(navigation image)
Home American Libraries | Canadian Libraries | Universal Library | Community Texts | Project Gutenberg | Children's Library | Biodiversity Heritage Library | Additional Collections
Search: Advanced Search
Anonymous User (login or join us)
Upload
See other formats

Full text of "etusup"

- * 






- ■ 
I 






.. 



. 



• 



PREFACE 



i 

< 









Ce cours d'Analyse est destiné aux étudiants inscrits en 
première aiînée Physique-Chimie. Il a été rédigé en français facile 
pour qu'il soit accessible a tous les intéressés. En espérant que 
ceux-ci y trouveront tous les éléaents nécessaires a une meilleure 
compréhension, je leurs souhaite une bonne année d'études. 



! - 



>■* 



t - 



. 



* 



. 



• 



• 



- 



* * 



Tétouan le 21 Juillet 1990 

ZERTITI Abdêrrahim 

,* 



'» « 









■ 



• 



? 



\ 



^ETUHJP 



.corn 



■ I 

. ■ 



.. 



TABLE DE MATIERES 



; 



chapitre i ; sauâi ouaijlfflai * 

1) Propriétés de R.. "" l 

4 

2 ) Suites numériques 

3) Suites convergentes-Propriétés 

9 

4) -Suites monotones ...»■••••■«• 

5) Suites extraites * * 

12 
6 ) Su ites de Cauchy . * " 

.......... ..,..13 



7 ) Suites adjacentes 

mt 14 

- ■ •• 



8) Suites récurrentes 



CHAPITRE U : Fonctions mimérioucB d'une var i ab l e lifilifi ,-16 

1 ) Généralités 16 

a) fonctions paires et impaires..-.* - 1S 

• b) Fonctions périodiques ........%♦»-••••••••• 1T 

c ) Fonctions monotones iB 

d) Fonctions bornées » • 19 



■ ■ " 

2) Limite d'une fonction. V ** 

3 ) Fonctions équivalentes . . . *" 



4) Partie principale d'un infiniment petit 



25 



. • • ' - 



.chapitre ni : Fonctions continues. - Z7 



1) Définitions et propriétés 



/ 



2) Théorème de» valeurs intermédiaires conséquences 

, ..... 



27 



28 






■-■ 



V 



^ETIMJP 



xom 



CHAPITRE IV : Fonctions dérivables 35 

1) Dérivée d'une fonction ,,,, , 35 

2) Extremums d'une fonction dérivable' .....42 

3 ) Théorème des accroissements finis 43 



CHAPITRE 1 ï Formules de Tavlor 47 

1 ) Formule de Taylor avec reste de Lagrange 47 

2 ) Formule de Maclaurin avec reste de Lagrange. ■*••......■ »49 

3 ) Formule de Taylor avec reste de Young 50 

4 ) Formule de Maclaurin-Young , ; 50 

5 ) Applications ■*•»•• < .51 

a) Recherche d' extremums „ , « .51 

b) Recherche de la partie principale d'un 

infiniment petit. .....,, , , . _ 53 

c) Allure d'une courbe au voisinage d'un point 53 

- * "... 1 1 * "î . 1 ~ 

CHAPITRE VI : Développgmftpfr q limités .,......, f (55 

1) Développements limités au voisinage de 0. 55 

2) Opérations sur les développements Limités ." ..59 

3) Développements limités au voisinage d'un point x 63 

o 

4) Développement limité généralisé ' . . . , ,65 

5) Application: 66 

a) Calcul des limites ' fifi 

MMii itii.iiii.Mut.,t)D 

b) Détermination des asymptotes , .gg 

CBAPITM VII : Fonctions circulaire récinroo^ m- , ; ' 

