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Full text of "Lehrbuch der darstellenden Geometrie"

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LEHRBUCH 


DER 


DARSTELLENDEN   GEOMETRIE. 


VON 


Db.  CHRISTIAN  WIENER, 

OBH.  HOFBAT  IHID   PROFX880B  AV  DSB  OBOB8H.  TBCHMISCHKIT    H0CH8CHULB   ZU  KABLSBUHB. 


IN    ZWEI   BÄNDEN. 


ZWEITER  BAND. 

KRUBiME   LINIEN   (ZWEITER  TEIL)   UND   KRÜMME   FLÄCHEN. 
BELEÜCHTÜNGSLEHRE,   PERSPEKTIVE. 


MIT  FIGUREN  IM   TEXT. 


LEIPZIG, 

DRÜCK  UND  VERLAG  VON  B.  G.  TEÜBNER 

1887. 


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Vorwort. 


In  dem  vorliegenden  zweiten  und  abschließenden  Bande  werden 
die  krummen  Linien  und  Flächen  behandelt.  Ich  benutze  das  Vor- 
wort, um  einige  Gesichtspunkte  zu  bezeichnen,  welche  mich  bei  der 
Bearbeitung  dieses  Stoffes  leiteten,  und  um  auf  einige  Einzelnheiten 
hinzuweisen. 

Die  Untersuchungen  wurden  möglichst  geometrisch  geführt.  Der 
Begriff  der  Ordnung  einer  Linie  und  einer  Fläche  und  die  Bestimm 
mung  der  Anzahl  ihrer  Schnittpunkte  und  der  Ordnung  ihrer  Schnitt- 
kurve aus  den  Ordnungszahlen  der  gegebenen  Gebilde  sind  analyti- 
scher Natur.  Deswegen  wurde  die  Benutzung  derartiger  analytischer 
Sätze  möglichst  beschränkt  und  nur  bei  Gebilden  höherer  Ordnung 
zugelassen.  Insbesondere  wurden  die  Flächen  zweiten  Grades  rein 
geometrisch  behandelt  und  dabei  als  Eegelschnittsflächen  betrachtet, 
d.  L  als  solche  Flächen,  welche  von  jeder  reell  schneidenden  Ebene 
in  einem  reellen,  und,  wie  dann  durch  das  Polarsystem  nachgev^esen 
wird,  von  jeder  imaginär  schneidenden  in  einem  imaginären  Kegel- 
schnitte getroffen  werden.  Daß  solche  Flächen  von  jeder  Geraden 
in  zwei  Punkten  gescimitten  werden  oder  von  der  zweiten  Ordnung 
sind,  leuchtet  ein;  daß  sie  aber  die  einzigen  solche  Flächen  sind, 
kommt  als  Satz  der  Analysis  hier  nicht  in  Betracht. 

Zur  Darstellung  der  Gebilde  erschien,  wenn  es  sich  um  die  Auf- 
losung von  Aufgaben  über  dieselben  handelte,  meist  das  Gnmd' 
und  Aufrißverfahren  als  das  zweckmäßigere  und  wurde  daher  in 
diesen  Fällen  angewendet.  Doch  zeigte  sich  bei  geradlinigen  Flächen 
häufig  das  im  ersten  Bande  angegebene  Verfahren  der  zwei  parallelere 
Spurd>enen,  welches  nur  einer  Projektion  bedarf,  als  das  zweck- 
mäßigere. —  Wenn  aber  die  Darstellung  wesentlich  zur  Veranschau- 
lichung dient,  findet  man  die  axonometrische  imd  schiefe  Projektion 
und  die  Perspektive  vorteilhaft,  und  es  wurden  deshalb  auch  diese 
Darstellungsweisen  mit  ihren  wichtigsten  Anwendungen  behandelt. 
Ebenso  ist  die  zur  Veranschaulichung  dienende  Bestimmung  des 
Schattens  und  der  Beleuchtung  zugefügt,  und  insbesondere  sind  die 


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IV  Vorwort. 

Linien  gleicher  Beleuchtungsstärke  oder  die  Lichtgleichen  für  alle 
Arten  der  betrachteten  Flächen,  und  zwar  in  geometrischer  Weise, 
untersucht  und  konstruirt 

Ein  wesentliches  Gewicht  wurde  auf  die  leichte  und  genaue  Ver- 
zeichnung der  Kurven  gelegt.  Diese  Anforderung  wird  nicht  sowohl 
durch  die  Konstruktion  einer  großen  Anzahl  allgemeiner  Punkte 
erfüllt,  als  vielmehr  durch  die  Bestimmung  der.  ausgezeichneten 
Punkte,  wie  der  Scheitel,  der  Wendepunkte,  der  Spitzen,  und 
durch  die  Ermittelung  der  Tangenten  und  der  Erümmungskreise 
in  denselben. 

Zur  Tangentenbesiimmung  diente  das  im  ersten  Bande,  Nr.  204, 
von  mir  angegebene  Verfahren  der  ähnlichen  Figur,  wie  ich  es  pas- 
send zu  bezeichnen  glaube.  Nach  demselben  können  aus  jeder  Kon- 
struktion einer  Kurve  Tangentenkonstruktionen  abgeleitet  werden, 
die  zu  finden  keine  Schwierigkeit  bietet,  bei  denen  aber  die  Kunst 
in  der  Herstellung  möglichst  großer  Einfachheit  besteht.  Formel- 
entwickelungen sind  dabei  nicht  notwendig,  aber  manchmal  zur  Ver- 
einfachung der  Konstruktion  nützlich.  Andererseits  wurde  in  vielen 
Fällen  der  KrümmungsJcreis  der  vorkommenden  Kurven  bestimmt, 
und  zwar  vorzugsweise  für  den  Scheitel,  in  welchem  er  wegen  seiner 
vierpunktigen  Berührung  besonderen  Vorteil  bietet,  jedoch  auch 
manchmal  für  den  allgemeinen  Punkt.  Es  geschah  dies  geometrisch 
durch  Ermittelung  des  Verhältnisses  des  Kontingenzwinkels  und  des 
Kurvenelementes  oder  des  Verhältnisses  der  unendlich  kleinen  Koor- 
dinaten des  benachbarten  Punktes.  Nur  in  einem  Falle,  bei  der 
Bestimmung  der  Evolute  der  Sinuslinie,  wurde  die  analjrtische  For- 
mel des  Krümmungshalbmessers  benutzt,  weil  in  diesem  Falle  die 
geometrische  Bestimmung  nicht  zu  einer  Vereinfachung  geführt  hatte. 
Jene  Formel  aber  wurde  geometrisch  hergeleitet. 

Im  Einzelnen  bemerke  ich,  daß  der  im  ersten  Bande  gegebene 
Begriff  des  Unendlichkleinen  als  GrenmuU  auch  bei  den  Flächen 
durchgeführt  wurde.  —  In  Bezug  auf  die  abwickelbaren  Flächen  weise 
ich  darauf  hin,  daß  ich  eine  nicht  geradlinige  abwickelbare  Fläche 
angegeben  habe.  Es  wird  zwar  in  der  Analysis  bewiesen,  daß  die 
abwickelbaren  Flächen  geradlinig  sind-,  dieser  Beweis  beruht  aber 
auf  der  Voraussetzung,  daß  die  Fläche  in  jedem  ihrer  Punkte  eine 
Berührungsebene  besitze.  Macht  man  aber  diese  Voraussetzung 
nicht,  so  verliert  der  Satz  seine  Giltigkeit.  Die  hier  gegebene  nicht 
geradlinige  Fläche  wird  durch  die  Kurve  der  Weierstraßschen  Cosinus- 
funktion erzeugt;  und  es  hat  weder  diese  Kurve  in  einem  allge- 
gemeinen  Punkte  eine  Tangente,  noch  die  erzeugte  Fläche  eine  Be- 
rührungsebene.    Ich  habe  die  Gleichung   der  Fläche,    welche  zwei 


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Vorwort.  V 

unendliche  Reihen  enthält^  aufgestellt;  und  obgleich  die  Fläche 
selbst  nicht  modellirbar  ist,  so  ist  sie  doch  vorstellbar  und  wird 
durch  das  Modell  des  Ausgangsvielflachs  veranschaulicht ,  dessen 
Abbildung  ich  zugefügt  habe. 

Bei  den  Flächen  zweiten  Grades  spielt  die  im  ersten  Bande  ge- 
gebene ImaginärprojeJction  eine  große  Rolle.  Durch  sie  erst  wird 
der  Satz  allgemein  wahr,  daß  zwei  Kegelschnitte  einer  Fläche  zwei- 
ten Grades  Perspektive  Kurven  bilden.  Es  wurde  eine  Anzahl  von 
Konstruktionsaufgaben  gelöst,  bei  denen  imaginäre  Kegelschnitte 
vermittelst  ihrer  ideellen  Darstellung  ebenso  leicht  wie  reelle  be- 
handelt werden.  Die  Imaginärprqjektion  piner  Fläche  zweiten  Gra- 
des F  aus  einem  Punkte  P,  d.  i.  auch  die  der  F  in  Bezug  auf  den 
Punkt  P  konjugirie  Fläche,  ermöglicht  die  Fortsetzung  von  Kurven, 
wie  der  Berührungskurve  mit  einem  Kegel,  über  den  Punkt  hinaus, 
in  welchem  sie  in  einer  Projektion  abzubrechen  scheinen.  Und  solche 
konjugirte  Flächen  kann  man  auch  noch  zu  anderen  Flächen  bilden, 
nämlich  zu  allen  denjenigen,  welche  aus  Kegelschnitten  entstehen 
können,  deren  Ebenen  durch  einen  und  denselben  Punkt  P  gehen. 
Man  wird  eine  solche  Erweiterung  bei  der  Umdrehungsfläche  der 
Sinuslinie  ausgeführt  finden. 

Bei  der  Bestimmung  der  Schnittlinie  zweier  Flächen  zweiten  Grades 
tritt  im  allgemeinen  der  Mißstand  ein,  daß  für  jede  benutzte  Hilfsebene 
die  Verzeichnung  eines  Kegelschnittes  notwendig  erscheint.  Dieser 
Mißstand  wurde  durch  Ersetzen  solcher  wechselnden  Kegelschnitte 
durch  einen  einzigen  festen  beseitigt  Was  die  Gestalt  jener  Schnitt- 
linie betrifit,  so  wurden  ihre  drei  Hauptformen  aus  den  dreierlei 
Formen  des  gemeinschaftlichen  Polartetraeders  der  beiden  Flächen 
abgeleitet.  Die  Abwickelbare  der  Schnittlinie  besitzt  bekanntlich 
eine  Doppelkurve,  welche  aus  vier  ebenen  Kurvenästen  von  der 
vierten  Ordnung  besteht.  Es  wurde  nun  gezeigt,  daß  die  Gestalt 
eines  solchen  Astes  allein  von  den  in  derselben  Ebene  liegenden 
Elementen  der  sich  schneidenden  Flächen  abhängt;  und  aus  diesen 
wurde  die  Kurve  konstruirt  und  untersucht 

Von  anderen  Flächen,  welche  behandelt  Wurden,  möge  noch 
die  bisher  wenig  beachtete  topographische  oder  Terrainfläche  erwähnt 
werden,  welche  durch  ihre  Rücken-  oder  Rinnelinien  (oder  Wasser- 
scheiden und  Thalwege),  durch  ihre  Linien  des  kleinsten  und  des 
größten  Gefälles,  und  durch  ihre  Eigenschaften,  die  man  nach  ihrer 
Begründung  uüd  Verursachung  als  geometrische  und  meteorologische 
unterscheiden  kann,  großes  Interesse  bietet. 

Auch  die  Raumkurve  vierter  Ordnung  zweiter  Art,  die  als  teil- 
weiser Schnitt  einer  Regelfläche  zweiten  mit  einer  Regelfläche  dritten 


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VI  Vorwort. 

Grades  entsteht  ^  und  die  ich  noch  nirgends  dargestellt  fand^  erfuhr 
eine  besondere  Untersuchung. 

Die  Krümmung  der  Flächen  wurde  eingehend  behandelt,  dabei 
auch  die  Eulersche  Kurve  in  ihren  drei  Formen,  die  Krümmung 
des  ebenen  Schnittes  einer  Fläche  in  seiner  Abhängigkeit  von  der 
Krümmung  der  Fläche,  namentlich  die  Evoluten  eines  ebenen  Schnit- 
tes des  Kreisringes  und  seiner  Projektionen.  Sodann  wurden  wesent- 
lich die  Krümmungslinien  der  Flächen  zweiten  Grades  untersucht, 
insbesondere  ihre  Projektionen  auf  die  drei,  oder  in  verallgemeiner- 
tem Sinne,  auf  die  vier  Hauptebenen  dieser  Flächen,  als  die  Kurven 
einer  Kegelschnittschaar,  zu  deren  Verzeichnung  die  vorbereitenden 
Untersuchungen  im  ersten  Bande  die  Grundlage  bilden.  Dabei  spie- 
len die  sechzehn  Nabelpunkte  der  Fläche,  von  denen  höchstens 
vier  reell  sind,  eine  wesentliche  Rolle,  und  die  imaginären  erwiesen 
sich  für  die  Konstruktionen  ebenso  nützlich,  wie  die  reellen. 

Im  Übrigen  sei  zur  Gewinnung  einer  Übersicht  über  den  be- 
handelten Stoff  auf  das  Inhaltsverzeichnis  verwiesen,  das  ich,  um 
auch  einen  Einblick  in  die  Art  der  Behandlung  zu  gewähren,  ein- 
gehend gehalten  habe. 

Die  Figuren  sind  wieder  von  den  Zeichnungen  des  Verfassers 
photozinkographisch  übertragen,  außer  den  beiden  vorletzten  über  die 
Perspektive  des  menschlichen  Blickes,  welche  aus  der  Verofltent- 
lichung  WoUastons  entnommen  wurden. 

Ich  hatte  im  ersten  Bande  die  Absicht  ausgesprochen,  meine 
Untersuchungen  über  die  Eelligkeit  der  Körper  im  zweiten  Bande  zu 
veröffentlichen.  Ich  beschäftigte  mich  auch  seitdem  ein  halbes  Jahr 
lang  mit  der  Weiterführung  dieser  Arbeit,  bemerkte  aber  dann,  daß 
sie  zu  ausgedehnt  für  die  Aufnahme  in  den  zweiten  Band  werden 
und  dessen  Veröffentlichimg  zu  sehr  verzögern  würde,  und  entschloß 
mich  daher,  sie  für  eine  besondere  Veröffentlichung  vorzubehalten. 
Über  ihren  Inhalt  bemerke  ich,  daß  im  ersten  Teile  der  Arbeit  auf 
Grundlage  von  Versuchen  an  einer  gegossenen  Gipsplatte  die  Hellig- 
keit angegeben  wird,  welche  eine  solche  Oberfläche  bei  jeder  Rich- 
tung des  einfallenden  und  des  ausfallenden  Lichtstrahles  besitzt,  und 
daß  auf  dieser  Grundlage  die  Linien  gleicher  Helligkeit  oder  die  Helle- 
gleichen einer  Kugel  konstruirt  wurden,  welche  durch  unmittelbare 
Sonnenbeleuchtung  und  diejenigen,  welche  durch  den  Reflex  eines 
gleichbeschaffenen  Bodens  von  Gips  entstehen.  Im  zweiten  Teile 
werden  ebenfalls  auf  Grund  von  Beobachtungen  die  Konstanten 
einer  Formel  bestimmt,  welche  die  Helligkeit  des  klaren  Himmels 
an  jeder  seiner  Stellen  und  für  jede  Stellung  der  Sonne  angibt.  Auf 
dieser   Grundlage    habe   ich   sodann   die   Hellegleicben   des   klaren 


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Vorwort.  VII 

Himmels  konstruirt.  Dieselben  ziehen  sich  um  ihre  hellste  und 
dunkelste  Stelle  herum,  von  denen  die  erste,  außer  bei  der  unter- 
gehenden Sonne,  unmittelbar  neben  der  Sonne,  die  zweite,  leicht 
hundertmal  dunklere,  dieser  gegenüber,  aber  nicht  in  gleicher  Hohe 
steht.  Mittelst  dieser  Hellegleichen  habe  ich  auf  eine  nicht  schwie- 
rige, aber  der  Natur  der  Sache  nach  viele  Zeit  kostende  Weise  die 
Stärke  der  Beleuchtung  bestimmt,  welche  ein  Flächenelement  durch 
den  klaren  Himmel  erfahrt,  und  diese  Bestimmungen  müssen  für 
verschiedene  Stellungen  des  Elementes  fortgesetzt  und  die  Ergeb- 
nisse in  eine  zu  leichtem  Gebrauch  geeignete  Tabelle  gebracht  wer- 
den. Der  dritte  Teil  bezieht  sich  auf  die  Nachahmung  der  Helligkeit 
durch  Tuschlagen ;  er  führte  mich  zum  Messen  der  Empfindungs- 
stärke durch  eine  Empfindungseinheit/  Die  letztere  ist  dasselbe, 
wie  die  von  Herrn  Pechner  in  seinen  Elementen  der  Psychophysik 
aufgestellte  Reizschwelle,  so  daß  ich  in  der  Streitfrage  über  die 
Meßbarbeit  oder  Nichtmeßbarkeit  der  Empfindungsstärke  zur  Be- 
jahung geführt  werde  und  in  einer  solchen  Messung  die  Lösung  der 
vorliegenden  praktischen  Aufgabe  finde.  Bei  dieser  Ausdehnung 
der  Untersuchungen,  die  ich  zum  Teil  noch  durch  neue  zu  ersetzen 
beabsichtige,  wird  man  es  wohl  gerechtfertigt  finden,  daß  ich  von 
meiner  ursprünglichen  Absicht  abging,  dieselben  dem  vorliegenden 
Buche  einzuverleiben. 

Ich  übergebe  nun  diese  Arbeit,  die  mir  langjähriges  Mühen, 
aber  auch  hohen  Genuß  bereitet  hat,  der  Öffentlichkeit  mit  dem 
Wunsche,  daß  sie  einigen  Nutzen  stiften  möge. 

Karlsruhe,  12.  Mai  1887. 

Chr.  Wiener. 


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Inhaltsverzeichnis. 

Die  vorgesetsten  Zahlen  bedeaton  die  Nummern; 


Zweiter  Teil. 

Seite 

I.  Abschnitt. 

Die   krummen  Flächen    im    allgemeinen;    der  Cylinder,    der 

Kegel y    die  TJmdrehungsflftohe   und  ihre   Berührungsebenen; 

die  abwickelbare  Fläche  im  allgemeinen. 

I.  Die  krummen  Flächen  im  allgemeinen^  ihre  Berührungs- 
ebenen und  Normalen 1 

1,  2.  Begriff  und  Darstellung  der  Fläche.  3.  Die  Familien  der  Flächen. 
Der  Cylinder.  4.  Der  Kegel.  5.  Die  Umdrehungsfläche.  6.  Verschiedene  * 
ebene  Schnitte  einer  Fläche  mit  gemeinschaftlicher  Tangente.  7.  Die  Be- 
rührungsebene  der  Fläche  als  Ebene  aller  Tangenten  der  Fläche  in  dem- 
selben Punkte;  allgemeiner  Fall,  besondere  Fälle.  8.  Die  Normale  der 
Fläche.  9.  Wahrer  und  scheinbarer  umriß.  10.  Cylinder  und  Kegel  wer- 
den von  einer  Berührungsebene  entlang  einer  Erzeugenden  beröhrt.  11, 
Berührungsebene  und  Normale  der  Umdrehungsfläohe.  Einhüllung  von 
Cylindem,  Kegeln,  Kugeln. 

II.   Der  Cylinder  und  Kegel,  und  ihre  Berührungsebenen.  8 

12.  Darstellung  des  Cylinders  aus  seiner  Leit-  und  Richtlinie.  13.  Be- 
rührungsebene in  einem  gegebenen  Punkte  der  Fläche.  14.  Berührungs- 
ebene durch  einen  außerhalb  der  Fläche  gegebenen  Punkt;  die  Leitlinie 
sei  uneben.  16.  Berührungsebene  parallel  einer  Geraden;  die  Leitlinie 
liege  in  einer  beliebigen  Ebene.  16.  Einen  durch  Leitlinie  und  Spitze  ge- 
gebenen Kegel  darzustellen.  17.  Berührungsebene  in  einem  gegebenen 
Punkte  der  Fläche.  18.  Darstellung  eines  schiefstehenden  geraden  Kreis- 
kegels,  sein  Schatten  für  eine  Lichtquelle  in  endlichem  Abstände.  19.  Be- 
rührungsebene parallel  einer  Geraden.    20.  Übungsaufgaben. 

III.  Der  Kegel  zweiten  Grades 16 

21.  Polare  Eigenschaften.  Entstehung  durch  zwei  projektive  Ebenen- 
büschel oder  Strahlenbüschel.  22.  Der  Kegel  hat  im  allgemeinen  drei,  im 
besonderen  unendlich  viele  (auf  einander  senkrechte)  Axen.  23.  Die  drei 
Axen  aus  der  Spitze  und  einem  Leitkegelschnitte  c  zu  bestimmen.  Zurück- 
führen auf  die  Aufgabe,  das  gemeinschaftliche  Polardreieck  zu  e  und  einem 
imaginären  Kreise  zu  legen.  24.  Bestimmung  seiner  Ecken  durch  die 
Schnittpunkte  von  c  mit  einem  Kreise.  25.  Hilfssatz  über  den  zu  einer 
Geraden  konjugirten  Kegelschnitt  eines  Kegelschnittbüschels.  Auflösung. 
26.  Übungsaufgaben. 


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InbaltsYerzeichnis.  IX 

Seite 

IV.  Die  UmdrehungBfläohe  und. ihre  Berahrungsebene.  .  23 
27.  Darstellung  der  Fläche.  28.  Das  UmdrehungsellipBoid  und  seine 
Berührungsebene  in  einem  gegebenen  Punkte.  29.  Das  einschalige  Um- 
drehuDgshyperboloid  entstehend  durch, Umdrehung  einer  Geraden  um  eine 
sie  nicht  schneidende  Axe.  Seine  Darstellung.  80.  Die  beiderlei  Schaaren 
von  Erzeugenden.  31.  Erzeugung  durch  zwei  projektive  Ebenenbüschel. 
Jede  Ebene  schneidet  die  Fläche  in  einem  Kegelschnitte;  der  Meridian 
ist  eine  Hyperbel.  32.  Die  Berübrungsebene  in  einem  gegebenen  Punkte 
der  Fläche.   38.  Hyperbolische,  parabolische,  elliptische  Punkte  einer  Fläche. 

V.  Die  abwickelbaren  Flächen  (erster  Teil).  ...  28 
34.  Eine  krumme  abwickelbare  Fläche  als  Grenzgestalt  eines  abwickel- 
baren Vielflachs.  Erweiterter  Begriff  des  letzteren.  35.  Das  Vielflach  mit 
geschlossenen  Seitenflächen  ist  abwickelbar,  wenn  die  Summe  der  Kanten- 
winkel an  jeder  Ecke  »»  4E  ist,  die  Ecken  also  nicht  konvex  sind.  Als 
Beispiel  die  Zickzackfläche;  ihre  Gleichung  durch  Fouriersche  Reihen. 
36.  Übergang  der  Zickzackfläche  in  eine  nicht  geradlinige  abwickelbare 
Fläche  mit  unendlich  kleinen  Flächenelementen  mittelst  der  Weierstraß- 
schen  Cosinusfunktion.  37.  Das  Vielflach  mit  nicht  geschlossenen  Seiten- 
flächen ist  stets  abwickelbar.  38.  Seine  Grenzgestalt  ist  eine  geradlinige 
abwickelbare  Fläcbe.  Rückkehrkante.  Einhüllende  Fläche  einer  beweg- 
lichen Ebene.  Verwandelte  einer  krummen  Linie.  89.  Sätze  über  diese 
Fläche;  40.  Änderung  der  Krümmung  einer  Kurve  durch  die  Abwickelung. 
41.  Ausdruck  dafür.  42.  Bedingung  für  einen  Wendepunkt  der  verwandel- 
ten Kurve.  Kürzeste  oder  geodätische  Linie.  43.  Bestimmung  einer  ab- 
wickelbaren Fläche  durch  zwei  Leitlinien.  Leitflächen.  Einhüllende  Fläche. 
Richtkegcl.  44.  Die  Evolutenfläche  einer  Raumkurvo.  46.  Der  kürzeste 
Abstand  zweier  benachbarten  Erzeugenden  ist  unendlich  klein  von  der 
dritten  Ordnung. 

IL  Abschnitt. 

Der  Schnitt  des  Cylinders  und  Kegels  mit  einer  Ebene  und 
einer  Qeraden  und  die  Abwickelung  der  Fl&ohe. 

L  Allgemeines  Verfahren 43 

46.  Allgemeines  Verfahren  zur  Bestimmung  des  Schnittes  einer  krum- 
men Fläche  mit  einer  Ebene  oder  Geraden. 

II.  Ebener  Schnitt  und  Abwickelung  des  Cylinders.  .    .    44 

47,  48.  Zwei  ebene  Schnitte  eines  Cylinders  sind  perspektiv-affln. 
Schnitt  eines  auf  P^  senkrecbten  Umdrehungscylinders  mit  einer  auf  P, 
senkrech tf^n  Ebene,  wahre  Gestalt  der  Kurve  und  Abwickelung  des  Cylin- 
ders. Die  Verwandelte  der  Schnittkm-ve  ist  eine  Sinuslinie.  49—53.  Schnitt 
eines  beliebigen  Cylinders  mit  einer  beliebigen  Ebene,  wahre  Gestalt  und 
Abwickelung.  '64,  65.  Von  der  Verwandelten  der  Schnittkurve  die  Krüm- 
mungshalbmesser in  ausgezeichneten  Punkten  und  die  Wendepunkte  zu 
bestimmen. 

lU.  Ebener  Schnitt  und  Abwickelung  des  Kegels.  .  .  60 
56.  Zwei  ebene  Schnitte  eines  Kegels  sind  perspektiv- kollinear.  57. 
Schnitt  eines  mit  seiner  Axe  senkreckt  auf  Pj  stehenden  Umdrehungs- 
kegels mit  einer  auf  P,  senkrechten  Ebene,  walire  Gestalt  und  Abwicke- 
lung. Die  erste  Projektion  der  Spitze  ist  der  Brennpunkt  der  ersten  Pro- 
jektion des  Kegelschnittes.     Der  Krüiamungshalbmesser  im  Scheitel  der 


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X  Inhaltsverzeichnis. 

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Haaptaxe  der  ersten  Projektion  des  Kegelschnittes  ist  gleich  dem  Halb- 
messer eines  Parallelkreises,  dessen  Mittelpunkt  in  der  Schnittebene  liegt. 
58—61.  Wahre  Gestalten  der  Schnittkurve,  Abwickelung,  Krümmungs- 
kreise und  Wendepunkte  der  Verwandelten.  62.  Die  vorhergehende  Auf- 
gabe für  den  hyperbolischen  Schnitt.  63—66.  Die  Schnittkurve  eines 
schiefen  Kreiskegels  mit  einer  Ebene,  deren  wahre  Gestalt  und  die  Ab- 
wickelung des  Kegels.  Krümmungskreise  und  Wendepunkte  der  Verwan- 
delten des  Grundkreises  und  der  Schnittkurve.  67.  Auf  einem  Kegel 
zweiten  Grades  die  Kreisschnitte  zu  bestimmen.  68.  Übungsaufgaben. 
69.  Durch  zwei  gegebene  Punkte  eines  Umdrehungskegels  die  geodätische 
Linie  zu  legen.  Die  Tangente,  der  Krümmungskreis  im  Scheitel  des 
Grundrisses.  Übergang  auf  den  zweiten  Flächenast.  70.  Die  Wendepunkte 
der  Projektionen  der  Kurve.  Der  unendlich  ferne  Punkt  der  ersten  Pro- 
jektion (auf  die  zur  Umdrehungsaxe  senkrechte  Ebene)  ist  ein  Wendepunkt 
der  Kurve.  Bestimmung  der  Wendepunkte  der  zweiten  Projektion.  71.  Die 
Schnittpunkte  des  Kegels  mit  einer  Geraden. 

in.  Abschnitt 
Die  Flächen  zweiten  Grades, 

I.  Allgemeine  Eigenschaften  und  Einteilung  der  Flächen 

zweiten  Grades .66 

72.  Begriff  der  Fläche  zweiter  Ordnung.  Geometrisch  als  Kegelschnitts - 
fläche.  73.  Die  Polarebene  eines  Punktes.  74.  Die  Fläche  zweiter  Ordnung 
ist  auch  zweiter  Klasse  und  heißt  zweiten  Grades.  75.  Der  Pol  einer  Ebene. 
76.  Konjugirte  Punkte,  Ebenen  u.  s.w.  77.  Zwei  gegenseitige  Polaren.  78. 
Das  Polartetraeder.  79.  Entstehung  der  Fläche  zweiten  Grades  durch  einen 
erzeugenden  Kegelschnitt.  80.  Erweiterung  des  Begriffes  der  räumlichen 
Kollineation.  Die  kollineare  Verwandtschaft  zweier  räumlichen  Systeme 
ist  durch  fünf  Paare  entsprechender  Punkte  bestimmt.  81.  Entstehung 
der  Fläche  zweiten  Grades  aus  willkürlich  angenommenen  Leitelementen. 
Sie  sind  entweder  mit  der  Kugel  oder  mit  dem  einschaligen  Hyperboloide 
kollinear.  82.  Zwei  Arten  der  Flächen  zweiten  Grades,  Nichtregelflächen 
und  Regelflächen.  Verschiedene  Eigenschaften.  83.  Sind  die  reellen  ebenen 
Kurven  einer  Fläche  Kegelschnitte,  so  sind  es  auch  die  imaginären.  Ideelle 
Darstellung  eines  solchen.  84.  Die  Mittelpunktsellipse  eines  imaginären 
Kegelschnittes.  Die  imaginären  Kegelschnitte  einer  Kugel  sind  imaginäre 
Kreise.  85.  Begriff  der  räumlichen  Imaginärprojektion  der  Kegelschnitte. 
Zwei  Kegelschnitte  mit  gemeinsamer  Involution  konjugirter  Punkte  auf  der 
gemeinschaftlichen  Geraden  ihrer  Ebenen  projiciren  sich  reell  oder  imagi- 
när aufeinander  (vier  Fälle).  86.  Zwei  (reelle  oder  imaginäre)  Kegelschnitte 
einer  Fläche  zweiten  Grades  projiciren  sich  aus  zwei  Punkten  durch  reelle 
oder  imaginäre  Projektion  aufeinander.  87.  Zwei  Kegelschnitte,  welche 
zwei  Punkte  gemein  haben,  und  ein  Punkt  bestimmen  eine  Fläche  zweiten 
Grades.  88.  Mittelpunkt,  Durchmesser,  Durchmesserebenen  der  Flächen 
zweiten  Grades,  ähnliche  Schnitte  paralleler  Ebenen,  reelle,  konjugirte 
Durchmesser,  imaginäre  (ideelle)  Durchmesser.  89.  Die  Axen;  ihre  Kon- 
struktion durch  drei  konjugirte  Durchmesser.  90.  Einteilung  der  Flächen 
zweiten  Grades  nach  der  endlich  oder  unendlich  fernen  Lage  des  Mittel- 
punktes und  dem  Reell-  oder  Imaginärsein  der  Axen  in  sechs  Arten.  91. 
Das  Ellipsoid.  92.  Das  einschalige  Hyperboloid.  93.  Das  zweischalige 
Hyperboloid,  und  die  imaginäre  Fläche.  94.  Das  elliptische  Paraboloid. 
95.  Das  hyperbolische  Paraboloid. 


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InhaltsYerzeicbnis.  XI 

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n.  Eonjugirte  Flächen  zweiten  Grades  nnd  die  Imaginär- 
projektion im  Raame 89 

96.  Zwei  in  Bezug  auf  einen  Punkt  und  eine  Ebene  konjugirte  Flächen 
zweiten  Grades.  97.  Dieselben  sind  Imaginärprojektionen  von  einander; 
die  Charakteristik  ist  ».  98.  Von  zwei  konjugirten  reellen  Flächen  ist  die 
eine  geradlinig,  die  andere  nicht  geradlinig.  99.  Die  zu  einer  reellen 
Fläche  zweiten  Grades  konjugirte  imaginäre  Fläche  zweiten  Grades.  100. 
Die  Polarebene  eines  Punktes  zu  einer  Fläche  zweiten  Grades  und  zu  ihrer 
in  Bezug  auf  einen  Punkt  P  und  eine  Ebene  P  konjugirte  Fläche  sind 
durch  P  und  P  harmonisch  getrennt.  Pol  und  Polarebene  in  Bezug  auf 
die  konjugirte  Fläche.  101.  Die  Polarebene  eines  Punktes  Q  einer  Fläche 
zweiten  Grades  F  in  Bezug  auf  eine  der  F  konjugirte  Fläche  H  ist  die 
Berühruugsebene  der  F  in  dem  Gegenpunkte  Q'  des  Q  auf  F.  102.  Eine 
zu  einer  reellen  Fläche  zweiten  Grades  konjugirte  imaginäre  Fläche  wird 
von  jeder  Ebene  in  einem  imaginären  Kegelschnitte  getroffen  und  ist  des- 
wegen vom  zweiten  Grade.  Ideelle  Darstellung  einer  imaginären  Schnitt- 
kurve.  103.  Von  zweien  in  Bezug  auf  einen  Punkt  und  eine  Ebene  kon- 
jugirten Flächen  zweiten  Grades  ist  jede  zu  sich  selbst  reciprok  in  Bezug 
auf  die  andere.  104.  Von  einem  imaginären  Kegelschnitte,  dessen  ideelle 
Darstellung  in  Bezug  auf  einen  Punkt  gegeben  ist,  die  ideelle  Darstellung 
in  Bezug  auf  einen  beliebigen  Punkt  seiner  Ebene  zu  konstruiren.  105.  Die 
ideelle  Darstellung  eines  imaginären  Kegelschnittes  in  Bezug  auf  einen 
Punkt  ist  eine  Ellipse,  Parabel  oder  Hyperbel,  je  nachdem  dieser  Punkt 
innerhalb,  auf  oder  außerhalb  der  Mittelpunktellipse  des  i  liegt.  106.  Das 
Mittelpunktellipsoid  einer  imaginären  Fläche  zweiten  Grades.  Die  ideelle 
Darstellung  der  letzteren  in  Bezug  auf  einen  Punkt  ist  ein  Ellipsoid,  ellipti- 
sches Paraboloid  oder  zw  eischaliges  Hyperboloid,  je  nachdem  dieser  Punkt 
innerhalb,  auf  oder  außerhalb  des  Mitbelpunktellipsoides  liegt.  107.  Kon- 
jugirte Flächen  zweiten  Grades  in  Bezug  auf  zwei  gegenseitige  Polaren. 
108.  Von  zweien  in  Bezug  auf  zwei  Gerade  zu  einander  konjugirten  Flächen 
zweiten  Grades  ist  jede  mit  sich  selbst  reciprok  in  Bezug  auf  die  andere 
Fläche.  109.  Die  vier  Fälle  zweier  in  Bezug  auf  zwei  Gerade  zu  einander 
konjugirten  Flächen  zweiten  Grades.  110.  Vier  zu  je  zwei  in  Bezug  auf 
zwei  Gerade  oder  in  Bezug  auf  einen  Punkt  und  eine  Ebene  konjugirte 
Flächen  zweiten  Grades  (zwei  Fälle).  111.  Zu  einer  (möglicherweise  ima- 
ginären) Flächen  zweiten  Grades,  welche  als  koigugirt  zu  einer  anderen 
in  Bezug  auf  einen  Punkt  gegeben  ist,  die  in  Bezug  auf  eine  gegebene 
Gerade  konjugirte  Fläche  darzustellen. 

m.    Die   Berührungsebenen,    ebenen   Schnitte   und   Berfih- 
rungskegel  der  Flächen  zweiten  Grades,  insbesondere  der 

Nichtregelfläohen 108 

112.  An  ein  durch  seine  drei  Halbaxen  gegebenes  Ellipsoid  in  einem 
durch  eine  Projektion  gegebenen  Punkte  desselben  die  Berührungsebene  zu 
legen.  Auflösung  mit  und  ohne  Verzeichnung  von  Ellipsen.  113.  Die 
Schnittkurve  einer  Fläche  zweiten  Grades  mit  einer  Ebene  zu  bestimmen 
für  ein  zweischaliges  Hyperboloid.  Auflösung  mit  und  ohne  Benutzung 
von  Kegelschnitten.  114.  Die  Abbildung  l  des  ebenen  Schnittes  einer  Fläche 
zweiten  Grades  zu  verzeichnen,  wenn  von  der  Fläche  der  Umriß  k  und 
von  l  drei  Punkte  Cy  D^  E  gegeben  sind;  oder  einen  Kegelschnitt  l  zu 
verzeichnen,  welcher  einen  gegebenen  Kegelschnitt  X;  in  zwei  Punkten  be- 
rührt und  durch  drei  gegebene  Punkte  C,  D^  E  geht.  Auflösung  mittelst 
Benutzung  eines  Kegelschnittes.  116.  Begriff  eines  einzelnen  imaginären 
Punktes  auf  einer  Geraden  oder  auf  einem  Kegelschnitte  in  Bezug  auf  zwei 


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XII  Inhaltsyerzeichnis. 

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gegebene  koDJngirte  Punkte.  116.  Die  Azen  eines  Kegelschnittes  zu  bestim- 
men, in  Bezug  auf  welchen  P  und  p  als  Pol  und  Polare,  die  Involution  auf 
p  und  P,  und  von  welchem  noch  ein  reeller  oder  imaginärer  Punkt  gegeben 
sind.  117.  Auflösung  der  Aufgabe  114  und  Bestimmung  der  Axen  von  l  ohne 
Benutzung  von  Kegelschnitten,  1)  wenn  k  eine  Ellipse,  C,  B,  E  innere 
oder  2)  äußere  Punkte  von  k  sind;  118.  3)  wenn  k  eine  Hyperbel  und 
C,D,£J  innere  oder  äußere  Punkte  von  k  sind;  119.  4)  wenn  k  ein  reeller 
Kegelschnitt,  C  ein  reeller,  D,  E  imaginäre  Punkte  sind;  120.  6)  wenn  k 
reell,  C^  B^  E  teils  innere,  teils  äußere  Punkte  des  k  sind.  121.  Hilfs- 
satz. Sind  in  einer  Ebene  die  Pole  von  zwei  Geraden  m  und  p  in  Bezug 
auf  zwei  (reelle  oder  imaginäre)  Kegelschnitte  k  und  h  bezw.  3f ,  P  und 
P,  M  und  ist  die  Involution  konjugirter  Punkte  in  Bezug  auf  k  und  h  auf 
der  m  eine  gemeinsame,  so  ist  sie  auch  auf  der  p  eine  gemeinsame.  122.  In 
der  Aufg.  114  sei  6)  k  imaginär.  123.  Einen  Kegelschnitt  l  zu  bestimmen, 
welcher  einen  gegebenen  Kegelschnitt  k  in  zwei  Punkten  berührt  und 
außerdem  1)  drei  gegebene  Gerade  berührt,  2)  zwei  Gerade  berührt  und 
durch  einen  gegebenen  Punkt  geht,  3)  eine  Gerade  berührt  und  durch  zwei 
geg.  Punkte  geht.  124.  Alle  Flächen  zweiten  Grades,  außer  dem  hyperboli- 
schen Paraboloide ,  werden  von  zwei  Schaaren  paralleler  Ebenen  in  Kreisen 
geschnitten.  126.  An  ein  Ellipsoid  aus  einem  außerhalb  gegebenen  Punkte 
einen  berührenden  Kegel  zu  legen,  oder  seinen  Eigen-  und  Schlagschatten 
zu  bestimmen.  126.  Hilfssatz  über  Parabeltangenten.  Aufg.  An  ein  ellipti- 
tisches  Paraboloid  aus  einem  außerhalb  desselben  gegebenen  Punkte  einen 
berührenden  Kegel  zu  legen,  oder  seinen  Eigen-  und  Schlagschatten  zu 
bestimmen.  127.  Alle  ebenen  Schnitte  oder  Berührungskurven  umschrie- 
bener Kegel  eines  elliptischen  oder  hyperbolischen  Paraboloides  projiciren 
sich  auf  irgend  eine  Ebene  mittelst  Projicirender,  die  zur  Axe  der  Fläche 
parallel  sind,  in  ähnliche  und  ähnlich  gelegene  Kegelschnitte.  128.  Den 
Umriß  einer  Fläche  zweiten  Grades  F  zu  bestimmen,  von  welcher  die  Par- 
allelprojektionen dreier  konjugirten  Durchmesser  gegeben  sind.  Aufl.  1) 
mittelst  umschriebener  Cylinder  a)  wenn  F  ein  Ellipsoid,  129.  b)  ein  Hy- 
perboloid ist.  ISO.  Aufl.  2)  mittelst  zweier  konjugirten  Durchmesser  des 
Umrisses,  a)  wenn  F  ein  Ellipsoid,  131.  b)  ein  Hyperboloid  ist.  132. 
Übungsaufg.  133.  Die  Schnittpunkte  einer  Geraden  mit  einer  durch  drei 
konjugirte  Durchmesser  gegebenen  Fläche  zweiten  Grades  zu  bestimmen. 
134.  Die  Berührungsebenen  durch  eine  Gerade  an  eine  ebenso  gegebene 
Fläche  zweiten  Grades  zu  legen.  136.  Zu  einer  Fläche  zweiten  Grades  die 
Polar  ebene  eines  Punktes  und  den  Pol  einer  Ebene  zu  bestimmen. 

IV.  Die  windschiefen  Flächen  zweiten  Grades. 

a)  Allgemeines 140 

136.  Begriff  der  Regel-  oder  geradlinigen  Flächen.  Windschiefe  Flä- 
chen mit  drei  Leitgeraden;  sie  sind  vom  zweiten  Grade  und  werden  auch 
durch  zwei  projektive  Ebenenbüschel  erzeugt;  137.  ebenso  durch  zwei 
projektive  Punktreihen.  138.  Die  beiden  Schaaren  von  Erzeugenden.  139. 
Die  Berührungsebene.  Das  Büschel  der  durch  eine  Erzeugende  gelegten 
Ebenen  ist  mit  der  Reihe  ihrer  Berührungspunkte  projektiv.  140.  Diese 
Regelflächen  bilden  das  hyperbolische  Paraboloid,  wenn  die  drei  Leitgera- 
den mit  derselben  Ebene  parallel  sind,  sonst  das  einschalige  Hyperboloid; 
Grenzfall  des  Kegels.  141.  Bestimmung  dieser  Flächen  durch  gerade  und 
kegelschnittf^rmige  Leitlinien,  sowie  durch  projektive  Punktreihen  auf  Ge- 
raden und  Kegelschnitten.  142.  Diese  Bestimmungsstücke  können  will- 
.kürlich  angenommen  werden. 


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lohalUverzeichnis.  XHl 

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b)  Das  einschalige  Hyperboloid 145 

143.  Das  einschalige  Hyperboloid  darzustellen,  yon  welchem  zwei  par- 
allele und  gleiche  Ellipsen  und  eine  Erzeugende  gegeben  sind.      144.  Für 

ein  durch  drei  Erzeugende  derselben  Schaar  gegebenes  einschaliges  Hyper- 
boloid eine  Reihe  von  Aufgaben  zu  lösen:  Zu  bestimmen  ein  Parallelepi- 
pedum  von  Erzeugenden,  den  umriß,  den  Mittelpunkt,  den  Asymptoten- 
kegel, die  Berührungsebene  durch  einen  Punkt,  die  Schnittlinie  mit  einer 
Ebene,  den  Berührungskegel  aus  einem  Paukte,  den  Pol  einer  Ebene,  die 
Polarebene  eines  Punktes,  die  Schnittpunkte  mit  einer  Geraden.  Eine 
Qerade  ^u  legen,  welche  vier  gegebene  Gerade  schneidet.  146.  Sätze  über 
das  ein-  und  das  zweischalige  Hyperboloid  und  ihre  Asymptote nkegel. 
146.  Das  einschalige  Hyperboloid  ist  bestimmt  durch  1)  zwei  sich  schnei- 
dende Gerade  und  drei  Punkte,  2)  ein  windschiefes  Viereck  und  einen  Punkt, 
8)  zwei  sich  schneidende  Gerade  un^  vier  Punkte,  4)  eine  Gerade  und  sechs 
Punkte.  147.  Besondere  Arten  des  einschaligen  Hyperboloides:  1)  das 
orthogonale  Hyperboloid  und  der  orthogonale  Kegel;  sie  besitzen  zwei 
Schaaren  von  Kreisen,  deren  Ebenen  auf  den  Axen  der  erzeugenden  Ebenen- 
büschel senkrecht  stehen,  Erzeugung  durch  zwei  kongruente  Ebenenbüschel. 
2)  Hyperboloid,  entstehend  aus  zwei  besonderen  projektiven  Punktreihen. 
148.  Übungsaufgaben.  149.  Centralpunkt,  asymptotische  Ebene.  160.  Die 
Striktionslinie  des  einschaligen  Hyperboloides.  Die  Krümmungskreise  ihrer 
Projektionen  auf  die  Hauptebenen  in  den  Scheiteln  der  Fläche. 

c)  Das  hyperbolische  Paraboloid 157 

151.  Seine  Bichtebene.     Ähnliche  Punktreihen.     152.  Die  Fläche  aus 

zwei  mit  einer  Hauptebene  parallelen  Parabeln  und  einer  Erzeugenden  dar- 
zustellen. Die  Striktionslinie.  163.  Die  Fläche  aus  einem  windschiefen 
Vierecke  darzustellen. 

IV.  Abschnitt. 
Die  Umdreliunfi:8fläohen. 

I.  Der  Schnitt  einer  ümdrehungsfläche  mit  einer  Ebene.  .  162 
154.  Symmetrieaxe  der  Schnittkurve;  auf  dieser  Axe  ist  ein  Punkt  der 
Kurve  im  allgemeinen  ein  gewöhnlicher,  im  besonderen  ein  Doppelpunkt 
oder  eine  Spitze.  165.  Schnitt  eines  Ringes  mit  einer  Ebene;  elliptische, 
hyperbolische,  parabolische  Punkte  des  Ringes.  156.  Als  Schnittebene  wird 
die  Berührungsebene  der  Fläche  in  einem  hyperbolischen  Punkte  gewählt. 
Allgemeine  und  ausgezeichnete  Punkte  der  Schnittkurve.  157.  Die  Tan- 
gente der  Kurve  in  einem  gewöhnlichen  und  in  einem  Doppelpunkte.  Par- 
allelverschiebung der  Schnittebene.  158.  Berührt  die  Schnittebene  den 
Ring  in  zwei  Punkten,  so  zerföUt  die  Schnittkurve  in  zwei  Kreise.  159. 
Die  Schnittebene  sei  mit  der  Umdrehungsaxe  parallel.  Fall,  in  welchem 
die  Schnittkurve  die  Cassinische  Linie  wird.  160.  Ihre  Krümmungakreise 
für  die  wichtigsten  Punkte.  161.  Die  drei  Gestalten  der  Cassinischen  Linie, 
darunter  die  Bernouillische  Lemniskate.    162.  Übungsaufgaben. 

IL  Der  einer  ümdrehungsfläche  umschriebene  Kegel  und 

Cylinder.    (Schattengrenze.) 169 

163.  Verfahren,  einer  Fläche  einen  Kegel  oder  Cylinder  zu  umschrei- 
ben. An  eine  abwickelbare  Fläche  gehen  aus  .einem  außerhalb  gegebenen 
Punkte  nur  eine  endliche  Anzahl  von  Berührungsebenen.  Eigen-  und 
Schlagschatten,  wahrer  und  scheinbarer  Umriß.  164.  An  eine  Qmdrehungs- 
fläche  ans  einem  außerhalb  gegebenen  Punkte  den  berahrenden  Kegel  zu 


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X  lY  -  Inhalta  verzeiohniB. 

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legen ,  oder  den  Eigen-  and  Schlagschatten  zu  befitimmen.  166.  ümdrehnngs- 
fläche  der  Cosinnslinie,*  deren  Tangenten.  166.  Verfahren  der  umschriebe- 
nen Hilfskegel.  167.  Verfahren  der  umschriebenen  Hilfscylinder.  168.  Ver- 
fahren der  umschriebenen  Hilfskugeln.  Die  über  den  umriß  hinaus  liegen- 
den Berührungspunkte.  169.  Imaginärprojektion  oder  konjugirte  Fläche 
der  gegebenen  ümdrehungsfläche  in  Bezug  auf  einen  gegebenen  Meridian. 
Die  konjugirte  Kurve  zur  Berührungskurve  des  umschriebenen  Kegels. 
170.  Schlagschattengrenze,  ihre  Spitzen  und  Asymptoten.  Schlagschatten 
auf  die  Fläche  selbst.  Grenzpunkte.  171.  Die  Krümmungshalbmesser  der 
Schattengrenzen  in  ihren  Scheiteln.  Die  konjugirte  Kurve  hat  in  ihrem 
Scheitel  den  gleichen  und  entgegengesetzt  gerichteten  Krümmungshalb- 
messer, wie  die  ursprüngliche  Kurve.  Der  Schlagschatten  der  Eigenschatten- 
grenze auf  die  Ebene  des  Parallelkreises  von  deren  Scheitel  hat  diesen 
Parallelkreis  zum  Krümmungskreise.  172.  An  einer  Umdrehungsfläche  bei 
Parallelbeleuchtung  die  Eigen-  und  Schlagschattengrenze  zu  bestimmen. 
Beispiel  des  Binges,  dessen  Aze  J_  F^  steht  Das  Kegel-,  das  Cy linder- 
und das  Kugelverfaiiren.  '  Die  Schlagschatten  s^  und  «,  auf  F^  und  F,. 
173.  Bestimmung  des  Eigen-  und  des  Schlagachattens  auf  eine  zur  Aze 
senkrechte  Ebene  nachDunesme,  wenn  der  halbe  Meridian  ein  Kegelschnitt 
ist,  dessen  Axe  paraUel  zur  ümdrehungsaze  steht.  174.  Der  Grundriß  der 
Eigenschattengrenze  ist  eine  verallgemeinerte  Konchoide.  Die  Subnormale 
derselben  ist  gleich  der  Summe  der  Subnormalen  der  Grundkurven.  175. 
Der  Schlagschatten  auf  P^  ist  die  äquidistante  oder  parallele  Kurve  eines 
Kegelschnittes.  Schlagschatten  auf  den  Bing.  Grenzpunkte.  176.  Die 
Eigen-  und  Schlagschattengrenze  des  Ringes  bei  Centralbeleuchtung.  Die 
Projektion  8^  der  Eigenschattengrenze  8  auf  die  Lichtmeridianebene,  sowie 
ihr  Grundriß  «'  und  Aufriß  «".  177.  Die  Tangente  an  s^  in  einem  allge- 
meinen und  178.  in  besonderen  Punkten.  179.  Die  Tangenten  bei  Parallel- 
beleuchtung. 180.  Die  Tangenten  an  8'  und  8'\  181.  Die  Grenzpunkte 
der  Eigenschattengrenze,  bestimmt  durch  eine  Fehlerknrve.  182.  Die 
Sohlagschattengrenzen  Sj  auf  Fj  und  auf  der  Fläche.  188.  Die  Krüm- 
mungskreise der  Schattengrenzen  in  ihren  Scheiteln.  184.  Verzeichnung 
der  Schattengrenzen  des  Binges  bei  Parallelbeleuchtung  mit  Benutzung  der 
Krümmungskreise  in  den  Scheiteln.  Bestimmung  des  Krümmungshalb- 
messers von  s'  aus  dem  von  8i  und  der  Tangente  von  8^;  Bestimmung 
desselben  aus  einer  anschließenden  Fläche  zweiten  Grades.  185.  Die  kon- 
jugirten  Kurven  der  Eigenschatt«ngrenzcn.     186.  Übungsaufgaben. 

III.  Die  durch  eine  gegebene  Gerade  an  eine  Umdrehungs- 
fläche gelegte  Berührnngsebene 194 

187.  Bestimmung  der  durch  eine  gegebene  Gerade  gehenden  Berührnngs- 
ebene einer  Fläche  mittelfit  eines  oder  zweier  umschriebenen  Kegel.  FSr 
eine  abwickelbare  Fläche  gibt  es  im  allgemeinen  keine  Auflösung.  188. 
Durch  eine  gegebene  Gerade  an  eine  Kugel  eine  Berührungsebene  zu  legen 
1)  mittelst  zweier  umschriebenen  Kegel,  2)  mittelst  eines  umschriebenen 
Kegels,  3)  mittelst  eines  umschriebenen  Cylinders.  189.  Durch  eine  ge- 
gebene Gerade  an  einen  Ring  eine  Berührungsebene  zu  legen.  Benutzung 
des  durch  Drehung  der  Geraden  um  die  Aze  des  Ringes  entstehenden  Um- 
drehungshyperboloides. 190.  Liegt  die  gegebene  Gerade  im  Unendlichen/ 
so  legt  man  zwei  umschriebene  Cylinder.  Bei  einer  Umdrehungsfläche  liegen 
die  Berührungspunkte  in  der  Meridianebene,  welche  auf  der  die  Gerade 
bestimmenden  Ebene  senkrecht  steht. 


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Inhaltsverzeiclmis.  XY 

Seite 

V.  Abschnitt. 

Die  Beleuchtung  krummer  Flächen  im  allgemeinen ^  und  die  des 
Cylinders  ^  des  Kegels  und  der  Umdrehungsfl&che  im  besonderen.  • 

I.  Allgemeines 200 

191.  Bei  der  gebräuchlichen  Annahme  der  Lichtstrahlen,  bei  welcher 
jede  Projektion  desselben  45^  mit  der  Projektionsaxe  bildet,  gewährt  die 
Bestimmung  der  Helligkeit  nach  dem  Lambertschen  Gesetze  eine  gute  An- 
näherung an  die  Wahrheit.  192.  Liohtgleichen  oder  Isophoten.  Zehnstufige 
Stärkereihe.  Die  beiderseits  der  Grenzlichtgleiche  liegenden  Lichtgleichen 
(±)  kommen  zur  Geltung,  je  nachdem  die  Eörpermasse  auf  der  einen  oder 
der  andern  Seite  der  Fläche  liegt.  193.  Bestimmung  der  Punkte  der  Licht - 
gleichen;  1)  Verfahren  der  Berührungsebenen,  Tangentialkegel;  2)  Ver- 
fahren der  Normalen y  Normalkegel. 

U.  Die  Beleuchtung  der  Kugel,  des  Cylinders  und  des  Kegels.  203 
194.  Die  Lichtgleichen  der  Kugel.  Büschel  der  Normalkegel.  Schlag- 
schatten. 195.  Die  Lichtgleichen  einer  abwickelbaren  Fläche ,  eines  Cylin- 
ders  im  allgemeinen,  eines  auf  F^  senkrechten  Kreiscy linders.  196.  Stärke- 
maOstab,  Normalbüschel,  Tangentialbüschel.  197.  Die  Lichtgleichen  eines 
auf  Pj  senkrechten  und  198.  eines  schiefen  elliptischen  Cylinders.  199. 
Übungsaufgaben.  200.  Die  Lichtgleichen  eines  Kegels.  Büschel  der  Tan- 
gentialkegel. 201.  Die  Lichtgleichen  eines  schiefen  elliptischen  Kegels. 
202.  Die  Lichtgleichen  eines  auf  der  Grundrißebene  gerade  aufgestellten 
Umdrehungskegels,  mittelst  des  StärkemaOstabes  des  Kegelkreises  bestimmt. 
Die  positiven  oder  negativen  Lichtgleichen  liegen  auf  dem  einen  Flächen- 
aste  außen,  auf  dem  anderen  innen.  203.  Schlagschatten  im  Inneren  des 
oberen  Kegelastes  und  auf  F^  und  F,.  204.  Zweites  Verfahren  zur  Be- 
stimmung der  Lichtgleichen.  206.  Die  Lichtgleichen  eines  geneigten  üm- 
drehungskegels,  in  dessen  Inneres  Licht  eindringt.  Schlagschatten  ins 
Innere  und  auf  F|  und  F, . 

UI.  Die  Beleuchtung  der  ümdrehungsfläche.  .  .  .  219 
206.  Die  Lichtgleichen  einer  ümdrehungsfläche,  und  zwar  eines  Ringes, 
dessen  Axe  _L  Fj  steht.  Das  Verfahren  der  Parallel  kreise.  Das  Verfahren 
der  Meridiane.  207.  Berührung  von  Lichtgleichen  durch  Meridiane.  208. 
Verfahren  ^r  Bestimmung  des  Krümmungshalbmessers  einer  Kurve.  209. 
Die  Ghrundrißlichtgleichen  des  Ringes  sind  verallgemeinerte  Konchoiden. 
Ableitung  des  Krümmungshalbmessers  der  Konchoide  aus  denen  ihrer 
Grundkurven.  Beispiel  für  zwei  Kreise  als  Grundkurven.  210.  Besondere 
Punkte  der  verallgemeinerten  Konchoide.  1)  Berührt  der  Leitstrahl  eine 
der  Grundkurven,  so  berührt  er  auch  die  Konchoide,  und  es  verhalten  sich 
die  Ejrümmnngshalbmesser  beider  Kurven  in  den  Berührungspunkten  um- 
gekehrt wie  die  Leitstrahlen.  2)  Es  fallen  die  Normalen  der  Kurven  in 
den  Leitstrahl.  3)  Geht  eine  Grundkurve  durch  den  Ursprungspunkt,  so 
zerfällt  die  Konchoide.  Doppelpunkt  derselben.  211.  Anwendung  auf  die 
Grundrißlichtgleichen  des  Ringes.  Tangenten,  Krümmungshalbmesser  in 
den  Scheiteln,  Tangenten  aus  dem  Ursprung  an  die  Kurve.  Krümmungs- 
halbmesser der  Grenzlichtgleiche  in  ihren  Scheiteln  auf  der  zweiten  Sym* 
metrieaze.  212.  Die  zerfallende  Lichtgleiche.  Typuslichtgleiche.  213.  Eine 
andere  Art  der  Bestinunung  der  Tangente  und  des  Krümmungshalbmessers 
im  Doppelpunkte  der  Typuslichtgleiche.  214.  Die  Projektionen  der  Licht- 
gleichen des  Ringes  auf  die  Lichtmeridianebene.  Ihre  Tangente  im  Meri- 
dianpunkte.   Der  Krümmungskreis  der  Grnndrißlichtgleiche   im  Scheitel. 


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XVI  Inhaltsverzeichnis. 

Seito 

216.  Die  Lichtgleichen  der  ümdrehungsflächen  zweiten  Grades.  Das  üm- 
drehungsparaboloid ;  die  Projektion  der  Lichtgleichen  auf  die  Leitebene 
(Direktrixebene)  bilden  auch  deren  Schnitt  mit'  dem  Normalkegelbüschelf 
dessen  Spitze  im  Brennpunkte  liegt.  Die  Scheitel  der  Kurven.  216.  Die 
GmndriOlichtgleichen  sind  perspektiv  mit  dem  Büschel  koncentrischer 
Kreise  in  dem  Normalkegelbüschel.  Die  Scheitel  der  Nebenaxen  liegen 
auf  einer  Parabel.  Aufriß  der  Lichtgleichen.  217.  Aus  dem  Grundriß  der 
Axe  einer  Umdrehungsfläche,  dem  Grundriß  der  Grenzlichtgleiche  und  der 
Richtung  des  Lichtstrahles  soll  man  den  Grundriß  der  andern  Lichtgleichen 
und  den  Aufriß  der  Fläche  und  der  Lichtgleichen  bestimmen.  218.  Ver- 
zeichnung der  Lichtgleichen.  219.  Verzeichnung  des  Hauptmeridians  durch 
ein  allgemeines  Verfahren.  220.  Konstruktion  des  Hauptmeridians  für  den 
Fall,  daß  die  halbe  Grundrißgrenzlichtgleiche  ein  Kreis  ist.  Krümmungs- 
halbmesser des  Hauptmeridians  in  seinen  Scheiteln. 

VI.  Abschnitt, 

Der  Dxirchschnitt  krummer  Fl&ohen  mit  krummen  Fläohen 
und  krummen  Iiinien. 

I.  Allgemeines 243 

221.  Allgemeines  Verfahren  zur  Bestimmung  der  Schnittlinie  zweier 
krummen  Flächen  mittelst  Hilfsebenen.  Zweckmäßige  Annahme  derselben. 
Besonderer  Fall  von  krummen  Hilfsflächen.  222.  Die  Tangente  und  die 
Normalebene  der  Schnittlinie.  223.  Die  Schnittpunkte  einer  krummen 
Fläche  mit  einer  krummen  Linie. 

n.  Der  Durchschnitt  von  Cylindern  und  Kegeln  unter 
einander. 

a)  Die  allgemeineren  Aufgaben .244 

224.  Durch  die  Kegelspitzen  gelegte  Hilfsebenen.  Bestimmung  der 
Schnittlinie  zweier  Cylinder  mittelst  gleichnamiger  Spuren.  Ausgezeichnete 
Punkte.  Durchdringen,  Ausschneiden.  225.  Die  Tangente.  Spitze  der  Kurve 
in  einer  Projektion.  226.  Die  scheinbaren  Doppelpunkte  der  Kurve,  Bestim- 
mung der  durch  sie  gehenden  Geraden  in  jeder  Projektion.  227.  Bestim- 
mung der  Punkte  auf  der  Geraden  im  Aufriß  und  228.  im  Grundriß.  Es 
gibt  zwei  reelle  oder  konjugirt  imaginäre  scheinbare  Doppelpunkte.  Eigent- 
liche Doppelpunkte  und  isolirte  Punkte.  229.  Übungsaufgaben.  230. 
Schnittlinie  eines  Cy linders  und  eines  Kegels,  deren  Leitlinien  in  verschie- 
denen Ebenen  liegen.  Beide  Flächen  sollen  eine  gemeinschaftliche  Berüh- 
rungsebene, ihre  Schnittkurve  also  einen  wirklichen  Doppelpunkt  besitzen. 
231.  Die  Tangente.  232.  Die  Tangenten  im  Doppelpunkte.  238.  Die  schein- 
baren Doppelpunkte.  284.  Schnittlinie  zweier  Kegel;  beide  seien  vom 
zweiten  Grade  und  sollen  zwei  gemeinschaftliche  Berührungsebenen  be- 
sitzen. Die  Schnittkurve  zerfällt  in  zwei  Kegelschnitte.  286.  Die  Schnitt- 
kurve zweier  Flächen  zweiten  Grades  ist  von  der  vierteil  Ordnung;  Fall, 
in  welchem  sie  in  zwei  Linien  zweiten  Grades  zerfällt.  286.  Die  Schnitt- 
linie zweier  Kegel  zweiten  Grades  mit  gemeinschaftlicher  Hauptebene  zu 
konstruiren  und  ihre  Projektion  auf  diese  Ebene  zu  verzeichnen.  237.  Diese 
Projektion  ist  ein  Kegelschnitt.  238.  Die  unendlich  fernen  Punkte  der 
Schnittlinie.  289.  Die  unterbrochene  Projektion  der  Schnittlinie  auf  jenen 
Kegelschnitt  wird  ergänzt  durch  die  Imaginärprojektion  der  Schnittlinie. 
240.  Unterscheidung  der  Schnittlinie  (vierter  Ordnung)  zweier  Kegel  zwei- 
ten Grades  nach  dem  Reell-  oder  Imaginärsein  ihrer  vier  unendlich  fernen 
Punkte.    241.  Übungsaufgaben,  Herstellung  von  Fadenmodellen. 


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Inhaltsverzeichnis.  XVII 

Seite 

b)  Die  Baumknire  dritter  Ordnung 261 

242.  Sie  ist  die  Schnittlinie  zweier  Kegel  zweiten  Grades,  welche  eine 

Erzeugende  gemein  haben.  243.  Sie  wird  aus  jedem  ihrer  Punkt«  durch 
einen  Kegel  zweiten  Grades  projicirt;  geometrischer  Beweis.  Analytischer 
Beweis  des  allgemeineren  Satzes,  daß  eine  Baumkurve  n^^  Ordnung  aus  einem 
m  fachen  Punkte  der  Kurve  durch  einen  Kegel  von  den  (n — m)^^  Ordnung 
projicirt  wird.  244.  Eine  Baumkurve  dritter  Ordnung  ist  durch  sechs  be- 
liebige Punkte ,  welche  ihr  angehören  sollen,  bestimmt.  Konstruktion  der- 
selben; Tangente,  Asymptoten.  245.  Einteilung  nach  ihren  unendlich  fer- 
nen Punkten:  1)  die  kubische  Hyperbel,  2)  die  kubisch -hyperbolische 
Parabel,  3)  die  kub.  Parabel,  4)  die  kub,  Ellipse.    246.  Übungsaufgaben. 

in.  Der  Durchschnitt  einer  Umdrehungsfläche  mit  einem 
Kegel  oder  einem  Cylinder. 

a)  Der  Kegel  und  die  koncentrische  Kugek 264 

247.  Durchschnitt  einer  ümdrehungsfläche  mit  einem  Kegel,  dessen 
Spitze  auf  der  Axe  der  ersteren  Fläche  liegt.  Beispiel  einer  Kugel  mit 
einem  koncentrischen  Kegel.  248.  Tangente,  höchste  und  tiefste  Punkte. 
249.  Die  zwei  Doppelpunkte  des  Aufrisses.  260.  Abwickelung  des  Kegels, 
Tangente,  Krümmungskreise  der  Verwandelten  der  Leitlinie  des  Kegels. 

b)  Die  sphärischen  Kegelschnitte. 268 

261.  Ein  solcher  ist  der  Ort  eines  Punktes  einer  Kugel,  für  welchen 
die  Summe  oder  Differenz  seiner  Abstände  nach  größten  Kreisen  von  zwei 
Punkten  der  Kugel  unveränderlich  ist.  Brennpunkte,  Axen.  262.  Er  ist 
zugleich  Ellipse  und  Hyperbel.  253.  Er  wird  aus  dem  Kugelmittelpnnkte 
durch  einen  Kegel  zweiten  Grades  projicirt.  Umkehrung.  254.  Die  Tan- 
gente halbirt  den  Winkel  der  LeitstraJilen.  255.  Durch  jeden  Punkt  der 
Kugel  gehen  zwei  sphärische  Kegelschnitte  mit  denselben  vier  Brennpunkten. 
256.  Die  Schaar  der  konfokalen  sphärischen  Kegelschnitte.  257.  Zwei 
gerade  Fokalliuien  eines  Kegels  zweiten  Grades.  Jede  auf  einer  Fokal- 
linie senkrechte  Ebene  schneidet  den  Kegel  in  einem  Kegelschnitte,  dessen 
einer  Brennpunkt  in  der  Fokallinie  liegt. 

c)  Die  stereographische  Projektion 273 

258.  Begriff.  1)  Bei  derselben  bilden  zwei  Linien  auf  der  Kugel  den- 
selben Winkel  wie  ihre  Projektionen.  2)  Die  Projektion  eines  Kreises  k 
der  Kugel  ist  wieder  ein  Kreis,  dessen  Mittelpunkt  die  Projektion  der 
Spitze  des  der  Kugel  nach  k  umschriebenen  Kegels  ist. 

d)  Die  allgemeine  Au^be 273 

269.  Die  Schnittlinie  einer  Umdrehungsfläche  mit  einem  beliebigen 
Kegel.    260.  Ausgezeichnete  Punkte.    261.  Übungsaufgabe. 

IV.  Der  Durchschnitt  zweier  Umdrehungsflächen  unter 

einander 275 

262.  Schnitt  von  koaxialen  Flächen.  Schnitt  zweier  Umdrehungs- 
flächen, deren  Axen  sich  treffen.  263.  Sind  beide  Flächen  zweiten  Grades, 
so  ist  die  Projektion  der  Schnittkurve  auf  die  Ebene  beider  Axen  ein 
Kegelschnitt,  und  zwar  bei  EUipsoiden  eine  Parabel,  wenn  die  Axen  par- 
allel sind,  andernfalls  eine  Hyperbel  oder  Ellipse,  je  nachdem  beide  Flächen 
gleichartig  oder  ungleichartig  sind  (verlängert,  abgeplattet).  264.  Die 
Doppelpunkte  der  ersten  Projektion  der  Schnittkurve.  265.  Die  Schnitt- 
punkte zweier  Ellipsen  zu  bestimmen,  deren  Axenlinien  paarweise  in  ein- 
Wiener, Lehrbuch  der  daratellenden  Geometrie.   IL  b 


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XVin  InhaltsverzeichDifl. 

Seite 

ander  liegen,  1)  analytisch,  2)  geometrisch,  3)  geometrisch  in  allgemeiner 
Form  als  Schnittpunkte  zweier  koncentrischen  Ellipsen.  266.  Die  Tangente 
der  Schnittkurve  der  beiden  ümdrehungsflächen  mittelst  der  Normalebenen. 
Krümmungshalbmesser  in  den  Scheiteln.  267.  Übungsaufgaben.  268.  Die 
Schnittlinie  zweier  Umdrehungsellipsoide  zu  konstruiren,  deren  Umdrehungs- 
axen  sich  nicht  schneiden;  mittelst  Hilfsebenen,  deren  Schnitte  mit  beiden 
Flächen  sich  als  Kreise  projiciren.  269.  Tangente  der  Schnittkurve,  Dop- 
pelpunkte der  Projektion  der  Schnittlinie.  270.  Übungsaufgabe  für  be- 
liebige Umorehungsflächen. 

V.  Der  Durchschnitt  zweier  Flächen  zweiten  Grades 

unter  einander 285 

271.  Auflösung  mittelst  eines  festen  Kegelschnittes  und  wechselnden 
Kreisen  oder  Geraden.  272.  Schnittlinie  eines  Ellipsoides  mit  einem  ellipti- 
schen Paraboloide.  273.  Die  Tangente.  Die  scheinbaren  Doppelpunkte. 
274.  Übungsaufgaben.  275.  Die  als  Schnittlinie  zweier  Flächen  zweiten 
Grades  gebildete  Raumkurve  vierter  Ordnung  kann  zerfallen  1)  in  zwei 
Kegelschnitte,  2)  in  eine  Gerade  und  eine  Baumkurve  dritter  Ordnung,  3)  in 
zwei  Gerade  und  einen  Kegelschnitt,  4)  in  vier  Gerade.  276.  Haben  zwei 
Regelflächen  zweiten  Grades  eine  Gerade  gemein,  so  ist  der  Rest  der 
Schnittkurve  eine  Raumkurve  dritter  Ordnung.  1)  Dieselbe  wird  durch  drei 
projektive  Ebenenbüschel  erzeugt;  2)  sie  wird  von  den  Erzeugenden  der 
einen  Schaar  der  Regelfläche  zweiten  Grades,  auf  welcher  sie  liegt,  in 
einem,  von  denen  der  andern  in  zwei  Punkten  geschnitten;  3)  sie  wird  aus 
jedem  ihrer  Punkte  durch  einen  Kegel  zweiten  Grades  projicirt;  4)  die 
Sekanten  und  die  durch  die  Kurve  gehenden  Regelflächen  zweiten  Grades ; 
5)  zwei  Kurven  dritter  Ordnung  auf  derselben  Regelfläche  zweiten  Grades 
schneiden  sich  in  vier  oder  in  fünf  Punkten;  6)  imaginäre  Schnittpunkte 
zweier  solchen  Kurven.  277.  Durch  die  Schnittlinie  zweier  Flächen  zwei- 
ten Grades  können  vier  Kegel  zweiten  Grades  gelegt  werden.  Besonderer 
Fall  für  koaxiale  Flächen.  278.  Die  Spitze  eines  doppelt  projicirenden 
Kegels  der  Schnittkurve  hat  eine  gemeinschaftliche  Polarebene  zu  beiden  . 
Flächen  und  umgekehrt.  Zwei  Flächen  zweiten  Grades  besitzen  im  allge- 
meinen ein  gemeinschaftliches  Polartetraeder;  seine  Ecken  sind  die  Mittel- 
punkte jener  vier  Kegel;  seine  Flächen  enthalten  Äste  der  Doppelkurve 
der  Abwickelbaren  der  Schnittkurve.  279.  Hilfssatz:  Ein  geschlossener 
Linienzng  ist  paar  oder  unpaar,  je  nachdem  er  von  einer  und  dann  von 
jeder  Ebene  in  einer  geraden  oder  ungeraden  Anzahl  von  Punkten  geschnit- 
ten wird.  280.  Die  Fälle  in  Bezug  auf  das  gemeinschaftliche  PolartetFaeder 
zweier  Flächen  zweiten  Grades  und  jener  vier  Kegel  A.  Die  vier  Ecken 
sind  reell.  1)  Die  vier  Kegel  sind  reell;  die  Schnittkurve  besteht  aus  zwei 
paaren  Asten;  2)  zwei  Kegel  sind  reell;  die  Schnittkurve  ist  imaginär. 
281.  B.  Zwei  Ecken  sind  reell,  zwei  Kegel  reell,  zwei  imaginär;  die 
Schnittkurve  besteht  aus  einem  paaren  Aste.  282.  C.  4)  Die  vier  Ecken 
und  die  vier  Kegel  sind  imaginär;  die  Flächen  zweiten  Grades  sind  Regel- 
flächen; die  Schnittkurve  besteht  aus  zwei  geschlossenen  unpaaren  Ästen. 

283.  Die  Tangenten  und  Schmiegungsebenen  der  Schnittkurve  in  ihren 
Schnittpunkten  mit  den  Flächen  des  gemeinschaftlichen   Polart etraed  er s. 

284.  Darstellung  der  Schnittlinie  zweier  Flächen  zweiten  Grades,  wenn 
sie  aus  zwei  paaren  Ästen  besteht;  Tangente,  Krümmungshalbmesser  im 
Scheitel ;  285.  wenn  sie  aus  einem  Aste  besteht ;  die  scheinbaren  Doppelpunkte ; 
286.  wenn  sie  aus  zwei  unpaaren  Ästen  besteht.  287.  Asymptoten.  288. 
Die  Doppelkurve  der  Abwickelbaren  der  Schnittlinie  zweier  Flächen  zwei- 
ten Grades  besteht  aus  vier  ebenen  Ästen.  Konstruktion  eines  Astes  aus 
dem  Kegelschnitte  (Grundkurve),  welcher  dem  einen  der  vier  Kegel  angehört. 


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Inhaltsverzeichnifi.  XIX 

Seite 

und  aus  zwei  Geraden,  welche  einem  der  drei  anderen  Kegel  angehören. 
1.  Fall.  Beide  Gerade  schneiden  den  Kegelschnitt  reell.  Die  Doppelkorre 
berQhrt  die  Grondkarve  reell  in  vier  Punkten.  Jede  der  drei  Ecken  des 
Polartetraeders  ist  Doppel-  und  Wendepunkt  der  Doppelkurve.  Der  Ast 
ist  von  der  vierten,  die  ganze  Doppelkurve  von  der  sechszehnten  Ordnung. 
289.  Die  Tangente  der  Doppelkurve,  die  Asymptoten.  290.  Die  Krüm- 
mungshalbmesser der  Doppel-  und  der  Grundkurve  in  einem  Punkte  gegen- 
seitiger Berührung  verhalten  sich  wie  —1:3.  291.  2.  Fall.  Beide  Gerade 
schneiden  die  Grundkurve  imaginär  (wobei  die  Schnittkurve  der  Kegel 
reell  oder  imaginär  sein  kann).  292.  3.  Fall.  Die  eine  Gerade  schneidet 
die  Grundkurve  reell,  die  andere  imaginär.  Vier  Asymptoten,  ihre  Kon- 
struktion durch  Fehlerkurven. 

VI.  Die  Imaginärprojektion  der  Schnittlinie  zweier  Flächen 

zweiten  Grades 3t7 

293.  Die  Schnittlinie  k  zweier  Flächen  zweiten  Grades  hat  zu  ihrer 
Imaginärprojektion  aus  einem  Eckpunkte  des  gemeinschaftlichen  Polar- 
tetraeders beider  Flächen  die  Schnittlinie  l  der  Imaginärprojektionen  bei- 
der Flächen,  k  und  Z  werden  durch  denselben  Kegel  bezw.  reell  und  ima- 
ginär projicirt;  sie  haben  in  jedem  ihrer  Berührungspunkte  gleiche  Krüm- 
mungshalbmesser. 294.  Die  imaginäre  Schnittlinie  k  zweier  Flächen  zweiten 
Grades  durch  einen  reellen  Kegel  zweiten  Grades  (doppelt)  zii  projiciren 
und  die  (reelle)  Imaginärprojektion  l  von  k  zu  bilden.  296.  Von  der  reel- 
len Schnittlinie  I  zweier  Flächen  zweiten  Grades  die  Imaginärprojektion  tn 
aus  einem  Punkte  zu  bilden,  aus  welchem  I  nur  durch  einen  Teil  des 
Kegels  reell  projicirt  wird.    296.  Übungsaufgaben. 

YII.  Bestimmung  einer  Fläche  zweiten  Grades  durch  neun 
Punkte.  Büschel  und  Schaai^en  von  Flächen  zweiten  Grades.  321 
297.  Hilfssätze  über  die  Projektivität  zwischen  involutorischen  und  ein- 
fachen Gebilden  (ein-zweideutig  verwandte  Gebilde).  1)  Begriff.  Eine  in- 
volutorische  PunlAreihe  eines  Kegelschnittes  heißt  projektiv  mit  dem 
Strahlenbüschel,  von  welchem  jeder  Strahl  durch  zwei  zugeordnete  Punkte 
geht  2)  Die  Involution  der  Elementenpaare  ist  projektiv  mit  dem  Gebilde 
der  einfachen  Elemente^  deren  jedes  von  einem  festen  Elemente  durch  die 
zwei  Elemente  eines  Paares  harmonisch  getrennt  ist.  3)  Die  projektive 
Beziehung  eines  involutorischen  zu  einem  einfachen  Gebilde  ist  durch  fünf 
Paare  einfacher  entsprechender  Elemente  bestimmt.  4)  Zwei  solche,  d.  i. 
auch  ein-zweideutige,  Gebilde  auf  demselben  Träger  besitzen  drei  Doppel- 
elemente. 5)  Alle  einfachen  und  alle  involutorischen  Punktreihen,  welche 
ein  Kegelschnittbüschel  auf  Geraden  einschneidet,  sind  unter  einander  pro- 
jektiv. 6)  Alle  Kegelschnitte,  welche  durch  die  zwei  Punkte  je  eines 
Paares  einer  geraden  involutorischen  Punktreibe  und  durch  drei  feste  Punkte 
gelegt  werden,  gehen  auch  durch  einen  vierten  festen  Punkt  und  bilden 
ein  Kegelschnittbüschel.  7)  Alle  Kegelschnitte, .  welche  durch  die  vier 
Punkte  je  zweier  entsprechendeh  Paare  von  zwei  Perspektiven  Punktinvo- 
lutionen von  Geraden  und  durch  einen  festen  Punkt  gehen,  bilden  ein 
Kegelschnittbüschel.  8)  Das  Büschel  der  Kegelschnitte,  welche  durch  die 
sechs  Punkte  dreier  entsprechenden  Paare  von  drei  Perspektiven  Punkt- 
involutionen  von  Geraden  gehen.  298.  1)  Durch  acht  Punkte  des  Raumes 
geht  eine  einzige  Raumkurve  vierter  Ordnung,  und  durch  diese  können 
unendlich  viele  Flächen  zweiten  Grades  gelegt  werden.  2)  Durch  neun 
beliebige  Punkte  des  Raumes  geht  eine  einzige  Fläche  zweiten  Grades. 
Jene  Kurve  und  diese  Fläche  zu  konstruiren.  299.  Das  Büschel  der  Flä- 
chen zweiten  Grades ,  welches  durch  dieselbe  Raumkurve  vierter  Ordnung 

b» 


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XX  Inhalteverzeichnis. 

Seite 

geht.  Die  vier  Kegel  zweiten  Grade8,  welche  darin  enthalten  sind.  Eine 
Gerade  schneidet  das  Büschel  in  einer  Involution  von  Punktepaaren  oder 
in  einer  damit  projektiven  einfachen  Pnnktreihe.  Durch  einen  gegebenen 
Punkt  die  Fläche  des  Flächenbüschels  zu  legen.  Die  polaren  Eigenschaften 
des  Büschels.  300.  Die  Fläche  vierter  Klasse,  welche  die  gemeinschaft- 
lichen Berührungsebenen  zweier  Flächen  zweiten  Grades  einhüllt.  Die 
Schaar  von  Flächen  zweiten  Grades. 

Vn.  Abschnitt. 

Die  Beleuohtang  der  Fl&ohen  zweiten  Grades.     .    .    .  832 

301.  Die  Lichtgleichen  einer  Fläche  zweiten  Grades  werden  aus  deren 
Mittelpunkte  durch  Lichtgleichenkegel  vom  zweiten  Grade  projicirt  xmd 
sind  daher  Kurven  von  der  vierten  Ordnung.  Das  Büschel  der  Lichtgleichen- 
kegel ist  kollinear  mit  dem  Büschel  der  Normalkegel.  302.  Die  Nnllebene, 
die  Axe  des  Büschels  der  Lichtgleichenkegel  und  die  drei  Axenlinien  der  Fläche 
zweiten  Grades  bestimmen  das  Büschel  der  Lichtgleichenkegel.  Dieses 
Büschel  für  die  verschiedenen  Flächen  zweiten  Grades.  303.  Die  Licht- 
gleichen des  elliptischen  Paraboloides;  ihr  Grundriß  ist  ein  Kegelschnitt- 
büschel. Seine  Bestimmung  aus  dem  des  Umdrehungsparaboloides.  304. 
Die  Lichtgleichen  des  Ellipsoides.  Bestimmung  des  Büschels  der  Licht- 
gleichenkegel. 306.  Sein  Schnitt  mit  der  Fläche.  306.  Die  Tangente  einer 
Lichtgleiche.  Die  Grenzlichtgleiche.  307.  Ver&hren  mit  Vermeidung  der 
Verzeichnung  des  Kegelschnittbüschels. 

Vm.  Abschnitt 
Die  BolUinien  und  die  Schraubenlinie. 

L  Die  Rolllinien 343 

308.  Begriff.  Feste  und  wälzende  Kurve.  Tangente,  Normale.  Pol, 
Polbahn,  Polkurve.  309.  Bestimmung  des  Krümmungsmittelpunktes  der 
Rolllinie  aus  denen  der  festen  und  der  wälzenden  Kurve.  310.  Projektive 
Punktreihen  des  beschreibenden  Punktes  und  des  Krümmungsmittelpunktes 
der  Rolllinie.  Sätze.  Wendekreis.  311.  Krümmungsmittelpunkt  einer  Hüll- 
bahnkurve. 312.  Gestalt  der  Rolllinie ^  Ursprungspunkt,  Gang.  313.  Cy- 
klische  Kurve  oder  Radlinie.  Die  zwölf  Fälle.  314.  Die  gemeine  Cykloide. 
Konstruktion.  316.  Krümmnngsmittelpunkt.  Die  Evolute  der  Cykloide  ist 
eine  mit  ihr  kongruente  Cykloide.  Bogenlängen.  316.  Die  Kreisevolvente. 
317.  Die  Epicykloide.  318.  Doppelte  Entstehungs weise.  319.  Ihre  Evolute  ist 
ebenfalls  eine  Epicykloide.  320.  Rektifikation  der  Kurve.  321.  Die  Hypo- 
cykloide;  sie  kann  eine  Gerade  werden.  322.  Die  geschweifte  Cykloide. 
Krümmungsmittelpunkt.  328.  Die  besonderen  Punkte  der  Kurve.  Die 
Scheitel,  die  Wendepunkte.  324.  Die  Punkte  der  größten  Krümmung. 
325.  Die  Evolute.  326.  Die  verschlungene  Cykloide.  Ihre  Evolute.  Ihre 
Doppelpunkte.  327.  Die  geschweifte  Kreisevolvente.  Krümmungsmittel- 
punkt.  328.  Ihre  Scheitel,  Wendepunkte,  Punkte  der  größten  Krümmung. 
829.  Die  Schnittpunkte  der  Evolute  mit  dem  festen  Kreise.  Andere  Ent- 
stehungsweise der  geschweiften  und  der  verschlungenen  Evolvente.  830.  Die 
verschlungene  Kreisevolvente.  831.  Die  Archimedische  Spirale.  332.  Ihre 
Tangente  und  Evolute.  Ihre  Doppelpunkte.  833.  Die  Sinus-  oder  Cosinus- 
linie. Ihre  Evolute.  Geometrische  Herleitung  der  analytischen  Fortnel  für 
den  Krümmungshalbmesser  einer  Kurve. 

IL  Die  Schraubenlinie 365 

334.  Die  Schraubenlinie  ist  die  geodätische  Linie  des  Cylinders.  Neigung 
der  Schraubenlinie,  ihre  Tangente  und  Subtangente.    Die  Spuren  der  Tan- 


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Inhaltayerzeichnis.  XXI 

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f^enten  in  einer  Normalebene  bilden  die  Evolvente  des  NormalschnitteB  des 
Cylinderfi.  835.  Die  Schraubenlinie  auf  geschlossenem  Cylinder,  Schran- 
bengang,  Ganghöbe.  Die  Schranbenlinie  auf  dem  ümdrehungscylinder  ist 
in  sich  selbst  verschiebbar.  Schraubenbewegung.  836.  Die  Schraubenlinie 
eines  Umdrehungscylinders  mit  einer  auf  Pj  senkrechten  Axe  darzustellen. 
337.  Ihre  zweite  Projektion  ist  eine  Sinusliuie.  338.  An  eine  gegebene 
Schraubenlinie  parallel  einer  gegebenen  Ebene  eine  Tangente  zu  legen. 
339.  Krümmungshalbmesser  der  Schraubenlinie.  840.  Der  Ort  der  Krüm- 
mungsmittelpunkte einer  Schraubenlinie  ist  wieder  eine  Schraubenlinie. 
341.  Die  schiefe  Projektion  oder  der  Parallelschatten  einer  Schraubenlinie 
auf  eine  Normalebene  der  Schraubenaxe  ist  eine  gemeine,  geschweifte  oder 
verschlungene  Cykloide.  342.  Die  Krümmungshalbmesser  dieser  Kurven, 
sowie  ihrer  affinen  Kurven,  in  ihren  Scheiteln. 

IX.  Abschnitt. 

Die  abwiokelbajren  Flftchen  (zweiter  Teil)^   die  gemeinsohaft- 
liohen  Berührungsebenen  mehrerer  Flächen,    die  topographi- 
sche,  die  ITmhüllungsfläohe;  Beleuchtung  solcher  M&chen. 

I.  Die  abwickelbare  Schraubenfläche 373 

343.  Begriff  als  Abwickelbare  einer  Schraubenlinie.  344.  Schrauben- 
bewegnng;  allgemeine  Schraubenfläche,  SchraubenkOrper.  Ein  Punkt  einer 
beweglichen  Schranbentangente  beschreibt  bei  deren  Hingleiten  auf  der  Schrau- 
benlinie ebenfalls  eine  Schraubenlinie,  bei  deren  Hinrollen  eine  Kreisevolvente. 
Doppellinien  der  Fläche.  Berührungsebene.  346.  Die  Schnittlinie  der  ab- 
wickelbaren Schraubenfläche  mit  einer  Ebene.  Tangente,  Spitzen  der  Kurve, 
Asymptoten.  Hyperbolische,  parabolische  Kurvenäste,  spiralförmige  Kurve. 
Doppelpunkte.  346.  Abwickelung  der  Schraubenfläche.  Die  Schrauben- 
linien werden  zu  koncentrischen  Kreisen,  die  Kreisevolventen  zu  Kreis- 
evolventen. 347.  Die  Verwandelte  der  Schnittkurve,  ihre  Wendepunkte. 
348.  An  eine  abwickelbare  Schraubenfläche  durch  einen  außerhalb  gegebe- 
nen Punkt  eine  Berührungsebene  zu  legen.  349.  Übungsaufgaben.  860. 
Die  Lichtgleichen  der  abwickelbaren  Schraubenfläche. 

IL    Die   gemeinschaftlichen  Berührungsebenen  mehrerer 
Flächen  und  die  abwickelbare  Umhüllungsfläche  zweier.  .  381 

361.  Die  gemeinschaftlichen  Berührungsebenen  zweier  nicht  abwickel- 
baren Flächen;  sie  werden  von  einer  abwickelbaren  Fläche  eingehüllt, 
welche  beiden  Flächen  umschrieben  ist.  Mehrere  Äste  derselben.  Ist  eine 
von  beiden  gegebenen  Flächen  abwickelbar,  so  ist  die  Anzahl  der  gemein- 
schaftlichen Berührungsebenen  im  allgemeinen  endlich.  362.  Die  gemein- 
schajftliche  Berührungsebene  an  drei  nicht  abwickelbare  Flächen.  363.  Die 
gemeinschaftlichen  Berührungsebenen  einer  abwickelbaren  und  einer  nicht 
abwickelbaren  Fläche,  364.  z.  B.  eines  Umdrehungskegels  und  einer  Kugel. 
366.  Cbungsaufgaben.  866.  Die  gemeinschaftlichen  Berührungsebenen 
dreier  Kugeln. 

•   in.  Die  Fläche  des  Schattens  und  des  Halbschattens.      .  .385 

367.  Volles  Licht,  voller  Schatten,  Halbschatten.  368.  Die  abwickel- 
baren Flächen,  deren  Leitfiächen  oder  Leitlinien  vom  zweiten  Grade  sind, 
sind  von  der  vierten  Klasse.  Sie  besitzen  vier  Kegelschnitte  als  Doppel - 
kurven.    Übungsaufgabe. 


IV.  Die  Fläche  von  gleichförmiger  Neigung.     .    .     .  387 
369.  Begriff.     Ihre  Berührungsebenen  sind  gleich  geneigt  gegen  die 
Horizontalebene.    Die  Fläche  ist  abwickelbar  mit  einem  Umdrehungskegel 


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XXII  InhalUverzeiolmiB. 

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als  Bicbtkegel.  Die  Erzeugenden  als  Normalen  der  Horizontalspnr  der 
Fläche.  Der  Umriß  der  Fläche  ist  die  Evolute  der  Horizontalspur.  Die 
Fläche  ist  eine  allgemeine  abwickelbare  Schraabenfläche ;  sie  ist  gegeben 
durch  eine  Leitlinie  oder  Leitfl&che  und  die  Größe  der  Neigung.  360.  Ist 
die  Leitlinie  oder  Leitfläche  vom  zweiten  Grade,  so  ist  die  Fläche,  von 
gleichförmiger  Neigung  von  der  vierten  £lasse.  Sie  besitzt  vier  Doppel- 
kegelschnitte.    Übungsaufgaben. 

V.  Die  topographische  Fläche 388 

361.  Sie  wird  durch  kotirte  Projektionen  dargestellt.  Die  Niveauflächen. 
Gleiche  Schichthöhen,  wenn  die  Niveauflächen  als  koncentrische  Kugeln 
oder  Ebenen  angesehen  werden.  Schichtflächen.  Horizontallinien.  Verti- 
kaler Schnitt  der  Fläche.  Berührungsebene.  Das  Gefälle.  '362.  Die  Fall- 
linien. Verlauf  der  Horizontal-  und  der  Falllinien.  Höchster  und  tiefster 
Punkt,  Sattelpnnkt.  Bodenkante.  Die  Horizontal-  und  die  Falllinie  bilden 
im  Grundriß  eine  Schaar  senkrechter  Trajektorien.  363.  Binnelinie  (Thal- 
weg) und  Rückenlinie  (Wasserscheide).  Begriffl  Sie  werden  durch  Um- 
kehruDg  des  Sinnes  des  Zunehmens  der  Höhenzahlen  in  einander  verwan- 
delt. Sie  beginnen  in  einem  Flachpunkte  einer  Horizontallinie.  Teilung 
eines  abwärts  gehenden  Bergrückens  und  Ursprung  eines  Thaies..  364.  Die 
Linie  des  größten  oder  kleinsten  Gefälles  der  Fläche  entlang  einer  Hori- 
zontallinie ist  die  Linie  der  Wendepunkte  der  Falllinien.  Die  Linie  des 
kleinsten  Gefälles  verläuft  nahe  bei  der  Rücken-  oder  Rinnelinie  auf  ihrer 
erhabenen  Seite,  in  besonderen  Fällen  in  denselben,  die  des  größten  in 
Mitten  der  Abhänge.  365.  Linien  der  größten  und  kleinsten  Horizontal- 
krümmung. 366.  Bedingtheit  der  Gestalt  der  topographischen  Fläche  durch 
geologische  und  meteorologische  Vorgänge.  Bei  Stetigkeit,  der  Vorgänge 
entstehen  stetige  Flächen.  Aus  der  Stetigkeit  folgen  geometrisch  die  Eigen- 
schaften: die  Falllinien  haben  im  allgemeinen  Wendepunkte  in  den  höch- 
sten und  tiefsten  Punkten.  In  demselben  schneiden  sich  eine  Linie  des  größ- 
ten und  eine  des  kleinsten  Gefälles  senkrecht,  und  es  gehen  im  allgemeinen 
von  einem  höchsten  Punkte  zwei  Rückenlinien  in  entgegengesetzten  Rich- 
tungen aus,  aber  keine  Rinnelinien,  und  umgekehrt  von  einem  tiefsten  Punkte. 
Ausnahme  bei  Kugelforin.  In  einem  Sattelpunkte  schneiden  sich  senkrecht 
eine  Rücken-  und  eine  Rinnelinie  unter  Halbirung  der  Winkel  der  Hori- 
zontallinien. 367.  Meteorologischer  Natur  ist  die  Eigenschaft  des  Ab-  und 
Anschwemmens.  Trennung  der  abwärts  gehenden  Rückenlinien  und  Ver- 
einigung der  Rinnelinien  im  Hochland,  umgekehrt  im  Tiefland.  368.  Grund- 
aufgaben über  die  topographische  Fläche:  1)  die  Schnittlinie  mit  einer 
Ebene;  2)  Schnittpunkt  mit  einer  Geraden;  3)  auf  die  Fläche  durch  einen 
Punkt  eine  Linie  von  gegebenem  Gefälle  zu  legen;  4)  zwischen  zwei  Punkte 
eine  Linie  von  gleichförmigem  Gefälle  zu  legen.  369.  Über  einen  geneig- 
ten Boden  einen  Damm  für  eine  steigende  Eisenbahn  mit  gleichförmiger 
Böschung  der  Seitenflächen  zu  legen. 

