patience et la
sagacité des géomètres. Ce fut surtout au temps de
Platon qu'on occupa avec plus d’ardeur des recher-
ches dont ce problème était l’objet, et c'est peut-être
la difficulté dont sa solution est entourée, qui fit at-
tribuer dans la suite son origine à des circonstances aussi
étranges qu’elles paraissent peu probables.

Suivant Philopponus, ce savant célèbre qui s’efforça
vainement de sauver la bibliothèque d'Alexandrie de
la fureur des Arabes, voici la tradition qui existait dan
la Grèce, au sujet de ce problème : Une peste ravageait
l'Attique, et l’oracle de Délos, consulté sur les moyens
d’apaiser Apollon, à la colère duquel les Athéniens at-
tribuaientle fléau dont ils étaient tourmentés, répondit :

Doublez l'autel. On dut supposer que l'autel désigné

4838 DU

par l’oracle était celui qu'Apollon avait à Athènes, et
il était d’une forme exactement cubique. Il parut d’a-
bord facile de satisfaire le Dieu ; on se borna à cons-
truire un nouvel autel et à doubler les côtés de celui
qui existait, mais On obtint ainsi un cube non pas dou-
ble, mais octuple. Le fléau ne cessa pas, et l'oracle con-
sulté de nouveau, répondit qu’on avait mal interprété
sa réponse. On soupçonna dès lors qu'il s'agissait de la
duplication géométrique de l'autel, et tousles géomeètres
de la Grèce furent appelés à trouver la solution d’un
problème que les moyens pratiques w’avaient pu
donner. Valère Maxime ajoute à cette histoire mer-
veilleuse une circonstance encore plus invraisemblable.
Cet écrivain prétend que Platon, consulté sur cette im-
portante question, désigna Euclide comme le seul géo-
mètre.en état d'y répondre de manière à satisfaire le
mystérieux oracle de Délos. Mais cette assertion est dé-
nuée de fondement. Le géomètre Euclide est postérieur
à Platon de près d’un siècle, et Euclide de Mégare,
contemporain de ce grand homme, n’était qu’un sophiste
sans talens, et entièrement dépourvu des connaissances
géométriques que Platon au contraire possédait au
plus haut degré.

D'ailleurs, même en admettant qu’il y ait quelque
réalité au fond de cette histoire merveilleuse, il est
certain que le problème de la duplication du cube
avait déjà occupé les géomètres, et que sa solution
avait été presque aussitôt trouvée que cherchée. Hypo-
crate de Chio l'avait réduit à la recherche de deux
moyennes proportionnelles continues, c’est-à-dire à l’in-
sertion de deux lignes moyennes proportionnelles géo-
métriques entre le côté du cube donné et le double
de ce côté, la première de ces deux lignes étant le côté
du cube cerché. Ce futen se plaçant dans ce point de
vue qu’on conserva l'espérance d'achever sa solution
par la règle et le compas, car c’est en ce sens seulement
que se révélait la difficulté du problème, et qu’elle oc-
cupa les géomètres et particulièrement l’école Platoni-
cienne. Platon lui-même en donna sous ce rapport une
solution ingénieuse, mais où la difficulté n’était encore
qu'éludée. Il y employa un instrument composé de
deuxrègles, dont l'unes’éloigne parallèlement de l’autre,
en glissant entre les rainures de deux montans perpen-
diculaires à la première. Architas imagina une courbe

DY

décrite par un mouvement particulier, sur la surface
d’un cylindre droit, et qui étant rencontrée par la surface
d’un cône situé d’une certaine manière, déterminait
l'une des moyennes. Cette solution ne pouvait être
utile dans la pratique. Eudoxe en proposa une autre
qu'il obtint au moyen de courbes de son invention.
Menechme, Aristée, Dinostrates s’exercèrentégalement
sur ce problème qu'ils abordèrent par les movens que
leur présentèrent la théorie des sections coniques nou-
vellement découverte. Les deux solutions proposées
par Menechme, sont surtout remarquables; la quadra-
trice de Dinostrate et le conchoïde de Nicomède sont
également dues aux recherches qu'occasionna le pro-
blème de la duplication du cube. Enfin Pappus, dans
ses Collections mathématiques proposa une ingénieuse
méthode pour trouver les deux moyennes proportion-
nelles, méthode que perfectionna encore Dioclès au
moyen de la Cissoïde, courbe qui porte son nom.

Le problème dela duplication du cube, comme celui
de la trisection de l’angle et de la quadrature du cercle
a beaucoup occupé les géomètres anciens. La solution
des difficultés qu'ils présentent est impossible par la
règle et le compas, et il ne faut pas oublier que c'était
surtout à obtenir ce résultat que tendaient tous les ef-
forts de la géométrie ancienne. Mais les recherches dont
ces problèmes ont été l’objet ont du moins donné nais-
sances à d'importantes découvertes, et c’est sous ce rap-
port surtout qu’elles intéressent vivement encore l’his-
toire de la science. Foy. Cunique, HExAËDRE et Moyen-
NES PROPORTIONNELLES.

DYNAMIQUE (de dévœus, force). Partie de la mé-
canique qui a pour objet les lois du mouvement des
corps, ou les lois de l’action des forces motrices. Voy,
MECANIQUE.

DYNAMOMÈTRE (Méc.). Instrument pour mesurer
l'intensité d’une force. C’est un peson à ressort muni d’un
cadran sur lequel un index, mis en jeu par l’action de la
force, marque les degrés de tension du ressort. Diverses
formes ont été données à cet instrument pour le rendre
propre à comparer entre elles les forces des hommes et
celles des animaux. On voit à Paris dans tous les en-
droits publics des dynamomètres destinés à mesurer la
force des coups de poing.

EC

489

ÉCHECS. Il existe au jeu des échecs un problème
curieux qui a occupé les mathématiciens et que le cé-
lèbre Euler n’a pas trouvé indigne de son attention; il
consiste à faire parcourir successivement au cavalier les
64 cases de l’échiquier sans passer plus d’une fois sur la
même case. Le cavalier est , comme chacun le sait, une
pièce dont la marche oblique s'effectue de trois cases en
trois cases, en sautant d’une case blanche sur une case
noire. Nous allons rapporter ici la solution de ce pro-
blème, teile qu’elle a été donnée par Euler dans les A/e-
moires de l’Académie de Berlin , pour l’année 1750.

En partant d’un des coins de l’échiquier, donnons à
chaque case un numéro d'ordre pour les distinguer ;
nous aurODs ainsi :

57 | 58 | 59 | 60 | 61 | G2 | 63 | 64
go | 50 | 51 | 5 | 53 | 56 | 55 | 56
APP PAP FAO AE
“33 | 34 | 35 | 26 | 3, | 38 30 4o
25 | 26 | 27 | 28 |.29.|:30:|; 3r1|:32

Ceci posé, si nous supposons que le cavalier est placé
sur la case 1, et qu’on le fasse partir de cette case, on
pourra d’abord le faire sauter indifféremment sur 11 ou
sur 18, mais arrivé à l’une de ces deux cases l'embarras
commence, puisque de chacune d’elles on peut le faire
sauter sur trois autres. Voici l’ordre des cases à parcou-
rir en partant de 1 sur 11:

>
=

1
»

Si,aulieu denuméroter les cases de l’échiquier comme
nous l'avons fait, nous les numérotons dans l’ordre ou
elles sont parcourues , nous aurons donc la route sui-
vante, où le cavalier part de 1 pour aller à 2, ensuite à
3, etc., de manière qu’en arrivant à 64, il a parcouru

toutes les cases.

On voit aisément qu’en prenant une marche symé-

trique à celle-ci, on peut faire partir le cavalier des

autres angles.

Si l’on voulait partir de la case numérotée 64, en
marchant dans l’ordre inverse des numéros, on irait à 63,
de là à 6r et on parvicudrait à 1. Mais cette route n’est
plus d’aucune utilité lorsqu'il s’agit de commencer par
toute autre case , et le problème général consiste préci-

sément à prendre un point de départ arbitraire.

Euler fait observer qu'il s’agit seulement de trouver
une route où la dernière case marquée 64 soit éloignée
de la première d’un saut du cavalier, de manière qu’il
puisse sauter de la dernière sur la première. Car cette
route étant déterminée, on pourra partir d’une case
quelconque et suivre l’ordre des numéros jusqu’à 64, de
là sauter sur 1 et continuer la route jusqu’à celle dont

on est parti.

Une telle route qu'Euler nomme route rentrante en
elle-méme, est beaucoup plus difficile à trouver que.
celle que nous avons donnée ci-dessus, mais nous ne;
pouvons que renvoyer au mémoire déjà cité ceux de
nos lecteurs qui voudraient connaître la méthode ingé-
nieuse employée par l'illustre géomètre.

62

490 EC

Voici une route rentrante; elle suffit pour obtenir la
solution complète du problème.

Cette route étant bien fixée dans la mémoire, on
pourfa faire partir le cavalier d'une case quelconque.
S'agit-il par exemple de partir de la case 30, on le fera
passer par les cases 31, 32, 33, etc., jusqu’à 64, d’où
en passant ensuite par 1,2, 3, etc.: on lui fera pour-
suivre sa route jusqu’à la case 29.

Vandermonde s’est aussi occcupé de ce problème dans
les Memoires de l'Académie des sciences pour 1771.

ÉCHELLE (Géom.). Ligne droite divisée en parties
égales ou inégales selon les usages auxquels on la des-

.tine,

En géographie et en topographie, uneéchelle est une
ligne divisée en parties égales et placée au bas d’une
carte, où d’un plan, pour servir de mesure. Ainsi,
lorsqu'on veut trouver sur une carte la distance de deux
points, on en prend l'intervalle avec un compas, et en
appliquant cet intervalle sur l'échelle on évalue la dis-
tance par le nombre dedivisions qu’il renferme. Ces di-
visions représentent des lieues ou des mètres ou toute
autre mesure de longueur.

Avant de tracer un plan sur le papier on commence
toujours par construire l'échelle d’après laquelle les par-
ties qu’on 4 à représenter doivent être placées, les unes
par rapport aux autres, comme elles le sont sur le ter-
rain. Si l'on voulait, par exemple, que les objets fus-
sent mille fois plus petits sur le plan que sur le terrain,
on construirait une échelle de 100 mètres, ou plus sui-
yant le besoin , en prenant pour unité la grandeur réelle
d’un millimètre; cette grandeur représenterait un mètre
sur l'échelle. Alors deux objets dont la distance sur le
terrain est de vingt mètres doivent être placés sur le
plan à une distance de vingt unités de l'échelle.

Cette échelle, dont l'emploi est des plus fréquens, se
uomme l'échelle des parties égales, et quand on la
construit de manière à pouvoir trouver les parties déci-

EC

males de l’unité, on lui donne le nom d’echelle des
dixmes. Nous allons donner la construction de cette
dernière.

ÉcueLLe DES DixMEs. On trace un droite indéfinie AM
(Pi. XXXTI, fig. 1), et l’on porte sur cette droite, en
partaït du point À, dix fois de suite üné même ouver-
ture de compas AB, déterminée par la grandeut relative
qu'on veut donner à l’échelle. On subdivise AB en dix
parties égales qu’on numérote 1,2, 3,4, 5,6, etc, et
de tous les points de division, A, B,C,etc., 1,2, 3,
4, etc. on mène des perpendiculaires à AM en faisant
toutes ces perpendiculaires égales à AB. Après avoir di-
visé AO, NO et BN comme on a divisé AB, où joint par
des droites les points opposés de division, et l’on mène
des transversales dont la première part de B et tombe
sur le point de la première division de NO, la seconde
du point 1 et tombe sur le point de la seconde division
de NO, et ainsi de suite jusqu’à la dernière qui part du
point 9 et tombe sur le point O. On riumérüte ensuite
les divisions comme elles le sout dans la figure.

Il est évident que le triangle rectangle BNa est coupé
en parties proportionnelles dont la première vaut un
dixième de Na, la seconde, deux dixièmes, etc., etc.,
de sorte que, si les parties 1, 2, 3, etc., représehtert
des mètres, et que l’on veuille prendte sur cette échelle
10", 4, par exemple, ce sera la distance c'e qui repré-
sentera cette quantité. De même, s’il s'agissait de 16,7,
on prendrait la distance cg.

Avec de l'habitude on peut subdiviser à l'œil les dis-
tances0, 15 0,2; 0:9,-etc., el prendre conséquem-
ment des centièmes, du moins approximativement. C'est
ainsi que df représente 237,65.

Comme les échelles sur le papier sont bientôt dégra
dées par les pointes des compas, Où en cofistrüit en
cuivre à l'usage des ingénieurs; on les nomme échelles
de 1 à 1000, de 1 à 000, de 1 à 25000, etc., selon que
l'unité de l'échelle est 1000, 2000, 25000, etc. , fois
plus petite qu’un mètre.

ÉcnELLE Locarirmmique. C’est une ligne droite divi-
sée en parties inégales et qui représente les logarithmes
des nombres ou ceux des sinus et des tangentes. Cette
échelle, iuventée par Edmond Gunter,a donné naissance
au cercle logarithmique. (Foy. Amramomèrre). Elle sert
à faire des multiplications et des divisions.

ÉCHELLE ARITHMÉTIQUE. On donne ce nom à
la progression géométrique par laquelle se règle la va-
leur relative des chiffres simples dans un système quel-
conque de numération.

Dans l’arithmétique actuelle on est convenu de n’em-
ployer que dix caractères en donnant à chacun d'euxune
valeur dix fois, cent fois, mille fois, etc. , plus grande
selon qu'il occupe la seconde, troisième , etc. place à
gauche du chiffre des unités (Foy. ARITHMÉTIQUE 10.)

Ainsi lorsque plusieurs chiffres sont écrits les unsà côté
des autres, si l’on écrit au-dessous la progression géomé-
trique

etc. 10°, 104, 1pf, 10°, 101, 10°

en faisant correspondre 10° avec le chiffre des unités,
la valeur relative de chaque chiffre est égale à sa valeur
absolue multipliée par le terme correspondant de la pro-
gression. Par exemple 3 à la quatrième place à gauche
vaut 3X 10% ou 3 mille; 2 à ja troisième place vaut
2X 10? ou 2 cents, etc. Or, le choix de dix caractères
est tout-à-fait arbitraire et l’on aurait pu tout aussi bien
en prendre plus ou moins pour former un système de
numération capable comme le nôtre de donner la con-
struction de tous les nombres, Foy. Numérarion.
Supposons en effet que nous n’ayons que cinq carac-
tères o, 1,2,3, 4, et donnons-leur une valeur de cinq
en cinq fois plus grande, selon qu'ils occupent des
places plus reculées à la gauche du chiffre des unités

10 représente le nombre cinq.

100 le nombre vingt-cinq.
1000 le nombre cent vingt-cinq.
etc. etc.

c’est-à-dire qu'ayant comme ci-dessus plusieurs chiffres
écrits les uns à côté des autres, si on leur fait correspondre
la progression

etc. (5), (5), (5), (5), (5), (5),

leur valeur relative sera égale à leur valeur absolue
multipliée par le terme correspondant de la progres-
sion. x

Nous devons faire observer que dans un tel système
de numération le chiffre 5 n’existe pas, et que nous ne
nous en seryons ici que pour réduire à notre système
décimal les quantités exprimées dans ce système de cinq
chiffres.

En général m étant le nombre des chiffres d’un système
de numération, la progression

etc. om, mi, m, m°, m1, m°

est l'échelle arithmétique de ce système; m2 est la base
de l’échelle.

On peut se proposer sur les échelles arithmétiques
plusieurs problèmes dont nous allons exposer Jes plus
inportans.

1. Une quantité A étant exprimée dans une échelle 7,
L'ouver son expression dans une autre échelle x,

Soit expression donnée (1)

A = a.mp#Æb,mp—-i+c.mp-14ctc ec, nf,

a, b, c, d, etc. , étant les chiffres de l'échelle mn.

EC à

491

Désignons par a’, b’, c', d', etc. les chiffres qu’il s’a-
git de trouver dans l'échelle x, et par 4 l’exposant du
dernier terme de la progression, nous aurons (2)

A=a'.n1+b'.n7—-1+c'ng—-1+etc...e!. mæf'.no

et le problème se réduit à la détermination des chiffres
a’, b', c', etc. au moyen des chiffres a, b, e, etc.

Or, si l’on divise l'expression (1) par », le reste de
cette division sera nécessairement plus petit que n ; ainsi
désignant le reste par r, et le quotient par £, on aura

a.mp+b.mp—14c.mpP—etc.. .—=t.n+r

r sera donc le chiffre des unités de A dans l'échelle n.

Divisant de nouveau le quotient { par », on obtien-
dra un second quotient #, et un second reste 7,, et on.
aura aussi

t=t,.n+r,
Divisant de même £, par 7», on aura encore
b=ten+r,

Poursuivant de la même manière jusqu’à ce que le
dernier quotient soit plus petit que » et rassemblant les
résultats, on aura

At nr

€ —=t,n+r

ti —t,.n+r,
t,=6.n4rs
etc. etc.
tot

Substituant successivement ces valeurs les unes dans

les autres on formera l'expression
A=tuntHete....rsn rer nr

ce qui est évidemment l'expression de À dans l'échelle »
puisque toutes les quantités 71, r:, 7;,, etc. sont plus pe-
tites que x, et peuvent conséquemment être représen-
tées par les chiffres de cette échelle.

Ainsi, pour passer d'un système de numération à un
autre, il faut diviser la quantité donnée par la base
du système en question, le reste de cette première divi-
sion est le chiffre des unités. Diviser ensuite le quotient
de cette première division par la même base, ce qui
donnera pou: reste lechiffre des dixaines. Une troisième
division fera conuaître le chiffre des centaines, ete., ete.

Mais pour pouvoir faire toutes ces divisions , il faut
d'abord quela base dusvstème demandésoit exprimée en
chiffres du svstème donné, ce qui est toujours possible,

Troll du système donné, et » celle

2. ne Glant la }

492 EC

du système demandé, si x est plus petit que m, il est
alors un chiffre du système 72, et si le contraire a lieu,
mn est un chiffre du système ». Daus ce dernier cas, di-
visant 2 par »2, ic reste de Ja division fera connaître les
unités de r exprimées dans le système 72; si le quotient
est plus petit que »2, ilsera le chiffre des dixaines; s’il
est plus grand , on continuera f'opération comme ci-
. dessus.

Exemple. La quantité 435321, exprimée dans l’é-
chelle de 6 chiffres ou hexadique, étant donnée, on de-
mande son expression dans l'échelle de huit chiffres ou
octodique.

La base de cette dernière étant plus grande que 6,
G est un de ses chiffres, divisant donc 10 par 6, on a 2
pour reste et 1 pour quotient ; la base de l'échelle oc-
todique exprimée en chiffres de l'échelle hexadique, est
par conséquent 12.

Opérant actuellement comme il est prescrit, on trou-

vera ce qui suit.

Premier reste.... OI

Deuxième reste...

Troisième reste.... 5

Quatrième reste.... 10

12
Cinquième reste... 0°! EC

Le quatrième reste ou 10 qui est la base de l'échelle
Lexadique, est exprimé par le chifire 6 du système
ectodique.

Si un des restes avait été 11, on voit avec la même
facilité qu’il aurait répondu au chiffre 7.

Les restes sont donc 1,4, 5,6,0, 1, et la quantité
435321 exprimée dans l’échelle octodique est 106541.

On peut, pour vérifier de semblables calculs, faire
repasser ensuite l'expression trouvée à celle donnée.
Par exemple, ici la base de la première échelle étant
égale au chiffre G de la seconde, on aura

EC
106541 6 =
26 13020
45
14
Premierreste..... O1 -
13620 pue
56 1755
42
40
Deuxième reste... 2
DA É
17951 —
35 (247
55

Troisième reste..... 3

Quatrième reste..... 5

6
33! ue
Cinquième reste...... 314 ROC AENS

Les restes sont 1, 2,3,5, 3,4,on a donc aussi
[106541]échelleoctodique=[435321]échellehexadique.
On trouve au mot BiNAIRE un autre exemple de sem-
blables calculs. *

2. Problème. L'expression d’un nombre étant donnée
dans deux échelles différentes dont la base de l’une est
inconnue , trouver cette base.

Soit le nombre 4532 dans l'échelle ordinaire ou déci -
male, dont on a l'expression 16134 selon une échelle
inconnue. Si l’on désigne par zx la base cherchée, on
aura

4532 = 1x4 62H rax2+aiL 3x
ce qu’on peut mettre sous la forme
Ti HGx +x+3x+3—4532—0

équation du quatrième degré de laquelle dépend la va-
leur de x. Or, pour résoudre cette équation, qui se ré-
duit à (a)

DiHGx$ Hart L3x—/529—0

il fautremarquer que la base x cherchée, doit être plus
petite que 10, car l'expression 16134 contient plus de
chiffresque4532; et cependant plus grande que6,puisque
6 est un des chiffres de l'échelle inconnue. La base de-
mandée ne peut donc être que 7, 8 ou 9. De plus, la
valeur de + étant racine de l’équation (a), doit diviser
exactement le dernierterme 4528 de cette équation (vo.
Equarion ); ainsi, essayant successivement les nombres
7, 8, 9, on trouvera que le seul diviseur exact est 7, et

EC
par conséquent que l’on a x=#9. Voy. NUMÉRATION,
pour les principes de la théorie des échelles arithmé-
tiques.

ÉCHELLE DE FRONT (Persp.). Droite parallèle àla ligne
horizontale, et divisée en parties égales, qui représen-
tent des mètres ou des subdivisions du mètre.

ÉCHELLE FUYANTE (Persp.). Droite verticale divisée
en parties inégales, qui représentent des mètres ou des
subdivisions du mètre. loy. PERSPECTIVE.

ÉCHELLES DE PENTE (Geom.). Géométrie des
échelles de pente.Une des branches de la géométrie des-
criptive.

Dans la géométrie descriptive, on détermine la position
des points dans l’espace à l’aide de leurs projections sur
deux plans qui se coupent; et pour plus de simplicité,
où suppose l’un de ces plans horizontal et l’autre verti-
cal (Joy. GÉOMÉTRIE DEscriprIvE ). Cette méthode, qui
est rigoureuse , et d’une application facile toutes les fois
qu'il s’agit de surfaces dont la génération peut être ri-
goureusement définie,se trouve en défaut lorsqu'on veut
l'appliquer à des surfaces déterminées seulement par
des conditions qui ne peuvent être exprimées par l’ana-
lyse. Ce genre de questions se présentant fréquemment
dans les applications, on a dù chercher un moyen de
pouvoir ies résoudre, et on y est arrivé à l’aide des
échelles de pente. Dans cette géométrie nouvelle, la po-
sition des points dans l’espace, est déterminée par
leur projection horizontale et par leur distance à un
plan horizontal fixe de position, et passant au-dessus
de tous les points que l’on considère. Ces distances
comptées sur les verticales abaissées des points sur ce
plan, sont exprimées en nombres. Il est évident d’a-
près cela qu'une ligne droite sera complètement déter-
minée lorsqu'on connaîtra sa projection horizontale et
les cotes de deux de ses points. Supposons en effet que
AB (P£. XXXIII, fig. 2 ) étant la projection horizon-
tale d’une droite, «et 8 les cotes de ses points A et B, on
demande la cote x d’un quelconque de ses points C.

Aux points À, Bet Célevons des perpendiculaires au
plan horizontal de projection. Soit MN l'intersection du
plan horizontal, par rapport auquel sont comptées les
cotes des points de la droite, et qui prend le nom de
pian de comparaison, avec le plan projetant de la droite.
Si à partir des points Det E, on porte des longueurs
DA' et EB' égales à «et à 8, la droite A'B' sera la droite
dans l’espace , et si nous menons par le point A! et dans
le plan projetant l'horizontale AC", des deux triangles
semblables A'B'B", A'C'C" on déduira la proportion.

A'B" ou AB : A'C" ou AC :: B'B" : C'C”

et, en désignant AB par a et AC par b, cette proportion
deviendra

aibi: B—u: x—u.

EC 495

dans laquelle tout est connu excepté æ, et qui par con
séquent suffira pour sa détermination. Si au contraire x
était connu , et qu'on demandät la position du point
qui lui correspond, la même proportion servirait à ré-
soudre la question, et l’inconnue serait alors b.

Un plan étant complétement déterminé lorsqu’on con-
naît la position de trois de ces points, nous allons cher-
cher comment nous pourrons déterminer les cotes d’un
point quelconque d’un plan, lorsque nous connaissons
la projection horizontale et les cotes de trois de ses
points.

Soient À, Bet C (PL. XXXIII, fig. 3) les projections
de trois points d’un plan, et «, Bet y les cotes de ces
trois points. On demande la cote x d’un point quelconque
D situé dans ce plan. Nous supposerons a fB< 7.

Joignonslestrois points À, BetC par des droites, et sur
AC déterminons le point E qui a la même cote que le
point B. La droite BEsera horizontale, et toutes les hori-
zontales qu’on pourra mener dans le plan donné lui se-
ront parallèles, puisque ce sont les intersections d’une
suite de plans parallèles par un même plan. Menons par
le point D une horizontale qui rencontre la droite AB en
F, Ce point se trouvant sur la droite AB, on aura la pro-
portion

AB : AF :: B-—u : x—a

et par conséquent, on pourra déterminer æ.Si du point
À nous abaissons la droite AH perpendiculaire sur l’ho-
rizontale BE, nous aurons encore la proportion

AG: AI :: AB: AF
ou

AG : AT :: B—a : x—u

qui nous servira également à déterminer x.

Si maintenant nous déterminons le point L de ma-
nière que la différence entre la cote du point A, et celle
du point L soit de 1,00, en portant de L en M, la dis-
tance AL, le point M aura une cote différant de 2"00 de
celle du point A, puisque dans la proportion ci-dessus
le deuxième antécédent étant le double du premier, la
même relation devra exister entre les conséquens. On
pourra donc avoir ainsi la position de tous les points du
plan dont les cotes différent de celle du point A d’un
nombre exact de mètres. En divisant la longueur AL en
dix parties égales, on aura des points successifs dont les
cotes ne différeront que de 0",10. Pour alors obtenir les
cotes d’un point quelconque O du plan, il suffira d’abais-
ser de ce point une perpendiculaire sur la droite AH et
de lire sur la graduation. Cette droite qui sert ainsi à dé-
terminer les cotes de tous les points d’un plan, s'appelle

l'échelle de pente de ce plan, Toute droite menée par le

494 EC

point A pourrait servir d'échelle de pente, mois il est
beaucoup plus simple de lastreindre à être perpendicu-
laire à la direction des horizontales du plan.

Si le plan était vertical, il serait déterminé par sa
trace et par les cotes de deux points de cette trace. S'il
était horizontal, une seule cote suffirait pour le déter-
miner.

Lorsqu'une ligne courbe sera plane, elle sera com-
plétement déterminée par sa projection horizontale, et
par les cotes de trois de ses points ; car dans l’espace elle
sera l'intersection du cylindre vertical qui la projette,
par le plan qui la contient, et qui est complétement
connue par les cotes de trois de ses points.

Si on imagine qu'une surface courbe soit coupée par
une suite de plans horizontaux équi-distans, et qu'on
projette sur un même plan horizontal toutes les courbes
d’intersection, cescourbes qui prennent le uom de courbes
horizontales ou de niveau, suffiront avec leurs cotes
pour déterminer complétement la surface. Supposons en
effet qu'on veuille déterminer la cote d’un point situé
entre deux courbes horizontales. Si par le point on fait
passer un plan vertical normal à l’une des courbes qui
l'avoisinent, il coupera la surface suivant une courbe,
qui se projettera sur la trace horizontale du plan, trace
qui sera perpendiculaire à la projection de la courbe à
laquelle ce plan est normal dans l’espace. Si les courbes
entre lesquelles le point de la surface est placé, sont très-
rapprochées , on pourra concevoir que la courbe de sec-
tion du plan normal se confond avec une droite passant
par le point, et terminé aux deux courbes, et dont par
conséquent les cotes des extrémités sont connues. Rien
ne sera plus facile alors que d'obtenir la cote du point
demandé. On conçoit alors que la surface donnée est
remplacée par des portions de surfaces gauches engen-
drées par le mouvement d’une droite qui s'appuie sur
deux courbes consécutives, en étant astreinte à la con-
dition d’être constamment normale à l’une d'elles.

Ces préliminaires bien conçus, voyons comment nous
pourrons résoudre les différentes questions traitées par
la géométrie descriptive.

I. Une droite étant donnée par sa projection et les
cotes de deux de ses points , trouver la tangente de l'an-
gle quelle fait avec l'horizon.

Si par l’un des points connus de la droite, on mène
une horizontale , et Que par l’autre on abaisse sur cette
ligne, une perpendiculaire ; où formera un triangle
rectangle, dont l’un des côtés de l'angle droit sera la
longueur de la projection de la droite, et dont l'autre,
opposé à l'angle dont on demande la tangente, sera
égal à la différence entre les cotes des deux points. Par
conséquent , la tangente de l’angle formé par une droite
avec le plan horizontal est égale à la différence entre les

EC

cotes des deux points connus de cette droite, divisée par
la distance qui les sépare.

Si on demandait de faire passer par un point donné
une droite, faisant avec l’horizon un angle donné, le
problème serait indéterminé, puisque toutes les généra-
trices d’un cône ayant pour sommet le poirit connu, et
faisant avec l’horizon l'angle donné, conviendraient éga-
lement, Cependant cette question étant d’un usage fré-
queut, nous allons chercher comment on pourrait dé-
termiuer la cote d’un point d’une telle droite. Imagi-
nons sur le point une verticale d’un nombre exact de
mètres et une horizontale ayant une longueur telle que
le rapport entre ces deux longueurs soit égal à la tan-
gente de l'angle donné, En joignant les extrémités de
ces deux droites, nous aurons une des positions de la
droite dans l’espace, et dans son mouvement, elle dé-
crira dans l’espace une circonférence qui sera projetée
par une circonférence ayant pour rayon la longueur de
l'horizontale, et dont tous les points seront propres à
donner la cote demandée.

I. Déterminer le point d'intersection de deutc droites
qui se coupent.

Les projections horizontales de ces deux droites de-
vant nécessairement se couper en un point qui est la
projection du point d’intersection dans l'espace, on dé-
terminera la cote de ce point à l'aide Ges notions pré-
cédentes. Si les deux droites étaient dans un même plan
vertical, leurs projections horizontales se confondraient
et ce moyen ne serait plus praticable. Soient donc À et B
(PL. XXXIIT, fig. 4 ) les deux poiuts de la première
droite dont les cotes x et 8 sont connues , et C et D les
points de la seconde dont les cotes sont 7 et 2. Si par les
points A et B, nous menons des verticales jusqu’à leur
rencontre en E et F, avec la droite CD, nous pourrons
déterminer les cotes # et n de ces points, et à cause des
triangles semblables B'OF et OA'E nous aurous la pro-
portion

EO:O0E:;:AE:BTE
mais On à aussi
EO : OE :: EH : HG,
EG étant une droite horizontale; donc
HS HC SUEDE
d’où
ŒH+LHG) ou EG=AB : EH :: A'E+B'F:A'E

et si on désigne par æ la distance EH=AT et par a Ja

longueur AB, on aura

as mii(s—a)+(8—n): sx

EC
proportion qui suffit pour déterminer x. Le point I
étart connu , on obtiendra facilement sa cote.

II. Deux plans étant donnés, trouver leur inter-
section.

Ondéterminéra d’abord 168 échelles de pente des deux
plans, et dans l’un et dans l’autre, on tracera des hori-
Zonitalés à même cote. Les points d’intersection de ces
droites apparténänt évidemment à l'intersection des
deux plans suffront pour la déterminer. Si l’ün desplans
était horizontal ; l’iiteiséction serait horizontale, et il
sufürait de chercher parti les horizontales du second
plan, celle qui est à la cote du premier.

Si les horizontales des deux plans étaient parallèles,
leur intersection serait aussi une horizontale parallèle à
celle-ci. Pour li déterminer, il sufiira d'imaginer un
troisième plan qui coupera les deux premiers suivant
déux droites qui se couperont en ün point appartenant
à l'intersection coimutie des deux plans.

Poür trouver l'intersection d’une droite et d’un plan,
of imaginera par elle un plan qui coupera le premier,
süivait une droite contenant le point demandé, et qui,
par conséquent , se trouvera à l’itersection de cette
droite avec la droite donnée. { Pi. XX XII, Jig. 5.)

IV. Par unpoint donné, abaïsser une perpendiculaire
sur un plan.

Cette droite aura évidemment sa projection perpen-
diculaire aux horizontales du plan, ct, par conséquent,
parallèle à son échelle de pente, il suffit donc de déter-
miner la cote d’un autre de ses points. Imaginons par
la droite un plan vertical, il coupera le plan suivant la
ligne de plus grande pente, et soieut AB la droite, et
BC la ligue de la plus grande pente du plan. (PLANGRE
XXXII, fig. 6.)

Par le point À menons l'horizontale AC ; ä partir du
point C, portons sur cette droite une longueur DC expri-
mée exactement en mètres et abaissons la verticale DE,
dont la longueur sera égale à la différence entre les cotes
des points Cet E. Si maintenant nous prenons AF égal
à DE et que nous menions la verticale FG , elle sera
égale à DC: Par conséquent, la différence entre la cote
du point Get celle du point A sera égale à la longueur
DC.

Rien ne sera plus facile alors que de déterminer cette
cote sans faire aucune construction. Soient en effet AB
l'échelle de pente du plan (Pr. XXXIII, Jig. 7) ei
CD la droite perpendiculaire à ce plan menée par le
point. À partir du point I, qui a la même cote que le
point C, nous porterons une longueur HI d’un nombre
exact de mètres; et du point C nous porterons la lon-
gueur CG égale à la différence entre les cotes des points
H et I. La différence alors eutre la cote du pont G et
celle du point GC sera égale à la longueur HE.

iQ
s\

495
La détermination du point O, où cette droite ren-
contre le plan, ne présente aucune difficulté.
Au moyen de ce que nous venons de dire on pourra,
par une droite donnée , mener ün plan perpendiculaire
à un plan donné.

V. Mener par un point donné un plan perpendiculaire

à une droite donnee.

L’échelle de pente du plan cherché devant être paral-
lèle à la projection de la droite, si par la projection du
point donné on mène üne perpendiculaire à là projec-
tion dé la droite, cette ligne sera une horizontale du
plän demandé, et en considérant la projection de la
droite donnée comme l'échelle de pénte d’un plan au-
quel la figure de plus grande pente du plan cherché de-
vra être perpendiculaire, la question rentrera tout-à-fait
dans la précédente.

VI. Pärun point donné abaisser une perpendiculaire
sur üné droite doñnce:

On mènera par le point un plan perpendiculaire ä là
droite donnée. On cherchera son point d’intersection
avec celte droite, et en joignant ce point et le point don-

né par une droite, le problème sera résolu.

VIL Troiver la tangente de l'angle formé par deux
droites.

En menant de l’un des points d’une des droites une per-
peéñdiculaire sur l’autre on formera uni triangle rectangle
dätis lequel le rapport des detix côtés de l’atigle droit
sera égal à la tangente déinandée.

Si on voulait avoir l'angle d'une droite et d’un plah
on abaisserait d’un des points de la droite une perpen-
diculaire sur le plan donné, eten divisant la longueur
de cette droite, par la distance de son pied aü point où
la droite perce le plan, on aurait la valeur de la tani-

gente de l'angle demandé,

Pour trouver l'angle de deux plans on déterminerait
d'abord leur intersection ; on lui mènerait un plan per-
pendiculaire , dont on chercherait les intersections avec
les deux plans donnés et l'angle de ces deux droites se-

rait l'angle demandé.

0

VII Trouver la plus courte distance entre deux

droites non situées dans un méme plan.

Lasolütion de cette question se traitera par les moyens
indiqués par là géométrie, séulément les différentes
coistrüctions tiécessaires pour déterminer la droite de-
mandée, se feront à laide des méthodes que nous ve-

nons d'indiquer, { Pr. NXXIV, fig. 3:)

IX. Tracer, à partir d'un point, sur une surjace
courbe donnee par es horizontales, une courbe dont la

M * . 0 +
tangrnte fasse toujours le même angle avec l'horizon.

496 EC

On regardera la distance verticale qui sépare deux
courbes comme la hauteur de l'inclinaison de la tan-
gente, ct si, à partir du point donné, on porte avec un
compas une longueur égale à la base de cette inclinaison,
de manière à ce que son extrémité rencontre la courbe
suivante, cette droite sera la projection de la courbe
demandée. Cette solution n’est rigoureuse que lorsqu'on
suppose les courbes équi-distantes assez rapprochées
pour qu’on puisse supposer que les parties de la surface
occupées par la base de la pente soient planes. Pour qu’elle
soit possible il faut que la base de la pente soit au moins
égale à la plus courte distance entre deux courbes con-
sécutives. Elle a de plus uneinfinité de solutions puisque
pour chaque point il y aura deux directions qui y satis-

feront.

X. Trouver l'intersection d'une surface avec un plan

donné.

L'échelle de pente du plan étant déterminée, on mè-
nera les horizontales à mêmes cotes que les courbes de
la surface, et les points de rencontre avec lescourbes ap-
partiendront à l’intersection demandée. Il pourra arri-
ver, d’après la forme de la surface, qu'on ait plusieurs
courbes d’intersection indépendantes les unes des
autres. (PL. XXXV, /ig. 6.)

On pourrait se demander de déterminer l'intersection
d’un cône par un plan. Nous supposerons le cône droit,
ayant son axe vertical; alors les courbes équi-distantes
qui le déterminent sont des circonférences de cercle con-
centriques , et la détermination de la courbe d’intersec-
tion ne présente aucune espèce de difficultés. ( PLanxcue

XXXII, fig. 9.)
XI. Trouver l'intersection de deux surfaces données.

Les points de cette intersection seront évidemment
donnés par les points de rencontre des courbes ayant
même cote, et ils feront partie d’une ou de plusieurs
courbes suivant les formes des surfaces. (PL. XXXIII,
fig. 7)

XII. Par un point donné sur une surface lui mener

un plan tangent.

Ce plan contenant toutes lestangentes menées à la sur-
face au point donné, passera par la tangente à la courbe
horizontale passant par ce point , et cette droite sera une
de ses horizontales. Si maintenant on conçoit par le
poiut un plan vertical perpendiculaire à cette horizon-
tale, il coupera la surface suivant une courbe dont l’é-
lément devra se trouver dans le plan tangent. Mais cette
courbe se projette suivant une droite perpendiculaire à
la projection de la courbe horizontale passant par le
point , et la cote de son extrémité est la même que celle
de la courbe horizontale suivante ; par conséquent l’é-
cheile de pente du plan demandé estcomplétement dé-

EC

terminée. Comme on peut considérer lacourbe horizon-
tale supérieure à celle passant par le point donné, ou
celle qui lui est inférieure , le problème est en général
susceptible de deux solutions , qui se réduiront à une
seule lorsque les courbes seront infiniment rapprochées,
parce qu’alors les deux élémens de la courbe normale se
confondront en direction et ne donneront qu’une tan-
gente. Si on conçoit que l’un des deux plans tangens
tourne autour de son horizontale de contact, en aban-
donnant l’élément de contact , de manière à venir se
rabattre sur l’autre plan , on aura une infinité de solu-

tions limitées par les deux plans primitifs.

XIII. Parune droite donnée mener un plan tangent à
une surface donnée.

Au point où ce plan touche la surface, son horizon-
tale devra se confondre avec la tangente à la courbe ho-
rizontale passant par ce point. Si donc nous marquons
sur la droite les points ayant mêmes cotes que les courbes
horizontales de la surface, et que par chacun de ces
points nous menions une tangente à la courbe ayant
même cote que lui, l’uue de ces tangentes devra être
l'horizontale demandée. Mais le plan tangent passant
par la droite donnée et par cette tangente, devra conte-
nir l'élément de la surface perpendiculaire à latangente
et passant par le point de contact, et par conséquent aussi
la tangente à la surface à l'extrémité de cet élément; cette
tangente devra donc être parallèle à la première. Parmi
toutes les tangentes menées aux courbes horizontales par
les points de la droite donnée ayant mêmes cotes, celle
qui satisfera à la question sera telle que l'horizontale
immédiatement inférieure ou supérieure, lui sera paral-
lèle. Cette solution serait rigoureuse si les courbes étaient
infiniment rapprochées , mais comme elles sont à une
distance finie, il serait impossible de satisfaire à cette
condition du parallélisme , quoique cependant le pro-
blème füt soluble. On examinera alors les variations de
l'angle que les tangentes menées aux courbeshorizontales
font avec la droite donnée. Si cetangle, après avoir crü
ou diminué d'une manière continue, commence à décroi-
tre ouà croître d’une manière continue, il est évident qu’il
y aura eu un maximum ou un minimum , etla tangente
y donnant lieu sera celle qui devra être choisie. En ef-
fet , en rétablissant la continuité de la surface et menant
toutes les tangentes par la droite, les variations de
l'angle deviendront infiniment petites , et elles ne pour-
ront changer de signe sans passer par zéro. Par consé-
quent dans le voisinage de ce point il y aura deux hori-
zontales parallèles. (Pr. XXXIV, fig. 5.)

Si la droite donnée était horizontale, elle serait elle-
même une des horizontales du plan demandé, et par
conséquent la tangente à la courbe horizontale pas-

saut par le point de contact de la surface et du plan

“EC
devrait lui être parallèle. On mènera alors à chaque
courbe des tangentes parallèles à la droite donnée, ct
par un point de la projection de la droite on mènera une
droite coupant les projections de ces tangentes. A partir
du même point on portera sur la droite des parties pro-
portionnelles aux distances verticales de cette droite au
plan de chacune des courbes, on cotera ces points de
division comme les courbes elles-mêmes et on les joindra
par des droites avec les points d’intersection des tan-
gentes aux courbes avec la droite passant par le point de
départ. Lorsque deux de ces droites successives seront
parallèles, elles correspondront à deux tangentes dont
le plan passera par la droite donnée, et par conséquent
aux deux tangentes de l’élément de contact. Cette cori-
dition du parallélisme ne pouvant être remplie que
lorsque les courbes sont infiniment voisines, on exami-
néra la marche de l’angle de ces droites avec la droite
donnée , et celle qui donnera lieu à un maximum ou à
un minimum , satisfera évidemment à la question. (Pr.

XXXIV , fig. r.)

XIV. Mener à une surface donnée un plan tangent
parallèle à un plan donné.

La direction des horizontales du plan demandé est
connue puisqu'elles doivent être parallèles à celle du
plan, donné; et si à chaque courbe horizontale 6n mène
une tangente parallèle à l'horizontale du plan donné,
l'une d’elles devra se trouver dans le plan cherché. Dans
le plan donné on mènera deux horizontales dont la dis-
tance verticale soit égale à la distance qui sépare verti-

.calement deux courbes consécutives, et on prendra une
“ouverture de compas égale à la ligne qui mesure la dis-
. tance entre les projections de ces horizontales. On por-
_tera cette distance entre toutes les horizontales tangentes
aux courbes, et, lorsqu'il y aura égalité, le plan tangent
passera évidemment par ces deux tangentes. Si cet es-
pace après avoir été plus grand devient plus petit, alors
le plan tangent sera tangent à la courbe horizontale qui
sépare les intervalles plus grands des intervalles plus

petits.

XV. Par unpoint donné mener un cône langent ä une
surface donnée, et déterminer la courbe de contact.

4 Si par le point donné on fait passer une série de plans
| verticaux, dont on déterminera l'intersection avec la sur-
, face, et que par le même point on mène des tangentes à
l ces courbes d’intersection, ces tangentes seront les géné-
‘ratrices du cône demandé, et leurs points de contact
+ appartiendront à la courbe de contact du cône et de la
surface.
On pourra, à l’aide de la méthode que nous venons
d’exposer, résoudre toutes les questions qui pourront
se présenter , et on se convaincra que souvent les moyens

fournis seront beaucoup plus expéditifs que ceux de la

EC 497

géométrie descriptive ordinaire , même dans le cas où il
s’agit de surfaces analytiquement définies.

(Poyezle n° 6 du Mémorial de l'officier du génie et
la géométrie descriptive de M. Leroy).

ÉCHO(Acoust.). Phénomène produit parla réflexion
du son. Ce mot vient du grec #xos , son. ®

Lorsqu'un son rencontre un corps solide, suivant cer-
taines conditions, il est réfléchi ou renvoyé de manière
qu'il se répète à l’oreille. Pour rendre raison de cet
effet, il faut rappeler ici (voy. Sox) que le son est le ré-
sultat d’un mouvement de vibration excité dans les corps
sonores, etquisecommunique à l'air environnant en dé-
terminantdesondulations, lesquelles de proche en proche
parviennent jusqu’à l’air renfermé dans l'oreille et pro-
duisent la sensation du son.

Les ondes sonores, lorsqu'elles passent d’un milieu
dans un autre, éprouvent une réflexion partielle qui
devient totale quand elles rencontrent un obstacle fixe.
Cette réflexion qu’elle soit partielle ou totale, s’accom-
plit toujours dans une direction telle que l’angle de ré-
flexion est égal à l’angle d'incidence. Ainsi lorsqu'un
observateur placé de manière à pouvoir entendre un
son se trouve de plus dans la direction de la réflexion,
il entend successivement deux sons semblables, dont le
second n’est que la répétition du premier.

Si les ondes sonores vont tomber perpendiculaire-
mert sur la surface réfléchissante, le son est renvoyé
dans la même direction, et alors la personne qui le pro-
duit reçoit à la même place la sensation du son et celle
de l'écho.

Pour que le son soit réfléchi dans la même direction,
il faut donc que la surface réfléchissante, si elle est
plane, soit perpendiculaire à la direction, ou, si elle
est sphérique, que son centre soit le point même de
départ.

Si la surface réfléchissante est placée à 170 mètres de
distance de celui qui parle, le temps qui s'écoule entre
le premier son et le son réfléchi est d’uneseconde, parce
que le son fait environ 340 mètres par secondes. Ainsi
l'écho répétera toutes les syllabes qui auront été pro-
noncées dans le temps d’une seconde, de manière que
lorsque celui qui parle aura cessé de parler, l’écho pa-
raîtra répéter toutes les paroles qu’on aura prononcées,
et la première reviendra à l'observateur après une se-
conde, c’est-à-dire, à l'instant où la dernière sera pro-
noncée. À la distance de 340 mètres, un écho peut ré-
péter 7 à 8 syllabes. Sila surface réfléchissante se trouve
trop proche, l'écho ne répétera qu’une syllabe. On en
cite qui répètent jusqu’à 15 syllabes.

Les échos se produisent avec diverses circonstances.
Par exemple , une surface plane, réfléchissanté, renvoie
le son avec toute son intensité, et il n’éprouve de di-

minution que celle produite par la distance. Une sur-
63

498 EC

face convexe réfléchit le son avec moins d'intensité et
de vitesse qu’une surface plane; tandis qu'une surface
concaye renvoie un son plus fort que le son primitif. Il
en est À peu près du son comme de la lumière : les mi-
roirs plans rendent l'objet tel qu'il est, les convexés le
diminuent et les concaves le grossisseut.

Comme un son réfléchi peut se réfléchir de nouveau
en rencontrant un second obstacle dans sa direction , il
existe des échos doubles, triples, quadruples, etc. Ces
échos qu’on nomme en général échos multiples se pro-
duisent ordinairement daus les lieux où se trouvent des
murs parallèles et éloignés. IL en existait jadis un cé-
Ièbre près de Verdun qui répétait 12 à 13 fois le même
mot ; il était formé par deux tours éloignées l’une de
l’autre de 50 mètres.

Dans la théorie des échos, on nomme centre-phonique
le poiat où le son est produit, ct centre-phonocampui-
que celui où il est réfléchi.

Lorsque la réflexion du sou se produit dans des di-
rectious différentes de celle de son incidence, il peut
arriver que celui qui le produit n'ait pas la sensation de

l'écho, tandis qu'un autre observateur entende l’écho

sans. avoir eutendu le son primitif. Ce phénomène
s’observe fréquemunent sousdes voûtes plus ou moins
hautes, et il est une suite des propriétés de l’ellipse; en
effet, si nous supposonsque la section d’une voûte par
un plan soit une ellipse, les sons qui partiront d’un des
foyers pour frapper la courbe, iront tous se réfléchir à
l’autre foyer, de sorte que deux personnes, placées cha-
cune à l’un des foyers, pourront s’entendre à la dis-
tance de 12 mètres, et même de 30, en parlant à voix
basse; tandis que des spectateurs intermédiaires ne pour-
ront saisir aucun mot. Les arches de plusieurs ponts pré-
sentent ce phénomène, qu'on peut observer dans une
grande salle carrée du Conservatoire des arts et métiers.
C'est d'après la propriété des surfaces réfléchissantes
.qu’on a construit le cornet acoustique, dont la destina-
tion est de renforcer le son. On donne à cet instrument
une forme parabolique parce que le son en frappant sa
paroi interne est réfléchi de toutes parts en un seul point
ou foyer situé à l'extrémité qu’on place dans l'oreille.
_Le porte-voix (voy. ce mot) est construit d’après les
mêmes propriétés.
ÉCLIPSE (A4str.). Disparition momentanée d’un astre
-en tout ou en partie.
‘Les éclipses, si long-temps l’objet de la frayeur des
«hommes, n’excitent plus aujourd’hui que leur intérêt
.etleur curiosité; et ce qui parait le plus étonnant dans
les phénomènes qu’elles présentent, pour les personnes
étrangères aux principes de l'astronomie, c’est la certi-
tude avec laquelle elles peuvent être prédites. Dans les
temps Les plus reculés de l’antiquité, avant que la science
eût répaudu sa lumière sur lemmonde, les apparences de

* à

EC

cette espèce étaient regardées comme unealammante dé-

viation des lois éternelles de la nature; les philosophes

eux-mêmes partageaient en grande partie les idées su-

perstitieuses du vulgaire; et ce ne fut qu'après delongues

observations, et lorsque les mouyemens des corps cé-

lestes commencèrent à être mieux connus, qu’on osa

supposer que ces phénomènes effrayans dépendaient
d'une cause régulière.

r

Anaxagore , contemporain de Périclès, parait être le
premier qui ait écrit sans déguisement sur les diverses
phases de la lune et sur ses éclipses ; mais ayant Hippar-
que, les astronomes n’étaient guère en état de prédireles
éclipses ; et s’il est vrai , comme le rapporte Hérodote,
que Thalès ait annoncé une éclipse de soleil, ce ne peut
être qu’à l’aide de la période de 18 ans et 11 jours dont
nous parlerons plus loin, période qui ramène les éclipses
à peu près à la même époque, et qui pouvait être con-
nue de cet illustre fondateur de l’école ionienne.

Néanmoins les tentatives de l’astronomie pour expli-
quer ce phénomène et en prédire le retour, remontent
à une époque fort antérieure dans l’histoire du monde.
Mais il n’est pas inutile de remarquer que partout la
découverte des véritables causes des éclipsés dè soleil
parait avoir précédé la connaissance dé cellés dé lune. La
marche de ce corps céleste esten effet facile à observer, ét
son passage entre le soleil et la terré a dû de bonné heure
être regardé comme la cause de l’obscurcissément mo-
mentané de la lumière solaire. Il n’était pas aussi facile
d'attribuer les éclipses de lune à l’ombre de Ja terre,

et cette observation exigeait une connaissance plus ap-

profondie de la forme et des mouvemens des astres:
aussi dut-elle être l’œuvre d’une science plus avancée.
La cause réelle des phénomènes ayant pu être trouvée
par la simple observation, il restait à la science à com-
pléter cette découverte, en démontrant sa réalité par le
calcul rigoureux des époques oùles mêmes faits devaient
se reproduire. C’est sous ce point de vue qu’il faut sur-
tout admirer les ingénieuses méthodes qu’employèrent
les premiers astronomes pour arriver à ce but; nous
jouissons des travaux de l'intelligence des siècles passés
sans reporter notre esprit vers les difficultés presqu'in-
surmontables qui génèrent les premiers pas de la science.
Les préjugés d'une religion toute matérielle, dont le
vulgaire du moins prenait au sérieux le sens figuré ou
allégorique, arrêtèrent long-temps , dans la Grèce sur-
tout, la production de la vérité. Ce fut sans doute pour !
tromper l’aveugle instinct de la multitude et se ravir |
aux persécutions qui ont frappé les auteurs des plus

belles découvertes, que l’école pythagoricienne cacha

ses nobles leçons sous le voile d’une poésie mystérieuse.

Anaxagore tint long-temps secret son écrit sur les éclip-
ses, mais la haine de l'ignorance s’attacha à lui dès le mo-
ment où il osa professer ses opinions, et il expia dans

|

: Sl

EC
les fers le tort d’avoir expliqué l’un des grands phé-
nomènes de la nature.