fonctions hyperbolioncn iy* vi 68 

1) Ponctions circulaires réciproques i6 8 

2) fonction Arccosinus eo 



C 

-fETUUP 

.corn 



I 



3 ) fonction Arcsinus 69 

4 ) Fonction Arctangente 70 

2) Fonctions hyperboliques. * , , # . « 71 

a) Cosinua hyperbolique - Sinus hyperbolique 71 

b) Tangente hyperbolique 72 

- " i 

3) Fonctions hyperboliques réciproques . 73 

a) Fonction Argument sinus hyperbolique 73 

b) Argument coainus hyperbolique ...'... 74 

c) Fonction Argument tangente hyperbolique 75 



s 



\ 



CHAPITRE VIII : Intégral» siMBlff 76 

1 ) Primitive d'une fonction 76 

2) Intégrale d'une fonction continue-Propriétés 76 

3) Calcul des primitives;.,, 82 

a) Primitives usuelles 82 

b) Intégrales des fonctions rationnelles 83 

c ) Applications , t ( ( , , , .85 

CHAEIÏRfi IX : Inté grale* g éné ra n a ^ H ... 88 

1) Définitions 8fi 

2> Calcul pratique des intégrales généralisées 90 

a) Utilisation des primitives 90 

b) Changement de variable 91 

c ) Intégration par parties f , , , 1 91 

3 ) Critères de convergence 92 

- 

CBAPJTRR . g : Equat i o ns, différente ^n ^, ^ ±** Pxd« 98 

1) Equations à variables séparées 4 , 9g 

2) Equation homogène , 99 

4ETIHJP 

.corn 



er 
3 ) Equations linéaires du X ordre • 100 

4) Equations se ramenant, à une équation linéaire: 102 

a) Equation de Bernouilli... . .'.-.^v* ;..*•• t y.'i»;;. .■•;' 102 

b) Equation de Riccati .... .-..-i-...;-; v* . . >■■ ■**•* - ■ > 103 

." * - 

CHAPITRE XI : Equations différentielles linéaires du 

second ordre à coefficients constants 105 

1 ) Intégration de l 'équation sans second membre 10 5 

2) Intégration de 1 '.équation complète:.,......»,.. .107 

a) Recherché* des solutions particulières 107 

b) Méthode de variation de la constante 109 

- ïiîï^t,' . - : . '» ■• ' - r ' * ,: . 

... . . i- >.» v •*•■•' ■*<■.. %■) ; •■ 

. . ■ ** 



: vu ;•+ 



' . ':■ 



1 ' - ' * 

I 



>€ETUUP 



.corn 






CHAPITRE I 
SUITES MUHEfeïQUES 

1) Propriété ft fP . 

B-dési*ne l' ensemble des nombres réels; R*=(R-{0}, 

On rappelle qu'un e n8 „ble E muni d'une loi T est appela 
groupe coanutatif al! 



- 



i) L. loi T es* interne: V x , y e E , xTy e g, 

ii)La loi T est as.ociativ: V*, y>z « E , < xTy)TE . xT(yT2) . 

iii) il «i.f . « B unique tel que: Tfn xTe „ eTxBx _ 

(e est appelé élément neutre de la loi T) , 
iv, Pour tout ,: 6 K , u exi-te y e E tel qu- . xTy = ^ _ ^ 

(OU dit que x et y aoat ayétriques par rapport à T). 
v) la loi T est co«.utative: V x, y e E , xTy = yTx . 

EE2E2 ^ii°i» i (*.+..) «t un corps comutcttif. c'est-à-dire: 



. 



- fR.O «t <TR ,.<, sont deux groupes commutati/s. ■ 

- La loi ». •• * sl distribvtive par rapport à "+-. 

"i 

Soit x * JR . on appelle valeur absolue de x le nombre Ixl tel 
que: 



M =f 



* six^O 

—x six<0 






On définit ainsi une application de R + R* 

X 4 |x 



^ETUUP 



.corn 



Proposition : Soient x.y.s e CR. Alors : 
|x| = «» x=<X 

Suit a > 0. |x| 5-.a «» -a < x < a. 

N| = |x|.|y|. .:;•,,- ;• • '. 

|x+y| £ Ixl + lyl C appelée inégalité triangulaire}. 

Il x bl*ll * l*-y|- » 

x.< y M . y. 5 s; ■+ x £ 3 

x<yety<x*x = y. '-' ,•" • " " '' 

Si x -S y et a > o, alors ax < ay . C si a < o, 

oft a ax > ay). • ' •" 

i . i 
Si o < x < y» alors - £ - . 

x y 

x<y-*x + 2<y+s. - 

V x,y € R, ou bien x < y .ou bien x > y. 

. Définition : Soit A une partie non vide de R. c r^_^ 
On dit que A est maj orée s'il existe W € R fei^e ; 



'J? Y x * M. jj^Jf. ^>^ 



m. 



