Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, professées au Collège de France

MATH^
.r STAT.
■TJ8RARY

COLLECTION DE MONOGRAPIUES SUR LA THKORIE DES FONCTIONS,

PI HLli':K sous LA DIUFCTION Ï)K M. KMILK BOREL.

LEÇONS

SUR L'INTÉGRATION

RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES,

pi{Oi'"i-:s^i;i:^ \i coij.kok i>k viwm i

Henri LEBESGUE,

MAÎTIM: DK CO.VFKUKNCKS a la FAGULTK DKS! SCIKNCKS IIK KKNNES.

^i.^^

1>AHIS,
(iAlJTHlEK-VILLAKS, IMPIUMEUH-LIHKAIHE

DU UlUKAI, DIS LONGITUDES, DE L* K CO L K P O L Y I K C II N I OU E

QiKii ties Grands-Aujiusliiis, 55.

llMIi

LEÇONS

SUR L'INTÉGRATION

ET LA

RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES.

IJBRAllUE (lAUÏHlEH-VlLLAUS

COLLECTION DE MONOGRAPHIES SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS,

PUBLIÉE SOUS LA DIRECTION DE M. EMILE ROI? EL.

Leçons sur la théorie des fonctions {Éléments de la théorie ries

ensembles et applications), par M. Emile Bouel, 1898 3 IV. 5o

Leçons sur les fonctions entières, par M. Emile Borel, lyoo 3 IV. 5o

Leçons sur les séries divergentes, par M. Emile Borel. 1901 .\ iv. 00

Leçons sur les séries à termes positifs, professées au Collège de
Kraiici- par M. Emile Boiîel et rédigées par M. Robert d'Adhemar,

U)() • 3 fr. 5()

Leçons sur les fonctions méromorphes, professées au Collège de

Kraiicc par M. Emile Boiu:i. cl rédigées par M. Ludovic Zoiietti, i()o3. 3 fr. jo
Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primi-
tives, professées au Collège de France par M. Henri Lebesgue, loo'j. 3 fr. 5o

sous PRESSE :

Leçons sur les fonctions de variables réelles et leur représentation par
des séries de polynômes, professées à l'Ecole Normale supérieure par
M. Emile Borel et rédigées par M. Maurice Fréchet, avec une Note do
M. Paul Pain levé.

Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions, par

M. KhNST F>INI)KLi)F.

EN PRÉPARATION :

Quelques principes fondamentaux de la théorie des fonctions de plu-
sieurs variables complexes, par M. Pierre Cousin.

Développements en séries de polynômes des fonctions analytiques,
par M. IvMiLE Borel.

Leçons sur les fonctions discontinues, par M. René Baire.

Leçons sur les Correspondances entre variables réelles, par M. Jules
Drach.

COLLECTION DE MONOGRAPHIES SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS,

PUBLIÉE SOUS LA DIRECTION DK M. EMILE BOREL.

LEÇONS

SUR L'INTÉGRATION

ET LA

RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES,

•HOFESSEES AU COLLEGE DE FRANCE

PAR

Henri LEBESGUE,

MAITUK DK CONFlvUENCKS A LA FACULTK DKS SCIENCES DE RENNES.

PARIS,
GAUTHIEK-MLLAKS, IMPHIIMEUH-UBHAJKE

DU H H H E A U DES LONGITUDES, DE L ' É C O L E P 0 L Y T K C H N I Q U E ,

Quai lies Grands-Auguslins. 55.

1904

(Tous (liiiits ii'>rrTr<,

PRÉFACE.

J'ai réuni dans cet Ouvrage les Leçons que j'ai faites au
Collège de France, pendant Tannée scolaire 1902-1903,
comme chargé du cours fondé par la famille Peccot.

Les vingt Leçons que comprend ce Cours ont été consa-
crées à Tétude du développement de la notion d'intégrale.
Un historique complet n'aurait pu tenir en vingt Leçons;
aussi, laissant de côté bien des résultats importants, je me
suis tout d'abord limité à l'intégration des fonctions réelles
d'une seule variable réelle ; le lecteur pourra rechercher si
les résultats indiqués se prêtent facilement à des généralisa-
tions. De plus, parmi les nombreuses définitions qui ont été
successivement proposées pour l'intégrale des fonctions
réelles d'une variable réelle, je n'ai retenu cpie celles qu'il
est, à mon avis, indispensable de connaître pour bien com-
prendre toutes les transformations qu'a reçues le problèine
d'intégration et pour saisir les rapports qu il y a entre la
notion d'aire^ si simple en apparence, et certaines définitions
analytiques de l'intégrale à aspects très compliqués.

On peut se demander, il est vrai, s'il y a quelque intérêt
à s'occuper de telles complications et s'il ne vaut pas mieuv
se borner à l'étude des fonctions (fui ne nécessitent ([ue
des définitions sinq^les. Cela n'a guère que des avantages
quand il s'agit d'un Cours élémentaire: mais, comme on le
verra dans ces Leçons, si l'on voulait toujours se limiter à la
considération de ces bonnes fonctions, il faudrait renoncer
à résoudi'c bioii des problèmes à énoncés sinqiles posés depuis

133852

âUTH..

ITAT.
UtRARY

VI PHEFAC

loiigteinps. C'est poui' la résolution de ces problèmes, et non
par amour des complicatious, (jue j'ai introduit dans ce
Livre une définition de l'intégrale plus générale que celle de
Riemann cl comprenant celle-ci comme cas particulier.

Ceux qui me liront avec soin, tout en regrettant pcul-étrc
que les choses ne soient pas plus sinq)les, m'accorderont, je
le pense, que cette définition est nécessaire et naturelle.
J'ose dire qu'elle est, eu un certain sens, plus simple cpie
celle de Riemann, aussi facile à saisir que celle-ci et que,
seules, des habitudes d'esprit antérieurement acquises peu-
vent la faire paraître plus compliquée. Elle est plus simple
parce qu'elle met en évidence les propriétés les plus impor-
tantes de l'intégrale, tandis que la définition de Riemann
ne njct en évidence qu'un procédé de calcul. C'est pour cela
qu'il est presque toujours aussi facile, parfois même plus
facile, à l'aide de la définition générale de l'intégrale, de
démontrer une propriété pour toutes les fonctions auxquelles
s'applique cette définition, c'est-à-dire pour toutes les fonc-
tions sommables, que de la démontrer pour les seules fonc-
tions intégrables, en s'appuyant sur la définition de Riemann.
Même si l'on ne s'intéresse qu'aux résultats relatifs aux fonc-
tions simples, il est donc utile de connaître la notion de
fonction sommable parce qu'elle suggère des procédés rapides
de démonstration.

Comme application de la définition de l'intégrale, j'ai
étudié la recherche des fonctions primitives et la rectification
des courbes. A ces deux applications j'aurais voulu en
joindre une autre très importante : l'étude du dévelop-
pement trigonométrique des fonctions ; mais, dans mon
Cours, je n'ai pu donner à ce sujet que des indications telle-
ment incomplètes que j'ai jugé inutile de les reproduire ici.

Suivant en cela l'exemple donné par M. Borel, j'ai rédigé
ces Leçons sans supposer an lecteur d'autres coimaissanc(^s

PRKFACK. VII

([lie crlles <(iii foiil |)ai'li(' Hii programme de licence d
loiites les Facultés; je pourrais même dire (|ue je ne sup-
pose rien de plus que la connaissance de la définition et
des propriétés les plus élémentaires de l'intégrale des fonc-
tions continues. Mais, s'il n'est pas indispensable de con-
naître beaucoup de choses avant de lire ces Leçons, il est
nécessaire d'avoir certaines habitudes d'esprit, il est utile de
s'être déjà intéressé à certaines questions de la théorie des
fonctions. Un lecteur parfaitement préparé serait celui qui
aurait déjà lu VTutroduclioii à V étude des fonctions d'une
variable réelle, de M. Jules Tannery, et les Leçons sur la
théorie des fonctions, de M. Emile Borel.

Si l'on compare ce Livre aux quelques pages que l'on
consacre ordinairement à l'intégration et à la recherche des
fonctions primitives, on le trouvera sans doute un peu
long ; j'espère cependant que tous ceux qui ont écrit sur
la théorie des fonctions et qui savent les difficultés qu'il y a,
on cette matière, à être à la fois rigoureux et court, ne
s'éloiuieront pas trop de cette longueur; peut-être même me
pardonneront-ils d'avoir été, à leur gré, parfois trop diffus,
parfois trop concis.

Pour la rédaction, j'ai eu surtout recours aux Mémoires
originaux; je dois cependant signaler, comme m' ayant été
particulièrement utiles, outre les deux Ouvrages précédem-
ment cités, les Fon.damenti per la teorica dellc funzioni di
variahili reali, de M. Ulisse Dini et le Cours d'Analyse
de V École Polytechnique, de AL Camille Jordan. Enfin j'ai
à remercier M. Borel des conseils qu'il m'a donnés an cours
de la correction des épreuves.

IIF-NRI Ï^EttESGLK.

INDEX.

Chapitri: f. — L'intégrale avant Ricmann i

Chapithk II. — La définition de l'intégrale donnée par Ricmann.. i j

Chapitre III. — Définition géométrique de l'intégrale iG

Chapitre IV. — Les fonctions à variation bornée 49

Chapitre V. — La recherche des fonctions primitives Ci

Chapitre VI. - L'intégrale définie à l'aide des fonctions primitives. 83

Chapitre \ II. — Les fonctions sommables 98

Note ij i

Table des matières i S7

LEÇONS

SUR L'INTÉGRATION

KT LA

RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES.

CHAPITRE I

NTKUUALE AVANT RIKMANN

1. — L'intégra lion des fonctions continues.

"•L'intégration a été définie tout d'abord comme l'opération
inverse de la dérivation; c'est l'opération permettant de résoudre
le problème des fonctions primitives :

Trouver les Jonctions F(^) qui admettent pour dérivée une
fonction donnée f{x).

On sail ({ue, si ce problème est possible, il l'est d'une infinité de
manières, et que toutes les fonctions primitives F(^') d'une même
fonction y*(jr) ne diffèrent que par une constante additive. Ce qu'on
se propose, c'est de trouver l'une quelconque des fonctions F(:r).

A l'épfxjue où le pioblème des fonctions primitives fut posé
sous la forme que j indique, c'est-à-dire à l'époque de Newton et
de Leibnitz, \e^op fonction a\ait un sens assez mal défini. On
appelait ainsi, le plus souvent, une quantité y liée à la variable x
par une ('(pialion où iiilervenail un certain nombre des symboles

CIIAlMTUi: I.

d'opérations que Ton a\ail riiahitude de considérer. Les princi-
pales de ces opérations étaient : les opérations arithmétiques (addi-
tion, soustraction, uuihiplication, division, extraction de racines),
les opérations trigonométriques (avec les signes sin, cos, tang,
arc sin, arc cos,;arc tang), les opérations logarithmiques et expo-
nentielles (avec les signes log, a^).

Pour un grand nombre de fonctions exprimées de cette manière
on avait pu exprimer, de la même manière, les fonctions primi-
tives, de sorte qu'il apparaissait comme certain que toute fonction
admet une fonction primitive. D ailleurs on [)ouvait répondre à
qui doutait de cette proposition.

Soit (//^. i) la courbe F, y = J'{.r), représentant la fonction

Fig. I.

L,:

b c

donnée /i^); les axes sont rectangulaires. Sup|)osons pour sim-
plifier /'(j?) [)ositive; soient «A, 6B deux parallèles à l'axe des y,
d'abscisses a et x. Ces deux paralledes, l'arc VB de F, le seg-
ment ab de Ox, limitent un domaine d'aire S(.Z'). En évaluant
l'accroissement ^BCc de cette aire, on voit que f{x) est la
dérivée de S(.r) (* ).

Remanpions que dans les considérations précédcnites le mot
fonction a (l(''jà r<'(;n une extension considérable. La relation entr<î
S(J7) et X est v\\ cHcl une relation géométrique et non plus une

(') Pour la démonslralion et pour le ras où f(x) u'osl \ya'< loiijonrs posilive
voir GornsAT. Cours d' Analyse mathématique, t. I, Cliap. 1\ , ou Humhkim,
Cours d'Analyse professé à l'Ecole Polytechnique, t. I. >" INiilic, Chap. III.

L INTEGRALE AVANT RIE.MANN.

relation al^ébrique-trigonométriqiie-logaritliHiique. De telles rela-
tions étaient encore considérées comme définissant des fonctions;
seulement, on distinguait soigneusement entre les figures géomé-
triques définies à l'aide de lois exprimables par des égalités géo-
métriques et les figures qui n'étaient pas définies ainsi. Les
courbes y =i J\x) de la première espèce ou courbes géomé-
triques définissaient des fonctions f{jo)'^ les courbes de la seconde
espèce ou courbes arbitraires ne définissaient pas de vraies fonc-
tions. Lorsqu'on employait le mol fonction pour ces deux espèces
de correspondance entre y ^t ^i on distinguait les premières en les
'd\)^e\'Ai\l fonctions continues (').

Il y avait aussi une catégorie intermédiaire de fonctions, celles
(pii étaient représentées à l'aide de plusieurs arcs de courbes géo-
métriques; on les considérait plus volontiers comme formées de
parties de fonctions.

Les fonctions continues étaient les vraies fonctions. On donnait
ainsi au mol fonction un sens assez restreint parce qu'on croyait
(jue toute fonction continue, définie géométriquement ou non,
était susceptible d'une définition analytique, de la nature de celles
dont il a été parlé précédemment, et qu'on croyait cela impossible
pour les fonctions non continues.

Mais Fourier montra que les séries trigonométriques, qui pou-
vaient être employées dans des cas étendus à la représentation des
fonctions continues, pouvaient servir aussi à la représentation de
fonctions non continues formées de parties de fonctions. En parti-
culier une fonction nulle de o à tt, égale à i de tz à 27t, admet un
développement trigonométrique convergent. Le seul critère, per-
mettant de distinguer les vraies fonctions des fausses, disparaissait.
Il fallait, ou bien étendre le sens du mol fonction, ou bien res-
treindre la catégorie des expressions algébriques, trigonomé-
triques, exponentielles qui pouvaient servir à définir des fonc-
tions.

Cauchy remarqua que les difficultés ([ui résultent des recherches
(le Fourier se présentent même lorsqu'on ne se sert que d'expres-
sions très simples, c'est-à-dire c[ue, suivant le procédé enq)loyé
pour donner une fonction, elle apparaît comme continue ou

(') Celte continuité est connue sous le nom de continuité eulérierine.

4 CHAPITHE I.

non. Cauchj cite, comme exemple, la fonction égale d -\- Jc pour
X positif, à — X pour x négatif. Cette fonction n'est pas continue,
elle est formée de parties des deux fonctions continues -\-x et — x;
el]e apparaît au contraire comme continue quand on la note -h \^x-.

Pour conserver aux mots fonction continue leur sens primitif,
il aurait donc fallu ne considérer que des expressions analytiques
très particulières (*); Gauchj préféra modifier considérablement
les définitions.

Pour Gaucliy y est fonction de x quand, à chacun des états
de grandeur de x^ correspond un état de grandeur parfaite-
ment déterminé de y.

Cette définition paraît la même que celle donnée plus tard par
Riemann, mais en réalité les correspondances que Gaucliy consi-
dère sont encore celles qu'on peut établir à l'aide d'expressions
analytiques, car, après avoir défini les fonctions, Gaucliy ajoute :
les fonctions sont dites explicites si l'équation qui lie x k y est
résolue en )'^, et implicites si cela n'a pas lieu. Le fait que les cor-
respondances sont établies à l'aide d'expressions analytiques n'in-
tervient jamais dans les raisonnements de Gauchy, de sorte que les
propriétés obtenues par Gauchy s'appliquent immédiatement ainsi
que leurs démonstrations aux fonctions satisfaisant à la définition
de Piiemaun ( -).

Pour Gauchy une fonction f{x) est continue pour la valeur x^i
si, quel que soit le nombre positif e. on peut trouver un nombre

(') C'esl ce que fait M. Méray qui donne au mol fonction un sens très voisin
de celui qu'on donnait autrefois aux mots fonction continue. M. Méray délinit
les fonctions par les séries de Taylor et le prolongement analytique; lorsqu'on
adopte les définitions de M. Méray, l'existence des fonctions primitives résulte
immédiatemenl des propriétés des séries entières.

Mais, si l'on applique les définitions de M. Méray aux fonctions de la variable
complexe, on se trouve conduit nécessairement, comme me l'a fait remarquer
M. Borel, à considérer des fonctions discontinues d'une variable réelle. Far
exemple, lorsqu'une série de Taylor est convergente sur son cercle de conver-
gence, ses valeurs, sur ce cercle, peuvent définir deux fonctions réelles discon-
tinues de l'argument.

(') Je ne veux pas dire que la définition de Gauchy soit moins gcnéialc que
celle de Riemann; on ne connaît actuellement aucune fonction riemannienne qui
n'admette pas de représentation analytique. Seulement, s'il existe des fonctions
qui satisfont à la définition de Riemann, sans satisfaire à celle de Gauchy, elles
ne seront pas exclues des raisonnements.

L INTEGRALE AVANT RIEMANN. 5

71 ( £ ) tel que l'inégalité | A | < Tj ( s ) entraîne

la fonction f{x) est continue dans (a, h) si la correspondance
entre e et r^{t) peut être choisie indépendamment du nombre Xq^
quelconque dans (a, b).

Oïl reconnaît là les définitions aujourd'lmi classiques.

Pour démontrer l'existence des fonctions primitives des fonc-
tions continues, il suffit de reprendre la démonstration géomé-
trique indiquée précédemment. Dans celte démonstration on a
fait appel à la notion d'aire. Cette notion, déjà assez peu claire
lorsqu'il s'agit de domaines limités par des courbes géométriques
simples comme le cercle ou l'ellipse, le devient moins encore lors-
qu'il s'agit des domaines intervenant dans la démonstration qui
nous occu[)e.

Les courbes V qui limitent ces domaines ne sont plus nécessai-
rement des courbes géométriques, elles peuvent être formées de
parties de courbes géométriques {y =z-\- ^x-)] on sait donc
c[u'elles peuvent être complicjuées sans savoir où s'arrête cette
complication. Aussi Gauchy crut devoir préciser ce que l'on doit
entendre par le nombre S{x) de la démonstration précédente (');
il lui suffit pour cela de reprendre les opérations qui servaient
ordinairement à calculer des valeurs approchées de S(j?) consi-
dérée comme aire et de démontrer que ces calculs conduisaient à
un nombre limite. On a ainsi la démonstration maintenant clas-
sique de l'existence des fonctions j^rimitives.

Soit («, X) l'intervalle (jue nous considérons. Divisons («, X)
en intervalles partiels à l'aide des nombres croissants

ao= a, a,, «2, . . ., a,i-i, ct,i= X;
et formons la somme

S = {ai — ao)/{Xi) -h («2— ai)/{x.2) +. . .H- (««— a.,^y)J\xn),

où Xi est un noud)re ([uelconcpie compris entre ^/_i et a^. On
démontre (jue S tend vers un nond)re déleiininé S(X) quand le

('j CcsL-à-diie (|u'il crut devoir dcliiiir l'aire d'une façon précise.

G CIIAPITRK I.

inaxiinuin de ai_^ — ai tend vers zéro d'une manière quel-
conque (' ).

Le nombre S(X) ainsi obtenu s'appelle V intégrale définie de
la fonction /(j") dans l'intervalle (<7, X). Depuis Fourier, on le

représente par la notation / /(j^) dx.

Ce symbole n'a jusqu'à présent de sens que dans les intervalles
positifs {a^ X), (X^<7); par définition, on pose

f f{x)dx^ f f{a')dx = o.
Il est évident que l'on a, quels que soient (f, 6, c,

f"-f-f"-

Ja Jb t/f.

Remarquons encore que si L et / sont les limites supérieure et

inférieure de f{x) dans («, b)^ j f{x)dx est comprise entre

L(^ — a) et 1(0 — a). La fonction continue /{x) prenant toutes
les valeurs entre / et L, y compris les valeurs / et L, on peut

écrire

. f f{x)dx = {b-a)fa),

^ étant compris entre a et h (-), c'est le tliéorème des accroisse-
ments finis.

Le nombre S(X) étant maintenant défini d'une manière précise,
on démontre l'existence de la fonction primitive àe f(^x) sans dif-
ficulté. En effet, on a

Il ~ h

- j f{x)d.r=f{x,^{)h),

égalité qui démontre que la fonction S(jî^) est continue et a poui
dérivée y(.r).

( ') Voir, par exemple, les deux Ouvrages cités page 2 ou le Tome I du Traité
d'Analyse de M. l'icard.

(') Cette démonstration n'exclut pas les égalités ^ 3= a, ^ = ù. Dans certains
cas il est bon de prévoir qu'on peut choisir ^ différent de a et ^; la démonstra-
tion est immédiate.

L INTEGRALE AVANT RIEMANN.

La fonction S(X) qui figure dans la démonstration précédente
ou })lus exactement la fonction

S(X)-+-K = K+ f f{x)dx=K,-\- f f{x)dx,

dans laquelle K et K< sont des constantes quelconques et a une
valeur de x prise dans l'intervalle où f{x) est définie, s'appelle

Vintégrale indéfinie de la fonction f{x) et se note / f{x) dx.

On voit que l'intégrale indéfinie d'une fonction f{x) est la fonc-
tion F(^) la plus générale telle que l'on ait, quels que soient a
et ^ dans l'intervalle où f{x) est définie,

(I)

F(|B)-F(a)=: / f{x)dx.

On voit aussi que, pour les fonctions continues, il y a identité
entre les intégrales indéfinies et les fonctions primitives (').

II. — L intégration des fonctions discontinues.

Dans ce qui précède, l'intégrale définie apparaît comme un
élément permettant de calculer la fonction primitive; dans la pra-
tique, les fonctions primitives servent, au contraire, au calcul des
intégrales définies. Ces intégrales définies, qui sont des limites de
sommes dont le nombre des termes augmente indéfiniment
tandis que la valeur absolue de ces termes tend vers zéro, se ren-
contrent dans un grand nombre de questions d'Analyse, de Géo-
métrie et de Mécanique (-). Pour le calcul de certaines de ces

(^) Cela ne serait plus vrai si l'on n'introduisait pas la constante K dans la
délinition de l'intégrale indéfinie.

(^) L'application la plus simple de la notion d'intégrale est la quadrature des
domaines plans. A cause de cette application, on a fait souvent remonter la
notion d'intégrale définie à Archimède et à la quadrature de la parabole. Il est
vrai que beaucoup de quadratures ont été eflectuées avant l'introduction du
Calcul intégral, mais les géomètres n'attachaient aucune importance particulière
aux domaines bien spéciaux dont il faut calculer les aires pour avoir des inté-
grales définies. L'importance de ces domaines n'est apparue qu'après l'introduc-
tion de la notion de dérivée.

8 CHAPITRE I.

limites do sommes, par exemple pour la définition et le calcul de
l'aire comprise entre une courbe et son asymptote, l'intégration
des fonctions continues ne suffisait plus; on a été ainsi conduit à
s'occuper de l'intégration des fonctions qui sont infinies en cer-
tains points ou au voisinage de certains points. D'autre part, pour
certaines applications des intégrales définies, par exemple pour le
calcul des coefficients de la série trigonométrique représentant
une fonction donnée, il semblait y avoir avantage à définir l'inté-
grale d'une fonction qui, tout en restant finie, est discontinue en
certains points. Aussi, dès l'introduction de la notion d'intégrale
définie, a-t-on étendu cette notion à certaines fonctions discon-
tinues.

On a été conduit à la définition qui sera donnée plus loin en
posant en principe l'identité, constatée dans le cas des fonctions
continues, de l'intégrale indéfinie et de la fonction primitive.

Considérons la fonction f{jo) qui, pour ;r ^ o, est égale à -^\

Les seules fonctions continues qui admettent, sauf pour .r = o,

une dérivée égale k f(x) sont données par la formule K + - \/x- ;

on a dit que F{x) = R + '^x- était l'intégrale indéfinie de/(jc),

et la formule (i) donnait l'intégrale définie de/(^) dans un inter-
valle quelconque (a, [i).

Soit encore la fonction /(x) (considérée par Fourier) égale
à — I pour X négatif, à + i pour x positif ('). Les seules fonc-
tions continues qui admettent f{x) pour dérivée, sauf pour la
valeur singulière x = o, sont les fonctions (considérées par C]au-
chy) R-hy/x-; si l'on considère ces fonctions comme des inté-
grales indéfinies, on en déduit la valeur de l'intégrale définie
de/(x) dans tout intervalle (-).

(') Celle fonction, non déiiiiie pour x -— o, adniel, comme on sait, un dévelop-
pement trigonométrique; on peut aussi la noter — - — •

(^) Il est bon d'ajouter que les intégrales définies, que l'on peut ainsi attacher
aux deux espèces de fonctions discontinues que l'on vient de considérer, per-
mettent d'exprimer les coefficients du développement trigonométrique des fonc-
tions à l'aide des formules d'Kuler et de Fourier qui servent dans le cas des
fonctions continues.

l'intégrale avant rfkmann. 9

Caiichy énonce d'une manière Irès prc'cise la (h'finilion dont on
vient de voir deux applications. Pour lui, si une fonction fi x) est
continue dans un intervalle («, b)^ sauf en un point c, au
voisinage duquel f{x) est bornée ou non ('). on peut définir
V intégrale de f{x) dans («, b) si les deux intégrales

/f{x)dx et / f{x)dx

tendent vers des limites déterminées quand li tend vers zéro;
alors on a par définition

f f{x)dx=\\m\ f f{x)dx-^ f f{x)dx

(')•

Si dans (c/, b) il existe plusieurs points de discontinu ilé, on
partage (a, b) en assez d'intervalles j)artiels pour que, dans
chacun d'eux, il n'existe plus qu'un seul point singulier; on
applique à chaque intervalle la définition précédente, si cela est
[)ossiLle; on lait ensuite la somme des nombres ainsi obtenus.

C'est à ces définitions (jue se rattachent les critères connus
relatifs à l'existence des intégrales des f"on(^tions infinies autour
d'un point.

Pour des recherches relatives à la théorie des fonctions et en
particulier pour l'étude des séries trigonométriques, Lejeune-Diri-
chlet a étendu la notion d'intégrale. Les recherches de Lejeune-
Dirichlet, qu'il avait annoncées lui-même, n'ont jamais élé publiées;
mais, d'après Lipschitz, on peut les résumer comme il suit.

Soit une fonction f{-r) définie dans un intervalle fini ( <7, 6),
dans le([uel il faut l'intégrer; soit e l'ensendjle des points de

(') Caucliy ne se préoccupe pas de lu valeur de la fouclion puur x — c.
D'ailleurs, pour lui, si /{x) tend vers une valeur déterminée quand x tend
vers c, ce.,Le valeur limite est/(c); s'il n'en est pas ainsi, /(c) est l'une quel-
cont|ue des valeurs comprises entre la plus petite et la plus grande des limites
de f{x). Dans quelques Mémoires, P. du Bois-Heymond a repris ces conven-
tions.

(-) Cauchy s'occupe aussi ilu cas où le second membre de cette égalité aurait
un sens, sans (fiie les deux intégrales qui y figurent aient des limites. Dans ce

cas, il appelle ce second memltre la valeur principale de l uUegrale I /(x) clx.

I(> CHAPITRE I.

discoiitiniiilr de f{jo). Si e ne contient qu'un nombre fini de
points, nous appliquons les définitions de Gaucliy.

D'après Lipschitz, le cas qu'étudie Dirichlet est celui où le
dérivé e' de e ne contient qu'un nombre fini de points, comme

cela se présente, par exemple, j)i)ur la fonction

I
sin —

X

tient que j? = o.

Les points de e' divisent alors (a, ^) en un nombre fini d'inter-
valles partiels, soit (a, ^) l'un d'eux. Dans (a -h A, fi — A), il n'y
a qu'un nombre fini de points de e. Si dans cet intervalle les
définitions de Gaucby ne s'appliquent pas, on dira que la fonction
n'a pas d'intégrale dans («, b). Si au contraire elles s'appliquent,

on considère l'intégrale / f{-^) ^-^ ^t l'on fait tendre simulta-

nément h et k ^ers zéro suivant des lois quelconques. Si l'on
n'obtient pas une limite déterminée, f{x) n'a pas d'intégrale
dans («, b)\ si au contraire on a une limite déterminée, on pose

I f{x)dar= lim / f{x)dx.

L'intégrale dans («, b) est, par définition, la somme des inté-
grales dans les intervalles (a, fi).

On voit que la définition de Dirichlet repose sur les mêmes
principes que celle de Gauchy; la définition générale qui découle
de ces principes peut s'énoncer ainsi :

Une fonction f{x) a une intégrale dans un intervalle
fini (a^ b) s'il existe dans (a, b) une fonction continue ¥{x)^
et une seule à une constante additive près^ telle que Von ait

/ f{x)dx=V{^^)—¥^

*-^ PL

(1) / /(;r)«rj'=F(P)-F(a),

dans tout intervalle où f{x) est continue. F(^) est l'intégrale
indéfinie de f{x) et l'on a

I

b
f(x)dx=V{b)-V{a).

Vouv (pie cette définition s'applique, il faut d'abord qu'il existe

L INTEGRALE AVANT RIEMANN. I I

une fonction continue F(^) vérifiant la formule (i). Ceci revient,
dans les deux cas traités j)ar Gaiichy et Dirichlet, à supposer
l'existence des limites qui ont ser\i dans la définition. Nous sup-
poserons cette condition remplie et nous allons chercher comment
doivent être distribués les points singuliers dey(:r) pour que cette
fonction ait une intégrale. Au point de vue qui nous occupe, les
points singuliers de/(r) sont ceux qui ne sont intérieurs à aucun
intervalle dans lequel y(^) est continue; ce sont donc les points
de e et ceux de e', ces points forment un ensend)Ie que nous dési-
gnerons par E. Tout point limite de points de E, par sa définition
même, est aussi point de E; E contient donc tous ses j)oints
limites. C'est un des ensembles que M. Jordan appelle />a/'/a«76- et
M. Borel relativement parfaits ; nous appellerons un tel ensemble
un ensemble fermé.

Pour que la formule (i) définisse entièrement F(.r), il faut que,
dans tout intervalle, il en existe un autre où f{x) est continue.
L'ensemble E doit donc être tel ([ue, dans tout intervalle, s'en
trouve un autre qui ne contienne pas de points de E; c'est ce que
l'on exprime en disant que E doit être non dense dans tout inter-
valle (*).

Cette propriété de E n'est nullement suffisante; pour énoncer la
propriété nécessaire et suffisante que doit vérifier E, il faut a\oir
recours aux propriétés des enseml)les déri\és.

L'ensemble fermé E a des dérivés successifs E', E", . . . , E*^, ... ; on
sait que, si l'un des dérivés est nul, E est dit réductible, c'est un
ensemble dénombrable; sinon l'un des dérivés est parfait, E et
tous ses dérivés ont la puissance du continu {'^).

Ce sont ces propriétés qui \ont nous servir. Supposons qu'il
existe une fonction F(.r) satisfaisant à l'égalité (i) dans tous les

(^) P. du Bois-Heymond, auquel est due la distinction des deux classes remar-
quables d'ensembles, que nous ufipeions ensembles denses dans tout intervalle
d'une part et ensembles non denses dans tout intervalle d'autre part, appelle les
premiers systèmes pantachiques ou pantachies et les seconds systèmes apan-
tachiques ou apantachies. C'est aussi du Bois-Heyniond qui a donné le procédé
général de formation des ensembles fermés et des apantachies, procédé qui
consiste à enlever d'un intervalle des intervalles en nombre lini ou dénombrable
convenablenicnt choisis. Au sujet des ensembles fermés et des ensembles non
denses, voir Bouel, Leçons sur la théorie des fonctions, Chapitre III.

(^) Voir la Note placée à la fin du \olume.

12 CHAPITRE l.

Intorvalles où f(x) osl continue et recherchons si F(^) est bien
(létenuinée; lorsqu'il en sera ainsi, l'égalité (i) servira de défini-
tion à l'intégrale.

Nous nous appuierons sur cette remarque évidente : si l'inté-

r^ . • ■

grale / /(-z:) dx^ qui figure au premier membre de (i), a un sens

dans tous les intervalles qui ne contiennent aucun des points
.r,, x^i ..., x,t^ en nombre fini, les dift'érentes fonctions conti-
nues F(j?) satisfaisant toujours à l'égalité (i) ne peuvent différer
que par une constante.

Si E ne contient ([u'un nombre fini de points, F(.r) est donc
bien déterminée, d'où la définition de Cauchy.

r.e premier membre de (i) a maintenant un sens dans tout
intervalle ne contenant pas de points de E'; donc, si E' n'a qu'un
nombre fini de points, F(^) est bien déterminée, d'où la définition
de Dirichlet-Lipschitz.

On passe de là au cas où E'', E''^, ..., E" ne contient ([u'un
nombre fini de points.

Dans tout intervalle où E'^ n'a pas de points, F(\r) est donc
bien déterminée (') et, par suite, le premier membre de (i) a un
sens dans un tel intervalle; de là on conclut que F(^) est bien
déterminée quand E*^ n'a qu'un nombre fini de points. On passe
ensuite au cas où E<**+', E'^"*'-', . . . n'a qu'un nombre fini de points;
puis au cas où c'est E-^'* (pii jouit de cette propriété, et ainsi de
suite.

Nous voyons ainsi que, si E est réductible, F(./' ) est bien déter-
minée, de sorte que notre définition s'applique; il existe alors une
intégrale que l'on obtient par l'application répétée de la méthode
de Cauchy-Dirichlet.

Pour avoir des exemples de fonctions auxquelles s'applique cette
méthode, il suffit de prendre un ensemble réductible E, de ranger
ses points en suite simplement infinie, ^,, Xo, . . ., et de former la
série

f(x) = s'u\ h - sin h. . .H sin h. . . {^).

X — Xx 1 X — Xj iP X — Xp->^i

f ') Car, dans un tel intervalle, l'un des E" n'a qu'un nombre fini de points.
(-') D'après les propriétés des séries uniformément convergentes, /(x) a tous

L INTÉGRALK AVANT RIE.MA.NN. l3

Supposons maintenant que Tensemble E des points sinj^uliers
de f{x) ne soit pas réductible. Nous allons ^oi^ que, s'il existe
une fonction F(x) satisfaisant à la condition (i) dans tout inter-
valle oi\ f[x) est continue, il en existe une infinité.

Soit E* celui des dérivés de E qui est parfait; E^ s'obtient en
enlevant de l'interNalle considéré (<:/, b) les points intérieurs à des
intervalles o,, Oo, . . ., qui forment une suite dénombrable si E est
non dense dans tout intervalle, ce qui est le seul cas (|ui nous
intéresse ( ' ).

Ijéfinissons une fonction '^{-i^) par la condition d'être nulle
j)Our X ^:i a^ égale à i pour x=^h. En tous les points de o,,

cp(^)= . En tous les |)oints de Oo, 'f(j?) = >' si Oj est entre a

et ô, ; et '-^{^x) = ^ , si o^ est entre o, et b. D'une façon générale,

ayant attribué à 'f(J^), dans o,, Oo, ..., 0//_,, les valeurs A|,

Ao, ..., A/^_,. on attribue à ^(j?), dans o,,, la \aleur -^^ — -y /et

y étant les indices des deux intervalles o,, o^, ..., o,^^, qui com-
prennent un.

Tout point de E^ est limite de points de certains intervalles o„ ;
il est facile de voir que si des points de o^,, Sj^., . . . tendent vers x^
A^,, Ajj,, ... tendent vers une limite déterminée; on prend celle
limite pour valeur de '^{x). '^{x) est ainsi partout déterminée, c'est
une fonction continue non constante dans (//, b) et, cependant,
constante dans tout intervalle ne contenant pas de points de E.
De sorte que, s'il existe une fonction F(x) satisfaisant à l'égalité (i),
dans tout intervalle où il i\y a pas de points de E, F(j:) -f- '^{x)
satisfait aussi à cette condition.

Maintenant, si l'on remarque que E et e? sont réductibles en
même temps (^-), on voit que, pour (jue la déjuiition a<lo/>tée

les points de E pour points de discontinuité. On verra facilement que la série
précédente est intégrabic terme à terme.

Four des exemples d'ensembles réductibles, voir la .Note.

(') Car si E est dense dans un intervalle, V{x) est certainement indéter-
minée.

(■-) Il faut bien remarijuer que c peut être dénombrable sans que E le soit,
e est alors un ensemble dénombrable non réductible; c'est le cas de Tensemble
des nombres rationnels.

I-i CHAPITRE I.

s'applique, il faut et il suffit que l'ensemble des points de
discontinuité de la fonction à intégrer f[x) soit réductible et
qu'il existe une fonction continue F(:c) vérifiant (i) dans les
intervalles oiif{x) est continue.

CHAPITRE II.

LA DEFINITION DE L INTEGRALE DONNEE PAR UIEMANN

I. — Prop/iétés relatives aux fonetions.

Les fonctions auxquelles s'appliquent les définitions précé-
dentes peuvent avoir une infinité de points de discontinuité; mais
ces points sont encore exceptionnels, en ce sens qu'ils forment un
ensemble non dense. Diriclilet a rencontré incidemment la fonction

■j^(^x ) = lim r liin ( cosm ! t::^-)-" j,

dont tous les points sont des points de discontinuité, puisqu'elle
est nulle pour x irrationnel, égale à i pour x rationnel. Les consi-
dérations de Cauchy et de Dirichlet ne s'appliquent donc pas à
toutes les fonctions au sens de Caucliy. Riemann (') a montré, sur
un exemple, comment l'emploi des séries permettait de construire
des fonctions dont les points de discontinuité forment un ensemble
partout dense, fonctions auxquelles les définitions précédentes ne
peuvent donc s'appliquer.