: Un acte de sévérité, occasionné par des raïsons tout-
xfaitopposées se rattache à la tradition d’une éclipse
de soleil, qui sérait arrivée à la Chine vers l’an 2155
avant notre ère: Suivant les historiens , au moins fort
suspects; de ce pays, il y eût eu cette annéé, düx appro-
ches de l’équinoxe d’automne, sous le règne de Veni-
pereur Tchong-Kang une éclipse de soleil et les astro-
només Hô et Hi furent condamnés à mort pour ne l’a-
voir point prévue, comme la lui leur en faisait un
devoir. Ainsi, d’après cette histoire, non-seulement les
éclipses étaient observées à la Chine plus de deux
mille añs-dvant notré ère, mais encore les astronomes
pouvaient en calculer le retour avec assez de précision
pour qu'on y fit mourir ceux qui négligeaient d’an-
noncer le prochain accomplissemént de ce phéno-
mène. On sait que les missionuaires versés dans l’astro-
nomie, et que d’autres astronomes ont prétendu véri-
fier par des calculs, lexistence réelle de cette éclipse.
Il est en effet possible qu’elle ait eu lieu ; mais il est com-
plétement impossible que l’observation scientifique en
ait été faite à la Chine à l’époque reculée où on la place,
époque antérieure à toutes les certitudes historiques, et
par conséquent à la civilisation avancée que suppose un
pareil travail. En ne citant ce fait que pour ce qu’il vaut
réellement, c’est-a-dire, pour une audacieuse interpo-
lation des astronomès chinois entreprise dans le but de
flatter l'orgueil d’une antiquité fabuleuse, qui domine
leur nation, on doit convenir qu’il en résulte au moins
la preuve que la connaissance de la cause des éclipses
est fort ancienne dans l'astronomie chinoise; mais on
ignore entièrement d’après quelle méthode elle pouvait
les calculer.

Les plus anciennes observations d’éclipses, rapportées
par Ptolémée, sont trois éclipses de lune, observées à
Babylone, dans les années 719 et 720 avant notre ère,
et dont ce grand astronome a fait usage pour détermi-
ner les mouvemens de la lune. Les observations anté-
rieures à cette époque, et dont se vantaient les Chal-
déens , ayant été rejetées par Hipparque et Ptolémée,
probablement parce qu’elles manquaient de précision et
d’exactitude, on aurait tort de les invoquer en garan-
tie de la science des Chinois. Les observations d’éclipses
des Indiens et des Persans offrent encore moins de cex-
titude ; mais comme nous l'avons dit plus haut, quelque
exagérées que soient les prétentions astronomiques des
anciens peuples, onpeut du moins en tirer cette con-

séquence que la connaissance des causes des éclipses a
toujours vivement excité l’attention des hommes, et
que. c’est le premier problème que l'astronomie ait eu

_à résoudre.

Mais la connaissance de ces causes et la méthode pour

EC 499

calculer d’avance la production des phénomènes qui les
accompagnent, furent long-temps encore regardées
commeune des combinaisons les plus élevées dela science
et n’ont été par conséquent le partage que d’un petit
nombre d'hommes supérieurs. Les peuples regardaient
tout ce qu’ils appelaient les prédictions des astronomes
relativement aux éclipses comme des opérations qui te-
naient du prodige. Plutarque rapporte qu'Hélicon de
Gynique ayant annoncé une éclipse de soleil à Denys,
tyran de Syracuse, et ce phénomène ayant eu lieu au
jour et à Pheure qu’il avait fixés , reçut de ce prince un
talent , où 5,406 fr. de notfe monnaie, eu récompense
de son habileté, récompense dont l'importance prouve
assez que les connaissances d'Hélicon n'étaient pas com-
munes. (3 septembre, an 4or avant J.-C.)

Le peuole romain, lorg-temps après, suivant Tite-
Live (lib. 44), regarda encore comme une prodige inoui,
lannonce d’une éclipse de lune , qui fut faite par Caius
Sulpitius Gallus, le premier géomètre dé cette nation
qui ait eu quelque connaissance étendue en astronomie.
Ce phénomène devait avoir lieu durant la nuit qui pré-
céda le jour où Paul-Emile défit Persée: Gallus l’an-
nonça aux soldats romains, et leur en ayant expliqué les
causes, il dissipa la frayeur que cet événement imprévu
aurait jetée dans leur esprit. Suivant les calculs de Ric-
cioli, cetté éclipsé arriva le malin du 4 septembre de
Van 168 avant J.-C.

Après la déstruction de l’école d’Alexandiié et durant
le moyen-dge ; on sait que la science fat à peu près exilée
de l'occident, et jusqu’à l’époque où ellé lui fut rendue
par les Arabes, ün ne trouve quelques observations
fort incomplètes d’éclipses de soleil et dé late que dans
les annales du règne de Louis-le-Débüntfaire, écrites
par un moine anonÿme. Ces observätioris comprennent
le temps qui s’est écoulé dépuis l'an 865 jusqu’en 84.

Les éclipses sont divisées, par rapport aux objets
éclipsés, en {unaires et solaires. U y a aussi les éclipses des
planètes secondaires où satellites , ét celles des étoiles et
des planètes; ces dernières se nomment plüs particu-
lièrement ocoultations. Nous allons les éxaniiner succes:
sivément.

r. Écuieses zunarnes. La terre étant un corps opaque
éclairé par le soleil, projette au loin derrière elle une
ombre dans l'espace. Quandialunetraverse cetteombre,
cé qui arrive dans certaines circonstances, elle ne reçoit
plus la lumière du soleil, et doit par conséquent dispa-
raître pendant tout le témps qu'elle y démeure; car la
lune, ainsi que toutes les planètes, est aussi un corps
opaque qui n’apparaît à nos yeux. que lorsqu'elle est
éclairée par les rdyons du soleil. La figure suivante fera
concevoir aisément ce phénomène.

SoitS le soleilet T la terre; si par les bords opposts
du disque du soleil; oh contoit des lignes droitus AB et

500 EC

BE qui rasent la surface terrestre ces lignes détermine-
ront les limites de l'ombre, et comme le soleil est beau-

At
al

1 Me

È j | | |

LL
dut

coup plus gros que la terre, elles se croiseront derrière
la terre en un point E, de sorte que l’ombre aura la fi-
gure d’un cône circulaire ou elliptique selon que la terre
est une sphère ou un ellipsoide.

Ainsi, lorsque la lune L entre dans cette ombre, elle
commence peu à peu à disparaitre , à mesure qu’elle s’y
eugage; cesse entierement d’être visible, lorsqu'elle y
est plongée tout entière; et reparaît dès qu’elle en sort
de l’autre côté. Dans son passage à travers cette ombre,
la lune présente donc une suite de phases décroissantes
depuis l'instant où elle la touche jusqu’à celui où elle
disparaît, et une suite de phases croissantes depuis l’in-
stant où elle commence à sortir de l’ombre jusqu'a celui
où elle en est entièrement dégagée.

2. La lune ne s’éclipse pas subitement ; lorsqu’elle ap-
proche de l’ombre terrestre, sa lumière commence d’a-
bord à s’affaiblir, et ce n’estqu’après avoir passé par plu-
sieurs dégradations successives que l'obscurité estla plus
intense. Pour concevoir ce phénomène, il faut observer
qu’un corps opaque placé entre un objet et le soleil
peut ne lui cacher cet astre qu’en partie, et qu’alors lob-
jet est moins éclairé que s’il recevait toute la lumière du
soleil, mais plus cependant que s’il en était entièrement
privé. Il existe doncune limite intermédiaire entre la
lumière et l’ambre pure; cette teinte se nomme la pen-
ombre. Pour en trouver les limites, on conçoit deux
droites AD et BC qui rasent aussi la surface du soleil et
celle de la terre, mais qui se croisent entre ces deux
corps. Les angles CBD et DAC déterminent l’espace
compris par la pénombre; car d’un point situé au-delà
de ces limites, on apercevrait le soleil tout entier,
tandis que d’un point L qui leur serait intérieur, on ne
verrait que la partie OB du disque de cet astre. Cette
portion visible diminuant à mesure qu’on approche de*
l'ombre, l'intensité de la pénombre va en croissant de-
puis la première limite, où elle commence, jusqu'à l’en-
droit où elle se confond avec l'ombre pure. De là, la
progression d’obscurité que présente le disque de la lune
lorsqu’elle s’éclipse.

3. Si l'orbite de la lune était parallèle à l’écliptique, il
y aurait éclipse complète toutes les fois que la lune est
pleine , car au moment de cette phase la terre se trouve
exactement entre le soleil et la lune; mais l'orbite lu-

BC

nare estincliné d’un peu plus de 5° sur le plan de l’éclip-
tique, et conséquemment la lunese trouve tantôt élevée
au-dessus de ce plan et tantôt abaissée au-dessous ; il
peut donc arriver, lorsqu'elle est pleine, qu’elle passe.
tout-à-fait en-dehors de l’ombre de la terre, ou qu’elle
l’effleure seulement par son bord, ou qu’enfin elle n’en-
tre qu’en partie dans cette ombre. De ces deux derniers
cas, le premier se nomme appulse, et le second éclipse
partielle. On appelle éclipses totales, celles où la lune
se plonge tout entière dans l’ombre, et éclipses :cen-
trales , celles où son centre coïncide avec l’axe même du
cône de l’ombre.

4. Ainsi, pour qu’une éclipse de lune puisse avoir lieu,
il faut qu'au moment de l'opposition ou de la pleine
lune , cet astre se trouve, sinon dans le‘ plan de l’éclip-
tique, du moins près de ce plan. Or, comme dans sa ré-
volution autour de la terre, la lune, en décrivant son
orbite, passe deux fois dans le plau de l’écliptique, en
des points diamétralement opposés qu’on nomme les
nœuds, ce n’est donc que lorsqu'elle est dans ces nœuds
où aux environs, qu’elle peut être éclipsée.

5. À l’aide de ces notions élémentaires il est facile de
comprendre comment on peut calculer approximative-
ment les éclipses lunaires d’une année proposée; car le
problème se réduit à trouver les pleines lunes de cette an-
née et à choisir celles qui arrivent lorsque la lune est
près de ses nœuds. Si, au moment de l'opposition, la
lunese trouve sur le nœud même, il v aura éclipse totale;
si elle se trouve plus ou moins près il y aura éclipse par-
tielle , et si son éloignement du nœud passe certaine li-
mite on est sûr qu’il n’y aura point d’éclipse.

Sinous supposons le cône d'ombre coupé par un plan
suivant la ligne où il est traversé par la lune, sa sec-
tion par ce plan sera un cercle, et alors au conmencement
de l'éclipse la distance entre le centre de la June ct celui
de l’ombre sera égale à la somme des demi-diamètres de
la lune et de l'ombre; cette distance diminuera jus-
qu’au milieu de l'éclipse et recommencera ensuite à
croître , de manière que la lune sera entièrement déga-
gée de l'ombre, lorsque la distance des deux centres sera
redevenue plus grande que la somme des demi dia-
niètres. On appelle temps de l'immersion, celui que la
lune emploie à entrer dans l'ombre, et temps de l’émer-
sion celui qu’elle emploie à s’en dégager entièrement.

Si nous représentons par O (PL. XXXIV, fig.9)
l'ombre de la terre, et par L, L', L”, diverses positions |
de la lune sur son orbite inclinée, on voit effectivement
qu’au commencement et à la fin de l’éclipse la distance
des centres OL ou OL” est égale à la somme des demi-
diamètres, et qu'entre ces distances extrêmes il existe
une distance OL! perpendiculaire à l'orbite de la lune,
et conséquemment la plus courte de toutes ; c’est cette
dernière qui détermine le milieu de l’éclipse.

EC
. Au moment de la conjonction (PL: XXXIV, fig. 4)

s. distance des centres est perpendiculaire à l’écliptique,

et conséquemment égale à la latitude de la lune.

6. Ainsi, lorsqu'au moment de l'opposition ou de la
pleine lune, la distance du centre de la lune à l’écliptique,
c’est-à-dire sa latitude , sera plus grande que la somme
de son demi-diamètre et du demi-diamètre de l'ombre, il
ne pourra y avoir d’éclipse: Dans le cas contrairela lune
sera nécessairement éclipsée, et l'éclipse sera totale
lorsque sa latitude sera plus petite que l'excès du demi-
diamètre de l'ombre sur le demi-diamètre de la lane.

7.!Il Eagits donc avant tout: de calculer le demi- dia-
mètre du cône d'ombre à l'endroit où lalune letraverse,
ce qui ne présente aucune difficulté; car, soit SA (PLan-
cue XXXIIT, Ji
Ja terre T' sous l’augle ATS ; soit CI un arc de l'orbite de
la lune ; le centre de l'ombre est en L, et l'arc CL, qui
‘est sensiblement une ligne droite, est le demi-diamètre

. 8) le démi-diamètre du soleilS, vu de

de l'ombre.

L’angle BAT est la parallaxe horizontale du soleil,
l'angle BCT est la paralaxe horizontale de la lune, et
l’angleCTD, extérieur par rapport au triangle CAT, est
égal à la somme des deux angles intérieurs opposés
(ANGLE, n° 9), ou à la somme des deux parallaxes. Mais
l'angle CTD est aussi égal à la somme des deux angles

CTL et LTD , on a donc

CTL—CTD—LTD

ou

CTL—CTD—ATS

à cause de LTD—ATS.

Or, lorsqu'on connait l'angle CTL on connait l'arc CL
qui lui sert de mesure et qui esten même temps le demi
diamètre de l'ombre. Ainsi, e demi-diamètre du cône
de l'ombre est égal à la somme des parallaxes horizon-
tales du soleil et de La lune , diminuce du demi-diamè-

tre apparent du soleil.

8. Nous allons éclaircir l'application de ces principes
par un exemple. En cherchant dans la connaissance des
temps les pleines lunes de l’année 1835, si nous choi-
#ssons celle du mois de juin ;, nous voyons que l'instant
de l'opposition a lieu le 10 à 10 heures 54 minutes 37
secondes du soir. Nous trouvons également qu’à cétte
époque le demi-diamètre du soleil est égal à 15° 47",
celui de la lune à 16° 34" et que la latitude de la lune est

de 1°
est de 8”,5 et celle de la lune de Go’ 16”.

0’ 30”. De plus, la parallaxe horizontale du soleil

Nous aurons donc pour le demi-diamètre de l'ombre:

8,5 + Go'16" — 15/47" = LS 44/37",5

EC 504.

et, pour la somme des demi-diamètres de l’ombre et de
la lune | ,

44137",5 HA 634 = han bas

Cette somme étant plus grande que la latitude de la lune,

1° 0° 30”, uousen conclurons qu'il ÿ aura éclipse de lune

le 10 juin 1835 à 10 h. b5' du soir. ; | [O
Cette éclipse ne sera pas totale, car Den da den

diamètre de l’ombre sur le demi-diamètre de la lune,

ou

44'37",5 ss 1634" Lu 28'3",5

est plus petit que la latitude 1° 0° 30”.

9. Les données dont nous venons de faire usage sont
encore suffisantes pour trouver la grandeur de l'éclipse
au moment de Ja conjonction. Alors le,centre de da June
est éloigné de l’axe du cône d'ombre d’une quantité égale
à la latitude de cet astre, et par conséquent le bord su-
périeur de son disque est distant de cet axe de la somme
de Ja latitude et du rayon lunaire; si donc on retranche
de cette somme le demi-diamètre du cône de l’ombre,
le reste sera la grandeur de la partie non éclipsée de la
lune, et il suffira de retrancher ce reste du diamètre lu:
aaire pour connaître la grandeur de la REA éclipsée.

Ainsi cette par tie éclipsée sera
RE He ES [ 1°0/30” _ 16'34" — 4437", 5] — 4x"

en ne tenant pas compte des dixièmes de secondes.

10. On évalue ordinairement la grandeur des éclipses
en divisant le diamètre lunaire en douze parties qu'on
nomme doigts,et ensubdivisant chaque doigt en soixante
minutes. Pourramener à ces mesures ‘la quantité que
nous venons de trouver, réduisôns ‘en secondes :cette
quantité, ainsi que le diamètre lunaire # nous trouverons
le diamètre égal à 1988” et la partie échpsée égale à 41”.

4x

Ainsi le rapport de cette partie au diamètre est Tel
il Où <

Pour réduire cette fraction en. une autre dont le déno-

minateur soit 12, pOsOns

12X 41

1988
grendére de! l'éclipse au moment de l’opposition.

Lorsqu'on parle de la grandeur d'une éclipse sans

et nous trouyerons x— — 0 doigts 15° pour la

spécifier l'instant du phénomène, on entend toujours la
grandeur totile, c'est-à-dire celle qui a lieu lorsque
la distance des centres est la plus peute.

11. Procédons maintenant à l'exposition des moyens

502 * EC
rigoureux que possède la Scietite pour détérminet toutes
les circonstances d’une éclipse de lune.
Représentons par la droite ES, l’écliptique, et par
la droite CN l'orbite de la lune inclinée à l'écliptique-
Supposons qu'au moment de la conjonction, Ô soit le
centre de l'ombre terrestre et L 12 centre de la lune
OL représentera la latitü dé de la lune.

12. En vertu du mouvement apparent du toleil dans
l’écliptique, le centre de l'ombre, qui lui est toujours
diamétralement opposé, se meut comme lui et avec là
même vitesse d’orient en occident. Dans le même temps
e centre de la lune $é meut aussi d’orient en occident,
et les vitesses de cés deux mouvemens sont données par
les tables astronomiques. Il S’agit donc de déterminer

l'instant où la lune et l'ombre se rencontreront.

Le mouvement propre de la lune faisant varier sa
longitude et sa latitude, on nomme mouvement horaire
en longituder;\a variation qui arrive dans la- longitude en
une heure de témps par l'effet du mouvement Epropre, et
mouvement horaire en latitude , la variation correspon-
dante pour Ja latitude. Le mouvement horaire du soleil
est toujours en longitude puisque cet astre parait se
mouvoir sur l’échiptique, et que sa latitude est; tou-
jours nulle.

Désignons par » le mouvement horaire du soleil , et
par æet» ceux de laluné , en longitude et en latitude,

Si nous exprimons par T un temps quelconque compté
en heures et pendant lequel nous supposerons que le
centre de l’ombre soit parvenu de O en O'et celui de la
lune deLen L', la distance OO" sera égale à 3XT, ouau
mouvement du soleil en longitude pendant le temps T.
Dans le même temps la longitude de la lune aura varié
de la quantité OM, déterminée par la perpendicuiaire
L'Mà EN, et sa latitude, de la différence entre L'M et LO.
Nousaurons pour les valeurs de ces variations les expres-
sions 2XT etr»XT. ,

Ceci posé, si nous représentons par D la distance OL’,
des centres O' ct L’,
d’ün triangle rectangle dont l'un des côtés MO'est égal à
OM—00'=4T— HT; ct dont autre côté L'M—LO+YP
ou à+YT , en désignant par À la latitude LO ; au mo-

cette distance sera l'hypothénuse

ment de l’opposition. Nous aurons donc

D'={uT—1mT} $F [a+ T1

EC

Si, pouf simplifier cette expression, nous brendiis un

angle auxiliaire 4, déterminé par la relation

tang au —
ë Em

eBe deviendra, en éliminant u—m ,

DTA O2 sin°z. T = (D'—

22) sin°«

équation du second degré, qui, résolue en regardant T
comme l’inconnue, donne (1)
F= +

er +! sine. V/[ D: — 2? cos? a]

y y
Substituant dans cette expression les différentes valeurs
de D qui conviennent au commencement ou à la fin, ou
à toute autre phase de l’éclipse, on trouvera toujours ,
si cette phase est possible, deux époques où elle aura
lieu. Les valeurs négatives de T se rapporteront aux
époques antérieures à la conjonction, laquelle est le
point de départ.

13, Il nous reste donc à déterminer les valeurs de D
pour Îles différentes phases de l'éclipse. Nômmons R le
demi- diamètre apparent du soleil, r celui de la lune, P la
parallaxe horizontale du soleil et p celle de la lune.
Quand e disque de la lune entrera dans l'ombre, et s’en
dégagera , la distance des centres sera égale à a EN somme
des demi-diamètres de la lune et de Fombre , ce dernier
étant égal à P+p—R, comme nous l'avons vu ci-des-

sus; on aura donc alors (7)
D=r+P-+p—R.

C’est l'instant du commencement ou de la fin de l'é-
clipse. En substituant cette valeur dans (mn) on obtient
deux valeurs de T dontla première répond au commen-
cement et la seconde à la fin de l'éclipse. s

14. Pour déterminer le milieu de l'éclipse, il suffit de
remarquer que l'expression. (m1) ne doit donner dans ce
cas qu’une seule valeur de T, ce qui ne peut arriver que
lorsque le radical s'évanouit; ainsi pour le milieu de

éclipse nous avons
T = — Àisintx
y
et la distance des centres est alors
D=—à1, cos x:

Connaissant la plus courte distance des centres, il est
facile de trouver l'étendue de la partie éclipsée à cet
instant, étendae qu'on nomme la grandeur de l’éclipse;
car , si à cette plus courte distance, A.COSæ, on ajoute
le demi-dianiètre r de là lune, on aurd la distance du

£ EC

bord extérieur de la lune au centre del’ombre, et si de
cette dernière onretranchele demi-diamètre de} ombre,
le reste sera la portion du diamètre de la lune non éclip-

sée; les opérations à faireicisont les mêmes que celles dont
nous avons donné un exemple plus haut en prenant
pour distance des centres la latitude de la lune. Ainsi la
portion non éclipsée est égale à

RHr+a.cosx—P—p,

si cette quantité est positive, en la retranchant du dia-
mètre appparent 27, nous aurons

r—R—3.cos «HP+p

pour la partie éclipsée du disque ;. si elléest nulle, cela
indique que l'éclipse est totale au moment de la plus
grande phasé; et si enfin cette expression est négative,
cela indique que l'éclipse est plus que totale, c’est- à- dire,
que lors même que le rayon de la lune séraît plus prnd,
cer astre n’en serait pas moins plongé dans l'ombre.

15. Pour faciliter les-calculs, les astronomes sont dans
l’usage de supposer l'ombre terrestre fixe ou sans mou-
yement, eL pour cet effetil suffit d'imaginer quel la lune
se meut dans une orbite relative ayec. un mouvement
Horaire en longitude égal à la différence des mouvé-
meps réels du soleil et de la lune, car As cette hypo-
thèse les dispaces qe centres sont DE js mêmes
gentre del ne et L . de la ane au moment de
la conjonction, si après un temps quelconque Le , par
l'effet des mouvemens réels, le centre de l'ombre est en
O' et celui de la dune eu T;', le mouvement en longitude
du soleil aura été OO, celui de la lune OM , et la diffé-
rence de ces mouvemens MO'.Or, en supposant Oim-
mobile, et Laffecté de deux mouvemens, l'uneu tongi-
tude capable de lui faire parcourir O'Mdans le temps T,
et l’autre en latitude tipable de li faire parcourir NL'
dans le même temps, il est ASC PACE aus on
— MO' et M'L’=ML,
même que celle. entre Q'etL', et qu’ainsi les (Hé
mènes seront exactement les mêmes , soit qu’on tienne
compte du mouvement de l’ombresur l'éciptique OK,
en considérant le mouvement de Ja lune sur son orbite
réelle LE, soit q'on suppose l’ombre fixe en O, et qu’on
ne tienne compté que du mouvemeüt relatif de la lune,
sur son orbite relative L'L.

16. La position de l'orbite relative ou son inclinaison
ur lécliptique est donnée par les mouvemens rela-
uifs dé ri lune ; en. effet cette inclinaison est l'angle
L'LN', dont la tangente dépend de la proportion. Foy.
TniGoNoMÉTRE.

LN' :

ditang, L'LN' :: NA”,

EC 505

Mais LN'—OM'est le mouvement relatif de la lune en
longitude, et N'L' est son mouvement en latitude ; dé- |
siguant donc le premier de ces mouvenmens paf mn ét Té
second par », nous aurons

y
" r
tang L'LN'——,
d’où nous voyons que L'LN est la même chose que
l'angle auxiliaire que nous avons désigné ci-dessus par
a, puisque mm Em. Nous cantinuer ons à exprimer
l’'inclinaison de l'orbite par la même lettre.

. Soit OL=—à, la latitude de la lune en conjonc-
tion ee KYXIV er: 7), en abaissant üne perpendi-
culaire OL sur l'orbite relative EL, on aura un triangle
LL'O dans lequel A LOL sera égal al angle d’ incli
ñaison E Où 4, ce qui donnerd

OL' = OL. cbsx

ou
OL’ —= à. COS.x

Cette valeur est la plus petite stinee des centres. Nous
É ayons obtenue, plus haut (14) par un procédé bien dif-
férent.

Le même triangle nous donne
We — À.Sin &

C’est la portion de l'orbite relative parcourue depuis le
moment de la copjoncion jusqu'à celui du milieu de
l'éclipse. Pour trouver le temps T pendant leche] cette
RO tion d’ orbite Se PAreOus ue, si nOUS désignons, comme
ee dessus, par n! F le mouvement horaire relatif en lon-
gitude, nous aurons

{ } 1

En HT j
Or, Ê tie LN LNI,, Por a { oxsllsisd
ke 1 : HS : LL': NL,
carBdie
1 “cos dt: ASitæ: MT,

on tire de cette proportion

À.8in &.Cc0s &

T= FT
me

Ce temps T ,.qui exprime des heures où des fractions
d'heure , étant la différence entre le temps de la con-
jonction et celui du milieu de l'éclipsey fera connaître

ce dernier.

504 EC

18. Pour avoir le temps du commencement et celui

du milieu de l’éclipse, remarquons, ainsi que nous l’a-
vons fait plus haut, que lecommencement a lieu lorsque
la lune est en L sur l’orbiterelative (Pr. XXXIV, fig. 9),
de manière que la distance des centres O et L est égale à
la somme des demi-diamètres de l'ombre et de la lune,
ou lorsqu’on a

à OL p+PR+r
P;P,R, et r conservant les désignations ci-dessus.
Mais le triangle L'OL donne
(L'L)=(L0}—{L'0}—(LO—L'0) (LO+L'O)
ou

LL} =(p+P—R+r—à cos a) (pH PR x, cos «)

Connaissant d’après cette expression la valeur de LI’,
on aura le temps T' pendant lequel cette portion d’or-
bite aura été parcourue par la relation

m' LL'.cos «

T' = LL":

COS x nv

Ce temps T’, retranché du milieu de l’éclipse donnera
le commencement; ajouté , il donnera la fin.

19. Nous allons montrer l'application de ces formules
en prenant pour exemple l’éclipse du 10 juin 1835, dont
nous nous sommes déjà occupés.

Voici les élémens du calcul :

Opposition, 10 juin 1835 à 108 54! 37" du soir.
Latitude de la lune au mo-
ment de l’opposition.... À = 1° o' 30" austr.
Mouvement horaire relatif
de la lune en longitude... 7»'— 34° 56"
Mouvement horaire de la.

lune en latitude...... UP — 130290
Parallaxe horizontale de la Î

[Une EEE some sp —= 60'r6
Demi-diamètre apparent de

RARE ce ee Tr — 1634"
Parallaxe horizontale du so-

léil. 5. Lac ae erle &° or E— 875
Demi-diamètre apparent du

soleil. ........... sc Rio35lqti

Déterminous d’abord l’inclinaison « de l'orbite rela-
uve par la formule (16)

:u y 3'23° 203"
94 = — —
BA 3456" 2096"

Nous trouverons, à l’aide des tables trigonométriques,

a=5°31'54"8

EC
Substituant cette valeur dans la formule du numéro
17, qui donne le temps entre la conjonction et le mi-
lieu de l’éclipse , en observant que la latitude, étant aus:
trale, doit être prise négativement, nous aurons

60’30”.sin(5°31'54",8).cos(5°31"54",8)
Le TEE a non nono
réduisant les facteurs numériques en secondes, et opé-
rant par logarithmes , nous aurons

L.sin(5°31/54",8) — 8,9840758
L.cos(5°31 54,5) = 9,9979746
L 3630 — 3,5599066

Compl. L 2096 — 6,6:86087

92203657
d’où T=—ot, 166175. Réduisant la fraction décimale
en minutes et secondes, nous trouverons

T=—9' 58"

T étant négatif, il faut le retrancher du temps de l’op-
position, 10b5437", pour avoir le temps du milieu de
l'éclipse, et nous aurons

milieu de l’éclipse à....10h44'30" du soir.

Pour trouver maintenant le commencement et la fin
de l'éclipse, prenons la formule du numéro 18

ŒL'P=(p+P—R+p—a.cos2)(p4+P—R +7 acos2)

nous trouverons d’abord pour à cos x, la valeur 3613”,
et comme nous avons, en réduisant tout en secondes

p+P-R+r=3671",5
Nous en conclurons
LL'=V/[58",5X7284",5]
et, réalisant le calcul,
L.58",5 — 1,7671559
L284,5 = 3,8623997
L(LL'}= 5,6295556
L(LL') — 2,8147778

Substituant cette valeur de LL' dans la formule

#ous aurons, en achevaat le calcul,

É EC

L(LL')= 2,8147778
L cos « — 9,9979476
Compl.Lm' = 6,6786087

LT" —9,4913341

ce qui donne T'—oh, 30999—0h18'35".
Ajoutant cette quantité au temps du milieu de l’é-
clipse, et la retranchant, nous trouverons

Commencement del’éclipse.. 10h 26" 4"

3 14

Fin de l'éclipse......1...,. 10

En remarquant que T'estla demi-durée de l’éclipse
nous aurons immédiatement

durée de l’éclipse... 3710"

20. Il nous reste à déterminer la grandeur de l’éclipse;
observons pour cet effetque, quelleque soit la position de
la lune dans l'ombre, la distance entre le centre de
l'ombre et le bord supérieur de la lune, est égale à
la distance des centres plus le demi-diamètre de la lune ;
si de cette quantité, on retranche le demi diamètre de
l'ombre, on aura pour reste la partie non éclipsée de
la lune; ainsi pour connaître la partie éclipsée, il faudra
retrancher cette dernière du diamètre de la lune. Nous
avons donc en général, en désignant par p le demi-dia-
mètre de l'ombre

Partie éclipsée —2r —[ distance actuelle des centres+-

+r—el

Lorsque le calcul donne une valeur plus grande que
or, C'est qu’alors la lune est entièrement dans l’ombre;
l'excédent de 2r exprime la distance du bord de la lune
au bord de l'ombre.

Pour calculer la grandeur de l’éclipse du 10 juin,
prenons pour distance des centres celle du milieu, c’est-

0

à-dire la quantité à cos à (n° 17), dont nous venons de
irouver la valeur égale à 3613”, et comme

p=p + PR = 2677",

\

nous aurons

partie éclipsée—10988"— [561 3"+09f"—2677"|
—58"

quantité qu’on exprimera en doigts enla multipliant par
12

*
EC 505

On trouvera de la même manière toutes les autres
circonstances de l’éclipse, comprises d’ailleurs dans la
formule générale du n° 12.

21. Les mouvemens horaires du soleil'et de la lune
ne sont pas constans ; et si l’éclipse est de longue durée,
on ne peut regarder que comme une première approxi-
mation les calculs faits en partant du mouvement ho-
raire relatif à l’époque de la conjonction. Mais tous ces
détails de calculs ne peuvent trouver place ici, et nous
ferons seulement observer qu'on ne pousse ordinaire-
ment l’exactitude qu’à + de minute près; ainsi nos ré-

sultats sont :

Commencement, 10 juin 1814, à 10h 26 soir
je Fa
Milieu, san. serusiel lo erstsiess do 107 44S

9

Fins le ememalten iisselTON 0e

On est obligé aussi dans ces calculs d'augmenter le
rayon de l'ombre terrestre d’environ +, ou de faire
subir une augmentation correspondante à la parallaxe
de la lune; sans cela les durées observées seraient plus
longues que celles données par le calcul, car l’atmo-
sphère de la terre fait autour de.ce corps une enveloppe
assez épaisse pour empêcher la lumière de passer en
quantité suflisante, et produire. l'effet d’une aug-
mentation dans le rayon de Ja terre. Ce phénomène
rend aussi, par conséquent, le cône de l’ombre plus
grand ainsi que son demi-diamètre.

22. L’atmosphère terrestre produit encore une autre
apparence remarquable, lorsque la lune,est complète-
ment éclipsée; on ne la perd cependant pas tout-à-fait
de vue,son disque est encore éclairé d’une lumière
rougeâtre très faible, produite par les rayons solaires
réfractés par notre atmosphère et infléchis derrière la
terre.Sans l'absorption de cesrayons, dont la plus grande
partie se trouve éteinte en traversant l'atmosphère, l’ef-
fet de la lumière ainsi projetée vers la lune serait assez
considérable pour l’éclairer entièrement.

22. ÉCLIPSES SOLAIRES. Les éclipses du soleil
étant produites par l’interpositron de la lune entre cet
astre et la terre , doivent se concevoir à peu près de la

même manière que les éclipses de lune, c’est-à-dire , que

Tag € qui donne d É
19 lorsque la terre entre dans le cone d'ombre projeté par
58" = o doigts 21” Ja lune, les points de sa surface qui sont plongés dans
19 cette ombre ne reçoivent plus les,rayons du soleil et se

6!

506 - EC
trouvent dans une obscurité complète ; ce que la figure

ci-dessus rendra sensible : S est Le soleil, EF la lune, et

CD la terre.

Cependant il existe une différence essentielle que nous

. devons signaler : c’est que le soleil ne perdant pas réel-

lement sa lumière, reste visible pour un observateur
placé hors des limites de l'ombre et qui a le soleil au-
dessus de son horizon, tandis que la lune devient réel-
lement obscure et disparait pour tout l'hémisphère au-
dessus duquel elle se trouve au moment de l'éclipse.
23. Si l’on imagiueun observateur placé dans la lune,
du côté qui fait face à la terre, l’éclipse solaire sera pour
lui une véritable éclipse de terre, et toutes les considé-
rations relatives aux éclipses de lune, vues de la terre,
pourront s’y appliquer également.

cherche à faire

La première re-
est donc celle de la longueur du cône
d'ombre projeté par la lune, pour savoir si ce cône s’é-
tend toujours jusqu’à la terre et s’il est capable de la
couvrir entièrement.

24. Soit S le centre du soleil, L celui de Ja lune, AB

la tangente au soleil et à la lune qui forme la limite de
l’ombre pure et LE la longueur du cône d'ombre. Pour
déterminer cette longueur il suffit de connaître l’angle
LEB au sommet du cône ; or, en menant la droite AL,
on a l'angle ALS extérieur par rapport au triangle AEL
égal à la somme des deux angles intérieurs opposés
LAE, LEA ou LEB, d’où l’on tire

LEB = ALS —LAE,

mais ALS est le demi-diamètre apparent du soleil vu du
centre de la lune, et LAE est la parallaxe horizontale
du soleil par rapport à la lune. Désignant donc par R'
ce demi-diamètre et par P' la parallaxe , nous aurons

LEB — R'—P’.

Maintenant si nous considérons letriangle rectangleELB,
à \ 1
nous trouverons

x : EL :: sin LEB : BL
ou :

1: CL::sin(R'—P':p

p étant le rayon BL de la lune.

EC
Cette dernière proportion donne
RETRACE
— sin{R'—P")

Pour avoir les valeurs de R'et P' il faut observer :
1° Que le demi-diamètre apparent ‘du soleil, vü "de Ta
lune, estégal au demi-diamètre apparent de cet astre yu
de la terre et augmenté dans fe rapport des distances de
la terre et de la lune au soleil ; 2° que la parallaxe du
soleil pour lalune est égale à la Le du soleil pour
laterre : augmentée dans le rapport des dir et dimi-
nuée dans lerapport des rayons de la terre et delalune.
Ainsi, désignant par D et d les distances de la terre au
soleil et à la lune, par R le rayon apparent du soleil
pour la terre, par r le rayon de la terre, et par P la
parallaxe du soleil pour la terre, nous aurons

1" DER ; P 1)
Rp À À PFDa
et par conséquent
pr [pr _p PI D
R—P= [RP

Mais P étant la parallaxe horizontale du soleil pour la
terre, on a (v0y. PARALLAXE)

; r ; r
sin P = --, d'où D -
k - sin P'

D

De même en désignant par p la parallaxe horizontale de
la lune, on a

d= —
sin p
et, par suite,
| De sin p
D—d sin p—sin P

ou, simplement,

D "rer

D—d p-P

eu substituant les arcs aux sinus, ce qui n’entraine pas
d'erreur sensible pour de si petits angles; nous aurons
donc définitivement pour la longueur du cône d’ombré,
l'expression

ci = lp: "5-0
sin[R — P: Re, à 4

Cette longueur variant avec la distance de la lune au
soleil, calculons seulement les deux-cas extrêmes , € “est
à-dire celui dans lequel la lune se trouve le plus loin du
soleil et le plus prèsde la terre, et celui où elle se trouve
le plus près du soleil et le plus loin de la terre. En pre-

EC

nant le rayon de la terre pour unité et donnant aux
quantités R, P et p les valeurs correspondantes à cha-
cune de ces hypothèses , nous trouverons :

Longueur Distance
du de la lune
cône. à la terre.

Soleil apogée. Parallaxe maximum. 59,730 55,902

Soleil périgée. Parallaxe minimum. 57,760 63,862

Dans le premier cas l'ombre atteindra ét même dé-
passera le centre de la terre; dans le second elle n’at-
teindra même pas sa surface. Ainsi lors même que la
lunese mouvrait dans le plan de l’écliptique, elle ne pro-
duirait pas toujours, en passant devant le soleil, une
obscurité totale sur quelque point de la surface de la
terre.

25. Nous avons vu (n° 7) que le demi-diamètre du
cône d’ombreterrestre, à l’endroit où il est traversé par
la lune , est égal à la somme des parallaxes du soleil et
de la lune diminuée du demi-diamètre apparent du so-
leil : ainsi les données relatives étant les mêmes pour un
observateur placé dans la lune, nous pouvons en con-
clure que, pour cet observateur, le demi-diamètre de
l'ombre lunaire, à l’endroit où elle est rencontrée par la
terre, est égal à la somme des paärallaxes du soleil et de
laterre, pour la lune, diminuée du demi-diamètre ap-
parent du soleil vu de la lune. Or, Ja parallaxé de la
terre est la même chose que le demi-diamètre apparent
de la lune vu de la terre; ainsi, en désignant par O le
demi-diamètre de l'ombre, par d celui de la lune, et en
conservant les désignations ci-dessus, nous aurons

O = dLP'—R
ou
7e p D de D.R
QE pr

ce qui se réduit à

= g4pP Pi pp
CRU ER LP

à cause de

D P
er Le à

Mais en divisant le demi-diamètre apparent d’un
astre par sa parallaxe horizontale on a le rapport de son
rayon au rayon de la terre ; nous avons donc (voy. Pa-
RALLAXE) k

substituant cette valeur dans la dernière expressie a, et

EC 507

réduisant , on trouve définitivement
O=(5—R), LE.
p—P

Er négligeantla parallaxe P du soleil, ce qui ne pro-
duit pas une différence d’une demi-seconde dans les ré-
sultats, on peut poser : Le demi-diamètre de l'ombre
lunaire est égal à l'excès du demi-diamètre apparent
de la lune sur le demi-diamètre apparent du soleil.

Si l’on veut connaitre quelle est la largeur de l’om-
bre dans les circonstances les plus favorables à l’éclipse,
c'est-à-dire lorsque le soleil estapogée etla lune périgée,
il faut dans l'expression précédente donner aux quan-
tés d, R,pet P les valeurs qui conviennent à ces si-
tuations: ainsi à moins d’une seconde près ces valeurs
étant

d — 1005" R = 945”
p = 3689" P 8"

nous trouverons O—Go”, Mais le demi-diamètre appa-
rent de la terre, vu de la lune , est la même chose que
la parallaxe de la lune vue de la terre, 3689", ainsi la
grandeur de l'ombre lunaire est à celle du disque de la
terre comme Go : 3689, ou à peu près comme 1 : Gi;
d’où il suit que cette ombre ne peut pas couvrir la
Go°

et qu'il n'y a jamais, dans toutes les autres circonstances

partie de la largeur de lhémisphère terrestre,

moins favorables, qu’une très-petite portion de cet hé-
misphère plongée dansune obscurité complète. Lorsque
9—R, la pointe seule du cône de l'ombre atteint l'ob-
servateur, et lorsque d<ZR cette pointe est plus ou
moins éloignée de la surface de la terre; ainsi il ne peut
y avoir d’éclipse avec obscurité complète si le demi-dia-
mètre apparent de la lune ne surpasse pas celui du
soleil.

26. L'ombre lunaire estaccompagnée d’une pénombre,
ainsi que l'ombre terrestre, et il est essentiel d’en dé-
terminer les dimensions, car ici, il ne s’agit plus d’une
simple diminution de lumière pour l'observateur placé
dans cette pénombre, mais bien de la disparition d’une
partie du disque solaire : l’éclipse commençant pour cet
observateur au moment où le lieu qu’il occupe entre en
contact avec une des limites de la pénombre, et se ter-
minant lorsque le contact s'effectue avec la limite op-
posée, ce lieu ne devient entièrement obscur que lors-
que le cône d'ombre lunaire est assez grand pour l’at-
teindre, ce qui produit alors pour lui une éclipse
totale.

Menons donc une droite AG tangente aux bords op-
posés du soleil $ et de la lune L ( figure ci-dessus ),
cette droite déterminera une des limites de la pénombre;
etsi TT représente une portion de l'orbite de la terre,

sn
508 EC

l'angle TLE sera la distance angulaire de la pénombre
à l’axe SE ou le demi-diamètre de cette pénombre. Si
nous traçons les autres lignes de la figure nous aurons

les relations suivantes , entre les angles,

TLE = 'TPL + PTL
TPL = PAL + ALP

TLE = PAL+HALPHPTI.

Or, PAL est la parallaxe du soleil pour la lune, ALP le
demi-diamètre apparent du soleil pour le même asire et
PTL la parallaxe de Ja terre; ainsi, en conservant les
désignations ci-dessus, nous avons

TLE = P'+R'+06,

exprimant P'etR' en valeur de la parallaxe et du rayon
du soleil vus de la terre, cette égalité devient

D.R

Nb ED
minor re

et, en opérant comme dans le numéro précédent,

De p
TS 1

ou simplement

TLE = 54+R,

en négligeant l'influence presque insensible de P; c’est-
à-dire, que le demi-diamètre de la pénombre, vu de la
lune , est égal à la somme des demi-diamètres apparens
du soleil et de la lune vus de la terre.

Si nous donnons à 9 et à R les valeurs — 1005";
R=—945", qui répondent aux circonstances les plus fa-
vorables pour l’éclipse , nous trouyerons

Demi-diamètre pénombre — 1950”.

Dans les mêmes circonstances, le demi-diamètre apparent
de la terre, vu de la lune, étant 3689”, ces demi-dia-
mètres sont donc entre eux comme 1950 : 3689, ou à
peu près comme 1 : 1,9; d’où il suit que, dans ce cas, la
pénombre embrasse un peu plus de la moitié du disque
de la terre.

27. Les dimensions de l’ombre et de la pénombre
étant connues, toutes les circonstances d’une éclipse de
soleil peuvent se déterminer sans aucune difficulté en la
considérant comme une éclipse de terre par rapport à
un observateur placé dans la lune, car à l’aide de cette
hypothèse on obtient des formules semblables à celles
que nous ayons données pour les éciipses lunaires.

Soit en effet (Pr. XXXV, fig. 3)S,LetT, les lieux
du soleil, de la terre et de la June ; SOxsera l'axe du

EC
cône de l'ombre lunaire, et l'angle TLO la distance an-
gulaire apparente des centres de la terre et de l'ombre
vue de la lune; cet angle étant égal à la somme des deux
angles STL et TSL, si nous le désignons par y et si nous
nommons simplement STL, T et TSL, S nous aurons

y=S+T.

Du point T menons TO perpendiculaire à l'axe de
l'ombre, le triangle TSO nous donnera

HIS OS D LEO,
d’où

TO = ST.snS, ou TO = D.sinS

en désignant par D la distance de la terre au soleil.
Le triangle TLO nous donnera également

1 : sin TLO :: TL : TO
ou
1:siny::d:TO

en désignant par d la distance de la terre à {a lune. De
cette dernière proportion, on tire

TO=d. sin y
et, en égalant les deux valeurs de TO,
D.sin S—d.sin y, ou D.sin(y—T)=—d.sin y

à cause de R—y—T.

; En D
En substituant au rapport des distances 7: le rap-
: sin P Fe ;
port inverse des parallaxes nn qui lui est égal, on

aura (72)

sin P.sin (ÿ—T)=sin p. sin y

Au moment de l’éclipse, l'angle T, qui, mesure la dis-
tance apparente du soleil et de la lune, esttoujours très-
petit , et l’on peut évaluer cette distance eu la regardant
comme l'hypothénuse d’un triangle rectangle, dont les
deux autres côtés sont les différences de longitude et de
latitude des deux astres. Désignons donc comme nous
l'avons fait (n° 16) par #, le mouvement horaire de la
lune en longitude, par » son mouvement horaire en la-
titude , par 72 le mouvement horaire du soleil, par À la
latitude de la lune au moment de la conjonction, et
par é le temps compté eu heures à partir de cet instant.
Or, à l’époque de la conjonction les longitudes étant les
mêmes, après le temps £, leur différence sera #t—mt;
et la différence des latitudes sera visiblement à + 5;

uous aurons donc /x)

T?— (um)? 2 La 4rt)

EC

Si, pour nous contenter d’une approximation suff-
sante, nous remplaçons dans l'équation (77) les sinus
par leurs arcs, cette équation deviendra

P(y—T)=p.7

et nous donnera

Substituant cette valeur , dans l'équation (x), eile de-
viendra

En faisant entrer dans cette dernière un angle auxiliaire

a, déterminé par la relation

y

tang & =
& um

c’est-à-dire l’inclinaison de l'orbite relative, et la résol-
vant eusuite par rapport à £, on obtient (p)

2.sin?z , Sin &

Etat)

Il ne s’agit plus que de mettre dans cette expression
pour y, ou pour la distance des centres, les valeurs qui
conviennent aux phases, et les valeurs correspondantes
de t feront connaître les époques où ces phases auront
lieu.

Pour le moment du milieu de l’éclipse, comme on
ne doit trouver qu’une seule valeur de £, le radical s’é-

vanouit, et l’on a seulement

“
1.sin?@

fs

y

La distance des centres est alors

EE TL
1= |; pfre0s Ge

Lorsque cette distance est égale à la somme des demi-
diamètres de la pénombre et du rayon apparent de la
terre vus dela lune, ou, ce qui est la même chose, à la
somme du demi-diamètre de la pénombre et de la pa-

rallaxe horizontale de la lune, c’est-à-dire, quand on a

Ti e = p+?

on trouve deux valeurs pour £, dont l’une répond au
commencement, et l’autre à la fin de l'éclipse.

28. Toutes les circonstances générales d’une éclipse
de soleil peuvent donc être déterminées aussi facilement
que celles d’une éclipse lunaire, en supposant l'obser-

EC 509

vateur placé dans la lune; mais le problème se com-
plique singulièrement si l’on veut déterminer les circon
stances particulières de cette éclipse pour un lieu donné
de la terre ; car alors l'influence du pouvoir réfringent
de l'atmosphère terrestre qui se borne , pour le specta-
teur lunaire, à modifierles dimensions du cône d'ombre,
et dont ilest facile de tenir compte, apporte de grands
changemens dans les distances apparentes du soleil et de
la lune ; distances qui sont en outre affectées par les pa-
rallaxes de hauteur. Ces modifications exigeant des
calculs dont l'exposition n’entre point dans le plan de
notre Dictionnaire, nous devons renvoyer nos lecteurs
aux ouvrages spéciaux sur la théorie des éclipses; le
Traité d'astronomie de Delambre, renferme ce qu'il y
a de plus complet en ce genre. $

Il nous reste à faire connaître quelques particularités
des éclipses tant lunaires que solaires.

29. Les éclipses solaires se distinguent ainsi que les lu-
naires en partielles et totales.Les premières ont lieu lors-
que la lune cache seulement une partie du disque du
soleil; les secondes, lorsque le disque entier est caché.On
comprend facilement qu’une éclipse de soleil peut être
partielle pour un lieu terrestre et en même temps totale
pour un autre; comme aussi elle peut être totale pour
plusieurs lieux successivement.

On nomme éclipses annulaires , celles dans lesquelles
le disque du soleil déborde de toutes parts celui de la lune
et apparaît comme un anneau lumineux; ce phénomène
se remarque sur les lieux terrestres situés sous le cône
d'ombre, lorsque ce cône est trop petit pour atteindre
la surface de la terre. Enfin, on nomme éclipses cen-
trales, celles où l'observateur se trouve placé au centre
de l'ombre sur la droite qui joint les centres du soleil et
de la lune. Les éclipses centrales sont totales ou annu-
laires selon que l’ombre lunaire atteint ou n’atteint pas
la surface terrestre. Quand les disques de la lune et du
soleil ne font que se toucher dans leur passage il n’y a
point, à proprement pe d’éclipse, mais bien une
appulse.

30. En comparant le temps des révolutions périodiques
de la lune et du soleil, on peut trouver un moyen
très-simple de prévoir, sinon rigoureusement du moins
approximätivement les époques où les éclipses auront
lieu, carilsuffit évidemment, pour cet effet, de connaitre
une période de temps après laquelle le soleil et la lune
se trouvent, à très peu près, dans les mêmes positions par
rapport aux nœuds de l'orbite lunaire. Les mouvemens
de ces astres recommençant de la même manière ; les
éclipses qui auront eu lieu pendant le cours de cette pé-
riode, se reproduiront successivement et dans le même
ordre; ilne pourra se trouver d'autres différences que
celles résultant des inégalités auxquelles les mouvye-

mens du soleil et de la lune sont assujétis.

510 ÉC

On sait (voy. Révorurios ) que la révolution syñ6-
dique de la lune s'effectue en 20j 12h 44° 2" 5o"; 9, ou
29j,53058$, en considérant simplement les fractions dé-
cimales du jour; et que la révolution synodique des
nœuds de l'orbite lunaire s'effectue en 346, 61963; ces
nombres étant à très-peu près dans le rapport de 19 à
293, il s’en suit qu'après 223 révolutions synodiques de
la lune, le nœud est revénu 19 fois à la même position
par rapport au soleil. Mais 223 mois lutiaires font
6585), 321124, ou 18 ans et 10 jours. Ainsi,
intervalle de temps, toutes les éclipses ; soit de
soit de lune , doivent reparaitre dans lemême ordre: Il
suffit donc dé connaître celles qui ont eu lieu dans une
période de 18 ans 10 jours, pour pouvoir annoncer

toutes celles qui arriveroüt dans les périodes suivantes.

après cêl

soleil,

Cependant éonime 19 révolutions duntæud surpassent
de oi, 45185 les 223 mois lunäires, à la fin de chaque pé-
riode, la lotigitude du nœud lunaire se trouve un peu
plis grandé qu’du commencement, et par conséquent
V'érdre observé doit s’'altérer à la longue.

Cette période si remarquable paraît avoir été connue
des plus anciens astronomes Chaldéens, qui Pavaient
sans doute refnarquée en observant le retour constant
des mêmes éclipses. Ils lui avaient donné le nom de
Saros.

31.Aujourd’hui, on possède des inoyens beaucoup plus
sûrs de prédire les éclipses, on calcule au moyen des
épactes astronomiques (voy. ce mot), les époques des
conjonétions moyennes où des nouvelles lunes. Cés épo-
ques étant connues, on trouve celles des oppositions, où
dés pleines lunes, en rétranchant dés premières ane
demi-révolution sÿnodique, c’ést-a-dire 14j 184 29"
Quänd on à ainsi déterminé les instans dés conjonctions
et des oppositions, on calculé pour ces instans la distaricè
du soleil au nœud de la lune, et on voit si cette ‘dis-
tance tombe dans les limites où il peut y avoit éclipse.
Ces lunites sont

Eclipses solaires.

Sim difiud plus petite que 13° 33 ] sure.
du soleil Véclipse | ca
au nœud est plus grande que 19° 44 J tnipoitle.

Eclipses lunaires.

sure.
dusoleib ;

Si la distance je pe tite que 7°47
au nœud est

€ | l'éclipse est JOLI1È
plus grande que 13° 21° impossible.

entre ces Väleurs extrêmes qu'on nomme mites éclip-
tiques ; V'éclipse est possible; mais douteuse ; et il faut
alors un calcul plus exact des syzigies,

A l'inspection de ces limites, on voit que les éclipses
de soleil doivent être plus fréquentes que celles de lune;
mais elles ne sont visibles que d’un petit nombre de
lieux terrestres, tandis que les éclipses de lune sont vi-

EC
sibles de tous les lieux de l'hémisphère qui a la lune sur
l'horizon peudant la durée de l’éclipse.

52. Les éclipses sont des phénomènes d’un grand in-
térêt pour l'astronomie et la physique. Elles nous ont
appris que la lune est un corps opaque, et que la forme
de la terre est sphérique. Dans la géographie; on.s’en
sert pour déterminer leslongitudes des lieux terrestres,
etla chronologie en fait un grand usage pour fixer avec
exactitude la date des événemens passés. Nous aurons
plüs d’une fôis l’occasion dans le cours dé cet oüvrige de
revenir sur les nombreuses applications dont elles sont
l'objet.

Écuipses DÉS SATELLITES, v0ÿ: SATELLITES DE JUPITER.

Écuirses Des ÉTOILES , VOY. CCCULTATION.

Écrses du soteil par les planètes inférieures, voyez
Passacr.

ÉCLIPTIQUE (4str.). Grand cercle de la sphère cé-
leste (voy. AnmiLLaIRE). C'est celui que le soleil paraît
parcourir en une année et que la terre décrit réellement
dans cét espace ile temps. Ce cercle à été nommé éclip-
tique parce qüe toutes les éclipses de soleil et de lune ar-
rivent quand la lune se trouve dans les points où son
orbite le rencontre, ou, au moins, très-près de ces
points. Voy. Écuises:

L’écliptique partage le zodiaque en deux parties
égales; c’est sur ce cercle que sont marqués les douze
signes célestes: le Bélier, le Taureau, etc., de sorte
qu’eu le divisant en 360°, chacun de ces signes en com-
prend 30.

Ou nomme axe de l'écliptique, vne droite perpendi-
culaire à son plan et passant par son ceutre. Les extré-
mités de cette droite sur la voûte céleste sont les pôles
de Pécliptique.