Le plus, petit des .majorants de A% lorsqu'il existe, * est 
appelé borne supérieure de A, et noté Sup A. 
^J^Aest dite minorée s' i laxiste me R tel que ; 
^=A\ /f-JVxmÂi x 
Le plus grand des minorants» lorsqu'il existe, est appelé 
borne inférieure de A» et notée Inf A. 
^ * A est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée. 

Exercice : a) Montrer que A est bornée s'il existe M € R tel que: 

V x € A, |x| < M. 
b) Montrer que A = {sinx / x e R } est bornée. . 



# 



^ETUUP 



.corn 



Remarque : La partie A = [l^+<»[ n'admet pas de borné super lettre, 
car elle n'est pas majorée. De même B = 1-00,0] n'admet pas de 
borne inférieure. . 

Donc la borne supérieure (resp. inférieure ) d'une partie A 

de R n'existe pas toujours. 

Donnons maintenant une cmractérisation de Sup A- et Inf A où A 
est une' partie non vide de R ; 

S V.fi > o, 3 x e a , !*-«-* < x 5 M 

m » Inf A4» ' 

l V £ > o, 3 x € A, m 1 X <»+£ . 

Exercice : soit A = [-1,0 [ U ] Û,V2 Ï-Hontrer, en utilisant la 




caractérisât ion précédente, que Sup A = /2 et Inf A = -1. 

(R 
A) 



(Remarquer que sup A et Inf A-ja' appartiennent pas nécessairement à 



.. ..-.■ 



DM»**Ja 

Théorème : Toute partie majorée non vide de R admet une borne 



supérieure. 

Toute partie minorée non vide de R admet une borne 

». 
tn/érieure. 

- 

-4 

Exemples : On considère A = { — — r f B * W } * 

1 
V n e N, o ^ — -r - 2i donc A est majorée par 2, minorée par O. 
n+i — - " - : 

D'après le théorème précédent Sup A et Inf A existent. Montrer 
que Sup A = Sa** Inf A = Qi 



-€ETUUP 



.corn 



' • ■ 



Proposition : L'ensemble R des nombres réels est Archimédien^ ' 
c'est-à-dire, V x-e R-, 3 n e W , * < rr. : . ^ 

• ■ .-. ... / .* ■•-..• .- • ; .-" 

Exercice î Utiliser cette proposition pour montrer que : t 

V x m R + , 3l k e W : . t k <-x < k+1. 
ke nombre k est appelé partie entière "de x, TTOté E(x>. 

Proposition : L'ensemble Ct des nombres rationnels est dense dans 
R > c'est-à-dtre ,.V œ, i 6 € R avec et < b, 3reÛ , a < r < b. 

*û-> 1 , 

Démonstration : Considérons le nombre x» .t— .'> p. Puisque R est 

* l— ■ — — - * 

archimédien, il existe n e N tel que. r— < n. Désignons par k la 

partie entière de an. k. = E(_an) . On a k $ an < k+1* Montrons que - 

k+i ; .,'*'* H 

a < — < b. 

— - a » — + — - a S a* + — -a*T-<b-a . Donc 15- < t>. 

n n n k+1 n n k+1 ** 

D'autre part a < — . Le nombre r = — - e Q répond "à la 

■ . . n ■ * 

question. 



.«• ." 



®. 







Exemple : L'ensemble Z n'est pas dense dans R car si on. prend 
a = - , b = — , il n'existe aucun élément r e Z teï que 

3^ * ^ n - 




<* • - ' • ' X 

.*■ ■ - . . ■"• "V s 

2) Suites numériques ; • ,■ 

Définition :0n appelle suite numérique toute application -^ 



u ; EN -► R . On note u = u(n), appelé terme général de la ""suite — 
n ■* u(n) n ., _ „■..■' 

On écrit aussi u ■ (u ) .. * 

- n n 



«TUUP 



■ >'.■ 



xom 



Exemple : u: W + R, % i 

n ■* u(n)= — - = u 

n tl / 

« ■ 1 . u t = 1/2, u^ = 1/5 , u = l/lO, ,- 

Soient u = (u ) et v = (v ) deux suites nusiériques . On 

» il un 



pose par définition ; 



u.v = (u v ) 
n n n 

u + v = (u + v ) 
ri n n 






A..u = (\u } avec \ € R. 

