Elemens des mathematiques

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{ E LEMENS

DES

i MATHEMATIQUES.

I

Far "M. Pïe^b-e Polynier,
Doreur en Médecine,

Che»^

A PARIS,

JEAN DE LAULNEnie deU
Harpe , proche le Collège d'Harco ir,
a flnuge S. Jean-Baptifte.
■ X
JACQJJE Q^UILLAUjmpri-
inear-Jnré-ti braire , nie Gaknde,
proche la me du Fouace , aux Armes
de l'UniTcrfité.

M D C C I V.

' im contritmadlnianta^ ifm'^n
â ij
/if

cette admirable jufiejfe Jtefprit dont
la Providence vous a fi libéralement
fartage ^ que f étude de ces Sciences >
l*è^uivoéjpte ni le doute rCy peuvent îa^
mais trouver flace. EBes frefentent
toujours k tefprit def veritex^incqnte''
fiables CJr liées fnfemble par un ordre
merveilleux r eBes t accoutument À f en-
fer jufle fur toutes fortes de matières ^ À
débrouiBer ks chofeS les plus confufes^
(^ à écLtircir les plus obf cures. Cfefi en
effet cette e Ma fiitudefc^puleufe (^par^
faite qui fait le mérite des Mathe^
mat i que s j ^ je croirois avoir rèuM
heureufement dans cet Ouvrage > s* il
étoit dime de votre efiime par cet en-
droit 3 au moins aura^tÀl fur tous les
autres qui pourront votés ttre pnfentez^
davantage £etre le premier qui pa-^
roiffe fous lesaufpices de votre zBufire
Nom.

S^il convenoit à un Géomètre (tenu
prunter le fecours de t Eloquence pour
exprimer les veritex^ quUl connoit ^
qu*eBe occafion n^avrm-rje pas de pu^

blier ces grandes quditetjtefprit é" de
cœur qui brittent en vom , ^ qui vont
noue retracer ces rares vertus qui font
le mérite de votre Famille , é- qui font
le principe de/on élévation /

Mais je ne peux nî empêcher de vous
féliciter fur davantage que vous avex^

MONSIEUR , dètre né avec les
difpofitions necejfaires , pour être timi^
tateur Jîdele des Exemples de toutes
fortes de vertus politiques é^ morales^
que vous avez^ devant les yeux dans
la perfonne de ce grand Miniftre
votre Illuftre Père qui remplit fi
dignement au gré du Monarque ef de
fes Sujets ^ les deux plus impor^
tantes Charges de l'Etat. Le Pu-
blic a déjà de votre part des gages
£une capacité digne de votre Rang.
Vous avez^ donné des preuves éclatan-
tes de la force ^ de la pénétration de
votre efprit. On a été furpris dans les
épreuves publiques que vous ave^doru
nées de votre fçavoir , qu'à un âge y?

pete avancé vous ayexj^ait des progrés

I

fi canfiderables dans les bettes Lettre$^\^
^ dans t Eloquence. Les expériences '•1'
de Phyfique que vous avexjaites vous- J^
même y é^ toutes cette s que fai eu thon^ ««^f
neur de faire devant Vous , dont vous ^ •
avet^ compris é* expliqué les raifons w»)
avec une clarté y une facilité ^ et un »)fro
flaifir extraordinaire 5 les Thefes d$^ ÎjiJb
philo fophie que vous ave%^ foutenues
avec un applaudiffement général ^ ont
fait voir Nxcettence de votre jugement y
^ un génie capable de pénétrer dans
les Sciences les plus Jublimes. Maison
qfi moins furpris de ces heureux fuccés
de vos études y quand 4m fc ait y quettc .
efl votre docilité y votre %ele vif^ ar-
dent pour la perfeBion des Sciences , ^ )
des beaux Arts y ^ pour la proteEiion
des Sçavans y cette joye fenjîble que
vous aveZiJoujours eue de pouvoir vous
infiruire avec eux dans des Conférences
fréquentes (^ nombreufes par leur
concours : enfin votre pietéfincerCy votre
modefiie fans affeElation y dr cette aver--
fion confiante et genereufe que vous

Mt^fnur far^eit 3 vice frefqne inje^
faraUe £une h^»^^' fortune.
Voilk les dijpofiriavis de caurfkrlef'
feies font fondez^ ^ejiime (^ famemr
fw les Sqaruans emt four vous y les
l»Aan^es qt^mn ne peut fe diff enfer de
vm donner , ^r ce qui anime le x^k
evu lequel je Jiiis ^

2i€a J^SJEVR^

Votre tres.lMiinble& tccs^
obéiflant fêmtciir ,

P. POITNIIIU

PREFACE.

B\ méthode que je donne ici , à
eu jufqucs à prefeni un fucc^s Ci
heureux, que parmi un alTez bon

nombre d'Êtudians qui s'en font

fervis depuis quelqnes années, il ne s'en
eft trouve aucun qui n'ait témoigné en être
fort content : & les progrés que plnHeurs
ont faiis par Ton moyen dans les Mathé-
matiques , m'ont fait cfperer que la liberté
que ie prens de la donner au Public, ne
lui deplairoit pas.

Tous ceux qui commencent à s'appli-
quer aux Mathématiques, nevoyent pas
d'abord oïl ces Elemens les peuvent con-
duire. Ceux même qui les ignorent en-
tièrement , en font une efpece de mépris ,
les tcatienc de Sciences vaines & intuiles,
d'occupations de gens oilîfs , qui palTène
tout leur temps dans un cabinet à coniî-
derer des lignes & des furfares , incapables
de fonger.àdes cho fes plu5rolides& plus
uciles.C'eft pour inftruire les uns , &

pout goéïir, fîiï eft poffible, k prévenu
riotf des autres, que j*ai cru deroir com^^
mtticer j^r- les icnexions fuii^taiitesu

D£ rUT I LIT ^
des Mathématiques.

PiRem/eremeot je cçmfidereraila necefl
ûié od toutes fortes de perlbimes (e
UQUvetit d'avoir 1 e(f;ric exacSb ^ pénétrant ,
finie dans. toute la force, la vigueur SC
l-écenduë dont il cft capable. Pour erre
periuadé que les Mathématiques font des
iciences qui produifent tous ces bons ef«
fets ; il fu£t de Êdre attention à la clari* '
te de leurs principes > à la jufteflè des
raiionnemens 5c à l'évidence d^s démon-
ftrations qui s'y rencontrent continuelle^
ment. Dans ces fciences l'eiprit s'accoft-
tume à s'appliquer auxchofes qu'il fe pro*
pofe à examiner \ il s'accoutume à connoîr-
tre la venté, à la mettre dans fon )our^
à en établir les principes d'une manière
fuivie. Cette habitude eft une chofe qu'on
ne peut a(Ibs eftimer, c*eft un fruit d'un
prix infini & le plus précieux de nos pre-

De futilité
miercs études. Rien ne rend refpric pla»
pénétrant « plus vif , & plus en état do
percer les nuages de Terreur , que Texer-
cice où il fe trouve dans les Mathemati^
ques pour tirer d'un fort petit nombre de
principes connus , mille chofes qu'il ne
connoiiToit pas ; pour les déduire par or^
dre^ & pat un enchaînement admirable^
Il eft Tare qu'un efprit géométrique pren-
ne la vrai'femb lance pôui: la vérité» Ceux
qui ont yû plufieurs excellens ouvrages
de peinture, par exemple, de graveure,
de fculpture,Lçavent beaucoup mieux |u^
ger d'une eftampe , d'une ftatuë, Scr. de
îriême cciix qm font accoutumez à des
idées claites^'à des dembnftrations exatd^»
jugent bien mieux du défaut ou de laper-
feâion d'un raifonnement» Ils ne font pa$
fî fujets à fe gifler tromper par quantité
de maximèsr obfcares & incertaines qui
fervent de fondemens aux faux raifonnc-
'mens dont les difcburs des hommes font
remplis. Ce qui met Tefprit dans fa force
& dans fon étendue, c'eft de Taccoûtu-
mer à con:yrendre plufieurs choies à là
fois , ce font ces demonftrâtions qu'on ne
peut entendre qu'en appércevant la vérité
de cent autres demonftrâtions dont dles
dépendent 5 parce qu'alors Tefprit eft obli-
gé de voir en même tems de ce qui éclair$

des Mathematiqnes.

Se ce qui eft éclairé. En embrasant taiit
de chofes à la fois , il porte fes vues beau-
coup plus loin que dans Tes aftions or*»
dinaires* De même qu'en s'accoûtumanc à
porter des fardeaux pefans , il arrive qu'on
ne Tent prefquc plus le poids.de ceux qui
font plus legery j x:'eft ainfi qu'en exerçant
nôtre efprit à des veritez abftraites dc
difEciles , nous lui rendons faciles toutes
celles qui demandent moins d'application.
Les exercices du corps font qu'il agît avec
plus de /bupJeflê & d'agilité, l'endurcit
ient au travail , & le rendent enfin capa^
hic de fupporier de grandes fatigues ;
de même aujffi les travaux de l*efprit tels
qu'ils fe rencontrent dans les Mathéma-
tiques , le fortifient & l'accoutument à
concevoir les chofes difficiles , à y don-
ner toute l'attention neceffaire, le prépa-
rent à fuivre le fil d'un raifonnement quel-
que long qu'il foit , & empêchent qu'il rie
fc rebute de la multitude des chofes qu'il
eft fouvent obligé d'examiner pour appcr-
ecvoir la vérité o\x la fauflcté dans des
chofes importantes. Ces (ciences ouvrent
VeCpiït & l'habituent à bannir tous les
douies & toutes les probabilitez , &àiie
donner fon çonfentement qu'à ce qui eft
évident & inconteftable -, parcequ'on ne
veut y admettre que des veritez certaines

/défifiirccm ks termes .obfibuirs » afin d «vi-» ^
ttr GQines Jes équliroques .& les difpiices
jdetnots |t£tte adreflè ûfmtrni le ferc jpwc
itîrcTi de xt qui ^coniui des cliofes ù <a*-
jchées.jc fi difficiles y font admirer >& j^fti-
3ncr les Mathématiques. Ces iciencesrâi&-
^rennent l'ei^rit & lui font agréables^
saneecpxe natiurellcmenc nous avons de
•rindination pour connoicre la vérité y ^
ici elle parotc toute pure » &, iàus aucune
^nuages ^ ici toutes choks ckmis. portent À
-l'aimer ^ on y éprend A la discerner ; on
:y trouve ce ispn fortifie Ja rai£bn > ce qoi
ccteiid la vâe de T-erprit , & enfin ce qui
donne lieu d!admiret la grandeur^de l'ame
ide l'hGanme^ ce quifaitconnoître qu'elle
ne peu;: ccreique itoBteipiricueÙe & inw
mortelle*

Cosiiderons fceièntem^ne-ien partie
lier Tuiîçe des Mathématiques dans ce
^qui regarde la {ooieté des hoimnes » & fai.
-ions attention à la ncceffité qu'il y a de fe
«ièrvir des lumieces de- ces £cien<:^s.) Corn-
•tnençons par leseElemens.

UArithmctiquecft xi*iunc utilité fi . iiiiî-
îYerfellejcju'llîfcmWecqu'iln'y a perfQnne
:qui n'en» pnî(3fe:ayoir befoin / cat fans par-
^ler des autres parties des Mathématiques
laûrquelles elle^ft. abA>lu0ient Jiect (lair^:

tout

Des Mdthemdti^Mes.

(Mr le monde fçaic que les Marcban^s,
les Trjé(àrier6^ Financiecs , Banquiers»
Caifliers % en un mot ceux qui font char-
gez de recettes de deniers,qui ont des par*
tages ou dkhibtttions à faire , foit en paix ^
ibic en guerre , (bit dans le Bareau » foit
dans lesfamilles , ne peuvent iséui&r fans .
des calculs pi?écis , & fans des fuppo*

tarions ezaâes 9 c'eft à^dire^ £uis la fcience
des nonnibres.

U Algèbre eft la £ience générale des
grandeurs. Si on conûdere (on étendue . fie i
la fécondité de fes demonftrations» on trou^
Ttta qu'elle conduit l'efprit pas à pas » & •
tnfin lui facilite le naoyen de découvrir des
vericez les plus cachées* Après avoir donné
des noms à des grandeurs , on trouve par
im art admirable qu'en faifant certaines
additions , fouftraâîions , mul^plicacions»
&c. on apper^it les £bndemens & les fui-
tes des raifonnemens les plus fubtils, &OI1
(t trouve en état de refondre facilement
les queftions les plus épineufes^ Rien n'eft
plus propre que rAlgebce pour ménager la
capacité fc l'étendue den6treefprit pour le.
fake atteindre aux' vérités qu'il cherche ,
quand même elles fembleroient êcre an
deffiis de fes forces. Il y a une infinité doc-*,
cafionsoû T Arithmétique ic U Géométrie

î .

^éinzihcs M peavent donner aûca^iefi U^ •
niieres^c'eftle feol calcul dç TAlg^brequi
r^préfentanc à nocrc erpric plùfieurs idies^
eti même tems fous des expreffions très.
QTurces, lui facilite le moyen de pénétrée '
incdn^oaribtemèiit plus<lpin« Les t^ptcL^
fions de VAlfftbte ocoqpenc, (\ peu: nqiïO ,
e^ritpEarles fens qo'c;lIeàlelai|re^tcpnv-;.
me toutcmiejtgim-mêmcfans.lç diftraircr
à des chofes ctrangeres,& Taident mer mcU-;
lentement à parcourir aYec beaucoup d/a«
dïèflè 9 de prompritiide ôc de façilj^e tous
les Tapports &t6uoeft Jie&.propriete:(.des>
girandears qi^'ii e^iamine. Je dirai même-
que dans les traitez des Mathématiques^
où ces fciences (è trouvent fort approfon-^
dies^on trouve un très - grand, npmbre de,
j^epcfittons démontrées par la QeojtneuiCj :
qd'^ n^auroit janaaisxile te ntcrpap cetcq.
voie^fi on n'e»avoit aperçu la vérité par le^
moyen de l'Algèbre qui pour cette railoa.
a mérité d'être appellée lart d'inventer.
EtenefFec après que TAlgebce a fondé le;
gué, s'il m\ft pecmis de par]b?r ainfi » 8c
qu'elle a découvert .ic prefe&téi refpd^,
uhe vente qu'elle chercboit ; il eft ibuventf
important , pour une entière fatisfaAion,»
de la rendre feni3>ie à l'imagination pai:
les- figures de la Géométrie^ éc. dielairei:
ainfi Tefprit autant qu'il le peutltre.

des Mathématiques.

Les belles découvertes de ces derniers
tems fur la refblution des éqaadons , fut
leur conftruéHon, fur les propriecez ad.
injrâbles des lignes courbes , fur l'ufagede
cette nouvelle Géométrie des Infiniment-
Petits C|ui eft tant à la mode parmi les fça-
vans y iont des preuves authentiques de
lexcellence de TAlgebre.

L a Géométrie eft d'une utilité fi connue,
que les ouvriers même tâchent de fe la ren-
dre familière pour mefurer & toifer leurs
ouvrages. S'il y a des partages à faire , foit
à la ville , (bit à la campagne \ s'il y a des
terres à vendre ou à achepter , c'eft ime ne-
tei&té indirpenfable d'avoir recours à cette
partie des Mathématiques pour en connoî^
tre exaAement Tétendue, pour détermi^*.
net & limiter les po({e(Iions d'un chacun^â^
même fouvent pour décider plufieurs pro«
cez. A peine poUvons^nous ouvrir les yeqx
fans appércevoir des cercles , des triangles,
ats polygones , des Ipberes , 8c une infinité
d'autres figures géométriques qui femblent
nous inviter à chercher leurs proprietest.
Jamais on n'auroit porte ia petfeÔion des
Arts jufqu'au point où hoas la voyons, s'il
n'y avoiteudârtscesdernierstçms dTiabf-
le s Géomètres qui ont fait leurs etfort^
pour les mettre txMtx état. La Geon>etrié

^tûM generalemenc approuvée de coot le
inonde , Je n'en dirai pa» davantage y )*a«-
jouterai ieulemenc c|u:'il eftaufliimpofliible
de bien entendre le refte des Mathémati-
ques fans Ton fecours^ qu'il eft impoflible
de faire la leâure d'un livre fans connoître
les lettres de Talphabec..

L'Optique eft la fcience des pseprietex
de ta lumière ^c'eft cette partie des Mathe-^.
œatiques^ qui rvous apprend àreadre rai{oa
des phénomènes de la vue , qui nous f^ic
voir en quoi condfte plufleurs défauts de
r<cil, la manière de les corriger , mcme
d'augmenter la force de la yifioniC*eft dans
rOptique qu'oa examine les propriété:^
des refraifjkions & des reflexions de la lu-
iDÎere.On y apprend la conftruâion des lu^
nettes d'approche qui nous font découvrir
& appercevoir diftinâement dans le Ciel St
iuriaiterre des objets que leur grand éloi-
gnemem nous rend infenfîbles ^ qui nous
facilitau les* obfervations des corps cele>»
fies y Se peuvent fervir dans les armées
pour observer les marches &les campe*
mens des troupes ennemies/ur la mer pour
reconnoître les vaifleaux des pyrates.^ des
corfaïres, ôcc. afin de fe precautionner con^
tre leurs infultes.. On y apprend la conftru^
âioa de& miao^copes qui iervenc à nous

des Matheyytdtiques.

fofè voir les Corps , que leurpetitefle de-
robe à nos yeux , & à nous faire révéler
plufieurs fecrets de la nature. On établie
dans rOptique des principes qui font Gon-
noître la cau(e des dHTerentes couleurs &
des différentes apparences que nous voyons
en mille rencontres , des effets de toutes
fortes de miroirs. Jamais onn'auroit bien
connu la caufede T Arc-en-ciel, de îamul-
liplication apparente des objets par \t% lu-
nettes a fecettcs , des effets des lai^terhes 8^
des rab/eaux magiques , de rîmpreffioii
des objets dans le fond de \ œil , fi on ne le*
avoir imitez par des chambres obfcurci
des prifmes triangulaires , &c. fî on n'y
avoit enfin découvert & démontré urt
grand nombre de veritcz qui rendent rOp»»
tique très curieufe & d'une grande utilité
pour bien entendre la Phynque.. L'Opti*
que nous donne les principes de la pcr(pe«»
ftive , en nous apprenant à reprefentcr les
Corps en peinture ^ & à tromper agréable^*
ment notre vâc.

Les Mechaniques font la foienee thi
mouvement & des forces moavantes^Cettè
fcience des Machines eft une des plus belles
panies des Mathématiques, Y a-t-il fien
jhis admirable qtte cïe pcnivoif par fe

uojen ^ ktiers,^ despoiutef ^ des roôes^

" • ••

j...

D4 futiïiti
&c. dugmentcr une force cane qae la re&
fiance de la matière qu'on employé à ces>
machines le pourra fupporcer ^s fè bri^
ièr ; de pouvoir élever des mafles énormes-
aufli haut » ou les cranfporcer au (fi loin;
qu on voudra \ Les moulins , les prefToirs^
les horloges y les montres y les pompes fou*
lantes & arpirani;es,& les autres machines,
hydrauliques y une infinité d'inftrumens ic
de machines dont les boutiqjiies des ou»
vriersiôntremplies, quoique fort ordinai.*
naires^ font très ingenieufês dans leur inr*
vencion & dans, leuf sufages. Mais fans fou-
tir de nous-mêmes^ nous, trouverons que
fiotre corps eft une machine dont les ofle^
mens font des teviers,il y a des points d'apt*
pui , des cordasses ^des forces qui y font ap^
pliquées, des nbr es paralleles^obliques^cic-
culaires ^ fpirales > des muTcles triangulaL
lies, pyramidaux , orbiculaires,.& rhomboi-
daux*. Enfin nous trouverons que cette ma«-
chine eft un aflemblage de ce qu'il y a de

J^lus beau dans laStatique^l'Hydraulique &
a. Pneumatique.. On ne peut fânS'Une con.*^
tioifTance exaÀe des Mechaniques détermis;
ner la force des mufcles ni leur conftruc-
cion, raifonner avec jufteflè fur la manière
^e marcher des animaux ^ de voler desoi*.
&aQx & de Mger des £oiiron&^, ni mêx«&fîur

dii Mathmjtti^im:

le tnoavemenc circulaire du fang , (ur la
ftruéture du cobur , fuclescaufesdefa dila**^
tation & de fa contraétion y fur le mouve**
ment & {ur Tufage de la respiration , fur la
génération, la nutrition, Taccroiflèment
des plantes & des animaux , Scc^
L'Aftronomle enfeigne à obièrver le cours
des Aftres» C'eft par le moyen de cette
partie desMathematiques qu'on connoît la
durée de Tannée ^ la caufe de la diverilté des
climats y de la diâPerence qui eft entre les
îpurs y. de celle qjiii eft entre lesTaifons. Les»
obierrations Aftronomiques nous £ont con^
aoître le tems précis de la révolution des
corps celcûes ^ leurs direâions , rétrogra-
dations^ conjonâions y oppofkions &c ad
peâs. On a le moyen de prédire certaine-
ment les Eclipres. du Soleil, de la Lune^
celks des fatellitcs de Jupiter & de Satur-
ne, long'tems même avant qaelles arri^
lient 'y ce qui eft d'une utilité merveilleu(c;
pour peifeétionncr la Géographie & l'Hy-
drographie par la connoiiTance des longi<i*
tudes. Il eft impoflible d.etre un Phyfîcie%
parfait iàns être Aftronome , parcequ un
grand nombre de phénomènes & d'efiFets
particuliers.dépendent du mouvement des
Aftres qui font des caufes générales. On
/£aic^£ar exemple x le rapport &Ia liailb|t

îiiii

~r>

jyet Utilité
eonftante& invariable qu'il y a entre le flux
& reflux de TOcean & les mouvemens de
la Lune ; perfonne auflî n'ignore les in-
fluences du Soleil fur la terre que nous ha-
biton s. Depuis qu'on a invente les lunettes
d'approche on a découvert dans les corps
celeftes une infinité de choFes très- curieu-
ses. On s'eft apperçu qu'il y avoit des ta-
ches dans le Soleil; qu'il y avoit des mon-
tagnes & des vallées dans la Lune ; que la
{)l4nete de Venus avoit des phafcs comnnc
a Lune ;que Jupiter ctoit environne de
fatellites, & Saturne d'un anneau, &c;
Cette découverte des fatellites eft fort utile,
<;omme je le viens dédire, pour déterminer
la pofition des differens lieux de la terre fur
Uniglobe artifîciel.pour déterminer les lon-
gitudes, afin de rendre la navigation plus
parfaite & plus (ûre.

La Gnonaaniqtie eft la fcience des ca-
drans , elle enfeigne à mcfurer le tems , à
ie diviicr enj>aTties égales , à marquer fuir
Afl?erentes mrfaccs la projeftion ou repre-
^cotation des cercles horaires.

La Géographie nous enfeigne la coït-
lïo^flance de la terre que nous habitons ^
enenous en décrit les patticularitez. Quoi-.
50 il nefoit pas neceffaire d^étrc fort prow
«ockt dans, les i&^th^^morti*^^ «.^. \ji

des Mdthematiquïïs:
Içaveir la Géographie, on peucdifeneaiiS
moins qu'elle en dépend dans iês points
les plus eflentiels»

On doit dire la mcnie chofe de la Cbro«
fiologie , cette fcience fi nece({kire pour fi*
xerlesEpoques des années qui font en ufag^
chez les difièrentes Nations de la terre,
pour vérifier l'hiftcnre & y placer \t%. eve-
nemens les plus remarquables arrivez danf
Iffs ËmpicesiSc dans les Etats du monde > ic
enfin pour déterminer ces périodes de
temps que la Religion a conlacrées pour
la célébration de fes Fêtes»

La navigation s'occupe principalemeiv
«u trafic des marchandifes \ à enrichir des
Royaumes entiers ;à faire naître Tabondan^
ce dans les lieux les plus fteriles* Ceft par
fon moyen que I or , l'argent & la fJupaït
des autres métaux nous font apportez.C'eft
par elle que les Nations les plus éloignées
ie communiquent réciproquement ce qui
leur eft neceflairec C eft auflS par cet art que
les armées navales remportent it% viâoî-
res fur leurs ennemis» Or la nav^ation eft
fondée fur la connoiflance de plufieors par-
ties des Mathématiques» £lle a befoin de la
Géographie & d!une defcr^tion exaâe des
mers qu'on appelleHydrographie,pour tra*
cer aux vaidèauxdes routes aflfûrées, pour
aflbrmk le couragp des Pilotes fur un clc«

fhent fi ineonftantjpour Icar faire kr avcrfèr
rOcean tout entier , & les faire arrirerjùr-
ques dans ces nouveaux Mondes que Jdi
-Empereurs Romains 8c les plus grands
Conquerans de 1 antiquité n*ont jamais
connus. Elle a befoin de la Géométrie , de
la connoifTance des ufages de la bouflble
& de TAttronomie pour reconnoîtrc (on
chemin. Elle a befoin des Mechaniquet
pour la conftruâion de fes vaideaux^
pour la difpoiîtion , la figure & les uÙl^

Î;es du gouvernail qui fert à faire voguer
e navire de quel coté çn veut , pour fbs
Voiles , fes mats. Ces poulies , &:c.

L' Arçhitedùre civile eft Tart de conftrui^
te des maifonsron y trouve les principes nà*
ceflkires pour donner la beauté, la lolidité
êc la pertedion aux édifices tant des partie
culicrs , qu'à ceux qui font deftincz àTufa*
;e du public , aux Eglifes, par exemple ^
i la conftruftion dés ponts , aux écoles ^
aux Palais & lieux où s aflèaiblent lesCours
de Juftice , aux prifons , arfenaux , Hôpi-
taux , &c,

L'Architefture militaire, ou l'Art des
fortifications , enfeigne le moyen de difpo*
fer & de mettre à couvert wn petit nombre
de perfonnes pour faire refiftance à un nom-t
brc beaucoup plus grand. C*cft cette partie
Madiematiques que les plus vaillans

des 24^hmdtùjues.
Gaetriersfe font gloire de conHiIcer , lorf-'
qtt'il s'agiï, pat exemple, d'aflûrcr & de ;
lœ^et la marche & les campemens d'une
af mée , de choifir des poftes avantageux ,
d attaquer ou de défendre des villes , de
prcfcrire Tordre des batailles :.on y trouve
les moyens dé rênveiftr & de réduire en
ceîj^TC d!ÈS vUlei entières. Cette fciencc fcd:
auffi aux divertiffemens des peuples , lorC
qu'on fç çtopofe de faire^ des feux d'artifi-
ces, & de célébrer des réjouïflanccs pu-

bUgue5« .

Jenefimrois jamais fi jevouloisrappor-,
tcricitooterutilité qu'on peut retirer des.
Mathématiques, ainfi j ajouterai feulement
que laPhyfiqucn a jamais été plus parfaite
quelorfque les plus grands Philofophes ont
été d'exceUetist M^themdkicieni. Depuis.^
que la Philôfoftae : naturelle a cié Jointe >
aux Matheinatiqùes , & qu'eUei fefonc.
prêtez des fccoùrçteciproqueson «tau det\
découvertes agréables '& dignes detrç
fçAes , que les Anciens avoient ïgnorécs;&:
{m% doute plus on ciaUfviecak3.fdcnccs,.
JusonfetrouverAobligé cfc conYenirqae^
les Mathématiques font du nombre, de cel-
les ipi meriieiu <lu*on s'y applique tre$-
ferieufcment*

Dt tiaihti

fûurfefirvir «Ulemer» de ce Livre,

i^.T L faut avoir la précaution de ne lire
' X point rArichmecique ni ce qui re^^^
4e l'Algèbre fâuis avoir la plume à la main
& du papier pour s'exercer fur les exemples
que je propofe , &r pour en inventer enfui te
de femolable^. Dans la Géométrie il faut
regarder les figures à mefure qu'on Ut , Se
W point fe rebuter lorfqu'on ne comprend,
quelquefois pas d'abord tout ce qui fe renp^
contre. Parcéqued^ns les Mathématiques
ibfaut de Tattençion & de la pecfeverance ;
& il eQi rare que dans la première leâure
qu^on fait de quelques élemens des Mathe^
xûatiques qpe cç loit » on les poflêde par*
fifiitementa Par cette première leâui^e on
pavçourc le tout autant exaâement qu on
le peut , &c enfuite on recommence à lire
^ tout de npuveau, ic quelquefois une troi«
£éme le&ure n'eft pas encore inutile*
a^ Tant dans l'Arithmccic^ue ^dans l'Al-
gèbre,

^Avertiffemens,

gebre ^ que dans la Géométrie , il faut tou.
jours examiner & vérifier les citations ^
parceqa'elles lèveront une inanité <le dif-
ficaltez. C'eft là une véritable manière de
&ire cet étude avec fruit.

}^ La première fois que ceux qui (èronc
moins ftudieux que les autres , liront ces
Elemens, ils pourront éviter de lire ce qui
cft depuis la page 105, jufqu'à la première
propodcion des proportions , & dans une
féconde lefture ils liront le tout exa£be«
mcnr.

4^ Il'eft bon d'être auffi averti qne les
lignes ponâifées font marquées de cette
forte , pour les différencier des autres , qui
font attachées à la queftion. Ces lignes
pon&uées font feuleçaent utiles pour la
demonftration qu'on fe propofe de faire»
La courbure des lignes ponduées des figu-
res de la page 475» fervent feulement pour
fignifier que la ligne entière A B eft appel-
lée e. Dans les plans & dans les folides j'ai
aufli reprefente par des lignes ponâuées
celles qu'on confidere comme fi on les
voyoit au travers d'une furface ou d'un
corps.

5®. Il faut encore remarquer une chofc
qai pourroit embarraffèr ceux qui cornu
menceat l'étude des Mathématiques ; c'eft

Averiiffemens.^

que dans la reprefenucion des plans & des
folides on eft fouvenc obligé d'y reprefèn-
ter des lignes perpendiculaires à d'autres
lignes menées dans ces plans \ par des li^
gnes qui paroiflènt leur être obliques ei^
les voyant marquées fur le papier où on lit..
Mais il faut prendre garde que cette obli-
quité eft un effet de la reprefentation , de
la perfpeftive, & de la manière de deflîner j
parcequ'autrement on ne peut pas expri-
mer ces chofes diftinftement. Dans la page
2oi onconfidere la ligne CB commepcr-^
pendiculaire à la ligne G E , qui eft Tinter-
ledion des plans D H & F E. On voit dans
Ja page m des quarrez qu'on reprefente
par des Rhombes \ c'eft la manière dont
on fe fert pour reprefenter le cube fur le
papier qui eft une furface plane , c'eft ce
qu'on appelle projedion en termes d'Opti-
que. Ainfi dans la page 501 on confidere
la ligne A B comme perpendiculaire aux

lignes Ep & CD, quoique dans lafreprcr
ientation elles paroiflcnt obliques : parccr
qu'on confidere le point A comme élevé
en l'air au deflus de la furface plane G H^
Dans les plans & dans les folides , cette
manière de reprefenter les lignes & les
furfaces planes fe rencontre très fouvent»
C'\ Les Corollaires font fort nece^*

ces. Il ne faut pas les négliger en âmcone
manière. On connaîtra dans la fuire qtie
teuc utilité n'eft pas moindre que celle des
Tropofitions générales d'où elles viennent

Lorfque dans la Géométrie il y aura phi-
iieurs figures au même endroit avec les
mêmes lettres , il faudra lire la demon-
ftration en r^ardanc la première figure »
relire encore cette même demonAration
te regarder la féconde figure : & ainfi de
fuite autant de fois qu'il y aura de ces ^
gures \ parcequ'alors la mêine demonftra*
tion doit être appliquée à chacune de ce»
£gures. Ceft une voie qui abrège le di£>
cours, &<}ui applique la p^opofition à tou-
tes les circonftances neceflaires. Il y en a
des exemples dans les pages 241. 14).
1^0.191. i^g.&c. C^ article mérite at*
tention.

Après avoir expofé quelques démon*
^rations dans toute leur étendue , je les
ai enfuite exprimées d'une manière plus
courte pour tes prefenter à refprit dans une
forme très fimple. En les apercevant ainfi
clans un fort petit efpace, il y a beaucoup
plus de facilité à les comprendre te à les
xetenin On en trouvera avec <ettc redu-
<ûion dans \e% pages ijOw \^g.\6v. j^SS.j^j^
479. &C.

Dans les pa^s 66. iji. & Hans les pro»

' ^ '4

jivertijfement
pofîcions 49. p. Sec. de la Géométrie , it
faudra fe fou venir de rexpreflïon de la^
mulciplicâcion expliquée dans Ifi page 4 o^
Et dans les pages 46Î. 4^71. 487. 6cc.it
faudra âufEfe fouvenir de lexpreffion de»
quarrez expliquée dans la page iji.

Dans ces Eleniens je n'ai mis de T'Arith-
mecique que ce que j'en ai cru être U plus'
neceffaire j & j;e nïe fuis contenté de ne
traiter que les premiers Se les principaux
fbndemens de TAlgebre , afin de ne pas ire^
buter d*abord ceux qui commencent, 8c
de né pas fatiguer leur zèle par une plus
longue fuite de jJrincipes.

J'ai donne plus d*écendire à la Géomé-
trie. Car cette partie élémentaire , outre
la théorie, contient la pratique qui fuit eii
forme de Corollaires les propôGtîoïis ge-
neiAles dont elle dépend,.

Si quelquefois j'ai prouve des veritcz.^
que quelques-uns voudroient faire palTeç"
pour deâaxiomes jt ç'eftque les demonftra-
tions m'en ônc paru très faciles , 6c qu'en
les propofam fans preuve , j'aurcws cru pé-
cher contre Tidce de perfeékion qu'on a
dans 4^s M ittieniatîques , 6c contre cette
grande exaâitiide dui reiid ce& fcieaces il
recommandabler.

J'ai mis au commencenltent de chacune
^s y Parties de cet Ouvrage les déânitiôns

Avertiffement

tieceffaires » a&i quêtant de fuite on lei
paille tronver plus promptement , & pour
que les citation» en foient plus faciles.

Enclide étant un Auteur Ekmentaire
fort ancien & Itf plus conhu , fes Elemenjt
Je Géométrie font ordinairement citez où
fuppofez dans pcefque tous les Traitez
particuliers des Mathématiques. Pour ret^
dre la leâure de ces Traitez plus intelli*

E'blc, lorfqu'on y trouve des veritezdont
demonftration eft renvoiée aux Elemem
d'Euclide^ j'ai rois à la fin de ces nouveaux
Blçipens une Table qui contient par ordre
les PropoficioBS d'Euclide que j^y ai dc-
inomrées , c'eft tine cirConftahce od cet
Ouvrage (èra auflî utile que les Elément
d'Ëuclide même^ Ceux qui voudront com-
parer ces Elemetis avec ceux d'EucJide
connoîtront facilement (i la ntiethode que
fai obfervée eft plus naturelle que celle
de cet Auteur^ G les démonftrations que j'ai
employées font plus faciles , fouvent plus
direâes, plus évidentes , & plus courte^

fautet à eorrIgeK

Agi 40. Itg* ij. cft Jïlus grand^if/tf^tfÂyOU Égal*
^ P. 70. lig. 24. -♦- ^ — f == fo, lif. =: o-
P. léi. lig. antefenult. de 17, /i/. de ^7»
P. 107. /. 9. H- 11*. /. — 11^.
P. ug. Ui. dîrnutt , ^tM^i^

V

r. 170./. i;* !-=,/{/■• f—J^ >

^. i« f . %. »«• 4 onces » /t/1 f.

p. 1S8. %. 1^. 700 liv. Uf. 71%,

^. iio./. 17. cft termi. Uf. cft un cctclciô» ?. »4 1;

u. (ont terminées, T»/. font deux cercles ^ (]im

(ont à^s furfaces d'dne infinité de cotez,
j^. lAK. /. tfAUx^f. à tons ks. é^Kp^ aux iif à toM

les,
P. Uf. %. S. cette ligne : afotitez, de (ôste qjoe Ii^

centre Toit toujourjidans k ligne fixe»
^. 2f 1. /^. 4. <<« OrJS, I. EG /*/; ÏG.

P. zS^. /. i7« concourir , t^utés^^ en un pdbt;*

îP. ja8. ii/. 27. B F obliquement , /i/, B B, ^

^« 3^ /.r9. de part & d'autrç^/i/IdepaiCt ou d'auttCJ

iP. jii, %. 22. du , /// au.'

j?« }8^. /. dfvmtftantepmitttkmtyCpiîxmt le mtntt)

circuîi, t^ouii^^j Bc qui (ont quadrilatérales»
^' 59^« %• i^« OH points, /^./pointes»
:^* 5^7. %. 20. YA. Uf Ya^
'^, 404' /. 3, laquelle fera, /i/I de forte qu'elle h£Bsé
'^. 441 lig.ie. la lig. C H. Iif. G H.
«?• 44f • %. 23* huit toifei, /i/l &x toifes»
^* 44^. %. 6, huit tot&s, ^Z*. fix«
P. 482. % 19. F G H , Iif F KLG.
tP. 5'o8. /. 2- on ne peut mener , ajoutez , dans te

pian ABi é" Hg. ro. ajouté^, dans le plan CU.
'7. 538^ /. f . l*une à rausue^/; & de même hauteur*
P' yjf . «^^A 4? ^or. prop, 74. /i/. 71:..
^. y o %. dernière, par , /i/*, pour.
•P» y<»9'. /. 5. dtê Cor, entre eux. En, ^acex^lej^intfr

^•^i(^^> entre eux en.

ELEMENS

DES

MATHEMATIQUES;

}pREM/£JtS PRINCIPES,

NO u S appelions Grétndettr toae^ ^pcfft
être augmente, ou dûninaé.
On a donné le nonv de Mathemstuptes aifS
Sciences dans leiquelies cm confidese les pcopne-!
^desGrandeorsw

Ces Sciences fi>nt fondées fiir crois ibites de
Principes , fiir des Définitions, des Axiomes ^ ft
^Demandes»

DEFINITIONS GENERALES.

I. Les Définitions dans les Mathematiqees fbnfi
Ses explications qui expofènt la fignification des
mots dont on fê fert. Forces Définitions on ez-
pliqae y par exemple y ce qu'on doit entendre pac
les mots de Triangle, de Poinéi, &c«

a. Les Demandes font des fappofitions fi fim-
pies , que tonte perfbnne , pour peu de réflexion
qu'il y fàflè , les doit admettre , telle que feroic
celle-ci : On demande, par exemple , pour par-
venir à une Demonftration , quUlfoit permis de

A

•i Premiers Principes

mener une ligne à* un foina à un autre poinB ^ 0t

dtmaginer qu' elle y foit menée.

5. Les Axiomes font des vcritez évidentes s|
toute perfonnc qui j fait attention 5 par exemple ^
un Tout efi^fluâ, grand au'une defetfartiés, é*àf *

4. La Propofition eft unip exprçjflîoa d'une vç-
rite qu'on veut découvrir, ou d'une choïè qu'oie
veut faire.

f , La Demonfttition eft tinc application défi
Définitions , Demandes , & Axiomes^ pour for*
mer une perfiiàiîôn invincible^

€. Un Thcorêrnc eft une Propofition àstn$t
Uquelie il s'agit feulement de la démonftration
d'une vérité.

jjy. XJn Problêirie jcft.une IVropofîtion dansk-i
quelle il s'agit défaire quelque chofe ^ & àtàé-»^
montrer que la manière qu'on pfopofe pout
faire cette chofè eft infaillible , & u4 Véritable'
chjcmin pour y parvenir.
. g. Corollaires , ou Confequents font <Jcs veri-'
tez qui deviennent neceflaireiQent connue s par
les Propositions démontrées , ou par les Demàr^
tioi^sexpofées..

9. Cette marque = fîgnifie Egal, &: cette âUtrd'
marque -h fîgnifie Plus , & cette trctifiéme note
ou marque -^fignifie i^oinsi par exemple z^
3= ^ , c'eft à dire deux plus 5, ou z. avec trois fqnt
égaux i;, &8 — z = ^, c'êftàdiregttioinsi^
ou 8 dont on a retranché 1, font égaux â 6,

19. Cette note ou marque ^ fignifie plu$
Grand , & cet autre figue ou notç<^fignifiç
plus Petit 5. par exemple 7—2^4^ c'cft a dire"
Ti moins deux (bnt^ plus grands que 4 3 & 4 ^
f ■+" 3> Ç*^ft ^ dire/4 plus petits que j plus j.

Jles MétthematiéjHes. j

■ DEMANDES GENERALES.

I. LorCjuc plufieurs grandeurs font parfaite- '
inent égales , qu'il foit permis de prendre Tune
aniieude l'autre.

it Qu*il foit permis de nommer une grandeur
du nom d'une,ou de plufîeurs lettres de TAlphabet
3. Que les grandeurs égales,ou de même nature
(oient ciprimces par des lettres femblables , iî
cela eft neceffaire pour une demonft ration 3 par
exemple d^d lignifieront deux Nombres égaux,
deux différences égales , &c,

4, Les Grandeurs inégales , ou de diflèrente
nîLture , kront exprimées pir des lettres diiFe-
rentes ,• par exemple /? & ^ , &c,

AXIOMES GENERAUX.

I. Une même choie ne peut être , & ne pas
être en même-temps.

1. Un Tout eft plus grand qu'une de fès Par- .
ties.

}. Un Tout eft égal à toutes fes Parties prife$
emcmblej par exemple files Grandeurs ^-+-^
font toutes les parties de x. , alors :?: = ^ H- ^.

4. Si à Grandeurs égales on ajoute Grandeurs
égaies , les Touts qui en refultcront feront égaux;
par exemple G. les grandeurs 4h- ^=;?^, en ajou-
tant / de part & d*autre , on aura b^^d -+-/ =

f. Réciproquement , fi à des Grandeurs égales,
d'autres Grandeurs étant ajoutées, ou çluhears
Grandeurs étant ajoutées fiiccellîvement a la mê-
me , il refulte des Touts égaux j ces Grandeurs
ajoârées feront égales 5 par exemple fi uneGrtn-

A ij

I

Premiers Principet

fur nommée x étant jointe à f , forme une troî-^
iîéme Grandeur égale à 14 , & qu*iine Grandeur
nommée J étant pareillement jointe à y, forme
au(E une troi£éme Grandeur égale à 14 , les
<3randeurs x 6cy feront égales entre elles j car fi
elles n*étoient pas égales entre elles , Tune jointe
à f ne feroit pas la même (bmme , ou graiidcur
que Tfiutre joiate à ce même nombre ;.

6, Les Grandeurs qui font doubles , triples ,
quadruples , &c. d'une même grandeur , ou de
Grandeurs égales font égales entr*ellesi par exem-
ple Cl a contient trois fois/, 6c 6. c contient pareil-
ment trois fois/, a8cc font des Grandeurs égales.

7, Si à Grandeurs égales on ajoute Grandeurs
inégales , ou iî à la même Grandeur on ajoute
fucceflivement Grandeurs inégales , les Tbuts
qui en refulteront feront inégaux , & le plus
grand. Tout fera celui dans lequel fè trouvera,
h, plus grande des Grandeurs ajoutées -y par exem-
ple,fia^&àr égales entr*ellcs , on ajoute d'une
part dyU àc l'autre part/, 6c &d ]>/, les Tours
i'k^dy 6c t -4-/ feront inégaux, &^ --h ii fera le
plus grand.

- 8. Si de Grandeurs ajoutées* à Grandeurs éga-
les il refiilte des Touts inégaux , les Grandeurs
ajoutées feront inégales , 6c celle-là fera la plus
graivle qui fe trouvera dans le plus grand Tout«.
par exemple fi /» ==: ^, & qu'ajoutant /à la Gran-
deur /» , & ^ à la Grandeur h , il arrive que
jpH-/^^-+-^,les Grandeurs /&,^ feront iné-
gales, 6c f^ g.

9. Si de Grandeurs égales on 6te Grandeurs

égales, les refies feront égaux; par exemple fi

/'-♦-</-+•/==* -^'/retranchant départ 8c d'autre

les Grandeurs égales/, il refiera ^ •+• li = «, -

2o, £t leçiproquemcnt après ayoir ôtâ cescoii^

l^s IliaihémÀtiéjuésl ^

IKS grandeurs de Grandeurs égales y û les rcftcs
{ont égaux y les Grandeurs retranchées feront
égales cntr'elles.

II. Une moitié d'une Grandeur plus grande ,*
eft plus grande qu*une moitié d'une plus petite 5
«n tiers d'une Grandeur plus grande , eft plus
grand qu'un tiers d'une plus petite, parcillemenr
on quart , &c. par exemple fi 4 ^ ^ , & que/
ioiz un tiers de /» , & ^^^S ^^it un tiers de ^, on

• II. Chaque moitié de Grandeurs égales font
égales cntr'cUes, les tiers pareillement, &c.
- 13. Réciproquement lorlqu'une moitié de Gran«
4eur e(^ ^%^'^ ^ "'i^ moitié d'une autre , les Gran-
deurs smlqaeîks ces moitiés appartiennent font
égales entr'ellcs. La même vérité fera confiante,
£wx tiers d'une Grandeur efl égal au tiers d'une
autre , ou fi un quart efl égal au quart d'une
antre, &c.

' 14. Lorsqu'une moitié d'une grandeur efl
jlus grande qu'une moitié d'une autre j la pre-
mière Grandeur entière efl plus grande que icet-
tc autre pareillement entière, La même chc^
eft évidente , fi un tiers d'une grandeur eft plus
grand que le tiers d'une autre , &c.

If. Si de Grandeurs égales on ôte des Gran-
deurs inégales , les reftes' feront inégaux , & le
plus grand refte fera celui qui fera le refle que
hâ&tz la plus petite Grandeur retranchée j par
exemple foit a*^hr=zc^d^ûh'^Cy€n retran-
chant d'une pan ^.& de l'autre c , il reftçra

itf. Réciproquement fi cenaines Grandeurs
xetranchées de Grandeurs égales , laiflcnt des
tcftes inégaux , ces Grandeurs retranchées feront
inégales , & celle là fera la plus grande qui laif-

A iij

g jPrmiârs Primif^t

éra le plus petit rcAe-, par exemple ûfi^m*
ù'-ho, 3c qu*apr& avoir j^etranché d'une part h
& de l'autre » , il rcfie w <^ ^ , il eft éYidenft
que la Grandeur , retranchée h , fera plus grande
que l'autre Grandeur retranchée ».

17, Si de Grandeurs inégales on été des Gran'ié^
deufs égales, les reftes feront inégaux , âc le
ylus grand refte fera celui qui fera ^fte de la^
^randenr qui étoiç la plu^ gnmde ; par exemple ^
ûa^b'^C'^b^ après avoir retranché d'uae
jart b , & avoir auffi retranché de l'autre pareille
Grandeur b , il reftera enc(»:e 4 ^ r.
. i8. Les Grandeurs égales à une troi^éme ^
lp;it égales entre elles ^ p.ar cx^n^le fi^, s=z i# ^
^ iS ^ =:i ^ on aura /» r=^.

19. I«es Grandeurs qui {urp^^&nt mie tnaiifiér»^
me d'un excès égal , font égales entre elles ; paj^
exemple fi /»—-<?=/, ^ u ^— c=:/, ç'eft à
dire , fi /» &^ furpafiènt / de la même gfandeim
Ce, on aura ^ =^,

- ao. Les Grandeurs qui {ont n^pindres qu'uac^
troifiéme d'une Graiideur égak , font parçilli^-t
j^nent égales entre elles 5 par exemple fi a> «-H
4f=:«ï,&^-+-^=^ w, c'ejft à dire fi/» âïjijEont
moindres que m de la grandeur h , on aura asat^

zi. Réciproquement les Grandeurs qui fijnt
Igales entre elles , font égales à une troifiéme é
ou furpaflent une troifiéme Grand^aur d'um ex-»
ces égal , ou enfin Ibnt moin^îp <|a'une trcftn
fiéme, d'une grandeur égale, W. ■

11. Si de trois Grandeurs /%,^,ff, lapxjennâerft
« eft plus grande que la deuxième b ^ Sç û. l^
deuxième b eft plus grande que la troifiéme r ^
la première a fera plus grande que la troifiâoi^ ^

des Md^emMtiqnBil J

""m

AVERTISSEMENT.

// faut obferver que Us Définitions i
Demandes y (fr axiomes qn'on vient d*ex^
fofir, canvienhent généralement à tontes
fes Parties des Matkematiques ; cependant
Hshaque Partie Elémentaire des Mathemar
tiques aura encore fes Définitions , fes Dc^
mandes :» &fes Axiomes forticnUers^

M

DES PARTIE S.

DE

M ATMIË Xï ATÎQU E S.

LE S Psirt;e5 élementaifcs des Mathéixutiqaet
fontrArithmetique, TAlgel^e , & la Geo*
metrie.

Les antres Parties des Mathématiques -, pat
exemple rAflroncynie ^ les Mechaniques , TOpti^
que, les Fortifications , la Navigation, &c. ne
font qu'une application des Parties Blementaires
des Mathématiques àla Phyfique.

Nous partagerons cet Ouvrage en trois Parties,
Dans la première , nous ne parlerons que des
opérations d'Arithmétique , dont l*ufage eft le
plus fréquent.

I>an$ h fccofide , nous ezpoièrons les princi*

A iiij

9 .Premiers Pratêipet

ûuz fbndtfmens de l'Algebie, pour traiter «ifiittO

to'doflrine des Proportions avec toute la brièveté.
Bc rexxâicude qui nous iciont j)olSblc5.

Dans la croiuéme Partie, nous ferons un choir^'
& on arrangement des Propofitions les plus ne->
céiTaircs de Ta Geomertic, <jiii y feront demontiées
d'Une manière très flmplc,

Laclaité,lanouveaiué,~& l'ordre metbodiqiM
jqu'OM aobiL-rvédans cetOuvtagc&dans IceDc—
monftrations desPropofitions qui s'jr lenconttene,*
ne coutribuetoni pas peu à en faciliter l'intcUi^
■genre. On ofe mcmc dire qu'on y trouvera wx
g;ru\d lècours pour entendre ce qu'il y a de ploi ,
beau, de plusutile, & de plus relevé dans la Phyfî-
qne. Enfin on y trouvera Une oavertDFeconlîiUi^
ftle pour k telle d» Mubesuiiqaes,

ELEMENS

DES

MATHEMATIQUES,

PREMIERE PARTIE.

DE

L'ARITHMETIQUE.

PEFINITIONS D'ARITHMMTlQyE.

X. ri IT I T ^' cft une chofe confiderée , fans
vj faire attention aux Parties qui la compo^
fetit , ou ùais faire attention à une aatre chofe
dont elle peut être partie j par exemple yiuiCol^
un éca , upe toile , on pied , &c.

t. Nombre eft une Collei^on d*ani;ez i paf
exemple , fix toifès,

5. L'Arithmétique eft une Partie Elémentaire
des Mathématiques , dans laquelle oa traite firor*
Jemeiit de$ K9HV>tr^« : ^ -

il Y a. dé 4iq^ Âit^ de fign^a» çu faraâereft
3ont on fe fert pour exprimer toutes fortes dç
Nombres, & on les appeÛe Chifres ; (çavoir ,

I. 1. 3. 4. s* ^- 7* ^* 9» ©^
l9^4fiOX,^oiS)qiMcre)Cinq2fiZ)%t^r,ncBf^ei:^

^6 Première Partie.

DEMANDES Ô^ARlTHMÉTIQJTBi

I. Le dernier chifrc o , qu'on appelle z,ero .
ne fîgnifie rien feul 3 mais feulement lorlqull
cft mis après les autres dont il augmente Ixs
valeur. ^

1. La valeur des chiâres ne dépend pis feulentlenr
de leur £gure , mais auâi elle dépend de leur àt-<
rangement.

3. Lorfque pluiîeurs chifres font rangez dé(
Xiiite ) ceux qui font dans la première place ^
( commençant à compter de droit à gauche , )
ne Virent jamais plus qu'eux-mêmes j cettx qui
font dans la féconde place , valent dix fois ce
qu'ils vaudroicnt s'ils ctoicnt dans la premie|*e y
Sec, i y par exemple , dans la première place ne
vaut qu'une feule unité j dans la féconde place il
vaut dix : dans latroifîéme il vaut dix fois ce qu'il
aurbit valu dans la feconde, fçavoir, dix dixaines,
ou une centaine -, dans la quatrième place , il vaut.
-dix fois ce qu'irauroit valu dans latroifiéme^
/{avoir , dix centaines ou un mille ^ &c.
n» ' — — -- — '■'"'. ■ ■ ■ ' ■

g g a g •«

tS- ^O ••* ^^ 'ïî «^ es ^

m

4. L^s zéros fervent pour augmenter la valeur
î|es ciûfbes qui les prcccdent ^ en faifaat yoi|

jirithmeiiéjué» \%

'ifle ces chifres Cont dans un r«uig plus recfilé ^
conune û, après y il y a deux zéros , ces deiuc
teros font voir que 5: eft dansle troi£éme r ang^
8c qu'ainfi il vaut cinq cens , on f oo«

l^orlquUil 7 a plimeurs chifres de fiiiee, 01»'
h^s fepaie de trois en trois par tranches y a^ec
^e petites virgules pour éviter la confîifion j la

Îrcmiere trai::bcheeft àppellée Unicez i la féconda
lilles, &c.
On traitera feulement dai^ cette premiefo Par<«^
(îe y de TAddition , Souflradion , Multiplication^-
$c Divifîon des nombres entiers , & on fera en^;
^te les même^ opérations fut ks Fraâions oi^
(^ombres rompus.

'AXIOMES D'ARITHMETIQP'B.

f. Si deux nombres font parfaitemoK ^gaùr/
lotiqu'on retran(?^«i:a. . 4*ua de ces nombres la
valeur de l'autre', il né reftefa rien.
^ <»»^prés avoir retranché un nombre d'unâXl-«
« trc , sH refle guelque choie , pour connoîtrc S
^ (ce qiH refte eft le véritable xpm qu'on cherche ^
\ îi faut lYjoûtejp avec ce qu'on a retranché, & il doit
ï te&iterde cette addition un nombre égal a celui
i dont on a retranché , 'puiiqu*il n'eft compofé quA
éc deux choies ; fcavoir dece qui refte , 9^ dç <^
lui a été retranché, ^ \

■I» < <i '* I

DE L'ADDITION

ES N O M B R ES]

P E F IN i T I O N.

L*Ai>mrioN cfl un afTembla^ de deux , o«
de pluficurs nombres eh un îeul , qu'on aj^^^
^clle S0mm ou T9tM*

Pour faire cette opération , il faut £crîre îeW i»
iàifres qui expriment ks nombres qu'on veucî isi
aiTembler : de torte que les onitez fiiient (bus le^ ta
imitez , les dizaines fous les dizaines , les ceri-'^
faines fbiis les centaines. Sec. ..ti

Après avoir mené une ligne fous <:es ndmbre^
iainu difpofez , il faut afièmbler ceux qui font dé ic
même clpece , c*cft à dire , qui font les uns fiir lesft r.
autres j &lorfijue leur fomme eft au deflbus dcf \
dix , ^ récrit ibtts chaque rangée 5 mais fi éll^
excède neuf, alors parcequ*ilfaut plufieurs chifre
pour l'exprimer, on écrit feulement le dernier qu
le trouve vers la main droite , & on rcferve ce qu
i6 trouveroic vers la main gauche, pourajoûtej
à la colomne dcchifrcsfixivante, Ce ainfi de &i|0' ^

Pour ajouter ces quatre nom-» r'^eTkA. ^

très m , 907 , zf, 8840 , après 5 o 7 li

les avoir difpofez l'un fur l'autre, - x f Ti

comme on vient d^cnfeigner, on 'iS S 4 a 1

commence vers la main droite, ^ ^' û

iiiant: o&^ fonty,& 7I font tot.io î9 À '

JV& f font ao î fécris o fous la^ • ^ ^ ^ ^ «

©remicre rangée, & je retiens deux dixainès, quS
i^.nX'"' ^V^J ^^^^« deurdixaines doiJ

« Zfa^Z ^l^T' "^*^'^?^^> & + fi^»^' ^ & ^ font.
Lfj-^ .^«î«5f '^^ le zéro , ) I fo^ neuf 5 j'icriâ W

m^rttTiT"^»^^^ Enfuitedans letSfî^
r& iS/nf ' ^"^ ^ ^^^^ i7&<f font z5, j'écris^
î^//vecT di?""" ^^ ^^^^ ^^ quktiiémé^
ii^^^Tife^T^^^ que j'avoïTetenus^

' •' *^ ^^® « J SLVancc un , parccqucj

c*ca

X

rè*tout. On ,tro|iv^ac la foxDme totale » qiii
rcfiiîte de tous ces nombres eflioi^o^ c*eAâdire
dix rniilc trois c^ens quatre-vingt dix, . ^.

. A U T K E E IC E M P L'J« \

Poar ajouter ce^ ^1^ 1 1 C^

flgnibres 9 livres i% iv 1 1

fclsî 15 LiyC&sf. Il J^

ûat. coniijaiencer par •'
Icsfols ,4i{ant- 8 & ; . Tow/ ^5 1, 1/ C
font 15 & i font ifj j'f-

vi% ^ & je retiens i qat vaut une dixaine que |e
joins a.vcç les dizaines à^s fols, difkni r i que j*a;r
retenu, &i /but 2 & i font 5 dizaines iie fbls| mai9
parcequ'ii faut deux dizaines de fol^pour faire
une livre^ je trouve que ks tipis^ dizaines de ifok
font I livrer, . r^e 10 fols que j*écris i jcôté di
y, &je retiens i livre quç je join^avec Icsj liYtes^
di/ânt : i livre provenue des fols' ^ & 3 font. ^-^
L & 9 font X5 i j'écris 5 & je retiens i j cnfuite
j dans le fécond rang ,. je dis: iqiiej'ajr retenv
f & I font ^i j;écris a5& partant je txoiijç que le to-
I tal OU b fomme de ces trois nooibreseft 2} i.ij Ç

îout ajouter ces- - r rx-lr ï-*-fî- -4 4»
-noijobtesii^J. uT^ 2,419 - 17 5,— :--^A

4 d5i4i9l.i'7r. 3'âl5 «io ' ' i o ' I o' * * ^

ec«i9l.iQCio,d.|l --r-: — — ;: — ^^^ '

ÉuKcoiïinpàcaî.paK . ^%.^y\^ A^» 3 .^
les deniers, diunt:_

xo deniers & 3 foitt ij demers vilaiit i fol & r
Jemèf i j'écris la petitç. ligne A., pouf wr^
<pgE.i jfol^ & je retiens X denier que j'ajoute ahr«t

r4 Première Partie.

4 y oc qui fait f que j'é^ fous les- deniers^
4 Ënfuitc je compte * ' ' ' • .""

combien il y a 4c ^ vi %'U-^t f. * ^ d,' -

petites lignes mar- 1419 17 5 J^^

quées à côté^ de« :: :ai o - i 6 '-i o

deniers j j*en trouve » -^

une , cclafignifie 5 5 ^ ) 1. 6 H j* d.
que** t'eft Un fol f

qu'il faut joindre avec les fdls,dilânt: i;9t7,(liegli;«
géant le o, ) font"8& 1 font iE03|*étri$ àpé^à ^tiens
I qiïeje joint avec les dizaines des^fdîs, difitnt^ x
retenu ô: j font z & i font- j te i fàtii 4 diiÀines
de .fois j & parce qu*il faut dcta' dixftii^es dt Cols
pour faire tinc livre, je pFcns la 'tnoîtié de ces
4 dixaincs de fols , cela fait 1 4, que je joms ave<£
Içs livres,difan)c : X l. pravemic'« des fols^^ (^^-r
Migeiiit le o j^fônt ir&a fohtîi5V j-iéc^îs j & j^
retient 1 ^iidiïTé que je jèi^ à kb^colôMntf iai-t
▼aiWc, Hifenf: I retenu '«afé«è ^ «tf'i'fewt ; & t
fohr tf 5 j*écris<Énf«itte|«fliftcàlatrbi£&ifte co-
ïômncje distS 8c 4 font n & r font 13 j j^cris^ 8r
je retiens i: Ettfin àti tKjuatriéàk Tàng , je' dis : i
4ixaine'de cent .'que j'ày retenu avec i font 5 , j*é-
tSrk-^.'v" ---^ '-*•'• *'^* •'— - ■'*--• -ii.iKi 'i i.^. .i

Et partant je trouve que la fomme ou le total
des trois i\oimftè^ofmczrelt})S}\ a f. ; d.

H» «f

-•»•

r> E t A ; S O V S t R A e t-i o n

». ( f •• ■• A .7

j^T ,A Soufffa^ioiV cirt unie bp^ration f>W\s^
" JL^quelle on rétraiïcte ou- ôte im pcm -ncmi^
Ik d'un "plus erand.

de i'jirithmetsijfise. 15

a, Le nombre qui refte après ce xecranchâ*
ment eft appelléeDijffr^»ff de ces dieux nombres;
par exemple "ayant âcé 8 de 14 , k refte qiû>eft
i cft\aD?j<?rfWf^de 8 à 14,

Pour faire cette opération , il faut placer le
nombre qu'on veut retrancher ou ibuftraire, fbufr
Je plus grand nombre , duquel on vcur retradi«-
cier le plus petit 5 à^. forte que les Uixitez (oiem
fous les nnitcz, lés dixaines ious le$ dizaines, &c.

Enfuite il faut mettre une ligne ^u de^fous dç
ces chifires , au deffous de laquelle on écrita k
refe , ou repdu , ou différence^ . «

Enfin on fouftrait les nombres inférieurs des
fiipérieurs l'un après l'autre , ^ on ccrit de fuitp
les relies au deiîôus de la ligne.

£ X E M P X. £•

Pourfbuftraire234de4y8,aprcs de 4 f 8

les avoir difpofèz, comme il a été ottznt x 5 4
ênfeigiié, il faut commencer vers ■■ ■ ■"
la main droite à la première co- . refte . 2 z 4
lomne , difaiit ; de 8 j'ôçe 4
rcfte 4que j'écris. Enfiiite à la fi^conde colomne,
je dis : de f ôcant 3, refte z (me j'écris. Et à la
troifiéme colomne ou rangée, je dis: de 4
&ant 1, refte z que j'écris. Partant je trouve qu'a-
près avoir retranché 434 de 4; 8 » il refte 114. *

Autre, E ?CE M,p tE.

• -• »
Peur retrancher <ir 4 x ^ 6 5 U . r f C

1071 1,-4 f. de 4x^03 otant 1071 4 •

l If. f. après avoir - — i— -^

ttflgé CCS deux nottv- refte ^ofii^U lif;

'«^M'RaÔir.r.autrc, . •• : ,, '- - . - -^

B i j

n\

itf Tremiere f ortie.

•éi. faut commencer par les fols vers la main if ox-^-

xe ^ difaiit : de f

étant •4^,^ceft©^- que ' it 41 ^05 !• rj fl

jTécris fbusie 4,En- itunt 1071 4

fuite aux dixàines - ■;; *

:ile fois , je dis : de ^'> 40f5 2'l- ïi ^

I ôtant rieti , f efte i que j'écris; Des fols il feue

]pstâdr aux livrés , difarit ; de 3 je retranche r ,

xeftç i , qwe j*écris, Enfuite au deuxième rang ^

^ dis : de ô retranchant 7 , cela ne peut être ^

ibrle ^ qui précède j'emprunte une unité , la.—

quelle étant transportée en la place du zéro yan—

4ra fo , & partant , je dirai : de 10 recranchai"vc

•7 , il refte 3 qu« j'écris fbus le 7. Enfiiite au troi—

^me rang, je dis : de f ( parceqiie des 6 j'ia^

vois emprunté une unité , & pouç m'en {buveniir

j'avois marqué- «n point delTusle^) ôtant o,refte

'y que j'écris. Au quatrième rang , je dis : de x

^retranchant x rcfte rien^ partant j'écris o, parce—

qu'il ne faut point laifl'er de place vuide ^.^q^t*

reiile rencontre. Et au cinquième rang , je dis î

Àt 4 retranchant rieii , refte 4 que j'écris : par-A-y

lant je trouve qu'il refte 4o;3i 1. ii f.

AuTRB Exemple.

..Pourfouf- d€ 1104^1. 12 f. ^d*
wairç; . de p/^:^ 1^784 ï8 xo -

XXQ\6 1. 12 C ■ ' ' .

^d.lenom^ re^e ' ^ i ^'\ \: i } C 8 d,
bre de 1^784

L' iS' f. w> d. Il faut commencer par les deniers ^
difant : de ^- deniers je retranche lO , cela n'eft
pas poffible,il faut emprunter fiir les fols une unité
Valant douze deniers % pour me fouvenir de cet
emprunt ^ je lailTe un p^itu ior le 1 ^ui cft dan»

(^

Irrairg^iesiimtezëe foi» où j>x exnpriinté , é^ je<
joins CCS fx^iwersemgrmitez avocles'^ d^nicnr^
d*où on propoîbic de ^cratichcr lo^ela &it 18 de^-
lûers 3 donMetranchant 10 ^ il tefte S dcmers, qa?
yécris fous k Xang des dealers. EsJmtt jc.paili
aux ani^çz4ç« fols >. 4ifaj»t : de i je/retranclie g y
cda n'^ cas ppffibJe y yemprûinf k dixaine .qui.
le precçde, ^ fiur.jLaqiiialle je xnacqpie ii» point»
pour me.^veuir >fc jcetiempj'viacv &-jediç IT
de u j*ôte8 refte 5 qacjécripïoosrdès unicc2f.de
fols. Éifuice aux dixaines définis, je dis: de o
j'ôte I { car la dixaine des u fols a été cin-
proncce , avi liçu de laquelle il- n*y a plus rien \
cela oî^ft^pas poljGWe, c'eft;perttiquo)r pafFanc
aux uaitez deiiV/'ef, j'emprante furk è une Hvxe
valant 20 /bis, c'eft à dire, deux dixaines de fols ^
& je dis: de dqux diicaines de ibis en ôtanc une ,
xeàe i , que j'ccris à côté, du 3 pour iaire 15 ibis.
Apres cela je paflê zxQ. unirez de livres , & je
dis ; de y j*ôce 4 ( car puifque des 6 on ayoit
emprunté i pour porter aux fols , iln*cn refte
plus qqff j" ) re/èe i qUe j'écris; : Enfuitc au deu4
xiéme rang, je dis : de 4 j'ôte 8 , cela n*e/l
pas poiCble : partant je cherdhe fi on peut em-
prunter des chifres precedens , je trouve que du
zeto précèdent on ne peut rien emprunter j qu'on
ne peut pajceillement rien emprunter du 2, qui
pxccede fe zéro, parceqite cet lui-mêmî n'cil
pas fuS&nt pcyor . le € qui'eft au deifous , & je
crouve qu- on peut emprunter du dernier 1 } ;'em«
prunte dpnc un , & pour m'en fouvenir jV ^^^
<jue iia point. Cet i ainfi emprunté étant tranf^
porté fur le pénultième x,Taut * 10 5 m^s de ces
jo je rcferve encore une unité i partant au dclfiw

- î • '
? Demande l^Jf Atkhmetiipii. .»# \ . 1

B iij

àxx péindtîéine % , je 'maTqneiin poinf qtif Sî^
fpnvenir des 9:que j'^ ay^laiflè^. Or cette onité''
jpefèrvée étant tnnipottée au-deffiis ëuzelo , vaur
dix en cette place ; mais de ces loje refêrye en-
cote une unité : pana»& il ne reftera que 9 aav
/ deflâs du zeio, 6s cette unité ainfi reférvee étant*
miiê der-am lé 4,* fera 10: o^en la joignant avec'
£e 4 y cela fera 14 \ on dira donc de X4< ôtftnr
% I sefteK que j'écris: foM lexlàOJtiéîïie-r^g.

Au troifieine. rang^ , je dis : 'de* 9- , qu'on vienr
de tran/jporter au deâùs du zéro y dtant 7 , reftfr
a qiK j*ecris fous le croifîéme rang^»
« Au quatrième tang, je dis ; neuf qu'on vienc
de tranfporter au delms du % étant joints avec ce
% , cela toit II 5 or de 11 j'ôtc 6 refte f q«e j^é*
fris'fous le quatrième rang.-
, ' Enfin au cinquième rang- , je dir : de i
étant r , refle o ( car- on avoir emprunté untf
iHiité du 2., cela fait qù*il n^ a plus que i ) je n'é-
cris rien , parceqne les zéros font inutiles lor{l
ou*iis ne font point précédez d'aucun autre çhi-
»e : partant je trouve qu'il reftè fi^t ]»i} f. 8 d;

€)ifervstimsfitrfAddifim& la SvufirjUfiim^

Pour être certain û PAddition efV cxaâe , it
Ciut retrancher du total ou de la fbmme de cette
opération , chacune des femmes-qu'on a ajotP*
tées 5 s'il ne refte rien ,' c'eft une preuve maiii-
fefle que ro«>eration eli très exaé^e :- s'il leflft
quelque chofe , il faut la recommencer. {

- On peut faire ce retranchement ou fbuftrac-
tion , comme oïl le vient d'enfèigner, ou bien de
cette manieie.

Soit par exemple l'addition de ^1, SS t ^
xS 3 pour être mwx que 14;. eft véritable^

Bisut 7 k total qu^on cjicf che»^ Je fémnchb 4a
Iff ks' dizaines de ces trois nombi^s pet» âpa*!»
xémenty & enfivke ki^rs. mutez ^ (piufipi*il n'y a
cUns ces crois naoïbres que des dita4ncff ^
& des unifez. Je ^ ot^mence par las jii^ntines ,
& )e dis : ^ & f font u &: ifoat: xj ^; de 14
çiiîfi»it.au<kiroùs,f^teij, . ; ./.. ^^
Jtfieique j*écri»fous k--^^ • - i. ;• .
Cet I avec kj fuiifant fera.. ,. v - - ^ L
if-^e paflè aux unirez, & jô ' . ." ._■ :

dis:x&jfaflt7&8ii>m y^,,^ .^ ^ •

if > de II que je trouve ^ 2J

au dcffous, fôtc If ,qui eft la ^^^^^ ^ ^
foimne des unitez^jrefte o.Et
partant on a bien réiiflî , p;trceqiv sîl ^&ûk
«lelque choCè , on.auroit mal compté, & il faii^
czoit recommencer, Toperation^

Soir par
exempk ^ f J 1 i % C 4 ^

une autre i 9 x 15 ^ -

fommcfiiU 7 s 7 < .■

5 C ^ d,. oîi r— - ^ -^ /

fouhaitefça- fommc j i x 1. i '5 C .^ o,
▼oir fi c'eft ^- — '- ..,, .; ■: m . - -^

véritable- preÉive :i£ i t Jt' i 49

ment & fans.

erreur la fomme ou total des trois nombref
M3 l,ia,C 4 d, ^c« on. retranchera de ce total
.fui. i^ f. ^ d; ce qui iè rencontre ièparémenit
dans ces trois nombres 3 f^veir , des oelitaines *,
des dixaines , & des unirez de* livres , & en&ise
àcs dixaines ic unitez de iibls, & enfin des unitez
de deniers 5 on feroit la même chofe s'il y avoir
des milles , &c. Qn commencera par les cei»-
taines , difànt : 1 & x font 3 5 de f qui eft aa
deilôus, 6tez },refte i^.qu^oa ccJtixii au deflbi£$ de

fi luj

i

f ^ ic\ct x'tétZilYca le I qui eft cnimte^dlî f '^ 2

Xâdncs*, di- . i $ i» 15:^^'

^ànc^f^^ ^-- 71 • 7 '' '' ^' *

font I4i . fie •t-r: ■ — *-' — r — ^-î^ = —

7 font II i femme f xi i. 1 5 f.^ ^ <!•
5c' 11 qui *■ ' ' "■■•■/■'.■■?■ ■ '*i
foritaudeC- preiw^ ari: i' ' M'x ' <i- ^

Tous , j*ôte ^ ," :

xi^rcfte i^iwi écrila^ùs le 4 j^cfc qui avec le !^
liiivaiitferaii.On pàiïèra'aur unitci ,difaAt :'$
fc t font f & f foilt la , de 11 qui font àa
deltous , ôtez 10 reftè i qu'on écrira Tous le i: ot
cette ûérmùit tmité qui refte ,» eft une livré qui
4«autde)iK(dij^aitiêS'd^ Coh ,JS^ &n y joîgnaar hL
dixaine des 13 fols^dû total^^dèlà. lait 5 'dixaincs,
dont retranchant 1 dizaines qui fe tréurent dans
isL cDloôine des .fols , refte i qu'on écrit fous là
dizaine des 15 f. ce qtti fera encore avec lé 3 , i)X
Oa paiffera aux unitea: de fols ^ difànr : iSc 5 font
i Se j font Us de 13 qui font au déllbus , 6téz
il «eftc I f. Or -ce fol qui refte , joint avec les S
deniers qui font au deflbus des deniers y fait t C
6 i, qui étant retranchez de 1 C 6 d. qui (è trou-
vent dans les deniers , il ne refte rien : ce qui
fait voir * qu'oA a bien réîiffi j parce que s'il rcC-
toit quelque diofè , on feroit dans Terreur , & il
f aodcoit recommencer entièrement' la - fopputài^
tion. On fera de même à l'égard' des autres
jezemples.

La preuve de la fouftradion fera faite en
ajoutant le reftè ou refîdu , avec le nombre qui
a été retranché -, & fi l'opération eft exaâ:e , la

cj

j4rithmèti^ue: xf

fomme de ces deux nombres doit * ètrt égale
va nombre dont on a retranché 5 fi cela n*arrivc
pas , Topcration n*eft pas exaâe , partant il faut
la recommencer. Car la fomme de la grandeoe
retranchée & de la grancfeurreftante , doit ne-,
ce&irement être égale à la grandeur dont on a
fût le retranche- de i 60^

ment , poifque les itant 6io

parties pri/es en- ..— ..»— .1^ — 1 -
Icmble font' égales refidtt ou refte 980
au Tout dont elles r

font parties. Donc freuve i 6 o O.

pour être afforé

qu'en retranchant dei^oo , ce nombre ^zo, te
refte c&$ÎOy c'eft à dire , que ^10 & 980 font
les part/es du Tout 1^0 o,j 'ajoute ces deux fbmmes
<2o &98o,&-fî elles font itfoo, je conclus Qu'elles
font verkablement les parties de 1^00 , & par
cônfiquqit <jae mon Opération eft bien faite.
X>n (myiJL h^-ia^^ dans les futre»

exemples.

DE LA MULTIPLICATION,

DES NOMBRES,

D EF'INI TI ON s.

antre nombre. Par exemple, multiplier i( par 5 g

- ^-•■*

n Tnmiere Pdrtie.

c'cft ajouter le nombre ^ â loi-^nâmc aatant .

fois qn'il y a cTunitcz en ^ , c'cft à dire, 5 Fois
pour avoir 18 , qui dl k nombre qu'on chercfac.
. z» Le nombre cherché par la MultipUcatiai-i ,
qui exprime le total on la fommc de Fadditioa
^•un autre nombre ajoute à lui-môme autant <ic
ois ^u'il y a d'unitez dam un troificmc , eft a.p^
^ellc Produit de U MultiflicMtioa i par exemple ,
24 eft le produit de 3 multiplie par 8.

|. Les deux nombres dont un dl ajoute à lui-
même autant de fois qu'il 7 a d'unitez dans Tau—
fre , font appeliez Racines du Froduit de la Mul-
"JfîicaHbn ^ par exeniplc f & 7 font les racines de
j; , parceque / multiplié par 7, fait 3;.

COROLLAIRE. V

En «lultipliant un nombre par l'autre , indiP-
ftrcmment,c'cft à dire, le premier par le fecondj
ou le fécond par le premier ; il en refuke to&-
|ours le même produit. Cela eft fi évident , que
ce feroit embrouiller & obfcurcir cette veritc,quc
delà vouloir démontrer ; par exemple , i fois 5
•ft la même chofè que 3 fois 1 , fçavoir 6 : û ou
4it S fois s y ou s fois 8 $ on -csouveia toujours
40 pour produit. Puifqiié cela eft ainfi , il fuif
^es définitions qu'on vient d'expofer, que le.pro-
auit^de la AJultipUciWPn contient autant de fois
nnc de fcs racines , que l'autre racine contient de
tois Funité. Car , cpmmcon yicntdcdire, ce
produit n'eft rfen autre chofe qu'une des racines
afoutée à ^trtSme.aifcantrdiï ftas qu^il y.îi âMr^.
nitez danf :ra^re racine* Par exemple le nom^
W f 4 * <¥ii eft le produit de ^ . rauk^Hé pari e? /
contient aittant.de fois ^,qne i^ contient ^fai«
^i pireiUenient le même nombre f4 contient
autant defoij ^,que ^ ponâBBf 4elGMs K».CàOH

nllaîre mérite qu'on -y fafle actentlûii ^ paxoc-i
jB'on en cûçra plofioiis avantages.
Pqoc crouyer le nombre qu'on cherche, par !•
maitiplkatiôn, il £ui€ plac^ lesideoK noinhres 4
mnkiplier l'iin fut rmure de la même naanieie
que dans les operaûons piecedemes. Les exem-
I fks qu'on Tetr;^ dans la ûûtc , feront mietuc
I çonnoxre comment il faot faire la mnlciplica^^
ûon , que tous les préceptes q^'on en peonaic
dcmner par avance. . .

£ X 1 M ^ t B.

>

^oot txmldpUcr 147 par f , c'eft i .. ^ i%

dire , pour trouioer un nombre égal )

à X47 repère j ibis , ou à Z47 fois 5, —

' eft h même chofê ^ apiés lesaroic 7 «4 1

(êz ^ comme il a été enièigné 9 \

.ic coounenGer vers la main droite , diûatft

$foû 7,oa7 fois 3> <pi eitla même choie, ioi<

tf : j'écris i fous le premier chifre^ ,& je retient

4aiis. ma mémoire a dizaines pour le rang ùii*

ytat i je dis enfiiite, 3 fois 4 font 1^ , 5c a qn^

f avois retenus font 14 , j'écris 4 & je retiens, ij,

ch&L' j6 àis^ 3 fois a font 6.^ i que j'a^ois retepl^

fûQt 7qQe j'écris: partit jp trou(ve que le pcOf

ibit 4ç cette rpodi^plicati^a dl 741.

AUTRB ËxstfiprB.

,.\ Pour multiplier 27; par * 7 ^

^ , c'eft. à dire , pour fi

trouver qiellefommepro- , — ^

çdpit ;*4 ÉMS zjî V il Êttit , . ^.^.^^

dire 4 (ȕs 5 wi>r i^ ^ 9c : -, f f o >

icn0&ofo»slè42(retenir. ' ' ;*

1 toaines. Eniiiitc 4 fois frâduh 6 6 09.
7 , ou 7 fois 4 fom x8 ^ âc

^"4 ^nmèrtfmiel

^•qttej'ayoîs retenus Som 3a, j'écris o& Jer«-^
tiens 3 dixaincs. 4'ftHS i fimt S , & $ Hjue i*a^
tois retenus, font ii , j'écris 1 fou» le % ittukiplié,
Je j'avance î dizaine, parcequec'efttouti .
. Enfttite il faut iaultiplier ly P^ lesz dixai-
nes de 14 en cette fone j i fois s font 10 , j'é-r
cris o fous les dixaines de 14, & je retiens x ^
ênfûite t fois 7 font 14, & i que j'avois retenu,
font ly , f écris f & je retiens i j x fois i font ^
«& 1 que j*avois retenu font ;, j'écris /, Çesdeas
produits partiaux aififî arrangez étant par Tad-
jdition réduits en une fonime , on trouve quç
le produit total eft ^^00 , <p*on cHerchoit;

O B s « R V A T I o N I*

î LOrfqu'il faut multiplier un nombre par def
livres , fois où déniera . on commence toujours
fit les moiiidres cfpeces de monnoye. Or
pour multiplier par les deniers & «voir dans la
m$me opération un produit réduit en fols , félon
Ic^ deniers qui fe rencontrent depuis i ju^u-à
fenze, il faut prendre de la fomme qu'on veitt
j^ultiplier ,- tes parties 5 fçavoir ,
/ torfqu'il y a i denier , pour avoir en f<^ la
ivalcur du produit , on prendra une douaiémè
partie du nombre propoIc,pàrcequ'un deAiei eft

jine iic parfie4'un foC •: '

Ai deniers, onjprendra une fixiémcpame^
bircèque i deniers font la fixiéme partie d*^iol. .
V À 5 deniers, on prendra un quart , pârcequQ
3 deniers font lé quart' d'un fol. ' ^ ' • ^

*^ A4 deniers , on prendra une tierce: pamtf>^
pirccSiie 4 deniers font le tiers d'uii fol. * ^ '

A j deniers, on prendra un quart «tuncfixié-*
Ihe panie, parccgue f deniers font çompofcz de
} de>ucts& de i deniers. • - '-

Arithmétiques te

A4d^ on prendci la moitié dji nombre pco^

pofè , paxceque 6 4. foAC la moitié d'up (bl.

A 7 d» on prendra le tiers , & chfuitc le quart ^
puceqae 7 a. fbntcompofèz de 4 d. âc de ) d.

A S deniers , il faut prendre les deux deis
Ton après l'autre, parcequeg deniers fbiucom-*'
foki de deux fois 4 deniâ:s.

A 9 deniers , il faut prendre une moitié êc

enfiute le quart, parceque 9 deniers /bntcom-.

pofez de^ deniers^ de 5 d.

A xo deniers , il faut prendre une moitié 8c im

' tiets y parceque 10 deniers font compolêz de C!

deniers 8c de 4 deniers.

A II demers , il faut prendre a fois le tiert ^
Se une fois le quart , pour avoir en £>ls la Taleur
du produit des detiiers , parceque ix deniers finir
compofèz de deux fois 4 & de i fois j,

Ijcs exemples fiiirans rendront Tintelligeiice
& l'applicatipn de ces cho&s claires 6c ùtak^j
pour peu d'attention qu'on y faflc.

OBSERVATION II.
^ Xoriqu'on prend quelque moitic,tiers^ ou qtiar^
&c. d'un nombre,il faut toujours commencer rerr
hmain gancHe, afin que s'il refte quelques unitez
ac£aque c^re,elles (oient jointes au liiiram c&
qualité de dizaines.

OBSERVATION III.
Jjoiiqu'on veut réduire en livres un nombre ée
fols , par exemple pour réduire en livres 41s
fols 'y û faut feparer le dernier .

chifie 8, ^prendre la moitié 4 a I S C
des antres , difant : la moitié - — *

^ 4 eft a qu'il faut écrire, la a i liv. 8 C
moitié de a eft I qu'il faut auffi
éoire , & le chifre S qu'on avoit &paré figatfie
tfok 'y partant 41$ folsjbnc ac lirres S fols,

C

^

^. TtômUn

^QU£ réduire en livres ui^^ £ auprès a¥oir {êpar^
le dernier fhifre ^ , on prend U moitié des au-»
rrcs : gn ne dira pas la .

làoitié de r , mais on J ^ i 9 r ^ C
^ra la moitié de u eft ■

6 qull faut écrire. On ne ^ o 9 U t ^ C

dit point la moitié de i $
<eft pour cela qu'on écrie o au deflbus > par-»
€eqi^*il ne faut pas laiiler de place vuide en pa^»
reiUe rencontre ^ mais cet i vaut zô à Tcgard
4[i ^ fuiva^ic, & y joignant ce 9., cela fera ^9 %
on dira la moitié de 19 eft 9 reflbe i,il faut écrire 9
fous le o y & I qui refte e(]^ une dixaine qu'il fauc
écrire devant le ^pour fignifier i^ C partant ^19^
U^]& font ^9 livres i^ io\s^

Si on veut connpître quelle ibmrae produî-i».
fiint 48 Muids de vin àrai&>n de 3; livres it fols
phaoue Muid^ c*efl chercher quelle fbmme pto-
dùifent 48 fois jf livres i^ fols.

Il favt commencer parles fols , dilant t a fois f '
(ont 16 5 parlant j'écris ^ fous le ; & je retiens r^;
* fois .4 font», & un ^,.^,

queiavois retenu font ^ 1 •. r

^ijccns 9r^nluite je • > > •
fndciplie par la dizaine
des u fols , difant : x
£3is ^ font 9 , j'écris 8
£)us le 9 , au rang des
dizaines 5 i fois 4 font
4, j^éciâs 4, Après avoir
additionné ôuaflèmblé
ce» deuz produits de
fois ainfî arrangez , je
trouve que le produit
total des 48 fpis ufoja Y 7 o 8 !« 1 f f^

9 <f c

48

S7

6 Ç

18 1. 16 Ç
I 44

Ariéfnefiéfueé " i*^

eft f^é (. je réduits ces yf6 f.cn livres , comme
il a été emèigné 5 je trouve pour leur valeur 28 !•
1^ f. Oue j'écris atu delïôus.

Ëimiite je jnuMjplie par les livres , difânt : 8
fois f , ou ^ fois % (ont 40» , j'écris o fous le % àçs
livres provenuè's des (cÂs , ic je retiens 4 : 4 fois
/ font^ô 5 & 4 <F^ j'avois retenus font 14 j j'é-
cris 4 & j'avs^ice *,^Je multîj>lie enfiiite par les
dizaines de 3^ ^ difant : 5 fois % font 14 3 j'écris 4,
an rang ^es dizaines ibus le produit précèdent &;
je retiens x : trois fois 4 font li ^ & 1 que j'avois
retenus font 145 j'écris 4 & j'avance i, i^|^ avoir
additionné ces trois produits , je trq^pi 1708 U '
lé f. pour la valeur tcucale des 4$ Muid^ dor vin^

A 0 1 K s £ s: E M p t E.

io'd 8 *«»»i * • '
4 ,.* X ô 7 1* ïo f* ^ dt •

^ ■ ■ w I. ■ ■ I ■ ■ \ ■! ^o^ * f.

& o oS o

%\o%

4 C

ï o f 4 U 4 ^

1 4 o f ^
40x60

frodmt 416 7 I o 1. 4 ^»

. On demande quelle fomme d'argbic doivent'
Coûter aoo8 aunes de marchandiie à râifon de
»07 1. 10 f. 6 d. je commence par les deniers ,'
k i caufc des 6 deniers , je prends la moitié de
^^8» en cette forte commenjanc vers lamaii^

I-H Fnmiere Fartle»

* ••, 1 o 7 1. lo C tf J*

I c o 4 C
A o'e 8 o

2 1 o 8 I 4 C

J o f 4 1. 4 C
140;^
40 Ida

fr$âmt 41^710 î. 4 C

' ' ' ■ r. ^

rttchcjdifant: kmoiticdci eft r, que j'ccris Cota
t i là ttioitié de o eft o que j'écris cnfuitc j la
mokié de o eft o , que j'écris pareillement j
enfin la moitié de g eft 4 , que j'écris fous le 8.
Partant je trouve que 1008 fois 6 deniers produi-
fent icK>4fols.

Je multiplie enfuitç par ks fols j mais parce--
^ue les o ne multiplient point-ou ne produifenc
lien , pour le zéro des 10 fols , j'écris à fous le
4 du produit des deniers. Enfiiite je multiplie par
ù. dizaine des 10 fols y difant : i fois 8 (ont 8 »
j'écris 8 au rang des dizaines : i fois 9 eft ©, j'é-
cris o : ifois o eft o > j'écris o : i fois 2 font a, j'é-
cris i,J'aflèmble après cela ces deux produits,dont
je trouve que la fomme eft 11084 ^>que je redfiis
en livres, comme il a été enfeigné , &je trouve
pour leur valeur 10^4 1. 4 f.
- Ênfoite je multiplie par lés unirez de livres, di^
fant:7 ^^^ ^ ^^^^ ^^jj'écris 6 8c\c retiens f '.7 fois ci
il'cft rien, nxais ; que j'avois retenus, font ji j'é-j

cris f :7fbiso eft o ^j'écriso: 7 foi^ & ou z foi; ,
7 font 14 ', j'écris 4 & j'avance i, £afiiite parce-*,
que les zéros ne produiiènc riea ^ pour le o qui
|recéde le 7 des 107 j j'écris 0 an rang des dixai-^
fiés fous le y an produit prêcedeo^fc je multipliei
parles z centaine^di(ànt:x fois. & font x^j j'écris f.
aurangdes.centaines^&Jeretiçns z: a fbis« Ibnc.
6', mai^ I que j*avois receau eft i ^ j'écris i £00»
Iç, 4:^2. fois o fent o 'j j*écris o : enfin a fois % iôm,
4 s j'écris 4/* Après avoir ailèniklé' ces trois,
produits ainfi or^^eez , je trouve que les soqS.
iones de marchandiiês coutecont 4x^7x0 1, 4, C

147

1. 14 fl f d.

7S
«47

f.

%1 6

« f.

roS
441

73 f
194

î 7 i 9 9

On demande

Selle (bnnne* il
it pour payer -
X47 arpens , ou
acres de terre , à

i£Sbii de'ifî' ^»
14 f. 9 d. chacun J«
commence par les
deniers f je prens
pour 9 d, une moi-^
tié y & eniuite un
quart de X47 , Tua
après râiitre, comb-
ine il a été enfei-*
{né. On ne prend
pas la moitié de x ,
parceque an'eft pas
miy inais on joint
cet I avec le 4 fui- . ^., ^ ,. . ^

wit^ on dit,la moitié'de 14 cft 7iau;il faut écrire-
W k 4. ; U gioitié de 7 cft 3 ,, relie î.i U û^

1. S f. 5 *

V « c $ i;

ty f. -

* ^i^

r«

9

f 8 «

147

*

jfo: FfiMere Pdrtiip.

écrire $ C&aa le 7, & cet i qui rcfte cff nncrnoî*^

tié de loi Talaht 6 d.j'écris 6 d, Enfuitc je prcnar

le quart , conunen^mc toujours vers la ixiaia'

gauche 5 je trouve qu'il ne Éiut point chercher en

s- combien de fois

4', mais je joins' 147

cet I avecle 4ftti- «•.!; j 'l. 14 f. 9 dt

vant, &: je dis : €tt

14 combien de ibis

4 ,c'eft à dire, le

quart de 14 eft 5-^

jefte ty j'écris 5

fous Te 4 , & les x

qui rcftent étant ^ i ^ 1 g f " j/

comparez avec le 1 ,

7 oui fuit , valoTt ,08 1...J C i' d*

* diiaineif partant ^^ *^

je dis : le quart de
»7 eft* ^ , refte 3 ,
j*écriff 6 3 mais ces
3 qui^reftent font

3 quarts de fol va- ' ^ 7^ X 9 .9 1, Z C» 3 <t«
]antS9d.j^écris9d.

: Après ceK je multiplie par les (bis, di£int ": ^^
lois 7 font xSjj'écrisg^ je retiens i: 4fbis 4 (ont
Hdc 1 retenjis font jg. , j'écris 8 & je retiens i y

4 foi$ I font 4 , & j que i'ay retenu font y , j'é-
cris y. Jemultijplic par lagixaine des fols, difant;-
% fois 7 font 7 j j'écris 7, au rang- des dixaines' r
X fois 4 font 4 3 Vécris 4 :|i fois i eft 1 5 j'écris;
i« Après. avQÎr auèmblé cel produits , tant des
deniers que des fols , je trouve que lecH^ produit,
total eft 21^8 C fd, dont la valeur eh livrés cfb
108 1- 8 C 3. d, que. j'écrisi au dcfïbus.

Enfin jd mtiltiplie par les livres y difant : j'
êns j £»nt xi h j'écris i }. fous le- 8* du? produit

ics /bb, & je retiens % : 3 fois 4 font U> & z çip
favois retenus font 14 $ j*écris 4.& je retiens x :
) fois I,' oa im&feis 3 font 3 , & rquc.j*aiK>is re<*
tenO) ront43J'écris 4,£niuite je dis:^ fois 7 font jfi
^ficii&f foosle 4^a rang/dts <iizftines,âç je rctifmr
f ^4 ^ f ; oâ f fois '4 font 10 ^ & trdis qob fit»
vois retenus^ font 23 5 j'écris 5 & je retiens x : i
ibis f font fy'ic-% que j'avois retena'/bnt 7 j j:*é-
cris 7« Enfin je multiplie par les centaines , di«
£uit : x:fQis 7 font 24-} j-'écris 4 au rang des ôkaA
taines , & je retiens 2 : z fois 4 font 8 , âci qœ
j*aypis tetenu^fbnt ^^j'écris 9:2 fois i!,oi»une fou*
lont 24j!€cri$ 1, ^rès avoir aflèmblé^comme il «
.&c enfeigtiê dans Taddition,' ces 4 produits ainA
arrangez^ on trouvera que pourpafer les 147
arpents de terre , il faut lafonune de 37(99 Isficf
t'fi>l» 3 deniers»

AV^KT IS S'EMIEÏJT.

Pour redmre.ttn non^re de Unes en fols , SI
bm multiplier, ce nombre par 20 fols , pnifque
çbqae livre vaut' 20 fols ) le produit de cette
mnltiplication donnera en fols la valeur des li«
vies : par exemple pour réduire u livres en ibis ,
ou miiltiplieia 12 par 20 > paiceque 12 i. font is
fois 20 fols. •

« fiour réduire on nombre de fols en denier^,' il
£uit multiplier ce nombre par 12, puifque cbaqae
6A vaiK \2l denieis 3 le prodoit de cette multiplia
cation doxmera la valeur des fok en deniers: par
^emple pour réduire if fols en deniers,: lya vosà^
tiplie If par x^ , piirceque x; fols font if fois xft
ifcnicis.

-/

Ittj

ft' fnmtrt Vanité

IWH

- DE lA DIVISION

JPES NOMBRES,

: DEIINITIONS;

*

I^T A Diyi£oii eft une opération par laquelld*

: JLy on partage un nombre ea autant de pa^^

fies égales y qu'il y a d'unitez dans un autie,

.- X» Le uonjbre qui exprime une de ces paxtieà

j%aics , eft appelle g«ofi«i/,

^ f; Le non^ qu'on veut partager ^ eft appelle

4, Le nombre qui expnme en comisiien de
parties on veut divifer Tautie^ eft appelle 2>â^

Pour divifer un nombre par un autre, on cher-
dbe combien de feis le Divuèur eft contenu dans
le nombre à divifbr y le nombre qui exprimerai
combien de fois Ton fera contenu» dans l'autre ^
&ra le writable C^otienc de la div^on: ce qu'on;
(eca. voir évidemment dans le premier des Co^
sollaires, oui fuivxoat après qu'on aura expolK la^
manière de faire cette opération,
i . Il faut écrire le nombie à divifer , aifîiite me-
ner une Ik^c , éiciire ledivifèur deflous , comM
mençant & gauche à droit, & au bout de la lignçt
qu'on vient de moier , on écrira le quotient» ^
«ooune on v^rra dans la fuite,

t^9ttr divifer xxS par 4^ ({eft idixe , pour troiP*

ver cpA eft le

quart de u8,oa' ' e (o

enr ii8 combien nmb.kdivifef t X Je t^
de fois 4: après ?■ ^ 5*fi«^é

avoir écrit le * dhifeur^ ^ 4f ^

nomlxre iz% 8c . ^

avoir mené la ligne au dcS6ns\ jç ne peux pat
écrire le divifèur 4 au deâbus de i , parceque 4
ne font pas contenus en i y mais je récris foos Iç
a , & je cherche en la combien de fois 4 , il 7 eft
5 his , j'écris j en un lieu particulier ou je. veux
placer le quotient* Enfiiite je multiplie ce 3 da
quotient par le divKèur 4 , ce qui fait u : or ces.
xa étant retranchez de u , qui ibnt les deux prc«
xniers chiôrs du nombre à divifèr^ ne refte rien*
Partant j'écris o au ddSis du a, &Je retranche le
diTi^èar 4 & les deux premiers chiées iz du noiïv«
bre à divifer, Enfôite j'avance le divifeur 4 Coai

5 ,& je dis en gcombien de fois 4? je trouve que
4 7 font a fois -y j'écris a au quotient. Enfmte je
multiplie le divifenr 4 par ce a > ce <rai produit
8. Or retranchant ce produit 8 du cnifre 8 -du
nombre à divifêr , il ne refte rien : jpaftant j'é-
cris o au deflus de 8 avec une petite leparation ^

6 je tranche le 4 & le 8. Cela fait , je trouve 5a
pour quotient de cette diviflon ; c'eft à dire que
^ eft une quatrième partie de ix% , ou que 31 e{(
4 fois en u8 , ou enfin que iz8 contiei^: autant
de Sois 4 que 31 contient de fois ruaitc« ^

Aot&bExbupli..

Pour divifcr 804 en ç parties égaks $ apre^
avoir écrit le divifeur jibuslc a, premier chifie
du nombre â divifèr, vers la main gauche ; jç-
dis en S con^ien 7 a (41 de fois $ }'ù ye&it^

1

l

^ frémira fdftSc,

[élivi/iftr y J y K

fois y j'écris i aa auotient. Eniuite ( mdtipliant
IDC qiïe je Tieiis d'écrire au quotient paf le àivk^
4fcar ) je dis i fois f font f. Or f étant retranche^
de 8 , il refte j que j'écris fur 8 après avoir tran^
ché le 8 & le f avec une petke ligne pour xnzr-^
tpct que Toperation eft finie à leur égard. Je i*é^
tris le divileur ^ fous le o' du nombre à divifor y
4c çonfiderant le ^ que je viens de prouver de leftd
4ur le chifre 9 , devant le o du nombre à divifirr^
cela fait 30 5 je cherche en 30 combien de fois lé
tiombie f ? je ly^rwive ^ fois que j'écris auf quo-s*
^ tient, & je multiplie ce iT du quotient par le divi--
leur f , cela fait 30. Or ce nombre 36 étant re-
tranché du premier nombre 3a , il ne refte rien •;.
(lartant (ayant tranchéde divifèur f ôc le premier
iiombre 30 ) j*écris o au dèilùs de o.Enfin confî-^
derant ce dernier o comme placé devant le 4 dit.
nombrt àditifer, cela ne fait que 4^ je cherche en
4 combien de fois f > ce nombre f n'y étant point
contenu , j*écris au quotient 0 > & je dis 5 rois o
]^roduifent o> lequel o ou rien étant retranché de
4, il refte 4 que je fopare avec une petite ligne
4'avec les autres cmftcs tranchez. Ainfi je trouve
pour quotient de cette divifion 1^0 Se 4 qui ret
lentyC'eft à dire que z^o eft une f^ partie de 804^
excepté 4 : «oubien que le nombre f eft contenez
1^0 fois dans 804 mains 4«Ce^non^re ^reftcjen-
îËûièàdivifer.

ÂOr&X EZBMPIE.

« *j

iiriiel^:

|Jdk«n chi&es,. il eft un pcuplifts -difficik.
dfapprendfe cette opejratioa que les autres > c*eft;
pour cela, qu'il faui: s'y appliquer un peu ^Taa^
tige , & s'f exercer frequenv
ment pa^ plufieurs exemples s (a
^ptès cela on y trouvera la ihê- ^ X [f
mi|&cilité que dans les autres, if ^ Hf r

Pouz <iiyifci^T^4 par zf, après — — J ^ g| '

aroir écritiz; fous 93 ^^ il £iut Xjf^ f C ,

(chercher en Con eiprit conw â:

Uendèfbis 2, le rencontrent

ai ^« On trouve Tentableoijent 4 fois t en i| j^i

mas il ne faut écrire au quotient que 5 foig;

( ibuvent on met au quotient moins qu'on ncv

irouTe Teritatlementy a canfe de quelques dixai-^

nés qui reparent cda dansToperation, ce qu'ofii

conno&rafacikmentdans la luitey&parrui^)»

Or multipliant ce 5 du quociem par f du diviieur^

cda fait if , j'imagine &s dixaines prépofSes an |^

<pii eftfùr le f, autant qu'il efî necefi^e pour for^

iner on nombre dans lequel x/ foit contenu. Dan«

cette occafion ici, ilÊMit imaginer que le ^iqiiiefli

fiir le ; foit précédé de z dixames» cela fera ty,Sc

dire, fi de zy on jprtraucjie le nombr ç'jf , dont on

rient de parler, il refle 3 que j'écris deflûs le },& je

retiens les x duaines que j'avois imaginées, dl je

ttanchefej&ley dçdej^us» Enfiiste je oMikipli^

«k 2^de de£K>us le 9 par le 3 aue j'ay écrit au quo-»

Ti^ y cela fait 6 avec les ^ dizaines que je viens

de retenir, cela fait 9. Qr cesS étant rettandiev

de 7 , si lefte I que j'écris fii|: k f >&jc tranche

le ^ & le a de deâôus.

: Enfîiiteje r'écris-ledivifeur %fz defiwteqBd
le;iiiive le f précèdent & foitfbusle4 ,&
ic z fous le f précèdent. Et je cherche en 18 com^
Um de fois dt contcnuk^ quidl; etrhas fous J«

V

Y(i Fumi0re fdrtle.

coiomie <lu S. Je trouve qu'il j eft contenv ^
fbis ; mois ( parceque j'aurai dans un momcn^
0Gcaiion 4e retenir quelques
dizaines qui contribueront à (•
fîippléer le refte ) j'écrirai au t X {f
quotient feulement 7« Or diTant ^ ^ Hf f
§ fois 7 (bnt ^ ( imaginant 4 m • \ i %

Epofez au 4 de deflus ) ces jf X ^ ^\
ut retranchez de 44 ^ il refte X
9 que i'écris^iur le 4, & je retiens
ces 4 dizaines. Enfiiite je multiplie encore le 7 d«
quotient par le 1 qui eft fous le f y cela fait 14,
auquel nombre joignant les 4 dizaines que je
viens de retenir , cela fait i8« Or ces 18 étant
retrandiez des 18 qui font au de/Iiis de 93 , il ne
refte tieiSf Partant j'écris o fur le 8 1 &parcequ'il
n'y a ptos de chifre du nombre à divifer fous Ic^
quel je puiilè .avancer bu r'écrire le divifèur ay ^
je &pare avec une petice ligne ko &. le 9 5^^ J^
▼iensd'écrire, pour marquer que c'eft ce c^i refte
i divifer par i^. Enfin je trouve que le quotient
de cdxe divifion eft 57, refle 9.

AOTRB ExfiUPLIi

?our divifer i;8o8h 0^ 5

Îar f09 , à caufc que le i'^jS ^ 1 5 4 r
ivifeur ^09 n'çft point — s y

îcontenu dans ifS qui i^fi^ '^

<bnt les ) premiers
)chiftcs du npmbre .à divifer , j'écris le pw-i
Plier chifre f du divifour fous le j deuxième chi-
fre du nombre i divifer ,& le relte^ de fuite. Cela
^t, je cherche en 1/ combien / font contenus
Je fois , j'y trouve ce nombre f trois fois , j'écris
f[4U quotient, que je mukiplie par le ^ denii^r

ddfte

'arithmétique. J7

L ctifre du divifeur ; cela fait 27 ^ en imaginant
' j diiaines appofées devant le o de dcffus le 9, cela
fera 50. ) Or 17 produit du quotient & de ce 9 à\i
\ divifeur étant retranchez de ces jo imaginez dans
le nombre à divifcr, ilrefte 5, Panant ;*écris j an
dçlTus duo , & je retiens les j dixaines que j'avoit
imaginées , & je tranche le 9 & le o de deflus»
Enfuite je multiplie ce 5 du quotient par le o
du divifeur j cela ne produit que o ou rien , au-
quel j'ajoute ces j dixaines que je viens de retc-
iiir , cela fait 5 que je retranche du 8 du nombre
à divifer , ilrefte 5* que j'écris au dcffus de ce 8 ^
& je tranche le q & le 8 ^ qui fon( l'un fur Tau.-
tre. Enfuite je multiplie ce même j du quotienc
parle / au. divifeur, cela fait i;. Or ces if étant re-
trancliez de i; qui font le commencement du
jiombre ^ divifer,il reftc o .Portant j'écris o fur le /^
Apres cela je r'écris ♦

Je divifeur en plaçant o t

{bn dernier chifre 9 9^ ^ ^ 9
fous le 8 dunombre â i j^% ^ JS 94^

divifex après le 9 pre- -^^ r <} jc

cèdent , & le refte des ^ S^ i ^ . C

autres chifres de fui- ^^

te vers la main gau-
che. Le o quieft lur le jr, & le ; qui eft fut le
8 ne formant que le nombre de ; , je cherche
en y combien il y a de fois j-, je trouve que ce
nombre j eft feulçment contenu une fois en ; ^
j'ccris I au quotient, ^e multiplie cet i par 9 qui
eft Je dernier chifre du divifeur , cela rie produit
que 9. Or ce 9 ne peut être retranché du 8 qui
eft deffus ; mais en imaginant i dixaine prepoi'éc
à ce 8 , cela fera 18 , dont 9 étant retranchez^
il rcfte 9 que j'écris fur le 8 > je tranche ce 9 ac

ce 8, & ie retiens- cette dixaiiie imaginée. En-
1 ^ } O

^t FremUre Partie»

fiiite je multiplie cet i du quotient par o du dî-»
yifcut y cela produit o » y ajoutant cette dixaine
que je riens de retenir , cela fait i qui étant re-^
tranché du 3 qui eft fur le o , refte t que j*écris
(iir ce 3. Je multiplie le 1 du quotient par f der^
., nier chifre du divifeur , cela ne fait que $ ( por^
^iceque l'unité ne multiplie jamais ) qui étant re.-
érancKé du s qui cft defliis le 8 , il ne refte rien ^
J'écris o fur le f & je tranche le y du divifeur , Se
jLe ; & le o qui fontfur le 2 & ley du nombre â
divifer.

J*^crisunc troifié- ;
sac fMs le divifeur t

fous le nombre â di- '^ ^9

vifcr : de forte que ^ £^ |, ^
&i\ dernier chifre 9 * !fXpSt0 4

fl>it fous le f , & en- ' ■ *^ ) x #

fuite fcs autres chi- J?^^ é i.

fres fous les iHittes ^9^^

de 4roit à gauche 5 .-^

& je dis- le o qui eft

au ^elTus du j* &: le ^ qui eft enfiiite au deflùs du

3 »è font qiie z : or en t combien de fois y ? À

n'y eft point , & partant f écris o au quotient,

Eiifuite je multiplie le 9 du divifeur par le o du

quotient , & je dis ; 9 fois o c'eft o , de 9 qui eft

au deffus .étant o , refte 9 que j'écris au deffi»

^u 9 & je^ran^he les deux 9 precedens^Aprês celsL

to multiplié par o produit p , de 9 qui eft au deC

fus du % , étant o , refte 9 , que j*écris au delTus

du dernier t précèdent , que je tranche avec le

o du divifeur. Je dis encore : ; fois o c*eft 0 9

de 1 qui eft au deffus du 3 étant o , refte x , que

yécris au deffus du ^ , & je tranche le 1 précèdent

& le f du divifeur,

£nfin je x*écris le dirifeur , de forte que (mi

ittïiSttt cKifre 9 ibit fous le 4 da nolnbre z di^
ti£cr,enfaitedes autres derniers chifres du même"
divifèui, & que les aulxes chifres de ce mêma*
divifeur foient ibus
ics autres immé- 2r(4

diatement fuivâ-ns ^ X f^{^

rers la main gau- 9^ ^ ^ ^ f^ (9 -

chc.Je ckercbcew *^^^^^ #V

10 combien il 7 a . < 3 i o /

icfcMSf Retrouve ^9^ééé.éL

que ce nombre 7 Jf'^^Ç^P

ed f fois , j'écris f ^f

au quotient. Par

ce nombre 5 du quotient je multiplie ^.y dernief
ehifre dudiviCeur , ce qui produit 4; 5 j'imagine
autant de dizaines prépofées au 4quie(l Cus ce
5' ,. qu'il eft neceflaire pour que 4; 7 foient con-
tenus; je dis : 4f étant retranchez de f 4 > il refte .
j que j'écris fur le 4, je retiens y, je tranche le'
^ & le 4. qui eft au de/Tus. Enftiite je multiplié
jrpar o, celapitxiuit 0 auquel ajoutant y que j^'
iftens de retenir , cela fait j-qui étant retranchez
du 9', qui eft fiir le ^j, il refte 4*. quej-écris fur le
9 , & je tranche ce 9 & le o du divileut. Je mul-
tiplie le non^re f du quotient par le nombre j-
du divifcur , cela fait if , lequel nombre étant
Ktfanché de ts^ , il refte 4 que j'écris fur le 9-
aprcs avoir tranché les i^ & le j- du divifèuri
cela fait je fcpare avec une ligne ce reft^ 449,.
^art^uit je trouve que le quotient de cette diviiioa
cftjioj , & qu'il refte 449,

i; Lorfqu'il arrive que le produit du ehifre du
^tiem& du dernier ehifre du divifeur verç la.

D ij

40 Première Partie. ^ . .

main gauche feul , ou joint avec quelques dixai—
nés , il on en avoit retenu , forme un nombre
plus grand que celui qui eft au deflîis du divilèur,
âont on voudroit retrancher ce produit 5 c*eft
une marque que le chifre écrit au quotient ex-
prime un nombre de fois trop granci. Partant il
convient le diminuer de quelque unité.

1. Au contraire , après avoir multiplié le chi-
ite du quotient par le divifeur , comme il a été
cnfeignc , s'il arrive que ce qui refte au deilus
du divifeur ou avant qu'on l'ait r'écrit , ou lorC-
qu'il eft en fa dernière place, eft plus grand que
1: même divifeur 5 c'eft une marque que le chifre
icrît au quotient n'exprime pas un nombre afïêz^

Srand : partant qu'il faut augmenter ce nombre
e quelque unité.

5, A chaque pofîtion ou promotion du divi-
feur , on ne doit jamais pofèrau quotient aucun
chifre qui exprime un nombre plus grand que ^.

4. Lorfqu'on fe contente d'indiquer unie multi-
plication de deux ou pluileurs grandeurs , on in-
terpofè ce figue x 5 par exemple 1x5===^. Cela
fignifie 2 multipliez par j produifent une gran-
deur égale à 6,

f.Lorfqu'on veut feulement exprimer la divî-
fion d'une grandeur par un autre , on interpofè

ce figne •**- j par exemple = 5 : cela (îgnific

que 6 divifez par x donnent pour quotient une

grandeur égale à j. Si on écrit feulement — , ce-

la fîgnifie $• unitez divifées par 4 5 c'eft ce qu'on

appelle Fraction , comme on verra dans la fuite ,

^•Le terme ou mot qui eft particulièrement

I'

en ufàge dans l'Addirion, c'eft é* -, pxr exemple 3

ci» y font 8.

7. Le ternie qui eft particulièrement en u/âge
dans la ^onftr^tliDa , c'eft/fei paï cïemple , fi
lie 7 on retranche 4 , refte j;

S^Ie^tefiâe qui eft pafneiilieretn^tenuÊige
dans la Multiplication ^c'eft/^lr; par exemple 4
fik 8 i^ 48.

^. le terme qui eft parctcuSieremem en u&ge
dans la Divifion , c'eft ej^ ; par exemple en iz .
combien de fois 1? 6 fois.

lâi ^^ae de bDivifion fait naître les <?mq
Corollaires fiiivans qa'il eft. important de bimi
i^nurquer. .

COROLLAIRE I.

Pour faire la Divi(k>n , il &at chercher com-^
bien de fois le diviièar eft contenu dans le nom-
bre à diviièr , fn Tayant trouvé , ce nombre de
fois eft le quonent qu'on cherche. Soit par exeni»
pie le nombre if à divifer-par ^ , je .cherche en.
if> combien il y a de fois f, je Vy trouve 5 fois }.,
jB dis que jcft le quotient, c'eft à dire, une f^ par-
tie de If ^ car nous venpns de voir que 3 fois oe
^vifeur- f produit if, parceque f eft 5 fois en if.
Il eft certain que 'f fois 3 font aufîî ly y. puifijuc •
3, fois f , ou j. jtois 3 font le même produit j 9c .
partant , puisque j* fois 5 font if , il eft évident
que ce nombre 3 eft une ^ e partie de if ; car. il
eut l'ajouter ^ fois à lui-même pour faire le
nombre if . Donc le nombre qui exprime com-
bien de . fois uttrioombre €?ft concenu dans.un'àu-si

a iîji

42 Prifniere Partiel

<re , eft te quotient de ce dernier nombre diyifc
car Tautre,

COROLLAIRE ït

, Il fuit de ces chofes que le nombre à divifer^
ce ntient autant de fois le divifeur , que le quo-
tic nt contient de fois Tunité 3 car le divifeur cft
■contenu autant de fois dan'S le nombre a divi-^
&r , que Tunité fe trouve exprimée de fois par fc
c^uotient..

COROLLAIRE III.

Le produit du è[Uotient de la Divifîon muTtî^
trli^ par le divifeur , eft toujours égal au nombre^
a divifer. Car puifquc * le nombre à divifcr con»-
tient autant de fois te divifeur , que le quotient,
contient de fois runitê^ û j'ajoute -le divifeur i
Jui-même autant de fois qu*il j a d*unitez dans
lie quotient , c*eft à dire, ** fî je multiplie le divi-
feur par le quotient , le produit de cette multii-
plication fera égal au nombre à divifen

CORt)LLAIRE IV.

La Multiplication & la Divi/îon fc fervent di^
preuves Tune à- l'autre. Car on eft certain que le
li ombre 8 , par-exemple , multiplié par f produit
40 , fî 8 étant ajouté à lui-même ^fois, fait 40-i,
c'çft à dire , fi 8 font contenus f fois dans 40 , ce
qu*on peut fçavoir en divifant 40 par 8. Au con-
traire on eft certain qu'ayant divifé 40 par 8 ,^lc.

* Cor. z, frecedl

î* J>éf, de U MMf^

qBOîienc cft y , fi f cft 8 fois dans 40 5 ce qu'on con-
uok en multipliant le Quotient $ par le divifèor t. '
De même , fi 34S9 eft le quotient de 15^0^8 divi-.
fez par 39 y & 27 reftans; pour être aâiiré que cacç
opération eft bien faite ,
iJ faut multiplier ce quo- ^^(^

rient 3489 par 59 , & au ^ 9^ii7
produit ajouter le rcfte ^ ^ F 9^ 9 ^ C •- ,
ay^Iors u la fommc qui *' ^ ^"^ J î 4 *f
en rcfultera cft égale au 3^ 9 9 9 9^
nombre à divifèr^on doit '3'^^

être cenain que l'opération eft très exaâe« S*il
arrÎToit autrement , Toperatiou ne (croit pas jufte,
^ il faudroir la recommencer.

En£n pour connoître fi 741000 eft
le véritable produit de f 70 multipliez 570 •
par i5«o , il faut divifer 741000 par i 3 o.o*

170 , 8c on doit trouver 1300 an quo-

tient (ans auoin rcfte ; ou bien il faut 17 1 o o •■
divifer 741000 par ijoo^ &on trou- j* 70
Tera auffi £uis aucan rcfte f 70 pour le

quotient. S'il arrivoit autrement , l'o- 741009
peration fèroit ricieufê fie fanfle , fie ■

â iftudrdit la recommencer plus ctadciaent;

COROLLAIRB V.

• La DiTÎfion cft une Souftraâion abreg&. Car
afin qu'on puifiè afiùrer que le diwiCcut eft coutena
un certain nombre de fols dans le nombre à^ivi-
fct j il £iut que du nombre à diri&r on puide re«
trancher le (Urifênr autant de fois qu*on a treuré
qu'il j écoit contenu. Par exemple , fi on liviA
14 par 6 y on dira que le divifeur < eft 4 fois en zj^
fie pour en être certain , on retranchera 4 fois ^
la nombre 14 , (feft a dire que de 14 on fctrail-^
diera le produit de 4 multiplié par 4.

44 Première Partie.

DES FRACTIONS.

DEFINITIONS.

i.T TNb ïradion cft la manière d'exprimer

Vj/uneou placeurs parties d'an ou de plufieurs

tous , unitex, ^ ou entiers , divifez chacun en un

certain nombre de parties égales. Par exemple ,

ht difpoiîcion de ces deux chifres ^ Agnifie trois
des parties égales d'un entier partagé en 4 , c'eflr
a dire trois quarts. Cette autre expre/Iîon -^ fait

connottf e que , piufieucs entiers , par exemple ^
pkifieurs écus étaac divifez ckacua en trois parties
égales , on veut marquée 7 de ces parties égaies ^
cfeft à dire , 7 tiers.

Je pepx encore dire qufune Fraûion eft une
diriâofl indiquée feuiemem^c'eft à dire,dont onex<r
frime le quotient en écrivant la grandeur àdiTÎ&r
8Q delTus d'une pente ligne, enûiite en écfivant le
divifeixr au deHnn* Parexemple, pour exprimer \tk

quotient de/ umtez divifées par S,0{i écrit |, ce qui
figpifie .cinq, huitièmes, c'cft à diFe,que, fi on con-
fidere un Tout divifé en hnir parties égales , cette

îra^ion ^ fîgnifiera ;. des parties égales , qui font

4e& huitième^ •

Poux 'bien entendre comment ; umcez pen-
yrtnt être divifées en & parties égales , & com-;
ment le quotient de cette divifîon eft $ huitièmes
iu Tout ou de l'Entier $.^ il faut confiderer
chaccme de ces f unitez comme partagée en f
parties égale; , ce qui produira, ^lo nuiiiémes d'u-^
iiité. Alors (BA %ilimt ces 40 huitièmes parties

égales

f

Ai^ithmetiqHe. 4J

égaies d'unité par ce nombre 8 , c'eft k même

chofè que fi on divifoit ces f unirez par 8 5 puit

que ce nombre de ; unitez & les 40 huitièmes

parties de chacune de ces unitez Çorxx. la même

choCe , & que le quotient de la divi/îon de 40

huitièmes parties d'unité par 8 , font ; huitièmes

parties d'unité,

1. Le dénominateur d'une fra<^ion eft la gran->
dcur inférieure à la petite ligne interpofée , par-
ceque cette grandeur dénomme ou exprime dansr
les nombres les cinquièmes, ieptiémes,dixiémes,
&c, parties de l'unité 5 comme dans cet exem*

pie — ,1e nombre 5 fait connoltre que ce ibnt dd

î
tiers d'imité,

5. Le numérateur. d'une fraftion efllagran-^
deur iuperieure à la petite ligne interpofée , par-
ceque cette grandeur exprime combien de par-
ties de l'unité , qui font dénommées par leçhifrc
inférieur , vaut la fraâion. Par exemple dans

4

cette fradion — on trpuvç pour numérateur 4 ^

qui fait connoîçté que la valeur de cette fraAion
eft 4 feptiéme^s parties d'unité.

On fait à l'égard des firadt ions les mêmes op©-
lations qu'oi/ Tient de faire pour les nombres en-*
tiers ; ma^^yant que d'en venir à la pratique ^
il faut renxarquer les 4 chofes fuivantes.

Ohfervations eJfmtîeUet four Vnfag^^
des. 'FraBions*

I. Pour réduire une fra<Stion à de moindres
termes , c'eft a dire , pour exprimer une fraétion
par des termes plus umpks 4 par exemple poùi;

trottyer une fra^ion eqiûydeme à — , & qit£

Ibic exprimce par des chifces moindres que tf 8C
que i8 , il faut chercher un nombre par lequel on
puiilè diyiièr également le numérateur & le dé-
nominateur fans aucun refte. Comme dans cer

exemple'— , on trouve que %. peut diviiêr 6Sc i%

fans refte , on mettt^ le quotient de 6 divifë paît
X pour numérateur de la nouvelle Fradion , & le
quotient du dénominateur divifé par le même

r.

nombre %. , pour dénominateur , & on aura — •

9

pour la nouvelle fra(Stion > qui ^aut autant que*

€

—-.«Mais on peut encore trouver un nombre*

qui divifcra également j;& 9iàns refte, içavoirjj|,

^partant on aura JLzm lieu de — , ou de —•.

Pour trouver facilement le divifeur commun^
â faur diviier lé plus grand dès deux nombres^
qui expriment la fradion par le plus petit ; &:
s'il reire quelque choie y le nombre qui a érvi.
de divifeur h la divifion précédente ,.fëra divifif
^ar ce refte j:& fi aptes cette divifion il refte en*
core quelque nombre^,» ce fera un nouveau divi-
£ur pour 1# nombre ^ a fetri de divifeur a la
divifion précédente. On continuera de même
|lifqu*à ce qu-oïi fbit parvenu a quelque divi£on
4>iî il nre refte rien $ le dernier de ces divifeurs
^ra k divifeur commun au nurajerateur ic aA^

arithmétique. éf.f

^Snoimnateor de la fradion ftopoŒe.

Soit par exemple cette &adionlL , &: qu*ai

^numérateur 4,; , & au dénoimnateur 71 , il /bit
i^ccetfkire de trouver un divifeui commun fans
xe/fc. Il faut divifèr 71 par 4; , il rcftcra fj ; en-
fîiire on diyifcra ^ par le refte tj , il reftera 18 j
on diyiièra encore xy par jlS , il reftera 9^ & en^
fil on divisera 18 par ^ , & il ne reftera rien $
ex qui fera connoitre que 9 (cra le plus grand de
4Mxnmttn dlvifettr du numérateur ^ & du acnomir

nateut de îz fraâioni--qui fera réduite par CQ

waojcn à £>n équivalente -L.. Mais s*ilafriy!oic

^u*après svoir fait toutes ces divifions ^ il 7 eue
four refte i, ce feroit une marque que la fra^ioai
nepourroit êpre réduite à de moindres termes.

S'il Ce cencontf oit un ou plufienrs o à la fifk
du num^ateui: & dadénonainatenr d'une frac-«
tion^ on réduira facilen^ent cetteiradion à moin<«
dres termes y en étant autant de zéros de la £a
du numérateur^ que de la fin du dénominateur^

par exemple.^ cictte fradion — - fera réduite i

ygo .

ton ^uivalente ou ëgale — , en retranchant dd

5

fin de d'autre o o : puîfque dans cet exemple
<*eft la même chofc que fi on divifoit le numé-
rateur 400 & le dénominateur foo , J^^^ knoitt-
îre 100. Si on ôtoir feulementun tero , ceferoic
diviièr par 10 > &c,
4 $,. BLcduire deux ûzQàons à même dénoo^*

X

S|.S Première Partie.

nation, c'cft leur chercher un dénomînar^iir
commun (ans changer leur valeur j par exemple,

pour réduire — & — i une même dénomina.^

5 4

tion , il faut multiplier les dénominateurs j & 4.
Tunpax l'au-
tre , on aura g
jx qui fera
le dcnomi- z
aatcur com- —
mun.Enfuite 5

on multiplie- ^- • —

r/a le nume- i x ~ ■

tateuri d'une

^e ces fradionsparle dénominateur 4 de l'autre,
te on aura 8 qu*on écrira audeflîis dui. Enfin on
#nultipliera le dénominateur 5 par le numera^
teur } , on aura 9 qu'on écrira fur lé 5, Et partant

X 8

^)n aura au lieu de — fon égale — 5 & au lieu

jde— on aura fon égale—, Or-L.&~?-fbnt ea
4 li IX IX

mÊme dénomination , ce qu'il falloit chercher.
Lorfqu'il y a plus de deux frayions 5 par exem-

pic . — — , --î^ , il faut multiplier tous les déno-<
. • 3 4 T

minateurs de fuite l'un par l'autre , comme dans
•cet exemple 5 3 fois 4 font ix , & f fois u font 60
qui fera le dénominateur commun 5 & pour
avoir les numérateurs, on prendra pour le nu-
nierateur de la première fra<5bion les deux tiers
de 60 , fçavoir 40 5 pour le numérateur de la
iièconde , 9i> prendra les trois quarts de 60 , fça-

"vôir,

''i^ ^ >^&$ettf le nooittateiic de k QoiiiéaK
jRrendra les quaiÇc-cinqiiiéincs de 60 : on fera de

iii£aE»e loct^*!! 7 aiuat im pliis ^taod oooi^
fcmajo»X)tt ttottwa 12, li^ lî^ au lieu dç JL^

o O oO 60 1 •

*^» «r~î 1* fiiîfim de cek cft iàcile à cmh

pBcndxe ^ pafCfii]tt'<n cec exemple ou Gon£dere le
Tout ou TEndcr diviff en ^o parties égales. Ainii
lodaa*Qii fceadia. le» deux tiers de ^, on au»
ksdeox docs d'an Entier i ce qui eft U même

d)ofe i;|Be la piCBikie fraâiaa : ou dûa la aiêioe
diofè des auues.