Soit (x) la difl'érence entre x et l'entier le plus voisin; si x est

égal à un entier plus -, on prend [x] = o. La fonction ainsi dé-
finie se nomme excès de x\ c'est une fonction au sens de Cauchy,
car elle admet un développement de Fourier, procédant suivant les
lignes trigonométriques des multiples de i-kx\ ([ui est partout
convergent. Considérons la fonction, au sens de Cauchy,

(') Sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonoiné-
trique. {Bulletin des Sciences mathématiques, 1873 et Œuvres de Hiemann.)

i6 en Al' nui: ii

on Noil immédiatement que si x n'est pas de la forme — ^^^^ (/< et

2/> -h 1 étant premiers entre eiJ\) f{x) est continue (*). Au
contraire, si x est de la forme indiquée, quand x tend en croissant

vers ^^ "^ •> f{x) tend vers une limite que l'on note

/(^-°)^^)

et qui est

quand x tend vers -^ en décroissant, f{x) tend ver:

'^ \ in j '' \ -m ) lo/i*

Dans tout inler\alle, f{x) a des points de discontinuité; les
considérations du Chapitre précédent*"''#e sont pas applicables

En em|)loyant un procédé analogue à celui de Riemann, il était
possible de former de nombreux exemples de fonctions très dis-
continues. En utilisant la notion maintenant classique de série uni-
formément con\ergente, il est facile de donner un énoncé {général :
une série uniformément convergente de fonctions discontinues fn
définit une fonction /"qui admet pour points de discontinuité tous
les points de discontinuité des fonctions /',/, pourvu que chacun de
ces points ne soit j)oint de discontinuité que pour une seule fonc-
tion fn- Lorsqu'il n'en est pas ainsi, comme dans l'exemple de
Riemann, il faut rechercher si les différentes discontinuités, que
l'on rencontre pour la valeur considérée, ne se compensent pas de
telle manière que /soit continue.

On a souvent l'occasion d'appliquer un procédé analogue, quand,
connaissant des fonctions /*,/ qui présentent une certaine singula-
rité en des points isolés A/^, on veut construire une fonction pré-
sentant cette singularité dans tout intervalle. On essaie si l'on
n'obtiendrait pas le résultat désiré en prenant une série unifor-

(') On s'appuiera sur la convergence uniforme de la série f{x).
(') Celle nolalion est due à Dirichlel.

L.\ DKFI.MTION DK L INTKGUALI-: DON.NKE I>AK KIKMA.NN. I7

mément convergente de fonctions /,<, telles que les A,i correspon-
dants forment un ensemble partout dense. C'est cette méthode de
construction (jui a reçu le noui (\e principe de condensation des
singularités ( ' ).

Les exeujples <le Riemann montrent que les fonctions, auxquelles
les procédés de définition examinés dans le Chapitre précédent ne
peuvent s'appliquer, ne forment pas une classe très particulière
dans l'ensemble des fonctions au sens de Cauchj. Et comme la
restriction (-) que nous avons imposée, avec Cauchj, aux fonc-
tions/(^), savoir (|ue la relation entre f^x) et x soit exprimable
analytiquement, n'est jamais intervenue dans nos raisonnements,
elle n'a simplifié ni les énoncés, ni les solutions des problèmes que
nous nous sommes proposés. Il n'y a donc aucun inconvénient à
dire, avec Riemann : y est fonction de x si, à chaque valeur
de x^ correspond une valeur de y bien déterminée, quel que
soit le procédé qui permet d'établir cette correspondance . C'est
cette définition que nous adopterons maintenant; seulement, au
lieu de supposer toujours que x peut être pris quelconque dans
un intervalle (a, 6), nous supposerons quelquefois cpie x doit être
pris dans un certain ensemble E pour les points duquel la fonc-
tion y sera ainsi définie, sans l'être pour tous les points d'un

intervalle. Par exemple, la fonction — •' est définie pour l'en-
semble des inverses des entiers positifs.

Avant d'entreprendre l'étude de l'intégration des fonctions au
sens de Riemann je vais donner celles de leurs propriétés qui
nous seront utiles dans la suite.

Si l'on sait qu'une fonction reste toujours comprise entre deux
nombres finis A. et B, on dit qu'elle est bornée (^). C'est à l'étude

(') Cette dénomination est due à Mankel. Hankel avait cru pouvoir faire des
raisonnements généraux au sujet de ceUe méthode, mais ce qu'il y a d'exact
dans ses raisonnements se réduit à des applications immédiates des propriétés
connues des séries uniformément convergentes.

(^) J'ai déjà dit (note 2, p. ^) que cette resiriction est peut-être illusoire.

{■•) Il est bien entendu qu'une fonction non bornée peut être cependant toujours
finie; c'est le cas de la fonction f{x) telle que

/(o) = o, /{x)=^ pour xjào.
L. a

l8 CHAPITRE II.

des fonctions bornées que l'on s'est le plus souvent limité (').
Lorsqu'une fonction est bornée, elle admet une Limite supérieure L
et une limite inférieure /; ces nombres sont définis, on le sait, par
la condition que (/, L) soit le plus petit intervalle contenant toutes
les valeurs de f{x). to = L — / est dit V oscillation de f{x).

Soit A un point limite de l'ensemble E dans lequel f{or) est
définie (^). Soit ô, un intervalle contenant A; dans cet intervalle il
existe des points de E; ils forment un ensemble e^. La fonc-
tion J{jo) définie sur e, admet des limites supérieure et infé-
rieure, L,, /,, une oscillation to^ . Soito^ un intervalle contenant A
et compris dans o,, il lui correspond les nombres L2, /o- ^2 5 et
l'on a évidemment

Si nous considérons des intervalles Oj, O2, Sj, ... contenant
tous A et compris les uns dans les autres, nous avons une suite de
limites supérieures et inférieures vérifiant les inégalités

1 < 1 < J < <T <ï <T

Les // d'une part, les L^ d'autre part, tendent donc vers deux
limites / et L (/^L) et les to/ tendent vers

Nous allons voir que les nombres ainsi obtenus, L, /, co, sont
aussi les limites des nombres L^, /|, tù- correspondant à des inter-
valles rj\ contenant A et dont les deux extrémités tendent vers A
quand t'augmente indéfiniment; en d'autres termes, ils sont indé-
fX'ndants du choix des intervalles 5/ et l'on peut supposer que ces
intervalles ne sont pas contenus nécessairement les uns dans les
autres. En effet, i étant choisi arbitrairement, si y est assez grand,
ù'j est contenu dans o/, si A" est assez grand, 8/; est contenu dans 8'^

(') On constate souvent que des questions très simples à traiter lorsqu'on se
limite aux fonctions bornées S(»nt, au contraire, très compliquées pour les fonc-
tions les plus générales. Aussi j'ai indiqué soigneusement dans la suite si les
théorèmes obtenus sont valables pour toutes les fonctions ou seulement pour des
fonctions bornées; tandis que, le plus souvent, on omet d'indiquer explicitement
que les fonctions dont on s'occupe sont bornées.

(^) A. ne fait pas nécessairement partie de E.

LA DKFl.MTION DK l> INTÉGRALK DONNKi: l'AR RIK.MA.NN. I9

donc on a

ce qui suffit à démontrer la propriété.

Les nombres L, /, co sont a/>/)elrs Le niaximuni ou limite
supérieure , le minimum ou limite inférieure et V oscillation
de la fonction en A. A est un point de continuité ou de discon-
tinuité, suivant que co est nid ou positif, c'est-à-dire suivant que
L et / sont é^aux ou inégaux.

Si ./"o est l'abscisse de A et si l'on convient de ne considérer
(pie les valeurs de r supérieures à Xq {xl>Xn)^ on obtient le
maximum M,/, le minimum m,i et l'oscillation u),{ à droite en A.
Si iù(i = o, c'est-à-dire si M,/ = m,/, /(./„ 4- o) existe et est égale
à M,/. Si M,/ = ma = f(-f'(i), la fonction /(.r) est dite continue à
Hroite. On définit de même les nombres M^, /??<,, (o., (*).

Si (.),/ et (0,, sont nuls, c'est-à-dire si /(.roH-o) et /(j^o — o)
existent, la discontinuité est dite de première espèce, sinon elle
est dite de seconde espèce.

Toutes ces définitions pourraient être données pour des fonc-
tions non bornées; rien ne serait changé, sauf que les nombres
définis ne seraient plus nécessairement finis.

Aux notions précédentes, on peut rattacher la notion de limite
dUndétermination (jui nous sera souvent utile; cette notion est
due à P. du Bois-Reymond.

Un procédé de calcul fournit, dans certaines conditions, un
nombre déterminé '^ ; dans d'autres conditions, au contraire, il ne
fournit plus un nombre déterminé, mais, suivant la manière dont
on l'applique, il fournit difierents nombres qui forment un
ensemble A. On peut alors, ou dire que le procédé ne fournit
plus aucun nombre, ou dire que le procédé donne pour nombre es
l'un quelconque des nombres de A. Le nombre » est ainsi consi-
déré comme indéterminé. Le plus petit intervalle qui contient
tous les points de A, soit à son intérieur, soit confondus avec ses

(') F. a défiiiiiion précédente est celle des niaximuni, niininiuiii, oscillation
de/(j7) à droite de j^q, Xç^ étant exclu. On considère aussi souvent les mêmes
nombres, x^ n'étant pas exclu; il faut alors prendre les valeurs de x égales ou
supérieures à J7„ {x^x^).

Sauf avis contraire, je me servirai toujours de la délinitiun du texte.

20 CHAIMTHK 11.

extrémités, a pour origine et pour extrémités les limites infé-
rieure et supérieure d'indéteiniinalion du nombre '^. Ces limites
sont finies ou infinies, elles ne font pas nécessairement partie
de A.

Par exemple, on donne l'expression

o = lini X",

où n est entier, cp est nul pour ] j? | <^ i ; pour calculer cp dans ce
cas on peut choisir arbitrairement une suite d'entiers croissant
/i,, n^-) ... et prendre la limite de la suite x"i corres|)ondante. Si
X n'est plus compris entre — i et -t-i, en opérant ainsi et en
choisissant convenablement les /?/, on aura encore une limite,
mais cette limite dépendra en général du clioix des ni. Pour
X =^ — I , l'ensemble A de ces limites contient les deux seuls
nombres — i et + i qui sont les limites d'indétermination. Pour
X <i — I, l'ensemble A ne contient que + ao et — oo qui sont les
deux limites d'indétermination.

Pour X ^ i, '.p est égal à i . Pour .>? ^ i , cp est égal à H- do.

La notion des limites d'indétermination peut souvent être
remplacée par la notion plus simple de plus petite et de plus
grande limite, notion que l'on doit à Cauchy.

Supposons que le nombre cp soit défini comme la limite pour
X = Afl d'un nombre 4'(^0' ^ prendra toutes les valeurs possibles
ou seulement celles d'un certain ensemble dont ).o est un point
limite (l'exemple précédent se ramène à ce cas si l'on prend ),==:-,

où n est entier, et Xo = o 1. I^a fonction ^ {\) n'est pas définie pour
). == Xfl, mais nous savons {\vCelle a pour ). = Ay une limite infé-
rieure l et une limite supérieure L ('); ces nombres, linis ou
non, sont respectivement la plus petite et la plus grande des
limites que l'on peut obtenir quand, dans 'i>(A), on fait tendre \
vers \q. l et L sont les deux limites d'indétermination précédem-
ment définies; mais, dans le cas qui nous occu[)e, ces nombres
sont compris dans l'ensemble A des valeurs limites, tandis que,
dans le cas général, ils font seulement partie de A ou du dérivé A'
de A.

(') Ces dénominations sont celles qu'adopte M. J. liudamard.

LA DEFINITION I)K L INTKGHALE DONNEE PAR RIEMANN. 21

Mais il se peut aussi, et l'on en verra bientôt des exemples, que
la fonction à (X) ne soit plus une fonction bien déterminée, mais
soit une fonction à plusieurs déterminations.

On dit (jue l'on a une telle fonction si, à chaque valeur de À,
prise dans un certain ensemble où la fonction est définie, on fait
correspondre un ensemble de nombres; chacun de ces nombres
est représenté par la notation •^^(X). Ce qui a été dit relativement
au\ limites supérieure et inférieure pour les fonctions à une
seule détermination, s'apjdique sans aucun changement aux
fonctions à déterminations multiples. ^(X) a donc une limite
inférieure l et une limite supérieure \j pour X = )vo, qui sont,
respectivement, la plus petite et la plus grande des limites que
l'on peut atteindre en choisissant une suite de nombres )./ tendant
vers Ao et en choisissant convenablement les nombres 'i^(X/) cor-
respondants. Ces deux nombres sont les limites d'indétermina-
tion de la limite de •i>(A) quanl \ tend vers ).o ( * ).

Revenons maintenant à l'étude des fonctions.

11 y a une relation très simple entre les oscillations relatives aux
intervalles contenus dans («, b) et les oscillations aux divers points
de (rt, b). On peut l'exprimer ainsi :

Si, en tous les points de (a, ^), l'oscillation est au plus
égale à tu, dans tout intervalle intérieur à (a, b) et de lon-
gueur A, l'oscillation est inférieure à to -}- s dès que A est assez
petit^ £ étant un nofubre positif quelconque.

S'il en était autrement, ou pourrait trouver des couples de
points rt^, bp., tels que bp — ap tende vers zéro et que l'on ait

L'ensemble des ap a, au moins, un point limite a. Si l'on prend
une suite de valeurs ap tendant vers a, les bp tendent aussi vers a,
donc en a l'oscillation est au moins w + s. 11 y a là une contra-
diction avec l'hypothèse.

(') Du Bois-H<;yniond dit simplement « les limites d'indétermination de <{/{X)
pour \ — \^ ». Gela lient à l'idée que se faisait du Bois-Reymond de la valeur
d'une fonction en un point de discontinuité (note i, p. 9).

Je crois qu'il vaut mieux adopter le langage du texte, plus conforme aux idées

inodenies sur la dclcrruinatioii des fondions.

a2 ClIMMTUi: II.

La j)roj)riété est déinontiMM'. Dans le cas où to ^n o, elle se réduit
à ce fait bien connu : une fonction continue en tous les points d'un
intervalle est continue dans cet intervalle (').

La réciproque de cette propriété n'est pas vraie. Soit une fonc-
tion égale à — i pour .r négatif, à -h i pour x positif, nulle pour
X nul. Son oscillation pour jf = o est a et, cependant, si l'on
emploie le point de division .27 = 0, la fonction a une oscillation
seulement égale à i dans chacun des deux intervalles obtenus.

Nous allons maintenant définir l'oscillation moyenne d'une
fonction bornée /(:r) définie dans un intervalle fini («, h\ Parta-
geons («, b) en intervalles partiels 8,, o^, . . ., ô,;. Soit o), l'oscilla-
tion de /{x) dans l'intervalle o/, les extrémités de 6/ étant ou non
considérées comme faisant partie de l'intervalle. Et formons la
quantité

Oi OJi H- O2 tO-2 -i- ...-!- 0„ 0J„
A — ; •

Si û est l'oscillation de/(.Z') dans (/7, h), to,, to^, .... 0),^ étant au
plus égaux à Q, A. est au plus égale à 0. Si donc nous divisons 8/ en

intervalles partiels 8,?, 8,^, 8f', auxquels correspondent les

oscillations to^', toj', .... w^', on a

En subdivisant les intervalles 8/ on remj)lace donc \ par un
nombre plus petit.

Considérons deux séries de divisions de (a^b) en intervalles
partiels; aux divisions de la jiremière série correspondent les
nombres A,, A2, ..., à celles de la seconde les nombres a,, a^, ....
Nous supposons que, pour chacune des deux séries, le maximum
de la longueur des intervalles employés dans la Z''^'"'' division tend

vers zéro avec - (2); dans ces conditions nous allons voir qiie

les A/ et a/ ont une même limite.

(') C'est cette propriété que l'on énonce : la continuité est uniforme. On
exprime par là que la quantité T,(e) peut être choisie uniformément dans Tinter-
valle considéré, c'est-à-dire indépendamment de la variable x.

(-) Les points de division employés dans la /'*■"• division ne sont pas nécessai-

LA DÉFINITION DE L INTÉGRALE DONNÉE PAR RIEMANN. 23

Comparons A, et ay ; les intervalles qui seront dans la division Ay
qui donne ay sont de deux espèces : les uns, les intervalles d^ con-
tiennent à leur intérieur des points de la division D/ qui donne A/;
les autres, les intervalles d' ^ sont compris dans des intervalles de D/.
La contribution des intervalles d au numérateur de ay est au plus
n\jÙ^ si n est le fîDmbre des points de division de D^ et Xy le maxi-
mum de la longueur des intervalles de Ay. Les intervalles d' font
partie de la division Ay obtenue en réunissant les points de divi-
sion de D/ et Ay, donc ils fournissent au numérateur de ay une
contribution au plus égale à {b — «)Ay, où Ay est le nombre
analogue à A et relatif à Ay. Mais, puisque l'on sait que A'- est au
plus égal à A/, on en déduit

Tous les ay, à partir d'un certain indice, sont inférieurs à
A/H- £(£ >> o) ; donc leur plus grande limite est au j)lus A/4- e et,
puisque i et £ sont quelconques, la plus grande limite de ay est au
plus égale à la plus petite des A/. Rien n'empêche d'échanger dans
le raisonnement A^ et ay; donc, toutes les limites des A/ et des ay
sont égales, A^ tend vers une limite déterminée. Cette limite cj est
VoscillaLion moyenne de la fonction dans (a, b).

Il faut remarquer ce que nous avons démontré : A/ tend unifor-
mément vers cp; c'est-à-dire que, dès que tous les intervalles sont
inférieurs à un certain nombre )., le nombre A ne diffère de lo que
d'une quantité inférieure à s choisi à l'avance.

11. — Conditions dHntégrabilité.

Ces défijiitions posées, j'arrive à la définition de l'intégrale telle
que l'a donnée Riemaiin.

Riemann porte son attention sur le procédé opératoire qui
permet, dans le cas des fonctions continues, de calculer l'intégrale
avec telle approximation que l'on veut, et il se demande dans quels

rement employés dans la i -f-i'»™-'; en d'autres termes, pour passer d'une division
à la suivante, on ne subdivise pas les intervalles de cette division, on marque de
nouveaux intervalles sans s'occuper de ceux précédemment employés.

24 CHAPITRE II.

cas ce procédé, appliqué à des fonctions discontinues, donne un
nombre déterminé.

Soit une fonction bornée f{-r) définie dans un intervalle
fini {a, b). Divisons (c/, h) en intervalles partiels ô,, 80, ..., ù,i et
choisissons arbitrairement, quel que soit /, un point r/ dans 5/ ou
confondu avec l'une des extrémités de o/. Considérons la somme

S = 81 f{j-x ) -^- Oo /(a;., ) -h . . . -+- o„ /( x„ ).

Augmentons constamment le nombre des intervalles 0 et choisis-
sons-les de telle manière que le maximum de leur longueur tende
vers zéro ('). Alors, si S tend vers une limite déterminée, indé-
pendante des intervalles et des points xi choisis, Riemann dit que
la fonction y*(j7) est intégrable et a pour intégrale, dans (a, />), la
limite de S.

Lorsque 3,, 80, ..., ô,^ sont choisis, le nombre S n'est pas
entièrement déterminé ; ses limites inférieure et supérieure d'in-
détermination sont :

où // et L/ représentent les limites inférieure et supérieure
de/(^) dans o/. Posons L/ — //r=z co/, alors

S — S — SO/CO/.

l^our que L tende vers une limite déterminée, il faut d'abord
(pie S — S tende vers zéro; mais So/o)/ tend vers {h — «)(•), où
(0 est l'oscillation moyenne de /{-r); donc, pour que f{oc) soit
intégrable, il faut qu elle soit à oscillation moyenne nulle.

Cette condition est sujfisante. Pour le démontrer, il suffit de
prouver que S a une limite bien déterminée, puisque S — S tend
vers zéro. Supposons, pour faire cette étude, que l'on raisonne
non sur la fonction/", mais sur/'-^- A, k étant une constante telle
que y -f-/r ne soit jamais négative.

Soient les divisions D,, D^, ...; A,, A^,, ..., telles que le maximum
de la longueur des intervalles {partiels tende vers zéro, ce maximum

(') Il est bien entendu que, pour passer d'une division à la suivante, on n'est
pas obligé de se servir des points de division déjà employés.

LA DKFIMTION I)K L IN TKGH ALK HONNEK PAU KIKMANX. 23

est Ay pour Ay. Soient S,, Sj, ...: 2,, l.^i '-•■> les nombres ana-
logues à S et correspondant à ces divisions.

Comparons S/ et Sy. Partageons les intervalles de Ay en deux
espèces, comme il a été dit dans 1 étude de l'oscillation moyenne
(p. 2.3). Les intervalles cl fournissent, dans 2y, une contribution
au plus égale à /lAyL, où L est le maximum de f{x) dans («, b).
Les intervalles cl' figurent tous dans Ay à laquelle correspond ^j\
donc, la contribution des intervalles d' dans Sy est au plus égale
à 2' . Mais Ay s'obtient en morcelant les intervalles de D/; il est
évident, dans ces conditions, que S. est au plus égale à S/. De
tout cela on tire

De cette inégalité on conclut, comme précédemment, que S/
et Sy ont la même limite et même qu'ils tendent uniformément
vers cette limite.

La propriété est démontrée pour /-4- X, donc elle est Vraie
pour /, car, en passant de / à ./-!-/, on augmente toutes les
sommes S de A'(^ — a).

Il est important, pour la suite, de remarquer que nous avons
démontré l'existence d'une limite pour S sans faire aucune hypo-
thèse sur la fonction bornée /{jo)- La condition que f{x) est à
oscillation moyenne nulle est intervenue seulement lors(pie, de
l'existence d'une limite pour S, nous avons déduit l'existence
d'une limite pour S.

On peut transformer la condition d'intégrabilité obtenue : il faut
et il suffit que la somme ^oitùi tende vers zéro. Gela revient à
dire que les intervalles O/, dans lescpiels (o/ est supérieure à un
nombre positif £ arbitrairement choisi, ont pour «assez grand une
longueur totale A aussi petite que l'on veut, car on a :

>.£ 1 S 0/ tu/ £ ( /^ — rt — X ) £ ^- Àii,

Q étant l'oscillation de f{jo) dans («, b). On a ainsi renoncé
donné par Riemann :

Pour qu^ une fonction bornée soit intégrable dans (^, 6), il
faut et il suj/it <ju'on puisse diviser [a, b) en intervalles

•26 CIIAIMTIU- II.

pai tiels tels que la somme des lonoueurs de ceux de ces
intervalles dans lesquels l^oscillation est plus grande que s,
quel que soit s >> o, soit aussi petite que l'on veut.

Si une telle division est possible, il s'en trouve une dans toute
suite de divisions telles que le maximum de la longueur des inter-
valles partiels tende vers zéro, puisque, quelle que soit cette suite,
Sô/tO| tend toujours vers le même nombre.

De cette propriété de Sô/w/ résulte aussi que, si à une suite de.
divisions delà nature considérée correspondent des nombres S et S
ayant la même limite, nous j)ouvons affirmer l'intégrabilité de la
fonction considérée.

La forme donnée par Riemann à la condition d'intégrabilité
montre bien que les fonctions continues sont intégrables, mais
elles ne met pas en évidence le rôle des points de discontinuité de
la fonction. Paul du Bois-Reymond a mis ce rôle en évidence par
une transformation de la condition d'intégrabilité. L'énoncé de
du Bois-Reymond suppose connue la définition des groupes inté-
g râbles.

Un ensemble de points d'une droite constitue un groupe inté-
grable, si les points de l'ensemble peuvent être enfermés dans un
nomhre fini de segments dont la somme des longueurs est aussi
petite que l'on veut (♦).

Un nombre fini de j)oints constitue un groupe intégrable, mais
la réciproque n'est pas vraie.

Considérons l'ensemble Z des points dont les abscisses sont
données par la formule

ai «2 ^s

dans laquelle tous les a sont égaux à o ou 2. Cet ensemble s'ob-
tient en retranchant de l'intervalle (o, i) d'abord les points inté-
rieurs à l'intervalle ( .t> t)> puis les points intérieurs aux inter-

(') On peut, à volonté, considérer (ju'un point est enfermé dans un intervalle,
soit s'il est intérieur à cet intervalle ou confondu avec ses extrémités; soit, s'il
est intérieur à l'intervalle, les extrémités exclues. Les deux définitions corres-
pondantes des groupes intégrabies sont évidemment identiques.

LA DÉFINITION DE L INTEGRALK DONNKK PAR RIEMANN. 9.7

valles (3V ^)' {l~^ i^-' î~^ V-)' '^"^^ ^^* points intérieurs aux
intervalles (33, .^'^,), (|, + ^' ^ + §'0 ' (3"^^' '3"^3'3)'
( - -t- i _i_ -L , i _j_ 1. _L_ ^ \ , .... On divise donc toujours chaque

V3 ■ 32 ' 33 3 ^ 32 ^ 3y , -^ ^

intervalle restant en trois parties égales et l'on enlè\e la partie
du milieu. Aj)rès n de ces opérations, il reste 2" intervalles;
ces 2" intervalles peuvent servir à enfermer (') les points de Z;

or, ils ont une longueur totale ^» Z est donc un groupe inté-

grable. Cette construction de Z montre de plus cpi'il est parfait,
donc il a la puissance du continu (-).

Il est évident que l'cnseinhle formé par la réunion des points de
deux groupes intégrables est un groupe intégrable.

Voici maintenant l'énoncé de du Bois-Reymond :

Pour qui/ne fonction bornée soit intés^rable, il faut et il
suffit que, quel que soit £ > o, les points oit l'oscillation est
supérieure à z forment un i^roupe intégrable.

Supposons /* intégrable, alors on peut diviser («, b) en inter-
valles partiels tels que ceux dans lesquels l'oscillation est supé-
rieure à £ aient une longueur totale inférieure à t,. Un point où
l'oscillation est supérieure à £ ne peut être contenu dans un inter-
valle où l'oscillation n'est pas supérieure à £, donc un tel point est
nécessairement l'un des points qui ont servi à la division de (<7, 6),
ou bien il est dans les intervalles de longueur r,. Les points de
divisions étant en nombre fini, les points où l'oscillation est supé-
rieure à £ peuvent être enfermés dans un nombre iini d'intervalles
de longueur totale 2r,, et, comme r, est quelconque, ils forment un
groupe intégrable.

Récipro([uement, nous su|)()()SOiis (pie les j)oints d'oscillation
plus grande (jue £ foi-menl un groupe intégrable. On peut donc les
enfermer dans un n()nd)re fini d'intervalles de longueur totale r,.
Employons ces intervalles 1 à la division de («, ^) et soient I' les

(') Knfcrmor est pris ici nu sons large.

(^) On peut (lire au-si que Z a la puissance du continu parce qu'il dépend d'une
infinité dénonibral)le de constantes entières a,, a^, ....

9.8 CHAPITRK II.

autres intervalles. Dans chaque T, il n'y a plus de points d'oscilla-
tion plus grande que *, chacun de ces intervalles [)eut donc être
divisé en intervalles partiels l" dans chacun desquels l'oscillation
est au plus 2 s. Les seuls intervalles, à oscillation plus grande
que 2£, sont donc certains des intervalles I; leur longueur totale
est au plus r^ et cela suffit, d'après le critérium de Rieniann, pour
affirmer que /est intégrable.

Dans l'énoncé précédent, on peut remplacer l'ensemble G(£)
des points où l'oscillation est supérieure à s par l'ensemble G, (e)

des points où l'oscillation n'est pas inférieure à e, car G ( - j con-
tient G| (s) qui contient lui-même G(£).

L'ensemble G,(e) jouit d'une propriété q- ' va nous permettre
une dernière transformation de la condition d ^ntégrabilité : G< (s)
est fermé. En eiï'et, si A est un point limite de G, (e), tout inter-
valle contenant A. contient des points de G, (e) et /' a une oscilla-
tion au moins égale à s dans cet intervalle.

Pour le nouvel énoncé de la condition d'intégrabilité, je vais
faire appel à une notion qu'on retrouvera dans la suite : celle
d'ensemble de mesure nulle. C'est un ensemble dont les points
peuvent être enfermés dans un nombre fini ou une infinité dénom-
brable d'intervalles dont la longueur totale est aussi petite que l'on
veut.

Un point, un groupe intégrable sont des exemples d'ensembles
de mesure nulle. L'ensemble E formé par la réunion d'un nombre
fini ou d'une infinité dénombrable d'ensembles E,, de mesure nulle
est évidemment aussi de mesure nulle (' ); tout ensemj^le dénom-
brable de points est de mesure nulle. Ceci suffit pour montrer la
différence qu'il y a entre un ensemble de mesure nulle et un
groupe intégral)le : le premier peut être partout dense, le second
est toujours non dense.

Soity(^) une fonction intégrable, ses points de discontinuité
sont ceux de l'ensemble obtenu par la réunion des groupes inté-

(') Car on peut eiifcrtncr K„ dans une inliiiité dénonihrablc d'inlervalles a„ de
longueur totale ——^ et l'ensemble E, somme des E„, peut être enfermé dans l'in-
finité dénomhrahic d'iiitt-rvallos a,-i-a,-f-.. de longueur totale > r = e.

I - î^ ^ 2"-' '

LA DEFINITION DK I. INTEGRALE DONNEE PAR RIEMANN. 29

grables G(i), G(-J5 G(x)> •••; ils forment donc un ensemble

de mesure nulle.

Soil maintenant une fonction hornée f{^x) dont les points de
discontinuité forment un ensemble de mesure nulle. G, (s) fai-
sant partie de cet ensemble est de mesure nulle, et il est fermé;
nous démontrerons plus tard que cela suffit pour affirmer que
G, (e) est un groupe intégrable (* ). /"est intégrable.

Pour (j a une fonction hornée fi^x) soit intégrable, il faut et
il suj/it que l^ensenible de ses points fie discontinuité soit de
mesure nulle.

Comme exemple Me fonction discontinue intégrable, Riemann
cite la fonction '

•^ i 4 9

Son intégrabilité résulte du fait que les seuls points de disconti-
nuité, étant de la forme x =: -— , forment un ensemble dénom-

' in

brable, donc de mesure nulle; ou encore, du fait que, l'oscillation
étant ^— 2 pour jc r= — > les points en lesquels l'oscillation est

supérieure à s sont en nombre fini.

Pour avoir une fonction intégrable ayant une infinité non dénom-
brable de points de discontinuité, reprenons l'ensemble Z qui a été
défini précédemment (p. 26). La fonction f{x) admettant la
période i, qui entre o et i est nulle pour tous les points, sauf pour
les points de Z où elle est égale à 1 , est intégrable. Ses points de
discontinuité forment en effet le groupe intégrable Z; Z étant
parfait a la puissance du continu (-).

Si l'on veut maintenant que, dans tout intervalle, il j ait un
ensemble non dénombrable de points de discontinuité, il suffira
d'appliquer le principe de condensation des singularités. On pourra

( • ) Voir p. 109.

(-) Les deux fonctions qui précèdent ne sont pas intégrables par le procédé de
Caucliy-Diriclilet, puisque l'ensemble de leurs points de discontinuité n'est pas
réductible.

3o «;l!AJMTRK II.

considérer, par exemple, la fonclioii

^ \ ^ K

^Q ^

m

Ses seuls points de discontinuité sont, d'après les propriétés des
séries uniformément convergentes, ceux des fonctions /(^),

; donc ils forment un ensemble de mesure nulle et .p est

intégrable. .

III. — Propriétés de l'intégrale.

Le raisonnement qui précède est général, il permet de démon-
trer que :

Une série uniformément convergente de fonctions inté-
grables est une fonction intégrable.

En efl'et les points de discontinuité de la fonction somme sont
compris dans l'ensemble E formé des points de discontinuité des
difl'érents termes. Les points singuliers d'un terme forment un
ensemble de mesure nulle, donc E est de mesure nulle et la série
représente une fonction intégrable.

En particulier la somme de deux fonctions intégrables est
une fonction intégrable. De même le produit de deux fonc-
tions intégrables est une fonction intégrable, car les points de
discontinuité du produit sont points de discontinuité pour l'un au
moins des facteurs.

De même aussi, si f est intégrable et cjue -^ soit bornée^ y est

intégrable; si f est intégrable, la racine m^^^^ arithmétique
de f^ si elle existe, est intégrable; si f est positive et intégrable
et <p intégrable, f9 est intégrable ; etc.

L'opération /"('f), appliquée à des fonctions intégrables, peut
au contraire donner des fonctions non intégrables.

Prenons pour y* une fonction partout égale à i , sauf pour :r = o,
où elle est nulle. / n'ayant qu'un point de discontinuité est inté-
grable. cp sera nulle pour j" irrationnel cl égale à - pour ^ rationnel

LA DÉFINITION DE l'i.NTÉGRALE DONNÉE PAR RIEMANN. 3l

et égal H — (p el q premiers entre eux), cp est inlégrable puisque

ses points de discontinuité, étant ceux d'abscisses rationnelles, for-
ment un ensemble dénondjral)le.

La fonction y('^) est ici la fonction '/ (oc) de Dirichlet (p. i5),
fonction non intégrable puisque tous ses points sont des points de
discontinuité.

On peut préciser les deux premiers théorèmes qui viennent d'être
obtenus. Soient / et '.p deux fonctions intégrables; partageons
l'intervalle où elles sont données en parties o,, Oo, . . ., o« dans les-
quelles nous choisissons des valeurs .r,, x-i^ . • ., .r,i. On a

or les trois sommes qui figurent dans cette égalité sont des valeurs
approchées des intégrales dey-f- 'f , /, 'f ; donc l'intégrale de /-\- C5
est la somme des intégrales de y et de cû (*).

V intégrale d^ une somme est la somme des intégrales. On
suppose, bien entendu, qu'il s'agisse d'une véritable somme, c'est-
à-dire de la somme d'un nombre fini de termes et non pas d'une
série.

Pour arriver au cas des séries uniformément convergentes, il
nous sera commode de nous servir du théorème de la moyenne.

Soit/(.r) une fonction comprise entre /elL dans (a, ^). L'inté-
grale de / est, on le sait, la limite de la somme S = '^ùi/(.Xi),
mais on a

( 6 — a ) / = :S 0/ / s V Oif{.Ti) i^OiL = {b — a)L.

Donc S, et par suite sa limite, lintégrale, est comprise entre
{b — a)l et (b — «)L; elle est donc de la forme (b — ^)y-j où a
est compris entre / et L, c'est le théorème de la moyenne.

Ce qui le distingue du théorème des accroissements finis, dé-
montré pour les fonctions continues, c'est qu'il nous est impos-
sible d'affirmer que iji est l'une des valeurs que prend / dans (a, b).

( ' ) 11 suffit de modifier légèremenl la rédaction pour démontrer en même temps
rintégrabililé de/H- tp, laquelle est supposée antérieurement démontrée dans le
texte.

3-2 CllAPITUi: II.

De ce tliéorème il résulte que, si le mudulc de / est inférieur
à £, l'intégrale dey* est en module inférieure à \b — as.

Ceci posé, soit une fonction /somme d'une série unil'ormémenl
convergente de fonctions intégrables

f = w , _f- ff , _f- . . . 4- f^^j _^ _ _

Soient 5« la somme des n premiers termes, r,t le reste correspon-
dant, F, U«, S,i, Kn les intégrales de/, u,i, s,i, r„. S,, estla somme
des n premiers termes de la série

d'après le théorème sur l'intégration d'une somme. Ce même théo-
rème montre que

Or, dès que n est plus grand que /?, , i-,i est en module inférieur
à £, donc R/, est en module inférieur à 1 6 — a^t. Dès que n est plus
grand que /î, , | F — S,, | est inférieur à | 6 — ■ a | £. La série 2U„ est
donc convergente et de somme F.

Une se lie uniformi'ment convergente de fonctions inté-
grables est intcgvable terme à terme.

Les théorèmes précédents ne sont démontrés que dans le cas où
l'intervalle {a, h) est un intervalle positif (/> > a), puisque l'inté-
grale n'a été définie que dans ce cas. On comj)lète la définilicm
comme précédemment.

L'intégrale dans («, b) se notant toujours f f^x)dx, la défi-

*--^ Il
nition complémentaire s'exprime j)ar l'égalité

Il est évident que les théorèmes précédemment démontrés pour
les intervalles positifs sont vrais aussi pour h's intervalles négatifs.
J'ajoute qu'on vérifie immédiatement que

J f{x)dx^ j /(x)dx^ f f(x)dx = o.

L\ DKFIMTION DE LINTKGRALE OONNÉE PAR RIEMANN. 33

IV. — Intégrales par défaut et par excès.

La définition qui vient de nous occuper a été obtenue en appli-
quant, à des fonctions discontinues, le procédé de calcul des inté-
grales de fonctions continues. Nous savons qu'il existe des fonc-
tions bornées, les fonctions non intégrables, pour lesquelles ce
procédé ne conduit pas à un nombre déterminé. Mais on peut
cependant, à Taide de ce procédé, attacher à chaque fonction
bornée deux nombres parfaitement définis.

Nous avons vu (p. 20) que les sommes S = Sô/L/ tendent

vers une limite parfaitement déterminée quand les o/ tendent vers

zéro d'une manière quelc()n(jue, cette limite est l'un des deux

nombres dont il s'agit; on l'appelle \ intégrale par excès et on le

/.^
re|)résente par le symbole / j\x) dx^ qui s'énonce : intégrale

^ (I

par excès de <? à 6 de f{x).

De la même manière, on peut démontrer l'existence d'une limite
pour les sommes S = 28///. D'ailleurs, en étudiant l'oscillation
moyenne (p. 22), nous avons vu que 2o/w/ tend vers une limite
parfaitement déterminée (6 — a)a) et comme l'on a

l'existence de la limite de S est démontrée (*). C'est V intégrale

par défaut (\u on nolc 1 f{x)dx.

' Il

Ces deux nombres ont été définis pour la première fois, d'une
façon précise, par M. Darboux.

Pour compléter leurs définitions, données seulement pour ^ > a,
on pose

(') On pourrait aussi déduire l'existence de cette limite de l'existence de l'in-
tégrale par excès pour — /.

L. 3

34 CHAPITRE II.

Il faut remarquer que, dans un intervalle négatif, Tinté^^rale par
excès est plus petite que Tinlé^rale par défaut.
On a toujours

Jn Jb Je Jg Jh Jç

mais, si l'intervalle d'intégration étant positif, on a

comme on le voit par un raisonnement analogue à celui de la
page 3i, et non pas les mêmes relations où les signes d'inégalité
sont remplacés par des signes d'égalité; les signes d'inégalité sont
indispensables; par exemple, prenons f(x)^='j(^{x) (p. i5), et
'f(x} = — '/('^)j nous aurons, dans (o, i).

I (M.

l/intégrale a été définie comme la limite du nombre

quand le maximum À des S/ tend vers zéro. Posons S = ^(^)) nous
définissons ainsi une fonction à déterminations multiples (p. 21).
Les limites d'indétermination de la limite de ^()0 pour \ = o sont
les deux intégrales par excès et [)ar défaut. Ceci fait prévoir que
ces deux intégrales nous feront souvent connaître des limites infé-
rieure et supérieure d'un nombre quand on saura que ce nombre

est donné par une intégrale / fdx toutes les fois que /" est inté-
grable.