SxfiœlÊ : u = ( \\ , v = ( HîJ) . 

n+1 n * n+2'n - * 

u * v = ( 2k>. ; u+v * t -4i * ^lo» - *** • ( rsj . 

n+«l n u+1 n+2 n n+1 n 

3) Suiteg convergente?» - Propriétés ; 

Définition : uno suite (u ) est dite convergente vers le 

n n 

nombre réel 1 si : ^--^ 

V *"> o, 3 N € W ,Vnf1 : q > n'+ | U - 1 \4ni . 

fl ^ Notation : lin u = 1 ; 1 ira u * 1 : u ► 1 . 

-ï n-*+oo n n n n n *+■» 






Remarquons que la définition précédente ne change pas si on 
écrit des inégalités ^itHctim au lieu, des inégalités larg.es. Une 
suite qui ne converge pas est dite divergente ,7 r S- V^3* 




Soit £ > o, cherchons N ei.W tel que la condi 



entraine- | u -4| 5 £ . 

Si - - 1 < o, on prendra N = o . 



tion n- 2 NL 






5 



^ETUUP 

.corn 



1 



• 



• L I 

si - - i > o, on prendra N = E ( ■ - - 1) * 1. ] 

€ . & ■ » ,; 

On volt bien que le nombre N dépend de c. 

\ 



- 



Proposition : la limite d* une suite -, lorsqu'elle existe , 



est 



unique. 

Démonstration : Supposons que (u ) est une suite qui converge en 



temps vers 1 



W. 



n n 



t 



t 1'. Montrons que 1 *' 1'. 



Soit C > o / up nombr e» que lconque . Par définition de la 
convergence, il existe N et N* éléments de N tels que:. 

n > N entraine | u - l| < | et n fc N* entraine | u^l'l S 5 
•Pour n > Max (N,N'), on a r . 

I 1—1*1 ■ ll-u + m -l'I * 'lu -l| + lu -1* I S. Ttf - c est_ 
il i • -n -n-- j i ' n i *--Ji — --' «wf 

quelconque, donc" | 1-1' |»0 > c'est-à-dire l»!* 1 *" 



Définition : Une suite &£>' est dite majorée s'il existe 
n n 



NeRtilfueu < /f * V n e «. 



n 



Autrement dit V ensemble < $&f'* € N, ; ôsi majSï 1 *^. 

C-U 5 est diie witnor^e #'11 existe m «= R tdl <?u* u > m 

ri n , n 

pour tout n e M, 

Artrahent dit /u / n € W> est minoré. 

n 




minorée , c ■ est -à-dire : 

3M > , V n *N , 'foi | < H. 



n 



Exemple La suite de terme général u =sin n est bornée car 

-1 < sinn <1, V n € W. GÎ^ 

— La suite (u ) avec u = n n'est pas majorée. Par contre elle 

- . n n . . n — * 

est minorée par 0. t^*"^*-* - 



6 



-€ETIW)P 



.corn 



■ 

^, Pr-?P9B i Mon : Toute suite conver 8 ente est bornée. 

*"» > ■*"*, ion •• Soit (u n , n telle que li. a^l. Montrons qu . <«.) 
e.t bornée. La déflation de la convergence entraîne pour Ml 
l'existence de N * M fc.1 q „. „ > „ e ^^ 6 | u -1,^. Par 8uite: 

[KHlII * IVIJ.S 1 * |«J < 1 "♦ |1| pour n> à. 
Soit H . Max <|-J. |Oj...:.|u M j. . 1+ | l() . Alor „ , , < ' ^ 

tout n^ W. c'est-à-dire |„| e .t bornée. 



n n 



n n 



l»fc « n -l *< l£ m M ^.,. Cll , m t0l Alors 

i> it m cu a+v -q^y *«^V 
(« Um C V v n ; = Cii* y.<t£ y 
KO Ljp a ti n )= x i£» ^, av * c x e r 

iv^ -i « - e et [.„ al u \ m l j£_ u _n 

n v n lin. v ■ 

^«î si u n < V V A.« m. aiors it m < i£w „ 

« il nrt 

DéMon H t.^tit?n : 

@> Soit r > o. Il existe N^tf*^ M tels aue n > N entraine 




SH £ 



1 v «- 1 ' tl 1 '! I u -il 

n y ' ' ' n ' 



* ■ 






4ETUUP 



.corn 



1 
■ 



-.- 



"> 



.M «et le nombre qui majore < \*A \ . putsque : ("„> •»* 

convergente. 

