(navigation image)
Home American Libraries | Canadian Libraries | Universal Library | Community Texts | Project Gutenberg | Children's Library | Biodiversity Heritage Library | Additional Collections
Search: Advanced Search
Anonymous User (login or join us)
Upload
See other formats

Full text of "etusup"

DURAUMEN 



4Mt?i^SAtL^ N - MAGHRE B SARL 

*MIVACÏM1WTS DtS ESPACES ACROALIMEKTAlRtS 

Rue Tàfifler n f 21 

CL. IMZOUREN - P.A1 Hoceima 

T*l.+2l2 672 782 731 - +34*14 131 799 

dumllmen@dunOimcn.com 



'- .' y 



JtC '-<<, 




yyr.\:z .:, 



COLLECTION <p/ 



M. ELYAZNASNI 
S. HAMDOUNE 
M. IAMAL 
M. MOUSSETAD 



' i +& ■ 



TOME 3 







- Rappels - 
Compléments Mathématiques 



- Premières Années 
1 er Cycle Universitaire 

-Années Préparatoires 
Aux Grandes Ecoles 



^ETlMJP 



» .corn 



s 



DANS LA MEME COLLECTION 



Des mêmes ailleurs 






Tome. 1 / Exercices résolus de cinématique du 
point matériel. 



© Afrique - Orient 
Dépôt légal N° 307/ 1 995 



Tome. 2 / Exercices résolus de dynamique du 
point matériel. 

Tome. 3 / Exercices résolus d'électrostatique. 

Tome. 4 / Exercices résolus delectrocinétiquc 
et de magnélostatique. 

Tome. 5 / Exercices résolus de 
thermodynamique 



ISBN: 9981-25-032-5 (ensemble) 

ISBN : 9981.25^)34.1 (Tome .1» 



-€ETUUP 



.corn 



PREFACE 



La collection <p + iphi-plus); composée de 5 tomes 
s'adresse aux étudiants de première année scientifique et 
technique de l'enseignement supérieur et aux élèves des 
années préparatoires aux concours des grandes écoles. 

Chaque tome comporte d'une part une progression 
d'exercices résolus permettant la compréhension et 
l'assimilation du cours et d'autre pan des exercices avec 
seulement des réponses et des suggestions en vu de 
développer chez l'étudiant l'esprit de raisonnement 
scientifique et de le préparer à l'examen. 

De plus, on trouvera dans les tomes l. 3 et 5 des 
rappelés et compléments mathématiques, suivis d'exercices, 
simples et concrets, avec solutions, nécessaires à la 
résolution du problème de physique. 



Les auteurs 

* 

M Elyaznasni 

S.Hamdoune 

M. Jamal 

M. Mousseiad 

(Enseignants chercheurs à la Faculté des Sciences 2. 

Sidi Othmane -Casablanca-) ^ ETIWJ P 

.corn 



1 



4ETIHJP 



.corn 



TOME : 3 

Exercices résolus d'électrostatique 
Table des matières 



RAPPELS ET COMPLEMENTS 

MATHEMATIQUES ..- ., 9 

I. Systèmes de coordonnées : 

1. 1 ) Coordonnées cartésiennes — Il» 

I. 2) Coordonnées cylindriques ...... 14 

I. 3) Coordonnées sphériques „ — It» 

H, Champs scalaires el champs vectoriels 

II. I) Définitions 18 

H. 2) Opérateur nabla __ _ ~~ ...~ I e ' 

IL 3) Gradient : ™ 19 

II. 4) Divergence — ~ 2(1 

II. 5) Rotationnel ~ — 2(1 

III. Angle solide 

- Enoncés des exercices 24 

- Solutions 28 

ELECTROSTATIQUE 43 

I. Loi de coulomb ■ 

II. Champ électrostatique „. 

II. H Système de charges ponctuelles — 

II. 2) Distribution de charges : Méthode directe 

- Enoncés des exercices - 45 

- Solutions — 47 

III. Théorème de (ïau.ss — — « ~— • - 

- Rnoncés des exercices 56 

-Solutions M — : 59 

IV. Potentiel électrique „,...., — 

IV. 1) Système de charges ponctuelles 
IV. 2) Distribution décharges 



ii-it-"it--" — — 



->■■ 



V- Conducteurs en équilibre électrostatique 

- Enoncés des exercices „ 

- Soluiions H 

VI. Energie et forces électrostatique 

- Enoncés des exercices 

• Solutions 



...84 
.88 

..99 

KM) 



RAPPELS ET COMPLEMENTS 
MATHEMATIQUES 



^ETUUP 



.corn 






10 



Exercices résolus d'clcc 



[''asiatique 



I - SYSTEMES DE COORDONNEES 
1-1. Coordonnées cartésiennes 

a) Définition 




Soient ,rois axes Ox. Oy e, O z don- les veceu, som 
respectivement i . j ait 

Us coordonnées cartésiennes d'un poin, M de , espace 
correspondent aux projections du vec.eur ÔM sur les lrois 

Remarques 

I - Lorsque les vecteurs T. J « g on.lc nicme 
module, le repère esidii norme. 

2 - Si de plus les axes 0x . Oy e( Oz sont deux à deux 
perpend.cula.res. le repère est dit orthonormé. 

3 - Oxyz es» un trièdre orthonormé direct, si Ja plus petite 
;^'ion qui amène Ox sur £>y se fait dans e s C 
"ngonometnque direct autour de Oz. 

Si i.j et k forme une base : UWi «xî-ryJ-Fzfc 

bl Courbes de coordonnées (figure. I) 

Une courbe de coordonna ,rr\ ~~. .._. 



Rappels et compléments mathématiques 



1] 



■ C.C de x ; est la droite (X) parallèle à OX passant par M. 

• C.C de y : est la droite (V) parallèle à OV passant par M, 

• C.C de z : est la droite (Z) parallèle à OZ passant par M. 

c) Base locale 

Elle est formée de trois vecteurs unitaires tangents aux 
irois courbes de coordonnées. Les vecteurs sont orientés 
dans le sens croissant de la variable associée. 

La base locale au point M est formée par les trois 
vecteurs unitaires <e x .e y .e z ). orthogonaux deux à deux. 

comme le montre la figure I . 

^ETlttJP 






d) Elément de volume 



.corn 




C'est un parallélépipède dont chaque côté correspond à 
la variation infinitésimale d'une seule coordonnée, comme 
le montre la figure 2. 

dV = dx.dy.dz 

e) Elément de déplacement 

C'est un vecteur dont les composantes sont les côtés de 
l'élément de volume < figure 2). 

dî = MM' s dxï + dy J + dz.k 

f) Elément de surface 
Deux composantes du vecteur déplacement élémentaire 



j;. _ 






inl 



t*n ir i-il nut 



1 



12 



Exercices résolus délectrostati 



que 



dS x -dy.dz (x=cie) : surface normale à L 

ri 

dS y = dx . dt (y = clc) . surface noma|e à - 

dS £ = dx . dy (z = cte) : surface normale à e z 

g) Nolionssur les intégrales doubles 

Soi. (C) une courbe fermée ei f(x. y) une fonction à deux 
variables (x. y) définie et commue à l'intérieur de (C). 

Jj«cy)dxdy désigne une intégrale double qu'on lit 

RPQ. Nous ob.enons a.nsi des peu.es bandes PQQ'P' ont 
nous découpons ensui.e en petits rec lane les par des 
parallèles a Ox (voir figure 3l. 

Soien. dx et dy les cô.és d'un recèle infiniment peu, 
en.ouran. un point M u. y) de surface égale à d* dy. 






QQ' 



y 



o 



m 



H 



a R B~^ A 
Figure 3 

re C .tL t ! Uami,é ! <X ' y> dX dy "« ' e produi ' de la «rf-ce du 
S} ^ ^ V! " eUr «•« P rend •- fncion «upota, 

Définition 

.end L Îa n ÏÏmt ï?" C ° nSidéréC "' * *+ Vm «** 
a a pl 7 de ,ous c « P™»™ lorsque le nombre des 

zéro f aUgme " le ,ndéflnimenl - ^acun deux .end vers 
zlto, de manière a ivunnlii' .«...- i- . • . - 



Rappels et compléments mathématiques 



13 



Comment calculer cette intégrale double ? 

On suppose d'abord que x et dx constants. La seule 
variable esi alors y; et quand les éléments de surface 
remplissent la petite bande PQQ'P', y varie de y { 

(ordonnée de P) à y 2 (ordonnée de Q). On obtient ainsi La 

somme; 

Y fix.y)dx dy = dx l V ftx.y)dy] (car dx est constant ). 
Et par définition une intégrale simple ; 

V f(x,y)dxdv = dx f (x, y) dy 
- J y. 

Remarquons que Vj et >•> sont des fonctions de dx de 

f !: 

sorte que l'intégrale I fou y) dy est elle - même une 
fonction de x, soie <p (x). On peut donc mettre la somme 
Yfix.y» dy SO us la fonne q> ix) dx. 

Il ne nous reste plus qu'à balayer le domaine avec des 
bandes analogues à PP'QQ". en faisant varier x enire a 
(abscisse de A) et b (abscisse de B). Cette somme 

£<p(x)dx est encore une intégrale simple soil J <p*x) dx . 



En remplaçant <pjx) par sa valeur, on obtient finalement 
l'expression de l'intégrale double : J dxl ftx, y) dy 



a • y, 



On voit donc que l'on doit calculer d'abord l'intégrale 
écrite à droite, puis intégrer ensuite par rapport à x. 



^ETUUP 



.corn 



Exercices résolus d'élcctrostatia ite 



I - 2. Coordonnées cylindriques 

a) Définition 



!-_<*> 




Figure 4 



. 



La position du poini M est déterminée à l'aide des 
variables p, 3 et z. p, 9 et z s'appellent les coordonnées 
cylindriques de M. 



{ 



p = OH . 



p>0 



X] * = «XOHh o<e<27i 
z=HM, -°°<z< + f» 

b) Courbes de coordonnées (figure 4» 

• Courbe de p : c'est la demi-droite (A) passant par M et 
d'origine R. 

• Courbe de 9 : c'est le cercle (C) horizontal, de rayon p 
ayant le point R comme centre et passant par M. 

•Courbe de z : c'est la droite (Z) passant par H et M. 
c) Base locale (figure 4) 



La base locale en M esc : tep.e9.eJ 



e p est porté par la demi-droite (A) cl dirigé suivant les p 
croissants, 

eg est tangent au cercle (C) suivant les G croissants. 

e z est suivant la droite HM, dans le sens des z 
croissants. 



