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Full text of "Gesammelte Werke. Hrsg. auf Veranlassung der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften"

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Lichtdruck  von  J.  Albert,  Jlünche 


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VORREDE. 


Die  hiesige  Akademie  der  Wissenschaften  hat  bereits  vor  mehreren  Jah- 
ren auf  den  Antrag  der  Mitglieder  ihrer  mathematischen  Section  die  Veranstal- 
tung einer  Gesammtausgabe  der  Werke  Jacobi's,  LejeuneDirichlet's  und 
Steiners  beschlossen  und  die  dazu  erforderlichen  Geldmittel  bewilligt.  Dabei 
ist  festgesetzt  worden,  diese  Ausgabe  solle  in  würdiger  Ausstattung  und  zu 
einem  verhältnissmässig  billigen  Preise  alle  Arbeiten  der  genannten  Mathema- 
tiker enthalten,  welche  von  ihnen  selbst  veröffentlicht  oder  im  Wesentlichen 
druckfertig  hinterlassen  worden  sind^).  Jede  einzelne  Arbeit  solle  aber  vor 
dem  Abdruck  einer  sorgfältigen  Revision**)  unterworfen  und  nicht  nur  von 
Druck-  und  Schreibfehlern,    sondern  auch  von  sonstigen,   offenbar  bloss  durch 


*)  Aus  dem  von  Borctardt  sorgfältig  geordneten  Nachlass  Jacobi's  ist  bereits  eine 
beträchtliche  Anzahl  von  Abhandlungen  veröffentlicht  worden;  es  haben  sich  aber  noch  meh- 
rere andere  vorgefunden ,  die  jetzt  zum  erstenmale  erscheinen  werden. 

''^')  Von  vielen  der  in  Grelles  Journal  erschienenen  Abhandlungen  haben  sich  die 
Manuscripte  erhalten  und  sind  im  Besitz  der  Akademie.  Selbstverständlich  werden  von  diesen 
die  in  Betracht  kommenden  bei  der  Revision  benutzt. 


yi  VORREDE. 

Versehen  entstandenen  ITnriclitigkeiten  möglichst  gereinigt ,    im  Uebrigen  aber 
der  ursprüngliche  Text  als  historisches  Document  treu  beibehalten  werden. 

Von  der  diesem  Programm  gemäss  auszuführenden  Arbeit  hatte  den  ohne 
Veruleich  schwierigsten  Theil,  die  Herausgabe  der  Werke  Jacobis.  mein 
verewigter  Freund  C.  W.  Borchardt  übernommen,  der  dazu  wie  kein  anderer 
befähigt  und  berufen  war.  Sein  unerwarteter  Tod  war  der  härteste  Schlag ,  der 
das  o-eplante  Unternehmen  treffen  konnte,  und  nur  der  grofsen  Umsicht,  mit 
der  er  für  seinen  Antheil  an  demselben  seit  Jahren  alles  Erforderliche  vorbe- 
reitet hatte ,  ist  es  zu  danken .  dass  gleichzeitig  mit  dem  von  mir  herausgegebe- 
nen ersten  Bande  von  S  t  e  i  n  e  r'  s  Werken  auch  der  vorliegende  erste  Band  von 
Jacobis  W^erken  ausgegeben  werden  kann.  In  demselben  findet  sich  keine 
Seite,  die  nicht  vor  dem  Drucke  zuerst  von  einem  mit  dem  Inhalt  vertrauten 
Mathematiker  und  darauf  von  Borchardt  selbst  auf  das  genaueste  durchge- 
sehen worden  ist.  Mein  Antheil  an  der  Herausgabe  beschränkt  sich  darauf, 
dass  ich  vom  51sten  Bogen  an  die  letzte  Revision  des  Druckes  besorgt  und  die 
am  Schlüsse  des  Bandes  zusammengestellten  Anmerkungen  nach  den  von 
Borchardt   hinterlassenen  Notizen    ausgearbeitet  und  mit   einigen  Zusätzen 

versehen  habe. 

Nach  dem  von  Borchardt  entworfenen  Plane  sollen  die  Arbeiten 
Jacobis.  nach  den  behandelten  Gegenständen  in  Gruppen  vertheilt  und  inner- 
halb einer  jeden  Gruppe  soweit  als  thunlich  chronologisch  geordnet ,  in  sieben 
Bänden  erscheinen.  Von  diesen  bilden  die  beiden  ersten  insofern  ein  für  sich 
bestehendes  Werk,  als  sie  bestimmt  sind,  alle  auf  die  Theorie  und  Anwen- 
dung der  elliptischen  und  Abel' sehen  Transcendenten  sich  beziehenden  Ar- 
beiten  Jacobis  aufzunehmen,  eine  Anordnung,  die  ohne  Zweifel   allgemei- 


VORREDE.  VII 

nen  Beifall  finden  wird.  Dass  der  erste  Band  mit  Diiichlet's  vortrefflicher 
Gedächtnissrede  auf  Jacobi  beginnt,  wird  man  ebenfalls  billigen.  Ob  es 
ausführbar  und  zweckmässig  sei ,  den  für  jetzt  in  Aussicht  genommenen  sieben 
Bänden  noch  Supplementbände  mit  Mittheilungen  aus  wohlbeglaubigten  Nach- 
schriften von  Jacobi's  Universitäts- Vorlesungen*),  sowie  aus  fragmentarischen 
Stücken  des  Nachlasses  und  Briefen  hinzuzufügen,  muss  späterer  Erwägung 
vorbehalten  bleiben. 

Schliesslich  habe  ich  noch  anzuführen,  dass  ein  wesentlicher  Theil  der 
Vorarbeiten  für  die  Herausgabe  des  ersten  Bandes  von  den  Herren  Professoren 
M  e  r  t  e  n  8 ,  Netto  und  H.  A.  Schwarz  besorgt  worden  ist.  Die  beiden  ersten 
haben  die  Fimdamenta  nova,  Herr  Schwarz  die  Abhandlungen  aus  Schu- 
macher'j^  Astronomischen  Nachrichten  und  dem  Cr  eile' scheu  Journal  vor  dem 
Wiederabdruck  revidirt;  Herr  Hertens  hat  überdies  die  erste  und  dritte  der 
nachgelassenen  Abhandlungen  druckfertig  gemacht  und  einen  grossen  Theil 
der  übrigen  einer  zweiten  Durchsicht  unterworfen.  Alle  drei  Herren  haben 
sich  ferner,  ein  jeder  für  die  von  ihm  durchgesehenen  Stücke,  an  der  Cor- 
rectur  des  Druckes  betheiligt.  Aufser  ihnen  sind  Herr  Dr.  K.  Schering  für 
den  ganzen  Band,  und  die  Herren  Professoren  Roethig,  Lampe  und  AVan- 
gerin  für  Theile  desselben  als  Correctoren  thätig  gewesen.  Endlich  hat  Herr 
Ch.  Hermite  die  grofse  Güte  gehabt,  von  der  Correspondance  mathemattque 
avec  Legendre  eine  Correctur  zu  lesen.  Indem  ich  an  Stelle  meines  dahin- 
geschiedenen Freundes   den  genannten  Herren  für  den  uneigennützigen  Eifer 


*)  Von  den  wichtigsten  der  iu  Königsberg  und  hier  gehaltenen  Vorlesungen  Jacobi's 
sind  in  Borchardt's  Nachlass  gute  Ausarbeitungen  vorhanden  •,  dieselben  sollen  mit  dem  ge- 
sammten  wissenschaftlichen  Nachlass  Jacobi's  im  Archiv  der  Akademie  aufbewahrt  werden. 


VIII  VORREDE. 

und  die  grofse  Sorgfalt,  womit  sie  die  übernommenen  mühsamen  und  zeit- 
raubenden Arbeiten  ausgefülirt  haben,  den  gebührenden  Dank  ausspreche, 
gebe  ich  mich  gern  der  Hoffnung  hin ,  dass  ich ,  unterstützt  von  einer  gleichen 
Bereitwilligkeit  meiner  Berufsgenossen,  das  begonnene  Unternehmen  werde 
fortführen  können. 

Berlin,  den  18.  December  1880. 

Weierstrass. 


IXHALTSVERZEICHNISS  DES  ERSTEN  BANDES. 


Seite 

1.  Gedächtnissrede  auf  Carl  Gustav  Jacob  Jacobi  von  Lejeune  Diricblet        .     .     .  1 — 28 

2.  Extrait  de  deux  Lettres  de  M.  Jacobi  de  l'universite  de  Koenigsberg  ä  M.  Schumacher  29 — 36 

3.  Demonstratio  theorematis  ad  theoriam  functionum  ellipticarum  spectantis 37—48 

4.  Fundamenta  nova  theoriae  functionum  ellipticarum 49—239 

5.  Addition  au  memoire  de  M.  Abel    sur  les  fonctions  elliptiques  Vol.  II.  p.   101  du  Jour- 

nal de  M.  Grell  e        241—243 

6.  Note  sur  la  decompositiou  d'un  nombre  donne  en  quatre  carres 245—247 

7.  Xotices  sur  les  fonctions  elliptiques 249  —  275 

8.  lieber    die  Anwendung    der  elliptischen  Transcendenten    auf   ein   bekanntes  Problem  der 

Elementar  -  Geometrie 277—293 

9.  De  functionibus  eUipticis  commentatio  prima  et  altera 295 326 

10.  Note  .sur  une  nouvelle  application  de  l'analyse  des  fonctions  elliptiques  ä  l'algebre       .     .  327 — 331 

11.  Formulae  novae  in  theoria  transcendentium  ellipticarum  fundamentales         333 — 341 

12.  Ueber    die    zur    numerischen    Berechnung    der    elliptischen    Functionen  .zweckmässigsten 

Formeln 343—368 

13.  Ueber  einige  die  elliptischen  Functionen  betreffenden  Formeln 369 — 372 

14.  Anzeige  von  Legendre:  Theorie  des  fonctions  elliptiques,  troisieme  Supplement      .     .     .  373—382 


NACHLASS. 


15.  Correspondance  mathematique  avec  Legendre        385—461 

16.  De  transfurmationibus  functionum  ellipticarum  irrationalibus  sive  inversis 463 — 482 

b 


j-  INHALTSVERZEICHNISS. 

Seite 

17.  De  divisione  integralium  ellipticorum  in  ?i  partes  aequales 483-488 

18.  De  multiplicatione   functionum    ellipticarum  per    quantitatem    imaginariam    pro  certo  (luo- 

dam  modulorum  systemate 

19.  Theorie  der  elliptischen  Functionen  aus  den  Eigenschaften  der  Thetareiheu  abgeleitet       .     497—538 

^„     ,  ,  539—546 

20.  Anmerkungen 


GEDÄCHTNISSREDE 


AUF 


CARL  GUSTAV  JACOB  JACOBI 


VON 


LEJEUNE   DIRICHLET. 


Abhandlungen  der  Königlichen  Akademie  der  WiBsenschaften  zu  Berlin 

aus  dem  Jahre  1852. 


GEDACHTNISSREDE 

AUF 

CARL  GUSTAV  JACOB  JACOBI 

VOH 

LEJEUNE  DIRICHLET. 


[Gehalten  in  der  Akademie  der  Wissenschaften  am  i,  Juli  1852.] 

Indem  ich  es  unternehme ,  die  wissenschaftlichen  Leistungen  des  gröfsten 
Mathematikers  zu  schildern,  weicher  seit  Lagrange  unserer  Körperschaft  als 
anwesendes  Mitglied  angehört  hat,  treten  mir  lebhaft  die  Schwierigkeiten  der 
Aufgabe  vor  Augen,  die  ganze  Bedeutung  der  Schöpfungen  eines  Mannes  darzu- 
stellen ,  welcher  mit  starker  Hand  in  fast  alle  Gebiete  einer  durch  zweitausend- 
jährige Arbeit  zu  unermesslichem  Umfange  angewachsenen  Wissenschaft  einge- 
griffen ,  überall,  wohin  er  seinen  schöpferischen  Geist  gerichtet,  wichtige  oft  tief 
verborgene  Wahrheiten  zu  Tage  gefördert  und,  neue  Grundgedanken  in  die  Wis- 
senschaft einführend,  die  mathematische  Speculation  in  mehr  als  einer  Richtung 
auf  eine  höhere  Stufe  erhoben  hat.  Nur  die  Überzeugung,  dass  solchen  der 
Wissenschaft  und  ihren  Pflegern  geleisteten  Diensten  gegenüber  eine  Pflicht  der 
Dankbarkeit  zu  erfüllen  ist,  kann  die  Bedenken,  welche  das  Bewusstsein  meiner 
Unzulänglichkeit  in  mir  hervorruft ,  zum  Schweigen  bringen :  denn  wem  könnte 
die  Erfüllung  dieser  Pflicht  mehr  obliegen  als  mir,  der  ich,  wie  alle  meine  Fach- 
genossen durch  J  a  c  0  b  i  s  wissenschaftliche  Productionen  so  wesentlich  gefördert, 
überdies  eine  nicht  geringere  Belehrung  meinem  viclj ährigen,  so  nahen  Verkehr 
mit  dem  grofsen  Forscher  verdanke.  — 

Carl  Gustav  Jacob  Jacobi  wurde  den  10.  Dec.  1804  zu  Potsdam  ge- 
boren, wo  sein  Vater  ein  begüterter  Kaufmann  war.     Die  erste  Unterweisung  in. 

1* 


4  GEDÄCHTNISSREDE  AUF  JACOBI. 

den  alten  Sprachen  und  den  Elementen  der  Mathematik  erhielt  er  von  seinem 
mütterlichen  Oheim,  Hrn.  Lehmann,  der  den  regsamen  Knaben  weniger  zu  un 
terrichten  als  zu  lenken  hatte ,  und  unter  dessen  einsichtiger  Leitung  dieser  so 
rasche  Fortschritte  machte,  dass  er  noch  nicht  zwölf  Jahre  alt  in  die  zweite  Klasse 
des  Potsdamer  Gymnasiums  und  schon  nach  einem  halben  Jahre  in  die  erste  auf- 
genommen wurde.  In  dieser  blieb  er  volle  4  Jahre,  da  er  nicht  füglich  vor  zu- 
rückgelegtem 1 6ten  Jahre  die  Universität  besuchen  konnte.  Der  mathematische 
Unterricht,  der  ganz  als  Gedächtnisssache  behandelt  wurde,  konnte  dem  jungen 
Primaner  nicht  zusagen.  Sein  Verhältniss  zum  Lehrer  war  daher  längere  Zeit 
sehr  unangenehm,  gestaltete  sich  jedoch  zuletzt  besser,  da  der  Lehrer  einsichtig 
genug  war  den  ungewöhnlichen  Schüler  gewähren  zu  lassen  und  es  zu  gestatten, 
dass  dieser  sich  mit  Eulers  Introductio  beschäftigte,  während  die  übrigen 
Schüler  mühsam  erlernte  Elementarsätze  hersagten.  Wie  weit  Jacobis  gei- 
stige Entwicklung  damals  schon  vorgeschritten  war ,  zeigt  der  Versuch ,  den  er 
um  diese  Zeit  zur  Auflösung  der  Gleichungen  des  5ten  Grades  anstellte,  und 
dessen  er  in  einer  seiner  Abhandlungen  später  erwähnt  hat. 

An  dieser  Aufgabe  hat  mehr  als  einer  von  denen,  welche  später  einen  grofsen 
Namen  erlangt  haben,  zuerst  seine  Kräfte  geübt,  und  man  begreift  in  der  That 
leicht ,  welchen  Reiz  gerade  dieses  Problem  auf  ein  erwachendes  Talent  ausüben 
musste ,  so  lange  die  L^nmöglichkeit  desselben  noch  nicht  erwiesen  war.  Zu  der 
Berühmtheit,  welche  so  viele  fruchtlose  Bemühungen  dieser  Untersuchung  ge- 
geben hatten,  gesellte  sich  der  besondere  Umstand,  dass  das  Problem,  als  einem 
Gebiete  angehörig,  welches  unmittelbar  an  die  Elemente  grenzt,  ohne  ein  grofses 
Mafs  von  Vorkenntnissen  zugänglich  schien. 

Auf  der  hiesigen  Universität  theilte  Jacobi  seine  Zeit  zwischen  philoso- 
phischen, philologischen  und  mathematischen  Studien.  Als  Theilnehmer  an  den 
Übungen  des  philologischen  Seminars  erregte  er  die  Aufmerksamkeit  unseres 
Collegen  Böckh,  des  Vorstehers  dieses  Instituts,  welcher  den  jungen  Mann  we- 
gen seines  scharfen  und  eigenthümlichen  Geistes  sehr  lieb  gewann  und  durch  be- 
sonderes Wohlwollen  auszeichnete. 

Mathematische  Vorlesungen  scheint  er  wenig  besucht  zu  haben,  da  diese 
damals  auf  der  hiesigen  Universität  einen  zu  elementaren  Charakter  hatten ,  als 
dass  sie  Jacobi,  der  schon  mit  einigen  der  Hauptwerke  von  Euler  und  La- 
grange vertraut  war,  wesentlich  hätten  fördern  können.     Desto  eifriger  sah  er 


GEDACHTNISSEEDE  AUF  JACOBl.  5 

sich  in  der  mathematischen  Litteratur  um  und  suchte  namentlich  eine  allgemeine 
Übersicht  der  grofsen  wissenschaftlichen  Schätze  zu  gewinnen ,  welche  die  aka- 
demischen Sammlungen  enthalten.  Jacobi,  dessen  Xatur  das  blofse  Einsam- 
meln von  Kenntnissen  niclit  zusagte  und  der  das  Bedürfniss  fühlte,  der  Dinge, 
womit  er  sich  beschäftigte,  ganz  Herr  zu  werden,  erkannte  nach  etwa  zweijäh- 
rigen Universitätsstudien  die  Xothwendigkeit  einen  Entschluss  zu  fassen,  und 
entweder  der  Philologie  oder  der  Mathematik  zu  entsagen.  Da  die  Entscheidung, 
welche  er  traf,  nicht  nur  für  ihn ,  sondern  auch  für  die  Wissenschaft ,  welcher 
er  sich  von  nun  an  ausschliefslich  widmete,  so  wichtige  Folgen  gehabt  hat,  so 
wird  man  die  Gründe,  welche  seine  Wahl  bestimmten,  gern  von  ihm  selbst  er- 
fahren. Er  schreibt  darüber  an  seinen  schon  genannten  Oheim :  »Indem  ich  so 
doch  einige  Zeit  mich  ernstlich  mit  der  Philologie  beschäftigte ,  gelang  es  mir 
einen  Blick  wenigstens  zu  thun  in  die  innere  Herrlichkeit  des  alten  hellenischen 
Lebens,  so  dass  ich  wenigstens  nicht  ohne  Kampf  dessen  weitere  Erforschung 
aufgeben  konnte.  Denn  aufgeben  muss  ich  sie  für  jetzt  ganz.  Der  ungeheure 
Koloss,  den  die  Arbeiten  eines  Euler,  Lagrange,  La  place  hervorgerufen 
haben,  erfordert  die  ungeheuerste  Kraft  und  Anstrengung  des  Nachdenkens,  wenn 
man  in  seine  innere  Xatur  eindringen  will  und  nicht  blofs  äusserlich  daran  her- 
umkramen. Über  diesen  Meister  zu  werden,  dass  man  nicht  jeden  Augenblick 
fürchten  muss  von  ihm  erdrückt  zu  werden  treibt  ein  Drang,  der  nicht  rasten 
und  ruhen  lässt ,  bis  man  oben  steht  und  das  ganze  Werk  übersehen  kann.  Dann 
ist  es  auch  erst  mösrlich  mit  Ruhe  an  der  Vervollkommnung  seiner  einzelnen 
Theile  recht  zu  arbeiten  und  das  ganze,  grofse  Werk  nach  Kräften  weiter  zu 
führen,  wenn  man  seinen  Geist  erfasst  hat.« 

Zu  seiner  Doctordissertation  wählte  Jacobi  einen  schon  vielfach  behan- 
delten Gegenstand ,  die  Zerlegung  der  algebraischen  Brüche.  Er  beweist  darin 
zuerst  merkwürdige  Formeln,  welche  Lagrange  ohne  Beweis  in  den  Abhandlun- 
gen unserer  Akademie  gegeben  hatte ,  geht  dann  zu  einer  neuen  Art  der  Zerle- 
gung über ,  welche  nicht ,  wie  die  bis  dahin  ausschliefslich  betrachtete ,  völlig 
bestimmt  ist,  und  beschliefst  die  Abhandlung  mit  Untersuchungen  über  die  Um- 
formung der  Reihen,  wobei  schon  ein  neues  Princip  bemerklich  wird,  von  wel- 
chem er  in  späteren  Arbeiten  mehrfach  Gebrauch  gemacht  hat. 

Gleich  nach  seiner  Promotion  habilitirte  sich  J  a  c  o  b  i  bei  der  Universität 
und  hielt  eine  Vorlesung  über  die  Theorie  der  krummen  Flächen  und  Curven  im 


6  GEDACHTNISSREDE  AUF  JACOBI. 

Räume.  Nach  dem  Zeugniss  eines  seiner  damaligen  Zuhörer  muss  sein  Lehrta- 
lent bei  diesem  ersten  Auftreten  schon  sehr  entwickelt  gewesen  sein  und  er  es 
verstanden  haben ,  sein  Thema  mit  grofser  Klarheit  und  auf  eine  seine  Zuhörer 
sehr  anregende  Weise  zu  behandeln.  Der  21jährige  Docent  zeigte  auch  darin 
eine  sehr  frühe  Reife  des  Urtheils ,  dass  er ,  unbeirrt  durch  den  Misskredit ,  in 
welchen  die  Methode  des  Unendlichkleinen  um  jene  Zeit  durch  eine  grofse  Au- 
torität gekommen  war,  gerade  dieser  in  seiner  Darstellung  folgte  und  seine  Zu- 
hörer mit  dem  besten  Erfolge  zu  überzeugen  sich  bemühte,  dass  die  verdächtigte 
Methode  hur  in  ihrer  abgekürzten  Form  von  der  strengen  Methode  der  Alten 
unterschieden  ist ,  aber  gerade  durch  diese  Form  bei  allen  zusammengesetzteren 
Fragen  unentbehrlich  wird. 

Die  Aufmerksamkeit,  welche  Jacobi  zu  erregen  anfing,  veranlasste  die 
höchste  Unterrichtsbehörde  ihn  aufzufordern ,  seine  Lehrthätigkeit  vorläufig  als 
Privatdocent  in  Königsberg  fortzusetzen,  wo  durch  die  eben  vacant  gewordene 
Professur  der  Mathematik  sich  zu  seiner  Beförderung  mehr  Aussichten  als  in 
Berlin  darboten. 

Bei  seiner  Übersiedlung  nach  Königsberg  war  es  für  Jacobi  ein  wichti- 
ges Ereigniss  den  grofsen  Astronomen  B  e  s  s  e  1  persönlich  kennen  zu  lernen  und 
zum  ersten  Male  in  einem  dem  seinigen  so  nahe  verwandten  Fache  ein  Genie  in 
der  Nähe  zu  sehen.  Die  tägliche  Anschauung  des  Feuereifers  dieses  ausseror- 
dentlichen Mannes  übte  selbst  auf  ihn ,  der  es  doch  von  seiner  frühsten  Jugend 
an  gewohnt  war,  die  gröfsten  Anstrengungen  von  sich  zu  fordern,  den  mächtig- 
sten Einfluss ,  dessen  er  später  oft  dankbar  erwähnt  hat. 

Es  war  für  J  a  c  o  b  i  s  schriftstellerische  Laufbahn  ein  glücklicher  Umstand, 
dass  der  Anfang  derselben  mit  der  Gründung  der  mathematischen  Zeitschrift  zu- 
sammenfiel, durch  deren  Herausgabe  sich  unser  College  Grelle  ein  so  grofses 
und  bleibendes  Verdienst  nicht  nur  um  die  Verbreitung  sondern  auch  um  die  Be- 
lebung des  Studiums  der  Wissenschaft  erworben  hat.  Jacobi,  der  zu  den  früh- 
sten Mitarbeitern  der  Zeitschrift  gehörte,  ist  ihr  bis  zu  seinem  Tode  treu  geblie- 
ben, und  wenn  man  die  beiden  besondern  Werke  Fundamenta  nova  und  Canon 
arithmeticus  ausnimmt,  so  sind  fast  alle  seine  andern  Arbeiten  zuerst  im  Crelle- 
schcn  Journal  erschienen. 

J  a  c  0  b  i  s  erste  Abhandlungen  zeigen  ihn  schon  als  durchaus  vollendeten 
Mathematiker,  mag  er  nun,  wie  in  den  Aufsätzen  »über  Gaufs  neue  Methode 


GEDACHTNISSREDE  AUF  JACOBI.  7 

zur  genäherten  Bestimmung  der  Integrale«  und  »über  die  Pf  äff  sehe  Methode 
für  die  Integration  der  partiellen  DifFerentialgieichungen« ,  bekannte  Theorieen 
aus  einem  neuen  Gesichtspunkte  betrachten  und  wesentlich  vereinfachen  oder 
noch  nicht  gelöste  Probleme  behandeln  und  zu  neuen  Resultaten  gelangen.  Un- 
ter den  Arbeiten  der  letzteren  Art  sind  hier  zwei  besonders  zu  erwähnen :  eine 
Abhandlung  von  wenigen  Seiten,  in  der  er  eine  bis  dahin  unbekannt  gebliebene 
Grundeigenschaft  der  merkwürdigen  Function  kennen  lehrt,  welche  von  Le- 
ge n  d  r  e  zuerst  in  die  Wissenschaft  eingeführt,  in  allen  spätem  allgemeinen  Un- 
tersuchungen über  die  Anziehung  eine  so  grofse  Rolle  gespielt  hat,  und  eine  an- 
dere »über  die  cubischen  Reste«.  Diese  letztere  enthält  zwar  nur  Sätze  ohne  Be- 
weise ,  aber  diese  Sätze  sind  der  Art ,  dass  sie  nicht  das  Ergebniss  der  Induction 
sein  können  und  keinen  Zweifel  darüber  lassen ,  dass  J  a  c  o  b  i  schon  damals  in 
dem  wissenschaftlichen  Gebiete,  welches  Gaufs  ein  Vierteljahrhundert  früher 
der  mathematischen  Speculation  eröffnet  hatte  und  welches  eben  so  sehr  der  hö- 
heren Algebra  als  der  Theorie  der  Zahlen  angehört,  im  Besitze  neuer,  fruchtba- 
rer Principien  sein  musste,  was  auch  durch  eine  spätere  Publication  bestätigt 
wird,  in  der  er  ausdrücklich  erwähnt,  dass  er  diese  Principien  schon  damals 
Gaufs  brieflich  mitgetheilt  habe. 

Von  der  weiteren  Verfolgung  dieses  Gegenstandes  wurde  Jacob i  zu  jener 
Zeit  durch  eine  andere  Arbeit,  seine  Untersuchungen  über  die  elliptischen 
Functionen  abgezogen,  welche  ihm  bald  eine  so  grofse  Berühmtheit  verleihen 
und  eine  Stelle  unter  den  ersten  Mathematikern  der  Zeit  anweisen  sollten. 

Der  junge  Mathematiker,  der  sich  schon  in  so  vielen  Richtungen  mit  Er- 
folg versucht  hatte ,  schien  längere  Zeit  in  der  Theorie  der  elliptischen  Functio- 
nen vom  Glücke  nicht  begünstigt  zu  werden.  Einer  seiner  Freunde,  der  ihn 
eines  Tages  auffallend  verstimmt  fand,  erhielt  auf  die  Frage  nach  dem  Grunde 
dieser  Verstimmung  von  ihm  die  Antwort :  Sie  sehen  mich  eben  im  Begriff  die- 
ses Buch  (Legendres  eocercices)  auf  die  Bibliothek  zurückzuschicken,  mit  wel- 
chem ich  entschiedenes  Unglück  habe.  Wenn  ich  sonst  ein  bedeutendes  Werk 
studirt  habe ,  hat  es  mich  immer  zu  eigenen  Gedanken  angeregt  und  ist  dabei 
immer  etwas  für  mich  abgefallen.  Diesmal  bin  ich  ganz  leer  ausgegangen  und 
nicht  zum  geringsten  Einfalle  inspirirt  worden. 

Wenn  die  eignen  Gedanken  in  diesem  Falle  etwas  lange  auf  sich  warten 
liefsen ,  so  stellten  sie  sich  dafür  später  um  so  reichlicher  ein ,  so  reichlich ,  dass 


8  GEDÄCHTNISSREDE  AUF  JACOBI. 

sie  in  Verbindung  mit  den  gleichzeitigen  Gedanken  Abels  eine  unerwartete 
Erweiterung  und  die  völlige  Umgestaltung  eines  der  wichtigsten  Zweige  der  Ana- 
lysis  zur  Folge  hatten. 

Indem  der  Fortschritt  hier  zu  derselben  Zeit  von  zwei  verschiedenen  Sei- 
ten ausging,  wird  es  erforderlich  neben  Jacob is  Untersuchungen  die  gleich- 
zeitigen Arbeiten  Abels  zu  erwähnen.  Im  Ursprünge  von  einander  unabhän- 
gig, greifen  die  Entdeckungen  beider  später  so  in  einander  ein,  dass  die  Darstel- 
lung der  einen  ohne  Berücksichtigung  der  andern  kaum  verständlich  sein  würde. 

Die  Theorie  der  elliptischen  Functionen,  mit  welcher  Abels  und  Ja- 
cobis  Namen  auf  immer  verbunden  sind,  reicht  in  ihren  Anfängen  nicht  über 
die  erste  Hälfte  des  vorigen  Jahrhunderts  zurück.  Ein  italienischer  Mathema- 
tiker von  ungewöhnlichem  Scharfsinn,  der  Graf  Fagnano  aus  dem  Kirchen- 
staate, machte  die  merkwürdige  Entdeckung,  dass  das  Integral,  welches  den  Bo- 
gen der  Curve  ausdrückt,  welche  damals  die  Mathematiker  unter  dem  Namen 
Lemniscate  vielfach  beschäftigte,  ähnliche  Eigenschaften  besitzt  wie  das  ein- 
fachere Integral,  welches  einen  Kreisbogen  darstellt,  und  dass  z.B.  zwischen  den 
Grenzen  zweier  Integrale  dieser  Art,  deren  eines  dem  doppelten  Werthe  des  an- 
dern gleich  ist,  ein  einfacher  algebraischer  Zusammenhang  Statt  findet,  so  dass 
ein  Lemniscatenbogen ,  wenn  gleich  eine  Transcendente  höherer  Art,  doch  wie 
ein  Kreisbogen  durch  geometrische  Construction  verdoppelt  oder  gehälftet  wer- 
den kann.  Euler  fand  einige  Jahre  später  die  eigentliche  Quelle  dieser  und  an- 
derer ähnlicher  Eigenschaften  in  einem  Satze,  der  zu  den  schönsten  Bereiche- 
rungen gehört,  welche  die  Wissenschaft  diesem  grofsen  Forscher  verdankt.  Nach 
diesem  Eul ersehen  Satze  hängt  ein  gewisses  Integral,  welches  allgemeiner  ist 
als  das  von  Fagnano  betrachtete  und  in  unserer  jetzigen  Terminologie  ellipti- 
sches Integral  der  ersten  Gattung  heifst,  so  von  seiner  Grenze  ab,  dass  zwei 
solche  Integrale  mit  beliebigen  Grenzen  immer  in  ein  drittes  vereinigt  werden 
können,  dessen  Grenze  eine  einfache  algebraische  Verbindung  der  Grenzen  je- 
ner ist,  gerade  so  wie  der  Sinus  eines  zweitheiligen  Bogens  algebraisch  aus  den 
Sinus  seiner  Bestandtheile  gebildet  werden  kann.  Aber  das  elliptische  Integral 
ist  allgemeiner  als  dasjenige,  welches  einen  Kreisbogen  ausdrückt.  Auf  die  ein- 
fachste Form  gebracht  hängt  es  nicht  wie  dieses  blofs  von  seiner  Grenze,  son- 
dern auch  von  einer  andern  in  der  Function  enthaltenen  Gröfse ,  dem  sogenann- 
ten Modul,  ab.     Das  Eul  er  sehe  Theorem  ergab  nur  Beziehungen  zwischen  In- 


GEDÄCHTNISSREDE  AUF  JACOBl.  9 

tegralen  mit  demselben  Modul.  Das  erste  Beispiel  eines  Zusammenhanges  zwi- 
schen Integralen,  die  sich  durch  ihre  Moduln  unterscheiden,  bot  eine  spätere  von 
Landen  und  in  etwas  anderer  Form  von  Lagrange  gemachte  Entdeckung  dar, 
nach  welcher  ein  elliptisches  Integral  durch  eine  einfache  algebraische  Substitu- 
tion in  ein  anderes  Integral  derselben  Art  verwandelt  werden  kann. 

Es  ist  Legendr  es  unvergänglicher  Ruhm  in  den  eben  erwähnten  Ent- 
deckungen die  Keime  eines  wichtigen  Zweiges  der  Analysis  erkannt  und  durch 
die  Arbeit  eines  halben  Lebens  auf  diesen  Grundlagen  eine  selbständige  Theorie 
errichtet  zu  haben,  welche  alle  Integrale  umfasst,  in  denen  keine  andere  Irra- 
tionalität enthalten  ist  als  eine  Quadratwurzel,  unter  welcher  die  Veränderliche 
den  4ten  Grad  nicht  übersteigt.  Schon  Euler  hatte  bemerkt,  mit  welchen  Mo- 
dificationen  sein  Satz  auf  solche  Integrale  ausgedehnt  werden  kann;  Legendr e, 
indem  er  von  dem  glücklichen  Gedanken  ausging ,  alle  diese  Integrale  auf  feste 
canonische  Formen  zurückzuführen,  gelangte  zu  der  für  die  Ausbildung  der  Theo- 
rie so  wichtig  gewordenen  Erkenntniss.  dass  sie  in  drei  wesentlich  verschiedene 
Gattungen  zerfallen.  Indem  er  dann  jede  Gattung  einer  sorgfältigen  Untersu- 
chung unterwarf,  entdeckte  er  viele  ihrer  wichtigsten  Eigenschaften,  von  wel- 
chen namentlich  die ,  welche  der  dritten  Gattung  zukommen ,  sehr  verborgen  und 
ungemein  schwer  zugänglich  waren.  Nur  durch  die  ausdauerndste  Beharrlich- 
keit ,  die  den  grofsen  Mathematiker  immer  von  neuem  auf  den  Gegenstand  zu- 
rückkommen liefs,  gelang  es  ihm  hier  Schwierigkeiten  zu  besiegen,  welche 
mit  den  Hülfsmitteln ,  die  ihm  zu  Gebote  standen,  kaum  überwindlich  schei- 
nen mussten. 

Die  Theorie,  wie  Abel  und  Jacobi  sie  vorfanden,  bot  mehrere  höchst  räth- 
selhafte  Erscheinungen  dar,  zu  deren  Aufklärung  die  damals  bekannten  Princi- 
pien  nicht  ausreichten.  So  hatte  man ,  um  nur  eine  dieser  Erscheinungen  zu  er- 
wähnen, gefunden,  dass  der  Grad  der  mit  Hülfe  des  Eul  er  sehen  Satzes  gebil- 
deten Gleichung,  von  deren  Lösung  die  Theilung  des  elliptischen  Integrals  ab- 
hängt ,  nicht  wie  in  der  analogen  Frage  der  Kreistheilung  der  Anzahl  der  Theile 
sondern  dem  Quadrate  dieser  Anzahl  gleich  ist.  Die  Bedeutung  der  reellen  Wur- 
zeln, deren  Anzahl  mit  jener  übereinstimmt,  war  leicht  ersichtlich,  wogegen 
die  zahlreichern  imaginären  ganz  unerklärlich  erscheinen  mussten.  Aber  dass 
hier  ein  Geheimniss  verborgen  liege,  darüber  hatte  man  vor  Abel  und  Jacobi 
kein  Bewusstsein ,  und  ihnen  war  es  vorbehalten  sich  zuerst  über  diese  und  ähn- 
I.  2 


ilO  GEDÄCHTNISSREDE  AUF  JAOOBI. 

liehe  Erscheinungen  zu  wundern ,  was  in  der  Mathematik  wie  in  anderen  Gebie- 
ten oft  schon  eine  halbe  Entdeckung  ist. 

Obgleich  die  Umgestaltung  der  Theorie  der  elliptischen  Functionen,  welche 
man  Abel  und  Jacobi  verdankt,  aus  dem  Zusammenwirken  mehrerer  sich  ge- 
genseitig unterstützender  Gedanken  hervorgegangen  ist ,  so  scheint  doch  zweien 
dieser  Gedanken  die  gröfste  Wichtigkeit  zugeschrieben  werden  zu  müssen,  weil 
sie  alle  Theile  der  neuen  Theorie  innig  durchdringen.  AVährend  die  früheren 
Bearbeiter  dieses  Gegenstandes  das  elliptische  Integral  der  ersten  Gattung  als 
eine  Function  seiner  Grenze  ansahen,  erkannten  Abel  und  Jacobi  unabhängig 
von  einander,  wenn  auch  der  erstere  einige  Monate  früher,  die  Nothwendigkeit 
die  Betrachtungsweise  umzukehren  und  die  Grenze  nebst  zwei  einfachen  von  ihr 
abhängigen  Gröfsen,  die  so  unzertrennlich  mit  ihr  verbunden  sind  wie  der  Sinus 
zum  Cosinus  gehört,  als  Functionen  des  Integrals  zu  behandeln,  gerade  wie  man 
schon  früher  zur  Erkenntniss  der  wichtigsten  Eigenschaften  der  vom  Kreise  ab- 
hängigen Transcendenten  gelangt  war,  indem  man  den  Sinus  und  Cosinus  als 
Functionen  des  Bogens  und  nicht  diesen  als  eine  Function  von  jenen  betrachtete. 

Ein  zweiter  Abel  und  Jacobi  gemeinsamer  Gedanke,  der  Gedanke  das 
Imaginäre  in  diese  Theorie  einzuführen,  war  von  noch  gröfserer  Bedeutung  und 
Jacobi  hat  es  später  oft  wiederholt ,  dass  die  Einführung  des  Imaginären  allein 
alle  Räthsel  der  früheren  Theorie  gelöst  habe.  Wäre  es  nicht  eine  so  alte  Er- 
fahrung ,  dass  das  nahe  Liegende  sich  fast  immer  zuletzt  darbietet,  so  würde  man 
es  auffallend  finden  müssen,  dass  dieser  Gedanke  Euler  entgangen  ist,  zu  des- 
sen frühsten  und  schönsten  Leistungen  es  gehört,  die  Theorie  der  Kreisfunctio- 
nen,  indem  er  diese  als  imaginäre  Exponentialgröfsen  behandelte,  in  solchem 
Grade  vereinfacht  und  erweitert  zu  haben,  dass  fast  das  ganze  Gebiet  der  Ana- 
lysis  eine  wesentliche  L^mgestaltung  dadurch  erfuhr. 

Indem  Abel  und  Jacobi  in  die  vorhin  erwähnten,  durch  Umkehrung  aus 
dem  elliptischen  Integral  der  ersten  Gattung  gebildeten  Functionen,  welche  nach 
unserer  jetzigen  Terminologie  ausschliefslich  elliptische  Functionen  genannt  wer- 
den, das  Imaginäre  einführten,  erkannten  sie,  dass  diese  Functionen  gleichzei- 
tig an  der'Natur  der  Kreisfunctionen  und  an  der  der  Exponentialgröfsen  Theil 
haben,  und^dass,  während  jene  nur  für  reelle,  diese  nur  für  imaginäre  Werthe 
des  Argumentes  periodisch  sind,  die  elliptischen  Functionen  beide  Arten  der 
Periodicität  in  sich  vereinigen. 


•GEDÄCHTNISSREDE  AUF  JACOBI.  H 

Durch  den  Besitz  dieser  Grundgedanken  auf  einen  neuen  Boden  gestellt, 
richteten  Abel  und  J  a  c  o  b  i  ihre  Untersuchungen  auf  zwei  verschiedene  Regio- 
nen der  Theorie.  Abels  Thätigkeit  wandte  sich  den  Problemen  zu,  welche 
die  Vervielfältigung  und  Theilung  der  elliptischen  Integrale  betreffen,  und  in- 
dem er  mit  Hülfe  des  Princips  der  doppelten  Periode  in  die  Natur  der  Wurzeln 
der  Gleichung,  von  welcher  die  Theilung  abhängt,  tief  eindrang,  gelangte  er  zu 
der  ganz  unerwarteten  Entdeckung,  dass  die  allgemeine  Theilung  des  elli])tischen. 
Integrals  mit  beliebiger  Grenze  immer  algebraisch  d.  h.  durch  blofse  Wurzelaus- 
ziehungen bewerkstelligt  werden  kann ,  sobald  die  besondere  Theilung  der  soge- 
nannten vollständigen  Integrale  als  schon  ausgeführt  vorausgesetzt  wird.  Die 
eben  genannte  besondere  Theilung  scheint  nur  für  specielle  Module  möglich,  un- 
ter welchen  derjenige  der  einfachste  ist,  dem  die  I.emniscate  entspricht.  Indem 
er  die  Lösung  des  Problems  für  diesen  Fall  durchführte,  zeigte  er,  dass  die  Thei- 
lung der  ganzen  Lemniscate  der  Kreistheilung  völlig  analog  ist  und  in  denselben 
Fällen  durch  geometrische  Construction  geleistet  werden  kann,  in  welchen  nach 
der  schönen  2  5  Jahre  früher  von  G  a  u  f  s  gegebenen  Theorie  der  Kreis  eine  solche 
Theilung  zulässt. 

An  diese  letztere  Arbeit  Abels  knüpft  sich  eine  erwähnenswerthe  histori- 
sche Merkwürdigkeit.  In  der  Einleitung  zum  letzten  Abschnitte  der  Di^^im^Yiow^Ä 
aritkmeticae,  welcher  der  Kreistheilung  gewidmet  ist,  hatte  Gaufs  im  Vorbeigehen 
bemerkt,  dass  dasselbe  Princip,  worauf  seine  Kreistheilung  beruht,  auch^auf  die 
Theilung  der  Lemniscate  anwendbar  sei,  und  in  der  That  liegt  das  Gaufsische 
Princip,  nach  welchem  die  Wurzeln  der  zu  lösenden  Gleichung  so  in* einen  Cy- 
clus  zu  bringen  sind,  dass  jede  von  der  vorhergehenden  auf  dieselbe^ Weise  ab- 
hängt, der  Abhandlung  Abels  über  die  Theilung  der  Lemniscate  wesentlich 
zu  Grunde ;  wenn  aber  für  die  Kreistheilung  längst  bekannte  Eigenschaften  der 
trigonometrischen  Functionen  genügten,  um  die  Wurzeln  dem  Gaufsischen 
Principe  gemäfs  zu  ordnen ,  so  war  für  den  Fall  der  Lemniscate  zu  einer  ähnli- 
chen Anordnung,  ja  um  nur  die  Möglichkeit  einer  solchen  zu  erkennen,  eine 
Einsicht  in  die  Xatur  der  Wurzeln  erforderlich,  welclie  nur  das  Princip  der  dop- 
pelten Periodicität  gCAvähren  konnte.  Die  vorhin  erwähnte  Aufserung  ist  also 
durch  Abels  Abhandlung  zu  einem  unwidersprechlichen  Zeugnisse  geworden, 
dass  Gaufs,   seiner  Zeit  weit  vorauseilend,  schon  zu  Anfange  des  Jahrhunderts 

das  Princip  der  doppelten  Periode  erkannt  hatte.      Dieses  Zeugniss  ist  jedoch 

2* 


12  GEDÄCHTNISSREDE  AUF  JACOBI. 

erst  durch  die  spätere  Arbeit  Abels  verständlich  geworden ,  und  thut  daher  sei- 
nem und  Jacobis  Anrecht  an  diese  Erfindung  keinen  Abbruch. 

Aufser  den  schon  erwähnten  auf  die  Theilung  bezüglichen  Resultaten  hat- 
ten Abels  Untersuchungen  noch  eine  andere  nicht  weniger  wichtige  Entdeckung 
zur  Folge.  Indem  er  in  den  Formeln,  durch  welche  er  die  elliptischen  Functio- 
nen eines  vielfachen  Argumentes  durch  die  Functionen  des  einfachen  dargestellt 
hatte,  den  Multiplicator  unendlich  werden  liefs,  erhielt  er  merkwürdige  Aus- 
drücke für  die  elliptischen  Functionen  in  Form  von  unendlichen  Reihen,  so  wie 
von  Quotienten  unendlicher  Producte,  eine  Entdeckung,  welche  für  die  Analysis 
vielleicht  von  noch  gröfserer  Bedeutung  ist,  als  die  von  Abel  nachgewiesene  al- 
gebraische Lösbarkeit  der  Gleichungen  für  die  Theilung. 

Zu  derselben  Zeit  als  Abel  diese  schönen  Untersuchungen  ausführte,  war 
J  a  c  o  b  i  in  einem  andern  Theile  desselben  Gebietes  nicht  weniger  erfolgreich  be- 
schäftigt. Die  oben  erwähnte  Substitution,  durch  welche  ein  elliptisches  Inte- 
gral in  ein  Integral  derselben  Form  übergeht,  war  bis  dahin  die  einzige  ihrer 
Art.  Zwar  hatte  L  e  g  e  n  d  r  e  nicht  lange  vor  der  Zeit ,  wo  J  a  c  o  b  i  sich  diesem 
Gegenstande  zuwandte,  eine  zweite  Transformation  der  elliptischen  Integrale 
aufgefunden,  aber  diese  zweite  Transformation,  mit  welcher  er  den  Gegenstand 
für  abgeschlossen  hielt,  war  damals  in  Deutschland  noch  nicht  bekannt,  und  es 
gehörte  daher  ein  seltener  Scharfsinn  dazu  aus  einem  sichtbaren  Ringe  auf  das 
Vorhandensein  einer  unendlichen  Kette  zu  schliefsen,  und  eine  eben  so  grofse 
Kühnheit,  sich  die  Erkenntniss  der  Natur  dieser  Kette  als  Aufgabe  zu  stellen. 

Eine  glückliche  Induction,  bei  welcher  der  feine  und  ganz  neue  Gedanke 
eine  wesentliche  Rolle  spielte,  die  Transformation  und  die  Multiplication  aus 
einem  gemeinschaftlichen  Gesichtspuncte  und  letztere  als  einen  speciellen  Fall 
der  erstem  zu  betrachten,  leitete  Jacobi  auf  die  Vermuthung,  dass  rationale 
Functionen  jedes  Grades  geeignet  seien,  ein  elliptisches  Integral  in  ein  Integral 
derselben  Form  zu  verwandeln.  Diese  Vermuthung  bestätigte  sich  sogleich,  in- 
dem sich  ergab,  dass  die  Anzahl  der  willkürlichen  Coefficienten ,  über  welche 
man  für  jeden  Grad  zu  verfügen  hatte,  ausreichte,  um  allen  Bedingungen  zu  ge- 
nügen, welche  zu  erfüllen  waren,  wenn  das  transformirte  Integral  der  Form 
nach  mit  dem  ursprünglichen  übereinstimmen  sollte.  Aber  wenn  eine  so  ein- 
fache Betrachtungsweise  über  die  Möglichkeit  der  Sache  kaum  einen  Zweifel 
lassen  konnte ,  so  war  noch  ein  grofser  Schritt  zu  thun ,  um  die  innere  analyti- 


GEDÄCHTNISSREDE  AUF  JACOBI.  13 

sehe  Xatur  der  zur  Transformation  geeigneten  gebrochenen  Ausdrücke  zu  erken- 
nen. Von  welcher  Art  die  hierbei  zu  besiegenden  Schwierigkeiten  waren,  und 
durch  welche  geistreiche  Betrachtungen  J  a  c  o  b  i  diese  überwand,  kann  hier  nicht 
ausgeführt  werden ,  eben  so  wenig  als  es  mir  gestattet  ist  alle  wichtigen  Folge- 
rungen aufzuzählen ,  die  sich  aus  dem  vollständig  gelösten  Probleme  ergaben. 
Ich  erwähne  nur  des  merkwürdigen  Ergebnisses  dieser  Untersuchung,  dass  die 
Multiplication  immer  aus  zwei  Transformationen  zusammengesetzt  werden  kann. 

Indem  Abel  und  Jacobi  so  die  Theorie  gleichzeitig  in  zwei  verschiede- 
nen Richtungen  vervollkommneten,  schien  es,  als  habe  das  Schicksal  die  Ehre 
des  zu  vollbringenden  Fortschrittes  gleichmäfsig  unter  die  jungen  Wettkämpfer 
vertheilen  wollen ,  denn  die  Art  Avie  bald  darauf  einer  die  Erfindung  des  andern 
weiter  führte,  liefs  keinen  Zweifel,  dass  jeder  von  ihnen,  wäre  ihm  der  andere 
nicht  in  einem  Theile  der  Arbeit  zuvorgekommen ,  den  ganzen  Fortschritt  allein 
vollbracht  haben  würde. 

Jacobi  war  in  seinen  Untersuchungen  von  der  Annahme  ausgegangen, 
dass  bei  der  Transformation  die  ursprüngliche  Variable  rational  durch  die  neue 
ausgedrückt  sei.  Abel  behandelte  das  Problem  in  der  weiteren  Voraussetzung, 
dass  zwischen  beiden  irgend  eine  algebraische  Gleichung  Statt  finde,  und  ge- 
langte zu  dem  Resultate ,  dass  das  so  verallgemeinerte  Problem  immer  auf  den 
Fall  zurückgeführt  werden  kann,  den  Jacobi  so  vollständig  behandelt  hatte. 

Nicht  minder  erfolgreich  griff  Jacobi  in  die  von  Abel  gegebene  Theorie 
der  allgemeinen  Theilung  ein.  Die  Art,  wie  Abel  das  Problem  gelöst  hatte, 
zeigte  zwar,  dass  die  Wurzeln  immer  algebraisch  ausdrückbar  sind,  erforderte 
aber  zur  wirklichen  Darstellung  derselben  die  Bildung  von  gewissen  symmetri- 
schen Wurzelverbindungen,  die  nur  in  jedem  besondern  Falle  bewerkstelligt  wer- 
den konnte.  Aus  einem  neuen  Principe,  welches  bald  näher  zu  erwähnen  sein 
wird,  leitete  Jacobi  die  schliefslichen,  für  jeden  Grad  geltenden  und  unmittel- 
bar aus  den  Daten  des  Problems  gebildeten  Ausdrücke  der  Wurzeln  ab ,  welche 
Ausdrücke  überdies  vor  den  Ab  eischen  eine  gröfsere  Einfachheit  ihrer  Form 
voraus  haben.  Als  Jacobi  das  Resultat  dieser  Arbeit  in  einer  kurzen  Notiz  be- 
kannt machte ,  hoffte  er  Abel  durch  die  Vervollkommnung  der  Lösung  des  Thei- 
lungsproblems  in  Verwunderung  zu  setzen,  aber  diese  Hoft'nung  blieb  unerfüllt.  — 
Abel  war  eben  gestorben,  kaum  27  Jahre  alt,  weniger  als  zwei  Jahre  nach  der 
Bekanntmachung  seiner  ersten  Arbeiten  über  die  elliptischen  Functionen.     Ein 


14  GEDÄCHTNISSKEDE  AUF  JACOBI. 

SO  frühes  Ziel  hatte  der  Tod  der  glänzenden  Laufbahn  dieses  tiefsinnigen  und 
umfassenden  Geistes  gesetzt. 

Jacobis  weitere  Untersuchungen  über  die  elliptischen  Transcendenten, 
wie  auch  die  zuletzt  erwähnte,  sind  aus  einem  Gedanken  hervorgegangen,  dem 
man  wegen  der  Folgen,  die  er  gehabt,  vielleicht  die  erste  Stelle  unter  seinen 
Conceptionen  einräumen  muss.  Es  war  dies  der  Gedanke,  die  unendlichen  Pro- 
ducte,  durch  deren  Quotienten  Abel  die  elliptischen  Functionen  ausgedrückt 
hatte,  als  selbständige  Transcendenten  in  die  Analysis  einzuführen.  Als  es  ihm 
gelungen  war  diese  Froducte ,  die  übrigens  alle  von  derselben  Natur  und  als  be- 
sondere Fälle  einer  Transcendente  anzusehen  sind,  in  Reihenform  darzustellen, 
erkannte  er  eine  Function,  welche  sich  französischen  Mathematikern  schon  in 
Untersuchungen  der  mathematischen  Physik  dargeboten  hatte ,  wo  sie  aber  wenig 
beachtet  und  nur  eine  ihrer  Eigenschaften  bemerkt  worden  war.  Jacobi  unter- 
warf sie  einer  tief  eindringenden  Untersuchung ,  erforschte  ihre  analytische  Na- 
tur und  führte  sie  dann  in  die  Theorie  der  Integrale  der  2ten  und  3ten  Gattung 
ein,  was  nicht  nur  die  Erkenntniss  des  inneren  Zusammenhanges  schon  bekann- 
ter ,  isolirt  stehender  Eigenschaften  dieser  Integrale ,  sondern  auch  die  wichtige 
Entdeckung  zur  Folge  hatte,  dass  die  Integrale  der  3ten  Gattung,  welche  von 
drei  Elementen  abhangen,  vermittelst  der  neuen  Transcendente,  w^elche  deren 
nur  zwei  enthält,  ausgedrückt  werden  können. 

Bei  der  spätem  Darstellung  der  ganzen  Theorie ,  wie  Jacobi  sie  in  seinen 
Vorlesungen  zu  geben  pflegte,  bildet  die  Betrachtung  der  erwähnten  Function 
den  Ausgangspunkt.  Die  ganze  Lehre  gewinnt  dadurch  nicht  nur  einen  überra- 
schenden Grad  von  Einfachheit  und  Durchsichtigkeit,  sondern  dieser  umgekehrte 
Gang  ist  auch  dadurch  bemerkenswerth,  dass  er  für  andere  später  zu  erwähnende 
Untersuchungen  das  Vorbild  geworden  ist. 

Bedenkt  man,  dass  die  neue  Function  jetzt  das  ganze  Gebiet  der  ellipti- 
schen Transcendenten  beherrscht,  dass  Jacobi  aus  ihren  Eigenschaften  wichtige 
Theoreme  der  höheren  Arithmetik  abgeleitet  hat,  und  dass  sie  eine  wesentliche 
Holle  in  vielen  Anwendungen  spielt,  von  welchen  hier  nur  die  vermittelst  dieser 
Transcendente  gegebene  Darstellung  der  Rotationsbewegung  erwähnt  werden 
mag ,  welche  eine  von  Jacobis  letzten  und  schönsten  Arbeiten  ist ,  so  wird  man 
dieser  Function  die  nächste  Stelle  nach  den  längst  in  die  Wissenschaft  aufgenom- 
menen Elementartranscendenten  einräumen  müssen.    Auffallender  Weise  hat  eine 


.GEDÄCHTNISSREDE  AUF  JACOBI.  15 

SO  wichtige  Function  noch  keinen  andern  Namen,  als  den  der  Transcendentc  0. 
nach  der  zufalligen  Bezeichnung ,  mit  der  sie  zuerst  bei  J  a  c  o  b  i  erscheint .  und 
die  Mathematiker  würden  nur  eine  Pflicht  der  Dankbarkeit  erfüllen,  wenn  sie 
sich  vereinigten  ihr  Jacobis  Namen  beizulegen,  um  das  Andenken  des  Man- 
nes zu  ehren,  zu  dessen  schönsten  Entdeckungen  es  gehört,  die  innere  Natur 
und  hohe  Bedeutung  dieser  Transcendente  zuerst  erkannt  zu  haben. 

Abels  oben  erwähnte  Arbeiten  sind  nicht  die  einzige  Leistung  ersten  Ran- 
ges dieses  hervorragenden  Mathematikers,  sie  sind  nicht  einmal  die  bedeutendste 
seiner  Leistungen.  Seine  gröfste  Entdeckung  hat  er  in  einem  Satze  niedero-e- 
legt,  welcher  seinen  Namen  führt,  und  ganz  das  Gepräge  seines  aufserordentli- 
chen  Geistes  trägt,  dessen  charakteristische  Eigenschaft  es  war.  die  Fraisen  der 
Wissenschaft  in  der  umfassendsten  Allgemeinheit  zu  behandeln. 

Das  schon  oben  bezeichnete  E  u  1  e  r  sehe  Theorem  —  ich  rede  hier  von  dem- 
selben als  Princi]! ,  nicht  von  den  daraus  gezogenen  Folgerungen ,  die  sich  täg- 
lich weiter  erstreckten  —  bildete  damals  auf  dem  Gebiete ,  dem  es  angehört,  die 
Grenze  der  Wissenschaft,  über  welche  hinauszugehen  Euler  selbst,  Lasranffe 
und  andere  Vorgänger  Abels  sich  vergebens  bemüht  hatten.  Welche  Be- 
wunderung musste  daher  eine  Entdeckung  her^^orrufen ,  welche,  die  Inte- 
grale aller  algebraischen  Functionen  umfassend,  die  Grundeigenschaft  derselben 
enthüllte. 

Legend  re  nennt  das  Abel  sehe  Theorem  ein  monumentum  aere  pereyinius^ 
und  Jacob i  bezeichnet  denselben  Satz.  )Avie  er  in  einfacher  Gestalt  und  ohne 
Apparat  von  Calcul  den  tiefsten  und  umfassendsten  mathematischen  Gedanken 
ausspreche,  als  die  gröfste  mathematische  Entdeckung  unserer  Zeit,  obgleich 
erst  eine  künftige ,  vielleicht  späte ,  grofse  Arbeit  ihre  ganze  Bedeutung  aufwei- 
sen könne." 

Diese  Arbeit  hat  bereits  begonnen  und  Jacobi  selbst  hat  daran  den  we- 
sentlichsten Antheil  gehabt. 

Der  nahe  liegende  Versuch,  die  umgekehrten  Functionen  der  A heischen 
Integrale  auf  dieselbe  Weise ,  wie  es  bei  den  elliptischen  mit  so  grofsem  Erfolge 
geschehen  war,  in  die  Analysis  einzuführen,  erwies  sich  bald  als  unausführbar 
und  verwickelte  in  unauflöslichen  Widerspruch,  denn  Jacobi  erkannte  sogleich, 
dass  diese  umgekehrten  Functionen  vier-  oder  mehrfach  periodisch  sein  müssten, 
während  doch  eine  analytische  Function,  wenn  sie  wie  die  elliptischen  und  Kreis- 


16  GEDÄCHTNISSREDE  AUF  JACOBI. 

fuiictionen  einwerthig,  und  wo  sie  nicht  unendlich  wird,  stetig  sein  soll,  nur 
zwei  Perioden  zulässt.  Es  bedurfte  also  hier  eines  neuen  verborgenen  Gedan- 
kens ,  wenn  das  Abel  sehe  Theorem  nicht  unfruchtbar  bleiben ,  wenn  es  die  Ba- 
sis einer  grofsen  analytischen  Theorie  werden  sollte. 

Nachdem  J  a  c  o  b  i  mehrere  Jahre  hindurch  den  Gegenstand  nach  allen  Sei- 
ten erwogen  hatte,  fand  er  endlich  die  Lösung  des  Räthsels  darin,  dass  hier 
gleichzeitig  vier  oder  mehr  Integrale  zu  betrachten,  und  aus  ihnen  durch  Um- 
kehrung zwei  oder  mehr  Functionen  von  eben  so  vielen  Argumenten  zu  bilden 
sind.  Diese  Divination  machte  er  in  einer  Abhandlung  von  10  Seiten  bekannt, 
der  zwei  Jahre  später  eine  umfangreichere  folgte,  in  welcher  die  analytische  Na- 
tur dieser  umgekehrten  Functionen  im  hellsten  Lichte  erschien. 

Gehört  auch  die  später  gefundene  Darstellung  dieser  Functionen  nicht  J  a- 
cobi,  sondern  zwei  Jüngern  Mathematikern  von  ungewöhnlichem  Talente,  so 
muss  ich  doch  auch  dieses  wichtigen  Fortschrittes  hier  in  so  fern  erwähnen,  als 
Jacobis  Einfluss  unverkennbar  darin  hervortritt.  Goepel  und  Rosenhain 
haben  beide,  Jacobis  oben  erwähnte  zweite  Behandlung  der  Theorie  der  el- 
liptischen Functionen  zum  Vorbilde  nehmend,  ihren  schönen  Arbeiten  die  Be- 
trachtung von  unendlichen  Reihen  zu  Grunde  gelegt,  deren  Bildungsgesetz  all- 
gemeiner aber  von  derselben  Art  wie  das  der  Reihe  ist ,  durch  welche  die  J  a- 
cobische  Function  ausgedrückt  wird. 

Obgleich  ich  mich  bei  der  eben  gegebenen  Darstellung  von  Jacobis  Ent- 
deckungen im  Gebiete  der  elliptischen  und  Ab  eischen  Transcendenten  auf  das 
Wesentlichste  beschränkt  habe ,  so  ist  dieselbe  dennoch  zu  einem  Umfange  an- 
gewachsen, der  mich  zwingt,  die  noch  zu  erwähnenden  Leistungen  Jacobis 
hier  in  eine  kurze  Übersicht  zusammenzufassen,  aus  welcher  ich  viele  Arbei- 
ten ,  welche  nur  einzelne  Fragen  betreffen  und  das  Detail  der  Wissenschaft  ver- 
vollkommnet haben,  ausschliefsen  muss. 

Schon  oben  ist  von  Jacobis  Untersuchungen  über  die  Kreistheilung  und 
die  Anwendungen  derselben  auf  die  höhere  Arithmetik  als  zu  seinen  frühesten 
Arbeiten  gehörend  die  Rede  gewesen.  Bei  diesen  Untersuchungen,  denen  er  die 
Form  zum  Grunde  legte,  welche  die  zuerst  von  Gaufs  gegebene  Auflösung  der 
zweigliedrigen  Gleichungen  später  durch  L  a  g  r  a  n  g  e  erhalten  hatte ,  traf  er  in 
einigen  Resultaten  mit  dem  grofsen  Mathematiker  Cauchy  zusammen,  der  zu 
derselben  Zeit  mit  ähnlichen  Forschungen  beschäftigt  war  und  dieses  Umstandes 


GEDÄCHTNISSREDE  AUF  JACOBI.  17 

erwähnte ,  als  er  während  J  a  c  o  b  i  s  ersten  Aufenthaltes  in  Paris  seine  Arbeiten 
im  Auszüge  veröffentlichte. 

Aus  einem  schönen  aus  der  Kreistheilung  abgeleiteten  Satze,  auf  den  auch 
Cauchy  gekommen  war,  und  nach  welchem  alle  Primzahlen,  die  bei  der  Divi- 
sion durch  eine  gegebene  Primzahl  oder  das  Merfache  derselben  die  Einheit  zum 
Keste  lassen,  auf  eine  bestimmte  Potenz  erhoben,  deren  Exponent  blofs  von  der 
letzteren  Primzahl  abhängt,  durch  die  sogenannte  quadratische  Hauptform  dar- 
gestellt werden,  welche  die  negativ  genommene  gegebene  Primzahl  zur  Deter- 
minante hat,  schöpfte  Jacob i  die  Vermuthung,  dass  jener  Exponent  mit  der 
Anzahl  der  von  einander  verschiedenen  quadratischen  Formen  übereinstimmen 
müsse,  welche  der  erwähnten  Determinante  entsprechen.  Da  sich  diese  Ver- 
muthung in  allen  numerischen  Beispielen  bestätigte,  so  trug  er  kein  Bedenken 
diese  Bemerkung  in  einer  kurzen  Xotiz  zu  veröffentlichen.  Ich  glaube  den 
bisher  unbekannt  gebliebenen  Ursprung  dieses  Resultats  nach  Jacobis  münd- 
licher Mittheilung  als  ein  merkwürdiges  Beisjuel  scharfsinniger  Induction  hier 
erwähnen  zu  müssen,  obgleich  der  strenge  Beweis  desselben  nicht  auf  die  Kreis- 
theilung gegründet  werden  zu  können,  sondern  wesentlich  verschiedene,  der  In- 
tegralrechnung und  der  Heihenlehre  entnommene  Principien  zu  erfordern  scheint, 
die  erst  später  in  die  Wissenschaft  eingeführt  worden  sind. 

Die  im  Jahi'e  1832  erschienene  zweite  Abhandlung  von  Gaufs  über  die 
biquadratischen  Reste,  die  durch  den  tiefsinnigen  Gedanken,  complexe  ganze 
Zahlen  in  der  höheren  Arithmetik  gerade  so  wie  reelle  zu  behandeln,  und  durch 
das  darin  aufgestellte  Reciprocitätsgesetz  Epoche  macht,  welches  in  der  Theorie 
der  biquadratischen  Reste  zwischen  zwei  complexen  Primzahlen  Statt  ffndet,  gab 
Jacobi  Veranlassung  seine  früheren  Untersuchungen  wieder  aufzunehmen,  und 
es  gelang  ihm  den  erwähnten  schönen  Satz  von  Gaufs  und  einen  ähnlichen,  wel- 
cher sich  auf  die  cubischen  Reste  bezieht,  mit  grofser  Einfachheit  aus  der  Kreis- 
theilung abzuleiten. 

Obgleich  Jacobi  die  eben  angeführten  Untersuchungen  und  andere  damit 
zusammenhängende,  die  ich  nicht  einmal  andeutungsweise  bezeichnen  kann,  in 
den  Jahren  1836 — 39  vollständig  niedergeschrieben  hat,  so  ist  er  doch  nie  dazu 
gekommen,  sie  durch  den  Druck  zu  veröffentlichen.  Seine  Zögerung  entsprang 
aus  dem  Wunsche  einigen  seiner  Resultate  eine  gröfsere  Ausdehnung  zu  geben, 
wozu  er,  von  so  vielen  andern  Arbeiten  in  Anspruch  genommen,  die  nöthige 
I.  3 


18  GEDÄCHTNISSREDE  AUF  JACOBI. 

Mufse  nicht  gefunden  hat.  Ein  Theil  seiner  Forschungen  und  namentlich  die 
schon  erwähnten  Beweise  der  Reciprocitätssätze  sind  jedoch  einigen  deutschen 
Mathematikern  durch  Nachschriften  der  Vorlesungen  bekannt  geworden,  welche 
er  im  Winter  1836 — 37  in  Königsberg  über  die  Kreistheilung  und  deren  Anwen- 
dung auf  die  Theorie  der  Zahlen  gehalten  hat. 

Eine  andere  höchst  ergiebige  Quelle  für  die  höhere  Arithmetik  hat 
Tacobi  in  der  Theorie  der  elliptischen  Functionen  entdeckt,  aus  welcher  er 
schöne  Sätze  über  die  Anzahl  der  Zerlegungen  einer  Zahl  in  2,  4,  6  und  8 
Quadrate,  so  wie  andere  über  solche  Zahlen  abgeleitet  hat,  welche  gleich- 
zeitig in  mehreren  quadratischen  Formen  enthalten  sind.  Diese  wichtigen 
Bereicherungen  der  Wissenschaft  sind  eine  Frucht  der  oben  erwähnten  Ein- 
führung der  Jac ob i sehen  Function  in  die  Theorie  der  elliptischen  Transcen- 
denten. 

J  a  c  o  b  i  hat  sich  wiederholt  mit  der  Reduction  und  Werthbestimmung  dop- 
pelter und  vielfacher  Integrale  beschäftigt.  Ich  erwähne  hier  besonders  der  ein- 
fachen Methode,  durch  welche  er  die  Bestimmung  der  Oberfläche  eines  ungleich- 
axigen  EUipsoides  auf  elliptische  Integrale  der  ersten  und  zweiten  Gattung  zu- 
rückführt, welche  Zurückführung  Legendre,  zu  dessen  schönsten  Leistungen 
sie  gehört,  nur  mit  Hülfe  sehr  verborgener  Eigenschaften  der  Integrale  der  drit- 
ten Gattung  gelungen  war.  In  einer  andern  hierher  gehörigen  Abhandlung  hat 
Jacobi  das  Euler  sehe  Additionstheorem  auf  doppelte  Integrale  ausgedehnt 
und  bald  darauf  bemerkt,  wie  auch  der  Abel  sehe  Satz  einer  ähnlichen  Erwei- 
terung fähig  sei. 

Von  Jacobis  Arbeiten  über  das  eben  genannte  Kapitel  der  Integralrech- 
nung ist  nur  ein  Theil  veröffentlicht  worden.  Eine  grofse  Abhandlung,  welche 
die  Attraction  der  Ellipsoide  zum  Gegenstande  hat,  obgleich  seit  langer  Zeit 
beinahe  vollendet,  ist  bisher  ungedruckt  geblieben  und  nur  durch  einige  gele- 
gentliche Notizen  bekannt  geworden.  Als  er  sich  mit  dem  erwähnten  Problem 
beschäftigte,  kam  er  auch  auf  den  schönen  von  Poisson  um  dieselbe  Zeit  ge- 
fundenen Satz,  nach  welchem  die  Anziehung,  welche  eine  unendlich  dünne, 
von  zwei  concentrischen ,  ähnlichen  und  ähnlich  liegenden  ellipsoidischen  Flä- 
chen begrenzte  Schale  auf  einen  Punkt  im  äusseren  Räume  ausübt,  ohne  Inte- 
gralzeichen dargestellt  werden  kann.  Jacobi  hat  dieses  Umstandes  nie  öffent- 
lich Erwähnung  gethan,  obgleich  er  sich  dabei  auf  das  Zeugniss  mehrerer  Ma- 


GEDÄCHTNISSREDE  AUF  JACOBI.  19 

thematiker  hätte  berufen  können,  denen  er  den  Satz  mitgetheilt  hatte,  ehe  die 
erste  Anzeige  der  Poisson sehen  Abhandlung  erschienen  war. 

Mit  den  eben  besprochenen  Untersuchungen  hängt  eine  andere  Arbeit  Ja- 
cobis  zusammen,  die  wegen  ihres  überraschenden  Resultates  hier  nicht  uner- 
wähnt bleiben  darf.  Maclaurin  hat  bekanntlich  zuerst  gezeigt,  dass  eine  ho- 
mogene flüssige  Masse  mit  Beibehaltung  ihrer  äufsern  Gestalt  sich  gleichförmig 
um  eine  feste  Axe  drehen  kann ,  wenn  diese  Gestalt  die  eines  Rotationsellipsoi- 
des  ist,  und  dieses  schöne  Resultat  ist  später  von  d'Alembert  und  Laplace 
durch  den  Nachweis  vervollständigt  worden,  dass  jedem  Werthe  der  Winkelge- 
schwindigkeit, wenn  dieser  unter  einer  gewissen  Grenze  liegt,  zwei  und  nur 
zwei  solche  Ellipsoide  entsprechen.  Lagrange  scheint  zuerst  an  die  Möglich- 
keit gedacht  zu  haben ,  dass  auch  ein  ungleichaxiges  Ellipsoid  den  Bedingungen 
der  Permanenz  genügen  könne ;  wenigstens  geht  dieser  grofse  Mathematiker  in 
seiner  analytischen  Mechanik  bei  Behandlung  dieser  Frage  von  Formeln  aus, 
welche  für  ein  beliebiges  Ellipsoid  gelten.  Indem  er  aber  so  zu  zwei  zu  erfül- 
lenden Gleichungen  gelangt,  in  welchen  die  beiden  Äquatorialaxen  auf  eine 
symmetrische  Weise  enthalten  sind,  zieht  er  aus  dieser  Symmetrie  den  Schluss, 
dass  jene  Axen  gleich  sein  müssen,  während  doch  nur  daraus  folgt,  dass  sie 
gleich  sein  können,  wo  dann  beide  Gleichungen  in  eine  und  mit  der  von  Mac- 
laurin zuerst  aufgestellten  und  von  d'Alembert  und  Laplace  discutirten  zu- 
sammenfallen. 

Der  Verfasser  eines  bekannten  Lehrbuchs ,  der  in  der  Darstellung  dieses 
Gegenstandes  Lagrange  gefolgt  ist  und  den  eben  erwähnten  übereilten  Schluss 
mit  dem  Worte  »nothwendig«  begleitet ,  erregte  zuerst  J  a  c  o  b  i  s  Verdacht ,  wel- 
cher bei  genauerer  Betrachtung  jener  zwei  Gleichungen  zu  seiner  und  gewiss  al- 
ler Mathematiker  grofsen  Überraschung  bald  fand,  dass  auch  ein  ungleichaxi- 
ges Ellipsoid  den  Bedingungen  des  Gleichgewichts  genügen  kann. 

Der  Veranlassung,  welche  Jacob i  in  seinen  LTntersuchungen  über  die 
Attraction  der  Ellipsoide  fand,  sich  mit  den  Flächen  zweiten  Grades  zu  beschäf- 
tigen, verdankt  man  die  Kenntniss  mehrerer  interessanter  Eigenschaften  und 
einer  höchst  eleganten  Erzeugungsweise  dieser  Flächen.  Die  mir  gestellten  Gren- 
zen zwingen  mich,  mich  auf  diese  Andeutung  zu  beschränken  und  Jacob is 
übrige  der  Geometrie  gewidmeten  Arbeiten  nur  dem  Gegenstand  nach  zu  be- 
zeichnen.    Ich  nenne  daher  nur  die  Abhandlung  über  ein  Problem  der  Elemen- 


20  GEDÄCHTNISSREDE  AUF  JACOBI. 

targeometrie ,  welche  vor  ihm  nur  in  speciellen  Fällen  behandelt  worden  war, 
lind  dessen  vollständige  Lösung  er  aus  der  Theorie  der  elliptischen  Transcenden- 
ten  ableitet,  seine  Untersuchungen  über  die  Anzahl  der  Doppeltangenten  alge- 
braischer C'urven  und  einige  kleinere  Aufsätze,  in  welchen  er  Sätze  über  die 
Krümmung  der  Flächen  und  kürzeste  Linien  mit  grofser  Einfachheit  auf  rein 
synthetischem  Wege  beweist. 

Zu  Jacobis  wichtigsten  Untersuchungen  gehören  diejenigen  über  die 
analytische  Mechanik.  Hamilton  hatte  die  interessante  Entdeckung  gemacht, 
dass  die  Litegration  der  Differentialgleichungen  der  Mechanik  sich  immer  auf 
die  Lösung  von  zwei  simultanen  partiellen  Differentialgleichungen  zurückführen 
lässt,  aber  diese  Entdeckung  war,  wie  merkwürdig  sie  auch  erscheinen  musste, 
völlig  unfruchtbar  geblieben,  bis  Jacobi  sie  von  einer  unnöthigen  Complica- 
tion  befreite ,  indem  er  zeigte ,  dass  die  zu  findende  Lösung  nur  einer  der  beiden 
partiellen  Differentialgleichungen  zu  genügen  braucht.  Lidem  er  vermittelst 
der  so  vereinfachten  Theorie ,  um  nur  eine  der  zahlreichen  Anwendungen  anzu- 
führen ,  das  noch  ungelöste  Problem  behandelte ,  die  geodätische  Linie  auf  dem 
ungleichaxigen  Ellipsoid  zu  bestimmen,  gelang  es  ihm,  mit  Hülfe  eines  analy- 
tischen Instruments ,  welches  sich  schon  früher  in  seinen  Händen  als  sehr  wirk- 
sam gezeigt  hatte  und  jetzt  unter  dem  Namen  der  elliptischen  Coordinaten  allge- 
mein bekannt  ist,  die  partielle  Differentialgleichung  zu  integriren  und  so  die 
Gleichung  der  geodätischen  Linie  in  Form  einer  Relation  zwischen  zwei  A  b  e  1- 
schen  Integralen  darzustellen.  Diese  Jacobi  sehe  Entdeckung  ist  die  Grundlage 
eines  der  schönsten  Kapitel  der  höheren  Geometrie  geworden ,  welches  deutsche, 
französische  und  englische  Mathematiker  wetteifernd  ausgebildet  haben. 

Durch  den  oben  erwähnten  Zusammenhang  zwischen  einem  Systeme  von 
gewöhnlichen  Differentialgleichungen  und  einer  partiellen  Differentialgleichung 
wurde  er,  die  Sache  in  umgekehrter  Ordnung  betrachtend,  zur  Theorie  der  j^ar- 
tiellen  Differentialgleichungen  zurückgeführt,  mit  welcher  er  sich  schon  in  ei- 
ner seiner  frühesten  Abhandlungen  über  die  Pf  äff  sehe  Methode  beschäftigt 
hatte,  und  gelangte  jetzt  zu  dem  Resultate,  dass  von  der  ganzen  Reihe  von  Sy- 
stemen, deren  successive  Integration  Pf  äff  fordert,  die  Behandlung  des  ersten 
alle  übrigen  übei-fiüssig  macht,  dass  also  schon  der  erste  Schritt  der  früheren 
IVtethode  vollständig  zum  Ziele  führt. 

Einen  ähnlichen  Charakter  hat  die  Vervollkommnung ,  welche  die  Varia- 


GEDÄCHTNISSREDE  AUF  JACOBI.  21 

tionsrechnung  Jacobi  verdcinkt.  Während  zur  Existenz  eines  Maximums  oder 
Minimums  das  Verschwinden  der  ersten  Variation  noth wendig  ist,  so  ist  diese 
Bedingung  allein  nicht  ausreichend  und  erst  die  Beschaffenheit  der  zweiten 
Variation  entscheidet,  ob  ein  Maximum  oder  ein  Minimum  oder  keines  von  bei- 
den stattfindet.  Zufolge  der  Theorie ,  wie  sie  Jacobi  vorfand ,  waren  nach  den 
Integrationen ,  die  durch  das  Verschwinden  der  ersten  Variation  gefordert  wer- 
den ,  neue  Integrationen  zu  leisten ,  um  die  zweite  Variation  zu  discutiren :  J  a- 
cobi  zeigte,  dass  die  ersteren  die  letzteren  involviren,  so  dass  also  auch  hier 
die  vollständige  Lösung  der  Aufgabe  bereits  mit  der  Vollendung  des  ersten  Schrit- 
tes gegeben  ist. 

Wenn  es  die  immer  mehr  hervortretende  Tendenz  der  neueren  Analysis 
ist  Gedanken  an  die  Stelle  der  Rechnung  zu  setzen,  so  giebt  es  doch  gewisse 
Gebiete,  in  denen  die  Rechnung  ihr  Recht  behält.  Jacobi,  der  jene  Tendenz 
so  wesentlich  gefördert  hat,  leistete  vermöge  seiner  Meisterschaft  in  der  Technik 
auch  in  diesen  Gebieten  Bewundernswürdiges.  Dahin  gehören  seine  Abhandlun- 
gen über  die  Transformation  homogener  Functionen  des  zweiten  Grades,  über 
Elimination,  über  die  simultanen  AVerthe,  welche  einer  Anzahl  von  algebrai- 
schen Gleichungen  genügen,  über  die  Umkehrung  der  Reihen  und  über  die 
Theorie  der  Determinanten.  In  dem  letztgenannten  Kapitel  verdankt  man  ihm 
eine  ausgebildete  Theorie  der  von  ihm  mit  dem  Namen  der  Functional-Determi- 
nanten  bezeichneten  Ausdrücke.  Indem  er  die  Analogie  dieser  Ausdrücke  mit 
den  Differentialquotienten  weit  verfolgte,  gelangte  er  zu  einem  allgemeinen  Prin- 
cipe, welches  er  das  Princip  des  letzten  Multiplicators  nannte,  und  welches  bei 
fast  allen  in  den  Anwendungen  vorkommenden  Integrationsproblemen  die  letzte 
Integration  zu  bewerkstelligen  das  Mittel  giebt,  indem  es  den  dazu  erforderli- 
chen integrirenden  Factor  a  priori  angiebt. 

Der  Einfluss,  welchen  Jacobi  auf  die  Fortschritte  der  Wissenschaft  geübt 
hat,  würde  nur  unvollständig  hervortreten,  wenn  ich  nicht  seiner  Thätigkcit  als 
öffentlicher  Lehrer  Erwähnung  thäte.  Es  war  nicht  seine  Sache  Fertiges  und 
Überliefertes  von  neuem  zu  überliefern ;  seine  Vorlesungen  bewegten  sich  sämmt- 
lich  aufserhalb  des  Gebietes  der  Lehrbücher  und  umfassten  nur  diejenigen 
Theile  der  Wissenschaft,  in  denen  er  selbst  schaifend  aufgetreten  war,  und  das 
hiess  bei  ihm,  sie  boten  die  reichste  Fülle  der  Abwechselung,  Seine  Vorträge 
zeichneten  sich  nicht  durch  diejenige  Deutlichkeit  aus,  welche  auch  der  geisti- 


22  GEDÄCHTNISSREDE  AUF  JACOBI. 

gen  Armuth  oft  zu  Theil  wird,  sondern  durch  eine  Klarheit  höherer  Art.  Er 
suchte  vor  Allem  die  leitenden  Gedanken,  welche  jeder  Theorie  zu  Grunde  lie- 
gen, darzustellen,  und  indem  er  Alles,  was  den  Schein  der  Künstlichkeit  an  sich 
trug,  entfernte,  entwickelte  sich  die  Lösung  der  Probleme  so  naturgemäfs  vor  sei- 
nen Zuhörern,  dass  diese  Ähnliches  schaffen  zu  können  die  Hoffnung  fassen 
konnten.  AVie  er  die  schwierigsten  Gegenstände  zu  behandeln  wusste,  konnte 
er  seine  Zuhörer  mit  Recht  durch  die  Versicherung  ermuthigen,  dass  sie  in  sei- 
nen Vorlesungen  sich  nur  ganz  einfache  Gedanken  anzueignen  haben  würden. 

Der  Erfolg  einer  so  ungewöhnlichen  Lehrart,  wie  ich  sie  eben  geschildert 
habe,  und  wie  sie  nur  einem  schöpferischen  Geiste  zu  Gebote  steht,  war  wahr- 
haft aufserordentlich.  Wenn  jetzt  in  Deutschland  die  Kenntniss  der  Methoden 
der  Analysis  in  einem  Grade  verbreitet  ist  wie  zu  keiner  frühern  Zeit,  wenn 
zahlreiche  jüngere  Mathematiker  die  Wissenschaft  nach  allen  Richtungen  erwei- 
tem und  bereichern :  so  hat  J  a  c  o  b  i  an  einer  so  erfreulichen  Erscheinung  den 
wesentlichsten  Antheil.  Fast  alle  sind  seine  Schüler  gewesen,  selten  ist  ein  auf- 
keimendes Talent  seiner  Aufmerksamkeit  entgangen,  keinem,  sobald  er  es  er- 
kannt, hat  sein  fördernder  Rath,  seine  aufmunternde  Theilnahme  gefehlt. 

Ich  habe  mich  eben  bemüht,  Jacob  i  als  Erfinder  und  in  seiner  Wirksam- 
keit als  Lehrer  darzustellen.  Soll  ich  jetzt  den  Versuch  wagen,  ihn  zu  schil- 
dern, wie  er  aufserhalb  der  wissenschaftlichen  Sphäre  denen  erschien,  die  den 
mathematischen  Wissenschaften  fern  stehen,  so  muss  ich  es  als  den  Grundzug 
seines  Wesens  bezeichnen,  dass  er  ganz  in  der  Welt  der  Gedanken  lebte  und 
dass  in  ihm  Das,  wozu  es  bei  den  meisten,  selbst  bedeutenden  Menschen  eines 
besondern  Anlaufs  bedarf,  das  Denken,  zum  habituellen  Zustande  und  wie  zur 
zweiten  Natur  geworden  war.  Wenn  etwas  im  Leben  oder  in  der  Wissenschaft 
einmal  seine  Aufmerksamkeit  erregt  hatte ,  so  ruhte  er  nicht,  bis  er  es  zu  eignen 
Gedanken  verarbeitet  hatte ,  und  mit  dieser  ununterbrochenen  geistigen  Thätig- 
keit  war  in  ihm  ein  so  seltenes  Gedächtniss  vereinigt,  dass  er  Alles,  womit  er  sich 
einmal  beschäftigt  hatte ,  sich  sogleich  vergegenwärtigen  und  darüber  verfügen 
konnte. 

Der  unerschöpfliche  Vorrath  an  Wissen  und  eigenen  Gedanken,  welcher 
J a CO bi  jeden  Augenblick  zu  Gebote  stand,  eine  seltene  geistige  Beweglichkeit, 
durch  die  er  sich  jedem  Alter,  jeder  Fassungskraft  anzupassen  wusste,  und  eine 
cigenthümlich  humoristische,  die  Dinge   scharf  bezeichnende  Ausdrucksweise 


GEDÄCHTNISSREDE  AUF  JACOBI.  23 

verliehen  dem  grofsen  Mathematiker  auch  im  geselligen  Verkehr  eine  ungewöhn- 
liche Bedeutung,  die  noch  durch  die  Bereitwilligkeit  wissenschaftliche  Fragen 
aus  dem  Stegreif  zu  behandeln  erhöht  wurde.  Diese  Bereitwilligkeit  entsprang 
aus  dem  innersten  Wesen  seiner  Natur,  die  in  der  Überwindung  von  Schwierig- 
keiten ihre  eigentliche  Befriedigung  fand,  und  es  lag  daher  für  ihn  ein  ganz  be- 
sonderer Reiz  darin,  wissenschaftliche  Ergebnisse  durch  einfache  Betrachtungen 
selbst  solchen  verständlich  zu  machen,  denen  die  dazu  scheinbar  unentbehrlichen 
Vorkenntnisse  fehlten.  Nur  musste  er,  um  einen  solchen  Versuch  anzustellen, 
die  Überzeugung  haben,  dass  die,  mit  welchen  er  sich  unterhielt,  ein  wirkliches 
Interesse  an  der  Sache  nahmen.  Wo  er  hingegen  gedankenlose  Neugier  zu  be- 
merken glaubte  oder  entschiedene  Meinungen  mit  Selbstgefälligkeit  von  sol- 
chen aussprechen  hörte ,  die  sich  nie  die  harte  Arbeit  des  Selbstdenkens  zuge- 
muthet  hatten,  verliefs  ihn  die  Geduld,  und  er  machte  dann  gewöhnlich  der 
Unterhaltung  durch  eine  ironische,  nicht  selten  scharf  abweisende  Bemerkung 
ein  Ende.  Man  hat  ihm  oft  vorgeworfen,  dass  er  sich  bei  solchen  Anlässen  sei- 
ner geistigen  Kraft  zu  sehr  bewusst  gezeigt  habe.  Aber  die,  welche  ihn  so  be- 
urtheilten,  würden  vielleicht  ihre  Meinung  geändert  haben,  hätten  sie  den  Preis 
gekannt,  um  welchen  er  das  Recht  auf  ein  solches  Bewusstsein  erlangt  hatte.  Ein 
Brief  aus  dem  Jahr  1824,  aus  einer  Zeit  also,  zu  welcher  J a c o b i  noch  völlig 
unbekannt  war  und  daher  durchaus  kein  Interesse  haben  konnte  seine  geistigen 
Kämpfe  mit  übertriebenen  Farben  zu  schildern,  enthält  folgende  Stelle,  die  ich 
als  merkwürdigen  Beitrag  zur  Charakteristik  des  aufserordentlichen  Mannes  hier 
wörtlich  mittheile.  Jacobi  war  damals  eben  20  Jahre  alt  geworden  und  seit 
etwa  einem  Jahre  ausschliefslich  mit  mathematischen  Studien  beschäftigt. 

»Es  ist  eine  saure  Arbeit,  die  ich  gethan  habe,  und  eine  saure  Arbeit,  in  der 
ich  begriffen  bin.  Nicht  Fleifs  und  Gedächtniss  sind  es,  die  hier  zum  Ziele  füh- 
ren .  sie  sind  hier  die  untergeordnetsten  Diener  des  sich  bewegenden  reinen  Ge- 
dankens. Aber  hartnäckiges,  hirnzersprengendes  Nachdenken  erheischt  mehr 
Kraft  als  der  ausdauerndste  Fleifs.  Wenn  ich  daher  durch  stete  Übung  dieses 
Nachdenkens  einige  Kraft  darin  gewonnen  habe,  so  glaube  man  nicht,  es  sei 
mir  leicht  geworden,  durch  irgend  eine  glückliche  Naturgabe  etwa.  Saure,  saure 
Arbeit  hab'  ich  zu  bestehen ,  und  die  Angst  des  Nachdenkens  hat  oft  mächtig  an 
meiner  Gesundheit  gerüttelt.  Das  Bewusstsein  freilich  der  erlangten  Kraft  giebt 
den  schönsten  Lohn  der  Arbeit ,  so  wie  wiederum  die  Ermuthigung  fortzufaliren 


24  GEDÄCHTNISSREDE  AUF  JACOBI. 

und  nicht  zu  erschlaffen.  Gedankenlose  Menschen,  denen  jene  Arbeit  und  je- 
nes Bewusstsein  also  auch  ein  ganz  fremdes  ist,  suchen  diesen  Trost,  der  doch 
allein  machen  kann,  dass  man  auf  der  schwierigen  Bahn  den  Muth  nicht  sinken 
lässt.  dadurch  zu  verkümmern,  dass  sie  das  Bewusstsein  ein  eignes,  freies  zu 
sein  —  denn  nur  in  der  Bewegung  des  Gedankens  ist  der  Mensch  frei  und  bei 
sich  —  unter  dem  Namen  Eigendünkel  oder  Anmafsung  gehässig  machen.  Je- 
der, der  die  Idee  einer  Wissenschaft  in  sich  trägt,  kann  nicht  anders  als  die  Dinge 
darnach  abschätzen,  wie  sich  der  menschliche  Geist  in  ihnen  offenbart:  nach 
diesem  grofsen  Mafsstab  muss  ihm  daher  manches  als  geringfügig  vorkommen, 
was  den  andern  ziemlich  preiswürdig  erscheinen  kann.  So  hat  man  auch  mir 
oft  Anmafsung  vorgeworfen ,  oder,  wie  man  mich  am  schönsten  gelobt  hat ,  in- 
dem man  einen  Tadel  auszusprechen  meinte,  ich  sei  stolz  gegen  alles  Niedre 
und  nur  demüthig  gegen  das  Höhere.  Aber  jener  unendliche  Mafsstab,  den  man 
an  die  Welt  in  sich  und  aufser  sich  legt ,  hindert  vor  aller  Überschätzung  seiner 
selbst,  indem  man  immer  das  unendliche  Ziel  im  Auge  hat  und  seine  beschränkte 
Kraft.  In  jenem  Stolze  und  jener  Demuth  will  ich  immer  zu  beharren  streben, 
ja  immer  stolzer  und  immer  demüthiger  werden.« 

Dass  es  bei  Jacob i  keine  blofse  Phrase  war,  wenn  er  von  sich  sagt,  dass 
er  die  Dinge  danach  abschätze,  wie  sich  der  menschliche  Geist  in  ihnen  offenbare, 
und  dass  er  wirklich  Alles,  was  die  Welt  der  Gedanken  nicht  berührte,  wenn 
nicht  mit  Gleichgültigkeit,  doch  mit  Gleichmuth  behandelte,  hat  er  in  den 
schwierigsten  Lagen  seines  Lebens  gezeigt.  Am  bewunderungswürdigsten  offen- 
barte sich  dieser  wahrhaft  philosophische  Gleichmuth,  als  ihn  das  Unglück  traf 
sein  ganzes  von  seinem  Vater  ererbtes  Vermögen  zu  verlieren,  ein  Verlust,  der 
ihm  um  so  empfindlicher  hätte  sein  können,  als  er,  seit  zehn  Jahren  verheirathet, 
für  eine  zahlreiche  Familie  zu  sorgen  hatte.  Wer  ihn  damals  sah,  als  er  her- 
beigeeilt war,  um  seiner  von  ähnlichem  Verluste  betroffenen  Mutter  mit  Rath  und 
That  beizustehen ,  konnte  in  seiner  Stimmung  nicht  die  geringste  Veränderung 
wahrnehmen.  Er  sprach  mit  demselben  Interesse  wie  immer  von  wissenschaft- 
lichen Dingen  und  klagte  nur  darüber,  dass  die  unerwartete  Reise  ihn  aus  einer 
Untersuchung  gerissen  habe ,  die  ihn  gerade  lebhaft  beschäftigte. 

Wie  Jacobis  Gedankencultus  sich  in  der  Anerkennung  von  Abels  grofser 
Entdeckung  kund  gab,  habe  ich  schon  früher  erwähnt.  Einen  ähnlichen  Sinn 
zeigte  er  für  alles  geistig  Bedeutende,  und  auf  ihn  findet  der  Ausspruch  eines 


GEDÄCHTNISSREDE  AUF  JACOBI.  25 

alten  Schriftstellers  keine  Anwendung,  dass  die  Menschen  eigentlich  nur  das  be- 
wundern, was  sie  selbst  vollbringen  zu  können  glauben.  Seine  Anerkennung 
umfasste  das  ganze  geistige  Gebiet,  und  in  seiner  Wissenschaft  war  Jacobis 
Freude  über  eine  fremde  Erfindung  um  so  lebhafter,  je  mehr  sich  diese  durch 
ihr  Gepräge  von  seinen  eignen  Schöpfungen  unterschied.  Es  war  eine  ihm  na- 
türliche BeAvegung  in  solchem  Falle  den  Ausdruck  seines  Beifalls  durch  das  Ge- 
ständniss  zu  verstärken,  dass  er  diesen  Gedanken  nie  gehabt  haben  würde. 

Es  bleibt  mir  nun  noch  übrig  das ,  was  ich  oben  von  Jacobis  äufsern  Le- 
bensverhältnissen erwähnt  habe,  mit  wenigen  Worten  zu  vervollständigen. 

Als  er  seine  Untersuchungen  über  die  elliptischen  Functionen  bekannt  zu 
machen  anfing,  war  er  noch  Privatdocent ;  die  Bewunderung,  welche  seine  Ent- 
deckungen bei  allen  denen  erregten,  denen  in  solchen  Dingen  ein  Urtheil  zustand, 
hatte  die  Folge ,  dass  er  sogleich  zum  aufserordentlichen  und  bald  darauf  zum 
ordentlichen  Professor  befördert  wurde. 

Indem  ich  von  der  Aufnahme  rede,  welche  Abels  und  Jacobis  Ent- 
deckungen —  denn  beide  Namen  sind  hier  unzertrennlich  —  bei  allen  Fachge- 
nossen fanden ,  kann  ich  nicht  umhin  des  Mannes  namentlich  zu  erwähnen ,  der 
durch  seine  vieljährigen  Forschungen  ganz  besonders  berufen  war,  den  unerwar- 
teten Fortschritt  nach  seiner  ganzen  Bedeutung  zu  würdigen.  Legendre,  der 
seine  Zeitgenossen  so  oft  der  Theilnahmlosigkeit  angeklagt  und  noch  kurz  vor 
jener  Zeit  das  Bedauern  ausgesprochen  hatte ,  dass  seine  Lieblingswissenschaft, 
von  allen  andern  verlassen,  durch  ihn  allein  erst  nach  40jähi-iger  .Arbeit,  wie  er 
glaubte,  zum  Abschluss  gekommen  sei,  begrüfste  Abels  und  Jacobis  Ent- 
deckungen, welche  die  Theorie  weit  über  die  Grenzen  hinausführten,  die  ihm 
selbst  durch  die  Natur  des  Gegenstandes  gesetzt  schienen,  mit  so  warmer,  ja 
enthusiastischer  Anerkennung ,  dass  es  schwer  zu  sagen  ist ,  wen  eine  solche  An- 
erkennung mehr  ehrte,  die  jungen  Mathematiker,  welchen  sie  am  Eingange  ih- 
rer Laufbahn  zu  Theil  ward,  oder  den  edlen  Altmeister,  der,  fast  am  Ziele  ange- 
langt, sich  solcher  Gefühlswärme  fähig  zeigte. 

Eine  nicht  minder  ehrenvolle  Auszeichnung  war  es,  als  bald  darauf  die  Pa- 
riser Akademie ,  obgleich  sie  keine  Preisbewerbung  über  die  Theorie  der  ellip- 
tischen Functionen  eröffnet  hatte,  Abels  und  Jacobis  Arbeiten  als  der  wich- 
tigsten Entdeckung  der  Zeit  einen  ihrer  grofsen  mathematischen  Preise  zuer- 
kannte und  zwischen  Jacobi  und  Abels  Erben  theilte. 

I.  4 


26  GEDÄCHTNISSREDE  AUF  JACOBI. 

Ich  muss  mich  darauf  beschränken ,  hier  die  Beweise  der  Anerkennung  zu 
erwähnen,  welche  Jacobis  Eintritt  in  die  wissenschaftliche  Laufbahn  bezeich- 
neten ;  die  mir  gesteckten  Grenzen  gestatten  mir  nicht  alle  die  Auszeichnungen 
anzuführen,  die  ihm  auch  sjiäter  in  so  reichem  Mafse  zu  Theil  wurden,  und  de- 
ren Erwähnung  in  einer  ausführlichen  Biographie  nicht  fehlen  dürfte. 

Bald  nachdem  Jacob i  im  Jahre  1829  seine  Fundamenta  nova  theoriae 
functionum  ellipticarum ,  die  nur  einen  Theil  seiner  Untersuchungen  über  diesen 
Gegenstand  enthalten,  veröffentlicht  hatte,  machte  er  die  erste  gröfsere  Reise 
ins  Ausland,  schlug  den  AVeg  über  Göttingen  ein,  um  Gaufs  persönlich  ken- 
nen zu  lernen,  und  wandte  sich  dann  nach  Paris,  wo  er  mehrere  Monate  sich 
aufhielt,  und  wo  damals  ausser  Lege ndre,  mit  dem  er  seit  längerer  Zeit  in  na- 
her brieflicher  Verbindung  stand  und  für  den  er  immer  eine  grofse  Pietät  be- 
wahrt hat ,  noch  F  o  u  r  i  e  r ,  P  o  i  s  s  o  n  und  andere  hervorragende  Mathematiker, 
die  Jacobi  überlebt  haben,  vereinigt  waren. 

p]ine  zweite  Reise  ins  Ausland  unternahm  Jacobi,  der  seit  1831  mit  einer 
Frau  von  hervorragender  Geistesbildung  verheirathet  war,  erst  wieder  im  Jahre 
1842  in  Gesellschaft  seiner  Frau.  Die  Veranlassung  zu  dieser  Reise  war  für  ihn 
zu  ehrenvoll,  als  dass  ich  sie  unerwähnt  lassen  könnte.  Dem  erleuchteten  Staats- 
manne ,  welcher  damals  an  der  Spitze  der  Verwaltung  in  der  Provinz  Preufsen 
stand,  schien  es  im  Interesse  der  Wissenschaft  wünschenswerth ,  dass  Bessel 
und  Jacobi  einmal  der  schon  oft  an  sie  ergangenen  Auff"orderung  zur  Theil- 
nahme  an  der  jährlich  in  England  Statt  findenden  Gelehrtenversammlung  Folge 
leisteten ,  und  er  stellte  daher  bei  dem  Könige  den  Antrag  auf  Bewilligung  der 
Kosten  zu  einer  solchen  Reise,  welchem  Antrage  Se.  Majestät  mit  Königlicher 
Munificenz  zu  willfahren  geruhte. 

Bald  nach  seiner  Rückkehr  von  dieser  Reise  zeigten  sich  bei  Jacobi  die 
Symptome  einer  leider  unheilbaren  Krankheit.  Er  schwebte  längere  Zeit  in  der 
gröfsten  Gefahr,  und  als  diese  endlich  für  den  Augenblick  beseitigt  war,  erklär- 
ten seine  Arzte  zu  seiner  Kräftigung  einen  längeren  iVufenthalt  in  einem  südli- 
chen Klima  für  nothwendig.  Diese  ärztliche  Erklärung  setzte  Jacobi  in  nicht 
geringe  Verlegenheit,  aber  diese  Verlegenheit  war  nicht  von  langer  Dauer;  denn 
die  liage  der  Sache  war  nicht  sobald  durch  unsern  Collegen  Alexander  von 
Humboldt,  dessen  gewichtige  Vermittelung  nirgend  fehlt,  wo  es  die  Ehre  der 
Wissenschaft  und  das  Wohl  ihrer  Vertreter  gilt,  zur  Kenntnis«  Sr.  Majestät  des 


GEDÄCHTNISSKEDE  AUF  JACOEI.  27 

Königs  gelangt,  als  durch  einen  neuen  Act  Königlicher  Grorsmuth  eine  ansehn- 
liche Summe  zu  einer  Reise  nach  Italien  angewiesen  wurde. 

Das  milde  Klima  von  Koni,  wo  Jacobi  den  Winter  zubrachte,  wirkte  so 
wohlthätig  auf  ihn,  dass  die,  welche  ihn  dort  sahen,  weit  entfernt,  in  ihm  einen 
Reconvalescenten  /ai  erkennen,  über  sein-e  wahrhaft  aufserordentliche  Thätigkeit 
erstaunen  mussten.  Er  schrieb  nicht  nur  während  der  5  Monate  seines  dortigen 
iVufenthaltes  aufser  mehreren  kleinern  Aufsätzen,  welche  in  einer  wissenschaft- 
lichen Zeitschrift  in  Rom  selbst  erschienen,  eine  wichtige  sehr  umfangreiche 
für  das  Crellesche  Journal  bestimmte  Abhandlung,  sondern  unternahm  auch  die 
Vergleichung  der  im  Vatican  aufbewahrten  Handschriften  des  Diophantus, 
mit  welchem  er  sich  seit  längerer  Zeit  angelegentlich  beschäftigt  hatte. 

In  sein  Vaterland  zurückgekehrt,  wurde  er  von  Königsberg  nach  Berlin 
versetzt,  wo  das  wenigstens  relativ  mildere  Klima  seine  Gesundheit  weniger  zu 
bedrohen  schien.  Ohne  hier  der  Universität  anzugehören,  hatte  er  nur  die  Ver- 
pflichtung Vorlesungen  zu  halten,  so  w^eit  es  mit  der  Schonung,  deren  sein  Ge- 
sundheitszustand so  sehr  bedurfte,  verträglich  sein  würde.  Seine  schriftstelle- 
rische Thätigkeit  während  seines  hiesigen  Aufenthaltes  stand  gegen  die  der  be- 
sten Königsberger  Zeit  kaum  zurück,  wie  es  die  hier  in  etwa  6  Jahren  geschrie- 
benen Abhandlungen  bezeugen,  welche  2  starke  Quartbände  füllen. 

Zu  Anfang  des  Jahres  1851  hatte  er  einen  Anfall  der  Grippe  zu  bestehen; 
da  er  sich  jedoch  schnell  erholte  und  wieder  mit  grofsem  Eifer  zu  arbeiten  an- 
fing ,  so  durften  seine  Freunde  sich  der  Hoffnung  überlassen ,  dass  er  ihnen  und 
der  Wissenschaft  noch  lange  erhalten  bleiben  würde,  als  er  plötzlich  am  Uten 
Februar  von  neuem  erkrankte.  Sein  Zustand  erregte  sogleich  die  gröfsten  Be- 
sorgnisse, und  als  man  nach  einigen  Tagen  erkannte,  dass  er  von  den  Blattern 
ergriffen  sei,  die  auf  dem  durch  das  alte  Übel  unterwühlten  Boden  den  bösartig- 
sten Charakter  zeigten,  schwand  jede  Hoffnung.  Den  1  8ten  Februar  Abends 
1 1  Uhr ,  acht  Tage  nach  seiner  Erkrankung ,  erlag  er  ohne  Kampf. 

Jacobis  wissenschaftliche  Laufbahn  umfasst  gerade  ein  Viertcljahrhun- 
dert,  also  einen  weit  kürzern  Zeitraum  als  die  der  meisten  frühern  Mathemati- 
ker ersten  Ranges  und  kaum  die  Hälfte  der  Zeit,  über  welche  sich  Eulers  Wirk- 
samkeit erstreckt  hat,  mit  dem  er  wie  durch  Vielseitigkeit  und  Fruchtbarkeit  so 
auch  darin  die  gröfste  Ähnlichkeit  hat ,  dass  ihm  alle  Hülfsmittel  der  Wissen- 
schaft immer  gegenwärtig  waren  und  jeden  Augenblick  zu  Gebote  standen. 

4* 


28  GEDÄCHTNISSREDE  AUF  JACOBI. 

Der  Tod,  welcher  ihn  so  früh  und  so  plötzlich  im  Besitze  seiner  vollen 
Kraft  von  der  Arbeit  hinweggenommen,  hat  der  Wissensc;haft  die  grofsen  Be- 
reicherungen nicht  gegönnt,  die  sie  von  Jacob is  nie  ermüdender  Thätigkeit 
noch  erwarten  durfte.  Indem  ich  dies  ausspreche,  thue  ich  es  nicht  nur  in  der 
Voraussetzung,  dass  in  einem  solchen  Geiste  die  schöpferische  Kraft  nur  mit  der 
physischen  zugleich  erlöschen  konnte ,  ich  habe  auch  eine  Reihe  von  fast  vollen- 
deten Arbeiten  vor  Augen ,  an  die  er  selbst  in  kurzer  Zeit  —  vielleicht  während 
des  Drucks,  wie  er  es  in  der  letzten  Zeit  so  gern  that  —  die  letzte  Hand  hätte 
legen  können,  und  die  jetzt  durch  seine  Freunde  als  Bruchstücke,  in  unvollkom- 
mener Form  ans  Licht  treten  müssen.  Noch  während  seiner  Krankheit,  kaum 
vier  Tage  vor  seinem  Tode,  beklagte  er  das  Missgeschick,  welches  über  vielen 
seiner  gröfsern  Arbeiten  gewaltet  habe ,  die  Krankheit  oder  häusliches  Unglück 
unterbrochen  habe.  Wenn  ich  dann,  setzte  er  wehmüthig  hinzu,  später  an  die 
Arbeit  zurückkehrte,  habe  ich  lieber  etwas  Neues  anfangen  als  Untersuchungen 
wieder  aufnehmen  wollen,  die  so  traurige  Erinnerungen  in  mir  erweckten.  Aber 
ich  sehe  ein,  dass  ich  nicht  länger  zögern  darf,  jene  altern  Arbeiten,  denen  ich 
einen  so  grofsen  Theil  meiner  besten  Kraft  gewidmet  habe,  der  Öffentlichkeit  zu 
übergeben,  wenn  sie  noch  erfolgreich  in  den  Gang  der  Wissenschaft  eingreifen 
sollen.  Glücklicher  Weise  bedarf  es  dazu  nur  noch  sehr  kurzer  Zeit,  die  mir 
ja  hoffentlich  nicht  fehlen  wird. 


EXTRAITS  DE  DEÜX  LETTRES 


DE 


M.  JACOBI 

DE  L'ÜNIVERSITE  DE  KÖNIGSBERG 

A 

M.  SCHUMACHER. 


Schumacher  Astronomische  Nachrichten,  Band 6.  Nr.  123.  September  1827. 


EXTRAITS  DE  DEUX  LETTRES 

DE  M.  JACOBI  DE  L'UNIVERSITE   DE  KÖNIGSBERG 

Ä  M.  SCHUMACHER. 


Königsberg,   13  Juin  1827. 

—  Veuillez  bien ,  Monsieur ,  inserer  dans  votre  Journal  les  notices  sur  les 
transcendantes  elliptiques ,  que  j'ai  l'honneur  de  yous  adresser.  C'est  que  je  me 
Hatte  d'avoir  fait  quelques  decouvertes  assez  interessantes  dans  cette  theorie,  dont 
je  vais  soumettre  l'expose  au  jugement  des  geometres. 

Les  integrales  de  la  forme     /  -7======    appartiennent  d' apres  la  diver- 

^  J  \jl  —  ccsin^cp      ^^  ^ 

site  du  module  c  ä  des  transcendantes  diverses.  On  ne  connait  qu'un  seul  Sy- 
steme de  modules  qu'on  peut  reduire  Tun  ä  Tautre,  et  M.  Legendre  dans  ses 
Exercices  *)  dit  meme  qu'il  n'y  avait  que  ce  seul.  Mais  en  effet  il  y  a  autant  de 
ces  systemes  qu'il  y  a  de  nombres  premiers,  c'est-ä-dire  il  y  a  un  nombre  inlini 
de  ces  systemes  independants  Tun  de  l'autre ,  dont  chacun  repond  ä  un  nombre 
premier,  et  dont  le  Systeme  connu  repond  au  nombre  premier  2. 

Si  nous  designons  par  n  un  nombre  premier  quelconque,  je  pose 

sincp  =  ^ 

XJ  contenant  toutes  les  puissances  impaires  de  sin({>  jusqu'a  la  wi^^e,  et  V  les 
puissances  paires  jusqu'a  la  [n —  i)ieme^  et  je  montre,  comment  on  peut  determiner 
les  coefficients  de  la  Substitution,  pour  qu'on  obtienne 

J  v/l  — ccsin^o  J  Sll—Tihmn^'b 

Or   chacune  de  ces  substitutions  doime   un  nouveau  Systeme  de  modules.      La 

*)  M.  Jacobi  n'a  pas  vu  le  Traite  des  Fonctions  elliptiques.   (note  de  Schumacher). 


32  EXTRAITS  DE  DEÜX  LETTKES 

meme  chose  a  Heu ,  si  n  n'est  pas  un  nombre  premier ,  mais  on  peut  partager 
alors  la  Substitution  en  plusieurs  autres ,  d'apres  le  nombre  des  facteurs  de  ?? ,  et 
quoiqu'on  n'obtienne  pas  ainsi  un  nouveau  Systeme ,  on  obtiendra  une  combinai- 
son  de  systemes  qui  repondent  aux  facteurs  de  n. 

Apres  avoir  fait  la  premiere  Substitution,  j'exprime  sin(j>  par^sinO,  d'une 
maniere  presque  analogue  ä  celle  qui  donne  sincp  exprime  par  sincj^,  et  de 
Sorte  qu'on  ait 


J  yi — ccsin^'f  J  \l  —  Cd 


Ainsi  la  Substitution  qui  sert  a  donner  le  w-tuple  de  la  transcendante  peut  se 
diviser  en  deux  plus  simples.  Cette  Substitution  donne  pour  sin  cp  une  fraction, 
dont  le  numerateur  contient  les  puissances  impaires  de  sinö  jusqu'ä  la  n9i^^^^, 
et  le  denominateur  les  paires  jusqu'ä  la  (^^^^  — l)ieme.  Elle  peut  donc  toujours 
etre  divisee  en  deux  substitutions  successives,  dans  chacune  desquelles  le  nume- 
rateur ne  monte  que  jusqu'ä  la  tp^^^,  et  le  denominateur  jusqu'ä  la  [n  —  i)ieme 
puissance,  et  chacune  de  ces  substitutions  intermediaires  donne  un  nouveau  Sy- 
steme de  modules  reductibles  Tun  ä  l'autre. 

J'ajoute  deux  exemples  qui  repondent  aux  nombres  premiers  3  et  5 ,  et 
qu'on  peut  verifier  immediatement.  Pour  eviter  l'embarras  des  radicaux  je  don- 
nerai  une  expression  rationnelle  des  deux  modules  par  d'autres  quantites. 


A)  En  posant 


smcp  = 


Theoreme   I. 

sin^|;[ac-|- f  — ^ — )  sin^^j^] 
cc-\-— ^  am^ 


on  obtient 


d(f d^ 

B)  En  posant  de  nouveau 

sine[-3«c4-('^i^)'sin2e] 


smt]; 


„  a  —  c  a-\-Sc  .  „^ 
aa  —  Z  — r —  sm^'Ö 


DE  JACOBI   A  SCHUMACHER,  33 

et 


a  —  c  /'a-j-ScV^ 


on  aura 

V/l— xsin^p         \/l— xsin^ 

De  X  on  tire  —   par  une  equation  biquaclratique ;  sintl^  derive  de  sin  8  par 

c 

une  equation  cubique ,  sin  cp  de  sin  cp  de  meme  par  nne  equation  cubique ;  ainsi 
je  donne  ici  pour  la  premiere  fois  la  Solution  algebrique  de  l'equation  du  Qi^™® 
degre ,  dont  la  trisection  de  notre  transcendante  depend. 

Theoreme    11. 

A)  Soit 

et 

_  sin '}  [1  -f  2  ff -[- (gffl  +  2  a6  -f  2 Z>) 8m^'\>  -\-hhsm^'!^] 
smcp  _       i_^(^ß^2ff+26)sin2(|.  +  &(&  +  2a)sin*<>       ' 


on  aura 


J  \l(a—2l})(14-2aY  —  (2—a)(b-\-2a)Hm^(i>        J  \la—2h  — 


\/(a— 2&)(l  +  2a)2  — (2  — a)(&  +  2a)2  8in2cp        J  \/a—2h  —  bb(2~a)sm^ 

B)   Soit 

2  — ff 

^  ""        l  +  2a 

Q  &  +  2a   2  — g 

'    ~  ~lH-2ff"ff  — 26' 

2  — ff     y^&  +  2ff 

en  posant 


on  aura 


a  —  2b  Vl4-2ff 


.        _  smÖ[l  +  2a4-(aa4-2a,34- 2  ß) sin^Ö  -f  ß ß sin* 0] 
sm^  —       l  +  (aa  +  2a+2?)sin^6  +  i3(,3-h2a)8m*0 


J  Vi— xsin^  ~~    J  v/i^^^^^^^^ 


34  EXTRAITS  DE  DEUX  LETTRES 

Königsberg,   2  Aoüt  1827. 

—  Je  vous  prie,  Monsieur,  d'inserer  encore  les  remarques  suivantes.  EUes 
contiennent  des  preceptes  pour  l'evaluatioii  des  transcendantes  elliptiques  de 
la  premiere  espece,  et  ces  preceptes,  si  je  ne  me  trompe,  ne  laissent  rien  ä  de- 
sirer  pour  l'elegance  et  la  commodite  du  calcul.  On  trouve  ainsi  en  meme  temps 
la  maniere  la  plus  convenable  de  former  des  tables  pour  ces  transcendantes. 

Je  commence  par  un  theoreme  general  sur  la  transformation  de  ces  transcen- 
dantes, dont  derivent  les  preceptes  pour  le  calcul.  Ce  theoreme  est  d'autant 
plus  interessant,  que,  pour  le  cas  oü  la  transcendante  se  change  en  fonction  cir- 
culaire,  il  se  presente  sans  changement  de  forme  comme  theoreme  de  la  tri- 
gonometrie  analytique. 

Theoreme. 
Soit  p   un  nombre  impair  quelconque,   cp'  un  tel  angle  qu'on  ait,  en  de- 

I  ==   prise  de   0  jusqu'ä  «p  par  F{k^^): 

y  1  —  Kii  SID   cp 

1 
et  en  general  cp^'"^  un  tel  angle  qu'on  ait : 

Soit  encore  l'angle  ^  determine  par  l'equation 

^^  '^'         tg|(<p'+9)   tglC/'-f)  tgiCfC-'t  +  y)   '^^**  +'f'' 

je  dis  qu'on  aura: 

F(Ä:,cp)  =  (xP(X,(];). 
On  doit  prendre  le  signe  superieur ,  si  p  est  de  la  forme    An-^l,    et  l'inferieur, 
si  p  est  de  la  forme    4n — 1.     On  doit  prendre  ^    entre    —  tt    et        '     tu,    si  cp 
tombe  entre    cp^"*)    et   (p^'"'^*\     Les  constantes  [x  et  X    se  determinent  de  differen- 
tes  manieres.     On  a  par  exemple 

1 

•^   2  (cosec  cp' —  cosec  cp"'-| +  cosec  cp^^"'^  +  ^) 

X  =  2  Z;  [X  (sin  cp'  — sin  cp'" -{-...+  sincp(^-*)  +i). 


DE  JACOB!  A  SCHUMACHER.  35 

Dans  la  nouvelle  transcendante  elliptique  F[K  ^)  le  module  X  est  toujours 
tres-petit  en  comparaison  de  k,  ce  qui  facilite  le  calcul  de  cette  transcendante. 
En  negligeant  les  quantites  de  l'ordre  XX,  on  obtient  tout  de  suite 

2 
La  constante  [x  ne  difFere  de    --F[k,90'^)    qiie  par  des  quantites  de  l'ordre 

X,  et  il  est  avantageux  d'employer  cette  constante  au  lieu  de  [i,  parcequ'ainsi  on 

tient  aussi  compte  de  la  partie  non  periodique  de  la  correction.     Elle  devient 

alors  seulement    =  ^-— sin2t|;.      En  exprimant  l'angle   f\)   en  secondes  comme  on 

le  trouve  dans  les  tables ,  et  en  posant    [x'  =  ^  \~'  — - ,    on  a 

Si  kk  n'est  pas  plus  grand  que  -|-,  ou  si  k  n'excede  pas  sin  4  5°,  on  n'aura  pas 
besoin  de  prendre  p  plus  grand  que  5 ,  en  se  contentant  de  7  decimales.  Pour 
k  =  sin  4 5°  je  trouve  dans  les  Exercices  III.  p.  215 

9    =  21°     0'    36",02754  43 
cp"'=  58°   38'    10",31402  70. 

La  seconde  table  donne  alors 

F(l;90'^)  =  1,85407  46773  Ol 
donc 

|x'  =  0,00000  11444  90541  544. 
La  formule  pour  le  calcul  devient  donc 

tgl(900_6)  =  tg(10030'18>l-iy)tg(290l9'5M6  +  i<p) 

iS2iy^        V;         tg(10"30'18",01  +  i(?)   tg(29n9'5",16  — ^cp)  ^^^*^        ^^^ 

jP(cp)  =  0,00000  11444- 90541.  (j; 

la  correction  =  —0,00000  007. sin 2 6. 

Soit  par  exemple    cp  =  30",   le  calcul  se  fera  de  la  maniere  suivante: 


36'  EXTRAITS  DE  DEDX  LETTRES  DE  JACOBI  A  SCHUMACHER. 

log  tg     4^29'41,"99  =  8,89549  90  n 

log  tg  44n9'    5,"16  =  9,98966  16 

Compl.  log  tg  25« 30'  18,"01  =  0,32140  63 

Compl.  log  tg  14n9'    5;'16  =  0.59306  27 

log  tg  30°   0'    0;'00  =  9,76143  94 


log  tg  (45°  — i']^)     =  9,56106  90  n 
450_i,t,      =  _20«0'0,"47 
^      =  468000,"95 
fi',]>      =  0,53562  266 
Correction  +  7 


F{'^)  =  0,53562  273 
M.  Legendre  trouve     0,53562  27328  22 

Si  l'on  voulait  arranger  une  table,  il  faudrait  qu'elle  donnat  avec  Targument  k 
les  quantites  correspondantes  ^cp',  -^cp'",  {x'.  Si  Ä'>sin45*'  il  faiit  ou  aj outer  le 
coefficient  de  la  correction,  ou  prendre  p  =  7,  ce  qui  augmenterait  la  table  d'une 
colonne,  et  augmenterait  le  calcul  de  deux  logarithmes  ä  chercher  dans  les 
tables  trigonometriques.  II  est  probable  que  les  nouvelles  methodes  trouvees 
pour  traiter  ces  transcendantes  fourniront  aussi  des  moyens  pour  le  calcul  com- 
mode  de  la  table. 


DEMONSTRATIO  THEOREMATIS 


AD 


THEORIAM  FüNCTIONUM  ELLIPTICARUM 

SPECTANTIS 


AU  C  T  O  RE 


C.    G.   J.   JACOBL 


Schumacher   Astronomische  Nachrichten,   Bd.  6.    Nr.  127.    December  1827. 


DEMONSTRATIO  THEOREMATIS 
AD  THEORIAM  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM  SPECTANTIS. 


Proprietates  functionum  ellipticariim  quasdam  in  n^.  123  Astr.  \.  tradidi, 
quae  novae  atque  attentione  geometrarum  non  indignae  videbantur.  Disquisi- 
tiones,  quibiis  iUae  originem  debent.  exinde  ulterius  continuatae  sunt  egre- 
giamque,  ni  fallor,  amplificationem  theoriae  a  Legendre  datae  praebent. 
Cum  autem  tempus ,  quo  tractatui ,  hasce  disquisitiones  complectenti ,  finem  im- 
ponere  licebit,  definire  nondum  queam,  geometris  non  ingratum  fore  spero,  si 
fragmentum  harum  disquisitionum ,  demonstrationem  scilicet  theorematis  m 
doctrina  de  transformatione  functionum  ellipticarum  fundamentalis .  hie  breviter 
exponam.  Multifariis  idem  modis  variari  posse ,  quisquis ,  perlecta  demonstra- 
tione,  facile  intelliget. 

Formula 

dy  


\j{\  —  r,y){l—o.'y){\—'x"y){\  —  o:"y) 

quando  pro  y  valor  ^  substituitur ,  designantibus   U  et  V  tunctiones  rationa- 
les integras  alius  indeterminatae  factore  communi  non  gaudentibus ,  abit  in 

VdU—UdV _. 

\l{v—'xü)(v—a:ü){y—o."V){y-o:"ü) 

Ut  expressio  haec  illi ,  unde  profecti  sumus ,  similis  fiat ,  formae  scilicet 

dx 

M\l{\  —  '^x){l  —  ,3'ar)  (1  —  '^"x)  (1  —  'fx) 

designante  M  quantitatem  constantem,  haberi  debet: 


40  DEMONSTRATIO  THEOREMATIS 

(F_aC/)(F-a'Cr)(F— a"Cr)(F— a"'C7) 


=  il/Jf  (1  -  ?x)  (1  -  .r:r)l(l  -  rx){l  -  r'x)  j  V^-  U^  \ 


quod  conditiones  duas,  determinationi  functionum     ü  et   V  inservientes ,   sup- 
peditat. 

1)  Inter  factores  simplices  producti  {V — aU){V — air)[V — a"U){V — a"ü), 
si  quatuor  diversos  exceperis,  bini  aequales  semper  reperiri  debent,  ita  ut  ha- 
beatur : 

(V—a.U)iV—rj.'U){V—a'U)iV—a"U)  =  {l  —  ^x){l  —  [i'x){l-'fx)(l  —  [rx)TT, 

designante   T  functionem  ipsiiis  x  rationalem  integram.. 

2)  Productum  e  factoribus,  qui  in  expressionibus *)  V — all,  V — a'U, 
V — a"U,    V — a"ü,    excluso,  si  quis  forte  adest,  factore  constanti,  bis  repe- 

riuntur,  ipsi    V-^ ^^~   aequale  esse  debet?  ita  ut  sit 


dx  dx 


dx  dx         M 


designante  M  quantitatem  constantem. 

Quamvis  band  difficile  perspiciatur ,  attamen  digniim  est  notatu ,  posterio- 
rem harum  conditionum  a  priori  involvi.     Factorem  enim  quem  vis ,  qui  in  ex- 
pressionibus      V — aü ,    V — a'U,    V — a"U,    V — a"U     bis  reperitur,    in  illa 
;!  occurrere,  ex  aequatione 

VdU—  UdV  =  iV—aU)dü—  üd{V—rxü) 


V -^ TJ^r-    semel  occurrere,  ex  aequatione 

dx  dx 


statim  elucet. 

Omnis  itaque  ipsius   T  factor  etiam  in  expressione    V- U-j~  contine- 

7  TT  1  TT  d  X  0/X 

tur,  ita  ut     V-^ ^T~    P^^'   -^  ^^^  divisibilis.     Exponens  maximae  in  expres- 

sione      V^ ^7~    ipsius    oe  potestatis  major  tamen  quam  illa  in   T  esse  ne- 

quit.     Sit  enim  n  exponens  maximae  ipsius  x  potestatis  in  functionibus    TJ,  V, 
erit   T  functio  (2w — 2)^^  gradus,  quod  ex  aequatione 

{V—rj.TJ){V-rj:V){y—o."ü){V-'a"ü)  =  {\  —  '^x){l  —  '^'x){l  —  [i"x)(\  —  ^"'x)TT 


*)  Facile  enim  intelligitur ,  cum  V  et  U  factorem  coramunem  non  involvant,  duas  quantitatum 
V — af7,  V — o.'U,  V — a"  U ,  V — o!"U  per  eundem  factorem  dividi  non  posse.  Si  itaque  in  producto 
[V — fxU){V — 'i'U){V — a" U){V — <x"'U)  factores  duo  aequales  reperiuntur,  necessario  una  quantitatum 
V—rxU,    V-fx'U,    V—a"U,    V—a"'U   utrumque  implicat. 


AD  THEORIAM  FUNCTJONUM  ELLIPTICARUM  SPECTANTIS.  41 

■rdU  dV 

sponte  sequitur.      In  expressione  vero     F— - — ^3—     coefficiens   ipsius     cc'"~\ 

quando   potestas    illa    adest,    evanescit.        ^  jr,  —  ^T^     itaque    altioris   quam 

(2w  —  2)*^     gradiis  ideoque  altioris  quam   gradus  ipsius    T    esse  nequit.     Hinc 

.sequitur.  ut  statuere  liceat 

ydU_  U^_Z  ^  1_ 
dx  dx        M 

Tibi  M  quantitas  est  constans.     Inde  sequens  colligimus 

T  h  e  o  r  e  m  a. 
»Designent    U,   V,  T  functiones  rationales  integras  ipsius  o?  tale's,  ut  sit: 

(V—aU){V—aU)(V-aU){V—rj."'U)  =  (l  —  '^  x){l—-i'x){l  —';-i"x){l  ~^"'x)  T  T, 

tunc  expressio 

dj/ 


\J{1  —  rxy)  (1  —  ay)  (1  -  a"y)  (1  —  a"» 


per  substitutionem   y  =  ^    transit  in 


dx 


M\I{1  —  ßic)  (1  —  [i'x)  (1  —  fx)  {l  —  ^"'x) 

designante  M  quantitatem  constantem.« 

Theoremate  hoc  fundamentum  tranformationis  transcendentium  elliptica- 
Tum  continetur. 

Corollaria  e  fönte  hoc  uberrimo  sponte  demanantia  praeteriens,  expressio- 
nem  functionum  U  et  V  generalem  in  sequentibus  derivabo.  Casum  specia- 
lem, ad  quem  generalior  facile  reducitur,  considerabo,  quo  scilicet  expressio 

dy                 .       .     .,                         dx             ■ 
m  simiiem 


\/(l_2/'^)(l_X='^^)  M\l{l—x''){l  —  ¥x'') 

est  transformanda,  considerationibus    quibusdam  auxiliaribus   praemissis,   quac 
partim  jam  aliunde  innotuere. 

Designetur  ut  in  opere  Legendri  valor  integralis 

d'2 


h 


tunc,  si 
I. 


a  cp  ==  0    usquc  ad    9  =  cp    sumti  per  F(cp) 


42  DEMONSTRATIO  THEOREMATIS 

i^(cp)  +  F{'1>)  =  F(p] ,    F(cp)  —  Fii»)  =  F  (&) 

ponitur,  notiim  est  haberi 

sinc5C0S'!' v/l  — /c^sin^^  +  sin-li  cos'i  VI  —  Ä;^sin^c5 

siiia  = '—^ ^—^ '—^ - 

1  —  Z;^sin''cp  sin^'I^ 

•    a  sin  9  cos  ']^  V 1  —  Jc'^  sin''' '!» —  sin  'b  cos  cp  \/l  —  k'^  sin'''  cp 

1 — /i;^sin'''9  sin^'l^ 

Unde  statin!  sequitur : 

sina  +  sind  =  2sm?cos>Wl-^:!^!i 
1  —  A;-sin^cp  sin^'} 

atque  reductionibus  factis 

•    Q.  sin^'i — sin^'!i 

1  — A;-sm''cpsin^<li 
Inde  demanat 

fi       ci-^^\fi       c;-^<\'         1 — Z;^  sin^  C2  sin^'l/  —  2sinc5COS''>  v/l — /ü^sin^^  +  sin^cs  —  sin^6 

(1   Sm  O,  ;  1    Sm  U  ;     =    ! ! . ! 1—1 ! ! ! L  . 

1  —  Ä;^sin^'-5sin^(}/ 
Ut  expressio  haec  simplicior  reddatur,  notandum  est,  si 

statiiatur,  designante 

'"^     —    a    cp  =  0     usque  ad    cp  =  -^     sumtum, 
yl — Z:^sin''cp  '  2 

aequationes  notas : 


.    ,  cos  6' 

sm'b  =  '     -^^^       cos 


\/l-Ä;^sin'y  /- YT^-^  \Jl  —  k' 

Vi  — ^"sin"'^'  \/l  — A;^sin2.V 


\/l  — Ä;'sin^f 
locum  habere. 

Hisce   valoribiis   substitutis  numerator   expressionis     (1 — sina)(l — sin&) 
post  debitas  reductiones  transit  in 

(1  — Z;^)(sin'y— sincp)^ 
1  —  /i;^  sin'-  'V 

Obtinemus  itaque 

(sin 'V— sin 9)^  l—k'sm^'y.^        .     ,,    •     .    ,^, 

T 7ü  •  2 — •^,   =  — ; rir-^ (1  —  Sin 3) (1  —  sini)), 

1 — A;''sm''cpsin''']^  1  —  k^      ^  ^^  ^' 


AD  THEOEIAM  FUNCTIONÜM  ÜLLIPTICARUM  SPECTANTIS.  43 

unde  sequitur  aequatio 


sin  CS 


/TN  V        sin-y/        (1  —  sma)(l  —  sinü) 

1  —  /j^sin'^'f  sin''*'!^  cos^-I^ 

Notatione  nova  simplicioreqiie  abliinc  utar.  Sit  scilicet  JP/f)  =  H,  tunc 
Yiilgo  cp  amplitudo  ipsius  E  nominatur,  quamobrem  cp  in  seqncntibus  per  ainE 
denotabitur.     Si  itaque 

dx  _ 


J  0 


\l{l—x'^){l  —  ¥x')  ' 

00  =  sin  am  Z     erit.        K — Z    complementum    ipsius     E     vocetur ;     loco    vero 
am  compl  E     exj^editius     coam  E     scribetur.      INIodulus ,   ut  facile  perspicitur, 
hisce  expressionibus  semper  est  adjiciendus;    iibi  vero  in  sequentibus  hoc  ne- 
giectum  est,  notationes  ad  modulum  k  pertinere  sunt  putandae. 
Expressionen!  nunc  explicemus 

^  '  T.  ,2 

1± ^^^^r^l  |l  + 


jl+a^l     -  .               2K    W    ^  .               AK     •••  .  2nK 

<  '         sin  coam  - — —-  sin  coam -—  sm  coam  - — —  , 

il         72     2    •     2  '^^     \U        12     2    ■     2  ^^\  Ji         72     2-2  2  7?.  ^    )     =    "^  "~  ^  = 

il — k'' x^ sm'' Siva  ~ — , — }  {1 — Jrx^sm^am- — :--( •  •  •    1 — A'^^^^'^sm^am [ 

{  2yi  +  l)  (  2n-\-l)        (  2n-\-l) 

signo  superiore  sumto,  quando  7i  est  numerus  par,  inferiore,  quando  impar. 
Statuatur   x  =  sin  am  E  ,    tunc  per  aequationem  (I.)  habetur 


il- 


X 


2mK\  (  .         /_   ,    2mK\\{^        .  /_       2mK 

sm  coam  - — — ;  \  1  —  sm  am  (  -  +  - — — -  )    ,  1  —  sin  am    -  —  - — —- 

2  7^4-1)       \  V        '    27?  +  l/M V  27^  +  1 


^       72    2  •  2        2jMiC  ,         2mK 

1  —  A;^Ä;^sm^am- — — -  cos-am- — -— 

2  7^4-1  2n-\-l 

eodemque  modo 

(1  + ^ )' 

I        smcoam— -j     ^   j  1 +smam(;.  +  ^,^J)  jl  +  sm  am  ^. -^-^J  j 

^       ,00.2         277^^:  2        2w^ 

1  —  Ä;^a;^siii^am- — 7—  cos'' am- — p- 

2n-\-l  2n-{-l 

Cum  vero  generaliter  sit 

sin  am  E  =  sin  am  (2  jBl  —  E;  =  —  sin  am  E  —  2  Ki  =  —  sin  am  E  -{-2K), 

6* 


44  DEMONSTRATIO  THEOREMATIS 

expressionem  posteriorem  ita  exhibeamus  : 

2m  K 
cos^  am — 

2n-\-l 

Incle  sequitiir  loco  valoris  ipsiiis    1  — y    siipra  dati  substitui  posse 

(IIL)      1  -y  --= 

„           2K          „          4Ä'  „         2nK 

cos-^am,; — , —  cos  am  - — ;— - cos'^am 


2n-{-l  2?^  +  l  2n-\-l 

loco    smamlr:  —  - — -— -  )    lue  siiiam    nH -i — ~~ K]    scriptus  est.   ne  per 

siguorum  varietatem  perspicuitas  legis    expressionis  turbetiir.       Haec  formula 

ostendit  valorem  ipsius    1  —  ?/.    substitiito    — -1 pro  -.    immiitatiim  ma- 

^  -^  ^^2  n  + 1   ^ 

iiere;   quivis  enim  factor  numeratoris  eo  modo  in  sequentem  permiitatur,  ulti- 

mus  vero  in  primum.     Ideoque  etiam  tunc  non  mntatnr .   qnando  pro    E    substi- 

tuitur    ZL  -f-  ,    designante    7ii    numerum   quenicunque  integrum  positivum 

yel  negativum.     Ex  aequatione    11.    vero  sequitur     1  — j/  =  1     vel  y  =  0    pro 

cc  =  0    vel  H  =  0    ideoque  etiam  pro    E  = — .    vel  pro  valoribus  ipsius  a:: 

2^^-1-1  ^ 

4K  .  SK  .  12K  .  8nK 

0,     sin  am- — -— j    sin  am- — ;— -,     siuam- — ; — j sin  am- — t—-? 

2n-{-l  2n-]-l  2n  +  l  2n-{-l 

Tel .   quod  idem  est .   pro  valoribus  ipsius  x : 

2K  .  4:K  .  27tK 

0,      Sin  am- — -— >         smam^r — -— ?    •  •  •  •       smam 


2w  +  l  2?^+l  2n-\-l 

2K  .  4K  .  2nK 

—  smam- — -— ?     — sin  am- — ^ — )    •  •  •  •  — sin  am 


2n-\-l  2}^  +  l  2w  +  l 

qui  omnes  diversi  sunt. 

Adjumento  aequationum  jiraecedeiitium  ^  facile  in  factores  suos  simplices 

U 
V 


dissolvitur.     Si  enim  statuitur   j/  =  .^-,    ubi 


*)  Sumatur  signum  superius  quando    «    est  numerus  par,  inferius,   quando  impar. 


AD  THEORIAM  FUNCTIONÜM  ELLIPTICARUM  SPECTANTIS.  45 

tum  ex  aequatione  II.  pcr.spicitur  U  esse  fiinctioiiem  rationalem  integram  ipsius 
07  gradus  (2w+l:^\  Jam  vero  nobis  innotiiere  2w-|-l  valores  diversi  ipsius  x 
aequationi  y  vel    U  =  0    satisfacientes.     Fit  igitur 


T_  ^  (i -ir^H^ 


X' 


M  I        sin-am- — r-ry  I        sin-^am- r--  /        sm  <im 


■2H  +  1.M  2w4-i;  l  2«  +  l. 

designante   M    quantitatem  constantem. 

üt  ipsum  ]M  determinemus  aequationem  (II.)  revocemus.  ex  qua  s;equitur 
1 — 1/  esse  =  0,  sive  i/  vel  -^  =  l.  quando  n  est  numerus  par  et  cc  =  -\- \ . 
vel  quando  n  est  impar  et   o?  =  —  1 .     Cum  desuper  habeatur 


sm"  am  -  sin"^  coam  - 


-^ —  > 


1  —  k'^  sin"^  am  :i  sin-  am  z. 

in  casu  utroque  erit : 

sin^coam- — r^sin^coam- — p- sin'*  coam- — t-- 

_  2n-\-l 2n-\-l 2^  +  1 

~"  ~~          2K          TZ          4Z  .   ,         2nK  ' 

sm^am- — r-r     sm'^am- — r— - sin- am- — j-- 

2n-\-l  2n-\-l  2n-\-l 

Relatio  inter  functiones   CT"  et   F  memorabilis  subsistit.     Etenim  si  pro  o? 

substituitur    ^ — ,    tum    U   transit  in 
lex 

'     V 


kxM 


(_l)-^2»^2»sin2am— ^-^sin^am— ^-^  ....  sin^am^*^ 
atque    V  in 

(—  1)"  — ^,  sin^  am  - — -—  sm^  am  - — —-  •  •  •  •  sin''  am  - — r-r 

ideoque   ~   in 


4C 


u 


DEMONSTRATIO  THEOßEMATlS 
1 


^«n+i  ^p  g-j^4  ^jjj    __  gjjj4  g^m 


2«  +  l  2n-\-\ 

vel ,  valore  ipsius   M    siibstituto .  in 

F 
U 


.  ,         2nK 
sin*,  am  ■- : — 

2n-\-l 


j.2>i+i  gjj^4  coam 


2K      . 


2w+l 


sin^coam 


2  ij  + 1 


sin*  coam 


2nK 

2n-\-l 


Si  itaque  ponitur 


A  =  Jc^"*'^  sin*  coam 


2K 

2«.  +  l 


sin*  coam 


4K 

2}i  +  l 


sin*  coam 


2nK 

2n-^\ 


tum  ?/  in  ^.   qiiando  o?  in  t- •   mutatur. 

Applicemus  hasce  considerationes  ad  aequationem  (II.),  quae.  ut  modo 
ostendi,  etiam  tunc  Aalet,  si  pro  x  et  y  icsp.  siibstituitnr  j^ .  ^.  Quo  facto 
aequatio  haec  per    —  ky    multiplicata  reductionibus  facilibus  factis  transit  in 

(IV.)      \  —  ly  = 

I  2K    ]'H    4Ä')^(  2nK  )^ 

i  1  4-  /jÄ^n  1  +  lix  sin  coam  - — r—       1  +  7ca;sincoam -—    •  •  •    1  — Z,-x  sin  coam  - — p-  [ 

'      '        '  (    —  2 J^  + 1)    I  2^4-1)         (  2n-\-l) 


7  2     2-2  2  -^^       '      1  7  o      .,     .     9  4  Jf  722-2  2nK    [ 

{\  — /ric^sm^am  r r—  i    1  — A;-^:- sin- am  - — — -    1  —  A;''a;'^sm'^am- — ,  \ 

(  2n-\-l)  \  2n4-l)  (  2n-\-l) 


+ 


■  + 


U 


Aequatio  j/ =  -^  primo  intuitu  docet  y  in  — y  transire.  quando  x  in  — er 
transit.  Obtinemus  igitur  pro  aequatione  (II.)  et  (IV.)  valores  l-j-^'  et  l-j-X^, 
—  X   in  illis  loco  x  scripta. 

Priusquam  ad  fiiiem  propero,  expressionem  pro  y  =z~=  simplicem  tradam: 


^  =  (-1)" 


sin  am  i  .sin  am    -4- — -  )  sin  am  (  -  +  - — — - 


sin  am    -. 


8nK 


2w  +  l 


siw'  coam -—  sin-  coam r-r 

2n-\-l  2n-\-l 


sm''  coam 


2nK 

2w.  +  l 


quae  e  formula  supra  allata 


sin  a  sin  i^  = 


sin^cp  —  sin'^'I^ 
1  —  A-'^sin^  cssin''*'!' 


FjequituT. 


AD  THEORIAM  FÜNCTIONÜM  ELLTPTICARUM  SPECTANTIS.  47 

Expressiones  pro     L — y,    1  —  \y,    \--\-y,    1+^J/    cimdem  habent  dcnomi- 
natorem   V.     Videmus  desuper  esse 

.  V'\—y]  =  V—U,  Vil  —  ly,  =  V  —  IU, 

V[-l  -{-y)  =  F4-  U,  V{l-}-ly)  =  V-^IU 

qiiadrata    functionum  integrarum    rationalium   ipsius    cc    in   factores   simplices 
l-j-o?,     l-j-A-cT,     1+^,      I +A*cr     resp.    miiltiplicata.        Statiii    itaqiie    potest 

{v—üv—-kU){v-i-ü]y-{-iUj  =  ;i— ^vi_äv.  rr, 

designante   T  fiinctioiiem  rationalem  integram  ipsins   er.     Fit  desuper  per  con- 

siderationem  initio  allatam    V  -i U  —-    aequalis  ipsi   T  in  factoreni  constan- 

dx  dx         ^  ^ 

teni  multiplicata.      Hie  ita  invenitur:    perspicitur  constantem  in   T  esse    =  1, 
in    V  Y^ —  ^  ~r:  ^'Gi'o  ^,  ut  e  formulis  pro   U  et  V  seqnitur,     Habemus  igitur 

Q/  00  Cl  jb  IVA 

dTJ  dV         T  .  . 

V  ^ U  -IT-  =irf.     His   Omnibus  collectis   sequens  nanciscimur 

dx  dx         M  ^ 


T  h  e  o  r  e  m  a. 

»Si  statuitur 

l  =  Ä;-"+^  sin*  coam  - — — -sin^coam- — —-  •  •  •  •  sm^coam- — -— , 

2n-\-l  27^  +  1  2n-{-l 

2K      .  ,  4K  .   .,  2nK 

sin^  coam  ^ — r—  sin^  coam  - — — -  •  •  •  •  sin-  coam  - — -— - 

_  2•;^-f  1  2)^4-1 2n-{-l 

~  TZ  2K  n  4Ä"  .   2  2;^^  ' 

sin^am- — — -     sin- am- — — -  •  •  •  •      sin'' am- — -— 

2n-\-l  2n-\-l  2n-\-l 

tunc  habetur : 


smam^sinam(^.+  2^-^Jsmam(^r.+  2^^J...smam(^.+  2^-^; 
sin am(^j^^, aJ  =(-1)^ ^^-- -^^ _,.._„   2nK 


sin^  coam  - — -r—  sin"^  coam  - — r—  •  •  •  sin^  coam 

2n-\-l  2n-\-l  2n-f-l 


48        DEMONSTRATIO   THEOREMATIS  AD  THEOKIAM  FUNCTIOAÜM  ELLIPTICARUM  SPECTANTIS. 

vel  si  pro    sin  am  (~.  X  j    quantitas  j/  siibstituitur , 

dy  dx 

Theorema  hoc  generaliter  Aalet,  non  tarnen  omnes  problematis  solutio- 
nes  amplectitur.  Ulteriores  vero  hujus  argumenti  disquisitiones  in  tractatu 
supra  nominato  reperientur. 

Regiomonti  die  18.  Novembris  1827. 


FUNDAMENTA  NOVA 

THEOEIAE 

FÜNCTIONUM    ELLIPTICARÜM 


AUCTORE 


D.   CAROLO  GUSTAVO  JACOBO  JACOBI 

PROF.    OED.    ÜNlV.    KEGIOM. 


Regiomonti.     Sumptibus  fratrrtm  Bornträger  1829. 


P  R  0  (E  M  I  U  M. 


Ante  biennium  fere.  cum  theoriam  functionum  ellipticanim  accuratiii«^ 
examinare  placiiit.  incidi  in  quaestiones  quasdam  gravissimas.  quae  et  theohae 
illi  novanL  faciem  creare  et  iiniversani  artem  analyticam  insigniter  promovere 
videbantur.  Quibus  ad  exitiim  felicem  et  propter  difticultatem  rei  vix  exspecta- 
tum  perductis ,  prima  earum  momenta  breviter  et  sine  demonstratione .  mox  cum 
vehementius  illa  desiderari  et  invento  novo  vix  fides  tribui  videretur.  addita 
demonstratione.  cum  geometris  communicavi.  Urgebar  simul.  ut  systema 
completum  quaestionum  a  me  susceptarum  in  publicum  ederem.  Cui  desiderio 
ut  ex  parte  salteni  satisfacerem .  fundamenta .  quibus  quaestiones  meae  super- 
structae  sunt .  in  publicum  edere  constitui.  Quae  fundamenta  nova  theoriae 
functionum  ellipticarum  iam  indulgentiae  geometrarum  commendamus. 

Scribebam  m.  Febr.  a.  1829  ad  I  niv.  Kegiom. 


INDEX   REEUM. 

De   Tramformutione  Functionum  EUipticarum.     §§  1  —  o4        .     .      .     pag.  55 — 138 

Expositio  problematis  generalis  de  transformatione.  §§12 pag.  55 

Principia  transforraationis.     §§  3.  4 57 

Proponitur  expressio 

dy                          .      „                ....                1-         ,  dx 

"  —  in  lorniam  simpliciorem  redigenda  =rr:===^-  ■  §^  5 — 9       —     60 

v^±(y-<=')(y-ß)(y-T)(y-5)  M\H\-x^){\-k''x^)      ' 

De  transformatione  expressionis 

dv  ...  .        .    .,  dx 

—  " — in  aliam  ejus  similem .  §§  10  — 12    .     .  69 

\/(l-y«)(l— X2y'^)  M\/{l-x^){\~k^x^) 

Proponitur  transformatio  tertii  ordinis.     §§  13.   14 —  74 

Pi'oponitur  transformatio  quinti  ordinis.  §  15 77 

Quomodo  transformatione  bis  adhibita  pervenitur  ad  niultiplicationem.  §  16   .      . —  80 

De  notatione  nova  functionum  ellipticarum.  §  17 __  81 

Formulae  in  analysi  functionum  ellipticarum  fundamentales.  §  18 —  88 

De  imaginariis  functionum  ellipticarum  valoribus.     Principium  duplicis  periodi.  §  19         ....  —  85 

Theoria  analytica  transformationis  functionum  ellipticarum.  §  20        —  87 

Demonstratio  formularum   analyticarum  pro  transformatione.    §§21—23 —  90 

De  variis  ejusdem  ordinis  transformalionibus.       Transformationes  duae  reales,   majoris  moduli  in 

minorem  et  niinoris  in  majorem.    §  24 —   100 

De  transformalionibus  complementariis  seu  quomodo    e    transformatione  moduli  in    modulura    alia 

derivatur  complementi  in  coraplementum.  §  25 —  108 

De  transformationibus  supplementariis  ad  .multiplicationem.  §§  26.  27 —  111 

Formulae  analyticae  generales  pro  multiplicatione  functionum   ellipticarum.    §  28 —   120 

De  aequationum  modularium  affeclibus,    §29  —  34 —  122 

Theoria  Evnlutionif!  Functümum  Ellipticarum.   §§  35 — 66     ....    pag.  141 — 239 

De  evolutione  functionum  ellipticarum  in  producta  infinita.     §§  35 — 38 pag.  141 

Evolutio    functionum    ellipticarum    in    series    secundum    sinus  vel  cosinus  multiplorum  argumenti 

progredientes.  §§  39 — 42 —  155 

Formulae  generales   pro    functionibus    sin"  am  ( '-)  , ^         ^      in  sei'ies  evolvendis,  se- 

~  •    n  l   ^^X\ 

sin"aml ) 

cundum  sinus  vel  cosinus  multiplorum  ipsius  x  progredientes.  §§  43 — 46    .......     —   170 

Integralium  ellipticorum  secunda  species  in  series  evolvitur.    §§  47.  48 —  187 

Integralia  elliptica    tertiae  speciei    indefinita   ad  easum    revocantur  definitum,    in    quo  ampHtudo 

parametrum  aequat.  §§  49.   50 —   191 

Integralia  elliptica  tertiae  speciei  in  seriem  evolvuntur.     Quomodo  illa  per  transcendentem  novam 

ö  commode  exprimuntur.  §§  51.  52 —  195 

De  additione  argumentorum  et  amplitudinis  et  parametri  in  tertia  specie  integralium  elliptico- 
rum.    §§53-55 —  204 

Keductiones  expressionum  Z{iu),  G{iu)  ad  argumentum  reale.  Reductio  generalis  tertiae  speciei 
integralium  ellipticorum ,  in  quibus  argumenta  et  amplitudinis  et  parametri  imaginaria 
sunt.     §§  56—60 —  214 

Functiones  ellipticae  sunt  fiinctiones  fractae.     De  functionibus  H,  G,   quae  numeratoris  et  deno- 

minatoris  locum  tenent.    §61 —   224 

De  evolutione  functionum  H,  0  in  series.      Evolutio  tertia  functionum  ellipticarum.    §§  62—66  —   228 


DE 

TRANSFORMATIONE  FUNCTIONÜM 
ELLIPTICARUM. 


EXPOSmO  PROBLEÄIATIS  GENERALIS  DE  TRANSFORIVIATIONE. 


1. 


/3 
I 


et  quae  functionum  ellipticarum ,  quae  dicuntur,  primam  speciem  constituunt, 
ab  argiimento  duplici  pendent,  et  ab  amplitudine  <p  et  a  modulo  k,  Eiusmodi 
functionis  inter  se  comparatis  valoribus,  quos  illa  pro  diversis  amplitudinibus 
obtinet ,  eodem  manente  modulo ,  egregia  multa  detexerant  analystae ,  quae  ad 
eorum  additionem  et  multiplicationem  spectant.  Quam  nuper  vidimus  quaestio- 
nem  a  Cl°.  Abel  in  commentatione ,  nostra  laude  majore,  mirum  in  modum  pro- 
vectam  esse  (Grelle  Journal  für  reine  und  angewandte  Mathematik  Yol.  II.). 

Alia  est  quaestio  nee  minoris  momenti  —  immo  sensu  latissimo  capta  illam 
involvens  —  de  comparatione  functionum  ellipticarum  pro  modulis  instituenda 
diversis.  Quam  quaestionem  post  praeclara  inventa  CP.  Legendre  —  theo- 
riae  functionum  ellipticarum  conditoris  —  ad  principia  certa  nos  primi  revoca- 
vimus  eiusque  solutionem  dedimus  generalem  [Astronomische  Nachrichten y  1827. 
n°.  123.  127).  Hanc  nostram  de  transformatione  theoriam  et,  quae  alia  inde 
in  analysin  functionum  ellipticarum  redundant,   iam  fusius  exponemus. 

2. 

Problema ,  quod  nobis  proponimus ,  generale  hoc  est  : 
y^Quaeritur  functio  rationalis y  elementi  x  eiusmodi^  ut  sit: 

dy  dx 


Quod  problema  et  multiplicationem  videmus  amplecti  et  traasformationem. 


56  DE  TRANSFORMATIONE  FÜNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

Innumera  iam  diu  constabant  exempla  eiusmodi  fiinctionum  rationalium  y, 
quae  problemati  proposito  satisfaciunt.  Primum  notum  erat,  quicunque  datus  sit 
numerus  integer  impar  w,  eiusmodi  functionem  rationalem  y  exhiberi  posse,  ut  sit: 

dy  ndx 

quod  est  de  multiplicatione  theorema.     Quem  in  finem  adhiberi  debet  forma : 

_  a^olx-^  a"x^  +  d"^^  H h  «^""^  ^"'' 

^  ~  ö  +  &'ic  +  h"x^  +  h"'x^  -\ h  U^^)  ic"" ' 

coefficientibus  a,  d,  a,  .  .  .  .;  h,  h\  h",  .  .  .  rite  determinatis.  Satis  diu  etiam 
exploratum  est,  formam  hanc: 

a-\-a'x-\-a"x^ 

seu  hanc  generaliorem : 

a-\-a'x-\-  ax^  -f-  ol"x^  +  •  •  •  -r  *^^'"^  ^^ 
^  ~  -bJ^l'x^  h"x^  +  Vx^ -\ \- &(2'") 2;2"* ' 

quae  ex  illius  substitutionis  repetitione  ortum  ducit,  ita  determinari  posse,  ut 
solvat  problema.  Nuper  admodum  etiam  probatum  est  a  CF.  Legendre,  cum. 
in  finem  adhiberi  posse  formam  hanc  rite  determinatam : 

i  a  +  a'x  ~\-  a"x^  -f~  ^'"^^  '" ' 

^  "  h  +  h'x-\-h"x^-\-h"'x^' 

seu  rursus ,  eadem  substitutione  repetita ,  hanc  generaliorem : 

_  g  +  a'x  +  a"x^  +  d"x^  -j \-  a^^') x^"* 

^  ~  h+h'x-^ h"x^  +  h"'x^ H h ^^'"^ ^'^ * 

His  inter  se  iunctis  formis  patet  problemati  satisfieri  posse,  idonea  facta  coeffi- 
cientium  electione ,  posito : 

_  aJ^a'x-{- a"x^  +  a"x^ -\ \-a^^'> x^- 

siquidem  'p  sit  numerus  formae  2"3^(2m-|- 1)^.  Iam  sequentibus  probabitur, 
idem  valere ,  quicunque  sit  p  numerus. 


PRINCIPIA  TRANSFORMATIONIS.  57 

PEINCrPIA  TRANSFORMATIONIS. 

3. 

Designentur  per   U,  F  functiones  rationales  integrae  elementi  cc,  sit  porro 


3/  =  f.    fit 


äy  VdU-UdV 


brevitatis  causa  posito : 

Y=  Ä'V^-\-B'V^U-i-C'V^U^-}-B'VÜ^-i-E'ü\ 

VdU—UdV..  .       ^.  . 

J^ractionem  -j== in  lormam    simpliciorem   redigere  licet,    quoties     Y 

factores  duplices  habet ;  quin  adeo ,  ubi  praeter  quatuor  factores  lineares  inter  se 
diversos  e  reliquorum  numero  bini  inter  se  aequales  existunt,  fractio  illa  sponte 

in  differentiale  ifunctionis  ellipticae  redit     ,  =r ,    desi- 

\  M\jÄ-{-Bx-\-Cx^fBx^-\-Ex^' 

gnante  M  functionem  elementi  x  rationalem.  Quem  accuratius  examinemus  ca- 
sum ac  videamus,  quot  et  quales  sibi  poscat  conditiones. 

Sint  functiones  U,  V  altera  p^\  altera  m}^  ordinis,  ita  ut  m<p:  erit 
Y  ordinis  (4^)*\  lam  ut,  quatuor  factoribus  linearibus  exceptis,  e  reliquis 
functionis  Y  factoribus ,  quorum  est  numerus  Ap  —  4  ,  bini  inter  se  aequales 
evadant,  1p  —  2  conditionibus  satisfaciendum  erit.  Quot  enim  functio  propo- 
sita  duplices  habere  debet  factores  lineares,  tot  inter  coefficientes  eins  interce- 
dere  debent  aequationes  conditionales. 

At  functionibus  U,  V  quantitates  constantes  indeterminatae  insunt 
m-\-p-{-2  seu  potius  m-\-p-\-l,  quippe  e  quarum  numero  unam  aliquam  =  1 
ponere  liceat.  Quarum  igitur  numero  vel  aequatur  numerus  conditionum  2p  —  2 
vel  ab  eo  superatur,  modo  supponatur,  m  esse  aliquem  e  numeris  p  —  3,  p —  2, 
p — 1,  p,  quibus  casibus  numerus  indeterminatarum  fit  resp.  2p  —  2,  2  p — 1, 
2p,  2p-\-l.  Duos  priores  casus  reiiciendos  esse  cum  infra  demonstrabitur,  tum 
hunc  in  modum  patet.  Namque  inventis  functionibus  U,  V,  quae  functioni  Y 
formam  illam  praescriptam  conciliant,  ubi  loco  x  substituitur  a-\-^x,  neque 
ordo  mutatur  functionum  Z7,  V,  Y  neque  numerus  factorum  duplicium  functio- 
nis Y :  unde  in  solutionem  inventam  statim  duas  quantitates  arbitrarias  inferre 
licet.  Itaque  numerus  indeterminatarum  numerum  conditionum  duabus  saltem 
I.  8 


58  DE  TRANSFORMATIONE  FUNCTIONÜM  ELLIPTICARUM. 

iinitatibus  superare  debet,  unde  casus  m^p  —  3,  m  =^  p  —  2  reiiciendi  sunt. 
Porro  videmus,  loco  oo  jiosito  ^-^— ,  tertium  casum  ad  quartum  reduci  et  quar- 
tum  minime  mutari ,  quo  igitur  casu  indeterminatarum  tres  et  arbitrariae  ma- 
nent  et  mauere  debent. 

lam  igitur  evictum  est,  quantum  quidem  e  numero  indeterminatarum  et 
numero  conditionum  inter  se  comparatis  concludere  licet,  quicunque  sit  p  nume- 
rus ,  formam : 

^  ~  lJ^h'x^h"x^-\ \-W'>a^ 

ita  determinari  posse ,  utsit: 

dy  dx 

SlA'-\- Btj  +  0 V'  +  B'i/  +  E^  ~  M\lA-\-Bx  +  Cx''-{-Bx^+E^^ 

designante  M  functionem  rationalem  ipsius  x ;  immo  solutionem  tres  quantitates  arhi- 
trarias  involvere  posse. 

4. 

Ut  determinetur  functio  illa  31,  sit 

designante   T  functionem  elementi  x  integram  rationalem :  erit 

T 

M  =  = . 

ydU_^dV 

dx          dx 
Ipsa   T  erit  ordinis  {2p  —  2)*S   nee  maioris  esse  potest   V^ ^T~-     ^^^  ^^^^~ 

(tOC  et  00 

bus  quibusdam  constat,  scilicet  ubi  numerus  p  formam  illam  habet  2''Z^{2n-{-i)^, 
M  adeo  fieri  constantem.  Idem  generaliter  probabitur  sequentibus,  quicunque 
sit  p  numerus. 

Functiones  U,  V  supponere  possumus  factorem  communem  non  habere; 
adiecto  enim  factore  communi ,  fractio  —  =  ^  non  mutatur.  Resolvamus  ex- 
pressionem 

A'+B'y  +  Cy+DY  +  EY 

in  factores  lineares ,  ita  ut  sit : 

Ä'+B'y-]-Cy-\-Dy-{-Ey  =  ^'(l-«V)(l-ß'y)(l-T'2/)(l-8'2/), 


PEINCIPIA  TRANSFORM ATIONIS.  59 

unde  etiam : 

T=  Ä'V'-\-B'V'U+C'VW-{-I)'VU'-]-E'U'  =  Ä'{V-r,'U){V—^i'ü)iV—;'lT){V-oU). 

lam  existere  non  potest  factor,  qui  quantitatibus  V — aU,  V — [i'U, 
V — y'C7,  V — oü  vel  Omnibus  vel  imnio  diiabus  tantum  ex  earum  numero  com- 
munis sit;  idem  enim  et  F  et  Z7  simul  metiretur,  quas  factorem  communem 
non  habere  supposuimus.  Itaque  ubi  factor  aliquis  linearis  functionem  Y  bis 
metitur,  idem  unam  aliquam  e  quantitatibus  V — aU,  V — ^'U,  V  —  -('U, 
V  -    oU   et  ipsam  bis  metiatur  necesse  est. 

lam  notentur  aequationes  sequentes : 

^  ^  ax  dx  dx  dx 

^         ^      ^ dx  dx  dx  dx 

^  ^  dx  dx  dx  dx 

dx  dx  dx  dx 

e  quibus  sequitur,  factorem,  qui  unam  aliquam  e  quantitatibus  V — dJJ,  V — ß'CT", 
V — "{TJ,  V — ^'U  bis  ideoque  etiam  eins  differentiale  metiatur,  eundem  metiri 
expressionem   V-^ ^j~'     Productum  vero  ex  omnibus  istis  factoribus,  ipsam 

/7  TT  /l  T7 

etiam  y  bis  metientibus,  conflatum  posuimus  =  T,  unde  T  ipsam   V^ ^ä~ 

Cl  X  et  X 

JJJ  JTT 

metietur.     At    T  inferioris  ordinis  non  est  quam  ipsa    V^ ^T~->    ^^de  vi- 

demus 

T 
M  = 


ydU_^dV 

(X  Jb  et  Jü 


abire  in  constantem. 

Ceterum  adnotemus ,  ubi  functionum   U,  V  altera  inferioris  ordinis  fuisset 

quam    [p  — 1)^\  futurum  fuisse,  ut  ipsa  etiam    V -^ t/-^    inferioris  ordinis 

dx  (i  X 

esset  quam   T,    quae  tamen  illam  metiri  debet;   quod  cum  absurdum  sit,  reiici 
debebant  casus   m  =  p  —  2,  m=p  —  3. 

lam  igitur  demonstratum  est,  formam: 

_  a-\-ax-\-a"x^-\ \-a^''>x^ 

y  ~  hi^x+vx^-i — [-w^x^' 


60  DE  TRANSFORMATIONE  FUNCTIONÜM  ELLIPTICARUM. 

quicunque  sit  numerus  p,  ita  determinari  posse ,  ut  prodeat: 

dy  dx  . 


^A'-^  B'y  -{-  Cy-j-BY-j-EY        \J Ä -i- B x -^  C x' +  D x' -\- E x'^' 
Quod  est  principium  in  theoria  transformationum  functionum  ellipticarum  fundamentale. 


PROPONITUR  EXPRESSIO    ,— ^l^—-  ^^       ,^  IN  FORMAM 

V±  {y— a)  {y  —  ß)  {y—'i)  {y  —  0) 

SIMPLICIOREM  REDIGENDA  "^^ 


M\J(l  —  x''){l  —  'k^x'') 

5. 

Trium  constantium  arbitrariarum  ope,  quas  solutionem  problematis  nostri 
admittere  vidimus ,  expressio  Ä~\- Bx-\- Cx^-{-Da!^-{-Ex''  in  simpliciorem  re- 
digi  potesthanc:  A[l —x^){l  — k^a;^).  Ut  hoc  et  reliqua,  quae  modo  demon- 
strata  sunt ,  exemplis  etiam  monstrentur ,  proposita  sit  data  expressio : 

dy^ 

V±(2/-a)(2/-ß)(2/-T)(2/-3) 

facta  substitutione : 

a-^a'x-\-a"x^ 

^  ~  b+b'x  +  rx^ 

transformanda  in  simpliciorem  hanc : 

dx 


M\l{l—x''){l  —  k^x^) 

Quaeritur  de  substitutione  adhibenda,  de  modulo   k   et  de  factore  constante    M 
e  datis  quantitatibus    a,  ß,  y,  0    determinandis. 


Ponatur    a-\-dx-\-ax^  =■  U,  b-{-b'x-{-b"w^  ^  V,  y  =^^:    e  principiis 


modo  expositis  fieri  debet: 

(Cr_aF)(ü'— ßTOCZJ— yF)(ü'— BF)  =  K{\—x'){\  —  'k^x''){\-^mxY{\-^nx)\ 

designante  IK.  constantem  aliquam  arbitrariam.  Hinc  videmus  duos  e  numero 
factoruni  TJ — aF,  TJ — ßF,  JJ — yF,  TJ — ÖF,  qui  erunt  secundi  ordinis,  adeo 
fieri  quadrata. 


dv 
EXPKESSIO    ,  IN  SDIPLICIOREM  REDIGITUR.  61 

V±(y-a)(y-?)(2/-T)(y-?^) 

Ponamus  igitiir : 

U—oV=  D{l+nxy. 

lam  qiiod  reliquos  attinet  factores   U — aV,   U — ßF,  poni  poterit  aut: 

U—o.V=  Ä(l—x^),  Z7— ßF=  B{l  —  k'x^) 

aut  : 

U—aV=  A(l—x){l-7:x),   U—'^V=  B{\^x){\  +  'kx), 

designantibus  A,  B,  C,  D  quantitates  constantes.    Prius  reiiciendum  erit.   Prod- 

,         Jy  —  0.V        11 oc        A    1 x^ 

iret   emm    — — "ö^  =    — 0"=  ^-^j 7:2^2 '  ^^nde  sequeretur,  elemento  a?  in  — 00 

mutato  y  immutatiim  manere ,  qiiod  absurdum  esse  patet  ex  aequationibus : 

U—aV  _  ij  —  o.  _A}_ 


U—'(V       y~'(        C    {1-j-mxy 

U — aV y  —  a  A     1  —  x^ 

U^W  ~  y^^  ~  D'  {l-\-n'xy' 
Poni  igitur  debet : 

(1)  U—aV  =  A{l—x)il—kx) 

(2)  Z7-i3F=  Bil  +  x){l-{-Jcx) 

(3)  U—-(V=  C{l+mxy 

(4)  ü—oV=  D{l-i-nxy. 