Dana cette démonstration on a »ajoré la quantité ju^- 11' | 
par un agt^ a de *V Ce qui suffit pott' entraîner 1^ 'convergence 

de (u v ) vera 11' . 
S 4iil) H suffit de prendre v r = > Vn c M. et d'appliquer ii). 

$) U suffit de montrer que lin {-—) « J, et d'appliquer il) - 

n 
v — » 1» * 0. Posons c= |l'|/2 > 0. Il existe alors ^ s IN tel que 

n^ entraîne ||vJ-MI* IV*'! * jl^L? ^ ~ W* " "T 
tout n S H:i 

Soit «aintenant tf >0. Il exiate Kg « M tel que n > Ng * : 

|v *1*|&*1 Pour n > Max- (N/.N ), on a . 

,i t. ^■ , L>:..- ,: 



i" - - u-' 



■v x • | i t i 

'A 1 I' n 

,. 1 ! '*•. ■ 
ce qui montre que l^g - = ^, • . ." 

J. 0)On a u n <v n V n e 1 et on veut montrer que lim uSli» v n 
c'est-à-dire 1 < 1*. Supposons que 1>1'. Puisque lim^-u^l'-l, 
o.n a pour £ ■ = ^^ > o, l'existence d'un nombre N e W tel que : 
n>N entraine 1 f« ^ Wl'-lll ■*„*&*« *■ ^7 f V»-** ""§ < °\ 




■ . * 

exemple u = - et v ■ J . On at U <v V n e « pourtant 



lia u = lim v * 0. 
n n n n 



"• -. , 



a 



-. * 



■ 



. . 



8 • 



• ! 



^ËTIMJP 



.corn 



W.-JKt. 



Exercice? : 



. 



a) Montrer que ai u ~+ X% alors | u I _, ij. 

b) soient <u n ) n ,(v n ) n et (w^ trois suites numériques telles 
que u n < w n ^^V neW . 

Montrer qu«, si li. u n = li B V r = 1, aiora llfJ £. x (Utillsep 
la définition de la convergence). 

Application: Montrer que li» ? inn = 
^- » n-»S n 

• Vi 

4) Suites aonoton/g B "*: S" *" 

r^illaû:^ -t*tu cu n > n est dite croisse Cresp. 
décroissante) si: 

Si l'^jcUM * s£ stricte .on dira ç^ <"Vn * st ^Ttcimmmtt 
croissante Cresp. strictement décroissante). 

Exemple ff ; 

- La suite (u^. av„c V „* est strictement croissante. 
En effet: u n+1 - „ n = (n+n'-n* = i +2n > o V n « W... 

- La suite fu__) 

décroissante. 



n>( avec u^ =(-l) n elle est ni croissante ni 



Exercice - 

t 

Si (u n } n est «"isaante, alors la condition n < 1 entraine 



u 5 u . 



n m 

Une suite qui eat croissante n'est pas néces sairemen t 
convergente . En effet, la suite (u^, u n = n 2 , est croissante 
-nais elle n'est pas convergente. Le théorème importait suivant va 
noua permettre de préciser cette remarque. ' 



V 



9 



* 



^ETIMJP 



xom 



.. 



Théorème : (de. convergence monotone dfifi Boites) ^ 

Tout* sut te Cm > croissante maigrie est Aeonvergent^J sa 
n n , .il- 

limité est égale fc taiborné supérieur*' de l'ensemble . 

A = <ù' / n « M >. V- ^"" , 

Toute sutte <u ) décroissante minorée est convergente. Sa 

limite est égale à la borne inférieure de A, 



Démonstration: 

soit (u ) une suite croissante majorée. L'ensemble 
un 

A= { u I n « W ) admet donc une borne supérieure 1 * SupA. 
n i. • , 

-Montrons que lia u = 1. D'après la caractérisation de 1 ■ supA , on 

n ri 



i a pour c > donné l'existence de N e IN tel que 1- £ < u^ 5 

(u ) est croissante, donc pour n £ N ; 
n n t . ., _ 

1^ £ < u u < U < 1 < 1 + £> 

. c'est-à-dire lu -il £ £. Par suite lia u ■ 1. 