Rappels et compléments mathématique* 



15 



d) Relations entre les coordonnées cartésiennes el 
cylindriques 



r~* — : 
x = pcosB ; p = \ x" + y 

y = psb0; G = arctg^- 

z = z : z = z 

c) Elément de volume 




►> 



Figure S 



dV = p dp cIB dz 
F) Elément de déplacement (ligure 5l 

dl = MM = dpê p + pd9 ê e -f dze z 

gl Elément de surface 

dS = pd9 dz (p = c ) : surface normale à e D 

dSg = dp dz (9 = ç > ; surface normale à e^ 

dS . . = p dp d9 (z = c ) : surface normale à c z 



^ETUUP 



.com 



Ib 



Exercices résolus d'électrostatique 



Rappels et compléments mathématiques 



17 



I - 3. Coordonnées sphériques 

a) Définition 




*-y 



Figure 6 

La position du poini M est déterminée à l'aide des 
variable r. 8 et <f>. 

r, et <p s'appellent les coordonnées sphénques de M. 

r = OM, r>0 

V; f 6 =«XOH). 0<6<2tc 
<p=(dz7CM), 0<(p<n 



{ 



b) Courbes de coordonnées (figure 6) 

• Courbe de r : c'est la demi - droite (R) d'origine O et 
passant par M. 

•Courbe de : c'est le cercle (C) horizontal de centre R 
passant par M et de rayon r sin <p 

• Courbe de ip : c'est le demi - cercle (C*) vertical de 
centre O passant par M et de rayon r. 

c) Base locale (figure 6) 

La base locale en M est : <e r . e e , e<p ) 
e r est radial suivant les r croissants. 

^e esl tangent au cercle horizontal (C) suivant les 
croisants. 

e ,p est langent au demi • cercle vertical (C ) suivant les 



d) Relations entre les coordonnées cartésiennes cl 
sphériques. 

H> * 2 
x = rancf>cos0; r = Vx" + y" + z 



y = r sinq>sniG; <p = arc tg 



V x 2 +• y 2 



z=rcos 9 ; 6 ■- «rc lg| ^ETIMJP 

e) Elément de volume 



.com 




OH est la projection de r sur le plan oxy : p = r sin (p. 

dV = r"sin<pdrd8 dtp 

f) Elément de déplacement (figure 7) 

dï = MM" = dr e, + r sin (pd6 e ft + r d<p e ç 

g) Elément de surface 

dS = r'sintpdGdtp (r = cte ) : surface normale à e,. 

dSg = r dr d(p (6 = cte ) : surface normale à e ft 
dS ■ r sin cp dr dO (ip = cte > ; surface normale à e^. 



18 



Exercices résolus d'èleclrostmique 



\ 



Il - CHAMPS SCALAIRES ET CHAMPS 
VECTORIELS 

11-1. Définitions 

a) Champ scalaire 

Un champ scalaire esi une fonction de plusieurs variables 
qui, à chaque point M de l'espace fait correspondre un 
scalaire f(M) = f (x. y. z). 

Exemple : la température. 

b) Surface de niveau ou équipotentielle 

Une surface de niveau es! une surface où la fonction 
scalaire a la même valeur. 

ç) Champ vectorial 

Un champ vectoriel es! une fonction vectorielle de 
plusieurs variables qui à chaque point M de l'espace fait 

correspondre un vecteur V<M) 

V(M>= xï + yj" + zk 

Exemple : la vitesse des points d'un corps animé d'un 
nouvement de rotation. 

d) Ligne de champ ou ligne de force 

Une ligne de champ est une courbe telle qu'en tout point 
le champ vectoriel lui est langent. 

e) Tube de champ 

C'est un ensemble de lignes de champ. 



Rappels et compléments mathématiques 



Il -2. Opérateur Nabla v 

al Définition 



9% \ 



-i 3-r 3- è r 

d\ d\ ''7 



<) 

d 



d 



C'est l'expresion de Van coordonnées cartésiennes. 

b) Application 

On peut appliquer l'opérateur V soit à un scalaire soit à 
un vecteur. 

• scalaire : V . f = giad f. appelé gradient de f. c'est un 
vecleur. 

• vecteur : V . V = div V, appelé divergence de V , 
c'est un scalaire. 

V a V = rot V . appelé rotationnel de 

V . c'est un vecteur. 

II - 3. Gradient 
a) Définition 

Le gradient d'une fonction scalaire f est un vecteur qui 
relie la variation df à l'élément de déplacement dl le lone 
duquel f subis celle variation. 



df=grad f. dl 
bl Signification physique 



^ETUUP 



.com 



20 



hxernres résolus d'électrostatique 



V 



montre la direction avec laquelle le champ f croit le plus 
rapidement. 

c) Expressions 

voir tableau 1 (page 22) 

Il - 4. Divergence 

at Flux d'un champ vectoriel 

Le flux d'un champ vectoriel V à travers une surface 

quelconque S est: $ S (V) = JJ vas 

dS est un vecteur normal à la surface S. 

bl Définition 

Soit une surface S fermée entourant an point M. S limite 
le volume v. La div V au point M est définie par : 

l| VdS 4> r (V] 

div V = lim J ±S , |i m *S {Y> 



V -* (l 



v -*0 



c) Signification physique 

La fonction divergence exprime la présence de sources 
qui créent le champ vectoriel considéré. 

Exemple : Les charges électriques sont les sources du 
champ électrique E 

d) Expressions 

Voir tableau 1 ipage22) 



Il - 5. Rotationnel 

a) Circulation d'un champ vectoriel 

Soit V un champ vectoriel cl (C) une courbe 
quelconque. La circulation de V le lone de (C) est : 



et compléments mathématiques 



21 



-. r — 
•£ (V) = | V. d I ; d 1 : élément de déplacement sur G 

b) Définition 

Soil une courbe iC) fermée entourant un point M. <C) 
limite la surface S. La composante normale du vecteur 

rot V à la surface S au point M esi : 



_ -. / VdT 

(rot V) n = lim c - = lim 



' (V) 



e) Signification physique 

La fonction rotationnelle exprime la présence de 
tourbillons qui créent le champ vectoriel considéré. 

Exemple : les courants électriques sont des tourbillons du 

champ magnétique B 

il) Expressions 

Voir tableau I (page 22). 



€ETIHJP 



.corn 



1 



*v 






> 




mi 




|J 


m* 


H 


c 




n 




n 


C 






2J 




>| 


if 


C5 










n 






>i 






m 










c 


> 














e 














— 


S" 1^- 


m 

n 


m 
n 


m 


?> 






4 
«1 t- 


?l? 


«4? 


■< > 

1 pi 






3 
3 


+ 


ûjI? 


QJ|^ 


ail * 


+ 

N > 


II 




-I> 


51 > 


»L* 


•< |c 


■ 

1 












m 


























n 


« 












OjIQ/ 
N IC 




'Je" 

+ 


II 
■o |- 


9 
II 

N > 


m 
n 

"D 1 — 

œj > 


"O — 


m 

n 

■o 'C 


c 
ï 




Q_»IOl 








> 

+ 


-• 


3 


+ 




> 

• 


O/l a< 


• 


m 

a 
II 


3 


■j! 




■ol> 


la 


■B i — 


T> | — 






— ~ — 




eu 


eu 


QjlQJ 


«g 


*£■ 


i 
o> 1 > 




o 


* 

* 


Œ> C 


5' 
s. 


+ 






Q-* 




m 

(h 

II 


3. 

.E* 








N 


N |C 


c 


N Jc 




• 










m 

• 


m 


**l- 


m 




0> 

— i 


ai 


n 


1 


ii 


^lOJ 


n 




C 




-■ 1- 




-t i ■*" 


?|e 




+ 


ï |- 


w 

3 


_ | 


-- 








1 |W 


3 


- 


« 




_> 


m 

e 

H 




QJ 1 




QJ 


O.' 


> 


-6 |* 






n 


■•m 

ï 


— 




* 


a^ * oj 


> 

H 


M 
3 


- 


©IC 


ï 

o. 

s 
9 


-e 




> 


« |> 


3 


tul*-' 

+ 








-S 


m 

« 
il 


r»- 
H 




+ 






o*l a ' 


■1 

M 












îr 






•1/ 


-s 




€ » c: 


e 


-s 














ri* 




n 

VI 


| 

-e 


K 
3 

■6 








a 
-s 








r* 












> 











roi 


grad U) 


= 







div 


(roi A) 


= 


(ï 


roi 


UA - g 


rad D a 


A 


+ U roi A 


dîv 


U A = 


A grad 


U 


* Il div A 


roi 


(roi Al 


= grad 


div A - A A 


div 


(A a B) 


= Broi 


A 


- A roi B 



TABLEAU 2 



*ETUUP 



.corn 



24 



Exercices résolus d'électrostatique 



ENONCES DES EXERCICES 



Eli 

1 Soil un Segment AB, M un point quelconque de ce 

segment. 

a - Déterminer les coordonnées du point M sachant que 

MA = k MB, avec k un nombre réel différent de L 

b - En déduire les coordonnées du point I, milieu de AB. 

HTlc ■ 

! U Soieni deu.v points dans l'espace. A <x, y,. 2, } 

et B(x 2 . y 2 , z 2 ). 

a - Déterminer les coordonnées du vecteur ÂB - 
b - Calculer la distance AB. 



Rappels ei compléments mathématiques /Enoncés 



25 



2) Ecrire V en fonction de i et j . 



Représenter la surface définie par 
p = R et < z < h. 
Calculer son aire, 



_ I Représenter la surface définie par : 6 = - .6 



coordonnée cylindrique 



E 8 



Donner l'expression de e r , e^et e^ en fonction de 



i . j et k . 



E 9 



Représenier la surface définie par : 



Il Quelle est la condition nécessaire et suffisante 
d'alignement de trois points : M, (x,, y,) . M 2 (x 2 , y 2 > et 
M 3 (x 3 ,y 3 )? 



I 1 Représenter la surface définie par ; 

z = c, a<x<a + 2 et b<y<b + 3. 
(a, b, c des constantes positives). Calculer son aire. 



n 
v> = ; et 0<r<a. 

Calculer son aire. 



E 10 



Représenier la surface définie par r = a. 



Calculer son aire. 



ŒID 



Calculer V . V 



On défini? les coordonnées polaires comme un cas 
particulier des coordonnées cylindriques avec z = €. Le 

vecteur V s'exprime dans la base locale 
<e p .e>V = V p é p+ V e ê e 

I j Exprimer e„ et e u en fonction de ï* et T . 



EU 



Démontrer les relations suivantes : 



grad (f + g) = grad f +■ grad g 



grad (f . gl= f grad g + g grad f 



*ETUUP 



.corn 



26 



Exercices résolus d'électrostatique 



Rappels et compléments mathématiques /Enoncés 



27 



E 13 



Soi! un champ scalaire U<r) ne dépendant que de 
r. on dil qu'il est à symétrique spherique. Montrer que son 
gradient est radial. 

k 



2 -Calculer: grad r.grad - , k une constanie. 