VI.  Die  Umhüllungsflächen 402 

370.  Entstehung  der  Umhüllungsfläche  einer  sich  bewegenden  Fläche. 
Charakteristik.  Rückkehrkante.  371.  Umhüllte  Kegel,  Cylinder  und  Kugeln. 
372.  Röhrenfläche;  ihre  Charakteristik  ist  ein  unveränderlicher  Kreis.  Die 
senkrechte  Projektion  des  Umrisses  ist  eine  Parallelkurve  zur  Projektion 
der  Leitlinie.  373.  Die  Röhrenfläche,  deren  Leitlinie  eine  Kreisevolvente 
ist.  Die  Doppelkurve.  374.  Übungsaufgabe.  376.  Die  Schraubenröhren- 
fläche,  ihre  Leitlinie  ist  eine  Schraubenlinie.  Umrisse.  Spitzen  des  schein- 
baren Umrisses.  376.  Die  Krümmungshalbmesser  in  den  Scheiteln  der 
ersten   Projektion    des    zweiten    Umrisses.      Verschiedene   Gestalten    der 


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Inhaltsyerzeiohnis.  XXIII 

8eit« 

Röbrenfläche.     377.  Obnngsaufgabe.     378.  Die  Liohtgleichen  der  Röbren- 
fläche.    ÜbaDgsaufgaben. 

X.  Abschnitt. 
Die  windsohiefen  Fläohen«. 

1.  Allgemeines 410 

379.  Ihre  Entstehungsweise  aus  Leitlinien,  Leitflächen  n.  s.  w.  380. 
Berührung  zweier  windschiefen  Flächen  entlang  einer  Erzeugenden.  381. 
Das  Berflhrungshyperboloid,  das  Normalenparaboloid.  382.  Für  eine  Er- 
zeugende ist  das  Büschel  der  durch  sie  gelegten  Ebenen  und  die  Reihe 
ihrer  Berührungspunkte  projektiv.  Die  Berührungsebene  für  einen  gegebe- 
nen Punkt  zu  konstruiren.  383.  Die  asymptotische  Ebene  und  Fläche.  384. 
Centralpunkt  und  Parameter  einer  Erzeugenden.  Striktionslinie.  386.  Ebener 
Schnitt  und  umschriebener  Kegel  einer  windschiefen  Fläche.  Die  wind- 
schiefe Fläche  von  der  n*«**  Ordnung  ist  auch  von  der  n^^  Klasse ;  sie  heißt 
vom  n^°  Grade.  386.  Vielfache  Linien.  Kante,  Kuspidalpunkt.  387.  Ana- 
lytische Sätze  über  die  Ordnung  und  Klasse  von  Linien  und  Flächen,  die 
Anzahl  ihrer  bestimmenden  und  ihrer  gemeinschaftlichen  Punkte,  die  Ord- 
nung der  Schnittlinien  von  Flächen,  das  Zerfallen  der  Linien  und  Flächen 
in  solche  von  niederer  Ordnung.  388.  Der  Grad  einer  windschiefen  Fläche 
hängt  von  der  Ordnung  ihrer  drei  Leitlinien  und  von  der  Anzahl  ihrer 
gemeinschaftlichen  Punkte  ab.    Viel&chheit  der  Leitlinien. 

IL  Das  Konoid,  seine  Schattengrenzen  und  Lichtgleichen.  420 
389.  Begriff.  Richtebene.  Kante.  Kuspidalpunkt.  390.  Das  gerade 
Kreiskonoid.  391.  Seine  Berührungsebene.  392.  Die  Lichtgleichen  einer 
windschiefen  Fläche.  393.  Die  Lichtgleichen  des  Kreiskonoides.  Das  Ver- 
fahren. 394.  Die  Eigenschattengrenze.  396.  Die  Helligkeit  in  den  Punk- 
ten der  unendlich  fernen  und  der  endlich  fernen  Leitgeraden.  396.  Be- 
stimmung der  Lichtgleichenpunkte  auf  den  Erzeugenden  mittelst  eines 
wechselnden  Tangentialbüschels  auf  Grundlage  eines  gemeinschaftlichen 
Stärkemaßstabes.  397.  Die  Gestalten  der  Lichtgleichen.  Die  Typuslicht- 
gleichen sind  Kanten.  398.  Die  Schlagschatten  der  Fläche  auf  Pj ,  P,  und 
ins  Innere  der  Fläche,  ihre  Tangenten.  399.  Das  schiefe  Kreiskonoid, 
seine  Kanten  und  Kuspidalpunkte.  400.  Seine  Striktionslinie.  401.  Seine 
ebenen  Schnitte,  deren  Tangenten.  Eine  Schaar  von  Ellipsen  liegt  in  den 
Ebenen  eines  Büschels,  dessen  Axe  durch  die  Schnittpunkte  der  Leitgeraden 
mit  der  Ebene  des  Leitkreises  geht.    402.  Übungsaufgaben. 

in.  Die  WClbfläche  des  Eingangs  in  einen  runden  Turm.    .  436 
403.  Begriff.     Ihr  Schnitt  mit  einem  Ringe.      404.  Die  Tangente   der 
Schnittlinie.    406.  Eine  Projektion  der  Schnittlinie  ist  eine  Archimedische 
Spirale. 

VI.  Die  gerade  Normalenfläche  einer  Fläche  zweiten  Grades.  4.S8 
406.  Die  Normalenfläche  wird  durch  die  Normalen  einer  Leitfläche 
entlang  einer  Leitlinie  gebildet.  407.  Die  gerade  Normalenfläche  einer 
Fläche  zweiten  Grades.  408.  Sie  hat  einen  Kegelschnitt  k  und  zwei  mit 
den  Axen  des  A;  parallele  Gerade,  welche  die  senkrecht  zur  Ebene  des  k 
durch  dessen  Mittelpunkt  gelegte  Gerade  schneiden ,  zu  Leitlinien.  Sie  ist 
vom  vierten  Grade.  Vier  Kanten  und  Kuspidalpunkte.  k  als  Ellipse,  Para- 
bel, Hyperbel.  409.  Die  mit  der  Ebene  von  k  parallelen  Ebenen  schneiden 
die  Fläche  in  Kegelschnitten.     Der  Richtkegel   ist  vom   zweiten  Grade. 


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XXIV  Inhaltayerzeichnifl. 

Seite 

Der  Normalkegelschnitt.  410.  ümkebrung:  Eine  Fläche  mit  den  in  Nr.  408 
bezeichneten  Leitlinien  ist  eine  Normalenfläche.  Konstruktion  ihres  Nor- 
malkegelschiiittes.  411.  Die  Be^hmngsebenen  der  Fläche.  412.  Die 
Asymptoten-  und  die  Centralebene  für  eine  Erzeugende.  Die  Striktions- 
linie ist  die  Berührnngslinie  des  aus  der  Spitze  des  Leitkegels  der  Fl3,che 
umschriebenen  Kegels.  •413.  Der  erste  Umriß  der  Fläche  hat  die  Evolute 
eines  Kegelschnittes  zur  ersten  und  eine  Neilsche  Parabel  zur  zweiten  Pro- 
jektion. 414.  Der  scheinbare  Umriß  der  Fläche  bei  ihrer  Parallelprojektion 
ist  ein  Kegelschnitt,  wenn  die  Projicirenden  senkrecht  auf  der  Flächenaxe 
stehen.  415.  Untersuchung  der  besonderen  Gestalt  dieses  Umrißkegel- 
schnittes. 

y.  Die  Eegelfläche  dritten  Grades  und  die  Baumkurve 
vierter  Ordnung  zweiter  Art. 

'  a)  Die  Regelfläche  dritten  Grades 447 

416.  Die  Leitlinien  sind  zwei  Gerade  d,  e  und  ein  Kegelschnitt  k, 
wobei  d  den  k  schneidet.  Durch  jeden  Punkt  von  d  und  e  gehen  bezw. 
zwei  und  eine  Erzeugende,  in  jeder  durch  d  und  e  gehenden  Ebene  liegen 
bezw.  eine  und  zwei  Erzeugende.  417.  Erzeugung  der  Fläche  durch  zwei 
ein-zweideutige  Ebenenbüschel.  418.  Erzeugung  durch  die  Verbindungs- 
linien entsprechender  Punkte  1)  zweier  projektiven  Punktreihen  auf  einem 
Kegelschnitte  k  und  einer  im  allgemeinen  den  k  nicht  schneidenden  Ge- 
raden e;  2)  einer  involutorischen  Punktreihe  auf  einem  Kegelschnitte  k  und 
einer  damit  projektiven  einfachen  Ponktreihe  auf  einer  den  k  schneidenden 
Geraden  d.  419.  Andere  Entstehungsweisen  mittelst  Kurven  dritter  Ord- 
nung. 420.  Die  Cayleysche  Fläche  mittelst  zweier  projektiven  nicht  Per- 
spektiven Pnnktreihen  auf  einem  Kegelschnitte  k  und  auf  einer  den  k 
schneidenden  Geraden  e,  Kuspidalpnnki  Fall  des  einschaligen  Hyper- 
boloides. 421.  Jede  Regelfläche  dritten  Grades  entsteht  auf  die  vorher  be- 
trachtete Weise.  422.  Darstellung  der  Regelfläche  dritten  Grades  mittelst 
zweier  parallelen  Spurebenen,  von  denen  die  Ebene  des  Leitkegelschnittes 
die  eine  ist.  Die  zweite  Spur  ist  eine  Linie  dritter  Ordnung.  Der  Umriß. 
428.  Zwei  ein-zweideutige  Strahlenbüschel  erzengen  eine  ebene  Linie  dritter 
Ordnung.  Bei  perspektiver  Lage  der  Büschel  zerfällt  diese  Linie  in  eine 
Gerade  und  einen  Kegelschnitt.  424.  Konstruktion  der  Linie  dritter  Ord- 
nung aus  zwei  ein -zweideutigen  Strahlenbüscheln.  426.  Bestimmung  ihrer 
Tangente  in  einem  allgemeinen  Punkte.  1)  Verfahren  aus  der  Betrachtung 
der  Linie  als  ebener  Schnitt  einer  Fläche  dritten  Grades.  2)  Verfahren 
der  ähnlichen  Figur.    426.  Die  Asymptoten. 

b)  Die  Raumkurve  vierter  Ordnung  zweiter  Art 458 

427.  Jede  Raumkurve  vierter  Ordnung  k*  kann  als  teilweiser  Schnitt 
einer  Fläche  zweiter  Ordnung  F*  mit  einer  Fläche  dritter  Ordnung  F^  er- 
halten werden.  Sie  ist  von  der  ersten  Art  k^*,  wenn  der  Restschnitt 
auch  ein  ebener  Schnitt  einer  Fläche  zweiter  Ordnung  sein  kann,  von  der 
zweiten  Art  k^*^  wenn  der  Restschnitt  aus  zwei  nicht  in  einer  Ebene  liegen- 
den Geraden  oder  aus  der  Doppelgeraden  der  F^  besteht.  Durch  eine  k^* 
kann  man  unendlich  viele  F'  legen,  durch  eine  k^*  nur  jene  eine.  428. 
Unterschiede  der  ki*  und  k^*.  Eine  k^*  wird  durch  jede  Erzeugende  der 
einen  Schaar  der  durch  sie  gehenden  Regelfläche  F'  in  einem,  durch  jede 
der  anderen  Schaar  in  drei  Punkten  getroffen;  eine  k^*  hat  weder  einen 
Doppel-  noch  einen  Rückkehrpunkt  u.  s.  w.  429.  Darstellung  der  Raum- 
kurve ÄJj*  als  Schnitt  zweier  Regelflächen  F'  und  F*,  wenn  ihre  vier  un- 
endlich fernen  Punkte   zusammenfallen.     Die  F^  and  die  Tangente  und 


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Inhaltsyerzeichms.  XXV 

Seite 
Asymptote  ihrer  Spar.  480.  Der  Bichtkegel  der  F',  seine  Spnr  und  deren 
Tangente.  431.  Der  Bichtkegel  derF*;  seine  Spur,  ein  Kegelschnitt,  maß 
die  Spur  der  F',  eine  Kurve  dritter  Ordnung,  vierpunktig  beröhren.'  An- 
näherungsanflösung  für  einen  allgemeinen  Berührungspunkt.  Strenge  Auf- 
lösung für  Scheitel  der  beiden  Kurven.  432.  Die  Schnittkarve  k^*  der  F^ 
und  F'.  433.  Ihre  Tangente  in  einem  allgemeinen  und  in  den  besonderen 
Punkten. 

VI.  Das  Cylindroid 471 

434.  Begriff.  Es  ist  vom  vierten  Grade.  Seine  Darstellung.  435.  Ebene 
Schnitte  des  Cylindroids  und  des  Grundcylinders  in  kongruenten  oder  in 
flächengleichen  Kurven.  Tangente  der  Schnittkurve.  436.  Die  Striktions- 
linie und  ihre  Tangente.    Kanten,  Kuspidalpunkte.    437.  Übungsaufgabe. 

VII.  Die  Wölbfläche  des  schrägen  Durchgangs.  .  .  .  475 
438.  Begriff.  Darstellung  der  zwei  Fälle.  Sie  ist  von  der  vierten  Ord- 
nung. 439.  Kanten ,  Kuspidalpunkte.  Der  Bichtkegel  ist  vom  zweiten  Grade. 
440.  Berührungsebene.  441.  Der  scheinbare  erste  Qmriß  ist  eine  üyperbeL 
Nützliche  und  parasitische  Stücke  derselben.  442.  Die  zweite  Projektion 
des  ersten  Umrisses  ist  ein  Kegelschnitt,  der  wahre  erste  Umriß  eine  Kurve 
vierter  Ordnung.  443.  Die  Schnittlinien  mit  Ebenen,  die  parallel  zu  den 
Ebenen  der  Leitkreise  liegen,  sind  verallgemeinerte  Konchoiden.  ihre 
Normale.  Ihre  verschiedenen  Gestalten.  444.  Ihre  Krümmungshalbmesser 
in  den  Scheiteln.  445.  Eine  Ebene,  welche  zwei  Erzeugende  der  Fläche 
enthält,  schneidet  diese  außerdem  in  einem  Kegelschnitte;  geometrischer 
Nachweis.    Übungsaufgabe. 

Vm.  Die  windschiefe  Schraubenfläche, 
a)  Die  Schraubenfläche  und  die  Begelschraubenfläche  im  allgemeinen.  486 
446.  Die  Schraubenfläche   im  allgemeinen.     Meridiankurve,   Normal- 
kurve.   Geschlossen,  offen.   Kehlschraubenlinie.    447.  Die  Begelschrauben- 
fläche;   ihre  Arten.      448.   Allgemeine   Begelschraubenfläche,    Bichtkegel, 
asymptotische  Ebene  und  Fläche.   Die  Striktionslinie  ist  die  Kehlschrauben- 
linie.    449.  Der  Normalschnitt  ist  die  gemeine,  oder  die  verschlungene, 
oder  die  geschweifte  Kreisevolvente.   Krümmungsmittelpunkte.    Die  Kurve    ' 
entsteht  auch  nach  Art  der  gemeinen  Kreisevolvente  ^  wenn  man  den  Bogen 
mit  einem  unveränderlichen  Faktor  multiplicirt.     450.  Die  Meridiankurve. 
Unterscheidung  der  Fälle ,  in  welchen  sie  sich  ihren  Asymptoten  von  innen 
oder  von  außen  anschmiegt.    451.  Die  Krümmungshalbmesser  der  Normal- 
nnd  der  Meridiankurve  in  ihren  Scheiteln. 

b)  Die  geschlossene  schiefe  Schraubenfläche 492 

452.  Darstellung  des  einen  Astes  eines  Ganges.  Der  Normalschnitt  ist 
eine  Archimedische  Spirale;  ihr  Parameter.  Die  Fußpunkte  der  aus  dem 
Mittelpunkte  des  Grundkreises  einer  Kreisevolvente  auf  deren  Tangenten 
gefällten  Senkrechten  bilden  eine  Archimedische  Spirale.  453.  Die  Berüh- 
rungsebene der  Fläche.  454.  Der  Umriß  u  der  Projektion  auf  eine  zur 
Axe  parallele  Ebene  (P,)  und  dessen  Projektion  u  auf  eine  zur  Axe  senk- 
rechte Ebene  (P,).  Verschiedene  Konstruktionen  von  u';  ihre  Tangente, 
ihr  Krümmungskreis  im  Scheitel.  Der  zweite  scheinbare  Umriß  u";  sein 
Krümmungshalbmesser  im  Scheitel.    Übungsaufgabe. 

c)  Die  Schattengrenze  der  geschlossenen  schiefen  Schraabenfläche.      497 
456.  Die  Eigen-  und  Schlagschattengrenze  einer  beliebigen  Schranben- 
fläche  bei  Parallelbeleuchtung.   Satz  von  Burmester.    Der  Ausgangspunkt. 


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XXVI  Inhaltsverzeichnis. 

Seite 

456.  Ist  der  Normalschnitt  symmetrisch  in  Bezug  auf  eine  Meridianebene, 
so  ist  die  erste  Projektion  s'  der  Eigenschattengrenze  8  symmetrisch  zu 
der  auf  der  Lichtmeridianebene  senkrechten  Meridianebene.  Halbirungs- 
kreis  von  Sehnen  der  8\  457.  Die  Normale  der  $'.  458.  Konstruktion 
der  Eigenschattengrenze  8,  Konstruktion  von  8\  459.  s'  ist  von  der  vier- 
ten Ordnung.  Tangenten  der  8*  in  ihrem  Doppelpunkte;  ihre  Asymptoten ; 
ihre  Tangente  in  einem  allgemeinen  Punkte;  ihre  Krümmungshalbmesser 
im  Scheitel  und  im  Doppelpunkte.  460.  Drei  verschiedene  Gestalten  der  »'. 
2.  Fall  (Strophoide).  461.  3.  Fall.  462.  Eigenschattengrenze  «"  im  Auf- 
riß; seine  Asymptoten.    Schlagschatten  auf  F^  und  auf  die  Fläche  selbst. 

d)  Die  Lichtgleichen  der  Schraubenfläche,  insbesondere  der 

geschlossenen  schiefen 508 

463.  Die  Lichtgleichen  einer  beliebigen  Schraubenfläche.  Konstruktion 
der  Grundrißlichtgleichen  durch  Drehung  eines  Hilfskegels  mit  seinen  Licht- 
gleichen. 464.  Die  Lichtgleichen  auf  der  geschlossenen  schiefen  Schrau- 
benfläche. Grundrißlichtgleichen.  465.  Ihre  Tangenten  im  Axenpunkte; 
ihre  Asymptoten  sind  Tangenten  des  Parameterkreises;  sie  sind,  wie  bei 
allen  Begelflächen,  die  Lichtgleichen  der  asymptotischen  Fläche.  466.  Die 
Maximalkurve  ist  der  Umriß  für  eine  Projektionsrichtung,  die  auf  dem 
Lichtstrahlenmeridiane  senkrecht  steht.  Die  Verzeichnung  der  Grundriß- 
lichtgleichen. 467.  Die  Aufrißlichtgleichen.  Punkte  der  Axe,  Asymptoten. 
Schlagschatten  auf  die  Fläche.  / 

e)  Die  geschlossene  gerade  Schraubenfläche,  ihre  Schattengrenzen 

und  Lichtgleichen 514 

'  468.  Der  Grundriß  der  Eigenschafctengrenze  dieser  Fläche  (der  Wendel- 
fläche) ist  ein  durch  den  Axenpunkt  gehender  Kreis,  sie  selbst  eine  Schrau- 
benlinie. Ihr  Schlagschatten  ist  die  gemeine  Cykloide.  469.  Die  Grnnd- 
rißlichtgleichen.  Die  Maximalkurve  ist  eine  Erzeugende.  Ihre  Verzeich- 
nung; ihre  Tangenten  in  den  Punkten  der  Axe.  470.  Ihre  Krümmungs- 
kreise  in  den  Scheiteln  bestimmt  durch  das  Verfahren  der  ähnlichen  Figur. 
Übungsaufgabe.  471.  Die  Aufrißlichtgleichen;  ihre  Tangenten  in  denAxen- 
punkten.    Die  positiven  und  negativen  Kurven.     472.  Übungsaufgabe. 

f)  Die  Schraube,  ihre  Schattengrenzen  und  Lichtgleichen.     .     .  520 
473.  Begriff,  Kern,  Gewinde,  Schraubenmutter.    474.  Die  Schraube  mit 
scharfem  Gewinde,  ihre  Darstellung,  ihre  Schattengrenzen  und  Lichtgleichen. 
475.  Das  Gleiche  für  die  Schraube  mit  flachem  Gewinde.   Übungsaufgabe. 

XL  Abschnitt 
Die  Krümmung  der  Fläöhen. 

I.  Die  Krümmung  der  Normal-  und  der  schiefen  Schnitte.  526 
476.  Die  Krümmung  aller  Kurven  einer  stetigen  Fläche  in  einem  Punkte 
P  ist  durch  die  Krümmung  dreier  dieser  Kurven  bestimmt,  von  denen 
keine  zwei  eine  gemeinschaftliche  Tangente  in  P  besitzen.  477.  Für  einen 
rPunkt  einer  stetigen  Fläche  gibt  es  eine  dreifach  unendliche  Schaar  von 
Schmiegungsflächen  zweiten  Grades.  478.  Die  Indikatrix.  479.  Satz  von 
Euler  über  dieSa-ümmung  der  Normalschnitte  in  einem  Punkte.  Die  Linien 
größter  und  kleinster  Krümmung  stehen  auf  einander  senkrecht.  480. 
Erörterung  der  Eulerschen  Formel.  Die  Haupttangenten.  481.  Konstruk- 
tion von  Mannheim  für  die  Krümmungshalbmesser  der  Normalschnitte. 
482.  Andere  Konstruktion  für  dieselben.  483.  Ersetzen  der  dabei  vorkom- 
menden Kegelschnitte  durch  Kreise.     Das  Büschel  der  Normalebenen  ist 


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InhaltsyerzeichniB.  XXVII 

Seite 
involatorisch  und  projektiv  mit  der  Reihe  der  zagehörigen  Erümmungs- 
mittelpankte.  484.  Darstellang  der  Erummungshalbmesser  der  Normal- 
schnitte  durch  die  Eolersche  Earve;  deren  Tangenten,  insb.  Asymptoten  (zwei 
nene  Parabelkonstruktionen).  485.  Die  Erummungshalbmesser  der  Enler- 
schen  Eurven  in  ihren  Scheiteln.  486.  Bestimmung  der  Erummung  der 
schiefen  Schnitte  einer  Fläche  durch  den  Sat2  von  Meusnier.  487.  Die  Fläche 
der  Erümmungskreise  der  Normalschnitte  einer  Fläche  in  einem  Punkte 
ist  ähnlich  mit  der  Fläche  der  Erümmungsmittelpunkte  aller  Eurven  der 
Fläche  in  diesem  Punkte,  und  von  doppelter  Größe.  488.  Die  Normalen 
einer  Fläche  in  ihren  Punkten ,  welche  einem  Punkte  P  derselben  benach- 
bart sind,  schneiden  zwei  Gerade,  die  Deviationsaxen ,  welche  die  Nor- 
male der  Fläche  in  P  senkrecht  treffen;  sie  schneiden  auch  diese  Normale 
selbst,  wenn  ihre  Fußpunkte  in  den  Hauptschnitten  liegen.  489.  Die 
Erümmungslinien  und  asymptotischen  Linien.  490.  Die  Erümmungslinien 
der  Umdrehungs-  und  der  abwickelbaren  Flächen.  Einer  windschiefen 
Fläche  schmiegt  sich  entlang  einer  Erzeugenden  ein  Hyperboloid  an,  das 
durch  die  zweiten  Haupttangenten  gebildet  wird. 

II.  Die  Tangenten  der  Schnittkurve  zweier  sich  berühren- 
den Flächen   in  deren  Berührungspunkte,    einem  Doppel- 
punkte der  Eurve 545 

491.  Ebener  Schnitt  einer  Fläche  in  einem  hyperbolischen  Punkte. 
492.  Schnitt  zweier  sich  berührenden  Flächen.  Bestimmung  der  Tangenten 
im  Doppelpunkte  mittelst  der  Indikatrixen  beider  Flächen.  493.  Anwen- 
dung auf  den  Schnitt  eines  Ringes  mit  einem  geraden  Eonoide. 

III.  Die  Evolute  einer  ebenen  Schnittkurve  einer  Fläche 

und  ihrer  Projektionen 647 

494.  Verfahren  zu  ihrer  Eonstruktion.  495.  Die  Evolute  der  ebenen 
Schnittkurve  eines  Ringes  und  des  Grund-  und  Aufrisses  derselben.  496. 
Die  Evolute  der  wahren  Gestalt  der  Schnittkurve.  Bestimmung  durch  die 
sich  anschmiegenden  Flächen  zweiten  Grades.  497.  Die  Punkte  in  der 
Mittelebene  der  Fläche.  498.  Die  Punkte  in  der  Symmetrielinie  der  Eurve. 
499.  Die  Punkte  auf  den  äußersten  Parallelkreisen.  500.  Die  Wendepunkte 
der  Eurve.  501.  Die  Spitzen  der  Evolute.  502.  Die  Evoluten  der  beiden 
Projektionen  der  Eurve. 

IV.  Die  konjugirten  Tangenten  einer  Fläche  und  die 

Tangenten  ihrer  Eigenschattengrenze 554 

503.  Satz  von  Dupin:  Ist  einer  Fläche  eine  abwickelbare  Fläche  um- 
schrieben, so  sind  in  einem  Punkte  der  Berührungskurve  deren  Tangente 
und  die  Erzeugende  der  abwickelbaren  Fläche  konjugirte  Tangenten  der 
gegebenen  Fläche.  504.  Anwendung  auf  die  Eigen-  und  Schlagschatten- 
grenze  einer  Umdrehungsfläche  (Ring)  bei  Oentralbeleuchtung.  Verfahren. 
505.  Die  sich  anschmiegende  Fläche  zweiten  Grades.  Tangente  im  Grundriß 
und  im  Aufriß.  Punkte  des  Hauptmeridians  und  des  Eehlkreises.  506.  Be- 
stimmung der  Grenzpunkte  der  Eigenschattengrenze  mittelst  einer  Fehler- 
kurve. 507.  Die  Erümmungskreise  in  den  Scheiteln  der  Eigenschatten- 
grenze, ihrer  ersten  Projektion  imd  der  Schlagschattengrenze.  508.  Fall 
der  Parallelbeleuchtung.  509.  Die  Tangente  der  Berührungskurve  des  einer 
windschiefen  Fläche  umschriebenen  Eegels.  510.  Die  zweite  Haupttangente 
in  einem  Punkte  einer  geschlossenen  windschiefen  Schraubenfläche  wird 
durch  den  Parameter  der  Archimedischen  Spirale  des  Normalsohnittea  be- 
stimmt.   511.  Die  Eigenschattengrenze  dieser  Fläche  bei  Oentralbeleuchtung. 


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XXVm  Inhaltayerzeidmis. 


Seite 


612.  Ihre  Tangenten,   insbesondere  Asymptoten.     513.  Fall  der  Parallel- 
beleachtung.    514.  Fall  der  Wendelfläohe. 

V.  Die  Erümmnngslinien  der  Flächen  zweiten  Grades. 

a)  Die  Erümmongslinien  als  Schnittlinien  konfokaler  Flächen. .  .  564 
515.  Satz  von  Bertrand:  An  den  Endpunkten  zweier  von  einem  Punkte 
ausgehenden,  auf  einander  senkrechten  gleichen  Linienelemente  auf  einer 
Fläche  bilden  die  Flächennormalen  gleiche  (Ablenkungs-) Winkel  mit  den 
durch  diese  Elemente  gehenden  Normalebenen  im  Ausgangspunkte.  516. 
Hilfssatz.  Schneiden  sich  die  Flächen  dreier  Flächenschaaren  rechtwinklig, 
80  sind  die  Schnittlinien  Erümmungslinien  der  Flächen.  517.  Zwei  auf 
einander  senkrechte  in  Bezug  auf  alle  Kurven  einer  Schaar  konfokaler 
Kegelschnitte  konjugirte  Gerade  werden  durch  zwei  koujugirte  Brennpunkte 
harmonisch  getrennt.  518.  Die  Brennpunkte  der  Hauptschnitte  einer  Fläche 
zweiten  Grades.  Der  Fokalkegelschnitt  jeder  der  vier  Hauptebenen  (dar- 
unter der  unendlich  fernen)  hat  die  Brennpunkte  des  Hauptschnittes  in 
dieser  Ebene  zu  seinen  Brennpunkten  und  je  zwei  Brennpunkte  der  anderen 
Hauptschnitte  zu  Scheiteln.  519.  Konfokale  Flächen  zweiten  Grades.  Vier 
Schaaren:  Reelle  EUipsoide,  einschalige,  zweischalige  Hyperboloide,  ima- 
ginäre Flächen.  520.  In  Bezug  auf  alle  konfokalen  Flächen  zweiten  Grades 
ist  einer  Ebene  eine  und  dieselbe  auf  ihr  senkrechte  Gerade  konjugirt. 
521.  Konfokale  Flächen  zweiten  Grades  von  verschiedener  Art  schneiden 
sich  durchweg  rechtwinklig,  522.  also  in  Krümmungslinien;  diese  sind 
daher  von  der  vierten  Ordnung,  und  ihre  Projektionen  auf  eine  Haupt- 
ebene aus  deren  Pole  sind  Kegelschnitte.  528.  Die  Projektionen  der 
Krümmungslinien  auf  die  drei  Hauptebenen.  Das  Ellipsoid.  524.  Die 
Krümmungslinie  gehend  durch  einen  bestimmten  Punkt  eines  Hanptschuit- 
tes.  525.  Bestimmung  der  Axen  der  Projektionen  der  Krümmungslinien. 
526.  Die  Krümmungslinien  des  einschaligen  Hyperboloides.  527.  Die  Axen 
ihrer  Projektionen, 

b)  Die  Projektionen  der  Krümmungslinien  auf  die  Hauptebenen 

als  Kurven  einer  Kegelschnittschaar 578 

528.  Bei  einer  Schaar  konfokaler  Flächen  zweiten  Grades  ist  jede  Tan- 
gente eines  Fokalkegelschnittes  Axe  eines  rechtwinklig  involutorischen 
EbenenbüBchels  konjugirter  Ebenen.  529.  Sätze  über  die  aus  einem  Punkte 
eines  Fokalkegelschnittes  umschriebenen  Kegel,  über  die  Schnitte  der 
Normalebenen  eines  Fokalkegelschnittes,  über  Nabelpunkte.  580.  Die  Pro- 
jektionen zweier  konjugirten  Tangenten  einer  Fliehe  zweiten  Grades  in 
einem  Nabelpunkte  auf  eine  Hauptebene  aus  deren  Pole  sind  auch  konjugirt 
in  Bezug  auf  die  gleichartigen  Projektionen  der  Krümmungslinien  der 
Fläche.  531.  Die  Projektionen  der  Krümmungslinien  einer  Fläche  zweiten 
Grades  F  auf  eine  Hauptebene  aus  deren  Pole  bilden  eine  Kegelschnitt- 
schaar; die  Seiten  ihres  umschriebenen  Vierseits  sind  die  Projektionen  von 
Berührungsebenen  der  F  in  Nabelpunkten  derselben,  und  die  Eckpunkte 
des  Vierseits  sind  die  Projektionen  je  zweier  anderen  Nabelpunkte  der  F. 
532.  Die  Darstellung  dieser  Kegelscbnittschaaren  mittelst  der  Hilfskegel- 
schnitte  1)  bei  dem  EUipsoide.  588.  Bestimmung  der  Hilfskegelschnitte  in 
der  Hauptebene  mit  den  reellen  Nabelpunkten ,  5d4.  in  den  beiden  anderen 
Hauptebenen.  535.  Die  Projektionen  der  Krümmungslinien.  536.  2)  Bei 
dem  einschaligen  Hyperboloide.  Die  reellen  und  ideellen  Projektionen  je 
zweier  imaginären  Nabelpunkte  in  die  vier  Hauptebenen.  537.  Die  Hilfs- 
kegelschnitte in  den  vier  Hauptebenen.  538.  Verzeichnung  der  reellen 
Projektionen  der  Krümmungslinien.    539.  Die  Projektionen  der  Krümmungs- 


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InhaltsTerzeichiiis.  XXIX 

Seite 

linien  auf  eine  Hauptebene,  insbesondere  auf  die  der  reellen  Nabelpunkte, 
nach  dem  Verfahren  der  Netze,  zugleich  für  das  Ellipsoid  und  für  zwei 
zweischalige  Hyperboloide.  540.  Erweiterte  Bedeutung  dieser  Netze. 
Übungsaufgabe. 

XIL  Abschnitt. 

AzonometriBohe  und  sohiefe  Projektion,   Perspektive  und 
Beliefperspektive  krummer  Fl&oben. 

I.Axonometrie 593 

541.  Ein  aufrechter  Ereiscylinder  und  seine  Schatten  bei  Parallel- 
beleuchtung. 542—544.  Ein  auf  die  Grundrißebene  aufgelegter  und  ein 
auf  diesen  aufgelehnter  gerader  Ereiscylinder  und  ihre  Schatten  bei  Parallel- 
beleuchtung. Satz:  Die  Excentricität  der  (elliptischen)  senkrechten  Pro- 
jektion eines  Kreises  ist  gleich  der  Projektion  einer  Strecke,  welche  gleich 
dem  Kreishalbmesser  ist  und  senkrecht  auf  der  Ebene  des  Kreises  steht. 
545.  Die  Kugel  und  ihre  Schatten  bei  Parallelbeleuchtung. 

n.  Schiefe  Projektion 600 

546.  Ein  aufrechter  Kreiscylinder  und  seine  Schatten  bei  Parallel- 
beleuchtung. 547,  548.  Die  Kugel  und  ihre  Schatten  bei  Parallelbeleuch- 
tung. Den  Umriß  der  axonometrischen  oder  schiefen  Projektion  einer 
Fläche  zweiten  Grades  aus  den  Abbildungen  dreier  konjugirten  Halbdurch- 
messer derselben  zu  bestimmen. 

III.  Perspektive 603 

549.  Die  Perspektive  eines  Kreises  mittelst  des  umschriebenen  regel- 
mäßigen Achtecks  desselben  zu  bestimmen;  1)  der  Kreis  liegt  in  einer  zur 
Bildfläche  senkrechten  Ebene;  550.  2)  in  einer  beliebigen  Ebene.  551. 
Die  Axen  der  Perspektive  eines  E[reises  zu  bestimmen,  1)  wenn  von  der 
Perspektive  ein  Durchmesser  mit  seinen  Endtangenten  und  ein  Punkt  ge- 
geben sind;  552.  2)  wenn  die  Lage  des  Kreises  gegeben  ist.  553,  554.  Die 
Perspektive  eines  auf  die  Grundrißebene  aufgestellten  geraden  Kreis- 
cylinders  mit  seinen  Schatten  bei  Parallelbeleuchtung.  555.  Die  Axen 
eines  durch  fflnf  Punkte  oder  fünf  Tangenten  gegebenen  Kegelschnittes  zu 
ermitteln.  556,  557.  Die  Perspektive  eines  auf  die  Grundrißebene  aufge- 
legten geraden  Kreiscylinders  und  seiner  Schatten  bei  Paralletbeleuchtung. 

558.  Die  Perspektive  eines  Kreuzgewölbes  in  gerader  Stellung  gegen  die 
BUdfläche  und  der  darin  auftretenden  Schatten  bei  Parallelbelenchtung. 

559.  Die  Tangenten  der  Kurven.  560.  Der  Schatten  auf  die  Pfeiler.  561.  Die 
Schatten  auf  die  Wölbungsflächen  und  auf  den  Boden.  562.  Die  Deckplatte 
und  ihre  Schatten.  563.  Bestimmung  der  Axen  der  bei  der  Perspektive 
des  Kreuzgewölbes  vorkommenden  Ellipsen.  564.  Perspektive  eines  schief 
gegen  die  Bildfläche  stehenden  Brückengewölbes,  sowie  der  Schatten,  der 
Reflexbeleuchtung  und  des  Spiegelbildes.  565.  Die  Spiegelung.  566.  Der 
Schatten  in  die  Wölbungsfläche  und  auf  die  Wasserfläche.  567.  Die  Reflex- 
beleuchtung. 568.  Die  Nichtsichtbarkeit  des  Schattens  auf  vollkommenen 
Spiegeln  und  ihre  Sichtbarkeit  auf  unvollkommenen.  569.  Perspektive 
einer  Kugel  und  ihres  Schattens  bei  Parallelbeleuchtung.  570.  Der  Umriß 
der  Perspektive  einer  Kugel  ist  eine  Ellipse,  Parabel  oder  Hyperbel.  Seine 
Darstellung  durch  einen  Kreis.  571.  Eigen-  und  Schlagschatten  auf  die 
Bodenfläcbe.  Die  Axen  der  Ellipsen.  572.  Den  Umriß  der  Perspektive 
einer  Fläche  zweiten  Grades  aus  den  Abbildungen  dreier  konjugirten  Durch- 
messer der  Fläche  zu  bestimmen.  573.  Die  Perspektive  einer  Umdrehungs- 
fläche  (eines   Fußgestelles)   samt    den   dabei   auftretenden    Schatten    bei 


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XXX  InhaltsyerzeichmB. 

Seite 

Parallelbeleuchtung.  Der  umriß.  674.  Die  ausgezeichneten  Punkte  des 
Umrisses.  575.  Darf  das  unsymmetrische  Bild  durch  ein  symmetrisches 
ersetzt  werden?  576.  Die  Eigenschattengrenze.  577.  Ihre  ausgezeichneten 
Punkte.  578.  Die  Schlagschatten.  579.  Die  Perspektive  des  menschlichen 
Blickes.  Die  scheinbare  Stellung  des  abgebildeten  (gegenständes  gegen  das 
Auge  ist  unveränderlich^  die  gegen  den  Raum  kann  sich  Sindem.  580. 
Die  Ereisform  der  Iris  eines  Portraits  ist  ein  ungenaues  und  nicht  aus- 
schlaggebendes Kennzeichen  der  Richtung  des  Blickes  nach  dem  Beschauer. 
581.  Die  scheinbare  Richtung  des  Blickes  hängt  von  der  Stellung  der  Seh- 
richtung des  Portraits  gegen  seine  Gesichtsnormale  und  der  Gesichtsnor- 
male gegen  den  Beschauer  ab.  582.  Änderung  der  scheinbaren  Sehrichtung 
eines  Portraits  bei  ungeänderter  Abbildung  der  Augen  durch  Änderung 
der  Abbildung  des  üntergesichts.  Entstehende,  oft  unmerkliche,  aber 
jedenfalls  für  das  Urteil  nicht  maßgebende  Fehler. 

IV.  Reliefperspektive 645 

583.  Reliefperspektive  der  Flächen  zweiten  Grades,  584.  der  Kugel 
Konstruktion.  585.  Die  beiden  Schaaren  der  Kreisschnitte.  586.  Kon- 
struktion der  Azen  eines  Kegelschnittes  aus  dem  Kreise,  dessen  Central- 
projektion  er  ist  Das  Relief  der  Kugel  kann  ein  Ellipsoid,  ein  elliptisches 
Paraboloid  oder  ein  zweischaliges  Hyperboloid  sein. 


Die  im  Texte  in  Klammem  angegebenen  Zahlen  bedeuten  die  Nummern 
des  Buches;  eine  zugefügte  I  bedeutet  den  ersten  Band. 


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fTJ'HIVBESITT) 

I.  Abschnitt. 

Die  krommen  Flächen  im  allgemeinen;  der  Cy linder,  der  Kegel, 

die  Umdrehnngsfläche  und  ihre  Berflhningsebenen;  die  abwiclLel- 

bare  Fläche  im  allgemeinen. 

L  Die  krummen  Flächen  im  allgemeinen,  ihre  Berühnmgsebenen 

und  Normalen. 

1.  Eine-  Fläche  ist  die  Gesamtheit  der  Lagen  einer  sich  hewegenden 
Linie  y  deren  Gestalt  dabei  unveränderlich  oder  veränderlich  sein  Jcann. 
Die  Fläche  heißt  gesetzmäßigy  wenn  die  sich  bewegende  Linie,  ihre 
Bewegung  und  ihre  Gestaltsänderung  gesetzmäßig  sind;  sie  heißt 
stetig,  wenn  dieselben  stetig  sind.  Man  findet^  daß  in  diesen  Fällen 
auch  jedes  aus  der  Fläche  nach  einem  bestimmten  und  stetigen 
Gesetze  abgeleitete  Baumgebilde,  z.  B.  ihr  Schnitt  mit  einer  anderen 
gesetzmäßigen,  stetigen  Fläche  gesetzmäßig  und  im  allgemeinen 
stetig  ist.  Die  in  einzelnen  Fällen  auftretenden  Unstetigkeiten,  wie 
das  Abbrechen  von  Linien,  verschwinden,  wenn  man  verallgemei- 
nerte Anschauungen  einführt,  z.  B.  auch  die  reellen  Geraden  beachtet, 
welche  zwei  konjugirte  imaginäre  Punkte  verbinden.  Wir  werden 
Beispiele  hiervon  kennen  lernen. 

Bei  der  Entstehung  der  Flächen  heißt  die  sich  bewegende  Linie 
die  Erzeugende^  ist  das  Bewegungsgesetz  durch  Punkte  oder  Linien 
gegeben,  durch  welche  die  Erzeugende  stets  gehen,  oder  durch 
Flächen,  welche  sie  stets  berühren  soll,  ao  heißen  diese  bezw.  Leit- 
punkte,  Leitlinien,  Leitflächen. 

Eine  Fläche  kann  auch  als  Einhüllende  aller  Lagen  einer  sich 
bewegenden  anderen  Fläche,  z.  B.  einer  Ebene  oder  einer  Kugel 
angesehen  werden,  und  wir  werden  auch  diese  Entstehungsweise 
näher  kennen  lernen. 

2*  Eine  Fläche  toird  dargestellt  durch  die  gemäß  der  Begriffs- 
angäbe  ausgeführte  Darstellung  einer  Anzahl  von  Erzeugenden,  ge- 
wöhnlich durch  die  beiden  Projektionen  derselben.  Dadurch  ist  man 
auch  instand  gesetzt,  zu  einer  gegebenen  Projektion  eines  Punktes  der 
Fläche  die  andere  Projektion  zu  finden]  man  legt  durch  die  gegebene 

Wiener,  Lehrbuch  der  darstellenden  Geometrie,    n.  1 


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I,  2 — 4.    Die  kminmen  Flächen  im  allgemeinen. 


C, 


M- 


J>«i 


Projektion  des  Punktes  die  gleichnamige  Projektion  einer  Erzeu- 
genden^ bestimmt  ein-  oder  mehrdeutig  deren  andere  Projektion  und 
auf  ihr  die  andere  Projektion  des  Punktes. 

Die  Verzeichnung  der  Spuren  einer  Fläche,  d.  h.  ihrer  Schnitte 
mit  den  Projektionsebenen,  die  Verzeichnung  der  umrisse,  sowie  die 
Unterscheidung  der  sichtbaren  und  verdeckten  Teile  der  Erzeugenden 
tragen  wesentlich  zur  Veranschaulichung  der  Fläche  bei. 

3.  Die  Flächen  gruppirt  man  nach  ihren  Erzeugenden  in 
Familien.  Da  man  aber  jede  Fläche  durch  verschiedene  Erzeugende 
entstehen  lassen  kann,  so  gehört  eine  Fläche  in  verschiedene  Fa- 
milien, und  diese  schließen  sich  gegenseitig  nicht  aus. 

Lernen  wir  zunächst  die  häufigst  vorkommenden  Familien 
kennen: 

Eine  cylindriscke  Fläche  oder  ein  Cylinder  entsteht  durch  eine  Ge- 
rade, die  Erzeugende  e,  welche  parallel  mit  einer  gegebenen  Richtlinie  auf 
Fig.  1.  einer  gegebenen  Kurve,  der  Leitlinie,  hingleitet.   In  Figur  1  ist  ABCD 

die  Leitlinie  k,  ÄÄ^,  BB^  . . .  sind  Erzeugende 
^^S'  ^'  e.    Der  Cylinder  kann  auch  durch  eine  krumme 

Linie  als  Erzeugende  entstehen,  welche  bei  un- 
veränderlicher Gestalt  und  paralleler  Lage  (der 
Sehnen  und  Tangenten)  gegen  ihre  Anfangs- 
lage sich  so  bewegt,  daß  ein  Punkt  derselben 
eine  Gerade,  die  Leitlinie,  beschreibt  Dann  sind 
ABCD,  ÄiB^C^Di  Lagen  der  Erzeugenden, 
ÄÄi  ist  die  Leitlinie.    Die  entstehende  Fläche 
ist  wirklich  ein  Cylinder;  denn  jeder  Punkt  B 
'ß        ""         der  Erzeugenden  beschreibt  eine  der  Leitlinie 
parallele  Gerade  BB^,  weil  A^B^  #  AB,  da- 
her ABB^Ai  ^^  Parallelogramm  ist. 
Fig. ».         4.    Eine  KegdfläcJie,  konische  Fläche  oder  ein  Kegel  entsteht  durch 
eine  Gerade,  die  Erzeugende  e,  welche  stets  durch  einen  festen  Punkt  S, 
die  Spitze  oder  den  Mittelpunkt  der  Fläche,  geht  und  auf  einer  gege- 
benen Kurve  ABCD  ,  .  .  =  k,  der  Leitlinie,  hingleitet.   Die  Spitze  teilt 
alle  Erzeugenden  ASA^,  .  .  .,  die  unbegrenzt  sind,  und  dadurch  den 
Kegel  selbst,  in  zwei  Teile;  dieselben  heißen  die  Äste  des  Kegels. 
Der  Kegel  kann  auch  durch   eine  krumme  Linie  ABCD  als 
Erzeugende  entstehen,   welche   sich   so  bewegt,  daß  ein  Punkt  A 
derselben  eine  Gerade  AS,  die  Leitlinie,  beschreibt,  daß  alle  Lagen 
der  Erzeugenden  ähnlich   und  parallel   mit   der  Anfangslage   sind, 
und  daß  endlich  jedes  Maß  der  Erzeugenden  in  unveränderlichem 
Verhältnisse  zum  Abstände  SA  des  Punktes  A  von  einem  festen 


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1,4 — 5.    Die  krammen  Fl&chen;  ihre  Berührongsebenen  nnd  Normalen.    3 


Fig.  2. 


Pankte  8  der  Leitlinie  steht    Es  muß  also,  wenn  A^B^Cy^D^  eine 
zweite  Lage  der  Erzengenden  ist,  gelten 
A^B^  _  AyC^  _        _  SAi 
AB    "■   AC  SA' 

Die  so  entstehende  Fläche  ist  wirk- 
lich ein  Kegel,  da  jeder  Punkt  B 
der  Eräugenden  eine  durch  S  ge- 
hende Gerade  beschreibt,  welche 
nach  der  ersten  Entstehung  die  Er- 
zeugende ist  Denn  wegen  AB\\AiBi 
und  wegen  der  obigen  Verhältnisse 
liegen  die  Dreiecke  J.J5iS  xmdAiBiS 
in  einer  Ebene  und  sind  ähnlich; 
daher  sind  die  Winkel  bei  S  gleich 
und  SB^B  ist  eine  Gerade.  Gelangt 
A  nach  S,  so  werden  die  Maße 
der  Erzeugenden  Null,  sie  selbst 
wird  zu  einem  Punkte.  Geht  A  auf  die  andere  Seite  von  8  nach 
A^j  so  ändert  SA  seinen  Sinn;  daher  muß  auch  AB  seinen  Sinn 
ändern  und  B^  liegt  auf  der  Geraden  BS  auf  der  anderen  Seite 
von  ASA^. 

Man  kann  offenbar  den  Cylinder  als 
die  besondere  Art  des  Kegels  betrachten,  bei 
welcher  die  Spitze  ins  Unendliche  ge- 
rQckt  ist 

Ist  die  Leitlinie  eines  Kegels  eine  Ge- 
rade, so  wird  derselbe  zu  einer  Ebene,  so 
daß  man  die  Ebene  als  einen  Kegel  und 
auch  als  einen  Cylinder  ansehen  kann. 

6.  Eine  Umdrehungsfläehe  entsteht  durch 
Umdrehung  einer  Linie  als  Eriseugenden  um 
eine  Gerade  als  Umdrehungsaxe.  Jeder  Punkt 
B  der  Erzeugenden  AB  CD  beschreibt  da- 
bei einen  Kreis,  den  sog.  Parallelkreis, 
dessei»  Ebene  senkrecht  auf  der  Axe  a 
steht  und  dessen  Mittelpunkt  Aq  auf  der 
Axe  liegt 

Jede  durch  die  Axe  gelegte  Ebene 
heißt  Meridianebene,  ihr  Schnitt  mit  der 
Fläche  Meridianlinie  oder  Meridian-^  solche  sind  A^  B^  CD^  und 
AfB^CD^.  Alle  Meridiane  sind  unter  einander  Jcongruenty  weil  bei  der 
Drehung  der  Ebene  des  einen  um  die  Axe  in  die  Ebene  des  andern 


Fig.  3. 


Fig.  8. 


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4  I,  5—6.    Die  krummen  Flächen  im  allgemeinen. 

die  in  seiner  Ebene  liegenden  Halbmesser  der  Parallelkreise  mit 
denen  des  andern  zur  Deckung  gelangen.  Die  Axe  teilt  jeden  Meri- 
dian in  zwei  symmetrische  Hälften.  Je  nachdem  man  diesen  halben 
oder  den  ganzen  Meridian  als  Erzeugende  nimmt,  ist  zur  Erzeugung 
der  Fläche  eine  ganze  oder  eine  halbe  Umdrehung  notwendig. 

Jede  Linie  auf  der  ümdrehungsfläche,  welche  alle  Parallel- 
kreise schneidet,  kann  als  Erzeugende  dienen-,  so  ABCD.  Von 
einer  Lage  der  Erzeugenden  zu  einer  andern  beschreiben  alle  Punkte 
Bogen,  welche  zu  gleichen  Centriwinkeln  gehören,  weil  der  Winkel- 
abstand der  Meridianebenen  zweier  verschiedenen  Punkte  der  Er- 
zeugenden wegen  deren  starrer  Verbindung  mit  der  Axe  unverän- 
derlich ist.  —  Zwei  Lagen  einer  Erzeugenden  können  sich  daher 
nicht  schneiden,  außer  in  einem  Punkte  der  Axe,  wie  in  (7,  oder 
wenn  die  Erzeugende  einen  Parallelkreis  mehrmals  trifiPh  und  ihn 
ebenso  oft  beschreibt. 

Man  kann  auch  einen  Kreis,  den  Parallelkreis,  als  Erzeugende 
der  Fläche  annehmen;  sein  Mittelpunkt  beschreibt  die  Axe,  seine 
Ebene  bleibt  auf  ihr  senkrecht,  er  selbst  schneidet  stets  eine  ge- 
gebene Leitlinie.  Wegen  der  Übereinstimmung  dieser  Erzeugenden 
gehören  die  ümdrehungsflächen  zu  einer  Familie,  Jede  Meridian- 
ebene teilt  jeden  Parallelkreis  und  daher  die  Fläche  in  zwei  sym- 
metrische Hälften. 

Ist  die  Erzeugende  eine  mit  der  Axe  parallele  oder  eine  sie 
im  Endlichen  schneidende  Gerade,  so  entsteht  der  Umdrehungs-  oder 
gerade  Kreiscylinder ,  bezw.  der  Umdrehungs-  oder  gerade  Ereiskegel. 
Dreht  sich  ein  Kreis  um  einen  seiner  Durchmesser,  so  beschreibt 
er  die  Kugel. 
Fig.  4.  0.    Die  Tangente  t  einer  auf  einer  krummen  Fläche  liegenden 

Kurve   h    in    deren   Punkte   P  heißt 
auch  eine  Tangente  der  Fläche  in  F. 
Jede  Ehene,  welche  man  durch  die  Ge- 
rade   t  legt,    die  eine  Kurve  k  einer 
stetigen  Fläche  in  deren  Punkte  P  be- 
rührt,   schneidet   die  Fläche   in   einer 
Kurve  l,  welche  ebenfalls  von  U  in  P 
berührt  unrd.    Denn  dreht  man  diese 
Ebene  um  P  aus  ihrer  Lage  heraus,  so  daß  sie  noch  durch  den 
Punkt  Q   der  k   geht,   und  schneidet  sie  dann  die  Fläche  in  der 
(durch  P  und  Q  gehenden)  Kurve  l^,  deren  Tangente  in  P  die  t^ 
sei,  und  dreht  man  dann  die  Ebene  wieder  in  ihre  erste  Lage  zu- 
rück, wobei  Q  und  l^  in  P  und  l  einrücken,  so  sind  bei  unendlich 
kleinein   PQ  der  Winkel  der  t  mit   der  Sehne  PQ  der  k,  ferner 


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I,  6  —  7 .   Die  krummen  Flächen;  ihre  Berührungsebenen  und  Normalen.      5 

der  Sehne  PQ  der  Zj  mit  der  f^,  und  endlich  wegen  der  Stetigkeit 
der  Fläche,  der  Winkel  der  Tangente  t^  der  l^  mit  der  Tangente  der 
i  in  P  unendlich  klein,  also  ist  auch  der  Winkel  zwischen  t  und 
der  Tangente  der  Z  in  P  unendlich  klein,  d.  h.  beide  fallen  zu- 
sammen (I,  192). 

7.  Legt  man  auf  einer  Fläche  durch  einen  PunM  P  verschiedene 
Kurven,  so  liegen  die  Tangenten  derselben  in  dem  gemeinsamen  Punkte 
P  im  allgemeinen  in  ein  u/nd  derselben  Ebene,  die  da/nn  die  Beruh- 
rungS'  oder  Tangentialebene  der  Fläche  in  P  heißt. 

Seien  Ä,  Z,  m  drei  solche  Kurven,  t,  u,  v  bezw.  ihre  Tangenten  Fig. 5. 
in  P,  von  denen  keine  zwei  zusammenfallen.    Nun  ersetze  man  eine 
der  Kurven,  etwa  Ä,  durch  die  Schnitt- 
linien der  Fläche  mit  einer  durch  ihre  ,  ^^^-  ^• 
Tangente   t    gelegten   Ebene,    so    wird 
diese  nach  der   vor.  Nr.   ebenfalls  von 
^  in  P  berührt,  und  man  kann  die  neue 
Linie  Tc  als  eine  Lage  einer  Erzeugen- 
genden der  Fläche  ansehen,  indem  man 
als   Erzeugende   die  Schnittlinien  einer 
sich  stetig  bewegenden  Ebene  mit  der 
Fläche  annimmt.    Eine  benachbarte  Er- 
zeugende \  gehe  durch  die   benachbarten  Punkte  L  und  M  der  l 
bezw.  m,  so  daß  PL,  PM  und  dann  auch  LM  stets  unendlich  klein 
von  der   ersten  Ordnung   oder   0^    sind,   weil   das   Dreieck  PLM 
endliche  Winkel  besitzt.     Dagegen  sind  die  Abstände  {L  w),  {Mv) 
des  L  von  u  und  des  M  von  v  im  allgemeinen  =  0*  (I,  236  (7)), 
wenn  nicht  von  einer  noch  höheren  Ordnung,   und  daher  ist   die 
Neigung  der  Sehne  LM  gegen  die  Ebene  uv  =  [{Lu)  —  (Mv)] :  LM, 
und  im  allgemeinen  =  0^ :  0^  ==  0^,  wenn  nicht  von  noch  höherer 
Ordnung.     Ist  femer  t^  die  Tangente  der  k^  in  L,  so  ist  auch  der 
Winkel  der  LM  mit  t^  im  allgemeinen  =  0\  und  ebenso  derjenige 
von  ti  mit  t,  so  lange  t  die  Grenze  von  t^  bildet.     Dann  ist  auch 
die  Neigung  der  t  gegen  die  Ebene  uv  =  0^,  wenn  nicht  von  einer 
noch  höheren  Ordnung,  oder  es  liegt  t  in  der  Ebene  uv,  w.  z.  b.  w. 

Es  bildet  aber  t  nicht  immer  die  Grenze  t^on  t^^,  nämlich  dann 
nicht,  wenn  in  P  unendlich  viele  Tangenten  an  k  möglich  sind, 
wenn  also  P  ein  Doppelpunkt,  oder  eine  Spitze  oder  ein  isolirter 
Punkt  von  k  ist  (I,  194).  Die  k^  geht  in  diesem  Falle,  z.  B.  bei 
der  Spitze  eines  Kegels,  in  k  über,  wie  sich  eine  Hyperbel  (Äj) 
bei  Annäherung  in  ihre  Asymptoten  (k)  hereinschmiegt,  oder  wie 
eine  geschlossene  Kurve  (k^)  zu  einem  Punkte  (k  «=  P)  zusammen- 
schrumpft.    Alle  durch  P  gehenden  Gerade,  welche  in  der  Schmie- 


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6  I,  7 — 9.    Die  krummen  Flächen  im  allgemeinen. 

gungsebene  der  h  in  P  liegen,  sind  dann  Tangenten  der  k  und  der 
I  Fläche.  In  diesem  Falle  hat  t^  wegen  der  Stetigkeit  der  Fläche 
eine  jener  unendlich  vielen  Tangenten  zur  Grenze,  die  aber  im  all- 
gemeinen nicht  jene  gegebene  ^,  insbesondere  nicht  die  ausgezeich- 
nete oder  eine  der  beiden  ausgezeichneten  ist  Daher  ist  im  Falle 
des  Doppelpunktes  oder  der  Spitze  im  allgemeinen  t  nicht  die  Grenze 
von  LM,  liegt  also  mit  u  und  v  nicht  in  einer  Ebene.  —  Dieser 
Fall  kommt  bei  der  schon  erwähnten  Eegelspitze  oder  bei  Punkten 
derselben  Art  vor,  wie  solche  z.  B.  bei  Umdrehungsflächen  in  dem 
Punkte  des  nicht  rechtwinkligen  Schnittes  der  Axe  mit  der  sich 
drehenden  Erzeugenden  entstehen,  und  sodann  in  den  Punkten  eines 
Selbstschnittes  oder  einer  Doppelkurve  einer  Fläche.  Die  durch  P 
gehenden  Ebenen  schneiden  dann  die  Fläche  in  Kurven  mit  Doppel- 
punkten, oder  im  ersteren  Falle  auch  in  einem  isolirten  Punkte.  Alle 
durch  P  gehende  Gerade  sind  dann  Tangenten  der  Fläche;  alle  aus- 
gezeichnete Tangenten  jener  Doppelkurven  bilden  im  ersten  Fall  einen 
Kegel,  im  zweiten  zwei  Ebenen,  welche  ausgezeichnete  berührende 
Flächen  sind. 

In  einem  gewöhnlichen  Ptmkte  P  der  Fläche  bestimmt  man  daher 
ihre  Berührungsebene  durch  die  nicht  zusammenfallenden  Tangenten 
zweier  durch  P  gehenden  Kurven  der  Fläche  in  P. 

Die  Berührungsebene  in  P  hat  mit  der  Fläche  ein  Flächen- 
element  gemein,  welches  die  Elemente  aller  durch  P  gehenden  Kur- 
ven der  Fläche  bei  P  enthält.  Man  kann  daher  die  Fläche  als  ein 
Vielflach  mit  unendlich  vielen  Seiten  betrachten,  nämlich  als  Grenz- 
gestalt eines  der  Fläche  ein-  oder  umschriebenen  Yielflachs,  von  dessen 
Flächen  die  Großen  stets  abnehmen,  und  sich  der  Grenze  Null  nähern. 

8.  D«  senkrecht  mr  Berührungsebene  einer  Fläche  durch  deren 
Berührungspunkt  gelegte  Gerade  heißt  eine  Normale  der  Fläche,  jener 
Berührungspunkt  ihr  Fußpunkt  P.  Sie  wird  bestimmt  als  Normale 
zur  Berührungsebene  oder  als  Schnittlinie  der  Normalebenen  zweier 
durch  P  gelegten  Kurven  der  Fläche  in  P. 

9.  Der  erwähnte  Umriß  einer  Fläche  wird  für  irgend  eine 
Stelle  des  Auges,  entsprechend  wie  bei  Yielflachen,  durch  die  aus 
dem  Auge  an  die  Fläche  gezogenen  Tangenten  bestimmt,  die  man 
als  Tangenten  an  die  Schnittkurven  der  Fläche  mit  den  durch  das 
Auge  gelegten  Ebenen  erhält.  Sie  bilden  einen  aus  dem  Auge  an 
die  Fläche  gelegten  berührenden  Kegel,  die  Berührungspunkte  bil- 
den den  wahren  Umriß  und  der  Schnitt  des  Kegels  mit  der  Pro- 
jektionsebene den  scheinbaren  Umriß.  Bei  Parallelprojektion  geht 
der  Kegel  in  einen  Cylinder  über.  Ein  Punkt  der  Fläche  gehört 
dem  Umriß  an,  wenn  die  Berührungsebene  in  ihm  durch  das  Auge 


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I,  10—11.   Die  krummen  Flächen;  ihre  Berührongsebenen  und  Normalen.      7 


geht,  also  bei  senkrechter  Projektion  senkrecht  auf  der  Projektions- 
ebene steht. 

10.  Eine  Beruhrungs^ene  des  Cylinders  oder  des  Kegels  berührt 
denselben  in  jedem  Punkte  der  durch  den  Berührungspunkt  gehenden 
Erzeugenden,  d.  i.  entlang  derselben.    Legt   man  durch  den  Berüh- 
rungspunkt P  die  Erzeugende  e  oder  PP^  und  eine  Kurve  k,  so  be-  Fig.  e. 
stimmen  die  Tangenten  dieser 

Linien  in  P,  d.  i.  e  selbst  und  ^^f^-  ^• 

PT  die  Berührungsebene.  Legt 
man  nun  durch  einen  andern 
Punkt  Pj  der  e  eine  Kurve  k^ 
auf  der  Fläche,  so  soll  jene 
Berührungsebene  auch  deren 
Tangente  Pj  T^  enthalten.  Und 
wirklich,  führt  man  durch  e 
und  den  Punkt  Q  der  k  eine 
Ebene,  so  enthält  diese  auch 
die  durch  Q  gehende  Erzeu- 
gende QQ^y  welche  die  k^  in  Q^  treffe,  und  ebenso  die  Sehnen  PQ 
und  PiQi  von  k  und  \.  Läßt  man  nun  Q  nach  P  rücken,  so 
werden  zugleich  die  Bogen  PQ  und  PiQi  unendlich  klein,  daher 
auch  die  Winkel  TPQ  und  T^P^Q^.  Da  also  die  Tangente  P^T^ 
einen  unendlich  kleinen  Winkel  mit  der  Sehne  PiQi  und  daher 
auch  mit  der  schneidenden  Ebene  PP^  Qi  Q,  diese  aber  einen  un- 
endlich kleinen  mit  der  Berührungsebene  TPP^  bildet,  so  ist  auch, 
derjenige  von  P^  2\  mit  dieser  Berührungsebene  unendlich  klein,  oder 
die  Tangente  P^T^  fallt  in  diese  Berührungsebene,  w.  z.  b.  w. 

Daraus  folgt  auch,  daß  die  Spur  eines  Cylinders  oder  eines 
Kegels  von  der  Spur  der  Berührungsebene  in  der  Spur  der  Berüh- 
rungserzeugenden  berührt  wird. 

11.  Die  Berührungsebene  einer  ümdrehungsfläche  in  einempig.7. 
Punkte  P  derselben  ist  bestimmt  durch  die  Tangenten  PT  und  PS 
bezw.  des  durch  P  gehenden  Parallelkreises  und 
Meridianes.  Da  die  Tangente  PT  des  Parallel- 
kreises senkrecht  auf  dessen  Halbmesser  PM  und 
auf  der  Umdrehungsaxe  a,  also  auf  der  Ebene  Pa 
steht,  so  steht  auch  die  Berührungsebene  einer  Üm- 
drehungsfläche senkrecht  (mf  der  Meridianebene  des 
Berührungspunktes. 

Die  ParaUelkreistangenten  in  allen  Punkten  eines 
Meridians  bilden  einen  auf  dessen  Ebene  senk- 
rechten, die  Umdrehungsfläche  entlang  des  Meri- 


Fig.  7. 


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8  I,  11—12.   Die  krummen  Flachen  im  allgemeinen. 

dians  berührenden  Cylinder.  Denn  die  ümdrehungsfläche  und  der 
Cylinder  haben  in  P  die  Beröhrungsebene  TP8  gemein. 

Die  Meridiantangenten  in  allen  Punkten  eines  Parallelkreises 
PP^  schneiden  die  Axe  a  in  demselben  Punkte  Sy  weil  sie  bei  der 
Drehung  eines  Meridians  um  a  in  einander  übergehen;  sie  bilden 
einen  UmdreJmngsJcegel  mit  der  Axe  a,  der  die  Fläche  entlang  des 
Parallelkreises  berührt. 

Eine  Flächennomuüe  PN  schneidet  die  Axe;  denn  sie  liegt  in 
der  Meridianebene  des  Berührungspunktes^  da  diese  auf  PT  senk- 
recht steht.  Die  Flächennormalen  in  allen  Punkten  eines  Parallel- 
kreises PPi . . .  gehen  durch  denselben  Punkt  N  der  Axe  a  und  bil- 
den einen  Un^drehungskegel  mit  a  als  Axe. 

Eine  durch  einen  Parallelkreis  aus  der  Spitze  N  des  zugehöri- 
gen Normalenkegels  als  Mittelpunkt  gelegte  Kugel  berührt  die  Fläche 
entlang  jenes  Kreises. 

Eine  Umdrehungsfläche  ist  eine  einhüllende  Fläche  von  den  be- 
trachteten Cy lindern,  Kegeln  und  Kugeln,  weil  sie  jede  Lage  der- 
selben, und  zwar  entlang  eines  Meridians  bezw.  eines  Parallel- 
kreises, berührt. 

II..  Der  Cylinder  und  Kegel,  tind  ilire  Berührungsebenen. 

12«    Aufg.    Einen  dufth  seine  in  P^  liegende  Leitlinie  Jc^  und 
seine  Richtlinie  r  gegebenen  Cylinder  darmstellen. 
Fig.  8.         Aufl.    \  ist  zugleich  die  erste  Spur  des  Cy linders;  die   zweite 
^2  findet  man  durch  die  zweiten  Spuren  P^  der  durch  Punkte  P^ 
der  \  parallel  zu  r  gezogenen  Erzeugenden. 

Die  Umrisse  der  ersten  Projektion  sind  die  parallel  zu  r'  an  k^^ 
gezogenen  Tangenten,  die  wahren  Umrisse  die  durch  sie  dargestellten 
Erzeugenden,  wie  Ä^A^j  entlang  deren  die  Berührungsebenen  erste 
projicirende  Ebenen  sind  (10).  In  den  zweiten  Spuren  dieser  wahren 
Umrisse  sind  daher  die  Tangenten  der  k^  senkrecht  auf  der  Pro- 
jektionsaxe  x.  Die  zweiten  Umrisse  erhält  man  durch  die  auf  x 
senkrechten  Tangenten  der  \'^  die  Erzeugenden  der  Berührungs- 
punkte sind  die  zweiten  wahren  Umrisse,  wie  B^B^,  ihre  zweiten 
Projektionen  die  zweiten  scheinbaren  Umrisse,  welche  die  k^  be- 
rühren. 

Höchste  und  tiefste  Punkte  der  k^,  wie  Cg",  in  denen  die  Tan- 
genten II  X  sind,  erhält  man  durch  Erzeugende  aus  Punkten  von  \, 
in  denen  die  Tangenten  von  h^  ebenfalls  jj  x  sind,  so  aus  C^.  Denn 
die  Berührungsebenen  nach  solchen  Erzeugenden  müssen  parallel 
zu  X  sein,    k^  und  k^  sind  Parallelprojektionen  von  einander,  daher, 


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I,  12—13.  Die  krummen  Flächen;  der  Cylinder  und  Kegel. 


9 


Tor  und  nach  dem  Umlegen  der  Projektionsebenen  in  einander,  per- 
spektiv-affin  mit  x  als  Axe  und  Pi  P^"  als  Strahl.    Ist  k^  ein  Kreis, 

Fig.  8. 


80  ist  Äg  eine  Ellipse,  von  welcher  konjugirte  Durchmesser  aus 
solchen  des  Kreises  erhalten  werden,  wie  z.  B.  diejenigen  mit  den 
Endpunkten  B2  und  Cg,  und  deren  Axen  M^D^j  M^E^  nach  den- 
jenigen Punkten  D,  E  von  x  laufen,  durch  welche  der  Kreis  gebt, 
der  aus  einem  Punkte  der  x  als  Mittelpunkt  durch  die  Mittelpunkte 
-ifj  und  M^  der  hy^  bezw.  Äg  gezogen  wird  (I,  377,  1)). 

Man  bemerkt,  daß  bei  dem  Kreiscy linder  in  jeder  Projektion  die 
eine  Hälfte  der  Spur  und  der  Erzeugenden  des  Cylinders  verdeckt  ist.  • 

13.    Aufg.    An  einen  gegebenen  Cylinder  in  einem  durch  die  eine 
Projektion  gegebenen  Punkte  desselben  die  Berührungsebene  m  legen, 

Aufl.  Sei  der  Cylinder  derjenige  der  vorigen  Nr.,  P'  die  ge-  Fig.  s. 
gebene  erste  Projektion  des  Berührungspunktes,  so  legt  man  durch 
P'  die  erste  Projektion  der  Erzeugenden,  welche  die  k^  in  Pj  und 
P*  trifift,  zeichne  die  zweiten  Projektionen  der  durch  diese  Punkte 
gehenden  Erzeugenden,  deren  zweite  Spuren  Pg  und  Pg*  seien,  und 
bestimme  auf,  ihnen  die  zweiten  Projektionen  P"  und  P*"  des  Be- 
rührungspunktes.    Die   Berührungsebenen   in  jedem  dieser  Punkte 


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10 


I,  13—15.   Die  krammen  Flächen  im  allgemeinen. 


haben  zu  ersten  Spuren  bezw.  die  Tangenten  t^  und  ti*  an  k^  in 
Pi'  und  Pj*',  80  dafs  die  zweiten  Spuren  t^  und  ^*  durch  Punkte 
auf  X  und  durch  Pg",  bez.  P^*"  bestimmt  sind.  Ist  der  Punkt  auf  x 
nicht  erreichbar,  wie  bei  ^j,  so  mufs  man  noch  einen  zweiten  Punkt 
von  ^2,  etwa  vermittelst  einer  durch  P  gezogenen  Parallelen  zu  ti 
bestimmen. 

Die  Schnittlinie  s  der  beiden  Berührungsebenen  ergibt  sich  |  r. 
14.  Äufg.  Einen  dwch  die  beiden  Projektionen  seiner  Leitlinie  l 
und  seiner  Richtlinie  r  gegebenen  Cylinder  dartfusteUen  und  an  ihn 
durch  einen  außerhalb  gegebenen  Punkt  P  eine  Beriihrungsä>ene  m 
legen, 
^g.9.  Aufl.  Durch  eine  Anzahl  von  Erzeugenden  bestimme  man  die 
beiden  Spuren  ky^  und  k^  des  Cylinders;   seine  scheinbaren  umrisse 

sind  die  parallel  zu  r' 
^'    •  an  r  und  parallel  zu  r" 

an  V  gezogenen   Tan- 
genten.     Da    r'    eine 
Spitze    hat,     so     geht 
durch  diese  ein  schein- 
barer Umriß.    Die  Be- 
rührungspunkte       der 
Tangenten  werden  nach 
Ij  198  f.  gefunden,  und 
dadurch  die  Spuren  der 
wahren    Umrisse     be- 
stimmt  —   Die   durch 
P  gehende  Berührungs- 
ebene, weil  sie  eine  Er- 
zeugende enthält,  nach 
welcher  sie  berührt^  ent- 
halt auch  die  durch  P  parallel  zu  r  gezogene  Gerade,  deren  Spuren 
Pj  und  Pg  sind.    Die  aus  P/  an  \  und  die  aus  Pg"  an  k^  gezogenen 
•  Tangenten  fj,  ^j*   ^j**  bezw.  t^y  ^*,  t^*  sind  die  Spuren  der  Berüh- 
rungsebenen  und  müssen  sich  paarweise   auf  x   treffen.     Die  Be- 
rührungspunkte der  \  und  die  der  k^  müssen  paarweise  auf  einer 
Berührungserzeugenden  liegen. 

Ist  P  eine  Lichtquelle,  so  sind  die  Berührungserzeugenden  die 
Eigenschattengrenzen  und  die  ersten  und  zweiten  Spuren  der  Be- 
rührungsebenen die  Schlagschattengrenzen  auf  F^  und  Fg. 

16,  Aufg,  An  einen  Cylinder,  dessen  Richtlinie  r  und  dessen  ebene 
Leitlinie  l  gegeben  sind,  letztere  durch  die  Spuren  e^,  e^  ihrer  Ebene  £ 
und  durch  ihre  erste  Projektion  V,   sollen  parallel  m  einer  gegebenen 


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v^^ 


I,  15.    Die  krummen  Flächen;  der  Cjlinder  und  Kegel. 


11 


Geraden  g  die  Berührungsd>enen  gelegt,  und  es  sollen  seine  Umrisse 
gezeichnet  toerden,* 

Aufl,    Die  Berührungsebene  muß  mit  g  und  r,   also  mit  der  ^ig.  lo. 
Ebene  F  parallel  sein,  welche  durch  die  sich  schneidenden  g  und  r  (oder 
durch  Parallele  zu  ihnen)  bestimmt  wird,  deren  erste  Spur  f^  ist, 

Fig.  IQ. 


und  deren  zweite  mit  f^  parallel  läuft  £  und  eine  zu  F  parallele 
Ebene  schneiden  sich  in  der  Geraden  h  {h\  h"),  und  mit  dieser 
parallel  hat  man  nur  Tangenten  an  l  vermittelst  der  ersten  Pro- 
jektion zu  ziehen,  so  bestimmen  diese  durch  ihre  auf  e^  und  e^ 
liegenden  Spuren,  wie  2\  und  T^,  die  mit  /i  und  f^  parallelen  Spuren 
der  Berfihrungsebenen,  wie  ^  und  ^. 

Die  umrisse  in  der  ersten  Projektion  erhält  man  als  Tangenten 
an  V  parallel  zu  r\  diejenigen  in  der  zweiten  Projektion  nach  der  eben 
gelösten  Aufgabe,  indem  man  au  den  Cylinder  berührende  Ebenen 
parallel  zur  zweiten  projicirenden  Ebene  von  r  legi  Eine  solche 
Ebene  schneidet  die  E  nach  der  Geraden  i  und  die  parallel  zu  i' 
an  V  gezogenen  Tangenten  bestimmen  durch  ihre  Berührungspunkte, 


Ei  MTV)) 


12 


I,  15  —  16.    Die  krammen  Flächen  im  allgemeinen. 


Fig.  11 


wie  (K\K")y  die  Erzeugenden,  deren  zweite  Projektionen,  wie  ifc", 
den  zweiten  Umriß  bilden.  Die  zweite  Projektion  l"  der  l  kann 
leicht  als  affine  Figur  zu  V  gezeichnet  werden,  wobei  die  Affinitäts- 
strahlen senkrecht  zu  x  laufen  und  E^H  die  Affinitätsaxe  bildet, 
wenn  R  der  Schnittpunkt  von  K  und  V  (I,  140).  Ist  V  eine 
Ellipse,  so  ist  auch  l"  eine  solche,  und  wird  dann  leicht  durch  zwei 
konjugirte  Durchmesser,  oder  durch  die  Axen,  die  man  aus  ihnen 
bestimmt,  gezeichnet. 

16.  Aufg.  Einen  durch  seine  in  Pj  liegende  Leitlinie  \  und  seine 
Spitze  S  gegebenen  Kegel  darzustellen. 

Aufl.  Die  Leitlinie  h^  ist  zugleich  die  erste  Spt4r  des  Kegels, 
die  zweite  Jc^  findet  man  mittelst  Erzeugender  P^SP^.     Die  ersten 


Fig.  11. 


scheinbaren  Umrisse  sind  die 
aus  S'  an  k^  gezogenen  Tan- 
genten wie  S'Ai]  die  zuge- 
hörigen wahren  Umrisse  liefern 
Punkte  von  Äj,  wie  A^",  in 
denen  die  Tangenten  J_  x 
stehen.  Die  zweiten  scheinbaren 
Umrisse  werden  vermittelst  der 
an  kl  senkrecht  zu  x  gezoge- 
nen Tangenten  erhalten;  sie 
sind  die  zweiten  Projektio- 
nen der  Erzeugenden,  wie 
B"S"B^\  welche  von  den 
Berührungspunkten,  wie  JBj, 
jener  Tangenten  ausgehen,  und 
berühren  die  k^.  Die  höchsten 
und  tiefsten  Punkte  C^  und  D^ 
der  k^  erhält  man  durch  die 
zu  X  parallelen  Tangenten  an 
Äi,  und  durch  die  Erzeugen- 
den aus  deren  Berührungs- 
punkten Gl  und  Dj.  —  Man 
bemerkt,  daß  die  Erzeugenden  in  jeder  Projektion  in  der  Spitze 
ihre  Sichtbarkeit  wechseln,  ausgenommen  die  Umrisse. 

kl  und  ^2  sind  perspektiv-kollineare  Figuren  mit  S  als  Mittel- 
punkt und  mit  x  als  Axe;  die  durch  S'  parallel  zu  x  gezogene 
Gerade  r  ist  die  Gegenaxe  der  P^.  Nach  Umlegung  der  Pg  im  Pj, 
liegt  für  kl  und  Äg  der  Eollineationsmittelpunkt  S"'  auf  S'S'\ 
derart,  daß  S'S'"  =  S^S"  =  dem  ersten  Abstände  des  S  (I,  306). 
S"'  ist  nützlich  zur  Bestimmung  mancher  sonst  unsicheren  Punkte 


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I,  16—18.    Die  krummen  Flachen;  der  Cylinder  und  Kegel.  13 

der  k^.  —  Wenn  Tc^  ein  Kegelschnitt^  so  ist  auch  h^  ein  solcher; 
in  der  Figur  sind  beide  Ellipsen.  C^D^  ist  ein  Durchmesser  der 
Ic^r  M^  ihr  Mittelpunkt,  der  als  Projektion  von  dem  leicht  zu  be- 
stimmenden Punkte  Ml  der  C^  B^  zu  betrachten  ist.  Aus  der  durch 
Ml  parallel  zu  x  geführten  Sehne  der  h^  ergibt  sich  der  zu  C^D^ 
konjugirte,  mit  x  parallele  Durchmesser  der  Äj.  Die  Pole  dieser 
Sehnen  von  \  und  Tc^  liegen  bezw.  auf  der  r  der  Pj  und  auf  der 
unendlich  fernen  r"  derP^.  —  Kürzer  erhält  man  auch  so  den  zu 
Cj^Dg"  konjugirten  Durchmesser  der  ig.  Man  schneidet  die  r'  mit 
(7/ Dl'  in  üi,  zieht  aus  R^  die  beiden  Tangenten  an  üj,  so  schnei- 
den diese  auf  x  eine  Länge  EF  gleich  dem  gesuchten  konjugirten 
Durchmesser  ab.  Denn  es  projicirt  sich  auö  S  auf  P^  der  Punkt  R^ 
in  den  unendlich  fernen  Punkt  B^  von  C^'D^\  daher  die  Tangenten 
aus  Bi  2Ji  \  ia  die  Tangenten  aus  iZg  an  Jt,,  und  diese  gehen  bezw. 
durch  Ey  F  und  durch  die  Endpunkt«  des  gesuchten  Durchmessers. 

17.  Aufg.    An  einen  gegebenen  Kegel  in  einem  durch  die  eine 
Ftqjektion  gegebenen  Punkte  desselben  die  Berühmngsd)ene  zu  legen. 

Aufl.  Sei  der  Kegel  derjenige  der  vorigen  Nr.,  P'  die  gegebene  *^-  "• 
erste  Projektion  des  Berührungspunktes,  so  bestimme  man,  wie  in 
Nr.  13  für  den  Cylinder,  mittelst  der  durch  P  gehenden  Erzeugenden 
und  deren  Spuren  Pj,  P^*  auf  Äj  und  Pg,  P,*  auf  Äj,  die  zuge- 
hörigen zweiten  Projektionen  P",  P*".  Die  Berührungsebenen  in 
beiden  Punkten  haben  dann  zu  ersten  Spuren  die  Tangenten  fj,  tj* 
an  hl  in  P,,  Pj*  deren  Schnittpunkte  mit  x  und  Pj,  P,*  die  zweiten 
Spuren  t^,  t^*  bestimmen,  welche  Jc^  berühren  müssen.  Ist  ein 
Schnittpunkt  auf  x  unzugänglich,  wie  der  auf  t^,  so  liefert  eine 
parallel  zu  ^  durch  S  (oder  P,  oder  einem  andern  Punkt  der  SP) 
gezogene  Gerade  einen  zweiten  Punkt  der  ^.  Die  Schnittlinie  s 
beider  Ebenen  muß  durch  S  gehen. 

18.  Aufg.     Von  einem  geraden  Kreiskegel  sind  die  beiden  Pro-pig.ia. 
jektionen  der  Höhenlinie  SM  und  der  Halbmesser  r  des  Grundkreises 
gegeben;  man  soll  ihn  darstellen,  aus  einem  außerhalb  desselben  gege- 
benen Punkte  L  die  beiden  BerOhrungsebenen  an  ihn  legen  und  seinen 
SchaMen  für  L  als  Lichtquelle  bestimmen^ 

Aufl.  Man  nehme  eine  zur  ersten  projicirenden  Ebene  der  SM 
parallele  Projektionsebene  P,  an,  lege  dieselbe  in  die  durch  M 
gehende  horizontale  Ebene  um,  bestimme  S'"M"'  {M'M"'±S'M% 
W  B  S'M  durch  M'\  Ä"  II  X  durch  Jf ",  S'S'''  J_  h\  Abstand  S'"Ä' 
.=  Abstand  S"h''),  so  ist  die  dritte  Projektion  des  halben  Grund- 
kreises die  auf  S"'M"'  senkrechte  M'"  B'"  =  r.  Daraus  ergibt  sich 
vom  Grundkreis  die  erste  Projektion  als  Ellipse  mit  A' M'C  1,  M'S' 
und  =  2r  als   große  und  B'M'D'  in  S' M'  als  kleine  Axe,    und 


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14 


I,  18.    Die  krnmmen  Flächen  im  allgemeinen. 


die  zweite  Projektion  als  Ellipse  mit  den  konjugirten  Durchmessern 
•^"0"  (  B  a;)  und  .JB"D".  (Abst.  5"A"  =  Abst  B'"W).  Die  Umrisse 
des  Kegels  sind  die  Tangenten  aus  8'  und  S"  an  jene  Ellipsen 
und   man  könnte   sie  wie  für  den  Cylinder  in  Nr.  15  bestimmen. 

Einfacher  und  genauer 
^^'  geschieht  es  durch  die 

den  Kegel  entlang  sei- 
nes Grundkreises  be- 
rührende Kugel,  deren 
Mittelpunkt  N  auf  der 
AxeSJlf  mittelst  ^"iff"' 
J_  8"'  B'"  gefunden 
wird,  und  dessen  Halb- 
messer =  N'"B'"  ist. 
Zieht  man  den  ersten 
und  zweiten  schein- 
baren ümriss  dieser 
Kugel  aus  -N",  N"  mit 
JV^'"^"' als  Halbmesser, 
so  sind  die  Umrisse  un- 
seres die  Kugel  berüh- 
renden Kegels  die  aus 
8'  und  S"  bezw.  an 
jene  Kreise  gezogenen 
Tangenten  und  ihre 
Berührungspunkte  mit 
dem  Kreise  sind  auch 
die  mit  den  Ellipsen. 
—  Am  genauesten  und 
kürzesten  erhält  man 
aber  den  Aufriß  des 
Kegels  in  der  Weise  wie  den  Grundriß,  indem  man  die  Grundellipse 
aus  ihren  Axen  verzeichnet  (große  Axe  _L  M"  8"  und  =  2r,  kleine 
Axe  in  M'  8"  durch  eine  Umlegung  der  zweiten  projicirenden  Ebene 
der  M8). 

Die  durch  L  zu  legenden  Berührungsebenen  des  Kegels  ent- 
halten, weil  die  Berührungserzeugenden  durch  die  Spitze  gehen,  die 
Gerade  LS\  diese  schneidet  in  Q  {Q"\  Q\  Q")  die  Ebene  des  Grund- 
kreises, und  dessen  Tangenten  aus  Q  sind  in  den  Berührungsebenen 
enthalten.  Dieselben  zieht  man  am  kürzesten  als  Tangenten  aus 
Q'  und  Q"  an  die  elliptischen  Projektionen,  bestimmt  deren  Be- 
rührungspunkte Ey  F  (etwa  mittelst  konjugirter  Sehnen),  wodurch 


rT 


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I,  18—20.  Die  krummen  Flachen;  der  Cylinder  nnd  Kegel.  15 

sich  die  Berührungszeugenden  SE^  SF  als  Eigenschattengrenzen  er- 
geben. Auch  konnte  man  die  Umlegung  des  Grundkreises  mit  Q 
in  eine  zu  F^  parallele  Ebene  benutzen. 

Der  Schlagschatten  des  Grundkreises  aus  L  auf  F^  ist  in  unserem 
Falle  eine  Ellipse,  die  man  mittelst  der  ersten  und  zweiten  Pro- 
jektion bestimmt.  Der  Schatten  B^D^  des  Durchmessers  BD  ist 
wieder  ein  Durchmesser  der  Schattenellipse,  weil  die  Endtangenten 
zu  ^C  und  unter  einander  parallel  sind.  Der  Mittelpunkt  H^  von 
B^D^  ist  der  Schatten  vom  Punkte  H\  der  auf  B'D'  durch  den 
Strahl  L'H^  erhalten  wird;  daher  ergibt  sich  in  der  Schlagschatten- 
ellipse der  zu  B^D^  konjügirte  Durchmesser,  welcher  durch  fli  parallel 
zu  Ä'C  gezogen  wird,  als  Schatten  der  durch  IT  parallel  zxxÄ'C 
gezogenen  Sehne  der  Grundellipse  A' B' C  durch  Strahlen  aus  L'. 

Die  Schatten  der  Berührungsgeraden  8E,  SF  werden  durch 
die  Schatten  E^y  JP^  der  Berührungspunkte,  und  durch  die  Schatten 
der  Spitze  S^  auf  F^  und  S^  auf  Fg  bestimmt.  Ist,  wie  in  der  Figur, 
Sj  nicht  zugänglich,  so  schneidet  man  die  Berührungsebenen  durch 
eine  H  F^  durch  S  gelegte  Ebene  in  SGy  SK,  und  zieht  mit  ihnen 
die  Schlagschatten  in  F^  parallel.  Der  Schlagschatten  geht  durch 
einen  Bruch  auf  x  von  F^  in  Fj  über. 

19.  Aufg.  Einen  Kegel,  der  durch  seine  Spitze  S  und  a)  die 
beiden  FtcjekHonen  seiner  unebenen  Leitlinie  l,  oder  b)  durch  die  eine 
Projektion  seiner  ebenen  Leitlinie  und  die  Spuren  von  deren  Ebene 
gegeben  ist,  darzustellen,  und  an  ihn  eine  zu  einer  gegebenen  Geraden  g 
paraüde  Berührungsä)ene  zu  legen. 

Aufl.  Die  Darstellung  geschieht  entsprechend  der  des  Cylin- 
ders  in  Nr.  14  und  15;  die  Berührungsebene  enthält  die  durch  S 
parallel  zu  g  gehende  Gerade. 

20.  Übungsaufgaben. 

1)  Die  beiden  Spuren  eines  ümdrehungscylinders,  dessen  Axe 
und  Axenabstand  der  Erzeugenden  gegeben  sind,  und  seine  Eigen- 
und  Schlagschattengrenzen  auf  F^  und  F,  bei  gegebener  Richtung 
der  parallelen  Lichtstrahlen  zu  bestimmen. 

2)  Die  zweite  Spur  eines  Kegels  zu  bestimmen,  dessen  erste 
Spur  eine  Hyperbel  mit  einer  auf  x  senkrechten  Hauptaxe  ist,  und 
dessen  Spitze  senkrecht  über  dem  Hyperbelmittelpunkte  liegt  und 
eine  Höhe  gleich  der  ideellen  Halbaxe  der  Hyperbel  besitzt 

3)  An  einen  gegebenen  a)  Cylinder  oder  b)  Kegel  eine  Be- 
rührungsebene von  gegebener  erster  Neigung  zu  legen. 

4)  An  einen  gegebenen  Kegel  durch  einen  außerhalb  desselben 
gegebenen  Punkt  parallel  zu  einer  gegebenen  Ebene  eine  berührende 
Gerade  zu  legen. 


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16  I,  21— 22.    Die  krammen  Flächen  im  allgemeinen. 


in.   Der  Kegel  zweiten  Grades. 

21,  Projicirt  man  einen  Kegelschnitt,  sowie  einen  Punkt  und 
eine  Gerade  seiner  Ebene,  die  zu  ihm  gegenseitig  Pol  und  Polare  sind, 
aus  einem  Punkte  S  bezw.  durch  einen  Kegel  (zweiten  Grades),  durch 
eine  Gerade  und  durch  eine  Ebene,  so  nennt  man  diese  Gerade  p 
und  Ebene  P,  welche  durch  die  Spitze  S  des  Kegels  gehen,  gegen- 
seitig Polare  und  Polarebene  m  dem  Kegel,  und  es  übertragen  sich 
die  projektiven,  insbesondere  die  harmonischen  Eigenschaften  (I, 
340  S,)  auf  die  projicirenden  Gebilde.  Daher  ist  in  jeder  Ebene,  die 
durch  eine  aus  S  gezogene  Gerade  p  gelegt  wird,  die  p  von  P  durch 
den  Kegel,  d.  i,  auch  die  p  von  einer  Geraden  der  P  durch  zwei  Er- 
zeugende des  Kegels,  harmonisch  getrennt;  und  reciprok  ist  in  einem 
Ebenenbüschel,  dessen  Axe  ein  aus  S  in  einer  Ebene  P  gegebener 
Strahl  bildet,  die  P  von  ihrer  Polaren  p  durch  den  Kegel,  d.  i.  auch 
die  P  von  der  durch  p  gehende  Ebenen  durch  zwei  Berührungsebenen 
des  Kegels,  harmonisch  getrennt  (I,  341,  3)).  Insbesondere  wird  auf 
jeder  zu  der  p  parallelen  Geraden  die  Strecke  zwischen  ihren  Schnitt- 
punkten mit  dem  Kegel  durch  die  P  halbirt;  und  reciprok  hat  in 
jeder  mit  der  P  parallelen  Ebene  der  durch  Schnitt  mit  dem  Kegel 
entstehende  Kegelschnitt  den  Schnittpunkt  mit  der  p  zum  Mittel- 
punkte. 