L'écliptique est située obliquement par rapport à l’é-
quateur qu’elle coupe en deux points diamétralement
opposés qu’on nomme les points équinoxiaux; ces points
sont le commencement des signes du Bélier et de la Ba-
lance , de sorte que le Soléil se trouve chaque année deux
fois sur l’équateur et le resté-du temps, tantôt dans l’hé-
misphère boréal et tantôt dans l hémisphèr e austral. On
nomme points solsticiaux les deux points de l écliptique
1e plus éloignés del équateur.
| On désigne par le nom d’ 'obliquité de l'écliptique,
l'angle qu "elle fait avec l’équateur. Cette obliquité se
trouve de a manière suivante :

Vers l’époque où le soleil est le plus éloigné @e l'équa-
teur, c’est-à-dire, quelques jours avant le solstice d'été,
observez avec le plus grand soin la hauteur du soleil
au-dessus de l'horizon, au moment de son passage au
méridien ; faites chaque jour cette opération jusqu'à ce
que les hauteurs micsurées aillènt en décroissant, ce qui
vous indiquera que le moment du solstice est passé,
prenez alors la plus grände des hauteurs observées et

EI

retranchez-en lahauteur de l’équateur au-dessusde l'ho-
rizon, la différence sera l'arc du méridien compris entre
l'équateur et le point solsticial, lequel arc est précisé-
ment la mesure de l'obliquité cherchée.

Cette obliquité, qui est en ce moment d'a peu près
23° 27! 50”, est variable. Selon les observations de Py-
theas, faites à Marseille plus de 300 ans avant l’ère
chrétienne: l’obliquité était alors de 23° 49. ‘Albaté-
nius, vers l’année 880 , la trouva de 23° 35°, ce qui re-
vicht à 23° 35! 40! en corrigeant ce résultat des cffets
de la parallaxeet de la réfraction.Les Arabes, en 1140, la
fixèrent à 28° 33° 30’. Tycho-Brahé, en 1587, la trouva
de 23! 29" 30". Flamsteed , en 1689, de 23° 25° 56". La
Condamine, à Quito en 1736, de 23° 28° 247: Maskeline,
en 1769, de 28° 98!°10%! Enfin, d’après Delambre;
cette obliquité, qui, outre sa diminution ‘progressive, est
affectée chaque année de variations en plus et en moins
(voyez Nurariow),ayaiten 1510, pour valeur moyenne;
23927" 57" Le même astronome fixe à 48" par siècle la
diminntion progressive.

Cette diminution d’obliquité de l’écliptique est due à
l'action des planètes sur la terre, et principalement aux
attractions de Vénus et de Jupiter. D’après Lagrange,
elle ne peut dépasser une certaine période, à la fin de
laquelie elle doit se changer en augmentation. La
Place donne pour limite à ces variations une grandeur
de 22 42’.

Les points équinoxiaux ne sont pas fixes; ils rétro-
gradent de 5o”,1 par année. C’est ce phénomène que
l'on nomme la précession des équinoxes. Voy. ce mot.

ÉCOULEMENT DES FLUIDES. (Hydrod.). Foy.

Evuines.

ÉCRHEVISSE (Astr.). Quatrième signe du zodiaque:

qu’on nomme aussi Cancer.

ÉCU DE SOBIESKI (A4str.). Constellation placée
par Hévélius dans l'hémisphère austral entre Antinoüs,
le Sagittaire et le Sérpentaire.

ÉGAL, On exprime par ce mot le rapport de deux où
de plusieurs objets qui ont la même grandeur , la mêmé
quantité ou la même qualité. En général, les choses
égales sont celles dont l’une peut être .substituée à
l'autre sans qu’il résulte aucun changement dans les re-
lations qui existaient pour cette dernière.

ÉGALITÉ. Relation de deux choses égales. On dé-
signe légalité en mathématiques par lesigne —, qui si-
gnifie égal à. Ainsi AB signifie À est épal à B. ’

EIMMART (Grorce-Cnrisropne), astronome, né à Ra-
tisbonne le 22 août 1638, se consacra d’abordà la peinture,
etserendit néanmoins célèbre par la multiplicité de ses
connaissances. Doué d’une heureuse activité et d’une
grandeaptitude pour les sciences, Eimmart quiavaitétu-
dié avec distinction les mathématiques à l’université de
Jena, s'adonna presqu’entièrement à l'astronomie vers la

fin de sa vie. La ville de Nuremberg, que les Régiomon-
tanus et lesWalther avaient long-temps illustrée par leurs
importans travaux dans cette science, fit construire un
observatoire, vers l’année 1688, et la direction en fut
donnée à Eimmart. Il publia par la voie des journaux
de Leipzig un grand nombre d'observations utiles, et
lon prétend qu'il alaissé en manuscrit près de cinquante-
sept'volumes, recueillis dans la bibliothèque des jé-
suites de Polocz, en Lithuanie; l’én y trouve beaucoup
d'observations astronomiques ét météorologiqnes et des
lettres de plusieurs astronomes célèbres. Eimmart joi-
gnait à ses nombreuses connaissances un talent remar-
quable pour la mécanique ; on lui attribue l'invention
et l'exécution de plusieurs instrumens astronomiques ; il
construisit entre autres une sphère armillaire qui re:
présentait le véritable mouvement de la terre et Le sys:
tème de Copernic, dont ilétait un zélé défenseur. Eim-
martest mort à Nuremberg, le 5 janvier 1705. Les seuls
écrits qu'il ait publiés, soit : Zconographia nova con-
templationem de: sole ; indesolætis artiquortum philoso-
phorum ruderibus concepta. Nuremberg, 1781, in-fo,
dédié à Louis XEV. De spheræ armillaris ‘ete. , in-4°,
Altorf, 1695. Ec premier de cesouvrages, où l’on‘trouve
une érudition malheureuse et de la mauvaise physique
sur le soleil, est peu estimé. Les observations d'Eimmart
ont été plus utiles que son livre aux progrès de l’astro-
nomie. Le second est une description de son instrument.
— Ermmarr(Maria-Clara) fille de cet ingénieux artiste,
a été Pune des fenunes les plus savantes de son siècle.
Elle devint l'épouse de Jean-Henri Muller, qui suc:
céda à Eiïmmart dans la direction de l'observatoire de
Nuremberg. Ses connaissances en mathématiques étaient
assez étendues pour qu'elle ait pu participer aux travaux
de son père et de son mari. fi

ELASTICITE (Méc!). Propriété qu'ont les corps de
reprendre leur état primitif, quand on fait cesser la
cause qui changeait leur formie et leur volume. Tous les
corps né sont pas doués au même degré de cette pro-
priété, qui, surtout dans les solides, ne peut se mani-
fester que relativement et dans certaines liniites. La ques-
tion de savoir si tous les corps sans exception, sont plus
ou moins élastiques, n’est point encore absolument ré-
solue, mais la détermination précise du degré d’élasti-
cité dont les corps sont susceptibles, étant surtout néces-
saire en mécanique, où cetté propriété, pour être calculée
comme un élément de Peffet à obtenir, doit être appa-
rente où au moins d’une appréciation facile, la physique
expérimentale: a dû adméttre l'existence de corps noù
élastiques, du moins sous ce rapport.

Les anciens ne ‘paraissent pas avoir étudié les diverses
propriétés naturelles des corps, et l'on né voit pas, en
particulier qu'ils aient reconnu et apprécié l’élasticité
dont la plupart sont doués. Ge n’est qu’à une époque peu

512 EL

éloignée dans l’histoire dela scieuce, et lorsque la mé-
canique participa de tous les progrès des sciences mathé-
matiques, qu’on rechercha les causes de lélasticité. Les
explications que voulurent en donner au XVIT'siècle,
après les mémorables travaux de Galilée et d'Huygens,
les diverses écoles philosophiques , ne sont point satis-
faisantes. C’est en effet un de ces phénomèmes dont l’ap-
préciation semble être plus, particulièrement du do-
maine de l’expérience.

La recherche des causes et des lois de l’élasticité
a été l’objet des travaux de d’Alembert; voici comment

sil s'exprime lui-même à cet égard : « Nous supposerons
que tous les corps dans lesquels on observe cette puis-
sance, soient composés , ou puissent être conçus com-
posés de l’élasticité dans le cas le plus simple; nous pren-
drons , par exemple, les cordes des instrumens de mu-
sique.

» Les fibres n’ont de l’élasticité qu’autant qu’elles sont
tendues par quelque force, comme on voit parles cordes
läches qu’on peut faire changer facilement de position,
sans qu’elles puissent reprendre la première qu’elles
avaient, quoique cependant on n’ait pas eucore déter-
miné exactement par expérience, quel est le degré de
tension nécessaire pour faire apercevoir élasticité.

» Quand une fibre est trop tendue, elle perd son élas-
ticité. Quoiqu’on ne connaisse pas non plus le degré de
tension qu’il faudrait pour détruire l’élasticité, il est
certain au moins, que l’élasticité dépend de la tension,
et que cette tension a des limites où l’élasticité com-
mence et où elle cesse,

» Si cette observation ne nous fait pas connaître la
cause propre et adéquate de l’élasticité, elle nous fait
voir au moins la différence qu’il y a entre les corps non
élastiques ; comment il arrive qu’un corps destitué de
cette force vient à l’acquérir. Ainsi une plaque de métal
devient élastique à force d’être battue, et si on la fait
chauffer , elle perd cette propriété.

» Entre les limites de tension qui sont les termes de
J'élasticité, on peut compter différens degrés de force
nécessaire pour donner différens degrés de tension et
pour tendre les cordes à telle ou telle longueur. Mais
quelle est:la proportion de ces forces par rapport aux
longueurs des cordes? C’est ce qu'on ne saurait déter-
miner que par des expériences faites avec des cordes de
métal; et comme les alongemens de ces cordes sont à
peine sensibles , il s’ensuit qu’on ne saurait mesurer di-
rectement ces proportions, mais qu’il faut pour cela se
servir d’un moyen particulier et indirect.

Le savant S’Gravesende, en renouvelant souvent ces
diverses expériences, essaya de déterminer ainsi les lois
de l’élasticité :

1° Les poids nécessaires pour augmenter une fibre par
Ja tension jusqu’à un certain degré, sont dans différens

EL

degrés de tension même. Ainsi, par exemple, si on sup-
pose trois fibres de même longueur et de même épais-
seur, dont les tensions soient comme 1, 2,3, des poids
qui se trouveront dans la même proportion les tendront
également,

2° Les plus petits alongemens des mêmes fibres seront
entre eux à peu près comme les forces qui les alongent;
proportion qu’on peut appliquer aussi à leur inflexion.

3° Dans les cordes de même genre, de même épais-
seur, et également tendues, mais de différentes lon-
gueurs, les alongemens produits en ajoutant des poids
égaux, sont les uns aux autres comme les longueurs des
cordes; ce qui vient de ce que la corde s’alonge dans
toutes ses parties, et que par conséquent l’alongement
d’une corde totale est double de l’alongement de sa
moitié ou de l’alongement d'une corde sous-double.

4° On peut comparer de la même manière les fibres
de même espèce, mais de différente épaisseur, et pre-
nant ensuite le nombre total des fibres, en raison de la
solidité des cordes, c’est-à-dire comme les quarrés du
diamètre des cordes, ou comme leur poids, lorsque
leurs longueurs sont égales. De telles cordes doivent
donc être tendues également par des forces que l’on sup-
posera en raison des quarrés de leurs diamètres. Le
même rapport doit aussi se trouver entre les forces qu’il
faut pour courber des cordes, de façon que les flèches
de la courbure soient égales dans les fibres données.

5° Le mouvement d’une fibre tendue suit les mêmes
lois que celui d’un corps qui fait ses oscillations dans
une cycloïde, et quelque inégales que soient les vibra-
tions, elles se font toujours dans un même temps.

6° Deux cordes étant supposées égales, mais inégale-
ment tendues, il faut des forces égales pour les fléchir
également.

Newton a expliqué l’élasticité des fluides par l'action
d’une force centrifuge qu’il suppose dans toutes leurs
parties. En partant de cette hypothèse, il admet que les
particules qui se repoussent ou se fuient mutuellement
les unes les autres par des forces réciproquement pro-
portionnelles aux distances de leur centre, doivent com-
poser un fluide élastique dont la densité soit propor-
tionnelle à sa compression. Réciproquement Newton
admet que si un fluide est composé de parties qui se
fuient et s’'évitent mutuellement les unes les autres, et
que sa densité soit proportionnelle à la compression ; la
force centrifuge de ces particules sera en raison inverse
de leurs distances.

Daniel Bernouilli, dansson Traité d'hydrodynamique,
a abordé la discussion des divers phénomènes que com-
prend lélasticité, etil y a exposé les lois de la compres-
sion et du mouvement des fluides élastiques. C’est de
ces lois qu'il a ensuite tiré ses belles théories de la com-
pression de l'air et de son mouvèment en passant par

EL

différens canaux. Il a pu en déduire d’autres non moins
remarquables et particulièrement celle de la force de la
poudre pour mouvoir les boulets de canon.

On trouve aussi une savante théorie de la tension des
fibres élastiques de différenteslongueurs, ou de leur com-
pression par différens poids, dans un Mémoire de Jacques
Bernouilli, qui fait partie du Recuerl de l Académie des
Sciences , année 1703. Ce célèbre géomètre y fait une
remarque fort importante , c’est que la compression des
fibres élastiques ne peut pas être exactement propor-
tionnelle au poids comprimant, Ilappuiecette résolution
sur la considération qu’une fibre élastique ne peut pas
être comprimée à l'infini. Dans son dernier état de com-
pression cette fibre a encore une étendue quelconque, et
quelque poids qu’on ajoute alors au poids comprimant,
la compression ne peut pas être plus grande : d’où il
s'ensuit nécessairement que la compression n’augmente
pas généralement en raison du poids.

Nous avons parlé ailleurs des propriétés élastiques de
l'air (voy. ce mot); les gaz et les liquides ont une élas-
ticité parfaite, qu’on ne rencontre à un degré égal dans
aucun corps solide. Un savant professeur moderne fait
remarquer avec raison que quelque imparfaite que soit
l’élasticité des solides, elle n’en est pas moins une pro-
priété très-importante et très-curieuse à observer. Nous
croyons devoir rappeler ici une expérience ingénieuse
sur l’élasticité de l’ivoire, exécutée au moyen de billes
de billard, qui est proposée par cet habile physicien.

On laisse tomber une bille ordinaire , ou une bille
grosse seulement comme une balle, sur un plan très-uni
où l’on a passé une légère couche d'huile ; à l'instant elle
se relève et rebondit jusqu’à la hauteur du point de dé-
part, ou à très-peu près. C’est là sans doute une preuve
suffisante deson élasticité, et par conséquent de son chan-
gement de forme, mais si l’on regarde sur le plan, au
point où elle a frappé, on y voit une empreinte d’au-
tant plus large que le choc a été plus vif, ce qui prouve
d’une manière certaine que la bille ne s’est relevée qu’a-
près s’êtreaplatie , comme ferait une vessie pleine d’air
ou une bulle de savon , car ces bulles si légères peuvent
aussi se réfléchir contre les corps, et rejaillir sans se

rompre.

Des balles de bois, de pierre, de verre ou de métal,
se comportent à peu près comme les billes d'ivoire :
toutes s’aplatissent plus ou moins avant de se relever,
ce qui est une preuve de leur compressibilité ; et toutes,
quand elles n’ont pas été comprimées trop vivement,
rebondissent et reprennent leur forme primitive, ce qui
est une preuve de leur élasticité. Ainsi , dans le jeu des
corps élastiques, il y a un double phénomène, celui de la
compression ou du changement de forme, et celui du
rétablissement complet de toutes les parties.

EL 513
L’élasticité résultant toujours d’un dérangement des
molécules, soit qu’il ait lieu par pression ou par flexion,
soit qu'il ait lieu par torsion ou par traction , l’on juge
aisément qu'il y a pour chaque corps des limites à ces
dérangemens, et par conséquent, des limites à l’élasti- ”
cité, Mais si l’on ne fait éprouver aux molécules d’un‘
corps que le dérangement que son état d'agrégation ?
peut permettre, elles reviennent toujours très-exacte- à’
ment à leur position, et dans ce sens, on pourrait dire
que tous les corps, les solides mêmes, ont une élasticité
parfaite.

Cette conclusion, toute hypothétique, ne détruit en
rien ce que nous avons dit plus haut sur l’existence de
corps solides non élastiques, elle serait d’ailleurs en elle-
même sujette àde graves objections. La question est pré-
cisément de savoir quel est le degré de dérangement que
les molécules d’un corps peuvent supporter, pour tirer
de cette première détermination la connaissance de son
degré d’élasticité; car si l’élasticité se manifeste par le
double phénomène du changement de forme et du réta-
blissement complet de cette forme, il est impossible
d'apprécier l’accomplissement de la seconde phase, si la
première n’a été rigoureusement observée.

ÉLASTIQUE. Courbe élastique, nom donné par
Jacques Bernouilli à la courbe que forme une lame de
ressort fixée horizontalement par une de ses extrémités
à un plan vertical et chargée à l’autre extrémité d’un

poids qui la fait courber, Foy. Lame.

ÉLÉMENS. C’est en physique les principes premiers
ou les molécules simples dont les corps sont composés.
En géométrie on donne ce nom aux parties infiniment
petites de l'étendue. Foy. Ixnivisisres.

Les ÉLÉMENS, en astronomie, sont les nombres qui
expriment soit les mouvemens des corps célestes, soit les
relations de distance et de grandeur qu’ils ont entre
eux. Ces nombres ont été ainsi nommés parce qu'ils
servent à la construction des tables astronomiques. Voici

les principaux élémens du système solaire.

DURÉES
de leurs révolutions
sidérales.

DISTANCES
moyennes au soleil,

NOMS DES PLANÈTES.

ee mine de 2 ne de | ne a eo nn

37/9069 0,387
224,701
369,256
636,980
1335,205
1500,008
10681, 39
il 81,709

0,723

1,000

1,92/
2137
2,667
2,707

2,7

Junon,.,.
Ceres...
Pallas..
Jupiter.
Saturne

1332,5q0
10-58.9-0
1713

!

EL

Frs coupé par l'équateur, Le méridien se trouvant partagé
des masses des par l'équateur en deux parties inégales pour tous les

l'lanetes, ceile

lu Sol. étant 1. lieux de la terre à l'exception de ceux qui sont situés sur

Î DIAMETRES VOLUMES ,
J planétaires, celui 1 è ;
celui de la Terre de la Terre lies Are
étant 1, étant 1. des Flanètes.
ms | ce pu em moe

DURÈES

DLe Soleil. 10993! 13:8460 25j500 la ligne de l'équateur terrestre , on entend communé-

ment par élévation de l'équateur la plus petite de ces
Mercure. 0,39 à 1,000 TE ee :

2025810 deux parties. .

1

Vénus. 0,97 * 0,972

101847 Erévarion pu rôLr. Arc du méridien compris entre

DETTE à le pole élevé et l'horizon. La distance du pôle à l’é-

La Terre,. 1,00 FE
354ÿ36

0,997

quateur étant mesurée par le quart d’un grand cercle

D Mars...

de Ja sphère, l'élévation du pôle est toujours le complé-
Jupiter... 5 170 5655 | zaent de celle de l’équateur; ainsi lorsqu'une de ces
ner Re grandeurs est connue, on connaît aussi l’autre.

1 L'élévation du pôle est égale à la latitude du lieu.
L lAUUS,,e

Voy. LaTiTupe.
DiETUReS 0: < L'Erévarion d’une pièce d'artillerie, dans la théorie

É [ 23090000
et la pratique de la balistique (voy. ce mot) est l’angle

Satellites de Jupiter. A que fait l'axe de la pièce avec l'horizon.

On nomme en général ANGLE D'ÉLÉVATION l'angle
MASSES
DISTANCES MOYENNES , DURÉES des satellites,

le demi-diamètre de la Planète des celle ! . . " S Ê . a
patte PR EN tion horizontale du plan mené par cette ligne perpendi

étant l'unité (l culairement à l'horizon.

0,000017 |} ÉLÉVATION AUX PUISSANCES (Arith. et Alg.).

0,000023 d \ . È L
7, 0,000088 Une des six opérations élémentaires de la science des
16,6838 0,0000/3 K :

formé par une ligne quelconque de direction et la sec-

D EE
‘* Satellite... 6,0435

96235
15 3502

ri
2
o

nombres.

: | Elever une quantité À une puissance, c’est la multi-
Satellites de Saturne.

plier par elle-mémeautant de fois qu’il y a d'unités dans
||

0 ® .
; l'exposant de cette puissance, ou plus exactement ; c'est
DISTANCES MOYENNES ;, DUREES,

le demi-diamètre de la Planète étant 1. des révolutions. former le produit dans lequel cette quantité entre

comme facteur un nombre de fois déterminé par l’ex-
1° Satellite sesesssos 3,5 9 H posant. Ainsi {a seconde puissance de 4 est le produit
4X4 ; la troisième puissance de 5 est le produit X5X5
etc. En général À étant une quantité quelconque, le
produit

sesssssse ASCAMAN AS As enss JA

llites d'Uranus. : ’
Satellites d'Ur dans lequel A entre 72 fois comme facteur, est la puis-
sance »2 ième de A. Cette opérations’exprime en écrivant

DISTANCES MOYENNES;, DURÉES

À : Rs au- ité nbre qui indique combien
le demi-diamètre de la Planète étant 1, des révolutions. au-dessus dela quant té le nor GI q

de fois elle doit être prise pour facteur, nombre que lon

TA telle ns 20. =D 0 5j803 nomme exposant de la puissance. Parexemplelatrotstè-
8,707

es me puissance de 5 ou le produit5X5X5, s'exprime par
13.46 55, de manière que 5 X 5 X 5 et 5*sont une seule et même

chose, et que l’on a

ÉLÉVATION (Hydraul.). On désigne par ce mot la

: TE : inous désignons par À une quantité quelconque, par
hauteur à laquelle montent les eaux jaillissantes. 7’oyez S A NA q T Lots

FR B l’exposant de la puissance à laquelle on veut l’élever,

ÉLÉVATION (Astr.).L'élévation d’un astre au-dessus et par C le résultat de l'opération ou le produit com-

‘hori : : c ï \ rme générale
de l'horizon est un arc de cercle vertical compris entre posé deB facteurs À, nous aurons la fo g

l'astre et l'horizon. AB—C
ELÉVATION DE L'ÉQUATEUR. Arc du méridien compris
entre l'horizon du lieu et le point où le méridien est A se nomme la base, B l’exposant et C la puissance,

EL

Ainsi dans le cas particulier
D—12),

on dit que 125 est la trorstème puissance de la base 5.

1. Tant qu’il s’agit de nombres exprimés par des
chiffres ,
peut s’exécuter que par une suite de multiplications , ou

HD 29700 AUD A Ë
l'opération de l'élévation aux puissances ne

du moins c’est encore le moyen le plus expéditif d’obte-
nir le résultat. Par exemple pour trouver la quatrième

puissance de 12, on dira

IX 12144
144X12=1728
1728X 12=20736
et on en conclura

121—920730.

Mais lorsque les quantités sont exprimées par des
lettres, ou sont ce qu’onappelle des quantités algébriques,
leur élévation aux puissances donne lieu à des transfor-
mations particulières et reçoit des lois importantes que
nous allons exposer.

2. La puissance 72 d’une quantité quelconque A étant
exprimée par A”, nous avons vu (ALGÈBRE n° 24) que cette
puissance dans le cas de »3— 0 est égale à l’unrté et que
dans le cas de 77 négatif, elle est équivalente à une frac-
tion dont le numérateur est l'unité et dont le dénomi-
nateur est cette même puissance prise en changeant le

signe de l’exposant c’est-à-dire qu’on a

Nous avons vu également (ALGÈBRE, n° 26) que la puis-
sance 7 d’une quantité A” s'exprime en multipliant les
deux exposans ou que l’on a

(Am)r = Ann

et généralement, quel que soit le nombre des facteurs,
[aw.Br.c Dr... [ans Be. Ge.Drz.

Ainsi en appliquant ces formes générales à des quantités
monomes quelconques , on pourra simplifier considéra-
.blement l'expression deleurs puissances, C’est ainsi, par
exemple, qu’on trouvera sans difficulté

(a, bi) = @ryb lots

SDS soprs, ,a$.bre,c2 btogs
É PTT = ;ç: 4. 0"C
en général
an, bn, cPvdas

N>.d'ies

Poe | =
N.d.ez 7È

EL 7 5415

ce qu'on peut aussi exprimer par

ï
a, bn, pr, dr, d—1,e—2

N:

ense servant d’exposans négatifs.

22 ” ‘

3. Nous avons vu également (ALGÈBRE, n° 27) qu’une
puissance quelconque 72 d'une quantité irrationnelle

Li
V/A pouvait s'exprimer par
1172

Fly
VA" ou par À

Si donc le nombre 72 était plus grand que » , le résul-
tat pourrait se décomposer en deux facteurs dont l’un
seulement couserverait la forme radicale, Par exemple,
mn étant plus grand que », divisons 72 par # et nommons
g le quotient de cette division et r le reste, nous
aurons

et par conséquent (ALGÈSRE, n° 20)

; ka à
À —A = A7, À" — AY, Var

Dans le cas de r=0, c’est-à-dire , dans le cas où la divi-

sion de 72 par » se fait exactement, la puissance devient
simplement Av.
En appliquant cette règle aux puissances particulières

LveL [we [ver

on obtient les transformations suivantes

Nous obtiendrons de la même manière les transforma-
tions plus générales

LIBAN UE L | . 4 24.1
[Vire] = [aw.cff=fass.c] ?
=[ar.cT K [asc |’
: LIÉE
—=A?,B4.C.1/A.B2,C
ne: æbc1r æbBc FE æb3cT+rE
[ 5 | ns [rer | an] F |
5
afb6c2 Ve
“dics * ee

516 EL

4. Les puissances successives des quantités dites ima-
ginaires présentent des particularités remarquables que
nous allons examiner. Mais comme toutes ces quantités
peuvent s'exprimer au moyen de la seule V— (vor.
ImaciNAIRE), nous ne nous occuperons ici que de cette
dernière.

On a d’abord évidemment

NES

Cependant en se servant de la règle donnée pour la
multiplication des quantités affectées de signes radicaux
(ALGÈBRE, n° 29) on trouverait

VENTES rene Ven

ou

(V=Y=V eV HI = + 1

et le signesupérieur + donnerait un résultatabsurde, car
la seconde puissance d’une racine seconde ne peut être
que la quantité primitive qui est sous le radical. Cette
ambiguité du double signe # disparait lorsqu'on em-
ploie les exposans fractionnaires, car

(V—1> =(—1} = (—1): = — 1.

On peut se rendre raison de l'espèce d'erreur qui se
glisse dans l’application de la première règle en obser-
vant que —1 étant multiplié par lui-même, introduit
dans l'expression

VE = V1,

après la multiplication , une signification qui n’y était
pas auparavant, celle de pouvoir avoir une racine posi-
tive ou négative, et cela d’après la propriété générale

1} = + 1; Hi} = + 1;

car après la multiplication de (—1) par (—1), le radical
devenant y/+1 ne porte plus aucun caractère qui
puisse lui faire attribuer exclusivement l’une ou l’autre
de ces générations; on peut donc alors sans erreur les lui
‘ assigner indifféremment, tandis que sous la forme

(y/—1} la génération du résultat est terminée et ce ré-
sultat ne peut être que — 1. Or, en se servant du calcul
des exposans fractionnaires on évite l’opération, qui peut
induire en erreur parce qu’on n’opère quesur les ex-
posans sans toucher à la base.

Cette considération est essentielle pour former toutes
les puissances paires de V/—1 , à cause

(—1)" = (+1)

EL

2 représentant un nombre pair quelconque. Ainsi par
la règle des radicaux , on aurait encore

(= = VE =V hi = ti

tandis que par les exposans fractionnaires ou trouve

ET 4
(V—1) =—ih=(—1)=+#i
seul résultat satisfaisant |
Nous conclurons donc que dans l’élévation aux puis-

sances de la quantité imaginaire V/—1, il faut, pour
éviter les erreurs, n’opérer que sur les exposans et ne
toucher à la base (—1) qu'après avoir épuisé toutes les
réductions.

5. En suivant ces principes on trouvera pour les puis-

sances successives de la quantité V/—1, prise positive-
ment et négativement, les résultats suivans :

Pour la quantité Æ4/—1

HV:

HV = Vi
VE Ë =

VE HE) ()
HV ===

etc.
Pour la quantité — J/—1, où (—1). 1

VE:
oi ne
Gon os 0 s nons.

V1) =). (1) = (1) = —1

etc. etc.

En comparant les résultats

Ver v=i)=
EVER = Vi
En MOMENT
VV VV

EL

(CC Vs
MM VV
CV == V—iŸ=—1

etc. etc.

On pourrait conclure par induction que les puissances
de y—1 sont périodiques et doivent se reproduire à
l'infini dans le même ordre, savoir :

+1, +V—1, —1> —V—i ,

pour
(HV),
et
+:, —V—1, 1 +V—1 ;
pour

V1.
Cette propriété existe en effet , car soit 72 un. nombre
quelconque plus grand que 3; en le divisant par 4, si
nous désignons par » le quotient et par p le reste, nous
aurons généralement

m _ LP
Ft;

p pouvant être indifféremment l’un des nombres
0,1, 2, 3. De cette égalité, on tire

m—=4n+#p
ce qui nous donne Ja forme générale de tous les nom-
bres plus grands que 3.

Or (y —1}" pouvant représenter toutes les puis-
sances de V/—1dont les exposans sont plus grardsque 3,
nous aurons également pour toutes ces puissances l’ex-

pression
(Vaste
Mais on a
Re SEP, P P
(it (i) ? =fi)nPeGih i)
P P
en)

d’où l’on conclut

OU
(V—i}r= (= (V1)

p étant le reste de la division de m3 par 4.

Ainsi quel que soit le nombre x, le reste p ne pou-
vant être que o, 1,2, 3, on retrouvera à l’indéfini les
quatre premiers résultats trouvés ci-dessus,

EL 517

6. En se rappelant que lorsque p est le reste de la di-
vision de m par 4,ona

VEN ER
il suffit de connaître les quatre puissances à exposans
0, 1,2, 3 pour obtenir immédiatement une puissance

quelconque m de V/—1.
Par exemple s’il s'agissait de trouver la onzième puis.

sance de V/—1, comme le reste de la division de
11 par 4 est 3, on poserait

==)
et comme

V—i}=-V—1
on conclurait

(= =V—i

On trouverait de la même manière

nm mi
(—V=n5=(— = 1
et ainsi de suite.
7. Il résulte encore de ce qui précède une cansé-
quence très remarquable et que nous devons signaler.

En prenant la racine quatrième des deux membres des
égalités

Ve

V==ti
nous avons
ae fol
+V=I=VH:
—
VV +:

mais nous AVONG.AUSSI

Vi

Ïl s'ensuit donc que la racine quatrième de l'unité
peut être indifféremment l’une des quatre quantités

ist, Vs Vi

et généralement que la racine quatrième d'un nombre
quelconque a quatre valeurs différentes, car la généra-
tion d’un nombre quelconque M au moyen de l'unité
étant 1XM, on a en général

De nn à.
VM=ViXM=VMX Vi

et par conséquent

518 EL

VCD : ä
(1) VIT
HV) VA
VAE

On verra ailleurs (voy. ExTRAGTION DES RAGINES)
qu’une racine quelconque admet autant de valeurs dif-
férentes qu'il y a d'unités dans son exposant. Nous n’a-
vons abordé cette question qui n’est pointicinotre objet
que pour faire observer que l'égalité de deux puissances
dont les exposans sont égaux n’eutraine pas nécessaire-
ment celle des bases, ou que de l'égalité

(A}n—(B"

on ne peut généralement conclure A—B.

8. L'élévation des monomes à une puissance quel-
conque pouvant toujours s'effectuer d’après les règles
précédentes, nous allons passer à celle des polynomes.

Considérons d’abord lé binome (a+), l'expression
générale de sa puissance 72 étant donnée par la for-
mule de Newton. (Woy. Bixome De Newrow)

ma Piper)

(aHb}n= a ht am BE —— am-spsL

mimi) (1 — —2)

es am—1h3+etc…

+
en substituant à la place de m la valeur numérique de
cet exposant on obtiendra immédiatement la puis-

- sance correspondante, ou le produit des binomes
(a+-b).(a4b).{(a+b)...etc. Soit, par exemple, lé biiomé
m+na? à élever à la quatrième puissance. Nous ferons
m—À, ce qui nous donnera d’abord pour les coefficiens :

m—< 4
m{Mm—1) 4. :
RTE EP
D 1.2
m(m—i)m—2). 4.3.0
RCE RLEEE L
mn — A) m0 m3) 4: 319257
1
152.934 1.234
m(m—iYm—2\m—3 (m—{) 4.3.2.1.0
NE = = = 0
12 TES 1220340

Tous les autres coefficiens devenant o, à cause du
facteur m—{—o qui entre dans chacun d’eux, nous
vovons d’abord que le développement cherché s’arrête
au cinquième terme; faisant donc a= et b=nx*, nous

aurons

(m+nx)=miz
+ (222)

+hn(nx®)+ 6m (na?) +4 m(na)s

EL
ou
(na) =mit {max +Gnr xt {mn bnéxs
Nous avons donné au mot binome d’autres applica-
tions de la formule de Newton.
9. Le développement de la puissance m» d’un trinome

peut se déduire facilement de celui du binome. En effet
soit a+-b+c un trinome quelconque, supposons

a+b=p
et nous aurons
(a+b+c)n =(p+c)"

mais d’après la formule de Newton

nt (ni — I )

(p+c) M pr np ic + RTS pe L

m(m—1)(n—2)

1:23

pci Letc...

Reémettant dans ce développemeut ab à la place dep,
il devient (#2)

(eHbHc}r= {a+ bn matins ,c+
m2 (In —1)
+ ee (abbim—,c3Æ etc...

1.2
Or , en vertu de l’expression générale, on a

mi (ni
Le an—1l? etc...

(a+ b}r=anLiman—:h +
(a+ b}r—i= ani (ms )an +

(ra 1) (rh=—5)

1.2

(a+ bn and (mo )ansb#+
+

am—he + €tGr.e

vr—9) (7 3)
a an—ipr etc. =
1:29 :

elc-s: elC...ss

Substituant ces valeurs dans l'expression (»), et ordon-
nant par rapport aux puissances de a, on aura pour le
développement de la puissance 72 du trinome a4+b+c,
l'expression générale (7)

m(m—1)

(a+b+cyr=antman—l + a m—2h?+ etc.

H—1c (1 A
manie Ln(m—i)an—bebetc..

ml fn — il
= =) am—?c3+ etc...

12
etc.

Pour donner un exemple de l'application de cette for:

+

mule, faisons »m—3, alors nous aurons

mm). . m(m—i)(m—5)
AP =23, in(m—1)=6, PATES ES OS:

EL

et par suite
(a+b+c)—a5+3ab+3abt + b?
+3ac+Gabc4-3b°e
+3ac+3bc?
+ c

10. On pourrait, eu suivant la même marche, trouver
le développement de la puissance d’un tétranome et gé-
néralement celui d’un polynome quelconque; mais cette
marche entrainerait de longs calculs et aurait en outre
l'inconvénient de ne pas conduire à des expressions dont
les termes puissent se déduire les uns des autres, ce que
l'on voit déjà pour le trinome. Nous allons en consé-
quence aborder la question dans toute sa généralité, et
exposer la loi générale du développement de la puis-
sance quelconque 7 d'un polynome quelconque.

Théoréme. La puissance 7? d’un polynome a+b+c
+d+eæ+etc..…., est égale à la somme des produits re-
présentés par toutes les combinaisons 72 à #2 des lettres
a, b,e,d, etc, avec permutations.

Ce théorême est une conséquence de ce qui a été dé-
montré pour la formation des puissances d’un binome.
Voy. Binour.

Or, ces combinaisons sont évidemment

an, an—1b, an—al?, am—b5, etc.

bn, bm—1e, bn—2e? etc:
am—2be, am—3bc) an—ibc?, etc.

an—bcde, a—b?cde, etc.
ou plus généralement
am. br CRdo.e, fe.
art, b1,0: dre. fe.
ereelC:
CEE
etc.
09.47.02
abri, cr. de, es, ft
æ. bm—?, c'. d. e° fe:

..etc.
CIC.
am—2,b1.cx,.d°.e°
an-3 ,b.c.dr. . LC,

etc.
@&. Dm +» CLC.
" . CLCe
se ÉC:
@.bn—3,c,d1.e ER MERENEN 2
etc. etc.

Désignant donc par », 0, p, q,r, s, etc. une suite de
nombres tels qu’on ait

m=n+4o+p+g+r+s+ete.
la forme générale de ces combinaisons sera

an.bo,cr,d1.er.ff...etc.

EL 519
etcomme le nombre des permutations d’un pareil groupe
est

m(m—i)(m—2)(m—3)(m—4)(m—5).......... 1

n(n—1)..1X0(0—1)..1 Xp(p—1..1 Xg)qg—1).1 AE :

on aura pour le terme général de la puissance 2 d'un

polynome quelconque l'expression,

mn(m—i)(m—92)(m—3)....1

n(n—1) .1X0(o—1).1 XpP(p—1)..1 Xetc.

.a,bo.c,.dietc.

au moyen de ce terme général, en donnant successive-
meut aux quantités 2, 0, p, q, etc. les valeurs dont elles
sont susceptibles, on formera tous les termes qui com-
posent cette puissance.

11. Pour indiquer au moins par un exemple l’appli-
cation de cette formule, supposons qu’il s'agisse d’éle-
ver le trinome a+b+c à la quatrième puissance. Dans
ce cas les quantités indéterminées », 0, p, q, etc. se ré-

duisent à trois et le terme général devient

m(m—i)(m—2){m—3)....1

n(n—1)...1 X0(0—1)...1 XRP=H...1

.an.bo,cr

dans lequel #=n+0+4p
On détermine 7, 0, p pour chaque cas particulier de
la manière suivante

=0+3+o
3—0+2+1
3—0+1+2
3=0+0+35

j
DOI :
—a,b°.e7—3ac?

359241
Las, bre =Gabe
LÉ MO
I 323.1
.c°= 3ab? a°.b°.c=c

ai. b?

d’où l’on conclura

(a+b+c) za +3 b+3ab Hb
+3ec+Gabc+3be
Sac +3be

+ci

résultat identique avec celui du numéro 9.

520 EL

12. Onobtiendra l'expression générale de la puissance
m d’une série indéfinie

Ac A;x+,Ax+Asx +Aiæietc....à l'infini,

en se servant des formules générales de développement
données à l’article différentiel et notamment de celle qui
porte le nom de Maclaurin. Lorsque le premier terme
de la série est l'unité, sa puissance a une expression
très-simple que nous allons faire connaître. Soit

(1+ax+bx Lox+Hetc.)r = 14Ax+Bx+Cri+etc.

les coefficiens A, B, C, etc., seront

À — ma
B — a+ mb
GC DL — 3 bAnc

—3 2m—
Dee -h0 25h MEL md
pe Le, aD+ ic + 23

4m
+ Fe —dA+me

etc. etc.

Appliquons ces formules à la série

at + tait taf bpetc.

et proposons-nous de l’élever à la quatrième puissance.
Nous avons m4, a—1, b=1, c=1, etc. Les coeff-
ciens A, B, C, etc. deviendront

A —4
= TT jpinro
C— = “2 4400
D at ro 35
etc. etc.

et nous aurons

(i+ax+a etc. à l'infini)f=1# 4x ox +202 +35x4

Hetc....à l'infini.
En remarquant que la série proposée n’est autre chose

que le développement de la puissance —1 du binome
(1—x), car ou trouve par le binome de Newton

ia ta tauitbrs etc,

(1—x)-1=

EL

On voit que la quatrième puissance de cette série est
aussi la quatrième puissance de (1—x)-1, Mais

[ea] =0-

, par la formule de Newton,

(1—2) = 144 +

etc. etc,

=1+/4x+iox+oox +35xibetc.

ce qui est identique avec ce que nous venons de trouver
ci-dessus et montre l'accord parfait de toutes les lois de
la science. .

ELGEBAR (Astr.) Nom de la belle étoile située au
pied d’Orion , plus communément appelée Rigel.

ÉLIMINATION (Astr.). Opération dont le but est de
faire disparaître toutes les inconnues, moins une, qui
se trouvent dans une équation. Pour que cette opération
soit possible, il faut avoir autant d'équations indépen-
dantes que d’inconnues. Foy. ÉQUATION.

1. Soit d’abord les deux équations du premier degré
à deux inconnues

Ax+By=—C
A'x+B'y=C'

Le premier procédé qui se.présente naturellement c’est
de résoudre chacune deces équations par rapport à +,
comme si y était une quantité connue; la première

donne
— C-Br
et la seconde
_ CB
= ru

Or, ces deux valeurs de x devant être identiques, on
en conclut

C—By _C'—B'y

D nu.
équation qui ne contient plus quey , et que l’on nomme
l'équation finale.

En résolvant l'équation finale on obtient la valeur de
yetil suffit ensuite de substituer cette valeur dans l'une
ou l’autre des deux équations proposées pour obtenir
une équation qui ue contient plus d’autre inconnue que
æ et qui puisse servir conséquemment à la détermination
complète de cette inconnue.

2. Si les coefficiens de l’une des inconnues ttaient les
mêmes dans les deux équations, il est évident qu’il suf-

EL

firait de retrancher l’une de ces équations de l’autre pour
obtenir immédiatement l'équation finale. Par exemple,
étant données les deux équations

Ax+By=C
Ax+Dy=E

en retranchant la première de la seconde, on aurait

Ax+By—Ax—Dy=C—E
ou
(B—D}y=C—E

équation débarrassée de x. Or, on peut toujours rendre
égaux les coefficiens de la même inconnue , car, en pre-
naut pour exemple les deux premières équations

A x+By=C
A'x+B'y—C'

si l’on multiplie tous les termes de la première par A'
et tous ceux de la seconde par À , À et A’ étant les coef-
ficiens de l’inconnue qu’on veut faire disparaitre , ces
équations deviendront

A'Ax+A'By—A'C
AA'x+AB'y—AC".

c'est-à-dire que les cocfficiens de x seront les mêmes

puisqu’ilssont composés du produit des mêmes facteurs.

Opérant la soustraction, nous obtiendrons

(A'B—AB')y=A'C—AC",
équation finale en y , qui donne

AC AC
Y— A'B— AB

Pour trouver la valeur de l’autre inconnue x, substi-
tuant cette valeur de y dans la première des équations
proposées, nous aurons

A'C—AC"'
Ax-+B AB AB =
ce qui nous donnera
A'C—AC'
Er UE
LL —_———_—
et en réduisant
ss C'B-- CB’
ARABE AB;

Si on avait voulu trouver d’abord l’équation finale
en æ, On aurait multiplié la première des équations pro-
posées par B'et la seconde par B, on aurait obtenu

EL
AB'r+BB'y—CB
A'Bx+B'By—C'B

521

et, en retranchant,
(AB'—A'B)x=CB'—C'B
ce qui donne immédiatement pour æ

:CB'— CB
TAB AB

ou, ce qui est la même chose, en changeant les signes
des deux termes de la fraction ce qui n’en change pas
la valeur,

._ C'B—CB"

7 AB—A'B

même valeur que ci-dessus,

3. On agirait d’une manière analogue pour un plus
grand nombre d’équations et d’inconnues, Par exemple,
soient les trois équations

CI

.. Ax +By +Cz =D
.…. A'x+B'y+C'z=D'
.….. A'x+B'y+C'z=D"

&

©

En éliminant x entre 1 et 2 par le procédé ci-dessus,
c’est-à-dire en multipliant 1 par A", et 2 par À, et pre-
nant la différence des produits, on formera l'équation.

4e. (A'B—AB')}y+(A'C—AC')z—
= A'D—AD'

débarrassée de x. Éliminant ensuite de la même ma-
nière x entre 2 et 3, on formera une seconde équation
sans
5.., (A"B—A'B")y+(A"C'—A'C"}:=
= À'D'—A'D"

Éliminant enfin y entre 4 et 5, on trouvera pour l’é-
quation finale en 3

[(A'C—AC')(A"B'—A'B")—(A"C'—A'C")(A'B—AB')]
=(A'D—AD')(A'B'—A!B"}—(A"D'—A'D")(A'B—AB')

et, par conséquent, pour la valeur de x

(AD—AD") A"B'—A'B">—{(A"D'—A'D"(A'B— AB")
F— (A G—ACYA"B—A'B")—(A"C—A'C') (A'B—AP)

substituant cette valeur de 3 dans 1 et 2, on obtiendra
des équations en x et. y qui fourniront par l'élimination
de x une équation finale en y, d’où l'on tirera la valeur
de y; et, enfin, substituant dans 1,ou?, ou 3, arbitraire-
ment, les valeurs trouvées de y et de z, on aura une
équation finale en x, qui fera connaitre la valeur de

cette dernière inconnue. ”
6

522 EL

En opéraut de la même manière, ïl est visible que
quel que soit le nombre des équations et des inconnues,
on arrivera à former l'équation finale peur chaque in-
connue.

4. En examinant la forme symétrique des équations
finales , on voit qu'il suffit de connaitre la forme géné-
rale de la valeur d'une des inconnues pour trouver
celles des autres inconnues, mais la résolution des équa-
tions n’est point ici notre objet, ct cette question sera
traitée en son lieu. Considérons maintenant les équations
des degrés supérieurs.

A, B,C, D, etc. A’, B', C', D'etc. représentant des
fonctions quelconques de la variable x, soient les deux

équations à deux inconnues d’un degré quelconque

o=A +By +Cy +Dyi +HEyi +etc….
o=A'+B'y+C'y4D'y#E'yl#etc.::.

preposons-nous d'obtenir l'équation finale entièrement
débarrossée de y.

5. Si l’une des équations, la première par exemple,
ne s'élève qu'au premier degré, le problème ne présente
aucune difficulté, car de

o—A-+By

:. À
on Urè Y=——

B

et substituant cette valeur dans la

seconde , à la place de y , on obtient une équation seu-
lement en x.

6. Lorsqu'une des équations s'élève au seconil degré,
l'autre étant d'un degré quelconque ; la question com-
mence à se compliquer, Donnons à l'équation ds second
degré la forme particulière

y°—=a+by

ce qui n’en diminue pas la généralité, et il nous de-
viendra alors toujours possible de donner à toute autre
puissance de y la forme d’un binome telle que P+Q y.
En effet, de

Pay
on tire, en multipliant les deux membres par y,
J'=ar+br
et, remettant à la place de y? sa valeur a+by, on a
P=ab+(bb+a)y
Multipliant cette dernière égalité par y, on trouve
7'=aby (bb a}

et, remettant à la place de y? sa valeur a+by, on a

EL

encore
= (ab +) Baby

Continuant de la même manière, on voit qu’il est tou-
jours possible de donner à là puissance générale y"#, la
forme d’un binome P+Qÿ, dont les coefficiens seront
des fonctions ratiounelles et entières de & et de &.

7. En examinant la formation successive des puis-
sances y, y#,7°, etc., et leur mode uniforme de géné-
ration, on trouvera la 101 suivante :

La seconde puissance y étant égale à a4by, toute
autre puissance m de la méme variable, pourra étre
représentée sous la forme d'in binome P LH Qy, les
quantutés P et Q étant

m—35

P = abm—: +

abm—4+ Le afbm—6 +

x

(m—5){in—6)(n—;)
Lrded

+

afbm—8 + etc.

Q— bei — abn—$ + PURE a bm- +
(m—4)(m—5) (m—6)
1.2.3

+ a'bm—1Letc….

8. Ayant formé d’après cette loi toutes ies expressions
binomiales des puissances de y, si on les substitue dans
la seconde équation proposée

O—A+By+Cy+DY+E yi+etc…
on pourra lui donner aussi la forme d’un binome
o—M+Ny

et éliminant y entre cette troisième équation, et la pre-

mière y*=a+by, on obtiendra une équation finale
M'—aN—bMN

entièrement débarrassée de y.

Cet ingénieux procédé d'élimination est dû à Kramp.
Quoique l’une des deux équations ne doive pas sur-
passer le second degré , il suffit aux besoinsde la science.
On peut l'appliquer au cas de trois équations et dé trois
inconnues.

9. Comme on emploie ordinairement dans les traités
d’algèbre consacrés à l'instruction publique, la méthode
du plus grand commun-diviseur pour former l’équation
finale, nous ne croyons pas nécessaire de l’exposer ici ;
elle demande d’ailleurs des détails dans lesquels il nou
serait impossible d’entrer.

L'élimination a été l’objet des travaux des plus grand
mathématiciens. Cramer, dans son Analyse des lignes

courbes, Bezout, dans sa Théorie générale des équations ;

EL

Vandermonde et La Place, dans les Ménoires de l'Acas
demie pour 1772, ont traité avec plus ou moins de gé-
néralité cette partie importante de la théorie des équa-
tions qui est en outre redevable à Euler d’un procédé
simple et élégant. |

ELLIPSE (Géom.). Une des séctions coniques. Elle
est engendrée par un plan qui coupe obliquement un
cône droit de manière à ne pouvoir rencontrer la base
du cône qué prolongée hors de ce solide. Telle est la
courbe EQDFLE (Pr. XXI, fig. 8), formée par l’inter-
section du cône BCA et du plan mené selon la droite
FD qui rencontre en F, hors du cône, le plan de la
base AB.

Pour déterminer les propriétés de cette courbe, nous
la considérerons dans le plan générateur; et nous cher-
cherons son équatior en prenant pour axe des abscisses
la droite AB, section du plan qui coupe le cône par un
autre plan MCN mené par l’axe du cône, et conséquem-
ment perpendiculaire à sa base. On nomme ce dernier
plan principal. Nous snpposerons dans ce qui va suivre
que le plan coupant est perpendiculaire au plan princi-
pal.

Par un point O quelconque de l’axe AB concevons un
plan parallèle à celui de la base du cône, sa section avec
le cône sera un cercle EHFG {voy. Cône, n° 1). La sec-
tion dé ce nouveau plan par le plan principal sera le
diamètre EF et sa section par le plan coupant la droite
GH, perpendiculaire à EF, Menons par les points A
et B, dans le plan principal, les droites AK et BI paral-
lèles au diamètre FE,

En prenant le point À pour sommet de l’axe des ab-
scisses, désignons AO par x et l’ordonnée OH par y;
faisons de plus

AB—2a, Anñ—d, BI=c

ceci posé, si nous considérons OH dans le cercle FHEGF
nous aurons par a propriété du cercle (voy. Gercue,

…

EL 523
n° 18)

OH°=FOXOE, ou y°=FOXOE
mais les triangles semblables BAI et OAE donnent

AB : AO::BI:O0E
ou

2a:æ::0:0E

de même les triangles semblables ABK et OBF don-

nent

AB: OB:: AK :FO
ou

2a: (2a—x) :: d: FO

Tirant de ces proportions les valeurs de OE et de FO,
savoir : ;

er _d(2a—x)
OE— 0 FO NE TE

et les substituant dans celle de OH ou de y, nous aurons
pour l’équation de l’ellipse rapportée à l'axe AB, l’ex-
pression

cd
P? mn (2ax—x*)
Il suit de cette équation plusieurs particularités Te-
marquables que nous allons d’abord examiner.

1. En prenant la racine carrée des deux membres de
cette égalité, on a
I a
J=ÈE—V cdf2axz—x)

24a

ce qui nous apprend d’abord qu’à chaque valeur de x
correspondent deux valeurs dey égales et de s gne con-
traire; d’où ilsuit que l'axe AB partage l’ellipse en deux
parties égales.

La grandeur de y dépendant de celle du facteur va-
riable 2ax—x?, examinons ce quiarrive à ce facteur
lorsqu'on fait croître x, en partant de x=o, Ce facteur
étant la même chose que

(2a—x).x

on voit qu'il s'évanouit en faisant x—2a et qu'au-dessus
de cette valeur de x il devient négatif, ce qui rend le
radical imaginaire et indique par conséquent que la
courbe se termine au point x = 24,7—0, comme elle
commence au point æ=0, y—0. Ainsi en partant de
æ=—=0, les valeurs de:y commencent à croître et après
avoir atteint une certaine limite elles commencent à dé-
croître pour revenir à 6 lorsque æ=5%a: La grandeur
maximum de + correspond donc au cas où la valeur
de æ est telle que le facteur (24—x)x est lui-même le

Che

24

EL

plus grand possible, ce qui arrive évidemment quand
on faitæ=a, car il devient alors @ ; tandis qu’en don-
ant à x une valeur quelconque plus grande ou plus pe-
üte que a, a Em, par exemple, il devient

[racastene) jam = —m ,

quantité plus petite que a’. Ainsi l’ordonnée qui passe
par le milieu de l’axe est la plus grande de toutes. Sa

valeur est
Ï ERLRNS ES. =
J = + Sa Vedea—#)=+11/cd

2. On voit aisément, d’après ce qui précède, que la
droite menée perpendiculairement à l'axe AB par son
milieu, partage aussi l'ellipse en deux parties égales.
Cette propriété lui a fait donner le nom de petit axe ,
tandis qu’on a donné celui de grand axe à l'axe AB.
Or, si nous désignons par 22 la grandeur de ce petit axe,
nous aurons

€

TR

b—1V/cd; ou b =

|

Substituant cette valeur dans l'équation de l’ellipse,
nous la dégagerons des quantités auxiliaires c et d'etelle
deviendra (1)

b

2 —_ ,(9cx—7
Ni — = EeX L')

; , b? : 95
b étant plus petit que a; _ est une fraction : ainsi y?

est plus petit que le produit (24a—x)x ; c’est-à-dire que
dans l’ellipse le carré de l’ordonnée est toujours plus
petit que le rectangle formé entre les deux parties cor-
respondantes du grand axe. C’est cette propriété qui a
fait donner le nom d’ellipse à cette courbe, d’raategue,
défaut, parce que dans le cercle le carré de l’ordonnée
est précisément égal au rectangle formé entre les deux
parties du diamètre.