Adnotare  convenit  e  constantibus   A,  B,  C,  D   unam  aliquam  ex  arbitrio  deter- 
minari  posse. 

6. 

Videmus   ex   aequatione   (l)     et  posito    o?  ;=  1     et  posito     jc  =  -j-    fieri 

ü  =  aV.     Hinc  ex  aequatione: 

U—-(V  _   C       {1+mxy 
U—'iiV~  B\l-]-x){l  +  kxy 

posito   cc  =  1,    prodit : 

a—(  ^    C  (1+my 
a  — ß  ~  ^'2(1+^)' 

posito   X  =  j^: 


62  DE  TRANSFORMATIONE  FÜNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

unde : 

Prorsus  simili  modo  invenitur: 

unde    m  =  S/k,  n=  — V^-      Xeque  enim  aequales  ponere  licet   m  et  n;   tum 
enim  expressio    „_.'y  =  ^—-4   ideoque  ipsa  y  abiret  m  constantem. 

lam  in  aequatione  : 

?7— yF  ^  ^— Y  ^   G  (l+y^l' 

ponatur  primum    o?  =  +  1,    quo  casu     CT  =  aF,    deinde    x  =■  —  1,    quo  casu 
TJ  =■  ß  F":  prodeunt  duae  aequationes  sequentes : 

a^Y  _    C   (HiVII' 

Quibus  in  se  ductis  aequationibus ,  fit : 

£  =  t/(^-T)(|3-T) 
J)         V(a_o)(ß— 8)' 

unde  ponere  licet: 

C=  V(«-Y)(ß-"^ 

D  =  \/(a-5)(ß-o); 

nam  e  quantitatibus   A,  B,  C,  D   una  ex  arbitrio  determinari  poterat. 

Ex  iisdem  aequationibus ,  altera  per  alteram  divisa ,  obtinemus : 

1-V^-  \/'(a-S)([:J-Y) 

unde: 

V^(«-T)(ß-S)  +  V(a-6Kß-Y) 
Adnotetur  adhuc  formula : 

\JT\     L  ^  2  V"(^-T)(ß-i)  +  V(«-5)(ß-T) 
^■^^7,  •v/(a_Y)(ß-8)-\/(a-8)(ß-Y)' 


EXPKESSIO     ,  ^  IN  SIMPLICIOREM  REDIGITUR.  63 

V^+(y_a)(y-ß)(y— r)(y-§) 

unde : 

'   'V         ^^y         V/(-^-T)(ß-o)-V(a-5)(ß-T) 

'    ^'   'V    ^y//,y          y/(a->0(P-ö)-V(a-2)(ß-Y) 
Ut  corstantes  A,  B  definiantur  observo,  ex  aequationibus  (l),  (2),  (3),  po- 
sito    a?  =  -rz ,  quo  facto    U  =  ZV ,   erui : 

Ö-.    ^(i-\/^)(i-\/f) 

8-T  4\/(7.-T)(ß— f) 

^  =  -failiri)  jV(a-T)(ß-S)-V(o.-S)(P-Y)j 


unde 


:b 


7. 

E   principiis   generalibus  siipra  a  nobis    stabilitis   sequitur,    in  exemplo 

nostro  expressionem  V ^-j-  aequalem  fore  producto  (l+V^-'^)(l  —  Slk.x)  in 

quantitatem  constantem  ducto ,  quod  ita  facto  calculo  comprobatur. 

Fit ,  uti  evolutione  facta  constat : 

Nacti  autem  sumus : 

U—ZV  =  B{\—slTi.xy, 

unde : 

diu^rn^    2C{i+\jh.x)\/k 

ax 
ax 


64  DE  TRANSFORMATIONE  FÜNCTIONÜM  ELLIPTICARÜM. 

Unde  prodit: 

His  Omnibus  rite  collectis ,  obtinemiis : 


AS/k,  J  CD 


■^)(v--:)(v-o)        T  — ö   V 


dx 


V-(y-°^)(2/-ß)(2/-v)(2/-S)         T-ö    V  -AB'sJ{i-.x^){l-Jc'x')' 


unde 


31 


^i-hJ-AB         \/(a-T)(ß-g)-\/(^^^)(i3-T) 


4V^  ^     C-ö  4V/^ 

_  (N/(a-T)(.3-3)  +  ^(a--6)(ß-Y)p 

/  2 


<2«/ 


(?a; 


V-(2/-a)(2/-ß)(2/-Y)C2/-S)         M\l{l-x^){l-¥x^) 

dx 

^/[l_.^2j[^(^V/(a-Y)(ß-5)  +  V^(a-5)(ß-T)y_^\/(a-T)(i3-5)-N/(a-o)(^^^^ 

Posito    (a  — Y)(ß  — 8)  =  G^,  (a_8)(ß  — y)  =  G',   fit: 


Jf\/(1— a;2)(l  — ^2^2) 


\/[i-:.^i  [f^+^^)-(^^~^^'y--^] 


Sit    G=^mm,   G'=nn,    sitporro: 


m 


'  =  |0«  +  '0,      n'  =  sj' 


mn 


m"  =  -^{rn'-{-n'),      n"  =  sjm'n  ^ 


erit ,  posito   x  =  sin  <f : 


dx 


do 


M  Sl{l~x''){l  —  ]c^x^)        Sjm'm"  cos^  cp  +  n"n"  sin^  9 
Ceterum  valor  ipsius  x  facillime  computatur  ope  formulae : 


l-Sik.x  _  (/(a-T)(ß-T)    ./y-5 


dy 
EXPRESSJO     ,  IN  SIMPLICIOREM  KEDIGITDR.  65 

V^+(y-«)ü/-^)(y-Y)(i/-S) 

ubi: 

.jY  v6r  —  \/G'  Nm'm" — n"n" 

8. 
Quantitates   ,a.  [3.  y.  h   in  formulis  propositis  ex  arbitrio  inter  se  permu- 
tare  licet.       Quod  in  arbitrio  nostro  positum  certum  fit  ac  definitum,  quando 
conditio  additur ,  ut ,  siquidem  fieri  possit ,  transformatio  per  substitutionem  rea- 
lem succedat.     Id  quod  accuratius  examinemus. 

Ponamus  quantitates  a,  ß,  y,  o  reales  esse  omnes,  sit  porro  a]>ß>7>ö, 
ita  ut  a  —  p,  a  —  y,  a  —  ö  sint  quantitates  positivae.  lam  distinguendum  erit 
pro  limitibus ,  inter  quos  valor  argumenti  y  continetur  : 

1)     0  et  Y,  2)     Y  et  ß,  3)     ß  et  a,  4)     a  et  o. 

Casu  postremo  transitum  ab  a  ad  h  per  infinitum  lieri  puta.     Expressionem 

1 

\/(^  — a)(3/  — pj(2/  — t)(3/  —  o) 
non  nisi  casu  secundo  et  quarto,  expressionem 


V-(^-^^-)(^-ß)(y-|)(2/-ö) 
non  nisi  casu  primo  et  tertio  realem  fieri  videmus.     Substitutiones  reales ,  quae 
quatuor  illis  casibus  respondent,  tabula  I.    indicabit.      Deinde  tabula  II.  for- 
mulas  amplectamur,  quae  expressioni 

dy^ 

per  substitutionem  realem  in  simpliciorem  transformandae  inserviunt,  pro  limi- 
tibus, inter  quos  valor  argumenti  y  continetur: 

1)     — oo  et  y,  2)     y  et  ß,  3)     ß  et  a,  4)     a  et  -f-oo. 

Quas  formulas,  dividendo  intra  radices  per  —  ö  ac  tum  ponendo  ö  =  oo,  facile 
e  tabula  I.  derivare  licet. 


66  DE  TRANSFORMATIONE  FÜNCTIONÜM  ELLIPTICAKUM. 

TABULA     I. 

(\]  ^y         -  =         ^^ 

^  (/(a—,0(,3-T)  +  ^(a-P)(Y-o)  ^  ^(.,-v)(ß-3T)-^(a-ß)(y-o) 

2  '  2 

(L)      Limites:   a..+oo..g:^^=iy|^3pE|).i/^ 
(11)     Timite<^-  Y  ß-   ^~^^  _  .7(,3-5)(y-o)   , /^^ 

(iL)    Limites,  y P-  ;^q:^  -  V(a-p)(a^  V^/urs' 


(L)       Limites:   8 a:     ^^^^  =  i/fcnK^ZlI^ .  ^ 

(IL)     Limites:   8 v:     ^^;^  =  // (-^— t) (-JES .  i/El 

^      ^  '        i>  +  -A^^         VG3-y)G3-o)    \  ,.-y 


(A.) 


TABULA     IL 

^2/  dx 


^{y-^-){y—?)iy-'()      sJ{i-x'){L'-n^x') 

l  _  V^g  — Y  +  y/g  — ß  iV  =  ^5ElZli5H? 


2 
(L)       Limites:  a  .  .  .  +oo:     :^:f^  =  iV^  V^^ 

(n.)     Limites:, ß:     ^^^  =  ^ 


■y 


L  +  Nx        ^(.^._ß)(^._.,,) 


/gN  ^y  dx 


^-(y-^-){y-i^)(y~'()      \/{i-x'){L'-N'x') 


l  _  V^  — T  +  N^|3  — T  y  ^  Va  — Y  — '/i:'  — T 

2  '  2 


(L)       Limites:   8 a:     ^^  =  ^(^^-- '^('^- '^ 

^  L  +  Nx  \/y  —  '( 


(IL)    Limites:  -CO...,:     ^  =  ^^ Y 


ß-y 

g  — y 


EXPRESSIO     —  ^  IN  SIMPLICIOREM  REDIGITUR.  67 

V/+(y-a)(y-ß)(y-T)(y-o) 

9. 

In  formulis  hisce  pro  limitibus  assignatis  simul  a?  a  — 1  iisque  ad  -f-l  at- 
que  y  ab  altero  limite  ad  alterum  transit.  Limitibus  autem,  qui  formulis  (I.) 
et  (II.)  respondent.  inter  se  commutatis,  expressioni  „     videmus  valorem 

imaginarium  creari  formae    +ii?,    posito  z  =  V — 1     ac   designante  R  quanti- 
tatem  aliquam  realem,    ipsi   x   autem  conciliari  formam    -^^^  =  -— .    unde 

L  —  Nx 1  —  e'^  e     2 — g2    ^ 

L-\-Nx        iJ-e^'P  _tf        5  ^"2"' 

e     2  +  e  2 


20 


Formam ,  ad  quam  hac  occasione  delati  sumus ,    o?  =  —    in  expressione 

dx  -    -.  y^ 


substituamus .     Prodit : 


\l{l  —  x''){l  —  k''x') 

dx  ie^  d'^  d' 


V(l-.^)(l-Fx^)     ^^Y^,_^^)^^_,^.>)      y/(i_..">)(i_,a-.) 


do 


Vi  —  2  Ä;  cos  2  9  +  Z;Z;        \/(l  —  kf  cos^  cp  +  (1  +  yl')^  sin^  cp  ' 

Quae  nobis  quidem  substitutio  satis  memorabilis  esse  videtur.     E  qua  etiam  ge- 
neralior  formula  fiuit  sequens,  ponendo   o?  =  sinc}^: 

Ä"  sin*"  <!^  (?  <{/    (cos  2  « '^ -|- i  sin  2  M  cp)  (Z  9 

Sjl  —  h^sm^'b  ~      \Jl~2Jccos2<^-^kk 

unde  pro  limitibus  0   et  t:  obtinetur ,  evanescente  parte  imaginaria  : 

cos  n  cp  d  z/ 


f"k''sm^"'!jd'^     _    r  cos2n'^do  _    f  

Jq  \/l—kHm^  ~  Jq   \/1  — 2ä;cos2cc4-^  ~  J o  \JT 


2k  cos 'z>-\-kk 


quae  est  demonstratio  succincta  formulae  memorabilis  a  Cl°.  Legendre  prodi- 
tae.      E  tabulis  I.  et  II.   duas  alias  derivare  licet  sequentes ,  commutatis  limi- 

tibus ,  inter  quos  valor  ipsius  y  continetur ,  ac  posito  cc  =  -^^  •  Pro  limitibus 
assignatis  angulus  cp  inde  a  0  usque  ad  tc  crescit,  dum  j/  ab  altero  limite  ad 
alterum  transit. 


68  DE  TRANSFORMATIONE  FUNOTIONUM  ELLIPTICARUM. 

TABULA     III. 

dii  do    • 

(A)  —  =  — 

^     ■''  \/(?/  —  a){ij  —  ß)(«/  —  '(){y  —  o)         \/mmcos^cp-|-M«sin^9 

(I.)       Limites:  y ß:    tg-  =  V  (a-T)(T-5) '  V  ßlT^ 

(IL)    Limites:  a  .  . +00  .  .  g:  tg-  =  y __^^^__ . y  _-, . 


^     '^  V— («/— a)(^  —  ß)(?/  — t)(2/  — ö)         V*^^*^  cos^cp  +  w^^sin^cp 

m  =  v^(a  — Y)(ß  — o)(cr.  — o)(ß  — y),         ^^  =  — ^ 3 

(L)       Limites:   0 7:     tg  |-  =  y/ ^^^-^^p::^  V  7^1^ 

(11.)    Limites:  ß a:     tg|  =  ^^L^L^J Y^• 


T  A  B  U  L  A     IV. 

^     ■''  Y/(^_a)(^_ß)(2/  — y)         0/^mcos2cp  +  w»^siIl2(p 

(IL)    Limites:  a  .  .  .  4-cx):     tg^  =  -     "•" 


2  i;/(a_ß)(a-T) 


(B  )  ^^  =  ^'' 

^    ''  SJ—iy — a)(2/  -  ß)(?/  —  T)         \/wmcos^9+wwsin^cp 

4 ,  V'a  —  Y  +  Vß  — T 

m  =  V^(a- y)  (ß  -  y)  ,        ^^  = 4^ ^ 

(I.)       Limites :   -  00  .  .  .  T :     tg|  =  ^E^^^ 
(IL)     Limites:         ß...a:     tg|  =  V^^V|^- 


EXPRESSIO     ,  '-^ IN  SIMILEM   ,  TKANSFORMÄTUß.  69 

\\i  —  i/){l  —  l'y-}  3I^{l  —  x-){\  —k^x") 

Fusius  lianc  quaestionem  tractavimus ,  ut  adesset  exempliim  elaboratum. 
Restant  adhuc  casus ,  quibus  quantitatum  a,  ß,  y?  ö  vel  duae  vel  quatiior  imaoi- 
nariae  sunt.  Casus  prior  et  ipse  solutionem  realem  admittit ,  quae  tarnen  specie 
imaginarii  laborat.  Casus  posterior  eiusmodi  solutionem  realem  omnino  non  ad- 
mittit. Quare  ut  omnia  ad  realia  revocentur,  novis  transformationibus  opus  erit, 
unde  concinnitas  formularum  perit.     Cui  igitur  quaestioni  supersedemus. 

Substitutioni  propositae  alia  respondet .  eins  inversa ,  formae 

&  +  &V  +  ^"y'^ ' 

quae  et  ipsa  formulas  elegantissimas  suppeditat.  Cum  vero  fortasse  iam  nimis 
diu  huic  quaestioni  immorari  videamur,  eins  investigationem  ad  aliam  occasio- 
nem  relegamus.     Revertimur  ad  quaestiones  generales. 


DE  TRANSFORMATIONE  EXPRESSIONIS  -=p==  IN  ALIAJI 
Eins  SIMILEM  "^^ 


M\l{l—x^)il—h-'x^) 
10. 


Vidimus  datam  expressionem : 

dy 


SlA-^B'y^Cy-^By  +  EY 
per  substitutionem  adhibitam  huiusmodi: 

_  a  4-  a'x + a"x^  -] \-  ft(^)  x^  _    U 

y  —  h^h'x-^ h"x^-\ h ^'"^^^  ~  y ' 

quicunque  sit  numerus  p ,  in  aliam  eins  similem  transformari  posse 

dx 


\lA-^Bx-\-Cx'-\-I)x^^Ex'' 

Eiusmodi  substitutio  cum  a  datis  coefficientibus  A',  B\  C,  D',  E'  pendet 
tum  vero  maxime  a  numero  />,  quippe  qui  exponentem  designet  dignitatis  sum- 
mae,  quae  in  functionibus  rationalibus  CT,  V  invenitur.  Quamobrem  in  se- 
quentibus  dicemus  eiusmodi  substitutionem  seu  transformationem  j9^*  ordinis  esse 
sive  ad  p^""*  ordinem  sive  simplicius  ad  numerum  p  pertinere. 


70  DE  TRANSFORMATIONE  FUNCTIONÜM  ELLIPTICARUM. 

lam  indolem  harum  substitutionum  acciiratius  examinaturi ,  missani  facia- 
mus  formam  illam  complexiorem : 

äy 

\IA'+  B'y  +  CY  +  Dy  +  EY ' 

ac  quaeramus  de  simpliciore  hac  -7- „;,  ^        v...  ?  ad  quam  illam  revocari  posse 

et  vidimus  et  notum  est,  in  aliam  eius  similem     ,  ,    „■    transfor- 

Msl{l—x^){\  —  'k'x^) 

manda. 

Quaestionis  propositae  natura  rite  perpensa,  problemati  satisfieri  invenitur, 
siquidem  functionum  CT,  V  altera  impar,  altera  par  esse  statuatur,  id  quod  iam 
exempla  innuunt  ab  analystis  hactenus  explorata.  Qua  in  re  maxime  distin- 
guendum  erit  inter  casum,  quo  imparis  functionis  ordo  paris  ordine  minor,  et 
eum,  quo  maior  est  paris  ordine,  sive  inter  casum,  quo  transformatio  ad  numerum 
parem ,  et  eum ,  quo  ad  numerum  imparem  pertinet. 

Iam  igitur  primum  probemus  transformationem  succedere ,  adhibita  substi- 
tutione  ordinis  paris  seu  formae : 

y  —       1  _j_6'a;2  +  &'V H ^&('»)^^'"         ~   V  ' 

Hie  functiones  F  +  Z7,  V — Z7,  V-^-'kU^  V — XU  et  ipsae  erunt  ordinis 
paris ,  unde  ponamus  : 

(1.)  r+U  =  {l-\-x)(l-j-7cx)ÄÄ 

(2.)  r—U  =  {l—x){l—lix)BB 

(3.)  V-\-W  =  CG 

(4.)  r—XU=DD, 

designantibus  J.,  B,  C,  D  functiones  elementi  .37  rationales  integras.  Quibus 
aequationibus  simulac  satisfactum  erit,  eruetur,  uti  probavimus: 

dy  dx 

SJ{i—y^){l—'}J^)  ~  M\l{l—x^){l  —  k''x') 

Mutato  a?  in  — <r  cum  U  in  — U  abeat,  V  autem  non  mutetur,  ex  aequ.atio- 
nibus  (l.j,  (3.)  reliquae  (2.),  (4.)  sponte fiuunt.  Ut  aequationibus  (1.),  (3.)  satisfiat, 
T^-J-^^  debet  m  vicibus,  V-\-U  autem  m — 1  vicibus  duos  inter  se  aequales 
habere  factores  lineares;  insuper  ipsi  V-{-U  etiam  factor  l-|-<r  assignari  debet. 
Quae  omnia  aequationes  conditionales  sibi  poscunt  numero  m-{-m  — 1+1  =  2w, 


dy  dx 

EXPRESSIO  ''       r-=  IN  SIMILEM  ===  TRÄNSFORMATUR.  71 

\{i-y^)(l  —  X-r)  M\/{i—x^){i  —  k-x-) 

qiii  et  ipse  est  numerus  indeterminatarum  a,  a\  .  .  .  a^"*"*);  b\  b",  .  .  .  b^"^K 
Unde  problema  2)ropositum  est  determinatum. 

Secundo  loco  probemus  succedere  etiam  transformationem ,  adhibita  sub- 
stitutione  huiusmodi: 

^  ~  ~  1  +  b'x"^  -f  b  "x^  +  ....  4-  ö(;»)  a;*™  7" 

quae  ad  numerum  imparem  pertinet.  Hie  V-\-U,  V — CT,  V-{-'kU,  V — 'KU  et 
ipsae  sunt  imparis  ordinis ,  unde  ponamus : 

(1.)  V-\-U  =  {l  +  x)ÄA 

(2.)  V—ü={l—x)JBB 

(3.)  F+X?7=  {l-^hx)CG 

(4.)  V-XU=  {l~hx)BB. 

Hie  quoque  solummodo  aequationibus  (1.),  (3.)  satisfaciendum  erit,  quippe  e  qui- 
bus  mutando  x  in  — x  duae  reliquae  sponte  manant.  Ut  illis  satisfiat,  et 
V-{-TJ  et  V-\-'kU  singiüae  m  vicibus  duos  inter  se  aequales  habeant  factores 
lineares  necesse  est,  quem  in  finem  2m  aequationibus  conditionalibus  satisfa- 
ciendum erit,  quibus  una  accedit,  ut  insuper  V-\-U  nanciscatur  factorem  [i-{-x). 
Hinc  numerum  aequationum  conditionalium  esse  videmus  2^+1,  qui  et  ipse 
est  numerus  indeterminatarum  a,  a\  a",  .  .  a^^^\  b',  b",  .  .  .  M'").  Unde  et  hoc  casu 
determinatum  est  problema. 

11. 

Designentur  per    U',    V   functiones  elementi   1/   integrae  rationales  eius- 

U' 
modi,  ut,  posito  z  =  -~ ,    eruatur: 

ds  dy 


Sit  ea,  quae  adhibita  est,  substitutio   z  =  ^^  ordinis  p^\    ac  per  aliam  substi- 

tutionem  y  ^  —    (designantibus    CT,  F,    ut  supra,  functiones  elementi  x  ratio- 
nales integras),  quae  sit  ordinis  y/\  eruatur,  ut  supra: 

dy  dx 

\J(l^^(l^^^y^)  ~  Jfv/(i;^2)(l  — F^2)* 


72  DE  TRANSFORMATIONE  FUNCTIONDM  ELLIPTICAEUM. 

lam  Substitute  valore    1/  =  ^   in  expressione  2;  =  ^ ,    nascatur   z  =  —  :    erit 
una  illa  substitutio   z  =  ~ .  qua  adhibita  eruitur : 

dz  dx 


Slil  —z')  (1  —  fx2^2-)  MM'slil  —  x')  {l—li'x^) 
ordinis  [ppf^-  Ita  videmus,  e  pluribus  transformationibus ,  quae  resp.  ad  nu- 
meros  p,  p,  p",  .  .  .  pertinent ,  successive  adhibitis ,  unam  componi  posse ,  quae 
ad  numerum  pp'p" .  .  .  pertinet.  Nee  non  vice  versa,  quod  tarnen  in  praesentia 
non  probabimus,  transformationem ,  quae  ad  numerum  aliquem  compositum 
pp'p" .  .  .  pertinet,  semper  ex  aliis  successive  adhibitis  componere  licet,  quae 
resp.  ad  numeros  p,p\p", .  . .  pertinent.  Quamobrem  eas  tantummodo  investigari 
oportet  transformationes ,  quae  ad  numerum  pertineant  prmwm ,  quippe  e  quibus 
cunctas  componere  liceat  reliquas.  lam  igitur  in  sequentibus  missum  faciamus 
casum  primum ,  qui  ordinem  transformationis  parem  spectat ,  quippe  quem  sem- 
per componere  liceat  e  transformatione  imparis  ordinis  et  transformatione ,  quae 
ad  numerum  2  pertinet,  identidem,  ubi  opus  erit,  repetita.  Casum  secundum 
autem  seu  transformationes  imparis  ordinis  iam  propius  examinemus. 

12. 
Videmus  eo  casu  functiones  duas ,  alteram   V  parem  2  m*^  ordinis,  alteram 
U  imparem  (2^4-1)*^  ordinis  ita  determinandas  esse,  ut  sit: 

r-\-  u  =  {i-{-x)ÄÄ,      v-{-iu  =  {i-j-Jcx)cc. 

Iam  dico,  si  quidem  ita  functiones  U,  V  determinentur,  ut,  loco  x  posito  r-, 

abeat  2/  =  ~  in  —  =  yrri  aequationes  illas  alteram  ex  altera  sponte  sequi. 

Ponamus    V  =■  <f{x^),   U  =  xFix^);    videmus  expressionem  y  =  ^^^  /  2 -^  ^ 

loco  X  posito  r— ,  abire  in 
^  kx 


ubi    X'"*  F  (-r^-^J  n  ^^"^^(r:r~u    ^^^^  functiones  integrae.     Quod  ut  ae quäle  fiat 

.     1  Y  z,(x^) 

expressioni  —  =  _  =      'i,  %  ,  sequentes  obtinere  debent  aequationes ; 


^y  dx 

^^^'■^''">  >/(,-y=)(.-,.y.)  ■"  '™"'™  Jf>-(.-.-)(,-...^  TRANSFORMATDE.  73 

designante  p  quantitatem  constantem.     Ubi  in  Ins  aequationibus  rursus  ponimus 
f-  loco  jr,  nanciscimur :      ci(— _)  =  —Ä — F(x^)  )  Ff  ^   ^  —     -^^    .-v-r'A 

Quibus  cum  prioribiis   comparatis  aequationibus ,    obtinemus    ~  z=  —      unde 

kl  ph 

p  =  yxk""-'.     Hinc  fit: 

quarum  aequationum  altera  ex  altera  sequitur. 
lam  quoties  expressio : 

quadratum  est  functionis   elementi    x    integrae  rationalis,    idem  etiam  valebit 
de  altera,  quae   ex  illa  derivatur   ponendo     ^    loco   x    ac  multiplicando  per 

yX^"'^"*   ^^^"'.     Quo  facto  obtinemus.  siquidem  quadratum  sit,  functionem: 

,1  1  +  Z:.r 

_  o{x'')  +  XxF{x^)  _   V-\-aU 
l-\-hx  l-\-Jcx 

et  ipsam  quadratum  fore.     Q.  D.  E. 

Itaque  eo  revocatum  est  problema ,  ut  expressio : 


V-\-U 


l-\-x  l-\-x 

quadratum  reddatur,  designante  ^{x^)  expressionem  huiusmodi : 

Fit  autem,  posito     U  =:  xF[x-)  =  x{a-{-ax^-\-a"x^-\-  ■  •  •  -{- a^'""^  x^"') , 
cum  Sit  U  =-  xFix^\  =  \/^  o^^m+i,^  /^  1   ^  . 

lam  ad  exempla  delabimur. 

I.  10 


74  DE  TRANSFORMATIONE  FUNCTIONÜM  ELLIPTICARUM. 

PROPONITUR  TRANSFORMATIO  TERTH  ORDINIS. 

13. 

Sit  m  :=  1,  qui  est  casus  simplicissimus ,    V  =  1  -\-b'a^^,  ü  =  x[a-\-ax^). 
Posito  A  =  l-f-ao?,  eruimus: 

ÄA  =  (1  +  aa;)-      =  1 -^  2a.x -^  aax\ 
nnde : 

V-\-U==  (l  +  x)AA  =  14-(l  +  2a)ji;+7.(2  +  7.)a;2-f  aaa;3. 
Hinc  fit : 

&'  =  (x(2-|-a),     a  ^  \-\-2rj.,      a'  =  aa. 

Aequationes  (3|c)  §.12.  in  sequentes  abeimt : 

JJ   V       ,       ./F 
^=  VT-T'    "  =  VT' 

unde  obtinemus : 

Ponatur  'Vk  =  u,  ^l  =  v,  6^«  =  "-'.    i  +  2a  =  "-+^,  a(2+a)  =  "'^^"j"'')  ■ 
Hinc  aequatio: 

l  +  2a=<^ 

abit  in  sequentem : 

v-\-2u^  u{2v-\-u^) 

V  v^ 

sive : 

(1.)  u^—v^-\-2uv(l  —  2i^v^)  =  0. 

Fit  praeterea : 

a  =  l  +  2a  =  — ■ 

V 

a'  =  aa  =    -^ 

h'  =  a(2  +  a)  =   ^''(^^'  +  ^'')  =  vu\v-\-2u^). 

Hinc  obtinemus : 

{v  -\-  2n^)  vx-\-u^x^ 


(2.) 


v^  -\-v^iC^{v  -\-2ii^)x'^ 


PROPONITÜR  TEANSFORMATIO  TERTII  ORIgNIS.  75 

Praeterea  obtinemus ,  quia    1  -{-]/  =  ^  '^^ : 

(3.)  1+2/  = 


V 


(5.)  i  A  ~ y  _  t /l— a;_i^  — ?t^a; 

y  i-\-ij      \  \-\-x  v-\-ii^x 

^  *^  ^         -^  v^-{-v^ii'\v-\-2u^)x^' 

Porro  loco  o?  ponendo   ^  =  ^.    t;um  i/  abeat  in   ~  =  ~,    eruimus  sequen- 
tiiim  formiilarum  systema: 

C8)  1— «;^w  =  (^—^i^x)(l—uvxy 

^  '^  -^  \-Yvu^{v^2u^)x'' 


(^•)     \/i^ = v/i 


— ir  X   1  —  ^<  V  ic 


-^v^y         V  l-{-ti^x   l-\-uvx 
riO  ^  \/r=^«/2  ^  Vi— ^^^3;^(1— ^^2^^a:^) 

14. 
Posito 

F— ?7=  (1  — 0?)^^,  V—\U=  {\  —  kx)DD, 

vidimus,  fieri: 


\     dx  dx/ 


designante  M  quantitatem  constantem,  quam  ex  uiiius  eiusdem  dignitatis  coef- 

ficientis  comparatione ,  in  utraque  expressione   AB  CD,   V^- ^ ^-   instituta, 

dx  CvX 

eruere  licet.  lam  posito  V  =  b-{-b'x^-\-  etc.,  U  =  acr  +  rtV-j-  etc.,  in  singii- 
lis  expressionibus  A,  B,  C,  D  lit  constans  \lh,  unde  in  producto  ex  iis  con- 
fiato  hh,  in  expressione  autem  V^ ^T~  constantem  fieri  videmus  ah,  unde: 

10* 


^Ö  DE  TRANSFORMATIONE  FÜNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

M  =  -• 

a 

TT.        .                   1            ^       Hl.           -7           .                  v-\-2u^  u{2v-\-u^) 

Hinc  m  exemplo  nostro  lit ,  quia  6  =  1,  a  =  — =  -^ — r — - : 

-1,4 

31  = 


unde: 

dy  {v-\-2u^)  dx 


Modiili  k,  X,  quos  per  aequationem  quarti  gradus  a  se  invicem  pendere 
vidimiis  §.  13.  (1.),  facile  per  eandem  quantitatem  a  rationaliter  exprimuntur. 
E  formiilis  enim  supra  allatis : 

sequitur : 

M»         2   2         a(2  +  a) 
t;  l  +  2a 

unde: 

l  +  2a  Vl  +  2a/ 

Fit  insuper :  M  =  rniö" '    ^^^^ '  P^^^i^^  2/  =  ^i^  ^''  -^  =  sin  T,    aequatio : 

dry dx 

V/(i— 2/2)(i-X22/2)  —  iif^(i_a;2)(i^!|ip) 

in  sequentem  abit : 

dT'  dT 


sive  in  hanc : 

dT  dT 


\/(l  +  2a)3cos2T'  +  (l— a)3(14-a)sin^T'  V^(l +  2a)cos2r+ (1 +a)=^(l— ajsin^T 

ad  quam  pervenitur,  substitutione  facta: 


sm  T   =  - — ■ ' 

l+a(2  +  a)sm2T 


PROPONITÜR  TRANSFORM ATIO  QUINTI  ORDINIS.  77 

PROPONITUE  TRANSFORMATIO  QUINTI  ORDINIS. 

15. 
lam  ad  exemplum ,  quod  simplicitate  proximum  est ,  transeamus ,  in  quo 

TW  =   2, 

Eruimus : 

AA  =  l  +  27.a;  +  (2,3  +  7.7.)a:2-f-2a,3:^'3-f-ßßic4, 
unde: 

^^(l  +  a;)  =  l  +  a:(14-2a)  +  a;2(2a-f  2,3  + aa)  +  ;r«(2ß  +  7a  + 27,3) +:^;*(2aß+ß,3)^-ßßa;^ 
Hinc  nanciscimur : 

h'  =  27  4- 2,3 -f- 7.7,      h"  =  ,3(2a-hß) 

a   =  1  +  27,      a'  =  2,3  +  77  +  27,3,     a"  =  ßp. 

Aequationes  (>tc)  g.  12.  fiunt: 

Ex  his  sequitur : 

a'a'  J)'b' 

a  a"         b" 

sive ,  cum  habeatur  h'  =  (2a  -f-  p)  +  (ß  -|-  aa) ,   a  =  ß  (i  -f-  2a)  -}-  (g  -+  aa) . 

[(27+ß)  +  (,3  +  7.7)]^     _     [ß(l  +  27)  +  (ß  +  77.)]^ 

2a  +  ß  ß(l  +  2a) 

unde: 

^^  +  ?+   2a  +  ß      -  ß(l  +  2«)  +  ß(i_|.2a)- 
Hinc  facile  sequitur : 

ß(l  +  27)(27  +  ß)  =  (ß  +  7a)^ 

quod  evolutum  ac  per  a  divisum  abit  in : 

a^=  2ß(l  +  7  +  ß). 


78  DE  TRANSFORMATIONE  FÜNCTIONÜM  ELLTPTICARUM. 

Hanc  aequationem  his  etiam  duobus  moclis  repraesentare  licet: 


(a7.  +  ß)(a-2[:i)    =  ß(2-a)(l -f- 2a) 
(aa  +  ß)(2-a)      =  (a- 2ß)  (27.+ ß), 


imde  sequitur: 


/2-^Y 
V  7.-23/ 


2a+ß 


\p  ß(l  +  2a) 

His  praeparatis,  reliqiia  facile  transiguntur.     Invenimus  enim,  posito    k 


M*, 


unde  etiam: 


2a +  ß       _    V_ 
ß(l  +  27.)  ~  ää/' 

2  — a 


a'a' 

a— 23  ^  M^' 


Est  insuper   ß  =  Sja   =  t/—  =  ^1-,  unde  aeqiiationes : 


—  =  C^  —  ^-V  _     2a +  ß 
M*         Va— 2ßy    ""    3(14-27.)' 

in  sequentes  abeunt: 


2  — a 


ß(l  +  27.)  a  — 2ß         ^t^ 


sive: 


unde 


2o.v-\-u^  =  uv*(l-{-2a) 
u^(2  —  a)  =  v{va  —  2m^), 

2az;(l  —  uv^)  =  u(v^  —  u^) 


Facta  evolutione ,  prodit : 

(1.)         ^t6  —  ?;6  +  5  ^2^2  (^2  _  ^2)  _|_  4  ^j ^  (1  _ ^^4^4)  ^  o 

Reliqua  ita  inveniuntur.     Ex  aequationibus : 


sequitur 


2a?;  (1 — uv^)  =  u{v^ — u^) 


PROPONITUR  TRANSFORMATIO  QüI^TTI  ORDINIS.  79 


Hinc  fit: 


V  VI  —  iiv^y 

rx  —  2^i    =    U =    (  ) 


2— =  2<„n:^) 


2 7.  vi MüV 

Hinc  tandem  deducitur: 


b'    =  ,3  + 2  a -[-7.7. +  .3   = 


1  —  uv^ 


&     =  -  (2a  +  ;i)  =  nH  ( 3  J 

V  ^  '  Vi  —  uv^y 

1  /  V  —  «^  \ 

a       =    —  (:; j) 

V  VI — ?<i-v 


10 

3> 


~i2 


lam  cum  sit     M  =  —  =^  vi  — — -^  ) .    transformatio  quinti  ordinis  continebitur 
a  \  V  —  iiP  J  ' 

theoremate  sequente: 


T  li  e  0  r  e  m  a. 
Posito  : 


(1.)  xi^—v^-^hii'v''{ii}  —  v'')^^uv{\  —  u'^v^)  =  0 


fit 


v{\ — uv^)dy       {v  —  u'')dx 


80  DE  TRANSFORMATIONE  FÜNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

QUOMODO  TRANSFORMATIONE  BIS  ADHIBITA  PERVENITUR 

AD  MULTIPLICATIONEM. 

16. 
Inspicientem  aequationes  inter  u  et  v  diiobiis  exemplis  propositis  inventas: 

fugere  non  potest,  immutatas   eas  mauere,  ubi   u   loco  v,    loco   u  autem    v 

ponitur.     Hinc  e  theoremate  exemplo  primo  invento ,  videlicet  posito : 

V  (v -\- 2h^) X -}- u^ x^    ■ 

fieri : 

dij  v-\-2u^  dx 


alterum  statim  derivatur  hoc ,  posito : 

u{u  —  2v^)y-\-v^y^ 

fieri : 

dz u  —  2v^  dy 


\l{\—z''){l  —  u^s^)  n  sj{\  —  y'){\—v^y^) 

lam  vero  est: 

rv-\-2u^\  At— 2^)3^  _  2 {i&  —  v'^)^uv{\—^u^ y^)  _ 

\        V        J  \       U        J  UV  ' 

unde  sequitur: 

dz  —^dx 


Ut  loco  —  3   eriiatur  -\-  3 ,  sive  z  in  —  z^  sive  o?  in  —  x  miitari  debet. 

Simili  modo  e  theoremate  exemplo  secundo  pro])osito  alterum  deducitur, 
videlicet  posito : 


QÜOMODO  TRANSFORMATIONE  BIS  ADHIBITA  PERVENITÜR  AD  MULTIPLICATIONEM.  81 

erui : 

d^  u-\-v^  dy 


lam  cum  ex  aequatione : 


sequatur : 
fieri  videmus : 


(m  +  v^)  {v  —  tl^)       icv(l  —  ?<*  y*)  —  (u^ — v^) 

uv{l-\-u^v)(l — tlV^)  UV  (1 -\- u^  v)  (1  —  uv^) 


d^  hdx 


Ita  transformatione  bis  aclhibita  pervenitur  ad  miiltiplicationem. 

Haec  duo  exempla ,  videlicet  transformationes  tertii  et  quinti  ordinis ,  iam 
prius  in  litteris  exhibui,  quas  mense  Iimio  a.  1827  ad  Cl°^.  Schumacher  dedi. 
Vide  Nova  Astronomica  Xr.  123,  Nee  non  ibidem  methodi,  qua  eruta  sunt,  ge- 
neralitatem  praedicabam.  Alterum  biennio  ante  iam  a  Cl°.  Legend re  inven- 
tum  erat. 

DE  NOTATIONE  NOVA  FUNCTIONÜM  ELLIPTICARUM. 

17. 

Missis  factis  quaestionibus  algebraicis,  accuratius  inquiramus  in  naturam 
analyticam  functionum  nostrarum.  Antea  autem  notationis  modum,  cuius  in 
sequentibus  usus  erit,  indicemus  necesse  est. 

Posito    /  ^  =  u.  angulum  cp  amplitudinem  functionis  u  vocare 

Jq  yl  —  Fsin^cp 

geometrae  consueverunt.     Hunc  igitur  angulum  in  sequentibus  denotabimus  per 
ampl  u  seu  brevius  per : 

cp  =  amw. 

dx 
\  \l{l  —  x')(l  —  ]i'x'') 
erit :  x  =^  sin  am  u. 


Ita,  ubi  u  =    I     ^ 

erit: 

Insuper  posito : 


11 


82  '    DE  TRANSFORMATIONE  FUNCTIONUM  ELLIPTlCARUM. 


r^ dx _      /"a d(. 


sin''*  cp 


=  K, 


vocabimus  K — u   complementum  functionis  u\    complementi  amplitudinem  de- 
signabimus  per  coam,  ita  ut  sit: 

am(^ — u)  =  Qo&mu. 

Expressionen!   \/l  — Psin^amw  =  — ^ — *,    diice  Cl°.  Legend re,  denotabi- 
mus  per: 

Aamt«  =  V'l — yv^sin^amw. 
Complementum,    quod  vocatur  a  Cl°.  Legendre,    moduli    k   designabo 
per  h\  ita  ut  sit : 

JcJc-{-¥Jc'  =1. 
Porro  e  notatione  nostra  erit: 


K'  =    p- ^ 


\Jl  —  /JA;  sm'<p 

Modulus,  qui  subintelligi  debet,  ubi  opus  erit,  sive  uneis  inclusus  addetur  sive 
in  margine  adiicietur.  Modulo  non  addito,  in  sequentibus  eundem  ubique  mo- 
dulum  k  subintelligas. 

Ipsas  expressiones  sin  am  t«,  sincoamw,  cos  am  m,  coscoamw,  Aamw, 
Acoamw  etc.  ac  generaliter  functiones  trigonometricas  amplitudinis  in  sequenti- 
bus functionum  ellipticarum  nomine  insignire  convenit,  ita  ut  ei  nomini  aliam 
quandam  tribuamus  notionem  atque  hactenus  factum  est  ab  analystis.  Ipsam 
u  dicemus  argumentum  functionis  ellipticae,  ita  ut,  posito  <^?  =  sin  am  w,  sit 
w  =  argsinama?.      E  notatione  proposita  erit: 

cos  am  w 


sincoamw  = 

coscoamw  = 

Acoamw  = 

tgcoamw  = 


Aamtt 
Je'  sin  am  u 
Aamw 


Aam^« 
1 


k'tgamu 

cote  coam  u  =  — : 

°  cotg  am  u 


FORMÜLAE  ADDITIONIS.  83 

FORMULAE  IN  ANALYSI  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM 

FUNDAMENTALES. 

18. 
Ponamus    am m  =  a ,   am v  =  b,   am {u-\-v)  =  o ,    am {u  —  v)  =  0 ;    notae 
sunt  formulae  additionis  et  subtractionis  functionum  ellipticarum  fundamentales : 

sin  a  COS&A&  4"  sin  &  cos  aAa 


1  — Jc^sirv'asm^h 

COSO 

= 

cosacosb  —  sina  sin 6  la\h 

1  —  Psin^a  sin'' 6 

Ao 

= 

AaA& — /v''' sin  a  sin  &  cos  a  cos  & 

1  — /j^sin^asin^ö 

mn^ 

= 

sina  COS&  A&  —  sin&  cosaAa 

1  —  Zj^sin^asin^ö 

cosi^ 

= 

cos  a  cos  &  +  sin  «  sin&AaA6 

1  —  Z;^sin^asin^ö 

A^ 

A  a  A  &  -)-  /c^  sin  a  sin  h  cos  a  cos  b 

Z;^sin^asin^& 

Ut  in  promptu  sint  omnia,  quorum  in  posterum  usus  erit,  adnotemus  ad- 
liuc  formulas  sequentes,  quae  facile  demonstrantur ,  et  quarum  facile  augetur 
numerus : 

.        ,     .    „            2sinacos&A& 
(1.)  sma  +  sini)  = j2  •  2     -21. 

,        „  2  cos  a  cos  & 

(2.)  COS.  +  cos»  =  i_^.3i^.„3i„,a 

.   .  A     _L   \*^    —  2 AaA6 

^  ''  1 — ^^sin^asin'-^ö 

. , ,  .  .    ^  2  sin  &  cos  a  A  a 

(4.)  sino  —  8mt>  = 


1  —  ^^sin^asin^6 

2  sin  a  sin  6  A  ft  A  & 


(5.)  COSO — COSO  =    ^        7.>    .    o       .    ü7 

.  „         .      2  Z:^  sina  sin  &  cos  a  cos  & 

^  '*  1  —  Ä^sin'-'asin^ö 

11* 


84 


(7.) 
(8.) 
(9.) 
(10.) 
(11.) 
(12.) 
(13.) 
(14.) 
(15.) 
(16.) 
(17.) 
(18.) 
(19.) 
(20.) 
(21.) 
(22.) 
(23.) 


DE  TRANSFORMATIONE  FUNCTIONUM  ELLIPTICARÜM. 


sin  a  sin  {>  = 
1  -j-  ^^  sin  a  sin  &  = 


1  —  yfc^sin^a  sin^ö 
1 — k^  sin^  a  sin^  b 


1 — A;^sin^asin^6 


1  -|-  cos  a  cos  i> 


cos^a  +  cos^& 


1  —  Ä;^  sin'"*  a  sin^  ö 


1  +  AoAO  = j^-^. — ^^T 

1 — A;^sin''asin''o 


1  —  Z;^sinasinO  =: 
1  —  sin  0  sin  &      = 

1  —  cos  0  cos  i>      = 


A^a-\-k^sm^h  cos^a 
1  — Ä;*sin^asin^& 

cos^a  +  sin^&  A^a 
1  —  Ä;^sin''^asin^& 

sin^  aA^h-{-  sin'"^  bA^a 
1  —  Ä;^sin''^asin^& 


P(sin^acos^&  +  sin^&cos^a) 


1-AaAO  = 


/i   1    •     \ /f   1    •    CIN  (cos6  +  sinaA&)2 

(l±ma)(l  +  smJ)       =  l_F7iD^asm4 

,,   ,    .     ..._.„-  (cosa  +  sin&Aa)^ 

(1  ±  sm  a)  (1  +  sm !.)      =  ^^-^^-^-^^-^ 

(l  +  il-smo)(l+ism9)  =  (A^^»J^l 
~  /^   —  i  —  k^sm''a8m^b 

,.   ,  ,    .     ,  .^_^    .    ,,-         (Aa  +  Z;sin&cosa)^ 
(l±^sma)(l+/.smö)  =  ^-i^z^i^.--^ 


(1  +  COSa)  (I+COSO) 
(1  +  COSa)  (1  ^Tcosi)) 
(liAa)(l  +  Aa) 
(l±Aa)(l  +  A&) 


(cosa  + cos?>)^ 


1  —  yt^sin^asin^ft 

(sinaAft  +  sin&Aa)^ 
1  — Z;^sin^asin^5 

(Aa  +  A5)^ 
1  —  A;^  sin'''«  sin  ^& 

/i'^sin^(a  +  ö) 
1  —  Ä;^sin^asin^ö 


(24.) 

sin  3  cos  U 

(25.) 

sin  i>  cos  3 

(26.) 

sin  3  A  i> 

(27.) 

sin  i>  A  3 

(28.) 

cos  3  A  i> 

(29.) 

cos  i>  A  3 

(30.) 

sin(3-j-i>) 

(31.) 

sin  (3  —  0) 

(32.) 

C0S(3+Ü) 

(33.) 

cos  (3  —  U) 

FORMULAE  ADDITIONIS.  85 

sinacosaA&-|-sin&  cos&Aa 
1  — Z;^siD^r/sin'*'6 

sin  a  cos  a\h  —  sin?*  cos  h  \a 
1  — Z;^sin^o  sin^ö 

cos  &  sin  a  A  a  -)-  cos  a  sin  &  A  6 
1  — ^^sin-^asin^ft 

cos  6  sin  a  A  a  —  cos  a  sin  &  A  & 
1  —  Psin^asin^ö 

cos  a  cos  h\a\l)  —  Ä;X'sin  a  sin  & 
1 — Z;^sin^asin^6 

cos a  cos  &  A  a  A  ft  +  /-^'^'sin  a  sin  h 
1  —  /j^sin^asin^ö 

2  sin  a  cos  a  A  h 


1- 

-/j^ 

sin^asin^ö 

2 

sin 

6cosöAa 

1- 

-Je' 

'sin^asin^ö 

cos' 

'a- 

—  sin^aA^& 

1- 

-h^ 

sin^rtsin^t 

cos' 

'b- 

—  sin^?/A^a 

1  — Z;'^  sinket  sin^6 

DE  IMAGINAßnS  FUNCTIONTJM  ELLIPTICARUM  VALORIBUS. 
PRINCIPIUIVI  DUPLICIS  PERIODI 

19. 

Ponamus    sin  '>p  =  i  tg  <^ ,    iibi   i   loco    V  —  1     positum  est  more  plerisque 

sjeometris  iisitato,  erit    coscp  =  secd»  = .  unde  d'x>  =  — -.     Hinc  fit; 

^  ^  '         cos  'V  ^        cos  0^ 

d(p  id'li  id^ 

\Jl  —  kH\n^'ö  ~  v/cös^^T+Fsin^  ~  \/ 1  — k'k' sin^i!^ 

Quam  e  notatione  nostra  in  hanc  abire  videmus  aequationem : 

(1.)  sin  am  (i  u,  Je)  =  i  tg  am  (^^,  Je'). 

Hinc  sequitur: 

(2.)  cos  am  (üf,  Je)  =  sec  am  {u,  Je) 

(3.)  tg  am  (i  u,  Je)  =  i  sin  am  («,  Je  ) 


86  DE  TRANSFORMATIONE  FUNCTIONUM  ELLIPTICARÜM. 

A  am  (w,  Ti  )  1 


(4.)  Aam(nf,  Z;)  = 


cos  am  (m,  h')        sin  coam  {u.  Je' ) 
(5.)  «i°««^^(^^'^0  =  ^^,-;^ 

(6.)  cos  coam  (i  u,  TS)  =  -y-  cos  coam  (u,  k' ) 

(7.)  'S™''"("''*)  =  FiK'^iö 

(8.)  A  coam  {i  u,  h)  =  Je'  sin  coam  {u,  Je) . 

Aliud ,  quod  hinc  fliiit ,  formularum  systema  hoc  est : 

(9.)  sin  am  2«^'  =  0 

(10.)  sinam^^'  =  oo,  vel  si  placet  +^oo 

(11.)  8inam(w-|-2»-ff')  =       sin  am  w 

(12.)  cosam(w+2i^')  =  — cos  am  w 

(13.)  Aa.m{ti-{-2iK')  =  —  Aamw 

(14.)  smam(u-\-iK')    =  ^— ; 

^     ^  \     1         /  A;sinam«t 

.     ,    .,^,.  — ilamu  — iJc' 

(15.)  cos  am (w+ 2^')    =  -y—, =:  r- 

^     ^  VI/  Ä;smam?t         A;coscoamw 

(16.)  tg  am  Oll  4- iK')   =  -r 

^     ''  o       V     1         /  Aam^* 

(17.)  ^aTn.{ic-\-iK')    =  — icotgam2* 

/,^^  •  /     1    ■Ty'\  Aam?*  1 

(18.)  smcoam(z<  +  2A  )    =  ^ =  -^—, 

^     ^  VI/         Acosamet        Äsmcoamw 

iJc' 
(19.)  cos  coam(M +  ?■£"')   =  ^ — 

(20.)  tgcoam(2t-|-2'^')    =  -=;^Aamt* 

(21.)  A  coam  {u-\-iK')    =  ijc'tgamu. 

E  formulis  praecedentibus ,  quae  et  ipsae  tamqnam  fundamentales  in  ana- 
lysi  functionum.  ellipticarum  considerari  debent,  elucet: 
a)  functiones  ellipticas  argumenti  imaginarii  iv ,  moduli  k ,  transformari  posse 
in   alias    argumenti   realis    v,    moduli    k'  =  ^1  —  k^ .      Unde  generaliter 


PRINCIPIUM  DUPLICIS  PERTODI.  87 

functiones  ellipticas  argumenti  imaginarii  u-{-iv.  moduli  k,  componere 
licet  e  functionibus  ellipticis  argumenti  w.  moduli  k\  et  aliis;  argumenti  r, 
moduli  k'. 
b)  functiones  ellipticas  duplici  gaudere  periodo,  altera  reali,  altera  imaginaria. 
siquidem  modulus  k  est  realis.  Utraque  fit  imaginaria,  ubi  modulus  et 
ipse  est  imaginarius.  Quod  principium  duplicis  periodi  nuncupabimus.  E 
quo,  cum  universani,  quae  fingi  potest,  amplectatur  periodicitatem  ana- 
lyticam,  elucet  functiones  ellipticas  non  aliis  adnumerari  debere  transcen- 
dentibus,  quae  quibusdam  gaudent  elegantiis,  fortasse  pluribus  illas  aut 
maioribus ,  sed  speciem  quandam  iis  inesse  perfecti  et  absoluti. 


THEORIA  ANALYTICA  TRANSFORMATIONIS  FüNCTIONtnVI 

ELLIPTICARIBI. 

20. 
Vidimus  in  antecedentibus ,  quoties  functiones  elementi  x  rationales  inte- 
grae  A,  B,  C.  D,  U.  V  ita  determinentur .  ut  sit: 

r-j-U  =  {l-^x)ÄÄ 
V—U=  (\  —  x)BB 
V-^IU  =  {\-]-hx)CG 
V—kU  =  {\  —  'kx)BD, 


posito  y  =  y  , 


fore 


dy  dx 


\]{1  —2/2)  {i  —  lh/)        M\l{\  —x^){l  —  h^x^) 

designante   M  quantitatem  constantem.     lam  expressiones  illarum  functionum 
analyticas  generales  proponamus. 

Sit  ?i  numerus  impar  quilibet,  sint  m,  m  numeri  integri  quilibet  positivi 
seu  negativi,  qui  tarnen  factorem  communem  non  habeant,  qui  et  ipse  numerum 
n  metitur,  ponamus: 

m  K-\-  ni'iK' 
n  ' 

fit: 


88  DE  TRANSFORMATIONE  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

u  =  Mi -—)(i ^^^ )-(i - ") 

M  V        sin^  am  4(u  /   V  sin^  am  Sm    /        \  sin^  am  2(«  —  1)  tu    / 

V  =  (l — h^x^sm^amAm  j  (l — k^x^sm^amSiJi  V  •  •  M — Jc^x^8m^am2(n — l)to  ) 

\         sin  coam  4oj   /  V     '     sin  coam  8w  /     *  '  V    "*"  sin  coam  2(w  —  1)<üJ 

V  sin  coam  4to   /  V         sincoamSw  /  V         sin  coam  2(n — l)tu/ 

C  =    f  l  +  Z;5;sincoam4o>  V  1 -f-^'Ä;sincoam8«i  j  •  •  •  f  1 -|-Ä.rsincoam2(ii — 1)">) 

-D  =    (  1  —  Ä;:rsincoam4oj  \(l  — Ä;^sincoam8a>  j  •  •  •  f  1  — /.;2;sincoam2(7^ — 1)«) ) 

X  =    //*  I  sin  coam  4a)  sin  coam  Sw  ....  sin  coam  2(w —  1)  w  ^ 

„ ,        '-^^j  sin  coam  4(0  sin  coam  8 tu sin  coam  2(m — 1)«>)^ 

^  1    sin  am  4to    sin  am  8 tu sin  am  2(5? — l)toj 

Quibus  positis,  ubi   x  =  sin  am w,   fit  y  =  -^  =  sinam  T-^,  X  V 

Antequam  ipsam  aggrediamur  formularum  demonstrationem ,  earum  trans- 
formationem  quandam  indicabimus.  Quem  in  finem  sequentes  adnotamus  for- 
mulas,  quae  statim  e  formulis  §.18.  decurrunt: 


.)  sinam(i*+a)smam(«  — a)  =  ^_^,^.^2 


sin-'  am  n  —  sin^  am  a 


amwsin^ama 


(2.) 


(3.) 


[1  +  sin  am  {u  +  a)]  [1  -|-  sin  am  {u  —  a)] 


sinam?t  \" 
sin  coam  aJ 

cos^ama  1  —  /j^sin^am?f  sin^ama 

/  sin  am  n  V 

[1  —  sin  am  {u  -\-  et)]  [l  —  sin  am  {u  —  a)]  V        sin  coam  aJ 


cos^ama  1 — ^^sin^am«  sin^ama 

f 


,,  N        [1  -|-  h  sin  am  {u  -|-  a)]  [1  +  h  sin  am  {n  —  a)]  ( 1  +  ^'  sin  am  u  sin  coam  a 

A^ama  1 — /j^sin^am««  sin^ama 

/jjx        [1 — Z:sinam(?6-|-a)][l  —  Z;sinam(?(  —  a)]  _  (1 —Z;  sin  am  ^<  sin  coam  a)^ 

A  ^  am  a  1  —  /^^  sin^  am  2(  sin^  am  a 

E  quibus  formulis  etiam  sequitur: 


(6.) 
(7.) 


sm^amet 


cos  am  {u  -\-  a)  cos  am  (u — a)  sin^coama 

cos^ama  "^  1  —  k'^  sin^  am  u  sin^  am  a 

A  am  (ti  -f-  g)  A  am  {u  —  g)  1 — Ä;2sin^am?<  sin^coama 

A^ama  1 — ^^sin^ami«  sin^amöT 


THEORIA  ANALYTICA  TRANSFORMATIONIS.  89 

Posito   ^  =  sin  am  2«,    nanciscimiir  e  formiila  (1/: 


X' 


sin-^am?.       —  sin  am  [u  -\-  7.)  sin  am (?t  —  a) 

1 — Ä^aj^sin-amct  sin^  am  7.  ~~ 

e  formulis   (2.),  (3.): 


sin  coam  aj    [1  ±  sin  am  («  +  ^O]  [1  ±  sin  am  (w — a)] 

1 — Z;^x'^sin-am7.  cos''' am  a 

e  formulis   (4.),  (5/'  : 

(1+Z;a;  sin  coam  a)2  [l±Ä;sinam(«4-^)][l— ^'^sinam(«<  —  a)] 

1 — Ä;^.c^sin^am7-  A^ama 

Hinc  ubi  loco   a   successive  ponitiir    4u).   Su).   .  .  .  2{?? — 1)ü),    loco    — a    autem 
4w(ü — a .    obtinemus  : 

jL(i 51— Vi ^— V-Yi 5L_  ^ 

.   .  U  .MV       sin^am4(o/V       sin^amSm/  V        sin^am2(w— l)(ju  / 

^  '^  V   ~    [1—  k^x^ sm^ 2im4:ui][l — k^x-sm^amSto'] [l—Jc^x^8m^am2{n~iyo'] 

sinam?f  sinam(2i+4(u)sinam(«-|-8a)) sin  am(«/-|-4(** — IK«) 

[sin  coam  4a)  sin  coam  8oi  •  •  •  •  sin  cöäm2(n^^l)fo^ 

/^    ,      .U^    ,  X  \/  X  \  / X \)2 

.   .  {l-\-x)ÄÄ ^  ~^  MV    '  sincoam4ü>y  V  "^  sin  coam  So^y       V  ~'~sincoam2(w— l)tü/ i 

^  '^  V  [1 — yt^a;^sin^am4(y][l — ^-^^^sin^amSw]-  •  •  •[! — Z;^a;* sin*^ am  2(« — l)w] 

[1+  sin  am  ti]  [1-f  sin  am  (2t-|-4co)]  [1-f-  sin  am  (^t-fS»))]  •  •  •  •  [1+ sinam(^-f-4(M — l)(u)] 

[cos  am  4o>  cos  am  Sw  •  •  •  •  cos  am  2{n — l)(üp 

.(1 — x)JBB  ^  (V       sincoam4a)/\       sincoam8o>/        V       sincoam2(7i — lyo/l 

^    '^         V  [1 — Ä;^a;"''sin^am4io][l — Ä:%"-sin^am8u)]--..  [1 — Pa;^sin^am  ■2{n — l)a)] 

[1 — sin  am  «f]  [1 —  sin  am  (w+4a))]  [1  —  sin  am  (m-|-8o>)]  ••••[!  —  sin  am  (u-\-4(  k — 1  )«>)] 

[cos  am  4«)  cosamStü  •  •  •  •cosam2(w— l)to]"^ 

(l-\-Jcx)CC       (l+itjc)  j[l+Z;.rsincoam4tu][l-f  Ä-:rsincoam8(i)]  •••  [l+A'Ä-'sin  coam2(« — l)(ü]j  - 
^     '^         V        ^         [1— Ä;Vsin2am4u)][l— ^^a^^sin^amSw]-  •  •[!— Z;Vsin-am2(«— l)a>] 

[1+^'  sin  am  ?<]  [l-\-k  sin  am  («*4~4^")][1  ~\~^  sin  am  («-(-8ü))]-  •  -[l-j-ÄJsin  am  («-j-4(w — l)a))] 

~  [Aam4(ü  Aam8(ü- •  •  Aam2(7i— l)u>]2 

(1 — hx)BD        (1 — kx)  \  [1 — kx  sin  coam  4o)]  [1 — ÄÄ;sin  coam  8(ü]  ■  •  •  [1 — kx  sincoam  2{n — l)u)]  | " 
^     '^         V         "^  [1  —  ¥x^ sin^ am 4(ü] [1— Ä-^.r^ sin^ am 8(ü]  •  •  ~[1— /.•='i2"sm-'äm2(»i-^>ü] 

[1 — Ä;sinam?t][l — 7.;sinam(«4-4t»)][l — /.•sinam(?/-(-8(o)]--- [1 — Z.•sinam(^<4-4()^ — l)a))] 

[Aam4to  Aam8u)- •  •  Aam2(«i — !)«>]'' 
I.  12 


90  DE  TRANSFORMATIONE  FüNCTIONÜM  ELLIPTICARUM. 

Hinc  etiam  seqiumtnr  formulae  : 

A_ ?! Vi ^1 v.yi_ £! A 

\j\—x^AB         I ^       V       sin"^ coam 4to/ V       sin^coamSo)/       V        sin^coam2(w — l)a)  / 

13.)  y         =  VI— ^     [1— Pa;'^sin2am4io][l— A-Vsiii2am8to]-~[l  — Z;Vsin2am¥(w— 1)«)] 

cos  am  w  cos  am («  +  4«^)  cos  am  (w -|- 8o))-  •  •  cosam(w-|-4(w — l)w) 
[cos  am  4«)  cos  am  8(o  •  •  •  cos  am  2(w — 1)ü)]^ 

\J\—j^ö^CD       I 2~1  t^ — Z.%'sin^coam4a>][l — Ä;^^^8iii^coam8a)]---[l — Ä;^^^sin^coam2(j2^ — l)oj] 

14-) 7  =V1— ^-^        [i_  ^2^.2  gjn2  ajjj  4o)][l  -Fä;2  sin2  ^m  Sw]  •  -^fl—  i^^a;^  sin^  am  2(7Z— l)«] 

Aamzt  Aam(MH-^<")  ^^pi(m-|-8(o) 'Aam(t<-|-4(»^ — !)«>) 

[Aam4cu  AamSw  •  •  •  •  Aam2(w — l)u)]'^ 


DEMONSTRATIO  FORMULARUM  ANALYTICARUM  PRO 
TRANSFORMATIONE.    . 

21. 
lam  demonstremus ,  posito : 

jCi i Vi ^ ^....(l = 2 ^i' 

\  V        sin  coam  4(u  /  V        sin  coam  8a>  /         V         sm  coam  2(n — 1  )a)  /  ) 
1—2/  =  (1  —  ^)    [-i_fc2^2gin2ani4a)][l— Z;Vsin2am8co]  •  •  •  •  \\—¥xHm'2.m2{n—l)iü'] 


[1  —  sin  am  w]  [  1—  sin  am  (^<4-4(o)][l  — sinam(?^+8w)]  •>••[!  — sin  am(^t4-4(w—l)a>)] 
[cos  am  4u)  cos  am  Sw  •  •  •  •  cosam2(w — l)^f 

et  reliquas  erui  formulas  et  hanc : 

dy  dx 

siquidem : 

X  =  F  [sin  coam  4«)  sin  coam  8u> sin  coam  2  (n  —  l)(o]^ 

^  [sin  coam  4tü  sin  coam  8») sin  coam  2{n—l)(s>y 

^  ^  ^~"  ^-^  ^      [  sin  am  4(o    sin  am  8o)  •  •  •  •   sin  am  2{n—l)(oY 

E  formula  proposita  apparet  minime  mutari  y,  quoties  u  abit  in  w  +  4(ü. 
Tum  enim  quivis  factor  in  subsequentem  abit ,  ultimus  vero  in  primum.  Unde 
generaliter  y  non  mutatur,  siquidem  loco  u  ponatur  u-^4pui,  designante  p 
numerum  integrum  positivum  seu  negati\-um.     Ubi  vero  w  =  0,    fit: 


DEMONSTKATIO  FORMULARUM  ANALYTICARUM  PRO  TRANSFORMATIONE.  91 

l_y  ^    [1— siDam4oj][l— sinamSto]-  •  •  [1  — smam4(M— 1)»)]    _ 

[cos  am  -im  cos  am  8(o  •  •  •  cosam2(;i — l)(u]^  ' 


sive  y  =  0.     Facile  enim  patet  forc 


t>} 


—  smam4(w — 1)«)  =  sin  am  4 

—  sinam4(w — 2)a>  =  sin  am  8«), 

unde : 

[1 — sinam4o)][l — sinam4(w — 1)(ü]  =  cos- am  4a» 
[1— smam8ü>][l — 8inam4(?^ — 2)(o]  ==  cos^amSoj 

[1— sinam2(w— l)(u][l— smam2(«+l)(ü]  =  cos2am2(M— l)a). 

lam  quia  i/ =  0 ,  quoties  u  =  0,  neqiie  mutatur  ^,  ubi  loco  u  ponitur 
u  +  4jo(ü ,    generaliter  evanescit   i/ ,    quoties   u   valores  induit : 

0,    4(ü,    8«), ,    4(w — 2)0),    4(m — l)o>, 

quibiis  respondent  valores  qiiantitatis  oc  =  sin  am  u : 

0,   sinam4(ü,   sinamSto,  .  .  . ,  sinam4(w — 2)ü>,   sinam4(«— 1)ü), 
quos  ita  etiam  exhibere  licet : 

0,  ±  sin  am  4(0,    ±sinam8o),  .,.,    ±sinam2(w — 1)(ü, 
sive  etiam  hunc  in  modum : 

0,    ±sinam2(ü,    ±sinam4a),  . . . ,   ±sinam(w — l)(u. 

Qui  valores  elementi  x ,  quos  evanescente  y  induere  potest,  omnes  inter  se  di- 
versi  erunt,  eorumque  numerus  erit  n.  lam  ex  aequatione  inter  x  et  y 
supposita ,  e  qua  profecti  sumus ,  elucet ,  positis  : 

V  =  [1 — Ä;^^^sin2am4(ü][l — Äi^ic^sin^amSoj]  •  •  •  •  [l  —  ^'^x^sin^  am  2(^^—1)«)] 
=  [1 — Ä;^x^sin^am2a)][l — ^'.^^sin^am4(u]  •  •  •  •  [1 — Z:^a;^  sin^  am  (« — 1)«>], 

y  =  ^,  fieri  JJ  functionem  elementi  x  rationalem  integram  r^^  ordinis.  Quae 
cum  simul  cum  y  evanescat  pro  valoribus  quantitatis  x  numero  n  et  inter  se 
diversis  sequentibus : 

0,    ±sinam2(ü,    ±sinam4a),  . .  . ,  ±8inamOi — l)(y, 

necessario  formam  induit : 


12 


* 


92  DE  TRANSFORMATIONE  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

rj  •_  _£L  A ^\  Ci ?i!_^  ....  (l ?! ^ 

3/ V       sin^am2w/  V       sin=^am4tyy         V        sin'^am(« — 1)«>  / 

=  .^^         ^'     Vi ^ V..Yi_.__ ^ V 

Jf  V       sin'*am4to/  V       sin^amSto/         V         sin^am2(n— l)(u  /  ' 
designante  M  constantem.     Cum.  posito  .r  =  1.   üat   1 — j/  =  o.  y  =  1,    obti- 
nemus  ex  aequatione   y  =  -^  ; 

v       siii^am2io/ V        sin^am4(u  /         V        sin^am(w — 1)«)  / 
i¥[l — Z;''^sin^am2u>][l  —  A;^  sin^  am  4{ü]  ■  •  •  •  [1  —  k^8'm-a,m{n — l)a>] 

( — 1)  2    [siucoam  2(u  siiicoam4w  •  •  •  •  sincoam(3^ — l)(u]^ 
Jf  [sin  am  2oj  sin  am  4iu  •  •  •  •  sin  am  (« — 1)«>]^ 

unde : 

«—1 
(_1)~2~  [sin  coam  2uj  sin  coam  4oj  •  •  •  •  sin  coam  (n — 1)«"]^ 
■'^   ^^  [sin  am  2(0  sinam4to  •  •  •  •  sin  am  {n — l)a)]^ 

Inter  functiones  Z7,  V  memorabilis  intercedit  correlatio,  illam  dico  supra 
memoratam,  cuius  beneficio  lit,  iit,  posito  —  loco  .v,  simul  j/  in  —  abeat,  de- 
signante X  constantem. 

Posito  enim  7—  loco  a; ,  abit : 

rr=Ari— ?i— Vi ^— v---ri - ") 

MV      sin^am2io/V       sin=^am4to/         \        sin^am(« — l)(o  / 
in  hanc  expressionem : 

^      ^      31  x"    Je"  [sin  am  2o>  sin  am  4tu  •  •  •  •  sin  am  (w — l)«)^^ 
Contra  vero ,  eadem  substitutione  facta , 

V  =  [1 — 7i;2a;^sin^am2oj][l  —  Ä;^a;^sin^am4co]  •  •  •  [1 — ¥x^sin^SLm{n — l)tt)] 
in  hanc  expressionem  abit  : 

n-l 

X" 


( — 1)  2    --  •  Ji[sin  am  2aj  sin  am  4(u  •  •  •  •  sin  am  {n — l)w]^. 


Unde,  loco  x  posito  j^.j/=^~  abit  in 
lex  V 


U     MM.  k"  [sin  am  2(u  sin  am  4(ü  •  •  •  •  sin  am  {n — l)(y]^ 


DEMONSTRATIO  FOBMÜLARUM  ANALYTICARUM  PRO  TRANSFORMATIONE.  93 

sive  y  in   ^— ,    siquiclem  ponitur: 

\  =  JlfJ/Ä;"[sinam2a)  sinam4to  •  •  •  •  sinam(« — !)«>]* 
=  Z;"[sincoam  2to  sincoam4w  •  •  •  •  sincoam(;i— l)u>]*. 

Id  quod  demonstrandum  erat. 
Ex  aequatione  proposita : 

\u 5 Vi ^-V-fi '- ^\" 

,^        ,    (V        sincoam4a)/  V        smcoamSoj/         V        sincoam2(ji — l)a>/) 
^         '    [1 — Z;^a;^sin^am4<u]  [1  — Ä;^ä;^sin^am8u)] [1 — Z;V8in^am2(H — l)u>] 

posito  -j^  loco  X,  - —  loco  y ,  quod  ex  antecedentibus  licet,  eruimiis : 

-7 1  =       .  jj    |[1 — Äusincoam4(ü][l — /.-.rsincoamSo)]  •  •  •  •  [1— 7j.i'sincoam2(u — l)wj|", 

quod  ductum  in    Xy  =  ^^    praebet: 

|[1 — Äx  sin  coam  4o>]  [1 — Jcx  sin  C03iia8(sy] [1 — Jcx  sin  coa,m2{n — l)o>]|^ 

1 — hy  =  (1     fiX)  y  — — . 

Ceterum  patet   y  =  -^  abire  in   — y ,  ubi  cV  in  — x  mutatur.  quo  facto  igitur 
statim  etiam    l-\-y,   i-{-^y  ex   1 — y,   1  —  X^  obtinemus. 

lam  igitur  eiusmodi  invenimus  functiones  elementi   x   rationales  integras 
ü,    V,  ut  sit : 

V-{-U=V{\+y)  =  {\-\-x)AA 
V—U=  r{l—ij)  =  {l—j^BB 
Y-\-XU=  V{l-\-ly)=  {l-\-l-x)CC 
r—XU=  V{l—hj)=  {\  —  'kx)I)B, 

designantibus    A,  B,  C ,  D    et  ipsis  functiones  elementi    x   rationales  integras. 
Hinc  autem  secundum  principia  transformationis  initio  stabilita  statim  sequitur; 

dy  dx 


'\ 

Multiplicatorem  M,  quem  vocabimus,  ex  observatione  §'.  14.  facta  obti- 
nemus. Unde  iam  omnes  formulae  analyticae  generales,  quae  theoriam  trans- 
formationis functionum  ellipticarum  concernunt,  demonstratae  sunt. 


94  DE  TRANSFORMATIONE  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

22. 

Demonstratio  proposita  ex  ea,  quam  dedimus  in  Novis  Astronomicis  a  Cl°. 

Schumacher  editis  Nr.  127,    eruitur.    ubi  ponitur    w    loco    — ,     ( — \)^  M 

n 

loco  M,  aliis  omnibus  immutatis  manentibus.  Ipsum  theorema  analyticum  ge- 
nerale de  transformatione  sub  forma  paulo  alia  iam  prius  ibidem  Nr.  123  cum 
analystis  communicaveram.  Demonstrationem  Cl.  Legendre,  summus  in  hac 
doctrina  arbiter,  ibidem  Nr.  130  benigne  et  praeclare  recensere  voluit.  Obser- 
vat  ibi  vir  multis  nominibus  venerandus  aequationem : 

ydU_TräV  ^  ABCD  ^  _T 

dx  dx  ~      M  m' 

cuius  beneficio  demonstratio  conficitur ,  et  quae  nobis  e  principiis  transformatio- 
nis  mere  algebraicis  sequebatur,  etiam  sine  illis  analytice  probari  posse.      Quod 
cum  ex  ipsa  viri  clarissimi  sententia  egregiam  theoremati  nostro  lucem  aifundat, 
praeeunte  illo,  paucis  hunc  in  modum  demonstremus. 
Aequationem  propositam : 

ydU^__jjdV^  _  ABCD  ^    T^ 
dx  dx   ~      M  M 

ita  quoque  exhibere  licet : 

dU        dV        dlogU     dlogV         ABCD  T 


Udx        Vdx  dx  dx  MUV  MÜV 

Invenimus  autem : 

ü=^(i-  -^ ^  (i ^A  ■■■■  (i ^' ") 

M\       siii^am2o>/  V       sin^am4oj/         V        sm^am{n — l)u)  / 
V  =  \l—¥x'^9,m^3^m2(ii]\\ — 7j2a;2sin2am4u>]  •  •  •  {l—k^x'^sm^&m{n—l)m'], 


unde 


dXogU  _  dXo^J.  _  1  ,  y  j  —2a; _2Hrsin^am2ga>_ 

dx  dx      ~  x'^^i  sm''am2gu)  — a;2  "^  \—1i^x'^^\n^sxm2q^m. 


n — 1 


numero   q   in  summa  designata  tributis  valoribus   1,  2,  3,  .  .  .,  — ^ .     Ferro  in- 
venimus : 


DEMONSTRATIO  FORMULARUM  ANALTTICARUM  PRO  TRANSFORMATIONE.  95 

AB=(l-   .^-\)  (l-^^ )....(! ) 

V        sin^  coam  2oi  y  V        sm^coam4(o/         \        sin^coam(« — l)(u  / 

CD  =  [1— Z;2_^'2sin2coam2u)][l— Z;Vsin2coam4u>]-  •  •[l—]c'^x'^sm^co2an{n—l)(ji'] 


unde  : 

T  ABCD 


MUV  MUV 


'"0-    Bin-am2,..    )a-^-^-Bin-am2^.) 


siquidem  in  productis,  brevitatis  causa  praeüxo  signo  11    denotatis,  elemento  p 

valores  tribiumtur    1,2,3, 5^-       Hanc  expressionem  in  fractiones  sim- 

plices  discerpere  licet ,  ita  ut  formam  induat : 

1    ,   ^  ( ___J^ ^^*^- 


X  V  sin2am25a> — x'^     '     1 — k^x^mi^2Lm-2qia 

quo  facto  ut  evictum  habeamus ,  quod  propositum  est ,  demonstrari  debet  fore : 

J.(?)  =  —  2,      5(')  =  2/;2sin2am2^(ü. 

Denotabimus  in  sequentibus  praefixo  signo  11^^  productum  ita  formatum, 
ut  elemento  p  valores  tribuantur  1,  2,  3,  . . .,  ^^^,  omisso  tarnen  valore  _/>  =  ^. 
Hinc  e  praeceptis  fractionum  simplicium  theoriae  abunde  notis  sequitur : 


n 


sin^  am  2q<io 
sin^coam2^jtu 


.,„.         /-,     72  •  2       o       -2  n     N  ^  1— Ä2sin2am22iosm2am2pa) 

^(?)  =  (1 — Z;2sin2am2g'(üsm*coam23o)) 


n 


(j)/  sin''am2go> 

I  sin^  am  2p^a 


1 — h^  sin'^  am  2gro>  sin^  coam  2jpo> 
lam  e  formulis  supra  a  nobis  exhibitis  fit : 

sin^  am  2qta 
~~  sin^  coam  2po>  cos  am  {2q  -f  2jj)o)  cos  am  (2g  —  2p  )o> 


1— F8in^am25ü>sm2am22Ja>  cos2am2^u) 

sin''^  am  2g(ü 

8in^am22)(ü  _   cos  coam  {2p  +  2g)»)  cos  coam  (2j)  —  2g)u> 


1— fe2  gin2  am  2g«>  sin"'*  coam  2pia  cos^  coam  2]^  m 

Facile  autem  patet,  sublatis  .qui  in  denominatore  et  numeratore  iidem  inveniun- 
tur  factoribus ,  fieri : 


96  DE  TRANSFORMATIONE  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

cosam(2</-[- 2iJ)wcosam(25  —  2p)w ±1 


n 


cos^  am  2^10  cos  am  2g(o 


-|-r(5)COSCoam(2^-|-2g')t«coscoam(2^) — 2g)oj +1  cos^coam25tu  +cos  coam  2(7(0 

cos^  coam  2ptü  cos  coam  2g(y    cos  coam  430)  cos  coam  4g(ü 

unde : 

,^.        —  (1 —  h^  sin^  am  2qia  mi^  coam  2gu>)  cos  coam  4^(0 
cos  am  2gto  cos  coam  2gto 

At  e  nota  de  duplicatione  formula  fit : 

2  li  sin  am  2<7(o  cos  am  2^«)  A  am  2qm 

cos  coam  45(0  =  - — ^  , ..  .  „ -r .  ,0  •  4. 7. — 

■^  1 — 2A;''sin'^am2gu)-}-A;  sin*am2gü) 

2  Ä'  sin  am  2goj  cos  am  2goj  A  am  2(/(u 


A^am2g(ü  —  Z;^sin^am2gn)  cos^am2goj 
2  cos  am  2goj  cos  coam  2qm 


1  —  Ä;^  sin'''  am  2gto  sin^  coam  2q<o 

unde  tandem ,  quod  demonstrandum  erat ,  A^'^^  =  —  2 .  Prorsus  simili  modo  al- 
teram  aequationem:  JB^^^  =  2Ä:^sin^am2g(o  probare  licet;  quod  tamen,  iam 
invento  A^'^^  =  —  2 ,  facilius  ita  fit. 

Facile  patet ,  loco  <r  posito  -r^  1  non  mutari  expressionem : 


KOC 


n 


(  1 ;— 5 —  )(1 — ^^a;^sin^coam2M(u) 

V        sin-*  coam  2po)  y  ^ 

(1 — Fic^sin^am2ü(o)  (  1 ^-5 —  ) 

^  ^    -^  \        sin''am2«(ü/ 


^Ui^2im2pm. 

quam  vidimus  aequalem  poni  posse  expressioni : 

—  2a;^  jgffla;^       

"*"  -^  sin^am2gw — x^       ^  1— Z;V''sin'^am22to 

Haec  autem  expressio ,  posito  ^^  loco  oc ,  abit  in  hanc : 

^^       1 — Ä;^a;^sin^am2g'u)  äj^  (sin^  am  2gu)  —  a;'"*) 


—   1   I  T(^2  -^^^^        "^      T    2Z;V''sin^am2g(o         ^ — . 

"'        V        p8in^am2ou)/  1 — Z;V'*sin^am2a(u  Ä;^sin^; 


P8in^am2gu)y    '  *^  1 — Z;V'*sin^am2g(u    '   ^ ä;^ sin^ am 2ga>   sin^am2ga) — x^^ 

unde  ut  immutata  illa  maneat ,  quod  debet ,  fieri  oportet : 

^W  =  2Z;2sin2am2^w.    • 
Q.  D.  E. 


DEMONSTRATIO  FOEMULARÜM  ANALYTICARUM  PRO  TRANSFORMATIONE. 

23. 


97 


E  formula  (14.)  §.  20.  sequitiir: 

W 
V 


Sjl—K^f    =    y/l_/,2^-^^ 


Posito   .r  =  1  .    unde  etiam  ^  =  1  .    ac    VT^^  =  l'.    fit : 


lam  vero  est 


y  __  j,,  I  Acoam2o>A  coam4to  •  •  .  .  A  coam  (« — Ijw  ^  2 
(       A  am  2(0  A  am  4oj    •  •  •  Aam(w — l)oj     ~  |  • 


unde: 


(1-) 


Acoam«  = 


k' 


h' 


Aam«< 


[Aam2ty  Aam4ro  •  •  •  •  Aam(w — l)(u]^ 

Porro  in  usum  vocatis  formulis : 

(2.)  A   =  F[sincoam2w  sin  coam  4üj  •  •  •  • 

/o\  -n/r / ,  Tl'  [sin  coam  2a.  sin  coam  4(o 

[sin  am  2a>  sin  am  4«)  • 


sin  coam  (n — l)w]^ 
sin  coam  (i<—l)to]* 


nanciscimur : 

(4.) 

.     (5.) 
(6.) 

(7.) 

(8.) 


rj— 1 


-1)  '       4  /  A 

1w —  V  1^        ^  "-^^^  ^™  ^"^  ^^^  ^™  ^"^ 


/-     7  '' 


yjü     =  [cos  am  2a)  cos  am  4t 

V  —        =  [A  am  2oj  A  am  4uj  • 
»^   Ä' 


•  sin  am  (w — l)««]^ 

•  •  sin  am  (w — l)«)p 
■  •  •  cosamfw— l)(ü]2 
Aamfw— l)(ü]2 


n— 1 


(-1)^     4/A-  ff  O     .  . 

— ^= — ypr      =  [tgam2o)tgam4 


(»••••  tgam(n — l)w]^ 


1/^ 

y  p-       =  [ßin  coam  2(u  sin  coam  4(ü  •  •  •  •  sin  coam  {n — l)tu]' 

13 


^8 


DE  TRANSFORMATIONE  FUNCTIONÜM  ELLIPTIOARUM. 


(9.) 
(10.) 


(_1)2    ./xi'Jc'""  /        1^   -li 

^- — i —  V  — , =  rcoscoam2to  coscoam4(o  •  •  •  •  coscoamf?? — l)w 

SJl'k''"'^   =  [Acoam2(u  Acoam4oi  •  •  •  •  Acoam(« — l)to]^ 


(11.)  (—1)^  ^-^V  — ^2  =  [tgcoam2(ütgeoam4u>  •  •  •  •  tgcoam(«— l)u)p. 

Hamm  formiilamm  ope  formulae  (8.),  (13.),  (14.),  ^.  20.  in  sequentes  abeimt  : 
(12.)    sin  am  (^,  ^0  ==  V  y  sin  am  te  sin  am  (w  +  4oi)  sinara(M-f  8to)  •  •  •  sin  am(i*4-4(7i — l)m) 
(13.)    cosamf -^,X  j  =  y/;;^^cosam?<cosam(«+4to)cosam(?<+8co)  •  •  •  cosam(^t4-4(^^ — 1)«>) 
(14.)      Aamf  — ,XJ  =  i/-^^  Aamw  A  ara(i<4-4oj)  A  am  (?f  4-8to)  •  •  •  A  am  (?t4-4(u— l)(u), 


unde  etiam: 


-)=v/? 


(15.)     tg  am  (  -^ ,  Ä  )  =  y  ^T  tg  am  ?« tg  am  (?<  +  4oj)  tg  am  {u  -f-  8oj)  •  •  •  tg  am  (w  +  4(w — 1 )(-/) . 
Aliud  ita  invenitur  formularum  systema.     Ex  aequatione  (4.)  sequitur: 


MTM 


-  =  [sin am 2 u)  sin  am  4 w  •  •  •  •  sinam(»? — l)w]'*, 


linde : 


1- 


X' 


/  u    ,\  X  rr  sin''am2wa)  IM     i-r     x^ — sin^am2^(ü 

•^  \31     J         M        1— A-^a^sm^; 


sive: 


'  am  2jKu 

Ä;^sin'^am2poj 

0  =  xVxix'^  —  sin'^  am  2ww)  —  ^-^  sin  am  (  —  '  /J  n  (  ^-''"  —  .9  .  .. — )  • 

^  ^    ^       JiM  \3I     J       V         /.•^sin^am2^(u  / 

Radices  hiiius  aequationis  ?i*^  ordinis  sunt : 

a;  =  sinamw,    sin  am  (m -|- 4cü) ,     sin  am(« -f- 8oj), . . .,     sin  am («/- -|- 4(m — l)oj), 

unde  aequationem  nanciscimur  identicam : 

a;  n  (a;^  —  sin^  am  2«u>)  —  7-^  sin  am  (  -^'\]\\\x^  —  ,,  .   .. — - —  ) 
^  -^    -'       ]i3i  \3L     J       V  Z;2sin''am2^w/ 

^  \x  —  sin  am  u\  {x  —  sin  am  (w + 4a))]  \_x  —  sin  am  (»  +  8tu)J  •  •  -{x  —  sin  am  (^(  -\-  4(  n — 1  )(o)] , 
Hinc  prodit  summa  radicum: 


DEMONSTRATIO  FORMULARUM  ANALYTICARUM  PRO  TRANSFORMATIONE.  99 

^^^•)  Zsinam(M  +  4(?ü>)  =  ^  sin  am  (^  J. ,  Ä  V 

Eodem  modo  invenitur  : 

«-1 
<17-)  2;cosam(w  +  4go>)  =  trlllA  ^os  am  ( ^'L , )) 

n—\ 

(!«•)  SA  am  0.  +  4gco)  =  il^  ^am  (A,x) 

(1^-)  Stgam(^.  +  4g«>)  =  jp^  tg  am  (-| ,  ä)  . 

in  quibus  formulis  numero   q   tribiiimtur  valores    0^1,2,3,...,w  — 1.      Quas 
formulas  etiam  hiiiic  in  modum  repraesentare  convenit : 

j^  sm  am  \^— ,  kj  =  sin  am  u  +  ^  [sin  am  (?<  -f  4^00)  +  sin  am  (u  —  45(0)] 

«-1 
(—1)  2  A  ^  «     -  \ 

— ^^^j^: cosam\^—,Aj  =  cosam?^-f-2[cosam(n  +  45(ü)  +  cosam(^<  — 4(/(«)] 

n— 1 

— jg= —  A  am  \^^  ,hj  =    A  am  M  +  ^  [  A  am  («( +  4gw)  -f  A  am  («*—  4ga))] 

WM  *^  ^°^  W'  V  ""   tg am  M  +  ^  [tg am {u  +  4qm)  +  tg am  (u—  45«)], 

ubi  numero  g'  tribuuntur  valores   1,  2,  3,  .  .  .,  ^^-     lam  adnotentiir  formulae: 

,,,,,.  ,         ,      ,  2  cos  am  Aam  A  am  Aqoi  sin  am  «t 

sm  am  (^t  +  4öuj)  +  sm  am  (w  —  4^u>)  =  — ; — , ..  .  „ ; — ^^-^ 

^     '     -^   ^  '  ^  ^   ^  1 — A;'^sm^am4gtosm'^am«« 

,     ,    ,         ,  /        .     N  2  cos  am  4fl'o>  cos  am  u 

cosamm  +  4oa>)  +  cosam(«t — 4^o))  =  — — r^r-^-r, — —, ^ 

^     '         '^  '  ^  1 — A;'^sm'^am45^oj  sm'^amw 

A         /      1    .     N    r    A        /         .     N  2  A  am  Agm  A  am  m 

A  am  (it  4-  4^oj)  +  A  am  iu  —  4r/(ü)  =  - — ,  „  .  „ -, ^-^ 

1 — /rsm''am4gtu  sm'^am?« 

/,..,,  ,         ,      .  2  A  am  4r/(o  sin  am  «Y  cos  am  «f 

tg  am  (u  -f  4q(si)  -\-  tg  am  (ti —  Aqm)  =  7, — - — rr, ;; — -^-r, '") . 

^  ^  ^  cos'^am45(o  —  A-am42a)  sm-^am« 

qiiarum  ope  formulae  (16.)  —  (19.)  in  lias  abeunt: 

*)  cf.  §.  18.  formulas  (l.),  (2.),  (3.);  formula  poslrema  e  formulis  (10.),  (30.)  fluit,  ubi  reputas  esse 

„  sin  (a  4-  &) 

cos  0  cos  17 

13* 


100  DE  TRANSFORMATIONE  FUNCTIONUM  ELLIPTICARÜM. 

X       .  /"  u     .\  .  ,   \r  ^  COS  am  47<o  A  am  4:m»  sin  am  ii 

(20.)  T^-p-  sin  am  (  -zrr ,  A  )  =  sin  am  u-j-Z^  — :; — ,0  .  , :, ^^ 

^      ^  Ä^iüf  Vj^      /  '  1 — Z;^sm^am4g(osm^amw 

n-l 

C — 1)2  X  /«     ,\  ,   V-        2cosam4r/(o  cosam^t 

(21.)  — nrr — cosam(^i^w. )  =  cosam2/  +  2]-i — 10  ■  •, — -, ^^ 

^      ^  kM  \M     J  "^  1 — /r  sin'' am  43«)  sin -^  am  w 

( — 1)2  /w     A  .^  2Aam4o(oAamM 

(22.)  ^ — ^ —  AamK;^jA)=    Aamit  +  z]^. — , „  .   .. — ^- ^-i^ 

^     ^  Jf  ViHf     J  ^  ^  1— /;2sin''am4r/ojsin^am?* 

X'     .  /w     ,  \  ,  ,  __        2  Aam4r/to  sinam?f  cosamw 

(23.)  -yy^r^  tg  am  ( -s^ ,  A  )  ==    tgam?«  +  y ^ — - — tö ^ ' 

^      '  hM    ^        \M     J  ^  ^  ^  cos2am4goj  — A2am4gojsin2amifr 

quae  etiam  obtinentur,  iibi  formiilae  supra  propositae  e  methodis  notis  in  fractio- 
nes  simplices  resolvuntur. 


DE  VARnS  EIUSDEM  ORDINIS  TRANSFORMATIONIBUS. 
TRANSFORMATIONES  DUAE  REALES,  MAIORIS  MODULI  IN  MINOREM 

ET  ÄIINORIS  IN  MAIOREM. 

24. 

Elemento  ü>  vidimiis  tribui  posse  valorem  quemlibet  schematis JI— *i —  , 

designantibus  m ,  m   numeros  integros  positivos  seu  negativos ,  qui  tarnen ,  quo- 
ties   n   est  numerus  compositus ,  nulluni  ipsius  n    factorem  communem  habent. 

Facile  autem  patet,  ubi  q  sit  primus  ad  n,  valores    w  =  — — +gw* —    substi- 

n 
tutiones  diversas  non  exhibituros  esse.     Hinc  ubi  ipse  n  est  numerus  primus, 

valores  elementi  (o ,  qui  transformationes  diversas  suppeditant ,  erunt  omnes  : 

K-^ZiK'  K-\-(n-l)iK' 


K       iK' 

—  j      > 

n           n 

K-\-iK' 

, 

n 

K-\-2iK' 

n 

sive  etiam : 

K        iK' 

— ,      , 

n           n 

K-\-iK' 

> 

n 

■2K+iK' 
n 

aut ,  si  placet : 

K         iK' 

—  1       > 

Ol           n 

K±iK' 

) 

n 

K±2iK' 

n 

SK+iK'  {n-l)K-}-iK' 


K±ZiK' 


K±"~-iK' 
n 


DE  VAEllS  EIUSDEM  ORDINIS  TRANSFORMATIONIBUS.  101 


sive  etiam  : 

K 

iK' 
> 

n 

K±iK' 

) 

n 

2K±iK' 
, 

n 

SK+  iK' 

,  .  •  •  ] 

n 

"-^K±  iE' 

n 

n 

quonim  est  numerus  n-\-\.  Ac  reapse  vidimus  in  transformationibus  tertii  et 
quinti  ordinis ,  supra  tamquam  exemplis  propositis ,  aequationes  inter  u  =  Vk 
et  v  =  \K.  quas  aequationes  modulares  nuncupabimus ,  resp.  ad  quartum  et 
sextum  gradum  ascendisse.  Quoties  vero  n  est  numerus  compositus.  iste  valde 
augetur  numerus ;  accedunt  enim  casus ,  quibus  sive  m ,  sivc  m  sive  etiam  uter- 
que  factorem  habet  cum  n  communem,  modo  ne  utrisque  m,  m  idem  communis 
sit  cum  n.     Generaliter  autem  valet  theorema: 

nnumeriim  suhstitutiomim  w**  ordinis  inter  sc  diversarum,   quarum  ope  transfor- 

^)mare  liceat  functiones  ellipticas ,  aequare  summam  factoriim  ipsius  n,  qui  ta- 

nmen  numerus,  quoties  n  per  quadratum  dividitur,  et  suhstitutiones  amplectitur 

nex  transformatione  et  multiplicatione  mixtas ,  adeoque,  quoties  n  ipsum  est  qua- 

^>dratum,  ipsam  multipUcationem.« 

Ista  igitur  factorum  summa  designabit  gradum,  ad  quem  pro  dato  nuraero  n  ae- 

quatio  modularis  ascendet,  ubi  adnotandum  est,  quoties  n  sit  numerus  quadra- 

tus,  unam  e  radicum  nuniero  praebituram  esse    A:  =  X,    ac  generalitcr,  quoties 

n  =  mrv,  designante  m^  quadratum  maximum,  per  quod  numerum  n   dividcre 

licet,  e  numero  radicum  fore  etiam  omnes  radices  aequationis  modularis,  quae 

ad  ipsum  v  pertinet. 

Inter  valores  elementi  to  supra  propositos ,  qui  casu ,  quo  n  est  primus, 
quem,  cum  in  eum  reliqui  redeant,  sive  unice  sive  prae  ceteris  considerare  con- 
venit,  universam  transformationum  copiam  suggerunt,  duo  tantum  generaliter 
loquendo  ^)    inveniuntur,     qui    transformationes    reales    suppeditant,    hos    dico 

(o  =  — .  oj'  = .     lUam  in  sequentibus  vocabimus  transformationem  primam, 

n  n 

hanc  secundam;  modulosque,  qui  his  respondent,  designabimus  resp.  per  X,  X, 
eorumque  complementa  per  X',  X'^ .  Argumenta  amplitudinis  -^ ,  quae  his  mo- 
dulis  respondent ,  (functiones  integras  vocat  Cl.  L  e  g  e  n  d  r  e) ,  designabimus  per 
A,  Aj,  A',  A', .      Formulae  nostrae  generales  pro  his  casibus  evadunt  sequentes. 


*)  Nam  infinitis  casibus  pro  modulis  specialibus  fit,  ut  par  radicum  imaginariarum  aequationum  mo- 
dularium  sibi  aequale  evadat  ideoque  reale  fiat. 


102  DE  TRANSFOKMATIONE  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

I. 

FORMULAE  PRO  TRANSFORMATIONE  REALI  PRIMA  MODULI  h  IN  MODULUM  X. 

(   .              2K    .              4K                 .               (w-l)X)* 
/  =  yt"   sm  coam  —  sin  coam sin  coam ' 

l  n  n  n 

, r 

^  —      ^        2K  ,       AK              .        {n-l)K^^ 
A  am  —  A  am  — A  am  ^ 

n  n  n 

I  .  2K  .  AK  .  {n-\)K\^ 

Ism  coam  —  sin  coam  — sin  coam ' 

I  n  n  n 

^  ""  1~;           2K^.           ÄK              '.          {^^)K\ 
1  sm  am  —  sin  am  — sin  am   ~ 

\  n  n  n 

sinam?f/  sin ^ am«    \  /  sin- am«    \  /  sin^am«      \ 

V         sin^am /\         sm^'am /         \         sin^am— / 

/^  .\  ^ \  n  J\ n  /         \ n      / 

A— Psin^am — sin^am^jT!— Psin^am  —  sin^am«')  •  •  (^1— /.-^sin'^am^ ^sin^amMj 

—  4  /F                           /        AK\   .         f     ,   8ir\           .          /     ,  A{n-X)K\ 
=   (—1)      y  —  sinam?tsinamU(-j )sinam(«-| ) smamIwH ) 

/  sin^am«?     \  /,  sin^am«     \       I  sin^amt«        \ 

cosamt./!-— 2^rlM— 1 ^\-y~-r, (^=lW) 

\         sin^coam /\         sin^coam /      \         sm^'coam^ / 

m  (^Jl  ,  )\  ^ V ^W  \ >^  /       \ ^^       / 

rl— Ä;28in2am — sin^am^nfl— ÄJ^sin-am  —  sin^amtn  ••  ( 1 — Fsin^am— ^— sin^amin 

jVr                          f        AK\             r     .  SK\                   (     .  A{n-X)K\ 
=  y/7-;^co8amwcosam{  w-| )cosam(  zt-] ) cosami  26-| I 

Aam^(/  1— /c^sin^coam — sin'''am2uf  1— /j^sin^coam —  sin'^'amw  j  ••  (  1— /t-sin^coam sin^am«  j 


"(¥'0  = 


(1—  Jc^  siu^ am sm^ am m  j (  1 — Ic^ sin^ am sm^  am ^t  )  •  •  •  (  1 — Ä-^sin-^am '—  sin^am m  ) 

l/^A           A        f     ,4Ä^^^        ^     ^^^^          \        f     ,  A{n-1)K\ 
=  1/ — ,  Aamw  AamI  w-1 )  Aam(  ?tH )  ••••AamU«4-— ) 


DE  VARIIS  EIUSDEM  ORDINIS  TRANSFORMATIONIBÜS. 


103 


1  — 


Sin  am  u 


V  1+si 


—  sin  am  ii 


sm  coam 


l+smam(^^,  IJ 


1  +  sin  am 


u 


M 

sin  am  2( 


-■) 


sincoam 


8^ 


n 


-\-  sin  am  u    /    .       sin  am  u 


sin  am  u 


smcoam 


4K 


sincoam 


SK 


1— 


sin  am  i« 


sm  coam 


2(n-l)K 


n 


1+ 


sin  am  u 


sin  coam 


2{n-\)K 


1  +  X  sin  am 


iw-') 


1  ±  /.  sin  am  (  ^r^ '  Ä 
M 


V  i+^-si 


— Asin  am«t 


f  1— Äsincoam — sin  am«  )  i  1 — Ä-sin  coam— sin  amu  )  •  •  •  (  1 — Äisin coam^^         oin  am?t^ 

) 


+^-sinam«(   f ,  ,  -,  .  4iC.  \f .  .  -,  .  SK .  A      /       , 

'  l-f-ftsmcoam — sinam?«  M  l-(-A,sincoam — sinam?«  )  •  •  •  ( l-\-k 


csm  coam 


2{n-l)K 


sin  amu 


.     ,  ,„  2qK  .         2qK 

-   ^  ( — Ifcosam— ^Aam -^^— 

^9inam(i.),)  =  smam«  +  22^ 


sinam?* 


A;'^sin''am-^^^ — sin^amw 
n 


^cosamf  ^fT' ^0  =  cosam2<4-2    >   

/.M  VM     /  ^  ^_^,, 


,     ,.„  2gK 

( — 1  y  cos  am  cos  am  «t 

n 

~~       2qK   .  „ 
sm^am-^^ —  sm^am?* 


^iT-  A  am  (  ^rp  >  Ä  )  =   A  am  2t  +  2   >   


A  am  -^ —  A  am  m 


•  2        25^    .  „ 
sin-^am— ^^^ —  sin^amw 


A  am  —^ —  sin  am?(  cos  am  u 
n 


2qK        ,,        2qK    .   , 

cos^am-^^ A^am— i —  sin^am« 

n  n 


104  DE  TRANSFORMATIONE  FUNCTIONUM  ELLIPTICARÜM, 

II. 

A.     FORMULAE  PRO  TRANSFORMATIONE  REALI  SECUNDA ,  MODULI  li  IN  MODULUM  X,, 

SUB  FORMA  IMAGINARIA. 

k,   =  //   sm  coam sin  coam sin  coam —  [ 

^  {  n  n  n        ) 

y ^ 

1  "~    (  ,        2iK'  .        UK'  ,        (w-l)iiL')* 

1 A  am A  am A  am  ^ 

(  n  n  n       ) 

;  .            2iK'    .             UK'         .            (w-l)i^'^2 
„_i   Ism  coam sm  coam sin  coam  ^ 

Ml  =   (—1)2 


2%K       .            4iK             .          (n-l)iK 
sm  am sm  am •  •  •  sm  am 

n  n  n 


sinam?«/  sin'^amM    \  /  sln'^am^*    \        /,  sin'^amtf 


Ml  .,       2iK']{  .,       AiK']                 .,      in-l)iK' 

^     '         sin-^ara /\        sm-am /  \        sm^^am^ — 

c,««»«,           ■     ■  •                       n    /  \  n   /  \                          Ol 
8inam 


iv;'')  =  -j^ 


sin^amit  \  /  sin'''amz<    \  /.  sin''^am^< 


i  .2       ^'^M  -2       3^ir'  .2       {n-2)iK' 

\         sin-^am /\         sm^am /        \         sin'' am  ^ — / 

\  ^w  \  ^^    /         \  ii       / 

iß    .              .         /     ,  4.iK'\    .          /     ,   8iK'\           .         /     ,  4{n-l)iK'\ 
y  y-sinamwsmamU«-j )  sinaml  «-j )  •  •  •  •  smami  2<-f  ~^ ' ) 


.i'n2, 


/^          sin-amM     \  /^         sin^amn     \      /^  sm^amw 

cos  am«/  1 


2iK'][         .  2         AiK']  .  „         {n-l)iK' 

sin'^eoam /\        sin^'coam /     V        sm'^coam-       ^ 


COSamf   ^rr'^l    )=  ; ^      .     ., r -, ^^-^ r f ^^ r^i r— 

*  Mj     V  /  sin-'am?*  \  /  sm^am2t     \        /  sin^am^t       \ 

~       iK']\           ~        WK'\"\           ~       {n-2)iK'  \ 
\         sin'' am j\         sm^am /       \         sin^am-^ ^ / 


=  \  — — ^cosamMCosaml  uA Icosaml  uA )  —  cos  am  (  u-\-— '- ) 

V  Xi  Ä;'  \     '      n    J  \     ^      n    J  \    ^         n        J 

Aam;f/l        ^^^'^^^^^     \(i         sin^am^t     \       / sin^am?^ N 

\        sin-'coam^yy        sin^coam— —  y      ^        sm^coara-        ^ 
Aamf 


<t;'0=— Ä 


sin-'am««  \/,         sm^amw     \        /  sm^am*« 


\        sin^am /\         sm^am /       \         sin^am^ -^— I 

\  *W  \  ^^    /        \  n       / 


DE  VAEI18  EIÜSDEM  ORDINIS  TRANSFORMATIONIBUS. 


105 


=  / 


1 — sin  am« 
l-|-sinamw 


1 — sin  am 


(l,-'0 


l+8inam(^,A,) 


1— 


sm  am  u 


sio  am« 


sm  coam 


2iK' 


sm  coani 


4:iK' 


1  + 


sm  am  u 


sm  am  u 


sm  coam 


2iK' 


n 


sm  coam 


UK' 


sm  am  u 


(n-l)iK' 
sm  coam 

n 


14- 


sm  am  u 


sm  coam 


(w-l)ii:' 


-v^ 


— Ä^sinamw 


l+^sinamw 


1— X,sinam(^^,XiJ 
1+X,sinam(^^ai) 


sm  am  u 


sm  am  u 


smcoam 


iK' 


n 


sm  coam 


n 


sm  am  u 


sm  am  u 


sm  coam 


iK' 


SiK' 
sm  coam 

n     I 


sin  am  u 


sin  coam 


(n-2)iK' 


n 


1  + 


sin  am  u 


sm  coam 


{n-2)iK' 


kM, 


smam 


(^^,X,)=sinam^-|2 


{2q-l)iK'  ,        {2q-\)iK'   . 

cos  am  —^ A  am  — - — sm  am  u 

n  n 

T^       {2q-l)iK'        :^ 

sm"*  am  -^ — sm''  am  u 

n 


n—l 


cos  am 


(r^0= 


cos  am  w- 


2(- 


^        -  (— 1  )%in  am  —^ — A  am  ^-^ — cos  amw 


-1)^  V 

Ik       ^ 


{2q-l)iK' 


(t-i 
(-Ip- 


A  am 


(t/^.)  = 


Aamw- 


2(-l) 


„   1  ,  (2q-l)iK'  {2q-\)iK' . 

f^  (— 1  )^8in  am  ^^  J    -  cos  am  -^—^-^ —  A  am « 


sm''  am 


(2q-ViiK' 


—  sln-am^* 


n 


( —  1 )?  A  am  -^ —  sin  am  u  cos  am  u 

'  n 


cos' am 


,,       2qiK'   .  2 

A^  am  — sm*  am  u 

n 


14 


106  DE  TRANSFORMATIONE  FÜNCTIONÜM  ELLIPTICARÜM. 

B.     FORMÜLAE  PRO  TRANSFORMATIONE  REALI  SECÜNDA  SUB  FORMA  REALl. 

X ^! 

AamI ;  Ä;  )  Aam  ( ,k  )  ••  ••  Aam(  ^ — ;  k  ) 

Aj  =  A;    jsmcoami ^ /;  )  sin  coam  ( ,k) — smcoaml^ — '  ^  )\ 

f2K'  ,A  .            f^K'\          .            f{n-l)K'    ,A 
sin  coam  (  — — ;  ä;  )  sm  coam  ( ,]i  j sm  coam  ( — ;  A;  1 


M,  = 


smam 


f2K'   ,A     .           f^K'\           .           nn-l)K'    ,A 
I  — — ;  Ä;  )   sm  am  ( ;  «)••••  sm  am  I  ^ ?  k  j 


(.  ,          sin^amw        W^  ,           sin^amw        )       (.  ,  sin^amw 

sm  amw    1-^ —— — -\  )  l-{ — — -(  •  •  •    1+ 


M 


M 


ri         tg^a„,(l€',,.)(,         tg^am(*-^,r))       \        tg' .ra  (^^^ ,  1,} 


x'   ^ )  [y  ,         sin^am«(       i  (.  .  sin^^amw  (.  ,  sm'amif 


1-f 


.)= 


COS amw 1 1— sin^am?<A^amf ; ^'  ) | )  1— sin^amwA^amf ^ ^  ) ("  1 1— sin^am^<A2am( ^^ —  )k')\ 


Mj     V  [\A_        sin^am^t       )(i j_         sin^am?*        \       L  ,  sin''^am^* 


.)  = 


A amw  j  1— sin-am?<  A^amf — ;  A'  j  j    1-  sin^am«*  A^amf ; //  j  ••  1— siu^am«  A^amf  ^^-^^^ — ; ^' j  j 


Mj'    V  ( ij_        sin^am«       i  d  _l         sin-^amM        i        / 


sin^  am  w 


tg^ao.(f:,.))(        tg^a.(i^,.0(       (        tg^-(^.'-'0) 


1 — sin  am 


— sinaniM 


i  /l — sin 
VlTsin 


l  +  sinam(^^;Ajj 
1 1 — sin  am«<Aam( ,k'  j  |  \  1 — sin  am?«  Aamf ?k'  j  •  •  1 1 — sin  am^f  Aamf '^ — ; k'  j  | 


+sinamw   L  ,    .           .       f2K'  ,A)(     ,    .            ,      fAK'  ,A)    L  ,    .            ,      /(w-1)^'  ,A) 
'l+smamwAaml — ->k  )  j  {l-}-sinami<Aam( ;Z;  )|--Jl-|-sinamwAaml  ^^ — }k  ]\ 


DE  VARIIS  EroSDEM  ORDINIS  TRANSFORMATIONIBUS. 


107 


1— A,8inam(^;ÄjJ 


14-/.iSinam(^,Äi 


=\/\ 


— Jcsinamu 


—  aam( — )k  IsinamM?    1 — Aam( ,k  Isinamw)-- jl — Aam(^ — — — jk  )sinam«<| 

+Z:sinam?* '  (,  ,   ,      fK'  ,A  .           V^^k      f^^'  i'\  •           TTTT^^      /(w-2)iC'  ,A  .  ) 

U-f-jaml — ;A;  )smamM|  .1+Aam( ,k  Ismamw  ••Jl-|-Aam( -^ — ;A;  )smam«*| 


A  am  (  —^ — - —  j  h 
V       n 


sin  am  u 


1  1  ^"■^sm^aml  ^^^ — ^ — ;  A:  1  -^  cos^ami  ^  —  ^//jsm^amM 


n—\ 


cos  am 


(¥:''■■)  = 


cosamzr 


n— 1 

tdi^Aam(|-w,)  =  Aam.-2(-lF2; 


/7m; '^""^("m;'^-)  =tg^°i^+2  2^ 


'sin-^aml  -^ — - — ,ii  j+cos'^aml  — ^^^ — ~ — ,k  Isin^amw 

( —  1)*  sin  am  l  -^ — - —  jK  )  A  am  ?* 
sm-  am(  — ^ — ^ — ,  k  l+cos'' am(  — ^^ — - — ;  k  )sin^  am w 

(  -l)*cosam(  — ^ — ;  k  )  AamI -^^ — j»  k  )8inam2/cosam« 
1 — A^amf  — ^ —  ;/.;')  sin^am?« 


n-l 

In  formulis  pro  transformatione  prima  positum  est  ( — 1)  ^  M  loco  M. 
Formulas  pro  transformatione  secunda  dupliciter  exhibere  placuit,  et  sub 
forma  imaginaria  et  sub  forma  reali,   in  quibus  praeterea  loco    A*  sin  am 

Arsmcoam ,  etc.  ubique  scriptum  est ; — ^    ^-t^,  ' 7 — tt-t^ 

n  ^  ^  .         in-2m)iK        .  (n-2m)i^ 

sin  am  ^ sin  coam 

n  .  n 

id  quod,   sicuti  reductio  in  formam  realem,  ope  formularum  §\  19.  facile  trans- 
actum  est.      Ubi  signum  ambiguum  ±  positum  est,  alterum  -f-  eligendum  est, 


n 
r?  etc.: 


ubi    - —    est  numerus  par ,   alterum  — ,   ubi   ^-—    est  numerus  impar ;    de  signo 
+   contrarium  valet.       In    summis  praefixo    2     designatis    numero   q    valores 


1,  2,  3 


tribuendi  sunt. 


14 


108  DE  TRANSFORMATIONE  FUNCTIONUM  ELLIPTICARÜM. 

E  formulis  pro  transformatione  prima  propositis  patet ,   quoties  u  fiat  suc- 

cessive : 

^       2Z^       3^       4:K 

^      n         n  n  n 


fore  am  f  ^;  x): 

0, 

2  ^ 

^.,    -,   - 

unde  obtinemus  : 

4  =  A. 

Contra  vero  videmus  in  transformatione  secunda,  quoties  u  fiat:   0,  K,  'iK,  SÜT, ... 
sive  amw:   0.  —,  tc,  -—,...,    lieri  am  (  -^rp- .  A^^  )  et  ipsam  =0,  — ,  tc,  — -,  ..., 

au  V  JxL .  /  i  a 

unde  hoc  casu : 

K 


M,  =  ^- 


Ceterum  e  formulis  pro  modulis  X,  X',  X^.  X'j  exhibitis  elucet,  crescente  n, 
modulos  X,  \\  rapide  ad  nihilum  convergere,  ideoque  simul  modulos  X',  X^ 
proxime  accedere  ad  unitatem.  Itaque  transformationem  moduli  primam  dicere 
convenit  maioris  in  minorem,  secundam  minoris  in  maiorem. 


DE  TRANSFORMATIONIBUS  COMPLEMENTARIIS 

SEU  QUOMODO  E  TRANSFORMATIONE  MODULI  IN  MODULUM  ALIA 

DERIVATUR  COMPLEMENTI  IN  CX)MPLEMENTUM. 

2  5. 
In  formula  supra  inventa  : 

tgam(^^,Xj  =  y -^tgamMtg-am(?«+4(u)tgam(«-f8u>)-- •.tgam(2«+4(n— 1)«>) 

ponamus     u  =  in',     («  =  i^\     ita  iit  sit    to  =  ^^K+m'JK^^    ^,  ^  m'K'-mJK ^ 

n  n 

lam  vero  est  (§.  19.) : 

tgam(m',  h)  =  /  sin  am  («',  h') 
tg  am  {iii,  Ä)  =  i  sin  am  {u.  X' ) , 


DE  TRANSFORMATIONIBUS   COMPLEMENTARIIS.  109 

linde  formulam  allegatam  in  sequentem  abire  videmus : 

sinam(^)A')  =  (— 1)  "^   y  ^^sinam?t'8inam(w'4-4oj')8inam(M'-|-8^»')--sinam(w'-|-4(w— l)«i')  (mod.Ä;'). 

Porro  invenimus  formulas : 

r  =  ^ 


M  =  (-1) 


[A  am  2ü)  A  am  4oj  •  •  •  •  A  am  (w — !)«>]* 

[sin  coara  2(u  sin  coara  4  o>  •  •  •  sin  coam  {n — l)w]^ 


[sin  am  2oi  sin  am  4oj  •  •  •  sin  am  (w — l)n>]^ 
quae  e  formulis : 

A  am  (in,  Je)  =  -. 7— t^ 

^         smcoam(M,  k  ) 

sm  coam  (tu,  Je)  =  -, ; — 7-,  r 

A  am  (w.  /i  ) 

linde  etiam  sequitiir: 

sin  coam  (iu,  Je)  —  i  —  i  sin  coam  (m,  Je') 

sin  am  [iu.  Je)  tg  am  {u,  Z;' )  A  am  («,  Je')  sin  am  {u,  Je') 

in  seqiientes  abeunt : 

k'  =  //"[sincoam2w' sin  coam  4o/- •••  sin  coam  (w — !)«>']*        (mod.Ä') 

[sin  coam  2a»'  sin  coam  4oj'-  •  •  •  sin  coam  (n — l)w']^        .      j  7  r\ 

M  =      - — ^. r~. T ; ; — V,   ,^i — —       (mod. Je) 

[sin  am  2(ü  sm  am  4co — smam(/^ — l)o>  J 

His  formulis  comparatis  cum  illis,  quae  transformationi  moduli  k   in  modulum 
X  inserviunt: 

sinam(-^;X  j  =  1/  — sinamMsinam(M-|-4tü)sinam(?*+8w)  •  •  •  •  sin  am («< +4  (w — l)(o) 
X  =  Je"  [sin  coam  2««  sin  coam  4«)  •  •  •  •  sin  coam  {n — l)<o]* 

.N^  [sin  coam  2to  sin  coam  4o>  ••• -sin  coam  (?^ — l)o>]^ 

JjJ.    =    ( 1)  — : ^ — ^— i 

[sin  am  2 o>  sinam4o>  •  •  •  •  sin  am  (w — l)to]^ 
elucet  theorema,  quod  maximi  momenti  censeri  debet  in  theoria  transformationis : 
Quaecunque  de  trän sformatione  moduli  k  in  modulum  X  proponi  possint  formu- 

n—l 

lae,  easdem  valere,  mutato   k  in  k',  X  iii  k,  m  in  (n'  =^  —,  M  in   ( — 1)  "^   M. 
Transformationem  autem  complementi  in  complementum,  dicto  modo  e  transfor- 
matione  proposita  deiivatam,  dicemus  transformationem  complementariam. 


1 10  DE  TRANSFORMATIONE  FUNCTIONÜM  ELLIPTICARUM. 

Facile  patet ,  transformationum  realium  moduli  k  transformationes  reales 
mocluli  k'  complementarias  esse ,  ita  tarnen  iit  primae  moduli  k  secunda  moduli 
k',  secundae  moduli  k  prima  moduli  k'  complementaria  sit.  Ubi  enim  in  theore- 
mate  modo  ])roposito  ponitur    co  =  ^^— ,    (o  =  ~ — ;    quod  transformationibus 


n  n 

w         +iK       , oj  ±  K' 

i  n  i  n 


moduli  k  primae  et  secundae  respondet,  fit    cd'  :^  -,-  = —,   u)' 

quod  transformationibus  moduli  k'  respondet  resp.  secundae  et  primae.  Nee 
non,  cum  crescente  modulo  decrescat  complementum  ac  vice  versa,  transformatio 
moduli  in  modulum  ubi  est  maioris  in  minorem,  transformatio  complementi  in 
complementum  seu  transformatio  complementaria  minoris  in  maiorem  esse  debet 
ac  vice  versa.  Videmus  igitur,  mutato  k  in  k',  abire  X  in  X'^,  X^  in  X'.  Nee 
non  multiplicator  M,  transformationi  primae  eiusque  complementariae  commu- 
nis*), abibit  in  M^,  qui  ad  transformationem  secundam  eiusque  complementa- 
riam  pertinet,  ac  vice  versa  M^  in  M.     Hinc  e  formulis  supra  inventis: 

V  -  -^  V     -  ^ 

"  wM  '       ^  ~  Ml 

sequuntur  hae : 

A'  -^  \'  -^' 

A,      =     — Vi-^  A       =     ^rp   , 

^         nU^  M 

unde  proveniunt  formulae  summi  momenti  in  hac  theoria  ; 

/^  -     K        i^  _  1  ^ 
A   ~~  ^^  K  '       A^~  n'K  ' 

Hae  formulae  genuinum  transformationis  propositae  characterem  constituunt, 
unde  patet,  bono  iure  singulas  nos  transformationes  ad  singulos  numeros  n  re- 
tulisse.  x\dnotabo,  quoties  n  sit  numerus  compositus  =  7in",  e  singulis  radi- 
cibus  realibus  aequationum  modularium  seu  e  singulis  modulis  realibus,  in  quos 
datum  modulum  k  per  substitutionem  7i*^  ordinis  transformare  liceat,  provenire 
aequationes  huiusmodi  : 

a;  _  ^  ^ 

A   ~  n"'  K  ' 


*)  Hoc  generaliter  tantum  neglecto  signo  valet;    vidimus  enim,  quod  in  altera  transformatione  erat 
«—1 

M,  in  complementaria  esse  ( — i)  2     31;    at  nostris  casibus  eo,    quod  in  transformatione  prima  loco  31  po- 

n-l 

situm  est  ( — i)  2    M  (y.  supra),  signi  ambiguitas  toUitur,  ita  ut  transformationibus  realibus  complementa- 
riis  omnino  idem  sit  multiplicator  M. 


DE  TRANSFORMATIONIBUS  SUPPLEMENTARIIS  AD  MULTIPLICATIONEM.  111 

quae  singulis  discerptionibus  numeri  n   in  duos  factores  respondent.     E  quarum 
igitur  numero ,  quoties  n   est  numerus  quadratus ,  erit  etiam  haec  : 

-r-  =  "^^    unde   A  =  h, 

quae  docet,  casu  quo   n    est  quadratum,  e  numero  substitutionum  esse  unam, 
quae  multiplicationem  suppeditet. 


DE  TRANSFORMATIOXIBUS  SUPPLEMENTARIIS  AD 
MULTIPLICATIONEM. 

26. 

Revocemus  formulas : 


quibus  hunc  in  modum  scriptis : 


A'           K' 
A   ="k' 

a;       1   K' 

Ai          n' K 

icriptis : 

A' 
A 

= 

K' 

K' 
K 

= 

Ai 

elucet,  eodem  modo  pender e  modtdiim  X  a  modulo  k  atque  modidum  k  a  modulo  X^. 
swe  eodem  modo  pendere  modulum  k  a  modulo  X  atque  modidum  X^  a  modulo  k. 
Itaque  per  transformationem  primam  seu  maioris  in  minorem,  qua  Ä  in  X ,  trans- 
formabitur  X^  in  k;  per  transformationem  secundam  seu  minoris  in  maiorem, 
qua  k  in  X^,  transformabitur  X  in  k.  Itaque  post  transformationem  primam  ad- 
hibita  secunda  seu  post  secundam  adhihita  prima,  modulus  k  in  se  redit,  seu  trans- 
formationes  prima  et  secunda  successive  adhihitae,  utro  ordine  placet,  multiplicatio- 
nem praehent. 

Vocemus  M'  multiplicatorem,  qui  eodem  modo  a  X  pendet  atque  Mj  a  k, 
Mj  multiplicatorem,  qui  eodem  modo  a  X^  pendet  atque  M  a  A:.  ita  ut  obti- 
neantur  aequationes : 

dy  dx 

\j{l—y'){\-^i/)    ~  M.SJ{\—x'){l—¥x'') 

ds  dy 

\J'(i::^(l-ZW^  ~  MV(1^— «/^)(1— XV)"' 


112  DE  TRANSFORMATIONE  FUNCTIONÜM  ELLIPTICARUM. 

quarum  altera  transformationi  moduli    k   in    moduliim  A    per  transformationem. 

primam,  altera  transformationi  moduli    X    in  modulum  k   per  transformationem 
secundam  respondet.     Ex  his  aequationibus  provenit : 

dx                            ,  .         /   M   \ 


unde   s  =  sin  am 


y/(l_^2)(i_p^2)         MMV(1  — ^*)(1— ^'a;')  VMMy 

TT" 

At  ex  aequatione  A^  =  Yr~  mutando  k  in  X,  quo  facto  JBl  in  A,  X^  in  k.  A^  in  K, 

A  TT 

Mj  in  M'  abit,  obtinetur  K  =  ^,,  qua  aequatione  comparata  cum  illa  A  =  ""iff  •» 

provenit   ^,  =  w.    unde: 

(?ig  ndx 


K 


TT 
Eodem  modo  ex  aequatione    A  =  -^    mutando  ä*  in  X^.    quo  facto  K  in  A^. 


X  in  A:,    A  in  Ä",  M^   in  M'^   abit,    provenit   K  =  — tJt-,    qua  aequatione  com- 

TT  1 

parata  cum  hac    A^  =  ^ ,    provenit    „  „,  =  7i;   unde  videmus,  duobus  illis 

casibus  post  binas  transformationes  successive  adhibitas  multiplicari  argumen- 
tum per  numerum  n. 

Ubi  post  transformationem  moduli  Ä"  in  modulum  X  modulus  X  rursus  in 
modulum  k  transformatur ,  ita  ut  multiplicatio  proveniat,  hanc  transformatio- 
nem illius  supplementariam  ad  multiplicationem  seu  simpliciter  supplementariam 
nuncupabimus. 

Apponamus  cum  exempli  causa  tum  in  usum  sequentium  formulas  pro 
transformatione  jörma(?  supplementaria  seu  moduli  X  in  modulum  k,  quae  erit 
ipsius  X  secunda,  eas  tamen  sub  altera  tantum  forma  imaginaria,  cum  re- 
ductio  ad  realem  in  promptu  sit.  Quas  confestim  obtinemus  formulas,  ubi  in 
iis,  quae  supra  de  transformatione  moduli  k  secunda  propositae  sunt  (v.  tab.  IL 
A.  §.  24.),  loco  k  ponimus  X,    k  loco  X^,  ^  loco  m,    M'  =  — ^  loco  M^,  unde 

~~  =  nu  loco  v^.      In   his   formulis,  sed  in   his  tantum.    modulus   X    vale- 
MM  Ml 

bit ,  nisi  diserte  adiectus  sit  modulus  k ;  ceterum  brevitatis  causa  positum  est 
y  =  sinam(-^,X);  numero  q,  ut  supra,  tribuendi  sunt  valores: 

1,  z,  ö,    .  .  . ,      2 


FOßMULAE   PRO  TRANSFORMATIONE  MODUI.I  X  IN  MODÜLUM  k.  113 

FORMl  LAE  PRO  TRANSFORMATIONE  MODULI  X  IX  MODULÜM  k, 
SEÜ  PRIMAE  SUPPLEMENTARIA*). 

27. 

,         .,,  i  .  2i.V    .  -Hy  .  (n-l>'A''* 

k  =  /.   { sm  coam sin  coam •  •  •  •  sin  coam  ^ — 

(  n  11  n 

7j'  =  — 


2 JA'   ,         4hV'            ,        («-1)*A')* 
A  am 1  am •  • . .  A  am  ^ —  > 

n  n  n      ) 


.     .             2i\'   .            Ai.V           .            (n-l)iX   \2 
„_i     sm  coam sm  coam •  •  •  •  sm  coam  ^ ^        ' 


nK  \        .  2/A'    .  4iV'  .  (»2-l)?.\' 

'      sm  am sm  am  •  •  •  •  sm  am  ^^ — 

n  n  n 


1- 


y-      \  L  y'^      \      ( 1  y 


wM?/             .   ,       2iV'                .   ,       UX  _       (n-l)?A' 

■^V         sm^am /\  sm^am /        \         sm^am^^ — 

8inam(>«a-)  =  -A !L/\ ''  I         \ !^_  _/ 

/i         y^     \/i         2/'     \  /i            y^       \ 


\         sm^am — /\         sm^am /         \  sm^am^^ — / 

\                      n  }  \  n  J          \                          n      } 

t/X"    .          u    .         fu    ^  4?A'\    .  (u    .   8?A'\  .          fu^    4,',^_1),V'\ 

,—  Jx- ^ \/i  y         \--/i ?/^           ^ 

Vl-1/M            •   .          2iA'    (  .   ^          4«A'                     .   ,          (w-D/A' 

'       "^  V         sm^coam /\  sm^coam /  \          sm^coam^^ — 

cos  am  {nu,  Je)  = j 


^ y'      \/,  y 


sm^am — /\         sm^am /       \         sm^am^ — 

n  /  \  n   /        \  n       ; 


=  V  — n  COS  am  ^rf  cos  am  (  ^rp  H )  cos  am  (  — r  H 1  •  •  •  cos  am  .^  -4-  -^ Lil ) 

Vl^^Fl  ^        '~>  ^  )(  ^       ^"^         "3^V"(  ^        ~  (>2-2KA' ) 

\         sm^coam— /V         sm^coam — -/      \         sm-coam^^ — / 

A/7N  \  **/\  w/\  w/ 


?/      \/i         y       \     /,  y 


V         sm^am — /\  sm^am— —  /       \         sm^am^ — / 

\  ^^  /  \  n  J        \  n      ) 

V/-„Aam^Aam(^j^  +  — jAam(;^  +  — J..-Aam(^jj-f-V-; 


*)  In  formulis  huius  paragraphi   oranes  functiones   ellipticae,  quibus    modulus   non   adscriptus  est, 
modulo  K  gaudent.  B. 

l.  15 


114 


DE  TRANSFORMATIONE  FÜNCTIONÜM  ELLTPTICARUM. 

y       \/i    y       ^    ' 


1- 


v/ 


l — sinam(MM;  fc) 
l-|-smam(wM;  W) 


=  sj 


1-y 


sincoam 


2?A' 


sin  coam 


AiX 


[■•    1 


y 


sin  coam 


(w-l)iA' 


1-f 


y 


sm  coam 


2*A' 


1+ 


y 


sm  coam 


4«A' 


1+ 


y 


sm  coam 


(M-l)iA' 


^\ 


—  ]c  sin  am  {nu,  k) 


-)- Ä;  sin  am  (ww;  Ä)         ?  1+^3/ 


V  14- Xw 


sin  coam 


^A' 


^\-7i- 


sm  coam 


3iA 


y 


sm  coam 


(«-2)*A' 


sin  coam 


iA' 


14 


sin  coam 


BiA' 


y 


sin  coam 


(«-2)«A' 


sin  am  {nu,  Je)  = 


^y  2y 


(2f7-l)2A'  ,        (2g-l)i\' 
cos  am  ^^-^^ — -—  a  am  ^-^^ — - — 


sin  2  am 


(2g-l>-A'      ^. 


"-1 


cos  am  (wM;  /t)  = 


ii  am  (nM;  Je) 


(_1)2   x\/l-y2      2\/l-t/2 


/^«M 


ihiM. 


1 


,      ^,,  .         (2(?-l>"A'  ,        (2g-l)iA' 
( —  l)*8m  am  ^-^ — '—  A  am  ^-^ — -~ 


n 


sin^am— ^i — - — 
n 


•y 


nM 


,     ,sn  -         (2q-l)iA'  {2q-l)iA' 


sm-^am 


(2g-l>A'      ^^ 


tg  am  («W;  /c)  = 


Jc'nM.    y'i_;y2~'         Ä;'nM 


nM        X   , 


(— lyAam 


2giA' 


„       2qiA'        ..„       2gL\' 
cos^am  — y^2i^aim— — 


Theorema  analyticum  i^eiierale,  transformationem  illam  primae  supple- 
mentariam  concerncns,  iam  iiiitio  mensis  Augusti  a.  1827  cum  Cl°.  Legendre 
communicavi,  cuius  etiam  ille  in  nota  supra  citata  [Nova  Astronomica  a.  1827. 
Nr.  130)  mentionem  iniicere  voluit.     »Simile  formularum  systema  pro  transforma- 


FORMÜLAE  PRO  TRANSFORMATIONE  MODULI  A  IN  MODULUM  k.  115 

tione  altera  secundae  supplementaria  scu  transformatione  moduli  X  ^  in  nioduluin 
k  stabiliri  potuisset.  Quae  omnia  iit  dilucidiora  fiant.  adiecta  tabula  formulas 
fundamentales  pro  transformationibus  prima  et  secunda  earumque  complemen- 
tariis  et  supplementariis  conspectui  exponere  placuit"^). 

Nee  non  e  numero  transformationum  imaginariarum  una  quaeque  suam  lia- 
bet  supplementariam  ad  multiplicationem.  Su])ponamus,  quod  licet,  numerus 
M,  m  §.  20.  factorem  communem  non  habere :  sit  porro  m^ —  \i.in  =  1,  designan- 
tibus    {X,  {jl'   numeros  integros  positives  seu  negativos.     lam  si  in  formulis  nostris 

generalibus  de  transformatione  propositis  §.  20.  sqq.  ponitur   lo  =  ^ — '^^ ;   ac 

Ar  et  X  inter  se  commutantur,  formulas  obtines,  quae  ad  supplementariam 
transformationis  pertinent.      Posito  m  =  1,   w'  =  0,    fit  |i  =  0,    jx'  ==  1,    unde 

^ — "M^^ —  =:  XjTjr  =  — ,    quod  primae  supplementariam  praebet,  uti  vidimus. 


*)  In  quatuor  paginis  sequentibus  inveniuntur: 

Transformationes  reales  functioniivi  ellipticarum  earumque  compleinentartae  ei  suppletneniariae , 
quae  primae  huius  operis  editioni  in  tabula  separata  adiectae  erant. 

B. 


116  TRANSFORMA.TIONES  REALES  FtTfCTIONUM  ELLIPTICARUM 


A.     TRANSFORMATIO  PRIMA  CUM  SUPPLEMENTARIA. 

2K    .   ,           4:K            .  ^          in-l)K  ,      ,  ,. 

(2^         \   =  Z^"sin''coam sin^coam sin^coam (mod.A) 

raa'i       Ä;  =  X"  sin^  coam sin*  coam  — sin^  coam —  (mod.  k) 

=        ,       2A\,       J ,,       (n-iyr  ("^'^-'^ 

A^am — A*am— A*am^ — 

n  n  n 

2K  .  ^  AK  „:„,„„„„ (w-1)^ 


sin 


2  coam —  sin  2  coam -^  •  •  •  •  sin  ^  coam 


n  n  n  /      j  tn 

W        M  =  .   ,       2K  .       -IK (n-l)K  (««">•*) 

sm^am  —  sin^am •••sm2am^ 

n  n  n  ■ 

2A'   .   ,  4A'  .   „  (w-l)A' 

sm^coam — sin^coam- —  •  ••  •  sin^coam 

1  n  n  n  /      j  >  '\ 

c")  m ^ . ,    2A-.,   IX — . ,    (.-DA'  ("">*-^' 

sm^am  —  sm^am •  •  •  sm^am — 

n  n  n 

8inam(?/;Ä;)  =  x;      sin  am  (^,kj  =  ij;       sinam(w/;/j)  =  ^ 
(c)         y  =  (— l)~2~l/ YsinamMsinamTw-] Jsinamf«*-! V-sinam^M-] -—\jnod.k) 

/  'j-S  \      /  'tS  \  /  -yS  \ 

X  1 1 


„  i            .   ,       2iC     r         .   ,       4.K\                   .   „       {n-l)K 
MV         sm^am —  /\  sin^am — /       \  sin^am^ — / 

(l  — ;b2a;2  8in2  am— Yl— Ä;3a;2  sin2  am  —  V  •  (l— Z:2^2gin2  ani^i^)— ) 
(CO)        .  =  \/-^smam^smam(^j^  +  — >mam(^j^4-— |-smam(^j^+-^-^;(mod.X) 


1  +  - ^^rT7\/l 


»«%  .  o       2A'  ]{     ^  ,  ,       4A'  1^  ,  ,       (w-l)A' 

(l+X22/2tg2am^')(l+Xa2/3tg3am^')  •  •  •  (l+X^^^tg^am^-^^li^) 


(mod.  A') 


EARUMQUE  COMPLEMKNTARTAE  ET  SüPPLEMENTARIAE.  117 

TRANSFORM ATIONES  COMPLEMENTARIAE. 

/„N       •'         7'»  •  4  2ii:  .  ,  4tiK  .  ^  (n-l)iK 

(a)      K   =k   sin-^coam sin^coam sin^coam^ —  (mod.Ä;'^ 


n  n  n 


A-^am A*am •  •  •  •  A*am^^ '— 

n  n  n 


(mod.  k) 


,    .     ,,         ,/*  .  ,  2A'  .  ^  4A'  .  ^  {n-\)X' 

(aa)    fö   =  X   sin^coam  —  sm*coam •  •  •  sin*  coam -^ (mod.X') 


n  n  . 


(b)  et  (bb)     eaedem  atque  supra. 

1  am  {n,  li)  =  x;      sin  am  f  -^ ;  X'  j  =  y;      sin  am  {nu,  7c')  = 


sin; 


(c)       y=  y -yr-smamwsinamU^H )smam(?^-l •  )----smam(  2«-f--^ • — )(mod.Ä) 


\   /.  ■  x^        \        /.  .  x'' 


(l+fc'Vtg2am^(l+Ä;'Vtg2am^)-..(l+7o'Vtg2am^-^^-) 

,    X               /     .x'^t/^  .          «^    .         /^w    ,  4A'\  .         /M    ,  8A'\     .         /it    ,  4(«-l)A'\,      ,  .,, 
(cc)      ^  =(—1)-   Vysmamj^sinam(^^  +  — jsmam(^j^+— J..sinam(^-jjH J(mod.X) 


1  2/'        \  /i  2/' 


»M?/             .   ^       2\'][           .   ,       4A'                       .  ,      (w-l)A' 
■^V  sin^am — /\         sin^am — /         \         sm^am^ / 


(  1 — A  ?/2sin^am  —  j(  1 — a  ?/  sm^am  —  j"" 'V^ —     ^^sin-am^ — 


A  =  ~-         V  =  — 

nM''         '  M 


118  TRANSFORMATIONES  REALES  FÜNCTIONUM  ELLIPTICARUM 

B.     TRANSFORMATIO  SECUNDA  CUM  SUPPLEMENTARIA. 

/  X         ,           7„  .  4          2i^'   •  4          4«^'           .  4          (n-l)iK' 
(a)        A ,   =  A:  sm* coam  — —  sm* coam ••  •  sm^ coam ^^ — 

n  n  n 

r 


,,       2K'  ,.       4K'  ,.       (n-l)K' 

n  n  n 


(mod.  Je) 
(mod.  ¥) 


k  =   a"  sin^coam  — ^sm^coam — '^    •  •  •  sm^coam^ --^  (mod  >  ) 

2K'   .  ^  AK'  .  „  {n-l)K' 

sm^coam sin^coam •  •  •  •  sm'^coam^^ ~ — 

/u\       M  n  n  n 

(b)      M,  =  —      ^x'  :—-^'  —      (^_i)^'  (mod.^') 

sm^am sm^am—  ••  •  •  smäam^^ — 

n  n  n 

•  9          2Ai                  4Ai            .   „          (w-l)A, 
sin^coam — i^sm^coam — -  •  •  •  •  sin^coam^^ ^— ^ 

^^^^  Ä,  -      r,    2A,  r7-~ÄK\       . ,    (^-i)A, —  (°^«^-^i) 

'  cma  am i.  sin  2s  am L  .  .  .   .  cinz  qtyi  >! ^      i 


sin^am — i^sin^am — -  •  •  •  •  sin^am 


n 


6m  am  {u,  Je)  =  x;      sinamfrjrj-;Xi  j  =  y;      sin  am  (mW;  Ä;)  =  ^r 
(c)         ?y  =  y  ^    sinam?/  sin  am  (^u-^  -^^  «in  am  (u  +  -^^ — j  •  •  sin  am  fu  -f-  ^^^~^^^^\mod.Jc) 

(l4-F:.ng»am?^)(l+FxVam*^)...(l+iVtgW^)  ^""""'^'^ 

l" \  /] y'' 


""■n         sin^amH^  sin^amAJ'l  .=„,.„  (-DA. 


,       .  sm-^am 

n  /  \  n 


(l->.:,^sm^am?^)(l_A';,»sin^am^j..(l_x:/sm=am(tiVk)       ^"""'•'•^ 


EARIBIQUE  COMPLEMENTARIAE  ET  SüPPLEArENTARIAE.  119 


TRANSFORM ATIONES  COMPLEMENTARIAE. 

(a)      X,  =  /:    sm^coam sm^coam •••■sin^coam —  (mod./;) 

^  '        ^                              n                     n                                  n  ^            ^ 

(aa)    k   =  A,  3in^coam ^sm^coam ^  •  •  •  •  sin* coam ^ ~ — ^  fmod.Ä'^ 


n  n  n 


A*am — i^  A^am — ~  •  •  •  •  A*am^ ^-^ 

n  n  n 

(b)  et  (bb)     eaedem  atque  supra. 


(mod.Xj) 


sin  am  (w,  Ä')  =  x;      sinamf -^,  Ä'^  j  =  y;      sin  am  (m*,/;')  =  s 
(c)       y  =  ( — 1)-   \/y7-sinamwsinamUt-] Jsinamf?*-j J--sinamf m  +  -^^ — )(mod.Ä') 


X    l  1 :t^^\  /  1- 


Mj  \  sm^am /\  sm^am /       \  sin^am^ — 


n   /  \  n    .  ^  ..       . 

,^  fmod.Ä') 


(  1 — k  rc^sin^am )(  l—k  a^^sin^am )  ••  (  1 — k  aj^sm^am^^ — 

\  n  /\  n  /      \  n 

(cc)     .=  V^smam3^smam(^^  +  -^jsmam(^^  +  --g..smam(^j^+A_^_ij(„^^^^^^ 


vmA     ^  ,  2       2A,  ^  ,  .       4A,  r^  ,  ,       (w-l)A,  1 

(l+xf  2/^tg2am^)(l+A;^yng2am-^Ai). .  (i+xf  2,2tg2aJ>izÜAi) 


(mod.Aj) 


120  DE  TEANSFOKMATIONE  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

FORMULAE  ANALYTICAE  GENERALES  PRO  MULTIPLICATIONE 
FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

28. 
E  binis  traiisformationibiis  supplementariis  compoiiere  licet  ipsas  pro  mul- 
tiplicatione  formulas,  seu  formulas,  quibus  functiones  ellipticae  argunienti  nu 
per  functiones  ellipticas  argumenti  u  exprimuntur.  Quod  ut  exemplo  demon- 
stretur,  multiplicationem  e  transformatione  prima  eiusque  supplementaria  com- 
ponamus.     Quem  in  linem  revocetur  formula: 


8in  am 


"^  Vlvr '    /  ^^  ^~  -^      V  y  smamttsinaml  «i-| )smam(  w-| j--smaml  ?/-|"^ —  y ' 

quam  etiam  hunc  in  modum  repraesentare  licet : 

( — 1)  ^    smam(^jA)  =  y --XlsinamI  m-| ); 

designante    m    numeros     0  .  ±  1 ,    ±  2  ,  .  .  . ,    ±  ^^ .       In  liac  formula  loco    u 

,   2m' iK'           ,      u      1  -^  •       M     ,    2m' iK'         u     ,   2m' iX'  ,.^ 

ponamus   u-\ ,  unde  -^rr-  abit  m  ^r^  H ^ —  =  -^^ -{ :  prodit 

/     ,n"^    .         /^M    ,  2m'«'A'    .\         t/^TT  .         /     ,  2mK+2m'iK'\ 
(-1)2    smam(^j^  +  -~^— aj  =^  ^ - ü sm am (^w H ^ )• 

lam  ubi  et  ipsi  m   tribuuntur  valores    0,   ±1,  ±2,  ...,  ±^^-—,    ita  ut  utrisque 
m ,  m   isti  conveniant  valores ,  facto  producto  obtinemus : 

/     ifi^TT  •    ■     ^««1   2wi'*^'    ,A         i/^TT  •         f     .   2mK+2m'iK'\ 

ubi  in  altero  producto  numero    m',    in  altero  utrique    m,   m    valores    0,    ±1, 
±  2  ,   ....   ±  ^^^^  tribuendi  sunt. 

At  vidimus  in  ^°  praecedente,  esse: 
(w«,Z;)  =  y  ^  sin  am  -smam(^^  4---Jsmam(^^  +  _ -J..smam(^^  H ___J(niod.X), 


FORMULAE  ANALYTICAE  PRO  MULTIPLICATIONE.  121 

quam  ita  qiioque  repraesentare  licet  formiilam  : 

,       j.          4  A"  TT  •          /^<     ,   2m'i.\'  ,\ 
sm  am  {nu,  Je)  =  y  ,  - 11  sin  am  f  ^  -j :X]- 

unde  iam: 

(1.)  sin  am  nu  =  {-lY^SJW^  H  sin  am  (ii  +  ^a^E±^^^^  . 

Eodem  modo  invcnitur: 


(2.)  cosamww  =        VVÄ'/       liCosam(w-j ! \ 

to\  A  , //IV"-'        X        /^     ,    2m^+2m'iir'\ 

Quae  facile  etiam  in  hanc  formam  rediguntur  formulae : 

sin^am?* 


(4.)  sin  am  m*  =  n  sin  am« 


n 


.  „        2mK-\-2m'iK' 
sin''  am 


,      ,„  .   „       2mK-\-2m'iK'   .  , 
1 — A;'^sin''am sin'' 


sin'  am  ti 

n 


sm'amw 


.  „          2mK-[-2m'iK' 
sin^  coam ! — 


(5.)  cosam?m  =     cos  am«   1    I 


sin'' am  M 


,      72  .   2       2mK4-2m'iK' 

1  —  A;''  sin"^  am ' 

n 

,      ,o  .  „          2mK-\-2m'iK' 
1 — /r  sm^  coam 


ni — /v-sm^coam -^ sm^'am?* 
^ — ^^  ..^, 
,      ,„  .  „       2mK+2m'iK'  .  „ 
1 — Jr^m^  am sin^  am  u 

n 

Quibus  addere  placet  sequentes : 

n— 1 

,„^                                  TT  •  2        2mK-\-2m'iK'         (— 1)  ^  n 
(7.)  Msin^am — — =  -^ ^-  — 

nn — 1 

2mK-{-2m'iK'         f'k'ST^ 


rQ\                                    TT«     2        2mK-^2m-iK'  /  k'\ 

(8.)  ncos^am X =  (_j 


««— 1 

2 


/„  X  TT  A9       2niK-\-2miK  ,,- 

(9.)  n  A^am ? =  l 

n 

I.  16 


122  DE  TRANSFORMATIONE  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

In  sex  formulis  postremis  numero  m  valores  taiitiim  positiv!  0,  1,  2,  3,  ...,  *^^ 
conveniunt,   ita  tarnen,  ut  quoties    m  =  0.    et  ipsi   m    valores  tantum  positivi 

1?  2,  3,   .  .  .,  —^    tnbuantur.     Et  has  et  alias  pro  multiplicatione  formulas  iam 
prius  Cl.  Abel  mutatis  mutandis  proposuit,  unde  nobis  breviores  esse  licuit. 


DE  AEQUATIONUM  MODULARIUM  AFFECTIBUS. 

29. 
Quia  eodem  modo    X  a  k    atque   k  a  \^   nee  non   X'^   a  k',  k'  a  X'  pendet: 
patet ,  ubi  secundum  eandem  legem  modulorum  scalas  condas ,  qui  in  se  invicem 
transformari  possunt,  alteram  modulum  k.   alteram  complementum  eins  k'  con- 
tinentem ,  in  iis  terminos  fore  eodem  ordilie  se  excipientes : 

.  .  .  .,     X,      1c,    \^j    ... 
•  •  •;     Xj^      h,     Kj      .  .  .  ., 

id  quod  in  transformationibus  secundi  et  tertii  ordinis  iam  prius  a  Cl°.  Legen- 
dre  observatum  et  facto  calculo  confirmatum  est.  Similia  cum  de  omnibus  mo- 
dulis  transformatis  et  imaginariis  valeant,  patet,  designante  X  modulum  trans- 
formatum  quemlibet,  aequationes  algebraicas  inter  A:  et  X,  seu  inter  u  =  \/lc 
et  V  =  Vx,  quas  aequationes  modulares  nuncupavimus ,  immutatas  manere, 

1.)       ubi  k  et  X  inter  se  commutentur, 
2.1       ubi  k'  loco  k,  X'  loco  X  ponatur. 

Alterum  iam  supra  in  aequationibiis  modularibus,  quae  ad  transformationes  ter- 
tii et  quinti  ordinis  pertinent  : 

(1.)  u^—v^-\-1uv{l—uh^)  =  0 

(2.)  u^—v^-\-bu^v\u^—v^)-\-Auv{l  —  u^v^)  =  0, 

observavimus  eiusque  observationis  ope  expressiones  algebraicas  pro  transfor- 
mationibus supplementariis  exhibuimus.  l't  alterum  quoque  bis  exemplis  probe- 
tur,  aequationes  illas  in  alias  transformemus  inter  kk  =  u^  et  XX  =  v^,  quod 
non  sine  calculo  prolixo  iit.     Quo  subducto  obtinentur  aequationes: 

(1.)  (F_X2)*  =  128Ä;2A2(1— Ä;2)(l— a2)(2— F  — P-f  2/^2) 

(2.)  {¥  —  l^f  =  hl21i-'l\l—li'){l—\^){L  —  L'h^-^L"¥  —  L"'¥), 


DE  AEQUATIONUM  MODULARIUM  AFFECTIBUS.  123 

siquidem  in  secunda  ponitur: 

L  =  128  — 192  a- +  78  A-*—  7Ä« 
i'  =  192  +  252X2  — 423  X^—  78Ä« 
L"=     78  +  423X2  — 252X*  — 192X6 

L"'=       7—    78X'-  +  192X*— 128X«. 

Quae  in  formam  multo  comniodiorem  abeunt  aequationes.  introductis  quantitati- 
biLS  q  =  y  —  2A:',  1=1  —  2X^.     Quo  facto  aequationes  propositae  evadunt: 

(1.)     (q-l)'  =     64(l-r/)(l-Z2)[3  +  g/] 

(2.)     (q  —  iy  =  256(1— q'){l  —  P)ll6ql[9  —  qiy-{-9{V^—ql)(q—iy^ 

=  2b6{l— q')  {l  — l')  [405  (q^-]-P)-\- ^S6  ql  — 9  ql{q^--\-P)  — 27  0qH^-{-l6qH^']. 

Quae  aequationes,  ubi  k'  loco  k,  X'  loco  X    ponitur,  unde    q  in  — q,   /in  — l 
abit,  immutatae  manent,  id  quod  demonstrandum  erat. 

CoroUarium.  Quia  aequationes  modulares  inter  q  =  l  —  '2k^  et  l  =  \  —  2X^ 
propositas  formam  satis  commodam  induere  vidimus,  interesse  potest  et  ipsas 
functiones  K,  K'  seeundum  quantitatem  q  evolvere.  Quod  non  ineleganter  fit 
per  series  : 

K^    t(x  I    g'     I     ^•^'•^'     I       5. 5. 9.9. g«  \ 

V  "'~2.4"^2.4.6.8~^2.4.6.8.10.12"^  / 

t:    /g       3.3.g^        3.3.7.7g"         3.3.7 . 7. 11.11  .g^  \ 

2J'V2    '   2.4.6  ~*~2.4.6.8.10~^2.4.6.8.10.12.14~'  / 

K'  =    j(\    I     '^'     I     ^•^•^'     I       5.5.9.9.g«  \ 

V  "^2.4~^2.4.6.8'^2.4.6.8.10.12~^    '    V 

K    /g       3.3.g^      3.3.7.7.g^       3. 3. 7. 7. 11. 11. g^  \ 

~^2J^  V2  "^  2.4.6    '    2. 4. 6. 8. 10  "*"  2. 4. 6.  8. 10. 12. 14"'  )' 


ubi  brevitatis  causa  positum  est : 


/. 


''"?     =j. 


0   \/l — Isin^cp 

30.. 
Faciliore  negotio  pro  transformatione  tertii  ordinis  aequationem : 

w4_^;4_|_2^<^;(l— 2*2^2)  =  o 

ita  transformare  licet,  ut  correlatio  illa  inter  modulos  et  complementa  eluceat. 
Obtinemus  enim  ex  illa : 

16* 


124  DE  TRANSFORMATIONE  FÜNCTIONÜM  ELLIPTICARUM. 

(1— ?<*)(! 4- V*)    =    1— 2fV-|-2w?;(l— «2y2)    ==    (^l_u^^2>^(l-{-UVy 

quibus  in  se  diictis  aequationibus  prodit : 

lam  sit: 

1—v^  =  AT  =  v''; 

extractis  radicibus  fit: 

t*  v     =  1 — u^v^ 

sive ; 

wV+^r'V  =  \lkl-\-\/¥y  =  1, 

quam  ipsam  elegantissimam  formulam  iam  Cl.  Legendre  exhibuit.  Neque  in- 
eleganter illa  per  formulas  nostras  analyticas  probatur,  quippe  e  quibus  casu 
w  =  3   fluit : 

X  =  7.;3siii^coam4u),      X'  = 


A*  am  4(1) 
unde : 

k^  cos'^  am  4u) 


sJjcX  =  Z;2sm^coam4tu  =       ., 

'  A'*am4u> 

s/Wr  =-rX-r 

^  iA^am4( 


unde  cum  sit: 

Ä;'Ä;'-|-^^cos^am4fo  =  1 — Ä;Ä;sm-am4u>  =  A^am4a>, 

obtinemus,  quod  demonstrandum  erat: 

^Jcl  +  \IW  =  1. 

Ut  exemplo  secundo  simpliciorem  inter  u,v,  u,  v    eruam  aequationem,  ita 
ago.     Aequationem  propositam : 

exhibeo,  ut  sequitur: 

quam  facile  patet  induere  posse  formas  duas  sequentes : 

(u^^v^)(u-\-vy  =  —  4wv(l— «0(1+^") 
(u^^v^)(u  —  vy  =  —  4^«^;(l-|-^0(l— ^*). 


I 


DE  AEQUATIONUM  MODULARIUM  AFFECTIBUS.  125 

quibus  in  se  ductis  aequationibns  prodit: 

Quia  simul,   iit  supra  probatum  est,  u^  in  w'^  v^  in  v'^  abit,  obtinemus  etiam: 

(v'^  —  u'y  =  i6uV(l—u'\l-v''')  =  UiiVu'vK 
Hinc  facta  divisione  et  extractis  radicibus,  eruitur: 

it^—v^         u'v'       .  ,  ,1 

V'^—Il'^  UV  •  ^  ■'  ^  ^ 

sive : 

v^äI(v/^— VÄ)  =  vT>/(07— \/F). 

31. 
Alia  adhuc  aequationum  modularium : 

24*  — «;*  +  2w«;(l— mV)  =  0 

insignis  propiietas  vel  ipso  intuitu  invenitur,  videlicet  immutatas  eas  manere, 
siquidem  loco  u,  v  ponatur  — ;  —  .  Quod  ut  generaliter  de  aequationibus  mo- 
dularibus  demonstretur ,  adnotentur  sequentia ,  qiiae  ad  alias  etiam .  quaestiones 
usui  esse  possunt. 

Ubi  ponitur  y  =^  hx ,   obtinetur : 

dy  Mx 


A^-y'X'-^)    v/(i-^0O-*'^0 


unde  cum  simul   o?  =  0  ,  y  =  0 : 

dy  ,   rx  dx 


ry  ay  ,   rx ax 


Hinc  posito : 

dx 

^■Vx^ 

fit: 

dy 


rx  ax  


r  ,     "^  —  =  ku, 


126  DE  TRANSFORMATIONE  FUNCTIOXUM  ELLIPTICARUM. 

unde    X  ==■  sin  am  (w,  A:),  y  =  siiiamf  A:w,  y  1 .     Hinc  provenit  aequatio 

sin  am  (  hl,  y)  =  ^8inam(W;Ä;); 


unde  etiam 


cos  am  (  Jai,  ^j  =  ^  am  (m,  Je) 

A  am  f  ku,  —  )  =  cos  am  (u,  Z;) 

tg  am  (ku,j^)  =  Y'  cos  coam  (u,  k) 

V    '  hJ         sin  coam  (W;  Ä;) 


sm  coam 


cos  coam  f  ku,  77  )  =  '^k'  tg  am  {u,  k) 


(^'''l 


A  coam  {  kii,  -^  ) 


\  ir 


k  J         k  cos  am  (W;  ü) 
tg  coam  {  ku,   -j  = 


cos  coam  {u,  k) 

i 

k 


1  ik' 

Porro  ponendo  iu  loco  u,  qiiia  complementum  moduli  —  fit  ^>   obtinemus  ad- 

iumento  formularum  §  *  19.: 

ik' 


sin  am  ( Z:?<,  ^  j  =  cos  coam  (^t,fc') 

cos  am  (  ku,  -^  J  =  sin  coam  {u,  k' ) 

Aam  (  A;m,  -y-  )  =  -. 7-— ,tx 

V       k  /  ^.-amiiijk ) 

tg  am  {  ku,  —  J  =  cotg  coam  {u,  k' ) 

sincoam  (  A'W;-^  )  =  cosam  {u,k') 

cos  coam  (  Ä-?/; -r- )  =  sin  am  («(,/<;') 
/,     ik'\         Aam(w,  Z;') 

v»'t;  =  —h — 


A  coam 


tg  coam  (  ku, — j  =  cotg  am  {u,  k' ) . 


I 


DE  AEQÜATIONTJM  MODULARIUM  AFFECTIBÜS.  127 

lam  investigemus,  quaenam  evadant  it,  K'  seu  arg.  amf^?  k\  arg.  am(  — ,  Ar'V 
siquidem  loco  k  ponitur  y;  seu  investigemus  valores  expressionum 
arg.  ani(^y,  ^j,  arg.  amf-^?  ^ J ,  quae  expressiones  e  notatione  a  Cl*!  Legen- 
dr e  adhibita  forent   F^  (y)'  F^  iSr)  '     ^^^  autem  primum: 


arg  am 


fjL  lA  ^    /•'  dy  ^    r-k dy /.i dy 


Posito  y  =:  kx ,   fit: 


=  ^JT. 


pt-  ay  ,    /-^  aa; 

-^=======,    ponamus    y  =  \l\  —  k'k'x\ 

.  \/(i-.00-|) 


•         1     /  dy 

Ut  alterum  eruatur  integrale 


ad  1   crescit.  simul  atque  y  inde  a  1  usque  ad  k  decrescit.  obtinemus 


dy  _      ■  r  dy  _      ■  r^  ^^  =  —  iJcK' 


/•i  dy  .  r  dy  .  /»i  kdx 

k  \/(iZ,.)(II|)~~U  \/(i_,.)(|!_i)-~V.V(i-^)(i-«v 

Hinc    prodit : 

arg. am T-^ »  -^ j  =  A:  j arg. am (^-^ ,  Ä-J  —  i arg. am (^-^ ,  k'j\^=k\K—  iK'], 

sive  ubi  ä;  in  ^  mutatur,  abit  K  in  A'jÄ" — iK'\. 
Posito  secundo  loco  y  =  cos  cp ,    fit : 

dy  _  7.  rl  ^ 


r^ ^^^^ =  Je  n  ,     ^^ 

/    . /7         ATTT^^^Wn"  A    vi— Aj'^'sin^cp 


=  TcK', 
unde : 


arg.amfY'Tr)  =  /»^^ arg. am  (^-^ ,  ä' J  =  AiÄ"', 


seu  ubi  Ä:  in  —  mutatur,  abit  K'  in  kK' . 


128  DE  TRANSFOR^LÄ.TIONE  FUNCTIONUM  ELLIPTICAEUM. 

Generaliter  igitur,  mutato  A*  in  y ,  abit  mK-\-imK'  in  k[mK-\-(m—m)iK'\, 

(  n(mK-\-m'iK')     ,)    .       .              {'k,p{mK-\-{m' — m)iK')  ,   1  )     •  i  t 

unde  sincoamp'-       ^ -^  A:j   m  smcoam p'-^ ^^ ^-'  ^j^  id  quod 

e  formula  sin coam (ku,  -j-)  =  — -, — tt 

\     '  k/         sm coam (^*, /j) 

fit: 

(  ]cp(niK-{-{m'—m)iK')      1  1   _        1 

sincoam ,  ^     -  -  ,p(niK  +  {m'-m)iK')    , 

sm  coam  { ^^ — ■ ;  k 


.      ..     mKA-m'iK'                 mK-\-(m — in)iK' 
lam  isitur,  posito  ' =  (o.     LA i =  t«i ,    expressio 

l  =  /j"  [sin  coam  2a)  sin  coam  4a)  sin  coam  6a) ... .  sin  coam  (w  — 1)  o)]* , 


mutato  Ä*  in  -r ;  in  hanc  abit : 


1 


A;"  [sin  coam  2 o)^  sin  coam  4o)i  sin  coam  6a)  j^  ...  sincoam  (?i — l)">i]  I^- 

ubi  \L  et  ipsa  est  radix  aequationis  modularis,  seu  e  modulorum  numero.  in 
quos  per  transformationem  n*^  ordinis  modulum  propositum  k  transformare  licet. 
Namque  e  valoribus,  quos  to  induere  potest,  ut  prodeat  modulus  transformatus, 
erit  etiam  ille   (o^.     Unde  iam  causa  patet.  cur  generaliter  aequationes  modula- 

res,  mutato  k  in  -r--  ^^  in  —  ?  immutatae  manere  debeant. 
'  k  A 

Adnotabo  adhuc.  ubi  secundum  eandem  transformationis  legem  quampiam 
simul  transformatur  k  in  ä:^'"^,  X  in  )^"'\  quoties  k^'"^  loco  k  ponatur,  etiam 
X  in  X^"'^  abire;  unde  aequationes  modulares,  ubi  simul  k  in  k^"'\  X  in  X^'")  mu- 
tatur,  immutatae  manere  debent.  Ita  ex.  g.  aequatio  ^kX-\-\k')<  =  1,  quae 
est  pro  transformatione  tertii  ordinis,  immutata  manere  debet,  ubi  loco  k,  X  resp. 

ponitur      ~\;      "~\;  unde  loco  k',  X'  ponetur      \     ;     /^  \,?  id  quod  per  trans- 

formationem  secundi  ordinis  fieri  notum  est.  Quippe  aequatio  \k\  -\-  \k'\'  =  1 
in  hanc  abit : 


/ 


ii-k'){i-i')  2Vkr ^ 


sive: 


2ynä'  =  \/(i-\-k'){i-\-x')—\J{i—k'){i—k'). 

Qua  in  se  ipsa  dueta  prodit : 


I 


DE  AEQUATIONCM  MODULARIÜM  AFFECTIBUS.  129 

4:\/Wr  =  2(1+AT)  — 2Av«.     sive     /./.  =  1 +  /;'//— 2\/)tX, 
quae  extractis  radicibus  in  propositam  redit  : 

V^  =  1—\JW)J    sive     VÄT+V/FX'  =  1. 
Quod  exemplum  iam  a  Cl°.  Legendre  propositum  est.     Generaliter  aiitem  de 
compositione  transformationum   probari  potest.    transformationibus  duabus  aiit 
pluribus  successive  adhibitis .   ad  eandem  perveniri .   quocunque   illae  adhibean- 
tur  ordine. 

32. 

At  inter  atfectus  aequationiim  modularium  id  maxinie  memorabile  ac  sin- 
gulare mihi  videor  animadvertere .  quod  eidem  omnes  aequationi  differentiali  tertii 
ordinis  satisfaciunt.     Ciiius  tarnen  investigatio  paullo  longius  repetenda  erit. 

Satis  notum  est*),  posito 

aK-\-hK'  =  V; 


fore : 


^•(1-^-^)^+^1-3/.-^)§^  =  Ä;$, 


designantibiis  a.  h  constantes  qiiaslibet.     Ita  etiam  posito 

a'K-^h'K'  =  Q', 
designantibus  a.  ll  alias  constantes  quaslibet.   erit 

Quibus  combinatis  aequationibus .  obtinetur: 

unde  integratione  facta : 

Constans  C  a  CF.  Legendre  e  casu  speciali  inventa  est  =  —  JJ--  unde  iam: 

O  ^9L      f)'  dQ  1  T\ah'—ah) 

^Ik       ^  ~dk  ~  ~^'    h(\—k')    ' 
sive 

Q' ^    T.{ab'—ab)dk 


*)  Cf.  Legendre  Traite  des  F.  E.  Tom.  I.  Cap.  Xlll. 
I.  17 


130  DE  TRANSFORMATIONE  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM 

Similiter  designante  X  aliiim  modulum  quemlibet,  erit  posito 
aA  +  lV  =  L,  a'A-f-p'.V  =  L', 

Sit  X  modulus,  in  quem  k  per  transformationem  primam  w**  ordinis  transforma- 
tur;  Sit  porro    Q  =  K,   (^  =  K ,  L  =  A,  L'  =  A';    erit; 


unde 


L' 
L 

ndk 

V 
A 

— 

7lK' 

K 

dX 

nQ' 
Q  ' 

Jcil—Jc^)KK  "■    X(l— A^)AA 
Invenimus  autem  })ro  ea  transformatione    A  =  -^  >   unde  iam : 

V  1       J^'  K" 

In  transformatione  secunda  vidimus  esse  ^  = =-,   ^^i  =  -rr"'  unde 

Aj  n    K         ^         Mj 

dk  ndX^ 


unde  et  hie : 

MM  =l.MlziAi)^i. 

™^^         n      k{l-k'')dk, 

Generaliter  autem,  quicunque  sit  modulus  X,  sive  realis  sive  imaginarius,  in 
quem  per  transformationem  7i*^  ordinis  transformari  potest  modulus  proi)Ositus 
k,  valebit  aequatio: 

MM  =  —     ^ 


n     k{l—7c^}dX 
Quod  ut  probetur,  adnotabo  generaliter  obtineri  aequationes  formae: 

aA  +  .?A'  =  I^ 

designantibus    a,  a,  a,  a     numeros  impares ,    b,  6',  ß,  ^'  numeros  pares ,  utrosque 


DE  AEQUATIONUM  MODULARIUM    AFFECTIBUS  131 

positives  vel  negatives  eiusmodi.  ut  sit    aa -\- bb'  =  n .    aa-fßß' =  i  *i.     Hinc 
posito : 

aK-j-ihK'  =  Q,        a'K'-\-ih'K  =  Q' 
obtinemiis .  quin    aa-{-  bb'  =  w .    aa'-j-  j^ß'  =  1  . 

unde  cum  sit :  -^  =  -^r-  -       L  =      ^ 


Q  L  '  uM' 

i>eneraliter  fit :  MM  =  ~  ■  5^~^-!M^'  . 

Adnotabo  adhuc.   acquationem  inventam  ita  quoque  exhibeh  possc  : 

unde  videmus.  expressioneni  MM  non  mutari.  ubi  loco  k,  \  complementa  po- 
nuntur  Ti ,  )'.  sive  quod  supra  demonstravimus .  transforniationibus  complemen- 
tariis.  signi  ratione  non  babita.  eundem  esse  multiplicatorem  M.  Porro  mu- 
tando  k  in  X.  X  in  k,  quo  facto  transformatio  in  supplementariam  abit.  mu- 
tatur    MM  in 

quod  et  ipsum  supra  probatum  est. 