[Ë**! Calculer la circulaiion : j 4xydx - x'dy 

Suivrai la branche de parabole dont Taxe de symétrie est 
Taxe Oy, dont les extrémités ont pour coordonnées 0(0,0) et 
A(2,l). 



B 14 



a? 



Calculer le flux de E=- i ta = constanie) à 

P 
travers une surface cylindrique d'axe Oz. de rayon R et' de 
hauteur h. 



E 15 



Calculer le flux d'un champ de vecteur V uniforme 
à travers un disque de rayon R. V fait un anfele a. avec la 
normale au disque. 



E 16 | 



Calculer la divergence du champ E défini par : 



r' 







sir = 



[El 9 ! L es champs suivants sont ■ ils créés par des sources 
ou par des tourbillons ? 

Ê, = axi. E 2 = axj. Ej=r"E r , 

Ë 4 a rée. E 5 m grâd (Logp 

r : coordonnée spherique 
p : coordonnée cylindrique. 



E 20 



Quelle est la condition pour que le champ vectoriel 



E = a A b soit créé par des sources 



E 21 



Montrer que le champ veclotiel Ê =-c r dérive 

*±-Tt II „,.,, l'nn il.i È ".inn,T'i r 



d'un potentiel U. que l'on déterminera 



a est une constante, v est un volume quelconque limité 
par une surface S . r est une coordonnée spherique. 



IE 17 



- Calculer le rotationnel du champ Ê définie par 

k - 

r*0 



{~c T si r*l> 

si r = 



k est une constante ci. r une coordonnée spherique. 
2 - En déduire la circulation de E . 



I E - 1 Quel est l'angle solide sous lequel on voit un 
disque, de centre O et de rayon R. depuis un point M de 



E 23 q uc1 csl | an g|e solide Q' sous lequel on voit, depuis 



le point M. la calottte spherique qui s'appuit sur le disque 
(D) de l'exercice 22. ei centrée au point M. 



^ETUUP 



.corn 



28 



Exercices résolus d'électrostatique 



Rù 



nets et compléments mathématiques 



l Soluiumi 



29 



SOLUTIONS DES EXERCICES 



I - Systèmes de coordonnées 

ED.. 




Figure 8 

MA = kMB 

MÔ + ÔA=k(MO+OB> 

ÔM(k -U = kÔB -ÔA 

«T + yj)<k - 1)= k U 2 Ï+ yj) - <x,ï + y,jï 

= <kx 2 - x fc )i -<Ky 2 - y,) j 



d'où 



kX,-X 



X = 



k-l 



el y ■ 



k >yy 

kl 



b) I milieu de AB, donc IA = -B et k = 

déduit 



-1 , on en 



*.= 



• a y, = — 2— 



CED 



OA = x , i + 



OB = x,i + >2J + z * 

âb=âo + ôb = (x->-* |»î + fra - y i> J + (z z ■ *i )k 



b)AB = V(x,-x,r+(y 2 -y,r + fc2- z ! y 



1 S3 1 Pour que ces u-ois points soient alignés, il faut que 
les vecteurs non nuls M^M 2 et M,M 3 soient colinéaires. 

V l = M 1 M 2 =(x 2 -x,)T+lv : -y,ii 

V 2 = MJM 3 = « 3 - X i )T + l> ' ; - y |) j 

Vj a V 2 colinéaires. si il existe K '■ = tel que 

donc x.-x^Uxj-x,! ei (y 2 - y,V = /- ty 3 - >i> 
x 2 -x, yj-y, 



d'où 



>.= 



H-*i >V>'i 

La condition d'alignement est donc : 

lx 2 -x I ï^3-y,> = W 3 -x | K>' 2 -y ] ) 

m 




Figure 9 



€ETIMJP 



.corn 



30 



Exercices résolus d'électrostatique 



Rappels ei compléments mathématiques ■' Sohttums 31 



La surface est un parallélogramme de côlés dx el dy, se 
trouvant dans le plan parallèle à Oxy, à la cole z = c. 

dS, ■ dx . dy 

dx/ dy 

S, = 6 unité d'aire 



Elln 




e p = ces 6 i + sin j 



■ V p (cos8 ï + sinG J) + V e (-sinG 7+cosG j") 

= fVpCOsB- V sin6 H +(V p sin9+ V fi cos8 ) j" 
d'où: 
V x = V p cosO- V e sin6 el Va V p sin6 + V ft cos0 



JB 



O 



e e = - sin G i + cos 6 j = — -£ 

Les formules inverses sont ; 
i = cos 6 e p - sin 6 c 9 

j = sin 9 e p + cos 6 e e 
2) Dans la base (TJ): Ç=Vj + Vj 





Figure 1 1 










C" 


es! la surface latérale du 


cylindre 










dS = pd9 dz 


(P = 


cle 


= R) 






S=R ""dO [""dz 

P J J Q 


soit 


S P 


= 231 


Kh 



Dans la base g Jj ; V = V e + V fl c 



f>"-p ' -e 



V p : composante radiale. 
V e : composante othotadiale. 



^ETUUP 



.com 



[ 



32 



£*r tacts résol us d'élecJrosratique fr fl/v */.i et compléments mathématiques : Solutions 



33 



EU 




dSy = dp . dz : c'est le plan axial, 



S8 



En coordonnées cartésiennes. 3'élêment de 

déplacement est : dî = dxï + dyj + dzk 
x = r sin <p cos , 

dx = sin «p cos 8 dr + r cos tp cos 8 d<p - r sin (p sin 6 de 
y = r sin (p sin 8 , 

dy = sin ip sin 6 dr + r cos <p sin 6 dtp + r sin (p cos 8 dG 
x = rcostp, dz = cos tpdr - r sir* 8 dtp 

d ] = (sin <p cos 8 i + sin tp sin 8 J + cos <p k*) dr 
+ Ircos(pcos8i + rsin8cos<pj' -ranipk")dtp 
+ (- r an tp sin 8 i + r sin tp cos© J) d8 

= dre r + rantpdôc G + rdtpèç 
On tire alors 

e,= antp cos8 i + ahtp an 9 j* + costp k 

* -* — a 

e e = -sin 8 i +■ cosG j 

e ç = rjos(pcos8i+ an6costpj -antpk 



HE 




Fi cure 13 



La surface est un cône 

dS^ ■ r sin Cp dr dG (tp = cte i 

r» f2n -> 

S. ft = sin tr» r dr i d9 = K a* sin <p 



or 



S 10 



9=- d'où Sq<*n& »-jp 




Fieure 14 



La surface est la zone sphérique. Une sphère de rayona. 



<IC — •■• «tîn fn In I"* lr _ 0*0 » 



«ETUU P 



.corn 



M 



Exerces .ésolus d'êtectr asiatique Ra npeis ei complé ments mathématiques l Solutions 



35 



S r =a 2 f "sin <p d<p f 



271 



de 



S r =4na" 



S_1U Avec v = i-T + Aj + -k d'où 



dx 3" y 3z 

3x 2 dy 2 dz 2 
A c« un nouvel opérateur appelé le Laplacien. 

Il - Champs scataires et champs vectoriels 



s 12 



giad (T + gi = 



d(T 



1ËT + a<r+g) j + a(r+g> k 



ôx dy 

= grad f + god g 



dz 



giad (f . g) = 1 + J + K 

Dx dy dz 

= fgad g + g grad f 



\UB 




* =J| s ÉdS 

Le flux est linéaire par rapport à S, donc : 



EldS 
EXdS 



; : E.ds; = o ' JJs > 



dS 



-ILv 



i p d8 dz e« 



S,P ' r 'O 



= a f ""cose de I .i n 



f. 



5 — I - En coordonnées sphériques : 

A = ^U = A r e r + A e e e + A^ 

a i -V 0î A"Ï - * u -t^ 

il est donc radial. 

2 - grad r = e, ei grad - = - — e r 

r~ 




Figure lfr 



^ETUUP 



.com 



36 



Exercices résolus d'éiectrosiatique 



H af ,neh ei compléments malhâmatwes i Solutions 



37 



<p = j I V dS = jï V u . dS . n = V j j cos a dS 

= V f f cosa dS = Vcos a [""de ; pdp 



4> = n R'Vcosa 



S 16 



• I er cas :r #0 



E (r) est dérivable, donc en coordonnées sphériques : 

divE - — -?-(r~E )\ tous les autres termes Sont nuls. 

2 dr r 

r 

Or E = — =* div Ê = 0, le champ est à flux conservatif. 

r 
■ 2 e cas: r = 

E ( r in'est pas dérivable, on a dans ce cas 

/ÊdS * (E) 

div E = lim —5 i = hm — 

v -» V v -» 

On prend comme surface S, la surface d'une sphère 

infiniiésimale de rayon e. 

<D s (E)=ff ÊdS= [f ^e r .dS; r 

e' e" 

4> S (E) , im 4kw { div g = 4na 



divE= lira 

v-kO 



v-»0 



Le champ Ë est donc créé par des sources qui se 
trouvent au point O. 



S 17 



• l er cas:r*0 

ir.:...Li i m r- n 



/, 



Edl • 



roiE) n » » m 

s-»o 



C : c'est une courbe fermée qui limiie S. 

On prend comme courbe (C). un cercle infinitésimal de 

rayon E. 

En coordonnées polaires, 

dï = Ed9é B , d'où E.dï = 0et rôtE = 

2 - D'après le Théorème de Stokes : 



Il rotÊdS= f E.dT = 

J. 



car roiE = V S. 



E . d ! = 



fsis] 



y à 

2 
1 



1 2 3 
Figure fc? 



+ *x 



La parabole d'équation : 



y = ax 2 ; a=J; y=— ; dy=ydx 



tf 

OA 



-i 



-> 3 
-x 

Q~2 



4xy dx - x"dy 



-j 



(» . 



2 X 



4x.~-dx- x" 2 dx 



= \ 2 £û% soit * = ï 

J n 



OA 



^ETUUP 



.com 



38 



Exercices résolus d'électrostatique R/inncls et compièmcnts mathématiques I Solutions 



39 



S 19 



div E au poinl M csl : 



= : il n ' y a pas de source de Ê en M. 
> : il y a des sources positives de E en M. 
< : il y a des sources négatives de Ê en M 

roi E au point M est : 

= ; il n ' y a pas de tourbillons de Ë en M. 
* : il y a des tourbillons de E en M. 

• E| = ax i s E Jx i 

d'après les formules du tableau I on a : 

divg.. iJLsra 

1 dx 

— 
le champ E, est créé par des sources. 

roi E| = : le champ E, n'es! pas créé par des 
tourbillons. 

•E 2 = axj «Ejyj 

-9 

dtv E 2 = : il n'y a pas de sources, 
rot E 2 = a k : il y a des tourbillons. 