Man  nennt  nun  jeden  Strahl  aus  5,  weil  er  die  Mittelpunkte 
paralleler  Kegelschnitte  der  Fläche  enthält,  einen  Dtirchmessery  und 
jede  Ebene  aus  5,  weil  sie  eine  Schaar  paralleler  Sehnen  der  Fläche 
halbirt,  eine  Durchmesserebene  des  Kegels. 

Zwei  Durchmesser  nennt  man  Jconjugirt,  wenn  jeder  in  der 
Polarebene  des  andern  liegt,  und  zwei  Durchmesserebenen,  wenn 
jede  durch  die  Polare  der  anderen  geht  (I,  344).  Drei  Durchmesser 
bilden  ein  Polardreikant,  wenn  jeder  jedem  andern  konjugirt  ist; 
dann  ist  auch  jede  seiner  Seitenflächen  jeder  anderen  konjugirt 
a,  345). 

Einen  Kegel  n.  Ordnung  oder  n,  Klasse  nennt  man  einen  sol- 
chen, der  von  jeder  Ebene  bezw.  in  eine  Kurve  n.  Ordnung  oder 
n.  Klasse  geschnitten  wird,  oder,  was  dasselbe,  der  von  jeder  durch 
seine  Spitze  gelegten  Ebene  in  n  reellen  oder  imaginären  Geraden 
geschnitten,  bezw.  an  den  durch  jede  aus  seiner  Spitze  gezogene 
Gerade  n  reelle  oder  imaginäre  Berührungsebenen  gelegt  werden 
können.  Ein  Kegel  zweiter  Ordnung  ist  auch  zweiter  Klasse  und 
soll  als  zweiten  Grades  bezeichnet  werden. 

Aus  Nr.  I,  319  überträgt  sich: 


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I,  21—23.   Der  Kegel  zweiten  Grades.  17 

Zwei  beliebige  projektive  Ebe-  Zwei  beliebige  projektive  Strah- 
nenbüschel;  deren  Axen  sich  lenbüschel;  deren  Mittelpunkte 
schneiden,  erzeugen  einen  Kegel  zusammenfallen,  erzeugen  einen 
zweiter  Ordnung,  der  alle  Schnitt-  Kegel  zweiter  Klasse ^  der  von 
linien  entsprechender  Ebenen  ent-  allen  Verbindungs ebenen  entspre- 
hält.  chender  Strahlen  berührt  wird. 

Nennt  man  in  zwei  Ebenenbüscheln,  deren  Axen  sich  schnei- 
den, eine  Ebene  des  einen  Büschels  derjenigen  des  andern  ent- 
sprechend, auf  welcher  sie  senkrecht  steht,  so  sind  die  Büschel 
projektiv  und  erzeugen  daher  einen  Kegel  zweiten  Grades.  Der- 
selbe heißt  ortliogonaler  Kegel,  Wir  wollen  denselben  erst  später 
zugleich  mit  dem  orthogonalen  Hyperboloide,  von  dem  er  als  be- 
sonderer Fall  angesehen  werden  kann,  näher  betrachten. 

22.  Ein  Durchmesser  eines  Kegels,  der  senkrecht  auf  seiner 
Polarebene  steht,  heißt  eine  Axe  desselben.  Es  wird  sogleich  ge- 
zeigt werden,  daß  es  stets  wenigstens  eine  solche  gibt.  Gibt  es 
aber  eine,  so  gibt  es  noch  zwei  oder  noch  unendlich  viele.  Denn 
in  der  auf  der  Ausgangsaxe  senkrechten  Polarebene  bilden  die  kon- 
jugirten  Durchmesser  eine  Involution  (I,  358),  bei  welcher  entweder 
ein  Paar  oder  alle  Paare  zugeordneter  Strahlen  auf  einander  senk- 
recht stehen  (I,  348)  und  daher  Axen  sind,  indem  die  Polarebene 
einer  jeden  durch  den  konjugirten  Durchmesser  und  die  Ausgangs- 
axe geht.  Im  ersten  allgemeinen  Falle  bestehen  daher  drei  auf  ein- 
ander senkrechte  Axen  der  Fläche;  dieselben  bilden  ein  Polardrei- 
kant, und  seine  Ebenen  heißen  die  Hawptebenm  der  Fläche.  Im 
zweiten  Falle  bilden  die  Ausgangsaxe  und  alle  auf  ihr  senkrechten 
Durchmesser  die  unendlich  vielen  Axen  der  Fläche.  Führen  wir  nun 
den  Beweis  für  das  Bestehen  einer  Axe,  indem  wir  sie  zu  kon- 
struiren  suchen. 

23.  Aufg.  Die  drei  Axen  eines  Kegels  zweiten  Grades  m  kon- 
struiren,  der  durch  einen  Kegelschnitt  c  als  Leitlinie  und  durch  seine 
Spitze  gegeben  ist. 

Aufl.  Sei  die  Ebene  P  von  c  die  Projektionsebene,  8  die  senk-  Fig.  is. 
rechte  Projektion  der  Spitze,  deren  Höhe  SH  =  h  gegeben  sei. 
Die  drei  Axen,  wenn  solche  bestehen,  schneiden  die  P  in  Punk- 
ten P,  Q,  2J,  und  diese  bilden  ein  Polardreieck  in  Bezug  auf  c  (21). 
Femer  sind  die  Axen  die  Kanten  eines  rechtwinkligen  Dreikants, 
so  daß  die  Projektion  jeder  Axe,  wie  SP,  senkrecht  auf  der  Spur 
^iJ^der  gegenüberstehenden  Seitenfläche  steht,  also  S  der  Höhen- 
schnittpunkt des  Dreiecks  PQB  ist  Zeichnet  man  aus  S  als  Mittel- 
punkt mit  dem  Halbmesser  h  einen  Kreis  A;,,  und  betrachtet  diesen 
als  die  ideelle   Darstellung    eines  imaginären  Kreises  k  in  Bezug 

Wiener,  Lehrbaoh  der  darstellenden  Geometrie.  IL  2 


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18 


I,  23.   Die  krummen  Flächen  im  allgemeinen. 


auf  8  und  die  unendlich  ferne  Gerade  u  der  P  als  Mittelpunkt  und 
Axe  der  Kollineation  (I,  408),  so  ist  PQR  auch  ein  Polardreieck 
in  Bezug  auf  Je.  Denn  die  QR  und  die  Polare  von  P  zu  hi  schnei- 
den die  SP  rechtwinklig;    und  sind  dabei  die  (nicht  verzeichneten) 

Fig.  13. 


v^--    .C 


av/iE' 


Schnittpunkte  bezw.  P^  und  P^,  so  gilt  wegen  der  Rechtwinkligkeit 
des  Dreikants  SP,  .  ÄP  =  —  Ä^,  und  wegen  der  Polarität  SP^  •  SP 
=  A*,  also  SPi  "=  —  SPg.  Daher  liegen  QB  und  die  Polare  von 
P  zu  ki  symmetrisch  in  Bezug  auf  S,  und  QR  ist  die  Polare  von 
P  zu  kj  weil  die  Polaren  von  P  zu  Äf  und  zu  k  durch  S  und  u  har- 
monisch getrennt  sein  müssen  (I,  406,  1)). 

Demnach  kann  PQR  als  das  gemeinschafkliche  Polardreieck  der 
beiden  Kegelschnitte  c  und  k  bestimmt  werden. 

Zu  dieser  Bestimmung  wurde  in  1, 398  filr  zwei  reelle  Kegelschnitte 
kf  kl  das  Verfahren  angegeben,  wonach  man  in  F  eine  Gerade  g  wählt 
und  zu  ihren  Punkten  die  Polaren  bezw.  zu  k  und  zu  Äj  bestimmt; 
dieselben  bilden  zwei  zu  der  Punktreihe  g  und  unter  einander  pro- 
jektive Strahlenbüschel  und  bestimmen  somit  einen  Kegelschnitt  g^y 
dessen  Punkte  zu  denen  der  g  zugleich  in  Bezug  auf  Ä,  k^  und 
alle  Kurven  des  Büschels  kk^  konjugirt  sind;  dabei  bilden  die 
Punkte  auf  der  Geraden  g  und  ihre  konjugirten  Punkte  auf  dem 
Kegelschnitte  gi  projektive  Reihen. 

Ermittelt  man  in  gleicher  Weise  den  zu  einer  zweiten  Geraden  h 
in  Bezug  auf  das  Büschel  kk^  konjugirten  Kegelschnitt,  so  ist  einer 
der  vier  Schnittpunkte  beider  Kegelschnitte  zu  dem  Schnittpunkte  von 
g  und  h  konjugirt,  und  daher  stets  reell,  die  drei  übrigen  sind  aber 
die  gesuchten  Punkte  P,  Q,  R,  weil  jeder  zu  je  einem  Punkte  der  g 


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Jy  23—24.    Der  Kegel  zweiten  Grades.  19 

und  der  h  konjugirt,  also  der  Pol  ihrer  Verbindungsgeraden  zu  k 
und  zu  h^  ist. 

Ist  nun  einer  oder  sind  beide  gegebenen  Kegelschnitte  Ä,  h^ 
imaginär,  so  gilt  das  Verfahren  ebenfalls.  Denn  auch  für  einen 
imaginären  Kegelschnitt  bilden  die  Polaren  der  Punkte  einer  Gera- 
den g  ein  Strahlenbüschel  (I,  406,  3)),  welches  mit  der  Punktreihe  ^p 
projektiv  ist,  weil  es  perspektiv  liegt  mit  dem  Strahlenbüschel  der 
Polaren  der  g  zu  dem  reellen  Kegelschnitte,  der  die  ideelle  Darstel- 
lung des  imaginären  bildet,  da  beide  Büschel  durch  die  Axe  und 
den  Mittelpunkt  der  Kollineation  dieser  letzteren  Kegelschnitte  har- 
monisch getrennt  sind  (I,  406,  1)).  Weil  aber  der  erstbezeichneto 
jener  vier  Schnittpunkte  der  beiden  konjugirten  Kegelschnitte  stets 
reell  ist,  so  ist  es  auch  wenigstens  einer  der  Punkte  P,  Q,  B,  etwa 
P,  und  dann  sind  es  auch,  wie  gezeigt  wurde,  die  beiden  anderen 
ö,  jR,  wenn  nicht  alle  Punkte  einer  Geraden  ^JR  dem  P  konjugirt 
sind,  wo  dann  P  und  QB  nicht  nur  Pol  und  Polare,  sondern  auch 
Mittelpunkt  und  Axe  der  Kollineation  für  h  und  Tc^  bilden. 

24.  Den  cx)*  Geraden  g  der  Ebene  P  entsprechen  die  oo*  Kegel- 
schnitte, welche  durch  die  drei  Punkte  P,  Qj  B  gehen,  und  welche 
man  ein  Büschel-Büschel  oder  ein  Netz  PQB  von  Kegelschnitten 
nennt.  Zwei  Punkte  bestimmen  eine  Gerade  g,  und  ihre  in  Bezug 
auf  TcTc^  konjugirten  zwei  Punkte  nebst  P,  Q,  B  den  zu  g  konjugirten 
Kegelschnitt  g^.  Es  kommt  nun  darauf  an,  die  beiden  Kegelschnitte, 
welche  P,  Qy  B  durch  ihre  Schnittpunkte  ergeben,  möglichst  günstig 
für  die  Einfachheit  der  Ausführung  zu  wählen. 

In  I,  398  wurden  bei  zwei  beliebigen  Kegelschnitten  h,  \  als 
jene  konjugirten  Kurven  zwei  Hyperbeln  gewählt;  es  ist  aber  vor- 
teilhafter und  möglich,  solche  Kurven  des  Netzes  PQB  zu  wählen, 
deren  Schnittpunkte  nicht  durch  Verzeichnung  dieser  Kurven  selbst 
gefunden  werden,  sondern  vermittelst  eines  beliebigen,  vielleicht  schon 
zu  anderem  Zwecke  verzeichneten  Kegelschnittes  und  eines  Kreises. 
Als  diesen  Kegelschnitt  wählt  man  die  Leitlinie  c  des  Kegels,  und  als 
jene  konjugirten  Kurven  diejenigen  beiden  Kegelschnitte  c^,  Icy  des 
Netzes  PQB,  deren  eine  Cj  mit  c  ähnlich  und  ähnlich  gelegen,  und 
deren  andere  ein  Kreis  ist,  welche  also  bezw.  durch  die  unendlich 
fernen  Punkte  des  c  und  des  Kreises  Je  (sowie  des  kt)  gehen  und  durch 
sie  (und  durch  P,  Q,  B)  bestimmt  sind.  Projicirt  man  dann  c^  in  c 
aus  einem  ihrer  Ahnlichkeitspunkte,  so  projicirt  sich  bei  derselben 
Projektionsweise  der  Kreis  \  wieder  in  einen  Kreis  Äg,  und  dessen 
Schnittpunkte  mit  c  projiciren  sich  wieder  rückwärts  auf  k^  in  die 
Puidite  P,  Qy  B  und  in  einen  weiteren  vierten  Punkt*). 

*)  Die  BestiminuDg  der  Schnittpankte  zweier  Eegelschnitte  durch  irgend 

2* 


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20  I)  24—25.    Die  krammen  Flächen  im  allgemeinen. 

Der  zu  einer  Geraden  g  in  Bezug  auf  die  Grundkurven  c^  Je 
konjugirte  Kegelschnitt  g^  kann  auch  als  der  Ort  der  Pole  der 
Geraden  g  zu  allen  Kegelschnitten  des  Büschels  ch  betrachtet  wer- 
den. Denn  sei  Ä^  der  Pol  der  g  zu  einem  Kegelschnitte  dieses 
Büschels,  so  liegt  der  zu  A^  in  Bezug  auf  das  Büschel  cJc  kon- 
jugirte Punkt  auf  g  (I,  397);  also  ist  Ä^  ein  Punkt  des  zu  g  kon- 
jugirten  Kegelschnittes  g^.  Der  zu  der  unendlich  fernen  Geraden 
u  konjugirte  Kegelschnitt  m  enthält  daher  die  Pole  der  u  zu  den 
Kegelschnitten  des  Büschels  ck,  d.  h.  ihre  Mittelpunkte,  und  heißt 
deswegen  der  Mittdpunktskegelschnitt  des  Büschels.  Sind  a  und  b  die 
Axen  von  c,  so  sind  diese  auch  mit  zwei  konjugirten  (auf  einander 
senkrechten)  Durchmessern  des  imaginären  Kreises  1c  parallel,  so 
daß  ihre  unendlich  fernen  Punkte  A  und  B  bezw.  zu  B  [und  A, 
also  zu  Punkten  der  u  in  Bezug  auf  das  Büschel  ch  konjugirt 
sind  und  daher  dem  Kegelschnitte  m  angehören,  m  ist  demnach 
eine  gleichseitige  Hyperbel,  deren  Asymptoten  mit  a  und  b  parallel 
laufen;  außerdem  geht  m  durch  die  Mittelpunkte  M  und  S  der  c 
und  ky  und  durch  die  noch  unbekannten  Punkte  P,  Q,  B,  indem  m 
dem  Netze  PQB  angehört 

25.  Zu  der  weiteren  Entwicklung  brauchen  wir  folgenden 
Hüfssatz:  „Ist  in  einem  durch  zwei  Kegelschnitte  c  und  k  bestimm- 
ten Kegelschnittbüschel  ck  die  Kurve  m  der  Mittelpunktskegel- 
schnitt (konjugirt  zu  der  unendlich  fernen  Geraden  Uj  und  ange- 
horig  dem  Kegelschnittnetze  des  Polardreiecks  PQB  von  c1c)y  und 
sind  IJ  und  F  zwei  in  Bezug  auf  m  konjugirte  Punkte  einer  Ge- 
raden gj  so  bilden  deren  in  Bezug  auf  das  Büschel  ck  konjugirten 
Punkte  ?7i,  Fj  die  Endpunkte  eines  Durchmessers  des  zu  ^f  in  Be- 
zug auf  ck  konjugirten  (und  dem  Netze  PQB  angehörigen)  Kegel- 
schnittes 5^1 ."    Denn  der  involutorischen  Punktreihe  der  CT,  F  auf  ^ 


einen  festen  verzeichneten  Kegelschnitt  nnd  einen  Kreis  gibt  Kartum  in  seiner 
gekrönten  Preisschrift  „tJber  geometrische  Aufgaben  dritten  und  vierten  Gra- 
des, 1869*'.  —  Zwei  Auflösungen  der  Au%abe  der  Axenbestimmung  eines 
Kegels  zweiten  Grades  liefert  Chctsles  in  seiner  „Geschichte  der  Geometrie*', 
deutsch  von  Sohncke,  S.  79.  Dieselbe  Aufgabe  löst  Herr  Felz  in  ,,die  Axen- 
bestimmung der  Kegelflächen  zweiten  Grades'*  (Sitznngsber.  d.  Wiener  Akad. 
der  Wiss.  B.  69,  Abtlg.  2,  1874,  S.  215)  mittelst  einer  Hil&hyperbel  und  eines 
Kreises.  Die  oben  gegebene  Auflösung  ist  aus  dem  Aufsatze  des  Herrn  Solin 
„Über  die  Konstruktion  der  Axen  einer  Kegelfläche  zweiten  Grades"  (Sitznngs- 
ber. d.  böhmischen  Ges.  d.Wiss.  1885)  entnommen.  Eine  andere  Auflösung  dieser 
Aufgabe  gibt  Herr  Felz^  anschließend  an  Ghasles  und  Kortum,  ebenfalls  mit 
Hilfe  des  Leitkegelschnittes  des  Kegels  und  eines  Kreises  in  „Bemerkung*  zur 
Axenbestimmung  der  Kegelflächen  zweiten  Grades*'  (Sitznngsber.  d.  Wiener 
Akad.  d.  Wiss.,  B.  92,  Abtlg.  2,  1885). 


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I,  25.    Der  Kegel  zweiten  Grades.  ^1 

entspricht  die  damit  projektive,  also  ebenfalls  involutorisehe  Punkt- 
reihe der  üi,  Vi  auf  ^r, ;  und  da  die  Doppelpunkte  der  in  Bezug 
auf  m  konjugirten  Punkte  J7,  V  der  g  die  Schnittpunkte  von  g 
und  m  sind,  so  sind  die  Doppelpunkte  der  Reihe  der  üj,  Fj  auf 
g^  die  Schnittpunkte  des  g^  und  der  u,  und  der  Mittelpunkt  ihrer 
Involution  ist  der  Pol  der  u  zu  g^  oder  der  Mittelpunkt  des  g^]  d.  h. 
durch  diesen  Mittelpunkt  geht  jede  Gerade  Ui  V^  oder  sie  ist  ein 
Durchmesser  des  g^. 

Benutzen  wir  diesen  Satz  zur  Bestimmung  der  beiden  von  M 
und  S  ausgehenden  Durchmesser  MD  und  8E  der  m,  und  dadurch 
ihres  Mittelpunktes  U,  als  Schnittpunkt  der  Durchmesser^  indem 
wir  m  als  g^  und  u  als  g  annehmen.  Der  zu  M  konjugirte  Punkt 
in  Bezug  auf  c  und  h  ist  der  Schnittpunkt  der  Polaren  von  M 
bezw.  zu  c  und  k,  d.  i.  der  u  und  des  auf  MS  senkrechten  Durch- 
messers des  h,  also  der  unendlich  ferne  Punkt  N  auch  des  auf  MS 
senkrechten  Durchmessers  MN  des  c.  Zu  diesem  auf  u  liegenden 
Punkte  N  ist  in  Bezug  auf  m  derjenige  Punkt  Nf  der  u  konjugirt, 
welcher  von  ihm  durch  die  Asymptoten  von  m,  also  auch  durch 
die  unendlich  fernen  Punkte  Ä  und  B  der  a  und  b  harmonisch  ge- 
trennt ist^  welcher  also  auf  dem  zu  MN  in  Bezug  auf  a  und  b 
symmetrischen  Durchmesser  MN'  liegt.  Der  zu  N'  in  Bezug  auf 
das  Büschel  cJc  konjugirte  Punkt  ist  aber  der  Schnittpunkt  der 
Polaren  von  Nf  bezw.  zu  c  und  zu  Ä,  d.  i.  der  zu  MN'  konjugirten 
Durchmesser  MD  von  c  und  SD  (_L  MN')  von  h.  Also  sind  M,  D 
konjugirt  in  Bezug  auf  ch  zxx  den  zweien  in  Bezug  auf  m  zu 
einander  konjugirten  Punkten  N,  N' ]  daher  ist  MD  ein  Durch- 
messer und  sein  Mittelpunkt  U  der  Mittelpunkt  von  m.  Daraus 
ergibt  sich  ein  zweiter  Durchmesser  SUE  von  m  durch  UE  =  SU. 
Doch  wollen  wir  von  diesem  Durchmesser  auch  die  unmittelbare 
Bestimmungsweise  angeben,  weil  wir  sie  zur  weiteren  Erörterung, 
wenn  auch  nicht  zur  weiteren  Konstruktion  notwendig  haben.  Zu 
S  ist  in  Bezug  ai^f  c  und  h  der  unendlich  ferne  Punkt  F  des  zu 
MS  konjugirten  Durchmessers  MF  des  c  konjugirt,  weil  durch  F 
die  Polaren  von  S  zu  c  und  zu  h  (nämlich  u)  gehen.  Der  zu  F 
in  Bezug  auf  m  konjugirte  Punkt  der  u  ist  F'y  wenn  MF'  sym- 
metrisch mit  MF  in  Bezug  auf  a  ist.  Die  Polaren  von  F'  zu  c  und 
i  sind  bezw.  ME  und  SE^  wenn  ME  symmetrisch  mit  MS  in 
Bezug  auf  a  (weil  MS  die  Polare  von  jF)  und  wenn  SE  ±.  MF'. 

Um  nun  die  bezw.  durch  die  unendlich  fernen  Punkte  von  c 
und  h  gehenden  Kurven  c^  (nicht  verzeichnet)  und  Jc^  des  Netzes 
PQR  zu  bestimmen,  müssen  wir  zuerst  die  Geraden  Cg,  Jc^  ermitteln, 
deren  konjugirte  in  Bezug  auf  cJc  sie  sind.    Die  unendlich  fernen 


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22  Ii  2&*    I^id  krummen  Flächen  im  allgemeinen. 

Punkte  uc  des  c,  ob  reell  oder  imaginär^  sind  die  Doppelpunkte 
der  Involution  der  auf  u  in  Bezug  auf  c  konjugirten  Punkte;  dieselbe 
ist  durch  zwei  Punktepaare,  etwa  A,  B  und  S\  F  gegeben,  wenn 
S'  der  unendlich  ferne  Punkt  der  MS,  Die  zu  ihnen  in  Bezug 
auf  c  Je  konjugirten  Punkte  bilden  eine  Involution  auf  m;  es  sind 
dies  von  A,  B  bezw.  J5,  A,  von  F  der  Punkt  Ä,  von  S'  der  Schnitt- 
punkt der  MF  mit  der  aus  S  auf  MS  gezogenen  Senkrechten 
SN.  Der  Mittelpunkt  dieser  Involution  ist  der  Schnittpunkt  der 
BA^=^u  mit  der  SNj  d.  i.  auch  der  unendlich  ferne  Punkt  N  der 
auf  MS  Senkrechten  MN.  Die  Axe  der  Involution  ist  dann  der 
zu  MN  in  Bezug  auf  m  konjugirte,  also  mit  MN'  parallele  Durch- 
messer TJ2^  der  m.  Seine  Schnittpunkte  mit  m  sind  den  Punkten 
uc  konjugirt,  daher  ist  UN'  selbst  die  Gerade  c^.  Da  nun  auf  dieser 
Geraden  der  Mittelpunkt  ü  der  m  und  der  unendlich  ferne  Punkt  N' 
konjugirt  in  Bezug  auf  m  sind,  so  bilden  nach  dem  angegebenen  Hilfs- 
satze die  zu  ihnen  in  Bezug  auf  ch  konjugirten  Punkte  die  Endpunkte 
eines  Durchmessers  des  Kegelschnittes  c^.  Zu  N'  haben  wir  aber  D 
als  konjugirt  gefunden,  imd  zu  U  finden  wir  den  konjugirten  Punkt 
Ui  als  Schnitt  seiner  Polaren  Cr  C/^  zu  c  und  Jüi  zu  Tc,  G  U^  ist  ||  MN' 
und  wird  daher  durch  einen  weiteren  Punkt  G  bestimmt.  JU^  ist 
_L  US  und  ist  bestimmt  durch  SJ-SU  ^  -^Ji?,  UHJ=  90^,  oder, 
wenn  U  außerhalb  hi,  als  Linie  JL  U^  durch  den  Berührungspunkt  L^ 
der  aus  U  an  ki  gezogenen  Tangente,  und  den  Durchmesser  L^SL 
des  ki.     Ci  ist  nun  durch  seinen  Durchmesser  DUi  bestimmt. 

In  gleicher  Weise  erhalten  wir  E  U^  als  Durchmesser  des  Kreises 
\.  \  geht  nämlich  durch  die  unendlich  fernen  imaginären  Kreis- 
punkte, welche  auf  u  durch  die  Involution  der  auf  einander  senk- 
rechten Durchmesser  des  k,  oder  durch  das  Punktepaar  Ay  B  und 
Ä',  JV^  {S'MN  =  90^)  bestimmt  sind.  Zu  A^  B  sind  in  Bezug  auf 
ck  wieder  bezw.  JB,  A  konjugirt;  zu  S'  ein  (vorhin  bezeichneter)  Punkt 
der  MFj  zu  N  der  Punkt  Jf,  so  daß  der  Mittelpunkt  der  Involu- 
tion der  Punkt  (-B-4,  MF)  oder  der  unendlich  ferne  Punkt  von  MF^ 
ihre  Axe  die  Polare  UF'  dieses  Punktes  zu  m  ist,  so  daß,  entspre- 
chend wie  vorhin,  UF''^  k^.  Den  Punkten  F'  und  U  sind  aber  in 
Bezug  auf  cÄ  die  Punkte  E  und  Ui  konjugirt,  so  daß  EUi  ein  Durch- 
messer und  sein  Mittelpunkt  K^  der  Mittelpunkt  des  Kreises  k^  ist. 

Um  nun  c^  in  den  mit  ihm  ähnlichen  und  ähnlich  gelegenen 
Kegelschnitt  c  zu  projiciren,  ziehe  man  den  zu  DU^  parallelen 
Durchmesser  Do^o  ^^^  c,  so  bildet  der  Schnittpunkt  0  von  JDDq 
und  U^Uq  (und  der  von  DUq,  UiDq)  einen  Ähnlichkeitspunkt;  dabei 
projicirt  sich  der  Halbmesser  Üi-K^  des  k^  in  den  mit  ihm  paral- 
lelen Halbmesser  U^K  des  k^,  wodurch  k^  gezeichnet  werden  kann. 


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I,  25—28.    Die  Umdrehungsfläche  und  ihre  Berühmngsebene.  23 

Die  außer  Uq  bestehenden  drei  Schnittpunkte  P^,  Qq^  Rq  von  c  und 
jfcj  werden  dann  aus  0  in  die  entsprechenden  Punkte  Py  Q,  R  des 
Kreises  Jc^  projicirt,  wodurch  die  Aufgabe  gelöst  ist.  Zur  Probe 
und  Verbesserung  unsicherer  Punkte  dient  es,  daß  S  der  Höhen- 
schnittpunkt  des  Dreiecks  PQR  sein  muß,  und  daß  P,  Q,  R  auf  der 
Hyperbel  m  liegen,  welche  durch  üf,  S,  D,  E  geht  und  UAy  ÜB 
zu  Asymptoten  hat. 

26.  Übungsaufgaben. 

1)  Die  Axen  eines  Kegels  mit  parabolischer  Leitlinie  c  zu  be- 
stimmen. 

2)  Zu  untersuchen,  wie  sich  die  Auflosung  unserer  Aufgabe 
gestaltet,  wenn  der  durch  den  Leitkegelschnitt  c  (kein  Kreis)  und 
seine  Spitze  bestimmte  Kegel  ein  Umdrehungskegel  ist  (vergl.  23). 

rv.    Die  Umdrehnngsfläohe  und  ihre  Berühmngsebene. 

27.  Eine  Umdrehungsfläche  wird  am  leichtesten  dargestellt^  wenn 
man  ihre  Axe  a  senkrecht  auf  eine  Projektionsebene,  etwa  auf  Pj, 
stellt  Dann  sind  ^on  den  Parallelkreisen  die  ersten  Projektionen 
koncentrische  Kreise,  die  zweiten  gerade  Linien  parallel  zur  Pro- 
jektionsaxe  X]  Yon  den  Meridianen  sind  die  ersten  Projektionen 
Gerade,  welche  durch  die  Projektion  Ä'  der  a  gehen,  die  zweiten 
affine  Figuren,  deren  Affinitätsaxe  a"  und  deren  Affinitätsstrahlen 
parallel  zu  x  sind.  Den  Umriß  der  ersten  Projektion  bilden  die 
Äquator-  und  Kehlkreise,  den  der  zweiten  Projektion  der  zu*  Pg 
parallele  Meridian,  welchen  man  den  Haiiptmeridian  nennt. 

Bei  einer  schiefen  Stellung  der  ümdrehungsaxe  a  gegen  Pj  und 
Pj  sind  die  gleichnamigen  Projektionen  der  Parallelkreise  ähnliche 
und  ähnlich  gelegene  Ellipsen,  deren  kleine  Axen  in  die  gleichnamige 
Projektion  der  a  fallen,  die  der  Meridiane  affine  Figuren,  deren 
Affinitätsaxen  die  gleichnamige  Projektion  der  a  ist.  Bei  Aufgaben 
über  Umdrehungsflächen  vermeidet  man  die  schiefe  Stellung  ge- 
wohnlich durch  Drehung  in  die  senkrechte  Stellung,  die  man  nach 
der  Auflösung  wieder  in  die  erstere  zurückführt. 

28.  Aufg.  Ein  UmdrehungseUipsoid  entsteht  durch  Drehung  einer 
Ellipse  *um  eine  ihrer  Axen.  Man  soll  an  ein  solches,  dessen  Axe  a 
senkrecht  auf  Pj  steht,  in  einem  durch  eine  Projektion  P'  gegebenen 
Punkte  desselben,  eine  Benihnmgsebene  legen, 

Aufl.    Die  Projektionen  der  Axe  a  sind  A\  a'  {1.x),  die  des  »ig.  i*- 
Hauptmeridians  die  Gerade  m'  (durch  A'  und  |  x)  und  die  (zu  ihm 
selbst  kongruente)  Kurve  m",  eine  Ellipse,  deren  eine  (große)  Axe 
in  a'  ßllt.    Diese  Ellipse  bildet  zugleich  den  zweiten  Umriß,  wäh- 


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24 


I,  28—29.   Die  krammen  Flächen  im  allgemeinen. 


Fig.  14. 


rend  der  erste  ein  aus  A'  mit  der  halben   andern   (kleinen)    A.xe 
von  m"  als  Halbmesser  gezogener  Kreis  (ein  Äquator)  ist 

Um  P"  aus  V  zu  bestimmen,  lege  man  durch  V  einen  Parallel- 
kreis, welcher  m    in  dem  Punkte  Q*  trifft,  dessen  zweite  Projektion 

auf  m"  in  q"  oder  $*"  liegt  Durch 
diese  Punkte  gehen  die  mit  x  paral- 
lelen zweiten  Projektionen  jenes  Paral- 
lelkreises, auf  denen  dann  P"  und 
P*"  aus  P'  bestimmt  werden.  Einem 
gegebenen  Punkte  der  zweiten  Pro- 
jektion würden  zwei  Punkte  dessel- 
ben Parallelkreises  in  der  ersten  Pro- 
jektion entsprechen. 

Die  Berührungsebene  in  P(P',P") 
enthält  die  mit  F^  parallele  Parallel- 
kreistangente PR,  deren  zweite  Spur 
sich  in  iJ"  ergibt,  und  die  Meridian- 
tangente. Man  drehe  den  Meridian 
aP  um  a  in  den  Hauptmeridian  m, 
so  daß  P  nach  Q  gelangt,  ziehe  die 
Tangente  an  w  in  ^,  welche  die  a 
in  Ä,  die  P2  in  E  trifft  und  S  zur 
ersten  Spur  hat.  Beim  Zurückdrehen  gelangt  S  nach  T,  und  die 
Meridiantangente  nach  ÄPT  (kurz  Ä  T=  A^S").  Von  der  Berüh- 
rungsebene geht  dann  die  erste  Spur  t^  ||  P'R'  durch  T\  die  zweite 
durch  B".  Entsprechend  findet  man  die  Berührungsebene  t^,  t^  in 
P',  P*".  Die  Schnittlinie  v  beider  muß  ||  PB  in  der  Ebene  des 
Äquators  liegen,  weil  diese  eine  Symmetrieebene  für  die  Fläche  und 
für  beide  Berührungspunkte  ist. 

Die  Flächennormale  PN  ergibt  sich  aus  ihrem  Schnittpunkte 
N  mit  a,  der  sich  im  Hauptmeridiane  durch  Q"N"  A.Q''A"  als 
Spitze  des  Normalenkegels  bestimmen  läßt. 

29.  Das  einschalige  Umdrehungshyperboloid  entsteht  durch  Um- 
drehung einer  Geraden  um  eine  mit  ihr  nicht  in  derselben  Ebene 
J«g.  16.  liegende  Axe;  es  sei  die  Axe  a  (-4',  a")  senkrecht  auf  P^  und  BC 
eine  Lage  jener  geraden  Erzeugenden.  Der  kürzeste  Abstand  der- 
selben von  a  ist  die  mit  Pj  parallele,  d^i  B' C  senkrechte  Strecke 
A' K,  deren  auf  BC  liegender  Fußpunkt  K  den  KehVcreis  be- 
schreibt. Gleichweit  von  K  entfernte  Punkte  der  Erzeugenden,  wie 
B  und  (7,  beschreiben  gleiche  und  gleichweit  vom  Kehlkreise  ent- 
fernte Parallelkreise,  wodurch  sich  die  Ebene  des  Kehlkreises  als 
Symmetrieebene  ergibt.     Ein  solches  Paar  von  Parallelkreisen,  von 


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I,  29—80.    Die  ümdrehungeflache  und  ihre  Berührungsebene.         25 

denen  derjenige  von  C  die  erste  Spur  der  Fläche  bilde,  begrenze 
deren  Zeichnung,  welche  selbst  mit  der  Erzeugenden  sich  nach  bei- 
den Seiten  ins  Unendliche  er- 
streckt. Um  eine  Anzahl  von 
Erzeugenden  zu  zeichnen,  teile 
man  die  beiden  Grenzkreise 
von  By  bezw.  von  C  aus  in 
dieselbe  Anzahl  n  (=  16)  glei- 
cher Teile  und  verbinde  die 
von  B  und  C  in  demselben 
Sinne  um  dieselbe  Anzahl  von 
Teilen  abstehenden  Teilungs- 
punkte durch  Gerade.  Damit 
auf  der  gemeinschaftlichen 
ersten  Projektion  beider  Paral- 
lelkreise beide  Teilungen  zu- 
sammenfallen, wurden  B  und 
C  auf  der  Erzeugenden  so  ge- 
wählt, daß  -^C'A'B'  eine 
ganze  (und  zugleich  eine  ge- 
rade)   Anzahl    der    Teile    — 

bildet.  Die  zweiten  Projektionen 

der  Erzeugenden  erhält  man  durch  Übertragen  der  Teilungspunkte 
der  Kreise  in  deren  zweite  Projektionen.  —  Der  erste  Umriß  ist 
der  Eehlkreis,  der  zweite  der  Hauptmeridian,  welcher  durch  die 
Schnittpunkte  der  Erzeugenden  mit  der  Hauptmeridianebene  kon- 
struirt  werden  kann.  Er  ist  die  Einhüllende  der  zweiten  Projek- 
tionen der  Erzeugenden. 

30,  Zwei  Lagen  der  geraden  Erzeugenden  g  der  Fläche  können 
sich  nicht  schneiden ,  weil  jede  g  mit  jedem  Parallelkreise  nur  einen 
Punkt  gemein  hat  (5).  Alle  g  bilden  eine  Schaar  oder  ein  System 
von  Erzeugenden. 

Es  gibt  noch  eine  zweite  Schaar  von  geraden  Erzeugenden  ä, 
toelche  die  Fläche  ganz  erßUen,  so  daß  durch  jeden  Punkt  der  Fläche 
eine  g  und  eine  h  geht.  Denn  da  die  Eehlkreisebene  K  eine  Sym- 
metrieebene der  Fläche  ist,  so  gibt  es  zu  jeder  g  eine  in  Bezug 
auf  K  symmetrische  Gerade  h,  welche  ganz  in  der  Fläche  liegt 
Zwei  solche  symmetrische  Erzeugende  g  und  h  schneiden  sich  in 
einem  Punkte  des  Kehlkreises,  und  haben  gleiche,  aber  entgegen- 
gesetzt gerichtete  Neigungen  gegen  die  Umdrehungsaxe  a.  Auch 
die  Symmetrie  in  Bezug  auf  eine  Meridianebene  liefert  aus  den  g 


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26  I,  80 — 31.    Die  krummen  Flächen  im  allgemeinen. 

eine  neue  Schaar  von  Erzeugenden,  welche  ebenfalls  gleiche  Neigung, 
wie  die  g^  gegen  die  a  besitzen,  weil  dies  von  jeder  einzelnen  und 
ihrer  symmetrischen  g  gilt.  Dieselben  fallen  mit  den  Erzeugenden 
h  zusammen,  weil  man  durch  einen  Punkt  der  Fläche  nur  zwei 
Gerade  von  gleicher  Neigung  gegen  a  legen  kann,  welche  ganz  in 
der  Flache  liegen,  da  man  nur  zwei  solche  legen  kann,  die  einen 
der  Parallelkreise  schneiden.  Eine  Gerade  h  erzeugt  die  Fläche 
ebenfalls  durch  Drehung  um  a. 

Jede  Erzeugende  g  der  einen  Sdiaar  scJmeidet  jede  h  der  anderen, 
und  zwar  in  der  Meridianebene,  in  Bezug  auf  welche  beide  Gerade 
symmetrisch  sind,  d.  i.  in  derjenigen,  welche  auf  der  Verbindungs- 
geraden der  Schnittpunkte  G  und  H  der  Erzeugenden  mit  irgend 
einem  Parallelkreise  senkrecht  steht 

Jede  erste  und  jede  zweite  Proj^ction  einer  Erzeugenden  g  stellt 
noch  eine  ztoeite  Erzeugende  h  vor^  nämlich  diejenige,  welche  mit  der 
ersteren  bezw.  in  Bezug  auf  die  E^hlkreis-  oder  die  Hauptmeridian- 
ebene symmetrisch  ist.  In  je  einer  dieser  Ebenen,  d.  i.  auch  auf 
einer  Umrißlinie,  schneiden  sich  beide  Erzeugende  g  und  h  und 
wechseln  hier  die  Sichtbarkeit,  so  daß,  wenn  man  sich  die  g  schwarz, 
die  h  rot  denkt  und  beide  darstellt,  in  der  Figur  alle  schwarz  punk- 
tirten  Erzeugenden  statt  dessen  rot  ausgezogen  werden  müssen.  Die 
Berührungspunkte  der  Erzeugenden  mit  den  Umrissen  liegen  mit 
anderen  Schnittpunkten  von  je  zweien  dargestellten  Erzeugenden 
wegen  deren  gleichförmiger  Verteilung  auf  demselben  Parallelkreise, 
bezw.  auf  demselben  Meridiane. 

31.  Durch  eine  Erzeugende  g^  der  einen  Schaar  und  durch  jede 
h  der  anderen  Schaar  kann  je  eine  Ebene  gelegt  werden,  weil  g^ 
jede  h  schneidet;  aber  es  schneidet  auch  jede  durch  g^  gelegte  Ebene 
E  die  Fläche  in  einer  Ä,  nämlich  in  derjenigen,  welche  zu  g  sym- 
metrisch ist  in  Bezug  auf  die  senkrecht  zu  E  gelegte  Meridianebene. 
Alle  durch  eine  Erzeugende  g^  und  alle  durch  eine  solche  g^  ge- 
legten Ebenen  bilden  je  ein  Ebenenbüschel  g^  und  g^,  imd  beide 
sind  projektiv,  wenn  man  zwei  Ebenen  derselben  sich  entsprechen 
läßt,  welche  durch  dieselbe  Erzeugende  A  gehen.  Denn  die  Ebenen- 
büschel schneiden  die  Ebene  eines  Parallelkreises  in  zwei  Strahlen- 
büscheln, welche  in  den  Schnittpunkten  Ctj,  G^  von  g^y  g^  mit  dem 
Kreise  ihre  Mittelpunkte  haben,  und  deren  entsprechende  Strahlen 
sich  in  dem  Punkte  H  dieses  Kreises  treffen,  durch  welchen  eine  h 
geht,  welche  also  projektiv  sind  (I,  317).  Da  diese  Ebenenbüschel 
durch  drei  Paare  entsprechender  Elemente  bestimmt  sind,  so  kann 
man  sagen:  Zwei  projektive  Ebenenbüschel  g^,  g^  bilden  durch  die  Schnitt- 
geraden  h  je  zumer  entsprechenden  Ebenen  die  eine  Schaar  der  Erzeu- 


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I,  31—32.    Die  Umdrehungsfläche  und  ihre  Beröhrungsebene.  27 

genden  h  eines  einschaligen  Umdrehungshyperboloids  ^  wenn  drei  der 
Schnittgeraden  h  einer  solchen  Fläche  angehören]  dann  sind  die  Axen 
gj^,  g^  Erzeugende  der  anderen  Schaar  derselben  Fläche^  weil  sie  alle 
h  schneiden. 

Eine  beliebige  Ebene  schneidet  die  Fläche  im  allgemeinen  in  einem 
Kegelschnitte,  da  sie  jene  Ebenenbüschel  in  projektiven  Strahlen- 
büscheln triflFt,  deren  entsprechende  Strahlen  sich  in  Punkten  schnei- 
den, welche  die  fragliche  Schnittkurve  bilden  (I,  319).  Enthält  die 
Ebene  eine  g  oder  eine  A,  so  zerföllt  der  Kegelschnitt  in  zwei  Ge- 
rade^ eine  g  und  eine  h. 

Jeder  Meridian  der  Fläche  ist  eine  Hyperbel,  deren  reelle  Axe 
ein  Durchmesser  des  Kehlkreises  ist  und  deren  Asymptoten  parallel  ssu 
den  mit  der  Meridianebene  parallelen  Erzeugenden  g  und  h  laufen. 
Denn  der  Kegelschnitt,  in  welchem  die  Meridianebene  die  Fläche 
triflft,  hat  einen  Durchmesser  des  Kehlkreises  und  die  ümdrehungs- 
axe  zu  Symmetrielinien  und  daher  zu  Axen,  und  jene  Erzeugende 
liefern  seine  unendlich  fernen  Punkte.  « 

Der  Mittelpunkt  des  Kehlkreises  ist  auch  der  Mittelpunkt  aller 
Meridianhyperbeln  und  damit  der  Fläche. 

32.  Äufg.  In  einem  durch  seine  eine  Projektion  gegebenen  Pmikte 
P  eines  einschaligen  Umdrehtmgshyperboloides  eine  Berührungsebene  an 
dasselbe  zu  legen. 

Aufl.  Durch  die  gegebene  Projektion  lege  man  die  gleichna- 
migen Projektionen  der  durch  P  gehenden  Erzeugenden  beider 
Scharen  als  Tangenten  an  den  gleichnamigen  Umriß,  also  aus  P' 
an  die  erste  Projektion  des  Kehlkreises,  oder  aus  P"  an  die  zweite 
Projektion  des  Hauptmeridians.  In  der  Figur  sind  aus  dem  gege-Fig.i5. 
benen  P'  die  Tangenten  an  den  Ejreis  gezogen  und  mit  den  bei- 
den begrenzenden  Kreisen  bezw.  in  B\  C  und  D\  E'  geschnitten. 
Denkt  man  sich  nun  P  oberhalb  des  Kehlkreises,  so  gehören  B 
und  E  dem  oberen,  C  und  D  dem  unteren  Grenzkreise  an,  woraus 
die  zweiten  Projektionen  B"  C",  D"  jE"  folgen,  welche  P"  be- 
stimmen. Liegt  dagegen  P  unterhalb  des  Kehlkreises,  so  gehören 
B,  E  dem  unteren,  C,  D  dem  oberen  Grenzkreise  an,  und  B*"  C?*"> 
2)*"^*"  aind  die  zweiten  Projektionen  der  Erzeugenden,  welche  P*" 
bestimmen.  Im  ersteren  Fall  gehört  BC  der  Schaar  der  (schwarzen) 
Erzeugenden  g  an,  DE  dem  der  (roten)  A,  im  zweiten  Falle  um- 
gekehrt. 

Die  Berührungsebene  ergibt  sich  hier  als  die  Ebene  der  beiden 
durch  den  BerQhrungspunkt  gehenden  Erzeugenden  und  enthält  für 
den  in  P'  projicirten    Berührungspunkt  die  Sehnen  CD  und  BE 


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28  Ij  32—34.    Die  krummen  Flächen  im  allgemeinen. 

der  beiden  Grenzkreise.    Durch  deren  Spuren  ergeben  sich  die  Be- 
rührungsebenen ^,  t^  für  P;  tj*,  t^  für  P*. 

Die  Asymptote  eines  Meridians  als  Parallele  der  beiden  mit  seiner 
Ebene  und  untereinander  parallelen  Erzeugenden  beider  Schaaren  ist 
mit  diesen  parallel,  und  alle  Meridianasymptoten  bilden  daher  einen 
Umdrehungskegel,  welcher  die  Axe  und  den  Mittelpunkt  mit  der 
Fläche  gemein  hat,  den  sogenannten  Äsymptotenkegel.  Seine  erste  Spur 
ist  der  aus  A'  durch  die  Mitte  B^  der  Verbindungslinie  der  ersten 
Spuren  B'y  B*'  jener  Erzeugenden  gezogene  Kreis,  und  seine  Be- 
rührungsebene entlang  seiner  Erzeugenden  von  B^  enthält  jene 
beiden  parallelen  Erzeugenden  des  Hyperboloids  und  berührt  es  daher 
in  dem  gemeinschaftlichen  unendlich  fernen  Punkte  derselben. 

33,  Die  Berührungsebene  des  einschaligen  Umdrehungshyper- 
boloids enthält  die  beiden  durch  den  Berührungspunkt  gehenden 
Erzeugenden,  nach  welchen  sie  die  Fläche  schneidet.  Diese  Er- 
zeugenden teilen  die  Fläche  in  vier  Teile  nach  Art  von  Scheitel-  und 
Nebenwinkeln.  Die  Flächenstücke  der  Scheitelwinkel,  welche  den 
Parallelkreis  des  Berührungspunktes  enthalten,  liegen  auf  der  dem 
Flächenmittelpunkte  zugewendeten  Seite  der  Ebene,  die  Flächenstücke 
der  anderen  Scheitelwinkel,  welche  die  durch  den  Berührungspunkt 
gehende  Meridianhälfte  enthalten,  auf  der  abgewendeten  Seite.  Diese 
Eigentümlichkeit,  welche  erst  später  mit  der  Krümmung  der  Flächen 
näher  untersucht  werden  wird,  führt  zu  folgender  Unterscheidung. 
Ein  Punkt  einer  Fläche  heißt  hyperbolisch ,  wenn  die  Berührungs- 
ebene in  demselben  mit  der  Fläche  eine  Linie  gemein  hat,  welche 
in  jenem  Punkte  einen  Doppelpunkt  mit  zwei  getrennten  Tangenten 
besitzt;  er  heißt  parabolisch^  wenn  in  ihm  der  gemeinsamen  Linie 
eine  einzige  Tangente  zukommt;  elliptisch^  wenn  er  ein  isolirter  ge- 
meinsamer Punkt  ist.  Das  einschalige  Umdrehungshyperboloid  be- 
sitzt nur  hyperbolische,  der  Cylinder  und  Kegel  nur  parabolische, 
das  Umdrehungsellipsoid  und  die  Kugel  nur  elliptische  Punkte. 

Ein  Punkt  einer  Umdrehungsfläche  ist  elliptisch,  hyperbolisch, 
oder  parabolisch,  je  nachdem  in  ihm  die  Meridiankurve  gegen  die 
Umdrehungsaxe  hohl,  erhaben,  oder  im  Wechsel  von  der  einen  zur 
andern  Eigenschaft  begriffen  ist;  der  letztere  Fall  tritt  im  allge- 
meinen ein,  wenn  die  Tangente  der  Meridiankurve  senkrecht  auf 
der  Umdrehungsaxe  steht,  zugleich  aber  der  Punkt  nicht  in  der 
Axe  liegt,  oder  wenn  der  Punkt  ein  Wendepunkt  ist 

V.    Die  abwickelbaren  Flächen  (erster  Teil). 

34.  Man  nennt  gewöhnlich  eine  hrumme  Fläche  abunckelbary 
entunckelbar  oder  developpabel,  wenn  sie  ohne  Faltung  oder  Bruch  in 


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I,  34.    Die  abwickelbaren  Flächen.    (Erster  Teil.)  29 

eine  Ebene  ausgebreitet  werden  kann.  Wie  man  aber  eine  krumme 
Linie  nicht  unmittelbar  rektificiren,  d.  h.  ihre  Teile  in  ihrem  ur- 
sprünglichen Zusammenhange  in  einer  geraden  Linie  aneinander- 
reihen kann,  weil  nicht  der  kleinste  Teil  derselben  gerade  ist,  so 
kann  man  auch  eine  krumme  Fläche  nicht  unmittelbar  abwickeln, 
d.  h.  ihre  Teile  in  ihrem  ursprünglichen  Zusammenhange  in  einer 
Ebene  aneinander  legen,  weil  nicht  der  kleinste  Teil  derselben  eben 
ist  Wie  wir  daher  eine  krumme  Linie  behufs  ihrer  Rektifikation 
als  die  Grenzgestalt  eines  eingeschriebenen  oder  umschriebenen  Viel- 
ecks ansehen  mußten  (I,  225),  so  müssen  wir  auch  die  abwickel- 
bare krumme  Fläche,  wenn  wir  Eigenschaften  derselben  aus  dem 
Begriflfe  der  Abwickelbarkeit  herleiten  wollen,  als  die  Grenzgestalt 
eines  ohne  Faltung  oder  Bruch  abwickelbaren  Vielflachs  ansehen, 
und  dieser  Grenzgestalt  uns  annähern,  indem  wir  jede  Seitenfläche 
sich  der  Grenze  Null  annähern  lassen. 

Da  nun  die  gewohnlichen  Vielflache  nicht  abwickelbar  sind,  so 
müssen  wir  zur  Gewinnung  der  Abwickelbarkeit  ihren  Begriff  (1, 146) 
erweitem.  Wir  erreichen  diesen  Zweck,  indem  wir  die  Geschlossen- 
heit nicht  verlangen.  Es  können  aber  die  Seitenflächen,  oder  es  kann 
die  Aneinanderreihung  ungeschlossen  sein.  Als  geschlossene  Seiten- 
flächen betrachten  wir  einfache  Vielecke  erster  Art  (I,  138),  welche 
also  wenigstens  drei  Seiten  besitzen;  als  ungeschlossene  solche  mit 
nur  zwei  Seiten,  welche  also  ein  Paar  Scheitelwinkel  sind. 

Em  Vielflach  in  erweitertem  Sinne  nennen  wir  die  Gesamtheit  von  ge- 
schlossenen oder  ungesdUossenen  ebenen  Seitenflächen^  welche  derart  an- 
einandergefügt  sind,  daß  jede  Grremstrecke  einer  geschlossenere  oder  jede 
Grenzgerade  einer  ungeschlossenen  Seitenfläche  zugleich  diejenige  einer 
zweiten  Seitenfläche  bildet.  Eine  solche  gemeinschaftliche  Seite  wird 
eine  Kante  des  Vielflachs  genannt  Ist  eine  Kante  begrenzt  oder 
unbegrenzt,  so  müssen  alle  Kanten  bezw.  begrenzt  oder  unbegrenzt, 
und  alle  Seitenflächen  geschlossen  oder  ungeschlossen  sein.  Sind 
sie  unbegrenzt,  so  fallen  auf  einer  Kante  die  Scheitel  der  Winkel 
der  anstoßenden  Seitenflächen  im  allgemeinen  nicht  zusammen.  Die 
zwischen  zwei  solchen  Scheiteln  liegenden  Stücke  der  Kanten  bilden 
ein  unebenes  Vieleck,  welches  man  die  Bückkehrkante  des  Vielflachs 
nennt.  Das  Vielflach  selbst  ist  geschlossen  oder  ungeschlossen,  je 
nachdem  man  beim  Weiterschreiten  von  Seitenfläche  zu  Seitenfläche 
notwendig  wieder  zu  einer  früher  durchschrittenen  zurückkehren 
oder  nicht  zurückkehren  muß. 

Wir  nennen  ein  Vielfl4xch  abunckelbar,  wenn  jedes  beliebige^  durch 
eine  geschlossene  Linie  begrenzte  Stück  desselben,  wenn  es  nur  keinen 
Teil  der  Bückkehrkante  in  seinem  Inneren  einschließt,   ohne  Faltung 


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30 


I,  34—86.    Die  krammen  Flächen  im  allgemeinen. 


oder  Bruch  in  eine  Ebene  ausgebreitet  werden  kann,  wobei  wir  unter 
Faltung  die  Verdoppelung  benachbarter  Teile  verstehen.  Wir  wollen 
nun  untersuchen,  ob  und  unter  welchen  Umständen  Vielflache  mit 
geschlossenen  und  solche  mit  ungeschlossenen  Seitenflächen  ab- 
wickelbar sind. 

35.  Ein  Vielflach  mit  geschlossenen  Seitenflächen  ist  abwickelbar, 
wenn  die  Summe  der  Kantenunnkd  an  jeder  Ecke  gleich  vier  Rechten 
ist]  denn  dann  lassen  sich  die  um  diese  Ecke  liegenden  Seitenflächen 
ohne  Faltung  oder  Bruch  in  eine  Ebene  ausbreiten,  und  ebenso 
alle  in  den  neuen  Ecken  dieser  Flächen  anstoßenden  weiteren  Seiten- 
flächen usw.  Die  Ecken  dürfen  daher  nicht  konvex  sein,  weil  bei 
diesen  die  Summe  der  Kantenwinkel  <  4  JB  ist  Wenn  auch  beim 
Übergange  des  Vielflachs  mit  konvexen  Ecken  zu  einer  stetigen 
krummen  Fläche  durch  unendliche  Verkleinerung  der  Seitenflächen 
das  Klaffen  an  einer  Ecke  unendlich  klein  wird,  d.  h.  verschwindet, 
so  wird  es  doch  bei  der  Fortsetzung  der  Fläche  in  endlichem  Ab- 
stände von  jener  Ecke  endlich.  Es  muß  demnach  bei  einem  ab- 
wickelbaren  Vielflach  mit  geschlossenen  Seitenflächen  jede  Ecke  nicht 
Fig- 16.  konvex  und  daher  wenigstens  vierflächig  sein.  In  Fig.  16  ist  ein  solches 

Fig.  16. 


mit  vierflächigen  Ecken  veranschaulicht,  welches  man  durch  drei- 
maliges Hin-  und  Herbiegen  eines  Blattes  Papier  in  jedesmal  gleich 
breite  Streifen  herstellen  kann,  wenn  die  Biegungskant^u  der  zwei- 
ten und  dritten  Streifenschaar  sich  unter  gleichen  Winkeln  gegen 
die  Kanten  der  ersten  Schaar  auf  diesen  schneiden.  Das  Vielflach 
selbst  ist  nicht  geschlossen. 

Geometrisch  kann  dieses  Vielflach  durch  Parallelbewegung  einer 
regelmäßigen  Zickmcklinie  entlang  einer  anderen  solchen  entstehen. 
Fig.  17.  Unter  einer  regelmäßigen  Zickzacklinie   oder   einem   regelmäßigen 
Zickzacke   soll   ein    unbegrenzter   Vieleckszug    verstanden    werden, 
dessen  Ecken   auf  zwei   psurallelen   Geradeii, 
den  Leitgeraden 9   liegen,   und   dessen   Seiten 
in  wechselndem  Sinne  gleiche  Winkel  (+  « 
und  —  a)  mit  diesen  Geraden  bilden.    Legt 
man  nun  zwei  regelmäßige,  aber  beliebig  ver- 
schiedene  Zickzacke   bezw.   in   die   xz-    und 
o;^  Ebene   eines   rechtwinkligen  Koordinaten- 


Pig.  17. 


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I,  86.    Die  abwickelbaren  Flächen.    (Erster  Teil.) 


31 


Systems^  0,  xyg^  derart  daß  von  dem  ersten  die  Mittellinie  zwischen 
den  beiden  Leitgeraden  in  die  xAxe,  und  ein  Eckpunkt  in  die  0Axe 
und  daß  von  der  anderen  jene  Mittellinie  in  die  yAxe,  und  der 
Mittelpunkt  einer  Seite  in  den  Koordinatenursprung  0  föllt^  und 
läßt  dann  den  ersteren  Zickzack  parallel  zu  seiner  Anfangslage  sich 
so  bewegen,  daß  sein  Ursprungspunkt  den  zweiten  Zickzack  (und 
jeder  seiner  Endpunkte  einen  damit  kongruenten  und  parallelen)  be- 
schreibt, so  beschreibt  die  erste  Zickzacklinie  selbst  ein  Vielfiach, 
welches  wir  Zickzackfläche  nennen  wollen,  und  welches  abwickelbar 
ist.  Denn  an  jeder  seiner  Ecken  stoßen  vier  Flächen  zusammen, 
deren  Kantenwinkel  y,  y,  yi,  yi  eine  Summe  von  vier  Rechten  haben. 
Sind  nämlich  a  und  ß  die  Winkel,  welche  bezw.  die  Seiten  des 
ersten  und  zweiten  Zickzacks  mit  der  zu  ihren  Leitgeraden  bezw. 
parallelen  und  senkrechten  rrAxe  einschließen,  so  bilden  an  jeder 
Ecke  des  Vielflachs  die  Parallele  zu  der 
+  rcAxe,  eine  Seite  des  ersten  und  je 
eine  der  zwei  hier  zusammentreffenden 
Seiten  des  zweiten  Zickzacks  zwei  recht- 
winklige Dreikante  mit  den  Seiten  a, 
/J,  y  und  a,  180*^  —  j8,  y^,  in  denen  y 
und  Yy  dem  rechten  Winkel  gegenüber- 
liegen. Daher  ist  cos  y  =  cos  a  cos  j8, 
cos  yi  «=»  cos  a  cos  (180  —  j8);  also 
cos  yi  «=  —  cos  y,  y^  =«  ISO®  —  y,  oder 
2y  +  2yi  =  360o.      , 

Man  kann  nun  die  Zickzacklinie  und 
dadurch  auch  die  Zickzackääche  ver- 
mittelst einer  Fouriersehen  Beihe  durch 

eine  Gleichung  ausdrücken.     Die  Gleichung   der  ersten,   nach  den 
Bezeichnungen  in  Fig.  17  für  a  und  6,  ist*) 


Fig.  18. 


85  <7 


2n+l 

008 rr^ nX 

2o 

{2n  +  iy~" 


86  /       nx   .     1         Snx    ,     1         6nx    . 
'cos  — +   -COS -^  +  -- cos  ^-  +  . 


2a 


2a 


25 


2a 


.ininf.y(l) 


Wir  wollen  die  durch  das  erste,  zweite,  n**  Glied  der  Reihe  dar- 
gestellte Kurve  die  erste,  zweite,  n**  Teilkurve,  die  durch  die  Summe 
der  n  ersten  Glieder  dargestellte  Kurve  die  n^  Summenkurve  nennen. 


*)  Vergl.  z.  B.  Riemanns  VorleBangcn  Über  partielle  Differentialgleiobun* 
geD,  herausgegeben  von  Hattendorff,  1869,  S.  52. 


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32  I.  36—86.    Die  kmmmen  Flächen  im  aUgemeinen. 

Fig.  18.  Die  Teilkurven  sind  Cosinuslinieo,  und  die  Figur  stellt  die  drei 
ersten  dar,  ebenso  die  drei  ersten  Summenkurven,  welche  die  An- 
näherung an  die  Zickzacklinie  veranschaulichen.  Es  ist  in  der  Figur 
OÄ  ==  a,  OB  ^^  h.  Man  kann  leicht  aus  Nr.  48  oder  aus  der 
späteren  Bestimmung  der  Evolute  der  Cosinuslinie  erkennen,  daß 
die  Krümmungshalbmesser  aller  Teilkurven  in  ihren  Scheiteln  =  r 
=  a* :  26  «=  JSi^o  sind,  und  daß  derjenige  der  n^  Summenkurve  in 
ihrem  Scheitel  =  r  :  n  ist,  also  bei  zunehmendem  n  die  Null  zur 
Grenze  hat 

Die  Gleichung  der  zweiten  Zickzacklinie  mit  den  entsprechen- 
den Beständigen  a',  6'  erhält' man  unter  Beachtung,  daß  der  Ur- 
sprung um  -f  öt'  verschoben  ist, 

2W+1      , 
^  =  -.^2''    (2^^!)^ ^^ 

Die  Gleichung  der  Zickzack  fläche  y  welche  durch  Parallelverschie- 
bung der  ersteren  entlang  der  letzteren  Kurve  entsteht,  schreibt 
man  zweckmäßig  in  der  Form  der  zwei  Gleichungen 

2m-f  1 


2a 


■n{x  —  x^) 


^_86   ^ 

^~n'2j  (2w  +  l)»  — 

0 

Jcos~--r — i^4-  — cos — 4 ^  +  örCOS  — V— ^^-f --in  mf.): 

'nr\  2a         '     9  2a  '    26  2a  '  ) 


cos  -^—  « (y  —  a  ) 


n'V^^      2a'       ^9^^^        2a'        ^^26^^^        2a' 


•  ininf.Y 


(3) 


welche  Gleichungen  man  durch  Einsetzen  des  Ausdruckes  von  x^  in 
die  erste  Gleichung  in  eine  einzige  vereinigen  könnte. 

36.  Nach  Art  dieses  abwickelbaren  Vielflachs  mit  geschlossenen 
endlichen  Seitenflächen  kann  man  auch  abtvickelbare  Flächen  mit  un- 
endlich Meinen  ebenen  Flächenelementen  bilden.  Ich  habe  die  Weier- 
straßsche  Cosinusfunktion*)  hierzu  verwendbar  gefunden;  dieselbe  wird 
durch  die  unendliche  Reihe  dargestellt 

jef«=»  x/*  b'^(io^a'*xic=^coBX7C-^bcosax7C'^l^coBa^x%'\ —  in  inf.,  (4) 


*)  Mitgeteilt  von  Herrn  Pai*Z  Du  Bois-Reymond  im  Journ.  f.  Math.,  B.  79, 
1874,  S.  29 ff.;  weiter  untersucht  von  dem  Verf.  dieses  Buches  in  dems.  Journ. 
B.  90,  1880,  S.  221  ff. 


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I,  86.    Die  abwickelbaren  Flfichen.    (Erster  Teil.) 


33 


Fig.  19. 


worin  a  eine  ungerade  ganze  Zahl,  großer  als  Eins,  b  eine  positive 
Beständige,  kleiner  als  Eins,  und 

ab>l  +  ^7C 

ist.  In  der  Figur,  worin  a  =  9  und  b  =  0,64  gewählt  wurden,  sind  Fig.  19. 
die  zwei  ersten  Teilkurven  dargestellt;  dieselben  sind  Cosinuslinien 
und  werden  mit  zunehmendem  n  steiler,  schon 
wenn  a6  >  1  ist.  Bei  den  Summenkurven,  von 
denen  die  zweite  verzeichnet  ist,  entspricht 
einer  auf-  oder  absteigenden  Wellenhälfte  einer 
Teilkurve  ein  wenigstens  in  seiner  Mitte  eben- 
falls stets  auf-  oder  absteigendes  Linienstück; 
es   ist  dies  durch  Erfüllung  jener  Bedingung 

o 

ab  >  1  +  Y  Ä  erreicht 

Die  Teilkurve  und  dadurch  auch  die  Sum- 
menkurve nähert  sich  mit  zunehmendem  n  der 
Gestalt  des  geradlinigen  Zickzacks,  erster e  des 
regelmäßigen,  letztere  eines  nicht  regelmäßigen. 
Es  ist  nämlich  die  trigonometrische  Tangente 
des  Neigungswinkels  der  Tangente  einer  Teil- 
kurve gegen  die  xAxe 

disidx^=^  —  a^b^x  sin  a*x%y 
wird  also,  da  ab  >  1,  bei  wachsendem  n,  absolut 
genommen,  beliebig  groß,  so  lange  jener  Sinus 
endlich  ist,  und  wird  nur  endlich,  wenn  sin  a^x%  sehr  klein  wird,  also 
a"  X  sehr  wenig  von  einer  ganzen  Zahl  abweicht.   Sei  a"  x^  die  benach- 
barte ganze  Zahl,  so  muß  a*  {x  —  a^i)  sehr  klein,  oder  {x  —  x^  :  — ^ 

d.  h.  das  Verhältnis  der  Strecke  x  —  x^  zur  halben  Wellenlänge 
1 :  a**  sehr  klein  sein.  Zugleich  nähert  sich  der  Krümmungshalb- 
messer der  Teilkurve  im  Scheitel  der  Null  als  Grenze  (35),  so  daß 
die  Grenzgestalt  der  Teilkurve  der  geradlinige  Zickzack  ist,  bei  wel- 
chem die  ganze  Biegung  in  den  Punkten  der  Scheitel  vor  sich  geht. 
Die  gleiche  Eigenschaft  überträgt  sich  auf  die  Summenkurve. 

Legt  man  nun  eine  zweite  solche  Kurve  in   die  rry Ebene  von 
der  Gleichung 


--^ 


6'"  cos  a'*Ä 


(y-i)' 


(5) 


worin  wieder 


a'V>\^\%, 


und  läßt  die  erstere  Kurve  parallel  zu  ihrer  Anfangslage  sich   so 
bewegen,  daß  ihr  Ursprungspunkt  (Koordinatenanfang)  die  zweite 


Wiener,  Lehrbnoh  der  dartteUenden  Oeomotrie.    IL 


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1 


34 


I,  36.    Die  krammen  Flächen  im  allgemeinen. 


Kurve  beschreibt,  so  beschreibt  die  Kurve  selbst  eine  abwickelbare 
Fläche  mit  unendlich  kleinen  ebenen  Elementen.  Die  Gleichung 
derselben,  in  Form  von  zwei  Gleichungen,  ist  dann 


Z  arr  ^m     &»»    COS  O^  X  (X  —  X^y 
0 

jCi  —  ^  6'»  cos a'»«  (»  —  y) > 


(6) 


welche  Gleichungen   man  wieder  durch  Einsetzen  des  Ausdruckes 

von  x^  in  die  erste  Gleichung  in  eine  einzige  vereinigen   konnte. 

Flg.  20.  Die  Fig.  20  veranschaulicht  diejenige  Fläche,  welche  durch  die  zwei 

Fig.  20. 


ersten  Teilkurven  entsteht;  A^B^C^y  -4^,  B^y  C^  ...  sind  Lt^en  der 
erzeugenden  ersten  Kurve,  BqBB^B^,  CqCCiC^  sind  die  von  deren 
Scheiteln  beschriebenen  mit  der  zweiten  Kurve  kongruenten  Linien. 
Es  ist  bei  den  zweien  zur  Erzeugung  einer  Fläche  verwendeten 
Kurven  nicht  notwendig,  daß  m  und  n  gleich  sind. 

Die  Grenzgestalt  der  Fläche,  welche  durch  zwei  TeiJJourven  bei 
unendlichem  m  und  n  entsteht,  ist  eine  äbtmckelbare  ZickgcuJcfläche, 
weil  die  Teilkurven  zu  Grenzgestalten  regelmäßige  Zickzacklinien 
haben,  deren  Seiten  gleiche  unendlich  kleine  Winkel  bezw.  mit  der 
Z'  und  xkxe  bilden.  Die  Summenkurven  der  Gleichung  (5)  nähern 
sich  nicht  einem  regelmäßigen  Zickzacke;  denn  zwei  aufeinander  fol- 
gende Seiten  einer  jeden  bilden  mit  jenen  Axen  verschiedene  unendlich 
kleine  Winkel  (vergl.  Fig.  19),  weil  sich  die  Ordinaten  einer  Teilkurve 
auf  die  geneigten  Seiten  der  vorhergehenden  Summenkurve  auf- 
setzen.   Bei  der  erzeugten  Zickzackfläche  (Gl.  6)  ist  daher  die  Summe 


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I,  86—38.    Die  abwickelbaren  Flachen.    (Erster  Teil.)  35 

der  Eantenwinkel  an  einer  Ecke  um  einen  unendlich  kleinen  Winkel 
von  360^  verschieden,  d.  h.  diese  Summe  hat  36(P  zur  Grenze.  Die 
Abweichung  addirt  sich  aber  bei  einem  endlichen  Stücke  der  Fläche 
nicht  zu  einem  endlichen  Klaffen  oder  Überdecken^  weil  die  Abwei- 
chungen an  den  beiden  Endecken  einer  Kante  der  Fläche  gleich 
und  von  entgegengesetztem  Vorzeichen  sind.  Die  Fläche  ist  also 
(änmckelbar. 

Es  ist  hiermit  eine  nicht  geradlinige  abunckeUbare  Fläche  mü 
unendlich  kleinen  (geschlossenen)  Flächenelementen  durch  ihr  Ent- 
stehungsgesetz und  ihre  Gleichung  gegeben,  welche  vorgestellt,  aber 
nicht  durch  Zeichnung  oder  ein  Modell  dargestellt  werden  kann. 

37.  Betrachten  wir  jetzt  das  wichtigere  Vielflach  mit  nicht  ge- 
schlossenen Seitenflächen  oder  mit  unbegrenzten  Kanten.  Dasselbe  ist 
stets  cAtvickelbar,    Seien  die  unbegrenzten  Geraden  6,  ^  9,  A  ...  die  Fig.  21. 

Fig.  21. 


aufeinauder  folgenden  Kanten  des  Vielflachs,  wobei  sich  e  und  f  in 
A,  fnnd  g  m  B,  g  und  h  in  C  . .  schneiden,  und  wobei  die  Seiten- 
flächen durch  die  Paare  der  Scheitelwinkel  e/)  fg^  gh  .  .  .  gebildet 
werden,  so  kann  das  ganze  Vielflach  in  eine  Ebene  abgewickelt 
werden,  etwa  in  die  der  ersten  Seitenfläche  ef,  indem  man  alle  fol- 
genden um  f  dreht,  bis  fg  in  jene  Ebene  nach  fg'  gelangt  ist, 
dann  alle  auf  fg  folgenden,  bis  gh  in  dieselbe  Ebene  nach  g'h'  ge- 
langt ist,  u.  s.  w.  Das  Vieleck  ABC  .  .  .  ist  die  Rückkehrhmte  des 
Vielflachs  und  teilt  dasselbe  in  zwei  Äste.  Das  Vielflach  ist  ab- 
wickelbary  weil  es  bei  jener  Ausbreitung  in  einer  Ebene  keinen 
Bruch  und  keine  Verdoppelung  benachbarter  Teile  in  einem  Stücke 
des  Vielflachs  erfölyrt,  das  die  Rückkehrkante  nicht  in  seinem  Inneren 
einschließt  (34).  Die  beiderseits  der  Bückkehrkante  liegenden  Teile 
d^r  Fläche  verdoppeln  sich  dagegen.  Zur  Abwickelung  ist  ein  Zer- 
schneiden des  Vielflachs  notwendig,  wenn  das  Vieleck  AB  C  .  ,  . 
geschlossen  isi 

38.     Aus   einem   abwickelbaren    Vielflache    mit    unbegrenzten 


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36  I,  88—39.    Die  krnmmen  Flächen  im  allgemeinen. 

Kanten  läßt  sich  durch  bestandige  Verkleinerung  der  Seitenflächen 
als  Grenzgestalt  eine  modeUvrharß  abwickelbare  hrumme  Fläche  her- 
leiten. Nimmt  man  als  das  Vieleck  ABC ,  .  .,  von  welchem  man 
ausgehen  kann^  ein  solches  an^  das  in  oder  um  eine  unebene  Kurve 
beschrieben  ist;  und  läßt  seine  Seiten  beständig  gegen  die  Null  als 
Grenze  abnehmen^  so  sind  die  Grenzlagen  ihrer  vei^ängerten  Linien 
die  Tangenten  der  Kurve,  so  daß  eine  abuncJceJbare  Fläche  durch  die 
Gesamtheit  der  Tangenten  einer  unebenen  Kurve  gebildet  unrd.  Diese 
Tangenten  heißen  die  Erzeugenden  und  die  Kurve  heißt  die  Rüde- 
'kehrkante  der  Fläche.     Sie  teilt  die  Fläche  in  zwei  Äste. 

Ist  die  Rückkehrkante  i  einer  abwickelbaren  Fläche  gegeben,  so 
kann  man  ein  Vielflach,  aus  welchem  sie  entsteht,  und  welches  wir 
ihr  anschließendes  Vielflach  nennen  wollen,  offenbar  dadurch  erhal- 
«igw.  ten,  daß  man  auf  i  die  Punkte  ÄfB,C,D  . . .  in  Abständen,  die  man 
gleich  machen  kann,  aufträgt,  und  die  Sekanten  ABF^j  ^CQi  •  •  • 
zieht.  Diese  sind  dann  die  Kanten  des  Vielflachs,  und  die  Tan- 
genten -4P,  FQ  ....  der  i  sind  deren  Grenzlagen  und  zugleich 
die  Erzeugenden  der  Fläche.  Hat  man  eine  Kurve  k  der  Fläche, 
welche  die  genannten  Erzeugenden  bezw.  in  P,  Q . . .  schneidet,  und 
fällt  von  P,  Ö  . . .  die  Senkrechten  FF^,  QQ^  bezw.  auf -4J5,  BG..., 
so  entsteht  auf  dem  Vielflach  ein  Vieleck  Pi  ^i  .  .  .,  welches  der 
Kurve  FQ  ...  entsprechend  oder  ihr  anschließendes  Vieleck  genannt* 
werden  soll,  und  welches  bei  der  Abnahme  von  AB^  BG . . .  diese 
Kurve  zur  Grenzgestalt  hat.  Andererseits  entstehen  bei  der  Abwicke- 
lung des  Vielflachs  aus  den  Vielecken  AB  . . ,,  F^^Q^  . . .  ebene  Viel- 
ecke J.'JB'  ..,,  FiQi  .  .  .,  welche  die  verwandelten  der  ersteren 
sind.  Zieht  man  in  ihrer  Ebene  die  Senkrechten  F^  F'j  QiQ'  .  .  . 
bezw.  zu  A'F^'y  B'Q^  . . .  und  macht  sie  bezw.  gleich  F^F,  QiQ  • » •, 
so  bilden  die  Punkte  F'^Q' . . .  ein  Vieleck,  dessen  Grenzgestalt  eine 
Kurve  k'  ist,  welche  die  Verwandelte  von  k  heißt  und  auch  mit  der 
Grenzgestalt  des  Vielecks  F^  öi  .  •  •  zusammenfallt. 

Ebenso  wie  man  ein  abwickelbares  Vielflach  mit  unbegrenzten 
Kanten  als  das  einhüllende  Vielflach  der  aufeinander  folgenden  Lagen 
einer  Ebene  ansehen  kann,  welche  sich  um  wechselnde  Gerade  der- 
selben dreht,  so  kann  man  eine  abwickelbare  Fläche  als  die  einhüUende 
Fläche  einer  beweglichen  Ebene  ansehen,  und  jede  Erzeugende  der 
Fläcbe  als  diejenige  Gerade  in  einer  jeden  Lage  der  beweglichen 
Ebene,  welche  die  Grenze  ihrer  Schnittgeraden  sowohl  mit  einer  vor- 
hergehenden, als  mit  einer  folgenden  Lage  der  Ebene  bildet,  wenn 
diese  in  die  zwischenliegende  fragliche  Lage  hineinrücken. 

39.  Zur  Aufstellung  einiger  Sätze  über  abwickelbare  Flächen 
und  ihre  Abwickelung  müssen  wir  einige  Beziehungen  ermitteln,  die 


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I,  39.    Die  abwickelbaren  Flächen.    (Erster  Teil.)  37 

zugleich  zwischen  Linien  auf  der  abwickelbaren .  Fläche  und  dem 
anschließenden  Yielflach  und  zwischen  den  Verwandelten  von  beiden 
gelten. 

Indem  wir  J.B  =  J5(7««  . . .,  und  alle  unendlich  klein  machen  pig.  w. 
und  beachten,  daß  sie  in  Vergleich  mit  anderen  solchen  vorkommenden 
Großen  von  der  ersten  Ordnung 
(0^)  sind,  sind  auch  die  Winkel  ^'«'  ^^' 

PAP,,  QBQ,  ...  —  OS  und 
die  Unterschiede  zweier  solchen 
aufeinander  folgenden  Winkel 

=  0*  (1, 236).    Daher  ist  PP,  A"""^-^  ^\^^^ 

=  (fi  und  ÖÖi  =  0^5   und  da 

noch  AP—  BQ  =  0\  so  ist  «7 

pp^  ^QQ^=  0\    Außerdem 

ist  der  Winkel  von  PP,  und  QQ,  =^0^,  da  sie  in  den  Ebenen 
PABy  QBC  liegen,  deren  Winkel  OS  und  senkrecht  auf  den  Linien 
AP,,  BQi  stehen,  deren  Winkel  ebenfalls  =  0^  ist  Das  Viereck 
PPi  Qi  Q  weicht  daher  nur  unendlich  wenig  von  einem  Parallelo- 
gramme ab,  insbesondere  ist  ^  {PQ,  P,Q,)  =  {PP,  —  QQ^) :  PQ 
=  0«  :  0*  —  OS  P^  —  Pi^i  —  0\  —  Hieraus  folgert  man: 

1)  Eine  abunckelbare  Fläche  mrd  in  jedem  Punkte  P  einer  Er- 
zeugenden  PA  von  ein  und  derselben  Ebene  berührt,  nämlich  von  der 
Schmiegungsebene  der  BückkehrTcante  i  in  deren  BerOhrungspunkte  A 
mit  jener  Erzeugenden.  Denn  die  Tangente  t  einer  durch  P  gehen- 
den Kurve  der  Fläche  bildet  mit  der  unendlich  kleinen  Sehne  PQ 
der  k  einen  Winkel  =  OS  PQ  mit  PiQi  einen  Winkel  OS  daher 
auch  t  mit  PiQi  einen  Winkel  OS  oder  es  liegt  t  in  der  Grenz- 
lage der  Ebene  P^BQ,,  d.  i.  in  der  Schmiegungsebene  der  i  m  A. 

2)  Die  Bückkehrkante  i  ist  eine  Schneide  der  Fläche,  d.  h,  eine 
Kurve  k  der  Fläche  hat  in  .einem  Punkte  B  der  i  im  allgemeinen 
eine  Spitze.  Denn  die  beiden  ir  BC  aneinander  stoßenden  Seiten- 
flächen ABC  und  BCD  des  anschließenden  Vielflachs  bilden  einen 
Winkel  0^  und  liegen  auf  derselben  Seite  von  BC,  außer  wenn  B 
ein  Wendepunkt  oder  eine  Spitze  von  i  ist  (I,  259,  Fälle  3,  4,  5,  6). 
Daher  gilt  dies  auch  von  den  Seiten  eines  auf  diesem  Vielflache 
liegenden  Vielecks,  wenn  nicht  die  BC  selbst  eine  Seite  des  Viel- 
ecks bildet,  in  welchem  Falle  der  Winkel  zweier  aufeinander  folgen- 
den Seiten  des  Vielecks  im  allgemeinen  =  180^  —  0*  ist,  jedoch 
auch  0^  sein  kann.  Daher  hat  auch  die  entsprechende  Kurve  k  im 
allgemeinen  in  einem  Punkte  B  der  i  eine  Spitze;  doch  ist  dies 
nicht  notwendig,  wenn  die  i  in  J?  ein  Rückkehrelement  besitzt, 
oder  wenn  k  die  i  in  B  berührt. 


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38 


I,  39 — 40.    Die  krummen  Flächen  im  allgemeinen. 


3)  Die  BückkehrJcante  i  ist  bei  jeder  Projektion  der  dbunckdbaren 
Fläche  ein  Umriß  derselben,  weil  jede  Gerade,  daher  auch  eine  Pro- 
jicirende,  welche  durch  einen  Punkt  B  der  i  geht,  die  Fläche  in  B 
berührt.  Denn  B  ist  eine  Spitze  jeder  Kurve  der  Fläche,  worin  sie 
von  einer  durch  jene  Projicirende  gelegten  Ebene  geschnitten  wird. 
Einzelne  Punkte  der  i  mit  Rückkehrelementen  ändern  diese  Eigen- 
schaft der  Linie  e  nicht. 

4)  Ein  Stück  einer  Erzeugenden  oder  einer  Kurve  ändert  durch 
die  Abvnckelung  seine  Lä/nge  nicht  Denn  AP^  und  das  ganze  recht- 
winklige Dreieck  ÄP^P,  also  auch  AP  bleiben  ungeändert;  ebenso 
ändert  P^Q^  seine  Länge  nicht;  und  da  PQ  von  PiQi  um  0*  ver- 
schieden ist,  so  ist  auch  ein  endliches  Stück  einer  Kurve  k  von  dem 
entsprechenden  unveränderlichen  Stücke  des  anschließenden  Vielecks 
nur  um  0^,  d.  h.  nicht  verschieden. 

5)  Die  Tangente  t  einer  Kurve  k  der  Fläche  und  diejenige  t'  ihrer 
Verwandelten  k'  in  entsprechenden  Punkten  P  und  P  bilden  gleiche 
Winkel  mit  der  Erzeugenden  PA,  bezw.  P^  A'  des  Berührungspunktes. 
Denn  der  Winkel  der  t  mit  P^Q^,  sowie  der  Winkel  der  PA  mit 
P^A^  sind  vor  und  nach  der  Abwickelung  0\ 

*  6)  Der  Winkel  zweier  benachbarten  Erzeugenden  AP,  BQ  ändert 

sich  durch  die  Abioickelung  nicht  Denn  es  ist  ^  PAP^  =  0^,  <^  QB  Q^ 
=  0^,  ihre  Differenz  =  0^,  und  die  Ebenen  dieser  Winkel  bilden 
einen  Winkel  =  0^;  daher  ist  ^  {PA,  QB)  —  ^  P^BQ^  =  OK  Das- 
selbe gilt  nach  der  Abwickelung;  und  da  -^PiBQi  ungeändert  über- 
tragen wird,  ändert  sich  auch  ^{PA,QB),  der  =0*  ist,  nur  um 
0^  d.  h.  er  bleibt  ungeändert.  —  Demnach  ändert  sich  der  KonÜn- 
genzunnkd  und  die  Krümmung  der  Rückkehrkante  i  in  jedem  ihrer 
Punkte  durch  die  Abwickelung  nicht 

7)  Bei  dem  Kegel  wird  die  Rückkehrkante  zu  einem  Punkte, 
der  Spitze;  in  der  Abwickelung  gehen  daher  alle  Erzeugende  durch 
diesen  Punkt,     Bei  dem  Cylinder  fallt  derselbe  ins  Unendliche. 

Fig.  88.  ^.    ^„  40.  Bestimmen  wir  die  JLw- 

Fig.  23. 

ccj  derung,  welche   die  Krümmu7^g 

Q  R  einer  beliebigen  Kurve  auf  einer 

abwickelbaren  Fläche  durch  die 
Abwickelung  erleidet 

Seien  P,  Q,  R  drei  benach- 
barte Punkte  der  k  oder  ihrerVer- 
wandelten  k'  und  sei  im  Räume 
PQ^QR  =  0\  seienPi,  Q„R, 
ihre  entsprechenden  Punkte  auf 
Kant'Cn  des  anschließenden  Viel- 


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I,  40—41.    Die  abwickelbaren  Flachen.    (Erster  Teil.)  39 

ecks,  80  soll  gezeigt  werden,  daß  die  Winkel  PQB  und  P^Q^R^, 
deren  Unterschiede  von  180®  die  Kontingenzwinkel  und  «=  0^  sind, 
nur  um  0'  verschieden  sind.  Es  folgt  dies  noch  nicht  daraus,  daß 
Ä'  die  Grenzgestalt  der  Verwandelten  des  anschließenden  Vielecks 
ist,  weil  ^  (PQ,  Pi  Q,)  und  ^  {QR,  Q,R,)  =  0^  sind. 

In  Nr.  39  ergab  sich,  daß  PP^,  QQ^,  BB^,  sowie  die  Winkel 
zweier  solcher  Strecken  0^,  daß  dagegen  PP^  —  QQd  QQi  ^  BB^, 
PQ  —  PiQi,  Ö-B  —  ^i-Bi  aUe  0«  sind.  Zieht  man  nun  in  Fig.  a) 
QQ,  *  PP,,  BB,  #  QQu  wodurch  auch  P,  Q,  #  PQ,  Q,B,  #  QB 
wird,  zieht  dann  in  Pig.b)  OQ,  OB,  O^i,  OB^^  bezw.  #  mit  PQ  (und 
Pi  Ö2),  QR  (und  Q^B^),  P^Q,,  Q^B,  der  Fig. a),  wodurch  auch  QQ^  (b) 
*  QtQi  (a),  BB^  (b)  #  B^B,  (a)  wird,  so  sind  QOB  =  <p,  Q^OB, 
=  9?i  die  Kontingenzwinkel  von  PQB,  bezw.  Piöi^i-  Zieht  man 
noch  in  (b)  BB^  #  QQi,  wodurch  auch  QiB^  ^  QB,  so  ist  im 
Dreiecke  OQQ„  OQ  =  0^  $$1  =  0^  OQ  —  OQ,  <  QQ„  also  =  0^, 
wenn  nicht  kleiner,  ebenso  in  OBB^,  OB  —  OiJg  «==  0^,  w.  n.  kl. 
In  den  Dreiecken  OQQ,,  OBB^  sind  OQ  =  OB,  QQ,  #  BB^,  die 
eingeschlossenen  Winkel  Q  und  B  wegen  -^  QOB=:(fi  höchstens 
um  9  =  0^  verschieden;  daher  ist  OQ,  —  OB^  =^^^.0^  =  0^  Dem- 
nach sind  in  dem  Dreiecke  OQ,B^  die  Seiten  OQ,  und  OJB3  (=  OQ 
+  0*)  nur  um  ein  0*  verschieden,  und  bezeichnet  man  den  Winkel 
<2,OÄ,mit9,  soist^iJ  =  0«.<p,  Q,B^^OQ,'q>'={PQ  +  QP)ip'y 
daher  wegen  QB  ^  Q,K,  auch  0^  •  9  =  {OQ  +  O*)^',  9—9' 
=  (0^-9')  :  Oö  =  Ol  Da  ferner  der  Winkel  von  Q,Q^  und  B,B^  in 
(a)  =  ^  ÄjülJ^  in  (b)  =  OS  EEi  =  OS  so  ist  JJ^Ä»  =  0^  ^B,OB, 
=  0»:0^  =  0^  Daher  ist  auch  <^  Q,OB,  =  (p,  =  9'+  0«  =  9?  +  0S 
w.  z.  b.  w. 

Da  diese  Entwickelung  für  die  Gestalt  vor  und  für  die  nach 
der  Abwickelung  gilt,  also  in  jedem  Falle  der  Kontingenzwinkel  einer 
Kurve  k  von  dem  entsprechenden  des  anschließenden  Vielecks  nur 
um  0*  verschieden  ist,  beide  selbst  aber  0*  betragen,  so  erleidet  der 
KonHngeneumkel  einer  Kurve  h  der  Fläche  durch  deren  Abwickelung 
dieselbe  Veränderung,  wie  sein  entsprechender  Winkel  auf  dem  an- 
schließenden Vielflache. 

41.  Ist  nun  PQBS  ein  Vieleck  auf  dem  anschließenden  Viel- Fig.  24. 
flache  mit  unendlich  kleinen  Seiten,  PQB' S'  seine  Abwickelung  in 
die  Ebene  der  ersten  Fläche  PQA,  daher  BR  ±  PQA,  QN  die 
Verlängerung  von*P^,  so  sind  NQB,  NQB'  die  Kontingenzwinkel 
9,  9'  vor  und  nach  der  Abwickelung.  Zieht  man  BN  JL  QN,  so 
ist  auch  JB'JV  J.  QN,  und  ^  B'NB=  6  ist  der  Winkel  der  Seiten- 
fläche PQA  mit  der  Ebene  NQB  zweier  aufeinander  folgenden 
Seiten  PQ,  QB,  welcher  übereinstimmt  mit  dem  Winkel  der  Be- 


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40  I)  41—42.    Die  krummen  Flächen  im  allgemeinen. 

rührungsebene  der  Fläche  und  der  Schmiegungsebene  der  Kurve  in 

Q.    Nun  ist  offenbar 

NR'        tp'         r 
cos  6  ==  ^frrw  =»"  =  —, 
NB         (p  r  ' 

wenn  r^r^  die  Krümmungshalbmesser  der  Je  bezw.  Je'  in  Q  sind. 

Die  Formel  sagt:    Das  VerJiältnis  des  KrümmungsJidlbmessers  r 
einer  Kurve  einer  abtmcJcdba^en  Flocke  in  einem  ihrer  PunJcte  zum 

Fig.  24. 


Krümmungsfidlbmesser  r'  ihrer  VerwcmdeUen  im  entsprechenden  Funkte 
ist  gleich  dem  Cosinus  des  Winkels  ö  der  Schmiegungsebene  der  Kurve 
und  der  Berührungsebene  der  Fläche  in  jenem  PunJcte. 

42.  SoU  der  KrümmungsJuxlbmesser  r'  einer  Vmoandelten  Je'  un- 
endlich groß  werden',  so  muß,  wenn  nicht  gerade  schon  für  Je  der 
entsprechende  r  •=  oo  ist,  cos  tf  «=  0,  tf  =  90®  werden,  oder  es  muß 
die  Schmiegungsd)ene  der  ursprünglichen  Kurve  Je  in  dem  entsprechenden 
JPunJcte  senJcredit  auf  der  Berührungsebene  der  abwicJeelharen  Fläche 
stehen.  Dann  tritt  in  ifc'  im  allgemeinen  ein  WendepmJet  ein,  in- 
dem im  allgemeinen  drei  aufeinander  folgende  Punkte  in  eine  Ge- 
rade fallen. 

Sollen  alle  Punkte  der  ¥  in  eine  Gerade  fallen,  so  ist  sie,  und 
auf  der  abwickelbaren  Fläche  die  entsprechende  Je,  die  kürzeste 
Linie  zwischen  irgend  zweien  ihrer  Punkte,  und  heißt  Joürzeste  oder 
geodätische  Linie.  Bei  einer  solchen  steht  die  Schmiegungsebene  in 
jedem  ihrer  Punkte  senkrecht  auf  der  Berührungsebene  der  Fläche.  Diese 
Eigenschaft  besitzt  auch  die  kürzeste  oder  geodätische  Linie  Je  einer 
jeden  FläcJ^]  denn  legt  man  entlang  derselben  die  berührenden 
Ebenen  der  Fläche,  so  werden  dieselben  von  einer  abwickelbaren 
Fläche  eingehüllt,  welche  jene  Fläche  entlang  £  berührt,  und  auf 
welcher  ebenfalls  Je  eine  geodätische  Linie  ist.  Die  Schmiegungs- 
ebenen  der  Je  stehen  dann  auf  den  gemeinschaftlichen  Berührungs- 
ebenen beider  Flächen  senkrecht  Ein  auf  einer  glatten  Oberfläche 
gespannter   biegsamer   Faden   bildet   eine   geodätische   Linie,   weil 


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II,  42—44.  Die  abwickelbaren  Flächen.  (Erster  Teil.)  41 

beim  Gleichgewicht  die  Mittelkraft  der  Spannungen  zweier  aufein* 
ander  folgenden  Elemente  des  Fadens  senkrecht  auf  der  Fläche  stehen 
muß,  zugleich  aber  in  der  Schmiegungsebene  der  Fadenlinie  liegt. 