5. Pour connofttc la râleur d*imeftaâionpac
rapport âi'Entier ^ dontelle exprime une ou plu--
£eurs partks i par exemple pour connc^re la ra-

leqr ilef r---4'«neIiiB:e^£m£aliUd^lieriololiL
4

▼akuf de laHwe par teunmrrarwir; delà frao
tion , & divKêr le produit 60 par le dénomina/«
teiff4dela6aâioa, lequodenr de cette diyi£oft
fera if fois , qui eft la yaleùr cherchée i parceqiie
k^txok quarts d'une livxeeil la mèmechofe
que le quart de trois livres , comme on a obfèrré
dans la définition de &aâioa qui eft la.preaakixi
des précédentes

4. Pouf réduire des Entiers ou unitcz en firac-*
tion y 'A faut multiplier le nombre de ces unités
par le dénominateur de la fraâion, dans laquelle
«n lesTCut réduire % par exemple pour réduire
4 en cinquièmes, il faut muitipUer 4 par^ , o«
snuaao » auquel on mettra ; pour dénominateur,

koa aura — • Cela ^ft érideac, puiiqueclijquc

* Ht

5© Première Partiel

unité raixc y cûiquiémes, quatre quaits, dix dtxi^'
ineS)&c.

Réciproquement enfin pour réduire des &ac-«'
tions en Entiers , lorfque cela eft poflible , il fauc
divifer le numérateur par le dénominateur , & le

2uotient de cette diviuon exprimera combien ïau
aâion vaut d'Entiers ) par exemple , pour {^jar-. -

■

voir combien cette fraâion^Yaut d'Entiers, ei^

s

ilivifànt i; par f , on trouvera que cette fraâîon
Taut 3 Entiers ^ pui(qu*il &ut y cinquièmes pour
faire un entier, ou trois tiers, ou i) treiziâpes^âcc»

DE ^ADDITION

DES fractions:

^I les fraétions qu'on reut aflèmbler /ont en

même dénomination j par exemple — & ~ , il

S S
faut aflcmbler les numérateurs, & foufcrire à leur

fbmme le dénominateur commun, & on aura -Z« ;

S
Si lesfradions ne font pas en même déno-«
mtnation , il fout les y réduire * , & cnfuite at
ièinbler les numérateurs , comme on vient d'en-

ieigner 5 par exemple pour aflcmbler— & ~ ^

im ttoureraleiits équivalentes — Sc -^en même
â&iomiaation : on fera ra4ditton de 8 & de'9
&onaora — pour la fommedes deuzfiaâions

Xi*

• — ^'T—. ce qui eft la oiême cfaoféqaexeitticc

XX

DE LA SOÙ5TRACTIOV

DES FRACTIONS.

ON peut {çiiftraire cm lettancher une fia(f^ipn
d'une autre fraâion, ou d'un ou de pluficurs
cuticis,
: Pour fbttftraire une frai^on^ par exempb

■^, d'une autre fiaAion-^ de ménsedénomina-'
7 J

tion i il fautibuibaîre le numerateuc) de Taotse

l»iineraeecu:f,& cm aura pour rèile — .

7

, Si fcs Flambions: né font paff en mente déno-
jnination , il faut les y reduirOi, & fouftraire en^
iiuteie numcratenrde Tune , du humerateur de

V

raotie j par exemple pour 6ter la fradion -— da

^, après les avoir réduites à même dénomi»v
• E ij

V

j i ' Premure T^mie.

lioA, on aEralewi Àjnmlenccs — ^ — > &

après ATok ibolixaSiK de ^f , pncroaràEa po«r

foiur letiuidier ooe fiaâion é^ oh plvfietirs

entiers, il faut réduire ces entiers en fraâian de
même dénomination que la fradion quV>h vear
retrancher. En&ite on fboftrait le numeratenr
de Tune , du numérateur de Tautre , comme on.
vient dVnieigner : par exemple pour lôuftraice

* — de 5 entiers , après ayoir réduit les troî« cii—

iktxs en cin<|uiénies, on aura ~ , dont «-^^tant

^cez/ieOe — , ftain& dek amtes.
S

On peut Toir facilement par ce moyen igiM
^Ue de deux frayons inégales eft iapliis gran-
de , & de combien Tune excède l'autre. Osk

«couvera , pat exemple que -^ excède • — de U

..... ,j . .1* i .'>

valeur de — »

Si on Ycut faire la preuve de l'addition de
fr^dions , il faut retrancher du total chaque
fradion qui a itk aflèmblée ; & après cela, s'il
ne refterien,onal»en'xéufE^ s'il arrive autre*
ment , on s'eft trompé.

Pour faire k preuve de k fimftraâioa des
fraâions, il faut ajouter ce qu'on trouve qui reiiip
aviec ce qu*on i setranclié , & k total doit Itrp

igd a la fiaâion dont on à retranché. Ces prea-
fcs ont le même fondement que daxis ks nonil-
bres entiers»

DE LA MULTIPLICATION

DES FRACTIONS.

ON peut multiplier des fraâions par des
fraàions , oa des^ entiers par des fradions^
ou enfin, des entiers Se fraétions par des entiers Se
£caâionf^

Pour multiplier des fraâions Tune par Tautre,
ii feot multiplier leurs numérateurs Tiin par l'àir-
tre ; le produit qui en refultera fera le numera^
tcur de la fraâion- qu'on cherche pour produit •
îl &ut enfiiite multiplier les dénominateurs Tun
par l'autre, & le produit (èra le dénominateur de
h fraâion qu'on cherche. Par exemple^pour mul-
tiplier — par -1- , on aura pour produit — ^
Se après l'avoir réduit à moindres termes y oil

aura~,.
10

Pour multiplier un non^re par une firai^ôn^
on réduira ce nombre en fraélron,- ce qu'on peut
iliie en deux manières ,- ou' en mettant a c^
nombre pour dénominateur i , ou en le muM^
pliant par le dénominateur de là fra^ion^comme
on a cnfeigné. Enlîiite on fera k multiplication,
de-ces deux.fraâions. Parexemple; pour mnlti-

£ iii.

f 4 Trtmen féOiUl

^.^ 4fAi — ,il£uidn mulriflicr ~ par ^— ^

comme oa Tient d'enfèigiiei ^ & on an» poiur

produit — ^

Pour multipliée desende» & frafiionspajc des^
^entiei:s ^ £:^âions -, par exemple , pour mvlti^

t t ~ 1 '

pHcry- — parj — , il fitut réduise f^- — danm

II
une feule Éa£âou ^fçavoir «^ , U ûnt famUo^

ment réduire y — en une ieule fîzaétion —JEiW

' II ir ^

Jôite on mulùplien — pat— ^ , cequiieuUinâ^
lae choie que de multiplier ;. ft'— par )^^ — • ^
on aura.pQur produit — ..

«k>i^

DE LA DIVISION

DES FRACTIONS

ON peut diyifèr une fraâion pat une aotte-
rraâ:ion^ ou des entiers pat une fraâion ^
ou enfin des entiei^ & Iraâions. pat des. entier».
& fraâions.

Jpjur diyiièr une fraâion par une autce, il fane::
multiplier le numérateur de la fraâion à> diyiSa;-
f^ k rifoominatrntdc te ûaâion qui tientliei^

*»
\

itiifitèaï , & ce fu»diut fini le noiMntevr de
k&aâjoaiop elibjc^otkttdiccché. Enfiiite E
£uit multipliée le numeiateiir de la fraddon qui
<iem liea <£s diiviièvpar Je ^ÉMimiiaicv. d^ la
fntâioa à.divifer , & ce produit fera le dénomi^
muem lu^yaoûaat chescné y par ej^mple poor

difîfet — pat — ^ il Cxat multiplier le juMUcaa»

• ^ * k

feura^^de la&aâion — parle d/homiimwa: r

^la&aâioii~, aaa]iraio;pQacleniBiitt»«
aeot du quotient^ & on multipliera le denomana»-
leur ^ de la fiaffioa iiiyiiêr -i-^pack uncfftr

1;

vur^dudiirifeur — y^conanca f, pov dûip*

BÙnateur du quiddent clieiiché,4]iii«ft.~»

9
Pour ^Tzlêr un entier par une fatâiom ^ <m
xedoira cet entiec^en£aûum,en mettant i polit
dinominatenr :.pa£ exemple ».{Qar dÂvi(br $ pac

'--,c'efLla4tt£mccho£equc Aondivilè— pat

^ , œ qu^ôn fèra^^ comme on tient d'enfôgnei^
t

& on aura pour quotient ^-L ^ .

• . 4

Pont divifer des e*ntiers & dès fiadions pa£

tes entiers ^4lbsf#a^ons , on>^aira rentier &

lii 6aâien àévfifbt , en use (euk fradhon. On

ledoisa ^aseôttemezit l^ntier. 8c la fîaé^ion qui

E iu|.

. * •

}f6 Jhremîere P ârtie.

tient lien die divifeur, en une feule frfltâion,& onf
fera, enfiiiie la diyi£on , comme on vient d*èiw-

feigner. Par exemple poar dirilèr ^ — par f — ->

a • 5*

t*tft diYÎfcr —ipar — ^ , & on aura ^ pour

^piotient»

On fait la preuve de la multiplication des%ac«
tions comme dans^les nombres entiers , endive
£int le produit par une des fra^^ions.qu^ a été*
multipliée; & on doit trouver ^ur quotient l'aQ;=*
tre fradion qui a été multipliée , fi on a bien
féuffi;

On £aÂt aufn la preuve de la divifion des frac-
tions comme dans les nombres entiers , en muT^
tipliant la fraé^ion oui eft le quotient cherché ,
par la fra^ion qui elble divifeur ^ fi on a bien
rétiffî , le {>roduit de cette multiplicatipn eft égal
à la fra<S^ion à divifer;

Le produit d*une multiplication de . fraéHomN
éft plus petit que chacune des deux firaéHons, qui
ont été multipliées Tune par l'autre j & le quo*i
lient d'une divifion de niadions eft plus grand
que la fra€):ion à divifer Xe contraire de ces deux
ehofes arrive dans la multiplication âc dans la
divifion des nombres entiers. On rendra raifbn.
de cela dans la fiiite,,

S^l fe rencontre des fraéèions de ffadions^

par exemple , — de JL ^ pour lès réduire à uner

ffadHon* fimple -y c!eft à- dire ,. pour Gonnoittir'
quelle eft la fradion , qui vaut les deux tiers de
qpatre cinquièmes 5 il faut multiplier fifp^ircy
ment le numérateur '&. le dénominateur de:

Jl^psaleMamsmuàtcm^ét — , alors en aura

i^ qw eft la vthocthok que Jt , piàCqxfca tç^
dniâiu — àjxi»mixes «çnnes, on trcMiTe^.
Or prenant z fois le tiers de — .on trouve *-«•

«ni eft la Takat cliezchée des deux tiers de -«•

Après uToir nwkiplié le dénominateur 5 de la

fraction • — part dénominateftr de la firaâion

*— ^on potiyoitièooateiiter de multiplier le niK

neraienr 4 de la &aâien -^ par Je nsmeta-

z ^ 8

lenrade l»fiaâif»t — ^onattttntaa£ie4 — >
. 3 iS

paxœqoece numeraaearx marque deux parties
deiba dénominateur 1» Au Ucoqu^e l^riqu'on

fniiki(iie.^par4,ona — ,doiieon|K.d«eiiçuide

que % de fiif 'trok parties égales, cjfiSid tsoui» en
mukipUaat feulement % par 4.

On conâderera donc comme une xe^le ^ene-
nie que pour reduijcedes 6aâi6ns de fmdtons à.
des fraéhons fimple^ , il faut multiplier les nu-
mérateurs de fuite l*un par Tautre ^ ce pro-
duit fera le numérateur de la â:aâion fim-»
pie cherchée. On multipliera auffî de fm-^
K ks: djiaQmnatpus l'un par raqtK ^^ Ss, u;^

jS Fremiert PdttU.

produit fêta le dénoniinaienr comintm dg Ut i
. ftiâion limple qu'on cherche : fu ucmple , i
' poui coimoiue û vakai ou U miâioti GixipÏK à

- ics — de — de -— . Je dirai : ^fois j fiint < ï 1

ec f fois < font }o. Enfuiie 3 fois 4 Cont 12. } & £
~fois iilônt 71. & pucmt la tnâion fimple cher-

chéeeiti— =' — .On aeindc la mbne ma-

7* Il
KÎcic i l'égard des amies iiaâions de &aâif»»f

H LJiMliNS

DES *

MATHEMATIQUES.

SECONDE PARTIE.

Jft3IMEJE3RJKIKSKJll'3fëêfe^iiJllJfi3ftjfe3B.

D H

L' A L G E B R E.

pEFZN/T/OWJ D'ALGZBRZ.

I'A L G I B R B eft une |»mc (oaàaA.
Kietuole des Mjuhematiqaes , dans
bqoelle en traite des gtandcnn
conâdeiées généralement.

La di^ience de deux giaiin
deiirs inities eft ce <^ rcfte après avoir letian- ^
ché de la plus grande une grandctu égale à I4 '
plus petite. '

COKOtLAIRE.

llOEfi lor.'qa'cm dit qu'Une fftBàfU ) fM!

ISo . Seê0fidc Pâme,

cxeWter 0 eft contenue dans une autre^y
peuc-Jcre partie de cette grandeur h j c'eft à dixc^
qu'on confidere dans la grandeur h une partie
c= 4(, & qu'au lieu dcMon prend '^ c partie <ie
^, on qui ell contenue' dans à. Enfiiite ce qu'oxx
dit de r doit être entendu de /» , puisqu'on- peur
prendre l'une pour l'autre.

3. Rapport ou raifbn eft une coniparaifbn d'ix^
lie granaenr à une autre gnuideor -, & dans cette
comparai/on on £ût attention à la manière (^ê-^
tre d'une de ces grandeurs au regard de l'autre»

A V E R T I S S E M E Jtl^T,

On peut comparer deux j^randeurs entre ell«
en deux mamercs; ic^^ En ââinr fbulenient ac--^
centionâ leurs difièrences -, c'eft à dire , en èxa«.
loihant de coidaen Tune {uipa& Tautre , ou
Texcez de Tune & le défaut de Tautrc. z^^ En
confiderant combien de fois , ou de quelle ma^
niere une grandeur €n contient Oneîi^uerc; d'oii
il eft évident qu'il y a deux Ibrtes de rapports.

4« Rapport Atithmetique eft une comparaiïbn
faite entre des grandeurs , dans laqct^ 6a n'f
^g,ajcd qu'aux di&rences,

COROLLAIRE.

. Donc il n'y a aucun rapport Aàthmeciqur en^
Ire deux candeurs de diwr&s efpeces ^ mais &ih
iement cotre deux grandeurs de même ^péce^
conune entre un nombre & un nombre^un temps
«c un temps , un fon & un fon , une diftance de
«hemin èc une diftajacedccfacmin^ ^il n'y ^

't Dmmtdt Jvimkre imerêliy

I

Atgeirè.

^

JEnttc im tfiim & une hcnè- , fuifito W «no«
pis contenu dans une lfctic\ iine grandeur ne
F*^* ^5a>nttnnc ^ue dani une grandeur

. f^ftopomow Amiimniqiie iéft aiié ««lité ^
^^^«=? ^ irft entre acax gfail<fcu« , & dé
faM«taae«u «ftentredcte aikre$ g«n«lear, -

d une autre dlég^ à rexoez d'une troifiém«
grandeur an dd&s a'qnegpMïiéitte j ou bien fi
kpt^re çwtjdeureft ArpaÛèe par kfeconde

- ^^ ^*^ ♦ ' *w "t bac cw hoatti
g^naarffflnt ctt jprofiàrdota ibritW
*«"5*» /. »> âfc Mi dcc. OŒ fcj éctit ainfi (i l

O* h» J* gnndeàf ifii^aft i , *. la dié<H#
manière que 14- fiitpaflê u. ^^

^toèmppropottioniieMv ou termes er-
06wr font la l'e ^ 4, gtandeuts d'une piopir-

B«AnaunietB|uc^ ârles oKMreinies pronottiôni"
■œesf 6ir tenner nàUi^cns font fe jt^ je 4t$ i

«wnodkïfiHit égalci „<mrréd(iit Ja p«»p«^ai
trois termes , celui.d«:milie«:.«eBtat ià>ce de
«SMw: majeniMpa^oiainuieUas. Par ekem.
Jl», ft «.i.-f.r.oa. l'écrit ainfi -T« * « «s
fs fi|mj|e oamtâê duu JS( ~*
•eft a i , comme .4<ft àv;

J((M^

V

jff t Secmâe FHrtie.

- 7, ftoportion x»ntiniie eft cdié, qui cft
%e à trois ternies , à caufe de Tégaiité des termes
«noTcns , comme —f' ^» f, n?. '
«¥B;Prqgifefli(»i Arithmétique eft oné faite de
plus de trois grandeurs rangées de telle manière
^^elles.fbient toûjoars en augmentant, où toû«
fDurs en dimdnaant ^ de forte que-toaterles diffè*
.^enees" foient ^^tes entre elles : par exemple ,
H5" ;. 7- 9- «• iî« &C; <»i tien —J- 14. 10. i. t. &c.

C OR O: t t A î R E.

1*

Vf Puifip*il f i'iïne diferehce égalé entre «ous
ie& termes d'une'progteilîein ; îl eft évident qu'en
^gonno^ant^lèpffeméertcrmc avec là différence
qui {eft^cntre lek cei}mes.fiiivans die cette progre^^
Soit ^.oa^connnitxafttcilememciiâccun des^cermet
Jrcette:|>rogrçffiofci>af exemple dans cette prb^
greffion, -7- d. b. c 4: èi fi'gi d^c^
,. ...o.- -ï. 4r7iitt.ïj.îM9'^ôcc,. - • >
. ' 5i la differencequi eftentte'^^^eft »r3ar|{
<elle qui eft entre i^éc c eft encore m-ôé ainâ
lie-fiiiti^. £)it piiilqae le fécond tcfme ^ n'eft que
le premier a augmenté, de k-di&rencc' qm
règne dans cette progrefGon -, connoiifant le
prcmie£3ferftid^ "avec kt diflfcrcj*cc?^ff <^e pro-
greffion,on connoitra h j parceque ^ -+- «1 = ^,
brconnoiflànt b , on ûonhoit;ra rvparceqHex(''HH
m^¥'m'yO\ia'i^± i»£=e.Oilconnoiird. de cette

AÎanietv tous les autres cerfltes. ^^

.t^Si lapi^sgreffion étoit en (tiininaant /ut^ lieu
àeprépoferrl-auxdiffciaenccs , oii mettrait i-^j
pAre^emple/fi^jr^sr^ eft là différence; on imz
h. b-^g.h—xg.h-^igV&t:: ' '' *^

faisant »n j?CHt i^)içx$il^^

MiaEeâes^ deux progreffîons précédentes V d^utiê '
manière qu'on verra, dons tous (es termes' <?^
Qu'ils ont de bommuh, & en qctoi ils différent

"iè 4* ■/. lO. &C.

9. Rapport Géométrique eft une coihpairaifbt^
fittre entre deux gitadeurs^ft dans cfette comparai-
fbn on confidere de quelle manière une grandeuif
en contien^ 'une aiitre \ où de'quèlle n^iere une
grandeur eft contenue' dans une autre. Par exem-
ple , fi oxt compare if à f j &qu'onfà({e attenifion

Ïue lenombrc if contient trois fois le nombre f^
u que y eft contenu trois fois dans ry j cette con-
£deration , ou manière de contenir eft ce qu'oH
appelle rapport oxi raifoniSeonieirii^fie^ ' '

COROLLAIRE. * ;!

Donc il ne- peut y avoir un rapport Géométrie
que qu'entre deux grlndeurs-de même erpccej
puifque "^ une grandeur ne peut contenir qu'une

Îrandeur de mêmee/péce , ou être contenue que
arw une grandeur de même e^ce. Parexem-r
pkf il n'y a aucun rapport entré la diftance de
Koèl à Pâque ^Uhi diftancede Paris à R^iien. ' ^

10. L'antécédent d'un rapport eft la grandeur
qu'on con^>are à une autre 5 & le confequent de
ce rapponeft la grandeur à laquelle une autre eft
comparée^ •> * • •

iik Les termes d\in rapport fom Tantecedent ^
le confequent. ^ # - '

AVERT I SSt MiJ^T. !

C'eft un ufage dans les Mathématiques , lorCi
qu'on parle du opport d'une grandeur it une au{i
tre , fans déterminer s'il eft Arithmétique oa

(^4 Seconde Partie.

Ceometriqne , <}a*on doit toujours «i]cai4i^
c^'eft du tappoj^ Ceotnetcique dont on parle,

II. L'éxpofant d'un rapport eft le quotient de
tantéGedentdmfc par Te conïec|aent. Par exem-»
pk , TexpoÉuit du tagpbrt de j© à lo eff ) s P**^""
ceqoe ce anotient3 exfocfe -qmtih, , çVft i aire y
«ombleh ac ibis le. nombre xo contieat le àiwin
leiix io«

COROtXAIilE I.

B fuit de cette définition aue les rapports ifont
entre eux conmie leurs ezpoiants /ou que tel ei]b
le quotient de la divifion de l'antécédent par lé
confequent , tel eft le rapport de cet antécédent f
ce confèqiient, C'eftàdire, qùefî ce quotient eft
grand , ce rapport fora grand j (l le qabciei>t eft
petit , le rapport, fera petit ^ enfin fi le quotient
ie r^eccdent diyifë par le confèquent. ^ft. égal
au quotient d*tth autre antecc'dent.diyiré par un
autre 'conféa|ûent : le rapport, du p^ejx^iett zsxxçac^,
^icnt au premier confequcnt , feiîa,égal^ai|; r;?p^
poit du fécond antécédent au fécond coiuèqujsiit^.
ces rapports feront îcs' niâmes ^ces rapfbOffs ffc-.
lont lemblables^ Riifque "^ xappoçç^nw aua?ç
cbofe qu^ la manière dé coiitemr oç^ (ï*ètie con-
tenu -y ce qui eft ezprinaé par ^e quotie;nt d'un
terme' de rapport divifc par Tautie tetn^* Par;
exemple , le rapport de 16 à 1 eft plus gnùid
Que le rapport de \o à j- , parooqiie le . ^ottçnt
de lé^ d^ifez par i eft plus grand que iç
«uotient ae 10 di^ifé par ^ : i^ jcontenant 8^
fois 1 , flt jo contenant feulement % fois 5^. Soit

jaretllcnaent — ^ ~ "^ » ^ ce^ . «acpniaja q»ç,^ Ift

' 'Ahebré. "^ . . 6i

t^tt de 9 a tf cft égal au rapport *dfé 6 st ^ i
poilqae le quotient de 9 divifé par ^ eft ëgal aie
quotient de é^ diviffi par 4; Ce qui fait yoir que
rantecedenc de l'un de ces rapports contient au-
tant de fois ou de la nième manière (on con{e-^
quént .' que r^tecedent dé Taùtre rapport con-^
Dent ton confèquent.

COROLLAIRE II.

' Reciproqoetncnt tel eft le rapport d'un amè-^'
cèdent a fou condequent $ tel eft auflî le quôtie^é
2e cet antécédent diYiuc par fon confequeat,

COROLLAIRE III.

t^onc deux rapports égaux à nn 3^ font égaux
cntfeux. Soit , par exemple , le rapport àcbic
égal au rapport de y à/, & le rapport de ^ a Â
^gaf au itième rapport de <^ à / : je dis que le
rapport de ^ à r eft égal* ad rappon de g ib\
CarJ;»] puifque le rapport de ^ à r eft égal au rap-^

ponde d if y Oh aura [b] lé quotient--^ =^ -?- >

' -^ f

puifouc [a] le rapport icgzh eft^gaîan rapport
de a k f ^ on 'aura pareillement le quotie'nè

"T- =ït -ç- JDonc [c] — = -T^i & partant [d] on
iï*. j" c b * j -

wara le i-apport de hic égal au rapport àcgkh^

13. Proportion ou analogie, c'eft la (imiîicu-

ie ou égalité de deux rapports. On écrit une

H Sufpofit. {^iCtfrix.déf.fref.

F iij

et Sicindi , Tdrtiel

f rûponion de cette manière , ^.-^ : : i^«, 4;»oii&

i^ = -^;ccqïâfignifie, %Jj[Qatz.6. comme

ï^, Lô termes extrêmes d'âne proportion-
font te premier antécédent & le dernier cohfe^
Gaent 5 les termes moyens d-une proportion^
font le premier i:onfequent&. le fécond antécé-
dent. Par ex(:mple , fi ^. ^ :: c.d^ les termes ex--
thèmes de cette proportion ibnt 4 &^^ &.les ser-
ines moyens Tont^ & i?/ .. .. c j . .

" ly. Une grandeur moyenne proportionnelle
eft celle qui étant x^pettée deux fois \ tient Hcvb.
de termes m:oyens dans une proportion. San
exemple, fi 5. 6v:%. U. te nomrare e fera la
moyenne froportionnelk. On abrège cette Aihl^
logîe de cette fbrte-77- j. 6. lû ce qu'on àgjpcllcr
proportion comûxuèV
^1^. Prôgreffion Geometriqiie eîlnmcfuitç Aç

eus dé. trois grandeurs rangées de tcHe forte que-
rapport de la pipemiere àla féconde ^ eff éga£ ^
an rapport dé la i? àla ^ 3 iîc que te rapi>0rt de
laïc a la t?, eflcgal au apport de kj^aia.^fy.
Sc'ainli^dtt refte, cetm'on écrit de cette maniéré i>'
•^|i* itf. 8.4,2MC'oltà dke, 52. font fH^ cooir

me rè à 8, &c. ou ~ fw^ ^f . Hr ^ &c^
* 17, "Rapport compôfé éft ceîui dont IHutpoIanr

efl «ég^ au j>roduit des ezpoûtnts de ^lofieuss^

rapports. Par* exempte , te rapport àdéliA

m compofe du rapport du nombre rtf. aunorn--

bre S, des i 4, &de4à 2« Êàr l*expofànt dii

rapport <iu nombre i(^ à lî, qui éfl % ,. eu égal att^

produit des expofânts du rapport de i^ à 8 , 3e 8>

à 4 , ft de 4 àa^ qui font f K aX l=-8.

La con^fofijçioh <b .jcappott ik x^ a X peuE

flicies«.Oa .pciu diiBy.pas tsfcefi^^ ^pecésaf*

moicipUez âç fiiite r«n par ranuceftégil aa^
jyintwce- ^^«rfygi&iir du. jo^cict dç x^.à.i» 'OKr>

Itom iiwitq^ pue respoiàoc du r^pQOirdr i& Iv
1, €]uie&i — ^ & le produit £. de ces deux es«
pofant& âant encore miikiplid' pa£

«i|lié ^^-ce deoikf pso^ott

^iwe fi^-cc ««tiKy pgoamt ^^

I

itta ua dçiaier pn^uic f ^g^à^j^rés^wAnt d«it|
«^pettdeî^-ào^

il^ lUppQCt doublé' ,oir JBÛfiùi douUéè^c'fft v
«9 J»ifi^if coawofe de deuiz .xi^i^pw» 4gawiK ^.^
xs^gpQrç aapl£c^ oa frappent coojipofê de uoi^:
xa{i|iQi^ égaux ^4^dnij5f> ^ de iquacce ,«lfif>eEtf ;
^fiàoix. ^ to^ £a£ «<eii^ ,^ le ûif^pon de ;g^ i.f ; ^
m^ouble ^ ^létAor coa^pofê da nappait de t

1^. Les.,^^axidett];s jsdpsoqneiaqkc psopos^^
tionneJUes^ ou en raiTon. ou. la^oix secijpcoqo^,^
imi «die$ ^im^inMnt de tcrmq^à^iiae.aofilc)^.

-^ ^ TT-H^I^W*"

iê Sec^ie Partie.

êc qui: iônt rAiigées de telle foMe xfit le pcaniic»
amecedenc d'un lappon , 8c le confequeAt 4e
l'autre rappon {e trourent eniêmblej c*eu à dke^
dans un même produit , ou dans une même
fradion , ou qui appartiennent a une même
grandeur $ ou enfin , ce qui eft la même chofe ^
quand l'analogie commence dans une grandeur,
& finit dans la même. Par exemple, lesracines de
ces deux produits a^Bccd font en raifcHi tecf^

Îiïoque, ou reciprocmement proportionnelles ,
1 il. c:: d,lf.wt& #• du c. K Pareillement les mr*
merateurs & dénominateurs de ces deux iraé^ions

f ^ X -'■.,'•

»— & — - font en raifon réciproque > fi/1 x ::
1 - * • . •

z. g. Pour entendre encore mieux ceci , il faut
ièulement remarquer qu'on. commence Iç xai^
fonnement dans une grandeur , qu'on le con-
tinue dans la féconde ^ 3c que de la ièiconde^otl
revient à la première dans laquelle on finit,

' ta. Propoution converfe. ou réciproque d'ilne
mtre propofition, eft celle dans laquelle on fup-
pdCe oomme ctfnftanD^& certain ce qui étoitcn
queftion , ou ce qu'on çherdioit dans l'autre
ph)pofition 'y & dans laquelle ^ on prét|&nd con-
clure Se détnontrer ce qui étoit fuppofé comme
certain & confiant dans cette autre propofition;
Par exemple, foit cette propofition : Si tme
grandeur tfi égdt à une feutre i la moitié de U prr^
mierefera égak k latuoitié de la'fecende. Sa con-
verfe&ra telle., Si la moitié ^ une, grandeur eft ég^
lek la^ffmtié de f autre grandeur*» la première gran-
deur fera égale i la féconde. '
V -î^i Nenire ^pair eft celui qu'on peut diyifef
en deux panies égales fans, fraction ou fan^ ^^^i
èc le nombre im()air eft cHut qu*ôii "nt peut par-**

i^&€^ s i^f exemple ^ 4 cftw^non^cpaii:,/

deux manières , ^xu^ d^ux expireffiQiiS(4ie iemK
gamtiearB ig^ks. Par exeç^ 4 jkr. ^^ 24 ;= 44^
Cteft un^ équapp^ , ç'eft â dii;e:, une diqâhle^cx^
j^eAcHi i,ç^i^3^^é^ 24<ft Qoe exprefficia, ^ 44

en eft un autre. Cependant 4 x -H 14 e(lla,n(ièfmP

4«Hr M =^44* O^^ appeUe membres oo^ pasciet
i*wie équacioi^ capji^ eft de pa.n âc d'aiiiue 4a
i^c d*cgaHté=: 5 pu exemple 4.A: -4^ 94 & ^
Tonc l^s Jn^mfaqef de<eaç. ^^MU^a 4.4^. ^«^-44

z. On a de coutume d'employer de petites
lettres dç ^aipt^^eck {ooc, les expreâîons donc
on fè fcrt en Algèbre. Les grandeurs connnè's
£^<^dii^îr^3em etpwoiées par les poemieres
^cres. deiTalphabetb y Jk les gi^uidefifs inccgif^
VKi , par les demif«s Ijscttjw de Talphabcdu

a^^ pn iceut ewimei; ui^gfiuidew priiê
*n certain ncmibre de fois , on met devant la.
^ettEexjiâ expcaae cette grandewr , on diifrequi
i^xpriçoe eooâbien de unis oet^e grandeur doit êtte^
pijfe* Par exemple Xc^fignifle U^ grandeur.*
priiè deux fois jide mtme4^^ott>?.ftgmfiekL
quadrille, qu Je fextuple de Jh j & ainfi du reftc. .

A, Une kitfie qui ne-pa^t pointiêttepceoedée!
«aucun figne eft toujours ruppofée fitre^eeedéç^
4c ce &nie«^i->^ fMurepqû^lois Qn.sieeôaiLÇQiçjpas:
«ifelle &r retranchée^ ^i&£.da^<ette ezpreffioi^

7*> Seeifnie Partie.

>f»^««^i^,1ce qui fera k même choA qoi^^
\ 4. Quand il y a un figne interpofé entre dai
grandeurs 3 par exemple /-^^ , ce figue ^ toû-i'
purs attribué à la grandeur qu'il" précède. 'I>Afi»
cet exemple H^eft attribué à ^, & cela ^gnifie /
plus /; de même s*il y avoir «— .
. , f . Une erandeur exprimée par une lettre^ qui
n'eft précédée d*au£ttn chiôc y eft cenfée êcre t>re*
cédée par 1 \ par excihp]» ir eft la même ciiofit
wei^,

' i(. Le changement de pofition dans le& chifiét
écrits de fuite , caufe une divei(îté dans les nom^
bres \ par ^exemple it eft différent de 21, quoique
ce ne ibient que les mêmes chtfres- tranfpoiez*
i>es^randeurs pco^ent^être écrites rime devajif
Fautre indifféremment , & fans que la valeur dé
l'cxp»/Bon ckansç jr pa* cacmplet 4<^<H~ * =a
^-|"4^« ah = fa^Sc ain£ des autres»

A Xï 0 KTl «^ *'A L G f >H »* -'^

c* ."SJ" >.».• -''il l..»':r; ' •■• < - . •*— ,a.*r .1.. ,.. K%'

< Y* Vite grandeiiuï précédée du figne*4-v ^ uns
fateilkj^andaïc précédée da^figne-"^ font efl^
lèmble ^ajés à zero^ ou rien ; par exemple -^ f
*— I r» j- o ^'C*cft à dke , plus y de moins y ne font
i)en« .

S'il fe trouve dans une expreffion deux grart^
âeurs précédées des fignes contraires , on réduit*
cette expreflîon à une plus fîmple , ou plus coor^
te 3 fiiivant ce premier Axiome. Par exempte
a/t'^ah-'^aS'^'CcCcïù, réduite àcelle*ciqui
ki eft équivalente as *^cc j piiifquie ai ^^

u La plus grande de deux grandeurs moins k
différence eft égale à la nlus petite i & la plot
petite plos la ^i&ccnce^ égaie à lia pkis gem^

d«#âr exemple, ftii^^, ar^ekdiifoeiice
tek t ^miaitf'ai»--^f =:^,oabien^H-"^B=si^
Donc^s'il eft neceflàue pour «le dcasoiii(katioi^
pMWHit oÀ on trouvera 4P , on pourra fiibftî-
cuec*&-4-c $ & par tout où on trouverai, oa

^11 ■ ,1 1 M ' »■ t ! f i

D'E L* A D D I T I O N * ' •>

DES GRANDEURS '

ÉJf^RIME'fS', GÈNERÀLÉMESî'r. ' ' '

• ». . 3

T Oi£|it^m vffÊt ajouter enicoaUc étt. gtfn*^
Jb^iiears /denr chacune tftci{HQtméei^ une
«NipliufieBrSf letxres ,11 fiiflit de tes écrkc cte fiiitc
£uis tien changer à kuis figaei ^c'eft m^ xegl^

Eera& pour l'Adilition* Pari&zemple y pour af^
blet «avec zii & avea 4«, on^ écâra 4«#«
«•-f- 4 « j pour ailbtnbier .* — ^ ^ .^ ^ avcf
iA^i^H-4ir/onégeirafin4emenc 4*^i^j[
«^2 4P ^ z^ 1^ 4 ^ ; & pour abl^ger $es ezpreu
&X19 lorfipie cela eft poflible ,• il faut écrire cei
gr&n4alrs l'uneaii dcjUpus de Vaucre » &^pl?&nr€f
ttwcnofesv >. ^•.' .r, ./ ,

V i^.C^ k» grandeurs: exprimées par des Jetii
tfct &ffibkèVes, -Ux^ ont Jes mêmes lignes ^
doivenr être* ajouti^ «nicmble , h8c que .leofT
Xomme fbit précédée du figne <]tti pr^cedoétchact
*n»' eoi pardimlier; Par temple y fi m vçn;
* j •'•.'•, .. , - '%

• 5 ^mim 4^nit imr^ ^, ., r^. . :.,y

'A(rrftit fxtHFic»,

1»

44-

9i.

[ S^ 1

<«» f

h»

f| ^4. M-Mre j a<Mr* | 8M-4^*-»

INTil, rx*'! j^x»

ir» Sites «»id«iitfrsAËidc6 <Mf ejÉjbÉàgnéeii Ftf

figncs d^ttms- , é^efl à Jke ^ par «H** ott-^ ^ aë

cofkAetcie <]iif£lte§ dmTéiie ètte ttxxm&lboà l'âne
de^ l^antreV O» daé» ceàé ciicon&utcè , àpiàl
iryok rétranché ht Taleiir dit plus ^t cfaifre; qèi
|rrece^c nne de ces- gr and^eors «iim: exprimées, de
hiva^eiur (ta cfc^êqui j^reeede Tatttie ; (m ooffa^
ièrre âceqn réftè le figne', ^i appaitàidîc h \à
grandeur précédée du pte ghmd cUfie; Plup
exemple pour ailèmbler 8 h avec -— > ; ^ ,- éé figAd
<t— marque <]U*H hé âutc poffic^dlbiièief i*^ arec
<^-^ f '^, mais plftcât retrancher f & dti^ iKMnbfè f^ ^
âèau Heurte la R>mim qu-onatirok cné' , <n»
aitTa^j^pou^'reflë.

^* 5^. Lmque éin$ Pêxprcffiftiti d*ttiie^ grandesé
on trouve une lettre précédée du figne -4- , & une
autre femblable péeèédft d^^pû^-^j'oésdeuz

leorcf

lecties doirent être effacées s (ôk par areinple m
«->( •4-'^*|i<*406ttecatpteffionTeni(eniie — ^ ft
•4- h. Or ^pliis & moitié lamème eraâdeurn'eft
lien. Ainfi apr^js aroir effiicé — - 9 8c^ t , Oft
aata 4p>4-; , qui cft la m^me ckofe ^ #«-^ 4^

CX>ItpLLAlKB*

Il fiik de^^ chiktYMons q«e ,fi «n mir
ijoocer enfianblepliificiin grandeurs ifzt czena^
f lc/-7^«4- fe avefc xf'^g — ^ 3 fuivaijt la rè-
gle générale après les avoir écrites de fiiice ay^pç
kors iîgnc& 0/1 ^muf^^i -i-A,**- tf'^g'^ * S
& gae s'il /e trouve des grandeurs égales ou (èm-
Uabicf preoKiées de cl^fre» ^g^>U) & de iîgnet
conttaires^mmie dans^cét ezeiople odi on ciovre
— ^&*+-5,. H^ïr&— ^^ oncffiîpera deux k
4i3ix ces grandeiirs fêxnblables , & on wi^}/
pour laiomme de ces infimes ^fandcurs,
^Xorlque les grandeurs ezpriméei*par les mo-
ines lettres iêront prooedées de chi&os inégataz
arec des fignes contraires, on retranchera, corn-
me on a dit , la valeur, du plus pdtit de ces chifires
delà yaleur de Taytre , & on mettra au refte le
£gne qui appartehoit au plus gcand de ces chifres.
Par exemple , fi on vei^t ajouter «-H ^ — 5 avec
^ii — ^&i4"8 , onaura ^-t-J— jHkrxi»— ^^
*^£ i on effacera *4* ^ » & '^ dans la grandeuc
»7« 5 ^ .on retranchera & effacera -^ ^ i ilreftera
fncorc^-rj-i-ti»— a^-i-B; on effacera .en-
'c0rç^-7l I & dans le nombre «f-Si on effaçel(ft^

&ili:cfle-

auSêmble*
ra et avec

oti aun.

« • *

^■imi

-ou tbtdl des çt*ûdéW5 4*i»*'*-1 «C

iritaali

!«

■ ^ .. ^-. ^-^..^-^^A

^ ■ ^ '■ ; I • ■ ' '' ""*

ftXTTRB 4 ÈXÉMP IBS.

* o «^ a * - ■ — ^^—^«i^^

Pour abréger la règle générale qu on a ^éta^
l)Ue pour raddition on écrira Tune fous l'au^
tre les grandeurs qu'on Veut atfembler avec leur*
TTênesdé ^àa de ^ . On mettra chlcïuegtaîf:.
dcur littérale Tous celle qui lui cft len^lablc ,

* SmvAnthfremlere des ohferv*frt(^edcnW,f, 7t«!

«miftld it X été eniSgné dont Vadâmcm ûei
liombres. On ajoutera enfemble tons les nom-'
btes qui precedenfr les grandeurs fbmjlilables qui
ent k même âgnc -*|» , & qu'on a écrire l'une
fat Tautre. On^ma la. mÊpae chofé 4^ nombre^
^ précèdent- les grsuadenrs fèn^Uables quionc
lememe figne -p- , s^il 7 en a«£n£n s'il nV a point
de grapdesixs ifcmblaUe6 « qui ûfont diSètents
Ignés 'j enfuite de la ibmme des chiites , qui
«Qt précédé celles qui atoient les mêmes iignes^
on &;rira la lettre qui étçit précédée de cha^
«K chiite en particulier. Et s'ily a des gran-
ienis fêmbldbles qtiiayent différents fignes , on
Ibuftraira la plus peatc (bmme de la plus gran-
de, 2r op éaiiyL le refte aroc le figne qui pre-
ccdoit jbplos grande,

DE LA SOUSTRACTION

DES GRANDEUR. S

BXPRIME'ËS GENERALEMENT.

LOrsq.ci'qn vrat fouftraire une grandeur
d'une autre , il ftiffit de changer tous les
%ncs de la grandeur qu'on veut fouftraiçe , &;
f ajoiitcr en^tc cette grandeur à celle dont oa
▼auloit faire cette fouftraârion , de la manière
qu'on Ifr tient d'enfeigner ; la fbmn\c q«îi enC re-
faite eft lerefte qu'on cher-
di»e par cette fouftraâion. B x s »t p l «.
^w cxempleppur:fouftcairc ^^j ja^^éb-

4*— j*de7.*.^-.^i^, en ^t^^ 4^» — 5^
wacLecant les fignes de 4 <i — ■ ■

•^5>. je irowre -^ 4/1 ^^4^ tefte . ^ ^ -h 5 ^»

7Î SecênJè Fdrtie^

ckc par cette opération. .

rf# 24 — 4^ •4-- r— 31^

)

Pbnr tire periuadé qu'en clianeèant les fignes <Ie
là erandear à retrancher , & hiCmt enfuite une
adaition ,il relulteune {buftradion ; il faat con«,
£derer que dans le premier exemple ^ au lieu de.
H- 4 4 on met — 4 /» , ce qui mangue claire-
ment une fbuftradion 3 au heu de — * 3 5 on met
Pi* 3 ^, cela féit encore voir une fbuftraébion ou
ntgsdon de ta négation — * $1^, ce qui fait h
grandeur affirmative ou pofitive «-ih ) ^. La xnèttiQ^
chofe paroitra évideounent à T^ard des autrca
ràples»

DE LA MULTIPLICATION

DES GRANDEURS

EXPRIME'ES GENERALEMENT.

IL y a deux fuppofitions ou denundes partielle
lieres pour la Multiplication.
I. Pour exprimer le produit de grandeurs
multipliées Tune par Tautre ; par exemple de la
erandeur a multipliée par. la grandeur b y on
ccrit €es grandeurs l'iue aupr^ de^ raiii;rc » c'eA<^

i dire » «^ ou (4 , qui cft rexpte/Con Au (Piodoîc
^ I» multiplié par ^. Si je veux multiplier cet
gmndeurs h^ d, t^ Tune par Vautre $ ie multiplie
d*abotd h par d^tt qui fait hd , & en mire je muU
tipUe ^i< par <r , ^ je trouve Me qui exprime I9
produit que je cherche» Je pourrois aum multi*
plicr ^ par 4 ^ ou 4^ par < « & multiplier k produit
ul pat ^ pour avoir fdh qiû eft le m&âe produit

J|ae ^iJ^,ou hcd» Quoiqu'il voit indifiereiK d'écrire
il , oo tAtfoyxs exprimer le produit de a multipliéi
par ^i cependant l'ufàge eu qu'on arrange ces
lettres de telle manière que les premières da
TAlphabeth foient prononcées ou écrites les pre-
mières ; ûnfi igt mettrai plutôt #i , ^ de mibat
4es vûxits proàvàts,

Z, lor{qu*ii k rencontre un produit de pl|i«
Xeors grandetirs égales oU exprimées par kf
mêmes lettres, par exemple i»««| on abrège
cette expreflion en cette manière s^^ qui £gni£e
la mén^e cho£b que s a a. De même au lieu de
hiH, on peut mettre t^ $ 6c ainfi des autres ^
en écrivant on peu plu$ haQf Iç fWfC qui fixic
li^ lettre.

Il çft donc éyident que ces deux exprefllonf
0^i te ^k ne fignifienr pas la même chofè s
puisque ^-^i lignifie feulement que^» e(l ajouta
e ^i et que si £gnifie que s eft multiplié par t^
Si je veux que 0 vaille 6 Se que k vaille f j 1%
pttmiere exprefGon s^k^t vaudre .# -^ / 9= 1 1 »
le la féconde st vaudra 4Xf ::^)f •

Il faut hien prendre g?rde au/Ii d ne pas pren*
drecerteexprdfionjdpour celle*ci dK Car )4
e'eft que la fomme de |. grandeurs égaksdont
chacune eft appellée d, on ) fois la même gran*
^ur d'^ ttd^ £gnifie qac i)e .prf^dujn: de d xqMm

' G iij **

9* Seconde fdrtie^

piié pitd^ qui eA dd^ tfk encore mtiltîplié par-
la même grandeur d. Si je veux que d vaille f ,
1^ vaudront y -h y h-;= ij ^ Se d^ vaudra izy,-

- r. Lorsqu'on multiplie Pane par l'autre , det
^ndeurs qui ont des fignes fen^blablcs , c'eft 4
ilire -+•&-!-, ou — & — j leur produit doit
toujours avoir le figne -i- , 2lc ii elles ont des li-
gnes dif&rens , leur produit doit avoir le £•»

- Pour bien entendre cela, il &ut premièrement
ftmarquer que multiplier une grandeur par une
autre» <clè [*] répéter ou prendre cette grandeur
aïkant de fois'qifil j a d'unitez dans l'autre^
Or on peiic prendre une grandeur plufi^urs fois
éa denx'ihânieiesy fçatoir pour l'ajouter pla-
ceurs fois de en faire un total pofitif & affirmatif|
eu |»our la retrancher pluficurs fois & en £ûxe
un total négatif^

-•Soient par exemple •♦-csrs 4 & -4* </=^; 5 Û*
|e multiplie -|-*c par -4-4) le produit dç ces deux
gtandeurs (èra riil=±: lo , qui aura le £gne «f*^
Parceque les fîgnes qui précèdent c 9c d étanc
tous deux affirmatifs , par cette multiplication
j^*^jouterai ( autant de fois à lui même qu'il y ^^
i'unitez dans la grandeur i [*] ; ou bien j'ajou*
serai i# à hri «lêmê autant de fois qu'il 7 si d'upi^;
tcz dans c , ce' ^ui revient à fa' même chofe.* Il
lie -doit 'donc pâroître dans cette circonftaricç
ÎEUcnn ligne dé négation; .Doncvf" maliiplié pa|
fh <loftne au produit ^; ^

-^f]Z>éfi^fimdilaMfkifltcaHû», fâii-ix. '
l^ «^ Soient

JÊlgtiril /^j

' Soient prei&nrement^eux grandeors mi zjent
ics figncs négatifs } par exemple, ^^fU'^gi
fi je multiplie — /par — g» leur produit fera f^
qui aura le £gne «4** Parcjcque les £gnes qid
ptcccdcnt/& pétant tous deux négatifs. Tua
montre qu'au lieu d'ajouter l'autre grandeur plu'-
i^ors fois , il faut la rerrancher plufieurs fois.
Baas cet exemple — g exprime qu'il feut retran-
cfccr —/autant de 'fois que — g exprime ou
6>mient d'itnitez ; or retrancher ou nier — /
plufieurs fois , c'eft affiemer on mettre plnfienrr
feis -4- /; cette négation de négation eft une
affirmation. Ce qui eft cbir \ puifque pour ex-»
primer la fouftraâion d'une grandeur qui a àij^
ïefignc —, fc cftjTs îtft donner le fignc -f-.Car
leifigne— ezprîmç qùfc çpttc grandeur doit être'
xeeeànÉciiée. Or enfuite *fl je ne yeux pas- la rc-*
t«w)diciL,'}c dîQirsltii ôtcrUe fignfe ^— , & la lait-
fer dans ion état réel , affirmatif & 'pofitif. Afiir
d'exprimer ce dernier état , il faut donc en don-
ner une marque qui eft le figne «if**; Quand je
multiplie t 3 par -— ^ , je cherche combien de
fois je dois retrançhér^à Ibuftraâion , ou négar
tion que je m'étofs '-prppbCé de faire de 7. Je
rroQve que je prens la refolutioxiy^ou que je me
propofe y de ne pojbr &tçt line fois 7 , encore
une fois 7 , & encore «ne fois 7. C'eft à dire que
je veux laiflèr 7 trois fois , ce qui doit enfin pro-
duire w^±t» Doncc^-^^nlttltiplié -p^r — donne

pow-produit— H. -

, 1, Lorfque 4c deux grandeurs à multiplier il V
en a ,une précédée du figne -4^ & l'autre du fi-
gne r— ; le produit doit toujours être précédé di|'
figne — . Par excnîple , (oit H-f à multiplie^
j^r — 1^ , ou -7^17» par -t-r , ce qui eft la mêaje^

^ SiCimde f4trtif0

çhoiê i U produit de ces deux gcandoiit lent
m^$m* P^ceque la grandeur précédée da fîgDCt
•^, exprime qa*il faut retranclier plofieurs lois
#elle qui eft précédée du figue -t- m comme dans
oet exemple, — • m eiprime qu'il uot retrancher
«4» $ auunt de fois que m exprioie d'unicea» Lçî
produit qui n*eft que l'addition 4e tous ces rcw
rranchemens doit donc être précédé du fipie
négatif on de fouftradion mm « SnppoTon» <]iae(
•^r==«4-f« & q«c •— J» =: •— !• Quand je
niultiplie •«- a par «4* ^^ je cbecchc combien îi
iÉûit que je retranche po^ retrancher jnoans
deux lois f , |e trouTC qutiiaut retrancher «I* j »
& encore •4» f» c'eft à dire qu'il iiiutretrancLeir
141, 6c pour rexprimer l'écris -^ x«. Je peux de
même dire que la grandeur précède du figne ■♦•^
€;tprime combien de fois il faut repeter on^aflir^
mer la négation de la grandeur ^ ^ preced^o
ijnÉgne-^*

i*p.l« Il I ■ WWIT— ^P»!^^»*

|iS4— -f ni

«v»

JPr#4t )«^ — ij V *^iid4^

^^

Soient CCS dctix grandeun i» — j ^ & 5 4 — 4 4%
i multiplier l'une par l'autre, il faut les écrire
Tune au deflbus de l'autre. Il eft indiffèrent de
commencer À multiplier 4e gauche à droit ^

pu dç drpir

'^

i; .ravidie , .cette miâdplkïttion aiora plus 4<E^

le^oiblance à la oiultiplic^idoa prdûuarç pai^

chi&es : mais pajcceqae lorfqa^on commence de

gauche à droit ^ on airatige phis facilement lec

produits^ c'eft pour cela, que. nous commence*

ions de gauche àLdcoit parla grandem a, 4i£uit :;

i4iinultiplié par ^j» produit j^^^ c«rx>n muU

tiplie d'abord ron par Taot^e tes. .çhifixs qui pie-<

cèdent chaque lettre : comme dan$- cet exem^

on multiplie ipar 3,ce^ttiptodnit \ $ & cn&te df

ce )-oa cent 4P &^pc«fche l'un de l'autre, Aptèv

cela multipliant—* ^.i^ par -l* y0 «cela * produit

.»— 9 « d , qu'on 6crit avec £àn ligne aprj^s 3 ji 4»

1b hatpâiEx enfiiite à là &conde partie de là

grandeur^ 4 •— ^ d , qui eft — 4 d , (uiant : -4- M

snuitij^é par-— 4 d. produit — 4« d > que j'écrur

fôus — ^ /» d j parceque — ^^«d eft déjà une graxv-

deur femblable. S'il' n'y en avoit point de (èov

Uables, on pounoit écrire ce dernier produib

— 4iid fous 3ii/f on aiMeurs ihdifFéremmenr»

£nfaite il faur dire -^jd multipliez par— ^4d

prodoifent-l- itd d qu'il Ëint écrire apr& le pnv

aùit-*-4iid. 'Enfin félon ce qu'on a enièigné

dans l'addition, après avtûr ajouté ces produits ',

on trouverapour le produit total qu'on cherche^

^«/i«»i^ird'^ndd, qui r eftdte de lagraa«

deut 4 — 3 d multipliée par. j 4— 4d.

Pour moltiplicB t^h'^j^hc ^fg par i -4- 1 iw;f
3 faut dire « ^ multiplié par h^ produit i» ^ ^ qu*ii
iiat écrire. -f-4^c multiplie par h produit

î i.^Pa^ dt.tmfmlj[emeht Recèdent, f Age jZ»

^ Seoànii Psniel '

H* 4^> f ^It faut écrîee otifuke de^l t\ *'^**^
mulâpUé ptff 14» A ffoduk^^/if ii^ ^ ^ faut $^£^

écorc ce dernier pcodw

frflAiiP sUHr^hih ) uAm^f^k^^hcm^^^^xf^,

■■^P««^Wi>»^i^««^wWiWva««

Après cêk il fam moltiplieri» i H- ^i c — fj[
par X w » di&nc : ;ii ^ muldplié pax ^ «o piqduit
$,abm^ qu'on écrira >â on voudra^ parcèqu^
dans le rang; des autres produits il n*y en a poltit
de femblabks à ce dernier. On continuera^difaoc:
éHH 4^^ multiplié par -4-iw, produit 8^ ri» *
qu'on écrira enfuîte du produit précèdent, Enfin

lé produit qu'on cherche eft M^^bch^iM^

j

-' .

f/ "

H

'U't *»

ti 1

— ^1 r— ^ • ^: ir

^£ tA DIVISIOR

♦ / . <

>

t>ES <ÎRANDEUR>

£JI:PIIIME*ES GEI'ŒIULEMENT.- '

^.'

<

t w

^T> A N » la Multiplication on eft conTentik
J^que pour exprimer le produit de plufieui*.
gtandctiis mukipliccs entr'dlcs , oa les écriroic,
fiine auprès de l'autre t la Dinfion étant entier©^.
»«tt oppoiïp à la Multiplication „on cft parciU
teicnt convenu que pour divifer une gr^nflepil.
par une autre , on dfaceroit dans la grandeur
* diviftr les letti^es qui s*jr pourroient trouyer
mblafales à' celles du diviièur ^ fie qu'on, pren-
Voit poiiç quotient, le» letttps qui. teftcroicnr,
P« exemple , pour ^irifcr. i:/pai:^. to a pwjjj

fHlful0mi àwfer rjT

t

tSvifem j( Ak

ifftit^.

I.

frmubm idivifer sdi C

i i

divifi

font précédés des mioiies fignes , lear cjfÊoàaaa

Sbît une gtandeoîr ^^ Itg afivifer pai -^ * , îr

^oticatièra^•^;^pascfiqQC> i^ J^çr^iciir ^/
eft [«] précédée dtt figttc-+- j i^Te ditifeur/
»ft ['] a»fl; prPfltfd^ da figtig «■»» ^ f. fiQfiiLk.dif
▼ifeur & le qaorient font [*] les deux racines qui
ont prodiâ ilg)taidteisà4inrcC^/Jlk.fttit donc
neceflâirement que le quotient (bit auffi précédé
JM( ffgoe 4Jh. iCar&ir<j^imkliC ^k f i3fcced$~dii
Êg^^i^faàSxpc h. gmdenc! è divi&ftn'eft que
Il pfodi^tdfl»divâ&nrtsurkquotten£> ce pro«»
ékitiE^6iattFKiBcèM<mfigike'^/£^^ fêioit
lx%kpQikiaiii,tiui m qae.^j[ cft |»€oedâ

CurdS. j. lUln'BivUimdef nmtres m Arim'

y

Soie encoM U candeur «^ m^m JL\^iàitt 0«r
— i*» y le qaocieiitlei:a-^sm.paj: laména^ raifim
ip'op Tîanc de dirc^'Cai: ï^ le ^Uwfeir » eft
<») précédé du figne— . A^Ukgtaadair idL
Vifei m» eft (') précédée, da figne «-^^^j®» JLe d£-
Tifeu & le quotient )fbnt deux grandeurs qui ^^nr
.jnokipliées J'uncpar Iraaut .prodoiiènt ^^m n.
•C'eft donc une -neceffité que le quotient fi^ ^ie
fttcedérAar&pi/C^ l^parce^^s'^ était jp(ece4é
^£giie^i le{>ro4ai^de çe-qoptientpaxcedi;.

^etix £p?rokm»fS:xokl*}fteççdiài^^^
ieqnife:oitumuela.J(upp(mtion» \

^. l«or£qfie la gEand^mra diyi&r.^ le divi&ur
fiMi£ pçecedtfz de&H^MdAlSsieaSy leai: quociem
•:^ra précède du/fgHCi— ,

SiHtipat exemple 4^')i âiv^er par --r ^ > ij?
OBOckiit iêra i^— 4., ^\Le. divifâr xdft |recêdé dii
3Çie*^; c'eftdoap«iie4ioc^|iùéqi]elp quptîei^
fôit aiBdipreoedé 4a ^^iie^-*^.i ,:ma que le pxoH
îliittt dadivFi&aC'--^-4PMi^Je>qii^ {bit la m^*
«le ehdfiï qfte là j^nuidiniir^ldiYiftr i»Wr Onïeroie
mipàséi i«ifi>uncin«it '«^ ^nlloit divi&r -^#f
{»S''>4p'|i > ^-«a ^ttDoit.ppQr-^qttOtienr ^---«:^ .

• ' '»

• '1 ^"M 'M '9 a «»

^vifec par idii^'f. Il faut ^cice ^ diri^
Xeur li-'l-'/deâbus lagrande&r i divifer. Oapeuc
fooifinenfcrdegaucheadroity &dire, le%nc
•^qiii précède dgy JUviCé par ie dgaç «f* qiif
ptetfdci^angle dYrifettt ^ donne au quotient
«t«^eiM[iute^^4iyi& par-i<,;d^ poor qiio^

- i

S4 SecêniiTànii:

'lient;,oii écrira o o

f au qooticnt. ^mmAg^^gf

pliant le guo-

tient «4«jf par la . <!•*-/

Î;randeur H* /
u divi(ciir,ceia pioduit ^/,qu'ilcottvîcnt rctran-'
' cher y 0t partant t>ri lui pi«po£b le iigne— -, &•&
àiéxAc $*il 7 a dans la 'grandeur 4 divife
quelque grandeur de même genre ; ^ dans
cet exem^e on trouve «4-;/; au édbs de
«ette nandeur on écrit— ;/ , qui êift le produit
jurecèiient retranché. Enfiiite ces deux grandeur
lemblaUes étaiir piecedées de chffîres égaux &
4e lignes diffêrefis , félon ce qu'on a en£bigni
^dans radditioh , elles fs détruifôit , on lis tran«
che , & il n^ refht rièh , on écrit o att éûÛni,
ïnfuite le quotient ^g étant multiplié par l'âii'
tre partie «4" ^ du diyifcur , produit «f* dg qu'il
taitt retrancher , 6c pour cela on'prépofe le ûgae
m^^êcon écrit — - ^^ au defliis de la granckoc
Semblable «4«^j^. Ces deux grandeurs & détruis
fiant ècaufe de feurs'fignes dsflercns , on Jbs effi^
jce & au defltis on écrit o.

Il refte encore ^dh^^fH'à £yifèr , on dira
^qui précède i/^ , dirifë par Hp . qui précède
^d^fy donne au q\ionènt^-f*; Enmité d% dîyifi
'par d ^dbiine pour quotient h ; il faut écrire «4*(>
au quotient, »4»^ qu'on vient *d*écrirë au quo-
tient multiplié par Hr/ du divifcur, produit
>4-/é au*il faut retrancher , & pour cela
lui prépofer lé fignc — . £t après cela il feot
examiner dans la grandeur a divifo s'il'iè
trouve quelque grandeur fèmblable à fhyOnj
trouve -<-/»,. au deâiis on écrit -^/fe , de ftrtc
que ces deux grandeurs par l'tddkian fè détruis

^Êtgéml M

V^

fiât, «à les ^;, ^«.deflÎBoa écrit « E»^
rrr: *^ -y»» , ces deux irrandeuck 6 JA-

r

après ayoïr cent le -

diTiièar rHr/ air <i4»/

deffoiis,il£!midM' ' ^
*^€ç «jdiYifS par

•^< , 4>im« pou^quotiçnt -|- c. Enfiiîte -|- f «1
cft^ga«ic»t^iiittlriplié par ^-/qw cftaa di^l

cda^il ^ Iç prépofer fc fig„c _ ^ iT^^^
r-€f aa defliis de-^-xi:/. Eofuic par Tadd^
tion de CCS deux grandeurs il rpftcra ^ c/qu'on
«erija aa defiiis de — ^/, & «a trancli(pra Z^ tf /
^ •+ * «/r cnfiiitc onnnultipUcra «i»'^ qui eft.
»9«9tMii|«ff4%«tt4«ii«fti^^ri^r ,7^ j^

Il réftora encore
a diidfcr -4- cf^ff j
ondira-t^c/diyifé
par M- <? donne an
quotité ■+•/, or
*+■/ du quotient
multiplié par •+•/
ittt divifeut produit
i^Vjf qu'en retran-
chera de la grandeur

à divifeif en écrivant —/au deflïis de ^ff-, cc|
detlr grandeurs fe détruifaitcon les 'cf6^era,& oa
éërita é'aii defiîi». Enfin i-K/<ta quotient mul-
tiplié par -H c du divifeiir , produit -4- i;/,'quW
retranchera de ^ <?/, en écrivant au deffus — cf^
ces deux grandeurs fe détruifa^it on. Iç? effacçra,
^ on écrira o au dcifitt. Et pmant la grandeur
€C9^% cf'^f étant -divifie par ^ «4« jr donner»
au- cfûoriâiït ï (4*"/, ' - \ '

Pour diviftr la grandeur
ià-^ee par i/H-tf , U
feut dîré -+- i ^ diti(8 par
^-#^ donne pour quotient
4- rf. Or -+-■>< qu'on vient
d'écrire au quotient nriùlti-
^îé'par p*- ^ qui eft au di-
vifeur produit -f ^ e qu'il faut retrancher , ^
pour cet "effet lui prepofer le figAe — 3 mais

i^fticiafte< iwi W^nôAs^ié ««* m $n né muvq

fdint de grandeur fenîlable àce orodiiir •— 1/#,
«mTécrira crppidfint iricait si'deflli de «— # #.
lài&ite «1-^ qui eft au quodent étant multiplié
^jur-^Wquiclcau diTifcn% pao^t ^^dd <^u'oa
xetranchera de la grandeur a divi(cr,eil écrtvanc
—ij Wan defibs de ht grandeur «4» ^ i qui syren».
contre. Ces deux dernières grandeurs fe détrui-
iant, Qnle$c£&Giia iiûfié^àn • audcfliis»

Il xefte encore è
Jififcr -^ ie Bc — ^^
On dira, — 1^« diirifî
par -4- 1< donne pour

£)ticnt— ,f, Ot^m^é
tu taûtipliép^-^a
pioduit — ##^n'ii âne
Kçrancfcer i pour fe><-
itvidicr-7-r^ il faur ,
içiie-4-f# , «omine
on a enseigné dans la
fi)aftraâion. On écrira'
^nc -^ # # au dcâûs de la grandeur-^ e $ cçd
iè;eoGonupe dans la grandeur à divifêr ; mai^
comtxieces deuxgrandeors^^^tedC'H-f^fèdé-^
tmi(ent , on kt çflEicera & 6n écrira a aif
^fiiis. Enfin — «^ qui- eft au quotient , muU
liplié par -4- i/ qui' eft au di^Crur jtrodaif
^^c qu'il faut retrancher en lui prépduuit 1^
'^ -lr« & conune il s'en rencontre une de
oW e(peoe dans la grandeur à divifcr , f^'^-*
voir — . dtyOn écrira au deâîfs ce produit -^dei
^.àe\ix .grandeurs & dérrui&nt on les cfiFace*
i^ ) & on mettra a an defliis pour marquer qu'il
i^.iefte lien. JEt partant la grandeur dd-^e e;
^tdiyifée faad^t^ le quotient eft i^— -r^
kUnereftezien,

«a» H,

L

Soit k^randcor 8 41' «-i^^-Wwt»' ■■■t^ à dm^

1er par 2. i» "4r ^. Il &at écnre ie liiviièttr 2.-^*4- (
{bus k gjCâxideur à divifer^ Apris cela il faut di-»
îrifèr le nombre 8 qui précède i»f pat le nomhue
% qui précède la grandeur 4 danr le divifeur^ tota^
me on Ta enfeigné dans la diviâondes notnbre^
on aura 4 qu'on écrira pour quotient $ enlôite «^
étant divifê par a donne pour quotient m^M' qu'on
écrira au quotient iowcdiatefneiir aprâs le 4. Or
-H 4 «i» qu'on vient d'écrire an quotient muld^
plié par ^ ^ , produit »H 4 /»i»f op'il faut re*
traiiclicr,& pour ccUt lui prépbferle figne — ^mah
parceque dans la grandeur àdivifèr on ne trouve
point deaahyOn. écxix^ l'écart fort au loin
— 4i*i»^dont on vient^fe parler, En&ite il faut
multiplier 4a a du quotient par i# dû diViieur,
cela fait Za^ qu'ilfautretcancher; c*eft pour cela
qu'on lui prépofe le figne -- en récrivaniî audcfr
fus de la grandeur & même genre. Ces deui
crandcurs — 8^ & -H 8 ^^ le détruifant, on
les tranche, 6c on écrit o au deiTus pour maxquer
qu'il ne refte rien.

■ ^) 4^^— lii*

»
U cefte tacùte matit »^4ssh^^àth

#4»*«»^^^ On din^-^qoi fttcdc 4 4M HiiA

par -f* qui précède t ««4- ^^doniie an quotient -—
qn*on éciini •ofiiite de 4 4» #. Après cela on dira,
4 qui précédé a a ^divifé pari qui précède s éua
k diTuènr, donne pour quotient 1 qu'on écdr^
àa quotient, a m h c&TÎft pat 41 donne pour quoi
tkn nh qu'on écrira an qqocient. Ox-^^sb
qa'ôn Tient d'écrire an quotient tnuitipKé par
H* i qui, eft an divifèur , produit 7— x 4 ^ fr qu'il
to letranclièr, ic pour cela on lui prépoSrta lé
£m-4- , & comme on trouve dans ta grandeur
a ditifer une grandeur ièmbiable à ce dernier pro^-
duit,,^on écrira an deflus -f-x 4 ^ ^ , £c après ea
avoir fait l'addition avec -— 41 f ( , il rciîiltd
^^hh qu*oa écrit au defliis , & on efFdc . les
dcw précédentes grandeurs. Ênfinte — x^'^ da

Snonçnt multiplie par -+-1 i» du divifnir , ; ro-
uit — 4 «if^cu'il ftut retrancher , & poiirceîi
on écri- - ^4- 4 -i.^ ^ au d^fllis de — 4 # ^ ^ --^u ' hi
eft ilMt>Lble s c?$ deux grandeurs lè ciétr aiiàiit

H iij

par Taddition a caufe de leurs fignestontralre^^
on les eSa^y êc on écrit au deffu» o pour mar^f
qucr qu'il ne icfte lien. *^

0

*^^4aab
o

r^aii. j-^r

llrefieencorèadiTïKtHr^ti-liri — -i^-i oo^

z

'iixz^^iabh^Yi^è^ij: za^ixaic pour qiaocidnr

« • I- . ^ ■.

Hh — '6 & ^ qa*on écrit au: quotkni: ^pacceque^

comnte on a ayem ci^derant ^ l6riqu.^il ne pa^
ïoît point qu'une grandeur fbit précédée de chi-
fres y on y fous^entend toujours :& Qr r divifi

par z donne pour qqptieat -^ qu^on prépo&i i »

X.

au quotient avec te fijgjxe •♦- • Enfuite •+• — bk
qu^on vienr d'écrke au quotient étant multiplié
par b qui eu aa divifiur y produit ■+• — i^qa%

I

fa JétgnyJiee ; gg pwrcdxn écrit— -^tt
IB dftflàs deia ^»wdau:ië)nttaUe <m & tloi^

^em & dcuttiialit ]^ Faddiiiôit â canlc tic Jem»
£gnes conuaîzes ,.oa les eâace yècon écrit o aa

icS&s^ Enfin 1-4^ — ^ i qoT e£E au quittiènt muL^

tiplic pai v« du dhifêar , produit -Is» x «^ ^ cja'it
£uit £etcanche£>.&oix«cni:a— r #^ ^ au deflnsda
k grandeur feaékblc oui reftoit encore âdivifèr^
Cts deoatgfûniim^'& ^ctcuiGinf ^ mi 4es tfycBA
iBc ou écsira a au'dei&is. Et partant 8 /»' — « il ^ ir

»h ' — i^diviiepar 2l4»|p i dolme pour <]U0tient

. . • ji..- • ....

X

ÎDur di¥ifet 7*e^5«— ji^^^ h'^rj^ef^^^f
*ym^ par ^gh-^^^fy après avoir écrit lediyifcur
SiideÛaus de la graïuieur idiyi&i:, on dira„-i- 7

"" » T • • • .

H 1%

ir Seiêwde fiMU.

i^fidiviaplrfil^ donne pool qÉ^c^ #m. Oa

^BoaentottikiplîéparH^tA/aaaii^^ p*o^

èmi^^~M9kf quHm tctMu»Ac en luiprfe-

po&nt le figne— « & on Wcrit an dcffiis de k
ipandciu qm Im cft fcmblable ï4##*/ <pii w
UoèToir àdiTJfiv ^ par radditioh il leOrite de ces

^ttgondett» *^— ^^*/.y'ôtt écrit ai* def-
ds, EaAice «4- x — êe du quotient mnhipUfpar

5 f i do divifciKjploduit 74if j: * qu'on letranche

de pai^ille grandeur à dirifer, âpre» rafoir écrkd

au deffiis avccle fignc — -, il ne reftc rien, onla

tranclie &ott écHc au dèflus è. * j

U lefte encore à dlYiftr — j^fj:^-*- 9— '

î

4 #*/— ^^>/-4-î i»ï 5 ondit, — }«^*^*divi(ï
par ^^gh dcmne pour quotient — r ^ ^ ^'on
y écrit. -Or — hb du quotient multiplié par
^ibjèa. divifcW, pfbdak -^ i^^ qu'il faut
retrancher , & pour cela naettre ^^zh^ f qu'on
écrira au dellus de la grandeur — 6 ^'/qçi ^^
cftfemblâbh, &par l'addition de ces deux gtan-
deurs il r.'fulcfra — 4 *' /qu'oa écrira au d.^^lfii$,
at on'trxichcri les deur précédentes. Erffiite
— ^ ^ ma.'iplié p r ^ rh produit — r;g hbb
qu*6-:. £: tiu -.ch.Pr«i 'Ju Uii prtpolint le ligne -h>

' ■ - f

rtta«b>««MN

»!*■+•**/

^«•rie»^ ^ ^J^ae^it , : '.

<t Vécàf9sst vu itOùs ieh, ^HUnJfur Je diâsMI

nmcpar Taddition à caofè de leurs figues aki-*
tiaixes, on'.le$ tnnchu:a^*09 ^ira^au deflos»

11 rcftcra ^core-i« 9 — iff #/— ^h^f^r^m^^

qu'on ne peut divifôr par igb'^thf â caa(e
fie «lans cette erandeur reflanee il ne (t troitvq
p(»nt (k lettres ien^laUes à ^ ^ du divifeur % c*ef]|
]K»ir cela qu'on écrira ce refte enfiûte du quotient
qtfon ▼ient de trouver , & au deflôusde ce refte
on écrira lédivi&ur , & on nterq^a cette flvurqut
—— entre ces deux grandeurs , ce qui fera une
h£àotii Se parùrarte quocknt de cette divilioii

ktii'^scl^n^ — — —^ — -

' \

• •k

IfiMv^i: :\^ \ j.. : :. rr^ . v .-.

J

««•

La preuyc de c^ ilm£on^ fê ÙLÏtcottitne isatM
f Arithmétique , âi multipliant le qéotient par le
^yilêur $ & s'il 7 a On ivfte, on Tajoute au pro«*
Mt d6 cêtre rnukiplidatton , et on ttomrt ètiSa
fegrandeuf qui kcàtk diTifer , £«11 àbka £cu/&

£figranjdeaiàqti*onnepelR dl^rifêr fans rdle
fent le plus /bavent écrites au deffiis de leur din*
Iferfr en formée ftadion. On fait toujours!»
HntmedioTeà Vépctià&i grandeurs, qui necon»
Itenneht point de lettres lemblables à celles ds
iiYifèur. Par exemple pour àiv'ikted fzxe^d

•n'écrie ^ , ce qui en e^çprîme te quotient;

fûttr diVifb êik-^^i pat h^d on écrit

mkr^cd . ^ ■ * . **

^iJ«if • '^^^'^ àmki M h par /, on écrit -y >

4k aloncaiiTi&wu indiquées lam des fkaâjdttli

J^ihi;. . ^

*iw*i

DE t'E XT R À C T I ON

DES R A Ç I N E S,

» *^ • . . .

::^: .6 b FINITION 5. •

* ■

{.n Ac^Nieftiinegràiuicur^uiécaiieinulci-^

JX^liée par elle, mime ou parant aoueg
^loduk une autre grandeur $ par exemple « ett
cacine du. produit «1»^ ou du produit #^,01^
f'.'Xa gr^wi^ eft audi racine' du m^mepr^
doiir 4^ ^ ou du prfidw t *. /, 1, ^ , j^at iç^ tf^t
dne$ du produit/^ Ké6cy font les raona^M
kot produk 10 , ^.^ - • -

t. Puillànce ou degré d'âne grandeur eft le
pndaitde cette mtme grandeur mukipUée une
oaplufieurs fois par elkrm^e 1 par exempk^k^
I' ,/*, Ac. fbntles puii&iHres de ^, r//, &c. ^
' H 7 a plnfieius ibrt^ de puii&nçes ou'degrej^'

)• La premiffie puil&nce^u le premier <&gr£
dHine gcandesr eft le produit d'une g^deur
■takipuée par x $ par exemple x/»,ou «eft 1^
P^nuere pûiftance de la grandeur aidc^U, pre-
mière puiflàade de la: grandeur d^ &c.

^ 4«Laie puiflànce, ouïe x^icfféy oulequArr^
d'une grandeor eft k produit & cette grandçiir'
"ïtt^pHée une fois pajr elk-mênie j par exeni-
ple k xe paidance de r eft c ^ ou f * , le quatre clr
J«'<* eft if/»*i*. Le quarré ou %- puiffance de
^ eft 5^^ de 8 eft ^4, &G. "]

f . La lepiûftigice pu le je degré, ou le ci^ d'u-i
ft^grandeur eft le produit^^ .cette ^ -

tiplife. fâX fi>n qtiarré , bu par fa i« puifiàace/
Par eieinplrle xobe ,tm 3e Y'^Sàaiecétftikfiff
oa/>$ lecube de zddfe&z d^fi -,]c cube de

^. La ^c paillànce, ou le 4? degr<^ ou le qiuu>

^rpdme de cette grandeur {Kur^ftn cuke oa jpar
a )C puiiEuice : par exemple la 4' puiflàoce de
d c{td*i Ixfp fàittàMCÊ dtx tltat^ijtc oa c^ i^
lûnfi des autres grandeurs.

7« ^Lèttcfss pour «brçger PezpodBoià d^me
nM&npe ,^oa ictit un cUfre fiipcneurà cAtéde
£1 -raciàe de cette puiflance , ce âùfre eft appdii
étt)«f3uftde cette poidànce; par^xempleattlka
4'ecfire e 4^t ^û ^ii^é€m4* , an AfpdVc ce %
i^iezpo&ttrde lapaid[aii06'»#«#*

A^VERT IS^S EM Bir t.

^ne-jpandeor éftrecotmiifi^pearqiiarteey loff:,
lp^Dn peut partager «n deux* parties, égales leis
lettres qui «cp^imenc ^ecee grandeur,. de tçUe
«lanière ijueles mimes^lestret fefencôntrentde

San & d*autie:pareïemple jf/i'^fcÀ eft le quané
cfgh^ parceque- cette grandeur fg h maki-*
(hée par dlcHtième produit //^jfibiir. On dira
lôflî tju^xne (grandeur eft cube lodiqu'on peur

Fartager en trois parties égales les lettres . qui
expriment y & ainfi des autres.
t, Extcaâion de racine , ou refi»lution d'one
pui^ance , e*eft trouver la grandeur qui étant
mnhipliée par elk-même un certain nombre de
feis produifexette puidànce $ par cxeimple cber«
cher uix nombre qui étant multiplié par lui<*|nAme
l^roduilè le nombre quarté 144 ^ c'cft extraire Ul
fociae ic 144 ^uiieft u%

toriquiS

lorsque h puifTance, dont eft qaeft[oii,eft on
quarré, fa racine qu'on cherche eft appelléc rar*
cinc îqaarrée j fi cette puiflance eft un cube , (4
racine eft appellée racine cubique j fi cette puiC.
£uace eft du 4*^ degré , fa racine eft appcUfc ra*
cinc quatrième , de même des autres. Enfin la
tâcine tire fon nom de la puiiTancc dont cUc eft
racine.

Lorfqae les grandeurs font fimples, on qu'elles
s'expriment avec peu de lettres , comme aaovi
cec^ il eft tres-facilc de voir leurs racines. On
coniioîc par exemple évidemment que la racine
qoarréc de lid eft d^ que la racine cubiquç de /«
«ft/s & ainfi des autres.

Pour extraire les racines des grands nombres,
ileli ncee&ixe 4e fçavoir Jes qiiarrez , lç% cubes,
Icc, de cjiaque caraâere , dcpu^ç j jufqu'à 9 j
principalement les quarrez , parceqç'^s fpnt plus
#'jx£ige quf les autres puiiTances.

htcmes I, i^ 5. 4. i". 6, 7. |. ^. 10,
ftww^i, 4 J. I^. Zf. J^. 49. 64- 81. Ip9.
Ci^fci 1, 8, 17, ^4. u;. zi^. J45. ju, 71^. loQ^.

Lorfqu'on fouhaite trouver la racine de quelque
grand nombre 5 par exemple , fi on cherche la
racine quarrée de 1^6 f , il hiut feparer ces chiftcs
de deux en deux , & commencer de droit i gau-
che , cnfuite faire une ligne ^u deifous , & â Con
extrémité on écrira les racines cherchées , dan»
ia même forme qu'on écrit le quotient 4*n* la
divi^on , cpimne on verra dans la fuite.

Pour rendre raifbn de ce partage de chiftes ,;
il faut obferver que fi un nombre eft expriipé p^
|lus de dc«z chiites , & raciae eft exprimée ptc

^S Seconie Partie.

plus d'un chifre j parccquc loo eft le plus petit
nombre de ceux qui font exprimez par trois chi-
frcs , & fa racine quarrée qui eftj lo eft le plas
petit nombre de ceux qui font exprimez par deux
chifres» Tous les nombres qui {ont au defliis de
10 o , ont donc pour racine un nombre exprimé
par plus d'un cnifre 3 & tous les nombres qui
font au deffous de loo , c'êft à dire , qui font
exprimez par moins que trois chifres , ont une
racine quarrée moind|:e que 10 , & ont donc une
racine exprimée par un feul chifre. Or quand
il faut extraire la racine d'un nombre , il faut par*
tager ce nombre en certaines parties , ou tran-
ches , telles qu'on j puidè trouver lc% plus grands
quarrez dont les racines fbient exprimées chacu**
ne par un feul chifre. Pour fatisfaire à ce deilein,
on commence de droit à gauche , & on fepare ces
chifres de deux en deux -y parceque la racine d'un
nombre quarré exprimé par deux chifres , eft
toujours exprimée par un feul chifre.

On cherche l'un après l'autre les chifres qui ex-
priment cette racine. On commence par le pre«-
mier chifre de cette même racine qui eft vers la
main gauche , & qui eft de plus grande valeur
que les autres ; on continue de gauche i droit*
Ce premier chifre étant trouvé , on s'en fert pour
trourer le fécond ^ les deux premiers étant en«
fuite confîderez comme un feul nombre (èrvent
à trouver le rroifiémc chifre de la racine qu'on
cherche j les trois premiers étant confiderez
comme un feul nombre fervent à trouver le 4*
chifre , & ainfi de fuite , jufqu'a ce qu'il ne
ygfte plus de Chifre a trouver.

C'eiï pour cela (ju'pn ne cpnfldere janiai$ là

^ itt qu'oa clierçhç que comrjfie iine grandeur

eompofle de deux-f^anies a^^^h a repreiêhtcle
Ch3&e ouïes chîfres trouvez ^ & ^ rcprefente le
chifre qu'on dbetchc, te <parrè de cette grân-^
de\ir4i<4-i qui eft 4/ï4-iJ«^'*^^i^, fcn'cfc ré-
.ilc daoïs les extradions des racines quariçes» '"'

•ï

E X s M p 1 i.

^ . Soit cenômbre u^j dôntil6uf Cje^aïre k
.ïacinc quarrce,c'eft adiré, trouver le nôitibre
.OTi étant multiplié une fois par lui-même proM»

duife 1369» , . . . ,^

\^ On fepaferâ 1^ dhî- _ c'

frcs de deux en deux ^ . ô

. comme ii a été enfci-»

fné ) enfuice il faut ccttv*-
dcrer qu'il 7 aura au-
.tant de cîûfres poUr ex-^ .
primer la racine qu'on
cherche , qu'il y a d€ - jif = j*

-tranches dans le nombre ^ = 7.

ijé^.} & partant comme ^

U s'y trouve deux tranche^ de cKifrès' , fçav^W

â& é^, cela marque qu'il n'y. aiita que dcujf
ifrcs pour exprimer cette raçiiic cherchée^ doiy
2c premier chifire eft appcÛé a ^ le fecoïid h^ .
\, Mais parccque Jç .qUiarré de /» •4* ^ qui rc;*
jprefcate le nombre ^^ ^ contient le quarréde a^
éf. deux fois ie^roduit àz a multiplié par h , ou^
fiç.qui eft la, mÀnoe chofe, le produit du 4^*jbjf
jjç n mulç^lié pari & encore le quarré h j •c'eïf
p^uf. cela qite noas ferons l'extra&ion des raci-
nes de ces trois produits l'une iprès l'autre. ^
i^. C'eft dans la première tranche vers li
{[^^a.Uic|ie ^u'oa i3B0UTe.ràiyûac$ le c^uarr^ ^

I

loo Seionde Partie,

pf emief chifre de la racine clier(;hée , cofXMiè
on le verra dans la fuite $ à caoTe de cela , je
cherche la racine du quarré , qui approche le
plus près de 13 , & je trouve que c'eft 5 racine de
9 5 j*écris 5 au rang des racines. Ce chifre j eft
jeprefenté par a : je retranche enfuite de 15 k
quarré tm , c'eft à dire le quarré de la racine^ ,
qu'on vient de trouver, qui eft ^ , il refte 4 , que
j'écris fur k 3,

a,°. Dans les produits 1/» h^bb outre Jbt ra-*
cine /i = 3 qui vient d*être connue , il refte eri-
«ore à trouver la valeur de Tautre racine b^ Cette
ac racine k trouve dans qe qui peut refter dans
la première tranche , après qu*on en a retranché
le quarré de la^premiere racine , Se dans le pre-
mier chifre vers la^ain gauche de la deuxième
franche , ce qu'on fera voir par la fuite 5 mais
lorfqu'on connok un produit avec une de fès
racines , il eft Ëicile de trouver l'autre racine de
ce produit , en divifâiit ce même produit par là
racine connue' s le quotient de cette divifion don--
nera l'autre racine qu'on cherche. Dans cet
exemple , le 4 qui refte écrit au deÂus de 13 , 8C
le 6 , premier chifre de la ic tranche font 4^ ,
dans lequel nombre eft le produit dont le docr-
ble de a , c'eft a dire le double de 3 eft une de$
racines qui vient d'être connue ; 6c partant 6
on divifè ce produit par 6 qui eft le double de 3,
on trouvera pour quotient 7 , fécond chifre de la
racine cherchée qui eft reprefenté par b -, & par-
tant û on multiplie ce dernier chifire trouvé pat
ce double du premier chifre trouvé , on aura 42^
c*eft à dire lab ^ on retranchera ces 41 des 4^
dont on vient de parler , il refte 4 qu'on écrira
ftr le 6.

f. BnSn des 4^ qui reffcnt, on rctranchcri

/' i%#fcr. '^ loi

le^iiftité deeme iaàaàsrc xadne 7 , 7|iii>ft 4^
il nercAcsra lien 4. t)n écrira o attdcflus, 8c ^mi
pndneriiqiie Ja racine 57 cft «ataâe.^ c*cft à «lire
Cja& le hotnbcâ i54»9 eft im aoiubiB <}iiani donc
uocme cft préaicmenc,37,
; Iltefte paràbiceinent à faite roir qacleqitarrf
fiif premier chifbe de ia racine ckeccbée & muvp
foujours dans ki première tranche du nombeç
doato^ Teut exoraire la racine ; que leproduir
du dooUeda premier chifre de la racine cfaorchée
muhiplic par k deuxième chifre de cette racine^
rftdans ce qui peut refter de. la première tran-^
tke y & dans le pienoier chifre de la deuxiét»^
«tanche yen la main esuche 3 Enfin que lequaftii
du a^cfaifrede.laxacme cherchée e(tdans ce qui.
rcfte,- & dans le dernier chifre. de la -deuauéwifc:
"tranche en commençant de gauche i. droit,.

Pour conaojfaefes^c^pfes. ;.
éyidemment , il n'y a qu'à- #^-^= 37-
faire le quarfé de la racine' ^-^-^ '37*
cherchée' 37 , c*èft à dire , , ■ n » à

multiplier 37 .par 57 , & rc- • * ^crc
yttft^ncr quandWdit 7 fois x r

loiU 49,que c'-çft lequarué du^ r «^ V
iècohd chifre de la racine qui ^ i. ^

fe trouve indubitablement*
daoïis HJècômle ir<ncheen. «^^sr^

tomptfeint de gauche d droit.
Chiidte qwuid on dit ^ fois 1 ^

^ dixâincs ibntix 3 6n écrit l'î 1 ^'>

iéu i^EUi^ des dizaines , & le • '

i-dâtîs on râlig^^^lUd aurancé-, , ' • '

fctts tes cent^nes. Quand
^ ttmkiplieptu: 3 qui font lés dizaines ^de 27 -,en^
diGint er[Corc : 3 fois 7 , oU 7 fois 3 dizaines font
-k^CM46fk M&icÛomaksu 4ffaM<sp]^e«

t
I .

ICI ' Seconde Pdrtle.

dentés s on voit évidemment ^ue ces ieaxtx totdg
deux fois le produit du demier chifre ) de Ut
racine cheicnée multiplié par le fécond chifre 7-1^
ce qui eft la même chofe que le produit du doa-^
ble du premier chifre par le fecond , parceqac
l'un & Vautre font 41. Enfin 3 étant multiplié
par ) , qui font des centaines , on trouve 9 pour
produit qu'on écrit dans fon rang : on trouve
que ce 9 efl le quarré du premier cnifre ) de Ut
racine cherchée. De forte qu'en commençant de
droit à gauche^ on partage maintenant de deux
en deux ces produits écrits de cette manière fans
les changer de fituation , on trouvera le quarrâ
du premier chifre de la racine dans la prenûere
tranche, de les autres produits defuite, cotâmes
•n vient de dire»

AuTUBExBMPIt.

Pour connoître la ra-* i

cîne quarrée du noipbre X^^\
^48 ;7, ou du nombre /? ^^^S7ç
quâiré qui en approche ■ ■ ni \^%.
le plus près , il &ut fe« ^ a» A

i>aTer de deux en deux x

es chifres qui expriment

ce nombre m commençant de droit â ^udhe»
Il £c trouvera trois tranches ; enfuite il faut
^commencer de gauche à droit à la première
.tranche'^ difànt : la racine du nombre quarré qui
approche le plus près de ^ c'efl x , qu'il fauç
^écrire au rang des chifres de la racine ou'on
cherche. Après cela on retranche du nombre ^
le quarté de ce chifre % qui efl 4 , il refte % qu'oa
^crit fur le tf y & on tranche ce 6.

Xe premier chiCre i de la racine cherchée vieii(

tbtt connu , il eft reprefcnté Mr 4 \ mus pair*
ceque dans /m-W^M*^^ qui ell le quarté de a
H-* ^ outre la racine du qo^ré a il ^ il faut encore
connoitre en chifrQ la valeur de l'autre racine qui
f&. dans le produit 2. il ^. Pour y rcdflir on con£U
dereni que le % qui eft au deuus du é & le 4
qni eft dans^la deuxième crandbe fera 34 , & ^
comme oiî a eniêigné dans l'exemple précèdent^
eu diyiièra 14 par le double de la racine qu*oa
tient de trouver y qui eft le double de i égal à
4^= Z4; & pour cela on écrira ce nombre 4
lous le 4 de la deuxième tranche. Si le double
de cette racine étoit exprimé par deux chifrea ,'
on écxiroit toujours le dernier îbus le premier de
la deuxième tranche , & l'antre fous les autres
chifres vers, la main gauche. On dira en x^ conv*
Uenyat-ilde fois 4? on l'y trouve véritable-
ment e fois I nuis il Ëiut obferyer que & je Vér*
crirois ^ fois y il ne me refteroit que & dans U
deuxième tranche y d'od je ne pourrois plus fout
tiaire le quarré de ce nombre 6 y Çc partant
j'écris au rang des racines feulement le cnl&e ^
Enfiiite je multiplie ce fécond chifre { = ^ de
la racine cherchée par 4 > ce qui fait zq = z. a ^ ,^*

Îue je retranche de 14, il refte 4 que j'écris fur
î 4 de la deuxième tranche. Enfuite jje tranche
le z qui eft fur le éi , & ce 4 de la deuxième tran^.
çhc coQ^ime inutiles j après cela û refte encore le
4 qui eft au àttSiS du 4 de la deuxième tranche
& le 8 fuivant , ce qui fait 48 dont on retran^
chera fc quarré du chij&e % qui eft zj[ = ^ ^ , il
rcftera 15 qu'on écrira au deflus de ces 483 & oa
tranchera enfuite ces 48L

Après cela y il faut çonfîderer que les deux
chifres Xi de la racuie cherchée font exprime?i
Jftï 4* Qï pttif«îUC dans ie quarré a a Hri^^jt

^ibiflbns aéjà la nci^ ' 2r (5 (4^

•ne du qttarr& 4» qui ^ 1 ^ i.l ? ï ^ ' >
Wft if ;il nous reîte- '^1 ^ % \^t$ r
-«hcorc i connoîtrc' ^ ^C^^

*n chifrts la Taleiur: ^ ^ P P^ \

«de l*âtttfl; racine qui- Of ^ -T ^

& trouve dans les; "

otoduirs ^)ï^-4r■ * * 5 mais ce ptoduiç i » ^ïç
^m)uve dans les ^Itifres qui viennent dé teftér
€ans la deuxième ttatiche ^ & dans ^k i de ^
lïoifiéine.Je doubictai donc la racine dé aai^yç:
«ue je viens de trouver , ce qUi fém fo , dont
H-'écris le dernier chifre ofôus le premier de li.

tbis le -3* fous la 5<! colomne qui pfccedetoit , 5c
■ïdutfi desaiitres. Après cela' j^ ^fais une'dlvifiorf,.
^ Je dis : en %i combien y a t-iï de fois ce demiet
•f qui fe trouve au deflotts du 3 ? je* trouve qu'il
'peut y être 4 fois, j*éctis 4 au rang deé jéacitics.^
•partant ce 4 fejfa le 3e;diifre de la racine chei>
cbèé. Je multiplie enfufté ce f parles ^o^^^tA^^
le produit eft ^bo, je le reftrâiiche des 7^^ qui font
^ deffus en cette forte : 4 fois o c'éft o , xjm:
lêtant retranché de y , il refte f que j'écris au dcl-
îUs du f. Enfuite 4 fois y font-ia qui étant re-
tranchez des ij qui font au deflùï, il refte 3 qï&
l^cris ati deiliis du 3* •

•Enfin des 357 , qui irefteitt, je retranche fé
iquarré de ce dernier cjiifre 4, qui eft 1^ = ^.^f
& pour, cela j'écris lû enpofant 6 fous le dernier,
thifire 7 , & la dixaine r fous la cbîOMnfe Jprtce-
'dente. Je dis enfuite de yôtez^, réfte i-qu6
\-éxïisrùrle.7. DefiSte'z i. qu'on ^em dteirt

Aîgéhrel Wf

ai deflbctf , refte 4 que j'ocris âo Jdfàs du j*. £1
pitanc il xefte encore 341 , qoe je /èjKire après
aVoir tranché le xefte; & je conclus que le nom-
bre 64Sn i^'c^ P^ lui nombre quarre 5 mais que
154 eft la racine dn nombre quarré qui approche
le plus près de ce nombre 6\%yj , ce qu'on cherr-
choir y c*eft à dire que £\ de ^48^7 on retranche
f4r , on aura un nombre quatre ^4^1^ > dont ia
racine eft«if4.

Il faut remarquer que s'il 7 aroit une 4^ tran-f
che, ondtfubkroit la racine trouvée, & on ope-
teroit y comme on a fait en paflknt de la 1^ à bi
f tranche \ de même s'il 7 avoir une 5^ tran«:
che , &c.

AvTltt EZBMPLI*

•^ii*4»ïo il é — if h h

# 4— 10 41 M^ ^ ^ -*-af ^ *— i#*M^^

a# x;i&

H

Toar tirer la racine quarrée de MM'^-^iùMi
-^liic-l-if ^^— io^^-+"C<?, je dis : la raci-
ne quarréede /i «eft i» que j'écris au ïang desra^
dnes« Enfiiite dans la grandeur propofë je re-
tranche ou j'eâàce le quarré /» i» de cette racine^

x^. ]e double cette racine a , & j'écris z /» pour
diviiêur, difant : — loab diyifêpar «4» i/i don.
Ae pour quotient -« ^ ^ , je multiplie — f ^ pa^
•fi 1 i» , ce qui produit — 10 Vi b que je retranchç
àt pareille grandeur en reffaçantdans l'exemple
propoË , il ne refte rien , j'écris o au deflîis. En.,
fiiite je retranche le quarre de cette dernière ra-
cinç trouvée — «j^ qui eAmjrtibb^dc pareiUç

flRJS Seêành Tnrfîe.

^rahddrr qtfï fe trouve dans Vcxtmpif^ÊOlpo^
•S ne rcfte rien , je k$ efface Vnnu U TaBOw ^ fs
f écris ô an déflks.

J. ., ,i, 1 , ..Mil., i : ^ ^ *. •? 4F«— f ^i-W

' 5^ Je QùkSAétt k fackietrsûtat^c a ^^fi
J^otoirfte dans les nombres^ & fe k icmble pouf

j'écris au deflbus de la. grandeur propoCée. Je-dis^
f^zac divifépar -^-^ /» j donne pout quotient
•4- r ,, quryécris pow: jaciac^^^ikesckée. Enfuite
je multiplie cette dernière racine par — xo è ai
dernier divifeur , cek'iprodiiit — lokc que jt re-
tranche de — : lo ^ ^ qai <5-tçoare àm^V^itemfk
y ropoK ; 18 iik «?fte- fi^n jp^ttarti jt lesteffiK» &î
yécris o aa deflus. . Apfès césL je multipfic ce«e?
derniete racine chfercMe-f-r par -^«.^ du der-
nier divifeuf .,ccqui fait -4- .2.4 <: qa'on retrancha
«e pafôifle-gtantleiir qtri'-fe tAidôritre 'daâfisTe-
•Xemple propofé , il né irefté rieft , on -fc^ efede^
18: on écrit ô ati defliis. Enfin on f e«anche n
^«arré de «4^'^ , âerniere racine trouYce^ depi>
tcUlt gtandettt qui fe rencontre dans VenemfHf
propofé , fi: il ne rêfte èien. Fartant je eoncte
Xp.c la- racine qttarrée dt 4/t — lo^i^-Vt-^'
»+• if i^ ^-^ ia> ç «4- <: ^ cil précifément i#*-.f *

' Il faut fetnarquer que dans cet exentpfe k 1»^
^ine cherchée peut auffi être — /»-4-f^— (?ei|
changeant tous les fîgncs de k racine precedentt
^tn^e i ps^rceque il on^^noltqftie cettae gjBSui^

im fs^ elle-même , on crouyera^ur Con quàr-
élbL «andeitf .qu'pfi yjenc de propp&j: pouc^
jCzemple. Pour faixe reztraâion de cette racine
avec ces dernier» i^nes , on peut commencer en
dàËmt: kiarâ3tteqiifiai^de#>»eft-*'«|&aina
dmefte,

emmsDcccA comme dànsHt^Jfifaple. {recèdent ^
jéciire au rang des racines ^4 i» quieft la racine de
ft^s^^ 9l oïl qoacinucjrji Vi^es^m. comme danij
Tezemple précèdent. J^nSn pn trouvera {>our

»cine4A^9^.^ii<^ .^ j

A£n. de mieux s^ezerçer dans les conlmence*
jkijtos qHfQa ■émUcxxs cbofes , lOnpqit prendre
âes rax^iaef iyolDAué Itc ks qiiarrqc.s & enfuit^
da^pajasé en çxQ:ai|» k MÔne « coQuneQn rient
dTemeignef.

: Pour pjKyve q«e rexQaaâîoR qu*o» a faite de
ta^aeine q««rp6e cft telle qu:'on la fotthaite , il
km, «oltiplier la jaoske tcnuyée par elle-même ,
It auptodiik de^xttemsikipjykadon, on ajoutera
k fcfte s'il s^en ^vxtm a^iès f exuradion.Çette
foomae &ra on nombre égal à celui dont on $,
Âfé Ja racine , /i pn a hiearâi0î« ^i cela n'arrivç
pas , roperation fera mal faite , & il faudra la
lecommencBr, Pour mûkitro: ^ot^ a bien rélifC
dans Textradion de la racine qnarrée du nom-
bre 649^7 qu'^m a pzopd% daiis iiâ des exemples
piecedems, il &at moltàplier la racine uouvée
if 4 par eUe-méme.,^ au produit de cette
mûltiplicaiÛKi ajoQtec le icefte 541 , on trouai
?era en&i le noième notnbce.dpnt on a tii:^ la ra^
cine.
^ 5'â fe reficona<»t ime 6aâipn dont on vout

idi / Seconde Partiel

farezemple — , on prendra la racine quarrfie

'4ixL numérateur ^6^ &enfidte on prendra la n^
due quarrée 9 du dénominateur 81 , & on aura

•*- = — > pour la racine cherchée $ parceque

cette fraftion — multipliée par eUeHOiimepro*

4uit^» Par lam£merai(bnonti^uyeraq«eIa

*' ff f

pracine quaxtéede cette fcadion -^ eft -^ »

IS g
Après avoir fait les extradions des jracines ;
comme on vient d'enfèigner $ s'il refte quelque
diofe , c*eft une marque qu'on ne peut en czo««
ver qu'une radne approchée , ou feulement la
racine du nombre quarré qui approche le plus
près du nombre propofé. Su refte quelque cnoic
après avoirtenté l'eztraâion de la racine d'une
erandeur littérale on évite cette extraâion , qui
a caulè de ce refte n'cft point exade. On verra
dans la fiiite de quelle manière on doit exprimer
ces racines à l'égard des quairez , des cubes , 8cc,

Pour connoître la racine cubique du nombre
lofif 40<^7 y ou du nombre cujbe qui en approche,
le plus près , il &ut iêparer de trois en trois les
chitres qui eiqpriment ce nombre , en commen-
^çant comme dans l'extraâion de la racine quar^
rée de droit à gauche. On rendra raifbn de cela 9
comme on a ait pour la racine quarrée $ parce-*
guciooa eft k plus petit des nombres cubes ez«

primea;

«i ^ jo eft aum la. plus petite de cdiçs qui
ttnt exprimées par plufiears cfai&es. Donc tout
liwnbteaii de^lous ^ ;ooo , c'eft à dire, qui e<(
maîini pat mrâis que ^ cbifires au^ra fa racii^e
çiJM^ae exprimée par un leol diifreXorfqa'on fair
JVxcraâioa de la racine cofajque d'un iiombce »
en dietche les pidnes des plus grands cubes qtu
fint dans cenpnibre , ezprin^ées chacune par un
ddfse ihlleipenc. Qn eft aflhré de trouver ces ra*
ctnes ta iéparam les ch^es de ce nombre de j ea
). Si on To^oit extraire la racine de la 4epui£.
£ince , ocilcpatqpok ladûfres de 4. en 4 ; pour
la f puîi&ncc j de I en X , Zçc. on fcrolt to&«-
joon un jai/ônnement (einblafale.au précèdent,
^ n ^Qt eiicore fe reUbareoir de .la règle gène*
tafe-pottî les extradions de toutes formel de raci-
nes, qui ei^ qu'on iepre£bite to&joui:s la racine
Ï'oacherdie covmxeutie grandeur compofSe
deux parties à^^é ^a reprefente le ckiére o«
les dsfres trourez , Se h reprelènte le chifre qu*om
cheiche. Le cube de cette grandeur s^^b qui eH
ii>*+-5<»i»^-sH5«*'^'!i^^fert de règle daiisle*
eztiadions des racines cdbiques.

Il faut cqit^-
mencer yers la 7 . «

main gaudic * * | y I

trancke, diiànt; — n ■ < ^*

b racine du ## ^ fc

tKnww cQpe ^4^

àm approche le

|1^ tfe de iQf <fék 4 qu'il «mt écrire » ranjj

écs Aiftcs de la racine qu'on cherdie. Aprc^

cck on retranche du nombre lo; le cube ^4 ai

ff nomJnc 4 :, a,|^ftc XI q«j*Qii écrit au defiué

15

^xio Seconde F^rtie.

>e lof , & on efface ces lof.

Le premier chifre 4 s?:^» de la raclqe eherch^e
^iem 4*ê(^c connu ^ mais en fuivaxit n^e seàle
générale ^ il refte encore à conaoïtre^ en chiites
la valeur de Taucre racine b qui eft dans le

qui

duit ) A A ^. La valeur de ce fécond chifie fè trou-
ve dans les 41 reftancs de la première tranche ,
'& dans le i de la 1^ tranche, c'eft à dire dans 411.
On triplera donc le quarfé de la i:acine qu'on
vient de trouver^ft on aura 4g =: 3 41 ii qui iènrir^
de divifeur. Il faudra récrire au deflous , de forte
que 'fon dernier chifre" S fe trouve Tous le prc-
jxdçi i de la t^ tranche* Enfuite on dira comme
dans l*eztraâ:ion de la racine quarrée , en 41 qui
*refle fur of combien 7 a t-ij de fois 4 qu'on viei^
'd'écrire au delfoqs } on Vj. trouve 10 fois ^. niait
parcequ'on n'écrit jamais au quotient d'une dii-
viflon plus de^ i chaque po£tipn , & que mêmç
dans la circonftancé prefènte , après avoir tenté,
on ne peut ni écrire 9 fois y ^i g fois 3 .parcequç
les refies qui fe trouveroient d«uis les premières
& fécondes tranches ne fèroieivt pas fuffifànts
pour qu'on en pût encore retrancher la. valeur
de 3 iïl^ -4- ^S c'efl pour cela qu'on n'écrira
que 7 au rang dès racines. Il faut enfuite multi-
plier ce fécond chifre 7 c= ^ de la racine par 8 »
cela fait ^6 qU'on ^retranche de 61 , en imaginant
4 dixaines avec le i de la première tranche,
cqmme dans la diri/ion , il reflie ; .qu'on écrii
fur I >.& on retient 6, Ap^ès cela on dit 4 fois 7
fontiS , & 6 qu'on vient de retenir font 34 qu'on
retranche de 41 , il réfte 7 qu'on écrit au oelTus
4e !• Ce qu'on vient de faire cfl la même choie
que fl de 411 on recranchoit 3^^;= 5 4 4 ^ produiç
ce 4S multiplié par 7 , & qu'on écrivit au deffii^
îc ^eftc ?;• Enfuite ppur fati$f|urc au troiftçW

Atgeire. itt

pjodttit ^ahb^oïi multipliera 49=^^^ , qni eft
iequarré de 7 pax le triple <le4quieftu = 5i».

I

i

y 7'

*^4

on aura pour pro-
duit ^Z^-z^^a bk
qu'on écrira , de
forte que ibnder-
iiier chifre 8 k
trouYC (bus le cSi-
fre y délai® tran-
che. EnHiite on
fooflraira ce nom-
bre fS»"^ ce qui
refte au deflus, comme on a cnfcîgnc dans U
(btiftra€don,& on écrira encore le refteau dcflîis,'
s^rès avoir tranciié les chifres précédents comti^

_ e

4r

ûmrifef, . Enfin .4on écrira tncofe iti ddlbos
Î45 — ^*"qui eft le cnhedc 7 , qu'on 'retranchera'
a la manière oïdinake de ce qui refte audéflits.
Cela étant fini'^jans ces :dcux jftemiereï tfan^
fihcs , on patfera à.la ttoifî^mc;
■ Il faut prefeucmcm remarquer que les deitr •
«lûfrcs 47 de laracineqtt'^nràterdie ^ront ex-*
primezpar :/» ; & que dans le ettbe'«> •4*'3 d^h
^xabh *+î ^ , qui reprefexte le nonibre pro-'
F>é; dbnr ^n veut ^doer : la xaciae <ciibe , heuir
vtqoas (te GQmiD^b\n|citie.îucube #> «pg

K ii

ux^

Sfiûfêiti Partie^
4a

47*

eft 47 , il refte encore i coimolcr^ U ir»]ettt
CR ckftes'de Fàiitre ladne qui & tcotiTe dam k
A^ produit ^4^. La valeor de ce piodatt fe tiwite
iaa$ ce qai Tienc de refter de ka^ crajicfac ^ éc
dians le ptemier cliifre de k 3^ On tiiplexa dont
k ijna^é de 47 qni eft ^^27 ess | ^ 41 , qu'on
fcrira pour diviiênr , de forte que ion dernier
chifre 7 iêtionveibos kpsemiei: dùfie o de k
^^ tranche. An lien qi^ faut palTer de k V ^ ^
l^tranche 3 $*i^ &IIoit pa&r de k )* à k 4'', on
raiyroit toujours k même méthode. Après cek
on fait une divifion , diCuit î en i) combien 7
a t-il de fois 6 , on l'écrira a fais aç rang ài»
fainnev, Enfiiite on multiplien ^^a7=5i«>
nancrlBonbir aa»& , toèiniex)» Vklit deftiKi
|ipr(qtt*Qn atiottTé kclii&e 7 , ^ on aura pooi^
pmiir T9zf4 3=)^«i5 qu'on fetrancheia de
3^|fo^uî tontkt dùfres leftantsdek x^ trindhe
9c le presaier ^k ^^ On aura pour icf^ s^

£éh éi^aot^ribs^ ^xo qû&nt ks ditti:
iviears" çhiftes de «le minabie'k^^iD- ^ «pU^
a>N»ic tfaaelié k» pftoedents;, Bftfince tm^ laiii^
tipdîer». k tôpk de 47 ssmi pai^ 4 quarré ^
% =s^ demkr chifte ttoa?é de k racine , oit
«ua pour pi!od«t jAf ts|»é^« On toim

V* JUgeite. itj

^ iwnlbit âS. defibus des- âttcre» /de fone que
ÎBKk éemct chifre. 4 imt feu» le 1' de la ^^
Hanche. Après cela, on retranchera à la manière
OBctBtaif c ce iK>nifare ^4(4 def^^c^i (è crouTenc
aa détins., il xeAeraa qu'on éefita fur k dernier
j$ dtce nombre^â^tès avoir effiicéks pi*eçed6nt^.
^Soin des «7 qui reftent , on retranchera S := ^
«bIk da demier-chi^redb la racine', ft il lefterâ
«Qcore i^ qu'on.fepaiem^ après ayoir tranché k$
anerésçomme inutâes; ^

fit partant on coÀciUera que là racine cher*
chée.471 n'eft pas piSélëhient la rfecine <^biqae
du imnbre propoCé ; mais que fi de ' ce non^re
^lopoScon retcandiott les 19 qui reftent , on au^
^oit ^ur reftc on nondnfe cube,dont là racine eft
iptécmment 471 , qui eft ce qu'on cherchoit par
«et» opération. *

Fnir.ticier la racine abkintdé^it^'^^aat

-H^ f^h be^^i^h cc'^tOj on fuia^ra là mè-
^e méthode ^ le ménie rai&nnement qu^on
^ent de mettre en. ufage pour les tunnbres , -ei^-
-cepci feulamenc qa*il n'eft point "néceilâire de
ipartagcr par tnuiclieS'de 3 en 3 les parties litté-
rales de cette grandeur , comme on a fait dans
les chifres $ & on trourera que la racine cherchée

feais-4-^i-Hi <?,

^exemple précèdent de la grandeur litterde^
dont on a âut l'extra^on de là racine quarrée ,
Jk Jcs* autres 'esrém^lesprdpofeï en nombres ,
-donnent ime: ouverture iuffiËinte pour Textrac--
don jdes lacines de toutes fortes de puiflanceè*
.Par 4»emp]e 'pour tirer la raciûe d*uhe 4^ puiC-
iaaced^one'^a^ideur pj^o^iée en nombres , oti
-partagerai lea chifreti^ 4 en 4, commertçmil de
âtffit à gaqcbo,.^ 41a prciÛUf po^ :^egk lii^

|I4 Secêfelk T^rtie*

-^ pot&nee iit 0^h qui cft vi^^ 4H<3fniK>#

«4» ^ />i> ^^ «4^ 4^i< •*!• ^ i & ainfi ^dtt aucoi

yiitfancff»

«libiqoc^ £âit omlriplm paiir cik-œta^ffilaL McinB
uofttie^ qiiijiroibiiuiê çuyffétbceite-zaeiniL
in ÊMtenTuiwâiiiliiplrf feçtsn&par^ftie aaiafefc
l^ndiit ctoavéç,k:pmtik4r€medaiissrexnHk»»
IpUCMon fy^^U cMbe 4c «cttexidiie , qm^iln
pcécilcmcnt égal an notpbcc pKppfl& ) £ jasii
«ec^oKttftAi^nilo'tioîrfMtticfté., êcisfil-itoic
«efté'^iclqttrclioft , «ti r^jmittttt â ccaibe ^a
^•û Mcjikianiiiit , , 6 on a bkn xfi^ ttanver
iuic^&inoif égak au fapûak»4»at on ^:mù^
fMÂie Tcxtuâion diekf«ctiirciiUi<|«e; ficda oi^
«ive avtrcoient ^ Topcmioo cft ^idcafe ac 0»!
faite. Pool ^tsc certain fi 471 eft TCiîriliii wmiw
4a ^racine dta nombfe xof i;40(7 poopodS dam
^d^s^ssmx^les piecedems, ou dn nombce qai
^tn app^àche le plus près-, il &Qt cvbcranrc a^
<«in^ ;^T«e 47a , ^a foacobcajoâttc te isâc
j^ , 4 on a |)icn xcuffi , oa trouvera 'tnlin II
^icaobiff 4ant on ('étmt.pxmoTcdVxtBaijK lass^
^ine. QvL agiia4e vitefte à T^aid dta a«M|l
'«cdz^lcs*

Un NoQibxe n'eft point on nooofaexjwcrf^
jQr(qa>»n ne peut tiMTer on aatrciONKiibse <n^
iif;c / lequel emi miiltiqpiiépfiu^hû^mênne^ dosH
ne unjiodw ^ggl a ce pfcmier nombcé; On en
.jiigcra de m^mc <tli aoniibrc qui n^eft point cobé,
4c ainfidcy-aiurestpiuflânoea : tek iQiilitlernDiif-

.^. •. *« '*^l

|iiie ncmm ptcmnaïayt «ne ndne^qmnéf
ii%a iiMohft qui n'cft poimqvané^ «n fcaccc^
fendant tsmiTcr «inç mciore »^ affirochc«ft £
|Kis4c Jbtcafiinc clKidiic 4( ce iioimif q«iÀ
prâit qouxé , que Teicés de cette xacine cliex«
chceyacdfltfis la. tâcineigogyfe., Atm mftindit
i^ Taleiir de celle fiaâion oa'on ¥#iidrà
Aiofi «A 'a «a «iKQfeR d'afgpiDcher i
de lacackie quacrée do o^^nbtt qui a'cft

£im (çujxé. finfia qm^ ie nombre cnâei
ntonnefCiittiùaTCtla ficine^ ncftit Mf
an nambic opuU 4» un noBtibce oibe^ Icc» d^
ae lacine connnc de detenoinée i»ac des noo^
tme^jmaàas ^ oQ]ias«des«imexilt 6attfloti.m
lie GmifideœcqKiuiaiuaoïiiooejmiioiiilv^
xi, cube, Sec, de la racine inconnne c^u'oa ne
fevc ttaavei^fc c'eft cette confidecauonqotocMK
doit àrextiaâioad^anencine qui am>xocliefi
|liibdektiafiinexherdiée»«i^ne.t'ai raudca fÊ$
telle fiaâion qu'on vondra détenmnei, qu'on
^Ut^BOisoiitsé aa jofte iUraoâie de cenombs^
- J^:iq{le .geneiale fomt pamnix ix^cm.Mf»
proiimarion eft deonnltipli^ le nombre propo*
li^ qu'on ooafidere coiiune kyiM&nrp dont cm
>eQt exoraire la racine, par lapuiflânce (èmbla-
bleda nombre qu'on teiu être le dénominateur
de la firaâion y qui Csfz jointe à 'la tadae du
qnaxxé qui approchora le >pki$ pris du non^bie
'propofé. Par exemple fi on Veut trbuver la raci-
ne approchée ie ^^^ on £ût d'abord réflexion
que la racine dunond>re qnar^, qui approche le
plus prés de ^9 , c'eft ^« Mais le qnarré de 4
n'eft que 5^s il faut donc daranuge que ^. pour
!i?îre la racine quarr^e de 59 ; il fimt moini aup
.7^1 parcequc le quarré de 7 cft 49 , qui cft pluf
(rand que j^. 3nfin il faut donc afoucer i iuai

\i€ Se€êHd^ Tdrtie. • * />

Ccaàion, je forte que le quarré à» €i & WtC* .
£ra4Hoii approche. des 99. datant qit^oa v<»idcai .
Je iteQX par eacemple <}a'à oettc zttcine >^ oa .

joigne 4et cteizi^aiet, & qu'il ne «'en faille

- » . • ■ ...» .,••-'.-•••

^ >--> qa%ii -ne if^kc ^ préciflbnentJir iraciiic

* * »- . 4. < « .»..■.... ^ ^ *.» . j

de 39. Il fiiut eonfideret )9^cttiiiine texvqaaixiéi^
Vient dn ckerclie k racine-, 9c à caolè des. trei* ^
kiéoaes qa'on veut aroir ^ il faut multipliée cf si
honibre 39 par li^ofiiéi leqoarré. de 15 y- 8c oa «
aonupour produit ^^91 , donc on aura pçNur.ratf' . :;
€kic qimftee gi-tefte 30% On* ncgli^a ce xefte^ •
)0 , < & on fera (èulement attention 4 ^settt çaciae 1
ti , qu'on ditiferapMT 15 , qui cft la. racine d«

quané x^; acoa aura pour quotient $ ^ «Bt

partant on eoncluëra que € ^ at^oché £ pat$

de là racine cherchée, que Ji on ajoutoitnntreî^
ttcmc , on auroit une radne tiof gtsoiiti', far-*

«eqoe k<pmtéde«--^«ft ,-7;«j9j^ , »

lieu que le quarté de 6 — eft — = xZ — .*

On doit opérer de la même manierjC i l'égard
des autres nombres dont on veut exttùic l'es ra*
cincs approchées , & ce afi*an dit à Tégard des
treizièmes '5 on le peut dire de même de toute
autre firadion qu'on fe'veut propofer.

Mais à caujfe que dans rapprôximation des
raciiiBs ouarréés , cubes ,. ou toute autre que ce
ioit^ il çft bçj^ucoup plus ïacilç de fe fervir dêj

r ;

' .-i

ikDÊmet» qÉ'aii appâefriâioaf diôankè > mi
«mtiémea» on imlÛcmcf pMOci > 4ec. pour «o»».
tet à U ncine du aomiMre qaaireqiii appiocae te
1^ pcès de œlm qo'on fe proposé. C'eft pour
cdaqoefionTcociiûxe i*eztnkâkinde|jijaone
qinnétd'iin aoiqfase qui n'cft poiot qMiré^ ci»
s^ooteâce nooibre^ OypaioBfi'il6ttwiTepar
oe m^eamdlc^lié pat loo , qoarré de lo^ Si
«Ml écrit cnTiiite a ce nomfcie ptopoS qncse ae*.
Ms , ii ie uuiifent mnkipiir par loooo , qui
•ft kqoanédeioO) AT alors lut aua peMtme*^
tion des çentifanet. B"fc* oBand on aiouK dca
«ros, ilfaatto&îotnlesajoftnrdeuz i doua
canfie des cpusm dexo, loo , xaoo, te, Qm
ym puce wofok xpti pi» on ajoAma de «e^
M», pbsla xsftciiiemnréeappiocfaesa de celle
tpton cherche. On cft par ezenqde pbs affilé

' ^nrwpte pour %yck k tu&ie aj^oocki^
4e 14, i'^QU&B eB6iifedc;L4demteim^.âcpat
ee«jytAi4 ^ tBomreiÀ xpuhiplié pat loorqni
dftie ifÊàtii nlf lo , ccqui pi)odhûaia40tt dool
on antapoDT xadae 4!, leAt ^â qnTon acgii*

gen, &;oD dmftca4S par 10 , cnaiim 4-?^

;=4-^,qiiiiba Jacacûie qaaxîée apptocb^^

■ ■ -^ . î ^ . '

. ^l^onmll0ie fidae ^: «^pommarioii Teit
tnââondelaiBoî<ieciiluqi«4*t^iflofi^ qttÎM
feroit pxt<3ube, on Int ajoocfifoie f xeros , oq^
'^M » QB s ^ te. pMCfpUott k «mhar fit?

ïlff Seconde PânUl

po(S étant coiifideré comme cube de- U racinéi*;
cherchée , iè trouverok multiplié par looo , qui**
eft le cube de lo 5 ov^par icooooo , qui cft leij
cube de 100. Enlîûce on tireroit la racine cnbiqne;
de ce produit , & on diviiîbrûit cette racine trou^.
▼ée par tô , ûon avoit a]outé 5 zeiosy par >xoo«* :
fi ttn en aVoit ajouté 6 ^ 9c^. on auroit an-;
quotient de cette. divifion la rasine ciÂique
approchée qii*on chercheroit» . - t .

Si on Tcmioit faire par apptoximatidn Wcr^-
tradhon de la racine 4« d'ttn nombre qui ne &^
loit pas précifémenc une 4c puillànce , on lui- •
ajouteroit 4 . zéros , ou S zéros , &c. epfnice: .
•n feroit l'eztraâion de la racine 4e , fuivanx les^
règles générales qu'on a pratiquées pour les ex- .
traâions de racines quarrées ^ &c« enfin on ope*
Àrôit , comme on Tient d*cnièigner.

X,aceititude de cette pratique eft.facile à com-*
prendre. Sbit. le nombre 39 qu'on vient deprc^ .
poter d^s un des exemples, précédents 3 puisqu'il»
eft con£deré comme un quarré dont on cherche
là racine , on atira ^^ 3=: i^a. Sort l'autre nonlbre

Îris à volonté 13. = ^ , dont le quarré i€$ ^:^,k b f :
on^inukiplie iSii par b b^ on aura 0ébb ^^èonxt
la racine qoaxxée eft «^ , puifque m b multiplié. :
par lni*mcme, produit a^bb. Or cette xacin9
j»^ étant divifte par b=n ^ donne pour quo^ '
tieat » qui eft . la racine dcss^at 39. Soit par
fexemple f6 dont on cherche la racine cn|>ique : .
puilqu'on confidere ce nombre comipe c^bc ,'
«n aura x^=>»'. Soit un autre nombre , par :
exemple 1000=^ , dont la racine cubique efli
lé =^ $ fi on multiplie a^ par b^ , on auratpour !
produit a* b^ = f ^000 , dont la racine cubique ^ .
t(t b. Or cette racine étant (divifëe par iqss^ ,

Atgebre. xi^

\On fera un pareil raifonnement k Végzrd de
Tcxtradion de la racine des autres pmtfàncc»
iorfqu'on veut avoir des racines approchccf.
On voit évidenamcnt que la fradtion jointe au
nombre entier qui eft la racine exaùle de la
puif&nce qui approche le plus prés du nombre
propofé feroit précifcœent la racine ciicrchéc
9'il ne reftoit rien après ces dernières extra-
dions. Mais àcaufe de ce rcfte qu'on e/l obligé
de négliger^ on ne peut avoir que des raeiiKi
approchées*

^■;^^m.-ii^ i*.^

DES RACINES

dont an ne f eut faire textra&im
exa&ement.

t. T TNe puiflànce par&ite eft celle dont oa
\J peut extraire la racine fans reitc. Par
exemple *» eft une puiflànce parfaite j parce-
^ne û racine exaâe eft «. Le nombre ij- eft
une puifiance parfaite : mais a b n'eft pas une
puiiTance parfaite , ni it , &c.

A. Lorsqu'on ne peut faire l'extraâion de la
racine d'un nombre propofc fans qu'il refte
quelque chofe , fouvent on fe contente d'expri-
mer cette racine par ce fignc V , appelle Signû
fadical. On écrit ce ligne devant le nombre pro-
pofë, & Cuc ce même ligne on écrit encore un
chifre qui eft Texpolant de la racine dont il s'a-
gît î on l'appelle au/îî fexpofunt du fignë raeU^
'^» Par exemple,pour cxpzimci h rac^iequar-

t%6 Secondé Partie*

t èjr

rée , on écrit V -, la racine cubique , an écrit V j

4
Ift racine de la 4* puiflance , on écrit- V » &c.
Lorfqu'on écrit feulement ce figne V devant
quelque grandeur , cela fignifie racine quarrée,

z
Par exemple cette expreffion V i f 8, ou y i ; 8,

î
«gnifie la racine quarrée de i; 8 5 V^ ^ , c'eft
à dire , racine cubique de a b. Si la grandeur
dont on veut exprimer la racine,à pluficurs par-
ties 5 on écrit le figne radical devant cette
grandeur , & depuis k figne on mené une ligne
au delîus de ia grandeur , pour marquer qu elle
cft toute ious ce mçme figne. Par exemplç

y 4t. '^b c y cela fignifie la racjuç ^^ de ab
^^b ;& ainfi des autres. Pour exprimer la ra-
cine dont il s*agit , on le contente d'écrire le
figne radical devant les grandeurs littérales
dont on ne peut extraire cette racine fans qu'il

y ait un refte.

3. Les racines fourdes, ou irrationnelles, font
celles qu*on ne peut exprimer que par le moveu
de ce figne V , fur lequel on écrit z , j , ou 4 ,
&c. pour expofant de ces racines.

4. Les racines imaginaires ou impoffibîes
font celles des grandeurs entièrement négati-
ves & lorsque les expofans de ces racines font
des nombres pairs. Par exempleV — ^58, ou

y ii,ouV — /»♦, ouV — dd^Scc. font

des racines imaginaires ou imppffibles, Parce-
qu'on ne peut trouver aucune grandeur telle
qu'elle puifiê être , foit négative ou pofitivc ,
dont le quarrc ou la 4? puiflance , ojila ^* , &c.

jilgeiré. ïlt

fecnc négatives j puifquc , comme on â tû [•]
dans la mukiplication , -i- par -*- , ou — pax
— , produit toujours -+• .