.E 3 = r 3 c>E 3r c f •E 4 = re e =E 4e e fl 

drvE 3 = 4r drvË 4 = 



iotE, = 



« E 4 = -2e 



l - 



• E 5 = grad (Log p | = - e p (voir lableau I ) 



div B$ = 
mi E s = 



il n'v a ni sources ni tourbillons. 



div Ê= div(aAb) = broia-arotb (voir lableau 2) 

Pour que Ê soi! crée par des sources (div E * 0) , il faut 
que l'un des champs (à ou b) soit créé par des tourbillons. 



S2 



- 
La condition pour que E dérive d'un potentiel 



scalaire est : roi E = 



B-i* 



rotÊ= (le rotationnel d'un champ radial est toujours 

nul). E dérive du potentiel scalaire U. E = gtad U. 

E r =^=^doùdU = >etU- -*+c e 
r r~ 

La constante sera déterminée par des conditions aux 
limites. 

Remarque : Si Ë esl un champ électrique, on a 

Ê= - grad U . car le giâd U est orienté dans le sens 

croissanl de U: E dans le sens décroissanl du potentiel U. 

a e 
Il s'ensuit que U = -+c 



*ETUUP 



.corn 



40 



I 



Exercices résolus d'électr, 



osratique 



Rappels et compléments mathématiques ' Suintions 



41 



III. ANGLE SOLIDE 




Figure 18 

-• 

u : vecteur unitaire du rayon vecteur MP 
n : vecteur unitaire normal à dS. 
dÇl = ^ ■ u _ dSc-ostp 



MP 2 



I " 



dS est l'élément de surface dans les coordonnées 
polaires. 



™ a pdpdQ.costp 



a .2 2 



;cos<p = -;I =a" + p ;OP = p 



dft = p dp d0 



3/ 
_2/2 



ta +p | 



o *Q 



3/ 
2/2 



(a + p ) 



et finalement : 

fl = 2k<1 - 



A-'aW 



S 23 




calouc 



H" = — : R' = 



dS* = R' : sin(n d9 d<p 

S* = R* - sîncp dep de = 2ii R' 1 1 - cosq» 
J o J o 

d'où : 



11. 



£ï=2x(\ -cos^kcos^^ = 



'Va"+R" 



On obtient donc : 

a m 2» a - 

On remarque que : 



V77P 



Q=Q' 



^ETUUP 



.corn 



t » 



ELCTROSTATIQUE 



^ETUUP 



.corn 







s 






























■M» m 












-ni 
n 


< 








*> D 


8 


«—' 








a 


m 


n 


■ 


m 








m 


ta 


o 


n 








= 1 -c 


c ; 


o 

c 

F 


It ~ m 






1 


M 


39 


\m. 








"3 


























H 


i— 




n 






< 


S 


>• 


rnt 


s 






' 


rn 


— ; 


n 


*- 






(SB 


O 




MM 






m. 


73 S -■ 


w 


-M 






GSl 


rn -• < 
2 <= jn. rri4 




a — 


v: 






u 


rn u u 


•** 


o 








M 

:? !P 


3 Si JT'l-Q 

O 

C 
Cri 


> 
r 


5* 








O 


-S 










C 

25 


c 


< 

II 


"S 


/rm 
/ n 




S§ 


ï I 


-M 

4- 


C 
H 








« g 


= m i^ s 


m 

o 


— 


Z 
H 


< 




o r- 
> 

-X) 


. s 


--vi? 


r- 






n 


M 










> 
n 













m 


z 



























n 
O 

c 

m 






Loi de Coulomb ei Clujmt's aci-tiosiiiiJiitfur j-.imrut's 



45 



ENONCES DKS EXERCICES 



I. LOI DE COULOMB 



E24 



En un point A sur Taxe Ox se trouve une charge 2q. 
En un point B la charge - q. Déterminer la posilion de la 
charge +q où la force exercée sur elle par les deux autres 
charges est nulle. 



I!. CHAMP ELECTROSTATIQUE 

II. 1) SYSTEME DECHARGES PONCTUELLES 



E 25 



Deux charges ponctuelles -2q et +q sont placées en 
deux points A et B de Taxe Ox, 

(OA = +a , 0B = ■ a). Trouver le champ É en (oui point 
de l 'axe des y. 



E26 



Soient trois points alignés tel que AB = BC. La 
charge + nq est placée en A, en B la charge - mq; n et ni des 
entiers positifs et m > n. Comparer le champ en C au champ 
se trouvant au milieu de AB. 

II. 2) DISTRIBUTION DE CHARGES : METHODE 
DIRECTE 



E27 



Un segment AB est uniformément chargé avec la 
densité X > 0. 

1 ) Calculer le champ È créé par le segment en un poim 

M de son plan médiateur. ^ t I %i*i) I 

.corn 






Exercices résolus d'élecirosiaiique 



!> Que devient E si la longueur devient infinie ? 



E 28 



Un segment AB de longueur 1\ esl chargé avec la 
densilé X > 0. Le segmeril esi placé selon Taxe Ox; Taxe 
Oy ne passe pas par son milieu. 

1) Calculer le champ électrostaiique au point M sur l'axe 
Oy. 

2) En déduire le champ lorsque le point M est sur Taxe 
de symétrie du segment. 



— i_ Deux demi - droites distantes de 2d comme le 
montre la figure 20. sont chargées avec la densité ?* > 0, 
Déterminer le champ en un point M du plan médiateur du 
segment AB. 



1 



M 



B 



Figure 20 



E 30 



Un disque de centre et de rayon R est 
uniformément chargé avec une densilé surfacique a 
positive. 

1) Calculer le champ électrostatique créé par celle 
distribution en un point M de Taxe du disque (OM = z). 

2) Tracer la courbe EU) et en déduire le champ au centre 

O du disque. 

3) Reirouver le champ créé par un plan illimité 
uniformément chargé en tout point de l'espace. 



On considère un plan infini chargé avec la densité 



Un àe Coulomb et Champ clcttrosiaïu/uc Solutions. 



47 



SOLUTIONS DES EXERCICES 



S 24 



F B n A<2q) CF*c Ubc B<-q) Fbe g 

Un 



Fad n 

m — %— + — zr* — m — > * > ■ > — < 



Uad Uac 

-4 



HC 



Fa* 



Figure 21 



Le principe de superposition : 

F= f J_^ U 



i=| 4rtr » 



IO 



W 



F ; la force exercée par les charges qj sur q (> . 

-*■ 

u lo ; le vecteur unitaire dirigé de qj vers q - 

Si on place la charge +q en C, la force F = Fat * F B c ne 

sera jamais nulle car F«- ci f pc sont de même sens 
comme le montre la figure 21. 

La charge q en E : F = F« + F B e 

2 



Pae "4Ï5 






^Jkr 



47Cf |x - dp 



f - " q 

hBE "4ÏEÈ 



o (x ■ dl' 



■) _ 



F= 1 



4TÏF, 



1 



X |x-d] 



^ETUUP 



.corn 



48 



Exercices résolus d'électrostatique 



I 



= 



F = donc : — 

x 2 -U-C 

soit : 

x~-4xd + 2d 2 = 
Les solutions sont : 
x, = d<2 + /2) ei x*=d|2-V2) 

x 2 = d(2- vl) n'esi pas une solution physique, car la 

charge +q va se trouver entre A et B où la force ne sera 
jamais nulle. 

La solution est : * = < Jfe+ yrj 



S 2i 




Figure 22 



ftfi A f 2 ' 



"i esi toujours dirigé de la charge vers le point M. 



E A = 



4jie_ r 2 



■ 2q «A-H A =^^ 



l> 



4nE o 






f^i A» Coulomb et Champ électrostatique Sttfuttons 



49 



Ê B=7 i_^ u , EB= ,"_9. 



4nf o r 

E = E A + E B 

• Les composantes 
on a : 



4 ^ Q r 



i 



E A ,= E A coie 



M C,E,,„- 



{ 



E Bx = E B cos6 
: ' E By =E B sin6 



On obtient ; 



E. = |E A + E„|cos 6 = 3q cos e 



{ 



4ne o r 



E ? = -(E A -E B )sinG=- 



sin 6 



4ïte r 



* Le module 



!lÉ|l= VEj + E^« — 9__V9cos 2 Ô+sîn 2 e 
4jcÉ r" 



S 26 



- 16 (m + n ) c 
M " " 4m - n fc C 



S 27 




Figure 23 



E *»Pt nnM» wir Uk^ I » S ! ... i amt. làoaia r\a "liimn 



*ETUUP 



.com 



50 



Exercices résolus d'électrostatique 



Cherchons le champ dE' créé par l'élément dl du segmenl 
AB. 

dq X dl lé\ 



dE' = 



or 



4*e (PM) 2 4ne p (PM) 2 4ke (PM) 3 



dE = dE'cos û = 
d'auire part 



kâ: 



4tce o (PM) 



cosa 



«g«= 7 • dx = --L 



da 



cos a 



et 



cosa = 



PM 



On obtient donc 



E = dE = —±— I cos a 

finalement 



da 



E = 



K sin 6 

2ite.r 



2) Pour une ligne infinie; on a : 



S 28 




Lai de Coulomb et Champ électrostatique * Solutions ' 



51 



La charge élémentaire dq = 1 dl en un point P crée en un 
point M un champ électrique : 

>.dl Idx 



dE = 



Par ailleurs 



4ne €i (PMr 4n e (PMP 



^ETIMJP 



.corn 



, g e = F , dx=_ — 



de et cos 9 =m 



cos" G 
Le champ électrique peut encore s'écrire : 

Me 



dE = 



4jcf r 



Les composâmes du vecteur champ sont : 

- f dE = -dE.sin 9 
\ dE = dEcos 9 



d'où 



= -1 



E x = -JdEsine=- 4 _ 



- Icos 8 , - cos 8-, 

4ne„rL ' 



- 1 si 

r J e, 



sin d0 



! 