43.  Außer  durch  ihre  Bückkehrkante  oder  durch  Einhüllung 
einer  beweglichen  Ebene  (38)  kann  eine  abwicMbare  Fläche  auch 
durch  Leitlinien  l  und  l^  bestimmt  sein.  Um  durch  einen  Punkt  Ä 
der  l  eine  Erzeugende  zu  ziehen ;  lege  man  aus  Ä  als  Spitze  durch 
li  einen  Kegel  ^  ziehe  die  Tangente  t  der  l  in  Ä,  lege  durch  t  eine 
berührende  Ebene  an  den  Eegel,  so  ist  seine  Berührungserzeugende 
auch  die  Erzeugende  e  der  abwickelbaren  Fläche,  und  jene  Berüh- 
rungsebene des  Kegels  auch  ihre  Berührungsebene,  weil  sie  die 
Tangente  der  l  in  A  und  der  l^  in  deren  Schnittpunkte  Ä^  mit  e 
enthält  Die  abwickelbare  Fläche,  welche  alle  diese  die  l  und  l^ 
zugleich  berührende  Ebenen  einhüllt,  ist  aber  offenbar  die  verlangte, 
deren  Erzeugende  die  l  und  l^  schneiden. 

Durch  Ä  gehen  so  viele  Erzeugende,  als  Berührungsebenen 
durch  t  an  jenen  Kegel  gelegt  werden  können,  als  demnach  die 
Klasse  einer  ebenen  Schnittkurve  des  Kegels,  d.  i.  einer  Projektion 
der  l^,  angibt.  Die  Leitlinie  l  ist  daher  eine  ebenso  vidfache  Kurve 
der  Fläche. 

Man  kann  auch  eine  oder  beide  Leitlinien  durch  Leitflächen  er- 
setzen, die  von  den  Erzeugenden  berührt  werden  sollen;  und  die 
abwickelbare  Fläche  kann  man  in  allen  diesen  Fällen  auch  als  die 
Einhüllende  einer  Ebene  ansehen,  welche  auf  zwei  Leitlinien,  auf 
einer  Leitlinie  und  einer  Leitääche  oder  auf  zwei  Leitflächen  be- 
rührend hinrollt.  Die  Erzeugenden  sind  stets  die  Verbind  ungsgeraden 
der  Berührungspunkte  [derselben  Ebene  mit  den  beiden  Leitlinien 
bezw.  Leitflächen, 

Liegt  eine  Leitlinie  im  Unendlichen,  so  wird  sie  durch  einen 
Kegel  gegeben,  welcher  sie  projicirt  und  der  RichiJcegel  der  abwickel- 
baren Fläche  heißt  Mit  jeder  Erzeugenden  des  Richtkegels  ist  eine 
Erzeugende  der  abwickelbaren  Fläche  parallel,  und  in  diesen  ent- 
sprechenden Erzeugenden  sind  auch  die  Berührungsebenen  beider 
Flächen  zu  einander  parallel. 

44.  Eine  besondere  Art  von  abwickelbaren  Flächen  hat  für 
die  Kurven  eine  Bedeutung,  nämlich  ihre  EvoltUenflädie.  Sie  ist 
die  EinhüUende  der  Normalebenen  der  Kurve  und  besitzt  die  Eigen- 
schaft, daß,  wenn  man  auf  ihr  eine  Ebene  abrollen  läßt,  ein  Punkt 
derselben,  nämlich  der  in  ihr  liegende  Punkt  der  Kurve,  in  welchem 
sie  zu  dieser  normal  steht,  die  Kurve  beschreibt  Denn  dreht  sich 
die  Normalebene  um  die  in  ihr  liegende  Erzeugende  der  abwickel- 
baren Fläche,  so  beschreibt  jener  Punkt  ein  auf  der  Ebene  senk- 


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42 


n,  44—46.    Die  krummen  Flächen  im  allgemeinen. 


Fig.  26. 


Fig.  26. 


rechtes  Linienelementy  also  das  Eleiaent  der  Kurve.  Zieht  mau  iu 
einer  solchen  Normalebene  der  Kurve  durch  ihren  Fußpunkt  alle 
Normalen  der  Kurve ,  so  werden  diese  Geraden  beim  Aufwickeln  der 
Ebene  auf  die  abwickelbare  Fläche  zu  geodätischen  Linien  derselben^ 
deren  Tangente  stets  der  noch  nicht  aufgewickelte  Rest  der  betreffen- 
den Normale  ist  Alle  diese  geodätischen  Linien  sind  daher  Evoluten 
der  Kurve,  deren  dieselbe  demnach  unendlich  viele  besitzt  Die 
Evolutenfläche  einer  ebenen  Kurve  ist  der  Cylinder,  welcher  die  in 
der  Ebene  der  Kurve  liegende  Evolute  derselben  zum  senkrechten 
Schnitte  hat. 

45.  Da  sich  zwei  nahe  zusammenliegende  Erzeugende  einer 
abwickelbaren  Fläche  nicht  schneiden,  so  ist  es  von  Belang,  den 
Grenzwert  des  Verhältnisses  des  Abstandes  dieser  Erzeugenden  zu 
dem  Abstände  ihrer  Berührungspunkte  auf 
der  Rückkehrkante  i  zu  bestimmen.  Sei  A 
ein  Punkt  der  i,  und  bilden  wir  die  Projek- 
tion i'  der  %  auf  ihre  rektificirende  Ebene  in 
Äy  so  besitzt  i'  im  allgemeinen  einen  Wende- 
punkt in  Ä'  (l,  260);  ziehen  wir  dann  an  i' 
zwei  untereinander  parallele  in  den  unendlich 
nahe  bei  Ä'  liegenden  Punkten  B'  und  C  be- 
rührende Tangenten,  so  ist  der  kürzeste  Abstand  der  Tangenten 
der  i  in  i^und  C=S'r,  wenn  Ä'S'±B'S\  A'T  ±  CT.  Ist 
noch  A'B'  =  s,  q)  der  Winkel  der  Normalen  der  i'  in  A' 
und  B\  und   r   der   Krümmungshalbmesser   der   t    in   A\    so   ist 

A'S'  =  Y  sq)y     q)  ^=  s:r,    A'S'  =  y  s*  :  r  (I,  236,  5)),  und  da  im 

Wendepunkt  r  =  c»  =  1  :  OV  so  ist  für  s  =  0^  A'S'  =  0*,  daher 
auch  S'T  =  0^  und  ST  =  0^  d.  b.  der  küraeste  Abstand  inveier  be- 
nachbarten Erzeugenden  einer  abunckeJbaren  Fläche  ist  unendlich  Mein 
von  der  dritten  Ordnung. 


^ 


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IL  Abschnitt. 

Der  Schnitt  des  Cylinders  und  Kegels  mit  einer  Ebene  and 
einer  Geraden  und  die  Abwickelung  der  Fläche. 

L    Allgemeines  Verfahren. 

46.  Die  SchniUUnie  einer  Jcrummen  Fläche  mit  einer  Ebene  wird 
erhalten  y  indem  man  eine  Anzfihl  von  Erzeugenden  der  Fläche  mit 
der  Ebene  schneidet  (I^  256)^  und  die  Schnittpunkte  als  Punkte  der 
Schnittkurve  in  der  Reihenfolge  der  sie  enthaltenden  Erzeugenden 
durch  einen  stetigen  Zug  verbindet  Da  eine  Fläche  durch  ver- 
schiedene Erzeugende  entstehen  kann^  so  wählt  man  diejenigen; 
deren  Projektionen  am  leichtesten  verzeichnet  werden  können^  also 
womöglich  Gerade  oder  Ejreise  sind. 

Eine  vorteilhafte  Lage  einer  schneidenden  Ebene  ist  im  allge- 
meinen die  auf  einer  F  senkrechte ,  weil  dann  ihre  Projektion  eine 
Gerade  ist,  und  ihre  Schnittpunkte  mit  den  Erzeugenden  sich  un- 
mittelbar ergeben.  Man  wendet  daher  bei  einer  Schnittebene  von 
allgemeiner  Lage  häufig  solche  auf  einer  F  senkrechte  Ebenen  als 
Hilfsebenen  an;  man  bestimmt  die  Schnittlinien  einer  solchen  mit 
der  Fläche  und  mit  der  gegebenen  Ebene ;  die  Schnittpunkte  beider 
sind  dann  Punkte  der  gesuchten  Kurve.  Manchmal  sind  auch  andere 
Hilfsebenen  vorteilhaft,  deren  Schnittlinien  mit  der  Fläche  leicht  zu 
verzeichnende  Projektionen  besitzen. 

Die  Tangente  an  die  Schnittkurve  in  einem  gegebenen  Punkte 
derselben  wird  als  die  Schnittgerade  der  schneidenden  Ebene  mit 
der  Berührungsebene  der  Fläche  in  jenem  Punkte  gefunden.  Denn 
in  jeder  von  beiden  Ebenen  muß  die  Tangente  liegen  (7). 

Die  SchnMptmkte  einer  Geraden  mit  einer  Fläche  findet  man, 
indem  man  durch  die  Gerade  eine  Ebene  legt  und  ihre  Schnittlinie 
mit  der  Fläche  bestimmt;  die  Schnittpunkte  dieser  Linie  mit  der 
Geraden  sind  die  gesuchten  Punkte.  Die  Hilfsebene  ist  dann  vor- 
teilhaft, wenn  ihre  Schnittlinie  mit  der  Fläche  sich  als  eine  mög- 
lichst einfache  Linie  projicirt,  am  besten  als  Gerade  oder  Kreis. 


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44 


II,  47-48.    Ebener  Schnitt  des  Gylinders  und  Kegels. 


n.    Ebener  Schnitt  und  Abwickelung  des  Oylinders. 

47,  Zwei  ebene  Schnittkurven  eines  Gylinders,  ihre  Parallel- 
projektionen auf  ein  und  dieselbe  Ebene,  und  endlich  die  eine 
Schnittkurve  und  die  Umlegung  der  anderen  in  die  Ebene  der  er- 
steren  sind  perspeküv-affine  Figuren,  deren  Affinitätsaxe  die  Schnitt- 
linie beider  Ebenen  oder  deren  Projektion  bildet. 

Äufg.  Von  der  SchniUhurve  eines  cmf  P^  senkrechten  Umdrehungs- 
cylinders  mit  einer  auf  P,  senkrechten  Ebene  E  sollen  die  wahre  Gestalt 
und  die  bei  der  Abwickelung  des  Gylinders  entstehende  Verwandelte  be- 
stimmt werden. 
Fig.  26  a.  Aufl.  Die  erste  Spur  und  Projektion  des  Cylinders  sei  der 
Kreis  J.'B' CD',  die  zweite  Spur  und  Projektion  det  Ebene  E  die 

Gerade  Cj,  so  sind  beide  Linien 
^^'      **  bezw.  auch  die  erste  und  zweite 

Projektion  der  Schnittkurve.  Diese 
ist  eine  Ellipse  A^BC^Dy  deren 
große  Axe  A^C^  mit  P^  parallel 
läuft,  deren  kleine  BD  auf  F^ 
senkrecht  steht. 

Um  die  wahre  Gestalt  dieser 
Ellipse  zu  erhalten,  drehe  man  sie 
um  die  zu  P^  parallele  Axe  BD 
in   eine   zu  Pj    parallele  Ebene. 
Ein    beliebiger    Punkt    P^    der 
Schnittkurve   beschreibt  bei  der 
Drehung  einen  Kreisbogen  {PP^'^ 
Pi'Pi^^)'     Die  erste  Projektion 
ArB'P;''G"'D'  der  gedrehten 
Figur  zeigt  die  wahre  Gestalt,  die 
mit  dem  Kjreise  A' B'CD'   per- 
spektiv- affin  ist.     Die  Tangente 
PiT  trifft  die  Drehaxe  in  T  und 
geht  durch  die  Drehung  im  Grund- 
riß in  TP;"  über. 
Die  Brennpunkte   JP/"   und  F^"   der  wahren  Gestalt   ergeben 
sich   aus   den  Berührungspunkten  der  E   mit  den  beiden  Kugeln, 
welche  zugleich  den  Cylinder  nach  je  einem  Kreise  und  die  E  be- 
rühren. 
Fig.  26  b.  48»    Bei  der  Abunckehing  eines  Cylinders  werden  alle  Erzeugende 

zu  parallelen  Geraden  (39,  7)),  jeder  senkrechte  Schnitt  wird  zu  einer 
auf  den  Erzeugenden  senkrechten  Geraden  (39,  ö)),  daher  die  Ab- 


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II,  48.    Ebener  Schnitt  and  Abwickelung  des  Cylinders. 


45 


Wickelung  unseres  durch  zwei  senkrechte  Schnitte  begrenzten  Cylin- 
ders zu  einem  Rechtecke,  dessen  Grundlinie  gleich  dem  rektificirten 
Grundkreise  und  dessen  Höhe  gleich  der  Länge  der  Erzeugenden  ist. 
Der  durch  den  Mittelpunkt  der  Schnittkurve  gelegte  senkrechte 
Schnitt  des  Cylinders  ist  der  Kreis  ÄBPCD,  seine  Verwandelte 
die  Gerade  ÄBPCDA.  Indem  man  den  Cylinder  nach  der  Erzeugen- 
den von  Ä  aufgeschnitten  denkt,  erhält  mau  die  Erzeugenden  der 
Teilungspunkte  durch  Einteilung  der  Rektificirten  AA  in  vier 
gleiche  Teile,  den  Punkt  P  durch  Übertragen  des  Bogens  BP  mit- 
telst kleiner  Bogenstücke. 

Fig.  26  b. 


/ 

^C\ 

M 

^\ 

A 

T/ 

/....i? 

<^      \ 

V 

■l 

\ 

A 

yf$ 

v_ 

Jl, 


Die  Venvxmädte  der  ScfmiUJcurve  erhält  man  durch  Übertragen 
der  Stücke  der  Erzeugenden  zwischen  dieser  Kurve  und  dem  Kreise 
AB  PCD,  indem  man  z.  B.  PP^  =  F'P/'  macht,  um  die  Tangente 
im  Punkte  P^  zu  verzeichnen,  beachte  man,  daß  sich  ihr  Winkel 
mit  der  Erzeugenden  PP^  durch  die  Abwickelung  nicht  ändert,  und 
daß  derselbe  in  dem  rechtwinkligen  Dreiecke  P^PT  enthalten  ist, 
welches  man  vollendet,  wenn  man  PT=  P'T'  oder  P^T  =  P^" T 
fiberträgt 

Die  Tangenten  in  Ay^  und  C^  stehen  vor  und  nach  der  Abwicke- 
lung senkrecht  auf  den  Erzeugenden,  die  Wendepunkte  der  Verwan- 
delten sind  B  und  2),  weil  vor  der  Abwickelung  in  den  ihnen  ent- 
sprechenden Punkten  B  und  D  die  Schmiegungsebenen,  d.  i.  die  E, 
senkrecht  auf  den  Berührungsebenen  des  Cylinders  stehen  (42).  Die 
Tangente  BS  wird  durch  ^AB8  ^  ^A"B''A^'  =  der  ersten 
Grundneigung  8  der  E  bestimmt.  Der  Krümmungshalbmesser  r'  der 
Verwandelten  in  A^  (und  C^  wird  A^A^  =  A" A^  erhalten,  wenn 
man  B" A^  J.  e^  bis  A,^  auf  A" A^'  zieht.  Denn  ist  a^^M!  A' 
der  Halbmesser  des  Grundkreises  des  Cylinders,  so  sind  die  Axen 


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46 


IT,  48.   Ebener  Schniit  des  Cylindera  und  Kegels. 


der  Schnittellipse  a  :  cos  €  und  a,  und  ihr  Krümmungshalbmesser  in 
Ai  ist  r  =  a* :  (a  :  cos  f)  =  a  cos  a;  da  femer  der  Winkel  der 
Schmiegungsebene  (E)  mit  der  Berührungsebene  des  Gylinders  in 
-4i,  <y  ==  90^  —  €  ist,  so  ergibt  sich  (41) 

r'  =  r  :  cos  <y  =  r  :  sin  a  =  a  cot  b  =  -^"-^g . 
Fig.  27  a. 


N-  V    ^  -  ^  ^  "      \  '         > . 


-\       \^\ 


Zur  Verzeichnung  der  Verwandelten  genügen  meistens  die  Wende- 
punkte und  Scheitel  mit  ihren  Erümmungskreisen. 

Die  Verwandelte  der  SchnittJcarve  ist  eine  Sinoide  oder  Sinuslinie, 
deren  unendlich  vielen  Wellen  man  durch  das  unbegrenzte  Abrollen 
des  Gylinders  auf  einer  Ebene  erhält.  Nimmt  man  B  als  Ursprung 
der  rechtwinkligen  Koordinaten,  BG  als  xAxe,  so  daß  für  P^ 

BP  =  x,      PPt=y, 


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n,  48—49.  Ebener  Schnitt  und  Abwickelung  des  Cylinden. 


47 


80  ist  X  =  Bog.  B'F,    also    ^  B'M'P'  =  | , 

P"P/'  =  y  =  B"P"  .  tg  fi  —  a  sin  |-  tg  fi. 

Ist  T  der  Schnittpunkt  der  Tangente  in  Pj  mit  der  a;Axe,  so  ist  die 

Subtangente  =  PT  =  P'T'  =  a  tg  -| 
unabhängig  von  £,  und  femer 

tg  PTP,  =  -|r-  =  cos  ^  tg  £. 
°  *        subtg  a    ° 

49.  Aufg,  Die  Schnitthurve  eines  beliebigen  Cylinders  mit  einer 
beliebigen  Ebene  m  bestimmen  und  ihre  bei  der  Abunckehmg  des  Cylin- 
ders  entstehende  VeruxxndeUe  m  Jconstruiren, 

Aufl.    Es    sei  die 


Fig.  27  b. 


sei 
in  Fj  liegende  Ellipse 
^PCD  mit  dem  Mittel- 
punkte M  die  Leitlinie, 
BB  eine  Erzeugende 
des  Cylinders,  c^,  eg 
seien  die  Spuren  der 
Schnittebene  E.  Um  die 
Schnittpunkte  der  Er- 
zeugenden mit  der  B 
und  zugleich  die  f&r  die 
Abwickelung  notwendi- 
gen wahren  Längen  der 
auf  den  Erzeugenden 
abgeschnittenen  Stücke 
zu  erhalten,  lege  man 
durch  dieselben  die  er- 
sten projicirenden  Ebe- 
nen, schneide  diese  mit 

E  und  lege  sie  dann  samt  den  Erzeugenden  und  diesen  Schnitt- 
linien in  Fl  um,  wodurch  sich  die  Schnittpunkte  beider  Linien 
ergeben.  Verfahrt  man  so  mit  der  Erzeugenden  PJß,  so  gelangt 
diese  nachB'JJ'"  (U'JJ'"  ±  B'B\  B'B'"  =  Abstand  des  B"  von  x), 
imd  die  Schnittlinie  der  projicirenden  Ebene  mit  E  nach  B^  TJ'" 
{B^  Schnitt  von  B'B'  mit  e^,  Q"  ein  Punkt  der  e,,  Q'TJ' [\  e^]  eine 
mit  e^  Parallele  in  E,  U^  ihr  Schnitt  mit  jener  projicirenden  Ebene, 
17'"  dessen  ümlegung,  indem  TJ'V"  ±B'Tr  und  -=^Q'Q"\  dabei 
sind  die  Abstände  des  ü"  und  Q"  von  x  gleich  angenommen).  B'B'" 


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48  II,  49-— 62.   Ebener  .Sclmitt  des  Cylinders  and  Kegels. 

und  jBg  i7'"  schneiden  sich  in  B^"y  woraus  sich  die  Projektionen 
J5i'  und  B^'  des  Schnittpunktes  By  der  Erzeugenden  mit  E  ergeben. 
—  Für  eine  andere  Erzeugende^  z.B.  die  aus^l,  zieht  man j4.'-4/"|| 
B'By"  und  Ä^Ai''  ||  B^B^'\  Man  kann  sich  vorerst  mit  den  vier 
Punkten  A^  B,  G^  D  der  Grundellipse  begnügen,  welche  die  End- 
punkte zweier  konjugirten  Durchmesser  sind,  und  von  denen  B  und 
D  a:uf  dem  ersten  Umrisse  liegen.  Die  vier  erhaltenen  Punkte  A^^ 
By,  Ci,  Dl  sind  dann  ebenfalls  Endpunkte  zweier  konjugirter  Durch- 
messer der  Sclinittellipse,  in  der  wahren  Gestalt  und  in  den  Pro- 
jektionen. 

Die  Kurve  ^/"J5/"Ci'"D/"  ist  eine  EU^  als  affine  Figur 
zur  Grundellipse  mit  A' A"'  als  Strahl  und  e^  als  Axe,  oder  als 
Parallelprojektion  von  AiByCiDi  mit  den  Sehnen  der  beim  Um- 
legen jener  Hilfsebenen  beschriebenen  Kreisbogen  als  parallelen 
Projicirenden. 

50.  Zur  Bestimmung  der  wahren  GestaU  der  Schmtthurve  lege 
man  B  um  e^  in  P^  um.  Die  Bahn  eines  Punktes  Bi  im  Grundriß 
ist  eine  auf  e^  senkrechte  Gerade  B^B^^^j  und  da  der  Abstand  des 
By  vom  Punkte  B^  der  e^  ungeändert  bleibt,  mache  man  B^B^^^ 
=  B^Bi"\  Für  einen  andern  Punkt  Ai  mache  man  A^A^^^  ||  B^B^^^ 
und  =  A^Ay".    Ai^^Ci^^  und  B^^B^^  sind  konjugirte  Durchmesser. 

51.  Zur  Abwickelung  einer  Fläche  ist  es  stets  vorteilhaft  eine 
Kurve  derselben  zu  besitzen,  deren  Verwandelte  eine  bekannte  Ge- 
stalt hat.  Bei  dem  Cylinder  ist  dies  eine  zu  den  Erzeugenden  senk- 
rechte Schnittkurve,  die  zu  einer  Geraden  wird.  Wir  brauchen  von 
ihr  die  wahre  Gestalt  und  die  Längen  der  von  ihr  auf  den  Er- 
zeugenden hervorgebrachten  Abschnitte,  nicht  aber  die  Projektionen* 
Die  Spuren  s^,  s^  einer  senkrechten  Schnittebene  S  sind  senkrecht 
auf  den  gleichnamigen  Projektionen  der  Erzeugenden,  und  man 
erhält  ihren  Schnittpunkt  B^  mit  einer  solchen,  wenn  man  aus  dem 
Schnittpunkte  jB^  derS'JB'  mit  s^  die  Senkrechte  B^B^'"  auf  J5'jB'" 
fällt,  deren  Fußpunkt  B^"  ist;  die  Senkrechte  ist  nämlich  die  Um- 
legung des  Schnittes  der  ersten  projicirenden  Ebene  von  BB  mit  S. 
Legt  man  dann  S  um  s^  in  F^  um,  so  gelangt  B^  nach  B<^^^  wenn 
B'B^^  (J_  Sj)  die  verlängerte  erste  Projektion  einer  Erzeugenden 
und  B^B<^^  =«  B^B^'\  So  erhält  man  rfie  wahre  Gestalt  des  elivptir 
sehen  senkrechten  Schnittes  mit  jd^^^C^^^  und  B^^^D/^  als  konjugir- 
ten Durchmessern.     Auch  A^"B^"  ...  ist  eine  Ellipse. 

53.    Um  die  Abwickelung  zu  verzeichnen,  trage  man  die  Länge 

der  senkrechten  Scl\nittkurve  A^^B^^  . . .   sammt  ihren  konstruir- 

ten  Punkten  mittelst  kleiner  Bogenstückchen  auf  einer  Geraden  nach 

Fig.  27b.  -42^2  •  •  •  *^f;  ziehe  durch  alle  bezeichneten  Punkte  die  zu  dieser 


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n,  62  -  64.   Ebener  Schnitt  und  Abwickelung  des  Cyliuders.  49 

Geraden  senkrechten  Erzeugenden,  übertrage  auf  sie  im  entsprechen- 
den Sinne  die  wahren  Längen  der  Erzeugenden  zwischen  deren  senk- 
rechtem Schnitte  und  der  Grundellipse  bezw.  dem  schiefen  Schnitte, 
welche  aus  deren  ümlegung  zu  entnehmen  sind,  also  B^B  = 
B^''B\  B^B^  =  B^''B^'\  so  erhält  man  die  Verwandelte  AB.,. 
der  Grundellipse  und  die  A^B^  ...  des  schiefen  Schnittes. 

63.  um  die  Tangenten  an  alle  erhaltenen  Kurven  in  den  Punk- 
ten jP,  F^  einer  beliebigen  Erzeugenden  zu  bestimmen,  ziehe  man 
die  Tangente  an  die  Grundellipse  in  F'  als  erste  Spur  der  Berüh- 
rungsebene des  Cylinders  nach  der  fraglichen  Erzeugenden.  Diese 
treflfe  5^  in  T,  e^  in  T\  so  sind  VF^^^  und  VF^'\  sowie  TF^', 
TF^iv^  X'f;"  und  T"F^'  die  gesuchten  Tangenten.  Die  Tangen- 
ten  an  die  Verwandelte  in  F  und  jF\  bilden  mit  der  Erzeugenden  ein 
Dreieck  FF^T,  dessen  Seiten  FT »=  i?" r,  F^T=FJ^r  bekannt 
sind  und  zu  seiner  Verzeichnung  in  der  Abwickelung  und  dadurch 
zur  Bestimmung  der  Tangenten  dienen.  Auch  ist  in  einem  bei  F^ 
rechtwinkligen  Dreiecke  F^V^F^^^V  und  FV=FV\ 

54*  Als  bemerkenswerte  Punkte  der  Kurven  wollen  wir  zuerst 
diejenigen  aufsuchen,  in  denen  die  Tangente  senkrecht  auf  der  Er- 
zeugenden des  Cylinders  steht  Für  die  Grundellipse  sind  dies  K  und  L. 
Der  ErümmungshaJbmesser  der  Verwandelten  in  diesen  Punkten  ist 
JTZJj  =  Jf'O'",  wenn  K'O'  als  Krümmungshalbmesser  der  Grund- 
ellipse unter  Benutzung  der  beiden  Axen  nach  I,  392,  3)  ermittelt, 
und  0'"  auf  der  umgelegten  Cylindererzeugenden  durch  0'0'''XK'0' 
bestimmt  vnirde.  Denn  es  ist  r  =  K'0\  6  =  ^  0'K'0"\  KO'" 
«=  r:  cos  <y  «=  r'  (41).  Es  ist  dann  auch  LL^  =  KK^.  —  In  dem 
Schnitte  des  Cylinders  mit  E  müssen  jene  auf  den  Erzeugenden 
senkrechten  Tangenten  parallel  sowohl  zu  B  als  zu  S  sein,  also 
parallel  zu  ihrer  Schnittlinie,  oder  zu  der  Schnittlinie  PS  zweier 
Ebenen,  die  durch  einen  Punkt  P  der  Pg  parallel  zu  E  bezw.  zu  S 
gelegt  sind.  8'  als  Schnittpunkt  ihrer  ersten  Spüren  ist  die  erste, 
P"  die  zweite  Spur  der  Schnittlinie.  Die  Berührungsebene  des  Cy- 
linders in  den  fraglichen  Punkten  muß  nun  parallel  zu  PS  und 
außerdem  zu  PE  sein,  wenn  PE  mit  den  Erzeugenden  gleichläuft; 
also  ist  jene  Berührungsebene  parallel  zu  der  Ebene  PSEy  und  ihre 
erste  Spur  parallel  zu  der  ersten  Spur  S'E'  dieser  Ebene.  Die  zu 
S'E'  parallel  an  die  Grundellipse  gezogenen  Tangenten  berühren 
diese  in  B'yJ'y  wenn  Durchmesser  H'M'X  konjugirt  zur  Richtung 
S'E'\  es  sind  dann  die  Punkte  H^y  J^  der  Verwandelten  bestimmt. 

Zur  Ermittlung  der  KriimmungshaJbmesser  der  Verwandelten 
JJi  Hq  t=  J^Jq  s=  r  bestimmt  man  zuerst  den  Krümmungshalb- 
messer der  Ellipse  in  5/^  =  B^^  B.^^  ==  r,  und  dann  den  Winkel  (T 

Wiener,  Lehrbuch  der  darstellenden  Geometrie.  II.  4 


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50  U,  64—67.   Ebener  Schnitt  des  Cy linders  und  Kegels. 

der  Schmiegungsebene  E  mit  der  Berühr uugsebene  nach  I,  105. 
Parallel  zu  diesen  Ebenen  sind  solche  schon  durch  P  gelegt,  deren 
Schnittlinie  PS  bildet.  Die  erste  Spur  einer  Winkelebene  sei  die 
zu  P'S'  Senkrechte  P'3,  welche  die  ersten  Spuren  jener  Ebenen  in 
1  bezw.  2  trifft;  man  mache  P'3  ■=  P'P",  ziehe  35',  daran  einen 
berührenden  Kreis  aus  P',  welcher  die  P'S'  in  4  schneidet;  dann 
ist  ^  1  4  2  =  <y,  und  r'  =  r  :  cos  <y  =  4  6,  wenn  auf  14  die  4  5 
=  r  =  H^'^H^^'',  6  auf  2  4,  ^  4  5  6  =  90«.. 

Übungsaufgabe.  Man  suche  die  Punkte  der  Schnittkurve  mit  E, 
in  welchen  ihre  Tangente  parallel  ist  mit  einer  beliebig  gegebenen 
Ebene,  und  diejenigen,  in  welchen  sie  einen  beliebig  gegebenen 
Winkel  mit  der  Erzeugenden  bildet. 

55.  Die  Wendepunkte  der  Verwandelten  entstehen  aus  den- 
jenigen Punkten  der  Schnittkurve,  in  welchen  die  Berührungsebene 
senkrecht  auf  der  Schnittebene  steht  (42).  Für  die  Grundellipse 
trifft  dies  in  den  Puxikten  B  und  D  zu.  Für  die  Schnittkurve  mit  E 
lege  man  die  zu  E  senkrechten  Berührungsebenen  an  den  Cylinder. 
Ihre  Stellung  wird  durch  die  zu  den  Erzeugenden  Parallele  PE  und 
die  zu  E  senkrechte  PN  bestimmt;  die  erste  Spur  der  Ebene  dieser 
Greraden  ist  E'  N\  Die  mit  ihr  parallelen  Berührungsebenen  be- 
rühren die  Grundellipse  in  F'  und  G',  wenn  Durchmesser  2^' JTö' 
konjugirt  zur  Richtung  E'  K.  Daraus  bestimmen  sich  die  Punkte 
jp\  und  Gl ,  welche  Wendepunkte  der  Verwandelten  sind.  Die  Tan- 
genten in  denselben  werden  nach  dem  allgemeinen  Verfahren  be- 
stimmt und  sind,  wie  stets  bei  Wendepunkten,  besonders  vorteil- 
haft Die  Tangente  in  B  wird  durch  das  rechtwinklige  Dreieck 
BB^B^  ^  B'B^^B^,  bestimmt. 


ni.    Ebener  Schnitt  und  Abwickelung  des  EegelB. 

56.  Zwei  ebene  Schnittkurven  eines  Kegels  und  ihre  Projektio- 
nen auf  dieselbe  Ebene  sind  perspekUv-JcoUineare  Figuren,  deren  Kol- 
lineationsmittelpunkt  und  Axe  die  Spitze  des  Kegels  und  die  Schnitt- 
linie beider  Ebenen  bezw.  deren  Projektionen  sind.  Ebenso  sind  die 
eine  Figur  und  die  ümlegung  der  anderen  in  ihre  Ebene  perspektiv- 
affin, und  haben  die  Schnittlinie  beider  Ebenen  zur  Axe  und  die 
Umlegung  der  Spitze  samt  einer  durch  sie  parallel  zur  umgelegten 
Ebene  geführten  Ebene  in  die  feste  Ebene  zum  KoUineationsmittel- 
punkte  (I,  305). 

57.  Aufg.  Die  Schnitikurve  eines  mit  seiner  Axe  senkrecht  auf 
Pj  stellenden  Umdrehungskegels  mit  einer  auf  S^  senkrechten  Ebene  E, 


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II,  67—68.   Ebener  Schnitt  und  Abwickelnng  des  Kegels.  51 

die  wahre  Gestalt  der  Schnittlmrve  und  die  Äbtmckelung  des  Kegels  zu 
verzeichnen. 

Aufl.  Je  nachdem  die  E  mit  keiner^  mit  einer  oder  mit  zweien 
Erzeugenden  des  Kegels  parallel  ist;  entstellt  eine  Ellipse^  Parabel 
oder  Hyperbel  (I,  329).  Die  Fälle  der  Ellipse  und  der  Hyperbel 
sollen  betrachtet  werden. 

Weil  E  J_  Pg,  ergeben  sich  die  Schnittpunkte  der  Kegelerzeu-  pig.  ssa. 
genden  mit  E  unmittelbar  in  der  zweiten  Projektion.  Die  große  Axe 
der  Ellipse  liegt  in  dem  auf  E  senkrechten  Meridiane  (I,  329),  also 
in  dem  Hauptmeridiane  ASC,  die  Scheitel  sind  -4^  und  C^.  Die  auf 
Fg  senkrechte  Meridianebene  liefert  auf  den  Erzeugenden  SB  und 
SD  die  Schnittpunkte  B^  und  D^;  deren  erste  Projektionen  sich 
aber  hier  nicht  unmittelbar  aus  der  zweiten  bestimmen  lassen.  Man 
wendet  daher  den  durch  J5/'  gehenden  Parallelkreis  vom  Halbmesser 
Bi'B^  an,  dessen  erste  Projektion  die  Punkte  J5/  und  D^  enthält. 
Die  Parallelkreise  liefern  die  dem  B^  und  D/  benachbarten  Punkte 
genauer,  als  die  Erzeugenden.  Die  kleine  Axe  G^H^  der  Ellipse 
hat  den  Mittelpunkt  ö/'  von  A"G^'  zur  zweiten  Projektion,  woraus 
ihre  erste  Projektion  folgt 

Der  Grundkreis  Ä  und  die  erste  Projektion  s'  des  Schnittes 
sind  perspektiv-kollinear  mit  S'  als  Mittelpunkt  und  e^  als  Axe  der 
EoUineation.  Demnach  haben  sie  das  involutorische  Büschel  zu- 
geordneter Strahlen  aus  S'  gemein;  dasselbe  ist  aber,  wie  sich  aus 
dem  Kreise  ergibt,  rechtwinklig;  doiher  ist  S'  ein  Brennpunkt  der 
ersten  Projektion  s'  der  Schnittellipse  (I,  388).  Der  KrümmungshaBh 
messer  von  s'  im  Scheitel  A^  der  Hauptaxe  ist  gleich  der  Ordinate 
S'B^  in  ihrem  Brennpunkte  (I,  250),  gleich  dem  Parallelkreishalb- 
messer Bi"B2  von  B^.  Daher  gilt:  Die  Projektion  einer  ebenen 
Schnittkurve  eines  Umdrehungskegels  auf  eine  zu  dessen  ümdrehungsaxe 
senkrechte  Ebene  hat  im  Scheitel  ihrer  Hauptaxe  einen  Krümmungs- 
kreis gleich  dem  Parällelkreise  des  Kegels,  dessen  Mittelpunkt  in  der 
SchnittAene  liegt. 

Die  zu  S'  gehörige  Leitlinie  d'  der  s'  ist  die  Polare  des  S'  zu  s' 
und  entspricht  der  Polaren  des  S'  zu  k\  d.  i.  der  unendlich  fernen 
Geraden  der  P^.  Dieser  entspricht  in  E  rhre  Projektion  d  aus  S 
auf  E,  und  von  letzterer  ist  d'  der  Grundriß. 

58.  Die  wahre  Gestalt  s'"  der  Schnittkurve  erhält  man  durch 
Umlegung  der  E  in  F^.  Dieselbe  ist  perspektiv- affin  mit  s'  und 
perspektiv-kollinear  mit  k'\  e^  ist  jedesmal  die  Kollineationsaxe. 
Der  Eollineationsmittelpunkt  ist  im  zweiten  Falle  die  Umlegung  S'" 
der  Spitze  mit  der  durch  sie  parallel  zu  E  gelegten  Ebene  in  F|. 
Die  Brennpunkte  JF/"  und  F^"  der  5'"  ergeben  sich   aus  den  Be- 

4* 


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52 


II,  68—69.    Ebener  Schnitt  des  Cylindera  und-  Kegels. 


rührungspunkten  der  E  mit  den  beiden  den^  Kegel  eingeschriebenen, 
die  B  berührenden  Ebenen,  und  die  Leitlinien  di  und  dg  ^^^  ^^^ 
Schnittlinien  der  E  mit  den  Ebenen  der  Beröhrungskreise  jener 
Kugeln  mit  dem  Kegel  (I,  333). 

Fig.  28  a. 


< 


-  +  -4-4-^- 


Pig.  28b.  69,    Die  Abwickelung  des  Kegels  ist  ein  Kreisausschnitt  SACA, 

dessen  Halbmesser  SA  gleich  der  Seite  (S" A")  des  Kegels  und 
dessen  Bogen  ACA  gleich  dem  umfange  des  Grundkreises  J,  der 
durch  kleine  Liniensttickchen  übertragen  wird.  Der  Centriwinkel 
a  «B  ASA  des  Ausschnitts  ist  durch 


SÄ' 


360« 


bestimmt.  Bei  der  wiederholten  Abwickelung  kehrt  eine  Erzeugende 
in  eine  ihrer  früheren  Lagen  zurück,  wenn  a  und  360,  oder  S'A' 
und  SA  unter  einander  kommensurabel  sind,  sonst  nicht. 

Von  der  Verwandelten  des  Schnittes  s  erhält  man  einen  beliebigen 
Punkt  wie  B^,  wenn  man  bei  dem  Übertragen  von  k  den  Schnitt- 
punkt B  der  Erzeugenden  SBy  mit  k  bezeichnet,  die  SB  zieht  und 
auf  sie  die  wahre  Länge  SB^  überträgt,  welche  man  =  S^'B^  auf 
der  Umrißerzeugenden  zwischen  S"  und  dem  Parallelkreise  von  B^ 
abgreift 


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II,  59—61.    Ebener  Schnitt  und  Abwickelung  des  Kegels. 


53 


Bemerkenswerte  Punlcte  sind  die  Scheitelpunkte  A^  uud  Cj,  deren 
Erzeugende  SA^  und  SC^  Symmetrielinien  der  s  bilden,  imd  die 
Wendepunkte.  Letztere  entstehen  aus  den  Punkten  derjenigen  Er- 
zeugenden, für  welche  die  Berührungsebenen  senkrecht  auf  der 
Schmiegungsebene  B  stehen,  welche  also  die  auf  E  Senkrechte  SE 
enthalten.  Aus  ihrer  ersten  Spur  E'  ziehe  man  die  beiden  Tan- 
genten  an  den  Grundkreis,  welche  in  J  und  K  berühren,  bestimme 


auf  den  Erzeugenden  SJ  und  SK  die  Punkte  J^  und  Zj,  so  werden 
aus  ihnen  die  Wendepunkte  der  Verwandelten. 

Fällt  E'  innerhalb  des  Grundkreises,  so  giht  es  keine  reellen 
Wendepunkte,  fällt  E'  auf  den  Grundkreis  in  A\  so  fallen  beide 
Wendepunkte  in  -4'  in  einander.  Mit  dem  Linienelemente  in  A^  föUt 
dann  ein  benachbartes  auf  jeder  Seite  in  eine  Gerade,  die  Tangente 
hat  drei  Elemente  mit  der  Kurve  gemein  oder  berührt  vierpunktig, 
und  der  Punkt  ist  ein  Flachpunkt  (I,  246). 

60,  Die  Tangente  an  die  Schnittkurve  in  einem  Punkte  J^j  als 
Schnitt  der  E  mit  der  Berührungsebene  des  Kegels  in  J^y  hat  ihre 
erste  Spur  T  im  Schnittpunkte  von  e^  mit  der  Tangente  des  Grund- 
kreises in  J\  Durch  T  geht  dann  auch  die  Tangente  der  wahren 
Gestalt  in  eT"/".  Die  Tangente  der  Verwandelten  in  J^  erhält  man 
durch  Übertragung  des  Winkels  der  Tangente  mit  der  Berührungs- 
erzeugenden, oder  durch  Übertragung  des  denselben  enthaltenden 
bei  J  rechtwinkligen  Dreiecks  eTieTT,  dessen  Seiten  gleich  eT^eT, 
J'T,  Tj;"  sind. 

61.  Der  Krümmungshalbmesser  r'  der  Venmndelten  wird  nach 
Nr.  41  =  r  :  cos  <y  bestimmt.  Am  leichtesten  zu  bestimmen  und  am 
nützlichsten  sind  die  r'  in  den  Scheiteln -ij  und  O^.   Für  die  Ellipse 


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54 


II,  61—62.   Ebener  Schuitt  des  Cylinders  und  Kegeis. 


sind  die  Erümmungshalbmesser  r  =  A^"  A^"  als  }?  :  a  zu  ermitiehi. 
Die  (spitzen)  Winkel  6  der  Schmiegungs-  mit  der  Berübrongsebene 
sind  aber  in  A^  und  G^  bezw.  C;' A" A!'  und  A^'C^S".  Trägt 
man  daber  auf  A^'C^  die  -dl/'J-g  ==  C/'Cg  =  r  auf,  zieht  A^A^ 
und  C2C3  senkrecht  zu  A^'C^'  und  schneidet  sie  bezw.  mit  A('  A!\ 
Ci'S"  in  -^3,  Cj,    so  sind  die  r'   bezw.  =  A^'A^  =  -4.-4o,   Ci^Cj 

Fig.  29  a. 

jy        C    t*,-'-7gr"-:^- ^/ 


Fig.  29a.  63,    Der  hyperbolische  Schnitt.     Die  beiden  Kegeläste  werden 

von  E  getroffen  und  sind  daher  beide  dargestellt;  sie  seien  begrenzt 
durch  zwei  Parallelkreise  von  etwas  verschiedener  Größe,  nämlich 
durch  AB  in  F^  und  durch  A^B^.  Die  E  schneidet  die  Ebenen 
dieser  Kreise  in  e^  und  e^,  so  daß  durch  jede  dieser  Geraden  auf 
einem  der  Grenzkreise  zwei  Punkte  der  Hyperbel  bestimmt  werden. 
Die  Scheitel  sind  A^  und  B^, 

Die  Asymptoten  werden  als  Tangenten  in  den  unendlich  fernen 


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Ily  62.  Ebener  Schnitt  und  Abwickelung  des  Kegels. 


55 


Punkten  bestimmt.  Diese  Punkte  liegen  auf  den  Erzeugenden  SC 
und  SD,  welche  in  einer  durch  S  parallel  zu  E  gehenden  Ebene 
erhalten  werden;  die  Berührungsebene  des  Kegels  in  einem  jener 
Punkte,  z.  B.  in  dem  auf  SC,  schneidet  die  Grenzebenen  des  Kegels 
in  den  Kreistangenten  in  C  und  Cg,  welche  die  Spuren  e^  und  e^  in 
Punkten  (deren  einer  G  ist)  treffen,  deren  Verbindungslinie  die  mit 
CC^  parallele  Schnittlinie  der  Berührungsebene  mit  E,  oder  die  eine 
Asymptote  bildet     Die  andere  läuft  mit  DD^  parallel. 


Mit  diesen  Punkten  und  denjenigen  J^  und  K^,  welche  Wende- 
punkte der  Verwandelten  werden,  kann  man  sich  begnügen.  Letztere 
erhält  man  durch  die  zu  E  Senkrechte  SE^,  welche  die  obere  Grenz- 
ebene in  E^  schneidet;  die  Tangenten  aus  E^  an  den  oberen  Kreis 
liefern  Berührungspunkte,  deren  Erzeugende  die  Wendepunkte  der 
Verwandelten  enthalten.  Die  Tangente  K^T  ia  einem  derselben  ist 
bestimmt  In  der  Figur  fallt  zufallig  S'K^'  mit  S'D'  in  dieselbe 
Linie. 

S'  ist  wieder  ein  Brennpunkt  der  ersten  Projektion  der  Hyperbel 
und  d'  die  zugehörige  Leitlinie, 

Die  ümlegung  der  E  in  P^  liefert  wieder  die  tmhre  Gestalt  mit 
den  Brennpunkten  jP^,  F^  und  den  Leitlinien  d^,  d^. 

Die  Abwickelung  ist  so  ausgeführt,   daß  diejenige  des  unteren  Fig.  99  b. 
Flächenastes  SB  AB  von  der  des  oberen  SB^A^B^  teilweise  zuge- 
deckt wird.    Die  Stücke  AS  und  SA^  einer  Erzeugenden  bleiben  in 
einer  Geraden  ASA^.     Weil  der  Kegel  nach  BSB^  aufgeschnitten 
ist,  wird  die  Verwandelte  des  unteren  Hyperbelastes  in  zwei  Teile 


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56 


II,  62—63.    Ebener  Schnitt  des  Cylinders  und  Kegels. 


getrennt;  die  des  oberen  bleibt  unzertrennt.  Die  Punkte  und  Tan- 
genten werden,  wie  vorhin  bei  der  Ellipse,  übertragen,  wobei  die 
Asymptoten  besonderer  Beachtung  bedürfen.  Man  übertragt  die  mit 
ihnen  parallelen  Erzeugenden,  so  CSC^,  zieht  die  Kreistangenten 
in  allen  vier  Endpunkten  derselben,  gibt  allen  die  gleiche  Länge 
CG  =  C'G'  und  verbindet  die  Endpunkte  durch  Parallele  zu  den 
Erzeugenden,  so  zu  CC^,  so  sind  dies  die  Asymptoten.  Die  Krüm- 
mungshalbmesser für  die  Scheitel  findet  man  wie  vorhin  als  Ä^Ä^ 
=  Ä^^'Ä^  und  B,Bq  =  J^/'-Bi. 

63.  Aufg.  Die  Schnittkurve  eines  schiefen  Kreiskegels  mit  einer 
Ebene,  deren  währe  Gestalt  und  die  Abwickeltmg  des  Kegels  zu  ver- 
zeichnen. 

Indem  wir  zweckmäßig  zwei  parallele  Spur-  und  Projektions- 
ebenen anwenden  (I,  112),  geben  wir  den  Kegel  durch  seinen  in 
Fig.  80a.  Pj   liegenden  Spurkeis  i',  durch  die  Projektion  S'  der  Spitze  und 

Fig.  80  a. 


r: 


T,\ 


3^^ 


'>7f 


I 

I 

\  I 


'K 

S" 


deren  Hohe  a  über  P^,  und  die  Schnittebene  E  durch  ihre  Spur  e^ 
in  P^  und  die  damit  parallele  Projektion  e^  ihrer  Spur  (e^)  in  einer 
parallel  zu  Pj  durch  S  gelegten  zweiten  Spurebene  P^. 


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II,  63—64.    Ebener  Schnitt  und  Abwickelung  des  Kegels. 


57 


Aufl.  Man  erhält  einen  allgemeinen  Punkt  Pj  der  Schnittkurve  s 
und  deren  Tangente  t  in  demselben^  indem  man  durch  die  nach 
einem  Kreispunkte  P  laufende  Erzeugende  PS  eine  Hilfsebene,  am 
besten  die  Berührungsebene  des  Kegels  legt,  deren  erste  Spur  t^ 
den  Ereis  in  P'  berührt,  und  deren  zweite  in  der  Projektion  als 
^  durch  S'  parallel  zu  t^  läuft.  Der  Schnitt  dieser  Ebene  mit  E 
ist  die  Tangente  t' =  T^T^  der  Kurve  s\  wenn  T^^^e^t^,  Tg  =  ^^2? 
imd  der  Schnitt  der  t'  mit  PS'  ist  der  gesuchte  Punkt  P/. 

Einen  Durchmesser  der  s  erhält  man,  wenn  man  eine  Hilfs- 
ebene ÄjÄg  durch  S  legt,  deren  Äj  ein  auf  e^  senkrechter  Durch- 
messer A'M'G  von  V  ist.  Dadurch  ergeben  sich  die  Schnittpunkte 
A^,C<^  der  Erzeugenden  A' S\C'S'  mit  der  Geraden  {c^^hy^h^* 
Die  Tangenten  in  A^^C^  sind  parallel  zu  e^\  der  zu  A^C^  konjugirte 
Durchmesser  geht  ||  e^  durch  die  Mitte  0/  von  A^C^  und  wird  als 
B^D^  erhalten,  wenn  man  0/  aus  8'  auf  A'C  nach  0'  projicirt, 


Fig.  80  b. 


\^ 


■;.V:t; 


die  Kreissehne  B'O'D'  \  e^  zieht,   und  B'D'   aus  S'  nach  JB/D/ 
projicirt 

64.  Um  die  wahre  Gestalt  der  Schnittkurve  zu  erhalten,  legt 
man  B  um  e^  in  P^  um.  Die  durch  S  ±e^  geführte  Ebene  hat  h^ 
(JL  Ci)  zur  ersten  Spur  und  schneidet  die  c,  und  e^  bezw.  in  E^  und 
JE^j  legt  man  sie  um  Ä,  in  P^  um,  so  gelangt  (E^)  nach  JBg"  auf  e^, 
wobei  E^E^"   gleich  der  Höhe  a  des  Kegels.    Bei  der  ümlegung 


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58  II,  64—66.    Ebener  Schnitt  des  Cylinders  und  Kegels. 

von  B  in  Pi  gelangen  (E^)  nach  i;/"  auf  h^  {E^E^"  =-  ^i^A  (^2) 
nach  Ca'"  (I  ^  durch  E{'),  (t)  nach  ^'"=  T^  T/",  (T/"  auf  ß,'", 
i;  T/"  ±  e,)  und  (P,)  nach  P/"  auf  ^'"  (P/P/"  -L  e,).  Auf  solche 
Weise  bestimmt  man  die  konjugirten  Durchmesser  J./"  C/",  JBi'"  Dj'" 
der  umgelegten  Ellipse  s'",  und  kann  Unsicherheiten  der  Schnitt- 
punkte stets  durch  sichernde  Verbindungslinien  (wie  durch  A^"  D/" 
vermittelst  ihrer  Schnittpunkte  mit  e^  und  ßg'")  beseitigen.  —  Die 
Umlegung  s'"  der  Schnittkurve  ist  mit  dem  Grundkreise  k'  per- 
spektiv-kollinear  mit  e^  als  Axe  und  8'"  als  Mittelpunkt,  wenn  auf 
Äa  die  S'S'''^E^E^"  gemacht  wird  (I,  305). 

65«  Zur  Verzeichnung  der  AbwicJcelung  wollen  wir,  neben  einem 
später  zu  benutzenden  Verfahren,  hier  das  nächstliegende,  schon  von 
Fr^zier  (s.  I,  20)  angegebene,  anwenden,  das,  einfach  und,  mit  Vor- 
sicht gebraucht,  ebenfalls  genau  ist.  Man  teilt  den  Grundkreis  h\ 
ausgehend  von  dem  Durchmesser  5'  12'  M'  0'  in  eine  gerade  Anzahl 
(hier  24)  gleicher  Teile,  deren  Bogen-  und  Sehnenlänge  nur  un- 
merkbar verschieden  sind,  und  bestimmt  die  wahre  Länge  der  von 
den  Teilungspunk4;en  ausgehenden  (paarweise  gleichen)  Erzeugen- 
den; eine  solche  ist  z.  B.  für  den  Teilungspunkt  2'  gleich  5"  2'", 
wenn  S'S"  _L  h^  und  =  a,  und  S'  2'"  auf  h^  =  S'  2';  SO"'  sei  die 
Fig.sob.  größte.  Mit  allen  diesen  wahren  Längen  als  Halbmessern  ziehe 
man  für  die  Abwickelung  Kreise  aus  einem  Punkte  S,  wähle  auf 
dem  größten  den  Punkt  0  und  trage  von  ihm  aus  zwischen  den  auf- 
einander folgenden  Kreisen  die  Teillänge  1  :  24  des  Kreises  weiter. 
Die  Verbindungslinie  der  Zirkelstiche  ist  die  Verwandelte  des  Grund- 
kreises. Bildet  ein  Element  mit  der  Erzeugenden  einen  kleinen 
Winkel,  so  tritt  Unsicherheit  ein,  z.  B.  bei  Punkt  8;  man  beseitigt 
dieselbe,  indem  man  beachtet,  daß  in  der  Abwickelung  der  senk- 
rechte Abstand  des  8  von  S  7  die  Hypotenuse  eines  rechtwinkligen 
Dreiecks  ist,  dessen  Katheten  (Fig.  30a)  die  Abstände  des  8'  von 
S'V  und  des  8"'  von  Ä"  7'"  sind. 

Die  Verwandelte  der  Schn^itihurve  erhält  man  durch  die  Punkte 
der  s'  auf  den  Erzeugenden  der  Kreisteilungspunkte,  wie  des  2i' 
auf  S' 2\  Man  bestimmt,  allein  mittelst  des  Handzirkels,  2^''  auf 
S"  2'"  so,  daß  sein  Abstand  von  Ä'iS"==  ^'2/,  und  überträgt  dann 
in  die  Abwickelung  82^=  /S"2/".  —  Die  Tangenten  PT^,  P^  T^  in 
zwei  entsprechenden  Punkten  P  und  P^  von  k  und  s  in  der  Ab- 
wickelung erhält  man  durch  Übertragen  des  Dreiecks  (PP^T^),  in- 
dem man  die  Linien  P  T,  P^  2\  in  der  Abwickelung  bezw.  gleich 
ri^^P^^'T,  macht 

66.  Bemerkensioerte  Punkte  der  Verwandelten  k  und  s.  Die 
Punkte  der  k,  in  denen  die  TangerUen  senkredit  auf  den  Erzeugenden 


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II,  66-67.    Ebener  Schnitt  und  Abwickelung  des  Kegels. 


59 


sieben,  sind  0  und  12.  Die  Krümmungshalbmesser  der  Je  in  den- 
selben sind  =  Jf'O' :  cos  ö  (41),  also  bezw.  =  O'^'O^  und  12'"  12^, 
wenn  auf  \  die  S' M"  ^  S' M'  aufgetragen,  Jf'"  0^122  J_  Ä^  ge- 
zogen und  mit  S"  0'"  und  iS"12'"  bezw.  in  O2  und  12^  geschnitten 
wird.  O'^Og  und  12'"  12^  überträgt  man  dann  in  Fig.  30b  nach 
OO^j  und  12  12o.  —  Die  Wendepufikte  der  i,  wie  TT,  entstehen  aus 
den  Berührungspunkten  der  Kegelumrisse  mit  h\  wie  TT',  indem 
hier  die  Berührungsebenen  des  Kegels  senkrecht  auf  der  Schmie- 
gungsebene  F^  von  Ic  stehen.  Die  Tangente  in  W  berührt  einen 
aus  S  mit  dem  Halbmesser  a  gezogenen  Kreis,  weil  das  bestim- 
mende Dreieck  W' S' (S)  rechtwinklig  wird.  —  Die  Wendepwnkte 
Ui ,  F|  der  s  in  der  Abwickelung  entsprechen  denjenigen  Punkten 
(t/i),  (F,)  der  5,  in  welchen  die  Berührungsebenen  des  Kegels 
J_  E  stehen.  Man  erhält  sie,  indem  man  aus  {S)  die  {SN)  J_  E 
fällt  und  ihre  Spur  J^  in  Pj  sucht  {S"  N  ±  E^E^\N  auf  Ä^), 
von  N  zwei  Tangenten  an  Tc'  legt,  deren  Berührungspunkte  U\  V 
sind,  woraus  f7/,  V^  auf  s'  bestimmt  werden  können.  Doch  sind  die 
letzteren  Punkte  entbehrlich;  man  bestimmt  in  der  Abwickelung  ü^ 
als  Schnitt  der  US  mit  5,  und  die  Tangente  Z7X  an  Ä;,  indem  man 
in  der  Projektion  die  NU'  mit  e^  in  X'  schneidet,  und  in  der  Ab- 
wickelung das  Dreieck  SUX  verzeichnet,  worin  ?7X=  U' X\  SX 
gleich  dem  wahren  Abstände  der  Kegelspitze  (S)  von  X'  («=  S"  X^y 
wenn  X^  auf  h^  und  S^X^  =  S'X').  Dann  ist  auch  UiX  die  Tan- 
gente der  s  in  ihrem  Wendepunkte  üi  (und  U^  X  Fig.  b)  =  ?//"  X' 
in  Fig.  a)). 

67.    Äufg.    Auf  einem  Kegel  zweiten  Grades  die  Kreisschnitte  zu 
bestimmen, 

Aufl.  Legt  man  durch  die  Spitze  S  des  Kegels  senkrecht  zur 
Ebene  eines  Kreisschnittes  durch  dessen 
Mittelpunkt  eine  Ebene,  so  ist  diese  eine 
Symmetrieebene  des  Kreises  und  des  Ke- 
gels. Die  Ebene  eines  Kreisschnittes  steht 
daher  senkrecht  auf  einer  Symmetrie-  oder 
Axenebene  des  Kegels,  und  diese  müssen 
zur  Auflösung  der  Aufgabe  gegeben  sein 
oder  bestimmt  werden  (23).  Es  sei  SM  die 
innere  Axe,  MA  «=»  a  die  große  und  MB=^  b 
die  kleine  Halbaxe  eines  darauf  senkrech- 
ten (elliptischen)  Schnittes  des  Kegels.  In 
der  Figur  bilde  die  Ebene  der  Ellipse 
BA^i  die  Grundriß-,  diejenige  des  Haupt- 
schnittes BSBi  die  Aufrißebene  (P^  und 


Fig.  31. 


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60  n,  67—68.    Ebener  Schnitt  des  Cylinders  und  Kegels. 

Pj),  in  welche  auch  der  Hauptschnitt  ÄSA^  um  SM  nach  ÄSA^ 
umgelegt  sei.  Auf  der  zu  SM  senkrechten  Hauptebene  kann  eine 
Kreisschnittebene  nicht  senkrecht  stehen,  weil  solche  Ebenen  hyper- 
bolische Schnitte  liefern.  Vielmehr  erhält  man  Kreisschnittebenen 
senkrecht  auf  der  Hauptebene  BSB^  und  die  Kreise  sind  die  Schnitte 
des  Kegels  mit  Kugeln,  deren  Mittelpunkte  auf  SM  liegen,  und  welche 
die  Erzeugende  SÄ  und  dann  auch  die  SÄ^  und  den  Kegel  berühren. 
Die  größten  Kreise  einer  solchen  Kugel  in  den  beiden  Hauptebenen 
fallen  nach  deren  Zusammenlegung  in  der  Zeichnung  zusammen.  Der 
Kreis  berührt  SA'  und  SA^  bezw.  in  C  und  (7/  und  schneidet  die 
SB  und  SB^  bezw.  in  D,  JE^  und  Di,  E^,  Die  Projektion  von  C  und 
Ci  liegt  aber  im  Schnittpunkte  Cq  der  Sehnen  DE^  und  D^E,  weil  die 
Polare  C'C^'  von  S  zu  dem  Kreise  durch  Cq  gehen  muß.  Die  Ebene, 
welche  die  vier  Punkte  D,  E^,  C,Ci  enthält,  schneidet  aber  die  Kugel 
in  einem  Kreise,  und  den  Kegel  in  einem  Kegelschnitte,  welcher  mit 
dem  Kreise  zusammenfallt,  weil  er  mit  ihm  jene  vier  Punkte  und ' 
die  Tangenten  in  C  und  C^  gemein  hat,  da  Kegel  und  Kugel  in  C 
und  Gl  gemeinschaftliche  Berührungsebenen  besitzen.  —  So  sind 
durch  einen  die  SA'  und  SA^^  berührenden  Kreis  die  Stellungen 
DEi  und  D^E  der  Kreisebenen  des  Kegels  bestimmt 

Kreisschnittebenen,  die  senkrecht  auf  der  Hauptebene  ASA^ 
ständen,  kann  es  aber  nicht  geben,  weil  durch  zwei  solche  in  Bezug 
auf  die  Ebene  BSBi  symmetrische  Kreise  wieder  eine  Kugel  gehen 
müßte,  welche  die  Erzeugenden  SB  und  SB^  berührte  und  diejeni- 
gen SA,  SA^  schnitte,  was  offenbar  unmöglich. 

Man  bemerkt,  daß  alle  Kreisschnittebenen  zur  Axe  des  Kegels 
gleich  geneigt  sind,  und  daß  in  der  zu  den  Kreisschnittebenen  senk- 
rechten Hauptebene  zwei  Kegelerzeugende  und  die  Geraden  irgend 
zweier  untereinander  nicht  parallelen  Kreisschnittebenen  ein  Kreis- 
Viereck  bilden,  weil  die  Summe  je  zweier  Gegenwinkel  sich  zu  zwei 
oder  zu  vier  Rechten  ergänzen.  Man  nennt  zwei  solche  Kreisschnitt- 
ebenen im  Kegel  anüparaXld. 

68.    übtmgsaufgäben, 

1)  Von  einem  Umdrehungskegel  sind  die  Projektion  S'  und  die 
Höhe  der  Spitze  über  P^,  sowie  die  ersten  Spuren  dreier  Erzeugen- 
den gegeben,  man  soll  die  erste  Spur  eines  Kreisschnittes  des  Kegels 
finden.  Es  geschieht  durch  Abtragen  dreier  gleichen  Längen  auf 
den  Erzeugenden  YOh  der  Spitze  aus.  Auf  dieser  Auflösung  beruht 
das  Verfahren  des  Hygimis  (de  limitibus)  zur  Bestimmung  des  Meri- 
dians aus  drei  Sonnenstrahlen*). 

♦)  S.  die  Auslegung  der  betreffenden  Schriffcstelle  durch  den  Verf.^in  der 
Zeitschr.  für  Vermessungswesen  (Stnttg.  1875),  B.  4,  S.  299  u.  366. 


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II,  68—69.    Ebener  Schnitt  und  Abwickelung  des  Kegels.  61 

2)  Von  einem  ümdrehungscylinder  oder  Kegel  sind  drei  Erzeu- 
gende je  durch  ihre  beiden  Projektionen  gegeben;  man  soll  seine 
Schnittlinie  mit  der  Halbirungsebene  B^  (I;  66)  verzeichnen  und  die 
Axen  ihrer  Projektionen  und  ihrer  wahren  Gestalt  bestimmen. 

3)  Einen  Eegel^  der  durch  seinen  Schnitt  mit  der  Halbirungs- 
ebene Hg  und  die  beiden  Projektionen  seiner  Spitze  gegeben  ist^ 
mit  einer  gegebenen  Ebene  zu  schneiden. 

4)  Einen  Kegelschnitt  h  zu  verzeichnen ,  von  welchem  drei 
Punkte  und  ein  Brennpunkt  F  gegeben  sind.  Man  betrachtet  k 
als  die  Projektion  eines  ebenen  Schnittes  eines  ümdrehungskegels, 
dessen  Spitze  sich  in  F  projicirt,  oder  als  die  perspektiv-koUineare 
Figur  eines  Kreises,  welcher  F  zum  Mittelpunkte  hat 

69.  Atifg.  Dwch  zwei  gegebene  Punkte  P  und  Q  eines  Um- 
drehungskegels  die  geodätische  Linie  m  legen  und  ihre  ausgezeichneten 
Punkte  und  Tangenten  zu  bestimmen. 

Wir  wollen  zunächst  annehmen,  daß  die  beiden  Punkte  auf 
demselben  Aste  des  Kegels  liegen,  und  daß  von  den  verschiedenen  Fig.  32a. 
geodätischen  Linien  diejenige  genommen  werden  soll,  deren  Bogen 
zwischen  P  und  Q  der  kleinste  ist. 

Aufl.  Die  Axe  des  Kegels  stehe  J_  Pj*,  aus  den  gegebenen  Pro- 
jektionen P'  und  Q'  bestimme  man  P"  und  Q''  auf  demselben 
(unteren)  Flächenaste.  Eine  geodätische  Linie  wird  bei  der  Ab- 
wickelung zu  einer  geraden.  Daher  bilde  man  die  Abwickelung  des  Fig.  82  b 
Kegels,  in  welcher  P  und  Q  so  oftmal  vorkommen,  als  Abwicke- 
lungen des  gafazen  Kegelmantels  aneinander  gereiht  sind,  also  un- 
endlich oft  oder  eine  endUche  Anzahl  mal ,  je  nachdem  der  Winkel 
der  Abwickelung  des  einfachen  Kegelmantels  mit  360^  kommensurabel 
ist  oder  nicht.  Jede  Verbindungsgerade  eines  P  mit  jedem  Q  wird 
beim  Wiederaufwickeln  auf  den  Kegel  zu  einer  geodätischen  Linie, 
die,  je  nachdem  der  eine  oder  der  andere  jener  Fälle  eintritt,  un- 
endlich oft  oder  eine  endliche  Anzahl  mal  durch  das  unendliche 
hindurch  von  dem  einen  zum  andern  Kegelaste  übergeht.  Die  kür- 
zeste dieser  Strecken  PQ  verbindet  zwei  Punkte  P  und  Q,  zwischen 
welchen  weniger  als  ein  halber  Kegel,  oder  höchstens  ein  solcher 
liegt,  und  diese  Gerade  erzeugt  die  verlangte  Kurve.  Die  Aufwickelung 
wird  auf  dem  umgekehrten  Wege,  wie  in  Nr.  59  die  Abwickelung, 
vorgenommen.  8  ist  die  Spitze,  A^B^C^^D^  ein  Parallelkreis  k  des 
Kegels. 

Bestimmen  wir  die  ausgezeichneten  Punkte  der  Kurve. 

1)  Der  nächste  Punkt  E  bei  der  Spitze  liegt  in  der  Abwickelung 
auf  der  zu  PQ  senkrechten  Erzeugenden  SE^. 


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62 


IT,  69.    Ebener  Schnitt  des  Cylinder«  and  Kegels. 


Fig. 

32  a. 

V     1 

ji 

/ 

\  \ 

ii 

li 
.    // 

//  / 

2)  Die  Doppelpunkte  F  liegen  in  dem  durch  E  gehenden  Meri- 
diane; denn  dessen  Ebene  ist  die  Symmetrieebene  der  Kurve,  weil 
in  der  Abwickelung  SE  die  Symmetrielinie  der  PQ  ist  Man  über- 
trage daher  in  die  Abwickelung  Bogen  E^F^  =  Halbkreis  E^F^'. 

3)  Die  unendlich  fernen 
Pu/nkte  liegen  auf  den  zu  PQ 
parallelen  Erzeugenden  SG^ 
und  SH^  der  Abwickelung. 
Die  Tangente  in  einem 
Punkte,  z.  B.  die  beiden  im 
Doppelpunkte  i^,  erhält  man 
durch  Übertragen  des  recht- 
winkligen Dreiecks  FF^T 
und  des  damit  kongruenten 
FF^U.  Entsprechend  findet 
man  die  Asymptoten  parallel 
mit  den  Erzeugenden  SG^ 
bezw.  8H^  und  gehend  durch 
die  Punkte  J  bezw.  K  der 
Ejreistangente  in  G^  und  H^, 
wenn  die  Langen  G^  J'  =» 
J?/  K'=  öl  Jaus  der  Ab- 
Wickelung  übertragen  werden. 
Den  KrümmungshalbmeS' 
ser  im  Scheitel  E'  des  Grund- 
risses findet  man  im  Aufriß 
=  E^E^,  wenn  man  den 
Parallelkreis  von  E"  mit  dem 
Kegelumriß  in  E^  schnei- 
det, Ey  E^  senkrecht  zu  die- 
sem Umriß  bis  zu  E^  auf 
der  Kegelaxe  zieht,  und  E^  E^ 
als  Halbmesser  des  Parallel- 
kreises von  E^  nimmt.  Denn 
dreht  man  den  Symmetrie- 
meridian 8E  in  den  Haupt- 
meridian, so  ist  Ey  E^  die 
zweite  Projektion  der  auf  SE^  senkrechten  Schmiegungsebene  der 
geodätischen  Linie  (42);  sie  schneidet  den  Kegel  in  einem  Kegel- 
schnitte, dessen  Krümmungshalbmesser  in  E  mit  dem  gesuchten 
übereinstimmt  und  in  der  angegebenen  Weise  gefunden  wird  (57). 
Durchschreitet  man  in  der  Abwickelung  den  unendlich  fernen 


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n,  69—70.    Ebener  Schnitt  nnd  Abwickelung  des  Kegels. 


63 


Punkt  der  Geraden  PQy  so  geht  man  entsprechend  bei  dem  Eegel 
durch  das  Unendliche  von  dem  einen  zum  andern  Aste  über.  Die 
auf  den  beiden  Kegelästen  befindlichen  Eurvenäste  sind  als  Auf- 
wickelungen derselben  Geraden  mit  einander  kongruent  Lägen  die 
beiden  gegebenen  Punkte  P  und  Q  auf  den  verschiedenen  K^elästen, 
so  müßte  man  in  der  Äbunckelung  beider  Äste  durch  die  verwan- 
delten Punkte  P  und  Q  die  Gerade  legen. 

70.    Die  Wendepunkte  der  Projektionen  der  Kurve  m  bestimmen. 
Verfolgt  man  den  Lauf  der  Kurve,  so  bemerkt  man,  daß  weder  der 

Fig.  32  b. 


Punkt,  noch  die  Tangente,  noch  die  Schmiegungsebene  ein  Rück- 
kehrelement besitzt.  Doch  bedarf  die  Asymptote  noch  einer  Er- 
örterung, die  bei  der  Untersuchung  der  Rückkehrelemente  (I,  257) 
nicht  angestellt  wurde.  Es  scheint  nämlich  nach  dem  Aufriß,  als  ob 
bei  unserer  Kurve,  ebenso  wie  bei  der  Hyperbel,  die  Tangente  den 
Sinn  ihrer  Drehung  in  der  Schmiegungsebene  in  der  Asymptote  wech- 
sele, und  als  ob  zugleich  der  Punkt,  ohne  den  Sinn  seines  Fortschrei- 
tens zu  ändern,  in  dem  unendlich  fernen  Punkte  die  Seite  der  Tan- 
gente, auf  welcher  er  sich  befindet,  vertausche.  Nach  jedem  dieser 
Anzeichen  müßte  der  unendlich  ferne  Punkt  als  Wendepunkt  ange- 
sehen werden.  Da  aber  der  Durchgang  eines  Punktes  durch  einen 
unendlich  fernen,  uneigentlichen  Punkt  nicht  unmittelbar  mit  dem- 
jenigen durch  einen  endlich  fernen,  eigentlichen  Punkt  verglichen 


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64  II,  70.    Ebener  Schnitt  des  Cylinders  und  Kegels. 

werden  kann,  so  stellen  wir,  wie  früher  bei  dem  Begriffe  des  be- 
stimmt ünendlichgroßen  (I,  72 — 74),  eine  Beziehung  zu  dem  End- 
lichen her,  und  zwar  in  stetiger  Weise  eine  projektive  Beziehung, 
indem  wir  unsere  Kurve  als  die  Projektion  einer  zweiten  Kurve  be- 
trachten, derart,  daß  dem  unendlich  fernen  Punkte  in  der  ersten 
ein  endlich  ferner  Punkt  in  der  zweiten  entspricht.  Indem  wir  die 
Schmiegungsebene  unserer  unebenen  Kurve  in  ihrem  unendlich 
fernen  Punkte  durch  die  Ebene  einer  ebenen  Kurve  ersetzen,  wollen 
wir  unsere  Vorstellung  auf  eine  Hyperbel  richten,  und  diese  als 
die  Projektion  eines  Kreises  ansehen.  Ziehen  wir  aus  dem  Projek- 
tionsmittelpunkte einseitig  den  projicirenden  Strahl  und  lassen  ihn 
auf  dem  Kreise  hingleiten,  bis  er  mit  der  Ebene  der  Hyperbel 
parallel  wird,  also  ihren  unendlich  fernen  Punkt  projicirt,  und 
setzen  dann  die  Bewegung  des  einseitigen  Strahles  auf  dem  Kreise 
hin  in  stetiger  Weise  fort,  also  ohne  seinen  Sinn  umzukehren,  so 
trifft  derselbe  die  Projektionsebene  erst,  nachdem  er  einen  unendlich 
fernen  Punkt  des  Baumes  durchschritten  hat;  er  gelangt  demnach 
von  der  anderen  Seite  her,  als  zu  Anfang,  auf  die  Projektionsebene, 
so  daß  die  Kurve  beim  Durchschreiten  durch  das  Unendliche  die  Seife 
ihrer  Schmiegungsebene  wechselt^  auf  welcher  sie  liegt  Betrachten  wir 
auch  die  Kurve  stets  im  Sinne  des  projicirenden  Strahles,  so  ändert 
sich  der  Drehungssinn  der  Tangente  beim  Durchgang  durch  die 
Asymptote  nicht;  und  denkt  dabei  der  Beschauer  seine  Figur  mit 
dem  Kopfe  voran  in  der  Richtung  der  Kurve  hinschwimmen,  so 
ändert  sich  auch  die  Seite  der  Tangente,  auf  welcher  die  Kurve 
liegt,  beim  Durchgang  durch  den  unendlich  fernen  Punkt  nicht  — 
Indem  wir  so  die  Eigentümlichkeit  der  Bückkehrelemente  zu  einer  pro- 
jektiven Eigenschaft  gemacht  hohen  y  bleibt  das  Kennzeichen  des  Rück- 
kehrelementes der  Tangente,  daß  sich  in  ihr  deren  Drehungssinn 
umkehrt,  auch  für  die  im  unendlich  fernen  Punkte  berührende 
Asymptote  erhalten,  wobei  nur  zu  beachten,  daß  die  Kurve  beim 
Durchgang  durch  den  unendlich  fernen  Punkt  die  Seite  der  Ebene 
wechseli  Insbesondere  sind  der  unendlich  ferne  Punkt  der  Hyperbel 
und  derjenige  der  geodätischen  Linie  des  Umdrehungskegels  keine  Wende- 
punkte, sondern  gewöhnliche  Punkte. 

Wenn  nun  die  geodätische  Linie  des  Umdrehungskegels  kein 
Rückkehrelement  besitzt,  so  ist  im  allgemeine^  auch  die  Projektion 
eines  Elementes*  kein  Rückkehrelement  (I,  258);  und  so  sind  auch  die 
Asymptoten  der  zweiten  Projektion  keine  Rückkehrtangenten.  Im 
besonderen  aber  tritt  in  der  Projektion  eine  Rückkehrtangente  und  ein 
Wend^unkt  auf,  wenn  die  Schmiegungsebene  senkrecht  auf  der  Pro- 
jektionsebene  steht   (I,  260).     Die   auf  der   Berührungsebene   des 


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II,  70—71.    Ebener  Schnitt  und  Abwickelung  des  Kreises.  65 

Kegels  stets  senkrechte  Schmiegungsebene  der  Kurve  steht  auf  der 
zur  Kegelaxe  senkrechten  Fj^  nur  dann  senkrecht^  »wenn  die  Tan- 
gente der  Kurve  mit  der  Erzeugenden  des  Berührungspunktes  den 
Winkel  Null  bildet,  also  die  Asymptote  ist;  diese  ist  daher  eine 
Wendetangente  und  ihr  unendlich  femer  Punkt  ein  Wendepunkt  der 
ersten  Projektion  der  Kurve,  wie  dies  die  Figur  zeigt. 

Um  einen  Wendqmnkt  der  zweiten  Projektion  der  Kurve  zu  finden, 
beachte  man,  daß  jede  Schmiegungsebene  der  Kurve  eine  Berührungs- 
ebene der  abwickelbaren  Fläche  ihrer  Tangenten  ist.  Man  bestimme 
daher  die  erste  Spur  l  dieser  Fläche  durch  die  Spuren  U'  von  Tan- 
genten derselben.  Die  auf  der  Projektionsaxe  x  senkrechte  Tangente 
der  l  ist  die  erste  Spur  der  gesuchten  Schmiegungsebene.  Bestimmt 
man  durch  eine  Fehlerkurve  ihren  Berührungspunkt  L',  legt  aus 
L'  eine  Tangente  an  den  Grundkreis  k  in  dem  durch  die  abwickel- 
bare Flache  vorgeschriebenen  Sinne,  deren  Berührungspunkt  TT/ 
sei,  so  liefert  die  Erzeugende  SWy  den  Punkt  W  der  Kurve,  in 
welchem  die  Tangente  durch  L'  geht  Die  zugehörige  zweite  Pro- 
jektion L"  W"  ist  eine  Wendetangente  der  zweiten  Projektion  der 
Kurve.  In  gleicher  Weise  ist  unweit  P"  ein  zweiter  Wendepunkt 
bestimmt. 

71.  Aufg.  Die  Schnittpunkte  einer  Geraden  g  mit  einem  Kegel 
zu  bestimmen. 

Aufl.  Man  legt  durch  g  und  die  Spitze  S  des  Kegels  (der  bei 
dem  Cylinder  im  Unendlichen  liegt)  eine  Hilfsebene,  schneidet  diese 
mit  der  Ebene  einer  ebenen  Kurve  k  des  Kegels  in  der  Geraden  Ä, 
so  sind  die  Verbindungslinien  von  S  mit  den  Schnittpunkten  von  k 
und  h  die  Schnitterzeugenden  der  Hilfsebene  mit  dem  Kegel;  die- 
selben schneiden  die  g  in  den  gesuchten  Punkten. 


Wiener,  Lehibnoh  dor  daniellendon  Geometrie.    U.  6 

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in.  Abschnitt 
Die  Flächen  zweiten  Grades. 

L    Allgemeine  Eigenschaften  und  Einteilung  der  Flächen 
zweiten  Grades. 

72.  Begriff.  Eine  Fläche  zweiter  Ordnung  nennt  man  eine  solche 
FlächCf  todche  von  jeder  Geradeny  die  nicht  ganz  in  der  Fläche  liegt, 
in  zwei  (reellen  oder  imaginären)  Punkten  geschnitten  wird. 

Legt  man  durch  die  Gerade  ^  beliebig  viele  Ebenen;  so  schneidet 
jede  derselben  die  Fläche  zweiter  Ordnung  P  in  einer  Kurve,  und 
die  beiden  Schnittpunkte  der  g  mit  der  F  sind  offenbar  zugleich 
die  alleinigen  Schnittpunkte  der  g  mit  jeder  von  diesen  Kurven. 
Daraus  folgt  auch,  daß  die  Schnittlinie  einer  jeden  Ebene  mit  einer 
Fläche  zweiter  Ordnung  von  jeder  Geraden  ihrer  Ebene,  die  nicht 
selbst  ein  Bestandteil  der  Schnittlinie  ist,  in  zwei  Punkten  getroffen 
wird,  daß  sie  also  selbst  von  der  zweiten  Ordnung  ist.  Eine  solche 
Kurve  ist  nach  der  Analysis  ein  Kegelschnitt  (I,  338,  Anm.).  Rein 
geometrisch  können  wir  sagen:  Eine  Fläche  »zweiter  Ordnung  ist  eine 
solche  FlächCf  welche  von  jeder  Ebene  in  einem  (reellen  oder  imagi- 
nären) Kegelschnitte  getroffen  unrd.  Man  könnte  sie  in  geometrischer 
Anschauung  eine  Kegelschnittsfläche  nennen. 

Hieraus  folgt  sogleich,  daß  wenn  drei  Punkte  einer  Fläche  Zureiter 
Ordnung  cmf  einer  Geraden  liegen,  diese  Gerade  ganz  in  der  Fläche 
liegt,  weil  diese  Gerade  ein  Bestandteil  des  Kegelschnittes  sein  muß, 
in  welchem  eine  durch  die  drei  Punkte  gelegte  Ebene  die  Fläche 
schneidet. 

Indem  wir  imaginäre  ebene  Schnitte  imd  imaginäre  Flächen 
erst  später  untersuchen  wollen,  gehen  wir  zunächst  von  dem  Be- 
griffe aus:  Eine  reelle  Fläche  zweiter  Ordnung  ist  eine  Fläche,  auf 
welcher  jede  reelle  ebene  Kurve  ein  Kegelschnitt  ist. 

Die  Kugel  ist  offenbar  und  das  einschalige  Hyperboloid  nach 
Nr.  31  eine  solche  'Fläche. 

73.  Es  sollen  jetzt  einige  allen  reellen  Flächen  zweiter  Ordnung 
gemeinsame  Eigenschaften    aus   ihrem   Begriffe   abgeleitet   werden. 


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III,  73.    Allgemeine2Eigen8cliaften  der  Flächen  zweiten  Grades.  67 

Zieht  man  aas  einem  nicht  'der  Fläche  zweiter  Ordnung  F  ange-  Fig.  ss. 
hörigen  Pankte  P  eine  die  F  in  zwei  reellen  Punkten  F,  F'  schnei- 
dende Gerade  g  und  legt  durch  g  eine  Ebene  E^  welche  die  F  in 
dem  Kegelschnitte  s  treffe,  bestimmt  die  Polare  QU  von  P  zu  s, 
welche  die  ^r  in  ^  schneide,  so  ist  Q  von  P  durch  F  und  jP'  har- 
monisch getrennt  (I,  341).    Jede  durch  g  gelegte  Ebene  liefert  daher 

#  Fig.  33.  • 


eine  durch  denselben  Punkt  Q  der  g  gehende  Gerade,  und  alle 
solche  Punkte  Q  und  Gerade  QU,  welche  durch  beliebige,  aus  P 
gezogene  und  die  Fläche  F  reell  schneidende  Gerade  und  Ebenen* 
geliefert  werden,  liegen  in  ein  und  derselben  Ebene  F.  Denn  seien 
%!,  \  zwei  solche  durch  Q  gehende  Gerade  Qi2,  sei  Q,  ein  anderer 
solcher  vierter  harmonischer  Punkt,  und  legt  man  durch  PQ^  eine 
Ebene,  welche  die  A^,  h^  in  solchen  Punkten  Q,,  Q^  und  die  F  in 
einem  Kegelschnitte  s^  trifft,  so  muß  Qy  Q^  Q^  die  (gerade)  Polare 
von  P  zu  $y  sein,  also  Q^  in  der  Ebene  W  liegen.  Diese  Ebene 
P  heißt  die  Pol^arebene  von  P  in  Bessiig  auf  die  Fläche  F  oder  m 
der  Fläche  F. 

Beachtet  man  nun,  daß  wenn  eine  Gerade  QR  den  Kegelschnitt  5 
in  den  Punkten  Ä  und  B  schneidet,  diese  die  Berührungspunkte  der 
aus  P  an  s  gezogenen  Tangenten  bilden;  daß  sich  ferner  die  in  F 
und  F'  BJi  s  gelegten  Tangenten  in  einem  Punkte  B  der  QR,  also 
in  der  Ebene  P  treffen,  wobei  Q  und  R  durch  Ä  und  B  har- 
monisch getrennt  sind,  so  folgt,  daß  die  Polarebene  P  des  Punktes  P 
m  der  Fläche  F  enthält: 


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68  III,  73—76.    Die  Fl&chen  zweiten  Grades. 

Fig.  38.  1)  Die  Punkte  Q  auf  den  aus  P  gezogenen  die  F  in  F  und  F^ 

schneidenden  Geraden  g,  welche  von  P  durch  F  und  F'  hamtonisdi 
getrennt  sind] 

2)  die  Polaren  QB  von  P  zu  den  Kegelschnitten  5,  in  welchen 
die  P  von  Ebenen,  die  durch  P  gehen,  geschnitten  wird; 

3)  die  Beriämmgspunkte  ÄyB...  der  aus  P  an  F  gelegten  Tan- 
genten und^  Berührungsebenen;  da  diese  Punkte  auf  dem  Kegel- 
schnitte p  liegen,  welchen  P  mit  F  gemein  hat,* so  berührt  der  aus 
P  der  Fläche  umschriebene  Kegel  nach  einem  Kegelschnitte,  ist  also 
vom  zweiten  Grade] 

4)  die  Schnittpunkte  B  zweier  Tangenten  an  einem  auf  F  gele- 
genen Kegelschnitte,  deren  Berührungspunkte  F,  F'  mit  P  auf  einer 
Geraden  liegen;  alle  Punkte  Bj  weil  sie  von  Q  (P,  g)  durch  Punkte 
des  Kegelschnittes  p  (P,  F)  harmonisch  getrennt  sind,  bilden  die 
Polare  g'  von  Q  zu  jp,  also  eine  Gerade; 

5)  die  Schnittgerade  g'  je  zweier  Berulirungsebenen  an  F,  deren 
Berührungspunkte  F  und  P'  mit  P  auf  einer  Geraden  liegen* 

Jeder  dieser  Sätze  gibt  ein  Mittel,  die  Polarebene  P  von  P  zu 
F  zu  bestimmen.  Ist  P  ein  Punkt  der  Fläche  V,  so  ist  seine  Polar- 
ebene  die  Berührungsebene  der  F  in  P. 

Zms.  Aus  diesen  Sätzen  folgt,  daß  eine  Fläche  zweiter  Ordnung 
F  mit  sich  seihst  perspektiv-Jcollinear  ist  in  Bezug  auf  einen  Punkt  P 
und  dessen  Polarebene  P  zu  F  als  Mittelpunkt  und  Ebene  der  Kolli- 
neation,  wobei  zwei  entsprechende  Elemente  durch  P  und  P  har- 
monisch getrennt  sind.    (Vergl.  I,  346.) 

74.  So  wie  die  Ordnung  einer  Fläche  durch  die  Anzahl  ihrer 
Schnittpunkte  mit  einer  Geraden  angegeben  wird,  so  ihre  Klasse 
durch  die  Anzahl  der  Berührungsebenen,  welche  an  sie  durch  eine 
Gerade  gelegt  werden  können.  Eine  Fläche  zweiter  Ordnung  ist  auch 
ztveiter  Klasse^  weil  durch  eine  Gerade  zwei  Berührungsebenen  an 
sie  gelegt  werden  können,  nämlich  ebenso  viele  wie  an  einen  Kegel 
(zweiten  Grades),  der  aus  einem  Punkte  der  Geraden  der  Fläche 
umschrieben  wird.  Die  Fläche  soll  daher  vom  zweiten  Grade  ge- 
nannt werden. 

75.  Wenn  P  die  Polarebene  des  Punktes  P  zu  der  Fläche  F 
ist,  so  heißt  umgekehrt  der  Punkt  P  der  Pol  der  Ebene  P.  Von 
einer  Ebene  P  können  nicht  mehrere  Punkte  Pole  sein.  Denn  hätte  P 
deren  zwei,  P  und  P',  und  legte. man  durch  PP'  eine  die  F  in 
einem  Kegelschnitte  s  und  die  P  in  der  Geraden  QB  schneidende 
Ebene,  so  müßte  QB  die  Polare  zu  s  zugleich  von  P  und  von  P' 
sein,  was  unmöglich  (I,  340). 

Jede  Ebene  P  hat  einen  Pol  P,  und  man  findet  denselben  durch 


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III,  75—77.    Allgemeine  Eigenschaften  der  Flächen  zweiten  Grades,      69 

Umkehrring  der  in  der  vorigen  Nummer  gegebenen  Verfahren.  So  Fig.  »s. 
ergibt  sich  aus  5):  M^n  schneide  irgend  eine  Berührungsebene  der 
P,  deren  Berührungspunkt  F  nicht  in  P  liegt,  mit  P  in  g\  lege 
durch  g'  die  stets  mögliche  zweite  Berührungsebene  an  P,  welche 
in  F'  berühre,  so  ist  P  der  Punkt  der  Geraden  FF\  welcher  durch 
F  und  F'  von  P  harmonisch  getrennt  ist. 

76.  Die  Polarebene  Q  eines  jeden  Punhtes  Q  einer  Ebene  P  m 
einer  Fläche  P  geht  durch  den  Pol  P  der  V.  Denn  legt  man  durch 
die  Gerade  PQ  eine  die  F  in  einem  Kegelschnitte  s  schneidende 
Ebene,  so  geht  die  Polare  von  P  zu  s,  da  sie  in  P  liegt,  durch  Q\ 
daher  geht  auch  die  Polare  von  Q  zu  Sj  sowie  die  Polarebene  von 
<2  zu  P,  weil  sie  diese  Polare  enthält,  durch  P.  Und  reciprok: 
Der  Pol  Q  einer  jeden  durch  einen  Punkt  P  gehenden  Ebene  Q,  liegt 
in  der  Pdlard)€ne  P  von  P;  denn  weil  P  in  Q  liegt,  geht  P  durch  Q. 

Zwei  solche  Punkte  P  und  Q,  wovon  jeder  in  der  Polarebene 
des  anderen  liegt,  heißen  konjt^girt  in  Bezug  auf  P;  sie  sind  auch 
konjttgirt  in  Bezug  auf  jeden  Kegelschnitt  s  der  F^  dessen  Ebene  durch 
sie  geht.  Sie  bilden  ein  Paar  der  Involution  konjugirter  Punkte  auf 
der  Geraden  PQ,  und  die  Doppelpunkte  derselben  sind  die  Schnitt- 
punkte der  Geraden  mit  P.  —  Ebenso  heißen  zwei  Ebenen  in  Bezug 
auf  P  konjugirt,  wenn  jede  durch  den  Pol  der  anderen  geht;  ein 
Punkt  u/nd  eine  Gerade,  wenn  die  Gerade  in  der  Polarebene  des 
Punktes  liegt;  eine  Ebene  und  eine  Gerade,  wenn  die  Gerade  durch 
den  Pol  der  Ebene  geht. 

77.  Zwei  Gerade  g  und  g'  heißen  in  Bezug  auf  eine  Fläche 
zweiten  Grades  P  Polaren  von  einander  oder  gegenseitige  Polaren  zu  F, 
wenn  die  Polarebenen  aller  Punkte  der  g  durch  g'  gehen,  und  die 
Pole  aller  durch  g  gehenden  Ebenen  auf  g'  liegen,  und  umgekehrt 
Alle  diese  Bedingungen  sind  zugleich  erfüllt;  denn  legt  man  durch 
g  zwei  Ebenen  A  und  B,  deren  Pole  bezw.  Ä  und  B  sind,  und 
bestimmt^'  als  AB,  so  geht  die  Polarebene  jedes  Punktes  der^,  weil 
derselbe  in  A  und  B  liegt,  durch  Ä  und  B,  also  durch  g\  und  der 
Pol  jeder  durch  g  gelegten  Ebene  liegt  in  der  Polarebene  jedes 
Punktes  der  g,  also  in  g\  Das  umgekehrte  gilt,  weil  g  die  Ver- 
bindungslinie der  Pole  zweier  durch  g'  gehenden  Ebenen  ist. 

Von  zwei  Polaren  g^  g'  gilt: 

1)  Jeder  Punkt  der  g  ist  zu  jedem  Punkte  der  g  in  Bezug  auf 
P  kof^ugirt. 

2)  Beschreibt  ein  Punkt  P  eine  Gerade  g,  so  beschreibt  die  Polar- 
ebene  F  des  P  ein  mit  dieser  Punktreihe  'projektives  und  involutorisdies 
Ebenenbüschel  g',  weil  P  durch  g  und  durch  den  zu  P  konjugirten 
Punkt  der  g  geht,  diese  Punkte  aber  zugeordnete  Punkte  einer  In- 


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70  in,  77—79.    Die  Flachen  zweiten  Grades. 

Fig.  83.  volution  sind.  Die  Doppelpunkte  dieser  Involution  sind  zugleich  die 
Schnittpunkte  der  g  mit  der  F  und  die  Berührungspunkte  der  aus 
^'  an  F  gelegten  Berührungsebenen,  weil  in  jedem  Doppelpunkt« 
ein  Punkt  in  seine  Polarebene  fallt.  Die  Spitzen  S  der  Kegel^  welche 
einer  F  nach  der  Schnittkurve  s  je  einer  durch  g  gelegten  Ebene  S 
umschrieben  sind,  bilden  als  Pole  der  S  auf  g'  eine  mit  dem  Büschel 
der  S  und  mit  der  Reihe  ihrer  Schnittpunkte  B  mit  g'  projektive 
Punktreihe,  und  beide  Reihen  liegen  in  Involution. 

3)  Berührt  g  die  'F  in  P,  so  berührt  auch  g'  die  P  in  P;  denn 
g  ist  der  Schnitt  der  Polarebene  des  Punktes  P  der  g^  d.  i.  der 
Berührungsebene  der  F  in  P^  mit  der  Polarebene  irgend  eines  an- 
deren Punktes  der  g^  welche  Ebene  ebenfalls  durch  P  geht  (73,  3)); 
g  und  g  heißen  dann  Jconjugirte  Tangenten  der  P.  Die  koncentrischen 
Strahlenbüschel  P  der  g  und  g'  in  der  Berührungsebene  bilden  eine 
Involution.  Die  (reellen  oder  imaginären)  Doppelstrahlen  dieser 
Involution  liegen  ganz  in  der  Fläche,  weil  jeder  Punkt  eines  jeden 
derselben  in  seiner  Polarebene  liegt. 

