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ÄrilHppus philofoplius Socraticus, nau&agio
«ectus ad RhodienGum littus« «nimadvertilTet geometnpft
rfchemata defcripta, exclamaTilTe ad oomites ita dicitar;
Btn» fytr^tom ^ kominmn etbnytftigia ViiefK' :

Vitrwr. de Archlt« Lib. VL PraeF.

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y^üflihti, Mit b«ffeii tOotccfonbe unb tMitn Sc»
benlumflinbeyi mäfti d<i»tffe« befonnt tfi, ccbffhctr
ttntrr. ber Stegieruns be^^$6m^e< ^^todmiut &tm^
300 Saläre Mt bem Unfanit bet sen[)6l^n(t(^m 3f ^^^^H^
tiung^. jtt 7((e)rattbriM (itie @c!^uU ber !0lat^emattf^ '
SDelc^ft etn Sa^ttattfettb l^tttbiirdS^ eint @c^u(e f6t bie
$B:e(t getDefeii iß, itibem fofl oOe gro^n SOtätl^ati^
fec t^ 7lUm\)utM hmn xfitti&UbunQ etf)at(cn^^Um .
Unter brtt (Schriften, toelc^e et fowo^I iur 2(K8ireitun^

/

ote jur iffrteeitetung feinet ?SJiffertf^af% betfaft Bat^
ftnb bie (Elemente mo ntc^t bad botnel^ntfle , bod) hai
Beröfemtejie 9Berf^ »efc^cd bem 58erf äffet fc^on be^
feinen gebieiten ben 55efi| bet UnjlerbUd)feit fid)ette,
itnb-iug(eic^ ba^ einjige; me(d^e« ganj unbetflömmef(
ouf bie aflacfjnyeft gefommen i% @ie entl^aften 'bie
@ninb(e$teti bet gefammten SDlat^ematif^
k« i. bieientgen @a|e bet ®eomettie unb ^tiel^mettf^
tüefc^e nac^fl ben eigentlichen ©tunbf&^en bon bet otlgej;
itttetn^en unb Muftgflen 2(nn>enbbatfeit finb^ in einer
(öftren !8oUfommen]&eif bet SDletl^obe unb ©c^tfe bet
^emonfltdtton ^ baf fte in biefet fRöcf fid^t aud^ noc^
|e|e; ('^9 bem*Jbi^:<i^ek^iytn|^e^utib*Jßetbo({fomm^
tiungen allet 2Ctt fo felE^t bet&nbetten Suflo«^^ b^t SßJif^
fenfdE)afr/ a(d bad Uftt !02ufiet^4mpfo^fen n)etben f5m
«en* Uebet biefen il^ten SOBettl^ ]^ettfc()t feit il^tet 2J6^
faffung unb etjien @rf(f)einun9 nut Sine (Stimme* 3«
2((tett]&üme waten fte auöfc^Uegti^^ unb «in (SugfaiÄ
fittbfe no<|.te|tfaflbad€{A)i8e^'Ctoff{fc^e£e^iibäd^b^^^
^Beoinetfie: 0e finb Ur^na^tm!a\iti&pta^etiüt9Btk

. tüptbrn V wi^tn |titi>et t»«? SÄüijlcr wie' l»r Je]&:rtii0
tfeit^e SRa^runfttmt>>%efri(^tp«&: t»eoR fcnen bie;^«/
ft^dhe B>»faittmeiKß«(lo»8 unb S^eitnbttns bei» 0S|e
it>b bte f«tne )^p(«ttun£|rttBb, Stheinonbecrei^tt^ ber
^ißffe- i«><f ßmti^tn bitfdfeo onfpHc^fV fjy fagt

^ ÖUC^

e. i n isiH vLtt i} vir

4a4 ^f ß^f Ht ju; ' t^r<^e $ft t^m ftc^ bar^tetet. Sit;
ti^ef tfl btefc; ^pc^dt nr(^t von ber ^it, bag fte me^
äberrebenb äl^äberjcogenbülacfybenfen unb Qtnfirendun^
d;I&ft: eint fofc^eauf Jtofl«n ber ©rönbftt^fett erfaufte
$a§(t(^ett ift unter ber <S^&tbe einer äBiffenfc^ft, wie
tt^ ©eontettte« .2(tic^ »^ät Suf (ibe« bott biefem ber
0eometYte burc^ tl^ten flrensen ©att^ eidehtJ^ämHc^ett
^ert^e fo burc^brungen / baft er felbfl feinem A6nt0e
iiim Srfemen betfefbett feinen onbetn iQ^eg a(d ben^-
toe((^en et in feinen Sfemeneen denommen l^atte^ bor^
geirrten jü börfen gfeubte *). 3n bet $1^«/ ber flrenf
mffenfdjaftfi^e ®an9^ tt)efd)er feine £ikfe (&|t^ fem
betn nüti auf meni^e itnbeflreitbaife &h^t t>md) tint
iroidmh$\%t 9)er6inbun9 unb ©tettung ber ^a^rl^ten
{uräcfffi^rt, ifl aQet» berjehige/ n^elc^r ben mb^li^
ffA%Hn ftttiMtw mh moterieSen Sflufen ^n)a]^t;t> unb-
ed^riftjlete^ oberfcel^er, »efc^e i^e Sefer ober 2e]&r^
ftnge anf einem onbern SBBege feiten:/^ meinen ti »ebec
ittiei^n ho«^ mitber?©iffi?nf^aff attfri^tg unb emjt^*
ti^ 9entt|. ^Kuc^ l^aben btelSerfuc^ei welche berfc^ef*

a 4 bent^

*) ®ir gäft i^m^ ürte gjroefu« in feinem. ®>mmimtar »er

bd6 erfle ^ud^ ber (Stemenire eeH^^tet^ auf bie Stoge: oi

f« teilten (ikieren tHtb>^<|aeme9en' SSeg $itr ©eometrte a(»

^' ben biir^ bie (Kemente sÄ^i «ur 3(iitti>ert i Stein; ei

- fft^tt teltt tefottbet« fft.i? Äinlae geeftneur

©eg (via regia) jttt Geometrie, -— Non datur
^ ad Mofas cviifere lata TiOt .

vm Einleitung;

bem(tc^ ^emac^t iMrben finb, boft. SuHibifd^l^^finii
a6}uanbern unb ben @&|en t'^eito eine anbete @te(httsg
tmb Solge tbeite anbece %en>eife.iu geben ^ itU^bouetm^
ben ^e^fali gefia&t, fonbern fuib 6a(b n)ieber in 8)erp
gj^en^ctt gerat^en« ^ie Geometrie fögc fu^ min ein^
mal m4)t inbie fo genannte @c^u(niet]^be/nac^n)e($
^er aded , »od ,toou einem ©egenßanbe , 5. IB« bpn ^n
ü^riangefn; ju fagen \% jafammenitenommen wirbf bit
tiitiige 9legef ber Orbnung in tl^t ijl^ bo^jemge bocait
2u fleUen/ ^o^ jur richtigen Q^inftc^t be6 fo(genben biem«
S>anim (&gt ftc^ quc^ bet 3tt^a(c bei: Stemente xx^, \m^t
f2irm(icl[>en ^abette barfleüen, )x\mti^\ in il^nen gen)tffe
3(bfd^nitte bemetf bat ftnb , wq ^u ben bi« ben bal^in
gebrauchten unb betatbeitetenj&egtiffen ein neneti t^xL
tieneg (Sfem^nt, l^iniufommt. ^ietnac^ l^at man bie
f olgenbe Sn^aft^anieige ju beuttJ^iUn / xotX^t l^iet jut

ff

C^tfeicbtetung bet Uebetftc^t bed ©anjen unb bet ^ennt$
ni^ feinet einzelnen $^ei(e f&t bie|enigen, tDclc^ie bie
S(emeiite bed ^uftibe^ noc^ nic^t fennen/ mitgetl^eiic

»itb*

* ■ ■ •

%\t ganje ®eomettte {erf&Ut in bie ebene unb
f&tpettic^e gjeomettie^ 3^"?Jft i" ^^^ f^4)* ^^.^«
193öc^etn bet QSiemente ^ biefe in ben btep \i%itxif bom
Uten bid jum isten %uc^e/ abge^anbe(t* %\t f^v.
ttdc^fung bet tegutöten ^iguten unb^tpet fül^rt; wenn
gen>iffe S[)et^&(tniffe ^^ i^nen bejetc^net unb audgefpto^

4en

1

/

d^eti nHfbeti foUtii/ auf bie-^^^^tie ber 3^^ttoitttrdt6^
^tn, n>dc^ bte 2e^re bon ber (Sommenfurobifk&t. Uftb .
3ncDmmeftftmibi(it&t bec @fr6gctt boraudfe|t« .^iaDoit,
{^anbete bitf i«te !Buc^* ^ie l(e|yre boii b^r . C^eHun«!^ ,
furobiKt&t uiib3lK9mmenfur<iit(it$l bct®r6gett ifl feI6fl
»lieber bon ber 3^¥^n(e^re ober 2(tttl^mettf abl^ingts«
®al^er ifl biefe inben brep Ätigeft 95öc^<ttf /•" böiirrten
Bie ^umsftettv giiemfid^ bott^bt^ unb ois^fdi^vfiC^ Mr^
Setragettf ^i^-faffen fic^ bemnaci^ )> i e r $l^ei(e ber ^e$
tnettte utttccfd^eibeti; ,mld)t mit i^ren Uittetabt^eilunden
tHir noc^ etiMt g^Qauer oofflirii^^ft werben foffen.

^etetüt $^ei( 6etftft fowol^I bte ^txt^tfyiniSt
att att t)te Sigenfc^afren ebener .^^guren ^ ^auptf(^c|){ic()
bie ©feic^beit nnb 2{e&nlic^f eit berfefben* 3ene wirb
in ben \>kt erflert^Säc^etn/ biefe im sten ütib 6tm
Säuere betrachtet.

Srommem

i* IBonjSriän^efiu ®ag i*-^26«

2* 8on ^r^e((imen ttnb bea (tcb. barau^ ei|e6enben Si/
senf ((iaf ten ber $rian^e( ttnb ^raOe(O0ramme« 6a(

3. ^A(ei^«90 ,ber ^riof^elmit ben ^raO«b|^ammen*
6a^j4i— 4«.

«5 ^«*

<»

^

X € i «1 ei t tt tt g.^

'©a« jtwvte S5«4 58om Dtewatigrf ober tec^t«

g^il uAb iCluabrate/ melc^^ ^^^ <^ud ben $l^en etttet ^o
ober ottbert' gefc^nitt^ii^ri geÄberi Atme mäc^Ät (äffen,
mit eittanber bergfic^em @4 i -- M^ '

' I

. -tpo« trttte S5u(^. ...SBoot Äwife. . .

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i« itttfngerAben hinten in tmb an bemftreifc» Oat'iv-19^
9i Oön SDinfetn in ttnb an bem Streife* 6<i| 2^^—34»
3; S9erd(ei(bung ber dtectangeC nnb Oudbrate Don geraben

«

Sinten in ttnt) an l^Mi ftciSfe un^ inn &Mm ftevfcfiT^

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V . • ' ■ , ■

Ibad oiecte S5u(^. SOon SBefd^reibun^ ber ^igu^
ren tn unb um einariber*

■*■ ■ #

, j.^ Sriangel unb Ärei8. , @a| i — 5^
2. auabrat unb Ärei«. ©aß 6 — 9. .
3» !pol99on unb Äcei«. ©a§ 10 — 1 6*

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- i . <

©t6pen überhaupt. .\ ,

2; aßiw ?proportiMfa(ar6Öem Öä| /

'■•<■■■■■ ■ .■■•^■- ' " . ■ , ■- .

* 3* Ser&nberungeu/ beld^e fi((i unbefcbabet ber ^ttpporttoi

natitat mit einer ^rot^rtton oornebinen lafeti/ ober
i^rf^iibene Sfrten du^^ iriner Proportion {u {^^^^

6a|.i6 — 25* ' ."

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tl i« (ei tu tt d«! aa

^»^ ..• • .1. '.. •f-i,.

gr tl^ut !bi« oüe @&|e, welche im fünften 55«c§e t>on
aud0ebel^nten @r6fen bmiefen'toocten/ aiijf^ neue ton

a »••■ .

.S^ad/tri?^^.$U(^,.-^ I^Kt^b^c bilcmcn- ^^ot^oo
dciutecS^^ten.., ^,; .....

23 — 41*

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f ■ ■ f ■ • ♦ ^ : ■ ' ■ * I .» . ■ . .

14'— 'aT»

S)a$ tintme S5u(||*' -lipon beti iefontimn 2(mn

• •'•' » I. Ott««

XU (Ei nie t.tu tt

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4. ©oajttnbifle 3ö^I«u €a|35. 3«;

4 >. SM'

.4* .
4 . <

S^ec. tiiitte ^J^fU I^Mt Mti tier &mm(ii«

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im iäjnun ^üd^e.

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t^ CommenfaraMe unb incommenfttraMe 9c(iau 6fl|k

■

3* 3trationa(dt6gen bttt;c^ Sufammenfeinu 6af 37 --^

jU Secgld<bung aflee tMit^ecge^mbtii 3tr<)tfoiii%ti§en.
6a| 112 — 117*

*

* •

9et46erl^<)M9( unb ^n Jben|em$en it6r|üent iniibejbnbere/
beten SBergfeic^un^ gerabe ju gefc^ej^en fotuu-

I. JBon ber ^dge gevabet jNiiim mb ebener Sf^en gegen
' ; Ebenen» Saft i -^ 19. ^

^■. *. .M ■ ■>r.

9. OM

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if. Qflli f icpetß^ aStereftt. 6a(do— «03«

- V

löai ixpHftt SBuc^* S^on benfeniseti A6rt>em/
beten 9)er$Ietc^nd ntc^t oerabe iU/ fonbeni buic^ ättbrre
in il^neit befc^riebene ^efcl^effct.

I. S^ ber fj^amibe ttnb im fMAtno» 6«g i -— 9*
2« Som itegel itnb Splinbce» GoU 10—15^
3. Oen ber Üttgel. Ga^ 16— 18*

« .*= .

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htt xi^ixiluxi ^drpec un^ i^ret Umfäffufijgi mittfi eine

JU tDoii 2iiitni> bie tt<i4 fUtigct yco|»Mti^
finb. ®a( 1— r6%

d« Son regulären Figuren« 6«^ 7—1«^

3« f6on ben fftnf regul&rm ftbrptrfi« 6<i^ 1 3 --*- 1 8«

9)ttt tipn bre^je^tttett ^uc^e enbi^eti f?(^
Sfemente bed^irt (tbe«. S>ai bierieWe uttb fünf jdbnti^
^uc|f tönten nic^ loon t^nt / fonbern t>on $9P(tfk^/
einem Sßatl^emättfer ju Iflejranbrten im jn)e9ten ^(Afc^
l^unbert ber gemeinen 3^it«ecl[)nttn8 , ^er. @ie finb,
weil fte %rtMiX{X\^ in ben Tfulgaben ben (S(ementen be«
Siiflibe« ange^n$t werben/ unb eiqen nid^t ganj uti^

inte.'

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3a% . € i tt l c i t tt. n i

ben äbciscn $ä(^ern ^epgefägt mttxn.

.f

I • *

dBetfel^ettf wie ((i(^l^aft{g bie iSfeinentt Ui ^uHib^f
^nb> unb weld^e jtenntniffe man ftc^ buc(l[> tai @tubium
becfeften i'n cm«r6«n l^n botf. ^M^tAUf) wirb
biefed @tubwffl auf bie fecb« «tflen ^t^unb aufbad
eilfte unb )tt>6(fte $u(^ beft^rinft; ja tfnfne Sompen«
bien (äffen mel^centl^eit« auc^ bad itve^te unb f&nfte ^u^
unbetäcftl^tigt ^j^l iwe^te^uc^ U^t.ftA aUecbina«

Deimittelfl b,er Suc^flabenrec^nung erfe|^rt/ tDenn mau

-• .,>■ «,■. ■«,■-■• '

ben $&ottl^ei[ einer «ein deometrifc^en ^nfid^t aufgieHr
unb bie ant^metifc^e fDteflfung ber öuabtaie ttnb 0ted)ti;
'etfe ju J^iUfe tiimmtf t9e((§e inbefTen et^av» bem feic^«^
tett %u(^e ^enge derec^tferttget ti^erben fatmt (i6er ba«
fünfte SBuc^ mug feiner mtgefefen (offen, bem ti barum
f^u t!f)u\x i^, tnit bcr ^Ugentetit^eit unb (Strenge einer
S^ecrie ^ärje unb Seid^tigfeit in ber 2(nt9enbung ber^
bunben su feigem ^ttoai ^^nlic^e« gjfejki ^nfel^ung
ber aritl^metifc^en ^ät^er^ bem fiebenlenots stim neun«
ten. ^iefe mt\)alun einen fel^ fe^&|b<iren Stofong einer
eigentlichen 2(titl^metif ober $l^eorie ber ^af^itn, »eld^
einen ber tntereffantefien $^ei(e ber ^atiftmoAt oud?
mac^t/ unb fe(6fl för bie gJnvriö wichtiger iflf a(« man
ilaubtn mhifyu. Wlan mu$ biefe ^äii^er>e« QgufUbeS

lefen/

€ i n I e 1 1 u n d* < xy

freite jut aSet^Ieid^ung mit bei: neueren SBel^anb(iing«<»C
betf^t6en ©egenflaitbe bermitte({l einer gonj anbem tmb
toDÜfornnineren @9m6o(if. Hui benfe(6en 0ränben ber:^
bient, imb {mar in einem noc^ I)6l^eren ©rabe/ ba<
iel^nte %uc^/ bad man 8em6^nttc^ fär iiemitc|^ unni&f
anfielt; flnbitt iu n>erben; inbem e« bep ber J^d[^
ftmpefn ^eieid^nung^att burc^ bfo^e gerabe Linien eis
toortrefflic^ed Uebungdmittel . ber 2l6(b:action barbtetet/
ttnb biird^ bie $i^fe unb fpfiemattfc^e SSoUOinbtgfeify
loomiteifi iiemlic^ abfintfer^egenfianb be^anbelt tfi^ ba$
%t^t ^epfpiet f^r ä^nlid^e Unterfod^ungen Hefert. f^ai
bte^iehme Sdnd) mar fär bie Tdeen^ burc^ bie SBeiiel^um
jen / in, totldft fte bie regulären i^6rper mit ber 9Be(t
festen, freplic^j »id^tiger afö ffir und *)• 3«beg berbient
Suf(ibt$ ^el^nbtung biefer ^&rper; bie in ber Zl^ot

j^böß einfach ünb nett ijl; immer gefonot $u merbem

•

, Ungeachtet ber Pen ben eminenteren ©eijlern am
etfannten ^ottFeffdc^feit ber Q^ufltbifd^en Elemente l^at
cdbp4)/ fe(b^4<^ ben neuejlen Seiten / nic^^t an Gablern

ber*

*) ^tlia fagt^ ttttb neuere, «»runter felBft Äepter tft
\ahtnti ff)m uac^efagt: Me Sottftrucrfon unb Z^tiit ber
regiti&ren ^rper. fev ber gtoctf M ganzen Sßert^ ber,®e»
mente» iSdfiner f)at in feinett 3(nfang^gr. b. ®eom.
30^65. 3uf.8. 2(nm/IIt. biefcn (StnfaO auf eine tt)igi9e
Hvt miberiegt itoutn t>erb(Mt er auc^ eine erttfUTt^e M*
berlegung.

betfe(6^n.9cfel^. S)te S3octt>6tfe biefet / fo n^ fie bö«
®anae ter Sfemente angel^m/ (affett ft^ WuptfHltc^
auf gSDe^ iurärfSringtm 3u^<1l ^^^ inan bem @uf (tbe<^
«or^ er ]^6e fein wiffenfc^fdic^eö ©ahje/ fonbern nur
SBruc^öcfe beffe(&en seliefert darauf btenc jur 'Unu
n>prt; Iki§ €uf(tbe< <utc^ fein @9ßem ber (nieberen)
@eometrie/ fonbem nur Q^emente f)abc geben tt)oOen/
soelc^e bid |e|t bi^ auf toenige 'äMnaf)mtn fÖr lureic^enb
gef unben toorben. (Sin boUenbeted @9flem> ber ® eome^
trie ifl ö&er^ui>t a^t fic^ ntc^t mbi^ii^, ünb eine @amnu
(und ^^ ^^^^ ^^ ^^^ Geometrie entbecben äBal^rl^eiten
in ber $]&ät bon feinem fo großen Sflu^en / alt inan ju
Sf auben gineigt fepn b&rfre* 9Ber bie (Skmtitt hei (Su$
Kibe» fi^ wH)i befannt gemacht ; unb bie ber ^aü)t»
matit eident^äm(i(^en Wletffc^htn, neue äBaj^rl^eiten ju
«rfiiibett/ ftd^ ondeetgtret l^at/ iP; wmtdflen^ ^itmciitttf
tint> fo weit e< bte aUen anf<m fDletl^obcn etwa anKes
benbe Unbott^ommen^eit 5u(ä|t ; im S5eft| etntö »oUeit«
beten @9flem$ ber ©eometcte. t)a§ l^teiturc^ f9flema;
tifc^e @amm(un9en ber wic^tigften @a|e unb ^e^ren
ium.$e]^uf getoiffer ^mdt niifit an^gefcfifoffen »erben/
»erfleht pc^ t>ott fetbjl.

ISin iwepter SSorwurf/ »etc^en man bcm Sufftf
bei mac^t/ betrifft bie S^erbinbuns unb bie ^eweife ber
@i^e. Spion fogt, e« fep fein Uebergonj bon bem einen
iunt o^bem @ale bemerfbar^ unb man fe^e ni^, wie

man

tiitlt itun ^ XVII

mäti auf Un Sbtxo^ etned &a^«$ fommen f6nne/ ba
fo fel^ i»ie( wiüt^tü4^ in bett (Sonfhitcttonen l^eixf^e^
mtanf biefe ^3<«»rife gc^ränbet werben, föai ifi aber
fut'töd^u^er unb tn ber $]^t un^ctetmter S^omutf/
eitimol be^toegett^ weit bte &mtMt nur bie J^auptfS|e
begreifet!, »obep jebfe @a$ tl^eite butc^ bie ju feinem
Sßemeife effbrber(i(^ti toor^er^el^enben &h^t, tWi§
burc^ bie nac^fotdenbeir, in bereit ?bmtii er mtebenim
eingeigt/ feine Steile erl^; ime^ten^be^^b, »eif bie
Srffnbung ber @a|e unb il^rer ^emeife ein §EBer! be(
@c!^arfitnned ifl; unb bon OTombinattonen ablängt/ mor;
{Att ft(^ feine dtegefn geben (äffen, ba ft^ inber frepefien
SRmegti^feit unferd ©eifled il^ren ®runb l^abem

•

^ai nun bie gegenwärtige Ueberfefung ber iSli^
mente be« (guttibe« betrifft, fo giebt fofc^e jwar bae ®r{e#
c^ifd^e Original/ fo wie toir fofc^ed in ber 0regor9ir
fc^en^2tltfgabeief^|len, ixoat nid)t t>on ^oxt ju äBort/
aber bod^ f» wieber^ bog ber eigentl^iümUc^e @etft ber
Siemente burt^auö ni^t berloren gegangen'/ fonbern im
©egentl^eif bog ^uffaffen beffelbeu/ wenn man nur
bepm £efett ber Ueberfe^ung nac^ ber tüeiterl^in ju er^
tl^etfenben Tfnweifung berfaj^rt/ noc^ erleichtert morben
ifl« ^mit biefe ^el^auptung f(ar werbe, wirb ti nb#
t^ig fepu/ ben Unterfc^teb biefer Ueberfe|ung t>on bem
Öriginafe aniu^eigen; welcher l^auptfacf^fic^ auf folgehbe

iW9@t6cfe anfomnrt;
CoHib^^lMk i5«t«er. .. ; b S>ag

^ai^vflf bf rf((6en (efle^t in bet 3ttfomtiieii)Ul^a
tie 2iuifa9e (ew« ) eim« @4ed mit bec tU^iöIeduns
•bir (St(&ut»un8:beff((6(ti (eN&«nr) burc^ 1£kiif^utt^
«Hf eine $i^r eber txn mtn^tU^xti ^clijM6i^\pitl
3ebo^ t^ bufe 3iifatnmeitjie](tut^0 f» dema^, bo§ iKit
9B<dt<iffung beffeii/ nw^atifbü^tdac ober bqd 3«l^(ett<
«r^mpef ^eattt ^at/ jebec @;a| einen »oOflänbid^n (Sinn
itnb bte jiebedmaliae 3(u4f09e dte&t> bte eidentlit^ ^9A
9xata<x4^tf wotf man bem- @eb^tniffe aniUt>eiti;aueti
Itnb einjuptasen ^t*

j)a« iwepte ©törf ifl b^r @k6rauc$ bet Sitote, tn^
bem flott ber tt)5rtnc^l^n ^nf Artung eineö ®runbfQ|e(
ober fc^on ))or]^er ermiefenen Sel^rfa^c^, beten (t^ iSuf
flibe^/ n>ie bte ^2tften Ü6erl^aupt| bebtent"^)/ 6tj)g biirc|^
furje, (eic^t berflanbUc^e ^t\6^iti auf jenen ^runb^ ober
2el^rfa| l^in ^ unb tetKDtefen ijl.

35a« briftte @täcf enbfic^ ifl ber ©ebrauc^ ber fce?
Jfannten aritl^etif4)en unb emiger anbeten Z^^^^
Ä^ag l^ierburt^^, tbofern nur bie SWtnge b*r S'^fe^« bem
Qebac^tnig rnc^t (&f)td fäKt/ 6e9 ber baburc^ erl^Itenett
5ti&rie bte Ue6etft^t bef^rbert unb ba« t2(uffaff«ii erfeicf^
terttoerbe/ tff Jtir ©eni^ge befannt«.

'3t««

. *) O^e 3toei^( mgen (er bamaKgen $orm (er ^A^er.
SuHibeii fc^etnt aber (ei; ber öfteren ludrtUc^eh XnfA^rung
ber &&ge auc^ noc^ bett Stt^ccF ge^bt ju ^ben, fl^ bUbtirc^
ban ®eb&^miffe feiner ec^ftter itflfer tinimiiS^

Tivahtm&t^adtm ttQitU ft(^/ bog ti fel^ feu^
ifiß ma ber Uc6erfe|ttnd Un&ani, mld)zn btiiCtu
tinal mämti tti^ b(o§ ju erfennen/ fpnbem benfe(6ett
<ntd^ doni genau batitifteUeti* 3^ t>cm Snbe fefc man*
Ük bit Ueberfe^ung (eben @a| ol^ne bie $uc^f!a6cn/
i»e(c^e ftc^ auf bte ^tgur ober bad 6et)gefe$te B^^^^^nbeQf
jpiti UiUfjtn, im Sufämmcnl^ange^ unb beute tl^n afd^
bann nbc^ aütn feinen Steifen auf bie Si^ur ober bog
3al^(enf(^ema* ferner bräcfe man in }eber ^emonflro^
tion 0bet auc^ in ber 2(uf(6fund einer Znfiabt bie in* bef
Uebeffe^ung gebrauchten Seichen burd[> ^orte aui, unb
mtbet^ie bie dtirten @&^e^ bie man auc^ fonfi^ totnn
num. fi(^ berfelben ni^yt mel^r erinnert, nad^^üfc^fagett
l^at/ wn 9ßort |u ^ort. ^nblid) mieber^ofe man am
iSnbe be^ SBeweifed ober ber 2(uf(&fung bie 3(u«fage be<
6a$e0 itnb filge berfelben bie feperlic^e. ^ormel : ^ e f
ifti iu bemeifen ober ju »errichten xoat bep^
fo f)at man tai {Original bo((f}&nbig n>ieber« 3^^ ^^^
ß&tigung unb ISrfauterung beffen flebe ^ier bie tt>5rt(ic^e
Uikrfe|ung be« 4<(ten ^$M be« erflen IBucf^«

S)er 4L @a$.

SBenti ein Triangel mit einem ^araaefogramm
eitterle^ @ninb(inie f^t, unb imifd^en benfe(6en ^a*
[\t9Xitümim.pf)ti fo i(l bad 9V)raUe(ogramm bot>pe[t fo
sn| ate Im SriangeC. .

b d !Bö«

5

)

XX

C i n ( e i t tt ti t^

A.

tk

E

]Da6iPat*df(e(od(amm ABCD
^abc mij fcemSlciangelEBC cu.
iietb9 @runt)Knie BG^ wt> fte^e .
(toifc^en beafelben ^aradellinien
BC/AE: ic(> behaupte, tagM«
^atafl^Iodramm ABGD ))0ppett fo grog aI6 ter ^(iangef
BEC fe9.

di toerbe AC gejoaiiu

» » ♦ f "

N

2)et 2tiait9et ABC ijt bem ttlattgel EBC gleich : benn ec
Ifl mit i^m auf einetle^ ©tunblinic BC, wb gtrtfclw benfrt^ .
iien^ataaenimen BQ^ AE. Slhin i^ ba« t^atdOefiygratetii •
A6CD boppelt fo gtog cdü btt $xiamtl ABC: benn bie
2)iagDnaIe AC fyalbixt folc^ed* So(d(k^ ift bod ^acattefodramoi
ABCD auc^ bcppelt fo d^og afö bec ZmtXQ^t EBC*

Sßenn bemnotb ein ^ratlelogtamm mit einem tvlanfiA
dnerlep ©cunblime ^at^ unb jtoifcben benfelben ^ataMlMm
fit^t, fo ift bai ^avaOelogi^amm doppelt f»^vog atö &ft
SrianfleU SBelt^ef ju betoeifen min

^»Skt^t matt bi«fm @<if r fo toie «r ^ttx ftel^6:
mit bet ^atjleliund/ in toef^et ec <B. S4> unb ss. bie« .
fet Uebecfe|uHd segeBenift, fo fann man baraud einen
©c^{u§ auf ba«©anj< mad^en. ^ixikid^ ain wirb man ,
^ überseu^en/ bag ber SSewetd buR^ bi< fpmiolifii^e
S)atfleaund ni^^ berloren/ fonbetn cj^r an bänbt^ei;-,
Mtii gewonnen l^at« 0h>(^ iff in ^infe^ung bec an bit
Si0Uten unb go^Ienfc^emata defe|tai ^uc^ßoben ju htt

mec«

k'

C < n t e i t tt n 9» a^xi

tnctfen, ba$ bie ®tit^i^^tn mit Un ^Ui^tUi^ £<fe
tctntfc^en i»eitauf(^( ftnb/ um na(t) QuIiliVi ^epfpie^
bur(^ bfe Ottnun^; in bet fie in ben Stauten unb 3o1^
(mfc^«matt« ouf cincSnbei: folgen^ ben S^^nsottS fo»ol^(
in ben @a|en afe in ,bet( Seweifen unb 3(uf(5funfl4f9
betfti^n (inigec fS'tn^eR kmcsHic^ 4U machen.

$>if 3^^''^t< f^^f? ^<{t C^uf fibed m ben arttl^metu
f^eti SBä^ertt/ bem 7fen > gtm unb 9ten/ burc^ £ini<ti
mt^ebnttlit> bettn em $u bem @a|e paffenbet 3^^^^
i»ert^ be^gef ögt ifl ; nxntsfiend ft nbet ed ftc^ fo in bett
^(»ibfc^mk @üt^9)rc^e bab^n l^atte ^orenj auf
^ßtmenbrni bes ^J^^ofeffor § orfler ga^alle au« öy^
fort) «rl^alten/ tt>rf(i^e l^icr mitfle^eitt ju »etben berbterit
@te Sp' ou* einet J^öfnbfc^iift^ ber SBobfepifc^en S5u

bUotj^ef ^ tioelc^e im Catalogus libroram manufcripterttm
A^^tieeetHiberniae* Ox6oiaei697« fol«Toin,I. Part.L

p. 5oo. Sflum. i3> bei XHlten jEfaffe ijl;. burcfyben bOf? •
wiriigen ©amii^en ^Jrof^ffor^bep ^Ifironomie^ Sfeoni*
Jbotnih^t QH^Sitif, votltfytt flc^ in {einem bet(e(6en
J<9c|<fÖ0ten ©c^cibin on SoJ^fl«« f» bdtfißer iugm.
5>ief< giguren (feie ouf ber l^^cc bepfofgenben JafeljtJf
fM»men0«fl<(k ftnb) ftnb Hntse )»n bilnen/ bt« auf bem
SXonbe jeeb(4t<r ^bf^icifty K»e(^ mäl^fam ju («feit
i^, mit »enigec ©enouiöteit gejei^inet jt^b. — ®i«
' Igu^^äben^ leetc^ in benfelben einen ^ttiii äbec m
^en> ^nb bie Sal^eidfKn « beren ^rtl^ f&( biejeni^

b 3 8«"/

-< ^

teil/ «Minien fofc^ ntt^t tetauft) ift/ l^tee gUtc^ dtifttf
ictgt »trbm foQ.

(7.4B. 3.©.) «=535=24; /3==i^=i8; y==<J3

3= ia^;^=^=r6; »=y=3.

( 7. ». 4. @,> «=Ii5'= 12 ; JÖy = iSf + f^+ ^y

^y+y+y=3+3+3; ^=y=3.

r. (7. 85. 6. Ä) »& =l3 + ^ =i == a + • = 44

ys=7=:8; Äs=7+V=5=?8 + 3 = 6{ ^=
# = 9.'

(7. 85. 7. 6.) ali = et8 + eß = ß 4-T= « + 4;
yJf=y^+^^=7+7==4 + 8; y>f=«"==8.

(8, ». I. ®.) a = i^=z S7J ^=:^=x8i y=
i|8,S= 19; ^ = u= 8.

(8.©. a.®.) «=:y==3; j3='j5 = a; y==7
= 9;«J=="^=6; ,=iT=4j_^ — *?= «7» iJ=*

(9.35. i.S.) » = <^=i8; i3 = if = l'; y:?:
{^=144; J = i^=334.

(9.». a.e.) « = ^ = 24; i8=V=6; Ü8 =
ia; yt=:^=ri44; <J5=^=576; ff«ü?=a88.
. ^ (9. 85. 4. ®0 « = »j = ß"; iS = x^= 27; y=

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f <7. ©♦

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g«ft/ «Mitten fo((^ nii^t setäuff^ t(l/ l^tet (leu^ M%ft
itiit mrbtn foO.

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(7.». 3«®0 «=53=24; /3=:l^=i8; y==J3

3= la; ^=^=6; »=y=3.

(7.». 4.@.>«=^=ia; iÖy = iSf + f^+6'

=y+y+y=3 + 3+3; ^=y==3.

l .

(7. 85. 6. Ä) «^3 =l3 + ^ = J == a + » = 44
vs=7=8;, Ä=7+V=5=?8 + 3 = 6; ^=

r=9.

•

C7. ^. 7. ©0 «/3 = «8 + fj3 = /3 +T= « + 4»
,yJ|=7^+^(J=7+7=4 + 8; y»f=^==8.

(8.85. I.®.) « = j6^i=:s7j Ö=^=i8; y=:
j^.ssia; ^s=ij= 8.

(8v©. «. 6.) « = y==3; /9=1§=a;y="ö

= 9;J=='^=6; ,=»T=45 C — '«?=«7; «=*
HfÄ=i8; fl:2:^=ia; « = if = 8.

(9. 85. I. ©,) « =1^= 18; ^ =?= i; y :?=
(1^=144; 8 = ^=394.

(9. 85. 2. ©.) et =r J5 = «4; /3 =7= 6 ; S =
la; y=:f|Lt3 = i44; ^;= 0^=576; cririf=aÄ8*
. ? (9.85. 4.®.) «='^=«; i3 = x^=2'7; y=
ffi9=2i6; ^=^^=64.

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etm ^ Unit» mit bt^nt^^tUnm ^i'^muttid^
fitib in ber Ueb(rfe|ttDd, vek au(^ in ben mti^tn "Unit
sabtn ber Elemente ^eft^^en t^^ entweber Steigen i»on

bec ^nf te ^u §»$ mtrbe, Siff <<:« d<f<|t »»i bett. <S<fl
b(i>|et @tric^ o^e 6(^ef(|te 3<^( b«u(i$ eine unbe«
fÜmottr So^ 00*

Ue6erfe|ti80 D^n htt. Urfcfirift ftnb ttic^t fritifc^r }(rt/
fo ba^ i^mn irgenb tim^etic^tiduns be« $^te0 obief
eine ^Betititmtng Ui ^ortbetfianbcd. betfrf^en jum
®ruittoe \hiu ^affette gilt bon einigen aitbim iSeraif?
brnin^fti/ meldte blog auf bie.&u^etc gensi de^n^ m|b
(l^tto dne gtE&^ere £)etttöc^Nit t^eite bie ^eqwemlic^fiC
be< e<f€r« iur 2l6(tc^ ^e». &$ ftnb forgenbe ;

K ^e9 ber Uebtitfjd^tfe einei i'eben @a|e< ifl ju^
1 (eic^ anstif idt/ e6 e« ein £e^fa| t^ttjtini'iiijtfiobi fe9i

d« S&ep ben Hixf^htn ifl |ebedma{ bU }(iif(^funt(
boit bm i5en>ctfe beutti^ tinb augenfaUift a()sefonbtti;
twtben. ..

3« 3n ben %en>eif eh finb Wl^f <^I^ ^^ f^ ^^^^^
SRitl^epmifte/ angebracht«

4« Bit itov9tm ^^t(e ber @&|e 13* Ut 18» im
i^ S^f weiche nic^t #atti fciHcCHi^ oltf Tlufga^en ou«^
^ebrucft iDoten^ ^a^mbie i^neniufommenbe^prma|«
2e|>rf^ erl^attem ^ ftnb^auc^ 7*^« ^% @*/ 8» 93.
i3.@i?.«nb 9,lö« 1. bi« 7,@*^mel^rerer ©eutlit^eit unt
; • b 4 Mtc

'«

15^ @/>i€ ^tben bot! eiitatiber o^efonbert^n tf^zilU M
^<y|e» itt (Sin» iufammeifdeiodem ^

' 5* X)rti @cflJrutt8«tt be« /» ^ 6 , 7 , lo :®ti^*
ftH^ eimfie Stt^uterungen bepgf seien tDorbem v '>

-^ ®0 iti nun ttot^ i^ottbenfemgen Tf^uxlc^utigen^bte»
fet Uebetfe|utt9 toom ^Ottdtnale; ttoelc^e ittüJ^el^ietiber
jtl^itir m(ä)laiin , SDtelbund gu tl^ unb Stec^eiTfc^aft
o^juUsett^ itm bcm Sefer^ mietet <iuc^ ^ierö6et2(utf5
fiilift «^älif#^ SSeftiebiguttd ju ^et^al^tett/ ba ft^ »or^
«Mfeleifl&ft^ bag ein ^etf / nie bad (SitfUbift^e^ mel^
6^t fo oft biusc^ bie J^itbe bet ^Kbfc^mber fies^dn^en tf!^
tiic^t immev gmta fe]^erfre9^ au$ benfetben gefonmien fe9.
^ier tnuf man aber ftc^ unb bem Suf(ibe« &IM wäm
fc^en/ bo^ ed il^ ta^t fd[)Iimmer etsangen ifi. fBitm
li^e^el^Ur be& 3(6fcl^tei6end but*^ SSerwec^felnng/ 3(u^
(affun^i ober ^infc^ie6un$ »on äB^ttern fc^einen bi^r^
^itft menid SU entfleUen: ba^er auc^ bie fEBottfrittf —
li^ebenmi )uoi ^ro^en &\&dt ftk ben fB\xHihti — loei:
iti^ ober fajl gar ntc^M 6e9 il^ni ju tl^un l^at* . . S>er
®nmb' biefer oeKJ^atoi^m&fi^l' >$enn9en SSerbi^r&enl^ett
beS Seyteg liegt ol^nc 3»eife( in berJ^öc^jl junpfett®j>r«i
d^e / ^ toetd^ pQen tl^etorif(|)en ® c^mudC unbs 9)u^ af«
i&berflöfftg unbba^er lentbel^rlk^ tierfi^'m&l^t; ^ie @a4^
fritif ifl.ed affo l^tfac^Itc^^ me(^ be^m (SuHibeS an^
getoanbt tb^rben fonu; unb auc^ os^emanbt niieiteit mu0.
Denn man fanh nic^t (au0nen/. baf ed meliere ©tetten

■<

• ^ : m

r

1^,

in beit^St^itettteit ^\t%^tM^ fttiMber bim^ttelßc^ib
t^^ieii«^ beffeit Dteeettfion tmr atlcin 6<ft|en^. ober
torc^ bte Olm^&fftsf ett fiä^e« «^<iiiegf6er »on ber
tttfiMiwsGc|)fn.i$oUbmmen]|^k/r tne il^nin^ufltbM ol^e
Streif e(/ fojoie bem öBrigen ©attjen; gegeben l^ottC;
»erloren l^betu S)iefe Stellen tDieber mi i'enem öt^rt^
seil bortrepd^en €)aiiien m StnHans ju brütgett tfl

*brr SiMitf inc^^ ^»^i$^ wetc^f man fk^ «on
ba:Ui:fc§rtft.dtffaittet i^/ tinb d^üdoh bit ec^eblic^ßeft
fc|^ unter fbldcnbe SXiibfifon brioden (äffen«

I. aSetfelttttsett.

3m 6; SB« 8. '@. ftnb bre tn ben ^met« etn^eflDC^
Kneo 9H^op0ttionen/ in ben S^f^lf tüo^tn ftebeffer 0e;
I^Sren/ bemfefen »orbem — 3m lo, S5» »♦ ©♦ ftnb
bte If|ten ^mi be$ SBettodfed MiKwbo^h iu<m etc.
ote Tfmmrfnn^ bet^efägt^ uitb batin befiimmter wif%v
bwtcft- — • 3m lo. ^; 33. @« ifl boa bem IBeweife
ongel^änste ofic/a^p Jf ^o^AiK Jlitocdif(rfrfl0i etc. tn eine be$
föttbere ^Jnmerfung gebraut »erben, -r 3^ 10. S5*
99. ©♦> li. 55- 23. ©• unb 13* SB* 17* ©♦ ifl bo«,
t9<tf jtfr CEbhfIruction itttb ju bem ^emeife ge^tt/ 6effet
$efonbetr^ ittfb |ebed fi&rfic^ me^t {ufammengefleKt lüot^
bem ^t^ bem (e|ten @o|e i(! au(|) bee B^f^t ber
S)eut!tc|ffttt nnbeTc^obetabseffitjt — 3^' ". 35- ?.©.
tß bo^^nbe ber S>emon|iration in benSufö|debrac^c. —

b s @ini^

I

I I

^mihiif^t^^t, ort f !♦ S5v flö. @., la. S5: a. ütitt
4* ®* flnt> jit teil ^meifen; t0tUi)t ftc^ auf fte sr&nbiit^
ittib tititnfiim ttjctt atige|&n$t finb/ metemm »oci

v.

II. §fiBedIafftttt$ett.

3m a. %. 14. @. t|l ^te gons üfrttfUiffige Sin«
'f^inlund/ bajl bte derart BE> ED, aiMsdisffeit. 3*»
10.^. 68. @. ifl btc^e^faf >t«x»i atttsefto^en, weil
ti mit Un ^tmebtafen l>iefe(6e SBewanbnig ^at, wie
mit ben ^ebidapotomen , 10. %. 105.®./ ba^ fte
nam(ic^ aud[) 6(o|i in 9)oreri j cömötenfurabel fepn f ^nnett;
o^ne bag bie ^2(ujf<^e be$ ^a|ed aufi)bttr 9^id ju
fipit >t - Sftt 10, ^. 78» «nb 7s^. (S. (ittb fiatt bet
.boppefttri.bie, einfacfje« Ofmongel; n>ie im77-@. ^^<
$(^tedf^:,uftjb ti)ei( SuKibirf fi^ed^in bie ®a^e meistere
S)?<i( « fct «itf äkt / dtfe|t ttoorbcn. . 3^ ^ 9* $• ^o* <S»

lifAmv. r^nm* hi^ nntl^riJ^einUc^ aud ein« SKonb^Ioilfe
in ^eti JejTt übecgeganden ift, «mgelaffetk ,•— SDafp
. frfbe {fl in bem auf low S5. aa/S^-fotgenben JJe|nfa|e
mit beut SSe^fafe jut ^emonfirattD«t,gefc|ie]^n> fptlc^ec
ftc^ anf&ndc p/moi^^ Jlr x«i ~ . @o finb ^ud^ einige
iwtytt £>emon{lt:aeionen ; dUi i*^. kiv®.^ ^o, ^
<♦ iittb I !.<.©•, afe «mi&|. «MMefaffen* -^ Sm i a» 3&.
la* @, ifl |tt ^Cnfange b(< J3eweife0 bte tt5Ui|e^on;

|:

f t tt ( e t t tt n d* ^KXTn

fkmticn, l»il^t mit bec im ju^ ^atn etintfe« tf,
wmMtUn, unb b(o$ batf Otefiiltat borau« Affdegfbfn

DHXbCtI*

.. \

HI. 3ttf«|e.

3m s«^^ II* SrfL muffe (»ie S^tt^img Bepge^
ffifittüetbiri/ böf bte9^ropettiona(9t6|cn A, B, C» D
att eittOLitber j^onsenb'obet fltetig finb. — gm
9* 9). 13*^ muftc ber ^toi>ortion ttxoÜfnt mm
*«»• -^ 3w 5. ©♦ ao*uiib «fl. ©•wugte/ megember
bat«ttf ^ettbeti (@&ff / tepgff&dt Werben^ bfff ^ee
kie^Jtepor^tion^eorbnet fep.*— 3mio.S5tt(^
ffiib beoi 7S. unb 79« @o|€ &]^nli(^< 3(nme(f uttg^tt/ ber«
fleid[)cn bet $at be^m 41« uttb 4^« ®a^ l^at^ anstt
l^&itdt« -^ ^ep ben S>emonftrattDnen im i«IB. ?•&./
I. ©. 35* @*/ Ä.^S. i3»@.f 11* 35. ai»®./ ftöb
bie im "ijtfit imiSdeteffenett/ übrtgettf (eid^reti S4((e
fu?| enoal^nfc

, IV. Slenöerutt^m

3mi»S5* 15. S. ifl im 3ufa|€ an|!Ätt 33Binf el
am S)ür4f<^tittte mcl^rerer etnanber fc^nei«
behbett liftabeft $<fe|t iMrbett: ^tnfe(; xt^U
€^i um^in^n ^untt J^erumUegeit^ mit bet
6b| in hi^&t^alt m^^mi^t toon 11. 35. 03- ®*
§e1brattd[>t mit*. — ©e« •♦55. i3'@* t||b im $irj:»
itntic^d tlof mif fpi|mtnf(i9t $«ian9it«m0«^

fc^cÄnft/

. •

•/

I

. \

xxftat (S i tt I; ♦: i: t tt tt 9;

fil^&nfc^ b« (t: t>0(^ Offs «tit etrt dUt^' itttb In ben ^a<
tie 6(^'€^. <iu(^ fo uthxnm. (St tfl ba^ec au(^ in ber
Ucbetfe^ung aUdem^in ai^cbrucft^ unb ou(^ bet^
<utbem^oU9/ ti»o C jein jhtmpfer ^inf e( tfl'^ (Stto&l^
tiuns dct^ait. ^<r ^6f<^itt BD iUibt balbet^ immer
iainnttt: — S»» 3. 95. 24. @i i|t t« öttfnÄ*
pfun0 biifed-<^4^ ntt^rbeniMcl^etsel^AtbinA welcher
(bhi bedwes^n;. t^otaagefc^icCt wa, w$ bem Sejcte {oeg«
9^ße&ertir ttnb baj^ec in .«b^y Uc(ieefe|und tcitebet l^rge»
^öt. '-r 3«« 3- SBu^ a6. imb a«. @. ifl in bcw
SSnoetfe ein nirgenb« bctmefencr @af «?i J^ imü «Iam •

i^ kvkXo? oA» rat AEZ jtvxA» im& ^thtOU^tmU

btn. : 3t«f 3« 35. I, etfl. bo6<9 fi(|> git betufm gel^
ttid^ onf ^net( jene« eine. bfofe ^oitecHfitning ifl, nac^
tt>e!4i«c ttntet ^eic^ leiten fofc^e j« t»ec{l«]^n ftnb^
beren J^femeffer ober 5)ü<!(|)meffeF gleic^ flnb. !Dal^et
nutf^e becSSeiveid ottf;}. ^ »^@, 9e0cänbet werben^
wie oii^ in bei: Uebetfe|un9 gefc^cl^en i% «r- Sm
6.S. 5« @cf(äv. i{i rov Aovdiiv ««AixcrifrM i»on ^a((iö
tio(^ am beflen bur^ ratKönihn «xponeriies gegeben tooti
ben; ofltin au4> fo genommen pagt bi< S>eftnition nie^t
i»-bem @9fiem Suflibi; fonbern tfl toa^t^^mti^ \>pn
$l^eoa>- bet: fte in feinem Sommentat: dber ben Tiimas
it^ (@. (B2. bet ^f. %i«d.)n>6it{ic^ miebif^oit; ben
(Sinterungen be< 6ten f&u^ iugefe^c worben. ^<«
<St#bed'rft(l^ unter 3uf<tmm«nfc^uivdbec SSecl^&ffi;
iuffe:^<ba(|t lot/ trottet b^tlic^ m.6. ^. 23. @«
. ■ ;■.; c. • »er?

I

I

Sri nititn n 9^ aucix;

t^etgltd^en mit 5* 93* 10. unb 1 1. Stff. . ' J^imc^ tfl
Me 5. Sr!(o«uttg be« 6; fQ^iAttfc^t,, — ^pm 19.$.
1 1 7. @. tfi fbt( b(« »etd^c it^eUm at>XnttnS6tmi\tit

ein weit lörjcter^efeft worbett. ;

• ...\.- . : . . ■ ■. .

^tefe« S>etAt( hn etl^e6(i(^ct:ett af^et&ttberBNge»

toefd^e man an bie €)en>tff«nl^fit^f eit eined Uebecfe^ir^
ma^en fotnt ui^ bacf, nSd^is; bec fa^unbtgc it^tt
mf^Ut nun fe(6{l; ob jene 9><c&nberunden ben beabfic^

Sl a (I& r e b e*

^id^tidfle aud ben Uibtn £Dtenjtfd[)^n S^orrebett
t)on ben 3^^^^^ ^781 unb 1797^ unb meinet eigenen
bom S^^te 1808. 3<^ ^<^^^ einided iuflefe|t; roai {ut
näheren unb 6effern ^enntni§ bed(SttHibe8 unb fetnec
SOtetl^obe Septtagen fanm 3(uc^ bin id); bep ber ®e(e^
gen^eit^ afd id^ bie ^epratbfcbe ^(udgabe bet Elemente
nä^er fennen fernen n>oQte; bi^ Ue&etfe|un9 an mel)re^
ten @tt\im nc^maü mit bem @tunbte]rte ju t^etgleic^en
beranfa^t n^orbeU/ unb bad (Srgebnig finb einige^S^er^
fcefferungen gewefen f »efd^je biefe fünfte Ttuögabe erl^af*
ten l^at @in etf(eu(i(|)e]: %en)eid beS junel^menben

jtönb?

\ /

^

I .^

gcAiibli^eii mad^imattfc^eti €5tubium< ttttter mmm
ean^enteii ijl f&t mic^ bet Umflottb d^efen; bag
bot! ben »ieberl^ftni ^itg^oben f&mmtlic^r Sfemi me
jebe folgenbc; in fär|er<r Bcir bergrij]^ iMtbeti ifl/
al« bte n&c^flbot^ersel^nbe. 3)'{&de biefer ©efc^mad
M gffttibfk^m Riffen frc^ ntc^t berfierm/ fotibem
immer junel^en unb fi^ nitfyß att<bteiteti!

G(f(§ci(6eit Sfipitd; am 30. fDl&vi/ 1834.

/ ■ -

€tflo=

€ r f I 4 r tt tt 3

<* Pi

A=B 2)i( @r&f e A ift ^ @c6fi« B d(d(^

A > B 2)tt A ifk «tijjft q» DieB^ • , . ;. . -

A<B «e A t{k ncinn oir »U B;

A'Z B Sir A Hl cntto^r #(6|(r; «brt e6eh f» gcof' obet

f ktnec / aM tie B. .

««m AZBi ^ifl<j»<^GZD7 '"'
b. i. »enn A =: B , fo fjk äuct G SS D ,
.»enn A>B, fd ijl ouift C > D , , .
ttenii A<B, foiikou<6C<D. ;

A ro B SEHe A-ijV kt 1^ ö^nlij^,

A^B X)ie A ifi 8((i(^' unb &^tilt(^ tet B.

A + B ^ai fommt/ n>enn B )u A ^injuget^an tojct.

A— B Vki ü^t, wenn B von A ^inwc^enomtnot i»icb.

ABC 2x1; JS^frifef , bcfen epi$e B t^ .^',

9t« dm rechter ^infe(.

aABG JBerJtlongel; beffen ®pi§en , A, B; C, ftnb.

□ AB iDa^ iDitabtat Ut gerabcn Sinie.AB»

AXB JDa« unter bm geraden ginkn, A, B, entl^ftene

fRectongel. \

A : B Sie 93ei;^a(tni6 bcr A }u bet B.

A:B=:C:D, b. i« bie A oec^alt fic^ }U B ^ toie
CjuD.
A:C=(A:B) + (B:C), b- 1. bie «er^Itnig/
A : C, ift safiunmetigcfeQC au« ben be?:?
ben SScc^altnitfen ^ A : £ unb B ; a

a(A;Bi

m

\ *

\

S-.

2(A:B) a)a» 3»icfa*e'bet »er^^^^

3 (A:B) »a« »Kepfac^eJ^ JB^^attnig A:B.

A+B ^ fiSumme tetSa^Ien/ A^ B«

A— B S>ie2)ifF<rtnibet Ballen, A^ B. .

A;B' ©0« ^totnict avA Un Sa^en^ A/ B.

A- 2)ie ÖitabtaQa^I Don A*

A» ©ie^uWfja^t i)OÄ A.

AnB 2&fe |Si&(f^V Ä> B, finfr toimiinifitoa6er; cfbct
tie geratnt 2iiiiett# A, B, fuit> ciwimenfarabef/

tcnjaUein.

. iie g^cd^eo m^^ A^ B^ fHib in iange in«
comiiienfttva6e(/

A^^B feie geraben önlen^ A^ B^ jtnl) M6f| in^otenj
* cDmincnforabW. '

A^y^B 2>te geroben «nkn^ A^ B^ finb in^ottti| ftt^

cwnmenfttwftiet»

♦) k^i9 b^tt Sitati« bebcutrt (5* (grf ßcung ; g» Setbetjun^;
^Ä ®^nbfaft; 6. ®ä$» 2)ie Bft^tbe« »u<ä^«.lfk im:^
'iiiec oordnsefe^t^ unb ivix^ ein Soxma absefonbm.

-fimx—a^im^mm

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■«r^«p

.*

€ r f 14 r « n gern

i; Vin puitfo ijl , n)a« feine ^Jl&eife ^au

s* €ine £jine abet eitre San^e ol^ne breite»

a» "SDae Tleu^erfle einer Cinie jinb ^uniu. , ^

4* (S^ine gerade ^ttiie ifl/ meiere |h)ifc^en ben.m i^t
6e|fini)[ic^en 93unf ten auf einecfep 2lrt (ifgt

5» <Ktne ^I^cbe ifl/ ttoaö nur ^Snge unb SSreite.l^t.

6> ;£>ad 3(eu^erf}e einer S(&d)e (tnb £iniem

7» (Sine ebene jläcbe ((Cbene) tjl; t9e(c^ |wif(f)ett
ben in il^r 6ef!nb(icf)en geraben Linien auf einerfe^
3lrt Hegt* . \

i, (&in ebener VOinUl tft bie Qf^etduns smeper Linien
gegen einanber^ bie in einer Sbene jufammentre^
feu; ol^ne in geraber £inie ju liegem

9» @inb bie £inien/ noelc^e ben ^infel etnfcb(ie0eit^
gerabt; fDl)etgt berfe(6e; tmztta^UniQCtVOinhl

*

lo» @te]^t eine gerabe £inie auf einer anbern fo; ba§ jte.
bie 9leben»infe( 9feicl[) mac^t; fo l^tift. fie perpen^
titular cmf ber anbern / uhb jleb^rj;^ {reiben g(ei^
c^en 5Brin W ^ei^t ein tc^dfewr. ^. ^. :

» M

XI. ^in (itimpfn: XVinUl f)n$tf tec dc&^et: al^ ein

14. gin fpigiget afieft/ bet f teiltet: öte ein regtet tft. ,
t3. €^&it}e |ei|r> ^ag bftS !2(eii^er^e eine« Sm^ei ifl;
t4. 5%^/:*''<''^ Von eiitec.obei; me]^i:ei:n ©cänjen ein«

gef^toft'fÖ»"*'

15. @iq ^ttit> i^ eine eBene Staut: )?on einer eituid^n
;£inie/ Utmittg obet: Umfoete genannt/ fo einge«

; ft^toffen'/ bog. alle ii)n einest jejpiffbt innet^tS
bec Sigltt: ieftnblic^en ^nttt an ben Umftet« ges
l^enben geraben Linien einonber glet^ jtnb.

1 6{ tiefer $unf t l^eif t bed Mfeö tllimlpuii^t
1 7} Spurdbrne^ be« i^treife^ ifl jebe bur^ ben W^it*
Utputiti stic^tnt, unb an beiben (Reiten boni'
bem VLmmithtithniti, gerabe £inie [tbe((^e auc^
ben Äcei« l^afbitf 3. '•

x8. ^ih ^tblhetii tfi bie §i$ut/ u>elt^e bom IQnt^
wefTet: unb bem buc^ i^ ab^efc^nittenen Umf treife*
«»idefc^loffett »»isb»

19. (Sin Krdsabfclbnitt tflbie^iduc/ wefi^e bon einet
^abenStni« unb betnUmfretfeeindefc^loften nurbw^

a^« €l^erat>Ilt^ J'^giu^en finb/ bie \>on geraben Linien

ein9efd)foffentt>ecben, tfnbjwatJ
SM» brevfcteige ((Etüntgei}; toek^e boit bre?/ . ,

' 3^. «fetfctt^/- itte^e i>on ^ier>
»S^'vkfftJtiSi^iC^^giMfe)/ welche boit tne^t: afd^
biet; d^^diin'^ieh eingefc^toffen wetbem
ttntet:betflE^4i0geIii ^tgt bei:}enide gldd^fntis^
»elc^erbW9 grelle ©eiten 1^ ;

»SV. 8^^

25- gktcbfcbritfligl qbift/ »efi^er mit jwe^ greic^e

26. utigUicbj^ieig/ Äefc^er bret) unstetere Öetten t)at

27* V?ema J&ei^ dmei^ betf Cmnge(fi ber jentge redbtf
TtmnPltJi^r ttoefd^er einen rechen SÖSinfef l^at.

28. fitmtpfvciniii^ml(i^ct einen i}umt>fen $Q^inf ell^ät ;

29. fp^fwintügf mldfn brer» fpi^ige 3BirtM l^at. J

30. Unter ben vitt^mQcn S^itgattn l^eigt biejentge eitt

(Clua^rat/ n>e(c^e g(et4)feitid unb ud)txomtlii tfl;

31« ein (Dbtotigum; tt)((4e ^mat tec|ftminf (ig ; aWc.
nic^t 9(eidS)feiti3 ifl ; • ;

3 a* einS^mStte/ »efc^e jwat $Ieic§feiH§,^^^

rec^winf f ig i jl ; ' '

33. etn ^l^rrtboit^/ b'tf in ethdnüif äegcnWet Kegcnbt
©Vitim unb' ?D3iii3fcf glctd) fnö, biV a6w »cber

34. ä«b'e <?n!>«^ »ictfeitiö« ^iflut ^iiftttlip^

35. pturowrrfthb deröbe Sirtfett/- bte iit t>ti{e{bm ^htnt

tilgen/ unb/ föwrit fte ouc^' an bViben fetten Der«
iange^' »'eÄVti , ' Vo^' m Ui^ki ^ti(i sufonwnetts'
tteffcn.

!♦ €« f<9 ein« föc oUemal aeforbert/ t>on i'cbem ^Junfee
nCK^ jebem onbern eine gerabe Stnie ju jie^en ;

a. be«8(et^n/ eine begtonate gewbf 2inie flettg gerab«
fow jtt berlSngetH ;

3. beögleic^, ouö jebem SWittefpunfte unb in jebem-
Ttbflanbe «inen Äteiö ju befc^reiben.

H 2 ©cunb»

•t

' 3. (81ei«^cm ©feiere« iusefeft, Bringt ßl^^ti.

8. iBad einmtbct becf t| ifi einanbet glei^l

5l. 3!)aö ©attje ifl 9r6^er ate fem $]^ei(*

lo* 3(tte weiten 58BinfeI fiitb.einaitbec jleic^*^

11^ 3^^9 1^^<^^ Simett/ bie bon einer, bntt^nfo se^
fc^nitten n)erb^n^ ba$ bie Jbeiben innem an emer^
lep @eite iiegenben SOBinjfel jufanimen Keiri^ aö
^wep reiffte ftnb/ y tref eti genudfam bed^ngm iöt
tben ber @eite jufammem

13; 3w<9 jiecabe Stttten fc^Iuf eit feinen Dtoum (in. r>

)

«•■

•»

%it

^

«

Kui tm fünfte A bp

fti^d« BCt), un( otit trat
fünfte Rmit BA benSrei«
■ACE. Sctm fünfte C, in
wd^em bie ^cdfe dnam
^ fc^netben, jie^e (i.S.)
no^ A ^ B , hii getaben
CA,CB:.foijkACBO«
oecfangte SriangeL ^

Ibmnü (i5.@.) AC=AB, unb BC=BA: fo ijl
(i.@0 AC=BC. Serona* i|lAC=:AB=rBG, fo(sli<^
Ca4'@') ^<« «ttf AB mi(*trtc A CAB gleit^feirtg.

. lin eitlen 9C9e$enen ^unft, A, eine tet gegcBene»/
BC, glei(^ jewbe 8inie ju legen, v

3ie^e von A nac^ B bie $&
Itbe AB. IScti^^te auf i^c
Xjk» @0 ^w gteic^feitigen 3*1«
«ngel DAß. 93etiängece
(a. g.) bie gecaben DA, DB,
no^ £; F. 3(u$ B befc^ite
(3. g.) mit BC ben Äcei«
CGH/ unb aus D mit DG
>^ ^i« GKL: fo ijk
4L = BC an A gelegt.

2)cmi bft (15. @.) DL =
DG, unb (a4.eODA=DB:
fo »ft (j. @.) AL = BG. ntm ift C15.«.) BC=:Ba
'golgß* ift jCi. ©►) AL = BC. .

M 3 ^tt

.«

• •*••

man foUbon becdc^ern, Ai^fitm^tSfUfkimf Q; dfind^'

Jinic »egnf^m^n,

«J8e<mA(2.®.)Ap— p,
«oft 6ef"*mN (3. g.) au« A mit ,)

ti^ AB tpesgediMitmetw Sitti« 9

,aE)?n(i e«ift (i^.®.) AE=5
AI>t abet C:s=AD« f«M
(I.®.) AE'=G.

SCUernt in jw«? Triangeln, ABC, DEF, jweo^e^
fen, AB, AG/4tt)C|)en @«tt<n, DE, DF, je eine
finep, (ABt>ei?DE, AG bepPF) gteit^ ftnl? i 6^«*ie0
bie t)on ben gleiten <^etten eitiflefc^ioffenen ^inUU
BAG, EpF, in Wibcn Jriongefn fllei^ finb J fp ftnt>
quef> bte bcittcn (Seiten fceitxu ^tiangei, BC, EF^
$rioncief/ ABC, DEF, fe((»fl# unb tjon t)>en fiBrij
^infefn )ebe itoe^i benen d((i(i>e @eiten deaeni^^et; X\^
itn, ABC, PEFj AGB, PFJg, d«anb?? $Ui4 ;

®c(n8« ben ^mngft ABC
duf ben ^ItiondH DEF« unb
lege A auf D# unb Aß §bec
DE.

2»4 AB =DE, (0 f&öt B
«uf E» 2>a ß AC =5^DF, p / \ « 5

unb AB auf DE Heat, fo fättt
AC itfm DF, -m AC =s DP, fe ttat C auf F, 0hn
IHi na(& iObiaciR 8 auf E« $oIaU(6 f&|(t SC «uf SF« ll^emi

9kfta Su(^ j

(inen fRa«m iHnf(&({(fi<«> toeU^ (12.^ unm68fi(6 ift
Solfl««^ (jl ,^. ^) 3p == EF; A ABC sr A DEF:
ABCgiDEF; ACß = DFE,

; 3tt^eb(in9Md^f<^enHtden$rtandeI, ABC, ftnb bk
^B^Mjim bet @hipbHnK( ABC/ AGB, einanbet; iUi4*
t^tud^ ftnb; wenn ntan bte^c^enNf/ AB, AC, »ecf&hgecf/
bie,^tnfei utttet bet ©runblmi«, DBC^ ECB, emanbrt

* «ttf BD itbttm wi{tffi^i(^ ben
fHtMtF. J6lon AE nimm ( j. ®.)
AÖi=i AF, mtb jte&e FC, GB.
SnbenAAACF, ABG, i|k
AFstAÖ, tmb AC=rAB, audt
bef ißinfif Iiit9 A beiben gemein ;
fofdtt* (4. 6.i FC= GB, ACP
= ABOi Att: = AGB. Shirt
i^, mi ÄF= AG, unb AB =
AG/(j; ©.) BFs: CG, 2Xmi
««# Ifr (in ben A A FBC, GGB) *>
«TäCCT, ,FC==GB, BFCrsCQB. gofdß* ift
(4'. «.) FbC = GCB, »fl*« bie fßinfel untec bec
^tJUttb^nie fi'nb; aucb ift BCF =: CBG.

»4 ABG = ACF, unb CBG = BCF J fo Ifk (3. ®i
^BC =5 AGB^ »eUH bie S^nfet an ber @cttttb(inte finb^

fffienn in einem trtanaef, ABC, jwe^ 5EBtnfeI, ABC,
AGB , einonbft glei^ 0nbt fo ffnb auc^ bie ben flleic^n
^nftfti SfSenfibct iüsettbeti @«ten/ AG, AB^ einanbf c

>•! tt 4 ©«^

®^0flt6

^A

litte Don :il^en geiler. S)iei fep AB^

Uilto auf i&c( 3/00 BD» AC.
Sie^e Da

3n ben Triangeln ABC, DBC, i^
ttmna^ BD z=: CA,^ BG gemdn/
nnbDBG=:ACB; folgtic^^ (4. @0
^ DBC = A ABC, »elAe« (9^ @0
iinm69(i(^ lift^ S>em(ta(^ fmo ÄC, AB rnc^t uttgleic^i a(fp tiek^

©er 7* @o^- 2e]&rfa|, '^

50Benn über einer getaben £inie, AB, oud il^ren Snßjr
t)unftcn jweQ gerate Linien/ AC, BG, in^eineiii ^untüf
C, jufammenfaufen : fo laufen nic^t über berfeffien £infe^
AB, auö eben ben fünften, jwep anbete getabe £inieitf
bie bcn bongen beiben, je eine einer, gleich jinb, (bie
crjle tiämlic^ber^erjlen, AG, bie jwe^te ber jwepten/^G}

tn ein^m anbera 95""^ ^<^ f^" ^^» ber @eife jufamn^^iip:,^

@efe§t, bie beiben anbem 8tnien
AD = AC; unb BD = BC, Iki
fen# tt>enn eö infcglicb ift, in einem
tfnbern fünfte D {ufamtnen« giel^e
CD.

S)aAD=:AG, foifi, (s*®*) A
ADC= AGD, folglicb (9. @.) ÄDG>BCD, folglich no^
»ielme^r BDG>BCD^\ 2)a akr auc^ BD=:BG, fo xoixt
(5»@0 BDC = BCD, toelc^e^ mit b<m aSorigen unrnSglK^
Jefte^eit fönn*.

Uuf i^nticbe 8frt Ia§t ft(Jb butc& SSerlingerung ber AC>
AD ober BG, BD mit ^nji^^ung ber jwepten Sluöfage DOit
(5-®) jeigen; ba§ D hic|>t innerhalb besAGAB gefegt
toerten fanm

50Benn in jwep Triangeln, ABC, DEF, Jtt)e9 @eitert>
AB, AG, 5tt>e9en (Seiten, DE, DF, je eine einer, ^(eit^

^i9t&»^

f nb ; (ine AB ber DE, bte AC Ut DF) (Vriier bte trt&
ten @<itcn BC^ EF; Reibet $n<in0e( s^i^ füib: Jo fltidt
oud^ b^'bcn brieten CTd^en $«deiiäbec (u^ettbtn Stftitfel
tit beib^n t^ian^tln, BAC, EOF ^(eic^.

Scinge ben ttiatigef ABC
«ttf ben A DEF, itnb fe^tB
OttfE, nnb BC über EF.

JDaBCrsEF/föfoHtC
4iHV. 8hiiitifkß'A=:rBD,
«tib CA =s FD; SoIflGcb B
fäat (7,e0 AaufD, unb
Uf^n BA auf ED, unb CA auf FD. ^et^i^ ifi (8. @;)
illAGs=E^Ft

• - •

t^tt 9. .<Sa|. Aufgabe.

Rinm auf AB toiflfd^c^
tt^ itn ^mtt D, iinb t>on
AC nimm (3.0.) AE =
AD. 3ie^ DE, unb et»
«hl^te (1. &) W betfdbm
bra gletcbfeitisen A I^EF.
0te^e AF : fo ^Ibicet btefe
ben äBinfet «n A.

2>mn ba DA = AE,
«ucb AF beiben Sciangeln
gemein, unb DF==FE: fo
ift (8. @.> DAF = EAF.

S>er 10. @a|. TCufflAbe.
®m< gegebene beätittjtc aecabe 2inie/ AB, ju l^ots

«5 ^

biceu.

v^

90

^am'i Helmute

|Hti0«tt A A9C. |H>U)iit (9. $0 ^
. ttinrcl iWCBi>uc(^iGD: (0 toic^ tie AS

2;ej^l>a AC==CB, unbGD 6»ib«i
<triait9eln ^mm, avXfy AG0=:iBK3D:

V <5>er ii- ®ö|. '3(uf8«6e. _ . -

2(uf einei: gegefienen ^cabeti'l^tme/ AB, a,uß «ine^in^

4]^t gede6(n«tt ^ünftt, C, einen 9>(cpenbife( ju etci^^cfw

glimm auf AC A?({(f%n(&
t(M f^unft D^ ttnt» itia^
C3.@.)CE:^GD. aaf
DE ectW^tc (i . @.) ben gUi«^

feWflfn A FDE, unb jleöc ,^
FC,; fo i(t Wefe auf A£ im •'*— ]5

2)enn t)a CD =;= CE, m\> CF Reiben JtiÄttgefn ^mt^t
au(* DF :=:: ]EF: fo i(t (8- «0 DCF ä FCß., fo^gi^
(10. tO FC p^rpenbifuJat auf AB» . ^ /-

%uf eine gcgcStne ttn&edrattite gerate Unit, AB, %^n
einem auger^a(& betfe(6en sede^enen ^mttt, C, einen
^Jerpenbif el ju f&dem.

SRimm ön be* ""anbem
©eite t)cn AB »iflfu^riic^
einen ^mtt t) ; befcfeceibe
(Hü* C mit CD ben Stei*
EFG;^atbit;e(io.©OGE
inH,unbiie^eCH:fDift A.
/ biefc pctpenbifutac auf AB.

2?eon öi^^et «an CG,
CE, fo ifiGH = HE, CH gemeiöf*aftlic&, tiub (is. 8.)

GC=CE;foJftU*(«.eO-OHC=:GHE;fo(8tt(^(io.eO
GH perpenbifulac auf AP«

S>et

V V

€rfM Sil4

n

rr n

' %\f^inUl, welche etiu0(rabe£tnte/4B; btetiuf
e^tcr onbcni; CD; fttf^ttf mcid^, ftnb entwebet 110C9
r<4>tc , obcc i»c9 rechten 9(ei(j^

®ittb tiiefe S^tnfel tmntxt ,
j|Id<b/ fo IhÄ fw ( 10. e.) jjwo
ttdft«, 6inb jie it^ec unstricb«
»Ic ABC, ABDj foewt^te
tcu6<) auf CO in B Den
|)<rprnbif(( BE. Solgficb fint> ,
(10.*} QßE, EBD jwr?

2)4 CBE ^ CB A + ABEf fo ift, wenn EBD hinauf (tnmt,
<a,®.) CBSE -h EBD =7 CBÄ + ABE + EBD. @5en fo,
I9nt Abb ts DBE + EBA, ift A6D + CBAsDEE 4-
EBA-fCBA SoIflH* ijl (l. ©O-ABD + CBArsCBE +
EBD, M ijk =5 « 3i.

" J^er 14. @a|. ge^tfaf.

Wla^tn mit einet gerabrn £tmK, Aß, in einem i^ret
fünfte / B, im? anbece / ntd^t an bei'fe(6en @ette (i^
^crtbe aerobe ^men,BC, BD; ölebenwlnfef, GBA, DBA,
n>e((^e iwep rechten 9Binf e(n gfeid^^ f!nb : fo Hegen btcfe
Linien in gerabec Um, CBD., an einanber,

3ft BD ni<bt mit BC in .

de?abev«inle, fofe9««BE, ^

go(9li(bift(i3.0OABC+.
ABE=^9l, SRun ifk
(^n %tm^m iufo(ge) <iu<^
ABC + ABD =5 2. 8t, -,
goläU<b Ifk (I, ©0 ABC + ^'
AB£=^ ABC -f ABD, fofgficb, tvetin man ABC toegnimmt«
(3. e.) ABE ?;; ABD 1 wehbe« (9. @.) nnmigli(b. S^euM
natb ifi 6E nicbt mit BC in gecabec iinie , nnb aui <btn bm
0(&nbeh aucb (eine anbete ««(Kv bec.BD, $o(8(i<l;i (inb CB,
BD IQ flewbej; ^inie.

l .

%*

€ttKib*:$ eimmt

^v^r^^MUt^iiOMihmbe Qttab( Zinlin f AÖ, CD,
ittä^en sret<^e @(§ette(w{t^eV CEA, DEB; GEB^ AEDC

2)« (13.©.) CEA - \ '1"C

+ AED=aSR./ unD "'
AED+DEB = 2SR.:
fo ifi (i.®.) CEA +
AEP=AED+DEB;

fo(gU(^/ wenn man A&bO'" ' ^*^B

wegnimmt/ (3,^0 CEA •

= DEB. <ibm fo »kD fcetotefett, taf CEB=AED.

- ■•> >- ■ ...

S « f a |.
{»kcatt« er^eQet/ tat olle um einen ^m^^ectiQt ^liedeii^
SDinfel fufammen »tet teerten SDinf ein ^eic^ {üi^^

S)et 16. @a|. Äej^rfal» ' -

•^n )ebem Getändel, ABC^ tfl^ wenn man eine fetner
Reiten; BG, vec(an^ett> bec Sufece äBtnfef^ AGD^^
^^eo ate i'eber bec betben tnnem i^m de^ehäber ßegett«
ben SEDinfel, CbA, BAC,

^IWt;e<io.@OACin
E / jie^e BE , wp t>et(atu
flctt fte, m EF = EB.

2>aAE=:E:c,BE=
EF; unb (15.©.) AEBg,
i=FEC: foiji (4.©.)
BAE^ = EOF. gitttt jjl
(9. ®.) ACD>ECF»
goigltcb ift AGD > BAE.

@6en fo toitb/ nacbbem
BC i^dMcet, tmb AG nacb G »ertön^ett tDocben> betoiefeto/
bafBGG, fca«iit (15.©.) ACD>qBA. .

3Der

. ^^t I7i @,(i|. Jtt^t^a^ ,.,
< 3>( jibmt^nanger/ ABC; ftnb jebe 5(9(9 ^infef su«

- 8)et(&nd(te 6C mdf D :
foirCi««®.) ABG<
AGD, fM9lj($> (4. ®.)
ABC + AGB <:ACD +
AGB. 3lanl^(x3:@.)
ACP + ACB=am.. X \b

gofj(icHjl ABC + AGB (5>::^ C ■ • ' ■

< 3. 9t. 9tot.fD Wieb bftfM^vm BAG + ACB^ tmb «011
CAB+ABg;'N»j«fett.

JÖct 18. ®a|.' SeVfaf^
^- .3« j.**<V^*»ond«^ ABC/ Kegtbet; grtfem @fitf,
AC ; aüd^ b«: dtb^tti ^inUi, ABC ; dcgerid^er.

Al)=:AB^ itnb jie^e BD: fö Jfk
(5. 0.) ADB Ä ABD. IRtt« Ifk
(16*6.) ADB > AGB. t^tm
i^w^ABD, aifö no(^ ni^c ABC
>ACB»

3n jebeo»'$na»9cf, ABG^: liegt Um «cb^tm MinfO,
ABC, au(^ We8t6§ece @ctK/ AC, gedwöfter.

®&te ntd^t AC>AB;
f» m&ite (Qtn>et>(t AC =3
AB> ^Nt AC< AB fe^n.
3iii tt^m Sdfle »Are (5. ®.)
ABG,=5t AGB, im jttxp*
tti! 08.0/) ABC < AGB;
toH^ Nites tem Sinse?
tioiwiKn^^ ABC>ACB< »ffen^ac »ibetfpnc^t, gofgUc^

I '^ .

K«

QMfib'C (SUmme

^etm.in impttian^iln, ABC, DEF, jtwp @e(C<n^
AB/ AC^ jToe^en @ettiitt/ DE; DF; jt «tne einer; (AB
bec DE, AC ber DF); g(e}c^ jlnb; bec Don ben ^(eic()(n
@eiit«n (tn^ef^foffientllBin^d inbem einen ^ciansel aber,;
BAC; 9t6^(t ijjl aU in bem artbecn; EOF: fo i(i auc^ in
jenem bU bcitte (Seite, BC> gc&^ec; a(d bie btitte tit
tiefem, EF.' A iS'

©ftBAG>EDF/f):fe*
|e (33. C) an DE in bein
fünfte DbkfOtnfelEDG
= BAC5 macbe DG'a=
AG=OF/Unbiie^eGE^

JD«AB=DE,AC
Dö, unbBAC=EDGj fo*ijVC4. 6.)fiC-=Eb. gjfutt
i{k DG = DF , unb ba^ef (5. ©.) DFG == DGF. 8byi<& ,
ift DFG>EGF, foläli* po* »iefmc^t EFG>EGF/^l^.
««^(19.©.) EG. ba8^BG>EF.' ' ' '

50ßenn in jwei» ^riatTgefn, ABC^.DEF; jwep ^eitcn^t '
AB; AG, 5ft)e9en Seiten; DE, DF,' i'c eijie iinec,. (AB '
htit DE, ACbecDF) gfeic^ flnb; bU briete @?ite bed
men ^tiättdef«; BC, 06er fti;6gcr i(l; oft bie bcItttÄeö .
aitbetn; EF ; fo Hegt 'äu(|> in /enembet brüten ^iiti ein'
jf6ßer<t Söinfe^ BAC, flegenöfeer, afe in biefem, EDF. '

«äst Hiebt BAC >
EDF, fo 9&te entioebet .<
BAC s= EDF/ ober
BAC<EDF, fplglic^.
im «rfken SaUe iC4- ©•)
BC=£^, im jwe^ten *
(a4.©,)BC<EF;

toeI(^e«beibe< bem angenommenen; BC>£F/ toiberfpci($t.
8oJa(i* iji BAC > EDF.

Witttn in jn)«)$riattg<fn, ABC; DEF, jwtp sffiinW,
ABC, BGA, jtoeQett ^infefn/ DEF, EFD/ fe (in«:
erqfpi/ .(ABC bem DEF, tinb BGA hm EFD) jtctd^'
'f[iit>; ttnb eine ®tiu «inet (Seite gfetc^ t)l> »tlc^c ent?
«M>etan ben sfett^n ftBinftin, ober einem' becfeldett
gegenöbec (iedt: fo ftnb ouc^ bie bdben äbriden @eiten»
ben beib<n öbcisen ^ jt eine einer/ unb ber b?ttte ^itu
Ul, ]*AC, bem britten, EDF, gleic^.

fDetitt bie^ah ben a(fi<ten
SMnfdn (tegenben leiten/ BC,
£F^ cinonbec g(et(^ flnb: fo ift

' :i)>AB=:D£. ^nmiD&r
^xcii AB, DSf uns(ei<b/^o toatt

vtnebaMii/ etwa AB > ^r^ter. , ^_„

«« ^ ba^ BG = ED, B . i. H Cl

Ngie^e GG. SDo ölfo BG=ED, BC= EF, GBG=DEFe
fo i^ (4. ®0 BOG =r EFD, ätm toav angenommen^ BGA
=EFD. go(9(t(b »Ate BGA = ßCG, »efcbfö (9. @.) utt<=
nijsfK^ tjK ^mna«b f&nneh AB, DE;, ni<bt ungleti^ fepn,
f0lglt<^ ifk AB = DE,

a) 5D<iAB=DE, BC=rEF^ARC = pEF: fojjl
(4v,e'> AG?=DF, unb BAG±=EDF. T;

* ;! - 3»<9ter-^<iH. j« -

fBenn Ue einem ber gleicben Si^lnfel gegenäber rifgtnbeii
Gelten/ AB, DE, «nanbec gtcicb ftnb : (b ifr-;

i) BCi=EF. SJenn »aicn. ßC, EE,,;u»0i«W^.|o4eire^
eine bat>on, etwa BC, gtSftee. @ö fei^'baj^ec BH=: EF.
^$e AR. " Sb<r Alfo BH =: EF, AB = DE, ABC ==
DBF: fb i|i (4..6.) BHA s= EFD. Siun »oc angenomf
An BCA==:EFD. " ^ot<)K(^ »arc BHA :=r BC A, tt>eW>««
(16. fif^'unmfcalicb. 2>emna(b f innen BC, £F, titdbt un»
{((itb'ftpn. 8o(d(i(b ijt BC = £F.
«nH(^>i €(ew. 15 9ft«<r. 9 s) 2>a

i

II euftitf« einiiim»

1) iB(iBC=EF,.AS=DE,*BC=DEF: fe i|t
(4i*0 AC=DF, ml) BAC=EDF,, , ■

©et ÜT. ©0$. eejrfa|. ■•
Sw'ei} ittaU Sinten, AB, CD, mit beiten (ine brine
■fie%mt>mi!, EF, jlü^e !EB<ctftt»inftl, AEF, EFE^
ina<^C/ (inb pjicoüef. '
' SMkii ab, CÖ, ni*t
patttM, fo tD&tbcn (ie, ge> ^i^
. nuflfam vecljingm, an io
gcinb einet Seite {ufanimens
(reifen. Sefejt, e«äe(4äl)t C-
M(| in G. SsIgUib nte
ini;^EFGCi6.iS.)AllF
>EFD, «KltbeOem Hntenanmueit AEFasEFD, iDii
betfj9ti<6t. Zlemno^ f 6nnm AB, CD M tiefet Ceiic «(H
iufnmmentceifen; Mt gteij^en ^rönbeti a^ due^ nie^t M
tet entgegengeref tctt Seite, golsltt^^finb (3 s. @.> AB, CD^
(mm ■ ■ ■ 4i

S3^t ssrgflf. «eitfoj. '•:■.

gm« snul» iiaitti, AB, CD; mitteiten riiieMiN
^e f(f)nrit>ent>e, Efytnrinleni SOtnlef ECB, \itm Sm
4lt betreltetl ®eit< |e^tiiiS<»C neg<lll>en inlKrit 9äi»td
GHD, ober bie beibett ittiHrn an einctie 9 ©fite fügciw
ben ÜBinfet, BGH, OHS), jftni teilten ti<><^ <iii><ilti
^b panKel. ,

Krfiet ?fieii. s^

I* EGB = OHD, an» \

05.8.) EGJß=-AOH: f. A-^ -;.N*. ' in ' .a '

l|l(i.<»0 AGH = GHD. \^ ■ , v^^^

goiali« finb (37- ?.) AB, \ n

CD, potdilel. »\ *

' ' " ■ . ■ .:. :\b. .V

ICilMSH-f 6HD£=2 9l., tinb (ij.tS.) AGH4>BQH
i2flC^ f» ifi <». ®.) AGH + BGH =r BGH+ GHD|
fMglk^/ mtm mon BOH weditimmt/ (3. ®k) aOH s£
ÖHD: fo{9li(^ jtn> (27. C.) AB, CD, paraUef. : :

.1||ilii-^ti>(9S<ct»e£itu«n, AB^ CD ;. RotoOer f!ii6r
.foinat^ eine bcitte fte f(^netben|»e/, £F, t^ i^aeit bte
9Be#(n»iii£e(; AGH, QHD, etnonbet 0(et(6; beijdlei»
i|eir1«n[ intern tiStufef/ £GB, fi^ g^rof, o(^b<n t^m
«n berfdfbeti i@eite degenAbec (iegniben iniiecn ^uif^
HheT; fethet ti;ie~¥eilietr inneüic im «tncriei ^ite <t(i
- ignfcfit TOinfeV BGti, ^HD^ 1»^ cc(iK!<n 9((i4 -:

ijkGH, GHD, «ngfeHJ^,:

f(,wÜ^e>(inerbavon, et« a-

«>a AOH, jitftfeclfrpn..

S^kb «»/ wenn BGH/ \ • '

AGH -f* BGH > BGH

4*:GHD. SßunijkCi).

e^AOH-fBGH=.

3 9t. So(gn(bt|t^H+OHD<fi9t S*MaM&ft(«

(II. ®.) AB /CD/ ixd&ngect sufammei^viffm, unbi t>i>f

ten (35. <S0 tüAt- ROfattcI, gegen, bo« |[|igenpimnetie. 2)mi

jpMb f6nnen AGH, GHD, niitbt ungtef<i> /(^n. ^o(^(^

«AGHkzGHD. V-

-- <* - 3»<^^ter $^eif.

Da AGHskGHD, «nb (15. «0 AJSHsEOBt (b
iil'itv«,>EGBssQHD«

ao 9ufiat>^ Stinte

$^EGB = QHD; fo i^:, to(»n BGH ^)tif«ntml>
{2.@.>^PGB+B<^ = BGH-f»GHD» fkmift (13. ®i
EGB + BGH = ;i 91, njotgl«^ Ift <l. «0 BGH + GHD

.; ©erobegi'nien, iAB, CD, weTd^e l^erfilSen 9«r<^m-
ÄirtU; EF, pocaUel ifUibV fitib einänbcc ' "

'• €» fJ^eibe' jie lMi^ aewbP '

mt, GEL ©a AB/lF-^lMfe ' - • * ' ■

«ffleV fr i}< -(if . «.)''AGH •

rrOKD.JoIgKcb 1(1(1. Ä> • € ■ .1 L" y^". . ' — n , t.;> ^ . j|
AGK =r GKD. SoIgKcb {inb
(»7. C.) AB< !CD, j^rrtttef.

^ürid^ eitteti jiesiijen?» ^uiiJt , Ä / eine .jctä'^e leinte
ctnet 8«8«b«««h, bc, paMet ju jU^^"^ * '" '

3n Benimm. »p^<b «'
dnen'^unft D/ v«^e'pA^ *"

na(be taj.^O DAE
ADC, un& t>etUng<te

bcc B€ pat«M. -

I ,

^n jebem 'triatid^f, ABC^ tfl, wenn man tmt .feiner,-
€$etten^ BC,. tec^ngm^ bec äugete ^vM, ACP, bett
Mben.titnem iS^ gegenäbee Itcdenbcn ^in^etef CAb^
ABC, 9(ei^](f iiVf^ ^b i^te bi;«o:innetn ^xmjim&
iebenSriangell) ABC, BCA^ GAB, iwey te^^ten^^ic^.

' -■■■ , ^rji«

/

' \

• /

««Uff t'^til

tec AB tie CE potoOel. '

' tiäAB, CEy pateM

{{nb: fo tfk (39, ^0/ toetf

AG ft( f*ttdW, BAGj=r b^C—^-J-

ACE, iinif i»«irau(& JBD ' ^

^ f(MM^; ABC sztCD. j^im ift C«. ®^) BACH-

, ■ •%

* V •

■ Sa 6ÄC 4tXBC i= ACD, fo i(k, iwnii AßÖ^ ^hUM*
f fymm, (a. ®.) BAC + ABC + AGB == ACD^* AGB»
aftm ift (13; e.) ACD+ACBssäfR. %nm i^ (>• 9.)
< H I »<AO.. h A BC^. ACB^ a 9t« r .

.. ©er ssl ®a|. ^e^tfaf^ ■ '•-

9te 'gilben £imm AC/ BD^ «»el^e gleicher ut^
iwraft«|(f, der<kber Linien AB, CD ^tit){!UBf te an eth^»
IefiÖetK,»rtKnfe<.ii/, fmbvfeflbfl gUt^'unb porößeC. =

..Sie^eBp^foifc »«ÜABi
dI^">Ma1leI>. unb BG f«
(«Reibet, (29. fe.) ABC=:
BCP, Mgitcb, ibet( AB =3
CD, linb'BCflemeiii ('4.«.> ^
ACsiBD; au*AGB=CßD, tmbb«^(ftrv60 AO
bei BD patoKcf . : ■'

* * • f , . ' • — .^ . - »

: /? -<;■ ®eif 34. ©(r|. Se^»ffl|. ' - ••

St» f<b«tt 'jJoratWogwmtn, ACDB/- finb bte gegen*

M<rtt<9enl»ai leiten f6 m^ aii $(Btnf«t»tnoaberd((t(^ ;,

(Sii^v^.'lMi $atanc(0gtamm bon bcc SiogonaU/ BGf;

bdtbtret '•• • v /.

: »3 €Mle»

ttttgb^C fUpüite

JStflet %^eH

<^ AB^ CD, unb f» dud^
AQ'ÖEh parallel, qhi^j^nBG
gefibnitterf' -»erben t fo tHs9.
6.) ABC=^?CP, unb AÖ^
7 CRP.. 9}un ift BC gemein:

Sofgtit» tft (a6. 3.) AB=CD, AOt^BQ, B^Cs^Soa
»wfrlfili nj0l.ABe=:BCD, utib.CBDsaÄCgy (a^l&J
ABC+dBD=BCD-h-^CB, ba« tft, ABDj;cA$:p«/

' ^ AS c= CD , unb • l£^, gemein / ^u($ ABC 7=lBGD t
fb'^t4i-e).Ä-A8Ci==--4<ap;"/ •■.■-•-A-^k .

^taMoiiämm, ABiCD/YBCF, Anf eineiig SiMtb«
lime^ BC, unb in>tf(i)en benfelben^araUelUnteny AF,
BC , finb etn«»ifter «Utt^^ •

oJibteFzrBC: fbifici-®.)' t
DE fjinitatmmif (4^ j&O-AE .

=aPF, 8iH8,jift(W^f4.®0
AB*~DC/ unb-Ci^/fe.)
EAB =s FDC,^' Solglii^ ifk
(4. ©.) A ASE 4;= A CPF, B

.* . \ ,■

■•. v^-

f0(gli($, tvenn i£^ ED6 ^intorgfammi/ X3. ^X^<- 3rd|Mtr
(^. @.> bö« VÄtöUcteatomm ABCD=:EBGF^ . C . , . .

f&^tt/ toenn ^ m.D/ ptei; jmf^ D unb A liegt.

©er 56; eiH«, Ä<^«fo|- ,,,:•:- .
^üMraMbdramme r ABCP, BFGH/ «uf ^{iidlM
€Nrun)>Htncii/ BCVFG, uttft j]»i|c^nb«ttf(ttcR |M<>I^
Uitten, AH, BG, ftrib ciitanbec dletc^. :

3le^

: *

MtfUä^ba^

H

git^BB, CH. XtiiBCsrFG, A
iinb C34* 6.) F6=EH: fo ifk
(I. ©.) BC=EHi-äiih (inbBjC,
£H , <iu(^ pcktcM» %^iA^ ftnt
(3 3. ^0 EB, CH 8W<^^ «nb pa«
üiM. S»l8fi(^ tfk EBCH ein ^a;
MlldegrAmm, fifglk^ (35* ®0
ABCD=:EBCH, m\> EFGH=:EBCtt,
ABCDsEFGk.

(1. 0d

. :$ftan9«I^ ABC; DBC, <iufeiiMtre9^kunb(int<y]lp/
tiiib jwtfiAett tfetifetfien^^WiMimeii/ AD, BCy fii|i) r(ri«

' Sci^dt moit Al) <iiiii
bübien 6(tttir, tilitr jt^Ht
(3 T. 60 ^>it(b B tet AC tie
B£/ unb hiM^ G W BD tie

3Sl ^0 (inänbec ^Inc«. ätutt ffnt (34^ ^Ö Me itrli
4^^ DBC^ tit-ttMftm biefec ^ocatdösrämme. $olj
1^iitC7i€k) Öieltiangd ABC, DBC 4tt<& iinant^ |(eM>»

JÖer 38. <©ö^ £e^rfo|.

. ttiangcft ABO,- DEF, auf 0fei<§fW Öwnbfiiiteii; B<!^'
£F| mtt> jtoifij^en benf^(&ett ^(icalleUtittetf^ AD, Bf, flnk
««(Bib« 0ret(^. '" '

ben ©Uten, unb jie^rt (3 1 . €5.)

bunb B bct AC bic BG, uqb

but<b F bet DE birFH pa;

tdtt((Uo0nbGBCA, DEFH/

^«ifldf^^nmte « tuib <^^ ®0 dfMiiber «(d<^. ftm ^.^

it^ e.) li» Svitfttg«! ABC, DEF/ bie fiUftm biif» V«'

vadet^gMmme* gofgftcft f{nb C7« 90 .^i^' SNanget -ABC/

©er 59.:@a$.^ »e^iif«^.

©feic^ ttiänaetr ABC; DBC, auf einetf^p ^runjb^
linte/ BC; uhb an eben bet @eite finb iibifc^en benfeibctt
fJaroaefUntei», AD; BC.

5fl: AD nicbt bcr BC paraßel , f d A^
fep e« C3 1 ♦ ® AE. gießet man EC,
fo ifi (37. 0.) A ABCrzTAEBC.

Shm i^ angenoipmen; A ABG =: A ,^ ^rt

i)B.a 8olBlicbtpiy€(j. ©OaP^C B^~- ^ ^

=: aEBC, wcftbe« (9. ®0 iinm6gfic^>. 2>emnocb ift AlE bct

BC njc^t »araOel/ uitb quo gleicben @ribben,au(ti .(eine «i^eti

fliiie auSec AD^ golgUtt? ifl AD^ber BC patajItU

» . - -

®<r 40. @a^. . ;Ä<^i:fof* ..

©leid)« Triangel, ABC, ÜCE, auf gleit^M !6*c««!b<
linien, BC, ep, unb on c6e'hrt)ec ©eite/ ftnb' ai»if(5lH|
&>ttf#fn gjacafleßimen, AD, BE. .

3^ AD,,niAt bet BE paraü«f; " ^^f===^ilf2p
fo 'f<9 e« (3 1- 6.) AF. BJetjet / \ >^^ '
man FE, fo ift (38. S.) A ABG / \ X \l
3= A FGE> dWif^ angenommen, / \f -Y.

A ABC = A DC5. golgli* »ite B ^ "

(r. @.) A DCE = A ^CE , »etörf ( 9, ®. ) ttttmigticj.
^mn<i4) ift AF tev BE m^Lpataüd, mb öuö gldAen
Tanten 0n(^ feine "anbete {inte attgec Ad. Solsti^ ijlr AD
te^BE IMUftfiej.

• 'li c

fS^etm ein ^a(attcIo$tamm , A^CD, mt,t. eiltet^
$rtonie^1SfiC!IJ (wet(e9 @ronb(ijRi^ BC, ^ai^ mtb 9»»«

Ik

^tt Sivufy, .

»s

^taiteloftvomm. boppelt fö grof ^ ob bee ^tiangef.

. gkftet man.AC, fo i|k A D _E

(37. A ABC 5= A EBC.
Statt ifK34. «.!) ABCD =
SA ABC»- SoIgHc^ tft au(^
ÄBCDss/^,EBa

JDcr 42. €5fl|. ^TttfdaBe.

®ttfln sea^enen t^ttandcf, ABC, «itt sfetc^r« ^
taaefosrammtuitet: einem segcbenen dcrobrinigeit ^jiiir
W, D^ j)tt fe«ftt)rei6en.

^Ibice ( I o. ST.) BC in E, unb
}^ AB.' Stuf CE.fe^e 19 E
Caj: ÄO GEF = 0. Slc^c
'Ca«. ©.) tue* Ab« BG Ne AG,
imb bui4 C bei; E^ bie CG pa;
caJS(eI: fo tt FECG ba$ Mclaiigte
9<iniK<fögi;aQtmt . '
/ 2>eiin e< 'ifk^C'G ein ^voOelogMiRm mit bem flDinfel
CEF = D, <iu(& (41. ©.) F^Cö.:?: 4 a AEC. . dhtn ifk
(38» ®.) A^ABE = A AEC, unb ba^ec a ABC =r 3 A
ABC. ^Ig(|«^ijt(6.®.) FEC6=sAßC,

• ©er. 4s. ®d|. «el^tfäf.

3n i'ebem ^(jrattelo^tamm / ABCD^ ftnb bie (SrgJiu
juttgeit/ B£; KD, bet um bie ^ia<)önate, AC^ liegenbett
9$araÜ)ffo^amme ; £H, FG^ etnanber stetig: , ' '

2>i C34VÄ)' A ABC =
A CAD, unb A AEK =
A AHK: fotft |;3.0.)EKCB
=rlCHDC» SSfonift(34.®.)

akgg=;äkcf. golSttc^

iK3,@;>Bg=KÖ.v ^'

. .<

ft6 €tt^t(> ^Mimte

^tt Filter 9ed«Sen(n9(mb;Mt'£tme, AB, einem 9«(|(»
6enm.^tüirfge(/ C^ ein dfeic^ö ^^araOelogramm unter
einem gegebenen gerabßnisen 9S8mfe(; D, ju entweifen.

aitacde (43. ®.) (in
^otattefogcamm BEFG
=rAC, fo »afr-EBG
z= D / unb bringe f!o^ ^
(M Ott jbie gegebene,
ünie ab'/' tergeftaC
M^B) BS, ingeeö»
Us üxAt <m einanbee
fiegm. ^litiff A )ie^

(31.^) tee PG obecEF bi^ AH jwtfltter. »etlÄttgete iPQ
m I^vttnb jie&c HiB :\fo ijl (»9; ©.) AHF +EPH = ä «.
So(a(i4i'^HF+£FH<2 9t./ fo(d(i(ili9et»eii'Cii.®0 HB>
f^nac^ B^ E )u i»et(&ngni (ofammenttfefen. Z)ief gefc^e^
in K. 3ie^e (31. 6.) bttiö^'k bet EA ober FH bie KL pti^
td^ti, onb »e^ngete B^,,G^, na4)L, Kf:. f» i|t LB bäf
MrlfUigte-'^arafieio^iA

if^^mß^iftUl „

^äWHK^l^ß^ C43. eO tB=BF. 9u<& ifk (15.60
ABM =;; GBE. Sßun «MC BF = A G , mi> GBE = D.

,y ^4

■ ' ©et 46^ ®0|* 3(of5a6^

Sittec dfd^^encn 0er«&Urtt0ett .$idur^ ABCD^ ein sfou
fed-^tafle(cdramm ufitet emem ^t^iUnt» Qttgttlmim
jßmrcf/^ £/ m 6efc^tei6en^ ;

3ie^ DB. eefc^ret6e (42. ^.}ta< ^«6{(e(ogtwim FHcs
/^ABD, f6 ha% FKHsE. »n GH «nttDitf (44.®.) ia

JDrnn

.> I

FK^y \^\iiä>, »eim
6HK ^ininfi»mint/

= FKH •). GHiC =:

2)aFG, KM, tMit«OcC ttnbGHfi^fM^ct: <t»iÜ i^f^M^'
FGH=;GHM, foid(t(^ FGH + LGH=:GHM-hLGHss
(29.®.)39t* S«)0lt(t>fin)>(i4.9.^FG, GL, tafönitartinif.^

Ski (34. ®.) FK ber GH, nnb GH tee LM i^lcM^ «n>:
patoM:: fo i^ (i. ®. it. 30^ ®.) FK tn ^ ||(l^ ttn»*
patottd. ^olglic^ flnb (3 3. ®.) FL , KM, jttuft ^liA «i#
patAttct^ folgji« iji KFLM «in ^cMmaxm^i^Vm^
fdFK»(f=E. . :; u

S>a FH:;= A ABD, ttjtb GM =! A DBG: >.>ifk Oi*^^)^
KFXM=A^D.

* • ■ ■

Siner dCdtbeAeti geraben tutti^ AB^ £Uiaf)f(tt in ti**

auf AB e«t(bte (II. C.) in A b«i C
yetpenbifel AG. fRiube ADrt AB. , p
Sie^e (31. «.) bu«* D bflr AB bie '
DE, unb buccb B bn AD bie BE po«
tcM'i fo tjt ADEB ba« »erfuhgt^ £1««:
bc<(t. ,- •' •■*-. .; ■

2>e8ii |ietna4 ift ADEB eilt fdraf« A

IKo^mni/ foigttfb (^4. ®0i bie flegcnjlbcr üqjenjwi 6*ifn^
efiKUibce gleii^ SRun ift AB s AD. ' goigii«^; if^ b«4 f^

toKde^eismn ADfiB gi(<i(^tis.

!^ A^ DE» patdUei: fo i$k.<»9.€.) A 4* ADE »9 »91«

Mig^ic^^ A%9t./ d#A^E:$;9t. . ab« fiab ($4^ e.>

bie $egen&bec lieaenben SBinfei g(ci(^. go(gIi(p jft|a*-9f>^

■ . ^ f<iO«(

■i- ^

4 t >.i •

r*

MÜetogRimm ASEB tei^ttMnfEis. Shm WK-t$ 'na^'GUt

fituttoi.

'. ©et*''-©«*- »»Stfof- ■
SU fetnin tt^nomffigtn ^angtf, ASc, i^ boi jCuu; '
tmlKtlinrm^tii^iiFtl, BAC, fejmiia litgav
t«i6ttt«, BC, btn ämbto^n bff i(n tiiifc^litf enten

eiit«v:PA,.AG, juii^.. . . ,;

«.ytcttSBitt
OiutiWBDEC,
lMliiiftB!|,AC;
H(- ätütirile,

OBJHCiftfii*. -V\^\\ j^--r^lt'

"BAO, SAG,

Biii(tl,t«ioifi>
Cm-«-)*<»<»1

mlf BA mit
AH, In gKutcr
ttiicilL 3i!i<
AS, FC, mü
{31: 8.) tui*
A tit BD ptia CE Nl AL paulel.

. ju (10. e.) DBC=:F8A, fo tft, nnrn CBA ^ii)iu
»omint, Ci-O-lDBAzsFBe- Kuh i»AB=iBf, im»
DBiiBC. .g«l8li*i(tC4-«-)ÄABD=:AFBa Stim
l|), iMt AChcBD, unbCCIut ^BfataM, (41.6.)
BL = 2 A ABD, nnb OB =» /i FBC. SoIsU« 1(1(6- «.)
BL=r QB. IKuii i|), mnn Mn AE, BK, |i<tit, au» «tm
t«l etilAxil, et = (at Üttgli« i|) (2. ©.) BDBC=:

3B.>.;C8^

«f

Set

• I

^etiti ttt einem ^riangef/ ABC , , baö iCtuabrat einer
^eite/^BC, beti jQuftbra^en ber beiben anbern i@eiten/
BA^ AC^. gfetc^ ttt: fo tfl ber bon ben 6etbenanbem
@eiten eingef^foffeiie jCBinM, B AC, ein rechter.

.5iitA erd(l^te'(i n* 60 ,Äuf
AC ben $cq>enbiM AD,
SRdd^e AD =;;; AB, unb ^iej^t

DCf: fo ijiiiilÄD AD=ä
AB/ folfltict^; toenn p AC
j^mjtifoiiAnr/ ' (a« ^0 □ AD
+ D AC=?Ü AB^+ D AC.
Äun i{l//f9eU DAC ein cec^

tet aa>Äfet (47f ®o D ad'

•t qÄC = D DC, unb na^;

in mnaemhnrtienen D AB + Q ÄC = Q BC. Sp(g(i(^ if^
tjDCräfeÖBC, tt9bbaöerDQ=:ßC. .

SDa AD =t^ AB^ unb AC gemein^ w^ DC = BC: fp
Jjl (8. eO pAfcBAa SBjun ift DAG ein «*«5»tnfC

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u rsSdn |ebem tf(^tn>tnf(tdm9araHffedMmitt fa9tm«v
fd fei^tfnter ben beibeti ben ret^ QBtnf e( ^itts

|^(te|enben @etten (totf ^teit

;' See Jt&tje megen fäfil^ bet Solge dti tet^hfiinnid^
' )^ara(Ie(ogc.amm< qii l^i^tiMnjS/tl ^Vi{|en ^ unb jvtmi

huutf ABXBC aiigebetttet »erben* ^

lv< !3it ^inem ^atttfc^cat^ni l^f e eftt jiebe^ bec um

' ' tie SlIllddoAare IHixtbi^ ^tdlU(o$ramme tnit Üod

Wben gcganjuöjien iöfAtttmen ritt '*^'^-^ ' '

©er t. ^iitr ^e^tfof.

W^vA ton $n>«0 gevoben £intett^ A, BC, tk etn«, BC,
inUlUbiQ «terel(6f(^nttte; BD, DE^ EG, get^rift: fo ifl
te^ utirei; bett briben £tnUit cnt^dltene Ütectange^ b«»
tmtes b^. mtget^^iteeit/ A, unbjebem b<t2tbf(^Qitt</BD,
DE/ £C/ erit^0(tenen Steptqnseln d^^ic^'

«rritbte (i) II. 6.) aiff BC in B bm ^fr|Mtibi«(f BF,
jPmJ>e jpG=r A, jic^e (i, 31.^0 burjfewG bwp PC bie
GH, «inb biH^ DfJ^, C, bn BG bie DK, EL, CH/p<M

%i

«il8t|BH=BK + DL *
+EH. 9luniftBH=
GBXBGzrAXBC,
t»eUGB = A; BK=

OB X BD Ä A X^

BD;»dlGB=:A;DL

=KDXPE=fAX Si
DE, t?eiaCD=GB=

A; EH=LEXEC= AXEC, iwU LE = GBäA,
So(BlK& ijk AXBC= AXBD+ AXDE +AXEC.

^ttb.etne 9(t:abe ZimtfAB, in einem fünfte/ C; Un
tieM^ seft^nittm: fo ftnb.tte titttec bec fianieu/ ABy
^ttb /ebem tet töben ?(&f(^mtte^ AC/ CB, eogt^etMj».
Slteefan0e(/ bem jQuabtate ber flattjen^ AB^ gjfeic^.

' Üdt^^ttibt (i, 46. 0.) OMi AB b(K Af— — i-^.-,B
'£)Uiabnit ADEB^ unb {ie^eiCi, 31. 6.)
■iSwcöf C bec AD, obec BE^ bie CF po«

cofleL

^enta«^ ifl AE =: AF 4- CE. dhm

lj|AE=DAB; AF=DAXAC

ssABXAC, tpei(DA = ABj CE:

ABXCB/ toeiC Bi-=AB.

A*XAg!-trÄBXCB.

«

rBEX^CB

©er 8. ea|. fce^tfaf. ,

WiHb «litt fcrabe £mie/ AB, in etntm ^mftt, C^ ie»
Uifiii^ißittttti fotflbatutttecVerianieti/ AB, ünb
«ineiii MrtiNbe« TtSfc^nitre, BC, em^Itene gtectansef,
bem tiittet lietben ^bfc^tten, AG, C7B, entM^enert
{Rectai^el famt >ein jDiMbratebe« bordebac^eii ^bfc^nit«
te«, BC, 0ieic^.

i

<•

(£am*i i&mihtt

:ACXCD =

BC. ^oliU(^i9c

IBefd^dße (i/ 46. ©.) oon Bq A
M duabrat GDEB, txcaitaete f
EDna(<)F; unb jie^e (i, 31. (S.)
tu^ A> bec CD;, obcp fi£, b»
4F pamttd.

Stm ifl AE = AB X ÖE =s
AB-XBCV^weli BE.= Bd|. AD
AG X BG , -weilCD = BC;
ABX BC= ACXBe+Q BC.

SODicb eine aerobe ^tnte; AB; in. einem JJunf t«/ C;,6e^
Iie&i$ ^ef^nitten C fo ifl tad £luäbrar ber ganzen , AB,
htn düaitottn ber Ttbfi^nitte^ AC; GB> famt beut
3f)»iefa(^en unter ben 2(bf4^ifitten; AC^ CB, ent^fte«,
«enfllecwttdeJ/ fileic^. . ' !

©efc^celbe (t , 46. ^.) »on AB ba« A CB

Ctuotoat ADEB , bnb glei^'beiren 2>i<u
goiiale; BD, ht^^e (i> 31. @:) buK^
C ber AD, obiet BE; Ke GGF, iinb
tjwtb 6 ber AB, ober DE, bie HK pa*

MtU' yy ' i—JB.

2)a CF, AD pacailler, fb ijK »# a 9 • €5.)
BOG =± BDA' Slun ifi, »eil AD = AB/ (i; 5. 0.) BDik*
=s ABD, Mi<^tit (ir"i.®.) BGCäABD; folg«* -•
(1 , 6. <S.) BC=G0. Slun ift (1, 34- «.}^BC bet ÖR
«tnb GG ber KB B(et(&. golglic^ ifl GK = SB , tinb ba^
CK gWtbfeitifi.- '• ,-

iD<rCG;> BK, paraOe^: fo,ifl (i, 99.^) KBCh-OCB
ssaOt ShintflKBQ fo(0(k^au(6GC^.etii;«ct^ecSSGeirf«
*elv wit^tit ott^ (i / 34; ^0. bi« i^en gcifn^iitegeniteii
SBineet CGK , . GKB te(bre. golstic^ i(^ ■ C|^, rccbtwinläsf
Slun war (I «u(^ dleic^fciHg^ ^\^^ ift .(i> 30. (S.) sM
ein ßuabrat, beffen (2«te BC. ; .

»tjf -

*C ViAUUftOtn (SvinHa ift otu^ HF ein £inabtät, tejfm
«elteilG=ÄCl

'2)a <i> 43. ®0 AG =r GE, 06« AG=ACXCO
ÄrACXCJJ, »drCGirrCB: fo ift oud) ÜEi= AC><
CB^ -foidiic^ AQ + GE = a ( AC X Cß> SJun tft HF ^
CK + AG H- OE = ADEö = Q AB , unb no* bcm (gt#
»iefeneoUF = Q AC; GH = Q CB; AG + GE =r
a' (^CX'CB).' golgiic^ Ifl Q Aß =p Q AC+aCB+
k CACXGß>

Ttnberer S5e»ei«.

f3aAB=Ai): foijiABD=ADB=r|SR., nxifABp
> AOß + BAD :i= a iR., unD BAD = «K.. aiuit tjk
^'i , «. e. ) EGG =r BAD = 3i. ^ goMÜ* ijt m<b «GO
== f gt = ABD, folfjt!* (1,6. ®.) BG =r CG^ fol^ilicfe Clf
gfeittfeiti^; atec, wcgjßi fiCG=:9<./ autb ci^ttpinfa^;
^0lkbtti».Siaabtat, Uffm^^nt« ßC. 9u$ gleichen @iön«
(äi;$ ^i^ ein £}ua(cat/Mcn Seite AC ^

lf)wtjift*(i> 43. 6.) AG=:GE u.f.».> »ie im (tfh«i

.^«tatt<{(tHet/ tntg' in jet«ih Diiabräte »ie^um Mi
!6i<i^iiW 4ii»acnM[^vAtt(Iogcomnie au((t ,£ln«biif«te fxiü*

.'■' . '■: .

©et 5. ©a^ £e^tf4|» . / ,.

»SEBli* eme^erobc £tnie, AB, bep G, in gfeJc^e^, imb^
6«^ö.^, w-iMjfetc^e @törfe jifc^nitted:" fo'ift t>o« imter
bell tttt9lct(^en @tÄcf en, AD, DB, ef»tftdl«ne Üle ctojt jet,; '
fomc bewwjaxabwfe bei iiroifc^cri Den :^eilpunftüi bÄn-^iA
fni^id^n ^tM$, CD, Dem 0uabcäU: »ei; ^oi^eti tmt,

itljb'l f lern. 15 SJfi*«r. * ***

i

• ;
■/

y

34

SuHtb'^ S(emei)tr

■■ iStf^cdfte (,1, 46. 6.) ooit A
CB ba« iQuobrat CEFB/ beffen
diagonale EB. gU^e (i, 31.
©.) bur^DbrtCE, otec BF^ g
M<DHG, Dui-c^ Kbet CB,
otecEF, bie KLM, unb but^
A t>«c CE, ob« BM, bie AK pawCeL

-; 2)« (I, 43-®.) CH = HF; f<) i|l, ttennDM^Ittitw
f ömmt; ( t, a. @.) CM = DP. Slan ifl, »eil AC = CB,
.(I, 36. <S.) AL = CM. gol^lic^ ijl (I, I. @.) AL=DF,
folglich, wenn CH ^inpfemmt,. AH 2= ©notnon NOP,
10(9«*, aeniT LG l[)iniuFomwt, AH + LG = CEFß. SRun
|j»AH=:ADXDH = ADXl>B, tB€«DH = nB;
LG (2,4. 3uf.) = D LH =: D CD, »«I LH =: CD;
CEFB s= O CB. gelgljc^ ift AD X DB + D CD^ Q CB,

I5)er 6. ^<x% «efetfaf.

■ §(Benn ehtt ö«t:abe £(nie, A^, in C, %<xWi% unf>f§e

(ine anbete^ BD, gtcabe fort ahgefeft: fo tfi Ddd unfer

\%x angeff^ten, BD, ^ unb bec aue bec ganjen unbber

.<indef<|ten Sejiel^enben gecaben £inte/ AD, enthaltene

Stectangef, famt bem iQuabtote ber ^^(fte , CÖ/bem

jQuobcctte bec au6 bei!\^a(fte uhb ber angefeften ;ie(le«
.|n^b<nd<Mben£tnte/ CD,^tc^.

^fl*mt>e 0/ 46. ©0 t>on a . C B , B

CD ba« £luabcat CEFÜ),
belfeit S)tagDna(e DE. 3ie^e
(I, 31.®.) btttd^B b^'-CE
otl^ü^F/ bie BHG-j. bttwb H
llW Ad obet E.F;;We KLMj
nnb b.uc(& A bee CL obet DM,
%% Akjjavöllet- «

";^ÄG=CB, wb bö^et (t/ 3«!. äJO AL=CH, äjie^-
Cr, 43. ö.) CH-rrHF: (b f|t (r, i.i».)-AE'=HF; f<«^ '
U(4» tpntn CM ^iniufoinmt/ ( i , s. ®0 AM'=r0iiolRöii'

• ■ "NOP-

Bwepred )Q&u4

SS

JJOP, fefflfi*/ twnn LG ,^iinufomint, AM + LOrs;
CEFD; SRuif ifi AM = AD X DM = ADX ^^D, »dt
DM=:BD; LG (2/4. 3uf.) rrQ LH = dC!J; »dl
LH=CB; CEFD = aCD. golaljc^ijl ADXBD?|.
D CB =: p CD. .

5(Birf) eine gerobe iinie, AB, in einem 93unfte, C/6((f
lUbis S^fc^nitten : ' fö ftnb bie beiben Cluobrate ber iotiimf
AB, ttnb be6 einen '2l6fcf)nittd/ BC, sufammen, bem gn>t^
fachen unter bec ganjen, AB, unb bem gebocfjten Mt
fcfenifte, BC^ entbalfencn Slectangef, famt bem Xiuobrate
Pt$ anberen 2lbfc^ntrtä, AC, gfeii^*

., S^efdS|tdbe (i, 46.®.) oon AB taj B C A:r

jCltta^tät ADEB^ unb ooUenbe ^te St;

, 2)4 (I, 43. ®.) AG = GE, fo ili,
tsenn CF ^in^uf ommt/ AF = CE, f ol^
iid» AF 4t CEi=r 3 AF. ,giuo i|i AF+ £
jC£=@nonioti'fiL>I + CF. 3olg(id^
ifir @nomon KLM + CF = 3 AF/ folglich, wenn HN ^w
jttf omint/ aDEB + CF=:3AF+HN. gjun i(i ADES
=;:a Aß; CF(2, 4. 3ufO =aBC; AP = ABXBP
= AB X BC , »dt BF = ßC ; HN (3 , 4. 3uf0 =?
D HG STD AC, »dl HG == AG. SolgCc^ t|l Q Aß
+ aBC=2 (ABXBC) + aAG.

, m

\ " . . . .■ ■

5EBtt^. itwft gecabe Xinie, AB, tn ctnem-^unft«, C, ^t%
K«bt<( 9ef(|nttten : fo tfl boö totetfac^e unter bet gawieiv
AS, ttnb einem bcr2(6fc^nifte, BC, erttbaftene SRectongef,
famt^JftttJÖttübMtc be« onbcten Tlbfctjniiti^/ AC, bem
■Qüabraie 6<t Mi becgonien, AB, unb bem etftgebcidjtcn
TÜfi^nittc, äC, tejle^enben gccaben 2tme, AD, gleid).

S 3 83er?

:»

eünitr« etmau

t g

J0«!i1lgm AB6i«BD=ßCr f« A_
ltt|li^t AD Uli« ISit «an|M AB, iTiib
4i«n <rj1gtti<ntten Sffij^itte BC-ü= ^-
•BD. »8f*to*< Ci, 46.«.)*™'AD 0-
boi Qua&cdt AEFD, unb wttenbe
Me bcpptlte Sfgur,

BilCB=BD, a6R (i, 34. SO E^^
JtC— 6E=QR, imt.BD=KN
g=M: fii»(i, 1.8) 0K=KN; im6QR = RP.
^iiKi, 3«. e.) CK=BN, «nC GR=EP. Kim i»
(l, 43. 6.) CK = KP. Solgüit (inb ulk Hin faialTeiw
.«Maunt^iianbci glfitb, fol9li4CP^4GK.

IlilCB=BD, ii6tt(a,4.3ut.)BD=:BK=rCi, 34-S.)
GG,uiibCB=-OK=GQ: folHCe=GQ. JjicbBat
QR = RP. joljlitti iH r, 3 «. ®.) AG ir Mij, »li QD
s= RF. Silin ff^ im ^acatlelogcumme ML ( i , 43. 9.)
>1Q=QL. Soljli« «|t.;<iM A:G='KF. Scmiuit fhib
•Ut efn ^(uaufloeninme AG, MQ, QL, RF, rinanb<t-
^ri(&, -Hnb bo^et iafan^mm =r -4 AG. gtun nac CF =s
4 CK. ^DljUit i^ en^onn STUi^4 A^; .ftlgU4, nm .
©H dliljiihmint, AEFD, boJIJt aAD=:4AK+0H^
g(iml|»AK=ABXBK=3.ABXBC, iwilBK=;BCj.
»itbÖH (2, 4.3uf.i=:tTeQ=LnAC, H«1IÖQ=AC. ■
jtlgli* tu D AD= 4 (ABXBC) + D AO'.

!Öec 9. ©as. it^tf"!-

,. <EBirb «IM («atie tinie, AB, (ri) C, in gltu^C/,
tat, bt? Dj in unBWc^e ®tiScft jifc^nittlll: (i jin? '
Wt btibm fiuabtote btt unjlti^tn ©tätft, AD, DB,
Joppcfc fo srog,. oI« bas Ouabt« bir .gälftt, AC/ dnk ;
'W&uoVot itt iwif^cn'b«! iitiifiintttn ((ftittl^tv '
■Ötä<£«,'CD. ,

•«r.

S'MKffll 90(9»

Crrb^te (i, x i. <5.) «uf AB
in C Uiil^tnhiMCE, matte
CB =r CA = CB/ mib jte^

^nt D bec CE Me BF, im^ a
tue4^ F tfee AB Me FG pcaaU
1(L ai<^AF.

$1^

$j) pE ^ep AC wb ac M {^,mh1>«i C t«t«i «to:
i^l M: to ifk (i / 5. »); e^A^iCAE/ CE^ Ä C|i&'
Wti/ ä'a^eO jetep Wef«»; »tec ®inM=m ^:

F?^. fQossljl ali feO? t^etn eckten fWirf«! ECrf ftl^<6> ^
tf(6 kbe« t(^t^ $Pin(e(; <it)(tl)FB = CEB^i9t« u#
DBF=GFE=i3t, folgli* (i, 6, C.) tf=ih>B, tat*";
«QäQF;

3P«4ECäCEBs5:1!R., «|fo AEP s= 9t : fo H»;
(1/47. ^J O'AF = ö AE+DEF. fRm \fi, Ni a«4i
»CO D, C, G, tt^U ©infel (Inb/ (i, 47. «0 O A:Fss"
pA^H-OOFssQ AD+,QDB, ttcU DFsQB; QAE;
ssOAC+pCEbraD AG, »eil ACssCP; Q EF=?i
DEQ+OGF=:;9aCD^»<i|EG=OF==CP. $9l»l

fi(ft1# OAß-fQpBsc ao ACir a QCp.

©er 10. ©<i|. ««^tf«f.

!{Btcb (ine getabe 2tnte, AB, in C, f^lUtt, tmb t$r
dne anbete, BQ /§etabe fott andef(|t < fo finb bie bei«
ben Cluabrotei bttf bet an$efe|ten, BD, unb bdd bec au<
bir |iaii|en tinb becandefeften befie^ben ^etaben £iitie/
A^ bmit f» gcofi, d« ba« 0uabrat bw l^lftf, 9G,
ntlbf^e^'mdtKotttt eaüttt ^hiftt ttob bcr iin9efe|ti(l
(efte^nben fleraben £tnie; CD.

€s

e«>

.s

It

^v^ivi ^m$m

AB in C m ^vpttiUttl CE,
maiifi CE 5= CA = CB,
tJn^ jle^e AE, Ea 3ie^c
(1, 3.1 , ®0 bw* E tec AD
ht EF, unb tutet D be(
CE^ieDFpataUeU fe i|t

(1/ «9. SO CEK + EFD

Ä a 31., foijiliA BEF + EFD < « «R., folgfic^ »Mb««,

. 0/ 1 1. ®.) £ß, FD na(t B, D }u t>(c(&nsm ittfammentce^ '

fnt. 2)le6 gejäjj^c in G. gie^eAG. •

' 3Da CE bei; AC unb CB gleich i{t, unb 6(9 C tn^te ®itu
fet fmb: fo ift (i, s-^-) CEA = CAE, CBE =s CEB,
«irt> . (1/3 2. ®0 j<»<t Wcfrt »iw sein W =:: f 91.

, . ©aEFbecAD, tinbFGbcrCEparaflef: fo »jt Ci/ a9.Ä.ji
I^s=F— Csp SR..; DGB =BEC=i3i. ; FEß=: D«G
.j;^EBC == f SR. gelali* ip (i, 6. ©,) Dß =z DG, «n»

Vi '~ ,, > . . . • , .

' »« AEC = CEB 2= 1 9t, «(fo AEG 3= 8t: ^ i|k

(1/47. ®.) G AG=a AE+a EG. Slun iji, U au^ ■■
U^n, G> F, tttbte a^iirfcl pnt, (i, 47.®.) □ÄG==
D AD + Q DG i= D,AD 4.0 BD, weit DG :=; BD; '■
n A£ =: a AC + a CE = 2 a AG, »cU CE= AC; 1
'O fiG = O FG + D FE = 2 D CD , »eil FG: = FE
;=r CD. So(^t(& ift 0. AD >h a BD s a Q AG 4.

^anCD.

' ,*• .- , .

- "•«s

iöcr 11. €5d$. 2ruf9o6f.

Sine d^e6«ne gerabe 2mie^ AB, fo ju. f^netbet^ bof
baf unter bet ganzen unb einem ber 2(bfd^ttte em^«^
teile iKect(i«9(( bem Üuöbrate be< onbeten 7ihid)i^
S(cic(> fe?.