33. 
Posito   Q  =  aK-\-ibK',  L  =  aA-j-2*^A',    constantes  a,  b,  a,  ß  ita  semper 
determinare  licet,  ut  sit  L  =  ~,    sive   Q  =  ML.    Porro  babentur  aequationes: 

(1.)  (k-k')^+a-3k')^-kQ  =  0 

(2.)  (A-;.=)^  +  (l-3;,^)f-U.=  0, 


*)  Accuratior  numeronim  a,  a  ,  h,  b'  etc.  determinatio  pro  singulis  eiusdem  ordinis  transformationi- 
bus  gravibus  laborare  difficultatibus  videtur.  Immo  haec  determinatio,  nisi  egregie  fallimur.  maxiraea  li- 
mitibus  pendet,  inter  quos  modulus  /.:  versatur,  ita  ut  pro  limitibus  diversis.  plane  alia  evadat:  quod  quam 
intricatam  reddat  quaestionem,  expertus  cognoscet.  Ante  omnia  autem  accuratius  in  naturam  modulorum 
imaglnariorum  inquirendum  esse  videtur,  quae  adhuc  tota  iacet  quaestio. 

17* 


132  DE  TRANSFORMATIONE  FUNCTIONF.M  KLLIPTICARUM. 

quas  etiam  hunc  in  modiim  repraescntare  licet : 

(^•)  ^i — M r^'^^  -  ^ 

Substituamus  in  aequatione : 
Q  =  ML,  prodit: 


0 


>    :=  0. 


'    dk 
qua  per  M  multiplicata,  obtinemusi 
(5.)        LM\ik-l^)^  +  (l-3l.^)^-Ml\  +  ^\  ^,  , 

At  e  ^°  antecedente  lit : 

^^^^  -    n{k  —  k')dX  dk  ~         ndl 

Porro  ex  aequatione    4.)   lit: 

unde : 

d    (  {k—k^)MMdL  1  1    ^    (  {k  —  k^)dL  )   _    XLdK 


dkl  dk  )  n   dk  \         dl         )  ndk 

Hinc  aequatio  {5.)  divisa  per  L  in  liauc  abit: 

Ubi  in  hac  aequatione  valor  ipsius  M  ex  aequatione  MM  =  jj^ — ttJ^^W  "^^^sti- 
tuitur,  obtinetur  aequatio  dift'erentialis  inter  ipsos  modulos  k,  X,  quam  facile 
patet  ad  ordinem  tertium  ascendere.     Facto  calculo  paullo  niolesto  invenitur: 

^  ^^  dk''  dk  '  dk^  "*"  dk^  llk  —  k^i       [x  —  X^j  d¥  \   ~ 


DE  AEQUATIONUM  MODULARIUM   AFP-ECTIBUS.  133 

In  hac  aequatione  dk  ut  differentiale  constaiis   considcrntum  est.      Quam  ubi  in 

aliam  transformare  placet ,  in  qua  differentiale  nulluni  constans  positum  es^t,  po- 

nendum  crit : 

d^l   _    d^l       d\d% 
dk^    ~   d¥       ~dk^ 

dk^         d¥  d¥  dk*    "^      dJi^ 

unde : 

dk''  dk    dk^   ~     dk''  dk^      ^     dk^  rfF~ ' 

Hinc  aequatio  (7.)  multiplicata  per  dk^  in  sequenteni  abit.  in  qua  differentiale 
nulluni  constans  positum  est,  vel  in  qua  ut  tale.  quodcunque  plaeet.  conside- 
rari  potest : 


(8.)    s\dkWK■'~dm•'kA—2dkd}^^dkd^l-dkd%\-\-dkmA\j^  d]c'—[^±^Td-M  ^  ^J 

Hanc  patet ,   elementis   k  et  X  inter  se  conimutatis .   immutatam  mauere  aequa- 
tionem,  id  quod  supra  de  aequationibus  modularibus  probavimus. 

Operae  pretium  est,  alia  adhuc  methodo  aequationem  illani  differentia- 
lem  tertii  ordinis  investigare.  Quem  in  fineni  introducamus  in  aequationem, 
unde  proficiscimur : 

quantitatem 

{k-k')QQ,  =  s. 
Fit 


=  -6kQQ-\-iil-dk')Q^  +  2{k-k')  -^    +2(k-k^)Q 


dk^  Y  e   I     V  ^^  dk 


dQ 


d'Q 


dk  J    '     '         ""  dk^ 


Qua  in  aequatione  ubi  ponitur : 

prodit : 

dh 


(^-*')^  =  ^V-(l-3F)-f 


134  DE  TüANSFOßMATIONE  FUNCTION  UM  ELLIPTICARUM . 

QuH  acquatioiic  ducta  in    'Is  =  2{k-^k^)QQ,    obtinetur: 
sive  cum  sit : 


übtiucmus 


SC'U 


2 

SS  =  0 


,    ,  2sd's       [dsV  .  [l-\-k'' 

lam  vcro  posito  aK-\-hK  =  Q,  ^=  ^>  vidimus  esse  -^  —  (k—k^)QQ  ^  T ' 
dcsio-nante  m  constaiiteiu:  uiide  s=  -—jt^-      Aequationem  (9.)  in  aliam  transfor- 

memus,  m  qua  dt  constans  positum  est.    Ent  —  =  ^^j-,  ^  =  -^^_--^; 
quibus  substitutis  ex  aequatione  (9.)  prodit: 

2dV:        Sd'k^        ri+FV  dk^   _ 
df'dk     '  dV'dk^'^Uc  —  k^l    df^   ~     ' 
sive 

(10.)  2d'k dk  —  Zd'k' -f  [j:^3 J  dk^  =  0, 

ubi  secundum  i,  quod  ex  aequatione  evasit,  differentiandum  est. 

Ponendo    '^\   ,[  \r  =  w-    constantes    a,  ß.  a.  ß'.    quoties    X  est  modulus 
a  A  -j-  ß  A  »  t         X 

transformatus .    ita  determinari  poterunt.  ut  sit    ?=  w;     nee.  non  simili  modo 
obtinemus : 

(11.)  2d'Ull  -  Sdn.^  +  [^z^]'^>>'  =  0 , 

in  qua  aequatione  et  ipsa  secundum  to  =  ^  differentiandum  erit.     Multiplicetur 
aeqimtio  (10.)  per  d\^.  aequatio  (11.)  per  dk^:  subtractione  facta  obtinetur: 


(12.)  2d1:d\\d).d'h-dkd'x\-s\dkHVc'--dm'k''\^-^dk^d)^^^ 


r. 


DE    AKQUATIONUM  MODULAKIUM  AFFKCTIBUS.  135 

At  liaec  aequatio  cum  aequatione  (8.)  convcnit.  in  qua  scimus.  dittereutiak-  quod- 
cunque  placeat  tamquam  constans  considerari  posse.  idcoquc  ctsi  inventa  sit  siii)- 
positione  facta,  dt  esse  differentiale  constans.  valebit  etiani.  quodcunque  aliud 
ut  tale  consideratur. 

Ecce  igitur  aequationem  difFerentialera  tertii  oidinis,  quae  innumeras  haljet 
solutiones  aloebraicas,  particulares  tarnen,  videlicet  aequationes  quas  diximus 
niodulares.  At  integrale  completum  a  functionibus  ellipticis  pendet.  quipi)e 
quod  est    ?  =  to ,    sive 

aK-\-  h'K'    _    o.'\  -f  '^'.V 
aK-\-hK'    ~    aA-fiSA'  ' 

quam  ita  etiam  repraesentare  licet  aequationem : 

mK\-\-m'K'\'-^m"K\'-\-m"'K'\  =  o, 

designantibus  m,m,m,m"  constantes  arbitrarias.  Quam  intej4:rationem  altis- 
simae  indaginis  esse  censemus. 

Inquirere  possemus.  an  aequationes  modulares  pro  transformationibus  tertii 
et  quinti  ordinis  reapse ,  quod  debent,  aequationi  nostrae  ditferentiali  tertii  or- 
dinis  satisfaciant.     Quod  vero  cum  nimis  prolixos  calculos  sibi  poscere  videatur. 

idem  de  transformatione  secundi  ordinis.  ubi  X  =     "~     ,    demonstrare  ^ufticiat. 

1-j—  k 

Consideretur  dk'  ut  constans.  lit: 


^  -  l+/ü'  ~ 

^+ 1;^' 

k^J^k''  =  1 

d\             —2 
dk'   "   (1+/0' 

dk         —k' 
~dk'   ~      k 

d^\                4 

d^k        —1         k'' 
dk''~     k          k'    - 

— 1 

dk"  ~  (i+/0^ 

"    k^ 

d^l            —12 

#Ä         —3k' 
dk'^  ~       ^^' 

Hinc  fit : 

dkH^l 

'—dmvi' 

16k'^                   4 

k\i-\-k'y     k%i-\-k'y 

dk'^ 

k\l-\-k'f            ~ 

iiu'\i—jcy—i-] 
k\i-^ky 

Porro  obtinetur: 

136 


DE  TUANSFORMATIONE  PÜNCTIOKUM  ELLIPTICARUM. 


unde 


Porro  üt 


dkdk[dM'k-dkcnq  _  i2k'\2{i-i-y-i'] 

Sldm'k'-  dKWh^-]  —  2dk dl  [dl: d^X  —  dk d'k^   ^    12(2//^—!) 


''  dk' 
dJc'' 


b:-pJ  dl''  ih^' 

0'  Li_/d  L 


unde 


2Ä;'    J 


(1+/.;'')' 


/^  11/,-  7.:^  J   dl^'        La  -  A^J   dl:;'  i  ^'(1  +  l^'Y 


dk'' 

w 

dh' 


3(1—27,/') 


Hinc-.  taiidem  üt.   qiiod  dobet: 

^[äkH^k^  —  (7X2^^7>:^]  —  2d7.:  dk  [dk  d^k — dk  d^Ti]  \ 


dl^ 


2 -.2    ^)2 


(  _    12(2Ä;^'''-1)         12(1— 2Ä:^') 


=  0. 


1  bi  methodi  expeditae  in  promptvi  essent,  si  quas  aequatio  difFerentialis  solutio- 
nes  algebraicas  habet,  eas  eniendi  omnes:  e  sola  aequatione  differentiali  a  no- 
bis  proposita  aequationes  modulares,  quae  singulos  transformationum  ordines 
spectant,  elicere  possemus  omnes.  Quam  tamen  materiem  arduam  qui  attigerit, 
praeter  CP.  Condorcet,  scio  neminem,  attentione  analystarum  dignam. 


34. 


Aequatio  supra  inventa: 


n     h{l — ¥)     dk 
cuius  opc  ex  aequatione  modulari  inventa  statim  etiam  quantitatem  M  deteimi- 
nare  licet,  digna   esse  videtur,  cui  adhuc   paulisper   immoremur.      Non  patet 
primo  aspectu,  quomodo  valores  quantitatis    M  in  transformationibus  tertii  et 


DE  AEQUATIONUM  MODÜLARIÜM  AFFECTIBüS.  137 

quinti  ordinis  inventi  cum  aequatione  illa  conveniant.     Quod  igitur  acciiratius 
examinemus. 

a)     In  transformatione  tertii  ordinis,  posito   u  =  \/jc,  v  =  ^i.  invenimus: 
(1.)  w*— f*  +  2ier(l  — mV)  =  0, 

quam  ita  quoque  exhibuimus  aequationem  (§.  16.): 

(-)  (^-X^)=-3. 

PoiTo  fieri  vidimus : 

DifFerentiata  aequatione  (1.),  obtinemus: 

du   2v^ — u-\-Suh^ 

'dv   ~    2^34-2;  — 3m V  ' 

■siveloco  3  posito    (^^-l)(^!i): 

.    .  du  2v^ — u     \-\-uH^-\-2uh 

^  ''  'dv    ~    2u^-\-v  '  \-\-u}v^—2uv^  ' 

Ex  aequatione  (1.)  sequitur: 

1  — m8  =  (i_(_n4)  [1—4,4  _^2«(i;(1—m\-2)] 

=  1—  ^(V  +  u'^  —  v^-\-2uv{l-\-ii%\—u'^v^) 

=  \—uH^-^2iv>v{l—uh^)  =  {i—uH^){iJ^u'^v^J{.2uh). 

Eodem  modo  invenitur : 

\—v^  =  (1— ^<V)(l+^(^t;2  — 2My^); 
unde : 

1— ^^    _    l-\-u^v^ — 2uv^ 
1 — uF  ~  '1  +  mV^2mV 
sive  ex  aequatione  (4.;: 

1 — v^     du   2v^ — u 

1 — n*     dv  2u^-\-v 

Qua  aequatione  ducta  in 

V  v^ 


3m  {2u^-\-v){2v^—u) 

prodit : 

i_  v{i-v^)  ^  _  jL  x(i-Ä^)  dk^  _  r    V    y^  j^.r 

3     m(1— M»)     dv  S'k{l—k^)'dk         lv-i-2u^]  ' 

Q.  D.  E. 
I.  18 


138  DE  TRANSFORMATIONE  FUNCTIONÜM  ELLIPTICARUM. 

b)    In  transformatione  quinti  ordinis,  posito  u  =  ^^  v  =  \/x,  invenimus  : 
(1.)  u^—v*^-\-5u^v%u^—v^)-{-4:iw(l—i(^v^)  =  0, 

quam  his  etiam  modis  exhibuimiis  aequationem  (§§.  16.  30.): 

(3.)  (^t2_^;2)6  ^   I6u^v\l  —  u^){l—v^). 

PoiTO  invenimus : 

(4.)  M  =   <'^—^'^')   ^       ^^  +  ^--'      . 

Differentiata  aequatione  (3.),  obtinemus: 

6uv{l—u^)(l—v^)(udu  —  vdv)  =  u{u^—v^){l—u^){l—  bv^)dv-\-v(u'^—v^){l—v^){l—bu^)du, 
sive: 

(5.)     v{l—v^)[5u^—u^^-{-v^~buh'^]du  =  u{l—ii^)[bV'—v^'^-\-u^—5uH^dv. 
Aequatione  (1.)  ducta  in  u"^,  v^,  eruitur: 

unde  aequatio  (5.)  in  hanc  abit: 

,»  V  v{l — v^)     du   u^-\-5v^ — 4:Uv^ 

^  '^  u{l—u^)  '  'dv    ~    t;2-f-5w2-|-4M5y  * 

Ponatur  u-\-v^  =  A,  u-\-u%  =  B,  v—u^  =  C,  v—uv^  =  D,  ita  ut: 

ÄC 


=  5,    sive  ÄC  =  5BD 
M; 


BD 
B    ^    A 

G    ~   hB 

u^-\-hv'^ — Uw^  =  uA-\-hvB 
v^^  hu^-^UiH  =  vC  -\-  huB, 


erit: 
(7.) 

Fit  enim : 
Unde  etiam 

Q.  D.  E. 


v{\—v^)     du  _  uA-{-5vD   _   tiÄB-{-tAC     D^ 

M(l— M«)  '~dv    ~  vC-^buB   ~     rCD-j-uÄC"B 

_  uB+vC     AB   _   AD^  _  , 

~  vB-{-uA  '  BC    ~    BC    ~ 

uB-{-vC  =  vD-\-uÄ  =  u'--\-vK 

MM  =  -  <^-'^')   i^  =  J_  }(1iz!l1  ^ 

5      m(1— w«)     dv  5  '  k{l—k^)  '  d\  ' 


THEORIA  EVOLÜTIONIS  FÜNCTIONÜM 
ELLIPTICARÜM. 


18 


I 


DE  EVOLUTIONE  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM  IN  PRODUCTA 

INFINITA. 


35. 
Proposito  modulo  k  reali,  unitate  minore,  videmus  modulum 

X  =  Arvsmcoam sincoam •  •  •sincoam-^ —l  , 

I  n      ■  n  n       \ 

in  quem  ille  per  transformationem  primam  n*^  ordinis  mutatur,  crescente  nu- 
mero    n,    celerrime  ad  nihilum  convergere,  adeoque  pro  limite    n  =  oo     fieri 

_  f^  JT-l 

X  =  0.      Tum  erit   A  =  --^,  amfz^.X)  =  u,   unde  e  formulis    A  =  —xr"»  A'  =  — 

2  wM  M 

obtinemus : 

'IK       A'  K'  -K' 

Ponamus  iam  in  formulis  pro  transformatione  primae  supplementaria^.  27  —  loco  u, 

w  r=  OO :   abit  am  ( irr  '  X  )  m  am  (  —^-r->  k  )  =  —— .    y  =  sm  am  (  ^r  ?  X  )  m  sm  — —  , 
porro  am(?«?/)   in  am(M).     Hinc  e  formulis  illis  nanciscimur  sequentes: 

^ y^       \A  f'        \/,  y' 

2Kij 
sinamw  = 


142  EVOLUTIO  PUNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 


A  am  ?(  = 


ir.K'  o  ^i-K'  o  oi~K' 


V"      \  /i  r 


^-vW\    "'^-iWv    "^^^-/ 

ir.K'  2i-K'  Si-K' 


. /l — sin  am?*    . /l — y 

V  l+sinamt*  V   l-i-ii 


cos  — ^-y-  /  \  cos 7? /  \  cos 


j^    /\         """^     iC     /\  "     K 


+  smam«*         V   l-\-y     j y 


i+-ia-    '+-^:s^  r+--is^ 

cos  — f^—  /  \  cos  — ^ —  /  \  cos 


1  — 


K    ]\  K     I  \  K 

y      \  /i  y 


\/' 


i-K'  Si-K'  hiizK' 
.          cos  —^i:^  /  \         cos    ^j.     I  \         cos  -    ^^ 


COS    ^-,^  cos  — --v^-  cos 


2if  .  2^  ,2^ 


sin  am  w  =      — 


jzy_ 

^'""-^K-y    ''""-YiT-y    ''""^K—y 


cos  am  %  = 


^^°^g-  ^^^^Ä-  ^^°-2?- 

.   ^ir.K'         ,          .   ,3*7:71:'           +   .   .hiT.K'        ,      ' 
sm^-2^-2/^       sin-^^ 2/^      sm^^^ y^ 

-TZK' 

Ponamus  in  sequentibus    e  ^     =9,    ^^  =  ^,    ^i'^e    u  = ,    iinde 


TZU 


y  =  sm  ^^  =  sin  :k  ;   fit 


.     miTzK'  q"'  —  q-"'  i(l—q"") 

^^^^r-  =  —2^-  =  -  2f 

mi-KK'  q'^4-q-'"  1  +  f/"' 


unde 


4^2'"sin^aj    1 — 2q^'"cos2x-\-q* 


Sin       ^ 


2«sin2; 
miTrJr'    —   ^  '      (1— g^'»)2     ~  (1— 22m)2 


y' 


cos' 


mi~K' 


K 


1± 


y 


cos 


mi-K.' 


K 


—  cos 


=  1 


=  1± 


mi~K' 


PRODUCTA  INFINITA. 


143 


l-\-q"" 


(\  +  q'^Y 
1  +  5^'"' 


sm' 


.,  miTzK' 


K 

mi-K' 


«sm 


K 


sin' 


mi-K' 


_  2g"'(l+g''") 

~     1— 22^'"C08  2a;H-gr*" 

2g^"(l— r^'^"') 

~     l_2g2"»cos2a;  +  g'»' 


His  praeparatis  atque  posito  brevitatis  causa : 

\{l—q  )(l-r/)(l-r/ 


A  = 
B  = 

C  = 


(l-q'){l-q^){l-q') 

Kl— g)(i— g')(l— g') 
Kl+r/Xl+r/Xl  +  g«)" 

((l-g)(l-g^)(l-r/) 


1(1+5  )(l+r/Xl+g') 
prodeunt  fiinctionum  ellipticarum  evolutiones  in  producta  inlinita  fuudameutales 


n         •         ^^  —  ^-^^   •         (1— 2fi' cos 2x  +  g^)(l— 2r/ cos  2x  +  q^){l—2q^ COS 2x-{-q'^) 
(1.)     smam     ^      ~  -^-^'''^-  (i—2qcos2x  +  q'){l-2q'co&2x-\-q'){l-2q'co8  2x-\-q'') 


2Kx 


(2.)    cos  am  — 


2Kx 


(3.)      A  am  — ^ 


_  (l+2g^cos2x  +  (/^)(l+2g'^cos2a;  +  g»Xl+2g^cos2a;+g^^) 

—        i^cosjc.  (l-2gcos2a;  +  <?'''Xl— 2f/cos2;r  +  3«Xl-22'co8  2x+gi°) 

_  (1+  2ry  cos  2a;  +  r/)(l+2g3cos2a;  +  g^Xl+2g^cos  2a--|-0 


1 — sin  am 


2Kx 


(4.) 


(5.) 


l-f-sinam^ — - 


'1 — /j  sin  am 

^  TT":         2Ki 


2Kx         V  1 


(1—  22COS  2x-^q%l—2q;'QO%  2x-\-q%l—2q^co^'^x+q^'') 
—  sina;   (1— 2gsina-+g^Xl  — 2g'sin^  +  g''Xl— 2r/sin.r-h<i;'^). 


+  sina;  ■  (l+2gsina;+2'-^Xl+2'Z'sinx--f-g*Xl+22'8in^+g*^).. 

(l_2\/^sina:+gXl— 2\/g'siP^  +  g')(l— 2Vg'siD^'  +  g^)^^• 
(l+2\/^sma;+ryXl+2\/r/sina;+r/Xl+2\/g'8ina;+5^)... 


144  EVOLUTIO  FÜNCTIONÜM  ELLIPTICARÜM. 

nec  non  aliud  formularum  systema,  qiiod  resolutionem  propositarum  in  fractio- 
nes  simplices  suppeditat: 

{b.)  sin  am    ^     —  IK  \l—2qcos2x-\-q''^  l—2cfcos2x-J^q''^  l—2q^cos2x-i-q''''^' 

2Kx        2-  (      S/qjl-q) Vg^(l-g^)        ,  \/g^(l-g^) \ 

(7.j  cosam    ^    —  y^^cosa;\^^_2^^^^2^_j_^2      i_223cos2Ä;+g«"^  1—22^008  2^-1-^^0      "'J' 

Quibus  addimiis  ex  eodem  fönte  manantes : 

/  c^('±^^      c,<^^^-)      cf^(^~^-^      \ 

(8.)  1— Aam    ^  '^      \l— 2gcos2a;+g2      i_223cos2^  +  2'^~'"  1— 2g5cos2^+3^      "V 

.    X                ^Kx           i       ,   o       *    (1+3) tg«      o       *   (l+3^)tga;  ,  ^       ^   il-\-q^)tgx 
(9.)         am =  ±a;4-2arctg^    '  ^ 2arctg-^    '  -^  ^'^^    +2arctg-     '  ^  \^ 

In  formula  postrema  signum  superius  eligendum  est,  quoties  in  termino  nega- 
tive, inferius,  quoties  in  termino  positivo  computationem  sistis. 

36. 
Contemplemur  formulas  (l.),  (2.),  (3.),    in  quibus  ante  omnia  quantitatum, 
quas  per  A,  B,  C  designavimus,  valores  eruendi  sunt.    Facile  quidem  invenitur, 
ponendo   a?  =  -^,  e  formulis  (3.),  (1.): 


_      \  (l-g)(l-r/)(l-g5)...)'^_ 

~      (  (l+(2)(l+5^)(l+5^)...j  ~  ^^' 


linde 

c  =  \/F, 

2AK  \l-\-q^){l+q^){\-\-q^)...f         2AK     C  2\j¥ AK 


^  -      TT      ri+g)(l+5')(l+2^)...  \  r:        B    -        T.B 

unde 

2\[k'AK 
Jt>  = 

TT 

At  ut  ipsius   A   eruatur  valor,  ad  alia  artificia  confugiendum  est. 

Ponamus    e^^  =  ü:  ubi  a;  in  a^-\--^-—^  mutatur,  abit  ?7in  \/qU,  sin  am in 


i^^  +  iK')  =  —^ 
E  formula  (1.)  autem  obtinemus: 


sinam,  ......  ^^^ 

A;  sin  am 

IC 


sin  am 


PRODUCTA  INFINITA.  145 

2Kx   _   AK  fU—U-'\  [(1- 


/' —  TT ' 
undc  mutando  x  in  xA — ^^^ : 

1  ^  ^i:A/gZ7-V/r^?7--^[(l-g^?7^)(l— g5?7^)...][(l— g?7--2)(l-93^-2),  ;| 

quibiis  in  se  ductis  aequationibns ,  cum  sit  : 

SlqU—SJ'r^V-''  1        \—qU^ 


jn-odit : 

JL  _  -Lr^t     sive     i  -  ^^-     unde  ^^    -  ^^i. 
Je  \J^\    -    J  \rjcK  -  \/jc 

Hinc  erit    5  =    ^^^^^    =  2  f^  y/^^-     lam  igitur  fit : 

2Kx  1        2\fqsmx{l  —  2q^cos2x-\-rj;^){-[—2rj^cos2x-\-q^){l—2q'^c082x-\-q^^)... 


sin  am 


Vä;  {l—2qcos2x-{'q^Xl—2q^cos2x-^q^Xl—2q^cos2x-{-q^^). 

lcosx{l-\-2q^  cos2x  -\-  q^){l-\-  2q'^  GOs2x-\-q^){l-\-2q^  cos  2a;  -f- 
{l—2qco8  2x-\-q^){l—2q^COS2x-{-q%l—2q^COs2x-^q'^'^).. 


2Kx   _  .f¥    2\Jq<iosx{l-\-2q^(io^2x-\-q^){\-\-2q^co82x-{-q%l+2q^co82x-\-q^^). . . 


2Kx    _    ^r-,       (1+  2^ cos  2x  +  g^)(l+  2q^ cos  2.:<;-  -f  (?^)(l+2g^cos  2x  -\-  g^") . . 
am     _      —    V"   •    (i_2^cos2:r  +  22)(l— 2^3  cos  2a;  +  56X1—25^  cos  2^4- S'T- 


x\equationibus  in  se  ducti 

C  =         \JW      = 


/'•  i(l+2')(l+9')(l+ö') 

(l-2)(l-r/)(l-r) 


(l+?)(l  +  r/)(l  +  r/).. 
prodit  : 

2V^^^-'    _    [(l-g)(l-g«)(l-r/)...]^ 

V/T         [(i+5)(i+r)(i+s'J---? 

lam  vero  secundum  Eule  mm  in  Introductione  (de  Parütione  Numerorum)  est: 

(l+5Xl+e  XlH-9  )        -    (i_,^)(^i_,y2)(i_53)  . .  . 

1 


(l-ry)(l-r/Xl-2').-- 

19 


146  EVOLUTIO  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

linde  obtinemus: 

(1.)  [(1-2)(1-5')(1-7')(1-?') •••]'-  '^^^^' 


Advocata  formula: 

_  jr^  _    ((l-g)(l-g3)(i_g53,..^2 
V^^  Ul-3')(l-2')(l-5«)...)   ' 


fit: 


(2.)  [(l-2^)(l-3*)(l-3'Xl-9^)...]'  = 


unde  etiam : 

(3.)  [(1-3)(1-2^)(1-5')(1-5*)...P  = 


Quibus  addere  licet,  quae  facile  sequuntur,  formulas: 

"   (4.)  [(l+5)(l+?^)(l+'?^)(l+'Z^)-.-]'=    ^^^ 

(5.)  [(l+2^Xl+2*)(l+s')(l+2^)-.-]'  = 

(6.)  [(l+^)(14-5^)(l+'Z')(l+5^)..-P  = 


Sjk 


2k'\lq 
E  quibus  etiam  colligitur: 

(1-)       k-  n/T(a+g^Xi+g^)(i+g^)---r 

,«  ,  7.'  _  j  (l-g)(l-r/)(l-g5)... ,4 

^^•^  r.  |(l_g)(l_,/)(l_^5)...i    i(l+g^Xl  +  g*Xl  +  g') 

(10.)  ^^  =  ^\/?-il^^:y!~C!^!~CM^ 

^         "^  TT  *^    (  (1 g^)(l g'')(l g^")...) 

ni^   ^^_         ((i-g)(i-g^Xi-g^)---j-^ 

^  ^^   T^_  ~     r(i+g)(i+g^xi+g')---i 

2y^_  g./-((i-g^xi-g^xi-g^)--i^ 

/IS ^  ^^-        j(i-g^Xi-g^Xi-g^)---)^ 

^  ^^    ^  Ui+g^xi+g'xi+2^)---** 


PRODUCTA  INPINITA.  147 

E  formiüis  (7.),  (8.)  sequitur  aequatio  identica  satis  abstnisa : 

(U.)  [(l_g)(l-r/)(l-r/)..]«+16rl(l+ö2)(i  +  5^Xl+'?^J  ••?  =  [(1  +  'Z)(1+5')(1+(Z')-.?. 


37. 
"Sidimus    supra.  ubi  de  proprietatibus    aequationum   modiilarium   actum 

F 

ik' 


est.  mutato  A:  in  -^,  abire  Kin  k  K — iK'  ,  K'  in  kK';  porro  fieri: 


sin  am  (  hu,  -j^  j  =  cos  coam  {u,  h') 
cos  am  { Till,  -^r  )  =   '^i°  coam  {ti,  J:') 

A am ( /«*,  ~j-)  =  -r , — YTT • 

\        k  /  Aam(M;/;) 


.     ,  .        1  •       ik 

C'ommiitatis  inter  se   k  et  k,   hinc  sequitur,  ubi  Je   in    -rr  seu  k  in  -=^   abeat, 

simul  abire  K  in  k'K,  K'  in  A:'i  .K" —  iK  ;    porro  fieri : 


sin  am  I  «  W;  -^y- )  =  cos  coam  u 

cos  am  I  k  u,  -jr  )  =  sin  coam  u 

,       /,,      ik\  1 

\        k  y  Aamw 


unde  etiam : 


Sim(k'ti,-rr)  =  -^ coamw. 


-TZK' 

At  mutato  K  in  k'K,  K'  in  k'{K'—iK),  abit  q  ==  e  ^      in  — ^,  unde  vice  versa 
iluit 

Theorema   I. 
Mutato  q  in  — q,  abit: 

,     .       ik       ,,     .        1 
k    m     -yr)    k      in     -jr 

K    in    k'K,    K'    in    k'{K'—iK) 

19* 


148  EVOLUTIO  FUNCTIONUM  ELLIPTICARÜM. 

2Kx  .  2Kx 

smam m  coscoam — ^ — 

2Kx  .         .  2Kx 

cos  am in  sm  coam ■ 

TT  •JT 

2Kx  .  1 

A  am m  — 


2Kx 
aam 

TT 


2Kx      .        TT  2Kx 

am  — - —    in    — coam  — ;_^— ; 


mutato  simul  q  in  — q,  x  in  -^ x,    abit 


2Kx  .  TT  2Z^ 

am in  — am 

7t  2  TT 

2Kx  .  2Kx 

sm  am m  cos  am 


2Kx  .        .  2Kx 

cos  am m  sm  am 

TT  TT 

2Kx  .  1    ,        2Kx 

A  am  — ~ —  in  -^  A  am  — - — 

iL  A/  iL 


Inquiramus  adhuc,  quasnam  functiones  ellipticae,  mutato  q  vel  in  q^  vel 
in  V^,  subeant  mutationes. 

Vidimus  supra,  modulnm  X,  per  transformationem  realem  primam  n** 
ordinis  a  modulo  k  derivatum,  ea  insigni  gaudere  facultate,  ut  sit: 


A'  K' 


-TZK' 


unde  mutato  A:  in  X,  abit  q  =  e  ^      in  q'\      Idem,  a  nobis  de  transformatio- 
nibus  imparis  ordinis  generaliter  probatum,  iam  dudum  a  Cl°.  Legendr e  de 

l yT.' 

transformatione  secundi  ordinis  probatum  est ,  videlicet,  posito  X  =  "ttttj  ^eri : 

A  =  l±^-K,      A'  =  {li-Jc'W,      ^  =  2-^, 
unde  videmus,  mutato  k  in  -^^^  abire  q  in  q\     Hinc  vice  versa  obtinemus 

T  h  e  o  r  e  m  a   II. 
Mutato  q  in  q^,  abit  k  in  -täTtP''  ^  ^^  ~2 — ^' 


imde  etiam: 

k'     in 

■2\lk' 

\-\-k' 

h'K    in 

^FK 

vT    in 

k 
1+k' 

\kK    in 

kK 

o 

PRODUCTA  INFINIT A.  I49 


l-\-k     in 


\+k' 
2k' 


1—k     in    -      ,, 


1+k'    in 


1 — k'     in 


1-f  ^' 


Ex  inversione  hiiiiis  theorematis  obtinetur  alterum 

T  li  e  o  r  e  m  a    III. 
Miitato  q  in  \/q,  abit  Ä*  in  ^^,  Ä'  in  ^J+A-;^, 


nnde  etiam 


kK    in     2V^F^  14- yt'     in         ^ 

V'F^     in    k'K  1—7/    in 


l+Ä 

1+A-  * 

Quae  tria  theoremata  evolutionibus  §§.  35.,  36.  propositis  multimodis  confirman- 
tur  suamque  in  sequentibus  frequentissimam  inveniiint  applicationem ,  quippe 
qiionim  ope  vel  ex  aliis  alias  derivare  licet  formulas ,  vel  alinnde  inventae  com- 
mode  confirmantur. 

38. 

Quantitates,  in  quas,  posito  q  loco  q,  abount  k,k\K,  designemu.^  per 
j^(r)^  ]^(r)'^  j^(t)^  ^^^  ^^  ^(7)  gj^  modulus  per  transformationem  realem  primam  /* 
ordinis  erutus  eiusque  complementuin  A^'-'.     Ponamus  yi  aeqiiatione  : 

dW  _    i(l-g)(l-r/)(l-r/)(l-r/)...  1^ 

^     ~  i  (i+'z)(iH-9')(i+r)(i+r)-..  ) 
loeo  q  successive  q',  q^,  q^,  q^^,  etc. ,  prodit  facta  miiltiplicatione  inlinita : 


150  EVOLUTIO   FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

mwymwr-'-  ( (i-g^)(i-;;')(i-g'y'-g^)--- f. 


at  invemmus: 

l(l+2^)(l  +  2')(l+2')(l+2')---  f 
imde : 


^^•^  iT  ~  V  h' 


Cum  Sit  F)'  =  -r^^,  üt  ex  (l.): 

f2K\'_    1       2VF        2\/W'       2\Jm        2\IW 

\nrJ  ~  Y'  i-\-¥ '  i+fc<2)'  •  i_j_jt(4)'  •  i4-Ä;(8)'  ■  *  *' 

imde  divisione  facta  per  (1.): 

^^'^  TT         —      1+/^'    •     1_^^(2)'  l_|-^(4)'         1_|_^(S)' 

Quae  etiam  eo  obtinetur  formvila ,  quod  sit : 

2K  2Z(2)         2 


TT                              Tt 

1+Ä;' 

2^(3)            2^(*) 

TT                              TC 

2 

■  iH-/c(2)' 

2^(*)            2^(8) 

2 

TT                              1t 

l+ÄW' 

unde  cum ,  crescente    r   in  infinitum ,   limes  expressionis sit    1 ,    facto 

producto  infinito,  prodit  (2.).     Posito: 

m   =    1 ,  n  =  ¥ 


m'  =  '  "    }        n'  =  SJmn 


m 


m  -f-  n 
=  ^ — — ,        n   =  \mn 


,„        m"-\-n"  ,„        I   ,,  „ 

m   ==■  ^ ;        n   =  ym  n 


üt: 


PRODUCTA  INFINITA.  151 


^,..  _      2V//k'  n' 


¥^y  = 


\+h'  m' 

2\lJ^  n" 


1_|_^(2)'  ^" 

2\JWy  n'" 


1_|_^14)'  ^' 


linde : 


m 


1+Z;'  m' 

ideoque : 


2 

m 

m" ' 

2 

m 

; 

1+Ä;(2)' 

1+Ä;W'    " 

-  m"" 

2K 

m' 

m'      m" 

m" 

TT 

m"     m'" 

m"" 

seil  designante  (x  limitem.  communem,  ad  quem   m^^\  n^^^   convergunt,  crescente 
p  in  infinitiim: 

(3.)  i^  =  l. 

Quae  abunde  nota  sunt. 

Ponamiis  rursus  in  formula : 

iKx   _    nn  (14-2gco82a;  +  g^)(lH-2g^cos2a;-f-g'^)(l+2g^cos2a;  +  g^°)  ••• 


Aam 


—  \rp  ^  ^- 


(1 — 2qcoB2x-{-q^){l — 2q^cos2x-\-q^){l—2q^cos2x-{-q'^°).  . 
loro  q  siiccessive  q'^,  q^,  q^,  etc. ;   sit  porro : 

<S  =  Aamf — - — ,  ¥-n  Aam( — - — ;  Z;^  )Aam( ;  ¥^n  •  •  •  • 

Facto  producto  inlinito ,  cum  sit : 

obtinemiis : 

_    2\Jk'K     ( 1 4-  2^?^ cos 2a;  +  g^)(l + 2g^ cos  2j?  +  q%l-\-  2q^ cos 2a;  +  g'^) .  .  . 
■"        ^  (1— 2r/cos2a:  +  3*)(l— 22*cos2x-h2**Xl— 2r/co8  2a;-f<Z^*)- •• 

lam  vero  e  formulis : 


152  EVOLUTIO  FUNCTIONUM  ELLIPTICAKUM. 

2Kx   _  _2_   y/g sin x{l—2cf  cos 2x  +  q^){\~ 2g^ cos 2x  +  ff){l—  2q^ cos 2x  +  g^^) , 
sin  am     _      _    ^_  •        (i_2gcos2a;+g^Xl— 2g=*cos2aj  +  g^)(l— 2g^cos2a;  +  <2^") .  . .  ~ 


^^^    ^  2v/~    v/gcosa;(l+2g^cos2.rH-r/)(14-2g^cos2a;+g«)(14-2g'^cos2a;  +  g^^). 
cosam  — ^    y  ^^^   •         (l—2qGos2x-\- q'^)(l—2q^ cos2x-^ q^)(1—2o^ cos2x 4- o^^il  ... 


2Kx 

=   yi/  — .  .  -J-^i^  

(1—22  cos  2x  -\-  q\l—  2g3  cos  2x  +  g^j(l—  2g^  cos  2x  +  g^") 
obtinemus : 

t   am^^  =  — ^-     tga;(l— 2g'^cos2a;  +  g^)(l— 2g^cos2a^  +  g8)(l— 2g^cos2;x-[-g^^) 
^^"^     -  V^        (l+23'cos2a;+g*)(l+22^cos2Ä;+2SXl+Vcos2Ä;  +  2^2).. 

unde  prodit  formula  memorabilis : 

6 .  tg  am 


Ut  eandeni  per  formiilas  notas  demonstremus ,  advocemus  formulam  pro  transfor- 
matione  secundi  ordinis.  qualem  Cl.  Gauss  exhibuit  in  commentatione  inscripta; 
»Determinatio  Attractionis^^  etc. : 


2Kx 
sin  am 


(1+Ä:(2))sinam(^    ^       ,  h^>) 
1+  yt(2)  sin2  am  (^^-— ;  Z;C2)j 
quae ,  brevitatis  causa  posito : 


f     IV'    '     1      '. 

U'   '.      LA  tllXl  l         

ita  exhibetur: 

sino  = 

(l+/j(2))sincpi2) 

1+^(2)  sin2,^l2)     ' 

unde  etiam: 

cos^p  = 

cos  cp(2)  A(2) 

14-Ä;^2)sin2^(2) 

Acp  = 

1— /Jt2)sin2(pi2) 

l-f-Z:^-'sm2cp^2) 

tg?  = 

(l+/l-(2))tgrp(2) 
A(2) 

Formula  postrema  ita  quoque  repraesentari  potest: 


PRODUCTA  INFINITA.  153 

tgy     _     tg  oC3)         1 

imde  loco    q   successive  posito    q^,  q\  q\  .  .  .,    quo  facto    k,  K,  cp    abeimt   in 

k^'\  k^'\  k^'\  ..  .;  K^'-\  K^'\  K^^\  .  .  .;  cp(2),  .^w,  .^(8),  .  .  .,  obtinemus: 

tgcp(2)        ^        tg'iW  1 


tg?' 


(4) 


2K 


(4) 


;{8) 


2g 


(8) 


2K''' 

A^*' 

tgcp(8) 

1 

2Z-<'' 

^(8) 

tg  9(i«i> 

1 

2g^''^ 

^(16) 

lam  limes  expressionis : 


tgam(^^-^;Ä;(^)) 


tgcp(^2_  _    

2K'''     ~  2K^'' 


crescente  p  in  infinitum ,  fit  : 

tang  X ; 

tum  enim  fit   M^^  =  0,    K^^^  =  -^;  am(w,  Ä'^^>)  =  w,-    unde  iam,  facto  producto 

infinite  et  posito,  ut  supra,  *S^  =  A^^^ A^^^^ A^^'  .  .  .,  prodit: 

tg?     _     tga: 
2K     ~      S     ' 


quae  est  formula  demonstranda. 

E  formula : 

Ä.tgc? 


tga;  = 


2K 


algorithmus  non  inelegans  peti  potest  ad  computanda  integralia  clliptica  primae 
speciei  indeßnita;  idque  ope  formulae,  probatu  facilis: 

,2)  _  J      2(A+fe-)~ 
V(1+Ä'X1  +  A)' 
Quem  in  finem  proponimus 

I.  2  0 


154  EVOLUTIO   FTJNCTIONÜM  ELLIPTICARUM. 

T  h  e  o  r  e  m  a. 


Posito 


r  ^y  =  O 


formentur  expressiones : 


\]mn     =  n'  A    =  y- 


^nJ^n    ^^^  ^r:;:^^      _  ^^,  ,,,   _  Jmm'{A-\-n) 


2  \        i)i-\-  A 


^_  =  m  \m  n     =n  A    =  V-      ^"+A'^ 

» 
designante  (x  limitem  communem,  ad  quem  quantitates   7n^P.,  A^^\  wl^^    crescente 
p  .rapidissime  convergunt ;   erit: 


A'A"A"'. .. 

tg-xd)  =  ^—, -tgcp. 

'  mmm    . . . 

lisdem  methodis,  quibns   in  antecedentibus  iisi    sumus,  invenitur   etiam 
valor  producti  infiniti : 

Quem  in  finem  allegamus  formulas  §.  36,  (4.),  (5.): 

2^q 


[(l+3)(l+2')(l+2'Xl+ö')--.]'  = 


\lkJc' 


quarum  posterior  e  priore  nascitur,  loco  q  posito  successive  q^,  q^,  <f  etc.  et  facto 
producto  infinito ,  unde  obtinemus : 

fe         ^       2yp  1\R  2v^ 

lam  vero  eruimus  (1.) : 

2K 


V=  V h' — ' 


SERIES  SECUNDUM  SINUS  VEL  COSINUS  MULTIPLORUJI  PROGREDIENTES.  155 

linde  : 

2\lq    '     -      ~     Sjk     '    \jW  '    \IW  '    ^m 
Quae  licet  aliena  videri  possint  ab  institiito  nostro,  cum  nee  elegantia  careant 
et  magnopere  faciant  ad  perspiciendam  natiiram  evoliitioniim  propositarum,  ap- 
posuisse  iuvat. 

EVOLüTIO  FüNCTIOXüM  ELLIPTICARUM  IN  SERIES 
SECUNDUM  SINUS  VEL  COSINUS  MULTIPLORUM  ARGUMENTI 

PROGREDIENTES. 

39. 
E  formulis  siipra  traditis : 

,,  -     .           2Kx            2\/q        .         n—2q^co82x4-q*)(l—2g^cos2x4-q^)(l—2q'^co82x4-q^^) 
(1.)  sin  am :=  — j^ — ^sida^--^^ '  ^  ^ '  ^  ^ ~  '  -'   ^ 


SjJc  (1— 23  COs2x-\-q%l—2q^cos2x-\-q^){l  —  2q^cos2x-\-q^'^) 


(3.) 


\Jj^  {l—2q  cos2x-\-q^){l—2q^cos2x-\-q'^){l—2q^coä2x-\-q^'') 

2Kx    _  n-    (1+  2g cos 2x-\-q%l-]-2q^ (i09,2x-{-q^){l-\-2q^ cos 2:g-|-g^°) 


(1— 2gcos2x+g^)(l— 2g3cos2a;+2'^)(l— 225co8  2a;4-2^") 


2Kx 
1 — sin  am 


I  / iT__  _  Jl—i^mx    (1— 2gsina:4-g^)(l— 2g^siDa;4-g^)(l— 2g»sina:+gg). 

^^'^  Vi  I     •  2Ä^~  Vl  +  sina;    (l+2g8inÄ;+(/^Xl+22'sinÄ;+2^Xl+25^sm^+g^ 


(5.) 


'i_z   •         M^ 
i     /.sin am    _     ^    {\—2\lq8\xix  +  q){\—2\jq^8mx-\'q^){l  —  2\JqH\xix^q^) 

1+Ä;smam— ""    (l+2\/5^sin^-  +  g)(l  +  2VV?sin^;  +  r/)(l+2\/5'^sinx-f f/). 


logarithmis  singiilomm  faetorum  in  altera  aeqiiationiim  parte  evoliitis ,  post  re- 
diictiones  obvias ,  sequuntiir  hae  : 

,      ,       .  2Kx  ,      s  2V^?     .        )   ,     2OC0822;    ,    2fl2cos4x    ,    22^008  63^    , 

,6.,     logsmam^^=        \os\-^^,nx  \+ ~x+g~  + ^^l+^i)+'z(H^'y+ '  '  ' 

,     ,  2Kx         ,      {^4—i/h'  )   ,     200082^;    ,    2o2co84a;    ,    2o^co86:c    , 

(7.)     logcosam-^  =logJ2V2  ^  _co8^j  + -^— +  -2^Y+^,y +  ^^YZ:^3y  +  •  •  • 

.       ,         2Kx  ,      ./77  ,     4r/C08  2x    ,     40^008  6 j;    ,    4(/^co8l0.r   . 

(8.)        logAam-^=  logS/k  + -f-^  + ^^-^^  +  ^^^^+ ■  - - 

20* 


156  EVOLUTIO  FÜNCTIONUM  ELLIPTICAEÜM. 


i-j-sinam     ^  ,/14-sinx    .    4:qsmx        4:q^smSx    .    Aq^smbx 


4    /i-j-sinam     ^                  ./l+sinx    ,    Aq^inx        42^sin3a;    , 
(9.)    logl/ 2K^  =  ^os\/^^^^^  +  -^- 3^i_^3^   + 


^  V       .  ,  5(1—2^) 

1 — sin  am 


'H-Ä;sinam^^ 

,,,.,'  TT     4\/g'sina?        ASjq^sinSx        isjq^ am5x 

{10.)  log|/         —         ^^  —  — jir^  3(1—3^)     "^    5(1- ö5) 

1 — Z-sinam ^  v       ^  ^  v       :i  y 

TT 

Quibiis  formulis  differentiatis ,  ubi  adnotamus   formulas   difFerentiales  probatu 
faciles : 

2Kx  2Kx 

«log  sin  am — ^;^  q,vk  cos  am 


dX  TT  2Kx 

coscoam 


2Kx  .  2Kx 


d  log  cos  am „  ^  sm  am 


TT 


2K  TT  2K     .    .         iKx 


dX  TT 

smcoam 


2sr  =  -;r-'si*"' 


cZIogAam--            ^FX               ^^^                2Z,; 
sin  am sin  coam 


dx 

dlog\ 

1    ,     .          2Kx 
/l-{-sinam 

i/ ,       .          2^:r 
1  1 — sin  am 

'                                         TT 

dx 

d\oA 

/1   1    7    •           2^a: 
/14-A;sinam 

/ 

1 — itsinam 

TT 

2.S:  1 

IT       '     .               2Z^x 
sin  coam 

TT 


2JcK       .             2Kx 
sin  coam j 


dx  TT  TT 

eruimus  sequentes: 

2Kx 
cos  am 


2h' K      ^""""^     ^        4g  sin  2a;  4g  ^  sin  4a:        4^' sin  6a; 

(^^•)    "1=                       2Z7  ~  ^°*^^  l+'g  TfY            TTF" 

coscoam 

TT 


SERIES  SECÜNDUM  SINUS  VEL  COSINUS  MULTIPLORUM  PROGREDIENTES.  157 

^„        smam .  „  . 

no^     -^ ^ —     t»-r  -I     ^gsm2a;  Vsm4a;     ,     4f/siD6^  , 

^^         -  .  2Kx    -     ^^^"^       1-f}        ^"       l-L,/       +       i_,/3  H 

smcoam ^  '  ^  '^ 

(13. j smam smcoam =  — ^ n- — ~ ^ ^ [-••• 

(-,  ,  N  2K  1  4g  COS  a;  4ö^C08  3iC     ,      4r/^co8  5a; 


2Kx  cosa;  ^        1 — g  1 — q^       ^^       1 — n^ 

-smcoam ^  ^  ^ 

(15)  ^^-^     sincoam    ^^^    =    ^^^^^^^        4\JqHo8Sx        4\/q^cos^x 

^     "^  TT  TT  1— g  l_g3  "^  1—^5 

Ubi  in  his  formulis  loco  x  ponitur   —  —  üe,    eruitnr: 

2Kx 

mrjzr      coscoam .  „  .  ,  . 

---      'ifc  K     TT         4gsm2a;  4g'*sm4ic  4g"^8m6jc 

~      ^^  1  +  g         ^         1  +  ^^  1+r/       + 


,     iq  sin  2^  4^/^  sin  ix     ,     4^^  sin  6x 

cotgÄ:+  I       i 


Viu.; 

TT 

2Kx 
cos  am 

TT 

(17.) 

2K 

TZ 

2Kx 

smcoam 

TT 

2Kx 
smam 

(18.) 

2K 

9.1^^ 

1—q  l+g2        '         i—q3 

4g  sin  X  4g^sin3Ä;  4g^sin5^ 


sma;  1 — q  1 — g 


1  — ryä       "^ 


II. 

sin  am 

2Kx 

,,^,       2JcK        .  2Zic  4:Sjqsmx     ,     ASjq^smSx     ,     4\/g='sm5a;     , 

(19.)     -smam =  — —^ h  — ^ ^ -r ^ h'*- 

^      ^         -  -  1 — g        '  1— g3         '  1  — g^  ^ 

Formula  (13.),  ponendo  -^ — ,r  loco  a?,  immutata  manet. 

Mutando  q  in  — q,  e  theoremate  I.  §.37.  formulac  (11.),  (12.)  in  (17.),  (16.) 
abeimt;   (13.)  immutata  manet;   e  formulis  (14.),  (15.),  (18.),  (19.)  obtinemus: 

2Jc'K  1  4g  cos  a;       ,     4g^cos3a;  4g^cos5a;    , 

(^20.)  '  ' 


2Kx  cosa;  1+g  1+2^  1+5' 

TTCosam 


2kK  _   2Kx    _    4:\/q  cos  X         4Vg^cos3a:        4:\Jq^  cos  5x 


(21.)       — -— -cosam- =      Vi  ^ ^ rx^s r       1,^5 


158  EVOLUTIO  FUNCTIONUM  ELLIPTICAEUM. 

2h' K  1  4:qm\x  ^q^&mox  4g^sin5a? 


(22.) 


TTCOscoam —  '   ^ 


.^„  ^      2TiK  2Kx  ^Slqmix        ASlq^ ^iu^x    .     ASjq^^mhx 

(23.)     — -coscoam =  -Ar^ \  ,     3— +— ^-r-^ 

Formulae  (19.),  (21.)  per  evolutiones  notas  ex  iis  etiam  facile  derivari  pos- 
suiit,   quas  supra  attulimus  §.  3  5.  (6.),  (7.): 

TT  Ä;Ä  Vi— 2gcos2x  +  g2"^l— 2g3cos2^  +  r^6^1— 2g5cos2x  +  g^"^     / 

coeam^^"^-   ^%os:.Y        \/g(l-g)  Vg"ni-g^)         ,  V?(l-g^)  A 

TT  Z^Jf  Vi— 2<?cos2^  +  f       1— 2g3cos2a;  +  (/«^l-225cos2^4-^^"  / 

E  formula  (9.)  ^.  35.: 

2^^         -u      ,   o        .     (l  +  '?)tg^        o        .     (l+9')tg^     ,   o        .    {l+q^)i^x 

am =  ±a;  +  2arct£:-^^ — '  ^^  ^ 2arctff  -^ — +^-^^ h2arctff  ^    !        .       —  •  • 

TT  '  *'        1 — q  ^        1 — q^         '  *=        1 — 2 

sequitur  adhuc: 

,^,  <  2Kx  ,     2q^m2x    ,     2o^siu4.r     ,     2q^miQx    , 

(24.)  am--=:.+  -{qr^  +  -2fjq:^  +  ^^Y:p^e)-  +  --- 

Eandem  enim  pro  signi  ambigui  ratione  ita  repraesentare  licet : 

+  ^  +  2  arc  tg  ii±S)l  -  2  avc  tg  il+ Ö_  +  2  arc  tg  4+41.  _ .  .  . 
'        '  ^     1—q  ^     1  —  q^       '  ^     1—q^ 

—  2x  -\-2x  —  2x  +  •  •  • ; 

siquidem  brevitatis  causa  t  =  tg  .z".     Fit  autem : 

.   (1+?X  .    (l+#— (1— ?)^  .  2«^  ,       osin2a; 

arctg\ X  =  arctg;      ^\   ,,  , — ~~-  =  arctg— — — ^ — ~ — tw  =  arctg— -^ — —  , 

^    1—q  ^  1— ^  +  (1  +  2)!;^  ^  l-{-tt—q{l—U)  ^l~q(i082x 

imde : 

2Kx    ^  sin  2a;  g-^  sin  2a;  2^  sin  2a; 


am 


+"■■•"'                             ^            ,              u  oiLi  <;i.^                   _            ,              u    oiu  ^<//             ,     _,            ,              w    Olli  i^.^ 
2  arc  tg  —-^ 2  arc  tg  —-^ — ^ \-  2  arc  tg  -— ^ — ^ -— 
TC                                 1 — 2' COS  2a;                     1 — g'"^  cos  2a?                     1 — 2^cos2a; 

sive  cum  sit : 


<7Sin2a;  .    ^     ,     o'^sm4a;     ,     g^sin 6a; 

arc  tg  — -^ —  =  q  sin  2a;  +  — — \-  -^ 

^    1  —  2  cos  2a;  ^  ^         2  ' 

ffa;    2^- sin  2a;     |^    2^^  sin  4a; 

ü^  ""  ^~'       1+p       r-    2(1+^)      f"   3(1+^6^ 


1  —  2  cos  2a;  2  3 

fit: 

2Ä"a;  ,     27  sin  2a;     ,     2«^  sin  4a;     ,     2g^  sin  6a; 

am  —  ^  \       -t  \       1  \       1 


SERIES  SECUNDÜM  SINUS  VEL  COSINUS  MULTIPLORÜM  PROGREDIENTES.  159 

quae  est  formula  (24.).     E  cuiiis  differentiatione  prodit: 

.^_  ^  2X     .  2Kx  40-00823;    ,    47^00840;    ,    4:Q^co^Qx    , 

(25.)         --.Aam^^  =  l  +  ^^  +  -X___  +  ^___+..., 

linde  etiam.  posito  — q  loco  q  seu  — x  loco  x: 

,^    .  2h'K       4g'cos2:c        4g''^co9  4a;        4^^008  6a; 

7t 


40. 
E  Ibrmulis  propositis,  ponendo    ^  =  0     vel  aliis  modis.  facile  eruuntur 
sequentes : 


(1-) 


legi  =  >»gM's--i^L+_i|?___*|!_+__|L_ 


*■    ■'  ^  1— j2  ^   8(1— j«)    ^   5(1— j'»)T^    7(l_j»)T^ 

'■    -'  *     r  1+g    ^    3(l  +  j')    ^    5(l+jä)    ^^    7(l  +  j')    ^ 


1 — q  1 — 5**  1 — q^ 

H I ^' ^ is' 


_  II        ^'i        I ^ ^ ^ ^    I 

-^1        1     I     --.2        \        1     I     ,,4        I         1  _L  «6         \ 


(^\  i^    =  .^Vg  4V^^  4\/g^ 

'^  '^  -  1—^  1  — (/3  "t"    l—gS 

1  +  g  "^    1  +  2=*  "^    l+g5   "^ 

(6.)  ^^-'-g    _  1.  4rY  ,       4g3  4f/        , 


1+2      '     1+r/  1+^5 

4r/  4<j'^  Aq^ 


__   1 ^'J        _[_  ___^ ^'i  1 

1     I     -,2     "T      i_i_^,4  11    «6     "T 


C7  ^  -^y^ ^?! ^^  _      4ry^» 

^   "^  t:         ~  1-Pg^    +    1  +  r/  1  +  giö 

_  47^  4ry'' ^ 

~  1+7*   "^  ~l+r/  l  +  g^ 


160  EVOLUTIO  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

(8.) 


(9.) 


4KK 

= 

1-f 

8^ 
\-q     "^ 

mf 

24g3 

TITT 

l+g-^     ' 

1— gs     ' 

= 

H 

8g        , 

8g' 

8g3 

{l-qf    ' 

(l+g^)^  '    ( 

1— g3)2  ' 

WcKK 

TTTC 

= 

16g 
1— g^     ' 

48g3 
1— g6    ^ 

80g5 
1  — gl«     ' 

= 

legci+g'-^) 

16g^(l+ 

g«)         16g^(l  +  g>°) 

(l-r/)^ 

'      (1-g^, 

)^       1       (1— gi»)2       ' 

^h'h'KK 

= 

1 

8g 

16g2 

24g3 

TTTT 

1+g      1 

1+2'^ 

1+r/      ' 

= 

1  — 

8g 

8g2 

8g3 

(1+g)^    ' 

{l+<fY    ' 

Wc'KK 

ASiq 

12\/g3 

20V/g^ 

TTTT 

1+g 

l+g3       1 

1+g^ 

= 

4\/g(i-g) 

4V/?(1- 

-cf)  ^    4\/g"5(l-g5) 

(i+'-z^r      '      (i+^T 

AJi'KK 

1 

8g^ 

16g* 

24g° 

TITC 

1+g'^     ' 

1+g* 

1  +  g«       ' 

= 

1 

8g2 

8g* 

8g« 

(1+g^)^    ' 

(1+g*)^ 

(l+g6)'^    ' 

AlKK 

^slä    1 

12\/?      , 

20V/g"^ 

TTTC 

1-g      ' 

1— g3      ' 

1— g^      ' 

4\/^(l+g) 

4\/g"3(l-f 

-g^)        4v/?(i+g^)    1 

(10.) 


(11.) 


(12.) 


(13.) 


{l—qY      '        (1— g3)2        '       (1— g5)2        ' 

Formulas  (4.)  —  (13.)  dnplici  modo  repraesentavimus ;  facile  autem  reprae- 
sentatio  altera  ex  altera  sequitur,  iibi  singuli  denominatores  in  seriem  evolvun- 
tur.  Adnotemus  adliuc,  secundum  theoremata  §.37.  proposita  e  duabus  ex  ea- 
rum  numero,  (4.)  et  (8.),  derivari  posse  omnes.  Ponendo  enim  \lq  loco  q,  cum 
abeat  K  in  {\-\-k)K,  subtrahendo  e  formula  (4.)  prodit  (5.);  deinde  ponendo 
—  q  loco  q,  abit  K  in  JcK,  unde  e  formulis  (4.),  (S.)  prodeunt  (6.),  (10.);  (5.) 
immutata  manet.  Ponendo  q"^  loco  q,  abit  k'K  in  SJ^K,  unde  e  (6.),  (10.)  pro- 
deunt (7.),  (12.).  Ex  (8.),  (10.),  quia  kk-\-k'k'  =  1,  prodit  (9.).  Ponendo  sjq 
loco  q,  abit  kK  m  2\JkK,  unde  e  (9.)  prodit  (13.).  Ponendo  — q  loco  q,  abit 
kKK  in  ikk'KK,  unde  e  (13.)  prodit  (11.).  Ceterum  pro  ipso  modulo  vel  com- 
plemento  eiusmodi  series  non  extare  videntur. 


(14. 
(15. 
(16. 
(17. 
(18. 
(19. 

(20. 
(21. 
(22. 
(23. 
(24. 
(25. 
(26. 


SERIES  SECUNDUM  SINUS  VEL  COSINUS  MULTIPLORÜM  PKOGREDIENTES. 

Formulis  propositis  ad  digiiitates  ipsius  q  evolutis ,  obtinemus : 


161 


logZ:=log4\/7-4^i+6r/-yr/+3r/-^r/+8r/-^r/+-|-,/_^,/+^,^io. 


—  logZ;'  = 


„     ,  32    .,  ,  48   .  ,   64   -  ,   104   „  ,   96    „  ,   112    ,„  ,   192    ,.   , 


1       2^  .         .   2  ,   16   3      ,   .  ,   24    ,      16    ,  ,   32   ,      ^   ^  ,   52   ,     24   ^ 


2K 


•27cK 


■Ih'K 


2\/k'K 


=  l_|_4,^_^4,^^_^4,^4^_8,/4-4r/-f4r/  +  8r/o+8r^i3_|_4,^i6_^8^/^+42i«+.-- 

=  4\r7+8\/^+4V?  +  8V'P4-8VV'+12V^r754-8\/^9  +  8\/rp-I 

=  1—  4q  +  4r/+  4r/—  8r/+  4^^  — 4f/  +  8g"—  Sq'^ -\- 4:q''*^  —  85"  +  4^1»+ 

=    1  _  4^^  _j_  4^4  _^  4^8  _8^^10_^4^^16_  4,^18^  8^/0  _8r/'i6^  4,^32 


4  7(^7?" 

— ^_^-   =  1+85+ 245^  +  3253+ 245*+48r/+96ry6-f64(/' 4- 245*H 

-— ^—  =       162  +  642'+96(?ö+'l283'+208r/+192r/»+224r/3_^384fi^^  + 

AVP'  WTC 
-^!^^-^^—  =  1— 82+245^  — 32f/+24(/*—48r/+96g6_64r/  +  24r/ 


AJih'KK 


Ak'KK 


4JcKK 


=         4,\Jq—  16\lq^-i-  24V5^—  32VF  +  52V?  — 48\/9"  +  56VF^ 

=  1—  8^^+  24r/  —  32g«  +  24g^  — 48fy^«  +  96^^^—  64r^i^+  2^q'^—  104g^^H- 
=         4\/^+16\/r7+  24VV7+  32\V+  52\/?  +  48\/7'+  56\/pH 


Quarum  serierum  lex  et  ratio  quo  melius  perspiciatur,  denotabimus  eas 
signo  summatorio  2  termino  earum  generali  praefixo.  Statuamus,  p  esse  nu- 
merum  imparem ,  (f  [p^  summam  factorum  ipsius  p.     Tum  lit : 

(27.)  log/.-    =  log4Vr7-4X-^i{r/_-i|!^— |r//'--|-r//'-A,^i6._ 


16 


(28.) 


log/.  =  8^^'lqp 


(29.)   log  -;^  =  ^^jil'Ly>^fj2p—f^ip—rjB 


/löy  — 


Porro  sit    m    numerus  imjjar ,  cuius  factores  primi  onines  formam     4a  —  1, 
I.  21 


162  EVOLUTIO  FUNCTIONÜM  ELLIPTICAUUM. 

n  numerus  impar,  cuius  factores  pn'mi  omnes  formam    4a +  1   hahent,  ^in)  numerus 
factorum  ipsius  n ,  l  numerus  quicunque  a  0   usque  ad   oo :  obtinemus : 

(30.)  -^-  =  l^^H^Kn)/"'''' 

(31.)  — ^—  =         4S'K»*)^^~ 

(32.)  ^^  =  l-4^,^^^n)r'-   +42^(^)2^'+''"*" 

(33.)  ^—  =  l-4i:'K»*>/"'"  +  4S^(V"^'"'". 

7t 

Uesignante  p  rursus  numerum  imparem,  cp(p)  summam  factorum  ipsius  p:  üt: 
(34.)  ^5-^     =  l+82cp(p)[gi'+352i'-f8g*P-|-828p  +  3gi6i>  _!-...] 

(35.)  i^  =        WX,ip),. 

TT  TT 

(37.)  ^^^  =  4i:(-l)'^?(i^)V^ 

(38.)  ^^^^^    =  14-8i;cp(i))[— r/i'+32^^'+3r/i'+3g^6i,_|_3532;,_^...] 

(39.)  J^™_  =  4I:t(p)\/2^- 

TTTT 

Demonstremus  formulam  (27.).     Invenimus  (1.): 

,      ,         ,      ,./-        4g  4g2  4g3 

quod  ponamus    =--  log4\/^  +  4X^^''^^'^.     Sit  x  numerus  impar  p  =  mm,    e  quo- 

vis  termino '^, — ^^rr-    prodit  ^^^^ ;  unde  constat ,  fore  A^^'^  = ^^^^  •    lam 

m(l+g  )     ^  m  P 

sit  .r  numerus  par  =  2^p  =  2^mm' :  e  terminis 


Q-^lll  fMH  QV.m  q2  " 


Am  /78»i  /y2  »n 


m(l+g"')  ~  2m(l+g'^'"')  ^  4w<l+(74™)  ^  8^(1+28"')  2^^(1+22^"^ 

provenit : 

q""  \        1        1        1  ^      1    1  I   _    ^^'^  . 


«i  1         2         4        8  2'"^         2^  )  2*m. 

unde  ^^""^  =  — |j^ ;  id  quod  formulam  propositam  suppeditat. 


SERIES  SECÜNDUM  SINUS  VeL  COSINUS  MULTIPLORUM  PROGREDIENTES.  163 

Demonstremiis  formulam  (30.).     Invenimus  (4.  : 

Sit  B^""}  numerus  factorum  ipsius  a; ,  qui  formain  4wi-j-l  liabent,  C^'>  numerus 
factorum.  qui  formam  4m -|- 3  habent,  facile  patet,  fore  ^*^*  =  B^""^ — 0^\  Sit 
<r  =  2W,  ita  ut  n  sit  numerus  impar,  cuius  factores  primi  omnes  formam 
4m-\-l.  n  numerus  impar,  cuius  factores  primi  omnes  formam  Am  —  1  habent, 
facile  probatur.  nisi  sit  ti  numerus  quadratus,  semper  fore  B^""^ — C^^^  =  0.  ubi 
vero  n  est  numerus  quadratus.  fore  B^'^  —  D-"^  =  5""^  = '|  w  ^  unde  formula 
(30.)  fiuit. 

Postremo  probemus  formulam    34..      Invenimus    S.): 

4:KK         ,  ,       85      ,     165^     ,     24^/3     ,     325*     ,  ^    ,^, 

Designante  x  numerum  imparem,  facile  patet,  fore  A^-''^  =  cp.^'y;  ubi  vero  a? 
numerus  par  i=  'I^p,  designante  p  numerum  imparem,  quoties  m  factor  ipsius 
p,  e  terminis 

mq'"      I     2niq^"'     ,      Anic/'"  Smq^'"  ,     2h}iq^'*' 

~i     1    I   ..Sm     r 


1  —  q'"  ^  1+r/'«  ^   14- r/'"  ^   l-]-q^"'  ^         ^  1+r/'» 

jn'odit    Sm(f\l — 2  —  4  —  b 2''^'^-{-2''\  =  -limcf,   unde  eo  casu   ^^^^  =  3(p(p), 

id  quod  formulam  propositam  suggerit.    Reliquae  similiter  demonstrantur  vel  ex 
his  deduci  possunt. 

2Kx                2Kx                1 
Expressiones  cos  am ;  Aam-— — ;  — -^ —  ad  dignitates  ipsius  ^ 

cos  am 

evolutae   coefficientem  ipsius   o?^   nanciscuntur  resp. (  — V f^!i^\ 

-|-  — (-;^J?    unde  e  formulis  J:<^  anteccdentis   (21.),  (25.),   (20.    prodire  videmus 
sequentes : 


(40.)         ^ri^T  =  4i-^  +  -^^  +  ^^  +  i^ 


21* 


164  EVOLÜTIO  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

r4n      z-'f^^T  -  14-4!    ^         ^'^'   4.JML      4V   ,      I 
(41.)      i\^-^)  -  i+4j-^^jj^— Y:^+i_^^5-T+^  +  '--i 

(g(l-6g^  +  g^)  r/(l-6g^+g«)  g3(i_6g6^_,^12)  . 

-'"^^1      (i+r/)3  (1+g*)^       "^        (i+'/T  '"i 

(42.)      ^^(^^  =      i^iT+^  +  T+gr  +  T+^  +  -rr^+-- 


=        16 


q{\+q)         q\l+q')     ,    g^(l+5^) 


(1  — g)3  (1  —  ^3)3        I        (l_r/5)3 

Ex  his,  posito  — q  loco  g,  obtinemiis : 

(4d,)   /^t^/c^-^-J    -  4j-^-^--^-^  +  -^--^--^— ^ 


(44.)    ;t'z<^t  =  1-4!-^ _^V  +  ^^-^^  +  -' 

(45.)  ^^^^  ^  ;  _     lej  ^_^^^,  — ^-p-^  +  ^-^— ^-p^+.. 

Formulis  (42.),  (44.)  additis,   obtinemus   f  — f^)  ;    (4U.)  et  (43.',  (41.)  et  (45.)  sub- 
ductis,  obtinemus  i—^-j  •>   (~^ — )  ?  e  quibus,  posito  resp.  sjq,  q^  loco  q,  prodit 

(  — ^ — )  ?   i -^ — )  5   e  [—^ — ),  posito  — q  loco  q,  obtmetur  [—^ )  • 

Sub  finem ,  posito  k  =  sin  d ,  evolvamus  ipsum   {>  =  arc  sin  k.      Vidimus, 

posito    \q   loco  q,  abire  k   in    -r-,--^;    ponamus  rursus    — q   loco  q,   abit   ^  in 

1— |—  A; 

-vr    sive  in   itangd,  ita  ut,  posito  i\Jq   loco  0,  expressio  . —  muteturin: 


Hinc  e  formula  (2.) 


1   ,      /  1  — itaugf)   ,         ^^ 


&  l_^2  ^  3(1— g«)  ^  5(1— gl«)  ^  7(1— gl*)  ^ 

eruimus : 

(46.)  «  =  arcsm/,-  =  -^-  ^^^  +  ^-^ _ ^_2-^  + 

quae  in  hanc  facile  transformatur : 

(47.)        —  =  arctg\/g  —  aYctgsJq^-\-3irctg\Jq^  —  arctg\/(Z'+  •  •  • ' 
quae  inter  formulas  elegantissimas  censeri  debet. 


SERTES  SECUNDUM  SINUS  VEL  COSINUS  MULTIPLORUM  PROGREDIENTES.  165 

41. 

Aequationem  supra  exhibitam : 

2hK    .  2Kx  4\/^8ina;        4^7^  sin  3^        4 V^  sin  5a; 

sm  am  — -      =  — - — 1 ^ — -^ \ — — 1 


1 — q  1 — (f  1 — 2 

in  se  ipsam  ducamus.     Loco  l^iwmx  ^\\\nx  ubiqiic  Substitute 

cos  {m  —  n)x  —  cos  {m  -\-  n)x , 
factum  induit  formam  : 

f2lK^  .  ,        2Kx  ,   ,    ,,      ^     ,     ,„       .      ,    ,,„ 

l Isin'^am^ —  =  A-\-Äcos2x -\-A  cos4.2;-(--4   cos6a;-f-'-- 

Invenitur : 

A  ^  ?^_  j 8g3  8g5 

(1—5)2  -t-  {l—qY  "^  (1— g')*'  "^ 
Porro  lit : 

siquidem  ponitur : 

ßH+l  fpi+3  //i<+ä 

JRt")  =  ^^ I ^ . I 1 i_  etc    in  inf 

(1— g)(l— r/«+i)  ^  (1— r/)(l— g2H+3)  -r  (i_,^5)(i_,^2.+5)  -^  eic.  m  im. 


C<")  = 


2*'  .  g*'  g"  I        I  g*' 


(1— g)(l— g2«-l)     I     (l_53)(i_^2»-3)  ^(l_55)(l_52»<-5)  ^        ^  (1_52k-1)(1_5) 

lam  cum  sit: 


(1— g"*)(l— g2«+"')  1— g2"    |  l_g«         i_<^2"+m 

üt: 

/      _g»       {        g  ,  g3  ,  q 


(,o  _  j      1— g-"  (    1— g      '      1— g^     '     1— g" 

gW  I  g2H+l  ^-^/i+a  ^-iyi+S 


1 (^2»    I  1 52«+l      I      \ ^Z/i-H      I      l q2n+ö 

sive  sublatis,  qui  se  destruunt,  terminis: 


!1 


3  /i2>i-l 


iJ""  =  ^^M^+-T^-^+-  +  -T^ 


Porro  üt: 


unde 


l_g2H    I  i_5     1     i_fji  n-        -r   i_^2,.-i 
g*i  qu       I     qm  q 


(1— g"')(l— g2«-'«)  1— g2»   |  1 — g'"    '     1— g' 


■,2h — m 


+'! 


166  EVOLUTIO  FÜNCTIOKUM  ELLIPTICARUM. 

Hiiic  tandem  prodit : 

unde  iam: 

,    ,       /  2kK  \^  .  9        2Zä;  .       o(gcos2a;    ,     2g'^cos4Ä;    ,    dq^cosGx    , 

(1.)       ( jsin^am =  A  —  8— .^-j ^ ^ ^ \- 

^    ^       V     TT     /  r  (    1 — q'^  1 — q^  1 — g^        ' 

Simili  modo  vel  ex  (1.)  invenitiir: 

,    ,       /2Ä;^V      .,        2Kx  -,,  ,   „(r/ cos  2a;    ,     2q''^coa4:X    ,    Sq^cosGx-, 

^    -^       V     TT     /  TT  'I    1 — g'''      '        1 — q^  1 — q^ 

siqiiidem : 

^  =  8' 


q  q'^  ^  Q^ 


B  = 


g  ,         q^  ,         q^ 


E  noto  calculi  integralis  theoremate  üt,  quöties 

f^{x)  =1  A-\-  J.'cos  2x  +  J."cos  ^x  -\-  ^'"cos  6;r  -| —  • , 
terminus  primus  seu  constans : 

2   CT 
A  ^  —  /     (f)(x)dx 

T^  J  0 
imde  nanciscimur  hoc  loco  : 

2  f  2liK^  fj  .  „        2Kx  ^ 
A  =  —  ( )  /      sin'^  am dx 

^         2  r2kK\^  CT      .        2Kx    , 
B  =  — i )  f      cos'^am aa;. 

-K       V  -K  /    Jf,  TT 

Ponamus  cum  Cl°.  Legen  die: 


erit: 


—  1^      27i  27i:      2£^ 

TC  7:  TT  TT 

_     2g       2E'  r  2k'K  Y 

7:       '      t:  \      t       / 


SERIES  SECUXDU3I  SINUS  VEL  COSIXUS  MÜLTIPLORUM  PROGREDIENTES.  167 

Hinc  etiam,  cum,  mutato  q  m  —q,  abeat  A  in  —B,  K  in  k'K,  sequitur  simul 
abire  E^  in   — r-  • 

Adnotemus  adhuc  e  formula  (l .)  sequi : 

(3.)       ,,(^Y==i6J_l-^+Jl^/!_+_Ü^+_Z^,..    I 
^    ^  V    -   y  I  1— r/  ^  1—54  ^  i_^6  t-  i_^s  i-       j 

_  lgrXl+4g  +  g^)        r/(l+V+r/)         r/(l+4r/4-g^o)    ,  . 

unde  etiam,  mutato  </  in  — q: 

^      ^  V     -     y  I    1—52  1_54    -r    j_^6  i_^8     ^  j 

_    iaiga-4g  +  <Z^)     ,     5^(1- V+g*^)     ,     r/(l-4r/+r/0)     ,  , 

Subtracta  formula  (4.)  a  (3.),  prodit: 

_  o,,ig^(l+4r/  +  g*)    I     g^(l+V  +  g^^)    ,    r/'>(14-4r/o  +  r/°)    ,       | 
~        i       (1-5T       "^        (1-r/r        "^        (1=VT        "^"'i' 

quam  etiam  e  (3.),  mutato  </  in  q~,  obtines. 

42. 
Methodo  simili  atque  formula  (1.)  §^  antecedentis  inventa  est,  in  expres- 
sionem 

2K 


.  „        2Kx 
sin'' am 


in  seriem  evolvendam  inquirere  possemus,  siquidem  formula  (18.)  §.  39.  in  sc 
ipsam  ducatur.  Id  quod  tamen  facilius  ex  ipsa  (1.)  §^  41.  absolvitur  considera- 
tione  sequente. 

Etenim  formula : 


,,       .          2Kx 
d  log  sin  am 

\\ — (l+Ä;Ä;)sin2am-^^^ \-hh^m^2LV[i 

dx 

~      -                                      .           2Kx 

sm  am 

7^ 

168  EVOLUTIO  FüKCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

iterum  differentiata,  factis  reductionibus,  obtinemus: 

2Kx 
^Mogsinam— -  /2^Y(„.,        2Kx  1 | 

sin''  am 

TT 

lam  vero  invenimus  §.39.  (6.): 

2Kx         ,      /'2\/q\    ,  ,       .        ,  ^(gcos2ic        cfcos^x    ,    Q^ cos 6a;  ) 

unde: 
rt  log  sin  am     ^       _  __i |  fiC0s2a:        2g'''cos4x        3r/cos6a:  | 

Porro  est  5^.41.  (1.): 

/2A-^Y  .  o      2Kx        2K    2K      2K    2E'^       _,(gcos2a;       2cfcos4:X       dcfGos6x\  i 

(^--Jsin^am---=---^^^ -■- 8  j -^^  + -^— -^  + -^-^^.+ •  •  •  j , 

unde,  cum  e  formula  (1.)  sit: 

(— —  1  .    7  T^x.,  «x^  (i^logsmam 

\  -    J  f  2hK^  .  „        2Kx  ^  - 

^^ -— —  =  ( )  sin'' am 3-5 ' 

.  ^        2Kx  \    T.    y  TT  dx^ 

sm^  am  — ^^— 

provenit ,  quod  quaerinius : 

\  T.   )         _2K  2K     2K  2^,  ^^ (g'''cos2a--      2g^cos4a;      Sg'^cosGa;  1 

^^•^         '       2Kx   ~"^'^.         ^'1=     '"sin^a;       ll^'g^"^T=V  1^'     ^"T 

sin=^  am  — - — 

r  .        /  E^ 

Mutatis  simul  q  in  —  </  et  o?  in  -^  —  -^^  ^^^^  X  in  ÄiC,  £^  in  -p-  fi^.  41.), 

2Är    •  2Kx      1  .,         /^  \  T^ 

smam m  cos  am —^—  abit,  e  (2.)  prodit: 

TT  T. 

V    -    y       _  (21' K^     2K   2£^  ,  _1 |g^''cos2a;      2g^cos4a;      3g*^cos6a-  1 

^^•^       ^     2^~V~^  y    V  T,  "^cos^it"^  i  1—32      i-^^  +  i_^ö-     •j- 

cos^'am— ^^; — 
His  adiungo,  quae  facile  e  §.41.  (l.)  sequuntur,  hasce: 


SERIES  SECÜNDÜM  SINUS   VEL  COSINUS  MÜLTIPLORUM  PROGREDIENTES.  169 

,^  .        /  2K\\2        ^^^  2ir      2E'-    ,^lqcos2x    ,    2q^cos4x    ,    Sg^cosGa;    , 

(4.)        ( )  -A^am = — h8{-^^— -. — h— ^ r — tt — \- ■  ■ 

^    ^         V    -    y  TT  t:  TT     ^    I    1—q'    ^       1—2*      ^      1—q^      ^ 

.      /2Jc'K\^  1  2K     2E^  {qcos2x        252co8  4ic        S^^  cos  6a; 


A^am 


qiiarum  (5.)  e  (4.)  sequitur,  mutato  <r  in  — <r  seu  ^  in  — q. 

Posito  y  =  sinam^-;      V/(l— /)(l— äY)  =  i^,  fit: 


-^  =       (-^j2/(l+14Z;2  +  Ä;*-20Ä;^(l+Ä2)y2  4_24/.y) 

-^  =       (-^J(l+14Ä;2  +  Z;*-60F(i_|_^2)^2_^1207jy)E 
etc.  etc. , 


unde 


2Kx  2Kx        l+P/2Za;Y,    14-14F+Ä;*  /2Jra;V 

ideoque : 

(2K^ 

_     1         14-^V2gY       l-P+Ä:*/2gY 


V.; 


.  „        2Kx 
sin''  am 

TT 


qua  formula  comparata  cum  (2 .) ,  eruitur : 

l+¥  f2K^_    1        /2Ä"Y      2K     2E'  (     g'       .       2g*  Sq^ 

sive  : 

i4_  ri^^%_ik2)_3^.^^ 

g^  2g*  3g6  4g^  ^  "^V     Tt     y-  ^  TT  IT 

<^^-)      -i:Z^  +  -iZY         1— ö  1— 5'"^  2.3.4 

Porro  fit: 

l^k'^k^  f2K^         1     ,   ^    (     r/       ,  _2V     ,  _3V_  ,     4Y      ,  j 

— 15 — V-T-;  =  l5+^^il=?+T=?"+T=?'+lL=?'^")' 
I.  22 


170 


EVOLUTIO  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 


sive  cum  sit   15  =  2.2  — 1  : 


3^6 


6^q 


3^4 


—  16 


2^g 


3/y6 


B^q 


K^) 


16 


iit  residuum : 

uncle  etiam,  mutato  q  in  — q: 


(8.) 


r^T=  1+ 


3^,2 


v-^y 


16' 


2^q 


S^q' 


S^q^ 


3^8 


4^2 


De  hac  formula  detrahatur  sequens  §.  41.  (3.) : 

2^Y  ifif  _3 2^q'  S'q^  4.^q'' 

33^3  43^ 


1—2* 
43^4 


+ 


+ 


l-\-q   ^  1—q^    '    l-f-2^    '     1— g* 


Quae  difficiliores  indagatu  erant  formulae.     Quas  si  iis  iungis ,  qiias  supra  inve- 

^             .              ,             .-,.-,,•                 2K      2JcK   .  .  .. 

nimus ,  lam  quatuor  primas  dignitates  ipsorum   ? 111  senes  satis  con- 

cinnas  evolutas  habes. 


FORMULAE  GENERALES  PRO  FUNCTIONIBUS 


sm  am 


2Kx 


sm  am 


2Kx 


JE  SERIES  EVOLVENDIS  SECUNDUM  SINUS  VEL  COSINUS 
MULTIPLORUM  IPSnjS  a^  PROGREDIENTES. 


43. 


Inventis  evolutionibus  functioniim 


sinam 


2Kx 


sin' am 


2Kx 


2Kx 

sm  am  — — 

TT 


.  „        2Kx 
sm''  am 

TT 


iam  quaestio  se  oifert  de  evolutionibus  altiorum  dignitatum  ipsius 

1 


2Kx 

sm  am  — — ; 


sm  am 


2Kx 


FUNCTiONUM  siii' am^^  sin-"  am  ^  evolütio.  171 

peragendis.  Facilis  quidem  in  trigonometria  analytica  via  constat,  qua,  evo- 
lutione  inventa  ipsomm  sin^,  cos^,  progredi  possis  ad  evolutionem  expressio- 
num  sin"  07,  cos"a7;  nimirum  id  succedit  formiilariim  notarum  ope,  quibus  sin"^, 
cos"^  per  Sinus  vel  cosinus  multiplorum  ipsius  x  lineariter  exhibentur.  At  in 
theoria  functionum  ellipticarum  illud  deficit  subsidium;  ad  aliud  confugiendum 
erit,  quod  in  sequentibus  exponemus. 

Formula .  quae  ex  elementis  patet : 

d  sin"  am  u 

^p =-»^sm'^-^am2fVl— (l+Z;2)sin-am?f  +  Fsin*am?<; 

iterum  differentiata ,  prodit : 

^  ^^  d^' ^  *a»^— l)sin'-2am«*— n2(l+Z;2)sin>'am?f  +  ?i(«-fl)Z;2sin''+2am?^ 

Posito  successive    ^  =  1,  3,  5,  7  . . .,   ..  =  2,  4,  6,  8  . . . ,    hinc  duplex  formetur 
aequationum  series : 


<?^sinam?< 

^^  =  —     (l^-^^)sinam^t+   2Z;2sin3amM 


d^sin^amw 

^p —     6smamM—  9(l+P)sin3amM  + 12Fsin5am?* 

(?^sin^amw 
Ti? =  ^Osin^am«  — 25(l  +  F)sin5amw  +  30Ä;2sin7am?^ 

^^sin'^am«  .   . 

^^ =  42sin='amw  — 49(l+Z;^)sin^ame<  +  56Z;2siD^am«* 

etc.  etc. 

II. 

-^,  =2  _  4(14-A-2)sin2amM+   Q¥Bm*B.mu 

d^  sin^  am  u 

d^^ =  12sin2amw  — 16(l+Ä;2)8in^amw-f20Z;2sin«am?* 

^p  =  308in^amz*— 36(l+Z;2)sin6am?<  +  42Z;»sin8amw 

^^sin*am?t 

~      W  =  ^ßsin^amw— 64(l+Ä;2)sin«am2(  +  72/.-2sin^0amw 

etc.  etc. 

0  9  ' 


172  EVOLUTIO  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

Ex  aequationibus  I. ,  II.  eruis  successive ,  posito  IIw  =  1  .  2  .  3  . . .  w : 

I.  a. 
n2.Fsin^amM  =  ^-g \-{l-f-fc^)Bmamu 

n4.Z;*sm^amw  =  j^ (- 10(1-4- Z:^) j-^ \-   3  (3  -f  2¥  +  3Ä;*)  smamw 

ne.ÄjSm'amM  =  ^^ h35(l-l-F) ^^^^^ h    7(37  + 38Ä;^-f-37Z;^) ^^^^ 

+  45(5  +  3Z;2_^3^*  +  5Z;6)sinamw 

ns.Fsm^amw  =  ^^^^ ^84(1+P) ^^^^ +  42(47+ 58Z;2+47Z;^) -^^ 

(^^sinamw 


+  4(3229 +  831 5^2 +  3315  ^4  _^3229Ä;6) 


du^ 

+  315(35+ 20/j2  +  18Z;^+20Z;6  +  35F)  sin  am  w 
etc.  etc. 

II.  a. 

n3.Z;2sin^amw  =  ^?^0^+  4(l+Z;2)sin2amw-2 

^5.Ä*sm6am^*  =  ^'^^^^^"^^+20(1+)^^)^^^^^  + 8(8+7)^^+8^^^^^^ 

^7.;^esmBam^.  =  ^!!^^+56(l+Ä^)^^l^^ 

+128(18+15Z;2+15Z;*+18Z;^)sin2amM— 48(24+23^2_j_24yt*) 
etc.  etc. 

Ita  videmus ,  generaliter  poni  posse : 

(2.)  n2w .  ^2»  sin2«+i  am «« 

(^^''sinamw    ,     .m  c?^"-^  gin  am  ?«    ,     ./o>  d2"-*sinam«<     ,  ,     .(«>  . 

(3.)  n(2w— l).P'-2sin2"am?t 

^^^2^1=2  HA,        ^^^2^1=4 +  A.         ^^^^2^1=^       ^H  hA.      smamw+i^,,, 

designantibus    AI"'\  B^^^   functiones   ipsius   k^    integras  rationales    m*^    ordinis, 
excepta  J5,",  quae  est  [n — 2)*\     Porro  e  formula,  unde  profecti  sumus,  generali: 

d2sin"amw  ,         ^  .  0/    ,  7ox  •  .     /     ,  .nto  •     10 
^"2 =  n{n — l)8m»»-2amM  —  n%l+A;'')sin"amw  +  w(^+l)A;'^8m"+'^amw 


iKx         ■  iKx 

FUNCTiONUM  sm^am^;:-,  sm-"ain-^^  evolütio.  173 

patet,  fore: 

(4.)  4'")  =  ^;:!^J  +  (2w-l)2(l+F)4^7l)_(2,^_2)2(2n-l)(2w-3)Ä;24'l-2> 

(5.)  B[-^  =  ^l':\+(2>^-2)2(l+Ä^):B;-^>_(2n-3)^(2n_2)(2.^-4)Z;25lr2'^ 

qiübus  in  formulis,  quoties  m^n,  poni  debet  Ä'n^  =  0,  B\1"^  =  u. 

Mutato  u  in  u-\-iK\  cum  sin  am  m  abeat  in  -—. ,   in  formulis  üro- 

k  sm  am  u  ^ 

positis  loco  sin  am  w  poni  poterit  -y~. ,  unde  proveniunt  sequentes: 

n2        ^    d^          1         ■       ,       p L_ 

sin^amw  du''    sin  am  m     •"     ^  ~i~     ^  sinamz* 

"3         ä'     1     ^,(,+,.^1         _,,. 


sin* am«  c??«'^   sin^amw  \.    i      y  sin^amw 

"^         _     ^'  1  I   lon  I  7,2)   ^^  1  I     3(3  4-2/.-^+3Ä:*) 

sin"  am  M  (?m*    sin  am  et  v  t    y  ^^^2    sin  am  «t  "*"         sin  am  w 


sm'^  am  u 


ac  generaliter : 


sin^amzt  du^  sin^amw  v  "T    ;  ^^2   ginZj^j^^^ 

etc.  etc. , 


(6.)  "^" 


^-"  1  ,      wn    (?2"-2  1  ,      w2^    d^"-*  1  ,  .      w„)  1 


(7.) 


sin2"+i  am  u 

du^"     sin  am  2t  "    du^"~~    sin  am  m  "    tZw-"~*   sinamat    '        1"     «    sin  am« 

n(2«— 1) 


sin-"  am  u 


^^"-^      1      ,  ^(i)j?!:l___i__,  ^(2)_^l__i__  , . ...  ^(--1) L_,  7.27.00 


dw-"-2  sin^am?f    '      "    du^*'-^   sin^amn  "    dii^"~^  sin^am?«  '      "       sin^amw 


44. 
Quum  inventum  sit   antecedentibus ,    siquidem   ponitur    u  = ;    ex- 


pressiones 


2Kx 
8m"am 


2Kx 

sin"  am 


174  EVOLUTIO  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

per  hasce : 

2Zit;         .  „        2Kx                  1  1 

smam ;    sm'^am- ;     —jrp — ,     — — 

TT                           TT              .           2Kx    '  .   „         2Kx 

smam sm^'am 

TT  7t 

earumque  difterentialia,  secunclum  argumentum  u  seu  x  sumpta,  liiieariter  ex- 
primi  posse,  iam  ex  harum  evolutionibus ,  secundum  sinus  vel  cosinus  multiplo- 
rum  ipsius  x  progredientibus ,  illarum  sponte  demanant. 

Ita  nanciscimur : 

I. 

e  formula: 

TT  TT  I        1 g         '  1  —  ^3         ~T-         l_g5         "1  'j 

sequentes : 


sm^'am 


TT 

mix 


+  •  •  • 


_    _    ,  f2hK^  .   ,        2Kx 
2.3.41 jsm^am 

\      TT      /  TT 


=  4  {3(3  +  2ä;2+3ä;*)(^J-        10(1  +  P)(^^J_^  ^  j  _V(i 


sma; 


+  4J3(34-2F  +  3Ä<^)(-^)-3^10(l+P)(^)  +  3^j-A^|^^ 


+  4  {3(3  +  2F  +  3y^^)(J-^J-5MQ(l  +  /.^)(-g^j4-5^j  ^^[^^"/^ 
etc.  etc. 


FUNCTiONüM  siii"am ,  sin  ~"  am evolutio.  M' 


n. 

e  formula: 


f?^^Ygin2am-?^  =  —   ^_?^    2^;^         (2gcos23;       4ggcos4a;       6q^cos6x    .       ) 

sequentes : 

2.s(^Jsi„.an,^ 


'cos  6a; 


2.3.4.5{ sm^am 


=  8(8  +  l,^+Slc^)(^)X^  -  ^)  -  32P(l+yt^)(l^) 
-4{2.8(8+7F  +  8Z;^)(-^)-23.20(lH-Ä;2)(-^)  +  25J-i^ 


2x_ 

2 


-2 

_4J4.8(8  +  7F+8yt^)(^)-43.20(l  +  7.^)(^)  +  4^}^^ 

'cos  6a; 


_4J6.8(8  +  7Ä;2+8Ä;*)(-^J— 63.20(l+P)(-;^J+6'j-^ 


•  2« 


e  formula : 

2K 


etc.  etc. 

III. 


4qsmx    ,    4^^ sin 3a;    ,    4^^^ sin  5a; 


2ira;  sina;    '      1 — q      '       1  —  q^      '       1 — o 

sinam i  i  i 


sequentes 


176  EVOLUTIO    FUNCTIONUM  ELLIPTICAEÜM. 


sin^  am 


^    '        V   TT   /  sinic        dx^   sm 
+  4|(l+P)(^)-lj^ 

+ 


^  sin  ^x 
*  sin  5a? 


^T        2Kx 
sm^  am 


^ h  10(14- P)( j-j-T— \--j-r—^ 

smx  '\  T.  /  dx^  sina;        dx^  sm 

+  4Ja(3  +  2.^  +  3^<-^)-       10(l+.<^)  +  l  j-f-f- 
4|3(3  +  2Ä;2  +  3Ä;*)(-^J-3M0a+^^)(-^)  +  34-^ 
4  J3(3  +  2F  +  3Ä*)(^)*—  52. 10(1+ Z;2)(^i^ J4-  5*  -^ 


+ 

+ 
+ 


r 

^  sin  5a; 


etc.  etc. 

IV. 


e  formula 


(^J 


.  „        2Kx 
sm^am- 


=    2g  /^  2g        2E^  \ 1; (2g^cos2a;        4g^co84a;        6g«cos6a; 

TT     V   TT  t:     y"^    shi^a;  i      1-q^      +       1-2*      "^       1—q^ 


FUNCTiONUM  .siii'am^,  sin"" am ^—^  evolütio.  177 

<•  TZ 


sequentes : 


2.3 


/2^Y 


^V 


sin*  am 


=  4(l  +  7.^)(^J(l^_i|l)_2*3(^J 


4(1+F)(1^J 


(?2  1 


-4|4.4(l+.<^^)-43J4^^ 


6:c 
5^ 


/2^\6 
2.3.4.5(-— j 

~        2Kx 
sm*"  am 


3(8  +  W+,l^){^){^^  -  lf)-S2kV+k'){^^] 


# 


C082:c 


-4|2.8(8  +  7t^+8Ä;')(-^)-2».20(l+i-^)(^^)+2^  -9^ 
_4|4.8(8+7/.-^+8;t<A^)-4^20(l  +  .<l^)  +  4»|« 
-  4  [e .  8(8  +  7i^+  8i')(^^) - 6= .  20(1+  *')(-^J+  6=j  ^^ 


2*^  cos  6x 


etc.  etc, 


23 


178  EVOLUTIO  FUNCTIONUM  ELLIPTICARÜM. 

45. 

Exempla  antecedentibus  proposita  docent,  quomodo  e  formulis  (2.),  (3.), 

2Kx  1 

(6.),  (7.)  §.43.  evolutiones  functionum     sin" am     _     .    ^K~  n^^'^i^i^ntiir. 

sin"  am  — _^ — 

Quantitates   A';"\  B^",'\  a  quibus  illae  pendent,  ope  formularum  (4.),  (5.)  ibidem 
successive  eruere  licet.      At  expressiones  earum  generales  indagandi  quaestio, 
cum  nimis  illae  complicatae  evadant,  qviam  ut  eas  per  inductionem  assequi  li- 
ceat,  paullo  altius  est  repetenda.     Quem  in  finem  sequentia  antemittimus. 
Nota  est  formula  elementaris : 

,     ,     V        .         /          X          2sinam?;  cosamM  AamM 
smam(w  +  ^) — sinamm — v)  =  — , — ,o  .  „ ^^ ; 

qua  integrata  secundum  u ,  prodit : 

(1.)       j^  du  jsmam(M+«)-smam(«-.)|  =  Y^^^Kl-ksmamu.m^^)  ' 

E  theoremate  Tayloriano  fit: 

[dsinsimu           d^smamu     v^    .   d^smamu     v^    .       ) 
sinam(^*  +  ^;)-sinam(^*-^;)  =  2j— ^ v  +  —^, 03  +  ""^^*^ 05+"*!' 

unde: 

/•w,  (  .         ,    ,    .        .         .        x)       ^(  •                ,  d^Bmarau    v^    ,  d^sinamu     v^    .       ) 
I    du{»m3im(u-\-v)  —  sinam(«« — v))==  2  smamw.r-j j-^ j=--| -j--^ 1\E'^ —  ' 

„     .,         .  ,   ^  .,  ,.       ,.     •  •  IV       d^"'smsLmu 

1  acile  enim  constat ,  posito    u  =  i) ,  et  sm  am  u   et  generaiiter  -^-^ eva- 

nescere.     Hinc  aequatio  (l.),  etiam  altera  eins  parte  evoluta,  in  hanc  abit: 

,   ^                         .                 ,    ^'"^sinamw.     v^     ,    d^»insimu      v^     , 
(2.)  smamM..  +  -^^-.^  +  — ^, n5-  +  "- 

=  sin  amw  sin  am  y  -)-  -^  sin^  am  u  sin^  amv-\-  —-  sin^  am  u  sin^  am  ?;  -|-  •  •  • 

PoiTO  aequationibus  notis : 

,     ,     ^   ,     .         ,         ,  2  sin  am  M  cos  am  vA  am  y 

8mamu«  +  z;)4-sinam(M — v)  =  — — , ..  .  o ^-^ '- 

^     '     ^  '  ^         ^  1 — 7>;''sin''amMSin'*am*' 

.     ,     ,        .  .         ,  2sinamv  cosam^<Aam^« 

smam(w  +  v)  —  sinamfu — v)  =  — — ,„  .  ^ ^-r. 

^     '     ^  ^  ^  1 — /ti^sin^am?«  sin'^amü 

in  se  ductis ,  obtinemus : 


iKx         •  iKx 

FUNCTiONUM  Sin"  am  — _^  •  .sin~"am— ;^  evoldtio.  179 

(3.)  sia^am(^<-|-^')  —  sin^am(w— r) 

4  sin  am  u  cos  am  ul  am  u .  sin  am  v  cos  am  v\  a^mv  d  sin^  am  ii .  d  sin^  am  v 


[1— /;^sin2am?(sin^amy]='  \l~¥'^&\n^^mue,\n^aimvYdudv 

Inteoratione  facta  secundum  v ,  provenit : 

/    dv  j  sin^  am  {u  -\-v)  —  sin^  am  {u — v)  {. 
2  sin  am  «t  cos  am  !<A  am  u .  sin^  am  v  sin^  am 4? .  fZ  sin''  am  m 


1 — li^  sin'-^am  u  sin^am  v  (1 — Z;^  sin^  am  u  sin^  amv)  dn 

Qua  deniiu  integrata  secundum  altcrum  elementum  u,  obtincmus: 

(4.)        /    du\    6?üjsin''^am(«+v)  —  sin^am(w — v)\  =  — y2-log(l — /ü^sin^am^^sin^amt'). 

Jq  Jt)  IC 

E  theoremate  Tayloriano  fit: 

sin^  am  {u  +  ^0  —  sm^  am  («< — v) 


.  (^sin^am2<         |^  d^sm^&mu      v^         t^^sin^amw      v^ 


unde : 


,  sin^  am  (w + v)  —  sin^am  (w — v)  \ 


j  ^sin^amw      v'^        d^sm^amu      v^        #sin^am^      v^ 

^  ^i      dii       112"^       ^3         04+      rfw^      '  ne'^" 

I    du  I    dv[  sin^ am {u  -\- v)  —  sin^am  (u—v)  \ 
„(  .  „  v^     ,    d^sin^am««       v'^     ,    rZ^sin^am^t       v'^     .       )      0^7-7(2)   ^'*     1  rrW   ^"^    1 

■TT/o  ^        1                          •      •      rf^"'sin2am«t     ,       , 
siquidem  per  characterem     c/^"'"^   valorem  expressionis    TT^lnr        denotamus, 

quem  obtinet.  posito  w  =  0.    Hinc  aequatio  (4.),  etiam  altera  eins  parte  evoluta, 

in  lianc  abit : 

(5.J  sm2amn.-j^+ -^^, -j^-\- ^-, W+'-'-r     114+^    Tl6+-f 

1  k^  />'* 

=  —  sin'-*  am  ti  sin^  am «;  +  -—  sin*  am  u  sin*  am  t;  +  -^  sin''  am?t  sin"  am  ?;  H 

2  4  o 

23* 


180  EVOLUTIO  FUNCTIONÜM  ELLIPTICARUM. 

His  rite  praeparatis,  ponatur: 

u  =  sinam^<-)-it^sm^am^*-|-i22S^'^^^°^^*4-■^3  sin'am2t-|- •  •  •; 
ac  generaliter : 

w"  =  [smam?«  +  i?i  sin^am«<-|-i?2sin^am?<  + Ji3sin''am«<+ •  •  •]" 

=  sin"  am  u  +  R^'^^  sin"+2  am  u  +  Rf  sin"+*  am  u  +  E^g'^  sin»+6  am  w  ^ ,      . 

porro  e  reversione  seriei: 

u  =  smarm( -\- R^  sin^  am  u-{-R 2  sm^a>mu-\- R^  sin'' am  u-}- ■' • 
oriatur  haec : 

sinam^t  =  ti-\- Sj^u^ -\- S^^i^ -\- S^u'' -\-  •  •  •; 
ac  sit  rursus : 

sin^am?«  =  [uJ^sy-\-S,ti'>-\-Sy  +  -'-J  =  M»  +  Äf^t'"+2+Sf  w^-H  +  ^ff  m«+6_|_... 
lam  ex  aequatione  (2.) : 

,    6?^  sin  am  ?i       v^     ,    «^^sinamw       v^     , 

=  sin  am  n  sin  am  ?;  +  —  sin^  am  ii  sin^am  v-\--—-  sin^  am  u  sin^  am  v  -f-  *  •  • ; 

evolutis  V,  v^,  v^,  etc.  in  series  secundiim  diguitates  ipsiiis  sin  am  i)  progredientes, 
in  utraque  aequationis  parte  coefficientibus  eiusdem  dignitatis  sin^""*"^  am  i;  inter 
se  comparatis,  provenit: 

Ä;2«sin2«+iamw 


(6.) 


2^^4-1 


,(1)  .  .    Jp^3)    ^^sinam?^  (5)     d*sinam?(     ,  ,      d'^^'^^inamu 


"  '        »1—1      MS    Hoi^         '        «—2       riK    z?-)**  I 


Eodem  modo  e  formula  (5.)  provenit: 

,„  .                      Ä;2"-2 sin2»  am  M 
('•)  25 

w2)    sin^am?«        ^.(4)     f?^sin^am«*        w6)    (?*sin2am?^  <Z2«-2gin2aniM 

—    «-1     n2  ^  "-2    n4.rf«2     H ^\-z    m.du''    "^       •"  n2w.dw2«-2 

/    7^(4)  7^(6)  ü(8)  <j(2)  . 

_  )  ^n-2  ,      ^>.-3     o(2)     ,    j[ji^  o(2)     ,  ,  \-1  i  #n 

!   3.4  "^    5.6    '^^  "^    7.8    ^^2  ""  ^  (2^—1)270    ^ 


*)  Fit  enim   e   notatione    proposita:  sin'^amjA  =  u^  ^  S^i^\i* -\- 3*^2  ^  ii^ -{- S^p u^ -{-... ,  unde,  cum  sit 


jjyümj    __ 


tZu« 


— ,  pro  valore  «  =  o:    C/-^"'"^  =  Ulm .  S^^^    . 

w— 1 


9  Z?'/j»  9  TT^'T 

FüNCTiONüM  sin"  am ^^-  sin~"am^^ —  evolutio.  ISl 


E  (6.),  (7.),  mutato  u  in   u-\-iK\  seqnitur: 

1 


(8.) 


(2w+l)sin2"+iam«e 


^" 


sinam2<    '    fl3      tZe«^   sinam«    '     FIS   '  dw*    sinam^t    '        '    Y\{2n-{-l)  '  du^"   sinamu 

1 


(9.) 


2n  sin-"  am  ii 


n2.8in^amw        114     d^e^  sin^am^f  "'     116     du^  sin^amu'  U.2n   du-"--  sin'^ am u 

I    7D(4)  ü(6)  7d(8)  n(2)  A- 

7.2  )        »-2      1      -^»'-3     c(2)     I  x-i     Q&     I  I  '^n-2  / 


sin"  am  u 


3.4'      5.6       ^'7.8       21  I     (2^_i)2n) 

Quae  sunt  formiilae,  quas  quaesivimus,  generales,  quarum  ope  sin"  am  w,    . 

sm  3. 

e  sin  am««,  sin^amw,  — ,  ^ eorumqiie  differentialibus  inveniuntur. 

sin  am?«  '    sin-* am  «t  ^ 

Adnotabo  hac  occasione,  ubi   vice  versa  sin  am  v,  sin^amv,  sin^amv,  etc. 

secundum  dignitates  ipsius  v  evolvis,  e  formulis  (2.),  (5.)  erui: 

.      .  #"8inam«fc 

^     '^  U{2n-\-l)du^" 

Z-2  7.4  ,  1-2h 

=  äS?^  sin  amu-{-—-  Sf^ ,  sin^  am  ^<  +  -—  äJ"^  .,  sin^  am  2«  +  •  — f-  — — — -  sin2"+i  am  m 
n  3     H-i  5      «— j  I    2n-\-l 

^     ^^                     n{2n-\-2)du^"         (2«+l)(2w  +  2) 
=  y/Sf  sin2am2*+-^Ä^*^jSin*amM  +  -^S^l2sin6amMH \--^^^8m^>^+'-a,mu. 

Pauca  adhuc  de  inventione   ipsarum    i?,"  ,  S,',l     adiicienda  sunt.      Posito 
sin  am  M  =  i/ ,  fit  e  definitione  proposita: 

''  =  f\/n       ^vi      /2-^  =  ^  +  J?,2/^  +  i^.2/^  +  iv32/'+..- 
sive : 

V(l— 2/ )(1— ^'y') 
unde : 


182  EYOLÜTIO  FUKCTIOKUM  ELLIPTICARUM. 

77?     _     1-3-5      ,      1-3       1  1  1.3  1.3.5 

^^3   ~     2.4.6    +"2:T     2^+2  2.4^^+2.4.6'' 

_  1.3.5.7      1.3.5    1.2  ,1:1  1.3  1      1.3.5  1.3.5.7 

^^*   ~  2.4.6.8  +  2.4.6'  2       "^  2.4  2.4+2      2.4.6+2.4.6.8 


etc.  etc. 


sive  etiam: 


%R,=  y    .     (l+Z;^) 

5Ü,  =     -^     (1+^^)^-         y     •     //^ 


2.4 

1.3.5 

2.4.6 

1.3.5.7 

2.4.6.8 

1.3.5.7.9 

2.4.6.8.10 

1.3. ..11 

*  2.4.6.8    ^    •      '  2.4.2         v    '      '    '        2.4 


2. 4... 12    ^    '      ^        2.4.6.8.2      ^    '      ^    '  2.4.2.4     ^    '      ^        2.4.6 
etc.  etc, 


sive  etiam: 


3E,  =1-4--   ^" 


4 

1.3.5 

2.4.6 

,4 

1.3.5 

9Ji,  =  1— y -4^:    +y:4--6^   -- 2:4:6"-^^    +2.4.6.8  '^ 
etc.  etc. 

sive  denique : 

dt 

5B,   =/;•  +  !.  2«'' 4--^^.    i'' 

7/ä,  =Z;«  +  1.37«-  +  i^.3«''  +  j^;|--   i'= 

etc.  etc. 


FUNCTiONUM  sii/aiii — -,  sin  "am — -  evolutio.  183 

TT  - 

Ex  his  quatuor  quaiititates  i?^„  exprimendi  modis  modus  sccundus  repraesenta- 
tionem  earum  satis  memorabilem  et  concimiam  suppeditat,  siquidem  introdiici- 
tur  quantitas : 

—  ±L^ 

Ita  exempli  gratia  fit : 

1311.  1.3. ..11     .       1.3.5.7.9    ^  ,    1.3.5.7     ,       1.3.5 

¥  1.2.. .6  1.2.3.4.2"^1.2.2.4  2.4.6' 

qua  expressione  sex  vicibus  secundum  r  integratis .  obtiriemus : 


/    R  dr^               r'^^                     r^^                         /^  r^ 

Jh!^  =  1 . 1 I 1 I  C'r^      Cr''  I  C" 
k^              2.4...12         2.4.6.8.10.2  ^  2.4.6.8.2.4        2.4.6.2.4.6  ^  ^       ' 


13  ' 


designantibus    C,  C",  C"   constantes  arbitrarias.     Quibus  commode  determina- 
tis  prodit: 


le.'^e^*-*^  _  i>-'-^y 


' 


'c^  26.  n6    ' 

unde  vicissim: 

A^^6  —      2Ml6.<?r6    ' 
eodemque  modo  obtinetur  generaliter: 

(12.)  {2M+m„    =        ,.ji„,;,l      ■ 

Conferatur  commentatiuncula  {Cr eile  Journal  II.  p. 223)  inscripta: 

»lieber  eine    besondere  Gattung  algebraischer  Functionen,  die  aus  der 
»Entwicklung  der  Function  (1  —  2xz-\-Zj    ^   entstehn.« 

Inventis  quantitatibus  R,„,  per  algorithmos  notos  pervcnitur  ad  eruendas  quan- 

titates  jR!';  ,  >S!?  eas ,  ut  sit : 


'M   >   ^^  m 


porro  ubi  ponitur: 

y  =  x[l-}-R^x^-i-R.^j)*-{-R^x''-\ ], 

Hat: 

x^^  =  /[i+Äi"V^  +  >s^V+'SS'V'^  +  ---]; 

quae  cum  deünitione  quantitatum   i^l"^,  8^"^   supra  proposita  conveniunt.      Fit 
autem,  posito: 


184  EVOLUTIO  FUNCTIO^•UM  ELLIPTICARÜM. 

e  theorematis  a  CV^  M  a  c  1  a  u  r  i  n  et  L  a  g  r  a  n  g  e  inventis : 


cf(«)  


Wm.dx'" 


2m-\-n         Um.dx'" 
siquidem  transactis  differentiationibus  ponitur   ^  =  0 . 

'  46. 

Formiilamm   (6.),  (7.),   (8.),  (9.),  §.45.  beneficio  nanciscimur   evoliitiones 


generales : 


(1-) 


( ]      sm2"+i  am     _ 

2n-\-l 

?(3)  ,.^.o..    o  7?(5) 


^      ^r-\'^J~'     113      V  TT   y      "^      05       \-J  "'"^0(2/^+1))      l—q 


+^pA^ry "~   03    v^ry    "^   ns    \  t.  )      '■"^  n(2n+i))  i-^/ 


,      iwi)/2^Y'^      ö^i^fl,   /2^\2"-2      5^^/2^Y""*  ,    (-l)»52>^j\/^sin5^ 

+^r-viry  — rr3~v"^y    "^"nr^v^ry         ^  ^(2»^+l)  t:^; 


+ 


27cK\^''  .  „  2^";» 


(2.) 


/  2kK  \ 


sin^"  am 


2n 

(4)  x>(6)  ü(8)  o(2) 


=  TT2"viry    v"^^ — ^y~^  v^y  I'jt^t^-t.'g'^^  +"0"'^^  +  +(2»i-i)2wj 

j-^iin-iV^y  ^"-ay  T.   J  (-i)n-i22»-ij  gcos2a; 

—^j  02  rü  ^         ^         n2w        )    1— r/ 

—  4{ ^77; ff-j !"•*•  + 


112  n4  '  '  112»^  )    \—q^ 

(2K^-^         (4)  /2z;y'-^ 

\~^)  »'-A   TT     y  (_1)»-162"-1  \   g3co86a 


iKx  iKt 

FUNCTiONUM  sm"  am ,  sin-"  am evolütio.  185 

TT  TT  Awi^ 


(3.) 


(" 


2K  \ä"+i 


\ 


{2n  -f- 1 )  siu-"+^  am 


^i:'(^T'    ^,(^'-' 


,  ....  c^=^       1       ,  ,  1  (V"       1 


sinic  113  dx^    sina;    '  '     11(2)^+1)      dx^"    sinrr 


(—2 


+^r"  Iv^; 03 —  +---+iT(2^M^! 


ry  sm  a; 


^^^-(irT" 


"^N  «VTry  n3         +■"+  ri(2>i+i)  inri:^ 


+^!^!KW 


5^A'L(^J"~' 


+ 


(4.) 


03  ^  '     n(2M  +  l)  j     1— r^= 

+  .  .  .  . 


/2gY» 


o       •  9  2Za; 

2m  .  sm'^"  am 


1     (2)  f2Kf-^f2K      2E'\     .,f2Kfi  1      (4)     ,     1    W6)    o(2),     1    ws)    o(2),        ,  1         cP)  ( 

.  ^»-A"^;     ,  ^"-^v^      (f     1    .      ,1     tf'--     1 


I-...+ 


112. sin'' o;  114  dx'^    sin^x  ll2n     dx^"--    sin^a: 

*  i  no  TIA  1 


n2  114  '  '  n2n  )     1—q 


—  4,1 ^  "   ^ ^  "    ^        -1 L 

*  )  rio  II  ^  1^         ~ 


\»i— 1  -2>i— 1 


(_l)"-4-"-'  I   q^coB4.x 


112  114  '  '  U2n  )      l—(f 


61^-. (^r  ^^e.(^r 


-4 rv~^ rrr^—    +  " '  • + 


(_!)"-' 6-"-'  I   g«co86a; 


ri2  114  '  '  n2n  )      1—2" 

24 


186  EVOLUTIO  FU^X'T10NUM   ELLIPTICARUM. 

E  formiilis  (ö.),  (7.),  (8.),  (9.)  §.45.  aliae  deduci  possimt,  qiiae  respectu 
fimctionum  cos  am  w,  tangamw,  Aam?*  easdem.  partes  agunt,  quas  illae  respectu 
functionis  sin  am  u.     Etenim  e  formula  : 

sina,m[kti,  —  )  =  coscosimu, 
unde  etiam: 

8m2LJniJc'{K — ii),    -Tj-)  =  cos  am  W; 

videmus,  in  formulis  propositis,  ubi  ponitur  -jr  loco  k  et  k'K — ii)  loco  u, 
abire  sin  am  w  in  cos  am  w,  unde  inveniuntur  similes  formulae,  quae  ipsi  cos  am  w 
respondent.     Porro  ex  aequatione : 

sin  am  m  =  <  tang  am  (««;  ä;') 

patet,  simul  mutari  posse  w  in  m,  k  in  k',  sinam?*  in  ^tangamM;  unde  formu- 
las  pro  tangamw  eruimus,     Exhisdeinde,  quia 

cotang  am  (^t -j- iÄ"')  =  — iAamW; 

formulas  pro  Aam«*  eruere  licet,  quae  formulis  (6.),  (7.),  (8.),  (9.)  §.45.  respon- 
dent.    Quibus  inventis ,  methodo  plane  simili  ex  evolutionibus  functionum : 


2Kx 
cos  am ; 

7C 

2        2Kx 
COS'' am ; 

TT 

2Kx 

Aam — - — , 

,„       2Kx 
A^am 

TT 

1 

1 

1 

1 

2Kx   ' 
cos  am 

„        2Kx    ' 
cos^am 

2Kx   ' 
Aam 

.2        2Kx    ' 

a  nobis  propositis,  evolutiones  generales  deducis  functionum: 


2Kx        ,          2Kx 
cos"  am ;     A"  am 


Quae  sufficiat  addigitasse. 

Transformationes  insignes  serierum,  in  quas  functiones  ellipticas  evolvi- 
mus,  nanciscimur,  posito  ix  loco  x  et  adhibitis  formulis,  quas  de  reductione 
argumenti  imaginarii  ad  argumentum  reale  in  primis  fundamentis  dedimus.  Quae 
Yero  cum  in  promptu  sint,  hoc  loco  diutius  bis  nolumus  immorari. 


INTEGRALimi  ELLIPTICORUM  SECÜNDA  SPECIES  IN  SERIEM  EVOLMTÜR.  187 

INTEGRALIUM  ELLIPTICORUM  SECL^^DA  SPECIES  IN  SERIES 

EVOLVITUR. 

47. 
Integrata  formula  supra  exhibita  >^.  41.  ^1.): 

/2kK\' .  ,       2Kx  2K  2K       2K  2E'         (2g  cos  2a;    ,  Vco8  4^    ,    GqHosex    ,       ) 

inde  a  cT  =  0   usque  ad  ^'  =  o?,  ])rovenit: 

/  2JcK  Y  /••"  .  .,        2Kx  _, 
[ — - — )  /    sin- am dx 

\    .   u       /  J  Q  TT 

—  i^  ^_^    2.E'  I     _  Aq^2x    ,     g^siD4a;    ,    (/^sinGa;        (/sinSa:  ) 

2Ä^      /  2Kx  \ 
Designemiis  in  sequentibus  per  characteröm   ^^^{-—^ — )  expressionem  : 

,^  -              2K  ^f2Kx\          2Kx  ( 2K       2E^\       f  2hK^  f"  .  .,        2Kx  ^ 
(1.)  -^^Z[—^ — J  =  -— _ — (— __j_f  __^j  I    sm-am— -_ — dx 

i  q8m2x    .    q^sinAx        q^sinGx        q^ainSx  ) 

2Kx 

E  er.  Legendre  notatione  erit,  posito   — ~ —  =  ii,   'f  =  amw; 

(2.,  ^«  =    ^'^i9)-E'Fi^  . 

Functionen!  Z'^w)  loco  ipsius  JS(cp)  in  analysin  functionum  ellipticarum 
introducere  convenit;  quam  ceterum  ope  lormulae  (2.)  ad  terminos  CT.  Lej^en- 
dre  usitatos  revocare  in  promptu  est.  Adumbremus  paucis.  quomodo  ex  ipsa 
evolutione  functionis  Z,  quam  formula  ^1.)  suppeditat,  comi)lures  oius  ])roprie- 
tates,  etsi  notas,  derivare  liceat. 

Mutetur  in  (1.)  o?  in  o?-}--^,  prodit: 


2Kry(2Kx        ^\  i  gsm2:r        (^'&\Xi^x        g^ sin 6a;  \ 


unde: 


2K  „(  2Kx\       2K^(2Kx    ,    „\  iq^VQ,2x    ,    g^sinGa;        g^sinlOa:    ,         \ 


24 


# 


188  EVOLUTIO  FÜNCTIONUM  ELLIPTICARUM, 

Porro  mutetur  in  ,1.)  x  in  Ix,  q  in  q\  simulque  k  in  k^^\  K  in  K^-\  prodit: 


unde 


2K  „(  lKx\       2X^'^      /4X%    ,,\  _     (  gsin2a?    ,    g^  sin  6a;        g^sinlOa? 

At  supra  invenimus : 

2Ä;J?'    .  2Zir  ,  (  v/^'sina;    ,    V^g-^sinSa;    ,     slq'imhx    . 

sinam =  4]-^^- :; 3 5 \- -  • 

TT  -  (     1 — q  1 — q^  1 — (^ 

unde,  mutato  q  in  q',  x  in  2a^: 

— — -smam(^-^^;Ä(2)J  =  4  j  ^-^  + -^-^  + -^-^^ 
Hinc  sequitur : 
(3. 

(5.)  ^2(l^)  +  ^2(H^  +  ^)_i|!.^(i^,;i«)  =  0. 

In  quibus  Ibrmulis,  quaruni  (4.),  (5.)  transformationem  fnnctionis  Z  secundi  or- 
dinis  suppeditant ,  est : 

Iß)  ^  ± — ^^ ,  x^^  =  —~-  '  K,  sin  am  ( ■,  ¥^^ )  =  (1-f-^  )  smam sincoam , 

l-j-A;  2  V      t:  /  -  7t 

uti  de  transformatione  secundi  ordinis.    a  C'P.  Legendre  proposita,    constat. 

2Kx 
Unde  formulam  (3.)  ita  quoque  repraesentare  licet,  posito  u  =  —^ — : 

(6.)  Ziii)  —  Z{it-\-K)  =  Ä;''' sin  am  ^t  sin  coam  ?( . 

/  2mK^"'^  X  \ 

Ponamus  brevitatis  causa:    am( ,  A-^"'M  =  cp^'"^,  e  forniula  (4.),   po- 

sito  successive  k^^\  k^'^\  k^^\  ...  loco  k;  Ix,  \x,  %x ,  ...  loco  x,  prodit: 
quam  dedit  GL  Legendre  formulam. 


INTEGRALlüM  FLLIPTICORUM  SECUNDA  SPECIES  IN  SERIEN  EVOL^^TUR.  189 

Simili  modo  e  formula  !^M  J  : 

quam  etiam  hiinc  in  modiim  evolvere  licet : 

■2K   2K       2K   2E'    _     i      q  2q'      .      Sq^      ,      V      , 


-       -  -        TT  I  1—q^    '     1—5*  ^  l—q^  ^  1—38  "^ 

comparata  cum  hac.   quam  supra  invenimus : 

V      TT       y  '^    l_f/   +    1  —  ,/   -1-    l_2lO   +    l_,^U    +  j' 

prodit : 

(8.)  2K{K—  E')  =  (kKf  -H  2(Jc^^^K^'y  +  4:{h^^^K^y  +  8(yt^'^^<'y  +  •  •  • ; 

quae  cum  ea  couvenit,  quam  Cl.  Gauss  dedit  in  commentatione  Determinatio 
Ättractionis  etc.  §.  17. 

48. 
Eadem  methodo,  qua  .^.41,  eruimus  evolutionem  expressionis  f )  sin^am-— -; 

inquiramus  in  expressionem   I Z  (  — - —  j  [   in  seriem  evolvendam.     Ponamus : 

f2K^^/2Kx\^f2Kx\         ,^((/sin2x    ,    q^mi4:X    ,    q^ün^x    .         j^ 

=     8  M  +  -4'cos  2x  -\-  J."cos  4ä;  +  J."'cos  6:r  -j-  ■  •  •  |  ^ 

quam      expressionem      propositam     induere      videmus     formam.       dum     loco 
2  sin  -2mx  sin  Imx  ubique  ponitur    cos  Im  —  m)x  —  (;os  2  m-^-m  x.     Fit  primum  : 


A  = 


g^  g*  5*^  ,  5* 


{l—q^y  ^  (1— r/)2  ^  (1— r/)2  ^     (1  — '?')'     "^ 
Deinde  generalitcr  obtinemus  A^"^  =  2^^"^ — C^"\  siquidem  ])onitur: 

ßoo rj:! , r;!:! ,  r"^  , 

cM  ^  r , r \ , g" 

In  singulis  harum  expressionum  terminis  substituatur  respective : 


190  EVOLUTIO  FüNCTIONUM  ELLIPTlCARUM. 


(1— 2'«)(1— g^"+"0  l—q-"   i  1—q'"         l—q^'>+n 


q"       i     g'"  q 


2)1-1, 


(1— 2"')(1 — g2»j-»»-)  1 — q2>i   i  i—q>'>    '     1 — q2"- 

prodit : 


■f  Ih 


l  —  ^S«     (    1_^2      1       1_^4      I       l_qi 

(fi  i        ^2h+2  o2w-|-4  «2m+6 


l  —  ^S"     I    l_22«+2      I      l  —  cf"-^      '      1  — 22«+6      I 


l_g2>,    (  x  —  q^  ^  1—3*  ^  \—q^  ^        ^  1— gä" 

~    i_g2»   -r  j_^2«  j  i_g2  -1-  i_^  -t-  i_g6  -r      -r  i_22«-2  p 
unde: 

^         _    ^X.  O         —  ^_^2,,      -t-   ^]^_^2.)2     —  i_^2h   -t-     (l_g2.)2 

His  collectis,  invenitur  evolutio  quaesita: 

(  g(14-g''')cos2ic        g^(14-g^)cos4a;        (/^(l+g^jcosGa;  | 

■^    i        (1— g2)^         I  (1— g*)2  '  (1— g6)2  '         }■ 

Ipsum    ^  =   .,       „,„  +  -^  ^   .,„  +  ,,  ^   -.-H-  +  •  • .   cum  etiam  hunc  in  mo- 
(1 — q^y        (1 — g*)^     '    (1 — (f)^    ' 

dum  evolvere  liceat: 


_f__      _2g^         32«       ,       4g^ 


invenimus  e  ^.42.  (6.): 

(2.)  8^  =  l-Ü-i !i ^ 


Porro  autem  constat  esse : 


INTEGRALIA  ELLIPTICA  TERTIAE  SPEClEI  191 

integrata  enim  aequatioue    l.)  a  o?  =  0   usque  ad  x  =^-^,   termini  omnes   prae- 
ter  primum  evanescunt;  uiide,  si  CT.  I.eü;endrt'  notationibus  uti  placet: 

(3.)  J^  -^^  d's g , 

quae  est  iiitegralis  deüniti  satis  abstrusi  determinatio. 


INTEGRALIA  ELLIPTICA  TERTIAE  SPECIEI  INDEFINITA  AD  CASUM 
REVOCANTUR  DEFINITmL  IN  QUO  AIMPLITUDO  PARAMETRUM 

AEQUAT. 

49. 

Antequam.  ad  tertiam  speciem  integralium  ellipticonim  in  seriom  evolven- 
dam  accedamus,  paiicis,  quae  theoriae  illornm  adiicere  coiitigit,  seorsim  expo- 
nemus,  idque  fere  ipsis  signis  claro  eius  autori  usitatis.  Mox  idem  novis  adhi- 
bitis  denominationibus  proponetur. 

Proficiscimur  a  theorematibus  quibusdam  notis  de  specie  secunda  integra- 
lium  ellipticorum.     Fit: 

,     ,     .    ,     .  /  s  2  sin  am  u  cos  am  a  \  am  a 

sin  am  (m  +  a)  +  sm  am  (w  —  a)  =  — — ,„  .  „ ^^ 

^     '     "^  '  ^         ^  1  —  /j^  am'' am  a  sin"^  am  et 

,     ,     .        .         ,  .  2  sin  am  a  cos  am  u  1  am  it 

sinamm  +  a)  —  sin  am  (w  —  «)  =    - — , ..  .  „ ;— s > 

^     >     ^  ^  ^  1 — ^'^sin'^ama  sm'^amet 

unde : 

.        .   ,       /  V  4  sin  am  «  cos  am  a  A  am  a  sin  am  ii  cos  am  u  A  am  ?< 

sin^amu«4-a)  —  sin^amu«  —  a)  =  pr; — ,.  •  2 '~i n-' ' 

^     '     ^  ^  ^  [1 — A;''8in''am«  sin'^ametj- 

qua  integrata  formula  secundum  u ,  prodit : 

2  sin  am  a  cos  am  a  A  am  a  sin^  am  u 


du .  [sin^  am  {u  +  a)  —  sin^  am  {u  —  «)] 
0 


1 —  k^  sin'^  am  a  sin^  am  n 


uti  iam  supra  mvenimus. 

Ponatur:    am?«  =  9,  am«  =  a,    am  u-]-a)  =  a,    dm  u  —  a)  =  i),    erit  e 
notatione  C\\  Legendre: 


•/ 0 


192  EVOLUTIO  FUNCTIONUM  ELLIPTICAUUM. 

imde  etiam,  cum  sit  i^(a)  — F(a)  =  F[^f),  F{\i)-\-F[a   =  Ffe  : 

du  siu^  am  (u-\-ci)  =  F{'s)  —  E{i)^E{rj) 

0 

¥  /    du  sin2  am  {u  —a)  =  F(^^)  —E()\)  —  E{a) . 
Hinc  aequatio  (l.)  in  hanc  abit: 
(2'.)  2E(o:)-lE{o)-Em^    2fc2sinacosaAasin2.. 


1 — /^-^  sin^  a  sin^  9 

Commutatis  inter  se  u  et  a,   abit  a  in  cp,    i>  in  — 1>,    a  immutatum  ma- 
net,  linde  ex   (2.)  prodit: 

^^      1-    V  /   1       V  /-i  ]^ — A- sin^  a  sm- 9 

qua  addita  aequationi  (2 .) ,  provenit : 

(3.)  E('z>)-\-E{a)  —  E{i)  =  Ä;2sinasincpsin3, 

qiiod  est  tlieorema  de  additione  fiinctionis  E,  a  Cl°.  Legendre  prolatum.  1.  c. 
cap.  IX.  pag.  43.  c'. 

Integralia  formae : 

sin^  a  d'z> 


f 

«/  0 


0    [1 — h-  sin2  7.  sin-  '^]  ^(9) 
secundum  eam,  quam  Cl.  Legendre  instituit,  integralium  ellipticorum  distri- 
butionem   in   species,  speciem  tertiam    constituunt.       Quantitatem     — Ä:^sin^a, 
quam  per   n  designat,  parametrum  vocat;  nos  in  sequentibiis  ipsum  angulum 
a  parametrum  dicemus.     (Quorum  integralium,  multiplicata  aequatione  (2.)  per 

d'^     _  _di__  __     (?l> 

ac  integratione  instituta  a  cp  =  0  usque  ad  cp  =  cp ,  quo  facto  ipsius  a  limites 
erunt :  a  =  a ,  a  =  a .  ipsius  ^  limites :  i>  =  —  a ,  {>  =  {>,  expressionem  erui- 
mus  sequentem : 

p  2/j2  sin  7.  cos  alrj.  sjn^  '^  d^s    _  C^  E{i)dz        f^  E{\S)d\) 

Jo    [l-Ä;2sin^7sin29]Ä(9)     "  '^^^'^^^W     J^     ^^^^     +J_^    ^^^^^     • 

Facile  constat.  cum  sit  E{ — cp)  :=  — -E(cp;,  esse: 


INTEGKALIA  ELLIPTICA  TERTIAE  SPECIEI.  193 

unde ,  cum  sit : 

j_„    A(y)  Jo      '^(?)       Vo      ^(?)  Jo      ^(?)        ^0      A(c?)'' 

nacti  sumus  novum  ac  memorabile 

T  h  e  o  r  e  m  a    I, 
Determinentur  anguli  ^,  o  zYa,  ut  sit: 


ent : 


r  '  Tc'^  sin  a  cos  a.  Aa  sin^»  dr: 

J  (,    [1 — Ä:^sin='asin^c5lA(( 


[1 — Ä:^sin='asin^c5]A(cp) 

«Ya  ut  tertia  species  integralium  ellipticorum ,  quae  ab  elementis  trihus  pendet ,  modulo 
k,  amplitudine  cp,  parametro  a.  revocata  sit  ad  speciem  primam  et  secundam  et 
transcendentem  novam  : 

quae  tantum  a  duobus  elementis  pendent  otnnes. 

50. 
Fonamus  F{a^)  =  2jP(a),  quoties  cp  =  a.  fit  0  =  0^,  d  =  0 ,  quo  igitur 
casu  e  theoremate  proposito  nanciscimur : 

Quae  docet  formula ,  in  locum  transcendcntis  novae  substitui  posse  et  haue : 

sin-9  d'^ 


f 


Q    [1 — ]i-sm^'y.sm^'z>']A{o) 
quod  est  integrale  tertiae  speciei  deßnitiim,  in  quo  amplitudo  parametrum  ae- 
quat,  quod  igitur  et  ipsum  tantum  a  duobus  elementis  pendet,  a  modulo  k  et 
quantitate  illa ,  quae  simul  et  parameter  est  et  amplitudo. 


")  r» 


194  EVOLÜTIO  FÜNCilONUM  ELLIPTICARUM . 

Ponamus     2i^([x)  =  F(cp)  +  F;a)  =  F[a),     2F(B)  =  F{^f)  —  F{aj  =  F(d), 
erit  ex  (1 .) : 

1     /*  "^  E((d)  d'^   _  ^      ^ ,  . C  ^  ¥■  sin  jx  cos  pi  Ajx  sin^cp  d^ 

T7o"Äöp"r  "^^^^''-^     ^0    [l-Ä;2siiiVsm2cp]A(cp) 

1     C    jE'(<p)(^cp   77'r^  7?m       /"   ^^sino  coso  Aosin^cpf^cp 

YJo""^)~  ~  ^^^''^^^  ^~io  [1— Ä;^sin2osin2(p]A(9)   ' 

quibus  in  theoremate,  in  §°  antecedente  proposito,    substitutis  formulis,  obti- 
nemus  sequens 

T  h  e  o  r  e  m  a   II. 
Determinentw  anguli  [Jt,  h  ita,  ut  sit: 


,  79  •  *       C^  sin^cp^cp 

4-A;2sin[xcos[j.A;x.  /  19  •  <>     •  \  ^\f  \ 

'  '  Jo  [1 — Ä^siii2}xsm2cp]A(cp) 

79  .    ^       ^  A-     /*  sin^cpc^cp 

^0  [1 — Ä^  sin'^o  sin^cp]  A(cp) 

qua  formula  integralia  tertiae  speciei  indeßnita  revocantur  ad  definita,  in  quibus  am- 
plitudo  parametrum  aequat ,  ideoque ,  quae  ab  elementis  iribus  pendebant,  ad  alias 
transcendentes ,  quae  tantum  duobus  constant. 

Commutatis  inter  se  a  et  cp,  abit  i^  in  — x),  0  immutatum  manet,  unde, 
cum  insuper  sit : 

r  'Eh)d^^  _  f  'E{'^)d^ 

J_^>     A('^)  J+^     A(<p) 

e  theoremate  I : 


obtinemus : 


y'^ÄJ^sinacosaAasin^cp^  1_   C  E{'jf)d<D 

0  ~\I—iM^^:^^^{^  ~      ^'^^     ^""^       2  J,^     A(9) 

/ÄJ^sin  cp  cos  'f  Acp  sin^a  da.    -pi  \F(  A L  C  -^(?)  ^? 
0    [1-A'2sin2,^sin2,,.]^(^^)-  -  ^  W^W       2  7,^     A(<p) 


INTEGRALIA  ELLIPTICA  TERTIAE  SPECIEI  IN  SERIEM  EVOLVUNTUR.  195 

Hinc,  siibductione  facta,  prodit: 

^0    [1 — Ä;-sin-7.  sin-;f]A(cp)       J^    [1 — /j-sin-cpsin-a]  A(c()  v./     v  y  <.  v'     vyy; 

quae  docet  formula ,   integrale  fertiae  speciei  semper  revocari  passe  ad  aliud,  in  quo, 
qui  erat  Parameter ,  ßt  amplitudo,  quae  erat  ampUtudo ,  ßt  parameter. 

Ubi  in  formula    2.    ponitur    -^  =  -^.   obtinemiis  : 

^    ^  J  Q    [1  — Ä;2sin2asm-9]A(9)  '  ^  ^  ^ 

Formulae  (2.),  (3.)  cum  iis  conveniunt,  quae  a  Cl°.  Legendre  exhibitae  sunt 
cap.  XXIII.  pag.  141.  [n],  (p). 


INTEGRALIA  ELLIPTICA  TERTIAE  SPECIEI  IN  SERIEM 
EVOLVUNTUR.     QUOMODO  ILLA  PER  TRANSCENDENTEM  NOVAM  Q 

C0M3I0DE  EXPRBIUNTUR. 

51. 
E  formula: 

sin^  am {x  -\-A)  —  sin-  sim  —  —  {x  — A) 

,   .          2KA              2KA   ,         2KA    .          2Kx              2Kx   ,        2Kx 
4  sm  am cos  am A  am sin  am cos  am A  am 


.      ,2  .  ,        2KA    .  ,        2Kx  ]■' 
1 — K^  sm^  am sin-  am 


quae  ex  elementis  constat,  eruimus  integrando: 

(1.)  ~r~  I    f^a;  Isin^am (x-\-A)  —  sin^am {x  —  A)\ 

2KA               2KA    ,         2KA     .  ,        2Kx 
2  sin  am cos  am A  am sin-  am 


^      ,,  .  ,        2KA    .  2        2Kx 
1 — K-  Sin-  am sin^  am 


lam  dedimus  §.41.  formulam : 

25* 


196  EVOLUTIO   FDNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

nhK^  .  „        2Kx  2K  2K       2K  2E'        ,(2^008  2^'   ,  irßcosAx    .   6^=*  cos  6a; 

unde : 

{  — — -  )   sin^  am  —^  [x  -\-A)  —  sin^  am  —^  [x  — A) 
.  2^cos2(a? — Ä)        4g'2cos4(a; — A)         69^cos6(a; — A) 

2^  cos  2(a;  +  J.)        452cos4(a;+J.)         6(^3  cos  6(^+^) 


2g  sin  2^  sin  2a;        4$^  gin  4  JL  sin  4j;        6g^  sin  ^A  sin  6a; 


Hinc  fit  ex  (l .) : 


(2.) 


2KA              2KA  ,         2KA    .  ,        2Za; 
„  _^      2a;-  sin  am cos  am 1  am sin-^  am 

2K  TT  -  TT  TC 

"^^                            ^      ,,   .  2        2"S~T^        2^ 
1 — A;^  sin^  am sin^  am 


gsin2(a; — A)         cfsiwi^x — A)        g^sin6(.r — A) 
gsin2(a;-{-^)    ,     g- sin  4(a; +-4)    ,    g^sin6(a;+J.) 


„    2sm2J.cos2a;    ,    g^  g^  4^  ^Qg  4^;^        g^  gjjj  g j^  cog  g^ 

=  const  — 8  -^ — ; 5 ^^?- — ; \-  ^ ^ \--  • 

(  1— g2  '  1— g*  ^  1— g6  ' 

ubi  ita  determinari  debet  constans,  ut  expressio  proposita  pro   ,2?  =  0    evanescat, 
unde  e  §.47.  (l.): 

„(gsin27l    ,    g2sin4^    ,    g^sinö^    ,         )         „     2^  ^/ 2Z'^  \ 

Formula  (2.)  a  ^  =  0  usque  ad  o?  =  -^  integrata,  cum  prodeat  -^-const.,  reli- 

2KA                 2K'x 
quis  evanescentibus  terminis,  posito   — - —  =  a,  =  u,    eruimus  integrale 


definitum 


/. 


h-  sin  am  a  cos  am  a  A  am  a  sin"^  am  u  du 


"1 — 7  V.  •  9 i^ =  J^-ZUi), 

1 — k^  sin^  am  a  sm^  am  u  ^  ^ 

quod  idem  est  atque  (3.)  §.50. 


INTEGRALIA  ELLIPTICA  TERTIAE   SPECIEI  IN  SERIEM  EVOLVUNTUR.  197 

Designabimus  in  sequentibus  per  characterem    n[u,  a,  h)    seil  brevius  per 
n'\U,  a)  *)  integrale  : 

JlU^  (j\  ^    ( " ^^ ^^° ^°" ^  ^Q^ ^"^ ^^  ^™ «  sin^ am u  du    _    /"'"^  F sin a  cos a  Aasin-«  rf'j> 
Jo  1— /;2gin2aniasin2amw  ~  Jo    [1— ^^sin^a  8in2cp]Ä(9)  ' 

siquidem    '.p  =  am?<,  a  =  ama.       Quibiis  positis,  aequatione  (2.)  rursiis  inte- 
grata  a  o?  =  0   iisqiie  ad  x  =^  x ,  prodit: 

(3.)  /7(i^,  ^^) 

—    2^3?  ^/  2Z'J-  \         (  gcos2(a;— ^)        g2cos4(a:  — ^)    ,    g3cos6(a;— ^)  | 

t:  V     z     y  \  l-r/  +         2(l-f/)        "^  3(1-2«)         +•■•} 

gcos2(.r4-.4)        g-cos4(a;+./l)         </^  cos  6(a;  4-^)    , 
-T"  i_g2  i-        2(1  — g^)        +        3(1— r/)        "^ 

=    2^a;      /'2KA\         (  gsin2J.sin2.r        (/^sin4^sin4x    ,    ^^ sin 6 J. sin 6jg  ) 

^     V  ^  y      1      1-g-      "•"     2(i-f/)     "^      3(i^^p)     +■■■!' 

qiiae  est  integralis  elliptici  tertiae  speciei  evolutio  quaesita. 
Ubi  adnotatur  evolutio  nota : 

— log(l— 25cos2a;+30  =  2jfycos2a;  +  ^^-^ ^^3 ^^4 1 ' 

videmus  formulam  (3.) ,  singulis  evoliitis  denominatoribus    1  —  (f,  1  —  q^^  1  —  n^ 
etc. ,  hanc  indiiere  formam : 

(4.)  n{^,  ^) 

~  ~~^r     \^r)^  2    ^^1  (1— 22COs2(a;+^)4-22)(i_253cos2(a;+^)  +  ö«)...   !' 

52. 
Integrata  formula  (l.)  §.  47  : 

2K  y(  1Kx\  \  gsin2ic        (f-^xn^x        (^^va.%x  \ 


2" 


•"j  CP.  Legendre  pauUo  alia  est  denotatio;  ponit  enim  ille  n{n,'^)  =    /     r—r — .  g   -.  >,  ,  ,  ita  ut, 


quod  nobis  est  n{u,a),  illi  sit; 


i^(cp)  -\ ; n{—  k^  sin*  a,  <p) . 


sin  a  8in  a 

Quod  Signum  77  ne  cum  signo  multiplicatorio  FI,  saepius  a  nobis  adhibito,  commutetur,  vix  moneri  debet. 


198  EVOLUTIO  FÜNCTIONÜM  ELLIPTICARÜM. 

a  .37  =  0  usque  ad  oc  =^  x ,  prodit: 


-/  4-^)"-  =  -2jV:J^  +  |TZ^,77+3(l=?r  +  ■■i  +  <'°■'^'• 


=  log[(l— 22COs2a;  +  52)(-i_2^3(.os2a;  +  5«)(l— 235cos2x'  +  g^o)-  •  -J  +  const, 
ubi  constans,  ita  determinata ,  ut  integrale  pro  x  =■■  0   evanescat,  fit: 

ideoque : 

2K  f"    (2Kx\       _,      j (1— 2g cos 2x^cf){l—2q^ cos 2a:+g'^)(l— 2^^ cos 2a;+g^°)- •  •  j 

Designabimus  in  posterum  per  characterem   0[v)  expressionem : 

/     Z{u)du 
e{u)  =  0(O)e    ° 

designante    0(0)    constantem,  quam  adhuc   indeterminatam   relinquimus ,  dum 
commodam  eins  determinationem  infra  obtinebimus;   erit  ex  (1.): 

\    T.    J    _    (1— 2gcos2x  +  g^)(l— 2g^cos2a;H-g^)(l— 2g^cos2a;4-g^°)  •  •  - 
^^•^  0(ör"~  [(l-'Z)(l-g'Xl-f/)---]' 

unde  formula  (4.)  §.51.  in  hanc  abit: 

rrf2Kx     2KA\  2Kx   ^f2KA\   ,    1  .       ^l^-^C^— ^)j 

.^      2Kx  2KA 

sive,  rursus  posito  — - —  =  u,  — - —  :=  a: 

siquidem  ponitur:    —j^  =  ö'(w).      Quae  est  commoda  expressio  integralis  el- 
liptici  n  per  transcendentem  novam  0. 

Facile  constat,  esse  &[ — u)  =^  ^{u),   unde,  commutatis  inter  se  a  et  w    e 
(3.)  prodit: 


INTEGRALIA  ELLIPTICA  TERTIAE    SPECIEI   IX  SERIEM  EVOLVÜNTÜR.  199 

TTt       \  'y,-  X   I    1   ,       Sin  —  a) 

//(«,«)=  aZ(„)  +  y  log  ^^, 

quibus  a  (3.)  snbdiictis,  fit: 

(4.)  niu,a)  —  n{a,u)  =  uZ{a)  —  aZ{u), 

quae  eadem  est  atque  formula  [2.^  §.  50.     Hinc  posito   IIJK,a^  =Wa),   eva- 
nescente  n(a,  K) ,  Z{K) ,  fit : 

n\a)  =  KZ{a), 

quae  est  CT.  Legendre,  quam  supra  exhibuimus  (3.)  ^.50.,  formula. 
Posito  u  =  a,  e  (3.   fit: 

(5.)  n{«,a)  =  «Z(«)+|log  ^  =  aZ(a)-|log^  . 

Videmus  igitur ,  transcendentem  novam  sive  per  integrale     /  — \J\'''     definiri 
posse  ope  formulae : 

sive  per  integrale  definitum  tertiae  speciei  ope  formulae : 

,„  V  0{2a)     2aZ(a)  —  277(a,  a) 

E  formula  (5.)  nanciscimur: 

unde  (3.)  in  hanc  abit  formulam: 

(8.)  n{u,a)  =  uZ{a)  +  -^-Z(^—^-) 2~^V~2~y 

quae  est  pro  reductione  integralis  tertiae  speciei  indefinit!  ad  definita,  atque  cum 
Theoremate  II.  ^.50.  convenit. 


200  EVOLUTIO  FUNCTIONUM  ELLIPTICARÜM. 

C  o  r  o  1 1  a  r  i  u  m. 

Uti  iam  supra  ex  evolutionibiis  inventis  algorithmos  ad  computum  idoneos 
deduximus,  minus  ut  nova  proferantur,  quam  quo  melius  earum  perspiciatur 
natura :  idem  rursus  agamus  de  inventa  evolutione  functionis : 


V     t:      /  J  0  F^A(w\ 


0(0) 

_    (1— 2gcos2a;  +  g^)(l — 2q^cos2x-\-q%l—2cfcos2x-\-q^^)... 
-  [(i_2Xi_f/xi-f/)...? 

Quem  in  finem  antemittamus  sequentia. 
Ponatur  productum  infinitum : 

Vi+gyvi+gVvi+5*yVi+g8y' •••' 

siquidem  iteratis  vicibus  substituitur : 

1-2^  =  (l-ö)(l+2),  l-ö^  =  (l-Ö^Xl+'Z^),  ^-t  =  (l-(Z")(l+2'):  •••. 
prodit : 

unde  yidemus ,  fore : 

(1.)  T  =   (l-g)(l_g)^(l_g)^(l_g)i(l_5)TV  .  .  .   =   (l_g)2 

Sive  etiam ,  cum  sit : 

T  -  (^-'^\  /l-f/^Yl-g^NJ/l-r/^ 

Vi+^yvi+r/yVi+^vvi+^v  * 

fit   r  =  {\  —  q)\jT,  unde   r=  (1  —  ^)'. 


INTEGRALIA  ELLirXICA  TEllTIAE  SPECIEl  IN  SERIEM  EVOLVUNTÜR.  201 

Itaque  fit 

qua  in  formula  loco  q  successive  ponamus  q,  q^,  q^,  q\  .  .  .  et  instituamus  infi- 
nitam  multiplicationem.     Advocata  formula  supra  exhibita : 

^  =  Ciqi^)vr+|^v(r+fO(i+l^) '"' 

prodit  : 

(l-2)(l-r/)(l-./)(l-r/) .  . .  =  [kilk^^^rrimj^. .., 

siquidem  designamus,  ut  supra.  per  A-^'^'  quantitatem,  quae  eodem  modo  a  q"  pen- 
det  atque  k'  a  q,  sive  complementum  moduli  per  transformationem  primam  r'* 
ordinis  eruti. 

Porro  invenimus  §.36: 

{(l-2)(l-2^Xl-r)(l-2^)  '■■]'=    ^; 
unde  iam: 

—T.K' 

(3.)  q  =  e    ^      =.^iu^yf^mfikwf.,, 

rosito  m^=\,n=^k;  — ^—  =  m,  \mn  =  n;  — ^ —  =r  m  ,  ^mii  =  n  ;  etc., 

notum  est  fieri  k^'^'  ==■  ^,  k^*^'  =  ^,  k^^^'  =  ^,  etc.,  unde: 

m  m  m 

Hinc  etiam  fluit,  designante  |jl  =  — ^  limitem  communem,  ad  quem  quantita- 

tes  m''^\  n'-^^  convergunt : 

,^  .      ^,  1    \.  16  wm       ,3,       m',    3  ,       w"    ,    3  ,       m'"  \ 

quae  formulae  computum  expeditissimum  suppeditant.     Docet  (5.),  quomodo  ex 
eadem  quantitatum  seric,  quam  ad  inveniendum  valorem  functionis  K  calcula- 
tam  habere  debes,  ipsius  etiam  K'  valor  confestim  proveniat. 
I.  26 


202  EVOLUTIO  FUNCTIONUM  ELLIPTICAEUM. 

Formiilam  (3.)  transformemus.     Fit,  ut  iiotum  est: 

_    i_A;i2)  _     2\IW  Mc_  _      4^(^) 

Hiiic  obtinemus ,  siquidem  iteratis  vicibus  simul  loco  k  substituimus   k^^^   atque 
radicem  quadraticam  extrahimus : 


16//    ("    s    —  ^  16¥^y) 

16Ä;(2)'j    <'^'      '     "~  (  16Ä;W') 
16 /t^-^)')    '        ^  ■)  16  k^^y] 


unde,  posito  r  =  2^: 


^iM=>f  ii<'.-r!7.<«.-i'...iio>'r  =  j|^^ 


—  TTÄ'' 

Hinc   videmus  e  formula  (3.),    q  =  e  limitem  fore  expressionis        ^^    1% 

crescente  p  seu  r  in  infinitum,  qiiod  est  theorema  a  Cl°.  Legendre  inventum. 
Nee  non  vel  ipso  intuitu  formulae  a  nobis  exhibitae : 

7.  _ ,,/?( (i+g^)(i+g^)(i+g^)(i+g^)  •  • » r 

patet ,  neglectis  quantitatibus  ordinis  q\  fore : 


^=   V-16-' 
quod  cum  dicto  tlieoremate  convenit. 
lam  in  formula  nostra : 

_  (i-gp(i-g^)Mi-gM^ 

^    '^-  |i+gi  ji+öM  M+'zM  " 

loco  q  substituamus  successivc  duplicem  quantitatum  seriem : 

qe^"-,       g^c^«;      g^e^'S      q''e^'^,  . . . 
ge-2«*^    g3ß-2«^    g^e-^«;     gV2«^ . ,  ^ 

et  infinitam  instituamus  multiplicationem.     Advocetur  formula  §^  36 


INTEGRALIA  ELLIPTICA  TERTIAE  SPECIEI  IX  SERIEAI  EVOLVUNTUR.  203 

^  (1— 2(ir  cos  2^:  +  (/=^)(l  — 2^^008  2;z;4-(/6)(i_225  cos  2^4- gio)...' 

ac  designemus  per  A^*"^  expressionem 

A  am  ("Er^!^^  j^iA  =  i/^'  (l+2>^'cos2>u+r/')(l+2f/'cos2/u'+f/')(l+2r/'-co8  2ra;+r/0')... 
^      r.      '      /  "     (1  — 22'cos2>-x--l-2^')(l— 23'^'cüs2ra;+2«')(l— 225'cos2r^+2i0')...  ' 

provenit : 

l ^    (1— 2</cos2a;4-r/)(l— 2g3cos2a:  +  g6)(-i_2f/5cos2.r+//^")... 

^i^(2)^^(4)s^(8)TV  _  [(1— 2)(1— (Z'Xl— 2')---? 

Factorem  constantem,  quem  adiecimus , px  snnrji  in- 

.       .  [(i-g)(i-r/xi-5'j...?'  ^      ^ 

ventis  sive  eo  determmavimus ,  qiiod  iitraque  expressio,  posito   x  =  0,   unitati 

aequalis  evadat.     lam  vero  invenimus : 


Ö(Oj  [(l-?)(l-{Z')(l-2^)...]' 

unde : 


Hinc,  posito =  u,  amw  =  9,  et  advocatis  formulis,  quas  Cl.  Le- 
ge n  d  r  e  de  transformatione  secundi  ordinis  proposuit,  nanciscimur  sequens,  quod 
computum.  expeditum  functionis  0  suppeditat, 

T  li  e  o  r  c  m  a. 

Ponatur  am?*  =  ?,  w  =  1,  n  =  Icy  A^cp)  =  '^7mnco'i^'^-\-nnH\\V'^  =  A 
et  calculetur  series  quantitatum : 

m-X-n             ,,          m'-\-n'              ,„          m"-\-n" 
m  =  — ^— ,       m=  2 '        "^    =  2 '      '"' 

n'  =    SJDin,  n"  =    \lnin  ,  n"  =    \m"n" ,  .  .  ., 


^  =  —^—'    ^   =  2K' '    ^    = W' 


j  *  •  • ; 


erit: 

2C* 


204  EVOLÜTIO  FUNCTIONDM  ELLIPTICARUM. 

S(u)  _    Jo         F^^{'^)  '  _  \^]^  \'I^\^  j_*iL'r  (!^1''^ 

0(0)"  ~  ^  '  ~"   Ui      (AM   'lA"}     (A'"i 

Cuius  theorematis  absque  evoliitionum  consideratione  per  formulas  notas 
ac  finitas  demonstrandi  negotio ,  cum  in  promptu  sit ,  siipersedemus. 


DE  ADDITIONE  ARGUMENTORUM  ET  PARAMETRI  ET  AMPLITUDINIS 
IN  TERTIA  SPECIE  INTEGRALIÜM  ELLIPTICORUM. 

53. 
Eormulam  in  analysi  functionis  0   fundamentalem,  et  cuius  nobis  in  se- 
quentibus  frequentissimus  usus  erit,  nanciscimur  consideratione  sequente.     Et- 
enim  quia  positum  est : 

.      -  r"  Z;^sinamrtCOsama  Aamrt  sin^am^<^^< 

n(U,a)      =       / ,  ..       .       g 7-7, ; 

fit: 

dn{u,a)  Z;^sinamacosama  A  ama  sin^amw 


du  1 — /j^sin^amasin^araw 

Qua  formula  secundum  a  integrata  ab  a  =  0  usque  ad  a  =  a,  prodit 

(1.)  /    da- — ^  '       = —  log(l — /^^sin^amasin^amw). 

Fit  autem  e  (3.)  §.  52: 

/«,  N  dn(u,a)  ry/  N  ,    1    0'("  — «)        1    0'{u-\-a) 


du  ^  ^  '    2    Q{ii  —  a)        2    0(w-fa) 

unde : 


/. 


/^^-  =  ^^sf^~Y^oseiu-a)-^\ose{u  +  a)  +  \oseiu), 


quibus  substitutis,  dum  a  logarithmis  ad  numeros  transis,  e  (1.)  obtines; 
(3.)    0(M  +  a)0(w— a)  =   i  ^^{f/"'^  i\l— /g^siD^amasin^amM). 

Formulam  (2.)  ita  repraesentare  possumus: 

Z^^sinamacosam« Aamasin^amw  ^.  ,    ,    1   ^,  ,       1    „,     ,     . 

=  Z(a)  +  --Z(M~a)  — —  Z(m  +  «); 


1 — Z;^  sin^  am  a  sin'^  am  w  ^  ^  '    2      ^  ^       2 


DE  ADDITIONE  INTEGRALIUM  ELLIPTICORUM  TERTIAE  SPECIEI.  205 

unde,  commutatis  a  et  u: 

Ä;^smamMCosam^f  Aamwsin^ama  „,  .       1   ,7,  x       '^  r,,     ,     . 

1 — Ä-sin-^amasm^am?*  2      '  2      ^     '     ^-^ 

quibiis  additis  formulis  prodit: 

(4.)  Z{ii)-\-Z{a)  —  Z{ii-\-a)  =  Z;-sinam2<smama8inain(M-}-a), 

qiiae  est  pro  additione  functionis  Z   atque  convenit  cum  formula  (3.)  ,^\  49  : 

E{(s)~\-  E{a)  —  £'(a)  =  /r  sin  9  sin  a  sin  a. 

TT"!  TT»!  jpi  77H 

Posito  a  =  K,  cum  facile  constet  esse  Z'K)  = =  0,  prodit  e  ,'4.) : 

(5.)  Z{u) — Z{ii-\-K)  =  Ä^sinamwsincoamM, 

quam  §.47.  ex  evolutione  ipsius  Z  derivavimus.     Posito  — u  loco  u,  K — u  =  v, 
e  formula  (5.)  obtinemus: 

(6.)  Z{ii)-\-Z{v)  =  Z;^sinam?tsinamt?. 

Posito  u  =  v  =  ~,   fit:   2Z(^)  =  1  — /t'*). 

Formulam  (5.)  inde  a    u  =  0    usque  ad    u  =  u    integremus.       Cum  sit 
J    Z[u)du  =  log-|^,  prodit: 

,    e(u)     ,    0{u+K)         ,    , 

sive : 

Posito  u  =  — K,  eruimus  e  (7.)  valorem  ipsius: 

GiK)  _     1 


unde  (7.)  formam  induit: 

0(u-\-K)  Aamw 


(9.) 


ö(w)  \JV 


K  /     1  K  I    k' 

*)  Est  enim  sin  am—  =  1/ —,    cos  am —  =  i/ — — rr  , 

'  2  V   \-\-k'  2  V   \-\-k' 


.  K         .iTj     ,  K  1 

a  am  -  -  =  V  Ä' ,  lg  am  —  =  —-=. 
2  '    '^        2  v^A' 


206  EVOLUTIO  FUNCTIONUM  ELLIPTICAIiUM. 

Formulam  (9.)  ex  invcnta  evolutione: 

V    TT    y  {l—2qcos2x-\-q^)i\—2q^cos2x-\-q^){l—2q^(i082x-\-q^°).. 


0(0)  [(l_,^)(l_r/Xl-2')...P 

facile  confirmamus.     Fit  enim,  miitato  x  in  a:-\--^: 

^\   -K    ^     )    __    (1+  2gcos 2x  +  g^)(14- 2g3 cos  2x  +  q^){\  +  2g^cos 2x -\- g'») 
0(Ö)  ~  [(l-gXl-g^Xl-r/) . .  .]^  "' 

linde  : 


(l+2gcos2a;H-g^)(l+2g^  cos2:c  +  g^)(l  +  2r?^cos2.2;4-g^°) 
_/2Z'ä;\         ~    (1—  2g  cos  2x  +  (f){\ — 2f£'  cos  2x  -j-  g*')(l  —  2(2^ cos  2x  +  g^") 

27fa; 
Aam 


l.  y 


quam  ipsam  expressionem  invenimiis  §.3  5.  =: — ^^ — ;  uti  debet. 

E  formiüa  (9.)    expressiones     ni^-{-K,a),   IIiu,a-{-K)     statim  ad   ipsum 
n{u,  a)  revocamus.     Fit  enim : 

(10.)     n{u+E,a)  =  («  +  g)Z(«)  +  |log|[;'  +  ^-|- 

=  («  +  g)g(a)  +  4-log#^-^  +  i-log^'"°<»7'',> 

(11.)    /7(?oa+70  =  «Z(a+ir)+ylog-||^^^^-^ 

^,  .      ,„  .  .  1  ,      0{u—a)    .    1  ,      Aam(i<— a) 

=  wZ(a) — k^  sm  am  a  sin  coam  a .  m  +  — -  log  -p^^ — , — -  +  -—  log  -r — j — r 

^  '  2         0(w+a)        2     °Aam(M-|-a) 

,0  •  •  .    1  1       Aam(?(  —  a) 

=  /7(?f ,  a) — /r  sm  am  a  sm  coam  a .?«  +  -—  log  -r -, — ; — --  • 

2  Aam(w-f-«) 

54. 
E  formula  fiindamentali ,  ciiius  ope  functio   //  per  functiones  Z,   Q   de- 
ünitur : 

(L)  /2(»,a)  =  «2(«)  +  -log^^^, 


DE  ADDITIONE  INTEGRALIOI  ELLIPTICORUM  TERTIAE  SPECIEI.  207 

advocatis  sequentibus  et  ipsis  in  analysi  functionum  Z,  9  fimdamentalibiis : 
(II.)   Z(u)-\-  Z{a) — Z{u-{-a)  =  /t^sinamasinam?*  sinam(«-|-a) 

(III.)  0(?,  +  a)0(«-a)  =  j-^(^^j\i_A-2sin2amasm2amM), 

iam  facile   formiilas  obtiiies  et  pro  exprimendo    n{u-\-v,a)  per  I7[u,a),  /Tfv,a) 
qiiod  vocabimus  de  additione  argumenÜ  ampUtudinis ,  et  pro  exprimendo  n{u,a-\-b) 
per   ITu,  a),  Uu,  h) ,   quod  vocabimus  de  additione  argumenti  parametri  thcorema. 
Quem  in  finem  adnotainus  sequentia. 
E  formulis : 

nin,a)^  „z(«)+|,„g^|gz;^ 

rrr         \  \  /         1         N  '7/     ^      ,        1     1  Q(U-\-V a) 

sequitur : 

/i  ^     rr/      \  \   TTf      \       TT(     \        \          1  1      ö("  —  a)0(v — a)0(u-\-v-\-d) 
(1.)    n(t(,a)4-n(i\a)  —  n(u4-v,a)  =  -:r'hs::~ — ; — ^-^ —-^ — ' ! — -- 

Expressionem  sub  signo  logarithmico  contentam: 

Q(u  —  a)e(v  —  a)e{u-\-v-}-a) 
0{u^a)0{v-{-a)  0{u-{-v  —  a) 

ope  theorematis  fundamentalis  (III.)  duplici  ratione  ad  functiones  ellipticas  re- 
vocare  licet.     Fit  enim  ex  eo  primum : 


/      /M  +  VX       /2*  +  f  \x^ 

e(et+^  +  a)0(a)=  j ^^^r i\l—l'sm'am\^^Jsm^am\^-^-]-a)j, 


208  EVOLUTIO  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

qiianim.  formulanim  prima  et  quarta  in  se  ductis  ac  per  secundam  et  tertiam  di- 

visis,  provenit: 

G(u  —  a)  Q{v  —  a)e{u-]-v^a) 
(^•■^  Qiu-^a)&{v-^a)Q{u-\-v  —  a) 

\  79     .     9  CU  —  V\     .     2  fU-^V  \\\.  72     •     ü  /^"  +  ^A     •     2  fU-\-V     .         W 

l—k^sm^am  ( -^— )  sin^am  (  — ^ aj  j  j  l—h^sm'am  y—^J  sm^am  1^— i— +  «J  j 

l—lc^ sin^ am f^*^-^}  sin^ am  (  — J—  +  ^ )  j    1—^^ sin^ am  (^^7— J sin'-* am  (—~  —  »J 

Sic  etiam,  qiiae  est  altera  ratio,  ubi  theorema  fundamentale  (III.)  liimc  in 
modum  repraesentas : 

(e{xC)e{v)'^  _      e{u-^v)Q{u—v) 

\      0(0)      i  1 — Z;^8in'''amwsin^amv 

lit: 

0(m— a)0(^  — g)  )^_  Q{ii  —  v)(=>{u-^v  —  2a) 

0(0)  )  1 — W' %\vl^  2.m.(u — a)sin^am(^;  —  a) 

0(^4-a)0(2)  +  a)  f  ^  Q{u—v)Q{u-\-v^2.a)     

0(0)  I  1 — Ä;''*sin^am(i*-|-«)siii=^am(y-|-ß) 

e{a)e{ii-Yv—a)f 0(m  +  ?;)0(m  +  ^  — 2a)    

0(0)  i  1 — Z;^sin^ama  sin^am(«(-|-^  —  «) 

j  0(a)0(^4-2;  +  a)  j^^  0(^t  +  ^)  0(^  +  ^  +  2a) 

I  0(0)  i  1 — Z;"^siii2amasin^am(z«  +  «^  +  a)     ' 

quariim  formulanim  rursus  prima  et  quarta  in  se  ductis  ac  per  secundam  et  ter- 
tiam divisis,  extractisque  radicibus  provenit: 

0(«  — a)  0(v  — a)  0(tt  +  v  +  a) 


(3.) 


v/- 


0(«i  +  a)  0(v  +  a)  0(«  4- V— a) 


[1  —  Z;^  sin^  am  (w  -j-  a)  sin^  am  {v  -\-  a)]  [1 — W-im^  am  a  sin^  am  (w  -f-  ?^ — a)] 
[1 — /o^sin^am  (w  —  a)  sin- am  (v  —  «)][! — Z;^sin^amasin^  am  (m  -{-i;  -|-  a)] 

Ut  ex  ipsis  elementis  cognoscatur,  quomodo  expressiones  (2.),  (3.)  altera 
in  alteram  transformari  possint,  adnoto  sequentia. 
Ubi  in  formula ,  iam  saepius  adhibita : 


sin"  am«  —  sin-^am?' 


sin  am  (w  + 1')  sin  am  (i*  —  v)  =  - — , .,  .  ., 

1 — /i;''sm''am?ism''amt; 

loco  u,  V  resp.  ponis  u-\-v,  u  —  v,  prodit: 

sin^  am  (^* -j- v)  —  sin^amf?^  —  v) 
8inam2MSinam2y  = 


1 — W  sin^  am  (m  -}-  «^)  sin^  am  (w  —  v) 


DE  ADDITIONE  INTEGKALIUM  ELLIPTICOEUM  TERTIAE  SPKCIEI.  209 

PoiTO  dedimus  formulam : 

^'  9       /     ,     \        •  1       r         \         4  sin  am  ?(  COS  am  2t  A  am  ?fc  sin  am  ?;  COS  am  w  A  am  V 
sm*am(«-}-r)  —  sin^amf«  —  v^  =  p ,.,  .  .,        , 

[1 — /.;''8ln'*am^«sln-am^']''* 
linde,  multiplicatione  facta,  obtinemiis: 

f.K   .      72-2       (     ^    \  '   1      /         N         4sinam?<  cosam?«  Aamwsinamr  cosam?;  Aamv 

(4.)   1— A;^sin2am(«t+i')sin'^am(i(— ^•)  =  — -■ 1. — = ^-f i-r^—. ■ -— 

sin  am  2«  sin  am  2t' [1  — /;- siD -am  ?t  sin^am  v]2 

^    [1—A-^sin^am  ?<][!— A:^sin*  am  t']^) 
[1 — A-'-'sin'^amft  sin^amr]^  ' 

cuius  formulae  beneficio  formulae  (2.),  (3.^  iam  facilo  altera  in  alteram  abennt. 
E  formiila  (4.)  adhiie  deduci  potest  haec  generalior: 

.  .  [1 — Ä-'-^sin^amMsin^am?;]  [1 — /^^sin"''am«' sin^amw'j 

[1 — Äj'^'sin^ am«  sin^am ?<'][! — /:- sin^amvsin^amv'] 

« /[l — li^^\Vi^2.m{u-\-i^)%\v?2im{ii — et')][l — /.•"•^sin-am(^-)-z;')  sin-am(i;  —  v'^'\ 

~  V  [1— /.-^sin^am \%i  +  v)  sin-  am («  —  r)] [1— Z;^ sin^'am («'+  v) sin^am (^t'—  v')]  ' 

At  Cl.  Legendre  eo  loco,  quo  de  additione  argiimenti  amplitiidinis  a^at, 
(cap.  XVI.  Comimraison  des  fonctions  elliptiqiies  de  la  troisieme  espece)  eam,  quae 
siib  signo  logarithmico  invenitur,  qiiantitatem  siib  forma  exhibet  hac: 

1 —  Tx!^  sin  am  a  sin  am  u  sin  am  v  sin  am  {ti,-\-v — a) 
l-f-/<^^sinama  sin  am  26  sin  am  y  sin  am  (?t -{- ^  +  ci) 

quae  non  primo  intuitu  patet.  qiiomodo  cum  expressionibus  a  nobis  inventis  sive 

(2.)  sive  (3.)  conveniat.     Transformatio  satis  abstrusa  hunc  in  modum  peragitiir. 