4)  Der  Pol  der  g  m  einem  Kegelschnitte  der  F,  dessen  Ebene 
durdi  g  geht,  liegt  auf  g',  so  zu  s  in  ü,  weil  dieser  Punkt  (J?)  als 
ein  Punkt  auf  g'  zu  jedem]  Punkte  der  g  in  Bezug  auf  F,  daher 
auch  in  Bezug  auf  s  konjugirt  ist. 

78.  Ein  Tetraeder  PQBS  heißt  in  Bezug  auf  eine  Fläche 
zweiten  Grades  ein  PolartetraedeTj  wenn  jeder  Eckpunkt  desselben 
der  Pol  der  gegenüberliegenden  Fläche  ist.  Man  erhält  ein  solches, 
wenn  man  einen  Punkt  P  willkürlich  annimmt,  in  seiner  Polar- 
ebene P  einen  Punkt  Q  wählt,  die  Polarebene  von  Q  (welche  durch 
P  geht)  mit  F  schneidet,  auf  der  Schnittlinie  einen  Punkt  R  an- 
nimmt, und  dessen  Polarebene  (die  durch  P  und  Q  geht)  mit  jener 
Schnittlinie  (in  S)  schneidet.  Die  Polarebene  von  S  geht  dann 
durch  P,  Q  und  i2,  und  die  Bedingung  ist  daher  erfüllt  In  einem 
Polartetraeder  ist  jeder  Eckpunkt  jedem  anderen,  jede  Fläche  jeder 
anderen  konjugirt,  und  jede  Kante  ist  die  Polare  ihrer  Gegenkante; 
es  gibt  drei  Paare  von  Gegenkanten  und  gegenseitigen  Polaren. 

Ein  Dreieck  des  Tetraeders  bildet  ein  Polardreieck  in  Bezug 
auf  den  Kegelschnitt,  in  welchem  die  Ebene  des  Dreiecks  die  F 
schneidet,  so  QRS  zw  p. 

79,  Au^  den  entwickelten  Eigenschaften  ergibt  sich  folgende 
Entstehungsweise  einer  Fläche  P,  wenn  man  beachtet,  daß  die  Schnitt- 
kurve jeder  durch  g  gelegten  Ebene  mit  F  die  ^  in  denselben 
Punkten  F,  F'  trifft,  auch  wenn  diese  imaginär  sind  (76).  Es  gilt: 
Eine  reelle  Fläche  zweiten  Grades  P,  welch'  den  Kegelschnitt  p 
enthält,  P  zum  Pole  der  Ebene  P  desselben   hat  und   von   einer 


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in,  79—80.    Allgemeine  Eigenschaften  der  Flächen  zweiten  Grades.      71 

durch  P  gehenden  Geraden  g  in  zwei  reellen  oder  imaginären 
Punkten  geschnitten  wird,  die  bezw.  durch  die  reellen  oder  ideellen, 
durch  P  und  F  harmonisch  getrennten  Punkte  Fy  F'  dargestellt 
werden,  wird  durch  einen  Kegelschnitt  s  erzeugt,  dessen  Ebene  den 
Kegelschnitt  p  in  zwei  reellen  Punkten  A  und  B  schneidet,  welcher 
durch  A  und  B  geht,  von  P-4,  PB  berührt  wird,  und  den  einen, 
und  dann  auch  den  anderen  jener  beiden  durch  F^  F  bestimmten 
reellen  oder  imaginären  Punkte  enthält. 

•80.  um  nachzuweisen,  daß  auf  die  in  der  vorigen  Nr.  ange- 
gebene Art  eine  Fläche  zweiten  Grades  auch  dann  entsteht,  wenn 
p,  P,  F  willkürlich  angenommen  werden,  bedürfen  wir  eines  Satzes 
über  räumliche  KoUineation.  Wir  haben  in  I,  554  zwei  räumliche 
Systeme  2J,  2\  welche  in  Perspektive  Lage  gebracht  werden,  koUi- 
near  genannt.  In  beiden  Systemen  entspricht  jeder  Punktreihe, 
jedem  Strahlen-  und  Ebenenbüschel  des  einen  ein  damit  projektives 
gleichartiges  Gebilde  des  anderen,  und  jedem  ebenen  Systeme  des 
einen  ein  damit  kollineares  des  anderen.  Man  sagt  nun  unter  Er- 
weiterung  des  Begriffes:  Zwei  räumliche  Systeme  2?,  2'  heißen  kollinear, 
werrn  fünf  beliebigen  Punkten  -4,  JB,  C,  D,E  des  einen,  von  denen  je- 
doch keine  vief  in  einer  Ebene  liegen,  be^w.  fmf  eben  solche  Punkte 
A'y  B\  C\  D',  E'  des  andern  entsprechen,  und  tvenn  den  drei  Ebenen- 
büscheln  des  einen,  deren  Axen  Verbindungslinien  je  zweier  der  fünf 
Punkte  sind,  aber  nicht  alle  durch  denselben  Punkt  gehen,  drei  damit 
projektive  Ebenenbüschel  des  anderen  entsprechen,  deren  Axen  die  ent-. 
sprechenden  Linien  sind. 

Es  gilt  dann  der  Satz:  In  zwei  kollinearen  räumlichen  Systemen 
entwicht  jedem  dienen  Systeme  des  einen  ein  damit  kollineares  des 
anderen.  Denn  durch  die  angegebene  Bedingung  ist  zu  jedem 
Punkte  X  des  einen  Systems  der  entsprechende  X'  des  anderen  be- 
stimmt Wählt  man  nämlich  etwa  AB,  BC,  CA  als  jene  Axen, 
80  liefern  die  drei  Paare  projektiver  Ebenenbüschel  die  Gleichungen 

AB  (CDEX)  =  A'B'  {C'D'E'X), 
BC{ABEX)  =  B'C'iA'D'E'X"), 
CA(BDEX)  =  CA'iB'D'E'X), 

wodurch  drei  durch  X!  gehende  Ebenen,  und  damit  X'  bestimmt 
ist.  Dann  entspricht  auch  jeder  geraden  Punkt/reihe  g  des  einen  Sy- 
stems eine  damit  projektive  gerade  Punktreihe  g'  des  anderen.  Denn 
die  Punktreihe  g  wird  durch  drei  mit  ihr  und  daher  auch  unter 
einander  projektive  Ebenenbüschel  AB^  BG,  CA  projicirt;  diesen 
entsprechen  drei  mit  ihnen  und  daher  unter  einander  projektive 
Ebenenbüschel  A'B\  B'C\  C A\    Drei  entsprechende  Ebenen  be- 


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72  HI,  80—81.    Die  Flächen  zweiten  Grades. 

stimmen  einen  Punkt  F\  drei  andere  einen  zweiten  Punkt  G\  und 
ihre  Verbindungslinie  F'  G'  ist  die  g\  Denn  die  drei  Ebenenbüschel 
von  2?'  schneiden  auf  F'G'  drei  unter  einander  projektive  Punkt- 
reihen  ein,  welche  alle  entsprechenden  Punkte  gemein  haben ^  weil 
es  für  drei  solche  gilt^  nämlich  &üc  F\  G'  und  den  Punkt  der  Ebene 
A'B'C.  Dann  entspricht  auch  jeder  Ebene  von  Z  eine  solche 
von  Z'j  jedem  Strahlen-  und  Ebenenbüschel  von  Z  ein  damit  pro- 
jektives ebensolches  Gebilde  von  Z\  da  beide  Gebilde  projektive 
Punktreihen  projiciren,  einem  ebenen  Systeme  von  2  ein  damit 
kollineares  von  Z\  da  man  vier  Punkte  des  einen  stets  mit  den 
vier  entsprechenden  des  anderen  in  Perspektive  Lage  bringen  kann^ 
worauf  wegen  der  Projektivitat  entsprechender  Strahlenbüschel  jeder 
Punkt  des  einen  ebenen  Systems  sich  in  den  entsprechenden  des 
anderen  projicirt  (I,  310,  309). 

Zu)ei  JcoUineare  räumliche  Systeme  JS,  Z'  kann  man  im  dUge' 
meinen  nicht  unter  einander^  wohl  aber  auf  unendlich  viele  Arten  jedes 
mit  ein  und  demselben  dritten  Systeme  in  Perspektive  Lage  bringen. 

Denn  sind  Sy  £'  durch  je  fünf  Punkte  ABCDE,  A'B'G'D'E' 
gegeben,  welche  sich  paarweise  entsprechen,  und  ist  Q  der  Schnitt- 
punkt der  Geraden  DE  mit  der  Ebene  ABC,  und*^'  von  D'E 
müA'B'C'y  so  kann  man  S  und  S'  so  legen,  daß  sich  die  ebenen 
Systeme  ABCQ,  A'B'C'Q'  in  perspektiver  Lage  befinden,  wobei 
0  der  Mittelpunkt  und  s  die  Axe  der  Eollineation  sei.  Bei  der 
Drehung  von  JS'  um  s  bleiben  ABCQ  und  A'B'C'Q'  in  perspek- 
tiver Lage,  aber  es  gibt  dabei  im  allgemeinen  keine  Lage,  in  wel- 
cher auch  D  und  D',  oder  E  und  E'  perspektiv  liegen,  oder  in 
welcher  OD'  durch  B  oder  OE'  durch  E  geht.  Denn  bei  der 
Drehung  beschreiben  0  und  D'  zwei  parallele  Kreise  (I,  304),  in 
welchen  diejenigen  Halbmesser  parallel  sind,  welche  nach  den  der- 
selben Lage  von  Z'  zugehörigen  Punkten  0  und  D'  laufen;  daher 
beschreibt  eine  durch  solche  Punkte  bestimmte  Gerade  OD'  einen 
schiefen  Ereiskegel,  auf  welchem  der  willkürliche  Punkt  D  im  all- 
gemeinen nicht  liegt;  das  gleiche  gilt  für  E, 

Zieht  man  aber  in  einer  dieser  Lagen  von  Z'  in  der  Ebene 
OQDEy  welche  auch  Q'  enthalt,  eine  Gerade  Q'D"E'\  so  daß 
ODD'\  OEE"  Gerade  sind,  so  ist  mit  2"  =  A' B' C D" E"  das 
Z  ^=^  ABGDE  aus  dem  Eollineationsmittelpunkte  0,  und  das 
2;'=  A'B'C'D'E'  aus  dem  Schnittpunkte  von  D'D"  und  E'E'\ 
welche  Linien  sich  treffen,  da  sie  in  der  Ebene  Q' D' D"  liegen,  in 
Perspektive.    Also  ist  Z"  eines  jener  dritten  Systeme. 

81,  Wir  können  nun  den  Satz  von  Nr.  79  verallgemeinern  und 
sagen: 


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III,  81.   Allgemeine  EigenschafteD  der  Flächen  zweiten  Grades.         73 

ScUg.  Jede  Fläche  ist  vom  zweiten  Grade,  welche  durch  einen 
Kegelschnitt  p  tmd  0wei  nicht  in  dessen  Ebene  liegende  reelle  Punkte  P 
tmd  F  bestimmt  ist  tmd  durch  einen  veränderlichen  Kegelschnitt  erzeugt 
wird,  dessen  Ebene  sich  um  PF  dreht,  der  durch  die  Schnit^nkte 
Ä,  B  seiner  Ebene  mit  p  geht,  von  den  Geraden  PA,  PB  berührt 
wird,  und  den  einen  und  dann  auch  den  anderen  der  beiden  reellen 
oder  imaginären  Punkte  der  Geraden  PF  enthält,  tvelche,  wenn  reell, 
als  F  und  als  der  von  F  durch  P  und  P  harmonisch  getrennte  Punkt 
F'  gegd>en  sind,  wenn  imaginär,  durch  ihre  ideelle  Darstellung  F,  F' 
in  Bezug  auf  P  und  P. 

Den  Beweis  führen  wir  dadurch,  daß  wir  zeigen,  daß  eine  so 
entstehende  Fläche  F  entweder  mit  der  Engel  K  oder  mit  dem  ein- 
schaligen Umdrehungshyperboloide  H  kollinear  ist.  Dann  nämlich 
muß  jeder  ebene  Schnitt  von  F^  kollinear  sein  mit  einem  ebenen 
Schnitte  von  K  oder  H  (80),  also  mit  einem  Kegelschnitte  (31); 
sie  muß  also  selbst  ein  Kegelschnitt  sein.  Nun  entstehen  aber  die 
Flächen  K  und  H  als  solche  zweiten  Grades  in  der  in  unserem  Satze 
angegebenen  Weise  (79);  bei  der  K  ist  p  ein  Kreis,  F  ein  reeller 
oder  ideeller  Punkt,  je  nachdem  PF  die  Ebene  P  in  einem  inneren 
oder  äußeren  Punkte  des  p  tri£Pt;  bei  dem  H  kann  man  p  als  einen 
Parallelkreis  wählen,  P  ist  dann  die  auf  der  Umdrehungsaxe  liegende 
Spitze  des  Kegels,  welcher  das  H  nach  p  berührt,  und  F  ist  augen- 
scheinlich ein  reeller  oder  ideeller  Punkt,  je  nachdem  PF  die  P  in 
einem  äußeren  oder  inneren  Punkte  des  p  trifft.  Jede  der  Flächen 
F,  K,  H  ist  bestimmt  durch  drei  Elemente  p,  P,F]  und  ihre  gegen- 
seitige KoUinearität  ist  nachgewiesen,  wenn  die  drei  Elemente  der 
F  kollinear  auf  diejenigen  von  K  oder  H  bezogen  werden  können, 
und  dies  thun  wir  dadurch,  daß  wir  fünf  Punkte  angeben,  durch 
welche  jedesmal  p,  P,  F  bestimmt  sind,  da 
durch   je    fünf  Punkte    die  KoUineation   be-  ^^*  ^* 

stimmt  ist  (80). 

Der  Kegelschnitt  j)  samt  dem  Schnitt-  ^  /\y/\^^  Fig.  34. 
punkte  seiner  Ebene  P  mit  PF  kann  durch 
diesen  Schnittpunkt  und  noch  drei  Punkte 
bestimmt  werden,  nämlich  noch  durch  die  ge- 
meinsamen Punkte  der  Polaren  dieses  Schnitt- 
punktes zu  p  mit  p  und  einen  weiteren  will- 
kürlichen Punkt  A  des  p,  Ist  nämlich  jener 
Schnittpunkt  ein  äußerer  Punkt  B,  des  p,   so 

sind  die  gemeinsamen  Punkte  G,  D  der  Polaren  von  ü  zu  |>  mit  p 
reell,  und  p  ist  durch  B,  A,  G,  D  bestimmt,  da  BG,  BD  Tan- 
genten an  p  sind.    Ist  jener  Schnittpunkt  ein  innerer  Punkt  Q  von  p, 


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74  ni,  81—82.    Die  Flächen  zweiten  Grades. 

80  schneide  man  die  Polaren  BS  von  Q  zu  p  mit  QÄ  in  R,  be- 
stimme die  (durch  Q  gehende)  Polare  QS  von  R,  so  daß  QRS  ein 
Polardreieck  zu  p  ist,  und  gebe  von  den  imaginären  Schnittpunkten 
der  BS  mit  p  die  ideelle  Darstellung  in  Bezug  auf  B,  QS  an, 
d.  h.  die  in  Bezug  auf  p  konjugirten  durch  B  und  QS  harmonisch 
getrennten  Punkte  E,  G.  Man  findet  sie,  indem  man  die  QB,  QS 
mit  p  bezw.  in  -4.,  B  und  C,  D  schneidet;  dann  ist  E  =^  AD,  BC\ 
G  =  AG,  BD.  Durch  die  vier  Punkte  Q,  A,  E,  G  ist  p  bestimmt; 
denn  B  ist  der  von  A  durch  Q  und  EG  harmonisch  getrennte 
Punkt;  ferner  ist  C=^  AG,  BE-,  D  =  AE,  BG,  und  endlich  sind 
BC,  BD,  SA,  SB  Tangenten  an  p. 

Indem  man  nun  die  fünf  bestimmenden  Punkte  einer  Fläche  P, 
nämlich  P,  F,  A,  C,  D  oder  P,' F,  A,  E,  G,  einzeln  fünfen  gleich- 
bedeutenden einer  K  oder  H  als  entsprechend  zuordnet,  entsprechen 
sich  auch  die  p  und  die  ganzen  Flächen  als  kollinear.  Es  ist  dies 
aber  nur  dann  möglich,  wenn  bei  beiden  Flächen  die  Punkte  F 
übereinstimmend  reell  oder  ideell,  und  wenn  die  Punkte  PF,  P 
übereinstimmend  innere  oder  äußere  des  p  sind.     Daher  gilt: 

Eine  durch  die  drei  Elemente:  einen  Kegelschnitt  p,  den  Pol  P 
seiner  Ebene  P,  und  einen  Punkt  F  der  Fläche  bestimmte  Fläche  zwei- 
ten Grades  ist  Jcollinear  mit  der  Kugel,  wenn  F  reell,  und  (PF,  P)  ein 
innerer  Punkt  des  p,  oder  wenn  F  ideell  und  (PF,  P)  ein  äußerer 
Punkt  des  p  ist;  dagegen  ist  sie  kollinear  mit  dem  einschaligen  Um- 
drehungshyperboloide,  wenn  F  reell  und  (PF,  P)  ein  äußerer  Punkt 
des  p,  oder  wenn  F  ideell  und  (PF,  P)  ein  innerer  Punkt  des  p  ist. 

82,  Indem  die  Flächen  zweiten  Grades  entweder  mit  der  Kugel 
oder  mit  dem  einschaligen  Umdrehungshyperboloide,  von  welchem 
der  Umdrehungskegel  eine  Abart  ist,  kollinear  sind,  auf  ersterem 
aber  keine  Gerade  liegen,  auf  letzterem  dagegen  durch  jeden  Punkt 
zwei  gehen,  die  beim  Kegel  zusammenfallen,  und  da  sich  diese 
Eigenschaften  und  andere  auf  die  kollinearen  Flächen  übertragen, 
so  gilt: 

1)  Es  gibt  0wei  Arten  von  Flächen  zweiten  Grades,  nichtgerad- 
linige  oder  Nichtregelflächen,  und  geradlinige  oder  Begeiflächen.  Die 
ersteren  enthalten  keine  Geraden;  bei  letzteren  gehen  durch  jeden 
Punkt  der  Fläche  zwei  Gerade,  die  ganz  in  der  Fläche  liegen  und 
bei  dem  Kegel  in  eine  einzige  zusammenfallen. 

2)  Eine  Nichtregelfläche  zweiten  Grades  wird  von  einer  Ebene 
in  einer  reellefi  oder  in  einer  imaginären  Kurve  geschnitten  und  hat 
mit  einer  Berührungsebene  nur  den  Berührungspunkt  gemein.  Eine 
Begelfläche  wird  von  jeder  Ebene  in  einer  reeUen  Kurve  geschnitten 


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III,  82  -83.  Allgemeine  EigenBcbaften  der  Flächen  zweiten  Grades.      75 

and  hat  mit  einer  Berührungsebene  zwei  durch  den  Berührungspunkt 
gehende  Gerade  gemein. 

3)  An  eine  Nichtregelfläche  geht  aus  einem  Punkte  P  ein  be- 
rührender reeller  oder  imaginärer  Kegel,  wobei  P  bezw.  ein  äußerer 
oder  ein  innerer  Punkt  der  Fläche  heißen  soll.  An  eine  Begelfläche 
geht  aus  jedem  Punkte  ein  reeUer  berührender  Eegel,  so  daß  jeder 
Punkt  ein  äußerer  Punkt  der  Fläche  ist 

4)  Bei  einer  Nichtregelfläche  P  zweiten  Grades  schneidet  von  fswei 
Polaren  g,  g'  die  eine  die  Y,  die  andere  schneidet  sie  nicht  Die  Be- 
rührungsebenen in  den  Schnittpunkten  der  ersten  schneiden  sich  in 
der  zweiten.  Bei  einer  Begelfläche  schneiden  entweder  leide  Gerade 
g  und  g  die  V,  oder  beide  schneiden  sie  nicht  Denn  schneidet  die  g 
die  P  in  zwei  Punkten  Ä  und  B,  so  enthält  die  Berührungsebene 
in  jedem  Schnittpunkte  zwei  Erzeugende  a,  a,  bezw.  6,  h^,  von  jeder 
Schaar  eine;  daher  schneiden  sich  a  und  b^,  sowie  a^  und  b  in 
Punkten  der  P  (30),  und  die  Verbindungslinie  dieser  Schnittpunkte 
ist  die  g',  welche  daher  ebenfalls  die  P  schneidet. 

88.  Saia  und  Aufgabe.  Sind  edle  reeiUen  Schnittkurven  einer 
Fläche  P  mü  Ebenen  Kegelschnitte,  so  sind  es  auch  die  imaginären. 
Es  soU  von  einem  solchen  imaginären  Kegelschnitte  i  eine  ideelle  Dar- 
stdltmg  m  gegeben  werden.    (Vergl.  I,  408.) 

Bew.  und  Aufl.  Die  imaginäre  Schnittkurve  einer  Ebene  Q  mit 
der  Fläche  F  ist  der  (imaginäre)  Kegelschnitt  i,  wenn  alle  Gerade 
der  Q  die  P  in  denselben  (imaginären)  Punkten  treffen,  wie  den  t, 
d.  h.  wenn  auf  jeder  Geraden  der  Q  die  Involution  konjugirter  Punkte 
in  Bezug  auf  P  dieselbe  ist,  wie  in  Bezug  auf  i.  Da  nun  in  der 
Ebene  Q  die  Gesamtheit  der  zu  einem  Punkte  H  in  Bezug  auf  P 
und  in  Bezug  auf  i  konjugirten  Punkte  je  eine  Gerade  bilden,  näm- 
lich das  eine  Mal  die  Schnittgerade  der  Q  mit  der  Polarebene  von 
H  zu  P,  das  andere  Mal  die  Polare  von  H  zu  i,  so  ist  die  oben 
bezeichnete  Bedingung  dafür,  daß  i  der  Schnitt  QP  sei,  dann  erfüllt, 
wenn  jedem  Punkte  H  dieselbe  Gerade  h  in  Bezug  auf  P  und  in 
Bezug  auf  i  konjugirt  ist,  oder  wenn  P  und  »  in  Q  dasselbe  Polar- 
sjstem  der  Paare  H,  h  besitzen.  Beschreibt  nun  in  Q  der  Punkt 
H  eine  Gerade  PB,  so  beschreibt  seine  Polarebene  zu  P  ein  Ebenen- 
büschel, und  der  zu  H  konjugirte  Strahl  h  ein  Strahlenbüschel,  den 
Schnitt  des  Ebenenbüschels  mit  Q,  und  H  und  h  bestimmen  auf 
PB  zwei  zugeordnete  Punkte  einer  Involution.  Ebenso  beschreibt 
der  zu  H  in  Bezug  auf  i  konjugirte  Strahl  h  (seine  Polare)  ein 
Büschel,  welches  mit  den  H  auf  PB  eine  Involution  bildet.  Dieses 
System  der  Reihe  PB  von  Punkten  H  und  des  Büschels  der  Strahlen 
h  ist  durch  zwei  Paare  H,  h  bestimmt,  weil  durch  sie  die  Involution 


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76 


IIL  83.    Die  Flächen  zweiten  Grades. 


auf  FB  und  der  Mittelpunkt  des  Büschels  der  A  bestimmt  isi    Wir 
wollen  nun  dieses  System  für  die  durch  einen  beliebigen  Punkt  P 
der  Q  gehenden  Strahlen  PB  untersuchen. 
Fig.  36.  Bestimmen  wir  nach  Nr.  73  den  Pol  Q  der  Ebene  Q  zu  P,  so 

ist  dieser  als  Pol  einer  nicht  schneidenden  Ebene  ein  innerer  Punkt 
von  P,  so  daß  jede  durch  Q  gelegt«  Gerade  und  Ebene  die  P  reell 

schneidet.  Legt  man  dann 
^'^-  ^^-  die  durch  Q  gehende  Po- 

larebene P  vonP,  schnei- 
det diese  mit  Q  in  der 
Geraden  g'   und  mit  P 
in     dem     Kegelschnitte 
p  =  ABCD,  so  ist  BQ 
=  5r  die  Polare  von  g' 
zu  P  (77)  und  Q  der  Pol 
von  g'  zu  p  (77, 4).    Sei 
BB  ein  beliebiger  in  Q 
durch  P  gezogener  Strahl, 
so  schneidet   die  Ebene 
BQB  die  P  in  dem  reel- 
len Kegelschnitte  Sy  und 
die  BQ  trifft  die  P  und 
den  8  in  den  reellen  Punk- 
ten JP,P'.  DerPolSder 
Ebene  BQB  (des  s\  weil 
sie  durch  g  geht,  liegt  auf  g\  und  BQBS  ist  ein  Polartetraeder  in 
Bezug  auf  P,  so  daß  die  Polarebenen  aller  Punkte  H  der  BB  zu  P, 
daher  auch  die  zu  diesen  Punkten  H  gehörigen  Strahlen  h  durch 
S  gehen.     Konjugirte  Punkte  H  auf  BB  in  Bezug  auf  $  (und  P) 
erhält  man  mittelst  Strahlen,    die  man  aus   irgend  einem  Punkte 
des  8  durch  Ä  und  B  legt,    da  AB  in  Bezug  auf  s  zu  BB  kon- 
jugirt  ist  (I,  347).    So  bestimmen  F'A  und  FB  auf  BB  die  kon- 
jugirten  Punkte  A^  und  B^]  ein  anderes  Paar  ist  P  und  JB,  wobei 
noch  zu  beachten,   daß  BBA^B^   harmonisch  sind  als  Projektion 
von  QBAB  (aus  F'),    FB  und  FA  hätten  ebenfalls  bezw.  A^  und 
Bi  geliefert.     Zwei  Paare  H,  h  in  Bezug  auf  P  sind  also  P,  SB 
und  A^f  SB^  (ein  drittes  P^, /S^i).    Projicirt  man  andererseits  den 
Kegelschnitt  ABCD=^p  aus  F'  (oder  JF)  auf  Q  in  den  Kegel- 
schnitt J^PiOiDi  "=>  m,  so  ist  m  die  ideelle  Darstellung  eines  ima- 
ginären Kegelschnittes  i  in  Bezug  auf  P  und  P5,  welcher  auf  dem 
beliebigen,   also  auf  jedem  aus  P  gezogenen  Strahle  BB  dasselbe 
System  H,  h  besitzt,  wie  P.    Denn  P  und  BS  sind  Pol  uud  Polare 


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111,83—84.  Allgemeine  Eigenschaften  der  Flächen  eweiten  Grades.      77 

zu  m,  weil  Q  und  RS  solche  zu  p  sind,  und  sie  deren  Projektion 
bilden;  dann  sind  sie  aber  auch  Pol  und  Polare  zu  i,  weil  sie  den 
Mittelpunkt  und  die  Axe  der  Imaginärprojektion  von  m  und  i  bilden 
(I,  401).  Ebenso  sind  Ä^  und  die  Tangente  SB^  der  m  im  Gegen- 
punkte I?i  (auf  A^P)  Pol  und  Polare  zu  i  (I,  408);  SB^  ist  aber 
wirklich  Tangente  an  w,  weil  SB  Tangente  an  p  ist,  da  S  der  Pol 
von  RQAB.  —  Die  Kurven  QP  und  i  sind  daher  dieselben,  und 
m  ist  eine  ideelle  Darstellung  von  i  in  Bezug  auf  P  und  g\  Da- 
her gilt  der 

Satis.  Schneidet  eine  Ebene  Q  eine  reelle  Fläche  zweiten  Grades  F 
in  einem  imaginären  Kegelschnitte  i,  so  ist  die  ideelle  Darstellung  m 
des  i  in  Bezug  OMf  irgend  einen  Punkt  P  der  Q,  und  dessen  Polare 
g'  zu  i  die  Projektion  des  Kegelschnittes  p  der  T  aus  F'  auf  die  Ebene 
Q,  u}enn  p  die  {stets  reelle)  Schnittkurve  von  P  mit  der  Polarebene  P 
von  P  zu  P,  g'  die  Schnittgerade  von  Q,  und  P,  und  F'  einer  der 
{stets  reellen)  Sdinittpiinkte  F,  F  der  T  mit  der  Polaren  g  der  g' 
zu  P  ist. 

Wir  können  nun  auch  sagen:  Eine  reeUe  Fläche  zweiten  Grades 
ist  eine  solche  y  die  von  jeder  Ebene  in  einem  Kegelschnitte  getroffen 
wird,  der  reell  oder  imaginär  sein  kann. 

84*  Indem  wir  bei  einem  imaginären  Kegelschnitte,  wie  bei 
einem  reellen,  den  Pol  der  unendlich  fernen  Geraden  seinen  Mittel- 
punkt nennen,  können  wir  den  Satz  aussprechen: 

Die  ideelle  Darstellung  m  eines  imaginären  Kegelschnittes  in  Bezug 
auf  seinen  Mittelpunkt  U  und  die  unendlich  ferne  Gerade  u  ist  eine 
Ellipse,  welche  TT  ebenfalls  zum  Mittelpunkte  hat  Denn  ü  und  w  sind 
Pol  und  Polare  auch  zu  m  (I,  401),  und  m  besitzt  keinen  reellen 
Punkt  auf  u,  weil  i  keinen  solchen  besitzt.  Diese  Ellipse  m  soll 
die  MittelpunktseUipse  ^es  i  heißen.  Wird  m  ein  Kreis,  so  soll  i 
ein  imaginärer  Kreis  heißen*). 

*)  Der  imaginäre  Kreis  wird  von  Chasles  in  seiner  G^om^trie  snpdrieare 
(1.  Aufl.  1862,  S.  546  ff.)  als  der  Kreis  von  der  Gleichung  a;«  +  y*  =  —  r«  be- 
zeichnet. Chasles  bestimmt  die  Mittelpunktsabstände  a,  h  TOn  Pol  und  Polare 
dnrch  die  Gleichung  a&  =»  —  r*.  Über  konjngirte  Kegelschnitte,  insbesondere 
ihre  mannigfachen  Gestalten,  hat  Herr  Prof.  Betali  eine  eingehende  Unter- 
BQchnng  veröffentlicht  in  den  Denkschriften  der  Akademie  der  Wissenschaften 
zu  Bologna  (Ser.  4,  B.  5,  gelesen  am  24.  Jan.  1884)  nnter  dem  Titel:  Sopra 
una  Serie  particolare  di  coniche  d'indioe  dae.  Sr  ging  dabei  von  dem  Begriffe 
aus,  daß  jeder  der  Kegelschnitte  zu  sich  selbst  reciprok  in  Bezug  auf  den 
anderen  sei,  welcher  Begriff  auch  den  beiden  ersten  gedruckten  Veröffentlichun- 
gen über  diese  Kurven  zu  Grunde  gelegt  war,  denen  von  Steiner  und  von 
Euffini.  (Die  Theorie  der  Kegelschnitte,  gestützt  auf  projektivische  Eigenschaften. 
Auf  Grund  von  Universitätsvorträgen  und  mit  Benutzung  hinterlassener  Manu- 


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78  ni,  84—85.    Die  Flächen  «weiten  Grades. 

Sats!.  Der  imoffinäre  Schnitt  einer  Ebene  mit  einer  Kugel  ist  ein 
imaginärer  Kreis. 

Denn  sucht  man  nach  der  vor.  Nr.  seine  ideelle  Darstellung  m 
in  Bezug  auf  den  Schnittpunkt  P  der  schneidenden  Ebene  Q  mit 
dem  zu  Q  senkrechten  Kugeldurchmesser  FF\  so  sind  die  Polar- 
ebene F  des  P  und  daher  auch  p  parallel  zu  Q/  und  die  Projektion 
von  p  aus  F'  (oder  F)  auf  Q  ist  ein  Kreis  m  vom  Mittelpunkte  P 

86,  Indem  wir  den  Begriff  der  Imaginarprojektion  von  Kegel- 
schnitten (I^  403)  auf  den  Raum  ausdehnen^  und  dabei  zuj^eieh 
eine  Erweiterung  für  die  Ebene  gewinnen,  sagen  wir: 

Begriff.  Zwei  Kegelschnitte  Je,  \  in  derselben  oder  in  verschiede- 
nen Ebenen ,  m  welchen  b&sw.  G,  g  und  G^y  g^  Pol  und  Polare  sind, 
befinden  sich  in  der  Perspektiven  Lage  der  Imaginarprojektion  m  ein- 
cmder,  wenn  aus  einem  Projektionsmittelpunkte  0  sich  G  auf  G^,  g 
auf  gi,  und  der  zu  dem  einen  Kegelschnitte  k  in  Betsug  auf  G,  g  kon- 
jugirte  Kegelschnitt  l  sich  auf  \  prcjiciren.  Wir  werden  beweisen,  daß 
dann  au^ch  der  zu  k^  in  Bezug  cnif  G^,  g^  konjugirte  Kegelschnitt  l^ 
sich  auf  k  projicirt, 

Satz.  Haben  zwei  Kegelschnitte  auf  einer  gememschafüichen  Ge- 
raden g  ihrer  getrennten  oder  zusammenfallenden  Ebenen  die  Involution 
konjugirter  Punkte  gemein,  so  prcjiciren  sie  sich  aus  zwei  Punkten  auf 
einander,  weiche  auf  der  Verbindungslinie  g'  der  Pole  G,  G^  von  g 
zu  je  einem  der  Kegelschnitte  liegen  und  durch  diese  harmonisch  ge- 
trennt sind. 


Scripte  Jaco5  Steiners  bearbeitet  von  Dr.  H.  Schröter,  1876,  —  und  Buffini,  di 
alcmü  teoremi  riferibili  alla  polaritä  reciproca  delle  coniche,  nella  Mem.  dell' 
Accad.  d.  Sc.  di  Bologna,  Ser.  lil,  T.VI,  letta  16.  Gen.  1876.)  Dabei  sei  be- 
merkt, daß  dem  Ursprünge  nach  Steiners  Arbeit  vorausgeht,  da  derselbe  schon 
1863  gestorben  ist.  Herr  Betali  hat  dann  über  die  Beziehung  der  konjogirten 
Kegelschnitte  als  gegenseitige  Imaginärprojektionen  eine  Veröffentlichung  ge- 
macht in  einer  Nota  snlle  coniche  conjagate  (Mem.  d.  Acc.  d.  Sc.  di  Bologna, 
Ser.  4,  T.  6,  letta  21.  Die.  1884).  Es  geschah  dies  zwar  nach  dem  Erscheinen 
des  I.  Bandes  dieses  Werkes,  aber  die  Note  war  schon  vorher  der  Akademie 
übersendet,  worden  (siehe  Schlnßbemerknng  derselben),  so  daß  Herr  lletali 
anabhängig  von  dem  Verfasser  diesen  Gedanken  faßte.  —  Ich  erlaube  mir  noch 
zuzufügen,  daß  meine  ersten  Aufzeichnungen  über  Imaginärprojektionen  von 
Kegelschnitten  und  von  Flächen  zweiten  Grades  aus  dem  Jahre  1865  herrühren, 
daß  ich  aber  die  damalige  zwar  umfassendere,  aber  nicht  so  einlache  Dar- 
stellung nicht  reif  für  die  Veröffentlichung  hielt,  den  Grundgedanken  jedoch 
in  meinem  Aufisatze  über  scheinbare  ünstetigkeit  geometrischer  Construktionen, 
welche  durch  imaginäre  Elemente  derselben  verursacht  wird  (Schlömilchs  Zeit- 
schrift für  Math.  u.  Phys.,  1867,  B.  2,  S.  388),  benutzte.  Erst  bei  Gelegenheit 
der  Bearbeitung  (1881)  des  Abschnittes  über  die  Krümmungslinien  der  Flächen 
zweiten  Grades  kam  ich  auf  die  im  ersten  Bande  gegebene  Form, 


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m,  86.   Allgemeine  Eigenschaften  der  Fl&ohen  zweiten  Grades.   ^      79 


Fig.  86. 


Dabei  ist  die  Projektion  eine  gewöhnliche  oder  reelle, 

1  a)  wenn  beide  Kegelschnitte  k  und  k^  reell  sind,  und  wenn  ein 
Fu/nkt  der  g  zugleich  fiir  k  und  k^  innerer  oder  äußerer  Funkt  ist;  oder 

Ib)  uwnn  beide  Kegelschnitte  i  und  i^  imaginär  sind. 
Dagegen  ist  die  Ftqjektion  eine  imaginäre, 

2  a)  wenn  beide  Kegelschnitte  k  und  k^  reeU  sind,  und  U)enn  ein 
Punkt  des  g  innerer  für  k  und  äußerer  für  k^  ist;  oder 

2  a)  wenn  der  eine  Kegelschnitt  k  reell  und  der  andere  i  imagi- 
när ist. 

Bew.  la)  Für  diesen  Fall  wurde  schon  I,  386  der  Beweis 
mittelbar  durch  Beciprocität  geliefert;  da  er  aber  die  Grundlage  für 
die  folgenden  Fälle  bildet,  mag  noch  zur  größeren  Einsicht  der  un- 
mittelbare Beweis  gegeben  werden.  Nach  I,  351,  Zus.,  ist  ein  Kegel- 
schnitt k  bestimmt  durch  die  Involution  der  in  Bezug  auf  k  kon-  Fig.  se. 
jugirten  Punkte  einer  Geraden  g,  den  Pol 
G  der  g  zu  k,  und  einen  Punkt  Ä  des  k. 
Die  GÄ  schneidet,  den  k  noch  in  einem 
zweiten  Punkte  B,  die  g  in  D,  und  es  sind 
Ä  und  B  harmonisch  getrennt  durch  G  und 
D.  Weil  GD  den  k  schneidet,  muß  von 
den  zugeordneten  Punkten  G,  D  der  eine 
ein  innerer,  der  andere  ein  äußerer  des  k 
sein.  Nun  hat  aber  D  nach  der  Voraus- 
setzung gegen  k  und  k^^  die  übereinstimmende 
Lage,  und  ebenso  G  und  G^,  weil  auf  jr  in  Be- 
zug auf  k  und  k^  dieselbe  Involution  herrscht. 
Daher  schneidet  auch  DG^  den  k^,  etwa 
in  Ä^  und  B^,  und  k^  ist  durch  die  Involution 

g,  durch  G^  und  A^  (oder  B^)  bestimmt.  Da  in  k  und  k^  die  g  sich 
selbst,  die  Punkte  G  und  Ä  den  Punkten  G^  und  Ä^  oder  denen  6?^ 
und  JBi  entsprechen,  so  sind  auf  GG^  die  Schnittpunkte  0,  0\  bezw. 
mit  ÄA^y  AB^  die  Projektionsmittelpunkte  von  k  und  k^.  Es  pro- 
jiciren  sich  dann  irgend  zwei  entsprechende  Punkte  C,  C^  von  k,  ky 
auf  einander,  d.  i.  solche,  welche  man  aus  zugeordneten  Punkten 
Ej  E'  der  Involution  auf  g  gewinnt,  nämlich  C  =  E'A,  EB] 
d  ea  E'Ai,  EB^.  0  und  0'  sind  aber  durch  G  und  G^  harmonisch 
getrennt,  weil  00' GG^  die  Projektion  aus  J.  von  den  vier  harmo- 
nischen Punkten  A^B^DG^  ist.  —  Dieser  Beweis  ist  unabhängig 
davon,  ob  k  und  ky  in  verschiedenen  oder  in  derselben  Ebene  liegen, 
und  davon,  ob  die  Doppelpunkte  der  Involution  auf  g  (durch  welche 
Punkte  k  und  k^  gehen)  reell  oder  imaginär  sind. 


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80  ni,  86—86.   Die  Flächen  zweiten  Grades. 

Liegt  g  uDendlich  fern,  so  heißen  die  Kegelschnitte  ähnlich 
und  ähnlich  gelegen  (I;  387). 

Ib)  Bildet  man  von  den  imaginären  Kegelschnitten  i,  i^  die 
ideellen  Darstellungen  m,  %  in  Bezug  auf  g,  G  bezw.  g,  G^y  so 
haben  m  mit  i,  m^  mit  i^,  und  nach  der  Voraussetzung  i  mit  ij, 
daher  auch  m  mit  m^  auf  g  eine  Involution  konjugirter  Punkte  ge- 
mein; und  da  außerdem  jeder  Punkt  von  g  äußerer  Punkt  von  m 
und  von  m^  ist  (I,  405),  so  projiciren  sich  nach  1  a)  die  m  und  m^ , 
und  daher  auch  die  durch  sie  vollständig  bestimmten  i  und  t\,  d.  h. 
die  Polarsysteme  derselben,  reell  auf  einander. 

2a)  Die  reellen  Kegelschnitte  Ä,  \  müssen  sich  auf  ^  in  reel- 
len Punkten  schneiden,  damit  ein  Punkt  der  g  innerer  Punkt  des 
einen  und  äußerer  des  anderen  sein  kann.  Bildet  man  zu  jedem 
von  beiden  den  in  Bezug  auf  g  konjugirten  (reellen)  Kegelschnitt  l 
bezw.  Zj,  so  ist  jener  Punkt  von  g  zugleich  f[ir  k  und  l^  innerer 
oder  äußerer,  und  zugleich  für  \  und  l  äußerer  oder  innerer  Punkt 
(I,  402).  Und  da  außerdem  alle  vier  Kegelschnitte  auf  g  dieselbe 
Involution  besitzen,  so  projiciren  sich  sowohl  k  und  l^  als  \  und  l 
auf  einander,  und  zwar  aus  denselben  Punkten  0  und  0',  weil, 
wenn  sich  zwei  Kegelschnitte  auf  einander  projiciren,  sich  auch  zu- 
gleich die  zu  ihnen  in  Bezug  auf  entsprechende  Gerade  {g^g)  kon- 
jugirte  auf  einander  projiciren.  Wenn  aber  k  und  Z^,  sowie  \  und  l 
reelle  Projektionen  von  einander  sind,  so  sind,  zufolge  des  Begriffes, 
k  und  l,  sowie  \  und  l^  imaginäre. 

Ist  g  unendlich  fem,  so  mögen  die  Kegelschnitte  konjugirt  ahn- 
lidi  und  ähnlich  gelegen  genannt  werden. 

2  b)  Für  den  reellen  Kegelschnitt  k  und  den  imaginären  %  ist 
g  eine  imaginär  schneidende  Gerade.  Der  in  Bezug  auf  g  za  k  kon- 
jugirte  imaginäre  Kegelschnitt  i'  und  der  zu  i  konjugirte  reelle  k' 
schneiden  daher  die  g  ebenfalls  imaginär.  Da  außerdem  alle  vier 
Kegelschnitte  auf  g  dieselbe  Involution  besitzen,  so  sind  k  und  k\ 
sowie  %  und  i  reelle,  daher  k  und  i,  sowie  i'  und  k\  imaginäre 
Projektionen  von  einander. 

86,  Säte.  Zwei  Kegelschnitte  einer  Fläche  zweiten  Grades^  mag 
einer  derselben  oder  mögen  beide  reell  oder  imaginär  sein^  werden  durdi 
reelle  oder  imaginäre  Projektion  auf  einander  prcjicirt  aus  jedem  voti 
zwei  Punkten,  welche  auf  der  Polaren  der  Schnittlinie  der  Ebenen 
der  Kegelschnitte  liegen  und  durch  diese  Ebenen  harmonisch  von  ein- 
ander getrennt  sind. 

Denn  (85)  sie  besitzen  auf  der  Schnittlinie  ihrer  Ebenen  eine 
gemeinschaftliche  Involution  konjugirter  Punkte  (76). 


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ni,  86—88.   Allgemeine  Eigenschaften  der  Flächen  zweiten  Grades.      81 

Es  treten  alle  vier  Fälle  der  vorigen  Nr.  ein.  Bei  einer  Nicht- 
regelfläche  findet  reelle  Projektion  statt  für  zwei  reelle  (85,  la); 
82,  3)),  sowie  für  zwei  imaginäre  Schnitte  (Ib);  imaginäre  Pro* 
jektion  für  einen  reellen  und  einen  imaginären  Schnitt  (2  b).  Bei 
einer  Eegelfläche  kann  für  die  stets  reellen  Schnitte  reelle  (la)  und 
imaginäre  (2  a)  Projektion  stattfinden  (82,  3));  erstere  gilt  z.  B.  bei 
dem  einschaligen  Umdrehungshyperboloide  für  zwei  Parallelkreise, 
letztere  für  einen  Parallelkreis  und  einen  Meridian. 

87.  Satss.  Zwei  Kegelschnitte  Ic^,  Jc^,  welche  sich  in  zwei  (reellen 
oder  imaginären)  Punkten  A,  B  schneiden,  und  ein  Funkt  F  außerhalb 
derselben  bestimmen  eindeutig  eine  Fläche  zweiten  Grades  F,  welche 
durch  Ä, ,  Äj  und  F  geht. 

Denn  seien  Q^,  Q^  die  Pole  von  AB  bezw.  zu  Äj,  Äg,  so 
schneide  man  die  Ebene  Q^Q^F^^l»  mit  A^^  in  den  (reellen  oder 
imaginären)  Punkten  C^yB^^  und  mit  \  in  C^yB^.  Dann  lege  man 
durch  F^  C^,  D^,  Cg,  B^  den  Kegelschnitt  i,  bestimme  auf -4JB  den 
durch  A  und  B  von  L  harmonisch  getrennten  Punkt  L,  so  ist  der- 
selbe der  Pol  von  C^B^  zu  Tc^  und  von  C^B^  zu  Äg.  Die  Fläche 
zweiten  Grades  P,  welche  nun  durch  den  Leitkegelschnitt  Z,  den 
Pol  L  seiner  Ebene  und  durch  A  (sowie  B)  bestimmt  ist,  ist  die 
gesuchte;  denn  sie  enthält  äj^,  weil  sie  von  ihm  Ci,  Dj,  -4,  B  und 
die  Tangenten  LO^,  LB^  enthält;  ebenso  Tc^  und  F, 

88,  Der  Pol  der  unendlich  fernen  Ebene  zu  einer  Fläche  zwei- 
ten Grades  F  heißt  deren  Mitielpurüd  und  halbirt  alle  Sehnen  der 
Fläche,  welche  durch  ihn  gehen  (73,  1));  diese  Sehnen  werden 
Durchmesser  genannt.  Die  Polarebene  eines  unendlich  fernen  Punk- 
tes heißt  Bwrchmesserd)ene  oder  Diametralebene;  sie  geht  durch  den 
Mittelpunkt  (76),  halbirt  alle  nach  dem  unendlich  fernen  Punkte 
laufenden  (parallelen)  Sehnen  und  enthält  die  Berührungskurve  des 
mit  ihnen  parallel  der  F  umschriebenen  Cylinders.  —  Die  durch 
eine  unendlich  ferne  Gerade  g  j  also  unter  einander  parallel  gelegten 
Ebenen  schneiden  die  F  in  ähnlichen  oder  hmjugirt  ähnlichen  und 
ähnlich  gelegenen  Kegelschnitten  (85,  la)  und  2a));  sind  die  Kurven 
Ellipsen,  so  sind  sie  stets  ähnlich,  sind  sie  Hyperbeln,  so  sind  sie 
ähnlich  oder  konjugirt  ähnlich,  je  nachdem  diese  Kurven  in  den 
WinkelnLumen  der  (parallelen)  Asymptoten  liegen,  welche  parallele 
Durchmesser  enthalten  oder  nicht  enthalten. 

Die  Mittelpunkte  dieser  parallelen  Kegelschnitte  liegen  auf  einem 
Durchmesser  g^  der  Polaren  der  g\  Die  Berührungspunkte  der  aus 
^'  an  F  gelegten  Berührungsebenen  liegen  auf  g.  Die  durch  g'  ge- 
legte Burchmesserebene  ist  dem  Burchmesser  g  konjugirt  (76)  und 
halbirt  die  zu  g  parallelen  Sehnen  der  Fläche. 

Wiener,  Lehrbaoh  der  danteHenden  Geometrie,  n.  C 


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82  ni,  88—89.   Die  Flächen  zweiten  Grades. 

Ist  der  Mittelpunkt  einer  Fläche  zweiten  Grades  ein  Eckpunkt 
eines  Polartetraeders  zu  derselben,  daher  die  unendlich  ferne  Ebene 
dessen  Gegenfläche^  so  sind  die  drei  Durchmesser  der  Fläcbe,  welche 
Kanten  des  Polartetraeders  bilden^  Jconjugirte  Durchmesser,  die  Ebenen 
je  zweier  derselben  sind  Jconjugirte  Durchmesser  ebenen,  und  es  ist  von 
diesen  zugleich  eine  jede  dem  nicht  in  ihr  liegenden  Durchmesser 
konjugirt  (76).  Jede  Durchmesserebene  halbirt  die  mit  ihrem  kon- 
jugirten  Durchmesser  parallelen  Sehnen,  und  jeder  Durchmesser 
enthält  die  Mittelpunkte  der  ähnlichen  oder  konjugirt  ähnlichen  und 
ähnlich  gelegenen  Kegelschnitte  der  P,  deren  Ebenen  mit  seiner 
konjugirten  Durchmesserebene  parallel  sind. 

Ein  Durchmesser  ist  reell  oder  imaginär,  je  nachdem  er  die 
Fläche  in  reellen  oder  imaginären  Punkten  trifft.  Im  letzteren  Falle 
bestimmen  wir  ihn  durch  die  ideellen  Doppelpunkte  der  auf  ihm  in 
Bezug  auf  F  stattfindenden  gleichlaufenden  Involution  und  seine 
ideelle  Länge  als  den  Abstand  dieser  Punkte.  Sind  in  einer  Durch- 
messerebene (oder  überhaupt  in  einer  schneidenden  Ebene)  zwei  kon- 
jugirte  Durchmesser  imaginär,  so  ist  der  Kegelschnitt  dieser  Ebene 
imaginär.  Sind  drei  konjugirte  Durchmesser  der  Fläche  imaginär, 
so  sind  es  auch  die  Kegelschnitte  in  den  Ebenen  je  zweier  und  in 
jeder  durch  einen  der  Durchmesser  gelegten  Ebene.  Die  Fläche 
enthält  daher  im  ganzen  Räume  keinen  reellen  Punkt  und  ist  selbst 
imaginär,  ein  Fall,  den  wir  später  betrachten  wollen. 

Durch  drei  Jconjugirte  Durchmesser  ist  eine  Fläche  sfweiten  Grades 
bestimmt  und  entsteht  nach  Nr.79  z.B.  derart,  daß  man  den  Kegelschnitt 
in  der  Ebene  des  ersten  und  zweiten  Durchmessers  als  Leitlinie  p 
annimmt,  so  daß  der  unendlich  ferne  Punkt  des  dritten  Durch- 
messers P  ist,  und  daß  man  die  unendlich  ferne  Gerade  der  Ebene 
des  dritten  und  zweiten  Durchmessers  als  g  =  PFF'  (wobei  F,  F' 
reell  oder  imaginär  sein  können)  wählt;  es  werden  dann  die  er- 
zeugenden Kegelschnitte  ähnlich  oder  konjugirt  ähnlich  und  ähn- 
lich gelegen. 

89.  Saifs  und  Äufg.  Jede  Fläche  zweiten  Grades  F  JuU  im  all- 
gemeinen drei  auf  einander  senJcrechte  Jconjugirte  Durchmesser,  welche 
ihre  Äxen  hsißen.  Im  besonderen  Falle  Jcann  sie  deren  auch  unendlich 
viele  besitzen,  nämlich  einen  ausgezeichneten  Durchmesser  und  jeden  auf 
ihm  senkrechten,  oder  auch  jeden  Durchmesser,  Es  sollen  die  Axen 
Jconstruirt  werden. 

Der  Beweis  und  die  Auflosung  werden  auf  diejenigen  zu  dem 
entsprechenden  Satze  und  der  Aufgabe  über  den  Kegel  zweiten  Gra- 
des (23  ff.)  zurückgeführt.  Es  geschieht  dies  mittelst  des  Satzes, 
daß  drei  aus  einem  PunJcte  P  gezogene,    in  Bezug  auf  eine  Fläche 


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III,  89.   Allgemeine  Eigenschaften  der  Flächen  zweiten  Grades.         83 

Bweiten  Grades  P  Jconjugirte  Strahlen  auch  in  Bezug  auf  den  Kegel  K 
Jconjugirt  sind^  welchen  man  aus  P  der  F  umschreiben  kamt.  Ist  der 
Kegel  und  also  auch  seine  Berührnngskurve  p  in  der  Polarebene  F 
des  P  reeU,  so  gilt  der  Satz,  weil  durch  irgend  einen  Punkt  in  P 
und  seine  Polare  zu  p  bezw.  ein  Strahl  und  eine  Ebene  aus  P  gehen, 
welche  in  Bezug  auf  P  und  auf  K  konjugirt  sind.  Dann  sind  auch 
zwei  durch  P  gehende  Strahlen  in  Bezug  auf  die  eine  Fläche  kon- 
jugirt, wenn  sie  es  in  Bezug  auf  die  andere  sind.  Wählt  man  nun 
den  Mittelpunkt  M  als  Punkt  P,  so  daß  die  unendlich  ferne  Ebene 
M  die  Polarebene  P  wird,  so  ist  tC  reell,  wenn  die  unendlich  ferne 
Kurve  der  P  reell  ist,  was  bei  den  Regelflächen  stets  stattfindet. 
Dann  sind  die  Axen  des  K  auch  die  Axen  der  P. 

Den  Fall,  daß  K  imaginär  sei,  erledigen  wir  durch  Betrach- 
tungen,  welche  auch  för  reelle  Kegel  gelten.  Dabei  geben  wir  dem 
P  sogleich  die  für  uns  wesentliche  Lage  in  dem  Mittelpunkte  M\ 
aus  den  Ergebnissen  folgt  dann  durch  räumliche  Kollineation  auch 
unser  Satz  für  jeden  Punkt  P 

Sei  P  durch  drei  reelle  oder  ideelle  konjugirte  Halbdurchmesser 
a,  b,  c  gegeben,  so  ist  durch  diese  in  jeder  Ebene  je  zweier  eine 
Involution  konjugirter  Durchmesser  bestimmt,  vermittelst  welcher 
zu  jedem  Durchmesser  g  die  konjugirte  Durchmesserebene  G-  leicht 
ermittelt  wird.  Zu  dem  Ende  schneidet  man  die  Ebene  ga  mit 
derjenigen  bc  in  a^,  sucht  in  bc  den  zu  a^  konjugirten  Durchmesser 
o,;  derselbe  ist  in  Bezug  auf  P  zu  der  Ebene  ga  konjugirt,  liegt 
also  in  G.  Bestimmt  man  ebenso  &2;  ^»  ^^  ^^^  G  «»  o^^s^s«  ^^ 
zwei  der  Strahlen  Og,  bg?  ^  ^^^  Bestimmung  von  G  hinreichen^  so 
ergibt  sich,  daß  das  System  der  konjugirten  Durchmesser  und 
Durchmesserebenen  vonP  durch  zwei  von  den  Involutionen  bc,  ca, 
ab  bestimmt  ist.  Nun  kann  man  aber  einen  Kegel  zweiten  Ghrades 
angeben,  welchem  dieselben  Involutionen  konjugirter  Durchmesser 
angehören.  Legt  man  nämlich  durch  den  Endpunkt  des  einen  Halb- 
dnrchmessers,  etwa  des  c,  parallele  und  gleiche  Strecken  a'  und  b' 
bezw.  mit  a  und  b  und  betrachtet  a'  und  b'  als  reellen  oder  ideel- 
len Halbdurchmesser  eines  Kegelschnittes  k,  je  nachdem  bezw.  c 
und  a,  oder  c  und  b  ungleichartig  (der  eine  reell  und  der  andere 
ideell),  oder  gleichartig  (beide  reell  oder  beide  ideell)  sind,  so  be- 
sitzt der  Kegel  K  «>  Mk  in  den  Ebenen  Maa\  MbV  die  gegebenen 
Strahleninvolutionen.  Denn  bei  ungleichartigen  c  und  a  ist  die 
Strahleninvolution  ca  ungleichlaufend,  besitzt  reelle  Doppelstrahlen, 
und  diese  sind  reelle  Erzeugende  des  Kegels,  und  ihre  Schnittpunkte 
mit  der  Linie  a'  sind  die  Endpunkte  zweier  Strecken  a\  und  sind 
reelle  Scheitel  von  k.    Bei  gleichartigen  c,  a  sind  die  Doppelstrahlen 

6» 


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84  nif  89—90.   Die  Flächen  zweiten  Grades. 

und  die  Scheitel  ideell.  Durch  beide  StrahleninTolutionen  ca,  eb 
ist  aber  zu  jedem  Durchmesser  g  die  konjugirte  Durchmesserebene 
(Polarebene)  auf  dieselbe  Weise  wie  bei  F  bestimmt.  Also  sind 
die  Axen  von  K  auch  solche  von  P. 

Nun  kann  aber  h  reell  oder  imaginär  sein;  von  diesem  Um- 
stände ist  jedoch  die  Bestimmung  der  Eegelaxen  ganz  unabhängige 
da  sie  nur  durch  Pol  und^  Polare  ausgeführt  wird.  (Wäre  so  in  der 
Fig.  13  der  Ä,  welcher  dort  mit  c  bezeichnet  ist,  die  ideelle  Dar- 
stellung eines  imaginären  Kegelschnittes ,  so  müßte  nur  die  017^ 
als  Polare  von  U,  durch  ihre  in  Bezug  auf  den  dortigen  Punkt  M 
symmetrische  Gerade  ersetzt  werden.) 

Da  nun  F  dieselben  Axen  wie  K  besitzt,  so  sind  dies  nach 
Nr.  22  im  allgemeinen  drei,  im  besonderen  auch  eine  ausgezeichnete 
und  die  unendlich  vielen  darauf  senkrechten;  es  gilt  dies  für  Um- 
drehungsflächen, welche  die  erstere  Axe  zur  Umdrehungsaxe  haben. 
Dadurch,  daß  der  Eegel  K  auch  imaginär  sein  kann,  tritt  noch  eine 
neue  Möglichkeit  ein,  die  bei  reellem  K  nicht  vorhanden  isi  a,  6,  c 
bilden  nämlich  das  gemeinschaftliche  Polardreikant  zu  K  und  zu 
einem  imaginären  Hilfskegel  Mk,  bei  welchem  jedes  Polardreikant 
rechtwinklig  ist  (23).  Fällt  nun  K  mit  MJc  zusammen,  so  ist  jeder 
Durchmesser  der  P  eine  Axe  und  P  eine  Kugel, 

Da  E  dasselbe  Polarsystem  M  (Durchmesser  und  Durchmesser- 
ebene) wie  P  besitzt,  so  besitzt  es  auch  dasselbe  in  der  unendUch 
fernen  Ebene  M,  oder  der  (reelle  oder  imaginäre)  Eegel  E  projicirt 
die  (reelle  oder  imaginäre)  unendlich  ferne  Eurve  der  P.  So  pro- 
jicirt im  letzten  Falle  der  imaginäre  Eegel  {MTc)  den  (imaginären) 
unendlich  fernen  KugeVcreis,  Die  ideelle  Darstellung  des  Eegels, 
welche  die  M  in  einer  ideellen  Darstellung  des  unendlich  fernen 
Eugelkreises  schneidet,  ist  ein  Umdrehungskegel,  dessen  Mittelpunkt 
Mf  dessen  Axe  irgend  ein  Durchmesser  der  Eugel  ist,  und  dessen 
Erzeugende  45^  mit  der  Axe  bilden. 

Liegt  der  Mittelpunkt  M  der  "E  im  Unendlichen^  so  daß  jede 
nach  ihm  laufende  Gerade  ein  Durchmesser  ist,  so  hat  eiuQ  Axe  a 
ebenfalls  die  Richtung  nach  M,  Eine  darauf  senkrechte  Ebene  ist 
dann  mit  den  beiden  anderen  Axen  parallel;  schneidet  man  sie  mit 
der  Fläche  P  in  einem  Eegelschnitte,  bestimmt  dessen  Mittelpunkt 
M\  so  ist  M' M  die  Axe  a,  die  Ebenen  a6,  ac  gehen  durch  die 
Axen  jenes  Eegelschnittes,  und  h  und  c  liegen  dann  im  Unendlichen. 

Die  Ebenen  je  zweier  Axen  heißen  die  Axenr  oder  HauptebeneHf 
ihre  Schnitte  mit  P  die  Sauptschnitte,  die  Endpunkte  der  Axen  in  P 
die  Scheitel  der  P. 

90,    Zur  Erzeugung  und  Einteilung  der  Flächen  zweiten  Grades 


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III,  90—91.   Allgemeine  Eigenschaften  der  Flächen  zweiten  Grades.     85 

gehen  wir  von  drei  gegebenen  hmjugirten  Durchmessern  2a,  26,  2c 
aus  (88,  Ende),  nehmen  den  Kegelschnitt  ah  (oder  ac)  als  Leitlinie  j), 
den  Kegelschnitt  hc  als  eine  Lage  der  Erzeugenden  s  an,  die  sich 
so  bewegt,  daß  sie  parallel,  ähnlich  oder  konjugirt  ähnlich  und 
ähnlich  gelegen  zu  ihrer  Anfangslage  bc  bleibt,  daß  ihr  Mittelpunkt 
den  Durchmesser  a  und  ein  Punkt  derselben  den  Kegelschnitt  ab 
(ein  anderer  den  ac)  beschreibt.  —  Wir  wollen  im  folgenden  als  die 
drei  konjugirten  Durchmesser  die  Axen  annehmen ;  die  Erörterungen 
gelten  aber  auch  für  andere  konjugirte  Durchmesser,  abgesehen  von 
den  der  rechtwinkeligen  Lage  zukommenden  Eigentümlichkeiten. 

Je  nach  der  Lage  des  Mittelpunktes  M  im  Endlichen  oder  im 
Unendlichen  und  nach  der  reellen  oder  imaginären  Beschaffenheit 
der  Axen  ergeben  sich  fünf  Arten  der  reellen  Flächen  zweiten  Grades, 
wozu  noch  die  imaginäre  Fläche  als  sechste  Art  hinzukommt. 

A.  Der  Mittelpunkt  liegt  im  Endlichen: 

1)  die  drei  Axen  sind  reell:  das  Ellipsoid; 

2)  zwei  Axen  sind  reell,  eine  ist  imaginär:  das  einschcUige 
Hyperboloid; 

3)  eine  Axe  ist  reell,  zwei  sind  imaginär:  das  zweischalige 
Hyperboloid; 

4)  die  drei  Axen  sind  imaginär:  die  imaginäre  Fläche  zweiten 
Grades. 

B.  Der  Mittelpunkt  liegt  im  Unendlichen: 

5)  die  drei  Axen  sind  reell,  oder,  was  keinen  Unterschied  in 
der  Fläche  hervorbringt,  eine  Axe  ist  reell  und  zwei  sind 
imaginär:  das  elliptische  Paraboloid; 

6)  zwei  Axen  sind  reell,  eine  ist  imaginär:  das  hyperbolische 
Paraboloid. 

Wenn  der  Mittelpunkt  im  Unendlichen,  Pig.  37. 

also  in  seiner  Polarebene  liegt,  ist  er  ein  Jl        , 

reeller  Punkt  der  Fläche;  also  können  dann  »'y^^/^^^'^^^ 

nicht  die  Fläche  und  somit  auch  nicht  die  iCl2i^ 

drei  Axen  imaginär  sein.  /  ^f      !         l^, 

91.    1)  Das  EUipsoid  besitzt  drei  reelle       /  ../ '  T'J-"^T '  V;    ^*^*  *^* 


Axen  und  hat  drei  Ellipsen  zu  Hauptschnit-  /t    /  "7-^  ^^.^^S^^^^^' 

ten.    Für  die  verschiedenen  Lagen   der  Er-  \^\^^^^^ 

zeugenden  ist  das  Verhältnis  Y\^''~'^f^ZX^'^^ 

b  _MB  _  M'B'        M"B''  7^ 

c         MC~  M'G'         M"C""'  "-^^ 

unveränderlich.  —  Ist  6  =  c,   so  wird   die 

Erzeugende  ein  Kreis  und  die  Fläche  ein  UmdrehungseUipsoid.     Das- 
selbe heißt  verlängert,    wenn  a  >  6,   abgeplattet  oder  ein,  Sphäroid, 


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86 


III,  91—92.   Die  Flächen  zweiten  Grades. 


wenn  a<b.  Für  a  =  6  =  c  entsteht  die  Kugdy  für  c  =  0  die 
doppelte  Ebene  ab  (entsprechend  für  6  oder  a  =  0).  Für  6  = 
0  =  0  die  Gerade  a,  für  a  =  6  =  c  =  0  der  Punkt,  für  c  =  oo  der 
Cylinder,  für  6  =  c  =»  cx)  zwei  parallele  Ebenen,  für  a  =  6  =  c  =  oo 
die  doppelte  unendlich  ferne  Ebene, 
Fig.  38.  92.    2)  Das  einschalige  Hyperboloid  (einmantelige,  einfache  H.) 

besitzt  zwei  reelle  Axen  26  und  2c,    und   eine   imaginäre,    deren 
ideelle  Darstellung  2a  ist.   Die  Hauptschnitte  ab  und  ac  sind  daher 

Hyperbeln,    derjenige   bc    und   die 
^*  damit    parallelen   Erzeugenden  El- 

lipsen.   Von  den  letzteren  ist  be  die 
kleinste  und  heißt  KehleUipse\   von 
ihr  an  wächst  die  Erzeugende  nach 
beiden    Seiten   bis   ins   Unendliche. 
Weil  die  Fläche  die  unendlich  ferne 
Ebene  in  einem  reellen  Kegelschnitte 
trifft,   so  ist  der   aus  dem  Mittel- 
punkte  M    ihr    umschriebene,    sie 
nach  dieser  Kurve  berührende  Kegel 
Mh'h"  reell;  er  heißt  der  Asymp- 
totenkegel,   weil  er  die  Asymptoten 
aller  derjenigen  Hyperbeln  der  Fläche 
enthält,    deren    Ebenen    durch    M 
gehen,  z.B.  der  durch  a  gelegten. 
—  Für  6  =  c  entsteht  das  einscha- 
lige ümdrehungshyperbohid,  für  c  =  0 
die  doppelte  Ebene  ab,  für  6  =  c  =  0  die  Gerade  a,   für  a  =  6  = 
c  =  0  (bei  ungeändertem  Verhältnisse)  der  Asymptoterikegel  der  ur- 
sprünglichen Fläche,  für  a  =  oo  der  elliptische  Cylinder,  für  c  =  oo 
der  hyperbolische  Cylinder,  für  a  =  6  =  c™oo  die  doppelt  unendlich 
ferne  Ebene,  für  a  =  6  =  0  zwei  sich  in  c  schneidende  Ebenen. 

Man  kann  auch  die  Hyperbel  ab  (oder  ac)  als  Erzeugende  und 
die  Ellipse  bc  oder  die  Hyperbel  ac  (bezw.  ab)  als  Leitlinie  an- 
sehen. Die  hyperbolischen  Erzeugenden  ab  haben  parallele  Asymp- 
toten; während  ihr  Mittelpunkt  auf  der  endlichen  Strecke  CC^  liegt, 
ist  ihre  reelle  Axe  mit  b,  ihre  imaginäre  mit  a  parallel;  während 
er  auf  der  unendlichen  Strecke  C'C^  liegt^  ist  ihre  reelle  Axe  mit 
a  und  ihre  imaginäre  mit  b  parallel.  Eine  der  ersteren  und  eine 
der  letzteren  Art  sind  konjugirt  ähnlich.     Das  Verhältnis 

ö        MB  ~  M^B^ 
der  reellen  und  ideellen  Axe  ist  unveränderlich. 


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III,  93—94.   Allgemeine  Eigenschaften  der  Flächen  zweiten  Ghrades.     87 


93.  3)  Das  uweischälige  Hyperboloid  (zweimantelige,  zweifache  Fig.  89. 
U.)  besitzt  eine  reelle  Axe  2a  und  zwei  imaginäre,   deren  ideelle 
Darstellungen  2h y  2c  sind.    Die  Hauptschnitte  ab  und  ac  sind  daher 
Hyperbeln,     derjenige     bc    eine 

imaginäre  Ellipse  und  die  damit  '^* 

parallelen  Erzeugenden  für  die 
endliche  Strecke  ÄÄ^  sind  imagi- 
näre, für  die  unendliche  A.Ä^ 
reelle  Ellipsen.  Der  aus  M  der 
Fläche  umschriebene,  sie  im 
Unendlichen  berührende  Kegel 
Mk'k"  heißt  wieder  der  Äsymp- 
totenkegel.  —  Für  b  =  c  entsteht 
das  zweischalige  Umdrehungshyper- 
höloid,  für  c  =  0  die  doppelte 
Ebene  a6,  für  6  =  c  =  0  die 
Gerade  a,  füra  =  6  =  c  =  0  (bei 
ungeändertem  Verhältnisse)  der 
Asymptotenkegel  j  für  c  «=  oo  der 
hyperbolische  Oylinder,  f ür  6  =  c 

«=  oo  zwei  parallele  Ebenen,  für  a  «=  6  =  0  zwei  sich  in  ^  c  schnei- 
dende Ebenen.  —  Man  kann  auch  die  Hyperbel  ab  als  Erzeugende 
und  die  imaginäre  Ellipse  bc  oder  die  Hyperbel  ao  als  Leitlinie 
ansehen. 

4)  Die  imaginäre  Fläche  soll  erst  später  untersucht  werden. 

94.  5)  Das  elliptische  Paraboloid  besitzt  einen  unendlich  fernen  Fig.  4o. 
Mittelpunkt  M,  eine  reelle  Axe  MÄ,  deren  Scheitel  Ä  im  End- 
lichen liegt,  uhd  zwei  unendlich  ferne 
Axen  2b  und  2c,  welche  beide  als  reell 
oder  beide  als  imaginär  anzusehen  sind. 
Die  Hauptschnitte  ab  und  bc  sind  daher 
Parabeln,  welche  sich  von  Ä  aus  in  dem- 
selben Sinne  ins  Unendliche  erstrecken 
müssen,  weil  eine  mit  bc  parallele  Ebene 
die  Fläche  in  einer  mit  der  reellen  oder 
imaginären  Ellipse  bc  ähnlichen  oder  kon- 
jugirt  ähnlichen  Ellipse  schneidet,  so  daß 
sie  jene  beiden  Parabeln  entweder  in  vier 
reellen  oder  in  vier  imaginären  Punkten, 

den  Scheiteln  der  Ellipse,  schneidet.  —  Für  b  =  c  entsteht  das  Um- 
drehungsparabohid,  für  Jf' C  «=  0  die  doppelte  Ebene  ab,  für  HfB' 
=  M'C  =  0  die  Gerade  a,  für  Jlf' C  «=  oo  der  parabolische  Cylinder 


Fig.  40. 

jJ.^ 

>,<?; 

MJjk^ 

-\o' 

7      ' 
1     , 

{-7 

}■ 

COlM 

\ 

\ 

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88 


m,  94—95.   Die  Flächen  zweiten  Grades. 


für  Jf' JB' «=  Jlf' C  =  oo   die  auf  a  senkrechte   durch  A   gehende 
Ebeney  verbunden  mit  der  unendlich  fernen  Ebene. 

Alle  durch  a  gelegten  Ebenen  schneiden  die  Fläche  in  Para- 
beln ^  welche  a  zur  Axe  haben  und  sich  in  übereinstimmendem  Sinne 
von  Ä  aus  erstrecken;  und  eine  durch  a  und  eine  mit  ihr  parallel 
gelegte  Ebene  schneiden  die  Fläche  in  Tcongruenten  Parcibdn,  Denn 
der  Punkt;  aus  welchem  sich  beide  Parabeln  auf  einander  projiciren 
(86),  ist  unendlich  ferne,  da  er  in  der  Polare  der  Schnittlinie  ihrer 
Ebenen  liegt,  diese  Linie  aber  und  folglich  auch  ihre  Polare  eine 
unendlich  ferne  Tangente  der  Fläche  ist  (77,  3)).  Daher  kann  man 
auch  die  Parabel  ac  als  Erzeugende  ansehen,  welche  parallel  und 
kongruent  mit  ihrer  Anfangsgestalt  sich  so  bewegt,  daß  ihr  Scheitel 
die  Parabel  ah  beschreibt;  B^C^  ist  eine  Lage  derselben. 
Fig.il.  95.     6)  Das  hyperbolische  Paraboloid  besitzt  einen   unendlich 

fernen  Mittelpunkt  Jlf,  eine  reelle  Axe  MA,  deren  Scheitel  A  im 
Endlichen  liegt,  während  von  den  beiden  anderen  im  Unendlichen 

liegenden   Axen   2  b  und  2  c 
^^^'  ^^-  die    eine    reell,    die    andere 

-^ ^'^'^'       imaginär  ist.    Der  unendlich 

ferne  Hauptschnitt  bc  ist  da- 
her eine  Hyperbel,  während 
diejenigen  ab  und  ac  Parabeln 
sind,  welche  sich  von  A  aus 
in   entgegengesetztem  Sinne 
*  ins    Unendliche     erstrecken, 
indem  die  eine  derselben  von 
einer   zu   bc  parallelen  und 
ähnlichen    erzeugenden   Hy- 
perbel in  deren  reellen,   die 
andere  in   deren  imaginären 
Scheiteln    getroffen    wird.      So    besitzt    die    erzeugende    Hyperbel 
JK'B'5/  auf  der  Parabel  ab  ihre  reellen  Scheitel  B',  B/,  und  auf 
der  Parabel  ac  ihre  imaginären  Scheitel,  von  welchen  C\  C/  die 
ideellen  Darstellungen  sind.    Entfernt  sich  ihr  Mittelpunkt  M'  von 
A,  so  wachsen  ihre  Axen  bis  zu  jeder  beliebigen  Große;    bei  der 
Annäherung  gegen  A  werden  sie  in  A  Null,  die  Hyperbel  wird  zu 
zwei  Geraden  h  und  h'l  und  bei  Überschreitung  von  A  liegen  ihre 
reellen  Scheitel  C",  (7/'  auf  der  Parabel  ac,  ihre  imaginären  (ideell 
dargestellt  durch  B'\  JB/')  auf  der  ab.     Da  die  erzeugenden  Hyber- 
beln  unter  einander  ähnlich  oder  konjugirt  ähnlich  sind,   so  gilt: 
M'B'  :M'C'^  M"B"  :  M"C'\    Die  ideellen  Punkte  £"£/'  büden 
eine  mit  der  Parabel  ab  kongruente  und  in  Bezug  auf  A  symme- 


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III,  95—96.   Konjagirte  Flächen  2.  Gr.  u.  Imaginärprojekiioii  im  Baume.    89 

irische  Earre^  als  konjugirt  zu  ab  in  Bezug  auf  den  unendlich 
fernen  Punkt  von  B'B^  und  JB^'B/'  (I,  402).  Ebenso  bilden  die 
Punkte  C\  C^  eine  zur  Parabel  ac  kongruente  und  in  Bezug  auf -4 
symmetrische  Kurve. 

Auch  dieses  Paraboloid  wird  von  der  unendlich  fernen  Ebene; 
welche  die  unendlich  fernen  Tangenten  der  Parabeln  ab  und  ac  ent- 
hält, in  dem  unendlich  fernen  Punkte  von  a  berührt ,  welcher  ihr 
Pol  und  der  Mittelpunkt  M  der  Fläche  ist. 

Diese  Fläche  kann  von  einer  Ebene  E  nie  in  einer  Ellipse  (oder 
einem  Kreise)  geschnitten  werden,  da  die  unendlich  ferne  Gerade 
der  E  die  unendlich  ferne  Hyperbel  der  Fläche  stets  in  zwei  ge- 
trennten oder  zusammenfallenden  reellen  Punkten  trifft.  Denn  diese 
unendlich  ferne  Gerade  und  die  Hyperbel  projiciren  sich  aus  A 
bezw.  durch  eine  zu  E  parallele  Ebene  und  durch  zwei  Ebenen  ah 
und  ah'  (weil  a  die  Projicirende  der  unendlich  fernen  Punkte  der 
Parabeln  ab  und  ac  ist),  und  die  erstere  Ebene  schneidet  die  beiden 
letzteren  in  zwei  reellen  durch  A  gehenden  Geraden,  welche-  die 
unendlich  fernen  Punkte  der  Schnittkurve  projiciren.  Man  muß 
daher  die  unendlich  ferne  Hyperbel  der  Fläche  als  aus  zwei  Geraden 
gebildet  ansehen,  denjenigen  der  Ebenen  ah  und  ah\  welche  Ge- 
rade sich  in  dem  unendlich  fernen  Punkte  der  a  und  der  F  schnei- 
den. Für  &  =  c  werden  die  beiden  Hauptschnitte  ab  und  ac  kon- 
gruent; zu  einer  Umdrehungsfläche  kann  die  Fläche  nicht  werden, 
da  keine  Kreise  auf  ihr  möglich  sind;  für  M'C  *=^0  entsteht  die 
doppelte  Ebene  ab,  für  MB'  =  MC  =  0  die  beiden  Ebenen  ah 
und  aÄ',  für  Jlf'C'  =  oo  der  parabolische  Cylinder,  für  Jirj5'«= 
M'C  =  oo  die  auf  a  senkrechte  durch  A  gehende  Ebene,  verbunden 
mit  der  unendlich  fernen  Ebene. 

Eine  durch  a  gelegte  und  eine  damit  parallele  Ebene  schnei- 
den, ebenso  wie  beim  elliptischen  Paraboloide,  die  Fläche  in  kon- 
gruenten Parabeln.  Daher  kann  man  wieder  die  Parabel  ab  ^der 
ac)  als  Erzeugende  ansehen,  nur  daß  sie  sich  mit  der  Leitparabel 
ac  (oder  ab),  im  Unterschiede  gegen  die  vorige  Fläche,  in  entgegen- 
gesetztem Sinne  erstreckt. 


n.    Konjagirte  Flächen  zweiten  Qrades  nnd  die  Imaginär- 
projektion  im  Baume. 

96.  In  I,  400  ff.  nannten  wir  die  ideellen  Schnittpunkte  einer 
Geraden  g  mit  einem  Kegelschnitt  k  in  Bezug  auf  einen  Punkt  P 
der  g  und  dessen  Polare  p  zxx  k  diejenigen  beiden  Punkte  der  g, 
welche  in  Bezug  auf  k  zu  einander  konjugirt  und  durch  P  und  p 


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90  III|  96.   Die  Fl&chen  zweiten  Grades. 

harmonisch  getrennt  sind.  Die  auf  allen  aus  P  gezogenen  Strahlen 
aufgetragenen  ideellen  Schnittpunkte  mit  h  bilden  den  zu  h  in  Bezug 
auf  P  konjugirten  Kegelschnitt  i,  und  die  reciproke  Beziehung  von 
h  und  l  ergibt  (I,  401),  daß  die  reellen  Schnittpunkte  Qy  Je  die  ideel- 
len Darstellungen  der  Schnittpunkte  g,  l,  d.  i.  auch  die  ideellen  Dar- 
stellungen der  imaginär  gewordenen  ideellen  Schnittpunkte  g,k  sind. 
Dieser  Begriflf  überträgt  sich  auf  die  Schnittpunkte  einer  Geraden  g 
mit  einer  Fläche  zweiten  Grades  T,  indem  dieselben  auch  die  Schnitt- 
punkte der  g  mit  jedem  Kegelschnitte  der  F  sind,  dessen  Ebene 
durch  g  geht.  In  weiterer  Anwendung  des  Begriffes  der  konjugirten 
Kegelschnitte  und  der  Imaginärprojektion  können  wir  sagen: 

Begriff  und  Satz,  Zu  einer  Fläche  zweiten  Grades  F  nennen  wir 
diejenige  Fläche  H  in  Bezug  auf  einen  Funkt  P  und  dessen  Polar- 
ebene  V  zu'F  Jconjugirty  tcdche  der  geometrische  Ort  der  ideellen  Schnitt- 
punkte der  P  mit  den  aus  P  gezogenen  Strahlen  in  Bezug  auf  P 
und  P  ist. 

Die  P  schneidet  die  P  und  die  H  in  demselben  reeUen  oder  imor 
ginären  Kegelschnitte  p.  Ist  p  reell,  so  ist  die  konjugirte  Fläche  H 
eine  reelle  Fläche  zweiten  Grades,  welche  P  und  P  zu  Pol  und  Polar- 
ebene besitzt,  und  die  P  entlang  p  berührt.  Die  konjugirte  Fläche  der 
H  in  Bezug  auf  P  ist  wieder  P.  P  und  P  heißen  der  Mittelpunkt 
tmd  die  Ebene  der  Konjunktion. 

Jede  durch  P  gelegte  Ebene  E  schneidet  die  P  und  H  in  zwei 
Kegelschnitten,  die  in  Bezug  auf  ihren  gemeinschaftlichen  Pol  und 
Polare  P  und  PB  zu  einander  konjugirt  sind.  Daher  ist  auf  jeder 
Geraden  PE  die  Involution  konjugirter  Punkte  in  Bezug  auf  diese 
beiden  Kegelschnitte  dieselbe  (I,  406).  Die  reellen  oder  imaginären 
Doppelpunkte  jeder  solchen  Involution  sind  aber  die  gemeinsamen 
Punkte  jener  Kurven  (in  E)  mit  P,  alle  zusammen  bilden  die  Schnitt- 
linie von  P  zugleich  mit  P  und  H.  Daher  schneidet  P  die  P  und 
die  p  in  derselben  reellen  oder  imaginären  Kurve  p,  welche  für  P 
(83),  daher  auch  für  H  ein  Kegelschnitt  ist.  Für  den  Fall,  daß  p 
reell,  lege  man  durch  P  eine  Gerade  g,  welche  durch  einen  inneren 
Punkt  des  p  geht  und  die  P  in  den  Punkten  schneidet,  welche  reell 
oder  ideell  durch  F,  F'  dargestellt  sind;  dann  schneidet  jede  durch 
g  gelegte  Ebene  E  die  P  in  einem  reellen  Kegelschnitte,  welcher 
durch  die  reellen  Schnittpunkte  der  E  mit  dem  p  und  durch  F,  F'  geht 
Andei'erseits  schneidet  sie  die  H  in  dem  zu  diesem  Kegelschnitte  in 
Bezug  auf  P  konjugirten  Kegelschnitte,  welcher  durch  dieselben 
Punkte  E  p,  dagegen  durch  die  Punkte  der  Geraden  g  geht,  welche 
bezw.  ideell  oder  reell  durch  F,  F'  dargestellt  sind.  Die  Fläche  H, 
welche  durch  diese  Kurve  erzeugt  wird,  ist  vom  zweiten  Grade  (81) 


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III,  96—99.   EoDJngirte  Flächen  2.  Gr.  u.  Imaginärprojektion  im  Baume.    91 

und  bertOirt  die  F  entlang  p,  da  jene  beiderlei  erzeugenden  Kurven 
zwei  Punkte  der  p  und  in  denselben  die  nach  P  laufenden  Tan- 
genten gemein  haben.  Indem  aber  die  beiden  Kurven  gegenseitig 
konjugirt  sind;  ist  auch  F  zu  H  konjugirt. 

Zugleich  ergibt  sich:  Die  Schnittlinien  ssweier  in  Beztig  auf  P 
und  P  konjugirten  Flächen  «weiten  Grades  mit  einer  durch  P  gelegten 
Ebene  E  sind  Kegelschnitte j  die  in  Begug  auf  P  und  T'E  m  einander 
konjugirt  sind. 

97,  Zwei  in  Bezug  auf  den  Punkt  P  und  die  Ebene  P  konju- 
girte  Flächen  zweiten  Grades  F  und  H  sind  gegenseitig  Imaginä/rpro- 
jfktianen  mit  P  und  P  als  Mittelpunkt  und  Ebene  der  KoUineation 
(I,  554)  und  mit  der  Charakteristik  d  =  +  K —  1  =  +  *;  ^®il  ^^^^ 
für  jeden  aus  P  gezogenen  Strahl  gilt  (I,  403).  Jede  reelle  Pro- 
jektion von  n  mit  P  und  P  als  Mittelpunkt  und  Ebene  der  KoUi- 
neation mit  der  reellen  Charakteristik  a  ist  ebenfalls  eine  Imaginär- 
projektion von  F  in  Bezug  auf  P  und  P  mit  der  Charakteristik 
8^±ai  (I,  403). 

98.  Von  zwei  konjugirten  redien  Flächen  zweiten  Grades  ist  stets 
die  eine  geradlinig,  die  andere  nicht  geradlinig.  Denn  ein  aus  dem 
Konjunktionsmittelpunkte  P  nach  einem  inneren  Punkte  des  p  ge- 
zogener Strahl  schneidet  die  eine  der  Flächen  in  imaginären  ^  die 
andere  in  reellen  Punkten  ^  daher  ist  die  erstere  Fläche  geradlinig^ 
die  zweite  nicht  geradlinig  (81). 

99«  Die  zu  einer  Fläche  zweiten  Grades  F  in  Bezug  auf  einen 
Punkt  P  konjugirte  Fläche  ist  imaginär,  wenn  F  nicht  geradlinig  und 
P  ein  innerer  Punkt  derselben  ist;  in  jedem  anderen  FaUe  ist  sie  reeU. 
Denn  nur  im  ersteren  Falle  schneidet  jeder  Strahl  aus  P  die  F  in 
reellen  (82,  3)),  daher  die  H  in  imaginären  Punkten  (96). 

Jede  durch  P  gehende  Ebene  E  schneidet  die  imaginäre  Fläche  H 
in  demjenigen  imaginären  Kegelschnitte,  welcher  zu  dem  reellen  Kegel- 
schnitte EF  in  Bezug  auf  P  und  EP  konjugirt  ist.  Derselbe  ist  be- 
stimmt durch  die  der  F  und  der  H  gemeinsamen  (imaginären)  Punkte 
auf  SP,  durch  den  Pol  P  zu  dieser  Linie,  und  durch  den  einen 
der  beiden  konjugirt  imaginären  Punkte  der  H  auf  irgend  einem 
Strahle  g  aus  P,  von  welchen  Punkten  sie  dann  auch  den  anderen 
enthält  Läßt  man  die  E  sich  um  g  drehen,  so  erzeugen  jene  imagi- 
nären Punkte  auf  EP  den  imaginären  Kegelschnitt  p  «»  PF,  und  der 
imaginäre  Kegelschnitt  der  Ebene  E  erzeugt  die  imaginäre  Fläche, 
welche  demnach  auf  dieselbe  Art,  une  eine  reeUe  Fläche  zweiten  Grades 
entsteht  (96).  Es  soll  alsbald  nachgewiesen 'werden,  daß  auch  jede 
nicht  durch  P  gehende  Ebene  die  Fläche  H  in  einem  imaginären 
Kegelschnitte  trifft,  daß  also  auch  die  H  vom  zweiten  Grade  ist. 


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92  III,  100.    Die  Flächen  zweiten  Grades. 

100.  Satz.  Ist  H  die  (reelle  oder  imaginäre)  zu  einer  reellen 
Fläche  smeiten  Grades  P  in  Beaug  auf  einen  Punkt  P  und  eine  Ebene 
P  kanjugirte  Fläche,  ist  p  der  Kegelschnitt,  den  P  mit  F  und  H  ge- 
mein hat,  und  zieht  man  aus  einem  beliehigen  Punkte  Q  Strahlen,  so 
ist  der  Ort  des  a/uf  jedem  dieser  StraMen  m  Q  in  Bezug  auf  H  kon- 
jugirten  Punktes  eine  Ebene,  die  Polarebene  Q  von  Q  zu  B.,  und  sie 
enthält  die  Polare  von  Q  zu  der  Schnittkurve  jeder  durch  PQ  gelegten 
Ebene  mit  H.  Die  Q  schneidet  die  Polard>ene  Q'  von  Q  zu  F  in 
einer  Geraden  der  T,  der  Polare  des  Punktes  (PQ,  P)  zu  p,  und  wird 
von  ihr  durch  P  und  P  harmonisch  getrennt  Liegt  Q  in  P,  so  gehen 
beide  Polarebenen  Q  und  Q,'  durch  P  und  fätten  zusammen.  Denn  jene 
zu  Q  konjugirten  Punkte  aufstrahlen,  die  in  einer  durch  PQ  gehen- 
den Ebene  E  liegen,  bilden  die  gerade  Polare  von  Q  zu  dem  Kegel- 
schnitte EH.  Diese  Polare  und  diejenige  von  Q  zum  Kegelschnitte 
EF  treffen  sich  aber  in  einem  Punkte  der  EP  und  sind  durch  P 
und  EP  harmonisch  getrennt  (I,  406,  1),  auch  für  einen  reellen 
Kegelschnitt  i  giltig).  Da  aber  diese  Polaren  zu  EF  in  allen  Ebenen 
E  die  Polarebene  Q'  Ton  Q  zu  F  bilden,  so  gehen  alle  jene  Polaren 
zu  EH  durch  die  gerade  Schnittlinie  der  P  mit  der  Q,',  welche 
Schnittlinie  die  Polare  des  Punktes  (PQ,  P)  zu  p  ist,  und  bilden 
diejenige  Ebene  Q,  welche  von  Q'  durch  P  und  P  harmonisch  ge- 
trennt wird. 

Durch  diesen  Satz  übertragen  sich  alle  Polareigenschaften  einer 
reellen  Fläche  zweiten  Orades  F  auf  eine  zu  derselben  in  Bezug 
auf  P  und  P  kanjugirte  Fläche  H,  wenn  dieselbe  auch  imaginär 
ist«    Insbesondere: 

1)  Zu  einer  zu  F  konjugirten  Fläche  H  hat  eine  Ebene  Q  nur 
einen  Pol  Q,  von  welchem  Q  die  Polarebene  ist;  denn  hätte  sie 
deren  zwei,  so  müßten  diese  Punkte  auch  zu  der  reellen  Fläche  F 
ein  und  dieselbe  Polarebene  haben,  nämlich  die  von  Q  durch  P  und 
P  harmonisch  getrennte,  was  unmöglich  (75). 

2)  Die  Polarebene  B  eines  Punktes  R  der  Ebene  Q  zu  H  geht 
durch  den  Pol  Q  der  Q;  denn  ü  und  Q  sind  konjugirte  Punkte  in 
Bezug  auf  den  Kegelschnitt  der  H  in  der  Ebene  PQK 

3)  Die  Pole  Q  und  Q'  einer  Ebene  Q  bezw.  zu  H  und  F  lie- 
gen auf  einer  Geraden  mit  P  und  sind  durch  P  und  P  harmonisch 
getrennt.  Denn  Q  und  Q'  können  bezw.  als  die  Schnittpunkte  der 
Polarebenen  dreier  Punkte  Ton  Q  bestimmt  werden;  die  drei  zu  F 
gehörigen  schneiden  sich  in  Q',  daher  müssen  die  drei  zu  H  gehö- 
rigen durch  den  Punkt  Q  der  Geraden  PQ'  gehen,  welcher  von  Q' 
durch  P  und  P  harmonisch  getrennt  ist.  —  Geht  Q  durch  P,  so 
fallen  Q  und  Q'  in  V  zusammen. 


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ni,  100—102.  EoDJagirte  Flächen  2.  Gr.  u.  Imagm&rprojektion  im  Räume.   93 

4)  Die  Polaren  g'  und  g^  einer  Geraden  g  bezw.  zu  H  und  F 
liegen  in  einer  Ebene  mit  P,  schneiden  sich  auf  F  und  sind  durch 
P  und  F  harmonisch  getrennt  Liegt  ^  in  F  oder  geht  durch  P, 
so  fallen  g'  und  g^  zusammen  und  gehen  bezw.  durch  P  oder  lie- 
gen in  F. 

5)  Die  Büschel  g'  und  g^  der  Polarebenen  der  Punkte  einer 
Geraden  g  bezw.  zu  H  und  F  sind  projektiv  mit  dieser  Punktreihe 
und  zu  einander  perspektiv  mit  P  und  F  als  Mittelpunkt  und  Ebene 
der  Eollineation. 

101.  Ist  F  eine  reelle  Fläche  ssweiten  Grades  und  H  ihre  in 
Bezug  auf  P  und  F  Jconjugirte  Fläche^  und  schneidet  ein  durch  P  ge- 
sogener Strahl  die  F  in  den  reellen  Punkten  Q  und  Q\  so  ist  die  Polar- 
ebene  von  Q  zuB.  die  BerOhrungsebene  der  F  in  Q\  Denn  die  Polar- 
ebene Q  zu  F  ist  die  Berührungsebene  der  F  in  Q,  Die  Berührungs- 
ebenen der  F  in  Q  und  in  Q'  schneiden  sich  aber  in  einer  Geraden 
der  F  (73^  5))  und  sind  durch  P  und  F  harmonisch  getrennt^  weil 
Q  und  Q'  es  sind;  folglich  ist  die  Berührungsebene  der  T  m  Q' 
die  Polarebene  von  Q  zu  H  (100). 