»

BtM9t<# S&u^' ,

39

9ef(^r(i6e Ci / 46. 6.) »o»
ABM £htat)MtABDC, 'fyaU
MeeCi/ iQ.(5.) ACinE/unhiic«
^e BE: S^etlansece CA na^ F,
W EFsr.EB. .»cf^teibc Btta
AF tH>< Ouabrat FH, unb t>m
fangece GH iii K: fo iflAB in
:Hfod(f(&nittm, »otABXBH
;;söAH.

* . JDeiTO fca CA in E ^alWrt^
atn^ i^t W AF gecabe f^ctf an»
gefe^jtifl, fo ijt (a, 6. ©.)
€FX Af -t ö AE = g EF
ÄrOEB/wdtEFacEB.gitt» ,

iftBAEs:9li> iihbb«^ (r, 47. B.) □ EBrs □ AB
«ffcfUAE. golg«(^ijtClFX AF+a AEar q AB+Q AE>
-fMp<:|> «»enn Oktn □ A£ n>egmmmt/(i> 3. ©;) CFXAP
acQ AB> ob«tv (»eif AF = F9) FK = AP; fofgJk^
•oeim moa AK »«gnimait/ (1, ^ ®») FH =3 HD. fUm
Ijk FH =± □ AH, unb HD=DBXBH=ABXBHi
IWlDBoäAB. g»(flfi{^iftABXBH=pAH.,

.'''

3« jAettf flumDfwinffiflen Stiadoef ^ ABC, ifl ba#
-ber bem fiumpfeti* 8BBinfef> A, de^enäBer
ttegenben @eite, BC/ d^^^^t^/ al» bte jQjuabrate be«
f»{d^ii. ^nfe( einfc^Itel^enben ©eiten,, CA., AB; unb^

'b'irtirtfd^^egenben (Seiten,, ,CA; auf -b^ifett ©erlange?

' >tt^^ «« ^ewnbif e( ,- BI>/ fMt ji unb ^ bem Sugerrtj^

iM^eh bem ^^rrp^ttbtM unb im fiumpfen ^mfef^

^4

^

\

4«

^Wi eUtmtit

Sa CO toittt&i^tUdb in A gci
ffcnitten: fo tft (2, 4. @.) G GD '

=iaCA + aAU + 2(CAX

AD , folglict), wenn D PB ^injtt»

f oratnt, ( 1 , 2. @.) a CD + D DB

±= D CA :f a AD + D l-'B +

a ( CA X AD ). ütm ijl , »eil

fcep D ein recbtcc fflinfcl, (i > 47.1®.) Q CP+QDB ö<

D CB , «h» Q AD + D DB = Q Aß; $ot()U(^ ift OC»

s= C A + o AB + 2 ( C A X A D). SiemnacD.ifl Q CB>

O CA +Q AB, unö jroac um 2 (CAXAD)»

' •■ . . . •

^cr 13 @a|. 2e^rfö6.

3n i'ebem ^nattgef; ABC, tfl tois iCluabrät -^et f{ttfi|i.
fpi^ism Eintel, B, i^itn&bn Hfdenbefi ^itt, A%
ffetner^ aii pit Cxmbrau bet bjef^ Si^itifef etnf(|iic(.'
t^Qben @etteit ; AD/ BC^ unbjtiHir ut{ib«^ii9j[ef<;<^
^^ctangfl, n)eld)e0 uncet ein^t ber #fdM^|eifbm »(fjf
teit> BG, attftberi^cber9Jerpf|ibifs(/ AD, ft(|t, un^
tm mmtn, ^m^diiti bem g^erpettbifef tinb ^m fpi|eil(
aöinfel, B, Kefleoben ^IbfcfeWCtt^ *jp, (llMni i^ r

<S< fe9 juerft attcb C ein A

fpi^tgee SOBinfd^ fo fallt ms

gm Ci# 17* ®.^ bec ^cpfn?
bifel, AD, t)on Aauf BÖ,
liher^alb bc« a ABC;
' JDadfo CB wiflfubtficb in
D gcfc^hitten : fo ift (2, 7* ©J)

DCß+DBD=i CCBXBD)+DÖC, fe(^, totnH
D AD ^titiufommt, ö "CB + ü' BD + O AI>=: 4
(CB X BD) + D DG + D AD* Sinn ift, t»ei! bf9 D
rtcbteJöinfel, (1,47.00 DBD+nA.D=:n AB, im»
DDC+DAD = a AG. golgü* ift OCB + DABr=t
CCßX«D)+GAC. iCemna<biftDAC<DCß+aAB^
IHK) tn?ar um 5 (CB XBD> .

^(6i9Ui Qkt^.

4t^

^ Cfttimiff, fo f&lTt btt ferpenbifcf AD aufet^tt bei
^ ABC^ tet 9ctoftt aber bCeibt betfjelbf«

• . m

■^ . t ■ ■ « .*

QNit(rde9e6;neti0ecabKnt0en$i0ur/ A^ ein 0let(^

9ef(MN (i> 45. ®.> dtt
fRcctangel 6D'=A. (^inb
fMiBE, tu, tinmttt $M(^,
(b i(k BD ba« nMMflft Qaat
Mit ein)) oNc BE^ ED,
vnifä^, fp «arttagm (ine
Inifetteii^ BB> ikm^F, vnb
flid«bcEF=£D. |>a(Hce
BBitt (^ hA tcf(|Mtbe ottf
G iRÜ Oil^ 8N« OF^ b(ri ^6er((< BHF. Sl^etf&ngere DS
M H , wi»mf pH : f» ifk D HE ba< »erfände.

1|^ !^ fif bepr fh 9(^, tiob 6(9 E in tnigfdtbe

de d w i= (i , 15. e.) GH. »nn ijk, »fif «rp K

«n c?(bt« fBinM / (i, 47. Ä) Ü öH JT O HE + EG.
gd«'**HkBE><€F-f.aEGi=ÜHE+nEO, ftpc«^

<K^ntti(mÖ^tb(9flittmt,B^><£l',ob(r,n>({f EFsp ED,
t^tRcftan^elBD=aH£> Shtri tooc BD =; A» So(g«

PliW

^^

««

itnnm

i

4« ^unibl» Witmmt

. • . . . ■ .

-■.■"'

? .

C r f ( d r tt n ö e m

!• VSleujbe ^teife ftnb; in benen bie Durc^mefferf
ober bie \itiV\ fDlttte(pun!re an beti \Xvx%tt\i dejoge^
tten aeroben Linien (bie ^olbiiieffb) ' dleid[> finfe*

%^ S)on einer gerab/n £triie n)trb gefodtf fte beräl^
benjlretd^ menu fie il^n trif]^ 4inb bertön^ett i^tt
itiii^t f(6neib?t*

^. ^on Streifen fadtman, fte bM&j^midMfi^e«/ tt>erift
;fle etnanber treffen^ o^neetnanberiuftc^netbem ^

4« 3m i^reife l^eigcn gerabe tinteii i^ci^tct)^
> Il1t(telpun((^ eitcfi^ n)enn bte ou6 bem aOttt«

^ telpunfce auf jte gefaüten gJejrpenbiW gfeidS^ finb^

%, i&ttferitter a6er l&eigt biejemgie ^ auf »elc|^e bter
fir&^ere ^^penbiW fallt* -

\iS^Xi KrOBabfcbmtt iß bie bbn etner gerobett %\vxt^

v^ . (ber (Bfruitbltnie) unb bem (bon il^c abgefc^nitte^
nen) UM«if« t^egirinjte gigut*

7« ^er u)mfel bee Zlbf^tiitte ifl bei; bots l}(r ^rutib:^
Knie unb bem Umgreife eingefc^Ioffene.

f. X^er XCinM im 21bfc&mtte l^inge^en I{1 berjentge^
n>e(d[^en ^noet) d^^<l!>l^it)i^9^^inf^li^f <n^ bie bon tr$
senb einem fünfte auf bem Ümf reife be5 2(bf<^ttt«
na(^ bcn Snbpunf ten ber ®runb(inte gejogen jtnb«

\,< SBenn a^cr bie ben ^it\!e( einf(()(iefenben ^eraben

> £inieit ixxi @tj5(f be« Umf reife« (einen 25ogefi)

abfc^neiben^ fofagt man, ber 93JlnM (ie^e rtuf

' 10, sin

^ \

's-

IS. ein^tAMefbtHtt i^iii Shmr »tlc^t em \mt
- 0craben^ (inen ^Siiniti am ^itre[)»unfte bti ^ztit
fef tin^i<getiberi.£inten unt) btm bo« i^<nab7
StfcfjnimtKn So<ien begrÄitjt »itb.
ti. Sk^dliäae^retdoEift^tnefinb, »«[(tfc gleitet SBiiH
M fafToi, «t» in beiien bit äüinftl Mbnftitt
- ilniS^littb.

- jBtt t. ©«4. 3(iif9<iJ«.
" eiiiM |ci((tn>n greife«, ABC, SHieKf^unft ju f!nb«;

3>(^ im. jlrfife niDEJ^litb (ine
,tM( ilatt AB , ^Itin |i( in V,
uab (Ecit^te auf i[)c in I> b(n ftK
pevitltlbc S)er(äng«i;eCD6iö£,
unb Wi>ir(CEinF; (0 i|l T b(t
MuÄie 5Ri«c(pun(t,

Ijcnit »öK F nictt J(C VRltttU
fanttt fo^(9 (j ir^tnb (in aninn,
(tenG. 3i(6(GA, OB, OB.; SEM
AD=£DB, nnt OD()(nKiit, unt C. IS *.) A03=(*»
(»i|l (1,1. «.) ADÖ=:GDE, Wjll* (i, 10. «.) Mb»
»nCrt n«t(. Juni i|) nuA CPB ZE 91, goitlicb it
(1, »B. «) CDB = GJJB, »»(*(• (1,9.6.) im»68li*
i|t iSoniXt i(t G niltt bn SlitKI(nnn M ]tt(if(l, M,
avi tbttl, Un Sränbrn Aiuft ttin anb(r(c ^nnft attia F.
SoitM i^lF M g(s(b(nai SKifrt 9)iitt(l(»n(t, . .

>; ■ .^^ S"f • «•
tiiHiK (t(^(t, bis, im» im taxfi tint g(tabe (M<
eine nnbete'ffi ntei ÜRitte nnb nnter recbten i^nfeln fi^eibe^
.in tet Mnitnbertinfc te( aRiMtunft tu jbrif« |i«t '

De«

, 44. euViUl CtfüMBe

■!8rt2. e»^> tiiiff»!..-:
Sine emit Unit, »((d)t j««i;MK(i||t 9<«itHrA, ^
fir ttm Uttitmse etitn ^reifM, ABC, iMcmifttf^ fUlt in*

nettaibbiefeditteifrt. ■ .

S* 1<f» 8«»l« SWe "i*l kl»
tttt^atb Mjtrnfrt, fo^fh fieatilw
^16, toie AEB, attmm (3/ i. S".)
l»«Stdfe«0)lJtlclpunFtD, unb ite^c'
DA, DB- gnilfttim A, B, nimm I
in itm Umdcife »itlf&^rli^ «nett
^unft F, iit^ PF, Wfi imlloi^Kt
(ie l>i« E. :

.SD»(i. 15.^0 PA=BB, fi
i|l Ci, 5. «0 DAE=D8H. ahtn i» Ci, i«. «SO DEB>
DAE. S»l9»* ■!> DEB>bBE, fcljtl* (i, 19. «0 M
>PE. üJaniKr, is.eJDB = Dr. goläli* i|l DF
> 'b£, wele^ (1,9. @.) um)>i8li(& iit. Senrntv^ f ann bie
geccbe Sitne, velt^ A tmü S M^Untet, niilbt auger^oifr
M f ^fes f^tien. Sfien jblMveifetman, baß fte ni^t auf'
teii Qmftei« faden fi(nne< gal^Iit^ rnttf (Ie inner^ift t>e«
Steife« fallen,

sesrnn (m Steife, ABC, eine bunt) ^ ÜRitletanift
9el)enbe gerabe Sinie, CD, eine dnbere, eil^ blftc^ bcK
aRimlpunftgebenbe, AB, ^I6itf: fcfH^neilittüetiicdlic
unter teerten llEGtttf ehi ; unb »enn fle tiefefbe unteCHl^
ten aSinteln ft^neitwti f«W>>itt ftt mi^biiftltti
.' SDirnnl C3, 1. 60 M ileeiltt Mtltlii
twnft E, witMeEA.EB,

gr(let Steife
fBem CD Die AB in f ^iilNit.; (>
i(t AF S3FB, atnn üi ES «enein,
an» (i, fs. e,).A£ :s 68. gtltlf4

IMtfUi 8uc^

4S

QDiüt'AB iHrtcc teerten a^Miu

OcntfCD W AB uiltec rrcNm fDinfefn fc^nH^rt: fo i(lt
(r, f o. ^ >FE = EFB. 9htn ifl, wett (i, 15.«,)
A£s:EB, (ly «. &) EAFs EBF, auc^ if^EF gemdiu
^tifim ii ■(,! , 06, &0 AF.= FB^ bitfi^, CD^alMit
9ic. AB » .. ,'1

SBnitt tm jtceife; ABCD^ jtöe^seeabe £tmen^AC^ BD,

tte nid^ unter ben!9Dtttte(pun£tde]^etv einanbecf(i^tuit>(n:
f0 l^lbiren fte einanibec ntc^t.

b«| AE=£t:, nnbBE=:'EDi f»
t1l;,>»Mtl<wln M fterife« SRirnfpunh
F mm m» FE iie^et, (3/ 3. ®.)
FBA'fflflPvl^^. tttt F£B cintn^ttc
OMM^ ;f»l^ SEA =s FE^, »e(«

(b(iCir9<®0umni9tt(bif^. So(d(i(b

fknNii ACf BD, einanber triebt ^citittiL

^Ätf ÄifÄfe, ABC, CDG, bie ctnanbec fc^neiben,
I^<t6ttt feinen' g'emeiiifc^af titeln ^tttefptmft.

0efctt, Mcfe Streif// »ctcbe e^ \:

«eim i» B/ C, fcbneibeti/ ^tten ^

einenawrii#i|fUK$l>(n^ittd)»Mh^^

E, ,^0 jlf ^r |EC , unb »iOti^cliib « ,. ._ ■ , 1 • i ^

BJtQ/üMgmXh i.5.flf.)im-; ^^^' ^ '^' '*
itteif^/ AJER|:/EC3e:£F, unb im

»nife C3>0, EC — EG / folg*

li(^.ttiw} C^>i^«.) EG ^ EF> : . 3. r . ,

lo^ei (-i«>.-S.^inini&8(i«b jf^r %flfß^ f6nncn btefeSecife
f eben geniefnfi^ftficbeA SKüKipuaft ^bai.

©er

4« eiMn Cftmflin

limmt bit bff trnnfteii) I>G/ .iii^m QimaV ijft bitoio.
fcmtece. Haif ftnb Den folgen £inten nuc ft jocp (q
^(ii@<itait<t{kiii^ii, OG, <iiuiit«:al«(6.

3i<5(ME, MF, MC, foUCi, 2ö.«o

I>M+ME>DE. Slah i(Ki, 15. eo
MESrMA; olfbOM +ME= 0M+
MA=DA. jii>l3lliti{tDA>DE.

iB« Ci, IS-«-) M?=MF, »1»
MP jcDinity s6« DME:>0MF: fo ,
f{t Xt, i>i, ÄO DE>nF. Un» ati
tttn*!. Sttato DF>DC.^ PV

tm^ i(t D A Me ^r^^te, unb unt« ^
tcn.&iiüR, D£, DF, £>C, imm» bie
See £>A iiA^ece 9166», all Mt (ntfnntcK. ,- . .^

, ., . 3».«i)ter S^eit.

' :34eMK,ML,MH: fo i|t (i, 30. SO 'MK+RD » :
MU, M< if), > MQ-tr QD. 0)un i|l (i, i;,«.) MK;::^
MG. gcisli« l|t MG-|'KD.>MG■^GD, frUgg«
<i/J.SO KD>GD, tbMiXXDK.

St in bm Mongtln MLD, MKD, (i, 31.«.} MCH-
DK<ML + DL, cbn Ci, IS*) MK=ML: fo'i(i
MK+DK<ML^Bt, f»ljli* (i, s.B.) DK < DL.
Unb au« ebw ben ©rönfcen DL<dR
' JbtmäiTft DlHi! liilnDt, imb untttCcit tUMDIC/ßL,
EH, <inmre bit btt DG M^n Nrintt, dU Mt lalfinttftt. '

■j,-', . Stittet ?5«ir. ■

^DMfettCt>^3.6.)J>MB=PMK, imbjit^IlK
.SlanijtO, i5.S.)MBr=MK, iiu«MP«iilitiiL goWit
^^I, 4^<M DS=DK. ÜBte nun Uli« DSütit
tcftnb eine anbnfe, etTM DN, bee DE gleje^, fMpiee «w^
(1,'i.e.) PN = PB, Hellte« vmA^, »dl nieb bem
tncftm {(eile DB < SN,

^ •

IDü^CifOSii^

4»

MN 3X MfC,, tut MO gemetiu So{g(ic& tfi ( i , «. @. )
löilk's= tt^JN. Run war DMK = DMB. : Sofglk^
tcire DMN q= DMB , tr04>eö C i/ 9- «SO ttnm6gli(&.

SDnmviMi^ i^ an liefet @nte,^(t (ieinftm DG, ms bie ritt'
}i«eDB = DK,

■

®eVn. t)pn «tnem ^unf te^ D, imtt\)a{b eints Sivti^ttf ,
ABC, on b<fn Umf rete mtf)t ali jtve^ gletd^e gerate ^inien^ '
pA|DB/i)G : fo ijl fofc^et ^antt be6 Greife« Wnetpuah,

3te^e AB^ BC, unt ^I6it;e f!e
(i>^*a «.)^in E> F. gie^ ED,
DF, vHb McUmece fte an ixibm
eciten lOu!^ G, K, H, L.

^ AE = EB, tiitb ED
gemein, av^ AD =. DB : fo ,
«|k Ci/'«» «O AED =
BÄD. .golgfi^Ci, io..«»j je*:
ttt btefec 8Dinfe( ein tedbtec.
Semna^ »iri^ AB »on.GK unfer cecbten JBinMn ^a(6tr^
fo(8(i(^ ift (3/1. $.)>«. itcetfe«>:D!itte(punft in CR; au«
iben tcn ®c&(ben aber aucb in HL. Silin ^aben (>K, HL,
ffiir'tom ^Mift'D gemeim golgKi^ tft D M Jtceiftt ABC
«HttelpunÜfc.-

(gilt anberer betone. SD^i^e

D nic^t t^-aRittel)wnft, f» fe9 e< tr«
gent!''(in antMtcer/ ctira E. 3i'^<
DE, ttnb ioetttngere f|e an (eiben
$<itei^ na«^. f, G, fo to&rt affo (3/
8.\6.) PC>DB, ttitb DB>DA,
gegen tH l^genommene DC =r OB ^

=rI]lA« ;^na(b fann ni(bt E ber 9)titte(ptinFr fepn ; auf
eben ben ^^{tben abec au(b (ein anbetet auf er D. gofgiit^
ifk D be«'St«rtr^ AßC a»itt(lt>unrt. •, '

«iffiMeifm. IS 9iMer. S) ^cf

5»

^tofSbt Sktmtitt

■

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SDir 18. ®(i$* Äe^tff^f. ; -
Sttt ^mi {d^netbet einen onbem, ABC^ in ntc^ m^

0efe(t, ber erfte Strei« fcbnitte
ben andern ABC in btep ^nften/
0/ B^ E, fo gte^e EB, BD, unb
^Ibite fte in F, a «uf EB,
BD/ etck^ee iit F, G, bie ^ecpen^
Wf el FC, Gff, unb t)Crian8ei:c fie
bi«A, H:(\?ift(3, i.COinCA
unb KH, fotgbd) intern einzigen
t^nen gemctnfcbaftlicben ^uniPt L,
bed anbem jhcife« ABC SRi^elpitnfl. Shtn tofe b eien ^ ie^
tpicfen, ba§ L aucb teS ecfiien ftieifl^ 9)Kttel|Muirt fty, toeb

cM (3/ 5. ©•) unmiglicb ift*

2(ii&er6: Stimmt man (}/ 1.0.) ben^tttefptolt beil tr^
fleh ftceifeö/ L, unb fidle fi4 t>^n bem(i((f»en bie gerabeii IS^
LB, LI> aejogen iM»r^ fo ifl f3/ !?• C> ^ ütub ber aUttcfi
pxnix be0 anbM^ Xceife«/ foi^lM^ber Swff^sesen (3/ 5« 6kX

9

©et 11. ^a4f 2eH«ii*

. Secd^ca mnvji Streife^. ABC/ ADE; ei|iahb«r »oit i»;
nest f» tn#t, tn«^(f<i|be Sipie^ wel4e.6<ttbeir 9)2ttte&
punfte «ecbinbet/ senu^fant i»tt&nnxi, beii ^Sen&l^«^^
funsÄWHifrrA. , :. -

fW>ifte^^^fi»(in|V«iiiidfi(^,:F, G^
% ^«^^'»espagittt gerabc tini« FG
ttn. e^^^unft A ni(H K&f<*
3i<^AP^ Ag, fo ffl d» ap. ®0 FG
^GA>FA, 6^ct, »dt (1, 15. «.)
GA=GD, FA=FH, FG+GD
ba«<fk>FG+GH, fo[^
^) GD > GH, Wim (1/ 9* %) vmAfß^ Sfnu

dritte« ^m^ ^i

M^mu% Ut gttaU iinU, toe(4e Sciber Streife SRittefpunfre
MAui^/ ten SSerii^run^punft A tcejfeiu

©er l2. ^ö|. iee^tfa^

55et4^«tin)eyÄmf<, ABC, ADE, «mmibet toon
au^eü: fo ge^t bü gei^abe £(nj(, wr{c^e 6eiber iljiltrtet»
punhe tMitiribet , bitcd^ ben ^cili^rungepunft, A.

®(fe|t, b« twilxn Itrdfe R-'' >s,^ .

nttttelpnnft; tp&ten/ »enn /; • \^ •''~"v^E *

d tti^ft, G, fo ba§ bte
^fra^e {inte FCDG nicbt
^ttiK^ bm 9er&^{ttitg<punft
A'gii^r. 3K(^e AF, AG,

<i»1» (t, 1 5. «,) AP r= FC,

«nbAG=GO, fo(g(i(bAF4.AG=FC+GD, fofofic^

♦AF4.AG<F0, babo* Ci/ so.®.) AF + AG > FG.
5Dmm«^ f'onA (ie grtabe {tme, n>e((b« bdbec StttiitWtttU
■punihe Mtbinbet/ bunb f«nn atiitta, att boi t^er&^ning«»

: IHmft A t^Kt*

< JttdflrfiMk^ etrt«nbet, fcwol^f boit totteti a(d bb»
«i|en, in tttc|K mebt aläT einem fünfte»

^ ^^ frdet tfeeil.

'Itft ftrcü AdCD toetbe inwenbig
#Mi4ti«<n'Mbecn> in bem ^unftt B
tpfl^rt, oiMb fe^ £ bet adittd^unCt
|«l.«cfM/ nnb P ber Stittelpintft be«
imbci»ftMife<. ^e^rpanbiegeeabe
ibri« EF> (»trifft (3*11.«.) biefrfbe
ttMÜlngm be|rehibnl1^^PlB<'t 8.

8hnh4i(9, «e«n H n^tlcb/ «xl^ «i« V»ttfltc Ma B wiitew
^fem» «ki#nmd0unft^ bee ober fdn «nbteet; M O,

oottogeue j&F ttt(^ , fcyn Cfiatte.
. 2) a . ^

r-f'

5»

Cunib*» &mmt

^A E tte fRHtrfponft be< er^en
JTceifc«: fo ift Ci/i5.<S.) DE=EB,
folaUd) DE>Fß, fclgltc^ no* x>ieU
mc^c DF > FB. mm tft F bec «TOit*
telpunft be< anbecn Sctife^, folglich
Ci, 1 5. §0 DF = Fß ; »«J«^e« jenem,
PF*> Fß , - ojfeirtac wibetfj)ri*t.

©efc^t, tn Ä««« ABCD, «fitbe » «»etilfe Mti ehw«
«nbccn, »cnn ei m^giict)/ in i»e;» fünften A^ C, 6ei;&^tr.
SiffteAC. . '. , ,^ . -

2Jo Ay C, jwep fünfte In tec *Petip5*ri« b** <cft<n »ret«
iti A8DG, fo f(5^at (3^ 3. @0 AC, innct^o»be« Ärcifc«,
fol0li* (3f 3J:<i.}'avc^ii^alf> be« «nbeWilfhrcife«. Sinn ^nb'
4/QltÄt) >|}uu(tc in bet ^etip^eti^ be< «nbem Steife«, fst^i
Üd)f&ttt (3, 3. @.) AC inner^ofb btf onbinrn; tPeU^Vttii
Ob^en o^enba):,»ib(tfpt#t. ■'■■'.

JDer 14. @a$. «c^tffl§.

^mÄteife, ABpC, finb QUiä)t ittaU titiiat , AB>
CSD, g(eic^ weit Dorn S^tttcfptoft^/ E/ entfernt; unö
^fi(t(|in>ett toom äRittetpünfte^ £/ «ntfemt« 0<r<K>e £imen/
AB^ CD/ etnanbetsUic^.

SäUe (1/ 13. ®.) ou« E Auf AB/ CD,
Die q^ecpenbifel £F, EG, tinb }{e^ AB,
MC. ■ ,' - ;■•■ •'.:.'.: :.-,

Stfl^t; ?l^eit. -; !

2ßetm AB == C© iji; ®a EF «Alf
ABfJnfKctt: fo ijl (3, 3. ©.) AF =r
FB, ülfo AB=:2AF.' .«u« ebrt b«i <
@tänben tft CD = 8 GG. 8ttin t^-
AB = CD. golsK* ift (t, 7. ®.) AFS
== D CG. «u(b ift (1/ IS. ®.) AE=
i=ÖEC. Ulm i|i, »ettbep-P, G, eji*tf SBiiif«i;(iy,

47. S".) DAEäDAF+OEF, ««bDEC=sDCG+

- - DE6.

CO, «Ifba AR
£C, 4(fo qAE

DEG. S«l8«» in (t, I.e.) DAF+nHF=QCG+
BEO,-fol8li* (r, j.e.).OK'=DEG, alfo EF=gQ.
$lmuK&|iltb (3^ 4.€.) AU« CD^ sltii ncit vnnt 3SJtt((t '
yMftc £ cstfimk

»ei»>(j,4.».)EF=EG,alf«DEF=:DK3. Sliiil
KK-tia^ Um «Iten S^e Q AF .^.p EF =3 Q CG-(-
BSte. golsli* 1» Ci, 3- 80 D AF — D CG, «I(t AF
^ CG. Stun ffdc du4 AB = 3 AF, unb CD=a CG.
atfe/ft 4) (i, 6. e.) AB= CD.

i / " ■ ^ ■ • ' - ■• J

;■•;-, ®«r «. 0«^ *<5«f»{-, ,-.,;,
=JS» Steif», ABCD; ift b« Bimf)oMfliit, AB, M|

Mfiiofu, E, iti^ft(, SC,«ti|aa(«tiee«fRiiK«v>Fai

gS» Ct, 12: e.) ou« Eoaf BC, FO,
tKtorniUMEH, lk,-f» t C3> S.O
Sk>'EH. Stoltr tutM C >/ 3- 6-} /
BLs;,5H. «ni*tt (r, i«.e.) i«f 1
EK in L bcn ^rpenUM LM, unb mw ^

,Elf,';EO. ->-^ V

»»EI.=E%f»i(l(3>i4.ej M«S:BC. Ra«
»t>i S-ft) AB=:EM, an»ED = EK, olftADsf
iM4-EN. «tini() (t, 3«,eO£)« + '^>M^
8rt^i(iAI>>BCi ! . .

«iKl, «5. «.) MB= FB, mit EN= EO, <t*
MEN>FEG: fti|Ki,a4.e.)MM>FG. üluilBM
M»^=BC. 'gi.lj(i*iSBC>Fa , .< . .-: .
BtimM*i(> W« Um 3liKelfmi(» «ftmt BC, «i>f|<«r
•U Ue 'tiufmittu FC, DiA tn IQiintml^R-AD N> g^
«ilit. , - .: •

»3 »et

t

14 eufßtr« wimmu

,** *

. Ibit fluf eine« Greife«, A9C; ^nt^mt^tt, BA^ tvi
CntDunfre, A; errichtete ^erpenbifei^ AK; f§Öf ouUeiH^»
bed greife«; unb an biefen ^unf c, A^ gefyt itmfd^it bfii
Umf reife unb bem ^erneobttel feine 4.nbere gerabe 2inte»
Tlud) iflberSBinfel be« J^aftf retH CHAB, grfeger, bei
dbrige bcm Umgreife unb bem ^»enbifel cittgef^^tof^ne
9B\ntdf HAE, ober Heiner^ ai$ i'efeer fpiie fi^fimp
SBinM- .'-:

Sidefofcber ^etpenUM ni<^mt§et#
||aib be« Steife«, (b fofle ev/ mntC$
nii9(i(bifV;int^^^ u^e Aq^ftbal^
dfo DAC e'm tccbtet ®infei »&te.
Siebe DC/fbH», wtt (I. ij/f.)
DC±±DA; (1, 5-<&) DCA 5^
X>AC/ f^l^itb beibe «KttCel veC^
uTelcbe» (i^ i7* €5-> wurtglic^ ift.

2)iiina(b f anib fo((fefi[ ^er^enbiftrt iiidftt inneclKiib be( ti||^
AI falten ; ober Mt tben bea @t&[|bett aucb nii^t auf |n^
ijnirm» ; folglfc^ f ä(U er att§e(^a(> be< jtcetfjti

QHn^e^ tc^mt^ mfiili^ ,:i^i^ bemUmfortTe CHA;
«nb betn ^rpcnbtf el EA^ an ben $unf t A, eine getrabt {inii^
INtFA, fo fälle tt, 10. e^)a\a 15 auf FA ben fffpenlfieef
DGC ' i^f 4tfä D6A ein tecbtft «Qinfel> DA<3 ab(ttl|)f
iiW W Nt teMbtfc BA)£, fo ifk DQA >.DAG, ^oI|M#
(i, 19. ®0 DA>DG. aiun i<k (^15. »0 DAsbDs«}
8oi«(i(b io&c«4^»> DG, npeU^ (t, 9« @0i »nm^k|.

©rittet $]&eit

flßite ein fpH^n getablihiset flBinfet ne<b 8^^0^/ oll
ber p6^ 2)ut(bnief|b BA , linb bem ' tfmftet(it AHC tUge^
febfoffen« £)tnM; ober noebfldnet^ a\i ber »om.Umfirafi
/iHC, iinb bem ^erpenbif ei A£ lingefcbloirene SBinrel: jfi

ina§te

"j" f

./

m&fite jtirff^^ »eni ttoifm> m» Um VttfMMfd a« »en
^Punft A. eiste gecdte ttnie^ nrir FA^ fkeii^ tofk^ tuic|r

^^iiiMt er9eOM/K ta§. ein ovf tMiX)itr(6oief|Srr in befffii
fto bytnm fg rfafe tt tCR yetf critSftl beii AceM terul^clu uftb bä|
<ine jcttf^r livit box. 9^t pii^ ia einem. %mtH Uti^tt,
ÜjMifc C}^ 3«.®.) Me.deva]}e^tfn{f/, t9eb^.in^ep>5)ttnftta
mit ^ |u|^immentri{f t A ionet^ofl^tti Stcirtfi^ fSSL '

7(u^ euKaiLgegt&intm ^oftCf^ A^ o» t Hut» (^cSeneoE

II» @«} auf EA ja Dtm
9<cp<il»bi%IDr. 3ie|ieEBF;
mb AB Tli»^ ^ AB tirau* A.

JtNife» BCD:.

' Sbem tft fit tot Stfonfciv
ABE, FDE^.Cr, i5.t.>EA==
EF^ ttn^EB=El>^ «K^txrßlnferAErÄmdhr U> (|i
<i^ 4.«.) EBA=rEDF^ 8Ri»f{lEDF^,fo^{(^«tt!(^EBA>
üit» trt^ter SSSnW, b<*i|i^'AB pecoenbifufat anf tm |»!6«
»cffierEB^iirMrottnfepttnftrBi Si>l«{t(ik:i|^(3>.i6.3uf.X
AB (bie eec&^ninglfiiite »e^ SEcHTefr BGD^

*

s^ eiOtöi^f Bmmt

■ -v.

: Sit FC «M^ tat ^ktptfnWK^

»on F auf DE^ fo f«» ef 'F©/,. -j ..

un» to^cc FQiP (iit tt<|)t«r .®iii»

fcl. «Ifo (I, 17. Ö.) FGQ

<FGC, fol«li* Ci^-i9. ®,^:Fö. ,\

>FG. «Run ijk.(i/is. «.) FC * £>_ _

=^Fß,goiÄiicbwitfFß>:FG;, ■•..;. .^:/9... ■

to«l4>ti (1/9. @0 unm6aQ($ tft -ficinricu^'fänn FG «MH
prrpenbifttUie auf |)& ((tfiyltti eS^' ben «Minben a^ <nt|i|ft
feine anbete äuget FC. . %tgi^' ^ FC ottf DE, pjq)inf:
tHfular. V -

- 1

• ■■■: •. 1 »

— ^ -^ ^ -f-

® er .19. ^o|j %e.Srfa;|», rv

311 «uf etne*.5tF<tfe«/ ÄBCy SSerÄ^Mtitg^rinie, DÄj;
tm 55etäf)tttt»^unfte^ €, c(ne ««abeüme/ CA, fnfrs
pen&ifötotj^foi ift iii^l^n pef^ S^ti 3ßittefpMiift

3ft bee Sti^tmnft m4f i^
AC, (» fep et ^ü§et ^t itgenb»' , , .
iro, *t»tt inF. : gteöj' FC, »et«
*e(3/ i8.6d^fl«ft>Eperpew
>iful«r;-ba^ FCE ein testet
fDinre(. Sclgntt» to&te ACE

FCE
ttnin6d(id>

«m<b (ejn Ahb(fe|f S^ut^ji ^if^i^(i(b AC; Sotglit^muS et te '

AC fepm". •■. . ' -■ • ■

CE, n)«J(be«,(t, ft-^'LiD:«; -^^^IT^ . P

Sm greife, ABC, ijl bet SQBmfer.om WtttVfivmftt,
BEC, boppeft fb grog, afebet 5©infer otot Uwfreif«,
»epn 6«ibt<!iif.«inerfe0 SSoflw fh^en.

iSi U9 mtft&t Sßinfei an Umfreife BAC. ^t^AEfi
wb ocrl&ngccTpe bü F. £a (i, 15. Q,) £As=:£B^ fj^

' «•

O»3a^0»)JiEF=aEAB. «bcnf»

igt FEC = 3 EAC, foigIi4 (>/ a* ®0
BECsrsBAC.

m f(f feiner ein «r^beijet ,*®inf et
«m UmM BDC, tat BD. tte £C a'
fd^eibe. girret man nun IJE, un^
eerliin^drl^fie 6« G; (i» toii^. out eben
Me «tt'taötefhi« M GEC:=raGDC, un» GEB=s
aQDB^ f»l2M^ (1/ 9.00 RECss^sBDC

SDer 11. ®a|. 2e^rfa|i.

f^nlttt/ BAEP> f rirebt&htfte 8let<^
SKmm be( ftcdfi« 9t|tt(fi>ttnft F,

BFDsrsBAOssftBEÖ} fd^^ / / A ' J^iH

,\/.

.>. '

M •■

J^et ff. 6^«^ Mrfaf* ;

:tAe $tten&6e(^el^(iibfn aBtnM «itwr . l»ietf«ttt0ctt.
$idtnr im £mfe) ABCt); fmb i(i»<9 «(^ten^OBüirebi-

mtAC/^D, ffl ift. (3, »I. eo

CDB =2 BAC, tthb BDa == AGB/
fo(dIt<^ Ci , a. 9.) ADCs^AC-f-
ACB^ foigfifb loenn AÜC^inviemmt,
ApC+ABC=:BAC+ACB+ABG ^
== (^ ,: 3». ft) a 91. Äben fo »wb
(eroief^y taf BAD -f- DCB^a 9L

' »5

I

#

si

^uilWi 9imnitt

c

©er 28. ©ft|., it^tUf. "

Hf^ einer setaben einte/ AB, Hhnen tit^t jwe^ &^
ful^e, unb bobe^ un^fetclK i^eidaftf^nttte/ an einerlei
@dte erntetet wetben.

®ace bieg tn68(i(by fb f^en bte
JtceUoftfcbnUte; ACB, ADB, ungleich,
«nb &^n(i(&. 3tc^e teiathl^tm AD,
ttnb fietl&nsete jtebij'C- ^e^CB,
DB: fb l|t/ »e« bie !ri)f(*nim i^nti*,
(3, II. @.) ADB == ACB^ loefcbt^ (r^ z6. 6.) unntfi

lit^iit.

©et 24. ^a|. «e^tfof. .--
7(etnft<^e ^et^abfc^nitte, AEB, ClX^i anf fifeif^d^
geraben hinten , AB ^ CD, ftnb einanber gleich
. »rinde AEB auf CFD,

vnb fr<|e A auf C/iunb AB
it)erCD:.fofäatCnxi(AB
r=CD)BttufD. gielen -•

nun iri^t auiib bie jlreübogett/ ABB, CFD, auf einanbet/ fo
in&fte betr eioe^dittvcbet gan) dufer^dlb obw tumSi^laiigec«
l^alb/ sunt %(Kit innerhalb M anbetn foUen, «nb in biefnn
^atte i^n no(b in einem bcitten fünfte fcbneiben. ^Sbat drfte
1|t gegen (3, 23. e.y, bot 3n»C9tt g^sm (3/ ia.®.}> ^uc
nacb mitff^m aucb bie AcetJbo^ auf eihanbec fallen, f9lj|i(&
bie &^nli<ben S^ccifdbfcbnitte AEB, CFD, ^^MM, ittfi
cinanbe« gieiii^ fepn*

©er 25. @ö|. Kufgabe.

^ett ^et», toobon ein ^tbfc^mtt, ABG^ ^t^ÄthJ^
]u tooQenben.

^(Mce(r/ 10. G.) AGfaiD, tn<b ^

ecti^te < I ^ ». $.) auf AG Ht D ben
VKcpenbtM &B^> .3ie(}e AB.fo i{k ABD Ai
cntn^ebfc gr61o»«b<( eben fo gcof/ obec
flc;nec «W ßAD. •

€r(let

1&ci(t«<^(^

99

^ ABD>!)AD, fo ff^e fn A m BA (t, «3. 6.) BAE
qr A9D/ Mcl&ngete BD M t, unb (if^e Ea

^(tna« i(k (i, 6, 6.) BE = EA. fftm ift, »eU AO
äclKv «ütDEgsrndn, flu4>|(i^ D teerte SBinref, (i^ 4.1$;.)
AE =B BC. Solfllic^ ifk ( I, I. @. ) awt BE = EC up^
Q^ 9. 0.) ]El t^l. »nl^ngten Sttviitt ÜRittelpunf t.

ÄlMi» ifi tRit,^ tafi in bUfem ^aDe Der Jtteisabfc^ttt ABQ
tMfm tfl bec (KrtbCc^t ftp, xotii tfpc tSlittrlpuiift aufa^offi^

3ft ABD=:BAb, f»ift(i, 6. @.) B

AB = DBg(.I)0. %of^ ifk
fa; 9. e.) D H tttfoiytcn HUdf«
it^K^ntt \, • ^ A,

»inr »Mtt ABC dii ^ottfrct«.

1^ ÄBD<BAD^ fo fe|K in A <m
BA (I, iT, 6.) B^Ec: ABEl/ ««tb

6ict «»itb^ tole ((9m (tft^. S^fi«/
bn9ftfinvbaf>E*aEB;=:Ejb; unb

ba^ E M Mcbui^ Itrdfei aXitteU'

3» ttefew M« fut bee aSittefiNtaft inmtQirfb. M W»
f^üiitt« ABC, ipd(^ «tfo cfMbot gtbltc 4U bei ^«tt*

'^ 'SnüM^m Jtceifen, ABO, DEF, ^ei)tn iln^,^tte
ihkwM ÜRtttffpnnftf / BGC, EHF/ fowo^I, a|« ^f(t(^
fBtnfM «H Umfretff, BAC; EDF; ouf g(eC<^lt ^eiv

BKC, ELF,

$m

4

f^

^vKtm ^mi»tt

Söer 28. ^ft|. , £e^rf<i|. "^
^0f einer setoben Sinte^ AB> fhnntn ni^ jwe^ &^
(t(|^e( unt> bAbe^ ungifeid^e ^eilabf^mtte/ on eutedei
©cite «richtet »etben. -

SBite bie| miglicby fb fe^en We

«KilÄbfibnitte, AGB, ADB, unglel«*, >''d''!>V '^
nnb &^n(i*. gie^e ȟt^K* AD/ /^^^A ;
«Bb w»Ü(nft<te fte M« 'Q. ;^?^ CB, A^^-Ji^Zi^ir
!5B: lbl|t/i»H(Welft>f*nmeÄ^irtC*, : '

(3, II. @0 ^I>B = ACB; ioe((b<rt (1/ x6, 6.) tUDn^

J5>et 24. ^a4* «e^tfdf. .... .:.^. v

Htlid^t Ätei^abfc^mtte , AEB, GER,:: «nf gf^^
Serab'en 2inien> AB^ CD, fitfb einonber {(et^^
,»ctn|*ABBöufCFD,

imb H'se A lUtf C^ wb AB '^

A6ec CD:,|b eWIf (»*I AB 4i •'-' '

s=CD)BattfIX $ie(m

nun ni<bt au'cb bir f rcübogett/ AEB^ CFD/ auf einanbet/ f»

.infi|te|crTiQ^ir!tti»ebet gang au§er^(b obev {umstj^laugee«

^alb/ )tt'm>;f 1)^1 inner^tb bcf anbecn foUeit/ «nb in bicfetn

$atte i^ no^ in dnem bcitttn ^unfte^ fcbnriben. '!DaJ @rfte

n<ub mj^fiVn awb bie 9rei<6og|iA oHf dftänbec fatten^ fol^ii^

S>er 25. ^o|. Aufgabe. .

^eiM^TR»^ wobon ein'Übfd^mtt/ ABC^ ^efietien if^
}UbDSenb«n;

^(bire-Cr; io.®.>AGjbi]E>> titftf • "fe
«ttiJ^tt fi , H. «5i) ttttf AC in D ben
ffetpenbtid DB^ .Sie^e Aß/jp) ijl ABD A-
cntR>%c g(b|j»'^ (bnt |o ^cot;/. ob<(
flc;nec al^ ßAD. ^

«rflet

1Dci(t«<9u(^

99

.^ ABD>BAD, fo ^t ^ Ä Ät» BA (r, «3. C.) tAE
s|r A9D/ münim BO MI E, «nt }ir^e EC.

|ii(m<i(& t^ (i, 6, G.) BE s= £A. S^un ifk/ »ei( AO
läc DG, «üb DE ismtin, au« «1^ D t«(ttc mntH, (i, 4. i$.)
AE =s EC. Solstic^ ift ( I, I.e.) au(t BE = EC uti^
' Üjc 9- (90 ^ ^* tttlqnitm ^^fri tRittdpunf t.

ÄlM!^ ifi fUt., tofi in tiefem SaOe \>n Jttet^afofc^nttt ABQ

3ft ABD=BAD, f»ift(i, 6. ®.) B

AD = DBgt,I>0. 8o(8(ii(t ifk

(r, 9. @l) P Hei tttdoqjf tot ^eif«
m^rr^nft' _ v^
'' ^ tUfem ^((^' i^ a.tt0(n{ie^ti<&
^«tf<^ ABC (in (Sitt^f*

^ ABD<BAD^ fo f(|K in A <m
BA (I, 3}. 6.) B4£;=: ABEl/ ««tb

^(c mib , tot^ ((9m (cfMn. y^,
»mftfnv ^6 AE=3Ea;= ^, unb
td^ E >(» Mctongttn Jtrdfd 9Ritt«U>

fi^mtt« ABC, tp(((^ «if» ofcfibaf ^(t 4U t« $ä(f»

^ 'giti 0(<*<^ ÄKifftt, ABCi/DEF, flehen dteid|e.9GStm
t^il^om aRt(r«^nnft(/ BGC, EHF, feno^I, üt dfet«^
tBirtM ani Unrtretft, BAC; EDF; ouf g(eC(^ ^m,
BKC, EI4F. •

. . $if^t

/

6»

^v^ih\ efemente

Sieget m«n BC, EF, f»

5tcdfe gleich ftnb, BG =

EH, . uob GC = HF.;

fißttti ifk dtuft BGC =

EHF.Si>(dtit^tfkCi,4.(S0

BC=EF. 2)aDie®ln* K , ,1*^

MfX9A,t>, 0(ci(& fmt) , fo {inb in bm «ietfcitigeti. SkisN

ABKC, DELF, (3, aa. 6.) au* tte ftipf (I fc^ X/ gt^

«(fo (3, 1 1. @0 bte a^fc^tiitte BKC / ELF, '&^n(t(^. 9^

«MC au(^ BC=; EF. $(Is(i(^ <tnb-C3/ 24« ^^) birfi tt»

fc^nitte foR>o^(/ dti t^re SE^gen BKC, ELF, fjH^.

.« . ■ t

©er 27, @a^. Be^rfafi :r^

. 3tt fileti^en Äretftn, ABC, DEF/ftti» i)ie'o«f ifeit^ftt
Sgogfit/ «G, EF> fle^enbeo ^(nf$( aqt -SNltttefpunFtr/
BGC, EHF, fon>o^( ate am Untfmfe; BAC>:eOF, rin«
«nbet gfeic^.

; ©inb BGC, EHF> •' ^^ ^,^— ^ p

ititg(et(&/ ((»'i{t einet oon;
i^^en gr6§eit. (S< fey
»feg BGC, unbba^ec
(i, 23.,®.)BGK=
EHF, fotg«* (3/ 26.
€50BK=EF. Sftttn
iit aaaenommen BC=EF. Solgiic^ »ace BKr=BC, Wb
4«< Ci» 9'^0 unm(8li(^.i|^. S)emiM$ i^ B6C=äiF,
«if» (3>^o, e.) «tt($ BACt=EOF. .

• y /' . .■■;

V 3» gftic^en Är«fett> ABC, DEP,r.|it^i#eii «feiere
gita)»«, ginten , BC, . EF,. gietd^e IBogen «^^j fo bog m
^rögere ^ogeii, BAC< bent flt&geren, EDF, unb bei: flH*
nere, BGC, bcm f le inecen , EHF, gUic^ ift.

stimm

ScittK iSui$.'

Stimm fcec ÄKifeSRtt*
l^unfte, K, L, un&iicfje
l>i>'|«illimefrn BK, KC,
BL,LFif» 111(3,1.8.)
«»«I-Me Jtreifr gleich, BK
=:EL, unDKC=LF. ■^'<5^

8iuiii|io«*BC=EF.

golSliiti fint (i. S.a.)

m JSinM te9 K, L, alfo (3, 3o. ®.) duc^ 6c9 A, D> alfo

(3, 33. 6.) au(( beo G, H, glrii^, ^Igtt^finA (3, s6. 6.)

M<.$«d<n ÜAC, EDP, ctnanMi: tuib atu^ Mc SofleaBGC«

EHF, einanbec gid(^

:5ict 29. ®at S'6tfo5-
3« gWdjen Äreifiit^ ABC, DEP, ftnb gerabe-Simeit/
BC;- EF, Dllc^ gltic^tc^^oatn BOC, EHF enbmillTtC
Mcdutbeii./ einanbec g(eic^
' Sliilim bie Wtfelpuntte
K, Lf uHb iie^e bie {)alb«
nelTR BK, KC, EL, LF,
n>eI{(K3'i-li^-)9|e>^IIt<^'
Dm ITnb, nell BGC = A
EHF,ü,i7.®.)oil4bie
JSinfel bq» K, L, glett^.
'^nm if Ci/ «. e.) BC = EF.

©et so. ®a|. aufjate.
©He» «ejebeiieii Steitboje«, ABD, ju ^aKicm.
' 3leV AB,' unb tälbiie {le (I,
io.a!.)inO. gtriiiteCi, ii.&j
auf AB in C ben ^eipenbifel CD/
anb lie^e AD, DB : fe i|i ADB in
D.-Süttiet

-Xiemt ba AC:=CB, CD gemein, nnb bepCte^^telDinfet: -
frijl (i,4i«.) AD=DB,- fbijli* (i«b<3, 28;») 0»*
Ut)ß9sta AD, DB, beeen jebee neince M bet ^Ibf cei<, it(ei<^

See

■ ■

Söer si. @a$. ^^e^tfaf

^D«r9B(nf(( im J^äßf reife, BAC, ifl einre^terrobo
ter aBinfel im 9c6g(rn ^tei^bfc^nitte , ABC, tfl tli^
*tnet, unbber im tlt'mnn, ADC, 0r6§et afd ein trec^m
j^in^egen ifl bec ^infel hti grSfjern ^reiäabf(^tte|^
€ABC, sr6^er, unb bed f (einem/ GADG^ f(etn«r^ «k
ein rechter.

2)(« Stcfifc« ABCD Sllhttefpunf t fc$
S, frtti Z>tt(4meffec BC. Slinini im
Mmttv^ tut BC nmkfyaU^'Vi>i9
^^hHlftc A, iD/ nnb )ie^ Megetcbeit
BA^ AG, AD/ DC: fo tottb bee
$albfitt$ oon BC^ unb bcm S^en
BADC; bec8t£fiece8bf(tmitti»onCA/
Wb bein Qpgen ABC; ber ((dnece den
CA, uitb bem fB00eit ADC einge/
fibioJTen» 3t<$e femec £A/ ttnb »eftibigete BA «üm^ t,
^ec ift:

(grfÜtcb. Z'erfDittferiw^alWrtifeäAdsrgi. Z)eili

M ijl (I, 15. C) EBr=fiA, d(fo (i, 5. ©.) EAB=:EBA,
tmb eben fe, weil EA=rEC, EACszECA; .fol0lt<b (1^
S. «0 BA€=EBA+ECA. Stun ifk (i, 33. ®.) fAO
r=GBA<(-ECA. ^6Tgtk( ifl (t/.i ®.) BÄGsFACas
fK. (i, 10. (S.) (DbM: (H^(t, 32.(5.) AEC=:2BA£.
unb AEB = 2 EAC, folgikb AEG + AEB = 2 BAC
Sfiun i(k ( I / 1 3. 60 AEG H^ AEB = a St SofgÜcb tjk
3 BAC :t£ 2 St., fDlsfi«^ BAG s= 9(;

^vot^tm. 2>etSDtnf<(tmgt:{iSeniiHilNtteABC<9t.
S)enn hn AABG ifl (i, 31. ®.) ABG-f>BAG<2 9L, «t«r
BAG=±9t, fpl9ß*AßC<«.

S>ttcteil*. 2>e« aBinfel im fieMetn tIbfcNtte ADb
< 9(. l&eim iR ber oierfeitiecfi gignc ABGD-I^ (3,. aa. ^.)
AfiC-('AXICsa9t.r ober ABG ^ 9t./ f»i«ii<b AJK:

XHet»

» 1

M GAB. .

<:f)v. txnn et i|t offenbar tUinttf «Ai in ted^tt SBitu
W GAT".

3 « f « f .

{>ieM«< nadlet, tdf , trenn in <in(m Sti4ng((dn CDiw
Mten betten ontetn sleict) ijt/ ec ein rechter fep; toeil fein
l^enttinfel (i, 32. 6.) benftitot Mbtjn tSinfetn ^IM^ ifc,
((ei^ aßetcni»infe( Ottt (r, 10. <S.) ttc^teflnd«

.©et S2. @a$. Äe^cfaf.

Sßtt^etn^td^; ABCD; twii einet ser(H>en2tnte, ET,
hxSfyct, unbton etttec anbem au« betH IBetAl^ätttd^pui^
((/ B, ge^odtnett, BD^ ^tf^mtten: fo flnb bte ^iilfeO
DBF« DBE, n>e(c^e bi« f(^neä>enbe ^htte mir b«r fteriV
MrtMttriua^t^ beit ^tnfeftt in b«n abgewanbten ;SUei««

,4*f<^itten, DAB, DGB, gleic^. . '

Ctcii^e (1/ ti. ®0 auf EP
M B'tocil |>eii>enbtrel BA. 3iir

9»^ BD nimm toififft^tfic^ c(<
-imi 'Vnnft C, tinb |ie^e AD,
DC/ GB.: f» ift iubewrifen, b«§
DBF s DAB, tittbDBE = _
DOB. " *?.

ierß(t(|^ 3«!)(tpenbire(BAi[fl(3, i9.®0b(*jtc(i'

f(»fRtttel(>imft, fo(9fi<$ (3, 31.6.) ADB=r:9l.r=:ABD
•i^BAD. 8tuR ift ABt==3t=: ABD+DBF. gofgUc^
i|k O, u 90 ABD 4. BAD =r ABD ff DBF» So(#(&
(*^. 3. ®.) ÄAD =r DBK r .

SiBcytti M» inbect>ie(feitiden$i0ucA6Cl>|ji'Cair a3i&)
|ADHr9QB=:39{.= bBF+DBj£. 0}«! Üt emtefen,
%a% BAD = DBF. ^Igiic^ ift (i, ^. ®.^ DCä s= DBE.

^et

u

^üflWi ^enmite

?öer 85. @Ä|. 2Iufda6e.

U<((r einer geotebetten deraben Sinie; AB/etnett j(ireidt
abfc^nltt iu befc^retb<n/ ber eirun äQt|tN( faffc/ »<((|f<^
ein(n\ gegebeneM decabltntgen CCDinfef/ C, 0(ei(9 ift* '^

T>it gegebene SEBinfelC ift ennoebec ein
f))i(t9ec, ob<( ft^tn, obec ßumpfec

fftfler Soff.

^ S^enn C ein fpi^iget SBtnf e( ift. 6e(e an

A (I, «3. (9.) BAD=C <gtd(bte in A

auf DA (t/ II. G.) ben ^etprnbifei AE,

unb^aibice (i, le. 6.) AB in F. .<Scti(bte in F auf AB

(t/ii. 0.) bcn $etp<nbi(e( FG, unb }ie^ GB: f^ift,

«eil AF*= FB^ FG gemein/ unb bep F rechte fBNttEi^

(1, 4. &) AG:=:OB, folgiicb ge^t.ein unit} mit GA H«

fC^ebener ftret^ oucb burd^ B. r

V (St toecbe befcbcieben unb fep ABEy au(^ »ecbe B£ 0((9a

gen: foijtAEB = C.. ^

SDenn ba DA auf bem S)u|Xbmefnr AE ifa Chi^iinf^ A

petpe^bifufac/ fo beeä^rt jte (3/ 16.®.) benftceil6i A^

folg«* iji (3/ 32. 6.) BADi=AEß. SJuto ifkBAD==G,'

gplali* ifl AEB = C; . ,' . ,

3tt>epti|i? Salf.

SßennC ein testet Sßinfeli^. @ege<in
. A (i, 23. ®.) BAD=CJ, unb ^albice
AB in F. »efcbceibe au^ F mij FA,
Äep FB, ben «rel« AEÖ. Jm tlmfceife . '
nimm »iKf fi^tlicb einen $un(t E ^ unb
^e^eAE, EB: foi{tAEB=C.

St>enh ^fet ili »iebecum (.3, 16. 25.),^
DA eine 83er4^cunjj«inie, »eil BAD*^
±=«. «neb ijt BAD = AEB , weil AEB ber ©ijrfeT im
^aibTreife, affo sieicbfaO« ein retbte« iß^ 9tun ifi BADsi€;
foigii* au* A£B = C.

* «

..©.titlet gaü.
©enn'C dn jiumpfec SSBmfel
rfr« «nA fe§e (i, 23.©.) BAD
= C. ^Huf DA mftOte fti A
(j, ii..<S.) txn 'Pct^enbiMAE. D

6i

Wi ^rpf nDif <I FG. 3ic()e GB, /5

f^ i>Y, »dt aF == FB, au* FG '

dfSi^h, unt bep F ccti&te i^infd/ Ci/ 4. 0.) AGirGiBi.

fiu^G befcfeadbe mit GA, ol>ec Gß, ben Scd« AEÖj

Slimin in bem Sonett AB n>i(lf&t)rltc|^ bm »^unft H^ unb

jir^ß AH , AB ; fo ifl; AHB = C.

.ZT^nn ^tecijt wtebet DA (3^ 16. 6.) dne S^eiä^tun^««
Uij|e, folglich (3, 32/©.) BAD, ba« ifl C == AHB.

_ ■ r

©et 34. ^a$. Ttufgöbc

:^ft einem gegeMen .^tetfey AäCy einen 3t!^fc^nttt
ju nehmen ^ bereuten ^infel fa^e^ wd^^et einem gegef
Mnnfiserttb(mi«i>ett SBinfd, Dy d^ei^if}. ,

|ifeiW*mB(:3,i7.©0
6ir9eHi^rig««itie EBF«

Ith PB feie in B ( i, A]
^3; ®.j FJöe=D. 3m

loiilffi^cßc^ ben fünft A, ^ ^^

unMe&e AB, AC: fD 6 B F

iftrBA€=rD.

JDrnn ba EF dne ©erö^tungölinie', fo ljk.C3ii 3^»« 0.
pß!C>^b|iö;ijkD = BAC.

)

r.-- •■'•'

' SD'er 85. @.a^. «e.^ifäi.

. "@i(|meiben int Steife, ABCD, ein<int>et jtoen ßecabe
««i>n> ÄGy BD.: fo i|l' baö nmef . ibe# ait^fc^tiitte«
bet einen/ AC^.i^t^ältenti ^etrand|l(^.4|k:>^EQ/ ^ft^
^ * kVf^H f rem. 15 »4<ter. <S untet

• *

66

€n((ib^ eUmtkt

untet ben ^biä^nltttnUt aribim, BD/ tt^aUtnm,

«dt«t Sinim 2)ur(^((nitttpunft

%&fc(>mtt(.Ci / IS. 9-) cinaitbtf gincb/
uttb b«ö« ©ffcttbat^ AE X-KC = BE

. 3{t E abev nid^t t>ts ^ittefpunft ted jtreü
frt, ie fro W4>et F. «ue F fott« auf AG
BP Wfr^erpenbifÜ FG, JFH, unb jif^cFB,
FC , FE; fi) ift .X a, a».0O AÖ =3 GC,
fol^li* (SV 5.@.>;;AKXE^+QGE=:
D GC,, ftfj^««!»/ >nwnn o GF ^tnjufoßirot/
(r^'a.«.) AEX^EO+pGE+aGF=:
q GC -f Q GF. gtuB tft/:n>et{ »e^ O tfi^ flMiiCci;
Ö/.47i feODGE+GGF=DFE, unDaGC+QOP
rss. D FC §««9«* «ft AE X EC + p FE=aPGss
Q fi^ weH FC = FB. fStaa i^ Mi eben ti«n Q«4^bcii
DEXEB+aFE=DFB. JSofefi* iji. AE >< EÖ 4.
D FE^DEXEB + Q FE, UldH, mm man Q FE
»<8mnunt,_AEX'EG =PEX EB.

.. t

®«]^tt tot)tr'efÄ«ör «i^erl^affi eine« ÄtJifel/ i^BC,
genommenen 93unfte^ D, itvep gerabe Linien üjitcii
S^m$, bDn benen t)te <tne; JDCA^ ibn fd[)n(tbef, W <m«
btre / DB , beräl^rr : fo t ft t>a& unter bec ganien fc^ttfi?
benben, DCA^ unb ibcem augecl^alb be< Greife»/ folk
(enben ^bfc^frtfte ^ DC, enthaltene SHectangef bem iCtuftF
^teberSS«^6$i:ttii9$(ittie/ DB, gUid^. ,

Jfetflet

dritte« Sbu^

«7

V^U-

2>i« f^ndtxnbt f inie DA gel^e ,^uc<^ bm
«ittripurtf t, *. Sie^e EB, fo^jfk (3, i g. ®.)
EBD (itvtK^tec SEßinfd, mh tä^ef (i,

+a CE = p p), olwc, (»eil CE
=tBP3 ADXDC + D BE = D ED.
Sol^ ijlADXDC + aBE=:nDB

•f qB£.^Io(s((4>< toenn^man Q B£ Wt^^
nimmt, ADXDCsrQDB.

r/^itoie f)(neitotbe fmk DA ge^e nic^t turd^
lÜM'iSiltiHpynft Ei .^ui E fdtte «uf AC
(k liit. 6,) >en ^ecpenbifd EF , unt sie^e
EB^ECy 5D.t fr ift (3, 3.®.) AGm F^al?

Uti^ f^mXK 6: 6.) AirXDC + D FC

ÄtJ'FO, foli\id>, mm D FE ^iijtifrfmmt/'j

(V».j?K) ADXDC + DFC+aFE=

D FÖ + a FE. 8lttn ijk ^ »e« bep F cc*te

fWÄfirt, (i,47-®-) DFC + DFE =

ÖEÖ = CiÄ5- «0 □ EB/ Mnb D FD + Q FE

(if^, '-'S'^iy- q DB + D EB. gotgftc^ <fi AD X DG +

D EB=bDB+DEB, folgfi«^, wemi man D EB »^

öimmt, ADXDG=:DDB.

ODE

-A - r.

- ©er 57. (Sa$. Sej&rfof.

-®e^ W>n hinein ougetfeöIB mtS Äreifef/ ABG^
gfUetiffnenett ^$unf re / D, jtpep gerabe Linien on beti
.ftfefif ^ Vett benett bte eine/ DCA^ i^n fcf^netber, bte am
takt, DB, trifft; unb ifl baö unter ber ganzen fdjncibem
bMh; DOA; unb i^rem airgetfcatb beö Äreifeö fa^ettir
iNtn. .Tt^fc^nitte, DC, entl^a(tene Stectaitgef bem Ouabrate
^'^■'^ii «a bec

ii entlWi ^Ittnintt. ^ttes IBim^.

ber treffenben, DB, gteic^: fo hit&^tt bie ttejfenbe
üinie ben Äreiö.

3ie5ff au«D (5", 17. 6.)bie
SSccö^cung^Iinic DE. Shmm (3/
I. ®0 ben g^ittefpunft F, tinb
lie^eFE, FB/Fa

lU i^ fc^ncitiit: fo tji (3/3 6.®.)

«^genommen/ ADXDCrrQ

bß. golij«* ift D DB = D Ur/

mb i«i)it DB = DE. Sftun, ijt <>u(& (i^ 1 5. @0 FB ::;= FE,

«u* FD gemein, gotgli* i|i ( t , 8. 6. ) FBD = FED.

Stm t|t'.FBD eii^ Tn^tec SDinfef. 1So(gIi«6't(b VuO^ V^Wdn

c«t>tet: teinfcl/ dlfo BD auf FB p(tpm\)il»tn , Ift^ßU^ IK^

jfi^rt (3/ 16. Suf.) BD btn Ä«il. •

^inetpunft f in. PA ift.

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1 1 ■' ' ^^■«— iy#*«

f^rie^enen gigut |> «ine ^tte betierilgcn , in iotU

iit iewe ^«^abtini|S|^ ^i^itr f)ii^t ^Ui^ema^m tun eütf
fgecahlini^t ^igur bej^rtebeti^ wetrn jebe @dte
b<t üm[d^mbfne% $taur i^e einen ^inf <( bttfcn^
9«it> nm wefc^ ^e &^c^cie6en i^/ tittfit.

i« CitKi fffiuMimge ^0Me %i0t jit ditett jEUcte .b<#

Sigur be« Äteifeö Umring trifft.
4» ®ine ^erablinige Siguc ^ei§t um ftitett Z^rete be#

iclMtben ^ "»din iebe @eite ber umft^riebeneft

%im bti greife* Mmmi btt&litt.
i, (Sin ^reiö l^e^^t slei^ermogen tit eitle gero^tMm

^Quc bc jxi^rtebeti) wen« beö Äreife« Utnring ifbit
\ @(Ue ber Stgur^ in tDeldl^e er befc^t^ieben ifl^ bc»

tö^rt

6. ®n ^reif ^ei^t um eint scrabKni{{e 5<^ 1'*^
. jf^rtebrn^ wenn bcd Sreijed Umring febenlffiinfel
ber §i0ur, um wcfclje er beft^ricbei» ifl, twffit.
7f ^i»e gerabe Sinie ^dp ia einen :Ht:et» ein^etragetti»
tt«nn i^e @nb|»uahe ^ beö Greifet Umrittte finb^

iWMI^

e j ©et

7«

' *

4.

3n tintn fitithtnm ^mi, AßC, «imt d(de(h^(tt^

£tnte/ D, eine gleiche gerate £tnte einjuttadeiil ' :<

3te^ be< 5lceife< S>ar(^i
meffecBC. 3ftnunBC=:
D/ fo ifk ta$ aSetland^ 9«»
**eöen. 3üaI>etBC>D;
fo OKK^e (i^ 3. 0.) CE==:
D, i>ef«&cei6e ani C mit CE
töt Itceif >AEF, unb {ie^
CA': fo ijt tiefe Hi eerfangjte
«nie.

; 2)cntt*« Qt, 15,00 CA=CE, «betGE=Dt j|i>i|l
(1/ 1. 00 We (4^ 7/ffO dngctfttgtne CA = D. ■ " "

Äet 2. @ö|. 3(uf9a6e. "^

' 3n einem de<)e6etilen ^tet5, ABC^ einem ^e0<(«nett
$ciande( , t)EF , einen g(ei(^ti»in((i9en $nan$e( ju 6k*
fc^rejben.

^ bee JtcdfieS Umtiri«

IPunftA, itette (l/ i<^*
.|af0^e^«cö^rüW|«(in^
OAH/ .lege an A ( i, a 3.
Ä)biefBlnfe(HAC=

5, ttab GABrrD, unb

)ie^e BC: fot^ ABO bet «erlangte Snangef. - . '

2)enttba(3, 32. CO HACasrABC, abecHAC=E:
f» ift (i/ 1^ @0 ABGzcE. Sßun i|): out eben ben Qcän«
»e« ACB==D. ^o(g(i(t iftCi/^ga. ©0 BAC=F.' 2)em*
«ait t^ bet C4/ 3. GO in ben Siei« bef(|)riebene^ ABC bf«
^lED gfeitMnflig.

( • ^

71

C '

S>er 8. @^$. Otufö.^Bjt.

Um einen gegebenen Ätei« / ABG, einem gcgefienen
fc^etbeo.

^eil Gfitcn nac^ G> H/
ahn y trt g itifrt TOife
tefpunft Kr )ie^e toitt^
(&(^ Die ^ef o^e Sinie

BMArrDEG/ un^

G, bieSctu^ungSUnien LAM, MBN/ NGL: fo ifl tMl^
><v iKrlanftte Srion^U

> '. ■ .

'* ,'SAw ta C3^ iS- 6.) *<!^ A wib B'tMftte WiM, «ll^ in
- ter «ierfettjscn gipc AM'BK , toebbe in i«»(9 %xw»%fipx*
legt toetben fonn^ ( x, 32. 6.) olle ®tnfe( )uf(itnn»n Miv
ret^trn fBMnf e(n flfd(^ {in» : fb t{k AMB 4- BKA = 2 3t. =rr
T)E€P^DE^7Tno* I, 13. €5. tin» i, i.©.> 8hm-i(k
11^,^19^ BXA=D^. Soigfi(» ifk (I, 3. ®.> AI^P
cä^EF. S>a kn 4iif eben: bic «et ef»ei<ti($« t^ K^
=bF£: fi> ifi (1/32. ®.^ am^ ALC=^EDF. "pxmafy
tfk (4/ 4^$.i«ec um ^en JtcetS »«{iE^bcne A LMN ti<a
£^ DPPaW^winflia,

> :'

<•.

©et 4. 0a$. irnfgÄt^fc

Stt einen s^e^men^nansef, ABC, fiit(»jtm« iu
IcjIc^eKra»

s

\ >

V.L

7*

entlib*t etmtntt

s

«iin^I jM- :|rian3e(«, ABC,
BCA^ mittel« ttec BD, ÖD,
wtldft ii, 1 1.®0 tn D }ufanl«
tnentteffeh siigen , f&lte (i, £
13 ®0 ani D auf te« Srtdm
Se(« @dten AB, HC, CA', tie
yetpenbiM DE, DF, DG, m\) ^
befc(^reibe au< D mit einem bec^
(itben bfn t)erIonflfe!i Äcei« EFG.

2)ennl)aEßD,=:DBF, DEB=DFB=R, ttnbBB
gemein : fb ijl C ^z 2 6: ä) DE =: DF. 2)a nun eben f* ar*
toeign*/ ba§ DF=DQ, fplglid^ (i, i:@0 ou* DBäc
DG : fa ge^t bec Sceiö / »elcber au« D mit einet bet . jftU
c^en «nien DE, DF, DG, ^-fc^ieben tDirb, öu* bur* Wt
irrigen fünfte, be^ n)eI6en tecbte SSinfel ftnb, becu^rt alfb

(3/ 16.&O jcbe Seite be^SriangdS, unb ifl folglicb (4/ 5^^)
bacetn befcbrteben.

■^ V i

I \

•»;

tim etiteit gegeft^nen !^rtande(; ABC; einen ^m$ffix
fefc^reibeit.

|>albire (i, !•• ®0 i»eB Seiten b^Stciangel«, AB^ AC/
iii C, E ; erricbte (i, 1 1. 00 in biefen fünften auf ben ^
ftn bie ^er^^enbifel DF^ EF, wdÄe (i, ii, ®0 i» «»««
fhm(!te F, enttoeber iimet^b be« Sirtangel«, ober, auf bifm
fttitten Seite, oberaulerM^iufamm^tvefNn; unb befcbi:eibe
aul F mit FA ben i^etlangt^n Smi AßC.

gtjler $alU
(8i fette F innerl^fllb be« Sciangeß*
Sie^e FA, Fß, FC; fo.ift AD = DB,
aucbDF gemein unb^perpenbifuföt, fölg^
lidf (i, 4.<5.0 AFrsFß* 2)a nun^ebin
Ib ec»ei«icb, baS AF=FC, alfo (1,
f. @0 aucb FB = FC : fo ge^et ein Äcei«

a\x€

/ '

SDftftrt

?l

Mi F mit etnet Ut ttntai FAf EB, FC 6ef<WA«r, äuc»
tue* We* fttrigen fünfte, untr i^ a(fo (4^ ^^ Qf.) iim Wb
Snanfld befc^^tieben«

Stt^^Pt^^ Sali
e« fiSe F auf We Seite BC. Sie^e FA r
. fo »ti* / toie bepm <c^en ^atlt, btwitftn : p
hq% F bet 3]titte(i}unf t be< um ben Sciangef
iieficiebenen Stteife« feo.

©titter Salt

. . f « fatte F aufiet^afb bejirrianfte». 3U^
^A/ FB, FC: fb ift »iebec AD =t DB,
aad> DF gemein imb perpenbifufac, fo(dIt4^ ^
(I, 4^ ®.) AF = FB. eben fo wirb be^
loiefeii/ ba§ AF=r FG. Sclglt« ifl F bet
gStetetpunft bei u« ben $daii&e| b(j^^
mn Ä5Äfe«»

V

r ' {rieedul et^effet, bog bet SINnM BAC bepm etften ^lOe
tei gcigetn Sttdtebfiibnitte/ <ilfo ii^iq, be^m s^^pten^ iiiir|>(i(b<
tvHt, alfo ein te4)tet, be^mi bdtten im fleinrrn St^iScAs
f^nitte, atfo'ftumpf fc^/ na* (3, 3 »•©♦)• 3j^ bemno*
inbem gef)ebmen Sriangef bet fgJinfyl BAC fptl^ig, fo tteffeit
Vit ^petpenbifd DF, EF, tnnec^Ib be» Sriangei«, i^ et
<tn tecbtet SGBinfcl/ auf BC, unb i(k et ftumpf/ an^^cHb
ht$ ZmnoAi iufammen»

' -^ ©er r ©a|^ 3rttf«a6e*

— ■ ' - ■ - ■ . ■ *

311 (inen dHiUnm Attii , AUGD, liit. 0»tii^

7»

(SitfßV^ XtitmiKt

'\A

Btefte {wp !Düc((me(rer hei Streif ef^
AC, BD/ (i> i u 60 auf rinanbec pet^ '
penbifular, au4) noc^ bie AB, BC^ CD/
DA: fo ijt bic Dletfeirtäe gigut ABCD
ta^ t^eriangtc Ouabcat.

Dennfea (i, is»«.) EE = ED,
4|u4)i EA amm unb pecpenbifular: fo
ljk(i, 4»®0BA=:AD. giuniftau»
fcenrdben ®cuf]ben au(<^ BC=:BA/ unb CD=DA»^ fyftf
Ijt^ ijl ABCD 9Ki(I)fri%

2)0 BD beö Sceifc$ 2)utc^mcffer , olfo (3/31. QSOBAG^

imb Qtt< d(ä(()en @runben aud> jebec ber SDinfd^ ABG^

BCD, CDA; du t^(ttet SSinfet: fo t(t ABCD r^^tmiiiRfgr

nadf Obigem ober ou(& s(ei(^fcitid; fof^Kct) (i, 30» (S,)l cbi

. . ßuabtrat/ unb (4/ 3* ÖO w ^^n Ä^^^* befcj^riebe«» ^.^

©et 7. @a$* 2{uf0a6e. ^ ' ;-

Um einen 0cse6enen ^rei^^ ABCD, ein 0u«braf j|i

ief^ceiben^ . ' /'

Siefte jtoep 25ucc^meffec be« Äceife«
AC/ BD/ (i, 1 !♦ ®.) «uf eirtanbec
petpcnbiPuUt/ unb (3, i6.3uf0buc(^
We fjunfte A, B^ C, D> m benftm«
»erÄ^rung^linien FG, GH, HK, KF:
fo ift FGHK iai üctlangte Caabrot.
.. 2>ertrtba6e9A,B,C,D/(3,i8.©.)
tiAU SDinf el finb , ober aud) bcp E :
fo finb (i>.58. 30-00 FG, BD. HK, tzHUi^tn GH, AC^
FK, parattef. S)eninoc^ ift FGHK fou)0^(> oI« ü«4 i^
*.er Siguren / GD , DH , GC , CF , ein fJaraBelogromi»»
8o(9li*iji Ci, 34- ©•) GF£=:ßD=:HK,*unl>GH=r
AC = FK. . iBun if^ (i, 1 5. «0 AC =: BD. %t^id^4ft
0F2=:HK = GH=FK,. olfo FGHK/ gfeicWcitia. Stuft
iflO/ 34. «• «. 3/ 18. ®0 ÄGB = FDE=:SR.> imb bieg
f ben foDon im mnUtn 9t9 H, K, F, tmuilUff oiioFGHfC

att^

L>-

/

IStmei i&uf^/

is

ferof / mb (4/ 4» @0 um bm ftnt< bcf(()ri(^m

JÖer 8. ©a^., 3(ufsa6f*

3neiiisede:6ene$Xlua&rat/ ABCD^ f inen JtreU jtt
lefd^eiboju

,AX|, AB, in E, Fj jte^e (i, 3 !• ©0
«nc4^ Efeie£»lbet ABobci: CD, unb
tttti» F We FK bec AD ober BC pdi» Fj
tftflli; itnb bcfd^teibe ouö bcibtr 2imcn
Suln^mtte G mitGE ben loertandit

J>enn nöcb OHgem |tnb AK, K^/ AH, HD, AG> GH,
GC, GD, ^arättelogramme, folglich' (i, 34. ©0 i^ gegeiii/
itttt iie^enbeii @eit(n qU\6>^ SRun ift AD z=: AB, a(fp
Cr/7*®0AE=:AF; golgfl* ift GF=GE. SRuntDirb
cbeirf>1fett)iefen,ba§GH=:GF, GK=^E. golglfcbftnb
6ie Diet »inien GE, GF, GH; GK einanbec gleicb/ tinb W
jKcetft a\a G mit GE bitfcbvieben i^el^et Aueb butcb bie äbrigen
^Jttiiftf , F, H, K, bc^ »rieben (i, 34. @.) tecbtc IBinM
ftal), bec4^rt alfo (3/ 16. ©.) jebe Seite belÖOabratf^
imb i^ frtgtttb ("4/ 5* ^0 ^<iteitt b^cbrtcben. ^ i

S)cr 9. @ö§. XufiafTe. •

Um ein segebened tluabtat/ ABGQ, ieinen ^rei« }«
tefc^reiben.

3te§e bie JKdgohdlcn AG, BD^ tinb
fiefcbreibe Mi if)vm S^urcbfcbnttte E mit
EA ben t^etfangten Äcct«.

©enttba(i,3CHe.)AB=AD, unb B
BC=:CD, micb AC.gemcin: fb t^
(T, 8.«.)BAG=CAD=:i?R. SRuti
ift efien fir emeitiicb / bag ABD =:
DBCaf Ül $o(|H(^ tft BAC;;5:ABD/ ia^m (</ 6.6.)

EA=i

76

Süßit'« ^mthtt

EA == '^Z '9tm tt>irt> c6en f» tovi^dt , tnil EC s= Iffl^
ED = EA. $elj;(i(&.f}ntt bis oiee Stnien EA^» EB/.EQ,
ED (inanbei; gleich/ unb t)tt Sttii aüi E mit E A bei^xitbm,
<^«i ouci) burc^ bie.&brisen fünfte B, C, X), unt t^ «ff»
(4^ 4. @.) um hai £iua(«i( bi^tbta* , ' '.

•

®er 10. ^a|. 2(uf$a6«. ' -

Stnen d(eid)fc^enfltgen ^Sciansel ju 6ef(^ret6eit/ '^^
miesem jebec bec $Blnfe( pn bec (3(ünb(tnte boiS iQopr
^tite bcö brittcn ?ö5inf efd fcp.

SRimm eine beiiebige gerate Sinie
AB, unbj($ncit)e |t< (2, 11. (S.)
in C fo, bag ABXBC=aCA.
iHu^ A 6ef(ti:eibe mit AB ten Stttii
BDiE, tM^c in benfelben (4, i. ®.)
PD == AC, weiche f (einec tfl aiitxi
Stceife« j&ucc&meffer/ unb ite()e AD :
fp i^ ABD ber »et^angte dteic^«
{4)en((ide itriangef.

2)enn jie^et man DC^ unb befc^cetbt (4, 5. 6.) not tcft
/^ACb be»«rci«ACI)E: fo ijt, »eil AB><BC==d;CA
= DDB, (3, 37. ©.)BDcinc85et:fi^tMnö«Iiniebe«Äisrtfef
ACDE, fofgti* (3/ 32. © ) BDC=DAe, foigli*, tMtift
CDA ^injuf ommt, ADB = DAC + CDA. Uber (i, ja.eO
JDAC + CDA == BCD, folglich ADB ==BCD, itnb ou^,
ueU (i, 1 5- @.) AD = AB , (i, 5. ©'•) = ABD. ^{^
Ii*i(l ABB=ABD==BCD, folglich (i,6.®.)BI>ä
DG = CA; iol^m (I, 5. 6.) DAG = CDA, foIsHsft
BCD= 3 DAC. 2)emna(^ ift av4 ADB fotVv^ oll ABD
ssraDAa

* * I

©er u. @a|. 3fufaaie.

3« einen jegcSenen Äret«/ABCDE^ eine ^t^titi^
«itb dMc^ioflige fönffotide $igui; $^ b^c^eä^en«

«I

tiBtectel SBm(^

TT

einen ^ek^fc^eitfügm A

FG|1;' in mefc^em jetei;

l»<r«Jinf<lG,.H, Da«

Z)o|^eite D«9 'l^ritten F

f». '. ^n Den jj^gebenen

Äcei«W*i;yfbc (4# 2. ©0

füien bmAFOH gleich*

tpinhigni A 4Cp, ba§

CAD=F, 4£:D=rG, unbADCrrH, al|b CADü

|ACa)=r| ADC fep. |)aIMre enDIj* (j/ 9. ®.) ACD

nß5'ADC^»»tttft« CE, BD, tftb jie^ Cß, BA,'AE, ED:

f» ift-ABCDE »ie oetlangte fänffeitige ^igur»

■

^Senn \^a nac^ tMo/K Sonftcui^trQn bie fönf (EINnfel^. CAtli
^, JECA, ADS, BDC, «lej*. jinl>: foftnb (3, a.6, m.,
^e Jttj&bogm CD;DiE,.EA, A% BC, \tim {%, '99-.^^
^ jbifi fo beriänntni ^eütbro 8mim dM#. ^ Sp(flii<^ "^
ABCDte gfeic^feitja.

f I f ■ *

■% •

8» ft«(^ Obigem Itt 0e^(iFAB^|3fev f^tsHi^'/ OflÄi
»n SS«s^ BdD ^tnüttfohmit; iNt>16og(n ABCbibBCDEi
f» i(i (3/ 27. ©0 DEArrEAB. giun iffr' ifenf f?» trnJei*
IMr'; tdfi )cb«e Oec SBtnf»; A^Q/ %CfD, -€£«} Vinem bec
ÖiMa DEA/ EAB, gleich fe^. 'i^^ßt^ ^ AsC^EtE aui
fßmx^, unb(4/ 3/9.) iii^m Jt(et»»tf(^KrK ^

iÖer 12. 0fljfer . 3t;t»f0«6e.

•. . ». .■ • • .

' Hin einen gegeben«« ■^^S/t-^^'^^Pfc **"^ 8^«»^
to'e, «nb . j|fMfi&ft>Äe' .iwÄ^je; Äut : {'u t«*

•ef(|t

§•

euf(tb> e(em«ftu

{>a(Mce inxQ n&({iOe SDinf e( Mtr
St0ttr, BCD, CDE, mittetö bec eü
nten CF, DF^ unb bcft^teibe au<
brm't^unfte F^ in t»r((iem |ie i^u
(amtncntreffen mit GF^ , obet FD/
ben Mrfanfltm Scci«.

!&enn jie^ct man noc^ bie tinim
FB, FA, FE, fo ^afbicen biefc bie
Sßih(e(CBA,BAE/ AED, rnUid
fk^ eben fo/ trie im »oc^ergc^enben (Sä^e, bctoeifAi fl|tk
2)aäffoFCD=FDC; foifi(i, 6. «.)^=FD. 8hi&:
ift eben fo (ctpetSIit^/ bag jebetecFB, FA, FE/ einet tcl
FC; FO g(ei(^ fei^. gcldric^ge^et ber jtrei« an< F/^
einec bicfec gleiten hinten, FC^ bef(brie6en; aü^ bitc^'W!
nbcigen SDinfefpunfte bec ^mt, unb tft alfo (4/ 6, ®.) tilÄ
WitfefBe bep^tleben.

' Sfteirtc« flegebenim Iftel«, ABCDEF, einedfetd^fctt^P
unb dUic^ihfltge fec^dfettide §tgur iu-6<f(^m6en,'

0iimm t(i Steife« 9]}itte(punft
G/. iie()e einen ^ucc^effcc AD,
pb befcbtreibe atii D mit DG ben
Ätei«EGCH. 3ie^e EG, CG,
pttlhngiK fte bij B, F, unb jie^e
AB, BC, CD,DE,EF, FA; fo i(t
ABGDEF bie »erlangte Sigue»

V. 2)emi bft im Streife um G(r, 15.
(g.) GErrGD, unb im «reife um D
OD = DE : fo ift A GED gU-icb*
feitig, foIgIicb(i,5.@.)tiu(bgI«cb?
t»i«ftig, folgH* (r, S2;@0 EGD
tta!i'f)(tttc(oon}n)e9te(bten iStnfeln, fowie «nrt eben ben ^r&n«
ben'D.glC, foJgI;ou(bCGB,»dl(;i, i3i©^EGC + CCiB^
a '3t."^'inh4(& ftnb obgenannte btepäOinfd, abet au($ C t , 1 5.®-)
■'•^ i^re

I

{^te e^HUt^inM, fofglt^^ oKe um G limtmfi^edbe frt^
®mfe( einaa^er g{ei^« S)oJ^c ftnb (j^ a6. ®«) (ie SDogm
aIM)i(& (3; 29. ©.) We «nren AB, BC, CD, DE, EF, FA^ '
ruwitibet.dW*. , gorfllk^ Ift.ABqDEF gleicfefettljj.

Da iUK<> Obiflem berCogen FA =: E.D, folglich, i»tan,
Ui 9oitn ABCD ^Injuf ommt, ber ßogcn FABCD=:
EOCBA r fo ift (3, 27. Cd DEF=: EFA. Sttun ift eteii J
fotttofWk^/ bog einem ober bem anbern tiefei; Niben ®tiu
fei iebec ber äbristn SS)mfe( bet ${guc glekb fep« ^%ol^i^
ift Mt ^ur ani^ glek^tbinOfg/ imb C4/ 3* i^O in ben STret» .

^eray« et^eUet, bafi tiie (Seite einet in ben 9mi )u 6e^
fdbreibenben gtgut mit fe(^« gietcben @etten bem ^albmefiee
bM'Sbtife< s(ei(b ifep. S(a4 etgiebt fi(^ and bem^ n)a< .Don
bet $isttt mit f&nf gleich Seiten geleitet tDotben, bofi^mtfa.
tel»'^ eetfi^ng^f^im btiic^ bte iBin(e(fpi|cn^ A, B, ,Q.
D , E^ F> eine $igtlr mtt^cH gidib^ 0eil9en um ben Steül >
befd^tieben »ecbe; ^HeMJ^, »ie auf i^niiic^ Ktt in udiUi
um tiife gej^isbene Sig«r uift f(((^ g(ei<^n Seiten. ein SteÜ
bef^^tieben loetben f6nne», , . i'y

©er 16. ©0$. 3Cufga6e*

3^ eittett gegebenen Ätei«, ABCD, eine gleid^feutge
ftttb g(et(^n>inf(ige funfie^nfettige $igiit ju befc^teibert. l

««fe9(4,a*6.)ACbie6eite
eines in ben Stttii befcbtiebenen
glei^bfeitigen !triangetö, unb AB bie
&eitt einet in ben Sviii befcbtiebe^
tien ^iut t>on fänf g(ei(ben @tU
ten. <^albite (3, 30. @.) benSSo^
gen ^ in E: fo i^ bie getabe
tinie CE bie Seite bet i^eclangten

': ^ifttUl^itlem. 15 «ö«er. $ 2«nt

*•

u eaWi &mmt ^di^a f&v^i

• . . .

^Denn lo&rebet Vimtteli in funf#
itfyn g(et^ Zf^tiU g«t^eUt : fo mtP
^(t bertBofleh ABC, nM bec brifte
S^et(, fättf/ bec Sogen AB aber,
M bti fftnfte S^if, ^re^/ foifl^
(i^ ber ibrige Sogen BC 3wey
fol(^ S^eiU, ba§ alfo ber Sogen
GE ein folcber STbell ift/ fotglUb
bie gecabe iinit GE (4, i« e.) ^(b
füRf^ebnmal an etmmbet in ben Xrett rintcagen/ dfb ,^
gteicbfeitige unb gfeicbtoinflige funfie^nfeitige Sigur iä^lvii;.
Sttui befcbreiben Üiu

S.uf a|- ^ ■ ^

. Sht^bem/ toa^ t>cn ber Siguc mit f&nf ^ei^n Seiten g(^ '
(ebret »orben, ergiebt fi(b/ ba§ mttteid ber SedÜbt«ngMMm
burcb bie f imfte^n Sb^tfi^puttfte M Umfretfe< efaie gig«t
mit fünf iebn g(ei(<^ Seilen unb Kinf ein um ben ftreig biM
fiibneben toerb^; be^teicben, tok^f^nü^ t(rt in twb mi
(bie gegebene Stgnr mit fimf^ebn glei(d^®eiteti twib $9&^^
fin ^ttii befcbrieben loerben tbmu ' .

•««««MriiaMtk

'^ ^

.v:'

t3Mi^'l

% ■ ■ - ■ •■ • • . ■ .

■ V

/- V ' . '

^ r 1 1 i r tt n g c tu

2/ win tri^il {fl eine &vhfit t^oti ber anbern, bte fltk
tiere bon ber gt^fern / mtm fie bie gri^ere gettaii
iniffet-

o, €in l?ielfacfce6 aiBer t0 bie 0t6f ete bon ber f feinem,
n>enn fte \)9n ber ffeinetn genau gemeffen mtrb.

3. Vitt^akni^ ifl eine seipiffe ^eiiebung im^tt.QUid^^
: :'i 4|^isen,@k&^etiauf einanber indtiiäfi^t itt&th^^ '
.^r:,.CäuantitaO ^' ' . " .^ - ^ .'

4^ Sine >£>a^(ybtttt§ Sit dftM^

<l^e berbie(fi(ti3^ dhanbet Abertrefeti finnen*

j;- 3tt diiettev X?er&ÄItnf fmb ©rftfen, A, 3; c, D^

bie etpjle.iWjKöe^ten/ unb bie britte jur biecten, wen«

W Wiebigen '©(ei^btelfac^en ber trUeaimb brk^

' • ' f en, Ä, C, unb beliebigen ©feic^toieifad^ht ber jwep^

. f en uiib bierten/ B> D, bie ©ieJ^c^en ber erflen unb

britten jugteic^ entmeber f (einer/ obÄ rtim fo giofv

V „ober grogerfinb/of« bieSielfad^en berjme^ten unb

^ 'bieiteit, mii) ber Orbnung mit einanber bertilic^em

6; proporttofitrt^ei^en ©r&geui tbelc^e in einerfe^
. SÖerl^ttoig finb»

jut «tetten^ l)at bie ecfie jur iu»(9ten^ t)»enn tDon d<f

- backten ®(ettt)i»te(faf^eit bd« $St(|{fad^e bec erflcn

I»9l^.ba6l8i(ff(t^ 4»ft ^e^tett/ ^inaedcn ba« SSitk

U ^fl\!b*t -iSimtntt

fa^t btt britten ntcl[iit ba< ^Ulfa^t hti %Uxm,
übemtfft.

8. ^c^ciftt^it :^ bü j@Hek^^e^ ber S^er^&fitntffe.. ;

9. ^ne Proportion befielt jtoifc^ien bc<9 G^UebettTiUni

lo,- ©on brc9 9^ropottional9r6fen; A,'B, C, iflbieSöee*
fcoftmfbec etflen jur brttten C-^-^C) Uöf^tpic*
fadx bet ^t^hitni% ber e^en ^mixotifttn (A : B)^
«bere« i|i A:C=aj(A:B). -.,

EI. SBön.toiev (an etnanVer ^an§«nb(n ob<e ftett§<n^

t. ^vt>n\on<aQt&$tn, A,. B, C, D, ifl bie S^^M
ber (rflen |ur t>Urten (A:0) baö JDrrpfaciie bec

, . ' SBerl^Mtnilber er{l<,niur itoeoten (A : fi) ober A : p
= 3 (A : B) ; unb fo, nqc^ einqnber immer um
Sind me^r^ ^ latiit nod[^ jQan einanber j^attgei^e)
^ropottioiTaldtb^en bor^tiben i|tnb. ."''*'

ii* (SlädfifcmiiQ (^omof^g) finb SSotbetsßrtMr mit
$Dorberg(iebern;unbJ6interdneber mitJ^intersfi^cm.

1^. Vmiftd^fätmib eine a3a^(tnt$/ utenn mctii<[iii
eiiitetpBoportion A: B=:C: D) fe$t: ba< SDptber«

.; 'SHebiitin SDprbetdtiebe; .«»ie ba6 ^ter^Iieb ^m

;■ J^ntergliebe (A:C=B:D").

14. tlmgeÜe^t totcb einf fDec^Imig (AiB); wenn
monböö ^intetdlieb .|U|n S^orber^debe, unb baf

.' , m^^vt^i^ jum :g>intera(tebe ma(|t C^^A).'

i^. Ciemtbitttbette einer S)er^lmtgCA:B3 entfle^iT/

. mnn man fefit: ba« SBortergfieb unb .^interglieb
^ufammen a(i (Sin ©Ueb au bemfelben J&interdUebe

. CA+B;B>

16. 5öie g^nremtte einer S8«^ittniß C-A^*^) «ntipie^f
wenn man fe$t: ber Ueberf(||üp, um toeft^ii ba<
93orber0(ieb bol ;ßinter0(ieb übertrifft; a» bemfet*
ben J^intergliebe CA — ß:B>

17' 1Diestftäcifl!e^ett&e einer SÜerbMtni^ C^zBD ent»
M^/ menn man fe^tt ba6 fSecbei^^ ium Ucbec«

übertrifft (A:A-^B>

iS. 2(U8 &em (BIet(^ entfielet eine ^et^hUm^, wettti
beo mehreren ©ro^t^ (A^ B^ C, D) unb eben fo toii^
len anbern (a, b, c, d)/ /e jwep wn |eneii mit je
^mr) t>on biefen ^ ptoportionirt ftnb^ tt^b man }e|t
»on jenen bie erfle jur festen/ mte bon biejfeit bie erf{i(
$ur le|ten (A : D=: a : d), (Qi^r : tt>wn aföbann
mit ^tgfaffung aüer mittfern/ bu^u^erflen M«
jenen mit ben iu^erflen Don biefen proportipnii^

' lüerben.

19^ 3^ jecttmetet prop^tttott fititi meistere ©eigen«
A; B; C, D; mit eben f« tiefen anbern/ ai^ b^ q^ d^
wenn bie beiben erflen t>^n jenen init ben beibett
erjlen ion biefett proportionirt^finb ( A : B = a : b)/
unb be9^ jenen botf J^interftfieb ju ber n^flf eigene
ben @r6$e; Mt bep bief^nr ba« J^intergUeb jtr ber
«ic^fifolöenben ®r6ge i{i (^B:q=;b:c, C;D5s;

o:d). : * .

90. 3n scrfiretiM: pr^porti^ ftnb mehrere ©rbfeit
A; B, C^ D; mit eben fo Riefen anbern a^ b^ c^ d^
tpenn bie beiben erflen pon jenen mit ben beibeti
Ie|ten. bpn biefen proportionirt fU^ ( A : B = c : dv)|
itnb bep jenen tai J^inter^ieb ^u ber n&c^ftfo(gen#
ben ®rbge, ipie bep biefen bie nic^fl toorl^efge^enbe
©rbge jum ©orbergliebe ifl (B:C=:b:c^ C;D
Äa:b).

©et 1- @o|- ;«el^rfa|*

3f|5 Don me^rern ®r6gen/ AB, CD, unb Am fo biefen
anbern, E/i f"/ je eine ber erflern, Pon je einer ber U^^m
(Aß Pon E, CD Pon F) Jein ®Uid^Pie(fac^e« : fo ftnb
ouc^ bie ef^ern jufammeii Pon ben feiern (AB+CD
»onE+F^^affetbelöieMe* '

! $3 AB

H

itaftii^i Wmtm

a-

B

er

tt-

h

AB i(t ein fo Mdcf«« Don E, «tt ' A.
CD «on F. 60 toiele bei; E gleiche ®r6«
ftn alfo in AB, eben fo tiefe terF gleich
Qtbften ftnb in .CD. Si^eift man haf^tt
AB in i^te bev E dleie^e S^eiie, AG,
GB, mi CD in i^ce beeFs(e{<^!t^eUe,
CH , HD : fo ift' t)ie SRenge »et Steife
in teiben gleieb. Z>a oifo AG=E, ^
«nt» CH=F: foijtAG+CH=E+

F. Sßun ift aui eben ten ©cfinten <iu6
CB+HD=E+F. ©ouieJebetE *^\
0(ei(tK @r6ten folgli«^ in AB j!nb, 'eben f» M'ele' ber E -f F
$Iet(^e @t6§en ftnb in AB + CD. S>enin(i(& ifkAB^-CP
«on £+ F bnffelbe Sf^ielfac^C/ bal AB »oit E ift

J

©inb eine erfte ©rSße, AB, t>6n einer ^tot^tmi C, unb
einebritte, DE, ipon einer \?ierten, F, &Ui^^ttfa^t;
ferner eine fünfte, BG, bon ber {»e^ten, unb ettfe fec^
te ; EH / bon ber \>ierten , imeberum ® teic^\)idf<w^e : ft
ftnb vetbm^n bi'e ^rfle unb fünfte {ufammen/ AG,
bon ber ^mepten^ unb bie briete unb fec^äte pfammeO/
DJH, bon ber vierten, auc^ ®(eic^ie(fa(^»

AB ift ein fo S3ie(facbe<
t?on C, Ol« DE öon F. ©o
tiefe fcer C gleiche ®r&gen
Alfo in AB^ eben fo oiele ber
F gleite ®r6§enfirtb InDE.
Unb/ au§ eben ben @rön^
ben, fo Dieleber C gleicbe
®ri§eninBG, fooieleber
F gleict^e ®r6gen finb in
EH, golgli* ift C in bet
jör^mAG, fo oielmal ent^
tfsAi^i\, oli F in ber ganien*

Dt

Ar

B^

i<

E

I

«l

DH<

%&nftti il&iu^

87

SH. lDmilift4> i(k AG ein fo mif a^ im C, «ttSH
l^n F./ alf» Ijnb AG «o|i<3/ tin^ OH »on F ®(ei(^idfa0(.

^inb (tne erfle ^ge^ A^ t>on cinec pr^tett/ B, Uitb
(Ute brittC; C^ t>on einer bteVtetv ^f 0(ei(^!bie(fia(^e ; fer;
ner eine f&nfte^ ET, i»onber ecflen^ unb eise fet^^te, GH,
]»en bec bcitten/ wiebetnm ® leic^btelfac^e : fo finb ans
tem (Bletdbefi/ bie fünfte bon ber iti»e9ten/ unb bte
' fect^dte bon bec \>tmen, oitc^ ^feic^bieffa^e.

; Ff tfk e{n f» SM«
^f«(bfi^<»nA,a(«GH

•OR C. ®o oiele ber
; A d(ei<b( @ci§en a(f»

lli EF^ eben fo t>ie(e

ber C dieicbe @r6§(ti

fbib in GH. Steift

»Ott bd^ ElP in i^rc

|«r A «(etcbe 2^(e»

Elt, KF, unb GH in

i^reberCd(ci(beS^(i«
le, GL, LH:fQtftbte

Ht

R

E

1

I

C o D

fRenge bet if)tüt in Mbrti fllek^. tBö fhmer A m B^
unbi^G DoH D^ ®(€k^t)telfa(^, aber £K;=A^ tmb
GL=C: fo ilnb ducb EK t>on B, tinb GL t)on U&ltt^^
iHelfacbe. SRun finb (Mi< eben ben @t&nben KF t>on B, unb^
IiH t)»n D ®(ettbt>ieIf(Ube. Solgfic^ finb vcrblMibeit
C5U 2^ @0 SP ^^ ^ü ttnb GH ton D^ au^ ®(eiic^ie(faid^e^

^ot eine etfle 0r6ge, A, iu einer^we^teh. B, unb eine
btitte, G, jpt einer bierten, !>/ einerlei) S8er^d(tnig (A ; W
tssO:D): fo ^aben^9 beäeb^er !Serble(f&(ti9URd/ bi<t
QHei<^i»k(i^(|mjbi« :ii^n. unb brittw^ S; F, |a bett

§4 ~

IS

fSMV« QSfemtntt

. i

1/ p o
g u f a f .

" ■*

©feic^tolelfb^eit hit imrfttn tinb birtte*/ O/- H,* |i|4
• ttt ;0rbnutt9 genommen/ nuc^ einette^ S3tf^(liii0 C^^

= F:H> < :

8iimm t)on E/ F, 6e»
rtebtge ®Md)tiet[adfe,
K, L, oticb t)Dn G^ H/

M^ ^. SRunttnb E
' t^on A^ ttnb F DonC^
®(et(bt>te(fa^* ' gofg^
ßcbfmb(5/.a-®0K
ton A unb L oon C, aucb
®Iet(boie(fa(^e; S(u«
eben ben @tunben finb
aucb M oon B^ unb N K E
oon P ®(ei(boie(facbe*
SlmiftAtB=:C:D.

golfll&b ift. (5, 5. <S-)
n>enn K^M, aucb
LZIN. giun finb
K, L, oonE/F, uilb
M, N^ oon G, H, Ofe
iiebtge ©(eicbotelfdc^r«
^ golgli* i|i (5, 5. @0 ^
F:G = F:R

1

i

I

B :N

S)a 6<t»iefm tootbm, tag/ tpmiiKZüM/ aut^LI^K
ift: foii^ ofenfxtc/ »(nnMZK> äv^'N'Z.h, fol^
(5/ 5* &•) G : E = H : F; toocau« tt^^tt, tag »i(c pn«
pottionitte @c6S<n/ du<^ llins^(c|^lt i»te|)otttomtt fin^.

©er fi. ®a$. i<l^tfa|. ...■

CD, txa (b^fo S3te(fa(^e, i»fifc^.em @t&(f bet «film

%^nftti f&u6).

t9

B

C

IP

A% böir einem @tö(f e bet jwepten, CF, ijl : fo tfl ouc^
b<{ crfle Ülefl, Eß, Dorn jnxpten 3lejie, FD, baffelbt

gRott fefte CG fo, bot AE »on CF, At

Qnb £B »on GG @U((bt>ie(f«K^ feoen:

fo ijl (5. 1. <S.) AB »on. GF b«jf|t|6e

ISUlfacbe; toelcbe« AE von CF, bo« ifi,

AB oon CD ifi. S^fmnaCb tft AB bal

6(ei(b»t(if a(be »cm GF unb CD / folg«
•!i*(i,6.@.)6F==CD; foI(iU(b,»fnn

«an CF »epiramt, (i, 3.®.) CG=

FD. giun finb AE »on CF, unb ES

i»onCG@Iet(<l»ielfa(bf. Sotgticb ifk ounb
, EB »on FD iafleibi eitlia6)e, ml^et
' . Ä£ »on CF/ alfo atub AB »on CD tft.

©er 6. ©a$. «e^ufa^.

@tnb inep&Tb%tnf AB, CD, ©Iei($bü(fa(^ boi|

jt»<9 anbern, E, F, aud^ gwciffe @tii<f e bet etflerh, AG/

GH, ;®(et(^bte(fa(^e bott biefein anbecti : fo ftnb bUSXeflf,

,GB, IjDf enttoebfc bieftn «nb<cn|(ekj^, ober«u(^&(<Uiyir

bte(fa(J^e »on tönern ^

(grflct Sdff.

0« fe9 GB = E, fo fage tc^, bag <iu(&
HD=Ffe9. g»anfe^eCK=:F. SUun
ifk au(& GB=E, atKc AG, CH, »on^/

. F, @Ui<bölclf«cbf. 8o(»Ui* in (s, a. «0
:HK»onF b(i{re(^0te(fa<^, n>(((b(iAB
ton E, ba« ijt, CD »onF iji. 2xinn<j(b
fnb HK, CD, einef lep I5t?.lfa<*c« »on F,
foJ8li($> i^. (1/ I. ®.) HK~CD, folg«*^ q
lienn tnan'CH totsnimint, (i, 3.®.)
• CK == HD. fftixn ijl CK = F. gotglicb
t(l'( I, i. ©i>iHD,=' F, 2)nnntt(^ ijl,
»emiGBssB, au<bHD=F.-' '

Kt

C

fi

m D

S5

3»«9*

9*

€ufat*< &mmt

Rt

91 f(9 GB ein Dielfae^e« eon E, fs
«»M ottf &^nli(^ 9üt, tot« beptti erftot C
%aüt, f>etotefeti> ba§ HD oon F ebeit fo
^((f«(^ («9;

B

H

i j

.©er 7. &a%. £e^t:fa|,

' ®(ei^e ®th^zn, A, B, f)aUn ju einet unb betfe^
&Tb%tf C; iinb eine unb biefetbe ®r6$e, C/^ot {fi
Sleic^n ®r&$en, A; B/ eineriep ^ecl^Itm^.

gtjler ?^eiL

3^be bet betben g(ei(^
®r6§en/ A/ B, ^ (u ber C
einede9 SBecb&Itni|. ^ Wiaäft .
tjon A, B, bic ©Uicböielfatben •*
D / £ / ti^b t>on C ein anbcet
belieWge« ©ielfac^e, F: fo f^
.n>eilA = B, öuc^D = E/
dfo^ jrpcnn D'ZF, ati^
EZLF, folgUcb (5. 5.e-)H
A:Gi=B:a ■*

I

1

3»e9tei: $^etf.

axe C ^at )tt iebec ]>er.Nben dIdcM ©rtfett A, B, «inco
t«9 »ec^ältni§. 2)cnn tuic^ occigec Sonfh^ctiott. ifk loicbet

^rx^/"*?' n>ermF2:D, dtt*??:E, fofglk^ (S/,
$. «0 ü: A = C:B» . .; .

©er

SÄnftel iSttc^.

91

§8oit jtt)e9 ungleichen ®r6gen, AB; C, f^athit jc&gere^
AB^ ju einet unb berfe{6en &th^Cf D, eine gt&gere
$8et^a(tni^^ a(d bie ((etnere^ C; urib eine unb biefe(6e
&th$e, B, gu bet f (einem/ C^ eine ^vh^ttt S)er]^(mi$/
ote ju ber Qxh^ttn^ .AB

2)a AB>C , fo fe^ BE=C} ba bönn (5, 4. «0 btf
ffrinere bet betben (Stärfe AE^ EB^ t)ert>ie(f&(ttgt ftgenb etn^
mal bre D äbettteffen trieb« Qi t|l obet folc^e« fleinete ent»
mbet A£ obet EB.

€t|let %alU

9i fep AE bd< f leinete ip\
Ctäcf/ unb itgeiib ein93ic(^
ftiAe« bat)Ott FG > D. ® , (T
iNdfiK(i nun FG tH)n AE^
fo Dielfac^ ma(be GH ton
EB, unb K oon C. S3on D
nimm hai 3n>iefa(be L^ ba j K [ h
SDte^facbe M , unb fo na<b

'tet£>tbnun0 immet toüm, Min einem KUXMtn, wi^H
aiiet|i dti§et ift, al» K/ toie ^iv ba< Sietfa(|^ N / ba§ affo
80(b nic^t K < M (C9.

2)a FG, GH, oon AE, EB, ®leic^t>ielfa*e finb: fo ifk
(5/ I* ®0 FH oon AB baffelbe fBielfac^e, tt>el^e< GH oon
£B, ba< i^, K oon C i(t. 2)emna(^ ^nb FH, E, &U\^s
tii((fa^ebet6eibenun0(ei(ben®t6§en AB, C«

2)a GH ein fo SSielfacM twn EB> atö K oon C/ abef^
EB = C:.fo ift auc^ GH = K. glun ijt nicbt K < M.
Solfllic^ ifk au(^ nt(&t GU<M« SDun ift FG>D. golglic^
ifkFH>D+M, folfllicb, »eilD+M = Ni^ FH>N*

Sä na<b Obigem N ein SSieffac^e« ton D, tmb Fif, K^
Ut eMei*otdfä<be wn AB, C; unb FH>N, abet K<N,
dlfo ant^ N>K, unb N<FH; fo ift (5^ 7, «0 AB:D
>C:D^ imb'D:C>D:AB.

94 e\0^ eiutimt

ii«*K2:N. S»l9li*i|», tDflin OZL, «ra^KZN.
9tun finbG> E, k(UtMaee(eii^l»e(fai^ Don A, E,.m^ht:üf
tun ß, F. gclali« iH CS, 5- «0 A : B = E : F. ,

®et 1!. ®a|. i«5tfo$.

©iitb netttn ®t66»n, A/ B, c, D, E, F, nit^mti»

. «iit (A:B=C:Dz=E:F}: feeetdatKn fiil) Dil« SBw-

tecgiieber jufammeii, A+C + E, ju aüen ^ttitnsK^'

Ixrn, Bi:D-i-F, nie «nlSotCaslub A ju ftinem ■giiM -

«cjütbe, B. : . •)

SltimmvonA^C,
E, Btliebigc @(eub>
»itlfa*t0, H,K,
AuÄ tton B, D, F,
Milliigt @ltH»itt:
fa*t L, M, N : fo
(inUCs. !•«.) O
unb cG-hH+K)
»onAunbCA+C
+ E); bMjIn*tii

I. iinb CL-t M+(j „K'kci B i
N) »onBifnb CB' i

+ D +r)i®lel«ijWfa*t. Sluii t, ll)tif'A;B=C.'P:
=:E:F, Cs, 5- «.) »wni OZL, au« HZ.M, uitt
KZN, unb baftet, reinn Z L, au(b CO-t-H-t-K]'
Z(L + M+N). golgli« i|t (5, 5.80 A:B=cA+-
C+E): CB+D+F). ■ .;

kt(

iOet 15. @a|; 2e5tfa|.
.^t eine erfie @c&ße; A, ju einet jweoteiti B, btcfeffie
SBet^Itni^, wie eine beitte, C, ju- einet bttteen, D; abec
biebtttte juebietten, etne9t&gete3)etb&lrni^, aid eiM
f&nfte, S, )ii «inet feilten,- F: fo 6« <n"4 bie ttfle juc
i»ei)een eiM tttiete SSec^ltiu^ ote bie fünftcjiit fei^eik,

1

!tMC:D>E:P,
|b gitM-ci von C,

>itIfa(6tG,H, tWb
•OD D, F, fol(^t
ebil^tiidfcctc, K,
t, M (5/ 7- «•)
lwWG>B, oStt
lil*tH>L. Sb
•iflfiK&iiunOBon

fa(b ftpMwnA, ^^ i^l l **

Mb Co Billfa* KAA BN <C C DK HE F tf
Uni) Ht' <^>> f° ci'ffKlt f» N oon B. Mr C:I>=
AjB, unb G>K. golsli* * (J, 5- «•) M>N, Jiii.-
«egen nticb CWeem nicbt H >L. Slun ^lA M, H^ bOR
A, E, unb N, L, t>on B, F, ®lfi(^itlf()(^. goffllit^ ift
<5, 7.e.) AlB>E!F. : ^

< ., . S)u 14. ®a4, ee^tfaf, ''

^t rine «t|le Srögt, A, ju eiiia {Wt^ttii, B, Utftlie
0»^Mtnig, »ic eine brttte/ C, ju einer bierteit/ D; litfb
ift'bie erjie entweber 9r5ßer, ober eben fo gtog, ebct ■
iieinetr aü bie britte: fo iil auc^ bie jroeQte im etftrn
Solle flt&pec, ..im jweptut eben fo gto^, imbtitten Flets
nti, aU bie tiiette.

SS A > C, fo i|» (5,
8.60A:B>C:B. SRun
ij>C:D=A!B. golj.
«*i(i<S, •3.60O:D>
CiB, folsiiibts, 10-8.)
B>D Jjemno^ ift, »eiiR
A>C, (l»»B>D. «uf
^nfilbe ütt.toicb emiefen,
boi B =: S fei), neun AsC i|), mb b<tB<D fifc'
nemiA<Cift, - , ■ •

9«

SofCib'« demente

©er 15. @a$. £e^rfa|.'

t^cxU, C, F, ftnb mit if^en jugelfiäSriaen

fad;en, AB/ DE, in einerlei Ser^&ftfiif.

■• • ' '■ -

AB tft etil fo Cieffac^e« A'
pon €, t9te DE ton F.
(So t>ie(e ber C gleiche g
J^eifeAG, GH/HB, dlfo
in AB finb / eben fo t>ie(e
»er F: gleicbe !tbei(e DK,
KL, LE/ ftnb In DE. ©em^
ttacb ift (5/ 7- u« II.®.)

AG:I)K=GH:KL=rHB:LE, fofflK* (5/ Mi
AG : DK = AB: DE. 9tun t^ AG=C^ tint D&2
Soii9li(^i(tG:F=AB:D£.

t

I • ■'
«

*

ff

©.■).«'

' %

i

©et 16. @a$. ie^rfafv )

^inb I)iec@t6gen/ A, B^ C^ D, ))roi>pctiontrt: fo f!ti^ .

fie auc^x}et:ipecl>^ proportionitt.

• '■ ■»

. StinitttooaA/^/OMc^ T

t>te(fa(^ E^ F/ tinb oon C,
D, ®((ic^i>ie(fa(&e G, H:
foiji(5/i5.0.)A:B=:
E:F. giuttlftA:B=
C:D. golflli* iü (5,
11.©.) C:D=E:-F.
Sluniji(5/i5.®.)C:D
= G : R SolgK* ijit
(5,ii.®0E:F=G:H,
fofeK*, (5, 14. ®.) »cnn i, A * «
E2:G, öMC^ FZH. **'^ " *
9tun ftnb E, F, »on A, B, mt> G, H, ton C, D, Mit«««
•l«i<^jelf<4e. SoIgKii^ ijt ( 5/ 5« S. ) A ; C = B : D.

IDer

^&aftt$ ^uc^-.;

^

. .j

I I

.;.s

'€wb vetbimbime ®i!ftg«n, AB, BE, GD, DF, ^^'■
p^ionirt: fo (!nb «w^ »« SCttermtm/ AE, EB.jCft?»
Fp^ ptoportifnitt. . ' '-

IsRknm oon AE/ Eß, CF^ ID^
»eficbige @I«4Die(iFa($e GH^ .
HK,. LM, MN; i>e«0ieici)(n t^on
EB, FD, (»(ieWge @Ici0»i?lfa*e Of
^Ö, NP : fo iji (5,; I. ©0 öK • ■
i»oh AB eben fo oieltac^, iai« K •
OH t>on AE, ob« «l« LM ,;
»on CF, folglich (5, i. ©.) cM
\^ i»9n€D. SX» fräftft I)K -
•«nEB fo »ielfa*, oK MNiMm ^^ '
FD, obec aud) KO-tfoiiiEB fo
tifCföcb, ülö NP »on FD: fo ift
C5/ 2. 0.) HO opn EB fo eifU
fa^, Ol« MP von FD; - 2)ebw
««ifr.fftfr^K/LN,^lBkbwftf<u ;;[ J"

«r»oit AjB/CD ; unljHQ, ME,,
©l«i*»ielfa(*e »on BE, DR
Skiii iji onacnomn«^ ^R: BE ,<;1 a j « ,

4CD:DF.,'Jo!3rt,<t\i^ (5/ ' '-*

5J «.) wenn (|KZ:hO^ ouC^ LNZMP.'foJgKi^V W*"

^K> ^ier M(*J »egaenömmOT, wenn iÖ HZ KO, od<j^
I^ZNP. JSßun lp> GH/ LxM, »on AE/CF, nnb KÖ»
NPy von EB, FD; Miebf^e @Iei(^oi«|fa(^, iSpftf«^'^
(k/s.eO AÄiEB==CF;FD. ^- ■; .'i

r

Vi.

-^- ^cr 18. @ö|. Se^tfaf.

€>inb getcennte &^m ; AE; EB, CF, FD, propo«»

9Atll .e«m. 15 SM««!.

/ '

9f

^uftiVi Q^femente'

ttw^idt ft(& AB }Q EB tri<(t «ie CD '^
%u FD, fontem tfit CD ju irgeiiA) einet
«ibeni 6r6ie:. fo.^n^ltie Mcfe fntm^ ^
rtdntt o^et itbiitti, ott DF fftjn. **

m« it9 VMift < DF, ettoa GD, jbaf
a(f> AB:EB = CD : GD to&ce ; fo »a»
(5, 1 7. ©.) AE : EB— CG : OD., grün
ifk Mgenoimnen AE : EB = CF : FD. d
§ofdfi(( iji (5. II. ß.) CG:GD=CF:FD. giuji Ifl >f«
fenbac CG > CF. $o{gli(& ifi ( 5^ 14. «0 GD > FD,
tMf(^ ^em 9n0enommnien GD < FD totterfjycic^t. \ X<i»*'
wid> f ann o^(t>a(^e @r&§e nü^t < DF fcprn

6ie f<9 StMVtote > DF^ f» t9i()) oaf e^eii ^k Set fc»
»kfoir M au«^ tiefet «nm60{t(^ f($.

SoId(i(^ mut AB ; EB = CD : FD fe^iu

•fÜEec^ftenft^'^nie, AB^ CD, tme'Stö^et^on i(^r
A£/ CF: fo »e^otten ftc^ (iü(|f bit SHej^, EB, Fcr, wir

-JDa ABj^DzrABijeF, fo 1(1 vew
«PMbfdt (4/ 16. #.) AB : AE.=:
GD;CF^ f»%(i<&g(Crä»mC5/ tt>€;.)
£B:AE=FDiCF, fo(9tt(t vetavec^^
fte.($r ,*Ä. (JS:> feB:FD== AB : CP.
fhiat^an^ieiMinmeh AB : CD =f AE ; CF.
goIflU* ijk ($, II. e.) tSiFD =
AB: CD.

■T

•(

AI

3 » f *-^"'- •.■7^"r^!■'3

!tA Sewitfen iMebni, Mr »enn AB:CD:i=:ÄE':Clir

<ui(^BtCD=£B:FDfe9}f^iftwnMC|^rcIti^:E£fi^'

• — ■■-■ CD'

■ *- iii

fc-

/ \

%&nftei !8tt(^.

99

CD : FD. ^(gfi(& (!ni} vei;bitttt>ene @r&fien protN>rtiontct,
Sßon i^ übet anc^ tooiefen / bag AB : AE = CP •' CF/ o^
AB t AB — EB = CD : CD — FD, bo« ifl (5, 1 7. @.) 3m
S9cC0e&ren^> hierauf er^fUet/ taf , ^wenn oerbun^cne
@r6|en pco|>ortioniit (tnt/ {te au(& 3lti;ttd^i;ent> propo»'
tiwittt {inb. '

\- S)er 20. @tt$. iel^cfof.

@tnb mebwre ®r6fen, , A, B, C, mit «6en fe btefe»
«tibcrn/ D/ E, F, in geort^tietec ^Jfopowion, unb iflbpit
jirnn, bie etjle, A^ «nttvisbei: itb^n, ober eben fo gn^,
obet Heiner, olö bie fef fe, Cj fo ijl auc^ bon biefen blit*
etfle,*!), im etfhn goflegrÄßer, im 3»<9(fti eben j»
gto^, im brüten Heiner, «{« bie lef te, F. . •

€rjler galf.

etfep A>C, foifk
(ä^8.«,M:B>C:B.
»uni^C^, i9.e.)ange«
niNnmeii,^ A : B =r D : B*

geliittcb ifi (5> 1 3- ®.)
D:^>C:B. fßun ijl
(3/iv-t.«nb5,4.3üf0
C;B=F:E. Solfln*
i|pDjF>F:E, f«l8*

Ii<b<ü5/<w. ®.) D>F.
S>etnnadi> ifl/ wenn A>C,
««(& D > F,

iL ^ c

fi «

» 'l

Sfec^ter «nb- tjcitter SoW.

«# , ' » •-•-■> j v* k •

' Vi^'eben: bie 9ct wirb flmiefen, bag, n>ennAr=Ci|^
aitltiib^ll^fn^/. tinb baf, »ennA<Cijk, 4uc^0<f
f«^. ■ ..■*-.,.■■.

• * ®ef

I<C*

Cuffib*« ^tmtatit

J5>er 21. ®a$. ie^rfaf. .

^, (Sihb me|me ^r&gen, A; 6/ G, mit^iett fo «icfftt
OAbeiti^ D, E, F^ in ikfiteitttt ^opatdon , uhbift
t^ jenen bie etjle/ A, entweber ffA^, obet <ben fo
^cof; bbec ffetnec^ aU tkU^K, C: fo tft audü bon
liefen bie ecfie, D, im erfien ^aße 8c6ger; im itbe^fm
eben fo 0toiß/ im bntten f(einery aUbie It^tt, F.

Öcfler §aff.

;««fe9A>C: foi|l
(5,8.0OA:B>C;B.
SRunift (5/ 3p.(S0 oflge«
mmtneit/ A:B^E:F.

goMücbifi (5/13.^0 I T

E:F>G:B. .üim iji '

(5,2O.S.ttnb5,4.3wf0

C:Bi=E:D. SolgIi(b

ift E:F>EjD, folg*

li<^>C5, io.®.)D>F.

2)Änna(b ift/ tbenn A> A B .Q

C?, att<b D>F.

r

« r ■
I

t

gme^ter unb britttt ääM. .

Kuf eben bie Set toitl^ bewiefen, 'b«S/, tniin-A±s<C
i^, ducb D=:F fep, unb b«f; »emi A<C iik^ vau^^

•^ttbWie|n:.ere.®r6gen, A, B, C^ mtf eben fo l^eim
«H}betn, D, E^ F* geoc^ftet propottionitt: fb.ftttb fie
(wd^ 0118 bem ^tc^en ptöp^rHontrt. '

' Rim»

,1

um» ttni' A, D^ bdiriige tBli^c^vifffat&e^j H, unb ton

.Mittle @lii<^sMfai^M. N. 9tai!i|t (j, 19. O.) «*>
gCMomieii A:B=D.;E> unt >a^'-Cj, 4. ^) G:ü^
.H:L. euf iba M< ltl:i|t. K:M=:LrN, .gtIM fÄi
(f,3a, CO «"«n GZU/oult HZ!»... Siun (int! Q,
B, in» A, D, tiltO M, N, Doiv C, F, UmitSitl^Motl-
Sorgli*i(> 05, 5.8.) A:C=D:F.

6 KÄÄ BC DEFHLN

,. Cinb n((tm eMStii/ A> E, C, mit titn fr b.i^<|t
.«Uta», S, E, F, jafiMie, i>ici»inuiiiu;jnif!><^ ftt

• j ' «in«

I^

CufTib'e @(emritt^

©et 21. ®a$. «e^rfa^ , '

^ iSihb mehrere ©i:6§en/ A; 6/ G, mitittn fo «Mfeii

tj^ jenen bie etjie; A, entwebec ffA^, ober <6en fö
^oH; ober ffetnec/ a(8 bie (e^te, G: \o ift aü^toh
liefen bie ecfie, D, im etflen ^aQe 9t:6§er/ im üiot^tn
eben fo ito^, im btitten Meiner/ oUbie l^tt, F.

A

QJrfler galf.

;««fe9A>C: foijl
<S,8.©.)A:B>C;B.

8hini|tC5/3p>@0<u<ge«
mmmeti/ A:B^£:F.

8oIj»ncbi|i (5/ 13-^0
i::F>G:B. ;3lun Ifk

(5,2o.g.Uttb5/4.3«f0
C:B = E:a golöliCb
Ifk E:F>E:D, folg*
U^(S, io.®.)D>F.
JD^nacbift/ tbennA>
C, aiMb D>F.

B C

• >

D fi St

^wtr}ttv unb britt«r Satt.

i •

f(uf eben bie Sftt toirb bewiefint/ bft§/, toeiin'Aär'G
i^, du(b 0?=F fe9, ünt baf/ »etin A<G^, «iK^
I><Fff9. - . ^

^inbwel^.ete,©r6^en, A, B, C, mi( eben fo l^efm
«ibetn, t>, te^ F. geotOdec proportionirt ; fo. ((rtb fle
<w^ otie bem <0Utc^eo pröp^rtiontrt.

«

Rimni

Sänfttf S5tu^ ;

m

fo i^jttttgc^e^it (5/ 4. --
SHttn i^ au(^ AB:C3r

dcm(S((tc&en (5/23.0.)

AB:BG=DE:EH,foi8* **

AG : BG = DH ': EH.*
ahm wor awi> BG:C=:<' :.

'^cnKS^teidbenCS/aa.Ci.) ■

AG:C = DH:F.

I

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%\

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AI et'

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»i b::

©er 25. @a$. ee^tfol^

ib bte ^th^H, -AB^ twb flcttt^^ F^ iwfiaBuittii
^ ki^ Reiben äl^0<fii^, €a>, £,, (ufamaviti. .,

9tMN AG=E/ «fli^€I{== j^ f

'F:> i^^ w«ltAB:CD=:E:F,
«t»*AB:CD=AG':CH>fofg* Ö
*ü* (5V 1^. (S.) e»: HE>^=
AB:CDJ 9htn ifl 'AB>CDi

( T, 4. ®.i GB + AO-f P->
H)ß*'jCH+E^ (Ol Jli. AÄ*

•,1k

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€ttfHt'^rei Cime nie

X . -X.J

T-^ — TT

^ • ••

• fr ~ -

!• ^e^ndd^e gctabUnigi^ Stauten finb/ in t^et^en.^
; ^inf e( etnjefn genommert^ft^ctdl) ^ unb bie. 4itn^bte
! ^eic^ett 9Btnfe( (tegenbeir Seiten ptopmionist

• flnb. y 1 . ; A

X XDte^erfo^reitbe ^iduren ftnb/ in beten einer bie
" ' mittlem, in ber'anbetn aber bie äußern ®(ieber

einer an bea Figuren bptf ommenben ^toportioti

entfealtAi'ffrtbr' / -- - ■

fc^nitte, ttoie biefer juw Heittern v^c^nitte^ber^^

4. ©ie ^0^ eine? Si^ujr: i}1 b^t wm ®ipf^^^ bie

©runbltnie gef^üte^.^erpenbiPjrff *^^ ^ ;// ;.