Pour mieux étudier l'indétermination de la limite de S, il fau-
drait déterminer l'ensemble A de toutes les valeurs limites de S (''^).

(') Si l'on remplace /(a;) par une fonction non intégrable quelconque, les
signes d'inégalité sont indispensables.

(') Dans ceriains cas, on a délcrminé non stuieinenl l'ensemble des limites
d'une fonction <f(X), mais encore la fréquence de chacune de ces limites. Cela
a été fait notamment pour la sommation de certaines séries divergentes. ( Voir
BoREL, Leçons sur les séries divergentes, p. 5 ).

LA DÉFINITION DE l/lNTÉ(.RALE DONNEE PAR RIKMANN. 35

Pour le cas de l'intégrale, on a cette propriété que je me conten-
terai d'énoncer : Tout nombre compris entre les intégrales par
excès et par défaut est l'une des limites des sommes S, quand Â
tend vers zéro (' ).

(') A titre d'exercice concernant les intégrales par excès et par défaut, on
pourra démontrer que, f{x) étant une fonction bornée d'oscillation moyenne w
dans (a, b) et dont les limites inférieure, supérieure et l'oscillation en x sont L(x),
l{x) et w(;r ), on a

(^

«)w -^ j f{x) dx~ 1 f(x)dx = lh{x)dx - j l{x) dx = fui{x)dx.

Les mêmes relations sont vraies si, dans la définition de L{x), l{x,)^ w(x),
on exclut la valeur x de la variable, ou si, par ces notations, on désigne les limites
supérieure, inférieure et l'oscillation à droite ou à gauche, x étant exclu ou non.
( Voir la note i, p. 19).

CHAPITRE III.

n K F I N I T I O N G É O M É T R 1 0 U K I) K l/ 1 N T K G R A I. E

I. — La mesure des ensembles.

Dans le premier Chapitre, la définition de l'intégrale a été
rattachée à celle de certaines aires; nous allons rechercher si, par
une voie géométrique analogue, on peut arriver à la définition
générale de Riemann. Nous verrons que cela est possible, de sorte
que l'intégrale de Riemann apparaît comme la généralisation natu-
relle de l'intégrale de Gauchy, que l'on se place au point de vue
analytique ou géométrique (^).

Je vais d'abord attacher aux ensembles des nombres qui seront
les analogues des longueurs, aires, volumes attachés aux segments.

(') Dans ce qui suit, je supposi^ définie la longueur ( euclidienne) d'un segment
et l'aire (euclidienne) d'un polygone.

Pour éviter toute difficulté, il est commode de considérer un point comme un
ensemble de trois nombres x^ y, z; un déplacement comnje un changement de
coordonnées dont les coefficients sont assujettis aux conditions connues. Alors,
par définition, la distance des deux points (a, b, c), (a, ji, y) est

La fonction ainsi définie est, à un multiplicateur constant pr«îs, la seule fonction
de deux points qui reste invariable dans les déplncements et telle que l'on ail

/(P,Q)-+-/(Q,R)=/(P,R ,

lorsque Q est sur le segment PR. C'est de là que vient riniporlance du nombre
longueur.

L'aire d'un polygone est définie par les théorèmes de Géométrie élémentaire;
l'importance de ce nombre se justifie comme celle de la longueur. (Voir la Géo-
métrie élémentaire de M. Hadamard, note D, ou encore la Géométrie de
MM. Gérard et Niewenglowski.)

DÉFINITION GÉOMÉTRIQUE DE L INTÉGRALE. 3y

aux domaines plans ou aux domaines de l'espace. C'est à M. Canlor
que l'on doit la première définition de ces nombres ; je vais adopter
la méthode d'exposition de M. Jordan qui a simplifié et complété
la définition donnée par M. Gantor (*).

Soit E un ensemble borné (-) de nombres ou, si l'on veut, de
points sur une droite. Soit («, b) l'un des intervalles contenant E.
Divisons (a, b) en un nombre Jl ni d'intervalles partiels. Soit X le
maximum de la longueur de ces intervalles. Je désigne par A la
somme des longueurs des intervalles partiels qui contiennent des
points de E et par Bla somme des longueurs de ceux dont tous les
points font partie de E (^). M. Jordan démontre que A etB tendent
vers deux limites parfaitement déterminées quand X tend vers zéro.
Pour nous l'existence de ces limites est évidente, car A et B sont
des valeurs approchées des intégrales par excès et par défaut de la
fonction 'l égale à i pour les points de E, nulle pour les autres
points ('•).

(>) Dans le cas d'un ensemble de points dans l'espace, la définition qu'emploie
M. Cantor {Acta Matliematica, t. IV) peut être énoncée ainsi : De chaque
point M d'un ensemble ii comme centre traçons une sphère de rayon p; l'ensemble
des points intérieurs à ces sphères forme un ou plusieurs domaines dont on a
le volume (au sens ordinaire du mot) par une intégrale triple. Soit/(p) ce
volume; la limite de/(p), quand p tend vers zéro, est le volume de E.

Cette définition est équivalente à celle de l'étendue extérieure donnée par
M. Jordan (t. I" de la 2" édition de son Cours d'Analyse).

M. Minkowski s'est servi du nombre /(p). Dans le cas où K est formé de

fi?) ■ •

points d'une courbe, M. Minkowski considère le rapport ^^^ ; s'il a une limite,

c'est ce que M. Minkowski appelle la longueur de la courbe. L'aire d'une surface

se définit par le rapport — '— .
^ ^'^ 2p

On voit que le nombre /(p) peut rendre des services dans la théorie des
ensembles. Ce qui précède semble montrer qu'il peut être employé de didérentes
manières suivant le nombre de dimensions de E; d'ailleurs, M. Cantor indiquait
dans son Mémoire que la notion de volume lui servait dans la délinition du
nombre des diinensions d'un ensemble continu. Dans beaucoup de questions, il
semble qu'une telle définition serait fort utile, malheureusement M. Cantor n'a
pas publié ses recherches sur ce sujet.

{-) C'est-à-dire dont tous les nombres sont compris entre deux limites finies.

(') On peut donner deux sens aux deux expressions « un intervalle contient
des points » et « tous les points d'un intervalle » comme au mot « enfermé »
{voir note i, p. 26). Il est indifférent d'adopter l'un ou l'autre.

(*) M. de la Vallée-Poussin définit les étendues extérieure et intérieure à l'aide
de <}.

38 CHAPITRK III.

I.a liinlle de A s^Ap\^e\\eV étendue extérieure de E, e^(E); celle
de B est V étendue intérieure, e/(E).

Quand ces deux étendues seront égales, nous dirons que l'en-
sendde est mesurable J, c'est-à-dire par le procédé de M. Jordan,
et d'étendue (' )

dans ce cas, la fonction •} attachée à E est intégrable au sens de
Riemann et son intégrale dans («, h) est e(E).

Interprétons la condition d'intégrabilité de 'i>. Les points de
discontinuité de ^ sont les points de E qui sont limites de points
ne faisant pas partie de E, et les points limites de E qui ne font
pas partie de E. Ces points sont appelés, par M. Jordan, les points
frontières de E; leur ensemble est \di frontière de E. Donc, pour
qu'un ensemble soit mesurable J, 11 faut et il suffit que sa frontière
forme un groupe intégrable.

Cette condition peut se transformer si l'on remarque que, par
définition, pour un groupe intégrable, A tend vers zéro. De sorte
qu'un groupe Intégrable est un ensemble ' d'étendue extérieure
nulle ou, si l'on veut, un ensemble mesurable J et d'étendue nulle.

La méthode précédente ne pourrait être appliquée aux ensembles
formés des points d'un espace à plusieurs dimensions que si nous
avions étudié au préalable les Intégrales multiples par défaut et par
excès. Une telle étude ne présente pas de difficultés, mais il est
plus simple (renq)loyer la méthode de M. Jordan qui est, en
somme, la démonstration de l'existence de ces intégrales dans le
cas particulier de la fonction <l.

Considérons dans le plan un ensemble de points E borné, c'est-
à-dire tel que l'ensemble des coordonnées des points de E soit
borné. Un tel ensemble est tout entier contenu dans un carré con-
venablement choisi, d'aire R. Divisons le plan en petits carrés dont
l^naximum de la diagonale est À. Soit A la somme des aires de
-"^ccux des carrés qui contiennent des points de E et B la somme des
aires de ceux dont tous les points appartiennent à E. A et B sont
plus petites que H. Il faut monlrcr (ju'elles tendent vers des limites

(') O'esi à dessein que le mot étendue est employé ici ; le mol mesure, que l'on
emploie souvent comme synonyme d'éiendue, scia défini plus loin.

DÉFINITION GÉOMÉTRIQUE DE LINTÉGRALE. 3g

déterminées quand A tend vers zéro ; pour cela, considérons d'abord
une suite de divisions Di, D,, ..., auxquelles correspondent les
nombres A,, B<, Ao, B^, ..., et telles que les X correspondants
tendent vers zéro; et soit une suite de divisions Ay auxquelles cor-
respondent les nombres olj et ^j, et telles. que les nombres Xy cor-
respondants tendent vers zéro.

Comparons A/ et ay. Les carrés de Ay sont de deux espèces : les
carrés d qui contiennent à leur intérieur des points des côtés des
carrés de D,, les autres sont les carrés d'. Les points des carrés d
forment un ensemble qui est contenu dans l'ensemble des points
distant de moins de Xj de l'un au moins des points des côtés des
carrés de D/.

Si dans D/ il n'y avait qu'un seul carré de périmètre 4^? cet
ensemble serait décomposable en domaines dont la somme des
aires, au sens élémentaire du mot, serait ScAyH- (tï — 4)^y pour
c >> 2Xj', plus généralement, si dans D/ la somme des périmètres
des carrés est /, l'ensemble correspondant sera divisible en do-
maines dont la somme des aires est au plus 2 IAj. Ce nombre est
aussi le maximum de la contribution dans olj des carrés d.

Quant aux carrés d', ils donnent évidemment une contribution
au plus égale à A/. Donc, on a

ocj A,- -h 2/Xy,

et cela suffit (*) pour démontrer que ay et A/ tendent vers une
même limite e^U.

Le nombre X, dont l'existence vient d'être démontrée, est
l'étendue extérieure de E, e^(E); mais il s'agit ici d'une étendue
superficielle. Cette distinction est importante à noter, car tout
ensemble de points en ligne droite a une étendue superficielle
extérieure nulle et peut avoir une étendue linéaire extérieure
quelconque.

On démontrerait de même (|ue B/ et Py tendent vers une même
limite ili>. On peut aussi remarquer que, si à la di\ision Ay et à
l'ensemble des points du carré d'aire R, qui n'appartiennent pas
à E, on associe deux nombres a' et jiy, analogues à ay et fiy, on a

oi'j^^j= R
(') Comparez avec le raisoniiemenl de la page 23.

{O CHAPITRE 111.

et Texislence, qui \ i<'Qt trèlie prouvée, de la limite de a^ montre
l'existence de la limite de ,3y. Cette limite est l'étendue superli-
cielle intérieure de E, ei(E),

Comme pour les ensembles linéaires, on dira qu'un ensemble
est mesurable J et d'étendue e{E) --e^(E), si les deux étendues
extérieure et intérieure sont égales.

Si nous remarquons que les carrés qui servent dans A sans
servir dans B sont ceux que l'on devrait considérer pour avoir
l'étendue extérieure de la frontière de E, on voit que la frontière
de E a pour étendue extérieure ^^^'(E) — e/(E); de là se déduit la
condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble soit mesu-
rable J.

J'ai déjà employé le mot domaine, il est utile ici de préciser ce
qu'il faut entendre par là.

Une courbe est rensemble des formules

.r^x{t), y=--y{t), zr-.z(t);

où ^(^), jv (^ - ^(0 *^^^ ^^^^ fonctions continues définies dans un
intervalle fini (^Iq, ^,). Les points de la courbe sont ceux que l'on
obtient en donnant à / une valeur déterminée quelconque; les
points qui ne correspondent qu'à une valeur de t sont dits simples,
les autres multiples. Si les deux points correspondant à /„ et /,
sont identiques, la courbe est dite fermée; si le point /o? ^i ne
correspond à aucune autre valeur de t^ ce point n'est pas considéré
comme multiple.

Si l'on remplace t [)ar une fonction toujours croissante ou tou-
jours décroissante de 8, on obtient une nouvelle courbe qu'on ne
considère pas comme différente de la première; mais deux courbes,
auxquelles correspondent le même ensemble de points, peuvent
être différentes; c'est le cas des deux courbes, définies dans

(^— -, -^ ^y ^ = sin^ r=^o, z = o\ jc=: -sin--^, 7 = 0,

5^=0.

Dans le cas d'une courbe fermée, on peut faire la transformation

^ =^ ~ et considérer les fonctions de 8 obtenues comme pério-

diques et de période 1. Alors, pour définir la courbe, il suffira de
se les donner dans un intervalle quelconque d'étendue 1 et non
plus nécessairement dans (o, 1); enfin l'on pourra, dans cet inter-

DÉFINITION GÉOMÉTRIQUE DK l'iNTÉGRALK 4»

valle, remplacer 0 par une fonction toujours croissante ou toujours
décroissante de t. Toutes les courbes ainsi obtenues sont regardées
comme identiques.

M. Jordan a démontre ri<;oureusement, dans la deuxième édition
de son Cours d' Anal) se, (pi'une courbe fermée sans point mul-
tiple sé[)are le plan en deux régions ('); nous admettrons ce
résultat.

Les points de la région intérieure constituent ce que l'on appelle
le domaine limité par la courbe. Relativement aux points de
cette courbe, on peut faire deux conventions, les considérer comme
points du domaine ou non, cela a peu d'importance.

I^a frontière d'un domaine est constituée par la courbe fermée
qui sert à le définir.

Lorsque les deux étendues extérieure et intérieure d'un domaine
sont égales, le domaine est dit quarrable et son étendue superfi-
cielle est appelée son aire (-).

Pour qu'un domaine soit quarrable, il faut ([ue sa courbe fron-
tière soit d'étendue extérieure nulle; une telle courbe est dite une
courbe quarrable. Un carré est évidemment cjuarrable.

De la définition des domaines quarrables, il résulte cpie rien n'au-
rait été changé si l'on avait supposé que la division Ay (p. 89) était
une division en domaines quarrables de diamètres inférieurs à \j.

Voici maintenant des exemples des diverses circonstances qu'on
vient d'envisager.

I^es groupes intégrables nous fournissent un premier exemple
d'ensembles mesurables J linéairement. En [)articulier, Teii-
sendile Z (p. 26) est d'étendue extérieure nulle. 11 en sera de
même, a fortiori, de tout ensemble formé à l'aide des points de Z;
tous ces ensembles sont donc mesurables J et d'étendue nulle.
Gomme Z a la puissance du continu, il est possible d'établir une
correspondance bi-uuivoque entre les points de Z et ceux d'un
intervalle, de sorte (|u'à tout ensendjle de points de cet intervalle
corres[)ond un ensemble de points de Z; donc l'ensemble des
ensembles mesurables J a une puissance au moins égale à celle de

(') Voir aussi le Traité d'Analyse de M. «le la \ allée-Poussin.
(■-) D'ailleurs, quehjues auteurs emploient toujours, à la place des mots étendue
linéaire et étendue superjicielle, les mois longueur et aire.

42 CHAPITRE III.

rensemblc des ensembles de points el, comme il ne peut évidem-
ment avoir une puissance supérieure, il a exactement cette puis-
sance (*).

Un autre exemple d'ensemble mesurable J linéairement nous
est fourni par un nombre fini d'intervalles. Si d'un tel ensemble
on retire un groupe intégrable, il reste un ensemble mesurable J,
l'étendue n'a pas varié.

On verra facilement que l'ensemble mesurable J le plus général
ne diffère d'un ensemble mesurable J, formé par une infinité
dénombrable d'intervalles, que par l'addition d'un certain groupe
intégrable G,, et par la soustraction d'un autre groupe inté-
grableG, (2).

Il est aussi facile de citer des ensembles mesurables J superfi-
ciellement. Tout ensemble Z,, se projetant sur l'axe des x suivant
l'ensemble Z, de manière qu'à chaque point de Z ne corresponde
qu'un point de Z,, est un ensemble mesurable J de mesure super-
ficielle nulle. Les ensembles de mesure superficielle extérieure
nulle jouent, dans la théorie des intégrales doubles, au sens de
Riemann, le même rôle que les groupes intégrables sur une droite ;
on peut les appeler les groupes intégrables du plan.

Un carré est un ensemble mesurable J superficiellement. A
partir de carrés et de groupes intégrables dans le plan, on construit
tout ensemble mesurable J du plan comme on l'a fait dans le cas
de la droite.

f^es groupes intégrables du plan peuvent être assez différents des
groupes intégrables de la droite. Z, est, comme Z, un ensemble
discret; c'est-à-dire qu'on ne peut passer par un chemin continu
d'un point à un autre de cet ensemble qu'en passant par des points
qui ne sont pas de l'ensemble. Mais un groupe intégrable dans le
plan peut être un ensemble continu, c'est-à-dire un ensemble tel

(') Il est fait usage ici d'un lliéorènie très important sur la comparaison des
puissances dont on trouvera dans la Note I des Leçons sur la théorie des fonc-
tions do M. liorel une démonstration due à iM. Bernstein. Ce théorème est sou-
vent utile; on peut renoncer ainsi :

Si un ensemble E contient un ensemble E, et est contenu dans un ensemble Vj^,
E, et E2 ayant même puissance, E, E,, Ej ont même puissance.

(') Si par points d'un intervalle on entend les points intérieurs à cet intervalle,
la considération de Gj est même inutile.

DÉFINITION GÉOMKTRlQLIi DE l'iXTÉGRALE. 43

que deux quelconques de ses points puissent être joints par une
courbe ne passant que par des j)oints de l'ensemble; nous savons
en efl'et qu'un serment, un polygone, une circonférence, une
ellipse sont d'étendue superficielle extérieure nulle.

Les courbes qui sont des groupes intégrables sont celles que
nous avons appelées (juarrables.

Pour a\oir un ensemble non mesurable!, il suffit de prendre un
ensemble partout dense qui ne contienne aucun intervalle, s'il
s'agit d'un ensemble sur la droite ; qui ne (Soutienne aucun domaine,
s'il s'agit d'un ensemble dans le plan; pour un tel ensemble, en
effet, l'étendue intérieure est nulle, l'étendue extérieure ne l'est
pas. L'ensendjle des points dont les coordonnées (ou la coor-
donnée) sont rationnelles n'est donc pas mesurable J.

P. du Bois-Reymond a remarqué qu'un ensemble peut être ])ar-
tout non dense sans être mesurable J. Prenons une suite de frao
tions a,, tx.,^ • •- telles que le produit infini P - a, x a^X- • • soit
convergent et différent de zéro; on jnendra, par exemple,

a,, = ~ — 5—. Divisons l'intervalle (a, b) en trois parties, celle du

milieu étant de longueur (b — a){i - a,), les deux extrêmes étant
égales. Barrons les points intérieurs à l'intervalle du milieu et
opérons sur les deux intervalles restants comme sur (a, b). a, étant
remplacé par aa, et ainsi de suite. Soit R l'ensemble des points
restant après toutes ces opérations. Si Ton se sert des divisions suc-
cessives qui ont donné R pour calculer l'étendue extérieure de R,
on voit que cette étendue est P(^ — «), donc qu'elle est différente
de zéro. Or l'étendue intérieure est nulle, puisque R est non dense,
R n'est pas mesurable J (M.

Une construction tout à fait analogue peut être faite dans le cas
du plan; on pourra, par exemple, diviser un rectangle, par deux
séries de tiois parallèles à ses côtés, en neuf rectangles et barrer
les points intérieurs à celui du milieu, qu'on cboisira de manière
que son aire soit ( i — a, ) fois (;elle du rectangle primitif. Puis on
opérera sur cbacun des huit rectangles restants en remplaçant a,
par a2.

(*) Si l'on avait a„ — „' > on aurait rcnsemble Z qui est mesurable J, parce que
P est nul.

j4 CHAPITRE m.

Parmi les ensembles non mesurables J dans le plan se trouvent
des courbes non quarrables, c'est-à-dire dont l'étendue extérieure
n'est pas nulle; mais toute courbe non quarrable n'est pas néces-
sairement non mesurable J.

M. Peano a construit le premier une courbe qui passe par tous
les points d'un carré; M. Hilbert a ensuite indiqué une méthode
géométrique simple permettant de construire de telles courbes;
toutes ces courbes sont non quarrables (').

Pour avoir une courbe passant par tous les points du carré
o^cT^i, o^y^iy définie en fonction d'un paramètre t variant
de o à I , je pose

2 \ 2

«3 , <^5 , <*2rt-l

y

quand

22 ' 2^ ■ ■ 2« /

-^ ,y-2 -^ .^3 -^•••+ .^u •")■

^ 3 ' 32 3"

où les «1 sont égaux à o ou 2. Alors i fait partie de l'ensemble Z
de la page 26.

Soit une valeur de t non contenue dans Z, alors elle fait partie
de l'un des intervalles qui ont été enlevés dans la construction de Z ;
soit (^05 '0 cet intervalle. Aux points t^ et ^4 de Z correspondent
les valeurs Xq^ Jo', -^i, yt'-, alors on pose, pour tout l'intervalle

Dans {ùq, /,) la courbe se réduit donc à un segment.

Notre courbe est complètement définie, mais, pour parler de
courbe, il faut déuiontrer (pie .r ei y sont des fonctions continues
de t dans (o, i). 11 suffit évidemment pour cela de le démontrer
seulement pour les fonctions x et y de t définies sur Z. Et cela
résulte du fait (pie, si / (appartenant à Z) est assez voisin de 8

(') Peano, Sur une courbe qui remplit toute une aire {Math. Ann.,
Bd XXXVl). — Hilbert, L'eber die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flà-
chenstuck {Math. Ann., lîd. XWVIII). La courbe de M. Hilbert est définie à la
page 23 du Volume I de la deuxième édition du Traité d'Analyse de M. Picard.

DKFIMTION GÉOMÉTRIQUE DE l'iNTÉGRALE. 45

(appartenant aussi à Z), les in premiers cliilïres «,, a^j •••? a-m
de ^, écrits dans le système de base 3, sont les mêmes que pour 9,
c'est-à-dire que les n premiers cliiflres de xi^i) et ^(0) d'une part,
de y{t) et de y{^) d'autre part, sont les mêmes quand on écrit
ces coordonnées dans 1q système de base 2.

Notre courbe remplit bien tout le carré, elle passe même plu-
sieurs fois par certains points. On démontre facilement qu'il n'en
peut pas être autrement (' ).

Ce qui vient d'être fait dans le cas d'une et de deux dimensions
peut évidemment être répété dans le cas d'un nombre quelconque
de dimensions.

En particulier, dans le cas de trois dimensions, on définira le
volume d'un domaine. Gela exigerait, au préalable, la définition
précise d'une surface fermée et, pour la définition des domaines,
des études analogues à celles de M. Jordan sur les courbes fermées.

II. — Définition de L^ intégrale.

Soit une fonction y(.r) continue positive, définie dans un inter-
valle positif (a, ^), et le domaine aZ>BA que nous lui avons
attaché ^fig. i, p. 2). Gherclions si ce domaine est quarrable.
Pour cela, divisons (a, b) en intervalles partiels d<, So, . . ., ô^. Le
plus grand rectangle, de base 8/ et dont tous les points font partie
du domaine «6BA, a pour hauteur la limite inférieure // de f
dans 8/. Le plus petit rectangle, de base 8^- et qui contient tous les
points du domaine qui se projettent sur ô/, a pour hauteur la limite
supérieure L/ de /dans o/.

De ceci résulte que les deux sommes

S = Sô///, S ^—- So/L{,

(') On trouvera, au Chapitre VII, § V, ua exemple de l'emploi qu'on peut faire
dans certains raisonnements de la courbe de Peano et des courbes analogues.

La courbe de Peano est mesurable J et a'étendue non nulle, elle ne peut servir
à limiter un domaine. Il existe des courbes sans point multiple et non quarrablcs ;
CCS courbes ne sont pas mesurables J, elles peuvent servir à limiter des domaines
non (juarrables. Voir W.-F. Osgood, A Jordan curve of positive area ( Trans.
of the Amer. Mat. Soc, 1908) ou H. Lkbesguk, Sur le problème des aires
{Bull, de la Soc. math, de France, 1903 ).

(6 CIIAIMTIIE III.

U'iidenl, quand le maxiimiin des o tend vers zéro, vers des limites
délerininées qui sont les étendues intérieure et extérieure du
domaine. Or S -— S tend vers zéro, caries fonctions continues sont
à oscillation moyenne nulle, le domaine «6BA est donc quarrable.

Si nous employons la méthode du début, si nous appelons
intégrale déjinie de f dans («, b) l'aire de «6BA, nous retrou-
\ons l'intégrale de Caucliy. Il n'y a, entre cette définition et celle
de Cauchy, que des différences de forme.

Dans le cas où f{x) n'est pas toujours positive, la courbe AB
rencontre l'axe des x un nombre fini ou infini de fois et l'on a
deux espèces de domaines, les uns au-dessus de ox^ les autres
au-dessous. Chacun de ces domaines est quarrable d'après ce qui
précède.

La somme des aires de ceux qui sont au-dessus de ox^ dimi-
nuée de la somme des aires de ceux qui sont au-dessous, est, par
définition, l'intégrale de/(:2:) (*)•

Considérons maintenant une fonction f{x) quelconque, définie
dans l'intervalle positif («, b). Soit E(/*) l'ensemble des points
dont les deux coordonnées sont liées par la seule condition que
y ne soit pas extérieur à l'intervalle positif ou négatif [o, f{x)\.
En d'autres termes, on a

yf(T)^o et o^y^^fix) .

L'axe des x partage cet ensemble en deux autres : les points
situés au-dessus de ox forment E, [/(^)]7 ceux qui sont au-
dessous forment E2[/(^)]. Quant aux points situés sur ox, on
les mettra indifféremment dans E, ou Eo, cela importe peu dans la
suite, car ils forment un groupe intégrable du plan.

Par analogie avec la définition précédente, il est naturel d'ap-
peler intégrale de fia différence

l-.e[E,{f)]-^e[E,(f)l

lorsque E| et Ea sont mesurables J.

Lorsqu'un ensemble n'est pas mesurable J, son étendue peut

(') Les deux soiniues qui (igurent dans cette définition existent bien, puisque
renseinble de tous les domaines peut être enfermé dans une circonférence de
rayon tini

DÉFINITION GEOMETRIQUE DE l'iNTÉGRALE. 47

être considérée comme un nombre indéterminé dont les deux
limites d'indétermination sont les étendues intérieure et extérieure
de l'ensemble; cela conduit, pour I, aux deux limites d'indéter-
mination

\' ei[E,{f)]-e,[E,{f)l \=^ee[F.,{f)]-ei[E,{f)\.

Nous allons calculer ces deux limites d'indétermination et pour
cela supposons d'abord que /' n'est jamais négative, c'est-à-dire
(pie E2 ne contient aucun point. Le calcul des étendues intérieure
et extérieure de E (ou E, ) se fait comme dans le cas où /"est
continue, c'est-à-dire que ces étendues sont les limites des deux
nombres S et S. Les étendues sont donc les intégrales par défaut
et par excès àe f.

Pour étudier le cas général posons f r^ f^ — j\^^ où /", est égale
à y quand /"est positive ou nulle, et est nulle quand /est néga-
tive. On a alors, évidemment.

et [ E, (./)] = /"/, dx, e, [ E, (/)] = ^ '/, dx,
^/[E2(/)]= j fidx, e,[E2(/)|= ^ hdx.

lonc

î "" \ f\dx-^ i — f^^dx, \r^ i f^dx-\- I —/. dx.

11 est, en général, impossible de remplacer des sommes d'inté-
grales par excès ou par défaut par les intégrales par excès ou par
défaut de la somme (p. 34), parce que le maximum d'une somme
est, en général, plus petit que la somme des maxima des termes
de la somme, tandis que le minimum est, généralement, plus
grand que la somme des minima. Mais ici, dans tout intervalle, le
maximum (ou le minimum) de f = ft — /^ est bien la somme des
maxima (ou des minima) de / et de — /j- On peut donc écrire

ffr/T. \=ff

dx.

Nous reirouvons ainsi les intégrales de M, Darboux et nous
avons leui' signification géométrique.

48 CHAPITRE III.

Keinarquons que E(/) est mesurable J quand Ei et E^ le
sont et que, inversement, si E(/) est mesurable J, E, et E2 le
sont aussi. Ainsi, notre définition géométrique de l'intéj^rale
s'applique lorsque E est mesurable J, mais, dans ce cas, et dans ce
cas seulement, 1 et I sont égaux, c'est-à-dire que les intégrales

/ fdx et / fdx sont égales, donc :

Pofir qu' une fonction bornée f soit intégrable au sens de
Biemann, il faut et il suj/it que E(/) soit mesurable J super-
ficiellement; dans ce cas,. l'on a

ffdT.

La définition géométrique de l'intégrale est entièrement équiva-
lente à la définition analytique donnée par Riemann.

CHAPITRE IV

LKS FONCTIONS A VA II I AT I O N BOUNKK

l. — Les fonctions à variation bornée.

La notion de mesure linéaire est une j^énéralisalion de lu notion
(le longueur d'un segment, une autre généralisation conduit à la
définition de la longueur d'un arc de courbe. En étudiant les
questions relatives à la re(;tilication des courbes, nous aurons
l'occasion d'aj)[)liquer quelques-uns des résultats que nous avons
obtenus sur l'intégrale; nous verrons, en même temps, l'imj)or-
tance d'une classe de fonctions définies par M. Jordan : les fonc-
tions à variation bornée.

Soit une fonction ,/(./•) bornée (') définie dans un inler\alle
positif fini (<7, b). Partageons (<7, b) à l'aide des points

la somme

^ = l/(^M ) - /(«o)I + |/( «2) — /(«l ) i H- . . .H- I t\an ) - /(««-i )l

est ce que l'on appelle la \ariation de /"(/') pour le système de

points r/,,, a,, a,/. Si, quel que soit le système des points de

division, v est bornée, la fonction est dite à variation totale finie
ou, sinq)lement, à variation bornée; la variation totale étant, par
définition, la plus grande limite de v quand le maximum A de la
longueur des intervalles j^artiels employés tend vers zéro. 11 est à
remarquer que si, entre les points de division clioisis, on inter-
cale de nouveaux points, on augmente ç ou, du moins, on ne le

( ' ) Il csl d'ailleurs évident (lu'une fonction non bornée ne peut satisfaire aux
définitions qui suivent.

L. 4

:>0 CIIAPITRK IV.

(liininue pas: en intercalant ainsi indéfiniment de nouveaux points,
(!«• manière (jue A tende vers zéro, on a une suite de nombres v
tendant \ers une limite, finie ou non, qui est au moins égale au
nombre e dont on est parti. On |)eut done dire ([ue la variation
totale de /est la liuiite supérieure de l'ensemble des nombres v ( ' ).
On voit aussi très simplement que, dans les définitions préeé-
dentes, on peut remplacer v par

O = lOi -H Wj -I- . . • -T- W,i,

OÙ iùi est Toseillation de /'dans (a/_, , «/), les extrémités comprises.

A cause de cette propriété, quelques auteurs appellent les fonc-
tions (pii nous occupent /'onctions à oscillation totale finie ;
l'oscillation totale étant la limite supérieure des o.

Une fonction à variation bornée est inté<;rable; elle est, en
ellet, à oscillation moyenne nulle, puis(|ue cette oscillation est la
limite, ({uand A tend vers zéro, de

- ( ai — ai- 1 ) oji ^ X Ào»/ = XyiiOi = X o ^ X O .

O étant l'oscillation totale de f{x).

L'intégrabilité résulte aussi de cette proposition évidente : les
points en lesc/tiels une fonction à variation bornée a une oscil-
lation supérieure à a ( a > o) sont en nombre fini et, par suite,
forment bien un groupe intégrable.

Choisissons des nombres a,, ao, ... qui tendent vers zéro en
décroissant. Les points en lesquels l'oscillation est supérieure à a.„
sans être su[)érieure à a„_, sont en nombre fini, de sorte i\\i' une
fonction à variation bornée a au plus une infinité clénom-
brable de points de discontinuité.

La réciproque n'est pas vraie; il existe même des fonctions
continues à variation non bornée.

L'oscillation d'une somme /', -f- /a étant, dans un intervalle
quelcon(pie, au plus égale à la somme des oscillations de/, et /o
dans cet intervalle, l'oscillation totale de / -h /a est, au plus, la
somme des oscillations totales de / et f,. Donc la somme de
deux fonctions à variation bornée est une fonction à variation
bornée.

( ' ) Et noD plus la limiie supérieure de la limite des nombres v.

LKS FONCTIONS A VARIATION BOHNKK. 5l

Des raisonnements analogues permettraient de démonlrer (jue
les opérations efFectiiées à la page 3o, sur des fonctions intégrahles,
donnent des fonctions à \ariation Ijornéc (piand elles sont efïec-
luées sur des fondions à xarialion hoiiK-c,

Mais il n'est pas \ral (pi une série uniforiiH'nient convergente
de fonctions à \arialion bornée donne nécessairement une fonction
à variation ])ornée. [.a j)ropriété qui remplace celle-là est la sui-
vante :

La Limite vers Uic/ueile tend iiinifoi- nié ment on non) une
suite de fonctions à variations totales au plus égales à M est
une fonction dont la variation totale est au plus égale à M.

En ett'et, prenons une division de lintervalle, la variation corres-
pondante des termes de la suite tend \ers la \ariation relative à la
limite et à la division em[)l()yée; donc, cette variation est au plus
égale à M et il en est de même de la variation totale de la limite.

Ce qui précède nous permettrait de citer des fonctions à varia-
tion totale bornée. \^ne fonction croissante est, en etlet, une fonc-
tion à variation totale finie et égale iif^b) — fi^f-)'', de même, une
fon('tion décroissante est à variation bornée. Par suite, la dillerence
de deux fondions croissantes est une fonction à variation bornée.
Nous allons démonlrer maintenant la réciprocjue : toute fonction
à variation bornée est la dij/érence de deux fonctions jamais
décroissantes.

Reprenons la variation

d soil /> la somme de celles des quantités f{ai) — f{ai_y) qui
sont positives et -- /< la somme de celles qui sont négatives. On a
év idemmciil

V = p -r- n, /( b ) — /■( a ) = p — n,
dOù

ç =r.-ip-r- f(a ) — J\b), V = -111 -^ J\b) — f{a),

p est la variation positive pour la division choisie. // la variation
négative. Les deux dernières égalili's monhciil cpic les limites
supérieures V, P, N, de k\ />, //. (pie Ton appelle variation totale,

5-2 CllAl»ITRK IV.

variatioit totale positive, variatio/t totale négati\e, sont liées
par les inèiues relations que k\ p, n.

Soieiil V(.r), P(.r), N(./) les trois \arlalloiis totales dans (//, .r),
(./>«'/). on a

Mais P(jr) et ^{x) ne |)eu\ent pas déeroitre (piand x eroit,
done le théorème est démontré.
On a, de plus,

\{X) = Pl.rj -V- N(a7).

Une fonction à variation hoinée peut être mise d'une infinité de
manières sous la forme d'une diilerenee de deux fonctions crois-
santes. Si l'on ajoute à 1*(^) et N(.r) uik^ même fonction A(./)
non décroissante, on obtient deux fonctions non décroissantes
P, {x) et N, {x) telles que l'on ail

fix) = /(a) -+- 1*1 < .ri — \i(x}.

On voit facilement que les fonctions non décroissantes P, et iN ,
les plus générales satisfaisant à cette éj^alité sont (telles qui \ieniieiit
d'être construites.

Pour calculer la variation totale (rune fonction discontiiuK;
comme limite d'une suite de \ariations i . il faut (dioisir d'une
manière très particulière les points de division; par exemple, poui-
une fonction (pii est partout nulle, sauf à l'ori^^ine, il faut que
rorij;ine soit un point de division. Pour les fonctions continues
on a cette pif)priél('' : la vaiialion (T une fonction continue, rela-
tive à une flivisioti (juelconcjue, tend unifontiénient vers la
variation totale de cette fonction c/uand le maximum A de la
longueur des intervalles employés tend vers zéro.

Soient, en effet, deux suites de divisions 1),, D^, . . .: A,, A^,, . . .
pour lescpielles les A tendent vers zéro, et soit A/ la valeur d<' A
pour Ay. I.e maximum de l'oscillation de /'(./) dans un intervalle
d'étendue )./ est \\n nombic ij <pii tend vers /('-ro ave(; A/. Compa-
rons les variations i/, c • relatives à 0/ et Ay.

Les intervalles de Ay étant toujours parlaj;és en deux classes,
soient d' ceux (|ui ne contiennent aucun des points de division
de D/. Considérons tous ceux des c/'(jui sont entre xi et xij^.^. ils

LES FONCTIONS A VAIU ATION BOHNKF. 53

couvrent un intervalle dont l'origine est entre Xi et Xi-\-\j et
dont l'extrémité est entre .r/_,_, — Ay et j?/^|. Les valeurs de /(r)
|)Our celte origine et celte extréniilc diirèrenl de £/ au plus des
nombres f{xi)^ /{xi^t ). La contribution dans v'j des intervalles
considérés est donc au moins

CL la contribution de tous les cV dans v j est au moins égale à

2 [ I /( ^/_H, )—f{XiV~1 tj ]^ Vi — '1 II Zj,

si les points de division de D/ sont en nombre /?. On a, à plus
forte raison,

>

Vi^Vi — y.nzi.

et l'une quelconque des limites des <^'j est au moins égale à l'une
quelconque des limites des vi. Mais on peut permuter v'j et Vi^ donc
les Py et les vi tendent vers une même limite bien déterminée.

Voici une conséquence immédiate de cette propriété : les trois
variations totales (V une fonction continue à variation bornée
sont des fonctions continues. 11 suffît de le démontrer pour \{x)
puisque P(^') et N(.r) s'expriment immédiatement à l'aide de
f{x) et de V(^).

Pour calculer V(j?o)7 j'emploie une division «<, ^,, . . ., Xn-, ^o *?
la variation v correspondant à cette division est égale à celle
correspondant à a, ^i , ..., x,i [)lus \f{X(^) — /'(./•„ )|, v est donc
au pbis ('gale à

V(.r,)-i-I/(:ro)-/(:r„)|iV(^o-o) + i/(.ro)-/(^„)|;

et puisque /(.ro) — f{^ii) tend vers zéro, quand on fait tendre
vers zéro le maximum de .r/_^, — r/, V(^o) est au plus égale à
V(^o — o)« Mais V(.Z') est une fonction croissante,

V(.ro)=V(.ro-o),

la fonclion csl conliiiuc à gauche.