3. Si au lieu de prendre l’une des extrémités du
grand axe pour origine des abscisses, on prend le point
‘de rencontre des deux axes, point quel’on nomme aussi
le centre de la courbe, la relation entre ces nouvelles
abscisses , désignées par x’, et les précédentes sera évi-
demment x'=x—4a, d'où x=—x'+a en substituant cette
valeur dans l’équation(r) elle deviendra

EL
Telle est l'équation de l’ellipse rapportée à ses deux
axes.
4. En comparant les équations (1) et (2) avec les équa-
tions du cercle.

+. Y=2rX—2°

Jo...
Ds

Dssocse VI —2?

dont la première est rapportée à l'extrémité du diamètre
et la seconde au centre (Woy. AppzicarTion , n° 34), on
voit qu’il existe une grande analogie entre l’ellipse et le
cercle ou que le cercle n’est qu’une ellipse dont les deux
axes sont égaux, puisque , lorsque b=—a, les deux équa-
tions (1) et (2) se réduisent à 1 et 2.

Cette circonstance qui fait du cercle un cas particulier
de l'ellipse doit nous faire rechercher si les propriétés
connues du cercle existent pour l’ellipse, ou du moins
commentelles sont modifiées en passant de l’une à l’autre
figure.

Or, dans un cercle toutes les cordes qui passent par
le centre sont partagées au centre en deux parties égales
et de plus sont toutes égales entre elles, voyons d'abord
ce qui a lieu dans l’ellipse pour les droites qui passent
par le centre etse terminent de part et d’autre au péri-

G

D

mètre. Soit donc MN une telle droite, en prenant O
pour origine des coordonnées, son équation sera (voyez
Appuicarion IT, n°0)

Y—=IMET

m étant la tangente trigonométrique de l'angle NOB.
Les points M et N appartenant à l’ellipse, on aura aussi
pour les coordonnées de ces points la relation

CT
Nr (a?—x*)
et, par conséquent ,
b
mL (ax)
d’où

ab

Van + b2

LR

EL
cette valeur substituée dans y=mx, donne
Sn abm
“4 ee —
Va m+b

les valeurs positives de x et de y seront les coordon-
nées On et ñ»=N du point N, et les valeurs négatives,
celles du point M, savoir Om et mM ; et comme ces va-
leurs sont égales, indépendamment du signe, on a

Om—On et mM=—nN.

Ainsi les triangles rectangles MmO et NO sont égaux
et l’on a MO—ON. Donc toute droite menée par lecentre
se trouve partagée.à ce point en deux parties égales : ce
qui est exactement la propriété du cercle,

Le triangle ON, nous donne

ON = On + Nr
ou

ON — 2 +

substituant à la place de y? sa valeur prise dans l’équa-
tion de l’ellipse , cette dernière égalité deviént

x b
ON = x? + (a—2°)

ce qu'on peut mettre sous la forme

Il résulte de cette égalité que la valeur de ON et con-
séquemment celle de MN est variable et dépend de la
grandeur de x. On aura donc la valeur de la plus petite
ligne qui passe par le centre en faisant x=o et la valeur
de la plus grande en faisant x—a, puisque telles sont
les deux limites de l’abscisse. Or, lorsque x — 0, on
trouve

ON — ba
et lorsque x—a
ON —
c’est-à-dire que le petit axe est la plus courte de toutes
les droites qui passent par le centre de l’ellipse et que le
grand axe est la plus longue.
On nomme diamètre toute droite qui, passant au centre

d’une ellipse, se termine de part et d’autre à son péri-
mètre.

5, Si de l'extrémité du petit axe CD avec un rayon
égal à la moitié du grand axe on décrit deux arcs de
cercle qui coupent le grand axe en deux points fetF,
ces points, ainsi déterminés, présenteront une des pro-

riétés les plus remarquables de lellipse: c'est que la
[ (

somme de leurs distances à un point quelconque de la

courbe est une quantité constante, égale au grand axe.
En effet, soit un point quelconque » dont l'abscisse
æ=On et l’ordonnée y—mn, ses distances à F et f seront
les droites »F et mf dont les valeurs, comme hypothé-
nuses des triangles rectangles fin et mnF, sont (a)

mE =Fr + mn
mf = fn » + Fri
mais
fr =$0+On=fo+r,

et
Fn=OF—On—OF—x ;

de plus, par construction, fO —OF , et l’on a dans le
triangle rectangle fCO

0° =ÿC" __TO"
ou

JO = & —b
Ainsi, en substituant, les égalités (a) deviennent à cause

_—1
demn =,

LA)
re (Ver 2) + (a—x)

2 pee db
mf = (Va—b+hr) +7 (a—x°)

développant les carrés et réduisant, nous aurons

a

(a—x.V/a- —b}
æœ

— + 2@xV/a—b+(a—bhes

fm = 2

_(w+ever}

526 EL

ce qui donne, en prenant la racine carrée,

a\/a—b?

En 4 — ai Ace
«

L x va —b

Jn=a a
a

donc
Fra + fn = 24

ce qui est la propriété énoncée.
Les points f'et F se nommeut les foyers de l'ellipse,
et la distanceOfon OF du centre à ces points se nomme

l'excentricité. Toutes les droites menées des fovers à la
courbe prennent le nom de rayons vecteurs.

6. Quand on considère l’ellipse indé peadaniment ct:
sa génération dans le cône, on la définit bar la propriété
que nous venons de démontrer ; on dit alors que c'est
une courbe dont la sontmeé dés distances de chacun de
sespoints à deux points fixes, est égale à une ligne dounte,
et en partant de cettè définition of-trouve son équation
et l’on reconnait que la ligne donnée est le plus grawd
des diamètres de la: courbe. Sans nous-arrêter à ces dé-
ductions , que ce qui précède rend inutiles , proposons-
nous de décrire une ellipse dont les deux axe: sont

donnés.

LA ee
02 us
RLILEETP PIECE

Avant mené sur le milieu du grand axe"AB use pér-
pendiculaire OC égale à la moitié du petit, on com-
mencera par déterrhinér. les fovers E et-f'en: décrivant
du point C comme centre , avec un ravon égal à AO ou
OB, un àrc de cer cle TE. Les_ foyers étañ£ trouvés, de
l’un d’eux F avec un rayon arbitraire Fra, on décriraun
arc de cercle ; et de l'aitre foyer fs avec un rayon égal
à AB— Fm, on décrira un autre arc de cercle , le point
de rencontre 7z# de ces deux ares sera un des points de
l'ellipse. On déterminera de la mème manière autant de

points que lon voudra, suffisamment rapprochés les uns -
- 9; Le problème de mener .une tangente à J'ellipse

des autres pour qu’on puisse les Joindre par une ligne
continue ArCB qui sera la moitié de l’ellipse demandée.
En opérant dé la même manière de l’autrecôté de AB,
on décrira l’autre moitié de la courbe,

7- Ilest plus commode de. décrire l’ellipse par un

Riouvement continu ainsi qu'il suit :

EL ,

Les foyers F, f (PL. XXI, fig. 10), étant trouvés,
fixez-y par le moyen de deux épingles les extrémités
d'un fil, dont la longueur soit égale au grand axe AB,
faites ensuite glisser un crayon qui tienne le fil toujours
tendu. La courbe sera tracée lorsque le crayon aura fait
deux demi-révolutions l’une au-dessus de AB ét l’autre
äu-dessous.

C'est de cette construction que le compas elliptique
tire son origine. Foy. ELLIPTIQUE.

8. La double ordonnée qui passe par un des foyers se
none le paramètre de l'ellipse; pour en trouver la
valeur il faut, dans l'équation

&
es fem
= (ax)

fire =}, etl'on obtient,

” b3 ne L?
nr ET

Ai steu désignant le paramètre-par 2p , nons aurons

d'où

ä:b::b:p
ce qui nous appprend-qué Ze paramètre estune troisième
proportionnelle aux deux axes.

- Eu divisæit par a lés deux inembres de li dèérnière
“égalité; on obtient

T- = . 133 ÿ £
On peut donc substituer = à laplace de . dans.

les équations de l'ellipse, ti)'e (2) ; on a alors

14
2—=; (2ax—2°
JS )
} f 5 ] A} P'; Li] F S 9
2—"- (a —27)
J a:

. On nomme ces dernières équations au paramètre.

n’est qu’un cas particulier du problème géuéral de mener
Jes tangentes aux courbes, et comme tel, nous pour-
_rions le renvoyer au mot tangente, mais comme il eu
‘résulte quelques particularités importantes, nous allons

‘en indiquer ici la solution.

EL

Et 527

Soit le point où ilsagit de mener latargente, des paie de diamètres conjugués est sene au rectangle

foyers f'et F, menons les droites fit, Frs, étprolongeoné coistruit entre legrand et Le petit axe ;

j

fin d'une quantité »m4d=F. Joignons les points F et 4
par une droite Fd, et du point g, miliea decette droite,
menons ga, ce sera la tangente demandée, Eu effet;
certe droite ne peut avoir que le seul point #2, commur
avec la courbe, car pour tout autre point ñn, en menané
fn,ndetnF,on a fn-+nd>fd, où, à cause de Frn=ré,
fn+Fr>fd; or, par construction fé est égal au grana
axe, donc la somme des distances fn et Fr du point n
aux foyers est plus grande que le grand axe, et consé-
quemment le point # est en-dehors de la courbe,

Il résulte immédiatement de cette construction que
les angles formes par la tangente et les. deux rayons
| vecteurs menés au point de contact sont égaux; car le
triangle dm étant isocèle (voy.ce mot) et mg passant
par le milieu de Ja base, on a l'angle dng—l'angle Frg;
mais drug =nmf comme opposés par le. sommet, donc
Eyng=nmf.

Ainsi, la lumièrese réfléchissant en faisant un angle
de réflexion égal à l'angle d’ incidence (voy. Carorrri-
Que), si de l’un des foyers de l’ellipse partent des rayon$
de lumière qui tombent sur la surface intérieure d' un
miroir formé par la révolution de-cette ellipse autour
de son grand axe, ces rayons seront tous réfléchis vers
4 autre foyer, re est cette propriété qui a fait donner le
nom de foyers aux points FE. et. f.

10. On nomme diamètres conjugués , deux diamètres
dont l’un est parallèle à la tangente menée à l'extrémité
de l’autre, On reconnait facilement que toutes les cordes
inenées dans l’ellipse parallèlement à un diamètre sont
coupées en deux parties égales par son coxjugué, Les
deux axes formentun système de diamètres coujngués,

Eau prenant deux diamètres conjugués pour axes des
abscisses et des ordonnées , les coordonnées ‘deviennent
obliques, mais les équationsne changent pas de forme.
(Foy. TRANSFORMATION DES COORDONNÉES.) On trouve
encore 1° que le parallélogramme circonserit à Pellipse
et formé par Les tangentes meuces aux extrémités d'une

2° que la somme
des carrés de deux dianètres conjugués est égale à la
sormine des carrés des deux axes,

11. Si Jon décrit un cercle sur le grand axe d’une el-
Jipse (PL. XIX, fig. 10), le rapport des ordonnées IM
de l’ellipse et Pr du cercle ; correspondantes à la même
abscisse CI sera égal à celui des axes de l’ellipse. En
effet, en comptant les abscisses du centre, l'équation de
l'ellipse est

CS)

Ja :
=.

et celle du cercle décrit sur 24, comme diamètre, est

)

V? HAL, |

désignant donc par # la talear &é l’ordonnée de l’el-
lipse correspondante a l'abscisse «, et pa y la valeur de
l'ordonnée du cercle correspondant à la même abscisse,

nous aulons

et par conséquent

)

On conclut aisément de cette propriété-que la sur-
face de l’ellipse est à celle du cércle décrit sur son grand
axe comme le petit axe est au grand axé. Ainsi 477 rex
présentant a surface du ceréle dont 4 st le ravon (vay.
CERCLE, n° 31),

grand axe et 2h pour petit axe, sera

Ja surface de. l’ellipse qui a 24 pour

CS

. c :
L X ar = abr

o& =
le nombre + étant 5,1415026...4 etc. (Poyez Quaprai
TURE). d

12. La surface du cercle décrit sur le demi petit axe
de l’ellipse comme diamètre étant dr, en comparant
les trois quantités b?r, ab, «+, on Yoit aisément qu'on

à la proportion

Pr: abr:: abr: @r,

c'est-à-dire que la surface de Pellipse est moyenne pro-
portionnelle entre les surfaces des cercles décrits sur ses
deux axes. ET.

13. Au lieu dé rapporter l’ellipse à des coordonnées

alectangulhives où à des coordoinées parallèles oc paiu

-eneore considérer, son équation par mmpport 4 baie

528 EL

que font avec le grand axe les droites mêmes de l’un
des foyers. Cette considération est surtout utile dans
l'astronomie parce que les planètes décrivent autour du
soleil des ellipses dont il occupe l’un des foyers. Choi-
sissons donc f pour le foyer ou pour le p6£e d'où doivent
partir les rayons vecteurs (figure ci-dessus du n° 5), et
désignons par 9 l’angle 1fB formé par un rayon quel-
conque fm et l’axe AB ; faisons toujours On=x, mn=y
et représentons l’exceniricité Of par e et le rayon vec-
teur fm parz; le triangle fnm donne

1:sin@::2:Y

d’où
y = 2.sin Ÿ
Z =3.00s Ÿ—e ;'

substituant ces valeurs dans l'équation de l’ellipse

b? 2 2
NA = 7 (a tt )
elle devient

2*.sin 9 = _ .(a—(3.c059—e)")

b
= Aie + COS D 267. C0sD=—€?)
ou
az? sin °@+-b22? cos p—2bez cos DH be = ab1

mais sin 2 — 1 —C05 °® , substituant cette valeur de
in *@, etremarquant ensuite que &’—b?=e?, on aura

æz=(b1+ez, cos @}
et, prenant la racine carrée,

Haz=br+ez, cos g
ce qui donne définitivement

« ba
a—e cos

D —
3 =

Telle est l'équation polaire de l’ellipse.
Cette équation fournit pour chaque valeur de @ deux
valeurs de 3 inégales et de signe contraire

Mais, abstraction faite du signe, on voit que la seconde
valeur se déduit de la première, en changeant cos @ en

EL

— cos @; ainsi cette première suffit pour donner tous
les points de la courbe en faisant passer l'angle @ par
tous les degrés de grandeurs depuis @=0° jusqu’à
=—360°. En faisant p=0, nous aurons cos #1, et par
suite

a+e
valeurs qui 1épondent aux deux points où la courbe
coupe le grand axe, car on a évidemment &æ+e=—/fB
et —(a—e)=Af.

14. Ce qui précède est suffisant pour trouver toutes
les propriétés de l’ellipse dont nous pourrons avoir be-
soin dans le cours de ce. dictionnaire. La nature de cet
ouvrage, nous force à renvoyer pour les détails aux
traités spéciaux. Voy. Le Traité des courbes du second
degré, de Biot, la Géométrie analytique, de Garnier, et
l’Application de l'algèbre à la géométrie, de Bourdon.
PVoy. aussi les mots TancenTE, NORMALE, TrAnsron-
MATION, QUADRATURE et RECTIFICATION.

ELLIPSOÏDE (Géom.). Solide formé par la révo-
lution d’une demi-ellipse autour de son axe. Voy. Spué-
ROÏLE.

ELLIPTIQUE. Ce qui appartient ou ce qui se rap-
porte à l’ellipse ; tel que segment elliptique, arc ellip-
tique, etc.

Compas ELLIPTIQUE. Il se compose d’une règle DG
(PL. XXV, fig. 2), portant trois curseurs, à l’un des-
quels D est ajusté une pointe ou un crayon, les deux
autres entrent dans les rainures de deux pièces en bois
ou en cuivre, disposées à angle droit, comme on le
voit dans la figure. En faisant tourner la règle DG, les
deux curseurs L et G glissent dans les coulisses et la
pointe D décrit une ellipse. Il suffit donc de donner à
L et G une distance égale à celle des foyers de l’ellipse
qu’on veut construire. Cette espèce de compas est si
peu commode dans la pratique qu’on préfère décrire
l'ellipse par points. V’oy. Ezzirse , n° 6.

ÉL-MAMOUN(AsD-ALLan), vulgairement ALMAMON,
vingt-septième Khalyfe de Bagdad, et le septième de la
dynastie des Abassides , était le deuxième fils du célèbre
Haroun-êl-Rachyd. Cet illustre protecteur des sciences,
monta sur letrônele 25 du mois de Moharrem, an de
de l'Hégire 198 (25 septembre de notre ère). Él-Mi-
mounavait eu pour principal maître Jean Mesva, mé-
decin chrétien, qui lui inspira de bonne heure le goût
des sciences et des lettres. Parvenu au rang suprême, ce
prince ne démentit point les espérances de sa jeunesse.
Ce fut sous son règne que la nation arabe chercha dans
l'étude des sciences une gloire plus pure et plus digne
de l'admiration des hommes, que celle des armes. La
protection généreuse que le Khalyfe leur acçorda, son

EL

exemple surtout, détermina ce mouvement de civilisa-
tion qui s'était déja manifesté, parmi les Arabes, sous
ses prédécesseurs El-Mansour surnommé Abou-Djafar ,
Haroun-él-Rachyd et Mohammed-él-Amyn. Il appela à
lui etencouragea par seslibéralitésles savans de l'Orient,
il se procura à tout prix les livres originaux que possé-
dait la Grèce , et lorsqu'une grande victoire l’eût mis à
même de dicter la paix à Michel HT, il exigea comme
un tribut de la part de cet empereur l'envoi des ouvrages
les plus rares qui existassent dans la Grèce. Ce fut ainsi
que la nation arabe entra en possession de toutes les ri-
chesses littéraires de l'antiquité.

L’astronomie fut une des sciences quise ressentit le
plus de la protection d'El-mämoun. Il en avait fait l’ob-
jet le plus spécial de ses études, et il continuait à s’en
occuper avec ardeur, sans négliger les soins multipliés
qu’exigeait le gouvernement de son vaste empire. C’est
par ses ordres et sous sa direction que fut faite la tra-
duction arabe de l’Almageste de Ptolémée et des élé-
mens d’'Euclide. Deux observations de l’obliquité de l’é-
cliptique, qui ont dü être conservéesà cause de leur
précision furent faites sous les auspices du Khalyfe, et
suivant plusieurs auteurs avec sa coopération. Dans la
première, la plus grande déclinaison de Fécliptique est
déterminée à 23° 33’; dans la seconde qui fut opérée à
l'aide d’un instrument d’une grande dimension, cons-
truit par ordre du prince, cette déclinaison fut trouvée
de 23° 33' 52”. Le Khalyfe indiqua aux savans dont il
était entouré un grand nombre de travaux non moins
utiles, et d’une exécution non moins difficile, parmi les-
quels on ne doit point oublier la tentative faite pour ob-
tenir une mesure de la terre plus exacte que celle des an-
ciens, ni les tables astronomiques qui portent son nom, et
qui sont un monument impérissable de sa gloire et de
son génie. Les astronomes qui se distinguèrent le plus
sous ce règne brillant, et qui réalisèrent avec plus de
bonheur la pensée du Khalyfe furent Habech-él-Me-
rouzy, l’un des auteurs des tables, Ahmed-ben-Kolhevr,
surnommé Él-Fergäny, et par corruption Êl-Fragen F
Abd-Allah-ben-Saleh, Mohammed-ben-Moussa et Mâchä-
Allah-Él-Ychoudy.

L'époque d’un progrès important dans les sciences
renaissantes se rattache ainsi au règne d'Él-Mämoun ;
la reconnaissance des hommes qui apprécient leur in-
fluence sur la marche de l'esprit humain, a fondé une
grande et durable renommée à cet illustre Khalyfe,

qui mourutà Tarse, en Cilicie, l'an de l'hégire 210, .

le 19° jour du mois regab (10 août de l’an 833 ‘de l'ère
chrétienne.)

ELONGATION (Astr.). Distance angulaire d’une
planète au soleil. C’est l'angle formé entre les deux
rayons visuels menés de l’œil à la planète et au soleil.

Pour les planètes dites i/trieures la plus grande élon-

EM 529

gation est en même temps la plus grande distance de la
planète au soleil; celle de Vénus est de 47° 48", et celle
de Mercure de 28° 20’, c'est-à-dire que la première de
ces planètes ne s'éloigne jamais du soleil deplus de 48°
et la seconde de plus de 28° 20". Quantaux autres planètes
leur élongation peut aller à 180°, puisque la terre est
située entre elles et le soleil. :

EMBOLISMIQUE (Calendrier). Mois embolismique
ou intercalaire; moisajouté parles chronologistes pour
former le cycle lunaire de 19 ans. Woy. Carknprmen,
n° 8.

EMERSION (45t.). Réapparition d’un astre éclipsé.
On se sert encore quelquefois de ce terme, lorsqu'un
astre que le soleil empéchait d’apercevoir commence à
devenir visible.

Dans les éclipses de lune, on nomme minute ou scru-
pule d'Emersion l'arc que le centre de la lune décrit
depuisle moment où elle commence à sortir de l'ombre
de la terre jusqu’à la fin de l’éclipse.

EMPEDOCLES. Célèbre philosophe et géomètre de
l'antiquité. Son père se nommait Buton et son grand-
père Empedocles. Ce dernier avait remporté aux jeux
olympiques le prix de la course du char, en la 71° olym-
piade (environ l’an 496 avant J.-C.), et ce fut probable-
ment en commémoration de cette illustration que son
nom fut donné à son petit-fils, qui lui acquit par d’autres
moyens une célébrité plus durable. Empédocles naquit
à Agrigente, en Sicile, où sa famille occupait un rang
distingué. On ignore sous quels maîtres il commença ses
études , mais on ne peut douter qu’il appartint à la bril-
lante école de Pythagore, dontil a été l’un des plus il-
lustres représentans. Ses écrits ne nous sont parvenus
que par fragmens. Le célèbreacadémicien Fréret a pré-
tendu trouver dans quelques expressions de ce philo-
sophe l’idée première du système newtonien de l’attrac-
tion. Empédocles, comme la plupart des anciens, attri-
buait l'harmonie du monde à une sympathie et une an-
üpathie, dont ils ne s’expliquaieut pas bien la nature.
Il y a sans doute bien loin de ces vagues aperçus aux
immortelles découvertes de Newton.

Aristote dans un de ses écrits ( De anima, lib. IT),
nous apprend qu'Empédocles faisait consister la lumière
dans un écoulement continu hors du corps lumineux.
On objectait à cette opinion que si la lumière du soleil
consistait dans une émission de corpuscules partant de
cet astre, on nc le verrait jamais à sa vraie place, car il
eu aurait changé dans l'intervalle de temps que le cor-
puscule de lumière mettrait pour arriver à nous. Empé-
docles, sansrecourir à l’instantanéité de cette émission
de la lumière, ou à sa prodigieuse vélocité, répondait
à cette objection d’unemanière assez ingénieuse, JI disait,
en cffet, que cette argumentation serait vraie, si le soleil
lui-même était eo mouyement; mais que la terre tour-

07

Bt) EN
nant autour de son axe, venait au-devant du rayon, et
voyait l’astre dans sa prolongation. L'ouvrage d'Em-
pédo. les qui eut le plus de célébrité dans l'antiquité est
un poëme intitulé Classica, c'est à-dire : De la allure
et des principes des choses. H'admettait quatre élémens,
le feu , l'eau, l'air et la terre, soumis à deux causes pri-
mitives et principales qu'il appelait l'amour et la haine
ou la sympathie et Vantipathie, dont l'uue unit les élé-
meus et l’autre Jes divise. En donnant au feu le nom de
Jupiter, à la terre le nom de Junon, à Pair celui de
Pluton, à l'eau celui de Nestis, Empédocles est un dés
premiers philosophes qui aieut allégorisé où du moins
expliqué par des allégories, la grossière théogonie de
ces temps reculés. C’est aussi dans cet ouvrage qu'Em-
pédocles exposait Les principes de la métempsycose. Il
disait que l'ame était d’origine divine, et d’une nature
immatérielle, qu’elle avait été rc'éguée dans un corps
en punition d’une faute antérieure, et qu’elle était con-
damnée à passer successivement dans plusieurs, jusqu’à
.ce qu'elle fût entièrement purifiée, Où voit qu'il ue se-
‘rait pas difficile d'accorder cette philosophie avec les
“dogmes les plus sublimes et les plus moraux du christia-
nisme.

Empédocles qui exerça une grande influence dans la
république oùilétaitué, et quiavait refusé la tyrannie,
c'est-à-dire le pouvoir souverain, vivait encore lorsque
la ville d'Agrigente fut prise et saccagée par les Cartha-
ginois, l'an 403 avant J. C. A l’époque de ce désastre,
il se retira dans le Péloponèse où il finit ses jours dans la
solitude et l'obscurité. Timée, historien né en Sicile,
d'après lequel Diogi ne Laërce rapporte ces circonstances
relatives à Empédocles, s'élève avec force contre le
bruit populaire d’après lequel ce philosophe se serait
précipité dans l’un des cratères de l'Etna. Les fragmens
desécrits d'Empedocles ont été imprimés de nôtre temps
dans deux recueils. I. Æmpedoclis agr'gentint, de
vit et philosophia ejus exposuit, carminurmn reliquias
collegit, Fred., Guill., Sturg, Leipzig, 1305, in8°,

a vol. II. Empedoclis et Parmenidis fra;menta, ex
codice bibliothecæ taurinensis restituta ab Amedeco,
Pevrou.

ENGENDRER. On se sert de ce mot pour désigner
en géométrie la génération d’une étendue à l’aide du
mouvement d’une autre étendue. C’est ainsi qu’on dit,
par exemple, qu’un cylindre droit est engendré par la
rotation d’un rectangle autour d’un de ses côtés.

ENGIN (Mec.). Nom générique que l’on donnait jadis
à toutes les machines. Il est plus spécialement consacré
aujourd’hui à désigner un appareil destiné à former un
point de suspension pour élever les fardeaux.

ENGRENAGE (Méc.). Système à l’aide duquel on
transmet le mouvement d’une roue à une autre.

Les roues pouvant engrener extérieurement ou inté-

EN

rieurement, il suit qu’il y a deux espèces d’engrenages;
mais comme la première espèce est à peu près la seule
employée, c'est aussi la seule que nous considérerons,
Pour déterminer qu’elle est la meilleure forme à don-
ner aux dents des roues qui engrènent les unes avec les
autres ; il est d’abord nécessaire d'examiner le mouve:

ment de rotation de deux cercles qui se touchent.
Roues dont les axes sont parallèles.

Supposons d’abord que les deux cercles sont dans un
mème plan et qu'ils puissent prendre un mouvement
de rotation autour de la droite, passant par leur centre
perpendicülairement à leur plan. Si on suppose qu’à
l’un des cercles on applique une force F dirigée suivant
la tangente à l’un ou l’autre cercle, ils tourneront avec
des vitesses égales, car , puisqu'ils roulent l'an sur l’au-
tre, les arcs décrits dans le même temps par chacun des
points de leur circonférence sont égaux et ces arcs sont
la mesure des vitesses. Les momens de la force F, par
rapport aux centres des deux cercles, sont proportion-
nels à leur rayon, car ils ont pour expression FXR
et FXR'’.

Si nous considérons les cercles des rayons R et R',
comme les bases de deux roues cylindriques, etleslignes
qui terminent les dents comme les bases de deux cy-
lindres, ces lignes devront se toucher dans toutes leurs
positions, et la normale commune qui varie avec la po-
sion des cercles devra passer par le point de coutact
des deux cercles. Si nous nommons B et B'les perpen-
diculaires abaissées des centres fixes sur la normale com-
mune, et f la force qui est dirigée suivant la normale et
dont le moment, par rapport au centre du cercle du
rayon R, est égal au moment de la force F, nous

aurons
JXB=FXR,
d’où
RE
=

Le moment de cette force, par rapport au cercle dont
le rayon est K', est f X B'; mais la normale passant par
le point de contact des deux cercles, on à la propor-

tion
HR RE p-D;

donc

Par conséquent les momens, par rapport aux centres des
cercles, n’ont pas changé , donc les deux cercles se meu-
vent comme s'ils étaient conduits par une force unique
F, dirigée suivant la tangente à l’un des deux cercles.

Tuaginons un cercle d’un rayon AB (PL. XXXIT,

EN

fig. 3) tournant autour de la ligne des pôles projetée en
À, c’est-à-dire de la droite passant par son centre per-
pendiculairement à son plan, et cherchons comment il
pourra transmettre son mouvement de rotation à un
autre cercle d’un rayon CB, qui lui est tangent en B et
qui est situé dans le même plan. Si nous décrivons un
cercle sur CB comme diamètre, et que nous le fassions
tourner sur la circonférence dont le rayon est AB, le
point B décrira une épicycloïde plane; s’il tournait sur
la circonférence dont le rayon est CB il engendrerait une
droite CB (Foy. Éricxcuoïnr). Si on suppose que l’épi-
cycloïde BP soit fixée au cercle AB et que la droite BC
le soit aussi au cercle BC, cette épicycloïde conduira
cette droite de manière que les vitesses de rotation se-
ront égales et les momens constans.

Supposons en effet que l'épicycloïde soit arrivée dans
la position B'd'P', elle coupera alors le cercle du dia-
mètre CB en un point d' tel qu'on aura

arc Bd’ — arc BB';

car si on suppose que la position primitive du cercle
soit telle qu’il touche en B'le cercle AB sur lequel il
roule , on aura le point d' de la courbe parcourue eu
faisant l’arc BB'— arc Bd!.

La position correspondante du rayon CB passera aussi
parle point d', puisque d’après la définition des épicy-
cloïdes les arcs BB'; Bb', Bd', sont de même longueur.
Mais Ja droite C£' est tangente à l'épicycloïde B'dP',
donc la pression de cette épicycloïde contre le rayon Cb’
aura lieu suivant la normale dB qui passe par le point
de contact B des deux cercles AB et BC: donc la force
qui fait tourner l’un ou l’autre cercle, et le moment de
cette force, sont constans.

Soient maintenant AB et OB les rayons de deux cer-
cles situés dans le même plan et tangeus l'un à l’autre au
point B. Imaginons un troisième cercle décrit d’un
rayon quelconque O'B et tangentaux deux premiers du
même point À. S'ilse meut successivement sur les deux
cercles AB et OB, un de ses points engendrera deux
épicycloïdes BP et BQ. La première de ces épicycloïdes
étant fixée sur le cercle AB et l’autre sur le cercle OB,
dans leur rotation ;avec les cercles elles auront des vi-
tesses égales: ec. les momens seront proportionnels aux
rayous AB ct OB, Supposons en effet les épicycloïdes
daus les positions B’P" et B’Q". Par construction elles
aurout de commun le point d” situé sur la circonférence
dont le rayon est O'B, par conséquent une tangente
commune Cd"; et leur pression l’une, contre l’autre
s'exercera suivant la normale Bd” qui passe nécessaire-
ment par le point B. Il suivra.de là que le momerit
d'une force appliquée à l’un des cercles étant constant ,
le moment d’une force appliquée à l’autre cercle le sera
aussi. |

EN

Nous allons nous occuper de déterminer la forme de:
dents de deux roues cylindriques de même épaisseur,

591

comprises entre deux plans parallèles et tournant autour
de deux axes parallèles passant par leur centre, de ma-
nière à ce qu’elles se meuvent comme deux cercles si-
tués dans ie même plan et constamment tangens l’uu à
l’autre.

Soient À et B (PL. XXXII, fig. 2) les projections des
deux axes parallèles autour desquels ces roues doivent
tourner. Sur la droite qui joint ces deux points, prenons
un point C qui ait sur l’une et l’autre roue la même vi-
tesse de rotation, et des rayons AC ct BC, que nous
nommerons rayons primitifs, traçons deux cercles qui
seront tangens en C. Les circonférences de ces cercles
sont dans le rapport de leurs rayons, qui est déterminé
par le nombre des dents des roues: de sorte qu’il est tou-
jours exprimé en nombres entiers.

Les épaisseurs des dents, qui sont égales sur l’une et
l'autre roue, se mesurent sur les circonférences des
rayons primitifs ; l'intervalle qui les sépare et qui s’ap-
pelie creux, est aussi le même pour les deux roues etse
mesuresur les mêmes circonférences. {l est un peu plus
grand que l’épaisseur des dents: On a soin de prendre
les deux arcs déterminant l'épaisseur d’une dent et la
largeur du creux dans + rapport tel que leur somme
soit contenue un nombre exact de fois dans les deux cir-
conférences. Supposons que FI soit l'épaisseur des dents
de Ja première roue, dont le ravon est CB, et FH la
longueur du creux, ct VOYONS comment nous détermi-
nerons les courbes qui doivent servir de base aux sure
faces cylindriques terminant les dents, Sur la droite AC,
comme diamètre , nous déctirons un cercle dont nous
supposerons la cireoriférénce tournant sur la circonfé-
rence BC. Dans ce niouvement le point € décrira une
épicycloïde CM. Si maintenant nous prenons l'are
CN

et que nous menions le rayon BNM, le
point M où il coupe l’épicyeloïde CM sera le dernier
point de la courbe qui doit servit de base à la surface
cylindrique du plein de la dent.

À cet arc CM, de la dent de la grande roue, corres-
pond un flanc de la petite roue que nous allons déter-
miner. Du point B comme centre et du rayon BM dé-
crivons un arc de cercle MPL, Get are coupe la cir-
conférence du rayon AG au point L, et la circonférence
du diamètre AC au point P. En traçant une circonfé-
rence du point À comme centre avéc le rayon AP, le
point Q, où elle rencontre le rayon AC, déterminera
la longueur CQ du flanc demandé. La portion d'épi-
cycloïde CM, conduisant le flanc CQ de AC en AC,
passe de la position CM à la position PP’, et alors elle

a pour tangente le rayon APC’. Au-delà de cette posi-
tion la deut glisserait cncore sur le flanc qw'elle pousse-

t

24

532 EN

rait au-delà de AC! jusqu'à ce que les deux extrémités
de la dent et du flanc fussent réunies en L; maisalorsles
conditions de mouvement ne seraient plus satisfaites.
Aussi lorsque le flanc AC est arrivé en AC", il faut
qu’une autre dent engrène avec un autre flanc et qu’elle
communique à la roue du rayon primitif AC un mou-
vement uniforme de rotation. Aussitôt que cet engre-
nage aura lieu, le flanc CQ étant arrivé dans ia position
APC', il cessera d’être passé par la dent et lorsque la
dent sera parvenue en LL’ Ie flanc sera au-delà de AL.

On fera absolument les mêmes constructions pour
déterminer les dents de la petite roue et les flancs de la
grande. Il reste maintenant à tracer la forme du creux
qui sépare deux denis, car au point où nous sommes
arrivés, le mouvement ne pourrait avoir lieu puisque
les arcs d’épicycloïdes qui terminent le contour des
dents ne pourraient se loger dans l'espace pratiqué entre
les dents. L’intervalle entre deux dents dela petite roue
est terminé par la courbe que décrit l'extrémité M de
la dent CM de la grande roue sur le plan du cercle du
rayon primitif AC. Or, en faisant tourner les deux cer-
cles des rayons AC et BG autour de leur centre, le point
C décrit, d’un mouvement rapporté au rayon AC comme
axe fixe, une épicycloïde: partant, le point M décrit une
épicycloïde ralongée (voy. Éprcyccoïnx). Mais tous les
points du cercle qui a pour rayon BNM décrivent la
même ligne. Si donc on prend Ca=MN, les points M
et a décriront la même épicycloïde ralongée. Soit ab l'é-
picycloïde ralongée décrite par ce point a. En décrivant
du point À comme centre avec AM pour rayon un arc
de cercle jusqu’à ce qu’il rencontre ba en 1, on con-
struira la droite Aa’ faisant l’angle MAa'—mAa ; trans-
portant la branche de courbe amb en a'Q ct en «' Md,
Ma'Q sera la courbe décrite par le point M sur le plan
du cercle primitif de la petite roue, en rapportant cette
courbe à la droite Ad, considérée comme un axe fixe de
coordonnées.

En supposant la dent CM de la grande roue transpor-
tée en PP’ où elle cesse de toucher le flanc de la petite
roue, le creux Qa' aura pris la position PY ; l'extrémité
de la dent CM et la naissance de la courbe de creux se
confondront alors en un même point P. Les courbes PP'
et PY ont encore en ce point la même normale CP, car
le point P appartenant à l’épicycloïde ralongée, on a un
triangle APB dans lequel PB — MB, d'ou il suit que la
normale de cette épicycloïde passe par le point C. On
doit conclure de là qu’au point Q la courbe de creux est
tangente au rayon AQ.

Cet exemple suffisant pour bien faire comprendre
comment on peut tracer les dents des roues tournant au-
tour d’axes parallèles entre eux, nous ne considérerons
pas le cas où l’une des roues devient une lanterne, ni

EN

celui des lames et pilons, renvoyant pour cela au traité
des machines de Hachette.

Roues dont les axes se rencontrent.

Imaginons mainteuant que deux cercles en contact ne
sont pas dans un même plan et qu'ils soient mobiles au-
tour deleurs centres. Dans ce cas une force F passant par
leur point de contact, est équivalente à une autre force f
dans un rapport déterminé avec elle et dirigée suivant la
tangente commune aux deux cercles. En effet la force
F, qui passe par le point de contact des deux cercles,
peut se décomposer, par rapport au plan de chacun des
deux cercles, en trois forces , l’une suivant la perpendi-
culaire au plan , la seconde suivant un rayon du cerele
situé dans ce plan , et la troisième fsuivant la tangente
commune aux deux cercles. Les deux premières sont dé-
truites par la résistance des axes fixes de rotation des
deux cercles. Pour trouver le rapport entre f'et F, il
suffit de remarquer qu’en décomposant, cette dernière
en deux autres, l’une suivant la tangente commune aux
deux cercles, etl’autre perpendiculaire à cette tangente,
la première sera égale à f, et que par conséquent cette
force fne dépend que de l'angle formé par la tangente
commune aux deux cercles avec la direction de la force
F. Par conséquent, la force f' est la même, soit qu’on dé-
compose la force F par rapport au plan de l’un ou de
l’autre cercle. Mais les momens de cette force f, par
rapport aux centres des cercles, sont proportionnels
aux rayons de ces cercles , donc quelle que soit la direc-
tion de la force F, par rapport au plan des deux cercles,
pourvu qu’elle passe par le point de contact de ces cer-
cles , elle est équivalente à une force f dont les momens,
par rapport aux centres des cercles, sont proportionnels
à leurs rayons: proposition qui est encore vraie, si la
force F est dans le plan de l’un des cercles.

Si on nomme à l’angle de la force F avec la tangente
commune aux deux cercles, le rapport entre F et f'sera
déterminé par l'équation.

J=F cos «;

et les momens de la force f, par rapport aux centres des
cercles des rayons R et R', seront RF cos «, R'F cos &.
Ce rapport est donc celui de R à R', et il est indépen-
dant de la grandeur et dela direction de F.

Désignons par C et C' les deux cercles qui se touchent
sans être dans un même plan, et éonsidérons-les comme
les bases de deux cônes droits C et C’ qui ont pour som-
met commun le point d’intersection de leur ligne des
pôles.

Dansie plan du cercle C' traçons un troisième cercle C”
qui ait pour diamètre le rayon de ce cercle et qui lui
soit tangent au point de contact qu’il a avec le cercle C.
En faisant rouler le cône C' sur le cône C, un point

EN

quelconque du cercle C” décrira une épicycloïde sphé-
rique dont l'origine sera sur le cercle C. Prenons cette
épicycloïde pour base d’un troisième cône ayant même
sommet que les deux premiers et qui soit fixe sur le
cône C. Par la ligne des pôles du cercle C! menons un
plan contenant le triangle formé par un rayon du cercle
C', la ligne des pôles de ce cercle et une arête du cône
C', etfixons ce triangle sur le cercle C’ qu’on veut faire
tourner autour de la ligne des pôles comme axe.

Une force quelconque faisant tourner le cône droit GC
sur son axe, fera tourner en même temps le cône à base
épicycloïdale fixé sur le cercle C. Le dernier cône pres-
sera le plan du triangle fixé sur le cercle C' et obligera
ce cercle à tourner.

Mais le cône à base épicycloïdale est touché danstoutes
ses positions par le plan du triangle suivant une arête ;
etsi par cette arête on mène un plan normal au cône ,
ce plan passe par l’arête de contact des deux cônes droits
Cet C', dont l’un est fixe et l’autre mobile (Foyez Épr-
eYGLoÏDE spuÉrIQUE). Mais la force qui conduit le plan
du triangle fixé au cercle C' est nécessairement perpen-
diculaire à ce dernier plan, donc elle est dirigée dans le
plan normal au cône épicycloïdal ; par conséquent elle
passé par l’arête de contact des deux cônes droits. La force
appliquée tangentiellement au cercle C, se change alors
en uue autre force passant par le point de contact des
deux cercles GC etC', et dirigée darsle plan du cercle C.
Mais les momens de cette force, par rapport aux centres
des cercles C et C', sont préportionnels aux rayons de
ces cercles , donc les deux cercles se meuvent comme si
le mouvement de l’un d'eux se transmettait à l’autre par
leur élément commun.

Siles deux cercles C et C' sont les bases de deux roues,
la dent dela premièresera formée par un tronc du cône
épicycioïdal, et elle conduira la seconde roue en tou-
chant continuellement une portion du plan triangulaire
qui est fixé au cercle C' et qui porte le nom de flanc.

Soient AB le rayon du cercle fixe (PL. XXXIT, fig. 3)
et AHlaligne des pôles ; le cercle mobile a pour rayon Ba
et pour ligne des pôles Hd. L’angle 4BG est celui du plan
des deux cercles. Sur Bd comme diamètre on décrit le
cercle C”,qui, rabattu, prend la position BP4. Un point de
ce cercle décrit une épicycloïdesphérique dont le centre
est en O', point d’intersection de la ligne AH et de la
droite OO" perpendiculaire sur le milieu de Bd,

Lorsque les deux cônes GC et C', dont le sommet com-
mun est en H, se tournent suivant l’arête BH, on sup-
pose que le point générateur de lépicycloïde sphérique
est projeté en EE’, sa vraie position étant en P. Alors
le plan du flanc passe par les droites Pd et dIT: il est per-
pendiculaire au plan BPd et touche le cône épicyeloïdal
suivant une arête dont les projections sont AE, HE' et

Pd, La position de cette arête, par rapport à la droite

EN 533
Hd, varie en même temps que la position du cône épi-
cycloïdal.

Une force F appliquée tangentiellement au cercle Ge
du rayon AB , et par conséquent au cercle C' du yo
BO', se change en une autre force f qui est dirigée sui-
vant BP; de sorte que plus le point P s'approche du
point d, plus la force f'augmente, et par conséquent la
pression de la dent contre le flanc. Le frottement crois-
sant avec la pression, il est nécessaire, pour le rendre le
plus faible possible , que la dent ne fasse tourner le flanc
que d’un petit arc. La différence entre les deux droites
dB et dP détermine la portion du flanc contre laquelle
la dent a glissé pour faire tourner le cercle C' d’un arc
égal à BP.

Si on suppose que le cône épicycloïdal a pour base
une portion déterminée d’épicycloïde , telle que celle
dont la projection est 4Ë, dans cette position le cône
est touché par ie plan du flanc passant par l’axe de ro-
tation Hd suivant l’arête qui se projette en HE’ et en
Pd. Lorsque le pointa, crigine de l’épicycloïde, était en
B , le cône épicycloïdal touchait alors le plan du flanc
passant par l'axe de rotation H4, suivant la droite HB
qui se projette en Bd; d'où il suit, que tandis que le cône
épicycloïdal tourne autour de l’axe AH d’un arc Ba, le
plan du flanc tourne autour d’un arc égal à celui qui
mesure l’angle P4B. Si donc du point d comme centre,
avec dP pour rayon, on décrit un arc qui coupe la
droite dB au point p, la portion du flanc passant par
l’axe Hd, sur laquelle glisse la portion de cône épicy-
cloïdal, est comprise entre les deux droites Hp et HB.
L'angle de ces deux droites comprend la portion utile
du flanc, qui correspond à la portion du cône épicy-
cloïdal dont les arêtes extrêmes se projettent en Aa et
AE. Ainsi, connaissant l'arc décrit par un point quel-
conque du cône épicycloïdal autour du premier axe de
rotation AH , on en conclut la grandeur de l'arc épicy-
cloïdal qui lui sert de base, l'angle qui comprend le
flanc; et l’arc décrit par un point quelconque de ce flanc
autour du second axe de rotation Hd.

Lorsque le cône épicycloïdal tourne autour de l'axe
de rotation AH, chacun des points de l’épicycloïde sphé-
rique qui lui sert de base, décrit un cercle autour de cet
axe. Ainsi, le point extrême EE’ décrit un cercle qui a
pour rayon AE, qui se projette en FE'e. Si donc on dé-
crit l’arc de cercle E£ du point À comme centre avec
AE pour rayon, et si on prend et—nE, eHF sera l’an-
gle de l'axe AH avec l’arête extrême qui se projette en
AE. Dans toutes les positions du cône épicycloïdal cette
arête fait avec l'arc de rotation un angle constant, puis-
que le cône tourne autour de cet axe. Connaissant cet
angle , on peut en conclure la grandeur de l’arc que le
cône épicycloïdal fait décrire à un point quelconque du
flanc. En effet, soit FHe cet angle ramené dans le plan

554 EN

des deux axes de rotation AH, H4 ; Te étant la longueur
de l’arête extrême du cône épicycloïdal, la perpendis
culaire eF, abaissée sur l'axe de rotation AH, est le rayon
du cercle décrit par l'extrémité de cette arëte autour de
cet axe; le plan de ce cercle coupe le plan du cercle gés
nérateur de l’épicycloïde suivant PE’. Joignous donc P
et d'par une droite, le flanc a d’abord pour trace Pd et
ensuite Bd; il a donc tourné d’un augle égal a P4B.
Nous allons déterminer la forme des deuts de deux
roues d'angle en nous appuyant sur les considérations
que uous venons d'établir.
Nous considérerons d’abord la roue qui a pour axe de
rotation la droite AC (PL. XXXI, fig, 1). Elle est ter+
minée extérieurement et intérieurement par deux troncs
de cônes droits qui ont pour axe commun la droite AC,
et pour génératrices l'un la droite LI et l'autre la droite
L'T'. Ces troncs de cône ont pour base inférieure deux
cercles dont les rayons sont {Let Z'L', etles centres en 2
et L' sur l’axe de rotation. La distance entre ces deux
cercles est égale à l'épaisseur des pièces de bois qui for-
ment l’enrayure de la roue. Les dimensions des cônes
droits qui terminent l'extérieur et l’intérieur de la roue
déterminent la portion de cône épicycloïdal qui formele
plein d’une demident. Soient donc DE la projection de
l’épicycloïde sphérique qui sert de base au cône épicy-
cloïdal dela dent,sur un plan perpendiculaire l'axe AC,
et DME' laprojection sur le même plau de l’intersection
du cône épicycloïdal et du cône droit qui a pour géné-
ratrice LI, Le cercle Mi, décrit du point O comme centre
avec le rayon OM=HI, coupe la ligne DM au point M.
Dai étant l'épaisseur d’une dent et la largeur d’uu creux,
on divisera cet arcen deux parties Dn etnt, de telle sorte
que rt soit plus grand que Dn d'environ >; on mènera
ensuite la droite Oz' qui est la bissectrice de l’anglezOD,
et qui déterminera Je milieu du plein de la dent. Sur le
cercle du rayon OM on prendra l'arc M'x'=Me et, par
cet arc Ma'M' et par le sommet du cône épicycloïdal on
fera passer un cône droit qui terminera la dent, et en
séparera les deux parties. Le tronc de cône droit qui
forme l’intérieur de la roue estterminé au cercle qui a
pour rayon Où = H'T', Sion mène les rayons OM et
OM, ils intercepteront sur le cercle décrit du rayon Of’,
l'arc mm" et la projection de la face conique qui sépare
les deux parties d’une dent sera MM'm'm. Si maintenant
on fait la courbe M'n égale à la courbe MD, et qu'on
trace les courbes dr et pm' semblables aux courbes DM
et M'r et semblablement placées par rapport à axe Ox!,
on aura la projection du plein de la première roue. La
seconde ayant pour axe de rotation A'C qui fait avec le
premier l'angle ACA", on déterminera, de la même ma-
mière, sur un plan perpendiculaire à son axe, la projec-
tion du plein d’une deses dents. Mais les dimensions de
. selte dent déterminant la longueur du flanc de la pre-

EN :
mière roue, il est nécessaire, pour déterminer ce flanc,
de connaître le cercle MM' décrit du rayon A'4' et qui
termine les dents de la seconde roue.

Le cercle BaD décrit du rayon A'4—BA', contient
les naissances de ces dents. Les deux cercles des rayons
À'x, A'u' peuvent être considérés comme bases de deux
cônes droits, ayant pour axe commun l’axe de rotation
de la seconde roue, et pour sommet commun le point
de rencontre des deux axes de rotation. Les extrémités
et les naissances des dents de la première roue, sont sur
les deux cercles décrits des rayons Ox' et Oz qu’on peut
aussi considérer comme base de deux cônes droits, ayant
pour axe commun l'axe derotation de la première roue,
et pour sommet commun le point de rencontre des
deux axes de rotation. Les arêtes de ces cônes conte-
nues dans le plan qui passe par leur axe commun font
entre elles un angle qui est pris pour mesure de la saillie
de ladent; et c’est le rapport dessaillies des deux roues,
qui détermine le cercle MM' qui limite les dents de la
seconde roue. Dans le cas dont nous nous occupons,
uous supposerons les saillies égales.

La droite qui joint le point D etle point de rencon-
tre des deux axes de rotation se projette parallèlement
à elle-même en BC, Si on ramène le point Menz, et
qu’on élève la perpendiculaire ëL à la droite OD, la
mesure de la saillie de la dent de la première roue sera
mesurée par l’angle BCI, puisque les deux droites BC et
IC sont dans un plan passant par l'axe de rotation, et
qu’ellesappartiennentaux deux cônes droitsqui ont pour
base les cercles Dz et MM'. Menons maintenaut CQP,
faisant avec BC un angle PCB.= BC ,1cet augle sera la
mesure de lasaillie des dents de la seconde roue. Cette
roue.est terminée extérieurement etintérieurement par
deux troncs de cônes droits dont la section par le plan
des deux axes de rotation, est composée de deux parties
égales à celle qui a pour contour PBré£gp Q. Cette fi-
gure en tournant autour de l'axe de rotation AC, en-
geudre la surface, qui termine la seconde roue avant
qu'on.ait taillé les dents. Si du point P, on abaisse la
perpendiculaire PP' sur A'B, A'P' sera le rayon du

.cercle terminant les dents de la seconde roue.

Le cône épicyclaïdal formant une dem -dent de la se-

.çonde roue a pour base l’épicycloïde sphérique qui a

pour projection MD. Supposous que æ et7 soient les
points milieux des droites AB et OD. La droite x per-
pendicujaire à OD coupe l'axe de rotation AC en un
point y, centre de la sphère sur laquelle est tracée l'6-
picycloïde MD , yB étant le rayon de cette sphère. Si
donc du point y comme centre et avec ce rayon on dé-
crit un arc de cercle, on aura toutes les données néces-
saires pour résoudre la question proposée. En effet, dé-
crivons le cercle yD du point y comme centre; du point
G intersection de la droite CP et de l'arc By, abaissons

EN

la pérpendiculaire £9 sur l'axe de rotation AC, et pro-
jetons le point : où elle coupe la droite AB, sur le ctr-
cle décritdu rayon yD.Ramenons ce point d’intersection
» sur la droite AB en 8; joignons 0C, et le point €, où
cette droite coupe la droite BL, projeté en #, déterminera
le rayon Oy du cercle qui termine le flanc de la dent de
la première roue. Le point €’, où la droite CÈ coupe la
droite L'L', projeté en £”, déterminera de même l’autre
extrémité de ce flanc, qui ainsi est projeté en pp'n'n.
Dans l’espace, ce flanc a la forme d’un trapèze, dont
les deux côtés parallèles appartiennent aux côtés des
cônes intérieur et extérieur de la roue, et les deux autres
côtés concourent au point d'intersection des deux axes
de rotation. it 10.

Déterminons maintenant la forme du creux qui doit
exister entre deux dents, Lorsque.les deux roues tour-
nent autour des axes AC et A'C, l'extrémité M de la
dent de la secoude roue, décrit autour de son axe un
cercle dont le rayon est A'M. Si on-rapporte le mouve-
ment du point M aux droites AG et AB, considérées
comme des axes fixes, le point décrit une épicycloïde
sphérique ralongée. Le cône dout le sommet est au
point de rencontre des deux axes de rotation, et qui a
pour base l'épicycloïde raiougée décrite d’un mouve-
meut relatif par Je point M, pénètre le solide sur lequel
on a taillé les dents de la roue, ct c’est cette pénétration
qui détermiue.le creux. Sa grandeur sur une roue dé-
perd évidemment de la longueur des dents de l’autre,
Le contour des creux de la première roue est en pro-
jection composé des deux droites x'p',rg quiconcourent
au point O, et des deux courbes n'q, rp' résultant de
l'intersection des cônes droits intérieurs et extérieurs de
la roue, et,du cône à base. d’épicycloïde sphérique
ralongée. Les deux courbes sont tangentes à la droite
np. La courbe g't'=q'u', intervalle qui les sépare,
étant terminé par une portion de surface conique dont

le sommet est au point C, et dont la base est l'arc gg’.