5. SSoh brep ober mjebrern ®r&jie%Ä, S, C, p^.mt^

an einaniw fidm^nb inbepfÖtif&SitwJT^nfe^if*
« ^erge^enbeiTi^ur nadj^UMc^tnpen, A: B, B : C, G :i)^
futb, beißt bie t^erl^titt^ bir er jlen jur fe^tep, oii»

oUen biefen ^ert^(tnifTfn,3u(4timteiisefeBt| A;p
^ =-CA:b) + (B:C) + (;C:0> *
«♦ 6in ^Jörattelogromm i jt an h E g' F

tin^c geraben fctnie, Aß,
eiitti;>orfeit , tDenn fok
d^e», tt>ie(:^G,jtfüf bergi^^
nie Aß felbjl Toben »ie
AE, auf einem TiCft ^ t n t^ '
te V^C ber £ime/ .-^ber K

- ©K^jW^iSllf^'

m

»en i(}. •-....',

Sieget man nun in M itibin tt^tttii S&Qm

buti^ ort gihttSnbpmiilt B m'itCE obirDFHcBO.
:.-'- 'pacoUelrncf^even HF m&0(f(^mttnt1oit&: fo
'. "' cnt&«^t-M9 ^araUetogrammÄG auf )wt-£tnieAB^
'. :.. inSäejitbung auf »el(f)t« Cat.^aialltlaeranim BE

auf bcm 3tbf(^nittt BC bt< JEtgtUijung brt 9>atQf'

Ukstammi AM ; abec bo^ ^amUtlognimm BPjaiif
I... l»ni:!|b|itiiittcra)> ba-U(b<()ct)u$bai9MI((^

gcamms AF genannt mtrl^.'

®ct -i! eaS' Ke6tfa$.
Srian^tl, AGB, ACDr^vte aii^ $ataIU(«g'taMnit,
EC, C^,'4)on (incrfti^^S^e, ««galten fi) mt i^
©ranMinied, BC, CD. :

©rtüngete-BD ouf btibin ^ ■ -

^fitm nal^ H, 1^ nimm tn bei'^
^,j|^e^(i ^njo^ ^et BC ^teilte'
'"BG, GH, unb in'belitblserXiM.
..la^l bn CD glfii^e DK, KL;
unb jif^e Bon A, na(b len ?^eit ^ ^ ^ ^ , u

funltm «Mbt «inlW AG, A'si,' u'a B C ü

MK, AU ' ; ■■■-■■'.

.?•: etdtt t^tit.

. '■• 3Ba CB=BG=:GH: f» i|» (i, 38. 8.) A AOB=
;i;ABG= ü AGH. S»l9H*.(iiib CH rtn Bd, H*
''A ACH cMi & ACB @lriM<lfai|v. Virt itnt btn OtM«
i»iii (inbiM* LCwiiGD, «Hb is-ALC MBi A ACD,
eiriibi>itlfacb(. 3!un i(i, (i, 3Ü. SO rennt HOZi*,
nwb ;^ AHp ;^, A ALC, Soltfi« * .(r. 5- «.)
BO : CD=Ä ACBi a A(ä3.

' i ■ " 3»«»'rt< ?5«it °' " ' ■ .

■ tu (i,i«ii;Ä.y'EC==a A ACB, oiib CFrsi äAÖ)':

>l(lft*«5'«>«*-C»'=s'a-AäB:ViÄ0D. ««nW*.

■ ' ; «5 mi"

10^ QjaWi &tmmt

BC:CD=feC:CF.

i ©et 2., @ia|. . Äe^rfal,

SQ^itb mit eint« $ri«iigeU/A&C; eitmi^eite, BC/ eine
SerobeHnie^ J>&, (MraUcI^ejogen: fbfC^tieibetfo((^ebie
ieibenanbtrn leiten ^- AB ^ AC, ptoportionict. Unb
-ftitb itM^ ©fiten ^ AB, AC, einti i^ciaa^it«, ABC, pro«
>oet(onist i^t^nitten: jt ifl bie bur^ bie @(f)neibua^
l^ttnttit/'jD/ E,, aeip^ene fccobe £tme^ S^ ber britten
i^eitebe^^cianseto/ BC; porolUt \ .

®rfret $^eit. ;

.: €« fi^D^ ber HC parafieL gtebe
BB, CP: (o ifk (I, 37. «.) ABDE
=aCDE, fol9(i(^ (5/ 7. «•) A
BDE:^ADE=aCDE:aADE.
SHun ifl (6, 1. 6.) ABDEtA^^ADE
.=:BD:DA/ unb ACO^«aADE

= CE : EA. ' Solglicb i^ (5> 1 1. 6.)
BI>:DA5=CE;E^.

, ' ßwe^tet $l^eil*

e«f«9BD:DÄ=CE:EA. a»unifl(«, r.9.)Ni.tliA,
r=ABDE:AADE, unb CE:EA=aCDE:AADEI
-SpWi<^ iUs, 1 1*6.) A BPE: A ADEsc A ODE : A ADE,
1o(fl(i(& <S/ 9. ®0 A BPE = A CDE. SRttn ifk biefen bf(«
ben Svtondeln bie @cunblinie DE gemein, atub jinb ^ an
^netfrp ©eite beefelben. golgüc^ ifk (i| 39.6O DEbet
BC >aniiieL

©er l^a|. £e|'tfo$.

ItBitb ein ^infe(^ A,i,etned tmnitli, BAC/ bott
.■finK$e«;i(ib(n^£inte, ADyHoIbict! fo fd^neibet fo((^e, de«
to^am i»eri&tt0ert> bie ten äSitri^ ((0(nö6e(,(iedenbe

' V ■■©eite,

^

&eUe; BG^^inUiUn MUtn , BA/ AC/ pvopMiüiitrf»
Unb tjl dne ©ette^ BC^ mti ttiat^ti», BAC^ b^tt
beibcn onbcrn ^ B A , AC , propoi tionirt def^nitten : fo
tüirbber biefft (Sme^ BC, gedettö6er fiegetibeilBmM
Mti ber bitr^ feine @pi|e/ A^ ^utib brn @4<^ibunatfi
tMttift/ D ^ gei^fienen getobetr j^tni^ AD ^ l^(biit.

«« fe^ BAC i)Sn AD ^O* »
tttt. 31«^ (vi-/^ I . ®.) bot* ■ '
C mit AD We CE ^aifdOef;
»nb »etföngtw bA, bjd ^(
WcCEinEtriift: ((^{^-(t, ■ '
29. «0 ACE = CAD S= V"
BAD. 0h(n)ft«tKt>Ci/ »1^. ®v>

BADäAEC. gefftli* tfe B--^ =^

( I, i. @0 ÄPE = AEC, j . ?>
'MjW ( rr«? «.) ÄE S5 AC. S)a «ui» (6/ «• «0
BD^C==BA ♦ AE/ f» Hl X 5/ 7- «n> ". ©V) BD : DC

;'i=fiA":ÄC. "■'-' ''..•■.•

.•4N'f(9-BD:De=-BA:-AC. Slttii if^ (6, a.Ä)
BD: DC±= BA : AE. gDlglW ifk (5/ 1 1. ©0 BA : ACä
BAt AE, folgdc^ (5^9. ©.) AC = AE, fotglt* (i, 5. ®.)
AEC=AGE. Simift (i,»9.e.) AEC=BAD, unb
ACEs DAä m^i^ ift (.h i- ®-> BAD =DAC» «(f>
BACMoAB^bict^ .

_ •^*'.- ' • ■ V* -h • ■.•...■■...••.

. . .;. .f *

3tt fiWc^wtttffigb ?ri<ift$err!, ÄBC> TfCE, finb feie
'^^eitcA^ »e((^i^um ^hidfi ^inhi (iegeii; ptoiwtttonirt *
vtinb jfMr biejetttdett^tteii sPlei^Ranlig/ »ebfit ({etc^

1^ > « -»• ■ -Vfc . " f i* . v<« I • i^ • ..

■««

f»8

€MfKb*» ®emihee

. AGB äs DEC/ fo(9lt(^
,ou(^BAC=GD£;atu^ '
)ft9Gt iti BC getote •-:
fü»rt'angef(^; !Ca (i/
17. e.) ABC+.ACB^
<aSR,, flb«cACB=r
DEC : fo ijt ABC +DEC< 2«., f ol««* tteff en (i/ 1 1.®.)
BAunOED genugfam txrl&ngert/ lufammen. ^< g^it^eifK
in F. 2)aARC=DCE, (ö {{l'Ci, ag. ©.) CDmItBF
IMcoUcf/ unt) H ACB=: DEC;, fo ift au(^ AC mit FE im*
naM, tdnna(t) ACDF dn^avaUefodcamni/ fo(glk^ (t,
34-®.) AF=CD, onDFO^AC:

S>a im ^.BFE, AC mit FE pataM, fo tfi (6, d. (S.)
B A : AP == BC,; CE , «(»et AF = CD , fo(dti(( (5,9. imb

.u:'e4 BA:CD=BC>C:E, fold(i(^ (5; »fr. 60 Pew
«Jec^fclt BA : BC = CD : CE.

2)« im A EBFr CDmit BF ptteHM, fo.ifk jC6^a.e*)
iBC iCB s; FP : PE, oNc FO = AG , fo^U«^ (X' 9* *>«>
II.®.) BC:CEr=AC:ED, foIg(i(^ (5/ iÄft)W|i#
«DCCbfelt BC:CA=CE:ED.

SSirb Mefe ycoportton tmt bet »ot^erse^tnttn BA:BC
s=GD,: CE i»ctsli(ten, p>ifi ($, 92. ®.> Ol» ^«11 0kii
d)ett BA: AC=CO:D£.

©er ä1 65a|. 2el&tfa|. ,

• • • ■ » . .

$irionge(/ ABC^ OEE^ tt>e((^e.propoctü»mttf ,€^fii
l^abett/ ftnb dUtc^toinMig ; unb pac btrjentgen SBtnltl
gleich/ wetdSK dfeic^namisen @etten gegenäbec ttrgen.

e« <^ AB:BC=DE:EF; BCtCAs£F:FD; fo%i
li^oti(bt'AB:GA=DE:FD. .1

t^ mon: (.1, 33. 6.) .an bie (Stibpunfie N« (Sdt» SF

i<Me f&ne«(.JeG;s=ABQ,.ttta> EFGssACB: 0iik (r,

32.®0 aucbBACssEGF, S)<«i9a(^ fiKbA>^lKNBit(

ABC,

!(^MlS

1«9i

ABC, CEF, ^fK^fnni«;

fo(d(t«iK6.4-®.)AB:BG

sisGE:EF. SRun iji an#.

{fnommen/^ AB : EC =:

DE: EP... golgti* ifr (5,

H. «5Dfe : EF=GE : EF,

fpWC5/9.0.) DE=.

dE. 0lun i|l au§ eben beh

ttc&nben DF=:FG, abn

EF gemein, golöli* iji (i, 8- ®.) DEF=FEG=: ABC;

DFE=EFG=ACB: EDF = EGF=BAG. 2)e«u

©er 6* @a$^ «e^rfaf.

. 5DBenrt in jwcp ^riangefn, ABC, DEF, ein ^mUl,
«ACy einem Söinfef, pDF,^(eid) ift^ bie ©eken obeVf .
l^i^e um bie g(eicf)en ^iotet liegen^ proporttonirt fti^/
J^A: AC=:ED:DF: fo (tnb bie ^ruingcl 9Uic^n)m«ig; '
t^nb jtüat bie/enigett ^tnfel gfetc^/ mli^t gUid[^namigeff
Reiten gegenäbet (iegem ' _ ^ \

tegt mott (ifÄJ.^O^n
tteSnftpunfte bec Seite DF^

Ne ©inf el FDG = A =

EDF, unb DFGssC/

ta§alfo (i, 32.®.) au(^

0=ß: foi(i(6, 4^00 Ö

BA : AC = GB: DF. giun

ifi:dngenommenBA: AC=:rED:DF.^(g(t6 iftCS/if ^S.)

ED:DF:=lGD:DF, foJ^tt* (j, 9* ©•) ED^Oarlftaii

J^ DF g^mdtt, unb EDFr=FDOi= A ^ Sa(|(ttfr id

t*, 4- es.) tiu* DFE=:DF^=:C/ mib DjEFsxGäbB.

SMino^) finbbie ben ^ki^nomigea Seiten gegeiiäkiäUcgenlM

J

, '

©er .7. ®a|^ ee^rfol.

SBettn in iwe^^rianftefn, ABG, DEF, etit SDKnM,^
A; einem ^OOinf e(; D^ gleic^ i^^ hU @eiten atn, mtd)eix«f
mUti SBinM; B^ £, Uegcttf proportionirt finb/ unb boti
fern Ästigen 9Btnfe(n/ C^ F, |ebcr jugUt^ entn)i?ber iffeiU
ner/ ober nic^t f (einer/ a(d tin red^ter i{l: fb fmbbte
$riott9e(d(eic^n)tn!fi9/ unbjmarbiejenisen ^tnfel^ B, E^ '
dfetd[^ / um tötl^t bie proporttonictcn &t\un Iti|^eiu ;

F, f iHner a(i( ein rechter. iSo*
tcn nun ABC, DEP, undlet(^,
etwa ABC> DEF ; fo /«Ic man
«n B (i, a 3.6.) ABGzrDEr;

>a&«r, tpeil A= i), (1,3 2. 0.) \b
<m*AGB=-F. Soigüc^ ift

( 6, 4; ©. ) AB : BG = de; : EF. gjnn ijk Metnmmm^^
AB:BC=rDE;EF. gofäl«*ifl (5, n.«.) AB:BC=
AB;BG, fofgrft^ (5, v.®0 BC=BG, fofgfi^tft (i/ S-®-)
^C =r C ; fofiH^ mu& Dec ^Socauöf e^ung BOG < 9t. /
fofjlic^ ( i, 13. 6.) AGB>9L , fötgli«^ mH$ OWgem F>"
9t. 4 »(I(^eg ^c 93ocaü«fe|«n9 F < dt. wtWfprictir. SDeou
m^ f6nnm ABC, DEF, nictit ungl<t<& fe^n/ fotgltc^ f{n»
(iefe SQin(e(/V um welche 6te, pvo^ortionicten 0eitm (icgcn^-
glfic^. iRnn mi A=:p. go(aU($ jft (i^ 32). @.) om«^
C=:F../ ,• .., _ :.

<3i ft9 iebet b» färntti C,T, ni^^t nehvecv «tt <{ii tc((#':
tec (»tsitb, fpcnn man ABC,. DEF, afö twgfek^ anniwimt«
»ie im ■ ttftm Satte bmit^tn , ba§ BOG s= G , ba^ ««# <
Je^igfr |}orau«fe|Hng BGC ni(&t<0t, fo(9(t(^ im A BOG^j.x.
C-^C ni(^t < a fR., welche« bm (if x?« ®0 ii>iberfi>ii<^i]
XMmnaic^ftanenatKtl^iec ABG, DEF, nid^ «ngldc^ fe^n; '
Sie ftbristn Schaffe finb wie; beym enften Satte» . .
j ':7 ©et

' 'et^iti mii^\ Mit

9®wb in «tnemtedKwinfUgtn $nan9«f , ABC, ööm
teerten 9Binfd ;A/ auf hiimtn&bttlitstvift&titt, BC,
ein ^«tpcnbrfcC AD, gefiflt: fo flnb bw Jciöngfef am
^ßietptnbiHl,- ABp, adg, bem jahjm Sriongcf," Abc,
«ob etnanber &^n(t(^.

2)<imb«iilwB8«(nABG, A

ABO, bet tM^te S^nfd BAC
s=ADB, un^ B gemein:
foifk;Ci/33.®.)au(bACB
==:BAO. itmnd^ ftnb
tiefe Sttangel g(et(b»tnf(ig/ B
fMgtie^ (6, 4. 6.) i^ce 6ei«
tcn ^copottionitt/ Hglicb (6/ i.$.) a ARD<\>AABC
«uf eben Me Set Wieb 6en>iefen^ >ag aut^ ABC = CAD,
«ntAACDrvAABC.

2)a fai ben tciangefn ABD, ^DC, bep D teilte Si^nfef«..
«nt na(t> Obigept BAD =r AGB / CAD = ABC , «lifo bie
Triangel g{ei(bn>inf (ig t fo jint (6, 4>.iS>) i^ce Seiten propoi»
twnirt, folflli* (6, i. S.) ^ ABDA)AAI)C.-

3« f Ä>

t)tetau< errettet, baf tec t>om reilbtcn SDfnfef auf b(e
CSruntItnie gef&Ote ^ecpenbif el Ut mittlete %wp9ttiwaU
linie twifcbcn ten Sfbfc^nitten tec ©runMinte fep; unt). b«§
bie An einem bec ^bfd^nitte tec @cunt)(inie (iegenbe CMte'
tft nitttoe Vropordonaflinie $W(f($en bet ®ctthMitH( unb
fDlcbem H&fic^nitte fep. Senn wegen Kel^nficbfett ter Stian«'
0A ABD, APC/nnb ^(dc^^eit t>et tSinfet BDA, ADC^ ifk
BiD:DA=s:AP:DC; unb weg.cn «e^nlitbWt ber;frion«
^AfiC, ABD, tinb be« gemeinfc^fUttbrn fSinM« B^/ if^

BC:BA=sBA:BD: enbfttb «Kgen Se^nScbfcTbcv^^K«^»"

gel

^i

4*»

mji^K^m«**

K

BC:CA==AC:Ca

' CBon einer gegebenen geroben 2{nie> AB/ einen tie»
rannten "^l^etf abjufe^nA'bett. '

(S< toecbe bet britte SJ^tH i^evf, .
fangt 3<^&^ ^^^ ^ eirie geeäbe
ginie AC, unter einem beliebigen
©infel BAC; nimm auf AC ei^
nen beliebiämipunft D^ma<be *
DE, EG^, ber AD gleicb; }iebe g
BCf mb mit biefer buccb D, bie
DF päröttef f fo ifi AP ber Verlangte $b?iL

. Senn e« yi (6, a- ©.) CD:DA=BF:FA. ginn fft-
C;d = 2 D A. goiglicb i|l aucb BF = 2 FA / folglicb BA^
=: 3 FA. ■

©er 10. ßa^. Itufga^e-

seilte 9^9e6e.ne üngetl^etlte gecdbe Sinte^
tmttn ^m^tilten , AC, &l^n(t^ einjut^ctlm,

i^^'<|f.f{9AG.itiP, E/^ca^
toeitt/ uht «i' fle AB utttec
tetn 6dtc6i4en SBinfel BAC
Stiegt gic^e BC, mt> . (i,

£G, nitBCpacattel: fo ftnb
V, Gy bie gefuc^ten S^eü,
l^^unfte.

f £)eim fielet «wm noc& ^^ „

ftu«*Pbi<OKmitABpa*

Mtllet/ f» Rnib FH ^ HB , «ßacaUelogMRnne , utt)> ba^et (i,
54-0.) DHs=rG, HK=QB, aber (6,ä.@.) »t»Ä
DKp, C£;iEP;;=KH:HO, foldU(&C£:ED=i:BG:GF,
aiM^ (ßr.9>p 1^) . im ^ Afi^ J^ :I)A:^CF; FA, 3>mf,

: . M^

AB, einer

^t^iM ^A,

"I

M^finh tAt 9bi^nim BG, GF^ Fi\y bmta CE^ ED^ J)A,

©et 11. @o§. 3(uf3ä6e. .

' ' Btf 3»»9 gegebenfit gerqben Linien/ AB, AC, bteteitte

^opoctionainnie ju ftnben.

fege AB; AC^ unter trm (elwfitflm
flEDinfel BAC an ^nanter^ »etfingeee
fie bi« b/ fi, ma(^e BD=:AC, {ie^e
iiCi mb mit tiefer (i, 31. jS.) (ur^
P, Iiie 0£ paratt<(: fo ift CG Me (ritte
f^t9|>9tttonallinte.

JDenn e^ i(l (6, 2. 0.) AB: Bt)=r

^C:Cfi, aber BD=AG, folglich ^^
.48:AG=AG:CE,

S)er 12. @a|. taufga^e»

. 3« ^^^9 gegebenen gerobe^i Ünm, A, B, C, feie »Utte
^topottionottime 5ir ftnbem

, Sege iWC9 gerate {inien D

DE, DP, unter bem Utitbit
§itt $B)infe( EDF an etnan«
ber> ma*e DGrrA, GE
=B,DH=G;,ilc^eGH,
tinb mit Wefer (1,31. 0.) **^
^ui^,£ Ut,EP paraOef: f» ifl HF Die »iecte ^ro^ttiop
ÜdOittie.

' t»m e« if» C«, a.«.) DG;GE=DH:HFy foJg^
-iia*OWgemA:B=C:HF, , ,.

^

./

* *v

©er 13. ®«|* Hufioie.
J%m^m AB, BC,

. (Nflft^l e(em* 15 QSit((cr* ' ^ Se^e

/

114

^väfkr'i ^uvumt

.1

C<|e m Ati tie BC gerate
forföit^ 6(f(&rd6( hbtt AC tta

~« i; 6.X<ittf AC in B tun Reepen«
MefUD: f> ijl (kfec^c mtnUre A
fytopottionalitirie.

S>«nn iU^t man AD, DC: fo i^ d, 31. @.) ADC^is'
«., folflli«^ ( 6, «; Suf. ) AB : BD = BD : BC,

©er i4. @a$. Äe^tfof.

tWnt«

(, FBD, linm Winhl, EBG/ jleici) tjl, finft Wk
um tne gUtc6en ^inf e( (iegenben @etten witbttll^
fOft) propotttiutirt. Itnb ^^acaUefodtamme / AB, BC>
in b«n«t| ein ^infejf> FBD, einem SOßinfcf, Ebg, dret<|
ift, unbVbte um bie dtetc^en ?0)tnM (tedenbeu @«k<ti
tPtebei:^e|^i:en& propoctiontct ftnb , finb g(ei(^.

etflet, ?^et{.

Q8 f(9 AB =BC, unb FBD
==EBÖ. % DB, BE, in
Ijeraber ?tnie an etnanb» : fo ftnb
(1, 14. ©0 äuc^FB, BG, in
geraber Sinie. IBoOenbe iai %K\i
' Mlleloacomm FE ; fo »|i (5, 7.®.)
AB:FE=BC:FE. 3tun ijl
(6, 1. ©0 AB : FE = DB : BE, q
unb BC ; FE = GB; BF. golg*
m i^CSt 'II- ©.) DB:BE=G&:BF. ^^mnajf finft
(6, a. @() bie ©eiten, tpe((be um bte gfek^ VOatü bcy B
liegen, n>te^^c^(nt> ptoppcttonict

3t»>«9t«t 5^eif.

(8«f<9FBD=EBG, unb (6,3,«.) DB:BS=GB:BF«
Run ift (6, 1.0.) DB:BE=AB:FE, ttnbGB:BF£s
BC:FE. Scfgli* ifl (5, n. 0.>AB:FfiÄBC:PB/
fpIfllKb (5/ 9'®0 AB=:BC.

•X

3tt gleichen 3;rlon0e(n, ABC/ ADE, inbeneneiti.SBJtifc
fti, BAC; einem 2BinW, DAE, gfetc^ tfl, ftnbbU.um bte
^(etc^n ^(BinM (tegenben @<tren tineberfel^rcnt> pc^
potttönttt. Unb $r(än<ief^ ABC/ ADE, inbenenei»
aBinfef, BAC, einem 3Btnfe(, DAE, 9(ct(^ ifl, nnb'
Sie um bie gfeic^en ^intti Uegenben @ett<it wk6«f
tiel^rcnbprpponiontrcftnb, ftnbsUic^.

«rfler $^eir.

' r 'W f<9 A ABC = A fiL ^— —......__

ADE,unJ>ßAC=DAE. |\ ^ - — ::7D

tiQi CA, AO/ in gerabee

türtie an etnanber : fo finb

<i, 1 4. ®0 ou(b E A, AB,

-^'geritbet; 8ihi(. ^tt^

Brr.fo ifi (5, 7.®.) ^ --

AABG: aABD=A^ *^

4.DE: aABD. «Run iji (6, i. ©.) A ABC:a AÜI>=:

CÄtAD; unb A ADE: A ABD=f EA i AB. golglic^ ijt

(5, 1 1 . ©.) C A ; A D = EA : AB. SDeinno* finb (6, a . S.)

Mf ^(itm, n>el(b( um bte {(eic^n SBinfel iep A liegen/ voit^

^ctHe^rcn^ piopottioniit.

^t»ti)tit. $l&eif.
®^ f^ BAC r= DAE/ «nb (6, a. S^.) CA:ADi=
EA:AB. SRunift (6, i.®.) CA:AD=AABC;aABD/
»nb EA : AB = A ADE : ^ ABD. golgli* ift (5/ 1 1. 6.)
&:Alß:AABDÄAADE:AABD/ foIsUc^ (5/ 9-®.)
ili,4JBec=:AApE. . '

^er 16. @a§. 2<^rfof.
@inb biet getabe £inien , AB/ CD, E, F, proporrios'
nlÄ:f* ijlbaö unter ben du§etn/ AB, F, entgoltene 9l<ct«
«f^if, bem unter ben mitffetit/ CD, E, cntl^äftencn, glci«^,
Uhb i^ taft unttr beniitt^ern, Aß, F, enthaltene Slectans ,
gtif beut unter ben m^letn, CD, £, ent|aftenen/ dicic^ :

^ a f»

I.;"

tu

Qviwt mtmm^

' fo ftnb bi< t)ief detaben Ünitn, AB, CD, E^ F^ proper
tioniit. ' , %

99 («9 AB : CD = ^ __5

E:F.«cti*te(i,ii.®.) c
«ttf AB, CD/ <n A, C, E-
to.9etpeiibi{dAG,CH;
«a*eAG=rF,CH=
E , unb eoUenbr tte ^
cattetogtammeBG, DH:

ff^ung unb C 5/ 7. @. )

AB:CDf=CH:AG, folgUc^ (tf, 14.®.) BG

«»ec ABXF=±^CDXE.

$< fep ABXF=CDXEf oOec na* jO%«ii , BQ
=rDH: fo ijt (6, 14. ®.) AB ; CD = GH : AG, »btt
AB:CD==E:F.

©er 17. @<t|/ 2e^tfaf.

(Stnbbrer^^cabeStntett/ A^ B, C, propotttonict : fb~t^
tai unter ben hufnn, A, C, ent^alttnt SKectan^e^ bem
öuabratc ber mittfern , B , gleic^. Unb ifl bäd" unter
ben hü^ttn, A, C, entl^aftene Sftectangef bem jQuabrate
bec mittlem^ 6^ ^«iil^i fo flnb bte bre^ geraben iinitUf
A, B, C, propotttontrt.

DH,

€cfiec tfftiU

C<fe9 A:B = B:C. ©elje D
= B; foijtA:B=D:C, folglkb
($, 16. e.) AXC = BXD,
obet AXC=DB.

3»«9tet $l^eit.

:«« fe? AXG==aB=BX

AB DO

D: hj^di, 16.60 A:B;=D;tC/ RbevAr?!!

• « '-7

J •

"7

JE>cr 18. @a|. Tittf^otfffi

2(uf einer gegebenen gcro&Vtt Unit, AB / tinit qt^
Senen decab(tnt9«n Srgui:, CE, eint h^tAt^ mb l^K*
(i(^ Uegenbe ju befc^ceiben. '

3t«^c DF, unb fege (i,
93. ®^) an bie (Snbpunfte
tet AB t)k SQtnfel BAG

. = DCF, unb ABG = _

. CDF ; f «cnec an bie @nb» ^
punfte bec GB bie 2ßin!H 4J
BGH=DFE;unb GdM
^FOfisfciSJAHfoClE.

SDenn imk& jDMgem tfi < i^ $3. «.) AGBssqpp^ uiil^
QHBp^ F^i feenep AGtt i- BGH =r CFO.4- D^^
tib*(fAGWis:CFE; be^<i*«n ABG + GBHs=CpF45
FDE/ obec ABH =;rC£>E, SXpnatib |nb^ bie giittten
AH, GE, 0(ct(bn)inf(i^ 9)un ift auc^ na^ Obigeni/ tinb

' (6, 4. @) BG:ÖFsxfiA:FCÄAB:On> tmb BG:DP
s;BH;PE5rHQjEF, olfo CS/ "• «0 GA:FC?=
AB:CD=p;ßH:DE=:.HG:EF. got8ß*ift(s/ «6.®^
1»%X.IS.> AHrv>CE.

^er 19. ©ti|. B<IJrfo^

Die SÖerWftnig ^Ittfic^et ttiamU A^G, ÖEP,

ifl bal Bwiefac^c ber 93»t^(mtf i^rer gieic^namiden

Reiten.
Üi^9 ABC ;£=1>EF, tiifb

AB tBC =Rl>E : £F, tl«^ a(f»

BCj £F/ glei^namige Qefi'

iei>|nb; ,on5 (5« 16; ®.)

VtfiaMl^f<U -AB : DE =

BC :£F. i^ 6u(&t man tiun
.i6,iü €5.) itt BC^ EF,. bie '

Itttte f|N#ottion<rtlinte ia^#, *
4 ta§ Alf» mCF«r£Fc tCH - '

\t*\-

tt$

eoiWi

,fo Ifk (5/ ii.Ä) AB:DE=s
SF:6C; fol^\iit), wenn man
AGiie&t, (6, i.5.e.)A-AB(^
s=aDEP« Srtnw <ft, öW
BC : EF = EF : BG, un> (5/
io^OBC:BG=r 2 (BC:EF).
Run i|i C6, IV«.) BC:BG
== A ABC : A ABG = A ^—^
ABC:ADEF. golgtic^ Ifk
A'ABC; A DEF= a ( BC : EF).

3 " f ö f» • -

|>i(rau< ec^eSet^ tag / nxnn tc(9 gerdbe ttnfm BC/ EF^~
BG, ^t^^rtionict fint, jut (ie erfie )ttr btitten Mc^Itr/ loie
tec Scian^ef anf bin crftoi jn bem il^m &^nli(b(n/ nnb i^nlkJK
nirsimben Sriangd aufbe« {«»epten; tpeU bcMcfm nwtbtn/
Jaf BC : BG Ä A ABC : a DBF.

• ■ .

Tie^ttii^t «te(fdtt(ie Figuren/ ABCDE; FGHKI^, fo^
fen f(^ ht Al^tc^ ^t^{ &|n(t(^e/ unb ben ganzen %igatm
fiUi^mmiie, $rtan^d ietlegen. %td^ tfl bie SDf^ftd^f
dl^tiltt^et: bielicit^ee.^teuccQ ba«. ^tvtefat^e bct SStcfj^
tftfi Äret gteiÄnamiftett @«tt<n/' .v :•

SDi^e ^gtttm (aifen fit^ in

iiMe^em- gtc^ ibte; XHasona^

lefefiE>EC; Ol., LH. SDa,

«iegen ber ^Mic^ett (et ^is

|*tf«(6, i.(80BÄE=ßFt/

,imb BAtAEjsbQF:?^; fo

fbib (6> 6v. 60 bif !iriange(

iBE; FOL, ;rt«*»inf«9:^, folgli* (f, 4* «0 if>f^ «dtm

1H:cpptti0iitrt> fotgju^ (6> t«CO fie frtbjk it^i<^ aDew

^ JUMi

.&t^itti $u(^«^ fi9

A

»eA {^ ABE r= fGL , unb BE : AB ä Gl. t FG. , Sßun
ifi »«gen ?rc^nIi(WfU ber Siäuwn (6, i. «.) ABC=FGH,
Uli» AB : BC *= Fö ; GH. golä«* ift ( i, 3, ®.) £8(3
crLGH, unb (5^ 22. ©.) dU8 b<m (SUidben, BE;BÖ
= 6L:GH; forgtk^ C«, 6. ©.) We $rianflel FßC, LGff,
gleicbtoinffig/ fc(<;(i<:^ (6/ 4. @.) i^te Seiten pcopocttopirf^
fp|g(i(^ (6, I. @. ) fte fel6fi a^ntit^. {(u« gleichen ©cfift^ni
t^ tfH<^ A CED A^A HLK.

S>te{t( ä^fl(^en $nan^e( ftnb ben ganjen ^t^uven propebt
tionitt/ unb jnxic i^nen gfeictnamig (A6CDE:FGHKL=
A ABE: AFGLrr Ä EBC; A LGH=r aCED : A HLK)^
nnb bie S^er^ftniS ber ganjen t^t^uvenift iH 3toief«(^e'ber.
Seti^ittntg t^ret 0r«t(&nami(}(n Gelten. ,

3if ^e bie Siiagonafen AC, FH : fe ift totstn Vc^nlk^cft
let giflttcen (6, i,«?.) ABCrrFGR, unb AB:BC=s
FC: GH, fol3K(t (6, 6.®.) BAM=GFN. fRm i^
»a^ixm etften^le, ABM=FGN., So(dIi(^üt(i/ 33,®.)
«NK^ M=:N. Stemn«^ ttnb bie Triangel ABM, FGN,
fftÜ^t^liis 9ai gleic^n ®cänb(n ftnb aue^ bie Itctatiflcl
9CM« GHN, iUi^intti^ SetgUc^iit (6, 4.60 AM:MQ
ÄrFN:NG, unb MB:^C=NG:NH; fofflfi4l (5,
^a.6.> au» bem(ß{etct)mAMtMC;p:FN:NH, 9hHi

|jk(6/ 1. ®0 AM :MC= A AMB: ABMCi=Ä AMEVä
EMCa ttnbbal^c(5;^i3.0.) A AB£:AB£C=: AM:MCt
«fiff au« d(et(t>en:®cänben A FGL:aI'GH=:FN:NR
%m^'(iS, i»»<9.) AAB£:AEßC==iiFÖLiALGH/

•feeit^^ (5/ J6- ®.)*»ettw*fait AABEtAFQL=A

£BC:ALGH. Stehet man nun BD, QKt f» i^ «•

ibatfAbe» ®c&nben A^BC:aU3H=äC&D:aHLJC

«oI«tt*t& (5^ ii.®w) aABE: A^FGCsr AEBCtALOlf
a=ACEI>:AHLK;^(gl{«^CS/i».e)ABCDE:F6H:KL

^ A ABE : FGL. »m ifT (6, 1 9. «.) A ABE : a FGL
i— 3 ( AB : FG> fM0i^ if^ «M^ ABCD|$PdHSLs&

t4 Tby

J2» ^MVi demente

' 2(iibrec 23<wde. Tianai^

tem (cften S^«t(e bie Stiansfl ^

ifyHiö) {int: fo ift (6/ 19. 0.)

:/^ ABB : ^ FGL= a ( BE: «.

GL) =AEßC:A LGH; '

nnb A EBC ♦ A LGH =:

3 (CE:HL) =aECD:a

LHK. %eliü<b ijl (5, 1 1. ®.)

AABE:aFGL=aEBC:aLGH=aECD:aLHK;

fddti* (5/ i^. ®.) ABCDE;FGHKL= aABE:4PGL

= aCAß:FG).

(gtfl«t 3ufo|*

SDa (!(& duf (bm tie ütt enoeifen l&it, tNifbie l^cr^&ttf
ntS il^niidt>n; okcfdtigec Sigutcn bat 3n>tefa4>e tct iScd^&l^
«Ü i^crr gleicbnamigen 0<tten i^, mh eben baffelbc atii!^
<6/ 19. 0.) t>en Siiangeln emiefen wocben: fo i{k oOgCfluiB
Me S)ert)a(tntf iMit^cc detablintser Siguten ba( Sn^c
f<M^e bcr $Bec|oltnig t^rer gleic^namiaen ©eiteru

, 3»<9tcr 3"f«f«
' 0Kmmt man (6^ 11. 6.) {u AB^ FG^ bie britte ftttfmt
^tjoindflinie O: fo ß (5, 10. (S.) AB: 0=2 (AB:FO)L
"tk aber bie Seir^&ttnifi eincc gtcobtinfgeii giguc dtff A%
^tfbee i^e &I)nli<bm unb &^n(k^ Üegenben ««f FG, M
3^iefa(tte bec Src^ftnti bei AB {tr FG ift, f» ^ti bd^
ttMtnti breo seciibc 2ttiten AB, F6/0/ ptot>oittom0t ^fib^
tte etfle AB juc btitten O fi^ t»(t^d(tf/ wie eine fKcabfk
»tä« ^idur auf bet erflen AB, ju bep ii^r il^itfit^iMI
|Si[)ttU^ Kegenben auf bec |t»e9ten FG.

:. ©er 21. @«^ «el^rfol»

, SDte etnec nnb becfelben ^iguc; C , hhnÜ^H fteedbßt
.ttidenSiguten/ A, B, jlnb aud^ etnahbet Wi(|r>

Sa iMgen bet.9(intt(b(<it ( 6/ 1»% ) btr giflut^ A, G,
ime^, M bie Siguren B^ C, tim^kt «ab iAiee 6ci»

teil/

ek^a OiR^

lar

ten iDe((^ uifr gleiche SBinf eC
liegtfiy pcopoctionjtt ftnb: fo
(tnFflucf^ bie gisuren A, B, ( i,

I. ©O QUiöftointliQ , unb (5/

II. G.) i^^^ ® eiten ^ noe (<(^e um
|[ii(()e 93tnfe( liegen/ pcopor^
ttontrt; {pl0(t(<» (6, i. @0 ^i^ Sifltiim A^ B, einmibee&^Uc^«

©et 22. ®a^ Bel^rfäf. >

^ittb tier gerobc iimtrt, AB, CD, EF, GH, pn9t^
tionirt : fo ftnb bte auf benfefbcn &^n(t(^ (efd^tebeneif
i^n(t(f)en derobrini^en Stguren, KAB, LCD, MF, NI;^
ou(^ proportionirr. Unb ftnb bte auf piec gerab^n £{ntriv
AB, CD, EF, GH, hf^nÜdi) f>(^^tUben(nh^nli(i)tnQttClti
linigen Staute», KAB, LCP, MF, NH, proportionirt :
fp, f nb fo(c^e Pier ^ttaht hinten au(() propottioiHrt.

' \Srflet ?^nf. :^

S«fepÄBiCD=:EF;

GH. 9lun fu(b( in«n (6,

11.®,) ju AB, CD, bie

Ctftte O, unb ju EF; GH,

fie beim P. . Solgttcb tfk

ts/ II. 6.) CD.:0 =

CH:P,foIflt((b(5,22.60
«tibt«in(6^id»enAB:

0=EF:P. SRuntfk(6,

3ol 3Hf. 1.) .AB : =

AKAB:A'tCJD;' unb'

£F4P=:IttE;NH. 8^9«

(i(^ifi(5,ifi'6.):AJK:AB

:ALqD=:MF:NH. .

- e« fe9 £^ KAA->Ai'CB-3^J^< NR: - :«IMII f»
(f6, 13.6.) JkB.<QD«:£F«^R>^»Mf^cin«M»MP

{>5

ft^n*

IIS

(güti^t €(emeitte

ifyntU^ mhrhfyn{x6> liegen«
tt Sifitit SR ht^^fbtn,
M Alf» na<& bem etfixii
Jiy«eAKAB:^LCD=

MF: SR. ?{ol9U*ift(5.
t|. €5^) MF : SR = MF
;NH, W«tt* ( 5, 9. «.)
SR=?NH. giunifr,»ett
MF ru SR ui* <\> NH,
(6, 31. i&) ou(^ SR ro p
NH. $b(d(i(<) ift (folgen«'
bet«e$nfJß)QR=6H,

Wili^, »dl AB:CD=: ^ ~

EFjQR, Ätt* (5, 7.®.) AB:CD = EF:GH.

«e^hfof.

^af dBec in dletc^en unb ä^nlic^ett^idiutetv $R/ I^^i
<9tt^ bie d(ei(^ndmt0en @etten/ QR; GH, gletc^flitb/
tvicb.fo fcewiefen:

Zki SRber NH gleich unb &^n(i(^': fo ift QR:QSss
CH:GN, ober (5, 1 6. «. ) WtweÄfelt QR : GH :?=
QS:GR SD&ten nun QR, GH, ungidtb/ etwa QRi^»
OH, fotgTicb au(b QS>GN: fp to&te (6, ao.®.) SR^
NH , n»e(cbe< beni Ungenomnienen SR = NH wibetrfptif^t
^olglttb 'innen QR, GH^ ni^t ungleitb imr onb gnb «l(i

• - , • - ■■ t- •■■ • '■■ ■• •

' ^tr 28, ®a$. ^el^cfof. . .,.

^te Sjetl^MtntgaletcjgwtnRtgtc^avattelosrimme, A(S^'
CF^ tfl au$ b;n Sfec^^rtniffen t^ro; €^eireit, BO: GÖ^
DG : CE, jufammengefe^t.

ee fep RCD=:ECG, unb BC, Cß, in i)etabet Ctiäe an
ii»ai|b(e:0eUit:- fo Idib <</ M»«®») attiti PC, C% in «er<M
ii^ fim^ i,.1B«aei^ ba« iKicflitfo|taiiiiii p6. SHmnt

mini

I

mm . ntin iifgenb ^ rine gerobe
tinifK, unbntat^ (6/ i3.(S.)
BC : CG = K : L, Utntt DG
:CE = L:M}foift(6,5.e.)
KiM-=(K:L)+(L:M):?= K^
CSC ; CG) +'(DC : CE). SRoit r. '

ifk (6^ I. ^0 AG: GH— BG- !\

:CO=^k;L, unDCH:CF E F- i

=:DC:GE=L:M, unb Mitt (5, M»9i,) umbtm
<m^en AG : CF=Ä j M. $o(gli(^ ifk (5> ii. ««31
AC/CF=CBC:CG) + (DG:CE).

S« itbm^wMü^am^t -^PCb, ftnt» btV ttm t>{t
tDiagonate/ AC, (ic^enben ^ätäUetogramm^/ EG; H^
tf m danjen / unb etnanber i&l^nlü^
vJDaGFbetDCjwraUfi: fo A. E .. . -n

(^(i,29.0OAGF=ADG, jX^ / _ ^.

APG=AGD,DAG:±D'ÄC; elf— 3(.E- ~~1f H

tnnna(^ 4 ACD. bem A AGF
(^eicbwjiinig. Ißun i^aixi g(eU

^ieh'^nbeit A ABC bm a ; , xjj-,

AEF gl«f(b»inni3. golgll* Ijk t K* ^^^ '

t^«^arole(ogratnm ABCD bcm

i^Jal-AÜdogränfni EG gJftRbioMflis« «u4 C^, 4. 6.) AD :DG

Är"AOiQF>ttnbCB:BA«:FE:EA; f«n<t DC : CA==i

CF:FA, tinb AG:CB=AF:FE; folfllicb (5/ 22.6.).

«US tem <ßfet4^ DG :.CB ±s GF : FE.

. Si^Micb ifk ätut^/ loeflen becll^caadttmcn EF, 60, unb

ÖF, I?C,(6„a. e.)'iE"'EA=CF:FA, «nb CP:FA=5

i)G:GA; frl^t^fs^-ii.«.) BE:EAs^DÖ:OA; folfl»

ti* (5/ I«.«.) i)erblihÖ«ltÖÄ:AEsrDA: AG, uni

iC5/ 1Ä.«0 >erwe4>felt:BA*:Äb=:AE:AGV ;

S)(mna4> flihb "iii bm jtiriil^trtnflti^en f)araffetogcaminm
ABCD, £0/ b'ff^eiiten «m^e' dld(9M IDMti ptopertifts

• ft*

■i »4 Qütfib*6 iSiimmt

^(H^ erönben ABCDrvKH. %6lili^ ift (6,ai, 6.)
ow^ EGrvKH.

S>er 25. @a^ 3Cttf9a$e.

Sine QttMxniit 3$mt ju 6efd^rei6en / m^t nmt
feseSenett; ABC, hi)nli^f unb einer anbeni gefe^inen^
p, _iUi6) fe^v

' «ttf BC itf^ttiit (t, 44. 6.)

ttnt (I, 45. @.) auf CE mit im
lEDinM FC£= GBL, M^aUe»
logcamm EF 3= D : fo finb ( t, *'-

14^ ®.Mott>Q^( BC, CF, M M^ '

IiE> £M^ in gerober tinie. ®ti(^e J^

(6/ 13. SO jroifc^tn BC, CF/ We

tnittlcce^oporttonallinieGH, unift

|ef(^tti|» auf tiefer (6, i 8. ®.) ei«

nentem A ^BC i^nfi^en unbii^n«

Ii({> liegenDeo A KGH : fo ifi taä aOettongte gefc^e^.

J5)ennt«BC:GH=GH:CFj fo ijk (6, ao. guif a.)
BÖ: CF=A ABC : AKGH. 0l»n ifi (6, i. ©.) BG :CF'
=:BEjEF, golgli* Ifl (S/ 11. ©.) aABC:aKÖH=s
BE:EF. Sud iftA ABGABE. S^W i{l Cs/ 14*-6.)
«»(^ tet (cm A ABC i^idic^e a KGH= EFsI^.

®itt toon einem ^taUtlo^tamm , AbCD; eitt (Igiii.
iljtAidiii unb hWi^ lie^inUi ^araUe(o0tamm, AEFCv
M mit t^.m einen gemeinfd^ftitc^eniJBintef/ DAB^ 1^^
tMd^enomqie'h: fo (iegt ämitttm inmin um cinerte^
S)to0onare. .

fMMiie AHK^ >ia4t rinm «pn; f K(cfi^itt«|iai t^ ^

&t^^ßm iQSw^.

ni

«nt e< f(9 titr(^ H mit AD t»b(t BC

He HU paroUel^ alfo (6/ 34.®0

ABCDfVGK: fo ifl (6, i. (?.)

DA:AB=GA:AK. Sftun ift,

toeU ABCD (\3EG, au(^ DA : AB

= GA:AE. 8oI«Ii(t ifl (5,

iii ®.) GA: AE=GA:AK, fofg««^ (5, 9. «.) AE

AK^ mlö^ ( 1/ 9. @0 unmoglid) tft. 2)(mna<^ fann Ne

2)iagonaIe butcb fHnett ton F »erfc^iebeneti f^unft/ fbn^eoi

»lufi lut(0 F ge^en, (a< iß, ABCD, AEFG, Uttm wm

4iiKc(c9 £)ia0Oita(e. .

l^ix 27. @a|. «e^tfaf.

. Unter oQcn an berfefSen geraben Bmte, AB, eni»
worfenen ^ataMo^vamMtn , be%tn ©fg&njungrn bem
9>aratte(o9tamm auf bec ^a(6en £inte 6^n(tc^ ftnb /- unb
öi^nUc^ (iedcn/ tjl ba6 fetner ©rgättjutid &^nlt(&e ^araUe«
Ustamm auf ber l^a(6en £inie iai Qtb$u*

etiler galt. .
( e« fep bi« tinie AB in C ^al«
titt, ttnb dtt W?(<i)nitt t>tt
|.mteAK>AC. 9tm fe^duf c'
ieoi 9^(^n|tte AK bd< fat<^f
logeannn AF/ teffen lS(ganiun$(
KH b«tn yaraKelogcamm CE
i^nlu^ fep, unb htfXMf liege:- f»
fagei*, ba§ AD > AF ifi.

ÜDenn ta EHrvCE: fo liegen btiSi (.6, 26. ®.) »m e^
tfcfie^ ZHdgonole. gie^ ficKc^e S>iagonaU DB , tinb «oBenbi
We Slflur: fdifl (1/4^.6.) GF -sc: FE, folgrM^, »e«
KH-^insurommt, .CassKE. S^im i^, wtü aCs£:CB^
(I, 36. ©.) GH=GO. Se(gU(b Ifi KEäGG; #IglW^
tpenn CF hinauf ommt, ®nomen LMNas^,: j^c^'Ci^

/

t36 eätliVi Mttnmt

Qtotpttt %aiU

9i fcp »Kibetum AB in C e

^ibirt, aber dn Zhfd9nitt ^\

AD<'AC* fStm feo auf *em k1 —
KAftt^nitti-AD. iai Vacaflefo;
jgtammAE, beffcn (Srdl&niuns
X)F) bem ,9ata8elpgtamm GM
lfitia6> fep^ tinb &^ntict> liege:
fpfagcicfr, ba|AL>AEl^

£ 2)«m b« DF (\; CM: fo Megm kitte (6, 26. ®.>) ttn
dneriep Siagonate. 3i<^e folcU Z^tagonale BE^ un^ tiMtnU
W ^w: i9 ifk, tpett FG=GH, ( i, 36. C.) FL=3
LH/ fo^i* FL > EK. sßun ijt ( 1 , 43. 0.) FL =s LD.
j|^o(0(i(^ ift LD>£K/ folglich/ tvenn DK ^n^tmmt,
AL>AE. ' •

OCn tintt gegefietten geraben Sinie, AB; einet ßc^chn
tien $erob(tnt0en Stgur; C; ein ^Uicpti 93ara(Ie(Dsrdtnm.
}u entwerfen^ beffen Stgl&niung einem gegebenen 93^^
wHetogramm; D, al^nli^ fep- 3eboc^ barf bte gege*
6ertei&erabfintge§igur^ G, nii^t größer fctjn, ate ba*
^araUelogramm auf ber f)albm ^tnte; beffen Srg&njuns
tem gegebenen ^aroUelogramm D ä^nlic^ iji.

Qi f<9 AB ja £ JfalUvt/ un^ auf EB ein ^xMtloitamm ■'
£F<\)D befctineikn/ «tu^ bA^ ^acaKtlogcamiit AG ooOeitf
m^'^flriil n<M|> Dec Socdu^fetung AG entmebec ^ G
tfMcbM>tet gt6«*. 3tt AG=C: fo ift, »eil au(& EF
etä^ ^^t&tß^lml^ 8<ft^J^n« 3{i abec AG, aifo fn^
EF>C: fo i<9 (6, 25. ^') «in facaUelogcaiip KI^. »<«i ^

t

etifyttt»-^!^

■**7

gcaiQinJ £F &^c C gtdc^^
«nt> t!em D, folglich au(^
|>ei9.:£F, &^nli((); au(t fe9
LKmitGE;, unbLMmit
OF/ ^((ic^natjtig / bai ift,
LRi:LM=GE:GF. ERun
ijtEF±=C+KM,Hnbl»a*
^£F>KM. SolgUcbifk
(6, 2o.3uf. iOGE>LK^
»nb GF>LM» gRac(>e

GO = LM , unb ttoUenbe

ta< ^acaUdogramm ZO:

fb i^ (6, 34. ®.) ZO^KM, unb ba RM/vEF^ ap^

2b>vEP, folglich (6, 26.®.) ZO unb EF um (btnlc||

JDiagonoIe» ^itf)« btefe 2>tagpM(( BG, unbDotien^ bie

Sidttc : fo i^ SR ba< »etlangte yaMQdodtointtr.

axnn b« EF=C+KM, unb KM=ZQ: fo i|l H^
n= C + ZO, folglicb 1 1 / 3. @. ) @nomon TVX = C.
a^n iji (i, 43. 0.) ZR=:OQ, dfo, wenn QR l^tajtt*
fomait/ ZB=OB, olfo au(bSE=OB, unbba^er/ tocna
ZR ^inittfomtnt, SR=@nomon TVX $oId(((^ i^ SE
=: C SDenmacb iit iai auf Um abfc^nitte AR b«f(^nebnic
faroOefosramm SR bec §t^e C flUtii, i?hb bcffäi fcs&n»
^nj0 QR rv ZQ ro D.

• «

» ,

;©er 29. 0a^ 3titfsa6fc

-Knetner gegebenen sfrabenSittU; AB^ einer s<99*^
(etten gera^Hntgen ^tgur^ C, ein gleiche« ^aradetogrotnm
5« entwerfen^/ befjfen U^hit^^fiinm degiftMen ^
raUefogcamm/ D/ 4^nli(i{>fe9» . ^

. \ .

128

SüfUb*« &mtm

e< feil AB in E^aU
6{rt, unb auf.EB ein
f>ftratt«(ogtamm EL ru
D itiöftübtn , au(& fep

raOelogcamm GH^ tem

EL -f- C g(eic(^, unb tem

D, folgücb au(i bem EL^

&^iflic()/ unb i»ac ba§

KH:KG=FL:FE.

giun ifl GH > EL.

gi^ß* {(l (6, 2o. 3uf. lO KH>FL, «nb KO>,Ffc

»fcl&nfleue boftec FL, FE, macbe ( i, 3. @0 FM=kri^

FNirKG, tinb Dollenbe iai ^araüclogcamm MN; fo tfi

(6/34, 0.) MN^GH, unb ba GHroEL, an* MFfrv

EL, folglich (6/ 26. 6.) MN, EL, um emerlep Z)iagenafe.

git^e biefe SDiagonale FZ, unb t^oUenbe bie giguc: fo ifk AZ

ba< Declangu ^arattelo^tomm.

2)cnn ba GH = EL + C, unb GH = MN: fo ifk
MN=:;Et+C, folgli* (i, 3- ®0 ©nDwon QRS=rG.
Siun i|l (1/36- ®0 ANrr NB, alfo aucb (i/ 43» 60 AN
==2 LO, ttnb ba^er, n>enn EZ j^intufoninit, AZ = 9iMi
moo QRS. Sofgi;!^ ift AZ = 0. S)emnacb t^ boi äff
AB entn>ocfene ^atfaKelogcamm AZ bct Siguc C gfeictf/ «n^
befftn ttebctfcbug OPrvELroD.

©er 80* ^«$. TCufgaSe.

Q^ine gegebene begtanjte gerabe £tme/ AB, nac^ fte^
Itgec 95toportiDn ju fc^neiben»

a)la((^t man (i^ 43* ®0 bon AB bot ^uoblvit HC, unb
fUftbitfC (6, ^9. 60 an CA m bem £]^nabtate BC gleHbrt
9<n?olfe(ogvamm CD / beffen Ueberfcbuf AD bem Ouabc^
BG.a^Mi«^ 10; fo t^ AB ti E n«(^ ^etiser Proportion 91^
fc^pittCÄ* * ^ .

tum

K

■«^.4«<»»

StU^

195

!i

Uenn ba BC dn OuaDnt^ ' fo rrr.
i^ ai)(^. <AP ein iQuoDcat ; tiqd ta ^
BC==CD: fo ift/.n>eim man CE
n>e0mmmt/ BF = AD. «Run
ftnb BF/AD g(d(t)»infli^ $o(gf
lt(& fjl C6/ 14. ©■) FE:EDr=
AP : EB. Stua ift (i, 3 4. &.)
FE=AC=rAB, unt>EO=AE. gofgfi* ijl AB:AE^
z;=i^:EB, mt>, nxU AB>A£, avub AE>EB, fotglic^-
C6> 3. Ö.) AB iij E no* ftetiacr ^ropoction geft^nitten. ^!

, iS)i|e wbat Slufilofung. @(^ivtb<t c 2/ 1 1 . ®.) AB '

In E fo, t46 ABX ÖE = D AE : fo ift (6, 1 7. ©.) ß^i,
:AE=AE;EB, folgfic^ (6, 3. «.) AB in E na4) ftttigpf
ye^vtion gtfc^nitten. V

3n febem* tcc^trotnf (i^cn Jriängcf / ^ ABC, ifl bte §t* '
duc auf ber.bem teerten £ßiriM<9eg(n öberttedentxit @e£f '
tc, BC^'bfn il^t ofenfiqm unb o^nftc^ befdjcicbcnen §i^^
durett'auf ben biefen SOßtnM t{nfc^(i<^enben (Seiten^:
BA> ACff^ü^ammm'^Ui^. ' \

. %hSX au« A auf BC bec %nt
penbtfet AD: fo Ift (6, 8, g«?.)
Cß : .BA = BA: Bi3; fof^fii*^
(6,ab.^ttf;>0 CB;BD=:E:F.
0tun ' Üfk 'iiui '9(rt(ben Q^cänbe n
BG:CD=E;G, gorg«* t(l
(5, 24.Ö.)BC:BD + DG=;
E;F+G. giJunijiBC=BD
+ DC. .göl9li(^. ift au* E = F + G.

Äfti «ibetift^Setpdel • 2)0 bte giguten E^ F, G, &^
Kib fihb : fo i^ (6, 20. Ö.) E : F = a ( BC^: BA ). 38un '
ijk (^, 20. >f. i.)'aBC:dBA=2 (BOsBA). • gotg* '
li<b tJKs. "-Ö.) EiFü'DBCraBA: '%im ift ««# '

sUi(ben 9t&nb(n E:G:

a BG : a Aa

s

(5/

«

\

130 ^vtiiA-t,&miittt

(5,24. 60 E:F+G=aBC:QÄB + DAa aiim
ifk (1/ 47. 00 aBC=a AB-hD AC Sol0(i(^ t(k m^
E = F + G.

©er S2. @a§, «e^tfof.

SBetben pep Stiangef; ABC, DCE, in ti»e(^ untp
&tittn, BA, AC^ mit iwe^eit bettelt/ CD/ DE, ptpf^M«
dontrt jtnb; mit einem ^infef C^ fo <m einonber g(fr|t/
ta% bte steic^namigen @etten BA, CD, unb CA, EB,
olt^ pacaUel ftnb: fo ftnb bte britten ®etten BG, CEy
in gecabec £ime.

j&a AB unb CD paraltef ftnb : A .
fbiji (1, 29..®.) BAC=r ACD,
''«bec avt$ g(ei(b(n @rAn9«N au<^
CD£=rACD, folglkb BAC
=:: CDE. g^un ift nocb bee
QocmKfe^ung BA:AC=:CD
xDE. Soiglfcbiit (6,6,6.)

li, ABC, bem a DCE g(ei(b« — -.«

»infliö, folgß* DÖE=ABC ^ C H^ .

Run wae nocb OMgetn ACDsBAC. So^(t4^. i^ACB
±r ABC+BAC^ fo(0li(^, tiMtm ACB ${n}uf »nntt. . ACE
•»^CB=ABC+ BAC+ ACB, ober (i, 3a. «.) ACE

•i^ACB=:29L^fol0Uc^ ( t, 14. 6.) BC, CE ip atcabci
tink.

©er S5. ©ö|. fce^ffafi

<k

3n dletd^ett^i^ccifen, ABC^DEE. beti^tetviäl fJon»^
bie Sßinf e( am fSJtitttipmHt, BGC, EHF, aU. out^bt«
SBtnf er am Umftetfe, BAC, EDP, bedglei^en bie!^eid«
aitffc^nitte, BOG, EFH, tvte M< ^isbogen/ SGy 8F,
worauf fie {leiten.

®»fl<r

,^e^M ^uffy.

'31

gtimra eine (etiebt^e SnfQ^I.

on'einanbec ^angenberftreiöto;» A,

gen CK, KL, Dem »often BC,

iintFM, MN, Dem »ofleti

EP 0(etc(v linb lie^eGK, GL,
^ HM, HN: fo (tnb nn erfhn.

Äcdfe (3, 27. ©0 We ©in^

fei BGC, CGK, KGL, gleich*

8>emndci^ ift Oec SSiMel BGL^

t)om piitfet BGQ^eben fo t>ie(r

fac^, a(« ter Sogen BL 00m

Sogen BC; unt au> gleich'

0rättben tft ouc^ tm jn^^tetr

«rtife fecr Sänf el EH?f t>om'

SKnfel EHP e6en (0 tidfais^,

ftlf bec Soöen EiS^t)om »0^

geA EF. '^Slun i(lf^, tpenjii S8oä

gen Bli izi Sp^en EN, du(^

BGL'i^ ErtN* gofgÖc^ ift^

(5/ 5» 80 Sogen BC : Sogen«
,EF=:BGC:EHF.

■ ■ -• . ^ i ■ . \

^ JEtt afeet (3^ ao.k)'BGC = a BÄC; uttb EHFss
aEDP, foJg«(t(5/i5.60BÖd:EHF==BÄG:EbF;
fo Ijk (5, ii.eJÄtt* SSsOfl^BJC ;»fla. EF=BAC:EDF. ,.

' 3!^ im Äftai «t«(i'We'8«aben «irf« BG, CK, <i«b
tie CDinf(( in ben 6rjt>en 9t(t«a6f(^nttt«n BOG, C^K. . ^
tie ^ot^mefet gM«^ finb, unb gleich SGBinfd 6«9 G (ütt;
•f<Wet«i: fo ift (i, 4. ©.) A GBC = GGK, iinl» BC
=rCK. S)ä ^'e SSogm bO, CK g(<t(^, fo ftnt (>tt<& Die
fRe^ De« Umfceife« gid*, folglic!^ (3, 27.®.) BOG=:
CPK, fdgCic^ (3, 1 1, ^0 Xnx. miffiXft i^tUic^ 9l»n »o«
■- .-.'i .■':■■ ''Sa' wn

13a €u!üb*0 Stimmt :&t^t$ Sdu^;

ten andf t^re @runb(ini(n BC,

CK gleich* -golg«* iinb (3,

24.6.) tie S&fc&nitte gleich«

Wnn toav aGBC=aGCK;

folslic^ fmb (i, 2. @0 bie,

4tm«att«f*nitt« BOG, CKG

gteicb* SRttn ift au^gldctm.

<8i:inben bet Stceijaugfcbmtt

KLG^ einem bet Reiben %bß

fftnitte CKG, BOG gleich.

^o(g(i<b ftnb <iOebcc9tf)a$f(&mU

te ftteicb* Sben fo bcroeifet

man, bag bte btep SfuöfcbnittC)

EPH, FMH, MNHgleicb

finb. S)cmna^ tft bec Hu«^

f^nttt BLG t)om «uöfcbnitte

BOG eben fo tielfocb/ a» ber

S^en BL t)om Siegen BC;

tinb ber »uifcbnitt ENH t>em

«itifcbnitte EfH eben fo oief^

fo^/ a(« bet Sßogen £N i»om

S^ogen EF«. dlim ifk, toenn

BL Z:EN , Ott* BLG Z ENH» SoftU^

BC:KF = BCO:EFH.

ft^itte BCG, EVHt ftf^ au(^ (Pie üt mm BOpr EUF,

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CEttfli^'l

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S r f I d r u n d e n«

* %■

ärm^eit tfl^ tiac^ n)ef(^r jfbed ^ttts ^iits

2. ^tie§a|^Ia6er; eilte oudStnl^etteti (e(iei^enbe SRenge.

3. ^tn€M( ^bie f (gittere 3a^( »on t>tt ^xh^itn, t^eim

ite bie gt&gere genau tniffet ;

4. &n 3rttd> a^r^ tüetm fte ^ cl^ite bl^ dr6gere genaii'
-jumeffen, $l^ei(e ber ar&gern entifeaft.

SU Sm^'tlfdcbee ifi bte 8r&gece3ä^ »oit ber f(eiiteii||
ijoenn fie bon bec f (einem genmi sen^ffen n>(tb«

*' Zlnm. S)a< X>teffo^ fott>o^, OS berCMI, n^itb

-^ nac^ bet S^^f benennt^ na^ me((bec bo^ @c66Me

''' «om Stlektefn fiemefpen n>icb/ t^elcbe ii&mti6 «nseigt/

toie t)ie(ma( bd< Stlekiere im 0t6§erii cnt^keti i(t

3. @. 1 2 ift baf iDee^focbe t>on 4 / nnb 4 ber britte

Sb^it t>Dn 12^' tber ein ^tt^eitt.üon 12. ^<r

* . J^niC^ ober »ttb nocb ben S^bi^ benennt^ natb

^ ibettben bie beiben itng[ei<ten Babfen 009 tbeem 9t6|^

ten gemeinen 9taa§e gemeffenstoeeben« . 3« 9. 8 ttnb

13 n>etben ümi bem gtoiten ^emeineti SSoofe 4 1^

- ben Sttbten s nnb 3 gemef^n; ba{|ef i^eiit 8 (toe^

JDrittb^ile pon 12. .

;6* ®fie gerade 3<t^I Ifl, »efc^ IWbtrt »erben fonrt;
7I (Sinetmi^ctiAtfc'äber/ welche ni^^tl^atbirtmetbenfanni

..; • ^. ' .3 j:--.- -^^ ■• -: • ober

'i»4

&,f&b^6 (Slmtmt

^fH^ eeänbtn ABCD <\) KH. goldttt^ ifk ( ^> a i. 6; )
«tt(& EGfuKH.

SDer 25. @a^ 3(ttf0a6e.

Sine dfroblttttgr ^tgur ju (efd^(ei6<n ;• wek^ «tncr
0e9e6enen; ABC, al^nlic^; unb einer attbertt geieieneiv
p, Md) fei).

' «Mf fiC fttff^teibe (i, 44» ®>)
tol^Ktflieiogtainin B£=:aABC/
«tnb (I, 45. @.) auf CE mit bem
®tnfeIFC£=CBL, bdi^aUe»

i/^anun £F :?= D : f» ftnb ( t,

U, ®.>fo»e^l BC, CF, a\4 au^'<

£E> £M, in gtrabcc ¥inte. Snc&e j^

(6/ 13. ®.) iwifc^m BC, CF/ble

tttittlete fvoportionadinie GH, vaib

feficbKitie auf tiefer (6/ i 8» &.) eU

ncn bem A -^^C ä^nlicben unbii^n»

ti^ lie^enbea AKGH : fo ifl iaS a^tfanste 0ef£^e^

. J5)enBt«BC:GH=GH:CFj fo t^ (6, 20. g|»f^ 9.)
BCJ:CF=rAAßGtAKGH. ^un ifi (6, 1.6») ÖC:CF
=BE:EF. goigli* IfKs, 11. ®.) AABC:ZiJ6tOHÄ
BE:EF. '»uoiflAABG=BE« Sotglid^ t{l(i/i4..60
«tt(^ bn (cm A ABC i^iOii^e A KGH= EFsH

\

SGBirb »Ott einem ^atoKerodrdttun, A$CD, ei» 1^
i^ntic^ed unb hijUli^ litiinUi ^ataüei^iavm, AEFG^
M mk if)m f inen demeinfc^fitfic^en ^inttf; DAB, ^^
i»e99eriomiQeh: fo (tegr ä mit Um ivt^in w» cineriep
Diogonate. .

' i^W.bicfM n{4i: f» 8<^i «tmil nifllBc^ ifty Vit tut»
fwole AMC Jbup^t fj|im:.ifpii;f tietf^i^cf ^f«^ H,
. , ' ' vxib

iinte«f(9tttt(^HmitADi^etBC 4

M( HI£ pacnUe^ dfo (,6, 34. ®.)

ABCDfVGK: fp i(t (6, i. (S.)

DA:AB=GA:AK. 3lutt ift,

toeU ABCD fv £G, <iu(^ DA : AB

= GA:AE. $o(0(t(^ ift (5,

I li ©0 GA : AE =r GA : AK , for^flc^ (5, 9. «.) AE

AK, »el(M ( 1/ 9. ®0 unmoglid) ift. SXotna«^ fonn Mt

^ogonde Htdf fHnen »on F »etfc^ie^enni ^mU, fön^em

«ittS ^urcO F 0e^en, Da« if^, ABCD, AEFC;, (iegcn im

Unttr oflen an betfe(6en geraben Smte/ AB, eitftf
lüorfenen ^avaMoitamnttn, be%m ^g&njungen bem
9)ata(le(odtamm auf ber ^a(6en Stnie hf)nliöj flitb ,^ unb
ö^nlic^ liegen, tjl ba6 feiner ©rg&njung &l[)nUc^e ^avoüt^
(ogramm auf ber l^alben £tnie bad gr6gte«

grjler §aU :
( e« fep bie «nie AB in C ^d^ p g

(irt, itttb ein ZIbfcbmtt bec

f^tnte AK > AG. Stm fco auf (jV- W^O - ^ \ VL

letn übfc^nitte AK ba< faroOe^
logrannn AF/ beffi([n (Srganiung
KH bcm f)araUelDgramm CE
iSttAidf fep^ unb &^tflicb Uege:- fo
fageicb/ bogAD>AFi(i/ ^^

JDenn ba KH fv CE : ^ fo liegen beUJe ( 6, a 6. 6.) um ei»
tferiep Z)ia0onale« gie^ fMc^ S>ia90ffale D$ , inA «oHtnbi
We gigur: fb^ijt ( t/4?.«0 e?s=FE, fölglki^, totm
KH bin}nroaimt,^Cas:EE. • S^M ift, wfü ACtszCMp
(i, 36. e.) GH=GO. gdgUi^ Ifi KEerCG; ^Ig(Ö4^
»enn CF biniuFommt^ (Snomon LMNsc:^,: {Mj^eb'Cfi;^

3» er«

I

/

^i f<v »febwum AB in C -r <x

^cmtt, Aber dn ^bfdfmtt ^

AD<AC, fStm feo nüf tem k1 — \ '^^

99fi^itt»-AD. tai ^atoMo-

feammAE/ b#n Srg^njuns

f}B^ tfttn .<pataHe(pjramm CM

hfftii^it!^, «nb^^nKd> liege:

f • fjge i(^ / M AL > AE ip.

' ^ ' • . • . ■ • • ■ ■ ■

^ 2)enn fca DFfo CM: fo liegen Wbe (6, 26. ®.) nm
«ineclep diagonale, ^it^e iol^ ^Diagonale BE^ un& ooSentM
»te ^uif: f(^ m, »eil FQ=GH, ( i, 36. «O FL=
LH, fol^i* FL>EK. Sinn ift ( i, 43. 0.) FLrsLD.
|o(dtt<& iil LD > EK, fotfl(i*, wenn DK ^niufoinmt.
ÄJL>AE, • •

%titxntt gegieBerten geraben Zinitf AB, eiltet jj^ge^«^
Ücti detabfinigen Stgut; C^ ein sfeir^e« 9)d^QÜe(odrotmm.
ju entwerfen; beffen Scg^njung eiium gegebetten 9^^
i^aMefogtamm / D, al^nli^ fep. Seboc^ barf bie gege^
fcerte i&erablimge gignr^ G, nid)t groger fe^n, afe ba*
^araUelogramm auf ber ]^a(6en ^inie, beffen ^g&njun^
Um gegebenen ^JoraUefogramm D al;n(ic^ i%

& fe9 AB jn E |^(5i(t, unb auf EB ein ^ratte(ogramm
EFruD befc()rieben, aücb bäf ^avaUilogcamsit AG Dotten^
m^^frifl nöcb bet &arau^fe|ung AG enitDfber ber G
gM(fr4)tet gt^«* 3tt AG==C: fo ift, n^eit and» £F
ndSp^vi^dKJ^Iangte ge^j^n. 3rt aber AG, alfo auc^
£F>C; fo fe9 (6, as* ^*) ein q)ata((ef0graop Ki^Ä W .
^ ' ttebe«^

6l(^«f6 '^^

■^*?

ScaiQQi< £F Aber C ^Ulö),
iinb t)em D, fo(gIt(^ auc^
Um £F/ AJ^nUcfr ; auc^ fep
LKmitGE;, unb LM mit
OF/ 9(et<!bnaqttd, bei ift/
LK,:LM=:GE:GF. «Run
|jtEFr=C+KM/tinbba^
^erEF>KM. golgli* ijl
(6,2o-3wf. i.)GE>LK^
«nb GF>LM^ 3Rac(>e

GO = LM , unb DoUenbe

tat ^acaUelogromm ZO:

fb ift (6, 24. «0 ZO^KM, unb ba KM/vEF, on^

ZÖhüEP, folglich (6, 26;®.) ZO unb EF um ftaeriq^

JDtdjonote. gie^e biefe SCiagonoU BG^ unbDoUenbe bie

Statte fo iß SR ba« verlangte VaMQelPdcamm*

S)ennbaEF=:C-fKM, unbKMzsZQ: fo i^ E3^
n=C + ZO, folgü* iCi, 3.®0 ®nomottTvX=G.
{Run ifl (1,43. ®0 ZR=OQ, olfo, »enn QR J^rnju^
Ummt, ZBz^OB^ dfo aucbSE=rOB^ unbba^er^ n>eno
ZI^ ^injufommt, SR=:@nomon TVX SoIflCi* l^ SR
rr C Z>emna(i ifk ba« auf bm SIbfcbnitte AR bef^viebene
^(iraaelogramm SR ber gt^c C gleich, «nb beffcn ttft&iü?
iitn^ QR (V ZO ro D.

i .

;3Dcr 29. @a$^ TtufsaJfc

' Kn einer gegebenen geraten £ime; AB, einer ti09%
(erien gerabßnigen ^igur, C, ein gleiche« ^roKetegratnm
an emmetfen/ beficn Ue6erfc|^f <ioem. g^ftmcn ^
rattelogramni/ D/ i^nHcfi [^9*

128

^fWi ^mtm

di fe» AB in E ^aU

hitt, unb ouf.EB ein
98rafii(ogtamm EL ro

C^, 2S.&.) noc^ ein^a^^j,
caUelogtamm GH, bem
EL H- C gleich/ unD bem
I>i folglich auci) bem EL,
i^Möfi unb iiear bag
KH:KG=:FL:FE.

giun ifi GH > EU
8«^lt* ift (6, 2o. 3uf. lO KH>FE, «lA KO>FE.
»fclangeije ba^er FL, FE, ma<bt ( i/ 3. @. ) FM=KH^
FNirKG, unb Dollenbe ia^ ^avaMo^vamm MN: fö tfi
(6/ (24. ©•) MN^GH, unb ba GHr\jEL, aö* MNrvi
EL, folglich (6/ a6. 60 MN, EL, um etnerie9 SDiagende.
git^e biefe S^iasonak FZ, unb Dollenbe bie Stgui*: fo ifk AZ
bai Dcdangte $ara(leto$ramm.

2)enn ba GH = EL + C, unb GH = MN: fo ift
MN=EL+C, folgli* (i/ 3-®0 ®ntmonQRS = a
Slun i|t (1/36- ®0 ANirtNB, o(fo auc^ (i, 43* 60 AN
=p LO, unb bd^ec, tt>enn EZ ^intufonimt/ AZ = ®no^
mou QRS. $o(g(id^ ift AZ = C. S)emn(Kb ifl bo^ oft
AB entmocfene >^ata(fe(o3r(imm AZ bct Sigut CtiiMf, mh
bejfiti ttebei;f(t)ug OPrvELroD.

©er 80* ^a^ ^{ufgaBe/

0.'

^ine gegebene Segtanjte getrabe £tnie/ AB; na(^ ^u
f tgec ^JwpDitipn ^u fd)neibe«.

aRa((^ man (i, 43* 6.) bon AB bai^ CiUdfbivit BC/ unb
MfiMtfr (6, «9. 60 an CA ein bem Cinabtate BC gtdfbe«
9af ottefogvamm CD / befm Ue6erf(t^u§ AD bem jQuabtotf
BC^ai^Mi«^ tft; f9 ij^ AB fo £ nii^ftetiger ^ropoctioii ^
fc^pJtten* * - .. .

jpcnn

&idfm Sdui^'

U9

2$enn ba BC dn OuabmtT ' fo
i^ oifc^, AP ein £lualbtat ; uqft (a
BG==CD; fo tfl/Joenn matt CE
»egmmmt, BF = AD. Sflun
'^itb BF/AD 8bJ4)»taf lig, golg^
W* Ift (6, 14, ©.) FE:ED=
AP : EB. Sinn ift Or34* ©0
FE==AC=AB, un\> ED=:AE. gofgßc^ ift AB: AE^
::;=^A£:EB/ unb, »eU AB> AE, auc(^ AE>£ß, folglich
C6/ 3- ®0 AB ii> E nocö ftetiger Proportion flef(*nitten. /

, iB&in^ anbctt 2bif {ofutig. ®dfnHtt ( 2, 1 1 . @o AB .

in E fo, Düg ABX^E = D AE: fo ift (6, 17. ©.) BA;
:AE=:AE:EB, folgßc^ (6, 3, 6.) AB in E nacfe ftctigcr
fJr^portion gcfc^nittcm ';,

Sit jebeitf te^wtnf lidcn ^rtangef / • ABC , ijl btc §tr *
gut auf ber.bcm tec^tenjBBtitM gegf n äbcrlleacnJ«« ©eF^
Uf BC./bftt i^taMic^en unba]^n(tct) befc^ctebcnett §i*^
guten'auf ' b<h biefen .9GBinW «{nft^(i<genbm 0ctteni^ =
SA'; AC^/^fommen ^Ut($.

, ^&St au« A auf BC bec ^et*

ptmttvÄJbt fo tfi (6/8, 34)

CB :^BA-=r BA: Bi3j^of^tl(fr
(6, aö; ^ttf. ^.) CB:BD == E : F.
giun'iik 'iftu< 'gWcben ©tÖHben
BC:CD=E:G. golglitb tji
(5,24.©.)BC:BD + DG =
E:F+G. g^un ifi BC=: BD
+DC.. .Si>l8U*,i(tau<bE=F+G. ' •

^glän Wlbttttl^75etpti9. ' S)a bte Stauten E> F, G, &^

\

9(ei(bm 9t&nb(n £:G:
€«niH (Rm. IS Sftc^tf.

aBC:aAC. ..Soigüd^ tjt'

(5/

3

13a €uf(tb'0 Elemente . &t^e$ SSia^

t(R Attcf) i^re @cunb(int(n BC^
CK gleich, -golgfi* flnb ( 3/
24.6.) tie 91bf4mitte ^(eic^.
Ron mt aGBC=aGCK,
fotgUc^ iinb (i^ 2. @.) tie,
irt<«au«f*nitt« BCG, CKG

KLG, einem in Reiben Sb*
l^nitte CKG,; BCp glei(^,
^o(d(i<& {tnb attetccpWiuJfc^mt«
tf gleich). Qbtn fo f>cwetfet
man, tag bie ticep 9(u$f(^nttte.<
EFH, FMH, MNHglei*
finb. S)etnna^ ift bec ^uit
fc^nitt BLG vom «uöfc^e
BOG e^n fo vielfach, «Ai ber
IBbgen BL vom S$ogm BC;
itnb bet «u«f<^ttt ENH Mm
S(ttlf(()nttte EFH eben fo i>itU
fait>/ oU bec Sßogen fiN »om
flogen £F. 0)«w tft, wenn .
BL ZEN , oti* BLG 21 ENH.
BC:EF=:BCO:EFH.

hieran«/ tmb Cs,f.u^i) «c^et^ ,ta§ W 9tiitwts
.fdfaxttt BCG^ £Fi^ ft(^ au(^ ivie bU 8Mnfe( BGC, fiUF,
Mt^Iten. . .

8c%(ii^ ^ (5«' 5. Ca

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,-^ ~ -^f %3i

* «I I ■— ^i^y^^^—— — — — MMM»i

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*0 ^ . .

1 '

f , iSDie

^ r f I d r tt n g e m

: r

^\x9Qvlt x^f nac^ n)ef(^r jfbed ^ttts £uts

2. €ttie §a|^I aber; eine oudSinl^eiteti (efie^^nbe SRense»

3. QmC&eJi t{lbief(j^aiere Ba^( »on bec dt6^ern/ t^enii
- fic bie gt&^ere genau miffet ;

4» iStn 3r»d> a^r^ tüetm fte^ cl^ite ble ftr6gere senaii'
^ -jumeffen^ $l^ei(e ber arö^gern entl^ft.

5« SmXTtelfdcbee ifi bie 8r&gece3ä^ bon ber f(einea|^
ipenn fie bon bec f(einern genou den^tffen n>(tb«

' ZUm^ S)a< t>te(fo^ fotDo^, af« berCMI, n^itb
/^. nac^ bet 3a^f benennt; na^ me((bec bo^ ®c66Me
«om Stiektefn semefFen toirb/ t^elcbe ii&mti6 «nseigt/
tvie t)ie(ma( ba< Stlekiere im Ot^gecn cntbAken i(k«
3. @. 1 2 ift baf iDeei^facbe t>on 4 / nnb 4 ber britte
%^^\\ t>Dn i!^^' tber ein ^tt^eit.üon 12. ^tr
"^ . ^ruc^ ober »trb nacb ben Sohlen benennt/ natb
ibettben bi< beiben ungletd^en Babfenoon tbrem 9t6§5
ten gemeinen 9taa§e gemefFmsioerben« . 3* 9* 8 ttnb
13 n>erben ümi bem gtoiten gemeinen 9Saaie 4 1^
bengobten s nnb 3 gemef^n; baiieri^etit % (toe^
JDrittbeile pon 12. .

■6* ®iie gerader 5<t&{ Ifl, »efc^ Wbtrt n^erben fottrt;
7* (Sine tms^Atfc 'aber; welche m4;t|fa(birtmerbenfann|

. .' •■ ^. ' -3 3- •■•'' ' • ober

134 Cülftt*« tMemente

obet wefd^e bon dnet dcroben 34^ ^m SittS tmtef^

fc^teben tjl.
S« (BferaOemoI gerabe tfi bieS^l^O n)e(c^e bon tim^tf
toben 3ab( nad^ einer getaben ^af)i geme^nifÜrb ;

9* (ßerabeffialungerabe a^et; n)elcf)e ton einer seraben
^a\)l nad) einer ungeroben 3ä^( gemeffen n>itb«

to« Ufii9era&citui( tmmtabe ifl bie 3<t^^ ^l($^^ boit
einer ungeraben ^af)l nad) einer ungeroben ^af)i
gemeffen trtrb, . _; ; .

II. Sine primjfat)! (emfddbe 5<<&I) ^f^/ n^eb^ur
t>on ber Sin^eit denteffen tt>itb* .-.

X3e primsaj^len 3u etnanber ftnb 3^^'^^/ mt^ nur
bte Sinbeit jum gemetrieH aRaofe ^Ben. ?

i3* Sin^ 3ii^ilime9igefeQte5^ if^^ n)e((^ bbn iraenft
. einer ton ihr terfc^iebenen gal^I gemeffen tbirbi

14. Sttfammeiigcfe9te5al^^ueinaitbrtftnb,wer(^

irgcnb eine ^Qi)l jum gemeinen SW^ioge ^oben*

15« (Sim 3^61/ figt ittah; i^ri^ielf^Itfge eine anbere^ldeo»

• teuere fbbft; (t(8 erflere Sinbeiterfbar; «^ufammeitne^

.nommen, eine3ai)I (boi p»©biict) ^ertorbKjwg^

i<« 3Benn ^«ep 3Ab(et) etnattber terWlfifttseh :'" fo
nennt man boö.^robuct «iM :benfe(ben eine gt^
dtmioi^l, unb@ettmCJSMt9teit)ber(e(benbte
. 3«^^^"/ »efc^e^eihonberberweifißijien.

'17* f&Benn bre^ 3^^^^^ ettumber^ 4}erbie(fa(ttden: fo
nennt mon bod 9^obtf€t axii b<nfe(ben eine ^ot^
ptvictt^l, unb^tnt (^octOMit) ter^{ben bie
3^»Men; welche einanber tjettoiielfitttgw. :

"^9. @ine (CLuabfiiQal^i (<DitMt>rar) ifl bat^Jrobuct
CU0 jmepeleic^n 3<^^^^nr <>^flf miterNiwep gleichen
Sofien entba^eti.

!l9» 1S^»^ <£ttbi^a^ (XViirfU) aber i^ ba« ^r^itct
. autt c( eu .)tiaa)i?n ^a^len/ oter unter bret^'9fctc()eii
' . 3ö^l^n enr^öfte». ' * '^ ^ v ^ - - ■ • r.

5tO. PtW

ao. ptepoi^onm f[tfb 3#^/ wentt bte^tfle bon ber
. ffov^tfn f unb bte brtrte boit bier iHmtUf entmebec
■timtUi) ^ieifa^tif vbcc mixltj^ !^eil/ ober etne»>
lep 35tucfj i(f.

pxopomenittt @tittn paUtu

l<n iufamwen 9ld<$ i^. .

C..O...D •

E —

9Betm (ep jtoeQ ungfetc^nBo^f^Rf -^B; C^/ M Si*^
itkr* i'mmec'foct bom ®N;6|mt loeggenümmeit toitb, ttnt^
trr 9t^ nt(^t e^.«r, ü(4 bU er bte ^inl^ett gcwotben, bU;
ii&(^|le3aD( i>or t^m ^nau miffet: fo ftnb ecflgebdclite.
3a]^Ien ^Jnnija^Ien ju einanbec.

SS&(fsAB> CD> m^%ttmt
soften inckiasbec: fom&gtenfie
frtenb eine B<^( ium gemeinen
9ta«|e ^en. S< f^ biefe 3a^(
E, unb ^ laffe AB »onCDge« |
neffto bchlReii AF<CD; CD wn AP «emeffen aber bett
Sfefk GC<AF; tinb AF »o» CG g«tief{im lum SRefke bie,
tUi^AH.

JDa ^lema<b E bie CD, tmb CD We BF «Iffeti f» mfff*
E Me BF, obet aiub Ne ganje AB, folglicb ben »efk AF.

!D0 E. bie AF, unb AF bie OO «Hfet: f» miffet E bie
DG , cbtt Ättcb bie gänte DC , foldfi* ben «Rtfk €G.

<Sm E bie CG, unb CG bie FH mijfet: fo miffeit E^
TH, dbetftwbbie ganieFA, folgli* ben «eft AH, olf»
eine 3<i^l Me «In^eit, twieb« (7/ 3.«-) «'** <<9« '*™^
JDemuUb ^«»«n AB, CD, «eine Bebt i««« gemeinen gRa«K
iinb finb «^ C 7/ !«♦«•) ^mi«(>Un ju einanbe«.

34 ®«*

.'3*

igviW>*4 J&miiiit

■ I n

/

-^« ^

i

.^LV-

I

G —

', ©er 2. @ä|/ 3lufö«V«iV ' x

9)ninia]^(en ju etnanter ffitb; td^ gr5@te gemeiite ^atifj
8u ftnD«n»

SS^ntn «jij)n fett gegebeitm ^^Im fcie
{(dnecrCD/lbiegtr&tere AB genau iiil{i^

fet: fo tft fie, toeil fte ouc^ fid» f^H^

tnifTet^ ein graietncd 9R<ia§ oon ^iben ;

«f enbac ober au4> to« dt6f te, to(i( fdtie gtiftfiece gi^t o(f

CD We CD mejfeti f optu - ' ^

3»cj)tet Soll.

®eint ton pcn, fiegebenen 3a^^
fentiefleinereCD^ biegt&^eteAB^
liicbt genau miffer^ mit mdiiriiimmt
ta^ SHeinerc tooth @r6§etn immec
tteg, 6i« ein 9tefttommt/ toefd^er
lfie.näct)^e Ba^( t>ör i^mdenon miffettjo ift tiefer IRtftctail
8t66t? ^^njeinc SSaüg- be? gi^gebenett 3a^Ien AJB , CD.

S)enn Va 4^, CD, nx(bt ^rimta^Cen {u ethanber finb : ^
lann cbgebbc^ter Steft (7^ i. @0 nicbt tie (Sinl^eit fepn/; «t^
ijt atfo eine 3a^L SIlun (afTe AlB ton CD gemeinen gum JKefke
A£ < CD, ttnt CD ton AE gemeffen jum 9te(tt tie Btt|(
CF, »elcfee tii? nicbjjie tot xf)x AE genau nwffe»

2)a ^iecna* CF tie AE, unt AE tie DP nüßt: fö miff^
GF Me DF, öbec auct^f1* T^fr/ folgii* tk «artje^XJD*
S);v ferner CF tie CD, unt CD tie BE miffet : fo wiffetCF
tfe BE> aber au<^ tie EA, folglich tie gan^ AB, ]Dem^
itad) ift CF ta« gemeine ?Wia§ »ec AB, CD.
■ ffiire nun CF bliebt U)v ^v^ßte* gemeine« ?Waäf : fo fit>
H G > CF. 2)a G tie CD, unt CD tie BE mifkt: f?
miffet G lU BE , aber au^ tie ganje AB, folgticb teii Steft
AE; S5a ferner O tie AE, unt AE tie DF miffet: fo
miffet G »1e DF, aber mK^ b(e smifCQ, fol^lU^ tm

IRejt

»efl CF, tt)fl*e*, »eil G>CP, iintfi jglf* (fl. Tm^
m^ tDctben AB^ CD> m tmct cf^b^ttn ^^l altCF ^i

w^, ;)fn%i ift ülf^ CF ta< gtifite gemeine fDlaog bet)
AB, CO.

hieran« errettet, bö§ eine ^a^, »e(*e jtwp ga^Ien ttrifi
fM/ - ou^ tai dtößte gemeine !Raa§ tetfelben m^e«

As B 6 C 4

^feep'öe^rtftieSo^Iett A, B, C, »elc^ triebt gjtitm
sagten iueinanberftnb/ bal gr^^e gemeine S^aß jti
ftnben» *

> 8tan ne^( (7, 2« 00 f&t A unb B tai gt&§te gemetot
9taa§D: /fomifTetD.eittmft^aiii^C/ ober mc^t

griffet D Qttib C: fo ijlb ba«
gt6fite gemeine ^aa% bet \A> B/G«

9)la4§* !8&ree«nttniH<&tbof:g(6fi^
Mj lonbem eine anbete ga^i E>D: fo mfifite E, toeif
fie A/ B/ snijfet/ ( 7, 2« Suf. ) out^ beten gr6§te< gemeine^
3)1^06$ D meffen, t9e(<betf/ toeU E>D, unm5gU(b ifi:.
Semnocb »erben h, B/^/ DonJPeiner gr6gern ga^I otö D
gemef en , itnb ifk dfo io l%> 'gri^^ gemeine SRüai ber
A/ B/ . C»

Szepter gatL

ÜÄlffct aber D ni<bt^ «ucfr C,
nnb man nimmt (7, 2.'©0 fftrD/
C , ba« gt6fite gemeine {Raofr^E :
fo * ift' btefeS ' IcA gr6§tc gemeint
9)taa§ ber A, B, C. . ,;

JDepn ba A, B, C/ nic^ijJrimia^Ie« $ti einänber pnb>
ulfb Höh itgetib «iner^^ai^t getti^eii.»etbef(i^ fö^ mifftr bief^

3 5 m^

A xg B 12 C 4

.'1

138 eum'i eumwu

A 18 B 19 C 4

D 6 U ^ f'^'^

S^W (7/ 2/3«f.) an6> Me Do»

hai gc&file gemeine ^aa^ bet A^

B; obet aucb bie C; folglich D

itnb C. 2)emnac& jinb D, C, feU

ne ^mja^Icn ju einanber ^ :4inb '^oben (7/ 2. G«) ein gt^

M gemeine^ 9Saa^

2)a E bte D, nnb D bte A, B, nriffet: fo müfet E bie Ai
B, aber Qucb bie C, folglich A^ B, C, unb tft atfo ein gememef
Sflad§ biefer brei) ga^fem

SBäce nun E rii(bt i^r gt&§te< gemdnci 9ltM§: fd fep^ei
F>E. ©a F We A/B, miffet/ fo miffet fle (7> 2*3tiCr)
tecen gc6ßte0 gemeine« Wlda^ D^ aber auc^ C^ fofglid^ (7/
0. 3nf«i) ber D^ C^ gv6§te« gemeine« <Rda§ E, mAtbti, Mil
F > £ , unm^glicb ttt l^emnoct^ »erben A/ B/ Q »on f lii
ner gr6§em ^afyl ati £ gemeffcn/ unb ifl olfo £ iai gr6|tt
gemeine aRaa^berA/ B/ C.

{)terou< er^e6et/ Ib4fi eine ^a^f/ loif^^ bre^ 3<^^ ^^/
iittcb ,ba« gr6§te gemHne 9tao§ betfeiben^^

fiuib erf!e{)et man/ ba§ man ffir mehrere ^a^tn M grify
le gemeine SWaaf auf eben;Re Art flnbe*

\'

. 3<be fletnete3a^(/ BC; tfl tntwAtt tint^^o^tt tin

ciiumbett/ unb man )(r(egt;BCitii^Ctn' (»**»»*•
^tcn: fo i|k (7, a. (S.) jc^i? (Sn^eit bet B . * ♦> « C
BC iHn X^eU bet;^^ folflfk^ cnl^ BG^ |

eiAtnH6 fRu^

nf

6j«b ÄÄer We betten go^Ien nti^t ^ rimjal^fett §u ehidnber :
fTtolcb die gv6§ere von (er f (einem ent»eter genau semeifen^
Itev nic^ i

©irt A wn BC genou flemejfen: f{ ijt 1 A '. ♦ •

(7/ 3* 8.) BC ein ^eü fcet A» f B • . • • C

;^: aSrb ^fngedenA ntc^ txm BC ^e^
meifen: fb ne^nw-nKtn (y, 2. @.) bei^
tKT jtiSteö genietne^ SOtaag D, unD
inlegie BC in i^re bet D gleicbe J^etle^
Bfi/feF,FC, IDdDbieAmtffft: fo

gtjC7/ 3* 60 D/ folgli* au* jebe ber
. E;, BF, FC, ein ^til ber A, 2)emttacb entölt BC S^
tet A^ unb rft ä(fo (7/ 4. <S0 ^ S^(& ^^ «^

®er 6. @a$. iel^rfof.

@(nb ito(9 Bo)^I^n/ A, D, Don ^»(9 (inb<nt; BC^
"EFf «inetUp $l^et(: fo ifl ouc^ bie @umme bet nfleti/
A+D^ t)on bir <@umine ber «nbtni/ BC+EF^ bet«

f<lbe,$^.e«.

A ift t>«n äO (in itU^et SH^ «fl
D oon EF. ^0 »kU bec A 9l(i(b(
t^d(t a(fo in BC, f» »{e(e b(t D glei«
^ :{^(Ue fmb ibt EF. Sttfe^t man
bii^ec BC in tie becAgidcbmil^Ie
BG, GC; unb EFin «ie bec D jileir
^ it^die EH, HF : .fo finb jeMt fo
mt, ati bicfer, Slun ifi BG=:A, rnib EH=:D, offo
f(G -f EH = A <f D ; 4bec Aa< benfeiben ®c{bben au(b
iK^+HFcA'fD. Sol9li(b fo eieb bec A gleiche $^dfe
in .B(: finb, fo t>i((eber A -i- D gleicbe t^U« finb in BC 4 EF.
.60 »ielfacb bernnoib BC i»on A^^, jebeh fo bidfacb tf^BC
•f EF »Oft A^E^; fsldbcb tft.A^-P betfeibe 2^Ht m BQ
•t>i;^, Ol« A von BC/ ^(S m ET.

©er

B..,G...G

D... .

JSi • « • ««Jn « • « 4^ f

14^

e»tliVi &mmt

©et 6. ®*|. «e^tfaf;

• 6hi^ iwep Sonett, AB, DE, t>on }we9 onbmt,- C,
V, einttki) ?&mi!() : fo tfl aud) t)te@umme ber erfieit>
AB-i-l^E^ toon bec ©umme bet onbew, C+F, t>tte

AB ifi ton C ein fofc^et S3ruc&/
o(< DE t)on F« Co üiele Steile bec
C al(b in AB^ fo oiele e6en folc^et
JJI^eHe üon P (inb in PE» getfeflt
wanba^erABinAG, GB, ottj^eilc
D«tG, unbDEinDH, HE, al<
%^\U ber F: fo ftnb biefet fo ^itlt,
IM jener. Sßun ifl AG t>on C ein folc^er 2^ei(/ cXi DH
|)on'F, olfQ (7, 5- 60 AG 4- DH ein fo(c^ S^eil Don C
^ F, oXi AG t)on C; ober ou« eben ben (ScAiibeh GB -f.
HE, ein folcber S^eii Don C + F, a(( GB Don C. Sol^lic^
enthalt AB + DE biefelben Sl^eife; obet ift berfelbe S9nt(^
kon C+F, otö AB wn C, ober DE t>on F,

A » « • O • < # B
c.

F

©er 7. ©a$. ^e^cfof.

' 3fl eine ^cüiU AB, ttott einer anbent> CP, ein fo((^er
%%i\\f atebo^^^senommene, AE,toom^egdenomniie»
nen/ CF: >|o t|l au^ ber dteft, £B, «om Stefle, FD, etit
|b((^ec %^\, cM bctö @«n|e, AB, \>»mr@an5en/ CD.

, ©le^e eine 3a^I CG | i' ^ • „
fo, m AE, EF, Don -«^ ••••*••• «
jCaP/GG;etherJe9 J^c« .| ^ • ♦ . ♦ C ^ F . « .-.©

f«b: fo ifk (7, 5. ®0 ( «*

V^B von FG ein folt^ec $$e{r, «f< AE Mn CF^ ob» o» AB
«Ott CD; folglicb AB »Ml FG unb CO^etlrpS^eU; fol^ifii^
Fp.= CD, fb(g(t<b/ n>enn man CF wegnimmt, CO 2t
3l?D/^mna(b tfi betSt^EB ooffl9lff|teFDdnf«((ber$^,
«11 AE »onCF, obec «iÜbi^Oanie^, Mmdanicn CD;-

f I « <■ i( »

l>

C ......F. .D '

G ♦.♦*♦. M .• K •♦.♦..• N . . H

^er 8. @a^ £e6tfa$. .

3(1 eine Sa^f/ AB, ton einet onbern/ CD, ein" fofc^ec
IBtud^, a(d ba{( ^Sesdenommene, AE, bom ^eggenom^
wencn, CF: fb ifl au* Der Dtefl/ EB, bomJXefle, FD, eitt
fo(4>e]: $ruc^, ate tQ$ ©anje, AB, t»om ©anjen, CD. ' '

' ®r|e eine S«^!

CH = AB: fo

ent^Mt GH von

CDtiefelbenil^eü

(e, aii AE oon

CF. gerlegt man alfo GH in GK, KU, ali Steile be? CD;

mib AE in AL, LE, atö S^ei(e bec CF: (i) (tobbiefeil

Ä^eile fo »Kte^ al« jener. ' " •>

»a GK oon CD ein fofc^et j^eif i|V, öW AL.tton,.C?;
«bec CD>CF: fo ift ouc^ GK> AL. giWmmt nwn nuir
GM= AL: fo iji OK »on CD ein fo((*er ü^tU,. ol« GM
von CF; foi^ict ( 7/ 7. ©• ) bec «efl MK 00m »efie FD
ein folcbec Si^eU , al€ bie gan}e GK »on bec gan}eii CD;:

T)a ferner KH »on CD ein folttec !l^ei( ift , cü LE «bn - >
CF; aber CD>CF: fo ift au* kH>LE. 0«mmt m««
mm £N 3= LE : .f» ift KH ein folcbec !{^ei( oon CD, of« •
KN oon CF; folgfi* (7/ 7« ®.) NH »on FD ein f»l<K- -
Jt^e«, a»KH»onCD..

2)emna(^ ent^t MK + NH »on FD biefd^ .tJ^eiC« •
0» GH oon CD. Sßun ifi MK + NH=EB^ «inb GH
== AB. $o(g(i<b ent()&(t bec tXeft EB eben bief^jben .S^eiie,
ebec ift becfeibe 4dcu(^ »om f^ FD, a(f b((«.|@<Wie A{|. .
»om ®anien.CD. . : ?:

.». -^ . » -■>

©et 9. ©0$. ««i^ffaf.

^eiiu3<^(^ A^ ton €tn<[i: Zobern ^ BCrbetfetft
Z^xl, cii txxit t>xxtu p P/ . tooti f iner toiecten/ ^E: foi^

»4«

®ifhVd Elemente

mUt btt^tlhe t^etf ober tetfel^e fdcuc^/ <äi tit imi^^K,
BC» »on tttmttm, EF.

A ifk dl) foU^ec !l^d( »oo BC^
f(^ D twn £F^ m'b ti jd» A<D.
Ä iKefe tec A gleich ifytile a(fo
in BQ fo oiefe (ec D gleichen Steile
f nb in EF. gerledt man baf^tt
BC inbieltei: Agld(ben:i^{Ue, BG,
GC, unb EF in bie ber D c'd^m
S^dK/ ;feH, HP: fo ftnb biefer if)tae f» eide o« jräee.
^ a(ro BG=:GC, unb EH = HF: fo ijl BG »on 1^
cntwcbec berfdbe X^^l, ober becfelbe SSntcb^ als GC t|^
HF. golgß* i|t (7, 5. 6. ©.") BG »on EF entroebec bee^
fdbe Z^tH, obec becfdbe fßcuc^^ atö BG t>on EH, obcc.
«M A»»nD«

■V ▼ w ▼ W f

X!« • # «. ♦ • aX # • • • « Jn

i' s ^et 10. @«|. 2el^tfa|.

9lfl<ine3«'^t, AB, Don ein«t öttberti , C, beffedl
99nK^ <il6 eilte brittC/ DE, »on etnee to(«cten> F: fdi0
«nc^vmoeci^feltbteerfle, AB, twnbet btttten, D^
«moeber betfelbe Sl^etl'ober bei;f((6e SÖm^} «H tM
.f»e9(»/ C, t>ont<cbtemn/ F.

AB ent^t «on C biefdben

^eüt, «KDEoonFv unbe«

ftp AB< de; getieft «an affo

ABiirAG, OB, aI«t§dIebetC,

Mib £m-4n E^) H£, äU $^i(e

b<e F: fo finb biefer fooide, <A€

jener. S>a alfo AG oon C ber« j

fdbe Z^U, a(^ DH MB F: fo i{k (?/ 9- 9.yvetwcd)lßt

AGDon DH'entwcber berfdbe X^tü, ober becfelbe iBmcb/

m^'^foaf^: 9tM ift auf g(d(ben ddbben GÜB »oM HE

«ntwtbitiberfe(t»t|«tf/ ober berfdbe t3ni(&^ att C MfiF.

2bf|ii4i^ i||iC?/ 5^11; «i) ^ «on DB (iitiMHc^ta<fU»< 3iMk.
"■ •'{ ober

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F....... ;.

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eUUnM Sü^.

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•(et Ut^^ 1^^, aii AO Mn DH/ tin od GB doii

I

2Dcr 11. ®^^ £e^rfa§.

ba< SBeo^ettommenf; AE^ jum SBedgenominenftt;* CFt
fp \>^tWt M aud)bergtefl, EB^ {umStefle^ VD, n)iebQ#
@att|e/ AB, |um©a«jen, CD.
■©aAa:CD = AE:GF; foift
(7, ao. e.) A13I Don CD beigibt
Z^\, ober fccrfetbe Scu(&/ öl« AE
twn CF; folglidl^ (7, 7. 8. ®0 au6> ^
fiB i»on FD btrfdbe itl^eit, ober berfelbe ©cucb/ «tt AB
iwii^CD;: Solgli* i|i (7^ 20. jSL) AB:GD=:Eß:FD/^^

A«««ftEI«fB

»-.' »^

A i
B3

c;4

. • " •

©er 12. ^ö$. 2e^cfo$.

&vb mt^tete^afjUn, A, B, C, T>, profortiMiirr: f»'
l»erl^a(ten f[4<tUe93otbet9(t(&eC/ A+C; ^aüenJ^nk
tergfiebecN/ B+D^ wie ein SOptbergUebi A/ . iu. eineot
^intei;0(iebe / B.

2>a A;B=C:Dj fp ift (7, aa. «.) A

^Mti B ein folc^ec !l^eU t^tx. &0t(^^ aü# C

"wo D; folglk^ (7, 5« 6. 0.) au(& A+C
»onB4*Pir(tfelbeS^(ot>erec«<^/^a($A . ,
»on B, f ol8li<<> ( 7/ ao. «.) : Arf C : B + D =? A: R

®tnb t>iet3a^(en^ A, B^ C, D/ i>ropoAiPQtcii&>'|ln^
fie au(^ txnvec^feU pcopocttonirt.

2)a A:B=C:.D; fo ift (7,30. 6.) A
»Ott B tin fofcpet $f>ei( ober S^cbv (i(* C

»«üi P/ ftitl^ «tub (7/ 9« lo* ®0 «et*
iai?^ci}fel( A «on C ein |»((6e; .!^j^ tibftt. , .
9ni(^/<M B »on t>/ fofglK^ (7^ ao. 9.) AC

A 3

C «

BtD.

®e€

i

144

(Siüiitfi ^mmt

• ®«r 14. @,o$. ^e^irfof. • . • • ' •

©inb mcl^rcre 3<»^f«n f A, B, C, mit e&m'fo'-btef««''
anberit/ p, E^F, geordnet pcopornontrt: fo (tnb jte
ail6 ^eitt (ßtctcteit proporttonirr.

;Da (5, 19.«.) A:B=D:E, unb
B;C=E:F; foi(i(7/i3.©0»ettt)edj*
fcItA:D==B:E;UnbB:E=C:F, folg;

lieb (5/ II. ®0 A:i>=C:P, folgllcb

A 9
B 6
G3

84

F »

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. •» -r

. t

:•■ .. ••/;!?

©fr 16. @0|. «e^cfal-- '

SRij^t ^t« ^tifytitf A; «in« 3oi)(f BC, unb bie
3at)I, D/ «ine äribere, EP, md) einerfcp gafef: fo
inifferwttwdl^fell Wi ®n^cit, A, bre bcittc Sa^f, D,
unb bii iw<9t|,. BG, bi« vierte/ EF, mt(^ ittf(i| ftnet$t9 '

- !Da A in BC fb oidm'al att D in EF :
fo ßab^ wenn man BC in i^ce @in^eiten
BG, GHf HC, ttnb äPiii i^te b» D
flieitbcn S^iie EK, KL, LF {eiftgt bie;
itc fb «t(Ie>.d)E» jei)e(; ätub tft BG: EIC
= GH ; KL *: HC : Lp, fei^lltb "
(7, I a.'-Öd BC ;E^ S: BG^ EK.: ißnn : .
iji BG= A , unb EK = D. 2)emrioc^ fjl jBC : EF =
A:D. SoIdlÜb'tntifet (7, 20. $.) A bi« D unb BC bieEF

A . V

B.G.H.C

E . • K . « u* • F'

• > .r.

: ' iöic^ie, e;^^ :^;0;f 4;

• »' . •

*' SBenn4)oii^ 2toet)t3(til^(«n,fA^ Bf jebe bie anbete t^ei^ /
»irlfalt^t : fo^^fmb *Uh^ßtebmtf^ßyJ>f' eimmber sfetcft; ■-

' t

Sil'

2^

i^teieitf« f^ü^

»4$

£ 1

Aa B j

SDa C=A.B: fo.lfl Cf> »5. ®.) Ke ©n<

.^ £ eon A dn folt^ec :$^rt(, a» 6 oon C^

jNpB(^ (7?^5'®0 £ oon B ein folcbei- 2^ei(,

^«AwttC. ©un iji/»eUD = B.A, «u« Je 6 D6
glm^ ©cänten £ t>on B ein fo^ec 2^, (

«|S.Äj»on D. 3o(flIi(i^ iß A oon C mt> O emeciep $&eiL

S>er 17. @a#. £f§rfa|,

x' Ifficrin eine 3a^, A, joep anbere 3«^^^««^ */ G, «^c:
«ifff&Iridt: fo »er^afcen \x<if bie 93»bufte, D^ £^ tote btf^

^D=A.B: fot{tbie$tn^ritFt>önA| ■■\

dti f9A^c S^eiL/ a(« B . t>on D ; folglich ( 7,
aö^tf.) F: A=r B:D. ' 9}imi i^ mt gfeic^en
Mbi))(n F : A =r C ^E. $o(9li(^ ifk Cs>
ir. ^)4B:D=CtE; fofflgc^ (7/ 13.««^
«mÜM^feit B: C == 1) : E.

I

. Aa

P6

• *

.-■.«•>

. • . ©et i?.'^tt|-- tflHfl^' i .• ^, «1

ß^ilK?/ «7.^0 A:B=DiE,

'IStttfebift^^W^ A, fi, C,D, ptoportiontrt: foifT;}
ba« 5Ji»btict ai« b<n iugem , A M / beni ^tpbäct« aaff
ben wittfern, .B.C, gfeic^. Unb i(l bou f^ftbu« cu«
M M«9i»r;A,b, b«tt3>robuae ou« ben miftNr|t<> «.t^'
0W(fr»;f? jtnb biebwtS^teii/ A, B, C, t]i> j>töpmionkt

• .-.

X

14«

fiifltb'«^^ ^mmh

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A6 B,4 Pl e^s
E la Fi« O ig

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}• f

■i

i«rr9A:BsrG:D^ «nb
A,Dq:E; B.O=F: fo ijl,
iKnn man A . C := G fe^t/
(7, 17.6.) G:E=C:Dunb
(7, J8. ©.> A : B = G:F; fol^m (5/ «i. 6,) QiM
=: O : F, foraIi(|> (5^ 9. ®0 E=F.

. ff fep A . D?= B ; C> »tcr^ tuM^ »etiler foaftawliiWr
SssF: foi|kn»icbnttiitC:D=G:E, ba«ifk> CtOas
C: F. Shtn ifk «»(fr A:B=0: F,) fotgiicfr ( 5« 11. «i]^
A:ß=C:a . , : .

©er 20. @a^ ^e^tfa^. . • ,* *'

■ » -

.'C^tnb brep 3<>&Iai/ A; B^ C, pcofwrttonirt: foiflM
^buct aitf bm: iu|ern/ A.C, b« £luabtatia(4. Iw9
Mittlern/ B*, gfett^. VMb ifi ba< 9>co^t<c(> ^M^^
iu^ern, A.C^ ber iOuabratja^I ber mttt(etti/ B^, Ileitis
f» fiab bte brty 3<i^' ^/ ^f G/ ^poitioliuet.

9$ fuf AtÖ;;r]B:0/ tinb p^dti fe^
B=sD: fi» i# <)U(fr A : 6 = fit : C;.
Wieb (7/ ivw«|,3 A.C=B.D, «bct
B . = ß» , fW8Ö«fr A^CssiK

■ ■ * .

•i f(9 A..C=5fi*/ obK/ -wu^ j»Mi8« ConftoKtbn^
A^CcB.D: foi||inicb(tvm4:B~:DtC, «tccl^^P»
1oIj««fr A : ft SS B : C ■ ^

t£»er 21. @(»$. ^e5tf«=J.» •

' fOitlitini^enQa^Un, CD, EF, tit einer S«rjSftti{g
mirffm wbttt Sa^tn/. A; B, n>eld|e bufel^e för^^icnfj

/7

^:&ithmi$ SBufl^.

JI47

A

C • • • G • • A
£ • • H • F. ?'.j

> •

.V

^Un, naäf eirtetfei^,3a|I, bit grJpere, CD, bi< grfcgeire,
A, unb bie Heinere, I^Ff.bielUwertynjBL . ^- ^

'^ ^'»ll 3Ä^l C§ ift t % '4- .®0 ehtiwbö
ädili^eU^^ obVr eiit^iSiud^ wn ber ga^l

A. ®efe$t, e< n>&re ba< k|tere: fo
StoSä (T^SDi^O'^CDoon A.ein fo(cb<?i;

etu(^> M EF ^n B. Serfegte mm

dfb CD in CG , GD , m Steile bec A,

«nb EF in EH, HF, dl« Steile ber B:

*4b'lk>kiMi{ereil*f0iNde> «U jener, mb ef m&re CGsäSD,
ir«ibEtt=irHF, olfo CGVeH ÄzOD; HP* Sotgip^
iMttrei^^ (7/ ia* ®»^); OD: EF ==: CGxBH. S)emnai(ft »^

ten in berfelben SSer^ltni^ no(b fleinere Sal^fen CG, EM,

Ott CD, £F, i^eld^e bte f (etnften finb. S)di ntin biefe« un^

wbi\U^ ifk: fo%iifll OD ^eäi^Qk^^lNMi ^A jpe^n, unb tft a^o
tC7/i4*6.) ein if^tiimn A. !&rrfdbe$J^( iftalfpCf^s^A)
: pa^ £F t^oii B.. ii$i^ «iffet OD ttc^> ^ EF.bie B,

-'.j

>v , .

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. .- - . I

@mb mehrere 3aiK«n> 'A, ^, e, mit eben fobirferi «tu

2Ä ^^, 30. qj.) ijB=s:"E:F; tinb-SVCTl
=D:E; fo ijt!<7^49. «♦) 4.F)*ii,F:»
?=C..D, fo(gU*(7; 19^«.) A:P =

" .- V« /• - ♦ * ■

^j'.. •;} ^s 'ii;j 0^;».

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CT 25. €>a$. 2eftffl$^, - ' :'V:'

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eafttt'» BInttmte

®&tm ni<$t A, B, fonbem ffeintce Soft' * J "
Im «1« (i< C, D, lit n<iil(i(n in Mtfet SSta "5 " * -
SillniS, tia8olfoC:D=A:Bj (omiffet C— D —
(7, fli. 8.)C tit A, iinb D bieß.noi^ E— ■

«iactfeff 3a()l E. Soffltiit witb aucb E tite
Afldc^ bit Sa^ C, unb E bte B na(& txt ^a^ D niftfft
jbnanat^ merbm A , B, jngldt^ oon ein« 3<if}l ^ SraitfOV
«xUMf ba ji( ^Mrngaftlm ju manbrt fmb, ni(6t mifllit^
ijL gotglid» git&t .(« feine 34^1), blf lieinn «1« A, ^
' iDitei, :unb d ni^icii A> B, bi(, tieinflen in i^ VUff

v»^ f-w. ; ■ >; .-■■■»

~ . ■ . ... s!)eii!i<t'|5ätr«e»tf<.$. ■ "^

tiutlaiiflmSiüiat, A, 9, lonVolkn, ntl^ta^t

' ilnM' «uutlet) Sn^linig («(<», fiiib ^miaiiat i/i

.WMtlIMCj' ..; - .1 •■ , .■ !-:•

, ^ esllini tu,' ^HUil f<im|it^,|it <iun>

feictf •fcCtnei^ iegenb eiiic ^a^, C, bie A

IW^D, unbbieBtunbK. gelglicb n>^tc

0'.0c= A) »* e, 8=:B, Wuli*

(7, i?.6.}D:E=±A:B. E«nl>«»is

«en la bet tSeMMt As B «Mb deini^ ^n D, Ei'^neb

r.b()>.«Mewn^^Dibei^(bt, galili^lifMLA,
nm rdnn'jäc til^ift» yetIMt wb^ IM
intlen jK eiäaäHi ,--- ■ ;-'•,-.- y' ^'-^'^ ;-■'

Si*|i«jgf&*,'Bj'^nm{<i5t«:jHeritaiit«tVp
if 'ie.ortt/ C, »elilireiiie »6^ ieiiciv Aj Wiff«^ dw
gjtimjü^I ju^fc<canb«n, .B. " '^ ' ^ " ^^ —

D-r-E.4

tUÄeen B, C> mcbt-^rioija^fen.iu.eini

«ibey: fo »ücbeii jie Don eiiiec 3af)I D je».

\^e(fen. Da alft S bie C , unbCbitAi:

^l^et; fp miffttau* Dbie A, oijec an*

bie B, ftl0liiS A.ulib B, 'leefctrt C7/ I i . *5 1'

A 6 . B s

*49t

moti^ic^ \^. . jE>mtnö(&^6en B, C, t^nt^ffi\vm gemein
ni^ SRaap/ ünb ftnb a(fo f^timsa^fen ju einantct. ;

:f

Aä ,;B3].,

@ittb jwep S^Ww,- A, B, ^timjo^f^n ju einer 3a|^^^
.C: foifl aüc^ t^r 93robucrr 1^/ eine ^rimjol^l ju eiein^
tetfelben, C. ; -^ t

®&tenC^ O, ni(bt ^dmidblen tu etnag^
ftft: fp »ärben ft^ mr einer ^a^t £ gemef)?
f(ii>; ^ dlfo / mil A >ii;C ^ f rimja^ |u
einander finb> aucb A^ Ey (7^ 25. 00 ber^
((etcben jtp&rem SRuti mefe E bie Dnadt) ber
3|o^(F, M ^(fb£«F2sDy foIdiUb Wi
mß^^le* «ngen wriwenen E . F =: A • B, folg^

len )tt einanber, a(fo (7/ 23« 60 bie flein|ten in fo((ber Oe«F'
^^8» $ol9li(b^ (7, 31. ®0 mifet E bie B^ ober au«^'
b^ <^^f^l0(i(b beibefi, C, mi^ti, m\XYi, C, Vrlmi<#:
len %i ebtonber ftnb^ umnbglicb i^ ^etnno^ ^oben G, p^'

fein^emfinei ^a^, unb pnb olf» f^rimso^Ien |tt einanbett) ^

* * ' .... ■ •

iß M(^ ba« üuobrot; C, ber einen, A^ cme ^nmialSfi
in betanbern, B,

eStQt «um D ssA; f» fi^b «tk^.l>^ B^
^tnimifil^ |u riiiaifiber, f^lkb A, D^ ^tof
Ki^Im i» B. Sol^ i|^ ( 7, a6. 6. ) A.I>
ä±:C, eine IMm^ob^ id B.

A 3 B )

, ■■■■■; C ♦'

D a

v>,

-; ©et 88. ®a|. £e^rfa|.

€Hnb }|»e9 B«^I<n/ A, 6, ju jeber i»on )n>e9 ^nbetfV
C, D^gjttni$a^«n: fo jinb ou^ bie ^Jtobuct«, Jfe F/ ou«

ben eirftenv unb^oit« beti {efttecn, 9l^i<^^i^i^^^^^^*

«3 ^

15»

:^.

eurrtb*« sraHent«

A3 BfV

E 15
G 3 D 4

F t

• -t

' SDtf A^ B^ f)rim}dl^en stt C {inb: fo ift
(7/ 26. ®0 t^t ^Probuct E dnef)rini}al^( {u
C. Sfu« eben ben ®rinben ifk aucb E eine
9tiin}al^l iu D. Z)einna(( fhtb C/ D^ |u E
iS^vmiaf)ltn, folslict^ ift (7/36. 60 aiOfi^t

pnbm F eine 4prim)a§l (u £#

. f ■ ■ ' ' '

@(nb jwep Ba^I^X/ A, 6, ^imjal^fen iii ^onbcr: fr'
ftnb a^(^ tj^t^ jCluabeätr^ C, D, be^etc^enti^ ^Arfd^r
E^ F> uitib flu aO« fof^enbe ^roMtete/ ml^ tfSefttfftify
totmman bteiu((|tetl^a(ten(n immer wteber «ttt-^mttfii
fttn Sabfen/ A^ V> t>ir«(df&(n§t/'9)ni9ia^(rf|]$u etttaRber»

jX^A, B, Vrimta^kntwritumbee^nb/ unb,
A*=C: fo pnfc (7^ a?. ®.) A B, ^«n»»
iO^Ien iu (inantief;/. fo(fta$/ i»0I E^?=j)^
"^ "' '" • *» fonbeth aud^C^

g/^7. e.) nlt^t^wii; A/ p.

• (

Ä'^r -11%

■n.

SDemnac^ w|)t!Ä Ort» )^te ti«r B^A $HaiiAd% M« ,
U <in}>(7, 88. €.) A.C^E, ü^ B.ps=:Kttimfi'

&mb^»ef9 ^ätiUtt, AB, BG, g)timiäf»f<n iti«mjiml>cr%
fo i(l oud^ bereit ^|^e J^j«btr toon beibeii «ne 5>n«rt»'
ial^I. URb(^bte'@umme'^e9er^l|(«n/ AB, BC/^u
^rii^c toon &(tbdt rlite^Mm^al^t fb fhfb bicfe beiMiBti^
fnt/ AB> BO^'^Mmia^teti jU jrhnmbct ^ .' >

dnan^ep. mt^, foI(b(» nun lift^t * * * * *"-^ * * * « ^ .
^4> Ar, AlU fo ya^ 0e tW ■■' D.-t ^•

(Ufo au(^ »eil dleft BC, fo(ili4l>m ^ o«^' ^ i*"^

fnu »<l^^i t^ AB^ BC^ 9rim)pl^{m:)ti eiiidtt^ff 0fi
iinm6dlt(t <f^* ;Z>emna((^ If^ben AC/ AB>.äu« ^(cikt^eA
Grätigen aber ancb AC^ BC, fem gemeine« 8Kaa§, tml
fnlft a(fo ^nntid^len ju emmtber*

. .:/ 3»e^tet t^eif. ]

9t itfftn AO^ AB^ ^rtmid^fen }u einmiber. Ä)5reh fd^^
4bü nun nic^t du((^ AB^ BC: fo m&rben {te oon einet 3a^
J> semeifen. Z)iejfe i90e d(fo eä^ Sie 45uimne AC, fo(g^
W^ m^^ AG, AB/ tn#n> tDefcbe«/ toeil AC, AB, $rim^
t«|lN£^ dnmibet fnl> itnfii6s(U6 i{t^^. Skmtiacb >obeii
4ift> ^/. fein gemeinel aRaa§/ unb |!iib «iffb !|^nm}«|Mr

ß^ %imja6f , A, ti{ ^tne $rhii^al^r^u jeber 3iH
B|^^ »e(c^ nic^t bbn i^c gemaft^ri

f^cn Ä/ B, ni<6tVr{iiiia|i^SU'efeanto:
f$ pkitn fie »00 eiim S^ii^l C gemeifai,
mdtti «ffi fii^t bi( fTn^ett i^ ' IbenimM^
trtAe B Mn C> «ftir nM« ton A «emeffhi/
^0fi<b fiiib C, A, mffbUhtmr^^itvu'- |R«n mift C Mc A«
Sdgtit^ toärbe A ^on dncr t>Nt ü^ tctflel^benen ^i C f«^

M<» l^n A/ fi> f^ imiiiMl %i«i linb#b «ifo |Mi»^

Aj 1l|h

c :1 '

«inet $rimi<^(, Z^ffeaHffmt ftfnioiii^fiefe oud^ (inrbes

SRiirtt D nicbt bie A: f« |ii«b <?« 3i.fS)
D/' A, ^^s«^' jfiiMm»«,. M^ ( lf

30^ it IRlicf^ , 1^ il^ . E ÄS? <

A!> B^

öl«

\

15»

^lOtm Xii$mtm

dSet Mä> A.B=:Q unb ba^et (7, 1$. 6^
p,:A=B:E. gofglicfr »irb (7,21. ©0
D bte ]B meffetu

ÜKiffft D nic^t bü B: fo bemetfet man auf
eben bie ^vt, ba§ D bie A ineffe.' ^)emria(^
Wiffet D eine bec beiben galten A^ B; . i

du

^z^t jufamntengefefte 3<i^(/ ^f t^^^^b )>on irgenb etiN»r
^Jrimja^f \9<meffett» V'

^ A eine )ttfcimmendefe(te 30^1 ift* fo »irbfe. . ' .
ton einet 3a^ B gemeffen, 3ilt nun bfefe %eine . -^
?Jrimiö|Ii fo j% bec lS>(ai flac. ^H^ 'n^et B^ ei^ie B ^ .
infattittiengefe^fe* ^^^ : fb »Itb fle' tocn einer 3«i6^^ ^;^^
C flemeffen/ »elcbe^ .»eil B bfe A miffet, aüQ We f
A meffenioicb. Sfk'tÄrt C-cIneiJctt^^ fo ifl bec6d|
Hat. 3{l aber C »iefk^im ^ciiK iH^inengefe^te ^ü^ f»
laffen ftcb t)öti8e (S4^e ffttfe|ctr^ bi< man: öitf eine fMmi
ia^Kommt/ n>e((be bje ii&cbfte 3^ bot i^t, f6l9fi<^ ü«4^
Me A mifet« jDenn.rän* nUait iiie mtf eine ^9irimia|(:'ib
loikrbe Ai^on tinenbficb meten fntmet fffiitern,imb fleinemSo^
Ifti dtmefiht^ »eUbM abet (7/ 3« SO' bep^ 3al^1en nfcbtmSs^
lieb ift* Sb(s(i(b niu§ jmati ii^enb einmal anf eine f>rtni)a|fl
fommen/ »el^^e olle jinot^se^enbe 3a^(en/ a(fo oucf^
meffen toitb, ' ; : * ^

Uhtet beti 3(i^n, loe(<bri;\b{e/iufam»e98efe|tr{*| >
3a^l A mcffcn; fep B bie fleinfte.: jlö&ce mm B ■ 5*
eine {ufammengefeigte S^ti^* fo Mtbit fle i^on einet B .3
Qa^l C< B flemeffen^ toelcbe folgii* aucb A ni(ffer, c -^
gegen ba« eingenommene^ .«<|^||^^^ft^
^^^% \% ,.-.2)emna^ i^^nn^ \^ »»^^^
fepn^ unb t(k otfo 43iie fJrii

■f"

•• - ^ ■

%

©er s4. ©a^i- itfjtUi.^

^ ^^^a% A; tfl tntxotUi fefSfl eine ^vimidf)l, tUt
»ttbbori irgenb einer ^timiafiir geweffen. i

Senil Ajft enttoebet eine ^ütma^l, ober eine )tt^
fammengefe^te.^a^^ unb toitb al^bonn (j, 33. (50
t^n irgenb einet ^dm)a^( gemeJTem

.^5>ikff<in(l<tt3«t>fen J" ^«b««/,. welche mit m<5t<rn.
9<^)(^c^ 3«^«n/ a;^ B; C, einerr«9l8,e4i(tnt6 b«6eii^

.. Ccjler %aii: -

CtfA A/ B^ C, y timta^fen jit dnam 1
Uti (0 (inb fie C 7/ 23. 6t) bie netnßen JA 5 B 4 C 3
in fö((be( Skr^tniß. f ^

3»e9tet ^aCi;

6«ib A/ B, C; nkbt fMmia^
Icn tu eihmiber: fe ne^e man
(7/ 3* 60 i6t'gr6§te< gemetnel
9la<i$ D. SRiffM nun D bie A, B,
€/ na(^ beii 3a^(ett £, F^ G: fo
ttbben A, B, C, t^oa E, F, G/ no^
t<t 3d^( D gemefTen* . goIgfUb fhib
(7, 18. 6.) E, P^ G, tnbecfelbctt
X^et^ltmg, tDk A^ B^ Grober Atttb bie. neinffam..