Quand on veut aprofondir l'Algèbre , les ra^
cines fourdes font fort.frequentcs. Parceqae Yct-
tradion des racines , principalement de celles
qui /ont quart ées , ou qui /ont cubiques , eft une
opération fort ordinaire. Outre cela il eft certain
qu'il y a plus de nombres qui ne font ni quarrez
ni cubiques , que de nombres quarrez ou cubi-
ques. Par exemple, depuis i jufqu'à 50 il n'y»
que 4 , 9 ^ lé , & if qui foient quarrez exaâe^
ment , & les autres nombres 1 , 3 , f , 6 , 7 , &c.
ne font point des puidànce^ parfaites. Ain/i il
eft éyïdent qu'on doit trouver fouvenc des
racines lourdes. Or on peut ajouter une racine
fourde avec une autre racine fburde , ou Tea
fouftraire, les multiplier , o«i les divifèr l'une pat
l'autre , quoiqu'on ne connoifle pas precifé-
ment la valeur de chacune , & ces opérations ,
entr'âutres la multiplication , font d'un grand
«fage dans la pratique de l'Algèbre ; c'eft pour-
quoi il eft fort necellàire de fcavoir comment on
les peut faire fur ces fones de grandeurs. Pour
faire ces opérations , il faut premièrement fça^-
voir préparer les racines fourdes , i**. en les re-
duifant à un même nom , ou à un même figne;
1^. En les reduifant à leurs ezprei&ons les plus
£mples , quand cela eft poflible,

"BieduBion des grandeurs irratimeîîes k un même
nom , OH même figne.

Cette préparation eft fondée fin un principe
PJ Avettiff, t^g. 77.

Jxi Sicondi Partie

Jont tout le monde convient , qui eft qu'une r^
cine eft toujours la même , c'eft a dire qu'elle n$
devienf ni plus grande ni fins petite , larfque de ra^
tine quarrie qu'elle étûityOn fait qu*elle eft racine
iuhique , ou racine 4^ • racine f , C^^« Par exenv
pic ,/cft la racine de toutes ces puiffanccs/** ,
f^yf^y /* . Ce qui montre .clairement que
les racines de ces puiiTances ne font pas plus
grandes Tune que l'autre.

Pour réduire différentes grandeurs irration-*
nelles fous un même figne fans changer leur va-
leur , il faut chercher le plus petit nombre oui
puiilè être divifé fans refte par les expofàns des
Sgnes radicaux lous lesquels font ces grandeurs
irrationnelles. Enfuite il faut éleyex chacune de
ces deux grandeurs à une puiflance qui ait pour
expofant le nouveau nonîbre, lequel fera aulE
Texpofant du nouveau £gne radical.

Soient pes racines f0gyr4es Y tf &c yfg à
réduire fous un même ligne radical* L'expofant

de y eft 1, & rçxpofànf de y çft j. Pour trouver
un nombre qui pui^è écrcdivifé fans refte par a,
3c enCuite par ) , |e pei|x multiplier t par $ pour
avoir tf .Mais parceque cette vove eft quelquefois
trop longue,j'aime mieux chercher ce nombre en
y reâechiilânt. Ce nombre é me fait donc con-

xioître qu'il faut élever Y hc Se Yfg a la 6®
f uiflàncc , çc qui fc fait en prenant le cube de

h c AcYznt lequel j'écrirai ce fîgne y, Se en pre-
nant le qMarrç àéfg devant lequel j'écrirai auflî
4 ^3 3 6

y, & j'aurai y^^ zzzYbc , & Yffeg=:

Y fg* Car cette grandeur b c tfk con£derfe
coaime un quarré ^ àcV b c en exprime la raci-
ne. Or le quarré dt b c qui eft bbcc eft la 4®
(mlTance de Vbcy puifqu'en multipliant ua
quarré par lui-mème^cela forme une 4^ puiflan-
cC'j & on multiplie encore cette 4*^ puiflàncç
bbce par ^ ^ qui eft le quarré de (à racine , cela
formera la é^ puiflànce cfaeichce. On fera le

même raisonnement -pour connoitre que Vffg g
Soient les grandeurs irrationelles Y^d Se

4 ^

y/ h à réduire à un même nom , ou fous un
même tigne. Je fais reflexion que le nombre 4
peut être divifc exaâement par le nombre 4 qui

- 4

eft reipofant de Yfhy & que ce même nom-
bre 4 peut aufn être divifé éxaâement par 1 qui
eftTexpofantde y^W. Cela fait donc connoi^
tre que les puiilânces de ces deux racines doi-
vent devenir des quatrièmes puiflances , & pouc
cela il faut prendre le quarré de Ved y 6c oa

4 4

aura Vcc dd^^Vcd, 9c Vf h ne changera

point,

Ridf^im des grandeurs irrstîwnelles à leurs
exprejfions les flusfimfles.

Si la grandeur enfermée fous un ^sne radi^
cal êioit une pu^ance parfaite , c*eft à dire ^
^ont on pût tirer une racine exaâe 3 & fi Tex^
pofant de cette puUrance parfaite étoit égal.à
l'expofant du figne radical 3 pour rendre Vcx^
preûion plus fimple , il £»ttdioit feulement ex^

114 Seconât Partie

traire la racine exprimée. Soit , par exemple^
cette exprcffion Ycci le figne raélical expriir*e
une racine quarrée ^ Se ce cA un quatre. Il
faut réduire Y ce à. c qui eft la racine de
fe.àc même il faut réduire cette ezpreflîoxi

y bh^^ tbc^ce â celle-ci , ^ — r.

Mais Cl la grandeur contenue fous le figne ra«-
dical n 'eft pas une puifTance parfaite , ou fi fbn
exporant n'eft pas aulfi Texpcfant du figne radi-
cal i il faudra réduire Texprefllon à Tes plus /im-
pies termes , lorfque cela eft poffible , en cette
forte.

Il faut diriger la grandeur propofée, par un
divifeur qui la puifTe divifèr exadement , c'eft a
4ire > fans refte , 3c de forte que ce quotient
SJoit une puiifance parfaite. Si cette grandeur eft
un nombre , il faut chercher ce divifeur dans
les nombres premiers x , 5 , f , 7 , &c. de forte
^ue , s'il eft pofiible , il loit tel que le quotient
de la di?ifion{bit un nombre quarré , s'il s'agit
d'une racine quarrée , ou cuoique 3 s'il s'agit
d'une racine cubique , &c. & s'il Ce rencontroit
plufieurs divifeurs tels qu'on les fouhaite , il fau-
droit toujours préférer le plus grand. Si entre
ces quotients > on n'en peut trouver qui foient
^^frcE , cubes ,&c $ on ne peut faire laredu-
âion. Il faut prendre la racine de cette puiilànr
ce parfaite , c'eft a dire , de ce nombre quarré,
ou cubique, Sec , l'écrire devant le figne- radical,
& écrire le divifeur après le figne radical.

Soit propefée Y a^ b pour être réduite à l'ex-
prefiion la plus fimple. Entre tous les divifeurs
qui peuvent divifer exadlement A^b ^ je trou-
ve a ^ qui le divi(è de telle manière que le quo-
tient /P i» eft un quarré dont je prends la racine a
^c j'écris dcvwitle figne «dical, après ce up^ê»

pt fignc J*&rî$ le diyifeur n h 5 & je trouve
^K*î au lieu de V 4» ^ ^. J*ai choiu un div>-
bai tel qu'il m^ dqnnQit un quarré pour quo^
tient. Pvceqae 'Kfignifie r^c/># qté^rrée^ S'il jr

Avoit eu r A ^ ^ , il jurait fallu prendre h poot
dirikox y afin d'avpir pour quotient un cube û^

Toir * S & j'aurois écris * y *. On trouvera de
même qneVddf^z iYf\ puifquerf = y^*é
Car multiplier y/ par à^ dont k produit cft
à'Vf^ ou multiplier y << * par Vf, dont le
produit eCtydii/; c'eft la même chofe.

Soit encore cette autre grandeur Vhh c^ à
réduire à une ezpreflSon la plus /împlc. £ntre
tousJcsdiWfeursdc^^c» il en faut choifir ua
qui donne pour quotient un quarré. Je trouve
que c'eft # qui donne pour quotient le quarré
ihcc dont j'écris la racine V c devant le fignô
radical , j'écris le divifeur c après cefigne radi-
cal ,& je trouve^!: y c. De même y/**^^ fera
Kduite k fH^hV b»

Soit enfin cette racine fourde ySo , je la ré-
duirai i cette exweffion plus fimple & équiva-i-
lente j^Ys , c'eft a dire que la racine quarrce
de 80 eft la même chofe que le produit du non**
bre 4 multiplié par la racine quarrée de f . Car
j'aydivifc %m par;, & j'ai trouvé pour quo-
tient le nombre quarré i6- Si )e multiplie pre-»
fentement 16 par ;, j'aurai [']«o. En multipliant
i^par ;, je multiplie ['Jaufll la racine de i^ par
la racine de f ,& le produit de ces deux rackies
eft égal à la racine de 80. La racine de U eft 4,

[^]\Cêf. 5. de U divifimfag. 41,
l]D€monfirAt. d€ h idfduf.dis m. f$HYdt$

ii6 Seconde Pdrtie

c'cft pour cela qu'on écrit 4 y f au lieu de VsToi;
Cela eft facile à comprendre , puifque 4 = 'Ki^
& que multiplier V itf par V j ,oa 4 par Y f^c'cft
la même chofe. On réduira de même Vixj^^h
à cette eiprefHon équivalente t «1^3 i» ^. Car
le plus grand divifeur de ii a^ h qui puiffe don-
ner au quotient des quarrez y fçavoir j^ de as ^

Si la grandeur propofée (bus le fîgne radica),
Étoit une fradion 5 & s'ilétoit poflîblc de la. ré-
duire a une ezpreflion plus fîmple : il feroit au»
cant facile ày réui&r qu'à Tegard des autres .

fraudeurs . Car pour cela il n'/ auroit qu'à re« *
uire le Numérateur 2 Ton expreflion la plus
iîmple , & le dénominateur pareillement à Con
czpreffion la plus fimple ) & alors ce numera*
teur Se ce dénominateur ainfî réduits , fcroient
le numérateur & le dénominateur à'vtac nouyeile
fraéhon égak à la propofée»

Soit y par exemple , V à réduire â fon

d df

eipreflîon le plus fimple. Le numérateur fera
réduit à h Vit c^ ic le dénominateur fera réduit à

^ Yfi dpnt on formera la fradion * qui fera

égale à y^.

. Si on propofeyiî^J^, ouyi^*— ,à

réduire à l'expre/Con la plus fimple , on trouve
4 nY/^ab

î>^3

• Mais Je numérateur de cette ÎUr

Algihrc. ' irf

éËon — fc tioayant nmltipUé par V t ^t:

étant en même temps divifé par Y^i pnifque
la Diyi£on détrait ce que fait la Multiplie^*
don ; on aura, donc encore cette fra^ion

rédaite à fon équivalente ■ ■ <

REMAR SlVE»

Si on élevé ce qmeft étrit devant le figne ra.-
dical , à la puifiance exprimée par l'expoTant de
ce même ugne , & fi on multiplie ce qui eft;
foas le figne radical par cette nouvelle puiflan-
ce^ aa lies d'une ezpreffionplus fimple , ce pro-
duit en donnera une plus compofée , 6c on pour*
xa mettre le tout (bus le même %ne radical,
pour avoir la même ezprefCon qui étoit aupa^
lavant la réduâion-

Soit , par exemple, ^hy^af. Si j'élève 3 ^ jl
lapuiilknce e^prj^^e parV, je trouverai ^h^
pour le quarxi4e j ^ . Si je multiplie ^ b t par
a*/, je trouverai ^Zbkafy & remettant Iç
figne radical Y 4evant ce produit , j*awrai
>i8^^^/r;;?3^yi*/. Ceci fert pour s'aflîi-
let fi on a bien fait la rédudion de la grandeur
irrationnelle , à fa plus fimple expreUîôn.

Par ce même moyen il eft trcs-facile de met-
tre une grandeur propofée fous un tel figne ra-
dical qu'on voudra , en l'élevant à la puiffancc
du figne radical fous lequel on veut mettre cette
grandeur. Par exemple , fi on veut mettre b c

ibus y, il faut écrire Yb^fc* .
Lorfqu'o» veut réduire des gran4e«« vra*

îiS Seconde Partie

tionocllés à un même nom , fi elles dvoient dcjal
été réduites à leurs exptcllîons les plus finaplcif j
il faut les remettre dans leur premier état , en
mettant le tout fous leurs figncs radicaux ,
comme Je viens d*enfeigner.

De l'Addition des grandeurs irratimnelles.

La méthode générale pour aflcmbler pluficun
racines fourdeS eft de les écrire de fuite , en met-
tant devant chacune le figne radical avec l'ci-
, pofant de la racine qu'on veut exprimer , éccn
interpolant le figne -4-, Par exemple cctré
grandeur Ybc fera ajoutée ^Yfg en cette ma-
nière y ^ C'JhVfg . Pour ajouter la racine ca-
bique de 7 avec la racine j* de 14 , il faut écrire

Les grandeurs irrationnelles étant réduites a
desexpreflîons fimples , & étant de même nom,
ou réduites aux mêmes fignes 5 û les grandeurs
qui font fous le figne radical font égales , il faac
ajouter ce qui eft devant le figne radical , &
laiffcr fous ce même figne ce qu on y a trouvé.

Soit par exemple 4 V x i ajouter avec 5 T i >
il faut dire 4 & 3 font 7 , & écrire 7 Yx pour li
fomme qu'on cherche 5 ce qui eft évident. Car
foit Y tz=a , On aura donc 4 Vx = 4 « ^ &i
^Yz=z^ a *DonC7 yz=7/» . ,

KEMARQJOB.

La fbmmc des racines de 19 & de 15 eft pli»
grande que la racine de 41 qui eft la fbmme de
19 & de zj : de même que la fomme des racines
(ic 4 & de 9 eft plus grande que la racine de 13

Algthrel ,^a

icmicft la fommc de 4 & de 9. Car k Çomnxt

des racines de 4 ^ de 9 cft j, & la racine dcit

41 (cit pa$ 4, '

D« USoHfifMBi0n des grandeurs irrattânmelles.

Poux retrancher une racine fourde d'une au,
tre , il faut écrire celjc dont on veA retrancher
&cnfuiteçcri;:e l'autre preced/ée du jûgnc '

Pour retranche^ yf?e de yk il faut écrire

Les grandeurs irrationnelles étant réduites i
dçs exprcŒons finjples , ^ étant de même
nom ; il les grandeurs qui font fous le fignc ra-
dical Cont égales , il faut fouftrairc l'une de l'au-
tre celles qui font devant le fîgne radical. Par
e^cempie pour retrancher y y 7 de $ Y 7 pa
écrira po^r refte j T 7 .

Ç^ />» h^HltifUcation des gr/indeurs irratiç^nelles.

Il fout les réduire^ au ipoins , a même non?
©Ji fous des fignes femyables. Enfuite il faut
nmlriplicr les grandeurs donc Içs racines fonç
propofées , l'une par l'aune , & devant le prp-
<luit écrire ^e figne radical avec Ton exppfant J
cpmme ilétoit à chacune de ces grandeurs ayanr
yi'cilcs fuflènt rimltipliécs.

Soky df à mukiplier par V^.^j le produiç
fera Ydfg h . Pour multiplier Y ^ par y é , il
faut écrire y f 4 qui fera le produit.

Pour rendre raifon de cette manière deniulti-r
pjier les racines fourdes , il faut remarquer que
^ racine du produit de deux puillances de mêjDp

tjè' Seconde Tante

nom multipliées Tune par l'autre eft igale âlf
produit des racines de ces deux puif&nces* Car
ibit le quarréxAf multiplié f^tyy^ on aur^t
xxyy dont la racine quarrée eft xy qui eft le
produit des racines x &^ des deux quarrez x x
^yy- De même , fi on multiplie le cube/*
par h* , on aura le produit fffhh h dont la
ixicine cubique fh eft égale au produit des ra-
cines cubiques f 8c h àc ces deux puiffances ^ ce
2ui eft auflj évident pour les autres puiilances,
>t à l*cgard de ces s;randeurs , par exemple Yf
^VSy j*ai confiderc 9 & ^ comme des quarres
dont les racines fonr inconnues. Soit V 9 = ;ir^
àV^=4i5 j'aurai 9 = ;*: ;^, & ^=* * . Au
lieu de multiplier 9 par 6 y on peut donc multî»
plier ce qui leur eft égal , fçavoir x x par « a: ,
& on aura x x z,z=:f^ , dont la racinjC

Si les racines fourdcs qu'on veut multiplier
Tune par L'autrc,étant de même nom , ont auffi
été réduites à des expredions plus fimp les ; il
faudra multiplier les grandeurs qui précèdent les
fignes radicaux , Tune par l'autre , & écrire le
produit devant un de ces fignes. Il faudra au$
multiplier les grandeurs qui font fous les fignes
radicaux, & écrire le procuit fous ce nu me fi-
gne ', alors on aura le produit qu'on cherchoit.

Soit'^ Ye à multiplier par /Vg , je multipli-
rai h par/, & j'écrirai le produit ^/ccvant le
figne radical. Je multiplierai auflîrparj:, 8c
j'écrirai le produit fous le figne radical V pour
avoir ce produit hfVcg.

De même ^y % étant multipliée par ^Vy
donne pour produit i/ Y 14,

Pour faciliter davantage la multiplication de
ces fortes de grandeurs dans toutes les circon-

ftancciS

jilgâhre» 131,

^bances,Il ÙLUt remarquer qu'on peut écrire z
dcrmt ou après le figne radical , quand même
x/ncs'yferoit pas trouvé aupauTanc« Parceque

0=zia = iéi'z=:^—= — Vi , c'cft âdirc

II

que dcTant a on [*] fouC^ntend i ^ on confidere
^ comme une première puiflance [* J dont Tcx-
pofiint efti ; on coniidere a comme uiie fra«
^on [*] dont le divifeur eft i j enfin on confi-
dere M comme multiplie par Vi, puifquc Vi = r,
•u que I eft la racine de toutes les puifiances
de I. Il faut dire la même chofe de toute autre
grandeur fimple , par exemple ^^ ^ gjh , &c»
C*efl: fur ce principe que , pour multipliée
cette grandeur ^/Vg par Vhm^ au lieu de y h m
fécrirai i Y h m •Et y comme je viens d'enfei-*.

fner , je multiplierai <^/ pan , ce qui ne prod-
uira que dfy enfuite je multiplierai g par hm^
pour avoir g hm y Scie produit que je cnerckoif
itxzdp^ghm.

Le produit de hY^f^i cV^fcH hcYa aff. Oc
dans ce produit h cl/tk affy on trouve aa ff c^i
eft unquarrc dont la racine eft afcpx niukiplie
h c. On trouvera donc que hcV/^ ^ff=^ k c /»/,
en multipliant b c par r t^t^ff. Cela fait voir
que,qttand on multiplie des racines fourdes Tune
par l'autre , fi les mêmes grandeurs fe trouvent
fous les fignes radicaux de la 1^ puiiIance,lepro-
I duit des grandeurs qui précèdent \t% figues radi*
eaux étant multiplié par la grandeur qui fe trou-
ve fous un de ces fignes , doime le produit qu'oa
cherche.
Enfin fi on multiplie Otfyh <i par j V ^ <i , le

\^]T>imande f. d-4lgeh. fag. 7g.

ni Seeonie Pdrtîe

.roduit fe» f */W. De même cette grand«ar

V/î 17 multipliée pary/x*. ou, ce qmcft 1»

*S11 y'a ie« fr»^««»* ^«^*"* ^^ ^Snc radical,
•u foiis le figne radical , mfcme devant & âpre»
ce même figne } la m»ltipUcationdece$ racmei
fourdes n en fera pas plus difiScile. Soit la

grandeur L^ à multiplier par/VO ou,
ce qui eft lamême çho{c,i_y Xp«— -y ^
le produit fera i/v*-^, qu'on teduita à '
J^ y^i Parceqtfcn diyifanç ^ f^t h , on «
jour quotient le qjiarré —, dont la ucine~

, • r */
inultipbe — ♦

Si on multiplie — V-^-par y è , ou par

h
h

Ji, Y — qui cft la mtme chofc que Y h , on

aura --^)^ -7- P®'*^ ^^ produit qui cft égal i
ç h

^Yf. Parceque ~- as/. On dira la même

çhofe des autres.

Après ce qu'on a tu jufqu'ici , on ne trouver*
aucune diflficult^ dans la multiphcation <l<»
grandeurs irrationnelles complexes , c'cft aduC|

Ahihre; ij^

îbnfU muItijpUcation des grandeurs irration-
nelles campolées de plufieurs parties. Car il faut
âiie la multiplication de ces fortes de grandeurs
à la manière ordinaire , en multipliant chacune
des patties de la grandeur à multiplier , par
chacune 'des parties du multiplicateur , & la
ibmme de tous leurs produits formera le pro-
duit total.

Swif^gYm i multiplier ^^if^gVm .
Après les avoir écrites Tune fous Tautre 3 je dis
/ multipliée par / fait //, j*écris //. Enfuite je
dis {if m multipliée par /, tait fgVm que j'é*
cris. Je dis encore ,
/ multipliée par j^ y m /-♦- g Vm
fait fgYmcpt j*é- f^gVm
cris. Enfin g rm mul- —————.
fipliéc par g Vm, fait //-*- fg V^
Zgymm=ggm que fgYns^ggm

f écris aaffi . & je ff^^f.'VmJ^^.n.
trouTC pour le pro- 11-^^1 Zy^^Mrlg^.

duit total //-♦• tfg Ym «^ ggm.

Je trourerai par la même Méthode que cette
grandeur f/-*» 5 h V^oaultipliée par i/— wVw,

Si on fe ^pofe mYnU'^xy à multiplici
par V»«-4-^î on trouvera mnu^mxy pour
prodttit.Car nuàixy ùmt conûdcrées comme une
îèule grandeur qui efl fous le même figne radical.

Orif «f-4*;i:j^eftlequarrcdeyi»if-4-x;'. Pour
multiplier ces deux grandeurs l'une parfautre il
foffit donc d'ôrerle ugne radical,& de multiplier
num^xy par m qui précède» De même , £ on

multipUc *yf/-h^^ par *y*/pb#r,lc

154 Seconde TdrtU

produit fera h^f •^bbcc. Mais iVif^^cc

multipliée par ^r*/—<? c , feit bbYbbff^c^.

Parccque bybf^cc , & bVbf'^sc ne
font pas la même grandeur.

Si on avoit m Yn u^ x y i multiplier par j
fgm^hm y il faudroit mettre fg — h m fous le \
iîgne radical comme j*ai cnfeigné ['] 3 & alors ;

on auroit tnVnH ^ x y a multiplier par

Vffgg^^fghm^hhmm .

Enfin fi on multiplie Vit «i^ y 7» w — uk

par ybt^^Vmm^^ux , le produit fera
h c^mm-^H x , Pour entendre cela, il fuf-
fit préfentement de faire attention à Toperar*
tion.

MhîuV b c^^-V mm *^ H X

Tar YbC'^Vmm-^ux

bcwJ^y bcmmf^bcHx

^^ybcmm'^bcux.mmmm'^ux

^réduit bc^^ mm^u x .

On trouvera par la même méthode que

/

ïif'i'VHX'^y z étant multipUce par m^-^

La multiplication des racines fourJes étant
afièz importante pour qu'on tâche de prévenir
tontes fcs difHcultcs autant cjull ferapoUible , je

,-j^^ erai encore un exemple. Soit Valf^

y^a^hhi multiplier par Va h ^-^Yao—hh-,
afin de rendre cette opération plus fîmple , foit
ah=,my & 44—^^ = ». J'aurai donc i

multiplier y m '^Vn i^ziV m-^Vn dont le

produit cft V/»wH-/o V»*— otV»— »=:

Ymm'^.n:=:Vi^Ahh — aa^hb ^ en re-
mettant au lieu de ;;; & de ;» ce qui leur eft

Pour exprimer le produit de deux racines
ibardes multipliées Pune par Tautre , on fc con-
tente quelquefois de les écrire Tune après l'au-
tre, & on interpofc le figne de multiplica-.

tion X . Par exemple pour multiplier Val^^tc

S 5 ^ f

par y t rf , on écrit V ah^b c x Ybd .

Le produit de deux racines fourdes cft connu!
lorfque le produit des grandeurs dont on a ex-
primé ces racines eft un quarré. Par exemple ^
on connok que le produif de V ix multipliée
paryjcft^=yj^.

f }C Seeùfidt Partie

Di U divifim des grandeurs irrMtmneUef;

Il faut les réduire au moins à même non ^
Jtn (bus des fignes femblables , comme dans la
Multiplication. Enfuite il faut écrire la gran-
deur dont on exprime la racine à divi&r , fie aa
deflbns il faut écrire la grandeur dont la racine
exprimée eft le divifeur. Enfin il faut interpO'»
fer le figne de divifion — , & devant le tout
mettre le figne radical.

S^it V 4» i à divifer par Ycdy'û faut écrire

ah
y—; * Pour divifer / par V^ , il faut écrire
cd

f y^

Zr' Pour divifer V ^ pario.il faut écrire — ;

Pour démontrer cette operation^&ir yi8=/9

9C Yy =« : Je dis que V — = ~ • Car ^

7 *
puiCqu'en confideré i8 comme un quarré donc

la racine eft jr , on aura iS=^jr, de mêtnr
7=**. Doncy— =y^= ~W.^*

^il fallait démontrer.

Si les racines fourdes qu'on veut divifer Tanc
par l'autre étant de même nom , ont été rédui-
tes à des expreiïîons plus fimples ; il faudra di'»
▼ifer les grandeurs qi;ii précèdent les fignes ra-
dicaux , Tune par l'autre, & écrire le quotient
devant un de ces fignes radicaux. Il faudra auffi
divifer les grandeurs qui font fous les fignes ra-
dicaux , l'une par l'autre ^ & écrire le quoticnr

Algèbre» xyf

ftas un de tes mêmes fignes ; & alors on aur^
J£ quotient qu'on cherchoit«
Soit dhVm à divifèr par fh Vn , ' j'écris

par jV^ , je trourc ~y— — JLVisa

7 < T
I

f

5*il 7 a des fjraftions dans ces grandeurs ir^
rationnelles . la divifion de ces racines fourdcf

b
n'en fera pas plus difficile. Soit^Vj:» à di-»

d
yifêr f^i yVhxi il fautdivifcr la fraftio»

.^par —,, «c le quotient fera —qac j'écri-

rai devant le figne radical , U fous ce même
figne j'écrirai les grandeurs gn ^ ^« en fra-

âion , de cette manière -i. y f-^ CC qui ex^

dm h X

primera le quotient que je cherchois.

Pour diyifer — y -^vzt mVn * , ou pax

n n

m ^,nx . tn ^mx

■ — V — ^, je trouverai -— Y — peur quo-
X t mn nnx #

tient qui eft éffal z~V — '

Pour crprimer le quotient d'une racine
fcurde diviféc par une autre , fouYcnt on ne fait
qu'écrire la grandeur a divifer arec fon figne
tadiçal , & au delTous on écrit l'autre grandeur

ii8 Seeonit Partie

atuffiarec fon figne radical , & on inccrpofê fe,
figne de diyifion — . Par exemple , pour di-

Tifer y* t »+ */par r f d , on écrit

Ycd

s

f 5 v%t
Poir dixifcr V^Z par V», on écrite • Dç

rnSme des autres*

2) £5 COMBINAISONS

^ des changemens et ordre.

UN nombre de choies étant déterminé , fi
on les veut toutes prendre deux à deux ,
«rois à trois , &c. & trouver toutes Iturs difpofi-
tions ou conjonâ:ions ^ l'artifice dont on fe
fcn pour 7 réuffir exadement eft appelle Corn*
èin^ifon. Si je veux , par exemple, combiner cei
quatre grandeurs , ou ces quatre lettres de TAl-
phabcth , /» , ^ , i » 0 , & trouver toutes leurs dif^
portions en les prenant trois à. trois j j'obferve
un ordre , en commençant par /> ; & je combine
a avec lui-même , & avec tous les autres # , < ,
&c. en cette forte y aa , a e, ai , ao, Enfuitc
je combine e avec a , avec c ^ i^c. en cette forte

m.^t . A.èé » Je fais la même cho/e i. Tégsurd
3e i^ de même enfin à l'égard de # « Et je trouve
.que CCS quatre lettres /»,e.,f, #« penrent êac
^combinées en (çize inaniercs diflereoces en te
prenant x ài. Pour les prendre.) à 3 , je corn*
jnence à combiner « arec «i»,i» «^ 4cc. <c j'ob-
fèrve le ntême ordre que dans la première cooi'»
i>inaifi>n , en combinant enfiiite h tgrec ss , « .^
^c. Je trouTC que ces 4 lettres peuTent étic
.combinées en ^4 manières en les crenant 3 a 5.
Ge qui me fait appercevoir que , ft je multipUç
iS4 par 4 qui eft le nombre de ces 4 lettres j jt
.^rouyerai qu'^n peut encore combiner ces 4
lettres en tf6 manières , en les prenant 4 à 4,

f\cp€ux faivrc la même niethode pour les nom-
res qui feront plus grands. Ixs Logiciens con»«
iioifTent l'utilité de ceci pour trooyer Jevrs 44,
modes. Je me fuis auffifenri de cette méthode
pour trouver trois parties différentes dans la
prop. i|. de la Géométrie , Se pour eu trouver 4
aans la prop. 14. Dans cette dernière oceafion
je néglige les combinaifons dans ieCyacUes la
même grandeur fc rencontre deux fois, 5c celles
qui ne font différentes que par la tranfbo£tioa
des grandeurs. Parcequ'cntre quatre dinerentes
ichoUs pxopofécs , j*ai intention d'en - fuppofcr
deux & de prouver les deux autres^ L'an des
combinaifons eft fouvcnt fort utile.

Leschangemcns d'ordre ont auffi leur Jïierite
particulier. Ce n'efl autre chofe que la méthode
Ac trouver en combien de manières plufîeurs
chofcs propofëes peuvent être placées différem-
ment. Je veux fçavoit , par exemple , en com-
bien de manières différentes ces quatre gran-
deurs, ou ces quatre lettres ^,/, |>^> P«ï-
vent être placées. La prcniicrc g prifc fettlc ne

140 Seconde Partie ,

peut êcrie placée qu'en une manière* Mais fi om
lui joint la A® ,/ i on trouve qu'on la peut pla^
cer c» 4cux manières. Car on peut mettre /dc-
îrant ou après e , ce qui fera jces deux tchange^
mens de place /«, ef. Si on 7 ajoute .une $®
qui eft^ : il eft évident qu'on peut mettre^ en
trois places de fe , fjavoir au commencement j
& cela hïngfe i au milieu & cela fcrz^fg e itf: \
ihSn^Sc cela fera fe g. On peut auflî faire I4'
jBiême chofe <lans ef. Ce qui fait voir qu^on
peut placer irois cho{es en ilx manières différent
tes. Si j'ajoute une 4c lettre , je confidere que
cette 4^ lettre peut fe trouver en quatre places
dans chacun des fiz changemens dont on a trou-
vé que trois lettres étoient capables. D'où je
connois que quatre choies peuvent jètre placées
en fix fois quatre difièrentes manières « c'cft a
dire en yingt^quatre. Ce qui fait encore voir que
iî j'ajoute .une ^lettre en niivantle m&me ordre
qu'on vient de pratiquer ^ ,clle peut faire vingt-
quatxe fois cinq changemens : Ôc ainfi de fuite.
Cette méthode peut fervir , entr'autres ufàges,
pour trouver tous les change^iens poflibles des
lettres d'un nom , afin de choisir celui qu'on
▼Qudra. C'eft par cemojen qu'en nefaifant que
changer de place , les lettres du nom î d'un
fçavant Philofophe de l'Univcrfité de Caen ,
nommé Fetrus Çsli , on a trouvé Pater Lucis,
Ert tranfpofant les lettres du mot Legica , on
tfouvc C4ig^»

AVERTISSEMENT

A

- Dans les désionftrations fuivantes des prop.or-<
tions des grandeurs , j'employcrai les expreffion^
générales d'Algèbre , cro/ant par ce xfXoycjB^

klùeaz (atisfaire aux applications preiqu*infi-
ràcs qu'on peut faire des veritez que j'/ établirai.
Je préfère cette voje univerfeile , Teftiinant
davantage que la manière dont on a coutume de
fe fetyic.dans la Géométrie .dans laquelk , pour
démontrer ces mêmes veritez , on employé ordi-
nairement des ligues .j & apr^ cela on prétend,
que ce. qu'on, a dcjïiontré par,ces lignes , &àré-
gaid de ces nnêmes lignes , doit avoir la même
certitude pour les furfaçes » lesfblides, lestiom-
bres, & pour toute autre efpece de grandeur. Il
arrive Hiême allez fbuvent qu'on fe contente.
dans ces circonftances de s'exprimer par desr
diiftcs. 11 êft yrài quç.les cHifres font utilrfs pour .
rendre plufîeurs veritez plus fenfibles ; mais ils ne
peuvent jpaiîèr qije pour dps exemples, qui nc.
pfuvent fervir de preuve/olidç pour une démon-
(tration générale.

Ceuzxpi commencei^t à s'appliquer à l'étude
des Mathen>atiques , trouvent fouvent de la dif-
fipulté à croire que Ifô dcmonftrations des pro- ,
portions faites par ces deu;z dernières méthodes^
ayentaut^t d'ctenduè\ que leurs Auteurs leur en
attdJbucnt j c'eft poijr cela qj^e j'ai mieux aimé .
dçinpntrer ces veritgz p^r des expJ(;eiEons d'Algè-
bre , qui conviennent i toutes fortes de gran- .
deurs'^-àfin de pefuyoir me feryir de ces mames
veritez Conime d^ principes incpnteftables y.
tint d^gis ,1a Ge;oiiietiie , que dans le reftc des , .
M^tiipmatiques._ Je ferai en foiitc.que la manière :
dont ces veritez y ;(cront démontrées diniinuèfa .
lenôntbre àcs propotfçiops^ fg^ns en diminuer l'é- ;;
tendçç'i que l^riouveai^té des déniçnftratiqti^jfic..
Pftiçiera aucun pi^udip^u^à iw fimp^icité ^*^i
confervera la' vérité dans fa force , daiis fa pu-
reté , & dails fon'évi^e^çç qui en;çft le. ca^ai^jC
infcparabtc, ' ^ ' 1 iij'

Il*' Seconde Panie^

méimmmmiÊmimimmmm

DES PROPORTIONS

DES GRANDEURS

EN <5ENERAL.

PREMIERE PROPOSITÏOR

Arithmetifiéf , ift ég^e % hfmme ihs termi
moyens»

EEMONSTRATIOK.

S<)îene <n propordcm AntkinetiqHe,ces ^Bacie
grandeurs W./:^. ^jou i, j :7,io, il&it
démontrer que radditien de W ayec ^ , fonnevsc
fo^me où total égalcâ celle de/& de g j c'eftâ
dire , qac é^ h ss/H-^ , on qne i «hio «b;

H-7*^
Qoe k diflèrence de ^à/fek iiu>fnmte^,la

la diBerencc de jf à Ar fera donc f ) iwffi *. I><xfi>
fi^</ &f <* , Ucft évident {») ^uc ^-|-*
=*/*, & qae;-^^ =e=^, gc paitant ks quatre
tfll-mes de cette propoitiofi peuyent ^re réduits
à cette eatpreffion W. /^•i»/i:f.fH*^. H 6«
<l^nw démontrer que le i^^remier eennc iâc k
^dmkr qfiieftj^.«»^^rts^ki6{nibk, &ftt %am

mfxmat i'^iy^ ^fwmt tfAéAg ^fém

cafanbk , c-eft à 4ize, que W«4-x^-«-^z=4
*f^^;*<?e<]tii eft -évident ^ j^ttfipie ëe pâit tc
d^inze da fignc d-égalké il 7 « des grandeoff
égales oitr'elles , ce ^fiiifâUmt èenmmtr.

Sid'^fec i^ h ^\2L demonftntioii ferafiû-
te comme lapieosdenee^ «a lien dto pcemier ter^
tmà^ ^n n prendra ^ «4-/5 ait l^ett de f on
prendca ^-4-i& 3 on bien aulieadalÎNJondtemie
/, onpsendca if^^^i dc^ui lien de A, on pien«i
dttf— **

Ceue proportion 1 • f : 7 • to.ieant la même
qtticdte-ci, i.a-l-) : 7 . 7-I-3 ,îl^ivideiie
ope les termes moyens A «4-3 «4-7 £int la mèoMT
cnoiè que ia iomme des extr^es 1 -+- 7 -4* } i ft
panant qnïly^ ogaiité^ie poct^ à^Mttit«

COKOllAIRE î.

OonciUm une |n:ogrelfion Aricfametiqoelâ
ïbnune de dette termes également âoignez de»*
deux extrêmes , eft égale à celle des exti^mes,
Sdîc une progreffion prx& à volonté 5 par exem«
pic , -J- il. r. /. ^. fe. Ces termes f2t; ferait éga-
llment éloignez des extrêmes i 8c ^ 3 il faut de-
liaontrer que f-**^=<^-Hfe. ïl y à (*) même
dmèrence oitte il&«^ qu'eamef^é. Donc ces
4^andeurs i. «. / . Jb. font en proportion Aritin
metiqiie 3 ac (3) panant dt-i-jbsse-f-x,

COROLLAIRE II.

* t)ans une proportion continue, ou dans und

Liu;

nS Secondé TdHii.

pfOgrefliondpm.l^. nombre des'termeseft Im-
pair , le doub^ . du terme du ntilieu .eft égal i .
Ufbmme des ternies extrêmes.Soit cette progceC--^
^m. Arithmétique ~ t^l h, c. d» e ^' dont le tesme .
du milieu eft c* Ce terme c tient (') lij^u de déax'
termes y fçavoir dç con^qUeAt i b y6C d'aiitêce-^
dent à /i.. Çç feul terme étant répète .peut donc *
tenir lieu de deux termes moyens , & avec ^ &i .
fiirc cette proportion h^ c : e, d. Et (*) .panant^
a(=^-h^ i rtiiaisonfçait[*Jquei'Hr<< = i»-t-^
Donc auffi ic=/» -4- *. On dira par l'a même
tûGctn que la foitnme des deux extrêntes des trois
grandeurs qui (ont en proponion continué'
Aritkpietique^eil doui>le de la grandeur moyemle.

,COROJL^,A,IJR.E. m.

Donc pour trouver 'a trois grandeurs données
une 4* prSportiôiinefle'Aritnmetîque , il faut
Retrancher la première de la fonjiine tlesdeux
ràtrés, Puifque cette Yommc eft égale à celle âe^
là première & de la 4*, ce qui reftera fera la
4^ proportioAinelle cherchée. Pajc' exemple fi on
a ces trois grandeurs f,g , h , on aura pour 4® ,
proportionnelle g-i-h — / j c*eft à dire» qj»C,

COROLLAIRE IV.

Jour trouver à deux grandeurs données une^
f continuèïiient "proportionnelle Arithnietique , '
il faut retrancher la prenûere du double de la z^-y
fSLï exemple ib Stk^ ^ 6n4rouVera pboî: j* pro-^
pprtionnelle zc — b y c'eft à dire qaer-7^'^

C) Déf. 7. /tAlgib, (*) Praf.frefentei,
[5] Cof.x. t^^fpref.

jltgeSre. lift

COROLLAIRE V.

Pour trouver entre deux grandeurs données lihe
moyenne proportionnelle arithmétique, il faut pren- '
cire la moitié de la fomme die ces deux grandeurs '
données \ cette moitié fera la moyenne proportion-
nelle cherchée. Par exemple, entre i & ^ je trouverai'
5 pour moyenne proportionnelle. Car foit. appel-
Içc X, cette moyenne proponionnellc chçccfiée 5
j'aurai donc i. « : «. 8. Alots ['] vc rs to- Donc'

»'.

PROPOSITION! I.

ti ftâduit des termes extrêmes iune frapartim
géométrique eH toujours érsl au froiuit
des termes ^moyens»

DEMONSTRATION-

t.

Soient quatre grandeurs qui forment une propor-
tion géométrique a /b :i c , d^ Je dis que. le pro-
duit des termes extrêmes qui eft a d^ cft égal au pro-
duit des termes moyens qui eft^«,

■Je nommerai x rexpofant du rapport de # a ( ,,
c'eft-à-dice que f- = *i le produit fcjf 4u quotient;
X multiplié par le divifcur^ fera ['] égal ijk gim^.
dcur àdiyifcr/».

['] frof, fre fente»
[*] Ax^ u. Gen.
p] Cor. y dt l^s divif, dfs iSmh* f^ii ^. .

î •'

i^& Secùmle Partie.

Le rapport decàdeA [«] égal a celui deditz^
J'aurai [»] donc anffi |^ =ry 5 & [i] dx =2c.

, Je Tiens de démontrer que ranteccdcn t. ^1=^^: &
que rantecedent c:=dx : prefentemcnt je démontre
que le rapport de ^jc à * , eft égal au rapport de 4 à
fi & que le rapport àcdx k d, c& égal i celui de c
4 ^. J'ai nommé * Texpofant du rapport dca i h^

dx .d :: c . d,

T>oncbx . h iidx.d.

Donc bdx = bdx.

'»: e . d.
Ponc txzsza. Donc dx=zc

il eft éridcnt [♦] que Texpoûnt du rappon de ^jc à ^,
€ft auflî*. Donc (»] hx A : la^ b. Je trouve de mê-
me que rcxporanr du rapport de c i i/ eft appelle*, &
Îaç rexpofant du rapport de i4r à W cft f* 1 auffi x.
>oncdx.d::c.d. *" -* :

En la place de la grandeur s je peux donc f »} fub-
Ifatucr bx,^ enla place de c je peux auiïi lui fubftt-
luer^Af Enfin ^n lieu de cette proportion s.bixcd^
I aurai fon écjuivalente, fçatoir ,bx.b::dx.d.

Jiparoit évidemment que le produit des termes
extrêmes de cette deniiere proportion eft éeàrau
produit des termes moyens ; c'eft-à-dirc ait bée
~^dx i pmfquc de part & d'antre du figne d'éga-
Jitc on apperpit les mêmes grandeurs. Or muhi-
pier rnn par f autre les deux termes extrêmes ,
« 1 un pat l'atitre les deux termes moyens de cette
w»A*^pR>pQ|iipn bx^ bxxdx.. d. C'cft [»] k même

^éir fttffofit.

Cor. a, def, lu ttAlgob, p/^p ^f.
Cor. y dois tUvif. des Nomb. pag. ai^
Cor:k: Urf^ lu d'Algfb.fsgo 1^4.
VJ Dfmsndo i. ginor^h^pag, j.

diofè

I

41

. Algèbre. »jl

cKolé que mnltiplier l'un par Tautre lc% deux ter-
mes excrèmes , & rmi par l'autre les deux terme»
moyens de la première ^ puifqu'on vient de voir que
ces deux proportions (ont égales en toutes manières*
Donc ad s=zbc y ce qu'il faUûitdéfmntrer*

En appliquant cette proportion gênerai» â tai
exemple particulier qu'on voudra y comme â cette
proportion ^ * a : : xf . y. on trouvera toujoors que
^Xf =ax i;=3o.

De la même manière que je viens de faire yàîi
l*égaiité ou équivalence des deux analogies s c'eft
ainii que dans le Corollaire de la proportion f fuir*
vante , &c. il eft facile de faire voir que les dcut
rapports de cette .proportion dx . d ::gx .g . fonc
égaux aux deux de cette auue analogie € •due ^g4
pour conclure enfuite que ce qui fera démontié,
de l'une de ces deux analogies fera auiC déivKia'w*
trc de l'autre ; parcequ'eiles (on\ égales en toutei.
manières, Prefque toutes les démonurations des ^
Proportions fuivantes (ans en excepter mftmela pre««
micrepanie (ie la proportion 8^ dépendent de cetsd

féconde proportion & de la }*•

«

COROLLAIRE I.

Dans une proereffion géométrique , le produit
des deux termes également éloignez des deux ex«r
trémes , eft égal au produit des termes extrêmes.^
Par exemple dans cette progrefllon -^s .h.c ^d.e ^
i l^s termes h ^ 4 A>nt^ également éloignez det
j extrêmes /» & e , je ctis' que bd = ae^ Car puif-
que ['] la progreflion eft une fuite de rapoits égaux

ny Seconde Parfie.

critr'cox j'on sl à.h :: d.e. Donc [«] W := 4f . OA

démontrera de même que te = W.

COROLLAIRE II.

•Pour trouver i trois grandeurs données une 4
Crandtfur proportionnelle géométrique, il faut mu-
riplier la.i^ parla t' ; k diVifcr le produit par li

^'cc^ Coroilairc cft le fondement de la Règle de
proponioik, fes lifages font en très grand nombre»
Soient par exemple ces 5 grandeurs 11 . 8 . 50 • auf-
-' -' *\ quelles je cherche une 4

U . Sj^îo » X. à proportionnelle gcomctri-
Ua: _ 240 • t ^^ç . cVft.à.dire, que ces )
X --, 10. i nombres m'étant propo-

^ Donc u . S :: î* . iQ. ^ ^^^ ^ .^ ^^^^ j^^, ,i{;,,hct

un 4® nombre auquel le 5* qui cft 30 , Toit comme it
/ft à 8. Je nommerai x cette 4' proportionnelle j &
mtthipHant 50 par 8 , )e trouteraî ['] tix '= 240- ^^
k u* partie de u* cft [»] égale à la 11* parnc de
i^, cVft-i- dire que *=:io. Je connoîtrai donc
que .lat-aî^r de ic , ou dû 4* terme, qui ^ft'le^om-

bi»c que je cherthois , eft io. j» t.

En gênerai pour trouver à ces j grandeurs/, ^, »»
une 4* proportionnelle, je multiplie^ par h ; enfuitc
je divifele produit^A par/' & fai pour 4^ propor-
ttonncllc H' ; parccquc ['] le produit des mojeAncs^
gh eft égal au produit de la première grandeur mul*
tipHée par cette 4* proportiontïelte inconnue. Prcfen-
tement je peur prendie[î] le produit ^fc pour^celui qui
fcroit Tenu de la grandeur/, & <ic la^quatriémc qai

P] ^^^» preftnte.

[M Demande u genff, fâg* u

^' ■ ^ ^ cft inconnue

^Atgehre. ijt

«fl mconiiuc , multipliées J'anc par l'aq^e 5 &

panant cii.3ivifant ce produit^ A par/, le quo-

dcnt(*) fera nçcç/Tairemcnt la 4* grandeur pro^

poxtiqnnellé incoiuiiie (jd'Qn dierchoîc • c'eft ^

4ixç, que/, giih . — ^

T' ' ' »

CÔtt-PlLAÎR.» lîî.

». î

l)onc lorfim'on trouve une trayon Jonc, \^^
numérateur eu un prodl^t , il cft facile d'y troûJ
▼er 4 grandeurs proportionnelles. Soit par cxonn

jple — ^ : on troùyera ces 4 prop6rtionntt)le|

^^ ^ : : P^ — , QUc^h XI i^.' — , Pmlqu'-on voi|r

ivideomieht qiie — ell une 4^ proportiônnçUe

Ïa diviièur e & aux deux racines aUb à^ pfO*^
ait ^ ^.

COROLLAIRE ly.

I • • •

.-r-- 5, ' ,

Dpaç jioujr trouver à deux grandeurs donnée^
«ne j^cbntinuement proportionnelle gêornetri-
gue , U faut divifcr lé quàrrc xlfc la ^ fir 1^
première , & le quotient fera là j® proportion-*
nelle cherchée. Par exemple fbient les deu:^
grandeurs* 6c .^, je dis que leur f continue^»

ihcnr proportionnelle fera — ^ c*eft i dire que

îjf *. ^. — , Puifi^tit cette pàlpgic eft [*] é^ufc.

1

iH^ Secondi Partie*

%^tsf^^ celle-^ ^r ^ ; : ^r — ce qtû.reviem l

'^ msi^i^A ^x\çi <laAi te ÇoroUakc ^ precciknt»,
jCnnn cntxc deux grandeurs données , on aurs
ra. pour moyenne p^ogprtîonncUa Isl. raciofl^
quarrée du produit de ces deux grandeun,
pa,r exemplf entfOr » & ii^ , o». a^a pour

«oyenne proportionnelle ^77 i c'çft 4 dirç

SUPPOSITION II R

jiikffâdmtdt^^rmei extrêmfs de nutàn fgunàern^
' ê^ égal^anfr^Mf dés tinhis mytns »us^W

DEMONSTRATION.

tîctte ptopofition eft là. converfi ou reciptôf
que de la prqcçdçntp.; Soi^ 4 4^=;^;^ ^ ie dis que
0 » h : : c . << . Car fi'* n'&oit pas ^î comme
€\.d^ Ufeudçoiiuqi^'lac graiideur # fut ttop
ffimàt. Q}i, trpp. pçtijce } &. partant pour, avoiï
#u ( : : r » /< . il faudroit^aMjnenter pii dimi-
WÇr,4P dé pç qu'il fçroit njççeflàire pourçcla^Sûp-»
pofons. , pv.exejnpjiç^ QUÏl fa^le ajouter à 4, la
graîidèwr.wb. On aijiriL dpnc iS -H »ii • f : : ^ • ^ •
& partant [*] adfJ^a^dm feraéçaj'à ^^: maiif
ff] ;WjJlL 0 4^hc , ilfiwdifPit donc [î] que 4^
J^dmz=za rfjC'cft i,dîre que le tout fôt^gal à une

fallu iciranchcr 1» de * , on aur piR dôiic «|

m'^m.h :: c ^d. Ex partant (') Ad^-^dm
^h-, mais {*) Ad.=ibci doac (*) Md — dm
4arûitété égal a 4(4^, c*e():èdire^ac ad^^dm^
qui n*eft qu'une pâme de ad^^àusoit été égale au
tout 4kJ ,ce qui çft [♦] encore impoifible. Donc
4ea fojppoiaiit iS^=3 hc | iiA n*é(oicpa$ à b cqh^^
01e r a //, il faj^loit qoe le tout fut ézal à une
de icsptxties ^ done oe même qu'il eft impoiQ^
Uc qu'un tout (bit égal à une de fcs parties,il cil:
pareillement impojËUe que 0 ne (bit pas ki
comme f 9' d. Donc m . b :: e .d,. lorfque
0dz=:b e ^ ce qi^ilfsllak démontrer.

Ces fortes de demonftrations font appellcec
indireé^es , qur font Toxr qu'il eft m^ofm>le que
la cho{ê fbit autrement que comme oh la pro-«
pofè j parceque fi elle écoit antaement , on Te-
lioit obligé a'accoider une choile évidemment
Caufife . contraire a un axiome. La demonftra*
lion foivantc eft direâe , parcequ'on y fait roiir
que par une Cuite n^ceflaire des principes qu'on
> établis ^ la^ofe doit être telle ^'qj& la pi!|^^

AtrTILI D SUP M s T&À TXOM4

Sdt nd:=s,cb^ fe dis que #.& :: c »d .çu

(bit -p =/; donc (*J ^/c;=^5 & partant danir

le produit is^ en âibflitiiant (/ au lieu de # ^^
on aura bfd :s^cb ^U divifant le tout par b ;<
ou aura fd=zc\ parceqfie deux grandeurs
imites étant diyifées pa^ deux grandeuirs égales »

f ) Brtf. %. (*) Parfit^/. ['] Ax.i%.gmer:d.
t^] 4¥. 3^» i*»* (V Cw. J, d$ U divif. fag. 4^.

M

wK-

"i \ 4 Seconde Partie.

donnent des quocienlts égaux entr'car,cckeft PJ
évident. Or au lieu de c troiifipme* dé ces 4

frandeurs a ^h • c ^d . & on fùbftituè la gran-
eor fd qui lui cft égale , on aura # . h .fd;

fd
d i Oïl trouvera encore --r- =;=/ . Mais [*]

d

JL =/. Partant [^) s^ .h \:fd .d . èc tfy

> h ' • ' ^

mettant au lieu de la grandeur fJl (on égale ;
Cy on aura a . b :ic ^d ^ ce ^5 faUpit dif -j

COROLLAIRE. ^

On tire immédiatement de cette propôfîtiorf !
entr'autres confequenccs cinq manières de faî-
fbnner , très célèbres dans les Mathématique,
& qui tiennent un des premiers* rangs entre les
principes de ces feiences.

Pour démontrer la certitude de ces raifbnne-

mens , je prendrai cette analogie c .d :: é , ^,

V qui me fervira d'exemple poiy: toutes les antres

imaginables qu'on pourra faire à l'égard des

autres grandeurs. Que l'expoiànt du rapport de

■ r ■

cs^d foit appelle x 5 c*eft àdirc , que ~- = yi

* . d '

il eft confiant que dxz=:e ^ l'expo/ànt du rap-
port dé ekg fera aufli égal ix , pui(que [*] lis
rapports font égaux 5 & on aura (♦} ^ a:=f : 8c
partant au lieu cette analogie c . </ : : e ^ g\
g;i aiura fon équivalente dx .d :: gx .;g. Cck

['] Ax. II. gen. [» ] Sufpofit. C) Cor. L déf. lu
Mgih.. {f)Q4if.i.défidclêiivif.p.j^, '''

\ssU^ bien conçu , il fera trci facile d'apper-?
cevoii réridence des co^Kluiions fuiyantes«

dx • â :: ^x • g ^,
I.

ï)onc d . dx \: g . gx ^ c'eft a dire , le
con/êquenc eft à Tantecedent , comme le con-
Ibqaent à Tantecedent; Dans les Mathemad*--
Gues pn ^pelle cette manière de conclure ^ 2Uh
fin inverje»

Donc dx ,gx : : d .g , c'eft à dire , Pante-
tedent eft â Tantecedent , comme le conîèquent
au confequent. On appelle cette ccnclunon ,
'iiaifm alterne ,

Ibonc dx-^d . d:: gx^g . g .c'eft à dire,
Tantecedent plus le confequcnt eft au confe-
qucntjComme TantcçedeAt plus le confèquent eft
au confèquent.' On appelle cette conclufion ,
cemfofition de raifm.

0
«

.4'

Donc dx^^d .d :: gx^-^g^g . c'eftàdi-
K , l'antécédent moins le confèquent eft au con-
fequcnt, comme Tantecedent moins le confèquent
«4 au confèquent. On appelle cette conclulio» ,
^fim de Raifon,

M ii

ïj J Seconde Partie]

(dire , ^antécédent eft à Tantecedenc moins le

. confeqaent , comme l'antécédent eft à l'antecc-

dejit moij^ le confeqaent. On appelle, cette con^

^fion y cm'oerjlm de RMifhn^

' Dans chacune de tes cinq demieits analogies ^'

le produit des termes extrêmes eft égal àti produit

te ternies moyertsr, Psa exemple dans la pre-

jxiierc on trouve le produit de$ termes extrèmey

igxr=zdgx^ c'eft à dire, égal aBJproduit des ter-

ines moyens , puifquedepart &d'auti!p du figne

d*cgaliçe, on trouve Its mêmes grandeurs. Dan^

l^s auties,on trouvera pareille égalité de produits;

ic panant tlans tous ces cinq changemens les qna-

tres grandeuïsqui y font énoncées font toujours

{'; proportionnelles.

Au lieu de cette analogie dx »d :: gx . $i
tepreiiant fôn équivalente c^^.::e.|,oncn
conclucra la même choie.

fi c . d :: e .gi

Çinverf d ^ c :: g , e »

J divif. c-^d . d :: .♦— ^ ,g.
i^$mverf. c . c^d :: e.€^g»

Algèbre. t^j

PROPOSITION 17.

I^ Lifrêimt £unê multiflicMthn tfi à une det
ffrâtUenrs mtdtif liées ^ xwime ^ Mette grMndeitt
mdùfiUi efi^ Vanité^

i^, Vne gfétmdeffr k diviferefi au dàufeur , €ffmme
liqwtientêfi i^TuuiPé.

DEMONSTRATION

Soit k grandeur s multipliée par h : je dis que
k produit 0h »bt: u,i. ou. que «^ « a : : ^ . i ,
£ar n lab =^4^ . Doue [*]aii .b ::s.i.

Cette yerité ctoit déjà connue ['].; puîfque
[*] ie prodmt de la multiplication contient au-
^antdefbis une des grandeurs multipliées, que
l'antre grandeur multipliée contient l'unité.
5oitle nombre y multiplié par ii, il ed évident
que le produit ^o • u : : / . x . & que éo « ; : :

DEMONSTRATION

BI X.A SECONDS PAJIXIS.

Soit la grandeur c dirifce par ^^ , & le qno^
dent foit Jf : Je dis que c . d :: x . i* Car *J
c=:4lx,c'cftà dire ['],^^ =-^ AT. Donc [*]
<»d-.\ X •!, Ce qu'il ffûlpit démontrer^

L'cYÎdence de cette (ècohde partie a dcja paru^
-lorfqu'on a. remarqué ['] que la grandeur à dL-

['] Demande fdAlgfh.

>] c<>r. I. i><s^. i;t- -^^i*^- ^^f • ^4-

♦] Ciw. ^« lii/. de la hdulfif, fag, zi*
'5] Cm'. ).iie /<» Divifion.fag, 41^
J*] Car. 1. i« la Vivifie». fAg, ^.

I i% Secmie P'urtit.

irifer contkm aueanc de fois le Jiri&Qr nfctt le
quotient contient funicé. 6oit le nombre 40
^ivifé par ; , dont le quouem cdd Z^ on usouye*
l»que40..f : : i. 1 .

COROLLAIRE L

toi/qu'il fe isencontxe un produit de graiir
âeurs littérales , & que dans ceip^toduit on aper-
çoit les racines de ce même pDo4uit 5 ^1 eA far
cilc d*y trouver les termes d^ûne^proportion gc^c^-
métrique &, de Jcs arranger. Soit^ par e^pemplc;
^ ^ , on 7 trouTcra cette proportion a h ,6 ; va,
t .ou bien^ ^ ,m : :'ù * i»

' COROLLAIRE II.

L^rfqu'il fe lencôiltrc une ff«(^ioïi ou àm^
Con indiqu ée , il eft pareillement facile d^y croù-
▼tt les termes d'une proportion -géométrique^

Soir par exemple -— ^ je dis qufe 4 ,^ : :— ,1,

4

çSiX —- exprime le .quotiçnt .4c a divifépâi:
*, Soit .^ , je dis ['3 que 7 . 9 : : — -x. puit

que _ eft le quotient de 7 divifé par 9»

9
CORO L L AI RE IIL

La valeur du produit de deux fraârions ttidti-
plîccs Tune par l'autre , doit être plus petite qae
îa valeur de chacune de ces deux fraâ:ions multi-
pliées,l'une ou l'autre étant pli» petite qu'un en-
tier. Parceqne f*] le produit de ces deux frac-
tions eft aune des fradions multipliées , comme
l'autre fradion multipliée eft à l'unité. Or, fi
xrette autre fraâion multipliée eft plus petite
qu'un entierjle produit de ces deux fractions fera
audî plus petit que Tune ou Tautre prife à volonté

[' j Turt. x-fraf, {réf. [»] Tart, i. frof:tref.

\Algehri. îj?

.* le gnodenc d'une fi:aâion SHiRt parTa^utrc^
tR. toujours plus grand que la &aâion diviiëe^
loifipe la fraâioa à diviler eft plus pecice ^'uf(

enùer. Soit pat exemple la fta^on •— âirilSt

j)ar — ; on aura pout quotient 7— 5 je dis que

n^T* "^ - ^ *T '• *c*^. ^

^.^xi^.i.Ot C:) la 6aaion4

^**- , b ^r b c

quotient — eftplusgrand que la fraâÂqn dirilçâ

^. On avoit déjà remarqué la vérité du C<M
b '

^jfc^kire présent ^aas tapage y^

PROPOSITION V.

tes graniems qui font igaJement multîfiiéés dbk^
nent des froduits ^qui fmt mtr'eux , cmme tes
mêmes granHetits {ont tntfeiks 0vant qt^^As
JhUnt mtdtifUée^^

BEM6N5 tïl A TÎO K* '

* Soient les granâeurs càcd'^ & qu'on «lufe
* Part, 1, frop. fref.

t40 Seconde Partie.

pue Vnnt Bc l'autre par une aurre grandeur /^
je dis que c .d \\ cf .df . Cela cft évident
«uifqoe '^ le produit des termes extrêmes r df eft
«tgal an pKxliut des termes moyens def ; k
fartant c, du cf , df. ce qtfUfslloirdementrar^

COROLL AIRÇ I. -

, Donc les racines {burdes de même nom ,
réduites aaz eiprefEons les plus fimples, font
entre elles comme les grandeurs qui précèdent
k figne radicai^fi. dans Tune & dans Tautre des ra-
cines comparas il Ce troute des grandeurs éga-
les précédées du figne radical* Par exemple , on

.to>uycraqvc#y*./1^:: s.f. puifijuc 4
9c f font également multipliées par VT. de
^ mime jVT.^Vyriî.^.

COROLLAIRE II.

n fiiit de cette propofition qu'on ne ctian|£
4poë:\t la Talear des fraâions qu'on réduit à xfi"
cne dénomination. Par exemple , fi on réduit à

h d
«aême dénomination les fradions - — • &: -^ > ^

ftura — =—3., « — ;r = — >• car on voit dai-
c cf f cf

rement que dans cette reduâion h^c font mol^
tipliécs également far /; & partant.['] que le

h hf
^ ^oticntdc f divifé par ^ , cVft àdire,. — =="->

5 frof. 1. [«] JPref.frefi& Cet. *. dej^ uv^**»

t i "*
Aftîllemem dâEnsIa fraâion — -on ^Ic qœ ê

s f ^

It / font multipliées également par e^ ftpar^
d c d , ^ ^

^ ^^ d $d

i dire * que ks quotients •— & -— font égaux

entr^rux. La même chofé paroîcra éyidemmenC

.en reduifant — Se — ^ à m(me dénominatîoné

COROLLAIRE IIL

Bonc l6f(qtie les racines deé qoarttz fbnf
égales, les qUaixez qui en proviennent foni:
i^aux. Par exemple fi^srs^, on vaixunisAhb^
Car pj ^ . ^ : : f^t^ . hl ^ paifque oe n'eft rien
autre chofe que s Se h multipliez -également , U
fuppofition étant que a=:h . Se partant de m6n
ineque{') i^rssA^ ainfi^jias^»

COROLLAIRE I Y ;

Réciproquement les quarrtz étant égaux a
leurs racines feront égales. Par^-cxcmple Ù
M^zrzbb ^je^quea = h'^ car fiit.n'étoltpaf
égal ib ^Qp. pourroit ajouter i cette grandeuri
ou en retrancher ce qui feroit neceuaire pour
former une gr^deur* égale à ^. On pousroîé
par exemple ajouter m pour faire cette fomm0

n frcf. frefint9. (') r#r /«^ff <S?^

^4^ Seeùndg Pi4rtie.

0^m:=:hi or (i0^m=ih, qn vidnt dede-*
giontrer qae le qaarré de s^m feroit égal-
ée quarredei , c'eft à dire qae aS'^x^m
p;ifrmm=^Jf h i mais (^) on avoit aiiiE«i»:=l ^«
Et partant «ii'H-2itm*f-i»ffii feroit (*) égal au
finil quatre « 4( , . c'eft à dire le tout à une de fe^
parties 5 ce qui eft (')vimpofCble«
. Donc enfin fi les racines font inégales y led

Îuafrez feront inégaux j car fi les quarrez étoienr
^auz , les racines feroient égaler 3 ce qui eâ:
contre la fuppofition.

£t au contraire fi les qùarrez (ont inégaux ^
les racines feront inégales par un nùfonnement
fenni>lable au précèdent.

PROP QS IT ION VI.

Xts quotients des grandeitrs également Mvifées fmt
! entreux » eemme ces mêmes irsndeurs fwfars^
fVM^tqsé elles foientdivifées.

DÉMONSTRATION.

Soient par exeoiple les 4eux grandeurs dêc /^
ic que rtule 6c Tâutf e foit divilée par ^ 3 je dis

d f
tpc d^f i; -7-* V- • Cclaefl évident:car, pnif-.

. . df

iffit le produit des termes extrêmes -r^ eft égal

pi produit des tennis moyens — , c*eft à dire ^
{^ÏTMrfi^pofit. (») 4x. i}. gémir, ,

if fi ^ , . i f

COROLLAIRE I.

Donc on ^eu£ réduire une fiaiéHon à one <gfj
pre/Iion plus fîmple , ou à moindre dénomitia-ij
tion y £uis changer la valeur de cette fraétion;

Pax exemple pnnt réduire — à une exprelCoa

plus (Impie y je cherche un diWfèur commjpii'
pour II & If y je troure que c'eft ; , qui diyife
iz Se 1/ également fans relie. Après ayoir divifé
12, pair 3 , on a pour quotient 4 , qui fera le no**
^onerateur de la nouvelle fra^on 5 & après aycnc
dîyife 1/ par la même grandeur^ y lo quotiem;

cftj-, qui (êraledenomiaâtear. Or — 5=-ir^3

.puifque ['] xt font a if , comme le quotient d^
xa. diyifê par 3 , eft au quotient jde ij ;diyifé 'pa<

5 , c'eft a dire , que II , i; :: — = 4 .— ^qp.^
on t^^oarera par le même jmfimnement jjad
~ = -7-, en diTx£ânt le numérateur r il; tcVè
dénominateur/^ par ^^

COROtLAIRfi ir.

t)onc lor{qu*il y a quatz^ grandeurs teres qitf
b première ait plus grand rapport à la féconde^
que la }^ à la 4^ , le produit des termes cztrêmcy
t&. plus grand que le produit des termes moyens.
^it par exemple m ^à'^h .c ^ je dis que
ékc'^ib 'f car rezpofànt dt} rapport de 4 a i

jfoit nommé/, c'cft à dire --p =/i au lieu <b

j^ grandeur n , m aura Ton ['] égale 1^/. 5oû

•—i a=^, on aura aaffi ^j:»* . «c [*] /> j,

JEnfÈii au lieu des quatre grandeurs procedentei
i». à .h .ty9fSk aura leurs équivalentes lil/j
^'^cg * c». Le produit des termes ei^èmes;
içavoir dfc eft plus grand €ptdcg\ quieftlc
f rodoxe des termes moTCns 3 car en divi&w
dfc Se de g par dc^ on aura p] dfc . i/^j: :;
fng.Ot [*J /^i î donc pareillement dfc^ict^
c*^ à dicie le prodixir des termes extrêmes êi
teft plus grand q|i^ le produit des tomes mojcaf

l'jfrol.trefmti.

PROPOSITION

jfigthre, , 14.J

PROPOlSITION VII.

Si en dhiff des ff-^adeurt égaUt , w U niim
f Ut/leurs fou, f»r d autres pmdturs j Us «to^

\ *^t' !'>'<>»* fntr'eitx recifr«^u»mnt tmme Ut
dtvtfeitrs.

■

D EMON 5TRATI0N,

Soit J4 f «i¥lc»r d diwff c par /, Sait encore
k môme grandeur d divifée par /^ ; je dis qac

— • -r^-. :^ ./. Car le produit i^ des ter--
n^s extrêmes de ces quatre grandeurs, «ft égal
a« produit -7^ <les termes moyens , parçcquc ['J

conclura donc enfin ['] qœ ^ • ^ ;> j& , /^

f h '
Ce qu4fi^itdémmtrft.' .; . : .

['] J'^rf . I. ^« VAvmjff. fax. Si*.;, ' '

14^ Seconde Partie

/

PROPOS ITION VIII.

1*. Les grandeurs égales ont mime rapport ànm^
grandeur ou k des grandeurs égales,

1^. Recipre^fiement les grandeurs qui ont mêm
rapport à une f grandeur , eu k dès grandntrs
égales , font égales entr'elUs.

DEMONSTRATION

Soit^ = ^, je disque a.e iih.c, carf]

& partant [«] a ,c::B .c » ce qu^'d falloit dt-
menfreti, .

D ,E M O K ^ T R A T I O N

\.

BII.A l9ICO«rD« PAJlTIlit

Soit b'd:: /. d ..j^ dix que i=/..Ctf

!']Prep.^.'^'

i')^ = — . mais (»)*,/::-j^.-j.Doçc
h =?/• u f^il falhit dempntrer»

x

PROPOSITION! X.

1^. 1W metmgranJetfr 0 mime raff^rtà des gratH

iemrs égales ent? elles ^
x^. kecifrofsiepaent fi, une, mtme grandeur a' tf^ffe

raffwt i i autres grandeurs", ces dernières granz

deur'sferûne égales entr elles»

- I

DEMONSTRATION

32 £A ÏREMXEKE PA&TIt.

Soit par exemple k grândear r, & dz=:f;]é
éis que c . d :: e , f . cela fera l'j évident fi

, -V=?-^ . Orc'eftuHC chofc touftantc j car (♦)

^.j,:f.d.otC)f=d.ionC~=j.
& partant c .d :: e,f. ce qu'il faïloit démontrer^

DEMONSTRATION

DB tA S S C O M D E. P4.ATIB*

S»it^ . ifr :: ; . M . jç. d» que * ^ «». .c|f
(') PsrfiM^t. & Cor. t. déf. u. Mg. (?) P»"*!!- *»

(«) cw. I. <fc/. tt, -<//**. (♦) '»'^- 7. :

^ Ni)

hfi Sifonde fârtit,

f] 4- =-£ . or n-f . i :: * . * . Ame 4e
b m km

ifièmc qnc 4- = — .amfi »===*, #fjM'i//i^
hitdimmtrir. '* ^

F R O P O S IT I p N X

■î*. JU ^/«f/ fr^iuifr de diuae grandeurs ê fiés
ffand fdlfart Xune f gr tendeur w À grandems
égales , &la ^mfetitt 0 flm fetit raffm i
(este f grandeur.

1*. Kecifroeptemint fi de deux gfmsâims U fre^
mère aflus grand taffort h rnnti^ , é'fi U
féconde a un moindre raffort h cette f ï la pe*
tmere gratuieur fera flus grande fue la fecwde*

DEM ON S T R A T I O N

»I LA rXiMlIKt PARTIS.

Soit la grandenr 4( ^ ^ , je dis que 4 . r ^ ^;

a h
#»c'eftà dire, que — > — . car [«Jlesqw^

ie c *

tients de — & de •^- feront entr'eoz comme ê à
*imai$[']i»>fjdonc~>— , ç'cftàdiicà
•|*] a . ^> * . c. w qu'il faUtntdemonirer»

!'] Pdrfuffo/lt. & Cor. t.déf u, d^Algft.
']Prop. y. [i] Prof. ^.
♦J Cm I. déf tt. €Mgebtj^

j9lgthre. f4j

BEMÔNSt R AT ION

PS LA SECONSB PAJtTIJ^

Soit A . # ^ ^ • c * c'cft à dire , que

^> — .icdisqttC/»>^;car [']-!. ^ . .
e c e c '

ah

4.^. mais [*] . — x^— • donc pareillement

€ C

•n aœra éT^b . te qu'il fallait démontrer.

PROPOSITION XI.

s**. X>oe %^ grandeur a un plus fetit rafperf gt la
fins grande de deux grandeurs inégales , ^ A
plus grand rapport à la plus petite grandeur»

:^^ Réciproquement y fi unef grandeur a un pim
peut rapport h une des deux grandeurs'» C^ sem
pUés grand rapport k f autre; la première d$ C9$
gréindems feraplHsgrand$ qu$ I0 féconde^

DEMONSTRATION

01 LA fKMUlMKt FarTZI*

Soit d^fySc f©it une )* grandeur par exem-
ple h , je disque h .d^h.f. c'cft a dire que

7- <-^ • car [*ji. • i,::/.rf. or[»]/<i.
Donc ~<-i. • Donc [♦]*.<<<* .f.teiH'il

NiiJ

ij^ Seeanii Partie

P E M O N S T R A T I O N

5oit/.^<:;i<. ^ , c'cftà dirê,ci>-£^

d d .

|e disque ^^ /i, car [*J - — • ^ : •> . ^ • Oï-

d i
p] • — ^ .<^ - . D»nc pareillement ^-<^^ , ou ^

ce qui eft la même chofc , ^ ^ ^ > w pâ^il fallait
difmnher.

PROFOSITION XII.

fî déi grsmdems pv^orticnniUes fmt multîflUtf
far i'auptei grandeur s^ frapùrHfinnelhs de thmê
êrdrè, leurs ftêdmts fermt frofêrtipnnels l»^

UEM O N STR A T I ON.

Soient pkiiîcufs rangées de grandeurs- pr»^
^onionrïelles , par exemple a ^h : i c.d .9c e»
/rr/;*". écrites Tuné fous l'autre, dcfetequc
ks antecedens eêcg d^une rangée (bienc, (bus Jet
antecedens/»&<:de raurre,& les confcquens./
&: h de Tune (bus les confèqueils è ^ dit Tau^
oCfêc tùivkfiiin dans ce mètxte ordre y. quelque
nombre qu'il y ait de ces mngées ^ £l on mult>«
plie par ordre^les antecedens a 6c < , cÉcg Tua
par l'autre, 8r fi on multiplie aufli par ordre le$
con&^uens h 6c fy d 6c h l'un par l'autre: un
produit a e des antecedens fera au produit 6fdc
leurs con{èquens,comme un autre pipduttr^ des
autres antecedens fera au prodi|4ti/À de leiirs c^n-
iequens -, 6c ainfi de fuite. Pour le dlmpnttcr^

V]Pref, 7, . . • VU^n^K - .

'ians \z première analogie £>k Vei^ùjM da
■ iï£petc ce 0 i, b nommé x ^ c'eft à dire ,

h ' 9 . f :i i . b .

! Donc b X ' ^-^ "

: tea,- mais Les mtmsÇ .

fuiËpc [»] le ^pte les \ * * • » s: »* • • •'

lipport âce grandeurs 1^ f .. jfc,f /^
àrf cft égal frecedentesJJ^ '^ " ^^* *'
an rapport de ^, •

ta* f»]*^^ ^^ i*/*i.t/:: ixi*.itt*

k J «^•^^■^^^■^■i»^*^"— ^■"■^■^■^^^-^^■■^■i»»^— »Bii^P^»i»M»»i^^^Bi^^^

./ _j^ j^. dmc enfin se . hfn cg » db.

^— '»«^ .

partant i/ ;r s r. Dans la (cconde analogie iôie

^ =*, on aura/* ssf i par la même raifi»

qae dans l'analogie précédente , on trottyera

atiffi 4.=:x & le produit *«=/. Dans k

premicire proportion , au lieu de Tantccedeilt m
on ptendra ce qui lui eft égal , {çavoir ^ at 5 & an
lieu de r oh prendra "^;p. Dans la féconde pro^
ponion , au lieu de Tantecedcnt e on prçndii ce
qui lui cft égal , (çavoir/* 5 & au lieu de g on
prâidra ht. De forte qu'en la place de»
deux analogies proposes, on aura leurs équà-
▼alcntcs, hx ;b :: dx : d\ & /« ./ :: b£ . b.
'Ot il eft conftant que le produit hxfz éa
ptemiera antécédents eft au produit bf de%

N uii

-tfi' Seconde Partie.

Ïremieri con&qaents , comoie le ftohùt d^
z des (cconds aacccedents eft au prodiûc d h
des féconds confêqaents i c*eft à dire , que
éxfz .hf :: ixhz .dh. Car le prodok des
termes eztr&nfkes hxfKÀh z=zbfdxbK prod«k
des termes moyens : ce qui paroiténdcoMnenc;
poifque de part & d'autre du figne d'égalité on
aperçoit les mêmes grandeurs ^ & partant £ ao
lieu du produit des antécédents ixtcfx» y on
prend le prodiiit a e des antécédents ^Sce qui leqr
font égaux ^ & au lieu du produit des ante^
oedents dx & ib;^, £ on prend le produit de
kurs égaux , fçaroir eg -, on aqra aê ,^f i:
€g . dh . cê qu*Ufalloit danentrer^

S*il 7 avoir plus de deux rangées de pfopoc*
tionnelks ; par exemple , s'il 7 en avoit 5 , 4, f ,
te. on (e &mroic pouf la demoaftration du mé-
me raifinuiement qu'où Tient de mettre eu

COROLLAIRE L

La propofiti^ pre&nte & la ^ fcmt k taa^
flcment de deux anacs maniexes de compaaer
ks grandeurs proportionnelles , qui (bat cnco-
xetiYai gtiAd ufi^ dans ks Matfacmatiqiies.
£t on peut dire que ks dnq manicics énoncées
juir le Coffc^laire de la propofit. ^ aipec ks
deux (îitTauiics , fimt £ nfrrteiics pour arancer
^ans ks Marhcmatîqacs , q^'il faut afoiicr qœ
«eux qui veadioicQt 7 piétcndie iâos k kcooES
de cette Abdk diak^qne > feroient des cffiotts
înwiks. Cependant quoique d'abwd il s'en
douft qà ont qadqne peine à s'y acconfirnirr, tl
aiefàat pas pour cda j icnoDccr s parodie la
fréquente application qu'on ca toi d&ns la isilÇ
te icpdia nrvfimiilimcib'

'Al£thrt. Ig

t.

Soknt deez fangits ic duâtre grândeaif j
exemple a > i ^ t éd,.9c t .f. d.b. telles

que 41 . ^ : : e . d .^h .f :i d » h , jt Its u^.

lange en écrivant le

fccood antécédent « m » h ^ f ^

êc k fécond confe- € » d\ h ^

^mnti^delapiemidre — -■ ., „>

analogie (bas le pre- Vmc s «/ :» t « ^ ,
-Mier antécédente», &

feus le pxemier confequent K Enfiûte le ptemier
ic le fecond confeqnent de la première analogie ,
I^Yoir k ^ d ièrvitont d'antécédents à la /&-
conde ; & j'écrirai feulement enfuite Tan for
faotre les conièquents/ 9c h ^ cela formera^ denx
BOQYelles rangées chacune de j grandeurs» Je dis
que ia piemiere grahdeur 41 de la première ranp*
%éc eft a la demiexe / de la même rangée ;
comme lapcemiere ^ delà deuxième rangée eft
à la dernière h de la même rangée , c*cftà dire
qat0 ^f II e ^h . ,

Pour fe convaincre de cette vérité , il faut
écrire les deux rangées de proportionneikt
M . i i: c ^d . Se

^ .f.d .h . Tune # • i :: e . d.

for rautre , on trou- h . f ix d . h .

fera [*] que ces pro- ■

Aiits feront ^repot. ^h^ify.td.dh,

ticumels sp.kfr. « *

€d . dh. Mais au donc. 0» f M € .h .

lieu du rapport de

ébikf^ on peur prendre k rappon de m à/qq)

■ti

tf4* SaêndePéttiii

luicft ['] égal;& au lien du rapport it tii, db^
on peut prendre fon ég|^ qui dt celui de c à i^;
mais puuque le rapport icsk zhfeA (*) égal
au rapport éccd . dk'ion a«ra«i •/ :s è ."h .

Cette manière de coticlore eft zpfcUéc frtfm'
^mhkàwdênnh.

S'il y avoit plus de deux rangées degrandeon
psoportionn)5Ues telles que les oonicquenes de k
psemicre anad^giefuiTenr^auxauz ancecedenii
de laieconde,& que les ccmtequents de là féconde
itiflènt égauk attx antécédents de la )* $ dt âùn£
de fuite , on les dilpofêroit en deux rangées
comme les prûpbrtionneUes précédentes , & on
Concluè'roit que la première du premier rang t^
roic à la quantième du même rang : comme h
|»remiere du fécond rang efk à une pareille quan-
tième du même lang. Par exemple fbient /•««:;
m.oi ëcm .f ::

^u. 9CC ^ je ^^ — — 1

dis que / . r :: dmc l. r ; : n . /* ,

» ./*5que/.^:: . dmc l.t :: ». u ^

ii • » • &c. la d^nc é^t

(demonftration

en e& emieremcat fêmblable à là précédente.

;

S'il' y a denx^mgées chacune de qoatie
toandeurs proportionnelles; par exemple 41 . d ::
fmg^Scd.^m^i h.f^ de forte que le premier
confèquent de la première analogie f<Àt égal
«^1 piemiiev ancecedcnrdela 7? j & que le a^ ai»-

Algebrèl t^f

ceceJent de h ptemiere analogie foie égal au i^«
œnTequent de k a^s )

j'éccis les antécédent» m. d^m.

fckscoalêquents^dela ^•f*t*

pxenùere analogie l'un- '

fous Tantre , de fone ^w*^ é^.mwh-.i.
eue ]t (ècond antece- . -
ieifxfivR foQs le premier confèquent d 5 enjfiiite
i*éens :1e premier confèqnent 00 de la féconde
anaiosic dans le premier i^ing. Enfin j'écris iQ
fccon? antécédent ^ de la ^ analogie fous le
premier antécédente» de la première » &.le fe-»
cond confeqnent / devient le même que le a^
antécédent de la ptenûere proportion y cela for-^
me encore deux nouvelles rangées » chacune de
trois grandeurs. Je dis, comme dans, le premiec
article de ce Corollaire : donc A.miwh .g . *
Four cpnnoître la vérité de cette condufion j,
il faut écrire les deux rangées de proportionnel^
ks M ,d \i f^g. ic d. w : : b. f. Tune
fous Tautre , on^

trouvera qu*en * , d r :- f • %*

tipliant par . d » m xi .h ^ f^

brdi

dre, [ **] on au-
a «4.. dm i: ^ . dm, 11. f b ^ gf^

fh, gf . mais r-

['] «d, dm : :. J>mc s.m :: b » g §.

if::b' g , donc 41, m : : *• j.

Cette maniese de. conclure eftappellée po^.
Jmim trmUée,

COROLLAIRE ir.

1. Les quarrer de quatre grandeurs propor-

ijé Seeokde Partie.^

tionnéiles font aofli piopomonalls emr*ieQx^
de même les cubes» &c. 1^ exemple» fi ^ « ^ n
e .d .on[']sMiZftM.bk i:cf .dd . pacceqfr
c'eft la même chofe que fi on airok multiplia
Tttne pai^ l'autre ces deux rangées de pxopor»
ûormcWcs^.è v.e.d.ôcs^i i^c^d.Onzm
pareillement m^ . h^ : : c» . i» • parccque cf
tant iesprodoits de ces deux tangics de propos
tionnelles ênt.kb xi€9.dd^9c s.k i: e . à,
«lukipUées par ordxe.

u Redproqnement loriique qnati» quanta
ibnt proportionnels , leurs racines font aidi
propomonneUes. SùÊtet^ff^gg^hh^ Je <iii
qae e.fiig» h» Car, fi « n'étoit pas a/comtof
^ài^» on pQurrott augmenter Tun ou l'autseif
cesantecedens, jafqa*a ce que la propormn fil
pacTaite. S'il étoit necefiaire d'aug^mentcr k
premier antécédent « , pat exemple , ju^u'à ce
qu'il deTint ify.g.h. Suppofons que e étant
augmenté d'une grandeqc que j^appeUerai m^ .
cnzit eJhm.fiig.h ; îlcft cooftant [*] qu'fltt

auroif *e-4-?a«i» -*•»»•//:: gg*hh. am

on auseoit
quarré #É|

eft [^] impoiTible-

['] ^e :ff::gg ^ hh ^ Se panant [♦} on ai
€ê '^zem^mm.ff r, ê€^ff. Le

[»] Part. I. Çtff. jke/I
C«r.*5. W<p/. II. d'Mgeh

{

PROPOSITION

PROPOSITION XIII.

&fi «. df'v.refMr ordre les gr^de^s de utl
TT' rangée ,^ les grandeurs correffondan^.

ftrtnt tropertwtnels entifeux. '

DEMONSTRATION.

Soit la première rangée de grandeurs prs--
pomonnelle* *.*,,.. ^ f Soit en?o«
une fccondc rangée/ . i : : A . «, . ,c dis que

y • J" ''f- "^'9^ eftconftant *file

produit du qaotient-1 multiplié par£ cft égal

b m ^

aa produit de — & de -^ multipliez l'un pat

l'autre. Or cela oft » , b •• c d

érident puifque f . g .V h .' „

•*»=*r, &que .. ^

/w=^^. Carie ^ a t c J.

namcrateur de la *^^^ "^ ' ' — : :

fraélion — . étant

h

égal au namera- r^ '~r

rateur de l'autre î^~g^

b c
fraction — ^ , & le dénominateur de Tune
gh

^tant égal au dénominateur de l'autre ; —

fm

rcS Seconde Tdrtie

b c

fera la ipême chofc que — . Le produit des ter-

mes extrêmes fera donc égal au produit des tet-

^ . « ^ c d

mes moyens. Donc ^ -— — ; : -7- • ■ — • •

f * g h m

ce qn'il frUoit démontrer.

PROPOSITIO N xiy.

t^fqHfl y » fx grandeurs telles que la première
foit àla x^ , c^mme la ^^ à la ^^ ; ^lafàU
z^ , comme la 6^ à la 4^ .* la fomme de la pre-
mière (^ de la f^ fera à lax^, comme l^fomtm
de la ^^ & de la ^ à la 4^.

DEMONSTRATION.

Soient les fix grandeurs a , h , c , d ,f, g,
telles que a foit à h comme c ^ d ^ 8c que la fC
/ foit a la !« ^ , comme la 6^ g eft à la 4c ij
je dis que /»•+•/. b : : c-^g . d . Pour le dé-
montrer , foit appcjlé X l'cxpcfant du rapport

iç a Si h y c'eft à dire que — . = at j Texpofant

du rapport àc c i d (èra [* j auffi x , puifque
( î j ces rapports font égaux. On aura donc [♦]
jlfx=a y Se dx=:c . lèit appelle y rexpofànc

* frop. %.

'*] Cor, z. Def. ii, Algeh.
^1 Suppofit.
>J Ci»r. 3, de la dhifiony pag, ^z,

f

Al£èhre. *S>

hx .h d X . d.

by . b : : d y . d.

Idmc bx-^by.b ; idx'jrd y .d. j

\car bdx^bdy = ^i/je «H ^ z^;' . |
f \D(>»tf ^-i-/. h M c^g . d. J

du tappon de / à ^ , c'cft à dire que J-^ -= y j

TexpoGme du rapport de j: à ^ fera ['] auffi^ ,
ces rapports étant [^] égaux. Dans ces deux
analogies a ,b y,c» d Se f^b : : g . d ^cn fub-
ftituant au lieu de /» , c ,/, & ^ , les grandeurs
égales b X ydx y by^Sc dy , axL lieu des deux
analogies prccedentes,on aura[']ces deux équi-
valentes bx . b :: dx ,d ,6c by\ b *,: dy . d,
Or[*]il eft évident que b a;-4- by ,b h dx'*^ dy,
d. Car le produit bdx-^b dy des ternies
extrêmes efl égal au produit b dx'^bdy des
moyens. Au Ueu de bx»^dy, & au lieu de
d x^ dy ^xcmsxtznt [^j les grandeurs qui leur
font égales m, f, Cyg y on trouvera que a^f,
b: : c^g .d . Ce quilfdloit démontrer»

'] Cor. 1. Vef. IX. dlg^K

*] Suffofit.

»] Demsnd. x. Gm,

lio Seconde TnnU

Sionavokces ^grandeurs h .m,â,f ^u*tf
telles que h .m : : û.f ^Ôc que ^ . iv : : 0 . x^
on conclueroir, donc h,m^u i : 0 , ^«4* ^•
Car ['] en changeant la première analogie en
celle-ci m .h wf ^0 , & en changeant la fé-
conde en celle-ci u .h : : * , « , on trouycrs
par la démonftration qu'on yient de faire , que
i»-4- n .h : : f^z , tf . & enfin ['] que

h.miio^f . r m. h :: f . 0.

h.u::o. z. i ^^'^^^ H. h :: T .0.

Donc m^n ^h :: f^z* e.
"Enfin h . mwi\r9* :: «.^H"^,-

PROPOS ITION XV.

S^ily a une fmte de rafperts igaux entr^eux ; h
fomme des antecedmts fera k la fomme des coh
fequents , comme un des amecedents eft à fm

confefsunt»

DEMONSTRATION.

Soient ces rapports égaux entr'euT, a .h :i
e 'd : : e « /• &c« je dis que la fomme des an^
tecedents i» -t-r -f- e eft à la fomme des confc-
quents b^d ■+•/ comme a e&àh^oncid^
ou eif. Pour le démontrer, foit nommé x
l'expoiant du rapport de a i h^ c'eft à dire qac

— z=zx j on aura [*] auiE — = ap, fc —
h d f

s=x 5 puifque [0 ^^ rapports font égaux»

rn Part. I. Car- Trop* 3.

p] Cor.i. D4f. !!• Alsci. l] Suft^tU

algèbre, ïii

r A»f r: c , d\ i § ./. 1 bx, h : : dx .d : : /* • /♦">.
^ c e Xbx-^dx^fx.h^d-^f-^'A

wfAr=iï,//*=r,/à:=f. j bdx ^bfx. |

Donc ^ AT =/»,</ Ar= f, fx=e, &auiieu des
grandeurs /» , c & ^ , en fubftituant leurs égales^ ,
ou aura b x , b : i d x » d i ; fx . f* Or. il elt .
évident ['] que bx'^tCx -4- /a: . t -*- << -4- / • »
^ a; . ^ , Car le produit bbx'^b dx^b fx

.des termes extrêmes eft égal au produit bb X'^
bd x-^ bfx des termes moyens. Au lieu de b x
^d X -+-/Ar , reprenant ce qui y cft égal /» -+• c
•^ e 5 on concluera que /» mj^ c^ e ,b^ ^"**>
/ : : A .b, Or[*] le rapport de ^ à i^ eft égala

' celui àc a k b ^ qui eft au0i égal à celui de f à
/* Donc la fomme àts antecedéns i» -f- c -4- ^
cft à la fomme des confequens b^ d'^f y
comme un antécédent à fon coufcquent , ce
ftiil falUit démsntrtt^ ^ -

PRO POSITION xvr.

I. lu» fins grande de deux grandeurs inégales eft
égale à la moitié de la fomme faite de ces deupff
grandeurs fi^ de la moitié de leur différence.

j, La plus petite de ces deux grandeurs eft égale ^
la moitié de la fomme de ces mêmes grandeurs
moins la moitié de h différence^
» - ■*' '

10 3j

lii Seconde Partie»

PEMONSTRATÏOÎ^

PB LA flLIMIlJLI PA&TXX^

Soient ks deux grandeurs a & ^, telles qaei
n^h , & que leur différence foit c : Je dis que
la %Tt!aèc\a » ^ égale à la moitié àc 0^h
& de ^ . Car alors ['] on aura ii — f = i.

Mais on chcrclic la fomme des grandeurs ét^

te h' il faut donc ajouter m avec ce qu'on vient

de trouver égal à h , On aura donc ^^k^^c

== 4 -4- ^ , c'eft à dire [*] z il — c = /»-*-*. Si

on divife le tout pan, on trouvera [^J ^ —

JL c=; • Si à ces deux dernières gtan»

Jeurs on a-joute de patt & <l*autre • — ^ on auii

- — . iH- i^

a. z

DEMONSTRATIOÎ^

D E . i A S B C O N D E P A S. T I £•

Pui(quc[^.] /» p> ^, & que la difFcrcncc cft f : jc^
4is que la grandeur h cft égale à -^ — — ^. .

[4] ^ = *J*L! -i- ^ . r* iUilfdUit démm

. {*] 4<i<<. dfsgrandeitfs pag- yx. vhfsrv, u
'i] Prôp* 6' eu AAf. II. gen.
>] Ax. 4. ^e». é» /«AT, I. d'Algib^

N

AIgtiril iS^

Car on aura ['] ^-hc=^ . Pour avoir
une erandcor égale a la fbmme des grandeurs
41 & ? , il faut donc ajouter la grandeur h à
^■♦•c, & on àutsib '^C'^b^za^h y c'cft
à direquex^-4-/; = 4-4»^ . Siondiyife pas
a ces grandeurs tè^^Cyôc am^h, on troorer»

I*J *+-^ = ■ • «Si on retranche départ

a a

&d'autre — ; on aura PI ^a=^ , ■ .^^;

PROPOSITION XVII.

P^;^^ £€s deuxffoduits a b <$• c d /i(m ^^m lie/ rs^
cines b ^ d. ^fi m ft^ftUue amures grandemt^
Z&iiy & fi h .à :: g.li;^ tmrit dem»
wuvemux ffûdmts a g ^ c h f mî fermt tt^
tr4ux y comme a b efi à cà y cêfi k dire fMfc.
a b yifw à cd .• ; a g . c h .

DEMONSTRATION.

le produit des ternies extrêmes abc h ef£
^gal an produit des termes moyens cdag. Car
en divilàm ces deux produits ak^h êc c d^a^.
par « c qui s'y trouve commun 5 on aura [*}
0hch , cda^ :; hh.dg* Mai$['»],pui/quc hé
^ *- g*h y on aura [^^hh^ridg. Donc pareil-
lement :i»^tJ^=/;<i/»^. Dpnç [*]>»*♦ frf;>

[*]P/(7f.<î. p]Pr^/».a.

3rif4 Seconde Partie

PROPOSITION XVIII.

te rapport du produit de pîufiturs antécédents au
produit de plufienrs confequents , efi compofé du
rapport du premier antécédent au premier confe^
quent; du rapport du t^ antécédent au ic confe-^
quent j du rapport du 3c antécédent au f confcz

• quent y & ainfi de fuite.

DEMONSTRATION.

Soit rantccciem ^ & le confequent h ; £ok
tncorc l'antécédent t & le confequent y. Si ori
maltiplife l'antécédent a par Tantecedcrit r , on
aura pour produit a c. Sw)n «xultiplic le êonfc-
^aent^ par le confequent d ,. on aura pour pro-
iduit hd\ je dis que le rapport de ac à hd cft
^mpofé du rapport éca ib ^8cà\i rapport de
eid. Pour en faire la démonfcation , * il fuffit
de faire voir que rexppfant du rapport du pro*
duit a e àbd eft égal au produit des expo^
Éints dçs rapports de ^ à ^ & de c à </. .

Soit^ rexpoîant du rapport àc a k h appelle

/, c*cft a dire que— .=/j donc t/=#;

b

Soit -—=::£', donc dji=zc,Au. lieu des ante-
4 -

«edents aéc con aura donc leurs équivalents hf

^ dg;Scz\i lieu du produit a c des antécédente

a^ c , on aura fon équivalent h fdg. Or divi-

ftm'l^'proiuit' èfdg des stf»tCGç4cn'ts par bi

éc^ kd lUnc tf^f^ D^K dg:=ig

. ^d

tfdg . hd

produit âes confequents , on aura pour quotient
fg qui fera rexpofant du rapport de 4 c à hd^
mais fg cft le produit de rexpofant du rapport
de il a * & de celui de c à i^. Donc ['] le rapport
du produit des antécédents au produit des con-*
fequents , eft compofé du rapport de chaque an-
teccdent à chaque confequent , ce qu'il fdloit

démontrer» '

S'il y avoit un troifiême antécédent « & un
twifiéme confequent h , le rapport du produis
Mce AU produit h dh feroit
compofé du rapport àtsi hi ^ * ^

du rapport de càd ^du rap- ^ ' f

pottdc^àJbj & ainfi des au- * • ^

très, s*il y en avoit davantage. ■'

Latcmonftration en eft très- ace \ bdh
facile ,& entièrement fembla-
ble à celle qu'on vient de faire pour t^cZcid. •

COROLLAIRE I.

Les quarrez font entr'eux en raifon doublée
de celle de leurs racines. Far exemple f (le if 4

\:\J>if. 17. ^i^h

16^ Seconde Partie.

font deux quarrez qui font l'un à l'autre en rzi-*
ion comporée de celle de c i d, de encore àt
celle de r i d. Or ces deux rapports font égaux^
Donc le rapport de <; r à i^ i^ elc '^ doublé de celt ''
dcc kd. On peut aufC démontrer facilemei
par un raifbnnement femblable à celui/ qu'oi
vient de faire , que les cubes font entr'eux
laifon triplée de celle de leurs racines ; pai
exemple , que le rapport de d^ à p eft triplé dt
rapport de dif^Sc ainfi des autres puiuânccs^

COROLLAIRE II.

le produit de deux fradions multipliées l'un
pzi l'autre efl une 5^ fraâion dont le numéra-
teur eft le produit des numérateurs de ces deus;
/radions , & dont le dénominateur eft le pr
duit des numérateurs de ces deux mêmes fra--

dions. Soient les fraétions — & -^ à multi-

<^ i

plier Tune par l'autre : Je dis que leur produit

eft exprimé par — • Car ['] le rapport de hf

c g
à t ^ eft cOmpofé du rapport dtbïc , & du rap-
port de / à j-. Le quotient du produit b f divifé
par c gçH donc [*] égal au produit des quo-
tients de b divifé par ^ , & de /divifée par^,

La méthode doat on fe lêrt pour divifer une
%:aâion par une autre , peut être facilement dc-

a b

montrée. Soit -1- à divifer par —: Je disque

• /

* Déf. 1%. Algeb.

r

Algehre. i^j

Jçfodentqtfotiçhe/rcJic, cftcxpriinJE par cette

faâion — . Car fi on ^cduit [' J ces deux &»•

! ûions à mêmcdcnominadonJ^lon aura -i =3

^ ' ^^ ^ TUT -rn^/ -^^ ^

^ , ■ — = — . Mais Pi -1- • — ^ Il c f,

d'df f ^Uf d f ^

<: /* d h
; ^* . au lieu des fradions — Se — ^ en fubftî-

tuant leurs égales — ^ -_. • pn aura -3- •

d f d

h e

^ : : cf .dh .h: quotient de la fradipn — *

^iYifée par — fera donc [♦] égal a -L
f ^**

On peut très-facilement démontrer Taddi^
;tioti, la fbuftradion , la multiplication & la
i divifîon des fradions , en faifànt attention à la
'méthode dont on fe fert dans ces opérations.

. Si on veut ajouter ^ à -i- 5 je dis que

h m

|î — -i — : — - -1. •+■ .:i- • Car le quotient dç
hm h m

4- Cîit appelle x^ c'eft à dire , A == at 5 & foit
h h

Pag, 47. OhfeYvatîon i^
Cor. 1, trop, f .

[*] De/. 13. Algeh, & Cor, t. def. if

Seconde Partie l

jf — jf , on[']aura g t= Aa?, &/=î: f»J • au Sel

iw

z- f .

4cs frayions i-i & -^ je prendrai donc Icim

égales — & ^ , & [Mcn les réduiCuit à mê-
^ h m

. A;»rw hmj
me dénomination je troUTcrai ——- & -—

qui feront égales à -|^ & ~ • ^r en aflcm*

blant les numérateurs hxm 9c hmy ^ tu, ^^
pliquant à leur fommc le dénominateur corn-

tamhm,ïL eft évident [*] que — — •

= AT ^y ^ui eft la fomme des quotients decet'
deux fraâions.

f Jf

Si on veut fouftrairc — ic -^ ^ i\ t& ea^

tu h

cere érident qu'en fouftrayant — ^ = ^ <1«

-- — = -7- , c'eft à dire , en fouftrajant le nu*

hm n
merateur hmy de hxm^ & appliquant le «c-

hxm'^hmf
nominateur commun hm^on aura — ^

Si on veut multiplier -p- P^^ — ; en mnl^

'] C^, î. P/»^* 4t. de ta iwificn^

*J P/»^^ «i./'i^r/. I. <<^ l'avmif. tîpUant

^pliant l'une par l'antre kurs éaprrakntet -7-

i ~ , c'eft à dite , en mnliipliaiit le numeia-

teat hx pu my , te le dfnominawiu h pu m,

I an aura -^^= xy qui eft le praduît Je la

&aâioii — - multipliée pat _ . Puilâue [']

4 =*,&qae£s=^.

1 Si «n Tcot dirifer X. pat — j- en fàifanc

attention â Jeuis égales -l^^ ^, on œulct-

pUua le nnmeiateot h x par le dénoniiiiaieur
<") & le dénominateuc A pat my pour aroir

! T — = — - qutfcia le quotient de U &aâioii

4-^riréc pu -L'

■ » *"

170 Seconde Tartie ,

PROPOSITION XIX.

S'il y a une fuite de grandeurs : le raffwt de îâ

première à U dernière fera eomfofé des raffwtt

des grandeurs interfefies.

DEMONS T RAT I OR

xappon ac 4 a 9 , oe cenw ac » » c , « a» i*^
pon de c idy pour ]c df montccr , il Tuffit ['j
de faire voir que rcxpofant du rappofc de ii à- »
eft égal aa ^rodaic des expoûns de ces autre»
rapports»

^ a. k e^ i.

^ ' ^ ' * d s

* •

L'expofant dn tappott de « i 4 fbît appelle^»
e'eft à ditÉ ,, [•] -^ s=:^. Donc [»] <<^ =s<i,fi>it

f

J>ef.\x.AlgeK %

[qCer.^d^Udivif.tag. 4u

Aigthre. 171

coc»ierexpo(ânt dn rappon ithlt appelle »^

c'cftàdirc, — =jifj donc sx=iii majs a«

liea de c en lai fiibftituant ce qui lui eft égal ^
! isgLiQtt àf^ea au» dfx==zè. Soit en£n Tex-
' pofant <lu^appoR it s i B aj^ellé y, c'eft â

dire «v^T- =y* Donc ky=szsi mais an Jico de i^

j en loi. ZaUUmanc ce qui Im eft égal , rçaroir
dfx^ on aura dpxy:=ra. Or préfencemenc
potirconnoxcre l'ezpoianc du rapport de la gran-
dear i» à la. grandeur d'y'û faut diyifer 0 ou Ton
égale dfxy par i^, on aura pour quotient on
expofanc/xyqui eft égal au produit des rap-
ports de aài , dct kc ^ âcdee i d multipliez
Tan par Tautre. Le rappon de jêidcA donc f ']
compôfé des rapports des grandeurs ioterpofée»
cfttte sScd^ ce tpiil fédhit démtmrtt.
COROLLAIliE
Dans toute progrefEon géométrique . les
quaiîezde deux termes qui font immédiate-
ment de fuite y font entr'eux comme le premier
terme au trodfiéme. Soit la pspgseffion-;^ #»

d./.^j jcdisquc**.i^i^ :: *./• Car [*] Ir
rat)pon de ^^ àdW eft doublé du rappon de
à«<^. Or [»] le rappon de ^ à /eft pareille-
ment doublé dtt raopon de I à / , pasfque le
lappon de ^ à/ eft compoS de celui de t à 4
le de celui de 4 à /^qui ibm.[^] égaux. Il](*

[»J Cmr. I. freif. iS.

[»I ^t0f. frtf. &dÊf:^ iAlgêK

1 7 1 Seamdi Partie.

donc même rtpport entre hb iz di qa^entie
k &/• Donc kk .dd:: b .f. OiuRn un paxdl
taifonncment pour démontrer que les cubes de
deux termes qui font immédiatement de fuite *|
dans une progreffion géométrique, font entr'eur
comme le premier terme au quatrième , c*cft
adiré ,en raifon triplée i par exemple que b^ eft
a d* comme b à. g. On connoitra auffi les nip-
pons des autres puifliances , en y faifânt l'appli-
iationdu Corollaire prefent.

PROPOSITION XX.

ti froduit d$ deux grMndiurs tfi uni ffrandm
fmytmu frofortionntUe entre la quârreJ^
de ces grandeurs ^ **

D E M ONSTRATION*

Soient les grandeurs s 86 by dont le produis
êft ab: Je dis que -f^ ^a.ab.bb. Car le
produit des termes extrêmes sabb eft égal as
produit Mbabaa[*] asbb des termes mojens, ,
Donc ['] éta .sk :: é$b . bb . C# qs^iifâiUt \
dàmentrer.

PE LA REGLE DE PROPO RT lùNé^

La règle de Proportion eft une operationr
d'Arithmétique fondée (ùria principale propriété*
des proportions qui eft que le produit des termes
extrêmes de quatre grandeurs proportionnelles
eft égal au produit des termes moyens, comme
•n verra par la fuite. Cette opération eft aaiE

['] Demand, 4. Algeb.

appellée

'algèbre: {69

pjff!Ùtt ïïigU de tr^ , parceque crok gtÊodean
éxiat conauts , on £e fen de cette pratique pour
tioaver une 4^ proportionnelle. Enfin on Tap-*
pelle Réglé icf , à cauiè de fès ufkges infinis
& de ibni otili^ très-grande dans Ids Madie-
lûatiqHes.

En gênerai il 7 a de deux fi>rtes de règles de
Propomon , la fimjple , & ia compofëe ou com-^
p/ere. La fimpk eu celle qui ne cpntieàtjque-^
tiennes connus , & la comporée eft celle qui en
contient plus de 3. Il £siut premièrement eza*
laiher la règle de Prdpoi:tion fimple & la ma-i
niere de s'en fêi^ir ^ eiuaite onpailera à la^coqv
pofée.

La règle de Proportion fimple eft encore -de
deux fi>rtes , içavoir la direâe, le l'indire^,

La règle de Proportion direâe eft celle dans
laquelle le premier terme eft au (ècond, comme
le 2® eft au 4^ qu'on cherche ; ou, ce qui eft la
même chofe , lorf^e le rapport du premier
terme au 3^ eft igaî au rapport du (econd U du
4^ qu'on cherdie ^ c'eft à dire , fi le j* terme eft
plus grand qii« le premier , le 4^ terme qu'on
dierche doit être dans la même Proportion plus
grand que le fécond ; & fi le ^ terme eft pluf
petit que le premier , le 4^ terme qu'on cherche
<loit être pareillement plus petit a proportion
que le fécond : ou enfin, ce qMi revient aux mê-
mes diofes , c'eft à dire , lorique la Proportion
yi du plus au plus , ou du mràis au moins. Par
esemple , fi - S aunes de marchandifb coûtenr
îiUv. il eft érident que 7* aunes de la même
marchandifè dmyent coûter dayantase , Tçayoïr
M lir. qui eft le 4* terme qu'on cherche par
cette opération. Si if homnjes ont gagné par
)m travail 48 liy. j des mêmes honunes ne

P

17© ' Sei9»dè ^artle^

gagneront' en mêmc-tcnjps que i<^ lin <fà d|.
encore le 4* terme qu'on cherchpit ^ ce. qui y*i
au moins au moins $ c*eft i àixd , que moins il
va d^hommes , moins il y a df gain$ & partant
CCS exemple» convienncni; à la. règle direâe.

JLa règle de Proportion indirede eft cçUc daitf
laquelle le rapport du premier oeàne au 5® eft
légal au rapport du 4^ qu*o|icbeiche:,au fccondr
c'cft à dire , fi le premier terme elj: plus.]Kran4
que le f 5 le 4^ terme qu'on cherche lèfa ^firor
pbrtion plus grand que le »f : ii le pi emier eA
plus petit que le j® , le ^ fera- au/fî plus petit que
le 1 . Ce qui eftf la inéme-4io&^ue de dire 1
|a règle de proportion eft indireae , fi .te j
tttme étant plus gïrand que le premier , le4*
qu'oïl cherche doit être pW petit que le. %?■. .5. oi^
il le 5*^ terme étant plus patit'qaelepreauer , le
4^ qu'on cherche eft plus grand que • lei.®; Enfii^
on connoit la règle de Proportion ixidiceâc, &'
pn la diftin^ae d'arec la r^gk direéle , lof/quê-
le fens de la oueiHon va d» plus au moinsroii
du moins au plus ,- ce qu'il -eft ip^oreasit de bien
rênTiarquer pour ne s'y point tc^mpex; far exem^
pic, fi K per&iines oiit-dépenM ûnexertaine'
femme ti'^argent en 6 mois^ ^ céndbieu de
temps 40 pcrformes dépen(«ront^il5 une parcilie;
fèmme ? il eft éyidenfijué ph» le 5^ terme cft^
grand, moins il faudra <le temps ppurd^n&r>
Ji fomme d'argent ^ont il -s'agit , cpqui <«iadtt-
plas au moins. Si ^ ouvriers fpnt un cenaitt'
nombre de toifrs dé mafiblanârie en $ jpurs 5 eiir
combien de jours 4 ouvriers lerbnf-ils kam^m^
ouvrage ? il eft encore évident qjie moins û j\
î^ura d'ouvriers j il faudra plus^-teinps poui
faire cet ouvrage 5 & partaitt que le fens de la
fljacftipn eft du moins au pl^Sy cé.qiji ikitcoa»-

^ . Algibri. i^t

iktkxit qiie àes exemples apparti^anent à la régis
indireâe,

Lorfga'on rencontre une queftion qui appar-^
•'tient à. ht règle de Proponion fimple , ioit qu'elle
ibit àireiâe ou indireâe , afin de fçavoir quel
doit toe le premier ^ ]è%^ ^Azf terme , il les
jaut difpofer de telJie manière que le premier &
Je 5^ fbient de mime nom , «& que klècond foie
mh au milieu auquel le 4^ qu'on cKerche ki^
.&ini>lablev

"ExemfUs de la tegU éU Profârticn direBe^

- Si 14 perfiAines dépen&nt 9I liir, en Un certaul
4emp& 5 cctttiineA dépea&nc ao peribunes en au^
£int de temps? > .

- Pourrefoudre cette queftion ^ ilâiatezamiH
lier fî elle appartient à la. règle de Proportion
direde ou à rindite<5^^ Le but de la queftion fait
-connoitre qu'il s^agit d*unexegk de Proporcian
^âireéïe s on arrange le& termes, de cette manière^

^i 14 ferfm. iéfen» ^tlvu» camlnm lo fiffonnesi
' U faut çMaytt que dans cet exemple & dans
^ous les aatxe6 femblaUes ^ il ne faut quf trou^
•rtr un 4® terihe ou nombre proportionnel aux
trois -autres qui ibnt cortnus. J'appelle x ce 4^
terme qU*on cherche , ttinfi Tanalogie eft telle
14 . 98 : î %ù .z, , Il eft feulement queftion d«
trouver lé taletti de ;t; ^ & ppur y réoflir on muk
tipUe le f qui eft 10 , par le z^ qui eft 98 , on a
potif produit i9^osâii4«* . Ot en «livifaiit ce»
«feux grandeurs égales par 14 , qui eft la racine
^ui noilis. èft «ohnûc ims le produit X^k\ oh
aura d'unepart 140 , & de Tautrc * > & partant

i^x Secênde Tdrtlf.

L'] on «ira i4ors« , c*eft à dire qoe le 4^ term^
qu'on cherchoit eil 140 3 & partant qoe 14 .. ^% ::
xo . 140 , d*ott on concluëra qui £ 14, personnes
Jépenfèiit 98 liv. 10 perfomies dépenfèront en
autant de temps 140 liv. Cette pratique eft eor
tl^rement fondée iurle Coroll. ^ de la Prop x^

B

AOTUI ExiMP tE«

Si 34 aunes de marchandifè coûtent, 80 Ut»
14 f. 6 d, combien coûteront a proponion ij aui*
nés de la même mardbandifètf

On refbudra cette queftion comme la prece^
dente en multipliant le f terme par le a^ qui eft
So liv. 14 C ^ d. & on aura pour prodoit ma liM.
17 f, 4 d.on divifèra mol* parle priémier tern(p
34 y on aura pour quotient de k première divi-^
fion 3f liv. rcfte lo liv. qu'on réduira en fols en
les multipliant par xo, on aura 400 fols^ au(qaels
on ajoutera 17 1. qui fe font, trouvez dans le pro-
duit iiio liv. 17 1, 6 d. & on aura 417 f. qu'on
divifcra encon par 34 , on trouvera iz f. pour
Quotient de cette a® divifion , refte 9 f. qu'on re-
cuira en deniers en les multipliant par u > oa
aura 108 d. aufquels on ajoutera ^ d. qui fe trou-
vent feparément dans k produit du 3^ terme
multiplié par le fécond , & on aura Z14 d. pa
diviièra enfin ce nombre 114 par 34 , & on trou-«
vera pour quotient 3 d. refte u qu'on mettra

avec le divifeur 34 en cette forme de fradion — »
te en U rcduifiuit à mçiadl^c^ Î^^Wf? , on a9r«(.

Atgehri. 'Jtjj

--qu'on écrira cnfiiite des 6 d. d*oà on con-

clucraque fi j4 aunes de marchandife coûtent
«o &. f4;f. « d. ïj- aunes dr pareille n»uKlundi&

cernèrent au même |fM 55: Irr. a C j d. & -^

ifcAaiier. - 17

.â' onyeut (çavoîr conoineii conte cfasaque pkite

àerm kftùjfielt muid coûte ^o- liy. & contient

2J0 pintes 5 on diipofe les termes de Jb ^piei^on

ffc cette (brre. •

5i i^© pinte^ ccnitent |!o liv, combien t pinte?
& foivarit k méthode qu'on vient d*énfefgnerv
on trouTef a <^ la talear de daque pbxte eft

ff.td. ii.

De inéme fî i^s aune$ de mârchandsfe cen:^
t<neiit 300 livres- y on trouveioit ktvalcoi dft
cha^.aittie»

Autre Exsiipt^ -

5*ilfe rencontroit une queftion propose iê
taxa manière. Si %sU peiaiït ont coacf rS 1. cdm-
Wen de 1, p^nt coûteront éo 1. En Êùfiint refle-
«on fia Farrangement de:if , la&r ^ il c&évu
dem qott c*eftun j® terme qu'on cbeiche , qo'U
eft fecile de trourer en malripliant k premier
xf& lé dernier tfo Tmipar Tautte 5 & diviûint
leur produit if 00 pat k 1= terme qui eft comiu^
m a au quocienv de ca:te ditiiion S5 litres pefant^

& — pour j« tenne ^ d'oiî on concloî <juc fi tj

Î74' Secùnâe Tàrtle:

Uyres pefânt coûtent x8 livres^ il faudra itt mlàR

prix 8j livres pefant » & — pour avoir de k

marchandifi: {ùffifaminent jpour ^o liv. Cetttf
pratique eft encore fondée fur les Cor. a & 4 de
** la Prop, 1. On pourroit auifi {') arranger les ter-

mes de cette queftion de cette forte 5 18 livres fe^
fant.if livres :: 60 livres fefaM . x,, £t alors on
trouveroit le 4c terme comme dans les exemples
précédents.

S'il fe rencontre une queftion pareille à ceUe*^
ci i 3 liv. de canelle coûtent if liv. u f. combien
coûteront 8 livres ; onces ? Il faut réduire lepre^-
micr terme j livres en onces ^ & le 3e ^livres pa^
rciUement en onces , & y ajouter les f onces
qui en dépendent , afin que ces termes foient d<
même efpece 3 & on change la queftion en celle-
ci qui lui eft équivalente : fi 48 onces de canelle
coûtent i^ liv. irX. combien i^ onces ? & oa
iaclxevera l'opération comme on a enfèigné^

Exet^hs de U règle di Trcf^tion

indireâe^
»

Suppofbns qu'il y ait dans une Ville Uoé
liommes en gamifbn , 6c que le Gouverneur ait
«ntre les nnains^ ùna certaine femme d'argot,
^ ^ dont lira ordrp de donner 13 f. par jour ichacua

jufqu'à un certain ten^s j le nombre des f<^dats
a été augmenté juiqu*a if 00, on demande com«
bien le Gouverneur doit donner à ckacun , afin
que k fomme qu'il a entre les mains- fiiffijfe jttt
qu'au temps limité ? Il eft évident que le JXOSf^

. I

'Algeln: vfi

Bes loldats étant augmenté, il doit iùtmét moins
8 diacon. On difpoïc les termes de cette forte.
. Si 1800 hommes reçoivent chacun 15 fols^
tombien xf 00 hommes recevront-ils chacun l

Poutiefoudre cette queftion & toutes les au-
tres femblables eu de même genre , on multiplie
le premier terme 1800 parle fécond, & on di«
Vile ie produit 41400 f. par le 5e terme z/oo , on

trouve x6 1. 6 d. & ■ — .== — pourle'4ctenntf

i;oo ij

cherché 5 ç'efl à dire que le Gouverneur dote

donner à chaque foldat x^ fl ^ d* — pour fittisu*

faire à la queflion.

Pour connoître lacenltudede cette pratique
tant pour la queftion propose que pour les an«
très femhlables , il faut con£deter cette règle
indireâe comme réduite à une direâe *, c'eft à
dire , que puifque la queftion eft telle que le
premier terme eft au }« , comme le 4 e qu'on,
cherche eft au fécond 3 j'appelle z, ce 4^ terme
qu'on cherche , & j'arrange tous les termes de
cette forte en Proportion direâe,

1800 h&mmes , t/oo hommes : : J( • 23 f»
De forte que dans la difpofition précédente
lorfqu'on a multiplié le premier terme par le fé-
cond , & qu'on a divifé le produit de cette muU
plication par le 5c ^ c'eft la même chofe que ft
flans ^tte dernière di{pp£tion des termes , on.
multiplioit le premier terme par le dernier » ^
qu'on divisât le produit par le x^ terme : ce qui
montre que les Corollaires % 6c 4 de la Prop, %
fcnt le fondement de cette pratique , & que
iê»i^ le (Ç0ips qu'où ^ttl^plie le premier ter^^

Sj6 Seconde TàriUl

par k 6cmid , ù qu'on àmSk k produit parle
troifiéine , cela, fôppofe tadtcBuenc qii.*on a Êûs
||?yi< kl qneftioa pcofNiféc vne cnhKStinti de la
legle de Fn^ponkni iadueébeè une diiedke. C^
peut doiic Êurikmcnc temac^r qoe Âtasegle
cft dixeâe , oa cemcâE k pnxliuc des dcor
sennes moTens ^ & ofi des exttteies ; A: fi k
segk eft indiieâe, on connoai^ pvodœt des^^
Hêmes ^& feiikmenc un des cennes moyens.

Siippo(b»s qu'il 7 ait dans une Place affiegée
)|6o^ &kiats potti^ia difeniê^ drq«'iln> ait der
▼ivfes que poor 8 mois ; que k Gouverneur ait
été averti qu'on ne peut lui donner da ftcOttt
pour Êdre kver k liege que dans lo ftloi^ , on
demandée]^ nombre de &ldats ik doit liiéttl^
hors de k pliu» , afin de feûtenir k fiege p«if^
dant ces lotnuMsfâns rkn dknin«e£ de ceqa'oit
domioit ehàqtie jour à chaque ibldat. Le' but de
k queftion hût connottre que jplusii y aura de
temps , moins il faudra de (bldats noùr pouvoir
coneiiittnr de k même manier l'cnage (ks pro-*
vifîons ; c'efl pour cela qu'on arrangera ks ter-*
mes dr cette lorcc,
"«ri % rneis fmffifmt ^' jfoaofîddstf, À fûmUe»

Om. trouvera en operane conune dans^l'e^tefn-'
pie precedmc , que k Gouverneur dM feulement
tfon&rvev ^•oo ibldics ^ ëit Mnvoyet ks attmt

An T-Rt 9 Exsuftt^
!l^ hoàsne H/âTùtt qu'ikijé fcrisliit^ fiMÉ»i^

y

.Stiffat a d^pditifei pour donner du jutin atgc

pinytc^ y veut rçavoir combien il aura de pain

polir la même fbmme , lorfque le bled deyiendia

pliis oa moins cher ; par exemple , lorfque la

mefure dubled yaloit i8 liv. pour une xrenaine

fomme d'argent il ^voit 8 onces de pain ; conv

liend'oflces en aura t-il pour la même fùmiac^

lorfque h même mefùre de bled ne vaudra que

Il iiV. On arrangera les termes de la qucftion de

cette forte.

^ii% livres dcnwntîmces, combien u livres f

On connoit facilement par la feule expofition

, de la queftion ^ que cette mefure de bled valant

, moins, on aura davantage de pain pour la même

^ fomme d'argent^ & on trouvera après Toperat^O,

'• qu*on en aura n onces.

Dans une armée il faut chaque jour ^4 muids
de vin , dont chacun contient ^jo pintes 5 on de«
mande combien il faudra de muids lorfque cha^
cun ne contiendra que iif pintes i On fait refle-*
lion que moinschaque muid contiendra de pinr«
tes , plus il faudra de miïids. On arrange les ter-r
Aies de la queflion de cette forte 330, }6 8c zxf ^
& on trouve par la fupputation y comme on 3

* ' ■ • *

eofeigné , qu'il faudra par jour f x muids & -^
de muid. t

Une perfbime fè prop^fè de faire faire un
manteau de 5 aunes d'unç^ étofe dont la largeuiç

* ■ >

eftde -2^, d'aune 3 on demande combien il fatt^'

dra d'aunes pour le doubler avec ime étofe d'une
demie aune de largeur? On fait reflexion quç
inoins cette étofe aura de largeur , plus il en fausT^
^1 d'iHmSi ffl Ji9nguç]Kr fous Jf doublure^ paiç^

^rfi , SecûffJé Pdrtiéi. ,

Hqja'il fané qae la doublure ait autant J'éten^

^ue le refte de l'habit , on arrangera les termes

de cette ifaanicre ,*i-. de largeur ^; atines de lon-

'pitôt 5 — de largeur , & on trbuTC par la lup^

';ptttation qu'il faudra 7 aunes &: - — -de doublttre^

^La règle de Proportion cômpofée eft de dcoi^
fottes , la direde & TindircAe,

La règle de Fropqrtion conxpo<2e direâe eft
t:elle qu'on réduit a une règle de Proportion fim-
ple direftc, & la compolée indiifeâre eft ccli^
^'on xcdoit à une règle fimple indire(5te,

txm^es de U règle de troportioû
çêmfcfteé

Si i toitûne^ gagnent en i jours 7^ livres y
'ionftbien gagneront 4 hommes en 15 jours.

tbur refoudre cette quedion , fl faut la ifeAiirè
i tjne réglé de Proportion fimple^ & afin d'f
*cilflir , S faiir oblerver que dans ces fortes d6
4juefl:ion$ il j a toujours trois chofès principles
Zl connuè*s , fes aùtces étant feulement accefToi-
tts 8c comme appartenantes à ces trois' chofe$. '

Ceux qài fe fomjienhent desfrincifes de la GrMh
fnaire , en fewvent frire ici trfdge four difii^uef
facilement ces chofes frinciPales ou frincifaux M'
fiks ifmeque le premier ep toujours nâminaHf h
yerh^e qui eft en ufage dans la quefiion ; le fécond M
tes principaux termes (ft régime de te yerhe i & U
je de ces principaux termes eft encore un nominatif
de ce mime verh,

DaAs h (|uefti&n pte(énte »< les bonimés &1^

t^lWies fiint les principales chpi^,.Pout faire
lUîéWaâioli <lç cette ouefHon â une qaeftioi^'
ie règle de J?j:op6nion jSmple , U faut confideret
que fi ^ koinmës gagnent en % jours 7^ livres ^
jfeft la Totm^ cholfe quç $ un Honimç gagnoiç
Içj^ mêmes Vi^ livres en 48 jovirs j puifqué fiuvânc
cette qQcfUon on fiippoie que çJbacun des Ç
hommes travaille jpenîmt % joi^rs ppur gagnas/
les 7é^ Iiv. qc q^ jeft Suivaient au trayaJ d'un,
/èol ipfnme pendant 6 (qïs 8 jours» j^e niéiptf^
l'autre partie de la queftion , o^ on demàndç
(Combien gagneront 4 tommes en i; jours, eftla
mtme cho(e ^ué fi on demandait coniî)iên doiç
gagner un travail de .^p, jours ^ pa|:ceqne danf *
cette partie ôh fbppôft que cfiacun de^ 4 hommes
travailla 1/ jpur^4 p^)|;i;e. «^Jtn pa réduira, Uk
queftioiî précedçnte i celle-rci :

Si 4Z jours detravMimfehtj€lh;rps,€miiift
fy>J9urs d$ travM f

On peur encore regarder cette reduftion d'un<S
«fiQx nçuuiiere ^nsen (;hangei: layaleur des terw
iriés^ fi 48 liQpcu^çs gggnçnt 7^ livres^ cornbiei|
,<o hommes ? .Car Ibr^ue ^hommes tfavàillent
pendant 8 jou{s^ c'eft le travail de^^ Konunes
jrepeté 8 ibis^^ 'ce qui'eil ^u^aldit au travail de
^ liûmqaes-pepdiliit un Jour, De même dan^ la
oemiére p^tiedè iaqueition,on cherche àpiro-
partiQiv.lc;prix.4u.tr^vailde 4 hpnunes répéta
If fois p^QAani les ïf j.ours , ce qui eft équivalent
au travaille ^o hpinmes pendant un jour j àçen.'
oper^mtxom^ pn a enteigiié dans ja^reglç dtf*
pronotupn ja^Ofisf « on t^rpuyera que 4 homme^
pcïiû^nc ^ jbursjgagneront ^rUyres à oroportiprt
de ce que 6 hommes ont gagné jj( livres en f(
joors,

P fuft i'ayoijf jbicû

it6 SiCânde Partie.

pouYoir enfiiite facilement réduira tomttsjH
Reliions femblables ou de même efpsce que la

Srecedente'y à des reeles de Propomon /impies ,
^iyant cette oiechode générale qui eft de mul-
tiplier entr'cux tous ks termes qui dépendent
l'un de Tautre, c*eft à dire , qui conriennentriia
i l'autre. Après cela le feul di^crnement fer»
cprmoître rarrangément qu'il faudra donnera
ces termes,

* On mulHplie plufietirs grandenrs mt/elUs, Urff.
^on en vmltiflie deux tunefÂf rsutre, (^ qnc»
nmltlfUt n^Wi kur frodmtfétr une f ; ^éêènfiéê

"/ ■ m

Si u maflbns ont fait pendant Hours lo toUêf
j3*ouTrage, combien S malTons en teront-ils pen«i
fiant 5 jours.