Etudions la \arialion tolalc <le/', (./) ^ f{ — x) entre — l> el — .r,
{x <i b)', celle xai-ialion lolalc est <''\ idcmmcnl égale à

\(h)—\(x).
(^)nsidérée comuic fonclion de — x, clic est conlinuc à gauche

54 CIIMMTIVK IV.

de —./•„: (loin*, en lanl (jne foiirlion do .r, elle est conllniie à droilc
de ./•„. La fonrli()ii \ { .r) est doue (MMitiniie.

La secondr partie de celle dt'moiislralioii siip|)Ose essentielle-
ment que la fonction est à variation hornéc. Si V(.r) devenait
hrusquenient infinie j)our .r>.-ro, et nous verrons que cela est
possible, le symbole V(^^) — V(.r) n'aurait aucun sens pour.r > .2-,).

Puisque P{.r) et N{.r) soiit des fonctions continues, toutr
fonction continue à variation bornée est la différence de deux
fonctions continues non décroissantes.

La variation i', |)oiir la disisioii I), a été définie seuleuienl dans
le cas où D ne conlienl cprun noud)i'e fini d'intervalles; |)()ur la
suite, il est utile d'étudier un cas où I) comprend une infinité
d'intervalles. C'est le cas où les points de division de I) forment
un ensemble réductible E; alors nous appellerons variation a,
pour cette division, la somme de la série l|/(.r/) — /(.^/_i)l,
étendue à tous les intervalles (^•/_,, Xi) contij^^us (') à M.

Nous allons comparer l'ensendjle des \ariations ii (pii \iennent
d'être définies à Tensemble des variations v antérieurement définies.

L'ensemble des ii contient Tensemble des r, donc la linnte
supérieure de l'ensemble des a est au moins égale à la limite suj)é-
rieure de l'ensemble des c. Il suffira de démontrer que a est tou-
jours inférieure à la variation totale pour (ju'il soit |)rouvé que la
limite suj)érieure des u est la \ariation totale \ .

Soit (a, 'jtt) un inteisalle eontij^u à E'. Soient a, et |'3< deux points
situés dans (a, [ii ) : la eontiibution de (a,, ,3,) dans U est au |)lus
éjj^ale à celle qu'il fournit dans V, puisque E ne (contient qu'un
nombre fini de points dans (a,, [i,). Faisons tendre les points a,
et (3, vers a et p, la pr()[)osltion reste \raie et l'on lrou\e (pie (a, fi)
fournit dans V une contribution au moins éj>ale à celle qu'il donn<î
dans u.

On pi'ouvcM-a de même que la proj)osition est \raie dans un
inteivalle (!ontij;u à E" ou E"^ ... ; nuils l'un des dérivés de E étant
nul dans (a^b), la proposition est vraie pour (c/, b).

Ainsi les u peuvent remplacer les e.

(') Un inlervalle (J7,_,, x,) est dit contigu à un eiisetnble Ivs'il ne conlienl
pas de points de E et si ses extrémités font partie de E on de l^'. La dénomination
d'intervalle ronligu est due à M. H. Hairo.

i.KS f()N<:tions a vauiation hohnki:. 55

Lors(ju'il s'a<;it (ruiie foiicliou conliiiue, le nombre w, comnie le
nombre r, lend iinifoiiiiémenl vers la variation tcttab", quand le
maxiimmi A de la loni;iieiir des intervalles eonli<;us à 1^ lend \ei"s
zéro.

La série // <'lanl eoiiN er^enle, la série 2[/(.r/) — f[xi_^)\
étendue à tous les intervalles (;oiitigus à E, est absolument eonver-
gente. On peut donc parler de la somme de ses termes positifs et
de la somme de ses termes négatifs, ces deux sommes peuvent
servir à (l('linir P et N.

11 est iiuporlanl de remarquer qu'on ne peut pas remplacer
l'ensend)le léduelible E par un ensemble non dense queleoncjue
sans que certaines des |)ropriél(''s précédentes cessent d'être vraies.
Soit, en eUet, la fonction li-r) définie par

(luaud

«,

i

^:\

y. 2

>.»

«,

«3

-f-

3^

:p

où les a sont égaux à o ou à i. x appartient alors à l'ensemble Zi.
On vérifie immédiatement que, pour les deux extrémités d'un
intervalle contigu à Z, ç prend la même valeur; nous assujettis-
sons ç à rester constante dans un tel inter\alle. \{x) est mainte-
nant partout définie; c'est une fonction croissante et, cependant,
on trouvera zéro pour ^/, si, [)armi les points de division employés,
se trouvent les points de Z.

Je terminerai en donnant quelques exemples des diverses parti-
cularités (|ui ont été signalées.

La fonction .rsin- est égale à ( — i)*^^* ~ pour ./• '-=^

donc, si Ton em|)loie ces valeurs de x pour calculer u dans Tinter-
valle (o, -)> on trouve

_ T 0. •>. *

K - — -' '2 K r '- 3 K r. — -

et la fonction esl à variation non bornée bien qu'elle soit continue.
J\)ur une ionclion (X)ntinue nidle pour ./• négatif, égale à j^siu-

-,(, CIIAPITIIK IV.

pour ./• positif. In \arialion totale de — i à ./; sautcî brusqueincnl
(le o à Xi (piaïul ./ (l<'passe la valeur o.

La fonction ./si 11- a un<^ iiiliiiilé de maximael de iiiiiiimn, mais
eelte condition ne suflil j)as pour (pTune fonction soit à variation
l)orné«'. T. a fonelion ./-sin— r adiuel un maxiuium ou un

nou

minimum, et un seul, dans elia(pie intervalle / j» 7 \;

si l'on remarcpie (pie la \aleur absolue de ce maximufu ou de ce
minimum est au plus on \oil cpie la fonction est à variation

totale finie au |)lus éj;ale à 2^ ^•

Les deux fonctions précédentes n'ont une infinité de maxima et
de minima que dans le voisinage de l'origine; si l'on veut qu'il en
soit ainsi autour de tout point, il faut appliquer le principe de
condensation des singularités. 11 est nécessaire d'employer ce
principe d'une façon assez particulière parce que la limite vers
laquelle tendent uniformément des fonctions à \ariation bornée
peut être à variation non bornée et parce que les luaxiuia et
uiinima ne se conservent pas dans l'addition.

Considérons les deux fonctions, définies dans ( — i, -f- i),

.7'

l'une et l'autre s'annulent pour — i et -h 1 , la piemièi-e est à
variation totale V infinie, la seconde à variation totale \ bornée.
y, (x) désignera l'une ou l'autre de ces deux fonctions.

f\{x) a une infinité de maxima et de minima qui se présentent
(piand X appartient à un certain ensemble E,.

f-*{x) est une fonction continue qui s'annule aux points de E,
et (jui, dans l'intervalle (a. 3) de deux maxima et uiinima consé-
( utifs, est égale à

fii-f) a ruèiue variation totale que/', (.r) parce cpie, dans (a, J^),
la \arialiou tnlalc de /,>(.r) est ■ V.

I.KS FONCTIONS A VARIATION BORNKE.

I^a fonction f\ A f■^ a, dans cliacjnc inlcrvallo (a, [i), une

infinité (le maxiina cl de niiniina; en ellet, si /, =r «, elle est à
variation non bornée dans (a, ^) et si /, = h, /, a une dérivée
bornée dans (a, [^ ), tandis que la dérivée de /■> prend tontes les
valeurs positives et négatives. Soit E2 l'ensemble des valeurs de x

pour lesquelles y, H z^f^ est maximum ou minimuni.

En opérant, à partir de E, 4- Eo, comme à partir de E,, on
formera /a, d'où/, -r ;^/o + ^/n ^l E3 (').

En continuant ainsi, on définit les différents termes de la série

f{T) = f,(x) -f- ^J,{T) -+- ^/3(.r) -4-. . .,

(pii est uniformément convergente, car \fi\ est inférieure à 1.

r^a fonction continue f{x) a des maxima et des ininima dans
tout intervalle. Dans un intervalle (pielconque (/, //i), en eflet,
[)ourvu que n soit assez grand, il j a plus de deux points de E„.
Supposons qu'il j ait les trois points consécutifs /•, 5, / de E„,
/étant égale à y„ pour ces trois points, f aura un maximum ou un
minimum, au moins, entie /• et t, suivant (jue s correspond à un
maximum ou à un minimum.

De là résulte aussi (pie la variation lolah' de / Csl au luoins égale

à celle de .s,, = /, H -f-^ -h ... H ;.///' donc /'est à vaiiation non

bornée dans tout intervalle si/", = (^/. \u conlraire, si /, = />, la
variation totale de s„ étant finie et infc'iicurc à\ ( i H — - -t-...H -\y

f est à variation bornée dans tout intervalle [voir p. 5i).

Occupons-nous maintenant des fonctions discontinues à varia-
tion bornée.

Voici une propriété des points singuliers, cpTil ('tait facile
d'ailleurs de mettre directeiueiit eu (''vidence, et (pii résulte imuK'-
(liatciuent de la construction de. la fonction à variation bornée la

(') l*our rlro LoiiL à Ciil ligoiiicux. il laïuirait défiiontrer (|iu' lu somme des
longueurs cJes intervalles contigus à Ki+E^, intervalles qui jouent le rôle
des (a, jà), est égale à ?. comme la somme des diiïérences |i — a. Cela est presque
évident et l'ésulte, si l'on vent, de ce (|ue Kj-i-E, est d'étendue extérieure nulle.

58 rHAIMTRE IV.

plus «iV'iH'nilc à partir de deux fonctions croissantes : tous les
/joints (le (lisrnntinuité (V une fonction à variation bornée sont
de première espèce.

Soit ./•„ lin point de discontinuité: la quantité

Sf. ( a-o ) =- /( ^0 ) — /( -^0 — o)

est le saut de la fonction à •;auclie de r,, •

•f r/ ( .^-o ) = /( .7-0 -H <> ) ~ /( .^o )

est le saut à dioite de ^o? enfin

s ( a\ ) = /■( .ro -+- o ) - /( Xo - o )

est le saut au point ./q.

Ceci posé, considérons Ui fonction des sauts de fix)

a ^ J-, < .«■ « < r, £ .r

oîi chacune des séries contient tous les xi qui satisfont à l'inéi;alité
placée au-dessous du signe S correspondant. On \erra aisément
que ces deux séries sont absolument (^onNeri>enles et que, si l'on
pose

^(x) est une fonction continue à variation bornée; la \aiialion
totale de /étant la somme de celles de '^ et de 'l.

La fonction discontinue la plus générale qui soit à variation
bornée s'obtient donc, soit en faisant la diflerence de deux fonc-
tions discontinues croissantes, soit en ajoutant à une fonction con-
tinue à variation bornée la fonction des sauts o(.r). Cette seconde
méthode montrée (pi'on pciil choisir à volonté l'ensemble dénom-
biablc des points de disconlinuit('', et même les sauts (b; droite et
de gauche .v,/ <;t .v^, pourvu que les séries 2 5,/ (.>r), ^s^i^x) soient
absolument convergentes.

Par exemple. rcns('iid)lc des points de discontiniiitc'; pourra être

a
b

l'ensemble des nombres rationnels, les sauts étant, <piand ./• s'éciil -^
sous forme irréductible.

^h ±

*"=^-'^"^iP' ^-='-'^r'^3

LES FONCTIONS A VARIATION IlOUNKK. jy

II. — Les courbes rectifidbles.

S(>il uiu' coiirhe C (léfiiiic dans (a, b)

.T = .T(t), y=y{t), z = z{t).

Considérons un |)olj*^()nL' P inscrit dans cette eoiirhe et dont It.'s
sommets, dans l'ordre où ils se rencontrent sui- P, correspondent
à des valeurs croissantes de t ( '), ci, a,, a^, .... a^,, b. On peut
considérer P comme une courbe définie dans {d, b) à Taide de
fonctions ?(/), y.U), Î(^) égales à ./'(^), J'(0' ^(0 P^"'* les
\aleurs a, /,, tj, . . ., tp^ b de /.

(leci posé, soient deux suites de po]v<;ones inscrits dans G, P/et
-/, et tels que le maximum des dillerences telles que t;, — ^a_, tende

\('rs zéro avec - d'une [)art, a\ec - d'autre [)art. La l()ni;ueur d'un

polvj^one étant la somme des lon<;ueurs de ses côtés, nous allons
(M)m parer la longueur Si de P/ à (.-elle cr/ de tzj.

Supposons que deux soniniets consécutifs /??,, m^ de P/ corres-
pondent il t = Hi et t ^^^2. Les points de Tzy, jjl,, -jl^, qui corres-
pondent à ces valeurs de t tendent, quand y augmente indéfiniment.
\ers //?,, m,: la plus petite des limites, pour / infini, de la lon-
gueur de l'arc |jl, u.., est donc au moins égale à la longueur <lu
coté in^in.^. Mais ceci est vrai pour cliacpie côté, et la [)lus petite
limite des o-y est au moins égale à .s/. Par suite les longueurs 5/
et o-y tentlent \ers la même limite quand / ety augmentent indéfi-
niment, et elles sont toujours inférieures à leur limite.

Lorsque le maximum de la longueur des côtés d'u/i poly-
gone inscrit dans une courbe tend i^ers zci-o, la longueur de
ce polygone tend veis la limite supérieure des lofigueurs des
polygones inscrits dans la courbe. C'est cette limite que l'on
appelle la longueur de la courbe.

Lue courbe est dite rectijiable si elle est de longueur finie.
L'étude des courbes rectifiables a été entreprise par Ludwig

(') (^)uuiui nous parleions dim polygone inscrit dans une courbe, nous suppo-
soions toujours cette dernière condilion remplie.

6<) CHAPITRE IV.

SriK'cIVcr (•), puis coiiliiiiK'c par M. Jordan (-) à (pii l'on doit le
n'sidlal suisanJ :

Pour quuiK^ courbe soit rectifiablc, Il faut et il suffit que
les fonctions .r{ t), y{t), z{t) qui la définissent soient à varia-
tion bornée.

En effet, un roté (jnelconqne d'un polygone inscrit dans la
courbe est de longueur au moins égale à chacune des projec-
tions ùxf Oy, Oz de ce coté sur les axes, et de longueur au plus
égale à 8^4- o^-h o^. Mais la somme des projections o^ est la
variation v^ de la fonction x{t) pour les valeurs de t correspon-
dant aux sommets (^). La longueur du polygone est donc supé-
rieure à Vx^ i'v et Vz et inférieure à Vx-\- <>+ ^'z*, la propriété est
démontrée.

De plus la longueur rie V arc de ^o à t (t^ t^) d'une courbe
rectifiahle est une fonction continue non décroissante de t^
puisque l'accroissement de cet arc, dans un intervalle quelconque,
est compris entre les accroissements de Vx et Vx-^- ^y-\- ^z-

Pour calculer la longueur d'une courbe, on pourra se servir de
polygones ayant une infinité de sommets correspondant à des
valeurs de t formant un ensemble réductible; car le raisonnement
du début s'applique à ces polygones.

Une courbe rectifiable plane est quaiiable, car si on la divise

en n uiorceaiix de longueur égale à -> chacun d'eux peut être

enferin<'' dans une circonférence de rayon — > et la somme -, —

des aires de c^es cercles tend \ers zéro avec — •

n

Supposons c[ue x(^t)^ y{t)^ z{t) aient des dérivées intégrables;

alors 1^(^)1, |j''(/)|, |2'(0l ^^^^^ aussi intégrables, car on peut

éci'iro

( ') Allgenieine Lntersuckiingen ilher ftectijication der CuiKea {Acta matlie-
matica, t. V ).

(-) Cours d'Analyse, t. I, 2' édition. ScheenVr el M. .lordjui ont aussi exa-
miné le cas où x{t), yit), z{t) ne sont pas continues.

(') La Courbe x = x{t), y = o, 5 = 0, qui sert dans ce raisonnement, est dite
la projection sur ox delà courbe donnée; la projection sur xoy est x = x{l).
y -y(t), z - o.

Li:S FONCTIONS A V.AlUATlON HOH.NKK. Gl

et si l'oa élève au carré ou si Ton prend la racine carrée aritlimé-
liquc d'une fonction inlé«>ral)le on ne cesse pas d'a\oir des fonc-
tions intéj^rahles.

Si /, //?, //, L, M, ]N sont les limites inférieures et supérieures
de \x''\j \r'\j \z'\ dans un intervalle (/,, /o), les sonnnes telles
que 2(^2 — ^<)(^^ — 0' étendues à une division quelconque de
(a, h) en intervalles partiels, tendent \ers zéro quand les inter-
valles employés tendent vers zéro.

La corde (^,, t.,) a une lonj^ueui* o (|ui Nt'iilic I(îs inégalités

es

Donc un polygone inscrit a une longueur compiise entr<
sonnnes le/, SA coirespondanles. Si l'on fait tendre sers z<'ro, les
longueurs des côtés du polygone l'A et i] a tendent \ers un<' même
limite, car l'on a

lA- i:alv(/o-^)(L-/)-^S(/2— /,)(M- m,

-r-ï(/.,— /,)(N —n ).

La limite de lA et Ha est la longueur de la «ourhe. Mais,

puisque l'intégrale / \,x--^y'-^z'-dt. qui existe d'après nos

hypothèses, est toujours comprise entre Ha et lA, nous |)()u\ons
conclure que, si x' , y\ z' existent et sont intégrahles, la lan-
gueur de Vare {a^ b) est

1

b

/r'- 4- y •'' + z- cit.

Le raisonnement précédent montre aussi que si f\x) existe sans
être intégrable, et nous verrons que cela est j)ossible, la longueur
de la courbe j' = f{x) est comprise entn^ les intégrales par défaut
et par excès de \/ \ 4- f'-.

Nous obtiendrons la généralisation de cette [)roposition, ainsi

qu'un résultat relatif au cas où \'x'^-\-y''^-\-z'- est une dérivée, à
l'aide des considérations cpil suiNcnt.

On suppose que x/ ^ y' , :;' existent; alors, du point j"o,roi ^o? ^o^
quel cju'il soit, coninie origine, on peut tracer une corde dont la
longueur y/3j^'y -t- o> y -j- ô^jj diffère de £ ô/o hu plus de la ([uantité

6-2 ciiM'iTiu: IV.

0^0 y/jr'y- -|- ijj" + 5y" ; vl nous pouNoiis iiiéine assujcLlir o^y à cire
inférieure à une certaine quantité donnée à l'asance )x.

La courbe étant définie dans {a, 6), du point a = ti comme
origine, nons pouvons tracer nne corde remplissant les conditions
indicpu'cs; elle correspond à (^,, /o)- J^e t-2 nous pou\ons tracer
une nouvelle corde (pii correspond à {f^^ ^:i) ^t ainsi de suile. Si
après un noud)re fini d'opérations on arrive en />, la construction
est ainsi achevée. Sinon les t,i ont un point limite Z,,, ducpiel, comme
origine, on peut tracer une corde (ti^, ^w+i)? puis de t^-^-t on
trace (^w+i? ^«0+2) et ainsi de suite. Si l'on n'atteint pas h, on se
rapproche d un point limite t-2(,)^ '<^ partir ducpiel on opère de même
cpi à partir de /^o-

On a ainsi des inlcrNalics dont les ori«;jnes /,( ont pour indices
les dillérents nouihres linis et transfinis a. Il faut démontrer (ju on
arrivera en b a\ant d'avoir épuisé la suite des nombres transfinis,
c'est-à-dire à l'aide d'une infinité dénombrable d'intervalles. Cela

est tout à fait évident, car il n'v a pas plus de — j— inters ailes de
longueur supérieure à e, et tous les intervalles, étant supérieurs
en lont^ueur à l'un des nombres £, -» ^> • • •, forment un ensemble
fini ou dénombrable.

L'ensemble des valeurs /,, ^27 ••• <'^t^ réductible, puiscpi il est
fermé et dénombrable ; donc on peut se servir des cordes tracées
pour évaluer la longueur de la courbe. La somme des longueurs
de ces cordes diflere de la somme

au [)lus de

Si nous faisons tendre simultanément £ et a vers zéro, £(^ — a)
tend vers zéro, la somme des longueurs des cordes tend \ers la
longueur s de la courbe, J tend donc vers s. Mais, d'après la
forme de I, on peut écrire, si \^.r'- -\- j'- -\- z'- est bornée,

v/ar'2 -^ 7'ï -1- 5'2 dti^S± j /^'2 + y'i -+- ^'2 dt.

Supposons maintenant (pie \Ja/' -\- y''^ -^ z'-, bornée ou non.

LliS FONCTIONS A VARIATION HOHNKE. G)

soLt la dérivée d^ une fonction 7[l). Si nous avons choisi chaque
inlersalh' (/«, ^a+i ) ^^^ manière qu'il satisfasse, non seulement aux
conditions précédemment indiquées, mais encore, ce qui est pos-
sihle, à l'inégalité

I 1(11(1 vers l'accroissemenl ^{h) — '^{(f ) df ^(0 dans (<^/, ^) quand
£ (i A tendent slmultaïK'mcnt \ers zéro. On a donc

s = i{ù ) — <y{a ).

Iai longueur de U arc est l'accroissement de la fonction 7.

Jappelle l'attention sur la construction eiiiploy(''e dans la
déinouslration précédente.

Je suppose (|iriiii procédé, permettant de construire un ou
plusieurs intervalles ayant pour origine un point quelconque ^y,
ait été indiqué. Je dirai qu'un inter\alle (^a, b) a été couvert, à
partir de a, par une chaîne d'intervalles choisis parmi les inter-
valles définis par le procédé donné, lorsqu'on aura construit parce
procédé un intervalle (^,, t^) d'origine t^=:^a, puis un intervalle
(^2j h) d'origine t,^ etc., puis, si cela est nécessaire, un intervalle
{l^xi^ ftxi-\.\) dont l'ori«^ine est la limite de ^,, t.>, ...; et ainsi de
suite. Il a été démontré qu'on arrive ainsi nécessairement à
atteindre b au bout d'un nombre fini ou d'une infinité dénom-
brable d'opérations, de sorte que la chaîne construite couvrira
bien tout [a, b) (' ).

(') Lorscjiie le procédé tluimé t'ait currespoiidie j)lusieuis inlervallcs à une
inètne origine t^, ii faut clioisir entre tous ces intervalles celui quou appellera
(/„, ^((+,). Ce choix peut être fait arbitiaireinent si la nécessité de choisir ne se
présente cju'un nombre (ini de fois. Si elle se présente un nontbre infini de fois,
pour éviter les diflicullés (jui surfissent de l'emploi des mois « choisir une infi-
nité de fois », il vaut mieux supprimer le choix en indiquant suivant quelle loi
on déterminera {t^, ^a+i ) P^""»' t<'*'s les intervalles possibles. Dans la demcuistra-
tion précédente, on pourra assujettir chaque intervalle ( <„, i„^,) à être le plus
grand qui satisfasse aux conditions imposées; il y a bien d'ailleurs, dans l'en-
semble de ces intervalles, un intervalle plus grand que tous les autres.

CHAPITRE V

LA KKCHKKClli: D K S KONCTIONS PRIMITIVES.

1. — L'intégrale indéfinie.

Soil J\x) uiu' fonction hoiiu'c inlé^^rable dérinie dans (a^b);
Ja fonction

F(.T)= f f{x)d.v-h K

es t / 'intégra le indéfi n ie de /{x).

En appliquant le théorème de la moyenne on Noit que /' inté-
grale indéfinie de f{x) est nue fonction continue, à variation
bornée ( ' ), et qu'elle admet f\x) pour dérivée en tous les points
oiif{x) est continue.

Que se passe-t-il siy(^) n'est pas continue en a? Alors il se
peut qu'il y ait une dérivée égale à /(a), c'est le cas pour a = o
si f{x) est nulle pour x quelconque, et é*;ale à i quand x est
l'inverse d'un entier; il se peut qu'il y ait une dérivée dillé-
rente dey*(a), c'est le cas pour a = o quand /(.r) est partout nulle
sauf pour ^ = o, il se peut qu'il n'y ait pas de dérivée, c'est le cas
pour a = o (|uand f{x) = c,osJI^\x\ pour ^ ^ o et /(o) = o ( ^).

Ainsi l'intégration |)eut conduire à des fonctions n'ayant pas
partout une dérivée. Cette conséquence a été signalée par Riemann

( ' ) Je laisse au leclcur le soin de démontrer que la variation totale de F(a:)

dans (a, 6) est exactement égale à / \f{x)\dx

I •- a
X

(-) L'intégrale indéfinie est alors - (sin4^|x| -H cos^^ l-^^l )•

I.A HKCIIKRCIIi: DKS PONCTIONS PRIMITIVKS. 65

ij)|)('l('' riilleutioii sur rinl(*i;rale Indéfinie <!(' la fonction

(nx)

Colle iiil(''i;i'alc indéfinie P (.r) admet /( ./) poui" d(''i'ivée quand a:

, 11/' '>!) -t- I
n est pas de la tonne -i- •

' 2 Ai

xn -4- I -. . \ r, ,

.Supposons 7.= -^ — ^ — el taisons tendre ^j Ncrs a par \aleurs
eroissantes, on a \u (lue / Y B) tend \ ers /(a) A donc,

d'après le tliéorèine de la moyenne, il en est aussi de inênie de

F(p)-F(a)

\u eoiilraire ce rapport lendra \ers /"(a) ^^ — si l'on fait

Il ./ / \^ni-

tendre ^j \ers a par \aleurs décroissantes; donc F(.2:) n'a pas de

I ' • ' I I I I i- 9/? -h I

<lerivee pour les \aleuis d<' la tonne —^-

' xn

C'est le premier exemple (jue l'on ait connu d'une fonction
n'admettant [)as, en général, une dérivée. On connaissait Lien des
fonctions, celle de Caucliy, par exemple, -|- ^ x-., qui, en certains
points, n'avaient pas de dérivée; mais ces points étaient excep-
tionnels, ils ne formaient jamais un ensemble partout dense; dans
l'exemple de Riemann, au contraire, il y a des j)oints sans dérivée
dans tout inler\alle. Le principe de condensation des singularités
nous donnera autant d'exemples que nous le voudrons de fonc-
tions analogues à celles de Riemann ; si les dp sont tous les nombres

I /' V ^^sJ' la: — «„| , . 1 /. •

rationnels, / > ^^-^ ^ a^ est une de ces fonctions.

J^'inté^ralion fournit des fonctions qui n'ont pas toujours une
déri\ée. Par une métliode toute ditlerente, Weierstrass a (construit
une fonction n'ayant jamais de dérivée (-); il est évident que l'inté-
gration ne peut pas donner de telles fonctions : Les points en
lesquels une intégrale indéfinie n'admet />as de dérivée forment
un ensend)le de mesure nulle, puisque ces points apparli<Minenl

(') Voir p. i"). I/inlégralc indélinic >%)l)lieiil en iiUéiiraiU lenne à terme.
(-) Voir Journal de Crelle, vol. 79. ou Jordan, Cours d'anatysc. :>' édition.
l. I, p. 3i(k

La fonction de \\ Vier^tris-, <■>,; a variation non l)ornée dans tout intervalle.

66 CHAPITRE V.

à l'ensemble des points de discontinuité de la l'onction inté-
^Téef{x).

Lorsqu'une fonction /(a) est bornée, mais non inlégrable, on
peiil lui attacher les deux intégrales indéfinies par excès et par
défaut

F(

x)= f f{cc)dx-^K, F(x) = r /(x) dcr-hK.

Ces deux fonctions sont continues, à variation bornée, et
admettent/pour dérivée en tous les points où/est continue (').

\ la notion d'intégrale indéfinie se rattache une généralisation
importante de l'intégrale définie.

Si une fonction/(.r) définie dans {a, h) est non intégrable dans
{a, b) mais intégrable dans tout intervalle (a, fi) intérienr à («, />),
on peut espérer définir une intégrale dans («, b) en posant en prin-
cipe la continuité de l'intégrale indéfinie et en appliquant les
méthodes de Cauchy.

On voit facilement que les conditions supposées ne sont jamais
réalisées si/(jc) est bornée. Mais, s\f[x) n'est pas bornée, on peut
être conduit par la méthode de. Cauchy à un nombre déterminé;
il en sera ainsi en particulier si, autour de a et 6, \f{x) \ est
inférieure à une fonction d'ordre d'infinitude déterminé, inférieur

On peut refaire au sujet de l'intégrale de Riemann tous les
raisonnements faits au sujet de l'intégrale de Cauchy et des pro-
cédés de Cauchy-Dirichlet; je n'insiste pas sur ce point (^).

( ' ) La propriété relative à l'ensemble des points sans dérivée est vraie aussi
pour les intégrales par excès et par défaut; nous verrons d'ailleurs plus tard
({u'elie appartient à toutes les fonctions à variation bornée.

(■-) D'une manière plus générale, on peut appliquer tous les théorèmes que l'on
donne ordinairement relativement à l'existence d'une intégrale quand la quantité
placée sous le signe d'intégration devient infinie en un point.

("•) A ces questions se rattache une généralisation de l'intégrale exposée par
M. Jordan dans le Tome II de la deuxième édition de son Cours d'Anal) s*^. Si
les généralisations flu texte permettent de définir l'intégrale de /{x) dans tout
intervalle contigu à un ensemble fermé K, M. Jordan appelle intégrale de f{x)
la somme des intégrales dans les intervalles contigus à E. Pour que Pinlégiale
d'une somme soit la somme des intégrales, il faut ajouter que l'élcndue exté-
rieure de K doit être nulle. A ces questions se rattachent des travaux de Haniack

,A HKCIIKHCIIK DKS FONCTIONS l'KIMITINKS. 67

II. — Les nombres dérivés.

r^'inléj^ralion s'applique à des foiirlioiis <|ui ne sont pas des
(onctions (léri\(''es. Lui; fonction nulle j)artout, sauf pour ^ = o,
n'est pas une fonction dérivée, puisque sa fonction primitive, si
elle existait, devrait être continue, constante j)our x positif, et
pour j:* négatif, donc toujours constante et cependant sa dérivée ne
serait pas nulle pour .x = o. Ceci montre que les notions d'inlé-
j^rale indéfinie et de fonction primitive sont différentes.

Il semble ((ue l'on ait admis pendant lonj^temps que la première
de ces notions comprend la seconde et que, par suite, fintéj^ra-
tion permet toujours de résoudre le problème de la recherche des
fonctions primitives. En tout cas, au lieu de s'occuper de ce pro-
blème, on a étudié ((uels services pouvait rendre l'intégration dans
la résolution de problèmes, généralisations, en des sens divers, du
problème des fonctions primitives.

Pour l'étude de ces problèmes il nous sera utile de connaître
quehjues pro[)riétés des nombres dérivés.

Soit/(^') une fonction continue ( '), [)renons le rapport

r\J(j-), x^, a\,-\- h] = ^ ^ ■'';

et faisons tendre// vers zéro. Si nous assujettissons // à ne prendre
(pie des valeurs négatives, la plus petite et la plus grande des limites
du rapport sont les deux nombres dériKés à gmiche au point x©.
Ces deux nombres, (|ui ont été définis et étudiés par V. du Bois-
Reymond et Dini, sont encore a|)pelés les extrêmes oscillatoires
antérieurs. La plus petite limite est le nombre dérivé inférieur
à gauche, la plus grande limite est le nombre dérivé supérieur
à g((uche.

(Math. Ann., Bel. XXI, XXIV), Huldcr {Matli. Ann.. Bd. XXIV), .le la Vallée-
Poussin ^y. de Lioiwille, série 4, vol. VIII), SbWz ( Wiener Rerichte, Bd. CVII),
.Moore {Trans. Amer. Math. Soc, vol. II).

( ' ) On peut aussi considérer le cas des fonctions dix-oiiiinues, mais les déli-
tions du texte nous suflironl.

58 ClIAlMTRi; V.

Eu (lounaiil à // dos \aleurs positixcs on déliint les deux nombres
dériKU's à riroite ou extrêmes oseilictoii-es postérieurs.

Ces quatre nombres, (|ui ne sont pas uécessaireineiil liiils. s<'

notent

: X., A„.. l,,. A,/: y

si l'on veut rappeler la fouc'lioii/et la Naleiir.r,, doiil il s'ai;il on
écrit l^/{.ro), A^./(^o) (M.

La signification géométrique de ces nombres est simple. Soit la
courbe y =z/(x), considérons l'arc AB de cette courbe corres-
pondant à l'intervalle (xo. ^o-\- à)] supposons-le positif. Toutes
les droites joignant A à un point quelconque de AB sont toutes les
droites d'un certain angle XAY. Faisons tendre // \eis zéro,
l'angle X\Y varie de telle manière que, pour la valeur //, il
contient tous les angles correspondant aux Naleurs inférieures à //.

Ceci suffît pour qu'on en conclut l'existence de droites limites
? A, /, A pour \A et Y A. Les coefficients angulaires de ces deux
droites limites sont les nombres dérivés à droite;.

()n pourra faire la figure pour la (*ourbe r = .^siii-; poui".i=o

les deux noMd)res dérivés inférieurs sont égaux à — i et les dçu\
nombres dérivés supérieurs sont égaux à -f i . l*our cette cuurbe
l'angle XAY est fixe. Au contraire, il Narie poui* la fonction

• • ,1

V — .r sMi h x-sni -

<pii admet l<'S mêmes nombres dériNes (pn' la [)récédente pour
X = o.

JjCs nomhi'cs déri\és peuNcnl remplacer dans certaines (Hudes
les dériNées ordinaires. Dans Tétude de la Nariation dune fonction
par exemple : si les nombres dérivés sont tous (|uatre |)ositifs, la
fonction- est (croissante; si les deux nombres déri\és postérieurs
sont positifs, la fonction est ('roissante adroite; si les deux dérivés
postérieurs sont positifs et les deux antérieurs négatifs, la fonc-
tion admet un nnnimiim poui* x ^= Xi/, si l<'s deux nond)res d(''-
rivés à droite sont d(.' sigillés eonlr'air<'s la f()neti(ni n Csl ni erois-

(') On niiploic aussi (iiiclijiicfnis les nolalions l) , 1) , D^, I)^ ou <:/_ , l)_ ,

^

LA iu:(:iij:r( m: dks konciio.ns phimitives. 69

santé ni (hMioissanlc à droite (le x = ^0? niais si l'un des deux est
mil on n(; peut plus ri(;ndire.

l.ors(pie A,/ = X,/ ou dit (jue la l'onction admet une dérà'ee à
<lr()ite (''<;al(' à A,/; si A«- - )wr, la valeur de Ao- esl d/'tivée à
>j(( niche.

Si A,/ = )v/*"«= A^ r~ A^, la fonetion a une dérisée é^ale à A^/.
émette (h'iinition est identique à la définition classique sauf le cas
c.ù A,/-. ±x (').

faisons une application de ces délinilious à l'intégrale. Le
lluMucine de la uiovcnnc donne

/l,-[F(;r), a, PJIL,

si V est TuiK' (pielconque des trois intégrales indéfinies et si / cl [^
sont les limites inférieure et supérieure de /dans (a, ^:i); on peut
même supposer (pie a est exclu de l'intervalle (a, j3 ).

Si nous faisons tendre ^i vers a par valeurs plus petites que a,
nous Novons (pie le nombre dérivé supérieur à <>(iuche pour
r = a d^ une des iiifégrales indéfinies d' une fonction bornée
J\'C)j est ciu plus égal à la limite supérieure de f{.r) à gauche
de a et le nombre dérivé inférieur de f{x) à gauche est au
moins égal à la limite inférieure de f{x), à gauche de a.

Supposons que /(a — o) existe, alors les deux limites de f{x)
à gau(die de a sont /'(a — o), donc : r/ua/i/l f(x — o) existe, r une
(juelconque des intégrales indéfinies de la fonction bornée
f{x) admet, pour j; = a, une dérivée à gauche égale à f{pL — o).

On laisonne de même pour les nombres dérivés et la dérivée
à droit*'.

La fonction de Kiemann ^ — y^» n'admettant (pie des points de

discontinuité de première espèce, conduit à une intégrale indéfinie
(|ui a. v\\ tout point, une dérivée à droite et une dérivée à gauche
(^'terminée. C'est en somme l'existence de ces dérivées à droite et
à gauche (|ui a été démontrée à la page 65 .

Si /"( a — o) eiy*(a-i-o) existent et sont égales, l'intégrale (\v
J { .r ) admet la \aleur commune de /"(^a — o) eVf\^'X-\-o) pour
<l«''ri\ée, cpiand .r -- a, (piel «pie soit le noiid)re /'( a).

(') Avec celle (léllnilion \/'x arlmet une dérivée dclcrminée, H- x, pour x

CII.M'HHK V.

Il existe pour les iionihres dérivés une proposition aiialo«;uc au
ihéorèine des accroissements finis ( ' ) :

Si L et l sont les limites supérieure et in férié me de r an
quelconque des quatre nombres déii^és de la fonetion /{^)
dans [a^b), on a

l<^r[fi.T),a,b]S,L.

Je suppose (pie /et L soient relatifs à xV,/ et je vais démontrer
seulement (pi'il existe des valeurs de A,/ au moins égales à

/•[/(.r ), (t, />J.

Jadopli' pour cria le langage géométrique parce cpi'il me parait
plus expressif; on le traduira facilemenl si l'on \eut en langage
-analytique.

La propriété est évidente si la courbe C qui représente /(y) se
réduit à la corde AB joignant ses extréuiités {^/ig. '>■).

S'il n'en est pas ainsi et s'il existe des points de la courix' C au-

ilessus de AB ((t'est-à-dire du côté de y = -{-ce), je déplace

( ' ) On sait (|iie ce tliéorèine s'«;iioiicc ainsi :

Si une fonction /(. r ) est continnc dans l'intervalle {(/^O), et aclnict une dérivée
bien déterminée ponr ciiaque valeur de .r intérieure à {a.fj ). il existe un iionihre ^
de cet intervalle tel que

fih)-f(a) ^-f[ \:)b-a.

Cet énoncé ne suppose pas (|ue /'( ./• ) soit hoi iif
est infinie, cr doit tHr<' i- x, ou - x, ci non pa>

Il même Unie, miii> >i /" { .c )

X.

"Sa.

LA iu;<;m:K(:nK dks fonctions imumitives. 71

droite VB pjirallèlement à elle-même en A' B' de manière qu'elle
<;oupe G.