' SDenn v^een anbete fleinete^ H, K, h, wd^ o((b bie Ar«
B^€; m^ einAJcp 3a^i M meffim mftfiten ; fo m&tbe M att(b
biej^/B^ G, meffhi> ttnbM«H=Afe9n. 8hini{l£\0
= A. SDl0l<(^ »ite M . H= E . D ; f&Iflticb ( 7/ 1 9- «0
E:M:trM:0. 8fhiniirE>H^ tmbbabetatKbM>IX
JDtnfluitb ^en Ay B^ C/ ein gemeine« 9Rad§ M gt&§er, ««
bal gtöfte atadf D; »«(dM :ttnn^H<b ift .Sol0(icb giebt
«tln bet «et^Utnit / A; B, C, feine Heinetc B^^ M £#
F^ G/ tpeic^ ol^ bie fletnfteiifinb» ^

«» ©er

A6 B 8 C i^

D»

Ea F4 6,5

H-^ K— L—

X|4

tPfftftiiiili

Aj B4

C la

fder 86* ^a^ Tln

tDte Hetnfle ^afil ju flnben, ml<^t ^\ä) Mn itMSf f^fr
(ene»3d^^/ ^/ B/ meffett(&St. ^

Ctflet galt *

6inb A^ B, 9rim}(i^(eii su einanbit/ itnb
man fc^t A • B s:C: f> tft C bte gefuct^

JDenn ba A.B=C, (b i^ (7/ 16.6.)
ducb B • A =: C^ unb C tmcb t^tt A unb
B gemefeiu ®ite nun C nicbt bte fidnfte
»on A, B, megbare gabt: fo fey eine nocb
{(einere D, unb D nmbe ttn A nacb bet ^^l E, ^m B
tiacb bejr 3a^( F femeffen , ba§ alfo A.E=:D; nnb B * F
±rD, fcIalid)A*E=B*F, foIgßcbC?/ 19- Ä) AtBSB;
7:E ifl. fßun finb A, B, ^cimsabien ju eimmbte^ ^(IR
(7/3 3. (SO bte rieinfken fai fbkber Sktl^ltni§, foIgUcb will
( 7^ 2K G.) £ i^pn B ^emeffm. JRun toat AwB;=:C^^«
E^D, ««fo(7,i7.«0B-E=^C-P* »fr Ä «rftb twn^l
IB/ tJ^tftlid) ott<b C 7/ fio. (&) D .t>on C oemeffiei^ ^ (l^nosi
•cn t)ergv5§etp, »elcbit unm^licb ift. .^D^miac^ gktt M^'
iMnn'A/ B, ^timjablenin.einonbet/j^ab/ fein^j^ A^ J^
tnefiltace gabl/^ »eUftir fleiner oTf C/i(^^ ,^^^ ifk C li«.
llein|lewtt.l^enme§b«e3öftL , :,

«liUk/ «Hb man ^k^ ( 7, 35. 6.) Me'fl«iw
fttn 3«^ Fy «E« {tt »er 0«|^ig .iMmJk
tu B: fb «iebt A.lS, ota«ft.^ «ie ^efUdltr

Denn t« A:Be=:FrE> f» l(k (?,
f9..«.$ A.fis=B.FaE:C, fpl^ tfitja
fitr C VMi 4 unt B mcfdu UNm
G nk^ Me fMnjkc mr A, B, tRǤNte 30^9 fi ^ iSm

A4 B«
Pt S»

C ra,„

'i'^f^i

/

C5/ XI. C) F:E=H:a Ölun\AatenF, E, Wc«einftett

i^on E getnejfefc^Sldft ttKic A.EzrC, J|[.G=D; dfo
(#> 1^7/ «0 E:0=C:D. «ftec G toicb Don E, folft«*;
(7/ ap. 9.) O Don C gemefTen, tie fleinece Don tec grötmi/,'
toelc^ unm&glu^ tjt* Ipemno^ gu6t e« oufiet Cieme Heu
fievc ^ A , S, mc^bavt 3<^^( / folglich ift C tie fleinfle«

fMn^ Sol^f^ . E, 0emeffet|»

K fo mtSitit' mm E Mf CF ''^^ ♦ * • * * •
mbl A; B> Mf^-lS^tteffta, unb E

FD<E, ipefc^/ tbdlBf«Hibieff<iiifknnitA, B.mel«.
bäte 3<i^C ift, nidft fqi9 tonn« jJ|p(giK^ m«| CD oon S .
gnntffm »ecbnv •.-. , ^,; . , , ^

V •*:••.•• C ' ' i^\

«•#••• ♦'

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V'. o , » . •

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Etiler ^aU,

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A3

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A 9

E la F

®irb D 4wn G jemeffcn: fo ffl D
eine butit) aUi^ tre9 A^ B, Q me^&are
ga^U S9&re Jte nun ntc^t audb bie
ffeinfle: fofe? e« E<D. S)a alfo E
!)on A/B/^cmcffen n)irb: fotüirbfie
. (7/ 37- ®0 öU(^ ^0« ßr gemeffen, bie flemerc tiwi ber gib
fhn^ iDr((()e< unm6da(b \% Solgficl^ ift l^riae fleincre oft
0/ folgö* D bic fleinjle buvc^ A/ B, C, mefibare ga^ ;.

Szepter Sarr- , ^ " "^

'SDtcb dbec D nicbt t>on C gemefpen:
fojfucfte man (7>' 36. ®.) bie flelnfie
burct^ C> D, me§bat:e ßa^t £/ tpclci^e
bie gefiicbte Ifr.

' ®enn bö A^B, bie D meffett/ unb |
D'bie E tnifTet: fo meffen au(^A, B, bieE» S^n- «ilffSrt; :
au(b Cbie E« gpldUcbi^Eeiaeburc^ A, B, C, m^bare 3c(j^
SE)&te nuii ^ nicbt auc^ bte ft^fhr: fo fep ec^ F<& . 2>a-v
oftolTtön A/ B, gemefitn »Ätbesvfo mħte (j/ jjp.fi^)!^-
0^4) fon D gemeffen nxtben/rOber om^ i^on G^ alfo» t[Qn £^.
C; fdgUdb (7/37-60 boti S/. bie Aeinete t)on ber gr&§^
nMcbe« ttftniidlt4^ \^. Sofglic^ tfk feine fleinen; aii» Jl^ fo^li4(
£^f(etn^ebuc((> A, B^ C, mefbareSa^ ^

®er 89. (Sa|. 2e^tfa$,

(Sine 3<{¥/ A/ l^dt eineti bet 3^/ B> boti »ef^ ^
(le gtmeffen ft^itb ; gleifbnamigen $()eU , C;

e» *«*(? ■Ajwtt B nö**brt 3«^l C ge?
tüirfren* {Run li^irb € vt^m \tt ®nl^ D
na^ {t(^ felbft gemeffen. • ^olglicb onfT^ D
bie C/ unb B bte A/ ober (7^ 15.6.)
.«ertoe4>(«It D bie B^ ünb C bie A, nocb
etnerlep 3a(^(. 2)emna(b ift C t>on A betfeibe !{^ei(, oll
Dm B. Slttn if^ bie Cin^ett D ein be« B sMc^dniigec

B

A li.

3 c 4

D I

M * *

.*

* €>itUniH Ätt^

•tgj

^ol^fic^ tft duA C ein Ut B gfeic^ndmiger
!Demna^ t)at A einen bec B gtcKt^namigen

3ebe 3ö^r, A, wirb too.n ber einem it)rcr J^eife, B,
gteid^nömigen 3 >6I / G^ gemeffem
■^ 2)a B^einbei: G gleic^naiJiigec il^eil i^on A , oucb
tie (Stn^eit D ein bet Q g(eic6namt()ec ;^()cil t>ch ^
ifk: fo tft B t>on A ein folcbec :ilS)ei(). atö D üon C.
Seiend) n>iibCt)on D^ unb At)on B, otec (7, i 5.0O

.^ieniMC^ictC^ B Don D, unb A üon C^ 9)a(t^ einec^

* U9 3a()(i>. bemnoct^ A oon C gernq^n«

A la
B 2
C «
Ö I

^

JÖer 41- @a$. 2tttf«a6e;.
IDie ffetnjie iintet Mm^f^it», wti(^ gege^e Sl^eifif/

4

•»

A'f-Bf Cp ffeAm, ju ffitbeti.

;. JKe 3al^lcn D, E, F/ ftpen Wiföf«*«*««

■ Si^dlen A/ B^ C> gleichnamig.- QM>tmttii

»ttn (7>3».«.) We f Wit(»* milD* E, Fi

'•wf*<ice3»^fG: fd^at (;i, 39^. ®<) Oben

S^en D/ E/F; (^d#'aÄrise> -HS««^ Ue

^ebenen !ll|KtteA,'Ä> XX*- fWi* n«n O

ni(^t ouct tte ((einfie 3«^!^ tte foI(^e Steile

^t: fo fep c«H<G. 2)i^^ »iJtDe^dfo (7, 40. ®.) »oti

tiftif^ten S^Ien ^eüj^nomt^cn Sohlen/ btfb «09 E/ P^TF,

.gnnrfm/,fl»ek^e«, »«» H<X>r pk^ m^i^ i(k., ; -2)en»

tioC^ ift (eine f feinere 3<i^( <a|,(3, foigttC^ G He fUin^ ^tt^^

mü^ He seai(>9t(Ki $^e^ A^ |(.y C^ tj^^a ? .

Äf D|t:
Gri »-*■

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1

^ ... , .

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i\>*$ eitmtntt

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&: ®

M

^^rete fleti^ proporttonirte 3<^^I^Ä/ A, 6. C/ D,

T.ui^eprere pn^ pcopomontrre isopuit; a< »^ C/ v,

^jtnb/ (tnb t»te tUinftm in %er SOd^Itni^ ' ,
®&ce tiefe« Afc^; fo f^en

'fftte«' «et^ftnll/ '«Ifo (7,

^xiu®r^ <iitif.^(nt <EMbtn

As B la Cig D^
E— F~ Ö— «^

'* ^»'?>"-^' --, in ||^t„ »et^atoiiS. S«tgtjiKl «^ Ct»

£/ bK ftt6ß(te tie tUiant, v^dibtt.
M^ ftaji iit feUtet Ced^Itnif feine im
3a$(cn ilMno^ <M A;B/ C, D.
jMefe bie neitifteiu

■*>'.' ■ » 1. ■■^-

!Dtc gegebene ee($&Itni§

fep in ben f(ein|len ^o^Ien

^ .ÄA/ B/ mit AI

lB nitf 07 tin)^ etl^alte nac^ j

te Drimiing Me ^robucteC^ D/ E; fcmc« »erPicCf&ft^e

Aa B 3

C4 D 6 E9.

Fg Gia Hig Ifij

man

mm C, T),^ mit Äff! nift B^ nnb erraffe iMKfr tm tith»
Hw§ \>(< ^i't>&u(te F, G, H, K t fo fnt C^ D, E, bcep -, unk
F/ G, H, K, vier fthig propotttonirte ndnjte 3a()Ien in t»
0((tcbf nen S3?r()altni6 A : B ; unb man finbet^ tonin i^on tUa
fo fp^t^^tt, terM ithdi'rr niel^rece/ f» tirt moitisiD.

i»enn iaA.A=C, A.B=D^ B.B=£:fit fQ.ifk
( 7, 1 7. @. ) A : B := C : D, «nl> (7^ 1 «. ©.) A j Bä>D : B^
fol9t(4> ( 5, 1 1. 6.) C : D = D : E. 2>ram<i((> ^»ib <^

D^ E r-btcy- fketis pcopottimirtt ga^Ien iti ÜteVtt^IU
*i| A:B. ^ ^

©« fetnerA.C=:F, A;t)fcO, A.E::r:H/'B.B

^X: fr »ft;(7, 1,7a®.) C:DsF:0, »ntDizEisOilft

!#u*;(t^Äe»5*A:B=:HjK. .muiiipat CjDsÖ!«

^Xm ptmi^ F:Oii=G:H=rHtK* £)«iiiio<^

^b F, G, H;H^'pier1|l(t^ ptii'pörHoniite Saufen in I«t19«fii

^tji§-^ArB. ;: , ;-

_ 2)ag |l( nun ap^ bif CÜinflnt 09b/ tPtcbfo ^iefeit Xift
A^ B/bie fletnflnt §a^(en M i^c» S^^nit Oob: fo fl^

?=C, B.Bsb;E, A.C=?P., B.ßciK. Btim («•*
.(^^ 3.9. <(.) «mt C imb E/ F;«iA K^ ^timi«llf$ntiiMtmkt
tft. $o(0(i(6 jinb (8/ I. eO Q D; E, foM^, ^«flft
JLG, H«K, ^etig pcopottiopicte f(ei«fle go^ i> ^ fin«
pfeif A:B.*-^ / ■ ' ^ ,-. ■'. ..:■,.

« ■» . . I»

. Hon mcQtern flettg proportiontrtcn Hetn^m 3<#^
Air B» <?/ %. (All *fi« 4Hg«l#m< A »i 8>.Piw|fti»

9tat

i6o

eälWi efetnente

B 12 C 18 D 32

fea F3
G4 H6 K9
M 12 N18 O37

gRotinel^me ( 7, 35. ©0
in bet fBerl^Mtnifi A : B jtoep A 8
ffetnfte Sol^Ien £/ F ; a(«bann
(8/ 1. 6.) bcep ftetig pcopot^
liemcte f (etnflc Sagten G, H,
£ ^ unb fo fort immer @ine X 8
pi^v, M man fo t)ie(e/ L,
Jfl, N, O, ec^ft, aU A, B, C, D, pn*.

IDaE/ F, f^rimta^Ien )n cituifiber ^ttb, aUt E«E:;rG^
F.F=:K, E.G=L, F.K=0: fo finb (7, 19- RJ
jG ttnb K, au<^ L unb O ^cunja^leii }» einanber* ?Rm
(inb A, B, C^ D, unb eben fo «tele L, M, N^O, fttti$ pm
portionkte fleinfte 3a^(en in einer unb berfelben 8^et^itni§f,.
aifo |e eine ber erfteren einer ber le^tercnin ber drbnung fifci4^
A=:L, D=0. ^o^Uc^ gnb aud^ A, D^ fJrimio^ i»
einanber. .^

*■ . ' ■ * ' ;

'. . ©et 4. ®a|. aufgate. ;, ^

fR«l^ete fßct^afttiiffe/ A:B, CtD, E:F/ fteb t«
ten Hetnßen 'So^^^n d<d(^i man foU Qa^Un ftttbuk:
wiäft onmanbtt l^nsenb Me fUtnfteit in bcn B<ff6«!
»eÄ SBer^toiiffen finb. , - *

G We «rinfte mit * l, ^

B/ C, «e§5ate 3a^I, .H6 G 15

111Ä «« m«ffe A We H ' N -^ O —

tuui» «bin' bet"^#/ 1'"

ätt B fefe G; ttM D Me<K niti^ elften \>tt 3<^ «i» G He G:\

f» mifet cntwcNc £ bie R^ oter m(()t. • ' >:?

fftfler Saff.

9t mefe E ^ K; mti imc^ eben Nf 3«^! mA F
^Wit, ^- '•-^■^ .

2ttX:>-A/ Mela^G, n«^ einedcp 30^ »effent f» Hi^
(7< 18. eO AiB=H:6. Ohm ifk au« gleich «rto

• Ci

K 20 Li 04 .
P— Q —

%• . .1-

■W«"C:T9'i=rGiR', in«EvP=K:I..; ^^Ktb Mt ri,
jQv lt;iii^jfO^ liittntut ^ jenfr in bm gegebtnrir Set^n^
niffm. Mbec auct bie fleiti|>fn., SJenn.toärm Wnmrf N, 0, -
*,«Q: (0»iMA:B:sN:O. -äJuu fi»ll A, B, tnttltm
pa inxfolttwc Sn(}aitif)|, " gtof^i* isic» (7/ 21. t3.3 O '
M^-R|>gM)|>li. Jlu« <t(n e«t erintn MtO av^ nm
C^tfM. Slun not G tiir fltinfie tun^ B, C, mtiban
3a^l. gDlglic^ nittb (7, 37. ©.) O Den G «emeffen, Mt
flwicre eoiLbv dc&gecn, tpelc^rt uDoiM^ ^- ^aiStufy
fi^i {irtmiBCgcDetenSec^UflijTm feine an cinanber^ansenR
9^ ntmtt, M H, O, E, L, mefriilfb Ca ndilftoii \

"■.. '■ S»«^"t Soll

niily ini)ftt:.ft ftn
et, 36.S0MMe
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t<t 311^1, <ü( K Jüe. Mv uob F t)el>.nii^.tt<ii btt Sn^ ,
•»■'S tit m: goljii*' ilt (7, 13- e.) riiff^iHeO, ..
tlute »SlCAjB=H:G, ou* A:^=:N:Ö gj„,
||ljli«t«#15eii'ei:Sll|i<ll CiD=:0:M, untE:if=:.
M:P/7olBlii^ ^ N, 0> M, P, an tinanter ^cingtnti'
in ^cs gi^&nten Ser^ltni^(n._ .816er auet IHe' fleinflen.
»ran trJireii (leinftt, Q, k, S, T: > »te A:B=Q:R.
SljiiLfln^ A,. B, bh.Qtin^tn ini^n^SniUtliit. fotgli^
lei^ij^ i.-,®t> R bon "B flemeffen. SIu« 8le{e()en'.®cäiitieil-
MtoV ]ft au(t 9on C gemefTen. Sßun n)at G'bie'neirijlc buR^
B, G, mefibate Sa^t. golgliit »irt (7, 37. ®.) R MB
Ogeneftn. Shin i|lX}:R=K:.S. Siilgliit ^itt S t>im
K .fttiiuffen, abn a\x^ l>on E. Sltnt roar M bie ffeinftc' . ■.
Imtl t, K^mtiuxt 3t^ S»'Si!* i»** C7/ 3 ?• ®0 S »on-
M giimilfni/ Ue Mnen un ia gibtffli/ nt((t<i imiiiV,
CatliM (leai. 15 ai4<t- * . . 1^*

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i£taWt ^tmmt

A 6 B ao
L 15
Ca Es D3 P4
06 Hj5 Ka« '

U^ i% 2)(nmK^ fmb in tpt gegtOenm t8ei^tniir<tt fctee
.an (inanbec ^ngentc 3a§(<n fldnec, ott H, G> E, I^ tUfe
olfo tie nrinften. ^'

®er 6. ©04. Be^tfaf.

B=E.F; ifi au« ben SSec^äftniffeit i^r @ei(eit CtE$

D:F^ jufammendefeft.

. 3n beit gege{>enen SDcr^iltniffien

C : £/ D : F, fuc^e man (g, 4> ®0

An önonbec ^onsente (((infte 30^:

bnG, H. K, l)a§ttlfoC:E=

G:H, unbD:F=H:It. Ifuc^

ftp E.D = L, Siun Ijt CD

snA, unb E.F=B. goIaU*

Hk (7/18.®.) A:L=C:E=(!J:H, unb (7, 17. Ä)

L:B=D:F=H:K; folfllk^. (7, 14.©.) (tue.Jbeni

<ßfUt*e« A:B^G;K. Ißun Ijl (6,5.«0 G;K=:

(G:H)+(H:K)=(C:E)+(D;F> 3ol0ltcft i^ «iM»

A:B=CC:E)+(D:F)»

' SBenn t>on in«l^i:ertt fietts vropocttonitten Bol/cn^ A^
B, C^ D, E^ tie erß«, A, nic^t bie iVotr)tt, B, miffet: fo
ttirb aud^ feine terfelbea irgenb (ine boboti «»(fen.

2)a§ bie {loeyte] . ^ „ « ^ »^ "*. .
n^t ble btitte, bie ^ »ö B 24 C 3« I>5.4 Ä8i

britte ni<N bieoter« F4 6 'U9

te^ unb fo toettet/ ]

iniffet, t{i ofl^enbat; bag aber atttb bie A ni<^ bk C iiridieV

töitb fo bewiefen: 9I<^ fu($e (7» 3S> 6O bie S3ec^&(fttig b(t

A, B/ C; in ben »einften ^a^ten F, O; H; bag oifo C?«

14. @.) audtem (Bletc^ett A:C==F:M. . .

X)aA:B=TiG, abn AbieB ni<(t miffet: fb tnifTet
a«4> nic^t (7/50. C.) F bie G, mi ift alfo (7/ i. ff.)

F «KN W« Äh^Jt. '8?ttn (tnb (8/ 3. >S.) F, H, yrimjo^
I«! $u etnantet. Sofglk^ miffet (7, 12. 6.) F nlc^t bie H»
8hin»or F:H=:A:C. golglifj? (7, ao,@.) miffet A

.. 9|tf eben bie Stt tolcb 6ewt«(en , bag, »enn A bfe B md^
mifct/ auc^ feine Us onbent ir^cntn eine baoon mejfe.

- • ^ ' . . . -

©er 7,. @a§. fce^tfof.

" «

SBentt ton mef)reth j!eti^ proporttontrten ^a^tttf A^
B^C, D^ bie erjle, A, bie fe$te, D, tniffee: fo »icb
fie ouc^ bie ^n^epte ^ B ; mefTen*

Wi^A nicbt bie B: fo
tdtebe fte (8^ 6. ®0 aucb feine
bet &lri0en^ olfo au<b mcbt D
mcfhi, toelcbe« bem Sl^igenommenen tDiberfpri^t gofgKc^
moi A bie B meifen/ tpmn fte bie D miffet

®er 8. ®«|. «c^rfof.

..,^enn iwtfc^en jtoep 3#(n ^ A; B^ einige mittUtit
^09ttdt>mliaf)ltn, C, ß, fallen: fo faUen beten ebeir.
^mit ^»ifc^en Att>e9 artbce3<i¥en/ E^/.F/ weiche mit
j|hen7' A, B; einet(e9 S^ec^Iitm^ l^a6en.

As B4 C 8 i) 16

Ai C4 D8 Bif
Gl Hs K4 Lg
E 3 M 6 N la F 34

^ bec Serl^tnig bec A,
C,p, B / neunte man e6en

f» «W«' (7/ 35« 0.) tldttfti
3<i^a H, K, Lj |b (inb
(8, 3« «J G/ -JL/ Vrirnja^len ^^ .,

in einanbee, unb ti ifl (7, 14- ®) <«»8 ö<»« <öle<ajefl
A:B=G:L; alfO/ mcil A:B=:E:F, flu*G:L=
E:F. p[^iÖ> »itb (7, ai. ig.) £ wn G, F »on L no«^
coMcIep la^i gemeffen. Stm nwtbe hd<^ beefetbe« B<»&(
M Mn H, N wn K gemelTeil. S»,'«!'* ^n^- ( 7f aov «,
«jd^ ig.®.) E, M, N, F, in b<tfetb«t «<eptn*|r »»<'ö>
H^ K, L, \o\^ Attc^ »ie A, C, D, ß, foJ«li* «iw? fleti

It a r 9t9t

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164 SuKib'« ^KeuRttte

fwopoctfonirt. / 2)eimia(& flnt» {wifc^ E, F^' fo^iMe «ÜKäc

V

©er 9- ©a|- «e^rfaf.

• fEBenn jwift^en jirep 3^Wen, A, B, mefci^e ^mf
jal^Utt {u einanber fittb; einige mittlere ^^toportiono^
jaulen ^ C; D^ faden: fo fallen beten eben fo biete jtou
fc^en jebe ber bepben ^a^tTif A, B> unb bie ©nl^eit/ R

^ 3n ber SBerl^tnii bec A,

A.8 C.J3 D18 Bafi
Ei

Pa G3

H 4 K 6 L. 9. r
Mg N 13 O Ig Pdf

C,T>,B,ne&raema»(7,35. 6.)
juerfl jwe? f leinfte 3ö^len F, G ;
bann (8/ 2. ®0 bwp H^ K, L ;
mtbfo fort immer @hie me^r^,
6i< man fo wele M, N, O, P,
>t, al^A, C/D, B, fiia>:,
fo ijl offenbar, bagF. F = |
H; F.H=M; G.G=L; G.L=Pfe9. 2)a att(&
M, N, O, P, foipo^t <^>,:G^ D, B/ bie Heinflen 3<ri^(en
ili. etnier u)tb berfelben X^er^&Itnig F;G, ftnb/ Upb Mber
9t^^ 8(^(^ i|^^ f^ Qitt§ je eine bon jenen einer bön biefhi in,
ta: Orbnung gfeiib/ alfo MzzrAy P==B/ fepni 8?jw.
Ift (7/ 15- «nb aö* «.) E:F=:F:H'=H:M; SotP^
i(k au* E:F=:F:H:±=H;A, alfo jwifeben E/ A/ jjpc^j
Q|i(t(eie ^H;oportioiiaf|a^en F^ R Shtn ifb au< eben ta|
Qrj&nben^:Q=:G':Lrz:.L:B/ a(fO {tpifcben E, B; |toi9' *
mittlere f^roportionaljal^Ien G, L^ S)emnd(b ftnb tmifcjKni-
bfc^n^eit E/ ttnb j'eber ber beiben Labien A/ B, (a btcfe
»littiere f)roportipna(iab(en, cXi iunfcbeh A unb B«

©er lo* @a$* ie^rfaft

• . » ■ ■ ■

SB«nft ptf4im jfebe t>on jto«? 8(>^I(n/ A; B, imt
bie Sutl^etc^ C; dnide tnktl»e ^roi>ottiot)afia|^eH
fottent fo faQett ixren c6en fo »t((^ iwif^iMi bir (i^^
Säulen, Ä, ö.

iX^lfMi tbäi^

i^

ft9<n mtttlece -^ci^porttMAl«
gl^ t,-k, un^t', G. get«
nee ff5[LD<F!=H; D.H
= K; F.H = U SBeil
«i*C:D=D:E=E:A,

A« Kia fitS B37
Ci

N

«1^ C t){e Qtn^itt^f» tf^

CSr i5r &) D.DsE,^ uiib D.iEs=A. Mai dictum

fMöboiiji F.F==0, oiibF.GsrB. ,

;%'#D.F=:H, D.,D==E: fo |jl D:F=E:%
Jba'WF.'F—G: fo1ltlC):F=H:'a SolglU» H^;
E:»=H:0. ^ ^ -^

2M f<?n« D . E =X/0 itt'srfK r fo ijl Ei H = A : K ;
«*«e ,D;,F=E:H,. .folaji* t):r=A:ia ;8»an »ot
P,lfer:t, «Ifo (7;i8.'ef):i>;F=tK:L, goljto^ijb
A:Kfe=K:L. ■; -^ .'• : ■ .0

S>a rn^lit^ F.G^B, F.H=L; fb^t£K^3=L:B>|}
aJ«rH:G=D:F, foCflß<^D:F=tL:?; . :

tdCbiäiai^ 4ft'fe»{|ffiD, rSIf D:Ft:;:A:X=;:K:l4;«:>
EitB^ atfo A, K, L, B^^ttiirpM|MCtioni«f ttefe^ f«roIi(^^tn»U.
f|^.A;.B, fo oirfe iptttfccrfbpttti9tnli<i^/ off lioif)^
G^i^/i iiB^|vif((ni'.Qy> B& .-. ' ■ ^

l^tft^m mep idit<^r<U2d^I«t/ iÄ; 6^ fäUt .Sine wift*

i|rer®eit(n, C, O.

Ccfler $l^et(.
Qtf(i;)C.D=E. »uat{tC.C;=

A, Ö,D=B. golg«* l(i (7, 17.
H.«.) CtD=;A:E> tf|i^C:D=
£:B, fotfllk^ A:E=:E:B. 2)nn«
itft<^ fnlfA, Ef B, ftitii ptcfm^mM , «n( jtofft^ A/ B/

«3 3»e9*

A4 ,E6 B9
Ca D3

x6(

SüWi &mmt

^ A^ E, fi; in ftetiget^toporrion: fo
t^A:B=a(A:E). !Run»ocA:E

= C : p. golgttc^ Ifk A : B rr a
(C;D). '

A4 ?f Bj|
Ca D #. ■

ff

'»

^topottionafia^ien ; unb bte ^etb&ftntS iwtptt ^ntw
iüUtn, A, B, iil hai ^cci^fac^e bec SSec^Unif t$»e£.
Öet«H, C; D.

C»E=A; ferner D.D=r

C, olfo D.G=B; enb#
a*C.D=F, G.F=H,
D.FrrK. golAHcb ifr

Ag H12 K18 BäV:

E4 'F6 G9-, 1
Ca Dj >

•• i

.'^

C7/17. 18.©.) C:D=tE^Fl GiDäF:G; EfFfe
A:H; C:D=H:K; F:G=rK:B. goIgUc^ffk CiO»
ssA:H=rH:&=r^K:B./ {^jemnaiibf nb A^ H,.E,S;r^ftj
tig ptopottionirt^ unb itoifc^ A^ 9/ )»C9 initt(<wi^.t4|NN»'
UonüIjtti^IetH/ K. ,,

Qwt9tiv •t%(til ...

SDü A/ H/ Ey. $., m ftetiger Proportion: .f» ,i^ A:Bäs.
3(A:H> giu|»»iatA:H=;C:P; goljßcj ijkAjBsz;"

5 (cjd). -•,■•-'■ ■ . ■' ■ ,^ :,■■:.■■;■,■■-■:■;■

©er 18- ©al* 2el^tfaf.

: ®tnb tiiebrere 3a^fen, A, B, C, »fletig propoitiontrif : *
fo ftnb iftre JCiuabritc, D, E^ F^^ ilitt SBücfer^ G, H^ K;'
unb fo fort aUe ^tobucte, wefi^e entfielen, »enn bte ju«
(e^t erl^aknen bon etfl gebadeten 3alL)(en nac() ber iOtb»'.
tiung ,ber bie(f Slttiiet werben , au(^ fterig proportiDitirt. '

in

TU^fBu^

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9i it9

A.B=:;iL,

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D4 Lg E16 33'^F64 '

Gg Mi6N3a'H64Pi38.Ö?56K5i».

frtnef B.C

=:0, B.O=P, C.O=Q: fo (igt |Td$ »le $ut>ec ««
loeifep, ta§D, L, 5>;fiyWö^li' üWa, M, N, H, inb«
»er^aitni§ A : B ; unl> E, O, F^ fo w>o^I^ a(« ,H^ P, Q,, K,
fti'fii; »«^(tntt B:C, "fi^ia pcopottionict' 0p}). . ^ua
i|k A ;;1J x? B :,C. ^(gfic^ {in]> ttftiwt}, L, E , unt> ^
O, F, fetnw G, M, H H, unt) H, P,.'.q^ K, in einerfi
JB<r^tni§. gofglid^ ijt ( 7, 14. e. ) «Uta Ö<|rt (Btdcb
P, : ^ 5;: E : F, unb. G: Hq= H ^k. JDmho* jTh» Wi

ö)i<üs.tJtt,X), E, F, tt«(^ wV ©fttf«t G« H, K^- jinfg ptopor^

tloftirt.

t '»>

©er J4.'®«|. »c^ufof

t IDteffl^n niMnber£ln(AfOQal^n/< A, B: f^ meffhi
tiiMnber ou# i^e @(fteit>^' Q, <D. Unb meffeii eiMaiii
bet bii> QSciteti; C/ D4 f» mtffetK tittonbd: an«^ tit iCur«:
bratial^fett« A| B«

rr '

i» ün^ C..D :;? E : . fo ^b A, E,
J[> |teti| pt^portienttt, kt b(C SBfc^t»
nii C : I). ißmi migt A bk B ^ a(fo
(8/ 7> ®-) ätK^ bicE/ linb rt iji A:E
=?C^:D« . %Miii4 ( 7/ ^» $*y «ißt ättd C 6ir IX

-,?■

A4 t» B reif'

.Ca ^4 r

f 1

' S>a A/ E« B> fketid.ptofMvti»ttkt in bn Cer^&ftnif C:D,
<iI£^;^;P;;=: A;E> unb Gbte D m^t: ; fo ittt| au^ A bi«
E» fQ%{i||^s:C9/ 7* ®0 «tt4i bie Bme^eiu . . .-i

': i 4 ©er

I(>

Snilili'll' SItMaitc

©et »s. ©a». eeiStfof?

SlteJTcn eituutb« ^6iFj(^[en, A, B; fe ine^th tim
anbitaut^ i^ie @tiKn, C, J). Unb mifftn (flianlii«
ktt@«uit, C, D: fo mefitn tltunba M(^ bie(SUjJit>
^o^len, Af B.

■ et(let t^jit >.•

'a<f<«C,C=E, CD

AI, Hli Km .ti4
C » D 4

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=:f,d;d=g,o.f=

jH,D.Fz=.K;fiii(lo(fm<

^i, bil fiiiiic^ E, F, Q,

«UdinbA, H, E,B, inbR

ScT^ltntt C :'D ^Itig pcopoitionEtt ^nb. 8^n pfy A' He

£/ Kifo (8, 7. e.) luib Mt H, unb tt ift AtH=(::9,

Solfllic^ ( 7/ 20. fifO mifftt aui$ C bie D,

i*«)! A^ H, E, B, .ftoii iinpKitDSiit \tittc«MIM
C:U, ,is,-CiSf3=Aai, v*.C»:Bimititt .timit
w4A M>;H^ fottUik (>>';•«.;) «K^tit,B,mi(ni. .

Set 1,6- ®ji«- _*j5.tf«$.

SSfffcn jQuabta^atjfert; A/e/ m(^ einanbcr: f9
p;ff#n Mi^nic^ eindtrtec r^re @ettm, G>'Di 5llnb
m<(r<n bli ©«(tn, C, D, nic^t titfatib«: fb lül|fai '<ni(|i
nid)t etnaiib«i)ie £luabratja"6reit, A.B,

«EtHUdj.. . A nii(r«t nl*t Sit B. SMt«. ; - /-■^:' -
nun C tu ifnitta, fo mufte (8, 14. e.) ■* S-'***
aud) A btrBmelTen, ^egenbdtiXngniommcitf. C3 D4
gotali* fann C bit D olibt mifuu -t ' '
' iwefUKK ' C mi^n nitbt M< El. -enilu itSiiA tep
a<<{n: (bnüfite (8, 14.60 niic^CbjtSiMlItll/Mm

Bet

JUjttt Ste^

««»

!t>it ir. ©«*• »«5tf«|:

VI«(f(H (£uf)if jabfen, A, B, nidtr etnanb«; fb m^en
llKIMililt Knanbtt tbte @iit<n, C, D. UntmtfTtntn
0«ttn, C, D, mc^tcinanitt: fo mtlT'ii ow^ itii^iaiu
«über bic SufiU)a^lettf A, S: • •

lEtfilicb. A migt nUt bie B. sDUfii
«nn.CbitD: fcinäl)« (8,1 s.«0 ou*A *» "'7
tie ,B, 0eeni bat «ntienoismcne. Solglit^ € s-^ D^
fonnübie Dnt(bri)]cirni. '

Snvfttm. G nlft nh^l tu D. Wfii nun A Die Bt
fb m&ie CB, rs. 1E'^ aiubC McO, flcftht b<tf Sbiflammaic.'
So^ü^ fonn A bic B ni^t nufcn,

' ' ' -/ -

*;^~'^^S)«r 18. ©aj. «t^tfäf.

SOÄjim j»(i) S^nlicf)« SlS(^tlijal)Icit, A, B; fiBt
<Siat mittlere ^JrapottionofjaSI. Unb bie a)«(iltni|
l»(ptt ätnKi4)cn Släd)eiij«^Uii, A, B, i|l baj ^nitfai^
ber S3ec^ä[tni^ i^tec gfeiJc^iiamisen (Seitcfl..

Afp»« S6«i(.
aif^X=liC.T); unb»
=E,F! (oift, wil ArvB
(j, Jd.'U.) C 1 D=E:F,
»llb«tW«ibfiM(7, I3<fc)
C!BssD:F. .Run W ß.E="G, olfe (7, 17. OS.)
C:E=A.G. jggltiM t|t S:F== Ai9_s ata oac^
»!Pi=:0:?,ti)!sll* A:0=rO^B. txSmAf^'M-
0,B,;l|)tti«iia|»»titiTli:t, illf>i(itBiriMA, B;<RMmllt>'
(m ^o^wiional)a^ - v ...

gibe»»«*' Weif.
■1Dt-A, <rjB)'((«i8 | )r»»»cl l M itel tinb! tbijlAlBSz
3 (Aiöf), Runmt A:G=C:E=D:F.. Sowil*
ük A:fl=:^'<e:E)=.a'<«:FX .. .'■

J 5 iBf«

. At Gu B:4
Ca D} B4 F<

179 ^ufßb*« Sfemente

^tt 19. @o|. «e^rfaf..

|t)»e9 mttt(ete.^ropDrttona(ia^Ieti; unb bie S3etl^&rttri|,
aweoee &l^n(i(6rn 5t6cpecaa^(en, A^ B^ tfl tat X>ce9fBd^
tcr S3et]^a(tni$ i^rec gleic^namisen (Seiten*. . . ..-<

■. .» •

F.G.H: foiil, ^6 M la L!J4

t0ei( AojB, (7,
21.«.) C:D=i

G» D3 E5 F4 6 6 Mxo^

F:G, ttnbD:E=rG:H, ober vecwedbfclt (7/ 13. Ä)
C:F=D:Gttnb D:0=E.:H.

e« fep C.D=k/ unb.F.G=:L. ' fftm ift C:D;=:
F:G. SolflK« finb C7. ai. ^0, K/ L, a^l#e 'i(i'4Khj«i^
Utu SoM ifi C 8/. 1 8. '00 iföifc^eh K, L, «iite ihitHer<
^topoctionalsa^I. M, dfpMC;M;=:M:L. GRüii, t|E.no(6^
tem 83ew(ife be^' eotl^erge^eh^'tS&^e« M±=:]>.F/ unbeii'
»oc C.D=K. Solglic^ tfl e»;!?..®.) G:F=K:M.
lDemna(^ flnbK, M, L, fletij^fcopocttpniiluL^^ Streift«
nf§ C :?.= £>•: G=E.'H. !',:..' ■■";•.'; ' .

^cnet f(| E .,M>= Ny ; H . M = O. . fSivai (jl ' A ^r "
C.D.E=K.E, unb B=F.G.H=:t.,H. 3oi»n*;
ift (7,..i7.«;)K:M=A.:N.f £:H=N:Ö; ^*:Jt=?;
0:B. atun »ac E:M:ä:E:H=rM:U ' So'r»(i((i ifk,
A:N=N :0=0:B. ^ICmna^ rtnt> A^ HA^/ ftettj,
1>nipeilioniit in betJSer^&taHt C:F^ atfo.^fd^A, B,,
}«»(9 mtttieve ^coportiona^a^Ien N/ O. ^ ., ,

3ttu^;^e»'!^l^ei(.

f)tt A>N^ 0/ B/:ftet%pcopo!:tiont{tfinbr fo i|t A.:9=
3 (A:NX 8lun war A:N=C;F=:D:Q.=rE:H»
2oid(i(& iß A : B= 3 (C: F) = 3 (D; G) =5 3 (£U H).

©et

\

Ä 8 C 13 B Ig ■

Da E3 F4' G$-

©er 20. @a|. ßefetfaf.

■

püftiorwfjaW/ C, fMIt, fitib &^n(id[)e Sf^etija^Iem ;

■ JRtomt man (7, 35. C.)\ w
If«; 8kr^(tni§ A : C »te f leinftcn
3a^ D, E, ba§ dfo D:E =
A:C; fo toitb A t>Dn D/ ttnb
G WDn E/ nac^ eteevfep ga^I gemeifen. ©fcfe fep F: fo 10*
F.D=A, unb F.EsrC JDemnac^ tft A eine glÄi^
S<^(, beten (Seiten D^ F*

• SDa A:C=C:B, fo i|i ou* D:E=C:B. golflßc^:
i({rb autb C t)on D^ iinb B oon £, nacb einerlei 3a^' get
weffen. ^Dicfe fcp G: fo i(l G.E=ß, folglich ouc&B
«ine gJi^erijÄ^l^ beten Seiten E, G.

5EkiF.E=C, unbG.ErrB: fo ijl (7, i8*®0 F:G
=rC:B3rD:E* ^(gfic^fiiib (7/ au«*) A,B/a§tiIk^:
3tt(^eiii<i^(eRr

©er 21. @a^ ««Vf<tf'

|Ho|)ertü>na(ia^(eii/ C^ D, fallen^ ftnb a^nlicf^e ;^r

SRimmtiiian ^ C 7a D ai6 B «48' /
(7/3S.©.Oin «X. A

Uw'Ctt^Jtnff Ex F| O9 .

tlHifte 3<'^^<'* [ _i -

E, F, G: fo flnt ( 8, 3. ®.) We ittfecflen l>ecf<16n«; E> G;
^rimiol^Itn }tt (inanbec/ au(6 (8/ 20. ®.)^i^nfi<^^ S(ä4>eiM
{a^fti. gitin.ffft'EizH.H.^ .g=:L.M: fb ec^ettrt, l>a§
E,. F/ Q, Jfittii pcopottionirt ftnb tn.6» l^n^Itnti H;!'^
«ttbK:M. ^
• gba E; F, G, fit tet »et^äftWf b« A; C, D, bie tteinft«» $

f» tfk (7, 14. e.) «m öcmiBldc^n E: G= A:a SBött''

' flnb

» ;

Sfemotfe

A24 C 7a D 3i6 B 648

Ei Fj G9 :i

Hi K1N24 L3 M) O79

fntE/G;^r{nu
)<^|en: )« einan?

ti(& toitb (7/ 3 1. ®.) A Don Ey D oon G, na,(^ cinwlcy 3*Ül.
aemeifen!; JDIeTe fe? N : fo ifl N , E = N , H . K ä A,'
$(niii<i^;i{l A.eineft6cpecji)g(/ beten Seiten N^ H, K.

SP« £^ F, G/ tie (|eiMften ^o^en in t>(( Cet^Mf ^
C, D/B; fo Wirb C von £/ B t>on G, n(U(> cinetl«9 g^
d«itie(fen. £)iefe fep O: fo i{t O.E=C unb.O.GrsO.
I, . M =: 6. S)emna(^ ift'aü^ B eine JI6cpäri«^i« /^iät%
Reiten L^ M/ O. ' ,

©a flbfc N.E=A^ CEssC? fe ift (7, I7.:6.^
NiO=A;C=E:F. {Run tft E:F=H:L=:K:M.
$^ti(^ if^ H:Lr=E::M:=;N:0. £>amm 9« K^ l|i^,
Me' ®äten bec A, unb L, M/ O, bie (Seiten t>fx Bi^f^
A/ B, ^nli(^ Sbtpttic^Un.

w ■ ' . f ...

1 : ©er a«. eral. Äc^jpfal«

' 9jl »Mt tercp fieftg prtp&rtfonitfcn So¥<tt, A, B* <>>.
bte erfl'e, A, eine -Quabtotjol^I: fo ifl auc^ ine-btttft>r
C, eincX^^ttal^otja^L ....

A4 B6 Cj^

Z>a }n)if(ben A, Q, (Sine «ittiece ^co«
poctiona(}a^( B {(t: fo finb ^8/ 20. ®.)
A/ 0, Ä^(N^ Sü(&en)«l^en. 2>a nun A tine .OuabMlia^
ifl.: fo iM»^ C eine Ouabcat)«^!.

©er 23. @a^ £e^vf«|..

3|l bon biet jlettg piropottiomrten So^le«/ Ä^B, C,fi^
bie ecfie., A, «in« QUi^irjo^U fo ifl aud^. ble «iectei .17/

\

I

37

inittfere yroportiwiöfja^ten J- '^ ° " "" ' '^ •"
B^ Q; fo fmb (8/ 4i. @.) A^ D, &^nß(^ Jt6r|xt3a^(eii. SD«
tum Ä eine Qubitiaf^l : fo i(l au(^ D eine ^uMfja^U

®er 24. @a$. fie^tfa^

jal^fett/ C, p^ verhaften/ bte eint eine jCIAialto^al^;
fo ift attä) bie anbete eine £lnabrat5alb(>
SMC^ P^ £liiabcat)o^(enjiri9'i foftnbfie

|toif(^ C, I>, Qim mititete IptepettionaU
iaifl mun ifl C:£)=A:I}. $o(g(icb Ift
CS^'$«^^ «u(&Jtotf^(nA/ B, ($ine mittrere ^c^ttfonaU
Sa^U S)ä nun A eine jbuabratja^t <ft: fb ifk (6/ bt^ 6.)
aut^'B efoe iQuabtotsd^f.

Ci4 .0 35

■» • ^

> I

lai^Ien. Cj; D. toet^lKtt.. bi>, eine i^e (£i(l^,ifia6r> w

A8 Eia Fig B»7
C 64 D ai6

ii^ au(^ bie anbete eine ^u5if jäl^f.

2>aC,D, Su6ifi4(en: fo
fMb fle &l^n(i(te $6rpevia^(en.

gof^H* (Inb (8/ 19.®.) J»1»

feiKn C/ D^ jnxp mitt(ete ^to«

pottionalid^Ien. Slun ift C : t) = A : B. $o(d(t<& finb

(8/ 8. & } au(^ }wif(^en A, B, jn)e9 ntittlece ^copoctionals

la^en. di fepen biefe E, F, bog a(fe A, E^ F, B, tiiec fte«

tig pto)>ortionirte 3o^(en ^nb. 2)a nun A eine Cubifia^t tfk:

f» i^ (8/ 33. ®.} au(( B eine Su^fia^i.

®cr 26. 0a$. «e^rfof.

7(e^n(t(^e Stöc^enja^ten/ A^ ä, t^erl^m ftc^ t»te

£^<>t>r,at4a^leru

SD«

374 ^unWi &mmt UMti Su(^

^AfB, &^nli(^ $(ä(^en)al^(ra

A6

Cis
Es

B34
F4

flnt: fo ift (8/ 18. ®.) iwifc^en i^

tien dtne mittfece ^opottiondja^I. D i

SDi<fe f(9 t: ^ unb man nr(Hne ( 7^

35. 6.) in bet S[}et^&(tni§ ter A, C, B, t\t flrinftot 3a^

D,E, F, tdf olfo (8, 2. 3ufO D, F, £luabtataa^len, trnt

D:F =; A : B. ^qutoc^ »et^olten ft4> A, ü, wie ditatoiatr

|6^ D, F.

Sä» A| B/ &^nfi(^e S&u

A16 C34' D36 B54
Es Fi3 G18 H37

pn^^U»'. f» fiab (8,19.0.)

|wif(tNm t^nen {»«9 miMece

^ot)ottiona(ia^(«n. !^efe

frpen C/ D/ mt> man ae^me (8, a. 6.) in ^ lD<r(&ftn{§

^ A, C^ D, B, tite neinftoi Sagten E, F^ G, H, taf alfo

l^, 2. 3uf.) E; H, eabifioi^Ifli/ unt> E:H=A:B. JDtaM

90^ Mt^fätte jt(^ A/ B« wie fu^tfia^en, S, H.

•• i

.*

, - *•

v.x

^fim

» . •

^75

-»-«»i

* .

i^pvn»

Kf B, ifl eine iCluabratia^f.

. , Of fep A . A= D, olfo D eine daa»

itcXiliiL a^unift A.B=C. ^tA^m

ffk (7/ 17« ®0 A:B=D:C. 9lun jtnl»

A/ B/ &|^ntt(te §Ia($enia^(en. ^(g(i(b ift

jC8/ 18. ®0 }n>ifct»en A, B^ unt* ba^w (8, 8. 0;) «tM( ^

f(|ni D, C, Sjrtc mittfece ^opoctionalja^f. Z)« nuirD eine

C]ntobc0tia^(/ fo ift (8/ 22. ®.) au4|> C eine OnabMtia^

A6
D3«

Bi4
C3i4

JÖer 2. @a$." 2<^tf«f..

3»eo3al^fen, A, B, beten ^tobuct, C, ^iam
tWiafjli^f ftnb &^n(td^e S(&c^enial)(em

,^fe9A.A=D^ a(fo D eine iQuabtat« j .
. ififyU . giuh iil A . B = C. golgli* ijt A ^ 8 !•
C7/ 17.©.) A:B=D:C. 3lttn flnb D, Df" CjiJ
C^ duabratja^fen^ alfo aucb &^n(i<^e S(&(ben« (
io^lem SofgliCb if)f (8/ 18. 6.) iwiftben D, C^ «nb bot
^ec C8/8. ®0 aucb jwifcben A / B, (Sine mittfece f^rbpor«
tionolia^f. SoW fnb (8/ so. 6.) A, B, ii^\^
5Ü<b<n|o^len. ' ^

17«

CuKib'ö &tmtntt

A 8 Bjß4
D4 Ca Ei

©er $. ®'ä|: 2cbrfd0. '

^o^^robuct, B, Aud einer C^ubif^a^f; A, in tt(^
fetbfl/ itUtne (S^bifja^t.

^ie 0eite bec Subif ja^^I A fe» Q un^

c.o'=b, fo(au<b (7r 19. @.) c.D

•^A. 'giunfe9£ bie Sin^eit. Solg«
Kcbtfl (7/ is.'unb ao..«.)E:C=C:D,
anb E:C = D:A. Sotglicb ijl E:C=C:D=D:A»
ZXmnac^ finb itoiftben bec @in^rit E unb brc 3'^ A iimi^
mittlete $copoiltona(}ab(tn C^ D. dlm ift E : A = A : Bi
'SoIglUb finb (41/ 8* ®.) Av^ {wifcbfii A, :ll; }toep mittfect
^tp)>pctiona()ab(en. 2)a nun A eine Subifja^l if^, ffM
Cij; as«"^*) *«♦ A eiiie gtibifia^f. ■■■/.

©er. 4, @Ä|. £el>rfo|.

,^ÄS ^robuct/ C; au6 ^we^ Subifja^Un/ A,^ By t|i
• «tt«^ublf jal^I. ^

,v «( fe9 A . A=D, aljb (9, 3.©.) D
•i9e Sttbif i<i^. Sftun i^ A . B =: C. $D(g«
fk|i{t(7ri7.e.)A:B=D:(l SHun
IM^A^ B, €¥^(ia^(eR/ a(fe i^tAid^ Sti/t»
t)er|ä|f(en. $0(9(1^ (inb (8/ 19. @0 itoifcben A> B, unb
bA(!e( C8/ 8. ®.) aucb itoifcben D / C, itocp mittleceyn^
poctionatiabfen; SXr nun O eine €ubifia§(/ f» ift (8/33. 9 J
av4b.€ (iM Subi(iab(«

©er 6. @a^* £e^tfa^.

^JSine gd^f, B^ bte mtf eiatt ^uiifioi^l , A; «trvfie^
faTttat iuln g^obucte, C, eitte Sabif ja^( gtebt/ ifi f€fl|l'-
eftfe Q^ubtf jal^(.

8i fep A. A=D/ «Ifo (9/ 3- ©•>
Ö eine Subifio^f. Sflun Ift A.B=C.
![»ft|ß<bi|S (7/ 17.©.) A:B=D:C.
8S^A ftntf ]>/C/6ubif id^Cen, affo öbniicbt
4br|)CQa$(en* gofglitb faUen (8/ 19. ©0 {wifcbenD/ C,

ttnk

A8 B*7^
1)64 Caiitf

A 8 B 27
D64 Oaid^

' /

Oi^ttüM $U(^<

»77

^otttonarja^Ien. 2)a nun A eine (Subifjo^l^ fo ifk (8/ 83*30
#li# Ji eine (Eui^rial^

Sin« ^cii)i, A, bie mit ft4> felBfi »ert^te(f4(tty jum ^co;

^kt eine tubif iaX)tf B, iitbt, ifl fe(b(l eine €ubifia^L

CKfep A.ß=:C, «Ifp (7, 19.CO

A8 B64 Csiii

A6 -B7 ;.C4Ä
Da E «

Br- Sotgli* iji (7, 17. 6.) A:B=:BjC. man pnO B,
C, Cul>((}a^(ett. 0ol9li(6 jtnb (8/ 19- ®.) )mtf(ben B, C/
«ob bdl^ee (8/ 8> 6.) <iH<b itoifcbm A, B, )n)tp mitUece ^to>
pn^OMlia^Ua. !&a nun B eine Subif ja^/ f» ift (8^ 23. (5.)
4iNft. A eine Sub(fja()(.

SDer 7. Öo|» £e5rfo$.

t)aS$tobuet/ C^ qu< etner jurommend^feftett Bal^(^,
A, in /ebe Bal^f, B, ijl eine Ä6cperja^f*

IDü A eine )ufammendefe|te 3a^( ift *
f( foicit^eX?/ ij. *•) wn ir^ftenb einer
^I D, n(td> icsenb einet Sal^l £, ge?
meffep^ N& ölfo E.DrrA ifV. 2)a
mniA^BrrC: foiilE.D.Bn^rC; J)emnac^ ijl (7/t7»(J»)
C tiat S&xvttiafH, beten G^.^ E; D, B*

Sber 8. @a|* £e^tfd|^

©liibboiijbet? Sin^eir on mehrere 3abfe«, A^ B, t^ D^

fineiduabraria^U )ebe briete; C; P^ eine Subifjabf; febe
fcc^e/ P/ eine ^Uiabratja^i imb Subifjal^i ^usleic^

SDtti:A?i
AtB, fo n)ieb t A3 B9 Cd? Dst £343 P7ii9
(7>Ä0>@,)B

DM tyer A nacb e6en bet ^^If m^ ml^t A i)on be« (Sin^
1^ gemeifen mirb; olfo niMb bet Bal){ A gemeffen, foIijlKb ifk
B=?r A.A> a(f0 B eint X^uabratio^U Sim fmb B^ C, Dj

ta\\V$ €lem. 15 SMer. ^ f^^^0

1

>78 &ilWi 0mmt

feHjj ptojwrtJo» I , A 3 B9 Ca? Dgi ^»4tV^%m
nftt golgliepifi | -

( $^ 3 3. ®. } D eine £lttatc«tia^(. Sui ^lei«^ Oc&nbeii ^'

F eine huatiratia^. ^emn<>(^ fin» R/ D^ F, OitaDratto^^

IDa au(& I : A=B:C, fo Witt C eon B na(^ bet Bo^Ia'
semeffni/ fol^lit^ ift A.B=rC^A.A. A^ offb C eine €11«
tifsa^f. 9lun fint C^ 0/ E; ]^, fketis pcQ|mti»n{(t %rii^
UC^ i<t ( 9^ 2 3. ®.) F eine «uMfjal^I. Senuwc^ fti\i> Q^,
6u6if jaulen. fStnn to^c F auit (ine duati«!^^ :9<%Bife:-

F eine £lua(ratsa^( ttnt €u(ifitt^( {«gleich \\

, @tnb f^on bet Sinl^ett an mel^rete ^dffltn, A, B^ Cjj;
b^ E^ F^ {ietid propottionirt: foftnb/ toenn bie nSp^^^
A; eine iduQbratia]^( tjl ^ oUe fol^mU OxuAtatia^ttiu
Utxh, mnn bie erfle/ A/ eine Q^ubilja^t i(i, c^t f/^U
fi^nbe Eubif jal^fe«* • ^

€t|ler Sair*

F/Duabtdt^ I A4 B 16 C 64 Da56 £1024 F409jitE^
ißfficn pnb,l

j^ im torigen Sal^e betHefm »otben» 1iaA^B,C fM$
jAopottiontrt flnb^ iinb A eine CUiabtaQü^I ift: fo ifk (8f^
S2« @.) oucb C eine Cluabtatia^f. Sa B^ C; D^ {keä^ |Mm
)>octtonirt ftnb/ tinb B eine Ctuobrotjal^t t^t : fo tft (8/ 22« 6»)
(Mi4) D eine £iuabcatia^(. Sben fo tft bet Semi< fftc irfir

2)afiC,FJ

'eübifia^(en(iA8B64C5i2D40.96E32768Fa42i44
fmb/ ifi im ( • :'

torigen @aige 6en>iefen noorben. SDa i : A r:: A rB , fo t^,
(7, 204 @.) B oon A nacb cven ber Qa^, ali A toit'tic
(Sbi^eit; alfo nacb ber 3abC A gemeffen, t>a% olfo Bs±:
A« A. giun ift A eine SuMja^ SoIg(i(^ ifk (9, 3« 0;)-

B«tne€u6i^(i§f. "^a nun au« A, B, C, B, flettg pm
||(rt)Miii« ftttt) , fo ift C 8/ ^3« e. ) O eine iub\tiaf)l Mut
^feüben ®c&nben t|t £ me Ctifrifia^I/ itn^ fo fort

• @ito!b tjon ber Sinl^eU an mehrere ^dbltn, A, B> C^^
B/'JE^F/ (Ictifl pcoportiontrt: fo finb, wenn bie erflc^
A, f ein« iClüobratjo^I ift, liiit Tluönanme /eber jweptert^.'
Ä; D/' F, oOe üferige auc^ feine ßLuabrotjabfem Unb^*
ttc|itt.bieerfle, Ä, feine (JuWfjaW ift, mit 2luöna6mc'
j^er Dritten/ C, F^ oUe öbrige atic^) feine (Inbitioi^lttu,

?Vr:/. erjler galf*

I A a B 4 C 8 D i6 E 33 F 64^

lS|-'f<9 A feine
üttabrütgü^ Qbcr>
toenn «( m6<)(icb^ C
e^ ÖflttbrbtJd^L ' 3lün ift A : B = B : C , unb ( 9, 8* 64);
Bäbe duabratjabi* >So(glicb oerbalten ficb A^ B^ ww Ouo^^
bratid^ien/ unb ftnb a(fo 6bn(i(be gläcbenio^len. ^anutl;
B anedüabrdtiä^i ift, fojfl e« aucb A., gegm bot finge».
tHmimic« 'Solgltcb tft C feine auabratja^U Sben fo m^
tS fb^E on^. bie übrigen benHefen.

(||'f(9 A feine SuMPia^(> ahn, ttenn e< tab^f D;.
efec€tt6»ja&(.' ?Runtfl;'te:C==C:D, im» (9/8.«.) C'
efpl'en&iraa^i. Soldlicb Mt^iten (td) B, C, tote Cubifia^ <
I^r'ttiti) (tiiA alfo &iynti(^'96rperia^(ett, fol0ß(^ ift B eitit
Sulül^obl. SRun tfl i:A=A:B, t>a§ atfo B tnm A ita(&
b« ^W; A gtineff"» »««> / alf» B = A . A iji. golgUt^ i^
'(9/ 6/^0 -^^ «««'Su^tfiö^l/ ««<!<»> ^«* «ngenommene.
Sof0ß<J6 Hir'D. feine Su1»kfioi^(. @6en fo tvict M; fbmtii f&r

SR a S>et

\l

©et 11. ®a^ icl^rfol* ... .»

' ®ittb «on bet (Sift^t Ott tne^me Z0^^ ^f ^z G^ Dj;
flMtg ptoi>orttomrt : fo miffet jcbe htx^\Unp A, eine iMii
tet fofgenbe; D, m^ einer bet 3n)ifc$enial^Ien^ Ji^ 4^

JDa i:A = C:D, fo ■ '^

tmvbADonbeciSin^ctt^uttb x Aj 6:9 (3 27 Dsi»
H-pottC, iinbjC7, i5f 6.) -j

!Att«&db|eU: C t)on bet ^v^f mib D «on A^ liatb' cm^
(^. 3<![)^f setneffem !&a nun C . i^on ber O^in^ noc^ ber 3#
C ^etpefr^n foicb : fo tpitb auc^ D omi A mu( ber 3a||| Qi
6|(o nac^ meiner ber 3a^(en B^ C^ gemeffnu

• ■ ■■

@tnb t)on ber gtnl^eif an md^««* Sa^Un, kf%,Ci
D, fietid proporttpnirt : fo tt>icb )'ebe$}rtmi(il^^ ^ l»#ilt

I A4 3 16 G.(4 Ilaj;»

E 3 tl 8 O 33 J!:ia(8i

.»" I

fitoice« (7, ji.®0

A^ B/ Vrimsa^Ien ju

eifidftber. er »erbe D

wn E n^ ber 3a^( F ^emefTrn, bai d(fo E • Fs^Dfr

aiKb^toirb^^^, 1*1« 6.) D t>on Ai nacb ber 3al^ C gancte

ba§ alfo A.G=rD. Sof^ft« <<fc A.C=E,f; ff^Mi^

(?/ i9v0.>A:E=FrC. Sfiuti »aien A^ E/ :9«iini4bN
2U etnanber/ dfo (7, 23* ®0 bie flWnfien in i^||er Ser^^
nfS- ^ 5i>l8ti* vim (7/ 2 1- ©0 JE bie C, i^aial^^ I|k^.
b(e§ nöcbibei^Sai^ Q gefcbiel^etr E,0=:C; -SD». 46»^
(9, 11/e) A'-J9=;C, foifk A.B = E^p,-Aij|,
AtEstriOtB; 9}un kPorenA^ E^ Vrimiobteum cinanbc^l
aWtf :bte fieiRflett. in tl^cer Sßed^(tni§. S^^(i4( «lifitt}
(9^ 21. ®«) £ bte B.^ ba§ dfo^ t^mn bte§ na^:ber 3^]^ H
g<febtef)et> E/HitrB. 2)a^a6er A«A=:B^ fo i^.i^^9';
=£rA.A,4t(ftriEtA==A:H« 0t.u9 Ibaren E ^ A> 9tiii^
aalten ju einanber, a(fo bie neinjbni tn,i||ccr X^e^&ttnifv:

3

• /

fiHterf^rict^t Z)emnac(^ ift ti f^iffct^^ ba% £ nic(>t t>ie A m^i
^f^^mi^t EbteA«

Öbigec 93emei« t(t tor nam(ic^e f är jebe anbre ^m}o(r>
ttd(^ bte D mifFet.

!•■■■■.

©er is-.®ai., 2el^tfaf* .:,

; ®iiib Wn bet Cml^eit an ntel^rfte ^afittn, ^^ B, C>
D/ flrtitTropomotrirr: fo mtrb; tüenn bte erfie^ A^ ^tti«
^tmia^tifl, hittt^te, O^ nur bon b<n in ter 9IHro/
Portion wr^ergel^enben ^af)itn, A, B, C, gemeffem -

ti mtbt D, tpenn j t^ * ^

ümfisft«, noc^oon ' -^5 Bas C 125 V 6z$

diiet^a^E, treibe E~ H— • G— F~
snü feiner ber Sal^Ien

A; B^ C^ einectep \% gemeifen: fo f ann biefe feine ^dmja^f
ft^n, toeil jte. fon(t (9^ is.®.) au^ bie von tl^r t^erfd^ie:?
txi||e.|hftmia^( A meffen m&§te/ tpelc^e« unmöglich tft« !&fnu
1149 iflE eine iufammengefe^te 3a^(, unb totrb alfo (71
33*^0 bch trgenb einer ^cimiQ^( gemeffen« Sie§ fdrti^
nur A fepn/ toeil eine anbre^ ba' £ tU D mtffet^ ancb bie
D/ fofflfi«^ (9/ 121/60 ait^ bie ton t^r t^erfcbiebene f^rim«
t(Bk.A meffen m&§te/ toelil^ ttnm6a(t<^ ifl» S)emna(^ mlfSf
fftAWeX

etttHrffe E bie D notb ber 3o^( F, fo i{t F mit feiner^
SajjUen A^ B, C, einerfeo/ toeilfonft eine btefer Boi^Ien bie D
hM^^ 3al^( £ meffen mi^jt, folglich/ iteii (9, 11«®«}
ädf bet $ii^(en A, B, C, bie fi, nacb einer biefer 3a$(en mi^
f^/ K mit einer biefer gaffen etnerfep to&re 1 g^gen bie Coi»
M^f^N^« 9hin toirb n^iebcri toie wcfj^, bennefm, bafF
friiie^mja^t itp, tmb H% ffe bon ber A gemeffen n^erbe.

1D(r olfo E*F=D^ ober auc^ AX5tD> fo (jt E.t
±äA;C; olfo (7, 19* €50 A:E=;P:0/ SDa nber A
bie E mfff)»^ fo miffet «tu^ F bie C. 0ef(^i^ bieg na(^
b94fft^<>> (ö toirb attf A^nlicbe 8rt| loic bor^er, ben)ie^

\l

' ^tnb t)on ^ Sift^ett on \at%tmZ^\tttf A, B, C^ Dj;

ptti9 tM^otwtttotttrt : fo miffet jebe btcfdbeit/ A/ eine ]»(i#

tetfofdenbe, D, na<^ einer bct St^ifd^otja^fen^ JS^ C •

sbai:A = C:D, fo • -

towt>Ai»onberjlin(dt^ uttb .t As B'9 .(^a? Dfi'

Di|^uÜMl!l|eI( C oon ber 9itt|^/ tmb D Von A; rio^' mt^

U9. $<!^f d«n(f^ 2>a nun G,»on bet'C^n^ mu^ ber S<#
C'igieipefren »irb: fo tottb au(k D Mn A tui^ ber 3a{^ Q|

<4(<> 0«* «»P«t b«f 3«^«» B / 0/ gmriTni.

' ■ ' ■ • • ■ . . . ■ ^ . ■

■

^tnb bon ber @tnl^ett an mel^mi Sal^«*;^ A, B^ C^'
D, flettg propo^ttpnwt : fo wirb ieU^timiei^^ B^.l»f|^f
^ie^u,T>, miiliit, ouc^biect^e^A^ nef^* :^

I A4. ,Bi6 G.(4 QsAb

E2 HS 03s J!!i9(8| .,

■«. ii»--

f^Ltoiten (7/ J'i.®.)
A^ B/ i^HttiÄ^Un iu
eÜMAtXr. ectMtbeO
«Ott B nA^ Set 3A^f ^ dcmeffen, baS «If» E . F s?:p^
aii<^toit^^9, i<i, 6;) D i»on A>na(^ bet ga^I C gonti^i
ta§ alfo A.C=D. $0^16 i^ A.C=E.f ; . jMg|i(^
( 7/ 1 9. ®. ) A ; E = F t C. SRun toacm A, E/ i^MniiAl^ett
}tt (tnan^ec/ alfo ( 7, 33. ®.) Üje fMnften in tl^i((c Sct^i^
nfeC 1 golg«* »iffrt (7, ai.@.) E ijie C, baioIW, W»
b(e§ niiMbiJb((>3(il^Q gef<bte^er> E,G = C; ^ . 2)» «b(C^
(i»> II. €S.) A i ^ =5 0/ . fD ifl A . B == E .P/ älj^.]
AtErtziO i£; dtm »mtn-A, E, |ki»ia^en m cinahbdv;
dfn tfe -fieinflett . in ü)tet .fB«c^tni§, So(g(i(K .i>#(t;
(¥$ 2t. @.i) E bteB/ bag df», n>j(ttn bi(t na4i.:bet ^a^' H
g«febte^t/ E.H=B. !Da,abet A.A=;:B^ fo H^.E.Ii
=srA.A/xtffirmtA==A:H' .9)o9«»acenE^ A> ffinut
aalten ju (inanb«(/ affo bie ndn^ in,.^^ 9«e^ttti|v

%Ign<^ ttiffVt EtieA.
MlÜfeiiit D tniffet.

©er is-;^ai-/ ^el^rfaf. r:,

/ €5iiib *on ber Cihl^eit an tnel^fte 3<^^^«/-A/ 5/ C>
D# Urtitwtwttiotnit: fo »rrb, »enn We etfle, A, 4tii#
^tfkria^ltfl^ bie u^te, O, nur San b<n in ter ^o/
Portion bor^ergel^enben 3<t)^^^/ ^/ ^//^z d^^ff^n« -

f« wrfee D^ »enn I ^ « ^ ^ »^

ümfisft«, ncx^bon i A 5 B 25 C 125 D 625

elittrgo^E, fwl*e E~ H— • G— F~ :
snit femer t)er Sai^I^n

Ä> B, C, einerlei i% gemeifen: fo f ann Wefe feine ^clmja^I
ftffn, toei( fte.fonft (9^ 1 3.6^0 auc^ bk tön il^r t^erfd^ie:?
}|(^c.fi|rimia^( A meffen m&§te, mlöt^i unmöglich ift* jDfm^
na$ ji^ E eine sufammengefe^te Ba^I^ unb toirb a(fo (7^
33*^^0 bch trgehb einer ^rimia^I gemeffem SieS fitta
nur A fe^n^ toeil eine an^re^ ta' £ bie miffet^ ancb b^
t)f fo(glt<b (9/ ii.GO ant^Meton t^ Derftj^iebene f^rim«
la&tA meffen m&ite/ toel^ ttntn6g(t<^ i% S)emna(^ mlfif >
fftAbieX

MnHtfe E bie D notb ber 3o^( F, fp {{t P mit fefaierbir
3a{Hien A/B^ C, einerteo^ »eU fonjl eine btefer Boi^Ien bie D
flitib ^ 3^^ £ nieffen mu^^te^ folglich, t9ei( (9^ 11« O.)
ciiiir bei^ ^^(en A, B^ C, bte fi, nacb einer biefer 3a$(en mt^
(et/ K mit einer biefer ^^af^itn etnerfep to&re 1 gegen tie Km
M^f^lnn^. 9hin tüirb n^ieber, xoit tet^f bet^iefm, baflP
fAfitfümitdfi fe9, tmb H% ffe t^on ber A gemeffen toerbe.

'JDtr olfo E*F==:D^ ober ou* A.C5iD> fo (jt E.?^
ürA.C; otfo (7,19,00 A:E==;P:0, SDa nber A
bie E mHf)(t/ fo miffet onc^ F bie C. 0ef(^ie^ Meg na($
b<r^l^ &> fo «Hrb anf ^nlicf^e 8rt| loic bor^er, bnoie^

SR 3 Uj^i

jr

t%»

^fliVt demente

A5

Bas
H —

.i. #

Uta, bdg G mit f dnet
bet 3a Wen A, B , eu
nedf9,au(bMfieteij
tieyriiniat)lfe9^ unb
tai jte t)on A gemfffen »erbe* /^;, .

Da alfo F.G=:C, aber au4 A.B=C, fo tfk A.S
s=F.G, o!foA:F=G:B. 2)a aber A We F miffet/^
müTet auA G bie B* @ef(bie^t bic6 nacb ber 3a^ H> ib
«»itb toielboc^in betotefen^ ba6 H nicbt mit A einerlei 1^ -

2)aa(foG.H=B, aber a\xd>A.A=B, fo ffk 0«S[
.=A.A^ alfo (7; 2o. e.) H:A=A:G. ©a ober A
bie G mifTet; fo miffet aucb H bie A, eine üon i^r )Krf(btebnie'
^rim^bl / to^Icbetf unm6g(iU> i(t* . ^mna^ tarn 0iy^
deiner anbem ^l, au|er oon A, B^ C^ gemeifen im^ ;

^'

^%.

S)et 14. @a^ Äe^tfof.

©ie bur^ gewtffe ^rirnjaWen ^ B', C, D^ miftoe
fleinfle ßabl; A^ n>irt) nur, ton tiefen unb felneti dib
ibem ^JtimjaWen gemeffen*

(N metbe A/ menn e< mbgticb/ nocb
ien einer |)rimiab( £/ . welite fait fei;
liier ber genannten einerlei^ ifl , gemef:;
|ti|. ^ie6 gefcbeb^ n^4> ber ^ob^ F,

ba§ a(fo E . F rr A ift. SRun imib A

Don ben ^rimiablen B, C, D, 4)emefreiL ^otili^t^-Xy,
3 2* ®0 oor^^btefm f itweber £ ober K gemefpen. iRun f am
|»|9 ton ben ^imüablen £^ C, D, unteifdbiebene |>rto((^
im biefen. nübt gemefen merben« $o(gK(b n>irb $"', . mii^
Keiner alt A tfk, ton ibnen gemejfen/ mettbei unmAgfii^
CJtatt finbet; toeil nacb ber J3orauö(e(üng fcbon A bie'l^cfaifke
Pmdfä, C, D> mefibare 3dbl ifL Siemnacb fa]fm A tM
fdner ^rimia^^ «ufier^ B, C, Jb, gemeflpoi mrbeiu ^-

A |0

B 2 C 1^

V

^ef

D...E....F

X

©er 15. @a6. iiffxM - .

'^ '^inb t>«9 fletig prepotttonirte Sa^^e«/ A/ B, C, btt
fkifi^eit itt-t^ec 9^i^^(»itg: fo tfl bie (Summe bon )<
ItDf^en eine ^rtmia^( ju bec übrigen. .•

IKr^Itcb. Shmmtman (7, 35.®.) 1 * „ ^1
#»e9 3a^en DE, EF> »el(be in bec ^9 «12 V lo
.JDec^tnig ber A, B, G, tie (iein^tn
,fnb* f"^ <& offenbar, bag jDE . DE
=A, DE . EF = B, EF . EF=C; ©a (7, 24' Ö.)
►E, EF, ^tim|a^(en ju einanbct finb: (b ift (7, ^o. ©;5
>F eine f^rimtabi fo toob( Ju DE , aii äu(b )u EF. I^un
jft DE eine ^rimjabl ju EF. gofglicb (tht DF, DE, ^timi
l^i^ieii jtt EF, fofglltb ift (7, 26. 6.) DF. DE eine ^tirnj«^
lii EF, foigfi* (7/ «7- ®.) a»* jn EF . EF. giun ^
(i, 3. 6.) DF.DE = DE.DE+DE.EF. gMgHtb jjl
DE.DE+DE.EF eine ^rimjobl ju EF.EF. 3)a abet
fia(bObJ8<mDE.DE=A, DE.EF=B,EF.EFäC:
fo ift A+B ein; ^m}ab( }tt C.

^. 9wrft0l6. @6en)i» beioeifet man^ baf B«hC .eine
fWnuabt'Jtt. A f(f9.

2)rittett8. !^ DF eine ^cintio^i }» D£ unb }» EJ^
wat: fo ift (7, a6. 27. ®.) aucb DF.DF eine ^tim}ab( {u
DE.EF. gtun ifl (a, 4.©.) DF.DF=DE.DE +
JBF.EFH.3DE.EF. Sofgfitb ift DE.DE+EF.EP4.
aDE^EF^olfbattib (7,^30.®*) DE.DE+EF.EF4.
DE.EF unb DE.DE+EF. EF eine ^(intjn^f ju DE.EF«
jM-ip! A+G eine ^ja^I j« B,

©er 18. @>a|» 8*^tfjr6.

,. /<S5tnb|«>«9i3,<»^«»/ A, B, g3cintja^leit jU «noihbny
Jo ^ubt ei$ iu beibett leine britte ^ropoctionafjabi.

A5 Bt C-^

^ ,, 9$i<9, u>enn el m6g(i(b, eiae^bttt«
;.tf C, «Ifo A:Br=BjC. Slun ^nb

Afü, ^nn^A^ )tt einanbec^, a(fo (7, 23. ®.) bie Hein«

ften iii t^tccMßeiptnig" ^m^ (Tz ax^-e) mtftt A

1 .''i 8R 4 > bie

.\ .

iS4 CNntb> ^mmi

A 5 B 8 C

tinb B« tt^i |>nn ^nftcnomincnen

tn^fpctibti S&eiRpa«^ ift ni^^t A : B = B : C, oQi» Mal

t«t«K 1}rppO(tionaIiat)( itt A, B, . . , .

ÜB, C, J), bU iu^ecflen ^rtmjabftn ju cinanbfr; fp
^JropottionaljaW.

E, off» A;B;=;0{E; f o^ if| «croKCbfcIC (7/ 13*6.)
A:D;:=BiE. SSunfintA, P, f>timia^ni {ii ritittRl«c»
(A^oXlt »h 90 M< flnnft«! in i^tec X^f)&ltntf. %t(^
( 7, a I« ©. ) mifet A bie B. »a olw A ; B = B : C, >
Hiiffet B bie C , f»ld(i<b mufft aud) A bte C. S>a obct B: O
r?C:D, fo utifTn C bte D, foigliO) wtjfet au(6 A bi<P>
«bct owti {t(^ felb^/ fDl0fi(fr tniffet A bie A unb D, «MttM
tem Slngenommmen »ibetfpctcbc J^mna4> ift ni^t AriB
0;£i a(f9 feidt otfm ^}t9pptti9naliä()( ju A, B, D«

€i finb itV(9 8o^t<?t Af, 3, sedeben/ iminfofii «tf»»;
fc^titi »fit m6fllid^ fePi (iiK btttt« 9^ropoi;ttoiia(&a^ I«

X)it fleaebenen 3a9(en A^ B< flnb eptwcbec j^timia^ |ii
diwnber, obec m<bt, 3fr"b<rti etjleV fp giebt «<f (9, i6i.'(S$.)

«= Ct \ 9un mifet (ntvcbe« A bi( C « clKc nifftlk

'A4 ^ ^ D 9 C 36

€# «wffe A Me C, tinb jipav,
itdd^ bet 3ä^( \>, b«ft «(fp A, O
a=C^B.B; fo iü (?, «0,«,) AiBt^sBsD« fdgiM»
Ü6t ^(b 4u A , « -eine britte V(0|>octi9i)a()a^( D iinbm.

Olfltntiee I8u(^«

»T

ttl

tu ntffe A mt tne C, fo).^ «. ,*._ - '
Sl*t e« feine Wtte V»pdc«e/j '^^ ^ " ^**
fidlfa^I. $enn ti fr^), nxntt rt m^gHt^, {tt A/B^ efii« btH^
^coportionalja^t D^ alfo A : B t:=: 6 : ; fa lo&te (7, ao. S^i)
A. D=B.B:=:C. SD(gU(^ miiTet A Me C nat^ btc ga^I

jSieftt e< ^iec f rinie tcitte $copoiftiona()a^ tu A, B.

®er 10* @a|. 3(uf8a6e.

-^ fin» b'rep S^^f^«/ A/«, G/ gegeSett^ moii fett
tt|»tf(^en, 06 e< m^fttid) fep^ eine t>(crte ^^ri^otdondl»

Ste^cgelenen Safylen A, 6/. C finb enttoebrr ftettg proper^
iioQtit^ ober nietet 6ie fi^ {uetfi^tig |>ropi^rtiontrt/ ff
fittb Die tofei^en A, C enttDebet^rimio^len ju cinMt>tv,.i^
m^t 3fk^ba« (Srjie, fo gtebt e« (9, 17, Ä) }ii il^en f eitie
tifxtt 9}coportiona(}db(* ^ ba< SEnbere^ pnb mihi ^mdif^
!^,C::2D'^ fo miffet entioebec A bie D/ pbetnbj^*.

^rflet galt

B^Är^nS A« B» eis E .7 D «*

Lff UltO }tOdC IKUP . ,,

m 3«|fi E, »ttt flifo a.eäd=b.c; fi^iiKr, li^e,)

A:BäC:E> f*l8Ö<^ JÄfJt fl<fr ju Ä, B, G d« Äerti^tr*

mtS^] fr J ^'^^ *»° ^ 4J' vi:.-** • D 135*
«UW e< ju A, B, C feine »>i<rti*i|J«o|>erti#rtäfili$f. .t**» ^
(«9, wenn e« mJflli*, $u A, B/Cefne »lerte ^ropottlonaU
^>^, ,äJf».A:B5=C;Ej fb <(k (7/1^.6.) A,«=
B.C=ri>, gojgti*^ mHfet A We D iw*>r 3«^ E/ «»»»
<Ni (em tingmofiimeneQ wi^fiA^d)!. S)cmiM0 t(ie6t << in
Utfm S<iiic f dfte iH«(i( ^t»|mtiQn«(|«$( $» A/ ^ 0; -

I I

t8< ^)ai&>'i Sfemettte

Cint) diet {tvepthtf tte gegebenen 3d^(en A/ B/O tii^k
fMtg ptoportionitt/ unb man ma^t B .0=: D^ fo tofc^^auf
Id^nKc^e flDeife, toie t^orj^in^ g^ieigt/ bai menn A Ue D tniffe^
ffaie t>iette Vrp|>ottiona()a^( }u ftnbcn m6g(i(^^ tPofetn^Mil
A tiiöft bit D miffet; folct^ unm6g(i((> ift.

®er 20. @a$. 2el&rfaf* ^

' ^te Sl^lenge ber ^tm^afiUn äber^eigt jebe gegt^tttt
3(njal^fbetfeI6en, A, B^ C. •■■

Aa B3 Gr5

E^op.F

A5 B^-rC^
EJSSD.F

Siitamt man (7, 38* 60 bie burc^ A,

B, C, mefibare fleinfte 3d^l ED^ unb fel^t

^ 9in^t DF ^iniu; (0 tfl £F entme^

bet eine f)rimsa^I, obec nkbt 3|l ba« ^tfte, fb ifl {U Jim

gegebenen ^nmial|)Ien A^ B^ C^ eine anbete £F ^njugef pmf

mm* 3^ ^^^^ ba< 3n>i?9te: fo tt>irb

Xli 33* ^0 EF t)on fcgenb einer ^cim^

la^l G gemefTen. . Z)iefe G ift mit fei^

tiet feer A, B, C, einetlep. S)enn »See

jieef , fo m&rbe fie ED meffen, fo((^Iicb/

ba {te EF miffet, aucb ben Stefl DF nf^ffen^ eine^o^tÜe

(Einheit, n>e(cbe« ^ nicbt m&glicb ift S)emnad^ ifl bie ^^^
j(atll G mit feinet bet A^ B^ C^ einetlep^ unb i^ olfo )ii beit
'gegebenen fkiidia^ett A^ h, C, eine ne:ue G l^lniMgeiPöimiien.

©er 21. @a$- £e^rfa$.

' HBteCummei'eberTtnjal^rg^raberSal^leii, A, B^C/
D, ifl eine flf tflbe gal^L ,.1

2)a jebe biefer Sohlen «<tabe f . ^ ^ ^ i n'o
«»: fo ijl fie, folgficb atwb bie ^ * ^^ V^ *^8
Summe Mtt^ mir ber S^e^ t^eUbat« Sotgfi(^ t(t (7^ 6« t.)
.tte 6tto»ne eine getabe S^ü^L

2Der 22. ©0^ Äel^tfaf* . . ^^

^ SMe (Summe jebet geräbett 7(nja^( ungerobttS^ret^
A/ b; e, D/ ijl etrte ger<Ae ^f)U
- JDa jebe biefer 3a^len unge^ I ^ «> fi-t llo
rabe i^/fo erlitt mal^>»«mi ^ ^-v*?,^ r-7 ^,9

Mn Je^ tie Qtnl^ett noei^senommeti roixh, e6in fe bu(e ge^
fdb< 3^^(en^ beten ®umme olfo (9^ 21, @0 getobe ift, 0ltm
,^ mi(6 bie Gumme bet megsenom^enen Sinl^etten gerob^
%ol%ti^ mac^ {ie (9/ 2 1* 0.) mit jener Gumme eine.gerobe ßo^

2)cr 28- Öä|- 2e^rfa|- ■'"■■^'

. : S)ie @umme feber ungeraben Unzahl üttgerober 3<tl^
ttn, AB, BC/ CD, ijl eine ungerabe So^f*

Stimmt man t>on CD bie @in^eit
IDE/ fb ift ber 0teft CEgecabe» ^
nun (9/ 22. ©0 AC gerabe^ fo ijt (9, 21. CO auc^ AE g6
^1^/ forgIi(f^/ I9enn bie (Stnl^ett ^injutommt^ AD urigetal^j^

AI. BICJLEJLD

*\' t

©er £4* @a^ Jel^tfa^*

- '©ie 5bifferenj, AC, jweper ^erobert 3«&^e«, AB, fiC^'

tfl^fine getabe 3öW*

2)<i beibe B(if)fen gerabe (tnb^ fo ifi jebe/
onb bal^ iiu(b i^te ^iffecen} mit bet ^tott^

Aö^C^JI

t^^lbat« S^Idii<<^ if^ foM^^ Z)iffeten) eine getobe ga^L '

S)er 2f @a|- «el^rfaf*

,^te ^iffKenj; AC, einer geraberi ünb underatdi
3o5if/ AÖ , BC , ijl eine un^erabe 2df)U

Rimmt nrin t)on ber ungetaben 30&I A «» C i n ii B
BCtie «in^eit CD, fb tft ber tRcji DB ^^ -^ "" -^ A
gerabe, folglich, (9, 24» ®.) AB — BD = AD geroÜ^«
JUmmiman ^ierbonbie (Sin^t CD, fo i^ AC unger^ibe«

'^ ®et26»®a$* ^e^rfa^* ..

Jlbit IDiff^eng, AC, {toeper ungerobett ^oi^tny BC,
AB,t ifl einegerab« 3^^f*

A 4 C 6 D'i B

Stimmt man bon ber migeroben 3a^ AB
tie (Kn^) BD toeg,; fo tfk ber 9te^ AD
S^abe, ginn i^ du< gfei(^n).$rpibe CP gevabe. SolgÜd^

"ifr (9/ :i4^^*)^ADf*?CDÄAÄ eine gerobe^ßa^^ . , .

^■... . " * ©et

iift

€ü!(ib*« &mmt

^ JDÜ S>tffeceni^ AC, einer ungeraben utib gcrobai
3«^I/ ab; BC, t|leine.Mn9efal)e3«'&t.

Slimmt man tm bec ungetoben' ga^l a » D 4 C 4 B
AB bte ®n^t AD «x«, fo ijt bfc jReft '*-*'-^- "
PB.«««b<, folgHJb (9/24. ®.) DB— BC==DC««dbe.
JtMiimt l^ferjtt bk (Stn^eit AD^ f« ift AC eine un^erAbe Sfi¥»

eine gerate , B, tfl eine gerabe 3<i^I«

Da A.BszC^ fo btftefftt C au^ f^ t^ie^
töiüto'B gleichen ^o^Ien, al« in A einleiten
(int!« Z)a nun B eine getobe ^af)l, olfo G
tie Summe geraber 3^^^: fotft (9^ 21. 60
C Hne gerate gal^t.

A3 «4
Cm .

■ tt, .«A.-

C 15

.SDcr 29- @a$* ^el^efaf*
"Sbai ^robttcty C, aut ^mp ungeraten S^l^fen^ A/ B^.;,

. Ift eine iwgetabe 3ö^(»

Sba A^BrrC^ fo befle^ C au8 fo t)ie?
fntbeAgteicben^a^ien/ ä(« in A @jnl^et;
ten (Inb. SDa nun A^ B^ ungetabe ^af)lm,
dffo C bie (Summe einer ungeraten 31n}a^(
imger(^er 3a^(cn: fo tft (9, 20. (S.) C eine nngeäSk,:

IDte utigetabeßai^i/ ^/bte etnegeMbeBal^/'B; mifj^

üijßatfSc A bie B nttCb bet 3<i^f C, fo
^b iSM ' tin^eeabr. 3>enn ibitt biet / fo
Tftiat AiCsiB, Mit 6tinBine leinft tii^ j

A3 B 14
C4

u^

^tmtti Suc^v

räbm SRenge ungetaner Soffen/ fol^ü^ (9/ 33. 60 imge^
rabf / mibet ba« angenommene« Z)emna(^ i^ C eine ieiaii
^^U Sol0(i(t> miif^t A bie B Md> dnec geraten S<t^(/ ^
tmt a(fo auc^ bie ^&Ifte ber B meffen« '

©er 31. ©0$; «e^rfaf^ ; ■"[

©ten^erabeSol^r, A, bU ju mtiQa%i,tim^tini^
idi^l tfl/ tjl aud[^ jti beren S)opp«(tem/ C^ eine ^Jim^aj^b!

SE^iten A/ C^, nic^t $rim jaulen ju eindm
Ut, fo mucben ^e t)on itger^ einer 3a^ D
gemefeii/. n)e(4)e ttngerabe fqm mu§/ . mtxl A
ungerabe i^. ' 2)emnaci^ miffet bie yngerabe
^d^I P bie gerobe C^ fofglict) äu^ beren llfhlftt, U$ilft^i
alfo mtifet D bie A unb bie B/. gegen Ut. 9»wmimik
S^Ig^ finb A^ C, ^vimia^ten itt einanber.' .

A3 B 5

.-.-», V

• ©er S2* @a#. *e^rfa|*

7(Qe biirc^ fi>rrgefe|te ^erboevefung t^on ber 3we9/ A>
on etitflanbene ^a^Un,'B, ^r^f fnb niir gerabemM

'*!:'

.J

1 Aa B4 C$ D^f

2)a{| (tK e< ftnb/ erJ^eOet
Att< ,ber (Sntfre^ttng btefcr
3ä^(en« aber fie f&nncn auc^ nici^tt anb«^ fepm Sfmn b^
fie ton ber @tnl^ett an ftetig proportidnirt fnb/ unb nä6f bttj
Sin^eit bie näcf)(le A eine ^nrnja^Ci^^ fo fanii C9# X3* ®;]^)
fdne ber ^al^ten B/ C, D^ t)on einer anbern 3«ii^( oiijer beit
in ber Proportion i^r torgel^enben gemefen mübm* pff^^.
fidc^ »erben bie geraben Sablen H/ C^ D, tmwn gerabell
3ab(m geÄieffen/ onb ftnb offo (7/ srS;) Mt jer^di«^
gerobc ^

'..-•

^et SS. &A^ te^ffaf

'»t

<itn<3o¥/. A; teeren ^({ite tittfCMt« t(l^ .# JMtl

' >. -A .

' ' ■ SB«

N-

» . ,• . . _ . ' i

©a A t)09 \%xn |)ilfte, einet üngetaben ^(i%\, ^ j^ '
nac^ einet gd^aben 3a^ gcmeffen »itb : fe i(l jie j

< 7/ 9i tS«) getabemdl uAgetabe« 0ie f oinn übet aut^ <tU(ti^
<ihbet< fepn. Senn tv&te A getabenraf getabe^ fo loMt^
fz (7/ 8r<S0 i»on einet getaben 3a^( nacb einet getaben ^fjL
{leineifen, folglich <iu(& i^te ()n(fte/ nyelc^/ »eitbiefeim.
^e»!be i^, nk^t it^a fann» Solg(i((> i^ A mit terabcmal'

©MT 34. @a^ «e6tfa|. - .;

Sine getabe 3a6(/ A, bte ntc^t butd) fottdefe|(e Sßts^ .
toppelung bcn bet 3^^9 <tn entflanben^ berm J^ffte
OHc^ nt(^t ungetabe i{l^ ifi fomo^I gerabemat gecobf^ ol^
enid^ ^ratemal unserobe,

S)a§ A getabemat getöbe ffi)^ frfgt (7, 8. CO 1 A jt^
tatau«^ ba§ t^te ^Ifte nicbt ungetabe ifV» ® ie i^ ;

abet oucb getabemal ungetabe. Senn ^ nimmt man ton A
^U $&J|f^/ t)0n biefet n>iebet bie ^ilfte, unb immej: fo fort;
fp^pmi9t tnan iulegt auf eine ungetabe ga^I^ t)on toc(((ier A. '
nW^net getaben 3a^( gemeifen n>ttb. Stäme taöxi vM^t üttf
(ol^ B^^/ fo in^6^ in^n auf bie ^mep (ommen^ unb bonir'
ibAtbe A^ t9iber bie Sl^otauö^ung; butc|^ fottgefr^te fB^u
^^(ung t)on bet 3n)e9 an entjtonben fepm Seonrac^ i(k A
«Qcif ieietftbemaT itngetabe.

.. ©et? 86. @a^. «eBrfof.

' ®tnb «^l^mc 3«¥<n^ A BC, D, EF, 0ettd propo»'
dthtefr ttttb man nimmt von btc jwcQtni/r BG^ unb Mit
tto f«(w«, Ef^ bec rt(lciTA(}l«id)e3al>ktt GG, HF, »ejr;
fbj)e4iftficb bet Ütefl i»ob bet jwcptcn, BG, jut «tjleli
ItiilbO A, wie bet-,3l«ii t^oo 6er legten, EH, jut @umme

lec Sfibfen. bor il)r / A , ÖC , D.

^^'IHj >^iii^'BG, IIA. Ft=iD. ©« «bet au(» FH

s±.dC; fo Iß IRefk HK=9{eft GB. aHuit ift EFtD=::

'^^ D:BG

\

D:BC=BC:A; ««C^ FH=rA.
8el8fi(^?ijt EF : FL=FL:FK

m

A 8

Öi.GlG

Di»

E1L1K4.JH1.F

)

'i

. K^FH/ f9%Ii<(> (5/ 17. «fO'ge*

trennt EL : LF= LIC: FK =;: KH

:'FH, fpl9Ji<$ (7/ 12, ®0 KH:FH

=r (EL +LK + KH) : (LF + KP+

IJE). 8hmi|kK!Hs=BG, FH=

Ä7 El + LK + KH = eh; unb tlF+KPJf HF

A + BC + D. gol8li<fr ijt BG : A == EH : ( A Hi. ]

+ D). .

:/; iDer 86. @a$* Äel^ttfaf*

o^^ülimntt man fo t)ie(e toon ber (Stn^ett an fteti^ Derbop#'
I^WÄ^Sö^f^/ i/A, B, C, D ^/ 61« beten @umm« eine-
gMmja^ E, n)itb: fo ifl bad ^tobuet/ FG^ äu«fo((|er

enmmf^t E, unb ber leften jener 3«§l^«/ J^/ eine*oIU ,
flinbige ^oH)l

■ SMmmt man 9on E fan fo t)ie(
ftefi8mbopj>eIte ga^Ien E, HK, L,
M> 0» Säulen A, B, C/D, iinb: fo

tf( (5/32.60 ans Dem (BfldctKn

A ; M = D . E = FO. golflli*
iiiiffefM bif PO na(f^ ber Sa^l A,
ba« ifl/ nac^ bergtoep^ bog a(fo
FG= 2 M ifk, folgü* E, HK, L/
M/ TG, toelcbe ade fcuccb tßcfbop^
pelung, ton einanbcr entjtel^eit/ fletig proportipntrt fbib«
Stmmt man nun i[>on ber i^eoten HK, toie aucb oon ber Ip^
tenFQ, t>ic bec ecjien E gleicfee» Sftblen HN, FO, loe^:^
fo 11^(9/ 35. ®0 NK:E=OG:(M+L+HK+E).
®a nun NKzrE, fo t(i au<bOG=:M+L+HK+E.
JÖaa5erFO=E, unb E=:i+A+ß+C+D, fo Ijk
bieganje FGzr i + A + B + C+D -hE-f HK + L

+Mi wti toitb Don aHen gemeflent Kber au(^ i)on feinet

••■■■*•' mQH

Ad

B4
C g

D16

1 E ^r

H 31 N 15 if

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M 24g

Fil O5SÖ

Kf » ^(tb'< Q^entt ^ftmwtei Sd»^

E 3x
H li N fi S

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D 16 F|£ 0^0
Q-P-

B4
G8

rt tiAgliidf i%, FG ton P giniieifen/
mi^-mit tüatt bit eben gebacbten
^af)Un dnectCQ ift, unb tt geft^lSK
bieg nacb bet 3a^l Q, ba§ olfo P.Q
acFGtirE.P: fo ifk (7, 19. 60
E:Q=P:D. Sftun (Inb i, A, B^
C/ D/ |Mig ptoportiomrt/ unb A

dnefMimol^/ bofiolfo (9/ 13*,®0
D t)on feUtet' dnbetn 3a^(, duger
ton A, B> C, alfo ntcbt t>on P gemeffen totiA. gdglkb tMt
(7, so. 3.) Q ni<^t t>bn E geweffen« !Da äbei^ E eine ^rfap^
aöÖI/:foI«ß*.(7/!3i. ®0 E, Q/^'msa^entneitüftM/
folflütcb (7r A3- ®0 bie »einigen in ipttv S^erbattmg.vfp nii^
(7, ZI. 00 P Don E^ itnb D üon'Q nacb einertep iSfifyt:§t$'
mf^tn* Sinn toiti D t>mt feiner anbern ^afyl, M Mi.A^
B, C, gemeffem golglicb ijt Q mit einer ber 3ailen A^ B; 'q^
enoa mit B, einerlep. S)a nun B^ C^ D^ unb E,iCH, L, h
dnecfe« fßer^ftttnig^ fo i^ atm Dem (Skidbtn B : D =^
K;L, föiH (7. 19- ®0 B.L=D.E = Q.P, fplgtu^
et, T9* @.) Ö:B=rL:P. 2)a alfo Q mit B einer(e9^ fb,
ffl aucb L mftP eineriep, mefobe^ bem angenommenen , bag;
P mit feineic ber ga^en A^ B^ C, u. f. m. einerlep fep^ W
terfpikbtr So(0licb mirb FG Don feiner anbem ^^, atl;
ton bei! oben geba($tfn geoefen. 92un toav FG ben oben
tebac^R itifammen gleich. So(g(ic^ ifk FG eine toUfkinb^
3#.

<timäkm

■ ■

, ■ ■ f » *

(tutim

*'.-■■ f

' .

* :•

«ttflib!« e lerne «te»

<5 r n d r tt tt 8 e tt.

^ uttb bemfelben SKaaße gemeffen »ctben ;

2/3iM^>ii^ttrurabelea6et; fär wefi^e flcf^gar fem.
Semimed SDlaag.ftnjben lagt*

h <<8!eMt>e Hittieti ftnb in 9)otetti (ommenfaeAbd^

, wenat^re £luabrare t)on einem unb bemfelben %\i$
. :; d^tntaume gemeffen merben;

|4 3» PocctB incoiimten^obel abet/^ mnn ftc^ för
' *^ £Luabräte %w fein ^(ac^enraum oü demeineö
; »laag.ftnbeh-Iogt

[• Sbieg botauigefeff) l&ff ftd^ jeigen/bÄf einer ange?
;:' ndtiriitenen geraben £inie unji^ige anbete gembe

Stniett enm>ebet commenftirabet ober ineommenfu^,
-tab^' jinb; unb }^w einige fott>ol^( ixi £ange a(<
*'?^tftt nii / wrtbere aber b(o^ in ^otenj. @ö öeige

nun biefe angenommene gerabe £tnie eottofial;

♦ ^Uc^'bte, welche ibr ehtm^ber in^inge unb 9>otenj,
ober b(o§ in ^^otenj commenfuräbel (inb/ Jetten
tattöftal ftei^ch/

. jfttattonar aber > bte il^r incontmerifotobef jlnb* ^.

« S^atioital l^eige audi^ bo« Auobrot ber ohgenomm^
nen Ütnie;

t

194 ^xXiWi fSimmt

9. %uäiXöai folgern üüa6raFe cömmettfuraM t{i^ fott

tational l^et^en^

10. 3*ratiotf4l (kUtf wA feieret» Cuabrate incommetu

XI* 7(ucf) foU bte£tme/ «»efc^e einen irrattonafen SXaum
potenjirt/ äMttOftat I^QÜetf / ttim(id[)/ tüenn e«
ein Duabrat ijl, feine eigene "©titt, ober, »enn e«
eirtTdnbecegerablinige^iirtft, bie getrabt ^inie,
beven Äuabrat biefer §igur gleid^ ifl.

* 2)ag 3dc^ett>mmen(\ira6eltt ÖJrJgen fott (n) eyifie/
genbe$ Intetnifc^ G fepn* 2)a< S^i^nuintV«^
(u) Gebeutet mcommenfura&e(e @r&§en. ^fit^^eÜ
8et4>ett ein ©tric^ ange^ingt .(0-) (^, fo ^beti^
tet bieg/ ba$ bie geirdben Stnte^ Mpfitn fioten}
commenfurabel dbertn^^oten}''incomtnenfutäbil finb.

V **,2)iegciei^irten®^ tmb «io/oy (offenJ fii^

■ nic^f ■ b^lfitr/ '0» burcb ratföTial itnb nvotioftal

auöbcucf en / nur müg man biefe S(u«btä(f e fai ben^
SHnne nebnien , bet.iii obigen ^((&niqBe|i rfl^Ruqi,
(cfHrnml f^; nnb fte ticbt oon 3^(^r 1bnt)^ji nuc
t)ongerabi^n Linien/ Don beneh Mog ^tec bfj^9te(e
iffj» InbKfemSinntgebcauc^* . ,0 .

^ ♦**) ^/yiopt^ fann bue<:b Poteits iberfe^t nwbenr »ori^
unter man abet blog bre in)e9te ^oten)/ obir ba<
duabrae, oerfkebenrnui* ^waa^at foU boberrburcb
potertjfren au^gebatdPt^ unb ttn Xlu^bratfeiten
gefagt; Herben; t>Q% n&mticb wn einer Sinie^ oberen
, . Öuabr^^neni gewiffen , Saume gleicb ift, ^efiigt
., j »erbe, bie' Sinie, potettsire biefen 9taum»:, ^ iber
$(u^bcu(f / eine Sinie pöretl$itt iiber eine i^epte,
^eigt> bai £Htatu:at bei^ecfiefi äöertcif t bai$ .iDüobrat
ber jwepten um einen Vetoiffen SRamm

•J

* JDer

B*^nfi 9ii#.

ß9S

*•

©er 1. €la$. £el^rfo|. • ^

; Sflimmt matt (ep jwep g^geNnett undfeic^en ®r$getr,
AB; C, to» ber grSßctn/ AB, me^r ate Hr Raffte
raeg, ton Sem Stefle ttrieber tnel^c otö bte \^(fte/ unt>
fV immer ftirtt fo {emmt man irgenb einmaf auf etnett
'lefl, »elc^ec fleiner ijl< afö btc gege^enr fWiirtc

j !R(«^/ ioa< immey ang«^/ oon G ein
mtlMt» DE/ toe(<M iun((^ > AB ifi, ^^
tthbt^eUe f0tc^ in/dne berC gleich S^eü
^^ DF, FG^ GE. 85o« AB nimm me^r **
«tt t# |)&Ifte BH/ «on. bem dtefte AH
"tnibc'^K bie $a(fte HI/ unb bieg fo fott, H -
fni in AB fo viele «bfcbnitte At; Oi, HB,
öW?He in DE, ftnb.

, S>a dfo. DE > Aß ifi, tinb eoii Dt
teWiaftl'ol« bie .^itfte EO, t>b«i AÜ ater "
me^t «I« bie- $ilfte BH iDegsenorome« bI": tl m-,
toitb: fo ifi bet 9tefi.GD>AH. fSim
t9ict«on GS bie |)&(ft< QF, -voit AH . aber nce^c <ai Me
^(ite Hl, .wegsenomaietu SoigUcb ift bee üteft DF>A,
olfet, »e« ,DF = G i^, C> AI, foigHcfr bet 5Re<l

[«ttf &Mi<te ütt Wieb bet ®a$ betoiefen, toenn in AB
inümec mic bie $&(ft^ loegaenommen wirb,
i »^

^."k

r C-

*: ^

"

i
%

\

i^i'T. ©er 2. ©a|. Je^rfÄf.

3»e9 ungfetcfte ©t5Sß«/ AB, CD,, finb, j»c!«i 6ei)
tttebec{)ober.^C0le<tna6me,beä ^feinem tom :^ro§em'f ein
SXef^ bq^ijil^fn n4(^f| S8otl^d«l^enbe genau mtffet, tQ;
t9min(titfvra6el. ■• .

■J

i9< ^f(ib> 9lmme

flD&ven AB/ CD^ commenfuraM^ f»
^ttm fle ittent ein. gemeine« SSaal^ E.
SUm mcffe tie n^ce AB W PF, ta§
»et fReft FC < AB, unt tiefet ^efl FC
tneffe tie BG, t>a§ tec fRefi AG < FC,
«nb fo fort/ 6i« ein Steft AG<Efommt

Z)a £ bie AB/ unb AB bie DF miffet:
fo miffet £ bie DF / aber au4) bie gan{e
ED/ fol0fi(^ ben'9(e{t FC. !D<t atfo E
«eFC/ unb FC bie BOmiffet; fo miffrt ß
£ bie BG/ abecaucb bie gdnjeBA/ folg« -
li(^ ben Steji AG/ olfo ba« ©logete £ ba< 1tfeincre!A0^
»e((M unnt6gli(^ {(l. 2>einna<b ^oben bie 0c6§cn A&
CD/ fein gemeine« SRa«§/ unb ftnb folgiic^ ineornttenfinMiti

©er s. @a$. ^lufgae«. .

$fir iwep gegebene coimmenfucobele 6)(&|eii/ A%
GD^ bod gr&^te gemeine ^aa$ ju f^nbetu

€tflrr ^ail
SDenn He Tieinete AB bie ^§eee CD mif^
fet: fo ifl fte, weil fle attOf fkb fefbft miffet/
(in gemeine« Sltaa§ fäe beibe; «bec aucb b««
grifte^ mit feine gv&gece bie AB meffen f ann.

Ä

'.:: Bl Di i

SBenn ^ bie CD ni(^t mifTett fo mag/ tMifWefeOd^
ftn (ommenftttabef finb/ 6(9 nne&er^oiter fEDegno^'b««
Stfeinecn oom ®r66etn/ enblt(^ ein fReft b«« 1^ n&d^
Cot^ecge^enb< genau meffnw 9« meffe n&mti(^ AB bie ,

"•ik

Qt^ntei ^«($.

'»7

F.

I

ED, M Ut 3tejl CE<AB; CE meffe C

bit BF, ba§ bet sReji AF < CE ; unb nun

tnefe AF bie CE : fo ift AF bai 8t6gte 8^^ A is% '

»fittf SRöag Der AB, CD. ^t JS/*

»enn b« AF We CE, unb CE We BF
w^tt: fo mtfTet AF bte BF, d6er auc^ ^
^^i foliUH> bit gan}e AB/ t>a alfo
-A*" bie AB, unb AB bte ED miffet: fo
«riffet AF bte ED, ober aiK^ bie CE, fofe^ ß l JD.
fid^ We günje CD. ©emnacb miffet AF
ibte^AB unbCD^, iinb t{l o(fo beren gememd ^aa%: a9it
A<i^ ba« gc^te. (

V S)enn gefeilt/ e< f^p, too m6g(k(, ein $t:66ete« 6. 2)a
O tie AB, unb AB bie DE mlffet: fo miffetO bieDE^
abec aucb bie ganje CD, fctgficb ben fReft CE« S)a a(fo
G bie CE, unb CE bie^F mijfct : fo miffee G bie BF, dbet
-Ottit^ bie ganie AB, fotgßc^ ben fReft AF, a(fo ba$ ®i:6§ere
O bai kleinere AF , toHä^ei unmögltcb xft* Semmict^ $aben
AB, CD, (ein gemeine^ 9Raa§ , ba« Qvi%tK aÜAFtohtt,
fo(g(i(^ tft AF if^t ixb^Ut gemeine« Wtaai.

N

a « f a f.

4^dti< et^eOet, bag eine <Sc&§e, n^ek^ jt»e9 9ti(|eil
ätifet/ au(^ ba< gi;6gte gemeine SRoag betfe(ben meffe« 'j

: A

^ Sit bt(9 mtUne commenfucaSele ©t^^^n^ A, B; €|
•M 0t^< Bemeine fDtaa^ ju ftnben.

t'^imitt (19/ r* ®0 f&c A unb B ta« 0r6§te tfm^t

is

JBcflet

»58

Qiinit'i Sltmente

ffitflet Sali.
QRiffet nun D andf tieC: fo i(t
S offwbAC rin getnttnrt fStaat fiet
^ A/B, C; aber nut^M größte. 3>enn
tt^tp, tvoni6gIi(^/ cinnM^giißt*
f« E. 33a E Wt A, B,X^ «Ifo Wt
A, B, miir«, fo «lilt« C 10, 3. 3»f.)
E nuti Me D, clfo Co« MfilR E
M Ältincte D, »cK^ unmig»

ll

A B C O E

!l

. ^ 3»ei)ter Salt*

SRtfM aber D nü^t bie C: fo ]
fiu^e (lO/ 3. €(.) £ ba« gtbfte gr«
meine 3Raa6 ter C, D, tot\<ifet
iam bai größte gemeine 3)lciag tec
A, B, C, ip.

£)enn Ixrt gemeine ^M% bec
commenfutabeien @t6Sen A^ B, C,
miffet A, B/ alfo (^lo, 3'3«fO
<iU(t beten gibfiteä gemeine« ÜKoal
I) , aber ouctt C , fol3ii($ C unb l
Tt, »el(^ ba^ef commenrucabel AB C D & 'F
fmb. ■ , ■ .:r.-

Sitxn ^abe man E, boj gr6§te gemeine ^aag bcc C , D^
-flefunben. IDa E alfo bie D, linbDbieA, B, miffet: fb
tniffet E Me A^ B, aber autb bie C, ttnb ifi alfp ein gemeinet
^aa% ber A, B/ C; abet awb tiai seögte.

£icnn t6 fe^^ wo miqUib/ ein noc^ gt6§etej F. , ;&a^F
t>ie A, B, alfD ( lo, 3. ^ufO bie D atifTvt; ab» aiic^ biVC,^
folgli* C unb D: fo miffet F C 10, 3. SO'au* bie E, Mb'
grbgece F, bie.f[etncre E, toel^ unmbgK^ ift, Xtamaäi
• ^benA, ß^ C, Fein gemeine« SRaafi , taitnA^ny-.alßB^
tQhtu golgliti^ iß E i^rsi^tt^ flemeitic« 3Saat.

( 3"fö^

ßt^rntt ssu^.

^9

wjjfet, ai\<b b^# 9t6§tip gemeine 3J?aag berfefben meffe. ^^

'«uf o^liAe ^^!tt ftnbet man auc^ ffic mehrere @^rtf en bo*
gr^fte gemeine a»aö6, im!) »enbet auc^ |(rerauf oftigen BiiJ^

/jeomimnfarofeere @r6gen , A, B^ berl^ften (t(§ ttf^
S^l^trtt jw etnönber»

Xa A, B, commenfur Ael jlnb, fb ^dben (te y
irgenb ein gemeine* SSaa§ C,. 3ii «ü« P In:
A na^ ber 3a^l D, w.B (jbec iuk& itt gof^t
E enthalten : fö ift Q: A 2= i : D unt Ötltcb
tlmf^rutig Ä:C=:;D:i, öucb C:B
I :E, j fo(g(ic(;t oue t>tm (SletdlKtl A : B

..t

-1

< ' ,' • 1

4 i'V I

I

. I i^

A C B

©er 6. @ö|. icÄcföf.

®Äf eft, A, B, welche fic^ mit Qaf)itn, D, E, ju ein«
ctUbtt tort^aften , ftttb commenfurabef.

$^(fr A ht fo »te(t g{d4>e Steile/ di^ fit
J^ $iti^(iten fint, ttnt (j f«9 jebec becftt«
(en s C. 9)ta(&e t>on C (ia fotü^e^ ^itU
facb« F^ <>($ in E Sin^eiten ftPb.

2)«>Jlf(J A:C==:t>:i, niib Ct^rr

I : E/ fo ifi Alte ^mt <BM}(ir •^i'f

=:=D;E. Sßun ift na(b bec SSocouJft^ung
A:B=?D:E. gotgtkb ift A:F=:A:B,

folgn^CS/ 9- ®.) P=B. «fr« C mHfet A 6 C f?
bif F,; atfo mub bie B, obec «lu^ bic A/ 1)5 £ ^ i
i(^%liöf A unb B. SDenmoc^ {itA A, B,
cömm(nJDt(abeI. ,

01 4 €in

ttl

\i

;io»

euHiVs ^Immt

Sin anbetec S3ett(U.

, ft^cile A in fo »tele jilntte tiftitt, all

. in D ISin^ritm fint, unt> H fflj jetec bec«

(itotn = C. ®nnno* ifl G : A :^ i : D.

8hin f^ tuc^ tn Sotau<fe$ung A : B =

CiB=i:E. 8H»et i miffrt tie E, dfo
au(& C bie B , dbet «uc^ tie A, ftiglUt) A
mit) B. Z)cmRa(& ^tA A, B, commen* A. B
ivivabtl I^s^i

3 u f a |.
^iccaM et^et, tafi/ »ran ftoco 3a^Ira,
D/ E, unb einegecabc tinie A, gegeben ntot«
^, eine «nbere getobe {inie, F, gefunben
-neigen t6ttne/b(tgD:E=A:Ffe9. 0utbt
man nun gwift^ A, F, eine nittlRc ^por*
tionalljttteB: fo »ec^It jttt) (6, ao. 3uf.) bl<
Sigutauf A, )U b^c i^ ^^nlicbnt unb^nlict)
be^cfcbcnm Sigui auf B, K>ieA:F, alfo auti
iPie D:E.

Sncommenfuratefe ©t^genr A, B, ver^aftnt ftl^

«ic|)t wie 3<>l&i«n' iu «nanbet. - '

KMui »ehielten ffe f>4> n?te Sö^Ioi, fb »iceri ,
fe (10, 6. S.) «ommcttfutabel; g^ M äng&

gel&nre« ^^

%oi

©er 8- @a§/ «el^rföf.
^ ®t66ett , A; B^ bie fic^ nic^t mt Qa\)lm ju cituinber
i0irr]^a(ten / ftnb incommenfurabeL

i

^ SDetm t9&ten fte commenfMtaM/ fü tetf^Uttm
i^ ( lO; 5« ®0 n^te ^o^en; i)f0en M ttngeit

AB

3)i( jOiuabrate gecabtr in 2&nge commenfura6e(er £u
ttien; A^ B, »ersten ftc^t9tejQuabratjal^(en; unb^£ltta^
bj^te/ tte((t)e ftc^ noie iQuobrat ja^fen lott^aittti, f)ahm in
»nge commenfutabele @etten^ A, B. J^mdeden bte dnoi
btate grabet in Sänge incomtfienfura6e(er hinten/ A, B^
ttt^alttn fid) nid)t noie jQuobratjo^fen ; unb .0uabtote/
mlc^ fic^ mc^toteiOLuabtatja^(enber]^ä(ten, ^abtnm^
iti £in0e commenfurabete @etten / A, B^

^ - €rffer 5l^eiL

6tnb bte graben Linien A, B>
in thn^t commenfutobel : fo oet^
fydm flcbiffteOa Abrate mte£itta^
bratiül^len«

JDenn A^ B# tec^alten $(( (lo^
5» ©.) »ie Sal^fen C^ D/ ^ber
e< t^ A : B = C : D. Sdun ifk
<6, zo.eo DA:GB = a
CA:B) nnb (g/ii- 6.) G*:D* = 2 (G:D3^. 8<rf4^
Ö* ift D A:DB=C*:D^

tßtit atiberer 23etpd0« ©ä A nB, fo ift (lo, s* »>

A;ß=C:P* 8hittfq>C*2sE;C^D=5F} D•3=^€f

A

B

E16 F 12 G9

M

% •

\

90^

^uflWi ^(inente

«Ifo (7/ 17. 0.) E:F=:C:D.
$pl0lt(^tf^ArB=;F:F. 9lun
ljl(6/ i.6.)ö«* A:B=S:DA;
AXB. golflli* iji DA:
AXÖ=E:F. giun ifl tbtn
fo C : D = A : B=F:G=: A
>< 6 : a B. Sol9(i(t> ift aite

öem (Bileid^eit a A ; a B =

3l»DA:OB=C':D», foijVAnB.

•a)«nn«c« ifi (6, 20.®.) OA:DB=a (A:B) ttiA
( 8/ i 1 . ® . ) ' C » : D * =r 2 (G : D). Sinn ijl angenommen,
D A:DB=C ^: D». goJgti* ifi A:B=C:p, fofjtlic^
(10, 6.6.) AnB. _

, iStn andrer Bexoeie. 3iiDA:öB=E:G, u^

\C» = E, unbD' =G, du(^C.D=F;foftnb (y^ij.SJ
^/Y, G, ftetig )>ropor^omcttntecS3etr^altmtC:D/ taf
ift, E:F.=F:G=C:D. Slun ifi (-6, i» ©.) A:Bc=
gA:AXB/ au* A:Br=AXB:DB, olfoDArA
><Br=AXB:DB. Solgli* ifi DA:AXB=E:P
*= C : D. gjun »ar Q A : A X ß = A : B, $o(d(i* ijk
A:B=C:D, fotgli* (10, 6. @.) AnB.

©ritue Zfftil
(Sinb A, B, nic^t in Wfige commenfutöM; fo wr^otten

(lefi^ fo m&gten l^te^^^tteit A^ B> in t&nge cornmenfurdbet
fepn; gegen t)ae Sngenomnuene«

S5iertet ^^etf*

l ;^ S3et^(^(ten ft$ bie iQuabtate ber A) B^ niM toie Cluabrdl»
)a|(en: fo finb i^re ®eiten A, B^ nic^t in t&nge eommenftu
tt^U 2)enn to&ce Meg/ fo möSten fic^ i^te £luabcate toie
Xt,iia((ati4^Un i^v^aitep } gegen baf Sfn^enommene.

3« f a|.

9tt< bem S3emiefeiteit erJ^eOet; ba§ aUt in S&ttge coimnen^
ftttobele ttnien auc^ in ^oten) commenfuca6e( ; ober nicbt oOe
iA $oten} commenfucdbete' ttnten ou(() in fange commenfurof
bei ftnb. ' getnec erhellet/ bag nicbt alte in S&nge incommen^
futabele {tnienvauc(^ in ^oteni( incommenfucabe( ^ aber dOe in
^oten^ incommenfurabele Stnten auc^ in S&nge inccmmenfuca;:
bei fmb. SR&m(tcb

I. S)ie Cluabtdtc aOet in Un§t ccmmenfurabeler Sinten

t^et^alten ftc^ »ie Üuabratjd^Ien / a(fo tpie ga^Ien^

unb ftnb alfo commrnfucabel. S)cmna(b ftnb folc^e

^ Sinieii nicirt b(o§ in^onge^ fonbem atni^ in 9)oten)

commenfurabel*

^2* ®inb {inien in ^otenj contmenfurabef, fo berl^attm

flc^ t^te Duabrate tPie 30^1^ ; alfo entn)ebecn>ie£lua^

bcatja^len / ober fcbltibt^in^ t9ie imp anbete Sagten»

^m er^en S«Ue finb tiefe Linien/ ali bie ®eiten.bei:

'' ' . Cuabrate , au\t> in ttnge ^ im {toepten abec viäft ii|:

"^ Singe commenfucabet« S>eninatt^ ftnb bie in fjoteni

commenfurabelen {inien nicbt immet/ fonbetnnuc aU^

bann aticb in t&nge commenfurabei/ toenn ft(( i^te

> Cuabrate tvie £luabtat)a^Ien t)erl[^lten.

3r. SfHc^t alte in Singe tncommenfntabete hinten ftnb au(^
in ^otenj incommenfutabel ; toeil Linien in^oten) tontf
menfucabel; aber int&nge incommenfucabel fepnf 6nnen.

4« Sttte in^^oten) iiicommenfurabefe finien ftnbaucb iti
£&nge tncommenfurabeL S)enn tp&ten fte in S&nge
/ . commenfurabef/ fo m&§ten f!e auc^ in f)oten} cow^
menfucabel fef^n ; gegen ba6 angenommene«

' V ©et 10. @o|. ie^tfol.

V 5©<^rt fcort ijier ptopoitiönitten ®c6gen, A, B, C, D,
bie ert^e A; ber in>^9ten B^ commenfucabef tfi, fo tfi ti
ou(^ bie britte C fmpittttn,J>i t^ aber bie erfie bet

r ■ ' .

(
/

ao4

SuTfib'« ^ttmmt

\

sn)eQtett ittcommettfuta6ef/ fo ifl H mtc^ bie^bdtft bii^
feierten*

GinbA/ B; commenfutdbef^ iottvs
lüften Tt« f»* (lo, 5- ©•) toic 3al^^ - A

fett* SRun i(i A : B = G : D. golg^
lict »et^often ftcfr auc^^ C D, wie 3«^
ICtty tittlj pnb dlfo C lo, 6. 6. ) Airti>
cotnmenfueabel*

6inb A^, B, tncommenfttCdbef/ fb
Mt^often {te ftc& (lo^ 7. ®0 nic^t n>te
gal^Cen. Sfiuri ijt A:B = C^D. gdg^
Ii(% tyer^aUen ftc^ auc^ C, D^ m4)t A
»ie 3a^(en, unb ftnb dfp (lO/ 8« 60
att4^ tticonimenfura(>eL

B G D

2^e]&nf(r|«

^ in ben ddt^metiftben Säc^em (8/ ^fi. 6.) bmitfm
mxhen, ba§ &l^nlttbe Släct^enga^ten ft(& nrie Quabratidf^m
'«er^dlten , unb ba§ gaffen , bte ftc^ ote iDudibtattoi^tai »ef^
iK^tten/ ä^nlicbe Sl&^enjd^I^n ftnb/ fo folgt: baf utt&^ii^
lic^e S^äci^enja^Ien / berett @eiten a(fo nk^t Dtoportio»
tittt finb/ fid[) nic^t wie iCluabratiQ6(en betl^Ucn ; loeK
fie fonft ä^nfic^ S(&d|^en)a()(en feyn mAiten^ ge^m bo< 8ni
genommene«

5©cr 11. ©a|» aufgabt*

gu einer gegebenen geraben 2inie, A; jtt>e9 anbete {tt
finben; toon benen bie eine ibt blo% in 2dhgc/ btt atfbttt
aber jugleicj^ in ^^otenj incommenfurabef ijl.

i&tilUd). SRimm »toep Labien B, C, wi^ ü^ wi^
fpit Simbtatiaf)Un üerbalten^ fp(d(i(b un&bnUtbt S(4<bcii)a^
foi ftnb, unb macbe (10, 6. Suf.) B:C=:aA:al>| (b^
fnb A/ p^ b(o| in Ün^ incommenfuMM»

SttHI

- * * . T

s

Kam tiaB;C = nA:DD, fo e»
^Ittn fKt DA, DD, fo mit B, C, mM mie

Av>D.

5iv<*fC<ite. 8}hnm jtvifc^cR A, t>, tie
ttütlfre l^opoctionallime E: fo ftnt A, E,
in tinit unb ^otetti jusiifc^ tncommmfu*
taM.

lOnmia A:E=E:D, f) ijl (6,30.
3»f.i2.) A:D=0A:QE. gol}li*rm^
(lOj.ip.S.) DA,DE, (0 Bit A, O, tw
(DODficnfuMbe^ S3tinnii(^ finb A, E, fn ^o:
te% fDlfllii^ (lo, 9. 3uf, 4.) ou($ in Hnse £4
ivnamitafauMi

A £

D

Ci*

©et 18. ®fl$. 8(5tfaf '

. etifiutf A, B, w« «na'iinti tnfrifcen ®r6fif, C, ecnK
«|<it(iica&ci ftnb, {inb cinatA« fel6|i cDmmenruc<t6e(.

^Otmba^riCf untBnC, fo Detriten
(14 A>C, («n^l, al« B, C, nie Sl^lni. Si
(i»»a6nA:C=D:E, ut*C:B=FiG,
mi man at^mt ( 8, 4, ^. ) in ben ftfititam
SnliltnifTen an ^anbec ^angcnbe 3d^lcn, H,
K, L, bai alf>D:E=:H:K, nnb F:G
= K:L.