102.  S(xtz  und  Äufg.  Eine  zu  einer  reellen  Fläche  zweiten  Grades 
F  in  Bezug  auf  einen  Punkt  P  und  eine  Ebene  F  konjugirte  imagi- 
näre Fläche  wird  von  jeder  Ebene  E  in  einem  imaginären  Kegelschnitte 
getroffen  und  ist  deswegen  ebenfalls  eine  Fläche  vom  zuzeiten  Grade. 
Es  soU  von  einer  solchen  imaginären  Schnittkurve  eine  ideelle  Darstel- 
lung bestimmt  werden. 

Bew.  und  Aufl.  F  muß  eine  nicht  geradlinige  Fläche  und  P 
ein  innerer  Punkt  derselben  sein  (99).  Von  der  Schnittlinie  FE  =  jf 
geht  die  gemeinschaftliche  Polare  gi  zu  F  und  zu  H  durch  P  (100, 4));  ng.  «. 
eine  durch  g^  beliebig  gelegte  Ebene  Q  treffe  die  F,  H,  F,  B,  g  bezw. 
in  dem  reellen  Kegelschnitte  f,  dem  imaginären  Kegelschnitte  h,  den 
Geraden  p,  e  und  dem  Punkte  G,  wobei  P  und  G  bezw.  die  Pole  von 
p  und  g^  zu  f  und  zu  h  sind  (100,  2)).  Die  imaginäre  Schnittkurve 
Sn  =  *  wollen  wir  durch  eine  ideelle  Kurve  in  Bezug  auf  G^  (=  eg^)^ 
g  darstellen,  indem  wir  auf  jedem  in  E  durch  G^  gezogenen  Strahle, 
so  auf  dem  Strahle  EQ  =  e  die  in  Bezug  auf  H  und  dann  auch 
auf  h  konjugirten  (100)  und  durch  G^  und  g  harmonisch  getrennten 
Punkte  J,  Ji  bestimmen  und  nachweisen,  daß  dieselben  einen  Kegel- 
schnitt bilden,  wodurch  i  als  der  zu  ihm  in  Bezug  auf  G^,  g  kon- 
jugirte imaginäre  Kegelschnitt  nachgewiesen  ist.  Sei  E^  der  Pol 
von  S  zu  F,  welcher  auf  gi  liegen  muß,  da  E  durch  g  geht,  der  also 
auch  der  Pol  von  e  zu  f  ist,  so  ist  E  der  Pol  von  E  zu  H,  wenn 
El  und  E  durch  P  und  F  (oder  p)  harmonisch  getrennt  sind.  Man 
erhält  nun  auf  e  außer  6r,  G^   noch  ein  Paar  in  Bezug  auf  H  und  h 


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94  III,  102—103.    Die  Fachen  zweiten  Grades. 

konjugirte  Punkte  B,  Bi,  wenn  man  von  B  die  Polare  E^C  zn  f 
zieht  und  sie  mit  p  in  C  schneidet;  dann  ist  EC  die  Polare  von  B 
zu  Ä  und  bestimmt  .Bj  auf  e.  Wählt  man,  wie  in  der  Figur,  B  als 
einen  Schnittpunkt  von  e  mit  /*,  so  sind  die  Polaren  von  B  z\x  f  und  h 
die  Tangenten  an  f  bezw.  in  B  und  die  zweite  aus  C  gezogene  (1, 408), 
so  daß  man  die  Punkte  E^  und  E  entbehren  kann.  Um  nun  in  der 
Involution  G,  G^ ;  JB,  B^  die  ideellen  Doppelpunkte  in  Bezug  auf 
G,  Giy  d.  h.  die  durch  6r,  (tj  harmonisch  getrennten  zugeordneten 
Punkte  zu  finden,  projicire  man  Gy  G^ ;  B,  B^  aus  einem  der  Schnitt- 
punkte A,  Ai  von  g^  mit  /",  etwa  aus  A,  auf  f  in  die  Punkte  -4,  -4j; 
By  Du  bestimme  den  Mittelpunkt  K  dieser  Involution  als  Schnitt- 
punkt von  AA^  mit  BD^  (im  Inneren  von  /*),  ziehe  die  GKj  schneide 
sie  mit  f  in  L  und  £|,  so  liefern  AL  und  AL^  auf  e  die  gesuchten 


Punkte  Jund  J^;  denn  sie  bilden  ein  Paar  der  Involution,  weil  LL^ 
durch  K  geht,  und  sie  sind  durch  Gy  G^  harmonisch  getrennt,  weil 
Ly  Li  durch  G,  K  harmonisch  getrennt  sind.  —  Läßt  man  nun  die  Ebeoe 
Q  sich  um  g^  drehen,  so  geht  f  in  eine  andere  Kurve  f  der  P  über, 
und  es  projiciren  sich  aus  einem  Punkte  der  g  auf  einander  die 
Kegelschnitte  f  und  f  (85),  ebenso  G  und  ein  ihm  entsprechender 
Punkt  G'  der  g,  B  und  B\  G  und  C,  B^  und  £/,  A  und  2)/, 
daher  auch  BD^  und  B'  D/,  so  daß  diese  Linien  sich  in  dem  Punkte 
K  der  Kollineationsaxe  schneiden  müssen.  Daher  bilden  die  Ge- 
raden GKy  G'KAie  Ebene  gK,  die  Punkte  i,  Li;  X',  i/  den  (reellen) 
Kegelschnitt,  in  welchem  die  Ebene  gK  die  F  trifffc,  und  die  Punkte 
JjJi'^  J')J{  die  Projektion  dieses  Kegelschnittes  aus  A  auf  B,  also 
wieder  einen  Kegelschnitt,  w.  z.  b.  w. 

108.    Indem  wir  den  Begriff  der  BeciprocUät  (I,  285,  353  £)  auf 


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III,  103.    EoDJagirte  Fl&chen  2.  Gr.  u.  Imagioärprojektion  im  Räume.      95 

den  Raum  anwenden ,  und  dabei  eine  Fläche  zweiten  Grades  F  als 
Direktrix  der  Beciprocität  annehmen,  erhalten  wir  als  recipröke  Ge- 
bilde zu  einem  Punkte  seine  Polarebene  zu  F;  zu  einer  Ebene  ihren 
Pol;  zu  einer  Geraden  ihre  Polare;  zu  einer  geraden  Punktreihe  g 
das  damit  projektive  Ebenenbüschel  mit  der  Polaren  g'  von  g  als 
Axe;  zu  einer  Fläche  von  Punkten  von  der  n*®°  Ordnung  (welche 
von  einer  Geraden  in  n  Punkten  geschnitten  wird)  eine  Fläche  von 
Ebenen  von  der  n*®**  Klasse  (von  deren  Ebenen  n  durch  eine  Gerade 
gehen),  nämlich  die  einhüllende  Fläche  der  Polarebenen  jener  Punkte; 
zu  einer  Kurve  von  Tangenten  (abwickelbaren  Fläche)  eine  Kurve, 
welche  von  den  Polaren  jener  Tangenten  berührt  wird  (abwickel- 
bare Fläche);  zu  einer  Kurve  von  Punkten  von  der  n*^  Ordnung 
(welche  von  einer  Ebene  in  n  Punkten  geschnitten  wird)  eine  Kurve 
von  Ebenen  von  der  n*®°  Klasse  (von  deren  Ebenen  n  durch  einen 
Punkt  gehen);  die  Ebenen  sind  die  Polarebenen  der  Punkte  der  ersten 
und  die  Schmiegungsebenen  der  zweiten  Kurve;  den  Tangenten  der 
ersten  Kurve  und  ihrer  abwickelbaren  Fläche  entsprechen  die  Schnitt- 
linien je  zweier  benachbarten  Schmiegungsebenen,  d.  i.  die  Tangen- 
ten der  zweiten  Kurve  und  ihre  abwickelbare  Fläche. 

Eine  Fläche  H  nennt  man  reciproh  eu  sich  selbst,  wenn  von  jedem 
ihrer  Punkte  die  Polarebene  zur  Direktrix  F  Berührungsebene  der 
H  ist.  Um  diesen  Begriff  auch  auf  den  Fall  einer  imaginären 
Fläche  zweiten  Grades  anwendbar  zu  machen,  geben  wir  ihm  eine 
allgemeinere  Form. 

Begriff.  Eine  Fläche  zweiten  Grades  H  ist  reciprok  m  sich  selbst 
in  Bezug  auf  die  Direktrixfläche  F,  wenn  von  einem  Punkte  B  und 
seiner  Polarebene  B,  m  B.  bessw.  die  recipröke  Ebene  B'  und  der  reci- 
pröke Punkt  B'  (Polarebene  und  Pol  von  B  und  B,  m  ¥)  wiedßr 
gegenseitig  Polard>ene  und  Pol  m  H  sind.    Es  gilt  dann  der 

Satz:  Sind  F  und  H  ztvei  in  Bezug  auf  den  Punkt  P  und  die 
Ebene  P  konjugirte  Flächen  zürnten  Grades,  von  denen  eine  imaginär 
sein  mag  oder  nicht,  so  ist  jede  derselben  die  recipröke  Fläche  von 
sich  selbst  in  Bezug  auf  die  andere  Fläche. 

Denn  sind  der  Punkt  Q  und  die  Ebene  Q  Pol  und  Polarebene 
zu  F,  sind  Q'  und  Q'  durch  P  und  P  harmonisch  getrennt  bezw. 
von  Q  und  Q,  wobei  die  Verbindungslinie  QQ'  darch  P  geht  und 
die  Schnittlinie  QQ'  in  P  liegt,  so  sind  auch  Q'  und  Q'  Pol  und 
Polarebene  zu  F,  weil  F  mit  sich  selbst  perspektiv-kollinear  ist  in 
Bezug  auf  P  und  P,  wobei  die  entsprechenden  Elemente  durch  P 
und  P  harmonisch  getrennt  sind  (73,  Zus.).  Da  nun  Q  und  Q'  und 
ebenso  Q'  und  Q  Pol  und  Polarebene  zu  H  sind  (100),  so  ist  jede 


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96 


m,  103—106.    Die  Flächen  zweiten  Grades. 


der  beiden  Flächen  (H)  reciprok  mit  sich  selbst  in  Bezug  auf  die 
andere  Fläche  (P). 

104.  Sat0  u.  Aufg.  Ist  ein  imaginärer  Kegelschnitt  i  als  konju- 
girte  Kurve  m  einem  reellen  Kegelschnitte  ni  in  Bemg  auf  einen  (inne- 
ren) Punkt  R  desselben  gegeben,  so  ist  die  ideelle  Barstellung  des  i  in 
Bemg  auf  einen  beliebigen  Punkt  S  seiner  Ebene  ebenfalls  ein  Kegel- 
schnitt; derselbe  soll  bestimmt  werden*). 

Flg.  48.  Bew.  w.  Aufl.   Wäre  .S  ein  Punkt  Q  der  Polaren  r  von  B  zu 

m  und  zu  i,  so  wäre  die  ideelle  Darstellung  von  i  in  Bezug  auf  Q 

der  Kegelschnitt  l,  wel- 
^'^-  ^^-  eher  zu  w  in  Bezug  auf 

BQ  '^p  (und  dessen  Pol 
P  zu   m)   konjugirt  ist 
(I,  407).    Liegt  aber  S 
nicht  auf  r,  so  ziehe  man 
die  Gerade  SB,  schneide 
sie  mit  r  in  P,  dann  ist 
der  in  Bezug  auf  P  und 
p  zum  konjugirte  Kegel- 
schnitt l  die  ideelle  Dar- 
stellung des  i  in  Bezug 
auf  B8  <=»  q  und  dessen 
Pol  Q.  Nun  liegt  aber  S 
auf  der  Polaren  q  von  Q  "za  l  und  zu  i  (und  zu  w);  daher  ist  der 
zu  l  in  Bezug  auf  QS  =  t  und  deren  Pol  T  (auf  q)  konjugirte  Kegel- 
schnitt h  die  verlangte  ideelle  Darstellung  des  i  in  Bezug  auf  S  und 
seine  Polare  QT^=^s  zu  i. 

105,  Satis  u.  Aufg.  Die  ideelle  Darstellung  eines  imaginären 
Kegelschnittes  i  in  Bemg  auf  einen  Punkt  ist  eine  Ellipse,  Parabel 
oder  Hyperbel,  je  nachdem  dieser  Ptinkt  innerhalb^  auf  oder  außerhalb 
der  Mittelpunktsellipse  m  von  i  liegt  (84)**).  Sind  P  und  Q  zwei  in 
Bezug  auf  i  konjugirte  Punkte  eines  Durchmessers  von  i  {und  m),  so 


*)  In  B.  I,  Nr.  408  wurde  eine  Konstruktion  dieser  Kurve  angegeben  und 
dabei  stillBcbweigend  vorausgesetzt,  daß  sie  ein  Kegelschnitt  sei.  Es  soll  eine 
andere  Konstruktion  gegeben  werden,  welche  den  Beweis  einschließt 

**)  Herr  Prof.  Retali  hatte  die  Freundlichkeit,  mir  in  einem  Schreiben 
vom  18.  März  1885  diesen  Satz  mitzuteilen,  und  ich  erkenne  ihm  gerne  die 
Prioritöt  in  Bezug  auf  denselben  zu.  Ich  stieß  später  auf  den  Satz  bei  Ge- 
legenheit der  Auflösung  der  obigen  Aufgabe ,  welche  denselben  einschließt. 
Herr  Betali  teilte  mir  noch  andere  interessante  Sätze  mit,  insbesondere  solche 
Über  die  Punkte  in  der  Ebene  eines  Kegelschnittes,  in  Bezug  auf  welche  der 
konjugirte  Kegelschnitt  ein  Kreis  ist 


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in,  105.    Eonjagirte  Flächen  2.  Gr.  u.  Imaginärprojektion  im  Räume.      97 

sind  die  ideellen  DarsteH/ungen  h  und  k  von  i  in  Beäug  auf  P  heaw.  Q 
m  einander  konjugirt  in  Bemg  auf  PQ.  —  Es  sollen  diese  Kegel- 
schnitte konstruirt  werden, 

Bew.  u.  Aufl.  Sei  TJ  der  Mittelpunkt  Ton  i  und  m  und  sei  auf  Fig.  44 
der  Durchmesserlinie  UQ  oder  r  der  Punkt  Q  ein  äußerer  von  w, 
P'  sein  konjugirter  in  Bezug  auf  niy  so  ist  sein  ko^jugirter  P  in 
Bezug  auf  i  von  P'  harmonisch  getrennt  durch  U  und  dessen  Po- 
lare w  zu  i  und  i»;  und  da  u  unendlich  fern,  so  ist  UP  «==  P^U. 
P'  und  P  sind  dann  innere  Punkte  von  f».  Die  Polaren  |>'=  P'B 
und  p  «=«  PB  von  Q  bezw.  zu  m  und  i  laufen  nach  dem  unendlich 

Fig.  44. 


fernen  Pole  B  der  r  zu  w  und  i.  Um  nun  die  zu  i  in  Bezug  auf 
P  und  Q  konjugirten  Kegelschnitte  bezw.  h  und  k  zu  bestimmen^ 
verzeichne  man  (oder  denke  sich  auch  nur  verzeichnet)  den  zu  m 
in  Bezug  auf  den  Schnittpunkt  V  der  r  mit  u  und  dessen  Polare 
TJB  zu  m  konjugirten  Kegelschnitt  2,  der  entweder  nach  I,  401 
oder  als  diejenige  Hyperbel  verzeichnet  wird,  welche  die  in  TJB  und 
UP  liegenden  Durchmesser  des  m  bezw.  zu  einem  reellen  und  zu 
dessen  konjugirtem  ideellen  Durchmesser  hat  (I,  379).  Nach  der 
Konstruktion  der  vor.  Nr.  sind  dann  die  ideellen  Darstellungen  h  und 
Tc  von  i  in  Bezug  auf  P  bezw.  Q  auch  die  konjugirten  Kegelschnitte 
zu  l  in  Bezug  auf  Q  bezw.  P;  und  da  PQB  ein  Polardreieck  zu  Z, 
80  sind  h  und  k  zu  einander  konjugirt  in  Bezug  auf  B  und  r  (I,  407). 
h  und  k  berühren  aber  die  l  bezw.  in  den  Punkten  A,  A^  und  B,  B^, 
welche  auf  den  Strahlen  BP,  BQ  liegen,  und  die  Tangenten  in  diesen 
Punkten  gehen  bezw.  nach  Q  und  P.  Hat  man  l  nicht  verzeichnet, 
so  bestimmt  man  -4,  A^  und  JB,  B^  als  Doppelpunkte  je  einer  In- 
volution, oder  einfacher  nach  I,  371,  indem  man  die  Abscissen  der 
Hyperbel  aus  ihren  (hier  schiefen)  Ordinaten  ermittelt.  Weil  J.,  A^ 
und  JB,  Bi  zwei  konjugirte  Punktepaare  der  konjugirten  Kegelschnitte 
A,  k  sind,  so  bestimmen  die  Linien  AB,  AB^  (und  A^  P^,  A^  B)  auf 

Wiener,  Lehrbaoh  der  danteUenden  Geometrie.   IL  7 

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98  ni,  106—107.    Die  Flächen  zweiten  Grades. 

r  die  Berührungspunkte  C,  C^  beider  Kegelschnitte,  in  welchen  die 
Tangenten  nach  R  laufen  (I,  401).  Da  nun  die  nach  dem  *Pole  R 
von  CCi  gerichtete  reelle  Sehne  APA^  des  h  die  >  endliche  Strecke 
CCi  trifft,  ist  die  ideelle  Darstellung  h  des  i  in  Bezug  auf  den 
inneren  Punkt  P  eine  Ellipse  j  die  h  in  Bezug  auf  den  äußeren  Q, 
weil  zu  der  h  in  Bezug  auf  den  unendlich  fernen  Punkt  R  konjugirt, 
eine  Hyperbel,  Zur  Verzeichnung  von  Ji  bestimmt  man  den  zu  CC^ 
konjugirten  Durchmesser  vermittelst  Affinität  zu  einem  Kreise  vom 
Durchmesser  CC^\  und  jener  Durchmesser  gehört  als  ideeller  auch 
der  Hyperbel  A  an.  —  Ist  Q  ein  Punkt  der  m,  so  ist  p'  deren  Tan- 
gente in  demselben,  p  die  im  diametral  gegenüberliegenden  Punkte; 
dann  wird  AAi  =  BB^,  BA  ||  r,  C  rückt  ins  Unendliche  und  die 
h  oder  k  wird  zu  einer  Parabel. 

106.  Aus  Nr.  84  und  den  beiden  vorhergehenden  Nummern 
ergibt  sich: 

1)  Der  Pol  U  der  unendlich  fernen  Ebene  U  zu  einer  imagi- 
nären Fläche  n  ist  ihr  Mittelpunkt^  die  ideelle  Darstellung  der  H  in 
Bezug  auf  TJ  ist  ein  Ellipsoid,  welches  U  zum  Mittelpunkte  hat, 
dasselbe  soll  das  Mittelpunktsellipsoid  der  H  heißen. 

2)  Die  ideelle  Darstellung  einer  imaginären  Fläche  zweiten  Grades 
H  in  Bezug  auf  irgend  einen  Punkt  P  ist  ein  Ellipsoid^  ein  ellip- 
tisches Paräboloid  oder  ein  zweischaliges  Hyperboloid,  je  nachdem  P 
itmerhalby  OMf  oder  außerhalb  des  Mittelpunktsellipsoides  der  H  liegt. 

107.  Begriff.  Wir  wollen  diejenige  Flüche  H  konjugirt  zu  einer 
Fläche  zürnten  Grades  F  in  Bezug  auf  eine  Gerade  g  nennen,  welche 
den  Ort  des  Kegelschnittes  bildet,  der  in  jeder  durch  g  gelegten  Ebene 
zu  deren  Schnittkurve  mit  F  konjugirt  in  Bezug  auf  g  ist. 

Satz.  Sind  die  Geraden  g  und  g'  gegenseitige  Polaren  zu  einer 
Fläche  zürnten  Grades  F,  so  sind  die  in  Bezug  awf  g  und  die  in 
Bezug  auf  g'  zu  F  konjugirten  Flächen  ein  und  dieselbe;  diese  Fläche 
H  ist  vom  zweiten  CrradCy  sie  berührt  die  F  in  deren  Schnittpunkten 
mit  g  und  mit  g\  g  und  g'  sind  auch  gegenseitige  Polaren  zu  H,  und 
es  ist  auch  F  zu  B,  in  Bezug  auf  g  und  g'  konjugirt"^). 

Bew.  Jede  Gerade  i,  welche  die  g  und  die  g\  bezw.  in  den 
Punkten  G  und  G\  schneidet,  trifft  beide  konjugirte  Flächen  in  den- 
selben beiden  Punkten,  nämlich  in  denen,  welche  in  Bezug  auf  F  zuein- 


*)  Diesen  Begriff  und  Satz  teilte  mir  Herr  Prof.  Retali  in  einem  Schreiben 
vom  26.  Nov.  1884  freundlichst  mit.  Er  war  mir  neu,  schien  mir  aber  dem 
Inhalte  meines  Buches  ferne  su  liegen.  Bei  der  letzten  Überarbeitung  des 
zweiten  Bandes  jedoch  fahrte  mich  die  nähere  Untersuchung  der  Imaginär- 
projektion  ebener  Kurven  der  Flächen  2.  Grades  auf  diesen  Begriff  und  ich  zog 
ihn  in  der  oben  gegebenen  Weise  in  das  Buch  herein. 


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ni,  107—108.  Konjugirte  Flächen  2.  Gr.  u.  Imaginärprojektion  im  Ranme.    99 

ander  konjugirt  und  durch  G  und  G'  harmonisch  getrennt  sind. 
Denn  die  zu  F  in  Bezug  auf  g  und  die  in  Bezug  auf  g'  konjugirte 
Fläche  enthalten  bezw.  in  den  Ebenen  giy  gi  die  Kegelschnitte  hy 
h\  welche  zu  den  Schnittkurven  dieser  Ebenen  mit  F  bezw.  zu  g, 
G'  und  g\  G  konjugirt  sind,  indem  G'  und  G  bezw.  von  g  und  g'  zu 
den  Schnittkurven  die  Pole  bilden.  Diese  konjugirten  Kurven  Ä,  h\ 
und  daher  auch  H,  schneiden  aber  die  i  in  den  bezeichneten  Punkten 
(I,  400).  Indem  durch  jeden  Punkt  des  Raumes  eine  Gerade  i  gelegt 
werden  kann,  fallen  beide  Flachen  mit  .allen  ihren  Punkten  zusammen. 

Da  alle  Kegelschnitte  h  dieselbe  Involution  konjugirter  Punkte 
auf  ^r  besitzen,  wie  F,  deren  reelle  oder  ideelle  Doppelpunkte  F,  F* 
heißen  mögen,  so  projiciren  sich  je  zwei  derselben  auf  einander  aus 
jedem  von  zwei  Punkten  der  Verbindungslinie  der  Pole  von  g  zu 
ihnen  (85),  d.  h.  der  g\  Läßt  man  zwei  h  ineinander  fallen,  so  findet 
man,  daß  die  Fläche  H  entlang  einer  Kurve  h  von  einem  Kegel 
berührt  wird,  dessen  Spitze  auf  j|f'  liegt-,  ebenso  entlang  eines  Kegel- 
schnittes h'  (dessen  Ebene  durch  g'  geht)  durch  einen  Kegel  mit 
der  Spitze  auf  g.  Alle  h  erzeugen  nun  eine  Fläche  zweiten  Grades  H, 
da  sie  alle  durch  dieselben  beiden  Doppelpunkte  F,  F'  auf  ^,  sowie 
durch  zwei  Punkte  eines  Leitkegelschnittes  Ä'  gehen,  und  in  letzteren 
Punkten  Tangenten  besitzen,  die  nach  demselben  Punkte  der  g  (der 
dann  der  Pol  der  Ebene  von  Ä'  ist)  laufen  (81).  Ebenso  alle  ä'.  —  g 
und  g'  sind  Polaren  von  einander  auch  zu  H,  weil  der  Pol  von  g 
zu  jeder  Kurve  h  auf  g  liegt,  und  umgekehrt.  Die  durch  g  ge- 
legten Berührungsebenen  an  F  und  H  berühren  beide  Flächen  in  den 
Doppelpunkten  der  zu  diesen  Flächen  gemeinschaftlichen  Involution 
auf  g\  und  umgekehri  Es  ist  die  Fläche  F  in  reciproker  Weise 
zu  H  in  Bezug  auf  g  und  g'  konjugirt,  weil  in  reciproker  Weise 
in  jeder  durch  g  oder  durch  g  gelegten  Ebene  die  Kegelschnitte 
f  und  h  zueinander  konjugii*t  sind. 

108.  Saiz.  Von  eweien  in  Bezug  auf  zwei  Gerade  g,  g'  eur 
einander  konjugirten  Flächen  zweiten  Grades  F  und  H  ist  jede  mit 
sich  selbst  recvproh  in  Bezug  auf  die  andere, 

Bew.  Durch  einen  beliebigen  Punkt  Q  des  Raumes  lege  man 
eine  die  g  und  g'  bezw.  in  G  und  G'  schneidende  Gerade  t,  durch 
i  und  eine  der  Geraden  g,  g\  etwa  g,  die  Ebene  gi,  so  schneidet 
diese  die  F  und  H  in  den  Kegelschnitten  f  und  h,  welche  in  Bezug 
auf  G\g  konjugirt  sind.  Sei  auf  i  zu  ^  der  Punkt  Q'  in  Bezug 
auf  h  und  daher  auch  auf  H  konjugirt,  seien  die  Punkte  Q^,  Q^ 
durch  G'  und  G  harmonisch  getrennt  bezw.  von  QfQ\  so  sind  auch 
Qif  Qi  konjugirt  in  Bezug  auf  h  und  H,  weil  h  mit  sich  selbst 
perspektiv-kollinear  in  Bezug  auf  G'  und  g  ist  (I,  346),  und  es  sind 

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100  in,  108—110.    Die  Flächen  zweiten  Grades. 

Q  und  ^/,  sowie  Q'  und  Q^  konjugirt  in  Bezug  auf  f  (I,  406,  1)) 
und  P.  Sind  nun  noch  auf  g  zu  G  der  Punkt  G^  und  auf  g'  zu  G' 
der  Punkt  6?/  konjugirt  in  Bezug  auf  P  und  dann  auch  auf  H,  so  muß 
die  Polarebene  eines  jeden  Punktes  der  Geraden  GG'  in  Bezug  auf 
P  und  auf  H  die  Gerade  Gi  G^  enthalten,  weil  diese  die  Schnitt- 
linie der  Polarebene  G^g'  von  G  und  G^ g  von  G'  ist.  Daher  sind 
die  Polarebenen  von  Q  zu  H  und  P  bezw.  G^  G^  Q'  und  G^  6r/  ^/,  und 
die  von  Q^  zu  H  und  P  bezw.  G^  G^  Q^  und  G^  6f/  Q\  Da  nun  Qy 
G^GiQ'  Pol  und  Polarebene  zu  H  sind,  G^G^Q^^  Qi  bezw.  deren 
Polarebene  und  Pol  zu  P,  diese  aber  auch  Polarebene  und  Pol  zu 
n,  so  ist  nach  dem  Begriffe  von  Nr.  103  die  eine  (H)  der  beiden 
Flächen  mit  sich  selbst  reciprok  in  Bezug  auf  die  andere  (P). 

109.  Die  besonderen  Fälle  der  in  Bejsttg  auf  zum  gegenseitige 
Polaren  g,  g   konjugirten  Flächen  P  und  H. 

1)  Ist  P  geradlinig  und  wird  von  g  und  dann  auch  von  g' 
in  zwei  reellen  Punkten  geschnitten  (82,  4)),  so  gilt  das  letztere 
auch  von  H,  und  H  ist  daher  ebenfalls  geradlinig.  P  und  H  haben 
in  jenen  vier  Punkten  die  bezw.  durch  g'  und  g  gehenden  Berüh- 
rungsebenen, daher  auch  das  unebene  Viereck  von  Erzeugenden  ge- 
mein, welche  jeden  der  beiden  Schnittpunkte  auf  g  mit  jedem  der 
beiden  auf  g'  verbinden. 

2)  Ist  P  geradlinig  und  wird  nicht  von  g  und  daher  auch  nicht 
von  g'  in  reellen  Punkten  geschnitten^  so  sind  g  und  g'  nicht  reell 
schneidende  Gerade  für  alle  Kegelschnitte  f,  /';  und  da  diese  reell 
sind,  so  sind  die  h  und  h'  und  damit  die  Fläche  H  imaginär. 

3)  Ist  P  nicht  geradlinig,  so  wird  sie  von  einer  der  Geraden 
g,  g'  reell,  von  der  anderen  imaginär  geschnitten,  dann  gilt  dieses 
auch  von  H,  und  H  ist  ebenfalls  nicht  geradlinig. 

4)  Ist  P  imaginär^  so  wird  sie  von  g  und.  von  g'  nicht  reell 
geschnitten;  daher  auch  nicht  die  H,  und  da  alle  Kegelschnitte  f 
imaginär  sind,  so  sind  alle  h  und  h'  reell,  und  H  geradlinig. 

110.  Satjs.  Sind  in  Bemg  auf  eine  Fläche  zweiten  Grades  P 
die  Geraden  g  und  g'  gegenseitige  Polaren,  sind  femer  die  Punkte  P 
und  Q  der  g'  in  Bezug  auf  P  zu  einander  konjugirt,  also  P  und  gQ 
=  P,  sowie  Q  und  gP  «=  Q  Pol  und  Polarebene,  sind  endlich  zu  P 
konjugirt  die  Fläche  P'  in  Bezug  auf  g  und  g,  die  H  in  Bezug  auf 
Py  9  Qy  di^  H'  in  Bezug  auf  Q,  g  P,  so  sind  auch  die  Flächen  der 
drei  anderen  Paare  zu  einander  konjugirt,  und  zwar  die  H,  H'  in 
Be0ug  auf  g,g\  die  P',  H'  in  Bezug  auf  P,gQ,  die  P',  H  in  Bezug 
^^f  Qj9P'  Schneiden  g  und  g'  die  P  (ufid  P')  reell,  so  sind  aUe 
vier  Flächen  reell,  in  den  anderen  Fällen  ist  eine  derselben  imaginär. 
Ist  G  irgei\d  ein  Punkt  auf  g,  so  schneidet  die  Ebene  g'G  die  vier 


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III,  110.    Konjngirte  Flächen  2.  Gr.  u.  Imaginärprojektion  im  Räume.     101 


Flächen  in  vier  paarweise  zu  einander  honjvgirten  KegelscJmiUen  mit 
dem  gemeinscJiaßlichen  Polardreiecke  GFQ, 

Bew.  Es  seien  f,  f\  ä,  ä'  die  Schnittkurven  der  Ebene  g'  G  bezw.  Fi«. «. 
mit  den  Flächen  F^  F'^  H^  H'^  von  welchen  Kurven  sich  stets  eine^ 
hier  die  hy  als  imagiuär  ergeben 
wird.   Da  g  und  g'  gegenseitige  ^^^'  ^^' 

Polaren  zu  F  sind,  soi  sind  sie 
es  auch  zu  F'  (107),  und  auch 
zu  H  und  H',  weil  g'  durch  die 
Eonjunktionspunkte  P  und  Q 
geht  (100,  4));  ebenso  sind  P 
und  Q  konjugirt  in  Bezug  auf 
jede  der  vier  Flächen.  Schneidet 
^'  die  F  in  den  Punkten  AyAyy 
die  reell  oder  in  Bezug  auf  P,  Q 
ideell  sein  können,  so  enthält. 
F',  weil  zu  F  in  Bezug  auf 
g'  konjugirt,  die   gleichartigen 

Punkte  -4,-4-1,  wie  F;  dagegen  enthalten  H  und  H',  weil  zu  F  bezw. 
in  Bezug  auf  P  und  Q  konjugirt,  die  ideellen  oder  reellen  Punkte 
ÄyÄy,  also  ungleichartige  mit  denen  von  F.  Nun  enthält  F'  als 
konjugirt  zu  F  in  Bezug  auf  g  in  der  Ebene  "B  =  gQ  die  zum  Kegel- 
schnitte PF  in  Bezug  auf  g  (und  Q)  konjugirte  Kurve,  es  enthält  H' 
als  konjugirt  zu  F  in  Bezug  auf  Q  in  F  die  zum  Kegelschnitte  PF 
in  Bezug  auf  Q  (und  g)  konjugirte  Kurve,  also  enthalten  F'  und 
H'  in  P  denselben  Kegelschnitt;  außerdem  ist  zu  beiden  Flächen  P 
der  Pol  von  P,  und  endlich  enthalten  beide  auf  dem  Strahle  g'  aus 
P  die  ungleichartigen  Punkte  A^A^.  Diese  dreierlei  Elemente  be- 
stimmen aber  bezw.  die  Flächen  F'  und  H'  (81)  und  bezeichnen 
sie  als  konjugirt  in  Bezug  auf  P  und  T  =  g  Q  (96).  Vertauscht 
man  P  mit  Q,  so  vertauscht  sich  auch  H'  mit  H,  und  es  ergeben 
sich  F'  und  H  als  in  Bezug  auf  Q  und  Q,=  g P konjugirt.  Endlich 
sind  H,  H'  konjugirt  in  Bezug  auf  g,  g\  Denn  H,  als  konjugirt 
zu  F  in  Bezug  auf  P,  P,  enthält  in  P  die  Kurve  PF,  und  H',  als  kon- 
jugirt zu  F  in  Bezug  auf  QQ,  enthält  in  der  durch  Q  gehenden 
Ebene  P  die  zur  Kurve  PF  in  Bezug  auf  g  konjugirte  Kurve;  daher 
besitzen  H  und  H'  in  P  Kegelschnitte,  die  in  Bezug  auf  g  konjugirt 
sind;  femer  ist  zu  beiden  Flächen  P  der  Pol  von  P,  und  endlich 
besitzen  beide  auf  $r'  die  übereinstimmenden  Punkte  A^A^.  Folg- 
lich sind  sie  in  Bezug  auf  g,  g'  konjugirt  (107). 

Eine  durch  g'  und  einen  Punkt  G  der  g  gelegte  Ebene  enthält 
die  in  Bezug  auf  jede  der  vier  Flächen,  daher  auch  in  Bezug  auf 


^;.  ^^  ^ 


102 


III,  110—111.    Die  Flächen  zweiten  Grades. 


jede  der  vier  Schnittkurven  konjugirten  Punkte  (r,  P,  Q,  welche 
demnach  ein  gemeinschaftliches  Polardreieck  der  Kurven  bilden.  Da 
je  zwei  der  Flächen  und  daher  auch  der  Kurven  in  Bezug  auf  P 
und  Q  konjugirt  sind,  nämlich  bezw.  /,  h  und  /*,  h\  so  sind  diese 
vier  Kurven  zu  zwei  in  Bezug  auf  einen  der  Punkte  G,  P,  Q  kon- 
jugirt (I,  407)  und  eine  der  Kurven  ist  imaginär. 

Es  leuchtet  ein: 

Satz.  Unter  den  vier  paarweise  zu  einander  konjugirten  Flädien 
zweiten  Grades  P,  P',  H,  H'  ist  stets  eine  reelle  nicht  geradlinige,  etwa  P, 
da  dies  bei  zweien  in  Bezug  auf  einen  Punkt  konjugirten  stattfindet 
(98,  99).  Dann  ist  auch  P'  reell  mid  nicht  geradlinig  (109,  3));  dabei 
werde  P  und  dann  au^ch  P'  von  g  imaginär,  daher  von  g'  reell  ge- 
schnitten.   Es  sind  nun  zwei  Fälle  zu  unterscheiden: 

1)  P  und  Q  liegen  auf  g\  und  P  sei  der  innere,  Q  der  äußere 
Punkt  von  Y,  so  ist  B.  imaginär  (99),  H'  geradlinig  (98),  und  beide 
werden  von  g  und  g'  imaginär  geschnitten. 

2)  P  und  Q  liegen  auf  g,  so  sind  H  und  H'  geradlinig  und  wer- 
den von  g  und  g'  reell  geschnitten. 

111.  Aufg.  Zu  einer  Fläche  zweiten  Grades  H,  welche  als  kon- 
jugirt in  Bezug  auf  einen  Punkt  P  und  dessen  Polarebene  P  zu  einer 
redien  Fläche  P  gegeben  ist,  die  in  Bezug  auf  eine  nicht  durdi  P 
gehende  und  nicht  in  P  liegende  Gerade  g  konjugirte  Fläche  H'  dar- 


pig.  46.  Es  sei  P  eine  Kugel  vom  Halbmesser  r,   P  ihr  Mittelpunkt, 

daher  P  die  unendlich  ferne  Ebene  und  H  eine  imaginäre  Kugd  mit 

dem  Mittelpunkte  P,  und 
^^^-  ^^'  es  sei  g  eine  nicht  durch  P 

gehende  und  nicht  in  P  lie- 
gende Gerade.    Dann  sind 
die  durch  P  und  g^  und  die 
durch  P  und  JL  g  geleg- 
ten   Ebenen    Symmetrie- 
ebenen  zu  P  und  g,  und 
daher  auch  zu  H  und  H', 
und  es  sollen  P  und  H' 
durch  ihre  in  diesen  Ebenen 
liegenden      Hauptschnitte 
und  zwar  in  schiefer  Pro- 
jektion auf  die  Ebene  (P,  _L  g)  verzeichnet  werden.     Die  Schnitt- 
linie PG  beider  Ebenen  ist  die  von  P  auf  g  gefällte  Senkrechte, 
deren  Fußpunkt  G  sei. 

Aufl.    Die  Ebenen  Pg  und  (P,  _L  g)  schneiden  die  P  in  größten 


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III,  111—112.    Berührnngsebenen,  ebene  Schnitte  u.  Berührungekegel.     103 

Kreisen  /*,  f\  Von  diesen  erscheint  f  in  seiner  wahren  Gestalt 
mit  dem  Halbmesser  PK  =  r  in  PG  und  dem  darauf  senkrechten 
PL'=r\  f  erscheint  als  Ellipse  mit  dem  einen  Halbdurchmesser 
PKy  und  mit  dem  dazu  konjugirten^  also  zu  g  parallelen^  der 
ebenfalls  in  seiner  wahren  Größe  PL  gezeichnet  werden  soll.  Die 
Polare  g"  von  g  zm  Y  ist  auch  die  Polare  von  G  zu  /*';  und  die 
Polare  g'  von  gzuIL  ist  von  g"  harmonisch  getrennt  durch  P  und 
P  (100),  also  zu  g'  symmetrisch  in  Bezug  auf  P;  sie  treffe  die 
PG  in  G'.  Die  Zeichenebene  (P,  J_  g)  ist  daher  auch  die  Ebene 
Pg\  Die  Schnittliuien  ä,  /*'  der  Fläche  H'  mit  den  Ebenen  Pg 
und  Pg'  sind  daher  die  Kegelschnitte,  welche  bezw.  zu  den  imaginären 
Kreisen,  deren  ideelle  Darstellungen  in  Bezug  auf  P  die  /"und  f  sind, 
in  Bezug  auf  ^r,  G'  und  g',  G  konjugirt  sind  (107);  sie  bilden  daher, 
wenn  man  sie  um  GG'  in  eine  und  dieselbe  Ebene  umlegt,  konjugirte 
Kegelschnitte  in  Bezug  auf  GG'  und  werden  nach  Nr.  105  konstruirt. 
Man  bestimme  beide  in  der  Ebene  Pg\  ziehe  daher  GD  ||  g,  schneide 
GD  und  g'  mit  der  zum  Kreise  f  in  Bezug  auf  den  unendlich 
fernen  Punkt  von  PG  konjugirten  (gleichseitigen)  Hyperbel  bezw.  in 
D  und  2)',  A',  wobei  GD  =  GV  und  G'D'  =  G'  D/=  G'L'  bezw. 
die  Hypotenusen  rechtwinkliger  Dreiecke  sind  von  den  Katheten  r 
und  PG,  r  und  PG'  ({105 ;  I,  371).  Dann  erhält  man  die  Scheitel 
A  und  Ä^  von  h  und  h'  auf  PGG'  durch  die  Geraden  DD/  und 
DD\  Ist  G  ein  äußerer,  so  ist  G'  ein  innerer  Punkt  der  Kugel  P 
und  des  Kreises  /*,  und  es  ist  h  eine  Ellipse,  welche  in  ihrer  um- 
gelegten Gestalt  durch  D'  geht;  hieraus  wird  mittelst  Affinität  zu 
dem  Kreise  vom  Durchmesser  AA^  ihre  kleine  Halbaxe  MC,  und 
nach  der  Zurückdrehung  MB  =  MC  bestimmt,  h'  ist  dann  eine 
Hyperbel,  welche  durch  D  geht  und  MC  zur  halben  ideellen  Axe 
hat.  —  Die  Fläche  H'  ist  nun  durch  ihre  beiden  Hauptschnitte,  die 
Ellipse  h  und  die  Hyperbel  h\  oder  durch  ihre  Halbaxen  MA,  MB, 
MC  (ideell)  bestimmt. 

ni.    Die  Berührungsebenen,  ebenen  Schnitte  und  Berühnmgs- 

kegel  der  Flächen  zweiten  Grades,  insbesondere  der 

Nichtregelflächen. 

11 2,  Die  folgenden  Konstruktionen  können  auf  die  Nichtregel- 
flächen und  auf  die  Regelflächeu  angewendet  werden;  doch  Werden 
wir  als  Beispiele  nur  Nichtregelflächen  wählen,  weil  die  Regel- 
flachen  durch  ihre  geradlinigen  Erzeugenden  besondere  Vorteile  ge- 
währen.    Wir  werden  diese  daher  später  •getrennt  behandeln. 

Aufg.    An  ein  durch  seine  drei  Halbaxen  MA,  MB,  MC  gege-  Fig.  47. 


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104 


III,  112.    Die  Flächen  zweiten  Grades. 


bmes  EUipsoid  P  in  einem  durch  die  eine  Projektion  gegebeften  Punkte 
der  Fläche  eine  Beriihrungsd>ene  zu  legen. 

Aufl.  1.    Man  benutze  die  Ebene  MAB  als  F^  und  die  MAC  als 
Pg,  so  sind  der  erste  und  zweite  Umriß  bezw.  die  Ellipsen -4  B  und 

AC,  die  man  zweckmäßig  und 
^-  ^'^'  ohne   Verminderung   der   Ge- 

nauigkeit för  die  folgende 
Konstruktion  benutzen  kanu^ 
wenn  sie  zum  Behufe  der  Dar- 
stellung der  Fläche  scharf 
(mittelst  der  Scheitelkrüm- 
mungskreise xaxd  des  Kurven- 
lineals) verzeichnet  sind.  In 
diesem  Falle  führe  man  durch 
den  in  seiner  ersten  Projektion 
P'  gegebenen  Punkt  P  und 
durch  die  Axe  MC  eine  Ebene, 
welche  den  Hauptschnitt  AB 
in  D  und  das  Ellipsoid  in 
einer  Ellipse  DC  schneidet 
Um  deren  Verzeichnung  zu  vermeiden,  projicirt  man  dieselbe  durch 
Projicirende  parallel  zw  DA  in  dem  Hauptschnitt  AC,  und  dabei 
F  nach  Q'  durch  P'Q'  ^D'A\  Aus  Q'  ergeben  sich  auf  der  Ellipse 
A"C"  die  zwei  Punkte  Q",  Q*",  und  aus  diesen  die  beiden  zu  P' 
gehörigen  zweiten  Projektionen  P",  P*",  wobei  Q"  P"  H  Q*"  P*" 
II  ^"JIT'. 

Die  Tangente  an  die  Ellipse  CP  in  P  erhält  man  aus  der  Tan- 
gente QS  s,Ji  die  CQ  in  Q]  die  erste  Spur  T'  der  ersteren  folgt 
aus  derjenigen  S'  der  letzteren  durch  S'  T  l  Q'P"]  worauf  man  die 
erste  Spur  ^^  der  Bertihrungsebene  als  rV  parallel  zur  Tangente 
an  die  Ellipse  A'D'  in  D'  zieht,  da  die  Berührungsebene  die  Tan- 
gente der  zu  P^  parallelen  Ellipse  ^  P  in  P  enthält,  diese  aber 
mit  derjenigen  von  AD  in  D  parallel  isi  Die  zweite  Spur  ^  ist 
dann  F'ZJ",  wenn  Q"8''  die  Axe  ilf"(7"  in  Z7",  und  t,  die  P,  in 
V  trifft  Die  Berührungsebene  in  P*  ist  f^^*,  wobei  t^*  symme- 
trisch zu  ^  in  Bezug  auf  -4"  Jf". 

Aufl.  2.  ^  ist  die  Polare  von  P'  zur  Ellipse  A'B',  und  ^  von 
P"  zu  A!'  (J\  Denn  ^  ist  die  Polare  von  PP^  zur  Fläche  F,  als 
Schnittlinie  der  Berührungsebenen  in  P  und  P*,  folglich  ist  in  der 
durch  t^  gehenden  Ebene  Pj  der  Schnittpunkt  F  mit  PP"*  der  Pol 
von  t^  zur  Schnittkurve  ^B  mit  F  (77,  4)).  Für  den  Punkt  B'  (statt 
F)  sind  daher  auf  M'B'  die  Punkte  B'  und  W  auf  v^  (statt  t^ 


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ni,  112  —  113.    BerühruDgsebenen,  ebene  Schnitte  u.  Berührungskegel.    105 

harmonisch  getrenBt  durch  die  beiden  Ellipsenpunkte,  deren  einer 
E\  Daher  E'F  Kreis  aus  Jf,  MR'F=  90<>,  FW  Tangente  des 
Kreises,  W'J'  =  Vj  konjugirt  zu  M'R'  (wird  erhalten  durch  kon- 
jugirt^  Sehnen  der  A'B').  Abstand  i2"  von  M"  A"  ist  =  Abstand 
G  von  M'B\  wenn  auf  M'F  die  M'G  =  M'G"  gemacht  wird. 
Dann  zieht  man  v,  ||  IT'It"  durch  J",  wenn  JJ'if'  ||  M  A'  (s.  Fig.). 

-4u/?.  3.  Sind  die  Ellipsen  ABy  AG  nicht  verzeichnet,  so  be- Fig.  48. 
nutzt  man  ihre  Affinität  (oder,  wenn  ein  Hauptschnitt  eine  Hyperbel 
ist,  deren  KoUineation)  mit  dem  Kreise. 
Den  Schnittpunkt  D'  von  MV  mit  der 
Ellipse  -4'jB'=  i  erhält  man  durch  Affini- 
tat der  mit  dem  Kreise  A'  B*  =  h*  mit- 
telst des  Strahles  H/C  D*  aus  D*  (unter 
Benutzung  Paralleler   zu  M'  A'  aus  B'  und        ''i^'^~'j^^(ö^'"'"%'' 

B*)   und   die   Tangente    D' X'    der    Ellipse       ^7^^'^j X 

vermittelst   derjenigen   D*X'    an   den    Kreis  t\ 'i>i^'"*  • 

l*.    Man  erhält  P"   auf  der  Ellipse  D"C"  \iyf  ^.1b' 

durch  Affinität  dieser  Linie  mit  dem  Kreise  vlI^rf-H^- 

2)"C*,    ebenso   die  Tangente    Z7"P"T"    an 
dieselbe  Ellipse,  dann  T\  t,  =  TT  ||  D'X',  und  ^  =  T'^/". 

113,  Z7m  die  Schnittlinie  einer  Fläclie  zweiten  Grades  mit  einer 
Ebene  zu  konstruiren,  kann  man  eine  Schaar  paralleler  Hilfsebenen 
'  anwenden;  dieselben  lassen  sich  stets  so  legen  und  eine  Projektions- 
richtung läßt  sich  so  wählen,  daß  die  Projektionen  der  Schnittlinien 
entweder  gerade  Linien  oder  Kreise  sind.  Noch  zweckmäßiger  aber 
ist  es,  die  Eigenschaft  der  Schnittkurve,  daß  sie  ein  Kegelschnitt 
ist,  zu  benutzen,  fünf  Elemente  derselben,  die  man  möglichst  günstig 
wählt,  zu  ermitteln,  und  die  Kurve  aus  ihnen  zu  verzeichnen. 

Aufg.   Die  Schnittlinie  eines  zioeischaligen  Hyperboloids  mit  einer 
Ebene  zu  bestimmen, 

Aufl.  1.  Sei  M  der  Mittelpunkt,  seien  MA  die  reelle,  MB^  Fig.  49. 
MC  die  beiden  ideellen  Halbaxen,  sei  P^  die  Hauptebene  MAB, 
seien  F^  und  F,  parallel  zu  MBG  in  gleichen  Abständen  von  3/, 
so  können  von  dem  (hyperbolischen)  Hauptschnitte  AB  die  Asymp- 
toten {M'B^'  B  A"B")  gezeichnet  werden,  deren  eine  die  erste  Spur 
B^  besitzt.  Hieraus  ergibt  sich  von  der  Hyperbel  selbst  eine  erste 
Spur  5,  durch  M' B^^  —  M' B;^  —  M"  B"^  (I,  371),  und  ebenso 
von  der  Hyperbel  MAG  eine  erste  Spur  C^  der  Asymptote  und 
C/  der  Kurve  durch  B/C/  1  B^' G^'  ||  B'C\  Damit  mögen  die  Hy- 
perbel A"B^'  und  die  in  der  ersten  Projektion  zusammenfallenden 
ersten  und   dritten  Spuren  des  Asymptotenkegels  und   der  Fläche 


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106 


III,  113.    Die  Flächen  zweiten  Grades. 


PK 


als  koncentrische  ähnliche  und  ähnlich  gelegene  Ellipsen  B^  C/, 
B^C^  gezeichnet  werden.  Von  der  Schnittebene  E  sind  die  unter- 
einander parallelen  erste  und  dritte  Spur  ej,  63  gegeben,  woraus 
sich  Cjj  ergibt,  e^  bestimmt  auf  ^2' Ca'  zwei  Punkte  2),  F  der  Schnitt- 
linie, ebenso  e^  zwei,  und 
^'ifiT-  ^^*  e^  zwei  solche  auf  der  Hy- 

perbel ABj  und  aus  die- 
sen sechs  Punkten  könnte 
die  Schnittkurve  verzeich- 
net werden.  Es  mögen 
aber  noch  ihre  Punkte  «7, 
K  auf  der  zu  e^  konju- 
girten  Durchmesserebene, 
welche  durch  MA  und 
die  Mitten  N  und  P  der 
Sehnen  e^  und  e^  geht,  und 
die  Ellipse  B^C^  in  L 
schneidet,  bestimmt  wer- 
den. Sie  ergeben  sich,  wie 
in  der  vorigen  Nr.,  ver- 
mittelst Projektion  auf  die 
Hauptebene  A  B  durch 
Projicirende  ||  L'B^  aus 
den  Schnittpunkten  S,  ü 
der  Hyperbel  AB^  mit  der 
Geraden  QB.  Die  Tan- 
genten an  die  Schnitt- 
kurve in  J",  K  sind  ||  e^.  Zur 
Bestimmung  der  Asymp- 
toten legt  man  eine  zu  E 
parallele  Ebene  durch  den 
Mittelpunkt  M  (des  Asymptotenkegels),  deren  erste  und  dritte  Spur 
11^  laufen  und  von  M'  Abstände  besitzen  =  ^  Abstand  e^e^>  Sie 
schneiden  die  gleichnamigen  Spuren  des  Asymptotenkegels  in  vier 
Punkten,  darunter  Cr,  H,  den  Kegel  selbst  in  zwei  Erzeugenden 
MG,  MH\  die  Berührungsebenen  des  Asymptotenkegels  nach  diesen 
Erzeugenden  berühren  in  deren  unendlich  fernen  Punkten  zugleich 
das  Hyperboloid;  sie  enthalten  die  Tangenten  der  Ellipse  in  P^  und 
P3  in  jenen  vier  Punkten,  diese  treffen  bezw.  e^  und  63  in  vier  Punk- 
ten, darunter  X,  F,  deren  Verbindungslinien  (||  MG  bezw.  MH)  die 
Asymptoten  OX,  0  Y  sind,  und  sich  in  0  auf  NB  treffen.  Je  nach- 
dem  die  II  E  durch  M  gelegte   Ebene  mit  dem   Asymptotenkegel 


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III,  113.    BerühningsebeDen,  ebene  Schnitte  u.  Berührnngskegel.         107 


keine  ^  eine  oder  zwei  Erzeugende  gemein  bat^  wird  die  Schnitt- 
kurve eine  Ellipse,  Parabel  oder  Hyperbel  sein. 

Der  Pol  E  der  Ebene  E  zu  der  Fläche  liegt  auf  der  Geraden 
MO  (88)  und  in  der  Berührungsebene  der  Fläche  in  jedem  Punkte 
der  Schnittkurve,  z.  B.  in  derjenigen  eines  Punktes  des  zweiten  Um- 
risses A"B^'  der  Fläche. 

Aufl.  2.    Sollen  die  Ellipsen  und  die  Hyperbel  nicht  verzeichnet  Fig.  5o. 
werden,   so  benutzt  man  wieder   die  KolUneation  mit  dem  Kreise, 
Gegeben  M^  A,  B^,  (7/,  e^^e^.  Die 
e,  treflFe  die  durch  M  parallel  Pj  ^^>-  ^^• 

gelegte  Ebene  in  D,  Der  Ellipse 
B^  C/  =  h  entspricht  der  Kreis 
B^  C^  ^^Ic^y  der  e^  die  e^*;  die 
durch  M  parallel  E  gelegte  Ebene 
schneidet  P^  in  /i  (  ||  e,),  welcher 
/i*  (1  ^1*)  entspricht  (Verschiebung 
*  D'My  f*  triffib  den  Kreis  k* 
in  zwei  Punkten,  deren  einer  F* 
ist,  die  Tangente  an  k*  in  jP* 
trifft  Cj*  in  6r*,  und  den  Punkten 
F*  und  6r*  entsprechen  F  und 
(?,  so  daß  G  0  i  FM  die  eine 
Asymptote  ist;  ebenso  wird  die 
andere  bestimmt;  beide  schneiden 
sich  im  Mittelpunkte  0  der  Schnitt- 
kurve. 

Zur  Bestimmung  eines  Punk- 
tes der  Kurve  im  Endlichen  muß 
die  bisher  nicht  benutzte  Axe  MA 
benutzt  werden.  Man  suche  einen 
der  Schnittpunkte  H  der  Hyperbel 
AB  '^^h  mit  der  Spur  e,,  indem 
man  h  als  perspektiv  betrachtet 
zu  dem  Scheitelkreise  A"A^'^==  ä* 
vom  Durchmesser  A" A^'  mit  A" 
als    Kollineationsmittelpunkt    und 

mit  der  Kreistangente  s  in  A^'  als  Kollineationsaxe.  Dem  einen  un- 
endlich fernen  Punkte  von  h  entspricht  f/*  auf  Ä*  vermittelst  A"  V* 
II  M"B^'\  U*B*  y  s  ist  dann  die  Gegenaxe  in  der  Ebene  des  Kreises. 
Der  e^  entspricht  6^*,  und  deren  einem  Schnittpunkte  H*  mit  h*  der 
gesuchte  Punkt  M",  woraus  H'  folgt  Mittelst  der  Asymptoten 
und  eines  Kurvenpunktes  H,  der  aber  der  Genauigkeit  halber  un- 


^  y 


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108  lU,  113—114.    Die  Flächen  zweiten  Grades. 

weit  des  Scheitels  liegen  muß  (der  zweite  Schnittpunkt  von  ßg*  ist 
genauer  als  H  und  wurde  nur  wegen  geringerer  Deutlichkeit  ver- 
mieden), bestimmt  man  nach  I,  379  die  Axe  einer  jeden  Projektion 
der  Schnitthyperbel. 

114.  Aufg,  Von  einer  Fläche  zweiten  Grades  P  sind  der  Um- 
riß Je  (der  wahre  oder  scheinbare)  und  die  Projektionen  C,  2),  JE  dreier 
Punkte  (C),  (Z>),  (E)  der  Fläclie  geg^en;  man  soll  die  Projektion  l  der 
SchniUkurve  (l)  der  durdi  diese  drei  Punkte  gelegten  Ebene  mit  der 
Fläche  hestimmen. 

Da  die  Projektion  der  Schnittkurve  den  scheinbaren  umriß  in 
zwei  (reellen  oder  imaginären)  Punkten  berührt,  kann  man  die  Auf- 
gabe auch  so  ausdrücken: 

Es  sind  ein  KegelschniU  k  und  drei  Punkte  C,DyE  seiner  Ebetie 
gegeben;  man  soll  durch  die  Punkte  einen  Kegelschnitt  l  legen y  welcher 
den  gegebenen  Kegelschnitt  k  in  jswei  Punkten  berührt. 

Die  Art,  wie  man  bei  der  ersten  Form  der  Aufgabe  die  Pro- 
jektion der  Fläche  gebildet  denkt,  ob  central  oder  irgendwie  parallel, 
und  die  noch  freistehende  Wahl  eines  Maßes  der  Fläche  sind  gleich- 
giltig.  Denn  denkt  man  sich  unter  k  den  wahren  Umriß  der  P 
für  den  Projektionsmittelpunkt  0,  wobei  0  der  Pol  der  Ebene  von 
k  zu  P  ist,  so  ist  P  durch  k,  0  und  einen  Punkt  (C)  bestimmt 
(79);  für  einen  anderen  Projektionsmittelpunkt  0^  sei  P^  die  Fläche, 
(C\  der  Punkt,  derart  daß  (C)  und  (C\  dieselbe  Projektion  C  be- 
sitzen, oder  daß  0{C)  und  0^(C\  sich  in  C  in  der  Ebene  von  k 
schneiden;  dann  sind  P  und  P^  perspektiv  mit  der  Ebene  von  k 
als  Kollineationsebene  und  mit  dem  Schnittpunkte  von  00^  und 
((7)(C)i  als  Kollineationsmittelpunkt.  Dabei  entsprechen  sich  die 
Punkte  (i>),  (D),;  ferner  (E),  {E\,  sowie  die  Ebenen  (C)(D)(E) 
und  (C\  {D\  iE\j  und  ihre  Schnittlinien  (Z),  (üj)  bezw.  mit  P,  P^,  so 
daß  dieselben  aus  den  entsprechenden  Punkten  0,  Oj  dieselbe  durch 
C,  D,  E  gehende  Projektion  l  auf  die  Ebene  von  k  besitzen  müssen. 
Bedeutet  k  den  scheinbaren  Umriß,  so  ist  mit  der  soeben  betrach- 
teten Fläche  P  eine  andere  in  den  Kegel  Ok  einbeschriebene  per- 
spektiv, so  daß  auch  die  Kegelschnitte  der  den  Punkten  C,  D,  E 
entsprechenden  Punkte  perspektiv  sind  und  dieselbe  Projektion 
besitzen. 

Die  Unabhängigkeit  von  der  Art  der  Projektion  und  von  der 
Ausdehnung  der  Fläche  wird  auch  durch  die  Eindeutigkeit  der  fol- 
genden Konstruktionen  nachgewiesen, 
^g  51.  Aufl.  Es  seien  z.  B.  der  gegebene  Kegelschnitt  k  eine  Ellipse  und 
die  gegebenen  Punkte  (7,  D,  E  innere  von  k.  Man  betrachte  k  als 
wahren  Umriß  einer  senkrecht  projicirten  Fläche  P,  die,  weil  C,  D,  E 


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III,  114.   BerühruDgsebenen,  ebene  Schnitte  n.  Berührungskegel.       109 

innere  Punkte  sind,  ein  Ellipsoid  F  sein  muß.  Jeder  der  Punkte 
Cj  Dy  E  stellt  zwei  Punkte  der  Fläche  dar,  so  daß  acht  Kombina- 
tionen dreier  Punkte,  nämlich  eines  von  jedem  Paare,  und  auch  acht 
Ebenen   durch    die   zweideutig   bestimmten   Punkte    möglich    sind. 

Fig.  51. 


Diese  Ebenen  liegen  paarweise  symmetrisch  zur  Ebene  F  von  1c\ 
die  beiden  eines  Paares  besitzen  eine  gemeinsame  Spur  jp  in  F, 
und  ihre  Schnittlinien  mit  F  eine  gemeinsame  Projektion  l  auf  F, 
welche  die  2;  in  deren  (reellen  oder  imaginären)  Schnittpunkten  mit 
p  berührt.  Zwei  Kegelschnitte  i  und  l  liegen  daher  perspektiv  mit 
p  als  Axe  und  mit  deren  Pole  P  zu  i  als  Mittelpunkt  der  Kolli- 
«neation,  so  daß  l  hierdurch  und  durch  einen  der  Punkte  (7,  D,  E 
bestimmt  isi     Es  gibt  offenbar  8  :  2  «=  4  Kurven  l. 

Suchen  wir  die  Spuren  der  durch  zwei  d'er  Punkte  (C),  (7)),  {E) 
gehenden  Sehnen  der  Fläche  F.  Die  Gerade  CB  trifft  die  Ellipse  Ic 
in  den  Punkten  JF,  Cr,  die  projicirende  Ebene  von  CD  triflft  die  F 
in  einem  Kegelschnitte,  dessen  eine  Axe  FG  bildet,  und  den  wir  als 
Kreis  annehmen  dürfen,  da  hierdurch  erst  die  noch  unbestimmte  auf 
F  senkrechte  Axe  der  P  bestimmt  wird.  Der  Kreis  (in  der  Umlegung) 
wird  von  den  Ordinaten  von  Cund  D  bezw.  im  fl",  H^  und  J,  J^,  ge- 
troffen, und  die  Linien  H J^  H^J  {sowie  H^J^ylUi)  bestimmen  auf  (72) 
die  beiden  Punkte  E^yE^,  die  beiden  Spuren  der  vier  Sehnen  (C)  (D) 


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110  nr,  114—116.    Die  Fl&chen  zweiten  Grades. 

von  P.  Hätte  man  über  FG  als  Axe  statt  des  Kreises  irgend  eine 
Ellipse  angenommen^  so  hätte  man  wegen  ihrer  Affinität  zum  Kreise 
dieselben  Punkte  i\,  E^  erhalten.  Sucht  man  in  gleicher  Weise 
auf  DE  die  Punkte  G^  Cj,  auf  EC  diejenigen  Dj,  Dg,  so  sind  die 
viererlei   Spuren    der   acht   möglichen   Schnittebenen   die   Geraden 

GiDi^i=Pi7  f^iA^'2  =  l>2,  AJ^2C^2=1>8;  ^\C^2A=l>4j  ^^ren 
Pole  zu  k  bezw.  Pj,  Pg,  P3,  P4,  woraus  man  die  vier  Kurven  i^, 
hj  h}  h  konstruiren  kann  als  perspektiv  zu  Je  bezw.  mit  |>i,  P^; 
|>2,  P2  .  .  .  als  Axe  und  Mittelpunkt  der  Kollineation,  und  gehend 
durch  Cy  D,  E]  oder  man  bestimmt  ihre  Axen  nach  I,  378. 

Die  Punkte  J?,,  E2  sind  die  Doppelpunkte  der  Involution  C7,  D; 
F,  G,  da  sie  harmonisch  getrennt  sind  durch  C,  D  wegen  des  voll- 
ständigen Vierecks  HH^J^J,  und  durch  F,  G  wegen  des  Kreises 
FG,  Es  ist  dadurch  eine  einfachere  K(ynstruktion  der  Doppelpunkte 
einer  involutorischen  Punktreihe  gegeben,  als  in  I,  302  und  327. 

Faßt  man  die  Aufgabe  in  der  zweiten  Form,  so  findet  man 
für  l^  und  k  auf  dem  Strahle  CD  die  Punkte  E^,  E^,  durch  deren 
einen  die  Berührungssehne  und  Kollineationsaxe  beider  Kurven  gehen 
muß,  als  diejenigen  beiden  Punkte,  welche  in  Bezug  auf-ij  und  k 
konjugirt,  also  durch  die  Schnittpunkte  von  CD  mit  jeder  der 
Kurven  harmonisch  getrennt  sind.  Denn  jeder  Punkt  der  Kolli- 
neationsaxe hat  zu  l^  und  zu  k  dieselbe  Polare,  weil  dieser  Punkt 
sich  selbst,  seine  Polaren  sich  daher  unter  einander  entsprechen, 
daher  einen  Punkt  auf  der  Kollineationsaxe  gemein  haben,  außer- 
dem aber  durch  den  Pol  dieser  Axe  gehen,  der  zu  beiden  Kurven  der- 
selbe ist.  Auf  jeder  Geraden,  so  auf  CD,  muß  daher  ihrem  Punkte 
der  Kollineationsaxe  derselbe  Punkt  in  Bezug  auf  l^  und  k  zugeord- 
net sein,  also  muß  diese  Axe  durch  Ey  oder  E^  gehen. 

116.  Um  die  Benutzung  der  Kegelschnitte  zu  vermeiden,  und 
die  Axen  der  gesuchten  Kegelschnitte  zu  erhalten,  wollen  wir  zu- 
nächst eine  Aufgabe  lösen ,  zu  welcher  wir  den  Begriff  eines  einzel- 
nen imaginären  Punktes  auf  einer  Geraden  g  oder  auf  einem  KegeU 
schnitte  k  und  seiner  ideellen  Darstellung  nötig  haben.  Aus  dem 
Begriflfe  der  ideellen  Schnittpunkte  eines  Kegelschnittes  k  mit  einer 
denselben  nicht  reell  schneidenden  Geraden  g  (I,  400)  ergibt  sich,  daß 
wenn  P,  Pj  zwei  zugeordnete  Punkte  einer  (gleichlaufenden)  Invo- 
lution auf  g  sind,  unter  der  ideellen  Darstellung  eines  imaginären 
Punktes  auf  g  in  Bezug  auf  P,  P|  einer  der  beiden  einander  zu- 
geordneten und  durch  P,  Pj  harmonisch  getrennten  Punkte  der  In- 
volution zu  verstehen  ist;  und,  wenn  P,  p  Pol  und  Polare  zu  k 
sind,  unter  der  ideellen  Darstellung  eines  imaginären  Punktes  von  k 
auf  einer  durch  P  gehenden  Geraden,  einer  der  beiden  in  Bezug  auf 


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w 


>.^' 


m,  116—116.   Berührungsebenen,  ebene  Schnitte  n.  Berübrongskegel.     1 11 

Je  einander  zugeordneten  und  durch  P,  p  harmonisch  getrennten 
.  Punkte  der  g,  welche  also  dem  Kegelschnitte  angehören^  der  dem  h  in 
Bezug  auf  P,|)  konjugirt  ist.  Die  ideellen  Punkte  sind  reell,  wenn  bezw. 
die  Involution  gleichlaufend  ist,  oder  die  g  den  k  nicht  reell  schnei- 
det, sonst  imaginär  (s.  96).  Durch  den  gegebenen  einen  ist  auch  der 
zugeordnete  ideelle  Punkt  bestimmt,  sowie  beide  imaginären,  von 
denen  jeder  einem  der  ideellen  als  entsprechend  zugewiesen  sei. 

116.  Äufg.  Die  Axen  eines  Kegelschnittes  h  zu  hestimmen,  toelr 
eher  eine  gegebene  Gerade  p  in  zwei  gegebenen  {reellen  oder  imaginären) 
Punkten  schneidet^  durch  einen  weiteren  gegebenen  {reellen  oder  imaginä- 
ren) Punkt  D  gellt,  wenn  noch  der  Pol  P  von  p  m  k  gegd)en  ist. 

Sind  der  Punkt  D  und  die  Punkte  auf  p  und  dann  die  aus  P 
nach  ihnen  gehenden  Tangenten  des  k  reell,  so  kann  man  nach 
I,  378  verfahren;  die  folgende  Auflösung  ist  aber  anwendbar,  mögen 
diese  Punkte  reell  oder  imaginär  sein. 

Aufl.     Man     lege 
durch     die    gegebenen  ^'  ^  ' 

Punkte  der  p  einen 
Kreis  k'  und  bestimme 
zu  ihm  den  Pol  P'  von 
p.  Sind  die  Punkte  der 
p  reell,  so  ist  die  Art 
der  Ausführung  selbst- 
verständlich; sind  sie 
aber  imaginär,  so  seien 
sie  durch  zwei  Paare 
zugeordneter  Punkte  E, 
Ey ;  CT,  üi  gegeben.  JJ 
sei  der  unendlich  ferne 
Punkt,  also  V^  der  Mit- 
telpunkt der  Involution. 
Ist  TJ^  nicht  unmittelbar 
gegeben,  so  bestimme 
man  ihn  nach  I,  302. 
Es  mQssen  dann  der 
Mittelpunkt  C  des  Krei- 
ses k\  sowie  der  Pol  F 
von  p  zu  k'  auf  der 
J_j)  durch  Z7i  gezoge- 
nen Geraden  liegen;  wir  können  auf  derselben  P'  willkürlich  wählen 
und  finden  dann  C  durch  E^C  ±EP\  weil  hierdurch iJJP'  die  Polare 
von  El  zu  k\  und  E,  E^  konjugirte  Punkte  in  Bezug  auf  k'  werden. 


Fig.  62. 


'V-":3^^' 


f"--,li[ 


--^"^^. 


A- 


nN\j 


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112  in,  116—117.   Die  Flachen  zweiten  Grades. 

Ä'  geht  durch  den  Schnittpunkt  IT  von  F'H{1^  U^  P')  mit  dem  Kreise^ 
von  welchem  U^C'  ein  Durchmesser,  k  ist  nun  die  Projektion  von 
Je'  mit  der  EoUineationsaxe  p,  und  zwar  die  reelle  oder  imaginäre 
Projektion,  je  nachdem  D  ein  reeller  oder  ideeller  Punkt  von  h 
ist  (85).  Im  letzteren  Falle  ist  k  imaginär  und  seine  ideelle  Dar- 
stellung in  Bezug  auf  P,  p  ist  der  durch  D  als  reellen  Punkt  be- 
stimmte Kegelschnitt,  den  wir  daher  als  Auflösung  für  beide  Fälle 
zu  betrachten  haben.  Bei  der  Perspektivkollineation  der  reellen 
Kurven  k  und  k'  entspricht  der  Geraden  PD  die  P'D\  wenn  sich 
beide  Gerade  auf  p,  in  F^  treffen;  dem  D  entspricht  einer  der  Schnitt- 
punkte, etwa  D',  von  P'F  mit  fc';  der  zugehörige  KoUineations- 
mittelpunkt  ist  dann  der  Schnittpunkt  0  von  PP'  und  DD\  Der 
Mittelpunkt  M  des  k  ist  der  Pol  der  unendlich  fernen  Geraden  m 
der  Ebene  von  k  und  liegt  daher  auf  der  Polaren  U^P  von  U.  Der 
m  entspricht  die  Gegenaxe  m'  in  der  Ebene  von  k\  deren  Schnitt- 
punkt G  mit  UiP'  man  durch  OG  ^  U^P  erhält,  und  dem  M 
entspricht  der  auf  TJ^P'  liegende  Pol  M'  von  m'  zu  k'  {J  der 
Berührungspunkt  einer  Tangente  aus  (?  an  Ä',  J"  JT  JL  TJ^  P^. 
M  ergibt  sich  dann  als  Schnittpunkt  von  OM'  mit  TJ^P.  Die 
Involution  M  konjugirter  Durchmesser  des  Ä,  und  die  Involution 
Hf  konjugirter  Sehnen  des  k'  sind  perspektiv  mit  p  als  Kollinea- 
tionsaxe;  zwei  Paare  zugeordneter  Punkte  sind  [7,  U^  und  Ey  J?,, 
wenn  C  E^  JL  EM\  Diese  Punktinvolution  auf  p  wird  durch  eine 
rechtwinklige  Strahleninvolution  aus  dem  Punkte  N  der  U^P'  pro- 
jicirt,  wenn  N  auf  dem  Kreise  vom  Durchmesser  EE^  liegt  Be- 
schreibt man  nun  einen  Kreis  durch  N  und  M,  dessen  Mittelpunkt 
sich  auf  p  befindet,  und  schneidet  ihn  mit  p  in  iJ,  S,  so  sind  Jtf  ü, 
MS  die  Axen  von  k\  llTR,  MS  sind  ihre  entsprechenden  Kreis- 
sehnen, aus  deren  Endpunkten  A\  B'  durch  Strahlen  aus  0  die 
Scheitel  Ä,  B  bestimmt  werden.  —  Bei  der  Wahl  von  F  auf  TJ^P' 
ist  darauf  zu  achten,  daß  nicht  C  in  P'  fallt,  wodurch  k'  ein  Punkt 
würde;  vielmehr  muß  V  zu  k  eine  angemessene  Größe  erhalten. 

Liegt  M  auf  I?,  so  versagt  das  Verfahren;  man  gelangt  aber 
dann  einfacher  zum  Ziele  für  die  Ellipse  durch  Affinität  mit  dem 
Kreise  (I,  373  und  377),  und  für  die  Hyperbel  durch  Bestimmung 
der  Asymptoten  (I,  379  oder  371). 

117.  Aufg,  Die  Axen  der  Prcjektion  l  eines  (reellen  oder  ima- 
ginären) Kegelschnittes  bu  bestimmen,  der  durch  drei  (reelle  oder  ima- 
ginäre) Punkte  einer  (reellen  oder  imaginären)  Fläche  zweiten  Grades  P 
geht,  wenn  der  (reelle  oder  imaginäre)  scheinbare  Umriß  k  der  Fläclie 
und  die  Projektion  (7,  2),  E  der  drei  Punkte  gegeben  sind. 

Oder,  was  dasselbe: 


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111,117.   Berührangsebenen,  ebene  Schnitte  u.  Berührungskegel.        113 


Die  Axen  eines  Kegelschnittes  l  zu  bestimmen,  welcher  durch  drei 
gegä)€ne  {reelle  oder  imaginäre)  Punkte  C,  D,  E  geht  und  einen  ge- 
gei)enen  {reellen  oder  imaginären)  Kegelschnitt  k  in  zwei  Punkten 
berührt. 

Die  Aufgabe  ist  auf  die  vorhergehende  (116)  zurückgeführt,  sobald 
wir  die  (mehrdeutig  bestimmte)  Spur  p  der  Ebene  der  drei  Punkte, 
d.  i.  auch  die  Berührungssehne  der  Kurven  k  und  l,  sodann  die  auf 
ihr  durch  k  bestimmte  Involution  konjugirter  Punkte,  und  den  Pol 
P  der  p  zu  k  ermittelt  haben.  Die  Verzeichnung  eines  Kegelschnittes 
soll  dabei  vermieden  werden.    Wir  unterscheiden  folgende  Fälle: 

1)  k  ist  eine  EUipsCy  (7,  D,  E  sind  reelle  innere  Punkte  ^der- 
selben.  Die  Aufgabe  wird  durch  KoUineation  mit  einem  über  der 
(großen)  Axe  als  Durchmesser  beschriebenen  Kreise  und  nach  Nr.  114 
gelösi  Wir  begnügen  uns,  in  Bezug  auf  die  Einzelheiten  auf  den 
folgenden  Fall  zu  verweisen. 

2)  k  ist  eine  Ellipse  mit  den  Hdlhaxen  MA,  MB]    C,  D,  E  Fig.  53. 
sind  reelle  äußere  Punkte  derselben.    Wir  bilden  die  kollineare  Figur 

mit  der  Kollineationsaxe  MA,  worin  der  Ellipse  k  der  Kreis  k'  vom 

Fig.  53. 


<^r 

rr        ''      '  \ 

'Ox          >' 

/'  \>v  X         ^ 

/  /„-'^X'-     '^ 

/'/''    /VnR^^  \ 

/''                              /               \             |V      X      \                  \ 

^"         /      V   '  xX  ^     ^ 

.-"^    '»'-,'-»*-*.        vXz 

X     '     ^  - '                 ^-'V 

1  '      ^---^                 A^v                   y 

^""              ----- 

-"' 

-S?/ 


Halbmesser  MA  entspricht.  Dem  P  entspricht  P\  einer  Parallelen 
zu  MA  durch  B  eine  solche  durch  B\  und  vermittelst  ihrer  be- 
stimmen wir  zu  dem  Dreiecke  CDE  das  entsprechende  C'D'E\ 
Die  zu  dem  umrisse  k'  und  den  äußeren  Punkten  C,  2)',  E'  ge- 
hörige Flache  P  ist  ein  einschaliges  ümdrehungshyperboloid,  wel- 
ches wir  gleichseitig  annehmen  wollen.    Legen  wir  die  projicirende 


Wiener,  Lehrbuch  der  dArstellenden  Oeometrie.   n. 


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114  III,  117—118.    Die  Flächen  zweiten  Grades. 

Ebene  von  CD'  in  die  Ebene  P  der  Figur  um,  so  kommen  die 
Ordinalen  von  C  und  D'  in  die  zu  CD'  senkrechten  Linien  G'F^ 
D'GGij  deren  Längen  aus  den  durch  sie  gehenden  Meridianhyper- 
beln ermittelt  werden,  z.  B.  för  C'F,  indem  man  auf  CD'  die 
Cir=  MÄ  =  a  und  HF=  MC  macht  (I,  371,  hier  aus  a^^-y* 
=  a*).  FG  und  FG^  bestimmen  dann  auf  C B'  die  Punkte  E^,  E^. 
Ebenso  bestimmt  man  auf  D'-E'  die  Punkte  Oj,  C^,  auf  E'C 
die  D,,  Dg. 

Wenn  CD'  den  Kreis  h'  in  rellen  Punkten  J",  K  schneidet,  so 
kann  man  die  Doppelpunkte  jE,,  E^  der  Involution  C,  D';  «7,  Ä' 
außer  durch  das  soeben  angegebene  Verfahren  auch  durch  das  der 
Nr.  114  finden,  indem  man  über  der  größeren  Strecke  CD'  als 
Durchmesser  einen  Kreis  zeichnet  und  darin  die  Ordinaten  JJ^^ 
KK^K2  zieht;  Ji-ffi,  JiE^t  gehen  bezw.  durch  E^j  E^.  Jener  Kreis 
C  D'  steht  in  keiner  Beziehung  zum  Hyperboloide  P.  Dieses  Ver- 
fahren ist  bei  der  den  it'  imaginär  schneidenden  Geraden  C E'  nur 
auf  einem  Umwege  (s.  119)  anwendbar.  Das  vorher  angegebene 
Verfahren  mit  den  Hyperbelordinateu  kann  also  dazu  dienen,  auf 
einer  Geraden  C E'  das  Funktepaa/r  D^,  Dg  0u  finden,  welches  zugleich 
einer  ungleichlaufenden  Involution  von  den  Doppelpunkten  C,  E\  und 
einer  gleichlaufenden  angehört^  weldie  als  die  Involution  Jconjugirter 
Punkte  in  Bejsug  auf  einen  die  CE'  imaginär  schneidenden  Kreis  k' 
gegeben  ist 

Man  sucht  nun  zu  jeder  der  vier  Geraden,  welche  durch  die 
drei  Punkte  je  eines  der  drei  Punktepaare  Cj,  C^\  Dj,  D^j  jB^,  E^ 
geht,  so  zu  |)'  =  CiD^Eiy  den  Pol  P'  und  zwei  Paare  konjugirter 
Punkte  in  Bezug  auf  k\  Dem  unendlich  fernen  U'  entspricht  ?7/ 
{MT'U^  ±p),  dem  Punkte  L  auf  MA  der  Punkt  i/  auf  der 
durch  P  gehenden  Senkrechten  zu  MA,  Dann  sucht  man  durch 
die  Affinität  zwischen  k'  und  k  zu  p\  P\  ü',  f//,  i,  i/  die  ent- 
sprechenden Elemente  jp,  P,  Z7,  fJ^,  L,  Z/j,  so  ist  l  bestimmt  durch 
p,  P,  die  Involution  f7,  J/^;  L,  ij,  und  durch  einen  der  Punkte  C, 
D,  E]  seine  Axen  werden  dann  nach  Nr.  116  ermittelt. 

118.     i)  k  ist  eine  Hyperbel  mit  der  reellen  Halhaxe  MA  und 
der  ideellen  MB  =  MB^\   C,  D,  E  sind  reelle  und  alle  innere,  oder 
alle  äußere  Punkte  der  k. 
Fig.  54.  Sind  die  Punkte,  wie  in  der  Figur,  innere,  so  betrachtet  man 

P  als  zweischaliges  Umdrehungshyperboloid,  sind  sie  äußere,  als 
einschaliges;  die  Konstruktion  ist  in  beiden  Fällen  im  wesentlichen 
dieselbe.  Die  Asymptoten  von  k  sind  MF\  AB  und  MF^  ||  AB^. 
Die  auf  der  Ebene  P  der  Figur  senkrechte  Ordinate  eines  Punktes  C 
der  P  ist  durch  den  durch  C  gehenden  Parallelkreis  bestimmt,  des- 


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111,  118—119.    Berührungsebenen,  ebene  Schnitte  u.  Berührungskegel.     115 


sen  Projektion  CG  JL  MA,  und  dessen  Halbmesser  die  Ordinate  GH 
der  Hyperbel  h  ist  {GJ=  Ordinate  der  Asymptote,  auf  MA  die 
GK^MB,  KE=  GJ),  Der  in  die  P  umgelegte  Parallelkreis 
bestimmt  die  mit  umgelegte  Ordinate  =  CL  =  —  CL^.    In  gleicher 

Fig.  54. 


F^^^^:^^^^ 


Weise  werden  die  umgelegten  Ordiuaten  von  T)  und  JE  bezw.  =  Dlif 
^  —  D^j  und  ISQ  bestimmt.  Auf  CD  erhält  man  dann  die  Punkte 
-B,,  E2  durch  L^N^  und  L^N,  da  offenbar  die  Ordinalen  CL,  DN 
nur  unter  einander  parallel;  nicht  aber  J_  CD  gezogen  sein  müssen. 
Gezeichnet  ist  unter  den  vier  Geraden  p  diejenige  E^C^D^*^  ihrem 
unendlich  fernen  Punkte  U  entspricht  als  konjugirt  zu  Tc  der  Mittel- 
punkt ?7,  ihrer  Strecke  zwischen  den  Asymptoten,  und  ihrem 
Schnittpunkte  JR  mit  MB  der  Punkt  JJ, ,  den  man  erhält,  wenn 
man  auf  MB  den  zu  R  konjugirten  Punkt  T  bestimmt  durch 
MR'MT=—  MB^  (auf  MA  die  MS  =  MB,  ST±  RS),  und  die 
Polare  von  R  als  TR^  _L  MB  zieht.  Der  Pol  P  von  p  ist  der 
Schnittpunkt  von  MU^  mit  TRi,  Der  Kegelschnitt  l  ist  nun  durch 
p(U,  f/j;  R,  Ri),  P]   Cy  Dy  E  überschüssig  bestimmt. 

119.  4c)  h  ist  ein  reeller  Kegelschnitt,  C  ein  reeller  PunJctj  D,  E 
sind  imaginäre  Punicte,  gegebeti  durch  eine  gleiddaufende  Involution 
auf  eUier  Geraden, 

Nachdem  wir  bei  reellen  Elementen  schon  die  verschiedenen 
Fälle  für  h  und  C  verfolgt  haben,  genügt  es,  bei  imaginären  D,  E 
nur  einen  Fall  für  h  und  C  zu  betrachten.  Es  möge  h  ein  Kreis  vom  ^»8  w. 
"Mittelpunkte  M  und  vom  Halbmesser  MA,  und  C  ein  innerer  Punkt 
desselben  sein.  Die  imaginären  Punkte  D,  E  sind  durch  zwei  Paare 
zugeordneter  Punkte  D^,  D^\  E^,  E^   einer  gleichlaufenden  Involu- 

8* 


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116 


HI,  119.   Die  Fläcnen  zweiten  Grades. 


tion  auf  einer  Geraden  gegeben;  und  indem  auch  h  auf  dieser  Ge- 
raden eine  Involution  konjugirter  Punkte  bestimmt,  ist  man  im- 
stande, nach  1,350  dasjenige  Punktepaar  C^,  C^zu  bestimmen,  wel- 
ches beiden  Involutionen  zugehört    Doch  kann  man  die  Punkte  C^, 

Fig.  65. 


^•^  <^ 


Cg  auch  anders  erhalten.  In  dem  Falle,  in  welchem  die  Gerade  den 
Kreis  i  imaginär  schneidet,  sind  sie  Punkte  desjenigen  Kreises,  wel- 
cher durch  die  beiden  Punkte  geht,  aus  deren  jedem  eine  der  Punkt- 
involutionen durch  eine  Rechtwinkelinvolution  projicirt  wird,  und 
dessen  Mittelpunkt  auf  der  Geraden  liegt.  In  dem  Falle  dagegen, 
in  welchem  die  Gerade  den  Kreis  reell  in  Punkten  DiyE^  schneidet, 
sucht  man  zuerst  auf,  oder  gibt  an  diejenigen  Punkte  2),,  E^^ 
welche  in  der  Involution  der  Geraden  bezw.  den  Punkten  D^  und 
E^  zugeordnet  sind.  Dann  zeichnet  man  über  der  größeren  der 
beiden  Strecken  Di  Ei,  B^E^y  hier  über  B^E^y  als  Durchmesser 
einen  Kreis,  zieht  D^F^  und  E^G^l^D^^E^y  schneidet  sie  mit  dem 
Kreise  bezw.  in  Fj,  F^  und  Gj,  ö^,  so  gehen  F^^G^  (und  F^G^ 
durch  (7i,  und  Fy^G^  (und  F^G^  durch  C^l  Denn  wegen  der  ge- 
gebenen Involution  oder  wegen  I,  279  ist 

und  weil  durch  die  Konstruktion  (7^,  C,  sowohl  durch  Dj,  JEJ,,  als 
durch  Dg,  E^  harmonisch  getrennt  sind,  gilt 


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III,  119.    Berührongsebeneo,  ebene  Schnitte  u,  Berührongskegel.        117 

-l  =  (A^iC,C,)  =  (A^,C,C73)  =  (A^iC2C0  =  (A^,C3C?0;  (2) 

daher  (D.D.E.E.C^C,)  =  (D^D^E^E.G.C^),  (3) 

indem  an  jede  von  zweien  unter  einander  projektiven  Punktreihen^  so 
an  (1),  dieselben  zwei  Elemente  zugefügt  werden  dürfen,  so  Ci,  (7,  in 
(3),  wenn  diese  neuen  Elemente  in  der  einen  Reihe  mit  irgend  zwei 
Torhergehenden  zweimal  dieselben  Doppel  Verhältnisse  erzeugen,  wie 
die  entsprechenden  Elemente  in  der  anderen  Reihe,  so  in  (2),  da  zwei 
neue  Elemente  durch  zwei  Doppelverhältnisse  mit  früheren  eindeutig 
bestimmt  sind.  Da  nun  C^,  C2  nach  (3)  ein  Punktepaar  der  ge- 
gebenen Involution  und  durch  die  Konstruktion  eines  der  Involution 
in  Bezug  auf  den  Kreis  bilden,  so  sind  sie  die  gesuchten  Punkte. 
Als  Fläche  F,  welche  dem  Umrisse  Je  und  dem  inneren  Punkte 
C  genügt,  wählt  man  eine  Kugel;  diese  wird  von  der  projicirenden 
Ebene  der  D^E^  in  eineip  Kreise  geschnitten,  der  in  derümlegung 
k'  (mit  dem  Mittelpunkte  ]if)  ist,  und  der  in  unserem  Falle  mit 
einem  schon  gezeichneten  Kreise  zusammenfällt.  In  dieser  umge- 
legten Ebene  ziehe  man  nun  durch  G^  und  C2  diejenigen  Geraden, 
so  c^  durch  C^,  welche  die  P  (und  den  Je')  in  Punkten  schneiden, 
deren  Projektion  die  gegebenen  Punkte  D,  E  sind,  oder,  da  diese 
imaginär,  diejenigen  Geraden,  auf  welchen  eine  gleichlaufende  In- 
volution der  in  Bezug  auf  P  (und  Je')  konjugirten  Punkte  stattfindet, 
deren  Projektion  D^,  D^;  E^y  E^\  Cj,  C^  isi  (7i,  C^  sind  für  jede 
durch  (7i  oder  C^  gezogene  Gerade  die  Projektionen  konjugirter 
Punkte;  es  genügt  daher  zu  bewirken,  daß  auch  die  Schnittpunkte 
D^,D^  von  Ci  mit  den  zu  DiE^  gezogenen  Senkrechten  D^D^^  A-^i 
in  Bezug  auf  Je'  konjugirt  sind.  Dreht  man  die  c^  um  (7^,  so  be- 
schreibt sie  auf  diesen  Senkrechten  projektive  Punktreihen  D, . . ., 
D4...,  in  welchen  sich  Dj,  D,  und  D5,  F^  entsprechen.  Anderer- 
seits bilden  die  zu  den  Punkten  der  Geraden  D^D^  in  Bezug  auf 
k'  konjugirten  Punkte  der  Geraden  D^D^  eine  mit  beiden  ersteren 
Punktreihen  projektive  Reihe;  und  man  erhält  diese  Punkte,  z.  B. 
Dg  konjugirt  zu  2)5,  indem  man  von  D5  die  Polare  zu  k\  d.  i.  die 
aus  dem  Pole  D^  der  D^D^  auf  M'B^  gefällte  Senkrechte  D^D^ 
zieht  Schneidet  die  Gerade  D^E^  den  Kreis  nicht  reell,  so  be- 
stimmt man  D^  als  in  der  Polarebene  von  Dg  zu  F  liegend.  Ist  V 
der  unendlich  ferne  Punkt  von  B^F^y  so  entsprechen  in  den  beiden 
Reihen  der  D^F^  den  Punkten  D^,  Uy  F^  die  Punkte  U,  D^,  D^. 
Daher  decken  sich  die  Gegenpunkte  in  D^,  und  man  erhält  die 
Doppelpunkte  D^,  D/  vermittelst  D^D^^  «  A-^/*  =  D^F^  X  D^D^, 
was  in  der  Figur  ausgeführt  ist;  daher  ist  CiD^  =  c^,  C^D^'  =  c/. 
Die  beiden  Strahlen  c^  aus  C^  sind  imaginär,   weil  auf  einer  aus 


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118  IH,  119.   Die  Flächen  zweiten  Grades. 

einem  inneren  Punkte  C^  von  h'  gezogenen  Geraden  keine  imagi- 
nären Schnittpunkte  Z>,  F  mit  h'  liegen  können;  wir  werden  sie 
nachher  verfolgen. 

Richtet  man  den  Kreis  Ä'  samt  den  Geraden  c^,  c/  durch 
Drehung  um  B^E^  wieder  in  die  zu  P  senkrechte  Ebene  auf,  so 
gelangen  c^,  c/  bezw.  nach  (cj),  (c/).  Nun  lege  man  durch  je  eine 
der  Geraden  (c,),  (c/)  und  durch  je  einen  der  beiden  Punkte  (C) 
der  Kugel  P  eine  Ebene,  also  vier  Ebenen,  deren  vier  Schnittlinien 
mit  P  zwei  verschiedene  Projektionen  besitzen.  Um  ihre  Spuren 
Pj,  JP2  in  P  zu  erhalten,  legen  wir  durch  G  eine  zu  P  senkrechte 
Ebene  von  der  Spur  CK^ ,  die  wir  ||  Dj  E^  machen  wollen.  Diese 
Ebene  schneidet  die  F  in  einem  Kreise,  dessen  Umlegung  in  P  auch 
die  Umlegungen  jener  beiden  Punkte  (C),  von  denen  J  die  eine  ist, 
bestimmt.  Die  Parallelen  aus  J  zu  c^  und  c/  geben  auf  CK^  Punkte 
K^,  K^j  und  dadurch  G^K^  =  p^  und  G^K^^^p^  als  die  beiden 
Spuren  jener  vier  Ebenen.  Die  Pole  von  jpi  und  p^  zu  Tc  sind  bezw. 
P,  und  P2,  und  damit  sind  die  gesuchten  beiden  Kurven  i^,  l^  be-  , 
stimmt,  als  perspectiv  zu  h  bezw.  mit  jj^,  P^  und  p^^  P,  als  Axe 
und  Mittelpunkt  der  Kollineation,  und  gehend  durch  G.  Da  ft  ein 
Kreis,  konnte  die  eine  (kleine)  Axe  jeder  Kurve  bezw.  auf  MP^  (J-Pi) 
und  auf  MP^  (-Ll^g)  und  dann  die  andere  Axe  durch  jene  Kollinea- 
tion leicht  ermittelt  werden,  l^  und  l^  schneiden  sich,  außer  in  C, 
noch  in  der  Projektion  C  des  zweiten  Schnittpunktes  der  Geraden 
G^{G)  mit  F. 