E = dEcos 0= j- 



|°'cos0de 
r J e~ 



sin 6, - sin 9 2 



4n E r 



Le module du champ est : 
2 . ~2 k 



E«VB*+ E; = ^ /2-2cos(G r e 2 ) 

x y 4îCE n r l » *J 

2) si M appartient à l'axe de symétrie, alors on a : 
7 = - 6. et l'expression du champ E esi : 



an e ou E = 



U 



27CE r 



2ïtF rVl 2 + r 2 



S 29 



Si le segment AB éiaii chargé avec la même 



52 



Exercices résolus ifiUctrostanquf 



X sïn e 
densité >.>0. il créerait un champ W m * 2nt ^ T • 

« on aurait alors un fil infini dont le champ serait : 

Le champ crée par l'ensemble des deux demi - drones 
correspond donc à Vétai du fil înfini auquel on enlève les 
mêmes charges du segmenl AB. On alors : 

Ê(M) = Ê 00 -E AB 
Les deux champs ont même sens, et E |M| = E» - E AB 
D'où 



« 




dq = o dS 



Figure 25 

Par raison de symétrie 



, le champ électrique est dirigé 



f „, de Coulomb et Champ électrostatique l Mutions 



53 



chaque côté du disque. « 

La charge dq = o dS produit un champ : dE = 



a as 



Ane/ 



Le champ électrique est normal au disque; on a : E = E f k 
Par projection sur l'axe OZ ; 

E = if dEcosot 

z ■'•'disque 

ff odS Mn _ o f[ P dp d6 z 



"4*e r 



or 



on a: 






4ne„ J 



P d P [ de 

o iJ ' 

o 

Az + p 



3 J U 



a z 



2 e 



1 l 



1*1 V?+R 2 



soit 



E z = 



2e 



a 



Vz 2 ♦ R 2 



2E o 



- 1 - 



V? + R 2 



pour z>0 
pour z < 



^ETUUP 



.corn 



54 



Exercices résolus d'électrostatique 



2) 




*z 



Figure 2*6 



Le champ E est discontinu à ira vers une surface chargée 
Pour z s : 

P,n|- EUotëUo-) g 

Ë(0) = 

O est un centre de symétrie, le champ y est nul. 
^ 3) Il suffit de faire tendre vers l'infini le rayon R du 
disque chargé. 

E (plan infini) = lim É (disque) = ± -5_ £ 
R-*~ 2 £ o 



Un de Coulomb ci Champ électrostatique ' Solutions 



55 



Bi 

» 


2e 






a 




2E 



Figure 27 

Le champ est uniforme de chaque côté du plan, nuis le 
sens esi opposé de pan et d'autre du plan. 

[i~3 



E = 



oz 



2é Vz 2 + R 2 



*ETlttJP 



.corn 



56 



Exercices résolus d'élecu asiatique 



III. THEOREME DE GAUSS 



ENONCES DES EXERCICES 



- Méthode d'étude pour l'emploi du théorème de Gauss. 

1 ) On étudie les symétries du problème el on détermine 
la direction du vecteur E au point M. 

2) On choisit une surface de Gauss passant par M. On 

prend une équipotemielle ou un tube de champ, entiers ou 
limités et fermés par des sections droites. 

3) On calcule le flux électrique. 

Le théorème de Gauss n'est applicable que si le 
système présente une symétrie parfaite. 



E32 



Soit une sphère de centre O et de rayon R, chargée 
avec une densité volumique consianie p > 0. Trouver le 
champ E en lotit point M de l'espace. 



E33 



a) L'espace entre deux sphères concentriques de 

centre O et de rayon R t et R 2 (R, < R 2 ), est chargé avec une 
densité volumique de charge p positive et constante. 
Déterminer le champ électrostatique en tout point M de 
l'espace, 

b) Que devient ce champ si la densité de charge n'est plus 



constante, p = — 
r" 



a est une constante. 



E34 



Soient deux sphères (S,) et (S 2 ) de rayons R, et R 2 



(Rj < R 2 ), non concentriques. 



Théorème de Gauss f Enoncés 



57 




Figure 28 

L'espace entre les deux sphères est chargé avec une 
densité de charge uniforme p > 0, 

Trouver le champ en tout point M de la droite (Al passant 
par les centres O] et 2 , avec Oj0 2 = a. 



E35 



ai Deux sphères concentriques de rayons R jet 
R 2 (Rj < R 2 » chargées respectivement en surface avec des 

charges Q et - Q. Trouver le champ électrostatique E créé 
par les deux sphères. 

b) Que devient le champ Ë si les sphères sont chargées avec 
les densités de charges o ei <■ a ? o est une constante. 



E36 



Calculer le champ électrique È créé par un cylindre- 
infini de rayon R à la distance r de son axe (A*. Le cylindre 
porte une charge Q positive. 



E37 



Deux cylindres coaxiaux infinis de rayons R, et R 2 

(R| < R 2 ) sont chargés avec une densité de charge linéique 

k et - X respectivement. Trouver le champ en tout point M 
de l'espace. 



E38 



a) Calculer le champ électrique créé par l'espace 
chargé entre deux cylindres coaxiaux infinis de rayons R, 



et R-> <R| < R 2 ). La densité de charge volumique 



'■(«r^'I-iril" 



*tTlWJP 



.com 



58 



Exercices résolus d'électrostatique 



b) Refaire la même question si : p = ' . a est une 



constante. 



E 39 



H Calculer le champ créé par un plan infini chargé 
avec une densité- surfacique o constante et positive. 

2) En déduire le champ créé par deux plans chargés 
uniformément avec des densités de charges opposées a et 
- O en tout point situé entre les deux plans ou à l'extérieur. 



E 40 



Déterminer le champ créé par un fil infini chargé 



avec une densité de charge X > 0. 



| E 41 



Calculer le champ créé par une sphère uniformément 
chargée avec la densité p > 0. en utilisant les équations de 
Maxwell. 



Calculer à l'aide des équations de Maxwell, le 



champ créé par un cylindre infini de rayon R, chargé avec 
une densité de charge p > G. 



lJ Calculer le champ créé par un plan infini chargé 

avec une densité de charge a. en utilisant les équations de 
Maxwell. 



1 



Théorème de Gauss I Solution* 



59 



SOLUTIONS DES EXERCICES 



5 32 | ^ sysl ème est invariant par rotation autour de tout 
passant par le centre 0. donc E(M) = E'(M'). Le Champ 

est radial et ne dépend que de r : E (Vit = E <r) . e r 



axe 




Surface çtjuipoicmielir 

Fipure 29 
» lignes de champ : elles sont radiales. 

• surfaces équipotentielles : des. sphères de centre O. 

• surfoc* de Gauss (S G ) : une sphère de centre O et de 

rayon r. 

Appliquons le théorème de Gauss : 



<»=([ EdS G =Jj EdS G cnr E // d§ Cl 
0>=E Jj dS G car Elri = cle à r = ele 



d'OÙ <£= E . 4lt r = 



et E = 



*RtJ 



€ETIHJP 



.corn 






60 



Exercices résolus d'élecirostatique 



• 1 er cas : Ma l'iniérieur de la sphère chargée : r < R 
i figure 30) 

SQj : Jes charges qui se trouvent a J 'intérieur de la 
surface de Gauss. 




m- SI 

d'où 



figure 30 

pdV = p f|j dV = p^jrr 3 (p = cte) 



E = 



fi 
3 e. 



• 2 e cas ; Mal 'extérieur de la sphère : r > R (figure 29) 




Le champ É est continu. 



Théorème de Gauss ! Solutions 



61 



S 33 . 



vis o 




Surface cquipoientiellc 5 Surlace de Gau» 



Figure 32 

Appliquons le théorème de Gauss, en prenani comme 
surface de Gauss une sphère de centre O et de rayon r : 



ei E = 



M 



So 



EdS G =E.4nr = 



IQ. 



Les charges à l'intérieur d'un élément de surface de 
rayon r et d'épaisseur dr sont : 

X Q i = Jlf P dV= p JJJ r2sin> P drdedc P 

= p r" dr sin <p dip I dB 
^Q i= 4it p J r 2 dr 



^ETUUP 



.corn 



I 



62 



Exercices résolus d'é lectrostalique 



•l"cas :r<R, 

à l'intérieur de la sphère de Gauss. il n'y a pas de charge : 
p = 0. £ Q, = ce qui donne E| = 

-2 e cas: R, < r < R 2 

£Q è =4npJ f r : dr = înplr 3 - R* 



d'où 



pP-rJ 



•3' cas: r > R 2 (figure 32) 

R. 



£Q j= 4npJ r*dr«i*p(ief-ltj) 



d'où 



E 3 = 



pH-*3 



*V 



'2 



a 



b) La densité de charge p dépend de r, p = — 

r 2 

22 Qi = J p r 2 cir J sân <pdq> J * d© = 4n J p r 2 dr 

d'où 

£Q i = 4itaJ dr 
• I er cas:r<R r 

P = 0: £Q, =0 e( E, = 
•2 e cas: R, <r<R 2 

XQj = 4jta J' dr = 4na (r - R 
Ri 

Cl 



Théorème de Gauss / Solutions 



63 



r _ a l f - R .) 



^ETlttJP 



.corn 



V 



3' cas : r > R;> 

^Q i = 4na j dr = 4na(R, - R, 



ci 



• a(R 2 - R, 

t 3" " ? 



E o r 



S 34 0n ne p CUt pas a pp|iq U cr directement le théorème de 



Gauss, car le système n'est pas symétrique. On suppose que 
la sphère de rayon R, est chargée avec la même densité 

p > (voir l'exercice 29). 

Calculons le champ créé par chaque sphère. 

• sphère (S|) : 

• Ma l'intérieur: 



Ma l'extérieur: 



E .e = 



pR-| 






3f_ r 2 ÎE.r 



avec r : rayon de la surface de Gauss relative à la sphère 
de rayon R|. 

• sphère (S 2 ) ! 

• M à l'intérieur : 

E 2 i-îf ' g 2. = 5f"«2r «voir figure 33, 



• M à l'extérieur : 



E,.= 



pRÎ 



*«,' 



.2 



P R 2 - 
: E ïe =- — e 2r 

3e_r' 3 



avec r' : rayon de la surface de Gauss relative a la 



5 



fe 



V. 



-. 



64 



Exercices résolus d'électrostatique 



sphère de rayon R 2 . 

Le champ créé par l 'ensemble des deux sphères est 
Ë = E 2 -E, 

Me(A)donc i, r = e2,= e r (voirfigurc 33) 




rt- + + + ** + 

W- + + + + *-*- + + + + + + +, 

V+1* + +' *» + + * + / 

W.4. + + + . +++++' 

M A + + + + - ++++*/ 

- M / Xt + + ;. + +j^>^ 
M^ Figure 33 

• 1 er cas ; M à l'intérieur de S : ei à l'extérieur de S 



Ê« 



pr' PR 






• 2 e cas : M à I* extérieur des deux sphères 



E = 



PR^ 






• 3 e cas : M à l'intérieur des deux sph 



ères 



3£_ 



S 35 



a) 



•r<R,; E, = 0; R,< r <R, : p Q . 



4ni\ 



r>R 2 : E 3 =0 



Théorème de Gauss t Solutions 



65 



b) 



R 2 
r<R, : E, = 0; R,<r<R-,: E 2 = — — ; 

E r - 



r >R,;E,= °fcil^ 



i> 



S 36 



'A 



(IS 



:° J 



► 



- 



s 



Sx 



s 4 



dS 



i 



.iS.I 



Figure 34 

L'étude des symétries montre que le champ 
électrostatique est radial. 