Sa olfb A:C = D:E, nnb D:E=
M : K; jj i» A : C = H : K, »a au*
C:B = F;Q, «nb F:0=tK:Li fo l|t
C:B = K;L'; ftl仫 «US 6on <5Id< j _ *,
cfeM A-:.B.=: H ; L, »mna^i BtrlialKn ^ C B
fi* A, £;^j9ic ga^ien, URb f!nb 9lftf »mmcnr -D £ Fa
fiirrtd, E4 O5

V' 1

'9tf$ ' eH^fiB*« «»enuhre

i ^

m

3w^9 ®t&fen, A, B, t>on benen btc eine, A, eiltet
uttb btrfelben ®c5ge/ C, commenfurabef/ bie artbetf/
B, ober incommenfuro6ef iit/ finb incpmmettfucabet '^

@efeigt/ e« »ice AnB* SJun >. '
tfi Ott* C n A. SolgU* »oce ^ '. . . -. v ' "'^

(10^ i2,®0 ottcbBnC; gc* C»-^ — ^ -•

gen bo« Shisenommeoe. jDem^ n ^ . . ■ ^
AUB,

• 'S ' , . -, '

-• : :."> ^ ' ©er u. ©afe." Se^Ffaf., ' ' ' .

3{i f>on 5toe9 commenfuratftn ®r6gctvA Bfi bkniti^
• A> trgenb einer ®c66e, G, tncoimncnfiu'oSef: fo tfl au(^
tieanbece/ 6/ eben becfe(6(tt> C^ incommenfurabef.

. ^«f»|t/ «« «wtc B nC. ainn - . .

iji'au4(.AnB. Sotflfic». tpite ^ : ' ' ' '" . '

(lo,' 13. €5.) AnC; gegen ta« f> , ' ' ; "' '• *

Sbigenotnmene.' S)emnö(^tjtm(f>t ■ •:

ijnG, folgntpifl BUC. • B ' ■ .^".r ' ■ '" ^.y

i it^nff af. ' '-"-• ;-■ ' •

l §6c jwlp 9f9c6ene ungleiche gerabc Sinteii, AB, C!^
bti Sinie ifx finben^ um beten ^luabrat bie st(§ete, AB,
i'\|bec Ite fteinece, C, potenairr. '1 '

S3ef|:&tei^ ober AB ben ^ib* «| ' ' "

frei« ADB> tMge (4, i. ®.) in ' ** ^

b^nfelfiien bie At)=C, uhb {ie^e
DJB : ii» ift HB bie »ertaftäte «nie. A/ \\ , *

c/IDenn ba C3, 31.®.) ADB=: -^ ^ .. f. ' '^^ ^r

!«.> fo ifk Ui 47. ®0 D Aß — ' ' ^'^-^ . ' ",

.DAJ)5=;aiDßj folflU*, weit AD=rC ijV, DÄB —
pC=:aDB.

"'-''* 1 Um

\

• Stint«» »1«^' »07

Um ^injtgtn b» 2iiu> )u ^nbtn, bi« fo Mf cü ttiht
ADyBD, potenjitt/ ivetf a^re man aifo :

gnan f^e AI>r ^1^/ untei einem teerten fiBinrrf, AOB^
an einanbcr, unt jie^e AB; tSa bann (l, 47. 6.) QAB=
□ AD + D DB.

©etis.©as. tejcfaj. • ;

©inb bier ^ecabt Sinien/ A,-B, c, D, prDpnHonittt
fo tvieb^ )t nat^bem bte ccflc/ A, äbecbie juepte, B,
um baö Ouabiat einer bec erflen in iimt commenfuro^
belen ober tncommenfurabe[en Einte, E, porcnjict; oui^
bie britte, C, aber bte biette, V, um bad 0uabcac ein«
bet britten in e&nge commeiifutabeien obn tncommtnfit;
cabeten £inie, F, potenjiten.

X>o A:B=C:D, fo l(i «,
22.) DA:GB = nC:gD.,
3t^n t|l. angKnommen, qA,=:,:
DB + D E, unb Q C= o
D+DF, goläli» l(i'nB+a..
E;aB=i:OD + aF;DD, ,

folgiitb (5, i7> ®0 gmranta
E:aB = aFiOD.fiuii* y. „ ^ rn B"
(6,iU.e.)E.B=F!D, att)'*" ^ CJJF
(5, 4. 3afO lUtigetcl^n B:E=:;D:F. 9)un i|l antencm«
nienA:B=C:D. Solsliib ift (s, si. 0.) UW 6cn|
0Icf4)(lt A:E=:C:F, . Soljlul) (io,io.SO iinb C,F,
«ntwebev tommtafwab^ ob» inceinmenfütäbcf/ niu^bon e$
A, E, linb.,;

iÖei' 16- ®«|. Se^tfaf. ,/ ' ;

^etben jweo commenfiitäbete ®r6$en, AB, CD, jus

fammengefelt; fo ift baö Qldnje, AC, jeber von beiben

cominenfuriiber llnb l(i Mi ^)fj»/ AC, einet ton bei=

ben, AB, contnKnfunbtf: f^|(liblicibt uiiMKnfilKlt«0

(et irgenb eine ®t6§e D, bie AB, BG, ^ ' ■ ^ ' " ' ^ .
iolgUc^ aut^ bo« ®an)e AC/ alfo atte JQL,

^tcep. go(sU(& xft AC fomo^I bec. AB,
aU BG commenfurabet.

^vot^ttm* 3jl ACnAB, fo miffet itgenb eine ®rifc
D bie AC, AB, folglicb ouc^ ben Steft BC, a&er aucb bte AB,
^fbMbe« Sofflttc^ ftnb AB , BC, commenfttcabeL

Jöet ir, ®a$. £e^rfa§.

' ® erben j»e9 tncommenfuraSefe ®r&§en / AB ^ BC;
§ufammen8efe|t: fo ijl bodöanje, AG, jebec bon beibett
incommenftarabeL- Unb ijl baö ©anje, AC, einer bon
Beiben, AB, iftcommenfurabet: fo finb beibe tncommeiu
furabef.

(ßrdUcb. ©«fepAB Aß c

U BC^ ffiiren rtun AG, r. ■ ■ i 7 ,

AB, nicftt incommenfuta« , P , * /

bei, fp miffet irgenb eine

®f6§e.D bte AC, AB, fDf^{(^ attc^ ben SRefk BC, alfo AB;
BC. ^ofglicb tbiren AB, BG, commenfucabel ; gegen bdi
fingenommene. !Demn(K^ (Oetben AC, AB, oon feiner <0r6§e
4)emeffen , unb ftnb alfo tncommtnfurabel* $(uf h^nli^t 9H
birb bewiefen, bag AG, BC, ineommenfurobel ftnb. ©eiiw
ha^ ifl AG foioo^I ber AB, «(« BG incommenfurobel.

Swevteftd* ««fepACuAB. ©arennunAB, BC;
nicbt iitcommenfurdbef, fo miffet irgenb eine 9r&ge D bie AB,
BC, folglicb au* ba« ®anje AC, alfo AG, AB, meftbe bdi
^r commenfurabei (inb i . geg^t^ bot angenommene* Sofgtic^
fnb AB, BC/ incommenfttfabeL

£e6nfa|.

SBicb on etnevserobm^tnif^ AB, ein Stectditgef, AD,
fnn»orfctv ^(fcn eiv&iHiiii| ein ÜiMbrat/ BO^ ifi: fo

\

,'

' ifl bafFe(6e unter bcn t)on bem Entwürfe ^ma^un TLh
fc^nitten folc^c £tme, AC, CB, cml^altett.

2)enn Da AD=rACXCD,
«to; DB eilt üuabi'at/ a(fo GD
= Cß: fo ijl AD = AG X .
09, ^

©er 18. ®a$» iel^rfaf^

^enn bep jioep ungleichen setaben ginien^ A, BG,
ein bem toierten ?]^eife be« jQtuabroWber ffeinern, A,
gleite« Otectangel an ber gr&ßern, BC, enrworfeh n>icb,
eeffen. Srganjuna ein Xluabrat ijl, unb bie^gemad^teit
3l6f(i^nitte fo(c^er Xinie, BD, DG, in fionge corainen^.
furobei flnb: fo poten^i« bie %xh%m, BC, litn ba«
jQuabtat einer i^r inßänge eommenfurabefen £inie, über
^ie Heinere, A* Unb wirb, wenn bie gtbgere, ßC, u«i
ba6 Clttabrat «iner i^r in Sänge commenfurabelen tmt
\>tt bie f teinere, A,4>oteniirr, tin bem bierten ^^eife be«;
öuabraw ber f leinern , A, gfeic^e* Stectangef, an beci
gr6]|em^ BC, entworfen, beffen grganjung ein Ouaj^
bröt i(l: fo pnb bie 9emad)ten 2(bfc^nitte foi^er Sinie,.
BD/,DC; in S&nge commenfurabeL

^attittmanBCitt « _- -, -^ n

E, m ma*t FE=r ? ^ E 1> C

ED:foi^att(^BF= A

DG. 5Dd,(a/5.©.) i ' ■ — •

bdxdc+ded

=ÖEC; fo ijiau*4 (BC>XDC)+4aEO,==:4a
EG. mm ifl nac^ l>ec SOorauöfegung 4(BDXD«) =
DA; obtt 4aED = DÖF, weit a ED = DF, unö
4aEC=aBG, n>eil2EC=BC. g»lflli*iftÜA+
aDF=;ÖßG, alfoQBC— DA=:QDF.

««H»l «Um. 15 ««*«• ^ ^ ^*

• I

fDifk (10,16. i6;)titi^ •'■ ' ' ■ ^' ■ V , , \

BCoDCL SRunwac .y\

DC= BF, ötTo nc ^"^ •; •

:DC + B1F=i : t,

oI(b (Tö,6.«0 DCnDC + BF. golgli* Ift aud^ (i«^
12. 0. ) ßC n DC + BF, folglich ( i o, 1 6- ©• ) BC n DF.
JDemnad^ poteniirt bie gr&§eve BG,^ um baö Ouabtat einer i^
In Mnge commenfütateln 2iriie ÖF, Sbec We fteinece A* •

S)a bep ^(c »ocfgeh Sonftnictien OBCr-aAszFD^
«ffo BC n DF : fo iji ( 1 o, 1 6. @. ) BC nDC + BP. S|im
i(kBF=DC. SD(sfi(&iftBF+DCnDC^o(fo(co,ia.C^
BCnDC, folglich ift ( lo, i6. (5.) aii(( BOnGC.

fSetin bep jwe^ungfc^ii^en ^eraben^Jimen, A, BQ dti
i^m t)terfen ^^eife beö £luabrar6 ber f (etnerit; A^ gfftc^
dtectangel an ber ^vb^etn, BG ^ enmorfen mt^^ t^|est
^g^niting eintltiobrat ifl/unbbie gemachen !K6fit|fiälliti
fdf^er 2mtf, BD, PC, in ihn^tincommtn^miMfPlbz
fo poten jtrt bte sr5^ere , BC , um ><M iQuabiat ihf€«^i|t
tn £&nge tncommenfurabefen Sinte aber bte f(etnere/ A«
Unb tt)irb, »enn bie grbgere, BC, um bai £luakrdt
einet tt)t in £ange incommenfurabefen £infe db^ ^e
f feinere, A, petenjirt; ein bem iwwten $^eife be8 fitUdJ
brote bet Hehlern, A, gfeidjeö Dlectangef, <tn bet gÜ^ÄJIy
BC, emmorfen, beffeh Srgärtitfngeirt Öuäbfiir 1^ fr
finb bie 0emad)ten ^Ibfd^initte folc^cr gmte/ BD, -Efe^'/Äi
^ Songe incommeöfiirobel.

grfler. tf^tiU

flDtfbdded, iDfe be9m D^en Oo^f / coiifltiitrt : tbtoM^.
auf a^nUc^-aet ftcmefen , bo^ Q SC--^ Q AssiQhDF«

4^

'J

B^km ^u^

«if

©anunBDuDC
(01^(10,17.®.) BF E PC
BeuDC. gjunifk "■ ' ■ ' .

De:^BF,dlfpDC 1- V

;DC+BF=i:2,

IU0 »0^ (10, 6. @.) DCnDC + BF. gorg(t(^tft (i«^
14.©.) BCUDC + 3F, fol9a*(iQ, 17.®.) auibUt
&(^gepFutiC. !&einn(i((^potenitct Mc gc6t(ce^ BC^ tun
^^ ätiabi'at einet i^t in, Singe tncommenfucal^eln iinU,- BF,
ibtt tie (leinece, A. >

®o n<j(t ^etfeI6en gonflcucHon OBC — öArrQDF,
a(fo BCuDF, fb lffci( lo, 17. @.) ßCu DC+Fß. gjun
ij^^ify f. 0.) PC+FBnßC. %ol0<b ift(io, 14, ©;>

• ! */.•»• ;;

3(nmerfud9»

' - * ■ ••

cemiEienfur^befen Linien auc^ a(kmä( in $oten$ commenfvica^
bel^jaber tie in ^cten) cornntenfurdbefen Linien nic^t immer

qimpunUvabü, ot>^ iuc^mn^nfuraM fe^n Annen: fo ^vJ^U

naltinie in Sänge commenfurabef ijl/ rationaf^ un^ jenen
in S&nge unb ^otti^^^ifgi^i^ c^mtnimabü ^ei§e«

A«JM ^ine 6er ümimufmenm SS^tionttninje in ^^en)
commenfutabele 2inie/ iDetin {te ed auct;! in ian^t i(^
eben fo l^ei§e; q^ber ioe^fte ige in £.%e incpmtienfu^

' tiM i^, rationdi iu^& jener 5)pg in ffm^ comgiepfp^

£> 9 ^er

« V

I
I

3IS

€o((ib*e fSimmt

Br

©er 20. ©0$. te^tfaf.

•

3ebe6 unter tationoTen in £&nge commenfuroSeten £f»
oUti; AB, BC; eittl^altene fKectangd^ AC, ifi rational

IBtacte t)ott AB bat Cinabtat
AD. 2>d AB rational, fo ifl aitcfr
(lo, 8. @0 AD tationaC. 2)a AB .
nBC, iinbABzzBD, foijiBD
OBC. aßuniji(6,i.(S0BD:BC
=:AD:Aa SoIgK* ift (lo, . - . _ .;,

I o* @. )v AD n AC« Sßun mac AD rational golflli^ i|t
( 10, 9* @0 auc^ AC (ationoL

A

©er 21. iSa|» iel^rfaf.

3ebee Ott tinct angenommenen iKationafh'nie/ AB, etic^
worfene Slationalrettangef, AC, giefct eine rattomfrker
angenommenen SlationaUinie in ihn^t commenfiftoMe
SSreite, BC,

^actt man t)on AB bai tluo^
brat AD , fo ift iolä^ti rational,
folgflc^, n)etC AC rational (lo,
9. @0/ ADnAC. fßun tjt
(6,1.©-) AD:ÄC=DB:BC.
^ofglic^ ift au* DBnBC, alfo, »dl DB^rAÄ, ASfi
BC. fStm ift AB rational. Solglict^ ift anc^ BO Mtfoiiat'
Z)ei8na(ft tft BC rational, unb ber AB in ^{infle comniäi^
furaM.

Ibit iinie, A, tvel^e ein« SctoHonalffdtir wttniin,
ift ittationaU

S)enn nhve A Mttonal^ fo »Ste a ,
(10, 8. e.) D A/ oifo W« »«feto

mMi««9.

ngdwniiiifiic»

gebe« unter tatiomUn 6fo6 in gJotenj commenfuroSei:
ten Btnien, AB, BC, entbqftcne Dlectatt^el, Aq tfl trra-
^ ttotiof* 3(uc& ifl bie Sittie, meiere fofä^jen 9laum potent
iitt/ irrational ^ unb ^eige t11e&iaKt>tte. ^

bwtAD, fotjtfolcbejrationör, ^^*^ ^

' fcfelt*, toeif ABruBC, ober
>BuBa tnib AB =;.BD. ift^

BDUBa 8lun(jiC6, i*©.)

BC:BC=;:AD: AC gj)(fllic&

i^ ADuAC^ forgli*, »eil AD rötionöf,, AC irratWöf.

5oi0ß^ ijl (10, ii*@0 bl<8inie> ptl^ ben SRaum AC

:pctcn|irt^ urationaU

2(timerfun^* ,

Dtefe tinie ^eigt beiwegen tTitUallink, mit V)t £iv^
teot bem SRectanget AC, oljec ABXBG, gleicb, folgüdb
fe bte mittlere ^oportionaUinie ^n^ifc^eti rationdea tn Sang^
toeommenfttrabelen Sinien AB^ BC^ iftc

^ « e 1^ tt f a|.

- 3^ei>9eräbe gmiett; AB, BC / berl^alten iid) »itba«
dticlbrat ber erfien (u betn unter betben ent^aftenen
.giertangeL

Wtaä^ ba< Ouabrat ber AB, unb t>o((enbe boj^ectan^
AC: fo ifl AC^ABXBC^ unb DB= AB. giun f(t
(«r/1^60 DB;ßC^pAB^AC* go{8li*iftAB:BC=
DAB:ABXßCL

©er 23. &a\. «el^rfaf.

XMK betn XXuabtate einer ÜKebiaHinie/c A ^ ^retd^ A»
deiner ongenommenen SRattonäUinie; BC^ entworfene
i^ectaiiael^i^ BD, giebt.eine ratiotta(e ber angenommenen
Statipn^ttme. in S&nge incommenfura&ele SS^ite^ CIX

/

«»4

€ufnb*< eimintt

V

ÖEXEF/botalfo,»««
Ä inetial (lo, aa. ^uf.)/
G£, EF^ cottonal, bU>%
in fJotenj commenfutabel
fnt.

fe^un« DA=BD, alfo <:L-.
We IRectangfl BD , FG,

glrii* unj) giftdwJnfHct fit*: fo t(t (6, 14. 6.) BC:fiG.-±
EF;CD, alfo (6,42.@0 DBC:DEG=aEF:pC!0.
man fJnb BC, EG, wlioiwl, olfo D BCnQ EG. ^lil^
i^ ( xo, 10. ©0 D EF n D CD, f»i9ti(^, ba D EF tattbaiüt
auctOCt), öifoCDcationoJ. '

I)a, toeil EFn_EG, EFuEG, <tü^ (lö, 22. Jf'^HO
EF:EG=DEF:FE><EG; folft (lo, 10. (S.) DEF
UFEXEG. gttin Ijt FEXEG=sDA=:ix:x€B/
*irt> Bo* Obiaetn D EF n D CD. ^gtict» ifk (10, 1 3.-€S^
O CD U DC X CB. 8lun i(l (10, as. «e^f.) Q CD;: DJS
X CB =p DC : CB. golgti« ifl DQu GB. S>maadf #
DC («tional unb tet CO in tän^e incDinmenfurattel.

^tt 24. @a$. fie^cfal.

3<^e einer fOtebtatttntr, Aj commenfucdbefo ÜtiiT/ 1^
ifl aui) eine !fi>{ebia((ini«.

(S< («9 Ut fRfltio*
naUtme CD, «nb <in -'*'

^rfefben ein »on A ^* jv .^

j)oteni;irt«« 5)tectan3el E-' — '" ■ "' ' ''' ' ' ' ' "' '"""" y
CE enttvotfen, wtU
(bei (lo, 23. 0.)
bte rationale ber CD
fn ÜM^t incomnten^
furabfle Sceite DE
'gebe. e< fep fetnet.ttn brtfelbeh <!I) ein tooh B jMfttpMl
Stectuns^ CF entuMfen^ »el(bc«'bi(e'SMtK EMP'fliA*!^* ''

SD«

«•MNtow

O A =r EC; unö D B ;^ CF. gotdlid) ijl ßC n CF ; a6(r
(6, I-®,) EC:CF=ED:r)F, folglich (^p^io. 0.) EP
nOF* ^ Stun «ai: DE rational unb ))et OC tn^tinge in^
cownKii'fucaW. . goigßc^) Ift C lo, 1 3. (^0 PF mmal unj^
tec DC In ^änge incDmmcAfucdbeL SDepinaii^ finb CD/ DF^
rational/ t^(o§ in ))oteni coifimcnfuta6e(, a(fp ( 10^ aa^ fS.^
CFfrtati<)nal, ober qiB=CDXDF,|oIg(j(^ (lo^ aa.C^.J
B it|M$iona(/ unb fine tB?e|Kattmie*

3 u f « ^.

^^ftul e((fe([et^ ^a6/ .toa« einer Wte^olflsftt cotnmenfVii;

t^i^PpWiiiir^/ tn^oUnscpgimenfuraM it^b eine ter^

(elften; fofglicft duc^ bit anbete^ mebidt ifV. 8ßa< dftc^
(10^ 19« ®. itnmO i)on 9tation(^t(imen gefdgt tootben , gi(t
||9(t^ wn SRebiddimen^ ba^ h&mli^ jebe einer 9l^kilfin{e
cctnimenfittaMe {tme oucf^ inebiit unb jene« entmeber inUngjt
m^ ^en} iiid(ei<^/ öbe( btp§ in ^ctenj cmmenfuroftel fe^i«

©et 2Ä. ;©a^. $e^rfa|.

;^t>(d Mnttc mebtafen unb in BSn^e c*mmettftfra(efeR
finicn^ AB; BC^ entj^altene Stectaitdef/ AC; ifl mebiot

^a^ imi AB ta< Oho« ^
trat AD/ »eld^rt «(fo i«(M«( -^
Kt 2>a ABnBC, un» AB
S=BD: fo Ht BCnBD. »UH
f|t^O;BC=rAD:Aa Solg»
li«^ ift <tti(& ADn AG, folflUit/
ta AD meMd(/ att(> ( lo, 04. ßuf.) AC tt^«(.

3ebe« unter raebialen jbtoß in ^otenj tominm^ahu
(ett einten , AB, BC, etiMene SRectangef/ AC; ifl^

weberrationot ober mebiol.

4 !Ra(ibt

»l6

9SvifWi ^(emeiife

' r

E F niK

LM

3C, Mt£luabcäte

AD, BE, io m

tiefe metial* Sf^un D

fep bie 3tationak

ifaWe/FG. ein

en betfelben ent^

tDOtfenetf bem

dtsabrote/ AD,

gfeic&e^ dtectan^

0e(, GH, gebe bie a3teite FH; ein an HL enttDotfenet be»

fKectangel AC gleiche« fRectongel LI aber bte Steite Hl|

iinb ein an IM entn>orfene< bem iDuabrate BE gleicbet 9tecti

ongeC MK bie S5ceite IK: fo ftnb (i; 14. ©0 FH, Hl/IK, .

in getaber Sinie«

^ ^a bie £iuobtate AD, BE, mebial {tnb, fo (tnb ou^hM^
if^nen gicicben Stectangel GH, MK, mebiat, folgticb/ ba FG
tcijiotial, i^teScdten FH, IK, tationa( unb ber FG in {&nge
incommenfurobeL ©a aber ADnBE, aifo aucb GHnMK^
iinb (6, I.0O GH:MK3=:FH:IK; fo ijk(io, lo^SJ
FHnIK« £)emoacb ftnb FH, IK, rational, unbinS&nge
cpmmenfurabef, folglich tft (lo, 20« ®,)^HXIKtationaL

J)aBD=AB, unbBCrrBN: fo ijl BD:BGr=At
:BK 9lun ijt (6, i. ©.) BD:BC=: AD:AP, titib Afl^
tBN=:AC:BR golglic^ ifk AD:AC=ÄC:BE, Sim
ift AD=eH, AC;;=LI, BE=;=MK. golgli* ifi GH
:LI = LI:MK, fofglicb au6 FH;HI=HI;IK, folgU(j^ .
(6, 17.00 FHXIK=;aHI, folglicb, ba FHX«
rational, au(^ Q HI, alfo oücb HI rational. 3^ nfur
HlnHL, ba< i|i, HInFG, fo ift LI rational, 3H aber
HIv^FG, fo ^nb HI, HL,. rational blo§ in ^otenj commem
furabef, folglicb (10, 29. ®0 LI mebial, SDemnaiJ^ i^ tl,
i<a i^ AC^ enttpeber rational ober mebial»

n

T>tt

fx?

€m SWebtote«, AB, ö6ertrijft ein SRtbtÄfe«, AC nlc^t
itm ein SHationofed.

E G H

tnigftc^/ DB; ber Ue^

6etf(^u§ mh AB ubec

AG, rational 9uc^

fe9'bie atationaninie

£F| )tnb an berfefben

dn bem AB gleic^eä

KtectanfleC FH entmoc^

fen, mld^^i bie a3rette EH ge^, ^ietDon d6et bd< Um

ACgteicte IRectanael FG toeagenommen, ba§ olfo DBri

iH/ a(fp, n>ei( DB ali vatmal angencmmM ift, auc^ IH

. 2^ AB, AC^ mebid/ fo (int ouc^FH/ FG^ iiKbi<ir,
Hgtic^/ ta (ine ®ette £F tati0na(/ tk anbem (Seiten 'EH,
EG, ( lo^ 23. GO au(& rational, unb tiec £F in Stoge in«
cpmnienfwtaM. -SDa aber IH itib^, unb eine (Seite Öl,
hai i^W, cational: fo i|t ( 10, 31. 0.) bi( rnibece ®eit»
GH rational, unb bec EF iii Sänge (ömmenfucobei ; folg«
fW/ »«UbieSRationadinie EGuEF, au(^ (10, 13.®.)

EGuGH. giunifl(io,2a.8eH.) EG:GH=dEG:EQ
XOa. §oIöIi<^ ifl ( 10, 10. Ö^) tl EGuEGXGHi
Sftun ifiaE<^r>DEG+aGU/ toeif beibe rational; aut^
EGXGHnaCEGXGH). So(g(i(6 ift (10,14.9«)
OEG+'dGHua (EHXOH)/ olfaaiK^ (i«V *?. S.)
D EG + D GH + 2 (EGXOH), ba< i^k (a, 4. 0.)
DEHuaEG+QGHi fo%K*, «»ettaEO + DQH
rational, QEH, alfoauc^EH irrätionaf. S^ac^ Obigem
Aber war EH rational,, «»ef^ ciminbec, ivibcrfpric^ . %ot^
li^ fann Oü mön cational feyn,., uq9 ift alfo irrational. -

P 9

Titt

.•*j

\ -

Sil ^viitVi ftUmmt

«

©et 28* @«|- 7(ttffla>«*

3w<0 mebiafe Bifi§ in g)otena commenfttm^c^f Siakii;
We ein JXationafe« entf)oIten, ju ftnbem. . r

(W fepen A, B, jwep ra< ^

(6, 13.Ö0 5»tfd^n beiben B • '' — r^

Me mittlere C, unb (6; p^

1 2. ®.) ju ben brepen A, B,

C/ bie tierte iproporttonaUtme D; ba bottn C; B, «ibUf

No§ in Voten} commenfucabel fmb; unb CXD tattMurf ((1;

^tnn ba A/ B^ cationaC b(o§ in ^oten) cbmmenfurabcf
(inb: fo i^Cio, 22.90 AX^==DCmebidI/ otfi) «jÄ
iCmebial. a)a A:ß=:C:D, ötfo (lo, io.«0 C, A
Jbfog in Vüteng commenfurabef ^ dbetCroebta^ fbi^^io;
24« S. ) aucb D mebid. 2)emna(^ {tnb C, D, mebÜtf Ä<|
li 9|ii3iten{ camm^nfutobeL

Da A :B^=C:D, alfo (5/ 16. 6.) «M:«t»(bie(t Jl^^jS'
:B:I>, a[«cauc^ A:C=:C:B; fo ift fi^ß=rBt||^
ifitm(i6, 17- SO DB=C><;X>, Wdfi(fr,M>a,g»,j»?

■

®er 29. €!a|. SlufgaSe^

^n0€9 ittebiofe b(e^ in ^ten^ commenfoiiaiere !Ciiii(iv
bie ein a)kbia(e« Mti^en / ju ^n^en.

C< fiepen A^B^G, -
tcep tationole blo§ '^ ' ^ - ' V ' j - * ' ■ ^ • * - ■■ ?' ■ * > "*

in f)oten) ^oninien^ D i - ij , ■■ ■■* , n y i ^j. t

f »fabele Eintctt. ®ii^ »t»
^(,6,1 i.e.) im .

fÜ^n A/ B, Me miü* C »rM-r*

lere D, 4111^ (6/ 12. JEi im ■■ünpi»-

'«OittB;C,D,bie

feierte

Bc^^"^ -^Mfh

•<•

ttlerte 9ro|>ettiono((mie Kt ha hatm D/ E/ muH^l^fAßiiM.
^^oteni commenfutd&el finb, itnt DXE mebmlifti

Iba A, B, rationatMüi in fh)ten) cettimenfiiMM flnb: fi
tfk (10,12.«.) AXBi=DD, falg«(^ aü« D utettofe
fch «^ C, tint B : C = P : E, fo tfl <io, id. S.) DrVi^
ii6ec D mhiai, folglich (lo, 24. @0 aixilf E mibkif* IDm»
tui^ ftnb D , E / mebid Mc§ m ^)e(eii) <ofliiiieii(UiQM«

©aB:C=D:E, dfo (5/ 16. CO ^ t w cc bf ett B:P
•=€:£, aber önc^ B:D=:D:A; fo fj^ 0:A3=C:E,
föIgU« (6, 16. «0 AxCrrDXE/ fofglic^, ba (lo^
#a. &) AXC mcbial/ öm^ DX^ mebiaL

^tm dnahtatiaf^Un iuftnbert/ beten @imime.me|

(Be|ie ^Toep S^^ten, AB, BC^ bte sttg^eic^
tntm^bet getabe ober ungcrabe finb. S)a
itffo in beiben Sitten berieft AG (^, 24. 26. ««) flfMbfe
ift; fo n>ecbe AC in D ^albirt. IS< fepn <ibet Mdt AB, BC^
iJ^AIicbe Sliebenja^len ober £lirabrat}a^en , cli bie gKM^All

IU^i<be St&dWJl4(^ M/ fo # (9/ 1- ®0 AB.BC etn(
ßttabt<rt§al|>f. ©ö nun (2, 6.60 AB.BG+CD*=:fiD*^
fo finb alfo {toep ÜuabroQa^en AB> BC imbCD^ tdjunhtUf
teten Cnmme eint ChiabcaQa^f BD^ 1(k«

5 f f ^ 9* $ierau< etJ^eOet/ tof in^ep &nobriif|^Ien BD*
imbCD^ gefunben wotben j!nb, beten ttnterfkbieb ABX^
KUbann mtlf eine £!nobcatio^1|t, loettn AS^ BC/ 4|rt(ii^
^d)tnia^ltn ftnb; fonfi (Aertiik^

AJIDILCJUI

3»«9ter 2e]&nfa|.
3»^o iluabrat^a^ren ju jtnbeji^ bereu ©umme leine

•so CNfHi)'^ SUmente

:(.

/.

.;

|d^C, CA seröse/ tinb in D j^dbitt, folglich AB.BC-f-
CD^zzBD'. 9Bjtb nun Ne (Sinl^ett DE toeggenomoKi;,
>Ä|ölfoAB.BC+CE'<BD'; foift AB.BC+CE' ttmi

IDenn t^ite tiefe (Summe ^e Üuabcot{Al^{ ^ fo tD&re bfreii
Geite entioebec gt6§et:^ ober eben fo gro§/ otec ((etnet/
^ISEf mlä^t )uit&c^|t bot BD t)ot^er geltet. , £)d§ a6(r
feine« l>on tiefen btepen m6gtic(^ fep , toitt auf f olgenbe Stt
tetolefcn.

I. e« ifi ni($t AB.BC+CE*>BE\ 35enn Wen&^
gv6gere duabtatjo^t nacb B£' i^, mit ficb bie Sin^eit iii^
t^eHen (&it/ BD%' n>e(4^e aber fd^on gr6§er atö o^ebac^
Summe ijt< ..

J: 2* (g«i(tmcbt AB.BC+CE'=BE** 2)enn fe$t ma»
GA=:= 2 DE^ bem 3n)iefa<ben bei: Sin^eit, fo ift/ tt>ea ^G
fc=:2DCifi, GGzraCE, ba« iji, GC in E ^arWrt>
foteli* ( 2, 6- e. ) GB . BC + CE * = BE *. mxt nun
AB.BG+CE^^BE*, fo»at:e-GB,BC + CE»==:AB
^BC+CE*; folglich GB=AB, »elc^e« unm6fl«* i^.

• 9. (g«ijlni*tAB.BC+GE*<BE^ iDennfefitnyitt
^H=aDF, fb ijt HC=;=2GF, bö«ifi, HG in F M^
bitt, fo(0K* ( 2, 6. «0 HB . BG + GF * i=BF *, ®4te
nm, ba BF* bienäc^ft fleinece Öuabwtjöl^l tot: BE * tj^^
AB*BC+qE*=BF*, fowice HB,BC + GF*~AB
«BC + C£^ , mlöfti unm6gftc(i \%

; 2>emna(6 f ann AB , BG + CE * leine audb9dt)a^I (epn/
ttnb ti finb dfo )me9 OuabTatia^ten AB.BC unb C£^ ^u
funben^ bei:en (Summe feine Ciuabratia^t ifl,

©er 80- ®ft$; 2(uf^a6e»

Bi^et) rationale Sfo^ tn^^ötenj commenfuraSele £tmw
3tt ^nbett; t^on benen bie größere um bä^ 0uabrat etnee

ifßin Sattle ci>mmenfuta6e(en &inte ö6et tie fleuiere

potenjirt

(Si .fe9 AB eine 9{attonaI^
Urne, unb (lo, »9. gufÖ CD,
DE, i»e9 &iua^rat}al^(en, be^
ten Untesfc^ieb DE feine Sluas
tcÄtja^C m. lieber AB be^

fcfeteibe ten |)albfi;eio AFß, A«^^ 1 ^ ^B :

macbe (10, 6. 3ufO DCrCE ^ « t^

= □ AB : a AF , twge AP C1.E 4,U .

ein^ unb $ie^e FB : fo finb AB, AF, We gefuc^ten $RattPh<£ft
ImUti, unb FB ift bie bec AB in ihn^t commenfurabele 2ui|r,
um beten Duabrat bie AB aber AF potenjitr*

!ßennbaGAB:DAF=DC:C£, o(fo (k^ o^teSo^
m^ittn: fo ijKiO, 6. ©0 D ABnQ AF, unb ba D AB
rotienal, an^ Q AF, a(fo aucb AF cationat/ abec.toeil O
AB, fteb nicbl n)ie Ünabratja^fen t)er^(ten/ ( lo, 9* 6.)
AB u AF. S)emnacb finb AB^ AF^< rational b(o§. in ^ottü|
iommenfflcabeL .

* aulDC:CE=:GAB:nAF, folgt au<^ (5/ I9*3öfc
unb £, 47-®0 SWtucfUe^reitÖ DC:DE=aAB:DB?^
ober DG, DE, finb auabcatjo^fen, fölgli* ijl ( 10, 9. ®.>
ABnBF. ©emnacb ifl, weil (i; 47- ©•) QABs:
DAF+GBF, alfo gab— aAF:55aßF^ *ar«tP
fuc^te gefunbem . ^

Swep rationole bk% (n gjotenj commenfutaSefe Stnieti
gu ^nben , t^ott benen bie oir&gere um ba$ iOiuabtqt einer
i^r itt HviQt incommenfurabelen Unit t&bec bie fieimre
powniirt.

■ 1 1

t«

f

•ti

(baiüfra efiimtitt

C9L^4.0

Cf fei^ AK eine IRatiandk
llnle, unb (lo, 29* 8e^nf. 2;)
CE^ ED/ iwep £lttobvotia^(en/
teren (Summe CO feine Qwa^
ttc^af^ ilft. Ue6er AB be^
fct^reib« ben {)albfcei< AFB^
moc^ (10, 6. 3ttf.) DC:CE
=: Ö AB : Q AF, unb jiel^e
FB : fo fmb AB, AF, bie gefuc^ten 9Uittpna((in|eo^ lub E8
ift bie ber AB in Sänge incommenfu(abe(e{Uniey )im brcoi
ÄiidiN^ bie AB über AF potenjitt.

Pcxm tanan beweifet^ toie im üorigen @«Qe^ bA| AB^ Ai#
rational b(o§ in spaten) commenfucobet ffnb. pa nu» PC
xCEzrO AB:DAF, alfo (5, i9*3uf. unb i, 47.®*)}tt#
lÄctM^eilb eD:DE=DAB:DBF; ab« Gl>, DE,
irtcbttuglei^ÖnabratjaW«« finb: fotft (10, ^.e.) ABuflR
ibemnöc^iji, »e« DBF=dAB— qAF, b««®efirt|fie
Mitnbctu

©onjtte99etab<n£mien, AB, BC, Wr^SftjTi^Me
Hftfete jjtrJleinem/ wie M 9tecta{iie( uftt«: Wt^en
Dltm iOttobrote bet ffetiiern.

( ürni MaÖft m«|l Mit BC rv 1J^

larjb«« ^e(dldi«»!!iam AD :
föifK6/i.g5.) AB:BC=

AD:BE. giunifkAD=AB ^

X BD =r AB >< BG ; »e«

BD=Ba S^j0(i(^{jiAP:BC=AB><BC:DBC. '

' 31M9 mcbtafe 6l«i tu 93oten j cotnuMflfttraSefe Stni^

bie Qtbfint um baö jQuaArat <iner i^v in ^ange comiimüi»
forobelen >iinte äbec bte Hetnerf

A, B^ jwep rationaJe ^^. » ' ' ; ' *■* •

Mü^ «J^..f!^^^"J cowmen^ C * — * ■■mV- n-^

iuväbtU iitikn, lotn be^ jg ^ | . J^

nerf We fl|t6§ere, A, um

to« Ou^bwt ein* j^t -D ^— ^ — «---*

if tÄBjH c(nnmwifan!r

belen ?tnie, fi5et*^iie Heinere ä potewjirt. 93M^ t:6, i^
I2,©0 A;C=C:B, unfeC:B = B:D, ba§ ülffe AX
B±sr06Vttnt)CXD=DB: foftnbC, D, We jefuc^

Z)ennta (lo, 22* ®0 AXß mebfef ffl, fo ift ava^^ÜiC,
«ffb C tnebid. 2)ö CXD =0 B, unfc Q B totionol^ ft
in au(i> CXD rational*

©a ferner (iq, ju Xe^nf.) A:B;;=:AX-B:06; «^
AXB=Dt3, unbDB=:CXD: foi{lA:B=pO
:CXD; ober Oll* (lo, 31. ge^nfO C:D'=:DG;CX
0/ fol^icb ArB = C:D, bag dfo C^ D, fo»le A, B^
frii^in^otim) commenfurabef frnb/ MgHCb/ >eH Ctnebki^
au(() (lO/ 24* @0 Dmebiaf if^. 2)emna(^ fin^C/ D, mAkA

^n/^^:^^s:X:iO, folgt au(& (10, 15. ®0, ba§ C um
hai £>uabrat, einer i^r in t&nge commenfurabeln tinii ibetW
D potenjirt^ »eU ba{Te(6e {mifcben A, 6/ 6tatt jinbet.

3(ttmerfun8»

Vuf &^n(ic&e 9rt ftnbet man attfb Mefe timetty »inn ^t
jBr6§ere um Do^ Cluabrat einer tl^r in.S&nge^iiKOiQmetr^rtfHf
liti finiruter bie fteineee potenjteen foft; tnbem i}ian A^ Hi.
(brnnunt:, {)ag bie A um büö £htabeat einer igf ^in. ikf^^im
commenfurabelen Sinie übtt bie B potenjirt; , .

S9on bt*9 geraben iinm, AB, BC> CD, veül&ft fl4$»

*.*^

€uf(ib'< Qlmmt

'f'

unb sw(9teh jum Otectahoel unter ber iue^ttu wA
tmtttn.

Kttf AB nticbte in A
ttn^krpenbtfel AE/ ma«
4ie.AE:^SC/ unb (te«
^ tütd^ E bie EG mit
AD, bucc^ B, C, D, bte
^f, CH, DG^ mit AE

JDa (6, 1. 0.) AB:BC== AF:BH, unb BÖtCD:;:
BH:CG; fo iji aU8 ^etlt (Sletd^Ctt AB:Cb=AF:COt
Htm ijk AF= ABX^C, tQei( AE=BC, unb CQsr
CDXBC^ »eil CH= AE. $o(g(t(^ tfk ABtÖDSs^
XBCtBCXCD.

■ «j. ■

1^

^t>

S^et SS* ®a§» 5Ittf9o6t.

Bme9 mebtale 6(ofi in 93oteit5 commenfura&efe Üiiiiik.
|U ftnben # bie ein SQlebtaUd enel^alten ^ unb bon beheti
tie dt6§ere um \>a$ 0uabrat etn^r i^r in 2&nge commem
fttrobetcn^Äinie über bie Heinere potenjirt*

^^ B, C, btep rationole -^*"~^ ~* "^

furobde 8imen, toon be^ ß i

fien bJeAumbääaudt: ^^ '

brat einer \f)titCilit\it . ', "*

commenfttta6e(en ftnie C» — •

&6er bie G^pottnjitt.

fRa*e U, 13. 12. e«) A:D=D:B, unbDtBsrCjE^
b«§al(oAXß=2=bD, unb BXCäOXEj fo ftiib :
D, ^, ble gefucbten Knien.

Denn ba ( 10, 22. @.) AXB mebidl Ifl^ fo ifl otu^
PD, alfoDmebial. 2)a(.io,3ö^?e^t!fOAXB*BXCrs
AfC, «bei? AXB = DD/ unb BXG=DXE> ft
(ftA;GÄDDi>DXEitibetOo,ji.2eH0üO-DX*

/

S=;D:E, fof3li($AjC='D:Ei SJunlft AA.C. §0(9*
4l«^-.(ro,^it9.(g.).D.'>E, folglich, >*D iteW<*V iatt<ft
( I^.«4k ^> £ inebidl. 2i«nitui($ finb P/E/. in(t)!ia(tli|^

,Vii9tK(A:C=D:E;#||t?««eft (10, I5..e;>^ »dg jbte D
ttn'lSjNpQuät^rat einer' I^ttit8(inge coinitfeti^c(i6t(en 8ale
i^ct M» £ P9tenjirt; »iHt la|fie(6eiWif(|)enA; C, ^Mtt finM.

. 1

' ^"l ftitf ^U^k^Xvt ftntet mon-aiic^ tiefe 9titim^^ t^
ffä^ttiSxm tai OuaDtat einet tl^r tn S&nge tncommenfura&e;
len tinie ober bie Ueitiece potenjiren feO; tnbem man A, B,

. f»«im«fe', pü^ bte. A »la hi& iC^abtät einec.4$( iiXimitc w
cfg^^incnfiiif^ 2inie aber (te B |n>teniict

I - . i 1

'^Me( motf tn einem rec^twinfHden $H<)tt9e{; BACf
ou<ter@pi|e; A; bed rechten ^infefe auf bie gedeite
Ä6ä;(ied(nbe 6ette, BC^ einen ^^erpenbifef, AD: fo i{t -,

i. CBxfeD = aAB;E A • •
twil(6^8.3uf)BC:BA=

BifcBE/ ' ",

. a. BCXCD=:aAC;

3»^ BdtCA:=:CA:CJX S

3?*«>^DG=DADf ..

»ettBD;AD=AD:-Da •

'4.BCXAD = ßAX
AC; »eil CS/ 8. <S.) BC:AC

*» ■ ■ ■ ;

AB::^. Obet aut^^
i»m^^wtitti^mm bie SKetän^et CE/ AF,ibfr<#Deibt» ftbc<
WcrenKil-xr''a aBAC/ fpIgUc^ CE=AFy ft4fe i(^, BC

ABXAG {jV,.; • ; •. . • ., .rtciiÄK'. ;; ■ • .5

•■. \

"Mtw

miiti'iJSiamtt

"r *r'

unb bem f(etnettt 2(6fd^nttte.
V aftafbt tttfn^AB tot CttcAMt'AD, ^
«A iiefie botj^ E nft AG «bwBCMt
XF (IdrAlii^ ,bh6''«ff» <;6/ i;r jS.-) AS
:EB=AF:FB i% Sim ift AF=
BAXAE, unb Fß=ABXßE,..
t»<t( AB=AC==Bp. roÄ¥\,.
ik: EB =' fiÄ3><: AE : ABX'Bifc C

I ■ • « ■ #

bUf feinere, BC/'CI#D> ßirbirt: ^i^mmmm
ttntet beiben ba< doppelte bt€ SHutanitti unter ber gcft;
fern, unb ber J^affte bet f (eioern.

@m(bte in B ben ^er«
llenWe(be^«f<^iBEr=:
SA, iinb boKeiäie bte ^i^

•■;:■•■
gut. ' ' .

2>a DB : DCäBF

BCfDC==p6:DQ, Mg*^ A

Iivb/n>^i(St5= 2 DG, att^:

BGar aDG. 9lmi ifk^ÖBC ABXBC, «eH Aa^^WSf

taibjAiijecjDF.
golgßc^'ltk ABXBC=a (ABX'BD).

'A Sme9 m ^btehj incbdimenfnuftefe £tnten.9u -fi^ibcfV
^ie ein Satebiafeft ent^dlteit^ unb ^mn'(^«lomp.'tßfmi
men ein 9tationa(e< autfoiac^n» .: .^

Wfn)«! (10,31.

«ottonde ble% m

|}Qt(n} commenfu«
- »«6dL?iwep, t»on

teien to AB «jn A . . £ B h ' lÖ

|a0 £lua(rat einee

tiß.iittiK\%t tncoinmnif»ra6(f«ii fh^ ^» ülie QC fc^Ufj^
• 4* mibe BC in D ^dbitt/ viib an A$ (^^ ag, ^.} ^.tan

QBP, ta« ifk/ &«ti »vecten Si^eUe be« a,BC^i(^(# ^^
^ «n^l ÜntttDocfn^, t»t]iä»i ein Oudtrait .jjttc «fcg^ni^dJ^/
■' inb et- («9 ba« luitet &&, £B. 9if(^^ ö^ 49 }^
.>^a(ttrcilAFJB, em<^te in E !^ 9tect^fiÄ^((.>EP/ unt^i^c

AF, FB: fofinbAF, FB, W.mlm^Wm'

S)eni i9ei;m5|)( b» eon|brHCti«i|i ijt (lO/ 19. Q.) AEgiEB.

ÄWI#^{6, 1. ®.) Akt EB=^BAX A^: BÄXBE; abfe
.a<V 35. ««Önf. I.) BAXAE=DAF, unb BA><BE

335 Q P. fllfp AE : E5 =: q Ai^ : ä Fß. gotglit^ ift (j O/

10. «0 D AFudFB/ olfo f«nl> AF, Fß^ in ^otenj ,i;tcon|f

^i>n:^i, a\\f>9V^.QKZ, totionol; aftec (i/ .47-^0
UAS^a AF+D F^.: fo tji a AF+q AB t(^ion<»L,

JDa ferne (10, 33.8e^nf. i.) AEXEß=qEF/«i^
m«A. ^m Knoenomtnfli^ AEXE^zsqBO: fo tik EP
,3;pfiyD, alfr BC=;:2pF, foJgli* (6^ i.*®,obeMo, 33.

«r^fr. 30 AB X ßg == a ( ABxEfi')^ Wi*^ m

^iS/?P..€.) ABX ßp meWal/ aud>(io, 2^. ^uf.) ABXEP
mm, ^>t8ft*, w<« (10, 33,8«^nf..iO AßXßF.si^Ay

XfSr «»* AFXFB ,m«Piat«

5öer 85. @a|. ^fufgaBc.

3»<!9 ,in gjwenj incommenfutofeeU ^*P.«n $w ftnbm,
|ff ^f qi 0{actpna(e$ er)tl^a(tm, ut\0 Deren £Xu^bme ju»

1 '

S2. eo Ac, BG, ^ ^Xn *>

imep mefciale No§
Ui Voten) commoiu
(tocabele einien, t>te
lin 9lalionaIe6 ent^ A
l^aften^ unb Don ;

MHin Me AB tfm US Ouübrat einet i^r in ihtiit utcraimliu
(kttdbelen Sittie 4bet ^ BC pctenjitt 31 »erbe BC'lirP
l^irt; unb an AB ( ^, as. &) ein bem Q BE glckj^
StectotgeC AP XF^ tntwocfen , beffen (Std&njtms ein fitna^
fciit ift. »efc^reibe ftbec AB ben ^(AbMS ADB , ecci^
In F ben ^etpenbif e( FD , ^unb iie^e AD, D8; fo ^n» A£>,
DB, bie^oetJangteii ?inie«*

!tm wrmJge' b« Son^ttctitm i<l (lo, 19. ©.) AFOFP,

ioijK* (6/1. Ö. unt 10, 10. (SO BAXAFuAB>^Ä'.
•»iimirt (10, 33. 8eönf. i.) BAXAF=n AD; im» AB
><ßFi=DÖB. golflüc^ ifl QADUDDB^ ^fb A2)
er DB. 'i

•2>.a D AB tneWttl/ unb ( i, 47. 6. ) ö AB sr Q AD^
qDB: fo i(t ouc^ O AD -I- D ^ n>(btal. 2>eimuM(» iniu .
<3t>(ii t!ie XliHibMtt bei; AD/ DB^ ittf«tn«i(ti «in^ MeMNs
■fe« ÄU«.

2)a fectrec näj^ bct ^onjtrucHim AFXFBä=GBE, w»
(lo, 33. «c^. I.) AFXFBnraDF: fb t|t BEa DF,
o(f» BC SS a ÖE iir 2 DF; f olfl|,'(t> AB X BC £= a <AbX
pF), foJgli* ABXBCnABXDF; folg«*, lodl «ot^
»et CronfttuttfoKlABXBC cotionat; oltib ABXDI^^atio«
na(, folglich, mH ( 10, 33. itf)nU i.) AfiX^FsscAD
XDß, au*ADXDßwtionat

--.-->

bmn /:iuabtate iufamntm ein iKcbiftfe« «o«lna(^m^ mt

\

y.

mtld)c ein SKebiafe«, ba« |e»em iticpmmenfHW^cf ijt,

<8< fepen (ro^
SJ,ft>AB,BC>
i^ imbide bfo§
fir^ßcteiiil coinmem
fbrobck Linien; bte

^ ;i^

TB E C

idq IRebiaIrt ent? A

"l^ttctt/ unb Dcii

benen bie AB um iai Slnahm einet i(^c fn iinp^ tncottimen^

furabelen Sinie fibet bie BC potenjirt SDtrb nun bd< Uebrige

tote im t^oriden (SSa|e cottfteiiire: fb finb.AO^ DB, bteter^

iüfgten Sinien*

V l^m txt AF uFB, jb iH AD ;^DB ; ttttft fca □ AB mtt
1^1, jbift au<^ D AO+aDB nte^iofv

JDa ÄU<6 ^iec BC = 2 DP, fb ifr .dik^ ABXBCsa
a:jCABXFD>/ W«<i*f «^<«l ABXBG owWaf, auc^ (10,
a-ii^fO ABXFI>nicb««fe" 9iun ^ ABXF'D=An.X
PB. golgli* tft 4U(^ ADXBI> mental. '

. . lia ABuBO, otopBCoBE^ fb i|l ABuBB, Ibfgßc^
jC6^ I. 65. unb 10^ 10. ®.) a ABuAB><^8E. 3ian ^
OAB=aAD+aDB,ttnbABXBE=:ABXFDBs:
ADXDB» ^olgtic^ t|t Q AD+gDBvADXQR

■■•fc/j:

t) tt

fei« Stratiottanitttem

©et 87. ®aS. f ei^tfal imb etn4r»nfe
;il«8fAt«tt^ AB; BC, pfamnundefefft: f^i^bk ^oitjo AGI,

» k»:^

•\

-J.

% 3

»r''

•'s« ®ifttb'< Stemente

^a AB<^BC/. fttfo AB

UBC, un^ (6, 1. ©.) AB 1 ä' '!*)

:BC = ABXBC:aBC;

fo t|k (lo, lo. ®0 ABXBCÜOBC. Shrn tjk (to, 6.«.^
ABXBCnaCABXBC), unb (lo, i6.®.) ÜBCrt
DAB+aBC. %cHm ifk* (ABXBC) UQ AB^
DBC, fo(9li(& (lo/ 17. @.) vetrbunbeit a (ABXBC) *
D'AB+CI BC, ba« ifr (a, 4. ®.) P ACuD A3*|-pBG,
.fofglid^^ weil Q AB+OBC tationd^ O AG« -olfo mi^
A-G tctfläonot»

tlBftben iW(9 6(0^ in ^of cnj tommta^me^tU ^0^
kuininien, AB; BC,.bie (in 9lcrttona(e« tmitaitttt^ i»
fammen0ef(|t: fo ifl bie gaüje, AC, terationof/ mI
I^Hc bte er^e 25tmebtale.

Sa ABuBC/ unb ( 10, ,- •■ .^- ■ ■, ■ - -.1
.^.B.i3.e.)DAB+q A B C

BCU2(ABXBC>; fotjk

»etbanöeiiD AB+CIBC+ 2 CABXBC^b«« lflCi,4. (Üi
QACOABXBC, folgfi«^, tbett ABXBC fatini(if> Q
AC, olfiei ou(!b AG ürrattoiiaf. *

•Serben jwep 6(o§ in ^oeen^ commenftirabele ^p
'fetaninieti; AB, BC, bie ein ä)ltebia(eä enrl^ofren; jufädb
tnettsefc^t: totfibte$cm^^ AC> inaHonol, utijb.|^ei|e
bie yc0emJ5impiak.

<8< fep DE eined(attrita(IHitt^, ttnb an beHfÜbeA.(i/ 4S* &)
^n bem £iiiiibrate bet AG %Ui6>U IRectangcl DFzr Ej;)><
BO, bc<g(ei(bcnrin'bcn£luabrarmVt ABüntVec BCgßUbtf
Äeiftändel EH = ED!k DH , eiitoorf*«^

fb t|k HF=a (ABX^)r ätuh finb AB, BC^ olf» tl

Aß,

Bt^oM i&u^

'■m •

hC

AB, DBG, «6<tfau*«!GABX a
$ßJyniiiAiaI. nim<^ ßnb «I* Vi^ . u
(io/i^;«. 24. 3uf.> EH, HF, " ' ' ' ' " ^^ '
m^^, folflüc^/ toeti DE ca'tipad/
(lö, 23.6.5 DH,1iG, wtionrtl unl>

. Jba ABuBC, unb («, r; €5.)
Ab-: HC =; O AB : ABXBC;
H» ijk (fo; 1». ©.) O ABU AB g
X BC. Slluit ift D AB n □
Ai4>€]BC> «üb AB^XBCn

^.(ABpKBG). 8Ptefi<^ift.DAB+pBGyaCAF>§:
Bp)/ M ift, EHUHF, folgli«^ ttU(^ p^uiHÖ. ' '
' 'Ibonnaii^ fiittBH; HQ,.£alfonä( Mog in fiptetq; c^m^itnfttcai
M. ^oWift (le, 37; 0.) DG, iitationaf) |b(dfi(t^>np(i( Dlä
totionaf, (10, 31. (S) EDXDG, DatiftDF, iai if^Q AG

ffWIt Miuit jWefe «nie U«»ie^fn bie 3q7f!^#i(1!1(&^
i *#.?^X.ßG ^ mebipl, «ijfet, JPie><9:^.l>«^il^>!^
tM.ük^ jn»^« 9R^ii((e t>(|ii 9UtiMKi(^ »^W-

AB; BC, ibie ein ÜJlebioifetf ehtl[)art(n,."itnVt^.ett jplttaif
tntf e ivfammejü «in .9(atio4tqIet <m<qui(^(iY^ '^^^ammeiH
p; fp tflbte ftötije, AC, itrattoM/ W)?^|# >Ö^

JtoABXBÖ, dfiatMfe. ' ' " ' ' -'

(10, 84. 3»f.) 4 (ABXBC) A A C

«eWal, aber D AB + Q BC: •
icMmti jfi» Ht a CAB>eBe> UDA8t*jOBC« f^llgßift

tio, i7.^).:OABH^QBPH*a< (ABX^)'« !^^ ^V
.4.«0 DACuaAB^^aBG* ftfi««t/:i1«HfeQ'A^+0

l< Q AC^ «Ifo 01UM.C kia^MMl

^4 «it»

«oHib nntttt Mefe tiitie bettocden tue ^h^U ^(m^^
liale/ weil t)a$ ten Ouabeaten bet AB^ BC, gleictie tRaÜe^
iiale gtigec i(t/ aK bai 2)oppe(te untec AB^ BC/ (nt^ten^

©ebiate*

^g bem «b(c fo fc^; witb «Ifo ietoiefen t AB, >BC, tti^
tifn ntC^t gfc{(b im> w<U fon(tQ ^B+DBCsa (AB
XBC), folgßt^ ABXBC tation4 w&re, ftegeii tie fBo»

$«AB>BC,untBD 1^ T.-r- i

O AB+Q BD 5= a (AB XBD) + D AP/ M tft / 1»<5

BD== ßA;D AB + 0BC:^2 (ABXBC)..:*- C3 /UJ^
frtaö« AB + □ BC> 3 ( AB><BC ),

^etben iwep in ^otetti lhcommenfura6e(c £mtet^
AB; BC; «ie efn 9tattona(e» tntf^alttn, mb btfr(Ht'0ua«
btate tuftmtnen emSRebtafed-au^matbeii/ {ufonmieiifc*
:fe|t: fö t^ bte d^nje, AC, ictotionaf; unbl^i^bil^.dtt

SDa aÄB+aBCme* . ' ^;

ikl, ain i (ABXBC) t?*' K ".r^ '^.,. / /

tionaUjl;foiflQAB+a - V

BCwa (A3XBC), fplgtt* (2, 4. ^.. ttnb lo^. if.,e.l

iÄbttrt&ert d ACu^ (A^XBCj. \^m, »«« » W

XBC);Catioiia(/ QAG, olfpACitrotionaC.

• ' .'';■

■- - \

Tlnmerfung.

' euVfibc« netmt'biefe tinfe bettüegcn fo, mU i^rXlttobrot
|toc9fn '^gtiMn ildfammm gfei^ tflT/ «otf bcn<ii bit eine xtf
Ücnaf/ bie oifbete iiubia( ifL . ..

. ^ ©et

■ ^

- 5&^tben j'»ej)m55otfnjiricemtttenfut«c(el£tpi^^ ÄB|
^C, beten iduabrate jufammen ein !Ö}ebta(ed audntad^en^
tmb bie ein 9!flebio(e^ « hai jenem incommenfurabel i%
enthalte»; iufammendefe|t : foif} bieganje/.AC/.itro«
ttibaf ^ ^uAb ieige bü 3t«ey tlleblok P^CMiNftitibe'
< C« !«> DE eijw »atfo» a B ' C-

nalfinic. unb an betfelinm
( i^ 45. 6.) ein ben CtMat
bM^b« AB^,- BC^ gtei«
<M9te«tan0e( DF=ED
XDG, be«3lel«bea ei»
htm Jbßi^ltpn wnter AB«
BC| cnt^iaitesKn 3tectonft,e(
Sfeid^ IKectangel GH=
EDXGIennMtfen, ba§
«Ifr*(a,4.e>DH=Q
AC ifk.

X>

a

E

•Mta

■-

,il

J

r

H

J)ft DAFH^ö'BC mebi«tuhb=ÖFiHt (i> tftaui* W,
heiß Vit n)X£>G, taebia^ fpW« wdlDE raHohäT;
^Cr6> 3}.'®.) D6 rational iinb bec DE in Si^e incommen»
fucai^el. Sfix gfeieben ®rjlnbeit i|i ' ancb Gl cationaf wtb ber
DE in thtiQt incommtnfurobef. SRun ift .Q AB-f* Q BCvj
3 CABXBC)> ba< iü DFUGR golgttcb ifi (6/ 1.®.
«hb 10, 16. 6.) DGv Gl. _;

SDemnodb^nb DO /Gl, rational Mof in Voteni ceomidM
fneabet, fStf^licb ifi ( 10, $7.6.) bte SinomlafePi ttMrti«!
na(, foigficb, weit DE rational, (j9, ai. 6.)bal9t((t«n9«*
DH^ ba$ t^ Q AC, folglicb AC iccationoL

jOie Uyfo^ iber. jSentmitind i^ toie fK9 bcv Mci|m ti»'
iii(. 2>ag aber bie bii^e (A9(|anbe(ten fNb< ^rcMi^afe
liniea bi«i in bie^enigen tinien / ob« SlUincn, toorauj fie

«5 )ufani»

•34 €uHiV< ^ettiMte

)ttfa«i»ifng«|k|tti»otben/ »ieber teelegt teeitoif^nim» Mb
in ten foigenbcn ®&|en seicigt/ ^eoen obec fof^ntff 94ftf4
•Ptoirtittfc^en ift

9Bttb eine geeabe2inte, AB, in At»(9 ^unlten^ C, Xlt
fo gcft^nitten, ba§ AC>Dfi: fo t(i Q ACh;' O CB>

oad+ddb.

^IKte AB itt ^ DEC B .

E. iDoAC>DB, ' I I Tu I . ■■ ) r

fo i|tr wenn man

DC »egntmnt/ AD>CB; aUt AE=EB/ f^glkb, »fiiii
sutn AU von AE^ unt CB »on EB nxgmmmt/ pE<EC;
2><mna(b liegen tte fünfte C, D, «ngkic^ i»dt Mm ^^
btningSpunfte E.

TD« (a/5. ®.) AOXCB+ D GE=:pEB=AI)><
DB+ DE-; o&ec D DE< D CE: fo ifk ACXCB<

ADXt)'*^ «Ifo ««4> 2 (ACXGB)<a (ADXDP).
Kuntft Ca, 4.®.) D AG+ Q CB + a (ACXCB)s=Ö
ABts:pAD+pDB+a (AÜX DB). %^[gfi^ilt
AC+ D Cß> D AD +.a DB,

..* ,

; Site ajinDmiiafe/ AJI; l&|${ ^ 6lo$ in (^inetit ffmi^
£l^ in il^e' Sfiomen, AC, Cß>. ^ericg«». '

®Sce ein • drtberer ^ D C B

^ttnf t D miglK^ , baS ' r-< "" - .* ■■ ■ '*

tieabf(^nitt«AD,DB,

AG:GBat^£DA, -^Igttt^^ Aü wf ^n(i<^ Hct inD^

X

mefaiC/ gffie(nHtent9&ce/ tee(4cf iit(H oftgeiimiiicn Mtb*

>DAD + aDB. giunifl (t, 4- ©0 DAC+OCß.*.
s (ACXCB) ±=D ABrrD AD+aDB+a (ADX
PB). gDiMi* ift (D AG +0 CB>— (D AP +aP«)=a
% (ÄbXT)B)-^ 2 (ACXCB). fkm fmb We £lii«t)mti^ .
alfo aud^ Ncen Uhtetfcbieb , tatimaU 'B^iiüd> ^ift 404 ^
Uiiterfcbieb W SRectohgel rational^ ttelcM/ >94( fle mU»^
( ip/ 27. ^. } uttmbglicb tfn 2)emnad& f mm bie ekiebiUini
AB in Üürmr aiitnft ^uififfe o«$er C, olfo bfo§ in ^
einen l^unfte C/ in tl^jre {Ramen letriegt »erben«

« :■

tf —

©et *4. ©«$. «i^tfttf.

^^t etile 55tm«biafe, A^ tögt (i^ 6fog in €inem
ptnfte, C, ini^ 9^aitteh/ AC, CB, lecfesfiu

, «4»e ein , ^«itievev yi D C 11 *

fMft D in68(^« ^8 V ' .. . ■■ » ■ ' I - 1 . 1 1

tie86fi»nitteAD,D$«

neM«le Mo| in Motens cemmenfunMe imb ein KtftioQ4i(e<

lm«^tent)c Linien tagten : f» Mre Mebee s (ACXI^^—

« <ACXCB) , iä= (0 AC 4. a CB) -^ (Q AC + ÜÖB).

^c^üict» w&ee^ M l^e Steaangereoüi^nal, au(&bec Smei»

lltebieb tet £lu<<^te catfcitrd^ toiMfÜ, weil (t< mebiaf« (t.o>

AT« 0.) vnin6{9iil^ ifk. 30nnnM^ fann bte ei^iC

Molk fin«m $ni^ in i|n ÄÄmeniedeat winiNii.

■ / ■ ' ■

* V

aj«

^tOtiH'i ^umtt

Khtt ein anbetet ^unft a
D «1*9«*, M AD, DB/
snebial Uo§ in 9)oten| cow
tnenfuraftel ftnb/ unb ein
SRel}iQ(e« entgolten/ ba§
ttbettit^t AC=rDB, fon^
bttn i)otau<fe|un8<n)eife AG
>DBfe9: fo i(t (lo, 43.
«e^fO a AG + aCB>
DAD + DDa

' «i- fn) EF eine atdtiertdt: F'

linie, unb (1/45* ®.) ön

betfetten bie IRectangel EI r= q AB, EG 2= D AG + G CB#

unb EK=n AD + nDB entworfen, ba§ alfo, wenn man

t,G bon EI wegnimmt, HI::;^:^ (ACXGB), unb, ttem

manEK wn El »cgnimmt; LI=:2(AD><PB) ife ^

JDa (10/ 39^ <2J^ I-65 ®._.^4» 3ufO p AC+pCB/ a(^
OttC^ßG; tat i(l FEX EH, mebial, abet FE tationoft
fo i^ (1 o, 9 3. @0 EH rational unb bet FE in S&nge incom^
ihdtfütäbeL S(u« glei^ @ranben ifl aui^ HM totionfll

unb bec FE in t&nge incommenfurabcL ^5

' «• • . ■ .■ •

' l)a femee (lo, ^9. ®0 AC« CB« mebial Mol in ^l'etdti
(otomenfttra&ef« dfo ACuCB/ unb (6, i. ®,) A<C:CB
=ClAC;ACXCB; fo ift (lo, 10. 0.) ÖACuAC
XCB. Btm tfk (lo, 1$.®.) aACnDAC+aCB,
ptilAC^CB, au(& fH ACXGBoa (ADXCB)L
^•im Iftp AC+QCßWa (ACXCB), bö« ifc EOy
HI/ foigfic^ (6, i.6. tt. lo/iQ.®.) au* EHuHM."®eiiis
n<i4) {inb EH/ HM, tattonat Mo§ in %>oten) commenfucaM.
SolgUc^ ifl ((O/ 37. 0.) EH (ine Sinonijale, bie in H
jefc^nitten ift. - ■ "*'.' ■.,

^ ..Ulf eben bie Kct »itb bettiefeii/ ba| EL, LKf> «ütionaf
tfo§ iit, Voten& commenfutatiei^ finb» :»(fo, t^ie SSinomid^
EM au(^ «tt gefcfMiittcn/ bag ni^ £H=:LM; »«(

iiPy 42* te^nf') DAC+aeB>ciAD+aDB>'qb«
(ib, 4o.anmO D AD+Q DB>2 (ADxl^B)f ötfoi«
fo pc^t Q AC+aCB>a (ADXPB)/ ba«ifiEG>I4f
'.«Hit ba^er,EH>LM,

'[ !Demna^ tohte, wnn fic^ bte jtoepK tBimebiäfe AB atlffc
"€ au<& nö^ in efncm anb?rn fünfte D m fl^te'gidmen jertier
-gen (tefev 'tieSmbmiate EM in prp bcrfc^tcbcnen ^uitft^il^
^H^ L^ inill^refhiimen jericgr, »rtc^rt (lo^ 43, ®.) tmh^
M if^. "SofgHi^ fann tie sme^te CimeDiale AB ttofl«
Einern |J«niift^ 1« iftte SRamen inlegt »rtfccn* : ^'•'

©et 4«. @a$, ie^tfof.

» ■

*5Jtfn|Uf C^ in tj^te Kamen/ ÄC/CB^ ierfeßem

.®ef^t, e^ ti>&re ein «n^ y^ . jD C B •

[hk^ ^Mtt D migli*? tag » . ■ ' I ' r '.■■ . _ ■
Ap^ T\B, in ^^otenj incom^

jnenfutabel ftnb/ eirf a)}et)ia(e« entgolten/ mt> t^ce jQvateole
}ttfämmen «in iRationaIed attimdc^t

S5« (3,4.®0(C]AC+DCB)— (aAfe+DDB)=s
Ä (ADXPB)— 2 (ACXCB); übet jfner Untetf*iA
fätionol; mil iie dmivatt sufammen rational fiitb: fo tohn
4iu(^ Riefet Unterschieb rational; t6tlö)ti, ^ülMi tKtttmpi^
* tnebtal ftnt)/ ( 10, 27 i&.) ni(i>t mo^Ii^ ift, S^fgfic^ fand'
ftie gr&gere ^t^^ationale nicbt in einem tm C~t>erfd||yleten9i
^^ttt, ^ff^ i^oS in ttm (Simn !pun(te C^ iir ^re Siamfh
iftfeftt toerben^

*•#*»

?^ie eilt 9taciditiafe6 im^ 99ebta(e«^tenj(mib«^9^
^fit.fi(f) 6fo# tii SttKin fünfte/' C/ in i^re SFUimen/ AO,
G8^ jwfejeit. '

■

^# c

4f,

.Mbem|»itnrtDfn6gli4,taf ^
»AD|t DB^ in |)oteii) jiKpob
»enfttcabd fmb/ ein gtatiemi(e< ent^^ttm, 'vnb i^ OoälMir
inffun^tn ein IPtebioM auSma^tiu
, . JDa (aM/©.) a(ADXDB)^a.(Aq><C»J^
.(OACrifDCß)— (DAD+gDB); a&e«}fi«rrÜ|Htofi^
'titimiA(: fo to&ce aii4 K^er UntetfcfKcb v^tteiuil/ toiU^I,
tikMajbte.X^cate iüfdtiMini mental jtnb/Xl^Pt^ »7« ©•> f«||t
tn^tiäb ift S^IflUcft fonn Ue ein 9latu>tM^. tii||>..0UJbä^
y Dteniitenbe Uo§ in (f inem fünfte in t^re 8tottCki terf^
toecfren*

©er 48* ®a^ «e^tfäf. .

Sinent fünfte; C; tn \f)tt Dramen/ AC^ CB; ittitatiu
' .©efe$t, e« fep no* ein ^ i)"iC &

ortberer ^ nnft D mtiflld^; ■ - -^ ' ■ ■" ' ■■ "■ » ■*

tai AD, DB, in ^otenj in^ E; Ml M

WMimtnfiltalKl ftn^> ein 9Re?
ttoletf enthalten , unb i^te
l^brate i^ifanimen ouc^ ein
'{Rf^lef aufmo^^en, mtU
^ jene« 49C00[imenfneaM

'4l»iWitt AC > pß tfi, *'

«0 f<9 EF eine fRationüfr
Jinte/ iin^ an becfeiten bie Seetange!: S:Q==rO AC-J*!^
CB; HI=2(AGXCB); EK = aAI?.+aP3 .fn^^
»otfen: fo ift ElrrOAB, nnb LI = 2 (ADXDB).

!Da nac^ ber ißovau^fegung Q AG + g QBj folgiicb an<(
EG, ba« ijl PEXEH, mebial, aber FE tfaHonolijt : fo
ift C M/ aj. &*y £M rational unb ber EF tir e&ige iocom^
jninfmafRU Stuf binfelben Ctoänbtn i(k iiiub BM utioifid
mb ber £F in 2&nge incommenfurabeU

SDa

K G^

XMniadt (inti £H^ UM, .totionatUof^ in $Meni commcnftu
; «iM. ■ '^Mi^ EM eine 93tnomta(e^ tie in U gelegt ift
Cben fo wirb ben^iefen/ ba§ jte auc^ in L ierlegi fepV fo .toft
gii((t EH2=:L^( ifi» S)emn<}4x>n>&i:e^ ^tpqui^^ ftci> bie ime^
fRebioIe ^ofenft^be Ab^ aufi^ C no^ tn einem anbent
i|hmfte D in i^re Stamm inUi^n (iie§e^ bie* 9iftointoIe £M
'tn ii9e9 Deriktfebraen ^nften, H, L, mil^KtStwitn^itiittl^
loct^ ( lo, 43. 00 nicbt m&a(i<^ i^* .golsttf^ (min bir
A3 Moi in fj^^cni fJünFfe in't^re Siamen sn^ tv^tbuu.'

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I* Sine IStnomtale/ beren gt&geret Sflame um ba6 Om»
' "■ ^tSt'Hmt ibm in ^^n^e commenfutftMew Sinie
Äftef befifkinemfotenjirt, l^eift

/ tiecir(1^3inomiafe/ n>emi bet srigete ü^ame einer
, ;:(indWoi)imenen SflatiönaUinie in £^nge commei^
f uräbef i jl ;

^* tie a^^jjpCf 23.motttiaIe^ tt)enn bet ffetttete Ülante;

ftJ^ß^ioriaiiUme tA! j[&nde commenfwrafrel i(l,

4* Sin^^^mcdfe l^ihsf^env teten i(frj)erec 9>ame u^
t>M fö^brac einer iifni in e&nge inconimenfttcab«;
•lettSitiieäberben fUiitentpotenjitt^ j^eißt

fc^(et>id(e;8inoini4(e, oenti bet grftgere Sporne b^
-^ äti^^tibitimtnm SKafionatfinie in Sm^e toimnenfu'
«ibei ifl;

5^ bic

240- CofltlPd iSkinihtt

s. ite f&fkfte B<(t9tnUiIe> »mit t>«r mnttf^hmi ;

6. bte fedbste TSimmUiUf wtm fetner bet Sel^ett 92»
men fofcher dtatiotiiaißnte ttt iimii comoMtifitr»

* * »

• « • •' t

*. » -. f-^,f.

SD et 49. @a|. T^ufta^^.

erjie SBinomialc ju ftnbeti»

AC, •CB> b«« ©uin# -*^ tp'»*^--^^

me AB jwat )u BG, E ' ■ ■ ' ' ■

46et: nicftt ju AC^ Wc

fep D ^eJRationaninie^ unb EF eine bot Djit tiOACj^M»
menttttiWeftme, fecnec (lo/ 6/00 AB: ACäÖ W D
FG; fo ifl bie au« EF unbFG jufdmmimgefe^e EG btc ec^
/Binomiale. . ■ ,

1 ©enttba AB;BCs=:nEF:aFG, fo tft (M, 6. 6.)

O EFn D FG, ober EFoD/ dfo ratioii(»tr.W«5S* ««*
JFö tatlpiiÄt; ober ( lo, 9» ©•) EFuFG. !D^tui(& iin>
jfP, FG, rationoJ Wog in ^otenj comracnfurabd. ^otili*
\^ Ci 0/3 7*60 EG eine SÖinom(a(e, becen StdmXii EF^

liu« AB: AC= D EP: b PG/ »0 AB>AC ; U»
ijucb D EF> D FG, @« fe? bo^ec D EF— Q FÖss: Cfl
H: fo ifl (5, 19* 3wfO 5ttrwe»tl?cerib AB:CBd2SO EF
: D H. Sim malten fic^. AB, Cß, nne .£hi4bf^t)«ii^eiu
^o(9(tc^ oec^(ten.ft(^ auc^ D EF, Q H, mieQuAbra^d^fen.
golglic^ ifi (10, 9, @.) EFnH. Demna* poteHjöt EF
^bet.FG um.bai.iQuabrat ber i^t in,$at)ge coi^tnenfuca^Ieii
JH; unb e«.fi?a( .^FnP; . folglich ifl EG bfe er^e jiSino^
miale* ■•■••"

341

^ 4'-

©ie jwje^te SBinomia(e ju ffnbett*

'Ac;'BC; measum^ jp / ^

me AB jwot .|u GB, . . j^ Ö

ober nicbt {u Ä'C , We E ■ ■ i j ■ n .

©er^imi§ t)Ort Öuobrat^ yj ^ •

Ja^ßh^^6e, mii4m ■

PGyliif fcct m Jinge commenfurrtefe Jfirfe# feriifr (lo.

ittfammensefej^teGEMe jioepteSBtn^mtate« ^

■ -Söerni ibo CA;AB== D.GF; Q FE^ fo Ifl (lo^ 6, «.>
D GFn a FK; aber GFnD, alfo taiioMl, folglich au%
Fp^föttoul; Ätec (Ho, 9- ®.) GFuFE, SDemnac^ jtnb
GF^ f*£,\rationaI Me$ in ^otenj cc^ninmfutabel. So(g<
tl4> {(l (lo^ 37» ®0 £G eine S3inomia(^y becen Stavm

■OF/.fe.

. .' « . -■

ITue C A : AB — b GP : d' FE , fofgt btttfl) UmSe^'
eitlttt AÖ:ÄCä P EF: D FO, »o AB>AC, <i(f» ou(&
D' EF > P "Pö. e« firtr nun D EF ~ Q FG= Q-Ht- f»
W (5/ 19. 3nf^) JurÖiifUe^Cn» A»jBG=: D EF: Q.!^'.
»uH*«erf)o|tm jW^ Ab; ßC/ »ft'öürcÄchtjö^ert. ' )J(ff9K<fr*.
oei^dKen it(^ dbt^'p 'EF/ O H/ »ie Ciuatratia^lw; • ' %tt§r^
Ü^ %'■ UÖ7 9* ®0 EP ri H. t>mn<»* ^otenaitt EF ubrt -
Fd um baifSMiä^af^ri^c ht {finise 6mm(nfutaberA H,

tniaU. ^

r !'■■■■• .'»

J)te btitt« SBinomiaU ju ftnben.

84« Cultib'« SUnwnte

■

nimm itotff 3ali# A !2 C 4.B

Cen, AC, CB, beten Dg

Cumme Aß jipar ju p> , ^

CB, üftccnicfctjuAC^ Q - "H

bie 83er^Mtni§ Don F' ^ ■ r i .

Qiiabcatia()(eii ^abe ; j ^ ^ ^ ^

be4g(ticben eine btJtu '

güf)l D^ tre(cbe »e^

bec eine £lua^ratia^l feo, hixb ju einer ber beiben itfin Me
fBerbaUnig oon Ouabcatjal^len i)abe. Xucb feo E dncfXa^.
twnoJJmie^ upb (lo, 6. 3"f-) D : AB = Q E : ijFG,
|^e*ijlef<ben BA:AGs=:aFG:DGH; fo i|l bie an« FO,
GH , )ufammengefe(te FH bie britte Sinomiale.

Denn ba D:AB=DE:DFG; fo ifi DEnDFG#
fDfglidv n><^il E rationaf/ aud^ FO rational dber (10,9.6*)
EU FG.

2>aBA:AC±=DFG:aGH; fo iflD FO nD OH^
folgliicbf n>(il FG tattonaly oucb GH rational/ aber (lo,^
9. ®. ) FG u GH. 2)emnacb pnb FG, GH , rational bfof
in ^ctenj commcnfurabel. golfilicb ift (10, 37. C) FH
eine S3inomta(e/ bcreaSßamcn FG, GH« .,

i Sta<t> obigen bciben Proportionen i(l (5, aa.®«) an
tttm(8kiStn D: AG = Q E : D GH, folgri* (i o, 9 6.)
EU OH i ferner i^ weU BA > AC, au* P FG > q GH.
<J«fe(^baber GFG— DGHzrQI; folfk (5, I9* Suf.)!
3llt&cBi?cfereOÖMjCB=:DFG:aI, foigUcb Ciö,.9.&);
FG n I. jDemnacb pptenjirt FO Aber GH um ba< Öuabrit
ber i^r in Sänge commenfurabefenJ, ttnb el< toa%en FC, GH^

ber E inconnnenfttraM : j f ofglicb if)t FH ,btf bdtte ^ij»
miale.

• < •

Die bierte 55ittomiafe ju finbVitV

wimD

■ f

AC, CB, beren gum^ jj i _ j . . .' , .^

me AB ju feiner üon P G

*«<|iM*MMaMH»liaMMHB«lMlirfiM

br. «u* fep D eine '"

..» *

SRationöUinie, unbEP

«ne feei> D-iniäiwie commcnfür<i6eIe JfnJe^ ferner Ciö, 6. 5wfi)

^inen^fe^te EG We tierte SMnomiale* •
. SDenii ouii fcec ^oportton folgt D -EFnD FG^dfo, meij
EFfT^Pi H«^:D wtJ^^<Äj/ oud)EF; alfo au6 FGvatbndt
iiber (10, 9! ®.) EFUFG, ©emna* (htt) EF, FG, rati«
noi Wo§ in ^otenj comme nfutabel ; folgti* ifl ( 10, 37. ©,)
EG eine ©inotniole^/ bertn atamen EF, FG; '

ferner folgt mi bec !|>rot>ottton , wo BA > AC/baff O
EF>OFG^ <8« fep baJ)ec DEF— DFGrrQH: fo
ift imMhbtcnpßA : BC = g EF : D H , folgfi* ( 10,
9. ©.) E* U H. 2>emna* pptenjitt EF Abec FG um baj
DuAbtat bef i()c in ^&nge inccmmenfuto&elen H / unb ed toan
EynDt,.,56lÄü* ift, EG bie bierte »inpmfale.

._ , • • ^

; .JtiöTO A^C^B

^C!^Cßibercri®umme pi ' ... >

/iBiilrleiii£]^;;>on^lvibeii P , , Q

bie ©etfeiltriil 00a hua? E t-^- ^ '

>rat|p^Un I)«be. «u* ^, ,. ,

fep D einjtlJtatipnanmie^

twt FG eine bet D in

iänge commenfucübele Jime; fetttet (ii5, 6. ^vS.) CA: AB

t=qGF;Of Er; > iji bie au» GF, FE, jufammengefe^tt

EG^ie.f&ufteSEiinomiale/

_ • •• ^ ' ' 'ti'2' »enn

r.^^

Sbtm avili hn fm Ai.CJLB

^^ytttion folgt, »ie wt» j\j t

|K,lkiSGF,FE,tati©j F Ci

fla(M«fin|)Micq)com« E» ■' ' ' ' ' i ' '"^ "
nöifacaM fbib/ alf0 k , ,

(10, 37.©.) EG eine **

8ii|oinia(e \ft, beten
ätten GF, FE ; fetncr, M Q FG <C'a £F> Q^ (0 ^«^ Q
SP— O PO =a H; fo ift untgeM^ un» $uril^£(|>i>
gril^AB:BC=aEF:aH, folflli* (10, 9.©.) EFV>
H. Siemnact poten^tt £F um tai Oudbcat bet {^e fnt&m
^e {ncomtnenfucafteln H Aber FG, unb e< Mit FGCitff
fpl^(^i^ EG bie f&nfte »inomiate.

©r« fec^we SÖinoinwte JU ftnben.

' 8Hmm {»ep 3a^(m AI2Q6B

AC, CB, beten Summe D 13

AB }u feinet t>on bciben x« ^

biet3et()&ltnif pon £lua« q jr

btatjä^Ien ^obe, be<g(ets F » ' ■ ■ -t m 1 «1 .> -
(^en eine btitte ^«^ D^ 1 1 ,

ipeic^fc tpebec.Tine £huM>

btatiaWf«9/no*itt«n<t ,: . , --

bet beiben erfken bie 9^et^&ftni8 Mit iClnabratja^fett ^be.
%ndi fe9 E eine 9tatiortciIIinie, unb ( 10, 6. 3uf.) D: AB=
qErQFO, be««W<^n BA:ACibDFO:DOH; f»
.{{ilieauj FG, GH, {ufammengefe^te FH bie fc(Ht^l9^
«pmide. . "

2)enn mi bec iitften ^eopot^e« folgt, bfifi FO- tatf iMiä^
obrt EuFG; unb duj bet {»epten, ba$ OH tatioiioi, nnl
FGUGH; folgli^ (10, 37^®.; J*H eine S^inomiafe fe«'^

. beten 9fa(pen FG; GH.

fH(Kb beiben ^pottionett ift äU» tetn ißkidb^
D;AC=DE:aGH, fo|«li<^ (10, i>. Ä) E^GH.

^^ntt» Su4

«41

DFG— dOH=dI.- fo ifk $urtklHrnt6 AB:BG
ÄÖFGjDl/ folg«* Ciö, 9^©0 FGuL I>mna^
pitfiiiitt F6 ttm batOuabrat ber tl^r in finge tncommenfatd»
Mn I &6er GH, tinb e« »acen FG, GH^ htt E incommen^
fttra6e(. golsfic^ if^ ^H bte fechte S3m0mia(e.

itgt man jme^ itluabtate; AB, BC/<m emattbef; haf-
DB mit BE, fofgfic^ (1, 14* ®.) au4^B ititt BO in^ii
rabet £tnie tft; uttb tooUenbet ba$ ^iräBelodramm AC:;
fo ifl AC ein dnobtät, uttb bai ^^araHerosramm DÖf'
itmfc^n bett iCluabraten AB; BO, ba< ^radefogramnü ;
DC o6ev jtDtfcl^en ben 0uabraten AC^ CB, bie Aitüttt '
9)roporttona(f{a(^e.

1. ti ifk AC ritt Cluabrat J
txnn H DB = Fß, unb BE == '
BG: foiftDE=Fa fStvmift- B
DE=AH=IC, ttnbFG=A£

s=HC. $e(9(i(^ ift AC fllt)«^ .

fetttfl ; aüt audlf te^tn>tn(% fbig«

lk( dn Ouabrat A F K

2. 9t i{t AB:DG=:DG:BC. Scini,«« ijk FB:BO
s=:DB:BE. SRun ifk (4/ f.®.) FB:BG=:AB:DG,
iintPB:BE=!:DG:Ba Softii(»i(k(S, ii.6.)AB:00

DG:Ba

B

1

»

3. 9t ifk AC:DC=D€:Ba titim »a ADspDB
=10, mt> DI=BG==QC, foi|kAD:Dl-a=
«Ifo «ettwnben Al:Dl;=:iC;Ga Sj^pl^

AC:DC^ W 1C:GC==:DC:BC; %(I^ t(b> ÄPiDC
äDG:BC.

Ö$

1b tf

14(S

^fiiVi hemmte

r\ <

I

' Xien unter einet SRationaffinie ^ BA, urib (etnftm
55iwiiita(e, AD/ ent^altcBeit SXaum/ ABCD> jowi^
im eine fStnomiale.

@$ fei) Me ixftt 9iviom\ai
U AÜ bcp £ in i^re 9^1^
wen jcrifixt; unb AE bec
^6§ierc S^ine: fot jtnb (lo^
i7, ^.) AE/ EP, rational
b(cfi in 9)ptcni commenfura^
be(^ ou((> tft ber 0to^e
JCToftteAE bcr StationaUis
nie BA in igin^e «ommcnfw
ra6ef; linb AE potcnjirt um
ia^ Ouabiat einer il)X in
ihn^< commenfurabelen Üinic. ^^
Aber ED,

9i fep tü^er ED m P
^Ibirt/ unb (6, 28* ^'O ein
IR^etangel s=r ^ p ED =
P EF , beifcn Stjganjunfl ein

B

S

R

Quadrat ii'f an ber AE entworfen ; baj^ alfb / w^n AO-
><GE folcbe« SRectancjel ifl| (ip, I8*e0 AG, GE, hl'
t&nse eommenfurabtrl ffnb. Succb bie fünfte G, E/ F^
)ie^e ber AB ober CD bie GH ^ ET, FK ; paraflel, «Tot^
Cn, 14; »0 We Ottabrate RM=r AH, unb MP=±Grf
ie^je beibe fo an einander , bog LM mt MN, fb(gfi(& oucft
^[M, mit ^40 in einer «erabcn ?inie fo?; unD boflenbe bol

WaürtpgramW RP^ (0 ijt fcicjfe« ( i o, 54» ftfertfO ^

Cüuabrat«

ffi\in ifk |tt Reifen, ,M LN ben 9tatim AC potent
)ire;'unb ii\xi rattoiialcn b(c§ in ^otenj eommenfurabett
{inien LM| LN^ ^f^ammen^efeijti folglich eine fßinoinia«-
Ufe»,

AG : EF=: BF : GE , forgli* ( 6^ i. C.) '• AH : EK ==
EK :GI^ fo(j(i(& ER tiie mittlere $ropoctionalf(ö(^e {wU
f<^n AH unb Gl; alfo, t»e« AH =:= RM, Gl = iMP,
•«<t {»ifc^en RM unb MP. d\m ifl ( lo, 54. Sr^nQ foU
(^ au(^ LQ. Sor^Itc^ ijt £K:s= LQ. d^un {(t, n^df
(r,a6.60 EK=FC, unJ) (r, 43. e.) LQ=;ON, au(^
FC=ÖN. So(3li($ {|t EK + FG, M tft £C=LQ-|.
ON. 0tun mt AH = RM^ unb Gl = MP. Sola»
li(6 i^ AC = RP s= Cl L'N. tmaa^ poteniitt LN im
fRauio AG.

^xce^tena. Zia AGnGE, olfo (10, 16^ 0.) AE 6cU
ben comtnenfuta6e(/ unb nac^^beC'CtotauifeQung AEnAB:
fo (inb AG; GE, bec AB (ommenfurabef, alfo tationa^ folglidft
«uÄ (le, 30. @.) AH, Gl, rotwndl, unb (10, 10. ®.)
commmfutuber. Slm ift AH = RM, un» GI=^MP.
SofBifc» 0nb RM; MP, bo^iftQ LM, QMN, tmi^^

iMl mib commenfurobel.

SDa (10,37.©.) AEuED, «berAEnAG, unb ED
nEF, fo ift AGgEF, foIglRb AHuEK, bd< tfi RMU
LQ. Slun ift KM : LQ = OM : MQ. ^olgli« ift du(»
OMUMQt ba« ift LMuMN, folgli^^ flnb LM, MN,
bI6§ in poceii3 comimnAvabel. Semnatb ift LN,
wM^ 6<n Stjum AC (»teniict, au« jtoep rationalen b(o§ itt
^potent conunenfurabden Linien {ufanräunftcfiE^ foigli«^ ( 10,
^C) eine J&mmMk'

®er 66. $>a$. £eVfa|>

^en unter einet 9t<itton<i((mte, BA, unb bei (ive^een
J6«tomia(e, AD", ent^enen SRaunit ABCD^ poteniitt

ß 4 , ._ . €on»

Ui

^aiWi &tminte

B
5

Sonihniitt mm tote im
torigen ®Alge/ fo toxib atteS
soie boct/ jeboc^ mit >em A
Untetfcbiebe , ba§ ^iet bet

tUinctt XXcmc ED bec

Stationallinte BA in lange
commenfucabel ift« 8ut^
toiti, mie bafe(5ft, 6en>iefen,
ba§ LN ben fRaum AC pos.
ienjice« 2)a^ec tftnurnoc(>
j(u bemeifen, bog LN au^
inebialcn b(c§ in $oten)
Commenfurabeicn tinien^LM«
MN^ )ufammengefc|t^ tinb
MLMXMN ein Station
State«, oifo LN bie ecfte R'
Simebidle fc9«

>4^

G

E

F.'f>-i

K

M

- i

H

O

lecfilid». 2>a (lo, 37.00 AEu ED, ob« EDn
AB: f« ift (10, 14. (SO AEu AB. Sim ift AOnOE^
A(fo ^b (10/36- ®0 AG/ GE/ bec AE comtnenfutabef/
«nb/ loieAE/ au((t rational. $o{glid> ftnb AG, GE, bei;
AB in S&nge incommenfucabeU ^tnnacb {tnb AB« AG, G^
tatt»na( blol in ^oteni commenfucabel , folglich ijtnb (10,
»3.60 AH, Gl, Uiift^M, MB., folsli« au(& LM^

MN/ imbtol.

J^AGnGE/ foijfcAHrvGI, ba« ift RMnM?/ t^ii
i|t D LM na MI>J. golglicb ßnb LM , MN , in p9teii|
commenfitrdbel. 2>a AEuED/ oi>ec AEnAG/ unb
EDo.EF; foiftAGuEF, folgü* AHuEK, ba« ifk
RMu LQ/ bo« ift OMu MQ« ba« i^ LMuMN. goIgUc^

finbLM/ MN/ b(o§ in potctis commenfiirabeT.

Stt'CYttna. 2/a'DE b« AB/ ÄF/ commenfütti^; fo
finb E P/ EI / comwräftirabet unb eoHöinoU Solg(t<i Ifl tt^
90. 0.) EK, ba<i{k LQ/ ba« ift LM-XMN^ VOttOMt.

JDew«

\

V

itDcp mrbiaieii Uc§ iii ^ot^nj cofmmeiifuro&efen {intdi/ Me

r •

,»

A

S

^

E

FD

HI K

®et 57. ®o|. 2e^tfö$.

*^?)m unter einir fRattonaniniVi BA, unb berMtKK
©inottuüfc; AD, entbaltenen ^tauni/ ABCD, peuniiit

bie3u><vc^ ;23ttnet)ta(e.

€onjituitt man n?ic im '

törichten Sa^e, fo n>ici> a(^
f«g tvie bott; jetocfr mit bem
Unterfcbtete, ba§ l^iec (et>

«er bet nameii, A E, ED,

bet dtütionaUinie BA in San^
^e cümmenfurdbel ifl« 9u(<^
noirb rote bafetifft ben^iefen,
ba§ LN ben Staum AC po^
tenitre, tinb tote im loctigen
®ü|e bdtgetl^an, bd^ LN
au4 mebialen bieg in ^ot^nj
cemmenfurabefen tinien^ LM,
MN, iufammengefe^t fe^,
"S&a^et i(t nur ncci^ )u be^
toeifen, bog LMXMN
.ein '3RebiaIe«, olfo LN bie
jpepte Itoimebiale fep, ,

iDd DE ber AB, ba< ifV, bet EI, incommenfurabef, abet
DEnEF:foifiEIuEF. Sinn fmb EI, EF, wtionat golglic^
fitib EI, £F, rational bfe§ in |}oteni commenfurabeU $oIgU4
t|l EK , ba< iü LQ , baf ifk LM X MN , medial

^Demnac^ jfl LN, n>e(cbe ben 9(aiim AO poteniirt# auf
Stt>e9 tnebialen blo§ in ^oten) commenfnra^fen tinien« Ue ein

9Sebta(es entr)aiten, jufommeafle^tti ioI^i((;i (iQü 39« ®*Ji

M

R

N

»$9

Sttfltb*« Stemmte

1

E

FD

®et 58. ^a^ «e^rfaij;

IDen unter einer £ftatmalüme , BA, utib ber btertes
IBinomiale/ AD, entl^attenen Stauot/ ABCDf poceji^
bie 9t6ßcre 3^tationate.

Sonfhuict man tote im
SS* &^^^ß fo t^icb <ttte< r^e
bort, )eto(b mit (em Untere
(cbiebe, bag ber größere
name AE; »eicOec bi^r
gleic^fdtt« ber ÜtattonaHinie
BA in ihnit commenfurabe(
ift/ um iai Duabrat einer
{f)m in S&nge incommenfuroii
belen Stnie 6ber ben f Idnerii
ED potenjict , f clglicb ( i o^
19,60 AG uGEift, aucb
tDicb/ tote in ben vorigen
Salden, bemiefen, bag LN
ben IRaum AG potenjirt«
Sa^er ift nur nokb {u betoeu
im, bat LM, MN, woraul
LN iufammengefe^t tft^ m

^otenj fncommenfutabel finb, ttnb ein S)lebia{e< tnif^aittai
ober i^re £luabrate {ufammen ein Ütationale« auimaiDit«^ a(fr
LN bie grbgece 3rcationare fep,

2)a AGOGE, fo ijl (6, i. C unb i'o, w. Ö.> AHU
Ol, ba«iftRMUMP, ba«ift, QLMuaMN, fotgO^.
LiM ^^ MN.

2>a AEn ABJoljk A[,ba«i^D LM+ö MN^ratteitot^

©a DE u Aß, ba< t|i , DE u EI , aber DE n EF ; fb ijk^

EFu Ef« S)emita(b ftnb EF, EI, rdtional bio§ in ^otrai

CommenfurabeL So(gIi(b t^ (lo^ aa.GO KEsiLQs;

LMXMN mebtal

2)emna(b ifk LN, toeCcbe ben 9tattm AC potenjirf, auf
|n>ep in ^otenj tncommen|Urabe(en timen, bie ein SRebtaM

•$tWii ^04

fi^tXtm, unb bntmOuabrat« iufatnm^ ffn Ütdtfonafrj atiU

. ©er 5*9. ©a|. ISe^rfo^.

. ^en^ Unter einer 9tatt0Raf(tme/ BA, unb ber ffiitf ren
SSihointdriv AD, entbüfrenen dtaum, ABCD, pöteüjirf
bie tin 9t<4'ttona(e< unb S^ebiafe« ^Jotenjirenbe/ --

€onflruire man toie im % .

4

J 'Hl

E

FD

S8« Sa^r, fo tt>Hrb aUe^, toit
hm, nur baf ^u^s ber (bt^

itcte namr ET>n ab*

8u(b «9irb, tvte in tHn oori^
gen G j^en , 6en?iefen ^ ba|
LN b«n tHaum AC pt»ten«
ifrt Saber ift nur ninb
|ttbe»eifcn, bö§LM/M'N;
in Voten} incommenftutab e(
ftiA, unb ein fRatienöCe« ^ntr
^ttm, «ber i^re OuQbcoJte
iufarnmen ein CfRebidKj ant%'
ma^ben, ■ dfo LN Me ei«
;9iattona(e« unb SRcMaM^
I^Menjirenbe fep,

^ AGOGE, fo ift w4y
Ah U HE^ ba< ifi D LM U D ^^^•N, IDemno^ flnb LM;
*to^/ in fjot^nj incommenfurabil.

©a EDoAB, aber AEuED: fo^ ift ABuAR ©eim
iijKb^b AB, A£, rational b(o| in^otenicommenfurobeU
Solgticb tri AI, bo* ifi b LM + D Mt>J , ttietioi

©öDEoaB, baf ijt DEoö, un^ DEoEP: fb t^
BTnEF; aber EI rational; fotd(id> (lo, ^Q. @0 EK^ m
i(k i-Qr ba« ift LMXMN, r«i«iaL

SDemna* ij» LN, »elcbe ben »ailin AC potW|irt, «m
lipef in|>otenj tneptninenfnrabelcn SMen / bfe itn IHotiona^

«»»

Su!Itb'< Sfcmente

?!*--tP

fef ent^Altni/ mit tctm duabcate jufamttieQ fi« 9lt<M«li(f
av^mo^ffl/ lufammenflefe^t; folglich (td^4i. ®.) ({ecni

^ -w ■■-1,1

©et 60- @a^ Äe1^tfa|.

.^ S)et!mj^et einer Stationadinie, BA^ itnb ber fed^eir

?MtiQmiafe, AI>> enthaltenen Dtaum^ ABCD /pptettjut
te jt^e^ SDIebiaU ^^otenjirenbe»

2)te Ql^nftruction ifl n)ie«
bei: wie frcpm 58* Sa^e^ nur
bdfi ^tec feiner i^n bev#
t>efi namett AE, ED, bec
BA in t&nge cömmenfutabel
. iß. Xutb toirb/ »ie in ben tps
tigen ®&^en> beriefen, bci%
LN ben^otim AG potenjirt»
SDal^ec i{k nur riocb gu benoei^
fen^ ba§ LM, MN, in ^Oi
ten) incommenfutabel finb/
itnb bä§ i^te Ouabrate ju#
fammen ein SRt;bio(e< aui^
macben^ (te iübft aber ein je^
nem incommenfurabefej ^t^
biole« ent^Uen/ alfa LN
bie {wep fSRetiale ^otengi^r
renbe fep.

3Da GAuGE, fo flhb LM^ MN/ in fjoten) ineomAKm
futabef«.

S>aEAuAB, a((0 EA^ AH, rational b(o§ in potent
commcnfurabel jtnb: fo ifr Cio# aa. (50 AI, ba< ijl D LM
+aMN, mebiat

; SDaEDuAB^ ba«ijlEDuEI/oberEDnfiF: foifl
EIuEF, 2)emna<b (tnb EI^ EF^ rationat bloß in ^oteni
^mmenfurabeL $Q(fl(idb ift (ro, jo. 6.) EK, t>ai i^ LQ^
ba«iik LMXMN, mt^iO.

i

Stfinta :S5ü^,

»9i

JDa EAUEF, AlfoAIuEK:tci IfkLMXNfNua^
+'ÖMN., -

Itoty iii yotciii inconunenfu^aMch {intm^- tKteit £luättati
lufdmmen ein ^rMä(e< auimat^eit/ 'iinD t{(\f((6ft ein je«
ncm , incoijhmenfucabele« a)tet>talc# entölten /itfftititonigi»
f(«t; fo(6 Ut» (zo^ 42. 6.) LN Oiejxpey tne^fepotCM)

.Üi^iifaf. ■ : -i '

SHaf^t'man t)oit einer gecabehctmV/ Alb,miUt^7tl»

• •t *

' .• »

■ -/ I »•

SSttb'ABin D^albirh
fclfk(2,s.@.)ACXCB>|^

^iQCDirrOAD, f»{d^ .:
Ik^ ACXCß<D AD/ ^<(öH* ««^ 9'(ACXÖB) <
«D AO;: «an ift (a,.9i ö;) QAC+CJCBits'a CQÄÖ
•t-Ü^O^ gblgtt^ifk aAC+QCB>3 (ACXCB^i

•r-S

/ »

^a^ibem 0uabi'ate etnec SBtnomtofef AB^igfcid^/ aü
einer Stationäl^inie, ED, enttvprf^nfe 4K<ctan0e(/ DEFO^
^otjurSBfitCe, DO, bie etflr^SiiromiÄfe' "'>>'•

e< fe9 bte $5inoftii61e AB

3

fef9 O in i^re gtamkn./" AC^ ' iA»

B€> le^egf, unb'Jtoae AC 'i

f^öj^fitci gjämr;^ ' Wn PE. .' r^-i-

«HCRKtfc. man bie ^Rectanjiel, £1

DHfeEJAG, unblKis

OCB^ fr <fi/ «wM O AB

aePEFO(9/ 4»©.) a (ACl

><CB>=rLF.' JKanHol«

Mte LG tn M, «te^etMK-

mit LK ober GF pataUd:

fe A ACXCB = LN=:MF« 8hin ifk |tt beiveifent

..-■■...7

HK

"W^^ \

.454

Sufab!» &mtntt

HK

, 1&t^tid>, ba§ DG eine
JBinomialc fep.

1 ^ AB (ine 9inem{af( :

fo finb (10,37.©) AC3,
GB, ,c<itiDna(:}>lpft in ^
Kn) (ommrnfucabfl, alf»
Q AO, Q C^ rational unb
cowineiifucäbei. ^ol^Ucb ift

(10, 16.®.) dac^-q

CBfoiDo^i bem Q AC, a\i

(^fCB commmfucabd, alfo

pAC+bCB/ba« ift DK, b«i;i|k BöX^I'/ tflttw^

äbcc ED cationai , fclgUCb ( 10, a i. 6. ) DL rational uftb

rvPE.. ■■ ■_:; /. t

* iba AC, CB, rational Mol in ^t<n( comnunfurab«! fhib:
f» i(t aXACXCB), ba« ift LF, M i|k KLXLG, i*«f
QDX LG in«Wal> fol0li(b ( 10, aj. ®. ) LG rational ni*
ij £D. 9tun ift.bte fRationaHinie DLnED. ^IgUdb ift
(10, iji ©.) DLÜLG. 2)emno<b jtnb DL, LG, tatlonai
blog in Voten) rbmainiifurabcl, a(fo ift ( lO; 37. 6.) DG

^xoff^itnd, ^a§ DG tit etjte $BtttomiaIe fe9.

©a (10, 54. «cH. a.) dAC:AGXCB=^AC><
GB:aC6; ba«ijt, DH:LNz=:LN:IK; foifK6,u«.)
DI:LM = LM:iL, folgli* C6> i?. ®.) DiXlI<5S
QLMssiaLG* . ©Memer n ACnaCB# bd«.Hl
DRnlK: (b tfr ( 10, lo, ©♦) WrtiL. ©a ferner (lo^
6o. ^e^nfi) DAC + DCB> a (ACXCB), ba«tfkOK
>LF: fb ifi dui^ DL > LG. 3}eiimai4> potenutt C ^<>i
18.6.) bie OL:um tai £iiuabrat einer i^r in Mn^ccum
menfbrabelen ihi^ fiber bie LG. 8}un mäten üticb DU 1^
raffcinat, injib DLoDE; gpfglMb ifk DG bie crf^ (^«^
mxak^ ; ...T

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Jöcr fi?, @a$. 2e^tfa|.

^d« bem iGluofccate bet crflen f8'met>\aU, ,AB, gfei»
^f^ tin ein» DIattonaninte, ED, etittootfehe 9tecran9(L
DBFQ^ ^at iuc ^mte, DG, bie jÄc^te SSinomiote. -

tioii/ n>ie bepm 6i* @aQe^
iji jtt *e»elfen. * .

«rlHicb, bag PG eine
eiftomiole fe9/ D

2)i(i AB t)ie :eif e ®ime^
Wale ifi : fo fmb C i q, 3 8. ©0
i^te Slamen AG^ CB, me? *
biitl b(o§ in ^bten} com^
meftfucaM, unb ^ent^diten
ein 9tatiena(e<« ^ ^ier$
IW^D AU + dBC, ia^ iji DK, bof 1(1 EDXPl^^ «^
bfal; fo ift/ n>eil Ep rational, auc^ (lo, ag*®.) DLroi
ttpnol unb U ED. VSftun ift ferner 2 (AB><ßC), ba« tik
tF, to^ ift KLxLG, ba^ijlEDXLG, rationoi; aift
(10, 21. @.) aucb LG cationcjl, unb KED. golglid^ i|^
<[io, 13. $50 ÜLULG* a)cmna* jtnb DL/LG/ ratloi
ttdtUo§ in;^PUn) ccmmenfuraH ^ifo ij^ C^o^ 37* €1) li^C^i

- ■ ■ ■■ • ' . . . , ■. .

txt (10, öo.fcftnf.) DAC+aCB>«(ACXCB),
^^« ifl DK > LF : fo ift au* DL > LÖ Tia O AC n
(ÜfBCrMift^DHnlK: fo If^!««« DI^IL. «hbtin^ift
<W<b^'DIXILji=DLMrr:|0'£AJt' Dwnna«^ potenjirf .
Ciö; 18. 0.) bit^DL tnn iai QttaftMt'rin« l^c In «ange
(»mnrrnfuca^fn^itrfe fibettie LG, ^iui »ac LG m ED.

,« *«> „/V. ir>.

••»er

\ •.

35S

eän^i <Rmmt

©er 65. @a$. 2<^tf«^'

^i Um CMobxati ber iwe^ten l5tmebWe> AB, 0Jfe^
^(, «n einet SftattonaUinie/ ED, enttoorfrne Stectan^eC
PEPG, l^of jut IBreite, DG, bte btitt« ^inoMtoTe. '^

fHa^ tbta bet €on(ttttc»

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ift iu beweifen :

£rfHicb. Dag DG eine
SCh&miale fep*

Zki AB tie {tpepte 9^
meMhte i^^ fo ^nb (lO/
39. ÖO il^te Stamen AC,
CB , mthial Mog in f^cn) £
commenfurabd/ unb ent()a(p
ten ein 9R.et)ia(e<. S)a a(fo
dAC+DCB, bö« iflDK, t>aii^ EDXM'/ wrtWif
fb%, »eil ED rational, aud) (10, 23. S.) DL tatfönaT,^
itqbuED« fStm ift au^.benfelben 0t&nben onc^ LG ttf
ttonol/ unb u EDt $oiglicb ftnb J>1, LG> rational «hb bee
e6 in «Äii^e iticonimenfurabet. 2)a (6, r. ®0 AC : CBte
pXCiACXGB/aber AGuCB: fo ift a»^b AGu
AtfXCB, xilfo ati* a Ae+oCBüa (ACXC^'
ba« ift / DK u LF, folglicb aucb DL u LG. Jimnadt ftüb^
DL/ LGv rational bloß in ^otenj commenfitrabel/ gif»

ifr ( lO/ 37* ®0 DG eine 23iitomiale.

' ' ■ ^- .

^xptittnB, bag DG bte britte S^inomiale fep» "^

Ituf eben bie 8rt, n>ie im 6u Ga^e^ loit^. gefcbloiTen/ .teg.
DL> LG^ au(b bag DlnlU ©lekbfaB« iji Dlxitj
scQLMzzjaLG* Z>emnacb,pfteii)i|t.ciO/ iS.fiO-^^
PL «Ol ba< fituabrat einer i^r in ihngt commenfurobeul}^
{inie &ber bie LG* 9tua n>ar n>ebet DL n^ JLG bec £0,
in Singe commcnfurabel* Solgii^ ift DG bie dritte J&v&l^'

UMk.

S>er

Sirt^nte« ^ut$.

*57

i^tt 64. 60^ »e^rfa*|.

' ' tum bem £Xnabtate bier ith$evn Strattonofe, AB,
■ gW^e, an einet Dtotionaffitite/ ED/ ennworfetje, SRectif
' dnU^f, DBre, ^at jiir Sreite, DG, bie bierteiJöinomiaie.

statt eb?n fcft Sonflcuc* •

D

'A***i-i>«ii^ki

s

i*-

^

• \ '

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F *

tion; mit bcpm 61. ea(e^

(ßrfilia), bü§ DG eine
i&iflontKiie fcp»

£a AB bie ^ögece ^t^
rattonote ift: foifinb (io>
4o.'®J;ii^te Stimmen AÖ,
C6/ .in -^oten} incommen^
füroM/ i^te Duabnite }tt?
jammen mad^en ?in fRotic^
fia(e< üui^ (te felbft aber entgolten ein SRebiale«« t>(t ölfo
tj AC+ D CB = DK : fo iji DK= EDX PL rational,
ölfo (10^ 21. ©0 DL rational unb n ED. gßurt ift 2 (AG
XCB), ba« ifi LF, ba« ijt EDXLG, mebiaf/ a*^ ED
rational/ alfo (lo, ji^. ®0 LG rational unb u ED« $c(g^
li* i^; DL ÜLG. I)emnac^ iinb DL, LG, rational Wog ih
^dleti} cemmerifurabel* iHfo i^ (10, 37« @0 DG eine 23t#

noimak*

. 5weytilt8/ ba§ DG bie Dierte Sßinomiale fep.

Kttf &^nltcbe Krt/ toie in ben oorifleh ®&i^en> loHib 0e^
f^loffen, ba§DL>LG, ttnbDlXIL = DLMs=ia
LG* «ber ^eri(loACuaCß,bö«i(iDBüIK;. gol«^
(tcb DIulL« S)emnacb poten}tct ( 10, 19« (B.) bit DL um
baj £luabrat einer il^r in ^ange incommenfurabeien 2tnie über
bie LG. fR^n m% DLn HD. ' Solglic^ ift DG bie vittU

€$lk\^i €Iem. 15 Sfi((en

9t

®et

*S8

€uHtb'« Sfemente

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®er 65. @a$. ««^tfaft

^os bem üHuabrate bet ein Sftattonafe« üfnb SDtebtarei
^enjirenbctv AB, gletc^e^ an einer Stationaßini^ ED;
entworfene St(ctan^e(/ DEFG, ^ot iur S5reiti;; DG, bie

fünfte SSinomiofe*

Stofb ^^^n ber Sonflruc»
tion, wie bepm 6j. ©a^e, y\^

ijkjttbfipeifen:

iSrfilicb/ bagDGeine
{ßinotntale fc9»

2)a AB bic ein S^ationoy
Ui itnb aßetiolcj ^otenji^
renbe ijit fojinb (lo, 4i»
«.) ibre Stamm AC, CB, «
in ^teni; jnccniinenfura6e(,
imb emb<i(ten ein Stationär

M, i^re iQuabrare iüibmmen äStt meid^en Hn aRtbidfe« atO,
Daölfo DAC + dCB, bo« iftDK, ba« ift EDXDL,
mebtal: fo. ift ( lo, 23. ®.) DL xaüonal unb u ED. 8hm
ijl a -(ACXGB), tm« ijl LF, cötionöl; olfo (10, ai. ©.)
LG rÄiional4int.nED. golglicb ijt DLuLG. . SemnoiJ
ipfnb DL , VG^ rational ^lo8 in ^otenj co#mienfur4^f^ alfo
iji C«^/ 37. ,®0 DG eine ^moimate/'

5wevtefW/ ba§ DG tie ffinfte Smoariale fep. ^

2)a, wft im Vorigen bwiefen wirb/ bat^ DiXILrr
Q LM'> unb Diu IL: ^0 jwtenjirt ( lo, 19. ®.) bie DL
um boiSXltf abrät einer rl^rin Sänge incommenfüraHen £ime
fiber bie LG« fRitn toar LGn CD. %tA^li0f i\\ DG bie

S)er 66. ®fl|. «e^irf<i|. '

$)as bem £iuabrafeber jnjtp fDlebiafe^^ttttäirenbett;
AB; gleiche, an einer StationaKinif/ ED, entworfene

Stttu

Sehnte« g5u(§.

»59

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HK N

SRecKngef, DEfG, Ut i»t SQteitt} DG/ tte fec^öte
^tnomiafe.

^ Sta(b fc^t ^onfiructton v ^

Sc« 6i. (Saigeö ijl ju 5e»rif /\^ ""

-* «r<iIi*/l>«SD<> eilte
einofnia(t fcp. . .

®a AB bie jioep SKeMa^
fe yotcii)iten(e ift; ^fo ftiK
(iO/4^.©0 AO,:CB> in
^ttenn incommenfuca&?(, : £^
^Mt^l^ve Cluabcate niaiteit
Sttfotatmeii ein 9Miolt€,

ße fclbft abit enthalten ein jenem incommenfucafrefed WtcbiiJiP
Mä SDa dfb DK> LF^ m^bial, aber ED rational: Jo fmfr
<4b> A}. 0.) DL^ LG, rational unb ber ED in «inge iti^
rtdraicnf urabeU 2>a aut^ D AG + Q CB u 2 (AG X;CB)y
fo i^ DKuLF^, MaK* ow* DLuLG, 2)emiia* finb
DL / LG , rational b^o§ in $oten j commenfurabel / olfo t^

< ib, 37. ©• ) DG eine 23mcmia(e.

* 5wevteil6/ bag DG bie fccb«te SStnomiate fe?*

5Dö/ »ie im SBorigen beriefen pirb, ta^ DIXI^~
D LM/ unb DIulL: fo potenjirt ( lö, 19. ©0 bie ÖL
um botf Ciuabrat einer ify: in. fange incommenfurabclen It^inie
iber bie LG. ginn »ar »eber DL, nod^ LG, ber ED
isii^nfie commenfutabeL Sclsücf^ ifl DG bie fc^Qtt 35U

:3<be einer aSinomiareii, AB, in ii&nde comnjettfu^
-^wtefe ginie, CD/ ijl^ aud) eine SSinomiale, unb bec,
, ,i6rbhun0 nac^ biefette*'

m6o (5u«tb*« efentetite .

«ßtfiK*. ® fe» j. ^ TT »

AB bep E in i^ce iRa^ ^ ^Si- — :J?

mcn AE , EB , jec^ ^^ ___P

fcec grtSece giome: ^

fo finb (lo, 37. ®0 AE, EB, tütion<iI btof in VotenJ cüifc
mcnfurabd. g»a*e (6, la* 0.) AB:CX)=zAE:CF, fo
iÜ (lu* (5, 19-00 EB:FD=AB:CD; fol^fU^r«^
ABnCD, ou* (10, 10.0.) AEnCF^ unbJEßoKD;
fofsticD, tt)eil AE, EB, tationaiii! auc^ CF; FD, taütt^
SRunift (5/ 11.00 AE:CF=EB:FD, ÄlfD(5# 16,00
MTtped^fHt AE:£B=::CF:FD; tinb ba^/ vbet(;A£
^EB, öu* CPruFD* golgtt* finb CF, FD, ratieagl
^ blog in ^otenj commenfucobcl/ dfo ijt (10, 37» 0.} CD cbif
29itiöttiia(f*

5^!>^(M9« 3f^ AB enttDeber bf€ etfte ober it^tt tibet
"btitte Sinomidfe, iat if):, poten}irt^ ht bet ^)r^ortto«
AE :EB = CF : FD , bte AE um bat jQuobtat emar.i^
In £&ngc commenfutaMf n Sinie &bcr EB , unb tft entipebct
AE ober EB ober tHnt tfin beiben bet angenommmen fRoi
ttonoKinie in Sänge commenfttrobel : fo potenjict (lo, J5*0.)
oucb bte CF um bai fiuabtat einer i^ in t&nge commenfuro^
UUn «nie ftbec FD, unb e« ijl, »eil AEoCF^EBnFD, in
eben ber golge entmeber CF, ober FD, ober feine oon beiben
folcber SRationaninie in Singe commenfutdbef; fo(gtt(b CD im
0(eicb mit AB entn)eber bie erfle, ober jtoepte, ober britte SBU
nomiafe* SRun toicb auf i^nlid^e 9(rt bemiefen , ba% Ct> y»
gleicb mit AB ennbeber tie Dierte , obrr. f&nfte , ober ftiüni
einomia(e feo. So(g(ic(> ftnb bie SSinomialen AB , CD;tcfl^
Orbnung na(lf immer biefelbem

©er 68. @ö|. it^tU^*

3ebe einet SSimrtiofen, AB, commenfuraB^c ^«(e/
CD , (fl au^ eine ^iniitrta{e/ uitb ter Ocbnirais na<^'
ttefel6e.

itmd). (Sjfep TP n

»iebec Aß bcp E in ^ J^ ja

l^»fartnicnAE,EB, _,

terfcgt: fbpnD (io, Ci •: *J^

38.39.®-.)AE,EB,

iiMMal.br0tin-|)ot(|t) commenf^irabcL .9htn fep ^ee totebee
AÖ:Ot)=:AE:CF, a((» (5, 19. ®.) ou* EB : tb =
A^atCD. gof8«*jji, »dt ABnCD, au(^ AE aCF,
»q» EBnFD; folgUtt finO/ »dl AE, £B, niftiol^ <ra(^
(svo) 34..<^.) CF, FD, mfW»L SRuniji (5, 11. 16. ®.)
A£:£Bs=CF:FD, unb ba^c, iod( AEH^EB/ au(^
CE.'^FD« $Dig(t(^ pnb CP/ FD, mebiat b(o§ in f^otent
<;offiüimf uroltd ^ oifo ift (io> s8. 39» ®0 CD dne Glitte»

SwcytAte. au« bet Vtoportton AE:EBs=CF:FD
ffl^ (5^ 1 1. 6. unb 6, KÄSi) Q AE : AE X EB = O

Cir:QFX JfD/ Wgtt^^.Cs,. 16. ©.) .t»enwd>felta AE

:aCF = AEXEB:CFXFt); folglicb, twUQ AEn~
DCF,. ^ AEXEB<n,CFXFp.' M «««AB entwe;
bcc bic «ite; ober bie jmcpte $6imcbia(e: fo ift (lo, 38.
39^ ®0 AEX^B entwebct. rational, oUt XMtiaU Solg«
M ift autb CFX^D in eben bn golfle. enttoebec rational
ober mebiat/ foiglic^ CD iiigici((.imt Ali entmbtc bic crj^c
elKr-bk tnwate StmeMale. '

S>e« 69. ©a$. £e5tfo|.

- gebe bet Qxh%etn Sttötionafe , AB ,. commettfutdtetr
^tnie / .CD , ifl auc^ bic gc6$ere ^i^ationale.
«e^f^ABini^K „ -

Sltamen AE, EB, . ^ ■^ ^ . ... >?

$e«Htf t f(!^*»b W** . ' F Tfc

( 19, 40- ^) w V«? M : ■ ' .. — =— • — r«X>

tCH ionnmcnfttta»

Ma «it^alten «in SRdbiaM, i|(( Otiabrate )ttfapmen ob«
«uWtwn (in 9iationa((« «9«t 9M^ eben bec ««nftüKtion^

f^ 3 wie

■ ' I

i6i (SvXlWi SfementeL

»le im ©otig«!/ ifl . ir -n

AB:CD=AE;CF ^ ^ Ü*

=rEB:FD; folglich p

»ecwecbfefe AE: C— . (D

EB=CF:FD:fol9#

lid)C6,a2.(S.u. lo, io.6.),tteilAE(^EB,ott*CP^^TD. ,

©a aifo AE:EB=CF:FD/fof8li* (5, «8. ©0 WW
bUftbeit AB:BE=CD:DF; fo ift (6, aa.C.) D AB
: D B£= D CO : D DF. Stm nrirb eben fo betotefett/ ba|
O AB : D AR = D CD : D CF. golgltci) ifk ( 5/ 24. «*) ^
OAB:.aAE + DEB=DCD:DCF+DyD^ <H(ir
»Jetwecbjcfe G AB : D CD=r □ AE+DEBjDeF+
DFD; folg«*/ »eil D ABnDCD, ou* D AE + QEB
n D CF + D FD ; f olflU* , »eil D AE + Q Eß ratwMiO
ou^QCF+DFDtotionol. •

«uf if>nfi(^e Srtt f|l «uic^ 2 (AEXEB)n 2 (CFXFD)
folafic^, t9d( AEXEB medial/ oik^ (10, 24. ^uf.) CF
y<FD meblaJ,

SDemnacl) ifi t lo^ 40. 6.) CD Me gtifere Svtdtfonole.

©er 70. ^ö|. £e^i;f<j|.

.3^^^ t)et ein Stahonä(e6 iinb SRebiafed ^tcnf^ium
ben, AB, commcnfurabefe^inie, CD, ijl auc^ bte eiR
9tattona(e5 unb ^ebiofed ^^otetiiirenbc.

Sdamen AE , EB, jf% — -^ .JS—Jp '

jerlcgt: fo finb foU F

cbe (10, 41. @0 in ^" '. '^- — • ^JO

fjotenj incommenfiu

xaM, ttnb enthalten ein Stationäre« , i^fie £Utabrote juffill^
men aber geben ein !Dtcbtafe9. fStaii^ eben bet Son^etimiA
tote im fßovqm, toixt auf &bt^Itd^e Ktt beriefen/ bot
CF\r FI^^ öw* ^ħ D AK + Ö EB n D CF + O
FD, i*nb ba§ AEXEBaCFXFDj folflUc^DCF+

qFD

• D FD mcbiöf, uttb OF X FÖ wttcnof. ©cmnacji tft
( lO/ 41« (SO CD bie ein Svarionafet unb Sßebiafe^ ^oteiu
littnbe. ;^

©er 7t ®a|v »e^rfaf*

3ebe ber jmei^ SÜ^biafe ^otenjirenbe«/ AB, com*"
menfurabefe Sinte^^ CD^ tft au(| bie i^i»et)t SRebiale»
gjotensirenbe* >

««fTpABittiöre ^ .

j»amm AE, EB^ ^ ^ i ■< .. y

icftegt: fo finb föU ^ x?

die (10, 42-®.) in C i ■ ■ ■ ■ — -r* J P

^>ot(|t}incommenfu^

tobcf , unb il^e Cuiabrote }tifammen machen ein SRebioM.
0VBt, ^ Utbft aUt entgolten ein fDi^iale«^ bAi jenem tiicom#
»enfncobel ifk. Stacbeben ber Sonf»uction, n>ie ioiSSom:
gen/iiMcb «uf &^nlicbe Sitt beliefert, bag QF^jrFD, iinbbafi
D AE + D EB n D CF + qFD, 6u4> AE X EB rv
CFXFD, ba§ folglich D CF + a FD mebiol, aucbCF
XFD mebial unb u (j CF + o FD, SJemnac^ i(k ( lo^
42. 60 ^^ ^i^ i^^ 9RebiaU $oten)iretibe^

JDer 72. @a|. «e^rfa^.