E   formula   elementari,    cuius   frequentissimam   iam   fecimus   applicatio- 

nem,  fit: 

•  2       /'«<  +  «'^       -2      fu — v\ 
sm-^amf  — ^ — ) — sm^am(  j 


sinamwsinamu  = 


sin  am  o  sin  am  {u-\-v  —  «) 


1 — /u  sm^aml  — ^ — Isin-amI  — ^ — j 
sin-^aml  — ^^ — )  —  sin-^amf — ^ a) 


1 — /rsin-aml — ^ —  Ism-^aml  — ^ a) 

quibus  in  se  ductis  aequationibus ,  ])rodit : 


,     .,  .  .2  sin  am  u  cos  am  n  \  am  i 

')    Nota   enim  est  formula:     8inam2?<  =  , .,   .    . 

'  1  —  /t^  sin*  am« 


27 


210  EVOLUTIO  FUNCTIONUM  ELLIPTICAEÜM. 

jl— Fsin2am(^^^^jsin2ani(^— 2— j     1— /^'sm^^m(^— ^jsm^aml^-^ «j, 

X  1 1 — /j-  sin  am  a  sin  am  «  sin  am  u  sin  am  {u-]-v  —  a)\ 
=  jl--Ä^sin^am  (^1^) sin^am  (^i^)  j  jl-/t^sin^am  (^4^^ 

■,^  •  2       ^^*  +  ^^       •  2       /«  — ^'^|(  .  2       fu  +  v\        .  2       A«  +  v        \) 
—  l^  sin^am  (  — ^  )  — sin' am  i  — ^  )     sm^am  i  — ,,— J  —  sin^am  (  — ^ aj   • 

Altera  aequationis  pars  evoluta,  tenninis 

,.,  .  9      fn-\-v\\  .  „       ftt  —  v\   ,    .  2       /«  +  «        's) 
— Z;'sin2am(  — |— )  sin^amf  — —  l  +  sin^am^^— ^ aj) 

+  k- sin« am  (^-l)  jsin« am  ('-^=2)  +  sin^am  (ü±^  -  a)  j 

se  mutuo  destruentibus ,  fit: 

.  ,  7.  .  ,       Af  +  ^A  •  9      f^u — '^\  '  2      /«+v        \ 
1-f  Z^;  sin'^am  (  — jj— 1  sin-^am  (  )  sm^am  (  — ^ a  ) 

72-4       A<  +  ^^      72-2       /^" — ^^   •  2       /w+!;        \ 
—  Ä^sin^aml  — ^ — )  — 7;^  sin' am  (  Isin^amt— ^ a) 

i.     79  •  d      /^w  +  ^^H-.     72  •  2      fii'—v\  .  2       At  +  t;        AJ 
=  {l—k^8m^a,m{—~ — )j  jl — Ä^sm^aml  — - — Isin^^aml  — ^ a  )}; 

unde  tandem  prodit : 

1— Ä^ einsam (*^4--)sin^am(— —-)  , 

(6.)   7 — 1 — r { 1 — «' sm am a  smam u sm  amt;  sm am (tt-]-v — a) ) 

1— Ä:2sin^am(^— — -j 


1      72-2       fu  —  v\   .  2      At  +  v       \ 
1 — /j'sin'aml — - — 1  sin^'aml  — ^ a  ) 

1 — /j-sm'aml  — ;^ — Isin'aml — ^ a  ) 

Hiiic,  mutato  a  in  — a,  cruimus: 

i   72-2    A*+'^^  •  2    A* — ^■^ 

1 — /r  sm'  am  I  — ^ —  )  sm'  am  (  — - —  ) 


1 — U^  sin'  am  (  — — )  sin-  am  I  — ^^ \-a) 


l-\-li^  sin  am  a  sin  am  u  sin  am  v  sin  am  {u-\-v-{-  a)  > 


,      72-2       /^«4-^A  -2       A^  +  ^   ,     A  ' 
1 — /t'sin^am(  — ^ — Ism'aml — ^ \-aj 


DE  ADDITIONE  INTEGRALIUM  ELLIPTICORUM  TERTIAE  SPECIEI.  211 

unde,  divisione  facta: 

,    .  1 — /.'■'' sin  am  a  sin  am  ?6  sin  am  r  sinam(?f-f-^ — et) 

1+^^  sin  am  a  sin  am  n  sin  am  v  sin  am  (w  -j- «;  -(--  a) 

l-JHin^am('L7^)sm^ara('-l±"-a)     l-/r'sm^am(?^)sin»am  Ciii'  +  a) 
~    l-it»sm^am  ("-^ysb^am  (^'  +  «)  '  l-i^sin^am  (tt-")  sin^am  (!i±i'  _  a)' 

quae  est  transformatio  quaesita  expressionis  a  Cl°.  Legendre  propositae  in  cx- 
pressionem  (2.). 

Formulam  (6.),  posito  u,  a,  v  loco    ^^~^  ;       2^'    ^^"^^  — a,  ita  quoque 
repraesentare  licet  : 

(8.)  1 — ¥  sin  am  (a  +  ")  sin  am  («  —  21)  sin  am  (a  +  v)  sin  am  (a  —  v) 

[1 — Jc^  sin*  am  a]  [1  —  h^  sin^  am  «  sin^am  v] 

[1 — /^^sin^am«  sin^amH][l — /j^sin^ama  sin^amv]  ' 

unde  formula  (4.)  ut  casns  specialis  Unit,  posito   u  =  v. 

55. 

E  formulis  §^  antecedentis  (1.),  (2.),  (3.),  (7.)  sequitur: 


jl — ÄJ'^sin'^aml  — — Ism^aml -^ «  )   ^l — /j^sm^aml  — '— jsm^aml  — ^ — [-a  )[• 


il-7.^sin^am ('i=^) sm=am ('i±"  +  a) j  j l-il- Warn ('1^) sin^am fl^-a) I 
1  .      [1 — 7c^mn^sim(ti-\-ä)sm^?im(v-\-a)'][l — 7i;^sin-amasin^am(2«-|-t; — aj] 


4     °  [1  —  Ä;^ sin-  am  {u — a)  sin-  am {v  —  a)] [1 — Jc'^  sin^  am  a  sin^  am  {2i-\-v-{-  a)] 

1  .       1 — Z;^  sin  am  a  sin  am  w  sin  am  v  sin  am  (?« 4"^  —  ös) 

2         l-|-/t^sinamrt  sinam?«sinamv  sinam(«t  +  v-|-«)  ' 

quod  est  theorema  de  additione  argumcnti  amplittidi7iis.  Prorsus  eadem  metliodo 
investigari  potest  alterum  de  additione  ar^iimenti  para7netri ,  at  ope  thcorematis 
de   reductione  parametri   ad   amplitudinem,  quod  nobis    suppeditavit   formula 

(4.)  §.52: 

(IV.)  Il{u,a)  —  n{a,u)  =  uZ(a)  —  aZ{ii), 

e  formula  (1.)  idem  sponte  fluit.     Etenim  e  (IV.)  fit: 

27* 


O  1  o 


EVOLUTIO  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

n{a,u)      — n{i(,a)       =  aZ{ii)  ~nZ{a) 

n{h,u)      —n(n,h)       =  bZ(u)  —uZ{h) 

n(a-}-h,ii)~n{u,a-\-h)  =  {a-\-l)Z{u)—nZ{a-\-h), 


unde 


n  {u,  a)-\-n  {n,  h)  —  n{n,  a-\-h) 
=  n{a,  u)  4- n{h,  u)  —  IJ{a -\-h,u)-\- u [Z{a)  +  Z{h)  —  Z{a  -\- 5)], 

sive  cum  sit  ex  (1.)  : 

„.       N   ,    „/7     N       ^w     ,  7.     N  1  1       1 — /.-sinamn  sinama  sinam&sinam(a4-& — ik) 

nia,n)-\-n(h,tt)  —  n(a-4-b,t()  =  -— log  ^  ,   ,,  . -. -. =— ^ -j — [— — , 

'^  2      ^  1 -}- k^  sm  a.m  u  Hm  am  asm  am  hsm  am  {a-\-b-\-u) 

poiTO  e  (IL): 

Z{a)  -\-  Z{h)  —  Z(a  -\-  h)  =  Ji-  sin  am  a  sin  am  h  sin  am  {a-\-h), 

fit: 

(2.)  n{u,a)  +  n{n,'b)  —  niu,a^h) 

,9.  .         ,.         /,7x       ,1,      1 — /j^sinam«  sinama  sinam?>sinam(a+& — ii) 

=  k^ sm am a sm am b  sin am(a+6) .uA-—- 102: ,,,-,. ; ; ^-^ ) — \-^r~, — ^ > 

2        1-j-/';  sinam«sinamasinamosinam(a-|-o-j-w) 

quod  est  theorema  quacsitum  de  additione  argumenti  parametri. 

Alias  eruimus  formulas  satis  memorabiles  consideratione  sequente.      Fit 
enim  e  theoremate  (III.) : 

Q{u—a)Q{v  —  b)f  _    e{u-{-v  —  a  —  b)Q{u—v  —  a-\-b) 
0(0)  )  1 — Ä-sin-am(^t — a)sin^am(v  —  b) 

{e{u-\-a)e{v-\-b)  f  _    eiu-^v^a-{-b)e{u  —  v-\-a  —  b) 
1  ö(0)  i  1 — Z;2sin-am(M-f-a)siu-am(r-j-&) 

lam  e  theoremate  (I.)  erit: 

/TN  A7/  N   ,     ^/TN  ,    1  ,       G(u — a)G(v  —  b) 

n(u,a)  +  n(v,l)  =  nZ(,a)  +  vZ(l)  +  -\os  q|„^„;q[„^,J 

n{u-\-v,a-\-b)-\-  n{u  —  v,a  —  b) 

unde: 

(3.)  n{ii  +  V;  a  -f  ?>)  4-  n{%i  —  v,a  —  b)  —  2n{n,  a)  —  211  {v,  b) 

,    ,    ^ryf    s  -1^  X  i        \  rrf       7,     o    -7/  ^     o   v/7  \  I    ^  I      ^ — Ä;2sin%m(?< — a)sin2am(r — 6) 
^  ^  ^  '    2     ^1 — A;-sin-am(w+«)sin2am(v+Z;) 


sive  cum  sit 


Z{a)-\-  Z{b)  —  Z{a-\-b)  =       Z.-sinama  6inam6sinam(a-|-&) 
Z{a)  —  Z[b)  —  Z{a  —  b)  =  — Z:- sin  am  a  sin  am  6  sin  am  (a  —  6); 


DE  ADDITIONE  INTEGRALIÜM  ELLIPTICORUM  TERTIAE  SPECIEI,  213 

prodit : 

(4.)  n(u-\-v,  a  -\-  h)-\-n\ii  —  v,  a  —  h]  —  2II{%(,  a)  —  211  (v,b) 

=  —  7:2 sin  am  rt  sin  am  h  [sin  am  (a  -\-h)-iu-\-  v)  —  sin  am  (a — h)-{u—  v)] 

iJlt       1 — Z:^sin-am(?(— a)sin-am(t?  — ?<) 
2     "^  1 — A;2  gii;i2  am  [u  -}-  a)  sin-  am  {v  -\-  h)  ' 

Commutatis  inter  se  u  et  v,  obtinemus : 

(5.)  n[u  -f  i\  a-{-h)  —  n{u  —  v,a—h)  —  2n(v, a)  —  211  (n,  b) 

=  —  Je-  sin  am  a  sin  am  h  [sin  am  (a  + 1)  •  (u  -j-  v)  -f-  sin  am  (a — b)-  {u — vj] 

1         1 — Z;2sin2am(t;  —  a)sin2am(w — h) 
"^  T  ^^  1— Ä;2  sin2  am  {v  +  a)  sin^  am  {u  -f  b)  ' 

Additis  (4.)  et  (5.),  obtinemus: 

(6.)  n{ii -\-v,a-\'b)  —  n(u,  a) — n{u,  b)  —  n (v,  a)  —  n {V,  b) 

=     —  h"  sin  am  a  sin  am  b  sin  am  (a  -\-  b)  •  (?/  -f-  ^") 

1  .      (  1— Z;2sin2am(« — rt)sin2am(2;  —  6)      1 — /;2sin2am(y  —  rt)8in2am(«  —  b)  ) 
4     °i  1 — /;;2  sin^  am  (^( -[- «)  sin^  am  (v  +  ^)      1 — /c^  sin^  am  (v -f- a)  sin^  am  (?t -f  &)  1  " 

Posito  V  =  0,  e  (4.),  (5.)  prodit: 

(7.)  n{u,a-[-  b)  +  n{u,  a—b)  —  2//(«,  a) 

,„  .  .         ,r.         .     ,  TN        •         /       7N-1     ,    1  1      1 — Ä;2sin2am&8in-am(2< — d) 

=  — Ä;''sinamasmam6rsmam(a  +  6)  —  sinamfa — 6)]h4-  —log:; — ,o  •  o 1    •  ■> r — ; — r 

^  ^        ^-'     '    2     ^1 — A;2sm2am6sm^am(?(4-«) 

(8.)  i7(M,  a  +  6)  —  77(«,  rt  —  ?;)  —  277(?/,  b) 

,„  .  .         ,^  .         /     ,  7x  ,     .  ,,-,      ,    1  -      1 — Ä;- sin- am a sin- am (m — b) 

=  —  A;-sin  am  a  sin  am  b  [sin  am  (a  +  o)  +  sin  am  ( a — 6)1 2t  +  —  Ioe: ,.>  .  „ ^o ; — ttt  • 

^  V     I     /  I  V        yj      I    2     o  1 — A;-sin^amasin2am(M-(-ö) 

Posito  6  =  0,  o  (4.),  (5.)   prodit: 

,     ,        .   ,       ,  x^  N  1,      1 — Z;2  8in-am«;siu-ami«  —  a) 

(9.)  n{u^v,a)-\-n{u  —  v,a)  —  2n(ii,a)  =  -^-log- — j^r-r-^ — ; — . — { 

^    ^  \     I        /   I  '    /  s      /  2     ^1 — A;2sjjj2anit'sin-am(«-|-öi) 

/,^  s  /     ,        N         /  N      ^    /      N  1  1      1 — Ä;- sin- am  i«  sin- am (v  —  a) 

(10.)  n{u  -\-  V,  a)  —  lliu  —  V,  a)  —  211{v,  o)  =  —  log ^^-.^^ r  ^       '^ — ^ — ( • 

^      ^  V.1'/         V  '/  v'/  2      ^  1— Z;2  8m-^am?*8in-am(ü-f-«) 


214  EVOLUTIO  FÜNCTIONÜM  ELLIPTICARUM. 

REDUCTIONES  EXPRESSIONIBl    Z(iu),    0{iu)    AD   ARGUÄIENTUM 

REALE.      REDITCTIO   GENERALIS  TERTIAE   SPECIEI  INTEGRALIUM 

ELLIPTICORÜII,  IN  QUIBUS  ARGU:\IENTA  ET  AMPLITUDINIS 

ET  PARA]\IETRI  BIAGINARIA  SUNT. 

56. 

Revertimur  ad  analysin  functionum  Z,  0,  quarum  insignem  usum  in 
theoria  nostra  antecedentibus  comprobavimus.  Quaeramus  de  reductione  ex- 
pressionum  Z[iu),  0[iu)  ad  argumentum,  reale.  Idem  primum  signis  Cl°.  Le- 
g andre  usitatis  exsequemur,  deinde  ad  notationes  nostras  accommodabimus. 

Novimus  in  elementis  i^.  19.  pag.  S5,  simul  locum  habere  aequationes: 


Hinc  fit 


unde ,  integratione  facta : 


/;A(,).,=.{tg,A(,,,o+x'^;f.^>i 

sive: 
(1.)  E{'^  =  .•[tg-;A(-;.,70  +  -^('^/0-^('y>^0]- 

Multiplicando  per     ,/,    =    ,,.  \,^    et  integrando  eruimus : 

Ex  aequatione  (1.)  sequitur: 

^^ -^^  =  FHs'^^X''^jn-LF'F{^,Jc')  +  (F'-F')F{-'^,Jc)l 

lam  adnotetur  theorema  egregium  CT.  Legendr e  (pag.  61) : 


F'E\h')-\-F\Jö')E'  —  F'F\k')  =  ~, 


unde 


F^Ei^\,V:)^{E^-F^)F{:\,l')  =  -Jl^-\F\l:)E[:\Ji)-E\inF{:\,l^)-\^  ^i^('^^^') 


F\h')  2F\h') 


-\ 


REDÜCTIONES  EXPEESSIONDM    Z{iu)  ,   0[iu)    AD  ARGUMENTUM  REALE.  215 

ideoque : 

F^E('s)-E^Fi^)    _  F\l')E{:^.,in-E\h')F{'l,h')        r.Fy',,  Jc')_ 

iF'  "  FVO  2F^F\k')  ' 

E  notatione  noscra  erat: 

9  =  am(m),      'l  =  am(w, //),      F('i)  =  «u,      Fi^bjc)  =  u; 
porro : 

-  _  Z{n,,l),     j^^ =  Z(n.k). 

imde  aequatio  (3.)  ita  repraesentatur: 

(4.)  iZ{ii(Jc)  =  —  tgam(M,Z;')Aam(?(,/0  +  ^^^  +  ^(wJO• 

Hinc  prodit  integrando : 

j    i  diiZ{iu,  Je)  =  log  cos  am  (m,  k')  +     „    ,  +  I     Z{u,  k')  du , 
sive  cum  sit    /    duZ^u)  =  log  : 

T.UU 

.    -  Q{m,k)  4KK'  I     ,,,©(?«,//) 

Formulae  (4.),  (5.)  fimctiones  Ziiit),  0(m;  ad  argumentum  reale  revocant. 

57. 

Mutetur  in  (5.)  §^  praecedentis  u  in  u-\-1'K!,  prodit: 

sive  posito  ii  loco  iw; 

T.[K'—iu) 

(1.)  6)(^f4-2?•Z')  =  — c      ^       G(u). 

Ponatur  in  (5.)  §^  praecedentis  2i-\-K'  loco  u:  cum  sit 

k  sin  am  (ii,  k') 


coaam  {21 -\-  K'>k')  = 


A  am  («,  Z;') 


0(«-f-^',/O  ==  ^^^^-^G{n,k'),  V.  .^.53.  (9.), 


•)  Fit  enim   9{u-{-2K,k)  =  G{u)   ideoque  etiam    9{u-\-2K',  h')   =  9[u,k'). 


2 IC»  EVOLUTIO  FUNCTIONÜM  ELLIPTICARUM. 

prodit : 

0(iu  +  iK')  ^4KK~,/Y  .  ,     ,,,  0(n,lc') 

0(0)    -  =  -'  V/^smam(«,/0^^^^ 

Tt{2U-\-K') 

undc  posito  rursus  u  loco  iu: 

TZ{E'—  2iu) 

(2.)  0{u-{-iK')  ^  ie  \/k8msijmiO(u). 

Sumptis  logarithmis  et  differentiando ,  ex  (1.),  (2.)  prodit: 

(3.)  Ziu  +  2iK')=  ^-i-Z{u) 

(4.)  Z(ji  -j-  iK')  =  "  -j-  cotg  am  ^f  A  am « -|-  Z(w) . 

all. 

Posito  M  =  0,   ex  (1.)  — (4.)  fit: 

r.K' 

i0(2iK')  =  —e^   0(0),    e{iK')  =  0 
{Z{2iK')  =      —^,  Z{iK')  =  oo. 

Formulae  (1.),  (2.)  egregiam  inveniunt  confirmationem  e  natura  producti  infiniti, 
in  quod  functioneni  0  evolvimus: 

V   TT   y    ^    (1—  2g cos  23?  +  g^)(l— 2g3 C08  2x 4-  fi6)(i—  2^5 cos 2x  +  g^") . . . 

^^•^     0(0)    - "  [(i-g)(i-g')(i^"?y:7ö^ 

^    [(1— ge2'^)(l— g3g2«)(l_g5g2.x),^,]^(l_gg-2»)(l_g3e-2«)(l_g5g-2.-..)..^^  . 

Ubi  enim  mutatur  x  in  x-\ ^r- ,  quo  facto  abit  e'""  in  ge'-",  abit  productum 

[{l—(ie^'^){l—(fe^''-){\—q^e^'^).. .][(!— {/e-2'^)(l—g3e-2«)(i_^5e-2«-) _ -j 
in  hoc : 


qe 
unde: 


^l{l~qe''^){\-q^e'''-){l-cf>e'^-)...-]l{\-qe-''--^^^^ 


(7.)  0(2-^+  2i^0  = -^ 


REDÜCTIONES  EXPRESSIONUM    Zfiu] ,   O'ju)    AD  ARGUMENTUM  REALE.  217 

Mutato  vero  cc  in  a:-\-    ''       ?   abit  e"  in  V^e",  unde  productum: 

[{l—qe-^)il—qh''-''){l—q^e-^) . . .][(!— g'e--")(l—2%-2^)(l—2^e-2«) . . .] 
in  hoc: 

=   -^  •  2  sin  ic  (1—22^  cos  2x  -\-  q%l—  2fj^  cos  2x  +  g^Xl—  2^^  cos  2x  +  g") . . . 

At  dedimus  §.36.  formulam: 

2Kx  1  2\[qmix{\ — 2^2 cos 2a;  +  r/)(l — 2q^ (to%2x ^  q^) . . . 


Sin  am 


\^]-      (1—  2g cos 2a;  +  q'){l—- 2fj^ cos 2a;  +  a%l—  '2q^ cos 2a;  +2*") . . . 

unde  videmus ,  fore : 

..,y  .  2Kx  ^f2Kx\ 

r2Kx  \  ^VÄ8lnam— ;— ©(-— J 

Formulae  (7.),  (8.)  autem,  posito  —~  =  u,  cum  formulis  (l.),  (2.)  conveniunt. 


E  formula  (9.)  §.53 


AamM     -.,  . 


posito  iu  loco  ?^,  sequitur: 


unde  e  (5.)  §.56 


\K  cos  am  (^*,  ä  ) 


G(iu-\-K)  1      iKff^.        .     ,,.     0iu,Jc') 


sive  e  formula  allegata  (9.)  §.  53  : 

*^  ^^  0(0)         ~  V  //  ^  0(0, Ä') 

Hinc  sumendo  logarithmos  et  differentiando  obtinemus : 

(10.)  iZ{iu  +  K)  =  -^^  +  Z{u  +K',  Je') 


28 


218  EVOLÜTIO  PÜNCTIONÜM  ELLIPTICARUM. 

58. 

Formularum  ^^.56.  57.  inventarum  facilis  lit  applicatio  ad  analysin  functio- 
niim  n  casibus,  quibus  argumenta  sive  amplitudinis  sive  parametri  sive  utrius- 
que  imaginaria  sunt. 

Demonstremus  primum.  expressionem  n[u,a-\-iK')  revocari  posse  ad 
n{u,a),  imde  patet,  posito  ii  =  — Ä-^shraniö^,  integralia: 

/»Cp  cl(^  /»CD  ^o 

j^   (l+«sin^o)i(,)  '    J^   (l  +  ^sin^)A(,) 

alterum  ab  altero  pendere ;  quod  est  insigne  theorema  a  Cl°.  Legend re  prola- 
tum  cap.  XV. 

Invenimiis : 

^{n,a+^K)  =  »Z(«+»g)  +  ^log  ^^^^.J^g-)^  ■ 
Fit  autem  e  (2.),  (4.)  §.57: 

ir.u 

Q{a  —  u-\-iK')    ~K^  sin  am  (a  —  u)      0{a  —  u) 


0{a  -{-u-\-  iK ')  sin  am  (a  -f-  u)     0(a  +  w) 

uZ(a  -f-  iS')  = ^7^  +  u  cotg  am  a  A  am  a  -|-  iiZ(a) , 

unde,  terminis  — ^ -^  se  destruentibus: 

/    X  .        ,   -T^/s         ^/      N  .         .  A  .    1  1      sinam(a — ti) 

(1.)         n(u,a-\-iK)  =  77(w, a)4-wcotgama  Aama+-— log-. t — ■ — (- 

^   ^  ^  ^  2     °  8inam(a4-w) 

Ponamus  in  hac  formula  ia  loco  a ,  fit : 

.    .        .  — iAam(«,  7ü') 

cotgam^a  Aam?a  =  —. — ttt — ^ — 5-7— 

^  sin  am  [a,  k  )  cos  am  (a,  k ) 

sin  am  (ia — u)  A  am  m — cotg  am  ia  A  am  ia  tg  am  u 


sin  am  (m-)-^)  Aamw  +  cotgamm  Aamiatgam?*  ' 

sive  posito  brevitatis  gratia : 

A  am  (a,  Je')  .  ,— 


sin  am  (a,  h')  cos  am  (a,  ä') 
iat: 

sin  am  (ia  —  u)  A  am  u  -\-i\Jaig  am  u 


sinam(m4-M)  Aamw  —  iV'a tgamw  ' 


KEDUCTIO  INTEGKALIUM  TKRTJAE  SPECIEI  QUORUM  ARGUMENTA  IMAGINARIA  SUNT.         219 

unde  (1.)  abit  in: 

(2.)  n{u,ia  +  iK')-n{u,ia)    _  _ ^- . ,,  _^ ^.e tg  JE^g ^m ^.  ^ 

quae  cum  formula  (/')  a  CP.  Legendre  exliibita  convenit. 

59. 
Alias  formulas,  pro  reductione  argumenti  imaginarii  ad  reale  fundamenta- 
les, obtinemus  e  (9.),    (10.)  §.57.     Quarum   primum  observo  hanc,  qua  argu- 
menta et  amplitudinis  et  parametri  imaginaria  ad  argumenta  realia  revocantur : 

(1.)  n(iu,ia-\-K)  =  II{u,a-{-K','k:), 

quae  hunc  in  modum  demonstratur.     Fit  enim : 

_..     .     1  xrs  •   '7/-     I  x-\  I    1  1       0{ia—iu-\-K) 


porro  e  (10.)  §.  57  : 
e(9.)§.57: 


iuZ(ia+K)  =  -^^-\-uZ{a+K',k'), 


eiia  —  iu+K)    _  Jh^~iKK~   e{a—u-\-K',h') 


Q{0,Jc)  V   k'  G{0,k') 


0(ia-^iu-\-K)    _  Jl^;^ÄKK^  0(«  +  M+Jr',ZO 


0(0,  Z;)  V  h'  0(0,/;') 


unde : 


G{ia  —  iu-\-K)    __     ~kk^  e{a  —  u-\-K',k') 
0  {ia  +  ^^7+l:y  ~  ^  0  («  +  ^<  -\-K',  k')  ' 

ideoque,  termmis  -^r^-^, TTx-^^r  se  destruentibus  : 

niiu,ia-{-K)  =  «,Z(a+A^Z;')  +  |log-||^^^^±|^  =  n{u,a-{-K\Jc), 

quod  demonstrandum  erat. 

Mutato  in  (1.)  a  in  — ia,  prodit: 

(2.)  n(iu,a-{-K)  =  —n(iiyia-\-K',lc). 

9S* 


220  EVOLUTIO  FÜNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

Formula  (1.)   facile  etiam   probatur  consideratione  ipsius  integralis,  per 
quod  functionem  77  definivimus : 

/* " /ü^  sin  am  a  cos  am  a  A  am  a  sin^  am  zt 

n(u,  a)  =     I     :; TA   ■    2 ^n "'^  > 

^  '    ^        J  ^  1 — Z;-^  sin'' am  et  sin'' am  ^t 

unde: 

,,    ,    ,  „^  /'"«Fsinam(m4--fi^)cosam(m-f  Z')Aam(?a+Z^sm^amm  , 

Fit  enim  e  formulis  §M  9  : 

A  coam  {a,  k')  A  am  (a  -\-K',  k') 


8mam(ia-^K)  =        sin  coam  m  = 


k  k 


cos  am  (m -|-S^)  ==  — cos  coam  m  =  — j — cos  coam  (a,  ^')  =   -j;-cosam(a-[-ir',Ä;') 
Aam(ia+ir)  =  A^oamm  =  Ä' sin  coam  (a,  7^')  =      k' sin  am  (a-}-K',k'), 

unde : 

ikk  sin  am  (ia-\-K)  .  cosam(m4--E')  .  Aam(m-{-Z") 
=  _  k'k'siu  am  (a  +K',  k')  cos  am  (a  -\-K',  k')  A  am  {a  -\-K',  k') . 

Porro  fit: 

sin^  am  iu  —  tg^  am  {u,  k') 

1 — ^2  gjjj^  g^jjj  (^^^  -{-K)  sin^  am  iti  l-^A^Sim{a-{-K',k')tg^Sim{u,k') 

— sin^  am  (m; /i;') —  sin^  am  (u,  k') 

cos^  am  {u,  k')  -\-  A=^  am  {a  -\-K',  k')  sin^  am  {u,  k')         1 — 7(;'Ä;'sin2am(a-|-Ä'';/c')sin^am(w,Ä;') 

unde: 

-.     .     ,  ^.  f^k'k'sm3im{a-{-K',k')(^o^sm{a-\-K'yk')A2im{a-\-K',k')^m^ixm{u,k')  , 

n\lUyia-\-K)       ^         I 7,7,      .       ., ; 1      T^,     7,x       •      .. 7 T7\ CtM, 

^  '      ^         Jq  1  — Ä;Tsm''am(a+Ä^,/i;)sin^am(M,/c) 

sive: 

n{iu,ia-\-E)  =  n{u,a-\-K'yk')y 

quod  demonstrandum  erat. 

E  formulis  (9.),  (10.)  §^57.  simili  modo  atque  (1.)  comprobare  possumus 
formulam  sequentem,  quae  docet,  functiones  binas  argumenti  imaginarii  pa- 
rametri,  quarum  moduli  alter  alterius  complementum ,  ad  se  invicem  revocari 
posse : 

(3.)        in{u,  ia  -\-K)  +  in(a,  iu  -\-K'y  k')  =  -^^,  +  uZ{a  -\-K',  k')  +  aZ{u  -\-K,  k) . 
Fit  enim : 


EEDUCTIO  INTEGRALIÜM  TERTIAE  SPECIEl  QUORUM  ARGUMENTA  IMAGINARIA  SUNT.  221 

•i-if      ■      \    -ir\  ■    -7,-      \   Tr\  1*1        0(ia-\-K — u) 

lam  fit: 


0(ia+K—it)    _    Q{i(a-\-iu)-\-K)    _  J^^  ^KK'      ©(a  +  m -f-^',Ä;') 


0(0)  0(0)  V  h'  0(0, /O 


~{a — iuY 

e{ia+K±u)    _    Q{i{a  —  m)-\-K)    _  ./k_     akk'~  e(a  —  iu-\-K',k') 


e 


0(0)  0(0)  V  k'  0(0, 70 

unde,  cum  sit  &:^u-\-K)  =  Q[K — u): 


ideoqiie 


Porro  fit 


iT.au 

Q{ia-^K—u)    ^    'KK^  Q{iuJ^K'-\-a,k') 
0  {ia  -\-K  ^u)    ~  ^  0  (m  -\-K'—  a,  k')  ' 


i  ,  ^  S{ia-\-K — u)        i  .       G{iu-\-K' — a,k')    tmu 


'T-  n  ot 

iuZiia  +K)       =  -^^  +  wZ(a  +^',  k') 

iaZ{iu+K',k')  =  -^~-i-aZ{u+K,k), 
unde : 

7"/T7A 

in(ii,ia-\-K)-{-in{a,iu-\-K',k')  =  -^^^  +  MZ(a4-Ä"',Z;')-|-aZ(2t+^,  Ä;); 


q.  d.  e. 

60. 


Patet  e  formulis 


8ma.m{K-}-iu)    =  -p  A  coam  (m,  ä;') 
sin  am  (z<  +  i^')  =  -jr 


k      sin  am  u 

argumentum  u,  quod,  dum  sin  am  m  a  0  usque  ad   1  crescit,  a  0  ad  Ä^  transit, 
ubi   sin  am  M  a   1   usque  ad    —  crescere  pergat,    imaginarium   induere    valorem 

iC 

formae    K-\-iv,    ita  ut  simul   v   a   0   usque  ad    K'   crescat;  deinde  crescente 


222  EVOLÜTIO  FÜNCTIONUM  ELLlPTICAßUM. 

sin  am  w  a  -77  nsque  ad  00,    induere    u  formam   v-\-iK',    ita  iit  simiü   v  a  Ä" 
usquG  ad  0  decrescat*). 

Hinc  videmus,  siquidem  in  tertia  specie  integralium  ellipticorum ,  quae 
schemate  contenta  est: 


(?cp 


0    (l  +  9*sin2cp)A(cp) 
ponntur.  uti  fecimus,  n  =  — A-~sin^am<j,  qiioties  sit  n  negativum. 

inter      0    et  — hJc,  poni  debere  n  =  — Jc^sin^ama 
„    — kh  et  —  1  ,     „         „       n  =  — Ji^sm^sim{ia-{-K) 
„    —  1    et  — 00,     „  „       n  =  — k^sm^a.m(a-{-iK'), 

designante  a  quantitatem  realem.    Porro  cum  sit  — kksm^emnia  =  kktg^SLm.{a,k'), 
patet ,  quoties  sit  n  positivum  quodlibet ,  poni  debere : 

n  =  — JcJcsm^amia. 

Hinc  quatuor  classes  integralium  ellipticorum  tertiae  speciei  nacti  sumus,  quae 
respondent  schematis ,  quae  argumenta  induunt : 

1)  a,        2)  m  +  Z",        3)  a-\-iK',        4)  m, 

quarum  tres  primae  pertinent  ad  n  negativum ,  quarta  ad  positivum. 

At  per  formulam  (1.)  §^58.  videmus,  functionem  11  [u,  a-\-iK')  reduci  ad 
/Z(m,  a) ,  sive  classem  tertiam ,  in  qua  n  est  inter  —  1  et  —  00 ,  reduci  ad  pri- 
mam,  in  qua  n  est  inter  0  et  — kk.  Porro  e  formula  (11.)  §^53.**),  functio- 
nem n{u,iä)  semper  reduci  ad  II[u,ia-\-K) ,  sive  classem  quartam,  in  qua  n 
est  positivum,  ad  secundam,  in  qua  n  est  negativum  inter  — kk  et  — 1.  Unde 
iam  nacti  sumus  theorema,  propositum  integrale: 


*)  Obtinebitur  simul: 


^1,1  1  \/l+k' 

sin  am  7«  =  0 ,       —  ,        1  ' 


V^l  +  A'  '  ^k    '  ^'  "  *        ' 

"  =  0,  ~,         K,       Ä'  +  -^,      K+iK',       — +  »Ä'',       ,Ä-'. 

z  z  z 

•*)  Haec  formula  scilicet ,   posito  ia  loco  a  ,  in  sequentem  ahit : 

n{u,ia+K)-II{N,i,)  ,  ,    ,      •  •  1 
^  — aM  +  arctg  [asin  am  M  sincoam?^], 

•  ,  .^  kkt2am(a,  k')         ^  ,    .,  „  ,         , 

siquiclem  ponitur  a  =  — ^ r^-rr. — •  •     Quae  lacile  per  formulas  elementares  §'  li).   succedit  transformatio. 

jani  («,«  ) 


EEDÜCTIO  INTEGRALIUM  TERTIAE  SPECIEI  QÜORUltf  ARGUMENTA  IMAGINARIA  SUNT.         223 


0    {l-{-7ism^'^)l{o)  ' 

quaecunque  sit  n  quantitas  realis  posiHva  seu  negativa,  semper  reduci  jjossc  ad  iiite- 
grale  simile ,  in  quo  n  negativum  est  inter  0  et  — 1.  Quotl  est  ei>regium  inven- 
tum  C?.  Legendre. 

lam  vero  consideremus  casum  generalem,  quo  et  amplitudo  et  parameter 
formam  habent  imaginariam  quamlibet:  constat,  eum  casum  amplecti  expres- 
sionem : 

n{u  -\-  iv,  a  -\-  ih) , 

designantibus  ii,  v,  a,  b  quantitates  reales.  At  e  formulis  §^55.  videmus,  eius- 
modi  expressionem  reduci  ad  quatuor  hasce : 

1)  n{u,a),        2)  n(w,ib),        3)  n{u,ih),        4)  n{lv,a), 
vel,  si  placet,  ad  quatuor  hasce : 

1)  n{u,a~K),      2)  n{w,ih-\-K),      3)  n{u,ih-\-K),      4)  n{iv,a—K). 
Generaliter  enim  expressio    JT{u-\-v,  a-\-b)    in   expressiones    II[u,ä),   II{v,b), 
n{u,b),  n{v,a)    redit,  e  quibus  quatuor  propositae  prodeunt,  siquidem  loco   v 
ponis  iv^  loco  a,  b  vero   a — K  et  K-{-ib.     Porro  e  formulis  (1.),  (2.)  §^  59.  fit: 

n(iv,ib-\-K)  =       n{v,b-\-K'Ji') 
n{iv,  a—K)  =  —n(v,ia-\-K',k'), 

unde  expressiones  1),  2)  in  classem  primam  redeunt  n[u,a),  expressiones  3),  4) 
in  classem  secundam  n[u,ia-\-K);  id  quod  nobis  suppeditat 

T  h  e  o  r  e  m  a. 
Integrale  propositum  formae 

'^  do 


j 

«/  0 


0    (l+»isin29)A(9) 

quodcunque  sit  n  et  ^,  sive  reale  sive  imaginarium ,  revocari  potest  ad  integralia 
similia ,  in  quibus  et  cp  reale  et  n  reale  negativum  inter  0  et  —  1 . 

Et  hoc  theorema  debetur  Cl**.  Legendre,  nisi  quod  ille  reales  tantum 
amplitudines  contemplatus  est. 

Formulis  (4.),  (5.)  §^55.  reducitur  n[u-\-v,  a~{-'b)-\-II[u  —  v,  a  —  b)  ad 
n[u,a)  et  IIiv,b),  /I[^u-\-v,  a-\-bi — /I(U  —  v,  a  —  b)  ad  /I[u,b)  et  JJ{v,  a).  Hinc 
patet,  posito: 


224  EVOLUTIO   FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM, 

II{u-\-iv,a-\-ih)-}-n(u  —  iv,a — ib)   =  L 
n(u  -\-w,a-\-  ib)  —  n(u  —  iv,  a — ib)    ^ 

pendere  L  a  functionibus  II{u,  a — K),  11  {iv,  ib-\-K),  M  \a  functionibus 
n[\i,ib-\-K),  n{iv,a — K),  ideoqiie  redire  L  in  classem  primam,  M  in  clas- 
sem  secundam. 

Haec  sunt  fimdamenta  theoriae  tertiae  speciei  integralium  ellipticorum, 
e  principiis  novis  deducta.     Alia  infra  videbuntur. 


FUNCTIONES  ELLIPTICAE  SUNT  FUNCTIONES  FRACTAE. 
DE  FUNCTIONIBUS  H,  0,  QUAE  NUMERATORIS  ET  DENOMINATORIS 

LOCUM  TENENT. 

61. 
Evolutiones  §.35.  exhibitae  genuinam  functionum  ellipticarum  naturam 
declarant ,  videlicet  esse  eas  functiones  fractas ,  ut  qiias  iam  ex  elementis  novi- 
mus,  pro  innumeris  argumenti  valoribus  inter  se  diversis  et  evanescere  et  in  in- 
finitum  abire.  Iam  antecedentibus  ad  functionem  delati  sumus,  quae  fractionis, 
in  quam  evolvimus  ipsum 

2Kx  _    1      2v/g"sin x  (1—  2g^  cos  2x  -f  g^)(l— 2g^  cos  2x  -f  cf){\—2q^  cos  2x  +  q^^) . . . 
sin  am -^  —-^Y  (1—  2g  cos  2x  +  q;'){l—2q^  cos  2x  +  q%l—  2g^  cos  2x  +  g^") . . .         ' 

denominatorem  constituit ,  functionem  dico : 

^/2ga;\ 
\  TZ   J  _    (1— 2g cos  2x  +  q^){l—2(f  cos  2x  -f-  g^)(l—  2g" cos  2x  -\- g^°)  . . . 

0(0)     ~  [(i-(z)(i-g^)(i-ö')(i-2')  -^f 

Iam  et  numeratorem  particulari  charactere  denotemus ,  atque  ponamus : 

\   TZ   J  _    2\lq  sin a;(l— 2^^^ cos  2x -\-  q%l—  2g^ cos  2x  +  g^)(l—  2q^co^  2x -f- g^^) . . . 

erit: 

jj(2Kx\ 

2Kx       1     ^v  TT  y 


sin  am =  — — - 


\     TT     / 


FÜNCTIOXKS  ELLIPTICAE   SUKT  FUNCTIONES  FRACTAE.  225 

Reliqiiis  advocatis  cvoliitionibus  §-36.  traditis,  invenimus: 

ZK.       ,/!■     ^(-.-(-  +  t)) 

COS  am =:  \/ — 

unde,  po.sito =  u: 

/.  X      .  1       S(u)  Jh'     H(u-\-K)      .  jj,    eiu  +  K) 

(1.)     sinam?<  =  —— -  ^;  .  ;  cosamu  =  y^-- ^rr^ — -:  Aam«  =  V^ >./  . 

y/yt      0(m)  V   /j  0(w)       '  e{u) 

Hinc  fluunt  formulae  speciales : 

(2.)  em  =  -^;    ^m  =  \/A0(O). 

Posito  H'(u)  =  — T^— '    cum  sit: 

^'(m)  :=  \l]c  COS  am  «  A  am  ^*  0(m)  -|-  s/Jc  sin  am  2t  0'(m)  , 
pro  valoribus  ti  =  0 ,  u  =  K  obtiuemus  : 

(3.)  ^'(0)  =  V^^0(O)  =  ^^—5     ^'W  =  SjJ^O'iK)  =  0*). 

E  (2.)  sequitur  adhuc: 

Ceterum  fit : 

(5.)  e(ii-^2K)  =  ei—u)  =  0(m) 

(6.)  H{u-\-2K}  =  H{—u)  =  —Hiti);    H{u  +  4.K)  =  Zf(w). 

E  formula  (2.)  §.57.: 

Q{u-\-iK')  =  ic      *^       ^kam&mue{u) 

*)  Fit  enira  Z{K)  =  o,  unde  etiam  9'{K)  =  9(K}Z{K)  =  o. 
i.  29 


226  EVOLUTIO  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

sequitur ; 

t:{K'—2{u) 


(7.)  6>(«-ff^')  =  ie      ^^       H{u). 

Mutato  in  hac  formiila  u  in  u-{-iK'  et  advocata  (l.)  §.  57.r 

■njK'—m) 

(8.)  G{u-{-2iK')  =  —e      ^       G{u), 

prodit  : 

T.(K'  —  2iu) 

(9.)  n(u-{-iK')  =  ie       ^^       Q{u), 

unde.  rursns  mutato  u  in  u-\-iK',  e  (7.): 

■!t{K' — in) 

(10.)  H{u-{-2iK')  =  —e       ^       H{u). 

E  formulis  (7.)  —  (10.)  derivari  possunt  generaliores : 

Tzuti  ~{u-}-1miK')^ 

(11.)  e^^^'  e{u)  =  (— l)'»e       ^^^'        e(tf-\-2miK') 

TTMM  TZ(u-\-2mtK')^ 

(12.)  e^^^'  H{u)  =  (— l)'"e       *^^'       H(^ic  +  2miK') 

nuu  7:(K+(2m+l)e'Ä'')2    ^ 


(13.)  e*^^' Hill)  =  {—i)~''^^e         ^^^'  Q(u-\-{2m-\-l)iK') 

■Kttu  T.{u-\-nm-\-\)iK'Y 

(14.)  e"^^^0(?O  =  (_j)2m+ig  ^^K'  HiuM'^m-^-DiK'). 

E  (12.),   (13.)  fit: 

(15.)  Q{(2m^\)iK')  =  0;     H{2miK')  =  0. 

Formulae  (5.),  (6.)  demonstrant,  functioncs  0u],  H{u],  mutato  w  in  u-\-AK, 
formulae  (1 1 .) .  (t  2 .) .  functiones 

TTMM  TIMM 


mutato  u  in  u-\~AiK',  immutatas  manere;  unde  illae  cum  functionibus  ellipti- 
cis  alteram  periodum  realem,  hae  alteram  periodum  imaginariam  communem 
habcnt. 


DE  FÜNCTIONIBUS    H,   0,  ;227 

E  formula  (5.)  §.  56. ;  • 


l.UU 

Q{iu,lc)  To^  ,     ,.  Qiii,]^') 

r.,r.  7       =  (-^^^^   cosamfa,  A:)  ^  ,     ,/- 
0(0,  Ä-J  ^       >  0(0,  Ä;') 


sequitiir  : 

unde  e  (l.) : 

ri6^  <9(m,Ä-)    _    t/A:  ^i^gT  HjuJrK'Jc') 

^   '^  e(o,k)        \k''  Giöj^) 

. TZUU 

ri7  ^  -^(^'^^  ^)  _  a/A ^"^^ff^  J^^l. 

^     '^  0(0,  Ä)     ~     V  A;'^  0(0,  Ä;')  * 

E  (16.)  sequitur,  mutato  u  in  iu  et  commutatis  A:  et  k' : 

TZUtl 

^     '^  0(0, /c)         ~  \  ¥  0(0,  Ä')  ' 

cui  adiungatur  (9.)  §.  57. : 


nuu 


^     ^^  0(0,  Z;)         ~  \  k'^  0(0,  Ä;') 

E  formula  supra  inventa : 

0{u -\-  v)  Q{u  —  v)  =  — SdzTK^^^  ( ^ — ¥&m^2imii sin^ am v) 
sequitur  : 

(20.)  Q{u-\-v)G{u  —  v)  =  -^— 

Qua  ducta  formula  in : 

,     ,     ,   .         ,          ,        ytsin'^amw  — ^'sin'^amr       H\u)  0\v)  —  e\u)  H\v)  ^ 
A;smam(^*4-^)smam(^t — v)  =- — r„  .  ., r-^ =  ^9,  \  r\-i,  \ rr^/  \  un  \ 

prodit : 

H\u)  0\v)  —  e\u)  H\v) 


(21.)  H{u-\-v)H{u—v)  = 


0=^(0) 

29 


228  EVOLUTIO  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

DE  EVOLUTIONE  FUNCTIONUM  H,  &  IN  SERIES.     EVOLUTIO 
TERTIA  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

62. 
Evolvamus  functiones : 

\    T.     J  (1— 2g  COS  2a: +  2^X1—253  COS  2a: +  5^)(1— 22^  COS  2a; +  5^*^)... 


0(0)  [(l-2)(l-ö'Xl-2')---]' 

rx(^2ga:\ 
V    TT    y    _    2Vgsina:(l— 2g^cos2a;  +  g^)(l— 2g^cos2a;  +  g^Xl— Vcos2a;-f g^^)... 


0(0)  [(l-2)(l-2')(l-5')"-]' 

in  series: 

— ^^7^ =  ^— 2^'cos2a;+2J:"cos4a;  — 2J."'cos6a:+2J.''cos8a;  — 

=  2\Jq\B'mix  —  B"^m^x-\-B"'mihx  —  5'^siu7a:-|- •  •  •]  • 


0(0) 
Determinationem  ipsarum  A,  Ä,  A",  A" ;  ß,  B",  B",  B", . . .  nanciscimur  ope 

aequationum   (7.)  —  (10.)   §^  antecedentis ,  quae,  posito   u  =  ,    q  =  e   ^  , 

in  sequentes  abeunt: 

q{1^)  =  _j,=.0(^  +  2e-Z') 

iH{^)^      ^,.©(^  +  «£'). 
Quem  in  iinem  evolutiones  propositas  ita  exhibemus : 

0(^) 

'•  =  A~A'e^^   -i-A"e*''   —A"'e^'^    +yl'V« 

—  A'e~-'==  +  A"e-^'^  —  A"'e-^'^  +  A^'e-^^ 


iH(^) 


0(0)"" 


—  \/q[B'e-^—B"e-^^-\-B"'e-^'^—B'''e-''^-\ ]• 


I 


DE  EYOLUTIOXE  FUNCTIOXUM    H,     6    IN  SERIES.  229 

Mutato    X   in    oc  —  i\oyq,    abit   e'"''    in  fe""\    e"'"'*  in  ^-^ ;    porro    e(^^^^ 
Jff(^)   in  6^(^+2/71'),  ff(^  +  2iÄ-).     Hincnanciscimur: 

e 


0(0)  ^'    ■  0(Ö) 

A"              A'"              A"                4' 
3-  e-2'^  +  -^  e--»'-^ ^  e-6.-^  _|_  ^1^  g-s/x 


=  —  ge- 


0(0)                     ^                      0(0) 
=  \/q[  B'e'^     —  B'qh^^^-  +  B"q^e^"--  —  B"'qh'''^-\ j 

Quibus  cum  expressionibns  propositis  comparatis,  eruimus: 

A'  =  Aq,         A"  =  A'q\        A'"  =  A"q\        A'"  =  A"'q\..., 
B"  =  BY,       B'"  =  B"q\      B^'  =  B"'q%      B'  =  B'Y> . . . 
ideoque : 

A'  =  Aq,         A"  =  Aq\        A'"  =  Aq\         A'"  =  Aq'^  ..., 
B"=B'q\       B"'=B'q%       B'"  =  B'q^\       B'  =  B'q'^..., 

unde  evoliitiones  qiiaesitae  liiint : 


0(0) 


=  ^[1— 2g  cos  2a; -|- 2^*008  4a;  — 2^9  cos  6a;  4-2(^^6  cos  8a; ] 

=  2\fqB'[s'mx  —  q^8mSx-\-q'-^sm5x  —  g^-^sin  7a;-f-g*-5sin9a; — •  •  •] 


0(0)  _  _  _  _ 

=  B'  [2  \q  sin  a;  —  2  \/q''  sin  3a;  +  2  \/q^^  sin  5a;  —  2  \/q^^  sin  7x-\ ]  . 

Evoliitiones  inventas  alteram  ex  altera  derivare  licuisset  ope  formulae : 


,fl(^)  =  ^e'.0{^  +  iK') 


230  EVOLÜTIO  FUNCTIONÜM  ELLIPTICAEUM. 

Inventa  enim  serie : 


0(0) 

mutando  ^  in  o?— ilogV^,  quo  facto  e^'"'^,  ^-^""^  abeunt  in  ^'"e^"-«  -^^;  ^{^^) 
in   0( — _?._|_i.K'V   et  multiplicando  per  sfqe*',  obtinemus  : 


TT        /  4/ —    ...  V       7t 


=  \'qe- 


0(0)  '"-  0(0) 

=  ^4[v'2'(e'^  — e-'^)  — V^^(e^'^  — e~^")  +  V^2^(e^'-' — ß"^'-") •] 

sive: 


\        X       / 


0(0) 
Qua  insuper  analysi  eruimus 


=  Ä[2\/qsmx  —  2\/q^smdx-\-2\/q^^8mox  —  2 y^^^^ sin  7a; -| ] 


B'  =  A. 


63. 
Detei'minatio  ipsius  ^   artificia  particularia  poscit.      Ponamus,  quod  ex 
antecedentibus  licet: 

{l—2qcos2x  +  q^){l—2q^cos2x-{-q^)(l—2q^coB2x-\-q^^)... 

=  P(g)[l —  2q  cos  2x  -f-  2g*  cos  4a;  —  2q^  cos  6a;  -|-  2g^^  cos  8a; •  •] 

sin  x{l — 2g^co8  2a;  +  g^)(l— 2^*  cos  2a;  +  2^)(1 — 2g^cos  2a;  +  q^^) . . . 

=  P(g')[8ina;  —  q^-^smdx-\-q^-^sm5x  —  g^-^sin  7a;  +  g^-5sin9a; •]; 

fit: 

^1  ■■  -P(g) 

"    [(l-g)(l-2')(l-3')---? 

Expressio  secunda  immutata  manet ,  iibi  ducitur  in  primam ,  et  post  factum  pro- 
ductum  ponitur  q'  loco  q.     Hinc  obtinemus  aequationem  identicam: 

....  P{q^)P{(i^)lsmx~q^smSx-\-q^^&mbx  —  q^^8m7x-\ •] 

X  [1 — 2g2cos2a;4-2g^cos4a;  —  2g^^cos6a;  +  •  •  •] 
=  P(gj[sina;  —  g^sinSa;-}-  g^ sin 5a;  — g^^ sin  7a;+  •  •  •]• 
Ipsam  iam  instituamus  mnltiplicationem,  ita  ut  ubique  loco  2  sin  wi^  cos  w^r  scri- 


DE  EVOLÜTIONE  FUNCTIONÜM    H,    0    IN  SERIES.  231 

batur  '^ui(m-\-n)x-\-^mm  —  w)r;  facile  patet,  coefficientem  ipsiiis  sin^  in  pro- 
cliicto  evoluto  fore : 

l  +  2^  +  </'  +  2^^  +  ^/''+---' 
ita  ut  prodeat: 


tida  formii 

=  [il+q'Xl+q%l  +  q')---T 
=    (l  +  r/)(l  +  g*)(l  +  r/)... 


At  invenimus  e  secunda  formularum  propositarum ,  posito  jr  =  — 


unde: 

P(q)P(q) 


P{q')Piq') 
sive: 

nq) 


F{<f) 

_      (l-r/)(l-g3)(l_gl2),.. 

Hinc  e  niethodo  iam  saepius  adhibita*)  sequitur: 

1 


P{q) 


Hinc  tandeni  provenit: 

1  1 


A  = 


(l-q^Xl-q^Xl-q^)...      [(l-^Xi-^s^^l—^S), .  .j2 

_   (i4-g)(i  +  g^)(i+g^)(i+g^)--- 

(l-g)(l-5^)(l-g3)(l-3-)... 
sive  ex  iis,quas  §.36.  dedimiis,  evolutionibus : 


1    _  ./2k'K 

Quantitäten!  illam,  quam  hactenus  indeterminatam  reliquimus ,   0(0)  po- 
namus  iam . 


1    _  4  l2k'K 


0(0)  -  ^ 
invejiitur  : 

(1.)  ©(-^-z^)  =  1—  2^i  COS  2x  +  2(/  cos  ^x  —  25^  cos  6a;  +  2q^^  cos  8^ 

(2.)  if(^^)  =  2v/^sin^  — 2v^^siii3^+2v/^^sm5.e  — 2v'psm7a;+•- 

*)  Videlicet  ponendo  successive  cj^,  q*,  q^,  ^"'...  loco  </  et  instituendo  multlplicationem  infinitam. 


232  KYOLUTIO  FUNCTIOKUM  ELLIPTICARLM. 

64. 

Aequationem  identicam  .   quam  antecedentibiis  comprobatum  ivimus : 

(1—  2q  cos  2x  -\-  2^)(1—  2rj^  C08  2x  +  q%\—2q^  cos  2x  +  q^^) . . . 
1 — 2qQ,o^2x-\-  2g*cos4.r —  25^^008 6a; +  2^^^ COS 8a; —  •  •  • 
=  {l-q:%l-q%l-q%l-q')... 

alia  adliuc  via,  a  praecedente  omnino    di versa,  investigare   placet.      Quem  in 
finem  tamquam  lemmata  antemittamus  formulas  duas  sequentes : 

_  ,,      q^      ,  a'^'  I  gV  ,    t!^ ^  .  ... 

^^•^  l^—qz){l—q;'z){l—q^2){l—q^s) . . . 

^  .   ■       g  ^         I  g' ^' 

^    1  —  2    ■     1  —  5^    "^    (l_^)(l_g2)    •    (l_2^)(^l_g2^) 
«9  ^3 


Ad  demonstrationem  prioris  observo ,  expressionem : 

{l+q^)(l+qh){l-\-q'^){l-{-q',) . . . , 
posito  qh  loco  z  et  multiplicatione  facta  per  {l-{-qz),  immutatam  manere ;  unde, 
posito : 

(l+5^)(l+g3_^)(l+2^^)---  =  1+^V  +  ^V  +  ^'VH , 

eruitur : 

1_^A'^_|_^"^2_|_^-^3_|_...    _   (l-|-g^)(l  +  J['2%  +  ^"gV-i-^'V^'+-") 

ideoque ,  facta  evolutione : 

A'  ==  q  +  q'Ä',     Ä"  =  q'Ä'-\-q'Ä",     Ä'"  =  q^Ä"-j- q^Ä'",  . . . 
sive: 


A'  -        ^  A"  -      '^"^'  A'"  -     '^'^' 

^    -T^q^'       ^     ~    1-2*'       ^      ~    l-q'"' 


unde: 


A'  =  ^-^,      Ä'  ^    ..      }L       ..  ,      A"'=  ^ 


1-9'^'  ~    (l-gO(l-g')  '  (l-2'Xl-g')(l-g') 

sicut  propositum  est. 

Ad  demonstrationem  formulae  (2.)  observo,  expressionem: 
1 

{\-qz){l-q'z){\-q^z){\-q'^)...  ' 


DE  EVOLUTIONE  FCNCTIONÜM    H,   0    m  SERIES.  233 

posito  qz  loco  ~   et  multiplicatione  facta  per ,  immutatam  manere ;  imde, 

i         1 — qz  ' 

posito : 

1 


obtinemus 


A's  Ä"z-  A"'z^ 

^"^  i-'z-  ^  (i-5~-)(i-??r+  (i-2^)(i-r/^)(i-./^+ •  • " 


11^^  I ^Z_^ ^ ^L_^ |_ 


J-V  .  Ä"q^z''  A"'q^z" 


_   .   I     (g  +  -^g>     I     (gM^+ri^^">^     ,  {q'A"+q'A"')z' 

Hinc  fluit : 

^'  =  q  +  A'q.     A"  =  5^'+  2^.4",  A'"  =  q'>A"+  cfA'",  . . . 

ideoqiie : 

A'=-^^,      A"=       -ß^,  A"'=    ^'^"  - 


1—q  1—q'  1—q^ 

linde : 


A'=^^—,       A"=- ^- ^,     A'": 


1-g  {l-?Z)(l-9')  (l-2)(l-2''^)(l-9') 

siciiti  propositum  est. 

lam  formemus  prodiictiim : 

j(l+g.)(l  +  rA)(l+5^^)...jj(l+|)(l+|^)(l+|^)-. 

2        1    *  g^  1     ,  q^  1  ) 


X    1  + 


^ _-] ^ - 


Coefficientem  ipsiiis  z"  sive  etiam  — ,  quem  ponemiis  B^"\  eruimus  sequentem: 


*)   Substituendo  scilicet  in  singulis  terminis  resp. =   1+         — , —  =   1  + 


^         =   l+^-^V,etc. 


1 — qz  l—qz'         1 — j*z  1 — j*2  * 


1—qh  1—qh 

I.  30 


234 


EVOLUTIO  FDNCTIONÜM  ELLIPTICARUM. 

qUH 


B^"^  = 


(l-r/)(l-r/).-.(l-g-^") 


X 


,  ,        q'  q'" I  q' ^/" 


q' 


5 


6» 


-:+ 


At  e  formula  (2.),    posito  q^  loco    q  et  z  =  q-'',   expressionem ,  quae  uncis  in- 
clusa  conspicitur,  invenimus 

1 


unde: 


ideoque 


B 


CO 


(l_22«+'2)(l_22«+4-)^l_22,<+6)(-l_22n+8)..  .     ^ 

(l-f/)(l-g^)(l-2«)(l-2«)--- 


(l+g^)(14-3^^)(l+r^)-  •  -j  {(l+|)(l+fr')0+7)  •  •  '1 

=  (l-2^)(l-r/)ä^«)(l-2«)-  •  ■  ■ 

sive,  posito  z  =  ^^  et  mutato  ^  in  — q: 

(1—  2^  cos  Ix  +  22)(1—  22^008  2a;  +  2^)(1—  2g^cos  2a:  +  q^^)  •  •  • 
1 —  2g  cos  2a;  +  2g*  cos  4a; —  2g^  cos  6ic  +  •  •  • 

Quod  demonstrandum  erat. 

Ubi  ponitiir  — qz^  loco  z  atque  per  "^qz  multiplicatur ,  prodit: 

^(.--i){(l-gV)(l-gV)(l-gV)...}{(l-|;)(l-|;)(l- 


sive,  posito  z  =  e^: 

2  ^g  sin  a;  (1 — 2g2  cos  2a;  +  g*)(l—  2g*  cos  2a;  -f  g»)(l— 2g*'  cos  2a;  +  g") 
2v'gsina; — 2v^g^sin3a;-|-2v^g'^siD5a;  —  2v^g'^^3in7a:-f-  •  •  • 
=  {l-q'Xl—q^l-q^l-cn---  ' 

quae  est  altera  evolutio  inventa. 


EVOLÜTIO  TERTIA  FÜNCTIONUM  ELLIPTICAEUM.  235 

65. 
Evolutiones  functionum  : 

(1.)  <^\——)  =   l—2qcos2x-\-2(/cos4:X  —  2q^co&6x-\-2q^^c08  8x 

(2.)         H{^-^-J  =  2\/q8mx~2\/q^smSx-\-2\/g^^sm5x—2\/q^^8m7x-] 

sponte  ad  evolutionem  novam  functionum  ellipticanim  ducunt.     Etenim  e  for- 

2Kx  ^  • 

mulis  (1.)  §.61.,  ponendo  u  =  -,    obtinemus: 

2Kx  1  V   TT  y 

sin  am 


V'7     e^L^) 


2Kx  4  /  f. 

cos  am  — - —  "^  \'  T- 


Y  ^(v(^+f)) 


0(^) 


Aam-^=    Mk ^72K^ 


unde 


,„  .       .  2Kx  1        2v''q'sina;  —  2v^ö^8in3a;H-2v'q'^^8m5a;  —  2 v'^^ sin  7a:- 4- 

(3.)     smam-— -  =  -7^'-^^    o..^^..J.  ..a..I\..      ....... o^  ,  oL^^.o^  - 


\^j^         1 — 2gcos  2x -\- 2q'^ cos 4:X — 2q^co86x-\-  2q^^co8Sx  — 

2Kx    _  ./¥    2\/qcosx-\-2\/^cosSx-\-2\fq^^cosbx-\-2\/q^^cos7x-\- 
i^  .;    cos   m     ^       ~  V  Z;  '      1— 2g  cos  2^  + 2g*  cos  4a;  — 2g^ cos  6a; +2^^^  cos  8ä;  — 


,    .       ,         2Kx    ijp        1 -j- 2g  cos  2a;  4- 2g*  cos  4a; +  2^^ cos  6a; +2g^^ cos  8a; + 

^  ''  ~  ^  1 — 2g cos 2a;  +  2g* cos 4a;  —  2g''cos'6a;+2g^'^cos8a;  — 


Porro  e  (2.),  (3.)  §.61..  cum  positum  sit   0  0";  =  V- ,  obtinemus: 

GiK)  =  \J^,    H{K)  =  \/^,     0(0)  =  \/^.    iZ'(O)  =  \/^, 
unde  e  (1.),  (2.): 

(6.)  y^    =  14-2g  +  2g*4-2g9-f  2gi6^2g25^ 

(7.)  \~-  ==  2v'g4-2^r7+2v'g^^  +  2vV'  +  2v¥''  +  --- 


30 


236  •        EVOLUTIO  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

(8.)  \/^        =  l-..2ä  +  LV-2./+2r/6-2r/^+..- 

linde  etiam-: 

2(/V74-  2\j'cf-\-  2  v^^s  +  2 f^»  +  2^?i  H 


14-25  +  25*  +  2^9  +  S^^*'  +  2^25  + 


Fit  poiTO,  cum  Sit  Z'?(^  ^    ^;  .  >  lliu.a)  =  wZia]  +  — ioo-^r-^ — ^ — f : 
•^  -  ©(«O  ^      '  ^  ^    '    2     ^  S{u-\-a) 

2K       f2Kx\  _       45siD2^  — 85'*sin4a-  +  12g^sin6.r  — 16g^Sin8a;H 

^  TT  V   -   /  1 — 2^  COS  2a;  +  25*  COS  4.C  —  22^cos6iC  +  22^^cos8a; — •• 

(13.)  ^KiT'  ~^ry 

_  2Za;       /2jS'^\       1         1—  2g  cos  2(a;  —  ^)  +  2g*  cos  4(a;  —  ^)  —  2g^  cos  Q{x  —  A)-\ 

■~  "V '     \   r.    )  "^  "2   ^^  1—  2g  cos  2{x-\-A)^  2g*  cos  4(a;  +  A)  —  2q^  cos  6(a;  +  ^)  -j 

Quae  est  evolutio  tertia  functionum  ellipticarum. 


66. 

Ex  evolutionibus  inventis : 

(1.)  [{l—q^){l—q%l—q^)---^il—2qcos2x-\-q'^)(l—2q^COs2x-\-q%l—2q^COS2x-\-q^°)- 
=  1 —  2g  cos  2x  +  2g*  cos  4:X  —  2g^  cos  6x  +  2g^^  cos  8ä; • 

[(1— g^)(l— g*Xl— g^)  •  •  -Jsin x{l  —  2q^cos  2x  +  g*)(l— 2g*cos  2a;+g«)(l— 2g6cos  2x  +  g^*)  • 
=  sinit  —  g-sin3A  +  g^sin5a;  —  g'^sin7.T  +  g'-°sin9x ; 

quarum  postremam,  posito  \lq  loco  q,  ita  quoque  exhibere  licet: 

(2.)   [{l—qKl—cf){l—f)" •] sin a;(l— 2g cos  2a;+g2)(l— 2g''^ cos  2x  +  g*)(l— 2g3cos  2x-\-q^)- 
=  sinx  —  g sin 3a; +  g^ sin 5a;  —  g^sin7a;  +  g^°sin9a;  —  g^^ sin  IIa;-] —  •, 

sequitur ,  posito  a?  =  0 ,  jr  =  -^ : 


*)  Etenim,  cum  sit =  .  -— — ;    difTerentiata  (2.)  secundum  x  et  posito  deinde  x  =  0,  prodit 

dx  ~        du 


^H.(o)  =  y/u<?^ 


2^Y 


EVOLÜTIO  TERTIA  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM.  237 

(o  ^        (1— ?)  (1— (z')(i— g')(i— ^)  •  •  • 

(A^         (l-^')(l-?^)(l-g«)fl-fy«)---  -,  ,       ,     3  ,     6,     10.     1-, 

(^•^  (i-g)(^i-,,a)(i_,^5^(i_^T7   =  1  +  2  +  5^  +  5^ -f5"  +  2^^+.-- 

(5.)         [(l-2)(l-f/)(l-23)(i_,^4)...j3  _  i_3,^4.5^3_7,^6_|_9^io 

Ponamus  in  (2.;    oc  =  ~^  ,    fit    sin^  ^_f_^J-,    sin 3^  =  0,    sin5^  =  "  V^—  ' 

sin  7er  =  +\/|-'  etc.;     porro    (l_^)(i_2^cos2^  +  ^2)  =  1  — 5^,    uude  (2.)  in 
hanc  abit  formulam: 


sive : 


(6.)  (I_5)(l_g2)(l_^3)(l__^4)   .   .   .     _    l_^_g2_|_^5^,^7_,.,2 


5'^— 


cuius  seriei  terminus  generalis  est 


Snw  +  T» 

(-1)"5     '^      • 
Comparatis  inter  se  (5.),  (6.),  obtinemus: 

(7.)  [;i_g_52_|_g5  4.,/_2l2 J3    _     1_  3,^  ^  5^3  _  7^6  _^  g^lO , 

Formulam  (4.:  etiamCl.  Gauss  invenit  in  commentatione :  Summatio  se- 
rierum  quaruiidam  singularium.  Comm.  Gott.  Vol.  I.  a.  1808  — 1811.  Quam  ille 
deduxit  e  sequente  formula  memorabili: 

/ox  (l-g^)(l-g^^)(l-g^^)(l-g^^) . . . 

=  1   I    g(l-^)     ,     g^(l-^)(l-g^)     ,    g^(l-^)(l-g^)(l-f/^) 

posito  z  =  q.     Cui  addi  possunt  formulae  similes,  quarum  demonstrationem  hoc 
loco  omitto : 


(9.) 


1  (l+^)(l  +  g^)(l  +  g2^)...  1       (l-^)(l-g^)(l-g2^)... 

2  (l  +  g)(l  +  g2)(i_^^3).,,     -h   2       (l  +  5)(l  +  ,/)(14-^3),., 

1-q'     ~^      (l-q^Xl-q^)  (l_52)(i_^4)(i_g6)        "t"  " 


^      '^  2z     (l  +  g)(l  +  22)(i_|_^3)...  2^       (i_|.5)(i+52)(i  +  53), 


=  g 


4(i_^.2)         ,^9(i_^2)(i_g2^2)  q^^{l-,-%l-q^,^){^V-q^z') 

1-g'    -^    (i_22^(i_2.)  (i_22)^i_g4)^i_,/)     -^•••' 


238  EVOLÜTIO  FÜNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

quarum  (9.),  posito  z  =  q,  praebet: 

1  1      (1  — gXl-g^)(l-g^)---      _    1         ,     ,    ,4_,9     , 


sive: 


=  l_2^+23*  — 2^9  + 


(l+^)(l  +  r/Xl+r/Xl+^/). 
quae  est  formiüa  (3.). 

Fonnula  (6.),  quae  profundissimae  indagiriis  est,  ut  quae  a  trisectione 
functionum  ellipticarum  pendet,  iam  e  longo  tempore  a  Cl°.  Euler  inventa  est 
et  luculenter  denionstrata.  De  qua  insigni  demonstratione  alibi  nobis  fusius 
agendum  erit. 

His  addamus  evolutiones  sequentes: 


(11.) 


2v^[(i-rli-g'Xi-g'Xi-g')---T 


(1 

—  25  cos  2x  +  cf){l 

—  25-''cos2x 

+  2'X1- 

-2q^ 

cos2a;-f- 

a'')--- 

2^(1- 

-<f) 

2^?(1- 

-q') 

1 

2\f^^{l- 

-q'') 

1- 

-2g|cos 

2x-\-q^ 

1 — 25^  cos: 

2x-^q^ 

1      1- 

—  2q^cos 

2^^4-2^" 

[(1- 

f/Xi-5*Xi 

-q'){l- 

-q')- 

■•? 

H-/^?^^  sma;(l— 222cos2a;4-2*Xl— 2g^cos2a;-|-2»Xl— 22*^cos2a;+2i2^ 


42^(1 4- 5^)  sin  a;  45^(1 +g^)  sin  a;  4:q^\\-\-q^)ünx 


sinic        1 — 2g''' cos 2a;  +  3*     '    1  — 2^* cos 2a: +  5*        1 — 2q^c,o^2x-\-q^^    ' 

=     1     j     (1-g^Xi-g*)  g^(i-g^Xi-g^)     I     g^(i-g^Xi-g^^)  ) 

sina;  1  1— 2(/2cos2a;  +  5*        1— 25*cos2a;  +  2**  "^  1 — 2q^(io»2x-\-q^'^  \* 

quae  e  nota  theoria  resolutionis    fractionum  compositarum  in   simplices  facile 
obtinentur. 

Hinc  deducuntur  evolutiones  speciales  : 

(,3.)     ^  ^  ,vKi±?)-^vKi±i:)+.v^<i±ä::)-... 

(A±\  ^KK  -  1 ^ I       ^q'  4r/  4r/" 

^  ^  T.       ~  l-\-q  "^  1+9'         1+2^  "^  1+r/ 

Quibus  cum  evolutionibus  expressionum  — '^ — ,   — —  supra  exhibitis  compara- 

TT  IC 

tis,  prodit 


EVOLUTIO  TERTIA  FCNCTIONUM  ELLIPTICARÜM.  239 


\lq  \lq'  \Jq'  \lq'  /1  +  52.  n-^q^\  /i_^,/ox 

Simili  modo  Cl.  Claus  en  nuper  observavit ") ,  seriem: 


1—2       1—2'        1—2'  ^  1— ö*  "^      ' 
transformari  posse  in  hanc : 

Invenimus  siipra  evolutiones  ipsomm  -—--,  — ---  eorumque  dignitatum 
secundae,  tertiae,  quartae  in  series.  Qiiae  igitur  evolutiones  dignitatis  secun- 
dae,  quartae,  sextae,  octavae  expressionum : 

suppeditant,  unde  varia  theoremata  arithmetica  Üuunt.     Ita  exempli  gratia  e 
formula : 


{—)   =   |l+2g  +  2g^+2g94-2gi«+...j^ 

-IJ-sf      ^       I       2g^  3g3  42* 


=  1  +  SicpQj)  j  2^»+  Sq^P-\-Sq^P  -{-3q^P-\ j ; 

ubi  p  numerus  impar  quilibet,  cp(jt>)  summa  factorum  ipsius  p,  fluit  tamquam 
corollarium  theorema  inclytum  Fermatianum,  numerum  unumquemque  esse  sum- 
mam  quatuor  quadratorum. 


*)  Grelle  Journal  etc.   Toni.  III.  j^ag.  95. 


I 


ADDITION 

Aü  MEMOIEE  DE  M.  ABEL 

SÜE  LES  FONCTIONS  ELLIPTIQüES 

VOL.  II.  P.  101  DU  JOURNAL  DE  M.  GRELLE 


PAK 


M.   C.   G.   J.   JACOBI 

A    KCENIQSBEBG. 


Grelle  Journal  für  die  reine  nnd  angewandte  Mathematik,  Bd.  3.  p.  85. 


I.  31 


243 


ADDITION 
AU  MEMOIRE  DE  M.  ABEL  SUR  LES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES. 

VOL.  II.  r.  101  DU  JOURNAL  DE  M.  GRELLE. 


M.  Abel  dans  son  excellent  Memoire  sur  les  fonctions  elliptiques  a  prouve 
le  premier,  que  les  equations  du  degre  nn,  desquelles  depend  la  division  d'une 
fonctioii  elliptique  de  premiere  espece  en  n  parties,  peuvent  etre  resolues  al^-e- 
briquement.  Cependant  la  methode  de  cet  auteur  est  susceptible  d'une  brande 
simplification.  Je  veux  la  proposer  ici  en  deux  mots,  en  me  servant  de  la  nota- 
tion  de  M.  Abel. 

Si  l'on  designe  par  f,  q  deux  racines  quelconques  de  l'equatioii 
^2«+i — j  =  0,    on  aura  l'expression 

egale  ä  une  expression  de  la  forme 

2n+l 


V/^  +  5A(2w+l)ß)F((2n+l)I3)  , 
Ä  et  B  etant  des  fonctions  rationnelles  et  entieres  de  cp((2w-|-l)ß).  Or,  en  don- 
nant  k  p  et  q  toutes  leurs  valeurs  possibles .  on  pourra  au  moyen  de  ces  expres- 
sions,  qui  seront  au  nombre  de  {2w-f-l)^  exprimer  lineairement  toutes  les  ra- 
cines, Sans  avoir  besoin  de  resoudre  encore  une  equation  du  w**"**  degre.  Aussi 
on  saura  exprimer  toutes  les  racines  au  moyen  des  puissances  entieres  de  deux 
de  ces  expressions. 

Koenigsberg,   25.  Janvier  1828. 


31 


NOTE 

Süß  LA  DECOMPOSITION  D'ÜN  NOMBRE  DONNE 

EN  QUATEE  CAEEES 


PAR 


M.   C.   G.   J.   JACOBI 

PROF.    EN    PHIL.    A   KÖNIGSBERG. 


Grelle  Journal  für  die  reine  und  angewandte  Mathematik,  Bd.  3.  p.  191. 


247 


NOTE  SUR  LA  DECOIVIPOSITION  D'UN  NOxMBRE  DONNE 
EN  QUATRE  CARRES. 


Soit  n  un  nombre  impair  quelconque ,  on  sait  que  \n  peut  etre  decom- 
pose  eil  qiiatre  carres  inipairs. 

S"il  s'agit  de  tous  les  quatre  nombres  possibles  a,  b,  c,  d,  tels  que 
a} -\- b^ -\- c^ -\- d' =  An ,  une  meme  decomposition  en  quatre  carres  differents 
entre  eux  donnera  24  =  1  .2.3.4  manieres  de  determiner  a,  b,  c,  d.  Si  deux 
de  ces  carres  sont  egaux ,  ce  nombre  se  reduit  ä   1 2  =     '    '    ' — .      Si  encore  les 

deux  autres  sont  egaux,  le  nombre  sera  6  =  , '    \  '    ,  et  il  sera  4  =     '    "  '     , 
"  1.2.1.2  1.2.3 

si  trois  des  quatre  carres  sont  egaux;   enfin  il  sera  1,  si  les  carres  sont  egaux 
tous  les  quatre. 

Cela  pose,  je  tire  de  la  theorie  des  fonctions  elliptiques  le  theoreme  suivant: 

Soit  n  un  nombre  impair  quelconque,  si  l'on  peut  trouver  de  m  manieres 
quatre  nombres  impairs  a,  b,  c,  d   tels  que  a^ -}- b^ -\- c'^ -\- d^  =  4n,  en  ayant  at- 
tention de  compter  une  meme  Solution  autant  de  fois  que  les  quatre  carres  peu- 
vent  etre  permutes  entre  eux .  7n  sera  egal  a  la  somme  des  facteurs  du  nombre  n. 
Donc  si,  par  exemple ,  w  est  un  nombre  premier,  on  aura  m  =  n-j-l. 

Soit  par  exemple  ?i=  15,  on  a  4.15  =  60  =  i-f-i-|-3^+7^  =  5^-f-5^+14-3'. 
Puisque  deux  carres  dans  ces  deux  Solutions  sont  egaux  entre  eux ,  on  a 
m  =  12-1-12  =  24. 

Ce  theoreme  remarquable  parait  etre  assez  difficile  ä  demontrer  par  les 
methodes  connues  de  la  theorie  des  nombres.     La  demonstration  fournie  par  la 
theorie  des  fonctions  elliptiques  est  entierement  analytique. 
24.  Avril  1828. 


NÖTIGES 


SUR 


LES  FONCTIONS  ELLIPTIQÜES 


PAB 


M.    C.    G.   J.    JACOBI 

PROF.    EN    PHIL.    A    KCESIGSBEEG. 


Grelle  Journal  für  die  reine  und  angewandte  Mathematik, 
Bd.  3.  p.  192—195,  303—310,  403-404,  Bd.  4.  p.  185-193. 


32 


NOTE  SUR  LES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES. 

(Extrait  d'une  lettre  ä  M.  Grelle.) 


Je  commence  par  rappeler  ma  notation  ä  la  memoire.     Soit 


f 

J  0 


=  «, 


je  designe  Tamplitude  cp  par  cp  =  am«.     Puis  je  suppose 
Ja    VI— *'sin'o  ^o    VI— i'^sin^o 

2  2 

on  k  -{-k'  =  i,  k'  etant  le  complement  de  k, 

Cela  pose,  si  Ton  fait  e   -^    =  ^>  j^  trouve  entre  autres : 

,  q  25  49 

2Kx  2  gTsina;  —  <j^ sin 3:c  +  ^ *  sin 5a;  —  g*sin7ic  + 


^  -  •  y7-     1 — 2gcos2:r-|-22^cos4a;  —  2q^Q,o^ßx-\-2g^^co^d,x — •• 

Voilä  encore  d' autres  formules : 

(  .)  cosam— ^  —  2y-^-   i_22 cos 2a; +  22* cos 4a;  — 2^9 cos 6a; 4- 22^6 cos 8a; ' 

,    .i  /       ,2  .  2      2Za;_        /y-,     1-f  2g  cos  2a: +  2g^  cos  4a:  H-2g^  cos  6a;  4- 2g^^  cos  8a; -I 

(3.jyi     Äsinam-——      yA;  •  1  _ 3^ cos 2a;  +  2f/ cos 4a:— 25^008 6:r  + 2^16^08 8a: ' 

X      ,  .        oX  „      .        OX  /;     .         iX      1         in      •        '^^       I 

(4.)-    tang^am^^  =  — ^ ^^ ^  ^^  ^  -^^^ 

COS  - — 3cos-r g^cos— -4-2  cos-r-+g'^"cos-^ • 

2  2  2  J  ^ 

Les  exposants  des  coefficients  des  trois  premieres  formules  sont  les  nombres 
carres,  ceux  de  la  derniere  formule  les  nombres  trigonaux.  Donc  les  series 
convergent  si  rapidement,  que  leur  calcul  est  tres-aise. 

32* 


252  NOTE  SUB  LES  FUNCTIONS  ELLIPTIQÜES. 

-K't. 

De  q  =  e   ^      on  tire  les  series  suivantes  pour  k  et  K: 
'2Z 


s/' 


1  9  2  5  4  9 


Je  passe  sous  silence  d'autres  formales.  Dans  l'etat  actuel  des  choses  on  peut 
dire  qu'une  serie  soit  somniee,  si  eile  a  ete  reduite  aux  fonctions  elliptiques. 

L'analyse  se  trouve  extremement  enrichie  par  lä.  Euler,  par  exemple, 
remarque  dans  son  Introductio ,  chapitre  de  partitione  numerorum  que  le  prodiiit 
{l-q){l-f){\-q^{i-q')...   est  egal  ä 

oü  les  exposants  sont  les  nombres  pentagonaux ,  resultat  qu'il  a  demontre  dans 
les  Acta  Petrop.,  qiii  m'a  toujours  paru  tres  -  remarquable  et  qui  etait  un  fait 
isole  dans  l'analyse.     Cette  serie  peut  etre  sommee  par  les  fonctions  elliptiques« 

Si  q  =  e  ^    ,  je  trouve : 

II  existe  encore  nombre  de  resultats  semblables. 

D'ici  on  peut  jeter  un  beau  coup  d'oeil  sur  la  theorie  de  la  transformation. 

Je  ferai  voir  dans  un  memoire  plus  etendu,  non  encore  fini  ä  mon  grand  regret, 

qu'un  module  donne  peut  toujours  etre  transforme  en   7i-{-l   autres,  au  moyen 

d'une  Substitution  qui  se  rapporte  au  nombre  w,  ce  nombre  etant  premier  (voyez 

ma  premiere  lettre  ä  M.  Schumacher,  no.  123.  de  son  Journal  d'astronomie)*). 

Je  trouve  ces  ?i-{-l   modules  et  les  expressions  qui  s'y  rapportent,  en  mettant 

i_      1.        i_        i_  1^ 

2",  5«,  ag",  0.  q^,  a  q»,  .  .  .   ol""^^"   au  lieu  de  q,  oü  a"  =  1. 

Deux  seulement  de  ces  modules  sont  reels.     Ils  sont: 

n^  9jt  25n  49u  1  9  25  49 

^^  '  l-{-2q>'-\-2q*>*-}-2q^"-^2q^^"-\ '     aV^—  ^  ^  ^  i6  ' 

l  +  2g"  +22»  +22"  +22"  -\ 

oü  X  est  le  module  transforme.    Si  n  n  est  pas  premier,  il  y  en  a  encore  plusieurs. 

*)  Voir  p.  31  de  ce  volume. 


NOTE  SUR  LES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES.  253 

Le  resultat  suivant  entre  autres  me  semble  remarquable.  II  existe  tou- 
jours  iine  equation  differentielle  du  troisieme  ordre  entre  deux  modules  k  et  X, 
tels  qu'ils  peiivent  etre  transformes  Tun  dans  l'autre.     Voici  cette  equation : 

"*  VrfÄV         dU  '  dk^  "^  \dkJ  \  \Jc-kV      VA— A^y  \dkJ  (   "  " ' 

oü  dk  est  constant.  ()n  voit  que  cette  equation  differentielle  admet  un  nombre 
infini  de  Solutions  algebriques ,  savoir  toutes  les  equations  algebriques  entre  les 
modules  qui  se  rapportent  aux  transformations  de  divers  ordres.  Mais  ce  ne 
sont  que  des  Solutions  particulieres.  Ce  sont  les  transcendantes  elliptiques,  qui 
offrent  la  Solution  generale.     Si  Ton  suppose 

fj-  do  ^   ^  Ct  d'z>     _   ,^, 

oü  X  -}-  ^'   =  1 ;  comme  ci  -  dessus ,  on  a : 

A'  niK+m'K' 


A  pK-{-p'K' 

oü  m,  m',p,p'  sont  des  constantes  arbitraires.  Ces  equations  aux  modules  qui, 
d'apres  ce  qui  a  ete  dit  plus  haut,  s'elevent  au  degre  n-{-l,  n  etant  un  nombre 
premier,  ont  trois  proprietes  essentielles.     Elles  restent  invariables, 

1)  si  l'on  change  A:  et  X, 

2)  en  posant  k'  et  X'  au  lieu  de  k  et  X, 

3)  en  mettant  —  et  —  au  lieu  de  k  et  X. 

II  est  d'ailleurs  remarquable,  qu'elles  prennent  la  forme  la  plus  simple  pour 
la  racine  quatrieme  des  modules.  Si  par  exemple  on  met  V^*  =  u,  VX  =  y, 
on  trouve : 

«*  —  v^  —  2tiv{l — ii-'v^)  =  0,     pour  w  ^  3, 
u^  —  v^-\-5u^v\2r-^v'^)  —  Auiil—ii'^v^)  =  0,     pour  >i  =  5  . 

Donc  il  faut  que  ces  equations  satisfassent  ä  Tequation  differentielle  rapportee 
ci- dessus. 

J'ajoute  encore  une  remarque. 

M.  Abel  a  propose  tome  II.  page  286.  du  Journal  de  M.  Grelle  le 
theoreme  suivant: 


254  NOTE  SUR  LES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES. 

„Si  l'equation  differentielle  separee 

adx  dy 


oü  a,  ß,  Y,  ^,  £,  a  sont  reelles,  est  algebriquement  integrable,  il  faut  necessaire- 
ment,  que  la  quantite  a  soit  un  nombre  rationnel." 

On  voit  Sans  peine  que  ce  tlieoreme  est  semblable  ä  celui  de  la  trigono- 
metrie  analytique,  savoir  que  n  doit  etre  un  nombre  rationnel,  si  l'on  veut  que 
sinwa?  puisse  etre  exprime  algebriquement  par  sino?.  Mais  il  faut  etendre  ce 
theoreme  beaucoup  plus  pour  les  fonctions  elliptiques.  II  existe  un  nombre  infini 
d'echelles  de  modules  pour  lesquelles  a  peut  aussi  avoir  la  forme  a-\-hy  —  1. 
Ce  sont  tous  ceux,  oü  le  module  par  la  transformation  se  change  dans  son  com- 
plement.  Un  de  ces  modules  par  exemple  est  k  =  y' i .  Cette  nouvelle  methode 
pour  la  multiplication  est  encore  remarquable ,  parcequ'elle  a  lieu  dans  les  cas, 
oü  la  transformation  rentre  dans  la  multiplication,  c'est-ä-dire  oü  le  module 
transforme  devient  egal  ä  celui  d'oü  l'on  est  parti.  Par  exemple  pour  w  =  5, 
k  =  \/f ,  u  =  \j'^,  on  trouve  que  l'equation 

a  la  racine  u  =  (l-j-V — i)u^^   d'oü  l'on  tire    v^  =^'i^  =^^,    de  sorte  qu'on  a  ici 
X^  =  Ä^.     Tout  cela  decoule  immediatement  des  principes  etablis  par  M.  Abel. 
Kcenigsberg,  2.  Avril  1828. 


SUITE  DES  NÖTIGES  SUR  LES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES 

(Extrait  d'une  lettre  ä  M.  Grelle.) 


J'ajoute  aux  formules  donnees  dans  ma  derniere  lettre  les  developpements 
des  fonctions  elliptiques  de  seconde  et  de  troisieme  espece. 
Soit,  en  adoptant  la  notation  de  M.  Legendre, 

TT  7t 

J  0  J  0  J  0    ^  ^  0    ^ 

de  maniere  que  F^  soit  ce  qiie  je  designe  par  K:  si  Ton  met 

9  =  am — - — )        q  =i  e         , 

conformement  ä  la  notation  dont  j'ai  coutume  de  me  servir  poiir  ma  part,  on  aura: 

(1)    F'E(")      F'F(")  =  2-       gs^P^^  — ^^/sin4a;4-3f/sin6a;— V6sin8:r-| 

^  '^  ^^^  ^^^  '^  l  —  2qcos2x-{-2q*coä4x—2(fcos6x-\-2q^^coä8x 

(  qsm2x        g^ sin 4a;        g^ sin 6a;  l 

M.  Legendre  a  demontre  que  Texpression  suivante,  dependante  des  fonctions 
elliptiques  de  seconde  et  de  troisieme  espece : 

r ''  2k'  sin  A  cos  A  A  ^  sin'y  j^  _  jf(?l  ip^EjA)  -  E'FjAf; , 


raste   la   meme    si    Ion    echange  entre  eux  les  angles    A   et   <f.       Si  Ton  met 

2Kx        ,                 2Krj.     ".     ^  .  n         .    -      1     < 

cp  =  am — ■ — y  A  =  am ,  je  trouve  quelle  est  egale  a 

1 — 2^co8  2(a;  —  7.)  -|-  2q^  cos  4:{x  —  a)  —  2g"  cos  6{x  —  a)  -| 

^^ "  1— 2g  cos  2  (a;  -fa)+^?c"ös4(a;  +  o.)  —  2g"  cos  6{x  +  a)  4 

(  g8in2asin2,y-        g^sin4asin4a;    ,    g^sinöa  sinöa,'  | 

^     ~     \        1=?         +       2(1—2*)"""'         3(1—3«)        +■■'!' 


256  SUITE  DES  NÖTIGES  SUR  LES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES. 

formules  symetriques  en  a  et  a?,  et  dont  la  premiere  embrasse  tous  les  cas  des 
fonctions  elliptiques  de  troisieme  espece ,  pourvu  qu'oil  donne  ä  a  des  valeurs 
reelles  ou  imaginaires  quelconques. 

On  peut  remplacer  les  fonctions  elliptiques  par  la  nouvelle  transcendante  : 

1 — 2g cos 2a; +  25* cos 4a:  —  23-^ cos 6a;  +  S^i^^ cos 8a: =f  Q{x). 

Si  l'on  met  — log^  =  -^^-  =  co,    i  =  V — 1  ,  on  aura: 

(3.)  0(a:  +  7r)      =  Q{x), 

(4.)  e(a;  +  m)    =  _^e(a:), 

(5.)  e(^)      =0, 

(6.)  ^(^  +  1)  =  0(^'-^)- 

-iC^.e^e(a;  +  -^)  =  i^^.e-'-^e(x-^)  =  H(a;), 


Seit 


on  aura; 


R{x)  =  2v'^sina;— 2v^sin3a;  +  2v^sin5a;  — 2v^sin7a;-|- 
()n  aura  de  plus: 

(7.)  H(a;  +  z)         =  -H(a;), 

(8.)  H(.  +  f )  =  |^e(.), 

(9.)  ^r+Ty  ^  -^s(^), 

(10.)  H(iüi)  =    0, 


—2« 


(11.)  R{x-\-iiii)     =—- E{x). 

Les  fonctions  elliptiques  peuvent  etre  exprimees  par  les  fonctions    Q{ai)  et  H(j?) 
qu'on  peut  reduire  ä  une  seule ,  au  moyen  des  formules : 

2^a;  1       E{x) 


(12.)  sinam 


\k  ^-K^y 


,,_  2Kx       jv  ^r+2 

(13.)  cosam-^  =  V^ ^^- 


SUITE  DES  NÖTIGES  SUR  LES  FONCTIONS  ELLIPTII^UES.  257 

(14)  M^m—-  =  ^k.-^^^ 

Les  constantes  k,  k',  K  se  trouveiit  a  l'aide  des  formales : 

I  OTT  /—  \ 

(15.)                  y--    =  0(2^  )  =   l  +  2r^  +  25^  +  2r/+22^«+... 
(16.)  y  — _— =    e(0)      =  1  — 2g  +  2r7*  — 2^^-1-2^^« 

(17.)  \/^  =  V/^.Ö(|  +  ^-)  =  h(|)  =  2v*/7+2v/2^+2y^+.  .  . 

La  fonction  elliptiquc  de  troisierae  espece  (2 .)  devient  simplement : 

.       Q(x — a) 


On  tire  de  l'equation  (12.)  les  deux  autres  (13.).  (14.',  le  theoreme  d'Eiiler  sur 
la  sommation  des  fonctions  elliptiques.  reqiiation  difFerentielle 

,  .          2Kx          2K              2Kx  ,         2Kx  ^ 
d  sin  am = ^  cos  am Aam dx 

TT  -TT  T:  7t 

et  quantite  d'autres  formules .  a  l'aide  de  reqiiation  identique : 

(18.)        nix,gi)  ©KX,2)-H(X,2)  %{x,^)  =  h(^^-,  V^)  h(|-^-  ,  ^q), 

ou  en  d'autres  termes  : 

(19.)  {_\lqmux  —\lq^  %mZx-\-\[q^ ^iTihx ][1— 2(7 cos 2X+2g^ cos 4X  — 2^*^008 öX-^j ] 

—  [V^sinX— v^sin3X+v'g"sin5X ][1— 25Cos2ic  +2g*cos4^  —2(f(i08Qx  -] ] 

Jsj~.    x—X       «,-9.    Z{x—X)    .   8/-25  .     5(a;— X)  "l 

=   2\\lq  sm  — Sjq^  sm +  \jq^^  sm     ^ 

^^  's,-       x-\-X    .   sr-g        3(a;+X)    ,    «/^        h{x+X)    .        1 

equation  remarquable  et  facile  a  demontrer  au  moyen  des  premiers  elements  de 
la  trigonometrie. 

Les  fonctions  %[x^  et  Yi{x)  peuvent  etre  resolues  en  facteurs.     On  trouve 

%{x)   =  0(1— 2g  cos  2^4- g»)(l—22^  cos  2^^  +  36^(1— 2^5  cos  2a;  4- 2^0-)... 

H(a;)  =  2\lqC%mx{\-~2q^(i0^2x-\-q%\:—2q'^Q0s2x  +  q^){l  —  2q'^C0B2x-\-q^^)..., 
C  etant  une  constante.     En  appliquant  seulement  ä  ces  formules  le  theoreme  de 
C6t«s,  on  trouve  sur-le-champ  la  theorie  generale  de  la  transformation  et  de  la 
I.  33 


258  SUITE  DES  NÖTIGES  SUR  LES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES. 

multiplication  des  fonctions  6  ou  H,  et  par  suite  en  meme  temps  celle  des 
Ibnctions  elliptiques.  En  effet,  on  a  suivant  le  theoreme  de  Cotes,  n  etant  un 
nombre  impair  quelconque: 

(20.)  e(:.)8(a:  +  ^)e(^  +  ^).  .  •  e(:.+  ^^)  =  C'Qinx^q^) 

(21.)     (_i)VH(:r)H(^  +  ^)H(^  +  ^)...H(^  +  -^— )  =  C'E{nx,cf), 


C  etant  une  autre  constante.      Nommons    K^"\  A'^"^   les  quantites  qui  dependent 
de  la  meme  maniere  de  q"  qiie  Jl,  A:  de  q :  on  tire  de  la  formule 


/2Kx    ,\  1     B.(x,q) 

V    TT         /  Kh    B(x,q) 


la  suivante: 

smam    ;  ä;W     =  — =      ^  ^  ' 


Cela  pose,  les  equations  (20.),  (21.)  etant  divisees  Tune  par  1' autre,  on  en  tire: 

/2wZW^     ,,  A 
am  am  (  ;  /(;(")  ) 

=  ( — 1)  2  y— -ginam sinam — [xA jsinam^ — [.xA )-"Smam — {x-\-— —), 

formule  generale  pour  la  transformation  des  fonctions  elliptiques,  teile  que  je 
Tai  etablie  le  premier.  On  trouve  d'une  maniere  analogue  les  autres  transfor- 
mations  reelles  ou  imaginaires  attachees  au  nombre  n. 

Puisque  les  fonctions  elliptiques  s'expriment  aisement  ä  l'aide  de  la  fonction 
^ix),  on  peut  essayer  reciproquement  d'exprimer  celle-ci  par  les  fonctions  ellip- 
tiques.    On  y  parvient  en  integrant  l'equation  (1.).     Cela  donne: 

(22.)  log^M.  =  riLm^EiL^ii,, 

iKx 
(f    etant  toujours  l'amplitude  de On  peut   aussi    exprimer  la   fonction 

log— -===  au  moyen  d'une  integrale  definie.     En  effet,  la  formule  (2.)  donne 
1  /  2k' K 


SUITE  DES  NÖTIGES  SUI?  LES  FONCTIONS  ELLIPTIQüES. 


259 


t'K^-VK 


C.   c 


u 


(■i 


"^fy^t  U^i- 


.kLL  r^^% 


^      Sl    «^    < 


k^f^r-^ 


-E'F(Ä)) 


4-^—»    une 

Ott) 


its  suivants 


258  SUITE  DES  NÖTIGES  SUR  LES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES. 

multiplicatic "    "^""    ^ — ^i-^^^..    u  r.,,   tt      of  -.-xcy  cnitr>  an   1T1P-T10  fpmns  r-p^le  des 
fonctions  el 
nombre  imj 

(20.) 

(21.)     (-] 

C  etant  iii 
de  la  meme 


la  suivante: 


Cela  pose, 


=(-1) '  V 

formule  ge 
Tai  etablie 
mations  ree 
Puisc 
6  (a?) ,  on  pe 
tiques.     Oi 

(22.) 


9   etant  to 
./2k'K 


SUITE  DES  NÖTIGES  SUR  LES  FONCTIONS  ELLIPTIQüES.  259 

Fassons  ä  d'autres  objets.     Etant  mis,  comme  ci-dessus, 

—  TT' 

tu   =   —\0^q   =    ^^, 

on  a 

^{x)  =  1— 2e-'"cos2x4-2e-'""cos4Ä;  — 2e-9'»cos6^H 

«u  9oj  25«)  4901 

B.{x)  =  2e~^sin^  —  2e~~^  ^\n^x-\-2e~~^  mnhx  —  2e~'^  &mlx-\ • 

De  lä  011  tire 

(OA  ^  ^^^       A  ^0     ö^H       ^  an 

OX^  Ö(o  ÖiC'*  Öa> 

II  existe  entre  les  deux  integ-rales   z  =  ^.   z  =  TL   de  l'equation    -^  =  4-^ 
-        -     .  dx^  dui 

la  relation 

e(x)  =  ie-^'''+^)R(x-'-^). 

Generalement   z  =  (S(<ry    etant  une  integrale  de  Teauation    =  4-—,    une 

autre  sera 

2  =  e   ^      4    @f a; —  J» 

theoreme  facile  ä  verifier. 
Soit 

/  2Ä''  7(^ 

'  TT 

V  =  \JmQ^  =  2\lq—&\lq^^\0\l'^—l4.\f^-\ > 

on  tire  des  equations    -^-^  =  4  ^-— ,  -r-^  =  4  -r —    les  developpements  suivants 
de  6  et  de  H ,  savoir : 


(25 


^  R  —  (2a:)^    <?t<         (2a:)^     (^^'^i {2xY d^u 


2       d(ü^  2.3.4    diü^^    2.3.4.5.6    dta^  ^ 

33* 


260  SUITE  DES  NÖTIGES  SÜR  LES  FONCTIONS  ELLIPTIQÜES. 

(26.)  ^^  —  ^^^  +  173"  (Z«> +  2.3.4.5    t^m^  +  2.  3-.4.  5.6.  7    f?«)*  "^ 

C.'ela  clonne : 

,    (2a;)3  dv    ,      (2a;)5      (Z^v    ,  i^xf  dH    , 

2Kx    _      1  ^   2.3  ^o)  ^2.3.4.5  (^o^  ^2  .  3  .4.5.  6.  7  <?a)^  ^ 

(27.)     sin  am -^-    =  -^  ~  (2xy  du         (2a;)^      d^!^  (2a;)^  d^u 

^+     2  (Zto+    2.3.4     doi^^    2.3.4.5.6     doi^'^ 

1«  -rti 

On  trouve  les  valeurs  de  -7-^.  -5—-  au  moyen  de  la  formule: 

«cd"        flu)" 

^ —2 

qui  se  deduit  aisement  des  Ibrmules  connues. 

M.  Poissoii,  dans  ses  savantes  recherches  sur  les  integrales  definies ,  a 
fait  connaitre  plusieurs  proprietes  de  la  fonction  6(a?).  Les  methodes  delicates, 
propres  ä  cet  illustre  geometre ,  trouvent  une  belle  verification  dans  la  theorie 
des  fonetions  elliptiques.  Par  exemple  M.  Poisson  demontre  dans  le  dix-neu- 
vieme  cahier  du  Journal  de  l'ecole  polytechnique  la  formule  reraarquable : 


v/- 


1    _    14-2e"-~^4-2e~^"-^  +  2e-^^-^+2e-^'^^-^  + 

X  TZ  4TC  9rc  1671 

l_j_2e~'-^4-2c~^  +2e    ^    +  2e     ^    + 


Soit   X  =  -j^'   en  mettant  au  lieu  du  module   k   son  complement   k'  =  VI  —  k^, 

j^  1 

X  deviendra  -—  =  —  •     Or  on  a : 


K'  X 

~2K 


\/- 


t: 


=  l+2g4-25*+2g9  4-2g^6_|_ 


=  i_{-2e-'^'^  +  2e— '^•^4-2e-'^^^  +  2e-^^''^-|- 
et  par  suite,  en  changeant  k  en  k' : 


\/ 


— — -                            n                47r                9t:                ICtt 
2K  -— 

_Ji-  =  14-26    «+2e    ^+2e    ^+26     -^  + 


De  la  on  tire  sur-le-champ  la  förmige  de  M.  Poisson. 

Nous  ferons  cncore  quelques  remarques  sur  la  theorie  de  la  transformation. 
Le  module  k  ctant  cliange  en  X  par  une  transformation  attachee  au  nombre  «, 
on  aura  une  equation  algebrique  entre  Ä  et  X  dont  le  degre ,  relatif  ä  l'une  ou 


SUITE  DES  NÖTIGES  SÜR  LES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES.  '!2f61 

Tautre  des  deux  variables,  est  egal  ä  la  somme  des  facteurs  du  nombre  n.     On 
trouve  toutes  les  valeiirs  de  V  A    en  mettant  dans  requation 


\/F  = 


1  + 2^  +  2^* +  22^*^  + 


5«    au  licu  de  q,  ad  etant  egal  au  nombre  n.     Soit 

du  ^Vidx 


l'equation  diiferentielle  ä  laquelle  on  satisfait  par  une  expression  rationnelle  de  y 
en  07,  dans  laquelle  a:  monte  jusquä  la  w"'"*  puissance:  on  pourra  exprimer  9TL 
rationnellement  en  k  et  k  au  moyen  de  la  forniule  generale 

Eliminant  k  au  moyen  de  Tequation  modulaire,  on  aura  une  equation  du  meme 
degre  entre  k  et  9Tc.  Ces  equations  entre  k  et  Sit  jouissent  d'une  propriete 
remarquable.  Savoir,  7i  etant  un  nombre  premier  quelconque.  on  peut  ex- 
primer lineairement  la  moitie  des  valeurs  de  VS*!^  f^n  moyen  de  l'autre  moitie. 
En  effet  si  Ton  designe  par  9TL,  91c',  91^",  91^'",  ....  Sn^C'^  les  racines  de  l'equa- 
tion du  ^w+r/^'"*  degre  trouvee  entre  911.  et  k,  on  aura: 


\J0[1    =  \  i—l)  -  n.Ä, 

\/^'   =  Ä-^  Ä'-\-   A"  4-  A'"  H \-A^'^' , 

/»— 1\  2      />t— 1\ 

q\^2~/    J\  2  / 


\/9Tt"'  =  ^  -f-  '^A'-\-  ß-'yi"+  ;:i^^"'H \-'^^  ^  ^  A 

a,  [3,  etc.  etant  les  racines  imaginaires  de  requation  a;"  =  1.  Donc  on  peut 
exprimer  lineairement  les  racines  carrees  des  n-\-l  racines  par  d'autres  quantites 
dont  le  nombre  n'est  que  — ^t_.  Cela  donne  le  theoreme  enonce,  un  des  plus 
importants  dans  la  theorie  algebrique  de  la  transformation  et  de  la  division  des 
fonctions  elliptiques.  On  aura  le  meme  theoreme  par  rapport  aux  equations  qui 
donnent  XSTc,  X'STL,  etc.  en  k.  Une  equation  semblable  pour  n  =  b,  x  =  \Wi  est: 


262  SUITE  DES  XOriCES  SUJl  LES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES. 

Si  Ton  fait  sc  =  y-{-k,  cette  equation  se  change  en  requation  plus  simple: 

On  pourra  satisfaire  par  l'analyse  des  fonctions  elliptiques  ä  une  demande 
d'Euler  ä  l'egard  du  theoreme  de  Fermat,  que  tout  nombre  entier  est  la 
somme  de  quatre  nombres  carres :  savoir  de  demontrer  que  la  quatrieme  puissance 
d'une  Serie 

puisse  contenir  toutes  les  puissances  de  q.     En  effet  je  trouve : 
_    1   ,     _8^ leq'  2Aq'  32g^ 


=     1+  8Z'f(2?)  [2?  +  3g2P  4-  3^41'  +  3(^8^'  -f  ^I^P  -f-  3^32;,  _^ -|  ^ 

p  etant  uii  nombre  impair  quelconque  et  cp(jö)  la  somme  des  facteurs  du  nombre 
p;  formule  dont  le  theoreme  de  Fermat  est  un  corollaire.  On  tire  encore  de 
cette  formule  et  d'autres  semblables  des  theoremes  sur  le  nombre  de  toutes  les 
decompositions  possibles  d'un  nombre  donne  en  quatre  nombres  carres.  Un 
theoreme  semblable  a  ete  propose  dans  le  deuxieme  cahier  p.  191  du  troisieme 
volume  de  votre  Journal*).  En  examinant  avec  attention  Talgorithme  de  l'ana- 
lyse qui  conduit  ä  ces  resultats  remarquables ,  on  parviendra  ä  etablir  de  nou- 
velles  methodes  dans  la  theorie  des  nombres. 

Les  fonctions  elliptiques  different  essentiellement  des  transcendantes  ordi- 
naires.  EUes  ont  une  maniere  d'etre  pour  ainsi  dire  absolue.  Leur  caractere 
principal  est  d'embrasser  tout  ce  qu  il  y  a  de  periodique  dans  l'analyse.  En  effet, 
les  fonctions  trigonometriques  ayant  une  periode  reelle,  les  exponentielles  une 
periode  imaginaire ,  les  fonctions  elliptiques  embrassent  les  deux  cas ,  puisqu'on 
a  en  meme  temps 

siu  am  (u  -f-  AK )  =  sin  am  u 

sin  am  (u  +  2iK')  =  sin  am  u , 

i  ctant  =  V  —  1.     D'aillcurs  on   demontre  aisement  quuuc  fonction  analytique 


*)  Voir  p.  247  de  ce  volume. 


SUITE  DES  NÖTIGES   SUR  LES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES.  263 

ne  saurait  avoir  plus  de  deux  periodes ,  l'uiie  reelle  et  lautre  imaginaire  ou  lune 
et  l'autre  imaginaires.     Ce  dernier  cas  repond  ä  un  module  k  imauinaire.     Le 

TT' 

quotient  -^  des  deux  periodes  dune  fonction  proposee  determine  le  module  k 
des  fonctions  elliptiques  par  lesquelles  eile  doit  etre  exprimee  au  moyen  des 
formules  (15.;,  (17.).  II  conviendra  peut-etre  d'introduire  dans  lanalyse  des 
fonctions  elliptiques  ce  quotient  ~  comme  module  au  lieu  de  A*.  A  legard  de 
ce  quotient  j'ai  trouve: 

que  k  ne  change  pas  de  valeur,  si  l'on  ecrit  au  lieu  de   ~  lexpression 

1    hK  +  ib'K'   ^    KK'—i{abKK-^a'h'K'K') 
i     aK+ia'K'  aaKK-\-aa'K'K'  ' 

a,  d,h,  h'  etant  des  nombres  entiers  quelconques.  a  un  nombre  impair.  6 

un  nombre  pair,  tels  que  ab' — ah  =  1; 
theoreme  remarquable  et  qui  doit  etre  envisage  comme  un  des  theoremes  Ibnda- 
mentaux  de  lanalyse  des  fonctions  elliptiques. 

Les  methodes  qui  m'ont  conduit  ä  la  tlieorie  generale  de  la  transformation 
des  fonctions  elliptiques  s'appliquent  egalement  ä  une  classe  tres-etendue  d'inte- 
grales  doubles .  triples ,  et  meme  d'integrales  multiples  d'un  ordre  quelconque. 
Un  premier  essai  sur  cette  matiere  epineuse  ä  ete  donne  dans  un  petit  memoire 
qui  a  pour  titre  : 

De  singulari  quadam  duplicis  integralis  transformatione , 
insere  dans  le  second  volume  de  votre  Journal. 

\'ous  voyez,  Monsieur,  que  la  theorie  des  fonctions  elliptiques  est  un  vaste 
objet  de  recherches  qui  dans  le  cours  de  ses  developpements  embrasse  presque 
tonte  l'algebre,  la  theorie  des  integrales  definies  et  la  science  des  nombres.  Quel 
titre  de  gloire  pour  l'illustre  auteur  du  Tratte  des  fonctions  elliptiques ,  que  d'avoir 
cree  cette  belle  theorie  et  d'avoir  allume  ce  flambeau  a  la  posterite. 
Koenigsberg  ,21.  Juillet  1828. 


SUITE  DES  NÖTIGES  SUR  LES  FUNCTIONS  ELLIPTIQUES. 


I.  Les  formules  donnees  dans  le  troisieme  cahier  vol.  3.  de  ce  Journal*) 
contiennent  la  decouverte  importante,  que  les  fonctions  elliptiques  de  troisieme 
espece,  dans  lesquelles  entrent  trois  variables ,  peuvent  etre  ramenees  ä  d'autres  trans- 
cendantes  qiii  n'en  ont  que  deux.  De  lä  on  tire  aisement  toute  la  theorie  des 
fonctions  elliptiques  de  troisieme  espece. 

II.  Seit  q  =.  e  ^  ,  q  =^  e  ^'  ,  de  sorte  que  Ion  trouve  q  en  place  de 
q,  en  mettant  k'  au  lieu  de  Ä,  ou  en  changeant  le  module  et  son  complement. 
Si  Ton  met 

^{x,q)  =  1— 2gcos2^-{-22*cos4:r — 2q^ cos 6x -\-  •  ■  • 

H(a;,g)  =  2v^sin:c — 2  y^  sin  3a;  +  2  y^^  sin  5a; ; 


on  aura 


Kxx 


, Kxx 

mx,q)  =  i\/^e^u{^~,cj:), 


i  etant  toujours  =  V — 1-  formules  tres-remarquables.     On  pourra  deduire  l'une 
de  Vautre  au  moyen  de  la  formule  sinamfm,  A*)  =  itangam(w,  A:'). 

III.  Je  suis  parvenu  a  resoudre  un  probleme  dont  la  difliculte  avait  elude 
long-temps  tous  mes  efforts .  savoir  de  trouver  l'expression  generale  et  algebrique 
des  formules  de  multiplication.  En  efFet,  on  sait  qu'en  supposant  z  =■  sinamww, 
X  =  sin  am  M,  n  etant  un  nombre  impair  quekonquc,  on  a: 


*)  Voir  p.  255  de  ce  volume. 


SUITE  DES  NÖTIGES  SUR  LES  FONCTIONS  ELLIPTIQÜES.  265 

^'  ~       l+Ä"x'-\-A''x'-\ [-A^""-^^a;""-'    ~   V' 

Ä,  A",  A'",  .  .  .  etant  des  fonctions  rationnelles  et  entieres  de  k.  On  peiit  aussi 
trouver  successivement  pour  cliaque  valeur  donnee  de  n,  par  exemple  pour 
w  =  3,  5.  7,....  les  expressions  de  U  et  de  V;  mais  trouver  generalement  pour 
un  nombre  indefini  n  les  valeurs  algebriques  de  A\  A",  A",  ...  en  k,  est  un 
Probleme,  oü  toutes  les  methodes  connues  paraissent  etre  en  defaut.  Or,  z  =■  ^r 
etant  une  Substitution  rationnelle  quelconque  qui  sert  ou  a  la  transformation  ou 
ä  la  multiplication  des  fonctions  elliptiques  de  premiere  espece,  je  suis  parvenu 
ä  sommer  par  parties  le  nunierateur  et  le  denominateur  de  la  Substitution  ä  faire 
et  ä  delinir  Tun  et  l'autre  au  moyen  d'une  equation  aux  differences  partielles  entre 
X  et  k.  Dans  le  cas  de  la  multiplication  on  tire  de  cette  equation  les  expres- 
sions generales  de  Ä,  A",  A'", ....     On  trouve  par  exemple : 

A     -0,        A     -  —^  .        A     -  ^-^-^  , 

3.3.5.7.8  3.3.4.5.7.8 

etc.  etc.  etc. 

On  trouve  tres-facilement  cliaque  terme  Al""^  par  les  deux  termes  Al^''^^,  ^(«-4) 
qui  leprecedent.  En  vertu  d'une  remarque  faite  dans  une  autre  occasion,  savoir 
qu' etant  mis  -r—  au  lieu  de  x,  z  se  change  en  -r— ,  X  etant  le  module  transforme, 

liX  KZ 

on  tire  aussitot  le  numerateur   V  du  denominateur  et  reciproquement.      Le  cas 
de  n  pair  ne  demande  que  quelques  legeres  modifications. 
Koenigsberg  le  3.  Oct.  1828. 


34 


SUITE  DES  NÖTIGES  SUR  LES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES. 


I. 

Je  vais  rapporter  ici  l'equation  aux  difFerences  partielles  qui  sert  a  definir  les 
substitutions  ä  faire  pour  parvenir  ä  une  transformation  des  fonctions  elliptiques, 
et  dont  j'ai  donne  la  notice  dans  le  troisieme  volume  de  ce  Journal^). 

Soit,  en  faisant  usage  de  la  notation  dont  je  me  sers  ordinairement , 

X  =  \/ä  sin  am  (m,  ^) ;      y  =  V^sinamf  ^rj-,  Xj  . 

X  ^tant  le  module  dans  lequel  se  change  le  module  k  par  la  transformation  cor- 
respondante  ä  un  nombre  n  impair,  on  sait  qu'on  a 

(—1)  y  = -7^ y 

(—) 
les  quantites    X ,  M ,  B,  B',  . .  .  B^  ^  ^     etant  determinees   convenablement   en 

fonctions  de  k.     On  aura  ici 
Soit 

/n— 1\  /H-3\ 

U=x\B^'^  +  B^  '  ^x'-\..-.+Bx"-'\, 

(—) 

\    2    /     n-l 


B+B'x^-\-B"x^-i \-B 

les  fonctions   l 
tion  aux  difFerences  partielles  suivante: 


l-\-Jc7c 
et  de  plus   a  =  —^ — ,   les  fonctions   U,  V  satisferont  l'une  et  l'autre  ä  l'equa- 

K 


*)  Voir  p.  264  de  ce  volume. 


SUITE  DES  NÖTIGES  SUR  LES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES.  267 

(1.)  n{n-l)x^',  +  in-l){ax-2x')^  +  il-oix'+x')^  =  2w(aa-4)-^. 

L'equation  modulaire   etant  supposee   connue,    lequatioii  (1.)  suffit  pour 

{'1=1) 
trouver  toiites  les  quantites  B,  B',  .  .  .  B^  -  '  exprimees  en  fonctions  rationnelles 

des  deux  modules  k  et  X.     On  pourra  donc  dire  en  quelque  sorte  que  cette  equa- 

tion  contienne  la  Solution  generale  du  probleme  de  la  transformation  des  fonctions 

elliptiques,  et  sous  une  forme  tout  ä  fait  difFerente  de  celle  sous  laquelle  nous 

l'avons  fait  connaitre,  M.  Abel  et  moi,  dans  nos  recherches  sur  cette  matiere. 

Elle  donne  aussi  d'une  maniere  directe  les  formules  relatives  ä  la  multiplication. 

En  effet.  etant  suppose  x  =  \k  smam.u.  y  =  sjk  sin  am  «z^,  si  l'on  met: 

,        '^     _    Bx""-JrB'x""-'^BV-'  H h  ^C^")  X 

(—1;    y />m-i\ ' 

B  +  B'x^+B"x^-\ \-B^  2  ;^«H-i 

on  trouve : 

B  =  \Jn,        B'  =  0, 
n\n^  —  l)B+  *  +3.4J5"  =  0, 

r)  7?"' 


(n^—  6){n'—  7)  B"'-{-  S{n'—  8)a£'^  +  9.10^'  =  2w^(aa—  4) 


da 

dB" 

da 


/nn—3\ 

da 
S.2B^~^f  +  {n^—l)aB^   '^   ' -{-  *  =0, 

/nn— 1\  «—1 

•    B^~^^  =  (—l)~s/n\ 
On  tire  aisement  de  ces  equations  les  valeurs   de    B,  B',  B",  .  .  .  B^  ^  ', 

/tili — 1\  n — 1 

soit  en  partant  de  B  =^  \/n   on  de  B^  ^   '  =  { — 1)  ^  Vw^.     Tout  cela  s'applique 
aussi,  de  legeres  modifications  etant  faites,  au  cas  oü  n  est  un  nombre  pair. 

II  est  tres-remarquable  que  Tequation  (1.)  ait  des  integrales  algebriques. 
Son  Integration  generale  peut  etre  reduite  ä  celle  de  l'equation  connue  et  plus 
simple : 

34* 


268  SUITE  DES  NÖTIGES  Süß  LES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES. 

En  effet  soit  z  =  <^{v,(a)  une  integrale  quelconque  de  celle-ci,  si  Ton  met 
^  __  \/^siiicp,  on  aiira,  en  employant  la  notation  de  M.  Legei^dre,  llntegrale 
suivante  de  l'equation  (1 .) : 


/mzF(^)    n-F\7c')\ 
"^K   2F'^    '      4F'    ^ 


2  = 


slh'F"- 


II. 

Supposant  cc  =  sinam?*,  les  quantit^s  sinam2M,  sinamSw,  sinam4M,  .  .  . 
peuvent  etre  exprimees  d'une  maniere  assez  remarquable  au  moyen  des  differen- 

tielles  des  quantites   \cc^{i  —  cc^){l-—k^a;^),  \/- —^ '   prises  par  rapport 

ä  os^.     Soit: 

on  trouve : 


C.U..U.«.,     _     -      ^,        ^^        , 

dix") 

d'^B 

3   d{x'Y 
d^A 

d{x^y 

1       d^A 

1 

2.3   d{xy 

Bin  am  42*  _        ^,  ^    ^,^ 

1     d^B          dB 

1       d»^    ' 

2  d(x'y 

2   d{x'y       dix') 

2.3    dixy 

1       d'B 

1       d^B         1 

d'B         1 

rf^5 

.     2.3   d{x^y 

2.3    dix'^f        2 

(^(ic''')^   2.3.4 

^(X2)* 

SlD.BXn.uU  —   X'  •  -^           73  j 

1       d^A         1 

d'A         1 

dU 

2.3    d{x')^ 

2.3    c?(a:'0'        2 

^(a;2)2   2.3.4 

(^(a;^)^ 

La  loi  generale  de  la  composition  de   ces  expressions  est  aisee  ä  saisir.      On 
aura  des  formules  analogues  si  l'on  veut  employer  au  Heu  des  diiferentielles  de 


SUITE  DES  NÖTIGES  SÜR  LES  FONCTIOKS  ELLIPTIQÜES.  269 

\lx\l—x'\\ — h^x^),       y- ~ '- 


Celles  des  qunntites 


\l±\\  —x%l—k''x^) '       J{l—x^){l—k''x^) 


III. 

Nous  allons  etablir  daiis  ce  qui  suit  les  formiiles  generales  relatives  a  la 
transformatioii  des  integrales  elliptiques  de  la  seconde  et  de  la  troisieme  espece. 

Soit  n  un  nombrc  impair  quelconque,  tu  une  qiiantite  teile  que 
sinam2??cü  =  0  et  soit  en  ineme  temps  n  le  nombre  le  plus  petit  poiir  leqiiel 
sinam2w(ü  s'evanoiiit.  si  Ton  met 


X   =  Ä-»  I  sin  coam  2(o  sin  coam  4oj  .  .  .  sin  coam  {n  — 1  "i  u>  |  S 

«—1 
j,j  / 1  ■\"2~  I  ^^°  coam  2(0  sin  coam  4(o  .  .  .  sin  coam  {n — 1)  w  f 

\        sinam2ü)sinam4{ü  .  .  .  sinam(« — 1)ü)      ) 
on  a  la  formule  connue  : 

^^'^  J^  ^^°  ^™  vir  '  V  ^  ^^°  amw-f  sin  am(?*-f-4to)-f-8in  am(«+8(u)H [-sin  am(z<-|-4(w— l)a>). 

Cela  pose,  je  remarque  qu'on  a: 

sin^am(^e  +  a')-sin^am(«  +  a)  =  sinam(a--a^   d  sm  am  (u +  a), in  am  (u-^a')  ^ 

'  du 

formule  facile  ä  verifier.  Soit  a'  =  a-{-b,  a"  =  a-^'2b,  et  generalement 
a^»»)  =  a-\- mb ;  en  mettant  successivement  a',  a";  a",  a";  . . .  a^"-i>,  «(">  au  lieu 
de  a,a'  et  ajoutant.  il  vient : 

•  y       /     I     i.A\        '  9       /     ,     \  •         T     ^- sin  am  (w  4- al  sin  am  f  i«  4- a') 

du 
Or .  011  a  en  meme  temps  : 

•  2       /-     I     („w       •  2       /     I     \          •           r    <^sinam(?(-[-a)sinam(M4-a^")) 
sin^  am  (m -|- «^  0  —  sin^am(?^-l-^)  =  smamwö- ^^ — ■ — \^-r^    ;  . 

dti  ' 

de  lä  on  tire ,  en  integrant ,  cette  formule  remarquable : 

(2.)     sin  SLmbl  sin  am  {u  -f-  a)  sin  am  (u  -)-  a')  =  sin  am  nb  sin  am  (u  +  a)  sin  am  («t  +  a("))  -f-  const. 

Soit  sinamwö  =  0  ,  il  vient: 

(3.)  ^sinam(w-f-«)sinam(?<-f  a')  =  const. 

Au  moyen  de  cette  formule  on  tire  de  la  formule  (1.)  la  suivante : 


270  SUITE  DES  NÖTIGES  SUR  LES  FONCTIONS  ELLIPTIQÜES. 

vj-^r^8in*am( -jrjr;Ä  )  =  sm^amu-{-sm^am{u-\-Aw)-\ \- aiii^ am (u -{- 4:{n — 1  )a>) -j- const, 

ou,  puisqu'on  a  sin^amf^,Xj  =  0  poiir  if  =  0 ,  celle  qui  siiit : 

(4.)    ^jg^rj^sin^aml -^;X  ]  =  8in2amM  +  sin^am(M4-4(u)-| [-sin*am(tt  +  4(«— l)u)) 

—  2[sin^am4o>-[-sin^am8(o-(-«  •  •  +sin^am2(*i — IK«]. 
Cela  donne  aussi : 

(5.)    -=^2-=^cos^am(  ^;A  j  =  cos^&mu  +  cos^am (i< -f- 4o)) -| |-co8^am(w  +  4(w — l)(u) 

—  2[co8^coam4(u  +  cos^coam8a>-| [-cos^coam2(n — l)u)], 

(6.)  -jT^  A^amf-^jXJ  =  A^amM  + A^am(?^  +  4(ü)-| -\-  ^^3im{u-\-4:i^ — 1)«>) 

4"  2  [cotg^ am  4o>  +  cotg^  am  Su)  -| +  cotg^ am  2{n — 1  )(o]  . 

En  integrant  on  a .  pour  la  fonction  complete  de  la  seconde  espece : 

(7.)      ~ n — —  =  2[cotg^am4u>  +  cotg^am8(o4 hcotg^am2(w — 1)cü]. 

'^    ^       M'F\l)  F\h)  -r       n-      &  ;  j 

Soit  cp  =  amw,  si  Ton  met 

^  Z--E(?)-g-F(,) 

on  tire  des  formules  (6.),  (7.)  cette  autre  qui  offre  la  transformation  des  integrales 
elliptiques  indefinies  de  la  seconde  espece  : 

(8.)  W^iw'^)  "^  ^^''^  +  Z(2*  +  4u.)  + . . .  +  Z{u  +  ^{n-\  )cu) , 

formule  qui  peut  etre  transformee  en  celle -ci: 

,^.       ^,  .        1    ^/w     A        ^,2  •  A  V  8in2am2ma) 

(9.)    nZ{u) — liT     \W    )  =  ^A^^'smamMCOsamw  Aamwl-j — ^ 

oü  l'on  donnera  ä  m  toutes  les  valeurs   1,  2,  3,  .  .  ., 

Soit  a  =  ama,  je  considere  les  fonctions  elliptiques  de  la  troisieme  espece 
sous  la  forme : 

72  •  A     r^  siii^9.<?'f 

h^ sm a cos aAa  I     -p- ,„  .  „' — /  „   .,  . —  =  Iliu,  a) . 

En  introduisant  la  nouvelle  transcendante 


•^  sin^  am  2w(ü  sId^  am  u 
n—1 


SUITE  DES  NÖTIGES  SUK  LES  FUNCTIONS  ELLIPTIQÜES.  271 


on  a: 


(9(h)       du 
//(«,<.)  =  «Z(a)  +  i  log  11^. 

Cette  derniere  formule  fait  voir  que  les  fonctions  elliptiques  de  la  troisieme 
espece,  qui  dependent  de  trois  elements,  peuvent  etre  reduites  ä  d'autres  transcen- 
dantes  qui  n'en  ont  que  deux.  L'integration  de  la  formule  (9.)  donne  les  formu- 
les  generales  pour  la  transformation  de  la  fonction  &(u),  desquelles  on  peut 
deduire  celles  des  fonctions  elliptiques  de  la  troisieme  espece.  Quant  ä  ces 
derniere  s ,  on  trouve  : 

(10.)  n(^-^,^;}?)-nn(u,a,Jc) 

M     \M     J             K>J-r2     ^^^i— Jc'^sin^sija  2mu>  sin' am  {u-\-a) 
en  designant  par  FI  le  produit  de  tous  les  facteurs  que  Ton  obtient  en  donnant 
ä  m  les  valeurs  1,  2,  3,  .  .  .,  — 

On  peut  aussi  parvenir  directement  de  la  fonction  0[u)  aux  formules  de 
transformation  en  partant  de  son  developpement  en  produit  infini,  comme  nous 
l'avons  montre  dans  le  troisieme  volume  de  ce  Journal*).  De  la.  en  suivant  une 
marche  iuAerse  de  celle  qu'on  vient  de  presenter,  on  tire  sur-le-champ  les  for- 
mules relatives  ä  la  transformation  des  fonctions  elliptiques  de  la  premiere  et  de 
la  troisieme  espece ,  et  en  diiferentiant ,  celles  de  la  transformation  des  fonctions 
elliptiques  de  la  seconde  espece.  Tout  cela  s'applique  encore,  ä  quelques  legeres 
modifications  pres ,  au  cas  oü  n  est  un  nombre  pair. 

IV. 

Pour  exprimer  sinam(w,  Ä)  par  sinamT^,  x)  ou  sinam(^,Xj  par 
sinamww,  il  y  a  ä  resoudre  une  equation  algebrique  du  w*^"*  degre.  Nous  al- 
lons  presenter  les  expressions  algebriques  et  generales  de  ses  racines. 

*)  Voir  p.  257,  258  de  ce  volume. 


272  SUITE   DES  NÖTIGES  SUR  LKS  FONCTIONS   ELLIPTIQUES. 

Designons  par  0  {u,  w,  k]  l'expression  suivante : 
n  [1 — Ä^  sin^  am  2nno  sin^  am  u] , 
en  donnant  toujours  ä   m   les  valem-s   1,  2,  3,  .  .  .,    ^~    ;    soit   o)'   une  quantite 
teile  qu'on  ait 

U  =  X"[sm  coam(2(o',  X)  sin  coam(4(ü',  a)  . . .  sincoam((?2. — l)(u',  X)]**) , 

soit  de  plus 

0(429«)',  «)',X)(D(^^;«)',ä) 


^  = 


^(^  +  4p«>',«>',>^) 


on  aura,  en  designant  par  p  Tun  des  nombres  0,  1,  2,  3,...,  n  —  1: 
(1.)  — r — smam(M+ 4^"^;  «') 

A 

=  sinamf^;Xj-f-7.siiiam(^^4-4to',Äj  v/^^  +  a2sinam(^-^-j-8(ü'.  aJ  V^aH 

-f  a"-^  sin  am  i-^  -\-  4(w  — \)m'.  X  j  \/^„_i , 

a  etant  une  racine  quelconque  de  l'equation  .r"  =  1.  En  mettant  au  lieu  de  a 
toutes  ses  valeurs,  on  aura  toutes  les  racines  de  l'equation  i)roposee,  qui  repon- 
dent  aux  differentes  valeurs  du  nombre  p.     II  faut  remarquer  encore  qu'on  a: 

\lAp  SJAn-p  =   1 — X^  sin^  am  {^pia,  X)  sin^  am  (  ^ ;  X  j . 

On  pourra  exprimer  generalement  tous  les  radicaux  V-^j,  V-^g,  .  .  .,  vAi-i»  V^"^ 
les  puissances  de  Tun  d'entre  eux. 

Ce  theoreme  est  un  des  plus  importants ,  trouves  jusqu'ici  dans  la  theorie 
des  fonctions  elliptiques.  II  fournit  aussi  la  Solution  algebrique  et  generale  de 
l'equation  du  degre  nn,  de  laquelle  depend  la  division  de  la  fonction  elliptique 
en  n  parties ,  comme  on  va  le  voir  dans  ce  qui  suit. 

Supposons  pour  plus  de  simplicite  que  n  soit  un  nombre  premier  "**) ,  le 
nombre  de  toutes  les  transformations  correspondantes  au  nombre  n  sera  n-\-\. 
Ce  sont  Celles  qui  repondent  aux  valeurs  suivantes  de  w : 

*\  Soit  (B  = ■ ,  on  aura  w   =  — — ,  u.,  u.'   etant  des  nombres  entiers  quelconques 

'  n  nM         '("'•"  11 

positifs  QU  n^gatifs,  tels  que    ??j[jl' — (xm'  =  1. 

**)  II  n'y  a  qu'a  faire  de  legeres  modifications  dans  le  cas  oü  n  est  un  nombre  oompose. 


SUITE  DES  NÖTIGES  SÜR  LES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES.  273 

K      iK'      iE'    ,    K      iE'    ,    2K  iE'    .    {n—l)E 

— ,  , , , .  .  . , 

n        n         n  n        n  n  n  n 

Soient  les  valeurs  de  X  et  de  M  qui  repondent  ä  ces  differentes  valeurs  de  w : 

^J        ^1)       ^2'       ^^3'    •    •    •'       ^"' 

M,  M^,  M^,  ilfg,  .  .  .,  Mn; 
on  prouvera  aisement  la  formule  remarquable  : 
(2.)  sin  am  {nu,  k)  -)-  sin  am  (u,  Je) 

En  chaneeant  dans  la  formule  (1.)  u  en  -r^,  Ä:  en  X„,  X  en  Ar,  M  en  -^r:=-'  -^rr 
en  nu,  on  parviendra  ä  exprimer  toutes  les  quantites 

L-    siDamf^;>vpj   par  sin  am  (nw,  Ä;) . 

Soit 

<I)  (4^(1),  (ü)  O  {nu,  (ü) 

et  designons  par  Bp,  Bp,  Bp,  Bp\  .  .  .,  B^p^  les  valeurs  de  ^^   qui  repondent  aux 

differentes  valeurs  de    cd,  et  par  ü),  üj^,  Wg,  («g,  .  .  .,  ü>„   les  differentes  valeurs 

de  u),  on  a: 

,„.                                         .          ^     ,    ^mE-\-4:m'iE'\ 
(3.)  ^sinam(M-j ! j 

sin  am  nu 

-f    a  sin  am  {nu  -\-  4(ü)  \/^^  -f- -|-         a"-^  sin  am  {mi  -\-  4(w — l)tu)   V  J5„_i 

1+    ßsinam(ww  +  4toJv'j&^ -f- +  ß"-^  sin  am  (m*  +  4(9^ — 1  )f«i )  V-ßn-i 


+  aß  sin  am  {nu-\-4:io^)\l B'^  -\- +  a"-*  ß^'-'  sin  am  {nu-\-4:{n — \)i>i^)\j B'^_i 


4-a2ß  sin  am(wM+4t03)\/jB;"-|- -f  a2(»-i)ß«-isinam(5W  +  4(w— 1)(ü3)V^;;1i 

l+a«-ißsinam(>iM+4(ü»»)V^5i"^+ +a(>'-i)'ß«-isinam(»m  +  4(?i— l)a>.,)  v'^Hi, 

m  et  m'  etant  des  nombres  entiers  quelconques ,  et  a,  ß  des  racines  de  l'equation 
0?"  =  1 .      En  donnant  a    a,  ß  toutes  les  valeurs  dont  elles  sont  susccptibles ,  on 

aura  les  valeurs  differentes  de  l'expression  sinamf  w-| —^ \   qui  sont 

au  nombre  de  nn.     Ce  sont  les  nn  racines  de  l'equation  ä  resoudre ,  presentees 
sous   la  forme  la  plus  simple,  teile  que  je   l'avais  presentee  dans  le  troisieme 
I.  35 


274  SUITE  DES  NÖTIGES  SUR  LES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES. 

volume  de  ce  Journal  (cah.  t.)*).  Je  remarque  encore  que  Ton  peut  exprimer  tous 
les  radicaux,  qui  sont  au  nombre  de  nn  —  i,  par  les  puissances  de  deux  quelcon- 
ques  d'entre  eux  qui  ne  se  trouvcnt  pas  dans  la  meme  serie  horizontale. 

V. 

Puisqu'on  peut  exprimer  rationnellement  sin  am  (^-^,  Ij ,  sin  am  (^^  '^i)-) 

.  .  .,  sinam(^,X„)    par    sinam(w,Ä),    on  pourra  aussi  exprimer  les  premieres 
quaiitites  par  une  quelconque  d'entre  elles ;   mais  pour  cela  il  y  a  ä  resoudre  une 
equation  algebrique  du  w*'**"*  degre  dans  chaque  cas.      Nous  allons  rapporter  dans 
ce  qui  suit  les  expressions  generales  et  algebriques  des  racines  de  ces  equations, 
En  conservant  les  notations  du  numero  precedent,  soit 


Op  — 


on  aura : 


(1.)  \/^8inam(|-,X.) 

8inam(^,x)+asinam(-^  +  4«>;x)i/ö;+---4-'^''~"'sinam(^4-4(»i-l)^^^ 

a  etant  une  racine  quelconque  de  l'equation  ^^  =  1 .  En  donnant  ä  a  toutes 
ses  valeurs,  on  aura  les  n  expressions  qui  repondent  aux  difFerents  modules 
X  ,  X,,  ....  X„.     Chaque  expression,  teile  que 

etant  donnee  par  la  resolution  d'une  equation  algebrique  du  n'^"'  degre  dont  les 
racines  ont  pour  expression  generale 

y -7^- sin  am  (  ^fT- -f  4i)u)^„  X„,  J , 

^'^  etant  la  meme  chose  par  rapport  au  module  X^  que  tu'  Test  par  rapport  ä  X  : 
on  aura  les  expressions  algebriques  de  toutes  ces  racines,  qui  sont  au  nombre  de 

*)  Voir  p.  243  de  ce  volume 


SUITE  DES  NÖTIGES  SUR  LES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES.  275 

n  et  qui  repondent  ä  un  meme  module  X„,  eii  multipliant  les  radicaux  par  a^ß^ 
au  lieu  de  a^^,  ß  etant  encore  une  racine  quelconque  de  requation  x*"  =  1.  On 
pourra  aussi  exprimer  tous  Ics  radicaux  par  les  puissances  de  Tun  d'entre  eux. 
Du  reste,  ayant  suppose  que  n  est  un  nombre  premier,  la  formule  (1.)  aura  ä 
subir  quelques  modifications  lorsque  n  sera  un  nombre  quelconque. 

VI. 

Je  termine  ces  remarques  par  l'enonce  du  theoreme  suivant.  foumi  par  les 
memes  methodes  qui  m'ont  conduit  aux  resultats  precedents. 

Etant  supposes  connus  tous  les  modules  dans  lesquels  on  peut  transfor- 
mer  un  module  donne    k   ä  l'aide  d'une  transformation  correspondante  au 

nombre   n,    on  peut  exprimer  par  ces  modules  toutes  les  quantites  de  la 

n  .    .>         2mK-\-2m'iK'  >      '^     j.    i  -u  ^ 

lorme  sin~^am ■ ^  m,  m     etant  des  nombres  queiconques,    sans 

qu'il  soit  necessaire  de  resoudre  une  equation  algebrique. 
Les  resultats  dont  je  viens  de  donner  ici  une  exposition  rapide,  fönt  partie 
de  ceux  qu'on  trouvera  dans  la  seconde  partie  de  mon  ouvrage  sur  les  fonctions 
elliptiques  [Fundamenta  nova  theoriae  functionum  ellipticarum),    La  premiere  partie 
de  cet  ouvrage  paraitra  incessament. 

Koenigsberg,  le  11.  Jan  vier  1829. 


35 


UEBEK  DIE  ANWENDUNG 

DER  ELLIPTISCHEN  TRANSCENDENTEN 

AUF  EIN  BEKANNTES  PROBLEM  DER  ELEMENTARGEOMETRIE 


VON 


Herrn  Professor  Dr.  C.  G.  J.  JACOBI 

zu    KÖMIGSBEBG   IN    FBEUSSEN 


Grelle  Journal  für  die  reine  und  angewandte  Mathematik,  Bd.  3.  p.  376. 


UEBER  DIE   ANWENDUNG  DER  ELLIPTISCHEN  TRANSCENDENTEN 
AUF  EIN  BEKANNTES  PROBLEM  DER  ELEMENTARGEOMETRIE: 

DIE  RELATION  ZWISCHEN  DER  DISTANZ  DER  MITTELPUNKTE  UND  DEN  RADIEN 

ZWEIER    KREISE    ZU    FINDEN,    VON    DENEN    DER    EINE    EINEM    UNREGELMÄSSIGEN 

POLYGON  EINGESCHRIEBEN,  DER  ANDERE  DEMSELBEN  UMGESCHRIEBEN  IST. 


1. 

Bei  einem  jeden  Dreieck  findet  bekanntlich  eine  Gleichung  zwischen  den 
Radien  des  eingeschriebenen  und  umgeschriebenen  Kreises  und  der  Distanz  ihrer 
Mittelpunkte  Statt,  welche  Euler  zuerst  aufgestellt  hat.  Weniger  bekannt 
scheint  die  ähnliche  Relation  bei  einem  Viereck  zu  sein,  das  zu  gleicher  Zeit 
einem  Kreise  eingeschrieben  und  einem  anderen  umgeschrieben  werden  kann ; 
doch  kann  sie  hier  noch  leicht  auf  mannichfachen  Wegen  gefunden  werden;  wie 
lienn  die  Theorie  dieser  Vierecke  häufiger  untersucht  worden  ist.  Schwieriger 
ist  das  Problem  beim  Fünfeck  und  bei  den  höheren  Polygonen,  so  dafs  Herr 
Steiner,  der  es  gewohnt  ist ,  die  bekannten  Grenzen  hinter  sich  zu  lassen,  diese 
Theorie  wesentlich  erweitert  zu  haben  schien,  indem  er  im  2ten  Bande  des 
Cr  eil  eschen  Journals  S.  2  89,  nachdem  er  zuvor  S.  96  desselben  Bandes  das 
Problem  wieder  in  Anregung  gebracht  hatte ,  noch  für  das  Fünfeck ,  Sechseck 
und  Achteck  die  entsprechenden  Gleichungen  aufstellte.  Leider  aber  hat  dieser 
grofse  Geometer  nicht  die  Analysis  dieser  interessanten  Resultate  mitgetheilt. 

Ehe  wir  nun  aber  selbst  unsere  Weise  dieses  Problem  zu  behandeln  den 
Geometern  vorlegen ,  sehen  wir  uns  genöthigt ,  im  Namen  des  vor  Kurzem  ver- 
storbenen Russischen  Staatsraths  Nicolaus  Fufs,  die  von  Herrn  Steiner  ge- 
gebenen Resultate  in  Anspruch  zu  nehmen ;  welcher,  ohne  es  zu  wollen  und  ohne 
es  zu  wissen ,  dieselben  und  noch  überdies  die  Gleichung  für  das  Siebeneck,  bei 


280  ANWENDUNG  DER  ELLIPTISCHEN  TKANSCENDENTEN 

weitem  die  schwierigste,  gefunden  hat.  Dieser  ausgezeichnete  Analyst  war 
nämlich  in  dem  leider  nicht  häufigen  Irrthum,  das  Problem,  das  er  sich  stellte, 
nur  in  einem  particulären  Falle  aufgelöst  zu  haben,  während  er  in  der  That  die 
allgemeine  Lösung  gab. 

Man  liest  nämlich  in  dem  13ten  Bande  der  Petersburger  Nova  Acta 
S  166  — 189  eine  Abhandlung  von  diesem  Verfasser  vom  Jahre  179S,  welche 
den  Titel  führt : 

De  Polygonis  symmetrice  irregularihus  circulo  simul  iiiscriptis  et  circumscriptis. 
Schon  im  lOteii  Bande  der  Nova  Acta  für  das  Jahr  1792  hatte  derselbe  ver- 
schiedene und  zum  Theil  neue  Probleme  über  die  Vierecke  gelöst,  welche 
zugleich  einem  Kreise  eingeschrieben  und  umgeschrieben  sind,  und  auch  die 
Relation  gegeben,  welche  zwischen  den  Radien  beider  Kreise  und  der  Distanz 
ihrer  Mittelpunkte  Statt  hat.  Er  habe  seitdem,  erzählt  er,  diese  Untersuchun- 
gen auf  Polygone  von  mehr  als  vier  Seiten  auszudehnen  gesucht;  es  sei  ihm 
aber  nicht  gelungen.  Denn  mit  der  wachsenden  Seitenzahl  würden  die  Funda- 
mentalformeln so  verwickelt,  dass  man  an  ihre  Entwirrung  Oel  und  Mühe  ver- 
schwende. Er  habe  daher  das  mit  den  gröfsten  Schwierigkeiten  behaftete  allge- 
meine Problem  verlassen ,  und  wolle  sich  hier  auf  solche  Polygone  beschränken, 
welche  man  symmetrisch  unregelmäfsige  symmetrice  irregularia)  nennen 
könne ,  die  nämlich  einen  Durchmesser  haben ,  der  durch  beide  Centra  geht,  und 
das  Polygon  in  zwei  gleiche  und  ähnliche  Theile  theilt. 

Es  thut  aber  diese  Beschränkung  bei  dem  Problem,  das  sich  Fufs  in  sei- 
ner Abhandlung  stellt,  nämlich  jene  Gleichung  zwischen  den  Radien  und  der 
Distanz  der  Centra  zu  finden,  keinesweges  der  Allgemeinheit  Eintrag.  Denn 
zuerst  ist  klar,  dass,  wenn  eine  Ecke  des  Polygons  in  jenem  durch  beide  Centra 
gehenden  Durchmesser  sich  befindet,  das  Polygon  auch  zu  beiden  Seiten  des 
Durchmessers  symmetrisch  liegen  wdrd.  Es  kann  aber  immer  eine  Ecke  des  Po- 
lygons in  dem  Umfange  des  Kreises ,  in  welchen  es  eingeschrieben  sein  soll ,  be- 
liebig angenommen  werden.  Denn  Herr  J.  V.  Poncelet  hat  in  seinem  berühm- 
ten Werke,  Traue  des  Proprietes  projectives  des  Figur  es,  S.  361,  den  schönen  Satz 
bewiesen,  dass, 

wenn  irgend  ein  Polygon  zugleich  einem  Kegelschnitt  eingeschrieben  und 
einem  andern  umgeschrieben  ist,  es  eine  unendliche  Menge  ähnlicher  giebt, 
welche  diese  Eigenschaft  in  Bezug  auf  die  beiden  Curven  haben ;  oder,  wenn 


AUF  EIN  PROBLEM  DEK  ELEMENTARGEOMETRIE.  281 

man  nach,  dieser  Bedingung-  von  einem  beliebigen  Anfangspunkte  aus  irgend 
ein  anderes  Polygon  construiren  will,  es  sich  immer  von  selbst  schliefsen 
wird;  und  umgekehrt,  wenn   man,  von  irgend  einem  Punkte  aus,  einem 
Kegelschnitt  ein  Polygon  einschreiben  will ,  dessen  Seiten  einen  andern  be- 
rühren, und  es  sich  nicht  von  selbst  schliefst,  kein  anderes  diese  Eigen- 
schaft haben  Avird. 
Für  unsern  Fall  sind  die  Kegelschnitte  nur  Kreise.     Aber  auf  diesen  Fall 
läfst  sich  der  allgemeinere  leicht  reduciren,  indem  man,  wie  Herr  Poncelet 
an  einem  andern  Orte  gezeigt  hat ,  zwei  Kegelschnitte ,  wofern  sie  nur  nicht  vier 
Punkte  gemein  haben,  immer  so  perspectivisch  projiciren  kann,  dass  man  in  der 
Projection  zwei  Kreise  erhält. 

Da  also  die  Annahme,  die  Fufs  gemacht,  dass  eine  Ecke  in  dem  Durch- 
messer liege ,  welcher  durch  beide  Centra  geht ,  der  Allgemeinheit  nicht  schadet, 
so  ist  es  auch  nicht  zu  verwundern,  wenn  die  Formeln,  die  er  in  seinem  be- 
schränkten Falle  findet,  wirklich  allgemein  sind  und  mit  den  von  Herrn  Stei- 
ner gegebenen  übereinkommen.  Dieses  letzte  wollen  wir  kürzlich  im  Folo-enden 
zeigen,  da  es  nicht  sogleich  in  die  Augen  fällt. 

2. 

Nennt  man  den  Radius  des  umgeschriebenen  Kreises  R,  des  eingeschriebe- 
nen r,  und  die  Distanz  der  beiden  Mittelpunkte  a,  so  giebt  Herr  Steiner  für 
das  Fünfeck  zwischen  jR,  r,  a   die  Gleichung: 

r{R--a)  =  iR  +  a)\/{R  —  r-\-a){R—r-a)-\-{R-\-a)sJiR~r—a)2B. 
Setzt  man  mit  Fufs 

R-^a  =  2h     R  —  a  =  q, 
so  verwandelt  sich  diese  Gleichung  in 


qr  =  2}\l{p~r){q  —  r)-{-p\l{q  —  r){p-\-q) 
Fufs  findet  S.  174  die  Gleichung: 

ppqq  —  r)i2}p  +  qq) 


ppqq-\-rr{pp  —  qq) 


y  p+q 


Er  bemerkt,  dass  dieser  Gleichung:  die  Werthc   r  =  — p  und  r  =  _ M_  Ge- 

nüge  thun ,  und  dass  sich  daher  die  Gleichung ,  nachdem  man  das  Wurzelzeiclien 
weggeschafft,  durch  p-\-r   und  pq  —  r[p-{-q)    werde  dividiren   lassen.      Nach 
diesen  Reductionen  giebt  er  die  Gleichung : 
1-  36 


282  ANWENDUNG  DER  ELLIPTISCHEN  TRANSCENDENTEN 

Wenn  man  Herrn  Steiners  Gleichung : 

qr  =  i^V^Cp  — /-)to  — O+i'VC'Z  — 0(i^4-??) 
quadrirt,   so  erhält  man: 


^2^2 — jj2(^g^  —  y'^^2p-\-q  —  r)  =  2i)\q  —  r)\l{p — r){p-\-q). 
Wird  diese  Gleichung  wieder  quadrirt ,  so  erhält  man : 

q^r^—2p^q'^r\q  —  r){2p^q  —  r)^p\q  —  ry{q-^ry  =  0. 
Nun  ist: 

2(5  — r)(2^  +  fi  — r)  =  2(g  — r)2+4i;(</-r)  =  (5  — >•)'+ (5  +  0'  +  4|>5  — y(^  +  2)]. 
wonach  sich  die  Gleichung  so  darstellen  läfst: 

q^r^—p\H\q  —  rY  —  ^p'q^r''[:pq  —  r{:p-^(j)\^p'{ci^T)\{(i—rYp''—q^r'--]  =  0  . 

Es  ist  aber 

Cji^.r^—p^ffr\q  —  r)-  =  —  q^  r-ifp- -\- pq — pr){pq—pr  —  qr), 
{q  —  ryp^ — q^r^  =  [(g  —  >*)P  +  5^'](M — P^  —  5^)- 

Man  kann  daher,  wie  bei  Fufs,  durch  pq — pr  —  qr   dividiren  und  erhält  dann: 
g^r\pr  —  qr — pq)  —  ^p^q^r'^-{-p\q-\-ry{pq-\-qr—pr)  =  0. 

Entwickelt  man  nach  den  Potenzen  von  r,  so  erhält  man  genau  die  von  Fufs 
gegebene  Gleichung.     Xach  den  Potenzen  von  p  geordnet,  wird  sie: 

2)%q-\-rY{q — r)-\-2}^qf{q  —  ry—pq^r\q  —  r)  —  q^r^  =  0. 
F  u  f s  giebt  ferner  noch  die  Bedeutung  seiner  überflüssigen  Factoren  p-{-r  und 
pq  —  »"fj^H-^);  nnd  für  diesen  Fall,  wie  für  die  übrigen,  numerische  Beispiele. 

3. 
Für  das  Sechseck  findet  Herr  Steiner: 

2,{R^  —  a^f  =  4.r\R^-^a^){R^  —  a'y-\-ier^am% 
welche  Gleichung  sich,  wenn  man  wieder    R-{-a=p,   R  —  a  =  q    setzt,  in 
folgende  verwandelt : 

^pUj^  =  2r\p^-\-q^)p^q^-\-r^{p-\-qy{p  —  qy, 
welche  mit  der  von  Fufs  S.  180  gegebenen  übereinkommt: 

dp^q^—22WN^fiPP-\-qq)  =  r\pp  —  qqy. 


AUF  EIN  PROBLEM   DER   ELEMENTARGEOMETRIE.  283 

Für  das  Siebeneck  findet  F  n  fs  die  Gleichung : 


\_pq  —  r{p  —  q)  —  2rr]  2pfp-  \{p  —  r){p  -\-q)  +  \j)pqq  —  nipp  +  qq)']  2r  ^{q  —  r){p  -f  q) 
=  ±  IP'1  —  ^iP  —  q)!  [pim  +  rr(pp  —  qq)'] . 
Für  das  Achteck  giebt  Fufs  die  Gleichung: 

ppr  \]qq  —  rr -\-  qqr  \Jpp  —  rr  =  pqn  •  —  pq  \J{  pp  —  vr){qq  —  rr) . 
Quadrirt  man  diese  Gleichung .  so  resultirt : 

Ap^qh-^Sll^^p^^ry^q^^^}  =  2}''qh-'^-\-p^q^{p^—r''\q^—r^)—p^r\q^  —  r^)—q^r\p^  —  r^) 

=  r''{p^-\-q^y—2r'p^q^{p^-\-q^)+p^q^  =  lr\p^-\-q^)—p^q^J. 

Die  Gleichung,  rational  gemacht,  wird  -Aso: 

Aber  diese  Gleichung   scheint   nicht   mit  der   sehr  verwickelten,  welche  Herr 
Steiner  giebt,  in  Übereinstimmung  gebracht  werden  zu  können. 

Fufs  bemerkt  noch,  dass  wenn  man  einen  Winkel  jx  aus  dem  Winkel  v 
durch  die  Gleichung  cos  v  =  —  cotg  |jl  bestimmt .  man  setzen  könne  : 

.      U, V  .      }J.-|-V  V 

sm^^^2 ®^°    2~  tang  — 

a  =    R 1 —  =  — Fi ' 

.[X  —  v,.u,-4-v  ,  \x 

sini-^  +  sm^^  tang-^ 

.     U. V    .      U.  +  V  .     U V     .     IX +  v 

sm'         siD'    '  sm^-— —  sin^—^ 

r  =  2B — ; —  =  R 


Sin  '-^~  -f  sm  '—^  sm  ~  cos  - 


woraus  auch 


p  =  B^a  =  R 


sm^— -7 — 


M-  V 

sm-cos- 


q  =  R — a  =  R 


sm^cos- 

folgt,  welche  Formeln  durch  ihre  Eleganz  sich  empfehlen. 

Ich  habe  diese  Formeln  anführen  wollen,  weil  es  vielleicht  Einigen  in- 
teressant scheinen  dürfte,  sie  mit  den  Resultaten  zu  vergleichen,  welche  sich 
aus  der  Theorie  der^elliptischen  Transcendenten  ergeben. 

36* 


284 


ANWENDUNG  DER  ELLIPTISCHEN  TRANSCENDENTEN 


4. 

Wir  wollen  jetzt  die  Fimdamentalformeln  aufstellen,  aufweichen  die  hier 
anzustellenden  Betrachtungen  beruhen.  Es  seien  demnach  zwei  Kreise  gegeben, 
von  denen  der  eine,  mit  dem  Halbmesser  R  und  Mittelpunkt    C,    den  andern 

mit  dem  Halbmesser  r  und  Mittelpunkt  c 
umschliefsen  möge.  Die  Distanz  der  Mittel- 
punkte cC  heifse  a.  Aus  irgend  einem 
Punkte  A  des  Kreises  C  ziehe  man  eine 
Tangente  an  den  Kreis  c,  welche  den  ersten 
wieder  in  A'  schneidet;  auf  gleiche  Weise 
ziehe  man  an  den  Kreis  c  die  Tans^enten 
ÄA",  A'A",  A"'A''  u.  s.w.,  wo  A,  A,  Ä\ 
A",  A'^  u.  s.  w.  in  dem  gröfsern  Kreise  C 
liegen  und  A  AA'A". . .  ein  Stück  eines  Po- 
lygons oder  ein  ungeschlossenes  Polygon  ist,  das  dem  Kreise  C  eingeschrieben, 
dem  Kreise  c  umgeschrieben  ist.  Man  ziehe  den  Durchmesser  cC,  welcher 
den  Kreis  C  in  P  schneiden  möge,  so  dass  CP  =  R,  cP  =  R-\-a.  Jetzt 
nenne  man  die  Winkel  ^CP=  2cp,  ACP=  2cp',  A'CP  =  2cp",  A"CP  =  2cp"', 
u. s.w.,  so  ist  leicht  zu  sehen,  dass  zwischen  je  zwei  Winkeln,  die  aufeinan- 
der folgen ,  die  Gleichungen  stattfinden : 

Rco8{o'  —  9)  +  «cos (9'  -f-  cp)  =  r, 
i2cos(c?"  — cp')+rtCos('f"  +  9')  =  r, 
JKcos(<p"'— 9")4-acos(9"'+?")  =  r, 


welche  Gleichungen  man  auch  so  darstellen  kann : 

(R  +  a)  cos  9'  cos  o  -\-{R  —  a)  sin  9'  sin  9 
{R  -\-  a)  cos  cp"  cos  9'  +  (-R  —  a)  sin  9"  sin  9' 
{R  -f-  a)  cos  9"'cos  cp"4-  {R  —  a)  sin  cp"'sin  9" 


r, 
r, 
r, 


Zieht  man  jede  dieser  Gleichungen  von  der  folgenden  ab  und   bemerkt,  dass 
immer 


cosa; — cos«         .        x-\-y 
=  lang— ^: 


80  folgt  sogleich: 


sint/  —  sina; 


AUF  EIN  PROBLEM  DER  ELEMENTARGEOMETRIE.  285 


In  dieser  Form  der  Gleichungen  springt  es  sogleich  in  die  Augen,  dass  sie  mit 
denjenigen  übereinkommen,  welche  zur  ^"ervielfachung  der  elliptischen  Transcen- 
denten  aufgestellt  werden. 

Setzt  man  nämlich  das  elliptische  Integral,  in  dem   k   irgend  eine  Con- 
stante  bedeutet, 


f 

«/  0 


=  u. 


0  \/l — kJc  sin''' o 
und  nach  einer  von  mir  angegebenen  Bezeichnung  die  Amplitude  cp 

cp  =  amu; 
ferner  ebenso 

7.  =  am^, 

wo  a  irgend  einen  Winkel  bedeuten  möge, 

9'  =  SLm(u-\-t), 
cp"  =  am  (m  -f-  2^) , 

so  wird  in  den  Elementen  der  Theorie  der  elliptischen  Functionen  die  Gleichung 
gegeben : 

tang  "^~|~  "^    =  A am ^  tang 9', 

wo  

Aam^  =  V^l — kJcsm'^a.  =  \Jl — Z:ä;  sin''' am  ^ . 

Bestimmt  man  also  in  unserem  Falle  die  Gröfsen  k  und  t  oder  a  durch  die  bei- 
den Gleichungen: 

R—a 


so  wird  man  haben : 


Aam^  =  sjl — kksiu'^a.-^    cp'  =  am(w+^), 


cp    =  amw, 
cp'   =  am{H-{-t), 
9"  =  am  (m  4- 20, 
(p"'=  am  (w -1-30; 
(piv  =  am(^<-f-40l 


286  ANWENDUNG  DEK  ELI.IPTISCHEN  TRANSCENDENTEN 

WO    2cp'.    2'f".    2cp"',    29"     durch   die    §.  4.     angegebene  Construction   gefunden 
werden. 


Wir  wollen  jetzt  die  Gröfsen  a  und  k  bestimmen,  welches  vermittelst  der 
Gleichungen  cp  =  am  w,  a  =  am  ?,  cp'  =  am  (w+ ^),  A  a  m  ?  =  V 1  —  kk  sin^  a  =  ^— ^ 
geschieht.  Die  Elemente  der  Theorie  der  elliptischen  Functionen  geben  uns  die 
Gleichung : 

cos  cp  cos  cp'-|-  sin  9  sin  cp'  \/l — Jck  sin'-^  a  ^  cos  a . 

Nach  unseren  obigen  Formeln  ist : 

cos  'S  cos  C5  4-  siß  9  sm  ?  -^-j —  =  -n~\ 

Dieses  giebt  uns  zur  Bestimmung  von  a  und  k  die  beiden  Gleichungen : 

R  —  a 


\Jl — M-sin^a  =  -^-j und  cosa  = 


R-\-a  R-\-a 

woraus  folgt : 


{R-\-ay—ri'  (^B-^ay—rr 

Femer  hat  man: 

_  r  ^  r(l+A)  2i?cosa 


cosa  cosa  l+A 

r^  ^  r(l—y)  T>(1— A) 

cos  a  cos  a  14-^ 

wo  der  Kürze  halber  für  A  am  f  blofs  A  geschrieben  ist. 

Diese  Formeln  geben  ein  leichtes  Mittel,  wenn  man  amw  =  cp,  und 
am  t  =  a  kennt ,  daraus  am  [u  -j-  mt)  zu  finden ,  was  die  Aufgabe  der  Multi- 
plication  der  elliptischen  Functionen  ist,  und  zwar  durch  eine  Construction  der 
Elementargeometrie.  Man  beschreibe  nämlich  aus  einem  Punkte  c  mit  einem 
beliebigen  Radius  r  einen  Kreis,  und  aus  dem  Mittelpunkte  C,  der  um  a  =^  cC 
von  c  entfernt  ist,  einen  zweiten  Kreis  mit  dem  Radius  R,  wo  a  und  R  durch 


die  Gleichungen 


r(l-A)  Kl+A) 

a    =    —z: ;  -Li    ^     —z: 

2  cos  a  2  cos  a 


bestimmt  werden.       Bestimmt    man    nun    den    Punkt    A     in    der    Peripherie 
des  Kreises    C,     indem   man     ACP  —  2cp     macht   (§.  4.),     und    die   Punkte 


AUF   EIN    PROBLEM   DER  ELEMENTARGEOMETRIE.  287 

A',  Ä",  Ä",  .  .  .,  A'-'"'^  durch  die  !^.  4.  angegebene  Construction ,  so  wird 
i.jiMCP  =  ;pi'"'  =  am[ii-{-mt). 

