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- *

- ■
I

..

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•

PREFACE

i

<

Ce cours d'Analyse est destiné aux étudiants inscrits en
première aiînée Physique-Chimie. Il a été rédigé en français facile
pour qu'il soit accessible a tous les intéressés. En espérant que
ceux-ci y trouveront tous les éléaents nécessaires a une meilleure
compréhension, je leurs souhaite une bonne année d'études.

! -

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•

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* *

Tétouan le 21 Juillet 1990

ZERTITI Abdêrrahim

,*

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^ETUHJP

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■ I

. ■

..

TABLE DE MATIERES

;

chapitre i ; sauâi ouaijlfflai *

1) Propriétés de R.. "" l

4

2 ) Suites numériques

3) Suites convergentes-Propriétés

9

4) -Suites monotones ...»■••••■«•

5) Suites extraites * *

12
6 ) Su ites de Cauchy . * "

.......... ..,..13

7 ) Suites adjacentes

mt 14

- ■ ••

8) Suites récurrentes

CHAPITRE U : Fonctions mimérioucB d'une var i ab l e lifilifi ,-16

1 ) Généralités 16

a) fonctions paires et impaires..-.* - 1S

• b) Fonctions périodiques ........%♦»-••••••••• 1T

c ) Fonctions monotones iB

d) Fonctions bornées » • 19

■ ■ "

2) Limite d'une fonction. V **

3 ) Fonctions équivalentes . . . *"

4) Partie principale d'un infiniment petit

25

. • • ' -

.chapitre ni : Fonctions continues. - Z7

1) Définitions et propriétés

/

2) Théorème de» valeurs intermédiaires conséquences

, .....

27

28

■-■

V

^ETIMJP

xom

CHAPITRE IV : Fonctions dérivables 35

1) Dérivée d'une fonction ,,,, , 35

2) Extremums d'une fonction dérivable' .....42

3 ) Théorème des accroissements finis 43

CHAPITRE 1 ï Formules de Tavlor 47

1 ) Formule de Taylor avec reste de Lagrange 47

2 ) Formule de Maclaurin avec reste de Lagrange. ■*••......■ »49

3 ) Formule de Taylor avec reste de Young 50

4 ) Formule de Maclaurin-Young , ; 50

5 ) Applications ■*•»•• < .51

a) Recherche d' extremums „ , « .51

b) Recherche de la partie principale d'un

infiniment petit. .....,, , , . _ 53

c) Allure d'une courbe au voisinage d'un point 53

- * "... 1 1 * "î . 1 ~

CHAPITRE VI : Développgmftpfr q limités .,......, f (55

1) Développements limités au voisinage de 0. 55

2) Opérations sur les développements Limités ." ..59

3) Développements limités au voisinage d'un point x 63

o

4) Développement limité généralisé ' . . . , ,65

5) Application: 66

a) Calcul des limites ' fifi

MMii itii.iiii.Mut.,t)D

b) Détermination des asymptotes , .gg

CBAPITM VII : Fonctions circulaire récinroo^ m- , ; '