On réduira cette queftion à cette règle de ?to*

j^omçnfiinple^

Si 40 mMjfefisfmt 10 tosfef , cemhlen 14 mMJfm^

^X on trouvera pour 4^ terme cherché $ tpif^«
A cr r it. 9 £ ;c E M P t B^

*

\ On pouypit prppofér la queftion de rezempltf
Ij^recedentde cette manière :

. Si u maflbns pendant ^ jours ont fait im toifef
â'ouvrage; en combien de jours % mailpns feronU'
i^s 8 toi&s , à proportion.

Il faut réduire cette queftion i une règle de
jropojrtipn fimplç , commeles précédentes. Pour
i;;ela je nomme z, le nombre des jours que je cher*
die , & je trouverai.

, ^9 nmpons . %qtoifes :: 8£ majfof^s ^ J^teîfes^

" On fjaic que €*€](}: un des termes mojens de 1%

Proporcipni

Algehrê. i%\

WiofQtâxm s ^▼oir le fécond antécédent g « qui
eft inconnu. On fc trouve * tn maltipliant le pre-
cnier ^ pat le dernier 8^ & en divifânt le pro«
dÉk 4^0 par leterme moyen connu 20 > & on a
^t{aotienc de cette diyifion 14 pour le 3 c terme
de la PropoRion ; mais par k manière de réduire
ces ooeraons a des règles fimples , qu'on rient
d'cnictfner, on connoirque ce 5^ terme 24 e(k
ni prodait dont le nombre 9 qui fê trouve dans
cette dernière queftion eft une des racines ^ en
£Ti&nt 24 par 8 , le quotient de cette diyifion
bit connoitre l'autre racine }==;&, ce qui faic
(ja'on rétablit la queftion de cette manière.

Si II maflbns pendant f joun ont &it 20 toi-^
6s : S maflons en \ jours feront les 8 toKès pn>«
pofées.

On pouvoir encore dire [* j que le produit de$
extrêmes 48o=:i^o«> qui eft !e produit deé
termes moyens ^ & que div^(knt l'un de l'autre de
CCS termes par 1^0 , on trouvera [*} 5 = jt pour
qootient , 8C partant ) eft le nombre des jours
^'an chcrchoit. .

Si )8 oÂivciers. ibnt un foISS de 74 tiH^ en t
)pars.^ on demande en combi^i de jours ^ ou-«
vriets en feiontf o toiles ? Aupaxavaat que de rew
iuire cette queftion k une queftion fimpte ^ oni
mettra les tesmes. dans cet o«ke «

^ MvrwfSr. ^j^r4^* jiUifés^ «: ^Miyri^^j

On réduira cette queftioA 4 ua^ tegle d< pro^
{ortion fimpleq^ u^a telle«

* Car. %. é» 4. Pf^. ^ [*J P^<*- tr

E*)Priîr. 4.

»

jSx Seeonde PdrtU,

30+ oi^vrUps . 71 toifes : : 60 z, ouvriers* fQ tê^er^
On vQJt clairement , coaimc 4ans l'exemple
précèdent , que p'eft un des termes nipyens ,
Icavoir la valeur du z^ antécédent qu'on cker^
5:ne, Qa a mis 5Q4 ouvriers pour le premier tcr^
me , parceque le travail de ces 33 ouvriep cij;
répété fuçpeffivement autant de fois qu'il y a de
jours , ce qui eft la même choCb que s'il avoi(
fallu à chaque jour employer 3 g o^vriers nou-
veaux , ce qui fait que pet ouvrage de .7^ toifc^
peut être çpnfîderc corpime l'ouvrage de 50^ oa.
yricrs, \)c même on peut coii/idcrer le f tennç
comme un .puvjrage cle 60 K ouvriers , en prç-
nant aL pour le nombre des jours* On refbudrar
cette qiieftion comirie la précédente, & on trouver
ra pour la valeur de x qui eft le nombre des joufs,

I jours &^^,

A 1/ T R B E X Ç M 3P 1, 5;

Si % ouvriers qui ont fait chacun f aunes d'é*
tofe par joui; ,- onr gagné 3f o* liv. èa 1% jours j
combien auront gagne 16 ouvriers qui auront
Aft^cha«&h 4~aUhês' par jour pendant 30 joun? ,
► . L'état dé cette queftionTait cohnoîtrc que le$
I aunes d'étofe& les i9 jours appaniennent aux
1 ouvriers , èc partant qu'on peut multiplier le
nombre de ces deux ouvriers par rg , & le pro-
duit 3 <r par ies f aunes pour avoir 180 qui fera
le premier terme d'une règle dé Ptbjfiârtion fim-
p{6i laquelle {èrà réduite ïi queftion ^ parceque
S 2. ouvriers ont travaillé pendant 18 jours , c'cfl
la même chofe que Ci ^6. ouvriers avpient tra-
vaillé pendfuit an Jour \ puif^uc c'eft'lc travail

^îgehré. ijj

àt dMx ôQyriers répété i8 fois. Or pnifqne paf
IsL fappofîtion chacun faifbit f -auneis d'étofe ,
le travail de tous ces ouvriers feroit i8o aane^
d'étofe qui avoiem produit jfo" liv. de gain. De
la même manière qu*on vient de trouver le pre*
mier terme , on trouvera le f de la reglç àt
Proportion fimple qu'on vient de former 3 car le
travail de i^ ouvriers pendant 30 jours eft le
même que le travail de 480 ouvriers pendant un
j«Hir. Or pttifque par la fuppofition chacun fait
4. attûes d'étofe , le travail fera 1910 aunes : de
torte qu'on aura la qoeflion propofce réduite. à
cette règle de Proportion itiiiple,

Si i8a iiunes donnent ^$0 liv. $ombien 2910 i^uneif^
On trouvera pour 4® terme 5735 liv, ^L%à, "

AtrT RÎË E ^ jT M >'L E.

Si 14 livres pefant apportées de 30 lieues en
ir^joi^rs coûtent pour le port 13 liV. combien cou-î
tera le port de 6 liv. pour 18 lieuè's en 3^ jours.

On réduira cette queftion à une règle de
Proportion fimple , comme on a cnfeigac diiw
Pezemple precaient, -

Si f 040 coûtent 23 liv, coffihien 314 ?

Pour bien entendre cela , il faut confiderer
que fi on transporte 14 livres pcfant pendant i%
jours ;. c'eft repeter 14 livres pefànt 11 fois ^ ce
qui eft équivalent à 16% livres pefant portées
pendant un jour ; Chaque nombre de 14 livres
pe&nt étant confideré comme porté pendant un
jouri ainfi il eft facile -de connoître qu'on peut
«garder le total qui eft 16% , comme tranfporté
pédant on jour. Or (') ces 1^8 liv. pefant ont

xS4 Sefondt Partie.

été portées pendant ^o liettè's , ^hacane 'et cil
IWfes a donc ccé portée )0 lieiicS) & pttxtaacc'cjl
la même choie que £ une livre pefknt ajvoit ét^
portée pendant ^040 liencs 1 paifipae c*eft la
jnÊme choie qoe £ on conûderpk une deccsiâ
livres pelant répétée ié% fois à chacune des )o
lieaës. Or 30 fois ié% produit f 040 Heoès p^cou*
rues pax cette livre pefant. On fera kmemietai^
fcnnement pour le .5e teriqe 314 de la f egle fifSH
pie ; & on icoavera pour réponfe à la queftioii
que .le port des 4 Hvres peTant pour iS lioics en

3 jours , coûtera x Itv. 9 iols ^ 4» le 1!^ de dc<

l4ci;s = — .^
1

A ITT Al ExiM^PX^.'

Suj^tofons qu'il y ait dans une Ville aJEe^ié
2^00 loldats , & que pendant'.4mois chacun re-
çoive par jour 16 onces de pain ^ s'il ne refteen*
Ibite dans cette place que lSoo fbldats pendant
3 mois , on demande coodhien chacun recevraptf
jour feulement , afin que ces pcovifions poi&nr
fuffire pendant ce ten^,
. Il faut réduire cette queftion à une règle de
IProponion fimple, en multipliant le nombze
af 00 par 4 nnois , & le produit qui eft loooo
fera le premier terme de ta règle Smple, & lé
onces de pain &ra le fécond ,. & en multipliant
xSoo foldats par 3 mois ^ on aura ^400 pouf
produit , qui ièra. le f terme die cette cegle de
Proportion fimple.

Pour rendre raiibndu premier tera)^ 1000 0»
il faut obferver , comme dans les exemples pré-
cédents , que 1/00 iôldats pendant 4 tofm ct^ ^

'jilgehre. tSç

mèmechole que rooob fbldats pendaht i mois i
pmtçpc ce n*eft autre chofe que z;o(a répété une
tois chaque mois , c*eft à dire , 4 fois pendant-
les 4 mois. Oa dira la même choie pour le 5®.
terme ^400 foldats j &oa fera cet arrangement.

Si loooo foldats refoivent 16 onces , combien.
5" 400 ?

Il eft facile de remarquer que moins il / aura
àc /ôldats , plus ils recevront chaque jour , &
parÉatu que cette régie iîmple eft indiredc, E6
fajfànt le calcul , par la règle fîmple indircâe ,
comme on a cnfeigné , on trouvera que chacaa

des iSooo recevra 19 onces & --^ d'once 3 mais

puifqde la livre vaut i^ onces , cela eft équiva^

valcntà i livre & — , 4onces &-îi.

On fait la preuve d'une règle de Proponion
par une autre règle de Proponion , dans laquelle
oix mer pour un des termes connus celui qu'on à .
titmvc par la' première règle , & on fuppoiè pour
inconnu un des termes connus de cette première
^c^JEc 5 par exemple , fî ly livres de marchandifç
coûtent 18 francs , combien 10 livres de la même
marchandife ? On trouve pour 4* terme iz francs;
qui eft la fomme qu'on vouloir connoître. Pour
preuve que cette opération eftexa^e , on dit, fi
10 livres de marchandifç coûtent ix francs, conv -
me on vient de trouver , combien if livres de la ,
même marchandifç ? Si on a rélifïi dans la pre-
mière queflion , on trouvera dans cette féconde
pour 4^ terme le fécond de la première queftion
qu^ étoit connu. On fera de même pour les axH
^€f reglcç de Proportjon fimples ou conjipofécs*;

CL")

lîi Seconde PdrtU^

par exemple , fi une perfonne pendant f mck
s'eft ferri de Sao livres appanenantes à un au-*
ue y on demande quelle fomme ce premier doit
prêter à cet autre pour ; mois , afin d'égaler la
recompenfe ^ comme il £é propoiê de lui prêter
pour moins de temps , il faut qu'il lui prête une
plus grande fommc , êc panant c'eft une règle
fiiTerle , on tronre parle cakiil que ce (ècond

doit prêter au preaiier 155^ liTres — • Pour

prenye de cela on fait cette autre quefiion : fi |

Aiots donnent i^^ liTies — , combien f mois I

£r on trouve par la règle inTerfe les 800 livres
de la quefUon précédente^ ce qui fait voir qu'on
abieniéiinS.

2>£ LA 1^£GLE DE COMPAGNIE

Laiegle de Compagnie ou de fbcieci eft tac
opération par laquelle on partage on nombre en
parties proportionnelles^ à des nombres donnez.

Il y a deux fortes de leglè de Compagnie ,
i^voir la fimple & la compolëe, Xa règle de
Compagnie fimple cA celle oïl on n*a point
igattd au temps , êc la compofSe eft celle ou on
« ^gard à divers temps.

Exemples de U re^le de Cwffagnit fimfh,

^ Trois per&nnes ont £ût une bourfe oomvume
-|<our acheter ou iàixefaire-desmarciiandifes 3 k
yiemiffr ami» 4^0 Iîkcs, le iccond ajo lÎTics^

Algehn. l8^

ir letroîfiéme 70 livres 5 & après leurs négocia*
fions , ils ont gagné tous enfemble 300 livres, Ih
demandent à partager ce profit entr'eux â pio-*
ponion de l'argent (jue chacun a mis.

410 tiv. mfe du pretmer,
7 o Uv^ mfe dêé Srcifim

MAI dûs tmfcs 7 1 iO Uvfis»

Vont refoudire cette queftion 5c tdoees tes an»
très (èmblaisles , il faut faire autant de règles àfi
Proportion qu'il 7 a de miiès^^c metcse pour pr^
xoier terme la fomme de toutes les mi/cSy Se
pour x^ tenne on mettra le gaia ou profit , ^
pour chaque f terme , on mettra la fomme qup
•chaque perfbnne a pajfée.

Dans la queftion prefente , pour trouver )p
^ain de la première petfonne qiû a nus 410 Uv.
•oildira :

Si 7Z0 Uv, fui pmt U mfe maU , etnt donm
j^QO livres de i^i»> cemhien d^nev^nt 410 U'VMe
.qui fmt la mifi dé^ fremier ^

Pax le moj(en de xptte rpgle de P)rppOttion ,
jon trouera 17/ livres pour 4^ .tç^iiçie , o^fffiMi^
on a^onlicigné.

Pour trouver CjC qui ajppartient a la fecondp
^ribnne qui a misa^ libv. pu dira :

Si 720 /k», dannmfi^^o li'vres, ^mbienx'^Uvfe^

On trouvera par cette rcgle de P«>portion,^
45tt'il appartiei^t ^^ iif, i^ f . 8 4. è c«Uii qui a mis
^^ livres. '

fit Seconde Partie.

î^our trouvée ce qui appartient à k^troifiàosie
'perfbnne qui a mis 70 livres , on dira :

Si yiô U'ù^dortnent 306 livres, cûmhien 70 Uvnsf' ,

On trouvera que celui qui a contribué de la
fomme de 70 livres , doit recevoir 19 livres j C

4 d, du profit. Au lieu de 5 perfonnes , s'il y en,
avoit 4 , f y ^ , &c, on fuivroiît toujours la mêine
méthode.

Pour preuve de la jufteflc de cette opération ,^
on ajoutera ensemble ce qui revient à chacun du
gain , & fi le total qui en refiiltera eft précifc-'
ment égal aii gain, Toper ation eft tres>bienfait^f
s*il arrivoit autrement il y auroit erreur , & il
faudroit la recommencer. Dans l'exemple qu'on .
▼ientdc propofer, on trouvera que 175' liv. 9f
liv. i^ f. 8 d. & 29 liv. j f, 4 d. font 300 liv. ce qui
montre qu'on a bien réliffi.

On pouvoit encore refondre cette queftioA
d'une autre manière, en cherchant combien cha-
cune des 700 livres qui font le total des mifes^doit
emponer des 300 livres de profit , par cette regk
4c propoixion :

Si 720 liv. donnent 300 Ivores , combien i livret

Lorfque par cette opération on a connu ce ,
qu'une livre des 700 liv, emporte de profit,qui cil '

5 f. 4 d. on multiplie enfuite les 410 1. que le prt-
mier a payées par 8 C 4 d , & on trouve au pro-
duit i7f livres , qui eft le même nombre qu'on a
trouvé par l'autre méthode qu'on vient d'enfei-
gner ; on multiplie auifi 230 livres par 8 f. 4 d»

6 70 liv, par 8 f. 4 d , & on trouve au produit
de ces multiplications ce qu'on cherche. Au licg
des 300 liv. de profit , fi c'étoit 300 liv. de perte,
on panageroit a ces 3 perfonnes cette pêne de
la même manière à proportion de l'argent que
chdcua à mis , c'eft à dire , que cdu qui anui

IsiféxMgjt féAtoii ^arantage 5 ^ akfi des

Adth^ ExxuPtJ*

tT-n liemtiie cède aies créanciers fon bien qtxî
cft ipo livres 5 au premier de ces créanciers il
àoït i£^ lirres , aa lêcond 171 , au rroifiéme
S48 , ^ au quatrième i»^o livres; mais comme
k bien de eetlebiteur n'cft point fuflSfant pour
iàtisfaire entièrement ces créanciers . il eft queC-
lion de leur en faire une repartition à proportion
de ce qui leur eft dû*

'6i o

•m^

M»

t9téU des dettes 3000 livres^

On fera ces (upputations comme on a -enfci-»
gné dans l'exemple précèdent , 8c on trouvera
que le premier à qui il eft dû iz6o livres , doit
recevoir loj o livres des ifoo liv, le fécond à quî
il eft dû ijx livres , recevra né livres 13 fols
4 d. le troifiéme à qui il eft dû 848 livres , re-
cevra 706 livres 15 r. 4 d. & le quatrième à qu4
il eft dû 610 liv. recevra fi6 liv, ij f. 4 d.

Il faut remarquer que s'il fe rencontre outi«
les livres, des fols & des deniers dans les mifes di
chaque perfbnne , ou dans le gain ou perte com-
mune , avant que de mettre en ufage les règles
de trois , il fatft reàuire toutes les Tommes aut
moindres cfpeccs de monnoyc ^ par exemple ci^

I90 Secùndi Piânkl

deniers s*ils*7 rencontre des deniers , oa en iolS
fi outre les livres il 'ne s*j rencontre que des fol^ i
ou bien on ne redaira en (bis ou en deniers que le*
premier & le jc terme de chaque règle de trois -,
&: enfin on achèvera comme on tient d'enfeigner.
Pour encendre-cela plus facilement , il faut faire
attention à l'exemple fuivant.

Trois perfbnncs ont zf o 1. 1; f» à payer , it
forte que chacun contribuera à ce payement â
proportion de Con bien, Le premier a 300 1. 11 f.
derevenui le i*^ à ijo 1. 7 f, &lej*^àyo 1, igf.On
demande combien chacun payera de la fomnle
propoféc.

Xjù h ïsf

\ joo/Zt;. iz/; = ^011/;

/ /o/w. 18/. = ioisj;

;«i/iv.i7/, = ii>î7/.

ta faut réduire en fols k total du bien de ces
Itois perfonnies , & on trouvera 11^37 C II ^
audî réduire en fols 300 1. qui font le bien du pre«
Aiier , on y ajoutera les 11 f. & on trouvera 6oix
f.Il faut faire la même chofe à régarddes deux
autres ^ Enfuite il faut faire une règle de Pro-
jportion , & au lieu de fSi 1. 17 f. qu'on mcttroit
pour le premier terme , on y mettra fa valeur en
'lois , ce, qui eft équivalent, ifo 1. if f, feront le i*
^erme , & le j® fera 6on f. qui font la valeur de
300 1, Il C & on dira :

Si 11617 f^ donnent ifo /. if /*, combien 6011 fols ?

Après avoir cherché combien produifent ^ou
fois i;o 1. If f, on trouve ïfoyp^ 1, & après les
^Yoir divifces par u6}j ou trouve pour quodeof

n^Lio 1. lo <*• * ' que doit payer le prçaucr

de ces trois pcrfbnnos cjui'a 300 1, uC deceyenu.
On aaroit croavé ki même cbôfe fi on avoit

daffi réduit en fols les ip !• if C & fi 6n aVoif

formé cette règle de Proportion,

Si ii6y[ f» donnent yoi; f. combien 6011 foU f '
Et après avoir niultiplic ie f terme par le *•

on auibic trouré 3orfOi8o {bis j & après les avoir

dirifez par ué^j y on Aijroit trouve pour quotient

i;90 C 10 d. ■ ■ = iiQ 1. lO 1. 10 d.-i~i- j
1KÎ57 n% *

co^[ime on avoit déjà trouvé.

En continuant l'opération , on trouvera qutf
hf z^ pcribnne qui a 130 1. 7 f. de revenu , payer*

937^
f. 8 d.

' Bxep^le de la règle de Compagnie empofU; *

Trois perfonnes (c font afibciez & ont prîrf^
tefoJution de negoticr: le premier à employé
Uoô livres , & après que 4 mois ont été finis il
a retiré fon argent 5 le fécond a employé çfor
livres pour 6 mois 5 & le troifiémç a employée
foo. livres pour 16 mois 5 ils ont gagné 14OP liv.'
On demande combien il en doit appartenir à
cliacun à pro^ition de Targcnt qu'il à employé^
fcdu temps.qu'il fa laiffé en commerce^ ;

Pour rcibudr'é éctte qù^ion, il faut muîtipKef'
U g^fe du premier par k temps qu'à fcrvi hii

1^1 SecMde Pdrtiél

jr/d» X4OO fit;. / j ^ o f0$ar 6 mois' fy 09 ^ 1
- y .6ao foitr to maU 60OQ .'\

l6$oo

SU'geât ,. 8c on aura 4800 livres ; il Ikatinulciplier
Ja mi& du tf par Con temps , le produit eft
lyGolivres^enfin lamiicdujcpar le iien, ceh
fait 6000 livres : de (orte qu'on confiderera ces
'9 fbnimes 48bo liv. f 700 liv. de ^000 liv. comme
fbtkmics par oes trois gedbnncs ^ 8c que kor
tomme totale qui eft i^foo lin aproduit le gain
des 1400 liv. ce qui fc réduit à une règle de Com^
pagnie£mple ,dans laquelle on opérera, comme
on a enfèigiiédam le premier des exemples ^;^
cedents.

Il 7 a plnfieurs autres qneftions qoTon troM
dans les traitez particuliers d'Arithmétique hixs
par dif&rens Auteurs ^ mais-patCQ^u'on peut te*
toiAire facilement ees queftions par /es principes
qu'on . vient d'étaUir, jir a'aipas cru <^'iitut
neceflaire de $y arrêter plus long^temps. Les tt*
^les qu'ils appellent d'Alliage 8c de faulîès pofr*
dons y même plufieurs queltions ou on etnplo]rtt
ordinairement un calcul d'Aridimetiqiie afe
laborieux, ibnt pratûjuées^dc rcfoluc's beaucoop
plus facilement éc plus clauement par les éqva-*
rions qui meritenr ailêz q^*on en £^1^ unetaico
particulier» Ainfi de peur d'être enni^jeux à ceia
qui commencent à s'appli^œr à l'étude des Ma-»
wmatiques ^ je Snixû ici, ççttç i^conde Partie,

ElEMENS

m

EtEMENS

DES

MATHEMATIQUES*

PE t A GEOMETRIE.'

'A' GÀiwarle lift ^ine panie fimibJ
^•^-nttk dec MatbemuiqiKi , Janr

laquelle ott txtkit des lieneï . dea-
riii&et.,^de.iaii)(, '

- „. w "*^^Ï*^J* P"ti* l» PMt»Bée «
taJis Chaftittes.' Dansleprcmfcrontraitaade*
%nes i (Uris I<Hiçoiid, des fiirfaoes ; & dans le
ÎV" ^H"^' . apt&Mpir eïpolS ie» définitions
qm lenr conTicnnent, & qui fiint neccllàiies pour
fintelligeacedekijn ^K^ifltez.

/

sfl^ Tmpme Partie:

2. tXn pplnt KatbeniiaMqKC ^Oc ce q/x*s>ximA^

ficîere comme n'ayant aucune partie j c'eft à éiie^
Êns y faire attention à aucune longueur^ ^g^
ni profondeur, ^

5. Une ligne eft une grandeur confideréâ -i
comme étcnduç en longueur (ans largeur âc uns- ■
profondeur -, par exemple la diftance de paôs i

C ORO l, L A I R^E 1/ -

Si on confidere (ui*ua point puidè être trûXil^
porté d*une dation^ une attre , la trace ou b
vofti^ psM: pàco-pointauxpifpa^ÀArsM^etlirae^
puifqiie ce i^ft wie-ïongueur Uns kigeur ^ vitii
profondeur. ^

, CIO R pî. mT^3\ A fi ^ :

,.D.onc ks deu? cxttêmitez . c'eft.àdire^.k
6ommencement.^ la. £a d'unie .ligne. font, dçm
points ', puifque c*eft le point qui commen-*
ce, il être ; H^ù. ^ ;qui ' (>;i " fejc ^^ c©mineitt|-
ment , & que c*eft ce même point'qui ceflêd'l*
Ii£j9iujquienfaitlajfin« ._ _^

Cp^9J.LAlRE III,

.Donc lorfiiue deux- ligi^Xè: coupent, M^
Qomniune feoion eft un point. Soient les deujt
%nej AB & CD
qui Ce coupent en E,
j« dis oue leur t^om-^
mmic icdipn eft un
peine : car fi tlk
étoit ceux , t)u plu*
4pujs points» il tau-
droit que la l^ac

la définition prefente* r

.11 y a des lignes de deux, fortes, dç droites , «6»

de cbuibes. * !

4. Une ligne droite eft celle qui eftlaplus

comte de louiçaLtei-Jigi^c*' . . ;

qgîon peut mener d*un^int . A ■ ■ B.

à un autre point j par rom-, : ,

pie A B. ' . , *

/.Une Ugneï^OttrW eft celle gut étant meacc

d'un point à un «X 1 . j^ '

pas la plus courte a
de cdiw qofptiiC^
fent être termi-
nées'parces :dnlz
points. ,''.0a U

/^

qudle étaht me- F 1 . .X''*"^*'^ f
née .d'un point \,.i0r ^V^

revient au même
point j par^zemple 14 l^rié ABC au E F G.

Les lignes droites confideré^s à Tégard Tu le
it l^tre- rdàt.de'txoii fortes ,- pe'rpçodiculaîres,
obliques, &.paraliélea, ■ :
'- 6. Une ii^ne pacpOttliaiiUice à mise autre ligiiô
droitC'eâ? celle! gui' rTOcoâtre cette autre lig.iei
A: qui ne peâiche ou
&inciined^un0;ipare y\

Hi d'autre ; par
•temple k . ligne
A(B eft pierpeiiidic^
kkcàl^jiyicdiQir. .
te CD, fi cette li- "^C .«

gne A B ne penche
pu n'incline de part ni d*aut#r

7. Une ligne droite oblique à une autre ligne

S>

fff Trû$fi(mi Ttùfié.

Îenche on incline plus "v"^

'on côté que û"^
autre $ fax exemple b
ligne «D, qui wn-
ccnue la ligne A C
9c qui indîne pltiSTcrt
Ic^int Cque vers A,
cit oblique à la ligne A C.
' «. te9^1ig»eiparâlieles^6âmtt0r<pi fimt ^fâr-
jkmene diltaoces entr'eUet r^

Jans toute jèinr longueur s Ai'm .m i i B
parexemjilc les lûmes Aft ^ -^ ^

dcCD^ ' C"' ■ ■■D

9* UhA'HSic&ce ^^Ba^ graAJeiir oeniftkife
€oi«[nie étendue -en lonrac eifciârge fenspio^
fondpur j telle ^.la furface A*Wie Caàipàguf
S^'q^ xi^pjfSte par arpentf , ou par «Bâfes^ to«

CQROLXAIRE ït

Sî onxpnUevcxphaat ligne paifi êtte ttauiA
portée de travers ou tranficrûletnent àlwnt fia*
cion a une autre ftaoèn , m qu'une ii^ anubc
faflê une révolution antoor de iès deust extfiè^
«nitez , k trace ou le rcftige par oA cet» ligne
aura palTé feca çne fiifface 5 pui^oexe icraïaie
grandeur étendue en longueur icaafedc la lon-
gueur de la Êgne , en largeufc ^.'caa& dsmOH
jemcnt traniVerfal de cette ligne , Scùm pitK
fomteor parceqiîgrwttriigncuîftcf »> (^1 aoaM
Aé profondeur. Q

[ COROLLAIRE II.

Ôoncksdeui eitrê(nit«,c'ettàdirc le com-i
«leiicement & la fin H'unc Iiuface font deux
lignes , puifi^ue x.'th 1* minie Jigiw qui coiii'
iHcnce à être mûè',quieii Elit Je commeiiceinentj
quei^ft cette rilflHîlîgite qui celTe d'eue mue
eu fait U fin, Ijç qug.les poinra qui terniDciit cette
ligne mife en mouvement ,d'éetifmt ('} chicuii
ane4igne. -

IL j adedeux foiteide fuifïceB,dcs plan;s&
izs coucbes,

lo. Une futfice plane ou feulcmcm plan , eft
pelle dans laquelle on peut mener à roloaié une,
ou pluficiirs lignes droites ; c'cft à dire , qu'unç
ligne droite ronclie

dàJis tous les points n -

flans quelque iïtui^ ■
tion trvifrer&le
ou deumnft q4,'oa
U piffle appliquer
iaiîçe^é. fîïrfaci.
Telle, peut être Ja -A
iDiriàcc A-*. '"

COROLLAIRE.

Si nac Bgne droite, pai exemple C E, cft danf
tin plan AB, ou fi cette ligne y aqnelqu'une de
Ca parties , cette ligne droite étant prol^gtc,
fir exemple en D , la partie ED fera auili dan*
k mfane plan AB , & quelque loi i qu'on la
prolonge , elic Ji«coûjouis dam le oieo»- i^^'^ i

{')Cm. 1. dif,i.Ct9m, , '

19 ? Tfêifim Fdrttf^

car fi cette liene dxoite CE étznt ftém^ée-
n'étoit pas toujeufs dans le même plan A B pro^
longé auffi s*il eft aecdOlâire ,, ii s'txifiÛTiwt. ^
cette lij^c droi-
te ne fe confon*
droit pas avec
cette furface , ou
ne la coucheroiCL
pas dans toiitcf&
fongoeut ; 8e

partant * cette furface ne ftroit pas plane , cecpi
«ft contre la inppofôon. Donc une ligne droitr
menée dans rnijhn , ne peut être (don une de
fks parties C E dans un plan quelconque AB, &
élevée au: ddÛTus de ce ^bn félon uncdc fcs par-^
tics EF.

ir. Une fuiface courbe eft ceîfc fit Êiquclle m
nt pcutnacncr jduficuii Jignei droites à Tolcœt^
c'cft àdire , ^

dan) toutes ^ N

(brtcsdcpo-

Étions tTAXif^

rcrCdts y cMf
que ces li-
gnes droites
ne peuvent .
coucher- danS:
coure leur
longueur > tclfeeft^la fiirfece C D wt $lf ;

Son confidextt rintèrieuc de Jar-a^ottdxue ilir
Miette ferfacc telle qu^ellc cft. en X ^ ou en i, «^
rappelle furfiice concave y 9c £on confidést l*c»r
térienr de cette courbure telle qu'tilr eftcn J^ ^
en 1^:^ oa l^appdk-âiE&ae convcvw

. ir fimr pidciitement &iK attefttSoà in d^^
iBgioiis ûuixonwnneittaaK pifipiiec8Z.des ligne»
^ncnéesivr lesiôx&ocs pou idéonkioiucpii om*

4e Tautre y de enfin aux lig^* aisieintent de tco*
jn/es, debosnes ,oade Umi«sa.de&fiu&ces»

li. UnaAgie cft V6^
calmement 4ttoavcrtUMf
compn& cnàic deux dtf^
fcEcntcs kgnes ,^ui
concooxent ^ pas ^av^

»le AB<X ^

- fi>a en geaeiirftroir
fi>rtes ^âxi^e» compti^
jar des ligp» , fçavoir
ang^ecediligne, cnrvi*

4rgne, ^mix«- ^ ,

13. X7n sni^ftâiligne eH un 6»xtemait 0»
•UTCXtofe formée par dei» lignes droios j par
■wenipk Vang^ AAC. le curriHj^ eftTou-
▼enuK çpmptifc pas deux ligpes couAe» j 6e lé
mJtCyfsxfuDC coU!ibe& uac liçne droite. Danf
k ixiite cttii txaketa. leukaSBot dcfr angjbs tcÛif

n faut obfei^er qu^fcn ic fcrro» <fc lettie»
pour cxpri**er un angje formé par des ligne*, la
fep^ dji mîMcii & rcxprcIBon marquera toûjour»
^ pointe 00 le fbnunet del^iangkqoiclklepoin»
ic concaaxs> parcxcn^k^daitt l%n«eflîon dr
]&ui^ AB^ ou CftA qui eftlk ntteaecho&j
ïfciwitet «m poiniede cet an^ <A k poiat%

C O ît O* I. 1b A î R R

Biuicde cet» définition que tel cft l'^càttè-i
in(4e dWK Ugiws qui ^caii^ourcnc ^. tel Ja|r

«tm Tnùfiime Târtie.

Tangk qu'elles forment , c*cft a dire^ que {do^
cet ccartement fera grand , plus aufli cet angle
£rra grand j & que phis cet écartement fera peôt^
Tangle fera petit : & ^'enfisi on n'a point égaid
a la longueur des
ligoes qui rorment un
angle pour détcrmi- g
ncr la grandeur de ^
cet angle \ par exem-

Jlc , Tatigte AFG
ft^plqs gra^ que
Tangle BFD , qui
ii'en eft qu'une partie,
quoique les cotez j^F
&^DF de Hangle
KT D foient plus
longs que les cètez A F & F G de l'angle A FQ»
y Xes angles' rcaflignes font de trois fortes ,
j^oits, obtus , & aigus.

. ï4. Un angle droit eft cchuquieft comprise^
Ibrmé par une ligne
perpendiculaire à une
WUC ligne. Tel eft
l'angle ABD,fîAB
rft perpendiotiaire à

If, Un angle obtiw
eft celui qui eft plus q
:grand ou plus outert
qu'un augle droit j par exemple , l'angle EB D|
guieftplus grand que l'angle drpit AB D. .

t€. Un angle aigu eft celui qui eft plus petit
qu'un angle droit j «par exemple ,- l'^glc E B C
gui eft pliis petit que l'angle droit ABC.
' En gênerai les angles aigus OU obnis foof ^

«McBS^ oa -ftigtis , 'peuTcnt 'encore lecrrar difife*
leas^ncnns : «Ofï ks^pMC appellera^es phof »'
tnglev^e plans , & angles adtctties*

i7« Vijle plan cft celui qui eft de&mè fiif
tac fiitâdç pwiey coaune J'aÀgJeAVC de Is

ift. Un angle <Ie plans on de deizr pSam m

par un mètne
point, cbacime
de ces deot.
perpendiculai-«
ses étant ûic-»
liée :daiB clf d-
qae;j^anjpar
cxeii4>le fia '
ligne AEmC'
Hk dam te
plan DE efl:
peipendiciElai*:)
fe a k coa^

» "

•\

gI, & tfialignCJCB menée ÂdXû îcpknT»
eft auflî perpendiculaire à cette jcoanmane fi^
tim iG.E par le même point JR » l'écartcmeiit »
eàdcŒxHgneç AB acvCBeft l'angle o«^n*
par le» deor ptew «DE & FE 5. Tang^ det
plans FB & (3« doi^ «tre dmfideré ciumoe kl
précèdent j & ainfi des autres.

1^, Angiet atemes-foçïic t:cux qti.onile^rottiJ
■Kt daiisdifiacntcfriH8tTtei,.&JcplUW p^lceâ
de part & d'antre d'une ligne droite , qui coupé
«Tiieiiies lignes^ <« ^ ippelle alternes in^
lesQca lor%i1]s feot cntfic ces li&nes ^moM

ïoi Trûlficme Tâtht;

autre ligne- coupe 5 & aïkcrnes eztétnis * kxrf^

ùu'ils ne font pas entre ces toêmeg lignes ^ daJif.
Icrquelles leur fommet eft pofé. A B F & » ï G ^
tfB & f BC font D ^

)to angles aïter-'

ces internes ) . 1^

CBC & EFHî A ^ Bi

ABD ^ HFG

font dies Angles >< /^ . . |M.

alternes exter-»^ £ ^^ ^

fces: ^ '
Le» angles J»0-^

fez d*unf nrfOTC , 4* . , / . ^

côté de ll%ne DH fent aûffi intérieurs & cxu
xérieurs 6 W'^ (J^FB font intérieurs du même
côté^ ie rfiêÀie des ;ingles AB F > EFB : les
aMfc^j;>*<; & G FHfeat extérieurs du aiême
c& r m -dâsa 1% même ^fe des >h|;lc$ ^ B D^

I^S. La ligàe'drt>it« pcrpcndiculàir^'aun plan.

eft celle qufeft per* -\

pendicnlaire à touws' C-

Us lignes droites

Ju'on piut mener
I^Liys GCf même Maii
par re^trèjaitc de
ç0tte ligne. ; par
exempit CD cft
perpendiculaire au
plau.ABjfielle.cft
perpendiculaire aux - . ' ■ -• . : •
lignes T E ,\G>li ,r^c. qniûmt menées dans
#e plan yar L'extrêipké D de cette ligne droite

- u. Les plans parallèles ibnt ceux qui font

iof

■ *• ' *•

Vemctrîejf

ëgdement diftans

Ton de l'atttre^ans

loute leur étendac ^

far exèmpk A'B '^

> ^Ûfi^fiirÂce i^ln;-

ne à caofè de fés

Jimic^u-wmes cflrde «rbîs fortes ; U farfeai

plane ^câriiigàç , la cJtyviHghe , £c la mmç.j

redHligne eft c^e qui '
eil tènniaâi^ar des^
lignes drpites 5 par .

'^); £s 'Atfâce plans
<a«^gne-d| celle qi|i
cft terminée par une^ou
j^lufieors lignes courbes,
^mme les fiic&ccs 4 >

^4* "La fixface plane
ûiixte eft celle qui eft
^iniinée par iei li-
gnes droites & dçs B- .
jnes courbes ; cotùXfi^

Mais parcequ'il y a une infinité dé fortes de
.firfaces curvilienes & de fiirfaces mixtes ^ «c
^'^a;rc les forUces pk^Af « ^ les^ulcs rcâiiignei

|04 Troifiimi, Bén^ièl

fc canrflkaes drmlaiies fontlesr^oi^lpcdBb

teHÇ ^rroa ujim ijui ibnt ^*iia pfus fcequcm

an'dj» di^ûte£4 ftokment. de cet; deux dçfaiocea

>f . Vu eewlg ift qnc fiuftfrykni» ifmjwf^'

pir «ne ligne courbe èbnt
yfoi bs . oQinnlbnft J%ak«
mène ilillàns d*iuu point
plis dans cette Inifiiicers telle
eft la fntfsMceBlp temû-
nfc par Jr1^n\ combe-

i«^J(A circonferçiiCc*fin .;

cercle ;ei(ime.!fçne ckcakire , eft itne lignf
courbe, qui termine le cercle de tontcf parts|
iclle eft la ligne courbe BEDFB.

xj. Un arc de cercle eft ulie paaiededrcpii^
ference telle qji'elle foit^parcMmlfe la parti»
k£ ou ED» *

aS. Le'^centre d*on cerde eft on poktt pcii
dans ce cerck, oui eft éÉakmcm diftant de
touff les points ae4a circon&cnce; ^xxsmjjt
le point C*

COROLLAIRI^

Dime poiir^^rire un cercle , il faut eonjBJ
voir qi^une ligne droite; pjU exemple EC foie
mûf au { tour d'une de fes extrènûtez fixes C
danU tm même- plâh ; car la ligne cootbe
B &t) FB Recette ligne B C'aura d*£critepar
le mouvement du point B , lorCjii'eUe fefa rc-
venuedans k naiême finiation dbà elle ayoic
commencé à Ce mouvoir , (êra une circonférences

i$ Gcrdfi i piu^c chiCHA des points de cette

ligne!

<Jiûmetrie. ioj

^ Côiube fèxa également diflafic de Taucf e
jc^imité fixe C de cette ligne droite mobile.

1^'eipace ou faiface plaiie qui fera terminée

^ar cette ligne courbe fera le cercle , & Tez-

^êixûté fixe de cette Ugne mobile fera le centre^

&9. Un ra^on de cescle eft une ligne droite

'«tnenée da centre à laxircbnfcrence; par exemple

COROLLAIRE L

Donc les rayons d'un m6me cercle (ône
égaux entr'eox j puifqu'ils font tous menez dit
ctentre a quelque point de la circonférence , &:
oue C) le centre d'un cercle eft également diftanfi
icXQVts les points de la circonfbrence.

COROLLAIRE IL

Donc les lignes droites menées du centre de
cercle , plus courtes qu^un ravon fe termineront
dans le cercle (ans parrenir a la circonférence (
Jk les lignes menées du centre plus longues
ou*un jrayon outrepafleront la circonférence , ^
ic termineront hors le cercle : car elles fe termi^
netont plus loin du centre, <|tte chaque point de
la circonférence , c'eft à dure ^ qu'elles outxoi
paieront les bornes du cercle»

30. Une corde ou fbûten»
dante d'un arc de cercle eft une
Hgnc droite menée d'une des
extrèmicez de cet arc à (on
intre extrémité; par exemple
G H. Une co;:de appartient en
mtme-remps ideux arcs^donjc

» >

106

Troiftéme P/irtU:

elle eftfoûtendantcj par exemple G'H appaiticn|
^ G L H , elle appanient auffi a l'arc G M H,

}i. Un diamètre eft une
ligne menée d'un point à
un autre point de la circon-
férence , éc qui paflc par le
centre , comme la ligne

ÇOROILAIRB-

Chaque diarçiêtre eft double d'un rayon,
Donc tous les diamètres font égaux cntr'eui j
parceque i'j les grandeurs qui font doubles d'iinf
même grandeur , font égales entr*ciles.

ji. Un fegmcnt de cercle eftuift partie da
cercle , terminée par une corde ou ligne foûtcn-
^antc, Se par Tare foûtenupar cette corde j par
exemple la partie G L H G q^ G J^i li Ç du cer?
pie de la définition jo.
; ^3, Un feâeur de cercle eft
une partie du cercle terminée
|)ar .deux rayons qui forment
«m angle , & par Tare inter-
ccpt.é entre ces deux rayons i
par exemple Tefpace A M N A.
34, Une ligne touchante /a
circonférence ,d*un cercle, «
eft une ligne droite mc-

3 se d^ms le plan ^yt cef»
ç , qui rcn«>ntre la cir-
x:onftrence de ce^ cercle
fsLn$ U jcouper aucune^
peni , c*cft à dire,'qù'dlé

C):\4x, 6. général.

Géométrie. . ao-r

à'entre «n aucune manière dans le cercle -, pat
exemple la ligne S T.

jf. Un degré cft la trois-cens Soixantième
partie d'une circonférence de <îercle j c'e/l à
dire , fi on divifè une circonférence de * cercle
en 3éo parties égales y chaque partie fera appel-*
lée un degré.

5^. Une minute eil wnt fbixantiéme panie
d*an degré , c*cft à dire que , fi on divifc un de-
gré en éo parties égales , une de ces parties eft
une niinute ou prime,

37. Une féconde eft une fbîxanticmé partie
d'une minute , c'eft à dire que , fi on divife une
minute en 60 parties égales , une de ce» par-
ties cft une féconde s en fubdivifant de cette m;i-
niere par 60 , on trouvera des tierces , des quar--
tes, &c. àrinfini.

Nous commencerons les définitions quicon<«
viennent aux fiirfaces planes redtilignes par cel-
les du triangle re^ligne ; patcequ'on peut re-*
duire toutes ces fiurfaces en triangles , en me-
nant des lignes droites à tous les angles de ces
furfaccs , d'un point pris à volonté dans ces mô^
mes furfaces.

38. un triangle redliligne B
cft une furface plane termi-
née par trois lignes droites ,
comme ABC. ~, ^

Il 7 adc trois fortes de trian-
gles fi on confidére feulement
leurs cotez 3 fçavoir , Equila- j^
tcral , Ifofccle & Scalêné : & fi
on con/idére feulement kurs
angles , on en trouvera encore
^ ttois fortes ; f^avoir Oxigqne ou Acutangle ;
&cftangle , & Ânit>ligone ou Obtufangle.

Si]

|0r8 Troipme fdrtUl

)#• TTn triangle éqoilateral
cft celui qui a les trois cotez
^gaux enc£*eux ^ par exemple
D£F.

'40. TTn triangle Ifofcelr
eft celui qui a feulement'
èeux câtez égaux ^ par
exemple le triangle ABC
qui a deux cotez A B &
B C égaux entr*eux,

4T, Vn triangle /ca^
lene eft celui qui a £ts
trois cotez inégaux en-
ir'eux; parexempklc
triangle G H L,

41, Un triangle acutangle ou oxigone eft et*
lui dont tous hs angles font aigus 5 parexem*
pie le triangle AB C ou DE I.

43. Un triangle rec-
tangle eft celui dont un
des angles eft droit >
par exemple le triangle
M N O , dont l'angle
M O N eft ;droit.

44, Un. triangle ambligone ou obtufanglc eft
celui dont un des angles eft obtus j par exem-
ple le triangle GLH dont l'angle GHL eft
obtus. ^

4;. L'hypotenufe d'un triangle reÛanglc cfl
le côté oppofé à l'angle droit j p v çxÔBif !«

Géométrie. ^^9

U N cft rhypotenufe du/- triangle tcûinglc
AI N O de la définition 43,

46. La bafc d'uil triangle eft le troificme côté
qui rcfte lorfqu'ona parlé des. deux autres j par
cxenciple fî on a parle des deux cotez A B & A C,
du triangle ABC , le troiiiéme c6tc BC fera,
appelle bafc. La bafe des autres furfaces / ou des
U)Uâ€$^ eft ordinairertxent le côte inférieur,

les furfaces re^lignes quadrilatérales ou qua-
drilatères , ou terminées par quatre lignes droi-
tes , en gênerai font de trois fortes , trapefes ,
trapefbides , & parallélogrammes.

47. Un trapeie eft

une {iirfiace terminée . D

par quatre lignes

droites , dont aucune

n'eft parallèle à Tau^

tre ; par exemple la

fiirface A B C D.

4S. Un trapefoide
eft une furface ter- . E H

minée par quatre li- A****^

çnes droites dont /■\'

3cux font parallèles F 1

cntr'elles 5 par exem- p f ' ■ G

pic-, la furface EFGH , -

dont les deux cotez ou lignes EH & TG lonc
parallèles cntr'elles.

49. Un parallélogramme eft une furface ter-
minée par des lignes ^
droitcs,dont les cotez
<»u lignes oppofées
font parallèles en-

tr'cUes 'i par excnn-i K

S iij

iio Seconde Partie.

pie la (ur&ce K M , dont les cSeez K'L Se
I M oppofez font parallèles l'un à l'autre , 8c
dont les cotez I K & L M font aufli parallèles
l'on à l'autre.

Il }r a quatre (brtes de paralldogrannihe^
quadrilatéraux , fçavoir le Qjurré , le Rhdfxibe ,
k Parallélogramme Oblong ou Redanglc ^ & le
Khomboide,

fo. un quatre eft un parallélogramme dont
deux des côcez comprennent
«n angle droit , & font égaux
cntr'eux j par exentplc le pa-
rallélogramme N P dont ks
côtçz N O & N*R compren-
nent l'angle droit O N R , fi:
font égaux entr'ettx. '-

fi. Un rhombe efl un paralkbgramme dont
deux cotez comprennent un
angle oblique , c'efl à. dire ,
éiMou obtus y & ces deux
cotez font égaux entr'eux >.
par exemple le parallélo-
gramme B F , dont les cotez
B C ârB-€- feiit égaux en-
tr'euy , & comprennent par leur écartcmcnt Yv^
glc oblique CBG.

fi. Un parallélogramme oblong , ou fim»»
plement redïanglc ^ efl un
parallélogramme dont lés
deux côcez comprennent un
angle droit , & iont inégaux
cntr'^cux ^ par exemple le pa-
rallélogramme EG , dont p m
les cotez EF& Ê 1> font ^
inégaux, & comprenncat fanglc droit DE F»

XSeùmetrie. iii

Ij. TTn rhomboïde cft un paralldbgtammc^
3ont deux cotez com-
prennent un angle « q
oblique , c'eft à dire^ . y
aiguouèbcus, & ces i/^ y^

deux cotez font iné-

B

gaux entr'eux \ par /^
exemple le parallélo-
gramme AC dont Itt cotez AB 5c AE ^^otit
«égaux , & comprennent l'angle oblique B A E,

COROrlAIRE I.

Donc en gênerai , fi deux lignes menées ddn$
Un même plan concourent en un point , &
£on fuppoi^ qu*une de ces deux lignes foie mue
ttanfverlalement Iclon la longueur de l'autre^
^ toujours parallèlement à elle-même lorC-
qu'elle étoit dans fa première fituation ; étant
arrivée à l'extrémité de l'autre , un parallelo-
granlme fera décrit : par exemple fi la ligne A C
cft mue tranfyerfalemem , lelon la longueur
de CD, ou CD félon

H M

B

Kr"

B
C

I

:.-«..:.

Ip

•* •• ■•••l %wtm

% I •••>• •

:i
j

la longueur de C A &
toujours parallèlement
à leur première fitua-
tion ^lorfque A C fera
parvenue à l'extrémité
de CD en BD , ou
que C D ièra parvenue
a l'extrémité de ÀC
^ A B , la furface C B qui fera décrite feja
Un parallélogramme j puifque les cotez A O
& B D font parallèles , & que les cotez AB &

fip feront auiS paxaJiçk? par ^ fiippofitioa

& iiij

G L

I>

K

11 i Seconde Partiel

qu*on a faite que ces cotez écoient to&jours pa^
nlleles pendant leur mouvement.

COROLLAIRE II.

Donc la furface d*un quarré ou d'un parallé-
logramme reâanele eft décrite par un des cottt
perpendiculaires a l'autre , mû tranfrerfalement
iclon la longueur de cet autre y c'eft adiré , re-
|>eté autant d^ fois qu'il j a de points dans oer
autre côté 3 ce qui eft la même chofè que de
multiplier 'un côté par l'autre : êc partant pooc
ayoir la furface du redangle C B , dont un des
cotez A C eft de ) toifes , & l'autre CD de s
coifes , il faut multiplier A C par CD, ou CD
ar A C , on trouvera pour cette fiirface if toi-
ts quarrécs. Parceque chaque toife linéaire de
la ligne A C , par exemple C E dans la pra-
motion tranfverfale qui en fera faite de la ntua-
tion C E en F G décrira une toife quarrée C F:
de forte que la ligne A C contenant 5 toifes li-
néaires étant panrenuc en G H aura décrit 5 toi-
fes quarréi^s j fi on en fait encore une promotion
jufqu'en L M, elle décrira encore j toifes quarrécs,
& ainfi de luite jufqu'à ce qu'elle foit parvenue
en B D. Et partant fi le côté d'un quarré eft mul-
tiplié par l'autre , on connoîtra au produit de
cette multiplication la valeur de la fiirface de
ce quarré. Pareillement fi on multiplie le côte
d'un rectangle par un autre, on aura pour produit
la furface de ce redlangle. X)n ne doit pas con-
clure la même chofe du rhombe & du rhom-
boïde , comme il fera démontré dans la fuite.

COROLLAIRE III,
Donc les cotez oppofez des parallelogram^

B

Geûmiirîe. ii^

(ont épxa enu'eoz j par ex^eotplc les câtes
A B & D C font égaux entr'euz 5 puiiqae * Je
paralldogiamme B D eft décrit par la ligne A B
tranfporœe tranfyerfàlement ^ j^

en 13 C ; par le même rai-
ibimement AD=B C. On
dira la même cho& des autres
parallélogrammes.

/4. Une ligne diagonale
eft une ligne menée du
fbmmet d'un des angles par le Commet de Tan^
gle oppofc d'un paralklogramnie ; par exemple
la ligne. A C qui eft menée du fommet de Tan--
gle A , au fommet de Tangle oppofc C du par;
f allelogranmie B D.

,SSn Une furface réguliè-
re eft celle dont tous les cotez
font égaux entr'eux , & dont
pareillement tous les angles
lont égaux entc*eux , cdmrtie
la fui^ce M , & la furface
N P de la définition f o.

f tf. Un polygone eft une
furface terminée par un nom-
bre de cotez plus grand que 4 ; par exemple M»

COROLLAIRE.

Puifqu*on peut (*) confîderer une ligne coin«
me une trace ou veftige d'un point mû d'une
ftation à une autre ftation ; & que le plus coure
chemin qu'on puiHè imaginer dans la courfô
d'un point qui eft eh mouvement, #eftle che-«
min que ce point parcourt en paflàuit d'toe fta-;

0

5 Cpt. I. déf.trefmt0. {^) C^. I, def, y G§0,

114 Troipifne Tahie.

tion à xtot antre qui lui eft infiniment prcfcbei
le le chemin le plus coure de tous ceux qu'oa^
)>em imaginer d'un point à un autre point étant
(5) une ligne droite $ la ligne menée d'an
]»oint à un autre point qui eft infiniment procbey
eft une ligne droite j & partant toute ligne
droite ou court|c peut être confiderée comme une
infinité de petites lignes droites infiniment pèti'^
tes. Donc enfin une ligne courbe , par exemple
lÉie circonférence de cercle , eft * un pol^igone
d'une infinité de cotez infiniment petits.

Les polygones (ont diftinguez entr'eux p^tr k
nombre de leurs angles ou de leurs côcez , c'efti
dire , qu'une fiir&ce de ; cotez eft appellée pen-
tagone \ une de 6 cotez , £xagone $ une de 7 cô-'
tèz , Eptagone ; une de 8 càtiez , Oâogone ;.une
de 9 coteZyEnneagone^ une de 10, Décagone, &C,.

^7. \3n& (Urhice plane circonfcrite à un
cerck f eft celle dont tous
les c6téz touchent k cir^
conférence de ce certlc j' par
exemple la furface GHlKL »
dont chacun des cdcez GH^
H I, &c. touchent une md«
me circonférence de cer*

cle.

f8. Une furface plane
înfcrite dans un cercle , eft
celle par tous les fbmmets
des angles de laquelle une
çircon&rence de cercle paC-
i^ ; par exempk k ùjkhf^
ce A.

(») D// 4. Gtô.

Cedmnrie» jij

^9. Dans les fujcfaces reûiHgnes 9c équian»
^les Tune à Tautre , an çôcé eft lioinologqc
a un antjre, loxfqaeie{>remier ^ termine aux
Ibmmets 4es angles d*^ne fur&ce , qui (ont
éj^aux aux angles de l'atUtre furfacc , au fbnune^
de£quels fè tennine le fécond côté bomologiiep
On djia la mêjzxe chofed^es autres cétez hompr
togues j par exemple^ 1^ q

les forfaces  B C £> isc
C'F G H font équianelçs
Tune à l'autre , c*elt à
dite , fi l'ande A B Ç
d'une de ces wrfaces eft
^gal à rangle £ F G de
l'autre , & fi Fangle

CDA = ;G HE , &
D A B =T= H E F } le cô-
xé A^Aclccôté EF fe-
ront homologues 3 par«
xeque , fuivant ce qu!on .vient de dire 9 A^
iè termine aux fbmmets des angles A & B qujî
font * égaux aux angles E & F , chacun à cha*
cun. Par la même raifbn B C & F G font ho-
fnojbgues , de même A P & EH, &c.

Dans les triangles équiaiîgles ll.un à^*autre, les
cotez honiologues font ceux qui font o^pofèz ai
auigles égaux.

comprennent des angles égaux dans une de cef
furfaces, font proportionnels aux cotez homolo-
£uçs qui comprennent pareils angles égai^dgA«

X\6 ^ Trùîjtémê fârtie^

fautrefiirfaccj par exemple -
k furiace B D eft femblable
a E G , fi l'angle D A B
= GHE }fiABC=H£F;
£BCD = EFGifiCDA
:= F G H 5 & fi le côté

DA . AB :: G H .HE; u g.,,, ,fi

êcfi kB.zc il HE. r\ri^

EF^fiBC CD :: EF . Tv I -illJ «

TG i & enfin fi C D . ^^^ ^

DA :: FG .GH.

On fera libre aufiîde comparer chaqne cAri
4*une de ces fiirfacçs à chaque côté qui loi eor-
zelpond dans l'autre ; par exemple A D • H G*::
AB . H^H^C EF . &c. la fimilkudede ces
furfaces fiibfiAcra toujours.- Car s'il fe trouve une
furface dont les cotez ï#ient entr'eux félon la
première manière de comparer qu*on vient d'ez«
po(èr, ces mtoes cotez fiâront aufii * entr*eux Ce*
Ion la féconde»

On fe fert indifféremment de ces deux m^uiie**
res de comparer les çôtez des fiir£aces fèifibla^
blés , parcequ'une de ces manières ne peut tare
Vrajc fans que l*aajt:rc le fbit.

Il faut feulement remarquer que,logrique fèloA
la feconde de ces deux manières on compare les
cotez homologues d^n triangle ou autre fur&ce
aux cotez homologues d'un autte triangle fêmbla-
ble ou de quelqu*a^tre fùrface (èmblable, les ante<>
cedens d'une même analogie fè doivent rencon-
trer dans le même triangle ou dans la même fut'"
face,

COROLLAIRE.

* ■

Donc les quarrezfbnt deux fiir&ces fên^lablcf

î Car. frof. 3. 4rU *• Mftb,

icntf'ellcs^'

Gtametne. tty

A, Les corps, ou les foUdes ùyot des eruideun
JrauluÈ's en long , en luge , 8c en protond { pac
exemple une pieric , une pièce de bois , 6ec,

COROLLAIB.E L

Donc £ on confiJere qa'une Torface pnilTe taC
Vaniportée de travers ou tranfverlâlemeni d'une
Jhtionà une autre lUticii,Du qu'une farfïcc SaŒs

mie rerolittîon autour de devx points d'une dei
I^Ties qui la terminent i un. corps ou lÂlide lèn
décrit par la trace ou le veftige par oà cette
iïri&ce aura ps.^. Car ce lèra une giau~
dcur étendue' en - longHCUt Se en largeur i
C^aCc de k longueuf & largeur de la Tutlâcc

Ai8 Troifiéme Tartte.

mue , & cette grandeur outre la longueur Sc
large ur fera aulli étendue en profondeur , â
cau-ê du mouvement tranfverfal. Par exemple
fi U lUrfacc A C eft tranfponée de fa £tuauoa
A C en EG , l'efpace AB C D E T G H qui
fera décrit par ce mouvement , fera un fbliae.
Pareillement fi quelque furfaee , par exemple ,
I L M ftti: une rtvolutipn au tour des deuip
points 1 6c L tie la ligne 1 1 , qui eft un de fc^^
termes ou limites , i L M N fera un folidc.

COROLLAIRE II.

Donc Ids extrêmitez d*un corps font ^ Cui-^
faces ; pafceque lî on çonfidcre gue ce corps
foit dcc|[it par une furfaee transportée d'une
ftatioia à une autre ftation . la furfaee qui com-i
menccra à fc mouvoir , & cette même furfaee
qui ceffera de fe mouvoir , feryira à terminer ce
corps j les autres extrêmitez font décrites par
le mouvement tranfverfal de chaque ligne , qui
terminera cette furf.^ce en mouvenient. Si on.
confîdere que ce corps foie décrit par la révolu-
tion à^MCiQ furfaee au tour d'un o^ plufîeurs
points ,' le mouvement tranfverfal des lignes qui
feront mues avec la furfaee dont elles feront
termes , décriront des furfâces.

Il y a plufîeurs fortes de folides , mais dans
ces EÎemcns on traitera feulen>ent des Pyramir
des, des Cônes, des Prifmes,des Cylindres & des
Sphères ) parccquc ce font les efpeces des folides^
qui font le plus en ufage \ & dont Ja çoiuioiA
fariee eft irres-necelTaire.

éi. Une Pyramide eft un fblide", qui a pour
terme une furfaee quelconque reâ:iligne , & qui
ji eufuite po^r autres terme^ plufieurs friapgles ;

\*

Je lôrte qà'un des angles de
chacun Ce termine i un fom-
mec commun , 5c que cha-
cun de CCS même» trian-
gles z poQc baie un cdic de
cette furface re^biligne ; tel
elllc coips ABCD.

6i. Un angle folide cft l'é-
canemenc ou ouyertute de r. '.

plus de deux plans qui fc ren-
contrent l'un l'autie.fc qui fc "^
finiflent en pointe dans un lomtnet commun, en
teimiuajic d'une paît un efpace concave. Dans la
pytamide^BCZïjles plans jiDC, CDB, & BDA
qui Os rcncAnttenc dans les lignes AD , DC 6c
J>B , forment un angle Tolide donc le lommet
t& D. I>ans une chambte, les deux murailles & le
plancfaertpii fe lencontieni forment un angle
fblide.

Il 7 a des pTramidcs droites & despyiamidc»
obliques.

tf+. Une pyramide droite eft celle du fommet
de laquelle on peut mener une ligne perpendi-
culaire f«r la baie , fans qu'il (bit pour cela ne-
ccllâirede prolonger cetcebafcioubien du fom-
met de laquelle une ligne Étant menée perpen-
diculairement àlaba{c,feu<iuve au dedans de
cette pyramide.

gée, eft une pyramide droite,
<;. Une pyramide oblique eft celle &

tio Trêiji/me fârfîél

de laquelle une ligne ne peut être menée per^
pcndiculairemcnt que fur la bafe prolongée. Par
exemple , la pyramide F G H I da fommet I de
laquelle la ligne IK eft menée perpendiculai-
rement fur la furfacc GIH prolongée , eft une
pyramide oblique.

66. Une pyramide polygone eft celle dont la
bafe a plus que quatre côtes.En particulier, ces py-
ramides font diftinguées entr'elles par la rarieté
de leurs bafcs 5 c'eft à dire qu'une pyramide fera
nommée triangulaire , û fa bafe eft un triangle^
Quadrangulaire , fi fa bafe eft un Quadrilatère 5
Pentagone , fi fa bafe eft un Pentagone , Ëza-
gone , &c.

47. Un cône eft une pyra-
mide dont la bafe eft termi-*
née par une infinité de côtés;
c'eft à dire , dont la bafe eft
un cercle , par exemple le
folide LMN OP.

Il y a des Cônes qui font
droits , & d'autres qui font
©bliques.

^8. Un Cône droit eft celui du fommet du-
quel une ligne étant menée perpendiculairement
SL la bafe , paflè par le centre du cercle qtii en fait
la bafe. Par exemple le Cône LM NO P du
iemmet P duquel la ligne P R étant menée
^perpendiculairement à la bafe LMNO
par le centre R de cette bafe.

1)9. Un Cône oblique
eft celui du fommet du-
quel une ligne menée
perpendiculairement à la
bafe , ne pafï'e point par
le centre du cercle qui en
fait la bafe. Par exemple
le Co ne RS TVX du
fomm et X , duquel Ja ligne X T menée perpen-

paflè

Giùntttrle. m

'^colairement à la baie , ne pallë pamt par le '
centie Z de cette bafe , mais par un autre poiat
de cette bafe prolôDgÉe s'iîcft neccffaire.

70. L'Axe d'un Coiic eft la ligne menée de
fon fommec au milieu oucemtedefa bafc. Par
exemple là ligne P R eft l'aie du cône LMNOP,
& U ligae X Z eft l'aie du cône B. V T S X.

71. Un prii'me e,î un ToUde terminé par des
furfaces plmes reâ I gnes ,.dont dcui font pa-
rallèles entr'ellcs , ég 1 les , Si dcf-

quelles deux luifaces chaque câ-

té de l'une eft égil à chaque côté

de l'autre , Se les autres futfj.ces

font des parâUelogramjies. Par

eiemple A L M N O P , dont les

deuT furfaces AL M & NO P

IbiiE parallèles &, égales , & Ie«

autres , fçavoir A P , A O , L P ,

font des parallelogrammes,eft un j^^

prifinc.

Il y a des prilînes droits & des prirmes obli-
ques,

7t. tTn prifme droit eft celui dont les fiirfaces
parallèles Ibnc perpendiculaires auK paialk'lo-
gtammes , qui le terminent ou qui en font k
contours ; par eiemple le priûne L A M N P O,

7j. Un prifme obli-
que eft celui dont les
lurfaces parallèles ne
font point perpendi-
culaires aux parallélo-
grammes qui le ter-
minent ; par exemple,
le prifme MN.

11 y a des prifmes
qu'on appelle parti-
çulieiesKm PïiiiUelepipedef.

tii Troifiémi Partie:

74* TTn parallélépipède eft on prifme terminé

par fix parallélogrammes , 4ont ceux qui font

oppoièz font égaux 8c parallèles entr'eiix ^ pat

exemple le folide M N , ou A B«

Il y a des parallélépipèdes qu'on appelle cubes»

7;. Un cube eft
un ^ parallélépipède n

terminé par fix **

quarrez égaux en-
tr*eux ; par exen^
pk Iç folide A B.

<:01tOLIAIR£ I,

Donc fi on ftippolèqu^one fiir&ce plane xeâS-
ligne quelconque foit mue tranfverfalemcnt fe-
lon l'a longueur d^une figne droite fixe , & que
les. câtez qui la terminent foient toujours pen^
dant ce mouvement parallèles à eux mêmes
confiderez dans la première pofition 5 lorsque
cette furface ceflera de k mouvoir , Tefpacc
qu*eile aura parcoirm fera un prifme. Car x®. H
y aura deux des fiirfaces qui termineront ce
K)lidey qui feront parallèles ciitrVIles. z^» Les
Autres furfaces feront des fcrfaces parallcl<>-
grammes ; puifgu'elles feront décrites par fe
mouvement tranfverfal èts lignes droites > q«i
termineront cette furfac plane en mouvement.,
& puifque ce mouvement tranfveifkl fera fait
parallèlement & félon la longueur d'une Ugiie
droite , £uis vaxiei de part ni d^attor;

Géométrie. lit

COROLLAIRE IL
I>onc la folidité d'un priTme redangle eft d£-
cnce & exprimée par une des furfaces parallèles
xnuë traniyerfalemenc félon la longueur d'une
ligne droite qui lui eft perpendiculaire -, c'eft â
dire^par une des furfaces paralleles,repetée autant
de iois qu'il 7 a de points dans la longueur de
cette ligne> ce qui eft la même chofe que de mul«
tiplier une des furfaces parallèles d'un prifine rec-
tangle par fa hauteur. Par exemple, pour connoî-i
Xre la iblidité duprifme reâangle ABCD£f GH ,

t,)im ■■..•yl» ••••*■•

dont la largeur eft de deux pieds linéaires, & h
longueur de 5 pieds , & la hauteur de 4 ; il heat
connoîtrc la bafê A C r fi cette bafê A C efè
un reâangle y on multipliera i par ; , & oA
aura 6 pieds quarrez pour la fûrface A C , la-»
quelle étant multipHce par la hauteur , fça«
voir 6 pieds quarrez par 4 pieds linéaires ; oit
aura 14 pieds cubes pour la folidité de ce prifmd
cacier* P^rceque cfaaqae pied- quarré de là £»>«

T iiij

ii^ TroiRime Târtlt'

tK.t AC étant ma tntnfveifâkment lëlon h
luuteut d'un pied lineaiic en I K , décrira un pied
cube. Oi dans la futface A C il y 2 fi picdt
quiirez j donc lorfijue cette futface A C &ra
mue paialklcmenc a clle-mËme de la hanteoi \
d'un pied linéaire, cju'elle Icra, par cicnipie,ïn
I K ) elle aura décrit 6 pieds cubes. Donc cette >
furface de fi pieds quaiiez étant mûc de la bail- 1
teur de 4 pieds linéaires , elle aura décrit 14 ,
pieds cubes, Tolidité du priime entier propofé.

76. Un cylindre eft un prirmc , dont deux for-
faces qui font parallèles , font terminées cHacuuc

rir une infîniié de côtei, c'ell
dire , dont dcuï furface; pa- —

xalleles Ibni deux cercles j par \

exemple A fi.

77. L'aie d'un cylindre eft
une ligne droite menée du
centre d'un des cercles paral-
lèles au centre de l'autre , pat
exemple la ligne C D.

Il y a de deux fortes de cy-
lindres , de droits & d'obliques. ■«

78. Un cylindre droit eft

celui dont l'axe eft perpendiculaire à la baie,
Far exemple te cylindre A B , dont l'axe C D eft
perpendiculaire a la bafcAË,eft un cylindre droit,
79.Un cylindre obli-

que eft celui , donc
l'axe n'eft pas per-
pendiculaire à la ba-
ie î par exemple le
cylindre F G , dont
l'aie IL n'eft point
perpendiculaire à la 1
tafe F H, eft un cy;-.
Uti<Iie (>Ûique,

iG

COKOLLAIRS I.

t>oac pour décrire un cylindre , il £uit f!i^
^ofêr une ligne droite fixe par une de £ês eztrc-'
snitez dans le centre d'un cercle, & immobile
félon Ùl longueur j enfiiice que ce cercle fbit m4
toujours parallèlement à lui-^même julqu'à Tau^
tre extrémité de cette ligne : ce cercle après avoir
ceâfé de fè moutoir aura décrit un cylindre par
ion mouvement , 9c cette ligne (èlon la lon«
^eur de laquelle il aura éeé mû en fera l'axe»
Car le folide décrit par ie mouvement tranTver;-
fal de ce cercle, fera terminé p4ir deux cercle
égaux , & les cotez infiniment petits de la cir-
conférence de ce cerde y auront décrit par leur
mouvement tranfverfàl une infinité de paralle^
logrammes d^une largeur infiniment perite , 9ç
de la longueur du cylindre , qui termineront
tous ce 4nême cylindre,

COROLLAIRE 11.

Donc pour connoftre la folidité d'un cylindie
reâangle , il fuffit de multiplier la furface qui dk
le cercle de la bafe , par la hauteur de ce cylindr^
&le produit de cette multiplication exprimera la
valeur du cylindre. Parcequc ce cylind^ n'eflque
fa bafc circulaire , répétée autant de Ibis qu'il j %
de points dans fa hauteur,

80. Une fphcre,globe,
ou boule eft un corps ou
tolïàt terminé paa: une
fûrface courbe , dont
tous les points podîbles
font également difhuis
4*1111 feul point pris à^M

Mé Tr^lpme Pdrtie.

te folWc, Par exemple le corps ADB||C^'
€ft terminé par la uirface ÂBCDE , & dms
lequel le point G eft également diftant de coas
les points de cette furface , eft une fphere^ ,

8i. Le centre d'une fpherc eft le point pris
dans ce folide , qui éfl: également diftant de teas
les points de la furfacede ce même corps 3 pat
exemple le point C.

Si. Un raf on de (pherc eft une ligne droite
menée du centre i fa furface ; &un diamètre de
fphere eft la ligne droite qui eft menée d'ua
point à un autre point de falnrface , Se qui pafiè
par le centre. C B par exemple eft ua rayon , &
A B eft un diamètre.

COROLLAIRE L

Donc les rayons d'une fphere font égaux en-
Ir'eux. Car puifque le centre d*une fphere eft
également difhint de tous les points de fa furfa-
ce, & que les rayons font des lignes droites me-
nées du centre à la furface 5 il faut neceffairement
qu'ils foient tous égaux entr*eux. Pareillement
tous les diamètres de la même fphere font égaux
cntr'eux , puifqu'ils font chacun doubles de
Rayons qui font égaux entr'eux,

COROLLAIRE II.

Donc fî on fîippofê
qu'un demi cercle, par
exemple D B C D fbit
mû ou faflè une révo-
lution au tour de fbn .
axe ou diamètre B D ,
lorfque ce demi cercle .
fçra reyg^u dans h .

' Géométrie: 2Ï7

m&me fituition , d'où il étoit parti j par ce mou-'
remcnt il aura décrit une fpherc , puifque Tare
B C D de circonférence qui termine d'une part*
ce demi cercle D B C D , décrira une fùrfa-!
ce courbe dont tous les points feront égale-^
ment diftans du point A , qui en fera le cen-
tre : enfin cet e%ace ainfi décrit & terminé
par cette {iirface courbe fera un fblide 5 puifque
outre la longueur & largeur qui font daiis le de-
mi cercle , il 7 aura profondeur à caufe du mou-
Tcment tranfverfal qui fe trouve dans la eircoa-*
volution de ce demi cercle,

83- L*axe d'une fphere eft un de fcs diamètres ^
au tour duquel la fphere tourne ou fait quelque
révolution 5 par exemple B D.
" 84, Les pôles d'une fphere font les deux points
qui font les extrêmitez de Taxe ^ par exemple le'
}k>int B & le point D.

f y. Un grand cercle d'une fphere eft celui , dont
le plan paife par le centre de cette fphere , Se
dont la circonférence efl décrite ûir la furface
de cette même fphere,

86, Un petit cercle d'une fphere cfl delui, dont
le plan ne pafïè pojni^ar le centre de cette fphe-* •
re , ^-^t la circonférence cA décrite Cui h
furface de cette même fphere,

87, tes pôles d'un
arc de cercle ou d'un -
cercle de la fphèr*
font deux poiiits-pnj
for la furface de la
même fphdre, chi^ ^
con éealement éloi-
gnez de là circonfe*
|:ence oe ce cercle j
P|J ( ce qui eftja mÔ-î

jjil . Trolfiimt Partiel .

Qie choie. ) ce jlbaties extrêmitez dutUaoxteetie^
k fpherC) qui eft peipendiculaixc au pba de <»
cercle par le ccnuc. Par exemple ks poks d»
gsaipA cercle CP, & du pciât cercle Jg F qui lia
cft parallèle » fom le$ deux points A&B«

8$. Un ppljêdrc eft un fblide de plufiem
agigks ôç d« pluueurs furfaces planes.

En patticwfer wi diftiague les polyèdres par
le- nombre de kurs fiwfaces. Par exemple uot:
pff^mJi^c criaagolâ^rc ièra appellée un corps de
quatç^ ijirfeMces ou Tetracdre:utt cube fera a^Ué
un corps de £x furfaces ou Sx^edre , &c»

«

C QR O LL A I HE.

■ Daae-ufle-^lme. d^ir ècie confiderée comndtf
m 9f>^^^ d'une. infinM de furfaces , qui fofl^
quadrilatérales & infiniment peciies. Carpuifijuc
ipe fpherev eft >* dé^^e par le j»puv«iO£;nc de
c^i^nvoluitipn d*u& deou c^pcle ^ exwpl^
AC KA: a», tQjK
de fi)n diamètre ^A

A D j &qft'unc cir-
conférence de cer-
cle eft** coo^dçt^-
commeun polyeo- ,
ne d'une infinité de
cotez j fi on cbnÊ-
dere un grand cer.*
cle , par exemple
C G , dont le plan
foît perpendiculaire au diamètre AD du desnl
cercle A C D A ; qu'une petitelignepar exemple
B C foit un infinitiéme côté de IL demiedtcon*

ferençç

M D

iSemetrie. i\p

ftxenoe dft terde A C D , de que CF fbtc

4a înfiiiidjéine côté de la circonfèrenoe du cer-
cle C G« Lorfbae le demi cercle A C D
en faiCutt fa rev«ation aura ayaticéde la diftaii«
cède kligne Cf infiniment petite qui eftvn
d6té de la drconference du cercle C G , la^^«>
xe quadrilatère C £ mfinimenr petite ^ fera ime
de cdles qui £exoat décrites pendant ce ipowre^
ment. La ligne infiniment petite C H décrire
auifi par £>n mouvement des figures quadrila^
cerales C N , &c. & ainfi des autres infinitiémef «
A r^ttd de chacune des deux lignes infinlmene
]petites AL 6c D M , qui ont une de leurs exorè-i
mitez dans les eztrêmitez du diamètre A D, ellev
décriront pendant ce mouyemenc deux cercle»
ilifiniment petits $ car chacune de ces deux in-
finitiémes eft perpendiculaire à un. diamètre^
Parcequ'on démontrera dans la fuite qu'une
ligne qid touche une tirâonfèrencç de cercle^
eft petpendÎGulaire au diamètre qui fe termine
au point d'attouchement , & ^mé de ces ligne»
in&iiment petite étant prolongée eft la ioo^
chamc*

C ORÔLL A IRE II.

Bonc fi du cdntre de la (phete on mené det
lignes aSz angles àt ces quadrilatères infini««'
ffienc petits ^ cela déterminera une infinité de
petites pjramides qui anij^nt toutes leur fi>m-^
met dans le centre delà (jphere , & feur ba£ê in.
Adment peéte dans là fiitface de cette fphcte.
fbtL aura aufl! deux <^ones, dont chacun aura pour
axe lâ mnxikA^x diamètre du denai cercle , qui
ajira fait la révolution , & donc la bafe infiniincni;
fffàxt {kfz «iffi dan»H (m^U d« la ^here.

w

i; o Trtifiimt fànït.

%<^ Dnix folidcs rembkbles îotA ceox , don|
le premier eft tmnini par des plans Icndilables
à ceux qui cermincni le Iccoiid , chacun à cW*
cun , & en pareil nombre <le pan &. d'autre,

' )o. Une £gure eft une gtaodeui étendue' at
long & en large feiikmcnc j ou en long , en
isrge , & en piofbnd , cemûnéc de toutes pans,
Vn ictangic , pai exemple , eft une figuie j une
pXiamide cft un figure , &c,

i^. De iDÊmc que les figom teâtlignes pm-r
vent ttre réduites ca uianples , '|in£ ^ coipq
en Ibtidcs peuvent Être diyifez Bt rcduùï cnpjrta^
mides triangulaires. Par exemple., le tolide
ABCDEFGHIK fera réduit pîci^iewmeitt

triangulaires
ABC FGH,
ACDFHl, _
ADEFIK, '
oi fiippofant
des plans me-
nez d'un des
angles des-
plans qui
«Mminent^ ce ^
jCslide , aux
angles^ auT
«es plans qui , d'
le terminent. ^

_ t". Chaque ptifoic niangulaîic A B G O £ ï
fera réduit dans ces trois pyramides A B C F ,
DEIB&ABDF,enle ûippolii^ coupé, pàx

)XA deux plans A B F & B F O.
t, Afin de pouïo^ f^fiknicnc ij^ingucr kt

Géométrie. ' jji

pyramides triangulaires donc il eft qaeftion dans
le (blide reprefencé par la féconde des deux dcf^
nieres figures , il faut premièrement confidercr
nn triangle comme bafè de la pjramide qu'on f
cKerche , & obferrer enfuite (*) les trois trian-
gles qui auront chacun, pour bafe un des trois
cotez de ce premier triangle , & qui auront en
Outre un fommet commun. Cette remarque eft
fort utile lorfque dans des fblides on eft oblige
d'examiner des pyramides , ou dcles comparer
l'une à Tautre.

4^. Une grandeur exprimée par une feule pe-
tite lettre de Talphabeth eft ordinaitement ajf-
pellée une ligne. Parceque dans TAIgebre on
n'exprime une ligne droite que par une petite
lettre de Talphabeth,

Un produit de deux grandeurs différentes ex-
primées geneifalemént comme 4 ^ eft appelle
un plan ou redangle compris foUs a 8c h, Par-
ccqu'un reâangle dont un c6ré (croit a Se Tau*
tre h , auroit * 4 ^ pour Texprcffion de fafùrfacei
tm reébangle n'étant rien autre chofe qa*un de
£ès cotez multipliez par Tautre,

Un produit formé par deux grandeur^ égaler
eomihe 4A ctï appelle le quatre Ac a. Parce-»
qu'en multipliant par lUi-meme le côté appelle
^ d*un quatre , on a la furface /» /» de ce quarré»

£n Géométrie on expriiiie le quatre d'une
ligne , par exemple , de A B en cette oianiere
AB*,ouABÎ ,ouABxAB.

Un produit de trois grandeurs exprimées jgc-
nfraJement , comme sbg ^ eft appelle un (oU*
3e 5 parceque ces trois grandeurs expriment le#

(') Déf. 6t. Geo.
* Cor. a, déf, ;u

y V

jji Trpîfiimi Fartie.

tf ois dinaea£ons qiti Ce rencontient <I|iis on a

•a folide.

Un produit de trois gnndenrs égales , ^o îe
produit d'une grandenx multipliée deux fois par
elle-même, comme ^ ^ ^ , eft un folidc appelle
tvbc y dont une racine eft K

DEMANDES

DE GEOMETRIE.

O N /uppofè dans la Géométrie que ce qui
rft énoncé dans ces trois articles eff poflîble y
& qu'on ne refufèra point de l'accorder lorfquc
«ela fera neceflàire pour une demonftra.tioa«

1. Qu'il foit permis de mener une ligne d'ua
point à un autre point , ou du moins de Gaj^
pofer qu'elle fbit menée.

2. Qu'il fpit permis de prolonger ou concis
nuer une ligne droite fi loin qu'on youdra.

3. Qu'ennn on accorde qu'au tour d'un point
on décrive une circonférence de cercle y à tellç
4)uyerture de compas qu'on voudra,

AXIOMES

P E GEOMETRIE.

!• L B s lignes appliquées l'une fur l'aune ;
qui ne Ce fiirpaflènt point l'une l'antre , font
•gales eotr'çlles & fcotblablec , de nAÔn dd

Géométrie. i^j.

ftfigles. Pareillement les furfkces appliquées l'u-
ne fur Tamre , lefquclles ne fe furpailcnt oa ex-
cédent aucunement Pune l'autre , c'eft àd'rc , qui
conviennent entre elles en toutes manières , f«nc
â-Uni égales entr'elles, •

a. Il eft impôiïîble au'entre plufîçurs grandeurs

STifes à voIont4 * , ^ > r , d^ 8cc^ il y en ait
èùx , par exemple aéch qui /oient telles que
s foit plus grande ou plus petite que toutes ïes
autres reftantes^ , r , î, & qu'en même-temps
h foit auflî plus grande ou plus petite que tocstes^
les autres 4» , r, /, &c.

Pour rendre cet axiome encore plus évident -
fuppofons entre plufieurs grandeurs que a ôc a
fbient chacune plus petites que iss autres ^ /» cfl
* plus petite que chacune des autres. Donc cette

frandeur a fera plus petite que t» Pareillement
eft * plus petite que chacune des autres. Donc
^ fera plus petite que a , c'efl à dire que /» Cstx
plus grande que (. Donc a féroit en même-
temps plus petite que h , & en même-temps jfluf
grande que la même grandeur ^.11 faudroit donc
que a fût plus grande & ne le fût pas en même-'
temps , ce qui ef^ ^^)Jtyii€nfaiiCni impoi&blc.

C OR O LL A I R B I.

H cfl impoffible qu'entre plufîeurs grandeurs
il 7 en ait une plus petite que la^ plus petite,

COROLLAIRE II.

Donc pour afler d*ian terme à un autre , il n'f
» qu'on fcttl dvcmin,qui foit le plus coure de tou*^

y. *9

iî 4 Tntfème TàrtU:

COROLLAIRE III.

Donc rflm point i un autre point, on ne penl
mener qu'une Têulc ligne droite } puiCjue ('J U
ligne droite occupe le plus court chenun qu'il 7
aid'nn point à un intie point , & que ('} ce che-
aiin en unique,

COROLLAIRE IV.

Donc la mefure de la diftance d'un point i

«B autre point cft une ligne droite menée d'un
de CCS points à l'autre. Car cette Hgne droite eft
une mefure conftante , unique & immuable :
puilîju'on n'en peut mener qu'une iëulc d'un d*
CCS poinrs à l'autre,

l^) CoT,i..Ax.fn[tnt,

CHAPITRE I.

DES LIGNES;

^— i«^— — a^— ^ I I . — — If— — — ^

PROPOSITION I.

fi des exfrêmiteH^ttune ligne droite en mené deux
autres lignes ^hmqttes concourantes du mimw
coté^ Ufomtne de ces lignes concourantes fera plue
grande que la feule ligne droite des extrimiteZ
de laquelle elles font menées^

DEMONSTRATION.

Soit la ligne érohe AC , êc q«e par fês et-i
trèmitez AScC ^on snckie deux autres lignes
AB 8c C B qui concoarent du même cAtc : je
dis que U fomme. de ces lignes concouruite»
AB-^BC eft plus
grande <^iie k ieulc. j^

jjigne ^ C. Car la ligner
4ix>iteu4C occupe^ le
l^ltts court chencôn qitt
tft dvkpoint A aa point
C : mais les lignes A B
8c BC n'occupent pas
hs^ cbemia ^ c qui eft le pibis comt. DoaceUei

ij6 Trùifi/fHi Paftii.

occupent un chemin |>lus loog que la feule Hgntf *
A C. Donc la fomme des lignes AB-^TicA
plus grande que AC y ce'^uiifàUoit.iUmmtrer,

COROLLAIRE.

Il fuie de cette pro-
pc^tion que" la ligne
Courbe ABC eft plus
grande que la feule -
ligne droite AC y ^ Al
Tune & Taupre font
terminées par les mêmes points.

PROPOSITION II.

ifi de deux f oints <m mené deux ttpies qui comfâ»-
rent dans un f foint, éi*'fi de ces deux mêmes
f oints on mené encore dans le même plan deux

. lignés droites qui concourent vers d^ entu leK
deux précédentes ; la fomme des deux premières

■ fera flus grande que la fomme des deux dernier eu

DEMONSTRATION.

Soient les deux points A &cB dont on mène
les lignes AC Se B C concourantes au point
C , & <&nt on mené encore les lignes AJ^ Se
BD concourantes au point D vers C , & entre
leç. premières lignes AC Se BC. Je dis que
AC'Jk'CB'^ AD'-^DB. Pour le démontrej;
il faut * prolonger A D juCju'^à la rencontre de
k iîgne KC en E. Or (*; AC-^C E> wlEr

* I>emand. u Qio. {* J Fref. Xr ^««j

Géométrie. ij7

iDoii/cren a^utont de pan & cl'amrf BB , on
aura *^C-+-CEp+.E«>^£^-£5. M4k
(■) C E •♦- E B = C B.
Donc ,><C-4-CB>
^£ -4-HB. Enfin BS-4*
EI> ^BD. Donc en
ajoutant de pan & d'an-
tre D-<f,oi;i aura * B^^

D ^. Ce qui eft la inè-.
me ehofb (jue de dire
AE-^BBJ^AD ^
D B } puifque AD'^
DE = ^£« Mais on vient de troUTer que
i^r^C-V-CB^^E-HEB. Donc^C*4-CB
>^E -t-EB^-^D-fr-DB. Donc enfi^
(*) AC^CB'^AD'^pB.ce^H'ilfaUiùt^,

montrer^

PROPOSITION II r.

Chaqite fomt étime lign^ droffe feffendiciélétire M0

• milim et une autre ligne droiti , efi ég/Uemeni

difiant des deux extrSmite^de Ia ligne . au m^

lieu 4e laquelU cette première ligue eft ferpet^.

dtctd^ire*

DEMONSTRATION*

S Oit la UffieAB pcipeadicailairc à la ligne
C D par le point E qui en eft le milieu : je
dis que chaque point de h ligne AB y pa^

* Ax. 7. gêner. («J^ Ax, J. 6r#|
0 Ax* i2.igmcr^

A
•F

iî8 TroiJî/mePdriUl

exemple T , eft également diftant clés pointa 6

& D extrèmitcz de la ligne C D. Car pour que

ks points I 6c C fiiSênt'

plus proches Ton de l'autre,

que le même point F Teft

du point D ) il faudroit que

la ligne A B fut plus iiidi-

née vers C que vers D^ou

que la ligne AB ne fût

pas perpendiculaire a la K-

gne C D par Ton point du

milieu £. Mais Tun & faù^

tre eft contre la fuppofi^

tion. Donc le point F fera

également diftant du point C Scitt pdint D

cxtrêmitez de la ligne CD au milieu de k-

Suelle AB efk perpendiculaire ^ ce qu'il ftiUoit
emontrer»
On dira la même chofè de tous les aattes
feints de la ligne AB,

B

14*1

,■ t

PROPOSITION IV.

Vne ligne perpendictdalre k une autre ligne ârôiu
far le foint du mlieu de cette dernière , f4'
fartons les points qui font également diftansdes
extremite:(^de la ligne au milieu de laquelle th
efi ferfendiculaire,

DEMONSTRATION.

S Oit la Hgne A S perpendiculaire à la ligne
C E par le point D , milieu de cette ligj
C £ : je dis que U ligne A B paifera par tous I

Gcametne* ijj

peints qui font également diftaiis des eztremi*

tez C & E àt la ligne jCÎ. Car la ligne A B

prolongée fî loin qu'on voudra ayant [*J chacun

de && points égaknsent diflans des eztrênûrez^

C & S de ia ligsie C t y û fttf&t pour Id propoâ-^

fition présente de de*

^QiiueË qtt'y n'y ^ A

aucun point pris hors

de la ligne A B qui

fpit égalenatnt di-

ftantdel czttêmitez

C & £. S^it par

exemple le point F

pris à yolbiité hors

la ligne AM ; je dis

que ce point F sMk>

pas égalemtnc di^-

ftant des extrênûter

C&E , c'eft à dire

qu'ayant mené les lignes y C & FE ,^ on airr*

jFC^F£, Du peint î^ovpafiêFC , au point

E •, foit menée la ligne G 1. On fçait [* j que

GG:t=tQE.en ajoutant de parc êc d'autre G F,

oaaara p] C G^CVisiiS G^ OF . Mai»

p] EG^GWytM F. Donc auffi [♦] C G-*-

GF>Er,c'eftàdirequeFC>FF. Donc

le point F n'eft point également diftant de C &

de£. Donc enfin ^ F paâè pat Éous les points

é|ralemcnt diftans de C ^ de F, a qu'il frlUit

Àétncntrw. ' ' \

On ièrg le mêftie r^iifontiement pour tous les
antres points pris hors la ligne A F«

f:

PJ

A^» 4. Gen^

V

{^ J I>MXi* I* Genà

tJ^cy

TroiJîim9 Partie.

COROLLAIRE»

Far on même point , par exemple , par le
point B de la ligne CD , on ne peut mener dans
Je même plan CAED plu£eurs lignes perpen-
diculaires a la même ligne. Soit ki ligne AB
peipendiculaiie à la li-
gne C 2) pat le point B^
Se ibit menée ^par le mê-
me point B une autre
liet>e BE : . je dis qu'il
Cuimpotïible que cette
ligne B E foir perpendi-
culaire à la Inême ligne
C D par le même point ^mm
B, Car ayant pris de part C
& d'autre ou point B les
lignes égales BC & B Z> , 11 fimdioit ['] que
cette ligne B £ eftt chacun de tous les points éga*
Icmem diftans du point C & dupoiot D. Ci on
vient de dénuMVrçr qu'il n'jr u que les peints de
la perpendiculaire AB qui fi>ient également
diftans des exrrêmitez C & D de 1» ligne C D.
Donc la ligne £B ne peut ttrc petpcndicnlaiïç
à CD.

B

• i i *

iPROPOsmoN

Geometrif. 144

PROPOSITION V.

A

pnê UffM droite qui faffe far deux f oints ^ éu quia
deux de fes feints , dont chacun eft également
éUftant -des dessx ea^êmitex, tune autre ligne
droite, èfi ferfendiculairs à cette autre ligne dreiu
far U feint qui en efile milieu^

DEMONSTRATION,

Soient les deux points A 8c B ^ chacun égi-
lement diftant des ezttémitez C Ôc D de ht
ligne CÏ> : je dis 'que la. ligne droite qui pafTera
par ces deux points A 8c B £êra perpendicu-
laire à la ligne C D par le point £ , qui en eft
le milieu. Car la ligne A.

droite qui pafTera par ces

deux peints AôcB^ pat q £ j^

fera par le même chemin

par où paiTeroit la ligne j^^

qui fèroit perpendiculaire

a C D pa^ (on milieu M; j^^

puifque cette ligne qui fe- B «

loit perpendiculaire à CD

par le milieu E , paflcroit ^

(■) par les points A 8cB. C D

Donc (*) ellefc confori- ,
droit arec cette ligne droite menée par let
points A 8c B, Ex partant la ligne menée par
les points A 8c B y feroit la même que la ligne
perpendiculaire à C P pat le milieuJS , ceqt^ilfaU
Uit demmtrer*

{*) ^cf. 4^ Geû, (*)Çor.yM*t'Geê.

24* 7n!*/fmf f^tie.

COROLLAIRE I.

Si nnc ligne , par exemple , £ F eft pctpem*
diqilaire à une
autre lignée D;
réciproquement
cette autre AD
jfèraauflî perpen-
diculaire â £F.
Car fiu: U UgoP
AD it part &
d*autrede£Fpr^
nons les parties
C fi&CDc&ar
lesçntr'elles. B.a
point B coDimC

<!entre, &'dç rîncerTaIIe.BF pâfc à yol9m4pîUf
longue que È C foit dccxi^ Taçc de cer'ck F GÈ,
Puifque PI B-F- eft pcrpeniiciilajje a ÇÇ ,'9^'^
(^ DE=:£B(J)=î=BFC*)==3:FP. Do?!^ Ç5
==BF,&I)E = FD ; àç paftant cEacun 4q
points BSci font égalÔT^eoi: diJSans dçf pçint^
£ & F. Donc {*) BDoaJlD feraperpendii^lair;

à£F. • ■ "^ " '

C O R O HA I ÇL E II.

- Cette propofitioij fèrt 4c fondçmen/ç a to'
m'ethodes qu*on pratic^iie iouyent pour, meoi^
i}ne ligne pejgprndiçul^iré à une aiipre. ligne par.
un point doimé. Ce ppinf peut. éu:e donne i)<^

là ligne dopn&^uf çjjV^^R^f^^~Mli^
dpnnéc;.

(') Par fufpopt. (•) Pf^. 5. <?^tf.

«

GèofHetrie. 245

Soit par exemple le point A dohiié hors \^
ligne ic yû que par ce point A il faille nicncf
une ligne per-
pendiculaire a
cette ligriè
BC. Il faut
pofêr un pied
au compas
dans le point
donné A ^ Se
oarrir ce codi-
pas CM&ùixh^
ment pout dé-
crite tin arc
MH2> quifôic
coupé pïr la
ligne donnée
BC ^n deux points H 8c D\ Enùûtt de$ points
M ScD comme centres , on décrira deux arcs
ï FDG si i^tML d'une ouverture de compas
luffifante pour qu'ils fe coupent par exemple
tti F« Enfin par U pbint donné A , et paï ce
point d'imerfe Aion F on nienerà U ligne -4 F ;
je dis que cette ligne A 1F cR. k perpendiculaire
cu'on cherche. Car i°. le point A cft également
diftant des points 6^ kD, Parcec^é A M 8c AU
foiit rayons du même arc de cercle MHD,
a*. Lé pôiât F eJÎ également diftant des points
M & Z>. Car les lignes MIP 8c 1>T font déis
rayons â'^ci it cétdei ÊFÔ G & NF Af £ dé-
crite de la méiixe otrvfehurt dé compas. Donc la
îa ligne A F pàHSiïii pàt les déùi points A 8cV
également diftans àti extrémité:^ Af & D de la
ligne M I>,fera (*) perpendiculaire i k ligne Af !>•

C) ^r(fp. fref.

Xi)

144 Troifiéme Târtîe.^

Soit jiaf exemple le point C donné dans I»
ligne uf B, & que par ce point il faille niencc
•ne ligne perpendiculaire à cette ligne -<< B 5 il
feat mettre un pied du compas dans ce point

donné C , & prendre ^^ ** ^S^^ «^^ ^ P*^

& d'antre de ce .

point C les lignes

égales C F & CE.

Enfuite des points

Ï&F , on décrira

deux arcs d'une mt-

ine oavennre de

€Dmpas prifè à' vo^

lonte , U aflèz gran-
de pour qu'ils (ê

coupent y par exem«

pie dans le point 2>»

infime il taut me-»

nef par ce point dlntcj&Aion D, & pat ce
point donné C la ligne D G : )e dis que cette
Kgne D G fera la perpendiculaire qu'on chcrr
che^ Car iMe point C c* (') également^ diftapt
de E & de F. i^ Le point T> eft auffi également
diftant de £ & de F , puifgue les lignes E D &
yD font rayons égaux , «ant (*) mefiifez par
la même ouverture de compas.Donc C^f la ligne
D C paflè par les points D & C également
diftans de E & F. Doac L*] D G eft perpendicu-
Jaire i-AB^

Si le point donné eft à l'extrémité d'une
ligne droite , on trouvera dans la fuite une autre
méthode pour mener par ce joint une perpenr
diculaire à cette ligne donnée^

(') T0r confifuBim. W Tdf [uf^ofiàm^

» _

COROLLAIRE III.

On dré encore de cette propofîtiôn une mé-
thode pour couper géométriquement , c'eft à
dire , par règles infaillibles , une ligne en deux
parties agiles. Sàït la: ligne A B qu'il faille
conptt en deux
parties égales. Il zQ

faut des exttètïïittz •%. \^,,.'

A ^ Bée cette li- 'Jj*.^

gne AB décrire les .^ | V

arcs DFG&DCG // | \\

d-une même ou- A^ 1^1 fM .

▼erture de compas Ni j //

prife à volonté , & A^î /^

afTez grande pour •T*»

que ces dctix arcs v**^^ W**'

le coupeitt dans les
ï>ointt G & I>, Je

mené enfuite par ces deux points d'interfèd^ion
6 ^i> la ligne droite GD : je dis que le point
£ par od cette ligne CD coupe la ligne AB^
eft le milieu de AB. Parceque les points G 6c
D font également diftans de ^ & de B^ à caufè
que les rayons ^D ^DB^ AG^BG font L^ nie-
forez par la même ouverture de compas. £t
partant L*l la ligne GD efl perpendiculaire àl
ABfzx le< milieu. Dont enfin A^zsiB B.

[» J^drfufpof.

X iij

24^ Trûiji^me Pânki

PROPOSITION VI.

x. La ligne menée d^un point prk hors ttune liffu
droite perpendiculairement À cette même ligne, ef
lapltis courte de toutes tes Ugnes qu on pestt me-
ner de ce point à cette même ligne droite^

A. Réciproquement la ligne qui efi la pins courte de
toutes celles qu'on peut mener tfun point pris
hors d^une ligne droite s cettt même ligne Jm efi
perpendiculaire^

DEMONSTRATION

DI LA PRffHIBRS PARTIS.

S Oit le- point A pris à volonté hors h ligne
£ C , & que de ce point A on mené la ligne
A E perpendiculairement à la ligne B C. Je dis
que- cette ligne AE eft.
la plus courte de toutes
hs lignes qu'on peut me-
ner du point A à cette /
ligne BC j qu'elle fera ,. /
pai exemj:^ , pks courte /
que kfc liene A IX menée ^ (
i volonté du point A z & ^ \ :*• ^
cette ligne BC* Pour le \ I ,
démontrer foit IM pro- \ f
longée la perpendiculai- \\^
te AE jurqu'cn F, ic > ^^
ferte que £F devienne
éjg^ i AE y qu'bn mené enfijitc la ligne Vf^

l*J Dtmatfde a. Gi^

Géométrie. 247

Puifque AT tû perpendiculaire à FC , réci-
proquement C*J BC cft perpendiculaire À AF ^
6c àcaufeq«eL*]^E=EF, BC eftperpendi*-
culaire au milieii de A F, Donc W DA=2
Z>F. Or [♦] ^F<^-4D-+-I> F. Donc L^] la
inoitiéde AF ; c'cft à dire la perpendiculaire
u^E fera plus petite que la moitié de ^ I>-h DF
qui e&AD y ce qu'Ufalloh demmtrer.

DEMON ST R AT ION

DB LA SECONDS PARTIE*

Si dît point H pris à rolonté hors la ligne
M G , on mtm la ligne HLi cette ligne Af G ,
de forte que la ligne H £ foit la plus courte de
toutes cclks qu'on peut mener de ce point fT i
cette même ligne Af G , je dis que cette lignç
H L fers, perpenr*
dicolaire a Af G, a{J

Car û H L n*toit A

pas perpendiculaire /

a MjG- y Se que ce ^

fût y par exemple, la
ligne H N qui fût
perpendiculaire à: ifT tit r
Af G , la Hgne per- M JM L G

pendiculaire H JJ"

menée da point H a M G ne feroit pas la plusr
courte de toutes 5 car on en auroit une qui feroit
encore plus courte , (çaToir cette ligne H L qu'ort
fiippoéè la plus courte de toutes y mais la ligne
menée du point H perpendiculairement à 1^

[tl Cor^ I. Pfûp. p G€<h> [*' Far con^uSticW^
1^1 Prùf^ p Gect, Itl frof. i; Gîo*

â4t Trêifiime pMrtie.

ligne MGett ['] la plus comte de celles -^Vm
peut mener du point H à la ligne Af G , & T'Jii
eft érideniment impoiCble qu'il y ait Une ligne
plus coune qœ la phis coune. Donc la ligne
HL étant la plus courte de toutes ceUcs qo'on
peut mener d'un point B i une autr^ ligne
AfG, eft perpendiculaire à cette ligne MG^
ce qt^UfalUk tUmmtrfr,

COROLLAIRE h

Donc d*an m£me point , par exemple da
pointa pris hors d'unie l^e dcoite GDiua&
un même plan ,
on ne peur me- A

tter à cette ligne
C D que la teule
ligne peipendicu-

laire ^B. Parce- ^ ^ D

que [«] la perpen- ^
diculaire ^ £ eft la plus courte de tontes cclks
qu'on peut mener du point A kit ligne C D,
Donc L*J elle eft unique.

COROLLAIRE II.

Si par un point également difttnt des extrf-
mitez d'une ligne droite on lui mène une »««
ligne droite perpendiculairement , cette demiert
fera perpendiculaire au milieu Jk la pxclni«e^

Soit le point A également <lâftant àdi c**

i^ Tremeri partie de U ^ap, fref.
t*3 if . Bartie de U-Jhrop^pref

Ge$mitrîe. 14^

trttnitei B8c C dchUgncBC ',pâtCtpointA

lait menée une ligne , par exemple , AZf per«-

pendicolaite à B C : je dis que AD doit ncccC-

laûement être perpendicixlaire i BC par te

point du milieu. Car fi ce

n'écoic pas par le point du

milieu , ce leroit par un an--

tre point ; par le point £

milieu de la ligne BC Coït

menée la ligne. B^perpea^ .

diculaire à cette ligné BC y _

la ligne E A paflèra L« J par ^''^DMÉ"'"'*^

le point A ; 9l partant du

point A on pê«rroit mener

deux lignes perpendiculaires a la même ligné

JB C dans le même plan , ce cjui eft l*J impoli

£ble.

COROLLAIRE III,

Donc la diAance d'un point â une ligne droite
doit être mefurée par une perpendiculaire me-»
née de ce point à cette ligne. Puifque d cetcfc
perpendiculaire eft la plus courte dilUnce , oni--
^e & immuable.

01^

OL L A I R E IV.

Donc £ la ligne AB eft parallèle a la UgaS,
C D , toutes les lignes me-
nées perpendiculairement de • A B
Vune à" l'autre, feront éga- C— — — D
Icsentf'elles. Car , pui^e

ViPrap. 4. Geo. [*] Ciff. i. Frof.fnf.

t$fii TrûJfiime Pdrtiel

il. la ligne ^ÎB eft également diftante dans ^cM^
î loneaeur de là ligne CD , ckaque point dd
cette ligne AB fera auiti également diftant de la
ligne C 2>» Or la diftance de chaque point db
la ligne ^ J^ à la ligne C D ek 1*2 meuitée pai
la ligne gui en eft menëe perpêndicolairement a
la ligne C 2>, Donc toutes les perpendiculaires
menées d'une parallèle à l'autre £bnc égales en«
tt*clles«

COROLLAIRE Y.

Si les lignes AB de AD Q^ menées dtf
point A pris dans la per-
pendiculaire AC à des
points de la ligne BD égale«
mcnt diftans de la përpehdi-'
culaire AC ^ ces lignes obli-
ques AB-^ AD feront égales
cntr'elles. Puifque [»] la ligne
A C perpendiculaire au milieu
de B£> a le point A égale-
ment diftant des points B&D.

COROLLAIRE VL

Réciproquement fi. les obliques AB Se Al>
menées d*un point Aàt h. perpendiculaire fur
Ja ligne B D font égales entr'elles » les diftances
BC & CD de la perpendicukite liront .*j aufi
égales entr'eHes.

f^ Déf. S. Geo. [•] Cor. a. Mrt^- fréf
CO Frof. 5. Geo.

Gtmetrie, ÏJjt,

PRO POSITION yii.

Ssttt lu Upuf ireittunaU»! Mu» fàntpkhvri
iim* lijff dmte À cetti Ugut , celht qm /vrfif
Jim élûfftétt de la ferfendicuUir* fmttlm tm-r'
fftet , à- cdlfs qm e» Jiot flui ^eebttfmt^^iit^
tMtnei,

DEMONSTRATIQR

jriïiYolQnté \fi^\K,

pendiculaire AJi pto-

loneée fuffiCunjnpftt foit pnC^ làffllùe J,C=»4^
& îbieiK inçnée^le», lignes droites CE&lCJO.^
Puilque ACtSil*'! petpendioilaire \DG.;D<3.
fcra^L'] aiiJS pei^gendkulaire à AC , m^mC' aUt
milieu de^C.DoncC'l AIf==I>C Sç -iEs?,

■»t» TnyUmt Vmiti

COROLLAIRE !•

Donc d'un mfime point A pris à Ti^onté ho»
a'onc ligne drpitc ED , on rie peut mener â
cette même ligne a

plus de deaz lignes
droites égales en-
cruelles. Soient pas
exemple les lignes
AB U AD egjt-
lement diftantes
de la perpendicu-
laire AC , elles ^ * ^ ^
feront [»] égales ^ ^ ^ ^
entr*eUes« Si on en ménoit une f du même point
Ai h mime ligne £D , ilfaudroit neceffaire^
ment la mener plus proche âc AC que A Boa,
idf D , ou il £iudroit la mener plus éloignée de
cette même perpendiculaire AC. Donc ceat
f ligne oblique ièrpit plus petite ou plus g£^»ic
que chacune de ces deux .^B pu AD.

COROLLAIRE lli

Si du point F on
inene les lignes F G
êcFB y de foneqne
BG fc teritiine au
point* G plus éloigné
de la ligne perpendi-
culaire FL y que le
peint $ auquel^ termine la ligne F £ : je dis

qttc

E L HO M

Ve0metrtf; tijj

'. qat h ligne TG cft pins grandf njw? Tt. Car prç-

• nûins le point H autant éloignée dtt ppinc L que le
' points, alors [*] nous aurons FH=t=ra, Or[*]F(S.

J> fH. Donc FG p> FE. . »

COROLLAIRE I U. »

Une ligoc xifoite ne pciit couper une circonférence
de cercle qu'en deux points. Car fi la ligne AE , par

• exemple , pouvpit couper la circonfetcnçc BFDCcft
crois points B , C , 2>} du centre iS on pourroit menée
crois lignes droites [>] égales *
entr^ellcsà ces ) points B , C > i>, *^
Kpti (èroient [♦] communs & à
la ligne droite ^F & à la cir-
conference $ & il cft ['] im-
podible quedu centre G tin ^uit
fe mener j lignes droites f^AE F .

qui fbient égales entre elles. la ligne ^£ ne pe«e
rencontrer cette circofiferente.rn 4 points, puiiqte
le nombre 4 fuppofe le npmbre }. ^ .,

COROLLAIRE IV.
Une ligne droite qui rencontre une circonferen^
de cercle en deux points , coupe cette circonférence,
jSc^t la li^nç M qui rencontre la circonférence Ç<?Ô
dans les points C & i> : je dis ^ ^f-^^^D
que cette ligne B£ coupe la " - /\ P| ^
circonférence CGP. Pour le . / - *'4^'*
démontrer , il faut m.cncr du VA
'centre A aux points CScD les
rayons ACy AD^ & la perpen- ^^

diculaire AI^ Il «ft évident que , lorsqu'une ligne

prolongée , s'i] eft necéiTaire , fe trouve de part jk

d'autre d'une autre Hgne, cette première Ugne cou»

ipera la féconde. Or la ligne BE rencontrant [♦Jla

•circonférence CGD dans les points C êc D ^ fc trou-»

-vede part & d'autrede la circonfrrencc CGD.

Premièrement , BE fe trouve d'un côté de la cki

!'] Çor.s^Prûp. 6' Geo,

Pr4f.fref., {

If4 Trùifiéme Tartii.

^Ht» H 0^tim yt' ic tes pEixxicE;BC:IctBS<le la ligne

'^^piMcfikkesûi^Us^lfpKswM A4

(cspanies BC & DE (bnr^}<ibàotfne :phls knigaci
me les njàvk itf C^ûlD ^ 4càit ^kis éltiignés de k

^rpëh^coKike iAF^mt les f^ns «éC £c vl29t«

Secdnéemtm ^ €l6 (]0i'cft psirie de3£;, Xè «nmliç

^iih*ktkre'é6«é delàtckcbnfevence^ CBr<I&iè tMNii.

^'^^^lê^mreft là cincoigfrréùce Ç<?i3^ , ^Ç-

Îie [*j.toutas lesUgitet'qii'on poorniiinenerdu ocntn
ÀÂ^Bgot'V^ itbroiit Aucune pios 0Dattes't|Cie lei
rajohs ^C &vfD,<iê forte <)ae2af>er|>endfçol»]re ^
{crâf['}i»pîus courte. Toutes lcs\Hgtics^à*on^BS-
Ta rKêner du centre Aàh ligne C£S ft tertninefom
donc pj^atft le cencve1Kc'la<irconfrrense. Or tou-
tes les extremitèz de cdi lignes iferpnt dans .la lignç
lviènie<Sll. Ociiie4%ne'4&l> 'feta'^onc cmrele cenue
Kfeiaîcirçoiifetenice. La ligne B£x2oupQ:a dwic^kcetr

Si une lî^nfc drbt^^dhdkeiine SdrconfercQce de
1iflfôft'/t?nt la t6udlëràaoncenl^fcWj>oitit. «Caf
**«!è% «Hlcb«t en a^ût^/^lelà <x>tipeï^k [tj. Efl^
^'A^it^cmc plu t0ucliaiit6 ^ et qili%ft40iif«alK«

»<-^r**' ^ '

( >b(0\POsiTro(N vii^

f^efi-k^^Hm , »e fiuvint avoir Mne'fdrHi c^9m$m€^
j. DEMONSTRATION.

ÂJtgnès^BI^eciiiC ne fnurent viowiiine:|MtiDtietKiâH
piùiles ftf -earcmple itfi^ ^ ^eft.âaife,ffpieïî aUC -cft
Mn^-Sglic ànmiiimB^ùt p[àuréàreiîi(& tuiC'ligneAoH
te. Pourk^montiej^ (m meitéctpac iespointfi ImM^
jpiç SF^e^ndlottlamè laOigite ^TCN^tm %|>ore

Géométrie. i]$

une ligne droite. Réciproquement C 3 toute ente
ligne ABC fera
perpendiculaire à jg |

EF. Pareillement |

^B partie de ^C
'fera perpendiculaire
àEF.Or fi AB de
3 D étoient au/fi une
même ligne droite ,
la ligne AB étant _

prolongée paffcroit > , >

par BI> } & après avoir pris BF égale a
BE , cette ligne jfBP paflcroitL».] par toU»
ies poiats «gaiement ^iftans des poims E &
F & partait ,i , Bl> feroit ^fU pergendicu-
laieàEF. Donc les deux lignes 5C-& BD
•feroient petpcntiiculaiics à la même Ugne ÇiF
par le même point B dans im même plan , cz
qui eft L+J impofTiblc. Et partant deux lignes
droites^ pat exemple BD, BC , ne peuvent
avoir une partie commune ABj cequ^lfrUint
démontrer*

C O a O L JL A I R E.

. Donc la pofition oa fituation d'une lig iç
dipite çft dctertçli-

née par la pofition ^

dp deux de . fes ^..w-*-— '

points. Soient les ■ ■ i' ■ J"*" ' A

points. -*f at « ^ je j^ - B - ^

dis Que la pofition ^ "« j-
de la Ugnc qui paffe par ces àèux pomts cft de.

t^ Ccr^l.Pr^.S^Geo. i^^^ Prof. ^^Gca.

IV hof. s. Oeol \yi cor. Pr^;. 4;. ^'^f
^ ' y ij

1^6 Troifiime Partie.

tcrmmée. i^. Du point A au point Jî on ne pcm
L'J mener qu'une feule ligne droite, i?. Si
en prolonge cette ligne AB^ la po£tion de
toute la -ligne ABC eft déterminée , c*eft
à dire qu'elle ne peut paflèr indifFeremment
par le point C ou par le point D dans di£>
ferentes po£tions 5 mais qu'elle doit pailèr ne-
cefTairement , par exemple , par le point C dans
cette feule pqfition ABC, Car fuppofbns qu'elle
palfe par le point C j fuppofons pareillement
qu'elle pût palfer par le point I>, il faudroit donc
que ABD & ABC fudènt deux lignes droi^
tes j ce qui eft L*l impoflîblc.

PROPOSITION IX.

i, si on prend un point hors le centre (^ la eircon^
fstence Hun cercle ; i/» ligne droite menée de ce
pointa cette circonférence, laquelle étant fro^
kngée paffe par le centre, fera la plue Comte de
tomes ailes qu'on peut mener de ce point à €ette
circonférence,

a. Réciproquement Jl une ligne droite menée et un
point pris hors lé centre , ^ la circonférence étu»
cercle à^cette circonférence, eft la plus courte de
toutes celles qu'on peut mener de ce point à cette
cerconference; fi on la prolonge , elle parfera par
le centre»

P E M O N S T R A T I O N

>r B B L A..P REMIERB PARTIE.

N point peut être pris hors le-centre&Ia
circonférence d'un cercle en deuxmanicrcfi

u

iK Cor. 3. Ax. 1. Ceos t*] ffop>pref*

( Géométrie. 155

ime ligne droite. Réciproquement C« 3 toute c^tte
) *ligne ^BC fera
^ perpendiculaire à p *

^ EF. Pareillement ** |

-^ B partie de -4 C
' "fera perpendiculaire
àEF. Or il ^B &
^ I> écoietit auffî une
même ligne droite ,
la ligne ^B étant '
prolongée pailèroit
par B I>. j & après avoir pris BF égale à
BE , cette ligne ABJ> païîcroitt*.] par tous
ies potats «gakment -diftans âcs points £ -&
F , & partaiK i^r BD fcroit aafE perpendicu-
laire a F F, Donc les deux lignes BC Se BD
-feroient petpentikalaires à la mimfi ligne. £;F
par le même point B dans un nxéme plan , cz
wi eft \j^} iBQLpofTible. Et paitant deux lignes
oroites ^ pat exemple B D , B C , ne peuvent
avoir une partie commune ABy e€qH*$l fttUoit
àcr»anPrer*>

COROLLAIRE.

r>onc la pofition cm Jdtuation d'une iigiç
dipitc çft dctensii- . .
née par la pofition -^

-d^ deux de fcs ^

.^••*.-"— —

A B ^

•points. 5<»ent les
points- wf acS^ $e
dis^ que la pq/ttion
de la l^nc qui pafle par ces deux poSnts cft dc-

t*- C9r.i.Bf^.sGeo. i^l Pfof. z^- do.
tu jPfof. f. G$q: \M Cor. Prù{. 4. G^o,'

Y ij

1

îiS Tr^lfiemt Partie.

ciiconicreiiceXar *BE
m^EAy^BA^ c'cfti
dire, que B "B^EA
^BC^CA, Donc
en retranchant de parc
& d'autre les rayons
B A ^ AC yOn aura

frûûit demcntrerj

On démontrera la
même chofe à régiird
de la ligne B D & de
toutes ks autres,

D E MO NSTRATION

X>B LA SBCONDS FilllTIB.

Soit la ligne B C menée du point B pris hon
le centre & la circonférence du cercle C DBIG
à cette ipême circonférence 5 £ cette ligne BC
eft la pltts courte de toutes celles au*on peut me-
ner de ce point B à cette circon^repce : fe dis
que û. on la prolonge , elle doit paflèr par le
centre^. Parceque (') la ligne menée d'un point
pris hors le centre Se la circonférence d'un cer^
cle à cette circonférence , qui étant prolongée
j>afre par le centre , eft la plus courte de toutes.
Or une ligné menée d*uii point pris hors k
centtç & la circoi)ference d'un cercle , étant h
plus courte de celles qifon peut mener de ce
point a cette circonférence y ti elle ne paffoit pas
paf le centre étant prolongée j la ligne menée
du point pris hors, le centre Se la circonférence
du cercle a cette circonférence , qui étan| pJ!;o-!

* Prop, X. Gââ. (') Ax, 17, ^«w,
(*; Part, I. Pr^. frtjf.

Gtometriél xyf

longée paâèroit par le centre ne fcroit pas la
plas courte ic toutes celles qu!on peut mener
tde ce point à cette circonférence. Car fi cette
ligne B C qui ièroit (') la plus courte de toutes
ne pailbit par le centre y elle paflèroit par
ailleurs 8c lèroit plus coune que celle qui étant
prolongée pafleroit par le centre -, puiiqu'on la
liippofèroit la plus courte de toutes , ce qui efl:
contraire a la première partie de la Propofition
prefbnte. Or [^) il ne peut y avoir une ligne BC
plus courte que la plus courte. Donc la ligne qui
eft la plias coune de toutes celles qu*on peut me*
ner d'un point pris hors le cQntrc & la circon«
ference, étant prolongée pa&ra par le centre,
€e fu'àl/all^t démontrer.

PROPOSITION X.

t. Entré toutes les lignes qM*an peut mener étun
foint fris hors le centre ttun cercle k U circonfé-
rence de ce cercle , celle qui faffera fur le centré
tfi la flus longue de toutes.

a. £/» ligne menée dun foint fris hors le centre ttun
cercle à Is circonférence du même cercle , é* f «»
fe termine i un foint de la circonférence flus
froche du foint où fe termine celle qui fajfe far
le centre, eft flus longue que celle qui fe termine
du même côté de celle qw fajfe far le centre ^ à un
foint flus éloigné.

DEMONSTRATION

os LA PREMIfilLB PARTI!.

Oit le point B pris hors le centre du cercle
DE FGC y c*cu à dire , ou entre le centre Sc

Vl^iofit, [*)Çor.hAx.t. gêner. ^

y iiij

s

1^0

Tm^imt Fdrtif.

la circonférence, ou fur la circonférence, onhozs
le cercle : je dis que la ligne B JF qui paflè par
le centre A eft la plus longue de toutes , par
exemple, qu'elle eft plus longue que BE ^ B D ,
■&c. Soient menez les rayons A^y ADy &c.
AV^^AE"^ ^ Donc en ajoutant de part & d'aa-
itxc-<ÏB, oti aara ;*) S^-+---<F=BX-4r-<*I.
Mais.C) BArirAf^S E.Donc (^) BA'^JFy
^c& i dire, BT'^BB^ce qtt*il fallait démontrer,

* CûT' I. déf. 1^. Geo* (*) Ax^ 4. gen.

ffeomtrieé xii

ÎPar k même raifonnemcnt on démontrera tz
même chofe à Tégatd de BD êc it toutes les
autres.

J> EMONSTRATI ON

]>S X.A SiCONDE PARTII/

S

Oient les lignes BEScBD menées an poînf ^
B pris hors le centre du cercle C D E F G à la
circonférence de ce cercle; je disque la ligne
B E qui fc termine au point E plus proche du
point F où fe termine celle qui paflè par le cca-
tre,eft plus longue que la ligne B D qui fe ter^
mine à un point D plus éloigné & du même
coté de celle qui paffe par le centre. Pour le dé-
montrer, foi en t menés du centre -4 aux points
2> 5c E , les rayons AD 5c A E. Il cft confiant
* que H D <|] H E , puifquc le point H cft pris
hors le centre & la circonférence du cercle
C D E F G. Donc en ajoutant de part & d'autre
B H , on aura [']EH^HM^ VH-^HB.
Mais pJIJH-l-fl'B^JîZ). Donc [^^BB fera
plus grande que ^ D , ce quH falloit Hmntrft^

* VMTt* 1, de U ?f0p T^, Gço.
[*] Ax^ 7. gênerai»
{»] Ffêf, I. Geo.
[• J Ax II, gênerai.

liz Trêijiitne tdttU.

PROPOSITION XI.

tntfê les MfCi iu mimé ctrcUy au des ttrdes
igMMx , qui n*exfedent fomt une demie circonfe^
fmce:

I. Ceux qui fmt égaux font foAtenus fâf dis
€§fdes égules ;

1. Les fins grunds font foutenus fat des cef"
des fins grandes y <^ Us flus fetits ^ far des m*
des flus fetites» '

DEMONST RATION

»I LA P&IMIS>.1 PAX.T2I.

Oient kf aies égaux ABD 9c G ET ^ ,
_ cercles égaux : je dis que les cories AD k,
GFiôxitaum égales cncr'elles. Car fuppofons

s

que Tare G EF Coït appliqué fîir Tare ABDf
de fone que le point G foit pofc fur le point J,
& le point F lur le point D ; ces deux arcs
ABD ^ &GEFfe confondront en un fcul arc
ABD ; puifque l'un & l'autre font * décrits â
même diftance des centres C Se H. Les corde»
AD Se G F ayant donc par cette applica-
tion les points A 3c 2^ communs , cette ligne

* ]Par fuffojrr.

[ «foc: finwôon l'tinc & l'ainK ne feàvnm-éae deus
I }jigi)et dimcci dàSczeaies.Let arcs égios ibnc donc
Â>HWntts .fMiiics coi4ci ^g»lci ,-(i ^'ilfditit di-

T>£MQ NSTRATION

Saitl'a^c (ifi^iplus.gnwdque lïuc OGE[ te
iit que 1ï corde jfC cA pLuï grande que la coide
'PS.'^wi kdéiapaner ; fui le

I litvKCi^ffS^fiMCJgiilàrarc

propoft D0£ , & je mené ]>
' C9fde>4B.^Al«SG<Mei:ordc-«B

(èti pj égale à U coide Q£. Or

la coide u4C cA [■ ] plus grande

^oe la corde^B .Cette corde AC

m r*] donc plus grande ouela

<oidc Dlâ'y u jiiufitlUil dénMmtrtr.

COROLLAIRE!.

I R<GJptO<]wment les plus grandes cocdes (ov-
tiennent des arcs plus grands, te les plus peticei
oordei (butiennent des arcs plus petirs; ioit la
; Eorde AC plus grande que la corde ED ; je dis que
: i'àic AHG eft plus grand que l'arc ZGD, Car i'atc

P] x:«r. î. Ax. i. Cw. f»£i 1J4.

1'] Pért. t.Fref.frtf.
' l Part. I. Trop. 10. Gm. fAg§ ift,
»] Dtmandt u G*».

rf4- Trrijieme Partit.

jiHC ptnt rcufemenc être plus grand ou f^as pcdt
^ue EGD , ou égal à £GD. Or dans la rappofirioii
prefentc Tare AHC ne peut être pliis petit que Tare
^GD, Car [• ] la corde AC ïctM ^lu» petite que la
corde ED , ce qui eft contre la fuppoutioit.
L'arc AHC ne oeut être égal à Tare £GD. Car
[*] lacorâe AÙ fctoit égaie à la corde £1> >xé

2ui eft encore contre la fupponcion. Il refte
onc qve ï^slzcAHC e(t plus grând'qbe Vsvic EGD^

COROLLAIRE II.