5Dut:d^ bie 3wpMwnJtnfe|un8 eine6 StationoTert, AB,
ifttt einem aKtbiafen, CD, entfielen t)iec Srrattonrf^
Knien/ entweb^t bie SBinomiale, ober bie er jte SRimö^.
biale, ober bie grögere Scwtionale, ober bie ein Slatiojf
natci unb !0{ebia(ed ^'otenitrenbe*

r * (8« fep nun AB entwebec gtJger ober Keiner ati CD, ^o
fflj^tt bereifen ^ ba§ bie finte^ lodere ben sufammengefegtea
Staiim, AD,>otenii«t« aUemat eine ber bier genannten ^r^

»4 €tfl<r

«64

C^{(tb> fl^cmtnte

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heftet $al(.

fep FE eine OtationaKinte,
itnb EG = FEXRH= A
AB,ou*Hl=FEXHK
= CD. Sclglict ift, weil
AB rational, aut^EGra»
tfonof, unb (lo, 21. G.>

EH rational, unl» n FE; ^^ » ri t

fetner, tpdl CD mebiof,ou* ,, ** -V. *"• • v *
'Hi mrMa(, unb (10, 03. ®.) HK rational unb UFE.: Shi
CD mebiat, aber AB rational, fo ijt ABa^€D, b«« i||^
EG4JHI; folg«*, toe« (6, i. ©.) EG:Hl=:fHtHI^.
<m4> EH U HK. <Dcmna(b ftnb £H , HK , Mefin f^*MM|.
cem»en(urab((,- a(fo ift ( le, 33; 60 EK eine Sinomtoie. ■
llucbifl, wcü AB>CD^ !>«« ifk EG>H1, mut>EH>'.
HK. fUm potenjiit bit EH enttoiber um bai Du(^cat«i0(e
t^r tri S&nge contmenfurabdcn «btr um bof einer mammtm
fütabtUn £in{e iiber bie HK. -

3|t to« eCrflere, fo i|l, toe« We arJfiere EHriFE,
EK bie erjle 2^inomiale; foljjicb, iwil FE rational ( 10^ •
55 ®-)/ l"«« ?inte* »eh^e El, b«« ijk AD, potenjirr, eine'
Xincmiale. , •

3fr ^a« 5«*«'^, fo ift, »eHble ^figettEHnFE, EK
bie tiime S&tnomtak; fciIoii(6,n>ei( FE. rational (10,.^ g,®.), ~
bk «inie, »clcfee EI^ M# AP,^ pöjttnjirt, bie gtofciC, '

*t I '". ■••

. @ff^AB<CD. 9($banni{t, b(;9t>Qri8erSonftcuctio%
w6 EG < til , folali* au* ■ EHfs; HK. gj^'un. .i»p.^et^.
bie HK eptbeber um iai Quabrat einher i^r.in {Snge'^coäU-.
liiri iinabelen Ober um ba$ einer incommenfurabden {wie u^
bie EH. . %

3»ta««t(IeK, foiS, KU K:

»««I »ftnintEHnEF,

EKi tk jiMijte SSinomidU; \ ^

fotfltk^, iMil £F MtwiMrf} I

( lö.. 36. €^) bie Snie, ntu l

{^lEI, bd« ift AD, Wim* [

litti, W «B« Zx>ntt>iaU. | |

3fl M Sn«T«' f« */- . ' B - I> F G^

tMt tu Kmim ai n EF,

EiCMr fänfte Sinotnidtf, fi>[gli(&, weit EF catienal, (lo, '
59.0;) UrStiie;, »tl(ti;EI,.t)4»(ft AQ, potenjict^ Me
(W ZUtwiMl^ IUI» trietiiAlca pcttusitmit.

®« rs. ®()t., .8«Jtfa|.

•Tfmät Wt Sufammenfe^üns itofixt tncoinmen|tiKi6cs ■

len ^efiiafen, -AB, CD, tnt^^ett bir btiimMtiitn 3^

tationaffinien : entme&cr:btr jloevec^imebtafc, otccbte

{«»9 SOtsbiate ^otenjitenbr. ^

C9 f(9 nun AB (ntioftirr gti^ec obft Cftintt alftCD,. fb Ijl >
iti;6eivtifeir,^bd6bi^Di{,:lpeI(^'{M iufainiiieiigef(^mX«un '
Ai) potmiltt, olfeinaUiiKbtf J&(9tai.sniannUn3R(UieMl*
Imini fep.

gpfle» g(ri(.
' 8«fi»AB>CD.. III<(»

Mligrt {»nftluct!«n fhtb,

nx« AB, CD, mtMal, WK^ A' C

E6/ Hl, mitiiiU fulS'ifb,

t(l)l FE xpttoiM(, C 10, 3|.

eO EH, HK, lational, unb

Ut FE itirUngt inonuncttf

t»Mb«l Do AByCD,

tft if), EG; u HL, otre

E HK

SG--Hl:?aH!HKj h ift EHuHK.

EH, HK,,t»<iSBiU'l»|i»|!«'5i<»HWl)fH!«Mj W«li*
3t s ifi

»66

Qüflih^i Stemettte

E HR

ift EE dne SSinomiale. Set«
ncr ilt, weil AB> CD, tM
ift EG>HI, Möf EH> A
HK.

Sllun potettiict tie EH
cntwetec um i>Cii Ctrn^at
cinec t^t in {ange commeiu
fuvd6eten tbtt um hai eince
incommenfuca6e(en Stnie &6(t
We HK. . -

3ft bo« iSrfiere, fo ijt, »el( web« EH no6 HK nEF,
£K bie bcitte Smomiafe; folglich/ »dl EFjcaüttitd, (lO/
57.©.) bie ?inle, »efcfeeEI, ba« ijlAD; pottnjitt, Me

3wevte 23tmebk(e; ift ba« 2(ii&ece/ fo ift ER bif frc^

S5inemia(e, folglich (10, 60. 00 bie tinie, wü^ AD fot
tenjitt/ bie jtv^ev iTZe^iale pctm3trenbc^

' @« fe9 AB < CD, fc »itb E H R/

ottf hf^ttüdK «et bewiefhi, - --
ta§ bie «inie, »efc&e EI, b<rt A C
ifk AD, potettiict, enttoebiet
bie jtoepte Simebiale, ober
tfe gtoep ÜRebiaie ^oten^ireiiir
befey.

FG J

^t !8inomia(e ^ unb tie auf fte f otgenben ^ttationaninteti^
finb nic^t ituc t>on bec !Dlebia(en/ fonbcrn ouc^ t^on einajiber
felbft^ «ntetfc^icbett.

S)enn baö bem Ciuatrrate bet ^[Rebtden gfeid^e on einet SU^
tfonaüinie enttDocfene Slectanget ^at (lo, 13. ®0 jur ©teiti.
eine jener tncommenfurabele ÜtationdKinie; ba6 bem Cluabtate
bec Sfnomiöle gfeic|>e aber (lo, 61. ©0 bie erjte 93inomidIe;*
baj bem iQuabrate ber etflen 93imebia(e gteic^e ( 10^ 62. 60

ßt^ntti 55ttc^.

Ä^f-

fclejwepte SBinomiale; fcns bem Öttafctöte ber jwe^tcn 95tmf*
tiaU gleiche Cio> 63, @0 bte (ritte S3ifiotnia(e; M t^tm
Öuafttdte bec gVfcfern 3vrdtionaIe gleiche ( 10, 64. Ä) We
vierte S3inomta{e;' bo^ tcm Ouabvate ber ein Stationalei ttnb
SRcbialc^ ^otenjirenben gleiche (10, 65.®.) We ffinfte 85irto^
miale; tat bem Ouobcote bcr s«^^ SRebide $0ten|i|:en^eii
( lO/ 66. ®0 aleict)e bie.fec()$te SStnomtoIe.

^ iremn(u& untecfcbeiben ft(9^ bie genannten ScrdttondKinieii
ton bet erf^en, »eil tiefe tue SSreite eine ^attonadinie giebt^
ton einanber felbft, n>ci( (te ju S3mten $3inomialen ton tet«
{((^icbfnen Orbnungen geben.

UnmttfunQ.

^ SDie bi^^erige Slb^anbfung ton ben bucc^ Sufammenfe^tmf
eritltefienberi fetb< SftrrationaHtnten befte^et au6 (leben ^c^a^
Utk, ober übfc^ltten ju fecbJ S&^en. S)ec erffc Übfc^nttt
($?• 38. 39* 40- 41. 42. ®0 jeigt ben Urfpcung ober biif 3»*
fammenfe^ung biefer ehiien; ber 3tm^t( (43« 44* 45« 46. 47«
48« 60 t^re S^t^I^dung in einem ein}igen fünfte ; bet tftittt,
(49* 50* 51* 52, 53. 54» ®.) tt)ie bie fect>« Sinomsalen ge^i
funben »erben; ber victtCf (55- S6* 57* 58. 59* 60. ©.)
tte((be 3t^(<^tfonaIiinicn ben unter einer fKoftpnaHinie unb ien
terfcbiebenen Orbnungen ber 83inoniia(en entl^Itenen Btaum
l^otenitren; ber fünfte (61* 62« 63* 64* 65* 66» ®.) bie
Bretten / ttelcbe ti$ i^ren Ouabraten gleicben an einer $Ra$
tionalltnie entworfenen IKectongel IS>aben; ber fecbett/ (67*
68« 69. 70. 71« @0 t)og bie i^nen commenfurabelen Sinien
ton gleicher äirt ftnb; ber fiebente (72. 73. ®0 fa§t t^reh
Urfprung unb Untcrf4)ieb fe^r fmnretct^ in {mep 6Ä(en {u^
famnien»

; 0lo^ ifl ju bemerfen^ ta^ bie {)&ifte einer jeben 9rt 3rra^
tionoUinie/ melc^ folgticb ber ©onjen commenfurabel ift^
eben icifjolb m^ (ine Srrationatlime ton betfelben 9(rt fep.

36t • SuRib*« demente

©on fcen

$S)er 74» @a$* Se^tf^a^ unb (Sttlhtung.

50Birb *)on einer IRationalfime, AB, eine anbere^ ifß
Ub% in ^otenj ccmmenfurdSefe; BC, meggenommen :' fo
tjtbe|;SRe{l; AC, irrattonaf, unb ^et^e 2(poccnie.

r

©a ABuBC, «nt A r -o

(6, i.®.)AB:JiC= " V- I 5*

OAB:ABXßC;fo

ift (lo, lo. ®.) D ABuABXBG. 9iun ijt (lo, i6. (5.^
q AB AD AB + D BC, öu* AB X BC n » (ABX
BC). §ol9lictii^DAB+QBCua(ABXßC). 0liui

ift (2,7.©.) DAB + DBC=a(AßXßC) + a-
AC 8öW««^ »ft (iO/'<7- SO'OAB+aBGuaAC; ,
fi>l0(i(^, »eü a AB+dBC tationol/ QAC, alfo.jaucft
AC, üHrationaL

j ■ ■

^er 75. <Sa$. £e^cfa| unb SrH&tiuns.

SBttb t»ott. einer SSebioIßmr^ AB, etneonberr/ BC,'
bie ikt hlofi in ^ttttti totnmenfurabel tfl, unb mit i^e
etn^otionafei tnthalt f toectsehtmmen-: fo ifl; bet 9teft/.
AC, inationcS, unb ^eife bie ccfiie tTIe^toIapotoine; (

2)aQAB + nBC y^ C B'

mm, aber a (AB *" ' — [ ^~--, ^-^' .

XBö)tdtionöl: fo

ijl D AB+D bCU2 (ABXRC). Shln Ijt (a, 7. «.)'
D AB + D BC =r^ ( AJB'X BG ) 4- O Aa ^tm i^
Uo, 17; 0.) a (AßXBG)^D AC; fotgtiiib/ »eil »(Aft^
Xß^JKitiönol, aAe/oli»att<{>'AC; ittttöbnöt.

©er

Btfjmi SBtt(^

f.;

kS9

' ' ©Jirb \jefi einci! SWcbfaffinic; AB. eine anl>ece, BC,
bie ihr bto^ in ^otetti commchfuVoBel i)}> utib.ntit ißt
An SRcfcJcjlcö ent^aUf »caaenottim«« : ft> 'i(l *ec SRej?,
AC, irrationaf, uiib ^ei^e bie 5WJeytc tTie&iaIhp.9r9mr.

(8* fc9 eine ülationaflinie « . -,

* ![p , ürtb an bitfelben D E, M V ^-^-^1^

i^fip JDXDG, s=a

"Äfr+O BC, bf^^fcicbm,
*1)H; »A« ifi iDXÜF, =

2 ( Aß X^iC) entworfen,

bof?dfo , Soeil (a, 7. @.)

3ÖAR+OSe=^3 (AB

' .X'flC) + D AC, FE, iai

FG,=:OACxft.

■ -JA a AB + a BC, baj ijl DE , mcbiah fö ijl (po,
J*5. '®.) DG ratlcnnt urtb U ID. fa AB X B^^ olfo ou«>
' a (^BXBC) ihebiolf fo ift ÖH meMdO «tfo (lO/ 23/6.^
DF tötional unb U ID.

i^AB, BC^ blof in ^oten} commen^abef , <i(fb ABU
BC: fo ijl (6, 1. 0. unb 10, 10. ©:) D ABU ABXBC.
flihi» fjt ( 10, 16, ®.) DABn n AB+ D BO, «nb (lö,
'«.«;>ABxfiJCri4(ABXJiC). golslic^ ift DAB^i
ÖBCU2 (ABXBC), iai ifi DEu'DH; fol^m, n«Ä
(6, I.e.) DE:DH=DG:DF, a\xd> (10, 10.®.) DG
uDF. !Deinna(b ftnb DG, DF, tatmal b(o§ in ^otm)
itüJinm'enfuröbel, fofgftcb ift (10, 74. C) PG ieine"«^oitom<;
frfflftc^, weil ID tötional, (10, ai.®.)FE, ba«i|t;CjA:Ö
tii^MHonai/ fonbc^ tccationaf, affi) aui^ AC tctotionäf. '

9Birb *)on eitter iinit, AB, eine anbete^ BC^ 1w ifec
in ^totfttj incomm^nfiirabtf t|l^ unb i^re £luttbrare ^us
ftmmen 59 emem SUtioQaleit/ boB untit^ ü^nen dK^ofc

. tene

»JO

&f(tb*^ &tmMt

UM St^ctAn9e{ aUt ^n ettiem Snebtafeii mfi^t, nmu
«ommeit: fo i)) ber Dtefl; AC, irrational/ imb ffti^t
bu Meinere jftrotionaie.

JDaQAB+a A

C

BC Mtiött«(/ abtt

«(AB><BC)tn<*

Wd: fo ift D AB+ D BCu 2 f ABXBC). fRun l|k (a,

7.«.) Ö AB+ p BC=a (ABXBC) + Q AC. ^

«(^tfk(io> 17.0.) a AB+ D BCU a AG; foIg(t4 mtf

a AB •)- □ BC mmei, U AC, alfo aucü) AC, »MtionÄ»

«

.9Birb bon einer £ime^ AB, eine anbere^ BG, ^^^^
in^tenj tnecmmenfura6e( i^f unb il^re 0uabrate jqir
fammen ju einem 3)lebia(en, bai unter il^nen ent^tetie
,9tectanAe( aber ja einem SKatienaUn mac^t^ medgenom^
inen: fo ifl ber Steft AC, irrational unb beife bte mt
4eineitt ISiationakn tin me^iafeö ^anse (ffcbenbe«

IDaDAB + DBCme^

Mal, a*er 2 (AB^BC) A

rational: fo i|i D AB +
" OBCua (ABX^G), fotglic^? (10, 17^ @.) auc^ D AC
Ü2(ABXßC); folgUcb^ »eil a (ABXBC) vratienat
Q AG, alfo a\x(if AC, irrational.

tJinmerfung*

@uflib nennt tiefe Sinie AC bc<n)e<)en fo, n>ei(; natb etnet
i^nlicben Sonftruetion, mie im 79. &a^e, oerglic^en mit 2.^
7« ® age, ba^ bem q AC ^gleic^e dtectansel mit itm Stationolen
a CABXBC), ein mcbiale« ©anse DÄB + nßC »eit ,

©cr'79.@a|* £el^rfa| unb Srflarung*

$lßirb bon einer £intC/ AB, eine anbere, BC, bie il^t te
9)otett^ incommenfurabti ijl/ il^re £Uiabrate lufammeja

C

B

—4

Sel^nte« Sttc^»

f S71

jju em^m 2ÄebtäIett , urtb, hai imtor il^eit tnt^aluni

.Stectan^fl gteic^fdlld ^u einfttt/ ifeboc^ jenem ittcommeru:

* furabclen 2)fjet)iafcn mad)t, »eggcnommcrt: |d ijt h^r

gtejl', AG, irrational, u«b l^eiße bit mit eittait ttt»

tialett ein mc^ülee <Ban5f <Bcbmt>t.,

c

' * ". ' l |^

Ö* fe9 <mf SlÄtionaHtme- _
ID , «nb an becfefben DE, . A
:tfeö«tjtJ©XDQ/ =^0' w
;^B'+ Q-fle, enttporfett. V
;i§5icb nun babon DH, iat:

ilUDXDF, = 2 (AB
:><ßC) »eggenommen: jfo. .

i(k(2,7*«0 bet3ie|iFE/
:bī i|i IDXFG, =a
*. AG. Semnad) potcniirt AC

ita fHaum FE. . - . r

5D(j D AB+ a BC, ba« ift DE, mebtal: fo ifk (16^
23. ®.> DG rationol unb U ID. gbea fo i^^ »^ DA
incbiai/ aucb DF rational unb U JD. £)a D AB+ D BG
U2(ABXBC), alfo aucb DEuDH; aber DE: DU
=:DG:DF; fo i|t (10, ra ®0 DGuDK ©emnac^
^ttb DG, DF, rational b(o6 in. ^oten) commenfurabel, fo(s^
HA ifi ( 10, 74. (SO FG eine Sipotome; folfilicb/ toeil ID^
ba«tftpH, rationa(/Cio/au@.) FE, mi^ QAC,
alfo au^ AG, irrational

^(ttmetfung*

euffi» nennt tiefe tinie AC; besmirgen fo , ipeif , mx^ bcf
Confltuction biefe« ®a|(^/ oetglic^m mit a. B. 7. 6a|r/
^a< tew D AC 8(et((>e CKectattgd FE mit bim !DleMa(en DU
= 1 (AUXBC) ein mt\>iaM ©anje DEs Q AB+ O
BC Mtbt.

See

Kn bte 7(potome^ AB^ f&9t ftdg» ttur eine eiiistfre fKiu
tionodime; BC, bte ber sanken AC^ 6(og in ^uKi
4ommenflira6c( ift.

' ©efeftt, eifargle A B ' CO

f{(^ an AB nc<^ etae • » .. ' ■ ■ ■ ■ . ■■■ ^ ■■ ■ ■* ■

fliibect.BD,.(b-bdg

,Cio; ?4» 00 AD/ BD, totionÄlLMog In fjatertj tommtnfMriu
^ »Äccm 2)a (2, 7. ©.) G AD+ D DBä«» (äDX
I»)4- D AB, viib eben fb G AC^- G BCrsa (ACX
CB) H- G AB ; alfo bet Ue6evft^§ ber fiuabtafe Aber Me
b0t>prften Sßcctangel beibecfeitt gfeicb if^/ n&mti^ ba<0 AS:
fo tft au(b x>cru>e^felt bet Uebevfd^ug ton G AD «h Q
DB AbetH3-ACi*:a*C bem JUetofcbuife xm 2 (ADX
DB>ftber a (ACXCB) jleic^; foI«li(b. »rtl jenee Uebet»
ftbu§ rational/ aucb biefec Ue6ecf(bu§ rational; metcb^/ toctf
(10, 22. ®0 beiOe SRectangel mebia( (tnb/ (lO/ 27. Ck)
^inimb^U^* 2>emhacb täftt ftcb an bie Kpotome AB feine
^nberr ber ganjen b(o§ in ^ottn) commenfurabele StotionaU
linie/ autct ber dniigen BC«

.©er 81. ®o§. fie^rfa^*

!2(n bte erfie f0tebta(a»otome / AB / fägt ft^ nur eine
^tn jige SMebtafftnie / BC, bieberganjen/ AC^ bfoßin
^ötenj commenfurabef i^/- unb mit berfetben ein Otos
ttonafed enthalt.

©efe^t, e« f ftgte A. B g CD

ficb no(b eine an^ ; * — . ■ * ■'■ ^ ^

bcreBDanAB, fo

bist (10^ 7$« ^0 AI>^ I>B/ mebiaf bfo§ in ^ten} timimm
fttvabd m&ren/ unb ein 9tationa(e^ entl[)ic(ten* 2>a bi^r iwe^
ber ber beiber^itige ^eberfcbu§ ber Cluabrate über bie tt^pd^
m ^estan^l tai G AB tfl : fo :ft mieber ber Ueberfcbng
»ort G AD + G DB Aber G AG + G CB bem Uebetf^nffe
tw 2 (ADXDB)^^^r 2 (ACXCB) gleicb; folgß*/

* »eil

' Z^di !^>\x6j.

*7I

iteU tiefer Ueberfd)u| ratttnal/ duc^ jen^j? Uebetfituf tatto^
naf ; »elcfceö ^ »eU 6(e Öttabcate meWal 0nb^, (lo, 27* ®.>
itninögtic)^' ift. 2)emna(& fägt ftc& <in tie erjfte SRebidapoto^
^ me^ AB^ (etne anbete SRebiallinie^ bie bet ganjen i>lo§ in
9otni} eommenrura&e( tft^ unb mit berfelben ein IRationale<
cnt^t^ außer ber einjigen BC

^ri bie gwewe aRebialapocome , AB, fiSgt fic^ nur
eine etojige fD^etnaUinie, BC, tie ber gaiijen; AC^ bfof
tag^oriTii cottimenfurabel ijl, unb mit berfelten ein

A B

CD

K a

0efe|t/ e« f&nte ftc^ noc^ eine anbete BD an AB^ fo ba§
(10, 76. ®.) AD^ DB, mebial Wog in ^otenj commenfur^^
M n>&ren / unl}^ ein 3Rebta(e^ entstielten* 9tun fc9 eine 9ta#
tfonanioie FE, ünb on berfelben EO, bo« i)t FEXEL,==:
D AC 4- D CB enttDorfcm ®iib nun baüon Hü, ba« ijl
FEX HL, =2 (ACXCB) »eggenommen : fo tfi ber
JReft EK, \>a^ ift FEXEH, = Q AB; alfo üotenjitt
AB ben 5Raum EK. SBirb enbli* EI, ba^ i(i FEx^M,
=i D^AD+ D DB ati ber FE enttooifen: fo ift, »eil EK
AG AB, berSReflHI=:2(ADxDB).

2)a AC, CB, medial unb^-: fo ift D AC +a CB, ba«i{l
EG, mebialy folglict) (10, 23*®0 EL rational un^UFE, 25a
'< €lem, 15 »fi*w. . ® 2 (AG

/^

» ■

\

«74-

^MXiiVi 9imm$

AB

» ' I

CB

EH

K ö

2 (ACXCB), iai ifi HG, meMd, fo ifk HL tdtioffd
unt) U FE, Huct) ifl, meil AC, CB, blüg in ^oten) com;
;iiicnfuca5clfinb, ACuCB; fotgli^^, »e«(6, i.©ÖXC
,:CB = DAC:ACXCB, (lo, lo* ©0 ou* Q ACu
ACXCB. giun ifl (lo, i6.®0 DACngAG+Q
CB, unfe AC X ('-B n 2 (AC X CB). golglic^ ffk Q AG
+ aCBu 2 (ACXCB), Da« ift EGU HG; firfjjH^,
»eil EG: HG= EL: HL, (lo, lo, ©.) <JU^ELuHU
S)etnnac& fmb EL, HL, rational b(o§ in ^ottni commcttfiM
tabd, fotftlic^ ijt (lo, 74. ©.) EH eine «potome, antie
fx6) HL f&^. IRun toiti eben fo beriefen, ^a§ ^ an^
HM an fie f&i^e; mefcbcö, mil HL unt) HM bet ganjen
b(o§ in ^otenj commenfurabel ftnb, (10, 8o. Q.) unmigOfft
ijt. . 2)emna(i fugt fi6 an bie jwepte SD^ebialapotome feine
onbere SRebiaUinie, ik (et ganjen b(o§ in $oten) coi|itneii()i^
tabet n>ate, unb mit berfclben ein Sttebiale« €nt^ielte, aii^er
bev einjisen BC*

©er 8S* 6a|- *el^rfa|.

Kft bief feinere Srtationafe^ AB, fSgt (tc^ nur eine.
einjige ^inie, BC, bie bec ganjen, AC, tn ^^oteit} im
commcnfutabel til , beten £luabtat mit bem .Ouabcate
ber ganzen ein Slationafe^ anmaßt, «nb bie mit ber
9<mien eih aÄebiaU« Mtf)hiu , . ■ ■ ' "

te fi(^ no4> «ine ■ /T
anfeewBÖanAß,

fr 4>«§ .(lo, -H. ©0 ad; DB, in ^ote«} ütcommenfuraH
OÄD'+D DB Mtlonal, . uat> ADxOB meUal tohttnl
SSt^n ifl «Pi«t»et bec Öe&erfctug t>on D AD + Q DB fibec
D AG + D Cß fo gcoß/ a(« bec Utbf cfc(>u^ eon^ (ADX DB)
fib« 2 (ACXCß); foJglicb, »eil bec Uebwfcbug bcr Öuoi
trott cational , aut^ bet Uebttfcbuß bec bopprften tRectan^el
rational; »eicbeö, weM biefe dvectatig^r mebial finb , (i;
a?. ^.) unni6öli(:^ ifi. golgfi* ffigt fic^ an bie «ein«te
^((attonate nur bie einjige oben beft^rjebene BC.

©er 84. @a|^ ie;l^rfa|.

. 5(rt bie mit einem Dlationafen ein mebtafeg ©aitje
®ebenb^e/ AB^ fügt )lc^ nup eine einzige ^inie, ßC^
bie bergan jen, AC, in 93otenj incommenfuraScf ijl:,
beten Öuabrat mit bemJluabrate ber ganjen ein Wltf
bialii anmaßt, unb bie mit ber ganzen ein 'iKationo^.
fe« entl^äft.

f N.

®eft|l, e« f&gte AJB __V_CI>

fl<^ lioc^^ eine am .■ ' ' '

beceBDanAB,fo

bd§ (iP/ 78. ®.) AD, DB, in ^otenj ina>mmenfuca6e(,
D AD+ G DB meWal, unb ADX DB tattoijal waren.
ahm ijJ: wieget bec Uebn^uß oon D AD+G DB ubec
D AC+DCB fo gcöt, 0» bec Ue5ecf4>u§ ton a (ADX
DB) äbec 2 (ÄCXCß); folglich, »eil bec Uebecfibug Ut
bo|Sfpe(ten Stectanget cational , au<if t)ec Uebecfc^ug bec Qvias
brate tiational; n>e(cbe$, n^eil bie £luabcate 5ufammen mc^
Wal^ftob, (lo, 27. 6.) unmoglicj) ift. ^^d^lid^ fugt ftc^
m bie mit einem 9iationa(en ein met)ialej(@anie ®cbcnbe^
AB^ mir bie einjige oben befc^ciebene BC^

--;; 6 a * ' ©er

*?•

eaiiVi f^mmt

SDer 85* @a^ £el^tfo^«

%x hit mit einem !D?ebtafen ettt mtbialti ^nje 0i»
6«ibei AB^ fä0t ftc^ nur eine einzige £tnte, BC; Jbte im
^njen/ AC, in potent incpmmenfuta6e( ifl^ beten jCktü»
brat mit bem iQuabrate ber ^anjen ein fO^ebtafet M^
mx^ty unb bie mit ber ganjen ein fSteb^aUd entl^
iai jenem SDlebialen incommenfurabet i%

A B

#

K H

®<fe^t, e« fägt« ft(^ noc^ (ine untere BD an AB/ fe N|
(10/ 79. ®0 AD/ DB/ in ^otenj incommenfutaM/ D AD
+ D DB nieMä(/ aiK^ AD X'DB met»io( un^ lu^MSt
ttm D AD H- D DB tncommenfuta6e( toäcm. 0hm fv
((he StationaKime FE, mi an Derfd^en EG/, ba» i^ FE
X EL / = D AC + D CB enttt>wf(n. ®itb mm baM«
HG/ tai iJl.FEXHL/ = 9 (AGXGB) iMgtfnonu
men: fo ift b(f 9t(|l EK=: O AB; o(fo potmjif«; ABtfH
tRoum EK. SBitt) (nMt(6 EI, ba« tfl FEX EM/ =3 Ö
AD+DDB/ <m bec FE «ittvorf en : fo \j^, W(U£&s;:
DAR/ b(c3{(fkHIr=2(ADXDB). .

©aDAC+DCß/ taii^EG, mehiat; obftFEl^
tiönal : fo ift EL cotton«! unb U FE. 2)a s (ACXQ^X
tmi i{t HG / ntebidt / fo t{l att<b HL rationat unb U F&
8lun t(i pAC+nGßU2(ACXGB), bd« ff^ EQU
HG/ alf« EL u HU $olsIic& (tnb EL, m^, MtioMf Mb§

IB

in Voten) cornmenfut^^; folgti^ i^ (to> 74«B^) EH dne
BlP^tome/ dit bie ftc& HL fugli. SBun tpirb eben fo bemtefen^
M {!(& auct) HM an fTe ffige; tbelc^ej; tbeä (fti utib HM
^e^^an}en Mo§ in ^ten) commenfurabel (tnfr/ OO/ 8o. <5.)

onniMi^) ift« S^M f^d^ ft^ <^^ ^i^ öbij^ AB nur W
cinjige öWgeBC.

CE r II i r tt n d ( »

b e t

I. CBtne ^potente/ on bte fic() eine 2tme f%t/ fb bog ti«
' SaAje äu0 beiben Jbej^tt)enbe HmC; ttmtti« JOtuAbtat

eimri^r itt B&ttge comm«nfuw6ef<n ^init, übet
■ bie ongtffijte Doreiixtrt, l)ei§t tre (tr|f e '^potöm^

wenn fo(c^e gonje ^inte einet angentnmnerien 9ttf^
VriMiaHinie in xofnge todMienfurabel i(l;

«♦ bie 5t«ftte 2(p9t0tfie7 «tnit We angefügte ^tniV; •

3«. bte^t^te 7Ipotan\ii wenn leine bon Reiben fet^
« ^JKotiöQaßime ttt.!$taqge commenfiirabet /

4. ^in* Tlpotome^ Ott bu ftc^ ettte £titte f^(^ fft:kaf Vk

. fianje aud beiben beflel^enbe Stttte, utn bo< Ouabrot

einec i^r^itt^&pgc ituommenfiurabeUn iimt, dbec

bie attgefägte pötentirt, ^^ei$^ bie vteirtc S^tomci

toettit fofd^e d^ttjci'eMi««^ ^ «ttgcAfifilitiitll^atiül«

HJ 'i .1'

1$;. btl^tii^Ut:; a)>«t;^l^, toettVi f ctnV «oit; b^tt»M fo((^
' ''ijytöiidlttiiiein^&HitcomttiMfMeltft "

S7t eaiwt (tumüitt

, pie er(i^ 2(potome ju fMbtn*
8« fep bie an» ^(^»__

••

\-

M . * ■ f

' '■ ■ ' ■ >■ ■

ftenommene SRa^ C*

tionqUinKAvunb ' B' ' . ■ ■ :

BG eine andere jj^ r

tinie fcer A in

Jänge commen. ^ E 9P1D ,

(10, Bo.Se^nf.)

jnocp üuabcatio^fen , ED, EF^ beten Unterfc^eb FD feine
£10Qbratiat>f fc9; «nb maäft ED:DF=:a BQfGJGC;
fo tft BG— Ge = BC bie ecjVe »potome.

SDenn e6 tft BG n A, unb ba^ec toirionaf* Sluti fof^
aitf ^ige« ^copoction ( lo, 6. ®0 Q BG n D GG. ^y
l}*ifi, toeiigBGroticnal, öucbDGC, alfoGC, ratio^.
M\; aber (lo, 9« ®.) BGuGC. £)emnatb fmb B0, GG^
rational bloß in^oten) commenfucabel/ fotglicl^tß (10^74,®.)
BC eine 2ipotomc.

Sflunfep a BG— D GCrz qH, fo ifk m^'.tüqtt

9^cppprtioi)43iir^cEte|^ret)t>(5^ 19- S^fr) "^^^^.^^^
:DH/ folfllict (10/ 9» @0. fite KR ©emiiAC^^ötttiiiÄ
Vie ä(>%nrba«;Cttabrat etnei! i^tlh t&nge commen(iicd9^
Jinie H ftberbleÖC/ttnb W'warlJGnA; fdflII4r1(k BC

•.i »IT« ■ • "f*" • . •• ' ' ' ft

6« fc9 tie «ifenoniM^ttRofiMHniiiiic A/ titt^ OC (ine

ftocpjQuoltratid^ren/ DE, £F, .^mn Unte(f(tte(pF||d«
ÖudtraQa^ fqi; unb macbe FC :]i)E==Q CX}: pj^GF; '^
ift BG— <aC-=:BCWej»>9t«fa^«)h>me. " .

■' '^ ' SDenn

B«5itf« 95öc|.,. ^79

Ibtim HiftGCriA, unb A^

H > I I

((i^ecrationaf. Stun folgt an< ^ ^

obiger l^toiwttion (lo, 6. ©.) B • », ,

toeil Q CG rationaf, ati4> D W»- — [ — -•

OB, alfo OB rational i cibev w-av^^^

(10, 9. ©0 CGuÖa. tm* «a-FiD

mdf {inb CG, GB, trötionaf Mo| in ^Mm) comtnenfttt«((^
foTgU* ijk ( 10, 74. ©.) BC eine apotome.

aiuu fe? D GB -^ 0-00= D H / fo ift no* obiger

Itral cinee ii^c in 8&nge (oininen|<utabeCn ^ötie H aber tie
GC« unb e« tQor GCn Aj foi^Hc^ i{t BC bte }ni«V(f^

2lpo(ome.

S)te britte 2(»otome j^u ftnbetk

iH fep bie an^enenui a^

I - I U I n m

liune dtationaUinie A* «•

Sßfinoi. btep ^cifjUm B« y i . • i ? m > ' m ■■ ■■ ■ um 1

'BG,CD,»eI*e|i(bni<§t; . .^'

«b« »0^ ßc, B.o^ »}« * »"^ — ., ' i; ' ■' i ;.;

fienobcatia^itn »erholten; Ei» '

•-*' «a*e E : BG = D **Tkei» 1

"»«'«, Ott* BC:Cß l^DiC ■•''

.■I V .- »f

s=:OFG:DGH;f0ift

v< tieiui tu« bec (tftcji ij^tv^öctionfoIgrCio/«. 6.) d.Af>
(ÖFQ» «Ko FG «ati^nol,. obet (10, 9. ©.V AÜFG. .'füyk
^ V»mn licpjwfttpn f^lgt, o FG nü 0H; luib FO u
^OU. {Demnach ^n^^Q, GH> rati»Rai%fi!tnikit(n) ceni*

menfuroM. goM t|^ d »/ 74« 60 'm tiiu 2ipotein^

6 4 *• "Ra*

Wta^ e6is(ti beiDm

Ij^roportionen ifk atl8 u

tem (Bletd^ett (S/ 22* F »- 1

e.) E:CD=DA:a

GH, fol9lid)(io,9.®0 **-~^ * '

AuGH. 9tunn)atau(^ * E 12

A U FG. golglicb ifi tpe# B 4 D 5 G

fcer GH no* FG »et A "^ -

in S&nge commenfurabeL

»un fep a FG— DGHrrtjf/ fo ifl: att« ber Jtoflj?
ten Vcoportion 3urucfi?e^teti& (5/ i9*3«fO CB:BD=
OlPG:Dl; fclflii* (10, 9* ©•) FGnt J5emna6 vp^
litt bie FG um bai Qixabvat einet, t^t in {&nge commm^
ftitabelen 2inie I ibec bu GH, unb ei toav »on GH/ FG>
feine bet A in Sänge commenfutabel ; fö(g(i((^ if^^H bie

dritte 2(potome.

©er 89* @a|* TCufgaSe».

5Die bierte ^potome ju flnbeii* '•'

9* itp Ne «ngenonu iy ^ • ,

«lene IRationaMtnie A, ,

iinb dne anbete «nie BO g ^ ,C - ft

nA. Wimm jtt>q) 3«^^

bn,DF,FE/beten®um/ Hi — — — - -

tne DE ju feinet oon bei^ D 6 p 10 E

ben bie »ec^tni§ ton ^ -. ......

£luabtat}a^len ll)abe, unb macbeDEtEFrrQBGtQtXI;
fo ijk BG— GC=:BC bie mette «potonie.

^ jBenn ba BGnA, M(o BG; folgficb <in4 D WO tdi«*i
»äI; ioi^/äüJbbiger^ropöttiott (16, 6i€fO D^^GnOCG^
.a!^QCG> fo(gIfd> diic^ CG totionol; 4bet (10, .9.Q:)
BCuGt:. ^nod^ finb BG; CG, totionat blofi im f«^.
ii9i comnienfttrobel ; firfgfi(( i^ (lO/ 74« ®0 Bd eine

■ ' . Ktttt

gel^ntet 9u(^ ; Hi

pojtion 5urüdfCe^re»D (5/ 19- 3ufO DE:ÖF=: qbO
:.0 H, folglich (10, 9. 6.) BGuH. 2>cmnac6 poteaiirt
(IC BG, umiai Quaitat einer i^c in ihmt incooiAcnfiifa«
beten «nie H, ibec bie CG, mt> ti mt BGn A; folgti^
t^ BC bie Anette 2(po(ome.

©er 90. @a|. 2(uf§c6e.

' ^te füinfce Hpotome ju ffnben.

9« f(9 bie ottfle» A,_ _,.^

nommene fRatibnal« ^ ^..

l^iic A, ttnb eine am ß> 1 — r*

1^ Sinie CG n A. u'

dtimm iwe? Sohlen, "»—^ — "^^^ !

1)F^ FE,, beten ©um* nc^TTAi? -

«e DE )» feinet »on a'^ f ^ a -

Mben bie fB<tJE>&ttnif »on £luabtat}<i^(en ^bt, «ab nwd^
^E:£D=qCG:QGB; fo tfk BG — GC = fiC bie
fMte Spotome.

2)enn ba CGn A/ «(fo CG, fofgti« auü^ Q CG, MMb^
tioi: f» folgt an« obiget ^copottion ( le, 6. ®.> OQ^I)
qGB, fo(0UcbaGB, alfoaiu^GBtationaf; tiitf^Jiq!,
9w e.) GBUGG. S>cmn(M^ ^ BG, GC, t«tiofMt Mof
in ^tenj (otwnenfntabd ; fo^ik^ i^.. C.i 0| . ?4< 00- BQ «ny

tlun fc9 a BG ~*a GCs43 H, fo ifk m* •»%«

^p»o|»m!tion <5f 4> 3>>f' i9> dvf) iiMgc^l^rt «nb^üftiH»

tc^cenb ED s OF := O BG s Q U , folsKc^ m ^it
Semmu^ poten^irt bie BG, um boS OuabMt (&Mf3#e,i|i
t&nge ineoinmenfuta^ra. iiik Hf .ibtt bie GC, itnb d tooe

!••

' S)et 91. ^a|. 3(ttfga^f. ;

dSt Suflib^6 Qitmtntt

WMiaMVMMmafMiP

tu fep' bie Mih A^
umnmene »otionoU juf

fMeA« Shmmbtc? F»— 1-

gölten E,BG, CD/ |^

toe((be^ f9i9ie6C^

BD, flc^ rncbt toie E lo

ßuaDwtia^lcn t>tu r . n t r

^(ten, unDmacfte l^±^J.^

E:BC = aA:a '

FG, au*BC:CD

=a FG : D GH; fo tfi FO — GH = FH bie fe^jte

©enn äu« ber erfi^n ^roporticn fofgt (lO/ 6. ©0 D An
DFG/ fot8lic(>.D FG/ ö'f? au* FG tational; aber Ctö^
9*6.) AOfG. SIu« bcc jmepten ^roporttwi folgt (to>
6. ®0 D FG n D GH; fofgUcb/ weif D FG rittonöl, Q GH^
öjfo audl^ OH wtional ; abec ( i o, 9. 01) FO U CJH. ©em*
«acb finV FG, GH, rational bIo§ In ^tcnj commenfuwbrt;
Wgtt4^ Ifi ( 10, 74. 00 Ffi eine aporome»

Sllacb obigen beiben Proportionen fofgt att0 ^etll (01ci#
4)e»(5/a2.0OE:C^=DA:DGri,fol9KcbCio,9.6.)
; ttnb H »or aucb A u FG. Z)emmiib i|t no^
itMbtjH »et A in Saifge commenfurobil«

Öhinf^ D FG-^o GH = O I / fo <fk au« bec }töc«^
fm ^opbrtlon $ttrücf ^^reii& (5/ 19» Swf.) CB : BD =
FG: □ I, folaficb ( 10, 9. ©0 FGuL ©emnacb potft
^tkMtWG, ttm bM Ouobral einer ibr in {^nge {ncommeff^
firätateatuiie I, ibeciieQ0> unte<h)art>on FG^.GU;
feine' betA in t&nge commenfUira^I; folstttb iß FHibi»

^ntnerfttitj^/

«ttcb jelflen, la% ^ ^, "^ .; ^ v..;

i^orgetacbte «po^ • * - - '^'^■^

tomen auf einem iu)c() f&i!icrn^$EDege gef unbeti intobeii fbnhem

-/ @efe^t;

St^nta S3u(^«

iBS

maif C lo, 49*'^*) t)te erflt ißtncmtale AC/ (eten gt&§erfr
StamcÄBfep, unbmac^e BCzrBD: fo tfl AD.tfe^i
Spotome» _ . . ;

2)enn ^iec {tnb AB, BC, lai^, AB/ BD, «atimtiil Mo|
in ^Potet)} commenfucäbcl ; tie AB potett}ict um tot £lua^vot
eiitec^.i^ iti- Sangc commenfucäbefen Stnte aber tie BO, fpf^jü
l\6) dtt(^ ubeci bie BDj auc^ ift AR bcr dngmatnmencn SRo^
tionaUime in Sänge commenfucabef« SDemn<ic& tft AD Die
erfie SJpotome^ - - , -

auf &^n(t(&e S(rt ftnbet man ou(^ bie f&nf ubri^tn. Kpoto^
mem, tpenn man Jebc^ ^a( bte SBincmiote dpn bei^felfem (M$
iiung/ ' nimlid^ bie jtoe^te ^inontlole fäc @if nbung bcr (Wq^
ten Äpptome lu f, »♦ jum @runbi' ttgt.' ; , ' , -V 7

'©er 92. @a$», 2e]^cfö|. • .. ; i

^ett unter einet Statipnaifime/ CA; fiäb benerfteii
Tipcfoine, AD^ entl^altetten Stonm; AB, poten^irf im«
Tlpotome* .:.»:."'

\; ltnbite?}te Sfprtöme Ap' A
l^ge fi<6 D0/ fo fittb C io>
^4. ®0 AQ, GD, tötien^jt
Ifj|o§ In f>bjten) commenfuro^
Jlkl ; diu( ift, bie ganje AG
nCÄ, nnb bte AG potent
iirt vm bat Cluabrai einer
1^' fc t&n^ Vomimenfurdbe^ /^
llnSiAieftbetl»ieDG« m* X.
tinn CG in EfyAUct, itnt
^ -bcr AG M «ectongel j«
v^F>JJ:FO: ^erttvorfen, wU ^^
4«9tm QEPy Äer;ja-i

JiGr dliK^ iftf «Herein Xhui^;^-
^at liiti Qfdaniung l^at; ' (^ ,.;
finb lipi igieo bie,AF>

FG/ in Sättfle commfnjfuca^ Iv

TTHMi

leC

• •

i

•M

€uf(tb*< &mmt

a: p;,gTcr

M. SvM^Me fünfte E^F/
^G/ lU^e mit AC tie Linien
£H, FI/GK^ pataüel. Sita/
^ (2, 14. 0.) lie iQuabca»
teLM=;:AT, un» NOs^
FK, bog fxitx (6, a6. ®.)
ton. (tn«Ble9 2>tagona(e PR
fbit;^ «nt »ottenbe bte Si^ur.
9hin i|fc {u ftdofifen « ia%
in tcr Sigut LPMR bie LN
^SUiMtABpetenjire/ unb
«ine ap«it»ni« vft^.

rG=raEG,foi(l(6, 17.
«.) AF:EGiS±EG:FG/
<*<K6, i.Ä)AF:EG=.
ia:EK, mit) EG:FG=s
EK:Fk;forfla<^AI:EK=

EKu FK. <&^naci) tfi MK jtotft^en AI unti F^C^. ,M t
itoir<M^^ vnb NO/ ti( mittlere ^topoctionolfw^« toeb
^e< M^ ^10, 54. ^(^0 MN 1(t; dfo MI^r^ER. Sbitt
ift (I, 36. ©.) EK=DH, «fi^ (I, 43. ÖO Mt^:±tÖ.
golglic^ ifk DKs=@nomon VXZ.+ NO. .Ä<i<^/ **
AK=r LM + NO, if^ Aß=:ST=DtK .'JD^mttii^
poteftjitt tN t»cn SRaum AB. [""y -.

5a>eytefi8. S)a na(^ Obisfm AFn FG^ f»i(t.<»6> ii6><^)
AG, (lifo aa(^ (10, 12. 0.) bieiliH?.<iDmnicnfUoaiiift: AC« IfT
AP unt> FG in Umt coinioirnfuCotirf ; fri^ikbr M AC^cfM»
naiy au((> AF, FG/olfo aucb (Wf «o.«>) AI» SK» M«teiM(»
0}unn)acAlzt:LM, untFKssr.NO> #Bl^'9n^MiC

menfttcabel ; ab» DG iitiondll^ unb b(K AC hr tSttfli^ ti>-
mmmfiHubrit-ftf'fnb fi^ EÖ, tational, «ib IM AC (ii

CO

nA'

^nta fBxu^

dtl

finge iiKoinmcnfucobel, fofgG«^ (lo^ aa. €(.) D^£ft, mei
Wot- ' gel«lid), toeil DH=rEKÄMN=LO'/ ijk ««d
LO, medial. 9lun tvac NO tatimoL ^PigUcb t^ LOvJ
NO; «*ec (6, i, ®.) L0:NO=LP:PN, folgU^Cio,
lo. (9.) LP u PN tKtnnad» 0nb LP, PN,, cationat Uofi
in Voteti) commeofurobd ; folg(i4> ift ( lO/ 74> €0 M( ^m
AB poteniicenbe LN ein(,2(potOnte> .

^ei! unter einer 9tattona((inte, CA^ unb bet iweptin
7(pptome/ AD, entl^altenen Staüm/ AB^ potenitttbie
ttfti SWebiafopotome» "

ILEPÖ

an bte jwepte SIpotoipe
AD, föfleftc^DG, fofinb
AG, OD/ rational Wog
in ^Qten} commenfurabel;
ou<b ifi bie ongefugtc DO
nCA^ unb bie AG potent
)ht um ba< £tuabrat einer
i^r in t&nge commenfurabel
len {inte aber bie DG. SBtrb
nun^DG in E f^albitt, unb
V oUetf toie be^m porigen
ea%t conftruirt: fo mirb,
tote bdfelb^/ bargetban, ^at
JLN fti ber gigur LRMP
ben fRaum AB potentirt;
ba^ nur nc^ {u bemeifcn
ift, ba§ LN Me erfte 3Re^
bialapotome fep«

2)a (10, i8. ©•) AFnFO, alfo AGnAP imb FG;
jaber AG rational unb U AC: fo fmb AF, FQ, tational
unb U AC, fofgUcb (lo, 22. @0 fAI, FK, mebioL Skixk
iü AI = J:4M, unb FK rsNO, SpI^ finb hM, NO,

iQCbtal

98«

SufiibY efemenre'

mtbial tmV copmenfuroM;
foldtti^ LP, PN, mebid,
in f^otni) commenfucaM.

UftOEnEG, alfoDO
n DE imb EG ; a6ec DG
nAC: feflobDE, EG, ra«
ttonalttitbnAC, (dfo'aiK^
DH,EK, rational; feliU^,
»dt EK = MN = LO, (^
out& LO tattonaf. äilun
»at D P^/ *«« ifr NO,
mtDiaf. SoIgUd) i|^ LOu
NO; abec LO:NO =
liPiPN; fof3ß(^LP, PN,
tnebiat &lo§ in^otenj com«
menfutabel; obei*, weil LO
rational, «tt(& LPXPN
rationat.

A

B E F ö

2)^mna<^ ift LN, ml^t ben Statim AB potenjlrt/ ( io/

©en unter eiiur atationolfmie , CA, unb bet brifteit
tHpotome, AD, ent^aftencn DCaum, AB, potenjirt bie
jwepte SWebiafapotöme*

anADffi9c(tct)DG, fo fmb AG, GD , rötiohal bfof
in^otenj cemmcnfuwöel; atxib ift totin AG noc^ OD bet
angenommenen 3\ationalßnie, CA, in Sänge commenfurobef,
tmb Die AG potcnjict um iai Üuabrat einer i^r in | Spange
commenfurabcten £jnie &6er ble GD. ®lrb nun »icbV
DG in E b<Jlbirt/ unb aVitif »ie bi«^er, conftruitt: fo tDJrb
eben fa beioiefen, ba| LN in bergigurLRMP beitdtaum

AB

^t^nttß Sd»^.

*ß7

^ ~' I »I *~ - I I -^ 1 " I

AB potettiict; ta^n no(&
|tt (eweifen i^, bafi LN

©a (lo, i8. C) AFn
FG, «ffoAInFK: fo i%
»<i(AI = DLP, untFK

= D NP, au(^ D LP n
DNP. 2)a, »eil AFn
FG, -autfe AQoAF unD
'FG; ab«. AG tatknal unb
uAC:forml>AF,FG, ro*
tionatunb U AC; folgfic^»^
(lo, aa. ®0 AI, FK, me#
Ma(; folglich/ tvcil AI =
O LP unb FK = D NP,
IIÜ au(t> D LP, D NP, olfo
o«*LP,NP, metial.

©a DEnEG, fllfoDGnPE «nbEG; abetDOto»
tioM( unb u AC : fo fwb DE, EG, wtional unb u AC;
fefgß((>DH, EK, mcbiaf.

25a AG U GD , ohtt AG n AF, • unb GD n GE : fo ijk
(lo, 13. @.) AFuGE; obct AF:GE=AI:EK, folg«
Hc^ AI u EK; abn EK = MN\= LP X PN/ fo^flö«^
Ü LB u LP X PN , fo(8li4> au* LP u PN. ©emnac^
ftnb LP, PN, mebifll Wog in Pötenj comtTiinfutabet , unb,
»eil EK mebiaf, au4> LPX^N mebiaf. gotali*, ijt LN,
tpel(it>e ben 9{aum AB potenjirt, C lo, 76. ®.) bie }vpr^

S>cr 95. 0a$. Äe^tfa|.

S)fti unter einer Stattonaflinte, CA, «nb bet feierte»

3(potome, AD, entladenen SRaum/ AB, potfhjirtbie

Reinere 3rrationa(e,

•In

9N

(iitWi eUmeme

1>EFÖ

«ttADffidefl*DQ: fp
ftRb AG^ 6D, rational tlü%

in fJotcnj commenfurabd; ■ i ■- "

auc&ifkAGnAC, wittit
AG poten)ttt um bat £lua^
trat emec t^t: in Unit in#
commenftttabeffa 2inie hbtt
bie pG. iRac^ |)a(6inin^
Ut DG in E/ unb t>onge(
Conflruction^ »irb n>ie t>oci
^er bemiefen/ ba§ LN in ber
Sigur LRM^ ben Staum
AB potei^iire; ba^ec nocb {tt
^ ben>ei(bt, ba§ LN bie fleU
nece 3c(ationa(e fep«

2)a ^iec (lo, 19» ©•)
AFUFG, aber (6/ i. ©0
AF:FG = AI:FK; fo ijt
(10, 10. @0 AIUFK. Selaticb/ »e» AI=:LM=D
LP, unb FK = NO=zaNP, ijt ou* DLPunW
2)emnacb (Inb LP, NP, in ^orenj incommenfutabeU '

SDa AG rational unb n AC, fo ift (lo, 20. @.) AK ta#
tionatj abccAt=DLP + G NP, folglicb DLP+Q.
NP wtioQaL

2)a pGu AC, unb bribc rational finb, fo ifl (it>, 22. Ä)
X>K mcbialj aber DK = a (LPXPN), folgüc?^ LPXPN
mebiaf.

JDemnacb ift LN, »riebe ben SRaum AB potenjirt, (lO;
77. 6.) bie Utinctc 'Jttati^mlc.

©er ae* @a|. £el&rfaf*

©en unter einer Stationalltnie, CA, unb ber fünften .
3(pDtome, AD, ^nibaltenenSlaum^ AB, potenjirtbie
mit mitn 0tationa(en m mebia(eö &anit ©ebetrbe.

8ln

\

• I

«n AD fö«e p4 XM?, ^"^ A

r

499

B E F<1

— _te _ ^^^v

C

M^«^

fiii^\A^, GD, rational btoS
' ni . . ^tUni eornntenfutabeit ;
- >>ii*f^lGPnAC, unböfe

AG ^ötenjirt um totf £ltra^

txa^ ftfKT ll^r in S^nge in^
* com^tnfurabden ixm ixbtt

MeCBD» SSa(^ Dpriger Soib

fttttctl^ xo\x^, iDie DorJ^et/

tatget^tt^ ta§ LN in bec

giguiJ LRMP Den SRaum

AB |>0^etuii:t; ^a^et* noc^

iu .^cjMifen ifl ^ ba§ LN

^ie-|uti^ einem Siationakn

ein mSbioXti (&mit QkbciM

te fty.

SDdr^ift (lo^ 19* 60
AFuFG, aber (6, k®0
AF:irG=AI:Fß; fo i^ (lo, lo. CO AIUFK^ golan
'«*, ipe« AI=aL?, unb FK—QNP/ift aw^GLP
u D NP* £)emna(^ ^ LP/ NP^ th f^otenj incommeri^
fgroilC;

'■ f.*

T^ AG u OD, -«^ PD n AC: . f» i<l ( lo, 1 3, ©. )
U AG. gitm flRb 46?/ AG,/ cotional. $o(<((t(& ifk
,<* j^ftai ©0 AK A<J^i^ »L folgW^/ twi»- AK = Q LP + a
NP> a LP + D NP meWal.

« I

^/J ■' - M

I» ' ' •♦_

; .Z)ili,ODwHenor«n6nAG: fo ffl (to/ao.'$JO !Ät<u
tWitoff fot8«<^/ l»eHDK=sa(LPXPN)> aud^ LP
XPN wtionol.

I •

JD(mna(& ift LN, toe(($e bcn Statin» iüB pi^tmaict/ (1.0/

78. G-) t>te mit einem 3^att9n(U(9t «in
0an9e <E»cbenbe.'

,.%MVi «(«m. IS 9<(t(?>

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©er 97. ®a^ ie^tfafc -'^^

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®ctt unter einer Storionaninte/ CA, unb bet je^fi
Tfporome^ AD^ enthaltenen dtaum,, AB^ potenjitt Ine
mit einem Snebialen ein mebfofe« ©anje ®ebenbe«

«nADfagepcfeDG: fo
finb AO, GD/ rational b(o|
kl ^oten) commenfurabd ;
oit^ ifk loebet AG no((i GD
n AC / unb tie AG potent
iitt um ba< Quabtat einer
i^r.in t&nge inccmmenfura^
be(en {inie aber bie GD.
tSia^ Doriger Sonftruction (^
toirb/ loie i^orber, bargen
tban^ bag LN in ber gigur
LRMP ben 9taum AB po^
fenjict; bal^er nur nocb )tt
betoetfen ift, ba§ LN bie
mit einem äJtebiiUen ein me^
biaM ©anje ©kbenbe fcp»

Iba ^ier (lö, 19* ®.)
AFUFG, aber (6, i.©.)
AF: FG= AUFH; fo (fr Xioi 10. 6.) AluFK. IRim
ift LM=ÖLP=AI, ttnbONÄDNP=FK^ %i^
0« iß O LPudNP. X)einna(b Ihtb LP, NP, in %im
ircemmenfurabeL . .. ,, \ .,

^a ACy AC, rational 6(o§ in ^oten} tommcnfiM^aM
fwb, fo if^ (io,,aa. 6.) AK/ bat ifr Q LP + ÖW,
ntebiaL

2)a ACy DG^ ratö»na(^ «u(^ ACÜDG: fo ifttX,

t»a AOU DÖ, attt AG : DG =t AK : DK ; fo Ift AÄÜ
DK , ba« Ht Q LP + D NPu a ( LPX WJ), a(fb idb
WLPXPN.

'' J0e8i$

291

■f

i

©et; 98. @a^ 2el^tf*f*

HK

t>^te|i iQuotrate einer üpopomt, AB^ gfetc^e, ait
einli: ftatiinaüintf, CD^ ehrtoocfene ^ dteifaHgef , C£,
I^^Ijj* 55*tte, ÖF, bie erjle apototi«.

inibte Ipotome

fofJnbCi 0,74.^0
A6>'0B, rafiond

meHbr<)6^(r«nCD
cntiM^ man bie
intfi^iidef/^ CH=£:
aAlG>iiiiblK=

OG^Ei fö i{t CK

=nAQc+oGB,

unb, 4MH-CESS

OAB, (a, 7. ©.) FK^a (AOXOB). ai«n ^I6jtt

FL in M, unb jic^ buccb M bec CD bie MN paraael: f»

i(i (1/ 3«.©.) FN=MK=AO><GB. 9lun »|i ju

betoeifen: , .

„^tfi|td[>/ baß CF (ine il|>ötome fep.
t}a O AG -f o OB ni^ondt unb bem CK gfei^ : ' f» ^
a«<<^ CK^bo« if^ DCXCL^ ratibnof; fot^hti; torilDC
ratfMdr; Cio, 21. 6.) attd^ OL Mtionaf; linb^ CD.

^ ^Oio> aa; 6.) 3 (AQXOBXmeMof «tib ben FK
tUi^i lÜüiFK, ba< ifl'DCXKL^ <nebia(; fo|)K(b; weü
DC- ctitiMidf, ( 10^ 23. €.) FL.rationa( unb u DC.

Z)a 5ietna<& CK cationol^ -tinb EK iiiebi4t>, off» CKi>
FKj a5ecC6,i.®.)CK:FK=CL:LF} foi|t (10, 10. C)
CLULF.

s

29%

Sitnib> €Ummt

«k-^

v *t V . y

T ••■Ä'^Ii-'-Ii-

LF, rational Met in
9pt(ni(otnmnifuca« i
M;fol9li*ift(io,
74.; 6.) CF cliie {
ffpo^riir.
Sxi^ieyMti»/ bat i

CF b!( erf^e Xpcto« >
mc fe9. j

2)« (10/ 54» n

te^nf. 3.) AGX
6B i»if(bcn Q AG unb O Gß bie mMeie ^hipiMvtipMlt
fl&cbe: fo i{k fbl(^e< oucb MK iwifcbcn CH tmb I^> li«t.t|l^
CH: MK= MK : IK« fUm ift CH : JAK =rCI ;.A4L^
unb MK:IK=:Nfi:':II'. So(sft(& ift CI:M|:.ss Ml.sII.,

fo(gH(b (6,.i7.«.)ClXlL=aML=:faFW :8hm
i^ D AGna GB, bo« tfr, CHnIK; abet<»I:I«Ä
CI:IL, unbba^ec (10, 10. @.) Clnlli. $^<^:Cio,
18. @.) potenjirt bie CL, um bat iCluabtttt einn^4ii U»*
ff commenfucabelen iitAt, iitt bie FL^ unb d «nw <?Ln

£ N HK

^et 99. 6a$. £el&Tfaf ,

' ■ - ' ;

\i bftn iCltiabrate bft cflUn SRebi^ifapetome^ .AB,
(Tei^e^ ancinecDtationa/fittie, CD, ^ntmpcfette Stete?
anse(| CEfiJ^t {ur ^Breite, CF^ bi€ {totste 3(|io(ome.

8itMect(ke'1RvMa((Xpdt(mt?/^B^ fu^ft^BG^: ffinib
(10, 75.<g^) AG, 03, mebitf Mo§ in^oten) coi||ui|e|ifii$
tabtl ; a6er ^GX GE i|t cötionaU ^Son^ruift mm niw
iQe< )9ie 9i9i:^^ fc ift {u bemeifeii ;

«» ■* '1 %

Itcfl*

904^

»Wi

«ine Slpototne ff^.

> *

SJaOAG-t-EJ

iftDCXCL, m»
Kd; a6<t DP x»
tiona(: fo i{b}(i<v
33. 00 CL>catio«
ndunttuDC. 2)a
3(AGXOB),bo«
ifk FK, NiS ift DC

D ^ E .N:HK

XFt/ 'Mtio'wl: fo.ifk.CiQ/ ?i. 0.) Pt' MHötwI linb*
hDö.' Sbo .CK meMaU <*« PK tatibnöl, "älfo cküF^,

«tib.(^6, i.iSO CK:PK:^CDitF} fo jji (lö, i,(>.<B.)'
Ct^yj tr. : ©eoiiurt^ fTnb GL, LT, F«kitat Mtfg in ^■

teil). commcnfuMMi f»(0ib(> if( (1Ö/ 74. 0.1 CF eine

X)a^tMet»«CIXltsE:OML=rio?L^ ajk^
D AGhaGÄ>>«« i|k/VCHfvlK^ «Mö «u* ClrilL:
fo i»ot4»tict OPk xS> 0.>^:tÄMa M &XMl>tat ein» i^
in iixt%t cMnmenfacaMen Stnie ober bie 7L/ imb. cf/«»ac<

FLnDC« $o(aM4 ifk C^ tie }ii9ffte 2(p«pfmk

■■/,

AB; dfeic^c;. an (uner Stottonotttnie^CD I, ennootfene

t9ttlC«

«3

««

«94"

&iRit*y tlMJb^

A

Im 'I ■■ ■ 7

:

BG , fo Änl> ( »O/
76/©.> AO, GÜ0 C

ten) ' commbtfara«
6fl / aud) ijt AG
X ^^ mtünaU
Sia4 «orid^^ €on«
^idtioif ift jiun ju
^«Ddfeii: - -

tineawtpoif. f«».. ,,.,.; :".,;„1'

taDAG-f dOB, MiftCK/birfJIk'ÖCXCL,
Vebtali fojil (lo, »3. ^OiqiüfttH^nal uiö>y DG.. »«
3(A0XGB), hrt.ifk FK, m i^ DCXFLVwrtW:
fr ijl (ip, 23. ©0 FL Mttbfiat tthb ü DC. ; Jßd, Ag <%
GB, alfoAGÜGB, «6«' Aö^OBrr D ä'G:AOX
Gö; fD ift OAGuAGXGB. 8lun i(k (io;'i«.iS.)

DAGnDARtaßB'/ <»JI*-^^X^ßÄ*<A^X
GB). Soi^nc^ ifr ( 10, 14. i 3. 6. ) D a6"+ GS u
a (AGXQSJf, tn« ifl CKxiKKf^Mi^V'aMU GK:FK
sCLiPL; ftu(^ CLuFLv' >C>c»n«^ finbCL, FL, ({b

CFvclM 2(potorti«. •.. /■•■^•;;:■
5TPeylh^/' #<if CF«Et ilHtfH(petMM f<9. •

©a ^«c »ielxc Gl X IL .= J D FL, au* O AG n
D Gß , to« ijk CH n »K , otfo Cl n IL ; fo potenjltt ( lo,
i8- @.) Ht CL um bai Quatrat (inet il^t in {&nfle /tom»
tnenfucobden ^hj^ ^|I|CcN ^'^^ '-^^ff ^"^^ ^^ GC no(ft
LF t)(c CO * commenfttca^eO föfsiiJb ifk'Clf'^ie ^r^

^ai Um Crnttati htt Kettiertt ^nationaUf JiB,
iUiö^tf an einet; 9tattona((inie/ CD; tamotfent

- •?. fütctf

i

Se^lttd SSItt<^

•ff

^

MIX

0tettAft0e(/ CE^?>)t ittr Brette, CF> biesuae,)^«»
toöie.

«n Aß födc f{<(
BG, fo jinb (lo,
77^«.) AG, GB;
in potfm iincom«

iit DAG;^. ai
GBirdtiond, abec .
AG^GB kiebid. i

^ni^iHon ifk nnti tn

OCivfl|Cll;

j

i ,

I> E N Hit.

iCrfiltdl)/ M CF dne l^wtMiw f(9.

;(b« D AG+ Q GB, bo« ift CK, M ifk DCXCL/
fOÜonaf: fo Ht ( to, 3 1. ®i } CL tationaf nnt n £>G. 2>f
t(AGxOB), tofiftFK, MifkDCXFL, in«bMs
fö i{k (10, 23. 6.) FL rational unt u DC !D4 Q AGrt>
pGB rational/ a6«r 3,(AGXGB) outidi fo i|k Q AGH-
O GB u 3 ( AGXÖB), Da« ifk CK'-» PK; aöw Oft
:FKsCL:FL, fojflü«^ ( lo, lö. «,} CLv^FU tmt
na(& {int CL, FL, rational Uo§ in f^otn» (omnicnfur«6el||
fols(i<& tfk ( 10/ 74. e.) CF (ine 2(p«t«l|ljf-

$a>ey(eii8, ta| CF 6t( »irrte. 8(^iii!t ftp«
: «0 ^ier »i«DerCIXH'=iaFL, nnb P AGUQ
OB, : »a« i(k CH U IK j aber CH \ IK =s CI : IL, olfc»
Gl u IL: fo potensirt (10, 19. 6<}^< P)^ wn ba« Qnabrot
(iner^ i^c in {än^e incommenfurabcfen (inie Aber bie FL, unb

(« war CLnGD;^ {ol|<*<^.1{^ CF^ Vicm ^fpptome*

; . ^06 betn Oua'brate bec mit etitem Statiottaffit ein me«
btale5 ®ariie 0e(i(nbeii/ AB, gfek^e; <M «inet SHotionaf»

S 4 Knie,

«X

€uf(ib's &mtiltt

A

&-j?

Knie; DC; ektwotf ene SKectartdef/ CE, I^At gut SBttif&
CF, bie fünfte 2lpotome.

an AB fäge fi(&
BG: fo pnb (lo^

78. eo AG, GB, c ^ r M XS^

in Voten) tncom^
menfuraH: äuc^ift
O AG + D GB
ineWol/ a(>ec AG
X GB MtionaL
8lad^ Dotigec Son^!
fruction ift noc(^ {u
tetpeifcn :

(Srfilid^/ baf CF eine «potome fep* • :,;?

SDa OAG+DGB, b<tö ifk CK, bo« ifk DCX'Ct/
snebial: fo ift ( lO/ 23. 60 CL eationot unb U D& -Jfift
a (AGXGB), ba« ift FK, bot ifk DCXFL/ raHdnall
fo iit ( lO/ 2 1« GO FL tatfonol unb n D& Z)a GK mc^
tia(/ aber FK rational: fo ift CKuFK, fofgltc^ a«« CL
u FU 2)emnacb ftnb GL, FL, rational b(o§ in :9oten|
commenfurabel; folglich ift (lo, 744 (8«> CF eine Kpotome; .

5^^^^^^/. ^^ ^^ ^^ ^'^ft* Hpotome itp^
©a ^icr ttieber CI X IL = | □ FL, tinb D AGu
OGB, iai ift CHuIE, fofgfic^ auc^ CIuIL: fo peieiw
)itt' (1 o, 1 9. ®0 bie GL um ba« £!ttabMt einer il^r in ttogi
incommenfurabeten finie Aber bie FL, unb e< mar FLnCD;
folglic!^ ift CF bie fünfte ZpOtOtttt. : j

©er ios. @a|. «el^tfaf.

I^ai bem Ciuo^rote ttt mit tintm fSttbiaUn ti» ma
b\aU& &anit ^*Atn^n, AB, iUii)i,' an einer StattenaU
Knie, DC, (nmoif<ene iKectanflel, 06, l^ot jttv ^mte/i
CF, bie fw^^te J^otoroe. >

«1

t

Se'^ntd iSSU^*

*W

A

S-

— ?

K I JU

■

£ N H K

v' tn AB fäge ^(^
79.0OAG^GB, ^

menfuraM ; a\xif
i{k f*n>e^(OAG+
O OB, Ol» AG
X^B nKtuü; unb
OAÖH-aGBU'
AG-XGB. Sta^
Meidet Sottftarttctien I>

'fbci^a^, tag <iF eine Stpotome («9.

' ! JDa D AG + D OB» tw»* ift CK, ta< ift DC X Clii
weUot : fo i{k ( lO/ aj. ®. ) CL rational mi u DQ. 2)(t
».(AGXGB), \xa ifk FK, ba< Hi DCXFL/ wcMol*
^ ifk (lo, 23. ®0 FL rational unt U OC. 2)a Q AG-h
D GB U a (AGXGB)/ ^ ^ CKuFK: fo.iji CL L»
|l>h 2>emna(t finb.CL/ FL, rattotiat Mo§ in i^otenj com*
«unfurabet; fo(^t(|^ i(i (to^ 74. 0^ CF (ine 2(pctome> ;

5nx^ai8/ M CF bie fNNte Vpotomc f(9»

jr» ^«»Irter CIXIL=JöFL/ unl^OAGtJ
DGB, batiftCHuIK, f0(0tt(& QuIL: fo : potcnjire
(lO/ 19. ®:) bi« ÖL ttm bot bnabrat einer i^ in tSnj^
incommenfurabefen tfnie Aber bie FL> tmb et toar iDeber dt
iw<S^ FL ber CD in S&nge intonoienfutabet; folfllic^ ifk CP

®et 104. ®a|. «el&tfof.

Sebe einer Kpotome/ AB, in ^iitge commenfuraSefe
Stnie/ CD, i{i oud^ eine 3Ii>ot8tn(/ unb bet iDrbnunf

\

«9t Ciifiii^ f (erneute

fftge ft* BE; fo finb <^ , -?> ^

(icri74,O0AE, EB, ^ ' t^ T^"^

tationol Uo§ inipoten] i ,. 'ii ■■■ '^ ■••:

cominenfucabeL ÖRoct^e

AB;Ca)=BE:DF, baS offo au« (5/ la. 6.) AE:CF
=AB:CD, fofelöt; »eilABnCD^ WC^BEnöFniÄ
ABn;CF. . j

4>Ä ;C5/ 1 9- ®0 AE : CF = BE j DF, tinb t^crtMCbfHt
AE:BE=:;=CF:D^; fpift, »dl aEuBE, miACFuDF^
* o(^ ftnti CF| DF^ national 6(o§ tA'fJoteii) commenfttfotef^
fclglic() ift ( lO; 74. ®.) CO dne apotonie, \

^xoc'jttM. 3f^ ^ ^ intmUt We ^^ ober itoepte, ijto:
bntte Slpotome / Mift«. poienitrtin.(erf!|ro|^oi:tiDn AE{EB
==CF:Fi), We AE um tat Ourt^ot einte ijic inttnfli coaif
snenfurabeten {inie fi6er Ue EB/ ttnb tjt e^tnieM AE/ oVe^
£B> obee feine Don beiben Ut angeficqiinenen IRdtionaninie
lii t&nge ,commenfurai!e( : fopoten}ti;t Oo,, 15« ®-) <^ttct bie
b? um ba< Oüabtot ejne^ t^r in. ^inge co^menfurabelen iinit
4bec bie Fd, unb e«;ifk' in ebeu bet gol^e rnttieb« CF, öbee
FD, ober f rine Don beibdi foftbet Staübndfinie in S&nge comi^
menfucabet; foljiftt^ CD {ugleb^ mit AB entmeber bie erfke
^It^fVit, oberbrti^ SpotPiiie. -diu; n^icb auf i&^nltd^
9et,j^»ief^/ M Cpj^0((icb mit AJB enM>eber bie i^iertf/
0|b|Bc f&f^e^ ober fec^^ Sp^ome fep, ^gofglkb fmb bi^ %po$
tfgfm AJEf, CD, bcr Öcbnung tuicb immer biefetben*

3ebe einer ^J^ebiofoporome/ AB, commenfuraSefe
£tnie; CD, ifl auc^ eine SRebialapotome; unb ber Ctt>s
nung naci^ biifel&e/ .

4(grfi^. anAB ^ 3 ^

^cjtt^BEj fo ftnb • — . ■ ^

(io,.75* 76. C.) AE, £5 2> l^^

EB; mebioJ blol in Vo^ ' ' " . ' ' ' " '

V tett}

l

tttti ciMnnh)fuf»M. Sßac^ man nm fÜ/^ts-JiSirCD'ss:

aiuk CK Fpf^nebtai 6{o§ in |>>t!nii conuttafontbrl; foIdU^
ijt CB-cioe 9MiolAp«tomf. - - =' ■ -r ■;' .

Swrnene. Sut Ut (meptm $c(iport{m.fii($t (^, t. ^
Ä? i/ li. ÖO b AEi AE:k'EBÄBGP: GFXFD/

to* «mwecl^^le QAE.-a gf=: ke^tn : cf><

FD.' --S^iltABnCb, itn» AB:€D=iäAe{!CF« folg^
Mb AE^HC^, a(f» «wb-Q AEnd CP« ^rslk^ i|k au#
AEXEßnCFXFiX- 3fl rtttft AB bie^fke «Der swepte
atfb^l^tfMtpne: fft iik (lo^ 7^. 76. 6.) A^XEB entnxk
ip *?mi<4 ^^.. nt^>4l> . ^o(diü& ifk au(^ CF><FD ti|
am W ^fg^ entttfebw t^oiuit «bet nebiolf ^^ dJ^
ittflldc^ mit AB cnttpcber' ^t ttfot obcCbie tmcvtr 9t^U
iiwtome^ ■ '"■''■'■

. :. -j^t 1.05. ^(i^^ ^e.]^«M- . t'.

Seb<berf(etn(tti;3tradOii««# AB, «önmtetiAiraMif
Ili4<^/ CD, ifl ati^ bic f|einece Sitottotiafe.'

^i fo ünb AE, m ::- ^: , , ,, ?. ^..^ •.:

folglitb au* <)F, F|), ^ ' *■ « -

in S^uni incommeii^ 1 V; ..n. . i ^ . . ■ ,

mW. __ j_ ._. ;;., . • ■ ■;;

^ÄE:EBc=CFfJDj f(» ig (6» »^^ ft^> D AE;a
EB = QCFiQ FJD , fpf#b ift <?, ig. e.>J#W»?>«H
OAE+OEB:0EB=DCF+DFD:aFD, folgtit^
VettMCt^fcIt D AE+ Q Eß: □ GF+ Q FD= D EÖ
: D FD.

8hm ifk AB:CD:=£B:FQ, «If0/ tstit ABnCP« «u(b
JIBnFb, d^ «ttcb DEBnOFD. SpIgdCb. ifl D AE -^
OEBnaCJF+DFt>vfid«(iÄ>, »HC (ip, :5jf»<5.>qAR
+ Ü EB cationiif / au(!& DX:F.fQFD MtionoL

2>4

300

^mn^i 0tmmt

2)ft:aÄE.tÄEx ■

EB = aCFjCFX
O AE:DGP=AE

A

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«•

•— r

1>

^

f..-.

0hin t(k AE;CF=pAB:CD, «b« ABoCD, «Ifo.AEo
CF, otfo ^«*.l3AEnaCFv.. Sofeli* ijt A^XßBrrEF

XFD# folBK*,.»eü.(io,.77,.;eo AEX^B.^«»«^

0n änütittif ^excti» tiee Ba^es/ baf fcbe W
f («tnetit ^it<ittotta(e , Aj^' commenfuto^efc Sinfe/ B^

(S« fe9 CD eine SRaHonftUinlf, ' ' ;. ;

unb an tecfefben □ A = CE =: A ' " ' ■ •""""« '

DG X CP «nttpotfen* ba^ alf» JB« — --3jj

(to, loi. (S:) GP bi« W«tr!f|»»^ C i ' ' ■ iF

•ome ijt. «n^jw F^=.DCX: .<
FH=DB,. ;. :•;, • • ••; ::;:.'.ri V :

S)a AnB, dlf» au(!b D AnD
B, ba« i^GEnJ^ß; abetCEjfG
=CF:FH;folft,ätt<b€FrtFH; '
oMc CF bie t>lmc Sipotome/ fo(|j^i
li(b ottcb (Vöi 104. ®.) Ph bie '
»iette Sfpotome. Otun »ar CD —
f atlonaf, üttb' ßCX J?H == Q B:- '*^

ifkHCio,-95, 6.) B bie fttinece 3«(ati6nal(;

•N

Jöet ,107. ®a|. ie^faf.

S<be bitr mit einem 9l<jHon4lme{n miebiaied ©Äitj«;
0ebenben> ab; temmenfimibple Jiinie, CB/ ift äuc^.b(«
mit tinem DUtionaUn ein mebiatrS 0anie @ebenbe.

«<

St^nt^ ßM*

JQI

cofflmenfucal«.; -aucb ifk r ,,■...■,.

D-AE + DEBmetiaf, .,.

«Ur A^XßB rational. . 8)un. idwb aufHÜ^Vtctr ^rt 6(»
i>fefei/;.»tt§.CF:FD=5: AErB^* wJ> . EHAftif-Ö EBn
iQGP *lr;D FD , te^gWc^ir AE .X Eß O ÖFJX FÖ,
1bo§ a((b äu(b GF, FO^ in ^eiq;iiKpmin(J)jiuFa6e(,.if|*b, feiy
tiec D-CF^OFD metiol^ aber CFXJ^I>.«Pti,opaI i^
SDemnMli ijfc.CiO/ 78. <S.> GO ^i^jnit (iaeni' IRatipna^irtt <i(t
mebiaM ©anjc (Stieabt. ■ ., . ;• .^ ... i. . ,.

. ■ ^ I

C&'n anbettt 2$«pet8* Ol fepA, »«l . AB ; unb B^
JIM« CO bar.

«« f«9 CD eine StötiortaBIjüe^
ttn» D A = CE 2= DC X CF/
bai ölfo ( 10, 102. 6. ) CP We
fünfte «potomf ift. Sluc^ fep a'B
äFG:s=DCXFH.

3p« b AqiD B/ ta< ifk GEn
FO^ fo-ijl auÄCFoFH, fol«Ii* -:
(10/ i(»4.(So FH t)te f&hfteSpo« :
tomc. ^un n«c CD rational/ unb
CDXFHsiDB. 8ol8fi*ljk'
(10/ 96^ iS.) B (i^ mit einem 9ta« •
tionaUn ein mediale« @an)« ®tf ■ I>
*<nt<. :, '■ . / ,' ■•"' .••..

.*. .- •

. ©er loB. ©a^. 2el^tfa|.

3ebe ht» mit einem ÜXd^afen ein ntebiole^ jSMtt)e
0ebenbeti^ AB>; commen^mMe 2tme/ CD/ iflau(^
bie mit ruM« aKebta(eti eitiiinebMiefl &aniir ^JkMie«

fO»

®iHib^< 'Skmfttte

V

A

B

K

ja

^: fepiit(xo,79.6.)

A£, EB, in ^otcna iiu

CMinnifttraM ; wsdf fin^

D AE + D EP unb r

ABXBBT^'IMbe miMat ttnb focommmfiMM. ttm

ibffb auf a^kdc Srt itBoüfm, MCP, FD, mc^.QOF

tommMiftefoM fijib; ftlgttcb bie trfkeit fn 9ölai} incömnink
fntroM/ vnb bie bdben le^en ««(b mcbiof uiib intommm?
"ftttäbet fMk SDnmi<M(»4(k. < i cv 79. ®0 CD bie mit einem
aRebtdIen ein mebiaM Oanje Gebenbe. .

\»: j; /.©er io»..®a^ £tl^Tfa|t

iEBirb bon einem 9tattonQ(en; BC^ tin ^thiaUt, BD^

n>e99enommen: fo tüirb bie ben fKt^, EC, ^tenjiretibe

etnebetMbm Sttotionotttmen; cnooeber bie }(potome,

ober btt f feinere Srratiohäle.
«I f<9 FQ eine

StoHonaUime^^nbiin

betfelbenGHirGF

XFH=B<:,befc
gleich FK±:GF
>^FI=:BDi, enfc
tDotfen,. baS ^Ii(b
EC = kHit.
. SDft Bp, o^PüiKb

ÖH, rational; ober

BD, alfo ttucb FK, " iTC G R

mebiai: fo ifl ( lo, 21. ®«) FH rational nnb n GF; aber
(10, 23. ©0 FI rational iiA ^.FO^^^lJJj(^ (10, 1 3. ©.)
FHUFI. *2)emn(i(b futb FH/tl, tdtioiiäf b(o6 in potent
Mtom(iifiAf<flid; fol^Ikb^tfi^'CTo^y«.®.) IH etneSpotoi^
an bie f ^ IF fägt. Sflim potenjirt bit FM^ iirr bie IF;
entiMMt mh ^»£liiäbeit 4bfer;i^ in {iäsriommenfurobeien
ober nm ba# einer incommenftorobefen iixat.

y I H

1

3()^nttf '9u^'

^3

KH , iai ift £C , ^otcniicenb« dne ^(pototne.

3(i ba< 5tvevre; fo Ifc wdtFHnFO ift, IH bie oiette
Vpotome; f^fgifc^/ toetl FG votiönäl/ (lö, 95. 6.) tie (en
9tavm &H/ ta» ifl EG, ^tM^irnU bit ficiiiM.^Sc»
ffttinurfc»

■ • • * * '

,t, t

t •■

Fl ■; l!> «

-Mt

.JDet 110. @a|. Sel^rfdfi.

^Btrbbon einem S7?ebia(en^9C^ ein 9tati«nA^r:QP^
iDeggenommen: fo entfielen jmep anbete 3^i^9tiDna^
Hilfen; entn>(Serbieerfte!i){ebia(ap0tome/ ober^bii^^tatit
einiem Slatiottalen tin ntebtaU« &anit ©ebent^e»

(S<f?9FGbieanf
getipminene dlatlo#
naUinie, unb oOei mie
ttt^vc confhiiitt : fo

®0 FH vationW unb

UFG/abecCHD.ai»

S.) FI tattonal utib

oFG, fem^; bag

(10, I3-S0FHU

FL 2)emna(b jtnb

PH,Fl,wiionalMo| . . ,

in fiotmi commenfur^Set/ fofgui^^tji '( lo^ 74. 6^0 fit efne

tpoeome , on bie f[(b IF fftgt; {Ron |)oten)irt Me FH, Aber

bte FI, ennofber um b<i4 Ütt^i^r einer ifyc in ihngf (mtmuf

^tabefeh iobee um bat einet inc^mmenfurobelen (inie. '

3ft ba« fBtflt: fo Ijk, »dl FInFG ijk, HI.bie|»eptf
.9|)otome; foigikb^/ »eil FG rational, (lo, 93. ®.> bie ben
Otaum KH, bol i^ £C^ ^timsirenbe bte erfke SSebioi^
apotome.

3fr b«« gweyte: fo «t, meU FlnFO ifk, HI Me finfte
Vpotome; folgiidb/ toett {"IGk totionol, (io,96. tfO bte

ben

ti K

8«*

^(1^4 %imt»tt

#.

• t.m, • • >

tommenfurobelfdSItebiafed; BD, ti^eggenommetit |0
ftitfltl^en bie 6etben äbttgen 3trattoiia((tmen; entmeber
tie er^e SPtt^btofapotome / «Dber bie mif einem 3){ebia(etf

jEpfi^ire tote doi^.
\tc. »a BC> BD,

iMbio^ .mob incom^
mäifttvo^el f^tb: .fo

lo* e.) FijLuFL
2)M(b fifib FH,
Ffi, liationd Uog in .
^qkeni comiienfut^^ i

7^. öi) HI dne «iJo^
tome, onW« ji(&^ IF Ökgfc-* StttiR ixrtenjlrt FH, fiber bie
FI/ enhoebet um hat Üuabrat einet itft lA t&nge^mmctt^
furotebn ober um bat etpet uKpmmenfuraMen Stnie«

: 3fk>>i« Äefie-: fo Hi/:<»«ö;»«ber FH nocb FInFG jj|^
HI. Itie bctttr. Vpotomif fD(|6<^, meUFG rational; (iq/
94« 9i.XMi bcn Üiaun.IM}# ^^< i(^ €<% f^oteniirenbe , bie
jme^te .«ebialapotomet . n . r' . .^ ; ^

' 3fr ba«. 5ti>ey^: fr ffr^ioWI webet FH nodt FInFG
ijt, Hl'ti!e'lV(b«fe «iJeWtot; fofgficb,- toett FG ixiHondf,
fio/ .97* gjp bje benlRaufn KH, t>ai ijt EC, ^otenjirenbe,
bie U)ir einem S)?ebta(en tiir mt!S\aM ®mt €kbenbe*

• . ■ . ■ -v

»er

.*■.*■■.' .1- * *

tMt TIpotome/ AB, ifl* »oit bei: S5itiotma(e itfiteri?
fä^ebett.

O G

S

gleich cme 3(pofo^
gif «t^ eine 9i^
-miinafe t«ott: fp
feo bte jKationaU
Um PC, unl) an
bqtfelbeh CEsr
CD><DE =
DAB,tntn>ocfen. '-

Sba Ab eine «pütome, fo ijV ( to, 98. ®.) UE We eefte
Spojtome. @^ fiV fu() an biefelbe EFt (d finb DF, FEIf
rattenai btofi m ^oten) CDmmenfuta6e(; bre DF potenjiit uni;^^
boe Quabrat einec t^c in !&nge commenfucabelen Stnie hbzt
bieEF; unD efi ift DPnCD,

3^ nun AB aucb eine S?inomiaIe: fo ifk (lo, 61.®.) DE
bie erfte »inomiale. @« frp biefef&e 6ep G in i()re SHämdi
ietlegt/ bag DG Der größere fep: fo (Jnb DG, GE, rational
b(o6 in ^oteni commenfutabf ( ; bie DG potenjirt um ba#
iäuabtat einer i^c in ^inge commenfiirabelen Linien aber bie
GE; unb ü iji DGnDC.

*^^ SDa biwa* DG n DG, unb ÖFnDC: fo ijt (iP^
i«*e.>^FnDG, fotgücb aucbDFnFO; folglicb, »eil
PP|attona(, aucb FG rational» gemer folgt aui DFn
FG/ b< »eil DFuFE, au* ( 10, 13. ®.) FGUFE;
folglicb, »dt FE rational, FG, FE, rational Mo^ in ^^
tenj commenfurabel flnb^ Solgöc^ i|l (10, 74» ©0^0
eine Sipotome; aber nacb Obigem EG rational: mei(be# (tc^
offenbar toibecfpricbt. ^emnacb fann bie Spotome.nic^t i\x%
g(etd) eine Sßinomiale fe^n p unb ift a(fo ton berfelben 4»er»
fc|>ieben.

««Nib'i dem. is «&^. ^ 3^^

V

3o< 9»fitb*i Skmhtt^

Knien / firtbfowD^I tott ber !9lebta((ime; a(5 auic^ pm
einonbet felbfl untetf^iebem /

Xtitn iai bcm^£luabcate tet StebiaUinit ^ Sjtet(^ an
einer S|tationantme enttoovfene Dvectangel ^at {ut S|rette
(lO/ 23« @0 eine biefec incommenfucabele SRationoHinie; tat
bem Duabtale bec apotome aUt gleiche (lo, 98« ®0^ie
ccfke apotome ; bai l>m Duabcate ^ ber evften a)?ebidfapotanit
gtei^^e (10^ 99. 6.) tie {mepte Spoton»; bat bem JQuabrote
tec jmcgten SRebiaiopotome gleiche (lO/ loo. @«) bie brtttf
apotome ; iai Um SlixaivaU bec f (einem ^ccationale g(ei(^
<€0/ lof^ ®*) :bie Diente Vpotome; b^J bem £luabtau ber
mit einem IKattmialen ein mebidkj @a^t ©eben^en gleich
(10, 102. ^) bie fitnfte Spotome; tai bem Üuabriite ber
mit einem ÜRebialeri ein mebidei^ iSanje ® ebenben gUi^e (lo,^
.103, ©0 l)ie fechte äpotome. ©g unterfcteiben ficb affo te
Tagte ScrationalJirtien t)on ber eilien, baS biefe* jnc 95reite
•eine 9tdttoii<iirtme,NJ^n einanbec felf^ft über« ba§ (ie }u SBreis
ten Sipotomen i>^n:ii>eff<^iet)enen Otbnungen gel>em Stun i{k
<ia/ 1 1 2..je50^Miefeny bafi t^ie Slpotome i>on bec S3inonita(t
tinterfcbieö^ ifr, tefialeicben (lOi^ 7J*3ufO bo§ bie 95inomt«l^
iHib bfeV.ÄUf:^e'fo(jenben Sf^ötiimaötnicn Dcvn bec aWetiaie,
itnb t)on einanbec itlbft unterfc^eben finb. £)emna(b fmb ber
"^i^tAtion^TIinien bce^je^ an bec ^af)t^ imb folgen jb^itf
einanbec: '

. !♦ 2)ie SKebi^e» 2a> &

2. 25te^nomia(e* 37»@».

3. 2)ie ecfie Söimebiale» 38.6»

4* 2)ie jtoeote SBimebiafe» 39. 6»

5* 2)ie 8t6gcce 3ccationa(e; 4ö,0-

«• SDie

• I.

I

6. S)ie ein fRutionafel mb !D^e^ta(Mf. fjoteoiisen^.

<V*"SK« itoet) SRebiofe |Jotei!$trimbe. 43« ©♦
* 8* 2)ie apotome, 74. ©♦ / ■ '

9. SDi« erjte ÜWebiarapotome* 75» Ä ' ' "''

10. JDte jtoepte SRebiatapotome. 76* ۥ

. viiu ©ie fWnere Sw^öttonöle^ 77.6* ,*

•f 19». S^te mit einem IKdtiona(en etii mebialef ®mi)e 0i^^

benbe» 78.®., . v ' > '

.13. ^ie mit einem a)tebia(en ein mzbiat^ @an}e ®e(eiibe«.

.1 . » •■ .

r;' ■-; 79» ©.

®er 11s. €5a$. «el^rfof. - f

' S)<id bem iCludbra(« emec DtdttonofHme, A, gfWc^e
tm dner fdiamiaU, BC^ enttvotfene Otecton^ef ^^t ^r'
freite/ EF^ eine idwtome, bereit Olamen beit dlantett
bi(ii ^nomtafe commenfura6e(/ unb in terfe(6en $Dec?
. l^frml finb ; unb bie mit bec ^tnomtak aucfi bott tinm
J<5 ötbnung tfl.

bieSSinomideßCbe? . ,, -"*"

P in ibce Slamen Ct - > , m . . iB

jertcfll/ baS CD bec , „ F E , y
8?6«m gtarae ifc ^ '

au(bf«9DA=BD «• •,

XG; felgü*/.n>eit

D A = BC X E^ i|t/ BDXG=BCXEP, foim
(6, 16.C.) CB:BD=G:EF. 3imi<9, »citCB>
BDV fllfo au<b G > EF t(i, G = EH, Sofsticb ift Gß
;BD=EH:EF, folgU* (5/ 1?-®-) gettWWtt CD:BD
= FH : EF. tum fep FH : FE = FI ; EI, t>4 ölfo

U a (5/

I

30t . ' ^(ib^ IRtmmtt

t

=1F:1E. im* ^' r^

i(|HI:FI=qP:DB; C^ ^ A

«ODCDnDDB, . "^-" — ' ^^

HI na FL 9ttxn

foat Hl:FI=IF:iB/ dfo (6, 20. BufO ö HI : OFI
s» : IB. Sctgtk^ ifk ( i o, lorc ) HI n IE/ foffijib»
(10, 1«. ©0 «tt<^ HEnEL

' Iba a AisrBßfxG; ölfo, tt>df O = HE ijk, £3 A
srHEXBD: fo ifr/ »eil D A wtionat, aitcf^ HEX BD
cättonaL Slun ift ( lo^ 37, ®0 BD tationaL SofgUct) ^
( IQ, ai« 60 aucl^ HE rational unb n BD; fp(0(i(&/ toftf
HEnEI, otKft $1 t«t|pna( im» n ^D«

Sa Qa(^;4:)()i§(iii GP:BPäFI:IE; fa ifr, »dl Elto^
ttDUat unb n BP, au<^ FI rational mb.o CD; fetner, tocÜc
UPi 3^ fJ-) Cpn^BP, au<t FI^IE. ?5eaina* ftoft
EI, IE/ r^cifii^I 6to| in potent cmmenfurabei ; folglich i|
(la, 74. ©•}. By eirif^apotome, becen «amen FI, IE, ber
einomiale BC SRamen, CD, BD^ commenfura6e( unb mit
ify^iti in berfelben Qer^&Itni§ f nb«

Jwe^ette. " 3fk BC bie erfte, ober i»e9t^, ober brttte
teinomlale, b'af ijk, potei>$irt in ber Proportion CD : BD
== FI : IB^ bie CD iutt ba« fiiuabrat einer i^t in «angc
commenfurabelen Sinie &i)tc bie BD, unb ifl entmeber CD
ober BD^ ober feine Don beiben ber angenommenen 9tatioi$
nalünie in Xinße cowmenfuraW-* fo 4>o«njirt auc& bie Fl
um ^tf £luabvat einer i^r in iünif commenfurabeten dinte
ftber bie IE, uftb e« ift in eben ber golge ent»eber Fl; ober
I£^ ob^c feiae t)on beiben foI«t)er JKationaüinie in ihn^t
commenfurabel; folglich ijl bij^potoi^e EF jirafeic^ mit
ber ibinomiole BC, i^önberer^n/ ober imepten, oberbttt^

tc«

teil Ocbnung. SRnn »irb aof &^(i<^ .fct fibfief «iii ^«t£F
mit'BC iugleit^ »on {t(t»im<n, oixc f infteii/ »berfM^Nm
Ottpmg fep. So(^ fM bi( l&iiieny«le^J9C junb fMoM
EE b^ Öctnnii0 nacft tmiA^c b|(fe(b(iu

S^er 114. &a$. £e^cf«t»

'' ■.,.■. ... . .

'iiim'ltp<otom , ~BD^ eitttolovfene ^ectattin fät^
^tW, IH, etni> SSiA0ntale; beeilt dldtheti b'«it u?itk
Uten bft ?(potom« conuneiifutaSer/ ottl) ttt'becfe((M' 0e)S(
|)&Jtiti$ ftnb/ unb bie mit bec .7(potome m^ ti^oti (wer:
tai'iO«bnung tfl.

CeflK*. 9fnbie«poto*' .
OK BD füge f[* DC, ba§ a(* '^'^

.-.i-

f» (10, 74. ©0 BC, CD^ B«— ^^^^- »^

Mtionol Mo§ itt ^pI«ii| tem - ^ jg; „iP. H

mmfutdbd finb; oucb f(9 ' -.

«C>< O Ä Q Ay -fM««*- .©«-^^

= 1H;G. SRun fep, »dc« BC>BD, «Ifo «u* lft>Ö
{|t, IE=G, atfeotKblEnBa Ifigik^if^CfirBOcr:

IH i IE , fo(0H(b 2«tr^icll!e^|fen^ IC ; CD 9 IH : HE.
«»B f<9 IH : HE = HF : FE. ^(g(i(^ t| («> i^. «4
IF:FHsilH:HE=SBC;CDi fb(|«^* »«|lfQn*CI^
«tt*XFrUFH, ,

ift ( <%1«o. M ) mfK=H3 IF : a*'H i fol^i «*i(*
Ilf HIB^ <ibtr<SBME«tipilol m O BC/ fo)^ ffifift "Vt cÄi

tt 3 . »«

/ /

/

^10 sumb'i etmmt

1 «

»«fec«etB<i:C» = IF ' - '* '"-

BC5 IF=CD:FH; fo ifc ^ . f>^- > - -g i

»eil BCnlF, au*CDn . E * F H'

FH; unb, »dl ßC, CD, !•— ■« • •

tdticnat Mo§ in ^otcnj com^ G' — ^9

menfurabel fhnb/' dudb IF/ - >
FH, totional bto§ in ^oten) ci^ViirienfutaM* ^ Z)eimt^^iii
(ip/ 37* ®) IH äne »inowfate, beten aidmen IF, FH;tv
Sipptome BDSntamen, BC/CD, commenfucabel/ unb jiii^
l§neti in berfelfcen ©ec^iltnig jinbt • > . ;,.;/

Stlb^retldt ' Äuf'ebenWe «rt/ tbie tepm migen e5ä|e,
»itb beriefen , ba§ bie SBinomiale IH mit bec %potomt ßÜ
immet bon berfelben Ocbnun^ fey* .: . . :

©er liö.- ©0$. «el^tfa|*

3ebe6 unter einer 7(potome/ AB, urtb einer IBtniM
miale, CD, beren Olamen.ben Olamen ber llpctth
m commettfuraj^el unb propotrionirt ftnb,. tntl^a(ti(it
lie' 9tectattdei//»irb^boa «itiec iXtatiomnime/ G^ poi
ttniitt*

V ■ y I •

" *nABfß9*f|($BF,

ithl»; rt' f<9 CD fre^ B ^ ^h-^

in U)tt SRdmen ^ jet?f egf, C , ' * ^ ' ' ' ■ »
»iil^CEbeifirtiereBJ«^ "'■ - '^ ^■''•'^
me: fo ftnb nacb ber ' ■ :\

SiotfOf^etimi CE/ED, .^ '- «': - - ^

»en !8lwei^ AF, FB, , I* - » ^ r^ — v-er-*|;^. > ,-,
ommenftttobel, unbCE *- a. - " ' CJ

jED=p AF:FB, :anc^ A^XC^5;?0^^ alfb^*«,«*
fen, ba0 G eine 3tä«pttalteiie fep* ; , ,^ : r-,/;ir

Qt^iitH ^4

JM

9i U9 eine fKationaKinie H, üf(b an ttt CD bH htm
Dtt-gfctctsc «Rmanöet CDX^IK enttwtfen: fo ijl, (lo?
X13. G.) IK «ine StMtomey tecen SiamtalL, LK., te«
83inomiale Sßamcn CE^ £D^ contmenfotaM finb/ au6 CB
: ED = IL : LK; folglich« weil, m^ bn IQ^auife^ung
CE ; EP = AF : FR, auc^ AF : Fß sr IL j LK, fois«
Wji i^«tw<*|eh: AFjIL 332*8 :LK, fotglu^ (5, 19. &)
AB:1K=AF:IL; folgü*, »«( AFnlL,. <ta^ABc\
I|t. ,0^U9 Äft (6,,»..(S5J AB:IK=:5CDXAB;CDX

jCl%, fS'iy«^/: »«ii P,KLwtfenaJ:A. au^ d O/, affo au(^
O, Wonat"' "■ ■: "' • '• ■ ;

hieran« ett^ieftt jk( iüt affi^tti^et» eine« r<iHoüa(en mttt
2^t{«noUtaUn em^t$ncii,9|;^c$an8,e($^ ,

• 1 ■ >

■ • » '•

' — ^er 116*; 0a|^ t^f^t\^^.^

%xi einer aKebjoninfe/ A, f 6ntten uni&I^Iifle 3twHö^
iK^Uniett entfie^tt; ta^Icfte qiit feinem Ver S^or^er^e^niL
^ feeft einerfeo^ ftnb^ ' i

je« fei^^eme äatiV ^^
iMi|Iinl*fi,fol9K*(io, •
3*«^AXB i|«:(fe B:

I I' ■ ü m

■n|WMiVM«patHM^«>OTM«f*^«Mfi

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=00: fotftCetae '

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iBltf((oft«Ql(Be (trt<iMc{^ cMelKetiaHitiie» »i( oiif tw.<(^
ei bis <i6, IUI» 9ä 6(« Z03, ct^cO^ : '

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QSufUb'^ Sthmtm

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bcnttnedep; ha tun

Cnahtat irgenb eines Ut tttfytt$^^itn bie 3(cattoaa((|iuf

C «iebt

^^et man, , M. mdn ^(t6tft(<) onsAl^de 3«raHpiwi(lnifM
(t^ltm eatiii/ ' bie die i^n boi i»ot|(tg(^ctdMn' «
»tu jhit.

.■r«j

i . ..

l."

3n i'ebem iöuabifate/ ABGD, i^bte ©iöjdndfe^ AG,
te|r@eite; AB, in ^nge ittcommcnfurabeL

9i fep^ wenn << miflNcb/ a
ACnAB, -bdl 0«lfo AG, .^
tAB/ ti>ie< 3a^ ,oet^a(ten.
«W«f< g^^erftpiMi Elf, ö^ qnj^
gtooc bie fletn^en in foldl^e« fDiec« .
^Itnii, t>a% alfo EF : G = AG
.:AB4.fßtett*<J§<il AG > AB,

4U(b EP>orfol8rid^"lF'

nicbt bie ©tt^rrtroffi» ftneg«^ - -

Sba naA-cbigtc Proportion attit D;. •' O

sDAB,^bertT;Tr»®-)13- ^- * ■ 7^.^

V-1 ■ ' ^

^a

/

fi« WP, G, Me AeinM 3<i^en in. i^ Scc^^^nil, foi^

' fk^iSKimto^Ien ^u ckionbe« ^6, otcc £F, gerate, i^: f» tann

ntdbt auc^ G gerade f(9n^ »xtl fonft £F« G^ i»on,b(e3o^

3n>c9 smeffm toiltbim; t9<(4>(</ mjd fit ^ribialfijuiiß dt^

--' 2)d EF (ii H $Äl6irt, dlfo EF = a EHÜtfi fö''f|t '(&t
II. ©0 EF» = 4 EH SfWöftt^; ••»««•» G»tofEP*^i<H',
3 G»=4EH% folflli* G»=sEH», 6)f9«<6G% fpfgi
<ii^ (9i ^' C^) «Kt<<i «ctoNt : SlwinM «oKkitiigip G

ifk « nnni60(i(( i ba§ AG n A3 i i»lglic& t|i AC y AB* , .

I ■*■'* '»1». .■•fJ'* '

^ iStit.«t^er Betvets. S>a ( i« 47. 6.) o AG =::
2 D AB, fo(d(i(^ (!(<> D AC« O AB toie 3 )u i, al(i> nicttt
Wie £lua((at}a^I(n «er^iaUen: fo i^ (lo, 9. 9.) ACUAB«

3(nmetfuttg«

^ m(m jtoep J«^ \.

commenfiitaMe önien^ ' — : *

A/ B/ gefunden : fo laf^ C ■ j— ^ -<

fen ft((> auc|^ incommen$ JB t i

ftttab<(e Stguven ftnben*

!Denn nimmt man imifc^en A nnb B bie mittfete |^lw|»^rt(o«
namnie C: fo tft (6, 20. eo A :B =: Sig. auf A ; Sig«
üuf C; e< m&gen nun tiefe Stguren Cluotrate, obet <mtete
HfycAidft geroMinige Stguren, otec mc^ ftceife um Me IDurc^
meffet/ A, C, feim; toeil^ tpte (12/ 1* 60 liefen toet^
ten miit/ tie Streife {t<^ loie Me duabeote i(m Z>nr(^mefi
fec tm^tten. !Demn<u^ ^at mm aü4> Sigurei^ gefunben^
bie untev einmbet incommenfutobel^b« So^i^ loffm {Hb
au4 betgteid^en Stirpet fcnbem XNnm ^Qt mte «uf obige

3U

(SntiWi ^hfmtt' Sle^nted ^u4

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VommettfurofiiHtat n{(^ tiurbf^ tinien ttntgüciieii/ Jbnkdi

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- ßilftt« SBtiift
Uni Stfiei ueh Wn Jtirpeni.'-!;

j. V-UiKitpctill, m<£iii«i,:3Snittimt>3i(fel^iit.

3. eint geca^t tinit tfi iiiif tfna.£bcm ti<tJMi*M>

blUc, »tnn (i< mir Ulfen 'fit trtfftnOtiiii)«!) lit
fi>t$rt''86«i liegintiot', t'n»»« ifnieii Ki^e

4. Eine £|»itt i^ lUif Unit Cbene pctpen^^iildr/

«enn.btt an beibec seme[nf<^fUi(f}en^utt^i^nift
tintec'ctc^teri^tnMri in be'r* einen Sbfne;^^^»^«*
. nen (erabcit £iniet^ auf becanbemS&ene topem
biMat.liHb. .' ... ';.,,, ■ ; ■

5. Sin« getutctliinit iTtc^ng gegen (ie.(^beitt

ifi bec. fpi,§ifle ?Q?in|fl,, ben .Ju'mit bet but^ bie

iitiben gSunfte geiiJienenjiKSbenfinie ilt|K^, 'ili

beren einem f7e fefbfl, in bent anbern «ber^- ber

Mn eiiiem'11ftet5tanftc-«iif bilt gSe« iiifllW9)e6

«enbifel bie ®ene trifft. "J"'.,

<i. 'ein!t'«beiieneigito»giitbifirieeiäw,i*f bet

'■ ■ fpi^ise aSinfef/ weltfei) jnJe? jerabe Klthii ein«

fd)liegeit,,bt! Inb'eÄieiteSenen on beii imüi^fb

" ' li^tn Sun^i^nitt untei'rH^n.SBliiliefii:, unb

|B« M e(ner(t9 ^uMt btffelbtn, tejolM Ibetben.

7- 3"«»

3 1 $ 9uHtl)J9^ni«ue

nenn ber^in grbatf)» STteisung^ninFel afeic^ [\nb.

9.^ pät^UelcfC betten. ^Cj^ett/ bie nie jufanmmtKJfeit.

9- n^iäjeZ^ötpevTmti, tie trnt glHc^ »tt{e» &^ii>
(irf)en S6fmn be^räiiit »erben.

io. (Bleute un6 A^Mi^rKörperlinb, btebon gleich
vielen gleichen ut^ .i.^,n(tc()en^ Ebenen begr&njt
, »eiltiii- ' . ■'*■■■'■ '• ■'-

11.^^ ^pArbdM« XlOfttÜcI (eine 4S^) t^ bw üleU
gung »enigftrnö bieder geraben üimttt gegen ctnam
ber, »el^jej; o^ej^n Äirt<tlfp $bfi»t iÄjiegen, in QU
tiem ^unFte ^ufammentTcfen, öbet: ein Ibpei^

r.ri -itii$riSBinte(ibittriBo»it>QüsfleiUlr(9c6aten3Öt»
fein (iiigtfdjtojffn/ n>e{rf)e, el^nc in einerlei; iSbei«

• .-.t J" ''^^"'/ °" @iuem ^iinfte iufamnKnsepelli finb^

i;i..lg,inc pvcami&e i(^ ein S6ri)t-r, beftranit toott Sbe
nen, bte udh CSiner (Sbene aaä an einem aiißerbalb
bcrfelten fci.-pn&ltcf)en ^Junftc äu^ammengcpeüt finb.

U^j^/n pnema ift ein Ä&rpetr, begranit von ffbenen.

V , tefsn än>ei) cinonbec gcgentUer Uegenbe gltid) uno

Jj.'J :4J)n!ict), audj i!,ara(lcl,„bie übrigen ab(T g>araUeIo*

14. «ine'ÄugcI, Sphaera, ijl" ber ÄStper, »eichen

, (in .^albtreiä bcfd)rcibt^ ber fic^ um feinen nnuet*
*"* ;tAcffen X'!ir<ijmcijcr einmal gcinj {jetumbreljeE. *
ly. ^ie.^jc&eri^lijjtl ipbie unBerr^rfie ginie, um
^^ ' 'Ö?.Vi£i)e,.C'eE .'palb'fEciS-'i^cfc brcRci. ' ' '
l^ir^ep, tliUwelpiMiEt&üt d^ugtl ijl eineriet). mit bem

bcö fid) umt-rflxnbcn^altficij^ßi.

.nh iSÄHS'i""^^ a^icgcne Uiib an bciben ©eitm W«

kli/^iniktsrit camsi ^Mt MtWt. t^elf^'n eis
n^citt^iffii^HijieCiSnftnsftMt^^'^i' :)"F i<<t) einmal

^ >

«iffitfr jfedj.- |i7

. jÄttJ l^mtnfbrel^et, iiAmreiire feiiwr ©eittti um

f. Un it^n 9BinM tmtttiitlyUihu S^juic^m

tiefe utn>errö(f te (Seite eitfu^ebet eben ftf srof^. o1)er

Keiner^ ofcer ötfcgec ifl, ate fcie onbere an^m fec^

fett SOBinfel liegenbe/ fuf^ mit umbrel^enW ©cite^

t^ ttcSttiü enttDeber xtStxfiintUQ, obec |lutnpf# '

. tDinttig, obet.jpiQtomtlig;

i9* 55ie 2l|ce tN?r J^cgeld i|l öie unDettÄcfte &üUf uqi
toel(fee.bjr 5:rtan9elfic^ brütet- =

ao« ^ie ^riiftt)j[l^e t)e8 Kemb tf{ bet bon Wjtc^
tmt-iimbreb.enben ©eite bef^tU6ene Ärei«»

9t !• (Sin CylitiDet ifl bet^&rpier; we[(^en ein t^tS^^xomU
liiti ^amlielDstamm be)(^teibr ; Hi ftd^ etiimol,
0anr$cnimbre^et/ i^bem eme feiner ©eiten um
bertücft bleibt*

a2. 5Die aijec te6 Cvlinbere ijl ble uttberrÄaPte ^eife;
um Yoeldjt baö ^aroüeloj^ramm ^xd) bufjzu

2i. S5ie <Btmit>fl^dbtnt)tt Cyliitbere ftttb bie Äreife,
weiche wn ben bciben einanber gegenüber liegetiben^ ^
fi(^ mit umbre^enben @eiten befc^tieben iverben*

24. Se^nltcl^e Ziegel unb CvUitt>et: finb^ beten Unn
ben ^utrc^meffcrn bet ©rutibfl^en ptoportionirt
ftnb. *c

25. Sin tX)tttfeL«ubüs, tfl tin bon fe^S gleichen iCluas.

braten beflronjter Ä5r0er*
2i* (Sin Cttrae&et ij) ein bon t>iet'dtetc^en unb glett^

feRigen ^tiongeln bejrSnjter Ä6rpet.
27« ^itt <D^cae&et ifl ein bon dc^ gtek^en unb gleid^

fettigen Trtönöeln begt&nitec Ä6t|>er.
a«. ^in Z>öt«(aebet: ifi ein bon in>6(f gleichen p gleid^

feitigen unb gleic^minfligen Pentagonen begt&nitet

Ä&rper.
29. iSin J|tofae^er tfl eth bon itbanjtg gfet^en unb

gUic^feitig^en ^riangetn begriniter Ä6tpef •

mm^

©e«

3iS

t .••

<Suttib^ fl^^te

-• r~

. • • • m

er 1: ®Äf I itHifL^y^.

• ^ktttinn setiaben Siitte liegt tttd^ Vtn €S(iM
€6ette/ unti ein anbetet bar&ber«

•

S^enn e<i m&sHcb / fo f ep ABC
eine;0etal^ Stnie; tooi; welcher tat
€Stftcf AB in einer (ibmt, tat
6tucf BC aber bar&bec liege, Ser^
(ängert tn^ ba< 6tA(! fn bet(S6e^
ne^ AB, bi«D: fo^ttenbieVe^
vöbehMen ABC, ABD, ben «fc
fc^nitt AB d^ntein, voti^ct tt\iS>t m69ficb ifb Z)emi {«»ey
getabe ttnien f 6nnen nur in (Scnem f^unf te sufannnentrefen^
ober fotten ganj }ufanimem 2)emnac() fonn ancb nic^ i^oii
einer getaben finie ein 6t&cf in einer Sbehe^ 'etn anbetet
baruber liegen«

©er 2. @ö|^ 2el^rfa|.

Siwi) gerobe Linien , AB^ CD, bie einanber fd^neu:
ben, liegen in gtner gberie; auc^ jeber Triangel liegt irt
@iner @6ene.

mmm in EC; E6, ttnOf ä^r^
(icl)e fünfte , F, G, unb jiel^e
¥G f CB» .

©ire nun t>cm A ECB ein
(ßtficf EFG in einer dbtne,
tat übrige FCBO aber über
berfelben : fo »4re aadji' ton p ^ , ^ y^

ben geraben 8inicit EC ober Eß
ein (Stftrf EF ober EG in fotcber @6erte, ein anbete« FC
ober GÖ über berfelben, »elcbe« *( 1 1, i. ®.) unm6gli(b xfL
JDemnacb liegt ber ganje Srian^cl ECB i u Siner @bene , in
toeleber alfp EB, EC, folglicb.Cii/ 1. ©0 au* AB, CD,
(legen;.

eijfmseH^*

419

fltmeinfc^ftli^et t)ucd}fd)nitt, Bt), eine gerobe Binir.

SBite foI*et ©UKtft^nitt BD
feine grtote 8mie : ftfcpoönD'
tidc^ B in t>cr Sbcne AB eine s^
wte ?inie DFB, mi in b(c'9fte* '
ne BC eine «etobe ^injc DEB,
tat ■>!(■> f>'>^ einerltp, @cAnifn
|)&tten; Mfllitf) einen (Raum BGDF
riiH<(tiffen, bel^w« (i, 11.^.) nitftt m&slii^. J&eanKK^
^nt> DFB, DEB, nic^t getane Linien, unti oüi gldc^n &c&at
Itcff ducb feine anbete ton D tuc^ B gejogene Siolen aufiec
DB, bem semeinfn^ftli^en :&tin^f(f)nitK bec btiim <Simitu
golfllicti mug iitefer eine gecabc iinje fe^n.

©et 4. eag. «e^rfol.

Sine gerate £inte; £F, bie auf jmep einanbec f{i)neu
bctiben fl^raben hinten, AB^CD, tn i^tctn 3einefiif4of^«
lif^en XJutt^fc^tiitte, E, perpenbtfutac jle^et, iit auf
bet C^bene but(^ biefe SinUn periienbifufat.

3Ba4e EB bec EA , unb ED
bet EC gleit^, unb iie^t but4
£ in bet @(wne bei AB unb
CD nHafä^clicb bie getabe ünie
GEH, jie^e oitct» AD, CB, be«*
flieitben ten einem in bet EP
beliebig genommenen fünfte F,
bie FA, FG, FDj FB, FH,
FC.

3n ben AAAED, BEC, iit AE=EB, ED=EC,
unb (i, 15. e.) AEDrzBEC. ^ol^lii^ ift (i,4- ©•)
AD=CB, unb DAE=:EBC.

3«

3>S

Suf(tb*« &metmt

CS: A

■••■■

F B

©et 18. @a|. 2<l^tfof.

3fl«tne^a^rfitnu> AB, auf iciienb etn«r ^^iie
)>(cpen&ifii(<ir : fb jtnb alle @6enen bat^ fte auf bctfilM
^bene perpenbifular.

& itp buc(b. AB eine Sbti
«e DE n>tUf&5T(i(& gelegt;
n>el(b< (1 1/ 3> ®0 bie ®cunb«
«bene in bee ^eraben finie
EC f<bnetbc. ftuf ]^C fep
in ber @bene DE irgenb ein
9<n>(nbife( FG; ba§ olfo
pFE = «R. 9{un ift AB
«ttf bec ©ninbebene pecpen«
tifurar^ nlfo ( i (^ 3. S.) oiKb ABEsr 9t. Sot^ftift fb»
(i, 2 8.®.) AB,FG,potaflef. gotgli* ifk (i i, g.Oou*
FG, folglidb (i i/ 4. <S.) aucb bie (buccb AB scIesU) <2Mie'
DE^- auf bec 6runbebene pecpenbifuiac.

S>er 19. ©ai. ie^rfaf*

©inb jtt)e9 einanber fc^rteibente Ebenen , AB ^ pc^
<mf ttgenb einet (£6ene petpenbifufar: fo tfl auc^ t^'^e;
tttf infd^aftlic^r X>ur(^fd[|ttitt/ BD^ auf berfel^tt @6ette
perpenbifufor.

©ire DB nt6t auf btt ®runb5
ebene ^ ulfo aucb nt^t auf DA,
DC; petpenbifular: fo fe^ DE,
in b^r @6cne AB auf DA unb
DF ht Der «bene BG auf DG
peipenbifular. ;!&enma(b m&
ten (11,4. @OpE/ DF^ «uf
ber Stunbebene petpenbif u(ar>
mlöi^ (II, 13* ®0 ttnm6aK(( ift. Sdgücb fotm ;atif
bet ©cunbebene feine attbere £inie, Att DB> pecpfftbiftiftt
fepn.

Der

I

eaftf$ ®u(^

«>9

©Ott btcp e&eiten ^inf efn , BAC , C AD , . D AB^
mid)t einen f&tpeelic^en ^Ißinfef; A^ einfc^ttefen / fra]^
jebeKtoeQ^ufamrftm gr6§ec, ato tetbtitte.

' ©H* bifff bcep ® inert gtetc^:
fö -Ihib «ffnrtat irbe iwep ja«
fammen gr66(t^ oit bee tritt«.
6jnb fte Aftcc nngfd^: fo ff 9
^AC g,i!6^er^ Ott \tiet ber betten
fmXitm, wtidfi 0(n(b ebec tin9iei<^
j^ Annen. 9^a<be ba^et ('i>
53/«.) BAErrBAi), «nb
AErr AD. gic^e bur<b E We EEG, »el<^ AB^ AC^Hn
Sf C, f<&nctbet, -ttnb iü^e DB, DC.

JOa^UoiAC^ BAE=BAD, AE=AD^ A6 = AB: f»
ift (J, 4. CO BE = BD. mm in (i, ao. ©.) BD + DG
>BE+EC. %oX0^ ift (I, S'®-') DG>EC; fofeß*)
weil ADrrAE^ unb AC=AC/ (i, »5. ®.) DAC>
EAC; fo(0(i«, n>{tt DABssBAE, (1,4-®.) OAC.-f
DAB>"BAC.

■\«

S)et 21. ®a|. 8e^tfa|.

3«beis Ätperiic^e 9Qßinf«f , A, »ttb bon <6wt«n 58Bitt<
Mn^ BAC, CAD; DAS, wü^t jufammen f (einer
ali bter rechte ftnb f eingefd^foffcn.

Stfniffl auf AB, AG, AD, •
brtiebise f^unfte, B, C, D,
nnb iie^e BC, CD, DB.

,Z)a bec f6cpeclt(be SMtt«
feC, B, von ben brc9 ebenen
SBinf ein, CB A; ABD, DBC,
cineeffbtoffm t»icb: fo i|k

(10, so. e.) qBA+ ABD>DBC. flu« eben ben ©rön»
ben ift, bepm f6t|>et(t(bett fiBinfel C, BCA+ AGD>DCB^
imb bepm f&cpecli<ben mm Ö, CDA+APB>BDC.

$ 5 • ^^V

M

II«

fSutiiv$ iimtm

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D.

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%tmtt f?9 VXC

Ut O eine ^^dtto^ B.

iioUinie./ tkf^wAt tth q

nee to mriSKtgelS^ettf

tenmedep; ba Mn

Onoteat trgeiib etnii: ^ »ot^e^enten tie 3e)uaieaAa|i4f

C giebt

• • • " ■

9(^(t man« . ^i m<m ^«»«^ vntiißigi 3«raH0M(iwiiAl
ermatten fanti, ' Me ole Mn ben i»tl9<tg($(ttNtt'
litit finb.

s.

I . tr

3tt fcbem Äuobfate/ ABCD, i(l-bie ©iÄ9««*rr/ AG,
t>tp(Btitt, ABf in ^nge tncommenfutiobeL

e« fep^ wenn « m69(i(b/
ACnAB, -bof fl<^<ilfoAC,
AB, toiet Sofflm .oet^oltnu

Itoat bie flein^en in fol(t(v i^*»»
]^toii,bo§alfoEF:G=AC

^iAß4 f fiteö** JSfitAC > AB,

4tt(b EP > OrioIgTidf l^'

nic^t bie<ginörit^offi9<in^9•^-

i4Uifiifl£i:JSc&PDft|?n

(10/9.«.) EF»t G^=:D AÜ

: D AB , Aiartr, TT' ^'fQ

4»V .. .

. i \

1. .

■ »

/ *

2)a

>>^-

kV

«inen SBinfet IHK— ABC, mac^ 1}K=HI, unb ite^e,

GK, Kl. ■;■■ ■■ • •

' Z><i.^e(na(^ ABC r= IHK, nnb AB == HI = BC =
HK: ^ Hk ( 1, 4. €5.) AC = iK.

SDa ABC + GHI, ba§ i{k GHK>DEP/ nnb GH =s
i)E = HK = EF : fo ifi ( 1, 24. 0.) GK > DF. ütun iffc
(I, ao. @.) QI+IK, ba« ifl, GI+Aa>GK. SoIgU^i
^ um f» ne^c GI-4- AODF.

(Sin anderer 35i»et«.

. 8< f<i) »on ;ben ttep^ ntc^ ^d<^ «baten QMnMn tiet
dne ABC, nicbt f (einet, a($ jebe« Ut übrigen DSF, GHdt
fo tfk' Ci^ 24. ®0 bie ®eite AG nicbt fletnec^ alt jebe bet
{Ib^ta DF, Gl, fo(0(t(^ offenbar AC + DF > Gl, nnb
AC«t:Qt>DF} df» nut no(^ «It bettKt(en, bat a«^ PF 4»

ei>Aa

Seoge (|> 33. (SO <m AB in B bcn SBiidd ABK=CH1^
j«<M^BK=:HI, nnb jic^eAK, KC.

XMi ^enui(& ABK=GHI, unb AB=GH3:BK=
W: fb ijk (I, 4.®.) AK = OL '

©a E+H>ABC, aber H=ABK: fo ifk E>CBK,
oJetCB=EF=BK=ED, foigfic^ (1,44.«.) DF>
CK. 8hm i|k noc^ Obigem Gl == AK., golgfic^ i^ DF•|-
GI>CK^-AK, «ber (i, 20, JS.) GK+Ak>AC, folg«
ff«& not^ »iel me^r DF-hGI> AC.

it'^n*

<M

f3«

€t9ftb*< <SJ[(tii(tite

Hüi 0«^. dCdeSenen titt9(eicf)en seraben tinitn, AB^
KN; t>on benen AB > KN ; bi« gerate .^tttie^ NQ/ itt
ftnbctt; ttm bereit iäuabtot bad iClua|>rat ttt AB bf^
£luabrac bec KN ö&eptci^.

N

N

f^ef^Mi^ ^ A9t{nen ^a(6fcei</ tcaQt bt benfdW
ACrzNK, tmb )ic^rGB: fo tft NQ£=CB bte wtlca^

(We. - ■ ■' '

2)eim ba 03^ 31. ®.) ACB=i9l.^ f» ijt (t^ 47. ©.)
AB = tDAG + DGB=:nNK+ÖNQ, toeH AG

= NK, unb CB = NQ ijt. Z)etnna(b ift D AB'> Q

NKumONQ.

©r«9 9e9f6en€ ebene Söinf ef, ABG/ DEP, GHI, We
gufammen f (einet aii biet rechte ^ tmb Don beneti /cbe
imr) ji^ommen 0r5ger <ite bet briete fUtb , Jü ,<iiiem Ör^ ^
peclic^en ^inW jiffammen'ju jletlen.
gRa*e AB, HC,

einanbet gleich/
imbjie^AC>fe'P,
Gl: fo ia§t ftc^
wi bm festem
brep geraben ih
frfen(ii, 22*6.)
ein ftriangef m^
leic^nen.. ^efer

lüftet, 3$iK|.

351

'•

fe^AKLM, fo baf KLrrAC, LM=DF, MKssOr
tft Sefc^reibe (a> 5. (S.) um ben A KLM cfnen fttet«^ fo
f &nt bcffen 9)l(nel^uttf t N entroeber tnnet^atb/ i)tet auger^olfr
brt A KLM, ober in eine feiner ©eitern gie^t man nun
NK, NL, l^M: fo ijt t^eite }u betoeifen, ba§ ÄB>NK,
tiefte iu^idgen/ n>ie ber4»e((angtej&(pei;lk^>®mh( über
A KLM ju errichten fe^» - .:^ \.

S3ewet«, to§^AB>NK fft/»>({( AB »i^et c^fo «»§,
np(^ nein» all NR fepn faiitiu^i . ..Js-sj

itfßlUb. SDenn H» iftdfe« aRittelpunrt Njn dne »(t
Gfittn Liyi m A.KLM fottfc • ' . . .. ..t :., ; i?.

iP&te^i« AB:?=NK, fo i»&crv twU ABs=D£=:Ef>.;
UQ^ NL 3= l,H ?p NM ijV^. DK>|* ^.=;.IiML-;-Sliitt.-

(1/.39. @.>. tfnni6d(i(^ t^. .SDemncuf^ i^ tfx^tiABräi^Kiy
®itc ABOVK. fi>'0«>m obige ®*Jfi(fkDE«f;EF< DP?;
WlU»i ( i> ao.€$.) noc^ me^rui)i86s(i(^ i% SPmDfji^ ifk
nictt AB<NR^' ; .:./-. : .. .> .

« .

■ ■ f

»Jite6lecAB^NK,,fo, «ÄM.dw* BCäNL,. fo«« .

^ ' ..:.

*

t

I • •

» .1

8hm to&ce aa$ eben ben Ovftnten DEF =: LNM^ im> ■
GHI = MNK. g«(0tt(( «»ite ABC + DEF + cm =:
EffL + liNAf + MNK ; «bei: bie Ocep (entern SBinfel ( i,
tS. 3x1^) fbi^ viet ce<^ sfcU^z folglich aiM^ Me tcep eiy
fem Ofufet^ «»ef<M ^ fBocauiSfe|ung, bo§ 0e < 4 9L ■
^nb, tPiMN<tt. JDemiuK^ ift nic^t AB=NK.