fonctions hyperbolioncn iy* vi 68

1) Ponctions circulaires réciproques i6 8

2) fonction Arccosinus eo

C

-fETUUP

.corn

I

3 ) fonction Arcsinus 69

4 ) Fonction Arctangente 70

2) Fonctions hyperboliques. * , , # . « 71

a) Cosinua hyperbolique - Sinus hyperbolique 71

b) Tangente hyperbolique 72

- " i

3) Fonctions hyperboliques réciproques . 73

a) Fonction Argument sinus hyperbolique 73

b) Argument coainus hyperbolique ...'... 74

c) Fonction Argument tangente hyperbolique 75

s

\

CHAPITRE VIII : Intégral» siMBlff 76

1 ) Primitive d'une fonction 76

2) Intégrale d'une fonction continue-Propriétés 76

3) Calcul des primitives;.,, 82

a) Primitives usuelles 82

b) Intégrales des fonctions rationnelles 83

c ) Applications , t ( ( , , , .85

CHAEIÏRfi IX : Inté grale* g éné ra n a ^ H ... 88

1) Définitions 8fi

2> Calcul pratique des intégrales généralisées 90

a) Utilisation des primitives 90

b) Changement de variable 91

c ) Intégration par parties f , , , 1 91

3 ) Critères de convergence 92

-

CBAPJTRR . g : Equat i o ns, différente ^n ^, ^ ±** Pxd« 98

1) Equations à variables séparées 4 , 9g

2) Equation homogène , 99

4ETIHJP

.corn

er
3 ) Equations linéaires du X ordre • 100

4) Equations se ramenant, à une équation linéaire: 102

a) Equation de Bernouilli... . .'.-.^v* ;..*•• t y.'i»;;. .■•;' 102

b) Equation de Riccati .... .-..-i-...;-; v* . . >■■ ■**•* - ■ > 103

." * -

CHAPITRE XI : Equations différentielles linéaires du

second ordre à coefficients constants 105

1 ) Intégration de l 'équation sans second membre 10 5

2) Intégration de 1 '.équation complète:.,......»,.. .107

a) Recherché* des solutions particulières 107

b) Méthode de variation de la constante 109

- ïiîï^t,' . - : . '» ■• ' - r ' * ,: .

... . . i- >.» v •*•■•' ■*<■.. %■) ; •■

. . ■ **

: vu ;•+

' . ':■

1 ' - ' *

I

>€ETUUP

.corn

CHAPITRE I
SUITES MUHEfeïQUES

1) Propriété ft fP .

B-dési*ne l' ensemble des nombres réels; R*=(R-{0},

On rappelle qu'un e n8 „ble E muni d'une loi T est appela
groupe coanutatif al!

-

i) L. loi T es* interne: V x , y e E , xTy e g,

ii)La loi T est as.ociativ: V*, y>z « E , < xTy)TE . xT(yT2) .

iii) il «i.f . « B unique tel que: Tfn xTe „ eTxBx _

(e est appelé élément neutre de la loi T) ,
iv, Pour tout ,: 6 K , u exi-te y e E tel qu- . xTy = ^ _ ^

(OU dit que x et y aoat ayétriques par rapport à T).
v) la loi T est co«.utative: V x, y e E , xTy = yTx .

EE2E2 ^ii°i» i (*.+..) «t un corps comutcttif. c'est-à-dire:

.

- fR.O «t <TR ,.<, sont deux groupes commutati/s. ■

- La loi ». •• * sl distribvtive par rapport à "+-.

"i

Soit x * JR . on appelle valeur absolue de x le nombre Ixl tel
que:

M =f

* six^O

—x six<0

On définit ainsi une application de R + R*

X 4 |x

^ETUUP

.corn

Proposition : Soient x.y.s e CR. Alors :
|x| = «» x=<X

Suit a > 0. |x| 5-.a «» -a < x < a.

N| = |x|.|y|. .:;•,,- ;• • '.

|x+y| £ Ixl + lyl C appelée inégalité triangulaire}.

Il x bl*ll * l*-y|- »

x.< y M . y. 5 s; ■+ x £ 3

x<yety<x*x = y. '-' ,•" • " " ''

Si x -S y et a > o, alors ax < ay . C si a < o,

oft a ax > ay). • ' •"

i . i
Si o < x < y» alors - £ - .

x y

x<y-*x + 2<y+s. -

V x,y € R, ou bien x < y .ou bien x > y.

. Définition : Soit A une partie non vide de R. c r^_^
On dit que A est maj orée s'il existe W € R fei^e ;

'J? Y x * M. jj^Jf. ^>^

m.

Le plus, petit des .majorants de A% lorsqu'il existe, * est
appelé borne supérieure de A, et noté Sup A.
^J^Aest dite minorée s' i laxiste me R tel que ;
^=A\ /f-JVxmÂi x
Le plus grand des minorants» lorsqu'il existe, est appelé
borne inférieure de A» et notée Inf A.
^ * A est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Exercice : a) Montrer que A est bornée s'il existe M € R tel que:

V x € A, |x| < M.
b) Montrer que A = {sinx / x e R } est bornée. .

#

^ETUUP

.corn

Remarque : La partie A = [l^+<»[ n'admet pas de borné super lettre,
car elle n'est pas majorée. De même B = 1-00,0] n'admet pas de
borne inférieure. .

Donc la borne supérieure (resp. inférieure ) d'une partie A

de R n'existe pas toujours.

Donnons maintenant une cmractérisation de Sup A- et Inf A où A
est une' partie non vide de R ;

S V.fi > o, 3 x e a , !*-«-* < x 5 M

m » Inf A4» '

l V £ > o, 3 x € A, m 1 X <»+£ .

Exercice : soit A = [-1,0 [ U ] Û,V2 Ï-Hontrer, en utilisant la

caractérisât ion précédente, que Sup A = /2 et Inf A = -1.