AVill  man  blofs  am?nt  bestimmen,  so  föllt  der  Punkt  A  mit  dem  Punkt 
P  zusammen.  Uebrigens  bemerke  ich,  dass  die  Winkel  2'.p,  2'/,  2cp",  2cp"',  .  .  . 
immerfort  wachsend  angenommen  werden,  so  dass  sie  auch  3  60"  überschreiten 
können. 

Diese  Construction  scheint  vor  der  Construction,  die  Lagrange  mittelst 
des  sphärischen  Dreiecks  gegeben  hat ,  nicht  ohne  Vorzüge  zu  sein. 

6. 

Es  ist  ein  bemerkenswerther  Umstand,  dass  die  Gröfsen  A\  a  gänzlich 
von  cp  oder  u  unabhängig  sind.  Wo  man  daher  den  Punkt  A  in  der  Peri- 
pherie des  Kreises  C  annimmt,  wird  immer,  wenn  man  ^ACP  =  cp  :=  amw, 
4:A'CP  =  Zi'  =  am.  ii-\-t)    macht,    die   Linie    AA    einen  Kreis    berühren, 

1  T  T    i~'     -  r  1  1       T  •       /-n      •     1  -R(l — ^)  2i?C0S7. 

dessen  Lage  und  Crroise  durch  die  Cxleichunoen  a  =  — V-i — r^'  ^  =    .  ,    > 
^  ^  l+A  1-|-A 

bestimmt  werden.  Man  denkt  sich  dann  nämlich  CP  als  eine  feste  Linie, 
von  welcher  an  der  Winkel  2cp  gezählt  wird,  und  in  welcher  der  Mittelpunkt 
des  Kreises  c  zu  liegen  kommt.  Ebenso  wird  immer,  wo  man  auch  A  ange- 
nommen hat,    die  Linie   AA"    einen  Kreis  berühren,    dessen  Lage  und  Gröfse 

durch  die  Crleichunoen    a  =  — \  ,    .,„,    ,  r  =     ^  ,    .,.,,      bestimmt  werden .  wenn 

m.an  a^-^  =  am  2^,  i\^^'>  =  \Ji  —  kk  sin'^a^^^  setzt.  Und  allgemein  wird  immer, 
wo  man  auch  den  Anfangspunkt  A  angenommen  hat,  die  Linie  AA''"'\ 
welche     das    Polygon     schliefst,      einen    Kreis     berühren,     dessen     Elemente 

1        1,      T       rn    •  1,  i?(l— AC"))  2Ecosa('")  ,  .     , 

durch    die    Crieichungen    a  =  — \  ,    .,  /  ,    r  =     ,  ,    ^,  .        gegeben   sind,     wo 
ö  l_|_/\(»0    '  14- A^'"^        ^  ^ 

a^'")  =  ammt,  A^*"^  =  Vi  — Msin^a^"'\  Die  Mittelpunkte  aller  dieser  Kreise  lie- 
gen in  der  festen  Linie   CP. 

Wir  wollen  jetzt  beweisen,  dass  diese  Kreise  ein  System  bilden,  welche 
dieselbe  Tiinie  zum  Orte  der  gleichen  Tangenten  haben,  welche  zweckmäfsige 
Benennung  Herr  Steiner  in  seinen  geometrischen  Arbeiten  in  dem  Cr  eil  e- 
schen  Journal  eingeführt  hat.  Es  ist  dieses  bei  zwei  Kreisen  eine  gerade  Linie, 
welche  auf  der  Verbindungslinie  der  Mittelpunkte  senkrecht  steht,  und  eben, 
was  ihr  Name  andeutet,  die  Eigenschaft  hat,  dass  wenn  man  von  irgend  einem 


288  ANWENDUNG  DER  ELLIPTISCHEN  TKANSCENDENTEN 

ihrer  Punkte  die  Tangenten  an  die  beiden  Kreise  legt,  diese  Tangenten  gleich 
werden.  Da  wir  schon  wissen,  dass  jene  Kreise  ihre  Mittelpunkte  in  derselben 
geraden  Linie  haben,  so  brauchen  wir  blofs  zu  zeigen,  dass  für  irgend  einen 
Punkt  die  von  ihm  aus  an  alle  Kreise  gelegten  Tangenten  gleich  sind,  indem 
dieselbe  Eigenschaft  dann  alle  Punkte  der  durch  ihn  gehenden  und  auf  CP 
senkrecht  stehenden  Linie  haben  werden. 

Zu  diesem  Ende  wollen  wir  den  Punkt  in  der  Linie  CP  selbst  aufsuchen, 
welcher  diese  Eigenschaft  in  Bezug  auf  die  beiden  Kreise  C,  c  hat.  Wir  wol- 
len D  die  Distanz  dieses  Punktes  von  C  nennen,  so  wird  seine  Distanz  von 
c,  D  —  a.  Die  Tangente  an  den  ersten  Kreis  Avird  SJDD  —  RR,  an  den  zweiten 
Kreis  Sl[D  —  df — rr.     Beides  gleich  gesetzt  giebt 

DD^ER  =  {B  —  ay—rr, 
oder 

j^  RIl-\-aa — rr   {li-\-ay — rr        ^ 


Oben  aber  fanden  wir 


4i?a 


woraus 


und  also 


^Rj^af—rr 

(E  +  a)2- 

-rr          2R 

2a 

~    kk  ' 

^-t    ^- 

Wir  sehen,  dass  a  in  dem  Ausdruck  für  D  gar  nicht  vorkommt,  sondern 
dass  es  blofs  von  k  abhängt.  Für  alle  jene  Kreise  aber  ist  dieses  k  dasselbe, 
und  nur  im  a  unterscheiden  sie  sich.  Hätten  wir  daher  für  C  und  irgend  einen 
anderen  Kreis  den  Ort  ihrer  gleichen  Tangenten  gesucht,  so  hätten  wir  densel- 
ben Ausdruck  für  D  gefunden,  so  dass  also  alle  jene  Kreise  einen  gemeinschaft- 
lichen Ort  der  gleichen  Tangenten  haben. 

Die  analytisclie  Bestimmung  der  Elemente  des  Kreises,  den  die  Linie 
AAS'"''  beständig  berührt,  während  der  Punkt  A  sich  in  der  Peripherie  des  Krei- 
ses C  bewegt,  wäre  selbst  für  kleinere  m  ein  Problem  von  kaum  zu  überstei- 
gender »Schwierigkeit  gewesen,  welches  auf  diese  Weise  auf  die  Elemente  einer 
bekannten  Theorie  zurückiicführt  und  dadurch  in  aller  Allgemeinheit  ürelöst  ist. 


AUF  EIN   PROBLEM   DER   ELEMENTAltGEOMETKIE.  289 

Der  specielle  Satz,  dass    AA"  bestäiicli<i:  einen  Kreis  während  seiner  Be- 
wegung berührt ,  läfst  sich  auch  folgendermafsen  aussprechen : 

AVenn  man  in  einen  Kreis  einen  Winkel  einschreibt ,  der  einem  andern  zu 
gleicher  Zeit  umgeschrieben  ist.  und  man  denselben  sich  unter  diesen  Be- 
dingungen bewegen  läfst,    d.  h.  so,   dass  seine   Spitze  die  Peripherie  des 
Kreises  durchläuft,  während  seine  Schenkel  den  anderen  Kreis  berühren, 
so  wird  die  Sehne ,  die  er  in  dem  ersten  Kreise ,  in  den  er  eingeschrieben 
ist.    abschneidet,    während    der  Bewes^ung   beständig   einen  dritten  Kreis 
berühren,    welcher    mit    den  gegebenen  denselben  Ort  der  gleichen  Tan- 
genten hat. 
Diesen  Satz  giebt  Herr  Poncelet  S.  326  seines  angeführten  Werkes.      Durch 
die  oben  angedeutete  Weise  perspectivischer  Projection  lassen  sich  diese  Sätze 
auf  das  System  zweier  Ellipsen  ausdehnen. 

7. 
Aber  Herr  Poncelet  giebt  diesen  Sätzen  noch  eine  weit  gröfsere  Ausdeh- 
nung. Wir  haben  angenommen,  dass  die  Seiten  des  Polygons  einen  und  den- 
selben Kreis,  oder  in  der  Projection,  denselben  Kegelschnitt  berühren.  Pon- 
celet bestimmt  nur.  dass  sie  überhaupt  in  einer  bestimmten  Folge  gegebene 
Kegelschnitte  berühren ,  so  dass  auch .  wenn  man  will .  ein  Kegelschnitt  meh- 
rere Seiten  berühren  kann,  wo  dann  gedacht  werden  kann,  dass  in  diesen  Ke- 
gelschnitt mehrere  zusammen  fallen.  Er  unterwirft  diese  Kegelschnitte  blofs 
der  Bedingung ,  dass  sie  alle  mit  dem  Kegelschnitt ,  in  welchen  das  Polygon  ein- 
geschrieben ist,  die  reellen  oder  idealen  Secanten ";  gemeinschaftlich  haben.  Er 
giebt  demnach  S.  32  7  folgenden  Satz: 


*)  Herr  Poncelet  bestimmt  eine  gemeinschaftliche  Secante  zweier  Kegelschnitte  aus  folgenden  Ei- 
genschaften, welche  zugleich  zu  ihrer  allgemeinsten  Definition  dienen.  Man  bestimme  in  ihnen  die  Durch- 
messer AB,  A'B',  welche  zur  Richtung  der  gemeinschaftlichen  Secante  conjugirt  sind;  so  müssen 
erstens  beide  Durchmesser,  wenn  es  nöthig  ist,  verlängert,  sie  in  demselben  Punkt  0  schneiden.  \\'ena 
ferner  AB  =  a ,  A'B'  =  a',  und  die  mit  der  gegebenen  Linie  parallelen ,  diesen  conjugirten  Durchmesser 
resp.  b ,  V  sind ,   so  muss  zweitens 

^OA.OB  =^'-^OA'.OB' 
aa  a  a 

sein.     Diese  Bestimmungen  ,   welche  augenscheinlich  erfüllt  sind,  wenn  die  Linie  beide  Kegelschnitte  wirk- 
lich schneidet,    behalten   ihren  Sinn  auch,    wenn  sie  aufserhalb  beider  fällt,    in  welchem  Falle    sie  Pon- 
celet  die  ideale  Secante  nennt.      Für  zwei  Kreise,    die    sich  nicht    schneiden,    ist    die    ideale    gemein- 
schaftliche Secante  der  Ort    der    gleichen  Tangenten  bei  Herrn  Steiner.  •* 
I.                                                                                                                       37                              " 


290 


ANWENDUNG  DER  ELLIPTISCHEN  TRANSCENDENTEN 


Wenn  man  einem  Kegelschnitt  ein  Polygon  einschreibt,  dessen  Seiten,  mit 
Ausnahme  einer,  andere  Kegelschnitte  berühren,  die  mit  einander  und  mit 
jenem  gemeinschaftliche  Secanten  haben,  und  man  das  Polygon  unter  die- 
sen Bedino-unoren  variiren  läfst,  so  werden  die  freie  Seite  und  alle  Diagona- 
len  sich  auf  anderen  Kegelschnitten  wälzen,  die  mit  den  gegebenen  gemein- 
schaftliche Secanten  haben. 
Aber  auch  diese  A^erallgemeinerung  ergiebt  sich  leicht  aus  unseren  Be- 
trachtungen für  Kreise,  worauf  man  sogleich  sie  durch  Projection  auf  Kegel- 
schnitte erweitern  kann.      Ja  wir  erhalten  sogleich  unmittelbar  wieder  den  ana- 
lytischen Ausdruck  für  die  Elemente  des  gesuchten  Kreises  in  aller  Allgemeinheit. 


Es  seien  die  Kreise,  wie  sie  aufeinander  folgen,  c,  c,  c",  c'",. . .,  c^'"'~^\  wie  oben 
nach  ihren  Mittelpunkten  benannt,  ihre  Radien  resp.  r,  r',  r",  r'",  .  .  .,  r^'""^^: 
die  Distanzen  ihrer  Mittelpunkte  von  C,  cC  ^  a^  c'C  =  a,  c"C  =■  a, 
c"C  =  a",  .  .  .,  c^"-^^C  =  a^*"-^).  Man  bestimme  ferner  die  Winkel  a,  a^,  a.^, 
a. 


'3' 

cosa  = 


. ,  a^_i  durch  die  Gleichungen 
r  r' 


E  +  a' 


cosa,   = 


E-\-a' 


C08a„   = 


E-i-a' 


cosot,„_i  = 


,.(m-l) 


i2_|-ß('«-l)' 


und  setze 


a  =  am^,       a,   =  amt', 


=  amt", 


-1  =  am^^*"-^) 


Jetzt  ziehe  man  aus  einem  beliebigen  Punkte  A  des  Kreises  C  die  Tangente 
ÄÄ  an  den  Kreis  c,  die  Tangente  Ä'Ä'  an  den  Kreis  c',  die  Tangente  Ä"Ä"' 
an  den  Kreis  c",  u.  s.  w. ,  die  Tangente  ^("•-D^^"*)  an  den  Kreis  c^"*~'^\  wo 
A,  A,  A',. . .,  A^"'^  alle  in  der  Peripherie  des  Kreises  C  liegen,  und  nenne  wieder 


AUF  EIN  PROBLEM  DER  ELEMENTARGEOMETRIE.  291 

ÄCP  =  2'^,     Ä'CF  =  2(p',     Ä"CP  =  2cp",     .  .  .,     A^"'^CP  =  2'f'\ 
so  hat  man,  wenn    cp  =  amw; 

9'=am(^<+0,      -f"  =  am(«<  +  ^  +  0»      ?'"  =  am(M  +  ^-j-^'-f-r),... 

.  .  .  '/"^  =  am(«  +  ^4-rH f-^^'"~^^)- 

Nach  §.  6.  also  wird,  wenn  man    t -\- 1' -\~ t" -\ }-^("'-i>  =  s    setzt,  die  Linie 

A-"'^A,  Avelche  das  Polygon  schliefst ,  während  der  Drehung  einen  Kreis  berüh- 
ren, dessen  Elemente  durch  die  Gleichungen 

27?  cos  am  5 


am  = 


1-f- Aams 
B{\ — Aams) 


l-j- A  am 5 

bestimmt  sind ,  wo  r„,  seinen  Radius ,  a,„  die  Distanz  seines  Mittelpunktes  in  der 
Linie  CP  von  C  bedeutet.  Die  Bedingung,  dass  die  Kreise  einen  gemein- 
schaftlichen Ort  der  gleichen  Tangenten  haben,  kommt  mit  der  Identität  des 
Moduls  überein. 

Das  Vorhergehende  giebt  eine  Construction  der  Addition  mehrerer  ellipti- 
schen Functionen,  wie  wir  oben  die  Construction  der  Multiplication  fanden. 
Uebrigens  erhellt  aus  unsern  Formeln  noch  der  Satz,  dass,  in  welcher  Ordnung 
auch  die  Seiten  AÄ,  ÄA",  A"A"'  u.  s.  w.  die  gegebenen  Kreise  berühren ,  der 
Endpunkt  A^'"^  immer  derselbe  sein  wird. 


Man  bestimme  jetzt  K  durch  die  Gleichung  amÄ'=  -^,  so  hat  man  be- 
kanntlich  am(w+2jKj  =  amw  +  ic,  und  allgemein,  wenn  h  eine  ganze  Zahl 
ist,  a.m{u-\-2hK)  =  am.u-\-h'K.  Dieses  vorausgeschickt,  hätten  wir  eigentlich, 
wenn    AÄA".  .  .  A'-'^^A   die  ganze  Peripherie  h  mal  durchmifst,  genauer  setzen 

müssen :    s  =  2hK—  {t-\-t'-{- 1"-\ \- 1^"'-'^\      Doch  ändert  dies  die  Formeln 

für  a„,  und  r„,  nicht.  Reduciren  sich  alle  Kreise  c,  c\  c", .  .  .,  c^"'-'^\  c^'"^  auf  den 
einen  c,  so  wird  für  diesen  Fall  das  Polygon  ein  geschlossenes,  dem  Kreise  c 
umgeschriebenes  und  dem  Kreise  C  eingeschriebenes  Polygon.  Für  diesen 
Fall  wird  s  =^  t  =  t'  =  t"  =  •  •  •  =  t^"'-'^\  wodurch  man  erhält: 

2hK 

(m4-l)t  =  2hK     oder    t  =  pr-- 

Dieses  ist  der  analytische  Ausdruck  für  die  Relation,  die  zwischen  der  Gröfse 

37* 


292  ANWENDUNG  DER  ELLIPTISCHEN  TRANSCENDENTEX 

und  Lage  zweier  Kreise  stattfinden  mufs,  damit  sich  dem  einen  ein  (m-|-l)-eck 
einschreiben  lasse ,  das  dem  andern  umgeschrieben  ist ,  und  h  mal  die  ganze 
Peripherie  durchmifst.  Für  diejenigen,  welche  weniger  an  die  hier  gebrauchte 
Bezeichnung  gewöhnt  sind,  wollen  wir  sie  folgendermafsen  als  Theorem  hin- 
stellen : 

T  h  e  o  r  e  m. 
Wenn  JR  und  r  die  Radien  zweier  Kreise  sind,  von  denen  jener  einem 
w-eck  umgeschrieben,  dieser  demselben  eingeschrieben  ist,  die  Distanz  ihrer 
Mittelpunkte  a  heifst,  und  man  die  Gröfsen  k  und  a  durch  die  Gleichungen 

r  7  7  4i2a 

cos  et    7-,     , }     fCK   -r-^ — j r-s 

R-[-a  {R-\-ay — rr 

bestimmt .  so  ist  immer  : 


drf) 


wo  h  die  Zahl  der  Umläufe  des  Vielecks  durch  die  ganze  Peripherie  be- 
deutet. Diese  Gleichung  giebt  zugleich  die  zwischen  r,  R,  a  stattfindende 
Bedingungsgleichung. 

Da  die  Bedingungsgleichung  t  =  von  u  gänzlich  unabhängig  ist,  so 

folgt  daraus,  dass  die  Wahl  des  Anfangspunktes  A  von  keinem  Einfluss  ist,  wie 
Poncelet  in  dem  zu  Anfang  angeführten  Satze  gezeigt  hat.  Übrigens  kann 
man  immer  annehmen,  dass  h  und  n  keinen  Factor  gemein  haben,  weil  sonst 
das  Vieleck  in  sich  zurückkehrt. 

So  ist  die  in  der  Überschrift  bezeichnete  Aufgabe  vollständig  und  in  ihrer 
ganzen  Allgemeinheit  gelöst. 

9. 
Es  sei  n  =  Im,  also  das  Polygon  von  einer  geraden  Seitenzahl;  dann  sind 
A  und  A^'^\  Ä  und  A^"'+^\  A"  und  A^"'+^\  . . .  A^""'^^  und  A^-"'"^^  gegenüberstehende 
Ecken;  und  AA^"'\  A'A^"'+^\  A"A^"'+^\  ...  die  diese  verbindenden  Diagonalen. 
Diese  werden  dem  Obigen  zufolge  einen  Kreis  berühren,  dessen  Elemente  durch 
die  Gleichungen 

R(l — AamwO  2i^co8amw^^ 


AUF  EIN  PROBLEM  DER  ELEMENTARGEOMETRIE.  293 

gegeben  sind.  Aber  da  t  =  -^—  ,  wo  h  eine  ungerade  Zahl  ist,  so  wird  mt  =  hK, 
woraus    amw?^  =  -^.      Es  wird  daher  r  :=  0,  a  =  R ,  Der  Kreis 

2  1_|_^1_A;/; 

reducirt  sich  daher  auf  einen  Punkt,  in  welchem  sich  alle  jene  Diagonalen 
schneiden,  und  welcher  für  alle  die  unendlich  vielen  Vielecke,  die  sich  nach 
einem  verschiedenen  Anfangspunkte  A  unter  den  gegebenen  Bedingungen  con- 
struiren  lassen,    derselbe  bleibt,   da  seine  Bestimmung,  die  in  der  Gleichung 

a=^R ^.  enthalten  ist.  von  u  oder  cp  jj^änzlich  frei  ist.     Dieser  Punkt 

ist  einer  der  beiden,  welche  für  die  Schaar  Kreise,  welche  denselben  Ort  der 
gleichen  Tangenten  haben,  eine  Art  Grenze  bilden,  und  durch  welche  alle  jene 
Kreise,  welche  diese  Schaar  Kreise  rechtwinklig  schneiden  und  ihren  Mittel- 
punkt in  der  Linie  der  gleichen  Tangenten  haben,  gehen  müssen.  S.  die  Abhand- 
lung von  Herrn  Steiner  im  Isten  Bande  des  Cr  eil  eschen  Journals  S.  161  ff. 

Dieser  Satz  findet  sich  bei  Herrn  Poncelet  am  angeführten  Ort  S.364 
auf  das  System  zweier  Kegelschnitte  erweitert. 

Es  dürfte  nicht  ohne  Interesse  für  die  Theorie  der  elliptischen  Functionen 
sein,  ähnliche  Betrachtungen  unmittelbar  für  das  System  zweier  Kegelschnitte 
anzustellen.  Das  Integral  dürfte  dann  in  einer  complicirteren  Form  erscheinen, 
die  sich  jedoch  auf  jene  einfachere  reduciren  lassen  muss.  Vielleichtnehme  ich 
später  Gelegenheit ,  hierauf  wieder  zurückzukommen. 

Den  1.  April  1828. 


DE 

FÜNCTIONIBUS   ELLIPTICIS 

COMMENTATIO  PßBIA  ET  ALTERA 


AUCTORE 


C.    G.   J.   JACOBI 

FBOF.    MATH.    BEGIOH. 


Grelle  Journal  für  die  reine  und  angewandte  Mathematik, 
Bd.  4.  p.  371—390,    Bd.  6.  p.  397—403. 


DE  FUNCTIONIBUS  ELLIPTICIS  COMIVIENTATIO  PRBIA"). 


A.     De  transformatione  functioniim  Eu],  II'u,a],   qiiae  ad  speciem 

s e c u n d a m    et    t e r t i a m    i n t e g r a  1  i u m    e  1 1  i p t i c o r u m  ip  e r t i n e n t.      De 

transformatione  functionis  Q(w). 

1. 

lisdem.  quas  in  Fwidamentis  proposui,  adhibitis  denominationibus .  sit  n 
numerus  quilibet  impar,  sint  m,  m  numeri  quilibet,  per  eundem  ipsius  n  factorem 
uterque  simul  non  divisibiles:  demonstravi  in  Futidame?itls  theorema  in  theoria 
transformationis  functionum  ellipticarum  fundamentale,  posito  tu  = — 

X  =  Z:"J8incoam2(o  sincoam4(o..  .8incoam(w — 1)«>|*, 

.       '-^|sincoam2(ü  sincoam4(ü. ..  sincoam(« — !)">)* 
^  I         sin  am  2  u)  sin  am  4aj...  sin  am  (w — IJcu     J 

atque  insuper 

rr  =  smamw,      y  =  sinaml -^;X) 

fore 

(i ^?!_Yi ^—^ . . .  (i e! ^ 

V       sin*am2oj/\       sin''am4a>/        V        sin'^ami« — 1)(ü/ 


y  = 


M     (1 — Ä'''sin^am2cu.a;^)(l — Ä;''sin^am4iu.a;^j...  (1 — Ä^sin^am(w — Ijcu.ir^) 

E  qua  deinde  formula  derivavimus  [Fund.  §.23)  aequationem  identicam,  quae 
valet,  quaecunque  sit  x  quantitas: 

1  \ 


(1.)        a:Il(a;^ — sin^am2/)a))  —  y=^  sinamf -^,XJ  Ufa;''' 


Z;'' sin'' am  2^uj/ 
=  [x — 8inamM][a;  —  sin  am  (w -f  4tu)] . . .  [o;  —  8inam(M4-4(H — !)">)], 


*)  Prima  haec  commentatio  seriem  incipit  commentationum,    quae    ut    continuatio  Fundamentorum 
spectari  potest. 

I.  38 


298  DE  FUNCTIONffiUS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  PRIMA. 

siquidem    in   productis   praefixo    11     designatis  numero    p    tribuuntur   valores 

Formula  (1.),  singulis  elementi  üc  dignitatibus  in  utraque  aequationis  parte 
inter  se  comparatis ,  suppeditat  nobis  summas  combinationum  expressionum 

sinamt«,    sin  am  (w  + 4«)),     sinam(w-|- Sto),    ...,    sinam(i«-f-4(w — 1)«)). 

Fit  exempli  gratia  summa  harum  expressionum 

summa  ambarum 

=  — [8iii^am2a)  +  8in^am4a>  -{-•••  -\-sin^Sim{n — 1)«)], 

quam  quantitatem  constantem  designabimus  per    —  p.      Hinc  etiam  deducitur 
summa  quadratorum 

8m^3Lmu-\-sm^a,in{u-\-4:0))-\ \-sin^2im{u-\-4:{n — 1)(ü)  =  -rj^^ sin^ aml^ ,  l)  -\- 2p , 

sive 

^^■^  12^2- sin' am  (^;Xj  =  Isin^am?*— 2p, 

siquidem  per  2cp(w)  designamus  expressionem 

2(p(w)  =  9(m)  -|-  (p(M  +  4(u)  -j-  ?{u  -\-  8(ü)  +  •  •  •  +  9(m  +  4(w — 1  )u)) . 
E  (2.)  sequitur  etiam: 

(3.)  -p^jj2"<^os'amf  ^,  XJ  =  Scos^amw — 23, 

(4-)  i^^'^^(:^'0  =  ^^'amM  +  2T, 

siquidem 

(^•)  -p;;^  =  n  —  2p  —  2o, 

(6.)  ^   =,z-2/cV  +  2r. 

Expressio  cosamf^jXJ  cum  evanescat,  posito  u  =  K,  obtinemus  e  (3.): 

(7.)  a  =  cos2coam2o)-|-cos2coam4u)-|- •  •  • -|-co82coam(»» — l)(u. 

Expressio    Aamf^jXJ  cum  evanescat,  posito  u  =:  K-{-iK',  atque  insuper  sit: 


DE  PÜNCTIONIBUS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  PRIMA.  299 

Aa.m  (u-\-K-\-iK')  =  Acoam  (u-\-iK')  =  ik'tgamu 
(v.  Fund.  ^.  19),   e  (4.)  obtinemus: 

(8.)  r  =  A-'Z;'[tg2am2t.j-|-tg*am4oj-| t-tg^am(«— l)a>]. 

2. 
Formulas  (2.),  (3.),  (4.;  etiam  hunc  in  modum  repraesentare  licet: 

(10.)  pjp-cos^amf -^,. Aj  =  cos^Simu-\-l[cos^Sim{u-\-2p(i})-\-cos^aTn{n  —  2^j(u)]— 23, 

(11.)      ^2-'^'am(-^,X^  =  A2amw  +  I[A2am(?<  +  22)to)  +  A''^am(w  — 2i?u>)]-j-2T, 

semper  tribuendo  numero  p  valores   1,  2,  3.  .  .  .,      ~"    • 

I        2 

Ponatur  iam: 

/.« 

/    A^amudu  =  E{u), 

qui  paulo  discrepat  notationis  modus  ab  eo,  quem  Cl.  Legendre  adhibuit,  quo 
etiam  in  Fundamentis  passim  usi  sumus.  Posito  enim  9  =  amw,  designat  ille 
integralia  elliptica ,  quae  ad  speciem  secundam  pertinent,  per: 


^(cp) 


=  £'(amw)  =    /  '^'^d'^  =    /    L^Bmudu, 

^  0  «^0 


ita  ut  nobis  E(u),    quod  illi   ^(amw).      Porro  per  characterem  J&,   argumento 
non  adiecto ,  semper  designabimus  functionem : 

E  =  E{K)  =    /""AcptZcp, 
quam  ille  per  E^  denotat,  eodemque  modo  per  E'  functionem: 

TT 

E'  =  EiK',  ¥)  =    f '  A(<f .  k')  (?cp . 
His  stabilitis,  fit: 

f  li\^a.Tn(u-\-2po))-\-^^am{u  —  2p(ü)']du  =  E {u -\- 2poi) -{- E (u  —  2p(ü) . 
•^  0 

38* 


300  DE  FUNCTIONIBUS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  PRIMA. 

Constans  non  adiicienda  erit,  quia  utraque  aequationis  pars,  posito    m  =  0,    eva- 
nescit*).     Unde  e  (11.)-  integratione  facta  ab  u  =  0  usque  ad  u  =  u: 

(12.)  W^iw'^)  =  ^(w)  +  2[^(«  +  2^«>)  +  ^(w-2i5a,)]+2TM. 

Formulam  (12.)  transformare  licet  ope  theorematis  noti  de  additione  inte- 
gralium  eliipticorum ,  quae  ad  speciem  secundam  pertinent: 

„,     ,     .   ,    -r,/  >         ^T-,/  N        2Psin^ama  sinamw  cosamw  Aamw 

E{u-\-a)-{-E{u  —  a)  =  2E{u) — r^^-^ t-ö > 

^  1 — A;''siii''amasm^amM 

quod,  differentiatione  facta,  facile  ex  elementis  comprobatur    (v.  Fund,  §.  49). 
Cuius  ope  (12.)  in  hanc  abit: 

/■.o\     -n/  \       1   7-7/  w    ,\   ,  „  ^,.,  ,  .  _  siii^am2»a> 

(13.)  nLOu) — irjriJl  -^rr,k  )4-2TU  =  2Jc^8mamuco8amu^a,muy- — ,„  .  „ ^       .  <, 

^        M      \M     J  ^\ — Ä;^sin^am2jpu)Sin^amM 

Formulae  (12.),  (13.)  concernunt  transformationem  integralium  eliiptico- 
rum, quae  ad  speciem  secundam  pertinent.  Easdem  mox  sub  forma  commo- 
diore  exhibebimus. 

Ponamus : 


/ 


E(u)du  =  logfi(M), 


cum  sit; 


2]c^8inamucoaamu ^amu  8m^2im2pisi   <^log(l — Ä;^sin^am2^(osin^amM) 

1  — Z:^sin^am2^a)sin''^amw  du 

nanciscimur  e  (13.),  iterum  integratione  facta  ab  w  =  0  usque  ad  u  =^  u: 

nlogQ(w)  —  \ogü(^>kj-\--cuu  =  — 2Iog(l — Ä;'^sin^am2^u>8in^amw), 
sive: 

-TM«     ^(^'^) 

(14.)  e =  0(1 — F8in^am2;)cusin^amM) 

ß"(«<) 

siquidem,  ut  supra,  designatur  per  Ocpfp)  productum 

U'^ip)  =  cp(l)cp(2)cp(3)...cp(*-^)- 
Posito  sin  am  w  =  cc,  (14.)  ita  repraesentatur  : 


•)  Fit  enim  generaliter  !!{— u)  =  — -E(tt). 


DE  ITTNCTIONIBUS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  PRIMA.  301 

-TMM  Q(—-,IJ 

(15.)  e — =  (1— /j28m2am2u).a;a;)fl — k'8m^am4:(i}.xx)...{l  —  k^8m^sim(n—l)(si.xx). 

Q  (u) 

Haec  expressio  denominatorem  constituit  substitutionis  rationalis,  quae  ad  trans- 
formationem  fuiictionuni  e]lipticarum  adhibita  est  (v.  supra) , 

/  u      \  M\        sin^am2to/v        sin''am4a>/     '    \        sin''^am(w — l)a>/ 

\M  '  )         (1 — W sin'^ am 2a> . xx){\—'k'^ sin^ am 4ai . xx)...{^ — Psin^amCw — 1  )tu . xx)  ' 

quem  igitur  denominatorem  ope  transcendentis  novae  Q(w)  seorsim  exprimere 
licet.  Quod  est  gravissimum  theorema  et  maximi  usus  in  univeisa  theoria  fiinctio- 
num  ellipticarum. 

Sit  substitutio  illa,  siquidem  x  =  sin  am«. • 

/w    ,\  x     14-Ä'x^4-Ä"x^-\ h^^"^^^""^ 


M 


l-\-B'x^-\-B"x^-\ \-B^  2  ;^»-i 


posito 


\        sm''am2^ju)  / 

/  sin^amw  ^/  sin^am^t  \        /  sin^amw        \ 

V        sin^am2a>/\        sin^am4(o/        \        sin''am(*i — l)u)J' 

l^B'x^-\-B"x*-\ [-B^~K'"^  =  n(l— P8in2am2iJü)sin^amw) 

=  (1 — Ä^sin^am  2(o  sin^  am  w)(l — Zi^sin^am  4(u  sin^  amw)-  •  •(! — k^  sin^  am  (n — 1  )cu  sin^  am  u), 
erit: 

(16.)       e =  l+£'sin2amw-|-5"siii*am2<H [-B^  ^  /sin**~^amM. 

Hinc  sequitur ,  sumptis  logarithmis  et  difFerentiatione  instituta , 

(17.)  nE{u)-^E(-^,x)  +  2.i^ 

cosam«  Aamz<[2jB'sinamw4-45"siu^amw-| \-{n — 1)J5^  ^  '^sin**  ^amw] 

1  -f  5'  sin^  am  w  +  ^"sin*  am  w  H 1-  B^^ij^»-^  am  u 

Quae  docet  formula  elegantissima ,  quomodo  ex  ipso  denominatore  expressionis, 
pro  functione  transformata  sinamf  — ,Xj  inventae,  continuo  eruatur  transfor- 
matio  integralis  elliptici,  quod  ad  speciem  secundam  pertinet. 


302  DE  FUNCTIONIBUS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  PRIMA. 

Valorem  constantis  x  eruis  e  (17.),  ponendo  u  infinite  parvum.  quo  facto 
E(u)  ^=-u,  sin  am  w  =  u,  cos  am  w  =  Aamw  =  J  :   unde  fit: 

«*  — ^iAT-  +  2T  =  —2B', 
MM    ' 

id  quod,  cum  sit  B'  =^  — A:'p.  cum  formula  (6.)  convenit. 

Adnotemus  adhuc.  ubi  a   formula    (12.)    proficisceris ,    integratione  facta 
obtineri  : 

U..   Q(^t  H-  2(o)  ü{u  +  4(o) . . .  Ü{u  +  (m— l)o))  \ 
(18)  ü(—   a")  =  /"".)  ß(2«>)^4u>)...ß((w— l)(ü)  ( 

•''       ■      KM'^J  1  9.{u  —  2i^>)9.{u—4:is^)...9.{u-{n—l)ia) 

\    ^^  y(2(o)i>(4to)...i)((w— l)a>) 

3. 
Ponamus  brevitatis  causa ,  siquidem  oc  =  sin  am  u , 

ü=  ^  (l'^Ä'cc'-\-A"x'-\ \-Ä^'^'^x"-'^ , 

V  =  l+B'x^-\-B"x^-] [-B^'^h"-' , 


ita  ut 


Fit  (17.) 


unde,  differentiatione  facta, 

A2  1     X2        /^«*      l^   ,   o  dVdV—VdW 

^^^^""^-^^^°^Vm' V+2-  = ^^^^, , 

quae  formula,  advocata  (6.): 

in  hanc  abit : 

dVdV—VdW 


(19.)     — nJc^8m^SiTau-\-'jr^sm^am(j^,K]-\-2h^p  = 
sive ,  multiplicatione  facta  per   V  V ,  in  hanc : 


VVdu^ 


7  2.0  -2         M7T7.     ^'    rriT         '^^^l^       v^^^ 


DE  FUNCTIONIBÜS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  PRIMA.  303 

ToTio  vidirnns  in  Fufidamenti^  ^,2\,  posito  ic-{-iK'  loco  u,  sivc   = loco 

k  sin  am  u 
sin  am  M,  abire 


Fin 


4    /a  U  .         /  w     .\   .  1 

V   Ä"    sin" am«  \3I      J         ,    .         fu\ 

y  Asmam(^>X) 


unde  expressio : 

dVdV—VdW  _        dHogV 
VVdu^         ~  du'  " 

abit  in : 

w(?MogsinamM        d^XosU  U,  •  .,  1        )       ^MoffC/"*) 

du'  mr  i  sm^'amw)  dii^ 

ideoque  (19.)  in: 

j2  '  2  I  1  ,  07  2  dUdU—Ud^U 

unde ,  multiplicatione  facta  per   UU,  fit : 
Formulis  inventis : 

a2  dV    dV  fi^V 

(20.)  P(2p_^8in^amM)FF+^?7C7==  4^4^-F^  '^ 


M^  du    du  du^ 

(21.)  ,.(2p-«s,n>am«)Pa+^FF=^4^_jr^ 

adiungi  debet  haec : 

quae  e  differentiatione  aequationis  sinamf  ^,  X  j  =r  ^  prodit;  cuius  ope  e 
(20.),  (21.)  quantitatum  U,  V  alterutram  eliminare  licet;  quo  facto  pervenietur 
ad  aequationem  difFerentialem  tertii  ordinis.  Quod  sane  est  theorema  memora- 
bile,  satis  reconditum,  numeratorem  et  denominatorem  substitutionis, 
JJ,  V  singulos  definiri  posse  per  aequationem  differentialem  tertii 
ordinis. 

Ipsas     aequationes    differentiales    tertii    ordinis    prolixitatis    causa    non 


•)  V.  Fund.  §.  42  (1.). 


304  DE  FDNCTIONIBUS  ELLIPTICIS  COjMMENTATIO  PRIMA. 

apponam;  omnibus  casibus  commodius  videbitur.  aequationibus  (20.) — (22.), 
quae  earum  locum  tenent,  iunctis  uti.  Quarnm  usum  insignem  ad  formationem 
algebraicam  functioniim  C7,  V,  sive  ipsiiis,  quae  ad  transformationem  ducit, 
substitutionis  alio  loco  fusius  demonstrabo.  Hoc  loco  tantum  adnotemus  adhuc 
verificationem  formularum  (20.),  (21.)  sequentem. 

Divisa  enim  (20.)  per   VV,  (21.)  per   ÜU,  prodit: 

Jc%2p  —  nsm'amu)-\ — ^  = -^—, 


unde,  subtractione  facta 


sin^  am  ( -^rr  ;>  A  ) 


(^^logsinamf  ^>  kj 


quae  statim  prodit  e  formula: 

d^lossmarati         79  •  o  1 

2-_ =  k^sm^aimii r-= ? 

dii^  sin^  am  u 

posito  -Yjr  loco  u  et  X  loco  k. 

Integrale  completum    aequationum  difFerentialium  tertii  ordinis,    quibus 
functiones    ü,  V  definiuntur,  in  promptu  esse  non  videtur. 

4. 

Integrata  formula  supra  allegata  §.  2. : 

_  _  ,  „,  ^       2Fsin2amasinam7<  cosamw  Aam« 

(23.)        E(u4-a)4-E(u—a)  =  2E(ii) ^^-^-^2 ^ 

inde  a  w  =  0   usque  ad  u  =  u,  obtinemus: 

logi^^^-f  log-^^-^  =  2logQ(«<)  +  log(l— /^2sin2ama8in2amM), 

unde  prodit  formula  in  analysi  functionis  Q  fundamentalis : 

Q,(u-\-a)Q(ii  —  a)  ^      79-9  -  9 

(24.)  \...  /.xw  X — —  =  1 — ^^sin^amasin^amM. 

^      '  li^  {a)  li'^  {u) 

E  formula  (23.).  a  et  w  inter  se  commutatis,  fit: 


DE  FUNCTIONIBUS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  PRIMA.  305 

qua  integrata  inde  a  w  =  0  .   obtinemus  : 

,       Q.{u-\-a)       ^    T^,  .  „,o  •  *  r"  8iii-am?u??t 

log  -TT, — ■ — i 2uE(a)  =  —  2A;2  sm  am  a  cos  am  a  A  am  a  1 ,.,  .  „ .— ^ • 

ß(M — a)  ^  ^  Jq    1 — a;- sm^  am  a  sin^  am  ?« 

Designavi  in  Fimdamentis  per  charactereln  //[u,d)  integrale,  quod  secundum 
eam,  quam  Cl.  Legendre  instituit.  distributionem  integralium  ollipticorum 
in  classes,  ad  speciem  tertiam  pertinet, 

ll{n,a)  =  A;-smamacosama  Aam«  /    - — 75^^-^ ^^ ' 

^       ^  Jq   1 — A;'^  sin- am  a  sin^  am  H 

qua  adhibita  denotationc,  fit: 

(26.)  n{u,  a)  =  uE{a)  + 1  log  -[|^^- 

Quae  est  formula  fundamentalis  pro  reductione  integralium  ellipticorum,  quae 
ad  speciem  tertiam  pertinent,  ad  functiones  E{u),  Q{u).     Cf.  Fund.  §§.49.  sqq. 

Ope  formulae  (26.)  e  formulis  pro  transformatione  functionum  E{u),  Q{u) 
inventis,  extemplo  nanciscimur  eas,  quae  transformationem  integralium  ellipti- 
corum tertiae  speciei  sive  functionis  fl  concernunt.  Fit  enim  e  (26.),  posito 
^,  ^,  X  loco  u,  a,  k: 

de  qua  formula  subtrahamus  sequentem : 

-r^.  N   ,    n  ,      9Ju  —  a) 
nn{u,  a)  =  nuE{a)  +  y  log  -^^^^^::p^ ' 

prodit : 

(28.)  ff(^,|„  ,,)_„//(„,«) 

quae  formula  ope  (16.),  (17.)  in  sequentem  abit: 
1.  39 


306  DE  FUNCTIONIBUS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  PRIMA. 

(29.)  ^(m'  W'  0  —''^('''  «) 

icosama  Aamar2i?'sinam«4-4-ß"sin3ama-j \-(n — l)B^  ^  ^sin"  'ama] 

(  l-[-£'sin^amaH--B"sin*ama-| — --j-^         sin"  ^ama  ) 

(— ) 
l-{-JB'sm"^am(M  —  a)  +  5" sin* am (^t — a) -| — -4-^    ^  ^sin"  ^am(^<  —  a) 
+  i  log  — ^ -^ 7,73n ' 

1 + B'  sin^  am  (u  +  a)  +  B"  sin*  am  (m  +  a)  H \- B^  ^-  '  sin'"""'  am  (m  +  a) 

quae  formula  fundamentalis  docet.  quomodo  ex  ipso  denominatore  substitutionis 
confestim  eruatur  transformatio  integralium  ellipticorum ,  quae  ad  speciem  ter- 
tiam  pertinent. 

Eandem  aliter  exhibere  licet  per  formiüas  (12.),  (18.),  quariim  ope  fit  e  (27.): 

—  ^  ^°S  Q^^^  j^a)^~\-'  ^  Q{u  4-  2;jü>  +  a)  ^  ^  '"^  ^^>(^^^  _  2^«,  _|_  a)  ) 

_  ,,       Q(^^-a)  j  Q(t^-a  +  2i;co)  9.(u-a-2po.)\ 

—  3IOS  Q(_wH-a)  ^-(2^"^  9.{u-}-a  —  2poi)  ^  2 '"S  Q(«  _|_  a  +  2iJ(u)  (' 

unde  sequentes  duas  deducimus  formulas : 

=  /7(m,  a)  + /7 (m 4- 2(1),  a)  + //(««  + 4(ü.a)H \-IT{u-\-{n—l)iM,a) 

+/Z(m  — 2to.  a)  +  /7(«  — 4u>,  a)H \- n{u  —  {n—l)(ü,a), 

(31.)/7(-^,  ^,/.)=/7(«,a)4-//(2oa  +  2(«)  +  /7(«,a4-4cü)H ^//(2,,a  +  («— Do.) 

+  /7(«,  a  —  2u>)  4-  /7(m,  a  —  4tü)  -] \-  /7(u,  a  —  {n  — 1  )w)  5 

quae  et  ipsae  sunt  formulae  novae  fundamentales.  Dedimus  in  Fu7id.  §.  55.  (7.) 
formulam  : 

n{u,  a  +  6)  4-  n{ii,  a  —  h)  —  2/7 («i,  a) 

„7,   .  *  sin^ami  ,    ,,      1 — A-^sin^amJsin^amfM — a) 

=  — 2A:-sinamacosamaAama ,„  .  ^ r— — ^ u4-3r\os: ,,  .  ^ -^— r ^^ ^ , 

1 — Ä^sin-amosin^ama       '   ^     ^1 — Ä;2sin2am6sin2am(M-|-a) 

cuius  ope  fit  e  (3 1 .) : 

(32.)  n(^,^,x)-nn(u,a) 

079.  A         -^  sin-am2»a)  ,   ^^ .  ,      1 — Ä-2sin2am2M(üsin2am(?< — a) 

=  — 2F8in am  a  cos  am  a  A  am  a  I  - — ^^^-^ ^r^-i m  4- 1  i  log  - — j^^-^ ^ ^ r-,— ^ 

1 — /<;-sm'^am2^;ojsin^amrt  ^        1 — Ä;'^sm'^am2jjuj8m2am(?<4-«) 


DE  FÜNCTIONIBÜS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  PRIMA.  307 

siquidem  niimero  jy  valores  tribiiis    1,  2,  3,  .  .  .,     ~    •      Quae  facile  etiam  e 
(29.)  sequitur  formula. 

B.     De  functioiiibus  simpliciter  periocUcis  j{u)  =  e''""Q{u)   earumque 

singularibus  proprietatibus. 

5. 
Accuratius  examinemus  functionem  nostram    ü'u) ,    eiusque  primum  re- 
ductionem  pro  argumento  imaginario  formae  iu   ad  argumentum  reale  tradamus. 
Posito  sincp  =i  itgcp,  fit: 

unde.  integratione  facta: 

Haec  formula,  posito: 

cp  =  &m{iu,k),    unde    6  =  am(^<,  Z;'), 

e  notatione  nostra  ita  repraesentatur : 

(1.)  E{iu)  =  ^■[tgam(w,Ä;')Aam(^<,  Z:')  +  M  —  E{ti,k')'], 

unde,  integratione  facta: 

logQ(w)  =  log  cos  am  («,Ä;') —  +  log  ß(M,  ä;')  , 

sive : 

(2.)  Q{iu)  =  e"^  cos  am  {u,k')Q{u,  Je'). 

Cf.  Fund.§.h6.  (1.),  (2.). 

6. 

His  praemissis,  quaeramus  iam,  quasnam  subeat  mutationes  functio  Q[u), 
dum  functiones  ellipticae  immutatae  manent,  i.  e.  dum  argumentum  u  mutatur 
in  u-\- ■imK-^-Am'iK',  designantibus  7n,  m    numeros  positives  sive  negatives. 

Nota  est  ex  elementis  formula : 

(3.)  Eiu-^-lmK)  =  ^(w)4-2mJE7, 

39* 


308  DE  FUNCTIONIBUS  ELLIPTICIS  COMMRNTATIO  PRIMA. 

siquidem  per  simplicem  litteram  E ,  argumento  non  addito,  designamus  functio- 
nem  integram  'E[K) ,  quam  CL  Legendre  designat  per  E^ ;  plagula  apposita, 
per  characterem  E'  designabimus  functionem  integram,  qiiae  ad  complementum 
moduli  pertinet,  sive  functionem  .E' =  E{K',k'),  sicuti  initio  indicavimus.  In- 
tegrata  (3.),  obtinemus: 


sive : 

^  ^  Q.{2mK)  ^  ^ 

Posito  in  hac  formula  u  =  — 2mK,  cum  sit  Q( — u)  =  ö(w),  ö(0)  =  1,  prodit: 

Q{2mK)  =  e'"'"^^   , 
cuius  ope  (4.)  abit  in: 

(5.)  ü{^i-\-2mK)  =  e'"^^-("+'"'^'^ß(M); 

sive  in; 

E       ,  g  Euu 

(6.)  e~^  Q(u-\~2mK)  =  e~'^Q{u), 

quae  docet  formula ,  functionem 

Euu 

mutato   u   in   u-{-2mK,    immutatam  manere   ideoque    cum    functioni- 
bus  ellipticis  argumenti  u  periodum  realem  communem  habere. 
Ponatur  in  formula  (2.)  u-\-2mK'  loco  w,  fit: 

Q{iu  4-  2m'iK')  ==  (—1)»»'  c         ^       cos  am  (m,  h')  9.{u-\-  2m' K',  h') , 
unde,  cum  sit  e  (6.): 

e  2^^"+-'"       ü{u-\-2m'K',l')  =  e~  2^'  ü{u,h'), 


obtinemus 

E' 

e  ^^'^'"^'"''''''  Q{üi-\-2m'iE')  =  (—ly^'e         ^       co8am{u,k')e    ^''' Qiu,Jc'), 


_^(«+,m';r')'  (n+2m'K'f  E'uu 


Sive: 


g  2K'  "+'"    ^  ü{iu-\-2m'iK')  =  {—ly^'e    '^ coQ&m{u,h')ü{u,h') 

(K'—E')uu 


DE  FUNCTIONIBUS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  PRIMA.  309 


unde,  posito  — in  loco  ii,  sive  u  loco  iu: 


-^'(«H-2'«"A')^ 


(7.)  e     2A''  \0(tiJ^2m'iK')  =  (— l)"''e      ^a-      o^^^^^ 

quae  docet  formula,  expressionem 

(K>—E>)mt 

e       2A-'     o(^,)^ 

mutato  u  in  u-\-  -iiniK',  immutatam  mauere,  sive  cum  fiinctioni- 
bus  ellipticis  argumenti  u  alteram  periodum  imaginariam  com- 
mune m  habere. 

Adnotare  convenit ,  e  formula  nota ,  a  Cl.  Legend re  inventa , 

KE'+K'E—KK'  =  -^ 


Sive : 


Zr      ll        TT'  ^ 


K   '    K'  IKK' 
sequi : 

K'—E'   _       7c E^ 

2K'      ~  4:KK'        2K  ' 

unde  formulam  (7.)  etiam  hunc  in  modum  repraesentare  licet: 

(8.)  c(4^~24)^"+""''''"^'ß(M  +  2m  iK')  =  (—1)-'  e(^  ~^^ ""  Q{u) . 

Mutato  in  hac  formula  u  in  u-{-2mK,  prodit  e  (6.): 

Fit  autem: 


--^=^  Uu  +  2mK  +  2;«'iZ"7  —  («  +  2mKy^ 
=       „  [4w  4-  ^rW^Z"  -|-  ^ni'iK'']  -\-  mrn'i- 

7}!/  fK 

F^—  [(w  +  2mK  -\-  2m'iK'Y  —  uu]  -\-  mm'iT:. 


4.K{mK-\-m'iK') 
Hinc  ubi  adnotamus,  esse  e"""'''  =  ( — i)""»'^  atque  brevitatis  causa  ponimus 

m'iTz  E 

*"  ~    4:K{mK-\-7n'iK')  ~2K* 

obtinemus  formulam : 


310  DE  FUNCTIONIBUS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  PRIMA. 

(9.)  e'-(«+2««JH-2-'.x')^ß(^,_|_2,„^_|.2,>,'^Z')  =  (— ir'^'"+^^e'""ß(«), 

quae  docet  formula ,  expressionem 

(  m'JTi ^\ 

mutato    w   in   u-^-^mK^^miK' ,   immutatam    manere,    unde    et   ipsa 
cum   functionibus    ellipticis  argumenti    u   periodum    communem 

habet. 

Adnotare  convenit ,  valorem  ipsius  r  non  mutari ,  ubi  loco   m,  m    ponitur 

pm,  pm. 

Formula  (9 .)  etiam  hunc  in  modum  repraesentari  potest : 
(10.)     ü{u-{-2mK+2m'iK')  =  (_i)'"'('"+i),-*'(-^+.-^xo(„+.^-H.w)ß^^^) 

quae  docet  formula  generalis,  quasnam  functio    ü[u)    mutationes  patitur,  dum 
functiones  ellipticae  immutatae  manent.     Posito  m  :=  0,  obtinemus  e  (10.): 

2E  s  K' 

(11.)  ß(2m^+2m'zX')  ==  (— l)'"e^      -^      '-^        K^ 

Sumptis  logarithmis  et  difFerentiatione  instituta,  e  (10.)  obtinemus: 

^  .        ,-T^,N         7^/  N  ■    2E(w^4- w'«J?')        mw 
(12.)  E{u^2mK-\-1m'%K')  =  ^(w)H ^ J ^ ^- 

=  ^(m)  +  2«»J5  +  2m'i{K'—E') , 
unde ,  posito  w  =  0 , 

(13.)  E{2mK-\-2miK')  =  2mE-{-2m'i(K'—E'). 

7. 
Ponamus  in  sequentibus : 

^(m)  =  e'-««Q(w), 

erit  e  (9.),  posito  2m,  2m   loco  m,  m: 

ita  ut  x(?^)  Sit  functio  periodica.  lam  igitur  pro  innumeris  valoribus,  quos  r 
induere  potest,  dum  numeris  m,  m  alios  et  alios  tribuis  valores ,  innumeras  nacti 
sumus  functiones  periodicas  xW?  ^'^^  singulae  cum  functionibus  ellipticis 
unam  periodum  communem  habent.      Et  vice  versa ,  quamcunque  ex  innumeris 


DE  FUNCTIONIBÜS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  PRIMA.  311 

periodis,   quas  functiones  ellipticae  habent,  eligere  placet,  quantitatem   r   ita 
semper  determinare  licet ,  ut  fiinctio : 

y(«)  =  e''*«*Ö(w) 
eadem  gaudeat  periodo.      E  vaiiis  functionibus  illis  periodicis   ^((w)     in  Funda- 
mentis  eam  elegimiis.  quae  cum  functionibus   ellipticis  periodum  realem  com- 
munem  habet ,  pro  qua  w  =  0   ideoque  r  =  —  —^  •     Quam  functionem  ibidem 
designavimus  per  characterem  particularem  0,  ita  ut: 

omniaque,  quae  loco  citato  de  functione  O  proposita  sunt,  vel  nulla  vel  levi  mu- 
tatione  facta,  ad  functionem  generaliorem  -^[ii)  extenduntur. 
E  formulis  supra  exhibitis : 

Q(u~\-ci)Q(u  —  a)         .      72  .  2  .  2 

=  1 — Ä^sm^amnsin^am?«; 

_  _J(_    dQ(a)  Q(u  —  a) 

ü{a)'     da     '^^  ^  Q{u-\-a)  ' 


Q%a)ü 

n(u,  a) 

sequitur  etiam, 

posito : 

X(w) 

quaeeunque  sit 

r  constans 

: 

(14.) 

X(m  +  «)/ 

xW/ 

f(u  —  a) 

(15.) 

n{u,a) 

=  1 — Ä^sin^amasin'amM, 


X(a)       da      '   i*     °  -^(^^j^a) 

8. 
Ponamus,  ut  supra: 

mK-\-m'iK'  =  w«), 

designante   n   numerum  imparem,   m,  m    numeros  quoslibet  positivos  seu  nega- 

tivos  eiusmodi,  ut  numeri   m,  m>  n   per  eundem  non  divisibiles  sint  numerum; 

ex  antecedentibus  fit: 

x(«  +  4«ü))  =  x(w)- 
Formemus  iam  productum 

X(^OxO*  +  4«))x(^+8»>)---X(^  +  4(w— l)u))    ^ 

X'(4«>)  X'(8">)  •  •  •  X'(2(*» — 1  )^)  ^  ^  ^ ' 


312  DE  FÜNCTIONIBÜS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  PKIMA. 

patet,  posito   u-{-ioi    loco  u,    quemlibet  factorem  in  subsequentem  abire,  iilti- 
mum  vero  in  primum;  unde,  cum  productum  ex  omnibus  conflatum  nil  mutetur,  fit: 

^  (u  -\-  4:t0)    =    '!/  {ll)  , 

ideoque  etiam ,  designante  j>  numerum  quemlibet  positivum  seu  negativum : 

'i/  {u  -f-  4pa>)  =  <b  {n) . 
Jam  cum  generaliter  sit : 

fite  (14.): 

y(w  +  4«))y(M  +  4(M— 1)«))  /-,      72  •   2       ^      •   2          n    9/  n 

X(^<4-8a>)x(^<  +  4(»^— 2)a>)  ,,72-2       0-2         >    2/  n 

X'^(8(o)  /.  \  jj 


unde  productum  cp  ini)   etiam  hunc  in  modum  exhibere  licet : 

(16.)    'K«)  =  /:'(«0[l+^'sin^amM+i?"sin*amM-j YB^~^i  sin"~'am?/J, 

siquidem ,  ut  supra ,  ponis  denominatorem  substitutionis  : 

(1 — Ä^  sin^  am  4(usin2  am  «)...(! — }?%\v^?cas.2{n — l)ajsin2amw) 

=  l+if'sin2amw+:B"siii*am2(H YB<^'^m~^2.mu. 

lam  cum  sit    f^':{i-\-\i^iü)  =  ^h'\u),    fluit  e  i^l6.)  formula   fundamentalis   maximi 

momenti , 

7(w  +  4poj) 


(17.) 


/.(^O 


(¥), 


1+5'sin^amzt-f- J5"sin*am^t+ •  •  • +^    "  '^sin"     amw 

l+J5'sin^am(w4-4i?ü>)+^"siii*am(et4-4^a))-| \-li^  -  4in"  ^am(^«-f-42?o>) 

Posito  M  =  0,  fit  e  (17.)  : 


(18.)       x(4pco)  =  - 


\  l-f-J5'sin^am42;a)-|--B"sin*am42Jüi -| [-B^  ^  ^sin"  ^am4p(D 

9. 


Posito  sin  am  M  =  o?,  cum  sit: 


,     ,     .  a;cosam«  Aama±  V(l — xxHl — k^xx)sina.ma 

smam(M±a)  =  ; , .,  .  ., ^ ; 

^  1 — A;'^sm''ama.Ä;a; 


DE  FÜNCTIONIBUS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  PRIMA.  313 

videmus,  expressionem 

l-}-B'8m'^am(u±4poi)-\-ir's'm'am{H±4.pto)-\ \-B^~^~)  sin"~^  am  (m  ±4pui) 

induere  formam: 

V^"^  ±  \/(l—xx){l—k-'xx)  W^"^ 


(1  —  k^  ain''^  am  AjiiJi .  xx)"~^ 

designantibus    V^p\    W^^^    funciiones  ipsius    ,v   iuteoras  rationales.      Hinc,  ubi 
insuper  ponitur : 

V  =  l-]-B'sm^amu-\-JB"sm^amn  -\ \-B^'^\m~'^ amu, 

üt  e  (17.),  (18.): 


(19)  z(^+4^">)  ^    y     F(l— Ä;-^siD^am4po> 

^     "^  X(4i>">)z(^0          V  V^'^-i-SJil—xxXl—k' 

.     X  X(m  — 4^(1))  __    «y     V{l—k^ sin^ am  ipw .  xx)"-'^ 

^^  7(4»tü)7fw)             V 


xx)"-''^ 

-\-\J{l~xxXl~k'''xx)W^^' 


X(4iJtü)/_(w)  V  V^''^  —  \/(l—xx){l—k-h:x)W^P^ 

Quibus  in  se  ductis,  cum  sit  e  (14.): 
X(M+4i)«>)x(t<  — 4pto) 

obtinemus : 

r,      72  •   2       .  m  FF(1  — Ä2sin2am4«tü.a;a;)2''-2 

[1 — k^am^am^jm.xxl''  =  — r^ — r-r^ — > 

sive : 

r^^V^^  —  {l—xx){l—k^xx)W^P'^W^''^  =  VV(l—k^sm^am4pi».xxy-K 

lam  vero  functio   V  factorem  continet   1  —  k~  sin^  am  4pui .  a:a; ,  ita  ut ,  posito 

F=  T^(l — Ä;2sia2am4^u).a;a:), 
sit    l^  functio  integra:  qua  substituta,  fit: 

(21.)     V^P^V^'^—a—xxXl-Jc'xxJW^'^W^'^  =  VpV.il—kHmHmipu^.xxy. 

Hinc  e  (19.),  (20.)  facile  sequitur: 


(22.) 

'/Xu+4pu)) 

x{u—4:pui) 

X(4i?a>)x(?*) 

_  ^/v^P^—\/{l~xx)il—k^xx)W^'^ 

(23.) 

_  ;^iV^'^^\J^^\—xx){l—k^xx)W''^^ 
Vp 

40 


314  DE  FUNCTIONIBUS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  PRIMA. 

Erit  insuper   V^^  functio  ipsius  o?     par     ordinis  2n — 4, 
W^P^       -  -  impar  ordinis  '2n — 5, 

y  -  -  par  ordinis     n  —  3 . 

10. 
Ponamus  brevitatis  causa: 

/n-l\ 

0(m)  =  l-f5'sin2amM4-5"sin*amM4-v+jB^  ^  >'8m*'~\mu, 

üt  e  (17.): 


sumptis  logarithmis  et  differentiatione  instituta ,  prodit : 

^     '^  y{u -{-ipoi)        y{u)  n    <i>{ii)         n    ^\>  {u -\- ^poi) 

siquidem  ponitur 

^'w  =  ^'  '■'»=^- 

Fit  porro,  cum  sit  ^M  =  e'""Ö(w): 

siquidem  Q'(w)  =  ~-f-^-     lam  posito  w  =  0,  e  (25.)  eruis: 

-/'(4ptu)    _  1    (I)'(42)to) 

X(4^(u)  w    0(4^?(ü) 

sive ,  posito  brevitatis  causa  am  Apm  =  a^ : 

1    (I)'('4m(ü) 
(26.)  Eiip<.)+Srp.  =  -^-^ 

_    _ JL  cosapAap[2^^sinaj,  +  4^^^sin^ap-| [-(w— 1).B^  ^  /sin"~^ot^]  ^ 

Quae  formula  docet,  quomodo  species  secunda  integralium  ellipticorum ,  casi, 
quo  argumentum  est  pars  aliquota  ipsius  \[mK-\-miK'),  exhiberi  possit. 
E  formula  (15.)  obtinemus: 


rrf         \  "/ (f*)      I     11         y(w *)  r-ET/    N    1    rt      Till         /("  —  ^) 

^      ^  X(«)  7(^*4-«)  L    V  y  I         -"      '^        x(^  +  «) 


DE  FÜNCTIONIBUS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  PRIMA.  315 

unde.   advocata  (24.) : 
(27.)  /7(4;;«.,a^  =  4;,»[E(a)  + 2™]  +  ilog  ^^=i^-^ 

=  ip«>  [Eia)  +  2ra]  +  i  log  P^'^ , 

(28.)  Hin, 4p«>)  =  u[Eiip^)  +  8ri>co]  + 1  log  'j^^^^ 

_         u     (l)'(4;;u>)        1  ,       i\)  {u -{- 4:piii) 
n  '  <I)  (4:j^(o)       2«    ^  O  (2<  —  47x0)  ' 
sive: 

(29.)  IIiipio,a)  =  42?«)[^(a)  +  2m] 

1  l+.B'siD^am(a  +  4jj(o)+^"siD^ani(a  +  4^JoOH h-^^  "  ^sin"   ^  am  (a  +  4/;u)) 

+  2^  log  j^^3K       -  ' ' 

l+^'sin^am (a — 4^oi)  +5" sin* am (a  —  4p(u)  -| f-5^  ^  ^in"  ^ am (a  —  4^ju)) 


(30.)  n(ii,ipio) 

_        M     eosapAap[2.B'smap+4jB''sin^ap-| \-{n—l)JB^  ^  ^sm'^ap] 

l-{-B'sm^rj.^,  +  B"sm^o.p-\ f-^^  '  ^sin      o., 

C—) 

.    1,      l+JB'8m^am(tf+4jjoj)4-^"siD*am(M4-4iJoj)H \-S^  ^  ^siIl"-^am(^<+4ij'") 

+  2^  log — 7^1. 

l-\-B'Bm^am(u—4:i)oi)-\-B"sm^SLm{ii—A2)ui)-\ \-B^  ^  ^sin"  ^am(w— 4i;to) 


Quae  formulae  docent.  quomodo  exhiberi  possit  species  tertia  integralium  ellipti- 
corum  casibus,  quibus  sive  amplitudinis  sive  parametri  argumentum  (v.  Fund, 
^.  49.)  est  pars  aliquota  ipsius  A[mK-\-m'iK'). 

11. 
In  formula  fundamentali  (24.) : 


=  i/: 


/(M  +  4i;«))  »/       (!)(«) 


■/{u)  V  0(^  +  4^X0) 


14--B'siD^amM+:B"sin*amM-| \-B^  ^  ^sin"  'ami^ 

l+jB'sin^am  (ii  +  4i;to)  +jB"sin*am  {u  +  4^90))  -j \-B^'^hm''^  am(M  +  4^(o) 

altera  aequationis  pars  functionem  continet  y^[u),  quae  unam  habet  periodum, 
altera  autem  functione  sin  am  w  constat,  quae  praeter  hanc  alia  adhuc  gaudet, 
ut  quae  dupliciter  periodica  est.    Dum  igitur  ad  eam  alteram  applicas  periodum, 

40* 


316  DE  FÜNCTIONIBUS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  PRIMA. 

expressio 

yjti -\- 4:];)(ü) 

miitabitur  quidem ,  neque  tarnen  aliam  subire  potest  mutationem ,  nisi  quae  ori- 
tur  ex  ambiguitate  w''  radicalis.     Quod  tlieorema  g ravissimum ,  expressionem 

quae  cum   functionibus    ellipticis   unam    habet   periodum   communem,  dum  ei 
aliam,    qua    illae    gaudent,  applicas   periodum,    aliam  mutationem   non    pati, 
nisi  quod  per  radicem  aequationis  o?"  =  1    multiplicatur,  ex  ipsa  natura  functio- 
nis  i(u)  iam  comprobemus. 
Ponamus 

mK-\-m'iE'  =^  Q,      lxK+[xiK'=  Q', 
sit  poiTO : 

aK-^a'iK'  ^  pQ-\-p'Q'> 

unde,  quoties  p,p',  fti,  m',  (i,  {jl'  quantitates  reales: 

a  =  pm  +i/[x ,  a'  =  pin-\-p'\i 
ideoque : 

a'a — \ia'  ,         nia' — m'a 

P  =  ^::r-' — -rr'  P  = 


mtx  • — m  [i.  niu.  — in  [j. 

Sint  m,  m,  (i,  fx'  numeri  integri  positivi  vel  negativi  quilibet  eiusmodi,  ut 

m\i' — »j'[x  =  1 , 
erit : 

p)  =  [x'a  —  ua',     p'  =  ma  —  m'a, 

linde  patet,  quicunque  sint  numeri  integri  a,  a,  etiam  p,p'  integros  fore  et  vice 
versa.     Fit  porro : 

K  =  \i:Q  —  m'Q',     IK'  =  mQ'—iiQ. 

Iam  quicunque  sint  numeri  integri  positivi  seu  negativi  a,  a',  erit 

smam{u-\-4:aK-\-4a'iK')  =  sinam?«, 
unde  etiam,  quicunque  sint  numeri  integri  positivi  seu  negativi  p,p': 

8ma.m{u-{-42)Q-\-4:iyQ')  =  sin  am  w. 
Innumerae  periodi,  quibus  gaudent  functiones  ellipticae,  componi  possunt  omnes 
e  binis,  quae  continentur  aequationibus : 

8mam{u-\-4:K)  =  sin  am  n ,       sin  am  {u  -\-  AiK')  =  sin  am  w . 


DE  FDNCTIONIBUS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  PRIMA.  317 

Quarum  in  locum  ex  antcccdcntibus  patet  substitui  posse  has: 

sin  am  (?< -|- 4^)  =  sin  am  ?^,       smsLm{it-\-4:Q')  =  sin  am«, 
siquidem : 

Q  =  mK-\-m'iK',       (/  =  ixK-\-'i'iK', 

designantibus  m ,  m,  [x ,  p/  immeros  integros  positives  vel  negatives  eiusmodi ,  ut 
sit  m\i  —  m'\L  =  1.  Unde  videmus.  periodos.  quibiis  functiones  ellipticae  gau- 
dent.  inumeris  modis  e  binis  componi  posse.     Eiusmodi  autem  binas  periodos, 

e  quibiis  leliquae  componi  possunt  omnes,   vocabimus  periodos  coniugatas. 

,^     .                                          Q          mKA-m'iK'  .  , 

losito.  ut  supia,    to  =  —  = ■ ■}    quaeramus  lam.  quod  propo- 

situm  est.   quaenam  evadat  expressio 


/(w  +  4i;w) 


^.(«+f-) 


mutato  u  in  w-{-4Q'  seu  generalius  in  u-\-\p'Q\  designante  p'  numerum  posi- 
tivum  vel  negativum  quemlibet.     Vidimus,  posito: 

__  mir.  E     m'i-  E 

fore: 

unde  etiam,  posito  ja,  [i   loco  m,  m',  ideoque   Q'  loco   Q,  atque 
fit: 

4:1)0 

Mutato  II  in  u-\ — ^-^  =  w+4w(o.  prodit: 

n  \      1  r 


unde 


..^.  <«+^+*e')      <«+-^) 


i2(M  +  4<'/)  Hiii) 

Sequitur  autem  e  formula  ^(m)  =  e"*"Q'w) : 


318  DE  FUNCTIONIBUS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  PRIMA. 

ySu  +  m  ^     "  '  W+W) 


unde 


x(«+i^  +  .«0        ^,_,,  x(«+i|^) 


Fit  autem 


4ir^         4KQ'  K  AQQ' 

ideoque,  cum  sit  7n'Q' — [i'Q  =  — K: 


n 
unde  obtinemus  formulam  fundamentalem: 

sive  hanc  generaliorem : 

Videmus  igitur ,  quod  demonstrandum  erat ,  expressionem 


y\^i-\- 


n   y  -/{u -\- 4:2}io) 


quae  cum  functionibus  ellipticis  unam  periodum  communem 
habet  sive  immutata  manet,  mutato  u  in  u-{-4Q,  dum  ei  perio- 
dum coniugatam  applicas  sive  u  in  w-|-4Q'  mutatur,  multi'pli- 
cari  per  n^"'"  radicem  unitatis. 

Quin  adeo  ipsius.  quam  eligere  debes,  w^*  radicis  unitatis  expressionem 
analyticam  suggerit  formula  (32.);   quae  satis  delicata  est  quaestio. 

Haec  iam  ad  maiora  viam  sternunt,  Hisce  enim  ut  fundamentis  in  com- 
mentationibus  subsequentibus  transformationes  inversas  et  sectionem  functionum 
ellipticarum  superstruemus ,  intricatam  et  elegantem  quaestionem. 

Regiomonti,  m.  Apr.  1829. 


DE  FUNCTIONIBUS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  ALTERA. 


De  siimmis  scrienim   functioniim  ellip  ticarum,    quarum 
argumenta  seriem  arithmeticam  constituunt. 

Proponemus  in  seqifentibus  formulas  quasdam  elementares  circa  summas 
funetionum  ellipticarum ,  quarum  argumenta  seriem  arithmeticam  constituunt. 
Quae  cum  in  aliis  quaestionibus  usui  esse  possunt  tum  summa  facilitate  formu- 
las generales  de  funetionum  ellipticarum  transformatione  suppeditant. 

Proficiscor  a  formula  nota  de  additione  integraliüm  ellipticorum ,  quae  ad 
seeundam  speciem  pertinent : 

(1.)  E{a)-\-E{u)  —  E{a-\-u)  =  P  sin  am  a  sin  am  ?<  sin  am  (m -j- «) , 

in  qua  e  notatione  in  oommentatione  priore  de  functionibus  ellipticis  proposita : 

E[u)  =    I    il^amudu. 
*/ 0 

Scribamus  in  formula  (1.)  pa  loco  a,  unde  illa  fit: 

E{pa)-\-E{u)  —  E{u-\-pa)  =  Z;^sinam^asinamM8inam(w-j-P^)i 
atque  posito  successive   w?  u-\-a,  u-\-2a,  . . .  ii-\-'\n  —  \]a   loco  u,  summationem 
instituamus.     Designata  generaliter  per  1^'' F{u)  summa: 

2^"^i^(w)  =  F{ii)  +  F{u-\-a)-\-F{u-\-2.a)-\ \-F{u-\-{n—l)a), 

fit: 

nE{i')a)  -{-  }i^"^  E{u)  —  l}-*'^E{u  -{-pa)  =  k^  sin  am^ja  2^**^  sin  am  u  sin  am  (m  -\-pa) . 

Eodem  modo  e  foi'mula : 

E(na)-\-E{n)  —  E{u-\-na)  =  Ä;^sinam/«rtsinamnsinam(M-}-wa); 


320  DE  FÜNCTIONIBUS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  ALTERA. 

loco    u    posito  successive    u,    u-\-a,  u-\-1a ,  .  .  .  u-\-{p  —  \)a     et  summatione 
facta ,  obtines : 

pE{na)-{-'S}-^^  E{u)  —  l^^^E{n-\-na)  =  k- sin  am  Jial'^'^^  sin  9imu8maim(u-\- na). 

lam  observo,  esse: 

I^*^^E{u)  =  t''^i:iu)-\-l^^^Eiu-{-7ia)  =  l^'^E{u)-^l^"^E{u+pa) 
ideoque : 

l^''^E(ti)  —  l^''^E{u+pa)  =  l^'^EiiO  —  l^P^Eiu  +  na). 

Unde  e  duabus  formulis  appositis  invenimus : 

(      k^  sin  am  pa  ^^"^  sin  am  u  sin  am  (u  -\-  pä) ) 
(2-)  ,,  .  ...„  .  .         ,   T  =  nE(i,a)-i,E(na). 

\  —  K^  sm  am  na  -     sin  am  u  sin  am  [u  -\-  na)  1 

Casus  est  memorabilis ,  quo    sinamwa    neque  simul    sinamjt;«   evanescit, 

quo  casu  (2.)  fit: 

/o  N  vW  •  •         /     I       ^         nE(pa)  —pE(na) 

(3.)  ir  '  sm  am  usm  am  nc  4- pa)  = ~-4 — - — ^ — -■ 

^    '  V     I  X    /  ^''smampa 

lam  observo,  in  elementis  probari  formulas: 

cosama  =  cos  am  «t  cos  am  (w  +  a)    +     AamasinamM8inam(M-|~^)^ 
Aama  =     Aam^l    A  am(«t-}-«)  +  /*^^cosamasinamMsinam(M-l-ö)^ 
unde  e  (3.)  nanciscimur  etiam: 

(4.)    2^''^cosamMCOsam(w4-2'«)  =  ncosam2)a r^. — lnE{pa) — pE{na)'], 

rC  Sin  avixpa 

(5.)     2^"^   Äam^t    Aam(t(+i^'^)  =    wAam^ja —   coi^ am pa[iiE{xm) — pE{na)']. 

Videmus   igitur,  quoties    sinam??«    evanescat.  neque  simul   sinamjs«,    expres- 

siones 

I^"^  sin  am  u  sin  am  {u  -\-  pa) , 

-'"^  cos  amw  cos  am  {u  -{-pa) , 

2i^"^   A  am  z*    A  am  (w  -\-2)a) 

ab  argumento  u  independentes  esse.     Ceterum  posito,  ut  in  Fundamentis , 

mK4-7n'iK' 
u>  =  

n 

designantibus  m ,  m   numeros  quoslibet  positivos  seu  negativos ,  qui  cum  ipso  n 
utrique   eundem    non  habent  factorem  communem :    ut    sin  am  na    neque  simul 


■ } 


DE  FUNCTIONIBÜS  ELLIPTICIS  COJIMENTATIO  ALTEEÄ.  321 

sin  nrnpa    evanescat,  fieri  dehet    a  =  2{i.ü),    designante    jx   numerum  integrum 
quemlibet,  dummodo  {xjö  per  n  uon  divisibilis  sit. 

Alias  circa  summas  functionum  ellipticarum  formulas  hunc  in  modum  nan- 
cisceris.     Posito  eiiim: 

am?<  =  7..     amr  =  ,3.     am(u-^v)  =  o,     am(?/  —  v)  =  0, 

e  formulis  Fundam.  §.  18.  (24.)  —  (29.)  sequitur: 

.  (.   ,         f,    .  2  COS  3  A3  cos  7.  Aa 

cos  3  A  r>  -f-  cos  0    A  o    = 


1  —  Z;^ sin-, 3  sin ^a 


.       .    f,    ,       .  ^    .  2  cos  3  sin  a  Aa 

A  a  sin  i>  -j-     A  9  sin  0  : —  ' 


sin 


1 — A-'''8in'',3sin^a  ' 
2  A3  sin  7  cos  7 


3  cos  i>  4-  sin  9  cos  3  =  - — ^.,  .     ', — ^^ — 
1 — A;-sin-,i  sin^'a 

Simul  autem  dedimus  formulas  §.18.  (4.)  —  {6.; : 

2  sin  }  cos  7  A  a 
1 — Z;-sin^|3sin^a 

2  sin  3  A3  sin  7  Aa 


smo  —  8ini>  := 
cosö  —  cos  3  = 


1 — Z;^sin^,3sin^a 


,„         .  2Z:^sin3  cosßsinacosa 

AO—    A3  = — '     .   '      .   g ; 

1 — Ä^'sin^'psm^a 

quibus  cum  prioribus  combinatis ,  prodit ; 

A3 
(6.)  cos  3  A  0  4-  cos  T>  A  3    =   — ^  (sin  o  —  sin  i>) , 

\    /  tgß 

(7.)  Ao  sinÖ-]-  Ar^sino  =  —  (cosi)  —  coso), 

Ajdtgjj 

(8.)  sin 3  cos 0 4- sin 0  cos  3  =   -. .,  .    , — ^(Ai)  —  A3). 

^    '  '  /o^8inßcos;i  ^  ^ 

Posito  u-\--—  loco  M  et  r  =  --?  üt: 
'2  2 

ß  =  am  — ,     3  =  am(?<-|-a);    U  =  amw, 

unde  (6.)  —  (8.)  ita  repraesentantur : 

L  41 


322  DE  FUNCTIONIBUS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  ALTERA, 

.         a 
Aam— -  • 
2 

cosamet  Aam(w-|-«)-f-cosam(M-}-a)  A  amw  =  [sin am (^« -|- a)  —  sinamw]; 

tgam-|- 

Aamw  sma,m{u-\-a)-\-  A  Sim(u-\-a)  sinamw  = [cosamw  —  cosam{u-\-ay], 

Aam-ytgam  — 

Aam  — 

sin  am  u  cos  am  (u-\-ci)  -\-  sin  am  (u-\-a)  cos  am  ii  = [A  am  m  —  A  am  (m-|-^)]- 

yt^sin  am  —cos  am  — 

In  his  formulis  loco  a  scribatur  pa,  atque  loco  u  successive  posito  u,  u-\-a,... 
u-\-{n  —  \)a,  summatio  instituatur;  deinde  in  iisdem  formulis  loco  a  scribatur 
na,  atque  loco  u  successive  posito  u,  u-{-a,  .  .  .  u-\-[p  —  i)a,  rursus  summatio 
instituatur.  Utrisque  summis  inter  se  comparatis,  ubi  insuper  observas,  gene- 
raliter  esse : 

obtines : 

tgam  — 
(9.)  l^^^lcoBamu  Aam (u-]-pa)-\- cos SLm{u-{-pa)^ am ü] 

Aam^ 


na 
tgam^^ 

1^^  [cos  am  M  A  am  (w  +  na)  -f-  cos  am  (u  -\-  na)  A  am  m]  ; 


Aam-^ 


(10.)  tgam  ^  A  am  ^  ^^"^  [A  am  u  sin  am  {u  -\~pa)  -|-  A  am  (w  -j-pa)  sin  am  u] 


na  .        na 


=  tg  am  — -  A  am  — - 1^^^  [A  am  u  sin  am  {u  -\-  na)  -f-  A  am  {u  -{-  na)  sin  am  u] , 


pa  pa 

sm  am  =^  cos  am  ~ 

(11.)  — — ^^"^  [sin  am  u  cos  am  (u  -\-pa)  +  sin  am  {u  +i^«)  cos  am  u] 

Aam-f 

na  na 

sin  am  —  cos  am  — - 

= ^^^^  fsin  am  u  cos  am  (u  4-  na)  A-  sin  am  (u  -\-  na)  cos  am  u] . 

.na 
Aam-— - 


DE  FUNCTIONIBÜS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  ALTERA.  323 

Casu  special!,  quo    sin  am—-    neque  simul    sinanijöa    evanescit,  e  (9.)  —  (11.) 
sequuntur  formulae  memorabiles : 

(12.)  !£^"^[cosam?(    A  am(«+;ja)  +  cosam(«+^ja)    Aam2f]=0. 

(13.)  2l^"^[  A  amusmRm(u-\-2Ki)-\-  A  am  («/ -f  j^ja)  sin  am  m]  =  0, 

(14.)  -^"^[sinamMCOsam(^f-|-j;«)-f-smam(^t-|-^Ja)cosam^«]  ==  0. 

lam  ope  formularum  (3.)  — (5..),  (12.)  — (14.)  formulas  generales  de  functionum 
ellipticarum  transformatione  condimus. 

Demonstratio  nova  formularum  fundamentalium  de 
transformatione  functionum  ellipticarum. 

Consideremus  expressiones : 

B  =  sin  am  u  -f-  sin  am  {u  -f-  4cü)  -f-  sin  am  (u  +  Sw)  -\-  •  — [-  sin  am  (u  -\-  4{n — 1  )a)) , 

S  =  cosam«^-[-cosam(«<-|-4co)-|-cosam(M4-8«>)H \- cos  am  (ti-\-4:{n — l)a)), 

T=     Aamw-J-   A  am  (m  +  4to) -[-    A  am(u-\-8oi)  ^ 1-    Aam(u-\-4{n — l)(ü), 

•  1                ...                            niK-\-m'iK'  ^.  .      „  ' 

m  quibus  n  sit  numerus  impar,  w  = ,    uti  supra  atque  m  Funda- 

mentis,  ita  ut,  posito  4u)  ^  a,   quoties  p<^n   aut  certe  p  per  n  non  divisibilis, 

sin  am  -—  =  0  neque  tarnen  simul  sin  ?cm.pa  =  0 . 

Ubi  brevitatis  causa  designamus  per  ^F\u)  summam: 

lF{u)  =  F(ti)-j-F{u-i-4:i»)-\ h-Z^(«*  +  4(w~l)(ü), 

expressiones  F,  S,  T  brevius  ita  repraesentare  licet: 

R  ==  2sinam«<;      S  =  2  cos  am  e*,       T  =  -  Aam«t. 

Quaeramus  expressionum  R,  S,  T  quadrata  et  producta  binarum. 
Fit,  uti  ipsa  multiplicatione  instituta  apparet: 

ER  =  2  sin^  am  ^t  -f-  -  sin  ^^  ^  siß  3.m  (u  -j-  4co) 
-f-  2  sin  am  u  sin  am  {u  -\-  8«>) 

+ 

-|-  2  sin  am  u  sin  am  (w  -j-  4[n — 1  )ü)) , 

SS  =  2cos''^amM-}-2cosam^lCosam(^*-|-4tü) 
-\- 1  cos  am^t  cos  am  (w  -)-  Sto) 

+ 

-j- 2  cos  am  w  cos  am  (w-f- 4(92 — l)w), 

41* 


324  DE  FÜNCTIONIBUS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  ALTERA. 

TT  =  2  A^am^^  +  S  Aam«  A am (i^ .  + 4u)) 
-]- 2 -^  3,m  «<  A  am  (m  +  8u>) 

+ • 

+  2  A  am  ii  A  am  {u  +  4(w — 1  )a>) . 

lam  ex  iis,  quae  supia  proposuimus,  apparet,  expressiones  huiusmodi : 

2  sin  am  u  sin  am  [u  -\-  Apni) , 

2  cos  am  w  cos  am  {u  -\-  '^poi) , 

2  A  am  n  A  am  (u  -{-  429t!>) , 

in  quibus  uti  in  antecedentibus  p<in,    constantibus  aequales  esse,  sive  ab  ar- 

gumento  u  non  pendere.     Unde  ponere  licet: 

iRR  =  2sin^amw  —  2p, 
(15.)  \SS  =  2cos2amM  — 2a, 


TT  =  2  A2  am«  +  2T, 
designantibus    p,  o,  t  constantes,  quanim  valores  e  valoribus  specialibus  ipsius 
u  peti  possunt.     Quem  in  finem  adnoto  formnlas  elementares  : 

sinam4(w — u)m   =  — sinam4w'u), 
C08am(^-f-4(w — ?^')u))  =  — cosam(Z'-|-4»i'co), 
Aam(^+i^'-f  4(n— w'ju))  =  —  A  am(^+iJ?'+4w'(ü), 

porro  formulas: 

sin  am  0  =  cosamÄ^  =  Aam(^4-^-^')  =  0, 

e  quibus  patet,  posito  resp.  m  =  u,  u  =  K,  u  =  K-\-iIC',  expressiones  R,  S,  T 

ideoque  etiam  RR,  SS,  TT  evanescere.     Hine  cum  insuper  sit: 

A  am  (X  -f-  iK'-\-  u)  =  ik'  tg  am  w , 

eruimus  e  (15.),  posito  resp.  u  =  0.  u  =^  K,  u  =  K-\-iK': 

p=     8in^am4u)+   sin^  am  8oj-| \-   sin^  am  2(w — l)fo, 

o  =  co8^coam4u>  +  cos^coam8u)-| — • +cos^coam2(n — l)u), 
T  =  Ä;T[tg2am4u>  +     tg^  am  8u)  -] \-     tg^  am  2(w — l)u>] . 

Quantitates  p,  o,  x  eaedem  sunt,  quas  et  in  commentatione  priore  de  functioni- 

bus  ellipticis  eadem  denotatione  exhibuimus. 
E  formulis  (15.)  sequitur: 

RR-\-SS  =  n—   2p  —23, 
h^RR-^TT  =  /?.  — 2/^-'p  +  2t, 
unde  ponere  licet : 


sive,  posito: 

fit: 


DE  FUNCTIONIBUS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  ALTERA.  325 

E  =  \/n  —  2[j  —  2o.8m^, 
S  =  \/w  — 2p  — 2a.C0S'{>, 

Ä>-2p-23)    _^^^       ,_2/.^p  +  2.-       1 


72 


W  — 2Ä:'''p  +  2t  '  "  r    1    -  j^j^' 


Quaeramus  iam  producta  binarum  expressionum   B,  S,  T.     Instituta  multipli- 
catione,  invenitur: 

ST  =      2cosamwAamM 

+  i  2  [cos  am  M  A  am  (m  4"  4(u)  +  cos  am  (u  -{-  4u))  A  am  u] 

-f-  |2[cosamM  Aam  (?t  +  8u))  -|-  cos  am(z«  +  Sto)  Aamw] 

+ 

+  ^2[cos  am?<  A  am  (m  +  4(w — 1  )ü))  +  cos  am  (m  +  4(w — 1  )u))  A  am  u]. 

Adiecimus  factorem  ^,  cum  in  summis,  quibus  adiectus  est,  unusquisque  ter- 

minus  bis  occurrat.     Iam  vero  e  (12.),  posito  a  =  4(0,  quoties,  ut  in  antece- 

dentibus,  p<Cn,  fit: 

2  [cos  am  M  A  am  {n  -\-  Apto)  -f-  cos  am  (u  -f  4/9o>)  A  am  w]  =  0 , 

unde  simpliciter: 

ST  =  2£  cos  am  ii  A  am  n . 

Eodem  modo  invenitur  ope  formularum  (13.),  (14.): 

TR  =  i  A  am2<sinamt«, 

RS  =  SsinamwcosamM. 
Sequitur  autem  e  formulis : 

ü  =  2  sin  am  ii,      S  =  -  cos  am»,      T  =  '^Aamu, 
instituta  differentiatione : 

-— ^  =  Scosamw  A  amw  =       ST, 

au 

— —  =  —     2  A  amMsinamw  =  — TR, 
du 

-z —  =  — Ä^SsinamMCOsam?*  =  — k^RS 
au 


326  DE  FUNCTIONIBUS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  ALTERA. 


linde ,  cum  ex  antecedentibus  sit : 


^  =  wsin-^'      ^  =  -W^osc}.,       T  =  -^Vl-^^sin^^  , 


fit: 

du   <?'{> 


^  =  J-V/i^ÄTsiS^ 


sive 


du  M"  ^'  M  v^l— AXsin^l; 

unde,  cum  f\>  et  u  simul  evanescant: 


Nacti  igitur  sumus  valores  ipsarum  R,  S,  T: 

X 

Im 

X 


E  =  -^-iTF-sinamf -=y  ;AJ; 
S  =  -^-^cosamf  —  ;ÄJ, 


T=    4     Aam(A,,,) 


sive  quod  idem  est : 

y^j^  sin  am  f  ^ ;  A  j  =:  sinamw  +  sinam(w4-4(u)  + •  •  •  +  sinam(^*4-4(w — l)"^)? 
cos  am  (  ^  w.  j  =  cosam«(-|-cosam(«<  +  4w) -|-- •  •  +  cosam(e«-f-4(w — l)">)j 

-^r=-  Aam(-^;AJ  :=  A  am?*+  A  am  (^*  +  4oJ)  +  •  •  • -|-  A  am(w  +  4(w — !)«>). 
Quae  sunt  formulae  de  functionum  ellipticarum  transformatione  fundamentales. 


NOTE 

SÜE  ÜNE  NOÜVELLE  APPLICATION 

DE  L'ANALYSE  DES  FONCTIONS  ELLIPTIÜÜES 

A  L'ALGEBEE 


PAR 


M.    C.    G.   J.   JACOBI 

PROF.    ES    MATH.    A    ECENIGSBEBG 


Grelle  Journal  für  die  reine  und  angewandte  Mathematik,  Bd.  7.  p.  41  —  43. 


NOTE  SÜR  UNE  NOUVELLE  APPLICATION 
DE  L'ANALYSE  DES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES  A  L'ALGEBRE. 


Dans  une  des  notes  sur  les  fonctions  elliptiques  inserees  daiis  les  tomes 
precedents  de  ce  Journal  j'ai  avance  que  les  fonctions  elliptiques  doivent  entrer 
dans  toutes  les  parties  de  l'analyse  mathematique  et  contribuer  essentiellement 
ä  leur  progres.  Je  veux  presenter  dans  ce  qui  suit  un  exemple  assez  remarquable 
d'une  application  de  la  tlieorie  des  fonctions  elliptiques  aux  fractions  continues. 

Tout  le  monde  connait  les  algorithmes  qui  servent  ä  reduire  la  racine  car- 
ree  d'un  nombre  en  fraction  continue.  On  sait  aussi  que  par  des  procedes  ana- 
logues  on  peut  reduire  en  fraction  continue  la  racine  carree  d'une  expression 
algebrique  et  rationnelle,  et  qu'il  est  possible  de  donner  dans  chaque  momcnt  le 

quotient  complet  qui  rend  la  fraction  exacte  et  qui  aura  la  forme  — — ^ — ,  \Jb^ 
etant  la  racine  ä  reduire  en  fraction  continue ,  et  /  et  iV  des  expressions  ration- 
nelles  de  la  variable.  Supposons  que  B.  soit  une  fonction  entiere  qui  ne  surpasse 
'pas  le  quatrieme  degre.  On  prouve  aisement  que  J  et  N  sont  aussi  des  fonctions 
entieres ,  l'une  du  second  degre ,  l'autre  seulement  du  premier.  On  donne  faci- 
lement  les  regles  generales  pour  passer  d'un  quotient  complet  au  suivant.  Mais 
en  voulant  effectuer  les  calculs  algebriques  qu'exige  la  recherche  des  quotients 
complets  et  par  suite  celle  des  denominateurs  de  la  fraction  continue  cherchee, 
on  se  trouve  arrete  des  les  ])remiers  pas  par  la  longueur  rebutante  du  calcul.  En 
effet  les  expressions  algebriques  que  l'on  rencontre  en  operant  sur  la  racine  pro- 
posee  deviennent  tellement  embrouillees  qu'il  parait  etre  impossible  d'y  trouver 
une  espece  d' ordre  et  de  regularite.  Et  comme  il  est  extremement  difücile  de 
l)asser  meme  au  second  ou  troisieme  denominateur,  l'on  ne  pourra  esperer  d'autant 
moins  de  trouver  par  induction  une  loi  generale.  Toutefois  en  approfondissant 
I.  42 


330  APPLICATION  NOUVELLE  DES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES  A  L  ALGEBRE. 

les  relations  qui  lient  entie  eux  les  quotients  complets  successifs,  et  en 
examinant  en  meme  temps  la  formation  des  expressions  algebriques  qui  donnent 
la  multiplication  des  fonctions  elliptiques ,  on  parvient  ä  exprimer  generalement 
au  moyen  de  ces  dernieres  par  des  formules  simples  et  elegantes  un  quelconque 
des  quotients  complets.    C'est  ce  qu'on  verra  dans  la  Solution  du  probleme  suivant. 


Probleme. 


Supposons : 


oü  l'on  a : 


_     3  — 2(1+F)sm2a-|-Fsin*a 

0/   — 


1)  = 


]_ 


Aa   etant,  comme  ä  l'ordinaire,     =  Vi  — Ä-^sin^a  :     la  racine    V-K    reduite    en 
fraction  continue  prendra  la  forme : 

1 

\JR  =  zz  —  ia-s^  +  ^i  +  iTT — \ I  ^ 

*  3         111     M^-|-w«    +— ■ 


\lB-]r3z  —  \az-{-in    ^^^^^  ^e  nf'"''  quotient  complet :  il  s'agit  de  donner  l'expres- 

gn(nt^— 1) 
sion  generale  de  i^,  i\,  q^. 

Solution. 
Soit  a  =  amw,  a„  =  am.nu,  on  aura: 


sin^a 


2cos'^aA^a  V         siii^a2„ 
sin^a 


et  de  plus ,  n  etant  un  nombre  impair : 


APPLICATION  NOÜVELLE  DES  FOXCTIONS    ELLIPTIQUES  A  l'aLGEBRE.  331 


w  etant  pair: 


Qn   = 


sin-a^/v        sin  ^7.3/         V         sin^^o« 


sin^'a 


I 

sin^7.  \         /  sin- 7     M 

sin^ocß^         V         sin-7.o,,_o/./ 


sm''72/v        sin'' «6 
Entre  deux  q,^  successifs .  on  aiira  reqiiation : 

qnq»-i  =  — ^^. 

On  peut  aussi  donner  ä  ces  formiiles  la  forme  suivante : 

sin7.2„+isin72„_i  ,       79  •  2      -2     \ 
-P^ (1 — h^  sm*^  7.  sin^a2„) , 


2cos^7A^a  sin^72ii 

sin 72„+2 sin 72«   .,      79  •   9      -9         \ 
rn  =  ^-f =^(1— /.•^sin2  7Sin-7.2„+i), 

Sm    72„+i 

et  n  etant  iinj^air: 

sin^g         .   „  /sin  74  sin  7g . . .  sin  a2H_2\^ 

"         4cos'^7A*7  ^  \sm7.2sm7  6...sm7.2rt    y 

;  (1 — F  sin^  7  sin"^ 72)(1 — Jc^  sin^  7  sin^  7.6) . . .  (1 — Jc^  sin^a8in^72n) 


\l — Z;^sin^asin=^a4)(l — Ä;=^8in^asin-a3)...(l— Z;^8in^7sin^72„_2)i ' 

n  etant  pair: 

sin-  72„-f-i  ^sin  72  sin  7.6 .. .  sin  72„_2Y 

.  sin  72>i    / 


"  sin^7      \sm74sm7s 


j(l— F8in27  sin274)(l — Z;"2sin-7sin^73) . . .  (1 — Z:^sin^7sin^a2„) 
^  1(1— Z:^sin27sin272Xl— /.;='sin=^asin2a6)...(l— Z:'sin'^asin'72„_2) 

Lorsque  R  surpasse  le  quatrieme  degre,  la  fraction  continue  dans  laquelle 
on  convertit  sjR  depend  des  formules  de  multiplication  de  transcendantes  plus 
elevees  que  les  transcendantes  elliptique.s. 


42' 


FORMÜLAE  NOVAE 

IN  THEORIA  TRANSCENDENTIUM  ELLIPTICARÜM 

FUNDAMENTALES 


AUCTORE 


C.   G.   J.    JACüBI 

PROF.    OBD.    MATH,    REGIOH. 


Grelle  Journal  für  die  reine  und  angewandte  Mathematik,  Bd.15.  p.  199 — 204. 


FORMULAE  NOVAE  IN  THEORIA  TRANSCENDENTIUM. 
ELLIPTICARUM  FUNDAMENTALES. 


1. 
Extat  inter  diiFerentias  qiiatuor  quantitatum  w,  oo,  y,  z  relatio  identica  nota 
et  freqiientissimi  usus : 

{iü  —  x){y  —  £)-^{iü--y){s  —  x)-\-{iü  —  s){x—y)  =  0. 

Quae  relatio ,  quod  et  ipsum  notum  est ,  ea  insigni  gaudet  proprietate ,  ut  valeat 
adhuc,  si  in  locum  difFerentiarum  earum  sinus  ponantur,  unde  prodit: 

sm{tv — x)sm{y — ^)-\-sm{iv — y)  sin (^ ~ x) -\- mn (to — :s)sm(x — tj)  =  0. 

Quae  formula,  posito: 

10  —  X  =  a,       X  —  y  =  21,       y  —  z  =  1), 
etiam  sie  exhiberi  potest : 

sin a  sin h  -\- sin u sin {u -{-a-\-'b)  =  sin («* -|- a)  sin (u -\- h) . 

Formulam   quaerens  antecedenti   similem   iu  theoria   functionum   ellipticarum, 
ita  egi. 

In  formula  nota  pro  additione  initegralium  ellipticorum : 

.     ,     .  sinamMCOsam?;  Aam«;  +  8inamv  cosamw  Aamw 

sinam(w  +  i;)  = — ,^  .       ' —. 

^  1 — ^'^  sin'' am  w  sin'' am  V 

statuamus    u-\-a  loco   u,  u-{-b    loco  v    ac  consideremus  a,  b   ut  constantes,  u 
ut  variabilem:  formulam  antecedentem  ita  repraesentare  licet: 

(1.)  9mam(2»  +  a  +  6)  =  d[amam(.  +  a)einam(«  +  i)] 

^  ^  [1 — Jr8m^a.jn(u-\-a)8m^am{u-\-b)^du 

unde,  integratione  facta,  prodit: 


336       PORMULAE  NOVAE  IN  THEORIA  TRANSCENDENTIUM  ELLIPTICARUM  FUNDAMENTALES. 

/*"  ,  ,,  ,  1   ,       l4-^siaam(M4-a)  sinam(tt  +  &) 

(2.)      /    sinam(2M-{-a  +  ö>?«(  =  777- log-,      ,    ■ 7-^ — f-^ >     ,  -, { 

^    ''     J  Q  V       1       I     /  2k         1 — A;  sin  am  ( n  +  a)  sin  am  (« -|- 6) 

1    ,       14-Ä;  siuam«  sinamZ> 

lOff  — ■ • 

2h         1 — Ä  sin  am  a  sin  am  6 

Expressio  ad  laevam  eadem  maiiet,  quoties  a-\-b  eadem  üt;  unde  etiam  expressio 
ad  dextram  valorem  mutare  non  debet,  si  b  ponimus  =  0    atque  loco  a  scribi- 
jjius  a-{-h.     Hinc  si  a  logarithmis  ad  numeros  ascendimus ,  provenit  aequatio : 
[l-f-  ^  sin  am  (u  -{-  a)  sin  am  (u  -|-  &)][! — k  sin  am  a  sin  am  6] 


(3.) 


[1 — Je  sin  am  (u  -\-  a)  sin  am  (u  -\-  6)]  [1 + h  sin  am  a  sin  am  6] 
l-\-k  sin  am  (u-\-a-\-  h)  sin  am  u 


1 — Ä;  sin  am  (?* -|- a -|"  ^)  sin  am  w 

Si  expressionem  ad  laevam  ponimus : 

P-\-kQ    l-j-Ä  sin  am («*-[-« -|-&)  sin  am« 

P — liQ  1 — ^  sin  am  («i-f- «-}-&)  sin  am?«  ' 

ubi: 

P  =  1 — A:^  sin  am  a  sin  am  h  sin  am  (^*  -)-  tt)  sin  am  (m  -[-  &) ; 
^  =  sinam(M-|-a)  sinam(w4-&)  —  sinama  sinam&; 

sequitur  e  (3 .) : 

PsinamMsinam(M-[-«  +  ^)  =  Q) 
quod  snggerit  formulam  quaesitam : 

(4.)     sinama  sinamö-f-sinamw  sinam(M-}-ö^H-&)  —  sinam(w-|-a)sinam(w-|-&) 
=   li^  sin  am  a  sin  am  h  sin  am  u  sin  am  {u  -\-  a)  sin  am  [u  -\-  h)  sin  2im{u-\-a-[-V). 

Quae  est  formula  nova,  maximi  momenti  per  totam  theoriam  functionum 
ellipticarum. 

Si  rursus  introducimus  differentias  quatuor  quantitatiim ,  formulam  (4.)  sie 
repraesentare  licet : 

sin  am  {w  —  x)  sin  am  ( ?/  —  s:)  -f-  sin  am  {iv  —  y)  sin  am  (s — x)  -\-  sin  am  {w — z)  sin  am  (x  —  y) 
-\-  yt^sin  am  {iü  —  'X)  sin  am  {%v  —  y)  sin  am  {li)  —  £)  sin  am  {x — ^)  sin  am  (^  —  s)  sin  am  iz — oc)  =  0 . 

Similitudo  formularum  functiones  trigonometricas  et  ellipticas  spectantium  maior 
adhuc  existit,  si  loco  simium  introducimus  tangentes.  Ponendo  enim  aV— 1, 
tV— 1,  mV— 1  loco  a,h,u,  prodit  e  (4.),  cum  sit  sinam(M\/— 1)  =  V  — 1  tgam(w,Ä'), 
si  loco  U  restituimus  modulum  k,  formula  haec : 

(5.)        tg  am  a  tg  am  &  +  tg  am  u  tg  am  {ii  -j-  «  +  ^)  —  *§  ^'^  (^^  4~  ^)  ^S  ^^  0^  +  ^) 
=  li   tgamatgam&tgamwtgam(M-l-a)tgam(«-f-^)  %am(M-|-a  +  ^)- 


FORMULAE  NOVAE  IN  THEORIA  TKANSCKXDENTIUM  ELLIPTICaRUM  FUNDAMENTALES.         337 

Quae ,   posito  A*  =  0  ,   in  formulam  trigonometricam  abit : 

(6.)  tgatgb-{-tg u tg (u-\-a-{- h)  —  tgfw -[- a)  tg(M  +  ^) 

=  tgatgifg?«  tg(M4-«)tg(w-}-?>)tg(2<4-a+?^j. 

In  qua  igitur  formula,   si  loco  tangentium  ponimus  tangentes  amplitudinis .    nil 
mutabitur.  nisi  quod  terminus  ad  dextram  nanciscitur  factorem  k'  . 
E  formula  pro  additione  integralium  secundae  speciei: 

E{u)  -f-  l^{v)  —  i^{u  -f-  V)  =  Jc^  sin  am  u  sin  am  v  sin  am  (u  -{-  v) 
habetur : 

ß{a)-\-E(h)  —  E(a-\-h)  =  /j^sinama  sinamö  sinam(a+&), 

E{uj  -[-  -£■(«  +  h) — E{u-\-a-\-  h)  =  li^ sin  am  u  sin  am  (a  -\-  h)  sin  am {u  -\-a-\-  h)\ 

quibus  additis.  fit  e  (4.): 

(7.)  E{a)-{-E(b)-^E{u)  —  E{u+a^h) 

=  Ä;^8inam(w+a)  sinam(w-|-&)sinam(«.+^)  [1+^^  sin  am«  sin  am  &  sin  am  m  sin  am  («-[-«-}-&)], 

quae  est  formula  respectu  ipsorum  a,  h,  u  symmetrica.  Cuiusmodi  adnotari  me- 
rentur,  quia  per  additiones  successivas  ducimur  ad  formulas,  quae,  cum  natura 
sua  symmetricae  sint,  tamen  sub  forma  insymmetrica  prodeant,  quam  non  sem- 
per  in  promptu  est  quomodo  ad  symmetriam  idonee  revocemus. 

Formula  (4.),  methodo  assignata  a  me  inventa,  variis  aliis  modis  demon- 
strari  potest.     Cl.  Richelot  hanc  eins  demonstrationem  mihi  communicavit. 

Sit: 

w-\-x — y  —  z   IV — x-\-y — s   ^  ic — x — y-\-z  

^        "~  ~  ''••  2  ^  '  '  2  ^  "^• 

erit : 

y — ^  =  ?  —  T,         ^ — •^'  =  Y  —  ''J-i         ^  —  y  =  ''J- — ß- 

unde ,  cum  generaliter  sit : 

sin^  am  u  —  sin^  am  v 


sinam(M-f-^)  sina-i^C^ — *')  =   ^j — p 


sin^amwsin^amv 


obtinemus 


,  ,  ,  sm^am,:j  —  sin- am  7 

smamftü — a;)sinam(w  —  s)  =  -- — ,..  .   ' ^,   .  ., f 

^  ^  w        /  i — Z;^sin'^am,d  sni^am-' 

,  .  ,  sin-am-,  —  sin-'ama 

smamfic; — i/)sinam(^'  —  x)  = , .,  .   ., v—r, ; 

^        "^^  ^  ^  1 — A;'' sin'' am  Y  sin-'ama 

.  ,    ,  ,  sin^ama  —  sin^amß 

sin Sim(w  —  z)  sin  am  (x  —  i/}  =  -z , ..  .   .. r-^; — '—7-  * 

^  ^  V        -'/  i — A;^8in''amasm'*am|3 

43 


338       FORMULAE  NOVAE  IN  THEORIA  TRANSCENDENTIUM  ELLIPTICARUM  FUNDAMENTALES. 

Theorema  demonstrandum  est,  summam  triiim  expressionum  ad  laevam  aeqiiare 
earum  productum  per  — A*'  multiplicatum ,  sive,  posito  brevitatis  causa: 

sin^ama  =  t,        sin^amp  =  t',        sin^amY  =  t", 
liaberi  identice : 

t'—t"         t"—t         t—t'    ^     —h\r—t"){t"—t){t—t') 

l—hH't"  +  \—hH"t  ~^\—hHt'    ~  il—hH' t"){l—hH" t){l—hHt')  ' 
quod  facile  patet,  cum  sit: 

(t'—t")t  +  (t"—ty  -f  (t-t')t"  =  0, 
(t'^—t"')t+(t"''—t')t'-\-(t^-t'')t"=  {t'-t"){t"—t)(t—t').  ' 

Ob^ervo  adhuc,  e  (2.),  posito  6  =  0,  fluere  formiilam: 

(8.)  /    sinam(2w  +  a)(?w  =   ^ry-log  ^^,    , -. rn^- 

lam  e  formula  (4.)  profecti  aliam  formulam  in  theoria  transcendentium    G(u)   seu 
Q(u)  fundamentalem  et  quae  altioris  indaginis  est  adstruamus. 

*  2. 

E  formula  pro  additione  integralium  ellipticorum  secundae  speciei  fit: 

E{u-{-a)-\-E(u-{-b)  —  E(2u  -\-a-\-b)  ==  k^  sin  am  (ti  -f-  «)  sin  am  {u  -\-  h)  sin  am  {2ii  -\-a-\-h), 
E{u)-^E(u-\-a-\-'b)— E{2u-\-a-\-h)  =  Z;^sinamM  sinam(M-|-«-|-&)  sinam(2^(-|-a-|-6); 
quarum  formularum  altera  de  altera  subducta,  provenit: 

Eiu  -\-a)-\-  Ein  +  &)  —  E{u)  —  E{u-\-a-^b) 
=  k^  sin  am  (2w  -\-a-{-b)  [sin  am  (m  -f- «)  sin  am  (w  -|-  ^)  ~  sin  am  n  sin  am  (m  -|-  ^  +  ^)] ; 

sive  e  (4.) : 

E{u  +  a)  +  Eiu  +  6)  ~  E{ii)  —  E(:u-\-a-]-b) 
=  k^Bm  amasin  am6  sin  2im{2u-\-a-\-b)[l — Z:^sin  amw  sin  3im{u-\-a)  sin  am(M-|-&)  sin  am(u-\-a-{-b)']. 

Habetur  porro  e  (4.): 

[1 — k^  sin  am  u  sin  am  (u  -\-  a)  sin  am  {u  -f-  b)  sin  am  {ii-\-a-{-  bj] 
X  [1  -{-  ^'^  sin  am  a  sin  am  6  sin  am  u  sin  am  (m  -f-  a  -j-  6)] 
=  1 — Ä;^sin^amM  sin'^am(M-|-a-j-6); 
unde  prodit: 

E{u  +  a)  +  E{u  +  6)  —  E{u)  —  E{u  +  a  +  b) 

Ä;^sinamasinam&sinam(2M-f-«H-^)[l — Ä;^sin^ am«  sin^am(M +  «+&)] 

l-fÄ;^  sin  amasin  am  6  sin  am  w  sin  am  (w  +  et -}- 6)  ' 


FORMULAE  NOVAE  IN  THKOKIA  TKAKSCENDENTIUM  ELLlPliCAUUM  FUNDAMENTALES.        339 

sive ,  cum  sit : 

T,  .   „  .   .       /  ,  INT         d[smamu8iu3im{u-\-a-{-by] 

prodit : 

E{u  -f  d)  +  JE{a  +  h)  —  E(u)  —  E(u -\-a-^b) 

d\og[l-\-  k^sinama  sin  am  6  sinairi?t8inam(«<-|-a-|-6)] 

dii 

Unde ,  inte^rationc  facta  inde  a  m  =  0   usquc  ad  u  =  n  positoqiie : 


^  0 


E(u)du  =  log  1.2  (m); 

si  a  logarithmis  ad  numeros  ascendis,  provenit  formula  nova  fundamentalis : 

(9.)      „;  ,  L./s  ^■;.  .V>;    > — TTV-  =  l  +  Ä:^sinamasinam6smamwsinam(«i4-a  +  ö). 
^    '^      il(ci)ii{b)ii{u)ü{ii-}-a-f-b) 

Quam  formulam  etiam  sub  hac  forma  exhibere  convenit: 

(10-)     t^WkÄ-  n7K^^^  =  o  /  \T)  ^    I  7.\  [1  +  ^  ^^"  ^°^  ^^  sm  am  6  sin  am  m  sin  am  (u-\-a-\-by]. 

Quae,    ponendo     b  =  — a,    cum  sit    Ü{ — u)  =  Q{u),    Ö(0)  =  1,     in   formulam 
abit.  in  commentatione  prima  de  functionibus  ellipticis*)  §.4   (24.)  traditam: 

/->'>/  N /^9/  N — -  =  1 — Fsm^amasin^amM. 

Facile  etiam  theorema  de  additione  integralium  ellipticorum  tertiae  speciei  e  (9.) 
deducitur.     Habetur  enim  (ibidem  (26.)): 


rr/  •  -n/    N     .      ,  1  ^'i  (W <^) 

/7(«,«)  =  «£(«)+ 4  log -^A__l 


ideoque : 


n{u,a)  ■\- n{v,a)  —  I I(u-^  v,a)  =  hlog^r^rh-, — in)     ,     w>)    7 n  * 

^      ^  ^      -^  ^     '     '   ^         ^     ^  12  (w  +  a)  i2  (v  -|-  a)  12  (w  +  ^'  — «) 

lam  si  in  (9.)  scribimus  u,  v  loco  a,  b   atque  a  ac  deindc  — a  loco  u,  obtincmus: 

Ü(u-}-a)Q(v-{-a)  Ü(u-\-v) 


Q  (m)  Ü  (v)  Q  (a)  12  (m  -f  y  +  «) 

fi(M  — a)12(i>  —  fO_i2(«HL?^ 
Ö  (u)  12  («;)  12  (ö)  if(u-^v—aj 


=  1  -f-  Ä;^  sin  am  «  sin  am  n  sin  am  v  sin  am  (ti  -\-v-{-  a) , 
=  1 — Ji^  sin  am  (/  sin  am  u  sin  am  v  sin  am  (w  -f-  z;  —  «) , 


•)  p.  304  huius  voluminis. 

43 


340       FOEMULAE  NOVAE  IN  THEORIA  TRANSCENDENTIUM  ELLIPTICARUM  FUNDAMENTALES. 

unde,  altera  formula  per  alteram  clivisa: 

ü{u — a)  Q(v  —  a)  Q(u -\-  v -{- a)    1 — 1c^8ma.m.a8msimus\uamv8m2im(u-{-v  —  a) 

Q(u-{-a)  Q(v-\-a)  Q(ii-\-v  —  ä)  1+^'^sinama  sinamMsinamt' sinam(M-f-v -f  a) 

ideoque : 

Il(u,a)  +  n(v,a)  —  n(u-]-v,a)  =  h\og  . —. -. -. i-IL — ^, 

l-f- A;'*  sin  am  a  sin  amit  sin  am  t»  sm  am  (w -j- 1; -|"  ö^) 

quae  est  formula  nota. 

Posito ,  iiti  loco  citato  §.  7.  *)  : 

Q(u)  =  e-'««x(w), 
ubi  r  est  constans,  cum  sit: 

habetur  e  (9.)  etiam  pro  functionibus  y^{u) : 

/11      \  Z(^  +  «)y(w4-&)7(«  +   &)  .        ,       VO        .  .  7  .  .  /  ,  ,        7N 

(11-)        /  N    ,7x7  N    /        — TT^  =  l+Ä^sinamasmam^smamMSinamm  +  a  +  ö). 
Si  functionem  in  Fundamentis  adhibitam    Qiu)  introducere  placet,  habetur  pro 

unde  e  (11.)  prodit: 

(12.)         r^,  \  r^n  X  A,  N  ^/ — T — ^rr^ — -  =  l+A;''smamasinamo  Slnamwsmam(^t~f-«^-&)• 
^     ^  G{a)G(b)0{ti)G{u^a-j-b)  '  v    1      1    / 


Posito 


habetur 


^  '    —       ^  ^     -       u  =  E{u) ^u, 


G{u)  Ü{u)        K  ^  '      K 

unde : 

E{a)+E{b)+E{u)-E{u  +  a  +  b)  =    ^(^  +  "^y  +  q^  -  ^^, ^ , ^^ 

Porro  si,  uti  in  Fundamentis,  ponimus: 

H{u)  =  V^sinamM  0(w)^ 


*)  p.  310  huius  voluminis. 


FORMULÄE  NOVAE  IN  THEORIA  TRANSCENDENTIUM  ELLIPTICARUM  FUNDAMENTALES.       341 

erit: 

G{a  -j-  b)  0{u  +  a)  0{u  -j-  h) 

unde  e  (7.),  (12.)  prodit: 

e'{a)       Q'jh)        S\u)       e'iu  +  a-V-h)  ^     .j-    0(0) H(a  +  b) H(u  +  a) H(u  +  h) 
Sip)  "^  0(6)  "^  Q{u)        G[u  +  a-\-b)  ^  Q{a)  G{b)  0{u)  0{u  +  a  +  &)       ' 

sive,   cum  sit    Fund.  §.  65.) : 

V/L0(O)  =  if'(O), 
prodit  formula : 

(.o^      0»   ,    0\b)       Q'{u)       e'{u-\-a  +  b)    ^    H'{0)H{a-{-b)H{u  +  a)H{u  +  h) 
^     ''      0(«)  "^  0(6)  "^  0(w)        0(w  +  a  +  6)  0(a)  0(&)  0(«*)  0(«  +  «  +  &)       ' 

quam  data  occasione  adnotare  volui. 

Dedi  olim  sine  demonstratione  expressiones  algebraicas  generales  radicum 
aequationum  n^^  giadus,  quae  transformationem  functionum  ellipticarum  con- 
cernunt.  Quae  formulae,  quae  spectari  debebant  ut  id,  quod  hactenus  in 
theoria  functionum  ellipticarum  maxime  reconditum  est ,  per  principium  novum 
ac  latissime  patens  a  me  inventae  sunt;  post  ope  formulae  memorabilis  (10.)  eas 
demonstratione  maxime  eleganti  atque  elementari  comprobare  contigit.  Quod 
suo  tempore  in  lucem  proferemus. 

Regiomonti  2 1 .  Sept.  1835. 


ÜBER  DIE 
ZÜE  NUMERISCHEN  BEEECHNIJNG 

DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN 

ZWECKMÄSSIGSTEN  FOEMELN 


VON 


Öerrn  Professor  Dr.  C.  G.  J.  JACOBI 

ZD    KÖHIQSBEKG    IN    PBEDSSEN 


Grelle  Journal  für  die  reine  und  angewandte  Mathematik,  Bd.  26.  p.  93 — 114. 


ZUR  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN. 


1. 

Unter  den  Formeln,  durch  welche  man  die  vielen  von  mir  in  den  Fundam. 
nov.  gegebenen  Entwicklungen  mit  leichter  Mühe  noch  vermehren  kann,  scheint 
mir  die  nachfolgende ,  welche  die  Tangente  der  halben  Differenz  der  Amplitude 
des  Integrals  u  und  der  Gröfse  ^^  selber  ergiebt,  einen  eigenthümlichen  Cha- 
racter  zu  haben. 

Da 


\/\ 


'l — sina;   sinifi::  —  x) 

l+sin.7;  sin  |^(|:t -f- ^)  ' 

so  kann  man  die  Formel  Fund.  nov.  §.39.  (4.)  wie  folgt  schreiben 


2Kx 

■  sm  am 


V  l+8ina.m^^  ~    sm^(^T.-\-x)(l+2qBmx-{-q'Xl+2qHmx-^q')7r:' 

In  der  Formel  (§.  64.) : 

\/q  sina,(l — 2q^C08  2x-{-q^){l — 2q^ cos 2x -\- q^)  ... 

\/q  sin  X  —  \/q^  sin  Sx  -\-  \Jq^^  sin  5a;  —  •  • 

~  (l-g^)(l-r/)(l_g6)..; 

setze  man   i  J-ir— .2?)  und   i(iK  +  a;)    für   x   und  gleichzeitig  ^q  für  q,  so  erhält 
man  nach  Division  mit  \Jq  den  Zähler  und  Nenner  in  (1.),  und  daher; 

/;    \     2K^ 

(2.)                                  \/^__|_=.,(«._,.„l^^) 
f  l-j-smam 

'  TT 

^    sin  (^t:  —  \x)  —  q sin  3(|tc  —  ^x) -\-  q^ sin  5(|tc  —  |a;) 

sin  (]  -  +  J ./;)  —  q  sin  3(|-  +  ^a;)  +  q^  sin  5(i-  +  fa.-) ' 

wo  die  Exponenten  von  q  die  dreieckigen  Zahlen  sind.    Setzt  man  hierin  ^tc — o? 
für  X,  so  erhält  man: 

I.  44 


346  ZUR  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN. 

/                        2Kx\   _    sin \x-q sin ^x  A-  q^^ f^--^^n  1^;^:^^    *>! 
(3.)     tg(^450— icoam-^j  —  -^ia;4-gcosfa;  +  g=*cos"f:r  +  f/cos|a;H ^ 

:Nach  der  §.  37.  Theorem  I.  gemachten  Bemerkung  gehen  am  —^  '  und 
4.TC  —  coam  ^-^^  in  einander  über,  wenn  man  —q  für  q  setzt.  Die  vorste- 
hende  Formel  giebt  daher  sogleich  auch  folgende : 

2Kx    _    8in^a:  +  gsinfa;  — g^sinf^r  — g'^sinlj;-! 

(4.)  tg|am— ^  —    f.Q^i_y;__qco^3x  —  q^co8^x-\-q^cos^x-] 

wo  im  Zähler  und  Nenner  immer  zwei  positive  und  zwei  negative  Zeichen  mit 
einander  abwechseln.     Man  erhält  aus  dieser  Formel,  wenn  z  =  V-l, 


(5.) 


.,    ,        iKx 

-itg|am 


TC 


^''-q^^^  -£e^  ^6g-|^^_|_^i0g|i^__ 


und  hieraus : 


/       'iKx 

t/am x^  1       »  2  \^  ^ 


1  —  ^  tg  ^  (  am x\ 


oder 


2Är 
(6.)  tgi(^am-^; 

(g  —  (?^)siu2x- — (g^ — g'°)sin4.^■  i-(g^°  —  g^^)  sin  6:r 

1 — (2  -f-  2^)  cos  2ä;  4-  (9'^  +  ^^)  cos  4a;  —  (g^^  +  i^^)  cos  6a:  +  •  •  • 

Diese  merkwürdige  Formel  ist  zur  Berechnung  einzelner  Werthe  oder  von  Ta- 
feln vorzugsweise  bequem.     Da  tg  am  J -Ä"  =  — =r  j  also 

tg(amijr— 45°)  =    ^~\^, 


*)  Ich  bemerke  bei  dieser  Gelegenheit  die  Formel: 

V^A'tgam^M  =  v'tg^am?«  .tg(45*  —  ^coamw), 
■welche  etwas  bequemer  als  die  von  Legendre  für  die  Halbirung  gegebene  ist. 


ZUR  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN.  347 

SO  erhält  man  aus    6.  .  wenn  man  jr  =  ^tu  setzt. 

Setzt  man  q  =  b^,  so  erhält  der  Brucli  rechts  die  Form : 

2  +  2,(8/- ±3)* 

.  y  +  ö(8/'±i)* 

Das  Zeichen  -|-  oder  —  vor  den  Potenzen  ^on  b  ist  zu  nehmen,  je  nachdem  k 
gerade  oder  ungerade  ist. 

AVenn  der  Modul  der  Einheit  sehr  nahe  kommt,  mufs  man  sich  der  Ent- 
wicklungen bedienen,  welche  statt  der  Kreisfunctionen  Exponentialgröfsen  ent- 
halten.    Setzt  man  ix  für  uC  und  k'  für  k,  so  verwandelt  sich 

,    ,         2Kx     .       .,    ,        2K'x 
tg  i  am —    in    t  tg  |  am  — - —  > 

TT  "TT 

und  gleichzeitig  q  in  q',  wo  q  und  q'  durch  die  Gleichung 

logrjAogq'   =   r'^ 

mit  einander  verbunden  sind.  Xennt  man  u  das  elliptische  Integral  erster  Gat- 
tung und  setzt 

TM 

3  =  t    =  e-^' ,        am(w, /.)  =  'f, 
so  erhält  man  aus  ^5.^  folgende  Entwicklung  von  ebenfalls  eigenthümlicher  Form : 

-,  1  ,2  /3   — 2     I        f6   4        I        /lO    — 4 

\P-)  l'gl,'*^  2^    -.  ,  ,    _2  ,3   2         I        ,6    -4    I        ,10   4 

-*       1  —  gi-     — q  z     -\-q  z     -\-ci    z •• 

AVenn  cp  sich  sehr  der  Grenze  4^-  und  daher  z  der  Grenze  — =    nähert,  werden 

je  zwei  aufeinander  folgende  Terme  in  Zähler  und  Xenner  nahe  gleich  oder  ent- 
gegengesetzt. Vereinigt  man  sie  in  ein  Glied,  so  bleibt  die  Convergenz  noch 
überaus  j^rofs.     Ist  z.B.  Ar  =  tv.    so  wird  uni^efahr   ö  =  —  r    so  dass  die  Formel 

o  15  -  '^  ^  8 

(6.)  noch  sehr  rasch  convergirt.  Aber  es  wird  dann  sclion  q  ungefähr  j^g,  so 
dass  man  für  alle  Amplituden  mit  der  Formel 

-i       1 — qz     — q  z 
ausreicht,  um  cp  bis  auf  O'.'Ol   genau  zu  haben. 

Ich  will  noch  einen  sehr  rasch  convergirenden  Ausdruck  für  die  ganzen. 

44* 


348  ZUR  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN. 

Integrale    zweiter  Gattung   hinzufügen.      Vergleicht   man   nämlich  die  beiden 
Formeln  Fund.  i^.  4 1 .  ; 


{l-qy        {l-rfY        {l-cfr 


.         /2JcK\^  r^'''  .  ^        2Kx  ^  ,    {       q        ,         f/        , 

\  ..  yjo  ..  hi—q)       (i—rr) 

^- = m/r 


r 


SO  sieht  man,  dass  A  in  — B,  J5  in  — A  übergeht,  wenn  man  — q  für  q  setzt. 
Differentiirt  man  ferner  die  Formel  Fund.  §.40.  (3.),  nämlich: 

,      2.g  _      f     g       .  q^         , q^ ) 

so  erhält  man : 

2qdK 
Kdq 

Hieraus  folgt  nach  §.65.  (6.) : 


=  B. 


4,^v/^  =  v/^.5  =  /.<^t  r^f^ 

Setzt  man  hierin  — q  für  q,  wodurch  K  in  k'K,  B  in  — ^  übergeht,  so  erhält  man: 

und  daher ,  durch  Addition  und  Subtraction ,  zur  Bestimmung  der  ganzen  Inte- 
grale zweiter  Gattung  die  Formeln : 

\  TZ  y  J  Q  -g-TiZicp 

von  denen  besonders  die  zweite  bemerkenswerth  ist,  indem  sie  zeigt,  dass  der 
Werth  des  ganzen  elliptischen  Integrals  zweiter  Gattung 


2    n~  (cos^ca  — VZ:'8iD^-f>Z-.^ 


von  der  Ordnung  der  sechsten  Potenz  des  Moduls  und  von 

64g^ 

•      KW 


ZUR  THEORIE   DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEX.  349 

nur  in  Gröfsen  von  der  Ordnnnü'  der  dreifsigsten  Potenz  des  Moduls  ver- 
schieden ist.  welche  aufserdem  noch  duix-h  überaus  grofse  Zahlen  dividirt  wird. 
Man  sieht  auch  aus  der  vorstehenden  Formel ,   dass 

B<Ä     und     B>\JFä. 
Um  aus  D  den  Werth  von  E^  zu  finden,  dient  die  Formel: 


-D 


^^/2FH 


TT     / 

Auch  kann  man  die  Formel 

-(i+V/F)/""^?!^  =  (i-slh')F^ 
bemerken.     Da  immer 

so  ist  in  der  Entwicklung  von  D  der  erste  Term,  welcher,  extreme  Fälle  ab- 


gerechnet,    allein    einen  Werth  erhält,    immer    <' —  Alan  sieht     wie 


1 
genau  für  nicht  allzugrofse  Moduln  die  beiden  Gröfsen 

il-^\lk')E'    lind    \IF(1-^^¥')F' 


mit  einander  übereinkommen ,  indem  die  Differenz ,  nach  den  Potenzen  von  k' 
entwickelt,  mit  dem  Term  4-tc-  beginnt. 


2. 

Man  kann  bei  Berechnung  der  elli])tischen  Integrale  mit  Vortheil  die 
Gaufsischen  Tafeln  anwenden,  in  welchen  für  einen  unter  der  Columne  A  als 
Argument  gegebenen  logo.',  wo  cOl,  der  Werth  von  log(l+a?^  in  der  Columne 
C  sich  befindet.     Ich  will  hierüber  in  einige  nähere  Erörterungen  einüehen. 

Es  sollen  im  Folgenden  die  Werthe  von  A  mit  einem  lateinischen  Bucli- 
staben  und  die  entsprechenden  von  C — -^A — o.iioio.ioo  mit  dem  entsprechenden 

griechischen  bezeichnet  werden,  so  dass  man.  wenn   m>/(    und  a  =  lo»>-  — , 

-   n 

,       m  -\-  n 
a  =  log        ' 


2\/: 


tmi 


350  ZUR  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FÜNCTIONEX. 

oder  a  gleich  dem  Logarithmus  des  Verhältnisses  des  arithmetischen  und  geo- 
metrischen Mittels  von  m  und  n  setzt.  Ist  —  a  der  Logarithmus  des  Comple- 
ments  eines  gegebenen  Moduls ,  so  wird  liiernach  —  a  der  Logarithmus  des 
Complements  des  kleineren  Moduls,  in  welchen  der  gegebene  durch  die 
Landen  sehe  Substitution  transformirt  wird.     Setzt  man  nun  nacheinander: 

a  =  log  — ;       a   =  a,       a    =  o. ,       a     =  a 

n  '        ' 

indem  man  immer  den  gefundenen  Werth  von  a^'^  zum  Argument  A  macht  und 
den  entsprechenden  Werth  von  a<'+^^  =  C — ^A  —  0.3010300  aufsucht,  bis  man 
auf  verschwindende  Gröfsen  kommt,  so  wird,  nach  der  i^.  3  8.  angewandten  Be- 
zeichnung : 

]Man  erhält  ferner  aus  den  Formeln 

mn  =  n'n,     m'n'  =  n"n",    ...     m'''~^^n^~\-  =  'nM^n^^'^ 
die  Gleichung: 

n     n'  n(*— 1)  nn 

und  daher,  wenn  durch  |a  die  Grenze  bezeichnet  wird,  welcher  die  Gröfsen  w^*^ 
sehr  schnell  sich  nähern : 

log  |x  =  log  n-\-\  [ci  +  cl'-\-  a"+  •  •  •]• 

Der  so  für  ji  erhaltene  Werth  giebt  bekanntlich  das  ganze  elliptische  Integral 
erster  Gattung  durch  die  Formel: 


1/ 


^~  dcp 


\]mm  cos^  9  +  nn  sin^  <p  H- 

Die  Gröfsen  n,  n\ . . .  selber  findet  man  durch  successive  Addition  von  ^a,  \a\ 
vermittelst  der  Formeln : 

\o^u   =  \ogn-\-^a,        logn"  =  logn  -{-^a',  ..., 
und  hieraus : 

log ni   =  log w'+tt',        logm"  =  log n"-\-a",  ... 


ZUK  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN.  351 

Gaufs  hat  in  seiner  Abhandlung  Determinatio  attractionis  auch  eine  sehr  be- 
queme Anordnung  für  die  Berechnung  des  ganzen  elliptischen  Integrals  zweiter 
Gattung  mitgetheilt.     Berechnet  man  nämlich : 


A  =  \\jmm  —  nn,        \'  =  -^ ,        X"  = 


m  m 

2//x'4-4rr4-8r'Ä"'H — 
^= x"x ' 

so  findet  man  nach  einer  Formel,  welche  im  Wesentlichen  mit  der'von  Legendre 
gegebenen  übereinkommt, 

2    /*-'  cos2cpc?cp  V 

~  «/  0      sl'mm  cos-  z>  -\-  nn  sin^  'f  V- 

Die  Grolsen  — ,  — r^  —tf^---  oder  — ,  -^r-'  ^^  ^••-  sind  der  gegebene  und 
die  nach  und  nach  transformirten  Moduln.  Xacli|Fm?f/.  §.  52.  Coroll.  (4.)  findet 
man  die  Gröfse  q  durch  die  Formel 

log  q  =  2  log  —  +  «  —  I«' —  I«" —  I«'" 

Um  das  unbestimmte  Integral  erster  Gattung  zu  finden,  hat  man  nach  Fund.  §.3  8. 
die  Gröfsen  A'  aus  den  vorhergehenden  A  durch  die  Formel 

—  V      m  +  A 
zu  berechnen .  woraus  folut : 


m    *  /  m 

A'  '    n 


n' 


Setzt  man  daher 


»    =  log—,         6   =  log--  c   =  log  —  , 

'i'  _i  n 

a"  =  a',  h"  =  !(«'+  i^'-  t')         c"  =  K«'-  ß'+  7'), 


352  ZUR  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN    FUNCTIONEN. 

WO  man  immer,  wenn  man  in  den  Gaufsischen  Tafeln    A  =  a^'\  U'">  oder  c^'^ 
nimmt,  die  Gröfsen  a^'*,  J^*'*  oder  f'^  durch  die  Formel 


erhält,  so  wird 


C'—i^  — 0.3010300 


^M,(2)  A(0 


Für  das  Integral 

da 


J 


0    sjuincos^'f  -\-  nn  sin^cp 

ündet  man  hiernach  durch  die  Formel  §.  3  8. : 

A'A"A"', 
logtg.xd)  =  log  tg  9  + log 


=  (D 


m  m  m 


=  log  tg  '^  +  log  ^  —  h'—  &"—  h'" 

A 

Man  kann    auch  die   ersten  Gröfsen    -^    und   —    auf  analoge  Art    durch   tg© 
linden.     Sind  nämlich  b'^,  c"  positive  Gröfsen,  welche  durch  die  Gleichungen 

±logtg2ci  =  7A        ±log-^tg2c5  =  c" 
bestimmt  werden,  so  wird 

0)5  A 

log^  =  h  =  ^-(aO+.3«-v«),.         log-   =  c  =  -|(..0-ßo+YO), 

wo  a"  =  a.     Die  Gröfse  {x^D  ist  der  in  den  Reihen- Entwicklungen  mit  x  be- 
zeichnete Winkel. 

Aus  der  von  Gaufs  angewandten  Substitution 

2m  sin  es' 
(jn  +  n)  cos'^  'f  -f-  2m  sm^  o 
findet  man : 

sin  ':>'  2  sin  o  ^      ,  A' 

WO,  wie  im  Vorhergehenden, 


A  :=  \J mm  co^'^ 'z> -\- nn  sin'' (Si ,        A'  =  \Jm'm'Gos^(s'-\-n'n'8m^(f'. 
Hieraus  folgt: 

,      sincp'  sin'i    ,    ,,       ^  i      sincp"  sincp'    ,   ,,,      ^, 

log f-  =  log ^  +  i*  —  3 ,  log /r-  =  log r-  +  i&  —  ?  -  •  • 

log  cos  cp'     =    logCOScp  -|-&'-|-i& — ß,  log  cos  cp"    =     log  cos  cp' -f- &"+ i^'— ?';  •  •  • 


ZUR  THEORIE  DEK  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN.  353 

Man  hat  so  durch  die  bereits  berechneten  Werthe  von  U'\  ß^'^  und  durch  log  sin  9, 
log  cos  cp  nacheinander  durch  blofse  Addition  die  Werthe  von  log  sin  cp',  log  cos  cp', 
log  sin  cp",  log  cos  cp",  .  .  .  Diese  Gröfsen  dienen  dazu,  die  von  Gaufs  für  das 
unbestimmte  Integral  zweiter  Gattung  gegebene  Formel  zu  berechnen,  welche 
man ,  mit  einer  kleinen  Veränderung ,  so  darstellen  kann : 

r^  cos2cp(^(p  -        cos<psincf>'        2X'X'      cos  cp' sin  9" 

J  0    SJmm  cos^  cp  +  nn  siu^  cp  »'*'  ^ ^  *'*" 

4.\"\"     cos(p"8incp'" 


+ 


11  m'"  ' 

Bezeichnet  man  das  vorstehende  Integral  mit  P  und,  wie  Legendr e, 
mit  F^,  E^  die  ganzen,  mit  jP(9),  -E(cp)  die  unbestimmten  el]iptischen  Integrale 
erster  und  zweiter  Gattung,  so  dafs  jP(cp)  =0,  so  wird  für  m  =  1, 


1^  =  Kl-v)  +  p'Ä;'(l+v), 


und  daher : 


F 

F'E(^)—E'F(^) 


F 


=  iP(P+vO) 


mm  —  m*  /coscpsincp'       2A'>/     coscp'sincp"       4A"X"     coscp"8incp"'  \ 

~        2mm      V       w7  *"~U  m"  ~      *"  ~U  'dT  '         / 

Zufolge  des  oben  für  — f-  e-eaebenen  Werthes  wird 

/coscpsincp'     d<f   /*  2  sin  cp  cos  cp  (^(p 
m'            Y  ~  J       A{m  -\-  A) 


und  daher 


'  ^  cos  cp  sin  cp'     (?cp  '2m 


Umm — nn)  1     """  '^  7"  ^   •  -^  =  log       .    . 


Vo 


Setzt  man  daher,  wie  in  den  Fundam.  §.52.  (6.) 

'^J^^.g(cp)  — ^^J(cp)     dy 

J^^  "^  Q{u) 

und  bemerkt  die  Formeln : 

k'X'  X"X" 

(mm  —  nn)  =  m'm' — n'n',      (mm  —  nn) — yv~  =  tu"m" — n"7i' 

d(f    flfcp'    rf(p"    

T  ~  ~K^  ~  ~Er  —  '" 

1.  45 


354  ZUR  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN. 

SO    erhält   man    einen    neuen    zur   Berechnung    bequemen    Ausdruck    für   die 
Function    0  (u) : 

e(u)    _       2m        /    2m'   V    /    2m"     V   ^     2m'"    V 

Da  los: — r^r  =  ^b  —  3?  so  siebt  diese  Formel  die  folgende : 

^  m-f-A  -        i  5        ö  ö 

^^^  11^  =  i^  -  ^  +  ^'~  ^^^'+  ^^"-  ^'^"+  ^^"'-  ^'^"'+ '"' 
welcher  man  noch  verschiedene  andere  Formen  geben  kann. 

3. 

c}  .   j.  7  \Jmm  —  nn         7/9)         SJm'm' — n'n' 

öetzt  man  k  = ,     k-''  = -, , 

m  m 

ferner:  ^(2)  ^  ^(iJ^]i')K,         cp  =  am(?^,?c), 

so  wird 


cp   ^  aml 


{2T^'^x 


,t 


(2) 


Zufolge  der  §.37.  Theoremall.  gemachten  Bemerkung  verwandelt  sich  daher 
Ä,  K,  cp  in  W^,  K^^\  cp',  wenn  man  q^  für  </  setzt.  Dies  erhält  eine  Bestätigung 
durch  die  Formel : 

^'  1+^'      Vi— F2)'sin^<p' 

Wenn  man  nämlich  aus  den  §.39.  (1.),  (2.),  (3.)  für  sincp,  coscp,  Acp  gege- 
benen Zerfällungen  in  unendliche  Producte  den  Werth  von  -f-^  entnimmt  und 

A<p 

in  demselben  q-  für  q  setzt,  so  erhält  man  sogleich  den  Ausdruck  für  ^(l-f-Ä;')tgcp. 
Umgekehrt  kann  man  auf  diese  Art  die  vorstehende  Formel,  durch  welche  cp 
aus  cp'  bestimmt  wird,  unmittelbar  aus  jenen  Factorenzerfällungen  von  sincp, 
cos  9,  Acp  ableiten. 

Für  m  =  1   hat  man  die  Formel  §.39.  (16.) : 

2Jc'h'K     tffcc  2k' K     coscoam«  4(/sin2a;    ,    4f/^sin4^ 
'     —                                    =  tgx-  '      ^ 


TT  A<p  TT  COS  am  M  1+?/  1+5^ 

Setzt  man  hierin  q'  für  q,  so  verwandelt  sich  der  Ausdruck  links  in: 
2Jc'       2K  tgcp'  2h' K 


l+Ä'      ^       ^l-m'^m''^' 


tg? 


ZUR  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN.  355 

Man  kann  daher  zu  den  in  den  Fiindam,  mitgetheilten  Reihen  noch  die  folgende 
fügen : 

2k' K  .  2Kx  ^  4^^  sin  2a;    ,    4o^sin4a;       4rA6sin6;r    , 

Ueberhaupt  bietet  die  Betrachtung,  durch  welche  diese  Formel  abgeleitet 
ist,  ein  wichtiges  Mittel  dar.  aus  den  gefundenen  Resultaten  mit  Leichtigkeit 


neue  abzuleiten.    Man  bemerke  z.B..  dafs.  wenn  man  in  dem  für  1}  '  = 


^(^-) 


6>(0)  (WW 

oben  gefundenen  Ausdruck    A*^^^    für    k    oder    q^  für    q    setzt  und  ihn  dann  ins 

Quadrat  erhebt,  dasselbe  Resultat  sich  ergiebt,  als  wenn  man  den  Ausdruck  mit 

fn  -1—  A 

-~—  multiplicirt.     Da  sich  nach  §.40.  (6.;,  (7.)  k'K  dadurch,  dafs  man  q^  für 

q  setzt,  in  ^k'K  verwandelt  und  nach  §.53.  (9.) 
ist ,  so  erhält  man  hieraus  die  Gleichung  : 

2eHiii+k')u,m))  =  y^^0(«,)  +  \/^0(M+^). 

Die  oben  gegebene  Gleichung 

sincp'  2sincp 


m'  m  -}-  A 

kann  man  auch  so  darstellen: 


1 — Je'   .  2   ,         >w — A 


^(2)sin2cp'  =  -— -yrsm^cp'  =  — 

Aus  der  Formel  §.  Cl.  (1.)  folgt  aber,  wenn  man  k^-^  für  k  setzt; 


und  daher 


woraus 


H''{\{l+k')u,U^^   _   w— A   ^    e(ti)  —  \lk'0{ti-\-K) 
e'a{l+k')u,k^^))   ~  m  +  A  eiii)+\Jk'Q{u-\-K) 


45 


356  ZUR  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN. 

folgt.     Ersetzt  man  die  Formel 


fcsincp 


1+^ 

m 


durch  die  folarende 


0(Ki+^>^^^'^)  0(t<)+\/Ä;'0(M+Jr)' 

so  erhält  man : 

eine  Formel,  welche  sich  unmittelbar  aus  der  Darstellung  von  &[u)  und  H(w) 
als  unendliche  Producte  ergiebt.  Die  drei  gefundenen  Formeln  geben  die 
Gleichungen : 

2  [1 —  2rf  COS  2x  +  2g8  COS  ^x  —  2q^^  cos  6a;  -j ]^ 

(1_^  2g  +  22*-f-  22^-1 )(1—  2q  cos  2a;  +  2^*  cos  4a;  —  2q^  cos  6a;  -j )  j 

\-^(\—2q-\-2q^—2q^-\ )(1+ 2gcos2a;+ 22^cos4a;  + 2g^cos6a;-l )) 

8[V'5sinÄ;  —  \Jq^smSx-\-\/q'^^smbx ]^ 

(^l^2q-\-2q^-\-2q-^-\ )(1 — 2gcos2a;4- 25^cos4a;— 25^cos6a;;-j )i 

|_(l_25-|-2g^— 2g3-j )(l+2gcos2a;+2(^*cos4a;4-229cos6a;H )t' 

[1_  2g2  cos  2x  4-  2q^  cos  4a;  —  2^^'^  cos  6a;  -1 ]  [\Jq  sin  o;  —  s/q^  sin  3a;  +  \lq^^  sin  5a; ] 

=  [V^g  +  V^?+V^H JCv^gsino;  — v/^sin3a;  +  v/5^sm5a; ]• 

Dies  sind  die  einfachsten  Fälle  sehr  wichtiger  und  sehr  allgemeiner  Formeln  für 
die  Verwandlung  der  Potenzen  und  Producte  der  Functionen  0(u)  und  H[u)  in 
ein  Aggregat  linearer  Ausdrücke. 

•  Die  Kechnungsvorschrifteii ,  welche  auf  der  von  L  e  g  e  n  d  r  e  hauptsächlich 
untersuchten  Landen  sehen  Transformation  beruhen,  erfordern  zur  Auffindung 
der  Werthe  der  unbestimmten  Integrale  erster  Gattung  den  Gebrauch  trigono- 
metrischer Tafeln.     Man  berechnet  cp^.  cp2 ,  .  .  .   durch  die  Formel : 

logtg(?i  — ?)  =  logtgcp  — a,... 

Die  Winkel  ^cpi,  ^cog  .  •  .  nähern  sich  sehr  bald  der  Grenze: 


d^ 


\lmmQ,o^'^o-\-nn%m^<^ 


ZUR  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN.  357 

Um  die  unbestimmten  Integrale  zweiter  Gattung  zu  finden,  setze  man 
F^E{^) — E^F(<f)   mm — nn  /  f  •  cos2'sido    ^^  ^\ 


m 


Z- 

und  bezeichne  mit  — ^^    die  analogen  Gröfsen ,  welche  man  erhält ,  wenn  man 

m^'^,  n^'\  cp,  für  m,  n,  cp  setzt.     Die  L  e  g  e  n  d  r  e  sehen  Formeln  geben  dann : 

^1  =  Z—AX'mio^,         Z^  =  Z^— 4X"siiicp2,  ... 
und  daher: 

Z  =  4[X'sin9i  +  rsiii92+>^"'sin93H ]• 

Multiplicirt  man  diese  Formel  mit 

A  ^    A,  '   A, 

und  bemerkt,  dass 

4X'siii<p,  <?9  ,,  .  8m2(i>d's>  ,  ,,      A 

— -    .  =  \{mm—nn) ^ — ,         .  o      =  —hd\os  —  , 

A  *^  ?wwcos''<p  +  wwsm^cp  ^       ^m 

so  erhält  man  durch  Integration : 


0(0)  .    -      .   ^,     ,    ^, 


_    e(u)    _  ./m    .yw^;    .ymT^ 
~    0(0)    ~  V  A  '  V  A/  V  A„ 


welches  der  in  den  Fundam.  §.52.  CoroUarium  durch  Betrachtung  der  unendlichen 
Producte  gefundene  Ausdruck  ist.  Die  Gröfsen  Aj ,  Ag .  . .  kann  man  durch  die 
Formeln 

A  A 

cos(2(p  — 9J  =  ^;         cos(2cp,— cpj  =  -^^  •  •  • 

berechnen.     Diese  geben  den  Ausdruck : 


G{u) 


V  A     »V 


0(0)  V   A     Y/cos(2cp— (pi)      v'cos(2cpi— cpg) 

Will  man  die  in  den  Fundam.  mitgetheilte  Berechnungsweise  der  Gröfsen 
Ai,  Ag  •  •  •  anwenden,  so  gebraucht  man  wieder  mit  Vortheil  die  Gaufsischen 
Tafeln. 

4. 

Ich  will  die  hauptsächlichsten  der  im  Vorigen  mitgetheilten  Formeln  durch 
ein  von  Legendr e  ebenfalls  behandeltes  numerisches  Beispiel  erläutern,  wel- 
ches sich  auf  einen  schon  ziemlich  gröfsen  Modul  k  =  sin75"  bezieht. 


358 


ZUR  THEOEIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN. 


Es  sei 


wo  tg 


.=\/' 


m  =  1,        \ogn  =  logsinlS*^ 
cp  =  47*'  3'  30"95, 


9.4129962, 


2_ 


Die  benutzten  Tafeln  sind  die  auf  7   Stellen  berechneten 


Matthies senschen  (Altona  1817).      Bei  den  Interpolationen  ist  noch  immer 
die  8te  Stelle  mitgenommen  worden,  um  den  Fehler  in  der  7ten  zu  verringern. 
Setzt  man 


a  =  log—  =  0.5870038, 


ferner 


logtg'-'cp 
log— ytg^cp 


=     &" 


0.0624693.6, 


■c«  =  8.8884617.6; 


und  sucht  nach  der  in  der  Abhandlung  angegebenen  Regel  aus  den  Matthies- 
senschen  Tafeln  die  Werthe 


ßo  =  0.0011222.3, 
y'^  =  0.2870960.3, 


so  findet  man  nach  und  nach : 


m 


log^  =  6  =  K«  +  ß"— t')  =  0.1505150, 

loff—  =c=  a  —  h=  0.4364888.0, 

°  n 

a'  =  0.0924352.2,  b'  =  0.0231251.1, 
ß'  =  0.0001539.7, 
h"  =  0.0006136.7, 
ß"=  0.0000001.0, 
h"'=  0.0000005.0, 


a"  =  0.0024545.8. 


0.0000018.0, 


ß   =  0.0064882.3, 

y    =  0.0526732.3, 

c'  =  0.0693101.1, 
y'  =  0.0013812.0, 
c"  =  0.0018409.1, 
y"=  0.0000009.0, 
c"'=  0.0000013.0. 


Hat  man  hier  aus  ä',  h\  c'  die  Gröfsen  a',  j3'.  -f  gefunden,  indem  man  nach  der 
allgemeinen  Regel 

as  ¥  oder  d  =  A     und     7/,   [i^  7' =  C'—i^  — 0.3010300.0 
setzt,  wo   C  aus  A  durch  die  Matth.  Tafeln  gegeben  ist,  so  wird 


t'+i  =  a',         ¥+^  =  K°^'+ß' 


'!'+i  =   1 


i(a^-ß^  +  r), 


und  daher  immer  o'  =  !/-{-  c*.     Wenn  daher  log  — ,  log  tg  cp  gegeben  ist ,  so  hat 
man  zur  Berechnung  aller  vorstehenden  Gröfsen  nur  achtmal  in  die  Tafeln  zu 


ZUE  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN. 


359 


gehen.  Hiermit  ist  aber  schon  fast  alles  gegeben,  was  zur  Berechnung  der 
ganzen  und  unbestimmten  Integrale  erste»  und  zweiter  Gattung  und  der  Gröfsen 
logq  und  log  6^  erforderlich  ist.     Denn  man  hat  zunächst : 

logu.  =  ^^^Y^  =  log«  +  ia  +  ia'+ia"4-ia"'=  9.7539439.0. 


Um  log^  zu  finden,  braucht  man  noch  den  log.  des  vierten  Theils  des  Moduls 
dann  wird 


logA  =  log  ISl mm  — 7in  =  9.8828837.7; 


log5  =  2logÄ4-rt  — 3[ia'+ia"+|a"']  =  9.2122768.7. 
Setzt  man  ferner  (I)  =  i^((p) ,  so  wird 

logtgtxO  =  \ogtg's-\-\og-'-  —  [h'-\-h"-\-h"'']  =  9.7614893.0. 

Der    genaue    AVerth    von     ^  =  [xd)     ist    30°,    und  man   hat   nach    den   Tafeln 
log tg  3 O"  =  9 . 7 B 1  4 3 9 3 .7.     Man  findet  ferner  : 


log 


e{u) 


=rN 


E' 


0(0)         Jo  L^'^'       F^  ^^•'^J  A 


=  i&4-&'+2&"4-4&"'— [, 3  +  2^3'+ 4,r']  =  0.0928153.9 
ale  zweiter  Gattung  zu  erhalten,  mufs  man  zuvi 
und  Subtraction  die  Logarithmen  der  Gröfsen  m',  rC,  V  bilden : 


Um  die  Integrale  zweiter  Gattung  zu  erhalten,  mufs  man  zuvor  durch  Addition 


logu'    =  9.7064981, 
log»»"  =  9.7527157.1, 
logw"'=  9.7539430.0, 
logw'^  =  9.7539439.0, 
Hier  ist 

l0gM''+^  =    logW'-j-  Wi 

Hiemach  findet  man : 


logw'  =  9.7989333.2, 
logm"  =  9.7551702.9, 
logw"'=  9.7539448.0, 
logW  =  9.7539439.0, 


logA'    =  8.9668342, 
logX"  =  8.1784981, 
logA"'=  6.60305, 
logX'^'  =  3.452. 


logwr  =  logn'-f«',  log//+^=  2  logA' — logm''+' 


2X'X' 
log-^^ —  =  9.4689309 

log-Y^ —   =  8.1932888, 
°    Xa 

log    ^^^       =  5.34343, 


2X'a' 
4>/'X" 


=  0.2943952.7 


8X"'X"' 


XX 


^  =  0.0156059.0, 
=  0.0000220.5, 


V  =  0.3100232.2. 


360 


ZUR  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN. 


Der  gefundene  Werth  von  v,    welcher  das  Aufschlagen  dreier  Zahlen  erfor- 
derte, giebt:  » 


=  --/■ 


iir 


cos2(^d'^  E'  mm-{-nn        mm — nn 


A(p 


F' 


2mm 


2mm 


Zur  Berechnung  des  unbestimmten  Integrals  zweiter  Gattung  geht  man  von  den 
Werthen  von  log  sin  <f ,  log  cos  cp  aus  und  findet  dann  durch  successives  Addiren : 


log-!15^  =  9.8645412.7 


m 


|&_ß      =  0.0687692.8 

W-^^:^    =  9.9333105.5 

°     m 


^b'—^'    =  0.0114085.9 


log 


smcp      


9.9447191.4 


m 


^h"—^"    =  0.0003067.4 
log.!^^  =  9.9450258.8 


m 


W"    = 


2.5 


log  ^1^1-  =  9.9450261.3 


log^^^-^^4^  =  9.7666171.2 

°         m 

log^.:^£!t^  =  9.3388510.0 


XX 


m 


log  cos  cp     =  9.8333065.7 

b'^ih  —  ^     =  0.0918943.9 
log  cos  cp'     =  9.9252009.6 

b"J^^h'  —  ^'   =  0.0120222.6 
log  cos  cp"    =  9.9372232.2 

h'"-\-^b"—^"  =  0.0003072.4 
log  cos  cp'"  =  9.9375304.6 


cos  cp  sin  cp 
m' 


=  0.5842747.0 


2X2^     coscp'sin^'^  =0.2181981.5 
XX 


m 


log 


log 


4rr    c_oscqirV:  _  8.0755378.6         ^  •  ^^^^J^-ll  =  0.0118997.5 
XX  in'  XX  m 


X  X  m 

8X"'X"'  coscp"'sincp'^  _ 


XX 


=  5.22599 


8X"'X"'    coscp"'sincp'^  _ 


m' 


XX 


=  0.0000168.3 


m 


logv         =  9.4913942.9 


logvO)  =  log— 30*^  =  9.4564490.9 


^(D 


0.8143894.3 
0.2860547.2 


/ 


^"-^^^^  =  0.5283347.1. 


Man   hat  zur  Berechnung  des  vorstehenden  Integrals    zwar  nur   fünf  Zahlen 


ZCR  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEX.  361 

aufzuschlagen,  aber  sehr  viele  Additionen  zu  machen.     Es  wird  daher  eben  so 

vortheilhaft  die  Gröfse  ^  /°^^   -| aiicli  durch  die  Formel 

m 

cos  C5  sin  es'    ,    2Ä'X'     cos 'i' sin  es"    . 


m  AA  m 

1     )  -p,. -E"^  F^'V   i  g  sin  2x  —  2q* sin  4x  -{-  Sg^  sin  6x •  • 

~    8X1  (     ^'^^      ~F^     ^'^^ \   ~    2ää7  *  l—2qcos2x-\-2c/^(i08ix—2q^cosex-\ 

berechnet  werden  können.      Da  hier  er  =  30"  und  log^  ^=  9,2  12  2  768.7   ist,   so 
findet  man.   wenn  man  den  Bruch  mit    "^  bezeichnet, 

g8in2^  =  0.1411911.5  gco82a;  =  0.0815167.5 

23*sin4jc  =  0.0012236.8  —r/cos4:X  =  0.0003532.4 

Z  =  0.1899674.7  —5^0086^=  0.8 

logZ  =  9.1460271.7  N  =  0.8362601.8 

logiV'=  9.9223413.9  =  1  —  2^  cos  2a;  +  2(?*  cos  4a;  —  2^^  cos  6a; 

log  ^,,    ^r  =  9.9108321.4:  -^—-.Ä,  =  0.8143894.4, 

Die  frühere  Rechnung  gab  dieselbe  Gröfse  0.8143894.3.    Den  AVerth  von  logiV 
kann  man  auch  aus  der  Formel 

logA'=log-gA^  +  ilog- 

erhalten.     Wir  fanden  aber  oben : 

log-||^  =  0.0928153.9, 

iW—  =  9.8295261.5. 
H- 

und  hieraus  wird 

\ogN  =  9.9223415.4, 

welches  nur  um  1.5  in  der  7ten  Stelle  von  dem  durch  die  lleihen  -  Entwicklung 
gefundenen  Wertlie  abweicht. 

Sehr  leicht  wird  die  Berechnung  von  v  durcli  die  Formel: 


•/ 0         ^v 


•^'^  cos  2c5  rf'i  ,.       ,-..^.  -D 


46 


362 

oder : 

Es  ist 


ZUR  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN. 


sJm-\-Sln     V    \]m — \]n      1        ^D 


^' 


m 


m  —  n 


mm  —  nn 


2XX 


\jm  —  \jn    

\lm^Sjn  2{m!-\-n)  2{m' -\- n'){m -\- n)  mm' 

\lm-\-Sln  =  V2(w'+w')  =  2\/wr, 

und.  daher,  wenn  man  q^^,  als  unmerklich,  wegläfst, 


2XX  \/m.ii'D  2kl  4:\/m.\i^q'^ 


w«'m"        IßXK^m" 

m'm"          V^m".AX 

2XX 
log— r-TT  =  9.5126939.3: 

^  mm                               ' 

Oll 

,    „    =  0.3256071.8, 
m  m 

4V/-.^^g*    -  8.1926745.4; 

Vm".AX 

Wm.A'    -0.0155838.4, 

\/m".n 

Es  ist 


log 

ym  .AA  \m".KK 

V  =  0.3100233.4; 

welches  nur  um  1.2  in  der  7ten  Stelle  vom  oben  gefundenen  Werthe  abweicht. 
Königsberg,  den  12.  Juni  1843. 


Ich  füge  die  folgende  Tabelle  hinzu,  welche  für  die  Werthe  des  Argu- 
mentes ö^  =  arcsinÄ  von  Zehntel  zu  Zehntel  Grad  die  AVerthe  von  log 5'  bis 
auf  5  Decimalstellen  nebst  den  ersten  Diüerenzen  giebt. 


ZUR  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN. 


363 


'ü 

log.  q 

Diff.  I. 

.0 

Infinitum. 

.  1 

3 

27964 

0 . 60206 

.2 

3 

88170 

35218 

.3 

4 

23388 

24988 

.4 

4 

48376 

19382 

.5 

4 

67758 

15836 

.6 

4 

83594 

13390 

.7 

4 

96984 

11599 

.8 

5 

08583 

10231 

.9 

5 

18814 

9152 

.0 

5 

27966 

8279 

.1 

5 

36245 

7457 

.2 

5 

43702 

7054 

•  3 

5 

50756 

6437 

.4 

5 

57193 

5994 

.5 

5 

63187 

5606 

•  6 

5 

68793 

5267 

.7 

5 

74060 

4965 

•  8 

5 

79025 

4697 

.9 

5 

83722 

4456 

.0 

5 

88178 

4239 

•  1 

5 

92417 

4042 

.2 

5 

96459 

3862 

•  3 

6 

00321 

3697 

.4 

6 

04018 

3547 

.5 

6 

07565 

3408 

■  6 

6 

10973 

3279 

•7 

6 

14252 

3160 

•  8 

6 

17412 

3050 

•  9 

6 

20462 

2946 

.0 

6 

23408 

2849 

•  1 

6 

26257 

2759 

•  2 

6 

29016 

2674 

•  3 

6 

31690 

2595 

.4 

6 

34285 

2519 

•5 

6 

36804 

2449 

.6 

6 

39253 

2381 

•  7 

6 

41634 

2318 

•  8 

6 

43952 

2258 

•  9 

6 

:621U 

2201 

•  0 

6 

48411 

2146 

•  1 

6 

50557 

2095 

2 

6 

52652 

2046 

•  3 

6 

54698 

1999* 

.4 

6 

56697 

1954 

•  5 

6 

58651 

1911 

•  6 

6 

60562 

1870 

.7 

6 

62432 

1831 

.8 

6 

64263 

1793 

.9 

G 

66056 

1757 

.0 

6 

67813 

1722 

i 

i 

log.  7 

DifiF.  I. 

5 

0 

6 

67813 

1722 

5 

1 

6 

69535 

1689 

5 

2 

6 

71224 

1657 

5 

3 

6 

72881 

1626 

5 

4 

6 

74507 

1596 

5 

5 

6 

76103 

1567 

5 

6 

6 

77670 

1540 

5 

7 

6 

.79210 

1513 

5 

8 

6 

80723 

1488 

5 

9 

6 

82211 

1462 

6 

0 

6 

83673 

1439 

6 

1 

6 

85112 

1415 

6 

2 

6 

86527 

1392 

6 

3 

6 

87919 

1371 

6 

4 

6 

89290 

1349 

6 

5 

6 

90639 

1329 

6 

6 

6 

91968 

1310 

6 

7 

6 

93-278 

1289 

6 

8 

6 

94567 

1272 

6 

9 

6 

95839 

1252 

7 

0 

6 

.97091 

1236 

7 

1 

6 

98327 

1218 

7 

2 

6 

.99545 

1201 

7 

3 

7 

. 00746 

1185 

7 

4 

7 

01931 

1169 

7 

.5 

7 

.  03100 

1154 

7 

.6 

7 

04254 

1139 

7 

7 

7 

05393 

1124 

7 

8 

7 

06517 

1110 

7 

9 

7 

07627 

1096 

8 

0 

7 

.08723 

1083 

8 

1 

7 

09806 

1069 

8 

2 

7 

10875 

1056 

8 

3 

7 

11931 

1044 

8 

4 

7 

12975 

1032 

8 

5 

7 

14007 

1020 

8 

6 

7 

15027 

1008 

8 

7 

7 

16035 

996 

8 

8 

7 

17031 

986 

8 

9 

7 

18017 

974 

9 

0 

7 

18991 

964 

9 

1 

7 

19955 

953 

9 

2 

7 

20908 

944 

9 

3 

7 

21852 

933 

9 

4 

7 

22785 

928 

9 

5 

7 

23708 

914 

9 

6 

7 

24622 

904 

9 

7 

7 

25526 

895 

9 

8 

7 

26421 

887 

9 

9 

7 

27308 

877 

loc 


Diff.I, 


10.0      7.28185 


869 


10 

.0 

7 

28185 

869 

10 

1 

7 

29054 

860 

10 

2 

7 

29914 

852 

10 

3 

7 

30766 

844 

10 

4 

7 

31610 

836 

10 

.5 

7 

. 32446 

828 

10 

6 

7 

33274 

820 

10 

7 

7 

34094 

813 

10 

8 

7 

34907 

805 

10 

9 

7 

35712 

798 

11 

0 

7 

36510 

791 

11 

1 

7 

37301 

784 

11 

2 

7 

38085 

777 

11 

3 

7 

38862 

771 

11 

4 

7 

39633 

763 

11 

5 

7 

40396 

758 

11 

6 

7 

41154 

750 

11 

7 

7 

41904 

745 

11 

8 

7 

42649 

738 

11 

9 

7 

43387 

782 

12 

0 

7 

44119 

727 

12 

.1 

7 

44846 

720 

12 

2 

7 

45566 

714 

12 

3 

7 

46280 

709 

12 

4 

7 

46989 

703 

12 

5 

7 

47692 

698 

12 

.6 

7 

48390 

693 

12 

7 

7 

49083 

686 

12 

8 

7 

49769 

682 

12 

9 

7 

50451 

677 

13 

0 

7 

51128 

671 

13 

1 

7 

51799 

667 

13 

2 

7 

52466 

661 

13 

3 

7 

53127 

657 

13 

4 

7 

53784 

651 

13 

5 

7 

54435 

648 

13 

6 

7 

55083 

642 

13 

7 

7 

5.5725 

638 

13 

8 

7 

56363 

633 

13 

9 

7 

56996 

629 

14 

0 

7 

57625 

625 

14 

1 

7 

58250 

620 

14 

2 

7 

58870 

616 

14 

3 

7 

59486 

612 

14 

4 

7 

60098 

607 

14 

5 

7 

60705 

604 

14 

6 

7 

61309 

599 

14 

7 

7 

61908 

596 

14 

8 

7 

62504 

591 

14 

9 

7 

63095 

588 

15 

0 

7 

63683 

584 

46* 

364 


ZUR  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN. 


,^ 

log.  q 

Diff.  I. 

i} 

log.  q 

Diff.  I. 

» 

log.? 

Diff.  I. 