Pour tracer les coutours du creux et du plein d’une
dent, on développe les surfaces coniques droites qui ter-
minent la roue extérieurement et intérieurement, Pour
le détail des procédés pratiques employés pour le tracé
des diverses sortes d’eugrenages , voyez les dessins de
machines publiés par M, Leblanc.

ENIF (4s1r.). Étoile de la troisième grandeur, située
à la bouche de Pégase. Elle est marquée « dans les ca:
tlogues. Où la nomme encore nf Alpheras.

ENNEADECATERIDE (Calend.). Période de 19
ans qui ramène les nouvelles lunes aux mêmes jours du
. x e
mois. Foy. CarrNprier 7.
ENNEFAGONE (Géom.) (de ervtaæ, neuf, ct. yorie y

angle). Figure de neuf angles et de neuf côtés, Voy. Po-
LYGONE.

EP 535

ÉPACTE (Astr.). Nombre déjours et de fractions de
jour dont les révolutions lunaires diffèrent dés solaires.
Nous avons expliqué en détail au mot Cazenprier l'usage
des épactes pour trouver les nouvelles lunes ecclésias-
tiques, ainsi nous ne nous occuperons ici que de celles
‘qu’on nomme astronomiques , parce que jadis les astro-
nomes s'en servaient pour préparer les calculs des
éclipses.

Les épactes astronomiques sont des nombres qui
expriment l’âge de la lune au commencement dé l’année,
ouletempsquis’est écoulé depuisla dernière conjonction
moyenne del'année précédente jusqu’au commencement
dé l'année actuelle, si elle est bissextile, ou à la veille,
‘si c'ést une annéé commune. Outre ces épactes , qu’on
nomimeépactes d'années, on considère encore les épactes
les Mois, qui sont, pour châqué mois en particulier
l'âge qu'aurait la luné à son comméncement si la der-
nière éonjonction de l’année écouléé avait eu lieu le 31
décembre à midi. Ainsi ; en ajoutant l’épacte de l’année
à celle d’un mois quelconque on a l’âge réel dé la lune
au commencement de ce mois ; et, couséquemment, en
retranchant ensuite cet âge de la durée d’une révolution
entière de la lune, le reste exprime le temps de la con-
jonction moyenne qui doit avoir lieu dans le cours du
mois. Par exemple, l'épacte d’une année étant égale à
14j 20b 44" 18", si l’on voulait connaître l’époque de la
nouvelle lune du mois d’avrildont l’épacte est 19" 4752",
on retrancherait la somme de ces nombres 16i 64 3210"
de la durée d’une révolution lunaire , savoir de 29j 12"
44" S", et le reste 13j 6h 11° 53" indiquerait que la nou-
velle lune cherchée aurait lieu le:13 avril à 6h 11! 33”.

On trouve des tablés dés épactes astronomiques dans
les ouvrages de Riccioli, de La Hire, de Cassini et dans
l'astronomie de Lalande, mais l’état actuel de perfec-
tion des tables solaires à fait renoncer à l'emploi de ces
épactes.

ÉPHÉMÉRIDES (Astr:). Tables qui donnent pour
chaque jour d’une année l’état du ciel. Les astronomes
des diverses nations publient des éphémérides dont les
plus célèbres sont en France, la Connaissance des temps,
en Angleterre, l'Almanach nautique et en Italie, les
Ephémérides de Bologne.

EPI DE LA VIERGE (A4str.). Brillante étoile de la
première grandeur, située dans la constellation de la
Vierge.

ÉPICYCLE (des, sur, et de xvxaos, cercle). C'était,
dans l’ancienne astronomie, une orbite circulaire subor=
donnée dont le centre était supposé se mouvoir sur la
circonférence d’un plus grand cercle appelé le déférent;
on s’en servait pour ramener à des mouvemens réguliers
lesirrépularités apparentes des mouvemens des planètes.

La découverte du véritable système de l'univers rend

556 EP
inutile la considération des épicycles dont l'invention
toutefois est des plus ingénieuses. Foy. Révozurion.

ÉPICYCLOÏDE (Géom.) (de #74, sur, et xvxaos,
cercle). Courbe décrite par un point d’une circonfé-
rence de cercle roulant sur une autre circonférence.
Lorsque les deux cercles sont dans un même plan, l’é-
spicycloïde est plane ; lorsqu'ils sont dans des plans dif-
jférens l'épicycloïde est sphérique.

Occupons-nous d’abord des épicycloïdes planes et
supposons que l’épicycloïde soit extérieure, c’est-à-dire
que le cercle mobile soit tangent extérieurement au
cercle fixe. Soit À (Pr. XXXII, Jig. 1) le centre du
cercle fixe dont AB est le rayon. Le rayon du cercle mo-
bileest Ba. C'est le point de contact des deux cercles dans
leur première position. Lorsque le cercle mobile arrive
en BPD, le point C de ce cercle s’est transporté en P,
de manière que l'arc BP=BC, et cette condition suffit
pour déterminer tous les points de l’épicycloïde décrite
par le point C.

Pendant que le cercle mobile roule sur le cercle fixe,
son centre décrit une circonférence dont le centre est en
À et dont le rayon égale AB+ Ba. La première position
de ce centre est en a’. Si on augmente ou si on diminue
le rayon Ca’ du cercle mobile d’une quantité CO ou
CO", les points O et O', mobiles avec le rayon Ca’, dé-
criront des courbes dont la première a reçu le nom d’é-
picycloïde ralongée , et la seconde d’épicycloïde racour-
cie. Soit AP l’une des positions du rayon du cercle mo-
bile, en portant sur cette droite la longueur Pp—CO,
et Pp'— CO", le point p appartiendra à l’épicycloïde
ralongée , et le point p' à l’épicycloïde racourcie.

On se propose de déterminer au point P la tangente
à l’épicycloïde, Le point P tend à décrire un cercle dont
le point de contact B du cercle fixe et du cercle mobile,
correspondant au point P, est le centre; par conséquent
BP est normale à l’épicycloïde , et partant la droite PD
est la tangente demandée. Les normales aux épicycloïdes
ralongées et racourcies au points p et p' concourent aussi
au point B, ce qui donne le moyen de déterminer leur
tangente.

Sile cerclemobile étaittangentintérieurementau cercle
fixe, l’épicycloïde décrite serait intérieure, et on en déter-
minerait les points d’après la condition que les arcs par-
courus dans le même temps sont égaux dans l’un et
l’autre cercle. Dans le cas où le cercle mobile a pour
diamètre le rayon du cercle fixe, l’épicycloïde devient
une ligne droite, qui est le rayon du cercle fixe passant
par le point où il est touché par le cercle mobile consi-
déré dans sa première position. Soit en effet B le point
où le cercle mobile AEBF touche le cercle fixe GIBH
dans sa première position, Dans une autre position quel-

EP

conque ACD , ii touche le cercle fixe en D , et en pre-
nant l’arc DC=BD), le point C sera le point de la courbe

décrite, Or, ce point C est nécessairement sur le rayon
AB. Supposons en effet qu’il puisse être en C’ hors du
rayon AB. L’angle BAD a pour mesure l'arc BD ou la
moitié de l’arc CD; or, cet arc CD est décrit d’un rayon
moitié de celui avec lequel est décrit l'arc BD , donc
ces deux arcs sont égaux. Mais nous avons supposé que
l'arc DC’ était égal à l'arc BD, donc les deux arcs DC et
DC' sont égaux, ce qui serait absurde si le point C ne se
confondait pas avec le point C. Comme il en sera de
même pour toute autre position du cercle mobite, il suit
que la ligne décrite est la droite AB.

Imaginons que deux cônes droits ayant même
sommet et étant tangents, sont coupés par une sphère
ayant pour centre le sommet commun. Ils auront pour
base sur cette sphère deux cercles dont les plans feront
entre eux le même angle que les axes des cônes ; et si on
conçoit que l’un de ces cônes roule sur l’autre, sans ces.
ser de lui être tangent , un point quelconque de la base
du cône mobile décrira dans l’espace une courbe qui
porte le nom d’épicycloïde sphérique. Elle est en effet
tracée sur une sphère ayant pour rayon la distance con-
stante du point générateur au sommet commun des deux
cônes.

Le rapport connu de la circonférence à son rayon dé-
terminera les longueurs absolues des circonférences du
cercle fixe et du cercle dont l’un des points décrit l’épi-
cycloïde. Divisant donc la longueur de la circonférence
mobile en un certain nombre de parties égales , chaque
partie correspondra à une partie égale sur le cercle fixe.
Considérant le cercle mobile dans la première position,
on abaissera de chacun de ses points deux perpendicu-
laires, l’une sur sa tangente commune avec le cercle
fixe, l’autre sur son diamètre perpendiculaire à cette
tangente. Lorsque le point de contact changera, la tan-
gente commune et le diamètre qui luiest perpendiculaire
changeront aussi de position et deviendront des axes
mobiles dont la position sera connue à chaque instant.
Les projections des deux perpendiculaires abaissées d’un
point du cercle mobile sur ces axes se couperont en un
point qui apparticudra à la projection de l’épicycloïde.

£P

Au lieu de considérer chaque point du cercle mobile
comme l'intersection dedeux coordonnéesrectangulaires,
on pourrait les considérer comme l'intersection de l’une
de ces coordonnées et d’un rayon du cercle mobile, alors
ce serait la projection de ces deux droites qui détermi-
nerait un point de l’épicycloïde.

Soient AaB (PL. XX XII, fig. 1 )le cercle fixe, aa l'arc
de cercle égal en longueur à la demi-circonférence «RS
du cercle mobile »#M#, l'angle du plan des deux cercles

‘ mesuré dans un plan Mr perpendiculaire à leur intersec-

“ tion aM. Ayant divisé la circonférence du cercle mobile
en parties égales, soit L'un des points de division duquel
on abaisse la perpendiculaire L'wsur le diamètre 4S qui
correspond au point de contact a des deux cercles ; soit a'L
unarc du cercle fixeégal en longueur à l’arcaL'. Lorsque
les deux points L et L' se confondront, les coordonnées
du point à, par rapport au rayon xL seront égales aux
coordonnées L'u et ua du point L', par rapport au
rayon ax. C’est à l’aide de ces considérations que nous
allons construire le point L” de la projection de l’épi-
cycloïde sphérique. Le centre x du cercle mobile et le
point L’ de ce cercle se projettent sur la droite M» du
plan Mn en des points £'et à' tels qu’on a MB'—ax et
MA'=au. Sur le plan du cercle fixe ils se projettent en
Aeten A. Si maintenant on prend La”-=aù et LA,
le point L” sera le point cherché. On peut construire ce
point de plusieurs manières , car les droites AA et AL'
sont les rayons d'un même cercle, et letriangle rectangle
aaA est égal au triangle rectangle L2"L,”.

En même temps que le point « du cerclemobile décrit
une épicycloïde sphérique, tous les points de son plan
décrivent d'autres courbes, qui sont des épicycloïdes
ralongées ou racourcies suivant qu’elles sont en dehors
ou en dedans du cercle 4aRS.

Cherchons maintenant comment nous pourrons me-
ner une tangente en un point déterminé de l’épicycloïde
sphérique ; au point I par exemple. BI" est la position
du cercle mobile lorsque le point [” de ce cercle géné-
rateur de l'épicycloïde se projette en I. Le point de
contact des deux cercles est en B; et si par ce point et
par les centres des deux cercles, on conçoitun plan ver-
tical ABV, l'angle dBV sera égal à celui des plans des
deux cercles. La verticale AO' et la droite OO perpen-
diculaire sur le milieu du diamètre B4 du cercle mobile
se rencontrent en un point O’, centre de la sphère du
rayon O'B sur laquelle est tracée l'épicycloïde sphéri-
que; d’où il suit que la tangente à cette courbe, en un
point quelconque, est dans le plan tangent à la sphère
O'B qui correspond au même point. Mais ce point 1”, gé-
nérateur de l’épicycloïde, en passant de cette position à
une position infiniment voisine, ne quitte pas la sphère
dont le centre est en B, et le rayon BI’; par conséquent

EP 557

le plan tangeut à cette sphère contient encore la tan-
gente à l’épicycloïde au point 1”. Cette tangente est donc
l'intersection de deux plans tangens à deux sphères dont
Les centres et les rayons sont connus. Le plau tangent à
la dernière sphère est perpendiculaire au rayon BI”, ou
au rayon BD (le cercle BD4 étant le cercle mobile ra-
battu autour de son diamètre). Ce plan tangent a donc
pour traces la droite D et la droite H4V perpendicu-
laire à Bd; par conséquent la tangente à l’épicycloïde
sphérique rencontre la droite H4V qui est la perpendi-
culaire au plan du cercle mobile mené par l'extrémité d
de son diamètre B4 passant par son point de contact B
avec le cercle fixe.

Puisque cette tangente est dans le plan tangent à la
sphère dont le centre est O", et dont le rayon est O'B,
et qu’elle rencontre la droite HV , elle passe par l’inter-
section de cette droite et du plan tangent. Tous les
plans tangens à la sphère suivant le petit cercle BDd
font le même angle avec le plan de ce cercle; mais le
plan tangent en B fait avec le plan du cercle l'angle
dBJ , BJ étant perpendiculaire à O'B; de plus, la droite
d£ perpendiculaire à la tangente DE au cercle mobile
au point D est égale à DF ou ['4: si donc on mène l'G
parallèle à BJ, le point G appartiendra à la tangente à
l’épicycloïde sphérique au point 1’. Projetant le point
Gen G', la droite G'T sera la tangente demandée.

L'invention des épicycloïdes est attribuée au célèbre
astronome danois Roemer, auquel on doit la décou-
verte du mouvement de la lumière. Ces courbes, qui
furent l’objet d’un traité particulier publié par la Hire,
en 1694, occupèrent les plus grands géomètres; Newton,
Jean Bernouilli, Halley, Maupertuis, Nicole et Clai-
rault ont successivement examiné leurs propriétés prin-
cipales, ’oy.les Mémoires de l Académie des sciences,
pour 1706, 1927 et 1932, et les transactions philoso-
phiques, n° 218.

ÉPOQUE. Terme nsité en chronologie pour fixer un
point de départ dans la succession des temps, d’où les
années sont ensuite comptées. Les diverses nations font
usage de différentes époques. Les Chrétiens comptent
les années à partir de la naissance ou de l’incarnation
de Jésus-Christ; les Mahométans, de l’époque de l'Hé-
gire ou de la fuite de Mahomet ; les Juifs, des époques
hypothétiques de la création du monde et du déluge
universel; les anciens Grecs les comptaient de la première
olympiade; les Romains, de la fondation de Rome ; et les
Persans et les Assyriens de l’époque de Nabonassar , etc.

Trouver la concordance des années de deux époques
différentes, ou quelle année d’une époque correspond
à l’année donnée d’une autre époque, forme l’un des
problèmes les plus importans de la chronologie ; on le

résout facilement en rapportant toutes les époques con:
68

538 EQ

nues à une période d'années dont lé commencemeit
leur est antéricur, et qu'on nomme période julienne
(voy. ce mot). Cette période, formée par la multipli-
cation des trois cycles, solaire, lunaire et d’indiction,
c’est-à-dire, des nombres 28, 19 et 15, embrasse un
espace de 7980 années dans lequel il ne peut y avoir
deux années qui aient les mêmes nombres pour les trois
cycles, mais au bout duquel les trois cycles reviennent
ensemble dans le même ordre, La première année de
la période julienne étant celle qui a l'unité pour le
nombre de chacun des trois cycles, elle se trouve avair
commencé avant l’époque juive de la création du
monde, et devient ainsi très-propre à servir d'échelle de
comparaison entre toutes les époquespostérieures. Ayant
donc détérininé les années de la période julienne aux-
quelles correspondent les diverses époques, il ne faut
plus qu'un calcul très-simple pour établir la concor-
dancé des années comptées à parti de chacune de ces
époques.

Les principales époques rapportées à la période ju-

lienne donnent les résultats suivans :

Années
de ja période julienne,

Création du monde..... 706
Délupe. rss sense 2302
Première olympiade.... 3038
Fondation de Rome..... 3961
Êre de Nabonassar.…. 3967
re chrétienne... .... 4713
MÉPITEe senc decee set 00300

Pour plus de détails, voy. Êre.

ÉPOQUE (4st.). On nomme époque des moyens
mouvemens d’un astre , le lieu moyen de cet astre fixé
pour un instant déterminé, afin de pouvoir ensuite , en
partant de cet instant, trouver le lieu moyen de l’astre
pour un autre instant quelconque.

Dans les anciennes tables astronomiques les époques
se rapportaient au 31 décembre, à midi, temps moyen,
pour les années communes et au 31 janvier à midi pour

: les années bissextiles; mais le bureau des longitudes,
dans toutes les tables qu'il a publiées, a pris pour ori-
gine le premier janvier de chaque année, à minuit
moyen au méridien moyen de Paris. Voy. Tases.

ÉQUANT (Astr.). Cercle dont le centre était celui des
mouvemens réguliers dans l’ancienne astronomie. On
n’en fait plus usage depuis que Kepler a démontré queles
planètes se meuvent dans des orbes elliptiques dont le
soleil occupe l’un des foyers.

ÉQUATEUR (Astr.). Grand cercle de la sphère au-
tour duquel s’effectue le mouvement diurne, et dont
les pôles sont les pôles du monde, 74 0Y+ ARMILLAIRE, 12.

EQ

ÉQUATION {4/3.).On donne généralement ce nom
à la relation d'égalité qui existe eutre deux générations
différentes d'une même quantité. Par exemple, æ étant
un nombre indéterminé, si l’on sait que quatre fois x
plus 4, où 4x4, doit former le même nombre que
deux fois la seconde puissance de x moins 2, ou 2x?»
l'expression

iati=or—,

qui désigne cette circonstance, est une équation.

Les quantités séparées par le signe de l'égalité = se
nominent les »embres de l'équation, et particulière-
ment, premier membre celle qui est à la gauche de ce
signe, second membre celle qui est à la droite. Les dif-
férentes parties dont les membres sont composés pren-
nent le nom de termes; ainsi dans l'équation ci-dessus
4x et 4 sontles termes du premier membre, et 2x7? et 2
sont les £ermes du second membre.

Résoudre une équation, c’est trouver la valeur de la
quantité indéterminée et inconnue qui sy trouve liée
aux quantités connues, valeur dont la substitution dans
chaque membre, à la place de l’inconnue, doit rendre
ces membres identiques, Cette valeur prend le nom de
racine de l'équation. 3 , par exemple, est la racine de
l'équation :

Lx +220
parce qu’en substituant 3 à la place de x, ona
4.3+44=2.3—5 , où 16—16

Les équations forment une des parties les plus impor-
tantes de Ja science des nombres, car la solution de tous
les problèmes des mathématiques peut être ramenée à
celui de la résolution d’une équation. Nous exposerons
aux mots MarmémariQuEs et PuiLosopuie, l’origine de
leur théorie, les principes supérieurs aui fixent leur
rang dans la science, ainsi que les caractères qui les dis-
tinguent des simples égalités ; ici, nous nous contente-
rons de les examiner sous le rapport de leurs diverses
propriétés, et sous celui des procédés qui peuvent con-
duire à déterminer les valeurs de leurs racines.

1. En se rappelant les axiomes posés ALGÈBRE, n°5,
on voit immédiatement que dans toute équation on est
libre de faire passer un terme quelconque d’un membre
dans l’autre en changeant le signe dont il est affecté.
Par exemple, si l’on a l’équation

8xt—3x—7x ri

on peut transporter —3x dans lé second membre, en
changeant le signe — en +, et l'équation devient

Bret 11432

EQ
En:effet, lorsqu'on ajoute ou qu'on retranche une
même quantité de deux quantités égales, les résultats
restent égaux ; or, le transport de 3x du premier mem-
bre au second, en changeant le signe, est identiquement
la même chose que l'addition simultanée de +3x à cha-
cun des membres ; car, par cette addition, l'équation

devient
Ba—3x+3x— 7x + 11432

ou.

8x=7x+rr+3x

à cause de —37—+3x—0.

2. On peut donc transporter de la même manière tous
les termes d’un membre dans l’autre, ct, après cette
transposition , l’ensemble de tous les termes sera égal à
zéro. Ainsi, l'équation précédente pourra se mettre sous

la forme

Ba—Bx—Tx—11—0
ou plus simplement

8x?—10%—11—0

en additionnant —7x et —3x.

3. Il suit encore de là qu'il est toujours permis de
changer tous les signes des termes qui composent une
équation quelconque en les remplaçant par des signes
opposés. On peut donc écrire indifféremment

Sx?—10x—11—0

ou

—8x?+ 1024110

4. En partant toujours des mêmes principes, il est
évident qu’on peut multiplier ou diviser les deux mem-
bres d’une équation par le même nombre sans détruire
l'égalité de ces membres. Donc, ayant l'équation

On peut faire disparaître les fractions, car en réduisant
d’abord tous les termes au même dénominateur on a

2.5.x.2æx 3.5.
CRETE: 2

puis en multipliant les deux membres par le dénomina-
teur commun 2.3.5.æ, cette équation devient

h D LC - F
2.9.%.22%—3,.5%.(5—x)-=4,3 Dar 9 se 200

EQ

LA

ou, en exécutant les multiplications indiquées, : 4,

2027—752H15X2—120—18x°
On peut encore donner à cette dernière la forme
2027—1752+H1527—120418x2—0
quise réduit à
532x?—75x—120=0
en opérant l'addition
20% 15x32 182x7 53m,

Nous supposerons dorénavant que toute équation est
ramenée à sa forme la plus simple, c’est-à-dire, qu’on a
fait passer tous les termes dans le premier membre, et
qu’on a opéré l'addition des coefficieus des mêmes puis-
sances de l’inconnue.

5. On classe les équations d’après le degré de la plus
haute puissance de l’inconnue : ainsi une équation est
dite du premier degré, du second degré, du troisième
degré, etc., selon que l’inconnue sy trouve à la pre-
mière puissance, à la seconde, à la troisième , etc. La
forme générale de ces équations est (voy. TransrormA-

TION) :

Équations du premier degré
AoZ+A;=0

Fquations du second degré

- Ao%7HA;x+A —=0
Equations du troisième degré

A,@ LA ,2+A:xx+As—o

Et en général, équation du degré »2

Aoxn A gmit,.....Am1t Am

L’équation est complète quand toutes les puissances
de l’inconnue x, depuis la plus élevée æ”, jusqu’à la
puissance 0, æ° sous-entendue dans le terme absolu A»,
s'y trouvent; mais elle ne change pas de désignation
lors même que plusieurs termes manquent.

Pour plus de simplicité on peut faire disparaître le

premier coefficient A, , en divisant toute l'équation par
A.

G. Si les équations contiennent plusieurs quantités in-

"erminées ou inconnues, on les nomme encore du

510 * EQ
premier degré, du second, etc., seen la plus haute

puissance qui s’y trouve, ainsi
Ax+By+C=o
est une équation du premier degré à deux inconnues.
Ax+Bzxy+Cy+Dx+Ey+4F=0

est une équation du second degré à deux inconnues, et
ainsi de suite. Nous reviendrons sur ces classifications.

7. Déterminer la valeur des inconnues qui entrent dans
une équation , est le problème le plus important de l'al-
gèbre. S'il nous est impossible d'entrer dans tous les dé-
tails que réclame une telle question, nous allons au

moins essayer de l’exposer le plus simplement possible.

ÉqQuarions pu PREMIER DEGRÉ. La résolution des équa-
tions du premier degré à une seule inconnue ne pré-
sente aucune difficulté, car la forme générale de ces
équations étant (a)

Aox+A,—=0
en faisant passer le second terme du premier membre

dans le second membre, et divisant ensuite les deux
membres par le coefficient de x, on a (b)

>

L= —

F

Il ne s’agit donc que de ramener une équation quel-
conque à la forme générale (aj pour obtenir immédia-
tement la racine (b). Un seul exemple estsuffisant pour
indiquer la marche à suivre dans tous les cas. Soit l’é-
quation

4x—8—5x=g—8x—11+ix

en transportant tous les termes dans le premier membre
on a

4x—8—5x—0+8x+ 11520
ou, en rassemblant tous les facteurs de x,

548) pri 8 0

opérant les réductions

—9+#11—68=—6
l'équation devient

at—0=0 ar

EQ

et, multipliant les deux termes par 3 pour faire dis-
paraitre la fraction, on a définitivement

19x—18=
comparant avec la forme générale (a), on a

A—19 , À,= —18

D'où l’on tire

de ; 13 : :
Ainsi substituant le nombre —, dans l’équation pro-
19

posée, à la place de x , les deux membres de cette équa-
tion doivent devenir identiques. On trouve en effet.

8 18 18 2 18
LT DÉS md DU
et, en réduisant,
PR LE D
19 19 :

8. Si dans une équation du premier degré à une seule
inconnue la valeur de l’inconnue se trouve insnédiate-
ment déterminée par celles des quantités connues qui
entrent dans sa composition, il n’en est pas de même
des équations à plusieurs inconnues: une seule équation
est insuffisante pour déterminer la valeur des racines.
Dans l'équation à deux inconnues, par exemple,

Ax+By+C=—o

Il est évident qu’on ne peut obtenir aucune détermina-
tion pour æ et y à moins de décomposer le ombre GC en
deux autres a et b capables de donner les deux équa-
tions séparées

Ax+a=o, By+b=o

Or, la quantité C peut être décomposée en deux parties
d’une infinité de manières différentes ; ainsi, tant qu’on
n'a qu'une seule équation entre deux inconnues x ct y,
ces inconnues restent complétement indéterminées.

Mais si l’on a deux équations différentes entre fes
deux mêmes inconnues, telles par exemple que

Ax +By +C =o

A'x+B'y+4C'=0o
en remarquant que la valeur de x doit être telle que
l'on ait

—C—By
À

T=

pour la premièreéquation , et

équation par laquelle la valeur de y est déterminée, il
en résulte que ces deux équations déterminent entière-
ment lés inconnues. On verrait facilement qu’il faut
trois équations si l'on a trois inconnues, et, en général,
autant d'équations que d’inconnues.

9. Sachant qu'il faut deux équations différentes entre
deux inconnues pour déterminer ces inconnues , propo-
sous-nous de résoudre les deux équations générales.

Ax +By +C—o

A'x+B'r+C'=0o
ou detrouver les valeurs de x et de y quiréduisent , en
même temps, à zéro leurs premiers membres.

La solution de ce problèmerepose sur l'élimination de
l'une des inconnues , opération qui estexposée en détail
au mot Éciminarion. Il suffit donc de multiplier la pre-
mière équation par À’, et la seconde par À, elles de-
viennent

A'Ax+A'By+A'C—o
AA'x+AB'y+AC'=0
et, prenant leur différence, on a
(A'B—AB')}y+A'C—AC'—0
équation finale qui ne contient plus que y, et donne
(c)
ee
7 A'B—AB

Pour trouver la valeur de x, on éliminera y entre
les proposées en multipliant la première par B', et la
seconde par B, elles deviendront

AB'x+-B'By-+B'C—0o
A'Bx+-B'By-+BC'=0

et leur différence

(A'B—AB')r+BC'—B'C=0

,

ra l’équation finale en x, dont la solution donne rs

BC'—B'C

RS EAP

EQ 544

On suppose ordinairement que les termes absolus G
et C' sont négatifs, alors leséquations générales sont (d)

A x+B y—C —o
A'x+B'yC'=0

et les valeurs des inconnues deviennent (e)

Fed
$— AB-AB
__ A'C—AC"
YTAB—AB
ce qui dispense de Ja considération du signe — placé

devant les valeurs précédentes.
10. Nous allons appliquer ces formules à quelques
cas particuliers pour en faire mieux comprendre l'usage.
Æxemple premier. Connaissant la somme et la diffé-
rence de deux nombres, trouver ces nombres.

Soient m la somme, et 7 la différence données ; dési-
gnant par x et y les nombres cherchés, nous aurons, en
considérant æ comme le plus grand ,

T+ÿy=m Où X+y—mz=0

F-Y=N OÙ X—y—N—0
Comparant avec (d), nous trouverons
A=1,B=—1, Cm, A1, B——1, C'=n

Substituant ces valeurs dans les expressions (e), elles
fourniront

D'où l’on conclut que Le plus grand des nombres
cherches est égal à la moitie de La somme plus La moïtie
de la différence, et que le plus petit est égal à la moitie de
la somme moins la moitié de la différence.

Sila somme dounée était 18 et la différence 6, on
aurait donc

Exemple 2. Partager un nombre donné p en deux
parties telles qu’en les divisant respectivement par les
deux nombres donnés » et x, la somme des quotiens
soit égale au nombre également donné 4.

Désignant les nombres cherchés par æ et y, on aura
les deux équations

CETTE NE L

542 EQ

Pour faire disparaître les fractions de ia seconde équa-
; tion, on la multipliera parleproduit des dénominateurs
met n (4), etelle deviendra

ax my =mnq

Ainsi, en rameuant ces équations aux formes géné-
rales (d), on aura

2+y—p=0
nx+my—mrng=0

comparant avec (d),on a

A:,Bz1: Cp

A'zn, B'=m, ÇC'=nnq

et, en substituant dans (e),

n—m

mnq—m
= 7 P

—r

n—nm

np— mnq
= scans

Ainsi, s'il s'agissait de diviser 17 en deux parties telles
que Le tiers de la première ajouté au quart de la seconde
fût égal à 5, on aurait

m=3, n=4 , P=17 ;, 9=S

et, par conséquent,

Exemple 3°. Résoudre les deux équations
3x—2y+ 5=o
6y—g9x—15=0

Nous avons ici

A3, B——2,C——5
A'=—9,B=6, C'—15
et par suite
_,730o+30a _o

— 18—18 0

45—45_o

DT

résultats singuliers qui ne peuvent rien nous apprendre
sur les véritables valeurs de x et de y.

EQ
Examiuons d’où PCUL provenir ce cas remarquable.
Les expressions
” BC'—B'C
AB-TAR
_: A'C—ACG
AE A'B—AB'

pe peuvent généralement donner de pareils résultats
qu'autant que l'on a (»1)

A'B—AB'=0o
BC —B'C'=0
A'C—AC'=0

Or, l'une quelconque de ces égalités est une conséquence
nécessaire des deux autres; car prenant, par exemple,
la valeur de B' dans la première, valeur qui est

p AB
A
et la substituant dans la seconde , on trouve

HO. C=o

D'où, multipliant par A, et divisant par B,

AC'—A' C—0o
Ce qui est la même chose que la dernière égalité, en
changeant les signes.

Ceci posé, prenant les valeurs de A’ et de B' données
par les deux dernières égalités ; savoir :

et les substituant dans l'équation générale

A'x+B'y—C'=0
on a

AC' |
Die Eu

ce qui devient en multipliant par C, et divisant par
G's
AxHBy—C=0o

Ainsi dans l'hypothèse des trois égalités (m), la seconde
équation n’est qu’une conséquence de la première, et au
lieu d’avoir deux équations indépendantes, on n’en a
réellement qu'une; c'est-à-dire qu'alors les valeurs de
æ et de y sont indéterminées. Donc, lorsqu’après Jes ré-
ductions faites, on trouvera les résultats

o o
LE Y—=—
Fe 7. 5

EQ

ot eh éénelura que les valeurs des inconnues sont in-
détérminées etque des deux équations, dont-on est parti,
l'une n'est qu'une transformation de l’autre, En effet,

si ous examinons les proposées

3æ—27—+ b=0

Gy—9x—15=0

Nous verrons facilement qu'on obtient la seconde, en

multipliant la première par le facteur —3.

Exemple 4°. Soient les équations proposées

22437 5=0

4ax+67—15—0
Nous avons, eh comparant avec (d) et (e) .

A=2,B=3,0=—=5
A4, B'=6, C'—15

d’où
45—30 15
12—12 O
20—30 10
ARE TES TI 0

valeurs infiniment grandes. Voy: Division, n4 22,

Pour que de semblables valéurs soient dünnées par
les expressions générales (d), il faut qu'on ait

A'B—AB'— 0
Or, cette égalité donné

RD
À ss Re

substituant cette valeur de A’ dans l'équation

À'z+B'y—C'=0
nous aurons

A æ+By=C =

et en multipliant par B,
1 ...... AB'x+BB'y—BC'=0

Or, en multiplant par B', l’équation Ax+By—C=0,
on aurait

2 44... AB'x+BB'y—B'C=o

Ainsi, pour que les deux expressions 1 et 2 ne soient
pas contradictoires, les premiers termes étant identiques,
il faudrait que l’en eût

BC'-B'C ou BC/— B'C—o

EQ 543
Mais alors à cause de A'B--AB'=0, ou conclnrait,
comme ci-dessus (exemple 3°) A'C—AC'=%,etilré:
sulterait de ces égalités les valeurs L

x [e)
D — 2
SU nr |

résultats qui ne sont pas ceux qu’on a obtenus. Ou ne
peut donc avoir BC'=B'C, et la condition isolée

A'B—AB'—0

indique que les deux équations dont on est parti sont
contradictoires:

En effet, multipliant la première équation par 2, elle
donné

4x+6y=10

tandis que la seconde donne

key 15

égalités qui né peuvent être satisfaites en même temps
par aucunes valeurs finies de x et de y.
M

Les résultats généraux æ —
[0]

Pass A désignent
7 = 5 désignen

doncune contradiction dans les équations proposées, ou
une impossibilité d’assigner aux inconnues des valeurs
finies. Cependant cètte contradiction n’est que relauve ,
car dans le problème que nous examinons, nous trou-
vôns les Valeurs infinies æ22 @œ , y = 2% qui résolvent
complétement la question, et il est important de distin-
guer l'impossibilité relative de l'impossibilité absolue,
c'est-à-dire de celle dônt'les totidilions ne peuvent être
remplies, ni réellement; nt ééalement, Par exemple,

si un problème fouraissait a Ia fois les trois équations

2230
AA 3700

2 +) —6—c

(®

des deux premièrés on Lirérait y = 5 et des deux se-

LD ; À :
coudes, y=—, résultat absurde qui montre évidunt-
J 5
ment que le problème ne peut avoir aucune espèce de
solution.
11. Nousavonsvu, EziminarTioN, n°3, que lorsqu'on

a trois équations À (Fois inconnues

1... Ar + By Cr:
a... A'4+ByCz—D"-n
34 A" B'y-HC'2-D',

en éliminant æ d’abord entre 1 £t 2 et ensuite entre 2 et

844 EQ

3, on parvenait à deux équations à deux inconnues, y
et z, à l’aide desquelles, par l’élimination de y, on trou-
vait l’équation finale en z.

[arc—acrarn a" (A'G—A"C"(AB—AB)] Z
=(A'D—AD')(A"B'—A'B")>—(A"D'—A'D")(A'B—AB")
et, par suite, pour la valeur de z

(A'D—AD')(A "B'—A"B")—(A"D'—A'D")(A'B—APB")

(A'C— AC) (A'B—A'B")—(4"C—AC'\A B—AP)

”
A

expression qui devient, en développant les produits,

AB'D"—AD'B"+ DA'B"—BA'D"+BD'A"—DB'A"
“AB'C'—AC'B'CA'B’—BA'C'LBC'A'—CB'À" *

—
D

On trouverait de lamême manière, en formant les équa-
tions finales en yetenz,

__ AD'C"—ACD'HC A'D'"—DA'C"+DC'A"—CD'A"
AB'C'—AC'B’+CA'B'—BAC"+BC'A"CB'A” ?

DB'C'"—DC'B"+CD'B"— BD'C"+BC'D"—CB'D"
”__ ABC'—AC'RB'+CA'B'—BA'C"+BCA’—CB'AT"

Si l’on examine ces valeurs on voit aisément que leur

dénominateur commun
AB'C"—AC'B"'ÆCA'B"—BA'C'+BC'A"—CB'A"

est composé de tous les produits formés par les combi-
naisons trois à trois des neuf quantités

A, B;,,G
’ [4
A; BC
" L:4
A7, B”, CG
combinaisons qu’on peut réaliser de la manière suivante:

Ayant écrit toutes les permutations du produit général
ABC, savoir

ABC, BAC, CBA
ACB , BCA, CAB.

On donne le signe + à tous les groupes dans lesquels
les variations de l'ordre alphabétique sont nulles ou ea
nombres pair, et le signe — à tous les groupes dont les
variations sont en nombre #mpair, ce qui donne

ABC—ACB+BCA—BAC-HCAB—CBA,

puis on place les accens prime et seconde, sur les deux
dernières lettres de chaque groupe et l’on obtient

AB'C"—AC'B"+BC'A"—BA'C"+CA'B"—CB'A" 5

ce qui est le dénominateur en question.

EQ

Quant aux numérateurs , on forme celuide x en chan-
geant dans ce dénominateur A en D ; celui de y, en chan-
geant Ben D ; et enfin celui de z, en changeant Cen D.

12. La règle précédente, pour la formation des va-
leurs de x, y,2, s’étend à un nombre quelconque d’é-
quations et d’inconnues ; ainsi, revenant sur nos pas,
si lou a deux équations

A x+B y—C —o
A'x+B'y—C'—0

en prenant les permutations du produit général AB, des
coefficiens des inconnues, c’est-à-dire

AB BA

et donnant le signe —, au groupe dont le nombre des
variations alphabétiques est impair, on a

AB — PA,
ce qui devient

AB'—BA,
en plaçant l’accent prime sur la dernière lettre de chaque
groupe.

Cette dernière quantité est le dénominateur commun
des valeurs dexet de y.

Pour former le numérateur de +, on change A en C,
c’est-à-dire, le coefficient de x, en terme absolu, et

pour former celui de y, on change B en C. On obtient

ainsi
_ CB—BC
ET AP BA
“AGEACA
Y— AB BA

valeurs qui, en changeant les signes des deux termes des
fractions, sont identiques avec celles que nous avons
trouvées ci-dessus n° 9. :

13. Pour appliquer cette règle au cas de quatre équa-
tions et de quatre inconnues, soienties équations

A x+B y+C +0 u—E —
A'x+B'y+C'z+D'u—E'—0o
A'"x+B'y+C'z+D'u—E"—o
A'"x+B'y+C'24D'u—E"—o

formons les permutations suivantes du produit général
ABCD ,

ABCD BACD CABD DABC

ABDC BADC CADB DACB

ACBD BCAD CBAD DBAC

ACDB BCDA CBDA DBCA

ADCB BDCA CDAB DCAB

ADBC BDAC CDBA DCBA

EQ

donnons à tous les groupes dont les variations sont en
nombre pair, le signe + et aux autres le signe —;
placons ensuite l'accent prime sur la seconde lettre de
chaque groupe, l’accent seconde sur la troisième et l’ac-
cent tierce sur la quatrième , et nous aurons pour le dé-
nominateur commun des valeurs de x, y, z et ul’expres-
sion

AB'C'D"—AB'D'C"+AD'B"C"—AD'C'B”
+-AC'D'B"—AC'B'D"+BA'D'C"—BA'C'D"
BC'A'D"—BCD”A"-+-BD'C'A"—BD'A"C"
+-CA'D'B"—CA'B’D"--CB'D’A"—CB'A'D"
4-CD'A'B"—CD'B'A"-+DA'C'B"—DA'B"C"
+-DB'A'C"—DB'C'A"--DC'B'A"—DC'A"B"

En changeant successivement dans cette expressien À,
B,CG,DenE, on formera les numérateurs des valeurs
de æ, 7, et u.

La démonstration de cette formation symétrique des
valeurs des inconnues, qui rendinutiles les procédés d’é-
limination, ne peut trouver place ici (voy. dans les imé-
moires de l’Académie des Sciences pour 1772, 2° partie,
un écrit de La Place sur cet objet), nous devons seule-
ment ajouter , pour terminer tout ce qui concerne les
équations du premier degré, que ce que nous avons dit
exemple 3 et 4, peut s'appliquer à un nombre quel-
conque d'équations et d’inconnués , c’est-à-dire, 1° que
le problème est indéterminé lorsqu’on trouvedes valeurs

0 _
de la forme x=— - et 2° qu'il renferme des conditions
Oo

SE M
contradictoires lorsqu'on en trouve de la forme si

14. Quoique les dénominations quarrée, cubique, et
biquadratique données jadis aux équations des second,
troisième et quatrième degrés aient beaucoup vieilli,
nous les avons conservées dans notre dictionnaire afin de
pouvoir renvoyer à chacun de ces mots en particulier
la résolution de l’équation à laquelle il s'applique. Nous
nous contenterons donc, dans le présent article, d’exami-
ner les propriétés communes à toutes les équations supé-
rieures au premier degré.

15. D'Alembert a démontré le premier qu’il existe tou-
jours une quantité 4, rationnelle ou irrationnelle, réelle
ou imaginaire telle qu’en la substituant à la place de x
dans une équation d’un degré quelconque (p)

am Aæm—i HA œm—2 etc. : Am —0

le premier terme se réduit à zéro, ou ce qui est la
même chose, que cette équation à nécessairement une
racine a. Voy. les Mémoires de Berlin 1346. Depuis,
cette proposition importante a été démontrée de plusieurs

manières (voy, Complément des élémens d'algèbre de

EQ 545

Lacroix) et nous devons la considérer comme suffisam-
ment établie pour pouvoir fonder ici sur elle la théorie
des équations.

Soit donc & la racine de l’équation générale (p), si
l’on divise par le binome (x—a) le premier membre
de cette équation, et que lon poursuive l'opération
jusqu’à ce que l’on trouve un reste qui ne contienne
plus x, en désignant le quotient par Q et ce reste par
R, on aura

am HA ,xm—1+etc. on A» ST (x—a)Q+R.

Or, lorsqu'on fait x—a, le premier membre de cette
égalité se réduit à zéro, il doit donc en être de même
du second membre, et l’on a

(a—a)Q+4R=0o ou R=o.

Ainsi le reste de la division est nécessairement égal à
géro , c'est-à-dire que lorsque a est racine de l'équation
(p), le premier membre de cette équation estexactement
divisible par le binome (x—a). On prouve aisément la
réciproque de cette proposition , ou que a est racine de
l’équation , lorsque le premier membre est exactement
divisible par le binome (x—a).

Ceci posé, d’après les règles de la division, le quotient
Q étant de la forme (q)

ami LBxm—3 EL Bum—2Letc...+Bn—,

nous avons l'égalité (x)

am A,xm—3 LA m2 etc, . =(x—a) ami +

B,xm—:+etc..

Mais, en vertu de la proposition fondamentale, il existe
aussi une quantité b réelle ou imaginaire, dont la sub-
stitution à la place de x rend (g) égal à zéro, et par con-
séquent , d’après ce qui vient d’être démontré, la quan-
tité (g) est exactement divisible par le binome (x—b).
Opérant la division nous aurons un quotient de la
forme (s)

am Can LC,aom—ibetc...+ Cm,
et l'égalité (x), pourra être mise sous la forme
aœm+A ami HA am betc...—(x—a)(x—b) [as

+ Ciem—S bete, .;., }

546 #10

Divisant de La même manière le second quotient (s) par
Je binome (x—c » € étant le nombre qui réduit ce quo-
tient à zéro, et poursuivant ainsi jusqu'à ce que ke der-
nier quotieut soit du premier degré, nous trouverons

évidemment {#)
am 2 A ar Æ ete. = (xa)(x=b)(xc)... (22m)

le nombre des binomes (x—a) , {æ—b) etc. étant 7.

16. H résulte de l’équivalence générale (® que, le pre-
imnier membre étant nécessairement divisible par chacun
des binomés, les quantités a, b,€, ete. sont toutes des
racines de Féquation (p), et que cette équation est satis-
faite en faisant indifféremment æ = a, ou x = b, ou
æ=e, étc. Ainsi, ces quantités étant au nombre dé rm,
né équation adinel autant de racines différentes qu'ily
a d'unités dans le nombre qi marque son degré.

Une considération très-simple prouve qu'il ne peut
pas y enavoir davantage: en cffets'il existait un nombre
pautré que a, b,e,ctce., capable de réduire ä zéro le
premier membre de l'égalité (0 en Le substituant à æ, il
faudrait aussi que la même substitution rendit Le second

membre égal à zéro, où que l’on eût
(p—a) (p—b)(p—c).:.(p=m)=0.

Or, un tel produit ne peut devenir o qu’autant que l’un
de ses facteurs (p—a) par exemple, ne devienne o;
ais si p—a=0 on a pæ«, et ainsi de même pour tous
les autres facteurs : donc ce produit ne peut devenir o,
qu'en faisant p égal à l'une des quantités a, b, ©, d, etc.
et ces quantités seules sont les racines de l'équation (p),

17. On sait qu’en formant le produit de #2 binomes
(x—a), (x—b), (x—c), etc, (Foy. MurriPicaTioN)
on obtient une expression de la forme

am Agm—s LBan—2—Crr—i bete... (—1)7Z

dans laquelle le premier cocfficient A est égai à la somme
des seconds termes des binomes , savoir :

A = a+b+cdLd+etc,..+m.

Le second coefficient B est égal à la somme des produits
deux à deux des mêmes seconds termes, savoir :

B=abLac+ad+betc...+be+bd+4etc..,

Letroisième coefficient € est égal à la somme des pro-
duits trois à trois , des seconds termes, savoir :

C = abc, abd, cbd, cbebetc....

et ainsi de suite jusqu’au dernier coefficient Z, qui est égal
au produit de tous les seconds termes, savoir :

Z=a.b.c.d... im.

EQ

Or, le produit des » binomes (x—a), (3—b), (x—v),
etc., devant être identique avec le premier membre de

l'égalité (£), nous avons

Ay=——E

étc.—= elc.

D'où il résulte la proposition générale suivante : Dans
une équation d'un degré quelconque

ani HA œm—iRA qui? LA sam etc... HAm—=o.

Le coefficient du second terme est égal à la somme des
racines prise avec un signe contraire; celui du troi-
sième, à la somme de leurs produits deux à deux; celui
du quatrième, à la somme de leurs produits trois à trois
pris avec un signe contraire, etc., etc., et enfin le der-
uier coefficient est égal au produit de toutes les racines,
pris avec le même signe si équation est de degré pair,
et pris avec unsigne contraire, si l'équation est de degré
impair.

Par exemple , si nous désignons par x, 8, 7 les trois
racines de l'équation du troisième degré

LP +qgu+re0 ,

nous avons
p=—(a+85+)
gare tb

PT
T==— 407.

18. Nous avons déjà dit qu’on appelle résoudre une
équation trouver les valeurs de ses racines; ainsi le pro-
blème de la résolution des équations , pris dans toute sa
généralité, consiste dans la détermination des quantités
a,b,c, d, etc. , à l'aide des coefficiens A,, A2, A,, etc.
Ce problème est encore au-dessus des forces de la science
et toutes les tentatives des mathématiciens sont venues
échouer contre les équations du cinquième degré. Ce-
pendant si l’on ne peut obtenir une expression théorique

générale des racines des équations d’un degré supérieur

au quatrième, les divers procédés d’approximation ont
été portés à une perfection telle qu'on peut considérer
le problème comme suffisamment résolu pour tous les
besoins de la science. Joy. ApProxImaTiON. Foy. aussi
Racines.

Eu 1819, M. Wronski a publié, sous /etitre de Reso-
lution des équations de tous-les degrés, un opuscule
contenant une solution de ce fameux problème, Dans

:Q

ses formules, que l’auteur donne sans démonstration,
les racines de l'équation du degré m7 dépendent des ra-
cines d’une autre équation dite la réduite, dout le degré,
ainsi qu'il l’a annoncé depuis, peut être plus petit ou
plus grand que» , ce qui rend la résolution possible ou
impossible suivant les cas particuliers. Si ce géomètre
complète et démontreun jour ses résultats, on counaitra
du moins la condition de cette impossibilité qui jusqu’à
présent a échappé à tous les analystes.

19. Jusqu'ici nous ne nous sommes occupés que des
équations à une seule inconnue, mais la formation de
ces équations conduit facilement à la formation de celles
qui contiennent plusieurs inconnues ; ces dernières ré-
sultent évidemment du produit de polynomes du pre-

mier degré tels que

(aæ+by+cez+etc...) (ax + b'y4Lc'z4etce...)
(aa l'y +c'y+ete. 0)

Ainsi une équation du second degré à deux inconnnes

A,aÆA,xy LA: +LA,Z=0o
entraine l'égalité correspondante

= 0

(ax+by+0) (a'x+by+c)

et, en général, une équation du degré à 7 inconnues
est équivalente au produit de » facteurs de la forme

ati+bx,+cxstdxibete....-Æparitq

13 XL y La EtC... .Æn, étant lesz variables et a, b, c, d,
etc. des quantités constantes. Pour la résolution des
équations à plusieurs inconnues voy. Écmnarion et Ix-
DÉTERMINÉ.

20. ÉQUATIONS BINOMES. On donne ce nom à toute
équation qui ne renferme qu’une seule puissance de l’in-
connue, telle que

AZ" A,=0.

La solution de ces équations entraîne plusieurs particu-
larités intéressantes que nous allons signaler.

Ramenons d’abord l'équation précédente à la forme
plus simple (A)

ærEA= 0

en divisant ses deux membres par À, eten faisant en-
À 5 : :
—= A. Sous cette dernière forme, il est évident

Àc
qu’en dégageant x on a immédiatement

suite

EQ #47
Or, nous savons (ÉLÉVATION AUX PuISSANCES, n° 7)
qu'une racine du degré »m admet »2 valeurs différentes
parce que

M ———— me

VEA= y

[= ; ave Xv'A

et que l'unité positive ou négative a 7» racines diffé-
rentes, dont une ou deux au plus peuvent étre réelles.

En effet, si ze est impair, on a les racines réelles

Vin ti, Vie

+
et les 72— 1 autres sont 2maginaïres , tandis que si 7» est
pair On a pour +71, les deux racines réelles (voy. Arc,

N

37)

/

n

mais pour —1, toutes les racines sont imaginaires,

Si nous déciguons doncpara, a, &,,#,, Ce, &m, LOS mn
racines de l'unité positive et par x’, &',,4",,#',, etc. les
ma racines de l'unité négative, les #2 valeurs de x qui

satisfont à l'équation

x A = 0
seront
Pour À négatif. Pour À positif.

on Le Ju
&=a V/À x=a VA
=, V/A =" V/A

mt mn
= VA —a\/À

etc, etc.

m Le

—=umY/A = m V À

Désignons doncen général par y les racines de l’unité,

nous aurons æ —=yy/ À, et substituant dans (k), nous
obtiendrons

JAH A==0 d’où 3#1=0

équation binome la plus simple de toutes et de la solu-
tion de laquelle dépend la détermination des »1 racines
de l'unité positive ou négative.

21. Considérons d’abord le signe — , ou le cas de l&-
quation

Y"—1T0

et remarquons avant tout que si #2 est. un nombre com-
posé de facteurs, c’est-à-dire si l'on a par exemple
m=p.q, petg étant des nombres-entiers, la résolution

7 à
548 FO
de l'équation proposée peut se ramener à celles des
équations inférieures

JP—1=0 j Y1—1=0.

car si nous désignons par # une des racines de la pre-
mière et par f une de celles de la seconde , nous aurons

=, P7—=1
et, par suite,
(@)1=19=1, (BI =1r7=1
d'où
(ar)7.(B7)P == (x E)9 = x
et, par conséquent,
(a. f}n—1 = 0
donc le produit des racines « , B est une des racines de
la proposée.
22. Appliquons cette remarqueà l'équation du sixième

degré.
y$—1=0

Comme nous avons 6—2.3, la résolution de cette équa-
tion se réduit à celle des deux suivantes

P—1=0, ÿ—1—0,
Or, les racines dela première sont, à cause de y=#\/1

Y=+H1,Y=—1

Quant à celles de la seconde, l’une d’elles étant néces-
sairement y—1 ,en divisant yŸ—1 par y—1 , le quotient
F°+27 +1, égalé à zéro , donnera l’équation du second
degré

P+2Y+1=0

de laquelle dépendent les deux autres racines.
La solution de cette dernière donne (v0y. QUARRÉE)

Y = ŸY

RÉ PS 2e
2 SE 2
ainsi , formant tous les produits de chacune des racines
Se Le : JR ee) : %
de y—1=0o par celles de y—1=0, nous trouverons
pour les six racines de y°—1=—0

re — _—

— ]

HV HV
2

2

23. Il est facile de voir que si l’exposant m2 était dé-

EQ

<
composable en plus de deux facteurs, la résolution de
l'équation ÿ"—1=o dépendrait de celle d’autant d'é-
quations que »2 contiendrait de facteurs, et qu’en sup-
posant par exemple, m=p.q.r.s.t.,...etc., les équa-
tions

JP—I1=0 , Y1—1=0 , Yr—1—=0, YS—1—0 etc.

fourniraient des racines dont les produits seraient les ra
cines de la proposée.

24. Lorsque m1 est un nombre impair , et il est alors
de la forme 2741, l'équation

FATF =0

a toujours une racine réelle =7+, et conséquemment son
premier membre est exactement divisible pary—1 (voy.
ci-dessus, 15). Mais le quotient de ÿ?#+—1 par y—1 est
(voy. Drvisiox , 21)

gene genete 4 4.

Ainsi les 22 autres racines de la proposée dépendent de
l'équation

pra yan—2betc. . . + +y+i=0

qui est du genre de celles qu’on nomme réciproques et
dont on peut toujours abaisser le degré (voy. ci-après,
n°39),

En effet divisanttoutpar y” et rapprochant les termes
également distaus des extrêmes, cette équation de-
viendra

q E 4 1 I
pi Le Lynit 2 Hotc.. .Hy+ — — =0
PE do un ane

et si nous faisons

y Le = 3, d'où y?—:y+1=0

nous obtiendrons successivement

+ pr = 7—37
LI
+ = he
+ FR = 25523452
etc. — Met.
3

pr ann pans HE aus

T7 j

‘ tu

2G = . ) Pr.