(R
A)

(Remarquer que sup A et Inf A-ja' appartiennent pas nécessairement à

.. ..-.■

DM»**Ja

Théorème : Toute partie majorée non vide de R admet une borne

supérieure.

Toute partie minorée non vide de R admet une borne

».
tn/érieure.

-

-4

Exemples : On considère A = { — — r f B * W } *

1
V n e N, o ^ — -r - 2i donc A est majorée par 2, minorée par O.
n+i — - " - :

D'après le théorème précédent Sup A et Inf A existent. Montrer
que Sup A = Sa** Inf A = Qi

-€ETUUP

.corn

' • ■

Proposition : L'ensemble R des nombres réels est Archimédien^ '
c'est-à-dire, V x-e R-, 3 n e W , * < rr. : . ^

• ■ .-. ... / .* ■•-..• .- • ; .-"

Exercice î Utiliser cette proposition pour montrer que : t

V x m R + , 3l k e W : . t k <-x < k+1.
ke nombre k est appelé partie entière "de x, TTOté E(x>.

Proposition : L'ensemble Ct des nombres rationnels est dense dans
R > c'est-à-dtre ,.V œ, i 6 € R avec et < b, 3reÛ , a < r < b.

*û-> 1 ,

Démonstration : Considérons le nombre x» .t— .'> p. Puisque R est

* l— ■ — — - *

archimédien, il existe n e N tel que. r— < n. Désignons par k la

partie entière de an. k. = E(_an) . On a k $ an < k+1* Montrons que -

k+i ; .,'*'* H

a < — < b.

— - a » — + — - a S a* + — -a*T-<b-a . Donc 15- < t>.

n n n k+1 n n k+1 **

D'autre part a < — . Le nombre r = — - e Q répond "à la

■ . . n ■ *

question.

.«• ."

®.

Exemple : L'ensemble Z n'est pas dense dans R car si on. prend
a = - , b = — , il n'existe aucun élément r e Z teï que

3^ * ^ n -

<* • - ' • ' X

.*■ ■ - . . ■"• "V s

2) Suites numériques ; • ,■

Définition :0n appelle suite numérique toute application -^

u ; EN -► R . On note u = u(n), appelé terme général de la ""suite —
n ■* u(n) n ., _ „■..■'

On écrit aussi u ■ (u ) .. *

- n n

«TUUP

■ >'.■

xom

Exemple : u: W + R, % i

n ■* u(n)= — - = u

n tl /

« ■ 1 . u t = 1/2, u^ = 1/5 , u = l/lO, ,-

Soient u = (u ) et v = (v ) deux suites nusiériques . On

» il un

pose par définition ;

u.v = (u v )
n n n

u + v = (u + v )
ri n n

A..u = (\u } avec \ € R.

SxfiœlÊ : u = ( \\ , v = ( HîJ) .

n+1 n * n+2'n - *

u * v = ( 2k>. ; u+v * t -4i * ^lo» - *** • ( rsj .

n+«l n u+1 n+2 n n+1 n

3) Suiteg convergente?» - Propriétés ;

Définition : uno suite (u ) est dite convergente vers le

n n

nombre réel 1 si : ^--^

V *"> o, 3 N € W ,Vnf1 : q > n'+ | U - 1 \4ni .

fl ^ Notation : lin u = 1 ; 1 ira u * 1 : u ► 1 .

-ï n-*+oo n n n n n *+■»

Remarquons que la définition précédente ne change pas si on
écrit des inégalités ^itHctim au lieu, des inégalités larg.es. Une
suite qui ne converge pas est dite divergente ,7 r S- V^3*

Soit £ > o, cherchons N ei.W tel que la condi

entraine- | u -4| 5 £ .

Si - - 1 < o, on prendra N = o .

tion n- 2 NL

5

^ETUUP

.corn

1

•

• L I

si - - i > o, on prendra N = E ( ■ - - 1) * 1. ]

€ . & ■ » ,;

On volt bien que le nombre N dépend de c.

\

-

Proposition : la limite d* une suite -, lorsqu'elle existe ,

est

unique.

Démonstration : Supposons que (u ) est une suite qui converge en

temps vers 1

W.

n n

t

t 1'. Montrons que 1 *' 1'.

Soit C > o / up nombr e» que lconque . Par définition de la
convergence, il existe N et N* éléments de N tels que:.

n > N entraine | u - l| < | et n fc N* entraine | u^l'l S 5
•Pour n > Max (N,N'), on a r .