Sucht  man  nun  im  Strahlenbüschel  G^  diejenigen  (imaginären) 
Strahlen,  welche  auf  den  Geraden  D,  Dg  und  D^F^  konjugirte  Punkte 
in  Bezug  auf  den  Kreis  h'  einschneiden,  so  erhält  man  c^  und  c,' 
als  deren  ideelle  Darstellungen  in  Bezug  auf  G^E^y  G^Uy  so  daß 
Cj,  c^  konjugirt  in  Bezug  auf  F  (und  Tc')  und  durch  G^E^j  G^U 
harmonisch  getrennt  sind.  (C^JP,  schneidet  die  D^D^  inD^,  D^D« 
±M'D^,  Dg  auf  Ds,Fi;  D^B^^  ^  D^D^^  =  —  D^F^xB^D^ 
C55  =  G^Bqj  c^  «=  C2D9'.)  Die  Ebenen,  welche  durch  je  einen  dieser 
imaginären  Strahlen  und  durch  je  einen  der  beiden  (reellen)  Punkte 
((7)  gehen,  sind  die  Doppelebenen  je  eines  involutorischen  Ebenen- 
büschels mit  einer  der  beiden  reellen  Axen  G^iC),  welches  durch 
die  zwei  Paare  zugeordneter  Strahlen  Cä-^u  C^sC^O)  (P2)}  (^')  ^^' 
stimmt  ist,  und  deren  Spuren  in  P  die  Strahlen  G^Ej^,  G^Gy  G^L^^ 
G^L^  bilden  {L^  und  L^  auf  CZj,  JL^  |  c^,  JL^  ||  c/).  Die  Ebenen 
dieser  beiden  Ebenenbüschel  schneiden  die  F  in  Kreisen,  deren  Pro- 
jektionen auf  Fj  paarweise  in  Ellipsen  zusammenfallen,  welche  alle 
durch  die  zwei  Projektionen  (7,  C"  der  vier  Schnittpunkte  der  Axen 
der  Büschel  mit  F  gehen.     Die  Ellipsen  berühren  den  Kreis  Tc  in 


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III,  119—121.   Berührungsebencn,  ebene  Schnitte  u.  Berührungskegel.    119 

den  Punkten  der  zugehörigen  Spuren,  und  sind  hierdurch  und  durch 
ihren  Punkt  C  (und  C")  bestimmt.  Sie  sind  gestrichelt  gezeichnet. 
Man  bemerkt,  daß  sich  die  zwei  Projektionen  der  in  den  vier  ideel- 
len Doppelebenen  liegenden  Kreise  in  zwei  Punkten  der  Geraden 
D^Ei  schneiden.     Die  Ellipse  C^C  ist  eine  Gerade. 

120.  5)  Je  ist  ein  reeller  Kegelschnitt,  C  liegt  auf  einer  anderen 
Seite  von  A:,  me  D  und  E,  Nimmt  man  P  so  an,  daß  D,  E  die 
Projektionen  je  zweier  reellen  Punkte  (D),  (E)  der  P  sind,  so  ist 
C  die  reelle  Projektion  zweier  konjugirt-imaginären  Punkte  (C) 
der  P,  nämlich  der  imaginären  Doppelpunkte  der  Involution  kon- 
jugirter  Punkte  in  Bezug  auf  P  auf  der  Geraden  C  (C),  Die  vier 
Punkte  (D),  (E)  bestimmen  vier  Gerade,  welche  zwei  verschiedene 
Spuren  (7^,  G^  besitzen.  Jede  der  Geraden  ist  die  Axe  eines  invo- 
lutorischen  Ebenenbüschels,  welches  die  Involution  C{C)  projicirt. 
Die  Schnittkurven  der  Ebenen  je  zweier  dieser  Büschel  haben  ge- 
meinschaftliche Projektionen  auf  P,  nämlich  Kegelschnitte,  welche 
durch  D,  E  gehen,  und  deren  Kollineationsaxen  (und  Berührungs- 
sehnen) mit  k  ein  Strahlenbüschel  C^  oder  eines  C^  bilden.  Die 
imaginären  Doppelebenen  jener  Ebenenbüschel  liefern  Schnittkurven 
mit  P,  die  man  etwa  die  Doppelkegelschnitte  jener  Systeme  C^D-E, 
C^DE  nennen  kann,  welche  die  Auflösung  unserer  Aufgabe  bilden. 
—  Nimmt  man  dagegen  P  so  an,  daß  (C)  zwei  reelle,  und  (i)),  (E) 
vier  imaginäre  Punkte  sind,  so  sind  dieselben  Ci^C^  die  beiden  reellen 
Punkte,  aus  welchen  sich  die  gleichlaufenden  Involutionen  D(D)  und 
E{E)  aufeinander  projiciren  und  man  erhält  zwei  Kegelschnittsysteme 
CC^C,  CG^C'y  wo  G\  C"  die  Proj  ktionen  der  beiden  weiteren 
reellen  Schnittpunkte  bezw.  von  {C)Gi,  (G)G^  mit  P  sind.  Die  vier 
imaginären  Doppelkegelschnitte  sind  die  Auflösungen  der  Aufgabe. 

121.  Für  die  Auflösung  der  folgenden  Aufgabe  haben  wir 
nötig  den 

Satz.  Auf  einer  Geraden  p  ist  die  Involution  honjugirter  Punkte 
in  Beang  auf  einen  imaginären  Kreis  k,  dessen  Mittelpunkt  M  ist,  und 
zu  welchem  P  den  Pol  von  p  bildet,  dieselbe,  wie  diejenige  in  Bezug 
auf  einen  reellen  Kreis  h,  dessen  Mittelpunkt  P  ist,  und  zu  welchem 
M  den  Pol  von  p  bildet. 

Bew,  Sei  k  gegeben  durch  seinen  ideellen  Mittelpunktkreis  k\  Fig.  66. 
so  findet  man  den  Pol  P  von  p  z\x  k  auf  der  zu  p  gefällten  Senk- 
rechten MA  mit  dem  Fußpunkte  A,  indem  man  nach  der  Tangente 
aus  A  9X1  k'  anlegt,  dann  nach  dem  dazu  senkreckten  Durchmesser 
von  k'  dessen  dem  Berührungspunkte  gegenüberliegenden  Punkt  B 
bezeichnet,  und  P  durch  BP\p  bestimmt.  Denn  die  Pole  von  p 
zu  k  und  zu  k'  liegen  symmetrisch  zu  M  (I,  406,  1)).     Oder  man 


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120  ni,  121-122.    Die  Flächen  zweiten  Grades. 

zieht  J^MÄ  den  Halbmesser  MC  des  Jc\  so  ist  CPJLÄC,  weil 
nach  der'' ersten  Konstruktion  MP  X  MÄ  =  —  MC^  sein  muß. 
Dann  ist  der  aus  P  als  Mittelpunkt  durch  C  gelegte  Kreis  derjenige 

A,  zu  welchem  Jlf  derPol  von 

F^»-^«-  p    ist,    da    ^äCP^90\ 

y^    !    ^\.  Man  findet  nun  auf  |)  zu  einem 

f  i  Y  Punkte  D  den  konjugirten  D^ 

/  Ä /^T^"^"^     i  ^^  Bezug  auf  it,  indem  man  zu 

\  A-    'Iv^      \  i  dem  Mittelpunktsstrahle  JlfD 

^:: r^\     y  aus  dem  Pole  P  die  Senkrechte 

Y>><^^i^^^7  ^A   fallt   (da   die    unendlich 

,'\^    I      y^^s.  ferne  Gerade  die  KoUineations- 

;  ^^  axe   zwischen   it   und   X  ist)? 

-5^' oL^^ ^' '        und  zuDi  den  konjugirten  in 

**^^  -m,  j^\«      Bezug  auf  ä,  indem  man  zu 

dem  Mittelpunktsstrahle  PI)^ 
aus  dem  Pole  M  die  Senkrechte  MD  fallt.  Also  sind  D,  Dj  in 
Bezug  auf  A;  und  A  konjugirt,  w.  z.  b.  w. 

Der  Satz  läßt  sich  leicht  projektiv  verallgemeinern  und  unab- 
hängig von  dem  Reell-  oder  Imaginärsein  aussprechen  und  auch 
unmittelbar  beweisen.    Er  lautet  dann: 

Satz.    Sind  in  einer  Ebene  die  Pole  von  zwei  Geraden  m  und  p 
zu  einem  reellen  oder  imaginären  Kegelschnitte  Je  bezw.  M  und  P,  und 
zu  einem  anderen  reellen  oder  imaginären  Kegelschnitte  h  bezw.  P  und 
M,  u/nd  ist  die  Involution  konjugirter  Punkte  in  Bezug  auf  Tc  und  h 
auf  der  m  eine  gemeinsame,  so  ist  sie  auch  auf  der  p  eine  gemeinsame. 
Sind  nämlich  E,  E^  zwei  in  Bezug   auf  k  und  h  konjugirte 
Punkte  auf  w,  und  schneiden  ME,  PE^  die  p  bezw.  in  D,  Di,  so 
ist  PEi  die  Polare  von  D  zu  k  (weil  P  und  E^  bezw.  die  Pole  von 
p  und  ME  sind),  und  ebenso  ME  die  Polare  von  D^  zu  h,  also 
sind  D,  Dl  konjugirt  in  Bezug  auf  k  und  h, 
122.    6)  k  ist  ein  imaginärer  Kegelschnitt. 
Fig.  67.  Nehmen  wir  die  drei  Punkte  0,  D,  E  reell  an;    die  anderen 

Fälle  in  Bezug  auf  die  Punkte  bedingen  Abänderungen,  wie  vorher. 
k  möge  ein  imaginärer  Kreis  mit  dem  Mittelpunkte  M  sein,  dessen 
ideeller  Mittelpunktskreis  k'  den  Halbmesser  MB  besitze.  Die 
Fläche  P,  deren  Umriß  bei  senkrechter  Projektion  der  imaginäre 
Kreis  k  als  Hauptschnitt  bildet,  ist  ein  zweischaliges  Umdrehungs- 
hyperboloid, dessen  Meridianhyperbel  gleichseitig  sein  möge,  so  daß 
die  reelle  auf  der  Projektionsebene  P  senkrechte  Halbaxe  =  MB 
ist.  Die  Ordinate  eines  Punktes  C  erhält  man  gleich  der  Hypo- 
tenuse CqB  eines  rechtwinkeligen  Dreiecks  BMCq,  worin  MCq  =  MC. 


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ni,  122.    BerübruDgeebenen,  ebene  Scbnitte  u.  Berahrungskegel.       121 


Zieht  man  wieder  (118)  durch  (7,  D,  E  unter  nicht  zu  kleinen 
Winkeln  gegen  jede  der  Seiten  dieses  Dreiecks  Parallele,  und  trägt 
auf  ihnen  jene  Ordinaten  GL  =  CL^  -=  C^B,  I)N=  DN^  =  B^B^ 
EQ  =  EQ^  =  E^B  auf,  so  erhält  man  auf  DE  die  Punkte  C^,  C, 
bezw.  durch  NQ^  N^Q'^  ebenso  Di,  Dg,  jB,,  E^, 

Fig.  57. 


Von  den  vier  Spuren  der  acht  schneidenden  Ebenen  in  P  haben 
wir  pi  ^^  CiDiE^  und  p^^^C^D^E^  verzeichnet,  und  wollen  die 
Projektionen  li,0^  der  Schnittkurven  der  durch  sie  gehenden  Ebenen 
bestimmen,  die  bezw.  eine  Ellipse  und  eine  Hyperbel  sein  werden. 

Der  Pol  Pi  der  p^  zu  Je  wird  auf  der  aus  M  auf  Pi  gefällten 
Senkrechten,  deren  Fußpunkt  2^^  sei,  erhalten,  durch  JPiJBiPi  =  90® 
(MBi  ein  zu  MF^  senkrechter  Halbmesser   des  it').      Der   reelle 


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122  in,  122—123.   Die  Flachen  zweiten  Grades. 

aus  Pj  durch  Jtj  gezogene  Kreis  \  besitzt  nach  der  vorigen  Nr.  auf 
jjj  dieselbe  Involution  konjugirter  Punkte,  wie  Tc  und  daher  wie  Z, , 
so  daß  auch  l^  und  \  perspektiv  liegen  mit  p^  als  KoUineations- 
axe;  die  Pole  der  jp^  zu  l^  (und  &)  und  \  sind  bezw.  P^  und  M, 
Der  Geraden  CP^  in  Z^,  welche  die  p^  in  Gj  trifft,  entspricht  daher 
die  G^M  in  Äj,  von  deren  beiden  Schnittpunkten  mit  \  der  C  dem 
C  entsprechen  möge;  daher  bestimmt  CC  auf  P^üf  den  KoUineations- 
mittelpunkt  0^  von  l^  und  h^.  Man  ermittelt  nun  die  Scheitel  der 
(großen)  Axe  auf  MF^y  so  A^  aus -4'  des  \  durch  CA'  und  C^j, 
welche  sich  auf  p^  schneiden.  Die  kleine  Axe  halbirt  sie  senkrecht; 
ihre  entsprechende  Linie  in  A^  Jst  in  der  Figur  vermittelst  PjC, 
MC  bestimmt,  wonach  sich  B^  aus  B'  ergibt.  Die  aus  den  vier 
Scheiteln  verzeichnete  Ellipse  l^  geht  durch  C,  Z),  E. 

Entsprechend  bestimmt  man  von  p^  den  Pol  Pg  zu  h  {F^U^F^ 
=  90*^),  zieht  aus  Pg  durch  JRg  den  Kreis  Äg,  der  mit  l^  perspektiv 
liegt  mit  p^  als  Axe  und  0^  als  Mittelpunkt  der  Kollineation  (0^ 
auf  JfPg  und  EE" ,  P^EG^  und  ME^'G^  entsprechend),  sucht  die 
Gegenaxe  m^  im  Systeme  von  h^  als  entsprechend  der  unendlich 
fernen  Geraden  m  im  Systeme  von  h  {O^M^  ||  EP^  trifft  die  E" M 
in  Jfg,  fW2  II  2)2  <iurch  Ufa),  und  erhält  l^  als  Hyperbel,  Parabel  oder 
Ellipse,  je  nachdem  m^  zwei,  einen  oder  keinen  reellen  Punkt  mit 
Aj  gemein  hat.  In  unserem  Falle  sind  es  zwei,  wie  S";  man  zieht 
in  ihnen  die  Tangenten  an  Äg,  wie  S"  T,  deren  Entsprechende,  wie 
ST  (  II  O^S")  die  Asymptoten  der  l^  sind.  Ein  Scheitel  A^  wird 
als  entsprechend  dem  A"  bestimmt. 

123.  Aufg.  Einen  Kegelschnitt  l  zu  bestimmen  y  welcher  einen 
gegebenen  Kegelschnitt  k  in  zwei  Punkten  berührt  und  außerdem  1)  drei 
gegebene  Gerade  c,  d,  e  berührt,  2)  zwei  gegebene  Gerade  c,  d  berührt 
und  durch  einen  gegebenen  Punkt  E  geht,  3)  eine  gegebene  Gerade  c 
berührt  und  durch  zwei  gegebene  Punkte  D,  E  geht. 

Aufl.  Man  betrachtet  wieder  k  als  Umriß  einer  Fläche  zweiten 
Grades  P,  einen  Punkt  als  Projektion  zweier  Punkte  der  P,  eine 
Gerade  als  Projektion  eines  Kegelschnittes  der  P,  daher  den  Kegel- 
schnitt l  als  Projektion  eines  ebenen  Schnittes  von  P,  dessen  Ebene 
durch  je  einen  der  bestimmten  Punkte  geht  und  jeden  der  gegebenen 
Kegelschnitte  berührt. 
Fig.  58.  1)   Die  Geraden  c,  d,  e   mögen   zunächst   den  Kegelschnitt  k 

in  reellen  Punkten  schneiden.  Die  durch  c  und  d  dargestellten  Kegel- 
schnitte (c)  und  {d)  der  P  werden  auf  einander  projicirt  durch  zwei 
Kegel  (86),  deren  Spitzen  die  Schnittpunkte  J5?,,  E^  je  zweier,  von 
c,  d  verschiedenen,  Gegenseiten  des  durch  c  und  d  auf  k  bestimmten 
vollständigen  Vierecks  sind.     Jede  Ebene,  deren  Schnittlinie  mit  P 


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III,  123.    Berührungsebenen,  ebene  Schnitte  u,  Berühvungakegel.       123 

die  beiden  Kegelsehuitte  (c),  (d)  berühren  soll,  muß  einen  dieser 
Kegel  berühren,  ihre  Spur  in  der  Projektionsebene  P  (der  Figur) 
muß  daher  durch  i?i  oder  durch  E^  gehen.  Ebenso  bestimmen  rf,  e 
zwei  Kegelspitzen  C^ ,  Cg ;  e,  c  zwei  solche  Dj ,  D^ .    Die  Spuren  der 

Fig.  68. 


schneidenden  Ebene  sind  daher  p^  =  C^D^Ej  p^  =  C^D^E^,  p^  = 
D^E^Ci,  Pi  =  E^C^D^f  durch  welche  dann  bezw.  die  Kegelschnitte 
h}  h)  h}  h  bestimmt  sind.  In  unserem  Falle  liegen  zwei  dieser  Kurven 
im  Inneren,  zwei  im  Äußeren  von  Ä,  woraus  hervorgeht,  daß  man  die 
Fläche  P  sowohl  als  eine  Nichtregelfläche,  wie  als  eine  Regelfläche 
ansehen  muß.  Jede  der  Geraden  c,  d,  e  stellt  dann  einen  Kegel- 
schnitt der  einen,  und  einen  der  anderen  Fläche  dar,-  jeder  Punkt, 
wie  Cif  O2,  ist  die  Spitze  von  zwei  projicirenden  Kegeln,  und  zu 
einer  Geraden  p,  z.  B.  zu  p2  =  C^D^E^,  muß  für  (7,,  2)2,  E^  jedes- 
mal derjenige  Kegel  genommen  werden,  in  dessen  Äußerem  sich  die 
p,  hier  p^y  befindet,  damit  durch  diese  Gerade  an  jeden  der  Kegel 
Berührungsebenen  gelegt  werden  können. 

Schneiden  die  c,  d,  e  den  Je  imaginär y  so  kann  man  die  Punkte 
El,  E^y  welche  auf  der  Polaren  e^  der  Schnittlinie  der  projicirenden 
Ebene  von  c  und  c7  zu  F,  d.  i.  auch  der  Polaren  des  Schnittpunktes 
c,  d  za  ky  liegen,  nicht  auf  die  eben  betrachtete  Art  finden.  Von 
den  Kegelschnitten  (c)  und  (d),  welche  aus  E^  und  E^  auf  einander 
projicirt  werden  sollen,  enthält  aber  die  projicirende  Ebene  jener 
Polaren  e^  Punkte,  durch  deren  Verbindungslinien  E^y  E^  bestimmt 
werden  können.  Daraus  folgt  aber,  daß  E^,  E^  sowohl  durch  die 
Punkte  (e^c),  (eid)y  als  durch  die  beiden  (reellen)  Punkte  (e^i)  har- 
monisch getrennt  werden  (114),  und  daher  mittelst  eines  Kreises 
über  (^1  c)  (e^  d)  als  Durchmesser  mittelst  der  Ordinaten  in  den  zwei 
Punkten  (e^Ä;)  gefunden  werden  können. 


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124  in,  123-124.    Die  Flächen  zweiten  Grades. 

Schneiden  die  Geraden  c,  rf,  e  den  k  zum  Teil  reelly  zum  Teil 
imaginär^  so  werden  die  Kegelschnitte  l  imaginär,  indem  diejenigen 
Kegel  imaginär  werden,  welche  zwei  solche  Kegelschnitte  derP  auf 
einander  projiciren,  von  denen  der  eine  durch  eine  den  Ic  reell,  der 
andere  durch  eine  den  h  imaginär  schneidende  Gerade  dargestellt  ist. 

Dieser  Fall  entspricht  reciprok  dem  Falle  der  Nr.  120,  in  wel- 
chem die  drei  gegebenen  Punkte  zum  Teil  außerhalb,  zum  Teil 
innerhalb  des  k  lagen.  Überhaupt  läßt  sich  unsere  Aufgabe  reciprok 
auf  diejenige  der  Nr.  114  zurückführen,  und  es  lassen  sich  ebenso 
viele  Fälle,  wie  dort,  unterscheiden.  Wir  begnügen  uns  mit  den 
zwei  Hauptfallen,  die  wir  aber  unmittelbar  gelöst  hab'en,  wie  es  in 
allen  Fällen  möglich  ist 

2)  Soll  der  Kegelschnitt  l  die  Geraden  c  und  d  berühren  mid  durch 
den  Funkt  E  gehen ,  so  lege  man  an  jeden  der  Kegel,  welche  die 
Kegelschnitte  (c)  und  (d)  auf  einander  projiciren,  die  zwei  Berüh- 
rungsebenen durch  jeden  der  Punkte  {E)\  die  vier  Spuren  dieser 
acht  Ebenen  sind  die  vier  Geraden  p. 

3)  Soll  l  die  Gerade  c  berühren,  und  durch  die  Punkte  D  und  E 
gehen,  so  lege  man  durch  jede  der  vier  Geraden  (D)  (E)  zwei  be- 
rührende Ebenen  an  ien  Kegelschnitt  (c);  die  vier  Spuren  dieser 
acht  Ebenen  sind  die  Geraden  p. 

124.  Alle  Flächen  zweiten  Grades  außer  dem  hyperbolischen 
Paraboloide  werden  durch  zwei  Schaaren  paralleler  Ebenen  in  Kreisen 
geschnitten.  Bei  den  Umdrehungsflächen  fallen  beide  Schaaren  in  der 
einen  Schaar  dar  Parallelkreise  zusammen. 

Denn  legt  man  eine  Kugel  K,  welche  die  Fläche  zweiten  Grades 
F  in  zwei  Punkten  B  und  Bj^  berührt,  und  mit  ihr  noch  einen 
weiteren  Punkt  D  gemein  hat,  so  enthält  die  Ebene  BB^D  einen 
Kreis  der  F.  Denn  diese  Ebene  schneidet  K  in  einem  Kreise 
und  F  in  einem  Kegelschnitte,  welcher  mit  dem  Kreise  die  drei 
Punkte  By  B^,  D  und  die  Tangenten  in  B  und  B^  gemein  hat, 
al^o  mit  ihm  zusammenfällt  Solche  Kugeln  kann  man  bei  dem 
Ellipsoide  und  dem  einschaligen  Hyperboloide  koncentrisch  mit  F 
legen.  Gelte  bei  dem  Eüipsoide  für  die  Halbaxen  a  >  6  >  c,  so  be- 
rührt die  Kugel,  welche  die  Axe  26  =  BBj^  zum  Durchmesser  hat,  in 
den  Endpunkten  B,  B^  die  Fläche,  und  hat  mit  der  Hauptebene  ac 
einen  Kreis  gemein,  der  die  Ellipse  AC  in.  vier  Punkten  D,  E,  F,  G 
schneidet,  welche  zu  zwei  die  Endpunkte  von  zwei  Durchmessern 
DF,  EG  der  Ellipse  AC  bilden;  die  Ebenen  DFB  und  EGB  und 
alle  damit  parallelen  schneiden  dann  das  EUipsoid  in  Kreisen,  und 
bilden  jene  beiden  Schaaren,  deren  Ebenen  also  mit  der  mittleren 
Axe  26  parallel  liegen.     Bei  dem  einschaligen  Hyperboloide^  dessen 


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III,  124—125.    Berühningsebenen,  ebene  Schnitte  u.  Berührongskegel.    125 


beide  reelle  Halbaxen  b  und  c  sind,  lege  man,  wenn  6>c  ist,  die 
Kugel  vom  Durchmesser  26,  und  findft  so  zwei  mit  26  parallele 
Ebenenschaaren. 

Bei  dem  elliptischen  Paräboloide  oder  dem  zweischaligen  Hyper- 
boloide lege  man  aus  einem  Punkte  derAxe  -4P,  welche  durch  den  Fig.  59. 
Scheitel  ui  geht,  als  Mittelpunkt  eine  Kugel,  welche  von  den  beiden 
durch    A    gehenden    Hauptschnitten 
denjenigen  vom  größeren  Parameter 
in  den  Punkten  B  und  B^  berührt, 
und  daher  den  anderen  dieser  beiden 
Hauptschnitte,  der  in  der  Zeichnung 
um  -4P  in  die  Ebene  des  ersten  um- 
gelegt gedacht  ist,  in  den  vier  Punk- 
ten -D,  -B,  F,  G  trifft.    Es  sind  aber 
nicht  vier,  sondern  nur  zwei   solche 
durch  J5,  B^  gehende  Kreise  möglich, 
weil  jene  vier  Punkte  paarweise  (D-F, 
EG)  mit  BB^  in  derselben  Ebene,  und 

mit  dem  Schnittpunkte  P  der  BB^  und  der  -4P  in  derselben  Geraden 
liegen.  So  muß  der  Schnittkreis  BB^D  außer  D  noch  einen  Punkt 
der  Hauptebene  DAF  enthalten,  der  also  jenem  Kreise  DEFG 
und  der  Parabel  AD  gemeinsam  ist,  d.  i.  einen  weiteren  jener  vier 
Punkte.    Dadurch  sind  jene  beiden  Sch£^aren  bestimmt. 

Das  hyperbolische  Paräboloid  läßt  keine  Ellipsen  (95),  also  auch 
keine  Kreise  zu. 

126.    Aufg.    An  ein  EUipsoid  P  atts  einem  außerhalb  desselben 
gegebenen  Punkte  L  einen  berührenden   Kegel  m   legen,    oder:    Vo^i 
einem  Ellipsoide  P  für  einen  leuchtenden  Punkt  L  die  Eigenschatten-  . 
grenze  e  find  die  Schlagschattengrenzen  e^  und  e^  auf  P^  und  P^  zu 
bestimmen. 

Aufl.  Es  seien  die  Halbaxen  MA\Xy  MBl^'P^,  MC  .L  T^  mg.  eo. 
gestellt.  Die  Ellipsen  AB,  AC  sind  bezw.  der  erste  und  zweite 
umriß;  sie  sollen  verzeichnet  werden,  da  es  sich  hier  um  eine  Ver- 
anschaulichung handelt,  wie  die  Forderung  der  Schattenbestimmung 
zeigt  Sind  sie  aber  verzeichnet,  und  zwar  mittelst  der  Scheitel- 
krümmungskreise und  des  Kurvenlineals  durch  scharfe  Bleistiftlinien, 
so  ist  es  vorteilhaft,  nicht  nur  in  Bezug  auf  die  Kürze,  sondern  auch 
(wegen  der  dadurch  erreichbaren  grosseren  Stetigkeit)  in  Bezug  auf 
die  Grenauigkeit,  sie  zu  den  weiteren  Konstruktionen  zu  benutzen 
und  nicht  durch  Konstruktionen  mittelst  des  Kreises  zu  umgehen, 
wie  es  in  anderen  Fällen  zweckmäßig  erscheint. 

Eine   durch   L    und   MC  =  c   gelegte  Ebene    ist   eine   solche 


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126 


in,  125.    Die  FJäcben  zweiten  Grades. 


schiefer  Symmetrie  zu  P  und  zu  L,  also  auch  zu  e,  wobei  die  Sym- 
metriestrahlen die  Richtung  M'F'  besitzen,  welche  zu  der  Ebene 
Lc  in  Bezug  auf  P  konjugirt  ist,  sowie  zu  L'M'  in  Bezug  auf  die 
Ellipse  A'B',  und  welche  durch  konjugirte  Sehnen  der  Ellipse  er- 
mittelt wird.  Diese  Ebene  Lc  schneidet  die  Ellipse  AB  im  Punkte 
D  und  die  P   in    einer  Ellipse  DC  mit  den  Halbaxen   J/D,  MC. 


Fig.  60. 

U" 


Projicirt  man  diese  Ellipse  in  den  Hauptschnitt  AC,  so  geschieht 
dies  durch  Projicirende  ||  DA,  und  zugleich  projicirt  man  L  in  die 
Ebene  dieses  Hauptschnittes  nach  E  durch  LE  \\  DA.  Man  be- 
stimme dann  die  Berührungspunkte  G,  H  der  aus  E  an  die  Ellipse 
AC  gezogenen  Taugenten,  projicire  sie  auf  die  Ebene  Lc  zurück 
nach  tT,  K  durch  GJ\\  HK\\  AD.  JK  ist  nun  ein  Durchmesser 
der  Berührungskurve,  deren  Tangenten  in  «T,  K  in  beiden  Projek- 
tionen parallel  bezw.  zu  M'F'  und  x  laufen;  parallel  mit  diesen 
ist  auch  der  zu  der  JK  konjugirte,  durch  deren  Mitte  0  gehende 
Durchmesser  2'0NiL"0" M"  eine  Gerade).  Ein  Endpunkt  N  dieses 
Durchmessers  ist  ein  Schnittpunkt  desselben  mit  P  oder  mit  der- 
jenigen Ellipse  der  P,  welche  in  der  durch  ON^V^  gehenden  Ebene 
liegt  und  welche  den  auf  dem  Hauptschnitte  ACA^  liegenden  Punkt 
P  zu  einem  Scheitel  hat.  Um  die  Verzeichnung  dieser  Ellipse  zu 
vermeiden,  projicire  man  sie  in  den  Hauptschnitt -4 J5,  der  mit  ihr 


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III,  125.    BerübrungBebenen,  ebene  Schnitte  u.  Berührangskegel.         127 

ähnlich  und  ähnlich  gelegen  und  im  Grundriß  mit  ihr  koncentrisch 
ist  Der  Projektionsmittelpunkt  liegt  auf  der  Axe  c,  im  Grundriß  in 
M'.  Projicirt  man  zugleich  die  Gerade  0  N^  so  projicirt  sich  0'  auf 
M'O'  in   0/,   wenn  J./0/||P'0',   O'N'   in   die    zu    ihr   parallele 

01  Nij  deren  Schnittpunkt  N^  mit  der  Ellipse  -4'!?'  sich  dann 
zurück  auf  O'N'  in  N'  projicirt,  durch  M'N^  N\  oder  genauer 
durch  P  N'  \  A^  N^.  Aus  den  konjugirten  Halbdurchmessern 
OJy  ON  kann  man  nun  in  jeder  Projektion  die  Axen  von  e'  und  e" 
bestimmen  (I,  377);  dieselben  sind  in  der  Figur  bezeichnet,  e'  be- 
röhrt die  Ellipse  jI'JB'  in  denselben  Punkten,  wie  die  aus  L'  an 
A'B'  gezogenen  Tangenten,  e"  die  A!' C"  in  denselben,  wie  die 
Tangenten  aus  L'\ 

Um  den  Schlagschattm  e^  von  e  auf  P^,  der  in  unserem  Falle 
eine  Ellipse  ist,  zu  bestimmen,  suche  man  von  J,  K  die  Schatten 
J^,  Kl  (J|  nicht  verzeichnet),  welche  auf  L'M'  liegen  und  aus  der 
zweiten  Projektion  vermittelst  der  Tangenten  aus  E"  an  A"C''  er- 
halten werden.  Die  Tangenten  in  J^  und  K^  an  e^  sind  parallel  zu 
O'ir,  daher  ist  JiK^  ein  Durchmesser  der  e^,  und  der  zu  JiK^ 
konjugirte  Durchmesser  geht  durch  die  Mitte  Q^  von  «Tj-ffi  und  ist 

2  •  ^iFJ  0'N\  Qi  ist  aber  der  Schatten  des  Punktes  Q  der  JK, 
und  es  kann  Q''  durch  den  Strahl  U'Q^'  bestimmt  werden,  ein- 
facher aber  und  genauer  durch  die  Beachtung,  daß  Q  auf  c  liegt, 
also  M  zur  ersten  Projektion  hat  Denn  bezeichnet  man  den. un- 
endlich fernen  Punkt  von  J^ -Ki  mit  U^,  so  ist  V^  der  Schatten  von 
U  auf  JKf  wobei  L"  ü"  ||  x.  Da  nun  K^  Q^  Jj  U^  vier  harmonische 
Punkte  sind,  so  müssen  auch  K"Q''J''TJ"  vier  solche  bilden; 
und  da  zu  der  Schnittkurve  der  Ebene  Lc  mit  F  die  £'J'  die 
Polare  von  L  ist,  muß  der  durch  K  und  J  voa  V  harmonisch  ge- 
trennte Punkt  Q  der  Pol  von  LU  sein,  also  auf  c  liegen.  Man 
erhält  daher  Q^F^  aus  der  zu  0' N'  parallelen  Halbsehne  M' F' 
der  e.  Aus  den  konjugirten  Halbdurchmessern  QiK^y  QiF^  be- 
stimmt man  dann  die  Axen  von  e^.  Berührt  oder  schneidet  die 
durch  L  ||  P^  gelegte  Ebene  die  P,  so  ist  e^  eine  Parabel  oder  Hy- 
perhelj  deren  unendlich  fernen  Punkte  in  den  aus  L  ||  P^  an  P  ge- 
zogenen Tangenten  liegen,  und  deren  Asymptoten  im  letzteren 
Falle  durch  Q^  gehen. 

Den  Schlagschatten  e^  auf  P^  könnte  man  entsprechend  mittelst 
des  in  V  M"  liegenden  Durchmessers  von  e"  ermitteln;  da  aber 
nur  ein  kleiner  Teil  von  e^  sichtbar  ist  und  der  Mittelpunkt  von  e^ 
weit  entfernt  liegt,  wurden  nur  einige  Punkte  mit  ihren  Tangenten 
bestimmt,  so  J^,  für  welchen  die  Tangente  durch  die  zweite  Spur 
T^  der  Tangente  der  e  \u  J  geht.     Aus  L'  und  L"  gehen  gemein- 


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128 


III,  125--126.    Die  Piachen  zweiten  Grade». 


Fig.  61. 


schaftliche  Tangenten  an  e  und  a^,  bezw.  an  e"  und  e^.  —  Die 
Punkte  der  Schlagschatten  auf  der  Projektionsaxe  x^  wie  ü^,  in  denen 
sich  e^  und  e^  treffen,  sind  die  Schatten  derjenigen  Punkte  der  e, 
wie  des  ü,  welche  auf  der  Schnittlinie  BW  der  Ebene  Lx  und  der 
Ebene  von  e  liegen.  S  W  erhält  man  zweckmäßig  durch  zwei  paral- 
lele Spurebenen,  die  P^  und  die  durch  L  gehende  P3;  beide  werden 
getroflfen  durch  die  Ebene  Lx  bezw.  in  x  und  in  der  damit  Parallelen 
LSy  durch  den  Durchmesser  KJ  von  6  in  F  und  ?7,  und  durch  die 
Ebene  der  e  in  zweien  durch  V  und  U  parallel  zu  0  iV^  gezogenen 
Geraden.  S  W  ist  die  eine  Diagonale  des  von  den  vier  Spurprojek- 
tionen der  zwei  Ebenen  gebildeten  Parallelogramms,  und  wurde,  da 
der  eine  Eckpunkt  nicht  erreichbar,  von  dem  Eckpunkte  S  nach  dem 
Mittelpunkte  W  der  anderen  Diagonale  gezogen. 

126.    Zur  Losung  der  folgenden  Aufgabe  bedürfen  wir  den 
Kig.  61.  Hilfssatis.    Legt  man  durch  zwei  Funkte  -4,  A^  einer  Parabel  k 

die  Durchmesser  A  M ,  A^  M,  trägt  auf  ihnen  im  Inneren  der  Kunx 

AB  ^==  A^B^y  und  im  Äußeren  der- 
selben AF  =  A^F^  -=^  —  AB  = 
—  Ai  B^  aufy  zieht  parallel  zu  den 
Kurventangenten  AT,  A^T  bezw.  durch 
B  und  B^  Gerade,  welche  die  k  bezw, 
in  Cy  D  und  (7,,  D^  treffen,  und  legt 
aus  F  und  jF\  je  ztvei  Kurventan- 
genteny  welche  dann  die  k  bezw.  in  den- 
selben Punkten  (7,  D  und  (7,,  D^  bc- 
riHiren,  so  sind  die  senkrechten  Abstände 
der  Punkte  C,  D  von  AM  gleich  denen 
der  Punkte  C^,  D^  von  A^  M. 

Denn  jene  Geraden  B  C,  JB,  C^ 
treffen  den  durch  den  Schnittpunkt  T  von  AT  und  A^T  gezogenen 
Parabeldurchmesser  TM  in  ein  und  demselben  Punkte  Ey  für  wel- 
chen TE=  AB  =  AjBi  ist,  und  da  AA^  von  TM  halbirt  wird 
(I,  361),  so  ist  k  mit  sich  selbst,  AT  mit  A^T,  BE  mit  B^E 
schief  symmetrisch  in  Bezug  auf  TM  und  die  Richtung  AAi» 
Daher  sind  auch  CC^  und  DD,  parallel  zu  AA^  und  werden  von 
TM  halbirt.  Da  außerdem  CB  =  BD,  C,  D,  ^  B^D^,  so  haben 
C  und  D  gleiche  Abstände  von  AM,  und  C^  und  D|  von  A^M, 
und  alle  vier  Abstände  sind  unter  einander  gleich  in  der  Rich- 
tung AA^y  daher  auch  in  der  auf  TM  senkrechten  Richtung. 

Aufg,    An  ein  elliptisches  Paraboloid  P  aus  einem  außerhalb  des- 
selben liegenden  Punkte  L  einen  berührenden  Kegel  zu  legen,  oder: 


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III,  126.    Berührungsebenen,  ebene  Schnitte  u.  Berührungskegel.      129 


Von  einem  elliptischen  Paraboloide  ßr  einen  leuchtenden  Punkt  L 
die  Eigen-  und  Schlagschattengrenzen  e  und  e^  zu  bestimmen, 

Aufl.  Es  sei  die  Axe  AM  =^  a  von  P  JL  P,,  M  der  unendlich  Fig.  62. 
ferne  Mittelpunkt  der  P,  der  parabolische  Hauptschnitt  AB^T^, 
und  die  erste  Spur  der 
P  die  Ellipse  BC  mit 
den  Halbaxen  OB,  OC. 
Von  dem  durch  L  ge- 
legten Durchmesser  LL^ 
der  P  (II  a)  erhält  man 
den  Schnittpunkt  L^  mit 
F,  indem  man  durch 
LL^  parallel  zu  der 
Hauptebene  a  B  eine 
Ebene  legt;  diese  hat  zur 
ersten  Spur  die  i'D' 
(,i  O'B'),  welche  die  El- 
lipse J9(7in  Dtrifift.  Diese 
Ebene  LL^D  schneidet 
die  P  in  einer  zum  Haupt- 
schnitte AB  kongruen- 
ten und  parallelen  Para- 
bel, deren  zweite  Pro- 
jektion aus  AB  durch 
Parallelverschiebung  um 
Di"  D"   entsteht,    wenn 

D'2)"(||a")  die  Projektionsaxe  x  in  /)",  die  Parabel  A"  B"  in 
D/'  schneidet.  TriflPt  nun  L'' L^  die  Parabel  ^"JB"  in  X^,  so  trifft 
sie  jene  parallele  Parabel  und  die  P  in  2^,  wenn  L^L^  #  B^'  D'\ 
Macht  man  dann  auf  L"L^  die  L^  L^  =  X"  Lg,  so  daß  VL^  LsJtf"  har- 
monisch, so  ist  die  durch  L^  parallel  zur  Berühruugsebene  der  F 
in  Zj  gelegte  Ebene  die  Polarebene  von  Z  zu  P  oder  die  Ebene 
der  Berührungskurve  e  des  aus  L  der  P  umschriebenen  Kegels  und 
Z3  der  Mittelpunkt  der  e. 

Trägt  man  nun  auf  a  die  Strecken  -4(t=  —  AG^=^  L^L  = 
—  L^^s  *^f ;  so  hildet  die  durch  G^  senkrecht  zu  o  gelegte  Ebene 
die  Polarebene  von  G  zu  P,  und  ihre  Schnittkurve  mit  P  die  Be- 
rührungskurve h  des  aus  G  der  P  umschriebenen  Kegels;  dieselbe 
ist  eine  mit  BG  ähnliche  und  ähnlich  gelegene  Ellipse  mit  der  zu 
OB  parallelen  Halbaxe  6?,  H.  Es  ist  aber  k  kongruent  und  parallel 
mit  der  ersten  Projektion  e  von  e,  so  daß  c',  deren  Mittelpunkt  L', 
eine   zu  B'C'  ähnliche  und  ähnlich   gelegene   Ellipse   mit   der   zu 

Wiener,  Lehrbuch  der  daritollonden  Geometrie.   II.  9 


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130  ni,  126—127.    Die  Flächen  Kweiteo  Grades. 

O'B'  parallelen  Halbaxe  VE'  ^^  G^B.  bildet  Denn  irgend  zwei 
unter  einander  parallele  durch  a  und  durch  LL^  gelegte  Ebenen 
schneiden  die  F  in  zwei  kongruenten  und  parallelen  Parabeln,  für 
welche  a  und  LL^  Durchmesser  sind  und  AO=  —  AO^^^L^L'==  — 
L^  L^  isi  Daher  liegen  die  Berührungspunkte  der  bezw.  aus  G  und  L 
an  diese  Parabeln  gelegten  Tangenten  auf  Sehnen  der  Parabeln, 
welche  bezw.  durch  G^  und  L^  parallel  zu  den  Parabeltangenten  in  A 
und  L^  laufen,  so  daß  die  Berührungspunkte  jener  Tangenten  aus 
G  und  L  gleiche  senkrechte  Abstände  bezw.  von  a  und  LL^  haben, 
und  in  der  engten  Projektion  parallele  und  gleiche  Halbdurchmesser 
von  Tc'  und  e    begrenzen,  so  L'K  =  G,  H.    Daher  ist  c'  ^  J  Ä. 

Die  zweite  ProjekHon  e"  wird  aus  zwei  konjugirten  Durchmes- 
sern ermittelt;  der  eine  sei  im  Grundriß  der  durch  0'  gehende 
J'  P']  die  Lage  des  anderen  Halbdurchmessers  L'K*  wird  durch 
konjugirte  Sehnen  der  Ellipse  B'C  ermittelt.  J"  findet  man,  in- 
dem man  die  Parabel  aJ  auf  diejenige  aB  durch  Parallele  zu.  J^B 
projicirt,  wobei  eT^  ein  Schnittpunkt  von  aJ  mit  der  Ellipse  BG  ist 
J'  projicirt  sich  dann  nach  N'{J'N'  ^J^B'),  dadurch  ist  ^"  auf 
der  Parabel  A"  B"  bestimmt,  sowie  J"  durch  JiT'J"  g  a>.  K'  er- 
hält man  auf  L^  K"  |  x.  Aus  den  konjugirten  Halbdurcfamessern 
L^J'\  L^K"  werden  die  Azen  von  e"  ermittelt 

Liegt  L  im  Unendlichen^  so  erhält  man  einen  umschriebenen  Cy- 
linder  und  die  Berührungshurve  e  desselben  wird  eine  Parabel.  Denn 
M  ist  dann  ein  Punkt  der  Kurve.  Oder:  Die  Eigenschattengrenze  des 
Paraboloides  (des  eUiptisehen  und  hyperbolischen)  hei  ParaUelbeleuehtung 
ist  eine  Parabd. 

Der  Schlagschatten  e^  der  Ellipse  g  wird,  wie  in  der  vorhergehen- 
den Aufgabe,  von  welcher  die  unsere  ein  besonderer  Fall  ist,  bestimmt 
durch  die  beiden  konjugirten  Halbdurchmesser  QiJif  Qi^i,  wobei 
wieder  Q  auf  a  liegt.    Aus  ihnen  werden  die  Axen  von  e^  hergeleitet. 

127.  Die  Auflösung  der  vorigen  Aufgabe  hat  folgenden  Satz 
ergeben,  der  aus  übereinstimmenden  Gründen  auch  für  das  hyper- 
bolische Paraboloid  gilt. 

Satz.  Legt  man  durch  zwei  Punkte  A^A^  eines  elliptischen  oder  hyper- 
bolischen Paraboloides  die  Durchmesser  AM^A^M^  und  fuhrt  paralld 
zu  den  Berührungsä>enen  der  Flädie  in  A  und  Ai  zwei  Ebenen,  mUHm 
die  Fläche  bezw.  in  den  Kurven  «,  e^,.  und  jene  Durchmesser  in  den 
Punkten  B,  B^  schneiden,  deraai  daß  AB  «»  A^  B^^  trägt  sodann  auf 
jenen  Durchmessern  die  AF  =  J,j  JPj  *=  —  AB  -»  —  ^^  B^  OAJif^  und 
legt  aus  F,  F^  zwei  der  Flädie  umschriebene  Kegdf  deren  Berührungsj 
kurven  dann  dieseB)en  Linien  e,  e,  sind,  so  sind  die  Projäctionen  von 


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III,  127—128.    Berflbnmgsebenen,  ebene  Schnitte  u.  Berührungskegel.    131 

e  und  Ci  auf  eine  mr  Flächenaxe  senkrechte  Ebene  kongruente  und 
parallele  KegdschnMe. 

Dieser  Satz  enthält  auch  den  anderen 

Saie.  Alle  ebenen  Schnitte  oder  die  Berührungshurven  aller  um- 
schriebenen Kegd  eines  elliptischen  oder  hyperbolischen  Paräboloides  pro- 
jiciren  sich  auf  irgend  eine  Ebene  mittelst  Prqjicirender,  die  zur  Axe 
der  Fläche  parallel  sind,  in  ähnliche  und  ähnlich  gelegene  Kegelschnitte 
{Ellipsen  b&no.  Hyperbeln). 

Der  Beweis  dieses  Satzes  kann  leicht  unabhängig  von  der  Eon- 
straktion der  vorigen  Nummer  geführt  werden.  Hat  eine  der  schnei- 
denden Ebenen  B  mit  der  unendlich  fernen  Ebene  M  die  Gerade  d' 
gemein;  so  ist  deren  Polare  dzuF  die  Verbindungslinie  des  Poles  von 
d'  zu  der  Schnittkurve  der  E  mit  dem  Berührungspunkte  der  M  mit 
Fy  d.  i.  auch  des  Mittelpunktes  von  e  mit  dem  unendlich  fernen 
Punkte  M  der  F,  oder  es  ist  d  der  durch  den  Mittelpunkt  von  e 
gezogene  Durchmesser  der  F.  Das  Büschel  der  durch  d  gelegten^ 
in  Bezug  auf  F  konjugirten  Ebenen  schneidet  die  d'  in  einer  in- 
Yolutorischen  Reihe  von  Punkten  ^  deren  zugeordnete  zugleich  in 
Bezug  auf  F,  als  in  Bezug  auf  e  und  auf  den  Berührungspunkt  M 
konjugirt  sind  (76;  77,  3));  das  Büschel  schneidet  daher  die  E  und 
die  M  in  den  involutorischen  Strahlenbüscheln  bezw.  konjugirter 
Durchmesser  von  e  und  konjugirter  Tangenten  in  M. 

Da  nun  das  letztere  Büschel  unabhängig  von  der  Lage  der 
Schnittebene  B  ist,  so  sind  für  alle  Schnittkurven  e  jene  involuto- 
rischen Ebenenbüschel;  weil  sie  das  Tangentenbüschel  enthalten; 
unter  einander  kongruent  und  parallel;  und  da  ihre  Ebenen  zugleich 
die  Strahlenbüschel  der  konjugirten  Durchmesser  der  Schnittkurven  e 
projiciren;  so  sind  deren  Projektionen  auf  irgend  eine  Ebene  kon- 
gruente und  parallele  Büschel  von  konjugirten  Durchmessern  der 
Projektionen  e'  der  Kurven  e,  diese  Projektionen  e'  selbst  daher 
ähnliche  und  ähnlich  gelegene  Kegelschnitte. 

128.  Aufg.  Von  einer  Fläche  isu^eiten  Grades  F  sind  die  Paral- 
lelprcjektionen  dreier  konjugirten  HaJbdurchmesser  MA  («=»  MA^,  MB, 
MG  gegeben,  man  soU  den  Umrißkegelschnitt  k  von  "F,  insbesondere 
dessen  Hdlbaxen  MD,  ME,  bestimmen. 

AufL  1.  Ein  der  F  parallel  zu  einem  der  Durchmesser  um- 
schriebener Gylinder  berührt  dieselbe  nach  dem  Kegelschnitte  der 
beiden  anderen  Durchmesser,  und  seine  beiden  scheinbaren  Umriß- 
geraden sind  die  Abbildungen  der  parallel  zu  der  Abbildung  des  erste- 
ren  Durchmessers  an  die  Abbildung  jenes  Kegelschnittes  gelegten 
Tangenten.  Sie  sind  zugleich  Tangenten  des  scheinbaren  Umrisses 
und  ihre  Berührungspunkte  sind  Punkte  dieses  Umrisses,  so  daß  der 


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132 


m,  128.    Die  Flächen  zweiten  Grades. 


.-— -^', 


Umriß  durch  zwei  von  den  drei  Cylindern  überschüssig  bestimmt 
isi     Da  wir  nur  eine  Projektion  zeichnen,  können  wir  das  Wort 
„Abbildung^'  ohne  Mißverständnis  weglassen. 
Fig.  63.  a)  V  ist  ein  Ellipsoid.     Um  parallel  zu  MC  eine  Tangente  an 

die  (gedachte)  Ellipse  -4^  zu  legen,  benutzen  wir  deren  Affinität 

mit  einem  über  AA^ 
Fig.  6S.  als  Durchmesser  ge- 

,^ >^  zeichneten      Kreise, 

.x-"'  "^"-^  dessen  auf -4-4,  senk- 

rechter    Halbmesser 
MB'  dem  MB  ent- 
spricht; ebenso  ent- 
sprechen sich  die  zu 
A  Ai  parallelen  Tan- 
genten   BF,  B'F 
der  Kurven.  BB'  ist 
ein    Affinitätsstrahl. 
Schneidet    MC   die 
BF  in  Fy   so  ent- 
spricht  dem  F  der 
Punkt  r  auf  B'r, 
wenn  man  FF  \  BB'  gezogen  hat,   und  der  MCF  die  MF'.    Der 
II  MF'  an  den  Kreis  AB'  gezogenen  Tangente  O'H,  welche  in  G'  be- 
rührt und  in  H  die  Affinitätsaxe  -4-4^  schneidet,  entspricht  die  zu  MCF 
parallele  HG^  welche  die  Ellipse  AB  in  G  berührt,  wenn  G'G  ||  B'B 
gezogen    wurde,   oder,   was    hier   genauer,    wenn    G'F  \  B'M  bis 
P  auf  -4-4i   und  PG\MB.    Aus   G  erhält    man    seinen   Gegen- 
punkt Gl  {GM  =  MG^,    Ebenso  findet  man,  wie  in  der  Figur  an- 
gegeben, die  zu  MB  parallele  Tangente  QJ  der  Ellipse  AC  mit 
dem  Berührungspunkte  J  mittelst  desselben  affinen  Kreises  AB', 
—   Die  ümrißellipse  ist  nun  durch  ihren  Durchmesser  G  ©^  mit  der 
Endtangente  GH  und  ihren  Punkt  J  bestimmt;  ihre  Axen  findet 
man  durch  ihre  Affinität  mit  dem  über  GG^  als  Durchmesser  be- 
schriebenen Kreise.    Dem  Punkte  J  der  Ellipse  entspricht  der  J" 
des  Kreises,  wenn  JK  \  EG  bis  K  auf  GG^  und  KJ"  J_  GG^.  Um 
nun  die  Axen  der  Umrißellipse  zu  bestimmen,  beachte  man,  daß 
wenn  die  parallel  zu  ihnen  aus  J  gezogenen  Geraden  die  GG^  in 
L  und  JV  schneiden,  J"L  und  X'N  ihre  entsprechenden  Linien  im 
affinen  Kreise   sind,   und   daher   ebenfalls   parallel   zu   konjugirten 
Durchmessern  'desselben  laufen,  d.  i.  auf  einander  senkrecht  stehen. 
Man  findet  daher  L  und  N  als  Punkte  desjenigen  Kreises,  welcher 
durch  J  und  J"  geht,  und  dessen  Mittelpunkt  auf  GG^  liegt    Die 


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III,  128—129.    Berührungsebenen,  ebene  Schnitte  n.  Berührangskegel.     133 


Halbaxen  MD^  ME  der  Umrißellipse  sind  daher  bezw.  parallel  zu 
JLf  JN,  und  werden  aus  den  zu  tT'L,  tT'N  parallelen  Halbmes- 
sern MD'\  ME"  des  Kreises  durch  die  Afflnitatsstrahlen  D"D  ||  E''E 
I;  J"J  erhalten.*) 

129.  h)^  ist  ein  Hyperboloid,  etwa  ein  jsweischaliges.  MA  =  MA^  Fig.  64. 
ist  die  reelle,  MB  ^^  MB^,  MC  ^=  MC^  sind  die  ideellen  Halb- 
azen.    Man  lege  an  die  Hyperbel 
AC  eine  Tangente  ||  MB,  indem  ^* 

man  ihre  Asymptoten  MF  |  -4(7, 
MF^  \  ACi  zieht,  sie  mit  einer 
Parallelen  FF^  zn  BB^  in  -F,  F^ 
schneidet,  dann  ist  die  MO,  welche 
durch  den  Mittelpunkt  G  von 
FFi  geht,  der  zu  FF^  und  BB^ 
konjugirte  Durchmesser  jener 
Hyperbel.  Ein  Endpunkt  H  dieses 
Durchmessers  wird  erhalten,  in- 
dem man  in  Bezug  auf  die  Hy- 
perbel die  Konjugirte  AJ  (|1  MB) 
zu  MG  und  ihre  Tangente  AK 
(II  MC)  zieht,  sie  mit  MG  bezw. 
in  J  und  K  schneidet,  und  dann 
MH  durch  MH^  =  MJ-MK 
bestimmt.  HL  |  MB  ist  dann 
eine  Tangente  der  Hyperbel  AC 
und  der  ümrißhyperbel  k,  und  H  ihr  Berührungspunkt. 

Die  Asymptoten  der  h  sind  die  Umrißlinien  des  Asymptoten- 
kegels. Dieser  Kegel  mit  der  Spitze  M  ist  parallel  und  kongruent 
mit  demjenigen,  dessen  Spitze  A^  (oder  A)  und  dessen  Leitlinie  die 
Ellipse  BC  ist;  seine  Umrißlinien  sind  parallel  mit  den  aus  A^ 
an  diese  Ellipse  gezogenen  Tangenten.  Dieselben  werden  durch 
Affinität  mit  dem  über  BB^  als  Durchmesser  gezogenen  Kreise  be- 
stimmt. Dem  C  entspricht  auf  dem  Kreise  C  {MC  _L  MB),  dem 
A,  entspricht^' (^1^'  ||  CC\A,  Q  \\  CMhh  Q  autBB,,  QA'  \  MC), 
Die  aus  A'  an  den  Kreis  gezogenen  Tangenten  berühren  ihn  in 
If,  P';  diesen  Punkten  entsprechen  die  Punkte  N,  P  der  Ellipse 
BC  und  mit  -4^.^,   A^P  sind    bezw.  die   gesuchten   Asymptoten 

*)  In  dem  Gedanken  der  umschriebenen  Cylinder  treffe  ich  mit  Herrn 
Baiala  zusammen,  der  ihn  schon  früher  yeröffentlichte  und  bei  der  Aufgabe  a) 
benutzte  in  seinen  „Constructionen  über  Flächen  2.  Grades  in  allgemeiner 
Parallelprojektion"  (Progr.  1881—82  der  öff.  Oberrealsch.  i.  d.  Josefst.  in  Wien). 
Die  Behandlung  des  Falles  b)  ist  dort  yon  der  folgenden  verschieden. 


'vV 


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134 


in,  129—130.    Die  Piachen  zweiten  Grades. 


Pig.  66. 


ML,  ML^  der  Hyperbel  k  parallel.  —  Mittelst  der  Asymptoten  und 
einer  Tangente  HLL^  (wobei  die  Probe  stattfindet  LH  =^  ^A) 
wurde  in  der  Figur  die  reelle  Halbaxe  ND  von  k  bestimmt  (I,  379) 
und  damit  k  verzeichnet. 

ISO«    Äufl,  2  ist  etwas  einfacher  als  die  erste. 

a)  P  ist  ein  Ellipsoid.  Man  ersetze  die  konjugirten  Halbdurch- 
messer MBy  MC  der  Ellipse  BC  durch  zwei  konjugirte  3fG,  MJ, 

deren  einer  in  der  Linie  MA  liegt; 


Fig.  65. 


f- 


aS' 


dann  ist  MJ  der  zur  projiciren- 
den  Ebene  (MAG)  von  MAG 
konjugirte  Halbdurchmesser  der 
T,  an  dessen  Endpunkte  J  die 
Berührungsebene  der  P  parallel 
zu  (AMG)  ist,  so  daß  die  Pro- 
jektion ^dieser  Berührungsebene 
die  durch  e7"(|  MA  gezogene 
Tangente  des  Umrisses  k  (und 
der  Ellipse  BC)  bildet.  Wenn 
wir  dann  noch  sm{MA  den  üm- 
rißpunkt  A^  bestimmen;  so  be- 
sitzen wir  von  k  zwei  konjugirte 
Halbdurchmesser  MA^y  MJ.  — 
Zur  Ausführung  benutze  man  den  über  dem  größeren  Durchmesser 
B B^  der  Ellipse  BC  als  Durchmesser  gezogenen  Ereis,  mit  wel- 
chem die  Ellipse  BC  perspektiv- affin  ist.  Dann  entspricht  dem 
Punkte  C  der  Punkt  C  auf  dem  Kreise,  wenn  MC  J_  MB^  es  ent- 
sprechen sich  die  zu  MB  parallelen  Tangenten  CFj  CJF',  dem 
Schnittpunkte  F  von  MA  mit  CF  entspricht  F'  auf  C'F,  wenn 
FF'  0  CC ;  den  zweien  auf  einander  senkrechten  Durchmessern  des 
Kreises  MF\  MH\  welche  die  C'F'  bezw.  in  F  und  W,  und  den 
Kreis  in  6r'  imd  J'  treffen,  entsprechen  die  gesuchten  konjugirten 
Durchmesser  MG  und  MJ  der  Ellipse  JBC,  welche  die  CF  J)ezw. 
in  F  und  H  und  die  Ellipse  in  G  und  J  treffen,  wenn  H'n\  G'G 
II  «TeTJ  C'C.  —  Zur  Bestimmung  von  MA^  denke  man  den  wahren 
Umriß  der  F  als  Projektionsebene  P  angenommen,  so  daß  der 
wahre  und  der  scheinbare  Umriß  in  k  zusammenfallen,  und  denke 
die  Projektion  als  eine  senkrechte  (vergl.  114),  so  schneidet  die 
projicirende  Ebene  (MAG)  das  Ellipsoid  P  in  einer  Ellipse,  wel- 
ches die  konjugirten  Halbdurchmesser  (MA),  (MG)  besitzt,  und 
MA^  zu  einer  Halbaxe  hat.  Es  wird  aber  MA2  durch  den  Satz 
bestimmt:  Die  senkrechten  Projektionen  zweier  konjugirten  Hcilbdurchr 
messer  einer  Ellipse  auf  eine  Axe  derselben  bilden  mit  der  ESäfte 


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Qoo^^ 


III,  130—131.   Berühraugeebenen,  ebene  Schnitte  u.  Berührangskegel.    135 


dieser  Axe  (als  Hypoientm)  ein  recJUmnkliges  Dreieck.  Dieser  Satz 
folgt  aus  I,  364,  indem  in  der  Fig.  199  im  rechtwinkligen  Dreiecke 
MCoC  die  MC  =  MA  und  die  G^C  =  MD^  ist.  Daher  erhält 
man  in  unserer  Figur  MA^  ^=:  MK,  wenn  man  AK  1.  MA  und 
-=  MG  gemacht  hat. 

Aus  den  konjugirt^n  Halbdurchmessern  MA^j  MJ  sind  in  der 
Figur  nach  dem  Rytzschen  Verfahren  (I,  377)  die  Halbaxen  MD, 
ME  bestimmt,  und  aus  ihnen  ist  Tc  verzeichnet 

131.    h)  'E  ist  ein  einschaliges  oder  zweischäliges  Hyperboloid,  Pig.  ec. 
Im  ersteren  Falle  ist  MA  die  ideelle,  MBy  MC  sind  die  reellen 
Halbaxen,  im  zwei- 


die 


Fig.  66. 


^ 


ten  ist  MA 
reelle,  und  MBy 
MC  sind  die  ideellen 
Halbaxen.  Beide  Flä- 
chen sind  konjugirt, 
besitzen     denselben 

Asymptotenkegel ; 
und  zwei  Durchmes- 
ser, welche  in  Bezug 
auf  die  eine  Fläche 
konjugirt  sind,  sind 
es  auch  in  Bezug 
auf  die  andere;  nur 
ist  ein  reeller  Durch- 
messer der  einen 
Fläche  ein  ideeller 
der  anderen  (vergl. 
1,365).  Die  Umrisse 
/?,,  k^  beider  Flächen 

sind  in  Bezug  auf  ihren  gemeinschaftlichen  Mittelpunkt  konjugirte 
Kegelschnitte,  als  Schnitte  der  zu  beiden  Flächen  gemeinschaftlichen 
Polarebeoe  des  unendlich  fernen  Projektionsmittelpunktes  mit  den 
Flächen;  sie  sind  entweder  beide  Hyperbeln,  wie  in  der  Figur,  oder 
kl  ist  eine  reelle  Ellipse  e^,  A^g  eine  imaginäre,  deren  ideelle  Mittel- 
punktsellipse e^  bildet;  letzteres,  wenn  A  im  Innern  der  Ellipse  BC. 
Mag  nun  F  die  eine  oder  die  andere  von  beiden  Flächen  sein, 
so  suche  man,  gerade  wie  in  der  vor.  Nr.,  von  der  Ellipse  BC  die 
beiden  konjugirten  Halbdurchmesser  MG^  MJ,  von  denen  die  eine, 
MG,  in  der  Geraden  MA  liegt.  Für  das  einschalige  Hyperboloid 
ist  dann  J  ein  Punkt  des  Umrisses  k^,  in  welchem  seine  Tangente 
i]  MA  läuft,  und  MJ  ist  ein  zur  Richtung  MA  konjugirter  Halbdurch- 


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136  ni,  131—133.    Die  Flachen  zweiten  Grades. 

messer  der  lt.  Zur  Bestimmung  der  Lauge  des  konjugirten  ideellen 
Halbdurchmessers  MÄ^  in  MA  dient  die  Beziehung  MA^  =»  MA* 
—  Jf6r*.  Es  folgt  dies  aus  dem  Satze:  Sind  von  einer  Hyperbd 
a^h  die  reelle  u/nd  ideelle  HaXboxe^  sind  a^,  \  irgend  ein  reeller  und 
sein  konjugirter  ideeller  Halbdurchmesser,  sind  a/,  6/;  a^\  6/'  deren 
Projektionen  hemjo.  'auf  a  und  auf  6,  so  gilt 

a^  =  a/«  -  l^\        V  =  V»  -  a^'\ 
Denn  in  I,  Nr.  379,  Fig.  212  ist,  wenn  AH  die  HP  in  JJ^  schnei- 
det, MH^'MB  =  MP'MQ]   daher,  für  -^AMQ^a,  und  da 
MH^  sin  a  =  —  MH  sin  a, 

JlfjB^cos^a=  MPcosa-MQcosa,  Jlf^sin*a=-- JlfPsina-Jlf ^sina, 
oder    nach    den    obigen   Bezeichnungen,    indem   MA^^^a^j  PA' 

«*=K- V)«  + V),      6* —  «- V')K'+&i"), 

woraus  der  Satz  folgt.  Es  ist  daher  in  unserem  Falle,  mögen  wir 
MAl^  =  a  und  dann  MA  =  a/,  MG  =  6/,  oder  Jf^^^  =  b  und  dann 
Jf^  =  6/',  JlfG  =  a/'  annehmen,  jedesmal  MA^^  =  Jtf^«  -  MGK 

Zeichnet  man  daher  aus  A  als  Mittelpunkt  einen  Ereis  mit  dem 
Halbmesser  AK  =  MO,  legt  nach  deren  Tangente  aus  M  an  und 
bestimmt  durch  einen  zu  ihr  senkrechten  Halbmesser  den  Berührungs- 
punkt JT,  so  ist  MA^  «»  MK.  Aus  den  zwei  konjugirten  Halbdurch- 
messern MA^f  MJ  bestimmt  man  die  Asymptoten  ML,  ML^  von 
kl  und  Äg,  indem  man  —  Al^L  *=^  A^L^  #  MJ  macht,  und  aus  den 
Asymptoten  und  der  LL^  (einer  Tangente  der  k^)  bestimmt  man 
die  Halbaxen  MD,  ME  (I,  379)  von  \  und  \.  Für  MG>MA 
ist  jene  Tangente  aus  M  imaginär  und  k^  eine  Ellipse. 

132.  Übiingsaufg.  Von  einem  elliptischen  oder  hyperbolischen 
Paraboloide  T  sei  M  der  (unendlich  ferne)  Mittelpunkt,  und  es  sei 
in  Parallel^rojektion  gegeben  ein  Durchmesser  AM,  und  zwei  kon- 
jugirte  Halbdurchmesser  OB,  OC  des  Kegelschnittes  der  P  in  einer 
zu  AM  konjugirten,  durch  den  Punkt  0  des  AM  gehenden  Ebene, 
wobei  für  das  elliptische  Hyperboloid  OB  und  00  reell,  für  das 
hyperbolische  OB  reell,  00  ideell  istj  man  soll  den  umriß  von  P 
bestimmen. 

183,  Um  die  SchniUpunkte  einer  Geraden  g  mit  einer  Fläche 
zweiten  Grades  P  zu  ermitteln,  lege  man  durch  g  eine  Ebene,  be- 
stimme den  Kegelschnitt,  in  dem  sie  die  P  trifft,  und  dann  die 
Schnittpunkte  dieser  Kurve  mit  g,  so  sind  dies  die  gesuchten,  Punkte. 

Aufg,  Von  einer  Fläche  zweiten  Grades  P  sind  die  Paralletpro- 
jektionen  dreier  konjugirten  Halbdurchmesser  MA  =  MA^,  MB  ■=» 
JHJBj,  MC  ^=^  MCi  gegeben,  und  die  Lage  einer  Geraden  g  gegen  P 


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in,  133.    Berührnngsebenen,  ebene  Schnitte  u.  Beriibnmgskegel.        137 


ist  durch  ihre  Schnittpunkte  F,  G  hejsw.  mit  den  Havptebenen  MAB, 
MA  C  bestimmt;  man  soll  die  Schnittpunkte  D,  E^er  g  mit  der  P 
ermitteln, 

Aufl,  P  sei  ein  einschaliges  Hyperboloid,  MA  die  ideelle,  MB,  Fig.  e?. 
MC  seien  die  reellen  Halbaxen.    Wir  haben  die  g  so  angenommen, 
daß   keine  durch 

sie  gelegte  Ebene  ^^^-  ^^• 

die  F  in  einer 
Ellipse  schneiden 
kann,  indem  die  {{^ 
durch  Jfcfgezogene 
Gerade  innerhalb 
des  Asymptoten- 
kegels liegt.  Wir 
sind  daher  genö- 
tigt, eine  Hilfs- 
ebene durch  g  zu 
legen,  welche  die  F 
in  einer  Hyperbel 
schneidet;  diese 
Ebene  sei  mit 
MA  "=  a  parallel. 
Die  durch  F  und 
Gza  a  gezogenen 

Parallelen  treflPen  die  MB  =  b  und  die  MC  =  c  bezw.  in  F^,  ö^,  die 
Hilfsebene  schneidet  daher  die  Hauptebene  bc  in  der  Geraden  F^G^, 
mit  welcher  parallel  der  Durchmesser  MH  gezogen  sei.  Um  die 
Schnittpunkte  dieser  Geraden  mit  der  Ellipse  BC  zn  ermitteln,  be- 
nutzen wir  wieder  (128)  den  über  BB^  als  Durchmesser  gezogenen 
Kreis  BCB^,  wobei  MC  ±  MB.  Wir  zieheu  CH  ||  C'H'  ||  BB^, 
schneiden  MH  mit  CH  in  H,  ziehen  HH'  ||  CC  bis  H'  auf  C'H\ 
schneiden  MH'  und  die  zu  MH'  Parallele  F^  K  mit  jenem  Kreise 
bezw.  in  K*,  JT,  so  sind  K  und  N  die  Schnittpunkte  der  MH  und 
der  F^  G^  N  mit  der  Ellipse  BC,  wenn  K'K  [  N'N  \\  C'C  Den 
Mittelpunkt  L  der  Sehne  der  Ellipse  auf  F^  N  erhalten  wir  durch 
den  zu  MH  konjugirten  Durchmesser  MLJ,  indem  wir  MJT.  X  MH' 
bis  cT  auf  C'H\  und  dann  tTJ  ||  C'C  bis  J  auf  CH  ziehen.  —  Die 
Ebene  FGC^F^  schneidet  nun  die  F  in  einer  Hyperbel,  ähnlich 
und  ahnlich  gelegen  mit  derjenigen  MKA,  deren  Mittelpunkt  L, 
und  von  welcher  ein  reeller  Halbdurchmesser  LN  ist,  während  der 
ideelle  mit  a  parallel  läuft;  die  Asymptoten  sind  die  zu  KA,  KA^ 
Parallelen  LP,  LP^  (wobei  P  und  P^  unendlich  fem).   Ihre  Schnitt- 


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138 


III,  183—184.    Die  Flächen  zweiten  Ghttdes. 


punkte  mit  g  sind  die  gesuchten  Punkte  D,  E.  Zu  ihrer  Bestim- 
mung benutzt  man  die  Kollineation  der  Hyperbel  mit  einem  Kreise 
(von  passender  Größe),  welcher  beide  Asymptoten  berührt  und  in 
demselben  von  ihnen  gebildeten  Winkel  liegt,  wie  ein  Hyperbelast, 
und  zweckmäßig,  wie  ein  Stück  der  g\  seine  Berührungspunkte  mit 
den  Asymptoten  seien  P",  P/',  sein  Mittelpunkt  Q,  Der  Kolli- 
neationsmittelpunkt  ist  der  Hyperbelmittelpunkt  L;  dem  Punkte  N 
der  Hyperbel  entspricht  der  (benachbarte)  Punkt  TT'  des  Kreises, 
wenn  LNN"  eine  Gerade,  die  KoUineationsaxe  ist  die  ±.LQ  durch 
den  Schnittpunkt  R  der  entsprechenden  Geraden  NF  (i  LP)  und 
2^'P"  gezogene  Gerade  RS  =  s.  Der  g^ST  entspricht  g''=  ST\ 
wenn  S  und  T  die  Schnittpunkte  von  g  mit  s  und  mit  iP,  und  T' 
der  entsprechende  Punkt  von  T  (NT  und  N''  T'  schneiden  sich  auf  s). 
Den  Schnittpunkten  D",  E"  des  Kreises  mit  g'  entsprechen  D,  E 
auf  ^. 

134.  Um  die  Berührungsebene  durch  eine  Oerade  g  <m  eine 
Fläche ,  snmten  Grades  F  zu  legen,  bestimme  man  den  aus  einem 
Punkte  der  g  der  Fläche  umschriebenen  Kegel,  lege  an  ihn  die 
durch  g  gehenden  Berührungsebenen,  so  sind  diese  die  gesuchten. 
Ihre  Berührungspunkte  mit  F  erhält  man,  indem  man  die  Ebene 
der  Berührungskurve  des  Kegels  und  der  F  mit  g  schneidet,  und 
aus  diesem  Punkte  die  beiden  Tangenten  an  die  Kurve  legt;  ihre 
Berührungspunkte  sind  die  gesuchten. 


Fig.  68. 


Fig.  es.  Aufg.  Von  einer 

Fläclie  zweiten  Gra- 
des F  sind  die  Paral' 
lelprqjektionen  dreier 

hmjugirten  HaUh 
durchmesser  MA  = 
MA^,MB^MB,, 
MG  =  MCi  gegebeny 
wnd  es  ist  die  Lage 
einer  Geraden  g  gegen 
F  durch  ihre  Schnitt- 
punkte  F,  G  bezw. 
mit  den  Hauptdxmen 
MAB,  MAC  be- 
stimmt; man  soU  die 
Berührungsd>enen 
dmch  g  an  ¥  legen  und  ihre  Berührungspunkte  D,  E  ermitteln, 

Aufl.    F  sei  ein  Ellipsoid;  wir  wollen  aus  F  den  Berührungs- 
kegel an  dasselbe  legen.  Seine  Berührungskurve  ist  eine  Ellipse,  von 


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III,  134—135.    Berührangsebenen^  ebene  Schnitte  n.  Berahmngskegel.     139 

welcher  ein  Durchmesser  in  der  Polaren  von  F  zur  Ellipse  AB  liegt, 
während  der  dazu  konjugirte  mit  MC  parallel  läuft.  Wir  be- 
nutzen  wieder  die  Affinitöt  der  Ellipse  ^JB  zu  dem  über  AÄy^  als 
Durchmesser  gezogenen  Kreise.  Es  entspricht  dann  dem  Punkte  F 
derjenige  F'y  dessen  Bestimmungs weise  in  der  Figur  ersichtlich  ist; 
im  Kreise  zeichnen  wir  den  zu  MF'  konjugirten  (senkrechten)  Halb- 
messer MJ'  und  die  damit  parallele  Polare  von  F'y  deren  Sehne  den 
Punkt  K'  auf  MF  zum  Mittelpunkte  und  L'  zu  einem  Endpunkte  hat. 
Diesen  Linien  entsprechen  bei  der  Ellipse  die  Durchmesserlinie 
MFj  der  dazu  konjugirte  Halbdurchmesser  MJ  und  diQ  damit  paral- 
lele Halbsehne  JTL,  gelegen  in  der  Polare  von  F.  Die  Berührungs- 
ellipse des  aus  F  umschriebenen  Kegels  hat  KL  und  KN  zu  kon- 
jugirten Halbdurchmessem,  wobei  ^JV*  ||  MC  durch  LN\  JC  begrenzt 
wird,  da  die  Ellipsen  LN,  JC  ähnlich  und  ähnlich  gelegen  sind. 
Die  g  schneidet  aber  die  Ebene  LKN  in.  Py  welchen  Punkt  man 
in  der  1  c  durch  g  gelegten  Ebene  durch  den  Linienzug  GG^Ql  CM), 
G^FP^,  P^P  (II  MC)  erhält.  Die  Tangenten  PDD^y  PEE^,  welche 
aus  P  an  die  Ellipse  LN  gezogen  werden  können,  mit  ihren  Be- 
rührungspunkten 2>,  E,  und  ihren  Schnittpunkten  D^  E^  mit  EL 
und  mit  der  Ebene  MA  B  erhält  man  durch  Affinität  der  Ellipse  mit 
dem  aus  K  als  Mittelpunkt  durch  L  gezogenen  Kreise  LN''  (KN" 
±  KL),  wobei  P"  dem  P  entspricht  {P,F'  H  KN",  PP"  ||  NN"\ 
vermittelst  der  Tangenten  P'D"D^,  P"E"E^  an  den  Kreis,  aus 
deren  Berührungspunkten  D",  E"  sich  diejenigen  D,  E  ergeben. 
Die  gesuchten  Berührungsebenen  sind  PDD^F  und  PEE^F,  ihre 
Berührungspunkte  mit  P  sind  D  und  E. 

136,  Aufg,  Zu  einer  Fläche  zweiten  Grades  T  von  einem  gege- 
lenen  Punkte  P  die  Polarebene  P,  und  von  einer  gegd>enen  Ebene  P 
den  Pol  P  eu  bestimmen. 

Aufl.  Liegt  der  Mittelpunkt  M  der  F  im  Endlichen,  so  sei  F  ge- 
geben durch  drei  reelle  oder  ideelle  Halbdurchmesser  MA  »—  MA^, 
MB  ^=  MBi,  MC  ■=»  MCi,  der  Punkt  P  durch  seine  drei  Koordinaten 
auf  den  konjugirten  Durchmessern,  nämlich  MA2,  MB^,  MC^,  und 
die  Ebene  P  durch  ihre  Schnittpunkte  mit  diesen  Durchmessern,  näm- 
lich A^y  JB3,  Cj.  Die  Aufgabe  ist  daher,  aus  A^,  B^,  (7,  die  A^,  JBj,  C^, 
oder  umgekehrt  zu  finden.  Nun  ist  P  der  gemeinschaftliche  Punkt  der 
Polarebenen  dreier  Punkte  der  P,  etwa  von  A^,  B^,  Cj,  diese  Ebenen 
aber  sind  parallel  zu  den  Koordinatenebenen  MBC,  MCA,  MAB, 
gehen  also  bezw.  durch  die  Endpunkte  A^,  B^,  0,  der  Koordinaten 
von  P.  Daher  sind  A^,  A^,  spwie  B^,  B^  und  C^,  C^  konjugirte  Punkte 
in  Bezug  auf  F.  Ist  nun  ein  Durchmesser,  z.  B.  AA^  reell,  so 
sind  A^,  A^  durch  A,  A^  harmonisch  getrennt,   ist  er  aber  ideell, 


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140  nr,  186-186.    Die  Flächen  zweiten  Grades. 

80  bildet  A^  Ä^  Ä^  einen  rechten  Winkel,  wenn  MA^  -^  MA  ge- 
macht wurde. 

Liegt  M  im  Unendlichen^  ist  also  F  ein  elliptisches  oder  hyper- 
bolisches Paraboloid,  so  sei  es  gegeben  durch  einen  Punkt  A  der 
F  und  seinen  Durchmesser  AM,  durch  die  Berührungsebene  der 
F  in  J.  (oder  deren  Stellung)  und  durch  zwei  Punkte  B  und  C 
der  F,  welche  in  zwei  konjugirten^  durch  AM  gehenden  Ebenen 
liegen.  Man  ziehe  nun  parallel  zu  jener  Berührungsebene  in  der 
Ebene  MAB  die  BO,  in  derjenigen  MAC  die  COj,  welche  die 
AM  bezw.  in  0  und  0^  treffen.  Die  Berührungsebene  kann  als 
parallel  zu  i?0  und  CO^  gegeben  seiiK  Legt  man  an  die  Schnitt- 
parabeln jener  konjugirten  Ebenen  mit  F  die  Tangenten  &  in  J?  und 
c  in  C,  welche  die  -4Jlf  bezw.  in  0'  und-0/  treffen,  wobei  J.0'  =  OA, 
AO^ '^  O^Aj  so  sind  die  Berührungsebenen  der  F  in  ^  und  C  be- 
stimmt, indem  sie  bezw.  |  CO^  durch  h  und  \B0  durch  c  gehen. 
Man  gebe  den  Punkt  P  durch  drei  Punkte  A^,  B^,  C,,  welche  bezw. 
auf  den  Durchmessern  AM,  BM,  CM  derart  liegen,  daß  P-4.j, 
PJBg,  PCg  bezw.  parallel  mit  den  Berührungsebenen  der  F  in  A, 
Bf  C  sind;  und  man  gebe  P  durch  ihre  Schnittpunkte  A^,  P,,  C^ 
mit  den  Durchmessern  AM,  BM,  CM.  Dann  sind  wieder -4,-4-48  Jlf, 
B^BB^M,  C^CC^M  je  vier  harmonische  Punkte,  oder  es  sind  -4, 
P,  C  die  Mittelpunkte  bezw.  von  A^A^,  -Sä-^s;  ^2^3;  wodurch  die 
Aufgabe  gelöst  ist 


IV.    Die  windschiefen  Flächen  zweiten  Grades. 

a)  Allgemeines. 

186.  Unter  RegeU  oder  geradlinigen  Flächen  versteht  man  solche 
Flachen,  welche  durch  die  Bewegung  einer  geraden  Linie  als  Er- 
zeugenden entstehen  können.  Solche  Flächen  sind  abtmckelbar,  wenn 
sie  entlang  jeder  geraden  Erzeugenden  von  ein  und  derselben  Ebene 
berührt  werden.  Denn  sie  sind  dann  die  einhüllende  Fläche  dieser 
beweglichen  Berührungsebene  (38).  Wenn  sie  aber  entlang  einer 
Erzeugenden  nicht  von  derselben  Ebene  berührt  werden,  sind  sie 
nicht  abwickelbar  (39,  1)),  und  werden  mndschief  genannt  Man  sagt 
auch,  Regelflächen  sind  abwickelbar  oder  windschief,  je  nachdem 
je  zwei  benachbarte  Erzeugende  in  einer  Ebene  liegen  oder  nicht; 
wobei  aber  nicht  ausgeschlossen  ist,  daß  einzelne  Erzeugende  der 
windschiefen  Fläche  mit  ihrer  benachbarten  in  einer  Ebene  liegen. 
Der  Fall  der  windschiefen  Flächen  ist  der  allgemeine. 

Die  einfachste  windschiefe  Fläche  entsteht,  wenn  die  gerade  Er- 


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III,  186.    Die  windschiefen  Flächen  zweiten  Grades. 


141 


zeugende  auf  drei  geraden  Leitlinien  hingleitet,  von  denen  Tceine  zwei 
in  derselben  Ebene  liegen. 

Seien  \jh^,h^  die  drei  Leitgeraden,  so  findet  man  die  Erzen-  Fig.  69. 
gende  g^ ,  welche  dnrch  einen  beliebigen  Punkt  A^  der  \  geht,  als 
Durchschnitt  der  beiden  Ebenen  A^  h^  und  A^  Ag.   Durch  jeden  Punkt 
einer  Leitlinie  geht  daher  nur  eine  Er- 
zeugende,   und   die   entstehende  Fläche 
ist  windschief,  weil  irgend  zwei  Erzeu- 
gende nicht  in  derselben  Ebene  liegen 
können,  da  sonst  wenigstens  zwei  der 
Leitgeraden  in  dieser  Ebene  lägen.    In- 
dem man  den  Punkt  A^  sich  auf  der  \ 
hinbewegen    und    eine    Punktreihe    be- 
schreiben   läßt,    beschreibt   die    Ebene 
A^  Äg  ein  mit  der  Punktreihe  h^  perspek- 
tives  Ebenenbüschel  mit  der  Axe  A^,  die 
Ebene  A^h^  ein  solches  mit  der  Axe  Äg, 

und  diese  mit  A^,  also  auch  unter  einander  projektiven  Ebenenbüschel 
erzeugen  durch  die  Schnittlinien  entsprechender  Ebenen  die  Fläche. 

Die  windschiefe  Fläche  mit  drei  Leitgeraden  h^,  h^y  h^  ist  vom 
zweiten  Grade\  denn  eine  beliebige  Ebene  schneidet  sie  in  einem  Kegel- 
schnitte, da  sie  die  projektiven  Ebenenbüschel  h^y  \m  zwei  projek- 
tiven Strahlenbüscheln  trifft,  deren  entsprechende  Strahlen  sich  in 
Punkten  eines  Kegelschnittes  treffen,  welcher  die  Schnittkurve  bildet. 

2jwei  beliebige  projektive  Ebenenbüschelj  deren  Axen  hg,  \  sich  nicht 
schneiden,  bilden  durch  die  Schnittgeraden  entsprechender  Ebenen  dieselbe 
windschiefe  Fläche  zweiten  Grades,  toelche  vermittelst  dreier  Leitgeraden 
\y\y  \  entsteht.  Denn  seien  g^,  g^,  g^  drei  Schnittlinien  je  zweier 
entsprechenden  Ebenen,  so  gehen  keine  zwei  derselben  durch  densel- 
ben Punkt  von  \  oder  Äj,  und  es  liegen  daher  keine  zwei  in  derselben 
Ebene,  weil  sonst  auch  \  und  h^  in  derselben  Ebene  liegen  müßten. 
Man  kann  nun  durch  jeden  Punkt  A^  der  g^  eine  Gerade  \  legen, 
welche  zugleich  die  g^  (in  B^  und  die  g^  (in  (7,)  trifft  Von  h^jh^yh^ 
liegen  keine  zwei  in  derselben  Ebene,  weil  dies  für  gi^g^^g^  gilt.  Die 
durch  die  drei  Geraden  \,  \,  h^  als  Leitlinien  bestimmte  wind- 
schiefe Fläche  kann  auch  durch  zwei  projektive  Ebenenbüschel 
Äj,  Aj  erzeugt  werden,  und  diese  fallen  mit  unseren  gegebenen  zu- 
sammen, weil  sie  mit  ihnen  die  drei  durch  A^,  B^,  C^  gehenden 
Paare  gemein  haben.  Hierdurch  ist  unser  Satz  bewiesen.  —  Zu- 
gleich ergibt  sich,  daß  durch  jeden  Funkt  einer  g  eine  Gerade  h  ge- 
legt werden  kann^  welche  ganz  in  der  Fläche  liegt  und  alle  g  schneidet. 
Denn  durch  drei  Punkte  A^fB^,  C^  der  \  gehen  entsprechende  Ebenen 


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142  in,  136—139.    Die  Fl&ohen  zweiten  Gradee. 

der  Büschel  h^y\f  also  durch  jeden  Punkt  der  h^,  und  die  g  einer 
jeden  Ebene  dieser  Büschel  schneidet  die  h^. 

137.  Sind  die  drei  Leitlinien  \,hfj  h^  gegeben^  so  kann  man 
die  Erzeugenden  g  auch  in  der  zur  eben  betrachteten  reciproken 
Weise  dadurch  bestimmen,  daß  man  durch  h^  eine  beliebige  Ebene 
legt  und  durch  deren  Schnittpunkte  A^  und  Ä^  bezw.  mit  h^  und 
%3  eine  Erzeugende  gi  zieht,  welche  dann  auch  die  h^  etwa  in  Ä^^ 
trifft  Da  die  sich  um  h^  drehende  Ebene  projektive  Punktreihen 
auf  h^  und  \  bestimmt,  so  wird  unsere  windschiefe  Fläche  aw^ten 
Grades  durch  die  Verbindungsgeraden  nicht  entsprechender  Punkte  zweier 
nicht  in  derseilben  Ebene  liegenden  projektiven  Punktreihen  gebüdä. 
Diese  projektiven  Punktreihen  können  auf  den  beliebigen  Geraden 
Kf  K  g^^z  beliebig  angenommen  werden;  denn  zieht  man  die  \er- 
bindungslinien  gi,g%ygz  j©  zweier  entsprechenden  Punkte,  legt  durch 
diese  Linien  eine  sie  schneidende  Gerade  Aj,  welche  mit  keiner  der 
Geraden  hg^  h^  in  einer  Ebene  liegen  kann,  weil  sonst  auch  g^^  g^,  g^ 
und  daher  auch  ^,  A,  in  dieser  Ebene  liegen  müßten,  so  bilden  die 
mittelst  der  drei  Leitlinien  hyyh^yh^  bestimmten  Erzeugenden  g  auf 
A3  und  \  projektive  Punktreihen,  die  mit  den  gegebenen  zusammen- 
fallen, weil  dies  für  die  drei  Punktepaare  auf  ^1,  </,,  g^  der  Fall  ist. 

138.  Da  alle  windschiefen  Flächen  zweiten  Grades  als  kollinear 
zu  dem  einschaligen  Umdrehungshyperboloide  (82)  aus  drei  Geraden 
der  einen  Schaar  als  Leitlinien  entstehen  können,  also  von  der  Art 
der  unsrigen  sind,  so  gilt  für  jede  windschiefe  Fläche  zweiten  Grades  F: 

1)  Du/rch  jeden  Punkt  einer  P  geht  eine  Gerade  g  und  eine  Ge- 
rade h,  wovon  jede  ganz  in  der  F  liegt 

2)  Alle  g  bilden  eine  Schaar  von  Geraden  oder  ein  System  von  Er- 
zeugenden oder  eine  Begelschaar^  deren  jede  alle  h  schneidet  und  für 
welche  drei  beliebige  h  als  Leitlinien  gewählt  werden  können.  Ebenso 
bilden  alle  h  eine  zweite  Schaar  von  Geraden,  deren  jede  alle  g  schneidet 
und  für  welche  drei  beliebige  g  als  Leitlinien  gewählt  werden  können. 

3)  Zum  Gerade  derselben  Schaar  schneiden  sich  nicht 

4)  Die  Ebenenbüschel,  welche  aus  Geraden  der  einen  Schaar 
diejenige  der  anderen  projiciren,  sind  unter  einander  prq}€ktiv\  und 
ebenso  sind  die  Punktreihen,  welche  auf  Geraden  der  einen  Schaar 
durch  die  der  anderen  eingeschnitten  werden,  unter  einander  und 
mit  jenen  Ebenenbüscheln  projektiv,  wenn  sich  diejenigen  Ebenen 
und  Punkte  entsprechen,  welche  derselben  Erzeugenden  zugehören. 

139.  Die  Beriihrungsebene  einer  windschiefen  Fläche  zweiten 
Grades  in  einem  Punkte  P  derselben  ist  die  Ebene  der  beiden  durch 
P  gehenden  Erzeugenden.  Daher  berührt  jede  durch  eine  Erzeu- 
gende gehende  Ebene  die  Fläche  \  denn  sie  enthält  eine  Erzeugende 


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m,  139—141.    Die  windschiefen  Fl&chen  zweiten  Grades.  143 

der  anderen  Schaar  (137).  Jede  durch  eine  Erzeugende  g  einer  wind- 
schiefen  Fläche  zweiten  Grades  P  gehende  Ebene  berührt  die  P  in  einem 
Punkte  der  g,  und  das  Büschel  der  Ebene  ist  mit  der  Beihe  ihrer 
Berührungspunkte  projektiv.  Denn  das  Ebenenbüschel  ist  projektiv 
mit  den  Punktreifaen,  welche  die  in  den  Ebenen  enthaltenen  Er* 
zeugenden  auf  allen  Erzeugenden  g  einschneiden, 

140.  Um  zu  entscheiden,  welche  von  den  in  Nr.  90flf.  angegebe- 
nen sechs  Arten  von  Flächen  zweiten  Grades  die  windschiefen  sindi 
beachtet  man^  daß  jede  Ebene  jede  Gerade  einer  solchen  Flache  in 
einem  reellen  Punkte,  also  die  Fläche  in  einer  reellen  Kurve  schneidest* 
Daher  kann  diese  Fläche  das  Ellipsoid,  das  zweischalige  Hyperboloid, 
das  elliptische  Paraboloid  und  die  imaginc^re  Fläche  nicht,  könnte 
also  nur  das  einschalige  Hyperboloid  oder  das  hyperbolische  Para- 
boloid sein. 

Um  nun  zwischea  diesen  beiden  Flächen  zu  aitscheiden,  unter- 
suchen wir  die  folgenden  beiden  möglichen  Fälle:  1)  Die  drei  Leit- 
geraden  sind  mit  ein  und  d^seUben  Ebene  parallel'^  dann  enthält  die 
unendlich  ferne  Gerade  dieser  Ebene  einen  Punkt  von  jeder  Leit- 
linie, ist  also  eine .  Erzeugende  der  Fläche.  Die  unendlich  ferne 
Ebene  eatbält  d^er  eine  Erzeugende  der  einen  und  dann  auch  eine 
der  anderen  Schaar  und  ist  eine  Berührungsebene  der  Fläche;  di^ 
Fläche  kann  also  nur  das  hyperbolische  Paraboloid  sein, 

2)  Die  drei  Leitlinien  sind  nicht  mit  ein  und  derselben  Ebene 
paraUel]  dann  gibt  es  keine  unendlich  ferne  Erzeugende  der  Fläche, 
diese  wird  daher  von  der  unendlich  fernen  Ebene  nicht  berührt, 
kann  also  nur  noch  das  einschalige  Hyperboloid  sein. 

Grenzfaüe  treten  ein,  1)  wenn  von  den  drei  Leitgeradei^  zwei 
sich  schneiden;  dann  jzerfallt  die  Fläche  in  zwei  Ebene»,  diejenige 
der  sich  schneidenden  Goraden,  und  diejenige  des  Schnittpunktes 
und  der  anderen  Geraden; 

2)  wenn  di^  Axm  der  projektiven  EbepenbQschel  sich  schnei- 
den; dann  gehen  ^i\e  Erzeugende  durch  diesen  Schnittpunkt  und 
die  Fläche  wird  ein  ]Kegel\ 

3)  wenn  die  projektiven  geraden  Punktreihen  sich  schneiden;  dann 
werden  all^  Erzeugenden  von  einem  Kegelschnitte  h  eingehüllt  und 
bilden  de(a  außerhalb  des  k  liegenden  T^ü  der  Ebene  des  k  doppelt, 

141,  An  die  Stelle  der  drei  geradei^  Leitlinien  einer  wind: 
schiefen  Fläche  zweiten  Grades  kann  man  irgend  drei  Linien  der 
Fläche  setzen,  welche  von  jeder  Erzeugenden  geschnitten  werden, 
Derar^ge  Linien  sind  jedenfalls  alle  ebenen  Kurven  der  Fläche,  da 
die  Ebene  einer  solchen  von  jeder  Geraden  getroffen  wird.  ,Eei 
können  daher    ai^  der  Fläche  als  Leitlinien  gewählt  werden: 


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144  UI,  141—142.    Die  Flächen  zweiten  Grades. 