• lignes de champ : elles sont radiales 

• surfaces équipotentielles : ce sont des cylindres d'axe 
(A) 

• surface de Gauss i S (i j : c'est un cylindre de rayon r. 

de hauteur h, limité par deux surfaces Sj e* S?. 
Appliquons le théorème de Gauss : 

0= J| EdS G = J| Éd^+Jj^ ÊdS 2 + JJ ÊdS 3 



«i 



S 3 



<!> = i| EdS-3 (voir l'exercice 14) 
JJ s, - 

-3> = JJ E dS 3 = E JJ dS 3 = E. 2nrh =^— 



^ETlttJP 



.corn 



66 



Exercices résolus d'éiectrosialiqne 



le 



ic 



(E//dS 3 ) et <E = c , r = c ) 
On tire : 

b.JSl 

2nrhe () 

•1 er cas : r<R (figure 34) 
EQ i = 0; E,=0 

• 2 e cas : r>R 

Iq = Q; e 2 = ^- 




Le champ E est discontinu lors de la traversée d'une 
surface chargée. La traversée s'accompagne d'une 
discontinuité c / Eq, avec Q = 2k Rh o 



S 37 



D'après le théorème de Gauss : 

27trhe 
•1 er cas ; r<Rj 

•2 e cas : R[<r<R 2 



m*j 



ÏM = Xh ; E 2 = 



2ktc, 



» 3 e cas ; r > R 



Théorème de Gauss : Solutions 



£Q i =Xh-Xh=0;E 3 = 



2n£,R 



2ntfR 



R, R : 

Fipurc ?6 



S 38 



a) 



\ 



+ 


h 


+ 


+ 




+■ 


4 




+ 


- 




* 


+ 




+ 


+ 




* 


+ 




4 


1 + 




■+ 


|* 


|R a 


+ 



Figure 37 
D'après le théorème de Gauss : 



E = 



2rtrhe 



l> 



67 



La symétrie est cylindrique donc 
IQi = JJjpdV = pjjfrdr d9 dz |p = cte 

= P |rdrJ^def ( "d Z 



et 



Q i= 2nph J rdr 



*ETIMJP 



.corn 



68 



Exercices résolus d'électros unique 



2 e cas : R, <r<R 2 

XQ j =2nphJ'rdr=p n h(r"-R7 



4 



■..-LE 



*o r 



•3 e cas : r > R, 



IQ i =2K P h J R: 

R ■ 



rtlr= prth IR^-R? 



E - P R 2- R 



I 



' H 



^0 



r<R,: E,=0 



• R, <r<R : :E 2 = i 



, l r " R | 



-i 



r >R,E, = -1 



E o r 



(R 2 -R 



En r 



S 39 



Invariance par iranslaiion parallèle au plan chargé : 

E est le même en tout point du plan parallèle au plan 
chargé (P). 

* lignes de champs ; soni normales au plan, donc 
parallèles entre elles. 

* surfaces équipotentielles : soni des plans parallèles au 
plan chargé. 

* Surface de Gauss (S G ) : ces! un parallélépipède qui 
coupe le plan (Figure 38). 



Théorème de Gauss ' Solutions 



69 




• •••*• 
* • • • ♦ 

* * t * ■ 



TT tf "*» . . t . à 

• • » » » -* w ti • * m 

• »*•*• ♦ •!•,* * • ' m 
»*• • + • • ■ jf ♦ ♦ m m 



\ ZzWi 



m 

Fmurç 3H 



E est perpendiculaire à dS-, dSj. dS^ et dS (1 d'où le 
flux es! : 

• -JJ EdS G = JJ gdS | + JJ EdS 2 = 



ES. + ES, = 2ES = 



EdS,+ 
S, ' -"Sa 

IQi os 



ç o £ o 



avec S, = S-, = S. d'où enfin E = J- ei Ê = ± =5- k 



2e 







2e 







E est uniforme d'un même côïé du plan chargé. 

Nous pouvons choisir comme surface de Gauss, autre 
que le parallélépipède, un cylindre de rayon r e! de hauteur h 
comme le montre la figure 39. 



r 



• • * - - 
•**• 1 1 • 



TA'-*. 



■=t» 



A E 



(5r.) 



• • • 

I* * • • 



csr* 



dS 



dS 2 
Figure 39 



V 



^ETIMJP 



.corn 



70 



Exercices résolus d'électrostatique 



<l> = J I , Ê dS = ES , + ES 2 = ^— ! = 2ES 



E = 



nous avons en effei le même résultat. 
2) 



- a 



E 5 
E = + 

E = Ë. +Êt 



+ - 



+■ -t. 



Figure 40 



■*- 



E :> 

E-0 



■iH-H-s 



E] : champ créé par le plan (- G) 
E2 : champ créé par le plan (+ o) 



S 40 



«fi, x 




■ 



Théorème de Gauss ! Solutions 



71 



Invariance par rotation autour du fil, donc ; 



E (A> HI E < A '> 



Invariance par translation parallèle au fil, E est donc 



constant. 

• lignes de champ : sont radiales. 



. surfaces équipotentielles : sont des cylindres d'axe le 



fil. 



. surface de Gauss <S G > : c'est un cylindre de rayon r 
de hauteur h et d'axe le fil. 

♦ -IJ ÊdS G =jf ÊdS 3 =ES 3 =E-2itrh 



IQi _ Xh 

E o E o 



et 



E = 



2icre 







Nous avons en 



effet, le même résultai que l'exercice 27. 



1* 



[S 41 l u champ E est radial, l'équation : 

drvE=£- 
s'écrit, en utilisant les coordonnées sphériques : 

. l* r cas : M à l'extérieur de la sphère 

à l 'extérieur il n'y a pas de charge p = et divE = 



• 2* cas : M à l'intérieur de la sphère 



^ETUUP 



.corn 






72 



Exercices résolus ttélearasiatroue 



1 d / 2 



J-è.'^-^c, 



-:3r |r " E 



cherchons le& constantes C, ei C-,. 



3e, 



Le cenire O est un centre de symétrie, le champ y est nul 
d'où 

IBB 1,2=0 et C 2 = 

r-*0 

finalement : 

E = pr 

36g 

La surface n'est pas chargée, ie champ est continu au 
pouu r = R 



donc : 



E r| |R| = E,,!R| 



C l ._pR r _pR 3 



R 2 3e * 



u 






3e r 2 



Nous avons le même résultai qu'à l'exercice 32. 



S 42 



•x<R; B «jg- r>R; fe „|R^ 



Théorème de Gauss I Solutions 



73 



S 43 | 



** 



n 



1 1 rt tt 




I I kl 1 1 



Figure 42 

Soit un plan chargé se trouvant dans le plan Oxy à la cote 

z = 0. 

Par raison de symétrie (voir l'exercice 3 ( )i. le champ esi 
dirigé suivant l'axe Oz. Les sens du champ sont opposes de 
chaque côté du plan. 

Pourz>0. l'équation ; 

divE=P- 



s écrit ; 



dE, 



= 



E 1 = C, 

Cherchons la constante < ' , 

A la traversée d'une surface chargée, le champ est 
discontinu. La composante normale du champ subil une 
discontinuité de a ! e (l (voir l'exercice 36). Donc, lorsqu'on 

traverse le plan (des z > vers les z < 0> le champ subit la 
discontinuité : 



-* -* -* o 
AE = E,-E-> = - n 

Le champ est uniforme, d'où E 2 = Ej = C , et 



^ETUUP 



.corn 



74 



Exercices résolus d'électrostatique 



2E, = 2C, = - 



finalemenl : 

1 



-0 



Ë, = -?-k et Ê ? 



2e 



Potentiel électrique ■■' Enoncés 



75 



IV. POTENTIEL ELECTRIQUE 



ENONCES DES EXERCICES 



IV. 1} SYSTEME DECHARGES PONCTUELLES 



E44 l Trois charges q A . qe ci qc se trouvent aux sommets 
d'un rectangle de côtés a et b. Quel est le potentiel au 
sommet D de ce rectangle? 




Figure 43 
IV. 2) DISTRIBUTION DE CHARGES 



5 I Calculer le potentiel électrique créé en un point M 
quelconque de l'axe Oy par un segment chargé de longueur 
2a. placé parallèlement à l'axe Oy à l'abscisse x = -1. L'axe 
Ox passe par le milieu du segment. La densité k est 
constante. 







J 


y 










. M 






i 


i 










2a 














■I 









X 


y 


- 











Figu rc 44 



*ETIMJP 



.corn 



76 



Exercices résolus d'éiectrosiaiique 



On donne 



j dZ = Log (z + Vl+z 2 ) + C .Ces 



Vi + 



est une constante. 



1:4.. 



Un disque infiniment mince de centre O ei de rayon 
R est chargé avec une densilé surfacique a positive et 
constante, 

1) Calculer le potentiel créé par cette distribution en un 
point M de son axe. 

2) En déduire le champ électrostatique. 



E47 



I Déduire de l'exercice 33. b. le potentiel en tout point 



M de l'espace. 



Potentiel électrique i Enoncés 



77 



électrique en un point M de l'espaoc HmilêVpar deux plans 
parallèles, distants de d, comme le montre la figure 45. En 
déduire le champ. 



— I Déduire de l'exercice 35. b. le potentiel en tout point 
M de l 'espace. 

1 — -J Déduire de l 'exercice 36, le potentiel en tout point M 
de l'espace. 



E 50 



De l'exercice 3«. b, déterminer le poienticl en tout 
point M. sachani que le potentiel en un point de l'axe du 
cylindrées! V . 



EE 



d 



o 



u 



Figure 45 



^ETUUP 



.corn 



78 


Exercices résolus d'électrostatique 






. 




P SOLUTIONS DES EXERCICES 





E3 



- 1 r q A, q C A ^B 



V=-^-[-^ + -^ + 



**o a b V?7? 



i 

2« 


\ P = 




.M 


i 


-1 





X 



Figure 46 

Prenons amour du point P un élément de longueur dl = dv 

Le potentiel créé par la charge dq = k dy au point M est : 
V<M) i [Xjy B 1 [*■ Xdy 

4« Eo J r 4« Eo J.. V , + .,2 



Posons y • y' = Z , dy = dz 
On obtient ; 



V(M) = 



J? 



kta 



= ' i ™ a " 3' ' + Vl + (i - y 1 ) 2 



4ite 



Log 



n 



, .r. — ; n 



Païenne! électrique i Solutions 



79 



S 46 




cUj = o dS 



Figure 47 

La charge dq = o dS. crée en M situé à la distance 2 de O 
sur l'axe du disque le potentiel : 

dv=J-ï = -L^ 
4*e r -bceg r 

1 opdp.dÔ 

" 4nE o ' 



On obtient alors : 



dV = 



pdp 



4rtE n J 2 2 

Vo + z 



de 



Le potentiel crée par la charge portée par tout le disque : 



q f R p^ P' 



de 



i: 



2e 



- 



^ETUUP 



.corn 



m 



Exercices résolus d'électrostatique 




Fleure 48 



V = 



{ 



2j- [VR + z" - z] pour z>0 

a f 2 ~ 
s— jAR + z - + zj pour 2<0 



^ 2) Par raison de symétrie, le champ iota] E est poné par 
l'axe OZ. Son module ne dépend que de la disiance z. La 
relation Ë = - grad V devient: 



E= * — = ° 



dz 2 e, 



- z 



VR 2 + z 2 



± 1 



E = 



i 



2 e, 

q 

2 c 



-*- r- z 1 

2e ° V^77j 



- 1 - 



v^w 



pour z > 



pour z<0 



30. 