I 1—1*1 ■ ll-u + m -l'I * 'lu -l| + lu -1* I S. Ttf - c est_
il i • -n -n-- j i ' n i *--Ji — --' «wf

quelconque, donc" | 1-1' |»0 > c'est-à-dire l»!* 1 *"

Définition : Une suite &£>' est dite majorée s'il existe
n n

NeRtilfueu < /f * V n e «.

n

Autrement dit V ensemble < $&f'* € N, ; ôsi majSï 1 *^.

C-U 5 est diie witnor^e #'11 existe m «= R tdl <?u* u > m

ri n , n

pour tout n e M,

Artrahent dit /u / n € W> est minoré.

n

minorée , c ■ est -à-dire :

3M > , V n *N , 'foi | < H.

n

Exemple La suite de terme général u =sin n est bornée car

-1 < sinn <1, V n € W. GÎ^

— La suite (u ) avec u = n n'est pas majorée. Par contre elle

- . n n . . n — *

est minorée par 0. t^*"^*-* -

6

-€ETIW)P

.corn

■

^, Pr-?P9B i Mon : Toute suite conver 8 ente est bornée.

*"» > ■*"*, ion •• Soit (u n , n telle que li. a^l. Montrons qu . <«.)
e.t bornée. La déflation de la convergence entraîne pour Ml
l'existence de N * M fc.1 q „. „ > „ e ^^ 6 | u -1,^. Par 8uite:

[KHlII * IVIJ.S 1 * |«J < 1 "♦ |1| pour n> à.
Soit H . Max <|-J. |Oj...:.|u M j. . 1+ | l() . Alor „ , , < ' ^

tout n^ W. c'est-à-dire |„| e .t bornée.

n n

n n

l»fc « n -l *< l£ m M ^.,. Cll , m t0l Alors

i> it m cu a+v -q^y *«^V
(« Um C V v n ; = Cii* y.<t£ y
KO Ljp a ti n )= x i£» ^, av * c x e r

iv^ -i « - e et [.„ al u \ m l j£_ u _n

n v n lin. v ■

^«î si u n < V V A.« m. aiors it m < i£w „

« il nrt

DéMon H t.^tit?n :

@> Soit r > o. Il existe N^tf*^ M tels aue n > N entraine

SH £

1 v «- 1 ' tl 1 '! I u -il

n y ' ' ' n '

* ■

4ETUUP

.corn

1
■

-.-

">

.M «et le nombre qui majore < \*A \ . putsque : ("„> •»*

convergente.

Dana cette démonstration on a »ajoré la quantité ju^- 11' |
par un agt^ a de *V Ce qui suffit pott' entraîner 1^ 'convergence

de (u v ) vera 11' .
S 4iil) H suffit de prendre v r = > Vn c M. et d'appliquer ii).

$) U suffit de montrer que lin {-—) « J, et d'appliquer il) -

n
v — » 1» * 0. Posons c= |l'|/2 > 0. Il existe alors ^ s IN tel que

n^ entraîne ||vJ-MI* IV*'! * jl^L? ^ ~ W* " "T
tout n S H:i

Soit «aintenant tf >0. Il exiate Kg « M tel que n > Ng * :

|v *1*|&*1 Pour n > Max- (N/.N ), on a .

,i t. ^■ , L>:..- ,:

i" - - u-'

■v x • | i t i

'A 1 I' n

,. 1 ! '*•. ■
ce qui montre que l^g - = ^, • . ."

J. 0)On a u n <v n V n e 1 et on veut montrer que lim uSli» v n
c'est-à-dire 1 < 1*. Supposons que 1>1'. Puisque lim^-u^l'-l,
o.n a pour £ ■ = ^^ > o, l'existence d'un nombre N e W tel que :
n>N entraine 1 f« ^ Wl'-lll ■*„*&*« *■ ^7 f V»-** ""§ < °\

■ . *

exemple u = - et v ■ J . On at U <v V n e « pourtant

lia u = lim v * 0.
n n n n

"• -. ,

a

-. *

■

. .

8 •

• !

^ËTIMJP

.corn

W.-JKt.

Exercice? :

.

a) Montrer que ai u ~+ X% alors | u I _, ij.

b) soient <u n ) n ,(v n ) n et (w^ trois suites numériques telles
que u n < w n ^^V neW .

Montrer qu«, si li. u n = li B V r = 1, aiora llfJ £. x (Utillsep
la définition de la convergence).

Application: Montrer que li» ? inn =
^- » n-»S n

• Vi

4) Suites aonoton/g B "*: S" *"

r^illaû:^ -t*tu cu n > n est dite croisse Cresp.
décroissante) si:

Si l'^jcUM * s£ stricte .on dira ç^ <"Vn * st ^Ttcimmmtt
croissante Cresp. strictement décroissante).