Les cordes égales feutiennent des arcs égaaiv
Car £ ces arcs n'étoient égaar y celui qui leroit
plus grand (croit [*] (butenu par une plus grande
corde , êe, le plus petit par une plus petite corda,
Cjcs cordes ne ferdient donc pas égales, ce qui &-
f oit contre U fuppofitioh.

PROPOSITION XI L

j. Vne ligne perpendicuUife s un rayon. Pdf Ufûîn$
qui eft cammm i ce rayon ,fi* htk àfcenferencg »
eft touchante. . ^

z. Si une ligne droite touche une circonférence de cer^^
de ; une autre ligne droite étant menée far le centre
au fointd* attouchement , fera perfendiculaire à cet-,
te touchante,

X, Vne ligne menée perpendiculairement à une tôu^^
chante far le point it attouchement, faffe far, 1$
centre. . ,

I

['] Part. X. Prof, fref

[*] Part. X. Prop. pref. ,

Geomeirhk xce,

D IL M O N S T R A T I O N

S Oit Ja Kgnc CI> perpendÎGahire au rayon AB^
par fou eattrcmûé fi : Je dis que cmc ligne CD^
E F B G touche-la circonférence JJHZAf,
C^^^- iv^ -D CarCZ>Aant(']gerpchdiculai-
if V- 1 *• \^ ^^ *^^ ' «ciptoquement t* J ^i

eftpefpendiculaire'a CO.Tottces
les lignes AE , AF^ ^Gf , &c. qiû
,^^^^ - feront menées- du pointa à tous
L ies points poffibles de la ligne

CD feront [»^] chacune plus longues que le rayoïv
J^B , ou que fes égaux AH , AM , &c. tes extre-
mitez de ces lignes -^E , ^F , AG , &c, qui feront
dans la ligne même CD , feront donc [♦] hors de
£st ckconierencc BH£Af. La ligne «CD perpendi'*'
culairep] au rayon ^B^adonctous fes points kors
"de la circonférence BHLAi , excepté le point JT;.
Cette ligne CD touche donc [*J la circonférence
M LU , te ju'irfalloifddmûmrer- t

It'EWAmSli'OB. i r

! " TTne ligne droite -peut toucher Une cîrconfcren^
' ee de cercle , & perfonne ne doit le nier : cek cft
I évidentpat cette première pactie.

A.

^ } Par fuppûfition,

'] C^, I. Prof, f. Geo, pag, 143.
'^] Part. I. jydjl. V; ip^d.f^jj. i4^#

^] C<?r. z, def, i^. Geo. pag. tof .

%66

Trêifi/mt P'dttiti

/

D EkPO'NSTR /triONl

S Oit k toiiehaiite C2> , flt (bu* {à>tiir d'anonche^
ment fok 4 1 je dir qiie te rajwn ^^mcni^ d»

oeatre ^^ zw points d^uouchê*.

mentir, cftfpergçnrftrnlaîrr à h

^^ totafiluiite GDi Gajtlktoodume

r|i reiiM B.£F picrle pctnt 4Fqui cft
rcstremicé dw rijott^JB ^ oàtt
CAnciiMSte QO ne rencontrera ta
circonférence Bi£B[^] oœ dana ce Ctni poiot^^
Tons tes aiitrei poidts de lar ligne CZ> icsoac [^
dcknc plus éloig;>d» àw centre^' que 1q point £» Llb^
ligne .^if&ca donc la plu5 courte de. cùtes^qyVut
jpcut* meiKr dœ centre A à la^ toochante CJK La
myon'^B feea donc &*] peipandiculaû» à la^toui»
c)untéyC«<

D E M O N S T R A T r O H

BI lA :^]|0-S^S!î»I|B P'A&TIB.

Sort la Itgne toa^hanto -46 y 8c^ par Cott peint
d'artoBd&oKtit G* fok menée la ligne CE pes*
peadiculaire à cetfe touchance jiR: jç dis ^e U
perpendiculaire C£ paflera par le centre du cer*^

Par StfppoftfffK

Cor. f. PTflp. Xi G€om.f0g. %f^

tie. Pour le âêmontter il fuffic de faîrc Toit
^*â eft knpo(SB\e:qatt lèccnw dix oeisie puifle

être ailleurs aue dans cette ligne
CM ftokmms. ^ s'ilt ofb nèe^
&ite^ Càt.§khi oenttv dur cecdi&
éo»ifi aîUtvics que danA la ligne

t ^^if^ njlf^" ezfa^leyen^,aloj|F du poinc
C 2M(4 0qin(K,<fattoqplkement'C

«^ofimceé kr liane Pff.çeteirlgne JDC feroit l'f

Eiendtculaiie. ^là sachante ^«. M^is [»j^B
oauffi porpendic^iis àMiJï»Pa^^c m^Rippointp.
CiL^taïuDÎtdofifidnaVrliSr)^ perpendiiciilaircs i
itsmkmsliffuA9 dansrleRl£n^e.^at^^ ce fpi eft
[*]impoffiblc. îicft dbnc pareillement impoffibic
que la ligiifeTpcisenilianlâire àila^CDutfhjKitaw^B pai
le point d'attouchement , ne paflé par le cea-

U Itgpe totidbajtf 0 meniEe par: fexfir^roi^ d'ajt
I«y4w^ , c(t gerçendiculairc i «c r«y.^iv Car ccxui
Utiemità de la^fW eft [♦Jk ifulgoinc q,qt foitr
<;oavniHi « la. circon&rcace & i b. tpu<;hani;e« Ce.
v>km% rayoadft d<mc['Jpflrpcn4k:uJ»iî!c ila tour
^wm y 9i tcçiftoffutxQfimi U caoc&^nte liû eft
E*J p«p«ndîcttlairc* Ce CouwUaicc cft.hcQn¥çj:fe
4eUpceaiieii« pa<u/e4eUsi;otpQfiâoaf(efb>JM%r

['] PiirftV t. Prfl^. ffef.

f^jParlafuffoJitm.
'] Cor. Pf«|». 4. Gèwn.JiAé, 14^

eOHOLLAIRE lU . /:

Soie le point O donné dans U circonfciencc da

«erclCy par exemple ^^IDCX i«cqac par ce point»

ft il faille mener anctouciiair

te. Pour jr réuûir il font me*

ner du cenire ^ à ce ^in\

Âf f/t \C ^nné Die rayon GD&C"J

enfûite mener la ligne £X
perpendiculaire au rayoa
tt ^^^^^yA_^^ j è0 par ce point D 5 cette
D: ligne £F fera [*] touc]lanre^

À la circonférence AÎ>CB par le point donné iH

COROLLAIRE llU

• * , .

Une lighe menée par ïe-centre d'un cercle pep4
Ipendiculai^rement à. une touchante , pafTcra par le
point d'aftbudiemenr. Ccrre rérité eft lÉyidcnte^
pui{qu*il eft uupoffibleque cette, perpendiculaire
ne padè par le point d^atcouchement. C^tû cette
iperpendicolaïre paflbit par on autre point "de lar
touchante , que par celui d^trouchement , alors'
a^ant mené du centre au point d'attouchement un'
rayon , îl ferait [»] auffi perpendiculaire à la lou-^
chante. Il 7 auroit donc deux perpendiculaires
ihenées du centre i latoiichante,ce qui efl [^J im-'
podible. Ce Corollaire eft rinTerfè ou reciptoquc
4e latroifiéme partie de 1^ propo£tion prefcnccy*

h] fart, u nréf: ffe%
p]Psrt,%.Prof»fréfJ
{^j Car. Pr$fi 4. Giêm. fA^, 140^

» *

Geémtirte^

M*

COROLtAlUE lY.

Tar le même point d'une circonférence de cer-
cle on ne peut mener qu'une touchante à cette
circonférence. Soit par exemple le point D d'une
<:îrconferencedecei:cle, £on pouYoit mener par
ce point D les deux li-

. '.%n^s 4^ ôc EF , de forte . .

. 4|ue Tune ^ l'autre fuf-.
£cnt couchantes , l'une

.^Sc l'autre feroient [']

î perpendiculaires à la
sn$fiic ligne ou au mê*

r- «ac rajon C O par le g
n^éme.j^oint^ & dans le

, xnême plan., ce qui eft ['] impo/Eble. Toute li-

' gnc menée par l'extrcmitc d'un rayon , & qui for.
me avec ce rayon'<]uelque'angle'qbliqiienepeuc
^onc toucher la circonfercncc.du cercle. Car autre-

, ment il pourroit y avoir deux touchantes par le

.. inême jpoînt , fçayoir la perpendiculaire [*] & pj
^çtte oblique. . kr-*

COROLLAIRE V.

Si on mené par quelque point d'une circonfe*
rence de cercle une ligne droite touchante , & fi

.par le même point on mené encore une autre I4-
gnc droite, cette dernière ligne droite coupera là

'. circonférence car ou elle coupera,ou elle toucl^era

{*] Cùf.x.Trof.fref.
l^jParfyffofithn,

^y o Tràffffme ^ftirtU.

cette circonfcrcnce. Or elle nelajicut touclier
carilyaûtoit parle tt^nie^omt^dettï'ligne» tos-
d]Uince$»ce gui cft ['] impoffiblc. Cette dcmi«c !■
coupera donc la circoûfcrencc.

,^i^,^,„^a^,„^m

PHOTO STT ION 1X111.

t. l44itni mméi^M antre 'dm*emUftrfeM€mlmht'
ment à mi mdê. , /«f * ft^tmékmlmrê^f^r U^m

kiu de^fite tndê. j^ji^^ -

. ^' tUcifroautmmt ,* lé UgÊê muth fèrdmâtemUm'
tnmtè^ une cndê i# a cmUrf^Ufçmt^dt^-mUm
-à9tettttnd$ ^-p^tfMfmthttntr$^dH.t€Hk.
%^ I^ Upu^mmii dn cn^trt dm xêtéltfMr U^tmêm

\j) E M O N S T RAT I O N

S Oit la ligne DB menée du centre 2) du ceide
perpendiculairement à Ja corde ACi je dis que
^ cetteUgnéDB eft perpertdièûlairr au milieu de cette
corde. Car [* j la ligne menée d'un point égal^

.ment-diftant des. extremitez ^^

&*Cde lacordeidC, pcipcn-

dicillaif emcnt a cette lignc,fcx«

perpendiculaire au milieu dccçt-

te même ligne AC. Or la ligne

^ DB menée perpendiculairement

à la ligne AC par le centre D ,

cft menée par un point également diftant des

./xtrcmitez ^ * C de U ligne ^C^puifcpie [i] 1»

f «] Cir. 4. Pràp^' fref.

I *] Cor. 1. Prof. 4. Ceo^ft^g. a^S.

p] C^. l.Di?/. 1^. Geo. Page tou

rayon*

GeùmeïrU. vfi

mydns 'DAtx.tyc fom égaux cntr'cux. Doue
la ligne JD B menée perpendiculairement du cen-
tre I> à la corde A C fera perpendiculaire par le
milieu de cette corde, « j«*i/ faSait ékmmtrer^

DEMONSTRATION

JXl JtA SICOKOI PAJITXH.

Soit la ligne E e perpendiculaire à la corde
AB paar le milieu de cette corde ; )e dis que la.
hçQc EC étant prolon-
gée paflcta par le point
•r centre du cercle. Car la
Kgne EC étant fctpcnii-
'culaire au milieu d'une
wtrc AB paflcra {*) par
ïoûs les points iqui font
^^tncnt diftans des ex-
trfenitcï ^ & B, Or le centre F eft également
«Utant des extrèmitcz AScB. Puifque les rajon^
^A^FB fom égaux entr'cux. Doik la Bgne E C
perpendiculiHLrc à la torde A B par le milieu >
Jwffcra par le centre F fi elle eft prolongée y
• «* î«**i^ fallûif dimmtrer^

JD E.M O NS T R A T I O N

Soit la ligne 2) B^ menée du centre 2> dtt

?^^^ au milieu B de I* corde AC i yt dis;

qœ cette lipie I>B fera perpendiculaire à

^tte corde ^C, Car cette ligne t^B aufa.

I . deux de ies; points, également £ftaas des cxr-

I

17 A Trcijiéme Târtiel

doivent être également diftans d*àn flifene poim;
qui eft le ccnuc , fi ces trois points étoient en
âme droite, on n*y pourroit faire paflcr de
* Conférence ie cercle , puifqtt'oji îi*y^pQurroit
trouver un quatrième point dont on pût mener
à ces uois points uois lignes droites égales en-
cr*elles«

C b R O L t A ï R É IIÎ.

n fuit de la troificme partie de cette propo-
fition y que deux des cordes du même cercle
qui fe* coupent dans un point qui n'eft point le
centre , ne fe couperont jamais par le milieu
tune Tautre. Soient ks deux cordes AB ii
CJO prifes à volonté
qui fc ccJWpent dans
un point yhçrs le ccn-
ire :. je dis que ce point
F ne peut être, le mi-
Bçu de runc&del>u-
U9 de ces coiyies A B
àiCV' ait ïi ce ]0oint
F fÉtpit le inilieu de ces deux cordes , (bit me-
née V ligiie EF du centre E au point d'inter-
fcAîoa Facette ligne E F feroit L^J perpendicu-
laire aux cordes AB ScCD ySc réciproquement
t*]ces coiàcsAB Se CD feroient perpendicu-
laires 4 la même ligne E F par le même point,
dans le même plan , ce qui eft L^] impo/Eble.
Jjonc ilef^ p^eillement impoffible que les cor-
des 4B8cÇI>ik puiflcnt çciuper l'une TautrC
par le milieu.

•'• -* Cor. ï. Frap. 7. <?w. C*! f Fatt, Trtf. fr^-

."». '.

' \ ■ - ■ ■ . ' . '. ■■•.■.

%. 'La Ugfii iroîte\meniiyaf le nAUeU tun àfc iâ
çeretè ,'é* 'futile milieu de /» Corde' fçAterd/mtB
^dejet àrc r'^jkré$»,ferféffdictdaire k cntt cwdt.^
é^yt^i^^ar le centre du cercté, ' ,. . . '

X. La lign^roife menée femndUulÂWfménr'fàf h
milieu de l^ carde de Cercle, ft^éra'Mr ïecentm

Z ':xilkWiè/i^e'S'^ptr te mîtteu de fmc foifunk
ykr-4eHe i^de.

i^Jtttrfigneimhéepay le'CënWe dm cètcîe, é'p^

• • ' iém^ivHtde fnmde , féraferpendimlMire À cèttê
carde . (^ f^(^^^ f^T j[e miUeu d^ t^rcfiétew

T - fit^ cote éordè^ ' -

4. X/» IfgnermeHh fé^^^Uét^dé-fiar&^^^per"
pendiçHUirement klot, carde aui en efifat^tendan-'
^ i'^fefk téîte àorde ptti k-m^im, é'pajèra
fdrUéifef^tfe'dUtçrdê.

^•' -lj»iiiHe ifUihéé f»r h miVuu^e tXdtc dfune nV
canfereif£e^ de cercle ($• far le centre , fera fer--
fendicutkke à la carde foAtendante de cet mrc ,
e^ coHfhrÀcette carde far le milieu.

j^. EnfijÊ^'U: ligne menée far le centre du aercle fer--
femiciUairementh une carde , causera cetie carde
par le milieu , é* conféra pareillement en- deux
parties égales} art foâtenu far cette carde.

DCE M O N 5 T* R A T I O N

Z> £ X A P K 1 V Z S R E V AKT lt>^

«

Soie la li^e droite D £ menée par le milieu
. D de F41C HO Biy.tc pâCple milieu £• dei la
jcorde ^B j&âcepdMp de cci^yil><^;; jeudis

« 1

"que ecttc ligne 2> E cft pcrpcndiaikirc à h

code AB^ 9c qu'elle pafe» fark ccnttç.C

du cercle. Car i*. la ligne

D E anra.rii'J ^ ?»«« P l
également diftanc des

.cxtrtmifiez ^& E de U

^nc A^. ^^ Puifque

ïao: AI> eft L«] éçal

*à l'arc DE , les cordcf

>f J> & jD B feront Cjc-

;^alcs entr'cUcs. Donc la

jnème ligne D £ aura au/Ule point JD égalemeiif

(iiftant des extrêmitez A Se B. DoRcla ligne

J)E fera 1^3 perpendiculaire a la coide .iCB,&W

f aflèrapar le cemre C^^ce ft^U/étUmtJtnmtrer»

b E M O NS T R AT ION

Ol tA SSCOKl>fi iPAjlTZX.

Soit la ligne £ F menée perpendicidaireniûie
à la corde ^£ par fbn point du iniliçu : jeiit
que cette li^epai&iraparjlç çeoxfc duGCtdci

S K

à

^4ic ^teouliett de l'afc (b&tena par cette corde.
Cu 4**. cette ligne £ F paflcra £■] par le centre
C du cercle, i®. Cette même li^nc aura [»] fba
point D également diftant des cxtrèmirez A Se
9. Do|ic les cordes ^D 8cDB feront L<] égaies
chtr'eUes ; Jk panant W les arcs ADâcBB foa^
tcnuÉ par ces cordes feront aufC égaux entr'eux«
Z>oAC le point 2> par o3 pailè la ligne F£ efl:
Je oûlica de l'arc ADB &ûceau par la corde

DEMONSTRATION

^t LA ;r&OI«II*«CB YAJLTIS.

Soit U ligne «C £ men£e par le centre C dv
derde, & par le milieu
C de la Gorde ^£. Je dô
^e cette ligne C £ eft
perpendicnlaire à la corde
4^>& que fi on la pro-
longe elle paflêra par le
milieu de l'arc ADB
Ibutenu par cette corde.
1®. La ligne C E C*. fera
perpcndjaikirc à U corde AM. %\ Cette lime
C E paflcra par le milieu de l'arc AVB foûtena
par cette corde A B. Car puifquc C £ eft .» per-
pendiculaire au milieu de Ja corde AB^ cette
^ême ligne C £ aura L» j k point B également
diltant des cxtrêmitez A Se Bat cette corde A Bj
& partant les cordes Ar> ^ pB feront é^aks
cntr*clles. Donc les ans AJ> ^ bb &om^

1*3 ffof. 4. G$o. C*] Fref. j. Geo,
^LP^' 4.-^. ikGto. C^] Car, t, Prçf, n. Gh»

ayS Tfoijiéme fkrtie.

£»] auffi égaux cntr'eux. Donc la ligne C E ét^ûXi
'prolongée partagera V dite AD B en deux parties
*égalcs i ce ^u'ilfrUçit démontrer.

D E M O N sr R A T^i

N

ps LA <^UAT&IS*U£ PARTl£«

Soit la ligne D E menée par le milieu Z> ^
Farc ADB pcrpendiculairemciw a la corde ABi '
je dis que cette ligne D £ cûupera la -cordé A B
,çn deux parties ,égalcs ,
'& qu'elle paflcra par le
centre G du cercle. Car
1®. puifqne Tare A D ctt
égal à Tare D B , les cordes
AD ScDB feront l»3 éga-
les entr'ellcs'j-^ partait! le .
point D fera \cgalemcnt '
diin:ant des extrémitez A
^B de la ligne AB, Ponç Cs , la perpcndiqi-
bire D B paflTcra par le milieu E de la ligne A B,
1*». Cette ligne D E [♦] pafiéra par le centre C dû
cercle, eequilféiUûii démontrer,

•D E M O N S T R,A T I Q N

BB LA CZNQJ^IS*.M« P A & T I X.

Soit la ligne p C menée par le milieu D de
Tare ADB , & par le centre C du cercle : je dis
..que cette ligne D C eft perpendiculaire a la corde
AB^ 8c que le poiin £ par oà paffe cette ligne
JDC eft le milieu de la corde -i<B. Car i**. te
point D fera égalenien; diftant des points ^ 8ç

i* Ccr.i, Prop, ii.Geù* E*] Frof.tt- Geo*

Ceometrh.
t i cotnixie on 1-a fait
voir dans les demonftra-
tions précédentes, i^. Le
centre C eft aufîî éga-
lement diftant des mê-
mes points AScB» Dont
cette ligne C D fera per-
pendiculaire au milieu
de la cûrde j1 B ^ ce qu'il falhif defnmtrer.

DEMONSTRA TION

Dfi LA '8IXIB*M£ PAKTX^.

Soit, la ligne C £ menée par le centre C d'oa
ceide , perpendiculairement à une corde AB :
je dis qile la ligne C £ coupera cette corde A R
par le milieu £ , &'Coypera pareillement Tare-
ADB en deux parties égales au point D. Car
1°. la ligne C £ fera (') pérpendicutaite au mi-
V^ude la corde ^B^ donc elle la coupera en
deux parties égales, z^. Cette ligne CE étant
perpendiculaire au milieu E de la corde A E, au-
ra (*) chacun de Tes points également diftans de«
cxtrèmitcz A ôcB; & partant (*) les lignes A H
& DE feront égales entr'elles. Donc (♦) les
arcs AI> ^DB feront Agauz entr'eux , c*eft à
dire que Tare ABB fera partagé en deux pir-
ties égales par la ligne droite C £ prolongée , ce
if^'Ufattoit demmtrer.

COROLLAIRE I.

D'un point pris hors le centre d'un cercle ;
Ç'eft à dirf , pris entre lé centre & la cir-
conference . ou fur la circonférence , ou

C) ^Aft. I, IProf. I). Geo. C) Prof, y Geo.
V] Cor. 4. Ax. t.GiO. . W C^' *• ^^'f' "•

A* ij .

il o Troiflétne TârtU.

liors le cercle , par exemple du pomt A. le*
Hgnes menées à des points de la circonfc»
icnce , par exemple 1i ic C ^ également
diftans de paft & d'autre du pc^iat 2> o4 £c tcx-
mine la ligne menée de ce
point A qui pafiè par le
centre , font égales entr'el-
ks. Car ^') la* ligne qui
paflè par le centre & par
ce point 2> eft perpendi-
culaire à la A>u£end^tc de
Tare B2>C aux deux ex-
trèmitez duquel ces tignes
ABècAC fent menées»
Donc le pointai eft L^.éga^' ^

«cm dmant de «&deC. DotscA£=A€-^

COROLLAIRE IL

T5onc Mciproquemcnt fi les l^g^es. A 2 Se AC
font égales entr'ieUca , Jes points B & C' font
^Également diftaas de part & d'autre de l'ottrê-
mité I> de la ligne mtxïki^ du point A y Se quf
paffe par le centre. Parcequ'alors les points A
Se E feront (^) également diftans des points B
Se Cl Se partai^t (♦) la ligne AD fera perpendi-
culaire au milieu de lacordc B C. Donc l^^ Ccn
extrémité ou point D fera éffalement diftamc de
J&deC. ^

COROLLAITCE Illi

Donc d'un^ point A pris hors le ccmtre Jhm
cercle , c'cft à dire , ou entre le centre & la. cir-
conference , ou fiirla circonférence ou hors le

{') Prop. f. Gea, [*J prap^ y Geo.

W l^rof, y Gto.

. Ceûmetrie . z8i

çf rde , on ne peut mener â cettt circonférence
que deux lignes égales entr'elles i car H on ea
menoitune j^, on la meneroic départ & d'autre
des lignes AB odACiSc partant cette 3*^ ligne
(èrbit * plus longue ou plus courte,Donc on n'en
peut pas mener trois égales.

COROLLAIRE IV,

Donc fi on prend un point , par exemple T ,
hors le centre d'un ceiclc LF M NH^ la ligne
F L qu'on mènera de ce point F à la circon-
férence , qui Ce terminera d'un côté de la ligne
F H qui pafle par le
centre , à un point plus
près du point H où fc
termine cette même
ligné F H , fera plus
longue que la ligne
FM qui fe terniinera
.de l'autre côté à un
point Af plus éloigne,

Cat foit pris le point

N autant éloigné du

point H que le point Z , àti âuri ** F IT =s

FIimaisL^]FAf<FN.DoncFM<FL.

COROLLAIRE V.

Donc le diamètre d'un cercle partage la cir-
conférence en deux parties égales. Pour le dé-
montrer /bit menée à volonté la corde D B , Se
J>ar fon milieu (bit menée la ligne A C perpen-
'^iculairemcnt à cette même corde j la ligne

* 1* Part- de U Prof. 10. Giû^
**e<?r. I. Pr&f.fref.
VI j,^ Part, Pr^{* X©,

A a ii)

iSt Ttêifiimg Psrtie.

A C paiera* pat le centxc £, &
née de pan & d'aatie
par la circonference
die fcn un diamè-
tre. Or ** les points
D de B (êront au^
tant rim cjoe Tao*
tre éloignez des
points A 8c C i 8c
piitant la corde DA
:s^BA. Donc Tare
J}GA=rAHB. Pa-

tcillement puisque la corde CI}=^CB y on
aura l'arc CLD = CMB^ Donc ['] les axes
CLD-k-DGA = CMB-^BHA^ c'eftàdi^
se ^ que tout Tare CLDGA = CMBHA^

COROLLAIRE VL

Donc deux circonférences de ccides ne pes^
Tent £c couper
qu'en deux points» n

Car fi les deux cir- ^

conlérencès ABCI>
8c ABCG 6poQw
▼oient coupes en
trois points Ay B^
êcC , il faudrait que
du point B , ceo,.
tre (k cercle ABCD ^
on pot aiene£ tioi&
Jignes droites i cestiots points.^.^ £^ & C^q

* »* Part. Fr^ jy, Gè9.

l"3 Part* 1, Frof, u. G^f s<5» ^at. 4. ^w;

i

Geêmetrie. i^i

Siflcnt ♦ égales tturtUcs , ce qui «ft pi in>»
poilîblc î piiiiqiie de ce point £ qui eft pris hois
k centre F du cefclr ABC G on ne peut menei
i la cixconfeicnce ABC G plus de deux lignes
droites égales entr'eUes»

PROPOSIT ION XV.

!• T^i^ %i^ ferfendieuliûre i tme de âi$ix ^

ralleles , e)^ aujp fgrfinéiicfdsin à t autre fa»
raUelê.
a* Recipro^muntfi des0f liffusfinttferfendicsdai"
tes ^ une mime ligne droite , ces detêx lignes fins
faralleles enir^elks^

DEMONSTRATION

DB LA PUSMXI&B J^A&TXE.

Soient les lignes AB Se CJ> parallèles enM
truelles , & que la ligne B F ibit perpend>«
CQlaire à \x ^gncAB : je dis que cette ligne
£ F eft aiiffi perpendiculaire i Vzxtttt paraUek
C Z>. Pour le demontier da point G Se d'une
ouyertore de compas Gif pciie à Tolonté plus
grande que G T toit décrite la circonférence de
cercle H S VF ML, Du point L fbit menée
la ligne LO perpendictidaiiement xCDy Se
prolongée jusqu'au point N reticontie de cette
cifconfèrence. PareiUement du point S^ &k
menée la.7j|gne s R perpendiculairement à C J>y
Se piolong^sjufqu'à la xenconue F de la cir«

* Cer» I. <fe/^

A a uij

iS4 TroifUm Tmiii

conférence -, cnfuitc du point H aux points V «c
H foicnt menées les cordes HV^Hhi.

A S.

H

:.••

• .'î

■îi4

L B

P

jO/Ko

,^-*K

/F

Pttifqae I N cft pcrpendîcakire â GAf,
recipjbquement LM GAf cft perpendiculaire à
ZN .Se partant L*] Z O = 0 N, On aura par le
même raifonnemcnt^R = 2lP , puifaueC^Di'P
cft perpendiculaire à G C. Or à caufe des pa-
lallcles ^ fi a: C D , la moitié 5^ R de la ligne
SP cft [♦] égale à la moitié iO de la ligne
ZN. Donc p} toute la corde SP=:ZN 5 &
partant les arcs SVP 8c LMN font C*l égaux
cntr'cux , & L7] la moitié SV de Tare SV?
fera auflî %ale à la moitié L M de l'aTc Z Af N.
Or la ligne £ G étant L*] perpendiculaire à la

l'] C4V. I. Prùp. fkSeo. [*] P/»r^ i. Prap.iy Geo.
[3^ P<»f cm^uBion. [^3 C^w. 4. Prt^. 6. Geo.
Vi Ax. ij. Geo. C ■ 3 P/Wf. I. P»'<ï'. II, Gw,
£7 J ^a:. Il, generd. VI SuHopt.

Géométrie. ^1%^

gefiê 3^1 ^enattrart l'arc SrLt^ïtS. Ôonc
en ajoutant rare HL i l'arc ZM y 8c l'arc
J^,9 'à l'arc^r, onauraPÎ HLM=HSJ^
& partant les cordes i^l HM 8c H V feront
égales. PafeiHemént C^l GV=^Gi4^ Donc la ligne
£ F aixra deux de fês points , (Ravoir H 8c G
également diftans des points V 8c M, Donc
enfin ( '] £7 fera aulfi perpendicalaite à la fécon-
de ligne parallèle C Dyce qu'il fallait démontrer^

D E M 6 N S T R A T I ON

2>I lA »EC G KDB PAXTZE.

S^oient les lignes ^£ 8c CD perpendicalai-
tts à la même ligne £ F r je dis que ces deux
lignes font parallèles fcnif'elles. Pour le demon-^
trer fbit décrite du. point G 1% circonférence
JSSVPNM'LH y 8c foicnt menées les mêmes
lignes ponâuées' , & de ta mfême manière que
dans la première partie de la propofîtion pre-^
fente» Poiique t*J les Jignes A B 8c CD font
perpendiculaires à FF, réciproquement FF
Icra perpendiculaire ^ SL 8c z. VM ; & par^
tant on aura C^] Tarc^ y S H =H LM. On aura
pareillement CM Parc SH=zHL. Donc [•] Tare
S.V fera égal k LM i mais puifque SP 8c LN
font i^l perpendiculaires à CI> , Tare S V=VP
^^'8cLM =zàtN.DoncVll3L coidcS P — LN.
Donc [^] enfin la ligne perpendiculaire S R fera

C*3 Part. S' Prof. 14. Geo. t»] Ax. 4. gerrer,

[î] Parta* Prof, 11. Geo. C+ÎCar*!. déf x^*GePf

[^3 Prof. f. Geo. [^ Suffofit.

V: Prof. }, & Cor. t. Prof, n.Geo*

[*3 Ax. 9. gênerai. f^ j Par confiruBtonr^

l^lAx. XI, gmerai. & Part, i,Prûf\ iyG49^

l%4 Troîp/ffii Pdiffiel

égaie a la perpendiculaire £ O j & partant ;,
puirque* là poûtion d'une ligne droite (ûit ne-
ceffaîrcmeht ccUë dé deux de fes points , oa
trouvera que les deux points 5"& L de la "ligne
ji B étant ['3 également diftans de la ligne C D ^
Î3L ligne AB iera pareillement également dif-
tante àcCV, Donc [*]<:esdeux lignes jiB Se
C D feront parallèles entr'cUes , ce quil faUcit
demoritrery

C O R O L L A m E I,

t>oïié deux lignes perpendiculaires i dné mft.
me ligne droite , ou deux lignes parallèles ca^

truelles étant
prolongées ne A

peuvent ja^
mais conclu-
iir nulle part.
Soient les

deux lignes

EF & GH ^ ,^
perpendicu- ^ ,

laires à -4 X) , l

ou parallèles D ■

cntr'elles , &

B-B

que A D leur fcic perpendiculaire 5 s*il étoit
• poflîble que ces lignes E F de G H étant pro-
longées pulTcnt concourir en quelque lieu du
liionde , par exemple en L , il faudroit que de ce
point I il j eût 4eux lignes LB ScLC menées •
perpendiculairement à la même ligne -<1D dart«
Dn même plan , ce qui eft CO impoffible. Donc

* Car, Prop. g. Geo. C'3 Cûr» y Trof. è.Gee,
C'3 Déf. 9,Gee. . L* 3 Cor.u Praf^ ^. ^^^^

Geomeiri^ %%^

çt% Hgncs lEt & C'H ne peuvent donc fc rencontres
zuillepart.

CQiLùLtyviHe îi.

Les arcs ?D & CE compris entre le$ cordes parai-
Jcics ^ & i>B, font égaux enrr'eux. Car feit Qien^

ï F

k diamètre F<? perpenfiicujairemenc a une des
deux cordes BC ou DE. Alors [»} ce diamètre TQ
icra au/fi perpendiculaire à l'autre corde , 9c
même [^] fe^a perp^Midipikire à Tune & à Paa-
îrc par leur milieu. Outre cela [Ij ce même dic«i
ixierre^J^x0Qpciales erts htc & j^GI? chacun en
deux parties égales , c'cft^i-dire que JBF = FC èc
iquc DG as= OE, Si à l*a«: ^F on aiputc ^G d'ttric
part ,^ il à i'arc CF on ajoute G£ d'une aurret>art&
on aura BF ff- DG aî?CF H^ BG , & [*] Tare ^nti^f
'F^<ï= FECy, Pj^manobotts d^mie part BV ^DO
-^ <ic l-aucrc part CF>f-EG j les arcs'BI^^ CE com4
:çrls entre les cordespa^liete 9Ç 8cVf y rdkcioiifc
4^]-%attxciusr'^px^

^] Tsft. I. IPfCf. ij, Geom.
.♦] Cor. f. Prof. 14, Ge9m»

1 9 s Tmfiémi fdrtîe.

COROtLAIRE ni.

Une ligne touchante parallèle à ane corde k

'cercle, divifê en deux parties cgaleg par le point

|[*accpuchepient l'arc foutenu par cettç corde. Sou

*]a ligne touchante AB parallèle a la corde. CD : je

. à\$ que Tare CFD foucenu par cette corde eA; xiiviw
en deux jparties égales par le point d*actoucbeaictfc
F. Car foit mené le rajon £F du centre ^ à oc
point d*atcouchement ?. Alors le rajon £Fièra [^]
perpendiculaire à Ja touchante ^B ; ce même r^jon

*^£F , (èra donc [*] auffi perpendiculaire à la cordf
<:£>,& partagera [<] en deux parties égales , l'arc

'CVD au point d'attouchement F , qui eft auflLsa
point de la touchante AB,

COROLLAIRE I Y.

*

On peat tirer de cette proportion Une fiie

[*] Fart. a. Trof, u. Geo. -

M Vart. i. Bvifp. frèf.

^0 Vro{.i^.C€9.Fnrt.4- . . ,

cAode

f

Géométrie» . 189

diôée jp^ur mener par un point donne hors
d'iKic Hgnc donnée , une ligne parallèle à cette
ligne donnée» Bt on peic s'en ïeryir fore com*

<

inodénent i péncipâlement £u!Mles âe(reins
d'Ârchiteôure civile , cm. mîlit^e , torfcyi'il
^agit de mener une ligne parallèle i une au-
tre ligne par un point donné. Soie par exem-*
pie le pointée tbnné hors la ligne AB ^ par
lequel point C on yeut mener une ligne pa^
rallele à uf 5. II faut prendre une règle de bois
X> E ayec une é^uerre LH M d'une afTez bonne
^paideur , parcequ'on s'en fcrt avec plus de
jufteflè pour mener les lignes nepe/Iàires -, on
applique d'abord le côté H L de cette équerre
fur la ligne ^3, par exemple deF enG,&
^nppfe la règle D£ le long du côté HAf de
cette équerre. EnfUite retenant avec une main
b règle X>£ toujouridans la même fituation»

i9* TitiJl^HM pArtie.

•Tcc l'avcre main on £û[ glîffi^ l'jqueire J!r
long de cette re^Ic DE jutqu'à ce que le point
C paioillè ; CDfin on mené U ligne H C , qiiî
tft * U ligue par&Ucle qu'on ckerchoit.

• tëft. t. fr*l- rrtf.

Gcûmetrie. x^\

PROPOSITION XVI.

». JLes cêfdes de sêtcU égalemenf éloignées du centre

font égales entr elles.
^ 2« Recffrpquêfnent lûrfque Us cardes de cercle font
égales entr elles', eUesfont égalemeni éloignées d$e
.centre.

3. Le diamètre etun^ cercle efi fias grand que cha-
cune des autres cordes qu*m feat mener dans ce
cercle.

DEMO N S T R A T I O N

D fi LA PR£MX£iLfi pA&TIE.

Soient les cordes AB ^ CD également
éloignées du centre E du cercle ACDB :
je dis que ces cordes font ég^es enrr*elles. Pour
I le démontrer foit mené pax le centre £ le dia-
mètre F G parallèle à la corde AB-, par lemê-
nie centre E fbit encore mené le diamètre H L
parallèle à l'autre corde CD. Du centre E foient
menées les lignes EM 6cÉN perpendiculaires
aux cordes AB Se CD i ces perpendiculaires
feront [*j les mefiircs des diftances du centre
à ces cordes. D'une des extrêmitez d*une dcç
cordes AB ou CD ^ par exemple du point A
foit menée la ligne AS perpendiculairement ai
diamètre FG ^ 8c cejtte ligne AS foit prolongée
jnfaa'à la rencontre de la circonférence en P«
Hnnn d'une extrémité de Tautre corde ibic

•

mxatt la ligne DR perpendiculûie fir fc Jâ. !
Hittre Ht, & cette ligne J>fl foit prolonge
jaf^D'ao point o lenconue «Je k circonfeiencc.

Pitilqae[*] ks ^Ibnces E AT & 'ETldaaa^
ex i ces cordes font égales , les peipendicula»*
iesAStcJ>K feront [• j aufli égales , e'cft à di-
le ,[*] que les cordes entières AT 8c DO fc-
font £giles.Donc [*] les arcs Aff & DLQ frremr
^gam : & enfin ['] leun moitiei AF & 2>L fe-
ront égales entr'ellcs.Or puîfque jiPcft perpen-
diculaire an diamètre F G, recipio<nieineiit Gf
fera [*] perpendiculaire à^P,& même [■»] par-
tagera l'arc ATP en deux parties égales a»
point F; par le même raifonnement le diam^
tre HL partagera l'arc DIO en deux paitiei
égales au point t. Pnifquc nous venons (k
ttouTer Qoe les nwitiez de ces arcs qui font AT
& Z>£ font égales cntr'eUes , il eft conftant

f '] Sitpf»^t. ['] Car. 4.-Pref-£. & Dem. j. gt»,
[M fart. 1 Trop. Il, Gia.t^ Ax.i^.gen,
[*] Cm. i. Pnrf. II. Gw. [»J Ax, u,im,
[•j Cor, I, Prty, j-, Gm.

Géométrie. 29 j

qtt*en ajoutant i AF ton égal ['] BG^y & ea

ajoutant à D L fon égal H C , on aura [* J la

fomme des arcs -4F-+--BG=DXH-H C.

' Mais Tare 'ET G cft | » j une moitié de la cir-

' conférence , quieft égale, à Tautre moitié UVL.

: Donc en ôtanr AV^^BG de Tare TTGy & ôcànc

i I> L-^H C de rare HVL^ û reftera Taro [♦]

^r5=CKI>, Donc [}] les cordes A B Se CD

(êront égales entr'elles, f« quilfalUit démontrer.

DE MONST RATION

DE LA SECONDE PAKTIE.

Soient les cordes AS 8c CD égales en'r*?î-
ks : je dis qu'elles font également éloignées du
centre £ , c*efl à dire [*j que les perpendiculai-
res E Af & E N font égales entr'clles. Pour le
deiidontrer , après avoir mené les perpendicu-
laires £ M & £ N , foiént menées les autres
lignes FGyHLyAPyDO comme dans la pre-
mière partie de la propofition prefente.

Puii^ue [f] AB==:CD , les arcs ATB &
CVD feront [*] égaux entr'euxj mais pj Tare
I T G =z H V L. Donc ôcant d'une part
l'arc ATB 8c ôtant de l'autre part l'arc CyD^
il reftera [*] la fomme des arcs AF-^BG^ziHC
■4- L D 5 niais [^ ) les meitiez de chacune de ces
deut fommes d'arcs , fçavoir AF 8cDL feront
égales cntr'elles. Donc [® J deux fois A F , c'cft à

[' ] Cor. 1. Vrof. i^ Geo. [^\Ax. ^.gen.
*{^] Cw.;.Pr<^.i4. Geo. [♦] Ax, ^.gen.
[5 J Fart. î. Pr«!f>. 11. Geo. [*] C<?r. 5. Pfvf . 6. Geo.
[f-l SuppofiK [*] Cor. a. Prof. 11, Gf<?,.

[^ ] C<?r. X. Pr<>/>. If. & Ax^ ix.gemr.
^) Ax. lugen. & Pan. 6. Frof. 14. Geo.

T» L • • •

194 Trot f /me Tartie.

dire y Taie A'SI ieia égala deux fois 2> JE qttî
eft l'arc DLO -, or poiiqae les arcs AWF Se
DLO (bnc égaux entr*Cttx , les cordes AP&
J> O feront (') égales entr'elles. Donc les ligner
G¥ Se HL menées par le centre E , & par le
milieu de ces arcs AWT & BLOi*) feront pet«
pendiculaires par le milieu de ces cordes ^ &
partant P> les perpendiculaires AS 8cD R feront
égales entr'cllcs. Or. (♦) la perpendiculaire AS
=zEM , & la pcrpendiculaixe 11D=£Z9', Donc
py la perpendiculaire £ Af =E N 5 donc les cor-
des égales A B 81 CD feront ( ^> également cloir
gnées du centre B ^ ce qttilfalUit demmtrer.

DEMONSTRATION

I>S LA TROISIl'lil PARTII.

Soit k£amêtTeTr>jedis que cediamttst !
cft plus grand qoé
toute autre ligne-
TZ menée dans le
cercle,^ terminée
depaftdc d'autre i
la circonférence»
Four le démontrer
fbient menez ht
layonsXr&XZ;
fi eik confiant ^3
que TXs^rX ,
&qiic VX = ZX^DoRCl*]TX^XV^TX

C)F4rt. 1. Pw^. II. Ge0. (') Part. f. Ttof. 14. (7^^

(*) Pém. I, Pfvp^ 1%. é* Ax^ïZ.gen^

\*) C^.. 4. Pref» 6'. Gwu (^ Demande x. j^wr.

Geomttrie* 19J

.4- XZ. Or F'] rx H-X^ > rz. Dotlc [*] le dia-
mètre TXV ^ TZ , f4P qntl fulloit démmtnr.

I>R O POSITION XVII.

X. 2>x r^fi/f/ de cereU les plus proches du centre fint plus
grandes qne celles qui en font plus éloignées^

t. Réciproquement lârfqu^une corde de cercle efi plus
grande qu*uhe sutre , celle qui efi plus grande eft

. t^usjroche du centre que celle qui eft flus petite^

D E M O N S T R A T ION

BI LA PRfiMIS&sPAR tl I.

Soît la corde BF plos proche du centre jf, quel*'
corde CE : je disque'cetre corde JÎF efV plus gran-.

de que la corde CE. pour le -dé-
montrer', j^ mené du centre^ la li-
gne AG perpendiculaire à la corde'

^U ^^'y ^ ^* ^^g"^^ -^^ perpendicff-
J - larre àlacordeC£}ce$perpendicu-
D laires^G.* AL feroill [i] les difo
tances des tordes Bf & CE. La diftance Al étant-
M plus longue que AC , j'en rerrancliêttii la partie»
:^Hégaleft^G, & par le point M je menecai la^
corde MS perpendiculaire à AL, Alors les cordes BT
& AfN {ctont.[5.J égales entr*ellcs. Or la corde M S
étant fbdtenâante de Tare AiDNy ftra [^] plus gran-
de crac la dbrde C£ qui eft foutendanee de Tare plus
petit èVE- Àii 4ieu dà hdk prenant fon égale ÎF ,
je trouverai donc que la corde CF qui èft plus proche
du centre X , eft plus granrfe que Ja corde CE qui en
jpft phis éloignée , ce fi il fallut démontrer.

Demande t, gen.

. Pi

SuppefitioU»
5] Part. I. prop, t é, GeoJ

Bb uij

DEMONSTRATIO N ^

Bs £A ftcoNoi Failli».

Soit la. corde AB plas grande que CP : je dû qoe
^B eft plus proche du centre E que la
corde CD. Car ^B ne peut être qu'es
ces trois ficuations^ fca.Toir , plus fotjl
cke du centre B que la corde CD » oi^^
autant éloignée que la corde CD , o^
enfin plus cloignce que la corde CX>.
Or AB ne peut être autant éloignée du centre £ que
CD. Car AB fecoit [' J égale à CD , ce qui eft contre
la (oppoficioa. A3 ne peut £tie f^us lloigtiée du cen-
tre E que CD ^ car cette corde AB feroit f*] plus pe-
tite que C/>, ce qureft encore contre la mppofition.
I^ cocde^^B qui eft la plus pande , (èra donc fJas
jtfoclie du centre £, que CD, u qu'il ftlUif din^ttr^r^

PHOtOSITIONXVIII.
Diux circonfermces de cenUt quiff coupnp, pu ipûft
touchent interiiuremtnt y n*out fês ItitUtne $mttr»u •

- DEMONSTRATION.

Soient les cicconfercnfes des cerçles BEC ^ BFJD
qui £e coupent , oi| q9i fe touchent au poinç B ^ jç
dis qu'aucun points pareumple le point A ,ne pe«9 *
lue un ccntfc cowunun à ces deui cercles» Fonc ht
» B

Hémontrer, de ce point A foît nïenée au point &

rencontre û ligne di otte j£B , & du aièuie poii^ ^'

rncore menée une autre ligue ^CJ^ qui -le ^^^

rj . ^m^ h trt^^li. Q99. |»J têru u frçf^ fr^.

mine #

l

<Seômet^e. \^^

nîne à la demicre circonférence S*i] itoit po^
fiblc que ce poiat ^ fût un centre commun à ces
kux cercles^ les rayons du cercle BFD feroient
égaux aux rayons du cercle BEC ^ & panant I M
pn auroit jij> =^AB. Pareillement [*] AC feroïc
fealà AB. Doncp] il faudroiiqjie la ligne ^D
fut égale a ^Cscc qui eft W impoflîble. Donc le^
cercles ^ont les circonférences fe coupent ou
^^ouchcnt intérieurement ne peuvent avoir iti%
centre commun , ce efH^Uf^Uoittiemmtrfr.

COROLLAIRE.

Donc deux circonférences de cercles qui onf
le même centre , ne peuvent fe couper ni fe tou-
cher, par fi elles pouvoient {ç couper ou fe tou-
cher, ces cercles [♦] n'auroient pas lemêmcçen.
*re , ce qui eft contre la fuppofition.

PROPOSITION XIX.

^*%;w droètê menée p0r tes centres de deux cw^

cZ« dontles circonférences fetotêchent, paffepMr
fmotuhement on rencontre de ces circonférences,

I DBMONSTRAT ION.

; I^Oit la ligne AB menée par les deux centres 4
y^C des deux cercles ^D¥ & GBHD ^ je
;. <iw que cette Hgne A B prolongée , s'il eft nçT

l^hÇor.i.défxi^. Gee.
r] Ax. iZ.genéaL
i/]4M.i.gen. l^]Fref,fr^, , .

cdlàûe, paffiéra fv rateopcfanneiic 2> Aos du
fonfèiencn ic cfs .oeidesN, Car £ on confideie
kccmic ^osameim pcnntpnsl^wrtle cea«e
C da ccfdc HO G ï, b. ligi»-^i> qui paflc par
ifi ccnne C eft [S 1^ pl«s coanc ite toutes cdks
«'on peut laener éii point X à k cscctafe*
aencft m ooelc S2>6 J; Bouc cette Mené &
yyp^itg» i re&dtàDt de cette cifcooterencr
lS^ilX^9 9* eftlcpli»pw;ke<kce.ccBt£c .4.

Dr rcndioit de cette disccmfoience fomcliaiite
<ïSfi;DquL efr le plu» peodie da €cntic ^ e&
l'anoachemieBC ^..PUi^oe lescnconfiçieiices qui
4» «wchenr ,. fe rnusoniKCBC de trife feite<]p]c
l'une n'entre point dans le code de Taime.
Donc k Ugne j<3 <pi paiP^pai: les centicsd»
ciiconferences FD£ & HBGD €fd Ce toachent
piÉk p^rattoudîcinent, i»jma fOMimmh.

x;oiiaL]LAiH.£;

ponc ràttoQchcmenr de dcw dcçoofaenix^

p] Ittm.x. rr^*f.^t9%

Ceometrie. * jot

dt cercles n'eft qu'on ical poinc.Car fi l'attouchc*

jtnent i>,par exemple,confiftoit en pldîeurs^ points

qui furent xommuns aux deux drconfcrences

IFEDSc HDGB^ on pourroit mener de ce point «^

à la circooièrence.H DGB plufieucs lignes qui fe

terminc^foienc à ces points communs. Donc

(M CCS lignQB .(èroient égales à la ligne AD qui

-clr partie -de jîB laquelle paâànt par le centce ,

pafte [*] par fattouchemenc» £>onc oette ligne

jiD ne leroit pas la pkis ,CQuiste de toutes ,

puifque ces autres lignes menées Ju poinc A i

40CS points communs lui ferpient .égales. Or

cette ligne ^D eft (^) la plus courte de toutes

,^eUi:s qu'on peut mener du centre A à la circon-

/ereuce ffDGB. Doive rattoocbement p n'eft

qu'un fcul poinc«

roiT)

DES ANGLES

r

RECTi LIGNES.

V R O P 05ÎTI0N XX.

jjt mefure ttun angle reBUigne eft F are décrit 40
fanfemmet& comfm ermefes cote^

f) ^liO^ STRATION.

S Oit l'angle reéHligne <SCVi je dis que &
mefure eft Tare G D compris entre fc$ côiec

. [»] Cor. X. dif. 19. Geû. [»3. Pref^ frt£.

Ce

5P1 Troifiimt fdrfii^

CGScCD^Sc décrit de fonfommec C ^àsfmif
cencfc. ÇarconfidcronsU l^nc CQ -•— «--»'^
fur CD, & qu*en-
ibite cette ligne C G
foit mûè* ters £ , ofi
bien CX> ytxs F au-
tour de leor extrémité
£xtC y afin qqe cette
ligne parvienne dani
U ficvation CG , k
tooiM G en s'écan^
an point D , ou k poinT D en s'écaicant Al
point G dtoifa Tarc^ O qu en Og fèczootnan
ja trace ou le veftige. Efonc l'arc D G fera k
jnt&ut de rouveflui«,oa écartftnem 4e lîai^lè
pC DyCe /jffUfdlntianêntrêr-
ÇpKQLl^ Kl ÎL E I.

ponc cfaaqne angle drok a pour me(^te 99
quan de circonférence s4e cercle, 2;oit la ligne
WC perpen-
diculaire à la
lignées 5 du
point C fi>it
décrit Tare
de cercle
^GFKDqui
cft[*] une de-
mie circonfé-
rence, n eft :33 conflit que k point f d|
également diftant des points jB & 2)i àc panaiit
ks cordes B F & FZ> étant (^} %ales , les arcs

r?l iC^. r^ d^ 3. G#^* t'] C^. ;. Tf^, 14* G#^

fGf & fHI> feront (^) airflî é^aux cntr'eajc.
^Or (M BG F cft la mefiiic «kTan^e droit BCF,
ParciUement l'arc F H D cft la mcflire de Taii-
glc FCI> , & Içs ^cs BGF êc FHD étâîjit
i égaux, font chacun la moitié de la moitié d'une
arconfercncc. Dïmc Icis angles droits B C F &
1?CD ont chacun pour mtefifc un quart de cir-
confcrence de cercle*

COROLtAi*.» II.

Dionc on cannôîtra l'égalité ou àiégalitc des

togles reailigncs par TégaUté ou inégalité des

arcs compris entre lews corçz décrits de leoti

fiointes ou Commets à la

lââme ouverture de com*^

pas prife à volonté. On

«onnoîtra par exemple ,

çie l'angle ABC cîï plus

petit que I>E F , £ i'vc

AC cft plus petit que

I>F , i*un & Tautre arc

éunt décrics à même «lï^

Terture de compas 5 de &

Tare A C étoit égal à l^re

D F , l'angle ABC fcroit

égalà2>£F,

Réciproquement lorfqu'un angle eftégal â un
autre,rarc qui en eft la mefure eft égal à Tarcqui
cft la mefure de rautre,lor(que ces deux arcs font

légaux 5 enfin Tangle qdi
grand a le plus grand arc pour mefure.

C) C0ra» frot' nrG#*. (^) ^ref^fref.

Ce i)

fo4 Troijteme Tài^tf.

COROLLAIR.£ Ht

Pbifqoe les Mathématiciens fibnc convenos^
entr'euz qae la dÎTifion ordinaire de la circon- ^
fcfence d'un cercle feroit d6 3^0 parties égal»
qo^ils ont appellées deviez 3 il fait du CocoUaiie
premier de la Propoiicion prefente qu'un angles
droit a pour melùre un arc de 90 degrez.
Donc tOiS les angles droit» font égaux en-
tx'cuz, parceqa*ils ont chacun la même mefore,
Pui(qu*un angle obtus eft * plus grand qu'un an-
gle droit , il aura pour meuire an arc de cercle
plas grand qu'un quart de circonférence , c'ed
a dire , plus grand qu^m arc de ^cr degrez.
Enfin piii^u*un angle aigu eft plus petit qo'oA
angfe droit , il aura pour memic ua arc (l«s^
{etit qu!un aicde 90 degrez«

COROLLAIRE ÏV.

0onc il eft &cile de faire un angle reâfiligiié"
égal à un autre. Soit par exemple l'angle
ABC ^ic qde fiir la ligne F G ,. on fe propofr
de faire un angle égal a^rangle A SC > & dont

? Déf xj. Oto^

Getrmetrîe, joj

k (onmwt &ii% dxt point H, On dccrira dta point»
3U H des axes I>îillE ^ LOH k mèoie ou-
T^fctire de coippas^cnTuiteon ouvrira le compas
.d|i. point 'Se ^u point J> , iSc on tr anfportera cette
'ouvertme fur Tare MOL àt M tn l^^ ^ enfin on
mènera par les points H & I^ la ligne if X : je
,dis^ que Tan^c LHG:=zjiB'C, Car aprè»
avoir mené les cordes EI> ScML ^ on trouve
oU'elks font égales enci'elles y Tiinc ^ i'auue
«ant meforée par la même ouTenure de com-
pas. Donc * les arcs DNE ôc L OM font aufll
IgfMUt encx'eiix -, & panant ClABC^zJLHG^

COROLLAIRE V.

Ofn peut tirer de cette propo£tion une i»?-r
diode pour partager^ ou couper géométrique*
ment im angle en deux parties ^ales. Soit l'an^t
*£ uf B C ^ pour

t

partager en
deux parties
cgates on décria
r^dufbmmetS;
d'une jinterrale
(Ml ouTerture de
compas 'priiie à
volonté Tare
àiFC. On mè-
nera la corde

j(C , endite on

coupera L'i cette

corde en deux parties égales au point E^ 5c dur

point S par 4e point £ milieu de ce fp corde ,

* C&r> r. Ff <f r n. Gta^

Ce i§

3©^ Trcifi/me Tdrtit.

cm mènera U ligne BJ} : je dis que V^ngh^
ABDz=DBC i & panant que la queftion eff
icfoluc. Car l'arc A F qot cft L*] la mcforc de
cet angle ABDeA [*] égal à l'arc Ù W mciâic^
de l'angle J>BC.

COROLLAIRE Yt

On trouve |lar le moyen du Corollaire /« de-
là Proportion ptefaite , une méthode pour di^
-vifer un angle géométriquement en parties égst-^
le» 4 , %y i^> &:c. en continuant à divifer endeiuc:
parties égales chaque panie de cet angle»

AVERTISSEMENT^

Pkrcequ'bn: n'a pas encore trouvé une onr^
fkode pour divifirr un angle afec la règle & le^
compas en un nombre de parties égales- pris à:
volonté ; p«f exemple en j , y , 7 , 9 , &c. ^eft.
pour cela qu'on fe contentent d'indiquer la di-
▼ifion fuivamc en forme d'obferration $ car m»
n*7 réufCra pas par des voycs géométriques ,.
nais feulement en cherchant ou- tâtonnant».

R E lA A R Q^ tJ R

Pour divifer la circonférence d'un cerde ç/i^
^Co panies égales ou degrez $

I**. Il faut divifer la circonférence du cercle-
donné en deux parties égales entr'elles par le
iaojtrx d'un diamètre 3 chacune de ces moitiez-
vaudra z«o degrez , ptufque le tout en ya«t 3^o«:

i^l Pr9p, fref '

x^«* Il ËkUt divifèr chacune de ct% tnoîtîez e»
deux parties égales : chacune de ces parties cga^
ies raudra ei> contiendra 90 degrez^ ce qu^eft Is-
4^ partie de la circonférence.'

^^W faut diyifèr ce quan de cercle en ttoiff
parties égales : chacune cie ces parties raudra oir
contiendra 30 degrez, on rranfportera enfuîte ces
3. parties (ûr chacun des 3 autres quarts de cercle^
4*^. Il faut diviler une de ces dernières par'-
ties en trois autres parties ég^es , dont chacune
contiendra la degrez , & tranfporier ces ihême»
parties fur le refte db la ckconfetence ayant
que de changer rouvertute du compas^

j^.Il faut diyifer chacune de ces dernières partieS'
est deux autres dont chacune comprendra ^ d&«
grcz.

I»®. Enfin il feut divifer chacune de cesr der-
nières parties en cinq autres parties , dont, une
étant tranfponéc 3^0- fois fur la circonférence /
dcteitninera ces 3<»o degrez ou parties égales.

Un cercle ou une circonférence de cercle dî-*
•yïSc de cette forte , férvira dlnftrumenr pour
connoître non fcuFement chaque partie de toute-
autre circonférence , nuis auflî pour comioître ^
grandeur des angles*

€ c n

}0V Trûifiime TsnU.

taM-idk

PROPOSITION XXI,

X 'Om UgiH droite rencontrant une autn Upur
droite, forme de fart cJ» d autre deux angles fi
font, pis enfemble , égaux à deux droits,

t. Recifro^uementfi deux liffus droites rencarttrtfit
une autre ligne , rf» forment avu elle deux an-
gles r qui ,prif enfemble ,foient égaux à deux
droits , ces deux lignes droites qui feront particu-
lières à chaque angle ne formeront qu'une fesde
ligne droite^

DEMONSTRATION

UN« ligne droite en peut rencontrer imff
auttc en deux manières ^ ou perpendicula^-
icmcnt ou oUiquenaem.

Si une ligne droite en rencontre une ^urre pcP
pendicolairenient , il eft confiant Qu'elle formff
avec elle deux angles pris enfemble égaux à deux
droits y puifque
chacun eft Cl
droir.

Mais fi une
Jigne, par exem-
ple ufl> en ren-
contre une autre
ÎF obliquement

dans le point A:. Fp

je dis que la •*

fcffïme des angles BAD Se DAE eft ég^c i
^ux angles droits. Pour le démontrer fiwt paer

Geémetrie. 3of>

Sife' piïltmtTAt point A la ligne C F petjpcn-
dicûlairetncnt à B E j il cft évident qne la foin-
me des angles BAD & I>An a la même ou-
^^cÉtaxt que les deux angles droits BAC ScCAE
pris enfemble. Donc * les angles BAD ScDAEr,
pris enfemble font égaux aux deux angles droits
Bu€C Se CAB^ce qu'il fiflhit dembntrh.

D £ M O N S r R A t t O K'

Soient les lignes droites ^ B & D B qui ren-
contrent 1^ ligne C B au point B , de forte que '
les angles -rfBC&CB-D pris enfemble foient
égaux à deux droits : je dis que ces lignes AB
& Z>B ne feront qu'une feule ligne droite, c'efl,
à dire que la lig^e droite A B étant prolongée
padera par B D ^ ne pouvant paflèr par ailleurs.
Car fi cette ligne droite pouvoit paflér par ail-
leurs , ce ferdit de part & d*âutre de B^jD , par
exemple par B E ou par B F. Si cette ligne AB é-
tîmt prolongée paffoir par BE^la ligne ABE ferait
une ligne droite j ^

& partant [*] l'an-
gle CBE- ' avec
C 3 ^ fcroit la va-
leur de deux an-
gles droits. Mai^. A g ....^ |^
[*] pareillement "^^ F'
l'angle CBD avec le même angle CBA 6îr
aufu krmême valeur de deux angles droits. Doncr
tn l'angle CBD fcroit égal i l'angle C B E , ce
q»i cftfL*] impoflfcle. Donc la ligne AB étanr
prokmgée ne peut paffer par B£. On dentpa^

* Ccr. 1. Prap. lO. Geû,
! t'i Fart. i. Prop^ ffef. L*^ Sufpùfit.

taMi

B

^ Tmfiimi fértiê.

tsen, de U mtine cnanieie que A B £ean€ f hm
longée ne peut padêr par £ F* Donc cecceligo^
^B Diilêra par BD , cê m^U féB0$t demmurtf.
n ittic tfois CotoUaires de la pEenûere paxde
4e la Pît>poficion pcefente.

CQUOLLAIRB I.

Si une li^e droite y par ezeoiple jiS , lOi*
centre une atttre
ligne dioite C2>,
de fone qu'elle fbr-*^
me d*ane pan un
angk ABC qoi^
Ibit droit) Tancre
angle ABD fera
aoffi droit. Car

ics deux pris enfêmble font égaux à dein dtoîtf,
4^ on enconnoit dé^nnL' qui eft ABC.

CO'KOlLArlI^B H.

.•touslc8anglcsEFG,GF£r, HIMyMFN
po(ez du même coté d'une ligne droite , par
exemple £ N ^dan»
an même plan ,
êc qdi ont tous k
même fommet F,
font égaux i deux
droits. . Pîiilque t»]
les angles fîF£Sc
H IN font égaux a
la fbmme des an-
gles tTG^GTH\ HTM, MTJf j «t qqefes
angles HFEdC^FN fonriacnfeiBfclc ILax
a deux droits^

ViSuppofit. {n Ax. t. gmrt^^

C à KO I. t AI H. B

4«t

HI.

: l^nc^nfin^^iu.'iîîs ^glcs pofQilcs «utooe

,Ju même point i & 4^4Ui i^vç^jiiuiCwB^

^ris enfcmbl^égaîir

>i ^atre ahgk$

.£i!Oirs« ^Patccquc

la. (bmme des aa- . ,

^Ics j^fot d'im 0

'même ^ ciftti de la

^gne OR eft égale

à, deax 4roits 4 4c

la CbmlKie des au-

'tzes angles pofeK de Tançce ^té Je cote Ikne

^4irpi8e eft aui&^gaie à deux droits ^ ce qoinMe

^ux la fosdmie totale, ipatxe angks c|i;0its.

^. I>^;r CliM!^ i/mf^ qui ^ ^o/ffent forment te
angfe$ ofpûfe:(/mfimmtft. égaux mi/eux.

\p\ MjecifroffumeBtjf ^utirs Ugttes draUa fe r$n>-
contrent Jé^ns un pomtj^ do foru jjue Us angU$
ofpoftK MU jhmmif fuient égaux entr'eux, ces quor
Srt Ugaee r»e ^ent^utjîUffx Uptes droites .

D E M O N S T R A T I O H

■* • » • . ...

Soient les deux lignes à^ïÂtt%AJB ScCp €fffi
& coopeiic l\mc rjuitre dans le point £•: je
dis que les onglet ABD 5c CMB qoi foiir
Pffokz au rpnpuuet foot^^s^ enttVpx> ^<^

MX Tnîfiime fartU.

^eilletnenc les angles AECScDEP aaflî^y

pofci pâi le fommct

fynt égaux entr'cux. C

Carranglc -rfSBac *"
.fanglc AEC font

[*3 ég^ux i deux

dÔ>its » pareiikmenc

i'angltc C£B & le

/nême angle ilEC
• «ris enfemble' font

égaux à deux cUoits. Donc £^I l'angle AEDtt

égal à f an^e C£ B. Or ces deux angles fooc

oppofez par Je fotnmet , &: x>n peut demontisr

la même chofè de la même manière à r^ai4
T^es angles ABC icDEB. Donc les angies
. «ppofcz au fommecfoncigaaxeocr'eux , ce ftijl
fitUmt demcntnr.

DEMONSTRATION

pi LA SECONDE PAfTIi»

Soient les lignes AE ^ 2)£. CE, BE qui
' te rencontrent, du point £ , de forte que l'angle
AE Ç fbit ^al à l'angle DEB qui jui ej(l op-
pofé parle fommet, & que l'angle.ifJBD £6it
égal ai'angle CEB : je dis que'les lignes AE
6c £B,C£&£Dne font que deux lignes droi-
tes. Car puifque C'3 l'angle AECz=iDEBj i
on ajoute d'une pan l'angle AED &, de l'aune
Pangle C£B, on aura L^J AEC'^AED^
D E B^CEB. Mais u^j laibmme de «es.quacie
angles qui Qnt leur fbmmet dans le point £ yau^

1^1 Psrt. r, Pfêf^ ai. G«#. [*] Ax^ /. ^^.
1 » ] Si^fit. c*. Ax. 4. f «I.

quatre

"q^Cfatre angles droits. Donc AEC-^jISD en
va-udri U moitié , c'eft à dire deux droits.
I3onc * les lignetCE kED ne fciom qa'une
Icute ligne droite. On trouvera par un ïai(bn-
nement lèmUable au précèdent que jtED^»
Z:> EE = ^£C-t-C£Bj& partant que AEO

' w-t^ D EB font la moitié du towl , c'eft à dire
^ue ^ £ D -t- D £ S font égaui à deux droits :
Se que * les lignes ^ £ & £ 2 font une feule
ligne droite. Donc enfin ces quatre lignes ne
font que deux lignes droites, et qit'il fiUlvit 4i-

* tmt. t, Pnf, II. G»«.

JI4

TrtijSimt PurtUl

■■■ ^1

PROPOSITION XXIII.

x^. Si diux lignes fâfdllelisfênt^ caafées fésr âm^
tfêifiéme lif!^ dfê$t$ , Us sngles éUitrnes if^crnfs
fmt égéimx ent/mx.

x^*. Kecifr^quiment fi deux lignes ifêitetfêntcm^,
féisféirién€ troifiéme , fji^fi les mngles iUtemês /«-
ternes font epseêx entr eux ; tes deux Upses ér^i^
Us ferent famlleles ensr' elles»

D E m: ON s T R A T I O N

oi LA pxiM^tmi Partis.

DEux lignes parallèles peuvent être coupées
par une troificmc ou pcrpendiculaixement

4

f

>♦

ou obliquement. Si elles font coupées perpendi-
culairement , il eft confiant * rioa iêulcjncut

que 'i€$ ânglefrakernes internes font légaux en*
tr*cuz y mais auffii que les kuic angles qui (bni
Ibrxnez par cette imerfeâion font égsMX en-»
tr'eux , chacun à chacun ^ Car tous les angles
droits foiit['] éganX'CQtr'cttx.

Mais £ (k« lignes droites , par exemple les
lignes ABi&i ÇU ptfalleks. enu'cllcs , font
coupées-obliquemenr par la lign^ E H : jt dis
que les angles A,Cf^ êc GFD alternes internes
font é^uix . cmr'eux. Pour le démontra , dc9
points F '^ G, pris pour centres & de Tinter-
Vale F G foient décrites les circonférences de
cercles égales GS^ OR & /4*F T. Enfuite du
pointFloit menée'F £ p'erpendiculaire à AB^
de prolongée iufques en M-i ôc du point G foie
menée GN perpendiculaire i CD ,4c prolon^
gée jttfqiies en O,

Puifque F Af eft [*] perpendiculaire iGP^ ré-
ciproquement ['] GP eA perpendiculaire iPM^
Donc G P coupe FM en deux parties égales,
& . [♦] coupe pareillement l'arc Af P F loûte-
nu par cette corde F Af en deux parties égales
au foint P. On dira la même chofè à l'égard
de la ligne F R , de la corde G O y & de Tare
CRO. Mais à caufè dçs parallèles AB Se
CD y les perpendiculaires F Z égale à la moir'
tié de F Af , & G N égale a la moitié de GO ,
font [»J égales entr'elles i. & l^] les .cordc$

['

p

Cêr.j.Prâp.zQ,'Ge0,

Par cênftruBion.

Cor, I. Prof, y. Gio,
[♦] Parf, 6. Prof. 14, Geo.
■»] C#r. 4;Pfp^. <. C?«^

04i|

f

314

Tr$ifiim€ Partiel

PROPOSITION X^III.

!<'. Si diux lignes fMfMlleUs fênt coaféês fsur urne
tteiftéme Ugmé drêite , Us angles iUiernes internes
fmt égaux entf'eux^

z^* Rec^reqnementji dmx lignes ireitespmfeost^.
féesf0run€ treifiéme , é^fi les nngles aliernêx in^
ternes font égnmx entrenx ; ees deux lignes ek^i-r
us ferent fnmlleles entr* elles.

D E m: on s t r a T I o n

D

oi LA rtiMujtïï^M Partie.

Eux lignes parallèles peuvent être couples
par une troifiéme ou pcrpendiculaixcmcnc

.♦♦

J^*^ O

ou obliquement. Si elles font coupées perpendi-
culairement , il eft confiant * noa ièulcmcitt

* Pi»r/, u l^ref, i;, Gw.

qtie 'ii$ angles akexnes internes font égaux ea*
tr'ciUy mais auffii que let kttic angles qiii (bni
fbrxBiez par cette interfeâion font %^ eiir»
rr'eùk , chacun à chacun i Car tous les anglet
4iroits font ['] éganx- CQtr'cttx.

l^ais & àU lignes édites , par exemple let
lignes ABi&i ^Ç U ptf alleks. en^*ellcs , font
coupées-obliqaç.menr par la ligne £ /f : je dis
que les angles A.CT Se GFD alternes internes
font ég^uz cmr'euz. Pour le démontrer, des
points F '^' G^pri^ pour centres & de Tinter-
Valc F 6 îbient décrites les circonférences de
cercles égales GSyOR & /^*F T. Enfuite du
pointFioit menéc'F L ^perpendiculaire à AB^
&: pirolongce jufques en M-j & du point G foie
oienée GN perpendiculaire à CD ,4c prolon^
. gée juCjues en Q,

Puifque F Af cft [*] perpendiculaire à G F, re-'
ciproquement ['] GF eft perpendiculaire i^Ai^
Donc G F coupe FM en deux parties égales,
& r [♦] coupe pareillement l'arc Af F F K)ûte-.
nu par cette corde F Af en deux parties égales
au point F. On dira la même cho/è à l'égard
de la ligne FK, de la corde G O , & de Tare
G K O. Mais à caufe des parallèles ^ F 8c
f C I> , les perpendiculaires F Z égale à la moi.
tié de F Af , & G N égale à la moitié de GO ,
font [»J égales entr'elles 5, & [/^] les xordc*

I p] Cêr.j.Pr&p.to,'Ge0,

[»] Fi»r cênftruBion.
I [»] Ctff. I. Frtff . y. G#*.

[♦ J Fi»r^ ^. Prof. 14. G#^.

t»] C#r. 4:Prop. ^. G«^

^ Viil

jitf Tràifiéme Partie.

enûcres GO ec FJSi font aufG égales
elles. Donc les ttcs FPAf ôc ORG de cer-
cles égaux foûtcnus par ces cordes égaies

^ / 1^. r >^C i-B

f

C--4

font [«] égaux. Donc les moîtiez Fi» & CTiî fe
ces arcs font égales entr'elles , c'eft à dire que
les mefures des angles altewies internes AQV
?i ^,^^^^^ égales. Donc Ces angles feront
r] égaux entr'eux. Pareillement puifque [»J
rare VS G^=PFTB ; retranchant d'une
part Tare GK & de l'autre Tare P F, il re-
liera [4] l'arc VSG:=TTF. L'angle obtus
rJPG fera, donc T*] égal à fon alterne F G S.
Donc en gênerai les angles alternes internes
feront égaux cntr'eux ^ ce qu'il fallwt dmm^

f7 CifT. zi Vrof. rr. Geâ^
[*] Cor. u Frof. to. Gw.
[•] Cor. f. Prof, 14. Qe0,

&edmtfrie. Îî7

' • ' • ■/

I> E M O N S T R A T f O N

1>B LA :SBC0N1>S (AUTIfi.

• ' Si lïnc j* 'ligne drbitc en coupe deux antres^
Ac 'forte que les aigles sthemes internes qu'eu
iuppofe égaux {oient droits^ * il eft déjà confiant
que ces lignes fêronc^arallelesj xsïsàs £ ces angles
ionc obliques^ elles iêront auffi parallèles ; ce
«^a"oii démontre de cette manière. Soient les
lignes A B 8c CD coupées par une f ligne
droite E H , & que Tangle AGF foit égal à Ion
alterne G FD : je dis que ces lignes ^B 8c CD
ipnt parallèles emr':elies« Des points G & F pris
pour centrés , & de l'intervale GF foicnr décri-
tGs des circonférences de cercles , & menées des
lignes perpendiculaires de la mênie manière que
dans la première partie de la Fro|>ofition pre«
icnte.

Van^le ^<?.F étant [^ 3 égal i GFR, l'arc
P F mefuxe de l'angle AGF ^ fera égal a G R
mefare de l'angle G F T. Donc M le double de
Tare F P , c*eft à dire , l'arc F P Af fera égal à
G RO double de l'arc GR. Donc L^j îa corde
FM fera égale à G O ^ mais la ligne FR étant
\^ j menée perpendiculairement i G O partage
également cette corde GOyBc Tare GRO -, on dira
]a même chofê à l'égard de la ligne GP,de la cor-
de AfF &de l'arc MPF, Donc la perpendiculaire
. Giû'qui eu une moitié de GO^fera ^ égale à la per-
pe j^dicolaire IF qui eft une moitié .de Aï F. Doiic

* Part, t. Frop. ly. Geo. C*l Siifpofit. ^
^>] Fart. 6* Prop. 14. Geo.& Ax^ é*g^r^*
[5] Fart. 1. Frof, 11, Gito. '}

[♦5 Par cmftruaion, & Cor u ^^^' S* ^^
i^.Ax.u,s^. Dd iij

}xJ Ttùifiémt Péêrtie:

puifque les points Lêc G de la ligne Ji à (à^f
également dîftans de la ligne C I>, leor diftancfe
étant * mesurée par les perpendictUaires égales
LF êcGNylà pofition de la ligne A B fuivra
C'Jcclle de fcs deux points X & G, c'cft à dkc
que AB fera [» j parallèle iCD^ ce qu'il fitOûè

COHOLLAIRE.

On peut tirer de cette féconde partie une me^;
diode pour me-
ner une ligpic
parallèle à une
autre par un
point donné»
Soit le point
donné A , &
qneparcepoijit
iïfoille n>ener
.une ligne pa-
rallèle a une ligne donnée BC. Il Sut mener par
ce point A la lig^ie droite D E qui. coupe là
ligne droite donnée B C au point L. Eh/uite da
point L pris pour centre , & de l'intervale L A
on décrira l'arc A Af . Du point -rT & du môme
mtervaTe AL on décrira encore l^ârc L 2^ fur
lequel' on prendra avec un compas de I en H
Tare LH égal à^M ^ & parle point H & le
point A on mènera la ligne FG : je dis que cette
ligne F G eft la ligne parallèle cherchée. Car les
angles alternes internes F AL Se ALC Cent
égaux cntr*euxi puifque ks arcs égaut HZ êc

* Cm', }, Pffi^, ^ Ge^
C, Car. >rop^ j, g^k

y

^M ^ ^'yrotic la, mefure. . potie [^ les li-»
gncs F G & BC font parallèles» ^

P'ROPOSITiaN XXIV.

«•

9S# une ligne droite T E coupe deux lignes faratte^

les , far exeff^le A B & CD,
X**. Il angle extérieur F G B câ» Sangle interieuf

GH.D du même côté font égjiux entr'eux,
2^» Les angles alternes externes IG^B à» C HE font

'■■ etuffi égaux entr'eux^^
3^« La fomme des angles intérieurs B G H e^

G H I> du même ceté eft égale ideux angles

drMts*
'4^. La femme des angles extérieurs £ G B d*

J> HE du même coté efi égale i deux anglh

droits,

DE Kf Ô'N S T ÏC A T I OS

0B LA PUB MIE KB JARTïïi

L'Angle [S] TGB=AGH. Or [♦] Tangicr
GHD=zAGH. Donc [*] l'angle FGJI

Or CCS.
deux an-
gles Ibnt
i'ezterieur

& l'iate-
lieur du
même c6- È , . - *

té. Donc Tangle cxtedoûr & Uiriterienr. dît in64

p Pr<^^ lo. Geo. , [«] j»r($. pef. le P,,rf.', *
ly Vart.u Prof. ii. <^^a, [♦] Part.^i. Fr<^.zijÇeùir
V\ 4x.iZ.gen. * -^

D d in}

l'angle

I

"9^ . rr$i]i/me Tértîe.

même cAté font égaux cnaTciix , tg qu'a fmamt

1) E M O N s T R A T I O N

L'angle* FGB=:GtfB. Oif«l
CJÏD. Donc [»j . -^

ïangle ]F GB:=s

ÇàE. Or ces deux

ianglcs font^ikcr-

nes cxternes,Donc

les angles alternes

externes font é-

^aux aîtr'eux,.«

Wér'ilfallûh démon-

D E MO NS T R A T ! ON

':2 f/]f^^«*«n^-d«« angles JT^f & BGHdk
^gak a deux angles dfoits> ^u lieu de l'angle
FG^, prenant [Vj fon égal * dHD , on fu-
ra encore les angles J^GH^GHD é^aux a
*wx angles droits. Or ces angles BGH k
G SB iont mtcrieiirs & du même côté. Donc
lesangles intérieurs & du même côté . pris en.

* Pf(f. pef. Part. 1.
1*3 Ax. iS.^eneral.

.> 1

•>...

Gecmitrih jii

dTe m O N s T R a T I O N

I> É' L A QJ[JAT11IE*MB PAIITI2,>

X'angle I>irE & Tanglc DH G , pris enfcim,
bJe , font ['] égaux à deux angles droits ; atk
Meu de l'angle DHG ^ prenant f*] fon égal
[^']FG B ^ on aura les angles F GB 6c DHB^
pris enfèmble , égaux â deux droits. Or ces ai>>
glcs FGB ScDHE font extérieurs & dumémt.
coté. Donc la femme des angles extérieurs Si
du même côté , eft égale à deux angles droits ^
H qu'il faUcit dimontrer»

jiVERTISSlEMENTf

Ce qu'on rient de démontrer dans la Propo-s
iStion précédente , & ce qu'on démontrera danjç^
la Clivante , toucKant les angles AGH & GHD j
FGB & CHB i BGH & GHD j KGB &
C H E ; on le démontrera très-facilement , fie:
on conclucra la même chofè par le même rai-
fonncment à Tcgard des angles C H G ^ H G B-,
AGF , EHJD i AGH , CHG y^GF^
tHE,

[^"] Part. I. Pxof. n. Gtair
~^J Demande i, j'w^
'^] Prof. fref, Part, u

<É^Si^

t;

I*«

Itrvx^tM pM^e.

«■■

P.RQPOSITION XXV.

^i deux lignes droites , par exempte A 6 e$* C fi ,
fûHt coupées far une trêifiéme ligne droite £ F^

de forte qf/U arrive ^
t^. Ou que les angles extérieur f^ interieter du

mime cité FGB & GHD fanent égaux entr'eux;
%^* Ou qm les angles alternes externes f GB (^

C H É foient égaux ent/eux ;
i^n Ou que la femme des angles intérieurs du même

coté BGB d* GHD foitégaleà dtuxanglesf

droits;
4^. Ou- enfin que ta fomme des angles extérieurs ist

même coté fGB d» D HE foit égale àdeux^

angles droits :
tes lignes Ah & CD feront faraUtks fane ^

Vautre^

I>EMe>NSTRATION

Pfi LAFRBMIIRS PARTI !•

^ l'angle GflZ> cft* égala l'angle IGB-,
ùiais Tanglc ^

wfGHcftp] *

auffi égal au
Àiême angle
JGB. Donc
I»] IWlc
AGH ict^
égalàTanglç
GHD. Donc

"^Suppojit. ['] Part. X. 2rot. u. Cre$..
L J ^» ifc gênerai.

^piH ABScCJ> feront pajtdUeks e«ia:*el«
%es , ee qu'il faUoit detfmmr^

D E MO N S T R A T I O H

DB LA SEGONOjS PA||LriB«

L*anglc ÎGBSc Tanglc ÇMÈ fom «3 ^aur
,<într'cux. I>onc au lieyi de Tangle F G ^ en pre-
nant C* J fon en égal AGH yicm lieu de l'angk
C H E prenant &i W égal G » D : on trouver»
4c3 an|(les alternes ineernes AQH & GiïD éga^
..emr'éux. Donc * les lignes AB^cn feront pa*
valides cf[itr'clles , ce qtiH faiUit démontrer.

DEMONSTRATION

DI LA SSCO^pt fAKTlE»

. » ' ♦

JL'angIc D H ff joint arec Tanglç BGH fa^
['] la valeur dcJcux angles droits, Qr Tangle
yl G H joint avec,le n>ên]i& angle BQ H fait au/H
la mente valeur de dçux angles droits. Donc [^J
ifangle ul G H fçra égal à l'angle D H G. Donc
^ les lignes ^ jB & Ç Z> font parallèles , c# j/i'i^
falloit demmtrer^

P E M O N S T RATION

]>B LA ^trATllIE*M|t PAIVJZB»

L'angle FGB joint avec TangleDHjB (^t
['] la valeur de dcur angles droits. Au lieu de
l'angle F G B , fi ;^ *] on prend bvk Lij égal AQH^
,on çrouveira auffi que^ l'angle AQH joint à l'an-
gle EHD fera la valeur 4c douç angles droits.
Mais [♦] l'angle GHD jo^nt avoc Eanglc EHD

1 - . ,

* Part. 1. Pr<?^. ij. Gee. [' J P*r /"«ff <?/îf,

[*] Dem»». Lit». t*l ?i»r^. i. Pfof- tx. Geo,

l^^.Part, i.frcf.ifL, Ge<^. [^3 Ax^ ;. f «».

p R o j? o s I T I O N K X V r.

Us U^nesfaraUeUsàme ffont^arêlleUse»tr'^Us^

DEM O N S T R A T I O N.

Soient ies lignes AB 3cB.F parallèles à une
une cxoifiéaie ligne CD -. je dis que JiB 9c

G

i

>EF font parallèles
entr*4ellcs. Car puif-
que AB c(h [*] pa-
rallèle icp , on
aura [♦] Tanglc-Glf»
. égal à rangle GÏD.
- Pareillement puifque
. [♦ la ligne El? cft
' parallèle à, C D ^

[*1 Ax.ç.gem.

l'angle

GetÉ$etrUl

r«.o POSITION xxxix,

^i Êt9^mtghah fimfmiMf dam U^mmfiriiH^

; (tfmn €mh ^tji^iil tp camfrk fétr dtux lignes

.^tû cwfimt fettê circmjkrenee ^ cafar w$e Ugnê

Îui Im cçufe fi> ^atitri qui la tûueke ; il a f9m
* mefHH U nmtié 40 fM f»^^ cmfm 0itf$

fl> E M O N S T R A T I O^èT.

SI un angle , par «cemplc Anç^ a foti
fommct W foft dams la circonfetençe ci*un
j cercle , & cft formé par deiix lignes v< 5 fie
' 8 C , qui coupent cette çiiton/èirence , de ib^ce
; ^uc le centre fe trouve fur une de ces lignet,
I . ou entre ces mêtnéi lignes , la DeinQa%ati0n
ie la ?ropofition prefen^^ eft relie, Sokiit txie-
nées les lignes DIR êc F G par le centre pa«
ralleleoient aux deux autrçs Ujjnes A M Self Ç
I ëui comprennent cet angle,

r*3 yangle DHÇ^szfH E.Ponc C»J Tare XW?

'VI Tan. i:frop. i;. G;tf#^

Iff '

ni6 Trùtfihnef4rtif.

' AD. Donc^ lic«dcFB, c*dftà4irc de SI
yc:*>rfD-t-GC. Donc rare OGtiteafO H*^*!

•. . t

ferai» moitié «lc,-<)Q..<;«iof^')»n«.««n*=«

\

..«rfiire eeuro ZÏ.G: ce même angk D^Ç==
.,IHC=suiBC 1*1. Doricr*ngk ^BCquia Iça

" &mm«. Jms h: ci»i:<»nKKÇ<f..?«~ "•.."?*'î'
; oKfurc „fçatoir DG. ..c-cft*dirc U ««omé-de

dtiiMKrW'

SECONDE eiRCONSTANCI»
tin angle ptut aToir foii fommct danS l*
^ui conpcnt cette «eew^eresce.de tçU* m»*

tlste qtle le centre . da oeide 11'^ 6k 4mc de$. ;

.1
4iut mener par le point S où le côté le pîiis
pioche dtt centre Jl coupe la cJrcçaferepç e , une ,,
ligne parallèle à l'autre côté ^R de l'anglci&par '
l'autre .poinjc T où cette dcrnicte pen^çle cou-
pera û circonférence , H faùtYs^ cft neceflaire )
xntnet enco* une lipic J v ^j^zWfh an. côti .
-RS àe l'angle le plus proche 4u centre A. ft£^ ,
continuer ainfi alternativement jufqu'à ce que le
centre fe «touvè entre. licuîf de ceç dernières lip.
gnes paiîdlclcs ou fiu une de ces mêmes lignes*

..'? r

;"il eft évident t'VqHcl'à9glfe"2',P;ar, ,par|

■ » ' ' '

qtcmplc,apourfa mefure^^ — ■ rx. Mais Ics^

Zr

[»] arcs rx , ^r , RT , â.^,, &C. font égaux
cntr'eux , & [O tous les angles TVX ^STV y
TSK^èlKS , &c. font égaux cntr'eux, par-
cequ'ils font alternes & entre parallèles. Or ces

['] On le vient de démontrer^
t'] fl^r;. I. Trof* ty G^o*

£e ^

fit Tréîjiimi Fariû.

ângkt ^«ttz $mt 4cf mcfiues égalés. 9mSfae

t^glt Tvk a pMit fa mefiite — TX^Tm^

gfe HfiS qui tel cft égal, aaia aoiE pour ùl

ùac^TXtsi — j^f. Donc Tangk Sr^

a ' . a ^

aiîra pour mefine -^ ^ ^ €• fm'U fMm$ dê^

'TROISIfi'Mfi CIRCONSTANCE

Si on angle, par czcmpleDIf, afimiôauiier
poft dans la ciiCon-
ibrencj^ ^ eft formé
par tine tûacKaiite
2>£' & une autre
ligue £F qui padê
par le centre ^ il eft
eyictent que la me«
fure de cet angle
Z>EF cftC'iîa.moi-
tié de Tare aa de
la demie circonférence JÎGJP comprife en-
tre fes cotez , puifque Tanglec^j I>ïy «ft
droit.

Mais fi un angle , par exemple KST^ék
formé par une ligne KS cpi couche , «c paï
une autre ^ T qui coupe la circonférence , de
iortc que le ecntrc du cercle ne foit pas entre
Jçs côtçz de cet angle , ni fur un de ces cétez 5 il
fiiut mener par le point T la ligne TV paralje-

i.*3 frfff. tt. Ct0.

Géométrie. JtJ

le i la touchante BS. On vient de démontrer que

ranglc STV a pourmcfitfc — SV=,^—ST.

Or Cl l'angle RST, y

=:S TV. Donc P^ t ^

Tangle RST aura X^y^^^^^ **-

pour fa mefîire la ^/^ ^ '

moitié de l'arc 5* T T/K^-- - ••'\V^

compris entre fcs I # J

cotez , ce^Htlfal" y 1

te> defnmtrer, ^^ ^^

Si le centre du ^^— , r-^^

cercle fe rcncontroit entre les côtes de l'angle ,
comme il arrive â Tégard de l'angle TSX
Aont le fommet S eft pofc fur la circonférence ,
6c qui eft formé par une touchante Se une ligne
qui coupe la circonférence , ùl mefûre.lera

— TVS. Car les angles TSX & TSR, pris

enfeoible , font [O égaux â deux droits. Donc
ils ont C^j pour médire la' moitié de la circon^
ference STV ^ c'eft à dire [+3 là moitié àc ST
B4-T»r^ ^mais l'angle RST a dé)apour fa me-

furc — TS. Donc l'angle TSX aura pour fi

«nefiire la moitié du refte qui eft l'arc TV^
compris entre fcs cètei, ce ^$itlf»iUk dmontur.

COROLLAIRE I* !

Donc tous les angles A^C , AUC yAHC^

* C&r. y Trof* is.Gee. [«] Part*j.Pr(f.i}.Céa.
l^lPârt.u Prefu.Gi^ [«] C^, i, |y<f .ao. (Stê*

JJ0 Trolfifme fdrtie.

&c. ( quelque nombre qu'il y ea aie ] qoi
kut pointe ou rommet
4ans une même cir-
conférence de cercle,
ic^ qui fi>nt appujez
ikrun même arc^C
fbnc l*] tous égaux en-
|t'euz i parcequ'ils onc
I* tons la même me-
fiire , fçayoir la moitié
4tt oïkaiit axe A C«

COROLLAIRJB I I.

Noi^fèulement les an^es qui (ont apfiu/es
£u le même arc , & qui ont leur fbmmet dans
Ul même drconierence font égaux CAtr'coK^
mais auifi les an-
gles qui Coïit ap«
Suyez fur des arcs
gauz , & qui ont
leur (bmmet dans
la même circonfé-
rence, font pareil-
Isment égaux en-
tr'cux. Si l'arc A C,

Sar exempk^eft égal
Tare D F 5 Tangle
Ane ajant k»] poar Ùl mefute là mmtié «te
cet arc A.C , & l'angle I> £ F ayant pour miefiire

la moitifde l'arc 2) F ; & puifijue [»1 -^ jf C 5=
--. D F: ces deux angles AMC 8c DEF auront t*l

P ] Cor. u Fnf . ao. G^. C*] fraf* fnf*
V]A,x.x^,gm.

Géométrie. 531

pour mefiirc des aies égaux. Donc ils fallut par»
xcillement ^a«ix cnu'cux,

COROLLAIRE III.

\Jn angle, par exemple^BC ,dontle fbm-
mct 3 clt dans la circonférence d'un cercle , A;
oui eft appuyé fur la moitié de la circonférence
&^cc i*rcle , cft un
angle droit. Parceque
cet angle a LM pour fa
jnefure la moitié de
Varc fur lequel il eft
appuyé , ou qui eft
compris entre les co-
tez , c'eft à dire la moi<«
tié de la demie circon-
ference ^£C. Or la
moitié d'une damie circonférence eft un quart
de circonférence , mefurç [*] d'un aa{|le diroî^
Donc l'angk Al&C Ctiz droite

C O R O L L A I R E 1 Y.

I.%ngle 2>BC qui a (on ibnlmet dant
la circonférence^ & qui eft appuyé fur un arc
plus grand qu'une demie circonterence de cercle
eft obtus. Parceque cet angle comprenant entre
k% cotez un arc D^ £ C plus grand qu'une de-
mie ckconference de cercle, aura pour fa mcfiire

Umoitié de cet aK BA^C. Ort^j—D AMC

a

p> ^ ^I C , cVft i dire que cet angle
\^]Ax^u.g€n^. Ce iiij

2>SCsara pour U mefure un aîc phis gcaiicl
qa*im quart de cercle. Donc ce même angle
DBC fera [' j un angle obtus.

COROLLAIRE V.

Donc Fangic BAC qui a aufli fon fonxmer
pofi dans la circonférence du cercle , & qui
comprend entre Tes cotez Tare B C pli^ périt
qu'une demie circonférence de cercle, fera un.
angle aigu. Parceque cet angle BAC aura,
pour ft mefure un arc plus petit qu'un quart de
circonférence de cercle»

COROLLAIRE VI.

Enfin jfi deux angles, p" exemple -4B C &
AiyC y font appuyez fui: le
même arc , par exem-
ple ^C, &£lerom*
met B d*un , fçavoir
dcl'anglè ^BC, eft
dans le centre d'un
cercle, & le fommei
D ou pointé de l'autre ^ ,^

Mf D C eft dans la cir- """""^O

conférence du même ^

cercle ; il fiiit necefTairement que celui qui &a
pofé dans le centre du cercle , fera double de ce«
lui dont )e fbmmet fera dans la circonférence^
JPirceque l'angle du centre aura £* J pour fâ me-
fure tout l'arc fur lequel il eft appujé , & Tan-
gie dont le ilbfmmet eft dans la circonfecence , si
* pour (à 4ne{ûre feulement la moitid d^cc m&>
0ie arc fur lequel il eft appu/é»

C*3 ,Cor^ y jPf^.'zo« <»«#•

l^yWrp^^^é^ <SfK

Gennetrie. 3J|

COHOLLAIRB VII.

On peut tirer de la propofition {urefcnte vaut
mcthcKfe pour mener une ligne perpendicula^
Kmenc à une autre ligne par on point pris dan»
autre ligne.

ii. ,,.« . »

t)

Soit par exemple

le point A , citrê-

snité de U ligne

JET , par Icqucl'iî-

faille mener une

ligne pcrpendicu^

laire à cette ligne

jlT. Il faut mettre

un pied du compas

dans ce point don-
né ^ » & Tautre
pied du compas

dans un autre point pris à yolontê hctrs la Ugoc
donnée ^F, par exemple en C. Enfuite. de
rintervale C u4 on décrira une circonfesencedtf

cercle ^B Z>£, dé forte qu'elle coupe la li^
dbmiée AT dans les points ^ &B. Par ce point
B & par le centr: C^ti mènera la ligne droite
B C qui coupera la circonférence au point H.
par ce point E & par le point donné A on me^
tiera la ligne ^£ : je dis que cette AZ efl U
perpendiculaire qu'on ckerdioit.

Car la ligne B £ paflânt par le centre C eft .
un diamètre du cercle, & partant l'angle hAZ
fifra * ajppujé (iir une demie circonférence , dont
1*3 il aura la moitié pour mefure. Donc cet.
angle B^£ fera (*) droit. Donc >] la ligne

* C^. f.Pfif. i^.Ceê. C'3 C^. 5. Pffff.ffif

5J4 Troifiiint Pdràie.

AIE, fer* ocrpciidkulaire a A:f. ÇçftJij Çord*
' ' prefenc dont j'ai fait mention à la fin da
laiic a de la Piopofition ^^ de cette Geo-

Oorollaiie

COROLLAIRE VII I.

On a enfeigné L*] une mahode pour meaer one
Couchante à une
circonferen-
ce de cercle
par un point
donné dans
cette ciccon-
lèrence.Mais
fi'^le point
doinhé' eft
Jbors du cer-
cle, oh tifera
de la Propo-
Sxlati pre*
feitte une

metliode pour mener une touchante â lacircon-'
foence de ce cercle. Soit par exemple le point
donné D hors la circonférence yl B C , &; c]ue
par ce point il faille miener une touchante à la.
€irconferejv:e ABC. Du point donné D on mè-
nera au centre £ du cercle donné la ligne droite
Z) E, Enfiiite on prendra cette ligne I> E pour un •
diamètre , en décrivant de Ion milieu F , & de ,
rûitervale F E ou F JD la circonférence B E Ç D.
Enfin du point D au point B ou C où cefte àtu
niere circoiifercnçe coupe la première, on mè-
nera la ligne DE ou Z> C : je dis qu*au lieu

• t*3 C^..4.Frtfjf.u. G##. _

fSeometrit. m

ï*aiie ttodc^antc menée du point donné D à 1»
ch'cftiiference donnée JfG^, on en a deux, (çs*--
▼oir DB & DC, Car après avoir inené aux points
^ecC les fayonTÏB & EC , on çonnottra ['] que
les angles. J>BE & DCE foutdcs angles droits f
puifque cfiàctHi de ces angles eft appgyé for une
hernie circonférence JECb ou EBI>, Ces lignes D5
«u DC font doiîrf^J'Jcs toachaïttcs çhotciiées»

• . » - - • » • ^•- " . • •

^- J ■ 1-^^— — _ « t • r . ^^ _ ^^. , ■«■ lu'it ^ f

• • . , te

L ' ■ ' ■

y?ROP:qiStTION XXYIIU

*t>» 4;^^/e ^<?»/ le Commet eft pofé entre h centre ^.
Sa tîftènfertnèi dm .eàrie , a fner fa mefure /^
' fnortii i^ii^fmmtfatHJe l*arc fur lequel H $jh,
' ^ff^y^ > é^dei'are fur U^l eft •affuyé U»gh
' ^fofé farAefsfàmit* ^ :

1^ EWO N' S T. KA r i O N?.

I^Oh l'angle i-4BC :deîît le fomn^et B foir .poffe
[Centre lecèiitce âr rlàcirconferenoe du CQtclc
jiC JStE : je dis que cet angle' ^£C a pour fit
jnefbre laîmdicié de lar(bnune faite dos atcs wfCl
fiir Iccjuci il eft appdyé, & E27 fur lequel eu ap«>
puyé celui qui lui cû oppofc au feninict. Pour.
le démontrer (bient prolongées les lignes jiB to
CB qoi connprennent.cctangle^ jafqu'à la ren-
«wiisc^dc kf citcon(erea]Qe>en JJk&i en E, Enfuiio
^•un de CCS points D ou È foit menée une ligne
3EF qui coupe la circonférence , Se qui foit paral-
lèle a un des côcez ÈA^oxxBC iôranglc, Alott.

I*] Civir 3. Pf^. ^ri/: >iiji? 5^î.

£1 JK*ft. J. di%fr9t. tt- ^^*« l'^If l^«*.

•v

$|f Tr^fiiwn Parties

Fangl» F£C t ('} pour fa oicfiue la sncAué'AL

l'angle tEC aura pour Ci mefare la moitié de^
AC -k^m. L'angle KEC x»^ac [»]. L!anglc
<^BC aara donc aiiSi pouf fk mefare la moitié de

L'anf le AVE <m [*}ibii%al Ci^^ awa ao/É
pour la mcfbre la moitié de la fbnunià des a^cs
JpE'^Cp^ Caip] les at)gksyAC&jtf£fQne
égaux à deax angles droits. La narfuie de ces
deux- angles jpris enfanble , eft donc la moitié:
de la ciitooteretice de cercle ACimS. Qi f^] l^
moitié de cette cinronference eft la moitié des.
ires jfC', Cl^^ M; ic É9A qui la comp»fenC«
I5 viens de csottrer que Tangle .ifAfi^adé^-poQir
M mefare la oioltié de la finnme des^ires idlC Hp^
IBJ>4 tfangfe CSp- a donc poér fa nacfiisc 1»^
moitié dti refte, c*éft ârdivr la moàriéde CD iulL
leqaeJ it eft appuyé, êe de Tare ERd fur kqvcl^
tA appajé l'angle qni eft oppofé parlefiMttme^

En gênera) toot at^^, parexempk ^^C;
dvat le fommet JUA^pt^rcnoû k «fiatce^L lik

M Cor. z. Prof, ij, Qe^.f. tîj% •

* '♦j Patrr I. Pr^, 14. de. p. ji^
f ♦] Fsrt. I. Pnf^ii^ ^. jf» j^ ^ .
(*] Piir^ i.Pivp. u. G^«, |r. 5ofe .

M

t

;. À

\

^tàfciontt^itcc d*im cercle ,. foir que a centre hM
^trè les cScez ou mm ^ a donc pour ùl inefiire
ià moitié de la (bmme fixité de l'atc JiC fiur Ucpktk
Il cft appujé ^t de ï\rrc El> fe lequel eft appuyé
Fkngle £BZ>oppofi& au precedentpaz k fbnuàcK»
€«# gfâ*4l faSiûit dimmtHr%.

QgânJ' les c6t€2 d*un ançle rçôiligne reocjo»'
"~* une cârconfcrence de cercle ^ le fotnvoSk

^ cet angle peut te:e en 4,prîncîpafc$ pofltionil
l^fis Tenons-de ▼«iix quel âii dç cet citconfe^
ience on doir prendte ^ premièrement pour êtr<j
la ttiefure de Tangle qui a fon (bmulct po(? dajQt
It eencre ditccrclç f"J^ î%con4^ent^ pour être
Itt tncfûrede celui qui a fon fommér pofé danl
1b ciiconfetençc f*^^ troifîimcm^nt*^ pour *ife ïi
macCure de cejûi qura fon femmet pt^ft entre lé
<itt\tTc ai k circonférence t^î. îl tefte encore ï^
"i^ontrer quelle eft Jamcfurc^ cet anjte knù-

Îû'il à fon foKimet -jpùlc liois d^un cercle ^ ce qu^
s-a dererminé ividcannent .danç ta Mopc^tioa*

'^•' •'' Il I II ..Il

4

^R O PO S ï t^ï b Û "XXJX

i ^fifn éiêfx citeTrnncmmmt ù €immfif§$Hm^
, ' de^ u cerdt^^ fa 0t^uf^ fera la mêîHé de tê^f^^
c i^n^. Pmi. cômprh mtr$ fis cin^^ fins à^fnà

mimes citiz&f^m fr^i de ftfn fammet.
*• Z^qi^^ilya^f^ifj^mptm^i affsif&zfufUmhté
«r^> cdm qni a fmfe$nmkfffé euên^U €àftf^

•t] Trvfi to. <?».■ f»gt jor,-. . ;

« «<

. ^ U circonférence iff ftus^gr^ni que ctïm qtà k
' finifmm^ifcfi fur U circonférence l e$* celui qui
'. -àfon [omm&t fofé fur In circonférence , ^fi flû$

jrànd que celui qui s. pn fommet fofé hors h

cercle.,

DEMOK&TRAT lOH

Dl lA PHEMliRE FA&ItlB»^

S Oit Voxi^tA'BV' donc le femmet B câ pofi
hors le cercle AGD CO y. &. donc ïqs deuic
t'ôcez toachcrïr^ ou coupènc Ta (^conférence dç
ce cercle^oa enfin dont un c6cé la touche & l'autre
la coupe : jç dis que la mefure de Tangle ABB
êft la moitié de l'excès doncTàir .^Hi> xompris
entre les cotez ^A &L B^Û fut^aiûte Tare OQ
compris entre ces mêmes côtçz ^ & qui eft le
pjus proche du ibmmet £. Pour le démontrer»
u faut mener par un^es poif^rs ou les cètez de
Panglê ABI> rencontrent cette circonierence ,
par exemple pat, le point C , la ligne € G pa-^
rallck i l'autre côté B-^. Si de l'arc AGHJ>
|e retranche Tare AG \=z OC p]\ je trouver^
ty^pic rare GH2> eft l'excès dont cft atcAGHI>
lurpaâè r^rC'OC» Mai«^ la ^moicté de x^ arc
•G H d^ cft ['] la mefure de l'angic G C D , ou de
ÇCP fi BD eft. touchante, & [♦] Pangle ÙCH
aszABD, L'angle 4BJ? a. (kinc auflî poopfa
«lefurc la moitié de l'arc GfiD^ c'^eftàdire la
^oitié de l'excès donc l'arc AGJ> ûirpaâe l'arc:
^C ^MV^i^f^^^htiemoniref. , A\

. jf*] Cor^ a. ou^^, Prup, if . Geo.f. t^i^

.inp.éft.él^Ali.p,S9.
V] Prop. 17. Ceo.p.^if.

1

CEkONiSÏRXTlti^

« »

GeometM.

1^9

Gif

DEMONSTRATION

J)E LA S£COND£ PARTI B.

Soient les angles Jl S D ^ AF D Se A'EI^
appuyez fur le même arc -4 G £> ; le fommec -
B de Tanglc A'EB foit pofé entre le centre îf
&: la circonférence AGDF -^ le fommet F d?
l*angle ^AFD pofé fur la circonférence même,
& le fommet B de Tangle A Bl> pofê hors ie

Ff ij

34^ Trâifi/me Pdnlfl

•ucle : je dis 1® que l'angle AUD tlk phs
grand que ^FD^a^ que cet angle ATDcHt
plos grand que ABJ>, Pour le démontrer (oient
prolongez les cotez ^ £ de D £ de l'angle ^ £ 2>
jafqn'aoz points X & Af oà ils rencontrent Ja
circonférence. L'ançlc ^£ D a * pour Ùl me-
fiireia moitié de l'arc AGHD 6c encore k
nnoitié de l'arc XAf. L'angle ^FD a C'J pour
6l nf^efîire feulement la moitié de l'arc ACHD.
Donc L^. l'angle AED cA plus grand que l'aiv-
gfe ATD. Or l'angle AFD qui a pour &
mefure la moitié de l'arc AGHD eft plus
grand que Tangle ABD y qui a feulement pour
la mesure ' la moitié de l'arc GH2> partie de
l'arc AGH Di Bc partant l'angle ATlf^ASO.
Donc [♦] enfin l'angle A'EI}^ AIp^
AhD y ce quil fsUoit demontnu

, COROLLAIRE L

D'an point pris hors d'un cercle- on ne perf ■
mener que deux touchantes à ce cercle. Car du
point B , par exemple , pris hors le cercle
TDCB après avoir mené kî deux touchantes
ne 6c BT y û on en pouvoit mener une 3* , il
^udroit la mener d'une part ou d'autre de la
ligne A^yOïx vers F ou vers C : fi on la pou-
voit njener vers C , il faudroit encore ncccffai-
rement la mener de part ou d'autre , par exem-
ple en £ ou cnD. Or la ligne BB ne peut être
touchante , ni la ligne B D. Car après avoir me*
né les rayons AB 6c AD , cette ligne BB fut

* Prop. xS. Geo. [»] Prof. 17. Geo.

tM Cor. X. Préf. lo. G0O. [f3 Part* vProf.frof.

Ge&mitrîen 341

♦arèc le éàyon A'B Tanglc aigu BE^, gui
eft appuyé fur l'arc ^F£ , & la ligne BD tait t
arec le rayon A D Faaglc BDA obtus , étant ,
plus grand que l'angle droit SCA, Or &
ces lignes écodent touchantes ^ elles feroienr
[' J arec le fayon mené du centre à leurs points ;
d'attouchement , des angles droits. Donc ces

lignes ne font point touchantes. On fera Je mê-
me raifonncmcnt à Tégàrd de toutes les autres-
lignes droites menées du point J8 à la circonfé-
rence FDCE, Ne pouvant donc mcrier dé
ce point B trois touchantes a cette circoiifcrcn-
ce , à plus fonc raifon on n'en pourra pas me-
ner 4 ou f , paif<jue ces nombres renferment le
noDobie }.

COROLLAIREI I,

D'un même point pris hors d'un cercle , Icai
^eux touchantes qu*on pe\it L^l mener de çq

V2Prop. 11. Geo,
i^XCor.uFrûf.fref»

-j 4 1 Troi fi/mi PdHie.

point à ce cercle feront égales entr'elks. Soicnf
ks deux touchantes HL ôl HM menées du
point H i la circonférence PML : je dis cm'el-
ks font égales entr'elles. La ligne menée de ce
point H au centre G de ia çiiconferencc FMI
cil perpendiculaire au milieu de la ligne LM»

Car les rayons N X & N Af, égaux entfeitt,foiir
menez du point N centre de la cirçonfercnct
MHLaut extrémité! X & Af de la ligne LM ,
qui font aufB cxirêmitez des touchantes -^j^*
H Af . Pareillement les rayons G i ôc G Af font
égaux cntr'eux , étant menez du centre G de
la circonférence MLP aux mêmes cxtrêmi-
t^z r & Af de la ligne LM. La ligne HG aura
donc le point N & le point G également diftans
des extrémitez L 8c Af de la hgne LM. D«nc
H G fera * perpendiculaire au milieu de LM,
Donc le point H fera (^) àuflî également difVam
de$ mêmes points L Se Af. i)onc les touckamss
H L 6c H M feront égaki entr'cUes.

* Prop, f . Gea»
(') Prof. j. Gi0*

Ctpmetrii. 34}

COROLLAIRE III.

XTne ligne menée par le iômmet 4'Bn tn^le
«ompris entre deux lignes qui touchent k cir-
conférence d'un cercle , & par le centre de ce
cctcle , panage cet angle en deux parties éga-
les. Soit l'angle compris entre ks deux too-
dbantes BA & BC :
je dis que la ligne B6
menée par le iommet
2 de cet angle ^ & par
k centre 2> du cercle
jlGCB partacrera l'an-
gle ABC ta deux par-
ties égales , c'eft à dire
que l'angle ABGssi
QSC. Car les tou-
chantes BA & BC font
* égales entr'clles. Les
lignes DA8c VC font
{^) au(& égales entr'el-
kf. Donc la ligne BG
% deux de (es points B Se D q\d Cont également,
diftans des points extrêmes ^ âc C de la lijgne
A C. Dbnc l*) cène ligne fi G eft perpendicu-!

parues

l'angle ABG sl(*) pour (à mefure U moitié de
l'excès dont l'arc Al? G TurpaSè l'arc AB , èr
Tan^ GBC a pour ià mefure la moitié de.

* C^. a. Bfêf.pgf^ (») C^. 1. rfe/. x^. Ce$.
(*) JPr^'f • y- Gto. (ï) p^rr, a. Pw;^. 14, Gê9>

^44 Troijl/me Tdrtie.

l'excès dont Tare GHC furpaflc l'arc tC.
Puifqac -iE'srEC^&quc ^FG=:Gfl'C, ces
deux excès font * égaux ^ntr*çux. Donc les mc-
fures àcs angies ABG 8i GB€ font égales
entr*clles. Donc (') l'angle ABC cft partagé en
deux parties égales par la ligne B G qui paflè
par le fommet B 8c par le centré B,

On pourrôit enCote démontrer la mèm€ cbo*
Ce d'une autre manière. 'Car après avoir mené-
les rayons GL êc G M aine points d'attouche-
ment {*) , on trouve que les arcs GRL êc
GO if de la circonférence MHLG font fou-
tenus par des cordes égales G L 8c G M. Donc
les angles LHG 8c GHM ayant leur ibmmet
H dans la circonférence , èc étant appuyez fur
des arcs égaux de la même circonfetence , font

a égaux entr'etix. Donc enfin Fanglé LHM
partagé en deux paftics égales par la hf
gnc H G.

COROLLAIRE IV^

Réciproquement fi ufte ligne menée pAi le
Amnxet . d'un angle totnpris entre deux cou-
diailtes de circonicçence de cercle partage cet
aftgle en deux parties égales , elle pafTera paf
lé centre de ce cercle. Soit l'angle ABC cûi^-
jfris entre les deux touchantes BA 8c BC z je
<iis que fi la ligne B G panafgè cti deux partie^
^ales cet angle A BC , elle paflTefa par le centre
& cercle ^ G C E. Car puifque (♦) l'angle ABG
&GB C y les mefures de ces deux angles feront

* jix» u. gènerd, CYCor* %» Trop, lo. Geo*
i *i Tig. du Cofidi. î. de U Frof, fref,
ViCar.z.Jhrof.z'j^Giffi i^) Si^fàfit.

égales «nrr'dkç. Et alors fi , d'une ouTcrtiiè

Â^ cotppas égale i BA & du fommec B prit

pour pentre , on dccnt un arc de cercle i puiiqu^

X*] If s touchantes BA

jpcBC fom^ales cn-

tr'elles , cet ^rc de cer-

jcle paflcr^' [.»] par le

point C enriipiité de

la touchante ^ CJ^'arc

uf Z? fer^ donc f » J "égal

à ÙÇ. U ligne ^i>,

ou #G^ fera donc [♦]

perpendiculaire à la

corde ^C îoiicendan^.

té dç Tare ADC Sô.

de râlrc.-rfEÇ, 06nc

Î^^j cette ligue i G pah
era par le> centre du cercle 4GC^.

Ç O R O ^ t JV I R E y,

Si de deux points, par exphple A te B, on
mené deux lignés qui concourent en un point
e , & il de ces deux mêmes points^ & B on
mené encore dans le môme plan plufîeurs ligncf
aroites^D,BDi ^E, 5Ei^,F, BV ,9cc.
qui concourent en difFerens points D , E, F, ver|

f

^] Cet. x,:Prgf^ Trtf.
[♦î Part. ;. Prâf. 14. Geo. ,

lit Trvijtimt f'i^nîe,

-le oar exemple -fT B , dont le fommw fet»

Sôs'pfÉsdTuiignc droire «ju-on pw mena

5u point ^« P"*^

S, feia plus grand C

q«l-.ngle-*Eiiqu.

en eft plw éJo'P»*.:

car fi par ' le» tfoia

points**, EA* P'^

^ [T paffer 1» or-r

conférence de «"de

XHSE , on tiou«ra

PlHwrangle-^FB

eolïtnirc le centrt &

il cit»nfiax»»ce eft

plus gr»d que l'an-

cle^EJiScquel'Mi-

|k ^Efl eft plus

grand que l'an jle Ap B. .On tr«iKra de bi

même manière q«c rangte ^ O P eft plfu grand

tiBe Vftn^li ACB, en.faifanc paffer pack» mû

poinis A, I> , B «me «uirc circonfprcnpe i <c

Jonfi des autres angles quclqjK nombre qu'il I

ou ait.

iî

-je*»'. v'^'f'J- *'*•-■

Geometnt. ' j4?7

îh^S -Q» «^ ^" «^ H^'' "0* ''0'* "^l* "fr ''î'* "V "fr "O* "^

C H A P I T R E I I.

DES SURFACES.

EÀ . • • T

N T IL I' le^ proprietez des furfaces ^ je
confidereiai d'abord celles dés furiaces gla-
nes , & je i\e flnca^ attention qu'à ce qui
$'y rencontre de plus neceflkire pour s^inftnure
des principales projpçfitions des preniiers éle-
i3Ciens de Géométrie.. Ënfaite dan^- le chapitre
troi/îéme j'enfeign^rai la manière dont on peut
connôkre la gra^^eor dei furfaces tylihdriqutfs
& fpheriqoes. :

Mais puifqa^QA lediitf c» mangles une fuf^

face' plane tefpiince par plus de trois lignes

droites , en 7 prenant un point à volonté, ^ 4c

ce point menant des lignes droites à tous IcH

angles de cette fui&ce s i\ eft évident que le

xris^ngle efk la fiurfate plane reôiîigne la pluiB

iimple de. toutes. C'efl pour cela que dans ht

xccnerche de ce qu*il y a de plus élémentaire

dans l'étude des proprietez qui conviennent aux

furfaces planes , nous commencerons par le^

fmi^les, ^ ;:

I
1 .

m^^

)4^ Tfifiimi Témii.

PROPOSITION XZ3C

#f m frdmg^ Ml dpi Jttm irijmgle teâHiffu,
tém^ extmemrfêrM i^Ml smx deux mfifkmi
^fêfil^frmtitfemUê.

DBMONST&|TION.
bit le triangle ceâilîgne ABC donc m

S Oit le tnangle ceâiIigne ABC donc m
pxolongeca on côté ^ pac exemple'^ C ; je
disqneiaii- ^

fieurlCO 1^ X

cft^ aux
éatx tnter

■

noirs oppo-

fszAUB^

«ris cn&m-

blct Pour le

Remontrer, parle point C toit * menée la ligne

CE parallck à 4 3. Il eft /Érideni »* que 1-an-

rk ABC = BCE^ & [«j que l'angle ECD

srQ^C. Or l'angle BCD=BCE-f-ECD5

afilieûde BCE-^^CD, on peut prendre es

quiy eftcgal, fyyQu AhC'^hAC. Donc

fangk extcrieuf hCD=ABC^^BAa.(ê^

* C^r. 4. Prfl^. If. PU Cor. Tt^. xyGiê.
*» Piirf. I. Pr«f . 15. Gêê.

CpXOLLAIUSr

Gcometrie, . J4J

COROLLAIRE.

Ajant prolongé un côté pris à volonté d'iia
triangle , Tangle extérieur , par exemple BCV^
forme par ce moyen , fera * pUis graix m u-
cun des intérieurs A èc^ .çppofez , puii^a'il
fera ['] égal à la &mme d^s ajigles ^ & fi qui
en feront les pa^tiçs^

PROPOSITION XX Xï.

t€S trois angles de chaque triangle reBiligne ^ ffk
€nfemble , ^[ont égaux à deux angles droits*

DEMONSTRATION.

S Oit un: triangle redilignc pris à volonté, par
exemple ACB : je dis que fcs trois angles

pris édemble A^Cmt-BAQp^BCA iont

égaux à deur

angles droits. B

pour le démon- ^^

trçr foit prolon-
i çé un côté pris

I a volonté ^ . par x— — «—— — >jw««w
i exemple AC. ^ V 1#

I L'angle extérieur B CD =-rfBC-f.B ^C [*J*
Donc en ajoutant de part & d'autre Tangle
^CB, on aura[îj BCD^^CB =-450-4*
IRAC^ACB. Or i^] les angles BCD àc

\^ "^ Ax.ugen. VjProp.fref.

\ [*] Trof, \o.Geo, [^ : Ax* 4. ^^em,

i M ^art.u PraP. u. Geo^

r.nrt

jjo Troijieme Partie.

ACB pris cnfcmble font égaux â deux droits.
Donc ** la fonimc des trois angles ABC^
BAC , & ACB du triangle ABC eft égalez
deux angles droits, é€qutlfallûit dmmtrer,

COROLLAIRE I,

Si un des angles d'un triangle eft droit , le»
deux autres angles pris enfcinbk feront égaux
a un droit. Car tous ces trois anglet pris en-
femblc ne font [*J égaux précifément qu'à deux

droits. . ^

Et réciproquement fi un des angles d'an

triangle eft égal aux deux autres , cet angle eft

droit 5 parcequ'alors il fera égal à U moitié k

total de ces trois angles , lequel total ou fommc

f ft ['] k vttleur dç deux angles droits.

COROLLAIRE II.

Chacun des trois angles A ^ B , C du trian-
gle ABC peut être aigu j mais il ne pcôr f
en avoir qu'un droit ou un obtus, Parccqu'à
ne peur y en avoir deux droits ou deux obtus , w
un droit & un obtus. Car C\ deux angles droio
ou deux obtus , ou un droit & un obtus poa-
voient être dans un même triangle , ils feroicnt
avec le f angle une grandeur plus grani
que deux angles droits, ce qui eft contre là
Vérité de la PropoCtion prefeiite,^ Et psirtanl
lorfque dans un triaàiglc redilirnc il fe rencon-
tre un angle droit,oU un angle oo((is > chaciinda
imx autres doit être aigu,

* Dentande i, f e».
i'I Prof, f réf.

Geêmetne» jji

COROLLAIRE III.

La. fomme des trois anglçjs d'un triangle rec-
tiligne pris à yolonté , eft égale à laibmme des
trois angles d'un autre triangle rédiligne. Puit
que la. fomme des trois angles d'un de cestrian-

?;les eft * égale à deux angles droits , & que la
emme des trois ûnzlcs de l'autre triangle eft
anfH égale i la même grandeur qui eu deux
angles droits,

COROLLAIREIV,

Si deux angles , par exemple A 8c C d*an

triangle ABC ( pris cnftmble ou feparé-

ment ) font égaux aux deux angles D 6c F d'un

autre triangle DEFy

pris enfemble ou

leparémcnt 5 le j*

angle reftant B d'uii

de ces triangles

ABC fera égal au

f angle reftant £

de l'autre triangle

DE F, Parceque
[*] la fomme des
I trois angles A^B^C
d'un triangle ABC étant égale à la fomme àcs
trois angles Z> , E , & F de l'autre j fi on ôtc
d'une part la fonune ^ -+• C faite des angles
^ & C , & fi on ôte de l'autre part la fomme
M'^F faite des autres angles D & F j on

* Prff . fref.

[;] Cor, 5. VrpÇ, puf.

I •

J54 Troïftime f ortie.

N EA ed égale à quatre angles droits ; parce<^
que les angles intérieurs avec les angles exté-
rieurs valent * autant de fois deux angles droits
qu*il 7 a d'angles ou de cotez à cette furface
reûiligne. Or ** la fonfme des angles intérieurs
eft égale à autant de fois deux angles droits
moins quatre qu'il y a d'angles ou de cotez i
cette même furface. Donc la fomme des angles
extérieurs G-rfB-f- H BC ^ &c. eft égak à ces
quatre angles droits.

COROLLAIRE I.

Il fuit de la première panie de la Propofîtiœl
prcfente que toutes les furfa ces planes redilign»
qui auront un pareil nombre de cotez , aaront
le méthe nombre d'angles droits pour la valau;
de la Ibmme de leurs angles intérieurs.

COROLLAIRE Ih

Il fuit de la. féconde panie delà Propc^tion
prefente que toutes les furfaces redilignes de
quelque eJTpéce qu'elles foicnt , c'eft à dire , quel
nombre de cotez qu'elles ayent chacune , auront
les fomnies des angles extérieurs égales entr'cl-
les j puiiqae la fomme des angles cxterieaisdt
dhacunc cil égale à quatie angles droits»

♦ Psrt. 1. Pr(f. u. Gc9i
**J^sna.Prtf.fnf.

J

èeomctrie.

355

PROPOSITION XXXIII.

2. l[>edeux coteZfûU detroU côteH^inigAux tntreu:e

stun triangle , le plus grand cité efi ofpofé atê

f lus grand angle.
%, Réciproquement de deux, ou de trois angles iné-*

^afêx entreux d^un triangle , le flfis grand angU

efi ofpofé au flue grand cité.

DEM ON S T R A T I O N

DI LA PREMIERS PARTIS.

S .Oit le triangle hCD dont le côté BZ> eft
plus grand que le côté BC t je dis que l'angle
B C JE> > B Z>C, Car fuppoiint * une circonfc-.
rcnce de cercle dé-

^^.^•"...^^

crite par les fommets

d'es trois angles B,

Cy Di rare BA_D

fera f*j plus grand

que l'arc BEC.

Donc [*] la moitié

de cet atc B ^ D qui

cft ['] lameftre de

l'angle C eft pluj

grande que la moi-

tié de l'arc BEC, qui eft lamefurede Tangle

2>, Donc l'angle C oppofé au plus grand coté

BD fera plus grand que Tangle D oppofé att

plus petit côte BC y ce qu il fallait démontrer.

* Cor,!' Prop. ij. Gâo, [*] Cor. i. Prop. u, Çeo^^
' V]dx^il,ge»i i^} Prop^ ij. Geo.

Cg iiij

}î^ Troifi/me T^nie.

DEMONSTRATION

PI LA SECONDS PARTIE.

Si l'angle C du même triangle BCD eftplai
grand que Tangle D : je dis que le côté B D fera
plus grand que le coté B C. Car * Tangle C
étant plus grand que Tangle D , la moitié de l'arc
l^AD qui eft la mcfure de cet angle C, fera '].
plus grande que la moitié de Tare BEC qui eft
la melure de Tangle D, Donc Tare B^i> double
de fà moitié fera '*j plus grand que l'arc B£C
pareillement double de ia moitié. Donc [,'] le
côté B D fera plus grand que le côté SC, et fêil
frUûit éUmonmr.

mOPOSITION XXXIV.

1. lis cotizf un triangle qui font égaux entr*eux,

font effofeK à des angles fareiUement égaux en-

treux,
%, Reci^oquement les angles d^un triangle qui font

égaux entr'eux , font offofex, à des cote:(JgaHX

enîreuXé

D E M ON S T RATION

D£ LA P&EMIBRE PARTIE.

Soit le trhingle "F Ht y dont les cotez F H &
F L foient égaux entr'eux : j c dis gue les an-
gles H Se L oppofez à ces cotez égaux , font

• ...

* Suffofit. [']-^Ar. u. gêner,

[•] Ax* 14. gêner ^ [ * J Fart, i. Pf 0^. 11. Ge$i

Géométrie. ^^y

î égaux cntr'cux. Pool: le démontrer fuppo^
ions une circonférence de cercle HLM F G dé-,
crite * par le fom-
met des trois an.
glcs H,i;,F.Ileft
confiant ['3 que les
ajfcs FGHScFML
feront aufE égaux
cntr'eux 5 Se que ks
angles H Se L font
t*3 mefurez par la
moitié de ces arcs
VAiL Se FGH^

Donc les angles H Se L feront égaux cntr*eux ,
#tf qHtlfalhit démontrer.