On obtient évidemment le même résultat qu'à l'exercice 



l S 4 ZJ u cha mp Ë est radial, il ne dépend que de r. La 
relation g = . g^j V s'écrit alors : 

E= *57 el v < r > = J E(r)dr + Qe 



Potentiel électrique ' Solutions 



SI 



•r>R-> : 



f ' f a/R^ ■ R. | 

V 3 =-jE^dr^C 3 =-J * - l ' dr + C 3 



a|R,-R 



E r 



i+C 



A l'infini, il n'y a pas de charges : 

r -»«•; V 3 — >0 et la constante d'intégration C 3 = 

On a alors : 



V,= 



_a|R 2 -R 



V 



R, <r<K-, 



f • f*(r-R,) 

2 =- J E : dr-^C 2 =- J - __i-dr + C : 



e r 

a r ■*, r 

= - — Log r - — - -+■ C-, 
E n E r 

Le potentiel est coniinu pour r = R 2 ; on a donc : 
V 3 (R 2 ) = V 2 fR2) 

è a R « 
= --! Log R 2 J- + C 



a|R : -R, 

e R- 



e fl R, * ~ 2 



et 



Cn=- 






finalement 



V.= -^- 







R l 

— +Logr 



+ JL[l + LogR 2 



r>R, 



V 



-j 



Ejdr + Cj» Cj 






le potentiel est continu pour r = R,, donc 



*ETUUP 



.corn 



Exercices résolus d'électrostaiique 



V.(R.) = V,(R I ) et 



V^C^-jLrjgR.-LogR,] 







S 48 



r>R 2 ; V,= - 



a 




KA 



R.<r<R,: V,= — 






S 49 



r<R,: *,-£fc-*a| 



La relation E = - grad V s écrit : 

E= .^ e( V(r|=-| E(r|dr+C le 

dr J 



r<R : V,=C te = C l 
r>R : 

v'-J Q 



dr + C, = - 



2n E Q h 



Logr + C 2 



2ïiE Q hr 

Le potentiel ne peut être nul à 1 "infini, il y a des charges à 
l'infini On n'a pas d'autres conditions pour déterminer les 
constantes d'intégration. Le potentiel V(r) reste alors 
indéterminé, on ne peut définir qu'une d.d.p. Entre deux 
points M| et M 2 à une distance r, et r 2 respectivement de 

Taxe, la d.d.p est: 



fV(M : 



J 



V(M 



dV 



-/: 



2ne ( ,h r. 



= * RLog'i 







V(M 2 )-V(M 1 )=^RLog F i 



potentiel électrique I Solutions 



83 



S 50 



•r<R, : Vi = V 



V 2 = Aj. T+ R 1 Logr] + iR | [l-l^sR 1 ] +v O 



^0 



r>Ri : 



y m -A(R 2 - R ( )Logr +1 R 2 [-l +.LogR 2 ] 
E 

+ i.R,[l - LogR,] + V 
E l 

P 51 1 L'équaiion du poisson est : 

A.V + -^=0 
£ o 
p = et AV = 0. c'est l'équation de Laplace. 
Par raison de symétrie, le potentiel ne dépend que de z. 
] 'équation de Laplace devient : 

<LY- = . V = a z + r» 
3z 2 

a et b sont des constantes. 
pourz = d;ona : V = e. ad + b = î ondéduilb= u 
pourz = 0;ona : V = U etb-U I eta = -U/d 

et l'expression du potentiel est : 

V="z + U 
d 

Le champ E est suivant Taxe OZ (voir l'exercice 39). 
Téquation E = - grad V devient: 



dV r U 



^ETIMJP 



.corn 



84 



Exercices résolus d'électrostatique 



Conducteur en équilibre i Enoncés^ 



85 



V. CONDUCTEUR EN EQUILIBRE 
ELECTROSTATIQUE 



ENONCES DES EXERCICES 




Figure 49 

Soieni irais conducteurs Aj, A 2 et A3 en équilibre 

électrostatique. Les lignes de champ sont représentées sur la 
figure 49. 

1 ) Comparer les potentiels V,, V 2 et V 3 et préciser leurs 

signes. 

2) Peut - on avoir les lignes de champ qui commencent en 
A 2 et qui panent vers l'infini ? 

3) Quels sont les conducteurs qui portent sur leur surface 
en même temps des charges positives et négatives ? 



f .LL^J 1) Une sphère conductrice CS[) de rayon R[ est 
portée au potentiel V, >0. Calculer sa charge Q,. 

2) On isole (S,) de la source de potentiel, puis on 



P entoure d'une autre sphère <S 2 ), iniiialemeni neutre , isolée 
et concentrique à (S,> de rayon intérieur R 2 et extérieur R 3 . 
Trouver les charges totales des deux sphères et les charges 
portées par les faces de <S 2 ). ..,-»- 

3) On relie maintenant <S 2 ) au sol. Que deviennent les 
charges totales de (S]) et de (S 2 ) ainsi que les charges 
portées par les faces de (S 2 ( ? 

l E 54 l Une sphère conductrice pleine (S,la pour rayon 1*! 
est portée au potentiel V,. Une deuxième sp"hère (£ 2 ) 
conductrice et creuse, est concentrique à (S,), a pour rayon 
R? > Rj. (S 2 > est portée au potentiel V 2 

l> Donner les expressions de la charge Q, de la sphère 

(SjJ, de la charge Q-, portée par la surface intérieure de 

<S 2 ) et de la charge Q, par la surface extérieure de <S 2 ). 

2° En déduire les coefficients de capacité et d'influence. 
3) Que se passe - t - il si on pone les deux sphères au 

même potentiel V 2 ? 



E 55 1 (5n considère les trois sphères conductrices 



concentriques S,, S 2 et S 3 , d'épaisseur négligeable et de 
rayon R u R 2 et R 3 (Rj < R 2 < R3). S, et S 3 sont reliées à la 

masse, S 2 porte la charge totale Q 2 = Q 2 + Q 2 ■ avec ^2 

» 

la charge de la face interne de S 2 et Q 2 la charge de la face 

externe de S 2 ( Q 2 * , Q 2 * ). 

1) La sphère S] sera - 1 - elle chargée ? Pourquoi ? 

2) Trouver la charge Q, de S,, la charge Q 3 de la face 

interne de S 3 et la charge Q 3 de la face externe de S 3 en 



*ETIMJP 



.corn 



\ 



86 



Exercices résolus d'électrostatique 



Conducteur en équilibre ' Enonces 



87 



•4 

} 



Y 



3) Quel est le potentiel V 2 de la sphère S 2 ? 



E 56 



Une sphère conduclrice (Sj) de rayon R] porte une 

charge Q,. Une seconde sphère conductrice (S 2 ) de rayon 

R 2 porte une charge Qj. Les deux sphères sont 

suffisamment éloignées pour qu'on puisse négliger les 
phénomènes d'influence. 

1) Déterminer le potentiel de chaque sphère et leur 
énergie W 

2) On relie les deux sphères par un fil conducteur. Que 
deviennent leur potentiel et leur énergie ? 

3) Calculer le rapport des -champs électriques Ej et En 
existant à la surface de ces sphères. 



E57 



Un condensateur cylindrique est constitué de quatre 
cylindres coaxiaux (C ( ), (C 2 ). (C 3 ) et (C 4 ). dont les rayons 

sont Rj < R 2 < R3 <R 4 . respectivement On prend comme 

armatures, d'une part (C 2 ) et (C 3 ) réunis et d'autre part (Cj) 

et (C 4 ) réunis. Calculer la capacité de ce condensateur. 



E?8 



AO 



T 



= =c, 



BO- 



Figure 50 

1) Déterminer la capacité équivalente du groupement de 
la figure 50. 

2) Pour chacun dics condensateurs, déterminer la charge 
et la différence de potentiel. 



-* fl E59 l ) Déterminer la capacité équivalente du groupemem 



de la figure 5 1 . 

2) Calculer la charge de chaque condensateur. . 



C, 



Ao- 



-OB 



C, C, 

Figure 5 1 



^ETlttJP 



.corn 



Exercices résolus d'électrostatique 



Conducteurs en équilibre i Solutions 



89 



2) 



SOLUTIONS DES EXERCICES 



S W 

1) Les lignes de champ satisfont aux conditions 

suivantes : 

a - les lignes de champ sont normales à la surface des 
conducteurs. 

b - Elles vont des charges positives vers les charges 

négative* 

c - Le potentiel décroît le long des lignes de champ. 
d - Une ligne de champ ne se referme pas sur un même 
conducteur. 



V,>V, 

v 3 >v 1 

v 3 >v 3 



1 

V,<0 1 

v 3 >o j 



dbu V 3 >V | >V 2 



© 



d'après lu condition - c • 



V2<0-» d'après l'inégalité ® 

2) Si les lignes de champ partent vers l'infini, le potentiel 
V 2 sera positif, ce qui est en contradiction avec la première 
question. 

3) D'après la condition - b -, seul le conducteur A ; porte 

des charges positives et négatives. 



S 53 



1) 



V l = 



Qi 



4jie R, 



d'où Q. «^CEqRjV, ,Q,>0 




Figure Ï2 

Ql : charge totale de Sj - 
Q-, : charge totale de S 2 . 

Q., : charge de la face interne de S 2 - 
Q 2 : charge de la face externe de S 2 . 

Q 2 =Q2 + Q 2 ' 

influence totale : 

Q 2 =-Q, , Q 2 <0 
S 2 initialement neutre et isokée, la charge se conserve 
Q 2 = 

Q 2 =0 = Q 2 + Q 2 ei Q 2 =-Q 2 =Q|. Q 2 >0 



^ETUUP 



.corn 



90 



Exercices résolus d'êlectrosiaùque ''■ Conducteurs en équilibre t Solutions 



91 



3) 



V, : le potentiel de la sphère S, est celui du point O 




mw 



Pigurc 53 

La sphère S, porte toujours la charge Q, 

La sphère S 2 est reliée à la masse, donc qI = 

Influence lotale : Q, = -Q. . Q.,<0 

Q2 = Q 2 + Q 2 dbù Q 2 =-Q,.Q 2 <0 

La sphère (S 2 ) devient chargée. 