Au-dessus de A'B' il y a des ares de G, soil l*(^) {'un (Veux. Au
point P de A'B', A,/ et A,/ sont évidemment supérieurs ou au moins
égaux au eoefTieienl angulaire de P(), e'est-à-dire à r[/(x), «, b]
et la propriété est démontrée dans ce cas.

lùilin si G n'a pas de point au-dessus de AB (//,ir. •^), je déplace
AB parallèlement à elle-même vers y 7= — oc, et soit A'B' la der-

Fig. 3.

b Jp

nière position clans laquelle elle ait des points coinmuus avec G.
Si P est l'un quelconque de ces points, en ce point A,/ et A,/ sont
au moins égaux à r[f[.r), a^ b\, la propriété est déinonirée dans
tous les cas.

Du théorème f)ré('édent il résulte cpic les (jiidtrr itoDihres
déri\'(''s ont la nirme liinile suphieui v cl la m Ame liinilc infé-
rieure dans tout inier*^alle.

Gomparoiis les liuiites su|)éri('ures L et J^ dcA^/cl L^. Puiscpu* A,/
a pour liinile L et que A,/ est la limite de rapports /•[/"( j?), a, |^],
où a el [j appartiennent à l'intervalle considéré (a,ù), on peut
IroiiNcr y. el 't dans (</, h) tels que /•[/'(./), a, p] soit supérieur
à L — £. L<' maximum de A^r dans (a, ^), donc dans (a, h), est par
suite au iiioiiis ("liiil ;t L — î. Geci suffit pour (h'inoiiliM'r (|ue L <'t J^'
sont égaux.

La \aleur conimiiiic de L <'l 1/ es! en même lemps la liinile supé-
rieure <lu rap[)orl /-[/[j), a, [ii].

i^a propric'h' ('ikukm'c pour les limit<'s supérieure et inférieure
<lans un lulcrNalIc rulraîue l;t même propn('*té pour les limites

-■X CIIAPITUK V.

supérieure cl inférieure en un point; en particulier, si |)()ur I un
(les nombres dérivés ces deux limites sont égales, il en est de
même pour les autres, ce cpii s'énonce : Si m un point .r„ r im
des nombres dérivés est continu, il en est rie même des trois
autres nombres dérivés et de plus la fonction admet une dé-
rivée pour X =^ Xn.

Voici une autre conséquence <''\idente : si les quatre nombres
dériiés sont bornés, ils admettent la même intégrale supé-
rieure et la même intégrale infér eure ; si Vun d'eux est inté-
grable, tous le sont et ils ont même intégrale.

Dans le cas des dérivées le théorème de RoUe (')est un cas
particulier du théorème des accroissements finis; dans le cas des
noiuhres dérivés le théorème analogue au théorème de Rolle peul
s'énoncer ainsi : Si la fonction continue f {x) s'annule pour
a et h^ les limites des nombres dérivés dans {a,b) sont, ou
toutes deux nulles, ou toutes deux différentes de zéro et de

signes contraires.

Cet énoncé se juslilie en remarquant que si f(x) n est pas
constant, r[f{x), a, Ji] prend des valeurs positives et des valeurs
négatives.

On j)eut aussi dire : si la fonction continue f{x), non con-
stante dans [a,b), s'annule pour a et b, il existe des points de
(a, b) pour lesquels les deux nombres dérivés à droite {ou à
gauche) sont positifs et non nuls el d'autres points où ils sont
négatifs et non nuls.

\a\ réciproque peut s'énoncer sous la forme suivante : .s7 l'on
sait que les deux nombres dérivés à droite {ou à gauche) de
fix) ne sont jamais tous deux d<' méttK' si gni\ f{x) est une
constante {').

Parmi les fonctions continues il faut rcmarcpicr les fondions
à nombres dérivés bornés qui possèdent beaucoup des piopi i('l«''>^
des fonctions dérivables. Getl<' classe (!<• fonctions comprend les

(') ('.«• théorème s'énonce ainsi :

Si une fonction continue / (J7 ) s'anmilc pour a cl h, cl udtntH pour les points
intérieurs à (a,b) une dérivée déterniiiitr <lc giarnlciir cl de si^nc, tiiiic ou non,
celte dérivée s'annule dans {a,b).

(-) (-ette propriété (correspond à \.t suivante ; Si l.i dciivcc d'une foncliou
continue est nulle (piel (|uc soit .r d.Miv ^/./> ;, |., funetion i>l (■on>tiinle.

LA HKClIKUClli: l)i:S FONCTIONS l'UlMITIVKS. 7$

intégrales indéfinies. Los tondions à nonibrcs (léri\és bornés sonl
(•(îlles poiii" lesquelles on ;i loujours

\r\J\T), a, :iJI<M,

où M est lin iKJinhrc lixc. Celle inégalité, eoimiic sous le iioui de
condition dit Lipscititz, intervient dans prescjue tous l(;s raisoiiiu;-
nients sur Texistenee des solutions des (''(| nations dillerentielles.
VjCv'x montre l'importanee pratique des lonctions à nombres dérivés
bornés.

Nous revieiub'ons au Chapitre VII sur l'étude de ees fonetions;
pour le moment il suffira d^îii signaler une propriété immédiate :

Une fonction à nombres dérivés bornés et inférieurs en
valeur absolue ci AI est à variation bornée, sa variation totale
étant au plus Mo dans un Inlervalle d^'tendue o.

Soil inainlenanl une courbe leeliliable

X^X{t), y=yKl), Z=z{t),

définie dans («, b)^ et soit .v [t) son are de a à /.

L'équation s{t)^=zs peut être résolue en t (juand s est dans
lintervalle [o, 5(6)J et n'admet (pfiimî solution, sauf le eas
où X (t), y(t), z(t) seraient constantes à la fois dans un intervalle.
Sauf dans ce eas, t{s ) est une fonclion croissanle bien dc'lei-minée.

représentent la courbe donnée et les foiu'tions de v sonl des fonc-
tions continues à nombres dérivés au |)lus (îgaux à i .

L'étude des courbes rectifiables, et par suile celle des foiiclions
à variation bornée, esl donc inliinement liée à l'étude des foiiclions
à nond)res dérivés bornc's. Nous aurons l'occasion d<' nous s<'rv ir de
cette remar(jiie.

Il existe d ailleurs des fonctions continues à variallon bornée el

a iioud)i'cs d(''iiv(''s non boriK's, la fonclion .i*-sin- en esl un
cxemnlc.

74

CJIAPITRi: V

III. — Fonctions déterminées par un de. leurs nomh/es dérivés.

Hevenons à la reclierclio des louclioiis |)rimili\es. Le problème :

A. Trouver une fonction dont la dérivée soit une fonction
donnée,

n'admet pas en général de solution. Vussl le remplaee-t-on par
deux autres :

B. lieconnaître si une fonction donnée est une fonction
dérivée.

G. Trouver une fonction connaissant sa dérivée.

V ces problèmes correspondent les suivanls :

A'. Trouver une fonction dont le nombre dérivé supérieur
à droite (ou l'un des autres nombres dérivés) est donné.

B'. Reconnaître si une fonction donnée est le nombre dérivé
supérieur à droite d'une fonction inconnue.

C. Trouver une fonction connaissant son nombre dérivé
supérieur à droite.

Nous allons d'abord préciser l'indétermination de la solution du
problème C en démontrant (\u\ine fonction est déterminée^ à
une constante addiiive près, quand on connaît la valeur finie
de l'un des nondjres dérivés pour chaque valeur finie de la
variable.

Soient en ellet deux lonctions /, i^x) vX f^,{x) ayant en chacpjc
point le même nombre dérivé supérieur à droite. Nous avons, par
bypothèse,

Kifxi-r) - X^ffii-r)
et aussi

( ouinie on le voil en se reportant à la définition géométrique ou
analytique des n()nd)res dérivés. Cette définition fournit aussi
l'inéjçalité

. >v/ 1 /i 1 ^ ) /, ( ./• ) J ^ A,//, (.,•)+- À,/ 1 —/, ( .T )J ^ \,, I /, ( .r ) — ^ ( .r ) I .

dans laquelle le ternie <lii iiiilicii csl lud.

LA HKCIIKIUMi; DKS FONCTIONS l'IUM ITI VKS. J)

La foiiclioiiy'i {x) —fii-v) n'a doiu' jamais ses deux nombres dé-
rivés à droite difterenis de zéro et de niême signe, elle est constante.

Notre |)io|)osilion esl dénioulré<'. La démonstration ne suppose
pas (pie la (onction soil à nomhrcîs <léri\és hornés, mais elle sup-
pose (pic le nomhrc dérivé donné est fini, sans quoi le terme du
milieu, dans l'inégalité qui nous ^ servi, n'aurait aucun sens.

Il serait très intéressant de savoir si, dans tous les cas, une fonc-
lion csl déterminée, à une constante additive [)rès, par l'un de ses
nomhi'cs (l(';ri\(''s ; celle.' (jucslioii n'a pas encore été résolue. Il faut
rcmarepici" (pic la (picslion n'csl pas Iraiicliéc, même dans le cas de
la déri\(''c ordinaire, si Ton admet (pTune (lcri\ ce peut être infinie :
on sait (pic deux fonctions, (pii oui toujours la même dérivée, ne
difl'èrent que par une constante lors(pie cette dérivée est finie;
pour le cas général on ne sait rien.

On peut cependant étendre le résultat précédent à certains
nombres dérivés non toujours finis, quand l'ensemble des points
où le nombre dérivé est infini est assez simple. Par exemple,
si le nombre fini Xdfix) est donné pour toute valeur de la variable,
sauf pour les [)oints d'un ensemble E, la fonction continue fi^x) est
déterminée à une constante additive près dans tout intervalle con-
tigu à E; donc il en est aussi de même dans tout intersalle si E esl
réduclible, comme on le >oil en re[)renant les raisonnements
employés au Chapitre 1, à l'occasion des reclierclies de Gaucliy el
Dirichlet.

Nous aurons un résultat analogue toutes les fois que nous con-
naîtrons un ensemble solution de l'un des problèmes sui\ants :

I). lin quel ensemble de points suffit-il de connaître la
dérivée finie d^ une fonction pour cjue cette fonction soil déter-
minée à une constante addiCwe près?

ly. En quel ensemble de points suffît-il de connaître la
valeur finie du nombre dérivé supérieur à droite d^ une fonc-
tion pour que cette fonction soit déterminée à une constante
additive près?

Nous venons de citer une familier d'ensembles ré|)ondanl à la
question : les ensembles réductibles; on doit à Liidwig Scheetrei
une solution plus générale :

l ne fonction est déterminée, à une constante additive />rès.

-<> CIlAPITHi: V.

(/tifind on connaît /tour cliaque valeur de x. ^anf peut-être
pour celles dUin ensemble dénombrable K, la valeur finie du
nombre dérivé supérieur à droite de cette fonction.

Soient J\{jc) ^/^{jc) les deux fonctions ayant en «>énéraJ le
HiènH' nonihie dérivé snpérieur à droite fini; nous allons démon-
trer (jiie Ton a loiijours

et |)oui' eela nous (((''montrerons (jue réj;alil(''

i I ) J\ ( l> ) —j\ {b}^ J\ ( a ) — l\ (a)— W

où II est dillérent de zéro est impossible. 11 suffit de eonsidérei- le
cas où H esl positif, puisque l'autre cas se réduit à celui-là par le
changement de/, et/^: de même on peut supposer b^a.
Considérons la fonction

II

»f(^) = c(a7 — rt) -h/, (.r)—/2(.r)—/,(a)-f- /,(«)-!- -,

dans hupielle c esl une constante telle (pic

^ ^ H

2(6 — a)
Alors

H H

ru^.( a ) = — > o, o,.{b) = c(l) — a) < o ;

la fonction ,^,. étant continue s'annule entre a et b\ soit ^,. la |)lus
grande des valeurs coniprises entre a et /> (pii aiuude .p,.. On a
é\ ideunnent

On peut conclure de hi (juc ./•,. esl en un point de V\.
Vax eflel. nous avons démontré, page -4? q^'^ pour tout point
n'appartenaul pas à 1'.. ou a

■^'i\J\^n-~J'-x(or)\lo',

donc poin- ces points on a :

A,/cp.(.r)^c>o.

V « lia.pu- \;deur r- (IcIinicrNalIc f „, -*L_ 1 corn-spoïKl ain^i

I.A RECIIERCIIK DES FONCTIONS PRIMITIVKS. 77

un point .r,. de E. Mais, si c elc^ sont (liflcients, Xc cl œ^.^ le sont,
car réj^alilé

enlrainc

c ( a?,. — a ) = c, ( Tc^ — a }

et .Cr est (liflV'i'ent de r/.

Donc, |)()iir (HIC I (''i;;ilil('' f I ) soll possiMc, il fiiiil (|ii(' \i ail la
puissance du eonlinu (' ).

Une conséquence de c<'lle propriété, signalée par LuiJwij;
Seiieefl'er, est qu'une; fon(;tion est déterminée quand on connaît sa
dérivée pour toutes les valeurs irrationnelles. Mais une fonction
n'est pas déterminée quand on connaît, pour chaque \aleur ration-
nelle de œ, la valeur finie de sa dérivée. Pour le prouver,
soientcT,, x^. . . . les nombres rationnels positifs. Tiacons un inter-
valle 0, de lonj^ueur ineominensurahle, ayant .r, (îoiume milieu.
Soit x^^ le piemier des .r/ ne faisant pas [)artie de o, : traçons un
intervalle ù^ de longueur incommensurable, de milieu Xg^^ et n'empié-
tant pas sur 0,. Si x^^ est le premier des Xi qui ne fait partie ni de
0,, ni de o^,, x^ est le milieu d'un intervalle incommensurable
n'empiétant ni sui* o,, ni sur O2, et ainsi de suite.

La fonction /'(.î*\ égale à la somuie des longueurs des inter-
valles 0 et des parties d'intervalles ô, compris entre o et x, est une
fonction continue croissante de x, qui admet -+- 1 comme dérivée
pour toutes les valeurs rationnelles de :r. Et cependant cette fonction
n'estpasnéeessaircuHMil (\o la forme. r-|-const., puisque/^^-f-oc) — ^/(o)
est la somme des longueurs des 0, somme (jui a telle valeur posi-
tive (pie l'on veut.

La fonction continiK' y"( j;) — 1 n'est pas constante et dans tout
intervalle il existe des [)oints où sa dérivée est nulle.

C'est à l'occasion d'une fonc^tion dont la dérivée s'annule dans
tout intervalle que Ludwig Scbeefter a entrepris ses reclierches sur
la (l(''lcnimial 1011 (iiiiic l'onclioii par ses (Ic'imn ées.

( ioniinc loiiclioiis (loni la (b'rivée s'annule dans tout iul(M"valle

( ')Ld déinonstralion précédente est, à très peu près, celle de L.Scheeffer. J'ai res-
pecté aussi son énoncé, mais il est bon de remarquer que la démonstration sup-
pose seulement que I'^ n'a pas la puissance du continu, ce qui ne si^nilie peut-
être pas que E est dénombrable.

_g CIIAI'ITRI-: V

nous pouvons rncore cher la fonclion 'f (^•), |>aj^o i.i, la fonc-
tion l{x), page 55.

l.a démonslrallon précédente est assez artificielle, en Noici une

autre:

l^s deux fonctions/, et /.> ayant niènie A,, en tout point, sauf
|)eut-ètre aux points de E, la fonction /Y .r) =/, —/> a, en tout
point n appartenant pas à E, un Arf positif ou nul et un Xi négatjf
ou nul. Si a est un tel point, faisons-lui correspondre le [)lus grand
intervalle (a, a -h // ) tel que Ton ait

/(a + /?)-/(«)

N.

Supposons les points de E rangés en suite siiupleuienl infinie,

x^J X2, A x„ faisons correspondre le plus grand intervalle

{x„, x'J tel que l'on ait

Chaque point de (a, b) est maintenant l'origine d'un intervalle o
attaché à ce point; nous pouvons couvrir (a, 6), à partir de «, à
l'aide d'une chaîne d'intervalles ^, page 63. Servons-nous de ces
intervalles pour calculer /(6) — /(«), nous trouvons que cette
quantité est au plus égale à

eS/i-t-eS — l£(6— a-h I);

or £ est quelconque, donc f{b^ ^ f(a): et. piiiscpic ce raisonne-
ment pourrait être employé pour une partie (pu-lcoii(|ue de (a, b),
la fonction /(^) est constante.

Ce mode de démonstration conduit à un autre lésultat. Suppo-
sons que E soit, non plus nécessairement dénombrai de. mais seu-
lement de mesure nulle. Cela vent dire (pie les points (l«3 E peuvent
être recouverts à l'aide d'une infinité (N'iioinlnahlc d intervalles d
dont la somme des longueurs est aussi pciilc ipic Ton veut.

L'intervalle o attaché à un point ne faisant pas partie de E a
•'*té défini. A un point P de E nou.<faisons maintenant correspondre,
( «Muiue intervalle 3, l'intervalle o, dont roriginc est Pet dont l'ex-
ircinii*' ( si !( xiK'milé de l'intervalle d contenant P.

\(»i!s K ((iii\rons («, b) à partii- d<* a à l'aide d'une chaîne d'in-
tciN.dics o «1 0, ; cette chaîne donne, connue limite supérieure (h;

LA UECHKRCIIE DES FONCTIONS PRIMITIVES. -<.}

l'accroissemeiiL/(^) — / (^) ^^/{^) dans (<:/, b), le nombre e'^h
augmenté de la somme des accroissements de /(^) dans les inter-
valles 0,. La somme \ des longueurs des Oi est plus petite que la
somme relative aux d, donc elle est aussi petite que l'on veut. Cela
ne permet pas d'en conclure en général (jue la somme correspon-
dante des accroissements de /(x) est aussi petite que l'on veut;
mais si f\ {oc) vX /^{x) ont des nombres dérivés inférieurs en
valeur absolue à M, cette somme est inférieure à 2 M).. Ainsi :

Une fonction J\x), à nombres dérivés bornés^ est déter-
niinée, à une constante additive près, quand on connaît son
nombre dérivé supérieur à droite, pour toute valeur de x sauf
pour celles d'un ensemble de mesure nulle.

Cet énoncé ne nous fournit aucun renseignement relativement
à l'indétermination du jjroblème C quand le nombre dérivé donné
n'est pas borné, puisque f{x) est supposée à nombres dérivés
bornés. Cette restriction est d'ailleurs nécessaire : la fonction ç( ^ ),
page 55, n'est pas une constante, elle a sa dérivée nulle partout,
sauf |)eut-ètr(' aux points de Z qui est de mesure nulle.

Les théorèmes précédents peuvent être avantageusement trans-
formés ; pour ces transformations j'utiliserai une généralisation
heureuse de la notion de limite inférieure et supérieure qui est
due à M. Baire(*).

Soit une fonction f{x) ; la limite supérieure de /'(.r), dans un
intervalle (a, b). est un nombre L tel (|ue l'ensemble E(y >- m) des
points X de («, 6), tels que f{x) soit supérieure à m, existe dès
(|ue m est inférieur à L, tandis qu'il ne contient aucun point pour
/// >> 1^; la limite inférieure de f(x) dans l'intervalle (a, b) peut
se définir de même.

Il existe de même un nombre L, tel que l'ensemble E( /> ni)
est dénombrable pour //^ >> L, et ne l'est pas pour /;/<<L,. Ce
nombre L, est appelé par M. Baire la limite supérieure de f{x)
dans («, 6), quund on néglige les ensembles dénombrables.

Cet exemple suffira pour faire comprendre ce (|u'il faudra
entendre par la liinilc supérieure ou inférieure, dans un infer-

(') Thèse : Sur les fondions de 1 (niables réelles {Annali di Mateinatica,

1900).

S(. CIIAPITIU: V.

vaile ou en un point, d'une fonction quand on néglige los en-
sembles dénondirahles, ou les ensembles non denses, ou les en-
sendiles de nn^sure nulle. Si, en négligeant certains ensembles, on
obtient des limites inférieure et supérieure égales, ou pouira dire,
(lu'à ces ensembles près, la fonction est continue.

Ces définitions posées, Noici b's deux j)ropositions cpie i*a\ ais en
vue : Les limites inférieure et su/x'rieurc d' un nombre (h'riK-r
sont les mêmes, que l'on néi:;li *j:e ou non les ensembles dénom-
b râbles.

Les limites inférieure et supérieure d'un nonibie dérivé
borné sont les mêmes, (/ue l'on néglige ou non les ensembles
de mesure nulle.

Je démontre [)ar exemple la premièie de ces deux propositions.
Si les limites supérieures L et L, «l'un nombre dérivé A^/cp(^),
obtenues en tenant compte puis sans tenir compte des ensembles
dénombrables, sont inégales, et si K est un noud)re fini compris
entre L etL,, le nombre dérivé A,/[cp (.r) — Kx] estnégalif sauf pour-
les points d'un ensemble dénombrable pour lesquels il est positif.
Or il suffit de reprendre, en le modifiant légcremenl, l'un ou l'autre
des deux raisonnements qui nous ont (X)nduits au tbéorème de
Sçheeffer, pour voir que cela est inq)ossible.

IV. — Recherche de la fonction dont un nond)re dérivé
est connu.

Nous allons essayer de résoudre les j)roblcmcs B' et C dans le
cas où la fonction /(vC), donnée comme A,/, est bornée.

Divisons l'intervalle positif (/?, b) en intervalles particîls. Dans
(a, [i) les limites inférieure (;t supérieure de f{x) sont / et L,
donc on a, si F est la fonction cliercli(''e telle que

X^Vix) =fix),
(P_a)/<F(|ï)-F(a)<(^^-a)L.

Si nous faisons la souuue des inégalités analogues, relali\es aux
intervalles partiels, nous avons, en faisant tendre ces intervalles

I.A RKr:ilK«(;riK DI<S fonctions PIUMITIVES. 8l

\ ors zéro,

/ Kif{x)dx<¥{b) — ¥{a)< j A^f(.T)dx.

• '/ 'a

\)c ccUe iiié^^alité il résuIlL' (;ii |)arli(niiier que : si l'u/) des
nombres dérivés d^ une fonction f {.t) est intégrable, auquel cas
les trois autres le sont aussi et ont même intégrale^ son inté-
grale indéfinie est de la forme f {x) -+- const.; et eel énoncé, plus
particulier encore : lorsc/u' une dérivée est intégrable, il y a
identité entre ses fonctions jn'imitives et ses intégrales indé-
finies.

Ces énoncés s ap[)liqueraient évideninient au cas où la fonction
donnée deviendrait infinie au voisinage des points d'un ensemble
réductible, à condition d'employer la i;énéralisation de l'intégrale
qui a été indiquée page 96.

Si nous tenons ('ouq^te des tliéorcmes énoncés à la fin du Para-
graphe précédent, nous voyons que si l'on connaît partout \v
nombre dérivé, sauf" poui- les valeurs d'un ensemble dénond)rable,
— ou si on le connaît partout, sauf pour les valeurs d'un ensemble
de mesure nulle, et si l'on sait de plus qu'il est borné, — on peut
encore appliquer les théorèmes précédents, à condition d'étendre
les intégrales qui y figurent à l'ensemble dans lequel on connaît le
nombre dérivé.

V cette remarque s'en rattaclie une autre plus importante. Le
cas dans lequel nous savons résoudre le problème G' est celui où le
nombre dérivé donné est intégrable. Ce nombre dérivé a alors des
points de continuité; en ces points il y a une dérivée égale au
nombre dérivé donné, et l'on connaît partout la dérivée de la
fonction inconnue, sauf aux points de discontinuité, c'est-à-dire
sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle. Il suffirait de se
servir des valeurs connues de la dérivée pour avoir la fonction. J^e
cas résolu du problème C se ramène donc^ en réalité au pro-
blème C.

Les raisonnements qui précèdent nous peruiettent de répondre
aux (juestions B et B' dans un cas important, celui où la fonction
donnée est intégrable. Pour reconnaître, par exemple, si une
fonction intégrable donnée f {jo) est une dérivée exacte, on for-
mera son intégrale indéfinie F(;r), puis on recherchera si
L. 6

s 2 CHAPITRE V.

l'on a

/( X) = im • j

On a donc un procédé régulier de calcul permettant de reconnaître
si/ est ou non une dérivée exacte. Il est vrai qu'il faut rechercher
si une certaine expression a ou non la limite connue /(.r); mais
une dérivée étant par définition une limite, il est peu problable
qu'on puisse remplacer le procédé de calcul indiqué par un autre
dans lequel on n'emploierait pas les limites.

Nous avons trouvé une condition nécessaire et suffisante pour
qu'une fonction intégrable soit une dérivée; elle ne se présente
pas sous la forme que l'on donne habituellement à de telles condi-
tions. Le plus souvent on énonce, comme condition nécessaire et
suffisante pour l'existence d'un fait A, l'existence d'une pro-
priété B qui accompagne toujours le fait A et est toujours accom-
pagnée par lui; mais, pour que 1 on ait autre <*hose qu'une tauto-
logie, il faut que l'on connaisse un procédé régulier de calcul
permettant de savoir si l'on a ou non la propriété B. C'est ce pro-
cédé qui a été directement donné pour le cas qui nous occupe.

Si l'on tient à énoncer la condition nécessaire et suffisante trouvée
sous la forme habituelle, on pourra, comme le fait M. Darboux,
appeler valeur moyenne dans (a, b) d'une fonction intégrabley*(j;)

la quantités / j\x)dx\ puis on appellera valeur moyenne

au point x„ la limite, si elle existe, de la valeur moyenne dans
(.To — /i, -To-I- A), (juand les nombres positifs h et k tendent vers
zéro; et l'on a l'énoncé suivant :

Pour qu'une fonction intégrable soit une fonction dérivée, il
faut et il suffit qu'elle ait en tout point une valeur moyenne déter-
minée et qu'elle soit partout égale à sa valeur moyenne.

V. — L intégration riemannienne considérée comme l'opé-
ration inverse de la dérivation.

Nous avons vu que l'on a généralisé de diirércntes manières le
problème des fonctions primitives; recherchons maintenant si l'une

LA KKCMERCIIE DES FONCTIONS PRIMITIVES. 83

de ces généralisations permet de considérer l'intégration au sens
de Riemann comme le problème inverse de la dérivation.

Si nous nous rappelons qu'une intégrale indéfinie admet comme
dérivée la fonction intégrée en tous les j)oints où celle-ci est con-
tinde, nous sommes conduits à nous poser, avec M. Volterra, le
problème suivant : Rechercher une fonction continue qui admette
une fonction bornée donnéey(j;) pour dérivée en tous les j)oints
où / (œ) est continue (').

Ce problème est toujours possible, car les deux intégrales par
défaut et par excès de/{x) répondent à la question. Mais il est en
général indéterminé, c'est-à-dire que toutes ses solutions ne sont
pas comprises dans une formule de la forme F (jt- ) -h const.
Lorsque /(^) n'est pas intégrable, le problème est toujours indé-
terminé. Si f{x) est intégrable, il se peut que le problème soit
déterminé; c'est le cas quand l'ensemble des points de disconti-
nuité est réductible, mais il se peut aussi qu'il soit indéterminé.
Il en est ainsi lorsque l'ensemble des points de discontinuité con-
tient un ensemble parfait E; nous avons a|)pris, page i3, à former
une fonction continue non partout constante, mais constante dans
tout intervalle contigu à E; cette fonction, ajoutée à une fonc-
tion solution du problème proposé, donne une nouvelle solution
de ce problème.

Ainsi notre problème comprend comme cas particulier le pro-
blème de l'intégration indéfinie riemannienne, mais il est plus vaste
que ce dernier problème.

Proposons-nous maintenant de trouver une fonction à nombres
dérivés bornés qui admette une fonction bornée donnée f {x)
comme dérivée en tous tes points où f{x) est continue.

Ce nouveau problème est toujours possible et admet encore pour
solutions les deux intégrales àef{x)\ mais, si /'(^) est intégrable,

(') En réalité M. Volterra recherche les fondions qui admettent /( x) pour
dérivée en tous les points qui ne sont ni des points de discontinuité de /(x), ni
des points limites de discontinuités. De plus M. Volterra suppose implicitement
que les fonctions dont il s'occupe ont des nombres dérivés bornés. Pour ces deux
raisons les résultats qu'il obtient ne sont pas ceux du texte; d'ailleurs toute
fonction est évidemment solution du problème de M. Volterra, si les points de dis-
continuité lW f{x) forment un ensemble partout dense, tandis qu'il n'y a que
des fonctions très particulières qui satisfont à l'énoncé du texte.

R

Of THE
OF

8^ CIIAIMTRK V.

il est déterminé, car la dérivée de la l'oiiclioii à nombres dérivés
hornés ehereliée est connue partout , sauf aux points d'un
ensemble démesure nulle. Ce prohlônie n'est donc déterminé que
pour les fonctions intégrables ; lorsqu'il est déterminé, sa solution
est l'intégrale indéfinie de/(.r).

Nous pouvons ainsi, en un (certain sens, considérer l'intégration
riemannienne comme l'opération inverse de la dérivation.

CHAPITRE VI

L INTi:(. H A M] DKFIME A LAIDE DES FONCTIONS P H I M ITl V E S

1. — Recherche directe des fonctions primitives.

Nous avons obtenu des théorèmes permettant théoriquement,
dans des cas étendus, de reconnaître si une fonction donnée est
une fonction dérivée et, s'il en est ainsi, de trouver sa fonction pri-
mitive. En réalité, un seul de ces théorèmes est employé couram-
ment : toute fonction continue est une fonction dérivée. Quant au
calcul effectif des fonctions primitives il ne se fait jamais au moyen
de l'intégrale définie ('), mais à l'aide des procédés connus sous
le nom d'intégration par partie et d'intégration par substitution.
Ces deux procédés s'appliquent, qu'il s'agisse de fonctions con-
tinues ou non.

On peut aussi utiliser le théorème suivant : Une série unifor-
mément convergente de fonctions dérivées représente une
fonction dérivée.

Sa fonction primitive s^obtient en faisant la somme des fonc-
tions primitives des termes de la série donnée^ les constantes
étant choisies de manière que la série obtenue soit conver-
gente pour l'une des valeurs de la variable.

Soient

/

=

Uy

-+-

W2

-\-. .

. —

«1

4- .

. .-4-

11 a

H-

/•//

Sn

-^ '•«,

'■

—

Ui

-^

U2

H- . .

. — =

Ul

1-^-

. .-f-

u.

-^-

R«

-

S.

-4-R,,

( ' ) Cependant il est parfois possible d'eUoctucr pratiquement la roclurche
<rtint' fonction primitive à l'aide d'intégrales définies. On trouvera mi txrmple
(l'une telle rechcrrlie dans V Introduction à l'étude des fonctions il' une rariable
réelle de M. J. 'raimrf\, p. -s',.

8f, CllAPITRi: M.

la série donnée et la série des fonelions primitives, lacjuelle est,
par liy|)()thèse, convergente pour une certaine valeur ^o-

Choisissons n assez grand, pour que l'on ait, quel que soit
p positif,

le théorème des accroissements finis donne, si {a^ b) est l'inter-
valle considéré,

<t{b — a) -+-!S„-t-/;(^o) — S„(.ro)|.

Celle incgalilé montre que la série F est uniformément conver-
gente dans (a, ^), puisqu'elle est convergente pour Xq.
Évaluons le rapport

f\ \f { 'T \ 'T V _1— /il

ya ^„j—, yu , _ . p. ^

1 \V \X )^ T, X -+- Il ] — —

j^ _A^(X).

A F = AS„-h AR„ =

A S,, -f- lini A(S,i+y, — S„).

La quantité A(S„^,,— S„) est inférieure en ^aleur absolue à =,
d'après le théorème des accroissements finis, donc, si l'on fait
tendre h vers zéro, l'une quelconque des limites de AF ne diffère
que de s au plus de la limite s,i{x) de AS„. Puisque s est quel-
conque, il est ainsi démontré que F(^) admet /(x) pour dérivée.

Ce théorème nous permettra d'employer le principe de conden-
sation des singularités à la construction de fonctions dérivées.

Lorsqu' une fonction dérivée est donnée par une série de
fonctions dérivées non négatives on peut prendre les fonctions
primitives ternie à ternie à condition de choisir les constantes
de manière que la série obtenue soit convergente.

Pour le démontrer, je conserve les notations précédentes, et je
suppose, pour siuq)lifier le langage, que la série F soit convergente
pour l'origine de l'intervalle («, b) considéré et que U,, U^ ...
s'annulent pour x ^=i a. Soit J celle des fondions primitives de /'
qui s'annule par x^=^ a. W faut démontrer que F = .f.

Tous les U| sont positifs, donc S,; croît avec //. Mais, puisque/
est au moins égale à Sn-, ^{oc) est au moins égale à S„(.r), et S,i(.r)
tend Ncrs une limite F(j7), au plus égale à -f (:r)

l'intégrale définie a l'aide dks fonctions primitives. 87

Le nieine raisonnenientappliqué à l'intervalle positif (x, .r -1- h)
montre quc.f(^ -t- A) — i(^)estaii moins égale à F (^ + h) — F (^),
et parsuite/(^), dérivée de § {x), est au moins égale à A,/F {x).

D'autrepartF(j: + A) — F (.r) est supérieure à S„(^ H- /i) — S„(.r),
donc \i V {x) est au moins égale à la dérivée s,i{x) de S«(x), et,
puisque n est quelconque, X/F (:r) est au moins égale à /(^).

F(.r) a donc une dérivée à droite égale à /(^) ; en raisonnant de
même sur l'intervalle négatif {x, x — A), on voit que F {x) admet
aussi / (:?:•) pour dérivée à gauche: le théorème est démontré.

Nous pouvons dire aussi : si des fonctions dérivées fn tendent
en croissant vers une fonction dérivée/^ leurs fonctions primi-
tives tendent vers la fonction primitive def{x) si les constantes
sont choisies convenablement.

On peut écrire en eftet

/= /i ^ (.A - /. ) - (/3-.A) -+-. . -,

et tous les termes, qui sont des fonctions dérivées, sont positifs, à
l'exception peut-être du premier.

Le théorème est encore vrai si, au lieu de considérer des fonc-
tions f/i{x) croissant avec l'entier /z, on considère des fonctions
dérivées /(^, a) croissant avec le paramètre a, et tendant vers une
fonction dérivée / quand a tend vers a(,.

Enfin, 11 faut remar([uer (ju'il est nécessaire de savoir (|ue la
fonction /', limite ou somme, est une fonction dérivée, pour avoir
\v (h^olt d'appli<pier le théorruie précédent : la fonction

/(.r, a) = — e-3c»*

tend en croissant, quand a augmente indéfiniment, vers la fonc-
tion f(x) partout nulle sauf pour :r = o où elle est égale à — 1 .
Cependant f{x, a) est une fonction dérivée el f(x) n'en est pas
une.

Ces deux propriétés vont nous permettre d'effectuer la recherche
des fonctions primitives dans des cas étendus.

Tout cFahord, (piaiid une fonction est la somme d'une série uni-
formément convergente de fonctions dérivées, c'est une fonction
(h'-rivée dont nous savons trouver les fonctions primitives. Voici
inie application théorique importante.

Soit une fonction continue y(;r) définie dans («, b). Marquons

gg CHAPITRE M.

les points Xo= «, x,, x..... Xn-^b pris assez rapprochés pour
(pi(\ dans {xi, ^,+, ), l'oscillation dc/soit inférieure à £.

Dans la courhe yz=f{x) inscrivons la ligne polygo-

naley = ?(^) dont les sommets oui pour abscisses Xq. x^ x«,

f{x) cl'o{x) durèrent de moins de z. C'est dire (pie '^{x) tend
uniformément vers /(x), (piand s tend vers zéro ; il nous sufiîra
<lonc de démontrer que f (^) est une fonction dérivée pour que
nous puissions affirmer qu'il en est de même àef{x). Mais 'f (r),
étant dans (.r/, J?/+i) le polynôme du premier degré

? {00} = f{Ti) + {X - Xi ) • '— ,

<>l la dérivée de la fonction conlinue (pii, dans (j:'/, .r/^, ), esl
définie par

j = i
*(^) = ^(^y— ^y-i) ~

-^{X — Xi)f( Xi ) + •

X X,.^-\ Xi

11 est démontré que loute fonction continue est une fonction
dérii'ée, et cela sans avoir recours à l'intégration (' ).

Lorsque nous saurons mettre une fonction sous la forme d'une
série de fonctions dérivées toutes de même signe, nous aurons un
procédé régulier de calcul permettant de reconnaître si /"est une
(léri\ée exacte, puisque la fonction primitive de /ne peut être autre
(jue la somme des fonctions primiti\es des termes de la série donnée
{comparez p. 82).

Ainsi les deux théorèmes sur les fonctions piimitives des séries
nous permettent de faire dans certains cas, relati\emenl à la déter-
mination des fonctions primitives, ce que les théorèmes sur l'inté-
gration nous permettent de faire pour les fonctions intégrables.

(') On pourrait t^tre tenté, pour appliquer le théorème sur les séries uniformé-
ment convergentes de dérivées, de s'appuyer sur cette proposition, due à
Wcierslrass: toute fonction continue est représenlabic par une série uniformémenl
convergente de polynômes. Pour que celle méthode convienae pour le bul que
nous avions en vue, il faut avoir soin de démonlier le théorème de Weierstrass
sans se servir de l'inlégralion. La démonstration que j'ai donnée dans le Bulletin
(les Sciences mathématiques de 1H98, dans une Note Sur Vapproximalion des
fonctions, satisfait à celte condition.

l'intégrale définie a l'aide des fonctions primitives. 89

Je laisse de côlé les remarques analogues relatives à la recherche
d'une fonction admettant pour nouibre dérivé une fonction donnée.
Je vais indiquer (juelques propriétés des fouettions dérivées qui
pennellront parfois de reconnaître iuimédiatement cpi'une foiK*-
tion donnée n'est pas une fonction dérivée.

II. — Propriétés des fonctions dérivées.

Une fonction dérivée ne peut passer d'une valeur à une
autre sans prendre toutes les valeurs intermédiaires. Supj^o-
sons, en effet, que Ton ait /'(aj = A, /'(^ ) = B, et soit G un
nombre compris entre A et B. On peut prendre h positif assez
petit pour que ;[/'(^), a, a -{- Ji'\-- kf{a) soit compris entre A
et G et que ^'^f{0 — h) soit couipris entre B et G. La fonction X.f[x)
est, Il étant fixe, une fonction continue de x\ (juand x varie de a
à b -- Il elle passe d'une valeur comprise entre A et G à une valeur
comprise entre 1^ et G, donc pour une ('ertaine valeur Xq de
(a, b — A) on a Xf^x^) = G. Le théorème des acM-roissements finis
montre que dans (.^o, .x»-i- A) il existe une valeur c telle que
/'(c) = C{').