.«Mte A&<NE, fo fep N0=A6, NP=BC/ «nb '
OP fl^oden. S)a AB=BC, unb NK=J^L; f» {jk au4» «
OKzsff'; -|(ilglt<& (6, äve.) OPbec KL pocoOet^ foi0f
li(^ (1/ 29. eo tie AA NOP, NKL, g(ci(^n>inf (ig , folg^
lU^ (6/ 4. ®. tttrtr 5^ 16. 1®.) NK : NO = KL : OP , fotg«
l(*, »eU NK>NO/ <nw& KL>OP; ain KL=AC,
alfo AG > OP, mn wat AB = ON, nnb BC = NP.
gp'flll* ijk (1, 25. e.) ABC> ONP. giun ijt eben fo tts
Wittib, M DEF>LNM, unt GHI>MNK. ^0(9*
lt(& to&ven t>te tce? Sßtnfd ABC; DEF, GHi; (ufammen
0c&§er aW bie bce9 fffiinfel um ben ^unft N, alfo ^i^Sfier,
aß vier tecbte^ ,ti>e(cbe< ebenfaU^ bec JBoraiföjie^mig toibec»
fpricbt. S)em(UKb i|k nicbt AB < NK.

fDHtteit». SBenn N aufet^lb be« A KLM fiOt.

SD&K ^i^ AB = NK =? NL = BC, f». to&ce, loeif
aiTtb ACstLI^ <fr/(i, 8. «.) ABC=LNK j abecau«
g(ei(^0tAhbm-aH(( OHIsisSNM, folga«^ LNM=r

ABC

eirfiM sui^

ABC + GHI. Sfun i(l ABC +; 0(0 > DER SoW*
I,NM>DEF,,.,iSäii,a6er «iKtilJ^p:LN=jpiijaJ»K,
»nt.D,F=:LJ«i f(..i(» (i,.ll.,eOtNM=;,Dgf;;,«jtI. ■

= NK.',,' ;:;'; ... ' ■ „■ • ,. , -,.;-: ,,, ,.: ,•;

'■S!»teAÄ<NK, (b faiNpsjis/NP— BC, m».

li* lil,->a8 ABOONP. 91«ii fe^ NR=lSO=tN(f,i
11^ OR.e;it>^n^ fo ift «vt..<im im @iMnT QHl7>
ÖNK. Stl« «1 NK bm ÄinM KNS:^A,BC„,jn»,
KIÜT:pOHi;-mii4t NS, tijlf, i<tit te.NO glrt», tu»
jit^ OS, Ol-, ST. iDa AB^ÖN=BC=^JSIS, ta»,
ÄBC=aNS: (oi^C. 430 AC, to« ift.KL^OS..
Siii<limC(n.@i:ii1ttvifia>iiilKM;=OT=GI. TDa^m
1M*LK=0S, KM=0TV, oktfOE, tati^Lfilt,
' >SOT: (olp Ci, »4. S) LM, tiKift HF, >Stt Tol(«.
li* C. as.Ä)..DEEf>SMT. . Xm aw SNT=f *BC
-t- CHI., Scr^i« i|t DEF. > Abc + OHI, . mi^ ta ;
Sötaii«fe$ang.»lfmNc nttnfiK«^ SDcinn«^ ijt tüc^t AB

<NK. ,...r.;,„. ■; ,r,,,,
. ' 3»«»»

it« euOtb'i Sltmtnte

i|)t f> mi4tt ( 1 1; in. 8:0' auf »» (!tmi tt« Xcrift«;
KLM in N teil ^«cpoibiM NQ, unti ma(te fienrelbcn f^'
«»8, »«8 (11, ai.8i(fiif.^'QAB=raKN+DNQ i^
untlit^i Q^ QL, QMS ft i|>et;Q'tct KXUmsutliKftU'
lifteSMnf«;

iBAm NQ ift niif tit (Kne ULM, ftr^lM ( i i, 3. 9.%^
«tif b«ltW9'?mimNL, N|C, NM,peEperiMfii!(ic. S^n^ic»
IM* h» N K*tt Binlel (ii(6, unU KN=NL, QN=
qNi|>: f»i|> C'/4-«.) ItQ=QL,.. «6« oa«rttn »M-
ettalmi QM = QK , foljri* QK =' QL = QM. SEK
OAB=DKN + nNQ, mi, m\ <JNK=rK:, «1«
□ QR=rDRN+aNQ; fo ift [JABS D QK/ olfb!
AB =1' QK =1: QL = QM.

»0 pttnni QKt=JVB^Qt=KG, ELi=AC: (•
lliXi, 8. ®'.)«QL=ABC. Run i|> 011« «6<ii 6<n eijK,
tut LQM=DEF, unf MQK=:GH1. Joläll* <fll Sdf

Q tn nrlungtt ntixilictc Wntil/ ntliM tit tin i<((<te>'

^iiftei ^\n^.

337

n«i eNnen SEDinfcfn ABC, DEF, CHI, gW(^<n SBinf d KQL.

* I

' 505itb ein Ä&rpcr, CDGH, »on (ftc^O paroUden ®6e«
wntegräitit: fo (inb bicfe gjataaefogtammc , unbi<be
jwep gegen Ö6erficgenbe, AC, GF; BG; CE ; FB, AE,
«inanber gfeid) unb o^nltc^. ( (£in. fol^^er ÄSrpec l^eige

erjlet $]^etf.
SDaBG, CE, parattef, unb
l»on AC gefc^nttten »erben:
fo finb ( 1 1, ,1 6. ©.) AB, DC, -
parottel. . Sßun ^nb <iu^ BF, /{
AEf porottel tinb von AG ge<
fi^itten; olfo (i i/ i6. @.)
Aj)^ BC, pataUeL Sofglie^
t^ AC ein $acaUe(ogeamni.
9uf eben bie ^ct wirb betoie; D
fen/ bat audb GF, fetnct BG,
CE^ itnbFB/ A£^ ^araUeIogramme(tnb.

3le^ in BÖ, CE, bie J^iagonofen AH, DF. ®<» A$
ber DG,, unb BH bce CF paraUet: fo ijt (i i, lo. @0 ABH
i=DCF. sßun i|i (i, 34- ®.) AB=DC, nnb BH==
CF. ' Solglitb ifi (1/ 4. ®.) AABH^^DCF, <jlfo atu^
2 A ABH = 2 ADCF, folgfi* ( 1/ 34. ®.) BGrrCE.
«uf &^Ii(^e «(t tvitb ^ewiefen, U^ AC = Gf, imb FB
= AEijt

/ ®er 25. @a|. Se^tfaf.

fffiti^ ein 9)<iraQe(el>ipebon/ ABCD/ boa etnet ^6ene/|
EF, ben einanbecgegenöbec ((«genben ^beneni AH^ DL^
ipatßM gefc^nitten: fo berl&alten ficf) bie abgefc^nitterien
Ä6tper, AK, ID, tt)ie'i^re@cttnbfl4(i^ert, AE, iC

€iißiW eiem. 15 »«*er. S> SJer*

I

Sl»

eiiftt»'« eKintntc

jZI

36 8

■/|V| ./| /i

JV >4 I L
^fllöngtte AL auf beiita Sritm; nimm &tlif6ig oirft
Sbfttnitte, LP, PQ, bEiLl, unb tvuket beliebia viel« 9tt«
f(^ttt, AN/NO, ber AI, gleii^; eollenHMc ^apfiOite«
granune AR, RQ, LY, YQ, MgKic^ tijc Xorp« NHi
OV, LX, PZ.
■ ä>« IA=AN=NO: fo ift (i, 3«. 8.) EÄr=.AR
= R0, iinliEH=HR=RS, trtgltMin Cii,a4. ftX
AH = NV = OS. Slun fmt au<t> in ttit bct» »rpon.
l^A, AV, VO, (iiv 34. S.) obigeo Sbcnen bie gc0<tiä6ic
licflcnben glekb unb i^RlK^. Sol9l'<^ fnib ( 1 1, lo. S.) gcr
bat6tc bcn) ft6cpre gln4. Sßun fiNb au« ebtn b<R 9cAnbM -
00* blebtt» «tixt ID, DF, PZ, jW«. gclgtu» l{) OK
bon AK cbtn fo biejfa*, aii OE Obu AE; uub KQ vm
^ eben fo eidfalfr, oM £Q bon IC. 3tuii i|t, nMnu
QEZEQ, ou* OKZKQ. goWi« *• (j, S-.tJ
AKjIDz^AEjICt-'

■ . -■; \-

- 31n (tn^:js<0e&iitfc0«cob<^£inte, AB, unb an eitlen ia
i^tgegebeiteti^n^, A, einem desebenen ibtt^i^n
hinter, D, einen gtei^'x juOcIkn.

(S< tttrbe bei gegebene firpeijii^e. Sdinfet D, von ^
ebenen iSinhlii EOC, EDF, EOC, begiauit. S% OM
einen beliebigen fünfte F,. bee Sinie DF, auf bie <Sbene
tut* ED, DC,)m$aftiMtaOt bei bic Sbeni, ia a

(SUftii %iK^

f39

|e (I, 23.

A'bm Sin»

(<(£AK =

EDC, unbßAI=EDG; mat^e AI=DG; witj>te (ir^

13. €5.) auf t« ebene tucc^ BAK in I ben |ier>fnl>IW IH,

tafOft IH=GF, unb Me^e 4H : fo ijl in tbtpnliöft SEDiiu

f e( 6(9 A bem gegebenea bep D 0(ei($).

' ^n tna^t man AB == DE^ unb jie^t HB^ IB, F£^
GE: fe ünlf toeil FG ouf ber ©runbebene perpenbifulac,
(II, 3. @.) FGD, FGEv rechte $S)inf((/ unb au« eben beit
er&nben au(^ HIA, HIB.

®a AI=:DG, ABsDE, un« BAI-rEDG; fo Ift
(i, 4.6.) Bl =EG, ERun ifl,öu(btIH==GF, unb^e« ftnb
%9 1, G, tecbte SßinW. getfilic^ i(t ( i, 4. ®.) B H = EF.
^mrc i|t AI=DG, lH=:GFraucb fmb bcp I, G, rccbte
8Binee(, alfb (1, 4> ®-) AH = Ü^. Siu^ war autb AB =:
P£. golaßcb ( 1/ 8. «.) BAH = EDF. '

«acbeAK = DC, «nbjic^IK, HK, GC, FC. ^
BAK= EDC , unb B41 = EDG : fo tfk JAK = GpC.
^tm i^ AI = DG, «nb AK :;= DC. go(ali(6 ift (i, 4. ®.)
JlK = GC. «Run i(i IH= GF, unb e« fmb. bei h Q,.
te^u ^inteU Sclgli* (1,4. @.) HK = FC. sjlun »ar'/
att(& HA = FD , unb AK = DC. golfllicb ift (1,8.©.)
HAK = FDa . ,

> X)mna<^ l|^ BAH=EDF, pAK=rFDC, unb na*

HObigeni BAK = EOG. $ofg(((^ ift bec (l>tpetii6>t SDinfel

be9 A, toelcben Me bm ebenen Sßinfefn, EDF, JFDC, EDC/

^(^en fDinfel BAH, HAK, BAK, begranjen, bem gege?

ben«t fbtpcvlicl^en ©Infrt be^ D s(ei(&.

V »

2)«t

340

^uHWl ^(emtiite

S)ott einer gegcSettett geroben^intC; AB^ eftte m ge^e^
Betten 93<ita(Ie(eptpebDtt; CDy ein &l^n(ict;|d unb il^nH^
fiegenbe« ju bef (^reiben.

©teile (u, 26* K

H

¥=^

® .) an AB, in A,

einen (6i:pet(icbeh

SEBinfel, »elcbec *

bem bep C gtetcb

ift, unb pon ben

ebenen SHn^efn BAH = ECF , HAI r= FCC, unb ÜB

=GCE begtinst wirb. S»acbe^(6, 12.®.) EC:CG=

BA:AI, mtcbCGrCFrrlAtAH, bag olfo (5, aö^e.}.

aU8 feeill (Bleichen ift EG:CF=:BA:AH. SBottentJ^

bad ^caaelogronim BH^ mib b(rt ^iii^aaetepipebPii A£:

fb ift biefc« bo« Perlangte.

3)cnnböEC:eCi=:BA:AI, uribECG=:BAI: fj i^
(6, 4* 6. «V 1 . 3 3» ®.) BI ro EG 5 ober an« eben bcn ®rftttbeii
IH(\)G1?, unb HBajFE. ^Demnacb Pnb btepiSbenen be«i
ftörpet« AK brepen gleicbliegenben f benen be« 9itptti CI>
äbniicb. SRun jJnb (11, 24« 6.) in beiben Stbrpem ben
genonnten Irenen etite« jebm bi^ benfefben gegenubei: tiesen^:
ben ebenen g(ei(b unb a^nlt^ %^iW^ ijt <ii/ 9«^)
AKa;CD. .

tÖetftg* ©Ol* *2e1&rfof

^tUi g)ataUefeptpfeboti, AB, witb bon ein^ Sbene
epEF, bie i»ep flegeitfiber Tiegenbe gbenen, GB, AH,
mi^ beren 5>i<iao)«ofeh , CF, DE, ft^neibet, "^albittJ

a)a (i,34-6.)ACGF=ACBF, aucb ADAE=:
ADHE, be^«i*en ( 1 1, 24^ ®,) CA :=: BE, wb QE
=:CH: |b ijt ( 11^ lo. Gf.) boi'iwn ben ärionacTn GGF,

EDA,

eitfta «U(^. 34,

EDA^ tmt> ten ^ttM<lcstamt
mtnGE, AC^XE, bt^vhnitt /
l^rifmo CGFEDA, ^em oen G<^
len S'rianfldn FCB, HED^ tint
fem ^aroOefodcammen CH^
BE;:CE, beftrinjtm ^rlfm«
FCBHED, gfei«; folgt«« t)a« ^*
^a8«(fpipeton AB \m bec -^
Cjt^ GDEF &a»kb

-gJot'aarffpii»ebä, AH, AI, »ottjWc^jfAl^ttiib^mif.-
dnerfet) ®tunbf{äc^e/ AB, beten auf ber erwtbfl^e fie« i
^erib« ©eifenitmctt, AFy AG, KL, 1,M, tmb CD^ CE/.
BH, Bi, ft(^ in benfetten »cwbeiiÄiiiie«, FM, DI^
enbigen, finb etnonbetgUtcl« < . -,•

2)a CH , Gl, ^ardflf» , » »

t«|8Win»e iinb-: fb ift (i* ^- * ** '

3A. «.) CB = DH ==
EI; folgltcb/ tvenn man
EH wegnimmt^. DE =;

HI> fofdücb (1/ 8»e.)
ADEC=aHIB, «nfr

(i, 36.®.) DG=HM*

|l}un ift auj eben ben

Qriinben a AFG = a

KLM, obetr aucb CF=:BL, «nb C(>=;?BM.

(11, 10. «0 ^riftna EFAC =r «pdfnid U-EB;

So(8ti<b
fefeUcb,

n>enn i« beiben bec S&tptt ABHO ^in)tifoinmt/ AH=Aift

^'ii^'^^C'pitxbci/ ABHF, ABIG, v&o dhd<b«t! ^^^< «nb
auf einerlei ®tunbf{^e, AB, beten ctdf bet ^cunbfl^e
ftebenbe @etfenltmen, AF, AG, CD, CE, |unbKL,
KM, BH, M, ^df wc^t-trt behfetbe» dttabot ümn
enbigen, ^nb einonbir gtett^. ' • .• '

t3 ««»

34**

C^uflib'« S(emntte

IM, FL, DU, m
fte in N, O, Q, ju^
fammentreffeii/ unb
jie^eNA,OK,PC,
QB: foentfU^etn
bcitteö ^araUelfpU
pebon ABQN, bo«
mit oben genannten

•

bdben tion g(ct<^c

{>6^ untauf dnrr«

1(9 @ijnttbf{&<^ i^ aiun tntisftn iid^ üe GettenOhtm :trt

tcitten unt (tftoi in tenftlfrm qftdbm iimn ¥0, DQ^ «n>

bie GcitenKnim tx* tettttn: urt^ '{toe^Hn in tenfrlftcn genital

«inicn, NE, OL :g*(8li*iHM;a9;«.)ABHF=ABQ6r,

unfcABQN—ABIG; felflli* ABHf 3= ABIG.

©er 31. ^a|. «t^tfof.
^Jaraüclfptpeba, ABEG, CDFN^ tjon gfetc^er ^Ul^etit*
ouf s(et^en ©ritnbfl&c^ett; AS^ Q)/ JtnD einanber 9(eic|^.

etjlet Sa«,

2)te auf ben ®cttnbf{&<ben fte^enben 0((t(n(inien> A.G> HI^
BE, KL; OP, DF, CN^ QR/ ftnb diuf benfclbcn p«rp«abi«
fular. aitunfinb bie SBinfel AKü^ cqu, enttvcbec ski(^
tbec ungUict. "

TG. « JF e

6iQb. bicfe SDinfef undUic^, ' «tw^: AKB

♦ ;•■

CQD; fo »ertin^ew CQ nac^ S, ttajg<(i, ^3. ^) o» QS

in

«ffte« gjuc^. Uz

in Qittt mnUl SQT= AKB, md^i QS = AK, QT=
KB;' »oUcnbe ba6 f^ardlelogcamm TS^ ün^ ba$ Staffele«
pipcbön TSZM. ,

»a^«tno(^ QS=AK, QT=i5:B, ufll>SQT=Ä.KB;

QS==AK, QR.=:kL, ünt) Diefe Sinten wc^te <l^i«Sa ein*
f(()H^i fo ftnb bie f a(<i({((ogt<tmme QZ, AL, gteii^ unb
il^n(i(^. Sluj gleichen @tiinten flnb bie l^ticaffelogiramme RT^
KE/ e((ic6 onb a^nßc^. S)emtut(^ jtnb trep ^acaffelogtamme
b(< S6cp<(< ZT bre9 ^rattelcdcdinmen bej itöcpec^ AE«
fdgiic^ (i 1/ 34. 6) au((i lit, n>e((^e tt^e»bte9(n g,egen&be«
fk9(n,^fcttb tittb &^nli<b; fo(d(i(& (i i, io.$0 ZT7= AE.
. .IDetlkgfte DQ, ,XT, i>i« fit in a ^ttfanimentcef «tt/ }ie$e
tttt^ S bec Da bie Sd )>acaa((; «erl&ndete 00, äS, hüiit
in <: ^ufammentccffeti/ unb ttoQnibe bie 5t&tpec Zä, Qe.

Da bie S6vpet Za, ZT, aafitt getneinfidf^aftfic^en ®t;unb«
(U(^e ZQ , welche bec (Sbcne aV patcMti ift / ä(fo attc^ i^*tt
g(ei(te« |>&^e finb, unb i^ce Seitenlinien Qa, QT, Sd, SX ;
Rb, RM, Zf, ZY^ fH^ in einetfep getaben 8inien aX, bY,
enM^en: # ift (11, 2^®.) Za=ZT; Shittioajiiuic^
'Ö^^em 2Tr=AE. $o(d(i(^ Za=: AE.

!J>a (1/ J5. 0.) ST=Sa; obet ST=AB*=CD:
fo ift Sa=CD, folgttcb (5/ 7. ®.) GD:DS=Sa:DS.

Da^ bec $6cpec Ce t>on FQ |»acaQe( mit CP unb Se ge<
f*nitten »irb : fo Ifl (1 1 , 2 5.0.) CP : DS = CF : Qe. ©4
aucb ber Rkptt ae von QZ pacoUd mit De unb af ^efc^niU
tenwicb: fo ift (11,25. Ö.) Sa: DS±=Za;(5e. Slunwat
«a* Obigem; CD:DS=Sa:DS. $o(d(i(^ Ip (S/ it. ®.)
CF i Qe = Za : Qe , f otgli* ( 5, 9. «. ) CF =i Za. Siun
«MC n(t(b Obigem Za = AE. Soigiid^ ift CF r= AE.

3xk>^ert8. 0ihb bie Sf^infel AfcB, CQD, gfeic^: f^
fe^n CQ, DQ, oeclinflect, bi« QS=AK, unb Qa=KB
ift. 'Stun ifl (i, 15. 0.) SQa=CQD=AKB. goJg(i<^
ijlf, ttie Bor^ec/ emtiHi^f bfl§ (ii, io.(S.) AE=Za,
«14 bä§ (11/ 85. e.) CF=2g, bo§ alfo CF= AE \%

2) 4 3»«»*

G K N S

/\m Ab^/

^ A

4i>

WY^

\1

\r \l

\n^-v\

A

/ ^V

L

X B T Z P OD

344 eitfliVt SItmtittc

!Dte auf tm

nien, AG, HK,
BE, LM; PQ,
'CN,RS,DF,qnb
ni4t auf tenfib
6ni penwnbifulür. ,

gSOeCii, ii.S.)Mnlini?anBniK, C, M, E: 5, N,
Q,.F, auf bie @bene« ber ®runbfl5cben 4B, CD, bie ^etpa»
WH KO, GV, MX, ET ; SI, Nb, QZ, FA, unb jit^t OT,
VX, TX, OV; al, Zb, Za, M.

Da bit Sbip», KX, SZ, auf jltil^ eiunbWm XM,
NF, unb von 0lei(&CR {ib^m ^nb, unb t^ce $ettni[inim fxp
^biCutac auf btn @runbfU(btn ^(^; fo {tnb fle na(^ bmi
n{tcn SaOi <|kic^ Sinn i|t KX=:AE, unb SZ=CF,
foljli» AS = CF.

®et SS. ©aj. tt^tfa^.
^aralletepipetM, AB, CD/ von glcidjer ^6^e, betrat
ttn )t(6 »ie i^re ©niirtflicjtn; AE, CF.

~7\

©efcbreibe (i, 45. ^) anf GP ba« ^SacaHefogramm FH
:= AE, unb DoOenb« bcn jtbcpec Gl: fo ijk C 11; 31, eo
AB = Gl.

'S>a ber Sbi-pre CI ton DG pataKd bct HI geft^oittni
«Jitb: foiD(ii,2s.e.) Gi:CD=FHiCF. SIuniM«
AB=GI, anbAE=FH. 8illjli*AB:CD=AE.CF. -

eiifc« ^4

345

B N

\ \h\p

c r

\

\

©et SS. ©a^ SeStfoJ.

at^Iii^e ^Mtlmuia, AB, CD, finti in bn bn^s
fdc^en S8tr^(tntg i^cec gentologm ©eiten, AE, CK.

iktlingat AE, GE,
HE, ttt £1= CF, EK
= FM, FL = FQ i|>.

gtamm IK, unb bm S&c*
vet 10; tejgkitftm ta«,
^caMosramm Gl, unb .
ouf bm @iun&flä(b<n Gl,
IK, tit Sitptc EN, KP,
wn gleitet {)6^ inU
AB.

Da iMjm bre Ht^licbMt te jttn*: AB,' CD, N« SBlni
Jd AEG, OFM, JW* r>"'>' Wäii* «"* IEK= CFMj ai«
EI=CF, »n» EK = FM: fo |inb (6, i. ft) IK, CM,
(jlti^ unb ä^nlitb. gtun |tnb aiii eben ben 6tänben iL, CQ,
bedflieicben OK, DF, gfd(b,unb i^ntlib. Z)etnnacb flnb^btep, '
^rnKefogrotnme btt S&tptti lO, bt(9 ^«icadelogcammni
bej jt6cper« CD, folglicb (i i, 34. 0.) auib bie, ttelebe bte<
f<m bceQm ge^enäbet fte^en gleiib irab A^nlitb; Md^itb Pub
(11, 10.IS.J 10, CD, gieicbunbi^nlii^.

S)aABfvCD4 fo ij (11,9- 9" «nb 6, i.e.) AE:CF
=EG : FM = EH : FQ; ober CF= EI, FM=EK,
FQ=EL; ftljli*AE;EI=EO:EK=EH:ELi SBim
lj> (6, I, SO AE:E1=AQ:QI; EG;EK=QWK;
EH:EL = PE:II.. Sclsli* i(i AG:GI=GI:IKr:
PK:IL. mun iü (11,33.8.) AG:G1=AB;EN(
GI:IK=EN:PK; PE:lI.=PiC:IO. golglicb.ifi AB
:£N=EN:PK=:PK:10; MsUib (5, 11. 8.) AB:IO
' =3(AE:EN); obet AB:EN = AG!.GI = AE; EI,
Mali* AB : lÖ = 3 (AE : EI). 3!un mar 10 = CD, unb
EI=CF, Jol9Ui(ii(lABiCD=3(AE:CF:,,

3) 's .3"'

94»

euHib'f eitmim

• ■ ' B " f $.

. ftindui er^tOet,' tia§ von titt fUtig ffr^imtimtirtm gnoi
I^n Jinien btr etfte ^(t jut virrttn vet^ottt, toi« boS ^tii
ttUpiptitn con &(t nftm ju btmi^m ä^nndjen unb .&^i<!b
lirflcnbra ^acoUflfpipebon tm tecitoepten; nril M( Sec^b
nifi tn n^«n unti viecten t)tc btf^fäctjm Ser^Etnft bec <r^
uttt) itte^tm 0lei(t) ift. ^

35ct 34. @fl§. «e^irfa^.
@inb 9)<i'^olIe[eptpeba/ AB/GD, etnattbetgtrid^VlIr
Pitb ifete ©runbfl&djett/ AK, CO, in umartetirtW-SÖrts
^^(tnig tbret .^6l}rn» Unb finb Me @tunbfTä(^n , AK,
CO, in umg^«@ttet3}ec^mtnigber ^&6en: ^fitibbte
SpotaUelepipebfl, AB, CD, (iiwnbetgleit^.

■ ■ JWe öuf bm
OcunHUc^AK, Xk-

CO, fie^wnbfii
Äritenlinim AG, _,
EF,KB,Hf,unb "

CL, MN, OD,
tQ, piibaufbm«
feäm (»rpenbifu^

\

L

i

5

N

M

l«/ b<ieiiK'<'^iir;N($i$nr(R jtiipn AG, CL,^n». .

. 3(IAB=CD, f»i|iAK:CO=(!L:AG.

£t|iltd], »ran Wt (B(niiWIä*eii jW* «rt. I» «Ift
AKirCO,-«!» ABrrCD: fo ifta»*Ct=AO; tMil
fbnftCli/ai. 6.) AB, GD, anjl(i*tt4mi, gegen' tfie«»
«rtfe^OTfl. !Denma4) ift offenbar AK : CO =: CL : AG; .

^tot^ftn, wenn Me ®runbffä*eli unglei* (inb. 91
W AK>CO; fo ((t, uei( AB=CD, au« CI,>AQj
ipefl fön|t AB, CD, nie^^Iefl^ fqlrt Pbnnten, gegen bie tBo»

. {Mit

mfai %)i4."'

84T

^acoöttepipeton CS.

S)« AB=CD, ^i|i (s, 7. S.J AB:CS=CD:C&
amW {il,3J.e.)AB:CS=:AK:C0, 11116(11,35,80
CD: CS=?CQ;PR= (6, 1. 60 OLiCR. gilgli« «l
AK:CO=:Cl':CR; for«M, lixiICR=:AO, tut« AK
:CO=:CL:AG. . .

Sweytee Ifeeil.

y3ftAKlCO=CL:AQ, *i(lAB=GD.
' . ' iCtßlicb, tomn tie ®runt)fTä(^m tltid) fnb. JDt-ofl^

AK=CO, iinb AKiCO— Ct.:AO, fi> i|l cu« CL=:

AG, foljili* (»I, 31. eo AB=CD.

r SouvtcfM , nenn btc @iun^i^ untlflil^ |lnt. , ^
' ft« AK>CO, fiil9Mau4CL>AS. Wa^taia'CB,

==AG, unb ooUcnt« M ^Mlleltpipe^ CS. - -
'S)a alfo CR = AQ, fo ettU» mm not itt.9«ict^.

fe«un9.AK:CO=CL:C8. Run ift (11, 3».«.) AK

:GO=AB;CS, und (6, i.S.) CL:CR=CQ;PR=

Cii, SS- SJ CD:CS. Jota«* ID AB:Cä=:CD:CSj

fol«Ii* (S- 9- 6.) AB = CD.

3i»ei)tet Soll.
2)ieauftni
StuiAflHdi
AK,CO,i»K ■
^(ttbtn 6etf
ttnlinitnAG;
EF,KB,HI,
tiiaCL,MN,
ÖD;PQ,(iill>
onf bniftlbca

SJBe (i 1, 1 1. e.) ran tm SM*»» G, F, B, I, «0« mk
L/ H D, Q, nuf tkitiRuii (««laiiifliit« AK, CO, ¥«<•

pro*

341

Safltt'il Sttnunte

(6, 4. «0 M »nxt BT unt AB, tit TG, nnb Da, CD,:
M« al,-)ltl {lift (dien.

CtPee t>«it. '

3»AB=CD, fo i|>AK:CO=aL:TO.
, Sbo AB t CD, at« Cii, 30. «0 AB = BT, nnt CD
—Biffi^ BT^Da, folglkt, (141^ bem nftm %fStJ
TS:aZ = ai:,:TQ. Ohm I» (n, a+S.) TS=jm
«»aZrrCO. gol8li*i(>AK:CO=aL:TO.
Swcftet tr^eiL
3HAK:C0=:aL:TQi (oiftAB = CD.
»« Cii, a4. CO AK=:TS, ail6 CO = aZ: fo «1*1«
nan nac( ber CotauflftQuntt TSiaZ^aLiTG, folglti^,
nac^ bem erpnt gaDc, TH><Da. Kuii ijt (i i, 29. 3o.€S.J
TB=AB «nl)Da=:CD. g»l8ri*i(l AB=CD.

®«t85. ©«|. ««btfoj.
SBetfent auf jttcij gtett^e eficne SBinM, BAC, EDF,'
in i^ttn ©cfintttpunften, A, D, jnotie «iititit, AG, DL,
foaufgcflrllf, bag fte mttbm^inien, welche gtbatfjteaBin«
frf tinft^itgtn, gteidjt SBioW, BAO, EDL, unb GAC,
LDF, matten; unb »crb«n von n>tlifö6clic^en ^unftm
btt aufäclitUten Sinien, G, L, auf bi« gbtntn bir luetff-
Siba4Kn!IBinM<3)ttl>robtf<t, GK, LM, stfJat, »on btn
fünften,' K, M, a6(c, wo biefe 5)«tP«nbiM bie Ebenen
tRff«n, nac^ i>b«<b<»^ @4rit(l|>unfttn, A, D, (imb«'

Kinirn,

eilf«« S5u* }4)

- Siiiini, KA, MD, ätjojtn': fo fif^fieftn fofc^t mit 6<»
' oufgeflellltit fitiicn gleicht SümUI, KAG, MDL, «in.

SWa*« AH =

- DL, un^ic^rbllic^ G
H tn GK Mt HI
pacaDel, lodere affo
fo »le CK, (1 1, 8. ,
0.) anf b(t @bme
tutd! BAC, Cit fie

' in Ittifft, pnpftis
tifulac ift. Side

fünften I, M, «)f

titttnimAB, AC; , . ■ _^

DE, DF, tie ^rtptnWftl IB, IG; ME; MF, ui» |i<^ii«
jttoKnJmlra, HC, CB, BH; t*. Je, EL. ' \;
. Da MI ouf btr lätnn tut* B.-.C, «Ifo (u,3.S,J auf
6m tinien lA, JB, IC, petpfuMfuIar ii>, fo iji C^/ ,47' ®fi
DHA = DHI+DIA, atft alA=DlC + DCA; ,
foWi« D H A == D HI + n IG + D CA; Wsmt »<«
D.HI+OIC=aHC, au(t> nHA=oHC+DGA, ,
f»l8li* Ci, 48. e.)-HCA = 9i. 8!un iH au8 <J<n liat
ertnten LFD=:S. goläli* i(iHCA=LFD. Sinn l(t,
nacfl iKr ^»auefeQung HAC^LDF, ou* .AH;E=DL,r
go(«Ii« i|l ( 1/ »6- «•) AC.= DF.

■Da fttnec n AH=DA1+DIH, a6itDAI = a
AB + OBI: fo (OD AH:^aAB+DBl+a»l;

foigii*, 10(11 aBi+aiH=aEH, «u*qAH=q

AB+dDH, fol8lt<(Ki,48. S.) ABH=8i. San ift
out sliiAm Stüntra DEL =». goleli* i|t.4Sil=:' ::
DEL. 9tuniftna(ttnrSßorausfeQungBAH=;EDL, «a^t'
AH=DL. SoIgH« ifl C I, a6. 8,) AB=DE. ,

tia ^ttmxtb AB=:DE, AC=:DF, uitb notb tat SDot#
aiKfi^ung BAC=EDF: fo ifi (i/ 4- 6.) BC=:£E, im»
ACB=DF£i MsM, na 1CACMFD=;«„ au«

iBCJ

35»

' (Sit((iti'ö (SUmtnu

efm: aHun

i{t atti eben ben
®t&nfeen CBI =:
FEM. Si»l0(i(&(i,
djS. e.) C1=FM
Stun war AG =
DF, unt» ICA =
JVIFD. So(8fi<t ift
(1/ 4. C) AI =
DM, dtfo au(^ G AI
DOM.

JDa AIH, DML, tt^tt ®infd, otfo O AH=a AI+
6IH, ttnliDDL=DDM+DML; abn AH = Dty
«fr.> «uA ri AH — r-i 'nr.. r» i(v r-i AT .1. i-i IH — ri

alfo av^ D AH = a DL: fo ifr G AI + D IH =0
DM + D ML. fRutt ttot nacb Obigem Q AI •:= O OM,
golgli* ifr D 1H= D ML ; olfo ou* IH X ML. SSu»
iMc lUK^ CMgem AI = DM , ttnb HA= DL. $o^(i(^
Ift ( I, 8. ©.) HAI = LDM.

3u f «f.

$ie«att< et^edet, ta§/ toenit Dte.ouf )tD(9 g(d<&rit etoim
flBinf ein B AC, ^F, in i^cen St^citelpuntten A^ D, aufge»
fteUten^ gleichen geraten Linien AH, DL, gleic&e SBInfel mit
teil tinten mac^cn^, mid^t erftgebac^te fßtnfe(-*etnf(d&(ief«^
Me oon ben @nbpun(ten bec aufgejieaten Stnien H, L, auf
^Me Sbenen bei; ISinfel gefaUteh ^cpenbifel; HI, LM,
9(ei^ fnib.

©er 36. ^a$. «el^tfo^. *

@tnb bre9 gecabe 2inieiv Af B, C^ pcoportionttt: fo-
i^ bad. ^atailelepipebdlt mi alien brepen,; bem dfeit^fet«
tt^en 9)iicaUefepip<bon toon bec jntttlerir, B, bad^ßem
(rg<ii slet(^nnnl(td i^, sfeic^^

<8» fe9 E ein eon ben bce^ ebenen Ainfefn, DEG, GBF,

^^)/ Haviiiirec f»tt>e«fi<^ «9infe(. ma^ jebe bet »m«n>

■ . DE,

€i(M ^\^>

it*

c •■

IX

-•

PS^ GE, EF, Der B g(d(& , unb oeUent^e ba< $acal(e(e|^ip(«
ibon EI. (?« f<9 fetnrtWe KL btr Agki*; fieüf C !t/*ör®.^
«In KL in K $in(n beiti E gleichet» oon bni ebenen SDinifedfi
MKN, NKL, LKM, bcgcinjten lP6rpetfi*«n SBinfef f nw**
au<& KN = B^ unb KMcrC^ unb »pttenbe bit^ fkuaOex»
lepipebon KH.

JEX» A:B = B:C unb A=KL^ B = KN = EF =
E;G=ED, C = KM: foijtKL:EF=FD:KM. «Run
ifi LKM=r DEF. . golglf* ift (6, 14. ®0 ba«^aMttelo»
9C4nMn ML = DF. :&a auf DEF^ LKM, in £, K, gfei««:
«nienKN, EG, fo öufgefltat fmb, bdg LKN = FEG,
unb MKNcrDEG: fo finb (ti, 35. Suf.) bie wn N, G/;
auf bte ebenen bec mnfd MKL^ DEF/ gef&ttten^fcpenbü
f e( {leieb, offo bie ttbcpit KH, £1,. t>on qleitbec |>&^. §Ruii',
ftnb ou(^ not^ 0%em i^te @cuobf{d<^en MLy DF/ dlkiic^.
SoIgUt^ < 1 1, 3 1, e. > KÜÄ Ei.

@inb mer gerabe iinm AB^ ei>, EF, GHj^ puöpoi^
tiottitt: fo fi4!bb(e t)on tbnett b^f^i^benen il^nfk^n unb
jSUftiftd^ (iegertben- 99^ta(lelf »iiMba / AI^ CK, £1^ GM/
(Hic^ l>rDpomonirt* Un^ flnb ttnr 4t)ti(i(^ef Pen toiet d^
rebeiv &mm^lm(ic^ befdj^tt^ene ^atattelepipeba Pt^o^s^
pottionirt: fo fmb bie gerobtn )(im<n au4i pfoportiotii^t.

35>

(SvälWi Qitmtntt

etiler $5eiC

S>a Alru
CK, fo ifk
(11,33.0
AI ; CK =

3(AB:CD).

üui tbm ben

Orangen i(t ^

EL : GM = 3 (EF : GH). Sf^m ijt angenommen, AB : CD

= EF : GH. SofgK<^ iji AI : CK = EL : GM.

©a »lebet (11, 33. ®.) AI: CK =13 (AB: CD), w^
EL ; GM =3 (EF: GH), unb nat^ bec annähme AI : CK=J
EL:GM; fo i^ AB:CD = EF:GH.

f

©inb i»ep €6enen, AB, CD, auf «inanber perpert)i*
futat: fo trifft bcr au6 einem n)iQfä^t(i<J^en 93nnfte/ ^
ber einen ^6ene auf bie anbete gefällte ^erpenbifel bev
$emeinf(^aft(t(^n t>ut^{^nitt beiber Q^benen , AD.

ite&fe fold^et $ecpenbife( nicbt
in AD , fonbern bie @6ene AB in
einem anbetn f^unfte F, wie EF:
fo fätte (I, II. 6.) in ber fSbtatA
AB au$ F auf AD ben Reepen«
biW FG, »cKbet alfo (i i, 4. S.)
auf bec <S6ene CD petpenbifutar
ift. S>«^ ^G. ^enmacb tp&te FGE=9t., aber oudft
EFG = SR. So(g(i(& to&ren im A EFG sn>ep. SBinfet =,
a 9t, toettbetf (i, 17. unm6dli4> ij^. Soidi><^ f<^n>t bec
atK E auf bie ebene AB gefäate ^cpenbffel nic^t au§er AD
faOen/ unb muf aifo AD tveffen.

v V

/

I

:e>iftit ss«t^

353

Äalfeift man bie .Otiten jTOcp« einanber tiegenöB«
Rricntm Sbtnen , AH, CP, tinii ^loraftitpipfiioii,
AF*, unblfgtburi^bie^ölbitungö'pvnfte, I, K, M, L,
0,N,P,Q, getnm, IM,NQ: fo ftolbirm ,6i< CiircfM
fc^niMtiaie folt^er SbctKn, TR, unb be9 ^acäiidrpU
)«bin ©wßottafc, DG', einanber. ■:.

3il6t man DT, TE, BR, :
RO: foiii, mfllDN/OE,
pxum, (I, 19. S.) D>T
r=TÖE. CItin in DN =
OfiT, ui* NT=TO. So(v
li*Ci,4-eO DT=:TE,
mi*NTD = OTE, alfo

1 (I, 14. e.) DTE eine «era« ^J jj

fee Sinie. üüi ^Ui^ttt ©rän;

ben ift aueb BR=RQ, unb BRG eine getabe ünie.

£« CA bec DB fpmD^I ttl6 bet EG gleieb unb paeoUei i|l^; .
fei|lali(b(ii/9.60 DB bet EG flieicb unb parallel, gojg«
li« finb Ci. 33. eo DE, GB, glri« unb parallel. S'IM
(Inb (II, ■;. 8.) DG, TR, in einer Sbene.

Co DE, BO, jleilb unb p,iraael (inb, au* DT=TE,
iinbBR=RG, fp if DT=QR. Stun ift anib (i, 29. S.)
TDS=S0R; »I« Ci, IS. ®.) DST=RSG. SbIjII« ■
i» (I, a6.S.) TS=SR, unb DS=SO, foljli* (inb
»eibt ilnitn, TR unb DG, in S ^IMn.

®et 40. ©a|. «tSrfoJ.

3l»(n 8(<W)e6o6e Wmen, AEBCFD, HOIMKL,
Don tpeft^en bad eine ein 9)aralie[ogramni , AEFC, bas
nnbere einen Triangel GHI, be(Ten ©opp?(fe8 bas gja*
roUeiogramm i)l, jur &runbfl^e ^ar, .ftnb «inanbec
0(<i(f). .

eii«»*»I(iii. 15 »»«et, 3 , "*

354 euf(tb'< Sfemettte Siffte« Su<^»

fBoKenbetie '
^araUefepipeba
ED, GO.

.tat ^araOelo^

(tamm ÄF rr

lAGH!, unb '

(i,34.®0 HlrxiAGHIt fö 1(1 AF=MI; fci^M

^nb, n>dl att(l^ bie |)6^en gleich fitib, (ii, 31. ^) tic fl^

raUelepipeba , ED, GO, tinb a(fo ou^ i^re (^fMi ^ tim

(u^bie^nfmmAEFCDB, GHIMKL, ctnantct j||H<^.

\'

• t ' \

•*

fmtrt

1

3^5

k 1 ■— ^—■— p— ■— —

i •• « (

• I ^

i '« — — — — .

er 1. €5a§. «c^tfof.

™e^K(^e in Äreifm 6ef(§m6cn< ^Jofugone, ÄBCDE,
FGHIK, »et^ffen fi^ wie bte nuotrate t>er 2)ui;efamefs
f«r,HL, GM. ' '

,\

3KKBE/ -^L; GK, FM.
^ ^ mgm 8(^nli(bfeit t<t ^olpgone (6^ i^9.) BAE
OPK. ^n^ BA:AE=GF:PK ; fp ftn» (6, 6. «0 bte
Stiangei ABE, FGK, glei^winfög, olfo AEB=FKO,
Shiü Ifr (3, ai,®.) AEB= ALB,- un> PKO=FMG.
^glic^ {fk ALB=FMG; aUtCi, 31.®.) BAL=GFI^
S 0l> fofgti^ att(& ABL == FGM. S)etnno6 ftnt Mi»
$tiaii«(f ABL, FGM, glefe^inf lig ; felglict» iil (6, 4. 6.)
BL:C^=:BA: GF; (Ufo aud) 3 (BL: GM)= 2 (BA:GF).
«ttiilfk (6,ao.«.) a(BL:GM)=oRi':DOM, «nb
a (BA t GP) = ABCD£ : FGHIK. Sotgli«^ ifk ABCDE
: FGHIKs D BL : Q GM.

3 a ©er

356 Snfftb*« .SfettMttte

jtrdfe,. ABCD/ mPOU^ ^tt^ofttn ^y^ »Ü^UtJCa»
btate i^w ©utc^meffet/ BD, FH.

G

®are ni*t D BD : □ FH = »c. ABCD : Ar. EFQ?tj
fe f<9 D BD ; D FH =r «r. ABCDtJl, fo töl ttt |fc
c&encaum R entnxtcc fletnee «^c gM« Ott >«c Jtntf
EFGH i<9.

e« f<^ ^li*« R<Äc.EFGHy ttnb D BD:a FH=3
ftr. AliCD:R,

S3efc&rei^e U^"^.. 0,) in km ftrd» EFGH bot &ä«bMt
EFGH ; f» ift ^tjti '^th%n ali bn ^IVtteÜ, ^mn w»
Um tuc^bie fünfte E, F, G^ H, fSrtii^nmfllßmm gc^o«
gm: fo tit (I; 41. @.) ta« tnnne Cimttat EFGH bte filfi
tt-£K iufetn. Dun tft t)er Stet« f (einer a(4 bdf &^ete
Cuobrat $ol9iic^ i(k M innere £ittabrat §r6^ Ott to
^öfWcei«.

• ^atbiw tie Vogm EF^ FG, <iH, HE^ in bm fhmftit
f> K^L; M,unbsie^EI,lF, FK, KG, GL, LH, HMyME;
fo'i^ Utttbtt mtftanbenm !ltionge(, IFE, KGF^ 1>HQ,
UEH, sc6§er «(« tie^älftc M tt^iabi^^mM^ xwm tt
beffnblicb if^. t)mn »erbm bnccb t>ie ^nfte 1, K, h,.iä,
9erfi^cut?g6(tntm ^ejogm, unb bte ^qr«i8e(Dgtainme . i^
EF, FG, GH, HE/ opUmbet: fo ifk it^r ber obdendnnten
l^riongei bie ^äifte bee f)ara((«(ogMtiiiitf / nwrin cr^obfi^

\ '

tft« Stm t{t jfb«c l(rei«äH<:Onttt ffeiner^ MtbaS jugej^itt^e
^atoOelogCiautm. ^oCglicf^ ift jeber ber o6genanntcn itriatiget

SBicb bemnac^ tie |)aU>tcung ber ftceiCfrogen fortgefe^r^
iinb 6e9 tebec |)aI6intng o&ige Sonflruction tpieber^olt : fo !
'Weibctt (lo, I. &.) einmal Ätei«abfc(?nltte, etwa We auf
len Jinlen EI, IF, FK u. f, to. librig, »cicbe jufammcn fto ;
tin ftnt)/ att bet Uebecfc^ug be« Steife« EFGH äbec bie

' %lh^ R. $0(9(1^ ift ^ai ^ierbur^ er^dttene ^ofpaoti

- EIFKGLHM > R.

tßef((ed6< in ben ftcrü;} ABCD eis tiefWn ec^Itroen ^o»,
lp«0ne i^nfi*«! ^olpgoit ANBOCPDQ: fo ifk üa, i. ©.).
Ö BD : DFHÄ^olpg. ANB jc»: ^ofpfl. EIF 2c. giuti ,
toat onsemmmcn Q B^: Q FH = 5tc. ABCD,:;R. gofgUc^
i{k tt. ABCD : R == ^ol^j, ANB jc ; ^ulpg.. EJF jc.
{Run ijt offenbar ^r. ABCD > $0(99, ANB tc; So(gIi(> '

ift (5/ (4> ®0 <^^^ R > $0l9d« £iF )c.^ md^ bm ^oa.
^ tiflcn^ bai R<EIF ». fiep, tpibecfprtc^t. 2>emh<i<^ ift .üc^t
DBD;aFH~Ä« ABCD: R^ wenn R<ftc. EFGH,

au« eben ten ©cutnben ift au(& nic^t Q FH : Q BD :^ ,
«r. EFOH : Z, wenn bie g(J<^ Z < Sv% ABCD.

«« f(9 5li*e R> Äc. EFGH, unb Q BD : O FH=;
Äc. ABCD:R, folglich au(^ uroaefe^rt Q FH; aBD =
R : 9t. ABCD. '

(g« f^ R : Äc. AaCI>=i »e. EFGH: Z,, fo bag,. «xit
R>«c. EFGH ifk, (5,. 14. 0.) au* «c A8CD>Z fep.
«im ift ongenommen O FH : □ BD =s R : Sic ABCD,
%9l^Uf ift QFH ^D BD =r St. EFGH : Z; mel<bt€, b«
Z < St«.. ABCD ift, na^ bem e>ften Sali« unin6^i4) ift.
Xman«^ ift nicU D BD ^ O FH = 5tc. ABCD: R, wenn
R > ftt. EFGH, unb nac^ bem etften Satte auc^ nic^t, wenn
K<Sc£FGH. So(0ti(&iftaBD:aFH=5t(.ABCD
. :Rc. EFGH»

. 3 3^ $>«f

I \

I

F

3Sl SuRib'« Sltfflimt

. ©et ». ©0$. eeStfaf.
Sfbf breljfeitiite ^nrami&e, ABCD, ßßt p(^ ili gtt(|
Sleid)e, einander fetbjlunb ber {lanjen ü^nli^Cr bte^fnittge
^pramitm, unb in jtee^ gtei(^e firmen, »clijje {tb
fcimmra 9168« oU bie ^älft« bet ganini^raniibe pH/
J<tlt9tn.
. 23ii ®tunbflä4t bct
fVtamibe feQbetSriotmcC
ABC, wtb iic Sipfd D.
t^alMnl»timlI11AB,BC,
CA; AD, DB, DC, in
t<nVun(Hna,F, GjH,
I, K. 3i(^ bie ^Inirn
EH, EG, GH, reobur*
Ue brfbfeitifle fpramibe
AEGH;ftcnnbiceinitn
Hl, IK, KH, »obnctb bil bt^lfeitigi Vt'amil« HIRD; a4i
lüb bie Sinim IF, FG, tvoburtb bn« ^fma EBFGHi aHf
tn eninblUctii EBfG, unb bat fiifmaGFCEHI «f b«
etunbfli«« FCC tatf^.

Srjlet S5«''-

]Ddfibieb(tbmbef9fntistn VpMmibni, AEGH, HIKD,
trnn Spifen H, D, unb ®ranbfU<b«l AEG, HIK, «tlUniba
fjleitb unb i^nlid) finb,

aoAE = EB, unbAH=HD: foill C6,».«.)EH
bcr DB pntäSel ; aber au< eben ben @eilnben auc^ Hl bct
AB; dlfo HEBI ein VirulllliljIKimm, fcigKib (i, 34.0.)
H1=:EI1: aKo, li>eiieB=AE, «iit AES£HI. ghm
ili AH = HD, »libCi, 39.S.)EAH=:IHD. golgli«

((i (i,4;s unb6,4.e.) aaehSahid, unb eh

= ID. «n« Bleiben Sltlnben IK A AHO^A HKD,
Uib KD = OH.

X» ^ietnii« HE bet DI, unb HC bet KD, gteü^ m»
MMllel ifi: t» i|t ( »'/ «■>• «•) EHG = IDKf fblgll«

(1,

( I, 4. «. tinb 6,.4. C. ) A EHG ^ IDK. «u« tien ten
©tönten i|l A AEG ^ HIK,

SDnnndc^ wrrj^m tie ^pratnibm AGQH, HIKD, »on.
gld^ eieUn« gfei^ tinb &^R(i(&en 9bmm begr&njt, utit finb.
foiSlk^ (ti, IQ. 90 d^ante( gUidE^ mti i^xA\^,

Z)«fi getackte ^^ronHten, AEGH« HIK0, ati<^ ^

2Da HI ^ AR t>4raa((: f» (int^ C'/«?- 90 Ne ^riangcr
ADB, UDl, flUif&njinfßg,, folflli«^ (d, 4. ©.} i^w «cite»
pmpottiMijtt; fo(fltt4> (6, i. IS.) bU Sriangd AJ)B , HDI^
JU^nlkt. 7tt< (6cn t<n®tätt^n finti tiü ^rian^el BpC, DIK«-

lü BA »(t IH/ mti AC t>ec HK )>atal(e( ijl; fo ijt (i i^
lo. C.)BAC:5=mK, a«<& (5, ^5^®0 BA;AC==:IH

s.»]Ki fo(^ (6, 6, eo aabg<vaWk.

Z>rän<K^ i{^ (i l> 9«. Si) IKt^camtDe ABCD tec HIKI^
il^ntk^, folgfic^ auc^ t(t AEGH^ tP(U tiefe na(^ tem etften
S^c tec piKd &^nU<^ tfk.

X)a§Me|>dTmen, EBFQHI, OFCKHI, »e!*e, »en»
oimToon Ut g<in}m $9.«unite oMgt teite f(einc ^Pptamiten
»egnUmnt, ibng Htiifn, ei^ontec gfei^ |{nt.

JDtt BF=:FG, fft ijk (i*4X.©.)EBF05±2AGFC.
S}«n ^tcn getod^te^ciftnea«. toeU in tent etften bec ®cunl>»
f&te EBGF/ tie Sinie HI, Ha Dem iwepten bec @tunt{(&(te
GFC, tie $fä4»(IK;£Cae8en&6et liegt ^ «(eic^e $6^e. $0(9«
fi(& fint (11/ 40t 6.) tiefe <pctfmea ((eic^.

mttttt t^tiu

$!f|g>it($rifnen, EBFGHI, GFCKHI^ }ttfanmien
dr66et fitm, M tie i)&(fk tet ganjcn ^pramit«/ ABCD.

3 4 3««6t

^

, I

$6o

^vülib*» SUmeme

Sitftt EF, EI, f» mu
fttitt rim-^ptamtK^^BFI,
tetcn ©tunifläfte EBF,

fnl!av<lJnfmaEi-iFGHI
>'pi>r.EBfI. Sßunfmb
fcie ^Diamlöm EBFf,

»tel Qlt[(t)en uD^ä^nlidptn ^« ■ , >- ■ .. ,- j«-

iSbttyixi bi^thnit mxitrif ^ 7

jl.i* unt öbn«*./ golgli* i(i ^ifma EBFOHI >f96
AEGR. giun »ttt q}nfni(jEBFGHIi=^riftna FGCKHr,
wnb ^pr. AEGH= ^ijt- H IKD. gcIftU* ijl^cifmfi FGCKBI
> qjpv. HIKD. golgü* ift «prifma EBFGHI + 5>rifiiM
GFCKHI > ^pt. AFGH + ^»t HIKD. S*mno«. Ifk
We ganje ^»amibe ABCD in jroep unfllei(t)f J&«fe g(f&fil^
»oDör bec srögfre bie briben ^rifmen, bec flrinere We 6rf«
ten $qcan)iben rnt|)&It. gofgltcb finb bie M^ Jfrifinnr
Srit^ <il€ t^i' $^lftE bfr ganjen f^ramibe.

^ttbtttiwtt) brepfeiiige ^oramiben bon gfcit^er^A^^
ABCü, DEKH, in iwen citeit^f/ einanber felbfi unö btt
fiaitjfn hhnliiit, Qlpramibm unb in jweQsIeit^e^iifnicn
IttliCii, uab Die enttianbenen 93ijtqiniben mteber auf eben
bie 2Icr gctbeilt, utib bifß inimec fo fett: fo Ijetfeaften
ftd) iiUe 9^rifmrn fn bet einen ^pramibe ju benen toon
glddisc Unzahl in Ut anbern, wie b(e ©runbfladje Uz
einen, ABC^ jur l^tunbflät^e btcanbernf DEF.

2;a tic bei*

•on G, H, attf Ue 96men ABC« DEF, gef&Ktat fJecpcnMftf
dl«(^. S)a t>ec ^etpenbif e( au< G unt t>i ■ '^inie GC ( 11,
17. 0.) »on ben $acaUe(etoien ABC, OLM, in gldc^ec
^et;^(tni§ gerc^itten »ttten: fo wtvt)/ toetl GC, »on b»
^ftene OLM in M ^albirt ijt/ auc^ getacttec ^ettwiHfef
<ii(|g 6 oon ixt I56ene OLM ^a(6itt 9ivA tbtn bmQx&ti*
ben toicb au4l bec au< H auf tie@i)ene DEF Vf^Qte ^ec)>CRs
tifd Don bec @6(neRTS ^al6irt. Sßun finb grbact)!« ^ccpfn«
bifet , fo(dU(|> auc^ i^ce |>&(ft«n/ d(ei(^. ^olgiic^ ()abfa
We q>ttfmen KNCMLO, QVFSTR, gleiche |»6^f, unb »ew
^(t(n fkt td^er (ii« -38. 32« 0«> tote i^ct @runbfU(brn
KNQ QVF. SRun jtnb bJe fjtifmen in jebct bmr ypwmiben -
ABCG.DEFH, einanber gleich, urib ba^cc $eifma liCNBLO :
|Wfm.KNCMLO=ycifm.EPQVTR:^rifm. QVFSTR;
olfo (5/ 18. 16. 6.) Vrifm. IKNBLO+Vrifm. KNCMLO
:Vnfln.EPQVTR+yrifm.QVFSTR=^tifm.KNCMLO
: ^rifma QVFSTR. Solgß^ljl A KNC : A QVF= ^lifai;
IKNBLO+f>rif«u KNCMLO t^rifm. EPQVTR+Mm.
OVFSTR.

^ta BN=NC, unb AK=KC; forgfi* (6; 2. «.) NK
tet AB päcaBel: fo ift (6, 4. ©•) A ABC<VaKNC. «tt«
eben ben ©rfinben ift a DEFruAQVF. 8tun i^ BC=:
«CN, «nb EF=aFV, nnb ba^et BC:CN=EF:FV.
8oIgfl<^ ijl (6, 12, e) A ABC ; A KNC= A DEF: A QVF,
olforerwccbfeUAABC:ADEF=AKNC;AQVF=
«Prifm. iKNBLO+^tiftn. KNCMLO :^fm. EPQVTR
•f^cifm. QVFSTR, na^ ien oben JBewiefenen.

®etben nun bie entjtanbenen rteinern ^pranuben OLMG/
RTSH, eben fo $et{egt: fo txt^ten itcb nacb oMgen @cän<
ben bie @mnbf[&4>en OLM, KST, nie bie beiben ^eifmen
in jebee bec beiben obigen f)9camiben. SRun ift A OLM : a
RST = A ABC : A DEF. golglitb ifk A ABC : A DEF=
«iec fjcifm. in ABCG : oier $ cifm. in DEFG. $(uf eben bie
«et wi(b bec (ßeweif au(& ih t>k Mmcn in AIKO,DPQR/

35 ""*

f

iH

^üfMVi ^itmtntt

mV iber^mipt f&e aUt folgende (Sint^enungeR «911 sfcicfwt

©^fettige ^^ramtbcn uon gfefdjcr J&iÖ<^ ABCO,
DEFÜ, «erhalten ftc^ wie i^re ©runb^i^ert, ABC;
E|EF.

F B

®ire ni*t A ABC : a t>EF = ^pr, ABCG :
DEFH, f6 fep A ABC: AÜEFrs^pc. ABCG: X, fb
6a§ Mc Stivpa X cntVKtcc {(einer cUt $^tt tüß 9^9^*
PEFH fe9,

«rfiet gotr.

«< fe9 Stetpet X< ^9t, DEFH^ «n> A ABC; aDEJ'
c=y9cABG0:X.

3^ege (13, 3. fi.) tie ^t. DEFH in jwep (foinece gfei«
V^f, einan^ec fe(t^ urri> txe Jansen &^nii(^e« ^^ramibcn ani in
}i9e9 gfeicte ^cifmen ; ba§ aifo ^ itiben f)rifmen {ufammett
gc6§ec Ott ^ie ^Mfte ^ ^nten ^ptamibe OEFfl fin^.
SDiefe fleineien {p^ctmitMit {CKfege aiif eben tie Set, unto f»
jinmec fatt, bif t)« (lo, i. ®.) auf ^ptamiben (ominft, wU
öit ((einer fin^, al$ in Iteberft^uf ber ^9r. DEFü ft^er
tien «6rper X. S« fppen Wefe ^pramitien DPQR, RTSH:
fo {tnb ti( in ter $9r. DEFH äbrigen ^rifmen srifee
«(«X.

SDie «tbere y9ramtbe, ABCG, tDcrbe auf eben bie 9rt
na* 9(d(ber anja^( jeriegt: fo i(k ( la, 4. C) A ABC : A
DEF = f^rifm. tn ABCG : i>rifm. in DEFH» 0hin tfk

ans«;

\

/ »

' / ^

Oligj/lmiam AA8Ct^DEF==y9r.ABCG::t griglicft
ifk^pt. ABCG:X=$tifin. in ABCG:$cifin. in DEFH..
Stm ift ^r. ABeQ>^tifm. in ABGGi gofglic^ ift (5,
14. ®.) X>VnfiR. in DEFH^ w'dcH beut S^otigen/
f^tifm. in DEFH > X, toitxtfprictt. SDemnac^ ift nic^t
A ABC : A DEF= ^prmn. ABCG : X , »cm» X < ^pram,
DEFH. üva eben bm @tjllnben ift üüö^ ni(^t aPEF: a
ABC =: $9C. DEFH:Z, wenn ?<f}9C ABCG.

«fq) X>y9t.DEFH-unb AABC:ADEP=^r.
ABCX/:X, fol^c^ du«& tnngefe^ AD£F:aABC=X
|)9CABCG.

, «« f(9 X : ^1 ABCGcr ^. DEFH : Z, olfo Z <
ypr. ABCG. Stun ift angenommen A DEF : a ABC=
X : f^t. ABCG. goIglU^ ifk A I^^F : A ABC :;r ^t.
D£FH : Z i toel^es no^ tem ecjten gatte unm68(i(^ ift.
Z)eiim<K$ ifk ni(^t A ABC iT A DEF = ippr. ABCG : X,
ttxttii X > l^r. OEFH, mh oa^ bem «c^en ^oät diuft
nic^, mrai X < ^, DEFH. $»lg(i<^ i(k a ABCf; A
DEF = ^pt. ABCG : |>9t. DEFH.

i^ir 6. ®0|. «e^ffal.
S^ietfettige ^[^^ramtben t)on qün^tt j^hiit, ABCDEi;<y
FGHIKM; verHtcn ft(^wie t^re ©cunbfi&c^en, AfiCDE>
F6HIK. I

/

V-

)

/

St^e (iefe 9nmbfl&<6en In i^re Sciange^ ABC, ApD^
ADE> FGH/ FHI/ FIK, «nt fkelfo bic A^ j^ein Sriatoget

eine

/ •

364, CuHib*« ©eotente •

(ine $9Cämtt>.e »on gldc^w ^^ mit ^ MUn anf&ngfi^nt
^ptMinttot vor.

-©« (i«> 5.®.) AABC.'AACPrr^c.ABCLjqjp«.
ACDL; fo ifi »«rbuitöcrt (5/ 18. ©.)ABCD:a ACD
r=^c. ABCD^t^pt. ACDL; 0lan ift (ia, 5. ®.) ouc^
A ACD : A ADE = ^t. ACDL : ^t. ADEL, ^ofgfi*

ift (5, 22. «.) aus Öem <BIet<^en ABCD:a ADE=r

f9r.ABCDL:y9r.ADEL, folglich (5/ 18.©.) vitbmf
^n ABCDE : A ADEsr^pr. ABCDEL .-^pt. ADEL.
9ivti iMd^n ®c^n^en ifl mäf FGHJK : A FlK = ^9t.
FGHlKM:$9C.FiKM, fofgßt^ <iu(9 tiniQefe^ AFIK
-FGHIK = ffft, FIKM : ^^r. FGHIKM.
o a)a A ADK:A,FIK=^9t.^DEL:^Dc;FIKM, un»
n«* Obittm ABCDEia ADE ==1J9r. ABCDEL :«P9c.
ADEL; fo ift otid bem (Skidben ABCDE : a FIK =

^pr. ABCDEL : $91;. FIKM ; ab» aucb nac^ £)f>i0cm A
FIK : FGHIK = ^9t. FIKM : fjpc FGHIKM; felgtii^
<Ut8 beitt (Btetcbeii ABCDE : FGHIK s^ q^pc. ABCDEL
' j^pf. FGHIKM,

®er 7. @fl$. iel^cfof,

3ebe« bwfettigc g3rifma, ABCDEF, Ihft jttj^ m btei^
(lettre bf«9fettide ^^oraniiben jerUgen.

3iei^e BD,, EC, CD.
..^ (II«.: 13. d.) ABED (in $ arodelogtämni / fo ift
(i, 34. ©0 A ABD=aEDBj foigU* (12, 9. 0.) f^9f.

AUDC

^tihifM l^ttc^'

i6$

ABDC-=^r.EDBC; »mn 6(i«
tn &^it ift C. Slun ift ^:
EDBG mit f>9V. EBCO biefelbe.
Sol0(i(^ t{k W. ABDC = ^N^i;.
EßCD.
Iba feniec FCBE dn $ara((e(o«

gMBim, fo iji Ci/ 34. ®.) A ^BG
:=^ECF, f^IflJit^ (.12, 5.<S;>

<P9c.£BCD = ^9C. ECFD; tenn

(eibec 6pi|e 4{k D. !Ruti tpot f^^t.

EBCD = «P9C ABDC. $«(sli(^ ifk ^pr. ECFD ±=99«,-

ABCD; :

. ; jDnnnM^ iftbai ^tifma ABCD^ in brt^dCe^ tec^fd«

4id«^tatnll(h ABDC/ BECD^ ECFD/ det^cÜt tobttou

.... - . , .

3 u f a !•

{rfetaui (t^et, ba§ tett^ycn^übe ber britte S^eif ehtel
f^rifinA fepy iaiaUidft |)6^e unb etnetiep ©runbfl^e mit tl^t ^

!Denn bä ^omibe ABDC mit fi^t. OaBD biefefte-ift;
«bet ypr. ABDC =r | f^tifm. ABCDFE: fo ifk auc» ^9(t
CABD = f $clfm. ABCDFE;

SB&te ttun au^ t>ai ^tifina Ditffdtis; fo (&§t e< fi^ bo^
in lautet? bte^fettige jeclegen;

^e^nßc^e brepfetttdc ^ptamtDen, ABCQ, 'ÜEFH;
ftnb in l^ce^fadber S^ecl^&Itntß i^er l^omoIojKm J@eiteni
BC, EP. ' -'

SSoKente bie ^a«
t«0ele|>ipeba Bf/
EN. S)a ^ptom.
ABCÖ rb ^j^Mtn.
DEPHtfbiftCii/
9.e.)BCA=:EPD/

ACQ SS J>FHf

iSW

i^üWi i&vmtt

BCGsEfH; au(&
BG:EF==AC:DF

fV>FQ, CIroFN,

pnb (11/34.®.) w

Alle (tegenlten gKiVflniO) i^rm. ^o)gli(& ifk ( ii, 9. «.)
BlrvEN, fofftlic^ (II. $3.«.) Bl:EN=S3(BC:EF^
jRtm mt (in ^tiim Me |)&(fte M 9aoiia(l()»ip«to»itf , Mr $««
tamt^e ab« btt ttitte !i^{ \>ti ^tiima, a(fo Ne ^camifeie
M( :fiR^ $^1 .^>«< yttcaI(^e|H|)e^n«>. nott t«^ i{k •( 5^
1.5. &) m : ^ =:1»«t. ^9SQ:^c.J:)GKH. $»(g#
'ift av4 ypt. ABÖO : ^pr. PEFH = 3 (ßC; EF).

1

'■■■■■•;;. ■■ 8»faf/ ;•■

^^iecaitf et^et, boi m^ i^nliö^t iNielfett^e ^pcamibeii
in breffo^ IBec^rtnif i^jrec ^mologcn 6ftten i^np. ^^
leclegtman ( 6/ 20. (S.) bjr ^gnftcben mtlfettigen OnuibfUk

tamibtn in btepfeitige: fo t^er^att jtcb eine bre^f^tige bqf
einen t^ielfeitigen ^9vamibt.px einet btepfeitigen bec anbem, toie
oile btepfeitige bec tinen pi aOen brepf^igen ber anbetn , bai
ift>^|bie eine, pielfettige f^promibe^au bet anbenu S^:.aber
Ke btiniifeiltigeh ^pcomiben in .brepfocbei; $ßerbi(tiii§ i^ei[
^omologeii Qi^eiten ftnb : fo' fmb ei aucb bie tieljfeitidfm

•■V .•

- j^er 9.,^«^ ie^tfo^.

-^,.,-#V"* f

@lnb bfe^fcWsc ^w<imtbeit, ABCG, p^^^ ein«n«
bec^etc^^tfe ftitb bie ®mnb|iac{)en> A|^^ I>EF/. in tun».

5%«/ ABC, DEP/ in ttmgtf^^mi: SSfd^ifdbecjgii^.

'v .

3»Slft« Su<^

.3«7

fm: fo finb bit $;»iiiibtit, ABCG, DEFH, eiiuiifea

Qoflntbcfeie$at(it[tIfpipeba, BI« £N, Menitbm99Bi>
•tibcn alnbt ^^e ^aM.

Stfttt tieii. ' ..,:,••. J
' «i (ttVtt. ABCG =f«t. DEFH; fc m, BEirK==
« ¥vt. AKCG, unb EM 3= 6 Vlit. DEFH, ciut BI =
EM, f>lj«(l»(ii, 34.0.) BK:EM = {>i^ muSNi
$(6e NU BI r= $c«t t<r Vtc. DEFH : $i«t .tn fgc
ABCO. Bhin'id BK:EM=aABC:aDE1'. gflgli«
l|l <■»» /i ABC:aDKF= Jt^ bn ¥»t.D£rHr.t6^
In ipjr. ABCO.

• 3»<i>tM steil-
M («I AABC:ADEF=:{ii||C btl f^. DEFH:$^t
b«t?)»t.ABCG: f.. lft,i»iiIAABC!APEF=;aK^EM,
M(b BE : EM =: Mt md .EN. : iit^e eoo B] ; folglid)
( 1 1, 34. C- ) Bl = EN. Kuh i|l BI =: e 9(1. ABCG,
«Hb EN =: i ^pc^DEFH. Sbl|lilbi|)f;c.ABCS=¥»c,
DEFH.

S5et 10. ©Ol. ««^tfaf.
SM« l(<«il ift bn btittt $^i( tint« Spliiib««, mh
i^n mit tN 9l<i<{l< öi^c unb einttlii^ gtaubfUt^^
ABOB, ,So(. . . i . -

368 «uRt^y €f(m«nte

fb ib&rei bfr Splinbec entme^
bev gt6§er ober (leinec/ dA
ba< ^repfac^ be< itegef^«

€rfler §a(L

!Der 6nftnbcr fcp 9t6fiee
äl< ba< S)re9fa(^e be$ Se^
gett.

eefc^tetbe in ben Stteii, bec bie ®tttnbfi&(be Ui (Stßn^et$
tinb ftege» i|t, t>ai Cbabrat ABCD, fo t|t fb((()e«.0c6§cc
jM bie |)^(fte be< Streife«, auf bai Sinaitat fleUe ein mt
tem Cplinber (ileic^ ^o^e< "^rifmay fo ijt folcbe« 9t6§er all
Me l^fte be< g9linbei«. :

. Z>tnn iDtrb auc^ nm ben .Srdf ein £liioibtat *be(ittte|en:
fo ijt iai innere bie |)a{fte beö-iugern. Sinn Der^aften fid^
Äie auf biefe Cluabrate geft«((ten> . mit bem^plinber 0(etct> 1^
j^ ^rifmen tote i^re @runbf{&(^i, golsljc&.ifk iai ^rtfm«
auf bem innetn Cluabratf bie |>&Ifte bei r^cifma auf be»
toiitvtu » S)a' nun ber Spitnbet ((em^r ift/ att boiS ^cifma attf
bem aufem: 'fo ift ba« ^rilfma auf bem inoent/ AQCD/
grofier att bie ^(fte be« ^linber«.

Imiaire bie Ärci^bogAi, AB, Bfc, CD, DA, in E, F, G,
H/ unb beliinbe bie ^cm^tfiipunttt: fo ifl; )«bet tttbas
burct eiitfi:anbenen i,naniAr loie AEB / gr6§er aÜ bie |»&(fif
te be< '}ti0el^6rigett Jtrei^bfcbniM. (SteUt itutn ba^iv auH
jeben biefer Sriangel ein mit bem CTpÜnber ^(eicb f)oi)^ ^rifir
ma: fo ift jebe« gr6§er al# bie ^fte beiinge^örigen Splint
berabfcbnitt«.

Z)enn toenn burcb bie fünfte ^ E 2c* mit AB k. ^atcütU
finien geiogen, iift ^arattelogramnte ootlcnbety • unb auf bi^
fetben ^ardl(e(eptpeba oon gleic^r |)6^e mit bem gpfiitbet
geftettt. toerbert: fo ift jebe«J)rifma auf ben iti^iangebr.
AEBk. bie^ai^e eine« fob^en ^acaileleptpebon«^ n>elc&e<

großer

fer att tie |)ifftc brt gpKnbecabfc^nitt^, _ ;

StuiK^albire man bie Scet^bogen AE 2c im)^ imfa^e t>6&
lig tote oor^et^ unb tmtiter fo fort: fo fommt man'(io^ '
i*pö irgeitb einmal auf (EQlinbeta&fcbitftte^ bte fUinec als
beir' Ue&etf<!bu§ be^ SpIinbetJS u5er \fai S)i:e9fa(^e bc^.Se^eli
fmb. M fepen biefc bie «bf4)nitte auf Afi, ERjc: fo ijk
ba< *&^i;t$e oielfeitige ^ctfma oon gfetc^er ^&^ mit bem Sp^
linbec auf bet ©cunbflac^c AEB k. gröget alj baj( 2)ceofac&f
beö SegeK* S^un ift auc^ biefc^ otelfeitige ^rtfma bat ^tttj^
fä(6e .einev^ptamibe^ bie etneriep @runbf[a^e unb 0pi^e
mit bettt Seg^el l^at. Solijlicii tfl' foicbe ^ptaiin'be grigec all
ijet'Ä^ärt Ätif bem Äceife ABCD* 2)a aber biefe ^JJptamtbe
(n bem. iSJegel. ent^altett ffl: fo ift jte flelner a\i bec ÄegeL
S^te§ tottei^ncbt einanbe^ Sotglic^ ift bet; SpUnbet nic^t
g^§(ift: ätt bof ^cepfac^ be< $e^ *

asiet Spfmbet fep f feiner af#*ba« jDtepföc^e be« Äegell^ '
folgtt^ äu^ umgefe^rt^ ber jtegel gr6ger al« bec britte !t^ei(
Ut !^rtnbet:«v " ^

- $fe^ f<ft »i^ber in ben ftrelj ein Öuabrat ABGD befc^rie«
ten: fo ift biefc« grifer aK bet Greifet |)Mfte. Stuf bal
£lttabrat f^p eine ^pramibe oon eineriep ^bf^c mit b<m Sege(
gefteOt: fo ift biefe gr6§er att bet Regelt |)ÄIfte.^ .

Spetm loirb^ n>ie im erften Saifte^ um ben itrett ein £lua^
trat jbef(^rieben t fo ijt bat intiere bif |)alfte bet hvi^tttu
SBerben nun auf beibe £iuabr(fte^rifmetii oon ailefc^et ^bfyt
mit bem Segel gefteßt^ bie jicb a(fo ( 11, 3«, ®.) «ne i^
@runbf{&c^en oer^atten : fo t jt bat innere ^rifma bie |)&(f te
bet &u§ern, -äifo auc^ iai 2)ritte( oon feneni' W |)&Ifte bet
Z)mtti^t..pK{i blefem^ bat ift^ bie ^^pramibe auf bem innern
Ouabrate bie $alfte ber ^präniibe auf bem du|etn^ Stm ifk
(fe^jtere/ tt)eil (te bm Segrt <nt^6lt/ gr68et alt bei: ÄcgeU
S^lglict^ i(i bie ^pramibe auf bem innern £:[uabrate ABCD,

tmm &m. 15 «il*er. • «« W«

57«

^f(tb^ Sfcmente

9tun ^albixt man triebet
bie SceieJbogeh Aßjc*; unb
, jie^e AE 2c.^ bag olfo jcbvC
t^uangei;, tpfeAGB^ gc68c^
aU. bec iuge^6rige Sretöab^
f^nitt ift; (ieUe auf jeben bie^
fec Jniangd AEß ic. «Pppa??
inibcn t)on citiedep ^6^e mit im Sc^c(: fo.ifi jebe berfef6en
i9j:c§et: att bie |)&lfte bei iugc^6rigen Segetabft&nitW* ^hf^tt
inan nun mit ^cdbivmi itt ftveiibogen / unb bep, öbrigm
ßönflcuction fo.fort: fo fommt mänjuic^t auf Äegeil;ibf<t)nftt<;
bie f feiner finb; at« ber. ttebjecfci&u§ üi SogelÖ Aber bfli
btitten U^eil fce§ eplinbecö* 2)iefe äbfct^nitte fepeh bie übet
A£, EB 2c: fo ift b{e »itifle fH^ramibe auf ber ©runbfU^e
AEBF2C. unb in gleicbei^j^tmit bem ^cgcl^ gc&gec-ott
Ibet brittc if^eil beö.SpIinbet;^* Stun ift biefe ^prctmibe bn
britte !^r)eil be^ ^rifma bön eineiiep J^5^e ühb @cun(f(ft4c
mit bemSplinber* So(g(ic(> ift.baö ^rifma auf ber @runb;
f[5$e AEBF :c* ftroßec ali bec ßpfinbeir aiif bem Streife
ABCD, niit bem Hl einerlei ^6&e ^at 3lun ifi e« aber in
bem Splinb^c mt^atttn, a)fo heinet/ toelcbe^ einanber mtbecs
fpticbt 'B^loiü(b ift ber Splinber nic^t f leinet Uli bai Ibtttft
facbe beö JtegeK; ^bet nddb bem erften $aKe aud^ nfa^t
gtofer; folglich ift bcr Stege! ber. britte H^eil biefe« «9^
iKnbep«*

©er II- ®a$* £el^rfa|. .

. Äegef, auc^ epfinbec AK, EM, bon jlfetc^ttr, J^^O
IK, LM, berl^aften (tc|) »ie il^fe ©runbfli^en, ABCD,
ZFGH.

. '. ...«4re

3(t5rf^e^ SM.

m

®&te tiefe« nic^trfb tohtt ABCDr. EFGH = fteget
AK'iX, fo t)4§ bec ^cpep X enttoetet f (einer ober gt^tt
«Ai b» StiSil EM fepn in&§te. *

JT^

• -• »■'

K

_ - . , "liet JJ6iiJet? X?< Ä^geC EM; f> bof ttt 9t^l EIÜ

üf'X 4" z »aVe. . ' •

, , . jceit^ in \m S^eifEFÖH bd« ÖttöbtÄt EFGH: fo
l|f <il<be*'dt6t'ft<j(# iJe« ifreifi« |>ilffe. ©tette ouf liefet"
Mt^at eine ^«ramibt FM in gidcber $ö^e mit bem Sdgk^
|:"Xo'.iip: foi*e gtJge't ott be« Äegel^ |)alfte. ÄJenit fit ifk
biT^Mfte' ei'rt^ü ih ^(eict A! |>6fi^ düf 6äraü|ete £luabcat ^er^
fteQten ^ptantibe , unb ber itegei f (einer a(< biefe leitete. -

|>a(bict man nun bie' iRteiöSogeii EF^ FG it., (onjtruirt
«M tdte be^m m^iivi ^ättt:\>H Dorigim Galfti, unb f&^
bOÜI^.idimer fort: fo t&Hitat man einmd (10,1.®.) duf'^
JtelfddftfC^Aitte, biefleifiettfid Z ftnb. , @# fepn fo((^ nunbit :
Jllee^HN it. , fo i|t bie iibti^t ^ramibe FM auf ber ©nmb»;.
fOe BNE ]c., unb in gidcbec $>6^e mit bem Segel £M

9ef($«!ibe iH bcn Steig! ABCD ein bem ^0(990» HNE «,
&$tiäH^ ttrtb a^nlitb liesenlie« DRA ic, unb fttHt auf baf«
fe(be eine ippramiite BK in gieitbrc |)6l^e mit bem Segel AK«

•»a05;2b. ®.) aAe:DEG:=^^8.DRA«.:^e(w-
Httejif., irob.C»a/'«.'WD AC : QEGSÄSrei« ABCD

. 8a a :Scei^

, »

37»^

€uVHb*« Stmmt

• »

j Stteie EFGH; fo i|k (5^ x i. 0.) ftc ABCD; «fc EPGM
r= ^o(. DRA X. : ^o(. HNE x. dlftn «Mt atiddioigfnai
Sttei« ABCD: jJc'EFOH = jtegd AK : X; aftec (i 9, 6. 0.)
^ot. DRA IC. : ^o(. HNE ic. = ^^r. BR : ^pc. FML
SoId(i<^ ift fteget AK:X =$9«.'BK: v^^v, FM. 9hin i|k
S^d AK > ^t, Ma votil titCe itt jenm etit^attm.tft» •SPtS'
Ii(& ( 5/ 14- ®0 i^ ou^ X > $9^.1?^; n>eU^ b^m £>^
gtn^ ¥9«- F^ > X, »ibecfptic^. . ^f^Uc^ ift iti((t JttcÜ
ükBCD ; St. EFöH = St^tl AK '♦ , tf '■'. «w»« , X < St»
«el EM.

VKttf a^nli^e $Itt wirb 6(totefen/ la| aut^ nit^t fttcÜ-
EFGH 2 Sccil ABCP = Segel p^ : Y^ t9(im T <;vA^
aet AK..

1^1 fe^'X >Sedd EM , unb Sr. ABGD : Stt. EFGU-a
Stegci AK:X^ «ffoi «ut^ umsefe^tt Sc. EFGH : Sc. ABCO >
=»X?Se0(lAK. 8ten (ep X:S(de(AKa=Se8ef£MtT/
wo alfo Y < Se^el AK; fo ifl Scei« EFGH : Sr. ABGD .
:^ Se^.EMtY, mld^ti nad^ im «rltoi Satte umA^\fi
ift. 2)emna(^ ift ni6t Sc. ABCD : Sc. EFGH :£: JUfl
AK : X, wenn X> Segel £M^ imb n<u& bem cc(ken Sole
Att(& nK^t, wenn X< S^^ei EM. geldH^ i|l Sc. ABQD
; Sc. EFGH s= Segel AK : SefleC EM. "^
^,^a nun (13^ 10. @.) S9iinbec ftcepmaf ^ {fto%.«U
SiiaH wn becfcllen ^j^ tmb ekwibf&<^e Itnb^ j»^^.:

fi Kit iSe Stjtl m^oltm: .fo Iji ob* «r. ABCD : Jtr.
EFGH = Spt auf ABCD ! S?!. «uf EFCH.

IkittH' Still, oui^ Culintier, BK, FM, finb in
bttffo^n Säet^Itnij b« EurdjiiKSttj BP, FH, -^ni;
"■-jinbfliiStn,

«B4« ti<ft« ni*(, f» f(s 3 CBD:FH)=at«tl BK:,N,
«PO betSirpcclMctittK&ec Fldn« tbtx ffi^oi^Stitt^Hifi.

etiler, galt

V, e»fl»N<Jt<8(l.IM.i(>i

b«« MfUn Salld conßtukt: fo ec^It man oiu^ |fcc )iifi$t
'.«inr ^tamibcGM/, beroiöpige^W^imb 0Eunbß&(be bot ,

9o[90On EOF :u, unb toelcbe gciS^C oE< b<t ]F6it>ei N t|t.
. »rfititetbe nun m. bfli flrei« ABCD. <tfi b*m ^ofpeon

EOF :c. &^n[i(br« ASB x. ,. nnb ftt&< auf baffelbe eine ^a«

mibe PK^,beeen ®pi$e K ift. eine (<Ic^|Iä(be bee ^umibe
' CK feo ber A.KSB, wib eine @iintfli<^ betffiaillibtSM

betAIViOF; 3i«j«B,La

3«4. Cuffib*« €l«wettte •

(ine ^DMtnitte f>on glei^cc ^^ mit Un ÜiUtt anf&iiflli^w
^taqii^ vor.

©a (la, 5.6) AABC}AACD=r^r.ABGL:f}pt
ACDL; fo ijV »er bunkert (5/ 18. ©.).ABCD:aACD
sr^t. ABeDV:?^^«. ACDL; 0lun 1^ Ci«/ 5« ®0 ««*
A ACD : A ADE = ^t. ACDL : ^t. ADEI,. ^ofgfi«^

ift (5, 32. c.) aus &fm (Bietern ABCD:aADE=

^r.ABCDL typt. ADEL, foljjlk^ (5, 18.®.) vitbmf
^n ABCDE : A ADE=y9r. ABCDEL.-^pcADEL.
ȟt gleichen &thn\>tn i^ au(& FGHIK : A FlKr= ^v.
FGHJKM :V9(. FIKM, fofglic^ au« tintaefc^ AFIK
-FGHIK = ^pr. FIKM : ^r. FGHIKM.
,. 2)a A ADE: A FlKsr^pc. ADEL : ^oc. FIKM, tin»
na<^ Ofti«<m ABCDE : a ADE = ^pr. ABCDEL : «|>pt.
ADEL; fo ift am btm (Bletcbeit ABCDE : a FIK =:
ypr. ABCDEL : $pc. FIKM ; cbtt aucb m^ Obigem A
FIK : FGHIK = ^pr. FIKM : fjpc FGHIKM; " felgli*
«18 &em (6>(et4t m ABCDE : FGHIK ts^ ^^t, ABCDEL
j ^pt. FGHIKM.

Sebrt btepfeitige gjnfma, ABCDEF, Jift ftt^ in br«9
0((t(^e brtpfeittge ^t)camiben jerlegen.

3i^e BD,, EC, CD.
..ha (ti«:;i3. (S.) ABED dn ^ataOelogcaimn , f» ift
(1/ 34*60 AABDsTAEDBi foIfl(i(& (X2/ 3.6.) ^.

ABDC

^WblfM ^Vt^

Z6S

ABDC>=$9r.EDBC; tenn 5d«
t(c GpiQe if^ C. fSlm ift ^C
EPBC mit ^9C. EBCü i>tef(l{)e.
Sol0«<^ i{k ^9r. ABDC = ^^u
EßCD.

jba ifeniet FCBE dn ^atoKdo«
gtamm, fo ift (i/ 34. ®0 A ^G
=.A ECF, f^Iglict (.12, 5.'®-)
f)9);.£BCD = <]}9r. ECFD; tcnn

EBCD=$9r. ABDC. 3«(sli(^ ift ^pr. ECPD =^9«;
'ABCD;'-' ■'■■■

. ; iDemnai^ ifk bot ^tifina ABGDEF in tcep. (0<U^ tee^fet«
^e ¥f tatnIHkn ABDC, BECD/ECFD/ eet^eift iPetNtu

* »-

$ietatt< et^et, tag jete/ ^9c«inibe beir bntte Sl^et( etttd
^nfin« f€9f, ba« ^(ei^ $6^e unb einerlei @tunbfl^e mit il^r l^df;

Z)enn ta ^^vmnibe ABDC mit ^^x. OaBD Mefittir-tft;
nftet f^pr. ABDC ±r f l^ttfm. ABCDPE: fo ifk att(& 99«^
CABD =z I ^cifm. ABCDFR

SB&te nun an^ ba< ^ctfma t>it(feitig; fo Mt H f^ tio^

in (autei; (^(e^feitige {Criegen;

■>

©er 8. @<r$. Äd^tfaf.

5(e|nRc^e btepfetttge ^Jöwmtbcn , ABCQ, ÖEFH;
fnb in l)C(9fa(bei: S^ecl^Mmi^ i^m j^omolofteh ,^eiten^
BC, EF. '

85oIIente tie ^ca ^ ^

MÜttepipeba . BI, tK~^. — K' KT

EN. 2)a ^ptam. k1_ Xn. iPt-

ABCG rü ^peam.

DEPH:fbifi(ii,

9.e.)BCA=EFD/

ACQ 8 OFH^

,>

ii«

9ttW6 ^immt

BC6=Ef H; cax^
BC:EF=AC:DF

srGC.-HF. golg» .
(VFQ, CirvFrf, JH

{int» (II, 34' 60 in
beiliCD^M<ii(irt<)>i)^(^(n W ^en (t(9 geiumitcn flAciim gegc»
üttec Itegen^'en dKi«ittRlb Ü^nfict. ^olglicft ifk (ii, 9. «.)
BlfV EN, folg«* (11, 33. ß.) Bi:EN= j (BC:EF^
Jlitn ijt (in t^cifma Me |)&(fte M f>acitU(l()»i|nBb^^ Ut^fM
tamite ober t(c dritte $^{ beö ^rifma, ä(fo N( ^ptomik
4* fei^ ^^dLi)«« IP«;aIi(((^ipe^0n0,^tnlt» N^ifk'.CS/

'ift au« V9t. ABÖO : ^95. DEFH = 3 (BC ; EF).

Sttf of.

' ^^iecaitf et^eUet/ boS aw^ ^^nlk^ i^ielfrtti^e fjyconribm
jfi breyfo^ fßer^(tRt§ if^ftt ^pmologm Gctteti jßn^ J^^
lecCegt man ( 6/ 20« ®0 bte i^nlic|^en melfeittgen @cttiitfl&
<^n P:it^<^ ^t^^ a^iai^e.Sdondef^ atfo hit t)ie(fcitigeiiJ|)(^
tamiben in brepfdtige: fo t>ei:^att ftc^ eine bce$fe^ge>if
einen oielfettiden^pramibe.}» einet btepfeitigen betanbeni/ toie
alle bcepfeitige ber einen (u aHen bcepf^itigen ber anbem , i^a
i|,.f?jf ^ie wie. t^ielfeitlge ^ptomibe.itt ber wiftttL . 2^,0bn
^e bcqfdtHgeh ^pcamiben in btepfa^^ee $Ber^(t|ii§ . {^
^ologeii Seiten ftnb: fo finb e« auc^ bie ttdfeitigeiu

- $)er 9. ^a|. «c^rfaf.

• -mwA ^ ."

®inb bfe^feitioe ^»«vntbett, ABCG, p^^, diKut«
bec ^«(^.tfe ftnb bie ®mnbfiac^en> Al^, ÜE^, in um%.
flefc^efeF^c^Mtni^ibec ^iß. Unbftnb Itit ^nb^

\

Swilft« Sui^

4«r

i'en: fo ftnb bi( ffttttmitn«, ABCG, DEFH, eiiunb«
Bleich- ^.
etdinbe tk ^acaltltinpiba, BI, EM, Mi mit bm $i!{<>

- #<f«'f«t. ABCO= ^.DEFH; fo j(l, Biil'sts
« qiVt. ASCG, unb EN :e « $i)r. DEFH, aucb BI =
EN, frtsIldKli, 34.8.)BK:EM = |i6i« muBN«
. febt om BI = ^ ttt Vpr. DEFH :.$i^c .bti fgc,
-ABCG. •Raniifl BK.;EM=:&ABC!A0EF. gelgli«
1(1 «Kb a AflCrADEF=|*8e Kc ^iit.DKrHi:s*S«
>lt1>!;t.ABC0.

e« ta A ABC: ADEF=()itt btt t!^. DEfH: $6^
t« ¥llt. ABCG : f.. if, mU A ABC : A PEF =;Bi£ : EM,
««b BK : EM = $&^e dM.EN.: $i»6e diiii BI; folslidt
( 1 1, 34. e. ) BI = EN. Sinn ifl BI = « *»t- ABCG,
iubEN = 6$!iCvDEFU Sl>l(liibl|)^t. Aace==$i|c,
DEFH.

©« 10. ©a|. ie^tfaf.

3itR jt(8<t ifl b« btint $|tU «in« E^fiiibn« , «<(<>

(^ mit i^ gleitet ßH^t UM rinedc^ @Mibf)i4<>:

ABCD, .^. i ~

etict

368 9vm'i mimmt

I

flB&ve Ut €9finber. tiic^t

f» iD&te. to eplin^et enttMt
6ec gt6§er ober f (einer/ al<
tat Sce^fac^e be« Stege!;;«

€r{ier Sa(L

^et Gofinbet fcp dr6fier
att ba* Z)re9fac^e be« Stc#

eefc^teibe in ben Stmi, bec bte ©tunbfl&cbe be« epßnbecl
itnbftese» ift, bo« Quabtat ABCD, fo tft fi)b^e<.0t:6ife
4tt bte ^aifte be« Streife«, «uf ba« fiuabrat fleOe ein mit
feem e^iinber (iteicft [^o^e< l^rifmay fo ifk foUbe« gt6ier Ott
Me |)aifte be< gpttnbev«. :

L 2>ton iDirb a^ um ben .Strei« ein finoibtdt b e ft bt k ^ n :
fo ijt ba< innere bte ^aCfee be« &iu§etn. Sinn Der^alteti ^
Me auf biefe Cludbmte gefM(ten> . mit bem Qtpiinbec gfo'cb $or
1^, ^rifmen n>te i^re ®runbfUi(^eiu golglicb ifk brf ^ctfm«
auf bem innetm Duabrote bte |)&Ifte be« |)rtfm<i auf bCK
ftuSenu . SDa nun ber Svliiiber ((einer ijt; a(< ba« |)ct(toa mif
bem aufern: 'fo ifk bai ^rifma auf bem inneni/ ABCD^
grofier ott bie $&(fte Ui Spbnber«*

|)a(6(re bie «rciöbogen; AB;bC, CD, DA, in E, F, G,
H, unb t>ei;Mnbebie|>at6ii^ifg0punfte: fo ifk jtber bet bö^
tutdt eiitfkanbenen Sriangel, loie AEB^- gr&§er ätt bk |)&l&
te be< juge^rigen Strei<abf(bnitt0* @teat üuin ba^er 4if
' jeben biefer 2riange( ein mit bem SpHnbet g(et(b l^o^ f)rifir
ma: fö ift jebeö gr6§er oi$ bie |)alfte beö .{uge^örigen fbf^
berabf(bnttt&

2)enn toentt burcb bie fünfte ^ E :c. mit AB k. ^droOefs
finien gejogen, bie ^araUeiograrnnte ootlcnbetf > unb auf bi^
frfben ^ardttefepipeba oon gleich .f)6^e mit bepK gQlinbet
gefteüt. »fl*eit: fo ijt jebe« JJrifma auf ben J^iangelir
A£B )Ct bie C^a(fte eme< ioUjftn $a);a((e(epipeb.on«, toeicH

sroier

I

gtöfier <Xi bet €9(inbeca&f(^nitt i^\ Hi^i> M V^iftt<idc&»
fer a« t)U |)a(fte be« Splinberabfc^nitt^. . ;

8{ud^*|>albice man bie Srettbogea AE %u unb imfa^re t)6&
119 tote tor^ec, unb imtitec fo fott: fo fommt man '( lo^ '
x*j^O it^S^nb einmal auf (S^Iinbecabfcbnftte^ bie fldnec att
ber^Ue&erfcbug beö Splinber« u5er \ai S)t:e9fa(&e be^S^egefi
finb. .e« fepen biefe bie «bfcbnittc auf Aß, ERjc: fo ijk
ba« Ji^ctse i»ie(feittge $tifma t)on gleichet $6^ mit bem ^9^
finbec auf bet ©cunbflac^c AEB k. 3r6§ec aW ba^ 2)ce9fa4e,
be« StegeK* §Run ift auc^ btefcS bielfeitige ^rifma IcA S^ret^
. fätbe emec^ptamibe^ bie eineviep @tunb^ä(be unb 0pi^e
mit bem Seg^el jiat. Solslicf^ ifV foi($e ^ptatiiibe gtißei: a(i
ber ' ftegef auf bem Steife ABCD« 9^a aber biefe ^ptamibe
in betti. Siegel, ent^altett (jl: fo iftfte Weinetal« berftegeU
^e§ nHbetfpticbt einanbe^ Sofglic^ ift bet Spßnbet nic^
grilA W ba<l ^btepfac^ be< ftege($.

•■■..>'

S>ec ^9(inbet fep (feiner ott* ba« SDtepfttcbe be< ftegetl, '
folglij^' Aucb umgefe^tt^ ber jtegel gt6get a(« bet btitte !t^et(
te# ^ttnbet«/ '

-^ iii^t fe« triebet in ben ftteiS ein Üuabtat ABCD befcbtie«
ien: fo i^ biefe« gt6get al« be« ftteife« $)alfte. auf bat
jQuabrat . fep eine ^ytamibe Dpn einetiep |)6^e mit b^m Seget
gefteOt; fo ift biefe gt^§ec ä(iS be« $ege(« |)&{fte. ~

Sefm tpitb^ n^ie im etilen gälte, um ben ^ttii ein tiViC»
t^t J^f^tieben : fo ift ba« intiete bif $)älfte be« 4u§etm
IBetben nun auf beibe Öuabcöte^rifmen oon ätehbec |)6&r
imtbemStegelgefteßt, bie ficb a(fo (11, 3^,00 toie i^ie
®ninbfli<^en t^er^aften : fo iji ba« innere ^rifma bie |)atfte
De« &tt§etn, -alfo auc^ lai^ 2)tltte( t>on jenent W Hälfte be«
;Ditt^l«..t>e!t biefem, ba« ift, bie ^^ptamibe auf bem innetti
ibuabtate \>\t ^älfte bet ^ptatuibe auf bem äufetn« 9}un ifk
ftljjtete, »eil fte ben Reget enthält / gt6get: al« bet Reget»
Solglicb if): bie ^ptamibe auf bem innetn £luabtate ABCD,

«aWH €lem, 15 «ö*n* «a We

ST«

SufKb^ demente

Mt nift Uttt ^egd etnerfep

^Ifte De« Äejje».; ■

9tun ^albixt man toiebcr
6ie ftcet^bogeh AB2C; unD
}ie^e AE ic, ba§ olfo jcb.r
t^tiangel, tpfeAGB, gc68cr
aU bec iuge^6rige Sreiöab^
f^nttt tft; (ieUe auf jeben bie^
fec Jniangd AEß zc. «Pppa

inibcn t)on citieriep ^6^e mit bein Siegel : fo ifi iebe bcrffffien
fircier att bie |)&lfte bcd iugc^6rigeii Segetabft&mtt«* S^^rt
man nun mit ^olbirung Ut ftcei^bogen / unb btf. übrigen
^onfttuction fo fort: fo fbrnnit mäniule^t auf ;^.ege(i;iJHi:t)nitt^
bie ffeinec {inb/ aK bec. lt.eb.etf(l^u§ bc« SogeI$' £bet ben
britten !^^ei( teS gptinbec^. £)iefe abf4)nttte fepeh bie Aber
AE, EB 2c: fo ift b|e ifttige fjpramibe auf bec 0runbfB*e
AEBF IC. unb in gUicbcc. ^^j^e. mit bem ^<.ge(^ gröfiec-al«
bec brittc 2^ei( be«.@9linbct;& Stun ift bicfe fjpramtbe bet
britte !^r)eil be^ ^rtfma bön eineiiep S^bf)^ uhb ®(ttnl^&4c
mit bemSplinber* So(g(ic(> iftiai ^rifma auf bei: jBtunb;
fiSi^e AEBF :c flr6§ec alg bec gptinbec auf bem Slttlfe
ABCD, niit bem Hl cinetiep ^6&e ^at 3lun ifi ti aber in
tem Splinbec entl^alten^ alfo fleinet/ toelcbe^ einanbec n>tbee$
fpticbt. ^oliüdb ift ber Splinbec nic^t f leinec Uli bü6 tfttft
facbe be« JtegeK; ^bet nadb bem erften S^lte aiid^ tiMt
gtofec; folglich ift bcr Stege! ber. britte H^efl Mefe« C^
ifinber«»

©er II- ®a$* £el^rfa|. .

. Äegef, auc^epfinbec AK, EM, bon jiretc^Jr J^Mkr
IK, LM, öec^aften (tc^ »ie il^fe ©runfeflae^en, ABCD,
ZPGH.

<^

3»((f^<d ^4

m

®ice Wc(<« nic^trfb »ice ABCD:: EFGH =r «fgrt
AK'SX, fo bft§ btt Ä6cp<.c X entweder f (einet" ol^ec gv&fet
«1« Im Sidei EM fepn in&§te. *

iP'

4.) * 4.V»

^'iSfitif^edÜhiepri »?ü: «igel EM; ^ tof bec Äeflei EÄI

'^.^etefe in Wfrt St(e»'EFÖM bd« Öttabtat EFGH: fo
l(f i8We#'9r6ffäaI#)Je# Ä«ffH ^hm ©lette auf biefe«
idtUfat eine ^^ramibt FM.in glei^xe $6j^e mit bem Sttg/d-
Jß^'if^ iom 9ti^ft mm Ste^i patzte, asenn Ht Ifk ^

fMIten fJptontibe^ unb bec Stegel fleinec M biefe leitete.

|>aibict man nun bie' iR^eeieSögeh EF^ FG».^ conftcuitt
dht Me be^m i(»i$ten 5<klle^be« Dor^M Sofe^y unb f&^
MHIlFithmet fett: fo t&Hitat tnoii einmd ( lo, i. 60 <mf ~
JtelfeldHi^itttte, bie fleifietrtfl^ Z ftnb. 36 fetw fo((^ nun.bit :
iWf ^RN ». , fo if): bie ö6n<$e i|>9rdmibe FM duf bec @tttnb»
fÜÜ^ I^E tc, unb in gieicbec $)6^e nHt bem Jtegel £Mi

ecirdw^e iH ben Stei^ ABCD ein bem^o(9done HNE tt,
&9fi^ urtb A^nli(b Itegenbe« DRA jc, unb (tette auf baf«
felbe eine ^pcamibe BK in gieitbfc |)6V mit bem $ege( AK.

•"iBd'ClS^ab. 6.) 0AG:DEG:=^iJ9.DRAjc.t^eli^.
H^üe.; «nbiCia/'««^.OD AC { QEGÄSrei« ABCD

0a a :Äce{«

, \

37*

€vifi\b*4 stmmt

it-

i'

. ■ I

r*

: Sttei« EFGH; fo ifk (5/ x i. ©0 ftt. ABCD.; «t. EFGH
= ^o(. DRA K. : ^ol. HNE x. \kim «mc angenoigine«
Stei« ABCD : Ar.' EFGH = jtegd AK : X ; ab« (i a, 6. «J.)
^ol. DRA JC. : ^ol. HNE ic. = «ppr. BR : «p^c FM
Sol9(i(^ ift ftegel AK:X :=q}p«.:BK: v%i)k. EM. Shm f|k
SigcC AK>^(;BI^ weit biefe in ieniem entl^aftm i^ -.golji«
li^ ( 5r 14- ®0 i^ ou(& X >^9r/FM; WW t<n jDM«
g(n,.¥9c- FM>X, tPtbecfpck^. So(d{t($ ifl nu^t Jtcc«
ABCD ; St. EFöH = Ä<9<t AK : y, toom X < «e« ,
«el EM. ■ .■ ' '■

'■auf &^nlt$e 9ct lohb bctoiefen^ la| atit^ n{(^ StcÜ-
EFGH ; Sceil ABCD = Seget EM : Y^ toenn T <; S»
aet AK...

^1 fe9X>fte9dEM, unb 9r. ABCD : 5tc. EFGH^
Ste^K AK:X, Atfo «udb umsefe^tt ftc. EFGH : Jtc. ABCO .
=» X? jtegd AK. 8ten f(9 X: SNgd AK sc ^egtf EM :¥/
wo alfo Y<ft(del AK; fo ift ^cd< EFGH:^. ABCD
=±; Jl(9«l.EM: Y^ ml(&($ na(^ bcm eiitni gatte unim6glUii
ift. ^emnacb ift nic&t Str. ABCD : Sr. EFGH ac >S^
AK : X, «oenn X>$egel EM^^ unb it<t(^ bem vc^ %iMit
Att(& nkbt^ wenn X<^9ii EM. %Sf{^ itl ^. ABQD
: «c. EFGH s= «egtt AK : «egel EM. ^
^,!a^a nun (la, lo. @.) Spfinbec ttepmal fo^i»§.«il
itv\ oon b((f<l|«ii (^ unb Qkwibg&c^e ^nb^ |»(ä#.

M »i« S(" Stjtl en^iiltm: .fo Ifi «»cS «r. ABCD : Sr.
EFGH =: Spl, mf ABCO: Svl «uf EFGR

QfediKt^e £<ier, auci) Sgliiibtt, BK, FM, finb in
tit«fo*n »etjartnif 6« a5imjiii^n> BD, FHj -tl«'

fUtt titft« nl«l« fo f>» } (BD : FH)= X(||ir BS : lll,
ITC »a SJtp« N. tntntta lldnet o»n jrifet «W S'D'I FMi^

; . ' em«». Salt

i.f, ,e» h) N < «ij« EM i^

Siitb ^iec ua«« niebec nie 6dmMtigett 0a^j^.l(nfiUld
t<< ttfam ScfUc« conßcuict; fo et^lt man aufy $ier M<fr^t

','(inr ^lamibe GM,. bcrm.€S|H$c JM^ iint Otuntfl&c&e toi ,
'^Ipijoii EOF jt, unt »el*« 8rffi<5 aU Nt »6rpec N ijt.
'. S^retbc nun in. btn Svn< ABCD. eifi btm ^otMon
EOF», ä^nlic^c« ASB ic.,. unb fttde auf bajfefbe eine ^^KO*
lllibe PKj.becen Spt^e K i^. eine Seünifläc^ bet ^J^eamibc

' CK fe; bee A^KSB, unt eine eiillifUlt« ta ¥fnmibt(lM

"tetAMOF; 3kj«B; ta

• «a j )B«

( 974

eufitb'i &mau

VW

Sa Stjfl BKruShäilFM; foiftCn, »4. 8.) BD:FH
s=IK;LMj <ilmüD:FH=Bl:FL, fmjli« BI : FI,=
IK : LM , olfo »«nwcbfelt Bl ;' IK =: FL ! LM. »m
dnt tfl) l giit L n«IC etinM, Ca« i|l, BUC «: FLM.
jolOli* 1(1 ( (S, «. e. ) A BIK IV A FLM.

SM Emitt BI : IS = FL : LO, (inC ttfgm Sc^rit^dt
ttt ^»IWMie, BlS=FLOi fo Ift (6, 6. ®.) ABlSruA
FfcO.

SDa im SJijtijni BI : IK = FL : LM, aUt BT = IS,
•i*FL=LO: (i>((»IS:lK==LÖ:LrVl. 8liil(if»SIK=
OtM=iR. S«ljll*iH(6,6.«)AKSIfuAMOL.

»a A BIK rv) A TLM, .fiiljl,i*,KB : BI = MF : FLj
-«nbABiSruA FLO, fol||li*BI.BS=FL:FO; fall)
ouib«us6ein<BteicbaiKB:BS=:MF<FO, üifgnm«
jrtc^t SB:KB=OF:MF.

Sa A K5I (\> A MOL, fclgU(( KS : SI = MO :Qi,
unb ABIS IVA FLO, ftlä» SI:SB=OL:OFi fo|t
«u»Boil(BbicbeilKS;Sli=;\)0:OF, Silin imc|i>
»0tSB:KB=:OF;MF. golgli« i^ «IS «CllKEIdcbel
KS!KB=MO:Mr. '

^Cxnina^ ftnb bic Seiten bec Jtmnael RSB , MOF, })»<
(»tianitt. gcliliiti i|) «, <i. $.) aii$ aKSS IVA MP?;

felj.

Swiifta .«uc^ ' 87 j

z. ^

(12, 8. ®.) ^pc. ßlSKL : qjpr- FLOM = 3 (BI: LF) =
3(BD:FH).

®etbcn nun ton dOen äbrigen fünften bei: Umf reife
ABCD^ EFGHi na(* bm SRittcIpunften, I, L^ gerabe Linien
S^i^^i^/ ^t^^ <^uf bte boburdb entflanbenen itddngef ^pramU
bcn,. beren ©pi^en K, M, finb> flefrellet r fo läfr fic^ au« \>o^
tigen @cttnbeii }eigeny bafi bte S^er^altntg \tbt^ itifftmmenge^'*
^gen ^aatii iold)tt ^tamiben ba« Sre^fdcfre bet 2)et^
^Utnii BD:FH fep, baß fo(0(ic6 bte Sec^ältmiTe liaec biefcr
|>aöce gleld^ ftnb- Sofjlicb ift (5/ 1 2» ©^ ^pc. ßlSIi : ^pr*
FLOM = atte ^pt. auf ABCD : otten «Ppt. auf EFGH,
Hi ift = gan^e ^9r* CK : ganjen ^pr. GM. ^glicb ift
3 (BD : FH) = ft^t. CK : ^pr. GM. SRun n>ac angenom*
men 3 ( BD : FH ) = «ecjel BK : N. gofglt* i|i Segel BK
tNrr^pr* CK : ^pr* GM. SRun tjt, »eil bec Regel bie
^pr. umfcbliegt, »egil BK>^r. CK. golglicb (5/ i4*®-)
ifl auib N > ^pr. GM; mlöfti bem Obigen, ^pr. GM
> N^ ttnberfpricbt. SDemnacb iji nicbt 3 (BD : FH) ==
StegA BK : N, n)enn N < «egel FM ift.

9ttf %fi(^e ITct ieigt man; bäfi aucb njc^t 3 (FH: BD]r
= jtegel FM : Z, »ennZ < Äegel BK ift.

€« fep N>ÄegtlFM, ttnb 3 (BD:FH) = Äegel
BK : N.> folgti* au* N : Äcgel BK = 3 <FH ; BD). SRun
ft9 N : teg<l BK = «egel FM : Z, too alfo ( 5, 14- ®->
jltegel BJC> Z i^ golgli* i(t 3 (FH : BD) = «egel
FM:2</ n>el(^eg nad^ bem etften SaUe utmn6g(i*i^« 2)eiiM
«0* i(k iticbt 3 (BD : FH) =: Segel BK jN, »ew N >
«e^el FM ifk; unb nac^ bem erj^en goUe aucb nicbt/ toenn
W<$«e«rt FM i«k. aolgli* if^ 3 (BD; FH) = «egel BKi
«egel FM.

SDa nun (12, 10. ©,) «EpKnbec brepmal fo gto§ att
«egel, ton betfelben ^bf)t unb ©tunbfiic^e ftnb, folglit^

«a 4 fi*

17« eiiKiW fämmt

e3(BD;FH).

©et 15. ©«J. lejtfaf.

SHStb (in Soliiilin, AD, »on rinn 66ene, HO,
fetn rinonb» gedenäbct (tegcnbtn @runt)f!^(^en, AB,-
eD, (»iralltE 9(f(f)mtten: fo «et^alten fl(^ bie eA^ts
f((nitt(ntn €9linttr, BC, GD, »It i(K %ni,
KJ, IF.

A"

R B H D T 3C

4\ A AAAA

K) \J \J \AAAJ

a c s V

Kt^tt^ntiH^ttibtti, Aß, Sf^e, EF, oaf Mtol <S(ti
tm m^ K, L, tcafle auf EK tint brlicbtfle älnia^I bn El
flldt^ :£b"le EM, MK, unb auF FL eine beiiebige 9ln)aftl
tee IF 9lel4>e Vitiit FN, NL ; lege tuti^ ble fünfte M, K,
N, L, Qbenen, ben@tunbf[&(6enAB, CD, pucadel unb gleiit,
tnibiiiileneeMee«(mtiet, fQ, QB, DS, S£ .

£a Me Cpllnter, FQ, QB, BO, sen gleieben $>6^, KM,
ME, EI, fi* (is, 1 1. ©0 nie i^te ^TunbflAtben bec^aiten;
biefe abet gtei<b ftnb ; fo flnb aucb bie Spfinbetr gleit^, vAm
«* PQ = QB =: BG. goljM illKi ton El eben fb tiet
fdib, ms e«l. PG com eitl. BG. Hut benfelben erinten
Ht IL oon IF ebeii fo eielfa«, ali Eni. GX min EpLOD,
ülimill, nennKI2:iL, uuitPQZCX. J«^ tt
(5,5.«.)El!H' = BO:ao.

Sti

Äegel, ABG; CDI* t»ie au<^ S^Iinber, BE, DF,
«itfgUtc^en^tunbflac^eni AB, CO, i»et:l^a(teit ft(& tote

mß^

mi

tte um tite ilE< K^f (inen €9lttibn DI«.

S)a bie Splinbcr BE/ DL, i^n flfetc^ett ^^, HG, KM,
f<b (lä, I X. 90 ttif i^ a)i;tmbfI&(bA eec^alten; M<^ cAec
Sleif^flnb: fo {Inb oucftbieS^finbec gleich « n&mli(^ BE :s;
DL. Z)a b(c e^Iinb« FM t>oit bet (Sbtne CD b^ ®ntttb^
ft&(^ Vat(Äa gefcbnitten tft^ J» ifi (is, ij. 0.) DL:DF
s:;iMKiKL, SiuniftBLszBE, mt>mixzHG, %f>i»
Ik^ ift B£ : DF =: HG : Kf .

2>a (la, lo. @0 bie gplinbet; BE, DF, {i^ t»{e bfo jr(0e(
ABG, GDI, oet^alten: fo t|t au(l& %e( ABQ: Stt^fi
CDI=:HG:KI.

" ©er 15. @o|; 3e5iffa$.

€){nb jt«jjef, ACK, EGM, ober gpUHbet/ A;^,
EO, etttanbec gfetc^: fb bet^o(tett ftd^ bie @i:unbfl&«

<bett^ AG, EG, umgefel^tt t»te bi« «^^^««^ ^r ^^
tltib ber^aften {!(!(> bie ®t:unbÄ^ett umgefe^it toie
bie .^ogen: fo ftnb bie ^^egef fo ne^l, oiA au(^ bie
" €9(ittber iU\^,

Sa 5 Crflet

A »

JÜ

■ ■ *

37t

Q0iVt &mtntt

t . \

«

^cfler.tl^ei.r.

-I

®« 1i(9 est AN= epr EQ: {b fhib (k^^&^l^/ I^M,
tntmebet: g(ei4^ ober ongleid^«

«isfiltcb, »ennIK=:;JLM, (o i|Kia.xi.e.) AN
:EO=AC:EG; folg«*/ n>^I ANzrEO, au4^ äCä
EG; ;fo(fl«*AG:EG=XM:IK.

tutd^ P bie '(S6ene TR ben ®cunbfl&c^cn pdva(i[e(^ . ^nb benfe
bir auf. bcc ©vunbfläcbe EG b^u SpHnbec ER,

S5a, ANs=EO, fo tfk (s; 7. 6.) AN : ER;::=£0:ER.
0^n i(t (1 2, 1 1 . 6.) AN : ER = AC : EG, tint (i a, 1 3. ®0
EO : ER = LM: LP. gofgOc^ i{k AC : E<i=:f-M : liPÄ

@« («9 AC : EG =r LM : IK, fo ift not^ J)n ttociddt
ConftrucHon AC • EG = LM : LP. «Run ift ( i «/ 1 1 . ©. )
AC:EG = AN:ER, unb (ra, 13.JS.) LM:LP = EO
: ER, gol^ici^ iji AN : ER— EO ; ER, folglich (5/ 9. «0

AN = Ea -^^ ";•

S)A|feI6e ()t(t auC^ (i3, lo. ®.) Don bjen Jtege&t ACIT/
EGM; tafi liämli* atu^ ^ieic aC:EG=LM:IK, »njo
ACK = EGM , «n^ tag ACK = EGW / jwnn AG i E$
=tLM:lKiih "

1D<t

%

^xchlftaSba^.

379

©er 16. @o^ Unfiait

e« ftnb jme9 contenttifc^ Äreifc; ABCD, EFGH,
MQthtn, man fett in ben 0r6§etti ^ ABCO^ ein gleid^^
feitiged ^ologott/ wjx ^ttabtt (Betten^ai)! , U^d)mUn,
bodS^fO/ baf fo((|Kd ben f (einem ^teid nid)t ter%e*

3ie^ ben SDurctmeffer
BD^ nnb eiti(bte auf bem?
felbeh in G ben ^ctpenbifeC
GA, itnb ml^erei^n Md>
G; fpi(k (3/i6»®0 AC
eine S&et^rwglltme Ui
Streife« EFQH. ^aWn ben
Umfcei« BAD, unb fa^re
mit biefet |)afbii:ung fort : fo «
fommft btt (lo/i. @0 irgenb etnntdl auf ein 6tfi(f ID^
tai f (einet ifi, a(d AD* S&Ue au^ i auf BD ben ^etpen^
bifellK, t>rt(&n0ece t^n biö L^ unbiii^^lD, DL, babenn
ID = DLi^.

■ 1,1.

^ IL bet AC pataQel i{t/ unb (e|tete ben 9tej|S bef^^eti:
fo berührt il^a IL iticbt/ np<b t>ie( noentgec ber&l^ren i^n W,
pL. SBecben^ n^n in ben Smi AßCD bet IJD gleiid^e ^e^
fObe {inie9 an ^n<^ibet b^?>^ eingetragen: fo i||Pitb m
ben gr6§em 9wi m giet^bfi^it^ge« ;$ol9gpn bon getab^c
fkitenjo^rbeii^iieben/ t^elcbe« ben (Uiium .5lteit oiibt
#et*fttt^

,®er 17. @ft§. 2Citfgabe*

iit {!nb jtüep concenttifc^e ^ge(n gegeben; man fpt(
itt bie gr^fere ein 9)o(9ebe( befc|)teiben/ mi^^i (ntt
feiner £>bei}i[{^(l()[e bie f (einere S^u^^t nic^t b;r|tf)re.

€on

4

\

eonltruction.
Qhte 96ene intd) im gemeinfc^afttit&en aRftttlpunft A
It^eibf'Mc Äugeln: fo iifbtt fie auf bn £)&nfUic6e iebet bn
ttiben Sttge(n einen ftcttt. Zienn ba (11,14/60 bte Sv
gel biKift UbibR^ung einrt $albfTeife$ um ftintn uneerc&tften
XiuKtnfieirec entjtc^t, fu witb, roekbt tn^e ber {taE&M« aw^
^«bcn mas/ bit emeitnte <Sbmt tt^tibtii dümal aufbec
Ob(cf{&<(e ber Jtugel einen AreiS bilbeR, unb {Kar «nm gc6R:
ten, weil bec 2)urc^nerr«t ber Jtugei, nel^ec einetfep mit
bem beS $a(bFeeif(< , alfo of enbAt oucb ber M SiaM ift
(3/ 1 S< @0 0c^6<c >i^/ ol^ «Ue in btm Kcrife abei in ber Stat
gel flejogene gecabe 8inten. Cj [ep nun auf (.er gr^geth Su:
gel £>betfUi(^ ber fttei6 BCDE, u|ib auf ber <letnern Stagfi
Cbetfläifte ber Itteid FOH auf biefe Ürt entf^anbea, gie^i
tiefe« $4ttitte«^ur*meil<c BD, CB, )ject>mbifolac auf ein*
onber. ^ ben gi:6gem bec beiben concentrlfc^ Sceifit,
BCDE, bcfcbteibe Cia, 16. e.) ein glric^fefttge« ^Dfpgon
VOR genbec Stitenia^l, wcMk^ ben fleinent &tiii, FGH,

nkbt

itlc^t bctfil^fe* ©iefH ^oJpgon« 6eiten in bem Ouabroitten;
BE/ fepen BI/ ffi, KL, LE. gie^e lA, unb Derfingert pt
6t« U. girierte auf bec ftretöebene BCDE in A ben ^etpetu
bi^clAN, beif bie Obetflict)e beugrögern »«gel in N treffe»
SDurd) AIS/ w?l> i^^^ ^^t beiben 2)uccbmeffec BD, IM/ lege
(Sbenen: fb toetben biefe^ na($ beni botlg)in gefaxten, auf bet
SufldObetflicbe oüc^ 8r6§te Äctife bilbcn; beten §&lfteit fcpeii
DNB, lNM/»eI(be, »ie AN, (ii, i8* @0 auf tec Ärei«^
ebene BCDE petpenbifulac jtnb«

2>« bie JfcÜKbmeij^i: DB, IM^ CE, gleich (inb, fo fmb Wc
Imttfteife.BND, INM, BED, folglicb bie^uabrÄntert.ßN^
IN/ BE/ ducb gleitb» 2)a^ec (äffen ft^^ bie Seiten b^ yp(^
gon«/ bie man in BE eingetragen l^at, aucb in BN unb IN;
tintwgen. tJtefe feiert in BN bCe Ceiten, BO, OP, QP, QN^
unb in IN bie C^ten, IR, RS> ST, TN. gie^e OR, PS^
QTi fa ifk/ nHe nac^^ec ju bereifen , jebebet Dietfeitigeti
gigurett/ IBOR, ROPS, SPQT; aucb (ii/i?* «0>er A
IsIQT in (giner ebene» . -
\ S)enft bie bcri ben 'fünften, 0, R, )?, S, Q, IT, noit^ 9er
Shigjel 9)titte{punfte/ A, gerobe Sinieh gebogen : jfo ent^egt;
|tp0<tit benbdben Ü^uabtanten BN, IN/ ein pplpebrtfä^
Stiepec au$ $9tamibcn sufammengefc^t, beten gemeinf(bafbr
IvSk, ®pi|e A' i^, unb beten ^tunbfUc^en bie rgigucen
IBOR, ROPS, SPQT, NQt, fmb.^ ^ ' ^

- (Soh^tuitt inan nun im tluabtanten B£/ auf jebet Ut
fibtigen ©eiten iK, KL, LE, eben fo, xok auf BI/ in ben,
by«8 fibtigen Öuabtartten BC, CD, DE; eben fo, »ie in BE^ '
iu)b. in ber dnbitn ^dttf ugel tok in biefet : fo entjie^t in. beft
£t(Seth $uget ein du« ^ptamiben \>cn oDgeboc^tet jb^i^s '
fej[i|ieit ivfantmengefe^te« ^o(pebet), tbelcbe« mit feine(.£)be(^
ftt(|e bie Tlein^te Äüäel nicbt berührt.

^l , ,^e»eil (Etiler t^ül * .'■.;;

$)ai Jebr i>» oievfdtiüetr Sidweti IBOR/. ROPS, SPOT; .
ip (ifinet iS6«n< ff(>» .. • .'^;,

' S&O«

g&tit au! t>le StliMtni BCDE, tu« 0, {t, tWVnJKuWr
OV,' KX, xkUx (I I, 38. C.J W< Bufifctinittllininl BD^i.
IM/ treffen, au* C"/ ö- SO pataderiiBb, unb jie^e VX.

Jöa uo'n b«n gWAen ^oIBfreffen BND, INM, glei((f e«i
ginBO, IR, o6äef*nitren (inb: fo ifi C3/ ai. SO ABO=
Xttl. 8!ün finb bep V, X,. Kitte SSinfel, aucb ift OB=: HI.
golsWift £i, 26. B.) OV=RX, »nb BV— iX.

Ba BA=IA, obetBV=tXi (o i|i au* AVzrAX;
fijjli* 0?: VA=IX:XA, fblgll* (6, i. «0 VX bit IE,
pfttallel^ ^un nuten nacb Obigem OV, KX, ptitaM tmb
gltlib.. 31(49114 |Inb(i, 33. SO VX, RO, patalet unb glci4.
■ gor«»* l|i.(ii, 9. S.) au* RO bec [B puMtet aben f>
»ttb teielt(fti, buj Sr^b« RO, unb TQ ber SP pinb
Itl fip.

Z}a RO bec IB parallel ift: fp ift (i i, 7. ;60 bie piecfev
tlge giflur IBOU in ISintr Hbene. ttii (jleiiten ßtiknbm
s^ ft? utS tele ber beiben Abrl^ttt Pletreifl||M gisumt
ROfS, SPQT, in «inet «btne.

*

!DaS Ne £>berß&(te beJ befctriebetten ^o(9^(et< bte Ob^vp
fUct^e bei: fleineth Stugtl, auf tpelcf^er ter gc6§t€ ftcei« FGH

SoUe mif bte Dierfetttge Sbm I60R au« bet $üge( 3Riu
Mlpuitfte A ben f^etpenbifel A?, ber biefe Ebenem Z treffe^
itnti iie^e in.to (Sbetie bte gecaben Stuten BZ, ZI, ZB, ZO^
auf welc(>e bälget (i i, 3* (8.) AZ perpenbifufatr ifi* §Dl9lic&
ijt (1/ 47- ©•> D AB = D AZ +4D ZB , unb G AI = Q
A2+DZI.; ajun ift AB!=:AI, olfo auc^nABÄrp AL

8ol8K*ift aAZ + aZB = DAZ + DZI, foIgCtcb Q
ZB=C3ZI/ aIfO'ZB=:ZL Slviti tcicb auf i^tiltc^e «tt
betoiefeu/ ba§ bte ttnten ZO, ZR, einer ber b,efben ZB, Zi;^
g(et(^ {tnb* S^Ii)fM)L gel^t ein um Z mit bedf |)albmefrec ZB
Jbefcftttebener 9re« aucbbotcb I, R; Ö, unb bie oierfettise
giguc IBOR tft in feieren ^tiid befc^cieben.

2)aIB>XV, un&XV— RO, folflli*.IB>RO, abet
I9c=IR3r,^: fo i|l aucfr IR fo too^t af«BO;>RO^
$^(W^ ift in^bem um IBOR bcfctitiebenen ftccife üon ben $cei*f
fiogfii:}!^, B.O'^.tR, jeber 9t6§er alö bet ^ret^bcgen OR; folgücii
IZB e» (imnp^ teinf el ; f offllicb (a, 1 2» @0 D lü > 2 Q BZ.

^tte aui Im fünfte I auf BD ben ^erpenbtfcl ta. ^
BD < 2 Da, unb (6, i.®.) BD:PA=BD><^ßa-:DaX
iB; fo ift.BDXBa<2 (DaXaB). Slun^ift/ «Kiin man
»telD jie^et,. (6, 8* äufO B^XBarrOlB, mh DaX
aPss-QIa*; goIglic^tftaiB<2DIa, folglich, «peil
tio* ÖWflerh □ IB > a Q ßZ/ D la > D BZ.