15.0 

7 . 63683 

584 

20.0 

7 . 89068 

443 

25.0 

8 . 08971 

359 

15.1 

7 . 64267 

580 

20.1 

7.89511 

440 

25.1 

8 . 09330 

357 

15.2 

7 . 64847 

577 

20.2 

7.89951 

438 

25.2 

8 . 09687 

356 

15.3 

7 . 65424 

572 

20.3 

7 . 90389 

436 

25.3 

8.10043 

354 

15.4 

7 . 65996 

57  U 

20. 4 

7 . 90825 

434 

25  .  4 

8 . 1U397 

354 

15.5 

7 . 66566 

565 

20.5 

7 . 91259 

433 

25.5 

8.10751 

351 

15.6 

7.67131 

562 

20.6 

7.91692 

430 

25.6 

8.11102 

351 

15.7 

7 . 67693 

559 

20.7 

7 . 92122 

428 

25.7 

8.11453 

350 

15.8 

7  .  68252 

555 

20.8 

7  . 92550 

426 

25.8 

8.11803 

348 

15.9 

7 . 68807 

552 

20.9 

7 . 92976 

424 

25.9 

8.121.S1 

347 

16.0 

7 . 69359 

548 

21.0 

7 . 93400 

423 

26.0 

8 . 12498 

345 

16.1 

7 . 69907 

545 

21.1 

7 . 93823 

420 

26.1 

8 . 12843 

345 

16.2 

7 . 70452 

542 

21.2 

7 . 94243 

418 

26.2 

8.13188 

343 

16.3 

7 . 70994 

539 

21.3 

7 . 94661 

417 

26.3 

8 . 13531 

342 

16.4 

7.71533 

535 

21.4 

7 . 95078 

415 

26.4 

8.  13873 

341 

16.5 

7 . 72068 

533 

21.5 

7 . 95493 

413 

26.5 

8 . 14214 

340 

16.6 

7.72601 

529 

21.6 

7 . 95906 

411 

26.6 

8 . 14554 

338 

16.7 

7 . 73130 

526 

21.7 

7.96317 

409 

26.7 

8 . 14892 

338 

16.8 

7 . 73656 

523 

21.8 

7 . 96726 

408 

26.8 

8 . 15230 

336 

16.9 

7 . 74179 

520 

21  .9 

7.97134 

406 

26.9 

8 . 15566 

335 

17.0 

7 . 74699 

517 

22.0 

7.97540 

404 

27.0 

8.15901 

334 

17.1 

7  .  75216 

515 

22.1 

7 . 97944 

402 

27.1 

8 . 16235 

333 

17.2 

7.75731 

511 

22.2 

7 . 98346 

401 

27.2 

8 . 16568 

331 

17.3 

7  .  76242 

508 

22.3 

7 . 98747 

399 

27.3 

8 . 16899 

331 

17.4 

7 . 76750 

507 

22.4 

7 . 99146 

397 

27.4 

8 . 17230 

329 

17.5 

7 . 77257 

502 

22.5 

7 . 99543 

396 

27.5 

8.  17559 

329 

17.6 

7.77759 

500 

22.6 

7 . 99939 

394 

27.6 

8 . 17888 

327 

17.7 

7.78259 

498 

22.7 

8 . 00333 

392 

27.7 

8.  18215 

326 

17.8 

7 . 78757 

494 

22.8 

8 . 00725 

391 

27.8 

8 . 18541 

325 

17.9 

7.79251 

492 

22.9 

8.01116 

389 

27.9 

8 . 18866 

324 

18.0 

7 . 79743 

490 

23.0 

8.01505 

388 

28.0 

8.19190 

323 

18.1 

7 . 80233 

487 

23.1 

8.01893 

386 

28.1 

8.19513 

322 

18.2 

7 . 80720 

484 

23.2 

8 . 02279 

384 

28.2 

8 . 19835 

321 

18.3 

7.81204 

482 

23.3 

8 . 02663 

383 

28.3 

8.20156 

320 

18.4 

7.81686 

479 

23.4 

8 . 03046 

381 

28.4 

8 . 20476 

319 

18.5 

7.82165 

476 

23.5 

8 . 03427 

380 

28.5 

8 . 20795 

318 

18.6 

7 . 82641 

475 

23.6 

8 . 03807 

378 

28.6 

8.21113 

317 

18.7 

7.83116 

471 

23.7 

8.04185 

377 

28.7 

8.21430 

315 

18.8 

7  .  83587 

470 

23.8 

8 . 04562 

375 

28.8 

8.21745 

315 

18.9 

7 . 84057 

467 

23.9 

8 . 04937 

374  . 

28.9 

8 . 22060 

314 

19.0 

7  .  84524 

464 

24.0 

8.05311 

372 

29.0 

8 . 22374 

313 

19.1 

7 . 84988 

463 

24.1 

8 . 05683 

371 

29.1 

8 . 22687 

312 

19.2 

7.85451 

460 

24  . 2 

8 . 06054 

370 

29.2 

8 . 22999 

311 

19.3 

7.85911 

457 

24.3 

8 . 06424 

368 

•  29.3 

8 . 23310 

310 

19.4 

7.86368 

456 

24.4 

8.06792 

367 

29.4 

8 . 23620 

309 

19.5 

7 . 86824 

453 

24.5 

8.07159 

365 

29.5 

8 . 23929 

308 

19.6 

7  . 87277 

451 

24.6 

8.07524 

364 

29.6 

8 . 24237 

307 

19.7 

7.87728 

449 

24.7 

8 . 07888 

362 

29.7 

8 . 24544 

306 

19.8 

7 .88177 

447 

24.8 

8 . 08250 

361 

29.8 

8 . 24850 

306 

19.9 

7 . 88624 

444 

24.9 

8.08611 

360 

29.9 

8.25156 

305 

20  .  0       7  .  89068 


443 


25.0       8.08971 


359 


30.0       8.25461 


30^ 


ZUR  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN. 


365 


» 

lüg.? 

Diff.  I. 

5} 

lo-.  q 

Ditf.  I. 

% 

log.  q 

Diff.  I. 

30.0 

8 . 25461 

303 

35  .0 

8 .  39646 

265 

40.0 

8 . 52199 

238 

:30  .  1 

8 . 25764 

303 

35  .  1 

8.39911 

265 

40.  1 

8 . 52437 

237 

30  . 2 

8 . 26067 

301 

35.2 

8.40176 

264 

40.2 

8 . 52674 

237 

30.3 

8 . 26368 

301 

35  .  3 

8 .40440 

264 

40.3 

8.52911 

236 

30.4 

8 . 26669 

301 

35.4 

8 . 40704 

262 

40.4 

8.53147 

286 

30.5 

8 . 26970 

301 

35.5 

8 . 40966 

262 

40.5 

8 . 53383 

235 

30.6 

8.27268 

298 

35.6 

8.41228 

262 

40.6 

8.53618 

235 

30.7 

8 . 27567 

297 

35.7 

8.41490 

261 

40.7 

8 . 53853 

235 

30.8 

8.27864 

296 

35.8 

8.41751 

260 

40.8 

8 . 54088 

234 

30.9 

8.28160 

296 

35.9 

8.42011 

260 

40.9 

8 . 54322 

238 

31.0 

8 . 28456 

295 

36.0 

8 . 42271 

259 

41  .0 

8 . 54555 

233 

31  .1 

8.28751 

294 

36.1 

8 . 42530 

258 

41.1 

8 . 54788 

233 

31.2 

8 . 29045 

293 

36.2 

8  .  42788 

258 

41.2 

8.55021 

238 

31.3 

8 . 2y338 

292 

36.3 

8 . 43046 

257 

41  .3 

8 . 55254 

232 

31  .4 

8.29630 

292 

36.4 

8 . 43303 

2'57 

41  .4 

8 . 55486 

231 

31.5 

8  .  29922 

290 

86.5 

8.43560 

256 

41.5 

8.55717 

231 

31  .6 

8.30212 

290 

36.6 

8.48816 

256 

41  .6 

8 . 55948 

230 

31.7 

8 . 30502 

289 

36.7 

8 . 44072 

255 

41.7 

8.56178 

230 

31  .8 

8.30791 

288 

86.8 

8 . 44327 

254 

41  .8 

8 . 56408 

230 

31  .  9 

8.31079 

288 

86.9 

8  .  44581 

254 

41.9 

8 . 56638 

229 

32.0 

8.31367 

287 

37.0 

8 . 44835 

258 

42.0 

8  .  56867 

229 

.32.1 

8 . 31654 

286 

37.1 

8 . 45088 

253 

42.1 

8 . 57096 

229 

32.2 

8.31940 

285 

37.2 

8 . 45341 

2.52 

42.2 

8 . 57325 

228 

32  . 3 

8 . 32225 

284 

87.3 

8 . 45593 

251 

42.3 

8 . 57553 

227 

32  . 4 

8 . 32509 

283- 

37.4 

8 . 45844 

251 

42.4 

8 . 57780 

227 

32  .  5 

8 .  32792 

283 

37.5 

8 . 46095 

251 

42.5 

8 . 58007 

227 

32.6 

8 . 33075 

282 

37.6 

8.40346 

250 

42.6 

8 . 58234 

227 

32.7 

8 . 33357 

281 

87.7 

8.46596 

249 

42.7 

8 . 58461 

226 

32.8 

8  .  33638 

281 

37.8 

8 . 46845 

249 

42.8 

8 . 58687 

225 

32.9 

8 . 33919 

280 

37.9 

8  .  47094 

248 

42.9 

8 . 58912 

225 

33.0 

8.34199 

279 

38.0 

8 . 47342 

248 

43.0 

8.. 59 137 

225 

33.1 

8.34478 

278 

38.1 

8.47590 

247 

43.1 

8 . 59362 

225 

33  . 2 

8 . 34756 

278 

88.2 

8 . 47837 

247 

43.2 

8 . 59587 

224 

33.3 

8 . 85034 

277 

38.3 

8 . 48084 

246 

43.3 

8.59811 

224 

33.4 

8.35311 

276 

38.4 

8 . 48330 

245 

48.4 

8 . 60035 

228 

33.5 

8 .  35587 

275 

38.5 

8 . 48575 

245 

43.5 

8 . 60258 

223 

33.6 

8 .  35862 

275 

88.6 

8 . 48820 

245 

43.6 

8.60481 

222 

33.7 

8.36187 

274 

38.7 

8 . 49065 

244 

43.7 

8 . 60703 

222 

33.8 

8.36411 

273 

38.8 

8 . 49309 

244 

43.8 

8 . 60925 

222 

38.9 

8 .  36684 

273 

38.9 

8 . 49558 

243 

48.9 

8.61147 

221 

34.0 

8 . 36957 

272 

39.0 

8 . 49796 

242 

44.0 

8.61368 

221 

3-1.1 

8 . 37229 

271 

39.1 

8 . 50088 

242 

44.1 

8.61589 

221 

34.2 

8  .  37r)00 

271 

39.2 

8 . 50280 

242 

44.2 

8.61810 

221 

34.3 

8.37771 

270 

39.3 

8 . 50522 

241 

44.3 

8.62031 

220 

.34.4 

8.38041 

269 

39.4 

8 . 50763 

240 

44  .4 

8 .  6225 1 

219 

34  .  .5 

8 . 38310 

269 

39.5 

8.51003 

240 

44  .5 

8 . 62470 

219 

34.6 

8 . 38579 

268 

39.6 

8.51243 

240 

44.6 

8 .  62689 

219 

34.7 

8 . 38847 

267 

39.7 

8.51488 

239 

44.7 

8 . 62908 

219 

34.8 

8.39114 

266 

89.8 

8.51722 

239 

44.8 

8 . 63127 

218 

34.9 

8 .  39380 

266 

39.9 

8.51961 

238 

44.9 

8 . 68345 

218 

35  .  0       8  .  39646        265 


40.0       8.52199 


238 


45.0       8.68568        217 


366 


ZUR  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN. 


a 

log.  2 

Diff.  I. 

ö 

log.  2 

Diff.  I. 

% 

log.  2 

Diff.I. 

45.0 

8 . 63563 

217 

50.0 

8 . 74052 

203 

55.0 

8.83912 

192 

45.1 

8 . 63780 

217 

50.1 

8 . 74255 

202 

55  .  1 

8.84104 

192 

45.2 

8 . 63997 

217 

50.2 

8 . 74457 

202 

55  . 2 

8 . 84296 

192 

45.3 

8 . 64214 

216 

50.3 

8 .  74659 

202 

55.3 

8 . 84488 

191 

45.4 

8 . 64430 

216 

50.4 

8.74861 

202 

55.4 

8 . 84679 

192 

45.5 

8 . 64646 

216 

50.5 

8.75063 

201 

55  .  5 

8.84871 

191 

45.6 

8 . 64862 

215 

50.6 

8 .  75264 

201 

55.6 

8  .  85062 

192 

45.7 

8.65077 

215 

50.7 

8 . 75465 

201 

55.7 

8 .  85254 

191 

45.8 

8 . 65292 

215 

50.8 

8.75666 

201 

55.8 

8.85445 

190 

45.9 

8.65507 

215 

50.9 

8.75867 

201 

55.9 

8 . 85635 

191 

46.0 

8 . 65722 

214 

51.0 

8  .  76068 

200 

56.0 

8 . 85826 

191 

46.1 

8 . 65936 

214 

51.1 

8 . 76268 

200 

56.  1 

8.86017 

190 

46.2 

8.66150 

213 

51  .2 

8 . 76468 

199 

56.2 

8 . 86207 

191 

46.3 

8 . 66363 

213 

51.3 

8 . 76667 

200 

56.3 

8 . 86398 

190 

46.4 

8 . 66576 

213 

51".  4 

8  .  76867 

199 

56.4 

8 . 86588 

190 

46.5 

8 . 66789 

212 

51.5 

8 . 77066 

199 

56.5 

8 . 86778 

190 

46-6 

8.67001 

212 

51.6 

8 . 77265 

199 

56.6 

8 . 86968 

189 

46.7 

8 . 67213 

212 

51.7 

8 . 77464 

199 

56.7 

8.87157 

190 

46.8 

8 . 67425 

212 

51.8 

8 . 77663 

198 

56.8 

8 . 87347 

189 

46.9 

8.67637 

211 

51.9 

8.77861 

198 

56.9 

8 . 87536 

190 

47.0 

8 .  67848 

211 

52.0 

8  .  78059 

198 

57.0 

8.87726 

189 

47.1 

8.68059 

211 

52.1 

8  .  78257 

198 

57.1 

8.87915 

189 

47.2 

8 . 68270 

210 

52.2 

8 . 78455 

198 

57.2 

8 . 88104 

189 

47.3 

8 . 68480 

210 

52.3 

8 . 78653 

197 

57.3 

8 . 88293 

188 

47.4 

8 . 68690 

210 

52.4 

8 . 78850 

197 

.57.4 

8 . 88481 

189 

47.5 

8 . 68900 

209 

52.5 

8 . 79047 

197 

57.5 

8 . 88670 

188 

47.6 

8.69109 

209 

52.6 

8 . 79244 

197 

57.6 

8 . 88858 

189 

47.7 

8.69318 

209 

52.7 

8 .  79441 

196 

57.7 

8 . 89047 

188 

47.8 

8 . 69527 

209 

52.8 

8 . 79637 

197 

57.8 

8 . 89235 

188 

47.9 

8 . 69736 

208 

52.9 

8 . 79834 

196 

57.9 

8 . 89423 

188 

48-0 

8 . 69944 

208 

53.0 

8 . 80030 

196 

58.0 

8.89611 

188 

48.1 

8.70152 

208 

53.1 

8 . 80226 

195 

58.1 

8 . 89799 

188 

48.2 

8 . 7U360 

207 

53.2 

8 . 80421 

196 

58.2 

8 . 89987 

187 

48.3 

8 . 70567 

207 

53.3 

8 . 80617 

195 

58.3 

8.90174 

188 

48.4 

8 . 70774 

207 

53.4 

8 . 80812 

195 

58.4 

8 . 90362 

187 

48.5 

8.70981 

207 

53.5 

8.81007 

195 

58.5 

8 . 90549 

187 

48.6 

8.71188 

206 

53.6 

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195 

58.6 

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187 

48.7 

8 . 71394 

207 

53.7 

8.81397 

194 

58.7 

8 . 90923 

187 

48.8 

8.71601 

205 

53.8 

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194 

58.8 

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187 

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205 

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194 

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187 

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206 

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195 

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187 

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205 

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194 

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186 

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204 

54.2 

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193 

59.2 

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187 

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205 

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194 

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186 

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204 

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193 

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8 . 92230 

186 

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204 

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193 

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187 

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204 

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193 

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186 

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203 

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8 . 83334 

193 

59.7 

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186 

49.8 

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203 

54.8 

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192 

59.8 

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186 

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8 . 73849 

203 

54.9 

8 . 83719 

193 

59.9 

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186 

50  .  0       8  .  74052 


203 


55.0       8.83912 


192 


60  .  0       8  .  93347 


185 


ZUR  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN. 


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Diff.  I. 

60. 

0 

8. 

93347 

185 

60. 

1 

8. 

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186 

60. 

2 

8. 

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185 

60. 

3 

8. 

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186 

60. 

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185 

60. 

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8 

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185 

60. 

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8. 

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186 

60. 

7 

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185 

60. 

8 

8 

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185 

60 

9 

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185 

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185 

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184 

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185 

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185 

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4 

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185 

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185 

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8 

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184 

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9 

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0 

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184 

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1 

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185 

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62 

4 

8 

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184 

62 

5 

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184 

62 

6 

8 

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183 

62 

7 

8 

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184 

62 

8 

8 

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184 

62 

9 

8 

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184 

63 

0 

8 

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184 

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183 

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184 

63 

3 

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. 99436 

183 

63 

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184 

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.  5 

8 

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183 

63 

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63 

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183 

63 

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184 

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183 

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183 

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184 

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183 

64 

.3 

9 

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183 

64 

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184 

64 

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9 

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183 

64 

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9 

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183 

64 

.7 

9 

. 02003 

183 

64 

.8 

9 

.  02186 

183 

64 

.9 

9 

. 02369 

184 

65  .  0       9  .  02553 


183 


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Diff.  I. 

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0 

9. 

02553 

183 

65. 

1 

9. 

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183 

65. 

2 

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183 

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183 

65. 

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184 

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5 

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183 

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183 

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184 

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9 

9. 

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183 

66. 

0 

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183 

66. 

1 

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183 

66. 

2 

9. 

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183 

66. 

3 

■  9  . 

04934 

184 

66 

4 

9. 

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183 

66 

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185 

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9 

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186 

70 

.0 

9 

.11748 

185 

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Diff.  1. 


70. 

0 

9. 

11748 

185 

70. 

1 

9. 

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186 

70. 

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186 

70. 

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9. 

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186 

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186 

70. 

5 

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186 

70. 

6 

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7 

9. 

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187 

70. 

8 

9. 

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186 

70. 

9 

9. 

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187 

71. 

0 

9. 

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187 

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1 

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188 

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9 

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188 

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1 

9 

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189 

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.2 

9 

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189 

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9 

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189 

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9 

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.0 

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190 

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191 

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.2 

9 

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191 

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191 

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191 

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.  5 

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194 

74 

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.7 

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9 

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195 

74 

.9 

9 

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195 

75  .  0       9  .  21228        195 


368 


ZUR  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN. 


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75. 

0 

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1 

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196 

75. 

2 

9. 

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196 

75. 

3 

9, 

,21815 

196 

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4 

9. 

2-2011 

197 

75. 

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9. 

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197 

75. 

6 

9. 

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197 

75. 

7 

9. 

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198 

75. 

8 

9  . 

22800 

198 

75. 

9 

9. 

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198 

76. 

0 

9. 

, 23196 

199 

76. 

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9. 

, 23395 

199 

76. 

2 

9. 

, 23594 

200 

76. 

3 

9. 

, 23794 

200 

76, 

,4 

9. 

, 23994 

200 

76. 

5 

9. 

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201 

76. 

,6 

9. 

, 24395 

201 

76, 

.7 

9, 

, 24596 

201 

76. 

,8 

9. 

, 24797 

202 

76, 

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9. 

, 24999 

203 

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9, 

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202 

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9, 

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203 

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,3 

9. 

.25811 

204 

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.4 

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205 

77, 

,5 

9. 

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205 

77. 

.6 

9 

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206 

77. 

.7 

9 

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206 

77, 

.8 

9 

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206 

77. 

.9 

9 

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207 

78 

.0 

9 

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208 

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.1 

9 

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208 

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9 

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78 

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9 

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209 

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210 

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78 

.7 

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211 

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9 

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213 

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9 

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214 

79 

.  1 

9 

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214 

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.2 

9 

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214 

79 

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9 

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79 

.4 

9 

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216 

79 

.5 

9 

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9 

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79 

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9 

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218 

79 

.8 

9 

.31077 

219 

79 

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9 

.31296 

219 

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( 

log.? 

Ditf.I. 

80. 

0 

9. 

,31515 

220 

80, 

1 

9. 

31735 

222 

80. 

2 

9. 

,31957 

222 

80. 

3 

9. 

,32179 

222 

80. 

4 

9. 

32401 

224 

80. 

5 

9  . 

. 32625 

224 

80. 

6 

9. 

, 32849 

225 

80. 

7 

9. 

33074 

227 

80. 

8 

9. 

33301 

227 

80. 

9 

9. 

, 33528 

228 

81. 

0 

9. 

33756 

229 

81. 

1 

9. 

33985 

230 

81. 

2 

9. 

,34215 

230 

81. 

3 

9  . 

, 34445 

232 

81. 

4 

9. 

34677 

233 

81. 

5 

9. 

,34910 

234 

81. 

6 

9. 

,35144 

235 

81. 

.7 

9. 

. 35379 

236 

81, 

.8 

9, 

.35615 

238 

81. 

.9 

9, 

. 35853 

238 

82. 

,0 

9, 

.36091 

240 

82, 

,1 

9. 

. 36331 

240 

82 

2 

9, 

,36571 

242 

82, 

,3 

9, 

.36813 

244 

82, 

,4 

9. 

, 37057 

244 

82, 

,5 

9, 

. 37301 

246 

82, 

.6 

9 

. 37547 

247 

82, 

.7 

9 

.37794 

249 

82 

.8 

9 

. 38043 

250 

82 

.9 

9 

. 38293 

252 

83 

.0 

9, 

. 38545 

253 

83 

.1 

9 

. 38798 

255 

83 

.2 

9 

. 39053 

256 

83 

.3 

9 

. 39309 

258 

83 

.4 

9 

.39567 

260 

83 

.5 

9 

. 39827 

261 

83 

.6 

9 

. 400«8 

263 

83 

.7 

9 

.40351 

265 

83 

.8 

9, 

.40616 

267 

83 

.9 

9 

. 40883 

269 

84 

.0 

9 

.41152 

271 

84 

.1 

9 

.41423 

273 

84 

.2 

9 

.41696 

275 

84 

.3 

9 

.41971 

277 

84 

.4 

9 

. 42248 

279 

84 

.5 

9 

. 42527 

282 

84 

.6 

9 

.  42809 

284 

84 

.7 

9 

. 43093 

287 

84 

.8 

9 

.  43380 

290 

84 

.  9 

9 

. 43670 

292 

85 

.0 

9 

.  43962 

294 

1 

> 

log.  q     ] 

Diff.  I. 

85. 

,0 

9. 

43962 

296 

85. 

,  1 

9  . 

,44256 

2L)8 

85, 

.2 

9. 

44554 

301 

85, 

,3 

9. 

, 44855 

304 

85, 

,4 

9, 

,45159 

307 

85. 

,5 

9. 

, 45466 

310 

85, 

,6 

9. 

, 45776 

314 

85, 

,7 

9. 

, 46090 

318 

85, 

,8 

9. 

.46408 

321 

85. 

.9 

9, 

.46729 

325 

86. 

,0 

9. 

, 47054 

329 

86. 

,1 

9. 

, 47383 

334 

86. 

.2 

9. 

47717 

338 

86. 

,3 

9. 

, 48055 

343 

86, 

.4 

9. 

48398 

348 

86. 

.5 

9, 

, 48746 

353 

86, 

.6 

9. 

49099 

359 

86, 

.7 

9, 

, 49458 

364 

86, 

.8 

9. 

, 49822 

370 

86. 

,9 

9, 

,50192 

377 

87, 

,0 

9, 

, 50569 

384 

87, 

.1 

9, 

. 50953 

391 

87, 

.2 

9, 

.51344 

398 

87, 

,3 

9, 

, 51742 

407 

87, 

.4 

9, 

. 52149 

416 

87, 

.5 

9, 

. 52565 

425 

87, 

,6 

9, 

, 52990 

435 

87, 

,7 

9, 

, 53425 

445 

87, 

.8 

9, 

. 53870 

458 

87, 

,9 

9, 

. 54328 

470 

88, 

.0 

9, 

. 54798 

484 

88, 

.  1 

9  , 

. 55282 

499 

88, 

.2 

9 

.55781 

515 

88, 

,3 

9, 

. 56296 

534 

88, 

,4 

9 

. 56830 

554 

88, 

.5 

9 

. 57384 

577 

88, 

.6 

9 

. 57961 

602 

88, 

.7 

9 

. 58563 

632 

88, 

.8 

9 

.59195 

665 

88, 

,9 

9 

. 59860 

704 

89 

.0 

9 

. 60564 

750 

89 

.1 

9 

.61314 

805 

89 

.2 

9 

.62119 

874 

89 

.3 

9 

. 62993 

959 

89 

.4 

9 

. 63952 

1073 

89 

.5 

9 

. 05025 

1229 

89 

.6 

9 

. 66254 

1462 

89 

.7 

9 

.67716 

1859 

89 

.8 

9 

. 69575 

2725 

89 

.9 

9 

. 72300 

27700 

90 

.0 

10 

. 00000 

ÜBER  EINIGE 

DIE  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN 

BETEEFEENDEN  EOEMELN 


VON 


Herrn  Prof.  Dr.  C.  G.  J.  JACOBI 

Zü   BERLIN 


Grelle  Journal  für  die  reine  und  angewandte  Mathematik,  Bd.  30.  p.  269.  270. 


47 


ÜBER  EINIGE  DIE  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN  BETREFFENDENi 

FORMELN. 

Es  sei 

{l—k^x^)du  =  E{ii),         /    E{u)du  =  logÖ(w). 

Bedeutet  F[x)  den  rationalen  Nenner  der  Substitution,  welche  eine  Transfor- 
mation der  wten  Ordnung  ergiebt,  und  sinamf  ^^Xj  die  transformirte  Function, 
so  wird 

(1.)  FW  =  .-.-!,-_, 

wo  T  eine  Constante  ist  (S.  de  functionibus  ellipticis  comment.  prima  §,2.  Gl.  (16.)). 
Es  sei 

SO  wird 

E{u)  =    u-¥u^  |y  +  y  -sf  «*'+  y 'Sff  w*+ . . .  I ; 

(2.)  logß(^*)  =  ¥^'-^'^'\-^  +  j:^S>'+^Sfu^+...[ 

Ist   T^^  dieselbe  Function  von  X  wie  S\l    von  k,  so  folgt  aus  (1.)  und  (2.): 

wo,  wie  am  a.  O.  GL  (6.),  Ä^p  =  y  +  '^~YM^'     '^^'^^^  man  jetzt 

logJP(:r)  =  Oia;2+  C^x^  +  CgiC«  +•  ••> 
so  wird 

tM)  ^(6)     j(2)  2^(8)     rj,{2) 

(3.)     a.  =  -i'P^;i -^<X4^+-sxi?^+^x]^+-) 

+  *'^  V~3:4~  +  ~"5:6~~+        7.8        ^       ) 
Diese  Formel  umfafst  auch  die  Multiplication.     Soll  nämlich  F{x)  den  Nenner 
in    dem   Ausdrucke   von     sinamww     bedeuten,    so   hat   man  in  (1.)    und   dem 

47* 


372  ÜBER  EINIGE  DIE  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN  BETREFFENDEN  FORMELN. 

vorstehenden  Werthe  von  C„,  nur  T  =  p  =  0,  \  =  k,  M=^  zusetzen;  fer- 
ner n^  für  n  und  S  für   T.     Hierdurch  erhält  man : 

Auf  diesem  und  ähnlichem  Wege  erhält  man  die  von  Herrn  Dr.  Eisenstein 
gegebenen,  auf  die  Multiplication  und  Transformation  bezüglichen  Formeln,  und 
zwar  als  eine  unmittelbare  Folge  der  Theoreme ,  durch  welche  man  vermittelst 
der  Transcendente  Q  [u)  den  Zähler  und  Nenner  der  Multiplications-  und  Trans- 
formationsformeln abgesondert  definiren  kann. 

Setzt  man  [(1  — ^^)(1  — ArV)]"^  =  l-\-c^a;^-\-C2x'^ -\ und 

(4.)    it*2— logß(w)  =  k'x\Do-{-Dix'-\-D2X^+---) 

=  k^  f{i-{.c,x^-\-c2X^-\ )(ia:3  +  icia;5-h|C2a;'H )dx, 


so  wird 


D    = 


(2^-3'>^  +  -d^'''-'  +  ^^ 


2n4-4  \2n+S   "^  2w+l 
Die  Gröfse  D„_2  ist  die  in  (3.)  und  Fund.  §.45.  (7.)  vorkommende, 

1       ü(4)       ,         1       q(2)  7?(6)       ,         1       q{2)  td(8)     _j I ^  o(2)    . 

TT    "-2  +  "5X'^i       «-s  +  TF'^ä  ^\-4-r        "T  (2w— l)2n  '^"-a 
Für  k^  =  — 1  oder  für  die  Lemniscate  wird  -4-V^  =  m{m — l)<r"'"^ — m{m-\-i)x"*'^  . 
Man  erhält  daher  aus  (4.),  durch  zweimalige  Differentiation  nach  u, 

x^  =  3.42)o:c2  +  5.6Diä;*+7.8D2ä;ö  + 9.101)3^^+11. 12i>4^'^H 

—  [4.5Doa^«+  6.7DiX^+  8.9D2x'°-\ ], 

1  15 

und  hieraus  Di  =  Dg  =  . . .  r=  0 ,  Dq  =  ——,  Dg  =  -x-^ '  •  •  •  also : 

0.4-  0.1.0 

,      ^,  ,       ,  ic*     .     5.a;«    .     5.9.a;i2  5.9.13. a;^^     , 

logS.i(M)  —  |mw  = 


3.4     '    3.7.8     '    3.7.11.12    '    3.7.11.15.16 
Auf  dieselbe  Weise  erhält  man : 


—  r     Y_    a;^        ^.x^        Z.l.x^^        3.7.11. a;'^ 

^uu  —  i\^J^    ^iH^J  —  "2"  +  ~5:6~'^"5Xrö~+   5.9.13.14 


.     ,  .N  r"^     r"    ^  ^"+'    ,       («  +  3).r«+6       ,       («_|-3)(»^  + 

(«  +  'Vo  ''"io  ^*  =  .T+2+(,:  +  5)(n  +  6)+(n+t)(:+t 

|i**logaj — /    (?w  1    lo^xdu  = 

J  Q  J   Q 

T.  .  1       I       1  1       1 


7)a;"+io 
9)(w  +  10) 


2       '      5.6      '       5.9.10 
1 


+ 


'    4*+l     '    4^■+2 
Berlin,  im  Dec.  1845. 


ANZEIGE  VON 

LEGEXDEE  THEORIE  DES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES 

TR0ISÜ:ME  SUPPLEMENT 


VON 


Herrn  Professor  Dr.  C.  G.  J.  JACOBI 


Grelle  Journal  für  die  reine  und  angewandte  Mathematik,  Bd.  8.  p.  413  —  417. 


ANZEIGE  )  VON  LEGENDRE  THEORIE  DES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES 

TROISIEME  SUPPLEMENT  P.  169—359. 


Mit  dem  dritten  Supplemente  beschliefst  Herr  Legendre  den  dritten 
Theil  seines  Werkes  über  die  elliptischen  Functionen :  Traite  des  fonctions 
elliptiques  et  des  integrales  EuJeriennes ,  avec  des  tables  pour  eti  faciliter  le  calcul 
numerique ,  ichez  Treuttel  et  Würtz) ,  welches  anfänglich  nur  aus  zwei  Theilen 
bestand.  Diese  Fortsetzung  umfasst  in  drei  nach  einander  erschienenen  Supple- 
menten die  durch  die  neueren  Untersuchungen  über  diesen  Gegenstand  veran- 
lafsten  Ergänzungen  des  Werks.  Die  beiden  ersten  Supplemente ,  welche  den 
dritten  Theil  beginnen,  wurden  bereits  vor  dem  Erscheinen  der  eigenen  Darstel- 
lung des  Referenten  publicirt;  sie  entstanden  aus  kurzen,  in  diesem  Journal 
und  den  Astronomischen  Nachrichten  gegebenen  Notizen,  so  wie  aus  wenigen 
brieflichen  Mittheilungen  von  dem  Entwicklungsgange,  den  die  Untersuchung 
nach  und  nach  annahm;  daher  die  Darstellung  in  ihnen  als  eine  ganz  eigenthüm- 
liche  zu  betrachten  ist.  Abels  Arbeiten  über  die  elliptischen  Transcendenten 
sind  hierbei  weniger  benutzt. 

Das    dritte  Supplement,  dessen  Inhalt    wir   hier   näher  angeben  wollen, 

*)  Diese  Anzeige  wird  durch  die  folgenden  Worte  Grelles  eingeleitet: 

So  eben  ist  das  dritte  und  letzte  Supplement  Legendres  zu  seiner  Theorie  des  fonctions 
elliptiques  bei  Treuttel  und  Würtz  in  Strafsburg  erschienen.  Diese  Schrift  ist  in  mehrfachem  Be- 
tracht von  besonderem  Interesse.  Zuerst  ist  sie  als  eine  neue  Arbeit  des  ehrenwerthen  Veterans  der 
Mathematik,  dessen  Namen  schon  ihren  AVerth  verbürgt,  wichtig.  Sodann  ist  sie  interessant,  weil  sie 
das  grofse  Werk  desselben  beschliefst ,  welches  eine  lange  Reihe  von  Jahren  hindurch ,  bis  auf  die  Arbei- 
ten Abels  und  Jacobis,  das  einzige  in  seiner  Art  über  jene  so  interessante,  neuerdings  so  erfreulich 
weiter  entwickelte ,  und  nun  wiederum  noch  zuletzt  von  ihrem  früheren  Pfleger  durchforschte  Theorie  war. 
Endlich  aber  hat  das  Werk  noch  ein  eigenthümliches  Interesse ,  weil  es  dem  Genius  des  leider  viel  zu  früh 
dahingeschiedenen  Abel,  der  schon  in  seinem  24sten  Jahre ,  im  fernen  Norden ,  fast  von  allen  Hülfsmit- 
teln  entblöfst,  über  Schranken  seiner  Wissenschaft,  die  Euler  und  Lagrange  nicht  überstiegen  hatten, 
sich  hinausschwang ,  und  mit  welchem  leider  wahrscheinlich  noch  kostbare  Schätze  neuer  Entdeckungen  in 
dem  Reiche  der  Wahrheit,  der  Mathematik,  ins  Grab  gesunken  sind,  ein  wahrhaft  würdiges  Denkmal 
setzt.     In  einem  Briefe  an  den  Herausgeber  sagt  Legendre  am  248ten  März  d.  J.:  ,,Vous  verrez  que  je 


376  ANZEIGE  VON  LEGENDRE  FONCTIONS  ELLIPTIQUES  TROISIEME  SUPPLEMENT. 

beginnt  damit,  eine  im  ersten  Supplement  gelassene  Lücke  im  Bereiche  des 
Haupt -Theorems  über  die  Transformation  auszufüllen.  Es  ist  dies  der 
Beweis ,  dass  wenn  U  und  V  zwei  ganze  rationale  Functionen  von  x  von  der 
Beschaffenheit  sind ,  dass 

die  Substitution  1/  =  ^  immer  der  Differentialgleichung 

dy  dx 


V/(l— 2/'Xl— AV)  MSJil—x^l—h'x') 

wo  M  eine  Constante  bedeutet,  Genüge  leistet.  Durch  dieses  Theorem,  wel- 
ches ein  Grundprincip  der  Transformation  der  elliptischen  Transcendenten  ist, 
wird  diese  ein  rein  algebraisches  Problem,  da  die  Functionen  ü  und  F,  für 
jeden  gegebenen  Grad  der  höchsten  derselben,  durch  die  angegebene  Bedingung- 
vollkommen  bestimmt  sind.  Ein  allgemeiner  Algorithmus  für  diese  Bestimmung 
ist  ein  schwieriges  Problem,  dessen  Haupttheil  die  Erfindung  der  jedesmaligen 
Gleichung  zwischen  den  Moduln  k  und  X  bildet,  indem  sich  allgemein  durch  k 
und  )v  und  die  Differentialquotienten  von  X  nach  k,  wie  Referent  in  einer  Notiz*) 
in  diesem  Journal  bemerkt  hat ,  die  Coefticienten  von  JJ  und  V  algebraisch  aus- 
drücken lassen. 


,,8uis  parvenu  ä  tirer  du  beau  theoreme  de  M.  Abel  une  theorie  toute  nouvelle,  ä  laquelle  je  donne  le 
,,nom  de  Theorie  des  fonctions  ultra-elliptiques ,  laquelle  est  beaucoup  plus  etendue  que  celle  des  fonctions 
,,elliptiques  et  cependant  conserve  avec  celle-ci  des  rapports  tres-intimes.  En  travaillant  pour  mon  propre 
,,compte,  j'ai  eprouve  une  grande  satisfaction ,  de  rendre  un  eclatant  homniage  au  genie  de  M.  Abel,  en 
„faisant  sentir  tout  le  merite  du  beau  theoreme  dont  l'invention  lui  est  due,  et  auquel  on  peut  appliquer 
,,la  qualification  de  monumeiitum  aere  peremiius."  Man  weiss  nicht,  was  man  hier  mehr  schätzen  soll:  dass 
ein  Mann  von  80  Jahren ,  noch  mit  Jugendkraft  und  Jugendlust ,  in  den  abstractesten  Gegenständen  seiner 
Wissenschaft  sich  ergeht,  und  ferner  über  unerstiegene  Schranken  vordringt:  oder  jene  Bereitwilligkeit, 
fremdes  Verdienst  anzuerkennen,  fände  es  sich  auch  bei  einem  Jünglinge,  der  des  gefeierten  Gelehrten 
Enkel  sein  könnte !  Wäre  doch  eine  solche  Bereitwilligkeit  allgemein ;  sie  würde  der  Wissenschaft  wahr- 
haft würdig  sein.  Wie  gewöhnlich  begegnete  sich  das  Rechte  und  Gute  auch  hier.  Auch  Abel  war  fähig, 
jedes  fremde  Verdienst  mit  wahrem  natm-lichen  Herzenstriebe  anzuerkennen.     Eigensucht  war  ihm  fremd. 

Da  schwerlich  Jemand  den  Inhalt  der  Lege  ndreschen  neuen  Arbeit  besser  zu  würdigen  und  zu 
erkennen  vermocht  haben  dürfte,  als  Jacobi,  der  Zeitgenosse  und  Geistesverwandte  Abels,  der, 
ebenfalls  noch  in  jugendlichen  Jahren ,  mit  gleichem  Erfolge  und  gleicher  Kraft  ihm  würdig  zur  Seite 
ging  (auch  ihm  verdankt  die  Theorie  der  elliptischen  Functionen  ihre  neuere  Vervollkommnung,  und  er 
erreichte  darin,  unbekannt  mit  den  gleichzeitigen  Arbeiten  Abels,  das  gleiche  Ziel);  so  hat  der  Her- 
ausgeber Denselben  ersucht,  eine  Übersicht  des  Werkes  aufzusetzen,  und  er  die  Güte  gehabt,  sie  wäh- 
rend seines  hiesigen  Aufenthalts ,  noch  vor  seiner  Rückkehr  nach  Königsberg ,  zu  geben. 

*)  S.  p.  266  dieses  Bandes. 


ANZEIGE  VON  LEGENDKE  FONCTIONS  ELLIPTIQUES  TROISIEJIE  SUPPLEMENT.  377 

In  einem  folgenden  §.  giebt  der  Verfasser  die  elementare  geometrische  Con- 
struction  für  die  Vervielfachung  der  elliptischen  Transcendenten ,  welche  icli  in 
einem  der  früheren  Bände  dieses  Journals  "^j  mitgetheilt  habe.  Das  Problem  der 
Vervielfachung  besteht,  wie    man   weiss,  darin,  aus    einem  Winkel    cpi    einen 

Winkel  cp„  zu  finden,  so  dafs  Fi^,^)  = /iF(cpi),  wo  F(^4^)  =  /  '''^     — .    Aus 

einem  Punkte  A  eines  Kreises,  dessen  Halbmesser  R,  zieht  man  durch  den 
Mittelpunkt  eine  Linie  ÄO  =^  ~^,  und  errichtet  auf  ihr  in  0  ein  Loth  /;  hier- 
auf nimmt  man  auf  der  Peripherie  des  Kreises  den  Bogen  AÄ  =  2cpi ,  und  be- 
schreibt einen  zweiten  Kreis,  der  die  Sehne  AA'  berührt  und  mit  dem  ersten  die 
Linie  l  zur  gemeinschaftlichen  idealen  Secante  hat.  Beschreibt  man  nun  von  A 
aus  in  den  ersten  Kreis  das  Stück  eines  Polygons  AÄÄ'A"...A^"\  das  zugleich 
dem  zweiten  Kreise  umgeschrieben  ist,  so  ist,  wenn  A^"^  der  Endpunkt  der  nten 
Seite  ist,  AA^"'^  =  2'f,,.  Dem  Verfasser  giebt  diese  Construction  zu  manchen 
interessanten  Erörterungen  Veranlassung. 

In  den  folgenden  §§.  wendet  sich  L  e  g  e  n  d  r  e  zu  dem  grofsen  Abel  sehen 
Theorem,  wodurch  derselbe  das  Eulersche  Theorem,  welches  die  Basis  der 
Theorie  der  elliptischen  Transcendenten  bildet ,  auf  alle  Integrale  von  der  Form 

/—      ausdehnt,  wo  f{x)  eine  rationale  und  X  eine  ganze  rationale  Function 

von  X  bedeutet.  Nachdem  der  Verfasser  für  den  allgemeinen  Fall  in  nähere 
Entwickelungen  eingegangen  ist,  und  daraus,  wenn  X  auf  den  vierten  Grad 
steigt,  die  bekannten  Formeln  für  die  elliptischen  Integrale  der  drei  Gattungen 

abgeleitet  hat,  wendet  er  die  allgemeine  Theorie  auf  die  Transcendente    /    -—= 

Jq  yl — ^^ 

an,  welche  für  die  Werthe  x=  1  und  x  =^  — oo  auf  die  Function  F  zurück- 
kommt. Er  giebt  Mittel  an,  den  Werth  dieser  Transcendente  für  jeden  reellen 
und  imaginären  Werth  von  oc  zu  berechnen,  und  prüft  dann  durcli  deren  Hülfe 
das  Abel  sehe  Theorem  in  einer  Menge  numerischer  Beispiele ,  welche  alle  mit 
gröfster  Genauigkeit  in  einer  grofsen  Anzahl  Decimalstellen  ausgeführt  sind. 
Man  bewundert  hier  wieder  den  unermüdlichen  Rechner,  der  die  grofse  Arbeit 
der  elliptischen  Tafeln  im  Interesse  der  Wissenschaft  unternommen  und  vollen- 
det hat. 


*)  S.  p.  279  dieses  Bandes. 

48 


378  ANZEIGE  VON  LEGENDRE  FONCTIONS  ELLIPTIQUES  TROISIEME  SUPPLEMENT. 

In  einem  Schlufsparagraph  untersucht  der  Verfasser  die  Transcendente 


/ 


dx 


0  \Jx{l—x^){l—k^x^) 

und  findet  das  merkwürdige  Resultat,  dass  sie  immer  auf  die  Summe  zweier 
elliptischer  Integrale  der  ersten  Gattung  zurückkommt,  deren  Amplitude  die- 
selbe und  deren  Moduln  Complemente  von  einander  sind.     Setzt  man  nämlich : 


2(1+ Ä)  2(1+ Ä) 

WO  6"+  c*  =  1 ,  so  giebt  die  Substitution 

^  ^  (ö  +  c)8in^ 


\Jl — ö^  sin^cp  +  \/l — c^  sin^cp 
oder  wie  der  Verfasser  sie  darstellt : 

•   2     _        2x{l-\-]c) 

sin  ?  -  (1+^)(1+Ä^) ' 

die  Gleichung : 

dx  F(&,cp)  +  F(c,(p) 


0  ^x{l—x')il—h'x')  V2(l+A;) 

Dieselbe  Substitution ,  bemerke  ich ,  giebt  auch : 

\Jxdx  F{h,<^)  —  F{c,'^) 


f. 


0    \/{l—x^){l—k''x^)  \j2k{l-\-k) 

Da  die  gegebene  Substitution  nur  reell  bleibt ,  wenn  je  zwischen  0  und  1 ,  so 
giebt  Legendr e  für  den  Fall,  wo  o?  zwischen  1  und  oo,  noch  andere  Substi- 
tutionen, welche  das  Integral  auf  elliptische  zurückführen.  Er  wendet  hierauf 
das  Abel  sehe  Theorem  an ,  und  erhält  dadurch  merkwürdige  Resultate  für  die 
elliptischen  Transcendenten.  Ich  will  hier  kurz  ein  anderes  erwähnen,  zu  dem 
man  durch  die  Vertauschung  von  -\-k  und  — k  in  den  beiden  vorstehenden 
Gleichungen  leicht  geführt  wird.      Setzt  man  nämlich  : 

sin  cp  1  siin]^ 


wo 


\/2  — 8in2(p  +  \/(2  — sin2(p)^  +  a=^sin*cp  \/l-\-a^     \Jl  —  bHm''}^  +  \Jl—c^sm^^ 

\/l+ä^  +  a  ,          \Jl-\-a^  —  a 

j2  _  _v —                ;  c^  =  - — '           — , 

2^1+«'^  2\/l+a=* 


ANZEIGE  VON  LEGENDRE  FONCTIONS  ELLIPTIQUES  TROISIEME  SUPPLEMENT.  379 

SO  wird: 


v/ 


1 ^ 810^9 


Die  Winkel  9  und  ^  sind  zugieicli  0   und  —  und  daher 


TT 

i: 


^ {l-^sl-l)F\h)-\-{l-\J-l)F\c) 


V/^ 


l  +  aV/=l     .  2  2v/l  +  a^ 


sin^'f 


2 

Dies  Resultat,  welches  nicht  in  den  über  die  Transformation  der  elliptischen 
Functionen  bekannten  Resultaten  enthalten  ist,  zeigt,  dafs  die  imaginären  Mo- 
duln, deren  Quadrat  -\-\  zum  reellen  Theil  hat,  was  auch  der  imaginäre  Theil 

sei,  auf  reelle  zurückgeführt  werden  können. 

/f(oc\  dx 
^  '      ,  wenn  X  den  vierten  Grad 
sjx    ' 

übersteigt ,  den  Namen  der  hyper elliptischen  {ultra-elliptiques) .  Wir  wür- 
den sie  die  Abelschen  Transcendenten  nennen,  da  Abel  zuerst  sie  in  die 
Analysis  eingeführt  und  durch  ein  umfassendes  Theorem  ihre  grofse  Bedeutung 
nachgewiesen  hat.  Diesem  Theoreme  selbst  dürfte  wohl  vorzugsweise,  als  dem 
schönsten  Monumente  dieses  aufserordentlichen  Geistes ,  der  Name  des  Abel- 
schen Theorems  zukommen.  Denn  gern  stimmen  wir  dem  Verfasser  bei, 
dafs  es  das  ganze  Gepräge  seiner  Gedankentiefe  trägt.  Wir  halten  es,  wie  es  in 
einfacher  Gestalt  ohne  Apparat  von  Calcul  den  tiefsten  und  umfassendsten  ma- 
thematischen Gedanken  ausspricht,  für  die  gröfste  mathematische  Entdeckung 
unserer  Zeit ,  obgleich  erst  eine  künftige ,  vielleicht  späte ,  grofse  Arbeit  ihre 
ganze  Bedeutung  aufweisen  kann. 

In  einer  Abhandlung  im  achten  Bande  dieses  Journals  habe  ich  das  Euler- 
sche  Fundamental-Theorem  auf  doppelte  Integrale  ausgedehnt;  das  gleiche  kann 
in  aller  Allgemeinheit  mit  dem  Abelschen  Theorem  geschehen.  Es  bedarf 
hierzu  nur,  wie  ich  an  einem  andern  Orte  zeigen  werde,  des  auch  für  andere 
Untersuchungen  merkwürdigen  Satzes  der  xllgebra,  dafs  wenn  /  und  F  zwei 
ganze   rationale   Functionen  von   x    und  y    sind,    und   man    in   den  Ausdruck 

,,  ,  ^,,  , ,,  ^^,,  ^   für  X  und  y  alle  Systeme  von  Werthen  setzt ,  für  welche 

f'{x)F'{y)-r{y)F\x)  ^  ^ 

zugleich  /  =  0  und  i^  =  0 ,  die  Summe  der  so  erhaltenen  Werthe  dieses  Aus- 
drucks verschwindet. 

48* 


380  ANZEIGE  VON  LEGENDRE  FONCTIONS  ELLIPTIQÜES  TROISIEME  SUPPLEMENT. 

/fix)  dx 
\X 
"betrifft,  so  werde  ich  an  einem  anderen  Orte  zeigen,  dafs  sie  immer  mit  dersel- 
ben Leichtigkeit  Avie  die  Integration  rationaler  Functionen  geleistet  werden 
kann.  Die  hierzu  «-ebrauchte  Methode  findet  in  der  Theorie  der  himmlischen 
Störungen  eine  wichtige  Anwendung,  da  sie  sich  nicht  blofs  auf  die  einfachen 
Integrale  erstreckt. 

Abel  selbst  hat  im  vierten  Bande  dieses  Journals  sein  Theorem  auf  alle 
Integrale  algebraischer  auch  inexpliciter  Functionen  erweitert.  Seine  Dar- 
stellung mufs  aber  reproducirt  werden ,  was ,  da  der  Hauptideengang  sich  erken- 
nen läfst,  nicht  schwer  fällt.  Diese  Erweiterung  geschah  kurz  vor  seinem  Tode 
und  war  seine  letzte  Arbeit  in  diesem  Journal. 

Beim  Schlüsse  des  dritten  Bandes  des  Lege  ndreschen  Werks  stellt  sich 
uns  noch  erneuert  das  grofse  Verdienst  dieses  ausgezeichneten  Mathematikers 
vor  Augen,  dafs  er,  abgesehen  von  den  wichtigen  Entdeckungen,  mit  denen  er 
die  Wissenschaft  bereichert  hat,  in  dem  vielfach  zerstreuten  Stoffe  zwei  grofse 
Disciplinen  als  die  Hauptaufgabe  der  Mathematik  in  seiner  Zeit  herauserkannt 
hat,  und  daraus  durch  die  Arbeit  seines  Lebens  selbständige  Theorien  gründete, 
welche  hinfort  zu  den  wesentlichsten  Bestandtheilen  alles  höheren  mathemati- 
schen Studiums  gehören  müssen.  Und  so  hat  er  noch  in  seinem  achtzigsten 
Lebensjahre,  die  Aufgabe  der  Zukunft  vorfühlend,  mit  der  Durchforschung  des 
Abel  sehen  Theorems  sein  grofses  Werk  über  die  elliptischen  Functionen  be- 
schlossen. 

Potsdam,  den  22sten  April  1832. 

Nachschrift. 

Das  von  Legendr e  zu  Ende  des  dritten  Theils  gegebene  merkwürdige 
Theorem  läfst  sich  auf  das  allgemeinere  Integral 

dx 


f 


0  \lx{\—x){l—'klx){l-\-'kx){l-]-lx) 
ausdehnen ,   welches  für  X  ^=  1    mit  dem  Lege  n  d  r  e  sehen  übereinkommt ,  und 
das  sich  ebenfalls  immer  auf  die  Summe  zweier  elliptischen  Integrale  der  ersten 
Gattung  zurückführen  läfst,  deren  Amplitude  dieselbe  ist,   deren  Moduln  aber 
im  Allgemeinen  nicht  Complemente  von  einander  sind ,  sondern ,  wenn  man  k 


ANZEIGE  VON  LEGENDRE  FONCTIONS  ELLIPTIQÜES  TROISIEME  SUPPLEMENT.  381 

und  X  gehörig  annimmt .  irgend  welche  beliebige  sein  können.     Es  seien  näm- 
lich h  und  c  irgend  beliebige  Moduln. 


ihre  Complemente, 


h'  =  \  1 — 6&,        c'  ;=  yi — cc 


oder: 


_    v^+yx  _     v^-yx 


y(l  +  Ä;Xl-f-X)  '         '  v(l  +  ^)(l+X) 

6'  =    1-y^       ,'  _    1+ y^^ 


y(i+ÄXi+Ä)'  y(i+z;)(i+x) ' 


so  giebt  die  Substitution  : 

(&'+c')sin9 


yi— 6=^sin2'y  +  yi— c'-'sin^^ 
die  Gleichung: 

Jo   \/x{l—x)il—Ux){l-i-kx){l-\-Xx)  2        L     v;,yi         V      ,yj 

Dieselbe  Substitution  giebt: 

'^o  \{1 — x){l — klx)(l-\-kx)(l-\-Xx)         '^K^^ — ^  J 


wo 


jc'-i-b'y  _ 


2{c—b')  y^A(l+^-)(l+X) 

Ich  bemerke  noch  die  Gleichungen: 

.  „            {l-i-kXl+l)x                       ,  {l—x){l—kkx) 

•              {l-{-kx){l-\-Kx)  '                    ^^^  ?    —  (i_|_^^>)(i_^;^^)  ' 

1    7>2  •  2          {i—\/k).xy         ,     ,  .  ,  {i-^\/Fxxy 

1 — b^sm^zi  =    ,,  .  ,  *  ,  ,  \ — -;       1 — c^sm^cs  =  ^    '   ^        ' 


{\-\-kx){\^\x)  — "  r  {\J^kx){\-^\x) 

Avelche  leicht  zu  den  angegebenen  Resultaten  führen.     Übrigens  sind  die  Gren- 
zen von  cf.  aucli  hier  0  und  — ,  wenn  0  und   1   die  Grenzen  von  x  sind. 

Man  sieht  so,  dafs  allgemein  die  Summe  und  die  Differenz  zweier  ellipti- 
schen Integrale  erster  Gattung  mit  derselben  Amplitude  und  beliebigen  Moduln 
die  Eigenschaften  der  ersten  Klasse  der  Ab  eischen  Transcendenten  geniefsen 
müssen .  in  welchen  die  Function  unter  dem  Quadratwurzelzeichen  bis  auf  den 
fünften  oder  sechsten  Grad  steigt.    Diese  Bemerkung,  Avelche  Legendre  zuerst 


382  ANZEIGE  VON  LEGENDRE  FONCTIONS  ELLIPTIQUES  TROISIEME  SUPPLEMENT. 

für  den  Fall ,  wo  die  beiden  Moduln  Complemente  von  einander  sind ,  angestellt 
hat,  und  welche  sich  nach  dem  Obigen  leicht  auf  zwei  beliebige  Moduln  aus- 
dehnen liefs ,  ist  für  die  Theorie  der  elliptischen  Transcendenten  von  Wichtig- 
keit und  kann  andererseits  bei  der  Behandlung  jener  Klasse  der  Ab  eischen 
Transcendenten  mannigfachen  Nutzen  gewähren. 

Setzt  man  in  den  vorstehende]!  Formeln  X  negativ ,  so  erhält  man  ein  Paar 
imaginäre  Moduln.  Es  sei  h^  =  ^-\-f^ — 1?  c^  =  e — /V — 1,  so  wird,  wenn  man 
—  X  statt  X  setzt, 

Siee  +  ff-e  '  \J  ee -\- ff -\- e 

und  die  Summation  der  beiden  gegebenen  Resultate  giebt : 


f. 


0  Vi— (e+/\/-l)sm2(p 

r  dx 

~_ß_|_l    Jq  \lx{l—i 


V2V^v/(l— 6)2+/-/— e+1   Jo  Slx{\—x){\+k-kx){\+-kx){l—kc) 

^~^eY+ff+e-l       r  \ßdx 

sj2{\/{l  —  ey-\-ff—e-i-l)Jo  \/{l~x){l-^Ux){l-}-kx){l—Xx) 

Die  imaginären  Moduln  lassen  sich  in  unzähligen  Fällen  auf  reelle  zurückführen. 
Denn  man  weifs ,  dafs  man  durch  eine  Transformation  der  wten  Ordnung  einen 
Modul  in  so  viel  andere  transformiren  kann,  wie  die  Summe  der  Factoren  von 
n  beträgt;  von  diesen  sind,  wenn  der  ursprüngliche  Modul  reell  angenommen 
wird,  nur  so  viele  ebenfalls  reell,  wie  die  Anzahl  der  Factoren  von  n  beträgt; 
alle  übrigen  sind  imaginäre  Moduln,  die  in  einen  reellen  transformirt  werden 
können.     Man  wird  also  auch  die  Integrale 


X  ^dx 


0  \J{\—x){l-\-Ux){l-\-lix){\—lx)  ' 
wo  k  und  X  positiv  sind,  in  unzähligen  Fällen  in  elliptische  Integrale  mit  reel- 
lem Modul  transformiren  können.  Andererseits  giebt  die  zuletzt  gefundene 
Gleichung  vielleicht  die  einfachste  Darstellung  des  elliptischen  Integrals  erster 
Gattung  mit  imaginärem  Modul  in  der  Form  P-\-Q^ — 1,  und  so  führt  die 
Theorie  der  elliptischen  Integrale  selbst  für  den  Fall  imaginärer  Moduln  mit 
Nothv/endigkeit  auf  jene  erste  Klasse  der  Ab  eischen  Transcendenten. 


NACHLASS. 


CORRESPONDANCE  MATHEMATIQÜE 


AVEC 


LEGENDRE. 


Borchardt,  Journal  für  die  reine  und  angewandte  Mathematik,  Bd. 80.  p. 205 — 279. 


49 


La  correspondance  mathematique  entre  L  e  g  e  n  d  r  e  et  J  a  c  o  b  i  est  iine  des  coiTespon- 
dances  les  plus  memorables  qu'on  trouve  dans  la  litterature  des  sciences  exactes.  II  a  fallu 
un  concours  de  circonstaiices  heureuses  pour  la  conserver  en  entier  ä  la  posterite. 

C'est  ä  M.  Bertrand  que  nous  devons  la  publication  de  onze  lettres  de  Jacobi  a. 
Legend re  inserees  aux  ÄnnaJes  de  VecoU  normale  de  1869.  En  les  faisant  imprimer 
Teminent  geometre  a  saiive  ce  tresor,  les  manuscrits  originaux  ayant  peri  en  1871  dans  les 
incendies  de  la  Commune.  Cette  publication  fut  en  meme  temps  un  acte  de  justice  pour 
la  memoire  de  Jacobi. 

Une  grave  erreur  historique  avait  ete  repandue  concernant  la  decouverte  de  la  nouvelle 
theorie  des  fonetions  elliptiques.  On  avait  avance  qu'ä  Abel  seul  revenait  la  decouverte 
de  cette  theorie  en  vertu  de  ses  memoires  contenues  dans  les  volumes  2.  et  3.  du  Journal 
de  Grelle;  que  Jacobi,  sans  y  ajouter  rien  d'essentiel,  en  avait  seulement  forme  un  corps 
de  doctrine  publie  trois  ans  plus  tard  dans  ses  Fundamenta  nova.  Cette  opinion  se  trouvait 
dejä ,  quand  eile  fut  emise ,  en  contradiction  manifeste  avec  les  notes  et  memoires  de 
Jacobi  et  d'Abel  inseres  dans  le  Journal  astronomique  de  Schumacher''^)  et  non  moins 
avec  le  celebre  rapport  de  P  o  i  s  s  o  n  **)  sur  les  Fundamenta  nova  de  Jacobi.  Mais  rien 
n'y  aurait  pu  donner  un  dementi  plus  formel  que  la  publication  des  lettres  de  Jacobi 
dans  lesquelles  Tillustre  analyste  raconte  avec  une  rare  franchise  Thistorique  de  ses  decou- 
vertes  et  la  filiation  de  ses  idees  *^"''). 

Au  mois  de  septembre  1827  ont  paru  ä  Berlin  le  2™^  cahier  vol.  2.  du  Journal  de 
Cr  eile  f)  et  k  Altona  le  n°,  123.  voL  6.  des  Nouvelles  astronomiqties  de  Schumacher. 
Le  cahier  du  Journal  de  Grelle  contient  la  interniere  publication  d'Abel  ffj  relative  a  la 


*)  Astronomische  Nachrichten.     Bd.  6.  n".  123.   127.  138. 
**)  Lu  ä  la  seance  de  l'Academie  des  sciences  du  21  decembre  1829. 
***)  Lettre  de  Jacobi  du  12  avril   1828. 
t)  M.   G.  Reimer   en  recherchant    dans   les    livres    de    son  imprimerie    et  de  l'annee  1827  a  biea 
voulu  constater  le  mois  dans  lequel  ce  cahier  a  cte  expedie  au.\  abonnes. 
tt)  Abel  etait  de  retour  ä  Christiania  depuis  le  mois  de  mai  1827. 

49* 


388  CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE. 

nouvelle  theorie  des  fonctions  elliptiques.  On  y  trouve  leur  double  periodicite,  la  theorie 
analytique  de  leur  multiplication  et  de  leur  division,  leur  definition  par  des  produits  infinis. 
Le  numero  den  Nouvelles  astronomiques  contient  deux  lettres  de  Jacobi  ä  Schumacher 
ecrites  de  Koenigsberg  et  datees  du  13  juin  et  du  2  aoüt  1827.  Dans  la  premiere  lettre  il 
donne  les  transformations  du  3™®  et  du  5™^  ordre  dans  leur  forme  algebrique  avec  les  trans-. 
formations  supplementah'es  ä  la  multiplication.  Dans  la  seconde  il  etablit  les  formules 
analytiques  generales  pour  la  transformation  de  l'ordre  n. 

Pour  un  geometre  qui  a  sous  les  yeux  ces  deux  publications  simultan^es,  il  est 
e^ident  qu"en  les  ecrivant  Abel  et  Jacobi  ont  ete  chacun  en  possession  de  Fensemble  de 
la  nouvelle  theorie  des  fonctions  elliptiques ,  qu"ils  y  sont  parvenus  independamment  Tun  de 
I'autre,  Abel  en  partant  de  la  multiplication,  Jacobi  en  partant  de  la  transformation  des 
fonctions  elliptiques. 

Le  fait  historique  de  cette  coincidence  remarquable  a  ete  reconnu  par  tous  les  geo- 
metres  contemporains ,  parmi  lesquels  il  suffira  de  nommer  Legendre,  Poisson  et 
Lejeune-Dirichlet.  D'ailleurs  jamais  discussion  de  priorite  n'a  eu  lieu  entre  Abel  et 
Jacobi.  Ils  ont  realise  Tattente  de  Legendre:  „vous  serez  sans  doute  dignes  Tun 
de  Tautre  par  la  noblesse  de  vos  sentiments  et  par  la  justice  que  vous  vous  rendrez 
reciproquement"  *). 

En  comparant  les  onze  lettres  de  Jacobi  publiees  par  M,  Bertrand  avec  douze 
lettres  manuscrites  de  Legendre  qui  se  sont  trouvees  dans  la  succession  de  Jacobi,  j'ai 
pu  verifier  que  ces  23  lettres  forment  la  correspondance  scientifique  entiere  qui  a  eu  lieu 
entre  Legendre  et  Jacobi **j.  M,  Bertrand  ayant  bien  voulu  m'exprimer  son  assen- 
timent  u  Timpression  de  cette  correspondance  entiere,  je  la  fais  paraitre  suivant  Tordre 
chronologique  dans  lequel  les  lettres  ont  ete  ecrites.  A  cote  des  Fundamenta  nova  de 
Jacobi,  des  notes  et  memoires  d'Abel  et  de  Jacobi  imprimes  dans  le  Journal  de 
Cr  eile  et  dans  les  NotweUes  astronomiques  de  Schumacher ,  cette  coiTespondance  est 
un  des  documents  les  plus  precieux  pour  Thistoire  de  la  decouverte  de  la  nouvelle  theorie 
des  fonctions  elliptiques. 

Quatre  grands  geometres,  Legendre,  Gauss,  Abel  et  Jacobi,  ont  eu  leur 
part  dans  cet  evenement.  Legendre  l'avait  prepare;  vieillard  de  75  ans  en  1827,  il  avait 
cultive  depuis  1786  pendant  plus  de  quarante  ans  le  calcul  des  integrales  elliptiques  et  en 
avait  forme  une  discipline  particuliere.  Ses  travaux  avaient  ete  peu  apprecies  par  les 
celebres  analystes  de  son  propre  pays  dont  Tinteret  se  dirigeait  plutot  vers  les  recherches 
applicables  a  Tastronomie  et  a  la  physique.     Parmi  les  savants  etrangers  ä  la  France  Gauss 


*)  Lettre  de  Legendre  ä  Abel  du  28  octobre  1828. 

•*)  Outre  ces  12  lettres  de  Legendre  je  n'ai  trouve  qu'un  billet  du  6  septembre  1829  (sejour  de 
Jacobi  ä  Paris),  simple  billet  d'invitation  qui  n'offre  point  d'interet  et  n'a  aucun  rapport  aux  malhe- 
matiques. 


CORRESPONDANCE  MATHEMATIQÜE  AVEC  LEGENDRE  389 

connaissait  parfaitement  Fimportance  du  sujet ,  mais  des  son  debut  il  avait  montrö  ä  Tegard 
de  Legen dre  uiie  froideur  que  ce  deriiier  ne  lui  pardonnait  pas.  La  decoiiverte  de  1827 
avait  d'ailleurs  pour  Gauss  un  iiiteret  tres-personnel.  Depuis  plus  de  vingt  ans  il  etait 
en  possessio!!  des  resultats  par  lesquels  Abel  et  Jacobi  ont  etonne  les  geometres.  Des 
recherches  entreprises  pendant  les  annees  de  1797  ä  1808,  daiis  lesquelles  il  pa!-tait  de  la 
transforination  du  second  ordre  et  des  uioyennes  arithmetico-geometriques,  Ty  avaient 
conduit,  !nais  il  n'en  avait  i*ien  publie.  Pendant  toute  sa  vie  il  n"en  a  jamais  parle  que 
dans  des  lettres  ou  conversations  privees. 

Lorsqu'en  1827  Legendre  regut  la  premiere  nouvelle  de  la  recente  decouverte  de 
Jacobi,  d'abord  par  le  n°.  123.  du  Journal  de  Schumacher ,  puis  par  la  lettre  de 
Jacobi  du  5  aoüt  1827,  il  Taccueillit  avec  un  ^Tai  entliousias!ue.  L'interet  qu'il  prenait 
ä  la  discipline  qui  pendant  une  si  grande  partie  de  sa  vie  avait  for!ne  son  travail  principal, 
etait  en  lui  d"une  teile  purete  qu'il  n'eprouvait  point  de  Jalousie  de  se  voir  surpasse  et  son 
Oeuvre  couronnee  par  un  jeune  honune  de  23  ans  qui  se  nonmiait  avec  raison  son  disciple. 
Mais  lorsqu"il  fut  averti  d'une  assertion  de  Gauss  qui  aui'ait  pu  enlever  ä  Jacobi  une 
partie  de  la  gioire  de  sa  decouverte,  son  Irritation  fut  grande.  II  n'hesita  pas  li  douter  de 
la  verite  de  l'assertion,  et  ce  fut  alors  Jacobi  qui  se  cliargea  de  la  defense  de  Gauss. 

Pour  les  caracteres  de  Legendre  et  de  Jacobi  leur  correspondance  est  un  beau 
monument. 

Legendre  qui  par  son  travail  infatigable  avait  initie  la  nouvelle  gen^ration  dans 
la  tbeorie  des  integi'ales  elliptiques,  !nontre  pour  Jacobi  une  bienveillance  qui  lui  fait  le 
plus  gTand  honneur.  En  ce  qui  concerne  Abel,  apres  avoir  vaincu  la  difficult^  qu'il  trouvait 
d'abord  ä  se  faniiliariser  avec  ses  idees,  il  expri!ne  la  haute  consideration  due  a  ses  travaux. 

Jacobi  se  montre  plein  de  veneration  pour  Legendre  dont  les  oeuM'es  lui  ont 
fourni  le  point  de  depart  de  ses  profondes  etudes.  C'est  dans  ce  ton  que  sont  ecrites 
toutes  ses  lettres  ä  Texception  dun  seul  passage  dans  lequel  il  s"agit  de  la  plus  grande 
decouverte  de  son  emule  Abel  oubli^e  pendant  deux  ans  parini  les  papiers  de  Cauchy. 
A  Pegard  de  Gauss  son  jugement  est  juste  et  sans  prevention.  Son  ad!niration  pour  les 
travaux  d'Abel  est  teile  qu'il  les  place  au-dessus  des  siens  propres.  La  g!'ande  decou- 
verte a  laquelle  il  a  donne  le  nom  de  theoreme  d'Äbel  est  designee  par  lui  co!nme 
„la  decouverte  la  plus  importante  de  ce  qu"a  fait  dans  les  Mathematiques  le  siecle  dans 
lequel  nous  vivons". 

En  presentant  au  monde  scientifique  cette  correspondance  de  deux  geo!netres  de  na- 
tionalit6  diflerente  et  pour  lesquels  Pinteret  de  leur  science  fait  disparaitre  toute  autre 
consideration,  je  ne  puis  me  refuser  a  expriiner  Pesperance  que  cet  exemple  ne  sera  pas 
perdu  pour  la  generation  presente. 

Borchardt. 


JACOBI  A  LEGENDRE. 


Kcenigsberg  en  Prusse,  le  5  aoüt  1827. 

Monsieur , 

Un  jeune  geometre  ose  vous  presenter  quelques  decouvertes  faites  dans  la 
theorie  des  fonctions  elliptiques ,  auxquelles  il  a  ete  conduit  par  l'etude  assidue 
de  vos  beaux  ecrits.  C'est  ä  vous,  Monsieur,  que  cette  partie  brillante  de 
l'analyse  doit  le  haut  degre  de  perfectionnement  auquel  eile  a  ete  portee ,  et  ce 
n'est  qu'en  marchant  sur  les  vestiges  d'un  si  grand  maitre,  que  les  geometres 
pourront  parvenir  ä  la  pousser  au  delä  des  bornes  qui  lui  ont  ete  prescrites  jus- 
qu'ici.  C'est  donc  ä  vous  que  je  dois  offrir  ce  qui  suit  comme  un  juste  tribut 
d'admiration  et  de  reconnaissance. 

Je  commence  ä  exposer  les  moments  principaux  des  resultats  que  je  viens 
d'obtenir.  Soit  p  un  nombre  impair  quelconque;  on  remarque  aisement  en 
poursuivant  les  theoremes  concernant  la  multiplication  des  fonctions  elliptiques 
de  premiere  espece,  proposes  dans  le  tome  I.  des  Exercices  de  Calcul  Integral,  que 
l'on  peut  toujours  parvenir  ä  l'equation : 

dx  pds 

\/(i— ^2)(i— PPT  ~~  V(i— ■^')(i— ^W 

au  moyen  d'une  Substitution  rationnelle : 


X  = 


^U+^'^^+^"^^H \-A   2    ßP"-^) 


J'ai  observe  depuis,  que  cette   Substitution  peut   etre    remplacee   par  les 

deux  autres ,  employees  successivement : 

p-\ 
y{a+a'i/  +  a'Y-\ h«'  /"') 


&  +  &y  +  &y+.. 

2{rj.-\-  rj! g^ -\- 0." 2^ -\- •  ■ 

.•+..2     .^-') 

y  =  p-x 


CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AYEC  LEGENDKE.  391 

Apres  ime  premiere  Substitution ,  la  fonction  elliptique  va  etre  transformee 
dans  une  autre  de  module  diff ereilt,   de  sorte  qu'on  aura: 

dx Mdij 

S/(l—x'){l—1c^  ~    V(l-2/')(l— ^'y')  ' 
dy  pdz 


()r,  en  donnant  au  nonibre  p  des  valeurs  difterentes,  on  trouve  le  theoreme 
remarquable ,  que  chaque  module  donne  fait  part  d'une  infinite  d'echelles  de  modules, 
dans  lesquels  il  peut  etre  transforme  par  une  Substitution  algebrique  etm^me  rationndle. 

Aussi  je  suis  parvenu  a  trouver  l'expression  generale  de  ces  deux  substitu- 
tions-lä.  que  je  presenterai  sous  la  forme  trigonometrique.  qui  me  parait  la  plus 
commode.  Elles  pourront  etre  transformees  aisement  dans  la  forme  algebrique 
mentionnee.  Je  commence  par  la  Substitution  derniere ,  qui  me  fournit  le  theo- 
reme suivant: 

Theoreme  I*). 
Soit  pris  l'angle    cp'   de  maniere  qu'on  ait   Fk.^')= — F^[k),  et  nom- 

mons  en  general  cp'"  un  angle  tel  que  F{k,  cp'")  :=  —  F^  [k] .  Cherchons  un 
angle  ^  au  moyen  de  la  formule : 

'f' 'f  ?'"+?  <pP-2  +  (p 

011  aura  Fik/.^)  =  — F{1,  'h].  Le  signe  superieur  ou  inferieur  doit  etre  pris 
Selon  que  p  est  de  la  forme  4w-|-l  ou  de  la  forme  4w — 1.  Toutes  les  fois 
que  cp  se  trouve  entre  les  limites  cp"'  et  cp'""*"^ .  il  faudra  prendre  l'angle  ']; 
entre  les  limites  -— tt  et  T^  tz.  La  determination  des  constantes  M,  X 
pourra  se  faire  par  les  formules : 

P 


M  = 


2ico8ec'f' — cosec(p"'-|-  •  •  •  +cosec(f^-2+ -J) 


A  =  (sin  9  —  sin  CS  '  +  •••+  sin  z>p — I-  i). 

VT  .1  .  _2/ 


*)  Je  me  servirai  ici  et  dans  la  suite  des  signes  des  Exercices  de  Calcul  Integral. 


392  COKRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDEE. 

Je  passe  ä  present  au  theoreme  II. ,  qui  repond  ä  l'autre  Substitution ,  par 
laquelle  on  peut  passer  du  module  X  au  module  k,  et  qui,  Joint  au  precedent, 
sert  ä  la  multiplication  des  fonctions  elliptiques  de  premiere  espece. 

Theoreme  II. 

2  2 

Soit  X  -{-X'  =1,  soit  en  general  ({>'"  un  angie  tel,  que 

qu'on  fasse 
tg6'  =  tg  ^j/ cosec '}',      tg6"'  =  tg '}  cosec '/",     ...;       tg^^'-^  =  tg']^  cosec'^^P"^, 


soit  enfin 


on  aura 


6  =  2(6'— 6'"+ 6^ T^-»''     ±i^), 


F(Ä;,6)  =  MF(X,^). 
Les  angles    6',  6'",  .  .  .  doivent  etre  pris  dans  le  meme  quadrant  de  cercle 
dans  lequel  se  trouve  l'angie  ^. 
Les  theoremes  I.  et  II.  joints  ensemble  donnent 

Je  passe  sous  silence  les  nombreuses  relations  analytiques  tres  -  curieuses, 
que  vont  fournir  les  deux  theoremes  proposes.  Je  n'ajouterai  ici  qu'une  methode, 
qui  peut  servir  ä  l'evaluation  des  transcendantes  F{k,  cp) ,  la  plus  commode ,  a  ce 
que  je  crois,  qu'pn  puisse  imaginer. 

En  effet,  X  se  trouvant  toujours  tres-petit,  quand  meme  le  nombre  p  ne 
surpasse  pas  5  ou  7,  on  pourra  negliger  les  termes  de  l'ordre  X^.      On  aura  donc 

simplement  F{k,(f)  =  — ^cp.      La  constante  M  ne  differant  que  de  l'ordre  X^  de 

.    ,    2 
la  quantite  —  F^{k) ,  on  introduira  celle-ci  dans  le  calcul  au  lieu  de  M.      Par  lä 

on  aura  en  meme  temps  corrige  le  resultat  de  la  partie  non  periodique  de  l'erreur 
commise  en  negligeant  les  quantites  de  cet  ordre.  Notre  formule  deviendra  donc 
F{k,^)  =  —  F^[k).^^  et  l'erreur  commise  ne  comportera  que  —  tt:-^  (Ä)sin2(|>. 
C'est  donc  la  correction  ä  aj outer  pour  que  l'erreur  ne  soit  que  de  l'ordre  X^*). 


*)  Si  Ton  exprime  ■i^    en  secondes,    on  aura    F{k,^)  —  M'ij^,    etant  mis  M' = 


324000/» 


CORKESPONDANCE  MATHEWATIQUE  AVEC  LEGENDRE.  393 

Soit.  i)ar  exemple,  p  -.=  5,  Ar  =  sin  4  5".  je  trouve  dans  le  tome  III.  des 
Exercices,  p.  215,  cp' =  2  l^'o'Sö",  02754  43.  9'"  =  5S"3S'lO",  31402  70.  Aiissi  la 
Table  II.  du  tome  III.  me  donne   F'^  k  =  1,8540  7  467  73  Ol,   d'oü  resulte 

M'  =  - — ~^;-^  =  0,00000  11444  90541  544. 
5x324000  * 

()n  aiira  donc  ä  calculer  Tangle  ([»  par  la  formule 

t^  90"— >    _    tg(10030-18-,01-i-.p)     tg(29n9'5",16  +  iy)  , 

^        2  tg(10«30'18",01-hi'f)  '  tg(29»19'5",16  — icp)  ^^  ^'^' 

et  ensuite  011  trouvera 

F{'^)  =  0,00000  11444  90541.'!-. 

La  correction  ä  aj outer  sera  — 0,00000  00  7  .sin2(|^. 
Exemple.     9  =  30": 

logtg-^^-^  =  8,89549  90u 
i  logtg'^    'J'^   =  9,98966  16 

logcot^^-"^  =  0,32140  63 

nt 

logcot^^^^  =  0,59306  27 
log  tg  (45  »—19)  =  9,76143  94 
logtg(450— i<]^)  =  9,56106  90« 

45«— i'];  =  — 20<>0'0",478 

-^  =  468000,95     (M' =  0,0000011444  90541) 
M''>  =        0,53562  266 
Corr.  =  +0,00000  007 
F  =        0;53562  273 

La  Table  II.  du  tome  IIL  des  Exercices  donne  0,53562  27328  22. 

Cette  methode  me  parait  fournir  la  maniere  la  plus  convcnable  de  con- 
struire  des  Tables  pour  l'evaluation  des  fonctions  elliptiques  de  premiere  espece. 

II  n'y  a  que  tres-peu  de  temps  que  ces  recherches  ont  pris  naissance.  Cc- 
pendant  elles  ne  sont  pas  les  seules  entreprises  en  Allemagne  sur  le  meme  objet. 
I.  50 


394  CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGKNDRE. 

M.  Gauss,  ayant  appris  de  celles-ci,  m'a  fait  dire  qn'il  avait  developpe  dejä 
en  1808  les  cas  de  3  sections,  5  sections  et  de  7  sections,  et  trouve  en  meme 
temps  les  nouvelles  echelles  de  modules  qui  s'y  rapportent.  Cette  nouvelle ,  ä 
ce  qui  me  parait,  est  bien  interessante. 

Depuis  quelque  temps  j'ai  fait  encore  quelques  recherches  sur  la  theorie 
des  nombres ,  qui  m'ont  conduit  a  des  resultats  assez  curieux  relatifs  a  la  belle 
partie  de  cette  discipline  ouverte  aux  geometres  par  votre  celebre  loi  de  recd- 
procite.  En  effet,  en  partant  de  la  nouvelle  theorie  de  section  de  cercle  proposee 
par  M.  Gauss  dans  la  huitieme  section  de  ses  Disquisitiones  Arithmeticae ,  j'ai 
decouvert  une  methode  qui  me  conduit  aux  theoremes  fondamentaux  concernant 
la  theorie  des  residus  cubiques,  biquadratiques .  et  meme  des  residus  des 
puissances  plus  elevees  encore*). 

Pour  en  donner  une  idee  succincte,  je  mets  ici  la  demonstration  du 
theoreme  fondamental  relatif  aux  residus  quadratiques ,  fondee  sur  ces  nou- 
veaux  principes. 

Soit  p  iin  nombre  premier  impair,  x  une  racine  de  l'equation  —  =  0, 

g  une  racine  primitive  de  la  congruence  g'^~^ — 1  ^0  (mod.^),*on  a: 

On  a  de  meme  en  general 

XI  —  x""  +  X«' —  iC^^-j x^^^~^ 

I      ^  /      ^ 

egal  ä  -|- V  (—1)  ^  ^  ou  ä  — y  ( — l)  ^  P,  selon  que  q  est  residu  quadratique  ou 
non-residu  quadratique  du  nombre  p.  Mais  le  nombre  q  etant  aussi  premier, 
on  a,  en  negligeant  les  multiples  de  q, 

p-2  Ö-2  ^£-1     inl./  pET 

U;i  —  jJ'^-{ x'^^         =(x  —  af-] a^       )*  =   (-l)2      2p^^\(-l)^p. 

p—1  g— 1      q—l 

Donc  q  sera  residu  ou  non-residu  de  p  selon  que  ( — 1)  ^  ^  P  ^  ,  divise 
par  q,  laisse  -|-1  ou  — 1,  ce  qui  est  precisement  la  loi  de  reciprocite,  ou, 
d' apres  M.  Gauss,  le  theoreme  fondamental  relatif  aux  residus  quadratiques. 


*)  Je  me  sers  ici    dans   ce    qui  suit  des  signes   et  des    denominations   mis  en  usage  par  M.  Gauss 
dans  ses  Disquisitiones  Arithmeticae. 


CORKESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE*. 


395 


J'ajoute  pliisieuis  theoremes  relatifs  aiix  residus  cubiques  qui  resultent 
tous  d'iin  meme  theoreme  general.  Ce  sont  les  premiers  de  ce  genre  qui  ont  ete 
proposes. 

Etant  donne  un  nombre  preinier  p  de  la  forme  6w-j-l  ?  un  autre  nombre 
premier  qiielconque  q  sera  residu  cubique  de  'p  toutes  les  fois  quo  Ap  sera  de 
l'une  des  deux  formes : 

cepeiidant  il  f aiit  exclure  la  forme  seconde  dans  les  cas  de  ^  =  2  et  q^?,. 

Aussi  q  etant  im  nombre  premier  plus  grand  que  7,  il  sera  residu  cubique 
de  p  toutes  les  fois  que  p  est  de  la  forme  {q7.-{-mMY-\-^lM^,  le  nombre  m 
etant  donne  par  rapport  k  q  au  moyen  de  la  Table  suivante : 


11113 


17  i  19 


23  129  131 137 


2 

1 

5 

8     2 

7 

1 

11 

6 

13 

11 

3 

9 

7 

12 


Ainsi,  par  exemple,  le  nombre  37  est  residu  cubique  de  p  toutes  les  fois  que 
Ap  sera  de  l'une  des  sept  formes : 

Z2_|-36963Jlf^       1369Z2  4_27Jf2^ 

(37y.  +  3Jf )' -^21 3P,       (3 7/  -|-  ^Mf  +  27Jlf  ^ 

(37y.  +  7ilf)2+27Jf^       (37x+ 12jli)2+ 27il/2^ 
(37x4-8Jf)2+27Jfl 

Le  nombre  Ap  n'etant  pas  compris  sous  l'une  des  formes  etablies  par  les 
theoremes  precedents,  le  nombre  q  n'en  saura  etre  residu  cubique. 

M.  Gauss  a  presente  ä  la  Societe  de  Goettingue,  il  y  a  environ  deux  ans, 
un  premier  memoire  relatif  a  la  theorie  des  residus  biquadratiques ,  laquelle  est 
beaucoup  plus  facile  que  celle  des  residus  cubiques.  Ce  memoire  na  pas  encore 
paru,  mais  il  en  a  donne  un  extraitdans  \e^  Annales  de  G(£ttinffue,üB.iiee  1825,  vol.I. 
Les  theoremes  qui  s'y  trouvent  annonces  se  demontrent  et  pourront  meme  etre 
generalises  par  mes  methodes  avec  une  facilite  extreme,  et,  a  ce  que  je  crois,  ce 

50^ 


396  CORRESPONDANCE  MATHEMATIQÜE  AVEC  LEGENDRE. 

sera  de  meme  avec  tout  ce  qii'on  poiiriait  etablir  sur  les  residus  des  puissances. 
Ledit  grand  geometre  m'a  ecrit.  depuis.  qii'il  poursiiivra  le  meme  objet  dans 
trois  autres  memoires  destines  ä  etre  presentes  ä  la  Societe ,  et  il  se  plaint  que 
le  temps  lui  manque  ä  publier  ses  vastes  recherches  sur  differents  objets  de  la 
plus  grande  importance.     Je  suis  avec  le  respect  le  plus  profond, 

Monsieur , 

Votre  tres-humble  serviteur. 
Dr.  C.  G.  J.  Jacobi, 

Aupres  l'UniversIte  de  Koenigsberg  en  Prusse. 


LEGENDRE  A  JACOBI. 

Paris,  le  30  novembre  1827. 

Monsieur , 
Ce  n'est  que  depuis  quelques  jours  que  j'ai  re9u  des  mains  de  M.  Michael 
Keiss,  la  lettre  que  vous  m'avez  fait  l'honneur  de  m'ecrire  en  date  du  5  aoiit 
dernier.  Je  connaissais  dejä  votre  belle  decouverte  dans  la  theorie  des  fonctions 
elliptiques,  par  les  deux  lettres  que  vous  avez  fait  inserer  dans  le  n^.  123.  du 
Journal  astronomique  de  M.  Schumacher.  Le  theoreme  I.  contenu  dans  ces 
lettres,  m'etait  dejä  connu,  puisqu'il  s'accorde  entierement  avec  la  seconde  echelle 
des  modules  dont  j'ai  developpe  les  proprietes  dans  le  chap.  XXXI.  du  tome  I.  de 
mon  Traite  des  fonctions  elliptiques,  imprime  en  1825  et  presente  ä  l'Academie 
dans  sa  seance  du  1 2  septembre  de  ladite  annee.  Le  tome  IL  n'a  ete  imprime 
qu'en  1826,  et  l'ouvrage  entier  n'a  ete  mis  en  vente  chez  MM.  Treuttel  et 
Wurtz  qu'au  mois  de  janvier  de  cette  annee;  ainsi  il  n'est  point  douteux  pour 
moi  que  vous  n'ayez  eu  aucune  connaissance  de  mon  ouvrage  et  que  vos  propres 
recherches  vous  aient  conduit  au  meme  resultat  que  j'avais  imprime  deux  ans 
avant  vous.  Mais  ce  qui  vous  appartient  incontestablement  c'est  le  theoreme  IL 
qui  contient  la  decouverte  d'une  troisieme  echelle  de  modules,  celle  que  vous 
designez  ä  hon  droit  comme  repondant  au  nombre  5.  J'ai  verifie  ce  theoreme 
par  les  methodes  qui  me  sont  propres  et  je  Tai  trouve  parfaitement  exact.  En 
regrettant  que  cette  decouverte  m'ait  echappe  je  n'en  ai  pas  moins  eprouve  une 
joie  tres-vive  de  voir  un  perfectionnement  si  notable  ajoute  ä  la  belle  theorie. 


CORRESPONDANCE   MATHEMATIQUE  AYEC  LEGENDRE.  397 

dont  je  puis  me  dirc  le  createur,   et  que  j'ai  cultive  presque  seul  depuis  plus  de 
quarante  ans.     L'invcntion  de  la  seconde  erhelle  attachee  au  nombre  premier  3, 
m'avait  mis  a  portee  d'expliquer  beaucoup  de  resultats  d'analyse  transcendante 
dont  les  autres  formules  ne  pouvaient  rendre  corapte;  je  la  trouvais  digne  d'interet 
par  differents  resultats  que   son  developpement   m'avait  fait  connaitre  dans  le 
chap.  XXXI.  et  particulierement  par  le  moyen  qu'elle  fournit  de  reduire  a  deux 
equations  du  3°''  degre    la    trisection  de  la  Ibnction   F  qui  depend  en  general 
d'une  equation  du  9'°''  degre,   entin  la  combinaison  de  deux  echelles  deja  connues 
nie  donnait    le  moyen  de  former    lespeee  de  Damier  analytique  dont  j'ai  fait 
mention  page  3  2()  du  tome  I.,   qui  dans  ses  cases  multipliees  ä  l'infini  dans  les 
deux    dimensions    contient    toutes    les    transformations    d'une    meme    fonction 
donnee  F.    \'otre  troisieme  echelle,  Monsieur,  vient  etendre  aux  trois  dimensions 
de  l'espace .  les  cubes  infiniment  multiplies  dans  tous  les  sens  qui  contiennent  les 
transformations  de  la  fonction  F ;  ils  remplissent  donc  toute  l'etendue  de  l'espace. 
Mais  Timagination  dejä  frappee  de  cette  multitude  intinie  de  transformations  dont 
aucune  fonction  analytique  ne  montre  l'exemple,  est  en  quelque  sorte  accablee 
quand  vous  afürme/  qu  il  y  a  une  quatrieme  echelle  attachee  au  nombre  premier  7, 
une  cinquieme  au  nombre  premier  1 1 ,  et  ainsi  pour  tous  les  nombres  premiers  ä 
l'infini  sans  aucune  exception.      Aucune  preuve  de  cette  assertion  ne  se  trouvant 
dans  le  n^.  123   du  Journal  astronomique ,  j'avoue  que  j'etais  porte  ä  croire  que  la 
proposition  n'etait  pas  exacte  et  que  l'induction  seule  avait  pu  vous  la  suggerer. 
En  eft'et  une  methode  assez  simple  que  j'avais  employee  pour  verifier  votre  theo- 
reme  II.,  presentait  deux  equations  de  plus  que  d'inconnues,  mais  ces  equations 
se  sont  trouvees  satisfaites.    Cette  meme  methode  appliquee  a  l'echelle  ulterieure 
pour  le  nombre  premier  7  contiendrait  trois  equations  de  plus  que  d'inconnues ; 
j'ai  commence  le  calcul,  mais  je  ne  Tai  pas  acheve  pour  m'assurer  si  ces  trois 
equations  n'etaient  qu'une  consequence  des  autres.     Dans  les  echelles  ulterieures 
le  nombre  des  equations  oiscuses  augmenterait  progressivement ;  j'etais  donc  en 
doute  sur  la  proposition  consideree  dans  toute  sa  generalite.     Mais  ayant  re^u 
votre  lettre  j'y  ai  vu  les  deux  formules  generales  sous  forme  trigonometrique  dont 
toute  votre  theorie  depend;  je  vois  des  lors  que  ce  n'est  pas  sur  l'induction,  mais 
bien  sur  une  analyse  profondo  et  rigoureuse  que  vous  avez  etabli  votre  proposition 
generale.       Maintenant  je  ne  puis  que  vous  temoigner  le  desir  que  j'eprouve 
d'avoir  communication  de  l'analyse  qui  vous  a  conduit  a  ces  deux  formules;  la 


398  CORRESPONDANCE  IMATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE. 

grande  liabitude  qiie  jai  de  la  matiere  me  fera  contenter  d'une  simple  indication 
de  la  methode.  ou  de  son  principe  fondamental;  je  pourrais  bien  esperer  de 
reussir  dans  cette  recherche  en  y  consacrant  un  certain  espace  de  temps.  mais 
vous  m'oblii>erez  beaucoup.  Monsieur,  de  m'epargner  cette  peine.  II  me  sera 
fort  agreable  de  composer  d' apres  votre  methode .  et  avec  une  due  mention  liono- 
rable  de  son  auteur.  un  Supplement  au  tome  I.  de  mon  ouvrage.  oü  j'exposerai 
votre  belle  decouverte  dans  tout  son  jour.  et  qui  en  sera  un  des  plus  beaux 
ornements. 

Vous  recevrez  par  la  voie  de  M.  lambassadeur  de  Prusse,  qui  a  bien  voulu 
accueillir  ma  demande.  un  exemplaire  de  mon  Traite  des  fonctions  elliptiques 
dont  je  vous  prie  d'agreer  l'hommage.  Jai  protite  de  la  meme  occasion  pour  faire 
passer  ä  M.  Alexandre  de  Humboldt  ä  Berlin,  une  lettre  ou  je  lui  fais  part 
de  mon  opinion  sur  votre  belle  decouverte  dont  j'ai  aussi  entretenu  l'Academie  des 
sciences  de  Paris  dans  sa  seance  du  2  6 .  novembre  dernier  ■" ; . 

Je  ne  vous  dirai  rien  dans  ce  moment  sur  l'article  de  votre  lettre  qui  con- 
cerne  vos  decouvertes  dans  la  theorie  des  nombres.  J'espere  revenir  sur  cet 
article  dans  une  autre  occasion.  pour  peu  que  vous  vouliez  la  faire  naitre;  car 
devant  faire  imprimer  l'annee  prochaine  une  troisieme  edition  de  ma  tlieorie  des 
nombres.  dans  laquelle  il  y  aura  plusieurs  additions  importantes,  surtout  dans 
la  partie  qui  concerne  les  equations  ä  deux  termes,  je  serais  fort  aise  d'y  pouvoir 
inserer  quelques -uns  de  vos  nouveaux  resultats.  avec  mention  honorable  de  son 
auteur. 

Comment  se  fait-il  que  M.  Gauss  ait  ose  vous  faire  dire  que  la  plupart 
de  vos  theoremes  lui  etaient  connus  et  qu'il  en  avait  fait  la  decouverte  des 
ISOS?...*"^)  Cet  exces  d'impudence  nest  pas  croyable  de  la  part  d'un  homme 
qui  a  assez  de  merite  personnel  pour  n'avoir  pas  besoin  de  s'approprier  les  decou- 
vertes des  autres. . . .  Mais  c'est  le  meme  homme  qui  en  1  801  voulut  s'attribuer 
la  decouverte  de  la  loi  de  reciprocite  publice  en  1  7  8  5  '^^*}  et  qui  voulut  s'emparer 


*)  Voir  pour  la  communication  ä  l'Academie  des  sciences  ä  la  suite  de  cette  lettre.  B. 

**)  L'exactitude  de  cette  assertion  est  prouvee  par  l'edition  des  oeuvres  completes  de  Gauss  vol.  3. 
pp.  492 — 496,  oü  M.  Schering  donne  les  dates  precises  des  travaux  de  Gauss  relatifs  ä  la  theorie  des 
fonctions  elliptiques  et  publies  apres  sa  mort.  B. 

***)  Quant  ä  la  loi  de  reciprocite  des  residus  quadratiques  il  faut  distinguer  la  decouverte  par  Obser- 
vation et  la  d^monstration  de  la  loi.      La   premiere    demonstration    a    ete    donnee,    comme  l'on  sait,    par 


CORRESPONDAXCE  MATHEMA  IIQUE  AVEC  LEGENDKE.  399 

en  1809   de    la  luetliode  des  inoindres  carres  publiee  en   1805"*).  —      D'autres 

exemples  se  trouveraient  en  d'autres  lieiix .  mais  un  liomme  d'honneiir  doit  se 

garder  de  les  imiter.     .Tai  rhonneur  d'etre.   Monsieur,   votre  devouc  servitenr. 

Paris,  Quai  Voltaire  n".  9. 

Le  Gendre. 


Extrait  du  Globe    de  jeudi  29.  novembre  1827). 

A  la  lettre  de  Legeiidre  tut  Joint  le  iiumero  indiqm''  ci-dessus  du  Globe  dans 
lequel  on  trouve  le  rapport  suivant  sur  la  cummuiiication  faite  par  Le  gendre  ä  rAcademie 
des  Sciences  dans  sa  seance  de  lundi  5  novembre  1827: 

II  nexistait  jusqu'ici  que  deux  ecliclles  de  modules .  l'une  connue  depuis 
longtemps .  lautre  publiee  tont  recemment  dans  mon  Traue  des  fonctions  ellipti- 
ques  et  affectee  au  nombre  premier  3.  Or  la  lettre  inseree  par  ]\[.  Jacobi  dans 
le  Journal  astronomique  d'Altona  contient  deux  theoremes  qui  donnent  naissance 
ä  deux  nouvelles  echelles  de  modules  aftectees ,  savoir :  la  premiere  au  nombre 
premier  3  (c'est  precisement  celle  ä  laquelle  j'etais  arrive  moi-meme;  je  regardais 
sa  decouverte  comme  Tun  de  mes  travaux  les  plus  importants.  et  cette  decouverte 
M.  Jacobi  la  faite  certainement  de  son  cote, ;  la  seconde  echelle  ä  laquelle  je 
navais  pas  pense  et  qui  appartient  exclusivement  a  M.  Jacobi  est  atfectee  au 
nombre  premier  5.  Par  cette  derniere  echelle,  M.  Jacobi  a  multiplie  ii  liniini 
les  transformations  de  la  fonction  elliptique  de  premiere  espece,  designee  par 
F{c,'^].  J'ai  pu  verifier.  mais  seulement  au  moyen  des  calculs  les  plus  eleves, 
que  cette  decouverte  de  M.  Jacobi  est  tres- reelle.  C'ependant  cet  auteur  ne 
s'en  est  pas  tenu  lä;   il  a  voulu  aller  plus  loin.       11  a   annonce  que  la  meme 


Gauss  dans  ses  Disquisitiones  arithmeticae ,  tandis  que  la  demonstration  essayee  par  Legendre  reposait 
sur  des  hypotheses  non  moins  difficiles  ä  demontrer  que  la  loi  meme.  Dans  l'article  151  des  disquisitiones 
Gauss  parle  d' Euler  et  de  Legendre  comme  de  ceux  qui  avant  lui  sont  parvenus  par  Observation  ä 
cette  loi.  Dans  un  autre  endroit  {'Theorematis  arithmetici  demonstratio  novo,  art.2.  ,  Comm.  Gottiny. 
Fo/.  XVI,  18U8)  Gauss  dit:  Pro  primo  huius  elegantissimi  theorematis  inventore  ill.  Legendre  absque 
dubio  habendus  est,  postquam  longe  antea  summi  geometrae  Euler  et  Lagrange  plures  eius  casus 
speciales  per  inductionem  detexerant.  B. 

*)  Dans  la  Theoria  motus  corporum  coelestium  publiee  par  Gauss  en  180'J  on  trouve  (art.  186.)  ä 
la  suite  de  l'exposition  de  la  methode  des  moindres  carres  le  passage :  Ceterum  principium  nostrum,  quo 
iam  inde  ab  anno  1795  usi  sumus,  nuper  etiam  a  dar.  Legendre  in  opere  Xouvelles  methodes  pour  la 
determination  des  orhites  des  cometes ,   Paris   1806,   prolatum  est.  B. 


400  COKRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE. 

metliode  qui  Tavait  conduit  aux  resultats  precedents  liii  donnait  les  moyens  de 
former  uue  quatrieme  echelle  attachee  au  nombre  premier  7  .  iiiie  cinquieme  au 
nombre  premier  11,  et  ainsi  ä  rinfini.  Ici,  dit  M.  Legendr e,  je  n'ai  plus  ete 
de  l'avis  de  M.  Jacobi,  et  j'ai  meme  cru  pouvoir  lui  ecrire  une  lettre  dans 
laquelle  je  lui  indiquais  ce  qui,  suivant  moi,  Tavait  iuduit  en  erreur.  Heuieu- 
sement  l'envoi  de  cette  lettre  a  ete  assez  retarde  pour  que  j  aie  pu  reconnaitre  que 
c'etait  moi- meme  qui  me  trompais,  et  que  M.  Jacobi  sur  ce  point  comme  sur 
les  autres  avait  completement  raison;  et  je  Tai  reconnu  avec  d'autant  plus  de 
plaisir  que  c'est  sur  un  sujet  dont  je  m'occupe  depuis  plus  de  quarante  ans  que 
j'ai  ete  ainsi  surjDasse  par  M.  Jacobi,  mon  emule.  Ce  nest  pas  par  induction 
que  M.  Jacobi  est  parvenu  aux  resultats  qu'il  a  publies;  c'est  par  une  theorie 
profonde  et  infaillible  et  ä  Taide  de  deux  theoremes  entierement  nouveaux,  qu'il 
a  fait  cette  decouverte,  qui  agrandit  considerablement  la  theorie  des  fonctions 
elliptiques  et  en  fait  une  brauche  danalyse  parfaite  dans  son  genre  et  qui  ne 
peut  etre  comparee  ä  aucune  autre. 

Une  principale  consequence  entre  une  inlinite  d  autres  qui  resultent  de 
cette  savante  analyse,  c'est  que  la  trisection  de  la  fonction  F  qui  depend  en 
general  d'une  equation  algebrique  du  9*"^  degre  se  reduit  ä  deux  equations  du 
3™®;  que  la  quintisection  qui  est  du  25"^®  degre  se  reduit  a  deux  equations  du  5™% 
de  Sorte  que  la  consideration  des  proprietes  de  notre  transcendante  sert  a  resoudre 
des  problemes  d' analyse  algebrique  d'une  grande  difticulte  et  en  nombre  iniini. 

M.  Jacobi  a  annonce  aussi,  et  prouve  par  des  exemples.  quil  a  fait  des 
decouvertes  importantes  dans  une  des  parties  les  plus  importantes  de  la  science 
des  nombres,  sur  laquelle  M.  Gauss  a  annonce  des  resultats  nouveaux  sans  les 
avoir  encore  publies. 

Frappe  de  taut  de  beaux  travaux,  j'ai  voulu.  dit  M.  Legendre,  prendre 
quelques  renseignements  sur  la  personne  de  ]M.  Jacobi:  j'ai  appris  que  c'etait 
un  jeune  homme  de  25  ans*)  attache  a  l'universite  de  Koenigsberg,  oü  il  n'est 
pas  encore  professeur,  et  oü  il  n'occupe  qu'un  grade  inferieur  analogue  ä  celui 
d'agrege  parmi  nous. 


*)  Jacobi,  ne  le  10  decembre   1804,  n'avait  pas  meme  atteint  l'äge  de  23  ans. 


CORRESPONDANCE  MATHEMATIQÜE  AVEC  LEGENDRE.  401 

JACOBI  A  LEGENDRE. 

Koenigsberg,  le  12.  janvier  1828. 

Monsieur . 

Je  chercherais  en  vain  ä  voiis  decrire  quels  furent  mes  sentiments  en  rece- 
vant  votre  lettre  du  30  novembre  et  eu  meme  temps  le  numero  du  Glohe  qui 
contient  la  communication  que  vous  avez  bien  voulu  faire  ä  rAcademie  des 
Sciences  de  mes  essais.  Je  me  sentis  confus,  accable  de  cet  exccs  des  bontes 
que  vous  m'avez  eues  et  du  sentiment  que  jamais  de  ma  vie  je  ne  saurai  meriter 
de  pareilles.  Comment  vous  rendi-e  grace?  Quelle  satisfaction  pour  moi  que 
Thomme  que  jadmirais  tant  en  devorant  ses  ecrits  a  bien  voulu  accueillir  mes 
travaux  avec  une  bonte  si  rare  et  si  precieuse !  Tout  en  manquant  de  paroles  qui 
soient  de  dignes  interpretes  de  mes  sentiments,  je  n'y  saurai  repondi'e  qu'en 
redoublant  mes  cfForts  a  pousser  plus  loin  les  belies  theories  dont  vous  ctes  le 
createur. 

J'avais  dejä  appris  il  y  a  quelques  mois  que  vous  avez  publie  un  nouvel 
ouvrage  sur  les  fonctions  elliptiques  en  deux  volumes.  Aussitot  j'ai  donne  ä  un 
libraire  de  Berlin  1' ordre  de  me  le  faire  parvenir;  mais,  ä  mon  grand  depit,  je 
ne  Tai  pas  encore  re^u.  J'attends  douc  avec  une  impatience  extreme  le  cadeau 
brillant  que  vous  m'en  avez  voulu  faire  et  pour  lequel  je  vous  rends  mille  graces. 

Depuis  ma  derniere  lettre,  des  recherches  de  la  plus  grande  importance  ont 
ete  publiees  sur  les  fonctions  elliptiques  de  la  part  d'un  jeune  geometre,  qui 
peut-etre  vous  sera  connu  personnellement.  C'est  la  premiere  partie  dun  me- 
moire de  M.  Abel,  ä  Christiania,  qu'on  m'a  dit  avoir  ete  ä  Paris  il  y  a  deux  ou 
trois  ans,  insere  dans  le  second  cahier  du  second  volume  du  Journal  des  Mathe- 
matiques  pures  et  appliquees  publie  ä  Berlin  par  M.  Grelle.  La  continuation  doit 
avoir  ete  publiee  dans  ces  jours  dans  le  cahier  troisieme  dudit  Journal :  mais  eile 
ne  m'est  pas  encore  parvenue.  Comme  je  suppose  que  ce  memoire  ne  vous  soit 
pas  encore  connu,  je  vous  en  veux  raconter  les  details  les  plus  interessants. 
Mais,  pour  plus  de  commodite,  j'avancerai  le  mode  de  notation  dont  je  me  sers 
ordinairement. 

Si  Ton  pose     /    ,         ^ =  H,    l'angle  cp  etant  Tamplitudc  de  E.   je  le 

J  yi — ^^8in^(9 

desio-nr  par  amE;   K.  etant  la  fonclion  entiere    =  /  ^  ,   je  mets.  au 

I.  51 


402  CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE. 

lieu   de    am(J5r — E),    cette  autre   expression   coamE    ^cest-ä-dire  complementi 
amplitudö).     Je  designe,  avec  vous, 

(?amE 


yl — Ä;^siii''amr,    =  — -^= —     par     üamn. 

Le  module  sera  mis  ä  cote,  si  on  le  juge  convenable;  toutes  les  fois  quil  sera 
supprime  dans  le  suivant,  les  formules  se  rapportent  au  module  k.  Du 
reste,  je  designerai  le  complement  de  k  par  k'  et  la  fonction  entiere  qui  repond 
ä  k'  par  K'. 

M.  Abel  commence  par  donner  l'expression  analytique  de  toutes  les  racines 
des  equations  elevees  desquelles  depend  la  division  des  fonctions  elliptiques^ 
En  efFet,  soit  sincp  =  ^tang(l>,  i  etant  \l—\.  on  aura: 

do  id^ 


Vi— Ä^^sin^cp  Vi— ^-''sin2^  ' 

d'oü  l'on  tire : 

sin  am  (iE,  h)  =  i  tg  am  (E,  ä;'  ) , 

theoreme  fondamental  de  M.  Abel. 

Je  remarque  encore  les  formules  suivantes : 

cosam(iE,  Ä-)  =  8ecam(E,  Ä;')^ 


Aussi  on  aura: 


.        /•-  7x  Aam(:i,  Z:  )  ,  /-  i,\ 

Aam(?r,.  A-)  =  ^,^  ,,,    =  coseccoam(i.  A; ). 

^        ^         cosam(i,  Ä:)  V        / 


sin  am  {2iK',  h)  =  0 . 

sinamfE-f-iZ^')  =  ^r^. =r; 

^  ^         A:  sm  am  i 

cotam(E4-?-S^')  =  — iAamE, 
Aam(E-|"^-^')  =  — icotamE,  etc. 


Comme  on  a 


i^2im  {2m' K',k')  =  0, 
m    etant  un  nombre  entier,  on  aura  aussi: 

sin  am  (2m'iK',  Z;)  =  0 , 
d'oü  il  suit  quon  aura  en  general: 

sm  am  {'E-\-4:niK-\-Am'iK')  =  sin  am  E, 
m  et  in'  etant  des  nombrcs  positifs  ou  negatifs.     On  voit  donc  que  les  racines  de 


X^OERESPONDANCE  MATHEMATIQÜE  AVEC  LEGENDRE.  403 

requation  elevee  qui  sert  k  la  division  de  la  fonction  elliptique  E  en  w  parties 
seront  de  la  forme  sin  am  ""*"  — '  — ,  formule  qui  embrasse  toiites  les 
racines  au  nombre  de  tr,  si  Ion  donue  ä  f?i,  m  .successivement  les  valeurs 
0,  1,  2,   .  .  ..  w— 1. 

M.  Abel  ramene  ensuite  la  division  d'une  fonction  elliptique  quelconque  H  ä 
la  division  de  la  fonction  entiere  K.  En  effet,  soient  a.  [i  des  racines  quelconques 
de  l'equation  o?"  =  1.  l'expression 

(  Z,oL"'  |3"'  sin  am  — ' )  ^j  f 

oü  Ton  donne  ä  m,  m'  toutes  leurs  valeurs   0,  1,  2,  .  .  .,  n  —  1,  ne  changera  pas  si 

Ion  met,  au  lieu  de  sin  am  — ,  une  autre  racine  quelconque  sin  am  "'    ^ — Jl_tl 

Cette  expression  sera  donc  symetrique  par  rapport  ä  ces  racines  et  pourra ,  par 
consequence.  etre  exprimee  par 

sin  am  H  **) . 

A  present  si  l'on  donne  ä  a,  ß  toutes  leurs  valeurs  possibles ,  ce  qui  donne 
n'  combinaisons .  on  tire  de  lä  les  valeurs  de  toutes  les  racines.  M.  Abel  suit 
une  autre  methode,  qui,  si  je  ne  me  trompe  pas,  rend  le  probleme  plus  com- 
plique  qu'il  n'est  en  lui-meme. 

La  division  de  la  fonction  entiere,  laquelle  depend  en  general  d'une 
equation  du  degre    — - — ,    est  ramenee  ä  une  equation  du  degre   w-f-l,  n  etant 

un  nombre  premier.      En  effet,  soit  — - — ^t-* —  ;=  w,  ^  une  racine  primitive 

de  la  congruence  a?"~^^  1  (mod.n) ,  cp(u))  une  fonction  trigonometrique  quelconque 
de  l'amplitude  de  w,  a  une  racine  de  Tequation  x"~^  =  1 ,  on  y  parvient  en 
considerant  l'expression 

[cp(tü)  +  a(p(^a>)  +  a^cp(r/2a>)  -] \-  a"-' r^{(j"-' oy)f-' 

symetrique  en  9 (cd).  9(^">1.  '■?(ff^^)f  •••^  ^(^"~^"*)-  ^^^'  ^^^  fonctions  symetriques 
de  ces  quantites  ne  sauront  avoir  que  des  valeurs  differentes  au  nombre  de  n-\-l, 
qui  repondent  ä  }ji  =  0,  ^  =  [;  |jl=1,  |a'=U:  {x=1,|x'^1,2,  3,  ...,w  —  1. 
Donc  elles  seront  donnees  au  moyen  d'une  equation  algebrique  du  degre  n-\-l. 


*)  On  entend  par  ^  la  somme  des  expressions  form^es  de  ladite  mani^re. 

•*)  II  faut  ajoutcr:  Et  par  des  quanliles  constanles,  mais  irrationnelles,  de  la  lorme  sin  am 

51* 


404  CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRF. 

Je  vais  ajouter  ä  present  les  propres  paroles  de  M.  Abel,  en  remarquant  qiiil 
considere  dans  soii  memoire  les  fonctions  elliptiques  sous  la  forme 

dx 


f 

J  0 


0    \'(l—c^x%l-{-e-'x^) 

„Donc,  en  dernier  lieu,  la  resolution  de  requation  P„  =  0  est  reduite  ä 
Celle  d'une  seule  equation  de  degre  7i-\-l ;  mais  cette  equation  ne  parait  pas  en 
general  etre  resoluble  algebriquement.  Neanmoins  on  peut  la  resoudre  complete- 
ment  dans  plusieurs  cas  particuliers ,  par  exemple  lorsque  e  =  c,  e  =  c\^'d , 
e  =  0(2  +  ^3),  etc.  Dans  le  cours  de  ce  memoire"^),  je  m'occuperai  de  ces  cas, 
dont  le  premier  surtout  est  remarquable,  tant  par  la  simplicite  de  la  Solution, 
que  par  sa  belle  application  dans  la  geometrie.  En  eifet,  entre  autres,  je  suis 
parvenu  ä  ce  theoreme :  On  peut  diviser  la  circonference  entiere  de  la  lemniscate, 
par  la  regle  et  le  compas  seuls ,  en  m  parties  egales ,  si  m  est  de  la  forme  2"  ou 
2"-|-l,  le  dernier  nomhre  etant  en  mime  temps  premier ;  ou  bien  si  m  est  un  produit 
de  plusieurs  nomhres  de  ces  deux  formes.  Ce  theoreme  est,  comme  on  voit, 
precisement  le  meme  que  celui  de  M.  Gauss  relativement  au  cercle." 

Connaissant  les  racines  des  equations  mentionnees,  M.  Abel  les  resout  en 
facteurs ;  ensuite ,  dans  les  formules  qui  en  resultent ,  il  pose  w  =  oo ,  d'oü  il 
tire  des  expressions  tres-remarquables ;  mais  cela  n'a  plus  aucune  difficulte. 

Vous  m'avez  permis,  Monsieur,  de  vous  communiquer  l'analyse  dont  je  me 
sers.  Une  demonstration  rigoureuse  du  theoreme  general  concernant  les  trans- 
formations  s'imprime  ä  present  dans  le  Journal  de  M.  Schumacher;  eile  vous 
sera  envoyee  aussitot  qu'elle  sera  imprimee.  Mes  recherches  ulterieures  sont 
encore  loin  d'etre  finies ;  cependant  j'en  embrasserai  une  partie  dans  un  memoire 
que  je  crois  pouvoir  publier  dans  peu.  II  s'y  trouvera,  entre  autres,  un  resultat 
curieux  qui  d'abord  m'a  frappe  un  peu ;  c'est  le  cas  suivant.  Si  l'on  peut  trans- 
former  un  module  k  dans  un  autre  X ,  on  a  entre  ces  deux  modules  une  equation 
algcbrique  du  degre  n-\-\  ,  si  la  transformation  se  rapporte  au  nombre  n,  quon 
suppose  etre  premier.  Ces  equations  symetriques  en  k  et  X  sont,  par  exemple 
pour  w  =  3  ,  71  r=  5  : 

oü  Ton  a  suppose   u  =  \k,  v  =  \X.     II  parait  remarquable  que  ces  equations, 

*)  Qui  n'est  pas  encore  publie. 


CORRESPONDANCE  MATHEMÄTIQUE  AVEC  LEGENDRE.  405 

quoii  pouiTait  appeler  equations  modulaires ,  ont  leur  forme  la  plus  simple  eiitre 
les  qiiatriemes  racines  des  modules.  ()r  toutes  ces  equations  algebriques  en  nombre 
infini  satisfont  ä  une  meme  equation  differentielle  du  troisieme  degre.   savoir: 

S(dJc'(Pk'  -  d)M'k'')-^2dkdX(d]cdn—dkd']c)-\-dk^dk'  ^(^j±^JcW'  —  Q^JdkA  =  0 , 

oü  l'ou  u  a  suppose  constante  aucune  differentielle.     Aussi  j'ai  trouve  quc ,  dans 

certains  cas.  on  retombe  sur  le  meme  module,  de  sorte  que  la  transformation 

devient  multiplication ;   ainsi  k  etant   \^.    on  aura  deux  racines  de  l'equation 

w*  —  v^-\-bu^v'^u~  —  v^]  —  iuv[l  —  u^v^)  =  0      egales    ä      (1+«)^*^     ^'^^    l^n    tire 

t;^  =  K'  =  k'  =  4-.      C'e  sera  dans  tous  les  cas  oü  le  nombre  n  est  la  somme  de 

deux  carres.   n  =  (r-\-ib',   k  etant   s/i-:     la    fonction  elliptique    se  trouve  alors 

multipliee  par   a4:2k'.     On  remarque  des  choses  semblables  dans  les  modules 

qui  sont  lies  dapres  une  echelle  quelconque  avec  k  =  Vi--      C'est  un  genre  de 

multiplication  qui  na  pas  son  analogue  dans  les  arcs  de  cercle.     Je  suis  tres- 

(urieux  de  savoir  votre  avis  sur  ma  demonstration ,  laquelle  ä  la  verite  est  un 

peu  compliquee.     La  nouvelle  d'uiie  troisieme  edition  de  la  Theorie  des  nomhres 

m'a  charme.     Je  n'ai  travaille  sur  cette  science  que  tres-peu  de  temps;   quand  je 

m'aurai  pris  la  liberte  de  vous  communiquer  un  petit  memoire  qui  va  etre  public 

sur  la  theorie  des  residus ,  vous  verrez  que  mes  idees  ne  meritent  pas  la  place 

brillante  que  vous  leur  avez  Offerte.      Aussi    les  recherches    sur   les  fonctions 

elliptiques  doivent  etre  en  quelque  sorte  finies  avant  qu'elles  soient  dignes  de 

former  un  Supplement  ä  un  ouvrage  sans  doute  parfait  dans  toutes  ses  parties. 

Adieu,    Monsieur,   daignez   recevoir   les    respects    les   plus  profonds  que 

m'inspirent  la  superiorite  de  vos  lumieres  et  la  generosite  de  vos  sentiments. 

Jamals  de  ma  vie  je  n'oublierai  cette  bonte  de  pere  avec  laquelle  vous  avez  voulu 

m'encourager  dans  la  carriere  des  sciences. 

Votre  devoue  serviteur, 

C.  G.  J.  Jacobi. 

P.  S.     Le  troisieme  cahier  du  Journal  de  Cr  eile,  que  je  viens  de  recevoir, 
ne  contient  pas  encore  la  suite  du  memoire  de  M.  Abel. 


406  CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE. 

LEGENDRE  A  JACOB! 

Paris  le  9.  fevrier  1828. 

Monsieur , 
Lorsque  j'ai  re9u  votre  lettre  du  12.  janvier,  M.  Schumacher  m'avait  deja 
envoye  le  n°.  127.  de  son  Journal,  oü  se  trouve  votre  demonstration  du  theoreme 
sur  les  transformations  des  fonctions  elliptiques.  J'ai  pris  infiniment  de  plaisir 
ä  votre  demonstration  ou  brille  votre  sagacite  et  que  je  trouve  fort  courte  rela- 
tivement  ä  la  grande  etendue  de  son  objet;  eile  m'a  suggere  quelques  remarques 
dont  j'ai  envoye  un  precis  ä  M.  Schumacher  pour  etre  imprime  dans  son 
Journal,  suivant  le  desir  qu'il  m'en  avait  temoigne.  La  maniere  dont  vous 
passez  de  la  valeur  de  1  — y  ä  celle  de  y,  decomposee  egalement  en  facteurs,  m'a 
paru  tres-elegante ;  mais  ce  qui,  ä  mes  yeux,  fait  le  grand  merite  de  votre 
demonstration,  c'est  l'heureuse  idee  que  vous  avez  eue  de  substituer  ä  la  fois 
JL  a  07  et  —  ä  V.  Cette  double  Substitution  qui  satisfait  ä  l'equation  differen- 
tielle ,  doit  satisfaire  aussi  aux  integrales  qui  la  representent ;  par  ce  moyen  vous 
pouvez  verifier  d'un  trait  de  plume  la  valeur  y  =:^-^,  et  vous  trouvez  pour  seule 
condition  la  valeur  du  module  X  exprimee  en  fonction  du  module  donne  k;  des 
lors  le  theoreme  est  demontre  dans  toute  sa  generalite,  sans  aucun  calcul  penible 
et  par  une  sorte  d'enchantement ;  vous  verrez  dans  ma  note  que  cette  belle  de- 
monstration m'aurait  paru  plus  satisfaisante ,  si  vous  y  eussiez  Joint  quelques 
details  sur  la  serie  des  idees  qui  vous  ont  conduit  ä  la  valeur  supposee  pour 
1  —  y-  vous  pourrez  avoir  egard  ä  mon  Observation  dans  les  autres  parties  de  vos 
recherches  qui  vous  restent  ä  publier.  J'ai  indique  aussi  une  verihcation  de 
votre  theoreme  qu'il  serait  curieux  d'effectuer  et  qui  mettrait  des  ä  present  cette 
decouverte  dans  tont  son  jour.  Par  vos  formules  il  est  facile  de  trouver  la  valeur 
de  la  fonction  T  en  facteurs;  ensuite  l'idee  vient  naturellement  de  faire  les 
substitutions  dans  l'equation 

dU         dV  _  _l T_ 

Udx       Vdx  ~~  M'  UV' 

atin  de  voir  si  eile  est  satisfaite.  L'equation  mise  sous  cette  forme  se  decompose 
dans  les  deux  membres  en  fractions  partielles  dont  les  denominateurs  sont  les 
facteurs  binomes  des  fonctions   U  et  V,  et  il  est  facile  d'avoir  l'expression  gene- 


CORltESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEO  LEGENDRE.  407 

Tale  du  mimerateiir  correspondant  a  nn  factcur  (jiielconque  de   JJ ,  et  celle  du 
numerateur  correspondant  a  un  facteur  quelcoiique  de    V. 

L'identite  de  Tequation  fournira  donc  deux  conditions  generales'  qui  devront 
etre  satisfaites.  Depuis  l'envoi  de  ma  note  j'ai  observe  que  ces  deux  conditions 
se  reduisent  ä  une  seule  que  je  presente  ici  sous  la  forme  la  plus  simple.     Soit 

a„^  l'amplitude  teile  que    F{a„}=—-——K,    la  condition  dont  il  s'agit  et  qui 

doit  avoir  lieu  pour  toute  valeur  de  i  depuis   1  jusqu'a  n,  est  celle-ci : 

V8iD^a2         /Vsin-a4         /         \sin''a2/_2        /V        8in''a2,-)-2^  ^        8m''a2„/ 

=  (1 — Ä;^sin^a2/sin^(Z])(l — Ä;'^sin^a2,  sin^7.3)(l — /i;^sin'^ao,sin^a5)--'(l  — /i;^8in^a2,sin^a2„_i) . 

Cette  equation  doit  etre  vraie  d' apres  votre  demonstration ,  mais  il  serait 
interessant  de  la  deduire  des  premiers  principes  de  la  theorie  des  fonctions 
elliptiques.  Cest  üne  recherche  que  je  laisse  ä  votre  sagacite  et  qui  me  parait 
assez  importante  puisqu'elle  contirmera  d'une  maniere  invincible  Texactitude  de 
votre  theoreme.  Je  suis  parvenu  ä  cette  equation  au  moyen  d'un  lemme  que  j'ai 
deduit  de  vos  formules  et  qui  dans  votre  notation  serait  exprime  ainsi: 


1 

x^ 

sin^ 

coam 

2mK 

2n-\-l 

""  *■"  V^  +  2m:tJ  """  *■"  l"  -  2M^; 


^      72   2  •   2        2m^  „        2mK 


2«-|-l  2n-\-l 

Je  crois  voir  en  ecrivant  ceci  que  ce  meme  lemme  donnera  assez  facilement  la 
demonstration  de  mon  equation. 

J'avais  dejä  connaissance  du  beau  travail  de  M.  Abel  insere  dans  le  Joui-- 
nal  de  Cr  eile.  Mais  vous  m'avez  fait  beaucoup  de  plaisir  de  m'en  donner  une 
analyse  dans  votre  langage  qui  est  plus  rapproche  du  mien.  C'est  une  grande 
satisfaction  pour  moi  de  voir  deux  jeunes  geometres,  comme  vous  et  lui,  cultiver 
avec  succes  une  brauche  d' analyse  qui  a  fait  si  longtemps  Tobjct  de  mes  etudcs 
favorites  et  qui  n'a  point  ete  accueillie  dans  mon  propre  pays  comme  eile  le 
meritait.  Vous  vous  placez  par  ces  travaux  au  rang  des  meilleurs  analystes  de 
notre  epoque ;  nous  voyons  au  contraire  ici  les  talents  peu  nombreux  qui  y  restent 
se  livrer  a  des  rechcrches  vagues   qui  ne  laisseront  que  de  faibles  traces  dans 


408  CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE. 

l'histoire.  Ce  n'est  pas  asse/  d'avoir  du  talent.  il  faut  savoir  choisir  l'objet  dont 
on  doit  s'occuper. 

J'attends  avec  impatience  la  suite  des  rcclierches  que  vous  ferez  paraitre 
dans  le  Journal  de  M.  Schumacher,  et  particulicrement  les  relations  que  vous 
avez  trouvees  entre  deux  modules  qui  peuvent  sc  transformer  Tun  dans  Tautre. 
Vous  me  donnez  pour  le  cas  w  =  3  l'equation 

ä  laquelle  j'ai  ajoute  le  double  signe  ± ;  j'ai  pour  le  meme  cas  donne  dans  mon 
traite  l'equation  1  =  ^€Ci-\-\/bbi  qui  revient  au  meme.  Mais  vous  etes  alle 
beaucoup  plus  loin. 

Je  ne  m'occupe  pas  encore  de  ma  troisieme  edition  de  la  theorie  des  nom- 
bres,  ainsi  vous  avez  tout  le  temps  de  me  faire  pärt  de  ce  que  vous  aurez  imprime 
sur  les  residus  de  differents  degres.  J'ai  dejä  approuve  beaucoup  votre  demon- 
stration  de  la  loi  de  reciprocite  ä  laquelle  pourtant  il  faut  aj  outer  quelques 
developpements ;  je  pourrais  vous  indiquer  dans  cette  partie  des  objets  de  re- 
cherche  qui  ont  une  difficulte  digne  de  vous ;  mais  j'aime  mieux  vous  donner  le 
conseil  de  ne  pas  donner  trop  de  temps  aux  recherches  de  cette  nature.  Elles 
sont  tres-difficiles  et  ne  menent  souvent  ä  aucun  resultat. 

Je  suis  etonne  de  ce  que  vous  n'avez  pas  encore  regu  l'exemplaire  que  M. 
l'ambassadeur  le  baron  de  Werther  avait  promis  de  vous  faire  passer.  II  faut 
le  reclamer  ä  Berlin  si  vous  eprouvez  de  nouveaux  retards. 

Agreez,  Monsieur,  l'assurance  de  mon  estime  bien  sincere  et  de  mon  entier 
devouement. 

Le  Gendre. 

Je  vous  prie  de  ne  pas  prendre  la  peine  d'affranchir,  quand  vous  m'ecrivez, 
il  ne  faut  pas  que  ma  correspondance  vous  soit  onereuse. 


CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE.  409 

JACOBI  A  LEGENDRE. 

Kcenigsberg,  le  12  avril  1828. 

Monsieur , 

II  me  faut  vous  faire  de  grandes  excuses  d'avoir  retarde  aussi  longtemps  la 
reponse  ä  votre  aimable  lettre,  plaine  de  vos  bontes,  qui  fönt  la  plus  douce 
recompense  de  mes  efforts  et  un  grand  bonheur  de  ma  vie.  En  effet,  javais 
espere  de  jour  en  jour  pouvoir  vous  mander  la  fin  dun  premier  memoire  qui 
devait  embrasser  la  plupart  de  mes  recllerches.  Cependant  la  difficulte  de  la 
matiere,  de  mcme  que  les  nouvelles  vues  qui  se  sont  ouvertes  dans  le  cours 
meme  du  travail,  me  fönt  eprouver  de  si  grands  retards,  que  peut-etre  il  ne 
vous  sera  pas  desagreable  si  je  vous  fais  part  des  resultats  principaux  trouves 
jusqu'ici,  et  qui  me  paraissent  dignes  de  votre  interet.  Veuillez  les  accueillir 
avec  la  bonte  dont  vous  m'avez  donne  des  preuves  si  eclatantes  et  qui  seront 
gravees  ä  jamais  dans  mon  coeur. 

Soit  d' apres  ma  notation  (o  = — [n  est  un  nombre  impair) ,  m 

et  m'  designant  des  nombres  entiers  quelconques,  mais  tels  quun  meme  nombre 
ne  saura  etre  diviseur  des  trois,  m,  m',  n.     Vous  verrez  aisement  que  la  demon- 

stration  de  mon  theoreme  s'applique  mot  ä  mot  au  cas  meme  qu'on  met  partout 

TT 

am  tu  au  lieu  de  am  —  •     En  mettant  successivement 

n 

K         2iK'  K±2iK'         K±UK'  K±{n-l)iK' 


-}        ; 


n  n  n  n  n 

on  tire  de   la  un  nombre   ??-f-l    de  transformations  attachees  au  nombre    n  et 

analogues  ä  celle  que  j'ai  donnee  relativement  ä  w  =  — .  EUes  embrassent 
toutes  les  possibles  quand  n  est  premier;  aussi  dans  les  cas  de  n  =  '^,  w  =  5, 
j'ai  montre  que  les  equations  modulaires  montent  au  quatrieme  et  sixieme  degre, 
comme  cela  doit  etre.     De  ces  modules,  au  nombre  de  w-f-1,   il  n'y  a  que  deux 

qui  soient  reels ,  savoir :   ceux  qui  repondent  a    (o  =  —    et  a    to  =  — — .     La 

derniere  transformation ,  savoir:  celle  qui  repond  a    o)  = ,   est  precisement 

la  meme  qui  fournit  le  theoreme  complementaire.     Pour  demontrer  ceci,  il  faut 
remonter    aux    formules    analytiques   concernant    la   multiplication ,   donnees  la 
premierc  fois  par  M.  Abel.     J'en  cite  les  trois  suivantes,  presentees  d'apres  la 
I.  52 


410  CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE. 

forme  sous  laquelle  vous  considerez  les  fonctions  elliptiques,  et  dans  laquelle 
j'ai  eu  soin  de  vous  suivre : 

(1.)      smam{ni,Jc)  =  (-1)'^  h^  U  sin  am  (|  +  ^^nK+^2m'iK'^  ^ 


1              „  .  ,            2mK-\-2m'iK' 
(2.)  — i— r  =    llsm*coam ■ 

H-i                .  ,           2mK-\-2m'iK' 
,     ^.-^  sin^'coam ■ 

/o  ^        (-1)'    =  n ^ 

sin^  am  — 


n 


Les  produits  designes  par   FI    embrassent  tous  les  facteurs  differents  entre 
eux  que  l'on  obtient  en  donnant  ä   m,  m    des  valeiirs  en  nombres  entiers  positifs 


ou  negatifs. 


Les  trois  formules  principales  relatives  ä  la  transformation  compl^mentaire 
sont  : 

sin  am  (w; ,  h) 

JW  .          %    .         (\    .    4iA'\   .          (l     .    8iA'\       .         (l     ,  4(w-l>A'\,      ,  .- 
:V^-^sinam^smam(^j^  +  -^Jsmam(^j^  +  --j...smam(^-j^  +  -i-^^ J  ^^^^- ^^ 


y^      \  /i  I       y'^      \     /.  1  2/' 


(1.)         «M.A+^4^    x+^^^  ...A+         l_^^, 

'  \         tg^am /\         tg-^am /       \         tg^am-^ — 


n        \  n 


(mod.X'), 


(       (^l-fAng^am^?/^)(lH->^'tg^am^y^)--.(l+Ang^am^^    ^^^  y^ 

A;  =  X  I  sm  coam sm  coam sin  coam •  •  sm  coam  -^^ —  )  (mod.  k) , 

\  n  n  n  n        y  \  ji 

(2.)  {  r 

=  TT 2Ä\ 4Ä' ; (r.-l)A'Y  ^'^'^-  ^'^ ' 

l  A  am A  am •  •  A  am  ^ ~ —  ) 

\  n  n  n       / 

/   .             2A'    .             4A'          .             (w-l)A'-  2 
/  sm  coam sm  coam •  •  sm  coam  -^^ ~ — 

(^•^  '  W  =  l : 2X^. lA' : in-l)iV       I  (°^^^-  ^  ) ' 

\        sm  am sm  am •  —  sm  am  -^^ — 

^  n  n  n 

QU  l'on  a  mis 

?/  =  sinam(^>A^,     l^-\-X'^  =  l, 

A  =    p"         ^?  A'  =    f^  ^'^ 

Jo   Vi— ^^sin^?  '  ^  0   Vi— X'^ 


sin^cp 


CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE    AVEC  LEGENDRE.  411 

II  faut  aj outer  que  la  theorie  de  la  prämiere  transformation  donne    A  =  -^ , 

K'  .  *'^ 

A  =  ^rr-.     Demontrons  la  premicre  de  ces  formules. 

Si,  dans  la  formulc  suivante,  qiii  concerne  la  premiere  transformation: 
sinam(^;A)  =  (-l)'^y^^smamUmam(^  +  ^)8inam(e  +  ^)---sinam(3  +  ^^^ 

onmet  ,  +  ^  an  lieu  de  ^^  devenant   ^+^=^^4-^'.  on  a : 


w-l 

( — 1)  2  sin  am 


oü  l'on  donne  ä  m  les  valeurs    0.  ^\,  ^2,  +3,   . 

formule,  mettant  successivement  7?i'  =  0.  +1^  +2, 
produit,  on  a: 

(-1)2   nsmam(^^  +  -^-.AJ  =  \/ -^U 
Mais  la  formule  designee  par  $  (1.)  donne: 


4.  n—1 

—      2 
1    n — 1 


Dans  cette 
}  et  formant  le 


sin  am 


2mK^  2m' iK' 


) 


d'oü  l'on  tire 


»i— 1     n'—\  , 

sin  am  «^  =  ( — 1)  2^2    Hsinamfc 


sinam(w?.Ä;)  =  y^Osinamf^ 


2mK-\-2niiK' 


2m'i\' 


;) 


0' 


ce  qui  est  la  formule  ä  demontrer.  De  la  meme  maniere  on  demontrc  les  deux 
autres  au  moyen  des  formules  Q  (2.),  (3.).  La  formule  dont  j'ai  fait  mention 
dans  ma  premiere  lettre  resulte  des  memes  principes. 

Si  Ion  met  dans  ces  deux  transformations  iz  au  lieu  de  ^.  on  a  la 
transformation  du  module  k'  dans  le  module  X',  et  vice  versa.  Xommant  X^  le 
second  module  reel  dans   lequel  on  sait  transformer  le  module  k  et  qui  repond 

2iK' 
ä  ü)  = ,  on  verra  que  X  depend  de  la  meme  maniere  de  k  que  k  de  Xj.  X, 

rv 

de  k'  et  k'  de  X',  X[  etant  le  complement  de  Xj.  Donc  si  Ion  forme  d'apres  la 
meme  loi  deux  echelles  relatives  a.  k  et  k',  trois  termes  consecutifs  seront  dans 
l'une  . . .  X,  Ar^  Xj,  . , .  et  dans  l'autre  ...  X'j,  k',  X'  . . . ,  theoreme  que  vous  avez 
demontre  dans  les  cas  de  71  =  2  et  de  n  =  d. 

52* 


412  CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE. 

On  pourrait  d'une  maniere  analogue  passer  ä  la  multiplication  par  le  moyen 
du  module  Xj ,   de  meme  que  par  le  moyen  des  autres  modules  imaginaires. 

Faisons    6  =  — ,  w  =  oo,    on  aura  dans  cette  limite    X  =  0  ,    et  par  conse- 

n  ^ 

quent  A  =  ^ ;  les  formules  A  =  -^ ,  A'  =  ^jrp-  donnent  wM  =  — ,  —  =  -^-p  =  '^-^ ; 

^  2  nM.  M.  T,       n       nM        2K 

on  aura  de  plus  : 

La  formule  (1 .)  peut  s'ecrire  de  la  maniere  suivante : 


sin^am /\        sin'am i     \        sin^am 

n   /  \  n 


sinam(w|,  Ä)  =  -. ^ r— ) 2 \ 7 2 r-(mod.X) 


.  „       («— 2)iA' 
sm  -*  am  ^^ — 


n 


De  lä  on  tire,  dans  le  cas  de  n  =  00^ 

1— 


y'^      \  /1  y^ 


.   ,  2i-K'  .   ,  Sij:K' 


y^      x/-,         r 


''""-2^    \        ^^°   -2-r. 


-KU 


y   etant   sin— ^.      Soit  e^^  =  C7,  e    «  =q;    cette  formule  se  transforme  dans 
celle-ci : 

sin  am  {ii,  k) 

TT       V       2*       y  [(1—  qU^){l—q^U%—q'U'^)...']{{l—qU-^)(l—q^U-^)(l—q''U-^)...y 

ou  l'on  a  mis     A  =    )- — ^^^^^ — ^^()- — ~,^-^    .      Si  Ton  met  dans   cette  formule 

l{l-q')il—q%l—q^)...] 

u-\-iK'   au  lieu  de  w,   U   deviendra     SJqU;    de  lä  on  tire,  en  remarquant  que 


sinarnfM+ifi"')  = -^-^ ,   la  valeur  de    A  =^    '_      •      De  la  meme  maniere 


sJkK 

on  trouve  au  moyen  des  expressions  semblables  pour    cos  am  w,  Aamw  etc. ,    les 
valeurs  des  produits  suivants  : 


COKRESPONDANCE 

MATHEMATIQUE 

AYEC  LEGENDRE. 

[(l-2)(l-5 

3)(l-g^). 

"T  = 

2k'\/q 
sß    ' 

[(l+9)(l+2 

^Xl+r/). 

-Iß 

\lkk'  ' 
2kk'K^ 

413 


[(l-2^)(l-r/Xl-g6)...]6== 


\/qrJ 


sommations  tres-remarquables ,  ce  me  semble. 

Comme  on  a  ^  =  n^,  ^  =  —^,    on  voit  quen  mettant  seulement 
A  A        A^  n    K 

1 

^"  ou  q"    au  lieu  de  q,  on  tire  de  ces  formules  aussitot  les  expressions  semblables 
relatives  aux  modules  transformes  X,  X^.     Ainsi  on  aura,  par  exemple,' 

ün  ne  saura  guere  reconnaitre  de  la  nature  de  ces  produits  que  ces  deux 
expressions  dependent  algehriquement  l'une  de  Tautre.  Je  remarque  encore  que, 
conune  on  a 


k'  = 


Xl-q){l-q'){l-q')...Y        22  _   . 


on  aura  aussi: 

[(l_5)(l_^3)(i_r/)...]«+16g[(l+r/)(l+g^)(l  +  2').--?  =  [(l  +  2)(l  +  3')(l  +  ö')---?^ 

equation  difficile  ä  prouver  au  moyen  des  methodes  connues.    On  y  saura  ajouter 
nombre  d'autres. 

8i  Ton  met  u-\ au  lieu  de  u,  U  sc  chano-e  en  all,  011  a"  =  1. 

n  ^  o 

De  lä  se  deduit  de  la  formule  pour  sin  am  m  une  nouvelle  verification  assez 
facile  de  ma  premiere  transformation. 

Je  passe  ä  d'autres  recherches.      Soit 

(  ^~2~')  ^^^~  ^' ^')(1— g"  U^)0^-(f  m . . .][(!- g'  U-'Xl-q'  U-')il—q' U-') . .  ■] 
=  a{U—U-'')-{-a"{U^  —  U-^)-{-a"{U''  —  U-'^)-i 


414  COEEESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDEE. 

Si   Ton    met    dans    ce  produit    qV    au  lien  de    U,    il  sera  multiplie  par 
(qTJ-r^V-^\  r ^4)  =  - 4^ •      De  lä  suit : 


ou 


a"  =  —qhi,      a'"  =  —q^a\       a''  =  —q^a!",  . . ./ 


a  a  a  a 

de  Sorte  qu'on  aura  ce  produit  egal  a 

a'[U—U-^  —  q%U^—U-^)  +  q^{U'-U-^)  —  q'\U'  —  ü-'')  +  q''iU'—U-') ]• 

De  la  meme  maniere  on  trouve : 

[{l—qU')il-q'U'Xl—q'ü'). ..-][{!— qU-^){l—q'U-')il—q''U-^)...-] 
=   b[l—qiU^-{- ü-^)  +  q^U^-j- U-')  -  q\  U'-\- ü'^)  +  q''{  U^+  ü-^) . . .] , 
a'  et  b  designant  des  constantes. 
On  aura  donc 

_  U—U-i  —  q\U'—U'^)-\-q'iU'-U-^)  —  q'\U''—U-')-\---' 

La  constante   C  se  determine  encore  au  moyen  de  la  formule 

8mam.(u-\-iK')  =  ^— ; , 

^  KSinamu 

en  remarquaiit  que  ü  se  cliange  en  \qU  en  meme  temps  que  u  devient  u-{-iK'. 

On  la  trouve  egale  ä  -^^=r,  de  sorte  qu'il  vient,  en  mettant  u  = ; 

iS/k  -^ 

1  9  lA  ±9 

(1.)     sin  am  —  ^  ^  '  ^  ^  i 


v/^    1 — 2q  cos  2x  -j-  2g*  cos  4a;  —  2g^  cos  6x  -\-  2q^^  cos  8:c 

J'y  ajoute  les  trois  semblables : 

,  g  £5  49 

/„  V  2Äz;    oif^        q"^ cos  X -\- q^  cos  Sx -\- q*  cos  bx~{-q*  cos  7 x-\ — • 

"^  K  V  A;    1 — 2g  cos  2a;  +  2g*  cos  4a;  —  2g^  cos  6a; -f  2g ^^  cos  Sa; ' 

,Qx         .         2Za;    /p  1+ 2g  cos  2a;  4"  2g*  cos  4a; -f2g^  cos  6a;  +  2g  ^^  cos  8a;-] • 

IC  *      1 — 2g  cos  2a; -|- 2g*  cos  4a;  —  2g^cos6a;4-2g*^cos8a; 

2Kx       siöy  +  ^smy  — g^sm  — —  g6sm  — +  gi0gi^__^2i5giii_ 

(4.)      tgiam = — 

cos—-  —  gcos-T g^'cos  — -t-g''cos— -|-g^"cos— g^^cos-^r 

Z  Z  ii  'S  2  u 


CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE.  415 

Je  remarqiie  encore  les  formules  suivantes : 


^ 


2K 

■^  =  14- 2g  +  25* +  2g'^  4- 25164. 


VF  = 


1+2(7 +25'^  4229+2516+-  • 

1— 2g  +  25^  —  2(f  +  25I6 

1  +  2g  +  2g*  +  2g9  +  2gi6  +^ 


dont  la  premiere  est  la  plus  remarquable. 

Quant  ä  rimportance  de  ces  formules,  vous  la  sentirez  mieux  que  je  ne 
pourrais  le  dire.  Aussi  elles  ne  seront  pas  sans  interet  pour  les  celebres  geo- 
metres  qui  s'occupent  du  mouvement  de  la  chaleur ;  les  numerateurs  et  les  denomi- 
nateurs  des  fractions  par  lesquelles  on  a  exprime  les  fonetions  trigonometriques 
de  l'amplitude  etant  souvent  rencontres  dans  ladite  question.  Je  finirai  ici  l'ex- 
position  rapide  des  resultats  principaux  trouves  jusqu'ici. 

Vous  auriez  voulu  que  j'eusse  donne  la  chaine  des  idees  qui  m'a  conduit  ä 
mes  theoremes.  Cependant  la  route  que  j'ai  suivie  n'est  pas  susceptible  de 
rigueur  geometrique.  La  chose  etant  trouvee,  on  pourra  y  substituer  une  autre 
sur  laquelle  on  aurait  pu  y  parvenir  rigoureusement.  Ce  n'est  donc  que  pour 
vous,  Monsieur,  que  j'aj oute  le  suivant: 

La  premiere  chose  que  j'avais  trouvee  (dans  le  mars  1827),  c'etait  l'equation 

— -  =  — — — — ;  de  la  je  reconnus  que,  pour  un  nombre  n  quelconque,  la 

Jjll  CIJU  CXJb 

transformation  etait  un  probleme  d'analyse  algebrique  determine,  le  nombre  des 
constantes  arbitraires  egalant  toujours  celui  des  conditions.  Au  moyen  des 
coefficients  indetermines ,  je  formal  les  transformations  relatives  aux  nombres 
3  et  5.  L'equation  du  quatrieme  degre  a  laquelle  me  mena  la  premiere  ayant 
presque  la  meme  forme  que  celle  qui  sert  ä  la  trisection,  j"y  soupgonnais  quelque 
rapport.  Par  un  tätonnement  heureux,  je  remarquais  dans  ces  deux  cas  Tautre 
transformation  complementaire  pour  la  multiplication.  liä  j'ecrivis  ma  premiere 
lettre  ä  M.  Schumacher,  la  methode  etant  generale  et  verifiee  par  des  exemples. 

Depuis,  examinant  plus  de  proche  les  deux  substitutions  z  =  ^J^  ^^  , 
y  =     ijj  ^  2      '^^^^  ^^^  forme  presentee  dans  ma  premiere  lettre,  je  vis  qu etant 


416  CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE. 

niis  a?  =  sinam ?  z   devra  s'evanouir,  et  comme,   clans  ladite  forme,    —  etait 

3  Oj 

positif ,  j'en  conclus  que  y  devra  s'evanouir  aussi.  De  cette  maniere  je  trouvai 
par  induction  la  resolution  en  facteurs,  laquelle  etant  confirmee  par  des  exemples, 
je  donnai  le  theoreme  general  dans  ma  seconde  lettre  ä  M.  Schumacher. 
Ensuite,  ayant  remarque  l'equation  sinam(i^,  Ä:)  =  itgam(?,  Ä'),  j'en  tirai  la 
transformation  de  k'  en  X'.  J'avais  donc  deux  transformations  diiferentes,  l'une 
de  k  dans  un  module  plus  petit  X,  l'autre  de  k'  dans  un  module  plus  grand  X'. 
De  lä,  je  fis  la  conjecture  qu'en  echangeant  entre  eux  Ä'  et  X,  k  ^i  X',  on  aurait 
l'expression  analytique  de  la  transformation  complementaire.  Tout  etant  con- 
firme  par  des  exemples,  j'eus  la  hardiesse  de  vous  adresser  une  premiere  lettre*), 
qui  a  ete  accueillie  de  vous  avec  tant  de  candeur.  Les  demonstrations  n'ont  ete 
trouvees  que  ci- apres. 

Le  14  fevrier  dernier,  j'ai  enfin  recu  votre  excellent  cadeau  par  la  honte 
de  M.  de  Humholdt,  qui  me  l'a  fait  parvenir  aussitot  qu'il  arriva  ä  Berlin. 
II  fera  l'etude  de  ma  vie. 

M.  Schumacher  m'a  donne  connaissance  de  ce  que  vous  lui  avez  ecrit 
du  theoreme  complementaire;  je  me  suis  donc  empresse  de  faire  partir  cette 
lettre,  et  je  Ten  avertirai.  II  faut  m'excuser,  Monsieur,  si  la  bonne  opinion 
que  vous  avez  bien  voulu  avoir  pour  moi  me  rend  un  peu  timide  a  presenter  des 
choses  trop  imparfaites  a  un  si  grand  maitre. 

M.  Grelle  m'a  ecrit  que  la  continuation  du  memoire  de  M.  Abel  s'im- 
prime  dejä.  Je  l'attends  avec  impatience.  Quant  ä  M.  Gauss,  il  n'a  rien 
encore  public  sur  les  fonctions  elliptiques,  mais  il  est  certain  qu'il  a  eu  de  jolies 
choses.  S'il  a  ete  prevenu  et  peut-etre  surpasse,  c'est  une  juste  peine  de  ce 
qu'il  a  repandu  un  voile  mystique  sur  ses  travaux.  Je  ne  le  connais  pas  person- 
nellement,  ayant  etudie  la  philologie  ä  Berlin,  oü  il  n'y  a  pas  des  geometres  de 
distinction. 

Daignez  accueillir  l'assurance  de  mon  respect  le  plus  profond. 

Votre  devoue 

C.  G.  J.  Jacobi. 

*)  Je  l'avais  donnee  ä  un  jeune  marchand  que  je  ne  connaissais  pas  personnellement ;  on  m'avait 
dit  qu'il  allait  droitement  ä  Paris;  mais  il  a  passe  plusieurs  mois  dans  les  capitales  de  l'AUemagne.  De 
lä  s'est  fait ,  ä  mon  grand  depit ,  le  retard  de  cette  lettre. 


CORKESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE.  417 

LEGENDRE  A  JACOBI 

Paris,  le  14  avril  1828*). 

Monsieur , 
Je  viens  de  recevoir  iine  lettre  de  M.  Schumacher  qui  m'apprend  qua 
vous  iie  lui  avez  rien  envoye  pour  etre  imprime  dans  son  Journal.  J'avais 
l'esperance  que  votre  premiere  publication  contiendrait  la  demonstration  de  votre 
Theoreme  II. ,  laquelle  m'interesse  d'autant  plus  que  j'ai  lieu  de  croire  que  ce 
n'est  que  par  un  artifice  nouveau  et  tres-ingenieux  que  vous  etes  parvenu  ä  cette 
demonstration.     En  effet,  si  on  fait  conformement  ä  vos  denominations 

"^   '  ^  ''         p       ^    '^       ^  sm '/        °  sm  <}i 

et  enfin 

on  aura  la  formule  du  Theoreme  IL : 

F{li,  {})  =  [xi^(X,  ^) 

laquelle  etant  combinee  avec  celle  du  theoreme  L ,  donne 

F{1,^)  =  pF{Jc,<p). 

Je  trouve  aisement  par  les  donnees  du  Theoreme  IL,  qu'en  faisant   -y'  ^=  cot*(j>', 
Y'"  =  cot^  (};'",  ...  5  x  =  sin  ^ ,  ^  =  sin  & ,  on  a 


y  = 


et  de  lä 

/2     ,„2    v2 


\^ 


2j^p-2 


Ces  valeurs  entierement  determinees  satisfont  a  ce  bcau  principe  de  transfor- 

1 


mation  qui  vous  est  du,   savoir  qu'on  peut  mettre  a  la  fois        .         ä  la  place 


*)  Cette  lettre  s'est  croisee  avec  celle  du  12  avril  1828  adressee  par  Jacobi  ä  Legend re. 

B. 

53 


418  CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE. 

de  sinO  et  -^ —  ä  la  place  de  sind».     Mais  pour  rendre  la  demonstration  com- 
plete  et  semblable  ä  celle  du  Theoreme  I. ,  il  faudrait  dans  l'equation 

P 


\Jl-yy  =    Sjl— 


pouvoir  exprimer  le  numerateiir  P  en  produit  de  facteurs  (l4-o«^^)(lH-3"V) . . . 
dont  011  connaitrait  Texpression  generale.  Or  c'est  ce  qui  parait  presenter  une 
teile  difficulte  que  je  n'ai  vii,  apres  plusieurs  recherches,  aucun  moyen  de  la 
resoudre.  II  serait  d'ailleurs  fort  snperflu  que  j'employasse  beaucoup  de  temps 
ä  cette  recherche  puisque  la  gloire  de  la  decouverte  vous  appartient  tout  entiere 
et  qu'il  n'entrerait  nullement  dans  mon  esprit  d'en  revendiquer  la  moindre  partie. 
Vous  voyez  donc,  Monsieur,  combien  vous  m'obligeriez  de  vouloir  bien  satisfaire 
mon  impatience ,  en  me  donnant  les  directions  necessaires  pour  parvenir  ä  votre 
demonstration.  Je  presume  que  ma  demande  n'exige  pas  de  tres-longs  deve- 
loppements,  et  qu'il  vous  sera  facile  de  me  mettre  sur  la  voie  de  votre  belle 
decouverte  qui  excite  ma  curiosite  au  plus  haut  degre.     Intelligenti  pauca. 

J'ai  l'intention  d'inserer  dans  les  memoires  de  notre  Academie  une  notice 
de  vos  deux  theoremes,  pour  reveiller  la  paresse  de  nos  jeunes  auteurs,  et  les 
engager  ä  ne  pas  rester  si  longtemps  dans  l'ignorance  de  la  belle  theorie  que 
vous  avez  su  elever  ä  un  degre  de  perfection  inattendu. 

M.  Bessel  a  mande  a  M.  Schumacher  que  vous  etes  fortement  occupe 
de  la  redaction  d'un  grand  memoire  sur  les  fonctions  elliptiques.  Ce  travail 
contiendra  saus  doute  des  developpements  curieux  et  tres  -  interessants  de  votre 
nouvelle  theorie ;  il  ne  pourra  manquer  de  vous  faire  beaucoup  d'honneur ;  mais 
je  vous  engage  de  ne  pas  trop  tarder  ä  publier  les  parties  essentielles  de  ce 
travail.  II  y  a  des  gens  comme  M.  Gauss,  qui  ne  se  feraient  pas  scrupule  de 
vous  ravir,  s'ils  le  pouvaient,  le  fruit  de  vos  recherches.  et  de  pretendre  qu'elles 
sont  depuis  longtemps  en  leur  possession.  Pretention  bien  absurde  assurement; 
car  si  M.  Gauss  etait  tombe  sur  de  pareilles  decouvertes  qui  surpassent  ä  mes 
yeux,  tout  ce  qui  a  ete  fait  jusqu'ici  en  analyse,  bien  sürement  il  se  serait 
empresse  de  les  publier. 

Veuillez,  Monsieur,  presenter  mes  civilites  ä  M.  Bessel  que  je  n'ai  pas 
l'honneur  de  connaitre,  mais  que  je  regarde  comme  Tun  des  premiers  astronomes 
de  l'Europe.      J'ai    vu    dans   un    n°.  des  Astronomische  Abhandlungen  un  joli 


CORRESPONDAJsCE  MATHEMATIQÜE  AVEC  LEGENDRE.  419 

memoire  de  M.  Bessel,  oü  il  perfectionne  la  methode  des  cometes  de  M. 
Olbers  par  un  moyen  semblable  ä  celui  quo  j'ai  employ^  dans  le  second 
Supplement  de  ma  methode  publie  en  aoüt  1820. 

J'ai  Thonneur  d'etre,  Monsieur,  votre  tres-humble  serviteur 

Le  Gendre. 

Je  compte  sur  une  prompte  reponse ,   et  vous  prie  instamment  de  ne  ])oint 
l'affranchir  ä  moins  qu'il  ne  soit  impossible  de  faire  autrement. 


LEGENDRE  A  JACOB! 

Paris,   le    11  mal   1828. 

Monsieur, 
J'ai  re^u  le  26  avril  votre  derniere  lettre  datee  du  12,  ou  se  trouvent 
contenus  les  principes  de  la  demonstration  de  votre  theoreme  complementaire, 
qu'il  me  tardait  d'autant  plus  de  recevoir  de  vous,  que  je  n'avais  guere  esperance 
de  trouver  cette  demonstration  par  mes  propres  recherches  comme  j'aurais  pu 
faire  peut-etre  dans  un  age  moins  avance  oü  l'on  est  capable  de  supporter  plus 
aisement  une  grande  contention  d'esprit.  Je  vous  avais  ecrit  le  14  du  meme 
mois  pour  obtenir  de  votre  complaisance  cette  communication  qui  mlnteresse  au 
plus  haut  degre,  mais  je  vois  par  la  date  de  votre  lettre  que  c'est  a  la  pressante 
vSoUicitation  de  M.  Schumacher  que  vous  vous  etes  rendu  ä  mes  desirs,  et 
que  vous  les  avez  en  quelque  sorte  prevenus.  Maintenant,  Monsieur,  vous 
apprendrez  peut-etre  avec  quelque  peine  que  depuis  le  26  avril  que  votre  lettre 
m'est  parvenue,  je  n'ai  pas  ete  encore  en  etat  de  me  faire  une  juste  idee  de  la 
belle  methode  par  laquelle  vous  etes  parvenu  a  deduire  votre  theoreme  IL  ou 
complementaire  du  theoreme  I. .  dont  la  demonstration  ne  laisse  rien  ä  desirer. 
N'en  concluez  pas  que  j'aie  quelque  objection  ä  faire  ä  votre  methode  qui  sans 
doute  est  une  nouvelle  preuve  de  votre  sagacite;  mais  j'ai  ete  tellement  malade 
d'un  catarrhe  qui  m'a  tourmente  tout  l'hiver  et  qui  s'est  singulierement  aggrave 
au  printemps ,  que  toute  etude  serieuse  m'a  ete  interdite  depuis  une  vingtaine 
de  jours,  et  que  je  suis  devenu  incapable  d'entendre  mes  propres  ouvrages.  Cet 
etat  commence  cependant  a  s'ameliorer,  et  j'espere  dans  peu  etre  en  etat  de 
reprendre  mes  occupations  ordinaires:  ce  scra  pour  moi  une  grande  satisfaction 

53* 


420  CORRESPONDANCE  MATHEMATIQÜE  AVEC  LEGENDRE. 

de  pouvoir  comprendre  votre  nouvelle  deraonstration  qui  sera  la  premiere  chose 
dont  je  m'occuperai.  En  attendant  qu'un  examen  approfondi  me  mette  en  etat 
d'apprecier  tonte  sa  valeur,  je  dois  vous  faire  part  d'une  ou  deiix  observations 

peil   importantes.     Ayant    etabli     w  = \- ■ ,    vous    dites   qii'on  peiit 

prendre  pour  m  et  m  des  nombres  entiers  quelconques,  mais  qui  naient  aucun 
diviseur  commun  avec  le  nomhre  impair  donne  n.  II  me  semble  que  si  cette  re- 
striction  avait  lieii,  l'equation  pour  la  division  d'une  fonction  elliptique  en  n 
parties  ne  serait  plus  du  degre  w^,  ce  qui  a  pourtant  lieu  meme  quand  n  n'est 
pas  im  nombre  premier. 

Seconde  Observation.  Pour  etablir  le  principe  de  votre  demonstration  il 
faut,  dites-vous,  recourir  aux  formules  analytiques  concernant  la  multiplication, 
donne  es  pour  la  premiere  fois  par  M.  Abel.  Cet  aveu  qui  prouve  votre  candeur,  qua- 
lite  qui  s'accorde  si  bien  avec  le  vrai  talent,  me  fait  quelque  peine;  car  tont  en 
rendant  justice  au  beaii  travail  de  M.  Abel,  et  le  mettant  cependant  fort  au- 
dessous  de  vos  decouvertes,  je  voudrais,  que  la  gioire  de  celles-ci,  c'est-ä-dire 
de  leurs  demonstrations,  vous  appartint  tont  entiere.  Mais  euiin  je  me  consolerai 
aisement,  la  science  n'y  perd  rien;  vos  demonstrations  ne  vous  appartiennent 
pas  moins,  quelque  part  que  vous  en  ayez  pris  les  bases,  soit  dans  mes  ouvrages, 
soit  dans  le  travail  recent  et  tres-estimable  de  M.  Abel. 

L'espace  me  mai||ue  pour  m'etendre  davantage  dans  une  reponse  qui  n'est 
que  provisoire.  Je  vous  remercierai  une  aiitre  fois  de  la  franchise  entierement 
gracieuse  avec  laquelle  vous  avez  satisfait  ä  ma  demande  sur  les  moyens  que  vous 
aviez  employes  pour  parvenir  ä  de  si  beaiix  resultats. 

Votre  tont  devoue 

Le  Gendre. 


LEGENDRE  A  JACOBL 

Paris,  le  16  juin  1828. 

Monsieur , 

Depuis  le  jour  oü  je  me  suis  trouve  en  etat  de  vous  ecrire  pour  vous  faire 

mes  remerciments  au  moins  provisoires  sur  les  precieux  renseignements  que  vous 

aviez  eu  l'obligeance  de  m'adresser  dans  votre  lettre  du   12  avril  dernier,  ma 

sante  s'etant  progressivement  amelioree,  j'ai  enfin  reussi  a  deduire  la  demon- 


CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE.  421 

stration  du  theoreme  II.  de  celle  du  theoreme  I. ,  sans  avoir  recours  aux  formules 
de  M.  Abel,  ce  qui  m'a  entierement  satisfait;  je  serais  parvenu  sans  doute 
beaucoup  plus  tot  ä  ce  resultat  si  j'avais  pu  me  livrer  ä  un  examen  plus  appro- 
fondi  des  differents  objets  contenus  dans  votre  lettre,  mais  l'etat  de  souffrance  oü 
je  suis  reste  pendantlongtemps  m'avait  rendu  incapable  de  tout  travail  et  m'aurait 
meme  empeche  d'entendre  mes  propres  ouviages.  Maintenant,  Monsieur,  je  me 
propose  de  rediger  un  memoire  qui  contiendra  la  demonstratio!!  de  vos  deux 
theoremes  et  quelques  accessoires,  en  me  conformant  aux  principes  de  votre 
theorie,  et  rendant  d'ailleurs  toute  la  justice  que  je  dois  au  merite  de  vos  decou- 
vertes  que  personne  ne  sait  et  ne  saura  jamais  mieux  apprecier  que  moi.  Ce 
memoire  est  destine  ä  paraitre  dans  le  recueil  des  memoires  de  notre  Academie, 
mais  il  ne  pourra  pas  etre  imprime  de  sitot ,  et  vous  aurez  sans  doute  le  temps 
de  faire  paraitre  bien  a  l'avance  la  suite  de  vos  savantes  recherches,  soit  dans  le 
Journal  de  M.  Schuniacher,  soit  dans  tout  autre  recueil  destine  aux  sciences. 

Je  n'ai  pu  que  toucher  tres-legerement  dans  ma  derniere  lettre  ce  que 
j'avais  ä  vous  dire  sur  la  communication  pleine  de  franchise  que  vous  m'avez 
faite  de  la  filiation  des  idees  qui  vous  ont  conduit  ä  vos  belles  decouvertes  sur  les 
fonctions  elliptiques,  je  vois  que  nous  avons  couru  tous  deux  des  dangers,  vous 
en  annoncant  des  decouvertes  qui  n  etaient  pas  encore  revetues  du  sceau  d'une 
demonstratio!!  rigoureuse,  et  moi  en  leur  donnant  publiquement  et  sans  restriction 
mon  approbation  tout  entiere.  Nous  n'avons  pas  ä  nous  repentir  ni  Tun  ni  l'autre 
de  ce  que  nous  avons  fait.  D'ailleurs  nous  avions  chacun  nos  raisons  de  nous 
conduire  ainsi;  je  ne  dirai  rien  des  votres,  quant  ä  moi  je  voyais  tres-clairement 
que  des  resultats  tels  que  ceux  que  vous  aviez  obtenus,  ne  pouvaient  etre  l'efFet 
ni  'du  hasard ,  ni  d'une  induction  trompeuse,  mais  bien  d'une  theorie  profonde  et 
appuyee  sur  la  nature  des  choses,  d'ailleurs  il  m'avait  ete  facile  au  moyen  de  mes 
tables  et  avec  tres-peu  de  calcul  de  verifier  vos  resultats  pour  le  cas  du  nombre  7, 
et  apres  les  avoir  trouves  exacts  jusqu'ä  cinq  ou  six  decimales,  il  ne  me  restait 
aucun  doute  sur  l'exactitude  rigoureuse  de  la  formule. 

Vous  avez  eu  la  bonte  dans  votre  derniere  lettre  et  dans  les  precedentes  de 
me  reduirc  a  des  expressions  plus  simples  quelques -uns  des  beaux  resultats  de 
M.  Abel.  Je  trouve  comme  vous  que  ces  resultats,  qui  sont  fort  interessants, 
ont  ete  presentes  par  leur  jeune  et  ingenieux  auteur,  d'une  maniere  fort  metho- 
dique,  mais  un  peu  embrouillee;  je  ne  vois  ])as  par  excmplc.  pourquoi  il  s'est 


422  CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE. 

si  fort  appesanti  sur  les  proprietes  des  fonctions  qu'il  designe  par  f  et  F;  sans 

doute  il  aurait  pii  atteindre  son  but  sans  le  secours  de  ces  fonctions.     Au  reste  je 

pense  que  dans  la  siiite  de  vos  publications  voiis  presenterez  ä  votre  maniere  les 

belies  formules  de  M.  Abel,  et  que  vous  donnerez  ä  son  travail  plus  de  precision 

sans  qu'il  perde  rien  de  son  elegance  ni  de  sa  generalite. 

Agreez,  Monsieur,  les  sentiments  d'estime  et  d'attachement  que  j'ai  voues 

pour  toujours  ä  votre  talent  et  ä  votre  caractere. 

Le  Gendre. 

P.  S.     II  serait  possible  que  je  fasse  bientot  un  voyage  de  2  mois  dans  le 

midi  de  la  France  pour  retablir  ma  sante.     Dans  ce  cas  il  ne  faudrait  pas  vous 

etonner  si  une  lettre  que  vous  pourriez  m'adresser  dans  cet  Intervalle,  restera  assez 

longtemps  sans  reponse,  parce  que  je  n'en  aurais  connaissance  qu'ä  mon  retour. 


JACOBI  A  LEGENDRE. 

Koenigsberg,  le  9  septembre  1828. 

Monsieur , 

La  lettre  dans  laquelle  vous  m'aviez  mande  votre  maladie  de  l'hiver  passe 
m'a  cause  de  grandes  peines,  et  j'ai  attendu  avec  la  plus  vive  inquietude  la  nou- 
velle  de  l'amelioration  de  votre  sante  qui  m'est  enfin  parvenue.  L'avis  que  vous 
avez  voulu  me  donner  en  meme  temps  de  votre  depart  pour  le  midi  de  la  France 
a  cause  le  retard  de  ma  reponse.  Fasse  le  ciel  que  ce  voyage  vous  ait  entiere- 
ment  satisfait! 