EQ

Substituant ces valeurs dans l'équation précédente on

obtiendra évidemment une équation en z du degré »

dont chaque racine mise à la place de cette variable dans

PEU 0

fera connaître deux valeurs correspondantes de y, et,
de cette manière , on déterminera les 22 valeurs de y
qui, jointes à la première y = 1, formeront les 2741
racines de y27+1—1-=0.

25. Proposons-nous pour exemple de trouver les cinq
racines cinquièmes de l'unité , ou les cinq racines de l’é-
quation

Cette équation, comme toutes les équations semblables
de degré impair ayant une racine réelle y=1 , divisons

J°—1 par ÿ—1, et nous obtiendrons pour quotient

PHP I = 0

équation du quatrième degré dont dépendent les quatre
autres racines.

Divisant tout par y? et rapprochant les termes égale-
ment distans des extrêmes , nous trouverons

P+ titre
faisant

jé
— = 53
da

et substituant, cette dernière deviendra
2 Lz—1—=0o

qui, résolue par la méthode du second degré (voyez
QuarrÉE) nous donnera pour ses deux racines

—1—\/5

2

145
2 ,
Mais l'équation auxiliaire

Y += 2 Ou ÿ?—2y +1 = 0

traitée par la même méthode, fournit

EQ 549
Substituant successivement dans ces valeurs celles de z,

nous obtiendrons définitivement pour les cinqracines de
la proposée les expressions

167 —d

IV 5+V/(—r0o—2V/5)
fA

Dep —

D
4

pri VE tea"
des e2 n

—1—V5—V/(—i0+92/5)

Gas PS vu

26. D’après ce que nous venons de dire, on voit
que lorsque l’exposant général » de l'équation binome
peut être décomposé en facteurs simples ou premiers
plus petit que 11, l’équation est toujours résoluble à
l’aide des procédés connus pour les équations des second
et troisième degrés; mais si cet exposant renfermait des
facteurs égaux ou supérieurs à 11, la méthode de dé-
composition dont nousvenons de faire usage deviendrait
insuffisante, car pour le facteur 11, seulement, il faudrait
résoudre l’équation partielle

Y''—1 =—0

qui nous conduirait à l'équation réciproque du dixième
degré

dr dr Alu rdv ds ru 7° ds LES LA rm

laquelle ne peut être abaissée qu'au cinquième degré.
Mais s’il est impossible d'obtenir dans tous les cas
l'expression théorique élémentaire des racines de l’é-
quation
F—1—0,

on peut au moins les exprimer toujours d’une mamère

générale à l’aide des fonctions circulaires (voy. Sinus) car,
en vertu du théorème connu

(cos DÆsing\/—1}"—cosmp+sinmpy/—1
m et ® étant des nombres quelconques , si lon fait
; on
mp=a2nr, d'où —=— 7
m
r désignant la demi-circonférence du cercle dont le
rayon est 1 , On aura
cos 2nr+- sin 227\/—1=1

tant que x sera un nombre entier positif, puisque dans
ce cas

EQ

tOB2Nr= I , SN 2Hr—0 ;

550

on a donc aussi, dans le même cas,
2n . 2n ——\"#
COS — 7 $in —7T —1 T1:
( mt he m V )

Substituant cette expression à la plaçe de l’unité dans
l'équation binome, nons obtiendrons

on . 20 7m
ya ={c0s 7 sin FrV=i)
et, conséquemment , (À)

on on —-
== cos —7 — sin —7\/—1,
y ne T sio rV

En faisant donc suecessivement n=0,n=1,n=9,
etc., jusqu'à n=m—1, dans cette dernière expression
nous aurons des 2 racines de l’unité.

Si l'on prenait pour » des nombres plus grands que
m—1 on retrouverait à l'infini les » premières valeurs, à
cause de la périodicité des fonctions sinus et cosinus.

27. Il existe entre les racines de l’unité une relation
importante que nous devons signaler, La première des
racines imaginaires , correspondante à la valeur 7—=1,
est, en la désignant par «

27% "DT
ÿ = C0 +sin— V—1 = à
or, d’après le théorème fondamental ,

on L IN = a 03 RU LAS
_—_ sin — —1—= {| COS — SLIL —V/ —
cos 7 + TV ( TE in = V %

==

Ainsi toutes les racines de unité pourront être repré-
sentées par les puissances de cette première x, ou par la
suite

«at, a, «3, af, etc... am—3

Cette propriété des racines de l’unité rend plus facile
l'évaluation de leurs valeurs puisqu'il suffit de trouver
la première racine imaginaire en faisant n — 1 dans
l’expression (k). S'il s'agissait par exemple de l'équation
binome

Y°—1=0
on aurait »m —6, et par conséquent la première racine

imaginaire serait

MERE RE
J = cos gr +sin s"V—1

EQ

mais
SE ED 7 De nn
cos 47 = sin (1r—}r) — sin

car le sénus de 30° est égal à la moitié du rayon; on a
donc, à cause de la relation générale cos’@+sin’® = 1,

sin? Fr=—1—}, et sin 5r—=V/1—5—1y3

d’où
YVES nn

Telle est la première racine imaginaire. D’après cequi
précède on aura donc pour les six racines de l’unité

peer -
ET sous
[ST ue

valeurs que nous avons déjà ebtenues, ci-dessus n° 22
par un procédé bien différent.

28. Examinons maintenant les racines de l'unité ne-
galive , ou celle de l'équation binome

PH 1—0
On sait (voy. Sinus) que
<os(2n+i)r=—1, sin (224 1)z—0 :

lorsque » est un nombre entier positif quelconque; ainsi
on a

cos(an+i)r—+sin(2n+1)ry—1=—1

et, par suite,

y cos {2n+r1)r+ sin (2244)r\/—1

d’où
y—V Je on+ Da |
=

FV/—1.

Telle est l'expression générale les racines de l’unite

négauve, dont on obtiendra les valeurs en faisant suc-
cessivement 2—0, n—1, 2—2, CtC., jusqu'à 27h
En désignant par « la racine correspondante à n—0,

ou
+ SAT re
cos — SIO=— —1—=6
Im Eu mt V
on a

T CR Dr EL
an+1—{ cos _. sin — V/—1
U

IR 2

(on +i)r . (ni, -—
— cos DES EU V—1

c'est-à-dire que toutes les racines peuvent être encore
exprimées par les puissancesde cette première et qu’elles

sont représentées par la suite

at, «5, 25,87, Hz GtET sir au,
29. Les racines de Punité tant positives que négatives

sont encore données par les expressions générales

2n 27 =
Y—= €0$ — 7 — sin —7r V/—1
mn

ne
on+1

— COS ———- 7 — sin
Y Tr

on

nt

Li nn —
rV/—1

car on a effectivement pour toutes les valeurs de x en-
tières et positives

=
cos 2nr Æ sin 277 W—1=I

cos (22 1)r + sin(an1)rV/—1 = —1

Mais il est facile de voir queles valeurs des racines cor-
respondantes aux valeurs 70, 1, n—2, etc. , se-
ront les mêmes que lorsqu'on prend le signe - ; seule-
ment elles se présenteront dans un ordre différent.

Il résulte de cette considération que si

a+b\/—1

est une racine imaginaire de l’unité
a—b\/—1

en est nécessairement une autre du même degré. On
nomme racines conjuguées, de telles racines qui ne dif-

frent que par le signe du coefficient de W=1.

30. Si nous représentons généralement par a+ by —x
une des racines imaginaires de l'équation binome
æM—1—0, a—b VTT sera laracine conjuguée, etle pre-
mier membre de cette équation æ”—1 sera exactement
divisible (15) par l’une et l’autre des quantités

EQ 581
æ—a—b\/— 1
æ—a+b\/—1
Ce premier membre sera donc aussi exactement divisible
par le produit

(a—a—b\/ 5 Ya —a+bl/ 1) = x—0ax+a+b

ou, ce qui est la même chose, x°—2ax+a+4b? sera un
facteur du second degré de l'équation proposée.

On peut donc facilement trouver tous les facteurs du
second degré d'une équation binome en prenant le pro-
duit de ses facteurs conjugués du premier degré. Par
exemple les cinq racines de l'équation &°—1—0, sont

coso + sino V—1

cos se+ sin $ vi

4 1 F 4 TE
cos set sin FrV—1
cos de + sin es
cos SAT re v—1

J J

ce que l’on trouve en faisant successivement 2—0, 1, 2,
3 et 4 dans l'expression k, n° 26.
Or, en observant que (voy. Sinus)

cos Oo — sino — 0

L;

cos se — cos(r + 57) cos (r—57)

5
4

= COS ET
5
. 6 : 1 k ï
SiNn-Xx =—— Sin TR) = =—SID(T—-
pe == sin(r+ 5) (r—3*)
. 4
= —Ssin-T
5

8 3 3
COS 5 — cos(r+27) = cos (x — pr)

= COS ;T

Cv ©

sin LA _— sin) hr)

5 5

. 2
= — $In:xr

5

les quatre racines imaginaires deviennent

2 2 —
cos + sinprV—1

À + sine

cos

552 EQ
4 pe
0$ 27 — Sin -r\/—1
c ET 1 srV
2 . 2 —
cos, x — sin —1
5” 5 V
et l’on a
2 . 2 —
ai = (ù—1)(x—cos. r—sin :r\/—1)
ô 5
4 . 4 ——
X(&—cos$ x — sin grV—1)
2.2 -—
&— c05 -r—+sin 7 V/—1
5 5
2 —
X (x— cos 1 sin 27 V—:1)
J J
ou

gi (x —i Xa?—2xcos2r+ 1 Xa—2rc0sfr-+ 1)
J

en formant les produits des facteurs conjugués.

On trouverait de la même manière
dira —1)(a—2xc0s, + 1at—2xcos: s+ 1)

C’est surcette décomposition de l’équation binome en
facteurs du second degré qu'est fondé le célèbre théo-
rème de Cotes dont nous parlerons plus loin (34).

31. ÉQuarions TRINOMES. On donne ce nom à toute
équation de la forme

x? Au ER =0

c’est-à-dire , à toute équation qui ne renferme que deux
puissances de l’inconnue et dont l’exposant de l’une est
double de celui de l’autre.

Ces équations se résolvent comme celles du second

degré, car en faisant «= on a x2“=z°, et la propo-

sée devient
224 Az+B—0o

dont les deux racine$ sont (voy. Quarrte)

AVES

A Aa JE.

4
ainsi désiguant ces valeurs par a et b nous avons succes-
sivement

AA OÙ L—q—0

am=b où x2—b—0

équations binomes dont les racines seront les 272 racines
de la proposée.

nee A?
Si l’on a Be, les valeurs de z ou de x" seront

imaginaires et on pourra leur donner la forme

\
A — A
A =— A2

Ainsi, en faisant

on aura

x =a+b)—t

et Les 27» racines de la proposée seront représentées par
l'expression

x =V/{< = = |

mais, nous pouvons donner à cette dernière la forme

T =V | Va +. |

VE Fo vi]

et, comme alors —— , sont des frac-

= + TD Var = b?
tions plus petites que l’unité, nous pouvons supposer
aussi

«a

——— = cos
V'a+b: ‘à

d’où nous tirons
; a?
siug=V/| 1 —cos"e | =V [r— HP

{sl Fr

remarquant de plus que

Ver = el = VE

l'expression de x deviendra

(cosp1- sing\/—1 _1) F4

2m

TI=N/ BR

mais # étant un noynbre entier quelconque, nous

avons

EQ
cos(2ar—+$)—=cosp
sin(2nr+p)=sin®

par conséquent , cette dernière valeur de x est la même

chose que

L— VB. | (cos(arr+-y)2sin(anr +) V1) d |

ou simplement (#)

= #8 cos (PT) sr in (2 =]

Telle est l'expression générale de la racine de l’équa-
tion trinome; on trouvera ses 2 valeurs en faisant suc-
cessivement 2—0, 2=1,72—2 jusqu'a #—m—1. En
prenant pour 7 des valeurs au-dessus de cette dernière

on retombera toujours sur les mêmes racines.

32. Le produit des deux facteurs simples conjugués

LR ps. {co os(2” tete + sin (= an) et
Re)

:

æ COS (CS) _ B"

représente tous les facteurs du second degré de l’équa-

ou

Li
x'—2B°”.

tion trinome.

33. La décomposition de l’équation trinome en fac-
teurs du second degré, nous donne les moyens de dé-
moutrer le théorème suivant, découvert par Moivre,
sur la division du cercle en parties égales.

3

Théorème. Si Yon partage un arc Arr, en un nombre
quelconque de parties égales An, et qu'à partir du point

EQ 995

ñ on divise la circonférence entière en autant de par-
ties que An est contenu dans A”, et qu’ensuite d’un
point quelconque O pris sur le diamètre AB ou sur son
prolongement on mène les droites On, Or, O2, O3, etc.,
à tous les points de division, le produit des carrés de
toutes ces lignes sera égal à

AIN LM COS + 1

æ, représentant la distance OC du point O au centre du
cercle , m» le nombre des divisions, et @ l’arc Am.

En effet, supposons le rayon AC égal à l’unité, et

prenons »=—/4 pour simplifier la démonstration. Nous
aurons seulement les quatre lignes On , Or, O2 et O3.

Or
On =0p + np =(&—pC)+np
amor. pC+pC + np
mais
pG = cos : , et np = sin
donc

On = x—27.c0s ? Pos À £ sin €

= x'—2%. COS A

On trouvera de même

O1 — [e — cos (= Ï + (22)
tar co (Ts) — 1

O2 —

Gi-[e ne (ss)

= x1—2T,COS (=) +1

mais, d’après le numéro précédent, en décomposant
l'équation

xi—2xi,cosp#+1—=0 ;,

en facteurs du second degré on obtient

70

donc

af—oxi.cosb+r = On KXOr KO KXO3

34. En faisant @=r et 9=0, il est facile de déduire
de ce théorème celui de Cotes dont la découverte fit
faire, dans le temps, des progrès au calcul intégral.
Nous allons le démontrer directement par la décompo-
sition de l'équation binome en ses facteurs du second

degré.

Théorème. Si dans un cercle décrit du rayon AC—a on
mène un diamètre quelconque AB, qu’à partir de l'extré-
mité À on divise la circonférence en un nombre pair 2m
de parties égales et qu’on désigne pare, 1,2, 3, étCs,
om—1, ces divisions , en faisant répondre o à l’origine
À , et que de plus , d’un point quelconque O pris sur le
diamètre ou sur son prolongement et du méme côté du
centre que l’origine, or mène des droites à tous les
points de division, le produit de toutes les droites me-
nées aux numéros impairs est égal à la somine des puis-
sances 72 du rayon et de la distance du point O au centre;
le produit de toutes celles menées aux numéros pairs
est égal à la différence des mêmes puissances.

Ainsi désignant par x la distance OC, ou a
anbar—01xXO03XO5X07.,....etc.
am—an—OoxXO2XO4XO8......etc.

En effet, du point 1 abaissons la perpendiculaire 1P
el nous aurons

EQ ;
à —
O1 —OP +:P°
mais & étant le rayon du cercle nous avons

1P — a.sin arc Ar
PC = a.cos arc Ar

et, deplus,

OP—OC—PC—x—a.cos arc Ar

nous avons donc, en désignant simplement l'arc Ar par
AT,

3

O1 —x—2axcosAr-Ha?cos Àr-Ha’sin?Ar

= 2°—2ux cos A1+a?

On trouverait de la même manière

O2 — 2°—0ax. cos A24a?

|

O3 — x°—oax, cos A3+a

2e ë

O4 —x—2ax. cos A4+a
etc. etc.

mais r désignant la demi-circonférence du cercle, on a

Fr 27 37
Ar==—,A2——, A3——,
mm mn m
"
etc. etc. '
LZ

Ainsi les carrés des lignes menées aux numéros pairs se-
ront

O2

2%
= ai — 24X.C0S — + a?
m

(7 = X? — 24% .C0S - + ee

__ Gr
O6 = x? — 24x.c0S + a*

etc. etc.

et les carrés des lignes menées aux numéros impairs se-

ront

—3 Tr

O1 —x'—2ax.cos— + «&
um -

—2 : 3x

O3 = x? — 24ax,cos — + æ&
me

— 5x 2

O5 = x—24ax.cos — + &
m

etc, etc.

Or, si l’on décompose l'équation binome

LT me = O

|
|

|

EQ

en ses facteurs du second degré, on a évidemment,
lorsque 72 est un nombre pair (p),

2r

Dm — (x —a) : (a—aar.c0s a + &
4r

* 2—2a%,C0S + æ

6
SA (= 24ax.c0s _ + œ)
De EC...
M—9,

4 T—24%.C05 —— r.æ )

et lorsque "7 est un nombre impair (q)
27
Œm—am— (x —a) . (æ°—amcos = + a
4x
4 (a°—sarcos = + a

6
X(a°—sax.e0s = -L a
mt
M retciun.

M—1
> (a—saxcos. —7 + æ)
m

Mais dans le cas de 7: nombre pair, parmi toutes les
lignes menées du point O aux numéros pairs se trouve-
ront les lignes OA et OB quirépondrontaux extrémités
du diamètre et dont les valeurs sont

OA=x—a, OB=x+a

4

et le produit
OA XOB—22— a :

ainsi dans ce même cas l’expression (p) devient

axm—am=OAXOBKO> XO4 XO6 .…... KO)"

Mais toutes les lignes O2, O4, O6, etc. Ofm—2) qui
sont situées d’un même côté du diamètre ont leurs cor-
respondantes O4, Od, etc., qui leur sont respective-
ment égales, de sorte qu’on peut écrireO2X Ob à la place

de O2, O4XO4 à la place de Of ‘etc. , etc. Nous au-
rons donc définitivement

am—am=OAKO2XO4etc... XOdXOBX etc.

c’est-à-dire que la différence des puissances æ" et am est
égale au produit de toutes les lignes menées aux nurmé-
ros pairs.

La méme chose a évidemment lieu dans le cas de
m nombre impair, car On a alors OA—x—a et par suite

zm—am=OAX O2" x Of > ET Of)
=OAXO2XO4Xetc... XOZXObX etc

EQ 555

En décomposant l'équation binome æ#-+a"—o en
ses facteurs du second degré nous trouverons, en suivant
la même marche,

amtanm=O1 XO3KXOSX...KOaXOcKetc.

et ainsi se trouvent démontrées les deux parties du théo-
rème de Cotes.

35. Equarions rÉcrPROQUES. Toute équation d’un
degré quelconque qui, ayant une racine =a, en a une

I zu sue AT
autre =) prend le nom d’équation réciproque.

On démontre aisément qu’une équation ne peut être
réciproque que dans les cas suivans : 1° quel que soit Le
degré, pair ou impair, si les coefficiens des termes à
cgale distance des extrêmes sont égaux et de mémes
signes ; 2° lorsque le'degré est pair et que le terme du
milieu manque, ou lorsque le degré est impair , si les
coefficiens des termes à égale distance des extrémes

son égaux e* de signes contraires

Ces équations sont remarquables parce qu’on peut
abaisser leur degré de moitié et qu'il devient ainsi pos-
sible de résoudre celles des neuf premiers degrés à l’aide
des procédés théoriques connus jusqu’à présent.

36 Soit, pour fixer les idées, l'équation réciproque du
sixième degré (a)

Axf+Bzx+Cri+DxLCr+Bxr+A — o.

L 1 . I .
Il est d’abord facile de s'assurer que 4 St racine de

ns he ; I
cette équation si a en est une, En effet substituons -

à la place de x, nous aurons

ï I Le I Le Li
AH BT+ CE +DE+CT+B'+A=M

en désignant par M la valeur inconnue que prend le se-
cond nombre de l'équation par cette substitution. Or,
en multipliant les deux membres de cette dernière par

aÿ , nous obtiendrons (b)
A+Ba-+Ca+ Da Cai+Ba5+A a — My,

Mais a étant racine de la proposée et le premier membre
de (b) étant précisément ce que devient (a) en y faisant
x=a , nous ayous nécessairement

Maï=o , ou M—o
donc le premier membre de l'équation (a) se réduit
PES | . I ñ L
aussi à zéro en faisant æ = - , et par conséquent : est
a
racine de cette équation.

On vérifierait de la méme manière le cas des expo-

556 EQ

sans égaux et de signes contraires lorsque l’équation est
de degré impair, ou lorsque, étant de degré pair, le
terme du milieu manque,

37. Ea divisant tous les termes de l'équation (a) par
le premier coefficient A, on peut donner à cette équation
la forme (c)

xiHax+bri+cxr Lbx Lax+i = 0.

c’est-à-dire qu’on peut ramener toute équation réci-
proque à avoir l'unité pour terme absolu. Nous suppo-
serons, dans ce qui vasuivre, qu’on a opéré cette réduc-
tion.

39. Comme il suffit de connaître la valeur d'une ra-
cine pour obtenir immédiatement celle de sa réciproque,

. I
à cause de la relation a X a = #0npeut prendre pour

inconoue auxiliaire la somme de deux telles racines, ou
poser

1

et transformer en z l'équation en x, par le procédé sui-
vant.

Nous supposerons d’abord qu'il s’agit d’une équa-
tion de degré pair et nous prendrons l'équation ci-des-
sus (c) pour exemple. Divisons tous les termes par une
puissance de æ, moitié de la plus élevée, c’est-à-dire,
par x, dans le cas que nous examinons, et rassemblons
les termes affectés des mêmes coefficiens; (c) deviendra

(d)
a+ + af +) U(e eo

mais en faisant

CA = —=Z
5 T
nous aurons
G+y=r
x
ou
x?+2+ on
et, par conséquent
x? + ee = 229
de même
(x + Ly = 2
x
ou

3 Lara
air +3 +

EQ

La

ce qui est la même chose que

a+ = six +)

3

= 2}—3;
— * 32

Substituant donc ces valeurs de

dans l'équation (d) elle deviendra (e)

mHaz+(b—3):+c—2a—0

équation d’un degré sous-double dela proposée, dont la
résolution fera connaître les six racines de cette der-
nière , puisqu’en désignant par &, 8, y les trois racines
de (c), chacune de ces quantités substituée à [a place de
z dans l'équation

1

= X+ Zu X—2X +1 = 0

fera eonnaître deux valeurs de x, en résolvant cette
équation.

4o. En examiuant les valeurs, en fonction de z, des
it I 1
quantités x + . x 0 cetc., sur lesquelles repose

cet akaissement des équations réciproques, il est facile
d'arriver à l’expression générale (f).

ml (m3),
An RL — 24 1 7" ym—6
+2 + M
A te 5) BL L ctc.

289

dont la démonstration ne présente aucune difficulté.

41 Considérons maintenant les équations réciproques
de degré impair, et pre ons pour exemple l’équation
du septième degré (g)

x ax br +cxi+cxLbr+Hax+i = 0

On voit aisément que cette équation a une racine =—1,

car, substituant —1 à la place de & , on a évidemment

—i1+a—b+c—c+b—a+ti=o,
ainsi le premier membre de (g

par æ+1 (voy.
vision On à pour quotient

2 + (a—i a + bat) L(o—b+a—i)xt
+(b—a+i)x a
+e—ne
+1

équation réciproque du sixième degré de laquelle dé-

t exactement divisible

ci-dessus n° 15). Mais en opérant la di-

pendent les six autres racines.

EQ

Ainsi après avoir divisé le premier membre de toute
équation réciproque de degré impair par le binome æ+-1
on obtiendra une autre équation réciproque de degré
pair qu’on résoudra par les procédés exposés ci-dessus.

Quant à l'équation réciproque de degré impair
dans laquelle les coefficiens des termes à égale distance
des extrêmes sont égaux et de signes contraires, on voit
aisément qu’eMe a une racine =1, et qu’il faut par con-
séquent la diviser par x — 1, pour obtenir une équation
réciproque de degré pair.

42. Si l'équation est de degré pair et que, son terme
du milieu manquant , tes coefficiens des termes à égale
distance soient égaux et de signes contraires, ellea une
racine = 1, et en la divisant par le binome x—1, on
obtient une équation de degré impair dont les coefficiens
sont égaux et de mêmes signes, laquelle a, par consé-
quent, une racine==— 1, et est divisible par x+1.
Donc la proposée estdivisible par (x—1)\x+1)=2x—1,
et le quotient est une équation d’un degré pair, moindre
de deux unités, résoluble de la même manière que celle
du numéro 41.

43. Nous avons déjà vu (n° 23) un exemple de réso-
lution d’équation réciproque , nous nous contenterons
donc ici d’appliquer les règles précédentes à l’équation

A Lx Hoxi—2r—3r—1 = 0
Cette équation ayant une racine —1 , divisons son pre-
mier membre par x—1 et nous obtiendrons pour quo-
tient à°+/4xiLGxr+G6x+ix+r , lequel, égalé à zéro,
nous donnera l’équation réciproque du cinquième
degré
2° + 4x Gr +Gx Lx trio

Cette dernière ayant une racine = — 1, divisons son
premier nombre par æ+41, et nous obtiendrons défini
tivement l'équation du quatrième degré

diH3x +32 +3xtr = o

qui nous fera connaître les quatre autres racines.
Divisons donc tous les termes par x? et rassemblons
ceux qui ont le même coefficient, nous aurons (k)

m4 (et) = 0

faisons maintenant

et substituons dans (4), cette équation deviendra

24351 = 0

EQ 557

dont les deux racines sont

—3+ V5
nn
—3\/5

. 2

Or, l'équation æ + mg = QU 257410, ré-

solue par rapport à x, donne
” m2 —
2 RAS

DNS Tu
2

Substituant successivement dans chacune de ces va-
leurs les deux valeurs de z, et rassemblant tous les ré-
sultats , nous aurons définitivement pour les six racines
de la proposée les valeurs

T—=I1
T=—I

nd en em €)
4

—64+21/5—V/(—2— 6/5)
4

—6—2V5+1/(—2+6V5)
PRE LE

ZT

av V2 +GVE)
4

44. Équarions TranscenpanrTes, Les diverses espèces
d'équations que nous venons d’examiner,ainsi que toutes
celles quine contiennent que des puissances entières des
inconnues, se nomment généralement équations algc-
briques , tandis qu’on donne le nom de transcendantes,
aux équations qui renferment , soit des puissances irra:
tionnelles telles que x", soit des exposans eux-mêmes
indéterminés tel que ax, soit des fonctions dérivées des.
variables telles que sin x ou log x etc., soit enfin des
quantités infinitésimales, Ces équations se divisent en
plusieurs classes que nous allons examiner rapidement.

: Nous devons faire observer ici que les équations qui ;
contiennent des exposans fractionnaires sont a/gebriques
et non transcendantes parce qu'il est toujours possible
de faire disparaitre ces exposans. ’oy. Transrorma-
TION.

45. ÉQuarTioNs EXPONENTIELLES. Ce sont des équations
dans lesquelles les exposans des puissances sont incon-
nus, comme a*—b, xt=—m, etc. , etc. Lorsqu'elles sont

”
558 EQ
simples, c'est-à-dire lorsque les exposans seuls sont in-
déterminés, on les résout facilement à l’aide des loga-

rithmes. :
Soit en effet l'équation
a? —=b
en prenant les logarithmes des deux membres on a
log. at = log.b
mais d’après la propriété des logarithmes
log.ar=x log a ,
on à donc aussi

ee log.b
x log.a= log.b, d'où x ne

0g.a
et en cherchant dans les tables les logarithmes de b et de
a, leur quotient fera connaître la valeur de #. Si l’on avait
par exemple a—12 et b—20; ou l'équation

197 — 20
en prenant les logarithmes de 12 et de 20, on trouve-
rait

log.20 _1,3010300

LT = —
log.12 1,0791812

— 1,200...

Tr

L’équation & —c peut encore se traiter de la même

manière caren faisant br=% on a

désignant par» le quotient des logarithmes ; mais &x=—z,
donne alors b*=m, d’où

c’est-à-dire

L'équation x — a présente bien plus de difficultés;
car en prenant les logarithmes on a x log x=a, expres-
sion dont on ne peut dégager x que par des développe-
mens en sérietrès-compliqués(voy. REsoLuTION et SERIE).
Il est beaucoup plus simple et plus prompt de se servir
ici de la règle de Fausse PosiriON (voy. ce mot), règle
précieuse dans tous les cas où l’on ne peut aborder di-

rectement l'évaluation des quantités.

ÉqQuations DE DirrÉrENces. On les divise en équations
aux différences finies et en ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

EQ

Par exemple, À et B étant des fonctions quelconques
des variables rety,

A. Ar4+B,4y =0
est une équation aux différences finies, et
ÀA.dzx + B. dy = 0

est une équation différentielle.

Ces équations se classent d’après l'indice le plus élevé
des différences qu'elles renferment; ainsi on nomme
équations du premier ordre , celles qui ne contiennent
que des différences simples, Ar où dæ; équations du
second ordre, celles qui contiennent des différences se-
condes , 4’x ou d’x , etc., etc.

Lorsque les équations de différences renferment la
différence complète de la fonction primitive, on leur
donne le nom d'équations totales ; par exemple @ étant
unc fonction quelconque des trois variables x, y, =, la
différence totale de cette fonction prise en faisaut varier
successivement x , y et z, est de la forme (voy. Carcur
DES DIFFÉRENCES , N° D1)

(EE jar (É9) a+ (Es

-et l'équation

A? AD Le +) pre
(art Go) y+ (a) = 0

; j ;
2st une ÉQUATION TOTALE DE DIFFÉRENCES. :
De même l'équation

(ae) a+ (Leo

est une ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE TOTALE.

Si l'équation ne renferme pas la différence complète
de la fonction primitive, elle prend le nom d’ÉQUATION
AUX DIFFÉRENCES PARTIELLESs

Enfin lorsqu'une imême équation contient en mème
temps des différences finies et des différentielles, on la
nomme ÉQUATION AUX DIFFÉRENCES MÉLÉES.

Outre la classification de toutes ces équations par rap-
port à l’ordre des différences, il en existe deux autres
fondées sur le degré de puissance auquel $e trouvent les
différences , et sur l’ordre d’indétermination des varia-
bles. Ainsi une équation de différences d’un ordre que:
conque est du premier degré, du second degré, ete.,
selon que les différences contenues dans cette équation
sont au premier degré de puissance, au second de-
gré, etc., et elle est du premier ordre d'indéterminaton,
du second ordre, etc., selon qu’elle renferme un ,

deux, etc., quantités variables.

FQ

® Résoudre nne équation de différences, c’est détermi-
ner l'équation primitive qui exprime la relation des
variables équivalente à celle qui est exprimée par la
proposée. Cette résolution est l’objet du CALCUL INTÉ-
GrAL. P’oy. ce mot.

ÉQUATION (Astr.). On nomme généralement équa-
tionen astronomie la différence qui existe entre l'élément
vrai d’un corps céleste etson élément moyen; c’est-à-dire
laquantité dontil fautaugmenter ou diminuer sa position,
calculée dans l'hypothèse d'un mouvement moyen uni-
forme, pour trouver sa véritablesituation résultante de
son mouvement réel et inégal. Il y a plusieurs espèces

d'équations astrononiques.

Équariox pu remps. C’est la différence entre le temps
vrai et inégal indiqué par le soleil , et le temps #0yen,
marqué par une pendule bien réglée,

Le jour solaire, pris pour base de la division du
temps par tous les peuples, est l'intervalle entre deux
passages consécutifs du soleil au méridien , ou entre deux
midis vrais; c’est cet intervalle qui, divisé en 24 parties
égales, détermine le grandeur de l’heure civile et par
suite celle des subdivisions de cette dernière, Mais la
durée du temps écoulé entre deux passages du soleil par
le même méridien, n’est pas constamment uniforme,
et, par conséquent , les jours solaires ne sont pas égaux
entre eux, d’où il suit qu’en divisant chaque jour en
24 parties égales, ces parties n’ont pas tous les jours la
même grandeur ; de sorte qu’une bonne pendule dont
toutes les heures sont nécessairement uniformes et qui
est réglée de manière à compter exactement 24 heures
pendant la durée d’un jour solaire déterminé, en mar-
quant 7nidi au moment du midi vrai, ne s'accorde plus
les jours suivans avec le soleil , et marque midi un peu
avant où un peu après midi vrai, selon les circonstances.
Cette inégalité, dont l'importance est peu sensible pour
les usages civils, exerce une grande influence sur les
calculs astronomiques qui réclament une mesure de
temps fixe et invariable.

La différence de la grandeur des jours solaires est due
à plusieurs causes que nous allons signaler. Dans sa
course annuelle autour du soleil, la terre est animée de
divers degrés de vitesse correspondant aux différentes
distances où elle se trouve de cet astre. Cette vitesse est
à son maximum dans la partie de l'orbite la plus rap-
prochée du soleil ou au périhélie, tandis qu’à l’aphélie
elle est au minimum. Comme nous transportons au
soleil lui-même le mouvement de la terre, il nous paraît
se mouvoir sur l’écliptique justementavec les vitesses va-
riables de la terre, de sorte qu’à certaines époques
de l’année il semble décrire en un jour un arc de 61" 11”,
tandis qu’à d'autres cet arc n’est que de 57' 11". Mais
la rotation de la terre autour de son axe, ou la rotation

ri 5$9

apparente de la voûte céleste qui en est la conséquence,

LOT

s’effectuant toujours dans Je même intervalle de temps,
et le soleil ne pouvani se retrouver au iméridien qu’a-
près une révolution entière de la sphère plus une petite
partie de révelution proportionnelle à l'arc qu'il a
décrit dans l'intervalle, en sens inverse du mouvement
diurne de la sphère, il est évident que la grandeur va-
riable de cet arc devient une première cause d’iné-
galité pour la grandeur du jour solaire, puisque la
durée de ce jour se compose de la durée de la révo-
Jution diurne de la sphère, plus, de la durée dela partie
de révolution correspondante à cet arc. Mais cette
cause n’est pas la seule; car, en supposant même le mou-
vement apparent du soleil parfaitement uniforme sur
l'écliptique, ce mouvement ne serait point égal par
rapport au méridien, et les jours solaires, dont la durée
est précisément l'intervalle de deux passages consécutifs
du soleil au méridien, ne seraient point encore égaux.
En effet, si lon partage l’écliptique en parties égales
et qu’on fasse passer des méridiens par tous les points
de ‘division, ces méridiens partageront l’équateur en
parties inégales, et comme c’est autour de l’équateur que
se comptent les heures, quelque régulier que fût le mou-
vement du soleil sur l’écliptique, son mouvement, par
rapport à l'équateur et conséquemment par rapport au
méridien, pris pour terme de comparaison, serait
toujours inégal.

L'inégalité des jours solaires repose donc sur deux
causes principales : l’obliquité de Pécliptique, et l'iné-
galité du mouvement propre du soleil. Pour eu déter-
miner les circonstances , il faut calculer les ares que le
soleil décrit chaque jour sur l’écliptique; projeter ces
ares sur l'équateur par des méridiens et prendre les dif-
férences successives des angles horaires compris entre
eux.

Pour comparer les jours nrais et inépaux au jour
moyen toujours égal, pris pour unité de mesure, on
conçoit un soleil moyen et uniforme qui tourne dans
Yéquateur et achève sa révolution sur ce cercle exacte-
ment dans le même intervalle de temps que le soleil réel
achève lasiennesur l'écliptique. De cette manière, en sup-
posant que le soleil moyen parte de l’équinoxe du prin-
temps en même temps que le soleil réel, on dit qu'il est
midi moyen toutes les fois que ce soleil moyen passe
par le méridien; et si, à cet instant, le soleil réel se
trouve plus ou moins avancé, en sorte qu'il soit plus ou
moins de rridi vrai, la différence forme l'ÉqQuariow pu
TEMPS.

L’équation du temps était déjà connue et employée a
l’époque de Ptolémée, qui en parle dans son Almageste
(iv. in, chap. x). Cependant jusqu’à Képler, les astro-
nomes ne tinrent compte que de l'inégalité résultante de
l'obliquité de l’écliptique ; ce grand homme, qu'on peu’!

360 EQ

considérer comme le fondateur de l'astronomie mo-
derne, calcula le premier l'effet de la variation du mou-
vement propre du soleil. Depuis, on a reconnu que
l'équation du temps était affectée par la Précession et la

utation ( Voyez ces mots ). Quoique nos horloges
publiques soient aujourd’hui réglées sur le temps
moyen, nous n’entrerons pas dans de plus grands dé-
tails sur ce sujet, l'annuaire du bureau des longitudes,
etla plupart des almanachs donnant l'équation du temps
pour chaque jour de l’année, ou du moins l’heure
exacte que doit marquer une bonne pendule au midi
vrai de chaque jour. Nous devons ajouter cependant
que quatre fois dans l’année, savoir : vers le 14 avril,
le 15 juin, le 30 août et le 23 septembre, l’équation du
temps est nulle, et que sa plus grande valeur s'élève
jusqu’à 16" 14", vers le 1° novembre.

ÉQUATION DE L’ORuITE. Æquation du centre, prosta-
phérèse. Différence entre le mouvement inégal d’une
planète dans son orbite et le mouvement moyen, égal
et uniforme qu’on lui suppose pour pouvoir calculer
plus facilement son lieu vrai. Cette différence est égale
à celle qui existe entre l'anomalie vraie et l’anomalie
moyenne. Voy. ANOMALIE et ORBITE.

ÉQUATION DES HAUTEURS CORKESPONDANTES. Correction
qui doit être appliquée au temps de midi calculé par
l'observation des hauteurs égales du soleil avant et après
son passage au méridien, pour déterminer le temps
vrai. 7. Haureur et PAssAce.

EÉQUATORIAL (Astr.). Instrument qui sert à mesurer
l'ascension droite et la déclinaison des astres, et à suivre
toutes les circonstances de leur mouvement diurne. L’u
sage de cet instrument , dérivé de la machine parallaci-
que (7. ce mot), fut introduit en Angleterre par Short ;
depuis, Nairne, Ramsden , Mégnié et Dollond le per-
fectionnèrent successivement. Woy. Trans. phil. 1777.

ÉQUERRE ( Astr.). Constellation méridionale in-
troduite par La Caille. Voy. CONSTELLATION.

ÉQUERRE ( Géom.). Instrument de bois ou de
métal, composé de deux jambes fixes ajustées perpen-
diculairement l’une à l'extrémité de l’autre , et qui sert

à tracer des angles droits ou à tirer des perpendiculaires
sur une ligne donnée.

EQ

On vérifie Ja justesse d’une équerre de la manière sui-
vante: ayant décrit un demi-cercle sur un diamètre pris
à volonté, on lui applique l’équerre de manière que l’un
de ses bras touche une extrémité du diamètre tandis
que son sommet touche un point quelconque de la ce r-
conférence, comme dans la figure ci-jointe ; alors, si
l'équerre est juste, il faut que l’autre bras touche l’autre
extrémité du diamètre. En effet, dans cette situation,
l'angle des deux bras de l’équerre a pour mesure la
moitié de l’arc qu'ils comprennent, et conséquemment
ne peut être un angle droit si cet arc n’est pas la demi-
circonférence entière, c’est-à-dire, si les deux bras ne
touchent pas les deux extrémités du diamètre.

ÉQUERRE D’ARPENTEUR. Cercle épais de cuivre
divisé en quatre parties égales par deux droites qui se
coupent au centre à angles droits, et dont les extrémités
sont garnies de pinnules. Cet instrument sert à tirer des
perpendiculaires sur le terrain, et à prendre des aligne-
mens.

L'équerre d’arpenteur a récemment changé de forme,
c’est aujourd’hui une espèce de prisme octogonal qui. an
lieu de pinnules, a quatre fentes perpendiculaires ser-
vant au même usage. On lui donne le nom d’éguerre
octogone.

On visse l’une et l’autre de ces équerres à l'extrémité
arrondie d’un bâton dont l’autre bout est garni d'un
fer pointu, de manière à pouvoir l’enfoncer dans la
terre.

Pour mener d’un point donné une perpendiculaire
sur une droite, on opère de la manière suivante: soit
AC (PL. V, fig. 6.), la droite tracée sur le terrain ou
donnée par des alignemens de jalons; ayant planté ver-
ticalement le bâton d’arpenteur au point où l’on veut
élever la perpendiculaire, on visse l’équerre et on la
tourne de manière que l'œil, placé successivement à
deux pinnules opposées, aperçoive les jalons A et C
plantés sur la droite AC; ceci fait, et l’instrument res-
tant fixe, on regarde par les deux autres pinnules si l’on
aperçoit le jalon qu’on a envoyé présenter par l’aide
arpenteur dans la direction de ces pinnules, faisant
signe à l’aide d’avancer ou de reculer jusqu’à ce que le
jalon soit exactement en E ou en B sur le rayon visuel ;
alors, au signal convenu, l’aide plante son jalon, et il
ne s’agit plus que de mener une droite par le pied de
l’équerre et par le pied du jalon, pour avoir la per-
pendiculaire demandée.

Tous les problèmes qu’on peut exécuter sur le ter-
rain à l’aide de l’équerre d’arpenteur, ne sont que des
modifications de celui-ci, et ne présentent pas plus de
difficultés. Joy. Le nouveau traité de l’arpentage par
A. Lefebvre.

ÉQUIANGLE (Gcom.). On nomme figure équiangle
toute figure dont les angles sont égaux, Ainsi un rec-

mi

EQ

tangle est une figure équiangle. Un triangle équilatéral
estaussi équiangle. En général tous les polygones régu-
liers sont équiangles.

On se sert encore de ce mot dans une autre acception:
on dit, par exemple, que deux triangles sont équiangles
entre eux, lorsque les angles du premier sont égaux
chacun à chacun aux angles du second.

Il est donc important de ne pas confondre un poly-
gone équiangle tout seul , avec un polygone équiangle
à un autre, puisque le premier est une figure dont tous
les angles sont égaux entre eux, tandis que le second à
seulement ses angles égaux à ceux d’un autre polygone.

D’Alembert avait proposé, pour éviter l’équivoque,
de n’employer ie mot équiangle que dans la dernière
acception, et de le remplacer, dans la première, par le
mot équiangulaire, mais l’usage a prévalu.

ÉQUIDIFFÉRENCE. Égalité de deux rapports par
différence. À, B, C, Détant quatre quantités quelconques,
si la différence des deux premières est égale à la diffé-
rence des deux secondes, la relation

A—B—C—D

sera une éqguidifférence.

Ce mot a été introduit par Lacroix, pour remplacer
celui de proportion arithmétique, par lequel on désigne
généralement une telle relation. #oy. Rarporr et Pro-

PORTION.

ÉQUIDISTANT (Géom.). On dit que deux points
sont équidistans par rapport à un troisième , lorsque
leurs distances à ce dernier sont égales. Aïnsi tous les
points de la circonference du cercle sont équidistans au

centre.

Méthode des coordonnées ÉqQuinisranTEs. C’est une
méthode due à Hutton, pour trouver par approxima-
tion l’aire d’une figure terminée d’un côté par une ligne
droite et de l’autre par une ligne courbe.

— Ayant mesuré un nombre impair d’ordonnées équidis-
tantes, ou de perpendiculaires élevées sur la ligne
droite et se terminant à la courbe , désignons par A la
somme de la première et de la dernière, par B la somme
de la seconde, de la quatrième, de la sixième, etc.,
par C la somme de toutes les autres, et par D la com-
mune distance des ordonnées, nous aurons, à très peu
près, | :

L
SEC D= aire de la figure.

Voy. Hutton, Mensuration, pag. 374.
ÉQUILATÉRAL ou ÉQUILATÈRE (Géom.) (De
æquus égal, et de latus coté.) Nom que l’on donne

EQ 5GI

tout ce qui a les côtés égaux. Un ériangle équilatérai
est un triangle dont tous les côtés ont la même gran
deur.

Tous les polygones réguliers et tous les corps régu
liers sont
RécuLiEr.

On dit aussi que deux polygones sont équilatéraux
entre eux, lorsqu'ils ont les côtés égaux chacun à cha-
cun , et placés dans le même ordre.

Le mot cquilatère ne s'applique généralement qu'à
l’hyperbole. On nomme hyperbole équilaière celle dont
les axes conjugués sont égaux. V’oy: HyrErsoze.

ÉQUILIBRE (Meéc.). État d’un corps sollicité au
mouvement par des forces opposées qui se détruisent;
ou égalité parfaite de force entre deux corps qui agis-
sent l’un contre l’autre ; une balance est eh équilibre
lorsque son fléau se maintient dans une position pa-
rallèle à l'horizon. C’est de cet instrument que le mot
équilibre dérive , car il est formé d’æqguus égal, et de
libra balance. Les lois de l'équilibre sont l’objet d’une
branche de la mécanique nommé STATIQUE. Woy. ce
mot.

ÉQUIMULTIPLE ( Arith.). Les quantités équimul-
tiples sont celles qui proviennent du produit d’autres
quantités par un même facteur. Ainsi A et B étant des
quantités quelconques, 4A et 4B sont les équimultiples
de A et de B. De même 5A et 5B sont d’autres équimui-
tiples de ces mêmes quantités.

Le rapport de deux quantités équimultiples est tou-
jours le même que celui des deux quantités primitives
dont elles proviennent, car en genéral, 72 étant un
facteur quelconque,

mA
Br

ÉQUINOXE ( Astr.). Moment où le soleil, passant
par l’un des points équinoxiaux , se trouve sur l’équa-
teur.

Les équinoxes ont lieu deux fois chaque année, savoir :
vers le vingtième jour de mars etle vingt deuxième de
septembre. À ces époques la révolution diurne du soleil
lui faisant décrire l'équateur , les jours sont égaux aux
nuits par toute la terre, sauf toutefois la petite diffé-
rence qui résulte des réfractions, dont l’effetest de faire
paraître le soieil au-dessus de l'horizon plus long-temps
qu'il n’y est en réalité.

Le mouvement propre du soleil étant inégal, il y a en-
viron huit jours de plus de l’équinoxe de mars, ou du prin-
temps, à celui de septembre, ou d'automne, quede l’équi-
noxe d'automne à celui du printemps, parce que le
soleil se meut avec plus de vitesse dans la partie sep-

74

n——.

cquilatéraux. Voy. TRiANGLE, PoLyGone, :

562 ER

tentrionale de l’écliptique que dans la partie méridig-
nale.

On a reconnu que les points équinoxiaux ne sont pas
fixes, mais qu’ils ont un mouvement rétrograde, ou en
sens inverse de l’ordre des signes, de sorte que le soleil
ne passe pas deux années de suite sur le même point de
l'équateur. C’est ce mouvement qu’on nomme préces-
sion des équinoxes. Foy. ce mot.

ÉQUINOXIAL (4str,). L'Équinoxial est la même
chose que l'équateur. Foy. AnmiLLAIRE, 12.

Ce mot se prend aussi adjectivement comme dans
cadran équinoxial. Foy. GNomoniQuE.

Ponrs ÉQuixoxIaux. Ce sont les points où l’écliptique
coupe l'équateur.

ÉQUIPAGE ({ Opt.). On donne ce nom à l’assem-
blage des oculaires que l'on applique à un télescope.
Un équipage est d'autant plus fort qu'il grossit davan-

| tage les objets.

ERATOSTHÈNES, fils d’Aglaüs, l’un des plus ce-
lèbres savans de l'antiquité, naquit à Cyrène , colonie
grecque située sur la côte septentrionale de l'Afrique,
dans la première année de la 176° olympiade (256 ans
avant J.-G.). Des maitres habiles, tels que le philosophe
Ariston de Chio, Lysannias de Cyrène, Callimaque le
grammairien et le poète, développèrent de bonne heure
son intelligence et l’initièrent à toutes les connaissances,
dont l'humanité était alors en possession. La réputation
qu'Eratosthènes ne tarda pas à acquérir appela sur lui
l'attention de Ptolémée Evergètes. Ce digne successeur
de Lagus lui donna, en raison de son savoir encyclo-
pédique, la direction de la bibliothèque d'Alexandrie,
dont la célèbre école commençait à compter les plus
grands hommes du temps parmi ses maîtres et ses dis-
ciples. Les écrivains de l'antiquité ont parlé d’Eratos-
thènes avec trop d’éloges et de respect, pour qu’on
puisse douter de l’influence que ses travaux durent
exercer sur les progrès généraux de la science. I fut à
la fois, orateur, poète, antiquaire, philosophe, astro-
nome et géomètre, mais c’est surtout à ces derniers
titres qu’il s’éleva jusqu’au rang des Euclide, des Apol-
lonius, des Aristée. Malheureusement les nombreux et
importans ouvrages qui lui sont attribués sont perdus
pour toujours et il deviendrait difficile d'apprécier la
valeur des jugemens dont ils furent l’objet , si les savans
mathématiciens, qui illustrèrent les derniers siècles de
l’école d'Alexandrie, ne nousavaient conservé quelques-
unes des recherches qui occupèrent sa longue et labo-
rieuse vie.

Eutocius, dans ses commentaires sur Archimède, a
reproduit la solution qu'Eratosthènes donna du pro-
blème de la duplication du cube. Nicomaque et Boëce
CBoeui arih. 1. 2) rapportent aussi de lui une méthode

ER
pour trogyer les nombres premiers; il lui ayait donné
le nom de #pxxivoy ou de crible, parce qu'au lieu de dé-
méthode, il le faisait indirectement et en quelque sorte
par exclusion, On trouve dans /es Transactions philo-
sophiques de l'année 1772 un mémoire du géomètre an-
glais Horsley où cette méthode est exposée, Foy. Cnisre.

L’astronomie a diverses obligations importantes à
Eratosthènes. Sa tentative pour mesurer la grandeur de
Ja terre a de la célébrité, ce fut la première solution
que la scienceait donnée de ce problème. On sait qu'il y
parvint à l’aide de l'observation qu’il avait faite à Syène,
où il existait un puits que le jour même du solstice d'été
le soleil éclairait verticalement dans toute sa profon-
deur. I] supposa que Syène se trouvait précisément
sous la ligne du Cancer, et que cette ville et Alexandrie
étaient l’une et l’autre sous le même méridien er fixa
leur distance à 5000 stades. Pour obtenir d’après ces
premiers élémens la solution complète du problème, il
fit construire un instrument fort ingénieux dont il se
servit à Alexandrie le jour du solstice à midi, moment
où le soleil était absolument vertical à Syène. C'était
une scaphé ou un hémisphère concave , sur le fond du-
quel s'élevait un style vertical dont le sommet était le
centre de courbure de l'hémisphère. Ce fut parce moyen
qu'il mesura l'arc intercepté entre le soleil alors au
zénith de Syène et le zénith d'Alexandrie. 11 trouva
qu’il était de la cinquantième partie de la circonférence,
d’où il crut pouvoir conclure que la grandeur du degré
terrestre était de 250,000 stades.

I est inutile de faire observer ici que cette méthode
ne pouvait amener un résultat juste et que cette mesure
du méridien s'éloigne considérablement de celle que
nous possédons ; ii est difficile d’ailleurs de l’apprécier
avec exactitude puisque nous ignorons la valeur du
stade employé par Eratosthènes. Au reste cette intéres-
sante question sera traitée avec tous les développemens
scientifiques qu’elle comporte, dans un autre article de
ce dictionnaire. Foy. MESURE DE LA TERRE.

Onattribue à Eratosthènes une observation de l’obli-
quité de l’écliptique ou de la distance des tropiques; sa
célébrité n’est pas moindre que celle dont nous venons
de parler. Il est vrai qu'aucun auteur ancien ne nous a
transmis le procédé qu'il employa. On sait seulement
qu'il trouva que la distance des tropiques était les 4 de
la circonférence d’un grand cercle, c’est-à-dire de 47°
42' 27"; il détermina conséquemment l'inclinaison de
l'écliptique à l'équateur à 23° 51° 13”.

Ce fut Eratosthènes qui fit construire et placer sous le
portique de l’école d'Alexandrie, ces grands instrumens
pour l'observation des astres, qui sont devenus fameux
sous le nom d’armilles (voy. ce mot) et qui ont été
long-temps d’une si grande utilité pour l'étude de l'as-

ER

tronomie et les observations qui font l’objet de cette
science:

Nous avons dit plus haut que les ouvrages scientifiques
attribués à Eratosthènes par l'antiquité avaient été
perdus, un seul de ses livres a survécu au naufrage des
temps, encore a-t-on de fortes raisons pour croire que
si ce West point une de ces ingénieuses divinations du
XVII siècle et qu’il soit réellement l’œuvre d’Eratos-
thène, il a au moins subi de nombreuses altérations. C’est
une description des astérismes ou constellations cé-
lestes, qui fut publiée en 1630, par le P. Pétau, dans
son uranologium. En 1672, Aratus, donna, à Oxford,
une nouvelle et remarquable édition de ce précieux
reste de la science antique ; il y ajouta plusieurs autres
fragmens d’Ératosthènes, empruntés aux auteurs anciens
qui les avaient conservés,

Ératosthènes parvint à un âge très-avancé, quelques
écrivains ont dit que ne pouvant plus supporter les in-
firmités d’une lente vieillesse, il se laissa mourir de
faim. Quoi qu'il en soit, on place généralement l’époque
de sa mort vers la 7° ou la 9° année du règne de Pto-
lémée Épiphanes,

ÈRE (Chron: }. Il n'existe point d’étymologie satis-
faisante de ce mot employé depuis long-temps en chro-
nologie vour désigner spécialement une époque Histo-
rique ou astronomique précise, d’où lon compte les
années. Il ne faut point confondre l'ère avec la période ;
les computistes les plus estimés sont souvent tombés
dans cette grave erreur qui a produit une fâcheuse con-
fusion dans les époques chronologiques et a rendu leur
concordance fort difficile à établir. La période a expres-
sément des élémens astronomiques ; on l’entend d’une
succession d’années comprises dans l'intervalle d’une ré-
volution sidérale donnée à une révolution semblable, et

dont par conséquent la durée peut être variable. L'ère est

au contraire un point fixe et déterminé dans le temps.
Ainsi la période et l’ère Juliennes n’ont rien de commun,
La période julienne est un comput arbitraire établi par
Joseph Scaliger pour faciliter les calculs des concor-
dances chronologiques ou servir d'échelle générale à la
chronologie de l’histoire: elle a pour élémenit le cycle
lunaire de 19 ans multipliés par le cycle solaire de 28
ans, dont le produit est encore multiplié par le cycle des
indictions de 15 ans. L'ère julienne indique seulement
l'époque de la réformation du calendrier romain par
Jules-César. Joy. Cazrvbnienr, 12, 13, 14 et suivant, et
PÉRIODE.