DEMONSTRATION

DS LA SBCOHDI PARTIB,

- Soit le triangle HLF dont les angles H Se L
ioient égaux entr'eux : je dis que les cotez F L
Se F H oppofèz à ces angles égaux , font auflî
égaux entr'eux. Après avoir mené la circonfé-
rence HLM F G par les fom mets des 5 angles
de ce triangle j on trouve que pui(que les an-

flcs H SeL (ont [M égaux c«tr*eux^ les moitiez
es arcs > M L^ & F G H , qui en font »] la me^
fure , font auflî ^j égales entr'elles 5 & partant les
arcs F ML Se FGH qui fout doubles de ces
nioitiez , font C^ auflî égaux entr'cux. Donc
tf ^Ics cotez F£ & FH , qui font des cordes ou
*outendantes de ces arcs , font égaux cntr'eux,

i * Cor. z, Prof. j^. Geo. VI Cor.t.Prop.iuÇeo.

! u ^''^^ 17. <^^^. ['] Support.

' \i^^'^*^rop. 10. Geo. l^ljix.6'gen.
^ ^Fart.i.prof.ii.Gea,

]58 Trûifieme Partie.

Ox*cei cAtct F£ & F H* font oppolez aor an^a
égaux H êc L, Donc les angles d*un triangle
ég/Mx entr'euz font oppofèz à cotez égaux , et
^i/llfrOûit démontrer .

COROLLAIRE I.

Il fine de la Demonftration de la premieie
panic de la Propofîtion prefeme y qu*un triangle
équilateral a tous fes angles égaux entr'eux ,
c'cft à dire qu*il eft équiangle. Car û on fûppofe
une circonférence de cercle menée par les fom^
mets des trois angles d*un triangle équilateral,
les côcez de ce triangle feront (bûteudantes
d*arcs égaux entr*eux , dont les moitiez feront
* mcfiixes des angles oppofez.

COROLLAIRE IL

U fuit encore de la Demonftration de cette pie-
jniere panie, qu'un triangle Ifofcele , c'eft à di-
re ** , qui a deux cotez égaux entr'eux , a Ici '
angles oppofez à ces cotez égaux entr'eux.

COROLLAIRE III.

Il fuit pareillement de la Demonftration de j
la 1^ panie de la Proportion prefeme , que
lorfque les 3 angles d'un triangle (ont égaux
entr'eux , c'cft a dire , que lorfqu'un triangle cft
équiangle , il eft équilateral , ou que ce triangle
a tous ces oôtez égaux entr'eux, Puifqu'ayanc
Pi décrit une circonférence de cercle par les
fommets de ces trois ' angles , ies cotez de ce
triangle feront cordes ou foûtendantes d'oics
égaux.

♦ Pr»f> 17. Geû. ** Déf. 40. Gen,

['J Car, a. Prof, 13. Gr#.

Géométrie. %%^

C O R O L L A I R B I V.

Il (uit enfin de la Demonftration de la a>*
paccie de la Propofition prefentc , que lorfque
lêulement deux angles d*un triangle iont égaux
jrntf'cux , ce triangle cft ifoifcefe', c'cft à dire ,
' ;^ qu'il a les deux côcez oppofèt à ces deux an*-
gles , égaux cntr'eux.

COROLLAIRE V.

' -* £ntre les ufages d&la.nropo£tionprefènte, j'en
propoferai un pour mcmrer irne diflance acceffi-
blc feulement par une- de £qs extrémités. Mais
auparavant , il efl neeeffaire de' faire attention à

^ la manière de déterminer une ligne droite iiir ie
terrain.

Pour tracer dans la Campagne uiie ligne droite
du point B au point C , à chacune des deux ex-
trémités £ & C , il faut ficher dans la terre un
picquet ou bâton j enfuite il faut fe mettre un peu
éloigné d*une des extrémités de cette ligne , par
exemple en ^ , & regarder le bâton planté en J5,
de telle forte que ce même bâton couvre à la yûc

• & empêche d'appercevoir le bâton CD. Alors
on fera planter ou ficher en terre , d*efpace ea
cfpace , d'autres bâtons E , F &c. de forte que
•regardant le bâton B en fe tournant vers C I> ,
il arrive que ce m^me bacon B couvre à la vue
ies autres bâtons JE^ F &c. La ligne BZ¥C
fera une ligne droite 5 parceque nous jugeons i
la vue qu'une ligne eft droite , lorfqu'en la re-
gardant par un bout félon fa longueur, on
n'apperçoit aucun de fes point)5 s'écarter à

* P<f/. 40. Gee.

Ge9m€tne. % €x

fSc Canx coté N O étant dirigé félon la longueur
de la. ligne droite XjAf, en regardant le long
du côté OPy on puifTe appercevoir le point!,
Alors on connoitra la diuance G O qui fera la
inèmc que G / j & lorfqu'on mefurera G O, c'eft
,& même chofè que fi oa mefuroic Gl, Parceque
.ans le triangle Ifofcelc fOK l'angle ^NO
tant * droit, l'angle N OF Cctz [*J un demi
gle droit. £t dans le triangle COI l'angle
G O eft droit , & l'angle GOI étant égal à la
oitié d'un droit , on aura [*] GIO aum égal
un demi droit. Donc [*] GOz=:GI.
On peut fiir le même principe connoitre la
tnefxire de la hauteur d'une tour i^.S', ou d'un
axbre fans y monter. Pour cela il faut conftruire
un triangle re^angle Ifoiceie TVX , & attacher
fon côté T r fur un bâton pour le fupporcer. Au
point X il faut attacher un filet , & à fbn ex-
. trêmité un plomb. On éloignera ce triangle , ou
on l'approchera de latoiir lt<9Jufqu'à ce qu'ayant
fiché en terre le bâton qui le (upporte , & regar-
dant le long du côté T X , on puifTe appercevoir
l'extrémité S, Alors fans remuer le triangle TVX^
ovL regardera par le point X le long de ce côté ,
X r , & on marquera le point T od fe termine
le rayon vifuel X T T : Je dis que la longueur
X R efl égale à la hauteur K S qu'on cherche. Car
la ligi^^ ^ plomb X Z eft perpendiculaire a la Xi-*
crne horizontale tK qui eft fur la furface de la ter-
rcReciproquement cette ligne rileft[*] perpen-
diculaire à XZ 5 nuis la ligne TV eft * aufli per-.

[*] Vraf. 31. Gt9' CO FarP.z. Prcf.pref.
VlC9r,i^FraP,j,G09f

Hh

l^t Troïfiéme fârtie.

pcndiculaire à XZ. Donc TK & TZ font * pa^
jralkles. Or l'angle X r P^ cft Cl égal i la moi-
tié d'un droit & [' ] l'angle X T K= .9 r R. Dans
le triangle T il 5* , l*«*îglc SXK fera donc égal
à la moitié d'un droit. Donc auffi l'angle 1CSK
fera L'] aufC égal à la moitié d'un droit j car oa
fuppofe que l'angle ^KT eft droit. Donc {']!»
ibstutcur KS ç^ égale à la diftance X K <ju'oi i
peut meûircr facilement.

PROPOSITION XXXV,

|[<^^ Dei^ fiuTLpk fefMtmmt fun triangle it/mt
.€gaHX aux dm* Cfftix, Sfêfifris fefaréwent^im
Autre triangle , fi t angle. cùmfris far deux de ca
.€^te:(^ ^un As ces triangles efi égal à fanglf ,
xomfrie far deux de fies mêmes citez, de Taittrt
triangle'» la bafe de ^Mufera égale .0 la iafeè
Vautre»

|L^. Peux cfltez prM fffaréfuent dl4tn triangk km
égaux aux deux c^tez, auffi pris fefarémeut i»
jtutre triangle , fi V angle cemfris far deux à^
xes C9te:(jtun de ces triangles efi flue grand jue
r angle cempris far jdeux de ces mêmes eite:(^ ils
i autre ; le triangle qui aura ce flus grâni
angle aura une bafig flus grande que telle k
Vat^t triangle.

î>£MÔNSTRATION

•DE XA PlLâtflEILfi PJiRTIS.

Soient les deux triangles ABC êc DET tàs
que ie côté £F du triangle I?£J foit %4

•

* Partez» Trof. if. Gcq.

1*] Vrcf. 51, Geo. & Car. 2. Prep.fref, ,

t^lifaft^X. Irof' xj^.Géû. W J^art. ^. Pref.fref.

atr céfiéAC du triangle ABC ^ & que le côté
JDJEF

foit égal au côté A B , enfin que l'angle
? foit égal à- l'angle G ^B : Je disque k

coté' F IS* oppoût â cet a'ngfc D E jP^ erf égal
au côté CB oppoCé kyângicCAB. Pour le de-
laoj^trcr, conuderohs le triangle DET appliqua
en H AC y de forte que le côté E^ foit pofé
fur le pôfé AC s- crt appliquant lé point E
fur le point A, le point F tombera fiir le point Ù
àcaufc de l'égalit* fffppofée, Êe côté AH fera Itf
même que le côté MD. Du poinr ^ coftime cen-
tre^ & de la diftance deAH^ on décrira uùe.cir-
conférence de cercle RGB ^ qui paiîèrà par rex-
ttêmité B.du côté de uf B j car ['] A H±=iAB\

Puifque [*] l'angle DE F, ou fonégal H AC^

cft égal à langle ÇAB y leurs mefutes qui font-

[*] les arcs HLSc'ÈL y feront cgaleS ehtr'elies.

Or en rare tHG^^LBG. Donc ô tant d'un*

i ttirt Tare £H',,& dé Fautre Tare 2iE', il réftcra'

P] l'atc ^ fe =sBG • Se partant les fighes CIT

\ & CB éeant menées du point C pris hors le

* centre A du Sertie, à la circonférence, fc ter-

1

\^ Cor, ;* Ff^. 14^ "fe^^. [♦] Ax. ^, ge»,

Hh 1;

^

3^4 Trôîjlime PdrtU.

mineront aux points H & B également diftanf
àxL point G ou le termine la ligne C G , qui paA'
par le centre A. Donc ['] C H = C B. Oans Ics^
triangles D E F & C -4 B , les cotez if C ou DF '
&C B oppofez à angles égaux feront donc égaio:
cntr*eQx , ce qu'il fiUloit demmtnr.

DEMONSTRATI ON

Dl LA SECONDE PAUTIE*

Soit le triangle DBF dont le côté E F cft
égal au côté AC d'un autre tringle CAB\
& le côté
ED = -rfB,
Zc Tangle
I>EF eft
plus grand
que l'angle
CAB : je
dis que le

côté FD op-

poie a ce

plus grand

angle D E F

cft plus

grand que

le côté CB

oppofé au plus petit angle. Pour le démontrer

foient appliquez ces deux triangles , comme dans

la première partie delà Proportion prefente,

&foit décrite la circonférence HGBL
PuifqucC^j Tangle DBF ou HACy>CAB\

(k mcfure J] LH eft plus grande que l'arc 11,

['] Cor. I. ?rop, 14. Geo.
1*3 Car. z* Prof* ZQ* Gf^

[*3 SuffûfiP,

" Geififêfrie: . 5^5

mcfure de Tangle CAB. Or Cj 1*arc LUG~LBG.
H^onc en oi^il d'ifoe part Tare 11? , & ôtant de
r^utre Tare L B , il rcftera C* J Tare H G<::^G B -,
&t partant le\ point C étant phshorsle cerclé ,
on aura L^D la ligne C H plus grande <{^e C B ii
c'cft à'dire., s^c dans^im de ces triangles le côté
I> F cjqi eft oppofé au plus grand angle JDEF,
eft plus gtand que le cèté C B , oppofé au plus
petit angle dans rautreitriangte , c^ qu'il fallait'
démontrer ^

c OR oi i AI R E r;.

/ 1

K.^iproqucment/lorfdue deux triangles ont

_ _w j O il

la ba(è de Tun , eft égal à
àTaiigle oppolc à la bafe
de Tautre. Soient par c-
xémple les deûr trïang;le$
A'IBC 6c DBF\ tdirque
le côté As foit égal
attcôtéI>E, & le coté
BC = BF , & enfin la
bafe Ae:=:Df : je dis
qite Tangle ABC^=.DBT.
Car fi rangle ABC écoit
plus grancT, ou plus petit
cfie Tangle DB¥^ on ad-
roit [♦] la bafe A C phis grande ou plus petite que
Dt\ ce qui eft contre la fuppoficion prcfcntc.
Dionx; l'angle ^B C= Z> B F.

C ) Cor, f. Prof- 14. Geû,^ j^* ] Axits. genêt âli
( ^ ) :Cor> 4f Prof. 14^ Gtoi-

/

}éé Trùijtémi Pmîil

COROLLAIR£ I I.

Donc en genetal deux triangles équilaterânr
l'un à l'autre ^ font cquianglet l'un a l'autre de
celle forte que les angles oppoiêz à c6tez égaui^
£>nt égaux entre
eux. Soient ]cs
deux triangles ABC
êc DEF equilate-
laux l'un à l'autre ,
c'eft à dire quie le
côte AB=:DE y
que JBC=:EF ^
que AC^=zDF :
je dis que ïcs an.
gics A Se D ^ par

exemple , qui (ont oppotèz aux cotez égaux
B C & E F ^ font égaux entr'eux. Car [* J les co-
tez AE Se AC étant égaux aux côtés D£&
2> F ^ chacun à chacun , u les angles A ScB n%
toient pas égaux ,, le plus grand de ces an-
gles fèroit [^J oppofé au plus grand côté. Le coté
JBC ne fcroit- donc pas égal au coté FF, ce
qui cdt contre la fuppofixion. On trourera par
le même rationnement que l'angle B:^E^ Se
que l'angle C=^'f. Parcequ'on trouve toûjour»
que ces deux triangles ont deux cotez égaux,cka-^
cun à chacun , & des bafès égales entr'ellcs. £n<
fin deux triangles équilateraux l'un à l'autre font
E^l égaux. Car en les appliquant l'un {urrantté^
de fone qu'on pofe les cotez égaux fur les co^
tez égaux; ces triangles conviendront en toorc

■

VI ^^ofit. [»] Brtf\ fref^fm. K

Géométrie. %€j

«niniere ; c'cft à dire, qu'ils rtt sVxccderont
point Tun l'autre. Parccque autrement les cotez
«le Tuii ne ferpient pas égaux aux cotés de Tau»
tre , chacun à chacun , ce qui eft contre la Tup^
poficion»

COROLLAIRE III.

Réciproquement de deux triangles qui ont
deux cotez égaux Tun a l'autre , celui qui ^ors
la plus grande bafc, aura l'angle compris par ces
deux cotez plus grand que celui qui aura la plut
pe%e bafc. Scient par exemple les -triangles
FGH ScLMS tels que le cote JPG==LM , de
le coté FH=LN , & que la bafe G H foit plus
grande que la bafc M N : je dis que l'angle

OTH'^MLN. Car cet angle GtH ne cent
être que plus grand que l'angle M LN y ou égal
à cet angle AÎf I N , ou plus petit que ce même
angle M L S. Or l'angle GTH ne peut être égat
à Af I N î car il faudroit * que la bafe G H fûs
égale à la bafe Af JN" , ce <jai eft contre la fup-
pofition. Pareillement Tangle GFH ne peut
être plus petit que Tangle M I N j car tO la bafe
G H fcroit plus petite que la bafc Af N » ce qui

^ Fart- u Prof, fref.
l^l Fart, u Prof, tr^.^

j4S\ Troifi^mt Fdffii^

eft encore connse la (iippofitida. DônC; VkAgjLcr

GFH qui eft oppoiê à la plus .grande baie , {en

plus grand que Tangle MLN , quieil <q>p<^ i.

lapluspeùiebaTc...

COROLLAIRE IV.

Pour décrire on triangle qui (bit équilateral,
6|aiangle êc égal a un autre cnangîc donné
jiBC^ Avec un compas on prendra la ligne 2> E
égale iAB.Dfi^ _

point D comme ^. -i— .]£,

centre, 4c de 1 m- A .0^ n *s^^

tcrrallc Z) F éga-
le à^C, ondé"
orira uu arc de
cercle. Du point.
£,. & de rimer-
▼aie £F égale à
BC on déaira
encore un arc de
ccrcle,qui coupe^

ra le premier au point F« Enfuite du point 2) zn*
point F on mènera DP, & du point £ au mc«
me point F on mènera £F : je dis que le trian-
gle i>££ fera iquilateral au triangle ABC ^,
comme il eft cTidcnt ['} ; ce triangle D £ F fera
(*] auifi équiangle av triangle ^ £ Ç | enfin \}\
ces deux triangles feront égaux entre eux..

Oh £t ferviroit de cette méthode fi on vouloit
décrire un triangle qui eut Tes cotez é^mx à trois
lignes donixées,, chacun à chacun* > pouryû que

P] V^f cmfiruHîm^
Y] Car. u Praf.fref,

Geêmetnel ^Sf

àetfx de ces lignes prif» enCavhU l volonté
fullënt * plus grandes que U Ctoifiémc. Car au-
trement les ait^s décrits des deux eTtrËmitez
d'une de CCS lignes, & d'ouveituret de compac.
Cga.les à chacune de»denf autres ,ne poutroienc
pas (è conper , par exemple , au point F,

C'eft ainfi qu'on peut décrire an triangle
éguilaterai fur une ligne , en décrirant des deux:
cxtxèmitu de la ligne ^opofôe deux arcs d'une
ouTemuc de compas- égale à cette ligne ; ce»
deux oztiénlttez fetoient les fommecs de dcar
angles , Se le point d'inteifeâton de ces dcur
arcs fecoit le fbmmet du troifiéme,
■ On fepent lervirdc ce Corollaire, pour dé-
cvire une figure égak , éijuilatcrale , & équian-
ele à. une autre figure piepofée , en divifant en
ttiariglcs cette ngutc propofée, & en Éiifant
d'autres ttiinglciaonrkï cotez Teroient égaux
aux càtcï'dçs triangles de la Sgute propoicc.

J70 Tr$ifiimi Pdrfii:

'«■«■i^HiiMMMMMiaiMaaaa

PROPOSITION XXKYI

Xis lignes faralUUs é^ ^g^l^s cmfrênmnt fmtr

leurs extrifniUK de mime coté , des lignes

faralleles & égales,

PEMONSTRAtlON.

Soient les lignes A B 8c CD parallèles, ic
égales entr'elles c J« dis que les lignes A C
8c B D fèrcMit aaffi parallèles 9c égales : pour
le démontrer , foit menée la diagonale AD,
Les angles alternes internes BAD 8c ADC
font * égaux cntr'ettx»
Puifquc [']ABz:sCD
& que le c6té AD eft
commun aux deux
triangles3.in> 8c ADCy
le triangle BAD aura
les deux cotez B'A 8c
AD égaux auflr c6têz
CDScDAdn triangle A D<: , chacun a cha-
cun , & les anglesi-4D 8c ADC ktmt aulfi
égaux cntr'cux. Et partant [*] l'aies bafcs AC
êcBD feront égales entt*clles. %*" les angles
BDA 8c DAC oppo&ï aux ^ cotez égaux
AB 8c CD y feront [*] auffi égaux entr*eiii.
Ces lignes AC 8c BD feront donc [♦] paral-

* Fart. I. Prep. iyCee^ ^
['] Suffofit. " » \.

[*] ?art. I. Trof, ^f.Gee.
ÎO Car. 1, Pref. jf. Geo.
[♦] Part. i. Pref. tj, Geo.

c-i%fl$ttttû*

m

\\p\ict entt'dies. Dûn€ les lignes j>aralleles &
égales ^S & CD comprennent , par leur»
extrencûtez , des lignes ^ C 3c B D égales ft
pajcaileksy u t^'û ftdUit JUmatmit.

LA démonftration qu'on vient de faire eft
feulement pour les lignes menées aux-ex;re-
mités A ScC^ B & D du même côrc. Car les
lignes menées par les extrémités A ^ D^ C< 3c
B de ces parallèles , de diiFereus côtés» ne {ë-
roient jamais parallèles , parcequ'elles (è cda*
peroient toujours , 3c ne ièroient égales que
£qj:c rarement.

COROLLAIRB. ^

Si on veut conftnûre un qnurré fur la
'AB i parles deux extrémités A 3c B . il
mener deux lignes AD Bc
B C perpendiculaires & égà-«
les à cette ligne A B ^ Se par '^
leurs extrémités 2> 3c Cil
faut mener la li^e DC.
Alors la figure AC Cerz le
guarré qu'on fouhaittoij.

Car 1® la ligne AD fera
['] parallèle à B C,

^^ La ligne DC fera [»]
parallèle k égale i AB,

ligne
taut:

A

['

Frff.fref

'J71 TmJÎ/mt Pértle.

U figate AC&n donc ['] dn parallelograaiàîe.
i". Ut angles B-*l» & ABC ?wnt f]
igaiu « deux droits , & l'angle A étant [i]
Jtoif i l'angle D fera droit. On trouvera pit
lemSmerailonnementqaeranglç C eft droit;
«nfinl'anglcBeftaBffi[i]_dioi[. Donc AC A
[*J Bn qnuié.

r*l Dïf. 4j, CM.

f']?4r/. j,Priip.t4. Cte,
'1 »«/. 14. 0«.
\Dtf.st.G10.

4Se^Heitt^*

37»

-PROPOSITION XXX Vil.

n, 'Reàfro^uement un quadrilatère^ $u furfacequa-^
drilaterale , dûti^ les cote1{^offûf€^ fmti^ux enr
t/eux^ eft unfarallelogramme^

DEMONSTRATION

SI un paraUelogramme cft tedangle^ pat
tacciBplc K:>wr , il ciï confiant gue les cote»

oppofèz IK ^ ï ^ _^ M

Z M font égaax
^ntr*cux. Parcc-
qne ce (ont pec-
|pendic^laires en-
tre paralleles,qai
* font égales en-
tt'eUes, Par le
même raisonne-
ment lC.Z=JMw
On dira la mê-
me chofe du

quatre N P.

Si le parallé-
logramme e^
iiobliquangle, par

exemple C B : je

tdis que CA

=D JB , «C que

>4Br^qi>.>Pouc

^ j::.(n'^^^Pr(f.jÊ'Gjtfi'

j7i Tr$ijt^mt Partie.

Ic^délaaonurcr : par le
milieu d'un des co-
tez , par exemple^
par le milieu H de
A S foie menée
TE perpendiculaire-
ment à ce coté A B,
£nfuitc foit pro-
longé le coté C A ,
jttfqu'i la rencon-
tre G de la perpen-
diculaire £ F , & de
ce point G foit me-
née par le point B k ligne G M qui lencoD-
trera en M le coté C D prolongé.

Puifque * £F eft perpendiculaire au mi-
lieu de AB^ on aura [^ GA=zGB. Et partant
le triangle AGB eft C'jlfofcclc. Donc [J] l'an-
gle pAB =iGBA. Mais puifque * les lignes
ABBc CM font parallèles entr'elles, langk

f^'\ GAB=:GCM^Sc GB A=t G MCDone
'J le triangle C G Af eft auffi Ifofcele : & par-
tant CG=AiG. Donc retranchant d'une part
GAyScàe l'autre B G , il reftera L*3 ACz=^M,
Or [♦] l'angle B D hî=G C Af , on yicm auffi
de dire que l'angle GMCzzzGCM. Donc L'J
fanglc BDAf =:BMD , & partant [^3 I>B=JiU*
Mais on Tient aufli de faire voir que AC=:BM»
Donc W le coté ACs=:BD $ donc les lignes
AC 8cBD étant parallèles & égales , compren-

'* Suppojit. I*] Ptop. 5. Gi».

[•3 D<ry, 40. G^. [*3 Cor X. Pr(>f. 54, Ce».
j[♦lP/»r^ I. Pf^. 14, Geâ. L*] Cor^^*?rof,i^fia*

dront

•' Gé$mttri0. ;^.

4«pnt parleurs cxtrèmiccz les lignes égales ii
ec^X^At^. pàhancen gênerai lès cotez ormofci
d un parallc^ogramme, pt exemple de c/ font
égatix cntt'cjix , ce qu'il fimitdmmrér. ^ ■

l5'Ë M~'ô' N s T RATIO N

BS 4.A S.eC0N0jI. PAXXIl.

Soit le quadrilatcfe. 2> ç dont les cotez 2>iï
actF<?^:*^ïti?<rront égaux ^jntrVux Hcais
que ce quadrilatère eft un parallclègr^iftime.Poui^
Ifflcmontrcr (bit in«iéc ladiâgonak Fff, Lcé
irianglca PTH ac, -'J. - ( •

aj^Hfoîit équilatç^S ^ '- ^

raux run x-llfutre. \
CarN le côté Fjï.
eft càmnmn ^^toiii

tes deux , & * _^

DHzrzFG , VF F ■ .i.vGi

tti li G , Donc ÎM ' ^' ' ^ .V 'i).fx Av
les angles ©ppofet à cotez' égaux font îgattie '
crttr'èux , c'eft à dite que * D F H =rt F H G -, &'
2>HF=sHF(?. Donc [»] i)F * H G font
parallelèi-entr'elles- parcfllcmene D» Se B^
font auflî parallèles entr'elles. Donc enfin là^

fç on o Lt aiVe C '

Un quarté cft Hn^atallclogràmm^ ^ont toi

^'*l ^^^7?^ '- -'- >• ' • O ^^.i rt ...

S*]Cor.i.Prcp.^f,Geû,

^

74 Troifiémi" Pârtiti

q latte coter font <ga«x ca-
i.-'eur. Soirlcqptxrc W^i*.; je R i t ■> ■> vP
disque NO = P4*î=*Aœ

L«. NR=OP , cnfià FR

CÔROLLAtHÈ- il. "

; Il fuitd^.lf^PropQfitioii pçefenîçfjiStolci»^
go«alcd*ttn parais: .

klogr^tumc, , 9^j:d ..!> > '■ - • H"

exemple ht diago- !,■'■ ^«^ > "* ''

nale F If du parai- ,.. y. i ^^>*^

lelogramme I>-G-t- ' **

diviic ce parallel©-

gramme ctt àcuXf

p^fties égales » c'çlt T

a 4ire que letria^- . .

de PHF eft égal au triangle F |Î,<7<| Carr'lte

a)téJE>H=?=FGrI?.y;=^-ifÇ* &*-H eft un

eoté commun ^ux deux trurij|les I) HF&

jauxi

commun ^ux deux truri©es nur <ic

G. Donf ces deux triangles tçrçni^ éqailatc-

Vmt àlfaintre, .Donc tp -ils feront jégaox çn-

* 1

La fecopde paf tif de la Pwpofitwn prefcnte
eft le fondement d'une tnethode dont on le

itrl Pftur mener par.W» f^^P ^^«^^ ^^ ^
parallèle à une figne donnée. Soit pai' exem-
ple la ligne donnée ^B , & le point G jw

-' ' V

t>} utfjc. I. Geê, , : . ;

1f%pr\ ilfaillf mener une.ligj;ic parallèle à cett»
ligne ^ 5. Il faut mener à Toloncé par ce foinc

c u^e^ttg^ôvdix y ; r ' : : . .. :

3 ai coupe la ligne ^

onnée ^5 au ^ ïl 1^ ^ /V-

point Z>. Enfmte 'V .:v^l.**..-.-...V^P

onourj^uncom- /^C**0 / i

pas du point'!), ./^ ^ /

çre , par exempie '•^ . V

en JE , & de cette ^

ouverture DE en décrit du point C Tare LT M.
De rouverture 'D C on décrit du point £ Tare
NT O i]ui coupe le precedi^at au point -F > par
ce point F & par le point C on mené la ligne
Gif : Je dis-qoKr cette ligne tyH «ft la ligii^
parallèle chçrdiée» Câit dans je tqu^adrilaccce £Ç
les cotez opp^fez fbot * égaux entr'eux. Don^
Cl ce quadrilatère eft un parallélogramme i Se
partant [*] les co(ez oppofez font parallèle^
DoncJFC ou G H eft paraUek i AB.

% .

* Pur çMStrttfUm^:. ■ >

VI r»rt.i. trop, fret.
^"iDéf, ■ Geo.

li l|

17^ Tfifim ImU.

FHOPOSITION zxxyiii.

' tgMMX €mifemx.
x.LtS4Mn^ iim puahiLittre , frk enpnM,

fmtigémxm ^àrtks^
|. ^nfuUfmmm desdngïês 0ff9fe1(^ Jtun ^uM-
lêmt mfcrii dams mm sercU vsUmt deux ângUt

DEMONSTRATION

]>B LA P&IHIIXX FAUTIX.

S Oit k parillddgtamme BE : je dis q«
Tanglc >f =C , qaeB=£. Car les anglç
^ Âc C pris cnfeidUe ftnc 1*3 égaux à deu
droits ; pareillemenc
ks angles Z 9eC pris |.

la même gra^,

OQi cft deux angles _

droits. Donc ^*^ ^^ A R

iômme des angles

^-*"^ = ^-*"^. Donc en ©tant de partft
d'autre l'angle C , il rcftera CO l'angk B=:B.
Par un raifonncment femblable <m troavctt
que ^-|-B==C-+^.5 & partant que ^ = C.
Or ^ & C ; B & £ font des angks oppofci de
paraDclogramme. Donc les angles oppofcz d'an
parallélogramme font égaux cntr'eux , et quâ
falloit démontrer^

[M Vm, 3, Prof. 14. a$ê. [»J Ax. ig, gmtf.
\}-^ Ax- f' gênerait

/~~y

Géométrie. 37^

E M O N S T R A T I O N

OB LA SBCON.I>X » A R T I 8<

Soit par exemple le quadrilatère ABCD ^
il faut mener aux
iommets de deux an-
gles oppofez ASc C
la ligne AC. Il eft
conUant [*] que la
Ibnitne des 5 angles
du triangle ^DC eft
égale à deux droit»;
pareillement que la
ibtnme des angles du
triangle 4BC eft au/5
égale à deux andes
droits. Or la Amme desr angles dti qlia-.
drilatcre ^BCDeftla môme que lafonunc
de ceux des deux triangles ADC & ABC*
Donc la femme des angles du quadrilatère
A9CI> c^ égale à ^ angles droits , et .qu'U/aU
toit â^montreèé,^

D E 1^1 OV $ T R A T r O N

De X A T&oisiB'âB PA&TXB.

La fomme de deux angles oppofez , par
exemple A Se C ^ B Se I> d'un quadrilatère
^ BCV infcrit dans un cercle eft égale à deux
angles droits. Car ces deux angles ^ & C , pris
cmemble, ontC»] pour mefure la moitié dW
circonferejice de cerde, c'eft à dire cn , la moitié
de fès deux parties BCD Se BAV» les deux

[*] Trop. 51. Geo* t»l JV^. 17. Gw,

1 uj

•%

57* Tnifiimi T ortie.

angles B & D ont * pareilicmenc pour toi^Gu»

U moitié dès arcs

AiyC êc ABC for D

kfquels ils font ap-

payez , ce qui cft [*] la

même ckofe que la

moitié de teste la dxw

conference ABC 2> Ja«

quelle moitiéi^eft ['3 la

mefocé de deux angles

droits. Donc la lÏKnme

dès angles oppo&z du

auadxilatcrc^BCi> infcilt dans îc cercle cS

^ale à deux droits , a q^Hfattoêt denuminr.

COROLLAIRE t.

La CAnverlè de la première panie dt la Pro«
pofition prefènte eft telle ;
un quadrilatère dont les
angles oppofez (ont égaux
cntr'eux, eft un parallélo-
gramme. Soit le quadrila-
tère .AQ dont. les angles.
oppo(èz A Si C font égatu
entr*eax , èc dont les angles
£ & £ font auffi égaux en-
tr'eux : je dis que Içs cotez £ C & ^B font
parallèles cntr*euxi de même des cotez AIK
BC. Car fi à Tangle A on ajoute l'angle £, &
fi à l'angle C d'une autre part on ajoutie l'angle
B, on aura i:»j ^^E=:C-4ri5. Or cçs angles

* Tr<ff, 17. Geê. . f] Ax. y Qiê.
[* ] Cor. I. Vfof, zou G99.

. ■ Geêmetrie* 57)

.^.4.S.4-C-4*B font ['] égaux i, quatre
^oics* Donc les angles A-^B feront égaux à
deux droits. Donc [*] les lignes ÉC Se AB font
parallèles cntr'clle». De même fi on ajoute Pan-
glc B à rangle A , & Tangle E à Fanglc C ^ on
aura ^ -4» B s=: C -4» E. Et enfin on uouvera que
les anglet A-^B feront égaux à deux droits.
Oonc ks lignes AM ScBC feront auffi parât

Jkks.

COROLLAIRE II.

Si nn paraHcIogrammc , pat exemple AC^
A dcuxdc fes cotez A3 Se AB qui compren-
nent un angle , égaux aux deux cotez H E ^t
i F d'un autre parallélogramme £ G 5 &: fi ran-
f!icI>AB compris parles deux c&tez de Tua

cft égaJàTàngllc HÎF eomprîs paf les dcu*
cotez de Tautre ; un de ces parallélogrammes
A C fera égal à Tatitre EG y en toutes manières.
Car 1° le5 cotez Z> C & C B étant [J] égaux aux
cotez AB ScAD^ccî mêmes tôtez D C & C B
feront auflî égaux aux cotez E F & E H , & enfin
t^ aux cotez G H 8c GF , chacun a cRacuh. a*
ifcs angles^ & B font égaux [♦] à deux droite."
(Pareillement E A F font [♦] égaux à la même
>î t* Pjtrt. deU Vf Cf. fnf. , C*3 ^Art.y Vrof.is.Geo.

^^'2ékn*uv'f^fi7* ^^- W ^'''•^ 5- frt^^*^^^^

Il uij

i''

1

)S6 Treijiéme fsrtle^

gnndeiir qui eft deux droits. Donc*
£-f-F. M&is V']A=sE. Donc retcanchant d'o*
ne paît ^ , & de l'autre £ , il reftera [*] l'angk
^=F. Ori*] ranglcC=.<f, &G=E.Doiie
» l'angle C = G. Pareillement [» 1 D ~ B , ft
H =:F. Donc * l'angle D = H. f Enfin kf
cotez d'une de cet iSirfaces étant éganz atoz 06*
tez de l'autre , cfaacnn à chactin , de même dei
angles^one de ces fiirfaces fera [^j égale à TaîBxc

COROLLAIRE IIL

Xorique la (bnime des angles oppoftz d'im

Îutdrilatere n'eft point égale i deux angles
oits y ce quadrilatère ne peut être infcrit da/if
nn cercle. Car £ ce quackilatere pouroit taf
in(crit dans un cercle , ces angles oppo&z ie-
loient ['] égaux à deux angles droits , ce qui cft
contre lafiippofition.

PROPOSITION XXXIX;

Zif fërslUlêgréimmes ,fpfez fur U même tM/i&
entre les mimes lipsesfarsUeles fmt igi^ux n»*
tiessx.

s

DEMONSTRATION.

Oient les paraUelogrammes ^D & EB
pofez fur la mtmt bafe CIX , ic entre les

Ax. i«. gen. [ *] Sstffùjk.

^]Asê.x.Qe0» VlFmrf.^^Ptàf-.jrefi^ "

{^lAx.

■•««•••••»,

• •'

GiôiHitrii. jSé

«Mêmes parallèles ^ F & CI> : je dis que la fur^
£u:e du paralleiogramme ACDB tvt égak i
k fctr£ace du paralleloguaime £Ci>JF« ^
( Car les triangles
ACE êcBl>F6nt
*.les anglcs^CAE
9cJ>BT égaux en«
tfcttx ^ &ontpa-
xeiUement les an-
gles AEC Se BFD
aufli égaux cn-
tr*ettx. Donc l'an-
gle -4 C E' fera

L*T égal à l'angle BD T. ^^Or C*! le côté AC:=s
Bl> y parceque ce font cotez opjpofez de paral-«
Iclogrammes, de même le coté CB:=::zDlP*
Dans le tfiangle ^ £ C on a donc les côcea
. ^C '& CE égaux
aux cotez VB & A EB F

DF ,
A C B égal
.glc BDF. Donc
&s bafes A E Se
^F feront [^lé-
gales entr'clles^
^. les triangles

^ Ç E & BDF feront [♦] auflî égaux entr'eux. .
Mais les parallélogrammes AD Se CFpeit-
vent être pofcz fur la même bafe CJ> tn ^
manières.-

1^ Le point :e ouÏ^ fe peut rencontrer entre
ks points A ScB: alors on ajoutera au irian-

* Part. 1. Prep. 14; Geo. ['] Cût. 4. ^r^* î^* ^'^•
" ' Part. I. Prâf.ij. Cto. [*] fsrt.l^rofV*^*^*
Ax.i.G$9.

Se Tanglc
éeal à TaiiF-

^H . Tnifienie Partii»

^le ACE ia furfkce CDBE-, k au triangf^
-S 0F on ajoutera la même fnrhcc C t>BEi]
on * anra C^E-*-ÇDBÏ = B2>F-#-
CDBE , c'eft à dire, te parallclogramme AD
ictz égal à £ I>.

a^ Le point £ (epeut rencontrer fbr le poùtf
By ottFfiir A: alors aa triangle ACE oe
ajourera le triangle C BJO ; dt au triangle BB1
on ajoutera le même triangle CBB ^ & * où
tmgkACh^C3D=hDJ^^CBD , ceft
à dire , le pa-
fallelogram- à
me AD=s A
CF.

9* Enfin les
points £ & F
le penrent
rencontrer
entièrement
Ikors la liene

AB y de tortequeCB coupera BD en G. Alors
du triangle ACE êc à\i triangle B 2> F on re-
tranchera le triangle B G£ quifeur eft commun,
Jrilreftera[*j lalur&ee jf C GB=£GDF. Et
en ajoutant de pan Se d'autre le triangle C G i>,
on aura "«^ ^ C GB H-CGD=£ GD F-l*
CGDy c'eft à dire, le parallelogranune AB
sszCF^ce qt^il faOûH defffontnr.

COROLLAIRE î.

Les parallélogrammes pofi» fiir des baies
(gales ôc entre les mêmes lignes parallèles ou

* Ax, 4. giffersl^
^^2 Ax. 9. gnurd.

Geêmetrie^ j»j

* 4^ môme hauteur ibnt auâi égaux entx'eux»
Soient les •

bafes CDSc A B ' E F

4? £{^ deS' — """"'T j . " » **-'

cLc niCTue— ■ lr'—> iw*<p^«a««— m«4i.«.i. ■ '■— ^

hauteur, c- ,^^C -» 0 K

gales en- *-**-—«*«■». .-* -

tr'clles : je ilfc que le par^Aelogiamme C'J^ssê^
CE, Pour le demontrei: forent menéieç Je» fi-;..
gncs. C B ic 2>> , la furfacç CW fera uii parai-»
lelogratnme. Car ^ puifijue [*J EF = GH , et;
que in CD=GH , ou aura CZ> = EJFi ce*
deux lignes CD ^ E F , étant «gales & paralle-
ks, comprendront. [JJ parleurs cxuômitez lef
lignes C £ & Z>F parallclest & égales. Or [♦] k
parallélogramme 6B=CF » & GP=;=C;fJ
I>ono.'lCJR==GF. . , ^

COROLLAIRE II.

Les fixjrfaces dk$ parallélogrammes demimfi
circuit ,.4ont les angles font droits , ou ap-.
proc^j^nt k jlus dçs. angles droits ^ .font plusi
glandes' que les furfaces des autres paràlielo-,
grjunmes dont les angles approchent moinç des
**^6???. 4rpits.. Spît le patalltlpgtammc jiul

* Çûr, 4f Prof . 4, Geû^ ;

0Iartyï.J?mVt-rrGe9^ "'.\

l'-\Sufpofit.

i*l Prof. f réf. ..,-■., .'. .

[^]4:ç.,it.fener4l., , ■ .. '

Troififme Fdrtii.
xedangk) 9c D H obliqtiangle , & (blem ces
deux parallclo-
rranunts équi- * A
uceraux entre
euxjc'eftàdire;
* que G A=s
GD i HB =
ffV ^ on a i;«i
^B = GH,&
I>¥ = GH y^
P3 «nfin Ai

== D r j le côte Xi n eft commun : je dis (fie
te parallcîogrammcuf H><yF:Cat L^3 le paral-
lélogramme DHzszCH^ mais CH^AH^
êcAH eit redangle , & 2> H obliquanglc -, Vm
& l'autre d'égal circuit. Donc les parallclc^am-
mcs reâangles font plus grands que les obli-
quaneles ouoique équilatetaiix entr'eux.On <li»
kniemc chbfedes cthihgleC,

C'cft pour cela que j'ay'H^Î iremarquf ail-
leurs 1*1 que pour avoir en pieds quarrez , ou en
toifes quarries, &c, k funace d'un pardlclo-
graqime dont les angles font obliques ^ il n^
»lloit pas multiplier Tûn par l'autre les côtt?

Sîui comprennent un de ces angles. Parccqu'cii
aifant cette multipliçatioh ôti trouve feulctneni
pour produit le nombre des |)atâîlclpgrâmmé
obliques quicompofeni le paraljfciogrammc tï^
tâl & quitorionréqulâiiglcs j mais* on ne trouve
pas le nombre des parallélogrammes d'une toifc
quarrée ou d'un pied qua(té , &c, quelle "paral-
lélogramme contient. lî'quaiid on Veuc conncJ-

♦ Supfofif. [»i Part. r.TM^^^'^ Oèo. '

L*] Ax. 19. gêner. LnPr(ff.Jfref[)''
i^lfin du Cor. i. déf^ jy fkge ml Geo.

m

GtûtmMe. JS5

'fiâfacerfiinie Mi^ pu Mivm^V^^gi eft

•de.oherdiorjdc» C9ifes,:quaiEr^s. , fcfcï^^ quar-

rées , Ôcc.rfiu exemple fi on multiplie l'un par

Tautre les^ôtez^C &yf^ du paraÛclQgjramLme

reé^angle.

wfB, &4 c u

le côté A G I -■.,! I i i"-«»^

cft de I T'\J / ' ^^-

toUès , 8C

IccàtéAÉ^

de 4 toifesn

on aura la

coi(ësqua£- |^

réespourla *•

flicÊice du

pafallclpgiramme AB. S! le ç^4 «<f £ i\i pi-
raltclogramme obliquangle ^ Z> eft auffi lie f
Cot£es , en multipliant >ee c6cé ^£ par AV de
4 tdifef , xwi awnu n toifcs ohJiqiwHgtef , c'eft
à dire n petits pa^Uelogrammes obliques
^td Cofta ia irainir du pacalleiogramme tptiH
A&y mais qui n'exp0msnt point la valeuc des
tPifes qfiames Qu'on dKtehe. C'rotiirientdtt
faire t*6^k qakin rnombe dont chaque cdcé eft d'u^
ti«t^Sfe4dloi^giMttr, çft p&zs jpecic qu'une toiiç
qaai^éè.

Ali lie» cfiHoTL Yiem d'cxafniiMr let fnr«.

-fiices de deUK fttrallolapramam de mènie

circuit , lorfque les c6tez & l-aniont égaux aux

çAtez dé Tamte , êc que chaque angle de Tua

diAèrede chaque angle de iîautre 1 ^^on«zami^

4ie- p^fintcttienc tes &f£ices d& deux de cas

parall^ogi^mmes y lorCquc les angles de l'iin

ibnt 'légaux aut' angtes de t^aUM , ehîûrun à

«fbafiun » de me duique c6cé deTun éî&scr do

çKaqué cAté de l'autre ^ Çfn trouvera encore ^rucs

les paialielo^raa^ef l^ç xn6me cirerait qui apy

}S (î , Tr^ijîéme Téirtli.

piochent Te plus du quarré , feront plus px^k

eue les autres qui en approchent moins.

8 B

i t

» 4

0

X

««■MMMH

"'^

I> %

Soit par exemple le parallelogramaKie reâangle
A B, dont un cAtc eft de 8 toifes , & Tautic de
4 5 foit un autre parallélogramme reâitiglc
C D dont un côté (oit de i toiles & l'autre ^
\t : on trouve. * que la fiirfj^cti.d» paralfelograin-
mc A là eft de 48 toifes quarrées , & que la fur-
lace du psHcallelogrâJmnne OD- eit feulement ^c
X4 toifes , quoique chacun foit tie &8 • toifes ^
neaires de circuit. '

Enfin de ce Corollaire on concluera qttC
les quarrez font les furfaces planes les {^
granides de toutes celles qui 0ne k même çircuib

C OR O t L AI R E I I I.

La fûrface d'Un parallélogramme (>bU<]iianj|IC

■ •■•<■■««■■••

•V-T—

1 >

- ^^^

jr^

^^ •

^

X

cft^gak àa produit de fa bafc mokipHétf^^ria
hauteur. Soit pat ' ' r • i

exemple le paraU E F A > B

jelograjnme obdi-
quangle CB, lorf-
qu'on multiplie la
bafr CZ> par la
hauteur C£ ou
2> F , on a * pour ' ^ - ^
produlc le paral-
lélogramme C F. Or [*î le parallélogramme
C F cft -égal au parallélogramme C B. Donc en
multipliant la bafc C D par la hauteur du pa-
lillèlogrammc C B , on aura -pour produit la:
Tsdcur de ce même parallélogramme C B.

COROLLAIRE IV.

Les parallélogrammes font doubles des triant
glcs de mè-

mebafc&dc A B E F

même hau-
teur« Soient
le parallélo-
gramme CB^
par exemple,
& le triangle

CD^ y pofcz fur la même bafe C D & en-
tre les mêmes lignes parallèles ^ F & C G : je
dis que ce parallélogramme C B cfk double du
triangle CVE. Pour le démontrer , foit menée
par le point D la ligne D F parallèle à la ligne
C £ , on aura ["] le parallélogramme C¥=:iCB.

* Ctr. 1. déf. f3, G94* •

Kk i)

Or * le trifligk Ci>2Z cft b moitté 4ir f9^
zalklogiamme CF , oa de fion é^ CJ.
Donc ce paralldogmiiine CB fcia doablë (ie
GA^f pù^a'im cont cft dooUe 4'iiae 4e As
«noificB.

i^i"

PROPOSITION XI.

ksftségalês, &mtu lamtmci Upusp^âlh-
Us » fmt égéÊMM Êntr9ux.

^, RgiifrêqMemmf Us m0nfh$ qui fmt fur U
mifm ksfÊ , oufm é^f èmffSégaUs , e» UfUM
droite , du mime coté, & qui font égaux eutrt
etêx , /W futre les n^mes tiff*ss parsileles.

3^. Ree'froquemenr enfin les triangles qui font e»tfê
Us mêmes fMraW:les&épM$9e entr'eux, fmsfiif
la mime hafe , ou fur des bafes égaUs.

DEMONSTRAtlON

Soient les triangles jiBC <c J^ET fur k mime
bafe AC , ou fur kt Mts égaks AC &,
D¥ , & entre les mêmes parallèles AFScGH:
je dis c;ue le triangle ABC tCt égal au triangle
DFE, Pour le démontrer , foit menée par le
pointa dH triangle ABC une ligne parallèle
SkCBi puiique GBcd £'J parallèle à AC yOn aura
le parallélogramme C G : la même chofê fèroic
arrivée , £ par le point C on aToic mené une

<•

♦ Cor. t. Trop. 37. Geo. .
l« ] Suffofit.

Gcûmetrie.

«r«

}«>

«tl^aManiHMitMi

AD CF

.. A

li^tie parallèle L AB, Soit encore menée par
le: point F la ligne 'F H parallclcmcnt au côté I}E*
Le parallélogramme I> H fera * égal au paral-
lélogramme GC^ puiCjue la bafc AC = D F y
& que ces deux parallélogrammes for^t entre les
mêmes lignes parallèles. Or puifque C G=
I>Hy on aural']ie triangle ABC=zDEF^
$e qti il fallait démontrer»

D EMONSTR ATION

DE LA SSCONPS PARTII*

Soient les deux triangles ABC & DEF cgaur
cntt'eux, pofez fur la même bafey€C ,.ou fur.
des bafes égales AC ScÙF^ en ligne droite &
4ttinême .coté : jci-dis que ces deux triangles

* Préf . 3$. & Cor. i. Frof* j^. Cr*.
VIAx^ïi.genirah

K K Xlj

a«o Trûifiimi Partie.

font entre les mêmes lignes parallèles cV/î i
dire , que la Hgae BE mence par les fooimets

B & £ fera paraUelc à ^^ \'S^^,^^^ J^ ^
la fuppofîtion prefcnre , xl cft mipoffiblc qu on

mène par
le {bcnmet
B une autre
ligne que
f Equi foie
paraÛele à

A¥. SiJ8E

n'étoit pas

parallèle i

AT , on

en poorroic

mener* une

parce point

B y qui

paficroit

de pan ou

d(*aurre du

point £ ,

f^avoir 3 H

on BG. Si c*étoh par exemple BH (fû fit pa-

xallcle à ^ F , on auroit 1*3 fc triangle DHI^^

ÀBC i mzisl*lDEFt=zABC. Donc le triant

^eDHF (croit [JJ égal à 1> E F , c*eft à dire, k

partie &roit égale au tout , ce qui eft C^>impo&

ble. Par la même raifbn B G ne peut être parallèle

àr AV. Ccft donc lafèiilc ligne BB quieftp».

rallele i-AI , ce qu'il fàUoh demontnr.

[*1 Suffofit\

W PAit. ». Prtf^^f,

AN C MP

GeèmeMè. j^t

î> EMONST RATION.

DB LA TB.OISXb'MB PAUTIB*

SoitletmngleABiissNOFy ëccjfitVvax
& l*aucre

Coit entre B O

les mêmes
lignes pjL-
ssUlelcs: je
dis que les
baies ^Af
^c HP
£6nt la
jziême^ ou
Ibnc éga-
les entre
elles. Car
fi l'une de
ces deux
haScs n'é^
toit pas é-

Î(ale à
•autre , &
que NF ,
par exem-
ple , fut

plus grande que A M , retranchant Cou exch
CFy on auroit la bafe NC du triangle NOC
éçale kAM bafe du triangle A ftAf . Le * trian-
gle NOC fkoit donc égal ÏABM 5 mais C* j NOP
=siABM. Donc le tout- N^ O P feroit C*3 égal
. à fa pâme ^ O C, ce qui eft L ' } impofTible. Donc

Il WHliliWaif

B

C»3 Sufpùfit.

5>t Trùlfiim Pé^Hîe.

k bafe AU fer^ égale iNF^cs ^H^ilféMaii sk^

Ce qui a été démontra dans Ut t^ & j^ partie
de la Propofitionprefcnte â l'égard des triangkSy
peut htt, démontré de la même manière à Te-
gard des parallélogrammes. J'ai cru qu'il Ciffi-
roitde faire ces di&rentes demonftrations feu-
lement à regard des trianglesrCar , loiCquc des
parallélogrammes pofez lur la même bafê , di
même côté , (ont égaux entr'euz \ après avoir
mené des diagonales , on ^ trouve aufC des
triangles qui en font les moitiez , qni (ont
égaux entr'eux , pofez fur la même bafê -y 8c
partant entie les mêmes lignes parallèles. Il cik
évident * que les moitiez oes parallélogrammes
nt peuvent être çntre les mêmes lignes parallè-
les fans que ces parallélogrammes foient aulE
entre j^es freines lignes parallèles.

C O.R OLLAIRE I.

La furface d^un triangle efl égale à la moi-
tié-du produit de fa bafe multipliée par fa haùtcor,
ou ( ce oui efk la même chofe ] au produit de la
moitié ae la bafe multipliée par fa hauteur j ou
c^£n.au produit de la bafe multipliée par la moi-
tié de la hauteur.

Soit le triangle
reftanglc ABC. Si
ori multiplie l'un pat
l'autre les cotez qui
comprennent l'an-

gle droit , c'efl à di- """/t r% , • fe"
re-, fi on multiplie xv j^ j>

la bafe A B par la hauteur ^ C , on a pour pro-

tlwwaa*

ihiit le parallélogramme reâangle ^7; afc c4
prenant la moitié de ce produit , on aura la fiUT
fecc du triangrle ACB^ qui eft * la moitié de A F,
Si on multiplie le côté ^C par ^2> mokiédi
côté ^B^on a le parallélo-
gramme r^anele A1&
«jui eft la moitié du pa«
rallelogcamme AT ;
puisque C'J-4B=:DF.
Mais le triaiiglé ABC
i^.»3 égal à la moitié
in parallélogramme AT.
Donc le triangle ABQ
eft égal au produit de fa baoteur multipliée pa«
la moitié de (a bafe, ou au produit de fa ba(#
multipliée paf la moitié de ia £aureux.

On dira la même chojfe de« triangksr ^Itii^

quangles , c'eft

à dire^ oxigones

ou obcufanglea.

Par exemple le

'tnangle DEF

oxlDBH efté-

gal à un triangle

reftangle 'DZG

de même bâfe * ' . - '

& de même hauteur ; &, partant ce qu'on vient
de dire du triangle reftangle DEC convient
auHI aux triangles obliquangles J>EF , D£H, 9lç^

COROLLAIRE lî.

Il eft donc facile de connottre combien de

* Cor. %. Trùf. 57. Geo. 'O Çfif. i, Pr<jJ, |^ G#«{
t* J Cor, 4, Trof. 59, Gl^»

u^^^

j^4 ^Trâijieme Partie.

toiles qtiâiïces , ou combien de perches, 8cc, c6n-
licrtdfa une fiirface pliait reûilign^ propofce,

rmtvû qu'on la puilie parcourir à Tolonté. Car
fiiffira de réduire cette fiirface en triaaiglcs rec-
tangles y ou en parallélogrammes red^angles , &
de connoitre la furface de chaque triangle , oo
de chaque parallélogramme redangle. La fom-
me de toutes ces furfaceis particulières (èra * h
râleur de la furface totale propolîe. Mais aupa-
rayant que de voir un exemple de cette prati-
que y il eft necelTaire de faire attention i^ aux
efpéces de mefures les plas en ufage ^ z^ aux,-
manières de mefurer une longueur ou diftance
fiir le terrain ^ )^ parnn point domié ésLns une
ligne droite , ou hors de cette ligne comment
•n lui mène une autre ligne perpendiculaire
dans une plaine ou campagne,

X® Il faut remarquer qu'il y a des toifcs linéai-
res, toifes quarréeSj Se toifes cubes 5 de même des
pieds y des pouces , & des autres mesures*

Une perche linéaire contient 18 pieds , 19

!>ieds , bu 11 , même 14 pieds de longueur ,
èlon le pais od on yeut mefùrer ou arpenter ;
tiiie toifê linéaire contient 6 pieds ; un pied li-
néaire contient u pouces 5 un pouce contient a
lignes.

Une toifê quarrée contient ^6 pieds ; unpiel
quatre contient 144 pouces. On connoitra de
u mime manière les autres mefùres , en qoar-
rant leur longueur. La toife cube contient ii6
pieds cubes , écc. Il eft encore facile de connoitre
le cube des autres mefures. .

1® On mcfure la longueur d'une ligne droite
fiir la terre ayec une perche^ou une toue de bois«
£t alors un homme feul peut appliquer cette per-

. Geametrle* .35I

çhc en partie y ou entièrement ; une oa plafîeurs
fois fiicceffivement fiir la ligne qu'il veut mefu^
rer. Cet homme commence à appliquer un bout
^ de ÙL perche au bout de la ligne , en mettante
un de Tes pieds au point A pour empêcher cette
perche de Gifler 5 enfin il Ta couche fucccflîve-^
inent en abaiflant le point J$ en C , & âeranif
«nfoite le point A , Ù compte combien il Va
ct^uchie de f^is»

On mefure aufli une diilanct fur laterrè â«ee..
Iine perche ,'une chaîne» ou une corde quîne
«-alongc ou ne raçourcit auconemeitt ; on Ce Cett
de picquets -D , £ , F , &c. Alors il faut deux
pertonnes , qui s'aideront Tun Tautre* Soit la
diftanee du point G au point H -, fi on fè pro^
pofe de la mefiirer , le premier mefureur fc met*
tra àrextrèmité G, & Tautre mefureur en /,
qui fera averti par la perfonne qui eft en G de
ie détourner de pan ou d'autre iufqu'à ce qu'il
fiche fon picquct^en ligne droite de G en H. Après
que le' niefureur / a fiché fon picqoet en / ,
il marché ve^s ^ jufiju'à ce qiie lé mefureur G

J9f TroîJUme Partie,

ibic patretia en / i & alors le mefureur G prend
le picquec qui étoic en / , & Us continuelle ain£
jufqu'en H. Etant parvenus en H » kxnefiireur^
compte conobienil 7 a, de picquets. £nfin &
la dernière perche ne fè termine paseniîf ezao-
tement» le mefureur G compte encore combien
il y a de pieds & de ponces depuis le dernier
piç(|aet julqu'aa point H , fc écrit le tout iôr w
fiapierjîour s'en fourejur*

• )* Par im p^inc d^nné istn& une ligne droî»
on bors d^one U^e droite donnoc dans U
campt^e po^tnener uneligne pe rpendiculaiie
à cette ligne dfonnée> on (efert d'un. bacon ££»
ctt d*ttn (upport à f pieds £^A 5 T , âc à rextzè-
«tiré KtmT'ûy^ 4,pinnuk$ » ou poîncs if, K|
O , P imatobiles , placées chacune à dbaqueti-
ttêmité des lignes MH êcOf menée» peipcnili-
icttlairemi^t l'une è l'autte fiir «ne planche, Loilt
aqu'on nc'peot ficher en teri?e Textiemité du bi»
jti>niK £^ on^ fèitdttfu{çort à ^ pied* ^1(^7.
1^ Soit le point r donné dans laligoc V X» ftfstt
placé le bâton IC £ fitf la ligne donnée VX aa

'

J

_,

..-, .• •• (jfometrU, ,.-

pï>mt;r, «bayant dirigé les pinnules MU VZ
1« picqtt* .3r-& i^,cn regardant fnfui«
par les deux autres pinnules O J . /; o„ ^rA^
ne de ficher un piquet en ^'Z dc^ W ou^I

V ^ \* r •' P^"" ^ ^^ ^« hors ij lijnl

f^î^l r. 7v '^"' ^A<i'' f- vers JC , ou dç
; ^ ircrs F de forte que Ês^pianules ÛScu foieS
i unç & IW dirigées Ters c & verf * . & oj
continuera de trànt^ortçr ce bâtoa \dlkl
qu en regardant par les pi«„ules triverfantS
O & P , on apperçpive Ic.ifgnf ou piSficS
*^ P^*"'. ^^^""^ .^•.' t^ bâto^ fc trouât S
plac<^ danslcîpomf r 'ce fera par od p4ïfa "
, l^rpeiidicBlaire menée d^ poiw ^ounf | â 2 '

car I angle dro.t cK»tSÏ*U même ^ue celu
4e CCS clans. Donc la ligne r Z qui eft f.j t,^

rp. Çpnç [^Jia lign, rz.^ft pe^odicèç

foM."""' /-^"" piane tur.le certain qu'o. '
fouhaite melîjret ou arpenter j p„ examinera fi
cette furfape. Iprfqu-il »> a que q«att^ angl« J
nn parallélogramme reâangle , î:e qui elfàci L
a eonnoitrc en appliquant à chacuj 4es angles
de cette, futfaçe le Utçn^iÇjf avec fespinnules '
MyK, 0, P. Ci cette furfaceeiî*^^^ pLS!
gramnjc teûangle jl eft feçik Hj jg co«-
nourc le -nombre des* perches ,' ou toifes " &c '

y r- •

k

j 9 8 Twfi/me Téirpiel

qa'on cberche. S*il n'j. a aue <ieaz angles-^rottl^
comme il arriye dans U furface ^£ C^ , doi)C
les angles ^ & D

font droits ^ on me- ,^ i» /«%

nera du point B la
per;jcndiculaiic B£,
& on aura le parai-
lelogramme rec-
tangle ^£ , & le
triangle re^ngle

5 E C. Après avoir

znefuré les cotez du redlangle ^£ , on meltirttS
enfuite les cotez BE&c EC i^ triangle reâan-
gle B'EC. On'ccmnoitra * enfuite la furface do
redangle , [*] celle du triangle teâangle B£ C,

6 [*] enfin, on connoitra la. ûir&ce entioe
-rfBCD.

Soit une autre fiirface , par exemple FGHZif ,
dont aucun des angles n'ed droit» On diyiiêra
cette furface an triangles , en menant du fom*
met d'un de Tes angles , par exemple du point
H , Ac^ lignes aux fbmmets de chacun des au«
très angles, Enfiiite du point G on mènera la
ligne GO perpendiculaire if H. Du point Af
on mènera la ligne M. N perpendiculaire a la
même ligne F H« Enfin du point L on mènera
la ligne L P perpendiculaire z Ai H y 6. quelqu'un
de ces angles , par exemple kdLH ^ avoit été
droit , on n'auroit pas eubcfoin d'autre perpcn-
dculaireque LH.

On meiurera chacune de ces perpendiculaires, ,
/çaroir t P que je fuppofè par exemple de g toi-
fcs yiç la baie Al H que je fu^j^ofe de z^ toifèsi

♦ Cor. i. déf, fi. Cep^ [^] Çpr. vProf.j^f^^Giê^

' GèomètHe. 399

"Ofiimrfarfra là baft tH que je fuppoft être de
«48 toiiês 1 pieds ,^& là pètpendîcùlairé Af N de
^^iLir toifès -y ^fiA la perpetidicùlàirc G O , que je
^Appôfe <de xr tdifes 4 pieds.

P^ur cônftoître tombicn k ttîangle MtM

contient de toifès , il faut multiplier la bafe

^èl If^=:t^ toifcs paf 4 tbifes qui wnt la moitié

de lâ perpendiculaire LP y le produit qui cft iitf

- tôifes eft • la furfoce du triangle M LU.

Pour connoitre la furface du triangle FM H ^
'on multipliera labâfe FH=48 toifes 1 pieds
par la perpendiculaire M N qui eft de 11 toifes j
le produit de 21 fois %. pieds fera 41 pieds =.- 7
'- toi (es , ôc le produit de ti multiplié par 48 fera
I008 toifes : de forte que le produit total de it
toiles multipliées par 48 toiles z pieds, fera loi;
toi (es quarrées,doht la moitié f 07 toifes & demie
cft la furface du triangle' F M H.

Enfin pour connôîcre'la fiirface'du triangle
TGff y on prendra la moitié du produit de la
feafc FH = 48 toifes z pieds multipliées par la

fCor* I. Prof* 40' Geo»

Ll ij

4^e Troifiéme Tdrth,

perpendiculaire G O =ix toiiès 4 pieds. Pour
fkire cette multiplication ^ on réduira, les 4S
toifes en pieds , & on ajoutera les a pieds ^ ceU
"fcta z^o pieds ( s*il y avoit eu des pouces , on au-
roit réduit le tout en pouces. } On réduira pa-
reillement lesTt toiTes en pieds, on 7 ajoûcen
les 4 pieds , & on aura 70 pieds qui étant mul-
tipliez par les 290 , cela fera Z0300 pieds qaar«
rez , dont la moitié eft loiyo pour la fùrface du
triangle F G,É l msis puifqu*il 7 a 5^ pieds qnar-
rez dans une toile quajrcée , en diyiiant 10 150
pieds quarrez par 3^, oii aura i%i toifes quai-

ries ayec — de toile qu^rrée , & 7 pieds quanez

4
pour la furface du triangle F G H,

Oii fera une addition de 116 toi/ès , furface dd
triangle M LU ayec /07 toifes fi: demie, (ijrfacc

du triangle F M H ^ Se avec 281 îôifes — & 7

.4

pieds , furface du triangle F G H« On aura pour

total ^of to ifcs — & 7 pieds quarrez pour * la

4
furface entière FGHLM,

Pour toifer une couverture de maifon , telle
que feroit, par exemple
ABCD, dont le fête E F

cft E F , il faudroit me- /\ /\

furer le côté C D & la / >. Jg/ \

fomme des cotez CE a[ ^^Zl^-II ^

& £^. On confidere* "^ C D

roit le toutcomme.fi c*ctoit un parallelogram-

^ Ax-^^ gêner.

Géométrie. .4*1

"inc rcftanglc G H, les lîirfaccs CM ôç La

M H

^u*on fuppofe ècre
les mêmes que A F
*& C F y étant confi-
derccs cdmme une
Êble. . Alors * il fe-
ra facile de connoî-
trc cette iurface«
On peut par cette méthode mefiirer la furfii:e
d*unc chambre , d*un jardin , d'un enclos, &c.

PROPOSITION XLI.

Dans un fAtaïlelogramme fi on mené une diagma^
le »\&fi ^» w*»* tnfuite dsns ce farallehgrftm-
me une ligne parallèle à un de [es cotez, i &f4r
le foint ûk cette dernière ligne confe U diagonale
fi on mené encarç une autre ligne parallèle ^ un
autre cité : i ° les parallélogrammes par eiU la
diagonale ne pajfera point , feront égaux entre

. eux* 1° Si le parallélogramme propofé efi un
quarré , les parallélogrammes par eià pajfera la
diagonale feront aujfi dfs quarrex,»

DEMONSTRATION

Bt LA PSLEHIBK.K PAX.TIB.

Soit le parallélogramme ÈD dont une dia-
gonale cttACi foit menée la ligne £ F pa-
rallèle au côté BC i & par le point L où cette

* Cwvi. déf. f j. Geo,

H

\

L

\

D

4(>i Troifieme Partie^

ligne E F coupe la diagonale A C Coït menée
la ligne G H parallèle au côté CD : je dis "que
3L=:LD, Car i° JB X eft * un parallélogramme,
puifque E L c(i * parallèle k BG : 6c B ^ étant
parallèle k C D ^ de mê-
me que GH , on aura
B E parallèle À G L. LD ^
eft auiG un parallélo-
gramme , puilque LH
cfk* parallèle slFD.EF £
étant * parallèle à ^ C ,
6c AD étant ['] parai- g
Iclc à JBC , on aura [*J Vi

AD parallèle à E F.
Donc HD fera parallèle à ZF. Par le même
raifonnement EH Se G E font des paralklo-
grammes. i** [' j Le triangle ABC=ADC.
Mais à caufc des parallélogrammes E H & G F ,
le triangle -4EZ=-rfH2: , 6cLGC=^LFC.
Donc [♦] AEL'^LGCz=:zAHL^LFC.
Donc û du triangle ABC on retranche A EL
^^LGC d*une part , & fi du iriangk ADC
on retranche AHL-^LEC d*unc autre part 5 les
parallélogrammes BLôc LD par où la diago-
iiale nepafTe point , refteront L'j égaux cnir'cux,
ce qu'il fallait démontrer»

* Par cûPiflruâHûn,

a Prap- 16 Geo.

[ ' i Cor. 2. Prof. 37, Geo. . .

f ♦] Ax. 4. ge».

[^j Ax. ^, gêner.

Géométrie. 40}

D EMONSTRATI ON

I>B LA SBCOHDB PARTI B*

Si le parallélogramme BD eft un quarré , les
cotez BA Se BC feront C] égaux entr'euz , Se
le triangle ABC fera [■] Ifofcele. Donc LO VsLa-*
g\c BACssBC A; mais auffi [^] Tangle £ £ ^
==zBCA. Donc ['J l'angle EAL = ELA.
Donc ['] le triangle AEL t^ Ifofcele. L'angle
uiELcfï [♦] égal à l'angle droit ABC, Donc le
parallélogramme £ H eft [7] un quarré. On dé-
montrera par le même raifbnnement que G F
cft un quarré« Donc û le parallélogramme total
B I> eft un quarré , Its parallélogrammes par
où pa&ra la diagonale ^ feront des quarrez , a
qf^ il fallait tUmmtftr,

COHOLLAIRE.

Entre les ufàges de la première partie de la
Proposition prcfente , elle contribue à la dc-
inonftration de la manière dont on peut k (êr-
vir pour faire un parallélogramme égal à un
triangle , par exemple , au triangle C D E j &:
même , ix on yeut , ce parallélogramme aura un
de fes cotez égal à la ligne ^ ^ & un de firs angles
égal à un angle donné B,

I® Ayant mené par le fbmmet V du triangle
CDB la ligne FO parallèle à la bafe CE, &
ayant pris la moitié de cette bafê pour celle d'un

V ] D//. y o. Gi0. V 3 Dif. 40. Geo.

[*\ Cûf.x^ Prof, ^^- Geo.
[*] Part, i. Prof. Z4., Geo^ 1^1 Ax. li. gen.
[*] Cor. 4. Prof. j4, Goo. £7j jy^f, ^q, ceoé

Ll iiij

>404 TfQtft/me Târtit.

B M

H T

Kiallelogratntne» Da miliea M ic teere m&me
Ce CE oh mènera la ligniC M N ,' laquelle fera
avec ME Tanglc NME=B. Enfaite on achè-
vera le parallélogramme MO qui eft * double |
du triangle Af DE, dont le triangle *CDE cft i
[*J auffi double. Donc d le paxallelogiamme |
MO eft égal au triangle CDE.

z^ Sur la ligne F O on prendra N F=^. En-
fuite du point F on mènera par le point M la :
ligne indéfinie F/ , & on prolongera k côté
OE jufques en / , rencontre de F/. On achè-
vera le parallélogramme GO y & on pio-
longera EC c\\^ ^^ NM en H , pour avoir
le parallélogramme qu*on cherchoit qui eft G M
égal i^li MO y & enfin égal au triangle.^on-
nc CDE, Ce parallélogramme G M a Mit
côté GH — TN=:A [î]. L'angle PAfH:^
NAfEtf=B.

V 1 Part. I. Prap. 40, Gf * cJ» -^J^* J • l*^»'
[* ] Ax. 6. gênerai. [ ^ ] P«yf . i. Prop, fref.

Ceomeprie*

4Ç>5

tRO POSITION Xtll

\%e quatre iune ligne dhifée en iewc parties à vé"
lonté , e^ égal aux quarrez. de chacune de fes
deux parties c^ k detex reHangles cmfm f$0ê
ces mêmes farties^

s

D EMONSTRATION.

Oit la ligae C D coupée en deux panies au
point H : je dis que le auarré de cette ligne
cil égal aux quarrez de cnacone des parties
CH Ôc HD , & à
deax reâangles com*
pris fous ces mêmes ^
parties CH&HD.
Pour le démontrer, foit
. C B quatre de la ligne
:C:D, Par le poiiu de £
divifion H foit menée
HL parallèle au côté
BB. Soit menée la ^
ligne- diagonale AD,

Enfin par le point F où la diagonale coupe la
ligne LH (bit menée E G parallèle au côté C D,
1° Le parallélogramme EZ eft * kquarré de
C H , puifqu'il eft le quarré de ^Tz=.CH. Le
parallélogramme H G eft le quarré de la ligne
H D. z° Le parallélogramme C7 t^ compris
fous CH ôcHD ,puifque [»] TH:==zHD 5 & le
parallélogramme FBtù: aufli compris fous Ç H
&ifDj car LF=:;EF=:Ca^ de mèmcFG

* Part.!. Prfip. 41, Geo. & Part, i. Prof* 57. Gc0^
LM>f/.;o.Gw.

^4** Trotpémt Fartie.

-c=jff0;Donc le quarrc CB cft »^gâî aiix"*flix
quarrcz E i & H. G des dcuj^ paicics C H te
H D ; Sc'cticore àr dcûxlrèaàftglcis; C F^ & TB
compris foas ces mêmes parties CH ôc HV ,

'€i qu'il fitUoit démontra»

>-«IÉa

PROPOSITION XLIII,

. - ...
Si^me ligne droite ift coupée en deuxfdrties fgMhs,
& mfuite en deux fi^fties^ inégAles ; le réHimj^
eemfr'u feus liPfafties inégules Mvec le qusm
' de U f^rtie mterceftée entre Us detex fénts ir
feâton^ efi igul Mê quaeri de U moitié detem
U ligne.

DEMONS T R A T I O *N.

^iQ Oit la ligne droite AB diviféc en âeiixpap

Uties égaies au point C , * en deux inapte

an point D :

te dis que
<ie reâà^igle

compris fous
j les parties iné*
/gaks^D &
.^*^aTCc le
' quarté de^ta
^particCl^cft
^éçalanquaC'
cr?deCBmoi-

\tié de AB. Pour le démontrer , il faut fidrcTc
^<paxté de C B , '«c'incneria diagonale i B , *

■*^Ax» ygen^

K L

Cfémetrii. '407.

par le point 2> mener VK parallèle au côté
B t. Enfin par le point de feélion G on mènera
BH pâraUelôftu cétéAS i de on fêta ^£^pa«
raJileleà^H.

Puifquc * D G eft parallèle à ÇH , & que jtE
eft aum parallèle à S H , on aura [' j ^ £ paraU
leleàDGj; mais['] DG=zDB. Donc le pa-
railelogramme AG cfi compris Cous les parties
inégales :^Z> êc DB. Le parallélogramme ^ F
= C iï [ J J j mais C* J CG=iGL. Donc en ajoû^
tant de part & d'aUtrç 1> H , on aura C Q ^
I>H=GZ-+-Diî, c'eft àdire,DL = ÇH.^
Donc [' I iif F = D X, Donc en ajoutant dé part
&'d'autreCG-4-FlC , on aàra ^ F H- C G -H
FJC = D2.-*-CG-^.FK,cequicft[«J la mô-
me chofe <fic^ G -4- FK=:CLy c'eft à dire
que la îoname dui rpdlangle A G compris {bus
les parties onégfles AD Se D B^ êc du quarré
F K je la partie G D ^efl égale au quarré G £
de 2a moitié .C £ de la lign^^ B , rf fH'ilfrU§$$
démontrer» 1

X* i P^rr. I. Prfl;f . 41. Gm»
[*] ^AT. iS* genêt kl..

i$;f^

^4** Trètp/me Partie.

'c=;ff0.1>onc le quarrc CE cd 'nfgàTSialtelt?
quanrz EL 8c H G des deux, parties C H k
HD; &*«îcore àT 4eûx'ré6lshglcif CF'^êc li
compris Cous ces mêmes parties C H & HD ,

' €t qu'il fi^lûit âemmtnr.

«■«•i

PROPOSIT ION XLIII,

^î MHi ligne iroitê tfieoitfée en deux finies fgtdto,
f^ wnfuitê tu de$tx punies inégales ; UréSénigk
gûmfris fem Usfatnes irUgdes M*uec le querfi
de l4f*rtie mferceftée entre les detex fmts à
feBieUf eft égal au quané de la mmU deiem
la ligne.

DEMONS TR A T I O ^.

^jQ Oit U ligne droite AB divifëe en deiupap
Oties égaies au point Cj Uen deux in^^ ,
an point D :

J*c dis que
B rcdàfigle
compris fous
j les parties mé-
/gaies jiDSc
: 3^ ayec le
• quarré de ta
"particCDcft
î'éçalanqttar-
-re.4eC£moi-

itié de AB. Pour le'dcmonti«r , ÏI faut fidrcTc
»q«aKé de CB,.«c^tncner la diagonale iB,«c

K L

yrcA* k qunéae r<k=CB. DaneFic eft le

^qtfxé èa CB mmkii de AB. Le paxtUelo*
gxamme AF=:CG [«] , 4c C» 3 LG=CG.
Donc (113 XFs= G2U Donc en ajoAtânc CH de
part & d'autre , on aiiraL*3 jfFH-CH'sGi;
«4^CH, ç*cA i àixc AJff^=s:G L^C H. Do&e
ajoûtinc encore de part ôt à*$mte le qnairé F XT^
01^ aura ^HH-FIC = G£«4-C£rH-FK , ce
qui eft la même diofê ['] que AH^FKss
CL; c'eft à dire que le leâançle compris (oos
la ligne AD compofée dtt ta dmfôe A B Se et
rajoutée BD Se ùm l'ajoutée 2 2> , avec le

Îuarré tK de la %ne CB mokii de la dWiffie^
>nc,pris enfêmble , égaux au quairé CL de la
ligne C B compoflEe de la moitié CF de la di««
iriS^ de rajoOcéeBD, «y ft'ilf^MtjikmmrtHrm

PBLOPOSITIQM X17.
é%dip$s^4^U ci9pit^mnt$ du mhm U9dê%^

S Oit le cercle ^ j? ; du centre C (bit mené te
rayon CD : je dis que ce rayon CDtfï égal
4 une corde de $0 de^z peu daai la ck coo*

* F4f^- 1. Fwf . 57. G##,
[«] Cw. I. Fr#f . )9. Ge#,
[»] P^it. i.Fr#^. 41. G^#i

[♦] Ax. 4. gênerai.

Mot

4<>t

Troifiéme Fdrth;,

FROJ>OSITION XLIV,

Si ^ MJûHtê une liin$ droitw k une Mutn dvuifee en
' demx égdïeffunn U reitângle commis fous tome
Im ligne eomfofee de In divifée , c^ de tajeutéet^
fem Vt^jeiétée , avec le qunrré de U moitié de U
divifée, efi égnlau quatre de la ligne comptée de
Umeitiéde U divifée o* de Vajoàtée.

^ DEMONSTTIATION.

SÔit U ligne droite AB diVifcc en deux éga-
lement au ppim Ç i i laquelle foie ajoutée ia
ligue £Z> : je

disquelerec- I KL

tangle com-
pris fous H
Ugne entière
Aï> , & fou5
la li^ne BD
avecl^quarré
de la panie
C B moitié de
la ligne ^ir,

cft égal au quatre de la ligncCIJ cothpoftedcla
moitié jB C & de Tajoâtée B D. Pour le dctnon-
NCter , il faut faire le quatre dé C D ^ ^ mener
la diagonale 1 D ; par le point B, mener BK pv
yallcle au côté DL ; par le point de fcAion G,
il faut mener E H paf allcle au côté AI>^ScAl
parallèle i D H.

Le parallelogramnae AH è(k compris fous
AD ScD H i mzis* ÙH'=bB. Donc lé pa-
rallélogramme AH cf^ cpn>pris fei^s AD &^BD^

■

\

G

y

H

»

* T»rt.%. trtf, 41. Gm. {J> dif.f9,Ge»

FKÇ*

tfêêimitrii. l^a^

Wmék^ le quiréae r<k=CB. DmefK eft le
^qtfcé de CB mekié 4e jf S. Le paxiUelo^

flamme AI=CG [*] , 4c C» 3 LG=CG.
)onc [Ll] AFssGL- Donc en ajoAcânc CH de
paa& d'autre, en 9mzW AFm^CSr=:Gù
^n^rCH ^ ç'cA i àixc A H^=si G L^C H. Doùc
ajo&tinc encore de parc Si d'ainire le qnairé F K^

on. aua ^HH-FIC = G£«4-CffH-F£, et
qui eft la même diofê ['] que AH^FKss
C £ j c'eft à dire que le c eâangle compris (bot
la ligne AD compofée dtt bi dmfée A B Se et
rajoutée BD & fous Tajoâtée B2> , avec le

Ïiarré F JC de la %ne C B moki£ de la dWiffie^
ne , pris enfêmble , égaux au quatre CL de la

• ligne C D GompoflEe de la moitié CB de la di««

* vSk^ de l'ajoutée B I>, ^ fi'ilfêUêtPjimmrtHrm

PROPOSITION xty.

I>EM ON« TU A T^ Ô N»

Soie le cercle ^ B j du centte C (bit meiié le
rayon CD : je dis que ce rayon CD eft égal
4 une corde de $o wffti plis daai la cèrcûaw

£»] Cor. I. Fr#f . )$• Ge#,

[♦] Ax. 4. gênerai.
IHAx.ygintrM^

M»

'4ii Troifiim Tdrfie.

les aomm y ps»r exemple quelques Hoîlàgto^
tout lUns rerreor , lorsqu'ils croyenc âue la çk-
€on£éreiice des roifcs d'tine horlofee cft ptédâ*
nem triple du diamètre de ces oKâiés roSes.

PROPOSITION XLVI.

îftî ^ ^ «»//#» étâin cM £un fofyg9»e regstÙerm
W9mê une ligne peffetuUculMire À ce cM i &^
fétr le milieu du» sutn cM qui forme ar^ MngU
Mvei h frecedent , onhti $mm encore une autrt
iipu perpendicttUiu : Ip cencoun eU tes dtax
fetfimdieuhiresfers le centre éteme circ^t^enà

. deeenb.qf^t^^r^f» f^ hs fommeis éks m
ttif Mns^es de te fe^gme.

-•» «-•-»

DÈMÔNSTRATiOll^

S OH le poljrçone régulier ^SC2>£Fspark
miliea H du c6t^ AI &k menée la hgot
j^ecpendkukire

Jieo G dtt cèté

encore meniée la

ligne pçrpendi-

xulaire CI, : je

dis que le j^inc

X qui eft le coh^

cours de ces deuf

pcrpcndiculairef,

eft le centre de la

circonférence qu'on cherche j cVfl à dite ^ tm

fi du point Z & d'une puvéï'turfe de compas tede

a LA qn décrit une' circonférence de cerclé , elle

panera par les pointt B^C^D^ «ce. Pour k

. • . Gipmetrie. , ^ 4,

entrer ^ ilfi^ de dcoiQntrec que les.ligncf;^
JL ^y LB^ltC y.LB^ &c« Vont égales entr^cUesi
4?uii!cjue le point. I. appartient â l^ ligne HLSc
A lâi ligne G Z , il eu * également diftaut deî
points £ , F & -4, Donc ['] la ligne £ E =:
JtJF'=Z-r^. Donc les triangles E IF fe FZ^
Soi}^ cquiUtcraux Tun à Fautre j Jes cotez FF &

igl

li^n^ LA=^LB, Les deux triangles LVA
'fie LAB ccanc équilateraux ^ on aura L'3
Xaogle T^Z.=;=u<BL. DonçC*. l'angle LAB
reftçjja cgfii à Z^C , <^'ouvc çclà on aori rn*-
'côjpe L7 LA^ A B égaux aux côtei LS'Sc ÈO^
Jbohc .* laba(^ LB.z=itC, 0\ deaiontrera de
ia inême maiiieri que. Z! Ç ==LD y &c. Donc
toutes les lignes droites menées du point Z ai;t
CoiTinaets des angles. A y B ^ C y &c. font égajfcs
entr'elles , ce quilfalioit démontrer, - ^

COR O'L L A I R E.
Quand pu- dit .['. qa'uu pol/çoi;e çA jn(crîc
dans un cercle , en même-temps ce tercle' eft
5^cllc cij;cQnf(srit à ce polygonq ; & lorfouc
£^j le polygone eft circonfcrit, en même-tempii
le cercle eft appelle iiifcrit au même polygone.
Il eft donc évident que la Proportion prefeiite
cnfeigne la manière de çircomcrire un cercle à
*" ■ ' ■ . ■ . . ' . •

' *.?rof' 3. Geo* ['] Cor. ^,Ax. 1. Geo. '

[^] Béf, ss> Geo. L'i Cor. 1. Vrof* jf . Geo.
[* ] Ax. 9. gen^ Vi Vnrù i^Frof» 31. Geà^

.^^Ipéf.sS^Geo.é'Ax.^.gen.''
' m Tart. ï.'Ttop. 5^ . & déf. f f. Geol •
m Véf.s%,Gco. \?uVéf^S7.Gto. '

414 Trffi fi/me Téttfki

tm polTgone tegolrer donné , en failaht paiSà
une circonférence par les fbmmets de tous la
anjglcs. On à encore une maniefc £LciIe pont
inlcrire un cercle à un polygone donné. Car
;après avoir trouré * le point X centre de la cir-
conférence qui paiTe par tous les fbmmets det
angles >f , B , C , &c. Si de ce point £ & d'une
ouyemire de compas éj^alc à la perpendiculaire
£ G , on décrit tint circonférence de cercle , dit
touchera les aùrres cotez lA y AB y BÇ , &c
pour cela il fiiffit [*] qut toutes les perpendicu-
laires menées de ce point Z â ces eâtez rA\
AB^ «ce foiént égales cntr'elles. Or cela cft
érident , parceqOe les dotez de ce polygone étajlt
X*3 égaux cntr'cuT, (èront cordes égales de la cir-
conférence circonicrite^Donc elles* feront C'- éga-
lement diftantés du centre X i inais'ces diftanc^
Ibnt L^JnièArécs bar des'petpendiculaires menéa
dé point £ à ces cotez VA^AByBC^ &c. Donc toiF-
tes tes perpendiculaires feront égales emr*elies.

1 k.

I 1 n

PHOJbsitlON XL VII.

^t quam!(;& ^eiuraUmeht to$a Us fùlyginus n ^
UersJ^unpareU^nàmbre de ci fez, ,fcntdesfipim
femiUUes,

' DEMONSTRATION.

Oient les deux quanrez AC ScEG. i° diaque
angle de l'un éftP^égàl à chaqUc àiçlt dcl'ïuh

^FarUPr^f.fref.

t^Def. j4. Ge§, é* Cor, j. Trep. n. Géâ.

V'^G0r,iffrif.io,Gi0^

s

rtte. «u^^^JB ,«ç « it, ta, 4e. se .-c©/:

* ^ , GH &c. D<M»c t'j les qnaocz *1C'& E«

w^ V %

•^^ ^^

i^Mli

A

H

■lu.

■ i w J {

Soient , par exemple , Jeiïr pentagones rég^
tiers ^BC2>£ ^c F GH/£. ]">[*] ^B .i^ ::
TG w GTf . &.BC . C2> i: GH . Hi . &c.
i^ La fomme des angles inttcieurs du pentagone
jf BC D£ eft ['] égide à la femme desahglesin*
tgtfeùis <Îq pentligôné T G* 2 K, Do»fc .L*3 ui|{
'angle de l'Iih fera égoii mi^hglé de IVuitie*)
Donc f ^] dha^iie angle de Tim (fera ég»l i-diaqiiâ''
ahgte de F àttcîte. DOttc detxipontagQne^ regulicûs <

r«)D^/.^o.G^. [•] Dip/. rf. Ge#.

Mai iiii

On fera le mëmie rjâfoQneo9cnt poon Waimâf
pol/eoncs réguliers cjiii ièronc d*un cgal nomboe
lie cotez,

C.ORO L L A I,K E.

' Soient les polygones réguliers ^BCDE &
T'GHIK d'un pareil nombrejde côcez j & i
ctucun de ces deux pol/gones (oient infcries &
circon(crits des cercles. Plus chacun de ces deux
polygones aura de cotez , il rencontrera en un
plus grand nombre de points les circonférences
des cercles infcrits & circonfcrits : de fbnc qoe
fi ces polygones deviennent infinitilateres , cVft
4 dire , s'ils ont chacun une infinité de cotez j

lè éerde cn-confcrk^iSétrinfcrie au même poly-
g'onefe confôndroiiff en fin feul cercle; Parceque
lé p plyçinc qui fttrûàTfe comme comprimé en«
tfèc ei^enz cejrcles.efttofij$i^S£tpli|$ gran^ ^juel/è
ccrc le infcrit , & plus petit que le cercle circôn-
fcrit , jufqu'à ce qutnfin ces polygones ayant vne
nfi nité de c6te;c , Se le cercle in/crir & le cir-

|on fcât au oktmc folj^çn^k confon^t ci^ua

GfûfMtrit. '4x7

àtial cercle à ^ même circuit & k mèmefinfacf
deviennent cofiunimes à ces cercles inscrits Â;
çircoiifcritsv Doik ces cercles étsmi deyenus* I4
même cbafeqoe dèis polygones réguliers d'une
infîiiité de cotez , il faut conclure * (jue.ks çci^
dés font des figures Temblables.

M^»

PROPOSITION XLVIII.

, > . . ..... ^

#) un triangle efi de mime humeur qtte plufieun

autres triangles , i^fi la hafe de ce triangle efi

é^éfle à la femme des bafes de ces triangles , U

perfàce de ce mhne triangle fera égale  la fmr.

fne des f»rf aces de tetU ces frianglee^

DEMONSTRATION.

SOît par exemple le triangle ABC àc mkoae,
kauteur, c'eft a dire, entre les mêmes parallè-
les, que les trian-
gles ADZ , EFG,
GHB },Sc foitla
bafè AB du trian-
gle ABC égale
a la {bmme des
bafes ^£, £G &
G B des triangles

ADE,EFGydcc. je dis que le triangle ABC=A£b
-f-EGF-4-G«B. Car [«J le triangle ABC^ACE
^i>kTECG''f<SCB. Or .M le triangk ^CE=^DE j
tCG=EFGjGCB=GHE.Donc au lieu des triati-
gles i^CE-+»ECGHhGCE , -fi i^3 on prend ce qui
kur eft égal/favoir «tflZ>£«h£FG«4*G^^on tro^^

^iS Troijt/me Partiel I

¥tra que le triangle ABC tfk égal à la fômine
les triangles AD E^ EFG yG HB ^ dont fci
fcafês prifcs en(êmble (ont égales iAB^^ doit
les hauteurs font égales à celle du triangle
ABC i étant tous entre les mêmes lignes pi-
rallelcs , çê qu'il fallait démontrer.

COROLLAIRE I.

Si on multiplie le circuit d*un polygone le^
^lier par la moitié de la perpendiculaire me-
née du centre du cercle quiîui eft infcrit ou cir-
conscrit , à un des c6tez de ce polygone ; le pro-
duit de cette multiplication fera la furface de ce
polygone régulier. Soit par eiemplc le polygone

j^ B c D E FA

*lfé^ùlier -r<BC2>BFî je dis qoele produit du

""tpcntourfr ou circuit ABCDBW miàtiplié par

la moitié de la perpendiculaire G H eft la fiir-

fiice aatscfi de ce polygone. Cgx ftprès àyoir me«

Ge^metrlel 4if

ni du point G qui eft * également diftanc às$
points ^ , B', C , &c. les lignes GA ^ GB,
GC,GZ>,GE, &c. on ^ivKcra ce ooljgpnc
en triangles qui font tous de même iiauteuf ^
puifque l'J toutes les perpendiculaires menées d«
point G à ces c6cez AByBC ^CD^ font égaler
en tr 'elles. Suppofôns que la fomme des oaiê^
de tous ces triangles , q^i eft le circuit du po-
Jjgonc , foit la ligne AA^Sç <jue I4 ^g^^ Alj,
perpendiculaire i AA Coït égale à Uliauteujc
commune de toHS ces mêmes triangles. Il e(|b
évident L*3 que le produit de la bafe A A .mùlti-«
pliéc par la moitié de la hauteur AL du triian^
gle ALA eft égal au triangle ALA=V1AGB

\=zl^2^PÇDEr, '

COKOLLAtKE l h

^ X^ fîirface d'un cercle eft donc ^aie aspcD*.

duit de la circonférence
de ce cercle multipliée
par la -moitié de (ou
rayon. ' SoTt le cercle '
jABC D : je dis que B^
(urface eft égale au pro-
duit de la circonférence
ABCDA multipliée par
.la moitié du rayon AE»
Car ce cercle eft [^ un
.polygone régulier d*une infinité de cAtez ûifibi^'
«nej^j petits. Supppfons qu'un de ces Ç^^ infi-
niment petits foit ^ 5 , les lignes EA^ ^ 39

* Sufpofit. OH Prof. 46. Geû. [* "• C^r. Fref. ^g. G^#^
1*] Cor. I. Proj. 40. GçQ. ['] Prcf . ^*/l ^
Ax. 3. ^w, C'3 C<v. déf. ;^. (»##,

4%^ Trâipme fârtîf.

xj^ (bnf cdtez in niaiigle Al^B (ctofit infiû.|
«nenc prodies l'une de l'autre ; ic p^ait^nt la. Juo-
teur de ce triangle £^ f fera confiderée com*
ne mi rayon de ce cercle jfBÇp. Sî on mal-
fiplie la (pnune 4c coures les baies ûfiniinnc
petites de ces pepts .triangles dont le iommet cft
4ans le centre £ . par k mpitié de leur faautm
(Qminune , ç*eft i dire , fi on multiplie la di-
conferfinçe da cercle par la moitié du rajon , ni
aur^ £'•' donc pour produit la f^irfacc de ce o^
de.

pans, la pratique il eft facile de connofcre k
longueur de Jaxirconfèrçnçe d'un cercle ^ il ûffit
j>our cela d'appliquer le bout d'iui cordeau dans
Je point X, par exemple , & de ooucber enfiiite
]c rcfte de çt cordeau filr la circonférence
ABC J>4* Apxàs Jïci^ on ^endjut ^ cordeau en
ligne droite ,, & Ofi ç|iefurera con^ien il condcne
^ ipîeds , de jpouces , &c, ce qui fera connôit^c
1^ jgrandeur de k circonfei^ence doncil s'agiu

COROLIAIRB IIL

pour connoitrekfiu&ced'ttii feâeurdeeer^
cV , il faut multiplier ibn arc par la moitié de
fon rayon , % le produit de cette multiplicarioa
exprimera k furface de xe feâeur. Car le feâesr
d'un cercle eft k fbmnie d'une infinité de tnan-
gles infiniment petits., dont la&mniedes bofo
-ffl^ Tare de ce kdfxxa , & dont k luiutenr coo»-
tnune eft ondes rayons qui|pem)ine;Qt ce misil

rj M^H.

CX)aOUAJILB

- COR OLLAIREIV.

Si on ib propofè de meforer la furface du trape«
Ibide ^ B C D , il faut multiplier la moitié de Ul
fotnaie des cotez ABScPC par la hauteur de
Icette figure qui eft ia perpendkiilaire J> £ , & le
godait exprime-
ra la yaleor de i% C P
la liirface qu'oa >?•% ' V""";
cherche. Cdur^fi on ,/^| ''''•*-4 \ 1
mené la diagona- ^r 1 ***'-.\^
leI>B,ileftévi- /^ I . "^
dientqvelestrian- ^ JS B
gles ^BD&2>fC

*font de même hauteur étant cntft les mêmes ^a-
xaUcles ^« & 2> C Or f « J k moitié de la fom-
me des bafes ABScDC multipliée par la hau-
teur commune D M exprime la valeur des deux
triangles ABD ècDBC. Donc le produit de U
moitié de la fomme des cÂtcz AhScDC multi-
pliée par la perpendiculaire eft la fiirface de la
bgaxcABC D.

- Si on ne pouvoit parcourir cette furfacc pour
itiefurer la perpendiculaire D Éi il fuffttoit de
proîongcï: le cété D C , enfufce du point JB , par
exemple , on meneroit k perpendiculaire B€
qui fcroit cônnoître Ion * égale ED.

S*iÀ. fe rencontre un polygone irrégulicr , pat
ttcnhple , G HLM NO Scfat on Ve propofe
de mefiirer la fiirface 5 il faut mener une li-
gne du fommet G de l'angle O G H au {6m^
met £ de Tangle if JC H qui patult le plus^ éloi^

* Car, 4, Pffip. 6. Ge0.
[*3 ^rtf-fref, é* Cor, i, Pr^* 40. Geâ.

Nn

H

411 Tr^fi^fne Vdrtle.

ené. Enfoite da fommet de chacun des aoties
Sigîes de la figure on mènera fi^ cette ligne
G L les per- ^

pendicul li-
res OV, SK^

[»] mefurc-
ra le trian-
gle GPO,
le trapcfoi-

& les autres

crepcfoïdes

& trianglts , pour 1*1 connoître enfin la EoAcc

entière G HLM NO.

Si pn veut mefiirer une fiirface *irréguliere
qu'on ne peut parcourir librement eu ligne diob-.
tcpar eiem-
pie celle U jSi

d'un étang

du terrain oà
cftconftruitc
une niaifon ,
d'un bois
taillis , &c.
lor [qu'il n'y a
aucun obfta-
de , on pro-
longera le côté A B, ou AF^ &c. Sur le côte AB
prolongé on mènera la perpendiculaire D G que
l'on prolongera vers H, A cette ligne G H on
mènera perpendiculairement la ligne H L pat le
point E, qui fera * parallèle à M G.Par le point ï

['] Cor. I. Prtf» 40. Gw. 0> Cor, fref^

i^^Ax^^.gen,

* P/»it; wProf. i;. G/<^^

Géométrie^ 4*5

^ft mtûtt^ la ligne L M perpendiculaire à H £ ,
cette ligne AfL fera * auffi parallèle à H G. On
medirera le parallélogramme M H* Enfuite on
mefiirera les fîirfaces des triangles CND , DHEy
BLJF ^FMA^Scdu trapefe BGNC. Enfin de
la valeur du parallélogramme Af H on retran-
chera la fomme de ces triangles & trape(è , le
refte fera conneftre combien de toifés ou de per«
ches contient la fiir£ice ABCDEF.

PROPOSITION XLIX.

Z^s parsllelo^ammes dmt les hauteurs font égales ,
font entre eux comme leurs hafes ; é^fi les bafes
font égales,ils font entr eux comme lems hauteurs.

DEMONSTRATION.

Soient les parallélogrammes AC ^EG donc
les hauteurs BC & JL foient égales cntr'ellcj:

je dis que AC .EQ :: -4B . EF. Car ['] le
parallélogramme A C =^ B X B C , & C* ] le pa-
rallélogramme E G =E F X F Z, Or en divifaiij?
ces deux produits par les hauteurs égales hC éc
J?Z, onauraT^] -4BxBC..EFxFZ: : : -4B .
EF . c'eft à dire [♦] que le parallclQgrammc
(^ C . E G :: ^ B . E F , « qu'il fallait démontrer.

* Part, 1, Prop. if . Geo. V^ Cor» i. déf, ^y Geo.
[»3 Cor. }. Prop. jj. Geo, CH Prop. s, Mgtif.
[♦J Vem. I. gen. Nn ij

4^4 Tfûijiémi Véirtie;

Si ks bàfe atoienc ht fiippofiEes %ales , «i
awoit dirifi ces dcuz|^odiiics par>tf B & par£F^
IconaorokeajCBxBC . EFxFL :: BC . FI»

COROLLAIKE.

Les triangles donc les hauteurs font égakf
Xbnc aoiE cntr'eiiz comme lents bai«s» Soicm

T< Mo

K

ïe$ triangles LAiJSt ^0?S y dont k$ hantcnrf
TW & R5* font égales : je dis que le triangle
£ M N eft au triangle OPS , comme la bafc LAÎ
eftà labafe OP. Car * le triangle LMNziz

— r^ XI Af,& le .triangle OPs=i—RS^

OP.Donc C'I en diyifanc ces deux produits par les

j^andetirs [*3 égales — r2«',&^A5', on ara

— ^r^xXAf . ^KSxOF t: ZM . OI ,
a a

^•cft à dire le triangle ZMN . OPS :tZM .OP.

Géométrie. 4^5

Si Icsbafes LM8c OP avoicnt été fuppofées
égales, on auroit divifé les deux premiers ternies
de ranalogic par LM & par OP , & on auroit *

trouvé —TNxLM .~RS>iOP :; — TN.

1 i i

JLrs :iTN .RS['].

2,

PROPOSITION L.

!«> Si un farallelogramme a un defes angles égal à
un angle dun autre faraUehgramme ; ces paral-
lélogrammes feront entre eux comme les produits
des cotez, qui comprennent ces angles égaux-

,t5* Si un triangle a un defes angles égal à un angle
et un autre ; ces triantes font aufft entreux corn--

• me lesproduiis des coteT^ qui comprennent ces an^
gles égaux»

DEMCNSTRATION

SI LA rRSHIIKI VARTISr

S Oit le paiallclogramme A C dont l'an-
gle ^BC foit égal à Panglc HEF du
parallélogramme EG : je dis que ^C . E G : :
^BxBC.EFxEH Pour le démontrer , U

* Trep. f' Algek.

W» iij

^^^ piolonger les càitz Ah & C E jni^aei
aux pointsN&X, dtfôttc<pc BN = £â^
2c qoe BL
=E f . En- D__C X>

-fiûtc parle \ V X

point K on
meneraNA^
parallèle i
fiX, &par
k point £
on mènera
Zài paral-
lèle à BN :
Se on abra
('] le paral-
klogranv-

me LNzssMG. Enfin on prolongera le cM
2>C y &on prolongera k coccMN pour avoir
k paxaUelogranEune B O.

£*] Le paxallelogramme AC .BQ :: AB .BK,
[•] Le parallélogramme B O . JLN^ :: CB . BI.
T>oncii]ACxBO .BOxLN :: ^BxCB.
B N X B X, Or fi. on dirik ks deux premiers ter-
mes de cette dernière analogie par B O , on aujra
[♦]^C. LN:=xEG iiABxCB.BNxBL^
I H X £ F [ J J , ff çiH'il falloif dffMmtrêf.

DEMONSTRATION

Ot LA SSCONDfi FARTIE.

Soit le uiangk O P R dont l'angle tHOCA
égal à Tangle VS T du triangle STf^ijc^s que
le triangle OPH . STV :: OPxPR .SVxST .
Pour le démontrer , il faut prolonger le côté Of

yi Cor. 1, Prof. ^Î.Giê.
y]Prof,ti.Alfreh,
^*Jf4r$anft nftion.

t*.1 Trop. 49. Cep.
l^^Prcf.é.Ai^.

eeâmitne. |ij

'Infqaes en If , de for-
te qtic pr=^F,
& prolonger RP ju£-
ques en X*, Sclor-
ce qac PX=STyic
jneacr la ligne X T.
Alors * le triangle
TXY fera égal au
triangle SVT ^ **
ajanc l'angle XPX
égal àrangle F^T
du triangle S TV.
£nfuite en mènera la
ligne HT.
f«3 Le triangle OJPR .RPT iiOP .PT.
»] Le triangleUPr . PXr :; KP . PX.
Donc [*j OPKy.KPr .KPry^PXr \^.
OPxRP. PTxPX^ & en divifant ks deux
premiers termes de cette dernière analogie par
la grandeur RPT qur fe trouve multipliée dans
l'un & dans l'autre, on aura ['J le triangle
OVK,PXr — STV ::OPyPR.Pr}^PX
Z3iSV}^STy cequilfiUlûkdefftontrir.

COROLLAIRE I.

•

Les parallélogrammes reâangles font W eii^
tr*eux cpmme les produits de leurs c6te2 qui
comprennent un angle droit , puifque [^1 tous les
angles droits font égaux : ce qui eft la même
«hofè que de conclure en gênerai que les parallce

* Part, i: Prof. ^^. Geo*

* * Stifftfit, eJ» Part. I, Prfif* ii, Gto,

[*} Cor. Prof. 49. Ge^. t*] Prap. u. Alg. "
[ i ] Prof. 6. Alg. £♦] Pârt9u Prof. fref.

['] Qot^ j. Prof^ ig. Cê0*

Nn iiij

^4it Tr^ipmi Tdrtim.

logrammes , (bit reâangles , Toit obliqaan^Ies;
fonc entr'caz comme les produits de leurs Da/ês
par leun hauteurs. Car les parallélogrammes
obliques font L'3 égaux aux parallelogramma
^jreâangles de même bafè & de même hautoiL
pn dira la même choIè des triangles re<5bingle^

COROLLAIRE II.

Si deux parallélogrammes fent égaux , & I
un de ces parallélogrammes a un de les an-
gles égal à un angle de Taucre; les côtcz de
€t% parallélogrammes qui comprendront
ces angles égaux , feront entre eux récipro-
quement proportionels, ^oit le paralîelo'
gramme >fC:ï=E G, & l'angle DufB=i^£F:

je disque -rfB. EF : : EH . -rfD. Car I*liiC.

EG r.^DX^B .EHxEF.ÔrW-rfCsrrïG.
Donc ulI>x^B = EHxEF. Donc t*]^B.

COROLLAIRE III.

Si un parallélogramme , pat exemple ^ACi
l'angle BAli égal à l'angle H^T d'un autic

Gêùmetrîe* l^ijf

Itatcallelûgramme £ <? , & fi les cétet tfà com-
prennent ces angles égaux, (ont reciprpquemeae
proportionels -, ces parallélogrammes AC 6cBG
leronc égaux entr'eux« Car pwfipie * AB .EJ?
:: EH . AD 3 on aura ** AByAD=:EFx
Eir. Or [']AC .EGiiABxAD.EixEa^
Donc AC=EG.

COROLLAIRE IV.
Si deux triangles font égaux eotr^eux , & ^fi
tin angle d'un de ces
triangles eft égal à un A
angle d'un autre 5 les
cotez qui compren-
dront ces angles fe-
ront réciproquement
i>roportioncls. Soit
c triangle ABC=:,
J>EF } foit Tangle
CAB égal àTangle
Fi>£ : je dis que
AB .DE :: DF .AC. Car [*] le triangfe
ABC .DEF ::ABxAC .DExDF. Or*
k triangle ABC=:DEF. Donc AB xACsii
I>ExDF.Donc[^]AB . DE ::DF .AC.
COROLLAIRE V.
JSi un triangle , par exemple ^ B C , a l'angle
CAB égal à l'angle F DE d'un autre triangle
2>£F , & £ les cotez qui comprennent ces angles^
igaux font réciproquement proportionels ; cef
triangles ABC & DEF feront égaux entr'eux»
CzrhAB'DEiiDF. AC, On aura ** AB
X^C=:D£xI>£smais[']ktriangle^BC.^

* Suffàfit*
V^F0rta.lPr»p.fref.
^Ti Fffif.y Alitt.

** Pr^. 1. AlgiK
LnFMrt.x.H^.frif.

•4}6 Trùifieme TdrtiC

DEF :: AB)CAC .BExl>F. Donc
szDEF.

'^BC

R E M A It SiV E^

Les Corollaires 4SC f àchi Proportion pc^
lente pouvoient
encore être dé-
montrez d'une
Autre gnaràere
ton fimple.

i^ Soit le trian-
gle ACB:^DEF ,
& Fangle ABC
= £Z)F; jcpro-
longe les lignes
AsecCB, &je
dis * le triangldf
BGH égal &é^
quilateral à £DF|

enfin je mené la ligne C i!?. Le triangle ASC ;
€BH :: BGH . CBH**. Or [»]-rfBC . CBff ::
AB .BH . & BGH. CBH. GB .BC. Aa
lieu des rapports égaux qui font entre ABC &
& CBHyôc entre BGHScCBH , febftitaaiit
leurs égaux , on aura ^B , BH :: GB .BC.

1^ Si AÊ .BH :: GB .BC , on aura k
triangle ^BC = B G H. Car -rfBC.CBH::
AB . BH ^dcGBH .CBH:î GB. BC Donc
^BC .CBH :;BGH. C B H. Donc [*] -rfBC
==:BGH=2)5F I î]. Les Corollaires 1* Se fie h
Propofition prefcnte peuvent encore être de-
«lontrez par le nième raiibnnement.

* P*rM.Prtff . 3y, G«t ** Parf.i.Fr<ff.t' Al^,
l^jBraf.^^.Gec. [*] Part, 1, Bref. Z.Ccê.
['J Par ç9»firHB$on%

Gtûmetrii;

PROPOSITION £1.

f* Si um Ugnt droite menée farsUelement à ts isfi
et un triangle , cwfe les deux guêtres xStiK de 4ê
triangle i elle. Us cottfers en quâHre fM/ties fren.

'^ fôrtieneUes ent/elles»

x^ Recifroquement fi une ligne df»te tênfe dêtm
cotez, dun triangle en quatre parties frefertieneU
' Us entr elles i elle fera farallele à la lofe de cé
triangle»

PEMONSTRATIOH

DI LA PILBMIBJL^ PARTZB»

S Oit le triangle ABC dent le< cètczAC Sa
B C {oient coupée par la
ligne D 1^ parallèle â la hzCc
AB: je dis que AD . 2>C ::
B^ • £C. Pour le démon-
trer , caries points -i> &2
ibienc inenéçs aux angles B
& ^ les lignes DB êc BA^
Puifque * B^ eft parallèle
â ^B , le triangle ABB
fera C] égal au triangle
B D E, Donc C*3 le triangle
ABD . DBC : : BDB . DEC.

Or le triangle ABDett Ln

au triangle DBC^ comme Ùl ^

bafe^Dà la bafe DC du r^

mangle DBC y puifqu-ils ont même -hauteur }

* Suppofit. f '] Pé^t. I. Bref. ^o.Oee.

{^.] Part. i. Prof. 8. Alg^ V\Prof. 4^. Geo.

4î4^ TrûiJtAké P'krtiel

me proponioniteJIè ^rckéé; Car dàky^lei^Si^l
gle EIN 1a ligne H Af eft «" parallèle à la bai^-
ZN.DoncEH .HL :i EM .MSr. hUaàs*'
^B = EH^icCJ>=AHJh:=£Mi4QnanÂS,
CDU CJDj.AfJtf.

COROLLâlRB IL

t

•- - »

On ttotLvctA facilement* k tiûàs Ugaet Ji^ih
né«s une quattiéme^ptopônioAneflc.' Sokni Ja
ligtièf AB'^ CJ>y £F àa%a*U^.U lûlte j^

A— r B

c — t> Vi.

» • r « » • •

Terminé quatrième proportionnelle, Tàt le point
G pris à Volonté , on mènera les lignes indêfi*-
nies <jH & GAf.. Sur là ligne GK^ on pren-
dra GNi==:AB',ScNO = Cl^ ; furlaligne
G Af on prendra GP = E F. Enfin pair les points
jir & P, «in nEXênerâ k P s & pajT k point 0
oin mènera O R parallèle a ^ J?. : je dis que la
ligne PR eft îa quatficmepropoitionnellcclier-
^ée. Car dansL le triahglié G O It là ligne S P

* Par conJhuêUm.

[*J Part.^n Prtf,frif,f^ Damn^kiei. (^m^

m Uptemi^ analogie an iien du «pw^

qui loi ^ égal, fçaroir celai du trianitlc abd
au tnaiiglc X)£C ; & au lieu du rapport de la b^c
.S £ ^ £ C . fi on fubftitue fon égal qui cft le rap-
port du triangle tDB. au triangle E O C : on aura
-ttO.DEC : i BDZ. fDC. "donc * Ictrianirle
^I>E = BDE. f J Donc la ligne DE eft paralldc

COROLLAIRE- I.

Ma première, partie de la propoûtion orefent»
«Il le principe d'une métode dont ou fç peut
licrvir pour *^

B

A
C

trouTcr une 3'
ligne propoc-
tionneUe à
deux lignes
'donées. Soient
ks lignes AS
^ CD at»A
-quelles, on Ce
propofe de
trouver une

troifiéme ligne propordonncae , c'eft à dire de

ligne cherchée II &ut mener les lignes indéfi-
nies ET 8c E G qui forment fangle GEf

Ê J-"A ^*'Jî "^' *^ ^ faî^ prendre
^f 3 &»I = C© j & fur la li/„e EG

il faut prendre E M encore égale i CD Enfin
par les j.omts S Se M, il fiut mener la ligne

^ .,',*v'"'"* P" ^« P**'nt ^ la ligne lif-
parallèle a H Af : je dis que .M J? eft £ troifié-

* P*»*. t. Pr^. 8. -f/x«*. ['] ?««^.Pr^.40.G<^

Oo

4j< Trûifi/me Fdrtîe»

Par le point A^ on mènera £i!]gnc mdfiE-
tâc AD , qui fera arec la ligne donnée AÊ
«n angk BABi voiom^. Par l'antre cxtr(-

ft .^-^ !,'•' p' i^ ^g

■ i • »•'

mité B 9 on mènera '^ la Hgne B C\, parallèle i
ta ligne A D, Sur cette ligne AD 6n prendra,
d*ane ouTerture de compas à volonté, les parties^
AE^ EFy FG, GD &c. égalés encre elies ,
ou tcUes. qu'elles foiem entre elks dsms un rap-
port donné. Ensuite flir la ligne B C on pren-
«Ira B H , égale à la quatrième partie GD y,on
prendra HL = GF^ LM = TE^êc AfC =
AE. Enfin par les points correspondants D Se
B y GScHyE 8cL,E8c Af, &c, on mènera
îe$ lignes D B , G H^ EL Sec : je dis que la
ligne ^B efl divifée dans les quatre parties
égales propofccs jC'eft i dire, que AN=^
2^ O = OP = PB.Car ['] les lignes AC^ EJif,

* Cor. 4. Pr<f. ij. tM Ctr, Irtf. ij, <?«,

Y Z» yGHy D9y étant menées par des extré-
.jpic^ez 4^. lignes parallèles Se égales qui font
'parties des ligiif s.droitcs ^I) & ic i ces mêmeç
ligaes -4 C , É Af , &c, feront * parallèles cn-
*tre elles. Donc [*] -^N . N O : : ;^]^ . £ F. Or
[»] -*€ï=£f. Donc auffi-rfN=NO; Pareil-
lement ayani'mené NS parallèle à ÈG;on
aitf^ [J] N i à;: £ F , il5' =:TG : & partant

Ojr p^allte
fbitnerÂent 0 T =i= TV : & partant ['] O P =
PJB. Dohc laligfic drèdte AB'e& divifée dans
le XK)j[nbrt <ks parties égales cherchées.

PROPOSITION tll.

,1^, Lis triangles ijuifimt équiangUs F un à F autre,

oni leurs cote:(^homol»gues ttofortionr^ls*
a*. Kecifroquement les triangles émt les coteH^ foni
frifartionnels ,font éqmangles F un à t autre,

JD E M 0 N S T R A T I 0 :^f

- ; , . r

DE ÏA FRIMIS RB P AKTIE*

Soit te triangle 4BC dont Pançle CAÉefi
égal à Tangle F D E d'un autre triangle D E F,
& rangle-rfBC = DEF, enfin TangleBC^

* Pref. ^é, Gea. •' ' "

['] Part.j.?rap.pref, [^"^Tat^CânirH^m.
[î] Part* I. Prof, 57. Gr^. ; • ^ ,
[♦] Demander G€q* . "

u «

4jS Troîficme Pdrtie.

= £ F D: je dis que ces deux tciangleifonr £cau
blables j c'cft à dire * qu'outre que ces deax
triangles font équiangles Tun à Tautre , Icuis
côccz homologues fom proportionncb, que C^ .

que AB . BC :i
2> £ . £ F , enfin
que BC .C A :;
E F . F I>. Pour
k demontreri fur
le plus grand des
deux côtei bo<
mologues , par
exemple fur ACy
£qit priiè la par-
tie ^ G égale au
cÂtéDF oui lui
correfpond, & fiir ^ B fbit prifc A H égale à DF,
êi (bit menée la, ligne C H. Le triangle AGB
kjant les cotez AQ & AH y égaux * * aux côteï
JFD &DE, & l'angle G AH étant P] égala
l'angle FD£ j k haie G H fera [»] égale à ^
ba(eF£. Ces deux triangles G AH 8c F DE
éttmc équilateraux , Se par con&quent égaux en-
tre eux, ce qu'on dira des cotez de Tun , fera
la même chofc que fi on le difoit 4es cétez de
Tantre.

Fuifquc p] l'angle -rf C B = D F£ , & [^ qpe
rangle -iG« =: ofB i Tanglc ^Gfl lira [♦] épi

** Pétr c0nfiruHim^

BPMn.i.Prap.^f^Geâ^
Cûr. a. Prof, 5 j. G€&.

Geùmetrie* " 4J9

à AC3. La ligne GH (èca donc ♦ pâwJlcle à
X:B. Donc ** CO .GAiiBH .HA,dc[^\
CC'^GA .GA'.iBH-^HA.HAiQ'c&l
dire^CA. GA=^FD::BA.HA = DE['}
Se C']cnfin CA.ABiiID.DE.

Pour démontrer que AB , BC : : DE . EF^
par le point H, il faut mener la ligne HL pa-
rallèle au côté AC. Alors il eft évident [*] que
AH . HB::CL,LBy[^] que BH . HA : z
BL.CLy êclJJqucBH-^HA.HA ::BL^
LC .LC-, enfin[*] que BH -*- H-rf . BL-^LC : :
HA = DE.LC= [*] GH= EF. Ccft i
dire [»] que BA.BC :,rZ>E.EF.

Si par le point G on mené une ligne parallèle
au côtéjf J^, ontrouveraqueJ^C «C^ ::EF«
FJD, ce qui fera facilement démontré , delà
même manière qu'on a démontré que AB » BC
iiDE.EF,

Les triangles équîangles ABC ScDElP ont
donc leurs cotez homologues proportionnels > u
. qn'U féUloit demonfrer^

DEMONSTRATION

SI LA SvBCON'BB PARTXI^

Si les triangles ABC ôcDEE ^ par exem*

* Part. I. Prof. x^. Geo. * * Prof. ;i. Geo^
•[«»J P^f r. 5^ Ctff. Prof. j. ^//e*.
I *] Suftofit. [»] Piirr. a. C<>r. Prof, j, ^/^«*-
p] F/»rf. I. Pfùp. fi, ^ep^.

44Ô Trùifi/w$i F^rtie.

pie , font tds que £C ^ C ^ : : D£ . JE F., I:

^

SB î5 CA.EW.êcAS .VD::AC . FE.Donc
(*] BC. 2)£:;jfB.FD 5 8t enfin {'J BC -
jf B : : D£ , Fi>. Ceû étant : je disque ces deux
triangles font équiangles $ c'eft à aire qoe les
^angles BAC'êc EFD Cjpi font oppofèz aux an-
tecedens BC.&£2>de la première analogie,
font égaux entr'cux $ que les angles ABC ic
FDJS qui font oppofez aux ccHifèquens C A &,
£ F , font âuf£ égaux enttVttx s enfin que i'an-
glc BAC =:EFD, Pour le démontrer, il fane
Uir un des cotez du triamgle J £ Dl , pax exem-
ple &r le côté F£, conftruire un triangle èouian-
"gleau tfiangle AÉC^ 6c poitr cela on>ârflt['J l'an-
gle G F£ = B^C, on fera encore Tangk
G-ÈF asACB,le troi^éme angle F CE Ce trou-
TCfa .[♦] égal ao uoificnae AB^C,'

*

['] Part. *. Cûf. Praf*^. Algi^
l*]'C0r, ). défi II. Algeb»
Pi Cor- 4. Prtp- lo. Geo,
[ ♦ J Cor, 4. Pro^. iU'G4û,

deômeMe. 44#

b llcft[*jc<mftantqaeGB .Eï'::CB^ CA^
Ox PJDE.EFî: CB,C-rf. Donc [i] GM.
EF iiDE.EF. Donc [*] GE = i>£. Pkrcille-
jneiïr[']GF.FE::B^.C^. Mais [»] auffi
2>F.FE :: B^.^C. Donc [*] GF.FE;>
2>F.FE. Donc [♦] G F = D F. Le côté FE
efl: commun $ ces. deux triangles F £ & & £ F I>
(ont donc équilateraux.encr'euz. Donc ['] l'an«<
glc FED = F£ G. Mais auffi | '] l'angle ACM
z=VEG. Donc [7] l'angle ACB:=zFED.Dt
même EFD = EFG [•]; Se BAC ssEFG [*J.
Donc L^l Tangjc BAC = E F D. Donc , »] l'an-

fle FDE =:^BC.Les criangksulCB&FDS
>nc donc équiangks l'on à Taucic ,, a qH*ilféilm,
lait démontrer.

COROLLAIRE I,

Si un triangle, par exemple ABCj a uiî
âe Tes angles A C B égal à un angle D F £ d*UA
autre triangle VEF , Se files cotez C A Se CB
qui comprennent cet angle ACB^ font propoiw
uonnels aux deux côtes FD Se F£ qui comprçiw

;*] Part, u Fritf. fref.
"*] Siéffofit.

'^\ Car. j. dêf. n. -rf/^ff.
♦] ?nrt. i. iV<>f . $. AlgeK
^] Cor. 1. Pfff . 5;. G^^^
''] P/»f coufiraHict^
^ Ax>i%. gener^
\j\C9r,j^.Froi,ii,Gee^

>v

i|4X Tmfieme fartie.

/lentQQ ptreiUngle dans Tantre tmrigle ; c^ctf j
dire, fi ^C.CP;:
J>F.F£ : i^ disque
ces deix triangles &•*
rontéquiangks entre
.eux , (fe telle i^aniere

2UC les angles oppo-
;z aux antecedens de
cette analogie feront
igau^ entre eux ^ de
/nème qne cenxqut
£isom oppofe^ aux
ïconfeqoens. Pour le
^icmoiitrer , fiir le plus gr^nd des antecedens étt
cette analogie , par exemple iSir le c6té Cji,im
prendraCG=FD, &(urCB on prendraCfl
c= F £. Ce qui eft po/fible $ car fi Tantecedent
jfC^TD , on aura auffi le confôquent CB ^FIj
pttifqiïe*^C .Dî'r: CB.FE. Enfin onmc-
nera la Hgne GH , & on attra [^] le triangle CGff^
équilateral , 9c équiangle au triangle F DE,
VmCquc* AC .€BiiDF=GC .TE = en-,

^n anra[»] ACGCiiCB.HC j&pJ^C
^^GC .GC :iCB^ HC . HC , c'e/è àdirtj
A G . GC :: BH . HC . Lz ligne C H fera
[^1 donc parallèle iAB, L'angle CAB fen
P] donc égal iCGH. Maiç auffi f*] l'angle
FDE = CGH, Donc [7] l'angle C -rfB =FDE,
Pareillement [»] l'angle CB-rf=Cfl'G,&[']
FED=zCHG.DohcI'']CBA=aFE D. Cc$

•
* Sftfpùfit. & Fart. t. C^. Jhvf. j. Aif;e^*
[nPartj.Pr0f. ^y.Geo. [^]F»rfAX'^^^.)Jli.
Pj Fart. 4. Ciw. Pr<f . j: ^/^c^. .
i*J Fart. x.Frûp.fuGêo. [^]Part.i.Frof.z4.Ge$,
I*j C*r. a. Pf<J. };. Gcû, [J] Ax. i8. gm.

jàtm triangles ABC6c DEIP feront donc [**]

fcxnblablcç. > . ^

C OROt t AI R E I I. ^

Si un triangle a on de fes câtcz égal au cÂ(6«
^•iin aittre triangle j & fi dcui des an^cs qui ont
leius fommets dans ks enceoûtés de ce cât^.
.d« premier triangle ^ 6)iu égaux à deux mg^'

2ui ont au/S leurs
>inniets dans les C ^V

cxtremitez dcice c6-
:t6r4e l'autre trian-
gle, cliacim à cha-
pon: ces.wdctti trian-
glos feront égail^
cnjtr^ eux en tou^
;Cet naanifirfis, .iSflir
le triangle ABC
jàohx le côté AC foie

_ égal à l'angle ,

46iii<jttektroifîértié angle^-BC = DBFj^onc
[^]AC . DT : : AB . DS.Mais [']AC =DF.
J30nc auffi ^!B=^DE. Enfin [*] comme AB^
.«Il à D E , ainfi BC cft à k F, Or on vient de"
▼ôir que AB=^B1. Donc au/G B C = E F».
<:cs detix triangles ABC^DUF font donc
.étjtnlateraux ^ ils:ibnt dpnc égaux Tuni rautrc,^
;Ch toutes txunipres*.

'*-Cd^ 4, Pf*^. 31. Giw.
I* J St^{ofition^ ■ X^C^r. t. Pr^ïf . 5;. Geo*

'd|44 TtêifUmi Fdttif.

COROLLAIRE III.

On pest tuer de h. Ptopofeion prefcate une
iBunierc de décrire anc figure leôilime qui ak
pour c6cé une ligne donn^. Se qui loit (èinbb'
de à anc antre temiinée par plus de trois càca.
Soit une figure donnée jiBC i> , à laqoellc m
fil propofc de décrire une figure frmhlaWf qi

mit poor un de (es cStez la ligne donnée If*
Du ibmmet d'un des angles de cette figut oa
mènera des lignes aux autres angles qui la di-
vKêroot en triangles. On mènera doiicdn point
P , par exenaple, la ligue I> B , qui partage»
cette figure en deux triangles. JEnfuite ayant fait
* Tangle g — A , il faut encore faire l'angle EFfl
sizABD , 8c mener les lignes F'/T Se E fi jot
qucs au pobt de leur concours H. On fera déa
^HG = B2>CacHrt?= 2>£C : je disque
la figure EFGH fera femblâblc à-rfBC J).Cai
X*, il eft confiant ['] que les angles d'une (ic ces
figure» font égaux aux angles de rautrc , dam

fQfir. 4. Ffif. 10. G«ff. [*] far eanfttMâm.

CMmetrîe. • 4+1

1 diâtun. 1*. Chaque triangk d'une de ces deux
figures étant [*] Iquianglc a chaque triangle de
Tautre , on aura ['] E if . E F : : ^I> . AB. Oa
»ura [*]enfuite EF . FH :: ^B .BD . &HF.
F G : : D iî . BC . Donc [»] EF , FG : : -rf 5 . J?C ^
On aura [* j encore FG ,GH ::BC . CD. Enfin
p]GH.HF::CI>.DB.&HF. HE:: I>B .
3D ^. Donc [*J GH .HE : :CD .DA . Chaquî
côté d'une de ces Figures cftdonc pxopprtio.nncl
â chaque côte de l'autre. Ce&dçux Figures feroiu
donc [*] fcmblables.