©a fccner ( i, 47^ ©•) D BA= D BZ+ G ZA , unfe
DIA= G Ia+ G Aa; abetr BArrlA, olfo G ABrr Q
f A: ' fd ifÜ ÖßZ + G ZA rr Q la +0 Aa. Sitn xoat nact)
©Ngeto Q ia> D BZ. gorgli* ifi G A Z > G Aa, alfoAiz?
^Aa/ folgltcb ned? 6ielmel^r Az>AG. gTuit rft AÄ.auf*
. Äher «iftenfföi^'e be^^ofnebet«, unb AO auf bec ÖÖerffSc&c
6er «f iiiecn Slttiel, perpenbtf ular. Sofglrcb berft^^t tle Ober?
fl&<^e be^^ölf^et;« nt4^t^ie iDfrerf(&c|^ bev ffejnem^fi^^ '

3tnbej

X

184

Sullib'« SltnuMe

>

l!lnt>tttt 95eweU/ baß A2>A0.

tni(^ ouf AG in G tim ^erprttiM GK, unt (fi^ AK,
{ul&itre brnSosenBEfortgefei^t: fo bleibt efnmtil (to^ 1.6.)
ein Qttid BI Abrig, ta$ firlnee ifV, aK ein Sogen/ tefTen Se^iM
GKtpare, folg«* äu* tie gernte ?ime BI< GK. jBonoii
na(t) brni oben ISrraiefenen fiZL^in ftumpterSJinFef, folglich BI
>BE!f6if^üinfome^cGK->:BZ, Qifo(iu*DOK>aBZ.

Sa nAK^-DAG + nGK, unbaAB = DBZ+
b AZ, abn AK= AB, affo DAK^za ABr fo iitD AÖ
+ aGKi=:QBZ+QAZ. Slitn roat Ü Bt < Q QK.
golfltit^ i(t G AZ > a AO, Qtf6 AZ > AO.

8 "|a,|-,
Sßict) in eine anbert Augef, B, ein, bem in Me äagri-A 6«
fc^tfebenenäi)nlic^eg/ ^olofbet befc^ieben, f^. finb betbc |k«
Ipeber in bcepfac^ec ^[tci^aftn.ig bn ^azifymt^tt i^cec Sterin.
3>enn, tpeiben bie ^olpcbci: in g(dc^ viele gteic^ft^ise $9*
tamiben (ecltgt: fo ftnb biefe ^piäutiben Ö^nli^, ..fo^U^
(13, i8.®0 in bte^fdc^tci&ec^nig j^rec^pmo(o0ni®citin.

$0^

*-t»

1 — . •

i9s

%omi^ ifl UM ^aat $fei(^fte%er ^pramtbrn in hm 6etbm
Äugeln, A, B, in l>rei)fac^er ©ef§aitni§ tcc Iwlbmeff«^, alf»
oiU^ ber Ziurd^meffec tiefet ftugefn. .Solglicb i>er^a(nrn ft(&
fltte ^vnnmiben tn> bec ^uge( A / {u aOen ^^comtben in be«
ÄHgrt B , tnt eine IJpwmibe In A, ju bet gk ict>|tcai9eri in B.
2>einna(& {tnb «uct bie gonjen ^oiyebec in bce^fattiec fßct^lu
ni| be( SDurc^mefTec ber Stigeln.

®cr 18. @a$. «eßrfaf,

Äugefp, ABC, DEF, finb in fcwpfac^et SOer^irtiti«
i^rw ©ur^m^er, BG, EF.

ffe&ve M(§ nt((t , fo w&re 3 (B C : EF) = Sudet ABC : X,
fo bof bec X6tper X entwebec (reinec ober griß« cM t>i< Stuf
g(( DEF fepn mö§te.

■««fei)X<au3elDEF.

. QN fep eine mit bec ^ugel DEF concmtrifc^e Äuget HGI

=?: X. Söefcbteibe (12, 1 7. ®. ) in bie 8r6§cte S«äel DEF

(th ^olpcbec, beffen Obecflafte bie fleinere HGI nic^t be«

■ vu^tt, unb in ABC ein btefem ä^nft(t>e« ^otpebee: fo ift

(13/ 17. 3uf.) ^olpebecABC ; ^olijebei: DEF= 3 (BC ; EF^

♦ iüfHbl'ciem. is »i*»r. »6 - SR«»

/.

• \

m

386 evHWi &mmt StoMfte« Su(&.

r

%

9hm iftMgi*noinmi!)iStudeIABC:$ude(GHI=j<BC:EF).
%9t^<i) i{V ^use( ABC : ^ugel GHI = fi>li)tt>tt ABC : ^Jcf^t»
bct DEF; felgfi*, weit Äugrf ABO^tft^eber ABC, atn^
Äuget GHI > ^olijebec DEF. ©a ab« bie Äuge( jGHT ton
bm ^olpebec DEF eingefct^fofTen »icby fo i|t bie Itiisd
GHI < ^olpebec DEF, weld^iS bm ä^onsen tottctf^ck^t.
S)fmna# tf^ triebt 3 (BG:EF) = Stuitl ABC;X, iMtw X
< ftugel DEF jifk.

tinf ä^nlic^e ${ct tottb betoiefm/ tof ouc^ nici^t Ätt^tf
DEF; Z = 3 (EF: BC) («9 , »etm Z < ftugri ABC i^

- ' e« fep X > fttisef DEF, unb 3 (BC : EF) = Sbt§A ABC
:X; folglich, t9(im Sugei KLM=X ift, 3 (EF>BC)s
Äugel KLM:Jtugel Aßä Stun fep ^uge( KLMsjf^
ABC = Äugd DEF : Z, »• alfo Äuflel ABC < Z ifl. gots«
ric^'l|V3(EF:-BC) = Su8elDEF:Z, »elc^««, »dt ?<
ÄugelABC, fla(^ bem eriten $alle üntn6flli(& ift ^Deninot^ '
ift ni4)t 3 (BC : EF) == Sugel ABC : X, wen« X > Sbtqfi
DEF, unb nac^ bem erft<n gatte ouc^ ni^t, toem X< ft»
gel D EF iji. §ol8li(^ tfi 3 (BC : EF) r= ÄUflel ABC: ««* .
gel DEF. ■

387

©er 1. @a|. *e]^rfa|.

öitb eine gerobe 2tnie, AB, in C, nad^ flrttget 9Jto#
Portion gcfc^nittctt: fo potctm'ct bt< auö il^rct ^olfte,
AD, unbibremgrögcrnTIbfc^nittP, AC, jufammengefelte
iiniif CD, t>a« fünffache iQuabcat folget ^hiftt, AD.

■ »e(*Kibc tcc hinten, AB, CD, ^
Öuäbwte, AE, DF; conjifuice p
(»ie a, 4- ©-) t»ie giguc in DF,
«nb »erlinjjcre FC blö G.

S)<i AB nacb ftetiget Proportion
gef(bnitten, atfo (6, 3. (§.) AB

:AC=AC:GB;foifV(6, 17.®.) D -A
AB X OB = D AC. Sftun i|t

ABXCB=CE, «nbDAC =

FH. golgfid) ift CE = FH.

^ 5b« AÖsraAD, aber AB=: j^

.AK, unb AD = AH; fo iit AK

= 2 AH, folfllkb, »dl (6/i.@.) AK:AB=KC:eH,

att(& KC= 2 CH- «Run ifi .( i, 43- ©.) LH + HC =

a CH. Solglicb ift KC = LH + HC , ober na* Obigem

CE=FH, folglt* (i, a. @.) AE=aAB = @nomo«-

MNO. Sftun ift AB =^3 AD, alfo (6, 20. 3ufO D AB =

4 D AD. gotglicb ift ©nonton MNO = 40 AD ; folg»

litb, nxil DH=aAD, (i, a. ©.) DF=5 Q AD, m

■ ■ m 2 AD

G JQ

• I

}8t . CuRtb^« SfeiAcnte

AD == I AB, m\> DF^ D CD = Q (CA+ AD) =
Q (CA+IAB) ift

2(nmcrfun0.

®(fu(&te a(d )u^jtanben anhinttnt/ unb bunb bataut d<)0^
ne go(gecungen auf (twati wa^xti jügeftanbcneö (ommt. Z)ie ■
@Vnt^ft0 obee ContpoftttOit ahtv ift bot 93etfä^c((i/ bor
man bat gud^i^o'^bene ium @cunbe U^t, unb bunb bie barotil
gejogenen Soften )u bec $ol0etund obet SterfteUung bei 0o
fugten getanen

giun U9 bie gewbe 8tnie AB jj ^ C B
üi C nö<b fie'tiget !|>iropot;tiott ge* * *'• ' <*• ■.■
ffbnitteit/ ba§ AG bec gc&§ece
9bf(bnttt f(9/ unb AD, bie t>Mfte bee AB, i^c gerabe fort <t»
Befe(;t: fo foK bewiefra wecben/ ba§ D CD= 5 O AD fey.
I) ZnAl^it9. (S< fe9 ticbttg, ba§ □ CD= 5 D AD.
S!lunift(a,4.€.) D CD= D AC+ □ AD+a(AC
X AD), gorgli* ijt D AG + D AD +a (ACX
AD) =5 a AD; folglich ip (I, 3. @.) D AG+.
aCAGXAD) = 4DAD. «Run ifl B A = a AD,
dfo a (ADXAC)=BAXAC; aucb ifr, »eil AB
in C na(b (htigec ^ropoction 0ef(bnttten, BA: AC^
AG : GB, a(fo AB X BG rr D AG. $o(dtt(^ ifk BA
XAC+JÄ.BXBG=4DAD. 3Junijl(a,a.«.)
BAXAG+ABXBC=: Q AB. So(i)tt(b4 D AD
== D AB,^ welche«, ^a 2 AD=AB ifi, au^ in bet
2^atf»i|t.
i> CompofftiOtt. S>a n AB = 4 a AD ; aber ( a,
i. ©.) D AB=BAXAC+ABXBC: fo ifi BA
XAC+ABXBC=4nAD. Siun ifl BAX
, AG = a (ADX AG), unb ABXßC= Q AG.
S5o(ijlicbDAC+3(ADXAC) = 4DAD; folg«
Kcb (I, a.0.) D AC+ D AD+a (ADXAC) =
5 D AD. Slw tft (a, 4. ©.) g AG + p AD + a (AD
XAC) = aDQ. 8oÄijiDDC=5aAD,
ba« ifl D (AC+IAB) =f g f AB.

©er

3?>

^Jofcttittt cinf flerabe 2mle, AB, bad fünffache Cluof
br« eine« it>Kc :aSf4>Jiitte, AC: fo ijl, wenn Das ©op?
pelte fofc^e'ö !2(6fd)ntK6, CD, noc^ jletiger 9)ropo«ioii
aefc^nitten »itb , bet 8r5gere 2t6fc^nitt, CB, becDle^
ecjl^eba^tet ginte, AB. >

, SBefc^ceibe bcc Jinien, AB, CD, ^
£luat)rate, AF, CG; poQenbe (»te
3, 4. G.) bie Siguc in. AF, unb
»ecl&ngeie FB iü E.

5Da D AB= 5 Q AC, ba« i|k
AF=5AH: fo ift ©nomon
MNd = 4AH. Süun ift DC
=:fl AC, dfö (6/ ao. 3uf.) D
.DC=4 D AC, \>ai iji/CG=
4 AB. $oldU(& ift @nomon MNQ
= CG.

2)aDC=aAC, dbetDC:^
CK, unb AC=r CH: fo ift CK= 3 CH ,. fotgn* KB=
3BH; fols(i(&, toeii LHH-HB:^2HB ift,. LH+HB
vSrKB. .0tun n>ac @nonion MNO = CG. golsti^ ift
(I, 3-®.) HF=BG; aber BG=:CD.XDB, »eil CD
= DG ift, unb HFs=:pBC„ fol8li(bCD;XDB=:a
BC } f olftlic^ (6, 1 7. ©0 CD : BC = BC ;DB. SDcmna(b
ift CD, baj ift 3 AC, na^ ftctigec f>ropoction üi B ge«
fcbnitten; au<^ ift (folgenbec te^nfaQ) CD>BG^ fof^liC^
BC>DB.

®o$ CDe bo« ifl 4. AC>BC fepi, »itb fo fiettiefen :

SD&te ni<bt 2 AC>BC, fo fe9, toenn H nt6g(i(b/ BC
= 3 AC, f^lglicb a B,C=:4 o AC, folgiif^ D BC+ Q
AG == 5 Q AC. fRm ift. angenommen Q B A.= ^ Q AC»
golgli* »Ate Q BA= ßC+ D AC, »eic^e« (a, *.,©.>
unm&dfi<<> ift. 2>(mna(^iftni(btBC=3AC

9b 3 SläO*

. V

39d (SntWi Elemente

SRJ^meman aUt BC>a*AC an, fo tü&rbe au« ij^nfo
6ftn ©cbluffen folgen , t)a§ Q AB < Q CB + D AO tohtt,
tpelc^e^ nod) \>icl mcnigcc (Statt ^aben tautu gofgltc^ muf
*a AC > BG fepn.

Tdtmetfung.

(g« fepen DA, AC , i>it bcilim DA C B

Hbf4>nitte t<t geta^fn ?inle DC; * ' ■• ■■ — < — r» -

<IU(() fep AB:=aAD, unb Q

CD=5 □ AD: fo foü bcrcicfen »erben, ba§ AB:AC=

AC:CB, unbAC>CB f(9.

i) 2(nalvft9> ^c.n ne^me d($ ectotefcn an, bü§ AB
;AC=AC:GB, fo ift (6, 17.®,) ABXßC =
D AG. 9iüH fft, weil A B = 2 A D, B A X AC =
' fl(bAXAC). ^oföUc&iftABXBC + BAXAC,
l)'oS ijt (2, 2.©.) D AB= D AC +.2 (DAX AC);
übet a AB = 4 D AD, fol^licl) D AC + 2 iPA>^
AC) = 4 D AD, f olöli4» D AC + a AD^+ 2 (DA
^ XAC), bo« ift (2, 4. e.) D CD, =5 D AD,
wie ti auc^ pecmoge bec Sfnno^me ifl.

, ») (C^mpo^tton. ©a D CDr=5 G AD; aber (2,
4. ©0 ü CD = D AD + D AC + a (DA X AC):
foiiiDAD+aAC+2(DAXAC) = 5DAD;
f olflli* D AC + 2 (DA X AC) = 4 O A 0* Stm
: ift 2 (DAX AC) = BAX AC, unb 4 D ADi=:-
D AB= (2, a. ©.) AB X HC + AB X AC.
goIflH* ift ABXBCr|-ABXAC = BAXAC+
D AC, fofgli* AB X BC=: D AC, fdglic^ AB
:AC=;AC:CB; unb, »efl AB>AC, aucJ^AC
>CB.

SDer 8. @a|* £e]^rfa^*

SQÖitb eine gcrabe £inie, AB; tn C, md) jlctfger 93ro^
Portion .qefc^mrren: fo potenjirt bie, auö bem f feinem
3l6[d)nitte, ß'c, unb ber ^afftt beö gr^^ern, I>C, jnfam^

mem

^

%xi%i^\Ati 55u(^. 391

■ 1 ' ■■ • • *

ntcndefef tc Sime, BD, 4>o« fÖ'nffo(||e Ötmbwt ber Raffte
t>eddr6gem7l&)cf)mrte«, DG. '

©ef*Ki6c l)ft Jinie AB, A
JDuabcat AE« unb bollcnbe tiie

JDa AC = 2DG, fb Ijt R
DAG = 4DDC, \)o& ifi,
RS = 4 FG. mm ift (4. H
i7.®.)ABXBC = aAC,
|>a« ift* CE=RS. golglij^ 7.
i^ CE = 4 FG. ; ,

2)« AD=DC, olf» <i, 34. ®.) ttu* HK=KF: fo
ijlOF = HL, folglich Glf=KL, M ift/ M"N=NE,
folg«* (1/ a6. a) MF = FE. sßun ijl ( i^ 43;. ©0 MF
= GG. gofgli* ift CG= FE^ ^fötgli*; »ena CN ^«
iUfoount/ @tu>mon OPQrzGE« obec nact> O^i^cm / ='
4 FG, f olgli* DN = 5 FG. Stun ift DN = O DB, dac^.
FG= G DC. Solgfi* iji ö DB = 5 Q DG, to« ijt» Q.
(BC+|AC)=f5a|Aa

21rimerfutt-0»
e« («9- AB in-G naiji 0eti3<c /^^ j) £«-• jg -J

^coportion gefc^Hiittcn ^ AG fccr ' • *— •

gt66«re abf(ftnit{, unfe CD=^AGj fo fott ftcwiefcn tpet*
ten,. t»a6 D BD = 5 D CD ftp.

' i> 2inalvft8. Sltan ne^me atö ettoi^fen an^ boi D BD>
= 5 D CD: fo ift/ tpcif (2, 6. ©.> a BD= AB.
X BG + a CD, au*. AB X BC = 4 D CD«
SRun i^ tia* bet SJwaulfelguBg ABXBC= D AG.
golgli* ijl D AG =4 Q GD, n)et(!bt:«A »»«U AC=

3 CD iji, in b« S;^at (6 i|t.

3) Compofttion, 2)a AG = 2 DC, (0 ii» D AG =

4 D DC , ober ( 6^ 1 7. ©.) D AG = AB X BG,
foJ8li*AB><BC=4Dt>C* foIflli*ÄBXBC +

' DDG, \io,% ijt («, 6. ®.) D DB, =: 5 D DG. .

8&b 4 ©«t

« / ^- - *

39«

SBttb eine gerabe Btnie, AB, in C, not^ fletidec i^ro>
90i(icn gef^nitten: fo ftnb bie betbeitiCluabrate/ ba6 bec
sanjen, AB, unb hti f (einem 2Ibf(^nitt$, Cß, jnfammen
bem bre^fac^en iCluabrate be^ dt6|etn 3lbf(i)nittdf AC,
filei^. . , *

S3ef(brd6e bec tinie AB iCiud«
brat ADEB, unb tüoUenbe bie

' 5ÖaAB:AC=ACjCB; fo
# ABXCB=D AC, iai \%
AK = HO.

JDa (i,43.(S.)AF=FE,
fo i|l, wenn CK ^tn)ufonunt,
AK == GE , . f olgtlcb CE + AK '
= a AK= 2 HG, »eil nacb Obigem AK = HO ijfc
Sßun i{l CE + AK=®nomon LMN + CK. Sof^Iic^ ift
©nomon LMN + CK r= d HG, foJäljcb ©notnon LMN
+ CK + HG = 3 HG. sftun i|t ©nomon LMN + CR
+ HG = AE + CK = AB + DBC, tinbHG =
D AG. golglicb ifi D Aß + D BG s= 3 D AC.

• . ^(nmetfung.

So fep AB in C nacb itctigec a c B

^to})ortipn gefcbnitten , ba| bet ^^ , ..

gtoßete «bfcbhitt AC fe?: fo fo(t,

bewiefen metben , bog O AB + D BC =: 3 D AC fep.

a

i) 2(itölvfte. 2>a D AB +q BG = 3 d AC, abet
(2, 7-®-) nAB+aBC=2(ABXBC)+D AC:
fo ifi 2 (ABXBC) + D AC = 3 D AC, folgficb
fl.(ABXBC) = a DAG, folg«* ABXBG==:
OAC, n>e((be<, ba AB in C nacb ftetigec ^cöportion

- jefcbnittenwotben, (6> 17.«.) ricbtig jft.

2) Cotti#

\ ■

^tt^lt^ntci !5uc(>

393

(6, i7.®0ABXCB=OAG: fo ifta(ABXCBl)
=: a D AC, foIgK* 2 (AB X BC) -h O AG =^
3 D AC. giun ijt (2, 7. ©.) 2 (ABXüC) + D
AC = ü AB + a BC. golgli* i|t D Aß + D BC

;=3aAC.

-A

ÜBirb eine gerabe £tnie; ABy itt C, nac^ flett^et 93(0«
pottton gefc^ttttten/ unb t^c eine bem 9c6^ern 2(bf(^nitte,
AC; gleiche £inie/ Ap, gerabefottangefeit: fo ifibie iu«
fammengefe^te Stnie^ DB/ in A, nat^ jjletidec ^copottion
gefc^nitten; unb ber ^tb^ett 3(of(^itt bic erfitebac^te
Hnie, AB.

S3ef(bcei6e bec 8tnie
AB itlttabrat AE^ unb D
voflenbe bie gigut.

2)a AB : AC =
AC:GB, foifl (,6,
1 7. ®.) AB X CB
= D AC , tai i^,
GE=CH;aber(i,
36.®.) Ctt=DH,
unb (i, 43. 0.) CE
= HE ; f olgltcb DH = HE ; fofgCi*/ toenn HB^injuf ommt,

•

\

H

•

\

R

R

'I

DK = AE, iai \% BDX D A= a AB, folgli* (6/ 1 7- ^O
BD : AB = AB ; DA, «nb, »eil Aß > AC, au* AB
>DA. •

^nmetfung.

€« fep AB in.C na<b d A

(tetigec ?Jcoportion ge« » ■ - * — ^ —

fcbnitte«, AC>CB, unb

bec AB bie AD = AC gecabe fort ongefeftt: f» fott bewiefe»
»erben , boß DB : B A = BA : AD fe?.

»b 5 i) 2r«a#

C

-I .

%

I

3^4 » CSuffib'« (Sltmmtt

i) ZnAtffie. Da DB:BA=:BA:AD, db<t AD=

^ AC; fo ift OB;BA=BA:AG, foIgtic^Cs, i9.3uf.)
DB:DA=:AB ^ A C B

: BG, folflli* ( 5/ T ii 1 — ^

' i7.(S.)BA:At>
= AC:CB. sjiun «|i Ai3 = AC. SofgKc^ ijl BÄ
: AG = AC : CB^ tote oorau^gefe^t tourbe.

a) (CompontiOtt. ' 2)aBAjAC = AC:CB, c6«AC
=r AD; fiijt BA: AD = AC:CD, foJgli^CS/ iS.S.)
BD : D A = B A : BG , folg«* (5,19. guf.) BD : BA
= BA:AG. gjun l{t AC~AD. golglk^ ifk BD
:BA=BA:AD, «nb BA>AD.

• . *

©er 6. @a|. £el^tfa|.

Sßirb eine Slationatfinie/ AB; in G, noc^ fl:eti$er ^Jro^
Portion gefd^initten: fo i(l jeber 2lbfd)mtt, AC^ Cß, eine
3(potome^

SJecl&ngcre B A 6i« D, jj y^ C B

iinbmac^eADrriAB: i ' ' ^. ' ■ » '

foift(i3,i.6.)DCD=

5 AD. 2)emna^ üec^alten fi<^ D CD, O DA, toie 3a^
len, unb ßnb folglich (lo, 6« ®0 commenfutb6eL SRun i|l
DA=:|AB rational, nnb ba^ec anc& D DA. goJglid^*
iji Cy, 6. iO au* D CD, olfo (lo, g. @-) CD felbjt w
tional*

2)a jic& a^er bie iQuabrate bec CD, AD, nic^t tDie Öuo^
^bratja^lcn t>ecfya(tcn; fp finb (lo, 9. ©0 CD, Ap,in ?am
ge incommenfucabef. JDemnac^ find CD, AD, rational btoS
in ^otcn} commenfura&el; fo(gItc^ (10, 74.®.) AC eine
Sfpotome. % ' ,

2)a AB in C nac& fiettger Proportion flef<bn{ttett, alfo
(6, 17- ®0 ABxBC=DACiji: foijt (10/98.©.)
CB bie erfte S(potome,

®er

■\

\
I

•

\

@t;tb m ein« fönffctttgen ^yigur bon gleichen ©ctteit/
. ABCDE, brep ?HJinfcf, fie «1696« auf cinanber fofgett/
eber ni4)t/ gtei^: fo i^ bie gtgut 8leid)»mfltg.

• • ' erriet §aü.

fffienn brtp auf dnanbcr •
folgenb« SSBinW A ^ B^ C/
gleicb ßnb.

git^cAC, BE, FD.

2)« in ben a A EAB, B
ABC, nacb bet S^raul«
(eguBgArrB, unbCB=
BA=AE:fotft(i,4.®.)
ACr=BE,BGA=ßEA,
«nb ABE = GAB. 2)a

|>ictnacb im A AFß, ABE=CAB: fo tfi (1, 6. €5.) AT
=BF, ttnb»or^ecou(^ AC=BE, foJfllicb (i, 3.®.) FC
= FE. «Run iji in ben A A CFD, DFE, av^ CD = DE;
tihb FD gemein, .golgfieb ifl (i/«. ©.) FGD=F£D;
«6er na* Obigem BCA3»AEB^, fofgiicb ('1, 2. ®.) BCD
= AED. fSiüxi ijl öucb Angenommen BGD = A = B.
^of^licb ijt AED= A=:B. »uf &^n(ic^e Sict n>icb ben>if«
fen , boS CDE= A = B fep. golgli^j i|i ABCDE gfei«^
winflig.

Sweptcr §arr. ,

SBenn bcep nft^t «uf einanbec fofgenfce i©inW/ A,'^, D,
^letcb ftnb.

Bie^e BD. *

2)a in ben A aABE, BCD, no<^ bec 5Dorau«fe^ung/ A
s=C, BA=BG, AE=CD: fo ifl (i, 4. ©0 BE=BD,
AEB=CDB, uijbCr, 5.«.>BED=BDE, folgli* (i,
2. @. ) AED = Ct>E. Sftun ifi aucb angenommen CDE
, = A = C. golglicb iji AED = A = C. Stuf a^nticbe
- Slrt beweifet man au^, ba$-ABG=A=:C. golglicb ift
ABCDE g(ei($»inflig.

©ec

•v »

. /

39^

^üfüVi ^(eme^te

3n etttec fünffeittgen ^tgut t)on gtetc^en (Seiten unb
!C3infe(n/ ABCDE, fc^netben bte innec$a(& itoeper auf
etnanber fofgenben ^inUif A, B, geioaenen ^tagonaUiv
BE, AG, etnanbec in fleti^et ^roportioit/ unb bei; $tb$<n
3lbfd)nttt ifl bcr &eite bet Sigut gleic^,

©«((btdbe (4, 14. 0.)
um He $iguc einen jtreij.

2)a in ben aaBAE/
ABC, na^ bec ^otaüif
f<|un9 A = B, E A = AB

= ßC: fo ijtCi, 4. ®.)
BE = AC, unbBAC=:

ABE; fotglicb (1,3a.®.)
AFErraBAF, abet (6,
33.©.) EAC = aBAC,
fojglicb EAC = AFE, Hfl?
iKb ( 1/ 6. 00 ?E =r EA = AB.

2>aEA=AB, folflli* (I/5.6.) ABE=AEB, «tbct
naeb Obigem ABE=BAF: fo iitAE6=BAF, Wi^,
ba ben a AABE, ABF, Ut föinfel ABB gemein ijt/ aW
BAEs=AF^, folflltcb biefe ^riartflel flleicbwinnig. golgf
li<b«ft (6,4.®.) EB:BA=:AB:BF, otfo, »e« BA=
EF, äu(bBE:EF=EF:F'ß; »0 benn/ »eitBE>EF,
«ucb EF > FB. S>emna(b ift iit S>iaflona(e BE in F m^
fketiflA Proportion gefcbnitten, unb bec $c6fe«e 9b|i:^nitt
EF = AB.

Suf &^nlicbe $(tt wirb betoiefen / bag aucb AC in F n<Ub
(letiger Proportion gefcbnitten/ nnb ber 9V&§ere Kbfcbnitt =
AB f<9.

©er 9. ®at ^e^tfaf

SSetben bie Otiten, CD, BC/ einet fe^lfettigen unb
einer je^nfeitigen in benfe(ben .^reiö befc^tiebeneit ^tsur

^ti^t^nus fdui^.

LI '

gerabe fort an di;ranber gefeft : foijIbteaattieJinie, Bt)^
\ itact) fletiger ^topottion gef^nitren, unb bec größere 216^
fc^nitt bie &eittf CD^ ber fec^öfeitig'e« Sigur*

@u4)e be* Äceife^
gRitteI|^unf^E,jie^eEB,
EG, ED/ unb i^eclänge^
tcBEbiSA^

2)a BP tie Seite bec ^
gej^nfeitigengiguc: foijl
SBogen ACB= 5 85o5
gen BG, folgli* So^
gen AC.::= 4 SBogen

Bagiunifl(6;33-®0
SBogen AG : Siegen BC

=:AEG:CEB. golg^
li* ifk auc^ AEC =
i| CEB*

2)a (I, 5.®.) EBC=ECB, fo tfl (i, 32. 6.) AEC
-=; 3 ECB. 2)a (4, 15. 0.) ECirzCD, folg«* (i/s.®-)
CED=CDE: fo ift (i, 32.®.) ECBr^2EDC; abrt-
flo* Obigem AEC = 2 ECB , folglich AEC = 4 EDC.
S^un ift ndc^ Obigm ducb AEC = 4 CEB. $oI^(b ffi
EDC = CEB; folgti«^, babetiAABEC^ BED/ l>«®in«
fei- EBD gemein ift, au(&BED=ECB, foigßc^ {int tiefe
Jtionget gleic^winWig. golglit^ ift ( 6, 4. ®. ) DB : BE ==
EB : BC, olfo, »eil BE = CD, ««* B D : DG = DC ; Cß ;
»0 bann, »eiIBD>DC, ttü(^> DC > CB i|t. 2)emn<K&
^ BD in C na(b fletigec Proportion (tefciimtten , unb bec
ix^m Sbfc^nitt DC ik @eite ber fed^^feitigen 3igur.

®cr 10. @(»§. £<^i:fa|.

^te^ctte, AB, einer in ben Äreiö bcfc^rtcBenen fiSnf*
fettigen gigur bon flfeic^ett ©eiten , ABCDE^ ^otenjirt
bie tluabrdfe ber ©eitcn einer in benfefteniÄreiöi^efc^rte«
ienen fec^sfetci^h unb ie^nfeitigen $iguc,

8^mm

\.

39t

€ttKib'4 ^SUmtnu

'S

fit m G. 3te^e FB/ f^Ue auf AB <tu« F t)en ^rtpenbifet
FH/ untt)ec(&nscce i^n 6i« E. B^^e AK, KB; fäUeauf AK
aujFjtm^erpenbtfetFL, unbt>er(angctei^n6i$M; jie^eKN.

S>a t)ie $al(>(t(ife ABGG, AEDG, gleich, andf U< föt^m
ABC; AED, gUi(& ftnt: fo {tnt Die S^ogen CG^ DG, «tetc^;
fotgti^ ift CG t)ec ä3og(n f&c tie je^nfeitige §iguc.

2)a Fft ouf AB petpenWf ufar mi AP = FB : f* i^
AFKrsKFB, »ogen Ak=S3ogen KB, folglict) AK äu(^
Ut Söogen f&t t>ie je^nfeitige gtgutr, un( 2 S3ognt 6K =
l3o$en AB = 93og(n BC. SRun ifi au$ gUif^em @cunbe
a Sogen KM = S5o8. AK = S03. CG. golßlit^ iji ( f , a . @.)
«Jioflen BCG=3 »ogen BKM, folglich (6, 33.0.) GFB=
2 BFM. giun ift, roell BF = FA, alfo (i/ 5. ®.) FAB
s=ABF, auc^ (i, 32. ®.) GFB = 2FAB.. golglt* ifk
BFM = FAB; folgli^ ta ten A A ABF, BFN, tet «Bin»
fdABFdemein ift, auc^ AFB=BNF, fo(e(k&t>iefe$niinse(

^ui)it^nM ^u($.

39?

'- ^umm\i. go(3li(t> iji (.6, 4. «0 AB:BF=:FB;3N;
foIäIi£t> (6,i7.@0 ABXBiX±=pFB. '

2)Ä AL = LK, un* LN gcmfiit unfe pcvpenbif ufot : fo
ift C i, 4. 6.) KN= AN, unb LKN = LAN=NBK;
fofä«*, ba ben ^ A AKB, AKN, bcc ©infel NAK gmcirt
ift, au* AliB=rKNA; folglich bicfe itriangel gldc^winf*
tig. gcfgtic^ ift (6, 4. ©.) BA : K A = KA : AN , fo(äli(i&
(6/ 1 7. @. ) 'B A ><: AN =r a K A. Shin ift »ot^ec ciroie»

„ fen, ABX BN =:aFB. gclglic^ ift D FB + Q KA=
ABXBN + BAXAN==(8, 2.©.)aAB; »ö AB,
FB, KA, bie @citea bec f&nf ;, itJ^it unb ie^nfeitigen Sigu«
«n ftnb. > '

©er 11. @a|. . 2«^tfa^.

^ie@«.ttc, Aß, ein« ffinffciti0en, in einen ÄKt«, tef5s
fett-'t)urd)me(fci; totionaf ift, befcfjtiebencn gigtit toit
Ölcic^en @eiten , ABCDE, ijl bic f (einer« ^ttational^.

, aiimm bc« Ätdfe«, «Kit»
telpunftF; }ie^eAF,BF,
»erjahgere fte biö G, -H;
jif ^e AC, AD, tinb mac^e ^
,131=1 AF. [Bj^Af

.2)a AF, BF, cdtional:
fo ift FK, folglich üü^
Bk rational. • 2)a bie.
ig)aIbfreifeABCG,AEDG,
Jglei(^, au(^ bie Sogen
ABG, AED , gtci* ftnb :
/o (inb bic aSogcn CG,
GD, flleict), folg«* (3/ ,

37.^0 CAL = DAL. Siun {ft (3, 29. ®.) AG =±
AD, unb AL gemein, golglitfe ftnb (i, 4. @.) ht9 L re<i#
te fflinfel, ,unb CD =: s OL. Su« gieic^em ©tunbe fmb
«u4> bc9 M te(:i>te SBinf el , unb^ AC = a CM. ^olgli*
ift, ia ben AAALC, AMF, W©inM LAG gernein,
■ ' ' att<^

\ / *

G

#

400

eüHitri &mtntt

au^ AOL =: MF A. ^m»
m^ {tnb tiefe tüMitt
gfeU^minflig. Solgtic^ ifl
(6, 4. ®.) LG : CA =
MF : FA ; fo(d(i(& au(6 -
a LG : I CA = 2 MF

: I FA = MF : i FA.
Run ijl 3 LG i= DC,
fGA = GM, iFA =
FK. So(dIi(^ if^ I)^ : CM
=MF:FK, fol8H*(5/

i8. ®.) verbitiiben^C

+CM:CM:=rMK:FK, .

folgß*^ (6, 22.®.) D (DC+CM):aCM=aMK:D
^K. fftm i^ (13, 8. ®.) OC trr gcifece «6f(^itt ber Me
C^bpunfte {»epec {ufamnienftofenten leiten «ecbfntentoi,
nat^ Mser ^copoction gefc^nittencn ^ SXagoiuiJle AC^ <iu((
ift GM=|CA, ölfo (13, 1. @0 D (DC+CM)=r5a
CM. golflii* tft D MK = 5 □ KF; fojgli*, »eU KF,
olfo D KF, cationd^ ( 10, 6. @.) aut^ D MK^ alfo MK,
cdtionaL

SD« BF = 4 FK , fo ift BK = 5 FK, foIsK* (6, ao.
3ttf.) D BK = 35 D.FK; abtt n<x^ Obigem n MK =
I □ FK , foldiic^ D BK = 5 D MK. 2)emnat& ftnb (10/
9. 3uf.) BK, KM, 6(o§ in ^otenj (omtnenfatote(, o6e? on(^
tätiond; fofgiic^ ijt (lo, 74. @.) MB eine Vpotomc/ trnft
i^ü fägt f!t^ t»ie MK an.

(58 fe9 eine gerabe 8imc N, bag ö BK — ö KM :=
D N, baiift, ba§ BK um \>ai Quabrat bec N äbet bie
KM potenjire. Sa KF, FB, in ian^e (ommenfurabef (inb:
fo f!nb ti aucb (10, 16. ®0 KB, BF> abec auc^ BF, BH;
folg«* ( 10, 12. ®.) att(& BK, BH. 2)a D BK = 5 D
KM, baö i(t, D BK;D KM= 1:5; fo i(i (5/ 19. Suf.) O
BK : D N^ 5 : 4. golg«* (i?b ( i o, 9. ®. ) KB, N , in
{ange incofnmenfutabcl; fo(gfi(^ t{t MB bie »terte Sfpotome»

. ®ic>

vhu''

;

S)K9}e^ttf ^(^

401

: ®M'AH (()Odqi: fo pnb (6, 8. ®.) bfe' A A ABH,
ABM, qki^mintlis, foIgUt^ (6, 4> 60 HB:BA±=AB
: EM / f oJgü* ( 6, 1 7. ®. ) HB X BM = D Aa Stall
iß HB tätienal, abn BM tie oiecte S()>ototne« go^ßc^ i|i
( 10^ 9i*&.) AB (i( f(ein«tre Sn^otionofe.

. ©er 12. ©a$. ^el^tfof.

S^je^0ette, AB, tinti in ten jtret« 6ef(^rt(6enfl|i
tlfei^feftigen tnangetö^ ABC, potenjtit bad bre^fac^i
j^uobtat bec .fiälfte bed JtceidbutK^meffecd.

*^ RHam be« Steif«« aWfe
t(!pttnft D/ )ie^e AD^ oec«
l&ngfcc ({(OÜtE, unb ji«

JD^ A ABC grei(^feitig
ijjt: fe rfk b(C »ogm BEG'
bff ^rttte^ fofglCcb b(t 3^0«
genBEb(cfe(b«te!l^etrbrt B
Umfcdfei; folgU«^ B£ bie
Geiti-Nii fv(b«fetHd<n SU

BE r= DE.

2>a AE = 3 ED: fo Ijt (6, 20. 3lnf.) ö AE == 4 Cf

' ED = 4 Q BE. aittt» ift ( 3, 3 1. ©:) AKB=9t, elf?

(^t> 47. «0 D AEs=DÄB+ÖBE. Si>(s(i^ ijiti ab:

+a^fi==4 D BE, fWglk^D AB=3 CJBEfea CJDE,-

»0 DE =

M, i \

/ ^

I pmmmmmm

s

|AE.

f"

©«M8. ÖJcrfii /

ifi^tntti ^i{ umf äffen l&f r^, jv cpe|IW(r«Vf

I

401

pnm ^umtx^

Stu^tl ifl anbtttWbniat fb^rof/ äS hai Cluabraf I
&tiu tim6 toott biefcr ^ugel umfa^en lertaeberd. \

W. fep Ut flege^
(enen ftugel ^urc^?
meffecAB(6/io.®.)
in.C fo gefc^ttitten,
tai AC r= a CB.
93ef(tteibe &6er AB
beit ^albtmi ADß^, Ai
ecrict)tc auf AB in C
ben ^etpenbif ei CD,
«nb jif^.DA, DP.
»efc^reiöe mit CD
ttm einen bdiebisen'
^unf t H tinen Stceij
EFG , «nb {n bemfel^
bat C 4/ ^* ®* ) ^beti
gleicbfeltigett A EFÖ,
jie^e EH, HF, HO.

dwitbte ("/ 12*®0
auf ber $tei1(e6ene in

H be» ^tpenbifet
HK±2AC, unb jle^

^ KE, 'KF, KG: fo ffi bec 9kptVf teffen ®«inb|tt
bec A EFG, unb beff^n 6t% K 4fk^ ba« i>er(an0te S

iraeber.

" ■..*■■

iSv^IM»/ M ttef« fticpec ciR t^eixr f(9>
...25a (11/ 3»(S.) KH mit HE/ HF, HG, teerte S®iq
mft*t/ au(^ '|b^ G tin rec&t«c SDinfel unb AG =*'H
CD =: HE m 4» ifk ( 1, 4. ©.) DA^^KEi «tt« t

;^ • ' ■ '■ . • ' rfl

* ••

V

^ ©cÄttUn ijl KF itmf)l aH KO fcet AD flteit^* ©em#
tta*ijiAD=:KEÄK:F=Ka ' .

Da (folgen&ec «e^nfö'g'X AB : BG = G AD : □ DO^
aberAjC = 2CB, olfo AB == 3 Cß ifi : foif^aADzr:'
SQDC. fiiunilt DC==:Ett, mb (rj, 12.©.) dFE
==:3DEa gDlgli* ift nAD=DFE, dfo AD=FE.-
Öiim trat AD auc^ jcWe te^ «mlen KE/ KF, KÖ, gfci*^
50^11* fml) tie t)iei:$rianflel EFG, KEF, KFG, KGE,-
^eic()fettis tm& gleich* SoIgKc^ tft (ii/ 26, @0 ter t>on H^^
fin Striangelii begräftjte Körper ein ietxatUu ^■

i: «Jelje >er KHbk HL= BC gecabe fortan: fo ijiAB—
KU 25a (6, 8. SuQr AG:CDz=CD:CB, aber ACz=;
KH;CD = HE, GBzsHL: fo ifiKH:tlE=EH:HL;
fpigfid)/ ipenn man EL {ie^et/ ( 6^ 6. @. ) ber A KHE bent,
A £HL gl^c^minf (ig / alfo K£L dn tcc(^tet SSinfef« $o(d^;
li(^ me^Ct ein übet; KL befcbtiebenec^lbfceti bur^) E« S^ttb;
nun biefer' $a(b(cdiS um ben unüecräcften ^urcf^meffei: KL
ting^um flebre^ct: fo ge^et er aucb bur^ bie fjunfte F/ G,
»eil aucb / wenn FL ^ GL , g^^gen tpecben / KFL, KGL^
teerte V^oM ftnb.^ . 2)emnacb fallen bie Scf^unfte i^f %z^
ttaebert E, F, G/ K, in bie Oberfläche bec StogeC^ bereti
' 2)ur<^mjeirep KL = AB ijt^ ^'- }

• - in. ?Stwti$ t>t$ »e^tf^^e«.

2)a AC ==-3 CB, fol8R<^ AB = 3 CB: fo ift AB =:
f AC. füm ift (.6, 8. Buf.unl) 6, 20. ^uf,) BA : AG=
DBA.:.a AD. golgli* ift au(^ D AB==iD AD,. »0
AB in ^m^mi^ef ttt ftugel un& AD tec 6eite \>e$ Ztttatf.
Uv$ ^^ ift, ,

/ Ro4^ ift itl idoeifw, »a| AB:BC^DAD:aDC ift.

1

404

ffm>\ mmm:

\

0t Hatt bie »pjris^
Confkcuction M l^aMtüt
MADB. i3ef(^<ibe bec
^ie AC £lttatcat £C^
ititt ooQfnt« ^i ^coUe/
(ogtamnt FB,
■ 2)a We AADAB,

frijt(6/4.®0ÖA;AD
= DA:AC, foiflUC^
(6, 17. 0.) BAX^C
-= a Ai).

2)a (6', I. ®.) AB«
:BiC = EB:6F; abix *•
EBsiBAxAC, ttnl>BP=AGXCB: (ötfkABiBO
:c B A X AG : AC XCB } ober na* Obigem BA XAG
==a AD> . f«IgH(b AB:BC=aAD:AGXGB. ajw
11* (3> 31. öi) ADB=9t.> tihb (6; 8. 3uf.) AC;CD=»
<JD:CB; affeAGXCBsrODC. SoIgfU^ i{ti^tBG>

©et 14» ©öfc

jL e ^ r f a 9* ^ad £luab(at beö ^ucc^mejfetd einer

li €ori{(ruetton beö CUati>tt$* •■ /

. (Sj( f<9 bec degc^eneii ; ftogel S)ui;<b>neirec AB in[ C^
bitt. S3ef(bcetbe aber AB ten ^tttbfreU ADB^ einii#»attf
AB in C ttn ^erpenbifel CD , unb )ie^e DB. 9hm ft9
ein Ciucibm EFGH, b^en &^te == DB. ßie^e HF,
EGy bie {t(b in K fd^ndben. «criebte (ii/ 13. 6.) aof
ber ®ben« £f dH {n K ben fieqmiWeet Ki/ »wfin^cre

Ibu^^ntt» i^u(|4

4^5

ifyx auf bett anbem 9dte ber (S6ene na^ M^ unb mdc^e KL
foh^l off KM einet bet «inien KEl^ KF, KG, KH, güeicft,^
3i^e DoaL imof)i alt wt M getübe Linien tiat^ E^ F^ G/
H: fo iflt bi?i[ babttt(^ cnt^anbene iti^r^ ba<f »er(an0te iDf^
taebetp, ^

iCcfiltcb/ M t(t i(6t))(r ein £>ftaeb«t fep.
. JDa KE=KH, uat> EKH=:3i.: f<> ifk (i, 47- «0 D
HE = 3 D KE. Sßun ift <iu<& LK =:: KE , unb LKE :=;
IR. : «(fo O ELrs a Q EK* So(gfi(^ if^ □ HE =: Q EI?/
<iIfo HE = EL; abtt ou< dl£i<(>ra ©t&ni^ auc^ LH ==:
HE; f(ifd(i(ti tec A ^EH dkt<^n%. IStm mtb auf &^^s>
Ii(^(9tt betj^tefett/ batbie «Sriang^LEPj LFG%iLGB>
«u4> gUid^f^itifl/ unb tem aLEH 9ki(^ ftnb: fo tote au^
tie Qtet !lnan0e( auf tenfelbea @ntnMinien EF, FG, GH,
HG« ioeI($e igte. ®t^i|e üt M auf ber anietn. 6eite bec iSbene
EFOH ^a6en. ^Igti^ ifk (ii^a?.«.) bie eon 6iefei
Sciangeln beg!cin)t.e f icpevflie^e Siduc ein iD(taeber.

^W^tcn»,. H fi<^ (fef«l, Oftaebiec von bec je^ebenm.
9vg<d lunfaiTen laf[e.

» I

' V

4Ö6

^M^ib*« demente

XMi LE = EM s= KE : f« ge^et e^n ibtc L^.^tfi^tie'
'((nee Ixilbfitid Imdf E. ', Z)re^ct ftc^ nun tiefer t>aVbttfit
«m itn unt»eci;u(ften ^ce^meffec LM tin(($am: fo gefyn «
a\xi tbtn ben ©tönten au<f> buce^ F, G, H. S^emnai^ ^
len tte Scfpunfte iei Oftoeter« in tie dberfl^e bec iStafiÄ,
teren 2>nr<i^nKffec LM if^. Jtiefec 2)uc(^metec abet i|i
= AB.

2)enn ba LE=KM, EE gemein tf^^ nnb btpK witt
fiBipffliinb: fo ifl (i, 4. ©0 LE=EM; abet (3, 31. 6.i
LEM = SR.; fol«fi* D LM = a D LE. 3?un ift (6,
8. 3Hf. u 6, ao.guf.) AB:BC=DAB:DDB, alfo, ntH
ABzri^ÖC, <»«(* aABrr2aDß=2aLF. g«^
- ßc^ ift D tM = a AB, fö(dli(^ LM = AB.

HI. J55ett)ct« be6,£el^tfa|e«»

J^a eben beriefen. wetben, bä§ pLMsraQLE,
ou(^ ba§ LM == AB ifi; fo ifl D AB = a Q LiB/ m
AB ber Siutc^meffee in Stuitl, ttnb LE bie.®ette UiGt*
tüebert Ift. ' »

©et

I»«IJ«5«(ti>all(i>

4of'

üufgubt. Eineit äPürfel/ (ei« ^etattxr), »A
i^er fid> i?oit-<üt(t if$ekta<n.&\i^tl lunfdffm U^, ju
f on|ltui«n..

£ e t) c fit 9' 3>iM £luabtiM bei Siun^mefTeti einet
Stustl i|t Ctepmal (« scüS, al$ bai 0uaticat bet @eitt
tmi un biefec Sugel nmfaSieti 9Bütfe(«>

I. ecnfltuctinii beä S!B4tf«t(U ,
9« ^ bec geaetes
Hin üujd BuKblnef«
ferABlnC(0 9t(*iiit<
ten, batAC=aCB,.
<»etAB = 3CB ifl^
B»(*teibe Mit AB
bea iaiikni ADB,
«teilte dul AB in C
' ben ^etpenbifel CD,„
nnbile^DB. gtwte
einj^ubc« EFCH,
bijin Seiten DB,,
(CriibteCii/ 13.60
ert beffen Shne in
ben^unfteriE, F, G,
H* bie ^etpenbifel
EK, FL, GM, HN,
beten jebet = DB ;
imb|ie5eKD,,LM, "^
MN , NE , f« i|) FN bet eetliiniite SMtfeL

H. Sem«» bet SonlltuctiViv

tbftOA, bafFNiii>eMifeIf<9/ iliMii^outCii»
25. e.) flot.

^xxcttfi»^ bo6 fi4 bi<<i> ffiifM im b!( t'^eHnn
Stuflel timfa|Ten.l«jfe>

»< ♦ äi"*«

4ea

«uHlti'« «tmMtc

31<SeKO,K5,KF.

$a EK auf itc Sbti
n> EFGH petiMn&ü
fular ifl, fc(8liA (l i,

3. SO KEG = St.:
fo itfj« bts ftbfc KO
fecft^riebent .^(ilf>fcrif
tun^E, 3)aFGiläf
FL, FE, folgli(^(il,

4. ©.)■ auf bet We«
ne EFLK tKtpntbb
fulor,fijläli*QFK=
St.; fo gc^ft bec Aber

' KGintRübiitREQ
Nft^litfrtne ^albrtd«,
tvnin er um feinen un«
»eitätften Z^utc^mefi
fecKGxing^gebtf;
^etniitb, aui^but(6
F, unb auf ebeu bem@tuhbeau<t burcb ade Abttse 6^unftt
te< SBütfd«, tvtlt^e ji($ bemna(& in bet dbctff&tte tet fugri,
teren 35ur(biB(irec KG ijt, bejinbtn. 2)ief« ab« fft == AB,

!D(iw ba QFE = S. ! unb QF = FE = EK i (u (d
Ci,47-e0 dEO=apEFi=aaEK, f6l^li*DE0
+ aEI£, Ja« i(iaKG=3aEK = 3 DDB, Krit
EK=DBifl. 01uniHAB=i:3EC, unb ( 6, 8. 3uf. unb
«, 30. 3«fO AB:BG = dAB:DDB, alfoD AB =
3 D DB. goljli^D ABrrDKG, alfo AB=:KO.
IH. Setotiä lies 8et)tfa|t«.

25a im borigeri Serwife D GK = 3 D EK , unb GK =
AB> «lf«OOK?=DAB: fo 1(1 QAa=3DEK; m>
AB (r Siintmiffet b« itunel, unb EK bie Seite M Wv
fei« l|t

»et 16. ©a^

aufgäbe, gin Sfofaebit, i»et(f)e« |i(^ w« «in«
Sesebeneii Sugel umfoffen fö^o ju cönflniinn.

^tt^tl^nttS ^\i^.

4"

berfe(6en = DB^ unb }tel^ buvd^ t^ye (Snbpunfte bie iinitn
ffit bie gleicbi^mb fmiffeit?8< giguc QRSTV, brtflieicben bie
Linien QL>lR, RM, MS, SN^ NT, TO, OV. VP, PQ. -

3m SWittef^nf t W errichte auf bet ÄceiSfläcte ben s^m
penbifel WZ , ben bje gigut ?Rum. HI» t)orfteUct , imb ter^
t&ngete t^ auf bet anbem ®ette bec 5tteidf{ac&e Md) Y, mat
<be WX bet ®efee bct fe^gfeitigen ^ XZ aber unb WY.bec
Getle bet ie^nfeitigen gigut gleich ^ unb iielS)e getöbe {inien
DOtt Z natb be» ©infelpunfte» bet gtgut QRSTV, beggteb
cbet^t^on Y nac^ ben SEDtufelj^nnften bet gigut LMNOP: f>
t^ bai$ ttet(än0te.3(offt^^^^ con^uitt»

II.-^S5e»ei« bet Sonftruetiotr.

iErfiltd?/ It^§ biefet Jtötpet ein 3M^^^^^ f^!^t

Z)a tnsSf^um. II* bet ^igtit EQ, FR, attf einerfe^ @6ene
(bet fttet«f{&c^e) petpenbifttlot/ folgltcb (ii/ 6. @0 pataUef^
abet aucbgleicblinb: faftnb (i, 33*®.) auc^QR, £F, patatteC
unbgleic^; foIsftcbijlQR bie Seite einet mben SttettEFGHK
befcbtiebenen gtei^ 5 «nb funffettigen Sigur, n^ejl EFfofc^e« ift.
»u« g(eicben @r&nben ftnb ü^ bie ibttgen hinten RS, ST/
TV, VQ, ^eitenbet glei*^ unb f&nffeitigen gigut QRSTV*

2)a E^ bet DB,, dfo be« »teife<EFGHK|)o!bmeffet gfeic^/
fotgticb bie ®eite bet fetb^feitigeh gigut ift, EL übet bie ber
je^nfeitigen, nnb LEQ=3t: fo t|k (13, 10. 00 QL bie
®eite bet f&nffeitigen gigut, nnb äni g(eicben ©tfinben LR*
SRun toat ti aucb QR. golglicb ift bet A QRI^ gfeicbfeitig.
S(u« eben ben @t&nben ftnb m^ bie Snangel RSM, STN^
TVO, VQP, gieicbfeitig.

f>a LR, RM; ML, aiK^ bie (Seiten bet g(ei^^ unb f&n^
fettigen giguc ftnb: fo ift A LMR gle^cbfeitig. . 9(H«>ben ben
©tftnberi finb au^ bie $ttangel MPtö, NOT, OPV, PLQ,
g{ei<bfeitig*

3n Slum. IIL bet gigut ^b bie «Polygone RSTVQ,
unb LMNOP, i^otgefte&et; t>on ben gebacbten itmgiln
abet bie, beten ©tunblinien ST, TV, VQ, unb 6pi?eti

■ • • N,

V

Cuflib'i Sbffltnit
Z

N, O, P, IM , MffiUm tf E , tan atunMInini NO> OF,
^ln^ Spliw T, V, (infc.

perpenbitulac, olfo (iir £• ®-^ parallel, abn auf^gl«J4
finb: fo{1n»(i,3j.e.:iaii«WE,XQ,>at(llltliiii>sl(i4;
folglW tft XQ U( 6iiR Cn fnMftlÜ)«' Si«»'. I»« WE|
tt« iaiftt isISmKfitr, fel4(« if). üiun it XZ Ut Sdlt
tn |iH"<<3«< S«!"« unO QXZ = St S<I>I><( <|t

CJ3.

(13, 10. 0.) QZ bie (Seite tec finffdtigen gigtiü; ou« gCel^
c^en @cunben ober autb VZ, itnb nac^ Obigem aucb QV«
goIgU* ift A VQZ 8leic(>feitig. 2)ajfe(be gift au(ft t>on beii
Snangeln, beren ©cunMinien VT, TS, SR, RQ,. pnb^ unb
bereit ©pije Z ift* Unb eben fo »irb biefc« üon ben Jrian^
gcin beriefen, beten ©runbllnieh PO, ON, N% ML, LP^
finb, nnb beren Spifee Y i|T* 2)Annac^ i^ (i i, 2^:S.} bei?
conjiruicte Äüitct ein ^fofaeber.

Stpe^tenö/ ba§ fJc^ biefe« 3fofaebet t>on bet gegebenen
Sugcl umfaffen lajfe. '

©a fn ber gfguc $lum. III; WX We ®eto ber ffe^feitfeen
gtgut, XZ ob«: bee gel^feirtgeii^; fo-f|l (13, 9. 60 WZ in
X nac^ (Ictijj« ^ropottion gefc^ftten, unb WX^ber größere
«bf^nitt, ölfo WZ : WX = W«: XZ; «Mt \V5tr= WP,
iinbXZ=WY, fcf8K*WZ:WPÄWP:WY. Sßnti
finbPWZ, PWY, rechte SWnfeC, ' ölfo/ »enri man PÄ
jie^et, (6, 6. ©) bic Triangel PWZ, PWY, i^nli<t. gofgi,
li* ijl ( 6, 8- ©0 YPZ=3l. gofgüc{) ge^et ( 3, 31- @0
ber &ber YZ befcbriebene |>albfrei« burcb P.

Ibi* obigep ^oportion WZ: WX=: WX:XZ/-ü>|x WZ
=:XY, unb WX=XQ, folgt att<tXY:XQ=rX^;XZ,
&>Igli4> ijl,. »enn man QY liel^et.. avi(fy YQZ jsSR.. S^(g#
(ic^ ge^et ber Aber YZ befc^riebene ^albUiii au(& bürc^ Q;

2)re^et ftcb nun geba<$ter ^albfreii um' feinen unt>errätf#
ten 2)urcbmt|fet; YZ ringsum : fo ge^et et ani gleiten @tuns
ben aucb butc^ bie &Mrigen SdFpun^te be< 3'of<<^^^f</ ^i^
alfo m ber Oberfl&cbe einer Stugelflnb, beten 2)ur<^ejf<r YZ
i^. JDiefet ober ift =3 AB.

2)enn (a« WZ na^ ftetiget ^oportiön tn.X gefc^ittm
ift: fo iftf toenn man WX in a ^bitt, (i 3, 3« 6.) Q Za-
= 50 »X. 0ittn ifk YZ = a Za, «nb WX = a aX*
8oIgIi(^ D YZ = 5 D WX =± 5 D DB- «tm ifk AB =
5 BC, un* (6, «• unb 6, ao, 3tijl) AB:BC = D AB : Q
BD, a(fo D AB= 5 D BD. ^Qtglh^ ifk Q YZssr D AB,
alfo Y^äA& •

HL S3c#

4H emiVi &imtMt'

S)a ter ;9u0e( !Dut:c^aie|rec rational t|t> ttnb fein £tua#
brat Um funffa^u £lua'br4te i^om ^Ibmi^tt hit Sreifet
EFGHK gleich ift: fo i^ ber ^albmelfer/foIglt^otH^ bcr
JDurcbmeifer bi^fe« Sreif^ rational; folslic^^ (13, ii*®.)
bte eiitt brr in foicben Smi befci^iebetten . f&nffeitigen ^
gut, ba« ijl, ' bie Seite Ui 3f^faej&ert/ bie fleinere 3rw
tionate*

3 Ufa f.

{)ierait< ersetz ba§ bai Ouabrat be< Surc^meffer« ;bec
ftfitl flleicb fe9 bem fünffachen Clnabrate be« Ixdbmeffert
be^jenigen ftreife«^ Don m14nm au< bai ^fofaeber bef<brie&eii
t9irb; aiub ^a^ ber Surc^tnefTer ber Auge( attf einer ®eiu
ber fecb^feittgen/ tinb itvep ^ten ber if^nfettigen Siguc,
bie beibe in bemfelben ftrettf bef^rieben fnb, luiammm
«efeftt fep.

JOer 17, @a^'

2( ti f^ A b e. Sit! ^obef a<»ber; mlä)ti fid^ t^oti einer
gegebenen ^uge( umfaffen {&|t^ 5U conftruireit,

Lci9tfat$. ^ie @etre beä t>on einer Stugd timftof^
teo S)ob^f aeberö ift bie tKpotäme. .

Oon bem (13/ 15. ®i) co#nti«t(n fSitftf fe^t $10(9
GeitcnflHen ABCD^ CBEF^ pecp«ibi(u(at.'«a ciiutnbtt;
^oCbicel^K 6dtni in ten f^ttnCttn G, H, K,L^.>I^N, O,
«nb iie^e.OK> HL^ MH, NO. 0<bh«ib< We NP, PO, H<?,
.Racb ^(ti0ec ^«opoction in bm ^linCten K^S; T^ fo bA§ PB^
PS, :QT, bie $t6§em )((f<bnitte ßn». ^n bieflm ftunften ee«
tidbte (11/ 13. ®.) auf beii<€^ettenf{&^en M iES&i^tt aufecf
^t& befTetbeir Die ^ßapenbifelJlV/ SW, TX^ ina(^ fit »bU
ten gt^levn 9ibf(^ninen FR, PS, QT, g(ei(^^. itsb iie^e Oie

tinien

*■ r

^repjel^ntei ^ö). .413

(i 3/ 10. (^) QZ tie Seite bec f&nffetttgen ^tpir; ou« gteU
c^en ©tinten abn auct) VZ/ unb nac& Obigem au4> QV.
gorgli* ift A VQZ gleic^feitig. 2)af «(be gilt auift »pn beti
anongclrt/ bitteil ©cunblinien VT, TS, SR, RQ, pnb, mt>

txten iSpi$e Z ijt. Unb eben fo wirb ^iefc« bpn ben ilriatb
fleln betoiefen,, beten ©runblinieh. PO, ON, Niil, ML^ LP,

finb , unb bereit Spifte Y i|t 2)<fmnacJ> i^ (i i; 2 ^. .@.) bei
confhuicte Äotpcc ein ^fofoebet.

Jwe'ytene, baf pc^ biefe^ 3fo.faebet t>on bee fleflebejien
Äugcl umfajfen lafff. ' ' " '

2)a fn betrgfflut 0lum. IH. WX We ®eft« ber fl<^fei%ert
gigut, XZ «bec be^^«§ttfeirtgei^'«' fo^ifi (13, 9. 6;) WZ {«
X no<(fijteti)jet ^topottion' geficMKen, unb WX?bet 0r6Sete'
fUmnüt, offo WZ t WX =S WX: XZ; «»fc ^VX^fc: WP/
imbXZ=-WY, fofgrit^WZjWPrEWFtWIf. Sßun
ftnbPWZ, J»wy, teerte «SnfeC, fllfo, wenn manPÄ
jie^et, (6/ 6. ©) bic Triangel PWZ, PWY, i^nli^.. $0(3«
H<b ift ( 6, 8. ©.) YPZ = SR. golgüc^ ge^et (3,31.®.)
bec fibec YZ bef4>tieben'e falbfceifbuw^ P.

«w*j>biflep,^i>pottion WZ:WX=:WXtXZ^.»ptWZ
= XY, unb .WX=XQ« fplgt.att*XY:XQ==xfexZ.,
golfllicfrJjU wenn man QY jie^et.. «uct> YQZi;sS8.,. gulg*
(i4> ge^ct'Vet ftbec YZ befc^tiebene |>a(bFcei« anS>, buc(^ Q;

iDte^et ft(^ nun gebac^tec ^olbfteil um' feinen un'o'etcätf/
ten 2)ut(bmejfei; YZ ringsum : fo ge^et et ani g(ej<$en ®tima
ben aadf butc^ bie ftUigen ScFpiinfte be< 3'ofa(!bef< , bie
«If»1n:bef €i6etfl&(be einet Shigelltnb, beten S&uM^eJütt YZ
i^. ©itfet «bet iji = AB. .

Sienn ^a.WZ m^ (tetigev fkopottiön in.X jiefc^ittm:
i^: foiftV »ennmaii WX.in a ^bitt, Oi> 3« 60 O Za-
=: 5 O aX. : Htm if^ YZ = a Za, nnb WX = a aX.
gölgli* D* YZ = j D WX =± 5 D D 8. «un ifk AB =
5 BC, u«b<6/ 8. unb 6, ao, Sujl) AB:BC = ö AB : O
BD, dfe D ABS 5 Q BD. ^ritfi^ ift Q YZs=0 AB,
«tfoY^ÄAR. •

4^

't (Sljraimte

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1

1

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gltmi|kCi/47.<?0DBN+aNR=nBR. fsl^'ijr
D BR = 3 o R V, f of fllt<^ D BR + a R V, to« Ijk Q BV^
=40RV, fo(g(t(^ (^, 2o. Suf.) BV=2RV< fllttn ifk'
RS = a RP = 3 RV, df» V W = 3 RV. SMdfM^ i|k;
BV == VW. «uf hm^t m toirb Mc QHek^^ ^ ttrir
$en Gelten bet Sisuc BVWGXfewiefetu
IL eK i^ in iZitwt iBxne,
3k^e t>uc<^F ben hinten RV, SW, bie PY auf Ne4«ficeft
Seite be« Sßäcfel« pacd(te(/ ttnb »ec^inbe YH, HXr fii-
i^ YHX Sine gccabe »nie. 2)(un ba HQ In T no^'
(^etigec (pcopottion gefc^nttten^ unb QT Vev ^^üecc St»
fjUinitt ift: fo i|l HQ : QT = QT : TH; ^.. HÖ =?.
ÖP;.. unl) QT = TJ? = PY, fotgli* HP : PTrsTCJE!
: TH, «ßun ftnb (i i, 6. @.) HP, TX, fowö^J, «» LJ3;,
l^X*« pacaQei: jene^ tveit {fc duf ba 0^e BD/ Meft/ ikdC

m

fit anf tn 96ene BF petpcnbifuto finb^ SofdH(( ftnb (6,
33. e.) YH/ HX, in gecatec einte; folglich ift bie Sigttc
BVWCX, in mi^t «ie ganje YX i(k, in (Stnec (Sfrene. .

ni. 6te ift zUid^wUttUg.

S)a NP n«# flttigrr ^copoction in R gefd^niftnt, un&
PR bec dc6§e(e «fifc^nitt: fo if) (13, 5- ®.) NP+PR:PM
=: NP : PR. Slun ijl PR =r PS , alfo NP + PR = NS/
df» NS : NP = NP: PS. $ol0(i(^ ift NS nai» fietiger ^m
pottion in P gefc^imn^ unt) NP ter dtigete übfd^nitt, folg«
«*(i3/4.©.) aNS+aSP=3DPNj «bec>N =
NB, unb PS=SW^ folgri* DNS+dSW=3DNB/
fol0li(^ au(^ a NB + D NS + Q SW== 4 Q NB. ghui
Ift (I, 47. ®.) D NB + D NS =: D BS. goCgfii* i^ Q

BS + D sw, txa jfi (t, 47: ©0 a~BW, = 480 nb,

fol0li(^ (6/ so. 3uf.): BW = 2 NB =r BC. »un nnir,
mu^ M i6eip(ife< (cftecem Steile , au<& BV=s.BX, m\>
VW=CX. SoI«ß<f in dr 8. ®.) ßVW = BXC. «uf
<(en bie ürt Wieb bie fMci^^eit bec SDinltf VWC^ BXC, bc»
iMefen, fotgU^ift (i^ 7.8.) BVWCX'dfeicbnitfUd.

'^:|k)»(ytQWr bot fU^. üiefieK iDobefaebec von bec giscbc;
wm-l^i unfaffim lotfr.

, fBcfi&ncece YP in baf 3nnece be< ®äcfe(e no4i Z: f».»
trifft<(it/ 39^ ©.)' YZ bie 2>iagonab bei tih^M^ fo b<i|,:
Mb« «iaanbcc in Z Mbicou Solgüft» ifl Zbec axittclpiwft
tet Stvi^f bie ben 93äcfel umf<i§^ onjb FZ bec ^olbm ($<rit^.
M SB&cfd« PN dlei(b. 3i($e VZ.

,JDa NS na(^ (tetloet ^copoction gefcMtten/ imb NP
toe tt»6m «bfcbnitt ift: fo i^ C 13, 4-.6J QNS-f QSp: ,
=^ 3 q NP. «un ijk NP = PZ , unb PS = YP, alfo
N$ = YZ , aotb ijl SP = PR, olfo SP =s vY. $9(0« *
«♦ ift OYZ + D VY, ba« ift (i, 47- «) O VZ, =s
3 P NP. SIlun ift C li, 15. ©.) ba« filuabrat be< ^t^
ntgnt bct ftu0e( bcm bce9ffl((>en Ouo^cate'bec ©eite bei
K&cftUI/ offo niKdi bA< Auabcot bc«..^^flIbai(gi(t<'beAi'

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^bOlWt ^SUvm».

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ti^fa^n tiuatitaR ^ec^öf&m e^t, HP/ dTef^ 9<^
iflVZtet; Suge( fialbmcfec, Z bec ^{ittilpanft, -tm^b»-'
$^nn V dt bev Sitsf i[fl&<^e: 9nf &^n(Mxe 9^t tPM baeüfm,
tof airgee V xiu$ jAvc ontiece e(f|>uit(t b« !£>otefoebet|-1ft

S^benen SN(te( «mf oif t. '

in. .SBe»<t8 be« Sel^tfole«.

,SDa NP M^ ^^ger ^copovtton ftt R gefi^ntltmy «nb
PR 5« grJSere mmm ijt: fo !ft NPjPR2=PÄ:RN,
offo <ju« (5, 15, e.) 2 NpjäPRrsaPR»flfRN, to«
ijt, NO : RS s= RS : RN + SO ; afxt NO >RS, olf»
avi^ RS>RN.+SO/ foIjU* i^ NO tt«(^ ftettgec ^wpM»
tiori gefc^nitten;^ unb RS t>ec dc^tÄe Sbfc^nitt. SRim
ift tec ftujjel ^ut^c^meffer Mtionaf/ nub (13, is. 6.)f^
Qttätvat >em tt(|^faÄ;n IDuattate tt« Seite NO-gleic^/^

iDnnt^M 3Sti4 41»

aito NO atJi^ rational. $olgliit ift (»3/ ti''®0 ifyt H^nfte
R9 We «pMoim; o6re RS=VW,, fglsU4 W8 »oWortet«'
©eite VW 6ie apowme.

3 u f . |.

lifetau«. er^eUet, baß bee flv6gm H&fc^nHt b<r Na<& flw.
tiget ^toporticn geft^nittenen Seite iti JSi^efetf bie SSeitet
te« IDotefaeberJ fep. '

©et: 18. ©(1$.

aufgobe. Die ©eiten der iit beniM^etje^niiKHi
€&^eti be^a(f)teten/ ilt einerlei) ^llfleI6ef(^riebenen, fiti^
Ä6tper 5u pnben. ' ,

jltbcfag. Sffiirb ba« Öuabtat bei Dati^meffet«
«inec !^uge(, iveldje btefe fönf ^Sper uihfag:, in fecb^
gleiche $f)elle getl^eiit: fo fommen batjon auf baö Ciuiu]
brat t)e{f ^eiratbet« . vül^, beö £iftaebecd &»y^ bei
äJ^&rfcfd >tvey. S)on ben beiben öbcigen aber« bie tce?;
bec ju jeneil, noc^ ju einonbec in cational« SJer^fmiS'
^iib7 i|t bie Seite bei 3fbff»'>"< gtigei:, >■!«' bte @eil!Cj
M Slobefaebet«. - - i,^

K Eonfttuctitn'ket ©filtiu'
*'^»l<9tj(ttnen ,
aÜBd &it*mef<
(it AB(<9iaC,
6/(<>gef4initHii,
Hai AO =CB,
iMAO=3DB
i|t. Uetel AB*
Mfttteite ben
«olHieU AEB,
enie^tc auf Aä
in C, D, bie^t>

iirtl»AF,FB, u.
f*neibeFBjin,N A."
n«&.l^n¥to«

'4

Cuflib'*

olfo'LK = 3 KC i{l ; ttritte tntlM «f AB In L ta fw
linttlM LM, mib lit^t BM: fo 1^ M tCcttAtbcn ecÜE
AF; tirSObfcb B^; ttt (Mtutlel» Bfi; tat»*
ectoebtis BN ; unt t« 3t«f<i(»<n BM.

IL SS.ei»ti< bet ^Ditfltuctioit
etftliä), H AD=3DB, ulfD AB=3DB, M<i(|
AB:DB=3:i, (g ijt 3ncAcCCe|)t(n» (sr >9i 3«> B*
:AD=3:3, 60(1(1, BA=JAD. Sinn ■»(«,«. «.),
^AFBrvAAFD,iilfo (6, so.guf.iO BAsADsiCjAB
:DAF. gtlgli« iH ou* O AB:DAF=;jsjr,- M ifc
aAB^laAF; a!iccABt>tc)tiige(X>uc(iBlt^-MM>
(13, 13. 6.) AFtiretiittxJUctiUten.

äwrftOI*, t« AD=a DB, olfo AErajBB,;«*
<6, 8.8.«. 6, »i).3«f.a.) AB:BD=QABiaF«, ftif
w« a AB = 3 Q FB; attt AB bn Su0 Dgn^auftt;
Mi« C 'i, 151 ß-) 'BF lie Scitt t» IQDit^ .-. . .

Ctinnw,; tji tit {Etitt tK( SEBitMi FB inN n<i# fm
tijn'iltoiÄrtlin gifc^nlltm l(>: fo 10 (13, «7. 3«(ij tot

»he»

Vktttn», tiaAC=:CB^ <i(fo Xb=.2BC, unb AB
:BC=:GAB:dBE; fo ifi^u<t>a AB=:2 D BE; ob^r
AB ixt Stuftel 2)uc(^meffec« fol0lK& (13, I4* ®*) BE bte

ijänftens, ba 'AG =: AB = a AC^ unb (6; 4. @.)
OA : AC = HK : KC; fo ift au* HK :?: a KG/ Mg(f(^
(6, ao. CO D HK=4a KC, fofglit^ Q HK + D KC>
tal ift (i, 47- ®) a HG, =r 5 D KG; abec HC = CB,
«(fo D HC= D CB, folglich D Cß = 5 Q KC. iRuii
i{kA6==3BC, ttn»LK=:;2KC, aIfoBG:KG = AB
: LK. So(9U(^ ift 6\x^ D Aa= 5 Q LK< f^ifllic^ if^/ »eK
AB tet jCuccftmeffn; bet Jtugef/ LK bte Seite b(c fect^fdtigen
jiigttc in bem Greife, »ontoeictem auf ba$3Mo<be( b«fci>ri(6(n
tDicb. 0hM ifk AC= CB, unb KC = CL, dfo AK = LB^
«Ifo AB= LK •!> 2 LB; abet AB bet Sngel S)un^meiirec; '
Sp<e^.{tiib.(i3, 16. 3iif.) I^K» LB, bie Seiten bec in ben«
felNn SttcK befc^riebcnm fnj^ftittgen unb ie^nfeitigen Siflw»
■t)<i Htm KC=CL, «t{b (3« 14. ®.) MLrsHK; aber
|lK;:r3KC=KL, a(foML=KL; fo i{t nucb ML b^
6rite-bc« fet^feitigenSigiir, aber LB bie bec je^nfeitigen, niÄ
MLB = 9t. So(g(i(& i|k ( 1 3, 10. ®. ) MB ^m^ ©eite bcr
fftnffdtigen gigur in obgeba^eto^eife« fofaüc^ (i3/ 16.6.}
«e 6dte b(« 3{Söf«^9«

III. ^en>(i« be« £e^tfa|e0.

Rac^ bcn {e^cfl^en M 13, i4,«nb 15. ®a^e& ifl Q AB
=iaAF=2aBE=r30BF. IBitb ölfo Ü AB in fe<H
fiMdx Steife get^eilt : f» fonnnen baoon 4. «nf Q AF, 3 auf
O BE, tmb 3 auf O BF, ba# difo bie ftei^tnifps in Seiten
(c« SettACbet«, DPtttebe« nnb SB&cfeU tationol .0nb. SD<i
üikt Me 6eiten b« Sfofaebetl unb Z)öbe(aebet$ ictationnf
fMf tont jene (x 3, 16. 6.) ^e tiAmt Si^raticmoie, biefe
( T3,vi74 6.) bie ftpotMnet fo^ben biefe Seiten toebet j«
«iMnbet^ ti«& in be« brep ecN<^<i<iNm eatimiAie iOet^tniffer

^t 0^ M Sfofnebet« Seite £M gis^tec a(« ^ !^^<^
faebctj Seite BN fey« Wieb auf ftfaenbe fSxH beriefen i

Job 3 L ®«

/

^.^

»»

SMVi eumm»

D Z,

I. £la tie
trionärt FDB,
FAB, fllfwfcwinf»
Ij^ lin^: fo i(t
f(6, 4-8.) DB
,BF=BF:BA,
-felglid} (6, ao.
■B"f-3)BB:BA.
■= D DB I D
BF, ()ifi>umge#
tefert AB ! DB
= D BF : D
DB; ata AB
c=3DB, Wä«
li« D BF = ■,

D DB. ann iH ADr: jpB, olfo ö AD == 4 o DR
golsri*i(t DAD>DBF, «lf»AD>BF. Suili^AB=
sBC, AD=aDB, al(oBD=aCD, BC = jCD, mit«
^in D BC =: 9 D CD = 5 D CK, firäli* CK, tia< i(l,
CL>CD»ntAL>AD. gdsB* i|l»mfi>mf^tAL>BF.
8tun iit, tpeilKL Me Seite b» ft(t#fettigen gigur, lUiD KA==
LB We Seite t« je^iircitigeti, (i 3, 9. ©.) AL nocft ftetigee
^»poetion in K gefe&nitten, unb KL btt gr&get« Sfbiicbnitt,
dutt) war BF na($ ftetigei ^lopDitim in N sef(^intten, unb
BN btt 3r66ere !lbf*nitt. goläii* i|t KL > BN, nK»,
»>eilKL=ML, iiu*ML>BNi aber Ci, 19.Ä.) BM
>ML, ftlgli* um fo mt^c BM > BN.

II. Ober: Da AD=aDB, fiji|iAD=jDB. 'S!««
»(6, 8.«.) AFABivaFBD, iiIfoAB.-BD=rDAB!a
BF. 8ol9li*i(kDAB=:30SF^,<ib(«DAB=r5DKL,
f»l8li*5 DKLr=3DBF. ,Bhm(inb Cfelstnkettt^nfiij)
■3PBF>6DBN. goljli* » DKL>aBN, ^f,
KL>BN; iibei:KL = LM, foIgM LM>fiN, aük
um fbmt^BM>BN. ^ ■

itt)V

if'-"'.-- 4S»^H<aiM*^ »M^ ,■■',■■■ ■^,.

titt^l^wtti lS5u4

•• t '• ^

'■■■1^(1% (An 3DBF>6DBN^nt>, »ftb aJf» ^»if fe» :
S)« BN > NF^ aljb FB X BN > BF X FN: fo i||
FBXBN + BFXFN>3(BFXFN). 88t<rt ^
(2, a.®.) FBXBN+RFXFNssDBF, «b^ ««tf
BFinNtvK^ jhtisec ^co|>ortton gefe^ittm/ ^6, 17.^0
BF X FN = p BN.' golgli«^ ift a BF > 3 ä BN j
foW»<^ 1 Q BP X6 g BN.

i ■ I ■ . / I '•

lftt§cv bell etm&^nten fätif S6()>em di^it ^ feinen ax^m,
Vtt ^w gletc^en sleic^feiti^ejEhunb 3(ei(t^ttmf(igen giflurm eitii
gefjtjloffen nourbe. iDenn

I. Stuf smep 2;cian0e(Oy, 4>b;r ati$ yeo9f ebenen SQwfe&t
(&§t ftcb ( 114. II* @..Xreiai6rf|ecltcbe^ SBin(e( mocben^
%vA brep^ gletcbfettigen l^ciangeth entftebt ber fötp^clui^e
Sßtnf et be« ü^ar^erd^ au< t>iet bec be< <D{i:ae&er8/

auö fM ber te« 3^f^^l^^ ^^^^ ^^^ ^^ ^^^^
mc^veren dldcbfeitigen !lriangcln enlftel^ ( 1 1/ 2 1« ®«)
fein (6tpetli(ber SDtirfeh, wA bet SDtnM eine« fotcben
Stian^l^ =:;: f gt. ^ f olglicb fecb« becfelben z^^fL,
folglich fteben ttnb mehrere > 4 St«, finb«.

a. %\xi teep Öuabroteil entfielet bec f6rperlicbe ®inW be«
¥K)ui:fe(6;'<^et au« «iet; toelcbe s: 4 9t. {tnb/ ent^
^e^t ( 1 1, 21. ©• ) fein f 6rpf rlibec ® infeL

3. 9(tt< brep g(ei<bfeittd^en unb gfeKbtotnfltgen f&nffeittden
giguren entfte^t bec f&rpcc(icbe SDinfel be« ^obe^oe^
tere; ober au« der entfielet (ii/ «!• ®.) fein f6itec«
lieber SSinfel; tpeit Cfolgenber SeJ^nfaD ber S9infe( ^U
<ber funffeiHgen St0ur =: if 3v.|. fotglicb vier betfe(#
ben > 4 9t* flnb.

4« 8(u« anbern ^(9gonen ifk ef nocb tveniger xxAi^\6f,
... eincft f&rpecKc^en fßinf et ju macbem

JDb 4 Se^tt^

r

4*4 fSvXlWi iSUmnu IDtepi^titd f^uäf^

£ e 1^ tt f a |.

' tDag betSBinfcl ber gfetc^minMigendfet^^ uttb f&nf^
fettigen Sigur =: if 9t* ifl/ loieb o(fo bemiefetu

Udtbicfefunf fettige Siguc
ABCDE befc^teifre eiitm
Streik, beffen 9f)tttel|>imf t F,
iinbitel)ebte2tmenFA,FB,
FC; FD; FE; lüdcbe (4, Bj
14- ®0 bte glekben ffiinM
^ Sigut ^olbireiu Tba bie
umFz=43L;ttiib
(inb: foifkjeber; t9ie
AFB;=:f 3L; oben -r-
} einet recbten SMnfett;
folg«* C I; 3a- €^0 FAB+ABF= 1 JfJl; dbet FABrs
1?BC, fofgUcl^attfl^FBC^ABF, mi» ABC^ij%

wmm^mmrr^

<^ünm

i

•

4M

mmmm

mtmamm

B<

^a^tltt vm S^ttf / mein Uthttftotat^, 1<m eiitft lUNft
Kleirmitnai, «mt mt meinen Skiter toegen Mbet gemetn^^
f4^afKt((^ ffebe )tft SRat^atif empfol^Ien, ttnb teocbte bie
mei^e ^ett feine« fluftntf)aUi in Um Umgänge mit i^ {u.
tflö fie eine« Soge« te« l(|>o(lonitt< e<brift Aber Oerg(ei(bung
be« in einerlei^ ftugef befcbriebenen S)obe(aebet« unb 3f ofoc^
berg/ tmb beten IBerb&ttnife itt etnanbet/ buccbgingen; f»
fcbten ibnen bet Covtrag beg fSpoffeniug ni(bt gang ticbt^ {a
fepn^ imb fte ftbneben^ toie mir mein S3ater gefagt ffot, ibte
SßetbefTetnngen nieber* Slacb bet gett jjUl mit jebo^ eine an#
bete ton KpoSoniu« ^ausgegebene 6(btift in bie ^nbe,
tpelcbe eine ti^tige Suflifung bet etm&^nten Aufgabe ent^/
beten Untetfucbung mit ein mtgne^menbe« Oei^nfi^en gem&b^
l^at Z>ag t>on KppSoniug ^etau^egebene SSenTfann jebet
felbft nocbfeben/ ba ,c< &betaU {u b^ben ^fl; bagjenige 4bet^
tfocti^ na<bb^/ nnb, fo t»ie( i(b nttbeilen bacf/ mit m6g^
)t<bfttm Steige/ botibet aufgefegt b^^e, glaube id^ S>it, me»
gen !Detnet totiägIt<ben Q^tnft(bt iA aUe ® iffenfcbaften , be»
fonbet« abet in.bie Geometrie/ ali einem (unbigen 8$eutt^et#

2>b 5 <«

#

<*♦

eunWi demente

f(e meine« S^ortrogi^ juerjt «ottegen }u tnfiiten: in tetge«
toiffSn Smactung , bag S)u fotooi^t aud gteunbfc^af t fäc meU
nen ^atcc^ als ani ßi9^\nt\im ii^tiCk mt(^^:~genetgt fepn
toirft/ meinem iSetfuc^e Steine Sufmecffamfeit ju fc^fen.
^od> ti ift 3<>t/ ^«6 t(^ mdne Spottete f^^iege/ utifr }t»
Gac^e fel^ft fomme.

S>er 1. @a$. £e^tffl>

J)ct t>om SJlirtelpunf te, D, eine« greife« anf bie @eife,
2.* einer it> benfe(6en 6efd>rie6enen föitfCtitiaen betaut

befielet.

aSerlangeri DE ju beiden
'6eiteft ftfl* F, A^ jie^ DC,
C?, mac^ EG=!EF, tinb
)ie()e GG.

2X1 ttf aSogen BFC bet
f&nfte S^ei( be< sonjen Um;
ttvi^, bec 93ogen ACF ein
^Ibtctii, unb t)et Sogen FC
iit $Mfte t>^ ä^ogen« HFC
if^:' f» ift S^ogen ACF =
5 »09. FC, fclgli*. AC =
4»ö8.FG. sRuniit(6, 33.
©0 »09. AC : »ofl. FC =
ADC :~FDC. Solgt»* »fr ADG =
ADC ;?= 3 £>FC, foiglic^ 4 FDC — a *^* x., „
;=DFC, Stun iji (i, 4. 0.) DFCssFGG. %6liii^ ift
FCC— "^" " "' ' - - -

4 FDC : aUt (^, 20. 6.)
a DFC, folg«* 2 FDC

FGC=2FDC, folglich (i, 6. e. wt) I, 33. «.> DG=:
GC ; obet ( I, 4. (g.) GC = FC , folgfic^ DG = FC.
Stun ift GE = EF. $o(gIi(^ ijl DE = EF + FC, fo{9tt(^,
toenn DE ^tniufommt, a D£=DF+FC»

^«fa^.

mm^t^ ^^

^y

Streife« ^uf bte Seite eine« batein befc^ciebenen gletcbfeittgeii
Srianget» gef&ttte ^etpenbi^el t)te |)ft(fte be< ^albmefTev« ft^

Sinetfei^ ^tei« fa|t be& S)obef aeber« fänffetttge/ unb
be* ^ofoeber« brepfeittdeSigur/ xomn folc^e Ä6rpet in
einerfe« Äujel Sefc^rieben ^nb.

tl^on ^rifiAfW in feinet ^etdletc^tttig t)et f&nf ft^tpet/
itnb t)oii 2(poQottilt9 in bet {mepten ^ixisahe. feinet ®(&ti^
^bet SSetgtet^ung be« 2)Dbefaebet« mit bem ^fofaebet/. toti^
be^uptet^ .ba§.ftcb bie Obe^fladi^e be« S)Qbefaebet^itit Obet^.
fiicbe beS S'^fotbet« »erCFdlte /^öie ba« SJobefäebet jum ^to^
faebet; meil bn;, f^tpenbifef, bet au« bet ^ugel Sihttclpunfte
ouf be« Sobefaebet« f&nffeitige imb be« 3f ofaebet« btepfeitj^
Sisut ^ttttPitb/ betfei^e fep» SBHt abet tootten ^ietbett
S3en>et« be«,t)otgeba(t^ten @a|e« geben, na^ibcm tpit folgen»
ben Se|^{fi^t»etberbefatt«gefcf>icft ^aben*

SDBirb in ethen Am« eine gfeic^j unb ffinffeittgeSigut/'
AGBHG, befi)tieben : fo finb bie iQuabrate i^rer @eite/
AG; unb einet S)ia9onare ; AB^ ^ufammen bem fähf^
fad)en öuabtate be« J^attmeffer« gfeic^*

SBom aSittrfpunfte D
fiüe auf b^e Seite AG ben
^tpenbtfef DF/ t)etlin^
get^ benfelben auf beiben
Seiten nacb B, £/ unb
iie^ebieAE: fctfkbtefit
bie.^eite bet. {e^feitigen
Sigut.

5>a BEcraDB: fo
ijl(6, ao,3uf.) QBE
= 4 GEHE- »un ifk
<a/3V®0BAE=tR-,

I

42«

Mi^'* Cfemeiitf

difo (047.6.) ÜBE
OBA + öAEL %oti$
m ift DBA + p AE
= 40 DE; foljH*,
iD'enit D DE bd)u tommt,
pBA+DAE+nDE
= 50DE* aiun jfl
(13, 10. ©.) DAE +

aDE=:qAa soifl#

iktiftDAG+QABrs
iODE.

. Run (&|t ft(6 oiUdet Se^tfa^ tait^ttn^ trit folget;

Ql^ frt; AB bin: jDtmi^
neffec ter Stv^A, in
wAdft ba^ jDobefaebec
wb S^ofaeber befcbtie^
benftnbj CDEFOabec
bed 2)o(efaebert f&nf^
fetttge, tmb KLH M
^fofaeberj brepfeitige
Sifluc; fo ift )u ftmet^
fhi, bafi beibe Siguteii
ton einerlei Streife ge^
fo^t n>etben, ober bat
r=f fep/ »ennr, f^ bie
{)ä(bmeffec ber Jb^fe
fftf obgebdc^te f&nffeitu
se unb brepfeittge Sisuc
•ebeutem

3ie^ in bec fünffew
tigen §{gut bie !Diago^
sid(e DG; fo ift btefe
(i3/8.M.ii/i7-C-)l>ie Sjl
bei in bie ftusel

»ef(^t{#

fief(&tt(6(nen SMitfeK. 9Kmm eine gecate f Me MN f»/ boi
(lo, 6. 3uf.) QAB = 5 a MN ietf. 9lan Ht ( 13, 16.
3uf. X tiat Quattat l>ei ZHiccbmeiTect AB iat S&nff(K^ «on
, Ouabcote te« ^albmeffec« ^eiitnigm Sittifet, »on tcmauj M
Sfofoeber befd^te^n wttb. ^fgltc^ ijl folt^et |)a(6nu{r(C
tie MN. €(^ett>e ( 6; 3». ®. ) Me MN nac^ {letzet ^co«
l^oction in O, tag MO iet dr&§ece tlbfc^nitt fep: (aifk Ci3r
5. mt> 9. ®0 MO (ie (Sdte fcer in ^fe(^ fttcif 6(f(^nc»;
(cnen je^nfeitigen giguc.

JDa p AB = 5 ö MN/ «nb (13/ 15. «•) D AB=s
5 D DG; fD i(l 3 D Dö = 5 D MN. , fStm ^ (13> 8w
C. «. 14/ 7. 0.) DG:CG=MN;MO/aIfo ^v^, DGt
MN = CO : »K>. %e{i\m ifk 3 O DG : 5 D MN ä
3 D COrs d MO/ fo(9(i(& 3 DtJOsr 5 Ö J<(k). dhtn
ift (ij>" 16. n. 10. 0.) '$D KL==5 D MN+s Q MG^
$o(dli<& ifk ^ DKL=3 QDG^-sat!^' abritt iflP
(»«»rfkefeenltc fe^nfaU) QDQ + Q CGs± 5Ö*/ «ffb^
3 D D©+ 5 D CGä;i5 Ö r. ^oIgli<^ ifi 5 □ Ki'=^
15 d r. Kttn ifl (13, li. 0.) 0KL=3 D f> «Ifb srOf
KL = isa^ 8«i0l><^ ift^ 15 a ris^i» Q^, fel(fi#)

»— e^-.. '■ ■■-•■•■■■■■' *

■■1.

^(cb auf bK <Beitt,iCf>f ^tife gleich« unb fdnffeitu
seit ^^ur. A9CD£^t>om ÜOÜhtelpunfte/ F^ ttßnmtWk^
^ ff^mmtien SCmfei ein ^imnHhi; TG, it^ttt : tc^
ifftameWilfdd^e untrt iBfet-^eitif/ CD, Urttt^lrtf ^j^;^
9enbife(/ FG/ enthaltene Steetanaef ber jDberjl^ic bet'^
S)obefaeberd g(et(^. Unb lottb ouf bte @ette/ BC, einei
d(et(f)fettiden tümiti, ABG, ^m WtmtmnUi, D, Ut
um benfe(bm befd)tte6enen ^m\ii ein ^cj^nUtf tf03^,
Sef&Ut: fo t0 bad brepgtgfac^e unter bec @ette/ ISCf unb^,
b)(m 9^(h!)>enbffer, de, ent^aftene Dtectängflbei^i^becf '
fl&(§e M 3f9fo(bei4 {(ei($.

€t|let

43«

■CuHtb'« ^femente

gie^eCF, FD. 25« (r,

4ik CO CDXFO =
i^CDF: foijts (CDX
FG) = 10 A CbF =
dl ABCDE, folglich 30 (CD
XFO)= " ABCDE= ^
Ci t, 48. S.) t>« P&erflit^e'^

3ie^eBD/DC. t>a(.i,
. 6.) iC X DE =
!|.Al>BC:.(oifl3(BGX
PR.=: 6 A bßC = 2.Ai
ABC, Wflti* jo (BCX
»E) = »o A ABC ==
^ij 39. (S.^ Nc O^fla^e

• '.

ttnonntni 9tectand(( «((galten. .

^ ©er 4. @a^. ^e^tfof.

ile OB<tfI^e bc« Dobefäsbet« beträft fi<^ jatOB«*
f^;^e be« Sfofaebet«, »te.bte @«it( b<« SSÖfttfete./ H,
iöif @<ite be« SfofartJrt, DO, .

JDcr

fSüm^^tt» ^(^

43X

txt Sttii m E fajfe W«
f&nffdttge u«H>Jebte9f«tiö«8«*
gur teS In dnerfei) Sugd frc;»
fc^tiefttnen Sobefaetet« unb
3fof«cl)a«. JMge in benfd»
(cn bie @(it»DC:t«< Triangel«
tinb jbie @<ite AC-t« fßnffd*
tigen Sign«. S&Oe <ra< bcm j»
gRitteiipunfte E ouf DC, AÖ, .
bie ^etpenbifef EF, EG, t>ec> .
längere EG blj B/ unb jie^e
BC , bie ^(ite bec ie^nfeittgai

SBitb nuit^bfe 2^abe! (tnie , W «u« EB , BC, (e^%
na(b ftetlS« Wopottion gefc^nTtten: fo iit (13, 9;®.Ö:EB>
Dcc^if ete J(6(i<Ntt älun if^ (fr4/> t* G.) a £0s;:JS3-K
BQ, unbi (i j, isu 6.) a EF s= BE. gofglü^ ift^^ ti^ii.
A IG .nA(&. ft^iga ^copwtiön gefc^itten eottb, (13/ 9. ®..>
4 EF bec jt^lecei abfc^itt. S^un i(t, »en« H m(& ^tU
9C1; ■ |>ropotttDni -«(fc^nittm imcb ^ ( 1 3/ 1 7> Sxf* ) "^J^ .^(*^<
0«68<ce abfüftmtt. . Sol8(t(& i|l. (14/ 7-00 HÄ.QAiqä

=CAXEG« ««nijt (6, i.j®0 H:Cp=sH;><EJI|
:eDX«E, 9o(«(ic^ ijl H:CD=;CAXEG:CPXi,
EF,. bot ift, bie Gtite b<« SBi«fe(<tMr^(t jüc^ s«v ^it<^ ^(*-
^(ftfeiebecj. (1.4, S.B^f-) *>'*^ bie 0(e(iU<^e beö aDobef«bC(«,
ittc O^etfla«^ bef ^eefaebetf.

\
■ ■ \* ^ 1

fSSttb ttgenjb etnegetabe Stnte/ BC^ noi^ t^d^?'^«
pottion gefd^nitten: fo t)er^&(t fu^ bie £tme/ loelc^e bie
jQtHibrate ber ganjen / BC ; unb btd gr6^ern 3(6f(^nttt0/
€D; potetijirt/ ju bcr £iflie/ tüeld^bie iOtuabmte ber^am
seit; BC^ tmb tie« f (tttier» 2(bfc^itiftd, DB; potenjirt^ tpie
bie @eite be« 3P5Äi:fel«, O, jui: ©eite beö Sfofaeber«, fi;

-j. ©et:

^m

43»

€li0tb*< ^emetite

Iftt Jtr(H>, (effen $a(6«
ncfrt^CB; fdlTc (ie fibffdtk
Sf «nb bie ttepfeitige ^guc
lürt indnerlep Stugel (efctcio
ftcncn £otcf äfbetj ttnb 2tfo»
facbert. 9l»n frp CB nac^
ftetigev yco]>ortion gefc^it«
t(iirfirtfk(i3/5tt. 9.6.)
iet «Mtvt «bfcbnittCD bie
^dte bcc in benfrtben Xcet<

gnt. C0f(9(i3> I8>®0
Me 6eite M Sfofatbet« E,

Mt M !bob(f oebert F, wib

Me b« «Bftcfe» G; olfo E

He <Seltt ik« Xriongi»/ «lib F bie ®<H» ter {it benfUboK

Scefirbcli^ncbciKn f&nffeiti^ SigtO;/ Jki; T «iti& (13, i/>

3ttf. > bcc 9r6§cte t(bf4Mftt bec twäf Mg«e ^ta^Mrtion g^

fi^ftftften eutt M $Wrf< G. mm tfk (13, ia.®.>

OE=3aCB,anb(i3,4.Ö.)DGB+o9DÄ3DCD;i

9elj|fi« Ifk D E : D CB + O BD=s,d OB jQ CD= (14^^

.7.^)OG:OF; U^\id> vdneotdsßt imb imigc t ti y u .

00:aBÄaP:OCß+DBD. SDun ifk C>3/ »o. «.)-
ÖF=OCB + DDC. gDr8n*«HaG:DR=bBG
-haDC;:DCB+aBD. «ber fowie OBO-faDCttt
QGB'f QfiD/ fo (14/ 7*^.)/ tomn icftcAb «ine anbete ge«
rabe tinie na(b Mgec ^copottien jiefibnfttett tft, bo< Ouabrot
bec gansen unb ba< b« gc6§(ten SIbfcbnitM ju bem Quabcate
bce galt)«! unb bem bcf netnecen Hbfcbnitt^; golglicb t>et^&(t
fUb äiK^ bie eette M fi^&cfe« G (u bec GeUse be< ^ofit»
bcci £/ loie bie ba< Quobtot bec §an)<n unb M M geige»
cell Sbfdbntttt icgenb etirtc na«^ flettgec ^coportioR gefc^ttc«
neu ttnie ^teniicenbe (ii;^ M(^ }u bec.bo« Ottabcot bet
ttRicn «nb b«f bct CleiMcen fbfii^nittci porewiirartMi.

/ ■ .• • . ■.-...

tDer

»J-. #»»n

•r ^^fti^MSdtt^i t^vi:';'-) 1*fJ|

♦ V ''^

©er 6.r@ÄV"*e6rfAf;': V ■ '^1

' $JW"^&rj)er 6e^ S5obef aebet* toerl^Sft flc^ iom Ä6tpet
bed gf^fSebert, tPie bie @e«e beöSDBürfel« jur @eitt

2)a (14/ 2. @0 ateic^e »reife bi? fftnffeWge «rtb bie bt*^
faltige, gtgttr be« in einerlei »usel beficbriebenen 2)dbefdeberl
imb 3iPöfÄebert f äffen , aUt gleiche Streife awf ber Äugelflit^
gleicb ^lieit Vom 9]l}ittelpunfte aifttfym, tont bie aut bemfelbeii
auf bie ^(Jtcnen gefcacbter Äceife gefaßten ^erpenbifel bereit
SRittelpttftfte treffen unbgtdcjifinbrfo pnb öucb bie oomÜRiti
tetpunf te ber ftugel nacb ben SRittelpnnften }iierft geba(bter
»i'cife gezogenen geraben hinten perpcnbifutar nt\i gleitb»
gofgticb ftnb bie ^pramiben; bre )uin gem^infcbdftüc^en @ipfe(
ben SKittelpunf t ber >$uge( / ju ©runbjpi&cben aber bie .fünf fei^
tige wnb "brepfciiige gigur be^ Sobcfaeberjg iinb Sfofaebcr*
^obtn, t)on g{eicber-t)&^e/ ti^b t)er()a(ten fic^ ba^ei; ( i7, s*
tt. 6« @.) .n>ie iVe ©runbflac^em Solglicb iper(^ft fx^ eiiie^
^Dratnibe beö S^obcfaeberö 2U einer ^pramlbe be£ ^foiaftUvt,
4»U bie f unf feitige ^igur {U ber brepfeitigen ; f olglicb Perig^alteii
ficb aucb bie jn>6(f ^pramiben be$ 2)Dbef aeber^ ju ben in>an}(3
^pramiben be« 3f ofaeb^r« , »ic jn>5If f önffeftige Stguren jlt: ,
jmnnjig brepfeitigeo/ H^ i% ber jt6rper be$ S)obefaeber$ t)er^
f)hlt ficb jum S6rper beö 3f ofaebef« , toie bie Oberfficpe be«
2)obef aebe« jur Oberflacbe be« 3fofaebet«, folglicb aucb (14^
4. ©0 wie bie ©eite be« SffifirfeK jur ©eite be« Sfofaeber«^

©er 7. <Sa^. £e]&rfa|,

3tt>ep md) fletiger 93roportion gefd)nittene gerabe iu
nien, AB, DE, Pcr^olten jtc^ »ie if?rc9r6gern2l6fc^nitte/

AC, DF,

2)a(6, 17^®.) ABXCB ^ ^

= DAC, unb DEXFE= ~ )U

QDF/aIfoAßXCi>:DAC D F K

= DEXFE:DPF; fo ijk ' ! ■' . ' .' « ^

(5,.i5/®04(ABXCB):aAG=4(DEXFE):aDF/
^€irHl»'l €(em, 15 «**«. 9 t folg-

\

foMt^ vttUml^ 4 (ABX A ^

Cß)*hD AC :q AC 3= 4 (DE ,

. ifl (a, 8. C.) 4 (AB X BC) + • — T

OA0s=D(AB+Be), un&4 (DEXEF)-f-aDP=
D (DE+EF). $o^(i(^ ifk Q (AB+BC):QAC=C
(DE+EF):QOF, fo(gU(^ (6; aa. ®0 AB+^C: AC=:
X>E + EF : DF^ foIsHc^ 4)erbltlt^ AB + BC 4- AC : AC
s=DE+EF4.DF:DF,ta«i|k, 3AB:AC=aDE:BF
fUtüi^ au(» AB : AC = DE : DF, Wi^ 'VttVPtdf^
ABiDEssACiDF.

3 tt f a f

SDirb eint beliebige gerate (inie m^ fUtiget ^o^th'on
j^((^ntUen : fo toet^&It ftc^ tie {jnie^ tpelc!^ bie £luateate Ut
^anjen unb M dr6|em abfc^nittf potenjict/ {u ber tiitie^
toeld^e bie £luabcdte bet ganjen itnb bej ffeinern Hbfdfnittt
potenitrt/ »ie bie JDberfUic^e fotvo^I atö bet Sirper be« SDo^
>ef aebeti }tir 06erfl&(&e fomo^ aU bem S^qpet M in ^tf
frfbe Jtuget bef<&(iebenen 2^ofaeber^

\

^

€iifti^'<

4}S

■■

-Kr

nai^ etnigec afle9ntMi)}> fetcl^tidet nod^ andern:

«MMMp4»«MMHp«M«a

©et 1. ©a|. 3tuf3o6f.

^n ciw« «egebfiK« SSÄtfef, AH, .ein SettaÄCf i»
bcfclE)V(ii6en.

3ie^e in ^en fe^l £luabtaten bie
Jfciagoiwl«« AG, AE, CE, AG,
EG, G*C: fo jinJ> offenb« We
JTciangd AEC , AGE, AGQ, p
jC(^/ ,«(ei*feitt3. golgH^» ifl
(ij, »6. S.) AECG ein Setcae*
bee, 9ftb in toen fö&tfel ^ft^ri«»
fren, t)a feine Qcfen ^en id *
f^ScfelS ftn(. A

'3n eilt gcflcbeiirt.^cttaeter, ABCD, ein iOftacb«t
|tt 1>i\ii)xtiUn*

- /

4S«

SuHtb'fl &mtmt

paHit m Setcotbe»

Ccittn in ))m $un(tm E^
"F, G, H, K, L, unb twtbins

bt Utfc fünfte mit ttoMf

flwalm iinim HK^ HL,

EF, FG, u. f, »., »tl*e

( t, 4. 6. ) aDe (inanlwc

gteic^ jtitb. Z)emna(^ flnb

tie attit StianetI, turen ^^

ectiRNiHt» FG, GH, HK,

KF, unb beten <Spi$m E,

L, fiiib, 0(eitt;ifeitig. ' geitifii:^ tft (11, 37. e.)t>ei:Sbtf>ecEL

tin iOftaebcc, unt) in baö Iletcaeber. bcfi^cicben, ba fei«

ertro We SSittt bet Settra beS Jetraebo« treffen. . '
JDet: 3..@a§. 3(ufga&e.
3n 'in^n flegebenm ?ffi6rfel^ AF, «in Cftatbtt lu

6efc^reiben. '

aiiinm (4/ 8. S. ) *ie G ' K

' !Q$atiiti>un(tel»c£lNiibrate

K, i.;:m, n, q, r, r>m

^nbe bTefe fünfte mit jn^lf

getdben ^m KL, LM,
. RM, QM, u.f.ip.: fo

i|t bec SCbtpn, RQ, baö

»ttlaagte £>ftaebec.
'!Denn 0e{]t man but(^

tie fünfte K, L, M, N,

mit ben®eiten bet^ninb:

f^tbe AO ^arattellinieii

PO,Of,TS,SP:foiilnb
> bicfe tin geborten Seiten,

fltfp einanber, ghitb, unb treffen einonber, tMilX4, 8.®.) OP,

SP, eine unb biefejbe Sinie DG; OT, ST/ unb eint unb^bfe«

telbe ifinic BE, ti» f. ro. ^albiren. ?rp(9li* pn^ ("/ -lo. 6.)

KOL. MTL, te*te«BinW. Slun flnb KOV O*-/ ^"^^
' • ■ . TM,

^aaf t/t^atti f&aify.-

437

TM; fcie .fjälFWn tut einanber ^Ukbtn 8infm PO, OT, TS,-
alfo duct) nnasM- gleich, golglict) iß C14 4-®-) KL = LM.
Stun futti auä i;lL'tcl)m 9rün^en aTsd> bu LK* KN, NM, unt^-
Alle äbri^en Simcn dntintcc gleu^. . So(flä<^ 9^ "^ <>^' '
Xnansel, bntn ©tunbOnitn KL, LM, MN« NK, nnb (««tr
®pt^R R, Q, finb, glcicbfcitig. golftltif) ift (it/ s7-2.'>i'
kW S6r|»c ItQ ein Oftacbn , unb in ben S)&cfeE beTttckb«^
»d friiu Scfrti bie CD^ioc b» Sl&cM bt$ iSiitftli tccfca.

: S"» (in gegefcenes ÄFwebor, AF^ «inen SEBötfet jw 6e»

(grüben.

(2« fei) ABCDE ei» , ^

ne bec fe^S tits^ati*

gen. ^«miben be«.

£)ftaeberä. Stimut

.(4/ 4'©.) tet w Mc-

StiangelAllC, ACD)

ADE, AEB, 6cf*cie;>.

bwen ÄKijJf ^Kittet*

punfleG, H, K,'L,B^

jie^GH, HK, KL,

LG/HnbbuKt» G; H,

E^L/getabe^inieiitnit'

ten @runblinten btt.

Ziianati panM, fff

^«rim je iwep nii(tjie

beifcfbcn bie iBDift^äi»
' Ü^enbeSeitentiRie bef

VTtatilibe aa^ elnetlt^ Cn^ttnlft, ttefftn «I{b in cttiCtkt

fhinCte berfefben jufanmen , rnib fcbneibcn »on A aul lottte«

S[(i(^e ttnbgleit^titjdeSriangef a&. Sl fe^ M, N, CV P/ ^

2}u«^(^tt8pHnftcBicr(f parallelen mit ben Öcftniftnien bn
.'fVMwite, fb Ifk olfo PM=MN=NO=OP, mi* Ib*

(10/11. e.) bie SENnfcl b«t M, N, O, P, ben aBinfdn M

Cfiobrott fiCDE gttk^ ^Iflltf», nHe biefr, R^te. Scmoiuft
St 3 1?

438

6ö((tb*« &tiamt

i^ MNOP ein tluo^irat ®eU nun (4/, 4« ^0 Me ^dbm)
Stnien üon A m6> G, H^ K ^ L ^ bte SSinf el an A ^Mcrn/
fo»erbenau* (1,4: ®.) PM# MN, NO, OP, InG, H, K, L^
. I^tbtce^ mb c«^ftnb (i^ 4*®0 GH, HK, KL, LG, etnanbet
f/itiiä^, unb fc^fiegen, meil fte (i, 5.0. 32. ®.) mit MN, NO^
OP, PM, fialbttttbit mnM malten, ( i, 13. &.) ttd^tt
fSBtiiFel ein« ^mnacb tjt GHKL ein Ouobtat. 4f6cn f^
«9te mit ber^romibe ABCDE, j^ttfafyct mit ben fkf ftbin«
gen ^9camiben be$;Of^eberd : fo er^Itfk bu nocb f&nf Clucu
ttau, bie bcm OuabrateGHKL g(eicb ftnb, unb mit i^m einen
ISiitfei etnfcbUcfien, ber inbaö Oftaebev befc^iebett ift, ba feine
ftdtn bie $(dcben bed Oftdebevö treffen.

©er 5. ®a^. Unf^aht.

3« etrt gegebene^ 3f ofaebet ein S)obef a«ber ju Sefc^teiSeit»

@S fe9 ABGDEF eine
bet jt9&lf f&nffi^itigen f}^;
tamiben be« 3f^f<*^^^^**
Kimm ( 4, 4* ®. ) # ber in
bieäriöngelAFE, AFBjc* ß
(efübriebenen ftreif^ WtitMi
•punfteG>H,K,L,M,unb
terbinbe biefe^unPte mit ge^
taben«iniemfoi^GHKLM
eine funffeitige gifluc t^on
gleicben ©eiten u* SBinf ein* C Q D •

2>enn {ie^et man FG, 7H , FK u. f. m.« tinb t>fr(&n9effe
jte: fo ^biren fie (4, 4.®vXbie SSineel be^ F, fofgK^S
(i, 4» ®0 aucb bie @tltnb(inien in N, O, P, u. f« m. 3ie^
Wän nnn bie'NÖ> O?; fo ftob bieft ( i, 4. &•> einember
fliei^ attttift(i,4,e)FN = EO=FP;ttn^(i^aE&efe
«nb4>4.6.)PG=FH=:FK^ 8ftlgti*fjnb(Ä^a,«.)0H^
H&, mit NO^ OP, patottel, fotgticb ift (6, 4* 6.) NO t GS

•OP:HKj fofglic^, meil NOäOP> aA& GHöcHK,
e(Ant ,ben @>r&tibeii i^HKzsKL tui^m. %t>i%h^ if:

fkmtm?^m^üfSXM MiUtit; ote QiMft#fHbf

V winfc

>•

^riaS90 »fCf Crr, 10. ®0 GHK=NOP,, HKL=OpV
tL C ».^ iinb ( 1/ 13* ®0 NQP=OPQ n. f. ».

tlttd \^ Mefe gtgut in Sitiev ISbene. SDenn ein Vevpeit#
tifef Don P ou§ bie «ftene bee gisut ABGDE trifft ü^cü
SRittefpunft^ unb alle Sinien Don bemfetben nac^ N/ O, P^
Q^ R^ mocbm (11^ 4. 6.) mit gebacirtem ^tpenbif e( tecbte^

gf iD^etien paratkl ^ ttnb t>on bem ^unf te^ n)o fte Itn ^pntii
bifef trifte getabe tinien nacb H> K^ L, M: fo mitb biefet
Iktpenbifct wn bet |}acaifeUinie in ber S3et^(tmgFN:F0
= FO : FH u. f. m. öcf(^nitten4 golgli* fmb ( 6, 2. ©•)
OiiKft bie !tnienbuc4>H> K, u. f« »4 bencnbur^O^ P^ n*i.i».p
tote bie burct^ G bet^ buvc^ N^ paroOef^ aUe ma4w alfo mit bem
^rpenbifel audt cec^te SOmfet^ unb fjnb fpfglic^ (11, 5« ®)
in Qintt (Sbene.

Sben fo^ tmemitbet^OtamibeABCDEF^ Detfd^te mitben
ei(f übrigen ^tifcamibin be^ 3(^f^^^<>^^^ fo erl^&itftbu no^eUf
gieicb^ ttnb fänff^itige giguten^ bie bei: GHKLM glei^flnb^
Hüb mitt^einSDobefaebeceinf^(ie§eiv ba^inba^^ofoebetbe^
f(M<beni^ba feine (Scfen bteSI^nie)»3(ofaebe9« tteffen»

S)er 6* @a|* TCufgabe.

X)te 3al^ ber @etteti unb (Sdlcn ber fünf ^rpec iit
^nben* ,

ittflUd)» !Die Bd^( bee edten itb ^nben / muftipSctte
num bie gol^ bec ben S6tpet einfcblieienben Sigwtii mit bic
go^f il^cet 6etten ^ wb bit>ibire bo« ^obtiet mit S^9f

SDenn ),& baj^tofaebet toirb t)on amaniigSriongeto etngi»
fdbfoffien^imbjeberSlriange^i^onbrepG^ SDieggibt

ft(b&tg Seiten; baDon ober geben imep unb povf nur eine ®€i^
bed Sbtpffci* S^Iglicb ^t bad Sf ofaebe^ nue bcepfiig Seiten« .

StMyrette« !&ie3d^ bec@^en snftnben^ mvMpfeire
mm bie 30^ bee ben Stfopec etnfl$tic§ienben Sigmm mit tar
3a^ bit «Nnfel iti iebec Sign«, mit bioibire bß^^^t^^mtwit

tn^l^ma^U bie eine ^eeinfMbli4eiib *

• 8e 4 ©cnn

j

44^ 9»Wi:^Umtnte

gefcblojfeit, beten jcbcc ivt^ ,MnM t^au 2)ie§ gie&t fe<&^
irg SBtitf e( ; Daten abet fct^ttegen f änf eine (ScCe beö S6i:pei: j
ftn. %oiili6f ^at Da« ^fofaeter smolf Scfen«

©er. 7- @a^ JCufgaSe,

> ^tr Oleisüngen bepQ^benen in ben fänf Jt6(pmt ju
ffnben; '

2tuiff6fung»

^ Sldd^ unfetm grof en Je^cet/ 3|ibOU/ »erben blefe Kei^
jungen auf folgenbe Art beftimntt:
• «rfliicb. 3i« ©ficfel f(*ndben fic^ bk i^ etnfcWiefem
ben (Sbenen untec rechten SBtnfeln^ mte an ficb Not i|t*

S^^T^^*)^' S^^ ^^^ iJetroebee befcbtetbe aut$ ben Snb^
punften einec @ette eine6 bec einfcbliegenben Xrimigel/ mit
bed ^itiangel^ |)&^V ftreife: fo fcblie^en bte DoniZ)utd>fcbntttö^
punfte bec bciben ^eife nocb jenen ^bpünf teit gejegenen gts
laben Sinien ben gefuc^ten dleigung^toinf e( ein«

HDtfttertSi SÄr ba« Oftaebec ma^be t>on ber 6Wte eine« bet
einfcbtte§enben Stiangef bä$ Xluabrat/ {iel^e befTenZHagonale/ be^
fcbcei&e au< beten (Snbpunften^ mit be« ^riandeU.|)6l^e/ Steiferfo
f4)(ie§en Die üom S)utcbf(bnitt6punf te bet berben Steife nacb jenen
@nbpunften geiogenen getäben Knien einen ®inMf in/ meieret
ben gefachten 9leigung«n)infe( ju }mep tecbten Sßin(c(n erg&hjt.

X>ittttn9. S&t ba« 3'of<^^^ec bcf($teibe 6bet bet ®eite
eine» tet einfcbliegenben Srianget eine gldcb^ unb fänffeitige
$igut/ lilel^e bann eine üDiagonafe/ unb befcbteibe ^u< beten
^hbpunlPten, mitbe&iltiangeB |)6I^/ Steife: fa fcbliegen bie
vom SDurc^^nttt^punfte betbet ftteif/e nacb jenen Snbpunhen
gejogenen getaben Sinten einen ^itihl ein, meiert bengefuc^^
ten Steigungfminfel tu ^noep tecbten SBinfeln etg&njt.

^unftene. Sftt iai 2)obef aebet {ie^ in einet bet f &nf feiti^
gtn ^uten ciiir Siagona(e/ befcbteibe au< beten Snbpunf ten/
mit bcm,aii0 il^er 9Ritte onf bte i^t patadeie @eite bet Sigut
gcf&aten ^penbtfd/; Sifeife: fo (((^(iepen bie i^om ^ut(b^

\

^mfit^nw Sbvi^.

.i

44t

D

fd^mtttjpunfte (eiber Stcerfe nad^ fenen SnÜpunltogfSogenett
ittaUn Sinien einen ®infe( tin, toHöftt ben gefu^teh Steiip
gung^tcinf el ju }toe9 rechten "SDinfcIn tv^hnit

auf obige flvt f)at biefer l^6(t^fl berul^mte ^am bie $(ufga$f
aufge(6fet; ba i^m bet S3en>ei< t>on jebein (Stucf e offenbar iu fepit
fcbien. jbamit ober bie gegebenen i(fy:en rinleucbtcnb merbin/n^itt
ic^ ben @tunb oon einer jeben beutfic^ aui einanber fe^en.

S e » e i «•

ißrUK*. e« fep ABCD ein
3«raeber^ beffcn ©runbflScbe ABC,
ttnb ®ipfe( D i^. ^aibire bie eine
©eitenitnte AB in £, unb jie^
BE, RC.

T>a ABir'SD, AErrED,
unb BE gemdn; i6ift ( i, 8* ®Ö
B£D = BEA = 91., atfo BE,
iinb gleicbefc ®eife EC, auf AD^
perpenbif ular. 3Da AC= a AE :
fo ifl D ACr=:4 D AE. Slun ift (i, 47. 6.) □ AC=
OAE+DEa golglicb ijt GAC:dEC = 4:3v ober
EC=Eß, fplgli* DBC<DBE+DEa goIgli((^ i(k
(a, 1 3. ©•) BEC ein fpi^iger «Binfel, <i(fo (11, 6. (8.) bet
Sleigungöwinfcl ber ©benen bei Ketraebcv«.

SDiefer SRtigungön>infe( BEC t(t gegeben , wi\ M Srt.an#
jgett ©dte BC, unb bie ^erpenbifel EB, EC, gegeben jinb»
SBeifccn nun au« ben (Jnbpunften ber Seite BC rtiit bem ^erf
penfciW BE Äreife be jTcbrieben , bie ftcb in Ei fcbiwiben: fo
fcblii:6^*n gerabe Linien t>on bem t)ur4)fcbnittepunfte E nii$
jenen Snbpunftcn B, C, ben SIeigungJttJinf fl ber @&enen ein^^
2)a§ aber gebaiJbte Äceife ficb in E f<bneiben, ift offenbart
2)enn jebc ber RE, EC, i|t >'J3C. 9lun warben Äreife,
cni ben ©nbpunften mit f BG befcbrfeben , einanber berftfli?
ren; mit einem ^albtmJX^t < | ßC befcbrieben, efnanbet
tpeber ber&^ren nocb fcbneiben. 2)a olfo BE > .| BC, fo

miffen fh^^ Stdift^oderbing« fc^neibcfi.

3twy^

firfftVl Sfememe

* •

j^fte feptie.f^pvttmtbe, beten
. erunbfl&(te ABCD, unt eipjfef
£ i^ eine i^ Seiten AE fe«
in F ^Ibirt, unb BF, FD, ^u
legen, iDd^ ülfo gfeic^/ unb
auf AE pecpenbtf ular ftnb« 3ie^
^ BD« 2)a ABCD ein Quo^
btat, unb be(fen !Dtagona(e BD

i(k: fo iji Ö BD = a a DA. B
Siun xft Mdf SBorigem G DA

:aDF=4:3- SoIäU* ijt aBD:DDF=:8:3; o5«
. DF rsr FB, fblflli* D BD > D »F + n FD. ^l^li^
ifk (9, 12, 60 BFD ein jtumpf er ©inf el, fofgli« (H/ 6-«.)
bie ^Srg&niting be6 0}ei<9un0dS9in(e( j bet (Ebenen etne< £>ftae
tert ]tt {mep rechten fEDinf ein«

S)iefec SDinfel BFD4fk gegeben, toeit beS Zriongett <5eite
AD, a(fo D AD, alfo ancb beffen S)ia()on(!(e BP, tmb bfe
' ^ecpoibif ei BF, FD, ^e^cbm ftnb. ^acbt man nun t»on bet
v€$ette AD bai Duobrat, liefet bie diagonale BD, unb be^
^teibt au< beten Snbpunften, mit bem ^ecpenbif fl BF, Stte»
ft, »efcbe ftc^ in F fc^neiben : fo fcbliefien bie au8 F nocb B
unb D ge}ogenen geraben Siinen ben SS)inf e( BFD , aU bie
Stganjung be< gefucbten SfleigunflSminfett ju itpt^ rechten
S^infeln, ein* Sucb l^iet er^eUet, baß gebac^te Steife ftc^ in
t fcbneiben, »eil BF > | BD* 2)enn nod^ obigem SBerodfe

iikGBD:aDF=8:3# unt> (6,ao«®0aBD =
4D|BD, folglic^^ BP > I BD.

IDttrteitB. <Si fep ein S^eit be« 3'of^^^^ ^^ VPta^
mibe, becen ©cunbfl&c^e bie gfeicb ^ unb fi&nffeitige g^uc
ABCDE, unb ®ipfe( F ift. $)a(bite. eine ®eite CP in G;
»Rb|ie^ BC> OD: fo (inb btefe gleitb, unb auf CF petpen;
bif utac. 3i^^^ ^^^ ^^n ^i^ diagonale DB bem (tompfen
^nfclBCD gegenüber: fb ift BG<BC, unb eben (bGb<

CD, f o(gU(^ (I, a K eo BGD > BGDvStIgli« ifksm^^

ein

8><ttfid^ct:9&u^

MI

dn {hsmpfcr fUnM^

nm (me^3tefaeba;< ju

i»e9 r^^ SBinMn*

^ JDiefetSEWnfelBGD

t^ gegeben^ meH MeiSeu

tt&erf&nffetttgen^i0iic

BC, a(fo t)ie £)tag(niafe

BD/ itnt bec ^erpenbi^

MBQ :#«nm fmbl

BcfiMbMnaii nun ft^t btt 6ette BC tie glei^f mb fAu^

4U^$i0W^# littet tie t>mmat BD, iin^ beft^ceibt attl

tmn ttibptmftm mit BG greift ^ todc^/ mil aiu^ l^icf

BO > i BD ift, ctnanbet in G fc^mibcn: fo f(blie§en Mf

«ti 1104^ B tmb D gejp^enen scrotien ttnieti tcn fötnM

BGD, itt tie (Stg&nsung be< erfucf^ äRetgiingiftpiiirctt i»

imv festen Ginfefai/ €itu

XHaUM. (8«fe9ABCDht«£lttQbratftrt®itfe»,Mi

mh AEBFG, GDHCF/jtDe^ (Sbtmn M ^UtaAttt,
^alMvf 'FG In K^ emc^t« a»f ^G in K Ne ferpcnbifef

KM,

> «

444 9vlliiV6 eimtnti %anfi*^t$ Sn^

RMy KL^ in U9fta gf backten übttitn, ttnb jte^e ML« SSit
Ci3/ 1?: ö^yW'^^c^^i^ittucttonbetfJDobefdebei« bm^
i^ortfn/ fciig betau« bem fünfte K auf bje @6ei« brt -£lita>
»ca» ABGD'gefÄttte ^erpenbifeC bte |)Qlfte bet <Sette bes
f&nffrttiden Sisur ifV, a(fo<|ML: fDf{t4)et ®tnfe(MKL
fkumpf^ folglich Ci i> 6. 9.) MKL bie @rgan}utis be^^efitc^
fm 9)eii9ttnd«n)inFeK }u smep retbten. Sugteic^ ei^ettet ouif
bem angefahrten @a%t, bag KL bie £luabtate be^ falben
6etten M SButfel^ unb ber fjinffeitigen gtgur p(&tai)ire«
golglicb ifr KL > I ML. _ ^

Set jBinfel MKL nun ifl gegeben. S)enn ba We Cdtt
beö Huabtatö AD bie @nbpunf te jmepec @ei|en bet f&nffeitt^
gen Sigut t>etbinl^et, unb bte f&nffeitige gigut gegeben ifk:
fo ift aucb ML gegeben; aucb pnb MK, KL, gegeben, »eil
fie ^etpenbif e( ton bet SAitte bet 2)iagana(e AB auf bie i^c
pataüeie ®eite FG ftnb. S3efcbtetbt man alfo dvü ben (Snb^
punftenbetML^ mitMK, Äreife, »etcbe, »eiffeM >
^ ML i^, einanbet in K fcbneiben; fo fcblie§en bie Dpm
SButcbfcbnitte K nacb gebacbten (Snbpunften gejpgenen getaben
Linien ben Sßinfel MKL, oK bie erganjung bc« geftic^ten
SReigungötoinPetö )u {toep tecbten, ein. ^

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