Ces ères historiques ou astronomiques sont anterienres
ou postérieures à l'ère chrétienne (12), qui peut servir à
la fois entre elles de terme moyen et de terme de com-
paraison. Elle est à peu près la seule qu’on emploie gé-
néralement aujourd’hui sous la dénomination d’èrs

VULGAIRE, Car à part les ères nationales, comme celle

ER | | 563
de lhégyre, par exemple, les autres peuvent être re-
gardées comme des ères savantes ou d’un usage pure-
ment scientifique. Nous allons rapidement exposer les
élémens des principales, et surtout de celles qui sont
encore employées le plus souvent en astronomie et
en chronologie. Pour éviter des répétitions sans objet,
nous classerons sous les désignations générales d’ères
anciennes ou d’ères modernes celles qui sont antérieures -
ou postérieures à l’ère chrétienne. t

Ênres ANCIENNES. 1. Êre mondaine. — Des Juif. —
De la création du monde. Cette ère r’anticipe que
d’une année sur l’ère vulgaire; les Juifs en placent
ainsi le commencement 3761 ans avant J.-C., elle est
réglée par le cycle lunaire de 19 ans, composé de douze
années communes et de sept autres embolismiques. Les
juifs modernes prétendent que cette ère de la création
du monde a été connue de leur nation dès la plus
haute antiquité. Cette assertion est révoquée en doute
par quelques critiques qui se fondent surtout sur l’im-
perfection des anciennes notions astronomiques du
peuple hébreu , et ils ne pensent pas qu’on puisse faire
remonter au-delà du onzième siècle de l’ère vulgaire;
l'institution de l’ère mondaine.

. Êre d'Abraham: Elle n’est qu’historiquement dé:
terminée, mais cette détermination paraît du moins ré-
sulter de l'unanimité des traditions qui ont, en Orient;
une grande antiquité. Cette ère commence à la vocation
du patriarche dont elle porte le nom et qu’on fixe au
premier octobre de la 2015° année avant J.-C, mais il
faut remarquer que la 2016° année commence avec ce
même jour immédiatement antérieur au commencement:
de l'ère chrétienne. Les computistes et les anciens
écrivains chrétiens ont en général adopté l’ère d’A
braham.

3. Êre de Nabonassar. Le commencement de cette
dre est fixé à midi d’un mercredi qui était le 26 février
de l'an 747 avant J.-C. , son élément astronomique est
l’année vague de 365 jours, sans intercalation, telle
qu'elle était réglée en Égypte: Son nom est celui d’un
prince qu’on considère comme le fondateur du royaume
de Babylone. Cette ère est très célèbre et a été généra-
lement usitée dans les diverses supputations du temps.
Elle a surtout été atile à l'astronomie. Ptolémée s’en
est servi dans l’almageste, et a ramené à cette ère, en
employant les mois égyptiens, la date des observations
anciennes qu'il a recueillies. L’astronome Théon a imité
cetexemple, et parmi les écrivains modernes, Boubliau,
(As, philol.) emploie également l'ère de Nabonassar,
afin d'exprimer par des termes uniformes l'époque des
observations, même récentes, qui doivent être compa-
rées avec les plus anciennes: On doit remarquer que
par la natute de son année vague, l'ère de Nabonassar

, rétrogradait d’un jour tous les quatre ans sur l’année ju-

564 ER
lienne, ce qui forme une année dans la période de 1/60
années juliennes. Îl est encore un point essentiel à ob-
server dans les tables de concordance qui ont été dres-
sées d’après ces variations, c’est qu’il peut arriver que
; deux années de Nabonassar prennent leur commence-
“ment dans la même année julienne. Cela est ainsi quand
le premier jour de l’année de l’ère (1°° thot) tombe au
premier janvier d’une année julienne bissextile; celle-
ci ayant 366 jours, et l’année de Nabonassar n’en ayant
que 365, ilest évident qu’elle finit avec le 30 décembre
julien, et que l’année suivante de l'ère commence avec
le lendemain 31 décembre de la même année. L'ère de
Nabonassar qu’on trouve empioyée dans toutes les an-
ciennes tables astronomiques, n’est plus en usage au-
jourd’hui que pour les années qui ont précédé l'ère
chrétienne, il faut avoir soin pour les concordances de
tenir compte des inégalités que nous avons signalées.
4. Ére des olympiades. La connaissance de cette ère
est d’une utilité indispensable pour l'étude de l'histoire,
elle est la plus célèbre de toutes celles qui ont été en
usage dans l’antiquité. Les romains et tous les peuples
qui se trouvèrent en relation avec la Grèce, furent
obligés de l’adopter pour s'entendre avec elle, et s’as-
surer de l'exactitude de leurs propres supputations.
C’est une ère historique dont l'élément astronomique
est une révolution de quatre années. Quoique Timée
écrivain Sicilien postérieur au règne d’Alexandre-le-
Grand, paraisse être le premier des historiens Grecs qui
ait introduit dans la chronologie l’emploi de cette ère,
il est évident qu’elle était long-temps avant d’un usage
national en Grèce. La même incertitude règne d’ailleurs
sur l’époque de l'institution des jeux olympiques dans la
Grèce. Leur origine fut rattachée lors de l’établissement
de l’ère à l’époque où l’usage fut introduit d’ériger des
statues aux vainqueurs des jeux. On remonta ainsi jusqu’à
Cœrebus qui recut le premier cet honneur, et l'ère des
olympiades a pour point initial cet événement qui est
sans doute arrivé plusieurs siècles après institution
même des jeux olympiques; il est fixé à l’an 776 avant
J.-C., la première olympiade comprenait ainsi les an-
nées 776, 775, 774 et 773 avant l’ère chrétienne. En
additionnant le nombre des années qu’indiquent ces
chiffres, on trouve que 194 olympiades entières font
juste 776 ans, nombre qui forme l'intervalle entre
le point initial de l’ère des olympiades et de l’ère chré-
tienne. La première année de la 195° olvmpiade répond
ainsi à la première année de l’ère chretienne. Mais il est
important de remarquer que la concordance des années
olympiques et des années de l'ère vulgaire ne peut être
complète. Les années olympiques commencaient vers la
pleine lune aprèsle solstice d’été, approximativement le
premier juillet, tandis que les années vulgaires com-
mençent au mois de janvier : il en résulte qu’une année

ER
olympique répond à la seconde moitié d’une année ju-
lienne ct à la première moitié de l’année suivante.

On cessa de se servir ‘des olympiades vers la fin du
IV° siècle, époque où elles furent remplacées, dans
toute la chrétienté du moins, par les indictions. Néan-
moins un grand nombre d'écrivains continuèrent à em-
ployer cet ancien comput, et mêlèrent l'esprit de sys-
tème à une méthode chronologique qui ne paraissait pas
devoir l’exciter jamais. La plupart des chronographes
du moyen-âge , tels qu'Eustbe, St-Jérôme, l'historien
Socrate, Jules Africain, George le Syncelle et beaucoup
d'autres moins célèbres eurent leur manière de compter
par olympiades. Mais l'errear la plus grave qui fut
commise par quelques-uns de ces écrivains, a été de con-
fondre l’année olympique avec l’année civile des Grecs
et de les faire commencer l’une et l’autre au premier
septembre. Ces observations et les véritables élémens
des olympiades que nous venons d'exposer, suffiront
pour trouver sûrement la concordance des années de
cette ère avec celles de notre ère vulgaire.

5. Ëre d'Alexandre-le-Grand. — De Philippe. —
Des Lagides. La première année de cette ère commence
avec la 425° de l’ère de Nabonassar, et le 12 novembre
de l’an 324 avant J.-C. La mort d'Alexandre en est le
pointinitial, quoique cet événement ne se rapporte pas
précisément à cette date. C’est que le 1°° thôt de l’an 425
de Nabonassar tomba cette année là au 12 novembre, et
que les Égyptiens dataient toujours les années du règne
de leurs princes, du commencement de leur année civile.
Au surplus l'ère d'Alexandre instituée en l’honneur de ce
conquérant , n’est en réalité qu’une transformation sous
divers noms de l’ère de Nabonassar.

6. Êre des Séleucides. Cette ère qu’on a souvent con-
fondue avec l’ère précédente, et qui porte aussi le nom
d'Alexandre, a été long-temps et généralement em-
ployée dans lorient. 11 est important d’en connaitre les
élémens. L’avénement de Séleucus-Nicanor au trône de
Babylone, après la défaite de Démétrius Poliorcète à
Gaza, et la mort d'Alexandre, roi de Macédoine, est
communément regardé comme la cause de son institu-
tion. Son époque initiale, sur laquelle on est également
d’accord , est la première année de la r17° olympiade,
ou le mois de juillet de l’an 312 avant J.-C. Les modi-
fications auxquelles cette ère a été arbitrairement sou-
mise, soit par les auteurs, soit par les diverses nations
orientales qui l’adoptèrent, sont nombreuses et exige-
raient des détails que ne comportent point notre plan.
Nous ferons seulement remarquer que la concordance
des années séleucides avec les années juliennes exige la
plus grande attention.

7. Êre de Tyr. Son époque inisiale est le 19 octobre
de l’au 125 avant J.-C, Elle fut alors fondée par les

ER
Tyriens, en reconnaissance du droit d'autonomie qui
leur fut accordé par Bala roi de Syrie. Elle est employée

par quelques astronomes.

8. Êre césaréenne d'Antioche. Une basse flatterie
d’un peuple déchu envers un grand homme est la cause
de l'établissement de cette ère. Elle se rapporte à la
victoire que Jules César remporta dans les plaines de
Pharsale l'an 48 avant J.-C. C’est là son époque initiale.
Elle fut momentanément adoptée en Grèce.

9. Êre julienne. Son époqueinitiale est la réforme du

caleudrierromain de Jules César, c’est-à-direl'an 45 avant
J.-C, Les chronologistes l’appellent ère Julienne prolep-

tique lorsqu'ils l’'emploient pour calculer les années an-

térieures à son institution.

10. Êre d'Espagne. Cette ère, long-temps en usage
en Espagne , en Afrique et dans le midi de la France, a
pour époque initiale le 1° janvier an 38 avant J.-C.
Elle fut instituée en mémoire de la conquête de toute
l'Espagne par Auguste, l'année précédente (de Rome
715, avant J.-C. 39). L'année julienne réglait l’année
de l’ère d'Espagne; l’adoption générale de l’ère chré-
tienne la fit successivement abolir dans la Catalogne en
1180, l’Aragon 1350, Valence 1358, dans la Castille
en 1393 , dans le Portugal en 1422 seulement. Comme
cette ère précède de trente-huit ans pleins l’ère chré-
tienne il est facile de la faire concorder avec elle.

11. Êre actiaque. — Ëre des Augustes. On a sou-
vent confondu ces deuxères, qui ne paraissent pas d’ail-
leurs avoir été long-temps employées. La première fut
instituée en Egypte à l’occasion de la bataille d’Actium
et le point initial en fut placé au 1°° thot ou 30 août,
jour immédiatement antérieur à celui de cet événement
qui eut lieu le 2 septembre de l’an 30 avant J.-C., la
719° de Nabonassar.—L'ère des Augustes est également
une époque commémorative, qu’on rattache générale-
ment à l'établissement de l’année fixe en Egypte par
Auguste. Son point initial est le 29 août Julien de l'an
25 avant J.-C.

Telles sont les ères anciennes dont l’usage se retrouve
le plus communément dans les chronographies, les ob-
servations astronomiques, les médailles et lesmonumens
de l’antiquité. On en compte en chronologie un grand
nombre d’autres, qui , n'ayant été employées que peu
de temps ou d’une manière toute spéciale, ne nous ont
pas paru devoir être décrites dans cet ouvrage. Telles
sont par exemple l’ère de Denys, de Ptolémée Phila-
delphe, mondaine d’Antioche, etc.

Ênes mopEnNes. 12. Ere vulgaire. — Chrétienne—de
Jésus-Christ, de l'incarnation. La naissance de Jésus-
Christ est le point initial de cette ère qui fut reçue ct
approuyée par l’église latine et tous les peuples occi-

: ER
dentaux ; elley restera probablement long-tenps encore
d’un usage universel. Durant le VI siècle de J.-C. De

bn
O0)

nys le petit proposa cette ère en Italie, elle fut successi-

vement adoptée depuislors en France eten Angléterre. ;
Nous ne devons point entrer ici dansles longues discus-
sions auxquelles a donné lieu la date précise du grand

événemeut sur lequel repose l’établissement de l'ère

chrétienne. L'époque où elle fut instituée permet de

penser que le computiste à qui elle est due à commis

une grave erreur et que, suivant les plus célèbres chro-

nographes, c’est bien certainement à cinq ans plus tôt

qu'on ne l'a fait que devrait être portée dans notre

comput la première année de l’incarnation. L'usage l'a

emporté sur les démonstrations de la science et nous

sommes dans l’année 1835 de cette ère, au lieu de 1840

qu'on devrait compter. L'ère chrétienne se compose

d’années juliennes de la réformation grégorienne. Foy.

ANNÉE.

13. Êre de Constantinople. On commença seulement
dès le VIL° siècle, dans les dates des conciles, à seservir
de cette ère, qui a pour origine la création du monde
suivant l’église grecque, qui compte 5508 ans avant la
première année de l’ère chrétienne. La concordance de
ces deux ères serait facile à établir, mais il faut remar-
quer dans les calculs chronologiques, où elle entrerait
comme élément, que l'ère de Constantinople n’a pas

toujours employé la même année.

14. Êre de Dioclétien. — Des Martyrs. Cette tre fut
instituée en Égyptedans le but de célébrer l’avénement
de Dioclétien à l'empire. Son point initial est le 29
août de l’an 284. Leschrétiens lui donnèrentlenom d’ère
des martyrs, à cause des persécutions qu’ils eurent à subir .
sous le règne de ce prince.

15. Êre des Arméniens. L'institution de cette ère fut
motivée sur la séparation de l’église arménienne de
l’église latine, ensuite de la condamnation prononcée
contre elle par le concile de Calcédoine. Elle a pour
époque initiale le 9 juillet 532 de J.-C. Le nouveau ou
premier jour de cette année fut fixé au 11 août julien.

16. Êre des Persans — d’Hiesdedger.— Melikéenne.
— Gélaléenne. L'avénement d'Hiesdedger au trône de
Perse, que l’on rapporte au 16 juin de l’an 632 de J.-C.,
est généralement considéré comme le véritable motif de
l'institution de cette ère. Elle se régla long-temps sur
l’année vague de 365 jours, mais Melik-Schah-Dgela-
leddin voulut, en l’an 467 de l'Hégire (1075 de J.-C),
que l’année de l’ère fût fixe à l’avenir. Ses astronomes
déterminèrent l’ordre etle nombre des jours épagomènes
que devait recevoir l’année, et fixèrent l’équinoxe du
printemps au 14 mars Julien. Cette réforme s’exécuta
dès l'an 471 de l'hégire (1079 de J.-C.) ; l'ère fat appelée
mélikéenne ou gélaléenne du nom du réformateur,

566 ES
L'année de l’ère persanne est de 365 j. 4h, 49! 15" 0"
48"".

17. Êre de l'Hégyre. On sait que l’époque initiale de
cette ère et la cause de son institution, en Arabie , est la
fuite de Mahomet de la Mecque à Médine. Cet événe-
ment arriva le vendredi 16 juillet de l’an 622 de Jet
Les années de l’hégyre sont lunaires et distribuées en
cycle de30 ans, ce qui rend très-variablés leurs rapports
avec les années grégoriennes. On ne doit pas oublier
non plus que les années de l’hégyre commencent avec
le coucher du soleil. Malgré les nombreuses variétés
que présente cette ère et les difficultés qu’elles occa:
sionnent pour la concordance, elle est d’un usage géné-
ral dans tous les pays où l’on suit la religion dont Maho-
met fut le prophète ou le fondateur.

18: Êre dé la république française. Son point initial
est le 22 septembre de l’an 1792. Nous avons exposé
ailleurs les divisions du calendrier qui furent la consé-
quence de son adoption. La 14° année de cette ère com-
mença le 23 septembre 1805 et finit le 31 décembre sui-
vant qui répondait au 10 nivose an IV. Le calendrier
grégorien fut rétabli avec l'ère chrétienne à compter du
1° janvier 1806 suivant. V’oy. ANNÉE, CALENDRIER,
Périone , et pour les détails spéciaux la dissertation qui
précède l’A4rt de vérifier les datès.

ERIDAN (4s4r.). Constellation méridionale composée
de 84 étoiles, dans le catalogue britannique, au nombre
desquelles on remarque une belle étoile de la première
grandeur nommée Achernar ou Acharnar ; l'Éridan
est situé entre Orion et la Baleine. Foy. PL. X.

ERREUR: C'est, ex arithmétique, la différence
entre le résultat fautif d’un calcul et le résultat vrai de
ce calcul. En astronomie c’est la différence entre le lieu
d’un corps céleste déterminé par le calcul et ce même
lieu trouvé par l'observation. Par exemple, l'erreur des
tables lunaires est la quantité dont la longitude calculée
diffère de la longitude observée. On marque ordinaire-
ment cette quantité par les signes + ou—, selon qu’elle
doit être ajoutée ou soustraite du résultat des tables.

ESCOMPTE (4rith.). C'est la remise faite aù débi-
teur qui paie un billet avant l'échéance, où l'intérêt
payé au banquier qui, se chargeant d’un billet, se met
à la place du créancier en le remboursant. Les calculs
par lesquels on détermine la quotité de cetté rémise
forment la RÈGLE D'ESCOMPTE.

La règle d'escompte est l'inverse de celle d’intérét , et
pour en bien comprendre les procédés il est nécessaire
d’être familier avec ceux de cette dernière. L’intime
liaison des deux règles ne nous permettrait pas de les
traiter séparément sans faire un double emploi inutile
| de définitions et de démonstrations ; nous rehverrons
donc au mot Inrénér.

ET

ESPACE, Perception pure et invariable qui accom=
pagne toutes nos intuitions des objets extérieurs ou
matériels, et sans laquelle ces intuitions seraient impos-
sibles:

Les propriétés de l’espace sont toujours les mêmes
pour nous; nous ne concevons qu’un seul espace sans
bornes, s'étendant en tout sens autour de nous; et quand
nous parlons de plusieurs espaces, nous ne les conce-
yons que commie des parties inséparables de l’espace ur
et infini qui embrasse tout , a trois dimensions , occupe
toujours et tout entier la même place, etqui , par consé-
quent est immobile.

Tous les corps.nous apparaissent comme occupant un
lieu dans l’espace ; ce lieu, portion limitée de l’espace
sans limites, est ce qu'on nomme l'étendue des corps.
Sans l’espace, aucun corps né pourrait exister ; mais
lors même que tous les corps seraient anéantis, l’espace

n’en demeurerait pas moins un, infini, immobile.

En géométrie, le mot EspACE prend un sens particu-
lier et restreint, il ne signifie plus que l'aire d’uné figure
renfermée où bornée par les lignes droites ou courbes
qui terminent cette figure.

Ainsi, l'espace parabolique est celui qui est ren
fermé par la parabole; de même l’espace elliptique,
l’espace hÿperbolique , l'espace conchoïdal, ete. , sont
ceux qui sont renfermés par lellipse, Fhyperbole, la

conchoïde, etc. l’oy. ces mots et QuaprarTure.

En mécanique, L'Espace est la ligne droite ou courbe
que décrit un mobile en mouvement

ESSIEU (Géom.). Vieux mot synonyme d'are dont
où ne sert plus qu’én parlant des roués, pour &ésigher
Ja ligne autour de laquelle elles tournent:

ETABLISSEMENT du port. C'éstl'heure dé la pleine
er dans un port lé jour de li nouvelle lune. Joy.
Fiux et Manre. |

ÉTÉ (Géog. et Astr.). Seconde saison de l’année, qui
commence , dans les pays septentrionaux , le 22 juin,
lorsque le soleil entre dans le signe du Cancer, et finit
le 53 septémbre lorsqu'il entré dans celui dela Balance.
Le prémiér jour de l'été, ou le jour du so/érice, ést le
plus long de l’année. La durée de cette saison LA esl
la plus longué des quatre, èst de 93 j. 21 h. -£ Poyez
SAISON.

SOLSTIcE D'ÉTÉ. Ÿ0y. SOLSTICÉ.

ÉTENDUE. Partie déterminée de l’espace absolu
(voy. Espace). On considère en géométrie trois espèces
d’étendues : la Zigne, la surface et le solide. Foy ces
mots.

ÉTOILE (Astr.). Nom sous lequel on désignait jadis
tous Les corps célestes, enles partageant én étoiles fixes et
en éfoiles errantes ou planètes. Aujourd'hui on ne donne

ET
plus le nom d'étoile, qu'aux astres lumineux par eux-
ménes et qui paraissentcomplètement étrangers à notre
système solaire ; les autres sont désignés par leurs noms
particuliers de planètes, comètes, satellites , etc. Voyez
AnmiLLAIRE , n° 4, pour les divers mouvemens de tous
ces corps, ainsi que Pnécession et Nurariow,

Outre la manière de distinguer les étoiles les unes
des autres en les séparant par groupes nommés constel-
lations (voy. ce mot et GararocuE), les astronomes sonf
dans l'usage de les classer par ordre de grandeur, d’après
leur éclat apparent. Ainsi les étoiles les plus brillantes
sont dites de première grandeur, et lesautres de seconde,
troisième, etc. , selon que la lumière dont elles brillent
a plus ou moins d'intensité, Cette classification ne com-
prend pas plus de sept ordres de grandeur pour les
étoiles vues à l'œil nu ; mais avec le secours du télescope
elle s'étend jusqu'à la seizième grandeur, et on peut
même dire qu’elle n’a de limites que celles des instru-
mens, Car nous ne pouvons douter qu’un accroissement
du pouvoir amplifiant des télescopes ne nous rende
visibles une multitude d'étoiles trop éloignées de nous
pour que nous puissions les apercevoir avec les moyens
actuels.

Quoiqu'il soit à peu près impossible d’assigner avec
exactitude les limites où commencent ct finissent les
ordres différens de grandeur ; on est cependant assez
généralement d’accord de ne comprendre dans le pre-
mier ordre que les2 étoiles principales suivantes :

Noms des étoiles. Constellations dont elles font partie,

Aldebaran. Le Taureau.
Castor. Les Gémeaux.
Répulus, Le Lion.

L'Épi de la Vierge. La Vierge.
Antarès. Le Scorpion.

La Chèvre. Le Cocher.
Arcturus. Le Bouvie,
Vega. La Lyre.

Altair. LAigle.

Deueb Adigege. Le Cygue.
Achernar. L’Eridan.

Rigel. Orion.
Betelgeuse. Orion.

Canopus. Le Navire.
Sirius. Le grand Chien,
Procyon. Le petit Chien,
Cœur de l'Hydre. L'Hydre.
Fomalhaut. Le poisson austral.

Le Pied de la Croix.

La jambe du Centaure,

La Croix australe.
Le Centaure,

Les 50 ou 6o étoiles qui viennent après sont de la se-

conde grandeur. On en compte environ 200 dans la

ET 567

troisième, et un bien plus grand nombre dans les
autres.

Herschel a trouvé qu’en désignant par 100 la quantité
de lumière fournie par une étoile de première grandeur,
les nombres suivans représentaient assez bien les rap-
ports des divers ordres. |

Lumière d’une étoile moyenne de 1°° grandeur — 100

2° — 09
8° = 12
4° = 6
LS = 2
6° = 1!

Le fils de ce grand observateur a conclu de ses pro-
pres expériences que la lumière de Sirius, la plus bril-
lante des étoiles, égale environ 324 fois celle d’une
étoile moyenne de sixième grandeur.

Le nombre des étoiles paraît infini, car en observant
au télescope ces petites tâches blanchâtres que l’on aper-
çoit dans le ciel et que l’on nomme des nébuleuses , on
y découvre une multitude d’étoiles très-rapprochées les
unes des autres et dont la lumière, confondue par l'effet
de l’irradiation, n’offre à l'œil nu qu'une faible lueur
à peu près uniforme. Cette grande zone blanche et lu-
miueuse qui traverse le ciel d’un pôle à l’autre et que
l’on nomme la vote lactée , n’est qu’une nébaleuse de ee
genre. Herschel, dont les télescopes, d’un pouvoir
ambplifiant extraordinaire , ont analysé la voie lactée , a
reconnu qu’elle était entièrement composée d'étoiles et il
en a pu compter jusqu’à 50000 contenues dans un in-
tervalle de deux degrés!

Les opérations les plus délicates n’ont pu jusqu'ici
déterminer la parullaxe (vay. ce mot) d'aucune étoile,
et conséquemment la distance cù nous nous trouvons de
ces corps nous est entièrement inconnue. Néanmoins,
comme il est prouvé que cette parallaxe doit être
moindre qu’une seconde sexagésimale pour les étoiles
les plus proches de la terre, nous savons que nous en
sommes séparés par une distance plus grande que
6 720 000 000 000 lieues de 25 au degré ; car en ad-
mettant une parallaxe d'une seconde , l’étoile qui nous
la présenterait serait située à une distance du soleil
équivalente environ à 200 000 fois la distance de la
terre au soleil ou à 4 800 000 000 demi-diamètres de la
terre (vay. Parazuaxe). Nous avons donc une limite en
moins; mais de combien était-elle surpassée? c’est ce
que nous ignorerons probablement encore long-temps.

Les étoiles paraissent en général conserver une posi-
tion inyariable sur la voûte céleste, car depuis les pre-
miers âges de l'astronomie les figures des constellations
n'ont éprouvé aucun changement sens'ble. Aussi ces
astres sont-ils les points fixes dans le ciel auxquels les
astrouomes rapportent les mouvemens des plauètes pour

568 ET

mesurer leurs révolutions. Cependant on a reconnu que
plusieurs étoiles étaient animées d’un mouvement pro-
pre, etilest extrêmement probable qu’il en est de même
de toutes les autres. Nous ne voulons point ici parler
de mouvemens apparens, comme ceux qui résultent de
la précession, de la nutation , ou de V'aberration de la
lumière, et qui affectent en même temps tous les corps
célestes , mais bien de mouvemens réels dont l'effet est
de changer la relation des distances. Par exemple, l’é-
toile 61 du Cygne s’est déplacée sur le ciel de 4" 23" de-
puis seulement 50 ans; tandis que d’autres ont demandé
plusieurs siècles pour présenter des déplacemens bien
moins considérables.

Le mouvement propre des étoiles fut annoncé par
Halley comme un des résultats de ses travaux sur la
comparaison des lieux de ces corps donnés par les an-
ciennes et les nouvelles observations. Cette circonstance
remarquable, reconnue ensuite par Cassini et Le Mon-
nier, fut enfin complétement confirmée par Tobie
Mayer, qui compara les lieux de 8o étoiles déterminés
par Roemer, avec ses propres observations, et trouva
que la plus grande partie de ces astres avait éprouvé des
variations de position. Il voulut expliquer ce phéno-
mène en supposant que c'était une apparence due à un
mouvement progressif du soleil et de tout le système
solaire vers une partie de l’espace; mais comme le ré-
sultat des observations n’était point entièrement d’accord
avec cette théorie , il remarqua qu’on ne pouvait rien
conclure des directions divergentes de quelques étoiles
avant que plusieurssiècles n’eussent permis de les étudier
avec plus de soin.

IL est sans doute très-probable que le système solaire
n’occupe pas constamment le même lieu dans l’espace;
et il n’est pas plus difficile de concevoir le soleil tour-
nant autour d’un centre d’attraction, en entraînant
avec lui, dans son mouvement, toutesles planètes, que
de concevoir Saturne tournant autour du soleil avec les
sept satellites qui l’accompagnent. Or, d’après les lois
de la perspective, si le soleil se meut dans une direc-
tion quelconque , le résultat, pour nous, d’un pareil
mouvement, doit être une tendance apparente du sys-
tème entier des étoiles à semouvoir, en sens contraire de
la direction réelle du soleil, vers le point de la sphère
où convergent les lignes parallèles à cette direction,
c'est-à-dire que toutes les étoiles doivent paraitre se
rapprocher de ce point.
= Quoique les directions apparentes des mouyemens
propres des étoiles observés jusqu'ici soient trop diver-

gentes pour qu’elles puissent indiquer une tendance
commune vers un point du ciel plutôt que vers un autre,
cependant Herschel a pensé qu’en faisant la part des
déviations individuelles on pouvait apercevoir un mou-
vement générai des principales étoiles, qui les entraine

EU

dans un point de la sphère céleste diamétralemen: op-
posé à l’étoile marquée £ de la constellation d'Hercule.
D'où il'résulterait que le soleil se meut lui-même dans
la direction de cette étoile.

Si les étoiles étaient fixes d’une manière absolue, il
est hors de doute que le déplacement du soleil dans
l’espace devrait leur donner un mouvement général
apparent vers un même point, mais si ces COrps eux-
mêmes ont des mouvemens réels comme il est impos-
sible d’en douter, leur déplacement observé sur la voûte
céleste devient le résultat de deux causes différentes ; et
selon que ces causes concourent ou divergent, la di-
rection des mouvemens doit se rapprocher ou séloi-
gaer de la direction générale apparente Ainsi les obser-
vations qui paraissent aujourd’hui contrarier l’hypo-
thèse ingénieuse de Tobie Mayer, pourront peut-être
qar la suite, lorsque les mouvemens réels des étoiles
seront mieux connus, en devenir la confirmation.
Jusqu'ici la science ne peut se prononcer d’une manière
certaine.

Les étoiles présentent encore des phénomènes très
remarquables qui sont exposés dans d’autres articles.
Voy. CuanceanTes, Murrieres et NÉBULEUSE.

EUCLIDE. On ne sait point quelle fut la patrie de
cet illustre géomètre et l’histoire a également gardé le
silence sur les événemens de sa vie. Lorsque les Arabes
traduisirent le livre célèbre qui a acquis à son nom une
popularité que le cours de vingt siècles n’a point encore
altérée, ils voulurent suppléer à ce bizarre oubli de la re-
nommée. Ils firent Euclide natif de Tyr et fils d’un ha-
bitant de Damas nommé Naucrates. Mais ces deux noms
sont grecs et d’autre part l’assertion des écrivains arabes
ne reposait sur aucun document historique digne d’at-
tention. Il est certain seulement qu'Euclide habita la
Grèce, dont il a dû fréquenter les écoles, mais comme
ces fleuves dont on cherche vainement la source, on ne
peut savoir sous quel maître il puisa les premières no-
tions de la science, dont il était destiné à poser les priu-
cipes d’une manière presqu’absolue. Il avait déjà une
grande réputation lorsque l'accueil bienveillant que
Ptolémée, fils de Lagus, faisait en Égypte aux savans
de toutes les nations, l’attira, dit-on, à Alexandrie, où il
ne tarda pas à prendre une place distinguée parmi les
chefs de sa brillante école. Le savant Pappus (Collect.
math. t. 7. Prœæm.) nous a laissé de lui un portrait qui
nous fait vegretter plus vivement l'absence de tout ren-
seignement biographique sur un tel homme. Laborieux,
doux et modeste, suivant cet écrivain, il porta toujours
une affection particulière à ceux qui pouvaient contri-
buer aux progrès des mathématiques. Bien différent
d'Apollonius, qui, ajoute Pappus, était un homme d'une
insupportable vanité, et se faisait un plaisir de dépré-
cier ses contemporains, on ne vit jamais Euclide jalouz

d EU

du succès desesémules et chercher, ens’emparant deleurs
travaux, à leur ravir une partie de la gloire qu’ils pou-
vaient mériter. À ces traits généraux il faut ajouter une
noble réponse qui dessine avec vigueur le caractère de ce
géomètre. Ptolémée-Philadelphe, fatigué de l'attention
que réclamait de sa part l’étude des mathématiques,
demanda un jour à Euclide s’il ne pouvait pas applanir
la route en sa faveur, celui-ci lui répondit : «Non,
prince, il n’y a point de chemin particulier pour les
rois. »

Dans les premiers temps de l’école d'Alexandrie les
progrès de la science n’étaient constatés que par des ou-
vrages spéciaux qu'aucune méthode ne reliait entr'eux.
L'étude des mathématiques offrait ainsi des difficultés
insurmontables et il devenait nécessaire , pour en apla-
nir l'intelligence aux disciples, de classer toutes les con-
naissances reçues dans un ordre méthodique où elles
fussent successivement exposées de leur point de départ
au degré qu’elles avaient pu atteindre. Tel paraît avoir
été l’objet que se proposa Euclide en écrivant son livre
des Élémens. Cet ouvrage, tel que l’auteur l’a laissé, est
divisé en treize livres, dont les six premiers ainsi que
le onzième, le douzième et le treizième appartiennent à
la géométrie; les quatre autres traitent des proportions
en général, et des principaux caractères des nombres
commensurables et des nombres incommensurables, Un
quatorzième et un quinzième livre suivent ordinaire-
ment ceux-ci. Ils sont l’ouvrage d'Hypsicle, géomètre
de l’école d'Alexandrie, et furent ajoutés à l'ouvrage
d'Euclide, suivant toute apparence par Théon, l’un
des maîtres de la même école, et qui le premier com-
menta les élémens, y ajouta des notes et y fit même
quelques changemens.

Aucun livre de science n’a eu un succès comparable à
celui des Élémens d’Euclide. X\s ont été enseignés exclu-
sivement, pendant plusieurs siècles dans toutes les écoles
de mathématiques et sont encore suivis en Angleterre
comme un livre classique dans toutes les universités de
ce pays. On a adressé divers reproches à cet ouvrage dont
on ne peut néanmoins nicr l'excellence. On a trouvé que
les démonstrations d'Euclide étaient quelquefoislongues,
indirectes , compliquées et que les commençans avaient
de la peine à les suivre. C’est peut-être là une consé-
quence forcée de la méthode rigoureuse consacrée par
l’assentiment unanime des anciens géomètres et à la-
quelle Euclide s’est conformé. Sans doute on a eu raison
danslestraitésélémentaires modernes de rendre la science
plus accessible ; mais les géomètres n'hésitent point à
accorder une grande supériorité sur tous ces ouvrages
aux Élémens dEuclide.

Une notice complète des commentaires et des éditions
de cet immortel écrit, serait sans doute un des monu-
mens les plus curieux et les plus intéressans de la biblio-

LA

EU 569
graphie mathématique, mais elle dépasscrait de beau-
coup trop les bornes qui nous sont imposées, Théon et
Proclus, dans l'antiquité, commencèrent à accompagner
d’un commentaire le livre des Élémens , ils furent de-
puis imités par les Arabes, les Juifs maures et les savans du
moyen-äge ; si on ajoute àcestravaux ceux des géomètres
d’une époque plus rapprochée de nous, on sera con-
vaincu de l’importance des Élémens par l'immense quan-
tité d’écrits dont ils ont été l’objet. Ce livre a en effet
été traduit dans toutes les langues des peuples civilisés.
Dans l’avant-dernier siècle les jésuites missionnaires de
la Chine, en ont fait une traduction tartare pour l’em-
pereur Kang-Hy, qui, dit-on, ne pouvait trop admirer
l'exactitude des démonstrations qu’il renferme.

La célébrité d'Euclide a sans doute pour principe le
livre des Elémens, mais ce grand géomètre ne s’est point
borné à frayer aux commençans les routes de la science,
et à établir sur des bases indestructibles ses vérités fonda-
mentales, il avait su également en reculer les bornes.
Ïl a composé un traité des données (data) qui est parvenu
jusqu’à nous et dont il existe un grand nombre d’éditions.
Pappus parle de quatre livres d'Euclide sur Les sections
coniques, de deux autres sur les Zieux à la surface et
d’un traité divisé en troislivres intitulés : De Porisima-
tibus. Ces écrits sont sans doute à jamais perdus pour la
science, et nous n’en connaissons que quelques fragmens
conservés par d’anciens commentateurs, fragmens qui
rendent leur perte plus regrettable encore.

On attribue à Euclide beaucoup d’autres ouvrages
importans qui n’ont pas mieux résisté aux ravages des
temps, il faut consulter, pour en prendre une idée, les
Collections mathématiques de Pappus et de Proclus et
surtout l’ouvrage du savant Bose de Wittemberg : De
varüs Euclidis editionibus etc., Lipsiæ, 1734, in-4°.
L'époque de la mort d'Euclide n’est pas mieux connue
que celle de sa naissance.

EUDOXE, astronome et géomètre célèbre de lanti-
quité, naquit à Guide vers la fin du V° siècle avant J.-C.
11 fut l’un des disciples les plus distingués de l’école de
Platon et prit une part active aux travaux géométriques
qui l'ont illustré. Son nom se trouve cité plusieurs fois
à l’occasion du fameux problème des moyennes propor-
tionnelles, par les commentateurs et les mathématiciens
d'Alexandrie. Eratosthènes, dans l’un des fragmens
d’écrits qui sont venus jusqu’à nous, parle avec éloge de
la solution de ce problème proposée par Eudoxe. Il est
vrai que cette opinion est contredite par Eutocius, qui
n’a pas cru devoir exposer l'opération qu'il critiquait ,
de façon que les élémens principaux nous manquent au-
jourd’hui pour nous prononcer entre ces deux géomètres.
1] paraît néanmoins certain qu'Eudoxe doit être compté

parmi les contemporains et les disciples de Platon qui
72
3

570 EU

contribuërent le plus aux progrès de la géométrie, A1
cultiva la théorie des sections coniques avec assez de’
succès et d'éclat pour qu’on ait pu lui attribuer plus
tärd l'invention mème de ces courbes ; dont il se seivit
pour résoudre le problème de la duplication du cube:
Enfin l’imposant témoigrage d’Archimède ne laissé au-
cun doute sur l'importance et la valeur des travaux?
géométriques d'Eudoxe. Dans son traité de Spherd et
Cytindro, Yilustre mathématicien de Syracuse, désigne
£Eadoxe comme l’auteur de la mesure de la pyramide et
du cône. et le. présente comme s’étant spécialement oc-
cupe de la contemplation des solides. Quelques écrivains
et entr’autres Théon de Smyrne, lui font honneur de
la théorié des proportions exposées dans le cinquième
livre d'Euclide. Mais c’est surtout comme astronome et
comme géographe qu'Eudoxe acquit une grande célé+
brité, Sénèque attribue à un long séjour que fit en
Égypte le philosophe de Gnide les connaissances élevées
qu'il montre dans cette science. Il suppose même qu'il
en rapperta lathéorie des mouvemens des cinq planètes
que les Grecs n'avaient point encore considérées à cette
époque. Mais cette opiuion de Sénèque (Quæst. nal.

t. 7.) paraîtra au moins erronée si lon considère que
plusieurs siècles après, Hipparque manquait d’observa-
tions pour établir cette théorie qui n'avait point encore
été mème entrevuepar Jes Grecs. Eudoxe calcula pendant
plusieurs années des éphémérides célestes, qui eurent de
la renommée dans la Grèce et qu’on affichait dans leslieux
de réunion les plus fréquentés tels que le prytanée d’A-
thènes. On lui attribue également une hypothèse phy-
sico-astronomique que les astronomes modernes se sont
donné la peine de critiquer avec une minutieuse sévé-
rité. Il avait construit unesphère dont les cercles étaient
sans doute trop multipliés, et au moyen desquels il
cherchait à rendre compte des apparences des planètes,

Mais à une époque où le mouvement de la terre était
inconnu, Eudoxe rendit un grand service à la science
cn appliquant à l'astronomie les démonstrations phy-
siques. Deux ouvrages d'Eudoxe, dont l’un était la
description des constellations, et l’autre un traité de
leurs levers et de leurs couchers, connus et cités par les
anciens astronomes , sont entièrement perdus, il en est
de même de ses travaux géographiques que Strabon

rappelle souvent evec éloges et sur lesquels il s’'appuye

pour donuer de l'autorité à ses propres opinions. Long-

temps après Eudoxe on montrait aux étrangers qui
visitaient Guide une tour qu’il avait fait construire pour

y observer la marche des astres. IL mourut, vers l'an

350 avant J.-C., chargé de gloire et d’années, après

avoir été le législateur de sa patrie.

EULER (Léonanp). Le nom de cet illustre géomètre
doit briller à jamais dans les fastes de la science auprès
des uoms glorieux de Descartes, de Leibnitz, de Newton.

EU

Euler fat , en effet, un de ces hommes de génie que
leur spontanéité appelle à mener Phumanité dans dé
graides ét nouvelles voies , et qui sanctifient l'autorité
du savoir par uné philosophie élevée et la pratique des
plus nobles vertus. Ses ouvrages embrassent pour ainsi
dire dans tout leur ensemble les diverses branches des
inathématiquesetils marquentpourla plupartd’entrelles
la production d'importantes découvertes où de quelque
progrès remarquable ; nous en‘indiqueronsles caractères
généraux. Sa vie, sans avoir étéagitée par les passions;
sans'avoir été troublée par de grandes infortunes me fut
cependant pas toujours paisibie; nous en rappellerons
les principales circonstances.

Ce fut à Bâle, le 15 avril 1707, que naquit Léonard
Euler ; son père Paul Euler, ministre du saint évangile
ét qui était devenu en 1708 pasteur de Riechen , fat
son premier maitre. Il avait étudié lui-même les ma-
thématiques sous Jacques Bernouilli, c’est-a-dire qu’il
s’attacha à développer dans son jeuné élève les hauts
principes de morale qui épurent la raison en même
temps qu’il exerça son intelligence par l'étude d’une
science sans laquelle il est impossible de s'élever à la
connaissance réelle d’aucune vérité. Le jeune Euler
était destiné par son père au ministère évangélique,
mais il renonca à ce projet lorsqu’à l’université de Bâle,
son fils se distingua par son application et ses heureuses
dispositions qui lui acquirent de bonne heurel’arnitié de
Daniel et de Nicolas Bernoulli, disciples ét déjà rivaux
de Jean Bernouilli, leur illustre père. On sait qu'en
1727, à l’âge de 19 ans, Euler obtint un accessit pour
un mémoire sur la mdture des vaisseaux , sujet d’un
prix proposé par l'Académie des sciences. Ce prix fut
obteuu par Bouguer, géomètre distingué de ce temps ct
qui exercait depuis dix ans les fonctions de professeur
d'hydrographie, dans une ville maritime. Cette pre-
mière illustration de la vie scientifique d’Euler mérite
d’être remarquée, car elle donne une idée de la direc-
tion et de la force de son génie, Le jeune citoyen de
Bäle, dépourvu de toute connaissance pratique dans la
matière qu’il traitait, ne put lutter, en effet , qu’à l’aide
de la science, contre son redoutable concurrent.

Verscetteépoque, Euler futappeléàSaint-Pétersbourg
par ses amis Daniel et Nicolas Bernouilli, dont il s'était
séparé avec peine deux ans auparavant. À peine arri-
vait-il en Russie qu'il apprit l'accident funeste arrivé à
Nicolas Bernouilli et la mort de l’impératrice Cathe-
rine I"°, circonstance ficheuse et qui mettait en question
l'existence de l’Académie récemment fondée par cette
princesse. Euler obtint le titre de professeur et suc-
céda ; en 1733, à Daniel Bernouilli, qui revint alors
dans leur commune patrie. Le sombre despotisme du
gouvernement russe, sous le ministère, de Biren, dut
influer sur le caractère d’un jeune homme naturellement

mnt e

grave et élevé dans une républiqué. Euler venait dés

pouser Mile Gsell ; file d'un peintre | son compatriote,

amené en Russie par Pierre KI se Hivra tout entier &

l'étude et cacha sa vie dans le sanctuaire de la science et
des affections privées. Si c’est à ceite circonstance qu'il
dut l’opiniätreté pour le travail, dont il donna depuis
tant de preuvés ; c'est aussi à élle qu'il faut attribuer
cette tristéssé profonde et cette! vague inquiétude de
Vavenir qu'on remärqua toujours-dans cet homme dé
mœurs si donces etsi pures et doué de tant de bienveil-
lancé: Cette impression fut si forte sur son esprit qu’en
1941, lorsqu Euler se rendit à Berlin , la reine de Prusse

qui l’accueillit avec-une noble bonté ne put obiënir de

lui que des monosylläbes, et comme elle s’étonnait de
la timidité et de l'embarras d'un savant aussi distingué ,
Euler lui répondit naivement : — Madäme;, c’est que je
viens d'un pays où; quand ôn parle on est pendu. Il re-
tourna néanmoibs en 1766 dans ce pays, auquel il était
d’ailleurs attaché par des lieris dificilés à briser , mais il
ne fit à cette époque que déférer aux vœux-de l'impéra-
t'ice Catherine IE, dont le règne brillant excitait alors
Yadmiration de l’Europe. <

Dès Yannée 1735 Euler avait été attéint: d’une
ôphtalmie x
assujetti, il perdit alors un œil et fut bientôt menacé

la suite d’un travail forcé auquel il $était

d’une cécité complète. Les craintes de ses amis et de sa
famille ne furent que trop justifiées par l'évènement, il
devintaÿeugle, mais il conserva cependant la faculté de
distinguer de grands caractères tracés sur une ardoise
avec de la craie. Cette douloureuse circonstance ne fit
rien perdre à Euler de sou amour pour la scieyce et de
son ardeur pour létude etl continua de se livrer aux
trayaux multipliés qui ont illustré sa vie. Ses fils ou ses
élèves copiaient ses calculs et écrivaient sous sa dictée le
reste de ses mémoires; et si, dit Condorcet, on en juge
par leurnombreetsouvent parle géniequ’on y rewouve,
on pourrait croire que l’absence encore plus absolue de
toute distraction ; et la nouvelle énergié que ce recueil-
lement forcé donnait à toutes ses facultés, lui ont fait
plus gagner que l’affaiblissement de sa vüe n’a pu lui
faire perdre:dé facilité et dé moyens pour le travail.
On a dit avec,raison qu'Euler, en succtdant à Nicolas
Bernouilli, avait continué l'école de Heibnitz; cette
expr ession caractér ise, en effe (er d’ une manièr € gé né rale
les productions de cet illustre géomètre ; qui out exercé
unesi gruide ufluëencé sir les progrès de la science, Nous
w’entreprendrons point ici d'exposer même l'énoncé des
immenses travaux d'Eûler; il faudrait, pour en présenter
digrrement Je xésumé ; foriner un tableau méthodique
des dhfféréntes branthes des sciences mathématiques, en
marquant pour chacune les progrès, les changemens
heureux qu'elle doit au génie d'Euler , cette méthode
qui à èté suiyie oudu moins indiquée par Condorcet

EU 571
dans l’élépe académique de l'homme célèbre qui fait le
sujet décette notice, nous entraîncrait à d’inutiles répé-
titions, püisque la théorie des diverses branches de la
science qui ônt fait ne de ses travaux doit. être
exposée tour à tour dans d’autres articles de ce-die-
tionnaire,

Euler paraît s'être attaché surtout à perfectionner la
science du calcul , en écartant de plus en plus les consi-
dérations de pure géométrie que l’école de Newton af-
fectionnait. Génie profond , inventif, doué d'une émi- |
nente sagacité , il étendit considérablement la théorie
des suites ét créa le calcul algébrique dés fonctions cir-
culaires. L'analyse indéterminée et la théorie des nom-
bres, qui depuis Diophante n'avaient été cultivées avec
quelque succès que par Bachet de Méziriac et Fermat,
doivent à Euler de nombreux accroissemens, et le pre-
mier il démontra les théorêmes dont l'illustre Fermat
w’avait donné que l'énoncé. Il traita entièrement la mé-
chanique par l'algèbre ct en augmentant ainsi l'étendue
de cette science, il perfectionna beaucoup le calcul in-
tégral et le calcul différentiel. Il sempara avec tout son
génie du calcul intégral aux différentielles partiches,
dont la pensée paraît appartenir à d’Alembert, mais
dont le premier il a donné la notation. Il embrassa tour
à tour dans des traités qui sont devenus célèbres, la
science navale et ladioptrique. On lui doit des essais im-
portans sur la théorie générale de la lumière ; sur celle
du son, de l’aimant, de la cohésion des corps, des frot-
temens, sur le calcul des probabilités, et sur l’arithmé-
tique politique,

Euler n’éprouva point ces douloureuses injustices,
ces poiguantes déceptions qui troublent trop souvent la
vie des hommes supérieurs, au contraireses talens furent
noblement appréciés et son génie a reçu des hommages
dignes de lui, En 156o les Russes , ayant pénétré dans
la marche de Brandebourg ; Pillèrent une métairie
qu'Euler possédait près de Charlottembourg. Mais le
général Toltieben, qui les commandait, s'empressa de
réparer la perte que lillustre géomètre avait pu essuyer
ét l'impératrice Elisabeth, sa souveraine, ajouta un don
considérable à l'indemnité genéreuse qui lui avait été
Eù r77
tersbourg atteignirent la maison d'Euler aveugle et

accordée: 1, les flammes qui dévoraient Pé-

souffrant, Pierre Grimon, de Bâle, se dévoua pour le
salut de son célèbre compatriote; il pénétra jusqu'à lui,
le chargea sur ses épaules et le sauva au péi il de sa vie.
Sa bibliothèque et ses meubles furent consumés, mais les
soins empressés du comte Orloff sauvèrent ses manus-
crits. Cette maison, qui était un des bienfaits de l'impé-
ratrice , fut rétablie à ses frais : et, cette attention, au
milieu du trouble et des horreurs d’un grand désastre ,
ajoute Condorcet, l'éloquent panégyriste d'Euler , est
uu des hommages les plus vrais et les plus flatteurs que

572 EX
jamais l'autorité ait rendu au génie des sciences. Voici
comment cet écrivain raconte les derniers momens de
l'illustre associé de l'Académie des sciences. Il avait con:
servé, dit-il , toute sa facilité et en apparence toute sa
force, Aucun changement n’annonçait que les sciences
fussent menacées de le perdre. Le 7 septembre 1783,
après s'être amusé à calculer sur une ardoise les lois du
mouvement ascensionnel des machines aérostatiques,
dontla découverterécente occupaitalors toute l'Europe,
1l dina avec M. Lexell et sa famille, parla de la planète
d’'Herschell et des calculs qui en déterminent l'orbite; peu
de temps après il fit venir son petit-fils, avec lequel il ba-
dinait en prenant quelques tasses de thé, lorsque tout-à-
coup la pipe qu’il tenait à la main lui échappa et il
cessa de calculer et de vivre. Teile fut la fin d’un des
hommes les plus grands et les plus extraordinaires que
la nature ait jamais produits, dont le génie fut égale-
ment capable des plus grands efforts et du travail le
plus continu.... Euler avait alors quatre-vingt-cinq
ans, il avait eu treize enfans et trente-huit petits-enfans.
Ever (Jean-Albert), son fils aîné, à Saint-Pétersbourg
en 1734 et mort dans la même ville en 1800 , a été un
géomètre distingué. Eurer (Charles) et Euzer (Chris-
tophe), son second et son troisième fils, avaient égale-
ment des connaissances étendues en mathématiques,
mais leurs talens ne peuvent soutenir le rapprochement
de la gloire de leur père.

La multiplicité des écrits d'Euler ne nous permet pas
d’en donner ici laliste, qui formerait à elle seule une
bibliographie considérable. Fuss, son élève, et le gendre
d’un de ses fils, en a dressé une table générale à la fin
de l'éloge qu'il a prononcé le 28 octobre 1783 à l’Aca-
démie de Pétersbourg. On la trouvera à la fin de 2° vo-
lume de l'édition des Znstitutions du calcul différentiel
d’Euler, donnée à Pavie, en 1787, par Grégoire Fon-
tana. Elle existe aussi dans le Dictionnaire de Mensel,

EUTOCIUS , d’Ascalon, géomètre célèbre, vivait
sous l’empereur Justinien vers l’an 540 de notre ère. Il
ne nous reste de lui que ses commentaires sur Apollo-
nius et sur quelques écrits d’Archimède. Ces travaux
sont encore fort estimés des savans. On ignore absolu-
ment l’époque de la naissance, celle de la mort d’Euto-
cius et les événemens de sa vie.

EVANOUIR (4{g.). faire évanouir une quantité est
la même chose quela chasser ou la faire disparaître d’une
expression. Ÿ’oy. ÉLrmiNArION et TransFORMATION.

EVECTION (Astr.). Inégalité dansle mouvement de
la lune produit par l'attraction du soleil sur ce corps et
dont l'effet est de rapprocher ou d’éloigner la forme de
son orbite de celle du cercle.

Cette inégalité, découverte par Ptolémée, influe par-

EX

ticulièrement sur l'équation du centre (voy. ce mot)
qu’elle diminue dans les sysigies et augmente dans les
quadratures. Voy. Lune et PERTURBATION.

EXCENTRICITÉ (Gcom.). Distance entre le centre
et le foyer d’une ellipse. Voy. Ezzrrse.