Il y a encore d'autres manières de décrire ans
figure fcmblable à une autre. Je prendrai pour
exemple la figure triangulaire dont on peut Ce (cr-
vir pour décrire iîir le papier un angle égal à un
autre angle propofé fur le terrain.

Pour décrire fiir le papier un angle égal 2
Tangle r'entrant ABC , êc un égal à l'angle ùjl^
lant BCD ; fur les lignes BA & BC il faut prendre
les parties B E & JB F , chacune de quatre toifès ,
par exemple ^ Se mefurer la diftance du point B
aiu point F , que je fuppofe de huit toifcs. Enfuite
fiir la ligne droite *2>C prolongée on prendra auflî
CG de quatre toifes , & CH de cjuatre toifes , oa
mefurera la diftance du picquet G au picquet H;
^ on écrira ces mefures fur u:i papier pour s'ea
fouvcnir. Sur un autre papier il faut mener i vo-i
îpnté , une ligne /Kqu'gn dinfera , par exenv
pie, en douze parties égales , qui fervir» d'iuid

i

Prof. frff.

I»] Part. i.C#r. Prof.UtAlgth^
*]Def.4Q^Gif.

PB

4^A ^rol/rAni Partie,

fchd!c àc doute rorfcs. On mènera la ligne U^
& fur j échelle / JC , on prendra auarrc partief
égales c'.iri rcf refentem qaatre coiurs , Se on les
cranrporcera àsx point M en O . On prendra
huit toifes fiir la même échelle I K ôc encore
quatre toifes dont avec la ligne Af O on fert
p] le triangle O NM .J? dis que l'angle LMf
9=1 ABC- Car le triangle O N Af a [* J Ces c6céi
proponionnels aux côtes du triangle ETB; pait
que le c^té O N' contient autant des parties éga-
les du côté -N M , qije le côté E F contient de
Celles du cô^ é F fi ^êc que le côté N M contient
autant de celles du côté Af O , que le côté F B en
tomient du côté 3 E : on dira la niême chofe ï
regard des cô^és Af O , ONj & BZ^ ET,U
frtangle O N M eftdonc [*"| éouian(çle au trian-
gle-E F ^. L'jngle E B^r cft <tenc égal à OMN,
Yan & l'autre étant oppofés aux côtés correrpoa»
dants £ F & ON. On tr6uvera par le même
fai/bnnement que le triangle? ^R eft éqaiaiw

f ] C^. 4- fraf. :f. [»J ire/. X3. ^/^

.H

Gtemêtrie. 4+7

gle au triangle CGH] & ['] l'angle RPg,
eftaijtégalàGCH,onau«['j WPi' = BCD.
On peiic donc décrire , ou deiSnci éxaâeniciit \z
plan tt'uiie mairon,(i'un jaidin , d'un cnclof ,
&c. en fs ferrant d'Une échelle , comme on Tient
de voir , afin de transférer leurs angles fur te pa-
pier i de mener enfuite des lignet (jui {crvironc à
réprefenrer les côtés de cetiL- Maifon, Jatdîn ,
ftc. dans la même proportion qu'an les a trou-
Té» fiir le rerrain,

S'il eft nccellaire de teprefenter un mur
jtBCB E F conftruit en partie fur un plan
horizontal, & le tefte fur une petite montagne
B C Z> £ , tel qu'cft queli^uefois l'enceinte d'un

r

Parc } outre la longueur du mur conlîderée fui-
vant la pante de la Monragne, il faut encora
avoir égard à la longaeur de la bafe de cette
Montagne , 0; pour la connoître en toife , le
mur toujours à niveau , c'elt à dire parallèle-
ment à la ligne horizontale A F. Dans cette cir-
condance il faut lèfervird'une toile G H à la-
(juelleon a ajufté une equerre ou triangle teâan-
-;leG7K jdefone qu'au pointe il y ait un fi-
el attaché , & à fon autre citremtté un plomb
X , Se que ce filet touche librement le c6té G / de
ce triangle, Suppofons pour exemple , ^'U iaiUa

['j Prof. ii.Gw.b" **• 9-Snt,

g

44S Tnîpme fÂttle,

coiinoîcte la longueur de la bafé W N de li Man-
MgLie Al Z N ; il faut pofer à Niveau la toiiê
OPjiîcilors OH connoit [■] la longusurM J,
les lignes O bî Si P S éca Lit perpendiculaires iU
ligne hoiizonule AfW, On dira la même cholë
de â,S ,* r , &c. d'oii oa connoîtra la IJgat
entière ou fcate A/ N.

Si §lji éioit la largeur fuperiewe d'une mn-
laille , & li M r en ëtoit la bife ; on connoî-
troitl'eïcés dontlabareW T furpaffe la largeur
fupcrieiire ^ S , en appliquant horizontale-
ment la toife OP , fit en ajuftant à quelque point
de cette toife le âtet OM, de forte que le
plomb attaché à Coa etttemitf inférieure touche
légèrement le point M , alors la dirtancc OI
féroit ['] connoîtte l'eicfs M S,

On peut encore connoitie la liauceui rZ<tc
la Montagne, en mefutant toutes les hantein
peniales M 0=i.VX['\yP §i~X X, &c. dont
lafommccftf']égaleaCZ.

Pour repréicncer proportionnellement la Cau-
tion d'une muraille ^ C E G qui forme plii-
ficurs angles, oulecoursd'uneRiTicrcGZBN,
ou enfin une prairie , ou autre terrain fcmUa-
ble jfCGBN : onpeutf] mener fur te terrai»

£•] P*«. I. Fr»f. ,7- Gto. ['] Ax. î- £«wr«

£'J Pan, 1. Cvr. f. Er^. 34. Gt^

aiie ligne droite ÂBdu lômmet A d'un angle ,
à un autre B , *; mener [■] de cha(]uc angle à
cette ligne A B ics perpendiculaires CD, E F,
G H, &c. Apres avoir mefuré les famti'AD,DF,
Sic. de la ligne AB,8c chacune des autcei per-
pendiculaires , D C , F ï , &c. il eft facile de lej
décrire fur le papier, propoit ion nellcntent àcelles

3ui font fut le terrain , en fe ferrant d'une ligne
iviScen parties éeales,qac les DelHnateuts ap.
pelleni iihtlU. EnTuite on mènera dam le def-
fein Icï lignes AC ,CE ,T.G , &c. Les tcian-
eiesADC ^ LU B , B N O âa deilêni &ront
f'] femblabletà ceux qui leur correfpondronc
Î5ir le teriain. Et fi on mené des Diagonales
dani les Tiapeloidcs , on tiouïem encore [>\

['] Parr. |. Ctr. x. Bref, 40, Gtt.

Î'I Ctr, y Frtf.iO.GeB.t^Cor.t.Frgp.Brcf.
*\ Cer.y Tr»$. ta. Ci*, ax, ?. pit.. 6- Gw» i.

rm.trtf.

45© Trolji/me TdHif.

d'autres triangles tembkbles. On décrira i,aac
far ce moyen des figures entières , qui Cubot
fcmblablcs à celles qui font propofées.

La Figure ACGBS ^ pouvoir encore cftre di-
viféeen triangles^ C N, N C£, N EG ^ &c.
Alors^ après a-
voir mcfûré
fur le terrain
la longueur
des lignes AC^
CN^ NAi CE,
£ N ; &c. on
auroit facile-*
ment * dé-
crit fur le pa-
pier une figure

icmblable a celle qui eft (ur le terrain , en fc (èf«
Tant d*nne échelle comme on a vu dans les
opérations précédentes. Cette manière eft fort
exa^»

La defcription des figures fèmblables eft trer-
utile pour bien réuf&r dans le deflein , 3c pour
faire en&ite des ouvrages confiderables. Les
Architeâes , Maflbns , Charpentien, Menui-
fiers , Serruriers , Sculpteurs , Fondeuis ^ &c,
ne peuvent éviter de s'en (èrvir , pour perfeôion-
nerdes bâtimens , ou pour en conftruire de noo-
veaux fitr le terrain dont on fait la reprefèncar
tion j & généralement pour exécuter des ouvra-
ges conformément aux deflèins qu'on leur pro-
pofè. Enfin cette pratique eft fort nece^^
re aux Géographes, aux Ingénieurs mêmes,
qui font fouvent obligés de repre(ènter une Ville
avec £c% avenues ,les Marefts , Rivières , ouaii-

* Cor. 4. Prc^ jp Gf0j>if. rj, Al^e^, e$" P^rt.
a. tr0f.fr^^

Ceâmitrie. 4p

très lieux qui en font voifins, II eftdonc encore
avantageux de Toir les niethodes fizivantcs,
pour accrire des Canes Géographiques , pour
représenter fur le papier un lieu paniculier , une
contrée , un païs , &c.

On fe fcrvira d'une planche de bois A B , dont
chaque c6té (cra enriron de if pouces. On appli-

H

A G

quêta un papier blanc fur cette planche en A F^
qui j fera retenu par un quadre ou chaïïîs G H ^
qu'on emboctera au tour de Tefpace C I> £ F. En-
Cuite on a juftcra cette planche horizontalement
ou ànireau , fur un (upport à trois pieds , fem-
blable à celui qui e(l rcprefenté dans la page )9^.
L^s épingles L , Af &c. ferviront de pinnules Se
de petits piquets ; il faut que ces épingles fbient
fort menues , afin qu'elles ne faflcnt que de pe-
tits trous. Cetinftrument eft connu fous le nont
de Planchette.

Pour reprefenter for le papier plufieurs Villa-
ges , par exemple C, D ,B, il faut prendre une
diftance A B connue , de 4^0 toifès , d'une de«
mie lieue , &c. en forte que de fes extrémités^ ôc
f on diçQttrra ces Villages C ,I>,E.U faut ip^

^45»

Trcijieme Tdrtle.

E

pliquer la planchette vers rcitrcmité ^ , & fi-
cher une épingle en A perpendiculairement à la
furface de cette planchette. Il faut en fîcher en-
core une en F y de fone qu'en la regardant
nir le bas elle foit en mênic ligne droite [' j que
es ezcrenûtés A &2.Cette ligne A F fèrrira d'c--
chelle , qu'on dirigera en autant de parties qu'on
fçait que la ]lgnt A B contient de toifês ou de
lieues , &c. Il faut enfuiee ficher les épinglef
H , L, M , de forte qu'en regardant Tcpingledu
point A , ces autres épingles H , L, &c. & les
Clochers , ou autres lieux remarquables de ces
Villages £ ,D ,C , fbient au/Ii en ligne droite :
9c on ntenera les lignes droites A H , AL , AM,
fur lefquelles il faut écrire le nom àcs Villages
od elles font dirigées , afin de s^en fouvenir.

Enfin il faut tranfportcr la planchette vers Tatt*
Uc extrémité J? de la diftance ^B; de forte que

J

Ceùmitrie. 45 j

le point F fe trouve en B , & que les ëpinglcç fi-
chées en B & en G, & le point A Ce trouvent en
ligne droite. Alors par le point B , on mènera
Tcrs ces mômes Villages £ ,D , C les lignes droi-^
tes SE yB D ^ ScB Cy en fichant les épingles
K, ^ S ^T, Les points N , O , P , oà ces derni^-res
lignes couperont les premières , feront ceux ou il
faut reprefenter ces Viliages £ , i> , C, Il eft évi-
dent ['] que ces trianglesG S P, & ABC font
(êmblablesj puisque l'opération même les rend
équiangles. Donc AB .BC : iGB . B F . Se en
connoilfant le nombre des toifes, des lieues , &c.
de réchelle G B , on connoîtra le nombre de
celles du côté B P , en cherchant avec un compas
combien B P contient d^s panies égales de G B,
Ces parties feront âuiïî connoître celles de B C^
On dira la mêmechofe à regard des autres trian^
gles OBOy G BN yScc.

Il peut arriver que la planchette cft quelque-
fois trop petite , & que les points de concours
i7 , 0,P , &c. ne peuvent le rencontrer fur fà
fiirface > alors on fe fcrvixa de k métode fui-»
vante.

Apres avoir pris une diftancc connue AB ^
conimc dans la pratique précédente $ au lieu de
la planchette , il faut pofer horizontalement au
point A un demi cercle NO P divifé en degrés,
de forte que par les pinnules N,Sc O a juilées aux
extrémités de Con diamètre y on puifl'e apperce-
yoir quelque marque au point B. Ce demi cer-
cle demeurant ûxc en cette fituation , il faut di-
riger les pinnules RSc P de la règle mobile R JP
attachée au émtke du demi cercle , vers chacun
de ces Villages dont eft queftion 3 obfervei de

'454 Trêifiimf Partie»

€Otàbicn it degrés eft l'angle C AB^ par exem-
ple y de combien eft Tangle D A B ^ &c« & écd-
rcle nombre des degrés , qai font [M la mefiut
de chacun de ces angles , poiir s''en fouren^. Oa
aao/poncra cet inftiument à Tautre ftacion B

•

Se on obfèrrera au/If le nombre des degrés qo*
conviennent aux angles CBA^ DBA^ &C'
Enfin on mènera fur le papier la ligne F G fur
laquelle on fera [*] les triangles Ai GF ^ILG
ScFGH éqniahgles aux triangles AB C ^ JBD,
^ B £ qui font fur le terrain , & qui leur (eronc

[«] Prap. 10. Geâ.

î* j Cor. 4, Pr<f. 10. <J» C^r, 4. Prof, 31. (?^^,

■

• Veûmtfrie» 45I

[*] {ctnblables. Les Villages C , I> , 8c E feront
reprefentés dans les points H , Lôc M. On dw
triièra la ligne F G dans un nombre de -partiel
égal à celui <]uicft connu dans U ligne A Bpout
icrvir d'Echelle. On trouvera ['] enfin que F G.
G H: iAB.BB. ôcc.

Au lieu des Villages E,D, C , fi on avoic
fait attention aux Commets des angles d*ua parc
eu enclos , d'une prairie , &c. on autoit aufli
pu £c fènrir de ces deux dernières mécodès^
pour décrire une figure feniblable a celle de ce
terrain j & pour en aroit les côtés , on auroit
mené des lignes du point C au point i> , ^ dii
point D au point C.

La Boulfole qu'on a ajaftée dans le plan du
4enii cercle , eu. utile à faire connoitre le Nord
fie le Mi<li du terrain dont eft queftion , par le '
Xnojen d'une aiguille aymantée poliée en équili«
J>re fux un pirot , 3ç dont une des extrémités Ce
fourne vers le Nord , & l'autre ycrs le Midi.

On peut encore fe fcrvir de l'inftrument A B^
uin'cft qu'une planche de bois , taillée en forme
e cercle, de douze ou quinze pouces de diame-*
tre , ^ de trois quarts de pouce d'épaifiêur , oit.
xnviron. tl faut placer dans le centre E un pivot
bu aiguille fine & déliée , & ajufter à ce pivot
une règle mobile £abriquée de ibrte que la li«
gne droite C D palle par le centre £. Il faut en-
pore ajufter i cette règle deux pinnules de telle
manière que leurs côtés CF Zc DG ajent leurs
extrémités dans la ligne droite ÇD^fç ip^eiUI

3

r^ftf

Trpffi^me târtU.

perpendiculaires au ^lan de la règle Le trov dtf
pivot doit être petit ^ afin que Ton centre fe trou*
Te exadement dans la ligne C D, On applique
cet infiniment à Textremité d'un bâton ©u /n|-
pori fi. Il faut mettre fous cette règle C B un
papier blanc , auquel on jaura ^oUé par le deflbos
àvl milieu un autre petit papier ^ pour empècber
que le trou du pivot ne foit augmenté > & <\^
rien n'y foit déchiré pendant Topera tien. Il fi*
cnfuite avoir la précaution de coller ce papict
.l)lanc à la planche de bois en trois dm <}uatre f^
^tits endroits ^ pa;- l'extrémité feulement.

pour fe fèrvir de cet infiniment , 11 fant le po-
fer , par exemple , en / , dirigeant les côtés C ï .
& D G des pinnules en ligne droite vers un aiH
tre point K , d'une diflancc connue ^& un p^
^ra^de à proportipii que lc$ lieux qu'on Tfoc

xepref^^

Geêmetrle. 4^-

ïfcprcfcnter fiirlcpapicr , font éloignés, tareele
^inobile demeurant fîméc de manière que %
ligne droite C D foie fur U ligne / jc il
faut far le papier blanc de dcffous décrire
une ligne avçç du crayon, ou derçncre , fur la-,
quelkon écrit, ligne de ftations. On fait la m^
jne chofe a regard des Villages N , Af , X , Mou-
lins , Hameaux ,. &c. en écrivant les noms fur
les lignes gui leur appartiennent. Après cela il
Jaut oter le papier fur lequel on vient de mener
tes lignes , & tranfportcr rinftrument en ic,
Apres y avoir appliqué un nouveau papier
bldnc, on dirigera la règle moirile vers le pre-
mier point deltation J^ & enfuite vers les YiU
laees N ,M êcly comme dans foperation pre-
icedente , Se on mènera des lignes fur le nouveau
}>2pier , qui exprimeront les angles IKN , iKAf
&c i & fur ces Hgnes on écrira encore le nonî
des lieux oicJJes feront dirigées. Il faut enfuite
prendre ces deux- papiers, &potr leurs centrer
fiir un autre papier OPcn g^ & en R , obfer,
vant que deux de leurs lignes qui avoient été di-
rigées vers / 8c K faflcnt la ligne droite €)r
ce qui fera facilirf par une' ligne droite menée
fur le papier p P. Enfuite avçc la pointe d'une
-épmgle il faut marquer fur le papier OP les

ïK)intsâ^K 5^, jr, F, X,r,Z, pour ymener
tics lignes jufqu'a leurs autres points de rencon-
.trc , & décrire la figure iklmn, dont chaque
triangle eft [«J femblable à chacun de ceux de la
.figure / K /: Af jsr. Enfin on décrira les Villages
^Wxx points 7 ^m,ôcj$, avec leurs noms à côté»

R.1

'45«

Tntjîime Tartttl

fROPO^ltlÔN LUI.

Bans un triémgUnBmngU p ta Ugnê tnenit di$
fsmmet de tsngUdrmferfendicnldiremnu sm dû
ffâilMs efi pfposé» ékvi/e ce triÂngleén dewf sutm
fu$ M ffn$ /(nnUsiles^

b E UOîi ST R Â T î O N

S Oh le triangle JB C .doiït TangLe ^ C B efi
droit ; du lomaiet C cie cet angle foit menée
fa ligne CI) perpendiculairement au c^ABi
}o dis auéles triangles 4ÔQ 9ç c)ds 6x4
femblables au
triangle A B Ç»
Car Tangle drojr
AÎ>C àvL triàib>
gk^C2>e{l[;)
Igal à l'angle
droit BC A ; èc
fangleD^Ceft
commun aut

ieux triangles yf'* C ScAï>Ç itc ttoifi4mt an-
^\tACD cft {*] donc cgalau troifîcme A SÇ
Su triangle A C B. U triangle CAD cft \}]
llonc fcmplâble au triangle ApÇ.

Pareillement Tangle Ç DB=> ACB^ & Tan-
^leC B -4 cft comniun aux deux triangles CDI,
& ^ C jB f Iç troifiémeaiigle ^ Ç 2) eft donc [*j
'jjgal au troifiéme (^ AK di^ tringle AiÇ,^,

{»] C&t. i. Prep.1i,9.XSe^ .

p] Cet. 4. frof. jr. Gee.
l) un, f. Pref. ;>, ^ff.

GeometrUl 45 j

triangle RC Jb ed donc Semblable âufli au txian-
£lc JLB C \Qt qu'il fallpit demontrn^

COROLLAIRE I.

On vient de voir dans la demonftration de la
{>ropoiîtxon pre(cntc,qac Tanglc ACX} =^DBC^
que l'angle C^D = DCB, on fçaic auffî [']
que Tanglc droit AD Csss CB B. Les trian-

içles-^DC ScCI>Bfont donc [*] femblablcf
•un à l'autre , & dccoiiyrcnt cvidcmn\çnt les vé-
rités fuivantes.

x^. La ligne perpendiculaire C p t!k une
mojenne proportionnelle entre les parti^ A H
êcD B du côté oppofé a Tangle droit AÇ ^^
(Car J'] le c^tcA X) du triangle AD C cAûm cô-
té D C du triangle D SC ^ comme le côté D C
'idu tirrangle ADC c& au côté DB du triangle
t> BCi c'cft àdire P] que-ff- AD . H à .D B.

x^. Le côtéu^ C cft une ligne nooyenne propor-
tionnelle entre le côté entier ^B & Ta partie AD^
Car [*] le côté entier AB à^ triangle ABC cd
au côté ^Ç du triangle -<f DjCj çpnune le côt^
A C du triangle ABC cAzu. côté ADdvL trian-
gle AD C 5 c*cft à dire que -:> AB.ACADi

3®. Le côté B C eft une Ugne moyenne pro-
portionnelle entre le côté ^ ^ 6c la partie D B,
Car [*] le côté A B du triangle ^B C cft au côté
C B du triangle C D B y comme le côté C B du
triangle CA B eft au <ôté DB du triangle Ç D B,

• ■ * *

'^]Cor.^.Trof. zo.Geû.

'*] Part, 1. Prçp. sx,(^ F^rf. t, 4ff. ^Q» (^

^^] Déf ij. Alsfi:

.* .. \

ÇLlii

4^0 Troijt/me Tdrtie*

COROLLAIRE II.
Le Corollaire précèdent eft le fondement d'aite
métode 4ont on peut fc fervir , pour trouver une
moycnite proportionnelle entre deux lignes don^

nées. Soient

les lignes /^ B

u on le pro-
poft à*cti
chercher
encore une,
qui foit telle
cmcAB^oit
a cette li-
gne cher-
chée, comme cette ligne cherchée eft aC2>; II
faut mener une ligne indéfinie £ F , &: (ùr cette
ligne prendre le» parties lEG ^ G H égales aux
lignes données ABScC D, Enfuite , prenant la
ligne toule £ H poar an diamètre , ou {a moi-
tic £ L pour un rajon^ il faut décrire la demie
circonférence EMH y de par reitremité G de
la ligne EG=zÀB il faut ['] mener Hncpcr-
pendiculaîre à £ H , & la. prolonger ;aiqu*â ce
qu'elle fe termine dans la demie circontcrcncc
au point A^ : Je dis que cette perpendiculaire
G Af eft une mojenne proportionnelle entre E G
ic GH. Car l'angle £Af H eft [»] à fit j GU
eft pj perpendiculaire à £/f. Donc [♦] G M eft
une moyenne proportionnelle entre AB êc CD,
c'cft à direque^ £ G= -rf B. G Af . GH=<

'*] Part. 1, Cor. 4. Prcp, y; Gi$,
Cor. 7. Prof. 17, Giâ* *
far conflruBim.

(♦j PArt.u Cor. I. Ffof>fr$[^

r,-i

Geof^trU»

4»^

"1 :. » i

PROPOSITIO N LIV.

Sidemc cordes fe coupent daiïs un emie , îespar^
t»/^ ie l'une font reci^ocjUfiment frofottionnelhs aux
fartiçs de Vmtrs* * '

p. E M O N s T R A T I a N

Soient les Cordés ^B'& CD qui fe coiipeiu
mutuellement au point E pris dans lé cercle
ADBC : Je dis qiie les parties de ces cordes
foiu «ntr*clles en r ju *
port recigroquci c'eft Ç^^ ""■^Nk.-B

a dire- , par exemple '
queC JS,JBB i-.A'E.
à B . Potft le démon-
tT«r j d'une! éxtremi- '
cé C d'une dé ces cor-
des , je mené une li-
S ne à reitremitç A.
'une ^utre corde •
icpar les autres ex-
trémités B & D , je mené encore une autre lignô -

Les triangles ufC£& £B2>{bnt équiangle^.'
CvL'li'a^ngte ÇB4=rBEP,, {ç [*], l'ange
ACE = «a ; enfin ['J r angle C ..< E =36= EDB^
Çcs-ijrjanglçs onç [t] doi>c leuis^9tçs hçm^Q^

r.

{^'Part.i.Trip.tuGeê. " ^
[*] Pr^^. ij,Geo* première cireonfian^t»
5] Pf(>f. 17, <?«C<>f. 4. Pftff. ji, Geo^

..i

f

^ *

'j^t Trûifi/me Partiel

gués proponionnels. Donc CE . £ B : • ^E\
Miy^oixAE .ECiiBD .EB^ce qu'ail féiUm$

CQROLLAIRË L

Le rcâangle compris fous les parties C £ ft
S D d'une de ces cordes eft donc égal au red^an-
gle compris /bus les parties AE Me E h àc fao-
trc. Car , puifque \^\CE .EEwAE . ED , on
[»J aura CExEI>=£jBx^E, c'eft à dire,
[>' le reâangle compris fous C E8c ED , égal
au reâangle compris fous EB ôc AE»

^

PROPOSITION LV.

si itun f oint fris hirt ^iun cercle on mène deux
lignes dféites , qféi^ étant terminées à fa eirconfe-
rence y la ceufentices lignes entières (^ leurs par"
tUs qui feront hors du cercle , feront entr elles reci*
froquement frofûftionn^les^

Si une' --de ces lignes coufe la circonférence, d'fi
r autre la touche ; la toséchante menée de ce foint
fris hors le cercle au feint if Attouchement , fera
une moyenne frofortionneîle entre Vautre ligne m»
pitre , ©• fa f ortie qui fe trouvera hirs le cercle »

PEMONSTRATI ON

Oit le point E pris hofs le cercle AiyCBi
de ce point £ ibient menées lei-IigACS EÀ

■•] Trof. Tr*r.
»\ Prof: 1. Algek.

S

*tfi

& £ 2> qui ibnt terminées à k circonférence ^ Se
qui la coupent , ou dont une touche cette circon-i
lerence , & l'autre la coupe : Je dis que ED ^
BAiiEB. EC .csix ['] Tangle BZ>£=:E-rfC,
Tun & l'autre ayant pour mefure ia moitié dit
même arc BC. L'angle AEDcft commun aux
deux triangles AE C ScBE D, Le troifléme an-*
gle EBD cd *] donc égal autroifiéme ACE,
"Les côtés homologues des triangles EBD-Sc
^AC font [^] donc proportionnels entr'eux.
I>pnc le côcé£ D du triangle E BD eft au côté
JE A au triangle EC A ^ comme le côté £ £ du
triangle E D B eft au côté £ C du triangle EAC^
ce qi^ii f»ll(nt démonirer,

n eft évident que, fi la ligne EAy. par exem-^
pie , eft touchante , cette ligne £ A dcyicnt égar.
k ࣠B . donc -^ £ jD .Ewf . EC^

[*]Tf9f. 17, Gê<y.

'* J Cor. 4, Trof. 3 1. Ge0^

f * J Cor. 4, Trof. 3 1. Ge0^

4^4 Troijtime fartie.

COROLLAI RE

Le reâangle compris fous la ligne entière £D
&: fa panie £ C qui eft hors le cercle cft égal m
reâangle compris fbtis l'autre ligne entière £ A^
ic fous fa partie £ B aullî extérieure au cercle.
Car[']ED.E-rf : : E B. ZC. Donc EDx
1E C = £ ^ X £ B. Il eft encore évident que k
re6^angle compris fous la ligne entière £ D ,
terminée à la circonférence en coupant k
cercle, 9c fous la partie E C , eft égal au quaxi^
de la touchante £ A .menée du même point £.
Car, puiCjue ':^ ED »E A, E C, on auraEDx
£C=E^XE^. Enfin fi du même point £ oq
mené plufieurs lignes qui Ce terminent à la cir-
conférence en coupant le cercle ^ les redbmgks
compris fi>as ces lignes entières & (bas leurs par-
tics extérieures au cercle feront égaux entr'cui :
puifque chacun eft égal att qttarré de la touchante.

PROPOSITION LVI.

Les faratielogr/tmmes femhîMes font enireuji
tpmme les quartes de leurs cotés homologues.

Les triangles femhUbles font uuj^ entrtux commi
tes quartés de leurs eotés homologues,

»

^DEMONSTRATIOJ^

Sbient les .pataUielogramBi^^ fcmblablies S(?
& Z KT ,& loit nommé iij le côté E /f ', & ^ le
côcc £7 du parallelogrammç^.£ G, -foie enfin

f»] Trof, Vref.

Gsometrici

4H

^ h d ^

nommé c le cîtc L O ^ 8c d le cét^ LM du pa-;
lUllèlogramme LKi'Jc disque E'G .LN :: ajt;
c c 3 que EG . L N : : b"h ,dd. &c. Car les pa-.
rallelogrammcs EG 6c LN étant ['] fcmbla-
blcs , oii,a [*] a»c :: h , d. Donc ['] a d=:cb.
Mais [*j le parallélogramme EG eu à LN ;t
«» ^ • c d,Un multipliant les deux derniers ter-
mes de cette dernière analogie ^^LtadScch^oai
aura ['j ah . c d :: /tM%d . cchd . & ea
divifant ces deux derniers termes par ce qu'ils
ont de commun qui efl: ^ ^ , on aura [' ] aahd^
c € b d : : at^ , ce ^ ces quatre raports feront
donc égaux entr*eux, E G ,L N :: a,b . c d^, z
0abd\ c c bd ; : aét* fCy Donc E G , LN :x

MM, ce.

Au lieu de multiplier i» ^ par ad , 8c c d par
c b ,{ion avoit multiplié a b par cb ^ 8c c d par
a d , 8c continué le refte comme on vient de
voir ; on auroit auflî trouvé que E G , LN ::
h b.dd :: FGxFG.AfNxÀfN*::GHX
GH ,N OxNO.

Pour démontrer que le triangle £ F H eft as

['] Sfffpofit. n Ff#p. f . ^k^K

[ *] Fart. a. Def ^9. Ceâ. [^ i*»-^^- ^- ^'f **•

^j P4>rM. Pr#y, f9. Gc9.

f

"^tt Trùiftime tdrtUé

tnanglcLÊdO:: A^'CCzîbh. ddi: T HX,
'B H .MOxMO i dans le raiionncment qu'on
▼icnt de faire pour les pattdklograrames , aa
liettdc£ Gon Uibftitucra [*] le triangle EFff ,

& au lieu de I N on fubftimera LMO^ Aloif
latérite de ]a proportion preCente fera éyidcnte
Sans toutes fes circdnftantès.

Les parallelegramtïies fen^Iables JE G & 1 1^ ,
cm les triangles femblables EFHSCLM 0, font
donc entx'euz comme les quarrcs de ic«« côtà
tuMnologues , ce qu'il fÀUoit démontrer .

COROLLAIRE.

' Sx un parallélogramme , par trctnpïe AC ,
& TangleD A B égal à Tangle H EF d'un autre
parallélogramme £ G : Je dis que le la^oit de cû
parallélogramme ^ C au parallélogramme tG
fera «ompofc des raports des côtes qui com-
prennent ces angles égaux. Car[*3 le paralldo*
gramme^C. EG :: ^Bx^i> . BfxEH.
Or ['] le raport àc AhxAD au produit E Fx
$ Heftcompofé du raport de^fi à EFy & ^
,^2>â£HiOude^Bâ£H&de ÀDi£h^

['] Tart. 1, Pr^* fO. Gtû.
* Part. I. Prop. 5-0. Gtftf»
'^]Prif.iZ.Aliei.

Ciûm^rii, 4*^

E F

•fi ces deux paraltelogram mes font femblableï , îiê
^ront [*J chtr'eûx'cn raifon doublée de celle d*im
XÔté du premier , au côté homologue du fécond^
Car ils fi)nt f*J emr'eux commrlcs quarrés dft
|£urs côtés komologucs 5 & ces quartés font [>]
entr'eux en raifon donblée d'un de ces côtés à uq
Mtte côté homologue.

On démont|:era de la mjtme manière que £ mi
fingle d'un triangle eft égal i vlw angle d'un au^
«te , le rapoft d'un de ces triangles a l'autre , eft
J*j cotnpbfé des râpons des côtes qui cbmpreras-
•^CHt ces angles égaux. Et fi ces triangles font
lembkbieS) le raport de Tun à Tàutre ['J eft doù-
Jblé de celui du côcç d*ttjl 4e ces triangles au çôt$
homok>gue de Taiitt^.

PROPOSITION Lyii.

x^. Le fwuré du cité ^ofékr angle droit d*M
friangle reâilïgnc eft égal jt lafomme des quarrés
fies cotés qm comfrtnHtHt cet angle dfoit,

a*. Réciproquement fi le quatre if un des cités iufk
^iHangié eft égal à Ip fomfne des quartés des deux a^
fres cités ; l'anj^U vffoféi tt cité eft droite

p] Vef. i%.4lgeK& Gw^^êf. i|. Af^eh

T»] Pref. Bref.

^]Cor.?rof,i%.Algeb.

Trbipéme Tdrtîe.
PEMONSTRATION

J>fi lA r&IHXBK.S PARTI I.

S Oit Icttiapgle A fi C rcdangle en C : Je&
que le quarrc de Thypotcnufc ^ B eft égal au
^f uaiié de ^ C & au quarié de B C , piis enfem-

ble. Car du fommec
C de l'angle drok
V* C B , ajant- p]
mené la ligne CD
perpendiculaire-
ment fur la ba6
/i^ y le triangle
^BCferadivifcaj
deux autres triangles ABC Bc Z> B C « qui loi
Xcront [*J femblablcB. Or [^] le triangle ^FC
fftau ti;Langle AD G comme le quarré de^B
.au quarré de jf C ^ & le même triangle ^0 C
eft au triangle C i> B : : ^ B^ . B Cq. Ponc[*l
^BC. ^DC-*-C2>B :: Ahq.ACn'J^
C B j. Mais [» I le triangle ^ B C eft égal à 1»
ibmme des triangles ADC -^ CDBiJe <putt
de ^ B eft donc pareillement égal à Ja fonxant
des quarrçs des çètésAC ^cB C ^ u ^u' il fMM

C ^B C . C D B : : ^ B \ C B ». ">
.2)^»^; 4BC . ABC -I- CDB : : ^B*. AC* H- CB^^
UmsA^C^zAiyC-J^ CD^^
7>mc Ah » == ^ c * -*- C B *.

'fl ?r<f. 14. làil^^. (' j -rlAf 5. ^f».

O E; M O N S T R AT I O M

S Oit le triangle ^ B C dont le côté A B cÊ
tel /juc fon quatre cft. égal à la fommc de»
4eux quanés du côté ^ C & du coté BC ' je dit
que Tan^ ACB - à -^m

oppofé à ce c^ti
JL B cft.droit^PxMir
le djkmoncrer ^ par
]e point C fommec
^e Tànglc A'C B
4(bic menée la ligna
C Z> perpencticu^
lairement a la ligne
Ji O y ^ foit faite
Ç JD = C ^. 041
fUira. [«] u<Dif==;

^ Cf -HCI>^.Mais[-3C2>^-iB C^ jpuiC
que [I] C 2> = 5 C.Daiis cctïT égalité A Bq:=^
ACq^CDq, au lieu de C D ^ , fubftimanc
CBq [♦] jon aura ADq=ACq^ c Ba^
Mais [^J y^^^ =3 ^Cj .^ CJÎ^, Donc iq
.rf ^ î = uf D j, Donc [7J ^ B =ui D. Ces deux
«riaxiglcs ACl>_^AB C feront donc équiktc^
sf f« i>" * l'futrc , & [«] les aiT^lcs oppotts 1
côtes égaux dans run&* dan? l'autre triangle.
foont égaux Donc rangle^CB=^CI>.Dônc
l'angle ACB fera droit , ce qu'il frUoi$ dimimtnir^

*]TAr confiru&iin. '
n Cor. 4. Pr^;. ;. ^/^,K

r

( ^

«• *

Kl

^^ COROLX.AK.B !•

lo. Si on connoîc U lon^gncnr des c4t& ^^

}oneacur de Thjpetc-

crcs côtés ^ patciçm-
»le ii C , on çbnncjtr»
^ffi rawc cfetéB C.

t». Si un triangle reélangfea km ^Fpccemui
4eaîc à rbypotenufc d'un autre triatigkircâa»-
«le I & Û un des côtés qui c6m|ircmrcnt Taurie
3ro« d*j»4ç ^cs^triangjcs , cft égal- à luvdcscô-
1^ qui 'comprennent Taitgle droit dans Pawt<
triangle j le troifiéme côté d'4m de ces aknglcl
ftsa égal aa troi^oïc côté de ÏAuac. Faacqoe
îeqiiarEé d'une de ccs^ hfpotfiwfes cft [i'Jégil
M quarsé 4< Tautitc. Or «copanchant dr part ^
ifaui»e ks quarrés^ des autres côtés égaux , Ici
teftcsferont {*] épsz. tes- reftcs font i: quari
se du tcoifiéme coté d'un de ees triangles , & b
Mocré du troifiéme côté de I^auf re , ^oiaV» 1»

C O 1^ O £ L A I R B I !•
. Ilour décrie ua quanré ég^l i un npiahf
ij|kftisB^>quazrés pcopo&.à volonté » par eiffl»'
fie , à trois quarrés dont les côtés foicnt 4 1 1
jJP C , & C P > ilfaut mea^ pat ïwtcmiiît^

'.. " '' . " '

47*

éèùmitriél

la ligne ^ B b ligne B c

perpendiculaiieaicnt à
cette ligne AB^et éga-
le au coftc B C du le«
cond quatre propofé.
Menez la ligne A c.
Alors [»J le cjuarré dt
Jic = ^B* ^ Bc\
Enfuitepar le poincA ,
ou par le p«int c cxtre*
mitez de h ligne Ac ^
menez U ligne ( ^ per-
pendkalaifement a
cette ligne ^ c , & éga-
le au cofté CJ> dvtaoi&irt^ qoarré pr^poTéf
cn&n menez la ligne Ad^ Le quatre de cette li^-
gnc AJ =A c ''•^CD*. [*j Mais le quairfde
AccA déjà égala4ix quarrés de AS âcéc B C.
l^onc [*] le quarrë de ^d cft égal à la fomoie
^s crois quartes dont les coiibez ContASyBC^
C 3.

Si en aToit c&etcké un quant tz^ ètk
quarté dont le coftéeft XB^ il auroit fallu faire
ks perpendiculaires BçScc dy égales chacune à
la ligne AB, Alors le quatre àcAe fàlMiff deux
fois le quatié de A B,& le quatre de cd râlant ['}
une fois le quatre de AB -, on autoit troutc que
le quarté de Ad qui Yaût f^] les quatrez de ^ ^ de
decdy auroit efle triple du quarré de AS, On
continueroit de mtxat , pour trouver un qoarrfi
quadruple.

CcA ainfi qu'on peut faire Taddition Se la
mulciplicacion des quairez. A l'égard de la fou^

* Ilrij

^ji Tf^f^^^ Pdrtle.

ftraâion des quarrci , on k peut faire par h

vietholé Clivante.

Soient les lignes inégAlcs^B & BC. Si on

fc propofe de connoître le quatre dont le quarré

êcU plus grande AS furpaife le quarrc de là

plus petite B C ;

après avoii; mené

la ligne. A Z> d'nne

longueur TufEiàncc^

on prendra fut

cette ligne A D les

parties A B=- AB^

& fcc = BC. Du

point B comme

centrOy 5c d'une ouverture égale à u< ^ on déciira

la demie circonférence ^ E D , &par le point f

on meneraune perpendiculaire c £ qui (ê tcnni*

nera.â cette demie circonférence en E. Enfin oa

mènera lerajon h JE. Alors ['J hEq =^ ^ » +

cE ». Or [■] i^Eq = A Bf . Donc ABq = B Cf¥

c£f , c'eft à dire que le quarré de.^ fi furpaâck

qoarré de B C de la Taleur du quarré de c £»

PROPOSITION LVIII*

1*. !> eptâffê au cote offêfe k^ PanfU oktus ii^
trUngle reéiiUgne furp/tjfe léfommefaiu des ^mt-
rez des deux MUtns cote:^, dun txcts égal 2
desfx reéijusgles dont chacun efi comfrisfûus un in
cote\^, (^ fous U fartie de ce coté prolongé , ter*
miuée fsr le fammet de V angle ohttés, à» fur une

[^]Varti.Vrof.?ref.
. p] Car. r. Dr/. %^. Ceo. Cûf. l^Ttêfj, f. AlgeK
à^ demande z. Ge»,

ftrpfuËciddm imnêe dm Commet A tan^^ffoféy
^ ce cM frolmgé,

^^ U qutirxé dti cké-pffofi h raf^gU mgtf fjf
moindre que la femme faite des qHarre:(^des deux
Mmtres cite^y de la 'ûaieur do àemx teBangUs dont
^acsen - eft comifrH fous un do ees cott:(j^ fous lé
%artier de eo cote , tertmndo f^r le fommot do l'an^
gle aigu , d^ p4tr me ferfondhsdairo' tmnk de *
t angle offofé ^ieo mémo ooié^ •

DEMONSTRATION

DE &A PUSMIERB PARTIS,

Soie le triangle obco&ngje ABC-^ Coit prou
longé an des cotez qui ccKnp ccnACOt Ta^jte

in point C fom- j^^^

met de Tangle ^\^S^ jp

^ C B foit menée j \ ^v/

Up2rpcn<lîcnlaitc l \^ ^Sw^

C2>àceccrfléB^ l SC \_f__V^

pxDlongé : je d» jj l -

que le qmarté* dtt ''^ J»

cèté C B oppofê

à raiigle obwiy , excède fa (ommeief quatre»
détfcôîtez JfC & wf B, dfc la valeur de de&x»
féj^gle» c&nupti^ fons -rf B & if I>. Foar le
démontrer , foit ntai*tt* & le cofté iC B $ /, le-
cofté BCigylecodcAC iScXyl^ ligne^i>^
Si du quarrédtt cofté Çwf^qm eft gg, on ri-
tranche k qœirré du cofté D A qui cftx^ oki
•«a i'1 11—^ ;«= C Z> ». Et fi du^tmiéi»

*%

CBqvâttkff on. retranche le qasurré de 2> B =a
f ^ X , qai ell « e •4* x ex *^xx ^ on aof» £'J
yy — er — if*— *«=CD\

ff — c e — X ex-^x * = C 2> *

g.g^€e-=^ff'^%ex
gg^te^zex = ff.

Donc [»] ^f-.A?A:=://— ef — lex'-i

Si on «joute xxàt part & cTautrc du ligne
d'égalité de cette dernière équation , [»] onaar*

Si o!i ajoute cnfuite eeit part & d'autre dil
£gne d'égalité de la dernière équation , on au»

Enfin fi on ajoute x ejc encorede part& d'aa-î
ue de la dernière équation gg -^ e e ^ff^
xtfj^j on aura ^^ -4-^ #-*t 1 *«=//• Cefta
dire que le quarré du côté ;C B , qui eft />Ç e*
égal â la fônini? des quarrcz gg -^ eedes deux
autres cotez, & à deux re<^angles e'-Xy cota^ri»
(bus AB^=ze8c fous -<f D =: v. Donc le quirté
// du c&té C B furpafle la ibmme des quarrcz
gg ^ e e dti deux autres côcez A C Se A B 6a
U yaleur de deux teébinglcs compris fouî A^
Ss^AD^yC€Cj^*ilfdloitdim9f^nu

l^lAx.^Gca*

&e$mttrie. %y\

DEMONSTRATIOÎ^

<

X>1 LA ilCOMDB Pai.TXI«

S Oit le triangle ACB dont le côté ACtO: o|M
pofé à l'angle aiguul J? C ; & du foaioaet Q

ïun autre angle AC3 foit menée la lign#
C D perpendiculairement au côté oppofc ABt
je dis que le quarré du côté AC cù, moindre que
la fommedetquarrez des deux autres coftez^i^
&C J? , de la râleur de deux rcdangles dont clia*t
cun eft Qomx^m fous le côté A B Se fous la li«^
gne O B terminée par le fommet B de l'angks
aigu & par la perpendiculaire C D.

Si du ijuarré de B C , qui eft ff^ on retranche
le quirrc àcI>B qui eft * j? , ©a aura ['] / /—
«?;e=:CI>*.& il du quarrc de -rf C , qui eft
retranche # ^ «— a e x- H^ ;r ;e qui eft le

1^

on

quarré de e — Jir = ^ D partie du côté A Bf
on aura [»] encore^^— .^ ei^-ae* — «ar
CD'.

%y4 Tfêlfifmi târtit;

ff=ifg^e0^%ex
ff^e9:=sgg^z€:r

'OotiC [']ff— X x — gg^ie ^ z e« —

Si on ajoute jr r de paît & d'autre d» fignc
d'égalité de cette dcmietc cqu^tionj [*1 o« aucs
//=f5^— .ef-4- z€x.

Si on a joûce encore # e de part & d*aiitre dv
£gne d'égalité de cette équation//=g |r_e t -^
%tx j<Miaura//'-+"«*=^f Hr i«x, c'efti
dire que le qttarré du côté -rf C , quicfti|,cfl
moindre que la (bmme des qHarrez //■+• « «
des deux autres cfoez AU ^C B ^à^ la yalcur
des deux re^angles « x , dont chacun eftcor»-
|risfauslec6té^B=:^ & fous la li^e Z> iT =s
ar , «f jii'i/ /!»//«/ démontrer.

COROLLAIRE I.

Si de la dernière équation g g -4»#r'^ têxs»
ff de la demonftiation de la premicte Partie dr |
la proportion prefente on retranche f^Hrrr
de part & d'autre du fignc d'égalité ^ il reftcM
%e X zs^ff^-^ gi"^^ ^* Enfin fi on divife cha-
cune des deux parties de cette dernière equatieit
par te y on aura pour qaotkns [^] égaux x:=f

Ce qui donne une luechode

four connoicxe la longueur de la ligne^ou pap
[']Ax.iZ.gtff.

Itîe uil}\ lotfi]U^n connoit la longtfetir it chà*
cun des côtcz d'un triangle obcuûngle j & coiw
ixbifTant la; ligne AD Se \t côré AC ^ on con-
nofcra [*] la perpendiculaire C D , & enfin [*]
on connoltra la (iirface du triangle obtufanglc
-rf B C j ce qui eft fort commode lorlquc cette
iurface triangulaire eft , par exemple , un Ma-
*cft , un Etang , un Bois , un Village , &c,
<]a'on ne peut parcourir en ligne droite pour It
di vifèren triangles redlangles coaune on a ea<«
fcigné [*]. -

COROLLAIRE U.

l>ans la demonf^ratlon de la féconde Partît
d.e la proportion preiènte ^ &i chacune des deuc
parties de la pénultième iquation //^= f ^ — ^
me '^x e X on ajoute / #, & fi de chacune de cc0
d«ux mêmes parties en retranché^ j"; on aurt
ff"^ « * — 1"^ = a < *'• Enfin fi on dÎTife Tune
& l'autre des deux parties de cette dernière équa^
tien par r ^ , on aura [♦ j k$ quotients égaux x =*

__- — torfqu'oa coaneic la longnco*

^c chacun des trois coftez d'un triangle redilî-
gne ABC y cette dernière équation enfcignc l^
manière de connoître la longueur de k partie
VB = XiSc enfuitc il eft ['J facile de connoî-
tre la hauteur de ce triangle qui eft la perpendi-

l^]Parf. u C&r.i. Prof. ^7, Giâ^

[* ' Cor. I. Trof. 40. G§o.

P] Cor* z. ?rop. 40. (?r#.

l^]Pr0f.4.AlieK \- ]

i^yt TréUfemê

oÀsLiicCD» ficenfin['] on cotmotot Iti^Sdatf
ic la (nr£au:e.

La mecode qif on Tient d*cn(èigaer dans ier
Corollaires precedens pour ttooTer la nacCne de
la furface, ou de Taire d'un triangle ccâiiignf
donc on connoitièttkmenc chacun des trois cA«
tez , (àtisfaic à un problâme foR utile dans b
géométrie pratique. Car <]«and on pem me-
fiirer les coftez d*ttn triangle , on peut toan
jours connoxtre Cl furface plus facilement , piof
cxaébemenc & arec plus de oriéveté par cette me»
todetres-fimple^que par toute autre^ puisque pour
cclailn'eftpas nece&ire de (è fenrir d'inftnh
ment dirifi en degrez , ni de connojtre ancniie
lûedire d'angle , ni de l'o&ge des tables de Si-
BiB ; une feule toife on cbaiac âtanc firffifanWf
^ur toute l'opesatÛHW

PROPO^fTION ttX.

Zesctrcusts df deux figures fewhUtUf /k
fi^eux cwtme un ciudt funt $fi s tm cM bomff-
U^Hi de tsHtr$*

DEMONSTRATION.

Soient les figures (èmblables ^BC 2>£ ,ft
J GH I K i je dis que le circuit de la pre-
mière eft au circuit de la {ëconde , comme su
c6té de cette première , par exemple AB y f&
k un côté homologue F G de la (êcoade. Car,

HkmtMti

^r%

fuifqtic f ] CCS figures font Êmblàblcs , f* J oiT
,^ra AB^FG ::SÇ. GH.^MÇ .GHi%
CI>.H/.&cz>.H/::D£,/i:,cnfinDE^
/ X « : £^^ xjr ,Ja iboiàçie de c6m$ les vàxtço^

\ i>E.IJC::E^.KF.

/ GHi^HI^lK -f. KF: :-rfS. F G.

V. ^4BCD;E.FGHIK; iAB.FG.

^iexvt ^JB-«- BC«^CZ>iHh2>£-4-£^ eft

Aonc [<] à la iômme de cous lés conCèquentS

smccedcnt ^ B eft à un confcquent ¥G. C'eft â
«Ure , le contours ou circuit ^ B C D £ ^ eft att
circuit V GH IK comme le côté ABc& au cô-^
U F.G-(yu.]ttLeA-k>m^ogtt&, ^ i^-*^ f4k^

i

Hfô

Tfêifiimt Tàrtîi.

PROPOSITION tX*

t* Z# €iremf &» cmtêftr itunefiptrt €êre&i^crkà
t un cercU, efi m circuit dupt MUtre figùrt fm»
hUkU circûnfcrite ^ un nfUrt cercle, comme le âiâ»
0Htr€ de £éfremi$r cercle eft su dismetrg du [è*

%•. U circuit ou centûeer dune figure infcrieeÀ
un cercle , efi au circuit dune autre figure femkU*
hle infcrité à un autre cercle , comme le diamètre i|
^ penmr cerclé efi au diamètre du fécond.

P E HO NST RATION

«. • . '

Soient k€ %urc$ fcmWables Ji B C 1>E K
F G H I K circonicrices à des cercles : ^di}

ijncles cifGttitfe AtCT^ 'ESrT G Itl K font aU
«r'eux comme les diamètres M NjSc P Rdcs cer-
cles aufqucis ces figures font jcyrconicrites. V<^
le demdiitrcr /aux poins d'attoikhemens NicR

^ (kux çôiç$ ho^ioIogttçsiwntoitAés les-Vâa.-

Kiettes M N & P R j & des centres Z 8c O Vi^lcg
E>oints lE^ D, Kiil cxttemité$ de ces côté*
lomologues, foient menées lç% Mo^nçs Ze 8t

X-es angles £DL^cKlO[oat ['J kg moitier
les angles £ BC & Ki H égaux [*] entr'eux;
Donc [i rangle MDZ^KIO. oli demaa^
rrera.dclameme manière >que l'angle DELi^g
rKO. Les triangJes D.£X ^ /ico fcnt donc
ri eqwangles fntr 'eux. Donc t'J £ D . i i ..^
K Z . ^ O . Mais les touchantes £D & K / avec
f^ rayons XN Je OK forment [«} des angles
droits E N L ^K R O ^ qui font [»] égaux en.
tt*f ux ; & puifqu'on vient de voir que les angle»
t^ML^RKO font égaux entr'eux, lestrun-
glcs£7:2^ se KOR feront f4j équiangles en-
tr'euxi On aura donc encore £ £ .£2^r: ; JC o •
O R . de ces deux analogies oh conduera f «1 nue
EÇ .XJ^ : : K/. OU. |>onc ^ £ i> /X / -,
X^ .OR. Or [^«j le contours ABCDE^
WGHIK:: ED. Kl. DansTanalogie precc^
4ente au lieu du raport qui cft entre £ D & jC r
fubûituant fbn égal , on aura A^CDE
yOHIX ; • ZN . OR:; t Z,N=:zAl:N f'^i
sa O R =pp R, Donc enfin jiBCDE. EGHIK ."^
3« N . P & ["] , c, 3«'i/ /4(/.,> ^«»«,^^.

:;

Pi*ff. I. Prif. ft. Geo. [g Prof, u, ç«e,
^ C<w. j. Prof, io. G^#.
«] Fart.i, Cor. Prof. a. ^jy*^

i*'']Proprf9.Geo.
"1 Ctfr, 2)#/. ji. G##.

4*î ^ Trojfieme Fértie.

•■*••• ... '■ ' •>' -1

DEMON S T R A T I O a

DELASECONDEPjLHiri-E.

Soient les figures .{êalblablds A B C DE k
FG H JK inlcrites à des cercljBS : je dis q«
}Si% çir.caits A B C D E Me -FGJfiJC £bnt ai*

D

>t*eux commelcs ^ametres A M Si I O d^% ^t-
xles aufquels c«s figures font inscrites. Pour le
Remontrer , par les €xtrf mitez A 8c'F àe deux
/:ôcez 'homologues foicjit menez les -diaoïetre*
*rfi A2r & F O , & païf les ôUti^s excremitez de ceê
OiTiêniûs côeeï A>iei^tMe«e% les rayons SZêc €y^P.
fiifiiipar-unè des extr'cmiïcz B ou .^ d\ui de ces
x:ôte2,iK)ïnologues fèir tneôéeudie ligRC--^ C ler-
.iTîinée au fommct d'un des autres angles prb-
xliflin« j ^ par fc point ;F etttemité -d'Ain autre
«osé LoxïîoJogue on mener a ftne pareille ligne

Les triangles A B C-tSr F-G-H" f&nt [^] fèmbla-*
blés ,de fortc;ijùfcHes^nglcs AC^B^Sc F G^qù
.ont leurs fommetsidàns Ic^ rircorifcteiVces de cer-
cles, foin égaux emr'eux. Les angleis jtf£ J &
iF;N G éonx les fommets loue dans les cenirej (^

Gcofnetrîe, 485*

ffifètnes cercles , font donc P] auffi égaux eii-
tr'eux , ckaouivcoaiit f^] •d«KiWe des autFès anglet
égaux ACBôcY H G. Or à caufe de l'égalité
Àcs rayons utL Se ^Ld'ilri même cercle, & des
rayons F N'Scli^ G ;' on aura AL.LB : :T N-^
'N G ', & [^] k$ triangles -<<BZ 8c F G N feront
frmblables. Donc [*] AB.FCf :: At.F K.
Mais [5] AB^Cnt, .TQHIK ::AB . F G.
I>jjnxc^[^] ABC DE , F&fflK: iAL. FNr>
f^j^L z=AlM^ . % F.N. =2± F a[7]. Énfih wtfBCD-P-
F C?:if 7 K : : ^ Af., F Ô , Ce ft'H ffUUii Aétnom^
trer*

COROLLAIRE.

. P^irque \^] les cercles font des figuras (cmMa*

bies , infinirilateres , circonfçrites ou infcrites à-

cux-mepies, ih^ft [^] évident gue lercirconfe-

rci^ces/dcs <:efclcs font entir'elles comhie leurs^

I *

PROPOSITION LXL

» • . *

*.5.i /^« Commets' de deux angles égsux é*. ^orref-
fondans daifs Itrpplpgonès fembUhlés , on mené det
lignes droiÀs aux "fimmets des autres' angles oppo-
fi:^; chacun de ces polygones fera Jivifé dans uw^
nêtnhre ég^l de triangles fen^lahUs^ .

{^]Ax^6- den\
' [*i Cor. 6, Prop. 17. Ôeo.

[5] Cor. r. Prop. fi. Geo. ou Cor. f'. tr'op. jù

^or. i. Prop, .34. ^ Ax, 11. Gen.
'' ^ PaYtiz.def. 6o..Aîgeh,

"^Prop, s^^. Geo.

^Cot.^.def.ii.Atgeb,
■" '7jProp, '^. Algeh.

p] Cor. Prop. 47, Geo.
^ Çl^rop.pref. ' • " ' SfiJ/

'4S4^ Ttéifime Tdrtir.^

t> E MO N ST H ATI O N;

Soient les pelfgoncs femblables ACEG i
HJLM O -^.fi des fommets F ôc N des angks^
égaux EFG êcMU Oon mené des lignes droi-
tes W Ay F£ âcc. N H^ S I &c* aux (bmmm
'•des autres angles opppfés ; Je àisi i*. qn*un de
ces polygones -contiendra aatanr de triangles,,
.^e Taucre -yX^, Cjue ki tiiangies d!ttxi de ces po-
Ifgones feiânt fiemblaUes aut ttiangies de Tao-
tre , chacun à- chacun..

Lorfc]ue du fommet F on mené des lignes-
dmtes attz fomaiets des. angles oppofés , les-

deux prochaine E & € en ftaTitexccptêçj on par-
tage le polygone en autant de triangles qu-ily a
de côtés moins deux de ces cotés y quelque nom-
bre qu'il y en air. Ç'cft à dkeque s'il y a cincf
côtés on Ib partage en trois triangles 5 s'il y en a
huit , on le partage en iîx\ <5tc. Le nombre àcs
côtés furpaile de deux celui des triangles qm en
font partie : parce<w*iP . eft' neceifaire que Icf
deux côtés I G 8c F £ qui comprcnnenr cet an-
gle F , foient joints avec les. côtés (îiivans D E
ôcA Gf ott&fermet des triangles avec, les lignes

Ctometrie» 4.85

T ji.tcjiy qu'on a menées .; parceqae I D Se
i> E ^ on F A &C, ji, G. ^ ne peuvent feules termi-
ner un efpace. Et oes' deux côtés F G & 1^ E étant
rctrapchfS-cfunxMnbre des cotés du poljgone , le
f efte cû égal au nombre des triangles. Car alors
chacun de ces triangles a pour baie un côté du
polygone. Dans les polygones Semblables il y ^
unpardluQi'^hre de rôtés $ .puifque ['] chaque
côtc^défuneftpropôrtfonnel à cliacJtie'CÔtê de
Pautre. Retrahchanc 1 du nombre de ces côtés,
^é pâttCc: d'autre V teg teftes égaux '[*], exprime-
ront le nomt>re des triangkk , égal dans chaqizà
polygonç. .

Puifqoe l<is figures foht [f] (émbïables , ['] oh
A W G .G A :.: N O . O H , ec outre cela l'aji^Je
IPGA =.N:0'Ii^ Les triangles GF A^8c O H tl
font doiic.f'^l fenxblablcs eutrVûx j parlant F y.
'à Â'i Vn Jff\0 H /^rànglé G^ r= OHk.
Mais [']G A\ AB:\ OH . H I ^ 8c l'angle
GA B=iO BJ, On conclùera doncde ces deas-

Ç . FA.GA\^AB> -V)

- H / NH .O.H \m I. • y

Co^heF A\AB ivNH .Mï .éc. y

• «

dernières aiMilot^eV ['] qu^F-^ . AB : ilQ'rf . H/,'.
or [^JTanglc F^A -B = N H I. L« triangles ^F^'
UH N 1 font [♦ J donc fejpblables. On démon-
trcra de la même manière que les crianglicd •

«or^^ rr»-, F'CD ^jm; &c. font

limMàblèsii Les pdygeiTiés -fcmblaWes^ A^aix ¥/
[']Def. io. Geo, - '• [? Jw*;«?. ^/-G/».' -
[*i P#rr. I. C^w; Fnf-iiyAl^iK -

4?^ Trûsjt/m Pértse.

Zi HKhiO fcroïit donc diriféi chacinr cfr isr
pareil nootbre de triangles, & chaque triangle
d'un de ces polygones , fera femblable à chaque
triangle correfpondant de ràucre poljgone^
u qu'il falioit démontrer.

P R O P 0 5 I T I O N LXir.

Les folygpnes femhlatîes font entr^eu» , commi$:
lis quartes de. leurs c&tés homologues^

DEMONSTRATION

Soient les polj-goncs {cmblables ufSX^Dt &
W GHIK i je dis que -rfBCiDÊ eft à FGHIK^^
'fipmme le (^iiarrd de D Ç , £ar exemple, eft aa.

quârrédc TH: Pour le démontrer ; dès fommetl^
JX Se I des angles égaux E D C Se Z,IH feicnt'
menées aux fommets des autres angles lés li^
gnesD>f, Dj&;JF,/G.

, LestnangJçsI>E-r<&7K:T,-rfJBI> &FG/,
U EC & i GH , fcroiot ['J Canblablc^.

GePmetrit. 4^

Oir[«j2)E^.iKF: : I> u^j . f F^ j fwireillc-
Jnent AB D.FGlîiDAq.I F^ . Donc i>£^».
ZKF:i:-rfBD,FGI.

EnûnABD.FGI : :T>Bj.IGq .8c DBC^
I G H iiDBq.lGf. Donc[»] -rfBD .FGI ::.

On trouve donc, cette fàiee de npom égaux-:
1>EA,1ZB::ABD .F GI i-.D BC .JGH^.
ïiat Comme des triangles antecedcns, dont cft
compofée la fùrface ABCDB ,e(i ['] doncà^
là {bmme des confcquens, dont e(l cempofée la>
fîirface F G H I K" , comme le triangle D B C
cft au triangle IGH, Mais [») le triangle D B C
cft à fon femblable IGH ^comme le quatre de
Z> C cft au quarré as I H. Les furfaces des po^
l^gones femblables ABCt>B 8c FGHI^
font donc au/Ij entr'clles comme lesquarrés des*
cotés homologues l^C 8c. I H^ ce qu^il fdloit dU-
mmtrer.

r DEA.IICF:: ADf.Iîj;, ^

\ ABD.FGI:: ADf.ir^. 1

i^DwrDEA.IKî::ABD.FGi; I

I ABD.FGI : :DB^. IGf. [1

1 DBC.IGH:: DBf.IG^. \

J D^mr ABD.FGI::DB CI G H. >
^ IXmc D E A . I KJP : : ABD . FGI : : DBC . j

I G H. I;

D^wr.DEA-KABD-hD 5e.IKF-*--|i
T FGI -4- ÏGH:: I>3C IGH:: DC^JHf . H

\pi<m AB C DE . F G H I K : : DCj . IHf j^^^

, « . • • •.

On trouvera au£ par un raifomietncnt j^^
■ if] C»r. y JHf. u. Atgtk^.

. /

J^ Troifiemc Partie.

reil aii précèdent , que. les- trapefoïdes & trayc^

Cqs fcmblablcs , font entr'cux coinnic les quarrcs

de leurs côtés homologues 5 & ce qui eft .dit âzns

les GoroUaifcs fuivans leur convient comme

auxpol/gones,

COROLLAIRE ï^

Ce rapport d*ûn polygone à un aiitre poljgone
feniUable , efl: doublé du rapport d'un cote de ce
premier à un coté homiologuc du fécond. Car [*j
les polygones iémblibles lont entF-eux , comme
les quart es de leurs côtés homologues ^ & [^] les
.quarrés de ces côtés homologues ibnt entr'ccx,
en raifbn doublée de celle qui efl entre ces mê-
mes côtes. -

b O R O L L A I K È II.

Si de deux fisares femblables , la première i-
chacun defes côtés double de chacun de ceux
de la {êcondC' ^ la &tfacc de cette première £-
gure fera quadruple de ia furface de la fècoede.
larceque la première, fera [" à> k féconde ,".
oomme lequarrc d'un des côtés de cftte premie-
te cft au qu<irrc d'un côte hofnologae ac Va. fé-
conde ; & le quarté- du côte de cette première
fera quadruple du quarré* homologqe de la &-
œade. Soient pourexenaple ^deux-figures içm-
Ijàabl^^-& B j j'appellerai c un côté de la prc-
niiere fi|ure- .^ > ^d un €Ôté homologue delà
iicondc figure i. Donc [*Jwi \É : ic c.dd.Or^

■ i

[1] Cor, Prof, 18, JlgjtK-'

pf] le qtiài^Dê de c eft au quarré de i, ccAnme lit^
prcoiicce de trois lignes concinuement propor-
lioilncilcs -^ ^ . <^ r/. eft à une iroifiéme/j le

€&c ç cftant la première , 8c la (econde eftant
fe côréi^.Ceftàdirc cpt c c ,dd: : c .f. M»i»
puifque [^j >c(t double de d^ on. aura pareilk-
jnent dr double de /l jQone c fera double du dou-

T>le de/, rvfî: 4 di^e Quadruple it /. Donc f f

fera quadruple de ^ d. Donc enfin la figure A fc»-^
sa î ^} auflî quadruple de B.
. Si chaque côté a*Une de ces deux figures (eni*
t»lakles eft triple de chacun de la féconde j lar
première (era nonçuplc.de la {econde , étc* De
xc qu*on vient de démontrer on peut encore
conclure que les figures- {embkbks ne font pas
cntr'ellts comme leurs côtés ;. puilque chaque
coté de. Tune eftant double de chaque cote de
l'autre j. Tiine eft quadruple de l'autre ,. &c,

COROILAIRE III.

tTne figure qui aura pour côté l*h)rpotenuS
d*un triangle reAangJe, eft égale aux deux figu-
res *qui lui feront feniblables , & qui aurontle»

['] CùT. Prof, i^ Algeh^
p] Suffofit.

49à Troifi/me Tdrtie.

^eux autces côtés de oc t^;lngle^ ppur côcés
mologuesi. ce côté de la premieze.
, Soit Ictria^iglc rcftanglc ABC y & les figu-
res femblablesE , F, l> , décrites fur les côtés de
ce triangle , de manière que £ foit fur rbypotc^
nufe : Je dis que la ,,
figore E eft égale à:
la fomme des figu- •
resF& Z)..Car ['] î
B.F::AiyAB,
BCyRC,5cE'.D{: ^
ABx AB . A Cx
A C. Donc f *] JE .
F -+■ I> : : ABx
AB . € ByCB*^
ACxAC. pr [*] '
^ABxAB=::'CBy:CB^AC x A C, Donc

E . F : : A Bf . B C^.

E.r>:rA'B^.AC^. '
T}oneE.D^Î::AB^ . B€^-4*AC^.
Af */> A B^ = B C^ -i* A C^.
X>ûncE = D^f.

COROLLAIRE ÏY-

Polir décrire une figure égale & femblabFe aux
deux figures A BC D ^ 8cE FGH qui font fcm-
blables anflî cntr*elles : il faut [*] fairfc un angle
iroit ILK^ôcçn faire les cdtés ILÔcl^K égaux

{'*] Pr^p.Préf.
>]Pf0f;i4,AlgeB:
.^J Part. I. Pr<>f. fy. Geé,
,^lC0r. 7. Pf (?]>.. ij.'&io:

<aa«- côtés homologpes^B & ÎF 5 cnfuitc mC'^

JfemliUbie aux dcùk^ figures pçe<^dentcs , qui ait
^ourrcôté 1 K hooîologuc aiix àui*es côtes AB
& E F des autres "figures , cette dernière figure
.fçja.[*]^ égale â^x^^r g^ecçdentes. On Digic
faire pair oft-jantô/ca ra^dditioa des figures icm-
Jblables.

r r= : ' " ^

^^TÎOPOSITIO N LXIII.:

Les fig$tris,ou ffifrfAçes femhUhles circonfcrites^
,4W infcfites 'if des ttrcles , /f>»,f entZ-elUs cornm^ Us
.^narrés des diamètres de ces mêmes cercles*

•fj ^ E^ M Ô *IsI S T ^ A T I O îsT

XËsfiguios^mblaibles font f«]cntr*cHcs comme
? fes cjuarrcs - -de ltut« eô tés Iwmologues.
JEt* -ks aûarrés ^àei gôcés hotnblogu'es des figurés
3qii;ci>rtK:ritê^ainfc*ites à des cercles' , font erî-
jçiirlcmaOcoTian^ Ib^ijaaxcés dés diâmctret» Gàt k|

•M

491 TrûiS/me l^r^ei

côtés homologues lont ['] entr'eax c<»minete
dia^metres de ces mêmes cercles 4 <ionc {*] la
quarrés de ces côtés homologues , font entr'euz
comme lesquarrés de ces diamètres.- Enfin a
fiibfticuanc le rapport éc% furfaces au Heu du r^
port des quarrés de leurs côcés l^molc^aes , <»
crourera que les âirfaces ou polygones CcaAïh'
bifs , inferits dans les cerclés çu circonfcrks^
£pm encr'cUes comme les quarrés des diametces

^e ces mêmes cçrdes, Soient Jes Egattt fetobU^
Uç^ABCDE & FGHIK circonfcrites, <m
infcrices à des cercles dont les djuMnetres &«
X-N ScORzJe dis que ABCBB . FGHIK i:
■ZN\ QR\ Ciir AB e D£\,F G H I K t iED\
JC I*. Mais puidjue EB^K J tt ZN /oR-tt
ftàmç qfic £ D*. Kd * tLZ LU \os, M>ans Jft

1*yDemonft. de Ufr^.u.Geû. é« Pw#^ fAheK

piremiere jinalogic , au licQ du rapoct cjai eft en^
tre £ I>* & K /* « en fubfticuaiu le rapport cl^
r A* à O A* , qui luieft égal; il câ éyidemque
ABCDE.FGHIK ::£J^. O^*. f« jm'ÎI

On peut faire un raifennemcnt pareil aui
procèdent , pour démontrer que les figures fem-
blables infcrites, ou circonscrites a des cercles ,
ibnt encr'elles en même rapport que les quarrés
des ra^rons de ces mêmes cercles ^ puifque leurs
côtés iiomologues font entr'eux comme les
rajons des cercles aufquels elles (ont infcrkes on
circonTcrites.

COROLLAIRE I.

X.es figures (èmblables infcrites ou circonfcri-
tes à des cercles , font entc'elles «n xai(bn dou^
i»lée de celle de leurs diamètres. * Car ces figures
fëmblables font ['] entr'elles comme les quarrés
des diamètres des cercles aulquels elles (ont in(^
criées ou circon(cntes , & ces quarrés (ont [']
entr^eux en raifon doublée de celle de ces mkn
sacs diamètres qui en (ont racinest

COROLLAIRE II.

Les (iirfaces des cercles font entr'elles comme
les <)uarrés des diamètres de ces mêmes cercles*
Car les cercles (ont ['] des figures (èmblables.
4'uiie infinité de côtés y infcrites & circonfcrites
i eux-mêmes j & ces£gures (èmblables (ont [']
entr'elles comme les quarrés de leurs diametres«

[»] Traf. Pref.

[*] Cor. Prof. it. Alge^^

\t]Gor. Ffof. j^^. Cto.

Tt

^ ç^ Troipéme Pdrtle»

Onconducndonc aufli p] que les cercles fom

cntf*cuxcn raifon doublée de ceUe de leurs dia>*

mccres.

COROLLAIRE III.

Pour décrire un cercle égal à deux autres ccr*

«Içj^ pat exemple, à AhCJ) & FGaLijpt

l'extrémité H d'an des diaqnetres dç ces ccrdçi
il faut mener la perpendiculaire H N ^gak aQ
diamètre AÇ de l'autre cercle , & enfuite me-
ner la ligne F N :^c dis que le cercle qui aun
pour diamètre la ligne FN, (cra égal aux cer-
cles ABC D & F GH L y pris cnlcmble. Caf
I*] le cercle dont le dilametrc eft F If , (en aux
cercles ABÇD ^ F G UL conune le quatre
de ce diamètre FN aux quarrés des diamètres
F H 8c H N i U [»] le quatre du diamètre F N =

• Au lieu de faire H N =AC j, on poavoit fai-
rc iï O = F C , & alors la ligne menée Aa point
M aupx)int O âuroit été le rayon dii cercle égal
i^*Jaux deux çerdes ^B CD jS^ FGHL.

C*r. X, Pf tff , Trtf,

Car, z, Prcp, Vref. .

^ Piirr. I. Pr«|f . fy. Cf*,

Oe»métrie4

A9

WÊt

PRO POSITION LXIV.

i<*. Si quatre figures femhlahles ont fêur cités
homologues chactme de quatre lignes frofortiMntU
les ; ces quatre figures feront aujft frotortionnelles
efitr elles.

ro. Recifroquement fi quatre figures font fem-
hlahles (^proportionnelles entr elles; les quatre li^
pies qui en font cotés homologues , font auji prû*
fortionnelles enti^ elles»

DEMONSTRATION

ni, LA PX.IMI1K1 f A HT II*

Oient les quatre lignes prdportionnelte»

e. f: :g* h y dont la première e eft côté de

la figure^, &la deuxième /eft côté homola-

s

g h

gue de la figure 3 fcmblable .à la première j 1a
troiiicme g eft côté de la figure C , & enfin
la quatrième h cil côté komologue de la fi-
gure D qui eft femblable à la figure C : Je
Sis que^ . 5 ; : C .D. Car les quarrcs de ces ]u
^ Ttij

4f< Tf^îjtimf fdftU.

snes (eront ['] proponionneU entc^eosc y paîiqat
fc quarré d'une ligne eft [*] cette ligne multi-
pliée pareHe-mênie. Mais les figures (emblabks
qui auront ces lignes pour côtés homologaes,
Rront ! *] entr'elks comme les quarrcs de ces
mêmes lignes e^f,g ,h. Ces figures femblables
feront donG aBi& proportionnelles ^ ce ^il fgX*
loit défwninr.

DEMONSTRATION

BI LA S<ICOR0I PAlt^TIS,

SÔknt \cf quatre figures fêmblaUes & propor-
tionnelles. AyByC ôc D y c'cfl 4 cUrc que
A'B ::C . D, Jcdis que leurs côtés homolo-
gues &nt proportionnels , par exemple , qat
9>f\i'g.K Car» puisque f+J-rf. B :: C.P,
éc que [^] les quafrcs des c&és bemelogioes dr
ces figures (ont entr eux y comme ces mêmes
figures y les quftrrés de cet côté» hûfoioIogBes ^
feront aiiC proportionnels ^ cleft à à\tt qoe
9 i .ff ::'£/. ^h* Or , ptafijuc les qoân-é»
font proporticFfmels , letnrs racines iêroffc [*]
aufli proportionnelles. Donc # ./ :. v j • b* C«
f /»%'/ falloit défmntrgr.

{»] Af f, I. C*r. 1. Pr<>f i ». Mget.

[♦] Suffofiu

[*J Piir^. X. C«r. 1, Pf^, tt. .<<!{«<•.

Getmitrie.

4?7

l> E LA SITV AT ION

des lignes droites comparée k celle
des plans j ^ de la fttuation des
flans comparée k celle £ autres
flans.

LE S propofitions faiv^ntcs font d*un grandi
ufage pour bien entcrtdre la Trigonométrie
Spherique , qm eft un des principaux fonder
naens de T Auronomie ^ pour la tkeorie de la
pratique de la Crnomonique ou de la fciencc
At% Cadran$ folaires j pour la Perfpediive , c'eft
à dire Tart de reprcfenter les objets tels que nos
yeux les appcrçoivent , & qui (atisfait à rexplw
cation ph^lîque depluficurs beaux Phénomènes
de la vifîon ; généralement pour Tintelligei!!^
ce de tout ce qui fe troùye dans les Matbemati-
ques , ou il e(t neceiriire de con/ïdercr les pro-«
prietés des lignes droites qui rencontrent dei
liirfaces planes , & les propriétés des plans qui em
rencontrenr d'^autres ^«wi qui leur font parallèles.
Ceux qui ne font pas encore accoutumes à la;
représentation des plans^ qui fe rencontrent o^
qui fê coupent , ont quelquefois de la peine I
découvrir le» vérités cju'on y propofe. Mais lort
qu'ils y font un peu d'attention , & qu'ifs per-
icYcrent , la difficulté (e difÉpc peu à peu,
& ils ne trouvent plus qu'évidence. De fbrti
^ue pour achever heureuièment Tétude de ces

Tt ii)

j^t Tr^iJUme Fdnie^

Siemens , & en cirer un finiic aTancaçenx^ 3, ne

s'àgk que d'avoir un peu de fermeté $ de faiic

«ne kmre fréquente de ce qui d'abord peat pa^*

rdtrrc ob&Br } de former la se&liition de raincre

çouragea(èment tout obftaclc, fie alors on coa*

noitra pas Ta p^re expérience le bon Caccés de

fon trayail. On peut airarer qu'il xCf a rien dans

coûte la fuite capable d'arrêter un efprit an peo

laborieux ; de forte qu'après avoir fini ces £le-

soens • en continuant avec la même vigueur i

s'appliquer à d'autres traités de Mathématiques^

il aura le plaiûr, non ièulement d'apprendre ce

que les autres fçarent ^ouis même il le croaT&-

m en eut d'inventés.

PKaposiTiON ixr.

Dtux lipM fUi fi cofifent, fint ism h mkt^

fia»»

DEMONSTRATION.

Soient Us deux lignes AB 8cCJ>qm £ccow^
pent au point £ : je dis que ces dcsx ligne»
font dans le même plan. Car on peut coii£Âe*-
ter une ligne droite , ^
menée du point A au
point C y qui fbit en-
feite mue rers E tran{^
tcrfalement fiir les li-
rnes AE & CE. Alors
*] on aura décrit
lé plan triangulaire
i^i CE danç lequel font le* lignes partiales .4 S-

Gtûmttrît. 49f

4c C£. Donc ['] les lignes entières AS de CIP
Icront toujours dans le même plan , c*eft àdixr
que fi on prolonge le plan ACE il pailèra pas
le plan'£ B D clans kq«ei Ce trouvent k9 autre»
parties £ B & £ JD des lignes AB^ ôc CD ^cê
^*4l faUoif demanPnr,

PROPOSITION LXYh
Si deux fUns fi cotÊftnt , leur tcmmmu fi*

DEMONSTRATION
SI LM miMiixi Fartut»

Soient lesdenx plans^il & C2> qui 6 co«^
pent en £ F ; Je dis que leur commane &--
âion £ F eft une ligne. Car fi cette commtmc
firâion SP a'étok q
pas une ligne (éule-
inent, &que ccfâc,

i»ar exemple , une
urfacev il faudroit
que quelqu^in des
«ouz plans AB 8c
C D eut de répaiÇ-
leur ou profondeur,

ce qui eft [*.] comte

la définition de k ^ ^

fcrfacc. Dohck commune Ctâàcn £ F des dcuac
plans ^ fl & C ^ cft une ligiic y « ^dilf^Um
démontrer^

^lCmdif.iw.Gi(r.

[»]IXi/.^CÎw

50Q Troipémt Tértie.

DEMONSTRATION

BX lA flCOMDl FAJLTIB»

».

S Oit la ligne £ F commune (câion des dent
pUns AB & C D : je dis aue cette ligne £ ^
cftune ligne droite. Cardes deux mêmes points
£ & F (& cette ligne £ F fî on n\ene dans le
plan C D une ligne droite lEGF ^ & dans le
plan A B encore une ligne droite E H,F^ iJ eft
conftani['; que ces deux ligi es droites fecon-
ifo idroat en une (cule , laquelle (c troavera en
même temps dans les deux plans. Or il n'y a que
la ligne qui eft la commune Ceé3Eion de deax
plans , qui Te trouve en même temps dans les
deux plans. Donc cette coinmune Ccéïion eft une
ligne droite ^ ee quil fiUUit démontrer.

PROPOSITION LXVII.

Si une ligne droitg eft perfendictêlé^ire À dett»
lignes qui fe coupent , elle lofera- aujfi mu fU» iU
tes mêmes lignes,

DEMON S T R A T I O N

S Oit la ligne AB perpendiculaire à chacune
àc^ deux lignes dioites CD & £ F : Je dis
que cette ligne AB fera aadl perpendiculaire
au j^an GK , c'eft à dire [' J , a toutes les lignes
menées dans ce plan par. le poin^ B ^ pai> exeiiv-

['] C^. i*Ax. uGe^Tr

fhfmetrît'. yoi

^ j k ligne I au. Pour le démentKr foient

ptilèsàvelent^ksligaK égaktSC, £F, iD,

X £ ; & par Icnrs

exttcmaia fi>imt *

menées le) lignes

droiKsECfc F-D. «b

Du point A aux

points E , L, C,

F , Af , & D , il

&ai mener autant

de lignes drokes.
Puif^ue Ici It-

Çnes BE & MC

font ['] Égales aux G

tignesBF lcBB,ecïei angIet£BC & OSr
^ant ; •] iganx entt'eoi ^ les bafes EC Si D F
■feront [> égaks. Les onglet E C B Se BDt

ftront [*] 4gaui eiitt*eHï.

Les .angles LBC & tUMù-at ['] fgaKE
cmt'en^t. Les deuzanglesZ CB & LBCCeronC
Ame égaur an» an^t B D M & DBM. Oo-
We«Ialesc6iéï«»«£BD font {'] égaax. L«
ligaes C £.& 4f Z> , J I & BM feront ['] donc
égales.

If ais -les quatre niangles rcAangles ABE^
ABC ,A BF ,AB9, a^ant le c&té B ^ coa«>
mun, &"Ics a«resc6[csS£, BC,B F, 5:B1>
igauï ['] , Se encore ['] les angles dwics ABE,
ABC ,ABF,& ABDé^SLQX, leshiCcsAE^
AC, A F , A t> Cetoatl*jKW& ig^ittiti^eUta,

i' 1 PAr fm/IruSÏM.
' Psrt. I, frtf. XX. O*».
' P*Tt. I. Frtf.jj.Gt».
* Car, %,Frof, jf, Gw,
•] Cw,4. Fnf. %i. & Car.x.Prtf.p^.Otf,

jpt Troijt/mi Fdrtiel

9c puifqu'on vient de voir que C E = F 2> , Jd
angles ADF & ACE^ c*eftàdire, les angla
Ad M & ACL feront ['] égaux entr'eux.

Les côtes AC 6c C L étant donc égaux au
c6té$^i> & D M^8c ï^nglc A CL=: A DM-,
on aura [*] les ba&s A L ôc A M égales en-
tr'elles,

Bnfîn puifgue les côtés AB 8c B L font égaux
aux cotés A B Ôc BM , Se que les bafes A L k
A M font auffi égales entr*elles , les angles ABL
icABM feront ['] égaux entr'eux. Chacun feia
donc [<} droit. AB lera donc perpendiculaire à
LM 6c\ par le même raifbnnemenc , à toute
autre ligne menée dans le plan G H ^ ce fuû
faUûii démontrer,

COHOLLAIRH I.

Dans un des plans AB êc CD perpendicn-
laires Tun à l'autre , fi on mené la pexpendiai-
laire GTi leur com-
mune fedion C£|
cette ligne G F fera
t>erpendiculaire à
l'autre plan A B, Car
û dans ce plan A B
par le point F on
mcnc la ligne F H
perpendiculaire à
C £ , on aura ?angle

H F G qui fera [»] l'angle des plans AB 8c CD.
Etpiliicjue ces plans icïnt ['] perpcndiculaiio

I

F»'

J

C^. X' Prof, 3f . Geo^
Psrt, 1. Prop, 3 . Gtû,
Part, I. Prof, zi, Geo*
Def. i8. Geo.
SHffofit.

Geûmttfle* joj

¥nn à l'antre , & que des plans perpendlculairef
l^uxi à l'autre , foat ceux oui ^Drment des angles
droits 3 cet angle HI GeA donc droit. La ligne
/G F fera donc perpendiculaire aux deux lignes
TH [^]8c ¥C [*] , qui font dans le même
plan ^ B, La ligne G F fera donc [>] perpendicu-
lair^e; au plan AB ic'cfià dire [^J a toutes les
ligi^es dioitfs men^s dans ce plan par le point

y.

£3 O R O l L A I R E 1 1.

Si une ligne eft perpendiculaire à un plan ,
tous les plans dans lefquels elle iè -trouvera fe-
ront perpendiculaires au mième plan. Soit , pat
exemple , la ligne F G perpendiculaire au plaa
^ B : je dis que le plan C 2> dans lequel fe trou-"
Ve cette perpendiculaire FG , efl aaili perf end^^
culture au plan AB,
Car fi on mené par le
point F la ligne ¥fi
perpendiculaire à la
commune feé^ion C £,
l'angle HFG fera pj
droit. Donc le plan
C2> fera perpen<ûcu-
laire au pliant B, puif*

qu'ils formeront [']

Tjangle droit HFG.

COROLLAIRE III.
La propofition pjefcnte donne une nianietc

de mener une ligne perpendiculaire à un plaij

par un point . dpnné dans ce . plan. Soit , pat.

{*] Def. 14. Geo»

n Prof, f réf. .

'J Def, ,20. <J». Def. 14. dû.

[♦] I>#f. ao. GHs

["] cooftonve k txiaiH
pacIcpointCil^Hr

iCMra CI>, mm àCE. Enfii on ôicliiicn k
for I>£F JB rùaa jC# j^'^ «^ qnck poîac

bjçaieGF émeantégaleà i>F.a« i£f.

FC: yf <as<pccRBC h^pcfC cft la popendi-
Ciùzrr AryWr. Csr ks uiiglB I> F C , FEC»
JtF^'Ccnr^côeéCFcQiiinM, ftir^aid

t Fon â rjmac. Us
4^taii4;^s m a^ I*àaàraBc L'an-
^ir FCi^ aè ûcoc é^ a FC£. Ces ang^t
FCD& FCE MKit<Hxic [^]én angks dtoits.
DoTdc FCG^n kw Al*] ^cft anffi drok.
la lfe<«r C FcH '<j pcipcii^icaiaiir anxli-
I>Fkcc.I>oK[^dk cft papcadici-

zr-ir jôitc ;*^

c.

GiiL [«] Fmimfmam.

FKOPOSxrzox

Çe^mitri^

501

Propos ition ijtviir

'Si une liin* droite *fi ^endiulkirt i t,rit
^utr,s j«, fi c»Hffnt en un mime point ces TrZ
^utref Upui Cent ikm i» mimefli^" ^

P EM O NS TR AT I ON

plan. Soient les lignes *• "^ «««««

-»C&.iô^aflslopli^

<x H j alors puifqtte la

Hgne -rfB cft [»] pcr^.

penrfkulairc aux Hgnes

3RC«cBû, elle fera [*]

pcrpcndicalairo-à ce

plan G H. S'il êtoitpo£.

ïblc qae la: rroifié^eli-

]^eJB£ ne fut pas dans

le plan GH 'i puiCaue

«fcne ligne S E rencontre la ligne AB an point

9 , confidcfens [«] un autre pU A E qui m^

^^l^P^'^^i'^^'^'^^ B Scpar cettel/gnc*^
a-cft évident gue ce plan -*E & le plJe «^

*encontrwitxftja au point B , fi on. prolo„Rele!
plan AE, û couper» ncoefliiremcm le plan

Suffofit. -■

Yr

'5o(f Troipéme Pdrtie.

C H. SokBF leur commune feélton. -La ligne
ji B fera { ' J . pcipendifulaiiie à Ja commune fc-
ùiofi Bf , parccqifeHc *cft 'pcrpcndkuliiic
au plan G ff 3 & la litnc^jB F Ccra f* j pcrpcndica-
tairc à AS. Mais [J Jla ligne B E cft auflî pcr-
pcndiculftirc à la ligne AB. Il y auroit donc
ieux lignes BE Se BT perpendiculaires à une
même ligne ^^f dan^ vn;^nènae ,plan A F,, Si
par 'un même point B /ce qui' eft [♦] itnpoflilc.
Doncla ligne BE nçpeuc êi;Fe dans un auoc
jplan que pif. Donc, là ligne SE cil dans Je
mênieplan que les ligues JB C .^ Bp ^ ce «^i
falloir àémontrtf.

»»if. »

» ■ '*'

*J ■ if ■

( ^.

^PRPPOvSITlRN tKlX

O^esd^oimftt^tmdicula^is À wirtnêmc fU»,

DEMONSTRATION

SOii^ Ifc point C pril da^s le plan oa hors Je
plan A B : Je dif^ qi^'il efl impo/IlJbie qu'où
pniiTe mener pluiieurs pjcrpendicukitts ^ car
exeippl^., ÇV^ CE , à; .ce plan. Car ['j fi oa
iiippore^tt'il pa(re un >ucre pian iPF par ces
4eu2 lignes C £>, & /<|£ .> 4^ qv>e la commune
ieâiion de ce dernier plan pF a^oc le plan^^
(jpit P £ dans la pregiicfc figure , ôc CF .<Ua^

'»J C«f. I. Pw^, y. Ciâ. >

< î Suffofit, & Cor, I. Prof.'^, Gif,
♦] Cor. Pw^. 4. G«?.

C F

D E

Ge»tnttri€. 507

k féconde ; les ligjies CT> &, CE ûrroicnc \^\
perpendiculaires à cette con^ihuue /èdlion D è
dans la première
figure j & dans
la féconde C D
& CE feroicnt
au (fi perpendicu-
laires à la com-
mune fc<5lion
C F y le tout

dan$ le même . .

plan DFpuifquc

les communes fedionsl^E & CT font en même
temps dans le planI>F & dans le plan A B, Ce
qui eft[']impo/fiblc. Car il faudroit que dans
^.a ipême plan on pût mener dcut lignes ^ar
un même point perpendiculairement à une au-
tre ligne. Donc aufll' il eft impoilîblç qu'oit
puifTe mener d'un même point plufîeurs lignes

J perpendiculaires à un même plan , ce jh'H frt^
çtt démontrer*

COROLLAIRE I,

Si deux plans qai Ce coupent font perpendî-
ciilaîres à an autre plan , ïeur commune ledlioii
lui fera auflî perpendiculaire. Soient les plans
A B Se CD dont chacun efl perpendiculaire ais
plan E F i & fait G iï la commune fe Aion de
ces deux plans AB Se CD \ Te dis que cette
commune fcdion G H fera aufu perpendiculaire

l

*] Dtf, xo, Geo,
* j Cor, Prof, 4. Ge&,

yrli

fdi Troiféme Pdrth.

du plan E F. Pour le démontrer il fuffit <le faice

■toir cfit par \t point G on ne peot mener une

ligne différente dfe G JÈf , qui foit pcrpcndiculai-

jpe à ta €<>mmunè

ièi^ion AG du plaâ ]>

^1? aT^c le plan

JBFs 5c que par le

même point G on

né peut mener ttnr

aukrc ligne que G H

qui foie perpendi-
culaire à la corn- .
fiiunc K^bion CG
du ^lan jD C arec
fc plaa E F, Car
s'il eftoit pofïîblc que & L menée dans le plan
A È fût perpendiculaire à la commune Ccâiàvè
ji G des plans A B' 8c ET ^ Se ^ue X^ M mener
dans le plan C D fut aiiAi perpendiculaire à k
dbmmune fcdibn € G âès plans C I> & EF r
chacune de CCS deux ligne» ieroit [*] perpendi-
culaire au plan ErF^ar le même point G. Ce qui
cft [*j iniporiible. Doncialighe^'G^ qui cft h:
çwnmmie fç<^on .4c?.l>kns -4 B .& ÇDper--

Îcndiculaircs aji^laii ÏF ", éft àuIÊ f crpcndicu?*
lire à ce plan B P» '

C 01l:0L £ A I K E T I.

Bu point wï pris hors le plan B C fi on fë pro»-
pofe de meiier luic ligne perpendiculaire à ce
plaii EC } il àut iiVenerâ vOlbnté ks lignes
DE & G H fur ce plan B C , de forte qu'elles
faitênç un angle étant prolofigées.'^ Ënfuitc d»

[' j Or. r. Pftf^. ^Ti Qf^

Geêmatie. 5q^

[ pcrfnt A il faut mener ['] les lignes AT 8c AL

; perpcn4icttkiretïicnt à pes ligne$ Z) E &. G H ,

È qui les rencontreront aux points F & £, Enfin
pax k pcKÎnc F iè
faut mener la ligne
I? N perpendiciiîai-
remcnt à la ligne

" I> E ,. & par le

i point L; îiiaut en-

; core n\^ntt U U- : j^j ; .3»?. .. ^

giic X 0 attrtî fer- / \ //M\ \ ^J

. pcndicUlaireàGH: / jf^-'* H-f

Je dis que la ligne / ^ \E G /-t.

• ui M n\enée dth ^
point donné A au
point dlnterfedion U des perpendiculaires F ^T
& i O , eft la perpendiculaire cherchée. Car les
lègnes Al H Ol étant [^] perpendiculaires à
la. lig^ie G H , réciproquement [^J G H cft per-
pendiculaire i ces Hgncs AL & O L. Donc [♦)
G H eA perpendiculaire au plan QLA. Donc
[^] le plan B C efl perpendiculaire au plan OLA^
Se réciproquement le plan OL A cfl perpendi-*
culaire au pkn BC, De m^e à caufe que le»
lignes A F Se FNfÇont perpendiculaires à la
ligne D E y le plan AFii fera [♦] perpendica«
laireau plan BC. Donc la commune fcâioiK
^ Af de ces plans AFN Sc ALO ^ qui CotkS
perpendiculaires i B C y fc» [*2 auffi perpendi*
culaire au plan B C»

P] Part I. Cêf. %, Prof, f. (aef.

[*] Par confruBion, [«j C^r. i. Pref, f.

F*] Prof, 67. Gf^ • . .

]*] Ccr* t. Pftff. Cj^Cfc^

n C<?r. î. Pféf . ftif.

V>iî|

G^i^,

jOQ Troipémt Ténu.

DEMONSTRATION

BX lA • I C O M D I PAJLTIX..

S Oit la ligne £ F commune fcâion des deux
pUns AB & C D : je dis aue cette ligne £ t
eftune liene droite. Cardes deux mêmes points
£ & F (& cette ligue £ F fi on mené dans le
plan C îi une ligne droite tGV ^ ic dans le
plan A B encore une ligne droite E H F^ il eft
confiant ['] que ces deux ligies droites fecon-
ifo idroiit en une (cule , laquelle (c troavera en
même temps dans les deux plans. Or il n*y aquf
la ligne qui cŒ la, commune feiîlion de deux
plans , qui Te trouve en même temps dans les
deux plans. Donc cette coipmune Ccéïion eft une
ligne droite ^ ce quilfAlUH démontrer.

PROPOSITION LXVII.

Si une lsgn$ droite eft perpendiculsire À deux,
lignes qui fe coupent , elle le féru- muffi su pis» de-
tes mêmes lignes.

DEMON S T R A T I O N

S Oit la ligne AB perpendiculaire à chacune
àc^ deux lignes dioites CD & £ F : Je dis
que cette ligne AB fera aufH perpendieulaire
au plan GH , c'eft à dire [*J , a routes les lignes
menées dans ce plan p^r. le poin^ JB^ pas^ exest-

•le à la ligne Z^M. Pour le dénwmtrtr foient

>rifesàr«]«nréles]igneïcgaleïBC,BF, JID,

I £ I & par leurs

ïxtrcm»^ fôient A

xienfes kj lignes

droites £ C & F-i>, vt

Du point A aux

points E , L , Cy

r , Af , & Z> , il

&nt mener autuii

de lignes droites,

Puif^ue lei li-
gnes BE & «C

font ['] égales aux G

lignesBF kBB^Bcïtt sngletEBC & Zl£r

étant ; *1 égaux entr'eBi ^ les baies EC Si D F

-£n:ont [' égaies. Les angles £CB Si SDP

ïèiontf*J^ux ennr'eHi,

Les ,angles LBC & D»M (mit ['] égMK
cntr'eo:(.Les dcuxanglesICB Se LSCferont
donc égaux atn angles B D it & VSM. On-
ffeceta Ici c6téïCB &BD font['] égaux. Les

,IigaesC£& JiD, JL & BM{eront[<j donc
égalei.

liais fcs qnatre triangles teôangtes j**E,
yfac^^B'Fj^B», ayant le côté B-*cob»,
mun, &'tes autres cScésBE, BC ,B F, ScBD
égaurf] , 3c encore [*] les angles droits ^BE,
Abc ,ASf,ec ABDé^mx, lesbafes^S,
^CfAFfAD (ccont [*j a«I& é^Uesanu'eUes,

^ ['lPi»f cmfintSimt.

Cw, ». Praf. jf . G«,

jïl Trerjiime Fdrtle^

COROLLAIRE.

La. diftancc d*un point a un plan , eft tnefo^
fée par 1^ toiiguear de là ptrpcndicalaiie me^
née de ce point à ce plan j puifque [*] il n'j en
% pas de plus courte que cette perpendiculaire,
lied donc évident ['J que toutes les perpendi?
culaires menées d*an plan à un autve qui lui A
parallèle , font égales entr'clles,, Et enfin oa.
conclnera [*] que lorfque toutes les perpendicu-
laires n\ç:iiées d*un plan. à tin.atttre lont. égales,
ces deux pkns font M parallèles cntr'eux.

PROPOSITION LXXI.

I^etix lignes droites ^ui fmt perpendiculaires i
unmhnê flan, f$nt d Ans un même plan-

4

DEMONSTRATION.

I

Soient les deux lignes droites A B Se C D^
dont chacune eft perpendiculaire au plan EF:
Je dis que ces deux lignes AB 8c C D font
dans un même pîan.
Pour le démontrer , dw A G

point JH au point D Coit
menée la ligne BD.

Leslignes-4B & BZ>
font[«j dans le même
plan, que j'appellerai
^Gy quièft,[t] perpenv
dicttlaire au plan E F.
la ligne C D doit aaflî

' — BiC

Gtemttrie. «tf

le tfouvec daris le même pUn È G, Car G elle
: n'yétok pasi par le point DfoitI']meniedanï
ce pl»n SG .U iiepc HH perpeudjculakcment
à la tommonefedion BD duplan BG avec le
; plan EF. Alflts ['J çetic %nc HD fera per-
; Çeniicuiaiïe au plan EF. Mai* [•] la ligne CÙ
ëtoit ayffi perpendiculaire- au pi&nc plan EF
par letnéme point D. Il/àuroit donc par le
xaitae point Z> dfqz ligaqi MD Se CD mt--
pcndiculairej au même plan E F , ce qui e(l [•]
impoflîble. La ligne perpendiculaire CD eft:
donc "dans k nié me plan' ^ué l'a ùi te perpendi-
culaire j*B, cfqii'ilfifllM$démontr*T.

['] P<««. I. Car. 4. Pfflf . T. (îw. f. 14»,

!■] Cw.r. Prflf. 6j, Cia. f. joi.
•J Frtf, 6$' Gif. f. ;o«.

5x4 Trêijiifmt Partie.

-»tm ■ >^>

> . - • . . . .

Vef^ lignes paraUdes fiju dans h mimis ^m

t) E MONSTRAT ION.

PO tr R démontrer qttc feixr lîgrres ptràllelcf
entre cllcs^foitt lîètrtQrdfri'iclans le mtoiC plan
il fafit de Élire yok qut , â doact Kgncs ac toni

a 1/

C H N D

pas danf le même plan , elles fie feront point
parallèles. Soient les lignes AB & CD dans dcf
plans differens : je dis qaeAB n'cft point paral-
lèle à CD» Pour le diéniQntcer-» conâderons le
plan C£ mené par la ligne CD |iaiaUelemcnc
à la ligne AS , f^cik à dire ^ de relk forte que la
ligne ^jr«n foit également diftante dans toute fa
longueur. Par cette même ligne CD confiderons
encore an 2^tre plan FD qui ioit-mené perpendi'
cuiairement aa précèdent ÇE',cé dernier plan TD
ne paiera point par cligne ABj car AB & CD
(croient dans le même plan , ce qui ed contre la
fuppofition prefente , FD coupera donc A B pat
exemple au point G. Alors du point G foit [']

['] Cor. a. Prof, f. Geo, f, 145,

b Qilf Iflorpendlcohife à UDConatoiondteâioti
,«K^. CMce, Digne jG^ Onu^'J 'feipcDdicslake
au pun CE, Enfuite dtt point Af ' pris à volonté
tdans la ligne wl.B foit [*] menée Âll perpendi-
, culairement au pHan CE. l?uifqtte la ligne AB
dans toute ]Ei longueur eft[']égaiementdiftante
du plan CE, les perpendiculaires G H 8c ML
feront [«J égales entre elles. Bn£n du point Ai
fbit ['] menée Mlf pgipeiidicnlatrement à la li«
gne C ^1 de du point l» sliirpoinl N foit menée

Puifque «Af t* eft {^] pexpcndic^laire au plan

E, rangIefvM£tf £b£a{^}.d£oit4JUi^perpendicu->

laire MN eft donc plus grande que -ML [f] , oa

que ron{^] égale CJi. Us^i^sMH Zc CU

.menées de la ligne»^^ perpendiculairemeoe a €]>

3i*étant donc poim égales, AB n'âura pas [*J

tous ki points également diJEbns àt ci>. Les

\ deux lignes AU ScCI> ne &rom donc point (f J

iparallcles ^ u tp^ilftMtiim^nmr.

C ORO L t A IR E I.

\ Xes lignes dmces qitt iont petpexxdiculaiccs 1

♦ 4

*] C^. z. Pr#f . ^9. Gftf. f. jo%»

^ ] Par confirûâicn.

♦] Car. Tr^f. 70. G<0* f, jit* .

^^] Cor. 1. Prtff . <r. Cw.;. 145»

•] Vef.xo. Çeo.fag^ loa.

73 p^rf. I. Pr<?f . ^r^^tf. f. 145.

•] Car. 5. Pr^. 6. Geo. f. 14^,

p( Tr^phHi Pdrtie.

un mime plan font parallèles entr'elles. ^oiearl

kt isgQCi CD^ £F» GH, LH^ HO^ 9caÀ

l^ef pendicnlaires au plan ÀÈ \ Je dis qnVlles fôdf
parallèles entr*elles. Pour le démontrer, foiciic
menées les lignes droites 2> 7, DU , &c, dans le
^lan A É par leurs extrémités. Alors les lignes
CD 6c GH^ par exertiple , font [*] dans le même
plan y ce qui eft [*] une condition requife pou
Je parallelifme. Outre cela ces deux lignes per**
pendiculaires (ont [^] perpendiculaires a la ligne
J>H, Ces lignes CD de G H font [♦] doncpa-
iriMeles l'une à Tautre. On fera le même raifita*
aemem pour les lignes CD , IM, EF^ &cc«

COROLLAIRE II.

<i les lignes Ab'sc CD font parallèles,
la ligne droite £ t menée du point £ d'une de

fi

»] Trop. 71. Geo, f. ;u/
Prof. Vf if.
Def. ao*'^9* ^* aoi<

M

GtêmeMi* C17

$H parallftles au point F de l'autre , (^fa dans
le plan de ces deux parallèles. Car, puisque [<]
Jla Ûgne £F eft droite &

![u'ellc a déjà deux de A £ B

es points B Sç F dans la .i^iMMiVMMPiMm^
furface ptane qui [•] paflê Jr

par les parallèles A B de x ^

CD. Il faut neceâàire- C F D

inent[<] que cette ligne
droite foix entièrement dans le plan de ces pa-
^âJiclcf,

PRO POSITION L XX III.

^î de deux lignes droites parallèles entr'ellei,
Vune efi ferfendiculaire s un flan , Vautre fers
0ujp ferpendicfUaire au mime flan,

DEMONSTRATION

Soient les lignes AB Se CI> parallèles en.
tr'elles , & loit la ligne A B perpendiculai-
re ail pl>n E F ': Je dis due l'autre ligne C I> cft
SMifll perpendiculaire au
même plan F f. Pour le
démontrer, (bit menée
dans le plan £ F la ligne
ff D par les extrémités
de ces lignes 4 B 9c CD»
Et 'par leurs autres ex--
cremités (oit menée la
ligne AC, £

Puifque ['] la ligne A B cft perpendiculaire
au plan E F , cette ligne A B fera [♦] perpendi-
culaire kBD i êc réciproquement B D &ra [î]

l*]Suff0jit. [^]Pr0f.Pref. [^]Def. 10. Gea,
\*] Def, iO. Gr^ [»] Ç(fr. i. Pref. f . Gee,

5i8 Tr0tfiifne fdrtle.

{ierpcn<{icaUire à ^ B. Le* plan A 2> (etx don!
' I perpendiculaire au plan £ F. Mais C D étant
[*] parallèle à ^ B, eft [<J dans (on même plas
^2>. £c la ligne BD étant perpendiculaire a
JLB^ c& [^] auffi perpendiculaire à C D. Donc
fcciproquement C D (èra [*] perpendicBlaiieà
BD. Et enfin [^] C X> fera perpendiculaire a^
plan EF yCi qu'il falUit démêatrer.

fKO POSITION LXXIV.

x° • !.« commune ffBim de deux fiions qj^ifMjfaH
far deux lignes faralUles^ efi fatmllele h us mi*

mes lignes^

3^°. Les lipses dmtes faralleles à une même, Up$
fout parallèles entr elles , q$soique ell^s é> utl^
même li^e droite fêtent dans des fUm diferm,

DEMONSTRATION

s

pM LA PRBMXiHE PAUTII.

Oient les lignes AB Ôc Ç D parallèles
t'elles : Je dis que }a commune fèâion

GB

des plans Bt 3c DF
qui pailent par ces
parallèles A B Se
CD y eft -parallèle
a ces mêmes lignes
AB U CD. Pour
le démontrer , con-
iîdcrons un plan
ZM qui coupe la
Jigne AB de font J[J

i:

Cor. i. Prtf, i^; Cm. T'ISHptJit.

Pr,f. 7u Geo. {4j p^^. i. Pr<*. «.«*
C»r,x.frcf.tj,ct», ' '

^ GnmeMêé 51 j

(ipi^elle lai fôit pcrpéhdiculaire. Alors Tautre pa^
ralieleC D icra [^] aafli perpendiculaire au mê<-
fne> plan £ Af ; & les plans BE8c DF qui pafienc
pSLT ces lignes AB HcC D ^ feront [*] perpendi-
culaires au plan L Af « Leur commune Uâion
Xs H fera donc [^] perpendiculaire au plan LAÎ^
elle fera donc [^] parallèle aux lignes AB ôç
CJD y €B qn'il fidloit démontrer^

DEMONSTRATION

J>S, LA SECONDS PARtlB.

« - •

S Oit la liene A B parallèle à £ F , & la ligne
C D aum parallèle à £F. Soit le plan des li-
gues parallèle! A B Se Et différent du plan
des lignes CD Se £F, c'eft à dire que £F Toit
la commune feéèioa de deux plans dont un pailê
par la ligne AB SC l>utre par C D ; car u cet
trois lignes A B y- FF Se C D ètoienc dans lo
même plan , la propo&tion prefènte (eroit la
même que la vinsc-fîxiéme : Je dis que h. ligne.
ABcA parallèle a C D,
Pour le démontrer ^ par A H B

un point de la ligne . . ,

jB F , par exemple G , c \Q

<c dans le plan des deux /' F

Î)aralleles AB Se EP ,

bit menée G H per- CI D

pendiculaire à £ F. Par

le même point G Se dans le plan des deux pa*
rallcles C D Se EF foit menée G I perpendi-
culaire à la même ligne £ F»

[^j Pref. ji-'Geû.
['] Cor, z, Prâp. ^j, Geo.
[« j Cor. I. Prof. 6$. Geo»
[♦J Gor. I, Prof, 71. Geo.

Xxij

jiO. Tràtji/mi Féftiil

Poilqiie fe F cft ['] -perpcndkulaiie ftax Ugnei
Gl & G H , cette ligne E F fera [*] perpen-
^culaire an plan qui paCe par ces demz lignes
€H êc G/. Les lignes AB êc CD qui font
[9] parallèles à la ligne £ F , feront [^] anffi
perpendiculaires aamême plan des deux lignei
GH & Gl. Donc ['] les lignes A B êc CD
feront parallèles encr'clles , (§ fà'il fMmi di*

PJLOPOSITION LXXV.

Si deux flans parsUiles font cmffés fgt w^
troifiémi fUn , Unrs communes feéions feront
nuf/i faralleUs.

DEMONS T RATIO N.

Soient les plans parallèles AB 6c C JD coop£f
par un troifîéme plan £ H : Je dis que Icnis
communes ferions ET êc G H feront paral-
lèles entt'ellcs. Car ces lignes E F & GH 6mt
dans un même

plan Eif, ce qiii A V^ V

cft [*3 une con- ^|^ ' \^

dition requi(ê '^^ — ^'

pour le paralle-

lifme. Outre cela,

ces lignes £F &

G H étant dans

les plans AB 8c

C D qui font (»] parallèles , c'eft à dire p] éga-

lement diftans l'un de l'autre dans toute leur

['] far tonfiruOion & Cor. i. Prop. $. Geo.
M frof. iy. Geo. [i] Suftofit.

M ^of. 7}. Gee. [S] Cor. i. Prof. yz. GêO.

rj ^^<?. ?*• G'^» [^J ^'/. 11- Geo.

Gttmttf^. 511

fcendaè' ; cet lignes Cecoat aullî également di-
ftantcs l'une de l'uitrc dans touM Icui lon-
, gucur- Donc ['] elles feronc puallclcs cnu'cllcs^
u qu'il fiUUit iimnurn.

COROLLAIRE I.
Les Ugaei dioitcc couples pu des plans pa-
' lalleles , fêiont coupées proportionneUement.
F H K

Soient les lignes dioitei AB te CD, parallè-
les , ou non ; dans le même pUn , ou dans
diftcrens plans. Soient encore les plans. pa-
rallèles EF , G H , I K qài coupent ces lignes
aux points X. , M ; N ,0 i P , S : Je dis que
ces lignes A B Se CD kiont coupées pro-
ponionnellement , c'eft à dire que Ltl .N F ::
itfO. OS. Poui le démontrer , du premier
poinE de feAion L d'une de ces lignes droites
^ B au deuxième poînc de fcâion S da ]»
Teconde ligne C D fÔit menée la ligne L S, El
^point L au point M ; de 24 à r , & de r à Oj
['] Dtf. I. Gt*.

enfin de P à «^ , où ces trois lignes AB ^ CD
ic LS font coupées , foienc menées des lignes
droites.

Lc$ lignes LP Se LS feront [*] dans le mê-
me plan $ les lignes LS Se S Aï feront auffi
dans le m^me plan. Or les communes ferions
T N ic S F du plan triangulaire LS P & des
plans parallèles G H Se I K ^ font ['] parallèles
cntr*elle$. Donc [*] LN > NP :: LT . TS.
Mais les communes ferions L M & T O da
^lan triangulaire LS M de des deux plans pa-
rallèles EF Se GH ^ font parallèles entf elles.
Ou aura donc encore MO .OS : : LT ,TS,
Donc [^]LN.SP::MO.OS.
HEMAR SJ) E.

IL eft facile de faire un raifennement fembla-
bie à celui du Corollaire précèdent po«r dé-
montrer que des lignes droites AB y CD, £ F,
&Ct menées dans un même plan font coupées

A C A C S

proportionnellement par les lignes parallèles
AEfiL , H Af , B F, &c. Car du point C ao
point H ayant. mené CH 5 on troure [♦] que
AC^GH :: CN.NH :: CJ.JJC. Donc

i^\Prot.Fuf. [♦]

Pmrt, I. Prof. fi. C##..

p] ufG.GH : : CI.IK. On prouvera de
même que Ci. IK wJLL.LM y &c. Etifuite
£ on mené la ligne JT B , on trouvera encore
de la même manière que GH . H B : : i JC ,
JC i> . &c.

PROPOSITION LXXYI.

1^. Si f lu/leurs flans font farMeles ; une fnim$
Ugm droite étant fêrfendicnlaire i un , fera fer-»
fendieulaire aux autres^

' a*. Si une même ligne droite eft ferfendicu^
Isire à flufieurs flans , ils feront faralleles.

DEMONSTRATIO N

fil LA PRiMisRi Parti K*

Soient les plans AB 8c C D parallèles en-
tr'eux j foit la ligne G H perpendiculaire an
plan AB :Jc dis que cette ligne G H eft aufli
perpendiculaire au plan
C D, Pour Icrdémontrerj
confîderons un plan G N
qui pafTe par la perpendi-
culaire G H^dont les corn-
snunes ferions avec lés
plans AB 8c MD {oient ^
G Aï Se IN. Paifons en-
core paflèr un autre plan
G S par cette perpendi-
culaire G H y dont les
communes feâions arec ,
les plans AB 8c CD
foient GP 8c IS.

Puifque les plans AB
8c CD (ont parallèles , A

[•] Cor.i.bef. II. Alz^k,

'|l4 Trêifiimi PdftU.

les commimeg fêdiens GM èc 1 N feront P]
paralkks $ par la même raifôn G F & I S ic^
xont aiifS parallèles eatr'elles. Mais [*] la ligne
C H éunt perpendiculaire iAB^ l'angle IGM
fera [ij droit ; le l'angle GIN (èra auOî [«]
droit. G/ (èra donc perpendiculaire à / ^. Par
la même rai(bn 2GP étant ['} droit , Gif
6ra aaffi droit, GI (èra donc perpendiculaire
ils» Doi^c ['j la ligne G / fera perpen'diculaiie
au planC D , ^# qt^ilfrlloit détnimtrar,

& fi le plan C 2> eft encore parallèle à£F^
on démontrera que la lign^ G H eft encore per-
pendiculaire à ce plan £F par un raifbnncment
lemblable à celui qu'on Tient de faire.

DEMONSTRATION

91 LA SlGONDl PaltII.

Soient les plans AB & C Dy aufbuels la li«
gne £F foit perpendiculaire : Je dis que ces
plans font parallèles exur'eux« Pour en connoi«
txt l'évidence U

fuffit de démon- B D

rrer que toutes .
les perpendicu-
laires menées
^' un de ces plans
à l'autre feront
é g aies entr 'elles.
Et pour cela, foit .
menée G il pa- ~
rallele à cette li- 'A
gne£F;&dans

['] Prof. 7£. G*^

CJ i>*/. a#. &J>rf. 14, Gi9.

[♦] ?0rt. }. Pf<îf . 44. G».
[?J Pfi^f . ^7, G<#.

ëiêmetru* Jif

1c plan ÀÈ d*im point ^e rencontre E de la li^
eue £ F à un autre G de la ligne G H foit menée
2B G i de même foit menée F H dans le plan CD.

t^oifque ['] G H eft parallèle à la perpendica*
lairc E F, cette ligne G H fera auffi [»] perpendi-
culaire aur plans ^B & CI>. Or [>] les angles
F:EG ,GHF,EGH & HFE font droits. La
figure E H fera donc [♦] un parallélogramme.
£>onc [»] la perpendiculaire G /f ferjl égale à
JE F. On démontrera de la même manière que
les autres perpendiculaires 2 1 , Af N , &c. me-
nées d'un de ces plans à L'autre, font égales en-
tr'clles , chacune étant égale à E F. Ces plans
feront donc [*] également diftans Tun de l'autre
dans toute kûr étendue. Donc ['J ils feront pa-
rallèles entr'cux , ce quil fallcit démmtrtr.
COROLLAIRE.

Si chacun des trois points E , F & G font
également diftans du plan CD > le plan A^
{cza parallèle au plan
C B. Car puifque les
diftaiices de ces points
font [•] mefurécs par
des perpendiculaires,
les lignes Eff, FZ,
Se G M menées de ces
points perpendiculai-*
rement au plan C D
feront égales entr'el-
les. Or p] clles-font

$ié Trûiprm Partie.

banlleles entr'ellcs , & prifès deux à itax elkt
lbut['] dans le même pl^ui. Les lignes LM &
rC i HL Se EFi H M & £G feront [']
égales entr'elles. Les figures EM^CL&FAf
feront donc ['] des parallélogrammes. Or rin-

ÎkEHL étant [♦ J droit , l'angle E F i fera [']
roic.On trouTera encore par un raiConnemenc
Semblable que l'angle LFG eft droit. Dench
ligne L F (era ('] perpendiculaire an plan des
lignes£ FScPG^ c'eftâ dire [7] à. A B. Donc
Z F fera perpendiculaire aux plans AB & C D.
Ces plans feront donc ['] parallèles entt'euz.

PROPOSITION LXXVII.

I*. Si êUns un fUn les cités ttun angle rt^
StUgnê fmt faralUles aux cotés ^un mutr* fd
9fi dans un autre flan ; & fi les plans de ai
faralUlis Ce terminent mutuellement iune fartée
leur eammune feBimi ce dermer angle fera tifX
ast premier^

x^. Si deux, lignes et un angle fmt parallèles
aux deux lignes dun autre d^nt le plan efi dif"
ferent , les plane de ces angles feront faralU^s
iPitf^eux.

*] ^^. 7*. 6#*.

;*] Ffip, ^4. Geo,

[i] Brf. 4^. Geo,

♦1 Def.i^. &Def,i^. Gm.

p j Part. I. Prep. jg. Geo.

'^^Prop.éj.Geo.

I>ef. to. Geo,

Fart» t. Frop. Fref.

1

5*T

PEMONSTRATION

»I LA Y tlKXI Kl » ARTXI.

S Oit l'angle BAC dont les côtés ABU AC
font parallèles aux côtés D £ & D F d'un
autre angle EDF. dont le plan n'eft pas te
xnème qiie celui du preinic|: angle BAC^ct^
JUgncs parallèles AB U DB ^ AC Sf^ DW
étant diipp/ces de manière qqic kurs plans |è
terminent à leur cominune
£èâion ^ I) ; Je dis que cet
angle B ^ C == E Z> F. poui:
le démontrer, fur la ligne D£
il faut prendre J> G=zAB^
& fur ©F il faut prendre
I>H =AÇ; enfuite menez
9G , 4D , Cifi J5C dç
iSH.

JPoifque les deux lignes k|?
8c D G font ['] parallèles &
VI i^gales , les deux lignes
fGU AD feront ['] égales
êc çaraUeles; ^ par la »i6me
raifba les deux lignes ÇH (c AD (èront aufli
égales & parallèles. Les deux lignes B G êc C H
feront donc égales [♦] & [«] parallèles entr* ellesj
& enfin [»] les lignes BC ÔcGH feront égaies
Tune â l'autre. Les deux triangles BAC U
49 D H itant donc équilater^ix , -ils feront [*J
équiangles. Donc [*] Tangle BAC=^BDF^
Ci qu'il fMoit détmntnr.

[«] Si^fofit.

r»J Far cmfirtiSim.

[♦] Ax. II. Gen-

1»] Bart.z.Fraf. 74. (?#«ç^

5&t Tfêlfiimi Téinie.

BE M A EL SL'^ '•

Lei plans «ies paraOclcs^B & D E « AC k
f>W (t ceiminem l'un & l'aime à leur cQm-
011111e Icâioii AD i câi amiement kt pxenjeit
Mitie de la propofition pcelênte & tiouvaug
Bollê , pacceqa'elk fctoit trop génfnde. fmOfit
les cbth de l'angle BA C pcinrenc être di^fZr
de manicie que le plan des paialkks AC k
WD ne & tennine pas à b commiine iediOQ
^D oà ileft leo-
oootté par le plan B A

Bp qui cft celui des
païaUdes S jf 4c
SD. JSr alors l'an*
fie BAC écanrob*
ms, £2> F fciaamii
de pks B^C Kra
obtus , pins £2>F
ièra aign pcwir con-
férer ie paralklifkie 4cs lignes ^ C & F2>. An
contraire ^ aSAC e^ aigu ED F fera oènu
Cela Tient encore de ce qtte les ligics -^Z> &
HC fe coupant , on nepeut pas Pi cenclnte
certainement qqe ^ 2> = H C.

pEMONSTRATlON

^1 LA SieONDl flKTIS.

Soient les deux lignes droites AB êcACan
Ce rencontrent au point A , parallèles m

dcoi

J

«

Ge$metrie. ji^

4Letix lignes D£ & D F qui fc rencontrent
au point p dans un autre plan çpc celui des

lignes AB êc AC : Je dis que leurs plant
BC U £F qui paflcnt par ces ]x^t%, font
parallèles entr'eux. ^ooi le démontrer , du point
ji fbit menie la ligne ^6 pexpendicttlaiire«-i
ment au plan f F. Par le point G od eilç
rencontre ce plan £F , fbient menées dans,
le plan iF les lignes GH Se Gl parallèles
aux lignes proposées D£ 5c i>F*

Puilque ks lignes &H Se pl font p] pa*-
ralleks aux limes D E 6c VF ^ Se que [*]
AB de AÇ ioij^t parallèles au0i aux lignes
Z>£ & DF i la ligne ^J? fera f] parallèle
à 6 H , de ^ G fera paralkle à G J. Or leff
parallèles A B Se Gif étant [^] 4^s le mè-

^7

\

CIO Troijiime Târtiil

|«] droit j l'angle G^B fera donc droit. On
fr^UYcra encore par un raifonncmcnt fitinbla-
th , que Tangîe GAÇ A droit dans Tune
& dans l'autre figore. Enfin [*] dans la fécon-
de figure AGH = GAM. La ligne AG étant
donc jpcrpcndiçulairc aux lignes AB ScAC^
elle (cra ['] perpendiculaire à leur plan HC,
Cette ligne A G eft [♦] auffi pçrpcndicD-
lairc au plan E F. Les plan^ B C & E F iovt
donc [*] parallèles entr'cux,» qH'ilfriUkéi-
montrer^

PROPOSITION LXXYin.

1®, Si un fîs» re7Uùntf9 u» 4tmtre fUn , fa
êimgles formés de fart & d^ autre d'^n dt tti
flans fçr<mt droits osi égaux ^ deux droits,

1^» Si deux flans fe coufent , Uwfs sa^
fffofés far U fommot feront égaux e^treux,

DEMONSTRATION

DI LA PR.BMt$KB PAlLTlB,

S Oit le plan D F qui rencontre le plan AS:
Je dis que les angles qui font tonnés èc
part & d'autre de ce plan Z> F , pris cnfcmWe,

. ['] Défi; 19. & Def. i^.Geo.
[*] Tart. uProf.iy Geo.
[i] Prof. 6 J.Geo.
[♦] Far conftruSiion.
[5] FarP. :^, Prof, ji. Gto;

Créante trie» 551

font égaux à deux droits. Pour le démontrer,
par un point de la coirunnnc fccflion EF, par
cxempl c O j foie *"

menée dans le
plan -rfB la ïi-

fne G H perpen-
iculairement à
cette commune
Xcdiôn EF ^ Ôc
par le même
poiiic O {bit en-
core menée dans

le plan -O 3? la ligiie I Af perpendiculaire â
cette commune fedion Eî", Alors les angles
GOid & MO H font ['] les angles des
plans I>F Se Ab. Et pàtceque la ligne G H
eft droite, ces angles G OM éc M O H {pnz
[•J dans le même plan. Enfin ces angles
GO Ai & MOH font ['] droits ou égauk à
deux 'droits , ce qu'il fallait dimvntnr»

DEMÔHStRATlON

's •

DB LA S£C0M1>E PA&TZi*

Soient les plans AB Ôc C T> qui (è cou^
pcnt j je dis que les angles de ces plans
qui font oppofés par le fommet , font égaux
cntr'eux. Car les angles GO L de MO H

p] Def. ig. Geâ.

p] Prop. éf. & Cor^ 2>tf/. 10, Geù^

[^] Fart, I. Frâf. xi. Geo.

Vjij

jîi Trti^mt Teinte.

font [*] la angles de ces planj , & ces a»-
gkï font oppoSs par le fominn , & [•] iuà \
te mCme plan ; ib font donc [■] égaux en- '
tr'cBx, et ^m'U fsUtù tiémmtnf, j

[•]Def. it.Gm !

|']iV<y. tt.& Cir.7>iif. lo. Gm. I

i*J r»rt. I, fti»f. M. Git.

tSetftHtrle'.

CHAPITRE III.

DES CORPS

o u
SOLIDES.