Ma  derniere  lettre  a  ete  ecrite  un  peu  ä  la  hate ;  sans  cela  je  n' aurais  pas 
cru  que  l'on  doit  supposer  connues  les  formules  de  multiplication  pour  la  demon- 

stration  du  theoreme  complementaire.     Aussi  il  avait  ete  trouve  et  communique 

V  TT' 

ä  vous  sans  la  connaissance  de  celles-ci.     En  effet,  l'equation  ^  z=^  n-—   montre 

que  k  depend  de  la  meme  maniere  de  \  que  X'  de  k' ;  d'oü  il  suit  qu'en  appli- 
quant  au  module  \  la  meme  transformation  qui  sert  ä  parvenir  du  module  k'  au 
module  X',  il  faut  retomber  sur  le  module  k. 

Vous  aurez  regu  sans  doute  deux  memoires  de  M.  Abel,  l'uninsere  dans  le 
Journal  de  M.  Crelle,  l'autre  dans  les  Nouvelles  Astronomiques  de  M.  Schumacher. 
Vous  y  aurez  vu  que  M.  Abel  a  trouve  de  son  cote  la  theorie  generale  de  la 
transformation,  dans  la  publication  de  laquelle  je  Tai  prevenu  de  six  mois.     Le 


CORRESPONDANCE  MATHEMATIQÜE  AVEC  LEGENDRE.  423 

seconcl  memoire,  insere  dans  le  recueil  de  M.  Schumacher,  n**.  138,  contient 

une  deduction  rigoureuse  des  theoremes  de  transformation ,  dont  le  defaiit  s'etait 

fait  sentir  dans  mes  annonces  sur  le  meme  objet.     Elle  est  au-dessus  de  mes 

eloges  comme  eile  est  au-dessus  de  mes  propres  travaux. 

Dans  le  meme  cahier  du  Journal  de  M.    Cr  eile  '?,.  vol.,   2.  cah.)  oü  se 

trouvent    les   premiers   travaux    de    M.    Abel    sur    la   transformation.    j'avais 

fait    inserer   la    remarque    que  toutes  les  transformations  attachees  au  nombre 

n  sont  au  nombre  de  w-|-l .    lorsque  n  est  premier,  et  que  Ton  trouvait  tous 

les    modules   transformes     qui    s'y   rapportent     en    mettant,     dans    la    formule 

slT_   2v/g+2f?-}-2V^-f-.-- 
^  1-f  2g+2r/-f259H ' 

q"  et  V^  au  lieu  de  q,  \Jq  ayant  n  valeurs  difFerentes.  ]M.  Abel  verra  donc 
que  les  transformations  imaginaires  ne  m'etaient  pas  echappees.  Que  n  soit 
premier  ou  non .  le  nombre  des  transformations  sera  en  general  egal  ä  la  somme 
des  facteurs  de  n;  on  trouve  tous  les  modules  transformes  en  mettant  y^'  au 
lieu  de  q ,  aa  etant  =■  n.  Cette  theorie  est  complete  de  sorte  qu  on  ne  saura 
rien  y  aj outer.  Toutes  les  racines  des  equations  modulaires  se  trouvent  par  lä 
developpees  dans  des  series  d"une  elegance  et  d'une  convergence  sans  exemple 
dans  l'analyse.  Je  remarque  encore  que,  n  etant  un  nombre  carre,  on  aura 
une  seule  fois  a  =  a' ;  donc  un  seul  des  modules  transformes  sera  dans  ce  cas 
egal  k  celui  d'oü  l'on  est  parti,  ce  qui  fournit  la  multiplication. 

Vous  ne  m'avez  dit  dans  deux  de  vos  lettres  pas  un  seul  niot  sur 
ces  series  remarquables  sommees  par  les  fonctions  elliptiques,  dans  lesquelles 
les  exposants  suivent  la  loi  des  nombres  carres ,    et  dont  celle  -  ci : 


f        TT 


—  ==  i-^2q-\-2q^-\-2q^-^2q'^-{-2q^^-{- 


me  parait  etre  Tun  des  resultats  les  plus  brillants  de  toute  la  theorie.     Tout   ce 

qui  regarde  la  decomposition  des  nombres  en  nombres  carres  devient,  par  ces 

series,  du  ressort  des  fonctions  elliptiques.    Les  developpements  de  celles-ci  me 

donnent ,  par  exemple  : 

f^-K^'-  1   I        8g        I       16g'       I       24r/  32r/ 

\  TZ  J  "^    l—q    "^    l+g«    "^    1  — r/    "^    1+5*    "^ 

_   1   ,    _8g_j Sg'^  8q'  Sq' 


(1-2)       (1+g*)       (l-g^)       (1  +  g*) 


424  COKRESPONDANCE  MATHEMATIQUK  AVEC  LEGENDKE. 

p  etant  un  nombre  impair  qiielconque,  et  cp(/>)  la  somme  des  facteurs  de  p. 
Comme  dans  cette  serie  il  ne  manque  aucune  puissanc.e  de  q  et  qu'on  a  en 
meme  temps 

il  suit  comme  corollaire  de  cette  formule  le  fameux  theorerae  de  Fermat,  que 
chaque  nombre  est  la  somme  de  quatre  carres.  Les  theoremes  relatifs  aux 
nombres  qui  sont  la  somme  de  deux  carres  decoulent  de  la  formule  suivante : 

,      4:q  iq^  iq^      ,      4^^''     ,      4g^^  Aq^^ 


\—q        l  +  g^        1— g3  ^    1+2*    '    l—q^        l-\~q^ 
Parmi  d'autres  formules,  je  trouve  encore  la  suivante,  digne  de  vous  etre 
communiquee : 

(g ^.5 g7.7_|_gll.ll_^gl3.13 ^17.17 ^19.19  _|_  ^23.23  _j .y 

=    q^—  3g3-3-3_]-  5g3.5.5_  7^3.7.7  _|_  9g3.9.9_llg3.11.11_^ , 

dont  vous  saisirez  aisement  la  loi.  Elle  resulte  de  la  transformation  attachee  au 
nombre  3. 

Ne  vous  fait-il  pas  de  plaisir,  Monsieur,  de  voir  se  rapprocher  l'une  a 
l'autre  deux  theories  si  heterogenes  en  apparence  et  qui  se  datent  en  quelque 
Sorte  de  vos  travaux? 

Je  vais  ajouter  quelques  remarques  isolees  telles  qu'elles  se  presentent  ä 
mon  esprit.     Rappeions  la  formule  donnee  dans  ma  derniere  lettre : 

/T-  .  2Zic  2\Jq^mx  —  2\Jq^^m^x-\-2\f^mihx  —  2^^^*^ sin 7^  +  •  •  • 

*  Tc  1 — 2g  cos  2a; -)- 2g^  cos  4a; — 2g^cos  6a;-|-2g^'^cos8a; •• 

II  m'a  paru  d'importance  de  pouvoir  exprimer  ä  part  le  numerateur  et  le 
denominateur  de    cette   expression  au  moyen  des  fonctions  elliptiques ,  ce  qui 

n'est  pas  facile. 

iKx 
En  me  servant  de  vos  si^nes  et  mettant  F^  au  lieu  de  K,  (p  =  am ,   et 

-^  *  TT 

2Kx 

par  consequent  =  J^,  je  trouve 


1 — 2g  cos  2  a; -f  2g*  cos  4a; — 2g^co8  6a;-t-2g'*'cos8a; 
l'integrale  etant  prise  depuis   0  jusqu'ä  cp. 


'  TT 


CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE.  425 

L'un  de  vos  plus  beaux  theoremes  est  que  l'expression 


/ 


(1 — k^sin-Äsm^(^)l's^  F^ 


ne  change  pas  de  valeiir  si  Ton  echange  entre  eux  les  angles  cp  et  Ä.     ()r  etant 

.       .  2Za  2Kx     .     1     ,  '      1     > 

mis  A  =  am ,  cp  =  am •  le  ia  troiive  eoaie  a 

^  ^^  Li—  2g cos  2{x  +  a)  +  25*  cos  4(a;  +  a)  —  2g=^  cos  6{x  +  7.)  +  2g^C08  S{x-\-a) J ' 

formule  symetrique  en  a;  et  a.  D'aiUeurs  eile  montre  que  les  fonctions  elliptiques 
de  troisieme  espece  dans  lesquelles  entrent  trois  variables  se  ramenent  ä  d'autres 
transcendantes  qui  nen  ont  que  deux ,  decouverte  qui  voiis  interessera  beaucoup. 

Mes  recherches  seront  rassemblees  dans  un  petit  ouvrage  d'environ  200 
pages  in  4*^  qui  sera  imprime  ä  part  et  dont  l'impression  vient  d'etre  commencee, 
II  aura  pour  titre:  Fundamenta  nova  theoriae  functionum  ellipticarum.  Peut-etre 
je  serai  assez  heureux  de  vous  le  presenter  moi-meme. 

II  faut  avouer,  Monsieur,  que  je  suis  un  peu  fatigue  de  la  matiere,  qui 
m'a  occupe  pendant  dix-huit  mois  presque  jour  et  nuit.  Cependant  la  iin  de 
mon  ouvrage  ne  doit  pas  etre  celle  de  mes  recherches;  il  en  reste  encore  d'une 
grande  importance,  mais  aussi  d'une  grande  difliculte.  Je  vous  prie  instamment 
de  me  donner  des  nouvelles  de  vous  et  surtout  de  votre  sante.  Vous  pourriez 
compter  sur  une  prompte  reponse. 

Votre  tres-humble  et  tres-devoue 

C  G.  J.  Jacobi. 

M.  Bessel  vous  rend  grace  de  vos  civilites;  je  vous  prie  d'en  faire  de  ma 
part  ä  M.  Cauchy,  dont  j'ai  toujours  estime  de  preference  les  ecrits  ingenieux 
et  d'une  rare  subtilite.  Les  formules  analytiques  qui  renferment  le  theorcme  de 
Fermat  ne  seront  pas  sans  interet  pour  ce  geometre ,  qui  a  tant  de  merite  dans 
cette  partie  de  la  theorie  des  nombres. 


1.  54 


426  CORIiESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGEND RE. 


LEGENDRE  A  JACOBI. 

Paris,  le  15  octobre  1828. 

Je  vous  envoie ,  Monsieur ,  un  premier  Supplement  ä  mon  traite  contenant 
TOS  deux  theoremes  generaux  sur  la  transformation  de  la  fonction  elliptique  de 
premiere  espece.  Ce  qu'il  y  aura  de  bon  dans  ce  Supplement  vous  appartient; 
je  ne  suis  en  quelque  sorte  que  votre  commentateur,  parfois  long  et  diffus,  parce 
qu'il  faut  plus  de  developpements  dans  un  traite  que  dans  un  memoire.  D'ailleurs 
je  me  suis  complu  dans  l'enumeration  des  beaux  resultats  d'analyse  qu'on  etait 
loin  de  soupconner  avant  que  vous  les  eussiez  fait  connaitre.  Le  celebre  astronome 
Plana  de  Turin,  qui  est  en  meme  temps  un  geometre  tres-distingue ,  vient  de 
rendre  hommage  ä  vos  decouvertes  dans  un  ecrit  oü  il  fait  des  efforts  pour  par- 
venir  methodiquement  ä  vos  theoremes.  S'il  n'a  pas  tres-bien  reussi,  c'est  une 
preuve  de  plus  de  la  difficulte  que  vous  avez  trouve  le  moyen  de  surmonter. 

Le  voyage  que  je  projetais  n'a  pas  eu  lieu.  Je  suis  reste  et  j'ai  profite  d'un 
intervalle  de  quelques  mois  oü  ma  sante  s'est  un  peu  amelioree  pour  travailler  a 
mon  Supplement.  J'y  ai  employe  le  peu  de  forces  qui  me  restent;  car  dejä  mon 
catarrhe  menace  de  me  ressaisir  et  je  pourrais  bientot  etre  hors  d'etat  de  m'occuper 
d'un  second  Supplement.  Au  reste  le  monde  savant  n'y  perdra  rien  et  je  puis  me 
reposer  sur  le  zele  de  deux  athletes  infatigables  tels  que  vous  et  M.  Abel.  Ce 
dernier  a  public  dans  le  Journal  de  M.  Grelle  la  suite  de  son  beau  memoire  oü 
entr'autres  choses  fort  interessantes  on  trouve  la  demonstration  de  votre  theoreme 
general  de  transformation.  Demonstration  que  vous  avez  la  modestie  de  placer 
au-dessus  de  la  votre.  II  a  ensuite  publie  dans  le  Journal  de  M.  Schumacher 
d'autres  recherches  oü  il  montre  beaucoup  de  profondeur  et  de  sagacite.  Pour 
vous,  Monsieur,  vous  n'etes  pas  reste  en  arriere  et  vous  avez  continue  de  publier 
dans  ces  deux  recueils  un  grand  nombre  de  resultats  nouveaux  qui  doivent  in- 
teresser au  plus  haut  degre  les  analystes ,  surtout  lorsque  vous  en  aurez  fait 
connaitre  les  demonstrations. 

Votre  lettre  du  9  septembre  m'apprend  d'autres  particularites  sur  vos  travaux. 
J'y  ai  vu  surtout  avec  un  grand  plaisir,  que  vous  avez  commence  l'impression  d'un 
ouvrage  in  4°  de  200  pages  qui  sera  intitule  Fundamenta  nova  theoriae  etc.  Je 
serai  doublement  satisfait  si  je  puis  recevoir  cet  ouvrage  de  votre  main,   comme 


CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE,  427 

Tous  me  le  faites  esperer,  et  il  me  sera  bien  agreable  de  voir,  de  mes  yeiix,  run 
des  deux  jeunes  geometres  qiii  par  leurs  decoiivertes  ont  contribue  le  plus  ä 
perfectionner  mes  travaux. 

J'induis  de  vos  expressions  que  la  composition  de  votre  ouvrage  est  ter- 
minee,  et  qii'ainsi  nous  pourrons  en  joiiir  bientot.  II  me  sera  tres-iitile  pour  v 
prendre  la  matiere  de  deux  ou  trois  Supplements  que  je  voudrais  joindre  ä  mon 
traite  pour  le  mettre  au  courant  de  vos  nouvelles  ddcouvertes.  Je  commencerais 
ainsi  un  3^  volume  qui  ne  serait  pas  inferieur  aux  deux  autres;  et  comme  vous 
traiterez  sans  doute  de  la  plupart  des  objets  dont  M.  Abel  s'est  occupe.  votre 
ouvrage  me  dispensera  de  recourir  ä  ceux  de  M.  Abel,  dont  la  maniere  quoique 
tres-methodique ,  me  parait  difficile  ä  saisir.  Je  n'aime  point  ses  fonctions 
/et  F,  et  je  pense  que  dans  vos  explications ,  dont  vous  m'avez  dejä  donne  un 
echantillon,  vous  trouverez  moyen  de  vous  en  passer. 

J'applaudis  ä  la  theorie  que  vous  donnez  de  1  equation  modulaire  et  que 
vous  regardez  comme  complete;  j'y  applaudirai  encore  mieux  quand  je  connaitrai 
vos  demonstrations.  Cest  un  grand  point  a  mes  yeux  d'avoir  prouve  que  pour  le 
nombre  premier  j) ,  lequation  modulaire  est  toujours  du  degre  p-\-\.  Vous 
donnez  par  des  series  tres-elegantes  les  racines  de  cette  equation  dont  deux  seu- 
lement  sont  reelles.  Celles -ci  sont  le  module  h  qui  suit  le  module  donne  k  et 
le  module  ki  qui  le  precede,  en  sorte  que  trois  termes  consecutifs  de  lechelle 
sont  k^,  k,  h.  J'en  conclus  que  si  on  se  servait  de  l'equation  modulaire  pour 
calculer  les  autres  termes  de  l'echelle,  l'equation  ä  resoudre  pour  jiasser  d'un 
terme  au  suivant,  ne  serait  que  du  degre  p.  II  reste  a  examiner  si  les  auxiliaires 
<^m  6t  ß,„  qui  entrent  dans  les  formules  de  vos  deux  theoremes  peuvent  etre  deter- 
mines  par  les  termes  connus  de  l'echelle,  comme  cela  a  lieu  pour  le  cas  du: p=  5, 
ou  si  elles  exigent  la  resolution  d'une  equation,  et  quel  est  le  degre  deduit  de 
cette  equation.  M.  Abel  dit  qu'elle  est  du  degre  p-\-\  (sans  supposer  connus 
les  termes  de  l'echelle) ,  mais  cela  n'est  pas  encore  demontre  et  c'est  un  point  qu'il 
faudrait  eclaircir  pour  la  perfection  de  votre  theorie. 

Si  j'ai  garde  le  silence  jusqu'ici  sur  les  belies  series  en  fonctions  de  q  que 
vous  etes  parvenu  ä  sommer  et  qui  seront  un  des  plus  bcaux  ornements  de  votre 
ouvrage  c'est  que  j'attendais  que  vous  en  donnassiez  la  demonstration.  Du  reste 
je  les  regarde  comme  un  nouveau  titre  que  vous  avez  acquis  k  l'estime  des  savants 
et  il  en  est  de  meme  de  vos  nouvelles  fonctions  &'\x)  et  H'^x),  avec  lesquelles  vous 

54* 


428  CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE. 

avez  reussi  ä  exprimer  tres-simplement  une  fonction  de  la  S'"®  espece  qui  se 
rapporte  ä  l'espece  de  parametre  que  j'ai  nomme  logarithmique.  II  vous  sera  sans 
doute  egalement  facile  d'exprimer  semblablement  la  fonction  qui  se  rapporte  au 
parametre  circulaire ;  vous  avez  decouvert  en  tout  cela  une  nouvelle  mine  fort 
interessante  ä  exploiter  et  qui  mene  ä  un  grand  nombre  de  resultats  curieux. 
E-emarquons  cependant  que  la  theorie  des  transformations  doit  son  elegance  et  on 
peut  dire  sa  perfection ,  ä  ce  qu'elle  est  independante  des  series  et  que  tout  s'y 
determine  algebriquement. 

Je  remarque  au  surplus  que  votre  possession  ä  vous  et  ä  M.  Abel  est 

maintenant  bien  assuree.     L'envahisseur  M.  G ne  s'avisera  point,  je  pense, 

d'ecrire  qu'il  avait  trouve  tout  cela  longtemps  avant  vous ,  car  s'il  disait  pareille 
chose ,  il  se  ferait  moquer  de  lui. 

J'ai  vu  que  vous  aviez  acquis  le  titre  de  Professeur  dans  votre  universite ; 
je  vous  en  fais  mon  compliment  bien  sincere ;  car  rien  de  ce  qui  touche  ä  votre 
avancement  et  ä  vos  succes  ne  saurait  m'etre  indifferent. 

Votre  devoue  serviteur 

Le  Gendre. 


JACOBI  A  LEGENDRE. 

Kcenigsberg,  le  18  janvier  1829. 

Monsieur , 

II  faut  que  vous  soyez  assez  fache  de  moi  a  cause  du  grand  retard  de  ma 
reponse  ä  votre  derniere  lettre,  et  je  ne  saurai  ä  peine  m'excuser  si  ce  n'est  que 
j'ai  voulu  finir,  avant  de  vous  repondre,  plusieurs  travaux  tres  -  difficiles  sur  les 
fonctions  elliptiques,  pour  pouvoir  vous  en  mander  les  resultats.  Je  ne  veux 
vous  parier  ä  present  que  du  probleme  le  plus  important  de  ceux  que  je  suis 
parvenu  ä  resoudre  dans  ces  derniers  temps :  c'est  la  resolution  algebrique  et 
generale  de  l'equation  du  degre  n^,  de  laquelle  depend  la  division  de  la  fonction 
elliptique  en  n  parties  egales.  Je  vous  prie,  Monsieur,  de  me  permettre 
d'entrer  lä-dessus  dans  un  grand  detail. 

Apres  que  vous  aviez  resolu  le  premier  l'equation  du  neuvieme  degre,  de 
laquelle  depend  la  trisection  des   fonctions  elliptiques,   nous  remarquämes  en 


CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE  429 

meme  temps,  M.Abel  et  moi.  qiie  Ton  peiit  generalement  reduire  l'equation 
algebrique  du  degre  n^,  de  laquelle  depend  la  r^^^^  section ,  ä  deux  equations 
du  n^^"^^  degre  seulement,  C"e  resultat  etait  une  consequence  de  la  remarque 
que  j'avais  faite  que  Ton  peut  parvenir  ä  la  multiplication  en  appliquant  ä  la 
fonction  elliptique  deux  transformations  l'une  apres  l'autre.  En  lisant  avec 
attention  le  piemier  Memoire  de  M.  Abel  sur  les  fonctions  elliptiqaes ,  on  recon- 
nait  aisement  qu'il  a  effectivement  suivi  la  meme  route  sans  cependant  .soup9onner, 
lors  du  temps  qu'il  composa  son  memoire,  que  c'etait  le  medium  des  transfor- 
mations par  lequel  il  passa.  Soit  z  =  sin  am  nu,  cc  =  sin  am  w ,  n  etant  un 
nombre  impair  quelconque ,  si  Ton  a 

^  '^  ^  ~  b-\- h"f  -\ \- &i"-i)«/"-i ' 

,„  .  •  a'x-\-  a"'x^-\ 1-  a(«)a;" 

(2.)  2/  —  ' 


1/  etant  le  sinus  ampUtude  de  la  fonction  transformee,  il  faut,  d'apres  ce  que  je 
viens  de  dire,  pour  avoir  ic  en  z,  exprimer  en  premierlieu  <r  en  j/,  en  resolvant 
algebriquement  Tequation  (2.);  puis,  en  resolvant  encore  l'equation  (1.),  il  faut 
exprimer  par  z  toutes  les  fonctions  de  i/  qui  se  trouveront  sous  les  radicaux.  ()r 
comme  on  a  toujours  plusieurs  transformations  qui  repondent  ä  un  meme  nombre 
n,  on  trouvera  de  cette  maniere  differentes  formules  algebriques  pour  la  n}^^^ 
section  d'apres  les  differentes  transformations  par  lesquelles  on  est  passe  ä  la 
multiplication.  On  pouvait  cependant  soup^onner  qu'il  y  avait  une  maniere 
d'exprimer  o?  en  z  plus  simple  et  qui  n'etait  qu'unique.  J'ai  fait  connaitre  cette 
forme  la  plus  simple  sous  laquelle  on  peut  presenter  les  expressions  algebriques 
pour  la  n^^^^  section  dans  une  petite  Addition  faite  au  premier  Memoire  de  M.  Abel 
sur  les  fonctions  elliptiques ,  et  laquelle  se  trouve  dans  le  3®  vol.  du.  Journal  de 
M.  Cr  eile.  Elle  est  fondee  sur  une  formule  tres-remarquable,  et  dont  je  veux 
vous  parier  en  peu  de  mots. 

Partons  des  deux  formules  connues  pour  la  transformation  des  fonctions 
elliptiques,   qui  donnent  ensemble  la  multiplication: 

(1.)  -TTjpSmamI  ^;  A  )  =  sinamM  +  smaml  w-| )  +  •  •  • -f- sm am  (  m -j — ^^ )' 

(2.)_^sinamww  =  8mam(^-j^aJ-h8mam^^  +  -^^,XJ+...-f-smam(^^+^-^^^ 'V 


430  CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE. 

i  etant  V/^.       Au   moyen    de    l'equation  (1.)    on    tire  de  la  formule   (2.)   celle 
qui  suit: 

(3.-)  n  sm  am  nu  =  2.  sm  am  [u  -| — ) , 

en  donnant  ä  m,  m   les  valeurs  0,  1,  2,  . . .,  w  — 1.     Cette  derniere  formule  a  ete 
dejä  donnee  par  M.  Abel. 

Dans  le  cas  de  n  premier,  le  seul  que  nous  considerons  pour  plus  de 
simplicite,  on  a  n-\-\  formules  analogues  ä  la  formule  (1.)  et  qui  repondent  aux 
diverses  transformations  du  module  k  attachees  au  nombre  n.  EUes  sont  con- 
tenues  toutes  sous  la  formule  generale : 

(4^     sinamf  ^;X  )  =  8inamM4-sinam(M  +  4to)H |-sinam(M+4(«— l)a)), 

^    '     hM.  ^M      y 

0)  ayant  une  des  n-{-l   valeurs  suivantes: 

K        iK'        iK'    ,    2K        iE'    .    AK  iK'    .    2{n~l)K 

f __J ^ ,         ...;         ■  -\ , 

n  n  n  n  n  n  n  n 

et  les  quantites  X,  M  etant  determinees  de  la  meme  maniere  par  (o,  qu'elles  sont 

TT 

determinees  par  —  dans  la  formule  (1.).     Nommons  les  valeurs  de  X,  M  qui 

repondent  ä  ces  differentes  valeurs  de  cd  : 

X,       Xi,       h,       Xg,       ...,       K'-,  M,       Mu       3/2;       Ms,       ...,       Mn, 

si  l'on  ajoute  ensemble  les  n-\-l   quantites  suivantes: 

^smam(^y,x;,    jg.smam(^^,X,;,    ajS'^^'-'l.y/^^;'  '  ^  «".'""""IS;' V  ' 
en  substituant  pour  chacune  sa  valeur  tiree  de  l'equation  generale  (4.),  on  trouve : 

jA.sinam(|.;X)  +  ^8inam(|-,X.)  +  ...4-^sinam(^.X.) 

(K\                            .             ,  ^  .         /     ,    4:}nK4-4m'iK'\ 
^    >*         \        ^  wsmamM-|- 2-8inam(  M-| ' — ^ ) 

^         =  w  sin  am  M -|- M  sin  am  «^« . 
En  effet,  on  voit  aisement  qu'il  se  trouve  dans  la  somme  dont  on  parle  tous 

les  termes  de  l'expression   ^sinarnfw-] — — j    et  qu'ils  ne  s'y  trouvent 

qu'une  seule  fois,  excepte  seulement  le  terme  sin  am  m,  qui  s'y  trouve  n-\-i  fois. 
De  l'equation  (5.)  on  tire  celle  qui  suit: 


COKRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE.  431 

[  sin  am  u 

(6-)|       ^si^am(^;Ä)  +  A_sinam(-^M,)+...+A^sinam(£,A„)-.^s^^ 
^  n 

C'est  la  formule  remarquable  dont  j'ai  parle ,  et  qui  est  de  la  plus  grande 
importance  dans  la  theorie  de  la  division  des  fonctions  elliptiques.  En  effet, 
lorsqu'il  s'agit  d'exprimer  sin  am  m  par  sinamww,  on  'ii'a  plus  qu'ä  exprimer  par 

sin  am  WM  les  quantites  sinam  T^,  X^j ,  ce  qui  se  fait  par  la  resolution  d'equations 

algebriques  du  m^^™®  degre  seulement.     Je  vais  rapporter  ä  present  les  expressions 
algebriques  et  generales  des  racines  de  ces  dernieres. 

Soit  toujours  sinamwM  =  z  et  designons  par  <^{nu,  cd)   l'expression  suivante: 
a)(ww,«))  =  (l— Fsin2am4w.^2)(^l_^2gjjj2aiu8a>.^2)_^^l_^2gjjj2am2(w— l)(ü.^2). 

nommons  de  plus  A'"'^  l'expression  suivante : 

j(P)  ^     0(4i?u),  a>)a)(ww,u)) 


0(wM  -|-  4^to,  (j>) 
je  dis  qu'on  a 

=  sin  am  nu  +  sin  am  (nu  -\-  4ü))  \Iä'-\-  sin  am  {nu  -}-  8u))  SJÄ"-^  •  •  • 
+  sin  am  (nu  +  4(w — 1  )u))  v^^("-^> . 

Les  quantites  ä'^p^  seront  de  la  forme  P+  Q^{l  —  z^){l  —  k^z^),  P  et  Q  etant 
des  fonctions  rationnelles  de  z. 

Voici  une  formule  entierement  nouvelle  pour  la  transformation  des  fonctions 
elliptiques,  et  laquelle  ne  pourra  etre  deduite  d'aucune  fa9on  des  formules 
connues  jusqu'ici ,  quoiqu'une  fois  trouvee ,  on  peut  la  verifier  par  les  premiers 
Clements  de  la  theorie  des  fonctions  elliptiques,  et  meme  sans  supposer  connues 
les  formules  de  transformation  ordinaires.  La  decouverte  de  cette  formule  m'a 
coute  beaucoup  de  peine,  et  c'est  peut-etre  pourquoi  je  voudrais  la  compter  pour 
le  resultat  le  plus  important  de  tout  ce  que  j'ai  trouve  jusqu'ici. 

Les  formules  (6.)  et  (7.)  donnent  aussitot  les  formules  algebriques  et 
generales  pour  exprimer  sin  am  m  par  sinamww.  Nommons  pour  cet  effet 
ü>,  (üj,  1D2,  .  .  .,  to„    les  differentes  valeurs  de    u)    qui  repondent  aux  diiferents 


432  CORßESPONDA^X"E  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDKE. 

inodules  transformes  X,  Xj,  Xg,  ...,  X,,,    et  soil  Ajf  ime  expressioii  qiii  depend  de 
la  meme  maniere  de  u),„  qiie  Ä'-^^  depend  de  cd,   on  trouve 

nsinamw 
/       sinamm« 
l+8inam(«M-f  4w)  y^Ä' -\-smam{nu-\-Sui)  \/'A"-] [-sinam(jm  +  4(M— !)(«)  \/'^(«-i> 

)-f-  sinam(»?<  +  4u>Jv'^li  -\-sinsim(nu-\-8ui^)\j'Ä'^-\ [-sinam(wM  +  4(^i— l)ajJv'^5"-^> 

]+sinam(m^H-4w2)V^4-siuam(««+8<Ü2)\/J.2H \-smam{nu-\-4{n—l)o)2)\/-^f~^^ 

(+ _: _ ■^_- 

+  sinam(m(+ 4(M„)  \/äI,-\-  sinam(?2M+  8w,0\/^;;H h  sin  am  (m<  +  4(w—l )«>„)>/ J.(;'-i\ 

C'est  l'expression  algebrique  pour  la  71^^^^  section  des  fonctions  elliptiques, 

la  quelle  est  composee,  comme  on  voit,  de  {n-{-l){n  —  \)  =  n^ — 1   ^^lemes  j-acines; 

les    quantites    qui    se    trouvent    soiis    les    radicaux    sont    tontes    de    la    forme 

P-\-Q\j{l  —  z^){i — ^^z^),  P  et  Q  etant  des  fonctions  rationnelles  de   z.     Vous 

trouverez  ce  resultat  parmi  d'autres  dans  le  Journal  de  M.   Cr  eile;  du  nombre 

de  ces  derniers  sont  les  formules  generales  pour  la  transformation  des  fonctions 

elhptlques  de  la  seconde  et  de  la  troisieme  espece.      Les  limites  d'une  lettre  ne  me 

permettent  pas  d'entrer  dans  ce  moment  dans  un  plus  grand  detail.     Je  vous 

entretiendrai  une  autre  fois  de  la  maniere  dont  je  suis  parvenu  ä  la  formule  (7.), 

laquelle  pourra  paraitre  assez  etrangere ,  comme  eile  est  fondee  sur  la  conside- 

ration  des  series  et  surtout  sur  les  proprietes    remarquables  de  mes  nouvelles 

transcendantes  H,  & ,  au  moyen  desquelles  on  peut  exprimer  rationnellement  tous 

j^ 
les  radicaux.     Ainsi,  par  exemple,  u)  etant   = — ,  on  a 

Cependant,  comme  je  Tai  dit,  on  peut  aussi  veritier  la  formule  (7.)  en 
quantites  finies. 

A  cause  de  Textension  inattendue  qu'ont  prise  mes  travaux,  je  partagerai 
mon  ouvrage  en  deux  parties,  dont  la  premiere  sera  publice  dans  trois  mois  environ: 
je  vous  en  ferai  hommage  des  que  son  Impression  sera  achevee.  Dans  des  notes 
et  des  additions  jointes  ä  la  premiere  partie,  j'exposerai  ce  qui  est  particulier  a 


CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE.  433 

M.  Abel,  en  rapprochant  les  methodes  de  cet  Auteiir  de  celles  dont  jai  fait 
usage  moi-meme. 

II  faut  vous  rendre  encore  mille  graces  pour  l'envoi  de  votre  premier 
Supplement:  tout  ce  qu'il  contient  vous  appartient  sous  tant  de  titres  que  ce 
n'est  que  votre  bonte  qui  m'y  a  fait  prendre  tant  de  i)art.  C'est  encore  ä  vous, 
Monsieur,  que  je  suis  redevable  de  la  place  de  Professeur  dont  vous  etes  assez 
obligeant  de  me  feliciter.  Une  gazette  de  Berlin  ayant  fait  mention  de  la  com- 
munication  que  vous  avez  faite  ä  votre  Academie  de  mes  travaux,  l'autorite  de 
votre  nom  a  ete  la  cause  que  le  Ministre  m'a  place. 

Vous  m'avez  donne  de  grandes  inquietudes  sur  votre  sante  dans  votre 
derniere  lettre ;  il  faut  que  vous  m'en  arrachiez  sitot  qu'il  vous  soit  possible :  je 
vous  en  prie  instamment. 

Ce  serait  trop  me  punir  pour  le  retard  de  ma  reponse  par  un  retard  de 
votre  cöte ;   c'est  la  division  des  fonctions  elliptiques  qu'il  faut  accuser  lä-dessus. 

Votre  entierement  devoue  serviteur 

C.  G.  .1.  Jacobi. 

Je  vous  prie,  Monsieur,  de  faire  parvenir  la  lettre  ci-adjointe  au  celebre 
orientaliste  M.  Klaproth;  veuillez  me  pardonner  si  j'ose  vous  faire  tant 
de  peine. 


LEGENDRE  A  JACOBI. 

Paris,  le  9  fevrier  1829. 

Monsieur , 
Votre  lettre  du  18  janvier  que  j*ai  re9ue  le  30  m'a  fait  beaucoup  de  plaisir; 
l'interet  de  cette  correspondance  va  toujours  en  augmentant  par  le  nombre  et 
l'importance  des  decouvertes  dont  vous  me  donnez  communication.  Je  ne  puis 
lire  qu'avec  peine  les  formules,  parce  que  l'espace  vous  manque  et  le  temps 
peut-etre,  pour  bien  former  les  caracteres,  mais  ce  que  j'y  puis  apercevoir  me 
donne  la  plus  haute  idee  des  beaux  resultats  auxquels  vous  etes  parvenu  pour  la 
division  des  fonctions  en  n  parties.  Je  n'aurais  jamais  imagine  qu'il  füt  possible 
de  resoudre  ainsi  explicitement  une  equation  du  degre  nn,  et  de  former  d'une 
1.  55 


434  CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE. 

maniere  praticable  les  difFerents  termes  de  la  formule.  C'est  im  grand  tour  de 
force  qui  vous  fera  iniiniment  d'honneur,  et  il  me  tarde  de  recevoir  rouvrage  oü 
vous  donnerez  des  developpements  assez  etendus  sur  cette  decouverte,  pour  que 
j'en  piiisse  faire  mon  profit  et  l'inserer  dans  mes  Supplements ,  apres  que  je 
l'aurai  moi-meme  suffisamment  comprise. 

De  son  cote  M.  Abel  public  d'une  maniere  assez  suivie  des  memoires  qui 
sont  de  veritables  chefs-d'oeuvre ,  et  comme  il  n'a  pas  ä  sa  disposition  les  moyens 
de  faire  imprimer  l'ensemble  de  ses  recherches,  cette  raison  le  determine  ä 
developpcr  davantage  ce  qu'il  public  dans  les  journaux  de  Mrs.  Grelle  et 
Schumacher.  II  obtient  ainsi  sur  vous  une  sorte  d'avantage,  parce  que  vous 
n'avez  guere  public  jusqu'ä  present  que  des  notices  qui  |ne  fönt  pas  connaitre  vos 
methodes.  C'est  une  raison  pour  que  vous  vous  hatiez  de  prendre  possession  de 
ce  qui  vous  appartient  en  faisant  paraitre  votre  ouvrage  le  plus  tot  qu'il  vous 
sera  possible. 

La  question  de  la  w-section  des  fonctions  elliptiques,  abstraction  faite  des 
formules  de  Solution  dont  vous  avez  fait  la  decouverte,  se  reduit  pour  moi  aux 
deux  equations  du  degre  n  que  fournissent  les  deux  theoremes  de  transformation, 
et  de  plus  aux  equations  necessaires  pour  diviser  en  n  parties  egales  les  deux 
fonctions  completes  F^[k),  F^[h),  oü  je  designe  par  h  le  module  qui  suit  k  dans 
l'echelle  rapportee  au  nombre  n.  Ces  dernieres  equations  pour  determiner  les 
fonctions  trigonometriques  des  amplitudes  a„j,  ß,„,  sont  un  objet  que  vous  ne  me 
paraissez  pas  encore  avoir  traite  d'une  maniere  satisfaisante  ni  vous  ni  M.  Abel; 
cependant  elles  fournissent  lies  constantes  qui  entrent  dans  les  coefficients  de  vos 
equations,  et  par  suite  dans  les  resultats  definitifs.  Comment  donc  trouve-t-on 
les  constantes?  Vous  avez  annonce  que  pour  passer  du  module  donne  k  au 
module  transforme  h  il  faut  resoudre  ce  que  vous  appelez  l'equation  des  modules 
que  vous  dites  etre  du  degre  n-\-\  et  dont  vous  avez  meme  donne  les  racines. 
Mais  cette  assertion  ne  me  semble  pas  encore  etablie  d'une  maniere  tout  ä  fait 
rigoureuse;  et  il  reste  toujours  ä  trouver  quel  est  le  degre  des  equations  a  resoudre 
pour  determiner  les  constantes  dont  j'ai  parle.  Pour  la  valeur  particuliere  w  =  5, 
les  constantes  dont  il  s'agit  se  deduisent  simplement  de  la  valeur  de  h,  sans 
exigcr  la  resolution  d'aucune  equation  composee ;  mais  il  n'en  est  pas  probable- 
ment  de  meme  dans  tous  les  cas,  et  vous  m'obligeriez  beaucoup,  Monsieur,  de  me 
dire  ce  que  vous  savez  au  moins  en  partie ,  sur  la  Solution  de  cette  difficulte.  — 


CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE.  435 

Vous  Tavez  resolue  siirement,  sans  quoi  votre  formule  generale  de  Solution  con- 
tiendrait  des  coefficients  que  vous  ne  pourriez  determiner. 

Je  repeterai  volontiers  que  cette  formule  teile  que  vous  l'annoncez  est  la  plus 
belle  chose  que  je  connaisse  dans  l'analyse.  M.  Abel  en  avait  annonce  une 
semblable  de  son  cote,  mais  sa  formule  est  representee  d'une  maniere  bien  vague, 
eile  n'existe  en  quelque  sorte  qu'idealement ,  tandis  que  vous  lui  avez  donne  une 
existence  reelle  et  palpable,   dans  tout  son  developpement. 

En  admirant  ces  belles  formules  de  Solution  dites  algehriques ,  c'est  ä  dire 
composees  de  radicaux  du  degre  n,  imposes  sur  des  quantites  en  partie  reelles 
et  en  partie  imaginaires .  les  savants  reconnaitront  que  vous  avez  beaucoup  gene- 
ralise  les  Solutions  analogues  qu'ont  donnees  Gauss  et  Vandermonde  des 
equations  ä  deux  termes.  ou  plutot  des  equations  auxiliaires  dont  elles  depen- 
dent.  —  Xous  conviendrons  tous  ensuite  que  ces  formules,  si  belies  en  theorie, 
ne  sont  d'aucune  utilite  en  pratique  pour  les  Solutions  effectives.  Car  indepen- 
damment  de  la  grande  difficulte  d  evaluer  chaque  radical  en  particulier  du  degre  n, 
11  se  presente  une  autre  difficulte  ä  peu  pres  insurmontable ,  qui  est  de  savoir 
laquelle  des  n  valeurs  de  chaque  radical  devra  etre  combinee  avec  les  valeurs 
des  autres.  M.  Gauss  a  laisse  cette  theorie  fort  imparfaite  en  ne  donnant 
aucune  reponse  ä  cette  question,  qui  deviendra  bien  plus  difficile  encore  ä 
resoudre  pour  vos  n^  —  1   radicaux. 

L'espace  ne  me  permet  plus  que  de  vous  parier  succinctement  de  deux 
choses.  J'ai  recu  de  M.  Abel  une  lettre  fort  interessante,  oü  il  me  parle  d'une 
grande  extension  qu'il  a  donnee  ä  ses  recherches  en  prouvant  que  des  proprietes 
analogues  ä  celles  des  fonctions  elliptiques  peuvent  s'appliquer  ä  des  transcen- 
dantes  beaucoup  plus  composees.  C'est  une  grande  generalisation  de  la  belle 
integrale  d'Euler.  On  trouve  un  tres-bel  echantillon  de  ces  nouvelles  recherches 
dans  le  4®  cahier  T.IIL  du  Journal  de  M.  Grelle  pag.313.  —  En  second  lieu 
il  m'assure  etre  en  possession  d'une  methode  par  laquelle  il  peut  resoudre  algebri- 
quement  toute  equation  donnee  qui  satisfait  aux  conditions  necessaires  pour  etre 
ainsi  resolue.    II  s'ensuit  que  la  Solution  generale  est  impossible  passe  le  4®  degrö. 

Adieu,  Monsieur,  recevez  l'assurance  de  mon  tres-sincere  attachement. 

*  Le  Gendre. 


55 


436  CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE. 

JACOBI  A  LEGENDRE. 

Koenigsberg ,  le  14  mars  1829. 

Monsieur , 

Je  vous  remercie  mille  fois  de  votre  lettre  du  9  fevrier,  et,  comme  vous 
m'y  proposez  diverses  questions,  je  veux  chercher  ä  y  repondre.  Vous  supposez 
que  j'ai  trouve  des  moyens  ä  exprimer  algebriquement  les  fonctions  trigonome- 
triques  des  amplitudes  que  vous  designez  par  a,« ,  en  ajoutant  que  sans  cela  ma 
formule  contiendrait  des  coefficients  que  je  ne  pourrai  determiner.  Mais,  Mon- 
sieur, ce  que  vous  desirez  est  une  chose  tout  a  faxt  impossihle  dans  le  cas  general, 
et  qui  ne  s'execute  que  pour  des  valeurs  speciales  du  module. 

Ma  formule  qui  donne  l'expression  algebrique  de  sin  am  w  au  moyen  de 
sinamww  suppose  connue  la  section  de  la  fonction  entiere.  C'est  ainsi  qu'on 
savait  resoudre  algebriquement  depuis  plus  d'un  siecle  les  equations  qui  se  rap- 
portent  ä  la  division  d'un  arc  de  cercle,  toutefois  en  supposant  connue  celle  de  la 
circonference  entiere,  cette  derniere  n'etant  donnee  generalement  que  dans  ces 
derniers  temps  par  les  travaux  de  M.  Gauss. 

M.  Abel  a  traite,  dans  son  ^xemiex  Memoire  sur  les  fonctions  elliptiques, 
le  Probleme  en  question  pour  la  premiere  fois  d'une  maniere  generale;  il  a 
montre  qu'il  est  toujours  possible  de  reduire  la  division  de  la  fonction  indefinie 

^2 j 

ä  Celle  de  la  fonction  entiere;  ensuite  il  a  montre  que  l'equation  du  degre  — - — , 
de  laquelle  depend  cette  derniere  se  reduit  ä  une  equation  du  degre    — - —    dont 

les  coefficients  dependent  d'une  autre  equation  du  degre  w-f-1?  ^   etant  premier. 
En  eiFet ,  l'equation  du  degre  ti^  entre  sin  am  u  et  sin  am  nu  a  pour  racines  les  n^ 

expressions  contenues  sous  la  forme    sinamTw-j ^ J,    oü  l'on  donne 

ä  m,  m'  les  valeurs  0,  1,  2,  3,  ...,  n  —  1. 

En  supposant  m  =  0 ,  une  racine  devenant  sin  am  w  =  0  et  les 
autres   devenant   egales    deux    ä    deux,    mais    de    signes    opposes,    l'expression 

sm  ami  ' )  ne  depend  plus  que  dune  equation  du  degre  — - — ,  comme 

vous  l'avez  montre  par  des  exemples  dans  vos  Traite s. 


CORRESPONDA^X•E  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE.  437 

r.                                 ...     mK-\-m'iK'  .   ,         ,       , 

.^iipposons  n  premier,  et  soit ' =  (0,011  prouve  aiseraent  qii  une 

fonction  symetrique  quelconque  de  siii^ain2tü,  siii^am4(o,  .  .  .,  sin^am(w — 1  u), 
par  exemple  celle-ci : 

8in^coam2u>.8iii*coam4uj . ..  sin^coarnfw — l)u)  =  -v-; 

ne  peut  obtenir  plus  que  n-\-\  valeurs  diiferentes,  en  mettant  pour  siii^am2u> 
une  quelconque  des  racines  de  l'equation  du  degre  — - — .  Ces  valeurs  differentes 
repondent  aux  valeurs  de  io  =  K,iK',  K-\-iK',  lK-{-iK',  . . .,  [n  —  i)K-\-iK'. 
En  effet,  toutes  les  racines  de  l'equation  du  degre  — - —  etant  contenues  sous 


>2. 


la  forme    sin^am2^jiu,    oü  Ton  donne  ä   p  les  valeurs   1.  2.  ...,  ,    ä  cd  les 

w+1  valeurs  mentionnees,  et  le  Systeme  des  quantites  sin^am2iü,  sin^am  4(i). . . ., 
sin^am(w  —  1)ü)  pouvant  etre  remplace  par  le  Systeme  de  celles-ci:  sin^am2/>ü), 
sin^ am 42^(1),  .  .  .,  sin^amfw  —  1)^ü>,  il  suit  que  les  fonctions  symetriques  de  ces 
quantites  ne  sauront  obtenir  que  les  n-\-\  valeurs  que  Ton  obtient  en  mettant 
pour  (JD  des  valeurs  differentes  et  incommensurables  entre  elles.  Donc  elles  de- 
pendent  d'une  equation  algebrique  du  degre  n-\-\.  C'est  donc  aussi  le  degre  de 
l'equation  dont  les  racines  sont  les  differents  modules  transformes  attaches  au 
nombre  n  suppose  premier,  et  que  j'appelle  aequatio  modularis,  ces  modules 
etant  contenus  sous  la  forme 

K  z=  Z;"[8incoam2tu.siiicoam4u). .  .sincoam(w — l)«)]*. 

Vous  voyez  donc,  Monsieur,  que  M.  Abel  a  prouve  ce  theoreme  im- 
portant ,  comme  vous  le  nommez ,  dans  son  premier  Memoire  sur  les  fonctions 
elliptiques ,  quoiqu'il  n'y  ait  pas  traite  de  la  transformation ,  et  qu'il  ne  parait  pas 
meme  avoir  songe,  du  temps  qu'il  le  composa,  que  ses  formules  et  ses  theoremes 
trouveraient  une  pareille  application.  Quant  ä  moi,  je  n  ai  pas  trouve  necessaire 
de  reproduire  cette  demonstration  dans  les  ecrits  que  j'ai  publies  jusqu'ici  sur 
cette  matiere,  car  il  me  reste  trop  ä  faire  pour  ne  pas  epargner  mon  temps  le 
plus  que  possible. 

Mais  peut -etre,  Monsieur,  vous  aurez  ä  faire  des  objections  a  cette 
demonstration.  Dans  ce  cas,  vous  m'obligerez  de  beaucoup  en  me  les  communi- 
quant,  car  lorsque  je  traiterai  de  mes  theories  nouvelles  il  faudra  en  parier. 


438  CORRESPONDANCE  ÄIATHEMATIQÜE  AVEC  LEGENDRE. 

Etant  connue  une  seule  des  fonctions  symetriques  de  sin^ani2ü),  .  .  ., 
la  theorie  generale  des  equations  algebriques  nous  apprend,  et  M.  Abel  l'a 
remarque,  qu'il  est  possible  d'exprimer  par  cellc-ci  tonte  autre  fonction  symetrique 
des  memes  quantites.  C'est  la  cause  de  ce  que  vous  avez  pu  exprimer  ration- 
nellement  en  fonctions  des  deux  modules  les  coefficients  des  transformations 
attachees  aux  nombres  3  et  5 ,  et  il  sera  de  meme  pour  tont  antre  nombre.  Vous 
tronverez  meme  dans  le  2®  cahier  dn  vol.  IV.  du  Journal  de  M.  Grelle  une 
formule  ä  ditferences  partielles  tres-remarquable  qui  sert  ä  exprimer  generalement 
ces  coefficients  par  les  deux  modules,  en  supposant  connue  l'equation  aux 
modules;  de  sorte  que  la  formation  algebrique  des  substitutions  a  faire  pour 
parvenir  ä  une  transformation  quelconque  est  entierement  reduite  ä  la  recherche 
des  equations  aux  modules,  formule  qui  donne  en  meme  temps  comme  cas  special 
les  expressions  algebriques  et  generales  pour  la  multiplication  par  un  nombre  n 
quelconque  indeßni:  chose  tres-difficile  et  dont  vous  avez  du  remarquer  les  pre- 
miers  exemples  dans  le  4®  cahier  du  vol.  III.  dudit  Recueil.  II  sera  de  meme  si 
l'on  fait  tont  dependre  de  l'equation  dont  les  racines  donnent  les  valeurs  de  ce 
que  vous  appelez  le  regulateur ,  et  cela  conviendra  peut-etre  encore  mieux ,  ces 
dernieres  semblant  etre  plus  simples.  Aussi  j'ai  decouvert  une  propriete  tout  ä 
fait  singuliere  de  ces  equations,  dont  les  racines  sont  les  regulateurs,  comme 
vous  l'aurez  lu  dans  le  3®  cahier  du  vol.  III. :  c'est  qu'on  peut  exprimer  lineaire- 
m.ent  leurs  racines  carrees  au  moyen  de  la  moitie  de  leur  nombre,  propriete  qui 
m.'est  d'autant  plus  remarquable  que  je  ne  Tai  trouvee  que  par  les  developpe- 
ments  en  series  qui  me  sont  propres,  et  que  je  ne  vois  pas  comment  on  peut  la 
prouver  en  quantites  finies ,  ce  qui  pourtant  doit  etre  possible.  Cette  propriete 
servira  sans  doute  ä  approfondir  un  jour  la  vraie  nature  de  ces  equations  du 
degre   w  -}- 1 . 

J'ai  ete  convaincu-,  et  M.  Abel  l'a  confirme,  qu'il  n'est  pas  possible  de 
räsoudre  algebriquement  ces  equations  du  degre  n-\-l;  aussi,  comme  M.  Abel 
sait  etablir  des  criteres  necessaires  et  suffisants  pour  qu'une  equation  algebrique 
puisse  etre  resolue ,  il  pourra  sans  doute  prouver  cela  avec  toute  la  rigueur  ana- 
lytique.  Quant  aux  cas  speciaux,  comme  M.  Abel  a  promis  en  plusieurs  lieux 
d'en  traiter,  je  ne  me  suis  pas  encore  occupe  beaucoup  de  cet  objet,  sans  doute 
tres-interessant.  Je  ne  veux  ni  reproduire  ni  prevenir  les  travaux  de  M.  Abel: 
presque  tout  ce  que  j'ai  public  dans  ces  derniers  temps  sur  les  fonctions  ellipti- 


CORRESPONDANGE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE.  439 

ques  contient  des  vues  nouvelles;  ce  ne  sont  pas  des  amplifications  de  matieres 
dont  M.  Abel  a  traite  ou  meme  promis  de  s'occuper. 

Le  module  transforme  ou,  ce  qui  revient  au  meme,  le  regulatcur  qui  y 

repond  etant  suppose  connu,  il  faut  encore  resoudre  une  equation  du  degre  — - — • 
pour  parvenir  aux  quantites  sin^am2jo(ü,  ou  ä  la  section  de  la  fonction  entiere. 
Donc  vous  n'aviez  eu  qu'ä  resoudre  une  equation  du  second  degre  dans  le  cas  de 
n  ^=  b.  M.  Abel  a  prouve  que  la  methode  de  M.  Gauss  s'applique  presque 
mot  ä  mot  ä  la  resolution  de  ces  equations,  de  sorte  que  ce  ne  sont  que  les 
equations  aux  modules  qu'on  ne  sait  pas  resoudre  algebriquement.  J'ai  trouve 
le  theoreme  remarquable,  et  je  Tai  annonce  dans  le  2®  cahier  du  vol.  IV.  du 
Journal  mentionne,  qu'etant  supposees  connues  toutes  les  racines  de  l'equation 
aux  modules,  ou  tous  les  regulateurs  qui  repondent  au  nombre  n,  on  peut  ex- 
primer  les  quantites  sin^a„j  sans  avoir  besoin  de  resoudre  encore  aucime  equation 
algebrique.  La  methode  de  M.  Abel  ne  suppose  connu  qu'un  seul  module  trans- 
forme pour  trouver,  par  la  resolution  d'une  equation  algebrique  du  (— - — j 

degre ,  les  quantites  sin  a,„  qui  repondent  ä  ce  module ;  la  connaissance  de  tous 
les  modules  transformes  remplacera  donc  la  resolution  de  cette  equation. 

Je  ne  crois  pas  que  la  formule  que  j'ai  eu  l'honneur  de  vous  communiquer 
dans  ma  derniere  lettre  perdra  a  vos  yeux  ä  present  oü  vous  voyez  qu'elle  contient 
des  coefficients  que  je  ne  sais  pas  determiner,  mais  en  meme  |temps  qu'il  est 
impossible  de  les  determiner  algebriquement.' 

L'impression  de  mon  Ouvrage  s'est  retardee,  puisqu'il  s'imprime  ä  200 
lieues  de  Koenigsberg;  sans  cela,  il  serait  dejä  dans  vos  mains;  cependant 
j'espere  pouvoir  vous  le  faire  parvenir  dans  tres-peu  de  temps.  II  ne  contiendra 
que  les  fondements  de  mes  travaux;  je  publierai  le  reste  dans  des  Memoires 
isoles ,  puisque  cela  parait  etre  plus  conforme  ä  vos  voeux. 

Quelle  decouverte  de  M.  Abel  que  cette  generalisation  de  l'integrale 
d' Euler!  A-t-on  jamais  vu  pareille  chose!  Mais  comment  s'est-il  fait  que  cette 
decouverte ,  peut-etre  la  plus  importante  de  ce  qu'a  fait  dans  les  mathematiques 
le  siecle  dans  lequel  nous  vivons,  etant  communiquee  a  votre  academie  il  y  a 
deux  ans,  eile  a  pu  echapper  ä  l'attention  de  vous  et  de  vos  confreres? 

Vos  lettres,  Monsieur,  fönt  epoque  dans  le  cours  de  mes  travaux.  Veuillez 
donc  me    daigner   honorer  bientot  d'une  reponse,   et,    comme   j'irai  voir   mes 


440  CORRESPONDANCE  MATHEMATIQÜE  AVEC  LEGENDRE. 

parents  a  Potsdam,  je  vous  prie  de  l'adresser  ä  cette  ville.  Je  voiis  prie  aussi  de 
vouloir  bien  excuser  mille  inconvenients  qui  naissent  de  ce  qu'il  faiit  que  j'ecrive 
dans  une  langue  qui  m'est  etrangere. 

Votre  devoue  serviteur 

C.  G.  J.  Jacobi. 


LEGENDRE  A  JACOBI 

Paris,  le  8  avril  1829. 

Je  Yous  remercie,  Monsieur,  de  la  peine  que  vous  avez  prise  de  repondre 
aux  questions  contenues  dans  ma  lettre  precedente.  Je  vois  maintenant  plus 
clairement  qu'auparavant ,  comment  vous  etes  parvenus,  M.  Abel  et  vous,  ä 
demontrer  que  l'equation  des  modules  doit  etre  du  degre  w  +  l,  et  aussi  pourquoi 
la  division  de  la  fonction  complete   en  n  parties  qui  en  general  depend  d'une 

equation  du  degre  — - — ,  se  reduit  ä  deux  equations,  l'une  du  degre  w-j-l,  l'autre 

du  degre  — - —  La  demonstration  de  ces  belles  proprietes  est  encore  enveloppee 
de  quelques  nuages  qui,  j'espere,  pourront  se  dissiper  par  un  travail  ulterieur, 
et  avec  le  secours  de  ce  que  vous  publierez  sur  cette  matiere ,  car  votre  maniere 
d'ecrire  est  plus  claire  pour  moi  que  celle  de  M.  Abel  qui  en  general  ne  me 
parait  pas  suffisamment  developpee  et  laisse  au  lecteur  beaucoup  de  difficultes 
ä  resoudre. 

Je  viens  de  recevoir  le  nouveau  cahier  du  Journal  de  M.  Grelle  ou  il  y  a 
trois  beaux  memoires  de  M.  Abel  et  un  precis  que  vous  m'aviez  annonce  de  vos 
nouvelles  recherches.  Vous  allez  si  vite  Messieurs,  dans  toutes  ces  belies  spe- 
culations ,  qu'il  est  presque  impossible  de  vous  suivre ;  surtout  pour  un  vieillard 
qui  a  dejä  passe  Tage  oü  est  mort  Euler,  age  oü  l'on  a  nombre  d'infirmites  ä 
combattre,  et  oü  l'esprit  n'est  plus  capable  de  cette  contention  qui  peut  vaincre 
des  difficultes  et  se  plier  ä  des  idees  nouvelles.  Je  me  felicite  neanmoins  d'avoir 
vecu  assez  longtemps  pour  etre  temoin  de  ces  lüttes  genereuses  entre  deux  jeunes 
athletes  egalement  vigoureux,  qui  fönt  tourner  leurs  efForts  au  profit  de  la  science 
dont  ils  reculent  de  plus  en  plus  les  limites.  Ce  spectacle  m'interesse  d'autant 
plus  qu'il  m'otfre  les  moyens  de  perfectionner  mon  propre  ouvrage ,  en  proütant 


CORRESPONDANCE  MATHEMATIQCE  AVEC  LEGENDRE.  441 

de  quelques -uns  des  materiaux  precieux  qui  sont  le  resultat  de  leurs  savantes 
recherches. 

Je  ünirai  dans  quelques  jours  rimpression  de  mon  second  Supplement  dont 
j'adresserai  un  exemplaire  ä  Koenigsberg,  pensant  que  vous  y  serez  de  retour  ä 
cette  epoque.  II  est  compose  de  presque  toutes  choses  qui  vous  appartiennent, 
et  qui  m'ont  cependant  coüte  beaucoup  de  travail,  ä  cause  des  demonstrations 
que  vous  n'aviez  pas  toujours  indiquees.  Ce  Supplement  complete  en  quelque 
Sorte  la  theorie  des  approximations  qui  est  Tun  des  objets  principaux  de  mon 
ouvrage ;  car  une  fois  les  fonctions  elliptiques  connues ,  il  faut  faciliter  par  tous 
les  moyens  possibles  leur  application ,  c'est-ä-dire  la  determination  numerique 
des  fonctions.  Je  trouve  que  vous  avez  fait  un  grand  pas  dans  cette  carriere  en 
reduisant  les  fonctions  de  la  3^"^  espece,  ä  parametre  logarithmique  (j'appelle 
ainsi  les  fonctions  dont  le  parametre  est  — Är^sin^a),  de  sorte  qu'elles  ne  de- 
pendent  plus  que  de  deux  variables,  et  qu' ainsi  on  puisse  les  evaluer  en  joignant 
aux  tables  connues  une  nouvelle  table  ä  double  entree  seulement.  J'aurais  bien 
voulu  que  la  meme  propriete  put  etre  etendue  aux  autres  fonctions  de  la  3^°^® 
espece,  c'est-ä-dire  ä  Celles  que  j'appelle  a  parametre  circulaire,  ou  dont  les  para- 
metres  sont  des  formes  cot^a,  A:'  tg^a,  et  — \-\-Jc  sin^a.  Mais  les  efforts  que 
j'ai  faits  pour  parvenir  ä  ce  resultat  ont  ete  infructueux,  quoique  vous  en  ayez 
annonce  la  possibilite.  Je  serai  tres-aise  de  metre  trompe,  et  je  reparerais  avec 
grand  plaisir  mon  erreur  si  vous  m'indiquiez  le  moyen  de  resoudre  la  difficulte 
et  d'exprimer  par  deux  variables  seulement  cette  seconde  division  des  fonctions 
de  troisieme  espece.  Ce  serait  ä  mon  avis  la  plus  grande  decouverte  qu'il  est 
possible  d'esperer  dans  la  theorie  des  fonctions  elliptiques,  puisquelle  rendrait 
l'usage  de  ces  fonctions  presqu'aussi  facile,  dans  tous  les  cas,  que  celui  des 
fonctions  circulaires  et  logarithmiques.  S'il  faut  perdre  tout  espoir  ä  cet  egard, 
j'aurai  au  moins  la  consolation  que  mes  recherches  sur  votre  decouverte  m'ont 
fourni  l'occasion  de  perfectionner  assez  notablement  le  calcul  approximatif  des 
fonctions  ä  parametre  circulaire,  au  moyen  de  mes  arcs  Ö  et  ö'  dont  Tun  au  moins 
se  determine  toujours  par  deux  suites  fort  convergentes. 

Je  ne  terminerai  pas  cette  lettre  sans  repondre  ä  Tarticle  de  la  votre  qui 

concerne  le  beau  memoire  de  M.  Abel  qui  a  ete  imprime  dans  le  cahier  prece- 

dent  du  Journal  de  Cr  eile,  et  qui  avait  ete  presente  ä  TAcademie  par  son  auteur 

dans  les  derniers  mois  de  1 826.     M.  Pois so n  etait  alors  president  de  lAcademie, 

1.  56 


442  CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE. 

les  commissaires  nommes  pour  examiner  le  memoire  furent  M.  Cauchy  et  moi. 
Nous  nous  aper^ümes  que  le  memoire  n'etait  presque  pas  lisible ,  il  etait  ecrit  en 
encre  tres-blanche ,  les  caracteres  mal  formes ;  il  fut  convenu  entre  nous  qu'on 
demanderait  ä  l'auteur  une  copie  plus  nette  et  plus  facile  ä  lire.  Les  choses  en 
sont  restees  lä;  M.  Cauchy  a  garde  le  manuscrit  jusqu'ici  sans  s'en  occuper, 
l'auteur  M.  Abel  parait  s'en  etre  alle  sans  s'occuper  de  ce  que  devenait  son  me- 
moire, il  n'a  pas  fourni  de  copie,  et  il  n'a  pas  ete  fait  de  rapport.  Cependant 
j'ai  demande  ä  M.  Cauchy  quil  me  remette  le  manuscrit  qui  n'a  jamais  ete 
entre  mes  mains,  et  je  verrai  ce  qu'il  y  a  ä  faire,  pour  reparer,  s'il  est  possible, 
le  peu  d'attention  qu'il  a  donne  ä  une  production  qui  meritait  sans  doute  un 
meilleur  sort. 

Votre  tout  devoue 

Le  Gendre. 


JACOBI  A  LEGENDRE. 

Potsdam,  le  23  mai  1829. 
Monsieur , 

Je  vous  rends  grace  de  votre  lettre  du  8  avril  qui  me  mande  la  publication 
d'un  Supplement,  que  j'attends  avec  une  grande  impatience.  Vos  deux  Supple- 
ments embrasseront  sans  doute  la  plupart  de  ce  qui  se  trouvera  de  nouveau  et 
d'interessant  dans  mon  ouvrage  et  beaucoup  d'autres  choses  qui  ne  s'y  trouvent 
pas.  L'impression  de  celui-ci  etant  achevee,  je  me  suis  empresse  de  vous  le 
faire  parvenir,  et  je  vous  prie  de  l'accueillir  avec  cette  bonte  dont  vous  m'avez 
donne  des  preuves  si  eclatantes.  Cependant  je  crains  qu'il  ne  soit  beaucoup  au- 
dessous  de  la  bonne  opinion  que  vous  avez  voulu  concevoir  de  mes  travaux,  et  je 
crains  cela  d'autant  plus ,  puisqu'il  ne  contient  que  les  fondements  de  mes 
recherches  et  qu'il  me  faut  encore  une  longue  serie  de  travaux  pour  etablir  aux 
yeux  des  Geometres  leur  ensemble. 

En  ce  qui  regarde  les  integrales  elliptiques  de  la  troisieme  espece  ä  para- 
metre  circulaire,  vous  avez  completement  raison;  elles  ne  jouissent  pas  d'une 
reduction  analogue  ä  celle  de  l'autre  espece  logarithmique.     Si  j'ai  annonce  une 


CORRESPONDANCE  MATHEMATIQÜE  AVEC  LEGENDRE.  443 

pareille  chose ,  comme  vous  le  dites  dans  votre  lettre ,  cela  n'a  pu  etre  que  dans 
le  sens  general  et  analytique,  oü  l'on  ne  distingue  pas  entre  les  valeurs  reelles 
et  imaginaires ,  et  qu'on  fait  abstraction  de  revaluation  numerique.  8ous  ce 
point  de  vue,  une  meme  formule  embrasse  tous  les  cas,  de  sorte  quon  n'a  pas 
besoiii  de  distinguer  entre  les  especes,  ce  qui  devient  necessaire  aussitot  qu'on 
veut  appliquer  les  formules  qui  s'y  rapportent  au  calcul  numerique  ou  qu'on  ne 
veut  considerer  que  des  quantites  reelles.  Toutefois  cette  sorte  d'inconvenient, 
qui  tient  ä  la  nature  intime  de  l'objet,  et  nullement  ä  un  defaut  de  notre  part, 
me  parait  aj outer  du  merite  ä  votre  division  des  integrales  elliptiques  de  la 
troisieme  espece  en  deux  classes,  auxquelles  se  ramenent  tous  les  autres  cas. 
En  effet,  ces  deux  classes  different  essentiellement  entre  elles,  le  parametre  et 
l'amplitude  dans  l'une  d'entre  elles  pouvant  etre  reunis-  dans  une  seule  variable, 
et  l'autre  pouvant  etre  rapportee  en  meme  temps  au  module  donne  et  ä  son  com- 
plement.  Je  pourrais  vous  parier  davantage  sur  cette  matiere,  mais  j'aime 
mieux  voir  auparavant  votre  second  Supplement. 

J'ai  dejä  communique  ä  M.  Grelle,  pour  le  faire  inserer  dans  son  Journal, 
un  premier  memoire  qui  fait  partie  d'une  suite  de  memoires  dans  lesquels  je 
veux  exposer,  avec  les  demonstrations  et  les  developpements  necessaires,  les 
differents  resultats  auxquels  je  suis  parvenu,  et  dont  j'ai  dejä  annonce  la  plupart 
Sans  demonstration.  Yous  y  trouverez  les  formules  generales  qui  se  rap- 
portent ä  la  transformation  des  integrales  elliptiques  de  la  seconde  et  de  la 
troisieme  espece,  presentees  sous  une  forme  commode  et  elegante.  Vous  y 
trouverez  aussi  les  formules  generales  qui  donnent  leurs  valeurs  dans  le  cas 
que  -F(cp)  est  commensurable  avec  la  fonction  entiere  F^,  ou  plus  generalement 

=  Lilt L_lY:il_,  m^  n,  p    etant  des  nombres  entiers.     Mais  le  but  prin- 

cipal  de  ce  premier  memoire  est  de  preparer  tout  ce  qui  est  necessaire  pour  que 
je  puisse  etablir  dans  les  memoires  suivants,  avec  toute  la  rigueur  necessaire  et 
en  partant  des  premiers  elements,  cette  theorie  des  transformations  irrationnelles 
ou  inverses  et  de  la  section  des  fonctions  elliptiques,  qui  me  parait  etre  le 
comble  de  toutes  mes  recherches  sur  cette  matiere. 

Dans  un  memoire  ecrit  en  allemand,  et  qui  a  ete  insere  dans  le  3®  volume 
du  Journal  de  M.  Crelle,  j'ai  donne  une  construction  plane  de  la  multiplication 
des  fonctions  elliptiques. 

56* 


444  CORKESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE. 

Soit  ÄÄ'A"  Ä"'. . .  une  partie  d'un  polygone  inscrit  dans  le  cercle  C  et  cir- 
conscrit  au  cercle  c,  A  etant  sitiie  dans  le  prolongement  de 
cC   ou  de  la  droite  qiii  Joint  les  deux  centres :  si  Ton  met 

^A'=2cpi,  J.^"=  2cp2?   -4^'"=  2cp3,  . . .,  on  aura 

Le  modiile  se  determine  par  la  distance  du  centre  C 
ä  la  secante  ideale  commune  aux  deux  cercles.  Donc  si 
l'on  veut  trouver  un  angle  cp„  tel  que  -F(<:p„)  =  wF(cp),  on 
n'a  qu'ä  decrire  un  cercle  c,  qui  touche  la  droite  AÄ  et  qui  a  une  secante  ideale 
donnee  commune  avec  le  cercle  C;  ensuite  on  mene  au  cercle  c  les  tangentes 
AÄ',  A"A"',  A"Ä",  . . . ;  les  points  A",  A",  A\  . . .  etant  situes  tous  dans  la  peri- 
pherie  du  cercle  C;  la  wi^me  tangente  etant  ^(»-i)^w,  on  aura  AA,,  =  2cp„. 
Les  arcs  de  cercles  peuvent  devenir  plus  grands  que  360  degres,  de  sorte  que 
cette  construction  n'a  point  des  limites,  comme  celle  de  Lagrange.  On  voit 
ainsi  que  la  theorie  generale  des  polygones  inscriptibles  et  circonscriptibles  en 
meme  temps  ä  un  cercle  depend  des  fonctions  elliptiques ,  comme  celle  des  poly- 
gones reguliers  des  fonctions  circulaires. 

Pardonnez-moi  si  j'ose  vous  faire  remarquer  qu'il  me  semble  que,  dans 
votre  premier  Supplement,  vous  avez  presente  d'une  maniere  incomplete  ma 
demonstration  de  mon  premier  theoreme.  II  me  semble  que  de  la  seule  circon- 
stance  que  y  se  change  en  y- ,  x  etant  change  en  j-,  vous  concluez  que  la 

valeur  de  y,  qu'on  a  supposee,  satisfait  ä  l'equation  differentielle 

dy  dx 

puisqu'on  peut  faire  dans  celle-ci  cette  Substitution. 

Mais  je  n'ai  pas  fait,  moi,  cette  conclusion,  que  vous  reconnaitrez  aise- 
ment  etre  fautive  puisqu'on  peut  former  ad  libitum  des  expressions  qui  jouissent 
de  cette  propriete  et  qui  ne  satisfont  pas  ä  l'equation  differentielle. 

Vous  m'obligerez  beaucoup,  Monsieur,  si  vous  voulez  avoir  la  bonte  de 
faire  parvenir  ä  MM.  Poisson,  Fourier  et  Cauchy  les  exemplaires  de  mon 
ouvrage  qui  se  trouvent  aupres  de  celui  dont  je  vous  fais  hommage.  Comme  je 
resterai  encore  quelque  temps  ä  Potsdam  je  vous  prie  d'y  adresser  une  reponse 
que  j'attends  avec  une  vive  impatience. 

Votre  entierement  devoue  C.  G.  J.  Jacob i. 


CORRESPOXDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE.  445 

LEGENDRE  A  JACOBL 

Paris,  le  4  juin  1829. 

Monsieur , 

Je  suis  fort  einpresse  de  recevoir  l'exemplaire  que  vous  m'avez  destine  de 
votre  ouvrajj^e  contenant  le  fondement  de  vos  recherches  sur  la  theorie  des 
fonctions  elliptiques.  Je  distribuerai  conformement  a  vos  intentions  les  trois 
exemplaires  qui  y  sont  joints.  aussitot  que  je  les  aurai  recus,  je  regrette  seule- 
ment  que  vous  n'en  ayez  pas  envoye  un  quatrieme  pour  racademie  avec  une 
lettre  au  president.  et  je  vous  engage  ä  reparer  cette  Omission  aussitot  la  presente 
recue,  que  je  m'empresse  ä  cet  eifet  de  vous  adresser  ä  Potsdam,  puisque  vous 
me  marquez  que  vous  y  resterez  encore  quelque  temps.  —  Je  ne  serai  pas  moins 
empresse  de  voir  le  memoire  qui  doit  paraitre  dans  le  recueil  de  M.  Grelle  et 
qui  sera  suivi  de  plusieurs  autres  oü  vous  donnerez,  dites-vous,  les  demonstra- 
tions  detaillees  de  plusieurs  de  vos  beaux  resultats.  —  Je  vous  ai  adresse  mon 
second  Supplement  ä  Koenigsberg,  pensant  que  vous  ne  resteriez  pas  si  longtemps 
ä  Potsdam.  —  Je  vois  ä  l'avance  que  nous  serons  d'accord  sur  les  deux  classes 
des  fonctions  de  troisieme  espece  que  je  distingue  par  les  noms  de  logarithmique 
et  de  circulaire,  je  suis  fache  de  perdre  l'esperance  de  reduire  en  table  les 
fonctions  ä  parametre  circulaire  et  j'ai  peine  ä  comprendre  comment  il  peut  y 
avoir  une  difference  aussi  essentielle  entre  les  deux  classes.  Mais ,  comme  vous 
dites ,  cela  tient  ä  la  nature  des  choses  et  nous  ne  pouvons  rien  y  changer.  Vous  vous 
en  consolez  plus  aisement  que  moi.  vous  et  M.  Abel  qui  etes  tous  deux  emi- 
nemment  speculatifs ,  mais  moi  qui  ai  toujours  eu  pour  but  d  introduire  dans  le 
calcul  de  nouveaux  elements  qu'on  puisse  realiser  en  nombres  ä  volonte,  moi  qui 
me  suis  livre  ä  un  travail  des  plus  longs  et  des  plus  fastidieux  pour  la  construction 
des  tables,  travail  que  je  n'hesite  pas  ä  croire  aussi  considerable  que  celui  des 
grandes  tables  de  Briggs,  je  ne  prends  pas  mon  parti  aussi  facilement  sur 
l'esperance  decue  que  vous  m'aviez  fait  concevoir,  et  dont  une  moitie  seulement 
s'est  realisee. 

Votre  construction  geometrique  des  fonctions  multiples  me  parait  fort 
ingenieuse,  ce  sont  de  ces  choses  dont  je  ne  manquerai  pas  de  faire  mention 
dans  un  3^"®  su})plement,  s'il  y  a  lieu.  Car  je  ne  reponds  de  rien,  j'ai  eu  encore 
bien  de  la  peine  a  passer  cet  hiver,  et  une  annee  de  plus  devient  pour  moi  un 


446  CORRESPONDANCE  MATHEMATIQÜE  AVEC  LEGENDRE. 

demi-siecle.  Vous  avez  dejä  une  preuve  de  rinfiuence  de  Tage  qui  diminue  ne- 
cessairement  l'etendue  de  nos  facultes  intellectuelles,  puisqiie  vous  avez  remarque 
qiie  je  n'ai  pas  bien  saisi  votre  pensee,  et  que  j'ai  presente  d'ime  maniere  in- 
complete  dans  mon  premier  Supplement  la  deraonstration  de  votre  theoreme  I. 
Vous  aurez  peut-etre  occasion  de  faire  de  semblables  remarques  dans  la  lecture 
du  second  Supplement,  mais  vous  remarquerez  du  moins  en  meme  temps  que  les 
erreurs  dans  lesquelles  j'aurai  pu  tomber  ne  peuvent  etre  reprochees  qu'ä  moi,  et 
que  je  n'ai  rien  negiige  pour  que  la  gloire  de  vos  decouvertes  vous  soit  reservee 
tout  entiere. 

Relativement  au  premier  objet  je  dois  dire  pour  mon  excuse  que  votre 
demonstration,  teile  que  vous  l'avez  donnee  dans  le  Journal  de  M.  Schumacher, 
ne  m'a  paru  concluante  qu'en  admettant  comme  assomption,  ce  que  j'appelle  le 
principe  de  la  double  Substitution  dont  l'idee  m'a  paru  tres-heureuse  et  de  nature  ä 
faire  beaucoup  d'honneur  a  votre  sagacite. 

J'ai  dit  expressement  que  la  double  Substitution  qui  satisfait  ä  l'equation 
differentielle  doit  satisfaire  aussi  ä  son  integrale,  et  partant  de  la  je  suis  arrive 
ä  votre  resultat.  Cette  raison  m'a  paru  süffisante,  d'ailleurs  je  n'ai  point  vu  que 
vous  ayez  motive  sur  des  raisons  plus  solides  l'usage  que  vous  avez  fait  de  ce 
principe.  II  ne  m'avait  pas  cependant  echappe  qu'on  pouvait  faire  des  objections 
contre  ce   principe ,  j'avais  remarque   que  si   la  valeur  1/  = ^  satisfait  au 

principe,  une  valeur  diiferente  teile  que  y  = Ur  \.jr~'r^){.j. ^)  J  satisfait 

encore  sans  satisfaire  ä  l'equation  differentielle ,  j'avais  remarque  encore  que  pour 
l'echelle  ancienne  dont  l'indice  est  2  (pag.  36  et  38  du  1.  Supplement)  l'equation 

des  amplitudes  pour  le  Theoreme  I,  savoii*  1/  =  ^    '     ^   ^ — —  ?  satisfait  bien  au 

yi — k'^x^ 

principe  de  la  double  Substitution,  mais  que  l'equation  analogue  du  Theoreme  II, 

savoir  z  =  —         >  n'y  satisfait  pas.     J'ai  maintenant  l'espoir  que  dans  le  me- 
Xy  +  — 

y 

moire  qui  va  bientot  me  parvenir  dans  le  Journal  de  M.  Cr  eile,  je  trouverai 
les  developpements  necessaires  sur  cet  objet  avec  lesquels  je  pourrai  corriger 
dans  mon  prochain  Supplement  ce  que  le  premier  contient  de  defectueux. 

Recevez,    Monsieur,    mes   compliments    et    Tassurance    de    mon    sincere 
attachement.  Le  Gendre. 


CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE.  4:47 

En  fermant  cette  lettre  je  viens  d'apprendre  avec  une  profönde  douleur  que 
votre  digne  emule  M.  Abel  est  mort  ä  Christiania  des  siiites  dune  maladie  de 
poitrine  dont  il  etait  affecte  depuis  quelque  temps  et  qiü  a  ete  aggravee  par  les 
rigueurs  de  l'hiver. 

C'est  une  perte  qui  sera  vivement  sentie  de  tous  ceux  qui  s'interessent  aux 
progres  de  l'analyse  mathematique  consideree  dans  ce  qu'elle  a  de  plus  eleve. 
Au  reste  dans  le  court  espace  de  temps  qu'il  a  vecu  il  a  eleve  un  monument  qui 
suffira  pour  rendre  sa  memoire  durable  et  donner  une  idee  de  ce  qu'on  aurait  pu 
attendre  de  son  genie  ni  fata  ohstetissent. 


JACOBI  A  LEGENDRE. 

Potsdam,  le  14  juin  1829. 

Monsieur , 

Conformement  ä  ce  que  vous  avez  la  bonte  de  m'ecrire  dans  votre  lettre  du 
4  juin,  je  vous  envoie  un  quatrieme  exemplaire  pour  l'Academie.  Je  Tai  adresse 
ä  M.  le  Baron  Fourier,  Secretaire  perpetuel  de  TAcademie,  puisque  j'ignore 
le  nom  du  President.  Veuillez  bien  le  lui  faire  parvenir  et  excuser  la  peine  que 
je  vous  fais.  Votre  bonte  envers  moi  et  votre  generosite  sont  telles,  que  je  ne 
sais  vous  en  rendre  de  dignes  graces. 

Peu  de  jours  apres  l'envoi  de  ma  derniere  lettre ,  j'appris  la  triste  nouvelle 
de  la  mort  d'Abel.  Xotre  Gouvernement  l'avait  appele  ä  Berlin,  mais  l'appel 
ne  l'a  pas  trouve  parmi  les  vivants.  L'esperance  que  j'avais  con^ue  de  le  trouver 
ä  Berlin  a  ete  donc  cruellement  decue.  Les  vastes  problemes  qu  il  s'etait  proposes, 
d'etablir  des  criteres  suffisants  et  necessaires  pour  qu  une  equation  algebrique 
quelconque  soit  resoluble,  pour  qu'une  integrale  quelconque  puisse  etre  exprimee 
en  quantites  finies,  son  invention  admirable  de  la  propriete  generale  qui 
embrasse  toutes  les  fonctions  qui  sont  des  integrales  de  fonctions  algebriques 
quelconques ,  etc. ,  etc. ,  marquent  un  genre  de  questions  tout  ä  fait  particulier, 
et  que  personne  avant  lui  n'a  ose  imaginer.  II  s'en  est  alle ,  mais  il  a  laisse  un 
grand  exemple. 

•Je  vous  rends  mille  grdces  de  votre  second  Supplement,  qui  avait  fait  le 
grand  detour  par  Kcenigsberg.    Les  demonstrations  differentes  de  celles  que  vous 


448  COKRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGEND RE. 

trouverez  dans  mon  petit  ouvrage  et  les  developpements  que  vous  avez  ajoutes  ä 
plusieurs  poiiits  importants  me  l'oiit  rendu  fort  interessant,  Quant  au  calcul 
numerique  des  integrales  elliptiques  de  troisieme  espece  ä  parametre  circulaire, 
je  vous  demande  pardon  d'avoir  fait  naitre  en  vous  une  esperance  qui  n'a  pas  ete 
realisee  depuis.  C'ependant  je  crois  que  vous  n'avez  pas  ä  regretter  trop  l'incon- 
venient  que  ces  fonctions  ne  peuvent  etre  reduites  en  tables  ä  double  entree. 
Les  moyens  que  vous  avez  indiques  pour  leur  evaluation  dans  le  second  Supple- 
ment sont  tels,  qu'on  doit  considerer  ces  fonctions  tout  ä  fait  comme  des  quantites 
finies.  Je  crois  menie  qu'au  moyen  de  quelques  tables  ä  simple  entree  on  peut 
faciliter  tellement  leur  calcul,  que  la  peine  de  les  calculer  au  moyen  de  mes 
series  devienne  plus  petite  que  celle  qu'exige  l'interpolation  dans  une  table  ä 
double  entree. 

Pour  ce  qui  regarde  la  demonstration  que  j'ai  donnee  de  mon  Theoreme  I  dans 
le  Journal  de  M.  Schumacher ,  eile  repose  sur  le  theoreme  qu'  „etant  trouvees 
trois  fonctions  entieres  et  rationnelles  de  x  quelconques    JJ,  V  ei  T ,  telles  que 

on  aura  toujours,  en  mettant  y  =:  -=^; 

dy  dx 


M  designant  une  constante" ;  theoreme  fondamental  qui  a  ete  prouve  au  commen- 
cement  de  ma  demonstration,  et  dont  il  ne  se  trouve  pas  fait  mention  dans  le 
premier  Supplement.  Dans  mon  ouvrage,  j'ai  designe  ce  theoreme  sous  le  nom 
de  principe  de  la  transformation  des  fonctions  elliptiques.  En  eft'et ,  ce  principe 
suffit  pour  qu'on  puisse  etablir  la  theorie  generale  de  la  transformation ,  en  re- 
duisant  cette  derniere  ä  un  probleme  algebrique  qu'on  peut  toujours  resoudre, 
les  constantes  indeterminees  etant  en  nombre  sufhsant  pour  remplir  les  conditions 
du  Probleme,  Pour  completer  ma  demonstration,  teile  qu'elle  se  trouve  dans  le 
premier  Supplement,  il  suffira  d'aj outer  en  peu  de  mots  la  demonstration  du 
theoreme  mentionne,  La  double  Substitution  vous  fournissant  les  valeurs  de 
V±,V ,   V ±)^V  resolues  en  facteurs,  et  telles  qu'on  a 

U—V  =  (l—x)Ä^       U—XV  =  {l—kx)C% 
U^V  =  il+x)B'',      U+IV  =  {l-\-kx)D^ 

A,  B,  C,  D  etant  des  fonctions  entieres ,  tout  se  trouvera  prouve  rigoureusement. 


COREESPONDANCE  MATHEMATIQÜE  A\T:C  LEGENDRE,  449 

Abel  s'est  servi  du  meine  principe,  de  sorte  que  nos  demonstrations  sont  au  fond 
les  memcs.  Vous  etcs  le  premier,  Monsieur,  qui  avez  montre  qu'on  peut  s'en 
passer,  cn  effectuant  la  Substitution  elle-meme  au  moyen  de  la  resolution  en 
fractions  simples.  Aussi  je  n'ai  pas  tarde  ä  exposer  dans  mon  ouvrage  cette 
demonstration ,  qui  vous  est  propre  et  qui  donne  une  excellente  verification.  A 
present,  je  suis  en  possession  d'un  nombre  assez  grand  de  demonstrations  diffe- 
rentes.  Je  remarque,  ä  cette  occasion,  que  le  merite  principal  d'Abel,  dans 
la  theorie  de  la  transformation ,  consiste  dans  sa  demonstration  que  nos  formules 
embrassent  toutes  les  suhstitutions  algehriques  possibles ,  ce  qui  donne  un  haut  degre 
de  ]ierfection  a  cette  theorie. 

Vous  vous  plaignez  des  inhrmites  de  votre  age.  Ahl  Monsieur,  ces  ex- 
cellents  Supplements  que  vous  venez  de  composer,  en  ])artant  de  quelques  legeres 
notices  que  j'avais  donnees  sans  demonstration,  montrent  que  c'est  encore  la  vi- 
gueur  et  l'energie  de  la  jeunesse  qui  vous  animent  et  fönt  concevoir  l'esperance 
que  le  ciel  conservera  encore  longtemps  une  vie  aussi  chere. 

Mes  parents  m'ont  prie  de  vous  faire  leurs  civilites  et  vous  rendent  graces 
des  bontes  que  vous  avez  bien  voulu  avoir  pour  moi.  Soyez  assure,  Monsieur, 
que  je  n'oublierai  jamais  ces  bontes,  et  que  je  suis  avec  le  res])ect  le  plus  profond 

Votre  tout  devoue, 

C.  G.  J.  Jacobi. 

Je  ne  retournerai  ä  Koenigsberg  que  cet  hiver. 


LEGENDRE  A  JACOBI. 


Paris,  le   16  juillet  1829. 

Je  ne  veux  pas  difterer  plus  longtemps.  Monsieur,  de  repondre  ä  votre 
lettre  du  1 4  juin  dernier ,  car  il  faut  que  vous  sachiez  que  j'ai  re^u  les  quatre 
exemplaires  destines  pour  trois  de  mes  confreres  et  pour  moi,  et  de  plus  un 
cinquieme  qui  est  arrive  un  peu  plus  tard  pour  l'academie.  Le  tout  a  ete  distri- 
bue  Selon  vos  intentions  et  j'ai  ete  charge  de  vous  adresser  les  remerciments  de 
ces  Messieurs  auxquels  je  joins  les  miens.  M.  Fourier  vous  adressera  pro- 
bablement  ceux  de  l'academie,  d'ailleurs  M.  de  Mirbel,  son  president,  a  charge 
M.  Poisson  de  faire  de  votre  ouvrage  un  rapport  verbal  ä  l'academie,  ce  qui  mo 
1.  57 


450  CORRESPONDANCE  MATHEMATIQÜE  AVEC  LEGENDRE. 

prociirera  le  plaisir  d'entendre  citer  avec  eloge  les  beaux  travaux  par  lesqiiels 
vous  avez  considerablement  perfectionne  une  brauche  importante  de  l'analyse ,  et 
qui  dejä  vous  placeut  au  nombre  des  geometres  les  plus  distingues  de  l'Europe. 

L'executiou  t}-pogTaphique  de  votre  ouvrage  parait,  surtout  dans  mon 
exemplahe  qui  est  sur  papier  fin,  d'une  beaute  remarquable.  Je  regrette  seule- 
ment  que  vous  n'ayez  pas  ete  ä  portee  de  corriger  les  epreuves,  car  outre  les 
fautes  iudiquees  dans  l'errata  il  me  parait  qu'il  en  reste  encore  un  assez  bon 
nombre.  Par  exemple  je  trouve  pag.  29,  30,  67  et  69  que  les  equations  modu- 
laires  pour  les  nombres  3  et  5  sont 

u^  —  v^-\-2uv(l—u''v^)  =  0, 
tie—v6_^^u^v\u''—v^)-\-Auv{l-uH^)  =  0. 

Mais  puisque  vous  supposez  u>v  (voir  la  formule  X  =  ä"  ( )  pag.  37) ,  il  est 

evident  que  les  premiers  membres  de  ces  equations  sont  composes  Tun  de  deux 
binomes  dont  la  valeur  est  positive ,  l'autre  de  trois  binomes  semblables.  Les 
vraies  equations  telles  que  je  les  ai  donnees  pag.  68  et  7  5  de  mon  premier  Supple- 
ment sont 

u^—v^-^bu^v^{u^  —  v^)—4cUv(l—uH^)  =  0*) 
et  alors  pour  le  dire  en  passant,  on  ne  peut  echanger  entre  eux  u  et  v,  mais 
bien  u  et  —  v. 

Au  reste,  j'ai  remarque  beaucoup  de  choses  dans  votre  ouvrage  qui  sont 
nouvelles  pour  moi  et  dont  je  pourrai  proiiter,  s'il  m'est  donne  de  publier  un  3^ 
Supplement.  Mais  il  me  faudra  beaucoup  de  temps  et  de  travail  pour  me  mettre 
en  etat  de  traduire  en  langage  vulgaire  le  resultat.des  hautes  speculations  aux- 
quelles  vous  vous  etes  livre;  car  nous  ecrivons  dans  deux  genres  fort  differents. 

J'applaudis  aux  efforts  heureux  que  vous  avez  faits  dans  la  partie  purement 
speculative,  en  traitant  des  transformations  imaginaires,  et  resolvant  les  equations 
algebriques  les  plus  difficiles  par  des  formules  tres-elegantes,  mais  l'objet  de  mon 
ouvrage  se  rapproche  beaucoup  plus  de  la  pratique,  je  cberche  ä  recueillir  tout 
ce  qui  peut  faciliter  Tusage  de  mes  fonctions  afin  d'en  faire  un  veritable  instru- 
ment  de  calcul,  comme  l'ont  ete  jusqu'ici  les  fonctions  circulaires  et  logarithmiques. 

*)  Ces  deux  equations  se  tiouvent  avec  les  raemes  signes  dans  la  notice  de  Jacob i  du  2  avril 
1828,  Journal  de  Grelle  vol.  3  p.  194,  et  avec  un  double  signe  dans  la  lettre  de  Jacobi  ä  Legend re 
datee  du  12  janvier  1828.  B. 


CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE.  451 

Je  dcvrais  borner  lä  ma  lettre  et  ne  vous  point  parier  des  chanjjjcments  de 
nomenclature  qiie  vous  proposez  dans  votre  art.  1 7  pag.  3 1 ;  mais  commc  d'autres 
])ersonnes  pourraient  vous  representer  qu'en  cela  vous  avez  fait  une  cliose  qui 
doit  m'etre  desagreable,  je  ne  vois  pas  pourquoi  je  vous  cacherais  ce  que  je 
pense  de  cettc  proposition.  Je  vous  dirai  donc  franchement  que  je  n'ajDprouve 
pas  votre  idee.  et  que  je  ne  vois  pas  de  quelle  utilite  eile  peut  etre  pour  vous  et 
])our  la  scienee. 

/rirr 
"^   — , 
Vi — Zr^sin^'f 

jouit  de  tant  et  de  si  belles  proprietes;  consideree  seule.  eile  est  liee  j)ar  de  si 
beaux  rapports  avec  les  deux  autres  fonctions  dites  de  la  seconde  et  de  la  troisieme 
espece  que  l'ensemble  de  ces  trois  fonctions  forme  un  Systeme  complet  auquel  on 
pourrait  donner  un  autre  nom  que  celui  de  fonctions  elliptiques.  mais  dont  l'exi- 
stence  est  independante  de  toute  autre  fonction.  La  nomenclature  methodique 
que  j'ai  proposee.  des  1793.  dans  mon  memoire  sur  les  transcendantes  elliptiques,  a 
ete  adoptee  generalement .  vous  l'avez  trouvee  etablie ;  quelles  sont  donc  vos 
raisons  pour  vous  ecarter  de  l'usage  general?  Vous  faites  schisme  avec  M.  Abel 
et  avec  moi.  vous  faites  schisme  avec  vous-meme.  puisque,  apres  avoir  appele 
fonctions  elliptiques  les  sinus.  cosinus  et  autres  fonctions  trigonometriques  de 
l'amplitude ,  vous  etes  encore  oblige  d'appeler  fonctions  de  troisieme  espece  celles 
que  je  designe  sous  le  meme  nom.  >s'est  ce  pas  ce  que  veut  dire  le  titre  de 
l'art.  56  p.l60?  Pourquoi  designez - aous  comme  moi  la  fonction  de  3^  espece 
tantot  par  /7(w,  a),  tantot  par  n'u,a-\-K',k')'^  Quelle  liaison  y  a-t-il  entre  ces 
fonctions  et  la  premiere,  qui  nest  plus,  suivant  vous.  qu'un  argument  de  fonction ? 
Je  vous  laisse  a  expliquer  toutes  ces  choses.  Du  reste,  je  vous  fais  part  contiden- 
tiellement  de  ces  observations,  dont  vous  ferez  tel  usage  que  vous  voudrez,  et  aux- 
quelles  je  ne  donnerai  jamais  aucune  publicite.  II  me  suflira  de  vous  avoir 
temoigne  ma  surprise  sur  rinconvenance  et  la  bizarrerie  de  votre  idee;  eile 
n'alterera  en  rien  les  sentiments  d'estime  et  d'affection  que  j'ai  con^us  pour  vous 
et  dont  je  vous  renouvelle  Tassurance. 

Le  Gendre. 


57 


452  CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE. 

JACOBI  A  LEGENDRE. 

Francfort,  le  19  aoüt  1829. 

Monsieur , 

Dans  un  voyage  que  j'ai  entrepris  en  Allemagne,  etant  arrive  pres  des 
xivages  du  Rhin,  je  ne  puis  resister  au  desir  de  vous  voir  ä  Paris.  J'y  partirai 
donc  dans  quelques  jours  pour  y  passer  plusieurs  semaines.  Je  ne  saurais  mieux 
profiter  de  la  permission  que  le  Gouvernement  m'a  voulu  accorder  pour  ce  se- 
mestre  pour  pouvoir  jouir  d'une  recreation  de  mes  etudes.  Je  briile  du  desir  de 
voir  l'homme  auquel  je  suis  le  plus  redevable  des  bontes  qu'il  a  voulu  avoir  pour 
moi,  et  de  lui  temoigncr  tous  les  sentiments  que  peuvent  inspirer  l'admiration 
et  la  reconnaissance. 

Comme  j'ecris  ceci  en  hate,  je  ne  puis  repondre  que  quelques  mots  aux 
reproches  que  vous  m'avez  faits  dans  votre  derniere  lettre,  et  pour  lesquels  je 
vous  rends  gräce  mieux  encore  que  pour  les  eloges  que  vous  m'avez  prodigues  et 
que  j'ai  si  peu  merites.  II  me  fallait  absolument  une  denomination  pour  les 
fonctions  sin  am,  cos  am,  etc.,  dont  les  proprietes  repondent  parfaitement  ä  celles 
des  fonctions  sin ,  cos ,  dites  circulaires.  D'un  autre  cote ,  l'application  importante 
qu'on  fait  de  la  theorie  des  fonctions  elliptiques  au  calcul  integral  rendait  neces- 
saires  les  distinctions  et  les  denominations  que  vous  avez  introduites  dans  l'analyse, 
et  qui  ont  ete  accueillies  par  tous  les  geometres.  J'ai  donc  trouve  convenable 
d'appeler  les  integrales  auxquelles  vous  donnez  le  nom  de  fonctions  elliptiques  de 
lapremiere,  seconde ,  troisieme  espece,  integrales  elliptiques  de  la  pr emier e ,  seconde, 
troisieme  espece  et  d'etendre  ou  d'attribuer  de  preference  la  denomination  de 
fonctions  elliptiques  aux  sin  am.  cos  am,  ^am,  analogiquement  comme  on  nomme 
fonctions  circulaires  les  sinus,  cosinus,  etc.  Si  cela  vous  deplait,  toute  autre 
denomination  me  sera  agreable.  Dans  tous  les  cas,  je  crois  que  nous  deviendrons 
aisement  d'accord  sur  cet  objet*). 

Votre  tout  devoue  serviteur, 

C.  G.  J.  Jacobi. 


*)  La  correspondance  ,  interrompue  apres  cette  lettre  par  le  voyage  de  Jacobi  en  France  et  par 
8on  sejour  ä  Paris,  n'a  ete  reprise  que  l'annee  suivante  et  ne  s'eleve  plus  ä  son  niveau  anterieur ,  les  fonctions- 
elliptiques  ne  formant  plus,   ni  pour  Legendre  ni  pour  Jacobi,   l'occupation  presque  exclusive. 

B. 


CORRESPONDANCE  MATHEMATIQÜE  AVEG  LEGENDRE.  453 

JACOBI  A  LEGENDRE. 

Koenigsberg,  le  2  juillet  1830. 

Monsieur , 

Je  voiis  prie  de  vouloir  bieii  m'excuser  de  ne  vous  avoir  pas  plus  tot  donne 
des  nouvelles  de  moi,  car  caurait  du  etre  })Our  moi  un  devoir  que  de  vous  rendre 
grace  des  bontes  que  vous  m'avez  eues  pendant  mon  sejour  ä  Paris  et  de  vous 
dire  que  je  compte  le  temps  que  ^  ous  m'avez  permis  de  passer  avec  vous  parmi 
les  moments  les  plus  heureux  de  ma  vie.  Les  distractions  d'un  long  voyage  et 
d'autres  circonstances  ayant  interrompu  le  cours  de  mes  travaux.  je  n'ai  su 
reprendre  sitot  le  fil  de  mes  reclierches  ordinaires;  et  j'etais  trop  accoutume  ä 
vous  parier  muthematiques  et  ä  vous  raconter  quelque  chose  de  nouveau  qui 
pouvait  meriter  votre  indulgence,  pour  remplir  une  lettre  avec  les  seuls  sentiments 
de  ma  reconnaissance.  ^lais,  apres  avoir  recu  le  cadeau  precieux  que  vous  venez 
de  me  faire  par  Tenvoi  de  la  troisieme  editiou  de  votre  ouvrage  sur  les  uombres, 
je  ne  veux  pousser  plus  loin  un  delai  peu  excusable.  La  partie  la  plus  grande 
du  tome  II  de  votre  ouvrage  etant  entierement  nouvelle,  j'ai  eu  occasion  d'y 
admirer  de  nouveau  cette  vigueur  d'esprit  qui  fait  vaincre  les  difticultes  et  sur- 
passer, meme  dans  un  age  avance,  les  eiforts  des  jeunes  geometres,  auxquels 
votre  vie  glorieusement  consacree  aux  progres  de  la  science  sera  pour  toujours 
un  modele  demulation.  Jai  vu  aussi  avec  plaisir  que  vous  avez  voulu  proliter 
de  ma  remarque  relative  a  la  loi  de  reciprocite.  J'avais  espere  de  trouvcr  dans 
l'exemplaire  que  vous  mavez  adresse  quelques  lignes  de  votre  main  qui  me 
parleraient  de  vous  et  de  la  >,-dnte  de  M™^  Legendre;  mais  je  Tai  feuillete 
inutilement  et  me  voilä  puni  pour  ma  negligence  assez  severement. 

Pour  ne  pas  laisser  cette  lettre  sans  les  signes  de  calcul,  je  vais  vous  faire 

une  observarion  relative  ä   lequation    4( -)  =  Y'^-^itZ \      Pour  trouver   F, 

n— 1 

votre  ouvrage  donne  la  regle  de  devclopper  1[x  —  1 )  ^  et  de  remplacer  les 
coefficients  par  les  plus  petits  residus  qu'ils  laissent  etant  divises  par  n.  Cette 
regle,  qui  se  trouve  dejä  dans  la  seconde  edition,  n'est  cependant  juste  que  pour 
des  nombres  premiers  peu  grands.  Les  valeurs  exactcs  de  Y  et  de  Z  sont 
donnees  dans  chaque  cas  par  les  formules  connues  qui  expriment  les  coefficients 
d'une  equation  au  moyen   des  sommes  des  puissances  de  ses  racines,    sommes 


454  COKRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AYEC  LEGENDRE. 

qui.    dans  notre  cas,    sont  ou    '   '^"-  -  oii    ^— ^^~-       ^  ^^^    '^m^'i   quoii 

troiive,   qu'etant  pose 

/■  /M— 1\2n  «— 1  li— 3  »-5 

r=  2(a;  — y)(^— r^XiC— >-^)...  V^;— r^^^  j  =  2*- 2    +«^3;  ^   +«33;  2    -j -). 

la  regle  est  exacte  pour  les  trois  premiers  coefficients  a^,  a.2,  «3,  mais  quelle 
cesse  de  l'etre  pour  les  suivants  des  que  n  surpasse  une  certaine  limite ;  de  sorte 
que  les  coefficients  de  Y  et  de  Z  peuvent  surpasser  ^n  et  meme  n  et  les  puis- 
sances  de  n.     8oit.  par  exemple,  n  de  l'une  des  quatre  formes : 

«.=(!•)  192 +^^' 


(1-) 

24a+l, 

on  aura 

(2.) 

24;jl4-5. 

(3.) 

24;x  +  13, 

(4.) 

24;j.-j-17. 

(2.) 
(3.) 

(4.) 


{n  —  b)(n— 21) 

192 
(n  +  3)(7^  +  35) 

192 
(i?  +  7)(n+15) 

192 


expressions  qui  pour  de  grands  n  sont  de  1' ordre  -— —  et  peuvent  surpasser  n  de 

beaucoup. 

Generalement  on  trouve  que,  pour  de  grands  n,  «2^  ^t  a2.n+i  ^ont  de  1' ordre 

———-—-—  (  —  )  •     Peut-etre  vous  iug-erez  convenable  de  faire  une  addition  de 
3.4.5..2m\4/  •'^ 

quelques  lignes  a  votre  ouvrage  pour  limiter  l'dnonce  de  la  regle  mentionnee. 

J'ai  lu  avec  plaisir  le  rapport  de  M.  Poisson  sur  mon  ouvrage,  et  je  crois 
pouvoir  en  etre  tres-content ;  il  me  parait  avoir  tres-bien  presente  les  deux  trans- 
formations.  qui,  etant  jointes  entre  elles.  conduisent  ä  la  multiplication  des 
fonctions  elliptiques,  en  quoi  il  a  ete  guide  sensibleinent  par  vos  Supplements. 
]\[ais  M.  Poisson  n'aurait  pas  du  reproduire  dans  son  rapport  une  phrase  peu 
adroite  de  feu  M.  Eourier,  oü  ce  dernier  nous  fait  des  reproches,  ä  Abel  et 
ä  moi .  de  ne  pas  nous  etre  occupes  de  preference  du  mouvement  de  la  chaleur. 
II  est  vrai  que  M.  Fourier  avait  l'opinion  que  le  but  principal  des  mathema- 
tiques  etait  lutilite  publique  et  l'explication  des  phenomenes  naturels;  mais  un 
philoso])lie  comme  lui  aurait  du  savoir  que  le  but  unique  de  la  science.  c'est 

*)  L'erreur  qui  s'est  glissee  dans  cette  formule ,  le  produit  qui  forme  la  seconde  partie  n'etant 
pas  egal  au  polynöme  Y  developpe  suivant  les  puissances  de  x  dans  la  troisieme  paitie  de  l'equation,  mais 
bien  egal  ä  Y  -{-  \'  +  n  .  Z,  est  relevee  dans  la  reponse  de  Legendre,  p.  456.  B. 


CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE.  455 

rhoniieur  de  l'esprit  hiimain.  et  que  soiis  ce  titre.  ime  qiiestion  de  nombres  vaut 
autant  quiine  question  du  Systeme  du  monde.  Quoi  qu'il  eu  soit,  on  doit  vive- 
ment  regretter  que  M.  Fourier  n'ait  pu  achever  son  ouvrage  sur  les  equations, 
et  de  tels  hommos  sont  trop  rares  aujourd'liui,  meme  en  France,  pour  qu'il  soit 
facile  de  les  remplacer. 

En  ce  qui  regarde  mes  proi)res  occupations.  j'ai  entrepris  un  bon  nombre 
de  recherches  sur  differentes  matieres  et  que  je  voudrais  avoir  finies  avant  de 
retourner  aux  fonctions  elliptiques  et  aux  transcendantes  d'un  ordre  superieur 

/dx 
— .      Je  crois  entrevoir  ä  present 
V«  +  aiX-\-  a^x^-\-  •  •  •  +  ««a;" 

que  toutes  ces  transcendantes  jouissent  des  proprietes  admirables  et  inattendues 
auxquelles  on  peut  etre  conduit  par  le  theoreme  d"  A  b  e  1  qui  etablit  une  relation 
entre  plusieurs  de  ces  transcendantes  qui  repondent  k  differentes  valeurs  de  x. 
J'ai  reÜechi  aussi  de  temps  en  temps  sur  une  methode  nouvelle  de  traiter  les 
perturbations  Celestes,  methode  dans  laquelle  doivent  entrer  les  theories  nouvelles 
des  fonctions  elliptiques. 

Je  vous  prie.  Monsieur,  de  me  rappeler  ä  la  memoire  de  M""^  Legendre, 
qui  a  voulu  participer  avec  tant  de  bienveillance  aux  bontes  que  vous  m'avez 
eues;  je  aous  prie  en  meme  temps  de  faire  mes  civilites  ä  M  Sophie  Germain, 
dont  je  me  felicite  d' avoir  fait  la  connaissance ,  et  de  me  dire  des  nouvelles  de  sa 
sante.  si  vous  daignez  me  repondre. 

Agreez,  Monsieur,  les  assurances  de  mon  entier  devouement. 

Votre  tres-humble  serviteur. 

C.  G.  J.  Jacobi. 


LEGENDRE  A  JACOBL 

Paris,  le  1  octobre  1830. 

Monsieur, 
Differents  obstacles  de  toute  nature  et  principalement  le  mauvais  etat  de 
ma  sante  m'ont  empeche  jusqu'ici  de  repondre  ä  votre  lettre  du  19  juillet  arrivee 
apres  un  long  silence  qui  commencait  ä  m'inquieter  et  dont  j'attribue  la  cause  ä 
de  nouveaux  travaux  toujours  marques  au  coin  d'un  grand  talent. 


456  CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  L?:GENDRE. 

J'ai  trouve  votre  remarque  tres-juste  siir  l'erreur  qiie  j'ai  commise  dans  ma 
theorie  des  nombres  en  supposant  que  les  fonctions  Y  et  Z  dans  reqiiation 
4X  =  Y'-^nZ^  ont  leurs  coefficients  plus  petits  que  ^n.  L'induction  m'a 
trompe.  et  cela  est  facheux,  puisque  la  regle  tres-simple  que  j'avais  donnee  pour 
determiner  ces  fonctions  cesse  d'etre  exaete  lorsque  ?i  =  61.  et  devient  de  plus 
en  plus  fautive  ä  mesure  que  n  est  plus  grand.  Vous  paraissez  avoir  grandement 
approfondi  cette  question,  comme  j'en  puis  juger  d'apres  les  valeurs  que  vous 
donnez  du  coefficient  a^,  selon  les  difterentes  formes  du  nombre  premier 
n  =  4i  +  l.  Je  suis  parvenu  avec  assez  de  peine  ä  veritier  l'une  de  ces  formules, 
Celle  qui  suppose  n  -=  24\i.-\-id,  ce  qui  me  conduisit  ä  la  verification  des  trois 
autres.  Ce  genre  d'analyse  est  fort  beau,  c'est  dommage  seulement  qu'il  ne 
conduise  pas  ä  des  formules  absolument  generales  et  que  les  resultats  ne  peuvent 
etre  trouves  commodement  que  dans  des  cas  particuliers.  De  mon  cote,  je  vous 
reprocherai  de  m'avoir  Indult  en  erreur,  en  me  marquant  que  la  fonction  Y  est 
le  produit  des  facteurs 

2{x  —  r){x  —  r^)(x  —  r^)..\x  —  A^~^  J 

r  etant  sans  doute  une  racine  imaginaire  de  l'equation  r" — 1  =  0.  On  voit  au 
premier  coup  d'oeil  que  ces  facteurs  ne  peuvent  avoir  licu .  parce  qu'ils  seraient 
communs  ä  X  et  ä   Y,  par  consequent  ä  Z. 

J'ai  vu  avec  plaisir  dans  la  lettre  que  vous  avez  ecrite  a  l'academie,  que 
vous  vous  occupez  ä  perfectionner  la  theorie  des  perturbations,  et  que  vous  avez 
l'espoir  d'y  employer  utilement  la  theorie  des  fonctions  elliptiques.  C"est  un 
objet  tres-digne  de  vos  recherches  et  qui  a  ete  fort  neglige  par  nos  devanciers; 
j'avais  eu  quelques  idees  lä-dessus,  mais  sans  rien  approfondir;  j'en  ai  fait  mention 
dans  mes  exercices  et  dans  mon  traite  des  fonctions  elliptiques,  esperant  qu'un 
jour  les  geometres  s'en  occuperaient  serieusement,  et  une  pareille  entreprise  ne 
saurait  etre  mieux  placee  quentre  vos  mains. 

M.  Grelle  est  venu  ä  Paris,  precisement  pour  etre  temoin  de  notre  revo- 
lution  qui  porte  dejä  dos  fruits,  fruits  amers  pour  les  partisans  des  gouvernements 
nbsolus.  Comme  j'etais  fort  tourmente  de  mes  maux  ordinaires  dans  ce  meme 
temps,  j'ai  eu  le  regret  de  ne  pas  recevoir  M.  Cr  eile  et  le  feter  autant  que 
j'aurais  voulu.  Je  crains  qu'il  n'ait  pas  ete  content  de  moi;  vous  auriez  pu, 
^roiisicnir.  me  faire  un  pareil  reproche,   car  je  n'ai  pu,  par  la  meme  cause,  vous 


CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE.  457 

faire  l'accueil  que  j'aurais  voulu  vous  faire  pendant  votre  voyage  ä  Paris.  —  Je 
me  suis  acquitte  de  votre  commission  aiipres  de  ma  femme  et  de  M^^®  Germain; 
elles  vous  remercient  de  votre  bon  souvenir,  et  vous  souhaitent  toute  espece  de 
bonheur.  —  M  ^  Germain  etait  malade  quand  vous  lavez  vue,  son  etat  a 
malheureusement  fort  empire  depuis. 

Adieu,  Monsieur,  ne  me  laissez  pas  trop  longtemps  sans  me  donncr  de 
vos  nouvelles;  je  deviens  chaque  jour  moins  en  etat  de  travailler,  mais  j'apprends 
toujours  avec  grand  plaisir  les  succes  nouveaux  que  vous  devez  obtenir  dans  la 
carriere  des  sciences. 

Votre  tres-devoue, 

Le  Gendre. 


JACOBI  A  LEGENDRE. 

Koenigsberg,  ce  27  mai  1832. 

Monsieur, 
Je  ne  sais  comment  excuser  le  long  intervallc  de  temps  qui  sest  ecoule 
sans  que  je  vous  aie  donne  quelque  temoignage  de  mon  devouement  et  sans  que 
je  vous  aie  rendu  comptc  de  mes  travaux.  comme  j'avais  coutume  d' apres  votre 
permission  bienveillante  dans  le  premier  temps  oü  je  m'occupais  des  fonctions 
elliptiques.  J'aurais  bien  voulu  pouvoir  vous  avertir  de  l'acheveraent  de  quelque 
ouvrage  plus  etendu,  mais  pendant  tout  ce  temps -ci  je  n'ai  pu  regagner  ni  le 
gout  ni  l'energie  de  jadis.  Ce  n'auraient  ete  que  des  ouvrages  commences  ou 
meme  seulement  projetes  dont  j'aurais  du  faire  mention  a  vous,  qui  ne  cessez  de 
publier  des  ouvrages  egalement  distingues  par  leur  etendue  et  par  leur  riebe 
teneur,  et  cela  presque  dans  Tage  oü  se  trouvait  Oughtred  lorsque  Wallis 
lui  dedia  son  Arithmetica  Inßnitorum.  Jai  lu  le  troi.sieme  Supplement  qui  Unit  le 
troisieme  volume  de  votre  grand  ouvrage  sur  les  fonctions  elliptiques  ä  Potsdam, 
oü  je  me  suis  rendu  pour  voir  mon  pere  malade,  qui  mourut  liuit  jours  apres 
mon  arrivee,  ä  Tage  pas  meme  accompli  de  cinquante-neuf  ans.  Je  lui  dcvais 
la  reconnaissance  la  plus  haute.  Ce  furent  ses  assistances  liberales  qui  m'ont  mis 
en  etat  de  me  vouer  entierement  aux  sciences,  et  l'etendue  de  mes  obligations 
envers  lui  me  rendit  ce  triste  evenement  plus  amer  encore.     Dans  ce  temps  d'une 

I.  .^8 


458  CORKESPONDANCE  MATHEMATIQÜE  AVEC  LE6ENDRE. 

douleur  profonde,  IMonsieur,  c'etait  letude  de  votre  ouvrage ,  qui  m'a  ete 
commimique  par  M.  Cr  eile,  qui  fit  mon  soiüagement  et  en  quelque  sorte  ma 
consolation.  Dans  une  annonce  que  j'en  ai  faite  ä  la  ün  du  huitieme  volume  de 
M.  Grelle,  j'ai  cherche  ä  relever  les  merites  imperissables  du  geometre  qui, 
outre  les  decouvertes  nombreuses  et  importantes  dont  il  a  enrichi  la  science ,  est 
parvenu  ä  fonder  deux  disciplines  grandes  et  etendues  par  les  travaux  glorieux 
de  sa  vie,  lesquelles  formeront  desormais  la  et  I'ü)  de  toute  etude  matliematique. 
J'ai  profite  en  meine  temps  de  cette  occasion  pour  parier  d'Abel  et  de  son 
grand  theoreme,  que  vous  avez  encore  le  merite  d'avoir  approfondi  le  premier, 
montrant  en  meme  temps  ä  la  posterite  que  son  developpement  est  la  grande 
tache  qui  lui  reste  ä  remplir. 

Les  limites  d'une  lettre  ne  permettent  pas  de  vous  parier  de  mes  travaux 
sur  les  perturbations  Celestes.  En  attendant  j^ai  eprouve  moi-meme  des  pertur- 
bations  pas  moins  Celestes  et  qui  ont  fini  par  un  mariage  heureux.  L'interet  que 
vous  avez  bien  voulu  me  temoigner  me  fait  croire  que  vous  prendrez  quelque 
part  ä  ce  qui  fait  le  bonheur  et  le  charme  de  ma  vie.  Depuis  les  huit  mois  de 
mon  mariage  j'ai  repris  mes  occupations  ordinaires  avec  un  zele  redouble,  et 
j'espere  que  les  annees  suivantes  me  dedommageront  en  quelque  sorte  du  peu  de 
fruit  que  m'ont  porte  les  trois  precedentes.  Je  ne  veux  vous  dire  que  deux  mots 
d  un  nouveau  resultat  obtenu  par  mes  recherches  sur  les  nombres,  ä  la  publication 
desquelles  je  n'ai  encore  pu  parvenir :  c'est  la  resolution  trigonometrique  du  prohleme 

de  PelL    En  effet,  j'exprime  generalement  par  cos  — -  et  sin  — ■—  deux  nombres 

entiers  x  et  y  tels  que  x^ — «^^  ^  i-  J  ai  trouve  meme  une  generalisation  du 
Probleme  de  Pell  qui  me  parait  etre  tres-remarquable  et  qui  se  rapporte  au  cas 
oü  a  est  le  produit  de  deux  ou  de  plusieurs  facteurs.  En  effet,  supposons  que  a 
soit  le  produit  des  deux  facteurs  b  et  c,  on  peut,  d'une  infinite  de  manieres,  trouver 
quatre  nombres  entiers  u,  v,  w,  x  tels ,   que  le  produit  des  quatre  facteurs 

[ii  -\- v'^h -\- w\j  c -{- X  \]bc){u  -{-v\Jh  —  iv  \jc  —  x  \Jhc) 
X(u  —  v\Jb-\-tv\Jc  —  x\[hc){u — vSJb  —  iv\Jc-\- xSJbc) 
soit  egal  ä  l'unite.      On  donne  aisement  ä  ce  produit  les  trois  formes :  y^ — bz^, 
2/   — ^^  ,  y'  — <^z"  ;  donc,  a  etant  =  bc,  on  peut  faire  dependre  les  six  nombres 
J/>  ^>  y',  z\  y",  ^",    lesquels  donnent   j/'—bz'  =  1.  i/''—cz'^  =  1,  y"^  —  az"'  =  1, 
des  quatre  nombres  plus  simples  m,  v,  w,  x.     \'ous  vovez  aisement  comment  cela 


COERESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE.  459 

doit  etre  etendii  au  cas  oii  a  est  le  produit  d'un  nombre  quelconque  de  facteurs^ 
Dans  tous  les  cas.  je  donne  les  nombres  w,  v,  w,x.  . .  . .  par  des  formules  generales 
et  trigonometriques.  Si  vous  le  jugez  convenable ,  et  s"il  ne  voiis  fait  pas  de 
peine  en  aucune  sorte,  vous  pourriez  communiquer  ä  racademie  des  sciences  la 
notice  que  je  vieus  de  vous  donner  sur  cette  nouvelle  maniere  de  resoudre  le 
fameux  probleme  de  Pell.  Je  remarque.  en  outre.  quil  doit  exister  des  algo- 
rithmes ,  analogues  aux  fractions  continues .  qui  pourront  servir  ä  trouver  les 
nombres  u,  v,  w,  x  et  leurs  analogues  dans  le  cas  dun  ])lus  grand  nombre  de 
facteurs  de  a,  et  je  crois  que  la  recherche  de  ces  algoritlimes  sera  une  cliose  de 
quelque  importance  pour  la  science  de  nombres. 

Les  fonctions  elliptiques  et  la  science  de  nombres  ne  devraient  pas  manquer 
ä  Tavenir  dans  les  lecons  donnees  aux  eleves  de  l'ecole  polytechnique.  si  Ton  veut 
que  ces  le9ons  soient  conformes  aux  progres  du  temps.  Quant  ä  moi.  je  donne 
des  lecons  regulieres  sur  ces  belles  theories,  et  je  vois  avec  plaisir  les  eleves  de 
notre  Universite  s'emparer  avec  empressement  de  ces  matieres.  Vous  verrez 
plusieurs  fruits  de  leurs  travaux  dans  les  volumes  suivants  du  Journal  deM.  Grelle. 
Ce  sont  encore.  Monsieur,  les  fruits  de  vos  travaux  que  ces  branches  de  la 
science,  jadis  peu  connues.  vont  devenir  la  possession  commune  des  geometres. 

De  mon  retour  ä  Kcenigsberg,  j  y  trouvais  votre  bei  ouvrage  dont  votre 
bonte  a  bien  voulu  me  gratifier,  et  je  m'empresse  de  vous  dire  mes  remerciments 
de  ce  que  votre  generosite  l'a  voulu  empörter  sur  ma  negiigence.  Ajoutez, 
Monsieur,  ä  cette  generosite  quelques  lignes  de  votre  main,  qui  m'ont  toujours 
ete  si  precieuses  et  qui  pourront  me  donner  l'assurance  de  ce  que  vous  n'etes  pas 
fache  de  moi. 

Je  vous  prie,  Monsieur,  de  recommander  Marie  Jacobi  aux  bonnes 
graces  de  M™®  Legendre,  et  de  vouloir  bien  agreer  les  assurances  de  mon 
devouement  le  plus  parfait. 

A'otre  serviteur  tres-humble, 

C.  G.  J.  Jacobi. 


58 


460  CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE. 

LEGENDRE  A  JACOBL 

(Sans  date,  timbre  Paris,  le  80  juin  1832.) 

Monsieur, 

Je  n'ai  jamais  interprete  ä  votre  desavantage  la  longue  lacune  qiii  s'est 
trouvee  dans  votre  correspondance :  j'ai  suppose  que  vous  etiez  occupe  dW  grand 
travail  qui  absorbait  tout  votre  temps ,  ou  que  des  affaires  essentielles  vous  em- 
pechaient  de  penser  ä  autre  chose.  Les  deux  suppositions  paraissent  avoir  eu 
lieu  successivement ;  c'est  en  effet  une  grande  epoque  dans  la  vie  que  celle  oü 
l'on  a  le  malheur  de  perdre  son  pere ,  c'en  est  une  autre  non  moins  importante. 
mais  plus  agreable,  que  celle  oü  l'on  se  decide  ä  entrer  en  menage.  Et  pour  ne 
parier  que  de  cette  derniere,  je  vous  felicite  bien  sincerement  d' avoir  rencontre 
une  jeune  epouse  que,  d'apres  une  experience  dejä  longue,  vous  jugez  devoir  faire 
pour  toujours  votre  bonheur. 

Vous  etiez  dans  l'age  convenable  pour  vous  marier;  un  homme  destine  ä 
passer  beaucoup  de  temps  dans  les  travaux  du  cabinet,  a  besoin  d'une  compagne 
qui  s'occupe  de  tout  le  detail  du  menage  et  qui  affranchisse  son  mari  de  tous  ces 
petits  soins  minutieux  dont  un  homme  n'est  guere  capable.  Je  me  suis  marie 
beaucoup  plus  tard  que  vous  et  ä  la  suite  d'une  revolution  sangiante  qui  avait 
detruit  ma  petite  fortune;  nous  avons  eu  de  grands  embarras  et  des  moments 
bien  difficiles  ä  passer,  mais  ma  femme  m'a  aide  puissamment  ä  restaurer  pro- 
gressivement  nies  affaires  et  ä  me  donner  cette  tranquillite  d'esprit  necessaire 
pour  me  livrer  ä  mes  travaux  accoutumes  et  pour  composer  de  nouveaux  ouvrages 
qui  ont  ajoute  de  plus  en  plus  ä  ma  reputation,  de  maniere  ä  me  procurer  bientot 
une  existence  honorable  et  une  petite  fortune  dont  les  debris ,  apres  de  nouvelles 
revolutions  qui  m'ont  cause  de  grandes  pertes,  suffisent  encore  pour  pourvoir  aux 
besoins  de  ma  vieillesse ,  et  suffiront  pour  pourvoir  ä  ceux  de  ma  femme  bien- 
aimee  quand  je  n'y  serai  plus.  Mais  c'est  trop  parier  de  moi.  Je  reviens  ä  vous 
et  ä  votre  lettre. 

Je  n'ai  pas  trouve  l'occasion  de  parier  ä  l'academie  de  vos  travaux  sur 
l'analyse  indeterminee ;  peut-etre  n en  parlerai-je  pas,  dans  la  crainte  de  n'.etre 
pas  suffisamment  entendu.  J'obtiendrais  plus  de  faveur  si  j'avais  ä  parier  ä 
l'academie  des  travaux  dont  vous  vous  occupez  sur  la  theorie  des  perturbations. 
C'est  un  objct  d'un  grand  interet  auquel  j'ai  pense  plusieurs  fois  et  sur  lequel  j'ai 


CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LE6ENDRE.  461 

donne  par-ci  par-lä  quelques  idees;  je  me  suis  toujours  persuade  que,  si  je  m'en 
etais  occupe  serieusement  et  d'une  maniere  suivie,  j'aurais  trouve  quelque  chose 
de  plus  que  mes  honorables  confieres  la  Grange  et  la  Place.  Si  on  excepte 
en  efFet  les  beaux  resultats  qu'ils  ont  trouves  pour  les  difFerentielles  des  elements 
elliptiques  exprimees  par  la  fonction  des  perturbations,  je  ne  vois  pas  qu'ils  aient 
avance  la  science  au  delä  de  ce  quelle  etait  du  temps  d' Euler.  Clairaut  et 
d'Alembert.  Je  verrais  donc  avec  beaucoup  de  plaisir,  mon  eher  disciple  (car 
vous  me  permettrez  de  vous  donner  ce  nom  ä  raison  de  mon  anciennete ,  sauf  a 
vous  ä  user  du  meme  droit  un  jour  envers  qui  il  appartiendra)  que  vous  ouvrissiez 
dans  cette  theorie  une  nouvelle  porte  qui  nous  conduisit  ä  des  resultats  plus  precis 
et  plus  exacts  que  tout  ce  qui  a  ete  fait  jusqu'ici.  J'aurais  un  double  plaisir  si 
ces  nouveaux  resultats  etaient  obtenus  par  le  secours  de  nos  fonctions  elliptiques 
qui  vous  appartiennent  autant  qu'ä  moi.  quoique  vous  ne  vouliez  pas  exprimer 
la  meme  chose  par  le  meme  nom. 

Je  ne  puis  voir  ma  page  finir  sans  vous  remercier  de  la  peine  que  vous  avez 
prise  de  donner  dans  le  Journal  de  M.  Cr  eile  un  extrait  de  mon  3®  Supplement. 
Je  n'ai  pas  le  bonheur  d'entendre  la  langue  dont  vous  vous  etes  servi,  mais  je 
sais  que  vous  avez  dit  beaucoup  de  bien  de  mon  nouveau  travail  qui  sera  sans 
doute  le  dernier.  Car  je  vais  bientot  entrer  dans  ma  81®  annee  et,  ä  cet  age,  il 
faut  s'appliquer  forcement  l'adage  salve  senectutem.  En  attendant  je  vous  envoie 
un  petit  opuscule  de  geometrie  elementaire  qui  est  le  resultat  d'une  longue  suite 
de  refiexions  faites  et  renouvelees  ä  de  grands  intervalles  de  temps.  Peut-etre 
ce  petit  opuscule  trouvera-t-il  plus  de  lecteurs  que  mes  meilleurs  ouvrages,  mais 
s'il  a  votre  approbation,  cela  me  suffit. 

Agreez ,  Monsieur ,  l'expression  des  sentiments  d'estime  et '  d'attachement 
bien  sincere  que  je  vous  ai  voues  pour  toujours.  Ma  femme  vous  fait  mille  com- 
pliments  ainsi  qu'ä  votre  aimable  epouse.  Elle  desire  ainsi  que  moi  que  vous 
nous  l'ameniez  quelque  jour. 

Votre  devoue  serviteur, 

Le  Gendre. 


DE  TEANSFORMATIONIBÜS 

FÜNCTIONÜM  ELLIPTICARÜM 

lERATIONALIBUS  SIVE  LNVEESIS 


AUCTORE 


C.   G.   J.   JACOBI 

PROF.    CRD.    MATH.    EEGIOM. 


DE  TRANSFORMATIONIBUS  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM 
IRRATIONALIBUS  SIVE  INVERSIS. 

(Ex  ill.  C.  G.  J.  Jacobi  manuscriptis  posthumis  in  medium  protulit  F.  Mertens.) 


1. 

Vidimus  in  Fundametitis ,   quicunque  sit  ?i   numerus   impar,  determinari 
posse  substitutiones 


X      l-j-Ä'x^-\-Ä"x*-{ \-Ä 


\   2    J^n-l 


M 


nMy 


tales  ut  fiat 


l-\-B'x^-{-B"x^-\ \-B^  2  ;^«-i 

dy  dx 


\J{l—yy){l—k^yy)  M\/{l—xx)(l—k^xx) 

ds  nMdy 


\J{\—zz){\-¥zz)         sl{i-yy){i->:'yy) 

Dedimus  adeo  expressiones  analyticas  generales  et  substitutionum  adhibi- 
tarum  et  moduli  transformati  X.  Quas  substitutiones  et  transformationes ,  quas 
suppeditant,  vocabimus  rationales  sive  directas.  Docebimus  in  sequentibus,  non 
solum  harum  rationalium  assignari  posse  expressiones  analyticas  generales ,  sed 
etiam  substitutionum  irrationalium ,  quae  ex  earum  inversione  ortum  ducunt; 
videlicet  generaliter  etiam  idque  modo  explicito  exprimi  posse  x  per  y,  y  per  z. 
Quare  non  parum  censeo  promoveri  analysin  algebraicam,  ut  quae  problema  tarn 
complicatum  tantaeque  generalitatis  et  elegantiae  vix  antea  solverit. 

Antequam  autem  rem  ipsam  aggrediar,  revocanda  sunt  theoremata  quae- 
dam  fundamentalia ,  quae  in  commentationibus  prioribus  condidimus. 
I.  59 


466  DE  TRANSFORMATIONIBUS  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM 

Posito 

/    A^amudu  =  E{u)  1    E{u)du  =  \ogQ{u), 

vidimus  in  commentatione  prima  *) ,  inlinitis  modis  assignari  posse  constantem  r, 
ut  functio  e""'Q[u),  quam  vocavimus  y^{u),  periodica  evadat,  eamque,  qua 
gaudet,  periodum  functionibus  ellipticis  argumenti  u  communem  esse.  De- 
signantibus enim  m,  m   numeros  integres  positives  vel  negatives ,  vidimus,  posito 

fieri 

Ex  elementis  autem  constat,  esse  etiam 
sin  am  (m  + 4^)  =  siüamu,    cos  am  (^t -|- 4^)  =  cos  am  W;    Aam(«*-|-4^)  =  AamW;  etc. 
Vice  versa,  quamcunque  eligis  ex  innumeris  funetionum  ellipticarum  periodis, 
quae  e  duabus  componuntur  omnes,    determinare  licet  functionem    ^^(w),    quae 
eadem  gaudeat. 

Demonstravimus  porro  loco  citato  formulam  fundamentalem : 

a.  •/(u4-a)y(u  —  a)  ^      n»  •   »  •   o 

'  z'(»)x(m) 

nee  non  in  commentatione  Formulae  novae  in  theoria  transcendentium  ellipticarum 
fundamentales**)  formulas: 

/« s  liu-{-ci)y(u-\-h)y(a-\-}))         ^   ,  ,9  .  .         7    •  •         /     ■       ■  xx 

(2.)  ,  ,    J/  ,  N    /     , — T-7^  =  l+Ä  sinamasinamosinamt(smam(w4-a-f-6) 

(3.)  sin  am  a  sin  am  &  4-  sin  am  u  sin  am  (m  -j-  a-f-  6)  —  sin  am  {u  -\-  a)  sin  am  (w  +  &) 

=  Z:^  sin  am  a  sin  am  h  sin  am  u  sin  am  {u  -\-  a)  sin  am  {u  -)-  &)  sin  am  (w  -|-  ^  "h  ^)  • 

2. 

His  praemissis,  designante  n  numerum  impaiem  quemlibet,  m,  ni  autem 
numeros  integres  quoslibet  positives  seu  negativus,  qui  tarnen  per  eundem  ipsius 
n  factorem  uterque  simul  non  sunt  divisibiles ,  ponamus 

mK-\-m'iK'  =  Q  =  «u> 


*)  p.  297  hujus  voluminis. 
**)  p.  340  hujus  voluminis. 


IRRATIONALTBUS  SIVE  INVERSIS.  467 

ac  formemus  expressiones  sequentes : 

^  =  2-     /  N    /. — V '  sm  am  (u  4-  Ana)) 
ii-  /(;<  -j-  ipuj)      cos  am  (w  -j-  4;;(w) 


r=i 


/.(" )  /.(^i^^")  -^  am  4p(j> 


r^ ,--  /(«  +  42)ü))     A  am  (?<  +  47;(ü) 

X(?f)x(4p«>)         cosam4^;(ü      ' 

quibus  in  siimmis  numero  p   tribueudi  sunt  valores    o,  1,  2,  .  ..  7i  —  l.      Fiunt 
itaque  termini  primi ,  posito  p  =  0  : 

sin  am«/;    cos  am«;     Aam^. 

Expressiones  X,  Y,  Z   piimum  singulas  in  se  ipsas  ducamus,  deinde  formemus 
productum   YZ. 


Ponamus 


-^p  =     /  N   /, — (-  •  sin  am  (2(  -f-  4w(ü) 

X(w  +.  429(o)  cos  am  (?/  -|-  4/)(u) 

X(M)x(4i'«>)  Aam42?a> 

X(m  -}-  4p(o)  A  am  (m  +  4iJ«>) 

y{u)  'y{^pw)  cos  am  423o> 


r,  = 


z,  = 


erit 


X  =  Xo+Xi  +  XsH hX.-i 

r=  ro+Fi  +  r2  +  ...  +  r._i 
z=  Zo+Zi  +  ^oH h^.-i. 

Expressiones  X^,  Y^,  Z^,  cum  e  functionibus  periodicis  constent,  quae  immu- 
tatae  manent  mutato  u  in  w  -|-  4  Q ,  et  ipsae  non  mutantur ,  siquidem  p  mutatur 
in  p^n.  Hinc  loco  X„_,,,  F„_,, ,  J2^„_/,  scribere  etiam  licet  X_^,  I^_a,  Z-h- 
Quibus  statutis,  ponamus 

(XX)o  =  XoXo  +  2XxX_i  +  2X2X_2H [-2X>^X_^^ 

2  2 

(rr)o  =  To  ro+  2ri  r^i  +  2Y2 1-2  H f2r«:^  f_«zi 

22 


(ZZ)o  =   ZqZq^  2Zi Z_i  +  2Z2Z_2  H h S^»!::.! -^_'i=i 


ac  generaliter 


(XX)p    =    Xo  Xp  -|-  X,  Xp_i  4"  X2  Xp_2  +  • h  ^n-\  Xp-n^\ 

(Fr)p  =    Fo  Fp  +  Fl  Fp_i  +  Fa  rp_2  H h  F.,_,  Fp_,.+i 

{ZZ)p    =      Z(iZp-{-   Z\  Zp-\  \-\-  Z2  Zp-2  -\-  •  •'  -\-  Zn-l  Zp-n^\ 


59 


* 


468  DE  TRANSFORMATIONIBUS  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM 

sive 

(XX)p  =  z,  Xh  Xp^k  ( YY)p  =  2-  T)i  Yp-j,  {ZZ)p  =  Z-  Z^  Zp-u , 

siquidem  numero  h  tribuuntur  valores   0,  1,  2,  .. .  w  — 1 ;   erit: 

(4.)  XX  =  (XX)o  +  (XX)i  +  (XX)2H h(XX),_i  =  Y{XX)p 

(5.)         YY=  (rr)o+(rr)i  +  (rr)2  +  -.-  +  (rF)„_i  =  I(rr)p 

(6.)  ZZ  =    iZZ)o  +  {ZZ)r  +  {ZZ)2  H \-  {ZZ\_^   =  Y.{ZZ\. 

3. 

Sequitur  e  formulis ,  quas  in  Fundamentis  (§  1 8)  dedimus : 

sin'^  am  u  —  sin^  am  a 


sin  am  (u  +  a)  sin  am  (u  —  d)  =  - — , ..  .  „ 

^     '     ^  ^         ^  1 — A;''sin''amasiii^am2< 

cos  am  (w  +  a)  cos  am  (?t — a)  cos^amw — cos^coama 


A^ama  1 — Ä;^sin^amasin'^amw 

A  am  (m  +  *) '^  ^^^  (^* — ^)    A^am^«  +  Z;'Ftg^ama 

cos^ama  1 — Ä;^sin^amasin^amw 


ideoqiie  e  (1 


XhX—h  =  sin^amw  —  sin^am4Ä(i) 
YhY-h  =  cos^am^<  —  cos^  coam  4/«u) 
Zh  Z-h  =    A ^  am  M  -|-  Ä' Ä;'  tg^  am  4/i(u. 

Ponatur,  ut  in  commentatione  prima: 

sin^am4(o4-  sin  ^  am  8  w  +•••+  sin^  am  2(«— l)a>  =  p 

cos^coam4a)  +  cos"coam8to-l- •  •  •+cos^coam2(w — 1)«>  =  a 

Ä;'Ä;'[tg2am4(ü+    tg^am  Su)  H h   tg^^am  2(w— l)a)]  =  ~, 

fit: 

(7.)  (XX)o  =  «sin^ame«  —  2p 

(8.)  (5^5^)o  =  wcos^am««  —  2a 

(9.)  (ZZ)o  =    wA2amw+2x. 

4. 
Antequam  valores  expressionum  {XX)p,  {YY)^,  {ZZ)p  pro  reliquis  ipsius/? 
valoribus  indagemiis ,  expressiones    Yp,  Zp  in  formam  ipsi  X^  simillimam  trans- 
formemus.     Quem  in  finem  evolvemus  valores  expressionum 

X{u-^K),  ySu+K+iK'). 
Designemus  per  G[u)  funetionem 

-liu)  du 


IR RATIONALIBUS  SIVE  INVERSIS.  469 

sive,  cum  sit 

functionem 

G(u)  =  2ru-]-E(u). 
Quia  x(m+4Q)  =  i{u),  erit  etiam 

Giu-{-^Q)  =  G{u), 
ita  ut  functio   G(w)  et  ipsa  periodica  sit.     Porro  e  theoremate  de  additione  inte- 
gralium  ellipticorum ,  quae  ad  secundam  speciem  pertinent,  sequitur: 

(10.)  G{u)-\-G(a)  —  G{u-\-a)  =  k^  sin  am  a  sin  am  u  sin  am  {ti-{-a), 

unde,  posito  deinceps  a  =  K,  a  =  K-\-iK', 

^   ^     ^         ^    ^         W  —  ^amu  ~  ^ 

G{u+K+iK')~G{K-^iK')-G(u)  = sinam^^Aam^^    _  ^logcosame^ 

e  quibus  formulis  facta  integratione  prodit: 

log   ^f"",^,^! G{K).u         =  logAamw 

log    /  \    /  77  ■   •  x^A — G{K4-iK).u  =  log  cos  am  e« 
sive 

fw^i'^^-^.   =  .^^-+->-cosam.. 

x(«*)x(^+*^) 

Hinc  sequitur,  loco  u  posito  a  et  u-\-a  et  divisione  facta: 

XJu-^a-i-K)    ^    a(K).u  x(^  +  ^0  .  _Aam(w-|:^a)_ 
X(a  +-S^)  x(^*)  X(")  X(^*)  ^  ^™  ^* 

X(a+^+*^')x(*0  X('*)x(^)  cos  am  a 

unde  etiam,  mutato  a  respective  in  a-\-K,  a-{-K-{-iK',  cum  sit 

Aamw  Aam(M-l-Z')  =  ¥ 
cos  am  u  cos  am  {u  -\-K  -\-  iK' )  =  — r— 
cosamw  Aam(«t-l-JS'+iÄ^')  =  i^'sinamw, 


470  DE  TRANSFORMATIONIBUS  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM 

quae  formulae  ex  elementis  constant  (cf.  Fund.  §17,  19),  obtinetur: 

(110  y{a^2K)xiu)  X(«)y» 

y{u-\-a  +  2K+2iK')    ^    iG{K-^K').u  x(^  +  «) 
(^^•'>        yia+2K+2iK')x{u)  x(«)x(^0 

(1^0         '^J(^+2Z+IZ7x(«)'  /»XK)  '       sin  am  a 

Hinc,  cum,  posito  brevitatis  causa  Apta  =  a,  sit 

x(«*  +  «)     •        /    I    \ 
^         X(a)x(«*) 

X(^  +  ^)     cos  am  (^t  -|-  a) 

^         ySa)/,{u)  Aama 


'l{u-\-a)      A  am  (^  -f  a) 

P         X(^)x(^)         cos  am  a 


fit  etiam,  posito 


a-\-K  =  a'  a  +  K-\-iK'  =  a" : 

(14.)  X,  =  ^^^-smam(«  +  a) 

(15.)  r^  =  ^..|_i_^ 

(16.)  Z,  =  ^^^-  y;[a-^^''(^^ 

unde,    siquidem  factores   ^,  A:0'    omnibus    F^,  Zp   communes  non  respicimus, 
Yp  et  Zp  ex  Xp  obtinemus  mutando  respective  a  in  a',  a". 

5. 

His  praeparatis,  siquidem  ponitur 

47^ü>  =  a  4(^; — h)u)  =  & 

a  +  JT-l-i^'  =  a"  hJ^K+iK'  =  &", 

lit: 


lERATIONALlBUS  SIVE  INVERSIS.  471 

lam  e  formula  ;2.    obtinetiir:  ' 

/(M-fa)     />  +  &)  n  I  72  •  •         7    .  .         /     ,       I  i,A  y(w+a  +  6) 

^  X    r^ n\   ^  \    =  (1+fe  sinama8inamosinamnsmam(M4-a-4-Q))    ,       ^x    .     ; 

X(«)/.(«)     /.(^'')Z(«)  V   -r    -r  '^  y(a  +  6)x(M)  ' 

porro  e  formula  (3.)  : 

sin  am  (w  4- «)  sin  am  («t -f- ^)  (1 4- ^' sin  am  a  sin  am  &  sin  am  w  sin  am  (M -j- a-f- 6)) 
=  sin  am  a  sin  am  &  -|-  sin  am  u  sin  am  {u  -\-[a  -\-  b) , 

unde 

-CT       -CT  -/(«t  -[-«+&)  .      .  .  ,         ,  . 

Aä  a„_ä  =  ■^, — I  .'  ,-r  •  (sin  am  a  sm  am  6  +  sm  am  u  sin  am  (w  +  a  +  6)) . 

-/(a  +  0)/(?<)  V        I  I       yy 

Hinc  etiam .  mutato  a  in  d,  a",  b  in  6',  b"  tit : 

YhYp-h  =  ^'>-    /  >Tt>n    /  X  •(sinama'sinam5'4-sinameisinam(M  +  a'+6')) 

X(^*  +  ^  )/.W  V         I  I  yy 

ZhZp-h  =  k^  ^'  '^''    /  »I  1  „7~  .   ,  •  (sin  am  a"  sin  am  b"4-  sin  am  m  sin  am  (u  +  a"4-  b" )). 

Fit  autem  e  '11.),   (12.): 

^c^    •/■(^^+ct'+?^')    ^    x(^  +  a  +  ^) 

'  x(»'4-&')/»        x(«  +  ^)z(«) 

.,..   yXu-\-a"-^b")  _    yju-i-a  +  b)  , 

■x(«"+^")x(^)       x(«+?')x(w)' 

porro 

sin  am  (?< -|~  <^ '  + ^' )   =  — sin  am  (t*  +  a  +  &) 
sin  am  (u  -\-  a"-\-  b")  =  —  sin  am  {u-\-a-{-b), 

unde,  cum  sit  a-\-b  ^  ^/'o^?  posito  0,  1.  2,  . . .  n  —  1  loco  h,  prodit  summatione 
facta : 

(XX)p  =  TXftXn-;,  =  ~~     ,    ,  .  [n  sin  am  u  sin  am  (u  4-  4m(i>)  4-  ^  sin  am  a  sin  am  bl 

(IT)p  =  I^FaFp-/,   =      (A     \-  f  \  ^ — wsinamwsinam(?<  +  4/)u>)4-X^^'^^°^*'^^'^^°^^'] 
(ZZ)p  =  y,ZhZ„-k    =  ^•2/..  "I  _Z^r — )isinam2<sinam(H+4«<o)4-ysinama"sinam&"]. 

/.('^i^'")  x(^0  V   1  i   /  I  — 

Problema  igitur  revocatum  est  ad  investigationem  summarum 

^  sin  am  a  sin  am  6,         S  sin  am  a' sin  am  6',        Xsinama"8inam&". 
Quem  in  ünem  adnotamus  formulam  ^10.) : 

G{a)-i-G{b)  —  G(a-\-b) 


sin  am  a  sin  am  &  = 


h^8\üa.m{a-{-b) 


472  DE  TRANSFORMATIONIBUS  FUNCTIONUM  ELLIPTICAKUM 

unde  fit: 

2-  sm  am  a  sm  am  ö    =   ^ — ——, — ^ ^-±- — 

fc^  sm  am  4po> 

V  .  .  •         I,.  ^G(a')-^YG(b')  —  nG(4:poy  +  2K) 

2.  sin  am  a  smamo   =  — 1— ^ -—4 — ^^ — ! -i- 

K^  sm  am  429(u 

2.  sin  am  a  sin  am  &= ^^ — — \——. ^-^ — ■ ! L 

Ä^  sin  am  4^0) 

Est  autem 

S  G{a)  =  G{4üy)  -\-  GiSi»)  -\ \-  GiMn—Dco) , 

et  cum  sit 

G{4:{n—l)ui)  =  —  (?(4u)),     G{A(n—2)oi)  =  —G(Sia),... 
fit: 

^  G{a)  =  0 ; 
porro  est  e  (10.) : 

G{a' )  =  G{a)  -\-  G(K)  —  h^  sin  am  a  sin  coam  a 

G{a")  =  G(a)  +  G{K+  iE') !E^^^ , 

^     ''  \  y  i      ^      1         /       smcoama 

unde 

^G(a')  =  Y^G{a)-\-nG{K)  — k^'^sm  am  a  sin  coam  a 

SG^K)=  i:G{a)-\-nG{K-]-iK')-T    '^°^"^^-, 
^    '^        -Ä-    V  y  I        \      I         /      ^  smcoama 

^    sin  am  a 
sm  coam  a,    x  - 

binis  terminis  evanescant,  fit: 

2  Gia')  =  nG{K) 
Y.G{a")=  nG{K-{-iK'). 

Eodem  modo  invenitur : 

Y.G{h)    =  0 
Y.G{h')  =  nG{K) 
Y,G{h")=  nG{K-\-iK'). 

Cum  insuper  sit : 

G{Apm-\-2K)  =  G{4:pio)-j-2G{K) 

G{4pi,i-\-2K-{-2iK')  =  G{4pi»)-{-2G{K-\-iK'), 


„,        _  .^   .  .  .^    sin  am  a      j     ,  .-i  •      • 

et   cum   summae    >  sm  am  a  sm  coam  a ,   2^— destruentibus   se   mvicem 

sin  coam  a 


IRRATIONALTBUS  SIVE  INVERSIS.  473 

fit: 

S  Sin  am  a  Sin  am  &  = nG(ip<o)_ 

k^  sin  SLin  4:pvi 

S  sin  am  a' sin  am  6'=  S  sin  am  a"  sin  am  6"  =       nCr{4p(a) — 

A;''sinam42;oi 
unde  tandem 

=  n[Bmsimu8m^m{u-\-4pa.)-  ,,^^^^"^)      ly^u+^pi^ 
L  Ä'' sin  am  42)tu  J  /(4^u>)x(m) 

Quam  formulam,  cum  sit: 

G(4po))-{-G{H)—G{u-\-4p(ii)  =  Ä;''sinam4^j(u8inam?*sinam(M  +  42>(ü), 
ita  elegantius  exhibere  licet: 

(17.)     (XX),  =  -{YY),  =  —^{ZZ),  =  n.  ^(^)-^(^  +  4/>»^ .  /.(t^  +  4^. 

^  k'^       'P  F  sin  am  4^)0)  z(4ptü)/(w) 

Supponimus  autem  in  hac  formula ,  p  non  esse  =  0 ,    pro  quo  casu  invenimus 
formulas   (7.),  (8.),  (9.). 

6. 
His  praeparatis,  e  formulis  (4.),  (5.),  (6.)  sequitur: 

(18.)  XX  +  rr  =  ,i— 2p  — 2a 

(19.)  l^XX-\-ZZ  =  w  — 2Pp  +  2r. 

Fit  enim  e  formulis  (7.),  (8.),  (9.) 

(XX)o  +  (rY)o  =  >i  — 2p  — 2a 
Jc\XX)o-\-(ZZ)o   =  n  — 2Fp  +  2t; 
porro  e  (17.) 

(XX),+(rr)i  =  0,      {XX)2+(YY)2  =  o,  ... 

k'{XX)i-^(ZZ),   =  0,     k\XX)2-\-iZZ)2  =  0,  ... 
E  formulis  (18.),  (19.)  sequitur,  posito 

X  =  \/«— 2p  — 2a.sin<>, 

n  — 2A;='p4-2t  ' 

fieri: 

Y=  \Jn  —  2p  —  2a.  cos  «j^ 

Z=  V^»i  — 2Pp  +  2^.\/l— XXsin*«!^.- 
1  60 


474  DE  TRANSFORMATIONIBÜS  FUNCTIONÜM  ELLIPTICARÜM 

Ponatur 


MM' 
iieri  videmus : 


linde 


^  =  W''"*'     ^=15-™^*'     ^=y^».*) 


7. 

Expressiones 

in  se  ducamus.     Sit 

designante  h  numeros  0,  1,  2,  ...  n  —  1;   erit 

Yz=  (rz)o+(rz)i+(rz)2+...  +  (rzx_x. 

Posito  rursus 

4h(o  =  a  4:{p  —  h)(i)  =  b 

a-\-K  =  a'  h+K^iK'  =  h", 

e  formiilis  (15.),  (16.)  sequitur : 

X(«  )/(«*)     X(&  )X(^)  ^  -r    ^  ^  -r     ; 


Quam  expressionem  e  (2.),  (3.),  ut  supia,  invenimus 

=  ^i^ö  '•     ,  ,  ,  1, TT  7-1-  [sin  am  a'  sin  am  h"-\-  sin  amw  sin  am  iu  +  a'+  &" )] , 
Z(«+^  )X(«*)  ^    n        1       ^J 

Fit  autem  e  formula  (13.) : 

oa,    li^-^-of-^-V')    _    x(w  +  <*  +  &)     sinam  (w+a  +  ö)  ^ 

X(a'+6")x(")    ~    X(«  +  ^)x(^)         sin  am  («4"^)       ' 
porro 

sin  am  (m +  «'+&")  =  8inam(w  +  a+6  +  2J^+*Z')  =  — -j—. 7^-; r~iT  ^ 

^  A;sinam(w  +  a  +  o) 

unde,  cum  sit  a-f-ö  =  4jt;ü>: 

V  5^  r        sin  am  t*       ,    ä;  sin  am  (m  +  4«i«)      .  ,  .         ,,,"1  y(w-l-4ü(ü) 

lhZp_h  = -. : — ^   /    ^  ^  •  sin  am  a'  sin  am  l"    ^,  .^, 

L      sinam4j)(o  sinam42Jü>  J  /(4;j(o)/(m) 


IRRATIONALIBÜS  SIVE  INVERSIS.  475 

ideoqiie,  posito  0.  1,  2.  ...?i  —  l   loco  h  et  summatione  facta, 


/V7■^        V  V  v  r       JiSinam?«         /■;  sin  am  ( w -]- 4wa))  _^  . 

v^-^Jp — z< -'■/'^P-Zi  =   —   ■  — -. •  ysinam«  sinamo 


j«  sin  am?«     ,    Z; sin  am  fw  +  4w(u)  _^  .  ,  .         ^„n  7(«i4-4ö(o) 

^-  — , -. •  y  sin  am«  sin  am  0      ~ — —~r-xf 

sinam4/;oj  sinam4pu>        ^  J '/.(AP^)y.{'^) 

ita  iit  negotium  ad  iiiveniendam  siimmam 

X  sin  am  a'  sin  am  h" 
reductum  sit.      Quem  in  finem  adnoto  rursus  formulam 

smama  8inam6    =  — —-  -.1  .  ,  ,  ,„   ' -, 

Z;*sinam(a-|-6  ) 

unde,  cum  sit: 

sinam(a'+6")  = ^—. 

A-siuam4^oj 

YGia)  =  nG{K) 
Y.G{h")  =  nG{K+iK') 
G{a'-{-  h")  =  G{4.i)iü  +  2K-\-  iK')  =  G{^pia)  +  G{K)  +  G{K-\-  iK' )  +  cot  am  4ija>  A  am  4i;(y, 

prodit : 

^-  •           '  •         7'r         wsinam4ü(o  _    ^       ,       .        .        ,   /-i/.      \-i 
V  sm  am  a  sin  am  6    =  ^ — - —  [cot  am  42;to  1  am  4j;cu  +  cr(4jp(o)J . 

Quibus  collectis  tandem  obtinemus: 

/^^  N  /Tr^x  rcosam4w(üAam4jjo>sinam(it-|-47;(ü)  — sinam^^       .         /    .  .      \r»/^^   Nl/C^+^i^m) 

(20.)  (YZ)p  =  n\ ^ r^-' h8mam(z<-f42?tü)6^(4pa>)  r-;^  '  .^^  \- 

^      '^  ^       ^^  L  8inam4po)  Jz(^i^^)x(^0 

In  hac  formula  supponimus ,  p  non  esse  =  0 ,  qui  casus  attentionem  peculiarem 
poscit. 

IJt  eruatur  valor  ipsius 

(YZ)o  =  YoZo^Y^Z_i-^Y^^Zi-{-Y-2Z.2  +  Y_2Z2-\ \-Y'2:zl  ^.'^nl-^Y^'^  Z»^, 

^  ^  2  2  2  2 

advocata  formula 

.  -,.,tgama 

,     ,     ,,        ,  .  cosamwAamw  — »«  -? sinamw 

cos  am  (m -j- a)  A  am  (?f — a) Aama 

cos  am  a  A  am  a  ~  1 — Ä;^sin^amasin2am^« 

e  (1.)  colligimus: 

,^  ^  .  7,7,  tffam4/<cu 

YkZ-h=  eosamwAamM  —  A;  A; -r -^ — sinamw, 

A  am  4Ä(o 


,  ,,,,  tffam4/«(u 

Y-kZh  =  cosamw  Aam2<-f  Ä;T-f -r— -sinamM; 

'  Aam4/i(o 


60 


476  DE  TRANSFORMATIONIBUS  PUNCTIONÜM  ELLIPTICARÜM 

unde : 

(  YZ)o  =  *«  cos  am  m  A  am  w . 

Expressionen!  (20.)  ulterius  transformare  licet  ope  formularum 

sin  am  u  =  sin  am  (m -j~  ^i^"^  —  4^0») 

sin  am  {u-\-4:pm)  cos  am  4ptu  A  am  Apio  —  sin  am  Apui  cos  am  {u-\-4p(ü)  A  am(w-|-4j?o)) 
1  —  /c''^sin^am4j9aj  sin^am(et-|-4ptu) 

Ä;^8inam42)(usinamM  sinam(w-{-4p(u)  =  G{Apui) -\- G{u) — (r(M  +  4p(u), 

quibus  adhibitis  fit: 

cos  am  4pa)  A  am  4:ptü  sin  am  (m  -j-  Apw)  —  sin  am  u 
sin  am  Apm 

=  C08am(M-j-4p(ü)Aam(w-f-42?(«) — Psinam4p(u  sin  am  m  sin^  am  (?<  -j-  4^(u) 

=  cos  am  {ti  -f-  4^u>)  A  am  (w  -[-  42?iu)  -f-  lG{u  -\-  Apoi)  —  G(u)  —  6r(4p(u)]  sin  am  (u  -\-  4j>u)) , 

unde 

{TZ)p  =  w[cosam(M-|-4p(u)  Aam(M-|-4i?o>) -[-sinam(w-|-4pu>)(G(M-j-4pu)) — G{u ))]  ^        \  /"^ ^ 

quae  formula  etiam  pro  p  =  0  valet. 
Adnotamus   jam,  esse: 

rfw  x(^jP"^)x(^)  L  (^w  dw       J 

X(4i>">)x(«*)  L    ^    ^  ^   ^  ^  ^-" 

unde ,  cum  porro  sit 

dsinam(M4-4pu))  /..na       /     i    .      n 
-^ — ' — -—^  =  cos  am  {u  -\-  4pa>)  A  am  (w  -|-  4p<u) , 

eruimus : 


Hinc  fit 


d  sin  am  (m  +  4pu))    '       c-T~f  ^  v 


Y.i'Yzyp  =  nY.  ^^' 


sive 

(21.)  YZ  =  n 


du 

dX 
du 


IRRATION  ALIBUS  SIVE  INVERSIS.  477 


Jam  vero  invenimus,  posito 

^    JcM 


fieri 


unde  aequatio  (21.)  in  hanc  abit: 


cos  '^  A((]>,  X)    d  sin  -j* 


sive 

Hinc,  cum  simul  '\  et  m  evanescant,  e  notatione  a  Cl.  Legendre  adhibita  erit 


nll 


sive  e  nostra 


unde 


'^  =  ^""(»'0' 


X  =  -nrr  sin  am  |  — ^rr ;  X  ) 


Hinc  fluunt 


Formulae  fundamentales : 

(22.)  ^— -  sin  am  (  — =rr  ^0  =  sinamti -t- T  8inam(?<+ 4vaj)  ',,  ^"^{ 

,„„ .  Ä               f    '»'      ^\                        ,  <e-C08am(?<4-4vü))  v(m  +  4vu>) 

(23.)        ~y-^co8am(  — ,-p;X  J  =  cosamw-f-X r — —~ ,,^ t 

^      '  IcM             \nM     J                        '  ^       Aam4voj         x(4^">)Z(w) 

(24.)         -^jT^  Aam(-^r^,X)  =    AamM  +  T —- '-^     ' ,    ,  [ 

^      '  M              \nM     J                       '  ^     cosam4v(ü       /(4v(u)/(m) 


478  DE  TRANSFORMATIONIBÜS  FÜNCTIONÜM  ELLIPTICARÜM 

siquidem  numero    v    tribuuntur  valores    +^'  iL-;  •  •  •  iL — ^ Quibus    for- 

mulis  addi  debet,  quae  e  (7.),  (17.)  fluit,  sequens: 

^      ^  k^M^  \nM      J  11^        A;'*smam4v(ü  -/(4v«>)y(M) 


=  W8m^am2t  —  2p-|~^2 


.      ,    .      ,  (t(4v«>) 

sinamw8inam(«4-4vtij)-  ^ 


Z;^  sin  am  4v(o 


Z(4v«>)x(m) 


X(4va))x(M) 


Adnotare  convenit ,  modulum  \  et  multiplicatorem  Af  pertinere  ad  trans- 
formationem  ?^^*  ordinis  elemento  (o  respondentem.  Fit  enim  e  (23.),  (24.), 
si  u  ponitur   =  0  : 

y^  =  l-[-  sin  coam4a>  -|-  sin  coam  8oj  -[-•••  +  8incoam4(w — l)tD 


M.  sin  coam  4oj       sin  coam  8(o  sin  coam  4(w — l)u)  ' 

eaedem  autem  aequationes  prodeunt  e  formula  [Fund.  §.23  (16.)): 
X 


TcM 


sinam(-^;Xj  =  sinam^^-[-sinam(^<-f•  4u))-|- •  •  • -|-sinam(i(4~4(w — l)t"), 


si  ponitur  respectiA^e  u  =  K,  u  =  K-\-  iK' . 

Formulae  (22.)  —  (25.) ,  cum  sit 

X(m4-4^)  =    x(w+4«oj)  =    y{u) 
a{u-\-4:Q)  =  G{u-^4:niM)  =  G{u), 

immutatae  manent  mutato  u  in  u-\-AQ  sive  in  ii-\r^2)Q,  designante  p  nume- 
rum  quemcunque  integrum  positivum  seu  negativum.  Si  vero  supponimus 
numeros  m,  m  absque  factore  communi,  quod  salva  generalitate  fieri  potest, 
determinari  possunt  numeri  integri  positivi  seu  negativi  jx,  ]x   ejusmodi,  ut  sit 

m\x' —  \i.ni    =  1 ; 
quo  facto,  si  ponitur 

[xK-\-it.'iK'  =  (?'  =  Arno'. 

erit  4Q'  periodus  ipsi  iQ  conjugata  et  secundum  aequationem  (32.)  commenta- 
fionis  primae 

y(u-\-A2)'Q')  yXu) 

Unde,  mutato  u  in  u-\-\pQ',  e  formulis  (22.)  —  (25.)  fit: 


IRRATIONALIBÜS  SIVE  INVERSIS.  479 

(26.)  -y^rj- sin  am  { ^f— ;/•)   =   smara«  +  Ve      »•    smam(^4-4vo))  •  ^^      ,    ,  ^ 

/o-7\      ^^  /^*<  +  4i>^'  -A  ,   ^   -~r-  cos  am  (w  +  4va>)     y(w  +  4v(u) 

^     ^    JcM  \     nM      '  J  ^  ^  Aam4v(ü  /(4vu>)x(w) 

(28.)    ^nr-  A  am  (  — Wr—  ^  ^  )  =    A  am  m  -|-  T  e      »    !^ — ! ^ .  '-^     ' ^ 

ilt  V     »iJi         /  -^  C08am4v(ü         z(4v<u)x(w) 

(29-)  TäiFTsSin^am    — !-^— ;A     =«sin^am«<  — 2o4-nye      "        \;  . — ^-^L LJ-y  ~^ — 4, 

^      '  y^M^  \     nM         J  . -r    ^  ^•'^smam4va)        /.(4v(ü)x(m) 

Ubi  in  his  formulis  loco  yj  ponimus  valores  0.  1.  2.  ...  w  —  1,  quatuor  systemata 
aequationum  obtinemus ,  e  quibus  facile  eruuntur  formulae : 

/«^  -  •  Ä       ^^    .  /?<+  4»P'   , 

(30.)  sinamw  =  — t-tt— 2-Siaam    — -^-^ft^ 

^  nUM     ^  V     nM 


(31.)  cosam«  =  — ,  ,-     Vcosaml —   -t.      ,\] 

^      '  nhM     ^  \     nM         J 

(32.)  ^..u=   ^^...{^^„) 

(33.)  srn^am^.-- ^  =  ___  ^  sm=^am  (^-^- ;  a  j 

vel  generaliores  hae : 

(34.)  sin  am  («  +  4voj) .  ^^y— ^ — ^  =  — r^i— S«   "    sm  am  (      ^  J;,^  >k) 

cosam(^^  +  4v«^)     />+4va))  _A_  y  ^  ^„„^  _ /^«i+M;   A 

^^^•''  Aam4v(ü  /(4v«,jx(w)  >^^-i^f    ^  cos  am  ^^     ^^^^     ,a^ 

Aam(^^  +  4vai)     -/(m4-4v(«)    ^         1       Ve^   A  am  T^^ii^' , ; ^ 
^     ''  co8am4vu)         /(4vo))/(?()  «Jlf    ^  \     «il/     '   / 

.o7^      g(t^)-^(^^  +  4va.)     x(^.  +  4vo3)    _        X^       T /"^ einsam (^^  +  ^^^^'   ;■ 
^'^^•''  A;'^smam4viü  /a4vco)/.(m)    ~"  w'ÄW=^  ^  sin  am  (^     ^^^^      w 


Posito 


x(a-")  =  ^' -*"<y") 


480  DE  TRANSFORMATIONIBÜS  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM 

fit: 


M-l 


et  e  formulis    (22.)  — (25.),  mutato    k  in  l,  )<  in  k,  M  in       ^^ — >    u  in  ^  , 


M 


ü>  m  ^;  p  m 


sequentes  obtinentur : 

/w-|-4vü)'     \ 
(38.)  -y-smamw  =  smam(^^;X;  +  Xsmam(^-^->XJ  •  X    /  ^.    ^T 


/. 


31 


cos  am 


(40.)  (—1)2    wJtf  Aamw    =    A  am  (^ -^ » X^  +  2, 


cos  am 


(41.)        p — sin^amw  =  «sin^aml  -=^,A^  —  2p 

>.«8mam(^,x)  y(^,x)x(ya) 

E  quibus,  cum  sit 

/m-|-4v(ü'-|- 4j?u)    A  /M4-4va)'    A 


X 


=    e  « 


/M+4jja>    A  f  u     A 

mutato  M  in  M  -}-  4joü)  ,  fiuunt  formulae  generaliores  hae : 


IBRATIONALIBÜS  SIVE  INVEBSIS.  481 


/M-f-4viu       \ 
(42.)  -^^smam(^.+4^;«>)=Slnam(;-^,Aj  +  Ie    "    sinami^-^il^^.xj  .-^A,—— -^ 

n_i                                                                            8^^Aam( — ^ — ,a)         /( — '  ,  A  ) 

(44.)     (— 1)  2  wJf  Aam(w  +  4iJ«))  =    Aam(^.AJ  +  ^e    «   ^^^         ^  ^      ^*^  ^ 


cos  am 


(t'O  x(*:^U).(|.,o 

(45.)         r-^ sin^  am  (u-\-4:pu))  =  n  sin^  am  f  -^ ,  X  J  —  2r/ 

X'sinam(^a)  x(^'.Oz(ff'0 


10. 