EXCENTRICITÉ (Astr.). Dans l’ancienne astrono-
mie on désignait sous le nom d’excentricité la distance
de la terre au centre de l'orbite d’une planète; mais
depuis Képler ce mot n’est plus employé que pour
exprimer la distance entre le centre de l’orbe elliptique
d’une planète ou d’un satellite, et son foyer occupé par
le soleil ou par la planète principale.

Les observations fournissent plusieurs moyens pour
déterminer l’excentricité d’une planète. Celle de la
terre par exemple, ou, ce qui est la même chose, celle
de l’orbite apparente du soleil, pourrait se conclure de
la différence des diamètres apparens de cet astre. En
effet le diamètre du soleil devant paraître d'autant plus
petit que la distance réelle est plus grande, et d’autant
plus grand que cette distance est plus petite , il suffit de
connaître le plus grand et le plus petit diamètre appa-
rens du soleil pour connaître le rapport entre la plus
grande et la plus petite distance, puisque ce rapport est
l'inverse de celui des diamètres apparens. Or, on sait
que ces diamètres sont :

Plus grand diamètre apparent = 32/35"’,6 — 1955'’,6
Plus petit diamètre apparent —3131* —41891"

et, par conséquent que leur rapportest celui desnombres
1955,6 : 1891. Ainsi, désignant par D la distance
moyenne de la terre au soleil , ou le demi grand axe de
l'orbite solaire, et par e l’excentricité de cet orbite,
D+e représentera le plus grand rayon vecteur , ou la
plus grande distance, et D—e le plus petitrayon vecteur,
ou la plus petite distance ; on aura donc

D+e: D—e:: 1955,6 : 1891

et, par suite,

=D 1955,6—1891 64,6
955,6 1891 — ‘3846,6

=D.(0,016794...).
Ainsi, en prenant, comme c’est l’usage , le demi grand
axe pour unité, l’excentricité de l'orbite solaire
= 0,016794 :
Lorsqu’on connaît l'équation du centre , on peut cal-

culer approximativement l’excentricité par la propor-
tion :

57° 17’ 44,8 {l'arc — rayon) est à la moitié de la plusgrande
équation , comme le rayon =1, est à l’excentricitg

EX

la valeur résultante différera d'autant moins dela véri«
table que l'excentricité sera plus petite. Par exemple,
sachant quela plus grande équation du centre est pour le
soleil de 1° 55" 26”, on tirera de cette proportion

c— moi Ce = ee 016794
57°1744",8 206264",8 ?

L'excentricité et la plus grande équation du centre
sont deux quantités tellement liés entr’elles qu’on peut
toujours calculer l’une au moyen de l’autre. Euler , qui
s’est occupé de ce problème (voyez les Mémoires de
l'Académie de Berlin, tome 2), a donné les deux sé-
riessuivantes , dans lesquelles a désigne la plus grande

équation et e l’excentricité :

20 1 Ù Le 599 -
LE DEC RP AMEN VPN sde
11 587
der NUS fe ee
Da an ee

a doit être exprimée en parties du rayon dans la se-
conde série, ce qui se fait en réduisant l'angle a en se-
condes et en divisant ensuite par 206264",8, ou par le
nombre de secondes que contient l’arc égal au rayon.
Dans la première série a est donnée en parties du rayon
el par une opération inverse de la précédente on peut
la convertir en degrés.

On voit que lorsque e est très-petit on peut négliger
sans erreur sensible tous les termes qui suivent le pre-
mier, et qu'on a alors

82 —

UC

a

égalité identique avec la proportion ci-dessus,

Les excentricités des planètes sont constamment va-
riables, entre certaines limites, comme tous les autres
élémens de ces corps (voy. OrmiTe et PLanères). Voici
le résultat des calculs les plus exacts.

Noms

Ercentricités en parties
des Planètes,

du demi grand axe,

Mercure....... 0,2055149
0,0068607
0,0167836
0,0933070
0,0891300
0,2578480

MÉQUS.. ss pie 4
La Terre... 24
Mars...
VOSTR Se oees ele
JUNOND. ms.
GCÉT ES rose se
PASS ee

0,0784390
0,2416480
Jupiter........ 0,0481621t
Saturne........ 0,0961505
Uranus........ 0,0466794

Lalune.,.,.... 0,0548447

EX 573

Les données pour Vesta, Junon, Cérès et Pallas se
rapportent au 1° janvier 1820, et pour les autres pla-
nètes au 1°" janvier 18or.

Variations séculaires de l'excentricité.

Mercure....,
Vénus.......
La Terre...:.
Mars...

+-0,00000 3867
—0,00006 2711
—o,00004 1632
+-0,00009 0176
+0,00015 9350
—0,00031 2402

Jupiter...
Saturne......
Uranus...... —0,00002 5072

Le signe + indique une augmentation et le signe — una
diminution.

EXCENTRIQUE ( Géom.). On donne le nom
d’excentriques à deux cercles ou à deux-sphères qui,
quoique renfermés l’un dans l’autre n’ont pas le même
centre, par opposition aux concentriques qui ont un
seul et même centre. P’oy. CONCENTRIQUE.

EXCLUSION (4rith.). La méthode des exclusions ,
ainsi nommée par son auteur le mathématicien Frénicle
qui vivait du temps de Descartes , a pour objet la solu-
tion numérique des problèmes en procédant par voie
d'exclusion, c’est-à-dire, en examinant quels sont les
nombres qui ne peuvent satisfaire aux conditions de-
mandées et en les excluant successivement jusqu’à ce
qu’on trouveenfin celui qui résoud la question. Cette mé-
thode, à l’aice de laquelle Frénicle-traitait avec succès
les problèmes numériques les plus compliqués, excita
jadis l'admiration de Fermat et de Descartes ; mais au-
jourd’hui les progrès de la science ont fait abandonner
son usage. Nous renverrons donc nos lecteurs, pour son
exposition, aux Mémoires de l’Académie des sciences,

1693.

EXÉGÈSE numerique. Ancien terme dont Viète
s’est servi pour désigner la recherche des racines des
équations.

EXHAUSTION. Nom de la méthode dont les an-
ciens faisaient usage pour la découverte et la démon-
stration des vérités géométriques. P’oy. Mérnonr.

EXPONENTIEL. Les quantités exponentielles, sont
des puissances dont l’exposant est indéterminé ou va-
riable, telles que ax ,x*, etc.

Le calcul exponentiel est l'ensemble des procédés à
l’aide desquels on trouve les différentielles et les inté-
grales des quantités exponentielles. Poy. DiFFÉRENTIEL
et INTEGRAL.

Ou nomme équation exponentielle (voy. ce mot)
équation dans laquelle 1 entre des quantités

“onto
> mt

514 EX
exponentielle; comme on donne anssilenom de courbes

exponentielles aux çourbes dont l'équation est Spor:
nentielle.

EXPOSANT (4{g.). Nombre qui désigne le degré
d’une puissance ou d’une racine. Ÿ’oy. ALGÈBRE 19, et
NOTIONS PRÉLIMINAIRES 7e

On nommait jadis exposant d’une raison, le rapport
de deux quantités (60y. Rapport), et exposant de rang
le nombre ou l'érdice qui exprime la place qu'occupe un
terme dans une suite quelconque. Aujourd'hui le mot
exposant est consacré exclusivemént äux puissances.

EXPRESSION (41/g
qui représente la génération d’une quantité. Par exem-

.). On donse ce nom à la formule

ple dans les égalités

Fe
a PV
La ar
Den et <a + V/a—1 sont les expressions de + et
de y.

EXTERNE ({ Ur ). On nomme angle externe. ou
extérieur l'angle formé par un des côtés d’une figure
rectiligne quelconque et le prolongement, hors de la
figure , du côté adjacent.

La sommie de tousles añglesexternes d’un polygoné est
équivalente à quatre angles droits. foy. Pozycone.

L’angle extérieur d’un triangle est équivalent à la
somme des deux angles intérieurs opposés. Voyez
ANGLE, 9.

EXTRACTION DES KACINES (Arith. et Alg.).
Une des six opérations élémentaires de la science des
nombres. Elle a pour obiet de trouver la base d’une
puissance connue.

Nous avons vu (ALGÈBRE, 19 et 48) que le troisième

et dernier mode élémentaire de la coustruction des.
nombres a pour forme générale

AB8=C,

expression. dans laquelle 4, ou la base, est ua n6mbré,

quelconque qui entre comme facteur, dans la puissance
C, autant de fois qu'il y a d'unités dans l'exposant B.

Nous avons vu également que la forme générale de
la branche inverse de ce mode de construction est

B
VE = À

dans laquelle la base À prend le nom de racine ; tandis

que Bet C conservent les désignations précédentes.

Le dernier mode élémentaire de la construction des

nombres donne donc, comme les modes précédens,.

EX

naissance. à deux opérations ou à deux règles dont la
première a pour objet de calculer C au moyen de A et
dé B, c’est-à-dire de calculer une puissance dont on
connait Ja base et l'exposant, et dont la seconde a le
but inverse de calculer À au moven de Bet de C, c’est-
à-dire de calculer wne ‘racine dont on connaît la puis-
sance et l’exposänt. La première de ces ppérations se
nomme élévation aux puissances, elle a été tr aitée ail
leuis (boy. ÉLévarion) ; la seconde se nomine extraction
des racines ; nous allons en donner ici l'exposition.

1. Pour considérer la question dans toute sa prénéralité
désignons par A; B; C, D, éte. des nombres quelconques
simples ou primitifs, c’est-à-dire des nombres dont les
valeurs ne surpassént paso; et alors nous pourrons re-
présenter par (1)

A(10}#+ B(10}n—1 + Cro)”--2 + ete... Y(10)'ÆZ(10)

un nombre composé quelconque ; Z étant le chiffre des
unités et À celui des plus hautes dixaines. Foy: Ariru-
MÉTIQUE, 113 ÉCHELLE ARITAMÉTIQUE ct NUMÉRATION.
Proposous-nous d'extraire la racine du degré x, du
nombre (1) et supposons d'abord, afin de rendre l'opé-
ration plus facile, que la racine cherchée n'a que deux
chiffres. Sinous représentons para le chiffre des dixaines
et par à eelui des unités, cette racine pourra s'exprimer
ar

ao) + b(ro),
ou simplement par

a.10 + b
et nous devrons avoir l'égalité (2).
(a.10+b}*= A(1o}"+B(r10}"—1:+#+etc. . +2

Ceci posé, en développant le premier nombre de l'é-
galité (2) par la formule du binome (voy. BivomE DE
Nrwrox) nous avons (3)

(a.10+b)h=an(1o)" nant. (1o"—1b

en 1)

'an—1{10}—?.b? + etc.
1.2

ce que nous pouvons mettre sous la forme (4)

(a.ro+ bn — (and rohHA:(10)—1+# A (10)?
+ Aro) Hetc....

en désignant par A:, À,, À, les coefficiens des puis-
sances (10)"—*, (10)? , etc.
ordres qui résultent de la réalisation des ealculs, apres
qu’on a reportés les dixaines d’un ordre sur l'ordre sui

vant plus élevé. 3 désigne donc ici les dixaines de

; ou les chiffres des divers

l’ordre (10}—* s'il y en a.
Or, la quantité a4-9 pouvant être conrposée d'unités

et de dixaines, représentons encore par À, B', C', etc.,

EX
les chiffres au moyen desquels elle est représentée dans
notre système décimal de numération et nous pourrons
poser, p étant l’exposant des plus hautes dixaines,

art = A'(1oÿ+BGop=i ete, M1) 4-N' (10)

substituons cette valeur. dans (4); nous obtiendrons (5)

| (a.104+b} = A'(1o}#+r4-B'(10)}+arx dE etc...
na AS Æ#Airo)n—t LA (ro) etc...

égalité qui doit être identique avec (2). Nous avons
douce nécessairement

c

m—=p#n, d'où p—mR,
et de plus

A'=A, B—B, C'—C, D'—Didesgtei

Ainsi les chiffres A B', C''etc., qui expriment la quan-
tité a+, sont les premiers chiffres À , B, €, etc. du
nombre proposé depuis celui de Fordre le plus élevé
(ro”
Nous avons donc {6}

usqu'à celui de l’ordre (ro} inclusivement.
jusq )

ar +0—A(10)"4B(10)#—-4C(10)#-24etc.+P(ro)"-r

Aïnsi, en admettant qu’on connaisse d’avancé les puis=
sances du degré »2 des nombres simples, 1, 2,3, 4, 5;
6, 7, 8,0, la plus grande de ces puissances, que con:
tiendrait le second membre de légalité (6) sérait &r et
la racine connue de cette puissance serait «, c'est-à-dire
le chiffre des dixaines de la racine cherchée.

2. On voit donc ici la nécessité de calculér préalable-
ment une table qui soit pour l'extraction des racines ce
qu'est celle de Pythagore pour la division. Lid cobstrue-
tion de cette table ne présenteaucane difficulté.

Ayant écrit sur une même ligne verticale les neuf
chiffres de nôtre numération, on multipliéra sSuCCESSi-
vement chacun de ées chiffres par lui - même et on
écrira les résultats à côté, de manière À former une
seconde colonrie vérticalé qui Contiehira conséqueme
ment Les $econdes piissances dés ‘nombres de a

piémière. On multipliéra ensuite Châcun des nothbres

dé la seconde colonne par son correspondant dé là pre

mière colotine et'on formera avec Tes produits une trot:
sièëmé colonne qui contiendra les #roiWbmies püissances
des nombres de la première. En multipliant de nouveau
les nombres de la troisième colonne par leurs corres-
pondans de la première, ‘on forméra la colonne des
quatrièmes puissances, et ainsi de suite! 241" -01)

EX 578

TU TABLE DES PUISSANCES.

Exposans 1 2, 3 4 5 etc
1 I 1 I ou
CA 2 8 16 32
3 10@o:23 8 243
4 16 64 256. 1024
9.29, 199 ..025 3129
6 36 216 1296 7776
7 49 343 2401 10807
8 64 512 4096 32768
9 81 729 6561 59049

À l’aide de cette table on peut donc trouver immé-
diatement la racine . d’une quantité. donnée lorsque
cette racine n’a qu’un seul chiffre. Par exemple si l’on
demandait la racine quatrième de 2401, en cherchant
ce nombre dans. la quatrième colonne, et en voyant
qu Al correspond au chiffre 7.de la première on saurait
que la racine demandée est 7.

Si le nombre proposé n’est point une puissance
exacte , il faut alors cherchét dans la colonne da degré
désigné ke nombre plus petit qui en diffère 1e moius et
la racine dé ce dernier est alors celle de la plus grande
puissance Tonténue dans le nombre proposé. Ainsi; 5i]
s'agissait de trouver la troisième racine de 350, commé
343estle nombre le plus petit qui diffère témoins de 350;
dans la troisième colonne , on verrait que la racine de
33o est plus grande que #i mais, qu'elle est pins petite
que 6, et conséquemment que la plus grande troisième

puissance contenue dans 350 est 543.

:3::Revenons à nôtre opération générale: Tlfaut done,
pour trouver de chiffre des: idixaines dec lracime de-
nandée,; extraire, qu moven dela table ‘des puissances,
la racine du degré » du groupe dé chiffres deVordre ma
à l'ordre, ou, ce quest la même chose, du groupe de
chiffres restant à la gauche après qu'on aséparén chiffres
sué Ja droite. Paur rendre ceci‘plus sensible ; supposons
qu'ul s'agisse de trouver, le chiffre des: dixaimes de la
racine quatrième de 26853856, on séparera quatre ak1f-
fres à droite : et, an, cherchera d: Ans la quatrième co-
lonne de la t: ble des puissances le hombre qui approche
le plus des chiffres restans 2685,.ce nombre étant 2401
des

dont la racine est 7, on en conclura que le chiffre

dixaines cherché est 7£:£

Mais le chiffre des dixaines de la racine, ou le nombre
à étant ainsi déterminé il estévident qu’en retranchant
a de A(10}"+B/10)"—1 + etc…P{10}"—7 on obtiendra
pour réste la quantité d à coté dè laquelle écrivant les qua-
tre chiffres retränchés de la quantité proposée, on aura

‘u reste général qui doit être égal à ”

516 EX

Le

nan—1(10)"—1b + D ar (10 109 +

nn) (2)

2) n— n—3}3
Et 3(10}—b3+etc.

+

cette dernière quantité étant ce qui reste du second
membre de (3) après en avoir également retranché ar.

Le premier terme de cette quantité contient » fois la
puissance a—1 de a multipliée par b; si donc l’on con-
naissait dans le reste général les chiffres qui contiennent
ce produit, en les divisant par nar—* on obtiendrait b
pour quotient, et la racineserait entièrement déterminée.
Mais il est évident que ce produit ne peut avoir des
chiffres de l’ordre 7—2; ainsi, en retranchant n—1
chiffres à la droite du reste général, les chiffres restant
à la gauche coutiendront nécessairement ce produit,
plus une quantité quelconque y provenant des dixaines
reportées des ordres inférieurs. Lors donc que 7 sera
plus petit que na—", en divisant les chiffres restant à la
gauche par »#4"-—", on obtiendra b pour quotient et 7
pour reste; dansle cas contraire, le quotient de la divi-
sion pourra surpasser » d’une ou de plusieurs unités.
Ainsi en supposant que ce quotient soit 9, il faudra
élever a.10+-6 à la puissance », et si la puissance trouvée
surpasse la quantité proposée (1), c'est que 0 est plus
grand que b; alors on substituera 0—1 ou 6—2 dans la
racine, et on fera un second essai qui déterminera la
véritable valeur de b. Nous allons éclaircir ce procédé
par quelques exemples,

4. Problème. Trouver la racine quatrième de
26873856.

Nous avons déjà vu ci-dessus qu’en séparant quatre
chiffres à droite, le nombre restant 2687 avait pour
racine 7, ou pour mieux dire , que la plus grande qua-
trième puissance contenue dans 2687 était celle de 7,
c’est-à-dire 2401, retranchant donc 2401 de 2687, et
les quatre chiffres retranchés
3856, nous aurons pour reste général 2863856. Retran-

écrivant à côté du reste,

chant trois chiffres à la droite de ce reste général, les
chiffres restans à gauche, 2863, doivent donc contenir
le produit

nan—1h, c'est-à-dire ici 4a°b
mais la table des puissances nous fait connaître

a =72x343

ainsi 4a—4X343—1372. Divisant donc2863 par 1372,
le quotient 2 sera le chiffre cherché des unités de la
racine, et cette racine est 72. En effet, élevant 72 à la
quatrième puissance , on retrouve 26873856.

On dispose le calcul de la manière suivante :

EX

2687.3856 {7 dixaines de la racine
2401
Re) 1372 diviseur = 4.7
2 unités de la racine.

5. Problème. Trouver la racine troisième ou cubique
de 24389.

Dans ce cas particulier »=3 ; ainsi, ayant séparé trois
chiffres à droite, où cherchera dans la table la troisième
puissance qui approche le plus de 24 : c’est 8 dont la
racine est 2. Après avoir retranché 8 de 24, on écrira
389 à côté du reste 16, et on séparera deux chiffres à
droite de ce reste général; les chiffres restans seront
163 qu’ondivisera par na —: c’est-à-dire par 3.22—12.
Le quotient de cette division est 10; mais comme le
chiffre des unités ne peut surpasser 9, on conclura que
ce quotient est trop grand, et l’on essaiera si 9 lui-même
n’est pas dans le même cas 29 en élevant à la troisième
puissance. Le calcul donnant 29° — 24389, 29 est la
racine demandée

24.389 2 dixaines de la racine

163. 163.89 12 diviseur = 3.2?
Er 10 quotient.

6. Problème. Trouver la racine cinquième de
6436343.

Ici »—5. On séparera cing chiffres à droite, et on
cherchera dans la table la cinquième puissance immé-
diatement au-dessous de 64 ; c’est 32 dont la racine est
2. À côté du reste de 64—32, on écrira les cinq chiffres
retranchés 36343; on séparera quatre chiffres à droite,
et on divisera 323 par 5.2=—80. Le quotient étant
4, on élèvera 24 à la cinquième puissance, mais
comme le résultat de l’opération donne 24° = 7962624
c’est-à-dire un nombre plus grand que le proposé, ce
qui indique que le quotient 4 est trop grand, on lui
substituera 3, et en élevant 23 à la cinquième puissance,
on trouvera 23°—6436343 ; ainsi 24 est la racine de
mandée.

7. On peut facilement étendre ce procédé à la re-
cherche d’une racine composée d’un nombre quelconque
de chiffres. Mais avant d'aborder cette question, remar-
quons que À étant un chiffre quelconque de notre sys-
tème de numération, la puissance n de ce chiffre (x
étant unnombre entier) ne peut contenir tout au plus que
achiffres, car en supposant même que A soitle plus grand
des chiffres, c’est-à-dire A=g=10—1 il est évident
que 9" ou (10—1 doit être plus petit que 10"; orona

10710, 107—100,107— 1000,10{—10000, etc.

d’où l’on voit que 10" a na chiffres , ainsi 9" ou
(10—1) ne peut donc avoir au plus que x chiffres.

EX

Cela posé, sion vouäit extraire la racine cubique de
45382463 , après avoir séparé 3 chiffres à droite, il en
reste à à gauche, 45382; les dixaines de la racine ont
donc plusieurs chiffres puisque, d’après ce qui précède,
la troisième puissance d’un seul chiffre ne peut contenir
que 3 chiffres au plus. Supposant alors qu’il s'agisse
seulement de trouver la racine troisième de 45382, on
agira comme dans les exemples précédens, et comme
45382 n'est pas une troisième puissance parfaite, on
trouvera 35 pour cette racine approchée. Retranchant
la troisième puissance de 35, de 45389, on aura 2507 à
côté duquel écrivant 463, chiffres séparés à la droite de
la quantité proposée, on formera un reste sur lequel
on agira d’après la règle donnée, en considérant les
dixaines 35 comme ne formant qu’un seul chiffre. Le
quotient de la division donnera 6, et on aura par con-
séquent pour la racine demandée 356.

45,382,463 3 plus hautes dixaines

2

T83B 27—3X3

Te: É quotient

42875 —35*

reste général25074,63 3675—3X 32
6 quotient.

reste

La troisième puissance de 36 étant 46656 on ne prend
que 35 pour les dixaines.

La troisième puissance de 356 étant 45115016, on voit
que la quantité proposée n’est pas une troisième puis-
sance exacte et que sa racine est entre 356 et 357.

8. On peut conclure de ce qui précède, la règle géné-
rale suivante pour l'extraction des racines. Pour extraire
la racine du degré quelconque 7 d’une quantité donnée,
il faut : 1° diviser la quantité en groupes de x chiffres
en commençant de droite à gauche. 2° Chercher la plus
grande puissance # contenue dans les chiffres du dernier
groupe, au moyen de la table des puissances. La racine
de cette puissance sera le chiffre de l’ordre le plus élevé
de la racine cherchée. 3° À côté de la différence de ce
dernier groupe et de la puissance qu’il contient , abais-
ser le groupe suivant, séparer »—1 chiffres à la droite,
et diviser le restant par x fois la #—1 puissance du
chiffre trouvé. Le quotient sera le chiffre de la racine
qui vient après le premier déja connu. 4° Élever les
deux chiffres connus à la puissance #, et retrancher le
résultat des deux premiers groupes sur lesquels on
vient d'opérer. À côté du reste, abaisser le troisième
groupe, séparer ensuite #—1 chiffres à droite, et di-
viser le reste par rx fois la puissance »—1, des deux
chiffres connus. Le quotient sera le troisième chiffre de
la racine. 5° Élever les trois chiffres connus à Ja puis-
sance », retrancher le résultat des trois premiers grou-

EX 577
pes , abaisser le quatrième groupe à côté du reste, etc.
Et ainsi de suite.

On trouvera ainsi successivement tous les chiffres de
la racine en ayant soin de diminuer les quotienslorsqu’is
sont trop grands.

9. Lorsque les quantités dont on veut extraire les ra-
cines ne sont pas des puissances parfaites, on ne trouve,
en faisant l’opération d’après la règle donnée, que les
racines des plus grandes puissances contenues dans ces
qnantités, et il peut se faire alors que la différence,
entre la puissance de la racine trouvée et la quantité
donnée, soit assez considérable pour faire croire que la
racine trouvée est trop petite d’une unité. Dans le der-
nier exemple précédent la différence 264627 qu'il y a
entre la quantité proposée 45382463, et la troisième
puissance de 356,se trouve dans ce cas ; on pourrait donc
croire que 357 donnerait une troisième puissance plus
approchée de 45382463. Comme pour vérifier ce
doute, il faudrait élever 356 à la troisième puissance et
que dans plusieurs cas cela peut entraîner à de Tongs cal-
culs, ilest essentiel d’examiner si l’on ne peut abréger
ces calculs, en trouvant un caractère qui indique le cas
où la racine trouvée est trop faible d’une unité.

D'abord pour la troisième puissance, en désignant
par À la racine trouvée, la différence qu'il y a entre A

et (A1) est 3A243 A+, car
(A+ 1) —AS+3A1H+3A LI

Ainsi tant que la différence, entre la quantité donnée
et la puissance de la racine trouvée, est moindre que
3 A?+3A—+Y, c'est-à-dire , est moindre que trois fois la
seconde puissance de cette racine, plus trois fois cette
racine plus un, la racine en question n’est pas trop
faible.

Par exemple , dans le cas cité on a

3X(G356) + 3X(356)+1 = 381277 >264627,
ainsi la racine 351 n’est pas trop faible d’une unité.

S'il s'agissait d’une seconde puissance, comme

(ai) =æ+aatr,
on aurait
(abri) —a—aa+r.
Le reste ne doit donc pas surpasser le double de la
racine trouvée plus un.
Pour une cinquième puissance on aurait

(a+) —a = baiÆHroa+roa+5atr
et en général pour une puissance quelconque 4

m{ri—1)
(a+ in am = mans ù SRE VU

am—2 +

(m—1)(m1—2
1 DC Dans etc, et,

1.2,

578 CX
expression dans laquelle en faisant 72 Cpaite, 20, DE

6, etc. , on obtient tous les cas particuliers.

10. Les propriétés des quantités radicales, peuvent
servir à simplifier, dans certains cas, l'opération de
l'extraction des racines. Si on voulait extraire par

exemple la racine 6° d’une quantité À ,en observant que

6 5 +
VA=V VA

L'opération se réduirait à extraire d’abord Ja racine
deuxième de À et ensuite la racine troisième de cette
racine deuxième, ce qui simplifie beaucoup les calculs,
car ces calculs deviennent déjà très longs pour les ra-
cines du quatrième ordre.

Comine on a

È

m0, P, Ty . noPq
ve Ve Wa V'A = VA

toutes Les fois que l’exposant d’une racine peut être dé-
composé en facteurs l'opération devient donc plus
facile. C’est ainsi que l'extraction de la racine huitième
se réduit à trois extractions successives de racines
deuxièmes, que l'extraction de la racine douzième se
réduit à deux extractions successives de la racine deuxiè-
me faites sur la racinetroisième de la quautité proposée.

Parce que
DXON2—S,2NX IN 3—12
et ainsi de suite.

11. Nous avons vu ( ALG. 22) que pour extraire la
racine d’une fraction il fallait extraire celles de son nu-
mérateur et de son dénominateur , et qu’on avait

2
vb

Lorsque les deux termes de la fraction ne sont pas des
puissances parfaites, on ne peut alors trouver que des
valeurs approchées , mais la propriété que possèdent les
fractions, de ne point changer de valeur lorsqu'on
multiplie leurs deux termes par le même nombre fait
qu'on peut simplifier cette opération, En effet, multi-
pliantles deux termes de la fraction par b—2 on a

abm-= V'abm—x V'abm-:
V()= v( bhm—s RE nn — CNE ne ,

Etil est évident qu'il ne faut plus extraire que la ras
cine du numérateur.

Ainsi si l’on demandait la racine troisième de À

on
CHE

EX

multiplierait ses deux termes par 5° et la fraction de-

venant

sa racine serait

La racine troisième de 100 étant entre 4 et5, on au-

rait donc 5 Pour la racine demandée. Valeur qui ne

Fe RRT
la véritable que de

peut différer de g tout au plus.

En rendant le dénominateur plus grand on obtiendrait
un plus haut degré d’approximation. Parexemple, sion
voulait avoir la racine précédente à un cinq-centième
d'unité près, on commencerait par multiplier les deux
termes de la fraction proposée par 100, ce qui doune-
rait

multipliant ensuite les deux termes par la seconde puis-

sance du dénominateur , on aurait

dont la racine troisième

__ V1000000
500

500*

3 (re) =

3
es 2 à moins

est entre 85
(0)

e. et.—, clleest donc égale à

I sr A
de -— d'unité près.
500

On pourrait employer cette méthode pour obtenir la
racine d'une quantité quelconque à un dégré déterminé
d'approximation, il ne faudrait pour cela que donner
la forme fractionnaire à la quantité proposée. Par
exemple, s’il s'agissait d'obtenir la racine troisième de 22
à moins d’un dixième d'unité près, on réduirait 22-en

sp : .. 220 É :
dixièmes, ce qui donnérait Fe dont la racine cherchée

; rite 29
comme ci-dessus, serait effectivement, ou2+—

moins d’un dixième d’unité près.

19. Le moyen le plus prompt et le plus commode
pour extraire la racine d’une quantité quelconque, à un
degré d’approximation déterminé , consiste à convertir
cette quantité en fraction décimale, en observant d’a-
jouter autant de tranches de » Zéros, qu’on veut avoir

EX

de décimales à la racine. Par exemple, pour extraire la
racine cinquième de 25 à moins d’un millième près, on
converüra 5 en fraction décimale en lui ajoutant trois
tranches de 5 zéros, puisqu'on demande trois chiffres
décimaux à la racine. Et extrayaut ainsi la racine de

25,00000,00000,00000

le premier chiffre de cette racine sera seul entier et les

autres seront décimaux.

13. La formule da binome offre encore le moyen
d'extraire les racines avec très haut degré d’approxima-
tion. L'exemple suivant est suffisant pour en indiquér
la marche.

Problème. Extraire la racine cinquième de 260.

Faisant dans la formule du binome (voy. Bixome)
l’exposant épala +, on aura

Aie ei B
anim afiri Berne

LT en
rs — 3 etc.
GES APS] U+

+

ou, en évaluant les coefficiens

E _ à B 4B°, 36 B°
2 AL | Et ns
(A5) 13 SAT 5oA: © 753 A3
_4o4 Bi
15000 Ai HIER

La plus grande cinquième puissance contenue dans
260 étant 243—3°, on FRRRME 260 en 243417, et

: B 17
faisant A—2/3 et B—1;, AË sera égal à 3 et —— —;
VENT, 249

substituant ces valeurs dans la dernière formule, la ra-
cine demandée sera exprimée par une suite convergente
et par conséquent plus on prendra de termes , plus on
approchera de la véritable valeur. Pour évaluer un cer-
tain nombre de termes de cette suite, comme ces ter-
mes sont fractionnaires on les convertira en fractions dé-
cimales et ensuite on ajoutera d’une part, tous les
termes positif, et de l’autre tous les termes négatifs,

’

la différence des deux sommes multipliée par À ou
par 3, donnera la racine cherchée. Comme ici les ter-
mes vont en décroissant rapidement et que le cinquième
est déjà moindre que 0,0000009, en se bornant aux cinq
premiers termes, on aura, tous calculs futs, 3,0408477
pour la racine cinquième de 260, ou seulement 3,040847
pour plus d’exactitude, parce que n’ayant employé que
7 décimales dans le calcul, la septième dans le résultat
peut quelquefois être trop faible et qu'on ne peut rigou-
veusement compter que sur l’exactitude des six pre-
mières.

I faut toujours observer , quand on emploie la for-

x
mule (A+-B)", ges B soit plus petit que À afin que

EX

+ soit une fraction et que tous les termes devenant de

plus en plus petits la suite soit convergente.

Au lieu de prendre pour A la plus grande puissance
contenue dans la quantité donnée, il peut-être quetque-
fois avantageux de prendre la puissance immédiatement
au-dessus de cette quantité. En effet s'il s'agissait de
calculer la racine quatrième de 80, la plus grande puis-
sance contenue dans 80 étant 16 on aurait

A—16, B—G64

et alors ne serait pas une fraction plus petite que
L

l'unité. Mais la quatrième puissance immédiatement au-

dessus étant 51 , si l’on faisait A=S1 , B—1, où aurait

et on ferait alors B négatif dans le développement de la
:
puissance (A+B)*

34. L’extraction des racines des quantités algébriques
est fondée sur les mêmes principes que nous avons dé-
veloppés dans les numéros précédens, un exemple seul
suffit encore ici pour indiquer la marche de ropé-
ration.

Soit à extraire la racine: quatrième de

167$ + 96422 + 216afixi + o16afx? + Srai.

On commencera par disposer les termes en les or-
donnant, comme ci-dessus, par rapportà une même
lettre et par puissances décroïssantes.

La quantité proposée étant donc ordonuée par rap-
port à æ, son premier terme doit être la quatrième
puissance du PES terme de la racine ordonaée de
la même manière, Prenant donc là racine quatrième

de16zx on a

n 4 4 8
4

V162 = V16.V/a

ox? est donc le premier terme de la racine.

Retranchant la quatrième puissance de ox'où 16x,
de la quantité proposée, le reste doit nécessairement
commencer par le second terme du développement de
la quatrième puissance des deux premiers termes de la
racine , or dans l'expression

(a4b)i = ai + 4aÿb + Gab? + ab + bi.

+

le second terme contient quatre fois la troisième puis-
sance du premier terme de la racine, multiplié par le

Li : PS
second. Divisant donc ce terme par 4 &

b pour quotient. [ci le second terme du développe-

, on doit avoir

ment est 96æx°; prenant quatre fois la troisième
puissance de 24°, on à 32x° pour résultat; divisant

580 EX
96 æ& x par 324°, le quotient 34° est le second terme de
la racine.

Elevant 247434 à la quatrième puissance on à

(ax 3e) 167409647204 216aixi+ 1 Ga°x?+8rai.

Ainsi, le second membre de cette égalité étant la quantité
proposée , 6x°+-34a? est la racine demandée.

Si la racine avait eu plus de deux termes , en retran-
chant de la quantité donnée, la quatrième puissance de
2x°+3a° , on aurait obtenu un reste qui aurait servi à
déterminer les autres termes, en comparant avec

(AB) + C|'=(A+ BH (A+B) Crete.

Car après avoir retranché (AB), le reste devant com-
mencer par 4 (A+4B)C*, en divisant ce premier terme
par 4 (A+B) on a C pour quotient. Divisant donc le
premier terme du reste par 4(2x*4+34°), on aurait
obtenu le troisième terme de la racine, et ainsi de

suite.

15. Lorsqu'il s’agit des nombres, les logarithmes
offrentlemoyeninfaillible de déterminerimmédiatement
une racine d’un degré quelconque sans avoir besoin des
calculs prolixes que nous avons exposés ci-dessus ; il
est bien rare que les géomètres ne se contentent pas de
leur usage, car avec les tables ordinaires on peut obte-
nir sept chiffres exacts ce qui est suffisant dans le plus
grand nombre des cas.

D'après la nature des logarithmes (voy. ce mot) on a

Ainsi, le logarithme d’une racine s’obtient en divisant

celui de la puissance par l’exposant, et il ne faut plus que

chercher dans les tables le nombre qui correspond
à ce dernier pour avoir la racine.

Par exemple, soit proposé, comme au n° 5, d’ex-
traire la racine cubique de 24389. On trouvera dans les
tables de logarithmes.

log. 24389 = 4, 3871940
et, en opérant la division de ce logarithme par 3, on
aura

4,3871940
3

— 1,4623960.

Ce quotient étant le logarithme de la racine demandée,
on cherchera dans les tables le nombre correspondant et
on trouvera que la racine est 20.

Prenons pour second exemple le nombre 2, et propo-
sons-nous d’extraire sa racine carrée approchée avec six
décimales. Nous trouverons

0, 3010300

ROBE
10;

1909190

log. 2 — 0, 3010300, et
Le quotient étant le logarithme de 1,414213, nous
avons

V2=1,414215
Pour plus de détails voy. LocanTamEs,
EXTRADOS (4rch.). surface extérieure d’une voûte.

EXTRÊME, On donne le nom d’extrémes au pre-
mier et au dernier termes d’ane proportion. Les deux
termes du milieu se nomment les moyens. Voy. Pro-
PORTION.

En gcométrie, on dit qu’une ligne est partagée en
moyenne et extrémeraison lorsqu’elle est divisée en deux
parties telles que la plus grande est moyenne propor-
tionnelle entre la ligne entière et la plus petite. Foyez
APPLICATION 14. l

FIN DE LA LETTRE Ë EX DE LA PREMIÈRE PARTIE.

TABLE DES MATIÈRES

CONTENUES DANS LA PREMIÈRE PARTIE.

L’initiale placée entre parenthèses après le mot indique l’auteur de l’article, savoir : (B) M. A. Barcixer, de Grenoble; (L)
M de Lesrix ,. capitaine du génie. Les articles dont les noms ne sont pas suivis d’initiales sont de M. de MontFeRRier.
Le premier nombre indique la page , le second la colonne.

Introduction (5).
Notion: préliminaires.
Abaco (1.
Abacus.
Abaissenent.
Abeille.
Abenezra.
Aberration
Abondant.
Abrachaleus
Abraham-bei-Chija (5).
Atraham Zadut (5).
Abrévition.
Abscisse.
Abside.
Absolu.
Abstrait.
Absurde.
Acampte.
Accélération.
Accélération de la chue des
corps (8).
Accélération des étoile:
des planètes.
de la lune.
Accéléré (mouvement).
Accord.
Accores.
Accroissement.
Acharnar.
Achromatique (5).
Aclaste.
Acoustique.
Acre.
Acbronique.
Action.
Acutangle.
Acutangulaire.
Adar.
Addition.
Adéraimin.
Adhésion.
Adhil.
Adigège.
Adjacent.
Aegoceros.
Aérostation (3).
Aérostatique.
Affecté.
Afection.
Aflirmative.
Age de la lune.
Agent.
Agnesi (»).
Aigu.
Aigle.
Aile.
Air.
Air de vent.
Aire.
Aires proportionnelles.

a
©
mm D D D D = mm D D DIS DO me me ee Det 2e

b
rs
= ne NO DO 0e ee et DD De De on

&
&
=

23

D
SJ
mmbemme DEEE mm DER DER REE EE m

œ
a
»

Alamak.
Albatenius (3).
Albegala.
Albert le Grand.
Albireo.
Alcuin.
Alcyon.
Aldébaran.
Aldhafera.
Alembert (d”) (8).
Alexandrie (école d”) (s).
Algebar.
Algèbre.
Algébrique.
Algedy.
Algeneb.
Algol.
Algomeiza.
Algorab.
Algorithme.
Algorithmie.
Alhabor.
Albaioth.
Alhazen (3).
Alhoot.
Alidade.
Alignement.
Aliémini.
Aliquante.
Aliquote.
Alkameluz.
Alliage (règle d’}.
Allongé.
Almageste (r).
Almamon (5).
Almanach.
Almerzamonnagied.
Almicantarat.
Almucédie.
Alpberaz.
Alpheta.
diphonse X (s).
“Jphonsines (tables) (5).
Aramech.
Aluccabah.
Alta.
Alterntion.
Alterne
Altimétrs.
Ambigène.
Amblygone,
Amiable.
Amontons ().
Amplification.
Amphora.
Amplitude.
Anabibazon.
Auacamptique.
Anachronisme.
Anaclastique.
Analemmatique.

D D DD opt het me DD De pue Dé me pt ee ee Dé et ee DO NO OS me De et et Dee Dee et De LS DO et De Dee Dee me Du D KO DO me me ei D et DD DD 19 DO D DO me pe et et DO DD Dee De es Det

Analemme.
Analogie.
Analyse.
Analytique.
Anamorphose.
Anazxagoras (5).
Anazimandre (»).
Anazximène (8).
Anderson. (8).
Androïde (8).
Andromède.
Anelar:
Anémomètre.
Anémoscope.
Anes.
Angle.
Angle optique.
Anguinée.
Angulaire.
Anisocycle.
Anneau de Saturne (5).
Anneau astr.
Année (8).
Annuel.
Annuité.
Annulaire.
Anomalie.
Anomalistique.
Anse de panier.
Anses.
Antarctique (8).
Antarés.
Antécanis.
Antécédent.
Antecedentia.
Anthemius (8).
Anti-logarithme.
Antichtones (5).
Antinous (x).
Antipodes (5).
Août.
Aphélie.
Apian (5).
Apocatastase.
Apogée.
Apojove.
Apollonienne.
Apollonius (8).
Apomécométrie
Apothème.
Apotome.
Apparence.
Apparent.
Apparition.
Applati.
Application de l'algèbre à la
géométrie.
Application.
Appliquée.
Appliquer.
Apollon.

AIT
EEE EE

MOOD D D EN D pe me me pe mt 9 9 1 mm mt me D ND à À D D & OR Em pt mé et et Det Pet D 9 DO D et ee me DD D 10 M D mt D em D me D D

75

LE LE

#82

Approcheségales (courbe aux). 112

Approches fortif.
Approximation.
Appui.
Appulse.
Appuyé.
Apsides.
Apus.
Aquarius.
Aqueduc.
Arameh.
Arbalète.
Atbre,

Arc.

Arc-boutant,

Arcas.

Arc-en-ciel.

Arche.

Archimède (s).

Architecture (3).

Archytas (3).

Arçon (3).

Arctique.

Arctophilax.

Arcturus,

Arctus,

Are.

Aréomètre.

Aréométrie.

Argetenar.

Argo.

Argument.

Arided.

Aries.

Aristarque (3).

Aristéc (8).

Aristote (3).

Avithmétique.

Arithmomètre.

Aïruillaire (sphère).

Armille.

Arpentage.

Artificiel,

Artillerie (8).

Artimon.

Arzachell (8).

Ascendant,

Ascendante..

Ascension.

Aschémie.

Aschère.

Asciens (8).

Aspect.

Aspirante.

Assurance (2).

- Astaroth.
Astéréomètre.
Astério,
Astérisme,
Astéroïdes.
Astérope.
Astral.
Astrée.
Astres.
Astrodictum.
Astrognosie.
Astrokion.
Astrolabe.
Astronomie (e),
Astronomique.
Astroscope.
Astrothésie,

: Asugia.
Asymétrie.
Asymptote.
Asymptotique.
Atair.

Ataur. :

: Atelier.

‘ Athénée (»).
Atin.
Atlantides.
Atlas.
Atnosphére,

ms dé
PRES
a Œ ©

mmnmDE DD DD DE DD MD D DE D D D D D mm mm mn D D D D D D mm D D D ND mm D mom RO mt DS RO me me me me me RO DO KO me mt mm KO M 10 RS 1 5 1 RUN D D D à mm me de ee Re

118

118
118

TABLE ALPHABÉTIQUE,

terrestre.

des planètes.
Atmosphérique.
Attoucliemént,
Attraction.
Attrition,
Aubes.
Auges.
Augmentation.
Auriga.
Aurore.
Austral.
Autel.
Autolycus (8):
Automate.
Automne.
Auzout (3).
Avellan.
Averroes (8).
Avicenrre {8}.
Avril.
Axe.
Axifuge.
Axiome.
Ayuk.
Arelphage,
Azimech.
Azimut.

Bachet (s).
Bacon (3).
Baculamétrie.
Bailly (z).
Baker (3).
Balance (aser.).
Palance (méc.).
Balancement.
Balancier.
aleine.
Balise.
Baliste.
Balistique.
Bandes de Jupiter.
Baromètre.

; Baroscope.

arrow (s).
Base,
Pasilicus.
Bassantin (3).
Bastion.
Batardeau.
Batn-êl-Geyttors.
Batn-él-Hoat.
Bâton de Jacob.
Batyn.
Pattyat.
Bayer ().
Beaune (3).
Bédos (»).
Bégala.
Belidor (r).
Bélier.
Bellatrix.
Bellérophon.
Benat-él-Naacb.
Bérénice.
Bernoulli (s).
Berose (s).
Beze.
Bezout (5).
Billion.
Bimédial.
Binaire (arih.).
Binome.

de Neyton.

des fÆtorielle.
Biquacratiques équations).
Biquitile.
Biss-clion,
Bisextile.
Bügrave (9:
Flondel (s}

el
a
PO De Det Dei De pe ND me ND D mt me me De met D) D D DEN ND D R BR EN

[S
A
&
D D D mm D D D D D D mm ND mm mm D D D D R D me RON = me me me

2161

D
we
LC
10 mem me me M em 10 NOR me mt et DD A 3 D D

Boisseau.
Borda (5).
Boréal.
Borell (5)
Boscovich (8).
Bossut (8).
Bouc.

Bouguer (5),
Boulliau(s).
Boussole.
Bouvier.
Brachystochrone.
Bradley (4).
Branche de courbe,
Bras de levier.
Prasse.

Briggs (8)
Prouette.
Brounker (>).
Purin.
Byrsge(r).

Cabestan.
Cadmus.
Cadran.
Caïlle (Vabbé de La) (5).
Calcul,
Calendes.
Calendrier.
Calippe (3).
Caméléon.
Camus (8).
Gancer.
Canicule.
Canon.
GCanopus.
Capable.
Capacité.
Capricorne.
Caractère.
Caractéristicie.
Cardan (e).
Cardinaux(points).
Carnot (8)
Carre (5)
Carré, 07. Quarré,
Cartes
Cas iréductible.
Cassir (3).
Casinoiïide,
Cosiopée.
Qstelli (z).
sastor.
Castramétation.
Catabibazon.
Catacaustique.
Catadioptrique.
Gatalogue d’étoiles.
Catapulte.
athète.
Catoptrique.
Cauda lucida.
Caus.
Caustique.
Cavalier (5).
Céginus.
Célérité.
Céleste,
Centaure.
Centésimale.
Central.
Centrales (forces).
Centre.
d'attraction.
de gravité.
d’oscillation.
Centrer.
Centrifuge (force),
Centripete (force),
Centrobarique,
Cüphée.
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PNR

Cercle.

Cérès.

Ceulan (8).

Ceva (3).

Chaine.
Chbainette.
Chambre obscure.
Champ.

Chanzeantes (étoiles).

Chapiteau.
Chariot.

Chène.
Chercheur.
Chérubin (se).
Cheval.
Chevalet.
Chevelure.
Chèvre.
Chevreaux,
Chiens.
Chiliade.
Chilioyone.
Choc.
Chronologie. (8)
Chronomètre.
Chute des corps.
Ciel.
Circompolaires.
Circonférence.
Circonscrire.
Circonvolution.
Circuit.
Circulaire.
Cissoide.
Citadelle.
Clairaut (8).
Clavius (3).
Clepsydre.
Climat.
Co-Cheou-King (8).
Cocher.
Coeflicient.
Cœur.
Cohésion.

Coin.
Coïncider.
Collimation.
Collins (3).
Collision.
Colombe.
Colures.
Combinaison.
Comète.
Commandin (5).
Commensurable.
Commun-diviseur,
Communication.
Commutation.
Compagnie (règle de)
Compas.
Complément.
Complexe.
Composé.
Composition
Compression.
Comput.
Concave.
Concentrique.
Cunchoïde.
Concourantes.
Concourir.
Concours,
Concret.
Condamine (8).
Condo rcet(s).
Cône. À
Configuration.
Congruence.
Conique.
Conjointe (règle).
Conjonction.
Conjugué.
Conoiïde

Conon (3).

O5 G5 ©
N © LD &
LS Le 9 C5 UD

m KL D Om mm = mi mm DD DR NN NN D RD = D ND ND RD ND RD KR LD ND» HO me me mi me ND KO RO m4 mt me NID 0 08,89 + NO ND NN ND RD NO me meme pe Det NO ee mt © mt mi NN D D D D D N° D mm 0e 2e mt De DD et mn

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D © DR

U9 QU Us O9 O3 LU LS QU) Us Ce OU Us
III SSSSS

D © nt

TABLE ALPHABÉTIQUE.

Conséquent.
Consequentia.
Conspirantes.
Constante.
Constellation.
Construction.
Contact.
Contenu.
Contigu.
Contingence.
Continu.
Continues (fraclions).
Continuité (1).
Contour.
Contraction.
Çontregarde (1).
Contre-harmonique.
Contremines (1).
Contrescarpe (1).
Conyergent.
Converse.
Gonyersion.
Convexe.
Coordonnées.
Copernic (s).
Corbeau. |
Cordes (1).
Cornet acoustique,
Corallaire.
Corps.
Correspondantes (hauteurs).
Costrante.
Cosinns.
Cosmolabe.
Cossique (règle).
Cotangente.
Côté.

Cotes (3).
Couchant.
Coucher.
Coulomb (8).
Coupe.

Courbe (1).
Courbure (r).
Couronne.
Courtine (1).
Cousin (8).
Craige (5).
Cramer (8).
Cratistus” (8),
Crépusculaire.
Crépuscule.
Crible.

Cric (1).
Croissante,
Croissant.
Croix.

Croix australe.
Crusiforme.
Cuesibius (»).
Cubature.

Cube.

Cubique (équation).
Caltellation.
Culminant.
Cunette (1).
Cunitz (x).
Gurviligne.
Cycle.

Cycloïde (L).
Cygne.
Cylindre.
Cylindrique,
Cylindroïde.
Cynosure.

D

D’ Alembert (»).
Dante (x).
Dasypodius (»).
Dauphin.
Décade.
Décagonc,

363

363 :

363
363
364
365
367
368
368
368
368
368
386
386
386
386
386
386
38

387
390
390
390
390
390
391

39x

D D D pe me mt met me NO KO NO ee pt et NO ei me et Di ei et NO De ON RO 9 Det KO NO et me NO NO NO D cms met et Dei Det ei Di et es ef Ge es et NO NO Dee ei me ne ne mt 19 D D ND D æ D D = = D ND = D D RD

E D D > = =

Décagramme.
Décalitre,
Décamètre.
Décan.
Décembre.
Décharge.
Décil.
Décimale.
Déclin.
Déclinaison.
Déclinant (cadran).
Décomposition des forces.
des équations.
Décours.
Décrire.
Décuple.
Décuplé.
Décussation.
Dee (5).
Défectif.
Défcient.
Défilement (1).
Définition.
Desré,
Delambre (»).
Demetrius (8).
Déemocrite (8).
Demi.
Demi-lune (1).
Démonstration.
Dendromètre.
Deneb.
Dénominateur.
Densité.
Densité de la terre.
Densité des planètes.
Dento.
Dérivation.
Desargues (5).
Descartes (2).
Descendant.
Descepsion.
Descente.
Deschales (s).
Description.
Descriptive (géométrie).
Déterminé.
Déturbatrice.
Deucalion.
Développante.
Développée (1).
Développement.
Déviation.
Diacaustique,
Diagonale.
Diamètre.
Dichotomie.
Différence.
Calcul des différences.
Calcul différentiel.
Diffraction,
Digression.
Dimension.
Dinocrates (x).
Dinostrates (»).
Dioclès (%).
Dionis du Séjour (8).
Diophante (3).
Dioptrique.
Dee :
Direction.
Directrice.
Discrète.
Disque.
Distance.
aphélie.
périhélie.
réelle.
moyenne,
proportionnelle.
apparente.
accourcie,
Ditton (»).
Divergent,

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D mew m D ND D D NN D me me m 19 à

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PT NON, ANR Ro d

RER RER IR RE ES

584

Dividende.
Diviseur.
Division.

des fractions.

complexe.

alzébrique.
Division Cén
Diurne.
Dodécaëdre.
Dodécagone.
Dodécatémorie.
Doigt.
Dotlond (s).
Dominicale (lettre).
Dominis (8).
Donné.
Dorade.
Double.
Doublé.
Dracontique.
Dragon.
Drebbel(s).
Droit.

Duplication du cube (s).

Dynamique.
D'ynamomètre.

Echecs.
Echelle.
des dixmes.
logarithmique.
arithmétique.
Echelles de pente (1).
Echo.
Eclipse.
lunaire.
solaire.

Scliptique.

DDR DR D RE D D ND N De mt ot me me me em N NON ON

DD D ND mm D D D em

TABLE ALPHABÉTIQUE.

Ecoulement.
Lcrevisse.
Ecu de Sobieski.
Egal.
Egalité.
Eïimmart (s).
Elasticité (8).
Elastique (courbe).
Elémens.

du système solaire.
Elévation

Elévation aux puissances.

Elgebar.
Elimination.
Ellipse.
Ellipsoïde,
Elliptique (compas).
ÆEl-Mamoun (»).
Elongation.
Engendrer.
Engin.
Engrenage (1).
Enif.
Ennéadécaétéride.
Ennéagone.
Epacte.
Ephémérides.
Epi de la Vierge.
Epicyole (1).
Epoque.
Equant
Equateur.
Equations (a/g.)
binomes.
trinomes.
réciproques
transcendantes.
exponentielles.
de différences.
Equation (astr).
du temps.

FIN DE LA TABLE.

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de l'orbite.

des hauteurs correspon-

dantes.
Equatorial.
Equerre.
Equiangle.
Equidifférence;
Equidistant.
Equilatéral,
Equilibre.
Equinoxe,
Equinoxial.
Equipage.
ÆEratosthènes (5).
Fre (5).
Eridan.
Erreur.
Escompte (règle d’).
Espace.
Essieu.
Etablissement du port.
Eté.
Etoile.
ÆEuclide (s).
Eudoxe (r).
Euler (»).
ÆEutocius (»).
Evanouir.
Evection.
Excentricite.
Exclusion.
Exégése.
Excentrique.
Exhaustion.
Exponentiel.
Exposant,.
Expression.
Externe.
Extraction des racines,
Extrados.
Extrême.

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