II. ell impcHible de faire un grand pragifs
dam 11 Phj'Uque nouvelle , lans fcavotr U
manière de connoîire combien de maHê
OUI cercaint corps , & combien de Turfacc.
Parcecjue leur repos , leurs difièrens degrés de
mouvement , leur £[uation , figure & Tolume,
iotii ordinairemeni l'origine &i Phénomènes
le < plus conliderable». <

La connoillancc des Iblides - efl fort aTanta-
geufe d^ns les Mechaniquci pour la conftin-
âion des Machines , pour déterminer les
Centres de gravité , pour trouver les Equili-
bres , &c. Dans la Navigation pour la con-
ftraâion des Vaiflcauï , pour comparer ht

Sefanteur de leur volume à un pareil volume
'eau , p«ur connoîrre leur plus grande char-
ge , &c.
On Te trouve fotirent dans la neceflîté de
Yyii)

5J4 Tr^l^émî Tânii. .

mefiuer des murailles félon leur trois diineik>
£ions , pour f^voir combien de toi(es cubes
elles contiennent , combien de pieds , &c. H
y a tant d'ouyrages qui fe rencontrent conti-
nuellemeat dans rArchiteâure , dont la per-
feâion dépend de la coupe des pierres , & d'u-
ne Théorie cxade des corps » s'il eft neceilai-
re d'eftimer des ouvrages de Fortifications,
par exemple , des excavations de foâes , la
^folidité des remparts , &c , on tCj peut reu/£i
{ans la connoiflance des (blides. Enfin l^s ud^
ges de cette partie de la Géométrie font très*
mquens & d'une grande utilité dans le tefte
des Mathématiques ; & quand même cette uti-
lité ne paroitroit que dans ies exemples qu'on
▼ient d'apporter 5 cela fèroit fuffifant pour en
rendre l'étude recommandable , & pour ani-
mer le zélé de ceux qui commencent a s'ap-
pliquer à ces (ciences. •

PROPOSITION LXXIX.

Si tr^s Mngîes flans fmt un mn^ fMe ;
iéux , pris enfemble , feront flsss grmuU ^«e h
troifiémê.

s

DEMONSTRATION.

Oient les aneles plani BAC y CAD ic
DAB qui forment un angle foUde dont
le fbmmet eft A: Je dis que deux de ces an-
gles plans pris à volonté , par exemple BAC
dt CAD font plus grands que le troiiîcme
DAB.
Si un de ces deux angles BAC , CAD , eft

Géométrie. cjy

plus çrmd que Tangle BAB y ou s'il eft tgJL

à l'angle jy AB -, il eft évident qtte ces deux

angles BAC & CAD^

pris enfemble , font plus ^

graiids que l'angle DAB,

Cax c'eft ajouter quelque

cho(è à Hne de deux

grandeurs égales , ou â

la plus grande , ëc rien
sL l'autre égale ou plus

petite.

Mais R chacun des an-
gles B-rfC & CAD eft
plus petit que le troiilénie
angle D A B ^ par les points 1 8c G éloignés
du point A , & pris à rolonté dans les lignes
jiB ec AD y fait menée £G. De cet angle
J>AB retranchons une partie H^B qui loit
égale à l'angle CAB. Sur k ligne A C pre-
nons la panie A F égale i A L. Enfin du point
B au point F , & du point F au poiat G loient
menées les lignes E F & F G.

Les triangles LAE & jfaE ont le côté
AE commun , Sc['] ALssAF. Outre cela
l] l'angle LAE=zFAB, Les bafes EL 9c
EF feront [»] donc égales. Mais [<JEF -h
FG>EG. Donc [♦] EG';;>LG. Le côté
AG cit commun aux deux triangles TA G te
LAG, & ["J AF = AL. L'angle F ^G eft

ajou^
'autre

donc [5 J plus grand que l'angle LA G. Ea aj<
tant d'une part l'angle EAE ^ Se àc l'au

['] Par cmftriêB'um.

Y] Fart. X. Prôf. 3; . Gec.

[9] Prof I. G€0. [4] Ax. 17. Ge9,

l^] Cw. 3. Pr<»f . 5;. Gw.

■jjô Tr«ijt/mt târlie.

pMt l'angle LA'E égal [') an précèdent ; OK
iiouveia p] que la Toinine det angles BAC^
C AD ^ BAD t « ^u'U fitlUit démmtrtr.

On imvta cette tnètnc méthode , pour dé-
montrer (}ue B^C<;B-<J)-^-C-<I> , S
queCAB^BAD'^CAD.

C OR OLLAI R E,
Tous les angles plans qui font un angle lôlide
font , enremble , moindres que quatre droin.
Soit un angle folidc dont le fommct eft A : Je
dis que la fomme des angle» plans SAC,
CAD,DAE,ZAT, TAB, quilcfonocnt,
quelque nombre qa'il
y en ait , eft plus pe- A

lite que quatre angles
droits. Pour le dé-
montrer,confiderons
nn plan , par

plans de ces angles

qui campofent l'an- B

gle fonde dont le !

fommct eft A. Alors

leï communes fe-

aioni de ce$ plans & du plan G H formeront 11

figure rcftiligne IIMNO; Se H J aura des

angles folides dont les fommets feront les poinB

J , L , il , U , Si.c.

La fomme des angles de tous les ttiangl«
lAL, ZMA, M N A , Att O ,At O .^i^Û
ont chacun pour bafe un côté du polj'gont

[•] Par ConfiruHint.

V\Ax.^.gl».

, Ge^metrit 5j7

ÎLAim O ycA ['] égale à autant de fois deux
angles droits -^ qu*il 7 a de c6cés à ce polygone
ILAdNO.

La femme des angles intérieurs du polygone
JLMN O Se de quatre angles droits , eil auffi
égale [*] a autant de fois deux angles droits
qu'il y a de côtés à ce même polygone ILAiNO^

La fomme des angles dts triangles lAt^
ZAMy M 2f -rf , &c. eft donc m égale â la
fomme faite des angles intérieurs du polygone
2L M NO Se de quatre droits.

Mais [^J la fomme des angles AIO 8c AïL^
eft plus grande que Tangle O / JL du même po-
lygone. De même ALI'-hA LM"^ JLM .
êcAML-^AMNy^LMN.Bc]^lMsANii£
^^ANO'^MNO. Enûn AON "i-AOI^
UOI, C'cil a dire que la (bnune des angles quT
font a la ba(è des triangles JAL , LMA^
AiMNy &c. eft plus grande que la fomme des
angles intérieurs du polygone ILM NO^

Si de la fomme des angles des triangles
JAL y ALM y AMN^ icc. on retranche la
fomme des angles plans qui font à leur bafe ,
client les fommets (ont / , £ , Af , & O $ & fi dé
la (bmme faife des angles intérieurs du polygo-
ne / £ M N O & de quatre droits , on retranche
la £bmme de ces angles intérieurs : on trouver»
['] que le refte des angles des triangles AIL'^
AMLy Sec, c*eft à dire , que la (bmme de» an-
gles pkns qui forment i*angle folide doiit le
fbmmet eft A , fera plus petite que quatre an-
gles droits y ee fu'il falUit démontrer^

[«] Prùf. jr, Geû.

[*] Pdrt. I. Prûp. 5z. Ceû. [*] Prof. Pnf.
«] Ax. iS. /#». PJ Ax. ij, £€n.

IJ«

Troiftimt fâttiè.

■s^JlK

PROPOSITION LXXX

hti fyrMmides trisngmUires pàftes fur U m-
m hÀÇt • 9U [ht des IfAfes é^MilMUtédcs tum i
tâtÊtrc y fut* igdes entr*eîl»s.

démonstration:

Soient k$ deux pyramides ABCI> iL HGft
fiix la même bafc if £ C , ou for des bafes

IL

A B £ F

^uilaterales ABC 8c El G, 8c de même ksxi*
tcur , c*eft i dire [»] entre les mêmes plans pa-
rallèles/ k: 8cATGC : Je dis que ces deiu pj-

Geêmttrie, 09

f^mides font égales cntr'cllcs. Pour le démon-
trer , confiderôns ces deux pyramides commo
divifées en feuillet^ , lames , ou plans triangu-
laires paçallcles aux bafes ^BC&£PG,ô;
d*unc cpaiffeur indéfiniment petite. Il cft con-
ftaht que dans Tune de ces pyramides il j aura
autant de ces plans , lames , ou feuillets , que
dans Tautre 5 puiiqu'on fuppofe ces mêmes py-
iramides être de même hauteur. Il reile donc à
démontrer que chaque cgupe , lame , feuille ,
çu plan d'une de ces pyramides , fera égale à
chaque coupe ^ feuille , 611 lame , qui fera à mê?
ine hauteur dans Tautrc pyramide.

Soit le plan JLPS N qui coupe ces deux pjr?
ramides parallèlement au plan JLTGC. Lc$
communes ferlions LM Se AB du plan DAB
fc des plans £P^ N Se AT G C feront ['] pa^
ralleles entr'elles. {.es triangles A B XX Se DLJ4
' feront [* J donc femblables 3 on dira la même
chofe des triangles HEF & HOF ',DAC Sç
INDiEGH & HOSi t> Ç ^ Se D N Af^
fiGF Se H S P.

bonc[i]AB.LM:iAj^^LD.Se2W.
OP: : EH. OH,

Mais [♦] -4 r.ZI) ;:EO. QH.Se [^•]-AL
pJhLD ,LD::EO'JhOIf.OH ^ c'eft à dirc^
A:D .LD ::EH.OH.

Donc n AB. LM ::Mr.QP. Or [t] A Q
c=£F.Donc[']iAf = Q?.

V]Prtrf.jf,G€^

[*] Fart. I. Frof. 14. & parK uptf. (U C&^*

[I] PMrt. u Prif. ji. Gm.

[* j Cêr» Frof, 74. Geo.

[f] Fsrt. ). Cor. Frof. y Algit*

[«] Cor. 5. Def. luAlgob. [}} S$^oft,

j4© 7Vf#/fri»e TârtU^

On uoinrerj. par un cai&imeincnt (fimblabk à
celai 00*00 vient de Êdce,qae CB . KM:\
BD.MDzzFH .FH :; WG.FS.ëc de ces
.•xapponségaiix^oncondneiaqiieCJl . NU::
FG. PS \ 8c[^}CB.FG:i NM .FS.Uûi
pjCB=FG. DoncNJf =P^.

Qn. iétamnacn de la. même maaieie ^
LNszOS.

XJnt de ces lames triangulaires JLM N dW
de ces pjzaniideseft donc éqnilacecale à une an-
tre lame tnangnlaire OFS corrc^otuLnui
même kanccnr dans Tantre oTramide^ Ces deox
triantes £MN fc OFS u^at donc éffoitxk^

Ce qo'on adcmontté a l'égard des finilksqi
laaîes LU N êc OFS peut eftre dcmonoc Je
h, même manière êc par les mêmes raiftosie
CDOtcs les antres lames ou feuilles compara
enti^elles à même hauteur , c'cft à dire dans ks
mêmes pkns parallèles aux baïes.

Les pjramidcs triangulaires jl^CD ^
£ F G H de même liantenr ac poSes bi àcs
-bafts oqnilatctaies ABC ic ÇFQ font àeif
égales tntr'cll^ , C€ jtêil fMhii dimmfm,

PROPOSITION LXXXL '

-IAk fftâmiit trismgàUire 9ft U tnUfiimvt f^
(M Wm» fhfm§e tU mtêmehdjt (^ de mtemt b/uM,

s

DEMONSTRATION.

Oitle phfiiie triangulaire AS C I> £ F : Je
dis qu'une pyramide qtù aura par baie un àa

•] P«rf.i. C0r.F$^. |. ^X»^*

dm

«bn^ ^ »C , Û tr , qui &nt là deac

nu Biu^jUlûrc AXCbSF t te qui fer^dc
oifaieluiueiK que ce ptiCiM ; pu eseavfda ,b
pfmli<le X'SF0, (cm Ik uoififiBe pûtie d»
ft mtoie MÎTine, Pour le 4(«u»tcci: i fia» m»
ntjRe-{MW,'fu--ncrtpi«9»-fe>ctic mea4cr

1« dùgonalM £ I> & 18 -'' ^- -'•

iiirlej ic&xâcei d-ï'ic"- ' "■ » ' :

af?, fciârlk uoififane - '

ii0E C S fini encoM Me- _

ftée Is ii»an^ ^t D ,

^ feront uz tiianglet

* f"l «p«tèn»i»iit ce.

piiuac iirité par Ici 4eux

^1 £B2 ft 'ÀM'-I>,~ '■

en uois p7iuni^£2^Fi

n (wR ^&nontrec qif ellet
£mi£gal«i, & pour y
zéiL0tT <;aiifiicmu-ks [>]

P] TTtf. (s. Gtt.

J f«rf.). (UFtvtrtiJf.fag. tjo. Zs

j 4* rr^jfi/m^ PMnie.

C^Uh^È^Fjk^'fJSWiiit 9BWP cft
V] égale i k bai^ AE9 et U fjtzaàk
AEBD. Otot$4fcaxfjt$aà4e$ ont wne mê-
me iameiir , paifija'^ci 5Hif le mèiœ- {bauna

ratnuleutf ESD , ou ^EJPI^ quI'cftiU^cincv
Car l^afc l>^wf C ie la pf s^imdc Ô jLCfitSk,
[^' égale a la hliê AET> éc U, pjwiâde
MB DM. Or c^s deux p/camides bac î^} ime

mèine inqredir , ipQifi]tt*^llcs,m( le mlmi^bx^
meticoihniiin bJ 7*

Lff^rajinide b^CJ|^c${;] ^MoçiSgate ilt
pyr:^ de ^£ AB, ou.î^&^ji, .. -,

Les trpjs pjràmidesr^PFJ^ ,; ÂEJBD ft
ACBV font donc r^] égales .encr*el^. Chi-
cane ^4fiftg h, troiuâneparciedapriûnc pro-

Or la pjramide B 2>¥B i f I^ ix^ènif J^fc^^
la même lifateiir quÇ|le priime uf f CX> £ F.
Uhprifm^'tqangalairt^ eft donc XZJS^ d'une
fji2m\jitît mèmf^ hifi; & de mtmfMti^ettr ,
êêfi'Urfallétdémfniréni

laMânojdhadoâ <pi on trient A f%îfe ^ c^'
Tient ^iflia;*feiikmttic av^ priimç tfiannléiic

rM/pr#^. fo. G^fl. :

[ijC^.Prif. 70. Cw.

•• ^-

■-' - éeeimtrif. '■' S^i

itoit , mail ailfG amx obliqacs mùi^vlsua,
'C'cft fomqMd on la pcm appliqnci: au^ uuo-
ret fuivantes , & on n'y rrouvera aucune diSi-
cttlif pv^iculierc. Les SiFercntes pcfitions te
céaptt 4es prifmes ^>'i\T font lepiefentéçf ,
ÂÏTin^t i' cârccr*r ' ■ " ' ' "• ' '

, É / 1 De ."■ A C

pour fadîu»«HCoie "daTMitage l'intelligence
3e 1» propo]kî«n preténte , on peiît tailler un

Îirifine tiian^ulaire^e boîs ou de cJre, & eiifoiic
e-coupci fuivant lei plant E > C 6c ABD-

Tcconnoîtie dins lê Jl^finc, 'i]f Aânglé , on les
diftingue avec iamfimf -i^cÙîté tUnl le prifiiM ,
oblique. Aprcï v**"*"*"* ' TolontË Ia ligne
' '■ ' ' " Z t ij

W4 Tmfiém fartit.

Jib; a iML ['] conftiujw fi» «et» figM npi
trungk équîlaitral ^^C. Il fw [>]jaenerb

-ligne BZ> perpendiculairement a ^1{ ScÂer^
Jociguevx qu'en roudiça', cette longueur foa Is
même qwc celle dcfprifine. Il faut meciei Itli*
gne ^ X> pour former le triangle xeâangk
utfSO. Et juir le c6téi?X> on formera encme

iO le triangle rcdlangle 2>f £=yf BI>. En-
mte fur Thypotcnufe ^ D , il faut [*] conftiuiit
un triangle Ifbfcele , & &ire le c6té JLF=:AJ^
U faut encore [^} conftrmreuneftcQiiie £guie
GtiAK équilateraie à la |)reË^âentc ^ oMer-

Vanc feulement de faire VttfangleK^^ 11 M
fur liijpoténiife / £ Terf iit^niaSi^oite. Bafoue
for la ligné p P =ii Bp: ^ '&xii décrire deux
triangles reéïaiigles égaux chàtuit an triangle
ABD y pour former le parallélogramme N S»
fur une des hypotcnufes N f ou O gK il to
former le triangle ifofceie 17 P it TfeHam k

mifiénetité Ar==Pfi^ lcCa\t-tlxt R K
<a tênencoïc ttn aiuie ctùngle i/ôfcele SU =^,
JS. 0. .lk£*at fe, fcrrir As cîUwz peau «wper .
]«^eMcoci'fi>r.l?qud;onaid£ctù cea uois£gçcet,-

4U.&amK W!lEOiiE<Mit:cm,lecoopcia à moitié,

fuivùit wuces les lignes tnnfKiûlci P P ,. f N.-

X R, ADt, HL ,' ^e. Enfin i] ikuc plier U pre-

VÀae figure de ftne ^ue le» poinu F Si S &

«ncontrcrtf fin le point C, , * «^ne les point*

C&; Af iê: [nviiffiit % tepoint If. -Il faut «p-

cliquet: Iç, poiac- j' 4ir ,1e point O , & lo- poin^

^fur-k ppintJi^ Àlçnon amAttois pyitmi;,

(Ies„d4iitrt)in qn appIJgucM unp , de manie»

que Ton triangle ifol£cle Se troave fui Tifoicelc

RSN , & que l'ifoJccle de l'autre le tiouvc ap-

jrliquc contre l'ifolcelc^ Jt P ; ce qui forn^n

nn TCiitable prilme uiangidairc , tel qu'on 1!«

>nflxai4oa.de la ptep.

[cront oppolëei A BÇ

n ft femUabla , -ac i^

le (eimineiont léione

aire les crois parallclç-

■et , 8: la hauteur R z ■ ■ ■ ■ m

■ii

t E'JC»r.f.fr*f.i7 ' -

6- C*f,(. fWf. ». GMh

54' Trêipime Pdrtie.

ctU il finit couper le cxroh, faÏTaiitle ctiadC
dhpuaUelognunme total XX, 4e cnlîiùc k
c'aapni Bnmât fnirant les àtax lignes K SU
Z r I ft en£n «pidiqittr k ligne |t2 SirlMhffx
JtX pomfotmgtiet cootBOR d'im prifine &)i
Icqael (èiotit â)«ftécs 1» tioii pjvamldes tp'm
«icni <le cbaftraire*

COROLLAIRB X.
Nbn (èulnnnn U pjrtamide tiiangnlaire;
mail aolG tonte anœ pyramide eft U [roifi^im
ptAieJs prifine^qaiàintmebifëft mbM&av
teur qUe cette ^ynini<le. Toit piifine , c'^ i
dire ttiahgnUiK on antre , «Il itxtc tti^ ^'onC
pjTimiie qui * mttae bîifè ft^ mtme kuttos
qvecc prifine,

Soitlt fiiCmt ABCBETGBIK, ach
pyramide pentagone ABCDEF, de mbtt
«aie isc' de acitmc F

•ïiyoflruf que « prit
"Àiè:" Je dis qilc la
'■pyramide ^BCDEf-
: eft fat troifiéiilt; paï-
lie du prifnae A B-
'C Dtr G Hi K.
^penrledcmoRtferj- -
"jfla fôrmnei ^ pat
tempViî , "!nîS'
*" n de i bafe
4SC]p£,(tii efl

V^O BC ^G atix.-
fomnietide aocret
angles pour dirilcr
•cneMc taxàtihf '

■'•'- v. ■' -■' ; :

Se9mifri£ - - 547

giesî 9c de l'antre extrémités dek m&jne ligne
AG feieat encQce .menées ks lignei GK de.
GI aux ranuacts desanurei angles»

Le priÛKie AMCDZfGHJX Cm diriiS'
par ie$ pbtnf C?Cj& GJE> en. trois priTmes^
triangulaires ASC9KJ^ ACDGIK^ êc
ADEGKT. PareiUcmenr la pyramide ABCD:EF
fera diriTée en iro# pj^aoMdrs A9CF , 4CI)F^
& AD ET» Mais chaque pyramide ABCF ^
AC DF ^ êcc, qui fait partie de la pyramide
iDtate iTBC AB F y left^*] h< inoilî^aie paxpe
de ckaqiie> pciâne, triao^Mlaiffe ^J^C(?^i ^
4 CJ>i; JXv j&c.;^miâit partie ^u}>nfiiie to-.
cal XBC2>£FGHJIC« Puiique toutes ces
pyramides qui (ont panies de la pyramide
ABCPÉF , 1^ tons ces prifiiKS qui font panies
du pàfant"A9€B^E¥^HIKy 4[mi entre lea
mêdics tlai1s|>.anijfekt ^B CJD R4i GHIKF ^ ,
lespyraa^idtt^l^Ci^y ulCDf ;aç AVMF^
priles éniêqftble , c*eft à idke la )|grraQiid^\en«
titfre \Ap CD E F ' eft. donc la troi/Séme partie
des ^riimes AliCGBI , ACDGIKy Se
ADEGKF ^ pris ensemble ^ c'eft à dife du
l»riûne «tier A%C9^ t^JÊ 1 K. Enfia te
prifmè -rf3Cl>»F<î Hf IC eft donc tnpk de
lapyfàmide polyeone j<BC2>£P de mèflae<
baie U de moue £auteur«

r . ^ C O R Ô L L A I H 1 J' 1.

Pui(qiie p]Jes cônes peitTcnt eftre •confidesex^
:d;ommedes pyksmides ^'une infinité de çé^ez ^
3d^'que[i] les eyhlidres peayenilieftire : rc^gsordex

54^ TmJt^tHt fÀrtie".

comme Jes prifines autlî J'imc infinité de cfttezj
il fict de la prop. pteT. qo'ah cane t& U troifié^
IDC parrie d'un cylindre qui à. mtme Infe ft tat^
OK nÂutnir j on que !ej c^rlindres font tri^
^i conct de mtmc btlé & de tniaK baiiteiii.

COR OL LA I RI

Les priGnM triângultkci dr-mfme haSt te de
même niMKm, M qmùtatûir Aet balèi i<p.

•G

MM

font égîn* eiittSuï. Sofcni Iti priCtaiaASC'
DE F te GHILMS fur la mécnc baTe
^ se, on £irlcsbo&s égales ^BC & GffJ,
ftcncrc tel mimes plans piarallelM AB HI A
E-FN;X- :-Je di*. iqiiq atAmx pci{aie£ Icik
égaux entz'etw. Cu du point E , pu cxtaipls ,
auï poinn B le C après avoir tnené'.Ies lîg »
SB' A: £C} ficdVpoiiitl aw points G Se H

tpr<s aroir mené les lignes LG U LH^ïlA
V] érJdmt çpt ksff J^aÂiides AMÇ^ k GUn
um^é^ales cn^Viks. Or trw lois cette pjrisU'
fku4e ^ J C S , le trois fois kk pjFfatttiilè<7 H 1 X,

COkOtlÀlIlE ÏV.

«. L

'l^on^fcnlenicnt les'prifines triangulaire; , '
snais auffi tous les prifmes pohgones qui feront

E>fez for la même bafè , ou fur its bafês équi-
terales A: équiangles f une! Vautre ^ de qui £é*
ront de mime hauteur » ou entre ks mimçs
jplans parallèles., (ont égaux entfeux^ Soient le^

Jjrifines ABCP^GHIK & XMNÔPfiRyîTl
nrlamême baie ^£CX>S» oil fitx les baîSry
^BCDE & I Af N O P équilaterales & équian^
gles l'une à l'autre » & pofez entre les mêmes
plans parallèles ABCMNOn gc GBlS^VS^z

{cM9 que ces deux priâmes font égaux cntr*enxv
'ourie(lémontrçr^de$/bminetSiG&^^ X êc
L d'aigles égaux <^ ces balb , foicm meaé«s
4es lignes droites aux îlommtts ics auues ao-

1 ries y pour diriièx ces i>a{ès en triangles^ Alori
escriangles d'une de ces baies feront égaux aw
ttiangles de ramre , chacun à chacun»

»] Ax. 4. m Ax.fi gin*

\

I '

55» Tnififim Tmît.

1 a F Q

Car. ^iÇ(pt{'^V^o%\eA-EJ>=LtO,k
P] que E-*=a: PL, &ED=PO f cmp}MB
AD =sLO, Ainfi {*) lecriançle ^E D=ïi OP.
fangic ^DC=:^TÛN fJ J * E*] ^'*^^
HDA^^fOL. Donc [»] l'angle ^DC=IOff,
On Tient de toïi ^uc le c£» ^O^ZOjA:
t'] Icc6téDC=ON. Doric['3 Iccfité.*^
X n. Donc le triangle ^ C D ^ £ N O. Pu le
ntme faiTonnemenC on tiouver» c^ne le tnan*
gle ASC^tl^N.

\e ptilîae triangulaire j*DEF*r cfl H
égal au priCnc IOPSL«ft , & te îtiSne
-(CDKGJ = IÎ?OK«r , & le prifine
ABCÏ G A=t Jtf N T R *, c'cft à dite ['/
que le prifine total ASCDtrGH IK etligi
ko priunc entier LMUOf â_R ST V.

*]F»rt. i. Bref. }f.GM. '
" I jïx. I. G«#.
*] C#r. 1- Pf#^. jf. Gwt,
<] ^x. 9. Gm.

[*] Ax. y Gm.

•' /^ :e<^ fiO t L A iK-m* Y» "^ *
'JitlGskéà. eqtàïlàitt.4t^ de Jai propv pref>-<|tie
les cylindres qui ont même bafè 3c mime liaa«»
teur font ég^j^x entr'cux. O

Outre cela il fuir cncote que les cylindres qui
, font fir dés bafes égales & entre les mêmes
plans pâr^lleli;s ou de m^ême hauteur ,: font ait(S
égaux critfeux; Car |es cylindres ibnt:['j caii£«
.derez coàiinc^dcs prifihes équiangles [*] êc
I d'une infi^itWe-cdtcz/Ox les bafes de ces cylin-
dres ijkinêmc hiUitçur,;ëta|ic égales , feront auffi
équil{iter4les. Parcequ^^ces bafes qui feront [<]
'des ocrclçs légaux , auront des circonférences
égalô. & ÎL Y aura auunt dç côtez^dans u^t
de cas circonférences que dans l'autre ] Buifque
de paît 8c a autre il 7 en a une mgnité. fEnfin
chaque côté d'une de ces bafes fera égal à cha-*

?^« çô^c dç 1^1^ > pliifquo [♦] chaque infini
léihe partie de U circonférence d'une de ces ba-»
fe$ égales , eil é^alé i chaque infinitiéme partie
4e 1^ circonférence 4e^ l'autre bafe. Kon feule*

Î"^nt;ics^'c;flîndres.&^^m^ fie de même

;^^fevjr] {hais aùia/^(^uz, qui auront de$ bafes
égales y jk^qui feront 'auffi de piême hauteur |^
içi:orit donc égaux enpr^cûx.

; CQXOXLAÏÏIB VI.

^ TJh prifme oblique eft égal au produit de &
bafe multi^iée par fe hauteur* ^oit , par exem*
^yh:T^^iCm.è, ohlique AJBjCpÉFGHim :
Je dis que %M .>i>if iit(plié ' ;la. fofe ^ JS Q 2> ^
pi^ ^. hâdcoir K ij , :Oli -4 'J'.'i i 9Wi «ft unCjlign^'

•'•ri©//, 7cc?w.' -^ ■•....:

l

Cor. Prop, 47. ^ ©èr^ ioi G##»

Hs TmfiAm fàrtit,

■icnie fppcwJMiiîlirttnwK &aA ^/eXox tvm

fiuallclê, * Csnbldle dff/rF prétoi^i
to pntfû <le ceœ nnbiplicuion urprimml*

BdM de ce piifine. Ctr ce produit dt^ '^
jsifine reâwgle ^VCDSdtf JTo?,^
<Â [*] <gal an prifihe tiSiiaac ftowBi
ÂiCDEVGBÏt.. tcai conneW céamn
de piedg cubiques . ie toilct c^kpn , Kc
cpmient im uUme «Uiqne , il ûA imt ie
■mbiflier & bâté par & tuutcor,

COROtLAtRE T"-

- TJiK^tlndcciildiqiieeft^ aupcodsit^b
' * " * ■ '■'--'■■ . Ça ' ' ■

, ïAdRoÛiqne
kuiKui , en a pov pmiùt va cf linue

foft mQktpliér ptf.fâ haâqu. Car 1m%'i

^iiStlptie' ùbafi^de' ce Cffift^ oÛiqne par b
kaum , en a pov promit on cf linue teâ»^
gle tgtt an cjlindreoblûipe dont il i'ag^

'JC#r. t. Dif.jf. Gn,

(Se$metrie^ 5jl

COROLLAIRE VIII.

tTne pyramide cft donc égale au tiers du
jroduit de fa bafe multipliée par fa hauteur.
Car fi on multiplie la bafc d'une pyramide
droite , ou oblique, par la hauteur de cette py-
ramide, le produit eft un prifme de même hau*
teur , dont cette pyramide eft ['] la troifiéme
partie. Si on multiplie la bafe d*une, pyramide
par la troifiéme partie de fit hauteur, ou fa hau-
teur par la troifiéme partie de fa bafe ; le pro-^
jduit exprimera auflî la folidité de cette pyra-
mide. Parceque la moitié du produit de deux
Î;randeurs multipliées l'une par l'autre , efV
gai au produit d'une de ces grandeurs multi*;
pliie par la moitié de l'autre,

COROLLAIRE IX.

^ïi coiîe eft égal au tiers du produit de 4
1>afe multipliée par fa hauteur ; ou au produit
de fit bafe multipliée par la troifiéme partie de
fa hauteur j ou enfin au produit de fa hauteur
-multipliée par le tiers de fa bafe. Car Icrfqu'on.
multiplie la bafe d'un cône par fa hauteur , le
produit cft un cylindre dont ce cône cft [*] la
froifiéme partie.

COROLLAIRE X-

Pour connoître la foliditc des autres corps
terminez par des furfaces planes , il fau$ le«

'] Cor, 1, Prof. fref.

A a a

confiJertt comne diTifcz en pyramides ; Je
même que les furfaces planes irregoliercs ont
ixt ['] confiderées comme divilces en tiiao-
gles. Enfiiice il faut ['J cherch&r la folidité <ie
chaque pyramide , & la femme des ÙAiàktiit
ces pyramides fera Ix made ou folidicé du catp
jropofé*

Soit le cefltps A^CD FGff qac je fiip-
pofe eftreune groffe pièce de marbre mmincc
par fcpc furfaces , fçavoir A Jf CD E , FGH»
jiBF , BCGT , CDHG , EZ>HF, &
AMF ; û mi mené les lignes F C êc FD , ce
coros fera divifé en ccs^ deux pyramides AB C-
D E F & G CD H F, Si on peut mener [»] du
point F une ligne perpendiculaire à la We
ABC DE prolongée , cette perpendicnlaiic
fera la hauteur delà pyramide ABCDISF,
Si on ne peut mener cccre perpendiculaire âfl
point F, après aroir prolongé certc hsifcABCDl
▼ers L , par exemple 5 il faut lui ajufter pa-^
pendiculairemcnt deux barons M N & OP,
de manière que ces deux barons 6c le point F fc
trouvent jdans le même plan , ce qui fc fer*

CfiT, 1, Pref. 4«, Geo. page 598.
Cor. 8- Prcp, pref.
Cet. X* Prop, 4«^.

Geûmetrïe. 5j5

[' J en regardant le bâton M N iclt point F,
& en pofant le bâton O P de forte que le
bâton Af N le couvre à la vue. Enfuite en
borneiant , il faut chercher le point M jus-
qu'à ce c]u*en regardant par le point M Ôc
par le point F , on rencontre le point O de
ÎQXte que la longueur OP foie égale à. M N»
Alors M N fera égale à la hauteur de la pyra*
mide ABCDEF, Parcequc la ligne M F
ayant [*] Ces deux points M ôc O également [>]
djilans du plan LJiCDEL , elle fera [♦] parallèle
au plan tBCDEL. On pourra de même trou-
ver la hauteur de la pyramide GCDHF ^ en
prolot>geant la bafe GC D H p^r le moyen de
quelque planche ou ais aplani qu'on apliquera à
cette oafè. Enfin la (blidité de ces deux pyrami^
des fera ['] conivoître la folidité totale du corps
jropofé.

Il y ;^ des corps iiregulicrs, par exemple uae
Sxatue » un Vaiâe^ dont la fi^rface eft en par*
tic planf ^ en partie courbe » félon rornemenc
qui s'y' rçAsyconfce , &c. Alors on ne peut pas
£icij[egientdivifer ces corps en des pyramides ,
ou en d'à«r):es corps réguliers , peur en connoî->
tx^ la fUidiçc, Mais on ponrra fc fcrvir de cette
j^edLkpde qui eft ^fcz cj^(tc , quoiqu'elle ne
ibit pas entièrement géométrique.

Il faut conftruire une caiffe ou coffre de bois,
dont la figure foit un ^ aiallelepipçde are^t^uigle,

;«] Part. I. Cor. p Pr^, 54. Gck

>] Par confiruBiûn,

■*] Cor. Prof. 70, Geo.

♦] Cor. Prof. t. à* J}ef. %^ GeP^

5j6 Troîfiime Tdnle.

9l d'une grindcor fu^^^fante pour qae k cdrps
dont on veut connoitre la fblidité puilTe j êôe
contenu & 7 toe coaren d'eaa. Il tant ezaôe-
mmc enduire le dedans de cette caifie avec de la
poix , afin que Teau qu'on j mettra 7 (bit rete-
nue fans qu'elle s'écoule aucunement.

Ayant pofc le fond de cette caiflc parallek-
meiit à l'horizon , par le moyen d'un'niyeaB ^
il faut mettre dans cette caiilè le corps irregu-
lier , & y Ycrfcr enfuitc de l'eau poor Ja rem-
plir , de forte que le corps irregulicr (oit coq.
ven entièrement de cette eau. Après cela il faut
marquer fiir les cotez de la caide , Tcodroic
oùfè termine kfurfacefnperieure de l'eau daxis
laquelle eft plongé le corps imegûlier.

£n£n il faut retirer ce corps hors de l'eau, &
après qu'elle fera tranquille , il faudra, encore
marquer fur les cotez de k caiflè rendroîc A
fc termine la futface fuperieure de l'eau , & me-
fnrcr |^'] lafolidité des deux paradlclepipedcy,
dont la bafe «ommune efl le fond de cette caiffe^
& les hauteurs particulières de chacun font les
lignes droites menées depuis chacune de ces
deux marques perpendiculairement zxettc bstfc
commune. Enfuite il faut fbuflraire le plds petit
parallélépipède du plus grand , ce qu^on uoo-
Tcra pour refte exprimera U iblidité du coipf
îrregulier propofé^

['] Cor, 1, Def. 7;. C##.

G^mffie^ j^7

«•■

PROFOSITIPN LXXXIi

• 1**, Lesfrifmes ^ les cylindres dont les hauteurs
pmt égales , font entre^x comme leurs bafes j ^
fi ks bafes font éfé^le.s , ils font entrtux comme
leurs hauteurs^

%^» Les pyramides (^ les cônes dont les hauteurs
font égales , font auffi entreux comme leurs hafes i
d» fi Iturs hafes font égales ,. ils font entreuK
eommt leurs hau^urs^

E M O N S T R A T I O N^

»S LA PXrlMIBRl PARTZIr

Oient les prxfmes , ou les cylindres, I K St
L M donc les haugsurs I G. 9c MO foncéç»^.

s

tes : Je dis qu'ils fonr cntir'ciit <ômme fcurr
ba(cs. Pour le démontrer , (bit nommçc n 1*
bafe du prifmc / IC , & & hauteur G 1 foit nom-
mée c. Soit enfuit^non^mée b la bafc d« pi^f^

^iP» iij>

r

15 1 Tréiftimt Partie.

S] Le prifine ou lecjlindre IK:=z m£ ^^k
ne L Af =* W. Donc [■] IK.S€ :: Lèi,
d. ic[»] IK . LM :: se. hd. Mais puit
queMlaluateurr = i^i on ['Jaara acAd::
0,1» on aura donc cette mite ^ rappom
égaux 2 IC. LM : : se ,h d: i a.i^. Bonc[^
JK .LM: : M ,h.Ci qu'il frllêit démmtrer.

Si les bafes m ^ h ètoient égales , puifque
IK.LM :: sc.hd y en diriiaiic les deux der-
niers termes de cette analogie par a 9c h ^ on
trouTeroit que se .b d ::.c .d. Donc IK ^
LM ::sc.bd::e .d. Donc IK fcroit ilài
CQmmc la hauteur c à la hauteur d»

DEMONSTRATION

dt LA sicoNBi Part IX.

Soient les pyramides ou les cônes ABCD'E
ScGHIKL dont les hauteurs ET 9cl^

foient égales : Je dis que ces pyramides font
♦nU'ellcs comme leurs bafes. Pour le démontrer,

t J C^. X. Def. 7f . C<r. ^. & 7. Praf^^ g^^ q^^^
*] TSTP, 1. CfT. lBf0^ j. 4lgtb.^

f\SHpt0f$t.

y] frêf^ 6* Alith.

Geêmeirii. jjjr

f ftppdlem n k bafe A C ie h pyramide
AJB CDE y & j'appellerai o fa kauteur E F j
fc nommerai p la bafe de la pyramide GHIKlr
êc q Ùl hauteur £ Af ,

V] ^ pyramide ou le cône uf B C 2) Î5 =►

■ — ■ & 1* pyramide ouïe conc GHIK i=ti
Donc[']^J5C2>B. fJ:;GH2KI. ^-

5 3 ,

OfWl! • ti : : »# , p j /& . [J] en diyi- '

lant nâScfqfzr les hauteurs [^ égales <>. & q^
on aura no.fqnn.f. On trouvera donc
cette fuite de rapports égaux ABCDh.

GH ÎKLi \ JL' tjL~tx n&ifqx: n.f. Donc ï

les pyramides ABC DE & GHIKL font
cntr'elles comme leurs bafcs nôc f^ ce qu^
falloit démontrer^

Si ks bafcs n Sep étoient égales , il feroit *
facile de démontrer que ces pyramides fetoicnt
cntr elles conmie leurs hauteurs , endivifant »r*
&fq par CCS bafcs égales ^ 9c f,

c

COR OL LÀIRE h
^ Les priûnea ou les. pyramides de «jôrne ba»%'

'"''' Cor. g. é«. j. Pr#f , 5r. Geo.
Def. 1}. ^/g^^..

PMft. X. Cêr. Prof. 5, A^tK
Prof. s. Algih.
;»J Pr#p. 6. AlgiK

<\

5^ Trti^imt TêHie.

■eut & de mime ImTc , qq 4oiu les bi£é9 fphe

{gales , i^iund même ces baTes ne lëiQient ni

£quilatera]c5 , ni £qitùtaglei,fonc[']ég9ip;, oft

égales entr'elles.

COROLiAIRE IL
Si detu piifm» de même huiceui , par exeni'

pie ACFH & J£Ogj OUI des bifes fem-

Wafales ^BCD Si IKLM ^ de forte qw

chaque c&t£

de cette biCf J ^

^SCD Çast

doi^le de jv

c^MUC c6té

de Ll b^c

JK'^M , le

piiâne A C- f^

raCenégtl

à-qvzae u>is

leprifmeJE

&gj. Ça( v

kutla ^afe ^Ç fei» ['} quidn^Ie de k bftfe

I £, Le phime ACFH iera f 'J dwic qnailni-

ple du pril^M ILOgl^

De même , £ fe dùmetne de U We j< C jw
cylindre ACFH eft d«lible dudiMKtn 4c Iv
biCe ILia cyiindtç ILO^de même hautcoi^.
le quarré de ce diamecte de U bafe ^ C fera [' ]
quadruple diïqujuré du dJamcite Jela bafe /z~
Bt puifque les cercles font [*Jentr'cui comme le«
^jumtJi de letUE diuMUC) , le ccicIq ^1 C &»

V] C«r. u trof, fi. Gm..
l*J Cw. u frij. Éii e(<s-

Geometrîel 5<t

iuifi quadruple du cercle /Z, Enfin [*] le cj-r
lindre^GFH

fera doneqna- £ 2^

druple du cy-
lindre 2 X Q g^
On peut [']
dire k même
ehofe des pyra-
mides , ou àts
cônes, ABCDE
& /ICI MN
de même hau-
teur.

COROLLAIRE III.

Si deux prifmes, ou pyramides, ont des bafètf
fèmblables, êc £ chaque côté de la bafe du pre-
mier de CCS corps , eft double de chaque côté de
la bafe du fecond , & fî la hauteur du premier*
eft double de celle du fécond de même genre i
le premier vaudra huit fois autant que le fécond.
Soit le priline ACTH dont la bafe -rfC eft
femblable à Ja bafe £ N du prifme L N §lS , êc
chaque côté de cette bafe A C foit double de
chaque côté de la bafe £N; foit le diamètre de
la bafe -4 C du cylindre ACFH double du dia-
mètre de la bafe i N du cylindre L N §ls. Enfint
la hauteur GB de ce premier prifine ou cylindre
foit double de la hauteur N S an fécond : ce
premier prifme fera oduple du fécond.

Car dans le prifme , ou cylindre AH & nouf
confidcrons un autre prifme ou cylindre ÀCVT
de même hauteur que le prifme ou cylindre

P]

Part, i. Pr^, Pref.

i*]Pé^rP.h.Pr0f.Pref.

)<i Trtipém fdrtie.

pic du piilîne L N Sj- Mû le piiûnc cnàa
B H H I

fi t M S A M

AB Jonc Ift Utueui cft [*] double de celle i«

StiùaeLS, oud» prifinc^ r , fera. ['] donbk
Hpriiine^l'ipimqii'ilsfontciirr'cux auaax
teaa luateun , etani l'un le l'autre fur U m&DS
baTe ^ C, Le prifme ^ H £cra donc double liu
qutdiupIedupiiiineXJ', Or ce double daaii»>
Jmplecft oâuptci pârccqite le ptîijnc VH&a
Bulu quadruple du piilbic Xf. Le pf iime ou la
cylindte ^ H fua. donc oâuplc du piiGne on
dli cylindre £ S.

L» même cho& eft fridente pat le mime rai-
£>nnemcni à l'égaid ia pjtunidcs AS CDEtf,
t M K O P, ou des cents ASCDEec IMNQP.
On trovveia auiS pu un tùtonnempni &at-
bbble que , £ dess de ces corps de sièaia eenii
«ne leurt bafcs fembkbles , & £ chaque côte d'
ne de ces bafes eil triple de chaque coté de la t
te de l'autie , la hauceni de l'un écant douUe
Idbautcuidel'wuçjun de cetcoqM Tcndi

] Cor. t, rrof. Tnf,

- t^i

Ixtaic fois âttfi grand que Tautte. Snfin , fi la
Jiauceur de Tun^ft triple dé la hauteur de l'autre^
Tun fetayingt-fept fois auffi grand que l'autrci,
4kc.

Si on ditifè un corps en pkifieurs parties 3 fai
(bmnte des furfàces de toutes ces parties fera plus
grande que la fuiface de ce mime coi'ps avahc
qu'il fut divifé.

Soitlecorps-rf^BCDFFj il eft évident qtte
£ on le coupe fiûTant le plan Gff / , les particf

jTG^arFDI fe- c n n

X4^tït terminées

par les mêmes a,/ \ H/ \ F/ V

furfâces qui ter- ^-"-^i ""4. "--3

mirtoientle corps ^ I II

«ntier , & feront

encore en outre terminées par deux nouvellet
futfaccs XGH ic IGH.

Si on continue à divifèr a volonté ces parties;
on trouvera encore que , y ayant de nouvelles
parties plus petites , la fbmme de leurs furface^
deviendra encore plus g'rande que la furface qui
appartenoit au tout avant la divifion. Enfin la
multitude des coupes multiplie les furfaces fans
augmenter la maflè totale ^ qui eft toujours la
même.

Il eft donc évident que le rapport <le la mafle
d*un grand corps à celle d'un petit défigure
femblable, eft plus grand que celui de la fur&ce
de ce grand corps à celle du petit. Car ce grand
corps contient plus de fois le petit, que la furfa-
ce de ce grand corps ne contient celle du petit.

Soit le corps A qui contienne le corps B , pitr

^4 TrêiJ!/mê Partie.

exemple fix fois. Le corps A fera a«nc égal 1
4 B. Mais la furfacc du carps A ne conticndn
pas fix fois la furface da corpi B ; puifcpc,
comme on Tient de voir , fix fois la furface 4a
corps B, oude 4 B, cft plus grande que U foi*

&CC du corps ^.

Soit le cube ^B dont chacune des trois mmcn-
^ons eft de deux pieds , & le cube C 2> doai
chacune des

crois dimen- B

£ons eft d'un
j^cd. Le pre-
mier cube [']
contient huit
fois le fé-
cond : & la
(ùrfacede ce
premier con-
tient feule-
ment quatre fois celle d« fécond ^ c'cft a dira
que le corps ul B , C D : : 8. ï. & la furface de
Aficfïà la furface de C D , comme 24 à (. ce
qui fait voir que les petits corps ont plus de for-
face par rapport à leurs maffes , que les grznâi
dont la figure eft femblable à celle des çct\ts.

On pourroit encore dire que pl«s la figure àcs '
corps approche de la cubique , ou de la fphcri-
que , moins ils ont de furface par rappoR ii
leur mafi'e.

Enfin , comme les quarrez ou les cercks
pnt plus de furface par raport à leur circuit , qoc
toute autre figure plane j de même les cubes,
, x)U les Sphères, font les corps qui ont le plus ic
maffè par raport à leurs . furface s. La brièveté
que je me fuis propofée , dans ces é'émens m'cjti-
.piche de le 4emp.r^trer plt^s a,m|>} cmcnt,

['] Cor. y Prof. Pref. fRO-

Gicmetrîel 5^5

PROPOSITION LXXXIII.

Si une fyramide efi de même hauteur
que flufieurs autres pyramides i é^ fi
la bafe de cette fyramide efi égale à
lafomme des bafe s de ces pyramides ,
cette première pyramide fera égale
À ces autres pyramides prifes enfem"
ble.

DEMONSTRATION.

Soit la pyramide ABC D E de mcme hau-
teur que les pyramides >fFDG , DFHI , FBCHLi
& foit UhMABC D de la pyramide A^CDE
égale à la fomme des bafès AFDy DF H ^Sc
HFBC de ces autres pyramides : je dis que la
pyramide ABC DE fera égale à- la (oinme des
pyramides AFDG , DFHI , & FBCHL . Pour
le démontrer , (bient menées les lignes E F ôc

La pyramide ABCDE cft ['] égale aux pyra-
mides AFDE , FHDE, & FBCHE,^ prifes eii-
&mble. Or [*] la pyramide AFDE cft égale à

[■] Ax, 3. Gtn,
[»1 Fm. 80. G##.

Bbb

f€6 Tr»ifi/mf Tdrtit,

VffDG ; la fjnaàie FHDE = FHDl -, k k
pjzunide FBCHK eit égale à la p^ncnide
raCHl. Ab lira des pyramides ^ FDE-(-
F«D ■ -*- TBCHE , fi ■] on prend ce tjui Inr
eftégil fçiYoir^FDG-t-FHDJ •^tBCBL;
on trouvera donc que la pyramide ABCVE Jm»
^galc à la Tomme des pyramides AFDG , FHDI,
TBCHL , dont les bafei prilis enfemble font
égales à la bafe ABCD , & dont les hiuc^i.n JoBt
égtles a celle de la pyram:de jlBCDE; ces py-
lam ' étant entre les mîmes pians pïia,U<:\(t ;
ABCD Bc Gtl. Cl ijiiil [Mm détmrUrtr.

COROLLAIRE.

On Tient d- toii [']queia pyiamiile ^JCDI \
efl égale à la fomme des pyramides jfTDG, j
FHD1,FBCHL, qui Ibni ['J de mËme hantnu
que cette pyramide j1BCD£, Q^ U pyian^ |

f'] Demande i. gen; I

ASCD^ eft [' ] égaie au produit de fa bafe
jfBCD multipliée par le tiers de la hauteur , 8c
cette bafe ABCDM eft ['] la fomcne des bafes
de ces pyramides AFDG , IHDÈ , & TBCHL ,
Il eft donc éyident[^]que la fomme des pyrami*
des AFDG , FHÙl , IBCHL qui font de même
hauteur , eft égale au produit de la fomme de
leurs bafes^multipliée par le tiers de leur bauteui
commune*

PROPOS ITI ON LXXXIV,

Le rspf^rtqui eft entre Us fyrarmdes trisn£tiîairef
femblablet j entre^ les frifmes triangulaires fem^
bUbles ; entre les farallelefifedes femhUhles »
eft triplé de celui qui eft entre deux des totefo
homclogms des furfaces fembUhles qui les ur-"
mine»t»

DEMONSTRATION.

Soient deux de ces fblides femblables ABCD
éc BEFG . Soient AB êc BT , CB Se BÊ ; DB
6c BG , càtcz homologues des furfaces fembla^
blcs ABC , BEF ; CBD & BGE ; c'cft à dire
que AB foit à BF : : CB , BE : : DB . BG .
Je dis que le rapport du folide ABCD au fo"
lide BEFG , eft double du rapport de AB à BF.
Pour le démontrer je conâdererai le folide
BEFG appliqué prés le foHde ABCD , d« forte
que les trois lignes BE y BF y & BG qui com«
prennent les angles plans d'uA angle folide

[']Cûr.t.Prûf. Zî.Geû.
V] Suffefition» f'J Dem, i, genier^

Bbbi'i

5^3 Troiftème fdrtlt.

G

du corpi i,£FG , & les trou lignes ^» , EC , *
BD, qui comprennent des angles plans cnm
f] aui prectdcns dins le lolide ABCD , foiem
trois lignes droites ASF , CBE , & DBG. Ce
qui cft i'] pw'îiblc , en faifant l'angle .rfBE =
CBF, &en faifant l'angle D B E= C B G.
Eiifuitc foicnt prolongées les furfacef de
ces deur folides ABCD & BHFt? , pour dcCTirc
les deui nouveaux folîdes CBFD , & BEFD.

f fj Le folidc SSCTt eft au Iblide CBTD '.î
^BC . CBF : : -*B . BF . [♦] .

['] Lt folide CBFD eft au folidc ÏEFD ::
CtF . BEF r: CB . BE . [♦]

Enfin ['] le foIideBEFD, ou DBEÏ , eft sa
folide EEFG , ou BGEF, comtnc la bafc DBE
eft à là iiafc BGE : : DB . BG.

Puif-ue kl furfaces ABC , BEF ; CBD Ic
ÏGE foiit ['Ifcmbl-.bl^s, nous avons u*B , EF:;
CB. Bt : x DB. BG . C'cft à dire que now
avons CCS "tiojs rapports égaux encr'euz.

['] Supfif. & ^'f. tfo. G«.

['] P««. 1. Prtf. 11, Gtn.

[I] Prif. 8i, G«i.

['] Pf./. 4j. G«. [^J^^/Wî''

Géométrie» ^69

rABCJy . C£FD : : ABC . CBF : : AB . BT ,

I CBFD . BEFD : : CBF . BEF : : CB , BE .

BEFD . SEFG : : VSn . BGE ; : DB . £G.

AB . BF :: CB . J5E : : DB . BG .
ABCD. CBFD : j CBFD . MFD : : BEFD . BEFG.

>

Donc ~ ABCD . CBFD . BEFD . BEFG , >

' On. rient d^ démontrer que le rapport du fi>-
lide ABCD au folidc CBFD cft égal à celui de
jfB à BF s que le rapport du folide CBFIf au fo*
lide BEFD eft égal a celui de CB à BE 5 enfin
que le rapport du folidc BEFD au folide BEFG
cft égal à celui de DB à BG.

On trouvera donc cette progreffion géomé-
trique -1^ ABCD . CBFD . BEFD . BEFG.

Le rapport du folide ABCD à BEFG ferai
ionc ['] triplé du rapport de ABCD à CBFD.

Au lieu du rapport de ABCD à CBFD ,.pre-
nons ['] le rapport des deux cotez homologuer
AB Se BF des furfaces femblable» ^ qui lui eft
égal. Nous trouverons le rapport du folide
ABCD au folidc fcmblablc BEFG , triplé de
celui des cotez homologues AB & BF des. fur-
faces qui les terminent , ce qu*il falUit déme»^
trer.

COROLLAIRE.

Les pyramides triangulaires femblabics ; Itt

prifmc s triangulaires femblabics 5 &lespaialle-

Icpipedes femblabics étant i ^J entr'eur. En rap-

' port ou en raifon triplée des cotez homologues

[«1 Fref. 19. Algeb. é* def*\%.£Aîgeh.
[*] DffMnde u Gên. ['} Prâf.fnf,

S'bb' iij

570 Trtifiime Fdrtif.

iet furfacM fcmblobles qui terminent ces foli-
Ati Si. it cubes de en côtei homologues érani
F'I aurtl entr'tui en raifon iriplfc de ces mtmts
ïétn homologues ; U eft ivident ■] que cm
J**tes lêmbUble» font entrVm conjmc les çi-
bei des côiei homologues des furfacci lembli-
Wet qui les teiminent.

PROPOSITION LXXXV.

ejUndre ?»« '»» 'A (tretnitr».
DEMONSTRATION.

l. p„al!elog«mme ^^^^-f' ^\^^^%
[.] c.tconfcm au demi cercle -iflCD.»

raTon DB étant mené du centre D »q p«w
d'atrouchcmenc B ; enfin les lignes DE te. N
qui feront le» diaganalcî des [*] qaariei BA

'] Cer. ydif.ii.Aîgtb,
']CDf, 4.^rop.rt. Geo.

Géométrie. j ji

& BC ^ étant menées du mcnic centre 2> ^ux
points E & F : fi on conûdere que ce parallc-
logrammc "EC tourne , ou faile une révolu-
tion au tour du diamètre AC j il eft évident
['J qu'il j aura des corps de trois forces qui fe-
ront décrits par ce mouvement ,

1°. Le cylindre droit FH , par le mouyemenC
du parallélogramme redanglc EC ,

r°. Une Sphère AhCI , par le mouvement
du. demi cercle AhCD ,'

j®. Dcuï cônes droits ESHD & TRGD , par
le mouvement des triangles rcdangles EDA
& FDC,

Alors la [*] perpendiculaire I>B ayant dé-
crit le grand cercle hPI de la Sphère parallèle-
ment a la bafc FRG , le cylindre El fera [' J
la moitié du cylindre FfT,

Je démontrerai premièrement que Texcés
dont le cylindre FI circonfcrit à rhçmifpherc
ou demie boule

B C / , furpafle P..

cette demie fphe- B ..."'-^ o '^"^-^^i.I
re BCI , eft égal
au cône FRGD,
Confîdcrons
ces trois corps '
coupez par des
plans 4o!it -le
. nombre eft indé-
fini, & qui foient

' tous parallèles à la bafe BPI , ou FRG *, & faî-
foos enfuite attention à un de ces plans , par
exemple iAf ou ZT,

Le cercle qui aura pour rayon NJO fera

["] Car. I. def^ 6u Ceo.

57»
des dont aa aura

Trêfji/me Féirtfe,

B

B

D

poor rayon Hid ^
Ac Taotre aura po«r
rajon MD. Parce- L
que LM étant pa-
xalleie à la ba&
IC , l'angle SMD *
eft [•] cfroie r or

jmifqnc [»]FC . Cb . .
OM • MD . & qnç j^; j

FC=:CZ>, on aura

«onc auffi OMs=zAiD.

A»^cu du cercle qui a

pour rayon M D , pre-

nonr donc (on égal,

Ravoir celui qui aura

pourrajonOAf . No«

ttouTcrons que le cercle qui aura pour rajon

^I>, leraégal aux deux cercles dont un ao/*

pour rayon SM te l'autre aura pour rayon Oi4.

I^ ligne ND eft [»] égile à hD = LM jp^^
Le cercle qui auraZM pour rayon fera donccgil
*ux cercles qui auront pour rayons NAf Se OAf.

Ce même cercle qui aura LM pour tai^foa

ï* era [^] ^ufli égal au cercle qui aura pour rayon

■NM 5c à l^anneau qui aura LN pour largeur,

écrit par larerolucion de la ligne droite IK

au tour de CD.

Les deux cercles qui auront pour rayons NU
.& OM , feront donc [•] égaux au cercle qui aua

Cûf, %,pof. 6y &parp. r. frùf, f-j. GiK
^ Part, u frof. 14. Geo.
'» ' TAft. I. frtf. s%.Gt0. [*] Tart.i.frop.^7.Gt0^
l^] Cor, I. fraf. ^y. Geo^ [^1-^*. }. ^<».
VI Car^ i„ def aj .. Geo. £*] ^jp. i«. ^#»..

(Séêmetrie» J7î

pour rayoïi NAf ,& à Tanncau qui aura LN poar
largeur.

Retranchons de part élr d'autre le cercle qui
aura pour rayon NM , Tanneau qui aura pour
largeur IN reftera ['] cgal au cercle qui aura
pour rayon OM. On peut
démontrer cette vérité de
la même manière à Té-

fard de chaque anneau Ôc
c chaque cercle corref^
pondant à même hauteur
dans le cône FRGD pour
chaque coupe ou feàion
poflîblc de ce cylindre,
taire parallèlement à £à
bafe dans toutes les hauteurs pofKbles.

Or la femme de tous ces anneaux décrits dan^
]4- rérolodon de la figure 6C autour de CD ,
par LN 8c par toutes les autres lignes qui com-
pùùnt le triangle mixte BFC , fera égale à la
femme des cercles décrits pendant cette même
révolution par le rayon OM , & par toutes le«
maîtres lignes qui compofènc le triangle redili-
gnc FCD.

Puifque l'excès dont le cylindre décrit par la
révolution du quarte BFCD au tour de CD ,
furpafl'e rhemifphere auflî décrit par la révolu-
don faite en même temps du quart de cercle
BNCD , eft compofé de la fomme de tous ces
anneaux ; & puilquc le cône décrit par la révo-
lution du triangle FCD faite aullî au tour de C2>,
cft compofé de la fomme des cercles décrits par le
rayon O Af , & par toutes les autres lignes qui
compofcnt ce même triangle reétangle FCD z
Il fuit que cet excès dont le cylindre furpaflç
l'hemifpherc , fera égal à ce cône.
['] Ax. f, gtn.

574 tfifitwu Vârtîe.

Or ce câoe fKGD étant de même bafe & <
même hauteur que le cylindre F/ , il ièra ['] i
croifiéme partie de ce même cylindre. L'excès
dont ce cylindre F / furpaflè rhemifpixcre
DBCIPf foa donc égal a la troifiéme partie de
ce même cjlindre Fi. L*hemi(phere reftera donc
égat aux deux tiers du cjlindre FI qui lui cft
circonfcrit.

On démontrera de la même nianîere qoe
l'excès dont le cylindre Btf furpaflè l'iiemi/plieie
jyhAJf eft égah an cône ESHD qui e& auM
égal au tiers de ce même cylindre BH.

Le cylindre entier FH furpailè donc la Splme
entière ^BCJ de la Taleur des deux cônes ^}
égaux FRGD & ESHD.

Mais le cône FAG^ étant [>] double ds
cône FROD eft égal à ces deux cônes égaux
FRGD êc ESHD -, &c ce même cône FRGA A
[•] le tiers du cylindre entier FH,

L'excès dont ce cylindre FH furpaâe la 5p^
tt ABCI qui lui eft infcrite , eft donc égal an
tiers de ce même cylindre. La Sphère ^CI
refte donc égale aux deux tiers dn cylindre Fi
qui lui eft circonfcrit , ce i^UfalUit démoBtrer.

COROLLAI RE L

TTne Sphère , ou hemifphcre , eft double dft
cône qui a même bafe & même hauteur. Parcc-

circonf-

&cene

«une qui a même oaie k même naureur
que ce cône eft [*] le tiers du cylindre
cht à la Sphère , ou à rhemifphere ,

[*] Cor. 1, /r^. gr. Gm.
[*] Cor.i.pTûp. gr.

Gi$mitrie. 575

Sphère , ou hemifpl^ere cil ['J les deux tiers àt
jce sakxôs^ cylindre.

COROLLAIRE II.

Il eft donc iridcnc que , puiCqu'un cylindre
cft [*] égal au produit de fa ba(è multipliée par
Ùl hauteur , la Sphère , ou l'hemifphere , tefa
égale aux deux tiers du produit d'un de fès
grands cercles multiplié par Ton diamètre ; ou
au produit d'un de (es grands cercles multiplié
par les deux tiers du diamètre. Car un des
grands cercles de cette Sphère . ou la ba(b de
l'hemifphere , eft [^j égal à la bafe du cylindiv
;iuquel elle eft circonfcrite ; & la hauteur de ce
cylindre eft égale à un des diamètres de la Sphe*
re , ou au rayon de rhemifphere. Ce qui eft un
moyen très- facile pour connoicie la frlidité
d'une Sphère ,

COROLLAIRE III.

»

Puifque rhemifphere eft [^j égal au produit
de la balè mulppUée par les deux tiers de (k
hauteur , ou de fon rayon ^ le double de rhe-
mifphere , OH la Sphère entière , fera égale au
p^pduit d'un de fes grands cercles par les ruatre
tiers du rayon , c'eft à dire ' j , par les deux
tiers du diamètre,

Pr le produit des quatre tiers d'un rayon mul-

;*] Trof, fref.

*1 Cor. i. def. 79. Geo.

'i] Def. 7i. Geê.

♦] Cpr.i. frof. fref.

j7^ Trùïfiimi Partie.

tipliez {>ax un grand cercle , eft égal au produit
de quatre grands cercles mi^tipliez par un ticis
de rayon. Car appelions ce rayon s ; Oc appeU
Ions h ce grand cercle : ks quatre tiers du

rayon ['] feront donc ~ «Or — x é = — ^

fc il eft éyident que 1-=- = 4 ^ X — . •

Une Sphère eft donc égale au produit de 1a
(bmmc de quatre grands cercles multipliez par
la f partie de leur rayon. Ce qui peut encore
faire connoîtrc la folidité d'une Sphère , & ce
qui fcrvira pour tn connoîtrc la luiÉicc,

PROPOSITION LXXXVI.

tes Cylindres dont les hauteurs font égales aux
diamètres de leurs bafes , ou qui font circonf-
crits à des Sphères , font entr'eux comme U%
Cu hes de tes mêmes diamètres.

DEMONSTRATION.

- Soit le cylindre AC dont la hauteur DE foie
égale au diamètre AB de fa bafe ; foit encore
le cylindre HK dont la hauteur LM Toit égak
au diamètre Hl de fa bofc : je dis que ces
dçux cylindres font entr'eux comme les cubes
4es diamètres -rfB & HI de ces bafes.

Pour le démontrer , foit nommée / la cir-
conférence de la bafe du cylindre AC ,Sc f fon

V] Page 44. def. I, desfraB.

^ametre

ihmOtt JCB i {bit n«inin£e r la citconfetence

K.

iaît enfin appelle x l'et^fànt ia npponàe
U eiic»nfeiçnce / à lôa disaietre f , c'eft i

£uU du rappoH ie la drcoidèrena r à &b jix-

inetie H , fêta aulC x , j^éft i dite — . = « ,

[*]C«/.r ::/.«. Donc [13/. # ::f.*.
On aura danc encore ['']mx=r ,
l*] La flii&ce de labafe du eyUndcc m: ftxi

hL/^jt, 011 —xjjfi Et C oA mult^lie

cette

Cu&cepttlabantenc f, on auta xffftux

U folidké diicylindie ^ c , ['] . De mtnae [']

'3 Ctr. ■i. tbU dhif.pag. ^t.
'] Car. frtf. ta. Ou. f»g. 481.
'1 ?*rt, », ii< MT^frif:. y Al^,
M Cm-, i. prfp, 4!.Gm,
'JCw.i.A'/'.?». »iif0r.-j,pr»p.»i.Ge:
'] Ctr, %. frop 4I , 6» ev. x-def. rt- <?»•

j7' Tréijtime Partie.

kcjlindicHJ: (êra ^ xh^. Ox ['] aondi,

4

«Uè ces deux pcoduks 'par '^^x y oa ana

4

C D R p L L A r K:i f -

Les deoxticn dû cylindié ^^^^S^y ou dc^ vil.

leur i *^« , qui [»] font -i- «>». , Cwt pj

4 ^, .

^anx à laSphere G£F2> infcrite aa cjlindRilC

dont [^J la oauteur D£ eft on des diameties de
c^tce ii^êine Spbfcte. De inîîtti« les -^ i^c^

5

I

r ' '
dre HK , qui font — jci*^ , font [*] cganx à I*

Sphère OM N L qui lui eft in(crite , & donr oa
dès diamètres eft la hauteur L M de ce cyMie.

Or ['J — *^^* --7,.««* :;!»' .»' .Au lien 4c

J^ xp^ 9c de JL AT »♦ fabtefuaut [<\ et tpi y

eft égal, fçavoir les Sphère? GEFD ,'& OMKZi
on aura la Sphère GETD . OMNL : : 1>' . •^
les Sphères jTont donc entr'elles conune les CQ-
bes de leurs diamètres.

i] Fraf. Zf . Geê.
^]Suffsfiu
i^lfitmtmde i. Gêné.

COROLLAIRE II-

Les Sphères font donc entrVIles en raifbn tri-
plée du rapport qui eft encre leurs diametres|
puisqu'elles font [' J entr'ellcs comme les cubes
de leurs diamètres , & .que les cubes de ces
diamètres font [*] entr'eux en raifim triplée 4^
celle de ces mêmes diamètres.

C OR p L L A I R E . 1 1 1^ -

• Si on globe a fon diamètre lo fois aufC gran^
qde celui d'un autre ; la mailè de ce premier

flobe fera Sooo fois auffi grande que la made
c cet autre. Car \}] ce premier globe fera au
fécond , comme fon diamètre fera à une 4^ de
quatre grandeurs çontinuement proportionneU
és dont la première & la féconde feront entre^
^Ues comme les diamètres de ces deux globes;
& ainfidc fuite. Soit appellée /» la dernière de
ces quatre grandeurs çontinuement propor-
tionnelles , la f grandeur [♦] fera 20* 5 la
^ fera 400^ ; U la première Sooo^ . Ce qui
fera cette progrcflîon ~ 8000/» • 400^» . 10* *
a . dans laquelle il paroit évidemment que la.
première de ces quatre grandeurs efl Sooo fois
auili grande que la dernière^

K E M A R Q^V B.

De la même manière que dans la démonftr.

de la prop. preC j'ai employé les expofants des

rapports qui font entre les circonférences des

cercles & leurs diamètres, j'aurois peu les cm-

p] Cêr.frop. i8, Algeh. s
<] Car. ufrof. 19. ^^%h.
'^\jytf.i6.Algth. CCC îj

{

5?o Trelfiime fdrfii.

ployer pour démontrer que les cerdes , en ^
fcdeurs et ceicles , f«nt entr'eux camtne W
quarrez de leurs diamètres* Soit un cercle dont

la circoniisiciice fok appdlée st , âe fo» dia^
mètre foit t , Soit encore on autre ccrck à%gm
la circonférence eft à , te fon. di*iaetie eA d.

Soit enfin — = /> ^n appeUera deac['}auŒ[/

le quotient de ta circonférence i diTifSepar d.
Et on aura ^/= a , 8c dfz=z f « Le premier

cercle ibra [*] donc — fct . ft le a® iêcr

JL/i 4^. Donc -If ce .IJddx.Èc. dd.[*l.
^44

; TROFOSITION LXXXYll.

La furfaci et une Sfhetê êfi igaU s quatre dn
grands €erclis d$ cette mime Sfhen^

DEMONSTRATION.

Soit la Sphère Al^D dont le centre foît £.
Je la confidcrerai comme un folide compofc

[']Cor.fref.6o.Gi^
[*] Cor. X. fref. 4%

V]fref.^.jflgek

• , G'eometrie. jSi

J*] d'Une infinité de pyramides dont le (bmmct
cocnnxun (cra le centre £ , & dont les bafes pii-
fès enfemble forment la
flirface de ce même fo-
lide. Alors chacune de
ces pyramides aura pour
Hauteur un des rayons de A|
Ib. Sphère*

Car , foie GICH une
de ces pyramides dont la
bafè GFCU e(l infini-
ment petite ; la perpen-
diculaire menée du centre £ à cette furface
K^FCH infiniment petite , fera un des rayons de
la Sphère , par exemple £ G, Farcequc les lu
gncs GF & GH infiniment petites terminées
pur les rayons EF 8c ZH , étant proloi\gées de-
viennent ['] touchantes des circonférences ^des
cercles qui ont pour rayon £G , & dont les plans
paflènt par £F & EH.

Or les hauteurs de toutes ces pyramides (ont
p] égales, La (bmmc de ces pyramides fçra
donc [^J égale au produit de la iomme de leurs
bafes , multipliée par la ^ panie de leur hauteur
commune. La fomme de ces pyramides eft la
Sphère même ABCD ; b fbmme de leurs bafes
eft la furface de la Sphère jiBCp , & leur hau-*
teur commune efl un rayon de cette Sphère.

Le produit de la furface de la Sphère ABCD^
jnultipliée par jan tiers d*un de Tes rayons ^e^^
donc ég4l à cette Sphère, ; .

CcY,i.d*f.t%,Ge0^

Tin du cor. i.def. 88. & prof, u. Gtê.

Car. i.def, 81. G^o^^
[♦] Cor.frùf.tyGeQ.
' , . Ccciij

5J1 Troifiémr Tdrtie.

Or le prodait de quatre de$ grancb cercles ie
k Sphère ABCt> , multipliez aaffi par ua tiers
d'un de fes rayons , eil ['J encore ^al à cette
même Sphère»

Le prodait de tafarface de la Sphère jîBCVy

multipliée par un tiers d'un de fes rayons , eft

' donc [*] égal au produit de quatre des gianis

cercles de cette Spkere multipliez auffi par k

même tiers d'un de fès rajons.

Endmfant ces deux produks égaux , parmi
tiers de ce rayon de la Sphère ^ «n des quotients
fera , d'une part , la ùttÙÊCc de la Sphère ABCJ}^
kquelle furfacefera [*j égale à Tautrc quotient
qui ièca quatre grands cercles de cette Sphère ,
M ^»il fiUhit démontrer.

PROPOSITION LXXXVin.

ttt furface ttu» cylindre dreit, fes iafes exteftéer^
tfi égsle afêpreduipdH eenteurs ots eèrcenferenu
ieh i^afe mdtifdée far la kâutem^

démonstration;

Soit le cylindre droit AB 5 fonaxeFE fera [*f
perpendiculaire à la haSt AT>, Si des centrri
F & J? , on confidere un nombre indéfini de
layons FC , EX ; F/, E£ ; TH .BG-^TB ^ BDj
^c^ qui .foient RKnez parallèles eâtf'eux : on
trouyeraque toutes les «lîgnes^ CA , IL y HGy
l^D y &c, menées par les extrémitez xle ces
rayons, (èront [^J {^tralleles à Taxe £F, le

Fl

Cof.^,pref,Zs.G994
Ax, it, gêner,
ï* j Pref. 4. JilgeK W Prof. j^. Gi».

Gttmttrkr jïf

A

l-G

f*} paraUcln cntt'ellci. Ces lignn CA , Z7,
JIG, 8:c. feronc donc ['] perpendicnlaiiei aur
bafes parallèles AGDU ft CJïBk:. E11« rctonr
donc['] loBK) é^tes ctwr'cllcj. Or toutei ce»
lignes poules C^, LI,HG, Sec. confideiée»
inci^Snimcnc proches l'une de l'ancre , Conz 1er
cétcz des faces infiniti£meE ia cjlin^e droie
^B, qui feront [♦] Jes parallélogrammes rt-
âanglcs île mtnie luBtein 8c dont les bafes fe-
tmnc les lignes droites infiniment petites qui ['5
forment les circ«Mferences AGDU X CHSK,
Si on confidere que cette fotface courbe foie
déroulée , de lorte que la circonfeience AQI3tS
- devienne la ligne droite NH, &quc la eifcon--
ferencc CHBK devienne la ligne droite FO j,
alors le parallélogramme cotai NO feia fgal k
MBS les parallelogranwnes de m6me luuttUE
^ui fvfnenE le (oiuou» du cjrlindic A^ Lo

y)Préf. 7,. G«.
y]FTef.fii.Get.

l*]Cn: dêf. }£. Cm.

Ccc iîi}

5*4 Tr0ifi/mê Pdffii.

produit de labafcNH multipliée par li haurenr
RO , fera ['] éeal à ce parallélogramme N O.
Le prodait de la circonférence AGDM tnukr-
pliee parla hauteur DB fera donc égal à la fur-
face du cj^lindre AB ^ les bafes exceptées , ce
fu'ilfalloiP démontrer»

COROLLAIRE I.

Si on confîdere un diamètre^ d'une SpKere
qui foit perpendiculaire à la bafe d'un cyliifdrc
qui lui eft circonfcrit -, ce diamètre fera la hau-
teor du cylindre. Et fi on confidere un grand
cercle de cette même Sphère qui (bit parallèle à
la bafbdu cylindre droit circonfcrit ^ £t circon-
férence fera [^] égale à celle de la baie de ce cy*
Itndre , & £bn diamètre fera égal à celui de cette
bafe : puifque la circonférence de ce grand, cet-»
clede la Sphère fe trouve dans lafnr&ce du cj*
lindre circonfcrit. Un diamètre de la Sphère
cft ['] le même qu'un diamètre d'an de /ê»
grands cercles. Le diamètre de la bafe de ce cy«
lindre fera donc égal à la hauteur èc ce même
cylindre.

£n multipliant la circonférence de la hàfc da
cylindre circonfcrit à une Sphère , pat fon dia^
mètre , on aura [^j la furfacc de ce cylindre,
les ba&s exceptées.

Le produit d*nne circonférence de cercle mul-
tipliée par (an dianoetre. eft [^] égale a quatre
fois ce même cercle.

r

'] Cor, 1, def. sh Gee.
•] Cw, i,def,jZ, geô.
X Cor, ï.'def. tt,geo.
'♦] Prûp. fref.
,^]Cêf.t,:fr(f. 4^. Geo.

ta findàcc ixL cflindre circonfak» WM Spke-
jfe y cft donc égiale à quatre des gfandi ccscles de
^tce même Sphère.

La fiir£ice d'une Sphère iiofci ite à on ejrltndie
eft donc [' J égale a la fiuface de ce cjlinidre , k$'
ba&s exceptées^.

i. la furface d'an c$ne re^angje eft [*] ^|^
îc au produit de la circonférence de fà bafè muL.i
tipliée pax la moiùé de la ligne droite , menée
dû {bmmet de cq côine a la circonférence de £» .
bafe. Car le fommet de ce cane étant un poine
de l'axe qui eft [^] perpeadicttkire au wilieis
4e tous les diametfes de cette ba£e , ce aiàme^
lôinmct fera égaleooumc éloigné de tous les
points de ladiconleftncede la ha&> coHtes le»
lignes menées du (omoKt à cette ciiconfercnce,/
feront [^] égales entr'elles. Outre cela y. ]L
fomme de toas les angles qui ont pour Sùttuattc
celui de ce cône , ôc qui font apuyez fur chaq^
côté infinimenr petit de cette circonférence , eft

S'J moindre que la ibmme de quatre anglef
roits La furhicedu c&ne drok étant déroulée
fera donc un fecf^ur de cercle.

1. Il y a des corps qu'on appelle lUffdms ^
pftrcequ'ils (ont terminez par des fiirfaces régu-
lières» Entre ceux dont les furfaces de chacun
font égales entr'elks y on en compte cinq.

i

3

4

*S*

Ax» rt. gen.

jtx* «, gen.
Cor. }. fraf, 4^ <7tf#.
I>ff. é%. & def. 10. Ce^
CoT.^, ax, t'Geo^

jH6 Trùifième Tdrtie.

Le premier efl; terminé par quatre triangffef
égaax 6c cqailaceraiiz , ce qui fait qu'on rap-
pelle , Titrâidrê.

Le ftcoitdeft termina par fir quarrez égaoi,
ce qui £iit qu'on l'appelle , txmëdre. On l'ap-
pelle aaffi CM^e[M.

Le troifiéme eft terminé par huit triangb
égaux & équilatcrauxt On Tappelle , OBaedre.

Le quatrième eft terminé par douze pcnta^
gofies regulieïf 9c égaux. On rappelle , Ùnk»
cMètê.

Le ciaqaiéme enfin eft terminé par mgr
triangles égaux Ac équilateraux^ On Tappelk ^
lufMkdn.

Si on yent reprefirnter facilement ces dnq
corp$ réguliers , il faut (è fervir de canen , ^f
ttacerdes triangles équilateraux , Ats quairez,
9c des pentagones réguliers , en les difpo&ir
comme dans chacune de ces cinq figures*

THTâedu OBsidrê Icofs^drt.
C

Dodécaèdre

Enfuite il faut , avec i^ citcaux , couper k

Ce.ùmetrie2 58^

ÎMrton fuivantles li^es droites qui teroÙMcnr
xes figures compoféics de, criangles , de qiiar-
/ez , ^c» ^ avec mi couteau bien, aiguifé^
il faac couper à moitié ce mêixiÉ carton luivaitc
."Jfs lignes tranfyertàlps de ces mimes figures* >
Enfin il fajit plier le carton de ouniere que
les plans qui reprcfeQ^i:ronc .les furfaces de
chacun de ces corps réguliers fè joignent l'un
Tautrc^ Les points A ^ ^ y par exemple , (ê«
Tont appliquez fur le point C , & on retien-
dra le coftt en cette fituation ^yec de la coUe^
ou du fil ^ pour former le Tétraèdre. La lignQ
fl I fera appliquée fur Z> N , E F fur G H ,
£c MX (ur Kl ^ pour former TExaedre. L'a^
juftement des trois autres figures eft auâi fa.-^
cile que celui de ces deux premières.

J'ai crû qu'il fuffifoit de faire ces deux der-
nières remarques pour ceux qui commencent i
Rappliquer à Tétude des Mathématiques ; par-
requ'une- plus longue Théorie fur ce fujet Se
fur les autres folides pourroit rebuter les moins
Au4ieux y 6c ne fecoit peut-être pas d'une uti-»
lité afK^ponfiderablp , pour mériter une p.'n;
longue attention de xeudf qui fooient plus zé-
Jez de plus laborieux.

Îe finirai donc ici ces Elément , od j'ai
é de renfermer çc que j'ai crjà être d'abord
le plus neceUaire à ' c^x qui veulent appren-
dre les Mathématiques. Outre les premiers
fondemens de FArithnîetique & de l'Algèbre,
j'ai expofé le plus clairement qu'il m'a été
pofiîble la Théorie & la Pratique de la Géo-
métrie ordinaire. L'utilité particulière de cha-
cune de ces trois parties élémentaires eft fort
étendue. On y trouve beaucoup de lumières
fp\^ ence^Mic )c$ pjiyxaiges qiû fuppofcnt

^'«1 ^ufcc CCI picmic» ElenoiS. t^a-
ff»^— " Eût coHioûie ton tn joan . tf^S
fim aUbkBmx avoir fmH 4aiis cet (ncnutRi
Aatm ia tentex «jù (om fi inyormim,
^e li>i dkf on fk atmrc piiré J'onc infr

f I N.

TABtl

^ ^ ^ L E

DES PRINCIPALES CHOSES
^''tfnms dans ,,s Elmc»"

■' ■ k-

,..A.«'<'"'<»n.<icsFra<aions. ' '''^' "

Addition des Grandcm, lù^crales '*

Addition des Racinej foordj, ' ^t

Algèbre , ce que c'eft * **'

Analogie , définition « ^:»

Angle obUoie . déf. ?/ ' ** *♦• V- '*• "*

Angles pofti de fuilc * *«•

Angles oppofez au foimiet '**'

Ang es oppofez «k &„„,„ '^ i«

Angle plan. Déf. i,. ^ " » ?"

Angle de plans. Déf. i». "*

Angles alternes. Déf. i,. *"*

Angles alternes égaux *"**

" * A. _

Ddd '**

5^0 Table

Angle dont le fommct eft<ntre le centre &li

c i cconi'crc ncc^ù. m efure , ijf

An^lc donc ic Toauncc cft l^^rs le cercle ^ùljj»-

£rc, 537 ci'»»

Angle appwyc lur une demie circonfèrencc,drofti

for un arc plus grand , obtus 5 fur un arc pk

petit vaigu, * ' " 551^55*

Angle foUdc. Déf. ^j. iij

Angle folide, fes propri<;tez^ ^ ^ , .;}4 6 ;»
^pproiimition des .Racines- ^ 'ir|

Acithmeûgue,ce gu'on exKcÀd pac ce mot,^^^ ^
Arc de cercle. DéF. 17, 2J04

Attouchement d'une Ijgne droite ôc d*une cit-

conférence , n'cft qu'un point , i6(

Attouchement de deux ci^confièienccs, n'eft qu'on

point , 501

^xe d'un cône, • Dcf, y 9, 221

Axe d'un cylindre. Dpf, 77. . . uf

A]^c d'une Sphère. Déf. 8j,: • «f

Axiome , ce qu'on entend par ce mot , t

Aiiomes généraux, -j

Axiomes d'Arithmétique ^ n

Axiomes d'Algèbre , . /»a-

Axiomes de Geomctrie, "tji

B

BA s 1 d'un triangle. Dcf. 4^, ;jot

Bafe d'un corps. Déf. 4^* zo^

Bafe d'un cône. Déf. 67 1 %io

Çafe d'un cylindre. Dct, 7^. 114

Bo^neier , jjf

COroll AiïiE, ceque ç'eft , . i

CQnnoîrr.e laquelle de dcmi.fra.<ftions e/l li
• . plus grande , , . - /z

OMi«quent d'une raifon ou raport. Dcf. lo . Ux
€;omçomox\ >dç raîlon , i ,

Convcrfion de raifon ^ ^\^

Combinaifons , ^^

Ciangemcns d'ordre , - ' j !

Chapitre premier de Géométrie. Des tîgnes, i^s
Chapitre II. Des Surfaces, ^ ' .^^

Chapitre 1 1 1. Des Solides , %,,

Cercle. Déf. iy. . ' ^^^

<;irconfèreïlce de cercle. Déf. tÇ. \o^

Centre d'un cerclé. Dét. ziS. '^ ^ol

Centre d'une Sphère. Dé£. gr. j, J

Cercle circonfcrit à une figure re(flili2ne.Cor au
Cciclc infcrit. Cor.

C0ne.Def.V7; ''• ' '' tll

Concredangic. Déf. ^g. ■ ^^^

Cône obligue. t>é£. 6^.

zio

^"*»"- ^' 478&4èo

. . 1 , M 4/6 <* 41Î0

Circœts dePbIjgones femblaWcs.îeur rapport .70

Corde de cerdr '-^^ ^^ '^^^

C©rps. Déf, 61.

Cube.DéCyj..

Cubes font entr'eux en raifon triplée. ù^

Cylindre droit. Déf 78. •

Cylindre oblique. Déf. 79, '

Corde de cerde. l}é£. 50.

CQrps. Déf. e?,. ^^.L

Cube. Déf. 7^. .' .^;^i

Cylindre droit. Déf 78. ^ ,

Cylindre oblique. Déf. 79. ■ *' » ^^

Cylindres cirçonfcrits à des Sphères, font entre.

eux comme les cubes des diamètres de leurt
bafes.

D ^^

DEFINIT r b N , ce que c'cft.
Demande., ce que c'eft.
Définitions gefaerales.
Démonftration , et que c'eft.
l>emandes ou fuppoUtions générales.
Demandes d'Arithmétique,
©«mandes d'Algobre, l"!

z
I
z

l

10

59t TdtU

Demandes «le Géométrie. t^

Démonftr. ^s oper. des fiaâ. Ui^éj^ét^ij^ i^f
piyifion des nombres. ]i

Divifeor. 31

DWifion des fraâions. j4

DiTi£on des grandeurs littérales. tr

Phrifion des Racines foordes. i)(

Divifion de rai(bn. jjf

D&iomiaateur d'une fradion» . 4f

Degré. D6f. 5 y.- 107

Diamètre d'un Cercle^ Dtf. )|» xaé

diagonale. Dtf, ^4. u)

diamètre d'une Sphère. Dif, ti« u6

Jodecacdre , 5S<

De ces trois chofès , tmê Ugm drêitê ^trifêtubâ»^
u d^un certU, imt Mtttrê lipte itmte itrê f^ffa^
ditftdsire à cette trichante far If f^t ismut*
thementx^ dans leflsm du Cercle, unt lipu àréu
ftijferpur le ee»tre f^ far îefMt^ daft&mhtmati
deux étant prifes a Yoîomé^ la turoifiémeiiH
yra neee(rairement.Cor.Prop. it, xێ^ a^^it
De ces quatre chofes , tuae ligne dtêUe menée àm
Uflan £un eereU ,fJiffeffMf le miliem ttmme lêf--
de de ce cercle $ cette ligne hre ferfendioeUire k
eette corde i Tare fcntenufnr cette c&rdt être co»-
fi en deux fartUs égales i cette Upte faffer ^«f
le centre; àc^x étan^ prifes à yolonté, les deux
autres (iiiTront neceuairement. Prop. 14^ 17s
De ces trois chofès , trianghs être égaux ^ ttre fttt
la même kàfeett^ur èajes ég^tef » être de Pttm
hauteur au entre ^mes faralleles , deux étaat
prifes ou flippoflEes a volonté ^ les deux autrei
fuivront necedkirçmeat. Prm. 40* ^

pes Angles , |0C

E

EX p o s ANT d'un rappf»n^ €4

£(^ua^n^ Oéf. m* é)

Extrômes proportionnelles , ^x. ^^

Extraction de la racine ^iuarrée , ^^

BxtJradlion de la racine Cubiqiie ^: ■ loj*

Exaedre , ^^^

Exagone , ^r^

Extrcmitcz d'une ligne font des points , i^^

£xtremitez d'une furfi^ce font des lignes , i^y

Éxtrejnitcz d'un corps font des iki^ices , xi%

FRACTION, ^^

Fradions de Fractions , j^

Figure. Dcf. 90. a^j^

Figure reârilignc , curviligne , & mixte , ^oj

Figure régulière. Déf. yf . . ii^;
Figure inkrite y ou circonfcrite àuncosle , xi^

Figures (ènablablcs, Dcf^ 6q, h^

GRandbuk, ce qu^oii entend par ce
inctf , » I,

Géométrie , ce qu£ c'eft , i^j^

Geometriquemetît ,. ce que c*eft ^ 2.4^.

Grand cercle d'une Sphère. Dcf. 8r^ 2^j

H

HYpoTHiNCfSï , ce que c'éft, Dcf. 45-» . tog^
Hypothenufe , fcsjpropriétez , ^^^

Homologue.. Déf. y^. H^

INybrsion de laifon ; rjy

Inftrumens pour lever des plans»,. 4T^'& 4:^^
ïfûfaedre > ; ' ^SS-

L

1H ^•4*/^

1

I G N I. Déf. 5» 1^4

Ligne , droite , courbe ^ ijj

Ligne pcrpendiculaixe , i^/

Ligne patalkk , ij^

Ligne circttlaiic, Déf. i4. 204

Ligne rpodunte. Otf. )4» 10^

Lignes égalemenc ou inégalement éloignées df

centtc d'an cercle , leurs pcopriecez, ift-é't^S
Ligne perpendiculaire à un plan. Déf. te. loj
Ligne perpendiculaire à une même ligne , os i

un m^nie plan par un mêoie point , unkpe,

140. 14$. O* $0$
Ligne rouchaore unique par sn mime point <le

dfponfeccnco, if^

M

MATHiMATi^cris,ce que c'eft , i

Multiplication des nombres ^ ix

Multiplication des fraisions y ^

Multiplication des grandeurs littérales, 7^

Multiplication des racines fourdes , i^
Méthode générale pour toutes les exttaâzons de
xacines , ^%. <^\\)

Moyenne propoR. Arithmétique. DS'6» H

«ojenne propor. Géometr. Déf. ly, é(

elure d'un angle, 301

Minute. Dét ^. 107

N

NOmbki , 9

Nombre pair , ou isipair , Dcf. u» <t

Numérateur d'une fraâion , 4f

O

OTTdoOifi, 114

Odlaêdr^ ;U

4csEUmenf. 595

P

PS. o B £1 u t , ce que c'cft. Dtf, 7. *
Parties ut, j. de ecs Elemens , ^, ^9, 19)
Preuves d'Add.dc de Sonftrad.des nomb. iS &^^
Preuves de Mukip. le de k Divif. des nowb. 4^

Premve de la règle de croîs, - itf

Preuve de la règle de (beieté , iSS

produit d'une Multiplication , i^

Proportion Arithmétique , Déf. y. . 4\

Proportion Géométrique , Déf. ij. 4$

Proponion continue. Déf. 7* ^

Proportion ordonnée, * 2f4

Proportion troublée , î/f

Progre/fion Arithmétique. Déf. f« 4z

Progreffion Géométrique. Déf, 16, 44

Propoiîtion converfe. Déf. to. 49

Puiifance , ce que c'eft. Déf. 1. 5;

Parallélogramme. Déf. 49. ta$
Parallelogr. reâangle, ou oblong. Déf. f z» tio
Parallelogr. entre mêmes parall. leurs propri.^So

P^ntagonfi , 214

Pi^d linéaire , quarré , cube , 194

Plan. Déf. 10. I97

Plan perpendiculaire a un autre , 505

Pians parallèles. Déf. ii« aox

Plan d'un Edifice , &c. 449

Point mathématique. Déf; a, 194

Point d'attouchement, i44

Pointe ou fommcrt d^un angle , I99

Polygone, Déf, f4, tij

Polygone régulier, Déf. f f. 113

Phime droit, ou oblique , 111

Pyramide , droite , oblique , IÏ9

Pyramides égales , fi cUes font de piitûfi bafe ic

de même Êiatcor , /)9

^ Table

Vjtùmic qui eft I2 croiûcaie partie d*an prifine
de même bafe Se de même hauteur , j^

Pjraoïide d'une iufiaitéde cAtez« Déf* 67., u»
Pôles d'un cercle» Dcf. 87» ^l^

Pôles d'une Sphère. Déf. 14. 217

ParalklepipedesTembiables, leurs proprietez, s^j
PoJ/cdre. Dcf. 8S. ul

QUOTIBNT, ^ 5r

Quotient multiplié par le divifeur ^ ùitoa

produit égal à la grandeur à divKer. Cot. 3. 42.
Quadrilatère ; combien de (brtes y 10^

Quadrilatère infcrit dans un cercle -, prophctez

de (es angles , j7V

Quadril. dont les cotez oppo(ez font égaux. $71
Q^iadrilatere^donr les angles oppofèz font égaux,

eft un Parallclograoune ^ ^%

Quarré. Déf. f ©• u»

Quan de circonférence , 301

REdoctiok des (bis en livres ^ if

Redoâ. de fraû. à de moindres tenwJ, 4r
Redud. de fra<5t.à.mcme dénonciin. 476^^
Rcdudlion d'entiers en frayions , 49

Keduâion des grandeurs irrationnelles à on mê-
me nom y ur
Rcduâion des grandeurs irrationneUes auz ei-
preffions les plus (implç;!^, u^
Rai fou on rapport , Déf. 5. ^0
Rai (on Arithmétique ) Déf 4.. ^^
Rai(bn Géométrique. Déf. ^, ^^
Rai fous ou rappons égaux. Cor-, r, ^^
Raiiôn compose > Déf. 17* ^
JUiibn doublée, triplée ,. &c. Déf» x^.. ^^

des Eternels. o7

Hailbn iniwrfc, ijf

Raifon alterne , x^

Racine -quarrée , «^

Racine cubiqae , ^j
Racine fourde , ou irrationnelle. Déf. |. no

Racine imaginaire. , Déf. 4, %;^q

Règle de trois , ^g

Règle >de crois ékeâe , i^x

Règle de trois indircdc , ou invcrfc i 174

Règle de trms coRipofée, i^f

Regk de Swicté , ou de Compagnie y lU

Rayon d'un cercle. Déf. 1^ %of

Rayon d'une Spliere. Déf. tz. «4

Reâ^ngle. Défe^i. aïo

RhomlK. Déf. jx. aïo

Rhomboide. Uél, j^^ ^it

S

SO MUS ou total y n

S6ulb:a<5lion des nombres ^ 14

Souftraûion des fraârions , j%

^ullradion ^€8 grandeurs littérale^, 7j

Sou^lradion des racines fourdes , 119

Surface, Dcf.9. 1^4
Surface plane , courbe , concave , convexe ^

Surface curviligne , rcdiligne , mixte, io|

Sedcur de cercle. Déf. 35. %oS

"Segment de cercle. Déf. jz. aolT

Secondes ) tierces y &c. . 107,
Sommet d'un angle , Déf. X5« 199 <$• 119

Sommet d'une pyramide , ;,if.

Solide. Déf. éi. xif

Spbere , ce que c'eft. Déf. So* aif
Sphère iniaite à un Cyliadrc en elt tes deuy

tiers I «^ §y9

|98 TdbU des Elément.

£}ikict de Sphère égale à quatre pandt Co^

ClCS y fl9

^es Sphères font enu*elles comme les cubes de
leurs diamètres ^ jiX

T

THioRiMi, ccque c'eft. Dcf. ^. i

Termes d'une raifon » ou d'un rapport» Dét

^. ^

Termes extrêmes d'une proportion. Dé£ j^. €^
Termes moyens d'une proportion. Dt£. 14, ^^
Trpurer i[ trois grandeurs données une quatnc-
me propoRionnelle Arithmétique y &c iiS
Trouver une moyenne proportionnelle géomet.

1 deux grandeurs données. Cor. 4. prop, i. 152
Trouver une f continuement proportionclle a
^ deux grandeurs données,* Cor. 4. 151

A Trois grandeurs données , trouver une qna-
,^triéme proponionnelle géométrique 5 ionà^

ment de la règle de Trois , tp

Tierces , quartes , &c. 107

Toifc linéaire , quarrée / cubique , ^4

Touchante 'd*un cercle. DéF. )4, 106

Trapefc. Déf, 47. Z09

Tropefoïdc. Déf. 4^- 109

Triangle! 'Déf. 38. 107

Triangle Equilateral , IfoTccle , Scakne , io8
Triangle Redangle, Ambligonc, Acutangle, loS
Triangles entre les mêmes parallèles , leurs pio-
, prietcz . 38g

Triangle ^quilatcral inJirît dans un cerck ^ Cor,

Tétraèdre, ' ^ ^S^

Valeur des Chifres , xq

u

•9--*"fr* -fr-fr** ♦♦*-<i'*ift^

• TA B L E

OE LA GEOMETRIE PRATIQUE,

P R.P B £ E Af E S. t

;i'. Xy Ak un pïnt donné hors fnne ligne droite «
1 mentr une . perpendiculaire s .cette ligne ,

X* P^r Hnfbint donné dans une ligne droite , mener

' une ferfendicHÏaire h cette ligne , 14^

3. Par un point donné, même t^ V extrémité d*une

ligne , mener une ligne perpend, à cette ligne^ 331
'4. Far un point dorme hors d^ une Ugne droite, me*

jner une. ligne parallelle à cette iigne , x%^

^, Autre Méthode, .31g

€, Autre Méthode > yj^

7. Pkr'un point donné dans um circonférence , me*

her une touchante à cette circo/jferencs , 167

^, Par unpomt donné hors4*unfi circonférence ^ lue

V^enerune touchante , 334

'9. Par trois points donne:(^, faire p^ffer une circon^

ference de cercle, pourvu que ces froispçints ne

f oient pas en ligne droite , iyi

ïô. Trouver le centre dkun cercle , zjz

ïi, Divifer une circonf de cercle m degr, 307
i illtivifer un arc c^ un angle qui eft mefurépaf
'' cet 'arc , en deux parties égales ^ .^ 2 o ^

13. Vîvijir une Uine donnée félon une raifon don^

4à6 TMê ^

B4. lyMfgr uni Up^ dmmée em mumi sU ^màtt

igéiksmtm vmdrm. C^. 5. ^^

t|, DM/er imiUffit âmniê tn ànix finies ^ikf

- - - Hf

gék A imx iiptgs dêmUu, tt^mftr mm trmfiik

Cpt9 fr^ntwnmUt , . ^

frtfiftkmneUe « 4^

tt. Ernnslmx Uffus dmmits , trêmverMH mtytm

%$. Mtmrfm U Htrmn um Ugnm drotu , j^

M. Memr fpr U tme urne Ugn^ peffmàicdmÀ

muMMire, fsr tm fêinf donné Aûts cette Upu, j^/
ir. àitner fur U terre une ligne ferfendUdem l

mne untre , fw un feint fris dnns cette lipu, ]96
ti. Pnr un feint fris dans tm flmn , nmet mu

ferfendicmUire i ce flan , ^04

ij. Par un feint fru hers ttun pUse, mener m

ferfendiculaire à ce flan , jo)

14. Cenneitre t égalité en inégnliié de deux iv-

/^«» jo^

t;. Faire un angle égal 3s un npttre nngle frM,

t^: Décrire fttr tme liffte donnée un triangle éfish
latéral, .^^

17; 'Btùre un triangle égal i un nutre frojofé ; «^

ce qui^ efi la mhne chefe , faire sm triangle dnt

Us cétex, fuient égaux h trois lignes ienniu:

fôurvA que deux de ces lignes frifes enfemUefùot

fbif grandes que latroifiéme , «^i

11. Décrire une figure teHiligne égale à une mttn
frofofte, ^

19. J^ écrire un cercle égalÀfluJieurs cercles, 494

30. Décrire une figure feBiligne femblnble i tm
autre figure reàiligne donnée, ^

ji. Décrire fur une ligfie donnée un junrré Cor Àe

tsfrof.^é. • ^,

de U Gfmttrit Tmiaue. «o i

^. rUtrk* m T»rdUl»grMmme ig»l à u» trUntU
fr^f0Çi .qut »ttH» s»gU égMlà un ^Utroph.
&unMtieg»liunelignifrMofée. .L

^ j. /ff/wV« un tx»g»tu dans un tmU, C>r. t. fref,

J4. Infcrir» un tfi»ngU éjuUMeral dant u» Cenk.
Cor.ufrtf. 4r.

^.Inftrireun cercU i unHlygone ugulitr. C^
de U frtf. 4*. *

5f . Dieriri un quMrrt tgri » «w ntnibre HMtrt*

jt. C*»»«ir* fc -«*rr/ qui efi ttxth di celui /«!
M %»« ^>w ^/», w/», f„^ ^^^^

99. ©rmr* «w /f»r« femblabU é' -itale à deux
Autres figures femHsUes é- égaUs pcffées.
490A: 491 t IJ ' »

40, Lever U flan iune flœe Mcefiil, . ^^
.41. -*««•* Af«*»i»»<,«r lever UfUn tune tlZ

ne , «un tare , (yc,

41. VMr* des Cartes Tefegrabbiques , ttî
4}. Autre Uethede . ' * '^ ' • 4;*

44. Autre Methtde entore plut cotnnuOe aue^\t
précédentes ^ ^ '

4i' Cmndtre U hauteur *tp»fendeurstunetdL.
tégm ,

4(. Cmneiir» la tafe tune Mtntagne . l*î
47. •£« deux tSte^ £un triangle reSangU iunt

connus , cenneitre le treifiéme ,
4I. Les treis eitex. d'un triangle •hliquangle h^
donnez, tonnettre U hauteur de ce triangle, ou
'V;^'»/'' Perpendiculaire nunée dufo^t
d^un de [es angles fur le cité oppofé prolongé s'il
efinecefiatre, *

49. Les trois cète^ iun triangle reHiligne élUt
demuz, tonnettre la furf ace , fans aucuns im-

E c e

étyt TabU

f rumens divffex, en degrez^ 47^. 477 ic 47S
-f o* Conftruire trois fyramides avec du'cartù», Uf^

quelles jointes enfemble formerpnt i#» frifmo

triangulaire • 5-44

f i. Conftruire ou reprefenfer les cinq corfs reguldirt

avec du carton , §Ut

ju Mefurer s^ne diftance accable far mu eU fet

extretmteti^ feulement , ^6^

^3, idefurer en ligne droite une lo^gmuf frofoÇée

dans la Campagne , 19S

54, Adefuror la furface i un triangle, 5^

l^. Mefurer la furfacê Xm ^ataiXelograamnt ^

jji. Mefurer la {urface (tun Tn^efoide» 411

fj^ Mefurer la furfaçe d'un terrain irreguUer, 39^

ji. Autre Méthode , 411. & 4^9

19. Mefurer la furface ,d^ un terrain irregtdior fam

ontt^tr dedane, .^u lorfquon ne put le parcoU"

tir , 4%Jk. de 4x5

4o« Mefurer un Polygone regtdier , ^li

.^U Mefurer la ffcrf ace d*un cercle^ 419

eu Mefurer un feS^^ur de ^cercle > Or. 5, 4x9

#5. Mefurer la furface d un cône ^rpit, ^%$

44. Mefusrer \a furface d'un cylindre droit, Prap.

<f. Mtfur/tr la furface fune Sphère, Prop, Z-j. 5^
i6. Mefurer la hauteur et une pyramide dont en
voit feulement le fommet 0> la hafe ; cette py-
ramide étant même enclavée dans la maf^e t^um
jcorps irregulier , S)-^^ SSS

Ây, Mefurer une pyramide, ^^

>8. Mefurer plufieurspyranfi^ de mf me hauteur, j^j
f^. Mefurer un Cône, j5j

7«. Mefurer un Prdfme , nj, jf i. & $fi

71, Mefurer un Cylindre , ;fl

7i. Mefurer les Corps irrégulifirs, yf 4. & jjj

7V Autre Méthode , ///*& ;f^

V ^^ Mefurer me Sfhcre^ ^y^

iof

<t -jj* <»• V J. ^î^ -iji- ^J- «^ •$• «^ •$• ^J• ^ -ij» «(h •iji' «^ ^!^ ■jj» <îh ^ i^fc*

T ^ £ L E

JÊ> E s T no P O s t T IONS
' des Efemens de Géométrie d*£uclide ,
qui font démontrées dans €es nouvenns^
jElemtns.

J*ÀjoKtc la Table fuivame jjbiir rendre Tétude
de ces Elemens encore plus utile dans la le-
élure des Traites des Mathématiques , oâ on cite
Euclide. Les pfopofitions qui font dans les ûx
premiers Livres, dans l'onzième & dans le dou-
tiérr^ des Siemens de Géométrie de cet an-
cien Autheur font celles qui font ordinairement
citées. On ne cite prefque jamais les propoficions
de fes autres Livres» Et entre celles de ces huit
Uvres , il jF" en a encore plufieurs qui font inuti*
les , ou qui ne fervenr que pour en démontrer
d'autres que j^ai démontrées fans leurs fècours.
P-our montrer que meS' Elemens ibnt pour le
moins équivalens à- ces huit Livres d'Euclide
qu'on a coutume d'apprendre; dans la place de
ces propo&ions que j'ai crû inutiles*, j'ai faie
mention de celles que j'y pouvois fubdituei tres^
tttilemencr"

'Euclide lÀvfê t* Eleniens des ÈiMth^

PRop. I, Pénultième art. du Cor. 4. prop. jf ,

Brop, !($»)• Je leur fubftitue les prop. y 4. f . tf«

7* & S» avec leurs CoxoU. f.tij

f04 TnBlt

'BitcHdê lUmens dès-

Lèvre I» Misthemstiques^

Fr«p. 4, Prop; );. ^«/# 3^».

Prop. f . Cor. 1. prop. J4. fsgê ^jti,

Frop. é^ Cor. 4.prop. )4.]>i»^e);9.

Prop. 7. Je lui fubAinie la prop. ^^

Frop. t. . Cor. i. prop. 5^. fa^e jtff.

Prop. % Cor. f. prop. lo.fAge joj.

Prop. lo* Cor. ). prop. f.^i»^fi4f.

Prop. II. Pan.i.ëacor.i prop. f« ^X*M^

Prop. lu Fart. I. cor. prop. f./i»j# 145-.

Prop. 15. Paît, u prop. XI, ^4;^# jog.

Frop. 14. Part. &. piop.ii.^^^e ^o^»

Prop. i/« Fan. i. prop. tx. ^>C«3U*

Prop. U. P^op. 90. f»;« )48.

Frop. 17. EUc fuit de la prop. 31, /i»f# i^

Frop. I». Fan. i. prop. 5^ fsgg jf f,

Frop. îf. Pan. 1, prop.jjwf/fx^jff.

Prop. 10. Frop- i. fuge 15^.

Frop. XI. Frop. 1. le cor. f . pf. if)./, 15^. ^^

Frop. IX, Cor. 4. prop. )f.^4^# 5^t.

Frop. x)^ Cor. 4, Frop. xo. ^«X« 104»

Frop. X4, Part. x. prop. jj;. ^4^e 5^4.

Prop. xf. Cor. j. prop. jy. ^/»^e jé7»

Frop. x^. Cor. x. prop. sut^£^ 44î^

Prop. X7. Fart. x. prop. xj. fsge )i4,

Frop. xSt Parc x.. & 3. prop. x; . f^g^ jxt.

Frop. X9. Fan. i, pr, xj. & part, x, !:• |« pM^

X4.M^MH.cJ»Jiî-

Frop. 30. Frop, x^. pM£e 5x4,

Frop. )i. Cor. prop. x). 9c cov. 3. prop» |>

Prop. 3x* Fiop^ 3«^ ac 31. £4j:ef ^%^ & }4P

dis s f^rép'ojiiiiwr' des Elemtns y ^c. tfoj

ftop. 55. Prop. 3^.^«^è57#.

Brop. 54. Parc. i. prop. $7. & cor. x. de k mê-
me prop. & part. 1, prop. jf.

Prop. }^. Cor. r. prop. 59. fage^%%^

Prop. 31^ Part. i. prop. 40. page ;8g.

Prop. }t. Part. I. prop, 40.^^^* }«S.

Prop. 39, Part. 1, prop. 40. fagt 5SS»

Pkop. 40. Part. 1. prop. 40. f^se^tZ,

Pirop. 41. Cor.4*prop.59. ^^^*)87,

Prop..4i. Cor. prop. 41. ^4^f 403.

Prop, 4^. Part, i.prop. 41. page 401*

Prop. 44. Cor, prôp. 41. page 434»

Prop. 4f . Même cor. de la prop. précédai-

Prop. 4^. Cor. prop, j^. page J71,

Prop. 47. Part. i. prop. S7»t^g^ ^7'

Prop. 4», Part. 1. prop. f 7. J^^# 447-

Tiudide Eîemens des

j4>vte u M/uhemmqueSà

pjfeop. 1. 1. Je leur fubftitue la prép^ i/. tT€C fc»

& 3. quatre Corollaires*

Prop. 4. Prop. 4». /^i»i:# 40f,

Prop. f . Prop. 45. ^/»i:« 40^,

1?rop. • ^. Prop. ^^pH^ 4©^^*

Pr. 7.S; 5* Je leur fubftitue les prop. 10. %% ttf-

lo.&ii. & 19, arec leurs corollaires*

Prop. 11; PatM, prop. fS.^^^e 47J-

Prop. I}. Part. I. prop. f S. f ^^« 47 J*

Pf opv i4# Jclui fiïbftitoc la fçop. ^

•• • ' "

éùg TMt

MmliéU MUmem de$

Frop. r. Cor. r. & part. x. frof.^. fm^est-jn,
êc corol. f^ 270.

Frof. X. Je lai fubdituclz pr^ }t. & Tes cor.

Prop. 5. Paît, ^. & parc. r. prop. i},fMgerj%,

Prop. 4v Cor. 5. prop. 13. /#f^ 274.

Prop. 5-.^. Prop. Il, fiige 198.

Prop. 7, prop. 9. & 10. & cor. 1. piop. i^

& t. fagts if 4. if^. 6» X79.

Prop. t« Cor. dcf. il. Geo. &cor«3.piif»

^4. ^4^ 104* C$* iSo*

Prop. fO) Cor. é. prop. Ï4'/*X«^2«i-

Pr. ir. IX. Prop. if.fsge 259.

Prop. Xfw Cor. prop. 19. fsge 300.

Prop. 14. Pîut. t. Se X. prop. 1^. fsfe xji,

Prop. If. Part. 5. prop. i^. f^g^x^x.

Prop. K. Prop. Il, & fon cor. 7. ^^^m 1(4^ àf*

«ccor. i^.^.

Prop. 17. Cor, 9. pfop. 17. page J34,

Prop. it. Cor. a. prop. 11. fngt xé^»

Ïcop* 154. Cor. f. prop, u.^jftx^»..

rop. xo. Cor. é\ prop. 17. page jjx.

Prop. xffc Cor. i. prop. X7. ^^i^r* 519^

Prop. XX; Pani j* J)rop- jt.^iif f 376.

Prop. X3. Je leur mbftituc ks.cor. x* & 3, dxb
• & 14. prop. 39. •^

Prop, xfi» Cor. i. prop. ly.fagtxyx..

Itt. xf.i7«. (jor. xv prop. i^^fAge^i^y^

Prop. z».- pj.op.11, page lét^

Prop. x^, u or. ». Fop» ".J*^/<ii^4«-

Prop.30J^ Cor. f. prop. xo.^ii^fjox».

BMjp. ji, Cw:. j.grop.x7.i^^Mîl*-

iesTrofùJitiûHiiesEUmenSy&t. C^r

Prop. );.
Pxop, ji.
Brop. 37.

Pj. r.t. 5.
4, y.^.7.

Prop. 10.

II. ii*if*

Pr©p, If,

ISlmïidèi-
Livre f ».

Prop. M;

J* 4. S*^

Prop. 7.

Prop^ t..

Prop* ^,

Brop. lû..

Brop. Il;
]trop;,u«.

Art, t, ^ àrconft. & Cor. i. prog^

17, faget ^t. & 5*9*
Je kurlubftituelcs cow.ac t4>r,40«.

Prop. f^MsutH^ 4^'» <^ 4>2-
Cor. piop. f f • ^4^* 4^4 •
Je lui fubftituc la prop. 4^ & icsi
corollaires».

'Bnclide

Mlefnens dis
idafhiwsti^tées.

Je leur fubftitue la prop. 4^. foftî
coroll;.& la prop, 49. &fcs4. cor:

Cor. prop. '4^. pagt 413.

Je leur fubftitue la prop. ;a. lec
trois piicmicrs coroll. & &n jf-

Cor.x* prop,,4f. f^ge 410*

Elemens- des
MathemsnqHes».

Je iàur fubftitue les prop. 1. 1* 5é 41-

fi & €. d*Algeb. & leurs coroll.
Part. i. prop. 8. Se part, i. prop. ^.

d'Algcb. fages 146. & i47'
Part. I. prop. 10..& part. 1, prop. iii

<l'Alg!pb.f4g* 148. &tH^H^
Part.i, prop. S.& part.i. prop.f».

d*Algcb,^ïij:wi46. & 147-
Part. ï. prop. 10. & part, 1. pro]^.

II. d'Algch. fi»f « 148- Ci^ ï4>«
Cor. 3. Dcf. u. d'Algcb. fage^éj,.

tbS' rate

Br, r)^4< Je leur fobftimc k$ prop. 77 d*J3jî*

Frop. i;. Prop. f. d'AIgcb. ^*^e ij^.

Br. i^. 17, Pan. 1, j. 4, & j . ce», prop. j. f AW

II. i^ geb. ffje ijf.

Psrop. to* Je lui {bblticne la pr€»p. 15. <i'A]gd>»

J%. 11, 1», part. 1. cor. prop. it.. d* Algcb» /. lyj.

Ptop, 1}. part. 4. cof, prop^ u. Algeb. ^.»f4r

Prop, 14. Prop. 14c Algeb. fMge ijt,

Frop. ty. Je leur l'ubltitue les pr. if. 16, 17. xï*
&c« 1^. & !•• d'Algcb. arec kius çxtu

Tucliâê démens des

lâvfê 6» Alathemstiquêf^',

Prop. I. Cot ; ptop. 4f • fH^ 4*4»

Prop. 1. Prop. su p^ge 4^"

ftop. ), Je lui fubflime la x^. part, dfrcor.^.

de la prop. fi»

Prop. 4. part. r. prop. p.. fage 457.'

Prop. i". Part, a.- prop. fi.fage 457.

Prop. ^. Cor. I. prop. ft, ^^* 441.

Prop. t. Prop. f5. ^4/« 4jS.

Prop. 9, Je]uiriibftimelecor«x^elaprop,f)*'

Prop. 10. Cor, 5. prop. sufH^ 4îr»

Prop. II. Cor, 1. prop. ^ufAge^y^.

Vtoif. tt. Cor, a, prop. fi. fagt ^^4,^

Prop. ij. Cor. 1. prop. yj. ^^^^ 4^0-

Ptop. 14. Cor. a,.& $. prop. so.fage 4at;;

Prop. îf» Cor. 4. & f . prop. f o. f^ge 4x9^^-

Prop. 1^. Ptôp. 1. & 5. Algeb.'

Prop, 17/ Cor, 1* prop. a,. Algebi'

Prop. 18. Cor. 5. prop. f i. ^*^* 444^

Prop, ij. Part» a»^ cor^ prop, ^4. f /»^e 4f ??-

:^-'

âci Profùjïtions dis Elément , e^c. iof

Prop. 19* Prop. 4i. & cor, i. prop, 4i. fs£êâ^

Prop« iT. Je ]ui fubftime le cor. ), de la pr. i|»

Prop, M), Frop, é4.^^^f 4$5.

Prop. 13. Cor. prop. ié.f^gé ^64.

Prop. 14. Je lear fubftitue les coroll. x, ic u

«y. &c, de la ptop. ;«. les prop, ;j, ^q«.

^z» & leurs coroll,

Prop» ji. Cor. }. prop. ^x.pi»^« 4S5,

TBiueliéU Etemens dits

Livre lu MMtheméUi^Hts^

Prop, j, Cof . Déf. i<h Gco; fs^e i^j^

Prop. 1, prop. éf.fage 49g.

Prop. j. prop. 66^fage 4^9^

Prop. 4. prop^ éy, fage ;©©•

Prop. f. prop. tf t. I^^e f o;.

Prop. 4' Cor, i. prop. 71. ^i»^e p^.

Ptop. 7, Cor. 1. prop. 71. {âges ptf. 6» pf.

prop. 8, prop. 75./>/ij*;i7,

Prop. 5. parr. X. prop. 74. f/i^# f II*

Prop. ro, part. i. prop. 77. fage ^x6>

Prop. !!• Cor. t> prop.^5{^ ^i»i:# f ot.

Prop. I». Cor.3. prop. éj* fage po^^

Prop, ^. prop. ^^. page $06.

Prop. 14. pan. z. prop. 7^.^4^*5x5,

Prop, if. par^x. prop. -jy^fagesxé*

Prop, 16^ prop. 75^ ^i»^^ ;xo.

Prop, 17, Cor. prop. 75. fage $tu

Prop. iS, Cor. X. prop. Sj.fagefoi^

Prop. 19^ Cor. X, prop. i^^fage ^.07»

Prop. xo. prop, 79, f4yr# ^54.

Prop. XX,, Cor, prop. 75U H^i* «<^

#1(1 Tédili

flop, u* Jiefiibftinie \t% cor. r.Sti; èi^-

X), X4« prop, iy.Iaprop. 70. {oncoa&

xi^^C le cor. I. de la prep. 7i» & k
part. z. de la prop. 74*

Pmp. tf. pan. i. prop. ti. /i»x' fy?*

Frop. 19» Cor. j, & 4. prop, $1,/. J4S. (^ 549,
)o.&5i.

ïrop, 5». part. i. prop. ta. ^^« j;7.

Viop. )4« Je Icvr fnbftinielâ paxt^x, pt.<}(.ft
}f« &C«. ion coroll. là Piop. 78- les cor.C
7. S.9.IO. II. ae la prop. Ii. Il»
croit cozoU. de la prop. tt.

^^mm^mm^mmmmmmmmÊ^mmmémmmmÊÊr

Emlidk Mtèffuns des

Prop. X. prop. Kj. ^«^ 4>i;

Prop. 1. Cor. 1. prop. ^5. /jjf» 451.

prt>p« 5, Je loi lobninie le cor. u prop; ti;'

/^/* f 47.

Prop/ 4. Je lui fubftitue la prop. t$»

Pr. y. ^. part. a. prop. ti. ff^£e s^sj^

»rop. 7. prop. tt. fMge J40.

rrop. ti prop. 84.)i»^efi7.

frop. 9« pr.3. &x. d'Algcb. & cor. tipr. Ift

prop. 10. Cor. X. prop. 8i. /4^f f47.

prop. II. part. I. prop. 8t^ f»ge jfj^

prop. la. Je leur fubftittte la prop. tf. & ici

& I); trois corollaires'.

'Top. 14. part. I. prop. tt. fugi SS7»

prop. ly. pr. 5, & x.d'AIgeb. cor, 7. & 9.pr.ft.

JProp. ï^i Je ^cur rabftitire les prop. 8^. 87. ît

& 17. 88- avec leurs Coro Ikircs»

nop. 18» Cor. a. prop. Ué fW S79^

6n

DEMONSTRATIONS NOUVELLES,
parcicalieres à ces Elêmen$v

DANS rAZGEJBR£.

PR^, -j. 0vecfim C^tûB» fref. 4. y. e* 7. S. ^.t«#
IV II. 13. X4* XI- x^* 17. ]^* é* Ao* /»i;rc /^MfJ

DANS lA GMOMETKIE.

Cpt* i.d» 3. rfe Ufrof. f. Ctfr. r. 4.^, 4. y, d» C

.^* U fr€f, 6. CûT. %. i.fji* 4. de la frof. 7. Trof. %.

f€^ fon cor, 'Part. 1. de la frof. .^, Part- a, à# /^i

fr4>f. ifi,'Prof,ji, & fes cor. Prof, u. é* fescor, u

0*4* le cor*z, de la frof^i;^.à^ la Combinai fon des

^^chofesde lafrof. 14. les cer. «, t. 5. 4. f. cj» ^«

I ,de lafrpf, 14. Prff. hç. Part, Uj&jl. de lafrof,

j6. Prof, 17, frif. 19. cJ»M ^>'« Cor, i. j. 6» y. de

Ufrof.xO' Prif. %i. ^j. 44. ly. 1^, ^7. 2,8. 19.

I ;Uf ri)f. X. 1. ). 4. &,f. de la frof.t^, Prop» 3;, d*

I /«/^<Fr. 1, %. j.^^j» 4, Pf#/. }7. P^rA X. i/f lafrof, 5*.

C^/îj/ ftfr. ï. i. é^ 5, /« r^r. 1. <$• 3. de laprop, 39.

-C^. %,de la frof, ^o.Prof. 4.^*&fi^ cor. Prof, 47.

ié'fon cor, Prof,^o» & (es cor^ Prof, j:^. <J» fo» cor^

Les frof.$%, <J» 4i, font€^fartie r^tév. Cor, t, 1. d»

4. i^« //» fref, 6x. Q0r, i. <$• 3. iife //i ^wr?, ^5. Prof.

44.„Cor, i, i. 5. de la fref, ^7. Cw'. i, de la frof^

4$, Prof' 7p ; é* fon cor. Prof, 71. Prof, 71 5 è»

/« r^r. 1. ^^. /r^^, 75, P^rr. i,^^. 74, frof.

7.i^* Ç^ /«?> cor, U, cor* dp la frof. 79. (f i^ démon»

/hst. de U fftf. %o. f^t frifqt^eniUr€9tent
Ut €êr. u^.4*S' ^» à^' ^ l^frêf- Si. Lts cût. Û
&^.dêUfr0f. U. frêf. fj. ^efyiH tmtuUfr^.
14 p fm CmriU. fj^.

Il y » êmcmn flufiemrs âuares fr^pûfitipnj , ^ C#.
rdUirês , mimêdMU têtu têtévrétge mm mémiereÂe
fnf^n y êtêxfiifmir ^ de démontrer, gUm ceux
qm ûmt lA flufiettrs Livres eUmenSMtres ^ rem»*
fièrent fM>eiUment Im nênveMUtê^

AT f R O B A T 1 ON.

J*A7 1& par ordre de Monfeignear le Chance-
lier ces Elemem des Âisthematiqstes , & nj zj
rien trouré qui en doive empêclier rimpieÛioiu
Jaic i Paris ce 14 Novembre 1 702,.

WONTENELLl^

TRiriLZGE GENERAL.

LOUIS par u grâce de Dieu R07 de F/aa-
cc & de Navarre ^ à nos Amcz & îcaox
Confeillers , les Gens tenans nos Cours de Par-
lement , Maîtres des Requêtes ordinaires k
;iôtre Grand Confeil , Prevoû de JParis ^ Bail-
lifs , Sénéchaux , leurs Licutenans Civils &
autres nos Jufticiers qu'il appartiendra j Saict.
Le Sieur P,o l y n i b a, X^eBeur en JÈdédeànt,
nous àjaut fait remontrer , qu'il dcfireroit faite
^art au pubHc d'un ouvrage de fa compofici(»

intitulé , EleMINS dis MATHEMATI<^0£f,

sil nous plaifoit lui en permettre l'imprcflion,
& loi accorder nos Lçttxes de Privilège fui ce

T

V

icccflâires i Nous luî arons permis & accordé,
;)crmcttons & accordons par ces preicntes , de
^irc imprimer par tel Imprimeur ou Libraire
au-il vowlra ch^ifir ledit Livre, en telle forme,
oiargc , carafterc, & autant de fois que bon lui
femblera , pendant le temps de huit années
confccuiives , i compter du jour de U dm des
freftntes» Se de le foire vendre & dilhibuer pa^
tout nôtre Royaume ^ Faifant défcii.c à tou^
Libraires , Imprimeurs & autres d'imprimer «
faire imprimer , vendre & diftiibuer ledit Livre
fous quelque prétexte que ce foit , même d*im-
prefEon étrangère & autrement , fans le confen-
cement de l'Ëzporant , ou de Tes ayans caufe ,
Cur peine de confifcation des Exemplaires con-
trefaits , de quinze cens lirres d'amande contre
chacun des Contrevenans , applicable un tiers à
Nous , un tiers à THôtel-Dieu de Paris , l'autre
ciers audit Expofant , & de tous dépens , dom^ •
mages & interefts i à la charge d^en mettre
avant de rezpofer en vente dfux Exemplaires
en nôtre Bibliothèque publique;, un autre dans
le Cabinet des Livres de nôtre Château du Lou-
vre, & un en celle de nôtre très- cher Se Féal
Chevalier , Chancelier de France le Sieur Phc-
lippeaux die Pontchartrain Commandeur de nos
Ordres , de £ûre imprimer ledit Livre dans ni^
tri Royaume c^ non aiUettrs , Se en beau cara-
âere5t papier, fuivantce qui eft porté paT les
Reglemens des années léiS. & 16^6. Se de faire
cnreeiftrer les prefentes es lUgiftres de U Cnnmu-
nastte des Ubrmres de nitredite bonne ViUe de
Taru , le tout à peine de nullité d*icelles , du
I (contenu dc(quelles Nous vous mandons & en-
joignons de faire jouir l'Ëxpofant ou Tes ayans
' cauie , pleinement Se paij(iblement , ceflànt , Se

faifanc ce/Ter tous troubles $c empècheoiens con^
traites. V o ul o N « que la copié dcfdites prc-
iènrcs qui fera imprimée au commencement ou
à la En dudit Livre , foit tenue pour dûement fi-

fniHce , & qu'aux Copies coliationnces par ]*ua
c nos Alliez & Féaux Confeillers & Sécrétai-
rcs j fojr foit ajoutée comme à TOriginaJ. Corn-*
mandons au premier nôtre Huiilier ou Sergeant,
^e faire pour Texecution des preiênccs routes
lignifications , défenfes , faifies , êc autres aâes
requis & neccflaires , fans demander autre per-*
miiTion , & nonobftant clameur de Haro , Char-
tre Normande & Lettres à ce contraircsi Cac
tel eft nôtre plaifir. Donné à VerfàiUcs le (i-
xiémc jour de Décembre Tan de grâce mille
fetJt cens deux, & de nôtre Règne le fgixaa^
ticmc i pat le Hoy en fon Confeil.

tE COMTE,

Kegffiré fur li Livre de la Communauté des
Zibraires é^ Imprimeurs , conformément aux ite-
glemens. A Taris ce i^ de Dêcembtê^ 1701, $ïpii

A PARIS,
De rimpritncric de J a cqjb 1 Qjj i l l a t^
Imprimeur Juré Libraire de rUniverfîtc ,
me Caiande,.pjj5ickc Ujue da.Fouarc.

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