I) 



Q": 




V ' = V(0> = 4ÏÏT 1 



Q. Q, + Q 



+ 



Ri R-. 



fr 



Vt : le potentiel de la sphère S 2 s'obiieni comme limite 
du potentiel à l'extérieur des sphères lorsque r -* R 2 : 

i q, + q 2 +q' 2 

Influence totale : Q|=Q 2 
d'où : 





1 Q: 

4jte R, 










cl finalement : 






Q : =4ne R 2 V 3 






' 4«E 


Qi -Qi + 

R, R 2 


Q2 


_ Q ' 

4jtE 


1 


1 


On obtient : 






Ql =(V r VJ4 nC(1 


R,R, 






R-, 


R, 





+ v, 



2) 



R.R, 



Q, = c n v 1 + c l2 v 2 = 4,t E(ls -^ T |v 

Q;= C 2l V l + C 22 V 2=Q2 + °2 

= ■ 4 " E »R7 L R L ^1 " V = ) + 4nE « R ^ V 2 

Q, R i R ^ „ 



■v,| . 



• 






€ETIHJP 



.corn 



94 



Exercices résolus d électrostatique 



Conducteurs en équilibre .' 



Sc/iiMcni 



95 



, = v: = _^i_ = _Q; 



*KE R, 4^ Eo R 2 



Remplaçons© dans (D. on obtient 
iJ s'ensuit que : 



v > = 



Qi + Qi 



4nE o (R | + R 2 ) 



leur 



énergie : 



^4(wv 2 Q 2 ]=^[ Q|+Q ; 



et finalement ; 



w = 



|Q. + Q 2 



8ïre (R, + R 2 ) 
3> Théorème de Coulomb : 

E = ° l et F - °2 
t| et E 2 = ^ 

Us sphères sont reliées donc : V, = V 2 et R, 0| = R 2 0l 
d'où en fin: 

E,_0, _R^ 

E 2~a 2 "R. 
SiR,<R 2 ; E,>E 2 . 



S 57 



(A) 






1 



K J 



:V^ 



i - 



& 



Q' 



Q 



Figure 56 

Le cylindre (C| ) porte la charge' - Q. (C 3 ) porte la charge 

+ Q par influence totale. 

Le cylindre (C3) esi chargé avec la charge +• Q'. <C 4 ; 

parte la charge -Q'. 

L'ensemble Q et C4 est une armature de potentiel ; 

et de charge - Q - Q'. 
De même pour C 2 et C3 ; 

v c,- v c~ 

et la charge est Q + Q' 

La capacité du condensateur ainsi formé est ; 

r _ q + q' 

v c,- v c, 

Cherchons alors V Cj - V^ . 

Appliquons le théorème de Gauss : 
•R 3 <r<R 4 : 



E , Q 

2n£ hr 



d'où ; 



E = -god V 



O R 4 



^ETUUP 



.corn 



92 



Exercices résolus d'électrostatique 



ffr|(f ..-.,.„.c g ^uilibre I Solutions 



93 



C !2 = v l avec V,=0. C |2 = -4*e ^- <0 



0-> '■• i r - ■ 



2 



Ç,.* •»▼,.«■ C 22 =4 It£o ^->0 



2. 

2 lx 2" k l 

On vérifie facilemeni la relaiion : Cjj + C| 2 = 

(influence loiale). 

3) Le potentiel est constant à l'intérieur d'un conducteur. 
On peui donc considérer les deux sphères comme un seul 
conducteur en équilibre et chargé sur sa surface extérieure 



avec le charge Q-, 



V, = V(o) = 



Q, 



****** 



et Q,= 4ke R 2 V 2 



S 55 



1) 




Figure S 5 



Q 2 = Q 2 + Q2 

Si est chargée à cause du théorème des éléments 



» ' 



2) Par influence totale, on a: Qj«-Qî et g 3 
S 3 est reliée à la terre d'où Q 3 =0 

3) 



= -Q 



v,= 



2 4n ë 



•~l 



Q l + Q 2 +_Q2 + ?1^ 



R, 



R, ' 



*- 



-Q 2 + Q2 + ( 32 + l2: 



4ke o I Rt 



r i 



V,= 



Q 



4ltE 



_L -L 1 



|S56j Le pcrteniiel de ta sphère (S, 



v l = 



4he R, 



Le poieniiel de la sphère <S 2 ) : 
Q 2 



V 2 = 



4he R 2 



W A =-<ViQi + v £W = — 



R, R, 



2) Après le con.ac,. la somme de leurs charges res.e 

constante. 

Ql c . Q 2 son, les charges de (S, > et <S 2 > après le 

cornac. Q, + n : =Q, + Q 2 ® 

Leur potentiel est le même : 

4ETIHJP 



.corn 



98 



Exercices réii'lut J'ïlecirouatii/uc 



Energie a forces f Enoncés 



99 



2) 



Q, = Q 2 = 



Q 3 =Q 4 = 



VC I C 2 

c, + c 2 

VC 3 C 4 

c 3+ c 4 



VI. ENERGIE ■ ET * 

ELECTROSTATIQUES 



FORCES 



ENONCES DES EXERCICES 



5 I Un condensateur est formé de deux armatures planes 
horizontales circulaires, parallèles emre elles, de rayon R ei 
distantes de e. On charge le condensateur au moyen d'un 
générateur de tension U. 

1) Calculer la charge Q prise par le condensateur. 

2) Déterminer l'énergie W c emmagasinée par le 

condensateur. 

3) Quelle est la densité d'énergie W. En déduire 
l'intensité E du champ électrostatique. 

4i Déterminer l'énergie W G fournie par la source. 

5) Chercher la force F qui s'exerce entre les armatures. 

LË-^ll On considère une sphère de centre O et de rayon R, 
chargée avec une densité volumique uniforme p. Calculer 
l'énergie électrostatique. 



k jjf Soit une sphère conductrice de centre O, de rayon R , 
chargée avec la densité G. Le plan AB divise cette sphère en.,- " 
deux calottes. 

1) Calculer la force électrostatique F qui s"fcxercejsur les à 
2 calottes. ... 

2) Le plan AB passe par O t calculer la nouvelle force p. 

x-^ ' /Y - ■ ' 



**% 



*ETUUP 



.corn 



96 



Exercices résolus d'électrostatique 









• 


• 


•R 


<r<R ? : 

* 








B- " Q 

2n:E hr 






ei 


- 








R i 

1 








y y - Q - Q 






w " '-'î 2ïïE h 2ïï£ h 





R. R^ 

Log =- Log ^ 



R, 



Q + 



2ïlE ( ,h 



1 + _L 



R, k, 

Log — Log fr ~ 



R-, 



H 



Ce qui donne ; 
C=2«e h 



1 + - ■ 



R. R, 

T ^r 4 



C = C| + C 2 . le sysième es! équivalent à deux 
condensateurs en parallèle. 



1) 



AO 



Qi 



le 

-p. 



s 



BO 



Q. 



Fleure 57 



Conducteur* en équilibre : Solunons 



Kj+cyCj 



v -AB- C] +C 2 + C 3 
2) On a: Q^=Q ( + Q2 





PaTa 


Heurs 

Q, + Q> Qi Q3 




el 


Q 3 = v.c AB 




avec 












On trouve : 


1 




C, 



La charge peut encore s'écrire 
Il en est de même de 



Qi = 



1 



v.c 



AH 



S 59 



1 C, + G 2 

V A- V D =C,=C- 2 

v D -v B = q 

v -v„=-^ = v 
A B c AB 



c,c 2 _c i c^ 

C AB- C , + C, C, + C, 



97 



5 



^ETUUP 



.corn 



100 



Exercices résolus d' électrostatique 



Energie et forces I Solutions 



101 



SOLUTION DES EXERCICES 



S 60 



I» 



* 



r 



s- 

S = nR : 



d'Où 



Figure 5fi 

EflS 
Q = C.U = — .U 



Q = J? .U 



2) 



3) 



1 9 1 £JCR" j 



w c 



T : volume de l'espace imer - armatures : 
t * TtR'.e 



V~ltM e. W=I E „E 2 d'où E=" 



7 *0 



ru 



4»W (i =Q.U = 2.W c 



w G = -^ — .u 2 



5) 



T -* ■+ + ♦ + +,+■♦•♦ + + ♦* 



Figure 5V 



W cOO = 2 x 

U : consiame 



I e 0* R " rr2 



.U* 



F=gradW c =^ (W c )c 





h* 


1 y*"U 


- e 


pour 


K = e 








i*l! 


2 2 

e" 


U" 


S6I 









W=l J pVdt = J-| £ E 2 dX 

2 J volume charge * v espace 

Le champ et le potentiel créés par une sphère 
uniformément chargée : 

3E r- V 



r< R :E , a _£l;V,»£L 



3e 



Q 



2t 



U 



I--Î- 

3a" 



W=lJ . .pV 3 dT 



2 ■" volume chargé 

2 Jq P 2e, 



1 - 



3a' 



.4nr"dr 



€ETIHJP 



.com 



102 



Exercices résolus d'électrostatique 



Ene/fie efforces 



! Solutions 



103 



• 



*-■«£-? 



F=£l([ dS=^-n(Rsin 6} 



4L 



1 f R C 2 J 1 f* 



2 -"espace ° 2 J ° 2 t * R 



ETdx 



W^^Ç-jcR 5 



15 



E o 



S 62 




Figure 60 

1 ) Un élément dS en M est soumis à la force de pression 
électrostatique : 

2 2 

of = — dSn avccp = — >0 

dF est normale à dS et dirigée vers l'extérieur. Le 

système des forces électrostatiques présentes la symétrie de 
révolution autour de l'axe Oz, la résultante est portée par 
l'axe Oz et tend à éloigner les 2 calottes : 



F= Fk 



• F = JJdF z iF>0) 



2 2 

dF=f-dS cosa=^~ dS' 



dS* est la projection de dS sur AB. 

S' est la surface du grand cercle qui limite une calotte de 



F=_nR"3n"e 
*<, 
2) Le plan AB passe par O, donc : 

2 a 

- rc . _ o JtR" 
6 = - et F = - 



2e 







Le potentiel 

y, Q -° R 



4ŒaR 



o K h\ 



alors : 



F = 



K€ V 



2 



t 



. 



^ETUUP 



.corn 



<u 



.2 a; .2 



Chimie Minérale 

„,— Informatique ^.__ 
^LOUrS Mu 'îT d . ia Si 

°" Programmation biologie"'- 



10 

G" 



>va; 




en 



03 

X 

03 
> 
03 



Û 



y <T3 

3 U 






(0 

> 



eu 




C 



Contrôles Continus U 

Exercices H 

Analyse Economie 



£ «uDiapo 






E 

a» 




in 



3 




MTU 




o 

u 
Algèbre 



-. C7 



O 



a 
O 



û 



Divers 

Bureautique 



et encore plus..