' n ' n n 

.; ;"'•'.' * . . - ' ' - 

Exercice ! aoit (u ) la auite définie par: 

n, " 



1. 







- ! , •". 



■ 

s" 



Montrer que (u ) est croissante, majorée par 2. En déduire 
n n 

qu'elle est convergente. ^ 

u - 

Définitions (limites infinies) 

On dit que u — t*+« si; 

, / V A > 0",.a^«M e*l <jue n ï N -entratne u > À. 

-•..••■ n ■ ■ • 

; De même u - — » -«• .JSti"j ' . . 

n n++« 

Va>0 , 3 N e !N fta^uMaT n > N entrain* u < -A. 

n 



■ 



10 



\ 









E xerc i ce : Montrer, en utilisant la définition , que: 



2 
, . n +1 

n n+1 w ' 



5) fliiilfiB. extrait»» : 

Une suite (v n ) n e8t dite extraite de la suite (u ) ' Vil 
existe p : M — * IN une application strictement crois.ante " telle 

Par exemple la suite («^ est une suite extraite de (u ) 
ici «.). 2n. Cette suite est fon.ee par tous les termes d'indices 
Paire " U ' V V V V U 10 u 2n' ••• 

Proposition ; Si Cu^ est convergente, alors toute suite extraite 

^ C \\ sst c ^ver S ente et a ta méms , limité au* Cu J> 

n n' 

■ 

Pour démontrer cette proposition on a besoin du résultat suiv Mti 
si p: N — , N „ t une application ltrlcteBent croi88antei alor8 
*>(»)*» Vlll, (à démontrer par récurrence). 

Pé m onst, ration de. la p r o D o B )t-i ffn . 

soient (u n ) n une suite convergente vers 1 et (v ) =(u ) 
une 8uite extraite de (u^. Moritron. q „e lia v = i? " **?* " 
Soit C > 0, 3 K e M tel qU e „ > N entraine^r-l" * * .Or „ > N 

1-Pli,- *<»>>, (H) *N (d-.prea ie résul t at pr6c6dent) . p „ 
suite | V l| = | !| < £ _ nehc 11b v a ^ 



n n 

1 r 



BâJDaxaue. : La réciproque n'est pas vraie. U suite u = <-i) n est 
divergente, alors eue la mMtm cxtraite ^ convergente 
vers 1, *" 



*itop 

Tyi com 



I 
I 



• ' 



\ 



Exercice : Montrer que si les suites extraits» J*^± ot ^Sn+^n 
convergent vira la même limite 1, alora la , suite (u n > n converge 

aussi vers 1. 

'* ..." •''.';•'• 

6 ) suites ifi Cauchy : .^ y^ 

On se propose de donner la réponse à la question suivante: 
Peut-on montrer qu'une suite (u n ) n est convergente sans avoir 
--.besoin de connaître, à priori, sa limite ? Oj<o 

Mifinition (critère de Cauchy): I- 

l/n* suite €*L? *& dit* de Cavchy si etitf P^sède la 
n n, "5^V" 

propriété sutuonte?: 

V tf > > 3 * « N » y P>9 * W : P'^V" entraîne |u p -^|f *. . 



La proposition suivante va nous donner des exemples de auites 
. de Cauchy! .. 

■ > * - 

Proposition : Toute suite connvergente est de Cauchy .- .. 



n*mon B tr*tion : Soit (u n ) n une suite convergente vers 1. Pour 
e > donné, il existe M e W tel que n £ N entraine 

' *, n ■ a .es 

Pour p.q > N, on a : |û p -uj<|u p -l| t |u q -l|£ g + 2 = £ * 

Donc (u ) est de Cauchy. 

■ • ' • - - • ■- • ...''* 

• - i . i i * 

BxEBEifi : La suite (%>„. u r = ^j— , e at convergente vera 4. Donc 
elle est de Cauchy. 

a 

^ETIWJP 

.corn 



IbCarftM : route suite de Gauchi, »« comiipUA 

» . 