Posito 


X  =  sin  am«;  et 

a;  /  XX       \f XX        V  .  Yi ^^ ^ 

(  u     \  M  \        sm^am2(o/ V        sin^am4a>/        V        siii''am(w — l)u>/ 

{     •)  y        ^^^^'^Vj^'  7  (1  — /i;^sin^am2(o.Ä;a:)(l — A;^sm^am4a).a;x). .  .(1— Z;^sin^am(w— l)iu.a:a;) 

Wi ?^L.\/i__ — L^___Y'Yi ^hr~\ 

(47.)  ^  =  sin  aram*  = ^ —-, ;— ^^^^^7 r — -^ .  _  .    , — 

(\i{ii)  =    (1— Ä;2sin2ara2«).2;2;)(l— 7i;^sin2am4u>.:i;a;)...  (1— Z;^8in2am(w— l)u>.a;a;) 

secundum  formulam  (17.)  commentationis primae  fit: 

■^(^  +  4pa>)     _   .V(D(4;)a>)(D(^t)  __L_J^__1j^  =    "/ 4X4p»>' )  ^%) 

X(4p(o)/(tO    ~   V  0(^w+4p(i))   '  -Y!^  xV/T—    X^  4-(«*  +  4i;ü,') 

I.  61 


482       DE  TRANSFORMATIONIBUS  FÜNCTIONUM  ELLIPTICARUM  IRRATIONALIBÜS  SIVE  INVERSIS. 

Qiiae  expressiones  si  in  aequationibus  (26.),  (42.)  substitimntur  et  in  for- 
mula  (26.)  insuper  loco  u  ponitur  nu,  prodit: 

(48.)     ^^8inam(M  +  4^c«)   =  sinam(^,x)  +  V  e  »   sm am  (-^- ,  Ä j  •  y/ ^i^^ 

(^^•)  /^^'^"^"'VT^-'V  =       smam^^M    +1.  sin  am  (nw  +  4v«>)  •  \/ ^^^^^^^^^-^ - 

Quarum  aequationum  prima  suppeditat  expressionem  generalem  explici- 
tam  ipsius  <r  per  ^  sive  resolutionem  completam  algebraicam  aequationis  n^^ 
gradus  (46.),  altera  autem  expressionem  generalem  explicitam  ipsius  i/  per  z 
sive  resolutionem  algebraicam  aequationis  (47.)  Adnotandum  est,  aequationis 
(2.)  ope  omnia  radicalia  in  unaquaque  harum  aequationum  per  dignitates  unius 
exprimi  posse*). 


*)  Cfr.  form,  (i.)  art.  IV.  pag.  272  et  form.  (7.)  pag.  431  huius  voluminis. 


DE 

DIYISIONE  INTEGßALIÜM  ELLIPTICOßüM 

m  n  PAETES  AEQUALES 


AUCTOßE 


C.  G.  J.  JACOBI 

PEOF.    OKD.    MATH.    BEGIOM. 


61* 


DE  DIVISIONE  INTEGRALIUM  ELLIPTICORUM  IN  n  PARTES 

AEQUALES. 

(Ex  ill.  C.   G.  J.  .Tacobi  manuscriptis  posthumis  in  medium  protulit  C.   W.   Borchardt.) 


Divisionem  intcgralium  ellipticorum  in  n  partes  aequales  notum  est  a 
resolutione  aequationis  algebraicae  ordinis  nn*^  pendere  *) ,  dum  aequatio,  a  cujus 
resolutione  divisio  arcuum  circularium  in  n  partes  aequales  pendet,  tantum  ad 
ordinem  n*^"^  ascendit.  Facile  e  natura  periodica  functionum  circularium  ex- 
pressionem  analyticam  radicum  omnium  hujus  aequationis  w^'  ordinis  petere 
licet;  idem  tamen  quomodo  in  theoria  divisionis  integralium  ellipticorum  de 
radicibus  aequationis  illius  nn*^  ordinis  praestari  possit,  diu  analystas  fugit. 
Secundum  analogiam  quidem  functionum  circularium,  cum  constaret,  functiones 
ellipticas  et  ipsas  periodicas  esse,  facile  erat  numerum  n  radicum  analytica 
expressione  exhibere:  quinam  vero  reliquis  radicibus  numero  nn  —  w  sensus 
analyticus  insit,  ex  iis,  quae  de  theoria  functionum  ellipticarum  explorata  erant, 
nulle  modo  colligi  poterat.  Scilicet  novo  omnino  principio  indigebat  haec  theoria, 
ut  radicum  illarum  vera  et  genuina  natura  indagetur,  principio  dico  duplicis 
periodi,  quo  nomine  in  FundameMtis  designavi  proprietatem  functionum  ellipti- 
carum fundamentalem,  duabus  eas  gaudere  periodis,  videlicet  praeter  eam,  de  qua 
jam  constabat,  realem,  altera  adhuc  imaginaria;  e  quarum  deinde  combinatione 
aliae  nascuntur  innumerae  et  ipsae  imaginariae  et  inter  se  incommensurabiles. 


*)  Hoc  theorema,  ah  Eulero  observatum ,  neque  ab  illo  neque  a  Cl.  Legendre  demonstratum, 
primus,  ni  fallor,  Cl.  Abel  {Diar.  Crell.  vol.  II.  Recherchen  sur  les  fonciinns  ellipfiques)  ])qv  considerationes 
analyticas  demonstravit  Aliam  postea  addidit  demonstrationem  {ib.  vol.  IV  p.  258)  e  commodo  algo- 
rithmo  algebraico  petitam ,  quo  expressiones  sinami<,  sin  am  2«,  sin  am  3m,  sin  am  4»...  alias  ex  aliis 
formari  posse  docuit,  ita  ut  fractiones  formandae  statim  sub  forma  simplicissima  inveniantur,  dum  algo- 
rithmus,  qui  eum  in  finem  adhiberi  solebat,  simulac  n>5,  et  numeratorem  et  denominatorem  factoribus 
superfluis  implicat. 


486  DE  DIVISIONE  INTEGRALIUM  ELLIPTICOKUM 

Quod  principium  duplicis  periodi,  simulac  inventum  est,  cum  universae 
theoriae  functionum  ellipticarum  novam  faciem  creabat,  tum  haue  quaestionem 
de  natura  analytica  radicum  illarum  facile  absolvit.  Qua  explorata,  CL  Abel 
ipsam  adeo  aequationum  illarum  nn*'  ordinis  resolutionem  algebraicam  aggressus 
est,  problema  antea  desperatum  et  quod  vires  analysis  superare  videbatur. 
Demonstravit  ille  theorema  memorabile,  aequationes  illas  generaliter  ad  duas 
alias  revocari  posse,  quae  tantum  n^'  ordinis  sunt.  Cujus  gravissimi  theo- 
rematis  exemplum  primum  paulo  ante  iam  CL  Legendre  dederat  in  tractatu 
de  fu7ictionibus  ellipticis ,  demonstrans  aequationem  noni  gradus,  a  cujus  resolu- 
tione  trisectio  functionum  ellipticarum  pendet,  revocari  posse  ad  aequationes 
duas  tertii  ordinis ;  quae  cum  algebraice  resolubiles  sint ,  et  ipsam  patet  aequa- 
tionem illam  noni  gradus  algebraice  resolvi  posse*).  At  quoties  de  quintisectione 
agitur,  etsi  aequatio  ordinis  quinti  et  vicesimi,  a  cujus  resolutione  illa  pendet, 
ad  aequationes  quinti  ordinis  revocetur,  parum  inde  profici  videri  possit,  cum 
solutionem  illae  in  generc  non  admittant.  Quod  adeo ,  crescente  numero  n, 
augeri  videtur  incommodum.  Jam  vero  Cl.  Abel,  dum  methodos  algebraicas 
Euleri  et  Lagrange  ad  aequationes  illas  n*^  ordinis,  ad  quas  aequatio  propo- 
sita  nn*^  ordinis  revocari  potest ,  adhibebat ,  easdem  quicunque  sit  numerus  n, 
algebraice  resolvi  posse  demonstravit,  unde  iam  aequationes  illas  nn!'''  ordinis, 
quarum  resolutione  sectio  in  n  partes  conficitur,  algebraice  resolubiles  esse, 
invenitur.  Quo  egregio  invento  maxime  ille  de  hac  theoria  meritus  est  vastum- 
que  altissimarum  quaestionum  campum  aperuit. 

Invento  CP.  Abel  ipse  postea  comraodam  adieci  simplificationem.  Aequa- 
tionem enim  nn^^  ordinis,  quam  ad  aequationes  duas  ordinis  n^^  reduxit  Cl.  Abel, 
vidi  absque  ea  reductione  directe  resolvi  posse  adeoque  ea  reductione  formam 
radicum  multo  complicatiorem  reddi  qum  fieri  deberet.  Methode  enim  a  CL 
Abel  adhibita  revocatur  aequatio  nn*^  ordinis  ad  aliam  ordinis  w^*,  cuius  coeffi- 
eientes  rursus  ab  aequatione  n*^  ordinis  pendent ;  unde  repraesentatio  radicum 
eins  fit  per  n^"'^  radices  expressionum ,  quae  rursus  ex  aggregatis  n**^^""^  radicum 
constant.     Docet  autem  consideratio  directa,  haec  aggregata  ipsas  adeo  esse  w^*^* 


*)  Tempore,  quo  idem  ut  inventum  meum  publicavi  [S ch  um  acher  Nova  Astronomica  No.  123) 
Cl'.  Legendre  tractalus  oras  seplenlrionales  nondum  viderat;  Cl'.  Abel  autem  ea  de  re  commentatio 
lucem  nondum  viderat. 


IN    n    PARTES  AEQUALES.  487 

dignitates  expressionum  similium,  e  quibus  igitur  haec  postrema  w^"^  radicis 
extractio  omni  generalitate  succedit.  Quare  radices  aequationis  propositae  ad 
maiorem  simplicitatem  et  ad  formam  veram  ac  geniiinam  revocantur. 

In  solutionibus  illis  algebraicis  quantitates  quaedam  constantes  inveniun- 
tur,  quae  a  divisione  integralis  integri  in  n  partes  pendent.  Simili  modo 
in  theoria  divisionis  arciium  circularium  indetinitorum  divisionem  peripheriae 
integrae  ut  notam  siipponere  debes.  Quae  quantitates  constantes  rursus  ab 
aequationibus  algebraicis  pendent,  de  quarum  resolutione  et  ipsa  gravissima 
quaestio  moneri  potest.  De  sectipne  peripheriae  integrae  circuli  quaestionem 
nuper  admodum  Cl.  Gauss  aggressus  est,  quem  multis  in  hac  theoria  inventis 
plane  admirabilibus  immortalem  sibi  gloriam  comparasse  scimus ;  qui  adeo  hanc 
quaestionem  ad  divisionem  integralis  elliptici  integri  pro  casu  speciali,  quo 
modulus  sin  45",  se  extensurum  pollicitus  est.  Et  huius  theoriae  de  constantibus 
illis  algebraice  determinandis  sive  de  sectione  integralis  elliptici  integri  funda- 
menta  iecit  Cl.  Abel. 

Quoties  de  sectione  functionis  integrae  agitur,  e  radicum  numero  binae 
aequales  sunt  vel  signo  tantum  differunt,  unde  eo  casu  aequationis  gradus  ad 
semissem  deprimitur.  Hinc  sequitur .  quod  notum  est ,  quoties ,  quod  licet, 
n  imparem  statnamus .   cum  eo  casu  radicum  una  nota  sit ,  sectionem  peripheriae 

circuli  in    n   partes  aequales  tantum   ab    aequatione    ordinis    — - — ,   integralis 

•         •     •  •  •  ^f}!/       •  1  • 

elliptici  tantum   ab    aequatione   ordinis    pendere.       Hanc   aequationem 

ordinis  — - —  eo  casu,  ubi  n  est  numerus  primus,  docuit  Cl.  Abel  reduci  posse 
ad  aequationem  ordinis  >  cuius  coefficientes  ab  aequatione  ordinis     w  +  l)  ' 

pendent,     Ipsam  aequationem  illam  ordinis  ,  siquidem  coefficientes  eins  ut 

notas  supponis,  per   eandem   methodum  resolvi  posse  demonstravit ,  quam   Cl. 

Gauss  ad   resolutionem   aequationis  ( j      ordinis  adhibuit ,    a  qua  sectio 

peripheriae  circuli  pendet. 

At  aequationem  (w-f-l)^*  ordinis,  a  qua  coefficientes  eins  pendent,  generali- 
ter  resolvi  non  posse  demonstravit  ('1.  Abel,  ita  ut  problema  totum  de  divisione 
algebraica  functionis  ellipticae  in  n  partes  aequales  ad  aequationem  {n-\-\)  '  or- 
dinis revocatum  sit,  quam  in  genere  neque  resolvere ,  neque  ad  gradum  minorem 


488  DE  DIVISIONE  INTEGRALIUM  ELLIPTICORUM  IN    W    PARTES  AEQUALES. 

deprimere  ullo  modo  licet.  Pro  valoribus  tamen  specialibus  moduli  compluribus 
observavit  idem,  etiam  hanc  aequationem  resolvi  posse  methodumque  adeo,  qua 
id  fieri  possit,  pro  modulo  sin  45"  adstruxit  (Cf.  Diar.  Crellianum  vol.  III.) 

Grave  quidem  videri  possit  incommodum,  quod  pro  modulo  certe  indeliniti 
valoris  ad  aequationem  irresolubilem  deferamus;  accuratius  autem  iuspicienti 
inde  vel  magnum  commodum  analysi  algebraicae  nasci  posse  elucebit.  Inventum 
enim  est  genus  aequationum  algebraicarum ,  quarum  radices  nullo  modo  per  ex- 
tractionem  radicum  exhibere  licet,  quae  tamen  per  divisionem  integralium 
ellipticorum  resolvi  possunt.  Quam  divisionem  omnibus  casibus  vel  per  tabulas 
a  Cl.  Legendre  conditas,  vel  aliis  methodis  expeditis  summa  facilitate  in 
numeris  exsequi  licet. 

Eodem  tempore,  quo  Cl.  Abel  haec  et  alia  praeclare  et  eleganter  invenit, 
ipse  theoriam  generalem  transformationis  functionum  ellipticarum  condidi,  et  a 
principio  duplicis  periodi,  ad  quod  et  ipse  deveneram,  et  a  principio  novo  pro- 
fectus,  quod  in  Fundamentis  principium  transformationis  vocavi.  Quod  docet 
principium,  innumeris  modis  per  substitutiones  rationales  et  a  se  indepen- 
dentes  transformari  posse  modulum  integralium  ellipticorum. 


DE 

MULTIPLICATIONE  FUNCTIONUM  ELLIPTICARÜM 
PER  aUANTITATEM  IMAGINAEIAM 

PEO  CERTO  QÜODAM  MODÜLOEÜM  SYSTEMATE 


AÜCTORE 


C.   G.   J.   JACOBI 

FBOF.    OBD.    MATH.    BE6I0H. 


&2 


DE  üklULTIPLICATIONE  FITNCTIONOI  ELLIPTICARUM 
PER  QUANTITATEM IMAGINARIAM  PRO  CERTO  QUODMI MODULORUM 

SYSTEMATE. 

(Ex  ill.  C.  G.  J,  Jacobi  manuscriptis  posthumis  in  medium  protulit  F.  Mertens.) 


1. 

In  sequentibus  casum  specialem  transformationis  functionum  ellipticarum, 
qui  prae  ceteris  insignibus  gaudet  proprietatibus ,  pauUo  acciu-atius  examinemus, 
eum  dico,  quo  per  transformationem  aliquam  modulus  in  complementum  abit. 
Facile  constat  eiusmodi  modulos  extare  innumeros,  qui  singuli  singulis  trans- 
formationum  ordinibus  respondent.  Ita  e.  g.  invenit  Cl.  Legendre.  per  trans- 
formationem secundi  ordinis  modulum  k  =  tg-^,    per  transformationem  tertii 

o 

ordinis  modulum  k  =  sin  -^  transformari  posse  in  complementum ;  quibus  ad- 

dere  licet,  posito  cosi^  =  tgi^.  modulum  k  =  ^inf-j-  —  ^)  per  transformationem 
quinti  ordinis  transformari  posse  in  complementum.  Atque  omnes  transforman- 
tur  per  transformationem .  quam  diximus  secundam  seu  minoris  moduli  in  maio- 

rem*,  unde  vice  versa  moduli — ,  cos-r^;  ^^^("7 — ^)  P®^'  transformationem 

primam  seu  maioris  moduli  in  minorem  in   complementa   abeunt.      Porro  suis 

exemplis  invenit  Cl.  Legendre.  fore  resp.  multiplicatorem  ^[=:-— ,  -— ,  nee 

\2      \o 

non  casu  a  nobis  addito  invenietur  M  = -— .  lam  generaliter  probabimus.  si 
modulus  realis  unitate  minor  k  per  transformationem  w^*  ordinis  realem  transit 

in  complementum.  fore  j\I  =  -pr  ■ 
*  \/n 

Vidimus  in  Fundamentis  %  29 .  aequationes  modulares  et  ubi  k  et  X  inter 
se  commutentur,  et  ubi  simul  k'  loco  k,  X'  loco  X  ponatur,  immutatas  manere; 

62* 


492  DE  MULTIPLICATIONE  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM 

unde  idem  valebit,  ubi  simul  k  in  X',  X  in  k'  mutatur,  sive  posito  q=  1 — Ikk, 
1=  1  —  2XX,  ubi  simul  q  in  — l,  l  in  — q  mutatur.     Sit  aequatio  inter  q  et  l 

F{q,l)  =  0: 
ponamus,  simulatque  q  in  q-\-/lq,  abire  /  in  l-\-^l.  ita  ut  etiam 

F(q-\-Aq,  l-^-M)  =  0. 
lam  cum  F{q,  l) ,  ubi  q  in  — /,  Z  in  — q  mutatur,  immutatum  maneat,  idem  etiam 
de  expressione   F{q-\-^q,l-\- ^l)  valebit,  si  quidem  insuper  etiam  A^  in  — A/, 
A/  in  —  A^  mutatur ;  ideoque  etiam  de  expressione 

dF  .     .   dF  .. 

dq  dl 

(Potuisset  quidem  F(q,r)  in  — F{q,l)  mutari,  quia  tantum  aequationem  F{q,l)  =  0 
immutatam  manere  probavimus ,  quod  tamen  locum  habere  non  posse  cum  ex 
ipsa  aequationum  modularium  natura  facile  probatur,  tum  etiam  inde  patet,  quod 

inveniretur  eo  casu   -—-1-  =  —  1 ,  unde  M  =  —==- ;  quamquam  M  quantitatem 

esse  realem  abunde  constat).    Unde  patet,  posito    — /   loco    q, — q   loco  /   abire 

dF  .          dF     dF  .  dF        ^^  j  ,     ,  -^        7. 

-3—  m Ti-^  -TT-  m  — -^ — •     At  casu  quo  adeo  q  =  — l,  l  =  — q,  sive  K  =  k  , 

valor  functionis  cuiusdam  elementorum  q,  l  ponendo  —  l  loco  q,  —  q  loco  l^ 
omnino  non  mutatur,  unde  eo  casu 

dF  _        dF 

dq    ~         dl 
atque 

dF 


XdX           dl 
Mk           dq 

formulae 

— 

'^  =1 

dF 
dl 

1    X(l— Ä-')   dk 
n   k{l—k'')   dX 
k\  k'  =  1-X- 

= 

1    Ä-(l— X^)    kdk 
n  k'{l—k^)    XdX   ' 

M  = 

1 

- 

Hinc  autem  sequitur  ope  formulae 

MM  = 

quia  casu  nostro  X^  =  l  — 


q.  d.  e.     At  multo  facilior  evadit  demonstratio,  ubi  reputas,  his  casibus  trans- 
Ibrmationem  complementariam  et  suppJementariam  eandem  fore,  unde  • 

M  =  -— -— ,     sive     M  =  -—=r ' 


PER  QUANTITATEM  IMAGINARIAM  PRO  CERTO  QUODAM  MODÜLORÜM  SYSTEMATE.  493 

Casn  igitur  proposito  fimctiones  ellipticas  argumenti  ^n.u,  modiiK  k'  per 
functiones  ellipticas  argumeiiti  u,  moduli  k  rationaliter  exprimere  licet.  Deinde 
per  transformationem  supplementariam  functiones  ellipticae  argumenti  nu ,  mo- 
duli Ä:,per  alias  argumenti  Mn.u,  moduli  k'  exprimi  poterunt.  unde  apparet. 
quam  pulchre  hoc  casu  inter  functionem  et  multiplicatam  medium  teneat  trans- 
formata.  Porro  designante  k  minorem  e  modulis  k,  k' ,  qui  in  se  transformari 
possunt.  obtinemus  e  ,^24  Fundamentorum 

—  TT'  — 

K'  =  \JnK,     sive     -^r-  =  \Jn. 
K. 

Quod   sane    satis    singulare    evenit,    proposita   aequatione   transcendente 
■j^'  

-—  =  \Jn,  modulum  k  semper  algebraice  inveniri  posse. 
« 

2. 

At  moduli  illi  alia  adhuc  gaudent  proprietate  insigni.  quod  nempe  casu.  quo 
p  =  aa-\-nhh,  designante  j9  numerum  primum.  a  numerum  imparem.  h  nume- 
rum  parem.  e  transformationibus  p*^  ordinis  par  unum  ad  modulum  proposi- 
tum  reducit,  ita  ut  duo  moduli  transformati  imaginarii  valores  reales  atque 
inter  se  et  modulo  proposito  aequales  evadant,  ideoque  e  numero  transforma- 
tionum  imaginariarum  duae  in  miiltiplicationem  per  quantitatem  imaginariam 
evadant.       Quae   obtinentur  transformationes ,    siquidem    in   formulis   generali- 

cK  +  iK' 
bus  in  Fiindamentis  §  20  allatis  ponis    lo  = =^ ,    designante   c   numerum 

CO     I     75 

talem,  ut  sit   — ^^^—  integer.     Multiplicatorem  duobus  illis  casibus  nanciscimur 

M== —  *).    Nee  mirum  sane  pro  modulis  illis  multiplicationem  per  quan- 

a  -f-  ih  \Jn 

titatem  imaginariam  succedere;  nam  cum  argumenta  imaginaria  formae  ih^n.u 
ad  alia  revocare  liceat  realia  bS/n.u,  si  simul  modulus  in  complementum  mutatur, 
casu  autem  proposito  functiones  ellipticae  argumenti  h^n.u  per  functiones  el- 
lipticas argumenti  u,  rursus  mutato  modulo  in  complementum,  exprimi  possint, 
unde  ad  modulum  propositum  reditur,  facile,  si  formulae  pro  multiplicatione  per 
numerum  parem  et  imparem  aecuratius  respiciuntur ,  eructur,  sinam(a  +  iö\^w)w 
pro  modulo  assignato  rationaliter  per  sin  am  m  exprimi  posse.  —  Deinde  ope 
transformationis ,  quam  diximus  supplementariam,  functiones  ellipticae  argu- 
menti 'pu  per  alias  argumenti    {a-\-ih'sn)u    exprimi  poterunt,  quae  est  multi- 

*)  Signum  numeri  h  ad  arbitrium,   Signum  vero  numeri  a  ita  eligendum  est,    ut'sit  o  =  l(niod.  4). 


494  DE  MULTIPLICATIONE  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM 

plicatio  per  quantitatem  a  —  ib^n,  ita  ut  miiltiplicationem  per  numerum  p  e 
duabus  aliis  componere  liceat  multiplicationibus.  Cui  multiplicationis  per  quan- 
titatem imaginariam  speciei  neque  in  functionibus  circularibus  neqiie  in  functio- 
nibus  exponentialibus  simile  quidquam  invenitur. 

Ubi  modo  evictum  est,  eiusmodi  multiplicationem  pro  modulis  assignatis 
locum  habere  posse,  facile  etiam  ipsae,  quas  adhibere  convenit,  inveniuntur 
substitutiones.  Posito  enim  smam{a-\-ib^n)u  =  yr,  designantibus  U,  V 
functiones  rationales  integras  quantitatis  sin  am  m,  e  consideratione  valorum  eins, 
pro  quibus  sinam(a  +  *Ww)M  evanescit  et  pro  quibus  in  inlinitum  abit,  ipsae 
U,  V  facile  inveniuntur. 

Valores  autem  argumenti  u,  pro  quibus  evanescit  sm^m.{a-{-Jb\n)u,  omnes 
schemate  continentur: 

2mK-\-2niiK'   ^    m-^im'SJn 


a-\-%b\ln  a-\-  ib  SJn 

designantibus  m,  m   numeros  integros  quoslibet.     Ponamus 

m-\-%m'\ln  =  Ä(a-\-ib^n)-^B(ci.-\-i^^n), 

ita  ut  sit 

m  =  Äa-{-Bo.  m'  =  Ab-]-  B^ , 

unde 

mß — m'a  y,  m'a  —  mb 

aß  —  ba  aß  —  ba 

Cum  a,  b  factorem  communem  non  habeant,  numeri  a,  ß  ita  determinentur, 
ut  sit  aß  —  ba=  1 ;  erunt  A,  B  integri  simul  atque  m,  m  et  vice  versa.    Hinc  fit 

m-\-im'\Jn    ^  ,l  i  ß    ^•+^''^^^    =  A  1  B    ^  +  ^^"  ^ 
a-\-ib\/n  a-\-ib\Jn  P 

si  quidem  ponitur  c  =  aa-\-nb^.     Hinc  obtinemus 

cc  =  {aa^nb^y  =  {aa-{-nbb){rj.rj.-^n^i^)  —  n{a^  —  ba.y  =  ij(aa  +  ^jßß)  — 9^, 

unde  f^ZLÜ  integer,  quae  cum  supra  dictis  conveniunt.     Omnes  igitur  valores 

functionis     sin  am?/,    eiusmodi,    ut    evanescat    f-,m?ixn.(a-\-ib\n]u,     continentur 
schemate : 


-\-i\Jn\ 


scu  simplicius 


sm3im2K\A-\-B- 

2B(c  +  isJn)K  .  2B{cK+iK') 

sin  am ^^— ' — - — - —  =  sin  am ^ 

P  P 


PER  QÜANTITATEM  IMAGINARIAM  PRO  CERTO  QUODAM  MODULORÜM  SYSTEMATE.  495 

designante  B  numerum  integrum  quemlibet.  quem  si  successive  ponis  0.  1.2,... 
p  —  1,  seu  0,  +1  •  +2^  •  •  •  ib  — ^  '  valores  isti  functionis  sin  am  w  inter  se  diversi 
eruuntur  omnes. 

Simili  modo  probatur,  ubi  u  in  u-\ "^—^ — L  abeat,  sin  am  {a-\-ib\Jn)u 

valorem  non  mutare. 

Facile  etiam  sequitur,  ubi 

smaniM  =  smam{ ^= ■ -4-iK  )   = 


sin  am  M,     y  =  sma.m{a-\-ib^n)u, 


P                        )         TT         2B(^-\-iK'y 
K  Sin  am  — ^^ ' 

P 
smam {a-\'ib\/n)u  in  infinitum  abire.     Fitenim.  quia  a  impar  et  b  par, 

sin  am  {a-]-ib^n){u-\- iE')  =  sin  am  \—bnK-{-aiK'^{a-\-ibsJn)u\  = =- ^—. 

k  sin  am  (a  -j-  ib  ^n  )u 

His  rite  collectis  ""j,  invenitur,  posito 

cK-\-iK'          c-\-i\Jn     ^ 
(jü  =   7, =  — — K,     X 

üeri : 

(a  +  *V»)*Yl-^,^V)(l— ^—^  .  .  .  U 52 ^ 

=  V        sm-am2(o/\        sin^am4coy        V        sin'^amQ;— l)u)y 

~     (1— Ä-^sin^am  2a> .  a;a;)(l— Z;2sin^am4(u7ii;a;) . . .  (1— Ä^^sin^amQj^ju) .  xx) 

Deinde  posito =  üJi,    sinamjöM^^;,    fit  multiplicatio,  ut  ita  dicam, 

supplementaria : 

{a-ib'^n)y(\-    .  J\     \U-^-M. >)  .  .  .  U ?^^ A 

_   _^ ^-^  V        sm^am2o)^yv       8m^am4u>^y        y        sin^am(^  — l)tOj  y 

~     (1— Ä2sin2am2(Ui .  ?/?/)(l— /^^sin^-^am  ^^^  -^ßj)...  (1— Ä^sin^^amCp — l)(Uj .  yifY ' 
Transforaiationes  propositarum  complementariae  statim  obtinentur,  ubi  loco  k  po- 
nitur  k  ,  ideoque  loco  o)  ponitur  w  =    '         .  K  .  Constat  enim  ad  transformationem 


complementariam  eruendam  loco  to  ponendum  esse  -^  = 


cK-{-iK'        K'—ciK 


i  ip 


*)  In  substitutionibus ,    quae  sive   ad   multiplicationem   sive    ad   transformationem  pertinent,  neque 
numeratorem  neque  denorainatorem  factorem  duplicera  habere  posse ,  sequitur  ex  aequatione  difFerentiali 

dl/  _  ilx 

Alioquin    e   natura  multiplicationis   propositae  probari   debuisset,   functionum   U,    V  alteram   y/',     alteram 
{p — 1)**  ordinis  esse. 


496  DE  MÜLTIPLICATIONE  FÜNCTIONUM  ELLIPTICARUM . 

,             to          .                           T      ^     C">           <^^' — cciK  j 

At  quia    c  ad   p    pnmus .  loco    j-   etiam  ponere  licet    —  = — — ,    quod 

.  1          (j)           .,         cK'-j-inK         c-{-i\/n     j^, 
eodem  redit  ac  si  loco  j-  pomtur ^ = K   =w. 

Adnotabo  porro,  ex  antecedentibus  discerptionem  numeri  p  in  formam 
aa-\-7ihb    per  functiones  ellipticas  obtineri,    modo  numerus   c   innotuerit  eius- 

modi.  ut  sit  .^^itlL  integer.     Fit  enim.  quum  sit  ^  ^  1  (mod.  4). 
P 
1  (       smam2u)  sinam4tü  . .  .sinam(w — l)io     f  ,    ., ./— 

—  =   \ -; 7 -. ^^^ ; — }    =  a-\-ib\n- 

M         (sincoam2o)  smcoam4(ü  . .  .smcoam(^2^ — Ijw) 

Quod  sane  non  mirabitur.  qui  secum  reputaverit,  universae  illi  de  transforma- 
tionibus  quaestioni  necessario  nexum  intimum  esse  cum  aritbmetica,  nam  trans- 
formatio  n*^  ordinis.  quam  diximus,  a.  numero  n  tota  pendet,  ^ta  ut  omnes 
numeri,  omnes  adeo  formac  algebraicae,  quae  in  substitutionibus  adhibendis 
obveniunt ,  suam  habeant  relationem  certam  ac  definitam  ad  illum  numerum  ne- 
cesse  sit.  cuius  varios  aö'ectus  manifestant.     Idem  de  sectione  circuli  valet. 

»Si  p  est  numerus  quicunque  impar  et  v  repraesentationes  numeri  p  per 
formam  xx-\-nyy  dantur  tales,  ut  x  valorem  imparem.  y  autem  valorem  parem 
nanciscatur,  duabus  repraesentationibus  [a,h),  [a,h')  pro  diversis  habitis,  si 
neque  d  =^  a  et  h'  =h ,  neque  a'  =  —  a  et  b'  =  —  b;  inter  transformationes  p^^ 
ordinis  etiam  v  dabuntur,  quae  ad  modulum  propositum  reducunt. 

3. 

In  antecedentibus  de  modulis  tantum  diximus  realibus  unitate  minoribus, 
qui  per  transformationes  reales  in  complementa  abeunt.  Extant  tamen  et  alii, 
qui  per  transformationes  imaginarias  in  complementa  mutantur.  In  quibus 
examinandis   valde  cavendum  est,  ne  et  hie   generaliter  multiplicator  ponatur 

=  ~^=-,   cum  fieri  possit,  ut  eiusmodi  moduli  bini  aequales  evadant,   unde  -j-^ 

formam  induit  -^ .  Quam  materiem  hoc  loco  non  nisi  indicere  possumus,  amplam 
sane  et  dignam,  in  quam  accuratius  inquireretur. 

Cl.  Abel  pro  certis  quibusdam  modulis  demonstraturum  se  promittere 
voluit*),  sectionem  functionum  ellipticarum  totam  algebraice  confici  posse.  Id 
quod  de  omnibus,  de  quibus  diximus,  valebit  modulis,  quos  in  complementa 
licet  transformare. 


*')  Diarium  Crellianum  Vol.  II. 


THEOEIE 

DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN 

AUS  DEN  EIGENSCHAFTEN  DEE  THETAEEIHEN 

ABGELEITET 

NACH  EINER  VORLESUNG  JAG  OB  IS  IN  DESSEN  AUFTRAG  AUSGEARBEITET 

VON 

C.  W.  BORCHARDT. 


63 


THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FL^^CTIONEN,   AUS  DEN 
EIGENSCHAETEN  DER  THETAREIHEN  ABGELEITET. 


( 

In  meinem  Werke  »Fundamenta  nova  theoriae  functionum  ellipticarum^^  bin 
ich,  von  der  Betrachtung  der  elliptischen  Integrale  ausgehend,  am  Ende  der 
dort  angestellten  Untersuchungen  zu  den  merkwürdigen  Reihen  gelangt,  die  ich 
mit  den  Charakteren  0  und  H  bezeichnet  habe  und  welche  Zähler  und  Nenner 
der  elliptischen  Functionen  sin  am  w,  cos  am  m,  Aam^^  bilden. 

Im  Folgenden  beabsichtige  ich,  den  historischen  Gang  der  Entdeckung 
der  elliptischen  Functionen  umkehrend,  den  entgegengesetzten  Weg  einzu- 
schlagen. 

Ohne  irgend  etwas  aus  der  Theorie  der  elliptischen  Transcendenten  voraus- 
zusetzen ,  werde  ich ,  von  den  Reihen  (9  und  H  ausgehend ,  mit  Hülfe  eines 
einfachen  Princips  die  Relationen  aufstellen,  welchen  jene  Reihen  genüo-en. 
Aus  diesen  Relationen  werde  ich  für  die  Quotienten  der  Reihen  ein  Additions- 
theorem und  aus  diesem  die  Differentialformeln  herleiten,  welche  unmittelbar 
zu  den  elliptischen  Integralen  führen. 


Die  nach  beiden  Seiten  in's  Unendliche  sich  erstreckenden  Reihen,  welche 
den  Ausgangspunkt  der  Untersuchung  bilden,  bestehen  aus  Exponentialgrössen, 
in  welchen  das  reihende  Element  im  Exponenten  bis  auf  den  zweiten  Grad 
steigt ,  deren  allgemeine  Form  also ,  indem  man  die  Coefiicienten  sämmtlich  der 
Einheit  gleich  setzt ,  die  folgende  ist : 

63* 


500  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN 

WO  die  Summation  in  Beziehung  auf  v  über  alle  positiven  und  negativen  ganzen 
Zahlen  ausgedehnt  wird.  Von  den  drei  Quantitäten  a,  h,  c  kann  man  die  letzte, 
ohne  die  Allgemeinheit  der  Reihe  zu  beschränken,  gleich  Null  setzen,  da  e"  ein 
sremeinschaftlicher  Factor  aller  Glieder  der  Reihe  ist. 

Damit  die  Reihe  convergire,  ist  es  nothwendig  und  hinreichend,  dass  a 
(oder  wenigstens  dessen  reeller  Theil)  negativ  sei.  Ist  diese  eine  Bedingung  in 
Bezug  auf  a  erfüllt ,  so  convergirt  die  Reihe ,  welchen  reellen  oder  imaginären 
Werth  auch  b  annehmen  möge. 

Durch  Aenderung  der  Argumente  a  und  b  verwandelt  man  die  Summe 
in  eine  andere ,  in  welcher  für  v  nicht  alle  ganzen  sondern  nur  alle  graden  posi- 
tiven und  negativen  Zahlen  gesetzt  werden;  man  braucht  hierzu  für  a  und  b 
nur  \a  und  ^b  zu  setzen,  da 

y    «v'  +  2;'V    y    \a{2sf+2.^h['is) 

Durch  Hinzufügung  eines  Factors  kann  man  aber  die  Summe  auch  in  eine 
andere  verwandeln ,  in  welcher  für  v  nur  alle  ungraden  positiven  und  negativen 
Zahlen  gesetzt  werden.     Da  nämlich 

v2=   i(2v-|-l)^-K2v+l)  +  i, 
SO  wird 

y    rt-j3^2&v    La-6    y    ^a(2v  +  l)^+(i- jo)(2v+l) 

Man  erhält  also  dieselbe  Function,  möge  man  in 

für  V  alle  positiven  und  negativen  graden  Zahlen  setzen ,  oder  möge  man ,  nach 
Ersetzung  von  b  durch  b  —  ^a,  für  v  alle  positiven  und  negativen  ungraden 
Zahlen  setzen  und  dann  die  Reihe  mit  dem  Factor 

e^ 
multipliciren. 

Aus  jeder  dieser  beiden  Formen  der  Reihe  leitet  man  eine  neue  ab,  in 
welcher  die  Vorzeichen  wechseln ,  wenn  man  b  durch  b  —  ^Tzi  ersetzt ;  hierbei 
erhält  die  zweite  Form  überdies  den  Factor  i. 

Da  nämlich 


AUS  DEN  EIGENSCHAFTEN  DER  THETAREIHEN  ABGELEITET,  501 

SO  ergiebt  sich : 

Setzt  man 

e"  =  q,         h  =  xi, 
so  dass  nach  der  über   a   gemachten  Voraussetzung  der  Modul  von  q  eine  zwi- 
schen 0  und   1    liegende  Grösse  ist  (was  im  Folgenden  immer  stillschweigend 
angenommen  wird) ,  so  erhalten  die  obigen  vier  Reihenformen  folgende  Gestalt  : 

y^^\af>+XY-+K2.+x)  _  2v^cos^  +  2v^^cos3:c+2v/rpcos5^-f--  .. 

Y.{—l)'e^'"^'^'  =  1— 22  cos  2a;  +  2g*  cos  4^—22^  cos  6a;-] 

_;^^2v+i^^a(2.+ir-+/,2v+i)  _  2^gsin:.-2^2^sin3:.-h2^5sin5^-... 


wo  die  Summationcn  auf  der  linken  Seite  sich  von  v  =  — oo  bis  v  =  -}-oo  über 
alle  ganzen  Zahlen  erstrecken. 

Diesen  vier  Reihen  soll  im  Folgenden  die  Bezeichnung  •^3(^),  ^aW,  ^{x), 
^^[x),  oder,  w^o  es  nöthig  ist,  die  ausführlichere  Bezeichnung  ^z[^>q),  -^2(^,9), 
^[x,q),  ^i[x,q)  gegeben  werden,  so  dass  die  vier  zu  betrachtenden  Thetafunctio- 
nen  durch  die  Gleichungen : 


y    v'^  „2vx« 


^{x)   =  i;(— 1)^/  e"""''              =  1— 2gcos2x-f-22-^cos4:c  — 229cos6a;+-.. 

U^)  =  -Y.t^<r^^^<F'^''=  2f7sin^-2{/r7sin3^-f-2^psin5a; 

^^•^     \^lx)=  £  ,^^(2v+if  e(^^+^'^'          =  2v/2"co8a;+2{/7cos3a;  +  2v^rpcos5x-f-... 

^^{x)  =  S  q"'  e^'""'                        =  1  -h  2g cos  2a;  -f  2g'  cos  4a;  -{-  2q^ cos  6a;  -j 

definirt  werden. 

Die  Betrachtungen,  welche  zu  diesen  vier  Functionen  geführt  haben, 
zeigen ,  dass  man  durch  Aenderung  des  Arguments  x  und  Hinzufügung  eines 
Exponentialfactors  von  einer  Function  ^  zu  den  drei  übrigen  gelangt.  Führt 
man  nämlich  in  ( •=)  q,  x  statt  a,  b  ein ,  so  ergiebt  sich ; 

^3(^)  =  V^e— •^2(a;+ilgg.i). 

Füjjt  man  zu  dieser  Formel  die  beiden  fol"jenden : 

d{x)  =  ^,(x  +  l)  ,         5,(x)  =  -  .%(a;  + 1) 


502 


THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN 


(2.) 


und  die  aus  der  ersten  und  zweiten  sich  ergebende : 

hinzu,  so  sieht  man,  dass  aus  ^aW  durch  Aenderung  des  Arguments  um  -^tt, 
^\o-q.i  und  i-Tr  +  4-lg^.«  und  Multiplication  mit  dem  geeigneten  Exponential- 
factor  die  drei  übrigen  ^-Functionen  hervorgehen.  Ebenso  verhält  es  sich 
mit  -^(.r),  ^i{ai),  ^six).  Eine  vollständige  Uebersicht  über  den  Uebergang  der 
^-Functionen  in  einander  gewährt  folgendes  System  von  Formeln : 

wo 


f=  q-U^. 


^(^  +  hr.  +  i\gq.i)=       f.^^ix) 

^3(^  +  i-  +  ilg9'-0  =  -*/-^i(^)> 


Mit  Hülfe  der  Formeln 


(3.) 


^,{-x)  =      ^,(x) 

U-^)    =         ^3(^) 


^  (a;  +  7r)  =      ^  (x) 

-^3(^4-^)    =  ^3(^) 


kann  man  aus  (2.)  ähnliche  Formeln  für  die  Aenderung  des  Arguments   <r  um 
—  i^,   — 4-lg^-*5  — i^  — ilgÖ'-*'  ableiten. 


Die  Function  d^ix)   wird   in   ihrer  ursprünglich  betrachteten  Gestalt  als 
unendliche  Reihe  von  Exponentialgrössen  durch  die  Gleichung 


U^) 


Yq^\2.x^  _Ye 


definirt,  wo  die  Summation  sich  von   v  =  — 00   bis   v  = -}-oo   erstreckt.      Der 
Exponent  von  e  lässt  sich  auf  die  Form 

1 


lg  2 


[(y\gq-\-xiy-^x^'} 


bringen,  woraus  für  ^3(.r)  die  Darstellung: 

(4.)  ^^{x)  =  e^.^'i:e¥-.f^^-i'^«+--^^ 


AUS  DEN  EIGENSCHAFTEN  DER  THETAREIHEN  ABGELEITET.  503 

hervorgeht.     Die  entsprechende  Darstellung  der  Function  ^2("^)  ist : 

(5.)  5,(x)  =  el?i'"S.!^"'''+"*'"+"''. 

Diese  beiden  Summen  unterscheiden  sich  nur  dadurch,  dass,  während  die  eine 
auf  alle  (positiven  und  negativen)  graclen  Zahlen  2v  auszudehnen  ist,  die  andere 
sich  auf  alle  ungraden  Zahlen  2v-j-l   bezieht. 

Werden  mehrere  Reihen  dieser  Art  mit  verschiedenen  Werthen  des  Argu- 
ments X  in  einander  multiplicirt,  so  kann  man  das  Product  als  eine  vielfache 
Keihe  ansehen ,  deren  allgemeiner  Term  eine  Exponentialgröfse  ist ,  welche  eine 
Quadratsumme  im  Exponenten  hat.  Von  besonderem  Interesse  ist  der  Fall,  in 
welchem  man  vier  solche  Reihen  mit  einander  multiplicirt ,  weil  man  dann  im 
Exponenten  eine  Summe  von  vier  Quadraten  erhält,  aufweiche  eine  elementare 
Transformationsformel  sich  anwenden  läfst. 

Es  ist  ein  bekannter  algebraischer  Satz,  dass  man  die  Summe  von  vier 
Quadraten 

immer  auf  eine  zweite  Art  unter  derselben  Form  darstellen  kann.  Bestimmt 
man  nämlich  vier  neue  Gröfsen  a,  h',  c,  d'  durch  die  Formeln 


.  .&'   =  \{a^h  —  c—d) 


d'  =  i(a — J)—'C-\-d), 
so  wird  identisch 

(7.)  a''-\~h''+c''^d''  =  a'+h'+c'+d'. 

Es  seien  insbesondere  a,  h,  c,  d  entweder  sämmtlich  grade  oder  sämmtlich 
ungrade  Zahlen,  dann  sind  nach  (6.)  in  beiden  Fällen  2a',  1h',  2c',  W  grade,  also 
a,  h',  c,  d'  ganze  Zahlen.     Nach  den  aus  (6.)  hervorgehenden  Gleichungen 

a'-\-h'  =  a-\-b,        a'-\-c'  =  a  +  c,        a'-\-d'  =  a-\-d 
sind  überdies  die  drei  Summen 

a'+&';        a'-\-c',        a'-{-d' 

in  beiden  Fällen  grade  Zahlen,  d.  h.  jede  der  Zahlen  b',  c',  d"  ist  mit  a'  zu- 
gleich grade  und  ungrade.  Die  vier  Grössen  a\  b',  c,  d'  sind  also  ebenfalls  ent- 
weder sämmtlich  ürrade  oder  sämmtlich  ungrade  Zahlen. 


504  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN 

Der  nämliche  Schlufs  läfst  sich  rückwärts  machen ;  denn  die  Gleichungen 
(6.),  nach  a,  h,  c,  d  aufgelöst,  geben: 

:a  =  i(a'+&'+c'+^r) 

y  =  \{a'+h'—c'—d') 

(^•)  \c  =  h{a'-h'+c'-d') 

d  =  ^{a'—h'—c'^d'). 

Sind  a,  h' ,  c,  d'  entweder  sämmtlich  grade  oder  sämmtlich  ungrade  Zahlen, 
so  sind  also  a,  b,  c,  d  ebenfalls  sämmtlich  grade  oder  sämmtlich  ungrade 
Zahlen. 

Die  beiden  Zahlensysteme  a,h,  c,  d  und  a,  h' ,  c,  d'  stehen  in  Reciprocität 
zu  einander.  Setzt  man  für  a,  h,  c,  d  ein  bestimmtes  System  von  Zahlen,  die 
entweder  sämmtlich  grade  oder  sämmtlich  ungrade  sind,  so  erhält  man  für 
a,  h',  c,  d'  ein  zweites  System  von  Zahlen,  die  ebenfalls  entweder  sämmtlich 
grade  oder  sämmtlich  ungrade  sind;  setzt  man  ferner  für  a,  h,  c,  d  das  zweite 
Zahlensystem,  so  erhält  man  für  a,  b',  c',  d'  wieder  das  ursprüngliche  Zahlen- 
system. Die  Zahlensysteme  der  betrachteten  Art  ordnen  sich  daher  durch  die 
Gleichungen  ^6.),  (8.)  zu  Paaren,  welche  einander  reciprok  sind. 

Hieraus  geht  hervor,  dass,  wenn  man  für  a,  b,  c,  d  alle  möglichen  Sy- 
steme von  vier  Zahlen  setzt ,  die  entweder  sämmtlich  grade  oder  sämmtlich  un- 
grade sind,  die  zugeordneten  Gröfsen  a,  b',  c',  d'  dieselben  Zahlensysteme,  nur 
in  anderer  Ordnung,  durchlaufen  und  zwar  so,  dass  keines  derselben  ausgelassen 
und  keines  derselben  doppelt  genommen  werden  kann.  Dies  Princip  ist  von 
grosser  Wichtigkeit.  Ist  nämlich  eine  vierfache  von  der  Anordnung  der  Glieder 
nicht  abhängige  Summe  auf  alle  Werthe  der  Gröfsen  a,  b,  c,  d  auszudehnen, 
welche  sämmtlich  grade  oder  sämmtlich  ungrade  Zahlen  sind,  und  substituirt 
man  für  a,  b,  c,  d  ihre  in  a,  b',  c,  d'  ausgedrückten  Werthe  (8.),  so  wird  nach 
dem  aufgestellten  Princip  die  vierfache  Summe  ungeändel't  bleiben,  wenn  man 
sie  auf  alle  Werthe  der  Gröfsen  a,  b',  c ,  d'  ausdehnt,  die  sämmtlich  grade  oder 
sämmtlich  ungrade  Zahlen  sind. 

Nachdem  dies  vorausgeschickt  worden  ist,  kehre  ich  zu  den  Darstellungen 
(4.),  (5.)  der  Functionen  ^2,[^)^  ^2[^)  zurück.  Man  setze  in  jeder  dieser  Glei- 
chungen für  x  vier  verschiedene  Argumente  w,  x,  y,  z  und  bezeichne  zugleich 
das  reihende  Element  dem  entsprechend  mit  v,  v',  v",  v'".  so  ergiebt  sich : 


AUS  DEN  EIGENSCHAFTEN  DER  THETAREIHEN  ABGELEITET.  505 

wo 

L  =[2v4lgg  +  m-]«  +  [2v'4lgg  +  :ri7  +  [2v"4lgg4-yi]2  +  [2v"'4lgg  +  ^i]» 

und  die  Summation  in  der  ersten  Gleichung  auf  alle  positiven  und  negativen 
graden  Zahlen  2v,  2v',  2v",  2v"',  in  der  zweiten  auf  alle  positiven  und  negativen 
ungraden  Zahlen  2v-|-l,  2V+1,  2v"4-l,  2v"'4-l   auszudehnen  ist. 
Die  Addition  beider  Gleichungen  ergiebt  daher: 

wo 

und  die  Summation  auf  alle  Systeme  von  vier  graden  oder  vier  ungraden  Zahlen 
a,  b,  c,  d  auszudehnen  ist. 

Man  führe  in  den  Exponenten    -j — N  der  Gleichung  (9.)    an  Stelle  der 

Gröfsen  a,  b,  c,  d  die  zugeordneten  Gröfsen  a,  b',  c ,  d'  nach  (8.)  ein  und  setze 

überdies 

/  «<^'  =  -K«<^-h^'  +  2/  +  ^) 
/,QN  )^'   =  ^{w-{-x  —  y  —  s) 

I  z'    =  ^{w  —  x  —  y-\-z), 
so  nimmt  Gleichung  (9.)  folgende  Gestalt  an: 

^,{w) ^,{x) ^,{y) ^,(0)  +  ^,iw) ^^(x) ^^(y) ^,{^)  =  6^/*^''+^'^+^''+'''^  l.e^^\ 

wo   N   unter   Benutzung   der   Gleichungen  (6.),  (10.)  in  folgende   neue   Form 
übergeht : 

N=  [a'.^]8q^iv'iy  +  lb'.^\sq-{-x'ir  +  [c'.i\Sq-{-y'ir-\-[d'.i\sq-{-s'if. 
Diese  Gleichung  ist  noch  genau  dieselbe  wie  Gleichung  (9 .) ,  solange  man 
die  Summation  rechter  Hand  auf  die  Gröfsen  a,  b,  c,  d  bezieht,  x'^ber  nach  dem 
oben  aufgestellten  Princip  bleibt  die  Summe  unverändert,  wenn  man  sie,  anstatt 
auf  alle  Werthe  von  a,  b,  c,  d  auszudehnen,  welche  sämmtlich  grade  oder  sämmt- 
lich  ungrade  Zahlen  sind,  auf  die  nämlichen  Werthe  der  Gröfsen  a,  b',  c' ,  d' 
I.  64 


506  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN 

ausdehnt.  Hieraus  folgt,  dass  die  rechte  Seite  der  letzten  Gleichung  nichts 
anderes  ist  als  die  Summe  der  beiden  Producte  : 

^%(M;')^3(a;')^3(^')^3('^')+^2K)^%(^')^2(^')^2('^')- 

Man  hat  daher  folgenden  Fundamentalsatz : 

Bestimmt  man  die  Variabein  w',x',y\z  aus  w,x,y,z  nach  den  Glei- 
chungen (10.),   so  ist: 

(11.)  ^,{w)  ^,{x)  $^{y)  ^3(^)  -\-^,{w)  ^,{x)  d^{y)  ^^C^) 

=    ^3K)^3(^')^3(^')^3(^')  +  ^2K)^2(^')^2(y')^2(^')- 

Diese  Formel  ist  das  Fundament  der  ganzen  ferneren  Untersuchung.  Man 
leitet  aus  ihr  eine  Formel  für  die  DiiFerenz  der  auf  der  linken  Seite  stehenden 
beiden  Producte  her ,  indem  man  w  um  tu  vermehrt ,  wodurch  an  die  Stelle  von 

^3{w),  ■^^i^)  respective  d^iw-^-Tz)  =  ■^^i'^) ,  ^2('*^+'^)  ^ — ^2W  tritt.  Gleich- 
zeitig vermehrt  sich  jede  der  Gröfsen  w',x',y',z'  um  ^lu,  wodurch  (Gl.  (2.)) 
jedes  -3"3  in  -3^  und  jedes  ^2  in  — ^\  übergeht.     Daher  ergiebt  sich: 

(11*.)  ^3 0^)^3(^)^.3(2/) ^3 (^)- ^2 («^)  -^2(^)  ^M  ^2(^) 

Indem  man  die  Summe  der  Gleichungen  (11.),  (11*.)  bildet,  erhält  man  das 
Product  -5^3(w)  ^3(0?)  ^z[y)  ^z{^  durch  vier  Producte  von  .3--Functionen  ausgedrückt, 
deren  Argumente  w' ,  x',  y ,  z  sind.  Von  dem  einen  Product  ^^{w)^4^c^\[y)^z^ 
aus  kann  man  zu  allen  möglichen  Producten  von  vier  ^-Functionen  übergehen, 
indem  man  jedes  der  Argumente  um  eine  der  vier  Gröfsen  0,  -I-tc,  ^-Ig^'.i, 
4^1: -f- 4-lg g' . i  vermehrt.  Die  Anzahl  der  Formeln,  die  man  auf  diese  Weise 
erhalten  kann,  beträgt  35,  aber  dieselben  zerfallen  in  zwei  wesentlich  verschie- 
dene Kategorien.  Aus  den  an  w,  x,  y,  z  angebrachten  Aenderungen  gehen  näm- 
lich für  w\  x',y',  z  entweder  Aenderungen  hervor,  welche  sich  aus  Vielfachen 
von  ^Tc  und  ^Ig^.i  zusammen  setzen  lassen,  oder  Aenderungen,  zu  welchen 
ungrade  Vielfache  von  \iz  oder  von  \\^q.i  gehören.  Nur  im  ersten  Fall  lassen 
sich  die  Argumente  der  auf  der  rechten  Seite  der  Gleichung  stehenden  .^-Functio- 
nen auf  w  ,  x,y',  z  zurückführen,  während  dieselben  im  zweiten  Fall  von  die- 
sen Werthen  immer  um  ^tt,  ^Ig^.i,  iTC+4-lg^-*  abweichen.  Nach  dieser 
Eintheilung  gehören  in  die  erste  Kategorie  nur  11  Formeln.  Die  übrigen  24 
Formeln  führen  auf  Resultate ,  die  zwar  auf  anderem  Wege  schwierig  zu  bewei- 


AUS  DEN  EIGENSCHAFTEN  DER  THETAREIHEN  ABGELEITET.  507 

sen,  aber  für  den  vorliegenden  Zweck  nicht  nothwendig  sind.  Ich  beschränke 
mich  daher  auf  die  1 1  Formehi  der  ersten  Kategorie ,  aus  denen ,  nachdem  alle 
Reductionen  daran  angebracht  sind ,  die  folgenden  Gleichungen  hervorgelm : 


(1- 

(2- 

(3. 
(4. 

(5. 
(6. 

(7. 
(8. 

(9. 


(A.) 

^,{W)  d,{x)  ^^(y)  ^3(^)  +  ^^(W)  ^^(X)  d,(y)U^)  =  ^3(^')  ^3(^')  Hy')  U^')  +  ^2(^')  ^2(^' )  -%(!/')  ^2('^' 
^3(«')-%(^)^3iy)-^3(^)--%(^)^2(^)^2(2/)^2('^)  =  -^(^^0  ^(-^0  ^(«/')  ^(^'^ 


Xtv)X^)^^{y)^^{^)-\-^^iiv)^^{x)^,{y)^,{^)  =   ^itv')^{x')d,{y')^,{^')  +  ^,{w')^^{x')^,iy')^.p 
^{iv)  d{x)  ^,{y)  ^3(^)  -  di(w)  ^^{x)  d,{y)  ^,{^)  =  ^,{ti'')  U^' )  Hy)  ^{^')  +  U^')do{x')d,{y' )  d,(2 

d(w)^{x)^,{y)d,{^)  +  ^,iw)^,{x)^^{y)  ^,{^)  =  ^{W)  ^ix')^^{y')^^{/)-}-:^^{w')^^{x')d,{y')U^ 
^{w)^ix)^^{y)^^i^)-^^(w)^,(x)^^(y)$^{e)  =  U'v')^,{x')^{y')^{^')-}-^^(w')^,{x')^^{y'):^^{z' 

U^)U^)^2(y)U^)+^i'')^i^)^iiy)^ii^)  =  U^^')U^')^2(y')U^')+^i'^')H^')Uy')^ii^ 

(10.)  ^,{iv)  ^,ix)  ^,{y) ^%(^) -  ^(:tv)  ^{x) d,{y) ^^{^)  =  ^,{w' ) ^,{x' )  ^,{y')U^')  +  ^.{W)  ^^{x' ) ^(y' ) ^(^ 


(11.)  ^,{w)  d,{x)  d{y)  ^^(^)  +  ^^{w)  d,{x)  ^.(y)  ^(^)  =  ^,{iv')  ^{x')  ^.^{y' )  ^,(^' )  -  ^iv  )  d,ix' ) ^3( y')  ^^{/) 
(12.)  ^,{w)^,{x) ^{y) ^,{^)-Uw) d,{x)  ^,(y) di^)  =  U'v')^,{x')^{y') ^^(/)  -^^(w' ) d,{x' ) ^,(y')^i^'), 

worin  wie  oben  (Gl.  (10.)) 

^'  =  K'^'  +  ^"  +  y  +  ^)  w  =  h{^'+x'-{-y'-\-z') 

x'  =  ^{iv-^x—y  —  2)  X  =  \{w'-\-x'—ij'—z') 

y'  =  hi.^v  —  x  +  y—2)  y  =  ^j{:w'—x'-]-y'—z') 

s    =   ^_{xc  —  x  —  y^z)  z  =  \{\v'—x'—y'-^z'). 

Die  beiden  letzten  der  Gleichungen  (A.)  sind  nur  für  eine  zu  rechnen, 
denn  die  Ausdrücke  von  ^^^[^4.oc)^[y)^x{z) ,  ^4^)^^{cc)^^{y)^[z) ,  aus  denen 
sie  sich  ergeben,  gehen  in  einander  über,  wenn  man  x,  w,  z,  y  für  w,  x ,  y,  z 
setzt, 

64* 


508  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN 

Uebrigens  ist  noch  zu  bemerken ,  dass  die  Gleichungen : 

(5.),         (7.),         (9.),  (11.) 

in  die  Gleichungen 

(6.),         (8.),         (10.),         (12.) 

übergehen,  so  wie  diese  in  jene,  wenn  man 

—  X,  — y   resp.  für    x^  y 

setzt,  wodurch  zugleich    w    mit  z    und  x'  mit  y'  vertauscht  werden. 

3. 

Die  Formeln  (A.)  des  vorigen  §.  lassen  sich  auf  vielfache  Art  specialisiren, 
indem  man  zwischen  den  vier  von  einander  unabhängigen  Variabein  w,  x,  y,  z 
Relationen  stattfinden  läfst.  Indem  ich  eine  vollständigere  Entwickelung  der 
Formeln  dieser  Art  für  den  Schlufs  dieser  Abhandlung  vorbehalte ,  werde  ich 
mich  jetzt  auf  die  für  den  vorliegenden  Zweck  noth wendigen  beschränken. 

Man  setze 

w  =  ±{x^y^r2)y 

was  die  Anzahl  der  von  einander  unabhängigen  Variabein  auf  drei  reducirt ,  so 
ergeben  die  Gleichungen  (10.)  für  w\  x,y',  z    im  Fall  des  oberen  Zeichens: 

w'  =  x-\-y-]-s,        x'  =  X,        y'  =  y,        z'  =  z, 

so  dass  beide  Systeme   von  Variabein    w,x,y,z   und   w',x',y',z'  in   dieselben 
Werthe  zusammenfallen,  dagegen  im  Fall  des  unteren  Zeichens: 

m;'=  0,        x'  ^  —{y-\-z),        y'  :=  —  {x -\- z) ,        s'  =  —{x-\-y). 

Von  den  unter  diesen  beiden  Hypothesen  aus  den  Formeln  (A.)  hervorge- 
henden Resultaten  lassen  sich  die  interessantesten  in  folgende  fünf  Doppelglei- 
chungen zusammenfassen : 


AUS  DEN  EIGENSCHAFTEN  DER  THETAREIHEN  ABGELEITET.  509 

(B.) 

=  ^{^-\-y+^)  ^(^)  ^(y)  ^(<^)  +^i(^+2/+^)-?a(a;)^i(y)^i(^) 
=  U^+y-\-^)U^)^{y)^{^)  +U^-^y+^)U^)Uy)U^) 

(4.)^(0)^(2/+^)^i(^+^)^i(a;+y)=^3(a:+y+^)^3(a;)^2(3/)^2('^)-^2(^+2/+^)"^2(-^)^3(y)^3(-^) 

= -^(^+3/+-ä')  ^(^)  ^l(y)  ^l(^)  +pl(^+y+<^)^,(^)  ^(y)  ^(^) 

(5.)  -^(0)^,(y+^)^2(^+^)^3(^+2/)=  ^3(^+y+^)^2(^)'^l(y) ^(^)  +  ^2(^+y+^)33(^)  -^(y)  ^l(^) 

= ^i(^  4-y+^)^(^)  ^3(y)  ^2(^)-  V  (a:+2/+^)  ^i(^)  ^2(y)^3(-^). 

Ein  zweites  specielleres  Formelsystem ,  welches  nur  noch  zwei  von  einan- 
der unabhängige  Variable  enthält,  ergiebt  sich  aus  (A.),  wenn  man 

w  =  +x,  y  =  +^ 

setzt,  wo  beidemal  das  obere  oder  beidemal  das  untere  Vorzeichen  zu  nehmen 
ist.  Die  hieraus  folgenden  Werthe  von  w\  x',y',  z  sind  nach  (10.)  für  die  obe- 
ren Vorzeichen : 

tu'  =  a;-}-^/;        x'  =  X — y,        y'  =  0,  5r'  =  0 , 

für  die  unteren  Vorzeichen: 

w'  =  0,  x'  =  0,  y'  =  —{x  —  y),        z'  =  — (x  +  y). 

Ebenso  kann  man  den  Variabein  folgende  vier  den  Gleichungen  (10.)  genügende 
Werthsysteme  geben: 

w  =  y,  x  =  z,  tv'  =  x-\-y,  x'  =0,  «/'  =  —ix  —  y),  z  =  0, 

w  =  —y,  X  =  —z,  w'  =0,  x'  =  x  —  y,  y'  =0;  z'  =  — (^  +  y), 

w  =  z,  X  =  y,  w'=y-^z,  x' =  0 ,  y' =  0 ,  z'=—{y  —  z), 

w  =.  —z,  X  —  —y,  w'  =  0;  x  =  — (^H-^),  y'  =  y  —  ^}  z'  =  0. 

Die  aus  diesen  Hypothesen  hervorgehenden  Formeln,  welche  das  Product  aus 
einer  ^-Function  mit  dem  Argument  .r+y  und  aus  einer  ^-Function  mit  dem 
Argument  x — y  durch  ^-Functionen  mit  den  Argumenten  x  und  i/  darstellen, 
sind  ihrer  Wichtigkeit  wegen  in  dem  folgenden  System  von  18  Gleichungen 
vollständig  zusammengestellt. 


510  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN 

(C.) 

(1.)      ^Ii0)yx^y)^,(x-y)  =  ^l{x)^l{y)  +  ^l{x)^liy)  =  y^  (x)  ^Hy)  ^r  ^^  ^liv) 

(2.)       yiiO)^{x-]-y)^(x-y)   =  y^{x)y,iy)-\- y,{x)y^iy)  =  y,{x)dHy)-\-y,ix)y,(y) 

(3.)       y,iO)^,(x+y)Ux-y)  =  y,{x)  ^.{y)  -  ^  {x)  d^y)  =  y,{x)  y,{y)  -  ^.(x)  y^  (y) 

(5.)     y{0)^,{x-^y)U^-y)  =  ^'(^).%'(y)-^f(^)-^2'(y)  =  -^^(^)^'(2/)-^^(^)^!(2/) 

(7.)     ^2  (0)^2(^+2/)  ^2(^-2/)  =  yi^)^l(y)-^U^)y^iy)  =  ^I(^)^'(2/)--^K^)^i(2/) 
(8.)     ^no)  ^1(^+^)^1(^-2/)  =  ^l{^)^l{y)-y2(^)^l(y)  =  ^?(^)^'(2/)-^H^)^^(2/) 

(9.)      ^l{0)^lx-{-y)^,{x-y)   =  ^i(:r)^2(^)  _|.^2(^)^2(2,)  _  ^2(^)^2(^)_^  ^2(^)^2 q,) 
(10.)      y,{0)^(x+y)yx-y)   =  ^2(:r)^2(y)  _^^2(^)  ^2(y)  _  ^.{x) y,{y) -^  ^.{x) ^ (y) 

(11.)     ^l(o)^^(a:+7/)  ^2(^-2/)  =  ^K^)-^2'(y)--^i(^)^?(y)  =  ^U^)^l(y)-n^)^Hy) 

(12.)       ^l(0)^,(Ä:+2/)^i(x-y)  =  y^(x)y,{y)-y,{x)y^{y)  ==  ^2(^)^2(y)_^2(^)  ^2(^) 

(13.)  ^(0)  ^2(0)^(0; +  ^)^2(:rq:y)  =  ^{00)  ^,{x)^(y)^^iy)±^^{x)^^{x)^^{y)^^{y) 
(14.)  ^3(0)^2(0)-^3(a:±2/)^2(^  +  2/)  =  \{x)^,{x)^,{y)^fy)±^{x)^,{x)^(y)  ^^{y) 
(15.)      ^(0)^3(0)^(^±y)^3(^+2/)  =  ^{oo)^^(x)^{y)^^{y)±^,{x)^^{x):^,{y)^2(tj) 

(16.)  ^(0)^,(0)^i(a;  +  ?/)^3(:r  +  y)  =  ^i(^)-?3(^)^(y)^2(y)±^(^)^2(^)-^i(?/)-^3(y) 
(17.)  %{0)^lO)^,(x±tj)^{x^y)  =  ^(:r)^/:c)^3(i/)^/y)+a-3(a:)^2(^)-^(2/)^i(2/) 
(18.)       ^(0)^p)^,(x±y)^lx  +  y)  =  ^,ix)^,{x)^(y)^ly)±^{x)  ^^(x)^,{y)^,{y). 

Setzt  man  in  diesen  Formeln  x  =^y ,  so  erhält  man  die  -3- -Functionen  des 
doppelten  Arguments  durch  ^-Functionen  des  einfachen  Arguments  ausgedrückt. 
So  ergeben  zum  Beispiel  die   1^®,  2*®,  1 1^*^  der  Formeln  (C.)  die  Gleichungen 

(  ^^(0)^3(2^)  =    ^3(^)+^l(^)    =    ^V)+^*(^) 

(12.)  yg(0)^(0)^(2a:)  =  ^H^)^K^)  +  ^?(^)^1(^) 

(^^(0)^,(2x)         =  ^y^x)  —  y^{x)  =  yj^x)  —  y{x) 

Die  erste  Gleichung  (12.)  drückt  ^3(^),  mit  der  Constante  .^3(0)  multipli- 
cirt ,  als  Summe  vierter  Potenzen  von  Functionen  des  halben  Arguments  aus. 
Für  reelle  Werthe  von  x  und  q  zeigt  sie  daher,  dass  ^3(^)  (und  daher  auch 
^(a?))  immer  positive  Werthe  hat,  und  zwar  mit  Ausschlufs  der  Null,  denn 
sollte  ^3(0?)  verschwinden,  so  müfste  auch  ^^{^x),  folglich  auch  -^3(^0?)  u.  s.  w., 
also  endlich  .^3(0)  verschwinden,  was  nicht  der  Fall  ist. 


AUS  DEN  EIGENSCHAFTEN  DER  THETAREIHEN  ABGELEITET.  511 

Wichtiger  als  die  unter  der  Hypothese  x  =  y  aus  (C.)  hervorgehenden 
Formeln  sind  diejenigen,  welche  man  aus  denselben  für  j/  =  0  erhält.  Es  sind 
die  folgenden  vier: 

(D. 

(2-)  ^\m^\x)  =  ^•^(0)^|(x)4-^|(0)^2(^) 

(3.)  ^\(^)^\{x)  =  ^m^\{x)-^\^)^\{x) 

(4.)  ^m^\{x)  =  ^m^\^)-^\^)^\{^)' 

Setzt  man  überdies  noch  o?  =  0 ,  so  giebt  die  1^®  der  Gleichungen  (D.) 
zwischen  ^3(0),  ^(0),  ^2(0)  die  merkwürdige  Relation 

(E.)  ^3^(0)  =  ^H0)  +  ^|(0) 

d.  h. 

[l  +  2g4-2^-h2g«+...7  =  [l_2g4-2g*- 2^^+ -..]*  + 16^[l  +  2^-2  +  g2-3^  ..  .34. 
Setzt  man 

SO  besteht  nach  (E.)  zwischen  Ar  und  k'  die  Relation 

Ä;'-f  yt''  =  1. 

Die  Gleichungen  (D.)  zeigen,  dass,  wenn  man  drei  der  Functionen  -^(.2?), 
-^1  (o?) ,  ■3"2 ( J?) ,  ^z[o^  durch  die  vierte  dividirt,  von  den  so  entstehenden  Brüchen 
zwei  durch  den  dritten  vermittelst  Ausziehung  von  Quadratwurzeln  bestimmbar 
sind.     So  ersieht  sich: 


^(0)         ^2(^)  iL  /-^3(0)        -^i(^) 


^(0)         ^3(^) 


was  sich  eleganter  so  ausdrücken  läfst :  man  kann  einen  Winkel   9   dergestalt  be- 
stimmen ,  dass  gleichzeitig 


^x(^)  -^2(0)      .  ^2^^)  -^2(0)  -^3(^)  ^3(0)4/,  /^2(Ö)\* 


"^(^ - "^^W" '    M^  =  ^107^^«'^'    ^(.)  =  -^w^ '-y^iö))'''' ^ 


^\ 


.2, 


512  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN 

welche  Gleichungen  unter  Einführung   der  oben   definirten  Gröfsen  k,  k'   und 
der  Legendre sehen  Bezeichnung 

Acp  =  Vi — Ä;^8in''^cp 
die  Gestalt 

annehmen. 

Die  aus  den  Formeln  (D.),  (E.)  gezogenen  Resultate  lassen  sich  daher  in 
folgenden  Gleichungen  zusammenstellen: 

^  ~  ^3(0)       1+22+22^+23«+... 

(13.)  {   /^  _    -^(0)    _    l-2g  +  2g^-2g«+... 

'^      ~   ^3(0)    ""    1  +  22  +  22^  +  22«+... 

h^J^h'''  =  1 

^^{x)  2^2^81113;  — 2^2^  sin  3a; +  2^2^  sin  5a; 

VÄ;sincp    =  -^^  =     i_  22  cos  2a;  +  22*  cos  4x  —  2q^  cos  6a;  H 

]iß  _    ^2^^)    _    2 ^2 cos a;  + 2^2^ cos 3a; +  2^2^008 5a; H 

^^^•^        \\F^^^'^~^^~     1— 22  cos  2a; +  22*  cos  4a:  — 22«  cos  6a; -j 

^^{x)  1 +22  cos 2a; +  22'' cos  4a; +22«  cos  6a; -| 


A  cp    = 


i/p       "^  ^(a;)  1 — 22 cos 2a; +  22*  cos 4a;  —  22^cos6a;-| 

Durch  die  Gleichungen  (14.)  wird  der  Winkel  cp  selbst  nicht  vollständig 
bestimmt ,  sondern  nur  die  trigonometrischen  Functionen  sin  cp ,  cos  cp ,  Acp  des- 
selben ,  welche  bei  Aenderung  von  cp  um  2ic  ungeändert  bleiben.  Daher  giebt 
m  Werth  von  cp,  welcher  den  Gleichungen  (14.)  genügt,  alle  übrigen,  wenn 
man  ihn  um  alle  möglichen  Vielfachen  von  2tc  vermehrt  oder  vermindert.  Hier- 
aus folgt,  dass  wenn  die  Forderung  hinzugefügt  wird,  cp  sei  eine  continuirliche 
Function  von  x,  man  nur  für  einen  Werth  von  oc  das  zugehörige  cp  festgesetzt 
zu  haben  braucht,  um  für  alle  Werthe  von  x  die  Vieldeutigkeit  der  Bestim- 
mung von  cp  zu  heben.  Da  für  x=  Q  nach  (14.)  sincp  =  0,  cos<p=  1  wird, 
so  ist  es  am  einfachsten ,  für  o?  =  0  auch  cp  =  0  anzunehmen.  Man  setze  also 
fest,  dass  cp  mit  x  zugleich  verschwinde,  so  ist  cp  durch  die  Gleichungen  (14.) 
und  die  hinzugefügten  Nebenbedingungen  vollständig  bestimmt. 


AUS  DEN  EIGENSCHAFTEN  DER  THETAREIHEN   ABGELEITET.  513 

Man  nehme  insbesondere  an .  oo  und  q  (dessen  Modul  immer  <<  1  voraus- 
gesetzt wird)  seien  beide  reell,  so  werden  nach  (13.)  auch  k,k'  reell  und  <;i. 
ebenso  wird  nach  (14.)  cp  reell,  und  da  nach  (12.)  für  reelle  Werthe  von  x  und  q 
die  Functionen  ^^[oc] ,  ^[x)  ausschliefslich  positive  AVerthe  haben ,  so  ist  in  der 
dritten  Gleichung  (14.)  die  Quadratwurzel  Acp  =  Vi— Fsin^cp  stets  mit  positi- 
vem Zeichen  zu  nehmen. 


Nachdem  die  Formeln  (D.).  (E.)  den  in  den  Gleichungen  (13.),  (14.)  darge- 
stellten Zusammenhanoj  zwischen  den  drei  Functionen  — V-^>  — ^^r^>  — %-4-  er- 

""  ^{x)       ^{x)      ^{x) 

geben  haben,  werden  die  Formeln  (C.)  zu  der  Fundamental-Eigenschaft  dieser 
Functionen  führen,  zu  der  Eigenschaft,  dass  die  Function  der  Summe  zweier 
Argumente  sich  algebraisch  durch  die  Functionen  der  einzehien  Argumente  aus- 
drücken läfst. 

Man  dividire  die  drei  Formeln  (C.  13,  15.  17)  durch  (C.  6),  so  ergeben  sich 
folgende  drei  Gleichungen: 


^(0)^(0)  ■  ^{x  +  y) 


H^)     X^tj)  ^M  ^  ^liy)     -^sC^)   ^3(^) 


(15.) 


^ix) 

^{y)  ^(y)  -  ^{y)    :r{x)  ^{x) 

^^    ^y) 

n^)  ny) 

x{y)  _  U^)  Uy)  M^)  My) 
^(y)  "^  ^(x)  ^{y)    ^(^)  Hy) 

^2(Q)   ^2(^±y) 

^(0)  ■  H^±y)  ^ijx)  ^ijy) 

^sjx)    ^3(y)  _  ^p)  ^i(y)    X^x)  x^y) 


^(0)      ^{x±y)  ^\{x)     d\{y) 


^\x)     ^\y) 

3'  (x)      3  (x)     3  (x) 
Da  von  den  drei  Brüchen     ^\  ,  ,      ^  /  ,    ^^,  ,    je  zwei  mit  Hülfe  von  Qua- 

3{x)     3{x)      :3{x)  •' 

dratwurzeln  durch  den  dritten  darstellbar  sind,  so  hat  nach  (15.)  jede  der  drei 

"3"  (x)     3.  (x)     3  (x) 
Functionen     J^      ,    <l(  \  '    a /  \      ^^^   obengenannte   Fundamental-Eigenschaft. 

-J  \X)         ^  (X)         ^  {^Xj 

1  65 


514  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN 

^{x)      ^^(x)     ^^(x) 
Die  Gleichungen  (15.)  werden  die  für  die  Functionen  .  ,    ^  r  \  '  ~^TT    ö^^~ 

tenden  Formeln  der  Addition  genannt. 

Man  führe  nach  (13.)  die  Gröfsen  k,  k'  ein  und  nach  (14.)  den  von  cc  ab- 
hängenden Winkel  cp,  ferner  seien  ((^,  a  die  Winkel,  welche  resp.  von  i/,  oc-\-y 
ebenso  abhangen  wie  9  von  x,  sodass 


(16.) 


SJTx,  sin  cp  =: 

^i.y) 

\/k  sin  3  = 

^i(^+?y) 

Videos-.  = 

V  r-«'>  =  ^(,) 

\/|.C0S3   = 

^(^+2/) 

1    .,       Uy) 

/-  ^^  = 

-^3(^4-«/) 

dann  erhalten  die  Gleichungen  (15.),  mit  dem  oberen  Zeichen  genommen,  fol- 
gende elegante  Form : 

sin  9  cos '}  A  'i;  -|-  sin  <b  cos  cp  A  <p 


(17.) 


OiU  -J      

1 — y^^sin'-^cp  sin^»]; 

cos  3  = 

cos  cp  cos  'i/  —  sin  9  sin  -];  A  <p  A  «I* 

1 — Z;2sin-cp  sin^6 

Ao  = 

A  cp  A 'i;  —  Ti^ sin cp  sin 'i>  cos  9  cos  -i 

1 — l-^sin^cc  sin^'i> 

Formeln ,  von  welchen  die  beiden  ersten  für  A*  =  ü  in  die  Additionsformeln  der 
Trigonometrie  übergehen.  Ein  reichhaltiges,  den  Gleichungen  (17.)  ähnliches 
System  von  Formeln  läfst  sich  aus  den  Formeln  (C.)  ableiten,  wobei  ich  indessen 
nicht  verweile ,  da  bereits  im  §  1 8  der  Fundamenta  eine  Sammlung  von  Formeln 
dieser  Art  mit  grofser  Vollständigkeit  gegeben  ist. 

Wenn  für  eine  Function  ein  Additionstheorem  im  Sinne  der  Gleichungen 
(15.)  besteht,  so  läfst  sich  der  Differentialquotient  der  Function  algebraisch 
durch  die  Function  ausdrücken. 

Man  differentiire  die  Gleichungen  (15.)  nach  1/ ^  setze  nach  der  Differen- 

tiation  y  =  0  und  bezeichne  mit  ^[{0)  den  Werth  von  — j —  für  o?  =  0, 
dann  erhält  man : 


(18.) 


AUS  DEN  EIGENSCHAFTEN  DER  THETAREIHEN  ABGELEITET.  515 

_^  ^,{x)    ^         ^(0)^;(0)     ^,(x)    ^,(x) 

dx    ^{x)  -^0(0)^3(0)'   ^{x)     ^{x) 

dx    ^(x)  ^(0)^2(0)'   d(x)     ^{x) 

d    ^s(^)    ^        X{0)^[{0)     ^,(x)    d,{x)        . 
dx    ^{x)    ~         ^(0)^3(0) '^(^0     ^(x) 

Führt  man  nach  (14.)  den  AVinkel  z  ein,  so  geben  die  drei  Gleichungen  (18.) 
übereinstimmend : 

d^  ^  ^,(0):r[{0) 

dx  ^(0)^,(0)  ■     '^" 

^3(0)^'(0)  ^^  _  ^  _  d'. 


^(0)^2(0)  Acp  Vl_/,2  8in^.^ 


wo,  für  reelle  Werthe  von  cp  und  A%  ^'s  =  Vi  — A:^ sin' 9  den  positiven  Werth 
der  Quadratwurzel  bedeutet.  Integrirt  man  und  berücksichtigt,  dass  x  und  cp 
gleichzeitig  verschwinden ,  so  ergiebt  sich : 

nq^  ^3(Q)-S(Q)      _   r-        d'^ 

^    ^^  ^(0)^2(0)  ""  ~  7o  Sll-kHm^^  ' 

Die  rechte  Seite  von  Gleichung  (19.)  ist  bekanntlich  das  elliptische  Integral 
erster  Gattung ,  cp  die  Amplitude .  k  der  Modul ,  k'  der  C'omplementarmodul. 
Der  constante  Factor 

^%  (0)^1(0) 
^(0)^,(0)' 

mit  welchem  sc  multiplicirt  dem  Integral  erster  Gattung  gleich  wird,  läfst 
sich  noch  vereinfachen,  wie  im  folgenden  Paragraphen  gezeigt  werden  soll.' 


Der  blofse  Hinblick  auf  die  Definitionsgleichungen 

^J^x)  =  l-\-2q cos  2x  +  22* cos  4a;  -f  2q^ cos  6a;  -| 

^{x)   =  1 — 2g  cos  2a; -f- 2g*  cos  4a;  —  2g^  cos  6a; +••  • 
und 

^,(a;)  ==  2v^cosa;+2v^co8  3a;  +  2v'g^co8  5a;-| 

der  Functionen  ^3 .  $r  und  ^o  ^eigt,  dass,  wenn  man  in  den  Functionen  ^3  und  ^ 

65* 


516  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN 

die  graden  Glieder  von  den  ungraden  trennt,  jede  dieser  Summen  für  sich 
wieder  eine  ^-Function  ist,  in  welcher  indessen  x  und  q  durch  2x  und  q^  ersetzt 
sind,  und  zwar  ist  die  Summe  der  graden  Glieder  gleich  ^3(20?,  q*) ,  die  Summe 
der  ungraden  Glieder  gleich  ^2(2.^,  q'^).  Man  hat  also  die  beiden  identischen 
Gleichungen : 


(20.) 


Diese  "Werthe  von  -^3,  -^,  in  die  dritte  Gleichung  (12.) 

^3(0) .  J,^{2x)  =  ^l{x)—  ^\x) 
eingesetzt,  führen,  wenn  man  zugleich  <r  für  2x  schreibt,  zu  der  Gleichung: 
(21.)  ^l{0,q)X{x,q)  =  SXAx,q')^^(x,q^)[^l{x,q^)  + ^l{x,q')-], 

aus  welcher,  wenn  man   cc  um  |-  vermehrt,  eine  ähnliche  Gleichung  für  die 
Function  ^1: 

(21*.)  ^|(0,2)^i(^;2)  =  8Ux,q^)^ix,q^)l^\x,q')  +  di{oc,q^)'] 

hervorgeht.     Die  letzte  Gleichung  giebt,  wenn  man  sie  nach  x  differentiirt  und 
dann  o?  =  0  setzt : 

(22.)  ^^(0,  q)  ^;(0,  q)  =  8^(0,  q')  $[{0,  q*) . 

Andrerseits  ergeben  die  Gleichungen  (20.),  (21.)  für  x  =  0 : 
MO,q)  =     \{0,q')-j-^,{0,q^) 
^(0,g)   =     ^,iO,q*)  —  X^O,q') 
^ma)  =  ^\{0,q')^^{0,q')[^l{0,q')-\-^l{0,q')-], 

also,  wenn  man  das  Product  aus  den  letzten  drei  Formeln  bildet  und  dabei  die 
Relation  (E.) 

^t{0,Q')-mO,q^)  =  d'{0,q') 
anwendet : 

(22*.)  ^*(0,  q)  ^^{0,q)  ^(0,  q)  =  8^*-(0,  q^)^,{0.  q')^s(^,  q')- 

Man  dividire  beide  Seiten  der  Gleichungen  (22.),  (22*.)  durch  einander,  so 


ergiebt  sich: 


^1(0,3)  ^;(0,2*) 


^(0,  q)  ^,{0,  qy^^iO,  q)  ^{0,  q^)  ^^(O.  q')  ^3(0,  q') 


AUS  DEN  EIGENSCHAFTEN  DER  THETAREIHEN  ABGELEITET.  517 

d.  h.  die  Function 

'^^^  ~    ^(0,2)^o(0,ä)^3(0-5)' 

hat  die  Eigenschaft,  unverändert  zu  bleiben,  wenn  man  q^  für  *q  setzt. 

Indem  man  dies  Resultat  wiederholt  anwendet  und  berücksichtigt,  dass, 
da  der  Modul  von  q  kleiner  als  1  ist .  q"  für  ?i  =  co  zur  Grenze  Xull  hat, 
ergiebt  sich : 

^(5)  =  m- 

Aber  für  q=  0  ist ,  wie  leicht  einzusehen ,  die  Function  i  der  Einheit  gleich, 
daher  für  jeden  Werth  von  q: 

oder 

(23.)  ^;(0,  q)  =  ^(0.  q)  ^,(0,  q)  ^3(0,  q) . 

Diese  wichtige  Relation  reducirt  den  constanten  Factor,  mit  welchem  x  in 
Gleichung  (19.)  multiplicirt  ist,  auf  v|(0),  sodass  diese  Gleichung  jetzt  in  die 
folgende  übergeht: 


o. 


AVährend  cc  dem  unbestimmten  elliptischen  Integral  erster  Gattung  pro- 
portional ist,  hängt  der  constante  Factor,  um  welchen  sich  cc  davon  unterschei- 
det, von  dem  vollständigen  Integral  (integrale  complete)  ab,  d.  h.  von  dem  in- 
nerhalb solcher  Grenzen  genommenen  Integral,  dass  die  unter  demselben  ste- 
hende Function  —- alle  Werthe  bekommt,  deren  sie  für  reelle  Werthe 

\Jl— lepsin' 'S, 

von  CO  fähiof  ist.  was  der  Fall  ist.  sobald  die  Grenzen  um  ^-  von  einander  ver- 
schieden  sind.  Es  soll  aber,  während  bisher  q  ebensowohl  imaginär  als  reell 
sein  konnte ,  wenn  nur  sein  Modul  <]  1  war,  von  jetzt  an  die  Untersuchung  auf 
reelle  Werthe  von  q  beschränkt  werden. 

Da  für    X  =  -^    che    Bruche    — —  und  -^^    die  ^\  erthe  -— ^  ==  \/jc 


518  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN 

und  0  bekommen,  so  geht  aus  den  Gleichungen  (14.) 

hervor .  dass  für  o?  =  -^ 

sin  cp  =  1 .        cos  cp  ^  0 
werden.     Daher  wird  cp  gleich  ^  oder  von  diesem  Werthe  um  ein  ganzes  Viel- 
faches  von  2%  verschieden,  also 

wo  n  eine  ganze  Zahl  bedeutet.  Es  läfst  sich  aber  leicht  beweisen,  dass  n=  0  ist. 
Man  setze  in  (21.^  x  =  0  und  bilde  den  Quotienten  aus  beiden  Gleichun- 
gen ,  so  ergiebt  sich  : 


wo  der  Ausdruck 

ein  für  alle  reellen  AVerthe  von  x  und  q  positiver  Factor  ist.     Die  Function 

^2(^^g) 

behält  also  ihr  Zeichen,  wenn  man  q  durch  q"^  ersetzt.  Durch  fortgesetzte  An- 
wendung hiervon,  und  indem  man  berücksichtigt,  dass  sich  q"^  mit  steigendem 
m  immer  mehr  der  Xull  nähert .  gelangt  man  zu  dem  Ergebniss ,  dass  die  obige 
Function  gleiches  Zeichen  mit 

■^2(^>Q) 
^2(0,6) 

]iat,  wo  0  unendlicli  klein  ist.  Aber  für  ein  unendlich  kleines  d  nähert  sich 
dieser  Bruch  der  Grenze  cos<^%  folglich  hat,  für  alle  reellen  Werthe  von  x  und  q, 

•S^al-^j  das  Zeichen  von  cosx. 

Bei  Vertauschung  von  x  mit  ^  —  x  geht  ^2(<^)  in  ^i[^)  "nd  cos,r  in 
sin  er  über ,  daher  ist  in  dem  obigen  gleichzeitig  das  Ergebniss  enthalten ,  dass 
^\[x)  das  Zeichen  von  sinx  hat. 


AUS  DEN  EIGENSCHAFTEN  DER  THETAREIHEN  ABGELEITET.  519 

Da  ferner   ^(o?)    für  reelle  Werthe  von   .v    und    q   immer  positiv  ist,  so 
schliefst  man  aus  den  beiden  Gleichungen : 

VA;  Sinei  =     ^  ,  .  7        1/7-7- cos ci  =     ^  .  .    ^ 

dass  sin 9  das  Zeichen  von  sino?  und  coscp  das  Zeichen  von  coso?  hat,  oder, 
was,  da  cp  mit  cc  zugleich  verschwindet ,  dasselbe  ist:  cp  lie^t  mit  x  immer  in 
demselben  Quadranten ,  wird  also  mit  x  gleichzeitig  ==  ^tc,  tt,  fTc  etc. 

Man  kann  also  in  (19*.)  x  und  cp  gleichzeitig  =  -^   setzen  und  erhält 

TZ  i~2  d'Zi 

Wenn  man,  wie  in  den  Fundamenten,  das  vollständige  Integral  mit  K  be- 
zeichnet, so  hat  man  nach  der  eben  bewiesenen  Gleichung: 

TT 

was  in  Verbindung  mit  (13.)  die  drei  Gleichungen 

V0)  =  \/f'      ^%(o)  =  \/?-       5(0)  =  \/^ 

liefert.  —  Man  kann  jetzt  x  als  Function  von  cp,  k  bestimmen,  ohne  q  dabei 
zu  gebrauchen.  Bezeichnet  man  mit  Legendre  durch  i^(cp)  das  unbestimmte 
elliptische  Integral  erster  Gattung,  so  hat  man  nämlich 


r9 

.77     J n   \ 


d^ 


—  0  Vi— Psin'y      _    ::      jP((p) 


r  2      do 

Jo    \/l^Fsln^ 


0    \J] 

Die  bisher  gewonnenen  Resultate  lassen  sich  folgendermafscn  zusammen- 
fassen : 

Die  vier  in  §  I  definirten  5^  -  Functionen  erfüllen  solche  Relationen,  dass 
man  die  Amplitude  cp,  den  Modul  k  und  den  C'omplementarmodul  k'  als 
Functionen  von  x  und  q  durch  die  sechs  gleichzeitig  bestehenden  Gleichungen 
(13.),   (14.): 


520 


^h  = 
VF  = 


THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN 

^3(0) 


l+2g  +  2g*  +  22^  + 

1— 2g+2g^  — 2g^+-- 
T+22+22*+22^  +  -- 


Z;^  +  Ä;'^  =  1 
yÄ;  sincp    ^  =  — ^^ — '■ ~       ~-~^       -     • 


\/lc08<p  = 


Aü  = 


VF 


1 —  2q  cos  2ic  +  22*  cos  4a;  —  2g^  cos  6x  + 
2  v^g  cos;r+2v^g^cos3a;  +  2v/g^cos5a:H- 


1 —  2q  cos  2x  +  22-*  cos  4«  —  2q^  cos  6;z;  + 
l_j_  2q  cos  2ä;  +  2g*  cos  4a;  +  2g^  cos  6x  + 


1 —  2q  cos  2a;  +  2g*  cos  4a;  —  2g^  cos  6a;  + 


und  die  Bedingung ,  dass  cp  mit  o?  zugleich  verschwinde ,  deliniren  kann.    Dann 
läfst  sich  aber  umgekehrt  x  als  Function  von  cp  und  k  durch  die  Gleichungen 


(24.) 


2Za^ 


Fi<o) 


J 0  sll—h 


d(p 


Vi— Aj^sm^cp 
darstellen ,  und  man  hat  überdies  : 
'2K 


K 


71 

=  r- 


d(p 


0   \/l — Ä;^sin^9 


"        TT 


=  -^3(0)  =  l  +  2g  +  2g*  +  2g9  + 


(25.) 


i/!^    =^^(0)  =  2{/g+2{/g«  +  2Vg^^  + 

"7t  ■" 

^2_^  =  ^(0)   =  i_2g  +  2g*-2g^+.. 


2Kx 


Im  Folgenden  werde  ich,  wie  in  den  Fundamenten,  mit  am die  inverse 

2Kx                                                       2K.X 
Function  von  l^(cfi)  bezeichnen,  sodass  aus =  F{<:^)  umgekehrt  cp  =  am 

folgt. 


6. 

Es  bleibt  jetzt  noch  die  Aufgabe  zu  lösen,  q  als  Function  von  k  zu  be- 
stimmen. 

Durch  die  Gleichungen  (25.)  sind  K,k,  k'  als  Functionen  von  q  definirt. 
Man  setze  in  denselben  q'^  an  die  Stelle  von  q  und  bezeichne  mit  JfiQ,  k^,  k[  die 


AUS  DEN  EIGENSCHAFTEN  DER  THETAREIHEN  ABGELEITET,  521 

Gröfsen,  in  welche  alsdann  K,  k,  k'  übergehen.     Dies  vorausgesetzt,  so  gehen 
die  für  ^  =  (i   in  (20.)  enthaltenen  Gleichungen 

^(0,*?)    =  ^^(0,cf)-%{^;q') 
unter  Benutzung  von  (2  5.)  in  die  folgenden  über: 

\JeF=  (l—\Jh)\lK,, 
aus  welchen 

^         i-\-\Jk, '  i+\Jk' 

hervorgeht.     Das  hierdurch  gewonnene  Resultat  läfst  sich  auch  so  aussprechen : 
Man  bestimme  aus  dem  Complementarmodul    k'  eines  gegebenen  Moduls 
k  einen  neuen  Modul  k^  durch  die  Tielation 

so  stehen  die  zu  den  beiden  Moduln   k,  k^    gehörigen  vollständigen  Integrale 
K,  A4  in  der  einfachen  durch  die  Gleichung 

K  =  (l+sTkifK, 
angegebenen  Relation.     Aber  die  zwischen  k'  und  k^  bestehende  Beziehung  ist 
eine  reciproke.     Hieraus  folgt,  dass  wenn   k^  der  gegebene  Modul  ist,  dieselbe 
Operation,  welche  A4  aus  k  entstehen  läfst,  von  kl  zu  k'  führt.     Man  hat  da- 
her die  Gleichung 

oder 

K'  =  K=--T^i 

Aus  den  beiden  Relationen  zwischen  K  und  K^  und  zwischen  K'  und  K^ 
ergiebt  sich : 


—      K' 

oder,   da 


^    =[(l+\/^')(l+\/fc4)?^ 


66 


522  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN 

ist: 

A4  K 

K' 
Sieht  man  -v?^    als  Function  von    q    an .  so  hat  diese  Function  also  die 
IL 

durch  die  Gleichung 

i\mci{q^)  =  4funct(g')   ^ 

ausgedrückte  Eigenschaft,  eine  Eigenschaft,  welche  sie  mit  dem  Logarithmus 

gemein  hat,  da 

lg  (3^)  =  4lg2. 

Bezeichnet  man  mit  ^  (q)  den  Quotienten  aus  beiden  Functionen,  setzt  also 

■m  =  ^: 

so  hat  daher  cj>(^)  die  Eigenschaft,  unverändert  zu  bleiben,  wenn  man  q^  für  q 
setzt,  und  hieraus  folgt  wiederum  durch  Wiederholung  dieses  Schlusses,  und 
indem  man  ^  (0)  mit  c  bezeichnet : 

(26.)  ^-r^  =  c. 

Um  den  Werth  der  Constante  c  zu  ermitteln ,  betrachte  man  die  Werthe 
von  K  und  K'  für  unendlich  kleine  AVerthe  von  q,  für  welche  zugleich  k^  un- 
endlich klein  wird ,  und  zwar  so ,  dass 

Lim.  — T—  =  1 
ist.     Li  diesem  Falle  nähert  sich  K  der  Grenze  ^,  dagegen  wächst 


7t  « 

-^0   Vi— r' Sinnes         -^c 


d<f> 


0  coscpV'l-f-Ftg^cp 

weaen  der  in  der  Nähe  von  —  o-elegenen  Elemente  des  Inteo-rals  ins  Unendliche. 
Nach  der  erhaltenen  Gleichung  weiss  man  bereits,  dass  K'  proportional  Igq 
oder,  was  dasselbe  ist,  proportional  Ig-^    unendlich  werden  muss;   aber  es  muss 

ermittelt  werden,  mit  welcher  numerischen  Constante  lg—  zu  multipliciren  ist, 
damit  für  unendlich  kleine  Werthe  von  k  das  Verhältniss  des  Products  zu  K' 
der  Einheit  unendlich  nahe  komme.     Indem  man 

1,11.11 


cos^'f  2   1 — sin'f        2    l-j-sinc5 


AUS  DEN  EIGENSCHAFTEN  DER  THETAREIHEN  ABGELEITET.  52S 


in  K!  substituirt,  ergiebt  sich 


V  1+T  T^^nV-'^  (1-^14: sin-) 


oder,  wenn  man 


1 

1 

1 

2 

1-f-  sin  9 

[X    - 

1+ 

1 
2 

1 —  sin  C5 

1 

^/^+ 

1 
2 

1  —  sinca 

1 

setzt : 


2\      T 


V    +  2    1— sincD 


Hier  ist  (i  eine  Gröfse .  welche  von  cp  =  0  bis  'f  =  ^    immer  kleiner  als 


1   bleibt,  daher  ergiebt  sich 


K'=  {l+|-„F  +  i4^*«  +  ...(/" 


2  <?(p 


0 

COS 


fV^+l-"ü:SnT 


WO  (Xj .  (Ig  ••  •  Factoren  sind ,  welche  zwischen  0  und  1  liegen.  Das  auf  der 
rechten  Seite  dieser  Gleichung  stehende  bestimmte  Integral  findet  man  nach  den 
gewöhnlichen  Regeln  der  Integralrechnung 

_  1        j^  v/i+rp-v/i+lp 


welcher  Ausdruck  für  unendlich  kleine  Werthe  von    k    unendlicli  wenig  von 

4  .  .  . 

Ig^   und  somit  auch  unendlich  wenig  von 

verschieden  ist.     Man  hat  daher 

Lim.  — ~y^   =  — u. 
Hieraus  ergiebt  sich 

C    =     TT. 

60  ' 


524  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN 

Die  hier  angewandte  Analyse  *) ,  um  K'  für  kleine  Werthe  von  k  in  eine 
Reihe  zu  entwickeln,  ist  die  nämliche,  welche  1750  Euler  im  zweiten  Theile 


*)  Eine  andere  Methode,  um  dasselbe  Ziel  zu  erreichen,  ist  folgende: 
Indem  man  in  das  vollständige  Integral  K'  für  w  eine  neue  Variable 

2  =  Ätgcp 
einführt,  erhält  man 


*^  0 


K'         '  ^' 


h 


h 
Es  sei  o  eine  Gröfse,    welche  mit   k  gleichzeitig  unendlich  klein  wird,  doch  so  dass  —  ebenfalls  unend- 

a 

lieh  klein  ist,  was  zum  Beispiel  stattfindet,  wenn    a  =  \jk    gesetzt  wird.     Dies  vorausgesetzt,  theile  man 
das  Integral  in  ein  von  0  bis  a  und  ein  von  a  bis  oo    genommenes  und  bezeichne  mit 


Mf{^) 


einen  zwischen  dem  gröfsten  und  kleinsten  Werthe  von  /(z)  innerhalb  der  Grenzen  z  =  a,  z  =  b  liegenden 
Mittelwerth,  dann  ist  nach  einem  bekannten  Satze  über  bestimmte  Integrale 


K 


also,  wenn  k,  a  und  —  zugleich  unendlich  klein  werden,  bis  auf  eine  unendlich  kleine  Grösse 
a 

J^   S'k^+z^       J  ^z\/l+z^ 

oder,  wenn  man  im  ersten  Integral  z  =  ku,  im  zweiten   s  =  —  setzt: 

u 

'  —     /* '       ^»         I      f^      du 


Da  aber  bekanntlich 

du 


ist ,  so  ergiebt  sich 

^'  =  lg| -i-lg^  +  lg(l^\/l+|,  )  +  IgCl  +  y/r+V^), 

k  A 

es  ist  also,  wenn  «  und     ~   unendlich  klein  sind,  K'  unendlich  wenig  von    lg—    verschieden. 

k 


AUS  DEN  EIGENSCHAFTEN  DER  THET AREIHEN  ABGELEITET. 


525 


der  opuscula  varii  argumenti  p.  161  auf  das  elliptische  Integral  zweiter  Gattung 
andt  hat. 
Aus  der  Gleichung 

K\sq 


angewandt  hat 


K' 


folgt 


TCK' 

K 


(27.)  q_  =  e 

und  hiermit  ist  die  Aufgabe,  q  als  Function  von  k  zu  bestimmen,  gelöst. 

Die  erlangten  Resultate  können  jetzt  so  ausgesprochen  werden,  dass  man 
von  dem  elliptischen  Integral  erster  Gattung  ausgeht,  und  zwar  folgendermafsen: 

Es  sei 

F{'S)  =  u, 


wo 


Fi,-?)  =    /    T^  =    / 


ih 


\ll—¥ 


sin*  (5 


(0<Ä<1) 


das  elliptische  Integral    erster  Gattung  mit  dem  Modul    k    ist,   so  setze  man 
'x>  als  Function  von  u  betrachtend, 


<5  =  am« 


Dann  hat  man ,  wenn  K,  K'  die  zu  dem  Modul  k  und  dem  Complemen- 
tarmodul  k'  =  VI — Ji^     gehörenden  vollständigen  Integrale  sind, 


K=    /  ■    _  ,       K'  =    /  '' 


und  wenn 


gesetzt  wird; 


q  =  t 


K 


TM  ,  2Kx 

X  =    ^=r     oder     u  =  

■JA  t: 


^nr  .  2Kx         2v'osina; — 2v^g'^sin3a;+2v'<7"sin5^ 

yk  sm  am =  — ^'^ ^ — ^ ' — ^^-^-s 

-  1 — 2^  cos  2a;  +  2^*  cos  4ä;  —  2q^cos6x-\-- 

•2Kx  2\Jq  cosa:-j-  ^V^cos  Zx -\-  2 \/q^^ cos  5x  -j-  • 


# 


cos  am 


1      ,         2Kx 
A  am 


1  —  2q  cos  2x  -f-  2q*  cos  Ax  —  2q^  cos  6x  -f- 
l-\-2q  cos  2x  -)-  2q^  cos  ix  -\-  2q^ cos  6x  -j- 


\jJc'       "        -  1 — 2g  cos  2a; -|- 2^*  cos 4a; — 2q'^  cos6x -{- ■ 

und  es  gilt  für  die  Amplituden 

2Äz;       ,                               2Ky                     ,     ,     .               2^"^  4- «^ 
'f  =  amu  =  am  ~— -»    ''j  =  arav  =  am  — -?    z  =  am(M4-t;)  =  am \r^y' 


526  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN 

das  Additionstheorem : 

sin  am  %  cos  am  V  A  am  V  +  sin  am  V  cos  am  w  A  am  w 

sinam(w-l-t^)  =  -z — ,  ^  .  » r— 5 

^    -p  ;  -j^ — A;^sm*amwsm^amv 

cos  am  u  cos  am  v  —  sin  am  u  sin  am  v  A  am  u  A  am  v 
cosam{u  +  v)  =  l-zt^sin^amw  sin'^am^; 

A  am  M  A  am  v  —  k^  sin  am  u  sin  am  v  cos  am  u  cos  am  v 

A  am  (u-\-v)  = — ,  o  ■  2 ^"2 > 

^     '     -'  1 — A;^sln^am^<  sm^amv 

welches  man  auch  durch  die  Gleichungen 

F{a)  =  F(cp)  +  i^(^) 

sin  9  COS  «{^  A  (|i  +  sin  •}  COS  9  A  cp 
^^^"^  ""  1— Ä;2sin2(psin^ 

COS  cp  COS  <|^  —  sin  cp  sin  dl  A  cp  A  t}> 

A  cp  A  '|/  —  Ä;^  sin  cp  sin  -]>  cos  9  cos  <]> 
1 — ÄJ^sin^cp  sin^d 

darstellen  kann. 

7. 

Dem  nachgewiesenen  Zusammenhange  zwischen  den  -&- Functionen  und 
dem  elliptischen  Integral  erster  Gattung  soll  das  entsprechende  für  die  Integrale 
zweiter  und  dritter  Gattung  hinzugefügt  werden.  Da  die  Variable  x  der  -3-- 
Functionen  dem  Integrale  erster  Gattung  proportional  ist,  so  werden  die  Inte- 
p;rale  zweiter  und  dritter  Gattung  im  Folgenden  als  Functionen  des  Integrals  er- 
ster Gattung  von  der  nämlichen  Amplitude  betrachtet. 

AVährend  zu  den  bisherigen  Entwickelungen  die  Formelsysteme  (C),  (D.), 
(E.)  hinreichten,  ist  es  jetzt  nothwendig,  zu  dem  System  (B.)  zurückzukehren. 
Die  erste  Formel  dieses  Systems  ist 

^{x+y-\-^)  ^{oc)  ^{y)  X^)  +  ^i(^+«/+4^i(^)  Uy)U^)  =  ^(0)  ^(2/+^)  H^+^)  ^(^+«/)  • 

Diit'erentiirt  man  diese  Gleichung  nach  z,  setzt  alsdann  ^  ==  0  und  be- 
nutzt das  §4  (23.)  gewonnene  Resultat  , 

5;(o)  =  ^(0)^2(0)^3(0), 

so  ergiebt  sich : 


AUS  DEN  EIGENSCHAFTEN  DER  THETAREIHEN  ABGELEITET.  527 

also,  wenn  man 

_    ^^^^(^)    _    ^'('^)    _    2[2qsm2x  —  4cfBm4x-\-6q^8m6x ] 

(     0     -(^)  —  -^  —     c,^^^    —   1  _  2q  cos  2x  +  234"co8  4x  —  2q'*  cos  6x  H 

setzt : 

-^i(^)    -^1(2/)     ^1(^  +  2/) 

(29.)      :(.)+.(,)-:(..+,)  =  .,(0)5.(0)  -^  ;;;;  -3^ . 

Die  Function  ^{üe)  steht  mit  dem  elliptischen  Integral  zweiter  Gattung  im 
genauesten  Zusammenhange.  Man  clifFerentiire  (29.)  nach  y,  und  setze  alsdann 
^  =  0  ,  so  ergiebt  sich  : 

wo 

(Kjx) 

'(^^  =  Ihr-' 

Führt  man  an  die  Stelle  von  x  die  Amplitude 

2Kx 

'f  =  am — - — 

ein,  sodass 

2Kx  n         d'^  2K  ^  do  ^li^)         ^pr. 

J,  ^i-k'sm'o  '  ^?  ^(^) 

so  wird 

:'{0)-:'{x)  =   j^  sin 'ff 


also  integrirt 


2K    r-kHin^'s  _ 

Setzt  man  nach  L  e  g  e  n  d  r  e 

/•?  

SO  ist 

f^K^ll^d'^  =  F{'^)-E{'^), 

also 

(30.)  C'(o) .  o:  - :  (:iO  =  -z-  [^('f )  -  ^('-p)^  • 


528  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN 

Hieraus  ergiebt  sich  der  AVerth  von  C'(O),  indem  man  ^  =  ^  ^^etzt.  woraus 
sich  zugleich  cp  =  "^  ergiebt.  Da  ferner  nach  (2  8.)  CW  für  ^  =  j  verschwin- 
det, so  wird 

Bezeichnet  man  nach  Legend re  das  vollständige  Integral  zweiter  Gattung  mit 

J  0 

und  der  Uebereinstimmung  wegen  zugleich  das  vollständige  Integral  erster  Gat- 
tung K  mit 


F'  =  r 

«/ 0 


so  ergiebt  sich 

4F^ 
C'(0)  =  ^(F'  —  E'). 

Dieser  Werth,  in  (30.)  eingesetzt,  giebt 

(31.)                                |- ■:(*■)  =  F^E{o)  —  E^F{o). 
Man  bezeichne  wie  früher  mit    cL.  a    die  Amplituden  von    ^ ,  "^^^  ,    so 

'  "  7C  TT 

hat  man  die  drei  Gleichungen 

-|-C(^)        =  F'E{^)-E'F{'^ 

^r{y)        =  F^Ei'b)-E^F{'b) 

^r(:,  +  y)=  F^E{.)-FJF{.). 

Diese  Ausdrücke  substituire  man  in  (29.).  so  geht  diese  Gleichung  in 

F'[E{<^)-^E{'b)  —  E(a)-]  —  E^lF{r^)  +  F('!^)  —  F{o)']  =  i^^ Z;^ sin cp  sin 4;  sin a 

oder,  da 

ir(cp)-f-F('];)  — 7^(3)  =  0 

ist,  in 

(32.)  E{'f}-{-E{'^)  —  E{o)  =  Psincpsin-^sina 

über.     Dies  ist  das  Additionstheorem  der  elliptischen  Integrale  zweiter  Gattung. 


ADS  DEN  EIGENSCHAFTEN  DER  THETAREIHEN  ABGELEITET.  529 


Man  multiplicire  (31.)  mit 


2   ,  1    d'z> 

—  dx  —  -^  -r-^ 


und  integrire ,  so  ergiebt  sich 


oder 


Je  F^  Ao 

eine  Gleichung,   welche  die  Function    ^{cc)  vermittelst  der  Integrale  erster  und 
zweiter  Gattung  darstellt. 

Die  Gleichung  (29.)  führt  auch  dazu,  die  Integrale  dritter  Gattung  vermit- 
telst der  ^-Functionen  darzustellen.  Man  setze  in  (29.)  y  =■  a  und  y  =  — o 
und  bilde  die  Differenz  beider  Resultate ,  so  ergiebt  sich  : 

Nach  (C.  1 7)  geht  diese  Gleichung  in 


(33.)  C(a)  +  i^lg4fe^  = 


^(«)^2(«)-^3(«)^i(^) 


über.     Wendet  man  auf  den  Nenner  der  rechten  Seite  (C.  6)  an  und  setzt 


2Kx  2Ka 

C5  =  am — ;        7.  =:  am— ; 

TT  t: 


so  verwandelt  sich  die  Gleichung  in : 

^\{x) 


2K   .  .  /^^sin^cp 

=  sm  a  cos  7.  la.  ^ 


1 — /:*sin^asin''« 


2  T\  fi'r 

Indem  man  mit  -^  dx  =  -^    multiplicirt  und  intcurirt.  ergiebt  sich: 

rr  \  1    ,1     -^(«  —  X)  .  .      n  h'^ Bm- 'S,  d'C' 

^  ^ («)  +  k  ^g -^TT — T— ^     =  Sin  a  cos a  1-J.   1     ,,    ^  s-t--   %  '   — -r-  • 


67 


530  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN 

Die  rechte  Seite  dieser  Gleichung  ist  das  elliptische  Integral  dritter  Gat- 
tung in  der  in  den  Fundamenten  eingeführten  Gestalt,  welches  ich  mit  n(cp, a) 
bezeichne,  und  in  welchem  der  von  Legend re  mit  n  bezeichnete  Parameter 
durch    — Ä-^sin'a    ersetzt  ist.     Die  Formel 


-r-r  ,       s  r^  Äi^sina  cosa  Aa  sin^c5  fZc?  „,  .    ,    ,,    ^{a 

(34.)         n(?,'^)  =  j^     (l-^'sin'.sin'o)Af-  =  ^  =  («)  +  ^i'S5(5 


^  (a  —  x) 


ist  die  Fundamentalgleichung  für  das  Integral  dritter  Gattung.  Durch  dieselbe 
wird  die  von  drei  Variabein  cp,  a,  k  abhängende  Function  11  auf  Functionen  von 
zwei  Variabein  und,  wenn  cp  und  a  reell  sind,  von  nur  zwei  reellen  Argumen- 
ten zurückgeführt. 

Aus  (34.)  folgen  mit  grosser  Leichtigkeit  die  Haupteigenschaften  der  Inte- 
grale dritter  Gattung.     Man  setze  x  =  ~,  woraus  'f  =  y  folgt,  so  wird 


n(|'0  =  T^^^^  =  F^E{a)-E-F{o), 


wodurch  das  vollständige  Integral  dritter  Gattung  auf  die  vollständigen  und  die 
unbestimmten  Integrale  erster  und  zweiter  Gattung  zurückgeführt  wird. 

Vertauscht  man  in  (34.)  die  Amplitude    cp   mit  dem  Parameter  a  und  sub- 
trahirt  beide  Resultate  von  einander ,  so  ergiebt  sich : 

(35.)         n(?.a)-n('^?)  =  x:{a)-a:{x)  =  Fi'^  F{r,)-Ei^^F(rj.), 

worin  das  Theorem  von  der  Vertauschung  der  Amplitude  und  des  Parameters 
enthalten  ist. 

Wendet  man  (34.)  auf  die  drei  Amplituden 

2Kx            ,                2Zw                           2K(x-i-y) 
o  =  am ,        '!•  =  am — ^,        n  =  am \_ 

an  und  schreibt  ^(x  —  a)  für  ^[a  —  <r) ,  so  ergiebt  sich : 

Ufo.)  =  !':('.)+*  lg  |g=J 


AUS  DEN  EIGENSCHAFTEN  DER  THETAREIHEN  ABGELEITüT.  531 


und  hieraus: 


Den  aus  3^  -  Functionen  zusammengesetzten  Quotienten  auf  der  rechten 
Seite  dieser  Gleichung  verwandelt  man  mit  Hülfe  der  bereits  oben  angewandten, 
dem  Formelsystem  (B.)  angehörenden  Gleichung 

in  einen  nur  von  der  Function  sinus  amplitudinis  abhängenden  Ausdruck.  Man 
setze  nämlich  z  =  —  a  und  z  =  a,  und  dividire  beide  Resultate  durch  einander, 
so  ergiebt  sicli.  wenn  man  überdies 

Ä  =  am (x-i-y  —  a) ,        J.'  =  am (x-\-y-\-a) 

*  TT  TZ 

setzt: 

^     U^)  ^,(x)  ^,(y)  ^,(x+y-a) 

^(^x—a)^{y—a):^(x-{-7j+a)  _        .^(a)  ^fjx)  ^{y)^{x+y—a)  _  l—]cH\nasm'z>mn':fümA  ^ 
^+«)v(2/+«)^(:^+2/— «)  ~        ^i(a)  ^i{x)  ^liy)  ^i(^+y+a) "~  1  +  ä;^ sin a sin 9  sin 0 sin Ä' ' 

^'^J(a)^^Jly)W^ff^ 

und  hierdurch  geht  die  oben  erhaltene  Formel  in 

inr      ^  1  TT^-     ^      TT/      ^        n     1— ^'sinasin'i  sin-}  smJ^ 
(36.)     I  n(?:<^)  +  n(v,'^)-n(-,--)  =  '^^S^J^^^a^^^^f^^smA  ' 

\  FiÄ)  =  F{p)-F{o),        F{A')  =  F{^)^F{rC) 

über ,  worin  das  Additionstheorem  der  Integrale  dritter  Gattung  enthalten  ist. 

Einen  ähnlichen  Satz  giebt  es  für  die  Addition  der  Parameter  0.  bei  un- 
veränderter Amplitude.  Diesen  kann  man  vermittelst  des  Satzes  .35.)  von  der 
Vertauschung  der  Amplitude  und  des  Parameters  aus  (36.)  ableiten,  indem  man 

2Ka.          .                2Kb                          2K{a^-h) 
a  =  am ;         ,j  =  am ;        v  =  am 

-TZ 

setzt,  sodass 

F(a)  +  i^(ß)-F(v)  =  0 
ist.     Die  Gleichung  (35.)  ergiebt  nämlich: 

nCf^oc)  =  n(7,9)  +  F(9)i:(a)-^(?)^(^) 

n(?,T)  =  ri(v,?)+^(?)^(T)-^(?)^(v)- 

67* 


/  > 


532  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN 

und  liieraiis  folgt: 

(nK?)+n(?,?)-n(Y,?) 

(-^(cp)[F(a)  +  F(ß)-F(y)] 

Aber  nach  (36.)  ist 

T-r        X      T-r /o     s      T-T/      N         ,1     1 — P  sin  a  sin  S  sin  cp  sin  O 

n(a,?)  +  n(ß,'f)-n(T,9)  =  ^^Si+^^sinasinßsin^^si^ 

i?^((D)  =  ^(y)_F(cp),         ^((1)')  =  F(-)  +  F{o), 

während  nach  (32.) 

E(a)  +  E(^)  —  ^(y)  =  A'^  sin  a  sin  [5  sin  y , 
folglich  ergiebt  sich: 

1 11(9, a)  +  n(9, ß)  —  nC«», t)  =  J^ lg,  17.. .    ^  .    ^  .   ^,  +  Ä;2sin a sin 3  sm y  F^o). 

(         i^(T)  =  F(a)  +  F(ß),       i^CO))  =  F(y)-F('^),'      F((D')  =  i^(T)  +  F(cp) 
als  Theorem  von  der  Addition  der  Parameter  der  Integrale  dritter  Gattung. 

Schliesslich  mögen  die  Theoreme  (17.),  (32.),  (36.)  von  der  Addition  der 
Amplituden  für  die  drei  Gattungen  der  elliptischen  Integrale  zusammengestellt 
werden.     Es  sei 

J  0    ^t' 

E{o)  =  f\ 

^^^^'^^~Jo     (l-Z;=*sin^7.sin^cp)A9    -^'^''^^^^^^(a+a;)' 
und  man  bestimme  aus  den  beiden  Amplituden    '-p,  ^,    eine  dritte    a   den  Glei- 
chungen 

sin  o  cos  '^  A6  -4-  sin  i,  cos  o  Ao 

sm:j  = '   .  ' .  ' — r^ '- — ^ 

1 — /i;''sin'''-i  sm^t]; 

cos  '-D  cos  'li  —  sin  o  sin  <L  Ao  A6 

cos  3  =  •—- '   „  .   .  ■    .   J- '- '- 

1 — /rsin^^'i  sin'^'l/ 

.  A's,  l'l  —  h^  sin  o  sin  6  cos  cp  cos  6 

a  3  =  — ■ — ' 1 1_ !_ 

1 — /.•^sin''''f  sin^'^ 

gemäfs ,  so  hat  man : 

F((p)+  F{'1>)    —  F{z)      =  0 

Eirj)-\-  E{'!t>)    —  E{i)      =  7.:^ sin  (5  sin ->  sin  3 

i-ir      \  1   TTn     \      Tir      \         11     1— Psinasin<psin<>sin^ 
Axv.)   y  I   Axv.j    /      AAv  )    /         ^  o  i-[-/^-smasincr>8m^^sin^ 


'0 


AUS  DEN  EIGENSCHÄFTEN  DER  THETAREIHEN  ABGELEITET.  533 

WO 

FiA)  =  F{o)  -  F(a) ,         F{A' )  =  F{.)  +  i'Xa) . 

Man  sieht  daraus,  dass,  wenn  P(cp)  irgend  ein  elliptisches  Integral  be- 
deutet, der  Ausdruck 

P(?)  +  -P('^)-P(-) 

sich  immer  durch  algebraische  und  logarithmisclie  Functionen  von  sin  cp  und  sin  '\> 
darstellen  läfst. 

8. 

Die  Formeln  (A.)  §  2  und  (B.)  §  3  sowie  die  aus  den  letzteren  hergeleite- 
ten Formeln  (29.),  (33.),  (34.)  §  7  sind  von  so  grofser  Wichtigkeit  für  die  Theorie 
der  elliptischen  Functionen ,  dass  es  zweckmäfsig  ist ,  auf  dieselben  noch  einmal 
zurückzukommen,  um  alle  Formeln  derselben  Art,  welche  zwischen  ^-Functio- 
nen möglich  sind,  in  einem  vollständigen  System  derselben  vor  Augen  zu  haben. 

Die  12  Formeln  (A.)  sind  die  Fundamentalformeln,  aus  welchen  alle  Re- 
lationen zwischen  3 -Functionen  mit  ein  und  demselben  Werthe  von  q  abgeleitet 
w^ erden  können.  Durch  lineare  Verbindungen  kann  man  aus  den  Formeln  (A.) 
andere  ableiten,  welche  mit  denselben  als  gleichberechtigt  anzusehen  sind.  Aber 
alle  diese  Formeln  lassen  sich  in  einer  übersichtlichen  Art  zusammenfassen. 

Aus  den  Formeln  (A.  1  ,  2 ,  3 ,  4)  ergeben  sich  die  vier  Producte 
^a(w)  ^a{x)  3-a.{^)  ^a(-)  ^Ir  tt  =  0,  1,  2,  3  als  lineare  Ausdrücke  der  vier 
Producte  ^a{w')  ^a{^')  -^a(y)  -2"a(^')  für  dieselben  Werthe  von  a,  und  zwar  be- 
stehen unter  diesen  zwei  Systemen  von  Producten  genau  dieselben  Gleichungen 
wie  nach  den  Formeln  (lO.)  unter  den  beiden  Systemen  von  Variabein  w,  x,y,  z 
und  iv',  x',  y' ,  z'.  Genau  dieselbe  lineare  Abhängigkeit  zwischen  zwei  Syste- 
men von  vier  anderen  Producten  aus  ^-Functionen  erhält  man  aus  den  For- 
meln (A.  5,  6),  (A.  7,  8),  (A.  9,  10),  (A.  11),  sodass  man  das  auf  diese 
Weise  gewonnene  Resultat  in  fünf  Systemen  von  je  vier  Formeln  auf  folgende 
Art  darstellen  kann  : 

Man  verstehe  unter  X,  [i,  v  irgend  eine  Permutation  der  Zahlen  0.  2,  3  und 
bezeichne  mit  W,  X,  Y,  Z  eines  der  in  der  nachstehenden  Tabelle  enthaltenen 
Systeme  von  vier  aus  ^-Functionen  gebildeten  Producten 


534 


(2.) 
(3.) 

(4-) 
(5.) 


w 


THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN 

(F.) 
X  1  Y 


U^)  U^)  Up)  U^y^ii'f^)  ^i(^)  ^M  ^i(^) 


^,itv)^,(x)^,{y)d.p) 


Wo)^^{x)^^{y)^^{^) 


gebil- 


^^{tv)Ux)^{y)^(s) 

^,{w)d^(x)^^,iy)U4^iM^^('^'>  ^v(2/)  V^)  ^f.(^)  U^')Hy)  ^x(^) 
und  mit   W\  X\  Y',  Z'   die  nämlichen  aus  den  Argumenten   tv',  x ,  y\ 
deten  Producte  von  ^  -  Functionen ,  so  bestehen  zwischen  den  beiden  Systemen 
von  vier  Producten  die  Relationen : 

2W'=  W+X-{-Y-\-Z,        2X'=  W+X  —  Y—Z, 

2Y' =  W—X-\-Y~Z,        2Z'=  W—X—Y-^Z. 

Aus  diesen    4.5  =  20    Relationen  können    5.12=  60    Gleichungen  gebildet 

werden,  in  welchen  auf  der  rechten,  wie  auf  der  linken  Seite  nur  zwei  Producte 

von  ^-Functionen  stehen. 

Mit  Hülfe  von  (F.)  läfst  sich  das  Formelsystem  (B.)  zu  einem  System  von  13 
Doppelgleichungen  vervollständigen.  Führt  man  zur  Abkürzung  die  Bezeichnungen 

s  =  x-^y-\-z,      S  =  y  +  ^>       ri  =  x-\-z,       C  ==  x-^y 
ein ,  so  ergeben  sich  folgende  1 3  Doppelgleichungen : 

(G.) 

(0)  ^  (0  ^  (ri)  5(Q  =  ^  (s)  ^  (^)  ^  (?/)  ^  (^) + u^)U^)Uy)U^) = U')U^)^3(y)U^)  -  U^)  U^)^2iy)  U^) 

iO)^-ß)^{r,)  5(0=  W)U^)  Xv)  5  {^)  +  Hs)^^{x)^,{^J)^,{^)  =  ^is)^ (x)  ^,{y)^,{^:)  -  X{s) Ux)^^{y) 5,(^) 

i(o)  ^,m^{-ri)HQ = %{s)W^)^i(y)^i(^) + W)U^)^2(y)^2i^)  =  ^(')  -^(^)  Uy^U^)  -  U^)  U^)  ^(y)  ^  (^) 
(0)  5  (^)  U'iWQ  =  .^  (s)  5  (x)  ^,{y)u^)  -  W)U^)Uy)H^) = -^30^)^3(^)^(2')  ^(^)  +  U^)  U^)Uy)  U^) 

:(o)52('053(-^i)^3(Q  ==  W)U^)Uy)U^) "  -^  (')  ^  (^)  Uy)^ii^)  =  ^■J^)U^)Uy)U^) + U^)  ^i(^)  ^(y)  ^  (^) 

(0)  m  H-n) 5i(0  =  W)U^)Uy)U^)  -  U^)U^)^MU^)  =  Hs)^  (^)  ^riy)U^)  +  ^As) ^x)  ^{y)  $ (r) 

mU^)U-^mQ  =  U')U^my)U^) + U^)U^)^s{y)U^) = -^  (^0  ^  (^)  ^MU^  -  ^2(')  U^)  ^(y)  ^(4 
mui)^{r^)^{Q  =^^(s)^^(a;)^(2^)  ^(s)  +w)^i(.^)^siy)U^)=^i^)H^)  Uy)U^)-U^)U^)^iiy)^i(^) 

(0)5(0  ^MW^)  =  5(s)  5(aj)  52(2/)52(^)  -5,(5)5,(^)53(2/)53(.^)  =  ^,is)U^)^(y)  d(ß)  +  53(5)  53(^)5,(3/)  5,(^) 


AUS  DEN  EIGENSCHAFTEN  DER  THETAREIHEN  ABGELEITET.  535 

Indem  man  die  13  Formeln  (G.)  nach  einer  der  Variabein  x,y,z  lo<>arith- 
misch  difFerentiirt  und  dann  die  Variable  gleich  Null  setzt,  erhält  man  ein  Sy- 
stem von  15  Formeln,  welche  der  Gleichung  (29.)  ähnlich  sind.  Jede  dieser 
1 5  Formeln  enthält  auf  der  linken  Seite  ein  Aggregat  der  Form 

-^x(^)       ^,l(y)       ^'.{^) 

^x(^)     ^^^y)     "v(^) ' 

wo  X,  y,  z  drei  Variabele  bedeuten ,  zwischen  welchen  die  Relation 

^  +  2/  +  ^  =  0 
besteht.     Die  Indices  X,  jji,  v  haben  die  Werthe  0,  1,  2,  3    und  können  von  ein- 
ander verschieden  sein  oder  coincidiren.     Auf  der  rechten  Seite  da^eo-en  steht 
ein  Product  von  drei  Quotienten  aus  ^-Functionen,  deren  Argumente  x,  y,  z  sind. 
Die  möglichen  Combinationen  der  Indices  X,  ji,,  v   führen  im  Ganzen  auf 
zwanzig  Fälle.     Von  diesen  lassen  sich  je  fünf  durch  Aenderung  der  Aro-umente 
um   -^iz    und   ^i\^q    auf  eine  Formel   zurückführen,    in  welcher    X  =  jx  =  v. 
Aber  die  fünf  Formeln ,  in  welchen  X  =  (x  =  v  =  1 ,  oder  welche  hieraus  durch 
Argumentänderungen  herzuleiten  sind,  nämlich   die  Combinationen    Hl,   loo, 
122,  133,  023   müssen  ausgeschlossen  werden.      In  diesen  fünf  Fällen  läfst  sich 
nämlich  das  oben  angeführte  Aggregat  zwar   auch  durch   doppelt   periodische 
Functionen  resp.  von   x,y,  z   ausdrücken,  aber  dieser  Ausdruck  ist  kein  blofses 
Product. 

Die  1 5  übrig  bleibenden  Formeln ,  welche  sich  durch  Argumentänderung 
auf  000,  222,  333  zurückführen , lassen,  können  in  folgende  vier  Formeln  zu- 
sammengefafst  werden : 

(H.) 

C(■^7-r^  "^Uii^  <\Up\ 

(2.) 
(3.) 

(4.) 


-^x(^)       -^x(y) 

c 

-1)        2 

1  ^^;(o)  u^)  ^M  us) 

\W  H^)  ^xiy)  \i^) 
^;(o)  ^x(^)  \iy)  n^) 

V^)"*  \(y)  ' 

^i(^)      ^y)  "^ 
K.(^)     Kiy) 

^x(-') 
^x(^) 

■  -v(o)  ^^(^)  ^^(y)  n^) 
^;(o)  ^x(^)  Hy)  ^i(^) 
-\(o)  ^i(^)  ^liy)  ^x(^) 
^;(o)  U^)  \(y)  ^x(^) 
^x(o)  \i^)  ^M  ^i(^) 

-1)    0'-l)(v-2) 

536  THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN 

In  diesen  Formeln  bedeuten  X,  {x,  v  die  drei  Indices  0,  2,  3  in  irgend  einer 
Permutation  und  ^{{x)  die  Ableitung  von  ^lix),  es  repräsentiren  daher  die  erste, 
dritte,  vierte  dieser  Formeln  je  drei,  die  zweite  sechs  verschiedene  Gleichungen. 

In  derselben  Weise ,  in  welcher  aus  (29.)  zu  (33.)  übergegangen  wurde, 
kann  man  aus  (H.)  16  verschiedene  Gleichungen  ableiten,  in  denen  die  linke 
Seite  die  Form 

hat.  wo  X.  {1  =  0.  1.  2,  3.  Diese  16  Formeln  lassen  sich  in  fünf  Gleichungen 
zusammenfassen.  Es  bezeichne  X,  ji,  v.  1  eine  Permutation  der  vier  Indices 
0,  1,  2,  3,   so  hat  man: 

^^•'  ^  "^  ^  ^  ^  H^-^y)  ~        ^x{y)H^+y)H^-y)         ^  ^  ^^       ^y)  •  -^x 
V^)       d    ^vi^-y)  _         ^iiy)^i(y)^,(y)^ii^)  _  UyWy)Hy)^l{^) 

^[{y)      d    \i^-y)_        ^(y)Uy)Uy)^li^)  ^  ^(y)Uy)^s(y)^li^) 

^^'^  W) '^^dx^^  ^I(^+F) ~        ^,(y)H^^+y)^ii^-y) ~       ^  ^         Uy) ■  ^x 

^x(3/)      d,,^j(^y)_        ^i(y)Vi/)^v(y)-^x(^)  _       ^,,^,Uy)\(y)^(y)^li^) 
^^•^  ^(y)'^^dx^^^,(x+y)~'  ^i{y)U^+y)^M-y)  Hy)-^i 


^i^a_iAi  ^i^fzl^=         ^{y)^2i.y)Uy)^l(^)  _       ^,.  .^(y)^2(y)Hy)^"i^) 


Ji__ 

^,{y)^''dx^^^,{x-{-y)  Uy)H^+y)^ii^-y)  ^  ^"^      ^i(2/)-^i 

Hierin  hat  s  wie  oben  die  Bedeutung 

tJ^(p-— 0    (v-l)(v-2) 

3    =    (-1)        2  •"         2 

und  es  ist  zur  Abkürzung 

31  =  ^'i^)y-(y)-^'^(:^)^liy)  =  ^li^)^liy)-y2i^)^l(y) 

M,=  ^\{x)^\y)~^\x)$\{y)  =  $l{x)^l{y)-^l{x)5l{y) 

^h=  ^l{^)^\y)-^l(^)^\(y)  =  -^'(^)^i(?/)--^?(^)^i(?/) 

gesetzt. 


AUS  DEN  EIGENSCHAFTEN  DER  THETAREIHEN  ABGELEITET.  537 

Man  kann  die  obigen  5  Formeln  (I.)  auch  in  die  eine 

^J.yy''äx  ^^,{x+y)     -  u^+y)U^-y)' ^liy) ~ ^^ ^^  m]^ ^ 

zusammenfassen ,  wenn  man  die  in  dieser  Formel  vorkommenden  Indices  X.  u.  v 
folgendermafsen  bestimmt : 

Die  vier  Indices  X.  \i.  v.  1  bilden  entweder  eine  vollständige  Permutation 
der  Zahlen  0,  1.  2,  3,  oder  diese  vier  Zahlen  coincidiren  paarweise,  d.  h.  es 
findet  eins  der  3  Gleichungspaare 

a  =   V  .  Ä   =   1 

\L    =    \.  A    =    V 

V     =     1  .  Ä     ==     |X 

statt,  oder  endlich  es  ist 

p.   =   V   :=   Ä   =    1 . 

Aus  dem  Gleichungssystem  (I.)  kann  man  endlicli,  wenn  man.  wie  oben 

2Kx  2Ka 

cp  =  am — - — ,         a  =  am- 

setzt.   16  Formeln  ableiten,  welche  der  Formel  (34.)  ähnlich  sind,  nämlich: 
2f'{a)  ^{a  —  x) 


(l^  "^         X  I  J-Ig  ^^^~^^     ^    f  "^^^ sin a  cos  a  A c/.  sin^^ 9  do 

^  '^  ^(a)      '^^  ^  ^ia-^-x)  .%    (1— Ä^sin^^^i^^y" 


(2)  lM.^+rwl!^lZ:^      =     r  COSaAarf^ 

^liC')  ^^-^(a  +  ^)  Jo  sinafl—Z-^sin^c/.  Sinnes)  A9 


«^aC«)       .    .,    ^(a  —  x) 


-^3(«)  "^      *^  ^^(a  +  :c)"    ""  7o  Aa(l— /c^7iii^a8m^9)A'^ 

.    .  -^'(^)    ,111     Vi («^  —  a;)    r*?  8in<7.  cos 7.  Aa  r?'j^ 

^  ■''  .S->)    "^"^^  ^^jfa  +  x)    "~  Jo  (^iV^— sin^a)A'^ 

,    .  "^^^^^111     "^1  ^^      ^^    /*  ^       ^<^^  a  A  et  sin^  9^9 

(7.)  ^^^^-filgJ^il^H^l  =     r'^      siDaAacos^9(^9 

^2(^^  ^      ^i{<^-h^)  Jq  co8a(8in*cp  —  sin^a)Ay 

,    .  %i^)  -^i(«  —  ^)    _     /**   siaacosa  A<p£^(p 

^aW^      '^  ^^7(a4-¥)'  ~  Jo  Act(sin*9— "sin^) 

68 


538 


THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN  ETC. 


(9.) 
(10.) 
(11.) 
(12.) 

(13.) 
(14.) 
(15.) 
(16.) 


^'(«),  +  .l,^^^«-^) 


^(«) 


^,(a  +  a;) 

^»''  +  ^'^^,(a-t-a;) 
^2(«)       ,   ,,    Xia  —  x) 


r^  sin a  cos a  A a  Acp  d<^ 
Jq     cos^a — A^asin^cp 

r^         cosa  Aacos^cp  (?cp 
Jq  sina(cos^a — A^asin2cp)A9 


<P  Z.'2 


Ä'  sina  Aasin  cp  tZo 
Q  cosa(cos'^a^ — A2asin2(p)A9 

k'  sina  cos at?cp 
0  Aa(cos^a  —  A^asin^cp)  Acp 


^^{a—x) 
JJä^-x) 

-^3(^— ^) 
^^{a  +  x) 

^.,{a  +  x) 
^^{a  —  x) 


'  Jc^  sin  a  cos  a  A  a  cos^  <p  d  cp 
0  (A^a  —  Ä^cos^asin^cp)Acp 

^  cos  a  A  a  A  cp  £?  cp 


0  sina(A^a  —  /v^cos^a  sin^cp) 


—  Ä;'  sinaAatZcp 


0  cosa(A2a — Ä^cos^a  sin^cp)A7 


?  ,2  7   ,2      .  '97 

'  — k  Je    sinacosasm'^cprf(s 
0  Aa(A^a  —  Z;^  cos'"*  a  sin^  cp)  Acp 


539 


ANMERKUNGEN*). 


DEMONSTRATIO  THEOREMATIS  AD  THEORIAM  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM  SPECTANTIS. 

1)  S.  46  und  47.     Dem  Ausdruck  von 

y=  sinam(^,x) 

musste  der  Factor  (—1)",  der  im  Original  fehlt,  hinzugefügt  werden.     (Vgl.  die  Anm.  (3).) 

FUNDAMENTA  NOVA  THEORIAE  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM. 

2)  S.  68,  Tab.  III.  (A.),  (IL).      Statt   des  hier   gegebenen  "Werthes  der  vierten  Wurzel  im  Ausdruck  von 

tg  -^-    steht  im  Original  der  reciproke. 

3)  S.  87,  88.   (§  20).     Der  bei  der  Transformation  der  elliptischen  Functionen  vorkommende  Multiplicator 

wird  in  den  Fundamenten  sowie  in  den  übrigen  Abhandlungen  J  a  c  o  b  i'  s  nicht  überall  in  glei- 
chem Sinne  definirt.  Da  aber  gleichwohl  zu  seiner  Bezeichnung  stets  derselbe  Buchstabe  {M) 
gebraucht  ist,  so  wird  dadurch  dem  Leser  das  Verständniss  erschwert.  Um  diesem  Uebelstande 
abzuhelfen,  ist  in  dieser  Ausgabe  folgende  typographische  Unterscheidung  durchgeführt  worden: 
Der  Werth  des  Multiplicators,  wie  er  in  den  Fundamenten  und  an  andern  Orten  bei  der  all- 
gemeinen Transformation  «ter  Ordnung  vorkommt,  ist  überall  mit  dem  cursiven  M  bezeichnet 
worden.     Es  ist  also,  wenn  (§20) 

niK+m'iK' 


gesetzt  wird, 


,, ,     ^,2    fsincoam4(o  sincoamStu  . .  .8incoam2(?j  —  i)^\^ 

\      sin  am  4oj  sin  am  8to  .  . .  sin  am  2(n — 1)('j     / 


*)  In  diesen  Anmerkungen,  die  ich  grösstentheils  nach  hinterlassenen  Notizen  Borchardt's  aus- 
gearbeitet habe,  findet  der  Leser  diejenigen  Stellen  angegeben,  an  denen  in  dieser  Ausgabe  der  Jacobi- 
schen AVerke  Veränderungen  des  ursprünglichen  Textes  vorgenommen  sind ,  deren  Xothwendigkeit  nicht 
sofort  in  die  Augen  fällt.  Die  zahlreichen  Druck-,  Schreib-  und  offenbaren  Rechenfehler ,  welche  bei  der 
dem  Drucke  vorangegangenen  Revision  sämmtlicher  Abhandlungen  bemerkt  wurden ,  sind  ohne  AVeiteres 
berichtigt  worden.  Wahrscheinlich  habe  ich,  da  es  mir  nicht  möglich  war,  den  ganzen  Band  Seite  für 
Seite  mit  dem  Texte,  der  dem  Neudrucke  zu  Grunde  liegt,  und  allen  zugehörigen  Correcturbogen  zu 
vergleichen,  noch  Stellen,  die  mit  einer  Anmerkung  hätten  begleitet  werden  müssen,  übersehen;  ich  kann 
jedoch  versichern,  dass  sowohl  in  den  Formeln  als  in  dem  Woittext  auch  nicht  die  geringste  Veränderung 
ohne  yorherige  reifliche  Erwägung  vorgenommen  worden  ist.  W. 

08* 


540  ANMERKUNGEN. 

Dagegen  bedeutet  in  den  Fällen ,  wo  (unter  der  Voraussetzung  eines  zwischen  0  und  1  enthal- 
tenen reellen  Werthes  von  k)  M  eine  reelle  Grösse  ist,  M  (antiqua)  den  absoluten  Betrag 
derselben.  Demgemäss  ist  z.  B.  in  den  S.  104— 108  zusammengestellten  Formeln  für  die  erste 
und  zweite  reelle  Transfoimation 

M  =  ( — 1)  ^   31    bei  der  Annahme     w  =  , 

iK' 

M,  =  ifef  bei    der   Annahme        cu  =  . 

^  n 

In  der  vorhergehenden  Abhandlung  musste  daher  der  Gleichförmigkeit  wegen  von  S.  45  an  M 
statt  M  gesetzt  werden ,  und  es  bleibt  dann  der  in  dieser  Abhandlung  gegebene  Beweis  des 
Transformations  -  Theorems ,  wie  Jacobi  in  dem  S.  409  abgedruckten  Briefe  an  Legendre  be- 
merkt,  Wort  für  Wort  gültig,  wenn  überall   tu  für  — ,    also 

fsin  coam  4tt) . .  .  sin  coam  2rn  —  l)u)l 


m2{n  —  \)my' 
2(«  — 1)00    j 


sinam4u)  .  .  .  sinam2(M  —  1) 

gesetzt  wird.      Es  würde    aber  unzweckmässig    sein   aus    diesem  Grunde  allgemein    M   durch  die 

iK' 

vorstehende  Gleichung  zu  definiren  ,    weil  dann  in  dem  Falle,  wo  (u  =  ,  M    nicht  stets  wie 

n 

in  den  Fundamenten  eine  positive  Grösse  sein  würde. 

Vi  ^  {£  +  iK 

4)  S.  HO,  Z.  5  ist   co'  =  -;-  =  ^21 statt  ^-= gesetzt. 

tun 

5)  S.  112,  Z.  5  v.  u.     k  loco  Xj  statt  k  loco  X. 

6)  S.  112,  Z.  4  v.  u.     mi  loco   -— -  statt  nu  loco  -— • 

7)  S.  127,  Z.  11,   13,  14  musste    ~K'    an  die  Stelle  von    K'   gesetzt  werden,    wenn  der  Complementar- 

1  k'i 

modul  von  — ,    wie  Jacobi  S.  126  ausdrücklich  angiebt,    ——  sein  und  die  Gleichung 
k  k 

Aam{K,k)  =  k' 

auch  in  dem  Falle,  wo    -y-  an  die  Stelle  von  k  tritt,  gültig  bleiben  soll. 
k 

8)  S.  128,  Z.  1,  2,  5,  6  ist  m' — m  für  m'-{-7n  gesetzt  worden. 

9)  S.  131,  Z.  1  und  5     aa'+bb' =  ti   für  aa'+bb'  =  1. 

ch'  ah' 

und 

2{l-k'y-\     für     2(1— 7/)»+l. 

11)  S.  147,  Z.  9,   15,  20  ist  in  Folge  der  auf  S.  127  vorgenommenen  Aenderung 

K'—iK     für     K'+iK 
gesetzt  worden. 

12)  S.  153,  Z.  11  am(«,  Ä^''^)     für     am(«,  Ä). 

13)  S.  155,  §  39  (5.)    ist   der  im  Original  auf  der  rechten  Seite  der  Gleichung  stehende  Factor   Vi'  weg- 

gelassen. 

14)  S.  156,  5  39  (10.)  ist  das  Zeichen  der  linken  Seite  der  Gleichung  geändert. 


ANMERKUNGEN.  ,  541 

15)  S.  160  §40  (11.)  sind  in  der  zweiten  FoiJii  der  Gleichung  die  im  Original  sich  findenden  Zähler 

1+y,       14- 5^       1+^» 
in         1 — y,      1  —  ?^,     1—?" 
geändert,  und  zugleich  die  Vorzeichen  der  Glieder  zu  abwechselnden  gemacht  worden. 

16)  S.  161,  (16.)  ist     -|  statt  —  ^  gesetzt. 

17)  S.  162  §40  (30.)  — (33.)     Im  Exponenten  von    q    i.«t    m  für    4;«  — i    gesetzt  worden  und  m  definirt  als 

numerus  impar,  cujus  factores  primi  omnes  formam  4a— 1  habent. 

18)  S.  172,  Z.  5  V.  u.  ist  n(2n— 1)  statt  0(2«  — 2)  gesetzt. 

19)  S.  173,  Z.  8  -2Ä^    statt    -2,    und 

Z-  10  —  32Ä'(l+/r)  statt  -32  (1+Ä=). 

20)  S.  180,  Z.  1  v.u.    Das  constante  Glied  dieser  Gleichung  ist  nach  Jacobi's  eigener  Angabe  (Cr  eile's 

Journal  Bd.  30,  S.  270).  berichtigt  worden. 

21)  S.  183,  Z.  5  V.  u.  ist  x^,  x*,  x^  statt  x,  x-,  x^    und 

Z.  3  V.  u.  y",  //*,  rß  statt  y ,  y^,  y^  gesetzt. 

22)  S.  184,  Z.  4.     Die   Formel  für    S^^'^    ist  nach   Jacobi's    Angabe  (Cr eile's    Journal    Bd.  30,  S.  270) 

berichtigt. 

23)  S.  185,  Z.  1  ist 

1  J2"         1  1         d^"--*        1 

statt 


n(2w  +  l)      dx'"     sinx  [](2«)    f^^"*"'    si°* 

gesetzt  worden. 

24)  S.  186,  Z.  13  —iAamu  für  jAamu. 

25)  S.  202,   Z.  8.     Im  Original  steht  posito   p  —  2'".     Da  der  Buchstabe  m  in  diesem  §  bereits  in  anderer 

Bedeutung  vorkommt,  so  ist  statt  seiner  p  gewählt  und  r  für  p  gesetzt  worden. 

26)  S.  203,  Z.  2.     Xach  dem  Original  würde  unter    A^''^  der  Ausdruck 


iam(?!:^.  /i«) 


zu  verstehen  sein,  während  aus  der  folgenden  Gleichung  erhellt,  dass 

zu  setzen  ist. 

27)  S.  204,  Z.  1.     Statt  des  hier  gegebenen  Werthes  von 

9(0) 
steht  im  Original  der  reciproke.     Der  Irrthum  ist  von  Jacobi  selbst  (CreUe's  Journal,  Bd.  2C, 
S.  104)  berichtigt  worden. 

—  iir 

28)  S.  216,  Z.  11.     Hier  ist  Z{2iK')  =  -^r-  statt  Z{2i£')  =  0    gesetzt. 

29)  S.  216,  Z.  3  V.  u.  musste  dem  unendlichen  Producte  das  Zeichen  —  vorgesetzt  werden. 

30)  S.  216,  Z.  1  V.  u.     Dasselbe  gilt  von  dem  Ausdrucke  auf  der  Rechten  der  Gleichung  (7.) 


g^2  ANMERKUNGEN. 


V' 14-  k'  I 

31)  S.  222,  Z.  5  V.  u.     Hier  ist    — y —    für    \S\  +  k'   gesetzt. 

32)  S.  228,  Z.  2  v.  u.  fehlt  im  Original  auf  der  linken  Seite  der  Gleichung  der  Factor  *. 

33)  S.  229,  Z.  6  musste  den  Functionen  H  der  Factor  i  vorgesetzt  werden. 

34)  S.  238,  Gl.  (13.).     In  den  mit    '^q,    ^'if,  V^j"    multiplicirten  Ausdrücken   steht  im  Original    q ,  q^,  q^ 

statt    2^  q%  (/'". 

35)  S.  239,  Z.  1.     In  der  Formel  auf  der  rechten  Seite  der  Gleichung   musste    dieselbe  Veränderung  wie 

in  Gl.  (13.)  vorgenommen  werden. 

NÖTIGES  SUR  LES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES. 

36)  S.  253,  Z.  5  und  6  v.  u.     Die   hier  gegebenen  Modulargleichungen   dritter    und   fünfter  Ordnung  un- 

terscheiden sich  von  denen  der  Fundamenta  dadurch,  dass  vorausgesetzt,  es  seien  u  und  v 
beide  reell,  hier  m>v  angenommen  ist,  in  den  Fundamentis  dagegen  «<?;.  Die  Vertauschung 
von  u  und  v  lässt  daher  die  hier  gegebenen  Modulargleichungen  in  die  der  Fundamenta  übergehen. 

37)  S.  256,  Z.  5   und  11.      Die    hier   eingeführten  Functionen    ö(x),  H(a:)     unterscheiden    sich   von    den 

2Kx 

Functionen   ©{u),  H{u)    der  Fundamenta  dadurch,  dass  diese  in  jene  übergehen,  wenn   u  = —— 

gesetzt  wird.  Deswegen  sind  hier  die  antiqua  0 ,  H  gewählt  worden ,  während  die  Functionen 
der  Fundamenta  mit  den  cursiven  9 ,   H  bezeichnet  sind. 

38)  S.  258,   Z.  5  und  12.     Im  Original  fehlt  auf  der  linken  Seite  der  Gl.  (21.)  und  in  dem  Ausdruck  von 


sin  am 


/2ZWx^  ;t(«)) 

n-l 


V- 


der  Factor  (—1)  -    . 

39)  S.  261,  Z.  5.    Im  Original  ist  für  die  hier  mit  Ü}J  bezeichnete  Grösse  der  Buchstabe  M  gewählt,  der  also 

hiervon  Jacobi  in  einer  andern  Bedeutung  wie  gewöhnlich  gebraucht  wird,  wodurch  ein  Missver- 
ständniss  entstehen  kann.  Wird  unter  M  der  in  den  Fundamentis  definirte  Multiplicator  verstan- 
den ,  so  ist 

™  =  ^- 

40)  S.  263,  Z.  l>.  Dem  Ausdruck  auf  der  linken  Seite  der  Gleichung  musste  der  Factor  -r-  beigefügt  werden. 

41)  S.  266.  267  I.     Wenn  die  Formeln  des  §  I,  wie  es  Jacobi  beabsichtigt  zu  haben  scheint,  so  einge- 

richtet werden  sollen,   dass  bei  der  in  den  Fundamenten  definirten  ersten  reellen  Transformation 

(S.  102)  die  Coefticienten  B^  B',...B^  ^  ^  reelle  Werthe  erhalten,  so  ist  unter  M  in  diesem 
Falle  der  im  Vorhergehenden  (Anm.  (3.))    ebenso    bezeichnete  Multiplicator    zu    verstehen.     Die& 

vorausgesetzt,  war  es  nöthig,  in  der  Gleichung,  durch  welche    ?/  =  v^^  sinamf  ^j  >  ^)  als  Function 

ji— 1 
von  .c  =  v'A:  sinam(M,  Ä)  detinirt  wird,  der  Grösse  t/  den  Factor  ( — 1)         hinzuzufügen,    weil  nur 
unter  dieser  Bedingung,    wie    aus  den    S.  102    zusammengestellten  Formeln    ersichtlich    ist,    der 
Coefficient    der    höchsten  Potenz  von    x    in    dem  Zähler   des  Bruches   auf   der  rechten  Seite  der 
Gleichung  dem  constanten  Gliede  des  Nenners  gleich  wird.     Dann  hätte  aber  in  Z.  5  v.  u. 

gesetzt  werden  müssen ,  was  durch  ein  Versehen  unterblieben  ist. 


ANMERKUNGEN.  543 

In  der  Gleichung,   durch  welche  y  =  V^sinamww  als  Function  von   x  =  V'A  sin  am  m    definirt 

w-l 
■wird,    muss  ebenfalls  der  Grösse    y    der  Factor  (— i)""       hinzugefügt  werden,    wie  aus  den  For- 
meln (4)  (7)  auf  S.  121  erhellt. 

42)  S.  274,  Z.  11.     An  Stelle  des  hier  gegebenen  "Werthes   Cp  steht  im  Original  der  reciproke. 

in\  o   cti'     '7    n  IS-  ^       -2         2mK-\-2,m'iK'     ...       .  2mK-j-2m'iK' 

43)  ö.  ^7o,   Z.  7  V.  u.      Hier    musste   sm'' am —   für    sin  am ■ gesetzt   werden, 

M  » 

weil  in  der  That  nur  die  erste  Grösse  sich  rational  durch  den  Modul  k  und  die  durch  die  Trans- 
formation n''^'   Ordnung  aus  demselben  hervorgehenden  Moduln  ausdrücken  lässt. 


DE  FUNCTIONIBUS  ELLIPTICIS  COMMENTATIO  PRIMA  ET  ALTERA. 

44)  S.  297.     Die  Fussnote,    welche    diese    und   die   folgenden  Abhandlungen   als  Fortsetzung   der  Funda- 

menta  bezeichnet,  fehlt  in  dem  Abdruck  in  Grell  e's  Journal,  findet  sich  aber  im  Manuscript. 

45)  S.  307,   Gl.  (1.).     Im  Original  steht  Eeim{ui)  statt  i:{iii). 

46)  S.  311,   Z.  1    steht    im  Original  hinter    habent   der  Zwischensatz    ,,et  quae    ex   una    omnes   componi 

possunt"  der  hier  als  unrichtig  weggelassen  ist.     Es  hätte  müssen  duabus  heissen. 

47)  S.  312,   Gl.  (17.)     Zu  dieser  Formel  hatte  Jacobi   in  seinem  Manuscript   den    folgenden,    später  von 

ihm  wieder  gestrichenen  und  deswegen  auch  hier  weggelassenen  Zusatz  gemacht: 
Hoc  theorema,   quod  sane  profundissimae  indaginis  est,  attention!  eorum  qui  theoriae  functionum 
ellipticarum   vacare  volunt ,    commendare  debemus.      Ei   enim  superstruetur   in  commentationibus 
subsequentibus   nova   nostra    theoria    de  transformationibus  inversis  sive  ii-rationalibus  et  de  divi- 
sione  functionum  ellipticarum ,  quae  universae  earum  theoriae  fastigium  est. 

Von  den  hiermit  in  Aussicht  gestellten  Abhandlungen  fand  sich  eine  (S.  465  dieses  Bandes) 
soweit  ausgearbeitet ,  dass  sie  ohne  Schwierigkeit  druckfertig  gemacht  werden  konnte ,  in 
Jacobi's  Nachlass  vor. 

48)  S.  318.     Der  Schlusssatz:    Haec  jam  ad  majora   viam  sternunt  etc.    ist  hier  aus  Jacobi's  Manuscript 

hinzugefügt  worden. 

49)  S.  323.     Um  die  Gleichungen  (12.),   (13.),  (14.)  herzuleiten  hatte  Jacobi   nur   die  Voraussetzung  ge- 

macht, die  in  den  Worten  ,,Casu  speciali  quo  sinam?;«  neque  simul  sinampa  evanescit"  etc. 
liegt.      Doch   erfordert    das  Bestehen    der  genannten  Gleichungen    die  etwas   andere  Bedingung, 

dass  nicht  nur    sin  am  «a,    sondern  auch  sin  am verschwinde,    eine   Bedingung,    die   in    dem 

Fall ,  auf  welchen  nachher  die  3  Formeln  angewandt  werden ,  erfüllt  ist.  Damit  die  fraglichen 
Gleichungen  bestehen ,  müssen  nämlich  die  Factoren ,  mit  denen  die  Summen  auf  der  linken 
Seite  der  Gleichungen  (9.),  (10.),  (11.)  multiplicirt  sind,  von  Null  verschieden  sein,  während 
gleichzeitig  die  Factoren  der  Summen  auf  der  rechten  Seite  derselben  Gleichungen  verschwinden. 

Zur  Erfüllung  der  letzten  Bedingung  ist  erforderlich,  dass  sin  am verschwinde,   zur  Erfüllung 

der  ersten,  dass  sin  am  p«  von  Null  verschieden  sei.  Wäre  es  ausreichend,  dass  sin  am  na  =  0, 
so  könnte  man  a  =  2(u  setzen;  aber  dies  genügt  nicht,  man  muss,  wie  Jacobi  es  wirklich 
macht,  a  =  4(u  setzen. 


54:4  ANMERKUNGEN. 

NOTE  SUR  UNE  NOUVELLE  APPLICATION  DE  L'ANALYSE  DES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES 

A  L'ALGEBRE. 

50)  S.  331,  Z.  8  V.  u.  ist  -j^^,-^  für  j^^.~  gesetzt,  und 

Z.  5  V.  u.    dem  Ausdruck    auf   der   rechten  Seite    der  Gleichung    das  Vorzeichen  —  gegeben 
worden. 


UEBER  DIE  ZUR  NUMERISCHEN  BERECHNUNG  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN 

ZWECKMÄSSIGSTEN  FORMELN. 

und 


51)  S.  347,  Z.  6  V.  u.  ist   k  =  ^  statt  ^  =  }j  , 

Z.  5  V.  u.  5'  .  .  .  j|g  statt  ^  gesetzt. 

52)  S.  357,  Z.  9  v.  u.     Im  Original  steht 

^.  A....    für  4.    4 


»n         m 


Dadurch  ist  auch  in  die  unmittelbar  folgende  Formel  für    —^   eine    hier   beseitigte  Unrichtig- 
keit gekommen. 

ÜBER  EINIGE  DIE  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN  BETREFFENDEN  FORMELN. 
53)  S.  372,  Z.  1  ist  1/  =         für    31  —  n   gesetzt. 


ANZEIGE  VON  LEGENDRE  THEORIE  DES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES, 
TROISIEME  SUPPLEMENT. 

54)  S.  378,  Z.  6  v.  u.     Der  Passus:  ,,Ich  will  hier  u.  s.  w.  bis  .  .  .  durchgeführt  werden"  auf  der  folgen- 

den Seite  ist  aus  Ja.cobi's  Manuscript  hier  hinzugefügt  worden. 

55)  S.  382,  Z.  12.     Dem  Ausdruck  von 


/ 


0    \/l-(e+/V^-l)8in> 


ist  der  Factor    — -    hinzugefügt  worden. 

\/2 


CORRESPONDANCE  MATHEMATIQUE  AVEC  LEGENDRE. 

56)  S.  417,  Z.  4  V.  u.     Im  Nenner  der  Formel  für    k    musste 

lj.nP-'   für  [x'X'"-» 
gesetzt  werden. 

DE  TRANSFORMATIONE  FUNCTIONUM  ELLIPTICARUM  INVERSIS  SIVE  IRRATIONAHBUS. 

57)  S.  465  Vgl.  Anm.  (47)  am  Schluss. 


ANMERKUNGEN.  545 

DE  DIVISIONE  INTEGRALIUM  ELLIPTICORUM  IN  >i  PARTES  AEQUALES. 

58)  Obwohl  dieser  Aufsatz  nur  eine  Einleitung  zu  einer  ausführlicheren  Arbeit  zu  sein  scheint,  ist  er  doch 

als  zu  dem  vorhergehenden  gehörig  aufgenommen  worden, 

DE  MULTIPLICATIONE  FUXCTIONÜM  ELLIPTICARUM  PER  QUANTITATEM  IMAGINARIAM 
PRO  CERTO  QUODAM  MODULORUM  SYSTEM  ATE. 

59)  Auch  diese  Abhandlung  erschöpft  zwar  den  behandelten  Gegenstand  nicht,    ist    aber  abgedruckt  wor- 

den, weil  sie  die  einzige  ist,  in  der  Jacob  i  die  complexe  Multiplication  behandelt.  Sie  scheint 
gleichzeitig  mit  den  beiden  vorhergehenden  unmittelbar  nach  Vollendung  der  Fundamenta  ent- 
standen zu  sein. 


THEORIE  DER  ELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN  AUS  DEN  EIGENSCHAFTEN  DER 
THETAREIHEN  ABGELElTf:T. 

60)  Diese  Abhandlung  ist  von  Borchardt  während  seiner  Studienzeit  (1838)  nach  einer  Vorlesung 
Jacobi's  in  dessen  Auftrag  ausgearbeitet  worden.  Sie  kann  mit  gutem  Fug  als  eine  von  Jacobi 
autorisirte  betrachtet  werden,  weil  dieser  das  Manuseript  durchgesehen,  mit  Anmerkungen  be- 
gleitet und  durch  Hinzufügung  mehrerer  Formel-Systeme  vervollständigt  hat.  Unter  Berücksich- 
tigung dieser  Bemerkungen  und  Zusätze  hat  dann  Borchardt  sein  unter  den  Papieren  Jacobi's 
aufgefundenes  Manuseript  zum  Zweck  der  Herausgabe  überarbeitet,  was  seine  letzte,  zwei 
Monate  vor  seinem  Tode  (27.  Juni  1880)  beendigte  literarische  Beschäftigung  gewesen  ist. 

Aus  der  Vergleichung  der  hier  mitgetheilten  Abhandlung  mit  einer  (ebenfalls  von  Borchardt 
herrührenden)  vollständigen  Nachschrift  der  gedachten  Vorlesung  habe  ich  mich  überzeugt,  dass 
gerade  derjenige  Thell  der  letztern,  auf  den  Jacobi  laut  der  Einleitung  das  Hauptgewicht  be- 
legt hat,  in  der  Bor  ch  ardt' sehen  Bearbeitung  vollständig  und  wohlgeordnet  wiedero-e^eben  ist. 
Die  übrigen  Theile  enthalten  hauptsächlich  eine  sehr  ausführliche  Theorie  der  linearen  Transfor- 
mation der  ^-Functionen,  die  Darstellung  der  letztern  in  der  Gestalt  unendlicher  Producte  und 
eine  ziemlich  kurz  gehaltene  Entwickelung  der  Formeln  für  die  Transformation  n'^''  Ordnung  der 
elliptischen  Functionen,  abgeleitet  aus  der  entsprechenden  Transformalion  der  5- -Functionen. 
Es  würde  nicht  schwierig  gewesen  sein,  mit  Hülfe  des  Borchardt'schen  Heftes  die  vorlieo'ende 
Abhandlung  so  zu  vervollständigen,  dasfe  der  Leser  in  den  Stand  gesetzt  worden  wäre,  alle  mit- 
telst anderer  Methoden  gewonnenen  Resultate  der  Theorie  der  elliptischen  Functionen  auf  dem 
von  Jacobi  in  seiner  Vorlesung  eingeschlagenen  AVege  abzuleiten;  doch  musste  hiervon  aus  den 
in  der  Vorrede  angegebenen  Gründen  für  jetzt  Abstand  genommen  werden. 

Es  möge  noch  bemerkt  werden,  dass  in  einem  wesentlichen  Punkte  die  hier  mitgetheilte 
Arbeit  sowohl  als  auch  Jacobi's  Vorlesung  eine  Lücke  hat.  Wenn  man  bei  Begründung  der 
Theorie  der  elliptischen  Functionen  von  den  ^-Reihen  ausgeht,  so  muss  gezeigt  werden,  wie 
sich  zu  jedem  gegebenen  "Werth  des  Moduls   k    ein  die  Gleichung 

^^(0,9) 
befriedigender  AVerth  der  Grösse    </    berechnen  lässt.      Dies   ist  in  §6.  geschehen,   afi«*;-  nur  für 
reelle ,  zwischen  0  und  1  enthaltenen    Werthe  von   k ,    während  es  doch    nicht  nur  für  die  Theorie 


546  ANMERKUNGEN. 

der  elliptischen  Functionen,  sondern  auch  für  mancherlei  Anwendungen  derselben  unumgänglich 
erforderlich  ist,  dass  die  Aufgabe  allgemein  gelöst  werde.  Borchardt  hielt  sich  jedoch  nicht 
für  berechtigt,  in  seine  Ausarbeitung  etwas  nicht  von  Jacobi  selbst  Herrührendes  aufzunehmen. 
Ich  werde  aber  an  einem  andern  Orte  zeigen,  wie  man  mit  Hülfe  der  von  Jacobi  in  dem  ci- 
tirten  §  angewandten  Transformation  4ter  Ordnung  leicht  zu  einem  die  Grösse  q  als  Function  von 
k  darstellenden  allgemein  gültigen  Ausdruck  gelangen  kann. 

W. 


BERICHTIGUNG. 

S.  112,  Z.  10  muss  es  heissen 

M  in  M'      statt    M,   in  MJ. 


GOTTINGEN, 

DRUCK  DER  DIETERICHSCHEN  UNIVERSITÄTS- BUCHDRUCKEREI. 

W.    FR.    KAESTNER. 


(3 


23üS   4  O 


■CT.  APR 1  6  J971 


QA 

Jacobi, 

Karl 

Gustav 

Jakob 

3 

Gesannelte 

Werke 

J32 

Bd.l 

PSyilc»!  » 

ApL'He<J  $u 

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