Les fonctions dérivées jouissent donc de l'une des propriétés des
fonctions continues. M. Darhoux, dans son Mi'moirc Sur les
fonctions discontinues (-), a beaucoup insisté sur cette pro|)riété.
On a\ait pris, en h'rance, l'habitude de définir une fonction con-
tinue celle qui ne |)eut passer d'une valcui- à une autre sans ()asser
par toutes les valeurs intermédiaires, et l'on considérait cette défi-
nition comme équivalente à celle de Gauchj. M. Darboux, qui
construisait dans son Mémoire des fonctions dérivées non continues
au sens de Gauchy, a pu montrer que les deux (h'Iinitions de la
continuité étaient fort difîerentes (•').

Il est facile de citer des fonctions dis(n>ntinucs qui ne passent pas

<•) Ceci ne suppose pas que f\x) soit finie, mais seulement que/'(a7) soit
loujo-urs bien déterminée en grandeur et signe.

(-) Annales de l'Ecole Normale, iS-5.

(^) On me permettra de signaler qu'en kjoî on enseignait encore dans un lycée
de Paris la délinition critiquée dès 187J par M. Darboux. Cela est d'autant plus
étonnant que la propriété qui est énoncée dans la délinition de Cuuchy est celle

,,,, ciiaphkk VI.

d'une valeur à une autre sans prendre, une fois au moins, chaque

valeur intermédiaire. C'est le cas de la fonction égale à sin- pour

x^o et à n'importe quelle valei r de l'intervalle (— i, +i)
pour X =^ o.

11 est assez curieux qu'une fonction puisse jouir de cette pro-
priété qui a été prise pour définition de la continuité et être cepen-
dant discontinue en tout point. Pour construire une telle fonction,
j'écris le nombre œ^ pris entre o et i , dans un système de numéra-
tion, le système décimal par exemple :

«1 «2 , ^3

10 lO- Io3

Considérons la suite des chiflVes de rang impair a, , ^3, «;,, ....
Si elle n'est pas périodique, nous prendrons o{x) = o; si elle est
périodique, et si la première période commence à a^n-K- nous
prendrons

a-iii a-î,i-i--2 a^n-h!» ûtaw-t-e

o{x) = \ i ï h-

10 10- 10^ 10*

Il est évident que la fonction o(.r) ainsi définie prend toutes les
valeurs de (o, 1) dans un intervalle quelconque si petit qu'il soit,
donc o{x) est discontinue en tout point; d'ailleurs 'f (^) ne prend
pas de valeurs extérieures à (o, i), donc o(x) ne passe pas d'une
valeur a à une autre h sans prendre toutes les valeurs de (o, i), et,
a fortiori, toutes les valeurs comprises entre a et h.

Il faut aussi remarquer que, avec la définition critiquée par
M. Darl)ou\. la somme de deux fonctions continues n'est |)lus
nécessairement une fonc'tion continue. En efl'et, si

- . i

f^{T) = sin - pour x ^ o «M /, (o) — i,

et si

/i(x)~ — sin— pour x^o et f^((y) — i,

les deux fonctions/, et/, w peuvent passer d'une valeur à une

qui intervient directement dans presque toutes les <iétnonstrations, (indis (
la propriété des fonctions continues et dérivées n'est guère employ« <■ >\ur d
le théorème des substitutions et ses coiiséqueiiccs.

jUf

l'imégrali: dkfi.nme a i/AroE dks ponctions primitives. 91

autre sans |)rendre toutes les \al(nirs Intermédiaires et il n'en est
pas de même de/, -h/^, puisque

fi^fi^o pour 37 ^.<j et /,(o) -1-/2(0) -^ 2.

La somme de deux fonctions dérivées étant une fonction dérivée,
il V a lieu, d'après la remarque précédente, d'énoncer comme une
propriété nou\elle ce fait i\uv la somme de deux fouettions dérivées
ne peut passer d'une \aleur à une autre sans passer par toutes les
valeurs intermédiaires. On peut dire aussi que la dillérence de deux
fonctions dérivées ne peut changer de signe sans s'annuler, ce qui,
si l'on songe à la représentation géométrique, peut s'énoncer ainsi :
Deux fonctions dérivées ne peuvent se traverser sans se ren-
contrer.

Voici un exemple de l'aj)plication de (;ette propriété. Soitdi(jp)
une fonction égale à la fonction 'f (x), [)age 90, quand 'f (^) n'est
pas égale à ^, et égale à o quand '^{x) = x. '}(-p), comme 'f (•^), ne
peut passer d'une valeur à une autre sans passer par toutes les
valeurs intermédiaires, le premier théorème ne permet donc pas
d'affirmer que '\{x^ n'est pas une fonction dérivée; mais, puisque
'\{x) tra\erse la fonction continue x dans tout intervalle et ne la
rencontre cependant (pic pour x -^ *ô.^ la deuxième propriété
montre que ^{^x) n'est pas une dérivée.

Avant de rechercher si la fonction o{x) est une dérivée, je vais
montrer comment un cas particulier important du théorème de
Scheeft'er se déduit innnédiatemciiL du tliéorème de M. Darboux.

Supposons que la dcrixée d'une; fon(;tion/(j7) soit toujours bien
déterminée en grandeur et signe; ( (ui ne suppose pas qu'elle soit
finie), alors si elle n'est [)as toujours égale à un noud)rc donné A,
l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles f{x) est diUercnt de k.
;i la puissance du continu. En etî'et, ou bien/'(^) est constante et
la piopriété est démontn'c, ou bien f'{x) prend deux valeurs B
et G, et alors clic piM'iid aussi toutes les valeurs comprises entre B
et G qui sont toutes, sauf une pcul-clrc, ditVcrentes de \. L'en-
semble de (M's \aleurs de f'{x) dillércntes de \ ayant la puissance
du continu, il en est de un^iie de l'enseMuble des Naleurs de x cor-
respondantes.

GiCci posé, ï>i /{x) a toujours une dérivée, et si cette dérivée est
nulle, sauf peut-être pour un ensemble dénombrable de valeurs

g2 CIIAPiTHK M,

<le X, on peut affirmer qu'elle est toujours mille C'est le théorème
(le Scheefl'er, dans un cas particulier.

Keveuous à la fonction 'f (^). Est-elle une dérivée? Les deux
théorèmes précédents ne semhleut pas fournir facilement une
réponse à cette question. Une première méthode consiste dans
lapplication d'un théorème démontré précédemment; une fonction
dérivée hornée a le même maximum que Fon néglige ou non les
ensembles de mesure nulle (M. H n'est pas difficile de démontrer
(pie cp (x-) n'est différente de zéro que pour un ensemble de valeurs
de ^ de mesure nulle {voir p. 109), 'f(^) n'est donc pas une
fonction dérivée.

Ce résultat peut être obtenu d'une tout autre manière. Une
dérivée ne peut pas être discontinue en tout point, et 'o{x) est
discontinue en tout point.

Celte propriété des fonctions dérivées résulte d'un théorème du
à M. R. Baire. f'{x) est la limite, pour /i = o, de la fonction
/•[y*(.r), x^ X + A] continue en x quand li est constant; c'est donc
une fonction de première classe, c'est-à-dire une fonction limite
de fonctions continues. Or M. Baire a démontré que si l'on consi-
dère une fonction de classe 1 sur un ensemble parfait quelconque,
il existe des points où elle est continue sur cet ensemble parfait;
en d'autres termes, elle est ponctuellement discontinue sur tout
ensemble parfait ('-).

III. IS intégrale déduite des fonctions primitives.

Dans hcaucoup dt; cas nous savons, sans le secours de l'inté-
gration, reconnaître si une fonciion donnée est une dérivée et nous
pouvons aussi espérei- trouver sans intégration la fonction primi-
tive d'une dérivée donu(''(;. Précédemment nous résolvions ces
questions en nous servant de l'intégrale définie; on peut se
demander si, inverseuient, nous ne pourrions pas définir fintégrale
à l'aide des fonctions primitives. C'est la méthode de Duhamel et

( ' ) Je rappelle (jue ce théorème a été obtenu sans l'emploi do l'intégration.
(') Cette condition est nécessaire et suffisante pour qu'une fonction soit de
:la88e 1. Four la démonstration voir la Thèse de M. Baire, citée page 79.

LINTKGRALi: DKFI.Mt: A L AIDK DKS FONCTIONS PUIMITIVES. 9]

Serrel(^). Pour ces auleurs une fonction f{x) a une intégrale
dans (a, Ij) lorsqu'elle admet dans (a, h) une fonction primi-
tive rf(.^•j. Cette intégrale I* est, par définition ,

V^f(x)cU = ^(tj)-riia).

Cette définition n'est pas équivalente à la définition de Kiemann.
D'une part, il existe, nous le savons, <les fonctions inté^rables, au
sens de Rieniann, qui ne sont pas des fonctions dérivées; d'autre
part, il existe, comme nous allons le voir, des fonctions dérivées
non intégrables au sens de Riemann.

Le premier exemple de telles fonctions est dû à M. Volterra
(Giqinale de Battaglini, 1881); voici comment on l'ol)tient :

Soit E un ensemble parfait non dense qui ne soit pas un <^roupe
intégrable, page 43. Soit («, h) un intervalle contigu à E, (consi-
dérons la fonction

cp(;r, a) — {x — a)2sin •

sa dérivée s'annule une infinité de fois entre a et 6, soit a -\- c la

plus grande valeur de x non supérieure à — — . qui annule es'.

Ceci posé, nous définissons une fonction F(.r) |)ar les conditions
suivantes : elle est nulle aux points de F^; dans tout intervalle (a, b)
contigu à E, elle est égale à cp(^, «) de a à a-Hc; de « + c à
h — c la fonction K est constante et égale à cp(a -|- c, a)\ de b — c
à è, F est égale à — 'f (z^', b).

Cette fonction F(cr) est évidemment continue. Elle a une
dérivée; ceci est évident pour les points qui n'appartiennent pas
à E; soit j-o 'm point de E, le rapport /*[F(;r), Xq^ x^^r- }i\ est nul
si ^0+ /^ est point de E. Si ^0 H- /^ n'est pas point de E, il appar-
tient à un intervalle contigu à E, soit a celle des extrémités de cet
intervalle qui est dans (.r„, ./•„-!-//); on a évidemment

/•[F(a^), a7o, 0-0-4- h II

^{x^^h)

S i^^±Azil}! <,/,,.

donc F, \x) a une dérivée nulle en tous les points de E.

(') Kn réalité Duhamel et Serret ne considéraient guère que des fonctions
continues. Pour ces fonctions, d'après ce qui précède, leur définition est équiva-
lente à celle de Gaucliv.

g4 CIIAPITHK M.

La dérivée F' de F est bornée, car la dérivée de jr-sin-, qui est
nulle pour x =^- o, el (|iii. poiii' x dilî'érent de zéro, est égale à

•jlx sin cos —

X X

est bornée. Cependant cette dérivée F' n'est pas intégrable, au sens
de Rieniann, car en tous les points de E le maximum de F' est -h i
et son minimum est — i, puisqu'il en est ainsi pour x -= a et
'j'(^, a); or E par hypothèse n'est pas un groupe intégrable.

Par une application convenable du principe de la condensation
des singularités, on obtient une fonction dérivée qui n'est inté-
grable dans aucun intervalle si petit qu'il soit ( ' ).

La définition de Duhamel s'applique donc à des fonctions bornées
auxquelles ne s'applique pas la définition de Riemann ; de plus,
la définition de Duhauiel s'a|)plique à des fonctions non bornées,
car il existe des dérivées non bornées, mais toujours finies, la
dérivée de .r-sin — ^ par exemple.

A la définition de Duhamel et Serret on peut appliquer la géné-
ralisation employée par Gauchy et Dirichlet. Je ne m'occuperai pas
de cette généralisation ni, pour le moment du moins, de la sui-
Nante, qui contient comme cas particulier la définition de Riemann
et celle de Duhamel pour les fonctions bornées : Une fonction
bornée /(x) est dire souimable, s'il existe une fonction à
nombres dérivés bornés F{x) telle que ¥{x) admette f{x) pour
dérivée^ sauf pour un ensemble de valeurs de x de mesure
nulle. L'intégrale dans («, b) est alors, par définition,
F(6)-F(a)(^). _

Adoptons sans généralisation la définition de Duhamel et Serret.
L'intégrale de Duhamel (intégrale D) jouit de certaines des pro-
priétés de l'intégrale de Riemann.

(') M. Kupke a construit des fonctions dérivables à dérivées bornées s'annulant
dans tout intervalle. Ces dérivées ne sont évidemment pas intégrables.

(') Comparez avec la page' 83, où, dés que / est donnée, on sait en quels
points on n'a pas nécessairement V{x) =/{x)', ici, au contraire, on ne le sait
pas.

Les différentes fonctions \''{x) correspondant à une tiièine fonction f{x) ne
diflèrent que par une constante additive.

L INTEGRALE DEFINIE A L AIDE DES FONCTIONS PRIMITIVES. 9^

On a

La somme de (Jeux i'onetions intégrables D est intégrable D
et a pour intégrale la somme des intégrales; mais le produit
de deux fonctions intégrables D n'est [)as nécessairement inté-
grable D ( ' ).

Une série uniformément convergente de fonctions iiitégrables D
est une fonction intégrable D et l'intégration |)eut être effectuée
terme à terme; c'est la proposition de la page 85. De celle de la
page 86 on déduit que si des fonctions intégrables D, /n(x),
tendent en croissant vers une fonction intégrable D, f{x)^ l'inté-
grale de /„ tend vers celle de/, en croissant s'il s'agit d'un inter-
valle d'intégration positif.

La proposition analogue pour les intégrales de Riemann est
vraie. Nous calquerons la démonstration sur celle de la page 86.

Conservons les notations de cette page 86. /, «,, Wo? ••• ^owl
maintenant des fonctions intégrables positives. #, Ui, Uo, . .. sont
celles de leurs intégrales indéfinies qui s'annulent pour l'origine a
de l'intervalle considéré.

On a évidemment /^^„, d'où cf ^S„, et puisque les S„ croissent
la série des U est convergente. L'accroissement de rT, dans un inter-
valle positif quelconque, est au moins égal à celui de 8,4, donc à
celui de F et F est à nombres dérivés bornés. Pour montrer que
F = J, il suffit de montrer que ces deux fonctions ont même
dérivée partout, sauf pour un ensemble de ^aleurs de x de mesure
nulle. En tout point où/, /^,, u^^ ... sont toutes continues, ^, U,,
Uo, ... ont des dérivées et le raisonnement de la page 8^ montre
qu'en ces points F a même dérivée que §. Mais les points où / n'est
pas continue forment un ensemble de mesure nulle F(/), les
points de discontinuité de ui forment l'ensemble de mesure nulle
E(w/); la réunion de tous ces ensembles donne un ensemble de
mesure nulle E. Et l'on a F'= J', sauf peut-être aux points de E.

Delà se déduit le théorème :

Lorsque des fonctions intégrables /„ tendent en croissant

(') Par cxoMipK- le pioduit ,/• ( .r'^sin - \ n'est pas intégrable D.

p(; CHAPITKK M.

vers une fonction intégrahle f, V intégrale de fn tend vers celle

^'ous devons nous deinander niaiiiteiianl (juels services peuvent
rendre les intéjjrales au sens de Duhamel et Serret.

Ces intégrales ne peuvent rendre aucun service dans la recherche
des fonctions primitives, puisqu'elles supposent cette recherclie
etVectuée, mais les intégrales au sens de Riemann servent surtout
à calculer les limites de sommes.

Le raisonneuient de la page 78 montre qu'une intégrale D est
une limite de somme; on peut donc espérer se servir de ces inté-
grales pour le calcul des limites de somme. Nous avons vu, |)age 63,
que cela était eft'ectivement possible, puisqu'il a été démontré que
la longueur d'une courhe était l'intégrale D de \^x'- -\-y'- -\- z'-^
toutes les fois que cette intégrale existe (-).

De nouvelles études sur l'intégrale sont cependant nécessaires,
car nous n'avons pas encore résolu le problème de la recherche des
fonctions primitives; d'ailleurs, pour le calcul de la longueur d'une
courbe ayant des tangentes, l'une et l'autre intégration sont insuf-
fisantes (•' ).

(' j On peut remarquer que celle propriélé resle vraie s'il s'agit de fonctions
intégrables d'après la généralisation indiquée page 9^.

(') Je ne puis que signaler une autre application des intégrales D: lorsqu'une
fonction dérivée bornée admet un développement trigonométrique, les coefficients
de ce développement sont donnés par les formules connues d'Euler et Kourier, les
intégrales qui figurent dans ces formules étant des intégrales D.

J'ajoute qu'il existe elTeclivement des fonctions dérivées bornées, non intégra-
bles au sens de Hiemann, qui admettent un développement trigonométrique. Pour
la démonstration de ces propriétés, on pourra se reporter à un Mémoire Sur les
séries trigonométriques que j'ai publié dans les Annales de l'École Normale
(novembre igoS ).

(') Il est facile de voir (|ue 4/ i -i- (a7-sin -) n'est pas une dérivée exacte. On

pourra pour le voir, soit développer ce radical en série de Laurent, soit utiliser
les résultats qui seront obtenus plus loin. Partant de là, on démontrera sans peine
que la quantité \/\ -h ¥' {x^^ où F est la fonction à dérivée non intégrable de
M. Volterra, n'est intégrable ni au sens de Hiemann, ni au sens de Duhamel.

La courbe y ■= V{x) ne peut donc être rectifiée ni par l'une, ni par l'autre des
deux méthodes employées.

Pour l'application indiquée dans la Note précédente, les deux intégrations sont
aussi insuffisantes, comme on le voit en considérant la somn)e d'une dérivée non
intégrable représentable trigonométriquement. et d'une fonction non dérivée
npréscnlable trigonométriquement.

l'»ntk(;rali-: dkkimk v l aidi: dks ponctions phiaiitivks. 97

J'ajoute encore que si les deux intégrations que nous avons
étudiées paraissent en général suffisantes, cela tient uniquement
à ce que, presque toujours, on se restreint de parti pris à la consi-
dération des fonctions continues et même souvent à la considéra-
tion des fonctions analytiques.

CHAPITRE Vl[.

LES FONCTIONS SOMMA BLES

1. — Le problème d'intégration.

Les applications classiques de Fintégration des fonctions conti-
nues, les applications faites précédemment de l'intégration au sens
de Riemann ou au sens de Duhamel et Serret, suffisent pour
mettre en évidence le rôle de certaines propriétés simples, con-
séquences de toutes les définitions de l'intégrale déjà étudiées, et
pour convaincre que ces propriétés doivent nécessairement appar-
tenir à l'intégrale, si l'on veut qu'il y ait quelque analogie entre
cette intégrale et l'intégrale des fonctions continues.

C'est pourquoi nous nous proposons d'attacher à toute fonc-
tion bornée (*) /(^), définie dans un intervalle fini (a, ^),

positif, négatif ou nul, un nombre fini, I f[x)dx^ que nous

''a

appelons V intégrale de f{J^') dans (a, b) et qui satisfait aux
conditions suivantes :

1. Quels que soient rt, b^ li^ on a

j f{x)dx— j f{x — h)dx.

2. Quels que soient a, b, c, on a

j f(x)dx-\- f f{x)dx-^ j f{x)dx= o.

3. "

f [f{^)-^?(^)]dx.= ff{x)dx-^ f '^(x)dx.
(' ) Le mol bornée esl nétcssaire si l'on veut que PiiUégrale soit toujours //me.

LES FONCTIONS SO.MM.VHLKS. 99

i. Si Cou a f^o et ^ > r/, on a aussi

fix) dx ^o.
Il

o. On a

,1

I X dx — I .

0

f

j:

6. Si f,i {x) tend en croissant vers f{x ), r intégrale de /n{'^)
tend vers celle de f{oo).

La signification, la nécessité et les conséquences des cinq pre-
mières conditions de ce problème d^ intégration sont à pejii près
évidentes; nous ne nons j étendrons pas.

La condition G a une place à ])arl. Elle n'a ni le même caractère
de simplicité que les cinq premières ni le même caractère de
nécessité ('). De plus, tandis qu'il est facile de (construire des
nombres satisfaisant à quatre quelconques des cinq premières
conditions, sans satisfaire à toutes les cinq, ce qui montre que ces
cinq conditions sont ln<lé[)cndantes, on ne sait pas si les six condi-
tions du problème d'intégration sont indépendantes ou non (-).

En énonçant les six conditions du problème d'intégration, nous
définissons l'intégrale. Cette définition appartient à la classe de
celles que l'on peut appeler descriptives ; dans ces définitions, on
énonce des propriétés caractéristiques de l'être que l'on veut
définir. Dans les définitions constr actives, on énonce quelles
opérations il faut faire pour obtenir l'être que l'on veut définir.
Ce sont les définitions constructives qui sont le plus souvent em-
ployées en Analyse; cependant on se sert parfois de définitions
descriptives (3); la définition de l'intégrale, d'après Riemann, est

( ' ) Elle parait si peu nécessaire qu'elle est généralement inconnue, même pour
le cas où / et /„ sont intégrables au sens de Riemann ou mêmes continues. II
se pourrait d'ailleurs que certaines de ses conséquences aient, au contraire, un
très ijrand caractère de nécessité.

(-) La réponse à cette question importe peu pour les applications, mais elle
prt'seiile un inlérêt au point de vue des principes. S'il était démontré que cette
sixième condition est indépendante des cinq autres, il y aurait lieu de chercher
à la remplacer par une sixième plus simple et surtout de rechercher si, parmi les
systèmes de nombres qui satisfont seulement aux cinq premières conditions, il
n'y en a pas d'aussi utiles que celui qui va être étudié.

(^) L'emploi de ces définitions descriptives est indispensable pour les premiers

lOO CllAPITlU: Ml.

constructive, la définition des fondions primitives est descriptive.

Lorsque l'on a énoncé une définition constructive, il faut dé-
montrer que les opérations indiquées dans cette définition sont
possibles: une définition descriptive est aussi assujettie à certaines
conditions : il faut que les conditions énoncées soient compa-
tibles (\). Le procédé jus(prici toujours employé pour démontier
que des conditions sont compatibles est le suivant : on choisit dans
une classe d'êtres antérieurement définis des êtres jouissant de
toutes les propriétés énoncées. Cette classe d'êtres est générale-
ment la classe des nombres entiers (-); on admet que la défini-
tion descriptive de ces nombres ne contient pas de contradiction.

Il faut aussi étudier la nature de l'indétermination des êtres que
l'on vient de définir. Supposons, par exemple, que l'on ait démontré
l'impossibilité de l'existence de deux classes diiïérentes d'êtres
satisfaisant aux conditions indiquées, et que, de plus, on ait
démontré la compatibilité de ces conditions en choisissant une
classe d'êtres j satisfaisant; cette classe d'êtres sera la seule définie,
de sorte que la définition constructive qui a servi à effectuer le
choix est exactement équivalente à la définition descriptive donnée.

Nous allons rechercher une définition constructive équivalente
à la définition descriptive de l'intégrale (^).

On démontrera d'abord sans peine en s'appuyant sur les condi-
tions 3 et 4 que l'on a la condition S

(S) / kf{x)dx-^^k / f{x)dx,

'J II *J n

tcrnu's (l'une science quand on veut construire celte science d'une façon pure-
ment logique et abstraite. Voir la Thèse de M. J. Dracli {Annales de l'École
Noiniale, 1H98) et le Mémoire de M. Hilberl sur les fondements de la Géométrie
{Annales de l'École Normale, 1900).

(') C'est-à-dire qu'aucune de leurs conséquences ne soit de la forme : A est
non A. Il y a lieu aussi, comme je l'ai déjà dit, de rechercher si les conditions
sont indépendantes.

(') Voir le Mémoire déjà cité de M. Hiibert. C'est parce que Ton peut démon-
trer la compatibilité des conditions énoncées dans les définitions descriptives des
premiers termes de la Géométrie à l'aide du système des nombres entiers qu'il
est légitime de dire que la Géométrie peut être tout entière construite à i)artir
de l'idée de nombre.

(') Eu se plaçant au même point de vue, on peut dire (jue les travaux exposés
dans cet Ouvrage ont pour but principal la recherche d'une définition construc-
tive équivalente à la définition descriptive des fonctions primitives.

Li:S FONCTIONS SOMMABLKS. lOI

lorsque /.• est une constante. Ceci posé, soit /{.r) une fonction
quelconcjue, nous désignerons par E[a << /■(./)<< ^] l'ensemble
des valeurs de x pour lesquelles on a a<;y'(j:)<3, et par
E[y*(^) = a] l'enseuihle des valeurs de x pour lesquelles on a

Soit (/, L) l'intervalle de variation de /(x) ('); partageons cet
intervalle en intervalles partiels à l'aide des nombres

supposons que //_^, — // ne soit jamais supérieur à î.

Désignons par J^/(/=o, i, 2, ..., /i ) la fonction égale à i
(juand X appartient à K[/(^) =: //], ou à E[// </(^) < //_,.,],
et nulle pour les autres points; désignons par Wi(l=z o, 1 , . . ., n)
la fonction égale à i quand .x appartient à E[//_, <^J\x) «< /,], ou à
E[y(.x) = li\ et nulle pour les autres points. On a évidemment

/ ^ Il i= n

i ; 0 / 0

Lorsque nous saurons intégrer les fonctions '| qui ne prennent
(|ue les valeurs o et i , nous en déduirons, grâce aux conditions 3
et S, les intégrales des cp (^27) et <ï>(^), lesquelles comprennent lin-
tégrale àe f\x) (conditions 3,, 4) C-^).

De plus c5(ofc) et4>(.r) diffèrent iUi J\x) de s au [)lus, dowv ten-
dent uniformément vers f{x) quand £ tend vers zéro; il est facile
d'en conclure que leurs intégrales tendent vers celle àef(^x).

Vax (fret, si les limites inférieure et supérieure de g{x) sont /

r''

et L, d'après 3 et i, / g{x) dx est comprise entre

J..h ,h .h .b

t l dx = l l dx Cl / \.dx-~ L / dx\

f;iisons niaiuleuant

g{x) -f(x) — o{x),

(') En (ruulres U-riiies, /et l> xml li- limite- iniVi iciiic et supi-ricure de /{x).
(-) On suppose ici, p«Mii- quclinio iii>l.iiil-. Ir |ii olilriiic (l'iiilc^iMlioii pos-iMc,

CHAriTRi: Ml.

donc riiiléi;Tale de !?(./) est iiiférieiiro en module à s j c/.r, (juiui-

•- Il
lité qui leud \ers zéro a\ee e.

Pour savoir calculei' riuté<^rale cV une fonction quelconque,
il suffit de savoir calculer les intégrales des fondions 'l qui ne
prennent que les valeurs o et i .

11 faut remarquer (jue nous avons démontré incidemment la pos-
sibilité d'intégrer lernn' à terme lejs séries uniformément eonver-
j;enles, si le problème (rinlé^ialion est |)Ossil)le.

La ipiaiililé / d,r (pii (ij^ure dans la démonslralion |)réeédenle
* ti
se calcule facilement; en se servant de 1, de !2 et de o, on voit
qu'elle est égale à h — a.

Si la fonction /(/') est comprise entre / et L, son intégrale dans
(rt, b) est ('omprise entre l(b — a) et L(^ — a)] c'est le théorème
de la moyenne.

Si nous appliquons ce théorème après avoir décomposé (<7, b)

en inteiNalles partiels, nous lrou\ons (pie / J{x) <i.r est comprise

entre les sommes qui servent à définir les intégrales par défaut et
par excès; V intégrale est donc comprise entre les intégrales
par défaut et par excès. En particulier, si le problème d'inté-
gration est possible, pour les fonctions intégrables au sens de Rie-
maiiu. il n'admet pas daulic solution (pie Tintégrale de Riemann.

II. — La mesure des ensembles.

Occupons-nous maintenant des fonctions 'i/ (pii ne prennent que
les valeurs o et i . Une telle fonction est entièrement définie par l'en-
semble E['^(j7) = i] des valeurs où elle est difTérente de o; l'inté-
grale d'une telle fonction, dans un inlcrNalIc positif, c^l un nonihic
positif ou nul (pi'on peut considérer comme alla<li<'' à la partie de
reusemble l^['];(^./j - = i J c()m[)rise dans l'inlerNalle (rinl(''gialion.
Si l'on liaduil en langage géométrique les conditions du problème
d'intégration des fonction> 'L. on a un noii\eaii prolilènie, le pro-
blème de la mesure des cnsfinhlcs.

Pour l'énoncer, je rappelle (jne deux eii>end)les de jxtinls sur

UNIVÊRSi

LES FONCTIONS SOMMABLES. loi

une droite sont dits égaux si, par le déplacement de l'un d'eux, on
peut les faire coïncider, qu'un ensemble E est dit ia somme des
ensembles e si tout point de E appartient à l'un au moins des e {^).
Voici la question à résoudre :

Nous nous proposons d'attacher à chaque ensemble E borné,
formé de points de ox^ un nombre positif ou nul, /n(E), que
nous appelons la mesure de E et qui satisjait aux conditions
suivantes :

i'. Deux ensembles égaux ont même mesure;

2'. U ensemble somme d' un nombre fini ou d' une infinité
dénombrable d'ensembles, sans point commun deux à deux,
a pour mesure la sonime des mesures ;

3'. La mesure de l'ensemble de tous les points de (o, i) est i.

La condition 3' remplace la condition o; la condition 2' pro-
vient de l'application des conditions 3 et 6 à la série

'^ = ^1 -r- 4^2 -T-. . .,

dans laquelle tous les termes et la somme sont des fonctions ^;
quant à la condition 1' c'est la condition 1. Une explication est
cependant nécessaire; il J a deux espèces d'ensembles égaux :
ceux que l'on peut faire coïncider par un glissement de ox et ceux
que l'on peut faire coïncider |)ar une rotation de t: autour d'un
point de ox\ c'est aux premiers seulement que s'applique la con-
dition \' . Je n'ai pas mis cette restriction dans l'énoncé parce que,
dans les raisonnements suivants, on peut s'astreindre à ne pas
employer d'autres déplacements que des glissements et cependant
on obtiendra toujours pour deux ensembles égaux de l'une ou
l'autre juanière des mesures égales ('-).

Une consé({uence simple des conditions 1', 2', 3' est que tout

(') Vvcc notre définilion les e peuvent donc avoir des points communs.

(-) Toiilcs les coiiditiotis du |)i()blème d'iiiti ^ration pour les fonctions (^ sont
exprimées; mais ou pouirait eiiiirid!-»' qiK» cehi ne siiflise pa- pour (jue les inlé-
i;rales des foncti(>n> .| ml, (ui(| uc-. (|ui -ont ilelerniinées dès (pie les intéi;rales des
ionetiuus 'b le soul. -,it i^t.i^x ul ,ni>--i à ee> eoiulitions. Ce (|ui suil montre tjne
ces erainto iie -^out p.i- ju-hii,,.,.

On iXMinail le dcmoiilrer do a pr.'xul, -,iu^ -e •^e^si^ de la valeur de l'inle.
grale di'^ loueliou> y. et Cou pouiiail aii--i ileiiiMU t icr ,|uc. si l'uu .-up|uiuie le-

io4 CIIM'ITIU: Ml.

intervalJe positif (a, b) a pour mesure sa loiij;ueur b — «, que les
extrémités fassent ou non partie de l'intervalle (').

Si l'on se reporte au Chapitre 111, on \oit immédiatement (jue,
si le problème de la mesure est possible, on a

e/(E)im(E)le,(E);

pour les ensembles mesurables .1 le problème de la mesure est
possible au plus d'une manière et la mesure est l'étendue au sens
de M. Jordan.

Soit maintenant un ensemble cpielconque E, nous pouvons
enfermer ses points dans un nombre fini ou une infinité dénoni-
brable d'intervalles; la mesure de l'ensemble des points de ces
intervalles est, d'après 2', la somme des longueurs des intervalles;
celte somme est une limite supérieure de la mesure de E. L'en-
semble de ces sommes a une limite inférieure /?2^(E), la mesure
extérieure de E, et l'on a évidemment

Soit Cau(E) le complémentaire de E par rapport à AB, c'est-
à-dire l'ensemble des points ne faisant pas partie de E et faisant
partie d'un segment A15 de ox contenant E. On doit a\oir

//i ( E ) + m I Cah ( E )J = m ( A B ),
donc

m { E ) --r. m ( A B i -^ m [ Gab ( 1^^ )] ^ "i ( AB ) - m, [ Cah ( E ) ] ;

la limite inférieure ainsi trouvée pour /?i(E), limite qui est néces-
sairement positive ou nulle, s'appelle la mesure intérieure de E,
m/(E); elle est évidemment supérieure ou au moins égale à
l'étendue intérieure de E.

Pour conq>arer les deux nombres m^, mi^ nous nous servirons
d'un théorème dû à M. I^orel :

Si Von a une famille d'intervalles A tels que tout point d'un
intervalle (a, b)^ y compris a et b, soit intérieur à r un au moins

mots ou d'une injinite dénombrable dans 2', on u iiu nouveau problème de la
mesure qui correspond complèteinenl au problème (l'inlégralion posé avec les
conditions 1, '2, 3, 4, 5 sans la condition G.

(•) Ceci a été déjà exprimé par l'égalité / dx — b ~ a,

*J a

LKS FONCTIONS SOAIMABLKS. ( 05

des A, il existe une famille formée dUin nombre liiii des inter-
valles A et qui jouit de la même propriété [tout point de («, 6)
est intérieur à lun <r eu.r |.

Soit (a, jij l'un (les iiilciN ailes A coiilcnaiit «, la j)r()j)riété à
(léiuontrer esl évidente pour l'intervalle (a, j^), si x est compris
entre a et ,3; je veux dire que cet intervalle peut être couvert à
l'aide d'un nombre fini d'intervalles A, ce que j'exprime en disant
<|ue le point jc est atteint. Il faut démoulici- (jiic /> est allcinl. Si j:
est atteint, tous les points de (^a, ./) le sont; si ./ n'est pas atteint
au('un des points de (j:*, h) ne l'est. H y a donc, si b n'est pas atteint,
un prcuiier point non atteint, ou un dernier point atteint;. soit x^
ce point. Jl est intérieur à un inter\alle A, (a,, Jiii). Soient x^ un
point de (a,, .r), x^ un point de {x, j3,); x^ est atteint par lijpo-
thèse, les intervalles A en nombre fini qui servent à Fatteindre,
plus l'intervalle (a,, [^,) periuett<'nt d'atteindie ./^ > .^'o : 'J^k\ n'est
ui l(,' dernier point atteint, ni le dernier non alleiiit; donc b est
atteint (').

Du théorème de M. lîorci il ï(''sidte (jue si Uon a eouvert tout
un intervalle (a, b) à l'aide d' une infinité dénombrable d' in-
tervalles A, la somme des longueurs de ces intervalles est au
moins égale à la longueur de V intervalle (a, b) {'^). En elï'et,

(') M. Bort'l a donné, dans sa Tlièse et dans ses Leçons sur la théorie des
fondions, deux démonslialions de ce lliéoiènnc. Ces démonslrations sup|)(>sent
essentiellenienl que l'ensenil)le des intervalles A est dénombrable; ct'la suffit
dans quelques applications; il y a cependant intérêt à démontrer le théorème
du texte. Far exemple, pour les applications que j'ai faites dans ma Thèse du
théorème de M. Borel, il était nécessaire (juM! soit démontré pour un ensemble
d'intervalles A ayant la puissatice du continu.

On a déduit du théorème, tel cju'il est énoncé dans le texte, une jolie démons-
tration de l'uniformité de la continuité.

Soit /(:r) une fonelion continue en lous les points de {a, b), y compris a
et b: chaque point de {a, b) est, par délinilion, intérieiir à un intervalle A dans
le(|uel l'oscillation de f{x) est inférieure à e. A laide d'un nombre fini «l'entre
eux, on peut couvrir (a, b)', soit l la loni;ueur du plus petit intervalle A employé,
dans tout intervalle de longueur / l'oscillation de / est au plus rie, car un tel
inlerNalle empièt»- sur deux intervalles A au plus; la conlinuilé est uniforme.

Cette application du théorème coni[)lété fait bien comprendre, il me semble,
tout rusaj;e qu'on en |)cut faire dans la théorie «les fonctions.

(-) Si, comme je le suppose dans la démonstration, on admet que tout |)oint
de {a, b) est intérieur à l'un des A. on peut remplacer au moins égale par
supérieure.

lo6 CHAPITRE VII.

on peut aussi couvrir (a^'b) à l'aide d'un iionihre fini des intoi-
valles A et le théorème, étant évidemment vrai quand on ne consi-
dère que ces intervalles en nombre fini, l'est a fortiori quand on
(!onsidère tous les intervalles A.

Reprenons maintenant l'ensemhle E et son complémentaire
Cj^,j(E). Enfermons le premier dans une infinité dénombrahle d'in-
tervalles a, le second dans les intervalles j^, on a

m (a) "m(P)^w(AB),
|)uis(jue AB est cou\ert par les intervalles a et [i. De là, on déduit

/»e(E)^m,[GAB(E)] ^ m(AB),
me,(E) £ m(AB) — m^GAB^E)],
me(E) ^ //î/(E).

La mesure intérieure n'est jamais supérieure à la mesure exté-
rieure.

Les ensembles dont les deux mesures extérieure et intérieure
sont égales sont dits mesurables et leur mesure est la valeur com-
mune des lUf. et mi (*). Il reste à rechercher si cette mesure satis-
fait bien aux conditions 1', î2', 'V. Gela est évident pour l' et 3',
reste à étudier la condition 2' (-).

(*) C'est seulement pour ces ensembles que nous étudierons le problème de
la mesure. Je ne sais pas si Ton peut définir, ni même s'il existe d'autres ensetnbles
<jue les ensembles mesurables; s'il en existe, ce qui est dit dans le texte ne suffit
pas pour affirmer ni que le problème de la mesure est possible, ni qu'il est
impossible pour ces ensembles.

(-) La définition géométrique de la mesure permet non seulement de comparer
deux ensembles égaux, mais aussi deux ensembles semblables. Le rapport des
mesures de deux ensembles semblables de rapport k est \k\. C'est une condition
qu'on aurait pu s'imposer a priori: il lui correspond pour le problème d'inté-
;;iatioii la condition S,

//

(S,) I f{x)dx^k j f{hx)dx.

Lc> coii<liiioii> S (p. loo) et S, constituent ce qu'on peut appeler la condition
de similitude, elles font connaître ce que devient une intégrale par les Iransfur-
inatiuns

x^= /..r, f^(x) ^Af(x).