* 

*our .ontrer qu'une 8u ite est convergente, il , ufrit de 
montrer qu'elle est ,1e Cauchy. 
ta^ : On con 8id(ire de nouveau la 8uite ( , ^ ^ ^ 



u ■ 



*r + -^*J ! 



n , „o i + ? + . . . + — V n e W . 

1+2 UV 1+2 2 i +2 n 

Montrer q ue cette .uite e.t convergente en vérifiât qu'elle 

e»t de Cauchy. 



7) fiiiltfia ftd.îan^n^^a : ^ 

I 

* 

UUniïlS» : Ceux «eu. f Vn e£ ^^ ww d£tes t4iaemum si 
«M mjferrtlMM,. r«« t „ M£ croissante et ^^ .- «., 

^ 80i ° nt <>>. '* <V„ ««« «uites .vec v Z_| et 

V n „*1 ' <V„ e8t ûnt-MkfN . (v ) e.t décroissante et 

~ 2 

n+1 

adjacentes. Remarquons que lin u = lia v 



lim (u -v ) = li M / I_£ v _ . . 
n n n' *j" v n+1 ) = o . (u ) et (v ) 



n'n ot 'Vn 8 <"^t donc 
/ n n "fi" n 



E^^ian : te*, suites adjacentes sont convergences et 

admettent la même limite 



4ETUUP 



.corn 






néBonstration : Supposons <iue (u^ est croissante, (v n > n est 
décroissante et lia : (v^ - uj = 0. La suite (v ft -u n ) n est 
. décroissante et converge vers 0. Donc v q - u q > O V n e H, 
c^at-à-direu <> V n G M. 'D'autre part: 

V« u l S V" '** Vl £ U n * V n" ^. l V' • •- V P ". 8U ^ ! 

(u ) .est croissante majorée par v Q et (v^ est décroissante 

minorée par u Q . Le théorème de la convergence monotone des suites 
entraine que « n -jf 1 .t '^ ^ l>.> Pi™/" **/? 

liaCu -v ) = lim u -limv * 1-1» = 0, c'est-à-dire 1 = 1'. 
n n n n . n>, R B .. 



Exercice : Soient (u-K •* '^Vn d6fiftiea pftr! 



3 7." 2 

n*l S n 5 n 



. u - 1. 



• v = 2 ' 



2 3 
V ntl = 5 U n + I V n 

Montrer que (u) et (v) ocnt adjftcentee. Conclure... 

n n il n • 

Calculer lia u et lim v 
n n n n 



S). Suite* rScurrentCg : :.i*-.v •••; 

Soit f : D c R — » R avec f (D) C D. On appelle suite 
récurrente, une suite (u ) ( définie par la, : donnée de son premier 



n n 



terme u Q e D et la relation u^ +1 

Exemple : 



= f(u ) rf V n «Jt« 

n ...■.- 



' »* 



n+1 



a Y 3 4 U 



u 



v 



u = f (u ) avec f : t-3,+-<=0[ -» R, D= [-3,+œ [ , f (x) =/x*3 « 
n+l n . 

On vérifie que f(D) C R C D. 



14 



>*ETIMJP 



.com 



contins et ^ convttrg . ^ „ ^ - ^^ J^^ 
Pour c.lculer 1, il faut réaoudre ^^ ^ Grâce 

1 unicité de la liait». uno 8eule valeup de , ^^ 

*ra**XUan : On «„■<* £« notât tow et-***». 
Si / est croissant» , alors: 
° f Vn *»* crot-ssente st /«w> - w > 



EmbeIe : L« suite (u ) défini. p. r fVi = </ 3+ « 



( n+1 



n est croissant* 



«« f(x) = ( /3+ x est croissante et ff _ u . (/| > g 



o' "o 



X5 



-€ETUUP 



.corn 



eu ï 



ProgrammationO 



cr 



^* i-, V eu Algèbre 2 

Coursin « sî 

| S Résumés S gg f f | 



.2" Analyse ç Diapo u ^ £ 



^ w f — • r-(D 



eu 



Exercices! 



^ ^ Contrôles Continus ^ ^ 

Langues mtu^S ti 

Thermodynamique -^ # ^ S 

Multimedia [jlVGfS 
Economie Travaux Dirigés ±i 

Chimie Orqanique 2 

Q 

et encore plus..