Exemple ff ;

- La suite (u^. av„c V „* est strictement croissante.
En effet: u n+1 - „ n = (n+n'-n* = i +2n > o V n « W...

- La suite fu__)

décroissante.

n>( avec u^ =(-l) n elle est ni croissante ni

Exercice -

t

Si (u n } n est «"isaante, alors la condition n < 1 entraine

u 5 u .

n m

Une suite qui eat croissante n'est pas néces sairemen t
convergente . En effet, la suite (u^, u n = n 2 , est croissante
-nais elle n'est pas convergente. Le théorème importait suivant va
noua permettre de préciser cette remarque. '

V

9

*

^ETIMJP

xom

..

Théorème : (de. convergence monotone dfifi Boites) ^

Tout* sut te Cm > croissante maigrie est Aeonvergent^J sa
n n , .il-

limité est égale fc taiborné supérieur*' de l'ensemble .

A = <ù' / n « M >. V- ^"" ,

Toute sutte <u ) décroissante minorée est convergente. Sa

limite est égale à la borne inférieure de A,

Démonstration:

soit (u ) une suite croissante majorée. L'ensemble
un

A= { u I n « W ) admet donc une borne supérieure 1 * SupA.
n i. • ,

-Montrons que lia u = 1. D'après la caractérisation de 1 ■ supA , on

n ri

i a pour c > donné l'existence de N e IN tel que 1- £ < u^ 5

(u ) est croissante, donc pour n £ N ;
n n t . ., _

1^ £ < u u < U < 1 < 1 + £>

. c'est-à-dire lu -il £ £. Par suite lia u ■ 1.

' n ' n n

.; ;"'•'.' * . . - ' ' -

Exercice ! aoit (u ) la auite définie par:

n, "

1.

- ! , •".

■

s"

Montrer que (u ) est croissante, majorée par 2. En déduire
n n

qu'elle est convergente. ^

u -

Définitions (limites infinies)

On dit que u — t*+« si;

, / V A > 0",.a^«M e*l <jue n ï N -entratne u > À.

-•..••■ n ■ ■ •

; De même u - — » -«• .JSti"j ' . .

n n++«

Va>0 , 3 N e !N fta^uMaT n > N entrain* u < -A.

n

■

10

\

E xerc i ce : Montrer, en utilisant la définition , que:

2
, . n +1

n n+1 w '

5) fliiilfiB. extrait»» :

Une suite (v n ) n e8t dite extraite de la suite (u ) ' Vil
existe p : M — * IN une application strictement crois.ante " telle

Par exemple la suite («^ est une suite extraite de (u )
ici «.). 2n. Cette suite est fon.ee par tous les termes d'indices
Paire " U ' V V V V U 10 u 2n' •••

Proposition ; Si Cu^ est convergente, alors toute suite extraite

^ C \\ sst c ^ver S ente et a ta méms , limité au* Cu J>

n n'

■

Pour démontrer cette proposition on a besoin du résultat suiv Mti
si p: N — , N „ t une application ltrlcteBent croi88antei alor8
*>(»)*» Vlll, (à démontrer par récurrence).

Pé m onst, ration de. la p r o D o B )t-i ffn .

soient (u n ) n une suite convergente vers 1 et (v ) =(u )
une 8uite extraite de (u^. Moritron. q „e lia v = i? " **?* "
Soit C > 0, 3 K e M tel qU e „ > N entraine^r-l" * * .Or „ > N

1-Pli,- *<»>>, (H) *N (d-.prea ie résul t at pr6c6dent) . p „
suite | V l| = | !| < £ _ nehc 11b v a ^

n n

1 r

BâJDaxaue. : La réciproque n'est pas vraie. U suite u = <-i) n est
divergente, alors eue la mMtm cxtraite ^ convergente
vers 1, *"

*itop

Tyi com

I
I

• '

\

Exercice : Montrer que si les suites extraits» J*^± ot ^Sn+^n
convergent vira la même limite 1, alora la , suite (u n > n converge

aussi vers 1.

'* ..." •''.';•'•

6 ) suites ifi Cauchy : .^ y^

On se propose de donner la réponse à la question suivante:
Peut-on montrer qu'une suite (u n ) n est convergente sans avoir
--.besoin de connaître, à priori, sa limite ? Oj<o

Mifinition (critère de Cauchy): I-

l/n* suite €*L? *& dit* de Cavchy si etitf P^sède la
n n, "5^V"

propriété sutuonte?:

V tf > > 3 * « N » y P>9 * W : P'^V" entraîne |u p -^|f *. .