Peut-être pourrail-un lemplarcr la ruiulilioii G par des conditions de (ctle
nature.

LKS FONCTIONS SOMMABLKS. lO-

Soieul E,, Eo, ... des ensembles mesurables, en nombre fini
ou dénombrable, n'ayant deux à deux aucun point commun, et
soit E l'ensemble somme.

On peut enfermer E/ dans une infinité dénombrable d'inter-
valles a/ et Gai,(E/) dans les intervalles [i/de manière (jue la mesure
des parties communes aux a/ et |ii/ soit égale à £/; les £/ étant des
nombres positifs clioisis de manière (jue la série S s, soit conver-
gente et iU) somme e.

Soient a!,, [i!, les parties des a^, et ,3^, (pii sont contenues dans les
intervalles 3,, soient a',, ^[^ les parties des aj, [i., qui sont conte-
nues dans les j3!, et ainsi de suite. E/ est enfermé dans a,'. E est
donc enfermé dans x, t- a.. H-. . ., sa mesure extérieure est donc
au plus égale à la somme /?«(a, ) -|- /«(a!,) 4- '^H^ij > -h- . .= s; éva-
luons cette somme. On a é\ ideiumeiit

m(a, )^m(3,) m(AB) -s,,

et ceci suffit pour montrer que la série a- est convergente; d'ailleurs
on a

m(Ei)S,m{^'i)<ni(oLi)<m{E,)-i-Zi,

donc s est comprise entre S /n{Ei) et ï /?i(E/ ) ^ s. Gela donne

Le conq)lémenlaire de E, Ga,{(E), peut être enferuu'; dans [i-;

or P'- a, en commun avec a , -h a., -i- a', h- les intervalles

^'i+i -+- 'y'i+-i +• • -^ plus une partie des intervalles (communs à a,, [ii,,
une partie de ceux communs à a^, jïio, ..., une j)artie de ceux
communs à a/, [i/. ,3). a donc une uiesure au plus égale à

[ m ( A B ^ — .î ] -f- E, -^ £2 -i- . . . ^ î* -H m ( a;^ , ) — m ( «;,... )-+-...,

et, par suite,

, . . /''e[CAu(K)U'«(AH) i:/«(E/),

c'esl-à-dirc

mi{¥.)iy:m{\li).

L'ensemble E est donc mesurable et de mesure Ï///(^E/), la condi-
tion 2' est bien vérifiée.

L'enseud)le des ensembles mesurabb's contient l'ensemble des

loS ciiAPiTiu: VII.

ensembles mesurables .1, mais il est beaucoup plus vaste, comme
on va \v voir. On peut en eft'et, sans sortir de l'ensemble des
ensembles mesurables, ellectuer sur des ensembles mesurables les
deux opérations suivantes :

I. Faire la somme d'une inlinilé dénombrable (rensembles;

II. Prendre la partie commune à tous les ensembles d'une
famille contenant un nond)re fini ou une infinité dénombrable
densembles.

i*nur le démonUcr, remarquons daboixl cpie la seconde opéra-
lion ne diffère pas essentiellement de la première, car si E est la
partie commune à E,, E2, ..., G(E) est la somme de C(Ei),
C(E2 ), 11 suffit donc de s'occuper de la première; soit

li:= 1:,+ Ei-i- E3 + ....

Si E^ est l'ensemble des points de E/ ne faisant pas partie de
E, 4- Eo -t- . . . 4- Ei_ , , on a

les termes de la somme étant sans point commun deux à deux. Or,
il est facile de voir que E., est mesurable; en elfet, enfermons E,
dans les intervalles a,, G(E,) dans les intervalles jii,, E^ dans ao,
C(E2) dans [^2 et soient £, et £2 les longueurs des parties com-
uiunes aux a, et ^3, d'une part, aux t.., et ^.^ d'autre part. Si a'.,
et p., sont les parties des a^ et '^2 communes aux fi,, E'., peut être
enfermé dans a'^ et G(E.,) dans a, -\- p'.^ et les parties communes à
ces deux systèmes d'intervalles ont une mesure au plus égale
à £, -h £2, donc E!, est mesurable. De là résulte que

est mesurable, donc ([ue K,, partie de E3 n'a[)partenant pas à l'en-
semble mesurable E, 4- E2, est mesurable et ainsi de suite. Tous
les E[. sont mesurables, E l'est ( ' ).

Un intervalle étant un ensemble mesurable, en apj)liquant les

(') Si E, conlicnl Iv,, on p.ul juirlcr de Itur dillViciKH' 1-:,— !%. Celle tliné-
rence est mesurable si K, et K. le soiii, car elle <si la pailie cotimiiiiK; à E^ et
C(K,).

m:s fonctions sommablks. 109

opérations 1 ot II un nombre fini de fois à partir d'intervalles nous
obtenons des ensend)les mesurables; ee sont eçux-là que M. Borel
avait nonunés ensembles mesurables, appelons-les ensembles
mesurables B. Ce sont les j)lus importants des ensembles mesu-
rables; tandis que, pour un ensemble queleonqne, nous pouvons
seulement affirmer l'existence des deux nombres m,.^ ////, sans
pouvoir dire ([uelle suite d'opérations il faut efïeetner [)our les
caleulei*, il est facile d'avoir la mesure d'un ensend)l<; mesurabU' B
en suivant pas à pas la consliMiclion de cet ensemble. On se servira
de la proj)riété 'à' toutes les fois qu'on utilisera l'o|)éiation T ; quand
on se servira de l'opération II, on emploiera un théorème dont la
démonstration est immédiate :

La mesure de la partie commune à des ensembles !£,, Ej, ...
est la limite de miV^i) si chaque ensemble ïLi contient tous ceux
d^ indice plus f^^rand ( ' ).

Les ensembles fermés sont mesurables B |)arce qu'ils sont les
complémentaires d'ensembles formés des points intérieurs à un
nondjre fini ou à une infinité dénombrable d'intervalles. Soit E un
tel ensemble, la mesure de son eonq)lémentaire est évidemment
l'étendue intérieure de ce complémentaire, donc la mesure d'un
ensemble fermé est son étendue extérieure. De là découle la pro-
priété qui nous a servi : un ensemble fermé de mesure nulle est
un groupe intégrable (p. 29).

Gomme application de ces considérations théoriques, calculons

la mesure de Fensendjle E des points de (o, i) tels que la suite de

leurs cliifl'res décimaux de rang impair soit périodique (p. 92).

Soit

a\ a» a^

10 lO* lo3

(') L'eiisomhle des onscmbics mcsutahlts W a la puissance ilu coiUiiui, il
existe donc d'autres ensembles mesurables que les ensembles mesurables B; mais
cela ne veut pas dire qu'il soit possible de définir un ensemble non mesurable B.
c'est à-dire de prononcer un notnbre lini de mots caractérisant un et un seul
ensemble non mesurable ti. Nous ne rencontrerons jamais que des ensenddes
n)esurablcs B.

M. Borel avait iiulii[ué (note 1, paj^c \% des Leçons sur la théorie des fonc-
tions) les principes (jui nous oui guidés dans la lliéorie de la mesure.

I lo CIIAIMTHi: VII.

un tel noinlire, érri\()ns-le

«o «4 «6

a: = V H -] ^ H -^...^ y ^ z.

•^ I02 lO* lO^

Y est rationnel, l'ensemble des nombres y est dénombrable. A
rhaque nombre rationnel y correspond un ensemble de nombres x
ayant même mesure que l'ensemble des nombres z dont les ( hift'res
de rang impair sont nuls^ Pour démontrer que E est mesurable
et de mesure nulle, il suffit donc de démontrer que l'ensemble
des nombres z jouit de cette propriété. Or cet ensemble s'obtient

en enlevant de (o, i) l'intervalle ( — > i j, |)uis de (o, — ) les

intervalles ( — H 71 ^— ir ) ' «i» P est un entier inférieur à 10,

\io- lo-^ 10^ / ^

puis de chaque intervalle restant { —,^ —, -\ r ) les intervalles

' 1 \\0' 10- iO-*/

(~ — ! — ^ H : » —, -r- - — r— ) ' et ainsi de suite. A chaque opé-
10' 10* lO*» 10- U)* / * '

ration nous enlevons les — des intervalles (lui lestenl. L'ensemble

10 *

des z est donc mesurable B et de mesure nulle.

III. — Les fonctions mesurables.

Pour que les considérations précédentes nous permettent d'atta-
cher une intégrale à une fonction y*(.r), il faut que, si petit que
soit £, nous puissions trouver les nombres // (p. 101) tels que, ou
les fonctions ^i correspondantes, ou les ^"/, soient associées à des
ensembles mesurables. Supposons que les ensembles correspon-
dant aux «{^/soient mesurables, et soient a et ^ deux nombres quel-
conques. A un nombre e correspond un certain système de
nombres /^ ; soit Ip le plus petit de ceux qui sont compris entre a
et fi et Ipj^g le plus grand. L'ensemble

est mesurable ; or quand on donne à £ une suite de valeurs décrois-
santes tendant vers zéro £«, £0, . . ., on a

donc E[a </(./ )^ ^ii] est mesurable.

LES FONCTIONS SOMMABLES. III

Nous dirons qu^ une fonction bornée ou non est mesurable
si, quels que soient a et Ti, r ensemble E[a <^/(:r i < [B] est
mesurable. Lorsqu'il en est ainsi l'ensemble E[/(^; = a] est
aussi inosural)le, car il est la partie commune aux ensembles
E[a-- h <Cf(jr) <C a-i- A] quand A tend vers zéro. On ver-
rait aussi que, pour (|u'une fonction soit mesurable, il faut et
il suffit que l'ensemble E[a<;/(^)] soit mesurable, quel que
soit a.

La somme de deux fonctions mesurables est une fonction
mesurable. Soient les deux fonctions mesurables /*, ety2î ^ tout
nombre £ faisons correspondre une division de leur intervalle de
variation, fini ou non, à l'aide de nombres //, tels que //^, — // soit
au plus égale à £, et considérons les ensembles E/y de valeurs de x\,
tels que l'on ait

li<fli^h h<A(^), //-r-/;>a.

La somme E(£) des ensembles E^y est mesurable, puisque chacun
d'eux l'est; et si l'on donne à £ des valeurs £f tendant vers zéro, on a

donc fi -r- fi est une fonction mesurable.

On démontrerait de même que l'on peut efl'ectuer, sur des fonc-
tions mesurables, toutes les opérations dont il a été parlé au sujet
des fonctions intégrables (p. 3o ) sans cesser d'obtenir des fonc-
tions mesurables. Mais il y a plus : la limite d'une suite conçer-
<j^ente de fonctions mesurables est une fonction mesurable;
si f„ tend vers y, l'ensemble E[y*(.r) > a] est la somme des
ensembles E„ , E,, étant la partie commune aux ensembles
E[y,i(vCj >> a], E[/„_^, {x) ^ a], . . ., et tous ces ensembles sont
mesurables si les fonctions y)/ sont mesurables.

Appliquons ces résultats; les deux fonctions f ~- const., /'= x
sont évidemment mesurables, donc tout polynôme est mesurable.
Toute fonction limite de polynômes est aussi mesurable : donc,
d'après un théorème de Weierstrass, toute fonction continue est
mesurable. Les fonctions discontinues limites de fonctions conti-
nues, que M. Baire appelle fonctions de première classe, sont
mesurables. Les fonctions qui ne sont pas de première classe et
({ui sont limites de fonctions de première classe (M. Baire les

CIIAPITIU; MI.

appelle fonctions de seconde classe) sont àv> foiielious mesu-
ra hles.

Reiiiarqiions encore que les lonc^lions ainsi lonnées de proche
en proche sont mesurahles B, c'est-à-dire que les ensemhles (jui
leur correspondent sont mesurahles B; ce sont ces fonctions que
nous rencontrerons uniquement (').

On peut souvent démontrer qu'une fonction est inesurahle en s<'
servant de la propriété suivante : si en faisant ahstraction d'un
ensemhle de valeurs de x de mesure nulle, la fonction /"(^) est
continue, elle est mesurahle. Car les points limites de l'ensemhle
E[a^/(^)] qui ne font pas partie de cet ensemble font néces-
sairement partie de Fensemble de mesure nulle négligé, donc ils
forment un ensemhle de mesure nulle. L'ensemhle E[a^/(.r)],
étant fermé à un l'nsemhle de mesure nulle près, est mesurahle.
On voit ainsi, en particulier, que toute fonction intégrahleau sens
de Kiemann est mesurahle; on voit aussi que la fonction '/^{x) de
Dirichlet, qui est non intégrahle, est mesurahle.

J\ . — Dé fin il ion <inaly tique de V intégrale.

Délinissons maintenant l'intégrale d'une fonction mesurahh;
bornée en supposant l'intervalle d'intégration (a, h^ positif. INous
savons que, s'il s'agit d un<î fonctiou '!/, cette intt'gralc est

m[E(4.- i)J,

et que, s'il s'agit d'une fonction f{x) quelconipic, I intégrale doit
être la limite commune des intégrales de o et <ï> (p. loi) quand le
maximum de /,^, — // tend vers zéro. D'a|)rès les conditions du
problème d'intégration, ces intégrales sont
/— «
r: = ^li(m\E[f{x)= li]\ -^ m\V.[li<f{x)< li^éW),

i = Q

^li{m)\i[li_, <f(x) < /,];+ m I E[/(.r) = /,JÎ).

/=0
V

/ = 1

(') Je lie sais pas s'il esl |)ossil>lt' de iioiumcr une fonction non mesurable H;
je ne sais pas s'il existe des fonctions non inesuiables.

LES FONCTIONS SOMMABLES. I I )

Nous savons déjà que ces deux nombres dift'èrenl de moins dr
s(b — a) parce que <ï> — '^ est inférieure à £. Si nous faisons tendre
e vers zéro, en intercalant entre les // de nouveaux nombres, alors
0" croit, ^ décroît, S — t tend vers zéro; donc a- et i^ ont une même
limite.

Soient t,, ï, ; g-^, Ï:» : ... les sommes obtenues par ce procédé;
soient t, , S',; a-.,, S'.,; ... les sommes obtenues en faisant tendre
e vers zéro d'une antre manière (*): soient t'J, 2'J les sommes
obtenues en réunissant les nombres /, donnant a-,, ï, et t, , S',;
soient a-'.', , 2.' celles obtenues en léunissanl les // donnant 7.2, S;, ;
0-', , ï', : t',, 2,: et ainsi de suite. On a évidemment

la seconde de ces inéj^alités monlie que (t'- et 1"^ ont la même limite
que (tJ et 1'^', car nous savons que tJ et -J ont une limite et que
I,'. — 7- tend vers zéro. J.a première montre (jue cette limite est
aussi celle de zi et 2,.

La valeur de l'intégrale est donc indépendante de la manière dont
le maximum de Z/^., — // tend vers zéro.

INous conqilétons cette définition en posant

I f{x)dx=— / f{a')dx.

Il reste à voir si l'intégrale satisfait bien aux conditions du pro-
blème d'intégration (-); il nous suffit évidemment d'examiner les
conditions 3 et 6.

Lorsque l'on additionne deux fonctions ne prenant chacune
qu'un nombre fini de valeurs dillerentes, comme les fonctions ci
<'t<[>de la page loi, la condition 1^ est évidemment vérifiée. Soient
maintenant j\ et /> deu\ font^tions mesurables bornées; nous
savons que /', et /o diflerent de moins de £ de deux fonctions o,

(') Les /. qui donnent rz^ cl ^p ne contiennent pas nécessairement ceux qui
ont donné cr^-i et -',;_i, tandis que les /, donnant a et X contiennent les /rela-
tifs à cr^_, et i:^_,.

(-) I*our le cas où il existerait des fonctions non mesurables, il f.mi ajouter
.tju'on s'astreint à la considération des seules fonctions mesurables.

L. 8

, ,j CIIAPITRK VII.

et 'fa de la nature de celles dont il vient d'être parlé, donc/, -\- f.>

r''

dillere de moins de 2£ de cp,-|-y,>; / {/i^/->)d,r dillère de
inoinsde 2£!/> — r/| (le / ('^, + --p.) o'^ = / o^d.r^ / 'f ,. 'j'-^,

c'est-à-dire de moins de [\z\h — a\ de / f^dx^ \ f.dx. La

condition 3 est donc bien remplie.

I^a condition 6 est aussi remplie, car on a la propriété suivante :

Si les fonctioiis niesu/'ables /„[.r), bornées dans leur en-
semble, cest-à-dire quels que soient n et x^ ont une limite f{x)^
lUntégra le de f,t (x) ten d vers ce lie de /( x).

Va\ elFet, nous savons que /(^) est intéj^rable; évaluons

.1»

'-ri

Si Ton a toujours \/,i{-^)\ < M et si / — /„ est inférieure à £
dans E,/, / — /„, étant inférieure à la fonction égale à £ dans E„ et
à M dans G(E„), a une intégrale au j)lus égale en module à

z m {En) -h M 'n [ C ( En )J •

Mais £ est quelconque, et /??[G(E,/)] tend vers zéro avec - parce
qu'il n'j a aucun point commun à tous les E,/, donc

f {f-fn)dx

tend vers zéro. La propriété est démontrée (' ).

Une autre forme de ce théorème est la suivante :

Si tous les restes dune série de fonctions mesurables sont
en module inférieurs à un nombre fixe M, la série est inté-
grable terme à terme.

Les définitions et les résultats précédents peuvent être étendus

(') M. Os^ood, dans un Mémoire de V American Journal, 1897, On the non-
uniform convergence, a déinonlré le cas parliculier de ce tliéorème dans lequel
/ et les/,, sont continues. I.a méthode de M. Osgood est tout à tait diUerente de
celle du texte.

LKS FONCTIONS SO.MMAIU.KS. ( I *)

à certaines fonctions non bornées. Soit f(J') une l'onclioii mesu-
rable non bornée. Cboisissons des nombres ..., /_2, /-i» ^o- ^•
/o, ..., en nombre infini, échelonnés de — co à -f- oc et tels (jue
/,_!_, — li soit toujours inférieur à z. Nous pouvons former les deux
séries

00

- ae

-+- 00

i: = ^/,m;E[/,_,</(x)^/,];.

00

En reprenant les raisonnements précédents, on voit immédiate-
ment que, si l'une d'elles est conver<;ente, et par suite absolument
convergente, l'autre l'est aussi et que, dans ces conditions, i et S
tendent vers une limite bien déterminée quand le maximum de
//^, — // tend vers zéro d'une manière quelconque. Cette limite
est, par définition, l'intégrale de f{.z') dans l'intervalle positif
d'intégration; on passe de là à l'intervalle négatif comme précé-
demment.

Nous appellerons /'o//c^/o/?.9 sommahles les fonctions auxipielles
s'applique la définition constructive de l'intégrale ainsi com-
plétée ('). Toute fonction mesurable bornée est sommable.

Les raisonnements employés montrent que le problème d'inté-
gration est possible et d'une seule manière, si on le pose pour les
fonctions sommal)les.

On ne connaît aucune fonction bornée non sommable, il est
facile au contraire de citer des fonctions non bornées non som-
mables. La fonction nulle pour J7 = o et égale à

., . I \' . « ^^ I

:r- sin — - = •j'.r sin ces — -

.r- / .r2 X x'^

en est un exemple; cependant cette fonction peut être intégrée par
les méthodes de Gaucbj et Dirichlet développées au Chapitre L
On pourra, dans certains cas, appliquer ces méthodes aux fonc-

( ' ; Je m'éraric ici du laiij;agc adopté dans ma Tlièse où j'appelais yo/jr^/o/j*
soniniables celles (|iie j'appelle iiiaiiUenarit mesurables. \vec les conventions du
texte, le inot sommable joue dans la ihéorie de l'inléj^rale le même rôle (|ne le
mot iiitésrablv (l.iii< riiitfm;it ion riernaniiicnne.

1 |(i CIlAPlTHi; Ml.

licuis lion sommables pour définir Unir intégrale; je n'insislerai pas
sur celle «;énéraIisalioii.

Voici une dernière délinilioii: si une fonelion /(.r) est définie
dans un ensemble E, nous dirons qu'elle est soinmahle dans E si la
fonction /, , égale à / pour les points de E et à o pour les points
de C^u(E ), a une intégrale dans AB, qui sera, par définition, l'in-
lé-rale de f sur E. Donc, si un ensemble E est la somme d'un
nombre fini ou (Tune infinité dénombrable d'ensembles mesu-
rables E/, sans point commun deux à deux, on a

/>(-.(•-•

cela est évident si la fonction sommable considérée est bornée
on le démontrera sans peine pour une fonction sommable quel-
conque.

V^ — Définition géométrique de L'intégrale.

\Ai définition conslructi\c de l'intégrale à laquelle nous venons
daniver est analogue à la définition développée au Chapitre II;
scidcmenl, pour calculer une valeur approchée de l'intégrale, au
lieu de se donner comme dans ce Chapitre une division de l'inter-
valle de variation de jr , nous nous sommes donné une division de
fintervalle de variation de f{x). Recherchons maintenant s'il est
possible d'obtenir une définition analogue à celle du Chapitre III.

Cela suppose résolu le problème de la mesure des ensembles
formés de points dans un plan, [)roblème que l'on pose comme
pour le cas de la droite, la condition 3' devenant : la mesure de
r ensemble des points dont les coordonnées vérifient les iné-
galités

o = ^ = i> o=J^i5
est 1 .

On démontrera facilement que la mesure d'un carré est son aire,
au sens élémentaire du mot. De là on déduira que la mesure d'un
ensemble (pieh^onque est comprise entre sa mesure extérieure et
sa mesure intérieure, mesures qu'on définira (*oiume dans le c^as de
la droite, les carrés remplaçant les intervalles.

Pour démontrer (pie la mesure intérieure ne surpasse jamais la

LKS FONCTIONS SOMMABLKS. II7

mesure extérieure, il faudra démontrer qu'un carré C ne j)eul
être couvert à l'aide d'un nombre fini de carrés C/(}ue si la sonnne
des aires des ci est au moins égale à l'aire de G, ce que l'on peut
faire élémentairement ('); puis il faudra démontrer le théorème
de M. Borel lorsqu'on remplace dans son énoncé le mot intervalle
par le mot carré ou le mot (lonniiiie.

La démonstration peut se laiic comme pour le cas de la droite,
mais je veux à cette oc(^asion indiquer comment on peut employer
la courbe de M. Peano et les autres courbes analogues (p. 44)-
Soit le domaine D dont tout point (ainsi que les points frontières)
est intérieur à l'un des domaines A. Nous pouvons définir, à l'aide
d'un paramètre t variant de o à i, une courbe G qui remplit le
domaine D et qui ne passe par aucun point extérieur (-). Gha(|ue
domaine A découpe sur G des arcs correspondant à certains inter-
valles de variation pour t^ soient g ces intervalles. Un domaine A
peut d'ailleurs avoir des points de sa frontière communs avec G,
ces points ne formant pas d'intervalles; nous négligeons ces points
et nous ne nous occupons que des intervalles, (o, i) est évidem-
ment couvert avec les 3, donc avec un nombre fini d'entre eux,
d'après le théorème de M. Borel pour le cas de la droite, et, par
suite, D est couvert avec les A en nombre fini qui ( orrespondent
à ces ô.

Getle propriété démontrée, la suite des raisonnements et des
définitions se poursuit comme dans le cas de la droite, les inter-
valles étant toujours icMiiplacés par des carrés. Gomme dans le cas
de la droite on déiliiit les ensembles mesurables, les ensembles
mcsuiiihlcs B, et l'on démontre à leur sujet les mêmes propriétés.

Il ne faut pas confondre la mesure des ensembles de points dans
le plan avec celle des ensembles de points d'une droite; nous les
dislingiieioiis lors(|u"il j aura doute en les (jualiliant mesure super-
ficielle rn^ et mesure linéuire mi (=').

(' ) I^oiir celle (piesiioii el pinir tout ce qui ooncenu" la mesure (tes polygones,
on coiisiilieia ;iv('( intérêt hi \o(e |) de l.i Céométvie élémentaire iW M . Iladamard.

(-) On itoiiri'ii pniir ccl,) el.il.lir une Ci.rr-esp<>ii,|;i née Itinnivcxine el eonlinue
entre les point- .l'un .-.iir-e cl ecux du doni.iine l>, |.iii- pKiidie |. ou r courbe C
celle ((ni coire-^pond \\ l<i rourhc de l'e.iuo icin pi i--,in 1 le i.nre.

(3) Ces d(dinilioiis peiiiielleni .le delinii le- foiirtioit- tne-n r;ild<-s de deux
v;iri,il)l<> et le- inlemMJe- double- i. I,iti\r- ;'i ces jonction-, ,1e ne nrocenperai ni

llH CllAPlTIU: Ml.

Arrivons à la défini lion de l'inlégrale.

A loiile fonction hovnve f(jc) nous avons attaché deux ensembles
de points E. [/(■/■ )]^ E.,[/{x)] (Chap. III, j). 4<>); par analogie
avec ce qui a été fait précédemment, il est naturel d'appeler inté-
grale de hi fonction f \\\ cpiantité

I =nu\V.^yf)\-niA\'^,{f)\-

Éludions dans quels cas cette définition s'applique; nous allons
démontrer que c'est lorsque la fonction / est mesurable et seule-
ment dans ce cas. Pour cela il suffira évidemuient de le démontrer
pour la fonction cp(./*) égale à/(.r) (piand/(./) n'est |)as négative,
et nidle (piand/(.r) est négative; c'est de cette fonction g(.z') que
nous allons nous occuper.

Quand on fait décroître a, l'ensemble E(.p^a) ne perd aucun
point, de là on déduit que /?i/,/[E(cp >a)] et m/,e[E(cp> a)] sont des
fonctions non croissantes. De plus, E(cp>a) est l'ensemble des
points qui ap|)artienncnt à tous les E(ç)^a — A); de là on déduit
que m/^/[E(cp>a)] et //2^^^>[E(cp ^a)] sont des fonctions de a con-
tinues à gauche. Ceci posé, sup|)Osons que l'on ail

m/,e[E(cp ^a)] > m/,/[E(ç^a)] -+- £.

alors il en sera encore de uiême dans tout un certain intervalle
(a — A, a). Considérons la partie E de E('^) comprise entre
y z= a — A et y = a. Enfermons les points de E dans des carrés A,
les points de C(E) dans des carrés B; on peut supposer les A et B
de côtés parallèles à ox et oy. Ils ont en commun des rectangles C
dont la somme des aires est au moins w^^^(E) — //ij,/(E) et en dif-
fère aussi peu que l'on veut. La section des carrés A par la droite
y=K est composée d'intervalles a qui enferment E[cp(:r)^K],
celle des carrés B est composée d'intervalles h qui enferment
CJE[c5(j7) >R](, celle des rectangles C est formée des parties c
communes aux a v\ h\ on a donc'

m,{c)^ m/,,. ; V.\ 'f ( a") : K | ; — m,j \ Ii:[cp(^) ^ K j |.
mi{c) est donc supérieure à £ cpiaud K \arie de a — h à a, et

de CCS questioii<> ni de <|iiel(|iics autres qu'on peut y raltaclitr, coiuine l'intégra-
tion par partie et l'intégration sons le si|;ne somme.

LES FONCTIONS SOAIMABLES. I KJ

A/Zj^e(E) — ffis.i^ G^t ^^ moins égale à sA. E el par suite E(cp) n'est
donc mesurable que si ^ est mesurable.

Supposons que o bornée soit mesurable et partageons l'inter-
valle de variation de cp à l'aide de nombres //. Soit E la partie
de E(cp) comprise entre //_< et //, nous allons évaluer sa mesure.
Enfermons dans des intervalles a les points de E(çp^//) et ceux
de G[E(cp^/i)] dans des intervalles 6, soient c les intervalles
faisant partie des a et des b. Considérons l'ensemble «Ao des points
dont les abscisses sont points de a et dont les ordonnées sont
comprises entre //_, et //; soit C l'ensendjle analogue relatif à c.
L'ensemble ^l. — 3 étant contenu dans E, on a

fn,j( E ) ^ m., ( c^ ) — /fis ( a ) = ( // — /,_, ) [ m/ {a) — m/{c)\,
de là on déduit

fns,i{E)^{li — //_, ) m/( E(cp i // )J.

En faisant la somme de toutes les inégalités analogues, on a

En raisonnant d'une façon analogue, on voit que

m,,,[E(o)]SS/,-m/(E(/,_,<o^/,)]=.2.

Nous avons démontré cpie les deux quantités o- et S tendent vers
une même limite quand le maximum de Z/^., — li tend vers zéro,
donc E(cp) est mesurable et l'on retrouve la définition de l'inté-
grale déjà donnée.

Nous appellerons intégrale indéfinie àe f{x) l'une quelconfpic
des fonctions

F(:r)= / f{x)dx-^ K.

Les intégrales indéfinies sont des fonctions continues. Si
f{x) est une fonction bornée, cela est évident. Supposons ensuite
f{.T) sommable mais non bornée, alors on peut trouver a assez
gril 11(1 pour (|u(' les intégrales de ./*(/") dans les deux ensembles
E(/>>a), E(^/*<< — a) soient toutes deux inférieures en module
à £. Posons /*=/', H- /^^ ./« élant null<; pour les deux ensembles
E(/>a), i:(/<_a) cl /o étant nulle |>()ur V.{— y.<f<%^.
Mois liul ('ivraie iiidcMiiiir de /', est une fonction ('Ontinue; Tin-

120 CUMMTRK VII.

légrale He /. dans tout intervalle étant 3 s an plus, autour d'un
point queleonque J"o, on peut done trouver un intervalle dans
leijuel raecroissementde F{x) soit au plus 3s, ce qui prouve que
F(-f) est continue.

Si/(j") est soniniahle, |/(^)| l'est aussi et, dans tout intervalle,
l'intégrale indéfinie de /{^) suhit un accroissement en module
inférieur à celui de l'intégrale indéfinie de |/(^)|; cette dernière
intégrale étant croissante, toute iiUrgrale indéfinie est à rmrin-
tion bornée.

Les propositions trouvées au Chapitre V (p. 69) relativement à
la limitation des nombres dérivés de F(^) à l'aide des maxima et
des minima de /(x) sont encore exactes; elles se démontrent de
même ( •).

Vï. — La l'eclierclie des fonctions primitives.

Occupons-nous de la recherche des fonctions primili\es. Soit
^{x) une fonction ajant une dérivée /(^), nous savons que
j\x^ est mesurable, car (-'est une fonction de première classe.
Supposons que /(^) soit bornée, alors /'[r?(^), x.^ x -\- A] est aussi
borné, quels que soient x et li. Et puisque /(j:?) est la limite pour
/i = o de /•[^(.r), ^, ^ -i- h\ on peut écrire, d'après un théorème
énoncé à la page i i/j,

^. i \i{x-^h) — fHx)\ dx
f f(T)dx = \\m— =^'(^)-,f(o),

car r?(x) est une fonction (Continue.

Donc les intégrales indéfinies d^ une fonction dérivée bornée
sont ses fonctions primitives. Nous avons résolu le problème
fr)nda mental du calcul Intégral pour les fonctions bornées. De
plus, nous a\ons un procédé régulier de calcul peruu'ttant de
reconnaître si une fonction bornée est ou non une dérivée (-).

(•) Seulement on peut mainlcnitnt se servir des niaxiina et minima obtenus
en négligeant les ensembles de mesure nulle, car si l'on modifie la valeur d'une
fonction aux points d'un tel ensemble, on ne modifie pas l'intégrale de cette
fonction.

(') Cwnparez avec la \y<\\:Q 8.«.

LES FONCTIONS SOMMABLES. I >. I

l^)u^ aller plus loin, déinoiitrous ([ue les noinhrcs dérivés sont
mesurables et iiiéine mesurables B. Considérons pour cela une
suite de lonelious /<,, u.>^ ..., et les fonctions u^ a égales, pour
(diaque valeur de x, à la f)lus grande et à la plus petite des limites
des u,i] ^c sont les enveloppes d^ indétermination de la limite
des il. Voici comment on peut obtenir I Cmcloppe supérieure IL\
Vi est la fonction (pii, pour clia([ue valeur de ./•, est égale à la plus
grande des fonctions /a,, u.^^ ..., Ui\ (T/ est la limite de la suite
croissante i,, ^^/^.i, *'/+.>, ••.; n est la limite de la suite décrois-
sante Wsi tv'2, Si les ai sont des fonctions continues, il en est

de même des i^/, les wi sont donc au [dus de première classe et a au
plus de seconde classe (*). \]\\ raisonnement analogue s'applique
à u.

La définition des enveloppes d'indétermination aurait j)u être
donnée par une fonction ^(z", A), où li est \v\\ paramètre rempla-
çanl l'indice de la fonc^tion ui. L'un des nombres dérivés dey*(^)
est l'une des enveloppes d'indétermination de /[/(vc), x^ x -\- }i\
quand on fait tendre h vers zéro, par valeurs de signe déterminé.
Mais /•[y(^), x^ X -^ }i\ étant continue en (^, A) pour h ^ o, on
peut, pour la rechendie de ces enveloppes, remplacer l'infinité non
dénond)rable des \aleurs de h par une suite de valeurs de li ten-
dant \ers zéro et conveiiai)l('ment cboisies. Les nombres dérivés
sont donc au plus de seconde classe.

Ceci posé, soit A le nombre dérivé supérieur à droite de /\./j, nous
le supposons fini. Prenons arbitrairement des nombres /„ éche-
lonnés de — oo à 4-co (piand n parcourt la suite des nombres entiers
de — 00 à -i- co, et su[)posons (pie /,/_,_, — /„ ne sur|)asse jamais î.

Prenons des nombres positifs r/„, tels (pie ^ a„ \ l„ \ soit iidV'iieure

00

à î. Désignons, pour abréger, E (//<<[ A £ /,/^_ , ) par^^/y, et rangeons
les e,i en suite simplement iidinie e„ , r„ , .... Lnfermons e„^ dans
fies intervalles A,,^ et C(^„^) dans des intervalles i,,^ choisis de
manière (pie la somme de leurs parties ("ommunes soit au plus a„^.
j^nfci-mons r„ dans des intervalles A„, et Q{e„ -\-e„^) dans des

(') I.e iiKMiie raisomioiiHiil inoiiirc t|iie si les it soiiL mcsinahles, a l'est aussi.

, , , CIlAPITKi: VII

iilervalles I„,, les A„^ et les 1„. étant intérieurs aux l,,, et ayant des
parties communes de longueur au plus égale à a,,,. On enfermera
(le même e„^ dans A„, et C(^„.-h c„.-h e„J dans I,^, ces intervalles
étant contenus dans I„^ et ajant pour mesure de leurs parties
couimunes a,,^ au plus (' ).

En continuant ainsi, on enferme e„ dans A„ et m{A„) — ni{e„)
est au plus a„; de plus A« n'a en commun avec les autres A„+,^
que des intervalles, chacun d'eux étant compté une seule fois, de
longueur totale inférieure à a„.

Les deux sommes S | /„ | m{en) et ï 1 1,, \ /n{A,t) sont convergentes
ou divergentes à la fois et, si elles convergent, elles difl'èrent de

moins de s. Les deux expressions j \A\d.r et S|/„|m(A„) ont

donc un sens en même temps et, si elles en ont un, elles diffèrent de
moins de £(^ — a — i), (<7, h) étant l'intervalle positif d'intégra-
tion. La même remarque s'applique aux deux expressions / Adx

el^l„m{A„).

Soit un point x appartenant à Cp, A'^ celui des intervalles A^
qui contient :r. Nous attaclions à. rie |)lus grand intervalle (r, ./• -h h)
contenu dans A' , de longueur au plus égale à £, et tel que

l,,^r[f{T). cr, ^ 4- A] ^ //,-+-! + -

A l'aide des intervalles ainsi définis, on peut former une cliaîne
d'intervalles couvrant (a, b) à partir de a (p. 63). Cette chaîne
peut servir à évaluer une valeur approchée de la variation totah',
de /. Cette valeur approchée ainsi trouvée v est comprise entre

Vt — t(h — a) et Vt-h e{h — a) où c, = V | /^ | m(Bp), en dési-
gnant par B^ les intervalles employés dans \a (^haine et (jui pro-
viennent des points de Cp. Les points de A^ qui ne font pas partie
de Byjfont nécessairement partie de l'un des ensemhles Ap_^^(q^o),

donc leur mesure est au plus égale à rip et i', diU'ère de ^ | ^// 1 ni (A,/)

de moins de ^rt// 1 /// | < £•

Donc, pour f/tie V un des nombres driivés (Tune fonction.

(') On suppose (|iif lOii < lioisit les \„ de manière (juc ceux qui correspondent
ù un iiièine indice n'tiii(nii(iii pas les uns sur les autres, et de même des I„.

LES FONCTIONS SOMMABLKS. l'ïi

supposé fiiii, soit sommable, il faut et il suffit que cette
fonction soit à variation bornée; sa variation totale est V inté-
grale de la valeur absolue du nombre dérivé.

SI, reprenant le raisonnement précédent, on se sert des inter-
valles employés pour calculer raceroissemenl/( 6) — f{a) de /(x)
dans (a, b), on voit ([ue l'intégrale indéfinie d\in nombre
dérivé sommable est la fonction f dont il est le nombre dérivé.

Ainsi nous savons résoudie les problèmes H, B', C, G' quand la
fonction donnée est hornéc on (piand on sait (jiie la fonction
inconnue ne peut être à variation non Ijornée.

Voici d'autres conséquences : soit une fonction /' ayant ses
nombres dérivés à droite partout finis, on a

f{b)-f{a)= f \,i{f)dx= f kAf)dx\

J a '■ Il

donc A,/ — A,/ est une fonction non né<;ati\e d'intéj;rale nulle et,
pai" suite, elle est partout nulle, sauf p<Mit-('tre aux points d'un
enseml)le de mesure nulh'. Sauf en ces |)()ints, /'a donc une dérivée
à droite.

On peut aller plus loin et démontrer (pT/z/zr.' fonction à varia-
tion bornée et à nombres dérivés finis a une dérivée pour un
ensemble de points dont le complémentaire est de mesure
nulles de plus une telle fonction est r intégrale indéfinie de sa
dérivée considérée seulement pour l'ensemble des points oit elle
existe ('). Ces deux |)ropriétés, cjui s'appli(pient en particulier
aux fonctions à noud)res (léri\és bornés (-), résultent des consi-
dérations sui\antes :

Les intégrales indc'finies des fonctions sommables ont toutes,
nous allons le voir, des dérivées en certains points; nous comj)a-
rerons cette dérivée à la fonction intégrée /*. Considérons d'abord
le cas d'une fonction mcsuiablc '-l» ne prenant que les valeurs o et i,
soitU'son inh''i;ral(' in(l(''lini(' <'l posonsE(6 = i) = E. KnfcrmonsE

(') Ces deux propriétés sont vriiies lorsque i'un seulement des quatre nombres
dérivés est fini.

