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Full text of "etusup"

CHAPITRE V 
FORMULES DE TAYLOR 



- '-" - ■ . 



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- ' • J 

Une fonction f qui eat 1 +~* ,* 

- - ™ u: ^rrrvsr point *° ' 

avec , (x , f ^V <:Cû, + f,Uo,(X " X «» J + (X - X o , ^ 

•' ■ • 



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*>« une- fûn£tion g: { £ c/^ eonttn 

c « continue sur la,bJ 
" ***•*• sur Ja.W.tO**^, , 



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*********** = On v. .p pli<luer plu-ieura f 



(n) * 

n+l' U * 0n Prend c ■ c 

n+l 



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47 



^ETUUP 



xom 



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Théorème : ilorjaulfi. fe T^oT-1 , ftHrwi^> 

Soit f: Ml — R ^ec f Cr ° contins *** M* ** 

«MM* sur M. Mors £ **«*^fg Ifl^j Wl^ 

C'est la /ormuU <** Taylar- La*ran*e. Le <«™* 

gj£g>* Jto*&M s'appelle "reste de lagrang*".' ' 

'* * ' 

pfiponstration : . n+1 

On P0S e ï( X,=m»4 f U,^na,..^ ,B, (a.^rïï*l 

OÙ A € K, ...,-.;: y" ''"•' 

Par hypothèse g (n) est continue sur [a,b] et dérivable sur 
]a,bl. De Plus g(a)= 0. On va choisir A de sorte que 8<b)= 0_, 
c" es-à-dire : n+1 * .-^. 

(«) glbWbl-HW^'H»)*.^ b (n+l)'. Al - 0t 
Pour 1< p< n: , 



2 



.«^(iw^w =3 f(P+1)( » )+ ^f^^w 



(n-p)l f (a) + (^î^pT! A '• 






On vérifie que g (P) (a) = 0, V p «= ( 1 n}. Donc 

g(a) = g'(a) = ...=g^(a) = g(b)= 0. D'après le lemme précédent il 
existe c € ]a,M tel que g (n+1) (c) = = f (n+1) (c> - A. D'où 
A = f (n+lï (c). On remplace A par sa valeur dans (*) et on obtient 
la formule désirée. 



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* ■- 



..... 

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48 



^ETUUP 

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***U*lX* : Soit f: [atM __ R W, 

- 

^•v——.»^ ...«,, 8ur [x ° iX] - 




» _ 



I * '• *: 

te nombre c do 1» * , 

L»fe«i '««ul. dépend de x o„ 

" « ^ pose x KX +h , # ,X ° aVeC »<•<». 



° 2 ' C ° , + - + - f ( V*fnTïT !f tn+1 >(c,. 
un * obtaent en gardant 1... 

co- P ri 8 8trict« ent entre et x n! <«I>l f 






(c) avec c 



******* ■■ f(x,= . lnx , a 

On a: ' - - V" ° 

„3 5 6 

ain x = x - £- + i_ . x ° . .. 

3! 5! + ëT <-»in C ). ( à vérif ier) "" 



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49 



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.-€ETUUP 



.corn 



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J,l^A- ; )C '•' °" Vt U*> 



« * «• [a b] — • t avec gCxJ>^Cx^'. . .'S <V" 
dépax-U 



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Soient /: t*»W » ■ . •* x <? 

/*W existe. >»lors pour tout * e r*.W-' - . 

" t&**x> -o . . *■■-*■ : - • •_ ;"; i .,..., î 

x -: • • •...«.•••■••. •*' '■■ ' ,. 

--On vérifie aue g(x)= g* (X )= 8 V 

t lemme précédent^ im _ o .. ,,v 

| o (x-x o > 

t lim £(x)= 0. ... , . ■• 

i x-»X_, •: 

i»„r dans (*) et on obtient la formula 
On remplace g par sa valeur dans l ) 

î * - ;* ' • "' '■• 

du théorème- /( >., . 

* 

4) zaxmuie fe Ma^axin^^ «. hvpothèseB du théore-T 
0„ l'obtient en gardant les -en.es hypothèses 

précédent et en prenant x = . On a 1 1- - - 

x « « Wi>«ù ♦ — *•(*)+ * £ x > avec 






lim £(x) = 0. 

x-*û 



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