La proposition suivante va nous donner des exemples de auites
. de Cauchy! ..

■ > * -

Proposition : Toute suite connvergente est de Cauchy .- ..

n*mon B tr*tion : Soit (u n ) n une suite convergente vers 1. Pour
e > donné, il existe M e W tel que n £ N entraine

' *, n ■ a .es

Pour p.q > N, on a : |û p -uj<|u p -l| t |u q -l|£ g + 2 = £ *

Donc (u ) est de Cauchy.

■ • ' • - - • ■- • ...''*

• - i . i i *

BxEBEifi : La suite (%>„. u r = ^j— , e at convergente vera 4. Donc
elle est de Cauchy.

a

^ETIWJP

.corn

IbCarftM : route suite de Gauchi, »« comiipUA

» .

*

*our .ontrer qu'une 8u ite est convergente, il , ufrit de
montrer qu'elle est ,1e Cauchy.
ta^ : On con 8id(ire de nouveau la 8uite ( , ^ ^ ^

u ■

*r + -^*J !

n , „o i + ? + . . . + — V n e W .

1+2 UV 1+2 2 i +2 n

Montrer q ue cette .uite e.t convergente en vérifiât qu'elle

e»t de Cauchy.

7) fiiiltfia ftd.îan^n^^a : ^

I

*

UUniïlS» : Ceux «eu. f Vn e£ ^^ ww d£tes t4iaemum si
«M mjferrtlMM,. r«« t „ M£ croissante et ^^ .- «.,

^ 80i ° nt <>>. '* <V„ ««« «uites .vec v Z_| et

V n „*1 ' <V„ e8t ûnt-MkfN . (v ) e.t décroissante et

~ 2

n+1

adjacentes. Remarquons que lin u = lia v

lim (u -v ) = li M / I_£ v _ . .
n n n' *j" v n+1 ) = o . (u ) et (v )

n'n ot 'Vn 8 <"^t donc
/ n n "fi" n

E^^ian : te*, suites adjacentes sont convergences et

admettent la même limite

4ETUUP

.corn

néBonstration : Supposons <iue (u^ est croissante, (v n > n est
décroissante et lia : (v^ - uj = 0. La suite (v ft -u n ) n est
. décroissante et converge vers 0. Donc v q - u q > O V n e H,
c^at-à-direu <> V n G M. 'D'autre part:

V« u l S V" '** Vl £ U n * V n" ^. l V' • •- V P ". 8U ^ !

(u ) .est croissante majorée par v Q et (v^ est décroissante

minorée par u Q . Le théorème de la convergence monotone des suites
entraine que « n -jf 1 .t '^ ^ l>.> Pi™/" **/?

liaCu -v ) = lim u -limv * 1-1» = 0, c'est-à-dire 1 = 1'.
n n n n . n>, R B ..

Exercice : Soient (u-K •* '^Vn d6fiftiea pftr!

3 7." 2

n*l S n 5 n

. u - 1.

• v = 2 '

2 3
V ntl = 5 U n + I V n

Montrer que (u) et (v) ocnt adjftcentee. Conclure...

n n il n •

Calculer lia u et lim v
n n n n

S). Suite* rScurrentCg : :.i*-.v •••;

Soit f : D c R — » R avec f (D) C D. On appelle suite
récurrente, une suite (u ) ( définie par la, : donnée de son premier

n n

terme u Q e D et la relation u^ +1

Exemple :

= f(u ) rf V n «Jt«

n ...■.-

' »*

n+1

a Y 3 4 U

u

v

u = f (u ) avec f : t-3,+-<=0[ -» R, D= [-3,+œ [ , f (x) =/x*3 «
n+l n .

On vérifie que f(D) C R C D.

14

>*ETIMJP

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contins et ^ convttrg . ^ „ ^ - ^^ J^^
Pour c.lculer 1, il faut réaoudre ^^ ^ Grâce

1 unicité de la liait». uno 8eule valeup de , ^^

*ra**XUan : On «„■<* £« notât tow et-***».
Si / est croissant» , alors:
° f Vn *»* crot-ssente st /«w> - w >

EmbeIe : L« suite (u ) défini. p. r fVi = </ 3+ «

( n+1

n est croissant*

«« f(x) = ( /3+ x est croissante et ff _ u . (/| > g

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