(■-) On s'explique ainsi que savoir qu'une fonction satisfait à la condition de
Lipscliitz soit souvent aussi utile (|ue savoir qu'elle est dérivable.

,-24 CUAPlTRi: VII.

dans des intervalles A;, dont la somme des longueurs est ni ( \\) -\- tp
et faisons tendre tp vers zéro. L'ensemble C commun à A,, A^, • . .
contient E et n'en diflère que par un ensemble de mesure nulle,
de sorte que, dans le calcul de ^, on peut remplacer -i^ par -V tel
que E('V= i) = »1^. 'V est la limite vers laquelle tendent en décrois-
sant les fonctions ^p attachées à A^, E('];^= i ) =: A^; soit Wp
l'intégrale indéfinie de ^;,. Dans tout intervalle positif, l'accroisse-
ment de ^ p est au moins égal à celui de ^, de sorte (jue

A étant l'un quclconcjue des nombres dérivés.

Mais S}¥ p étant égal à i pour tous les points intérieurs aux
intervalles A^, n'est différent de zéro qu'en ces points et en un
ensemble de points de mesure nulle. Par suite, A^^ n'est différent
de zéro qu'en des points de C (ou de E) et en un ensemble de
points de mesure nulle. Mais, puisque A^^ n'est jamais supérieur
à I, que ^ est l'intégrale de SW et que, si E est contenu dans

\V{b) — W{a) = m{E),

AW est égal à i j)our les points de E, sauf pour les points d'un
ensemble de mesure nulle. Cela étant vrai pour l'un quelconque
des nombres dérivés, 'l est la dérivée de W, sauf pour les points
d'un ensemble de mesure nulle.

Soit maintenant la fonction sommable /, re[)renant les notations
de la page loi nous considérons /" comme la limite vers laquelle
les fonctions cp tendent (mi croissant (|uand le maximum de //_,., — //
tend vers zéro, 'j est la dérivée de son intégrale indéfinie, sauf pour
un enseud)le de mesure nulle, car c'est une somme de fonctions ^.
On déduit de là, en faisant tendre //^.i — li vers zéro, que les
nombres dérivés de l'intégrale indéfinie E Ai' f sont au moins
égaux à /' sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle, car
dans tout intervalle Tac^croissement de l'intégrale de/*estau moins
égal à celui de l'intégrale de '^. De même, en considérant les fonc-
tions 4> qui tendent vers /en décroissant, on voit que ces nombres
dérivés sont, sauf en un ensemble de mesure nulle, au plus égaux
à /, doiu- V inff^i^rdh' infh'/itu'e (T iinr fonction sommable admet

LKS 1 ONCTIONS SOMMAHLKS. I >. J

cette fonction pour dérivée sauf aux /toinls (Vun ensemble de
mesure nulle (').

Si l'on raj)|)ro('lie cet énoncé de la «lélinilion proposée à la
pa^e ()4j 011 reconnaît cpie cette définition est exactement équiva-
lente |)oiir les fonctions bornées à celle étudiiM' dans ce Chapitre.
1^'intégration des fonctions soinniablcs bornées esl donc*, en un
certain sens, Topéralion imerse de la déM-isation.

Vil. — /ai rectification des courbes.

Soit une courl)e rectifiable

x = T{t), y=y(t), z = z(t),

définie dans (a, b) |)ar les fonctions .r[t)j ^') (^), z(t) à nombres
dérivés bornés. Ces fonctions admettent toutes trois à la fois des
dérivées, sauf pour un ensemble de valeurs de t de mesure nulle, E,
et soit C le complémentaire de E. Nous allons (b'montrer que l(/
lonîTueur de la courbe esl

■- f v/.r' {t)^-{-y'{t Y ^ z' ( t Y- dt.

Kemar([uons dabord (pie, dans un iiilcr\alle ( /«, /|), lare s croît
au plus de M sj'^i^t^ — ^o)' ^i b\s nombres dérivés de x.^ y^ z sont
inférieurs en valeur absolue à M. Donc on peut enfermer les points
deE dans des iiiter\ ailes A dont la contribution dans s est inférieure
à £ et dont la contribution dans l'intc<^ralc / est aussi inférieure à s.
Ceci posé, partageons l'intervalle fini de \ariation de

à l'aide de nombres // tels que //^, — // soit inférieur à s. e„ étant
l'ensemble E(4<^/?(/) ^ /„^,), nous pouvons enfermer ^„ dans des

(') On pourrait déduire de ce résultat la possibilité d'intégrer par partie.
Le raisonnement (|ni vient d'ètie employé conduit à une autre propriété :

Toute fonclion mesurable est continue, sauf aux points d'un ensemble de
mesure nulle, tjuand on néglige les ensembles de mesure z, si petit que soit s.

loir liowvA., Comptes rendus, ~ décembre 190!; Llbesque, Comptes rendus,
28 décembre i(jo3.

I2() CIIAIMTHK VII.

inlervalles A„ dont les parlies coniniunes avec d'autres A„_^^ ont
une longueur totale au plus égale à «„; les nombres «,/ étant tels
(lue la série - | /« | (^n soit convergente et de somme £. A tout point t
(le ep attachons le plus grand intervalle (t, f -t~ h ) d'origine t, de
longueur au plus égale à s, intérieur à relui dos \,, (jui contient r
cl tel que

\ un point / de E, nous attachons le plus grand intervalle [t, t -+- h)
d'origine /, de longueur au plus égale à s et contenu dans celui
des A qui contient t.

Avec ces intervalles, on peut couvrir (o, 0, à partir de o, par
une chaîne (rintervalles (ju'on [)eut employer pour le calcul de
l'arc. Cela donne une \aleur approchée de l'arc différant de
moins de ^{b — a) -h £ de a- = i]// ni[h\ ), en désignant par A' les
intervalles employés provenant des points de ei. Les points de A/ qui
ne font pas partie de A'^ sont des points de A ou de A/_,.y(y ^ o).
< )r les points de c contenus dans A fournissent, dans

une contribution qui dift'ère de moins de £(6 — a) de l'intégrale
de p{t) dans A; c'est-à-dire qu'ils donnent une contribution au
plus égale à e(6 — «)-!-£. D'autre part, les points des A^- qui
font partie des -^i+j{j ^ o) fournissent, dans a-, , une contribution
au plus égale à S//| «/ 1 = £. Donc o-, — o- tend vers zéro avec £ et
comme, dans ces conditions, a-, tend vers /, la propriété est
démontrée.

La fonction s{t)^ qui représente l'arc, étant l'intégrale indéfinie
de /?(/), admet />(l) pour dérivée, sauf pour les [)oints d'un en-
semble de mesure nulle.

Ainsi lorsque une courbe recii fiable est déjinie à Vaide de
fonctions de t à nombres dérivés bornés, on a la relation

sauf pour des valeurs de t formant nii ensemble de mesure
nulle (*;.

( ' ) En rcprcnanl les raisonnements employés, on verra facilement dans quelle

LKS FONCTIONS SOMMABLES.

Considérons une courbe rectifiable; exprimons ses coorcloniHM's
à l'aide de Tare s (' ); alors on a, en j^énéral.

^;2_^^/2_^^;2

Soit 0- l'arc de la courbe ( ^, JK, o) projection sur le plan des t\ :
7 est une fonction de s à nond^res dérivés bornés et l'on a

sauf pour un ensemble de points de mesure nulle.

De là résulte que l'ensemble V des points où a'^ et z\ sont nuls
en même temps est de mesure nulle. Sauf aux points de A,

-f a une valeur déterminée finie ou infinie. Si 7' est nul et z'. non

nul, la courbe a une tangente parallèle k oz; si s n'appartient j)as
à A et si 0-^ est dilférent de o, puisque y'/ = x'/ -f-JK^', ^"^ et y'^ ne
sont pas nuls à la fois, la courbe a une tangente.

Les courbes rcctljiables ont donc en général des tangentes,
les points où il n'y a pas de tangentes correspondent à un ensemble
de valeurs de l'arc dont la mesure est nulle (-). Ce sont ces points
que l'on peut négliger dans le calcul de l'arc à l'aide de l'intégrale

de v/^''2+y--h^'^

Soit/'(^) une fonction à variation bornée continue, a[)pliquons
la propriété qui précède à la courbe j' =: /'(j^). Cette courbe a, en
général, des tangentes (^); si s est son arc, x\ el y'j existent sauf
pour un ensemble de valeurs de s de mesure nulle. Sauf aux points
de cet ensemble et à ceux de Tensemble E où x'^ est nulle, y\. existe
et est finie. Je dis que E est de mesure nulle.

mesure les résultats précédents sont indé()endanls de riijpothèsc que j:{t), y{t),
z{t) sont à nombres dérivés bornés. On verra aussi que les nombres dérivés peuvent
remplacer les dérivées dans l'expression de l'arc lorsqu'ils sont bornés. Comme

cas particulier, on trouvera que la variation tolide de j f dx est l\f\dx.

(') Cela n'est possible qu*; si x, y cl z ne restent pas tous trois constants
dans un certain inl(i\.ill(.

(^) Malgic la reslri(;lioii sijiiialée dans l.i Note précédente cet énoncé est tout
à fait général.

(3) Car X ne restant jiimais constanl, puiscjuc ( i^l lui le paramétre, nous ne
sommes pas daii> le •■.!> d'exception signalé aux iiot( ■- imcédentes.

,.;,8 CII.VPITRK VII.

S'il n'eu était pas ainsi, les points où l'un, convciuibhMnent
choisi, des quatre nombres dérivés de /(^) serait infini, lorme-
raienl un ensemble de mesure non nulle. On pourrait alors reprendre
le raisonnement des pages i 2 1 et i 22 pour é\a\uei'f{x) à l'aide de ce
nombre dérivé A/(^), mais parmi les // figurerait l'nn des nombres
/_^z= — oc, /^^^=4-oo, et Ton aurait les ensembles e_^, t%^, l'un
d'eux étant de mesure non nulle ( ' ). L'intervalle que l'on atta-
cherait au point ./• de e^^ serait le plus grand intervalle (x, x -h h)
de longueur au plus égale à s, contenu dans celui A^„ des V^„
contenant x et tel que Ton ait

- /, '

]M étant choisi arbitrairement. La chaîne d'intervalle correspon-
dante donnera une valeur approchée de la variation totale qu'on

pourra l'aire croître indéhniment avec M et - si /^_« est de mesure

non nulle et si Ton a pris

-t-00

M a^.» -1- Al «_« H- 2 ! // 1 «,- < s;
— 00

ceci est contraire à l'hypothèse, E est de mesure nulle.

Or, par hvpothèse, ./'(^) est variation bornée, donc x'^ est nul
pour un ensemble de valeurs de s de mesure nulle, y^ existe donc
et est finie sauf pour un ensemble de valeurs de s de mesure nulle.
Mais aux valeurs de s, formant un intervalle o, correspondent des
valeurs de x formant un intervalle 0, au plus égal à o; si l'on
enferme les valeurs de s d'un ensemble E dans des intervalles de
longueur totale /, les valeurs correspondantes de x forment uiKm-
semble E, (pi'on peut enfermer dans les intervalles correspon-
dants de longueur totale au plus égal à /. A un ensemble de
valeurs de s de mesure nulle correspond donc- un ensemble de
valeurs de x de mesure nulle.

Il est ainsi démontré que toute fonction à variation bornée
/(x) a une dérivée finie sauf pour les valeurs de x d^ un
ensemble de mesure nulle. Le raisonnement de la page 122,
tel qu'il vient d'être complété, montre même que cette dérivée

(') Lt> iiolalions sont celles indiquées ù la puye lui.

LES FONCTIONS SOMMAHLKS. 1.49

est soiniiiabic dans l'ensemble des points où elle est finie, mais
sa fonction [)rimitive n'est pas nécessairement ./ï^c), comme le
montre rexemj)l(' de la fonction ^{j^') de la f)a*;e 55. Le théorème
(jui vient d'être démontré est donc différent de celui concernant
la dérivation des intégrales indéfinies; en d'autres termes, il existe
des fonctions continues à variation bornée, ?(•>&•) par exemple,
qui ne sont pas des intégrales indéfinies (*).

( ' ) Pour (luuiie fonction soit inléyralc in(i(';(inie. il faut de |)lus (juc sa varia-
tion totale dans une infinité dénonibiablc d'intervalles de lojjgueur totale /,
tende vers zéro avec /.

Si, dans l'énoncé de la page 9^, on n'assujettit pas y ( x) à être bornée, ni F(J7) à
être à nombres dérivés bornés, mais seulement à la condition précédente, on a
une définition de l'intégrale équivalente à celle développée dans ce Chapitre et
applicable à toutes les fonctions sommables, bornées ou non.

NOTE.

SUR LES ENSEMBLES DE NOMBRES

I. — Les ensembles dérivés.

Nous avons dû résoudre à la lin du Chapitre I la question suivante :

Une fonction continue est connue à une constante additive près, variant
d'un intervalle à l'autre, dans tout intervalle ne contenant aucun des points
d'un ensemble E; quelle doit être la nature de l'ensemble K pour que la fonc-
tion soit complètement déterminée (i)?

Ce problème a été résolu par M. G. Cantor, qui l'utilisa dans la théorie
des séries irigonométriques. Nous allons étudier les propriétés des ensem-
bles qui ont été employées au Chapitre 1 pour la résolution de cette
question.

Considérons un ensemble borné E de points(-). L'ensemble de ses points
limites est son premier dérivé, il se note E' ou E*. Le dériyé de E^ est le
second dérivé, il se note E^; et ainsi de suite.

L Pour tout ensemble infini (c'est-à-dire comprenant une infinité de
points » E' existe, c'est le principe de Balzano-Weierstrass. Pour le démon-
trer, ran},'eons en une classe A tous les nombres inférieurs à une infinité de
nombres de E et dans la classe B les autres nombres. La division A, B
définit un nombre qui est évidemment un point limite de E et même le plus
petit de ces points limites.

F2* est évidemment fermé, c'est-à-dire contient ses points limites, donc
il contient son dérivé E^ ; E' est fermé, il contient E^ ; et ainsi de suite.

Ces ensembles E', E', E"*, . . . peuvent exister. Un premier cas où leur
existence est évidente est celui où E* est parfait, car alors E^, E^, E^, .. .

(') On peut toujours supposer que l'ensemble E qui figure dans cet énoncé est
fermé; il suffirait donc d'étudier seulement les ensembles fermés, mais il ne résul-
terait de celte limitation aucune simplification nolablc.

(') Il s'a};it de points en ligne droite, donc de nombres; il n'y aurait que peu
de cliangemerits s'il s'agissait d'ensembles de points dans un espace à plusieurs
dimensions; d'ailleurs l'emploi des courbes telles que la courb<; de Peano permet
de se borner à l'étude du cas de la droite.

SUR LES ENSEMBLES DE NOMBRES. l3r

sont tous identiques. Dans ce cas la définition de E^, E^, ... ne présente
pas d'intérêt. Mais ces ensembles peuvent être tous distincts. Voici le pro-
cédé de construction que nous emploierons pour le voir :

Soient des ensembles ei, e^, .... Divisons (o, i)en intervalles partiels

(''")' (r' ~)* \~i' ~)' **'* ''^^cctuons sure/ la transformation

homothétique qui remplace le plus petit intervalle contenant e/ par

I — r— > —■ ) l ^i devient Ci. La somme de ces ensembles i!/ sera notée

A(e,, ^2, ...).

Si e^i, «2, ... contiennent chacun un nombre firji de points,

A, = A(e,, «2, . . .)

est un ensemble pour lequel EJ se réduit au point o. Si ei, ^2, ... sont
identiques à A, on obtient A2= A(Ai, Ai, ...) pour lequel E'^ se réduit au
point o. l']t ainsi de suite.

Si é?! = Al, ei^ Ao, . . . , pour A ( Ai, Ao, • . .), les dérivés E', E^, . . . con-
tiennent tous des points.

II. Lorsque les dérivés E', E-, ... contiennent tous des points, il
existe des points communs à tous ces dérivés. Soit, en effet, M,- un point
de E' n'appartenant pas à E'"-'-' ; M/ est aussi point de R'-i, E'-2, ..., E*.
L'ensemble Mj, M2, ... a au moins un point limite qui, étant limite des
points M,, M/^-i. ... de E', est point de E'+i. Ce point a|)partienL donc à
tous les E'.

L'ensemble des points dont l'existence est ainsi démontrée est appelé le
(M'ème dérivé E^\

Pour 7V(^ = A( A], A2, . . .), Ef^ contient le seul point o. Le dérivé de E^
se note E*^-^*, il se réduit au point o pour A(A(o, A^^, ...) — A(o-hi. Les
dérivés successifs de E'»> se notent E'*^-'-^ E<^+2^ ^ _ jl pg faut attacher
aucune importance à la forme particulière des indices employés; en fait, on
est vite obligé de renoncer à leur donner une forme déterminée à l'avance
par une loi précise, on met comme indices des symboles quelconques qui ont
pour but de distinguer les différents dérivés d'un même ensemble. Nous
ap[)ellerons ces symboles les nombres transjinis de la première classe ou,
pour abréger, les nombres transjinis (*); mais, avant d'étudier ces sym-
boles, il faut déîuontrer que ce sont les mêmes qui peuvent servir quel que
soit l'ensemble dont on prend les dérivés et pour cela préciser la définition
de ces dérivés.

INous dirons de deux dérivés d'un même ensemble que l'un d'eux vient
après l'autre s'il est contenu dans cet autre. Avec cette convention les mots
avant et après peuvent être employés comme dans le langage ordinaire.

(') M. Cantor considère d'autres nombres transfinis que ceux dont il est ques-
tion ici, mais ces nombres ne sont pas utiles dans l'élude des ensembles dérivés.

,3a NOTK.

I.orsqu'un driivô contient mit' inlinilr de points et iiesl pas parlait, il y a
lieu de considérer son dérivé qui est, par délinition, le premier dérivé qui
vienne après lui. Une seconde définition est nécessaire; soient H>, \i'i^, ...
des dérivés en nombre fini ou dénombrable, s'ils contiennent tous des
points et s'ils sont différents deux à deux il existe des points qui leur sont
communs à tous; pour le voir, il suffit de faire un raisonnement analogue
à celui em|)loyé pour la proposition II. L'ensemble de tous ces points peut
être identique à l'un EY des ensembles donnés, alors KY vient après tons les
autres ensembles donnés, ou bien il n'est identique à aucun des ensembles
donnés et il constitue par définition le premier dérivé venant après E^,

E^^ Pour que cette définition soit acceptable, il faut que, sans que

le dérivé obtenu change, on puisse remplacer les dérivés donnés par les
dérivés E^\ EP', . . . tels que l'un quelconque des E^ fasse partie des P>' ou
soit avant lun d'eux et inversement. On vérifie facilement (ju'il en est bien
ainsi.

La seconde de ces définitions ne s'applique que dans le cas où une infinité
dénombrable d'ensembles dérivés a été définie, et seulement une infinité
dénombrable. La première suppose que dans l'ensembb' des dérivés définis
il V a un dernier dérivé, de sorte que les dérivés obtenus |)ar l application
de ces deux définitions ont avant eux au plus une infinité dénombrable
d'ensembles dérivés.

Nous pouvons énoncer la proposition :

III. Lorsque des dérivés en nombre Jim ou dénombrable d'un
ensemble E contiennent tous des points, il existe des points communs
à tous ces dérivés. Ces points constituent le premier dérivé qui ne vient
avant aucun des dérivés donnés.

Considérons les dérivés successifs de deux ensembles A et B. Nous n'écri-
vons que les dérivés dillerenls qui contiennent elfectivement des points.
Faisons correspondre A' à B>, A^ à B-, . .., \<^ à B<*>, etc. En opérant ainsi,
on fait correspondre tous les premiers dérivés de A à tous les premiers
dérivés de B, l'ordre étant conservé. Je dis que cette correspondance peut
être poursuivie assez loin pour épuiser, soit les dérivés de A, soit ceux de B.
En etfet, la correspondance peut être établie entre les premiers dérivés
entre A', A', . . . et Bj, B,, .... Je suppose écrits tous les dérivés de A j)our
lesquels cette correspondance peut être établie; alors, ou bien il y a un de
ces dérivés après tous les autres, ou bien cela n'est pas et dans les deux cas
on sait définir le dérivé de A qui suit tous ceux écrits. Si l'on fait corres-
pondre ce dérivé de A à celui de B qui suit tous ceux écrits, la correspon-
dance est réalisée pour d'autres ensembles dérivés que ceux écrits; il ("tait
donc absurde de supposer qu'elle n'était réalisable que pour ceux-là.

La correspondance peut donc être réalisée jusqu'à complet épuisement
des dérivés de A ou de B. Supposons que ce soit les dérivés de A qui soient
épuisés. Je dis que cette correspondance n'est possible que d'une manière;
en d'autres termes, il n'est pas possible de réaliser les conditions «énoncées

SIR LKS ENSKMBLKS 1)K NOMBRES. l33

«Je iijyiiièrn qu un iiicnic dérivé A^" de A corresponde d'abord à un dérivé
de n, puis ;'i un autre dérivé de B. Supposons cela possible et considérons
seulement les dérivés A**, où a est au plus égal à ao; nous auron*; deux
applications successives de l'ensemble de ces A* sur deux parties difle-
rentes V et l*i de l'ensemble des B'^. P est contenue dans Pj ou Pi dans P.
Supposons que P, soit contenue dans P. Alors dans l'application des A«
sur P <»n lait correspondre aux W^ de \\ les dérivés d'une partie Q de
l'ensemble des \'^.

A un A^t quelconque correspond dans l'application sur Pi un Br^, à ce B^
correspond dans l'application P un A«, on pourrait donc réaliser l'applica-
tion de l'ensemble des A^t sur l'une Q de ses parties (•). Or cela est impos-
sible car A^ doit nécessairement corresponJre à A^, A^ à A^, et ainsi de
suite, et l'on démontrerait qu'il n'en peut être ainsi pour une certaine
famille de dérivés A', A'-, ..., sans en être aussi de même pour le premier
dérivé qui suit ceux écrits.

Enfin par des raisonnements de même nature on démontrera que si dans
la correspondance il est possible d'épuiser les «lérivés de A, sans épuiser
ceux de B, il est impossible de réaliser la correspondance satisfaisant aux
conditi«)ns énoncées et telle, de plus, que les dérivés de B soient épuisés
avant ceux <!<' \.

II. — Les nombres transjinis.

Si, comme il a été dit, on met aux lettres E et F différents indices distin-
guant les dérivés des ensembles E et F, on pourra convenir d'employer les
mêmes indices pour les dérivés de E et de F qui se correspondent dans l'ap-
plication dont il vient d'être parlé. Les symboles ainsi choisis une fois pour
toutes comme indices sont les nombres entiers finis i, ■>,, 3, ... et d'autres
sigucîs qu'on appelle les nombres transjinis (-).

(' ) H faut remarquer que c'est une partie commençant à A.' et contenant des
dérivés consécutifs, c'est-à-dire ce que M. Cantor appelle un segment. S'il s'agis-
sait d'une partie quelconc|ue, il n'y aurait pas impossibiliié.

(^) Une notation régulière de ces symboles n'a jamais été donnée; il est d'ail-
leurs évidemment impossible de noter tous ces symboles par des combinaisons en
nombre fini quolconcpie d'un nombre fini de symboles, car, comme nous allons
le voir, leur enscMuble a une puissance supérieure au dénombrable. Il parait donc
impossible de donner une loi permettant d'écrire effectivement à l'aide d'une nota-
lion régulière l'un quelconque d'entre eux.

Relativement à la numération des nombres translinis, on lira avec intérêt ce qui
concerne la lormc iiorniale des nombres translinis dans les Mémoires de M. G.
Cantor, triduiis par M. K. Marotte sous le litre de Fondements d'une théorie
des enscfnhlc^ transjinis ( Paris, llcrmann ).

Dans le imiiic ()iiviiii;<' >(■ tumvenl développées les propriétés des ensembles
bien ordoniK - i|ii. j ,ti iiiili>,, > dans I étude des ensembles dérivés.

,34 NOTE.

Un noinhiv transfini «^st d'il plus pet if qu'un autre lorsqu'il correspond à
un dérivé venant avant celui correspondant à l'autre nombre transfini. rVous
nous bornons d'ailleurs aux symboles utiles, nous ne continuerons la con-
struction de ces symboles que tant que nous trouverons des dérivés conte-
nant des points et différents de ceux qui les précèdent; chaque nombre
iransfini n'a donc avant lui qu'un nombre fini ou une infinité dénombrable
d<' nombres transfinis.

IV. L'ensemble des nombres trans finis n'est pas dénombrable. —
Nous avons attaché des ensembles Ai, A,, ... aux nombres finis et des
ensembles Ao,, At^-t-i, aux deux premiers nombres transfinis. Nous complé-
terons cette correspondance en convenant que si nous avons attaché Aa au
nombre a, A^^, sera A( Aa, Aa, . . .)• ï-es nombres oc -+- i auxquels s'applique
cette définition sont ceux qui ont avant eux un dernier nombre transfini,
ce sont ceux qui correspondent aux dérivés donnés par la j)remière défini-
tion; M. Cantor les appelle les nombres de la première espèce. Ceux de
la deuxième espèce sont ceux qui correspondent à la deuxième définition
des dérivés: un tel nombre a est défini par l'ensemble de tous les nombres
qui lui sont inférieurs. Rangeons ces nombres, qui forment un ensemble
dénombrable, en suite simplement infinie a, b, c, ... ; nous poserons
Aa=A(a, 6, c, ...)(»).

Ces deux procédés de construction sont applicables tant que 'on n'a
encore qu'une infinité dénombrable de nombres; ils donnent toujours un
ensemble A^ dont le a'*'"" dérivé ne contient que le point o; il est donc
absurde de supposer qu'on épuise la suite des nombres transfinis à l'aide
d'une infinité déniunbrable d'opérations.

III. — Les ensembles réductibles et les ensembles parfaits.

Il existe deux grandes classes d'ensembles : les ensembles dénombrables
et les ensembles non dénombrables. A la première classe appartiennent les
ensembles dont l'un des <lérivés ne contient aucun point (2); cela résulte
immédiatement de la proposition suivante :

V. Les points de li' qui ne font pas partie de V/^ ( a > i ) forment un
ensemble dénombrable. — En effet les points de E* qui n'appartiennent
pas à E' sont isolés dans E', donc chacun d'eux peut être enfermé dans un
intervalle ne contenant qu'un point de E*. Sur l'un de ces intervalles 8,
deux autres, au plus, Oi et Oj, empiètent et ils n'empiètent pas l'un sur

(') Il y a là une difficulté qui provient du fait qu'on ne donne pas la loi de

formation de la suite a, Ij, c Si l'on savait donner celle loi les enscnililes A"

pourraient servir à noter les iiMMihres iransliiiis.

(•) D'après III, le premier dérivé pour lequel il en oi iiiii^i ne |>eni corres-
pondre a un nombre de la seconde espèce.

SLI» LKS KNSEMBLKS DE NOMBRKS. l35

l'autre. La soiunie des longueurs <les 8 est donc au plus deux fois la lon-
gueur d'un intervalle contenant K* ; les intervalles 8 forment un ensemble
d«'*nornl)rable.

Ainsi l<;s points de E' qui n'appartiennent pas à E^ form<;nt un ensemble Bj
dénombrable, ceux de E? qui n'appartiennent pas à EP-^^ forment un
ensemble dénombrable B^. Or l'ensemble considéré dans la propriété V est
l'ensemble des points de la somme des Bp pour ^ < a, donc il est dénom-
brable.

Les ensembles dont l'un des dérivés ne contient aucun point sont dits
réductibles; ils sont dénombrables, car, d'après V, pour un tel ensemble E,
El est dénombrable ; tous les points de E sont des points de Mx ou des inter-
valles contigus à E,, lesquels sont en nombre fini ou dénombrable. Dans un
intervalle intérieur à un intervalle contigu à E], ^E n"a pas de points
limites, donc est fini et par suite il est dénombrable dans tout intervalle
contigu à E,. E est dénombrable.

A la classe des ensembles non dénombrables appartiennent les ensembles
parfaits :

VI. Tout ensemble parfait a la puissance du continu. — Gela est
évident si l'ensemble contient un intervalle; soit E un ensemble parfait non
dense dont les points extrêmes sont A et B (»). Gab(E) est un ensemble
formé des points intérieurs à l'infinité dénombrable des intervalles con-
tigus à E. Rangeons ces intervalles en suite simplement infinie Oj, 02, ....
A A faisons correspondn; le point o, à B le point i, aux deux extrémités
de 8j le point 4^, aux deux extrémités de 82 le point \ ou | suivant que Oj
estentre A et Ôj ou entre Oi et B. On continuera ainsi, faisant correspondre
aux deux extrémités de O/, le milieu de l'un des intervalles, définis par les
points correspondant à A, B, Oj, 02, ..., 8,i_i, ce milieu étant complète-
ment défini par la condition que les points correspondant à A, B, Ot.
02, . . ., o„ se succèdent dans le même ordre que A, B, (?i, 02, . . ., 8„.

Soit M un point de E qui ne soit pas extrémité d'un intervalle contigu
à E, il est limite des extrémités d'intervalles 8/,, 0,^, .... Les points cor-
respondant à ces intervalles ont, il est facile de le voir, un point limite y-
On fait corres|)ondre v à M. De cette manière à tout point de E corres-
pond un point et un s(;ul de (o, 1), et à tout point de ( o, 1) correspond un
ou deux points de E, donc E a la puissance du continu.

Considérons maintenant l'ensemble E^ commun à tous les dérivés
de E (2), M est évidemment fermé, je dis qu'il est parfait. Pour le voir,

(') On suppose R borné, sinon on raisonnerait snr une partie bornée de E.

(^) L'indice 12 n'a pas d'antre hut que de distinguer rensenible ainsi formé des
dérivés. Si, ce qui n'est pas, E^ «Hait différent de tous les dérivés, il y aurait lieu
de considérer VP- comme une sorte de nouveau dérivé et par iî on représenterait
un symbole (|ni serait le premier venant après tous les nombres Iransfinis de la
première classe. Un tel syrrd>ole serait ce quo M. Cantor appelle le premier nombre
trans/ini de la seconde classe.

,36 NOTK,

remarquons que si ^\ est un point de E~ et (a, b) un intervalle contenant ^I,
ou bien Tiin des dérivés de E est parfait dans (n, b), ou bien quel que soit
\o dérivé considéré ¥.^ on peut trouver un point M^ appartenant à E^sans
appartenir à E^t-t-» et cela fait voir que, dans tous les cas, E' n'est pas
dénombrable dans {a,b). Inversement, si M est tel que dans tout inter-
valle {a,b) le contenant il y a une infinité non dénombrable de points
de E', M appartient à E^^ ; car s'il n'appartenait pas à E^ il y aurait un
intervalle {a, b) dans lequel E^ n'aurait pas de points et dans lequel E'
serait dénombrable.

De cette propriété caractéristique des points de E^^ il résulte que E^^ ne
peut contenir aucun point isolé; si M était un tel point, on pourrait trou-
ver (a, b) contenant M et ne contenant aucun autre point de E^; mar-
quons les points <7 < ai < a». . . < M < . . . < 62< ^i < b, les «/ et les 6,
tendant vers M; dans chaque intervalle («/, a/+i), (bi+i,b,), Ei est dénom-
brable, il est donc dénombrable dans (a, b).

E^ est parfait. Mais nous voyons de plus que dans tout iutervalle contigu
à E^ il n'y a qu'une infinité dénombrable de points de E'. A chacun de ces
points correspond un nombre fini ou transfini, indice du premier dérivé ne
contenant pas ce point. Il y a une infinité dénombrable de ces nombres,
soit a le plus grand d'entre eux, s'il y en a un plus grand que tous les autres
et, s'il n'en est pas ainsi, soit a le plus petit de ceux qui les surpassent.
Le dérivé E^ est identique à E^. doue :

VII. Tout ensemble a l'un de ses dérivés par/ait.

VIII. Tout ensemble fermé est la somme d'un ensemble dénombrable
et d'un ensemble parfait ( ' ».

Les ensembles fermés sont donc d«'Mionibrables ou ont la puissance du
continu, suivant que leur dérivé parfait ne contient aucun point, ou en con-
tient; c'est-à-dire suivant qu'ils sont réductibles ou non. Mais un ensemble
non fermé peut être non réductible et dénombrable; c'est le cas de l'en-
semble des valeurs rationnelles.

(') On remarquera que la dcrnonsiration du théorènicNlII ne suppose connus,
ni la n./lion, ni même le mot de nombre transfini. Au contiaire, dans la démons-
tration du théorème VII, j'emploie les nombres translinis.

Pendant la correction des épreuves, j'ai eu connaissance d'une lettre adressée à
M. Borel par M. Krnst Lindelof, el dans Jatpiclie celui-ci indiijue une démonstra-
tion (lu théorème VIII (|iii me parait idenlitpic à celle du texte.

FIN.

TABLE DES MATIÈRES.

Pajfcs.

Prefack V

Index v'ii

CiiAi'iTHE I. — IJ intégrale avant Rleuiann i

I. I^'intégralioii des fonctions conlinues i

II. — L'iiilégraLion des fonctions discontinues 7

CiiArinu-: II. — La définition de l'intégrale donnée par Riemann i5

I. — Propi'iétés relatives aux fonctions i j

II. - Conditions d'inlégrabilité i'd

III. — Piopri«Hés de l'intéj^rale 3o

IV. — Intéj^rales par défaut et par excès ... 33

CiiAi'iTHi: III. — Définition géométrique de V intégrale .S<i

I. - La mesure des ensembles 36

II. — Définition de l'intégrale 4^

CiiAi'iTiîi: W . Les fonctions à variation bornée 49

I. - Les fonctions à variation bornée 19

II. — Les courbes rectifiables .')9

Chapitre \ . — La recherche des fonctions primitives 6^

I. — L'intégrale indéfinie 64

II. — Les nombres dérivés 67

III. — Fonctions déterminées par un de leurs nombres dérivés 74

IV. — Hecherche de la fonction dont un nombre dérivé est connu 80

\. — L'intégration riemannienne considérée comme l'opération inverse

de la dérivation Sj

CHAi'iTin: VI. - L'intégration définie à l'aide des fonctions primitives.. 85

I. - Ucclierche directe des fonctions primitives 85

II. - l^ropriélés des fonctions dérivées 89

m. — l/inlégrale déduite des fonctions primitives 92

CuAiMTiiE VII. — Les fonctions sommables 98

I. — Le |)roblème d'intégration 98

II. — La mesure des ensembles iu2

III. — Les fonctions mesuiablt;s 110

IV. — Définition analytique de l'intégrale 112

1

,38 TABLE DES MATIÈRES. j

4

Pages . ,

V. — Déflnition géométrique de l'intégrale ii6 ^

VI. — La recherche des fonctions primitives i^o j

VII. — La rectification des courbes '20 |

Note. — Sur les ensembles de nombres '3o |

I. — Les ensembles <lérivés • * ^" \

II. — Les nombres transfinis '33 |

III. - Les ensembles réductibles et les ensembles parfaits t^k \

FIN DE LA TABLE DES MATIERES.

ikOlti l'ari». — Imprimerie GAUTHIER-ViLI.ARS, qnal des Grands-Augustins, bb.

LIBRAIRIE GÀUTHIER-VILLARS,

01 AI Di:S GKANDS-Arr.USTlXS, 55, A PARIS (G").

BOREL lÉmile), Maître de Conrércnees à l'École Normale su()cricure. —
Leçons sur la théorie des fonctions. Exposé de la théorie de.v en-
sembles. Grand in-S ; J8()H 3 fr. -io c.

BOREL (Emile). — Nouvelles Leçons sur la théorie des fonctions,
.j volumes i,Mand in-S, se vendant séparcmetit :

Leçons .'(iir les fonctions entières; 1900 3 tr. 5o e .

Leçons sur les séries divergentes; 1 90 1 4 f r . 5o c .

Leçons sur les séries à termes positifs proh&sées au Collège de France,
recueillies et rédigées par Robert D'AoïiÉyAR ; 190?. 3 fr. 5o c.

Leçons sur les fonctions méromorphes pi-ofe.ssées au Collège de France,
recueillies el récligées par Ludovic Zorktti; 1903 '. . . 3 fr. 5o c.

Leçons sur les séries de polynômes.. {En préparation.)

CAHEN (E.), ancien Elève de rÊcole Normale supérieure, Professeur de
malhématiques spéciales au Collège Uollin. — Eléments de la Théorie
des nombres. Congruences. Formes quadratiques. Nombres incommen-
surahles. Questions diverses. Grand in-8 ; 1 900 \9. h\

PICARD (Emile), Membre de l'InsLilut, Professeur a l,a Faculté des
Sciences. — Traité d'Analyse (Cours de la Faculté des Sciences)
Quatre volumes grand iu-8 avec figures, se vendant séparément.

To-MK I : Intépfrales simples et multiples. — L'équation de Laplace et
ses applications . Développement en séries.— applications géométriques
du Calcul infinitésimal. 2* édition, revue et corrigée -,1901 1 6 f r .

roMK 11 : Fonctions harmoniques et fonctions anal) tiques . — Intro-
duction à la théorie des équations différentielles. Intégrales abéliennes
et surfaces de Riemnnn. ■>/' édition {Sous presse.)

ToMK m : Des singularités (les intégrales et des équations di(/'éreniielles.
Étude du caf où là variable reste réelle et des courues définies par des
équations différentielles. Equations linéaires ; analogie entre les équations
algébriques et les équations linéaires; 1 896 1 8 fr .

ToMK IV : Équations aux dérivées partielles . . (En préparation.)

TANNERY (Jules), .Sous-Directeur de>> Études scientili(iues à l'École Nor-
male .-supérieure, el MOLK (Jules). Professeur à, la Faculté des Sciences
de Nancy. — Éléments de la Théorie des fonctions elliptiques.
4 volumes in-8 se vendant séparément (Ouvuagk co.mplet) :

ToMK 1 .Introduction. Calcul di/férentiel {\'^ PdiTlie): 1893. 7fr.5oc.

ToMK II : Calcul différentiel (U* Partie) ; 1 896 9 fr. »

Tome 111 : Calcul intégral (l" Partie) ; 1898 8 fr. 5o c .

Tome IV : Calcul intégral (II* Partie) et Applications ;
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