1)  Zwei  nicht  in  derselben  Ebene  liegende  Gerade,  wie  h^,  h^, 
und  ein  Kegelschnitt  k]  derselbe  hat  mit  \  und  ^  je  einen  Punkt 
gemein; 

2)  eine  Gerade  h  und  zwei  Kegelschnitte  k^^,  k^]  jeder  derselben 
hat  mit  h  einen,  und  beide  untereinan^ler  haben  zwei  reelle  oder 
imaginäre  Punkte  (in  der  Schnittlinie  ihrer  Ebenen)  gemein; 

3)  drei  Kegelschnitte  k^,  k^,  k^\  jeder  derselben  hat  mit  jedem 
der  anderen  zwei  reelle  oder  imaginäre  Punkte  gemein. 

Jede  Schaar  von  Erzeugenden  (g)  bildet  auf  allen  Erzeugenden  der 
anderen  Schaar  (h)  und  auf  aUen  Kegelschnitten  k  der  Fläche  unier 
einander  projektive  Punktreihen]  denn  ein  Ebenenbüschel,  welches 
eine  h  der  F  zur  Axe  hat  und  die  Schaar  der  g  projicirt,  schneidet 
alle  anderen  h  in  Punktreihen,  die  Ebene  eines  jeden  k  in  einem 
Strahlenbüschel;  dessen  Mittelpunkt  auf  k  (und  h)  liegt,  und  k  selbst 
in  einer  Punktreihe,  so  daß  beiderlei  Punktreihen  unter  einander 
projektiv  sind.  Daher  entsteht  die  windschiefe  Fläche  zweiten  Gra- 
des auch  durch  die  Verbindungsgeraden  entsprechender  Punkte  zweier 
projektiven  Reihen  auf  zwei  Linien  der  Fläche,  und  zwar 

4)  auf  einer  Geraden  h  und  einem  Kegelschnitte  k,  die  einen 
Punkt  gemein  haben,  in  welchem  entsprechende  Punkte  der  Reihen 
vereinigt  sind; 

5)  auf  zwei  Kegelschnitten  k^,  ig,  welche  zwei  Punkte  gemein 
haben,  in  deren  jedem  zwei  entsprechende  Punkte  der  Reihen  ver- 
einigt sind. 

142.  Auf  jede  der  angegebenen  Weisen  entsteht  eine  windschiefe 
Fläche  nicht  nur,  wenn  die  Leitlinien  als  Linien  einer  schon  vor- 
handenen solchen  Fläche  gewählt,  sondern  auch  wenn  sie  unter 
den  angeführten  Bedingungen  des  sich  gegenseitig  Schneidens  und 
des  Zusammenfallens  entsprechender  Punkte  wülMrlich  angenommen 
werden. 

Im  ersten  Falle ^  in  welchem  \,\jk  Leitlinien  sind,  sei  g  eine 
Erzeugende.  Dann  ist  eine  Fläche  zweiten  Grades  F  durch  das 
Paar  sich  schneidender  Geraden  A^,  g  und  durch  k,  d.i.  durch  zwei 
sich  in  zwei  Punkten  schneidende  Kegelschnitte  (Ä,,^;  Ä;),  und  durch 
einen  außerhalb  derselben  liegenden  Punkt  {F)  der  Ä,  bestimmt  (87). 
F  enthält  die  h^  ganz,  weil  sie  drei  Punkte  derselben  {F  und  je 
einen  Punkt  auf  g  und  k)  enthält  (72),  und  sie  enthält  alle  (die  A,, 
%2,  k  schneidenden)  Erzeugenden  jf,  weil  sie  von  jeder  drei  Punkte 
enthält. 

Im  zweiten  Falle  ist  ganz  entsprechend  die  windschiefe  Fläche 
diejenige  Fläche  zweiten  Grades,  welche  durch  \^  k^  und  einen 
außerhalb  derselben  liegenden  Punkt  von  h  bestimmt  ist. 


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III,  142—143.   Die  windschiefea  Flächen  zweiten  Gradee.  145 

Im  dritten  Falle  ist  durch  ij,  Ä^,  fe,  eine  Fläche  zweiten  Grades 
F  bestimmt,  nämlich  durch  \y  h^  und  einen  außerhalb  dieser  Linien 
liegenden  Punkt  {F)  der  Ä,.  Diese  enthält  k^  ganz,  weil  sie  fünf 
Punkte  derselben  {F  und  je  zwei  auf  \  und  Ä,)  enthält.  P  ist  eine 
Regelfläche  oder  eine  Nichtregelfläche,  je  nachdem  ihre  BerQhrungs- 
ebene  in  einem  Schnittpunkte  A  zweier  Leitlinien  Äj,  Tc^  (d.  i.  die 
Ebene  der  Tangenten  dieser  Linien  in  Ä)  die  dritte  Leitlinie  k^  reell 
oder  imaginär  schneidet  (82,  2)).  Im  ersteren  Falle  sind  die  Ver- 
bindungslinien von  A  mit  den  beiden  Schnittpunkten  der  \  die  bei- 
den durch  A  gehenden  Erzeugenden.  Fallen  beide  zusammen,  so 
wird  die  Fläche  ein  Kegel.  Die  P  enthält  alle  Geraden,  welche 
\,  k^y  k^  schneiden,  weil  sie  von  jeder  drei  Punkte  enthält.  Die 
Fläche  ist  aber  als  Regelfläche  reell  oder  imaginär,  je  nachdem 
diese  Geraden  reell  oder  imaginär  sind.  Wir  bemerken  also,  daß 
die  \jk^yk^  nur  unter  einer  gewissen  Bedingung  eine  reelle  Regel- 
fläche bestimmen. 

Im  vierten  Falle  mit  den  zwei  projektiven  Punktreihen  h  und  k 
seien  g^y  g^  zwei  Erzeugende.  %,  g^  und  k  als  zwei  Kegelschnitt^ 
und  ein  außerhalb  derselben  liegender  Punkt  von  g<^  bestimmen  eine 
Regelfläche  zweiten  Grades,  deren  Erzeugende  auf  h  und  k  pro- 
jektive Punktreihen  einschneiden,  und  zwar  die  gegebenen,  weil  sie 
mit  ihnen  je  drei  entsprechende  Punkte  h  {k^gi^g^  und  k(h,g^jg^ 
gemein  haben. 

Im  ßnften  Falle  mit  den  projektiven  Punktreihen  t,,  k^  sei  g 
eine  Erzeugende.  Diese  drei  Linien  bestimmen  eine  Regelfläche 
zweiten  Grades,  deren  Erzeugende  auf  \  und  k^  unsere  Punktreihen 
*i  (hl  hf  9)  und  Äa  Qc^y  k^y  g)  erzeugen. 

b)    Das  einschalige  Hyperboloid. 

148,  Aufg.  Das  einschalige  Hyperboloid  daremteUen,  von  wel- 
chem jswei  mit  einer  Hauptebene  parallele  gleicfie  Ellipsen  k,  i^  und 
eine  Erzeugende  gegeben  sind. 

Aufl,  Die  Ebene  der  Ellipse  k  nehme  man  als  Pj,  die  Pg  stelle  Fig.  7o. 
man  parallel  zu  einer  Axe  der  k.  Der  Mittelpunkt  M  der  Fläche 
ist  die  Mitte  der  Verbindungslinie  der  Mittelpunkte  beider  Ellipsen; 
die  ersten  Projektionen  derselben  fallen  in  k'  zusammen,  M  ist  ihr 
Mittelpunkt,  2)',  E'  sind  die  ersten,  D",  JB";  D/',  J?/'  die  zweiten 
Projektionen  benachbarter  Scheitel  von  k  und  k^.  Die  gegebene 
Erzeugende  h  schneide  k  und  k^  bezw.  in  F,  G^.  Die  projektiven 
Pnnktreihen,  welche  durch  die  Erzeugende  g  auf  k  und  \  gebildet 
werden,   erhält  man  durch  das  Ebenenbüschel  h,   oder   durch  die 

Wiener,  Lehrbach  der  darsteUenden  Geometrie.    II.  10 

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146 


III,  148.    Die  Flächen  zweiten  Grades. 


teilenden  Punktreihe  eines  Kreises, 


parallelen  Strahlenbüschel  aus  F  und  G^  bezw.  in  den  Ebenen  von 
Ic  und  \.  Zur  gleichförmigen  Verteilung  der  g  nehmen  wir  cyklisch- 
projektive  Punktreihen  an,  welche  projektiv  sind  mit  einer  gleich- 

Diese  ist  in  der  Figur  durch 
Affinität  mit  dem  aus  M'  durch 
D'  gezogenen  Kreise  und  des- 
sen Teilung  in  16  gleiche  Teile 
hergestellt.  Um  eine  Verschie- 
denheit der  Teilungen  in  h'  und 
Ä/  zu  vermeiden,  sind  F'  und 
G^  in  Teilungspunkten  ange- 
nommen. Die  Verbindungslinien 
derjenigen  Teilungspunkte  auf  Tc 
und  \y  welche  bezw.  von  F  und 
Gj  um  gleich  viele  Teile  in 
demselben  Sinne  entfernt  sind, 
bilden  die  Erzeugenden  Qj  wäh- 
rend diejenigen  &  durch  eineVer 
tauschung  der  Punkte  auf  Tc  und 
^1  erhalten  werden.  Die  Kehl- 
eUipse  halbirt  die  zwischen  1c 
und  Tc^  liegenden  Stücke  der  Er- 
zeugenden und  bildet  den  ersten 
Umriß;  ihre  Scheitel  sind  JB  und 
C.  Der  Asymptotenkegel  hat  zur 
ersten  Spur  eine  mit  DE  kon- 
centrische  und  ähnliche  Ellipse;  ihr  Scheitel  F^  wird  durch  die 
durch  M  parallel  zu  der  Erzeugenden  {G^F)  gezogene  Gerade  er- 
halten, deren  erste  Projektion  M!F^  ist.  Dann  bildet  F"  G^'  auch 
eine  Asymptote  der  Umrißhyperbel  in  P2,  und  durch  sie  wird  die 
ideelle  Axe  MA  erhalten.  Das  Atisjsiehen  und  Ptmktiren  in  beiden 
Projektionen  geschieht  ganz  entsprechend  wie  bei  dem  einschaligen 
Umdrehungshyperboloide  (Fig.  15). 

Aus  der  ersten  Projektion  P'  eines  Punktes  P  der  Fläche  erhält 
man  dessen  zumte  Projektion  P"  oder  P*",  wenn  man  aus  P'  an 
die  Projektion  der  Kehlellipse  die  zwei  Tangenten  zieht,  diese  in 
zweierlei  Weise  als  Erzeugende  der  beiderlei  Schaaren  betrachtet, 
und  aus  ihren  Schnitten  mit  k  und  k^  ihre  zweiten  Projektionen 
bestimmt,  welche  sich  bezw.  in  P"  oder  in  P*"  treflTen. 

Die  Beriihrungsebenen  in  den  Punkten  P',  P"  und  P',  P*"  sind 
jedesmal  die  Ebenen  der  beiden  durch  den  Punkt  gehenden  Erzeugen- 
den und  haben  zu  Spuren  bezw.  ^1,  ^  und  t^*,  t^*.    Zur  Bestimmung 


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III,  143—144.   Die  windschiefen  Flächen  zweiten  Grades. 


147 


ihrer  zweiten  Spuren  ist  wegen  Raummangels  die  zweite  Spur  T 
ihrer  Schnittlinie  benutzt,  welche  gleiche  Abstände  von  t^  und  t^  hat 

144.    Aufgaben  und  Sätze  über  das  einschalige  Hyperboloid,  wel- 
ches durch  drei  Erzeugende  derselben  Schaar  g^j  g^,  g^  gegeben  ist. 

Zur  Darstellung  benutze  man  zwei  parallele  Spurebenen  Fi^Fj 
(I,  112  flf.),   wobei  g^  durch  seine  erste  Spur  A^  und  seine  zweite  ^«- '^• 
Bif  g^  und  g^  bezw.  durch  Jg?  ^2j  -^s?  ^s  gegeben  sind.    Es  sollen 
bestimmt  werden 

Fig.  71. 


1)  die  drei  bezw.  zu  g^,  g^,  g^  parallelen  Erzeugenden  h^,  h^,  h^ 
der  anderen  Schaar.  Man  findet  h^  als  Schnitt  der  Ebenen,  welche 
man  parallel  mit  g^  bezw.  durch  g^  und  g^  legt  und  deren  erste  Spuren 
e^i,  631  heißen  mögen.  Für  Äj,  Äj  ™^ß  ™^"^  bezw.  632,  e^^i  ^13  >  ^3 
bestimmen.  Da  aber  e^^  ||  ^1  u.  s.  w.,  so  genügt  es,  von  den  sechs 
Sparen  nur  drei,  etwa  63^,  e^g,  6^3,  unmittelbar  zu  konstruiren.  Die 
Spur  631  der  durch  g^  und  ||  g^  gelegten  Ebene  erhält  man  als 
A^F^,  wenn  -B3F3  #  B.A^  (I,  118,  3));  a,,  =  A,F,  durch  B,F,  * 
B^A^]  «23  =  A^F^  durch  B^F^  #  J?8-43-  Dann  zieht  man  613  ||  e^^ 
durch  Ai,  e^i  ||  e,2  durch  ^,  6^2  D  ^3  durch  ^3,  und  erhält,  wenn 
man  die  Schnittpunkte  von  e^^  und  ^21  mit  C^,  von  6^2;  ^ss  ^^^  ^2> 
Yon  6^,  6^3  mit  (73  bezeichnet,  die  Erzeugenden  A^,  Ag;  ^  als  die 
Parallelen  bezw.  mit  g^,  g^,  g^  durch  (7,,  Cj,  C^.  Ihre  zweiten 
Spuren  sind  bezw.  2),,  Dg;  A;  w^nn  CiDi  :^AiBi,  C^D^  #  -ig ^2' 
C^D^  :\^  A^By  Die  sechs  Erzeugenden  bilden,  da  jede  g  jede  7» 
schneidet,  einen  Zug  von  Gegenkantenpaaren  eines  Parallelepipedums 
9iK9z\9%\}  dessen  Ecken  I,  II  ...  VI  sind. 

2)  Der  scheinbare  Umriß  der  Fläche  ist  der  Kegeschnitt,  wel- 
cher dem  Sechsseit  eingeschrieben  ist,  das  durch  die  Projektionen 
der  verzeichneten  sechs  Erzeugenden  gebildet  wird. 

10* 


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148  in,  144.   Die  Flächen  zweiten  Grades. 

3)  Der  Mittelpunkt  M  der  Fläche.  Durch  ihn  gehen  die  (asymp- 
totischen) Ebenen  je  zweier  parallelen  Erzeugenden,  wie  fl^iÄj;  daher 
ist  M  der  Mittelpunkt  jenes  Parallepipedums,  oder  der  Schnittpunkt 
seiner  Diagonalen  I  IV,  11  V,  III  VI. 

4)  In  jedetn  SechseckSy  dessen  Seiten  du/rch  drei  Erzeugende  g 
und  drei  h  der  Fläche  in  Äbioechslung  g^ldet  werden,  schneiden  sich 
die  Hauptdiagonalen  {die  Verbindungslinien  gegenüberliegender  Ecken) 
in  einem  Punkte.  Denn  es  gilt  dies  von  jeder  Projektion  des  Sechs- 
ecks, weil  dieses  dem  Umrißkegelschnitte  umschrieben  ist  (Satz  von 
Brianchon,  I,  324). 

5)  Der  Asymptotenkegel  hat  M  zur  Spitze  und  zur  ersten  Spur 
den  Kegelschnitt,  welcher  die  Geraden  Ä^C^,  A^C^y  A^C^  in  ihren 
Mitten  berührt.  Denn  A^y  G^  sind  die  Spuren  bezw.  von  g^y  Ä|, 
also  A^G^  die  Spur  einer  Asymptotenebene,  und  diese  wird  von  der 
zu  g^  und  h^  parallelen  (durch  M  gehenden)  Erzeugenden  des  Asymp- 
totenkegels in  ihrer  Mitte  getroffen. 

6)  Einen  Punkt  der  Fläche  aus  seiner  Projektion  P  zu  bestim- 
men und  in  demselben  die  Berührungsebene  Tan  die  Fläche  zu  legen. 
Man  bestimmt  den  Punkt  bei  unserer  Darstellungsweise  durch  die 
beiden  Spuren  einer  durch  ihn  gehenden  Geraden,  seines  Tri^ers 
als  solche  wählen  wir  eine  jede  der  beiden  Erzeugenden,  welche  zusam- 
men dann  zugleich  die  Berührungsebene  bestimmen.  Die  Erzeugenden 
projiciren  sich  als  Tangenten  des  Umrisses,  der  durch  fünf  von  den 
sechs  Tangenten  bestimmt  ist,  etwa  durch  g^^h^  g^h^  g^*  Soll  der  Umriß 
nicht  verzeichnet  werden,  so  verfährt  man  in  der  reciproken  Weise 
von  1,384,1),  indem  man  die  Doppelstrahlen  der  projektiven  Strahlen- 
büschel ermittelt,  welche  aus  P  die  Punktreiben  projicirt,  die  etwa 
auf  g^  und  h^  durch  \f  g^y  g^  eingeschnitten  werden.  Diese  Doppel- 
strahlen sind  in  der  Figur  nach  I,  326  bestimmt,  von  denen  eine 
jede  einer  jeden  Schaar  angehören  kann,  so  daß  sie  sowohl  mit  ^4, 
A4  als  mit  Ä5,  ^5  bezeichnet  wurden.  Die  Spuren,  so  die  von  ^4, 
werden  ermittelt,  indem  man  beachtet,  daß  ^^  die  \  und  h^  schnei- 
det. Man  legt  durch  den  Schnittpunkt  g^\  eine  Parallele  zu  A^? 
dieselbe  bestimmt  mit  \  eine  Ebene,  deren  erste  Spur  die  (durch 
C|  gehende)  e^i  ist,  und  diese  schneidet  jene  zu  h^  Parallele  in  ihrer 
ersten  Spur  J.  Die  Ebene  dieser  Geraden  imd  der  \  hat  dann  JG^ 
und  eine  durch  D^  gehende  Parallele  derselben  zu  Spuren,  und  auf 
ihnen  liegen  die  Spuren  A^,  B^  der  ^4,  weil  die  g^  als  Schneidende 
der  beiden  Geraden  in  ihrer  Ebene  enthalten  ist.  Ebenso  erhält 
man  von  5^5,  A4,  Äg  bezw.  die  Spuren  Ar,y  B55  C4,  D^;  Q,  Dg.  — 
P  bestimmt  also  zwei  Punkte  der  Fläche,  nämlich  g^^y  hji^  und  g^^h^^ 
Die  Berührungsebenen  in  denselben  haben  A4^G^  =  tiy  B^D^^^t^y 


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III,  144.    Die  windschiefen  Flächen  zweiten  Grades.  149 

die  unter  einander   parallel   sein   müssen y^   und  A^C^  =  ^j*    -E'ö^s 
=  ^*  zu  Spuren. 

7)  Die  SchiiUlinie  h  einer  Ebene  E  mit  der  Fläche  zu  bestimmen. 
Man  ermittle  ihre  Schnittpunkte  mit  fünf  Erzeugenden  der  F;  die- 
selben bilden  fünf  Punkte  des  Kegelschnittes  Tc,  Ist  die  E  durch 
ihre  Spuren  e^y  e^  gegeben^  so  bestimmt  man  ihre  Schnittpunkte 
mit  zwei  Erzeugenden  verschiedener  Schaar,  z.  B.  mit  den  parallelen 
g^y  \j  durch  ein  und  dieselbe  Hilfsebene,  die  der  beiden  Erzeugen- 
den, deren  Spuren  hier  A^C^y  ^lA  s^^^- 

8)  Den  ^erühnmgskegel  am  einem  Punkte  E  an  die  Fläche  m 
legen.  Man  legt  durch  E  und  jede  von  fünf  Erzeugenden  eine 
Ebene;  diese  fünf  Ebenen  hüllen  den  Kegel,  und  ihre  Spuren  die 
Spur  des  Kegels  ein,  und  es  ist  dieser  Kegelschnitt  durch  seine 
fünf  Tangenten  bestimmt.  Für  zwei  Erzeugende  verschiedener 
Schaar,  z.B.  zwei  parallele  g^y  h^y  erhält  man  zwei  solche  Ebenen 
durch  eine  einzige  Hilfslinie,  die  man  durch  E  und  den  Schnitt- 
punkt der  beiden  Erzeugenden,  hier  parallel  zu  ihnen,  legt. 

9)  Den  Pol  E  einer  Ebene  E  zu  der  Fläche  zu  bestimmen.  Man 
schneidet  E  mit  drei  Erzeugenden,  legt  durch  jeden  Schnittpunkt 
die  Berührungsebeue  der  Fläche  und  bestimmt  E  als  den  Schnitt- 
punkt dieser  drei  Ebenen.  Die  Berührungsebene  in  einem  Punkte, 
der  auf  einer  Erzeugenden,  etwa  einer  ^,  gefunden  wurde,  enthält 
noch  die  durch  diesen  Punkt  gehende  Erzeugende  hy  und  diese  findet 
man  als  Schneidende  mit  zwei  weiteren  g.  — -  Auf  gleiche  Weise 
erhält  man  die  Berührungsebenen  in  den  fünf  Punkten  der  %  in  7); 
dieselben  gehen  alle  durch  den  Punkt  E  und  hüllen  den  entlang  k 
berührenden  Kegel  ein. 

10)  Die  Polarebene  E  eines  Punktes  E  zu  der  Fläche  zu  bestimmen. 
E  ist  die  Ebene  der  Berührungspunkte  der  Fläche  mit  den  drei 
Ebenen,  welche  man  durch  E  und  jede  von  drei  Erzeugenden  legt. 
Der  Berührungspunkt  einer  Ebene  wird  auf  der  in  ihr  enthaltenen 
Erzeugenden  durch  die  Verbindungslinie  der  Schnittpunkte  der  Ebene 
mit  zwei  weiteren  Erzeugenden  derselben  Schaar  eingeschnitteu.  — 
Auf  dieselbe  Weise  erhält  man  fünf  Punkte  der  Berührungskurve 
des  in  8)  umschriebenen  Kegels;  dieselben  liegen  in  einer  Ebene 
und  bestimmen  die  Kurve. 

11)  Van  einer  gegebenen  Geraden  l  die  Schnittpunkte  mit  der 
Fläche  zu  bestimmen  und  durch  l  die  Berührungsebenen  an  die  Fläcfie 

zu  legen y  wenn  diese  durch  drei  Erzeugende  g^y  g^y  g^  derselben  Schaar  rig.  72. 
gegd)en  ist.    Es  sind  g^  =  A^B^y  g^  =  A^B^,  g^  =  A^B^,  l  =  L^L^ 
gegeben.     Man   ermittele   zunächst   zwei   Erzeugende    h^  =  CiD^ 
h^^=  C^D^  der  anderen  Schaar,   zweckmäßig  die  parallelen  bezw. 


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150 


III,  144.   Die  Fl&chen  zweiten  Grades. 


zu  g^f  g^.  Zu  dem  Ende  lege  man,  ähnlich  wie  in  1),  B^F^^BiAij 
B^F^  *  J?2^8,  ziehe  A^C^  \Ä^C^\  F^F^,  so  ist  G^  der  Schnittpunkt 
von  Ä^F^  mit  Ä^C^j  C^  der  von  A^F^  mit  A^C^\  man  erhält,  dann 

Fig.  72. 


Dl  und  Dj  durch  C,A#  A^i;  C^D^:^A^B^.  Um  die  Schnitt- 
punkte P,  P*  von  i  mit  der  Fläche  zu  ermitteln,  denke  man  sich 
diese  durch  die  projektiven  Ebenenbüschel  h^^g^g^g^),  h^^g^g^g^ 
entstanden;  dieselben  schneiden  auf  l  zwei  projektive  Punktreihen 
G^G^G^,  G^G^G^  ein,  deren  Doppelpunkte  P,  P*  sind.  Um  die 
Schnittpunkte  aller  sechs  Ebenen,  z.B.  G/  von  h^g^y  mit  l  zu  er- 
halten, legt  man  durch  l  eine  Hilfsebene  l^  ü,  (l^  willkürlich  durch 
-^1?  '211^1  diirch  ig),  schneidet  sie  mit  der  Ebene  Äafi'i  (=  Cg-^i, 
DaPi)  in  -Bi-Bg,  so  gehtJ5?iJ?a  durch  G^/.  Die  Doppelpunkte  P,  P* 
sind  in  der  Figur  nach  I,  327  bestimmt. 

Die  Berührungsebene  T  in  P  ist  die  Ebene  der  beiden  durch  P 
gehenden  Erzeugenden  ^4,  Ä^,  in  P*  der  ^5,  Äg.  Es  sind  aber  be- 
stimmt ^4,  ^5  als  schneidend  mit  h^y  \\  Ky  K  ^^^  schneidend  mit 
g^y  g^.  In  der  Ausführung  legt  man  durch  P  und  P*  Parallele  zu 
g^  (und  W  g^  (und  Ä^),  deren  erste  Spuren  bezw.  JC^,  JK,,  Z'^*,  JC,* 
sind.  Zur  Ermittelung  dieser  Spuren  zieht  man,  da  P,  P*  durch 
Z  als  Träger  gegeben  sind,  die  L^J^^B^A^,  L^J^ij^B^A^j  dann 
liegen  JKi,  K^  auf  der  Geraden  iiJi",  K^yK^  auf  i,J2,  den  Spu- 
ren der  durch  l\gi  bezw.  ||  g^  gelegten  Ebenen.  Unsicherheit  der 
Schnitte,  die  in  der  Figur  vorkommt,  ist  leicht  unter  Beachtung 
der  Verhältnismäßigkeit  zu  beseitigen.    Nun  erhält  man  g^^^A^^B^ 


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in,  144—146.   Die  windsohiefen  Flächen  zweiten  Grades.  151 

als  Schnitt  der  Ebene  F\=^K^C^j  B^B^  mit  der  Ebene  PÄ^  = 
K^C^,  B^B^\  K^C^  und  K^C^  schneiden  sich  in  der  A^y  B^B^  und 
B^^B^  in  J?4,  A^B^  läuft  durch  P.  Auf  gleiche  Weise  erhält  man 
g^  =  -45^5,  A4  =  G^B^,  A5  =  C5D5.  Die  BerOhrungsebene  T  =  gjh^^ 
hat  dann  zu  Spuren  t^  =  A^C^,  t^  =  ^4^4?  T*  =  grgÄg  dagegen 
^1*  =  A^C^y  t^  =  BgDß.  Die  Schnittlinie  Tj  2^  beider  Ebenen  geht 
durch  die  Schnittpunkte  Q  =  g^h^y  Q*  ^^  g^h^,  QQ*  ist  die  PoZarc 
von  FP*  =  l 

12)  Eine  Gerade  m  legen,  welche  vier  gegebene  Gerade  schneidet. 
Diese  Aufgabe  wird  auf  die  vorhergehende  zurQckgefQhrt,  indem 
man  die  eine  Gerade  mit  dem  durch  die  drei  anderen  gehenden 
Hyperboloide  in  zwei  Punkten  schneidet  und  durch  jeden  der  Schnitt- 
punkte eine  Gerade  legt^  welche  zwei  der  letizteren  Geraden  trifiFt; 
eine  solche  trifft  als  Erzeugende  der  Fläche  auch  die  letzte  Gerade. 
Es  gibt  also  gwei  Gerade,  welche  die  vier  gegebenen  schneiden. 

145.  Sätge  über  das  ein-  und  das  zumschalige  Hyperboloid  und 
ihre  AsymptotenJcegel. 

1)  Bas  Hyperboloid  u/nd  sein  Asymptotenkegel  besitzen  dasselbe 
System  konjugirter  Burchmesser  und  Burchmesserebenen,  weil  sie  in 
der  unendlich  fernen  Ebene  denselben  Kegelschnitt  und  daher  das- 
selbe Polarsystem  besitzen.     (Vergl.  auch  Nr.  89.) 

2)  Jede  Ebene  schneidet  das  Hyperboloid  und  ihren  Asyntptotenr 
kegel  in  hmcentrischen,  ähnlichen  oder  hmjugirt  ahnlichen  und  ähnlich 
gelegenen  Kegelschnitten,  weil  beide  Kurven  auf  der  unendlich  fernen 
Geraden  ihrer  Ebene  dieselbe  Involution  besitzen,  und  weil  derselbe 
Durchmesser  der  Flächen  zu  der  Schnittebene  in  Bezug  auf  beide 
Flächen  konjugirt  ist,  dieser  aber  die  Mittelpunkte  enthält. 

3)  Jede  schneidende  Gerade  enthält  zwei  gleiche  Strecken  ztvischen 
beiden  Flächen,  weil  die  durch  die  Gerade  und  den  Mittelpunkt  der 
Flächen  gelegte  Ebene  das  Hyperboloid  imd  den  Asymptotenkegel 
bezw.  in  einer  Hyperbel  imd  deren  Asymptoten  schneidet,  für  diese 
Linien  aber  der  Satz  gilt  (I,  360). 

146.  Bas  einschalige  Hyperboloid  ist  in  verschiedener  Weise  durch 
Elemente  bestimmt,  die  ihm  angehören  sollen: 

1)  durch  zwei  sich  nicht  schneidende  Gerade  und  drei  Punkte. 
Die  Ebene  der  drei  Punkte  schneidet  die  Geraden  in  zwei  Punkten, 
welche  mit  den  drei  gegebenen  einen  Kegelschnitt  und  dadurch  die 
Fläche  bestimmen  (141,  1)). 

2)  Durch  ein  unndschiefes  Viereck  und  einen  Punkt,  indem  man 
durch  diesen  eine  Erzeugende  jeder  Schaar,  als  schneidende  mit  zwei 
Gegenseiten,  legen  kann;  es  sind  dann  drei  g  und  drei  h  gegeben. 

3)  Burch  zwei  sich  schneidende  Gerade  und  vier  Punkte,  indem 


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152  in,  146—147.   Die  Flachen  zweiten  Grades. 

man  in  den  drei  Ebenen  je  dreier  einen  Kegelschnitt  der  Fläche 
bestimmen  kann,  wodurch  die  Fläche  bestimmt  ist  (141,  3)). 

4)  Durch  eine  Gerade  g^  und  sechs  Funkte  F^^  F^  . , ,  F^.  Denkt 
man  die  durch  einen  der  Punkte,  etwa  P^,  gehende  Erzeugende  g^y 
so  müssen  die  zwei  Ebenenbüschel  g^j  g^j  welche  die  übrigen  f&nf 
Punkte  projiciren,  unter  einander  projektiv  sein,  und  hierdurch  ist 
g^  bestimmt.  Denn  schneidet  man  durch  eine  beliebige  Ebene  das 
Ebenenbüschel  g^(F^F^  . .  Pg)  und  die  fünf  Strahlen  PiCPgPs  . .  Pe) 
bezw.  in  einem  Büschel  von  fünf  Strahlen,  einem  Fünfstrahle,  und 
in  fünf  Punkten  öaös  •  •  Qq}  so  ist  der  Schnittpunkt  G^  von  g^  mit 
der  Ebene  derjenige  Punkt,  aus  welchem  die  fünf  Schnittpunkte 
durch  ein  mit  dem  Fünfstrahle  projektives  Sti'ahlenbüschel  projicirt 
werden.  G^  ist  aber  der  vierte  Schnittpunkt  zweier  Kegelschnitte, 
von  denen  der  eine  der  Ort  des  Punktes  ist,  aus  welchem  die  vier 
Punkte  Q^  Q^  Q^  Q^  durch  ein  mit  g^  (P2  P3  P4  P5)  projektives  Strah- 
lenbüschel, der  zweite  der  Ort  eines  solchen,  aus  welchen  Ö2Ö3Ö4Ö6 
durch  ein  mit  g^  (Pg  P3  P4  Pq)  projektives  Strahlenbüschel  projicirt 
werden.  Der  erstere  Kegelschnitt  geht  durch  Q^  Q^  (?4  Ö5  "öd  hat 
Q,  T  zur  Tangente,  wenn  Q,  (TQ^  Q^  Q^)  =  g,  (P^  P3  P^  P5)  gemacht 
wurde;  der  zweite  geht  durch  Q^  Q^  Q^  Q^  und  wird  entsprechend 
bestimmt.  Beide  haben  daher  die  drei  Punkte  Ö2Ö3Ö4  gemein;  sie 
müssen  daher  noch  einen  vierten  gemein  haben  und  dieser  ist  Gg. 
Dann  ist  g^  =  P1G2  und  die  Fläche  ist  bestimmt. 

Übungsaufgaben.  Es  ist  jede  dieser  vier  Aufgaben  in  der 
Zeichnung  durchzuführen. 

147.     Besondere  Arten  des  einschaligen  Hyperboloids, 

1)  Nennt  man  in  zwei  Ebenenbüscheln  g^y  g^  eine  Ebene  des 
einen  und  die  auf  ihr  senkrechte  des  anderen  entsprechend,  so  sind 
beide  Büschel  projektiv  und  bilden  durch  die  Schnittlinien  ent- 
sprechender Ebenen  ein  eiuschaliges  Hyperboloid,  welches  om  ortho- 
gonales  Hyperboloid  heißt*).  Die  zu  diesen  Büscheln  parallelen  Büschel 
ffi7  92  f  deren  Axen  durch  den  Mittelpunkt  der  Fläche  gelegt  sind, 
bilden  dann  einen  Kegel,  welcher  ein  orilwgonaler  Kegel  heißt  und 
der  Asymptotenkegel  des  Hyperboloids  ist,  weil  jede  seiner  Erzeu- 
genden mit  einer  solchen  des  Hyperboloids  parallel  läuft. 

Jede  zu  einer  der  Axen  g^ ,  g^  senkredite  Ebene  schneidet  jede  der 


*)  So  benannt  von  Herrn  Schröter  in  s.  Abb.:  Über  ein  einfaches  Hyper- 
boloid von  besonderer  Art  (Journ.  f.  r.  u.  a.  Math.  v.  Crelle-Borchardt,  B.  85, 
1878,  S.  41;  siehe  auch  Schröter,  Theorie  der  Oberfl.  2.  0.  und  BAumkurven 
3.  0.,  1880,  S.  184).  Dies  Hyperboloid  wurde  zuerst  aufgestellt  und  untersucht 
von  Steiner  (Journ.  f.  r.  u.  a.  Math,  v.  Grelle,  B.  2,  1827,  S.  292 ;  und  System. 
Entwickl.  d.  Abhäng,  geometr.  Gestalten  v.  einander,  1832,  S.  218  u.  232). 


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III,  147.   Die  windschiefen  Flächen  zweiten  Grades.  153  ' 

beiden  Flächen  in  einem  Kreise  y  welcher  hezw.  von  (/,,  g^  und  von  (//, 
g^  in  den  Endpunliten  G^,  G^g,  bezw.  G/,  G^  eines  Durchmessers  ge- 
troffen wird.  Denn  eine  auf  g^  senkrechte  Ebene  schneidet  das 
Ebenenbüschel  g^  in  einem  Strahlenbüschel  Gi,  dasjenige  g^  in  einem 
solchen  G^,  deren  Strahlen  die  Senkrechten  sind,  welche  aus  G^  auf 
die  entsprechenden  Ebenen  des  Büschels  g^  gefällt  sind  (indem  sie 
eine  auf  g^  senkrechte  Ebene  bilden),  oder  auch  auf  die  entsprechen- 
den Strahlen  des  Büschels  G^]  woraus  sowohl  folgt,  daß  beide 
Strahlenbüschel  den  bezeichneten  Ereis,  die  Schnittkur ve  mit  der 
Fläche,  bilden,  als  auch  daß  die  Strahlenbüschel  G^,  G^,  daher 
auch  die  Ebenenbüschel  g^,  g^  projektiv  sind  und  ein  Hyperboloid, 
bezw.  einen  Eegel  zweiten  Grades  erzeugen. 

Das  orthogonale  Hyperboloid  entsteht  auch  durch  die  Ebenenbüschel 
der  bezw,  zu  g^y  g^  parallelen  Erzeugenden  h^y  h^y  deren  entsprechende 
Ebenen  ebenfalls  auf  einander  senkrecht  stehen. 

Eine  auf  g^  senkrechte  Ebene  E  schneidet  den  Kegel  in  einem 
Kreise  ft  vom  Durchmesser  G^  G^y  und  die  Ebene  ^/  g^'  =  S  ist 
eine  Symmetrieebene  für  den  Kreis  Je  und  für  den  Kegel.  Legt  man 
nun  durch  zwei  symmetrische  Punkte  G^G^  des  h  die  Kegelerzeu- 
genden g^giy  so  besitzen  diese  gleiche  Neigungen  gegen  die  ^/, 
und  gleiche  gegen  die  g^\  und  nimmt  man  g^  y  g^  als  Axen  zweier 
Ebenenbüschel  an,  welche  den  Kegel  erzeugen,  so  sind  diese  pro- 
jektiven Büschel  unter  einander  kongruent.  Denn  zieht  man  an  Ic 
in  Gj'  die  Tangente  G^Ty  so  entsprechen  sich  in  jenen  Büscheln 
dreimal  zu  zwei  die  Ebenen  g^  {G^G^T)  und  gl  (G^G^G^).  Die 
Die  Ebenen  g^G^y  g^G^  sind  aber  J_  K,  weil  sie  die  g^  enthalten  5 
auf  diesen  Ebenen  stehen  bezw.  die  Geraden  G^G^  und  G^G^, 
also  auch  die  Ebenen  g^G^  und  ^'/G/  senkrecht  (ersteres,  weil 
^  G;GIGI  =  ^  G;GIG;  =  90«).  Ferner  ist  ^  G^G^T^ 
^G^'G^G^'y  daher  liegen  symmetrisch  zu  der  auf  K  senkrechten 
Ebene  g^Gi  die  Geraden  G^Ty  G^G^y  und  ebenso  die  Ebenen 
gl  Ty  gl  Gl  oder  sie  bilden  gleiche  Winkel  mit  gl  Gl.  Da  außer- 
dem wegen  der  Symmetrie  in  Bezug  auf  S  die  Winkel  der  Ebenen 
gl  Gl,  gl  Gl  und  der  Ebenen  gl  Gl,  gl  Gl  gleich  sind,  so  sind  in 
den  Ebenenbüscheln  gl  {Gl  Gl  T),  gl  (Gl  Gl  Gl)  die  Winkel  der 
zwei  ersten  Ebenen  rechte,  und  die  der  ersten  und  letzten  Ebenen 
unter  einander  gleich,  daher  die  Büschel  dieser  je  drei  Ebenen,  sowie 
die  ganzen  Ebenenbüsch^l  gl,  gl  unter  einander  kongruent  Indem  es 
imendlich  viele  solche  Paare  gl,  gl  gibt,  und  Parallele  zu  ihnen  im 
Hyperboloide  bestehen  (^3,  g^)y  gilt:  Das  orthogonale  Hyperboloid  und 
der  orthogonale  Kegel  Jcönnen  auf  unendlich  viele  Arten  durch  Jcon- 
gruente  Ebenenbüschel  g^,  g^y  bezw.  gly  gl  erzeugt  werden,  deren  Axen 


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154  IH;  147.   Die  Flachen  zweiten  Grades. 

gleich  geneigt  sind  gegen  jede  der  leiden  zu  den  Kreisebenen  senkrechten 
Erzeugende  g^,  g^  bezw.  g^,  g^. 

Umgeicehrt  erzeugen  irgend  zwei  kongruente  Ebenenbüschel  g^,  g^ 
oder  g^\  g^  ein  orthogonales  Hyperboloid  oder  einen  orthogonalen  Kegel, 
und  es  liegen  die  zu  den  Kreisebenen  senkrechten  Erzeugenden  bei  dem 
Kegel  {g^,  g^)  in  derjenigen  von  den  beiden  die  Winkel  g^\  g^  senk- 
recht haUnrenden  Ebene  S,  in  welcher-  beide  Ebenenbüschd  v/ngleich- 
laufende  Strahlenbüschel  einschneiden;  bei  dem  Hyperboloide  liegen  g^y  g^ 
in  einer  zu  S  parallelen  Ebene. 

In  dieser  Ebene  nämlich  besitzt  der  Kegd  zwei  reelle  Erzeu- 
gende, die  Doppelstrahlen  ^r/,  g^  jener  ungleichlaufenden  projektiven 
Strahlenbüschel.  In  der  anderen  (zu  S  senkrechten)  Halbirungs- 
ebene  sind  die  Strahlenbüschel  gleichlaufend  und  besitzen  im  allge- 
meinen keinen  Doppelstrahl,  weil,  wenn  sie  einen  besäßen,  sie  alle 
Strahlen  gemein  haben  müßten,  da  sie  dann  symmetrisch  zu  dieser 
Ebene  und  perspektiv  wären.  Der  Orthogonalkegel,  welcher  g^'  zu 
einer  auf  Ereisebenen  senkrechten  Erzeugenden  hat  und  durch 
9z  i  9l  g^tt,  ist  aber  durch  diese  drei  Erzeugenden  bestimmt,  weil 
der  Kreis  k  einer  solchen  Ebene  E  durch  die  drei  Schnittpunkte  mit 
diesen  Erzeugenden  bestimmt  isi  Weil  ^r/  in  S,  K  J_  S  und  g^,  gl 
symmetrisch  zu  S  liegen,  so  liegt  auch  k  symmetrisch  zu  S;  in  S 
liegt  daher  ein  Durchmesser  des  2;,  sowie  die  auf  den  anderen 
Kreisebenen  senkrechte  Erzeugende  g^  des  Kegels.  Daher  sind  g^^ 
gl  gleich  geneigt  gegen  jede  von  diesen  beiden  Erzeugenden,  und 
der  Orthogonalkegel  wird  auch  durch  zwei  kongruente  Ebenen- 
büschel gl,  gl  hervorgebracht.  Mit  dem  Ebenenbüschel  gl  sind 
demnach  zweierlei  Ebenenbüschel  gl  kongruent,  das  ursprünglich 
gegebene  und  das  des  Orthogonalkegels;  beide  sind  daher  unter  ein- 
ander kongruent,  und  sie  fallen  zusammen,  weil  ihre  beiden  sich 
entprechenden  Ebenen  gl  Gl  zusammenfallen,  und  weil  sie  gleichen 
Drehungssinn  besitzen,  nämlich  in  der  Ebene  S  beide  den  entgegen- 
gesetzten des  Ebenenbüschels  gl.  Daher  erzeugen  die  gegebeaen 
kongruenten  Ebenenbüschel  gl ,  gl  den  Orthogonalkegel  gl,  gl. 
Irgend  zwei  zu  den  Ebenenbüscheln  gl,  gl  bezw.  parallele  g^,  g^ 
erzeugen  dann  ein  orthogonales  Hyperboloid,  dessen  g^,  g^  bezw. 
parallel  zu  gl,  gl  sind,  und  dessen  Asymptotenkegel  mit  dem  be- 
trachteten Kegel  parallel  ist. 

2)  Nennt  man  auf  zwei  Greraden  g^,  g^  einen  Punkt  der  einen 
einem  Punkte  der  andern  entsprechend,  wenn  die  aus  ein  und  dem- 
selben Punkte  P  nach  ihnen  gezogenen  Strahlen  einen  rechten  Winkel 
mit  einander  bilden,  so  sind  die  Punktreihen  gi,  g^,  projektiv  und 
bestimmen  eine  Regelfläche  zweiten  Grades.    Denn  die  Punktreihe  g^ 


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III,  147—160.   Die  windschiefen  Flächen  zweiten  Grades.  155 

wird  aus  P  durch  ein  Strahlenbüschel  projicirt,  diejenige  g^  aus 
einer  durcli  P  und  senkrecht  zur  Ebene  P^,  gelegten  Axe  durch  ein 
Ebenen büschel,  welches  mit  dem  Strahlenbüschel  projektiv  ist^  weil 
jede  seiner  Ebenen  senkreckt  auf  dem  entsprechenden  Strahle  steht. 

148.  Übungsaufgaben.  1)  Von  einem  orthogonalen  Hyper- 
boloide sind  die  beiden  auf  Kreisebeneu  senkrechten  Erzeugenden 
derselben  Schaar  g^^  g^  gegeben^  man  soll  die  beiden  kleinsten 
Kreise,  den  Mittelpunkt  der  Fläche,  und  diejenigen  beiden  Axen 
g^y  ^4  kongruenter,  die  Fläche  erzeugender  Ebenenbüschel  bestim- 
men, deren  jede  gegen  g^,  und  g^  gleich  geneigt  isi 

2)  Gegeben  zwei  Gerade  g^,  g^  und  ein  Punkt  P,  man  soll 
diejenige  Begelfläche  zweiten  Grades  darstellen,  auf  deren  Erzeugen- 
den von  (/i  und  g^  Strecken  abgeschnitten  werden,  die  aus  P  unter 
einem  rechten  Winkel  erscheinen  (147,  2)). 

3)  Den  Punkt  zu  bestimmen,  von  dem  aus  jede  Strecke  zwischen 
zwei  entsprechenden  Punkten  zweier  beliebigen  projektiven  Punkt- 
reihen ABC  . . .,  A^B^Ci  ...  unter  einem  rechten  Winkel  erscheint 
(zwei  Auflösungen). 

Zur  Verzeichnung  können  die  Grund-  und  Aufrißebene,  oder 
zwei  parallele  Spurebenen  benutzt  werden. 

149.  Auf  jeder  Erzeugenden  g  eines  einschaligen  Hyperboloides^ 
sowie  einer  jeden  windschiefen  Fläche  F  gibt  es  einen  Punkt  S, 
welcher  den  kürzesten  Abstand  von  der  benachbarten  Erzeugenden 
{g^  derselben  Schaar  besitzt  und  der  Gentrdlpunkt  der  Erzeugenden  g 
heißt.  Da  dieser  Abstand  senkrecht  auf  g  und  g^  steht,  und  da  die 
durch  g  parallel  zu  g^  gelegte  Ebene  auch  den  unendlich  fernen 
Punkt  der  g^  enthält  und  deswegen  die  Fläche  in  dem  unendlich 
fernen  Punkte  der  g  berührt  und  eine  asymptotische  Ebene  der  F  bil-  ^«f- '» 
det,  so  steht  jener  kürzeste  Abstand   auf  dieser  Ebene  senkrecht. 

Da  er  femer  in  der  Berührungsebene  der  F  in  S  liegt,  so  stehen 
die  Beriihrungsebenen  einer  windschiefen  Fläche  in  dem  CentralpunJcte 
und  in  dem  unendlich  fernen  Punkte  einer  Erzeugenden  auf  einander 
senkrecht j  und  der  Centralpunkt  der  g  wird  als  der  Berührungspunkt 
der  durch  g  senkrecht  zur  asymptotischen  Ebene  der  g  gelegten 
Ebene  gefunden.  Die  Centralpunkte  aller  Erzeugenden  bilden  die 
Striktionslinie.  Jede  Schaar  von  Erzeugenden  des  Hyperboloides  hat 
ihre  besondere  Striktionslinie. 

150.  Au  fg.  Die  Striktionslinie  für  die  eine  Schaar  von  Er- 
zeugenden eines  einschaiigen  Hyperboloids  zu  konstruiren, 

Aufl.  Die  Fläche  sei  durch  die  Kehlellipse  k  und  einen  Punkt 
G  gegeben.  Man  lege  ft,  deren  Halbaxen  MB,  MC  seien,  H  Pi, 
MB  y  X]    durch  G  lege   man   F^   und   die   zu   k   parallele  Ellipse 


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156 


III,  150.   Die  Flächen  zweiten  Grades. 


Ä"|  =  DEy  im  Grundriß  konceutrisch,  ähnlich  und  ähnlich  gelegen 
mit  h.  Um  auf  einer  beliebigen  Erzeugenden  g,  welche  h  und  h^ 
bezw.  in  F  und  G  triflFt  (während  g'  die  7c'  in  F  berührt),  den  Central- 

punkt  8  zu  finden,  legt  man 
zunächst  die  asymptotische 
Ebene  durch  ^;  dieselbe  ent- 
hält die  zu  g  parallele  Erzeu- 
gende der  anderen  Schaar, 
schneidet  daher  die  Ebene 
von  h  im  Durchmesser  MF^ 
die  von  \  in  der  zu  MF 
Parallelen  GH.  Zu  dieser 
Ebene  legt  man  durch  einen 
Punkt  der  g^  etwa  durch  Fj 
eine  Senkrechte  FJ  {F  J 
J_  M!  F')j  bestimmt  ihren 
Schnittpunkt  H'  mit  G'H' 
und  ihre  Spur  J\  indem  man 
ihre  projicirende  Ebene  in  Pj 
umlegt,  dabei  auf  F' M  die  F'K'  =  Abstand  h^h  =  E"M"  aufträgt 
und  K'J'  J_  H'K'  zieht.  J  G'  ist  dann  die  erste  Spur  der  durch  g 
senkrecht  zur  asymptotischen  Ebene  gelegten  Ebene;  sie  schneidet 
die  Ä/  im  zweiten  Punkte  L',  und  die  aus  V  an  ¥  als  Erzeugende 
der  zweiten  Schaar  gezogene  Tangente,  welche  also  entgegen- 
gesetzten Sinn  mit  der  Tangente  G' F'  hat,  bestimmt  S'  auf  g\ 
woraus  5"  folgt. 

Die  Kurve  geht  durch  die  vier  Scheitel  der  Fläche  (auf  der 
Eehlellipse).  Faßt  man  die  Striktion^linien  beider  Schaaren  von 
Geraden  zusammen,  so  sind  die  Hauptebenen  der  Fläche  Symmetrie- 
ebenen der  Kurve,  und  der  Mittelpunkt  der  Fläche  ihr  Mittelpunkt 
Für  jede  einzelne  der  beiden  Kurven  ist  dagegen  jede  der  drei 
Flächenaxen  Symmetrielinie,  weil  sie  es  für  jede  Schaar  von  Geraden 
ist.     M*  und  Jf"  sind  daher  die  Mittelpunkte  der  Projektionen. 

Es  sollen  nun  noch  die  Krümmungskreise  der  Projektionen  der 
Kurve  in  den  Scheiteln  der  Fläche  {B  und  C)  bestimmt  werden.  Er- 
setzt man  den  durch  C  gehenden  elliptischen  und  hyperbolischen 
Hauptschnitt  der  Fläche  durch  je  eine  Parabel  mit  übereinstimmen- 
dem Krümmungskreise  in  0,  und  mit  der  Axe  CM^  so  haben  je 
zwei  der  Kurven  drei  Punkte,  und  weil  C  ein  Scheitel  ist,  noch  einen 
vierten  Punkt  bei  C  gemein.  Hierdurch  wird  das  Hyperboloid  durch 
ein  hyperbolisches  Paraboloid  ersetzt,  dessen  Axe  CM  ist  und  wel- 
ches mit  ersterem  bei  C  vier  benachbarte  Erzeugende  gemein  hat. 


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in,  160—161.   Die  windschiefen  Flächen  zweiten  Grades.  157 

Daher  haben  beide  Flächen  drei  kürzeste  Abstände  dieser  Erzeugen- 
den und  drei  Punkte  ihrer  Striktionslinien  oder  deren  Erümmungs- 
kreise  gemein.  Bestimmt  man  nun  die  Asymptoten  des  hyperboli- 
schen Hauptschnittes  B"D'\  z.B.M'K'  durch  E"K'^  =  E"B'"' 
—  M"B"^f  so  sind  diese  Asymptoten  die  zweiten  Projektionen  der 
Scheitelerzeugenden  beider  Flächen.  Nun  ist  aber  die  Striktionslinie 
des  Paraboloides,  wie  wir  in  Nr.  152  sehen  werden,  eine  Parabel,  deren 
Ebene  durch  die  Axe  CM  geht  und  deren  zweite  Projektion  die  Ge- 
rade M"  Q"  bildet,  wenn  N"P'  die  aus  irgend  einem  Punkte  N*'  der 
einen  Erzeugenden  M"N"  auf  die  andere  gefällte  Senkrechte,  und 
Q"  deren  Mittelpunkt  ist.  Daher  ist  die  Gerade  M"Q"  auch  der 
Krümmungskreis  der  zweiten  Projektion  der  Striktionslinie  des  Hyper- 
boloids, oder  deren  Tangente  in  ihrem  Wendepunkte  M'\  Die 
Ebene  des  Erümmungskreises  schneidet  das  Hyperboloid  in  einem 
Kegelschnitte,  hier  in  einer  Ellipse,  deren  Scheitel  C  und  B  sind; 
es  ist  dann  im  Grundriß  der  Erümmungsmittelpunkt  0  dieser  El- 
lipse in  C  auch  der  Krümmungsmittelpunkt  der  Striktionslinie 
{C'M'RT  ein  Rechteck,  TO±C'R',  0  auf  CM'). 

Um  die  Krümmungskreise  beider  Projektionen  der  Striktions- 
linie in  B  zu  erhalten,  verfährt  man  entsprechend.  Man  lege  die 
Berührungsebene  der  Fläche  in  B  in  P^  um,  wobei  die  durch  B 
gehenden  Erzeugenden  der  Fläche  nach  N^M^  und  N^M^  gelangen, 
(B'M,  =  E"M''),  falle  N.P,  ±  N^M,,  halbire  N^P^  in  Öi,  so  ist 
wieder  M^  Q^  U  die  Tangente  der  Projektion  der  Striktionslinie  in 
B  auf  jene  Berührungsebene.  Die  projicirende  Ebene  dieser  Tan- 
gente schneidet  die  P^  in  UUi,  die  M'C  in  Z/^,  die  Ellipse  k^  in 
t/j,  und  das  Hyperboloid  in  einer  Hyperbel,  deren  reelle  Scheitel 
jB,  Bi  sind,  und  welche  durch  Ui  geht.  Eine  Asymptote  dieser 
Hyperbel  ist  MV,  wenn  F'  auf  UqU^  bestimmt  wird  durch  Ü^V'^ 
=  UqÜi*  —  M'B^'K  Im  Aufriß  ist  der  Krümmungsmittelpunkt  X 
dieser  Hyperbel  in  ihrem  Scheitel  B/'  bestimmt  (JS/'Tr_L  2lf"jB/' 
bis  W  auf  M"r\  WX±M"V'  bis  X  auf  M'B^'),  im  Grund- 
riß in  gleicher  Weise.  Diese  Krümmungsmittelpunkte  gelten  dann 
auch  für  die  Projektionen  der  Striktionslinie. 

Dk  Striktionslinie  des  einschaligen  Umdrehungshyperboloids  ist  sein 
KehVcreis. 

c)  Das  hyperbolische  Paraboloid. 

151.  Bei  dieser  Fläche  besitzt  jede  Schaar  von  Erzeugenden 
eine  unendlich  ferne  Gerade  (140),  und  wenn  man  eine  solche,  welche 
durch  eine  Ebene  H  bestimmt  ist,  als  eine  der  drei  Leitlinien  wählt^ 
so  sind  die  Erzeugenden  g  parallel  zu  H,  der  sog.  RichM>€ne.    Da- 


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158 


III,  161—162.   Die  Flachen  zweiten  Grades. 


her:  Bas  hyperbolische  Paräboloid  ist  durch  zwei  Leitgerade  A^,  \  und 
eine  Richtebene  H  bestimmt.  Indem  jede  parallel  zu  H  gelegten 
Ebenen  auf  h^  und  \  Punkte  derselben  Erzeugenden  g  einschneiden, 
folgt:  Bei  dem  hyperbolischere  Paraboloide  schneiden  die  Erzeugenden 
der  einen  Schaar  auf  denen  der  anderen  Schaar  ähnliche  PunJctreihen 
ein^  oder  diese  Flädie  ist  durch  zwei  ähnliche  Punktreihen  bestimmt. 

Da  zwei  ähnliche  Punktreihen  durch  zwei  Paare  entsprechen- 
der Punkte  (im  Endlichen)  gegeben  sind,  so  folgt:  Bas  hyperbolische 
Parabohid  ist  durch  ein  windschiefes  Viereck  bestimmt.  Die  Bichtebene 
der  beiden  Schaaren  von  Erzeugenden  sind  mit  je  zwei  Gegenseiten 
des  Vierecks  parallel. 

162.    Aufg,    Bas  hyperbolische  Parabohid  darzustellen  ^  von  wel- 
chem zwei  mit  einer  Hauptebene  parallele^  von  ihr  gleich  weit  entfernte 
Parabeln  k,  \  und  eine  Erzeugende  gegeben  sind. 
Fig.  74.  Aufl.    Man  nehme  drei   mit  den  Hauptebenen   parallele  Pro- 

jektionsebenen an.    Fj  stelle  man  parallel  zu  den  Ebenen  der  Para- 

Fig.  74. 


beln,  wodurch  deren  erste  Projektionen  in  B'  E'  F*  in  einander 
fallen-,  Fg  stelle  man  senkrecht  zu  den  Axen  der  Parabeln  und 
der  Fläche,  daher  F,  parallel  zur  Ebene  dieser  Axen.  Die  ge- 
gebene Erzeugende  verbinde  den  Punkt  J  der  k  mit  dem  L^  der  jfej. 
Da  jede  Richtebene  eine  unendlich  ferne  Erzeagende  und  daher  den 
unendlich  fernen  Punkt  der  Fläche  enthält,  so  ist  sie  parallel  zur 


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ni,  152.   Die  windschiefen  Flächen  zweiten  Grades.  159 

Axe  der  Fläche,  projicirt  sich  daher  auf  P^  in  eine  Gerade,  mit 
welcher  die  zweiten  Projektionen  der  zugehörigen  Erzeugenden  par- 
allel sind.  Wegen  der  Symmetrie  der  Fläche  in  Bezug  auf  ihre 
Hauptebenen  sind  beide  Richtebenen  gleich  geneigt  gegen  dieselben, 
und  die  zweiten  Projektionen  der  Erzeugenden  beider  Schaaren  sind 
zwei  Schaaren  paralleler  Geraden  von  gleicher  Neigung  gegen  die 
Hauptebenen.  Um  gleiche  Abstände  dieser  Parallelen  zu  erhalten, 
konstruire  man  Punkte  der  Parabel  h'  nach  I,  380  derart,  daß  der 
Parabelbogen  DEF  in  (12)  Teile  von  gleichen  Abständen  in  der 
Richtung  x  geteilt  wird.  Eine  doppelte  Teilung  wurde  dadurch 
vermieden,  daß  2>/  als  ein  Punkt  der  von  J'  ausgehenden  Teilung 
gewählt  wurde.  Die  Verbindungslinien  der  Teilungspunkte  auf  V 
und  i/',  welche  in  gleichem  Sinne  gleich  weit  bezw.  von  J"  und 
i/'  entfernt  sind,  liefern  die  (imter  einander  parallelen)  zweiten 
Projektionen  der  Erzeugenden;  die  entsprechenden  Punkte  verbinde 
man  in  der  ersten  und  dritten  Projektion.  Diejenigen  der  anderen 
Schaar  entstehen  wegen  der  Symmetrie  durch  Vertauschung  von  J 
und  L^  auf  Tc  und  \  mit  J^  und  L  auf  \  und  Tc.  Die  Erzeugenden 
in  der  ersten  imd  dritten  Projektion,  von  deren  beiden  Punkten  auf 
Tc  und  Tc^  nur  noch  der  eine  erreichbar  ist,  erhält  man  durch  Beach- 
tung, daß  die  Erzeugenden  der  einen  Schaar  auf  denjenigen  der  an- 
deren bei  der  angenommenen  gleichförmigen  Verteilung,  eine  Gleich- 
teilung hervorbringen,  so  daß  man  in  der  ersten  Projektion  nur  die 
Erzeugenden  JB'D'  und  E' F ,  und  in  der  dritten  E'"  F^"  und 
El"F'"  in  je  12  gleiche  Teile  zu  teilen  hat,  um  für  jede  Erzeugende 
der  anderen  Schaar  npch  einen  Punkt  zu  erhalten. 

.  Die  zu  Ic  und  \  parallele  Hauptebene  liegt  in  deren  Mitt«;  ihr 
Haupts(^iU  ist  im  Grundriß  die  zu  Je'  kongruente  und  koaxiale 
Parabel,  welche  die  Erzeugenden  einhüllt  C  ist  ihr  Scheitel.  Der 
zu  Pj  parallele  Hauptschnitt  ergibt  sich  in  der  dritten  Projektion 
als  einhüllende  Parabel. 

Aus  der  ersten  Projektion  P'  eines  Punktes  der  Fläche  ergibt 
sich  wieder  mittelst  der  durch  ihn  gehenden,  die  Umrißparabel  be- 
rührenden Erzeugenden  zweideutig  P"  oder  P"*  »und  die  Beruh- 
rungsebene  in  demselben  mit  der  ersten  Spur  ^  oder  t*  und  der  zwei- 
ten ^  oder  ^*. 

Um  die  Striktionslinie  s  zu  der  einep  Schaar  der  Erzeugenden  g 
zu  erhalten,  beachte  man,  daß  die  asymptotische  Ebene  einer  jeden 
g  parallel  zu  der  Richtebene  H  derselben,  daß  also  die  Berührungs- 
ebene im  Centralpunkte  parallel  zu  der  Senkrechten  zu  H  ist,  so 
daß  die  Striktionslinie  die  Berührungslinie  der  Fläche  F  mit  einem 
Cylinder  bildet,  dessen  Erzeugende  J_  H  stehen,   oder  die  Schnitt- 


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160 


III,  152—153.   Die  Flächen  zweiten  Grades. 


linie  der  P  mit  derjenigen  Durchmesserebene,  welche  zu  der  auf 
H  senkrechten  Richtung  konjugirt  ist.  Die  von  L  auf  g  =  JL^ 
gefällte  Senkrechte  LN  ist  eine  auf  H  senkrechte  Sehne  der  F,  durch 
deren  Mittelpunkt  Q  und  die  Axe  der  F  daher  die  Ebene  der 
Striktionslinie  s  geht.  Diese  selbst  ist  eine  Parabel,  deren  Scheitel 
und  Axe  mit  denen  der  F  zusammenfallen.  Zu  h  gehört  die  Strik- 
tionslinie s^. 

153.  Aufg.  Das  hyperbolische  Pardbohid  aus  einem  durch  Er- 
zeugende desselben  gebildeten  windschiefen  Vierecke  darmstellen. 

Aufl.    Die  mit  je  zwei  Gegenseiten  parallelen  Ebenen  sind  die 

Richtebenen ,  ihre  Schnittlinie  ist  parallel  zur  Axe  c  der  Fläche.   Wir 

Fig.  76.  wollen  der  Einfachheit  halber  P^  senkrecht  zu   beiden  Richtebenen 


Fig.  76. 


J^C?' 


(und  zu  c)  annehmen;  dann  ist  die  erste  Projektion  des  Vierecks 
DEFG  ein  Parallelogramm,  in  der  Figur  ein  Rhombus  D'KF'G'. 
Wir  nehmen  vier  Vertikalprojektionsebenen  an,  Pg  parallel  zur  Dia- 
gonale B'F'y  P3  zur  Diagonale  J?'6r',  P^  senkrecht  zur  Seite  D'JE', 
P5  parallel  zur  Seite  D' E\    D,  F  mögen  in  T^-^  E,  G  in  gleichem 


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III,  158.   Die  windschiefen  Flächen  zweiten  Grades.  161 

Abstände  von  P^  liegen.  Dann  bilden  die  Vertikalprojektionen  des 
Vierecks  der  Reihe  nach  zwei  gleich  geneigte,  gleiche  Schenkel  eines 
Winkels  D"E'\G'')r\  ebenso  eines  Winkels  K"D'\r")G"\ 
ein  verschränktes  Viereck  B^^E^^F^^G^^  mit  den  Ecken  eines 
Rechtecks,  ein  verschränktes  Viereck  D^E^F^G^  mit  den  Ecken 
eines  gleichschenkligen  Paralleltrapezes.  Erzeugende  erhält  man 
durch  Gleichteilung  aller  Seiten  in  dieselbe  Anzahl  (6)  von  Teilen, 
wobei  die  der  einen  Schaar  durch  ausgezogene,  die  der  anderen  durch 
punktirte  Linien  dargestellt  sind.  Die  umrisse  der  zweiten  und  dritten 
Projektion  sind  die  (parabolischen)  Haupschnitte.  Die  Verbindungs- 
linien der  Mittelpunkte  je  zweier  Gegenseiten  des  Vierecks  schneiden 
sich  bei  unserer  symmetrischen  Annahme  im  Scheitel  C  der  Fläche. 

um  eine  Striktionslinie  s  zu  erhalten,  fällt  man  wieder  von  einem 
Punkte  H  einer  Scheitelerzeugenden  eine  Senkrechte  HJ  auf  die 
andere;  die  durch  den  Mittelpunkt  K  von  HJ  und  die  Axe  c  ge- 
legte Ebene  schneidet  die  Fläche  in  der  Striktionslinie  S]  dieselbe 
bildet  zugleich  den  wahren  Umriß  bei  der  fünften  Projektion,  weil 
Pg  _L  HJ\  der  zugehörige  scheinbare  Umriß  ist  5^.  Die  zweite 
Striktionslinie  s^  ergibt  sich  durch  Symmetrie*). 

ühungsaufg.  Es  ist  ein  beliebiges  windschiefes  Viereck  in  be- 
liebiger Lage  gegen  die  Projektionsebenen  gegeben,  man  soll  die 
Axe  und  den  Scheitel  des  durch  das  Viereck  gehenden  hyperbolischen 
Paraboloides  bestimmen  und  die  Aufgaben  der  Nr.  144  lösen. 

*)  Zar  Zeit  da  mir  dieser  Druckbogen  zur  Korrektur  vorliegt  (Nov.  1886), 
kommt  mir  eine  Schrift  über  die  Aufgabe  ^er  Nr.  114  zu  Gesicht,  die  ich  noch 
anführen  will:  Hofmann,  die  Constructionen  doppelt  berührender  Kegelschnitte 
mit  imaginären  Bestimmungsstücken,  1886.  —  Außerdem  sei  eine  Abhandlung 
von  Beyd  „Zur  Qeometrie  des  Imaginären'*  (Vierteljahrsschrift  der  Naturf.  Ges. 
in  Zürich,  B.  31,  1886)  genannt,  welche  insbesondere  die  Imaginärprojection 
für  imaginäres  Collineationscentrum ,  Coli. -Axe  und  Charakteristik  behandelt 
Dabei  wird  am  Schlüsse  des  genannten  Abschnittes  angeführt,  daß  ich  einen 
speciellen  Fall  dieser  Projektionen  in  meinem  Lehrbuche  der  darstellenden 
Geometrie  erwähnt  und  Imaginärprojektion  von  Kegelschnitten  genannt  habe. 
Der  Ausdruck  „erwähnt"  erweckt  den  Schein,  als  wären  schon  vorher  Arbeiten 
über  diesen  Gegenstand  bekaimt  gewesen.  Dem  gegenüber  fühle  ich  mich  ge- 
drungen ausdrücklich  auszusprechen,  daß  ich  die  Urheberschaft  und  die  Priori- 
tät in  Bezug  auf  die  Imaginärprojektion  der  Linien  und  der  Flächen  zweiten 
Grades  für  mich  in  Anspruch  nehme,  insbesondere  in  Bezug  auf  ihre  (ideelle) 
Darstellung  durch  reelle  Gebilde  gleicher  Art,  und  in  Bezug  auf  die  dadurch 
geschaffene  Möglichkeit  und  deren  Auswertung,  mit  den  imaginären  Gebilden 
eben  so  leicht  zu  konstruiren,  wie  mit  den  reellen,  unter  anschaulicher  Unter- 
scheidung zwischen  zwei  koigugirt-imaginären  Elementen  (115  f.).  Ich  erhebe 
diesen  Anspruch,  weil  die  bezeichneten  Entwiokelungen  von  mir  herrühren, 
und  weil  mir  bei  dem  Erscheinen  meines  Buches  (1884)  keine  anderseitigen 
Mitteilungen  über  diesen  Gegenstand  bekannt  waren  und  auch  seitdem  keine 
den  meinen  vorangehenden  bekannt  geworden  sind. 


Wiener,  Lehrbuch  der  darstellenden  Oeotaetrie.    IT.  1% 

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IV.  Abschnitt. 
Die  Umdrehungsfläehen. 

L    Der  SohDitt  einer  Umdrehtingsfläohe  mit  einer  Ebene. 

154.  Die  Schnittlinie  h  einer  Umdrehnngsfläche  F  mit  einer 
Ebene  E  ist  symmetrisch  in  Bezug  auf  die  zu  E  senkrechte  Meri- 
dianebene, weil  in  Bezug  auf  sie  beide  Flächen  symmetrisch  sind; 
die  ßchnittgerade  jener  Meridianebene  mit  E  ist  dann  eine  Sym- 
metrielinie der  Schnittkurve.  Diese  rechtwinklige  Symmetrie  bleibt 
in  der  senkrechten  Projektion  auf  eine  jede  Ebene  bestehen,  welche 
mit  der  Symmetrielinie  oder  mit  den  dazu  senkrechten  Symmetrie- 
strahlen parallel  ist;  bei  jeder  anderen  Projektionsebene  entsteht 
eine  schiefe  Symmetrie. 

Geht  die  Schnittkurve  durch  die  Symmetrielinie,  so  muß  die 
Tangente  oder  es  müssen  die  Tangenten  der  Kurve  in  diesem  Punkte 
ebenfalls  mit  sich  selbst  symmetrisch  sein;  dabei  ist  entweder  die 
Tangente  senkrecht  auf  der  Symmetrielinie,  dann  ist  der  Punkt  der 
Kurve  ein  gewöhnlicher'^  oder  sie  liegt  in  der  Symmetrielinie,  dann 
ist  der  Punkt  eine  Spitze  erster  Art;  oder  es  sind  zwei  symmetrische 
Tangenten  vorhanden,  daun  ist  der  Punkt  ein  Doppelpunkt. 

155.  Aufg.  Die  Schnittlinie  eines  Ringes  F  mit  einer  Ebene  E 
m  konstruiren. 

Eine  Ring-  oder  Wulstfläche,  oder  kura  ein  Ring  entsteht  durch 
Umdrehung  eines  Kreises  um  eine  in  seiner  Ebene  liegende,  aber 
nicht  durch  seinen  Mittelpunkt  gehende  Axe  a.  Die  gegen  die  Axe 
hohle  Kreishälfte  beschreibt  einen  konvexen  Flächenteil  (Wulst)  mit 
elliptischen  Punkten  (33),  indem  die  Meridian-  und  die  Parallelkreis- 
tangente in  einem  solchen  Punkte,  und  die  durch  beide  gehende 
•Berührungsebene  auf  derselben  Seite  dieser  Kurven  liegen.  Die 
gegen  die  Axe  erhabene  Kreishälfte  beschreibt  einen  konvex- kon- 
kaven Flächenteil  (HoMkeMe)  mit  hyperholischen  Punkten^  indem 
jene  beiden  Tangenten  und  die  Berührungsebene  auf  verschiedenen 
Seiten  der  Kurven   liegen.     Die   Grenzpunkte    beider   Kreishälften 


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IV,  165—156.    Der  Schnitt  einer  Umdrehnngsfläche  mit  einer  Ebene.      163 


oder  im  allgemeinen  jeder  Punkt  des  Meridians^  in  welchem  die 
Tangente  JL  a  steht,  erzeugen  Parallelkreise  mit  parabolischen 
Punkten.  Schneidet  bei  dem  Ringe  die  a  den  Meridiankreis,  so 
sind  die  beiden  Schnittpunkte  KegeJptmkte  der  Fläche  und  bilden 
ebenfalls  die  Grenzen  von  Flächenstücken  mit  elliptischen  und  hyper* 
bolischen  Punkten. 

156.    Aufl.    Wir  stellen  P^  J_  a,  deren  Projektionen  d^  Punkt  Pig.  76. 
M'  und  die  Gerade  a"  bilden,  und  nehmen  B  als  Berührungsebene 
in    einem    hyperbolischen 

Punkte  P  der  Fläche  an.  Fig.  76. 

Man  bestimme  ans  P'  den  i 

Punkt  P"  vermittelst  des 
Punktes  Q,  in  welchem  der 
Parallelkreis  von  P  den 
Hauptmeridian  schneidet, 
lege  die  Berührungsebene 
in  P,  welche  durch  ihre 
(auf  3r  P'  senkrechten) 
Spuren  c^,  e^  in  den  Ebe- 
nen P],  P3  des  tiefsten 
bezw.  höchsten  Parallel- 
kreises der  Fläche  darge- 
stellt sein  mögen.  Schnei- 
det die  Tangente  QA  des 
Hauptmeridians  die  P^  in 
Cy  80  ergibt  sich  der 
Schnittpunkt  B  der  Meri- 
diantangente PJ.  mitPj  auf 
FJf  durch  3f'B'=3fC'. 
Ebenso  findet  man  den 
Schnittpunkt  D  der  Meri- 
diantangente PA  mit  P3. 
Durch  B'  geht  dann  6^, 
durch  D'  geht  6,.    Q''C" 

und  P"  B"  treffen  sich  im  Punkte  A  der  a.  PBD  ist  die  Symme- 
trielinie der  Schnittkurve,  im  Grundriß  für  senkrechte,  im  Aufriß 
für  schiefe  Sjrmmetrie. 

um  allgemeine  Punkte  der  k  zu  erhalten,  lege  man  Hilfsebenen 
J_  a  ( 11  Pi),  z.  B.  eine  durch  den  Punkt  E^  der  a;  sie  schneidet  die  F  in 
zwei  Parallelkreisen,  deren  erste  Projektionen  man  verzeichnet^  und 
die  B  in  einer  Parallelen  zu  e^,  deren  Punkt  E'  auf  P' IT  man  er- 
hält, wenn  man  M'E'r^mE^^E^  macht,  wobei  E^  der  Schnittpunkt 

II* 


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164  IV,  166—167.    Die  ümdrehungsflachen. 

der  Hilfsebene  mit  Q"A'\  Die  vier  Schnittpunkte  jener  beiden 
Parallelkreiee  mit  dieser  Geraden  gehören  der  jfe  an. 

Ausgezeklmete  Punkte  sind  die  der  Umrisse.  Für  die  erste  Pro- 
jektion liegen  sie  auf  dem  größten  und  kleinsten  Parallelkreise  und 
werden  wie  die  allgemeinen  Punkte  erhalten;  für  die  zweite  Pro- 
jektion liegen  sie  auf  dem  höchsten  und  tiefsten  Parallelkreise^  oder 
auf  dem  Hauptmeridiane,  und  werden  durch  die  aus  e^  und  e^  er- 
mittelte Schnittgerade  e^  der  Hauptmeridianebene  mit  E  bestimmt 
—  Ferner  liegen  ausgezeichnete  Punkte  auf  dem  m  E  senkredUen 
Meridiane  (154)  und  werden  durch  seine  Drehung  in  den  Haupt- 
meridian, durch  dessen  Schnitt  mit  Ä"Q"  und  durch  Zurückdrehen 
erhalten.  In  unserem  Falle  wird  nur  der  Punkt  P  wieder  gewonnen, 
der  ein  Doppelpunkt  der  jfe  ist,  wie  dies  für  die  Schnittkurve  der 
Berührungsebene  einer  Fläche  in  einem  hyperbolischen  Punkte  P 
stets  stattfindet. 

157.  Die  Tangente  in  einem  Punkte  S  der  Kurve  erhält  man 
als  Schnittlinie  ST  der  E  mit  der  Berührungsebene  der  Flache  in 
S,  wdche,  wie  vorher,  durch  Umdrehung  der  Meridianebene  ver- 
zeichnet ist  Dabei  wurden  wegen  der  leichteren  Erreichbarkeit  der 
Punkte  statt  der  Spuren  mit  Pj  diejenigen  mit  der  Ebene  des  größten 
Parallelkreises  benutzt. 

Um  sogleich  hier  die  Tangenten  in  dem  DoppdpuMe  P  zu  kon- 
struiren,  müssen  wir  einen  Satz  aus  der  Lehre  von  der  Krümmung  der 
Flächen  vorausnehmen,  welcher  sagt,  daß  diese  Tangenten  mit  den 
Erzeugenden  eines  einschaligen  Umdrehungshyperboloides  zusammen- 
fallen, das  sich  unserer  Fläche  in  P  anschmiegt,  d.  h.  welches  in 
der  Ebene  des  Meridians  und  in  der  darauf  senkrechten  Normal- 
ebene gleiche  Krümmungskreise  der  Schnittkurven  besitzt;  dabei 
nehmen  wir  der  Einfachheit  halber  P  als  einen  Punkt  des  Kehl- 
kreises des  Hyperboloides  an.  Der  eine  Krümmungskreis  der  F  ist  der 
Meridiankreis  selbst;  der  andere  hat  bei  Ümdrehungsflachen  stets  das 
Stück  der  Normale  vom  Fußpunkte  P  bis  zum  Punkte  jP  der  Axe  a 
zum  Halbmesser,  weil  die  aus  jP  als  Mittelpunkt  durch  P  gelegte 
Kugel  drei,  ja  sogar  vier,  Punkte  mit  dem  zweiten  Normalschnitte 
gemein  hat,  je  zwei  auf  zwei  benachbarten  Parallelkreisen.  Nach 
der  Drehung  des  P  in  Q  sind  die  Krümmungshalbmesser  daher  Q"0 
und  Q"F.  Legt  man  durch  einen  der  beiden  Kjümmungsmittel- 
punkte  0  und  P,  etwa  durch  P,  die  Umdrehungsaxe  des  Hyper- 
boloids, parallel  mit  der  Meridiantangente  in  Qj  so  ist  FQ"  der 
Halbmesser  seines  Kehlkreises  und  zugleich  die  reelle  Halbaxe  der 
Meridianhyperbel,  während  Q"  0  ihr  Krümmungshalbmesser  im 
Scheitel    Q   ist     Daraus    ergibt    sich    aber   ihre    ideelle  •  Halbaxe 


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IV,  157—158.    Der  Schnitt  einer  Umdrohungsfläche  mit  einer  Ebene.     165 


=  V'FQ"'  Q"0  —  Q''G  (I,  250)  vermittelst  des  Halbkreises  FOO 
und  0"Q  J.  FO.  Dreht  man  Q  zurück  nach  P,  so  gelangt  ÄQQ  in 
die  Meridiantangente  APJ.  Man  erhält  aber  die  durch  P  gehenden 
Erzeugenden  des  Hyperboloids ,  wenn  man  auf  der  Meridiantangente 
die  ideelle  Halbaxe  PJ  aufträgt,  in  J  eine  Senkrechte  KJL  zur 
Meridianebene  zieht  (üT'eTZ'  J_  P'J',  K"rL"  |  M'O)  und  auf  ihr 
J'K'^^  tTL'  gleich  der  reellen  Halbaxe  Q''F  der  Meridianhyperbel 
aufträgt  PK  und  PL  sind  dann  die  Erzeugenden  des  Hyperboloids 
und  die  gesuchten  Tangenten  der  Schnittkurve  im  Doppelpunkte. 

Die  wahre  Gestalt  der  Schnittkurve  ließe  sich  durch  Umlegung 
der  B  in  P^  leicht  erhalten;  sie  ist  senkrecht-affin  zu  ihrer  ersten 
Projektion« 

Änm.  Bestimmt  man  die  Schnittkurven  der  Fläche  mit  zweien 
der  B  parallelen  und  nahe  benachbarten  Ebenen^  was  im  Grundriß 
mittelst  des  Handzirkels  allein  geschehen  kann^  wenn  man  den  senk- 
rechten Abstand  der  ersten  Spur  einer  solchen  Ebene  von  e^  in  den 
Zirkel  faßt,  so  erkennt  man,  wie  die  Kurve  mit  dem  Doppelpunkte 
den  Obergang  zwischen  zwei  Kurven  ohne  Doppelpunkte  bildet,  die 
sich  in  die  zweierlei  scheitelwinkelartig  durch  h  bei  P  begrenzten 
Räume  hineinschmiegen. 

158.  Berührt  die  Schnütebene 
B  den  Ring  in  zwei  Punkten  P 
und  Qy  80  sierfattt  die  Schnittkurve 
in  sswei  Kreise^  welche  sich  in  P 
und  Q  schneiden.  Um  dies  zu  zei- 
gen, stellen  wir  P,  senkrecht  zu 
E,  so  daß  PQ  B  Pg.  Es  sei  M  der 
Mittelpunkt  der  Fläche^  0  der 
Mittelpunkt  desjenigen  der  beiden 
Kreise  des  Hauptmeridians,  wel- 
cher P  enthält,  S  ein  Punkt  der 
Schnittkurve,  N  der  Punkt,  in 
welchem  der  Parallelkreis  des  S 
den  bezeichneten  Kreis  des  Haupt- 
meridians trifft,  MO  -=  f»,  ON'^'  r. 
Wir  legen  B  um  PQ  in  eine  zu 
Pg  parallele  Ebene  um,  so  gelangt 
S  nach  S"\  wenn  S"S'"  ±  P''Q'\ 
M"S"'=  M'ir\  gleich  dem  wah- 
ren Abstände  des  M  von  jedem 

Punkte  des  Parallelkreises  SN.    Sodann  trage  man  M"B'"  J_  M"  S' 
and  a»  r  nach  der   einen  Seite   von  M"S"  hin   ab,   derart,   daß 


Fig.  77 


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166  IV,  158— 16t9.    Die  Umdrehnngsfla^^hen. 

B"'M"S'"  eio  spitzer  oder  stumpfer  Winkel  wird,  je  nachdem 
0"N"M"  ein  solcher  ist.  Dann  sind  aber  diese  Winkel  gleich, 
um  es  zu  beweisen,  ziehe  man  S^'C^^»  N"D"  beide  JL-Sf'O",  so 
i&t  wegen  der  Ähnlichkeit  der  Dreiecke  C"M"S"  und  P"M"0", 

Ferner  ziehe  man  M'^E^' X  N"0*\  so  ist  wegen  Ähnlichkeit  der 
Dreiecke  0"M"-Er'  und  0"N"D" 

Daher  ist  M'S"^M'E":,  und  da  außerdem  M'S'"=M"N"  ge. 
macht  wurde,  so  sind  die  rechtwinkligen  Dreiecke  M" S" S'"  und 
M"E"N"  kongruent  Dann  ist  auch  ^  S"  S'"  AT' =^  ^  K' N"  M'\ 
und  dann  auch,  wie  behauptet,  ^  JB'"3f'/S"'«= -^  0"^"JIf",  weil 
sie  einzeln  jenen  Winkeln  gleich  sind.  Hieraus  folgt  aber  die 
Kongruenz  der  gleichbenannten  Dreiecke,  weil  die  angegebenen  be- 
grenzten Schenkel  jener  Winkel  paarweise  gleich  sind,  und  daraus 
folgt  B'"S"\^0"M"=  m.  Daher  ist  der  Ort  von  S'"  ein  Kreis 
vom  Halbmesser  m  und  vom  Mittelpunkte  JB'";  und  der  Ort  von  S 
besteht  aus  zw.ei  Kreisen  von  den  Halbmessern  m,  deren  Mittel- 
punkte B  und  B^  in  der  Senkrechten  zu  P^  liegen,  welche  man 
in  E  durch  M  legt,  und  von  denen  jeder  den  Abstand  J[f"5"'=  r 
von  M  besitzt*).  Beide  Kreise  haben  FG  bezw.  F^G^  (=  2m)  zu 
Durchmessern;  die  dazu  senkrechten  Durchmesser  sind  JK^  Ji^n 
deren  Endpunkte  auf  dem  höchsten  und  tiefsten  Parallelkreise  liegen. 
Daher  muß  eT'iT"«»  i^'G'=  2w  sein,  was  übrigens  auch  aus  der 
Kongruenz  der  Dreiecke  Jlf"Z"J"  und  O'T'M"  (mit  Jf"Z' =  0"F') 
folgt.  Die  ersten  Projektionen  beider  preise  sind  Ellipsen,  deren 
Axen  F'G'  =  F^'G^  =  2w  und  J'K'=  J^K,'  bilden,  und  von 
denen  JUT  ein  gemeinschaftlicher  Brennpunkt  ist;  denn  es  gilt  üftT 
=  Jf' J/=  m. 

159.  Ist  die  Schnitt^ene  E  mit  der  Umdrehungsaxe  a  parallel  j  so 
besitzt  die  Schnittkurve  zwei  Axen^  eine  in  der  Ebene  des  Äquators 
und  eine  in  der  zu  E  senkrechten  Meridianebene.  In  dem  Falle,  daß 
der  Abstand  der  E  von  a  gleich  r,  wird  die  Kurve  eine  Cassinische 


*)  Der  von  Pohike  in  seiner  darstellenden  Geometrie,  Abt.  2,  1876,  S.  160, 
gegebene  Beweis  ist  nnrichtig.  Denn  er  beruht  auf  der  Gleichung  MS .  MS^ 
^=^  MF^y  worin  S  und  Si  die  zwei  ungleich  weit  von  M  entfernten  Schnitt- 
punkte eines  aus  M  in  E  gezogenen  Strahles  mit  der  Fläche,  und  MP  eine 
aus  M  an  die  Fläche  gezogene  Tangente  bedeuten;  diese  Gleichung  ist  aber 
nicht  beweisend,  gilt  vielmehr  fQr  jede  durch  M  gehende  Schnittebene. 


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IV,  169—160.    Der  Schnitt  einer  UmdreboDgsfläche  mit  einer  Ebene.     167 


Linie.    Die  Figur  zeigt  ihre  Projektion  auf  die  zu  B  parallele  Meri-  Fig.  78. 

dianebene  P;  jP  und  F^  seien  die  Mittelpunkte  der  Meridiankreise 

in  P.     Auf  einem  Parallelkreise  ÄA^  erhält  man  die  Punkte  P,  P^, 

indem  man  auf  seiner  Umlegung  in  die  P,  dem  Kreise  ÄP'Äi  vom 

Durchmesser  ÄÄ^,  die  Punkte  P',  P/  bestimmt,  deren  Ordinaten  PP' 

•^  Pj  P/  =  r  sind.   Dadurch  wird 

aber    APPA^^PF^^f^ 

«  ^ P .  AP^  =AF^,  und  daher 

liegen  die  vier  Punkte  FfF^,  P, 

Pj   auf  dem  Kreise^  welcher  von 

AF  in  F  und  von  A^F^  in  P\ 

berührt    wird.     Der    Mittelpunkt 

dieses  Kreises  ist  C  auf  a^  wenn 

FC±AF.    Derselbe  Kreis  liefert 

die  Punkte  Q,  Q^  des  Parallelkreises 

£JBj,   wenn  AFB   eine  Gerade.  v 

Nun  ist  AP-FPi  ~  Aul,P\P,  weil 

^  PFF^  =  ^A^F^P  als  ümfangswinkel  des  Kreises  FPP.F^ 

über  dem  Bogen   PP^,    und  ^  PPiP=  ^  ^,  PP,.     Aus   dieser 

Ähnlichkeit  folgt 

PF.F^F=A^F^:PF^, 
oder 

PF  PF,  =  2mn 

Es  ist  also  das  Produkt  der  Abstände  PF,  PF,  eines  Punktes  P 
der  Kurve  von  zwei  festen  Punkten  P,  F^  eine  unveränderliche 
Größe^  daher  die  Kurve  die  Cassinische  Linie. 

Man  erhält  die  Punkte  auf  den  äußersten  Parallelkreisen,  wie 
D  (und  Dl)  durch  MD  «*  JfPi,  indem  dann  C  nach  M  rückt;  die 
Punkte  auf  a,  wie  JE,  durch  EN *^  r,  wobei  ENA.  a,  ^  ein  Punkt 
des  Meridiankreises;  die  Punkte  auf  dem  Parallelkreise  FF^  vom 
Halbmesser  MK^  wie  H,  durch  Umlegen  des  Kreises,  aus  dem 
Punkte  -ff',  wenn  MH'=  MK,  HH'  ±  FF,,  HH'=  r. 

160.  Die  Kriimmungsmittdptm'kte  für  die  Scheitel  E  und  U  und 
für  den  Punkt  Z>  lassen  sich  leicht  durch  anschließende  Flächen 
bestimmen.  Der  nach  dem  Parallelkreise  EN  die  Fläche  berührende 
Kegel  wird  von  E  in  einer  Hyperbel  geschnitten,  welche  denselben 
Krümmungskreis  in  E  wie  unsere  Kurve  besitzt,  weil  beide  Kurven 
auf  zwei  benachbarten  Parallelkreisen  drei  (ja  sogar  vier)  Punkte 
gemein  haben.  E  ist  der  Scheitel  dieser  Hyperbel,  die  Meridian- 
tangente in  N  ist  eine  Asymptote  derselben,  deren  Normale  in  N 
die  FN  ist   und   den  Krümmüngsmittelpunkt  J  auf  a   bestimmt 


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Fig.  79. 


168  IV,  160—161.    Die  ümdrehungsfläcÄeii. 

Entlang  des  Äquators  MK  hat  ein  Umdrehungsellipsoid  vier  be- 
nachbarte Parallelkreise  mit  unserer  Fläche  gemein^  wenn  seine 
Meridianellipse  in  K  mit  unserem  Meridiankreise  den  Erümmungs- 
mittelpunkt  F^  gemein  hat.  Die  E  schneidet  das  Ellipsoid  in  einer 
zu  der  Meridianellipse  ähnlichen^  ähnlich  gelegenen  und  koncen- 
trischen  Ellipse ,  deren  Scheitel  H^  und  deren  Exümmungsmittel- 
punkt  üi  ist,  wenn  MH^ :  MH  =»  MF^ :  MK  Es  wird  J3j  erhalten 
durch  MH;=  MF^  auf  MH'  und  H^H^  J_  MK.  H^  ist  auch  der 
Erümmungsmittelpunkt  unserer  Kurve  in  H. 

Um  fär  D  den  Erümmungsmittelpunkt  zu  bestimmen,  denkt 
man  sich  entlang  des  Meridiankreises  des  Punktes  D  einen  berüh- 
renden Cylinder  an  den  Bing  gelegt.  Die  Schnittkurven  der  Ebene 
E  mit  dem  Ringe  und  dem  Cylinder  haben  den  Punkt  D  gemein 
und  die  beiderseits  zu  D  benachbarten  Punkte  haben  von  D  Ab- 
stände =  0^,  deren  Unterschiede  für  beide  Eurven  =  0*  sind,  also 
gegen  0^  verschwinden.  Beide  Kurven  besitzen  daher  in  D  den- 
selben Erümmungskreis.  Nun  bildet  E  mit  dem  senkrechten  Schnitte 
des  Cylinders  den  Winkel  KMD^  =  a  und  schneidet  den  Cylinder 
in  einer  Ellipse,  deren  Halbaxen  r  und  r :  cos  a  sind,  deren  Erüm- 
mungshalbmesser  in  D  daher  r  :  cos*  a  ist.  Man  erhält  ihn  '=^  DL, 
wenn  man  DG±MD^  bis  G  auf  MK  und  GL±DG{\\MD^) 
bis  L  auf  DD^  zieht.  Denn  dann  ist  ^  D^DG  =  a,  JDG  =  r :  cos  a, 
DL  =  r :  cos*  a. 

161.  Die  Cassinische  Linie  nimmt  drei  verschiedene  Gestalten 
an,  je   nachdem  r=^\m]  dieselben  sind  für  dasselbe  jFJF\  =  2m 

verzeichnet.  Für  r>  \m 
^^^-  ^^-  hat  sie  die  Gestalt  einer 

V/''^^""*^^^?^^^         geschlossenen   Eurve    (1) 
,j-X- -Si .  -\        ^jjjjg  Qjgj.  jj^^  Einbiegung 

^-/Zr^y^^    \     \   (^  ^&  79   r  ^  w,    in 

.^>'^'\:ilSM."-r/^:J'4^^  Fig.  78  r<fn)   und  mit 

^     V.  >.  -  ^  ^        ^      .      ,    zwei  Punkten  auf  a ;  für 

r  c=s  l^m  fallen  diese  bei- 
den Punkte  in  eioem 
Doppelpunkte  M  zusam- 
men und  die  Eurve  erhält 
die  Gestalt  einer  Schleife  (2)  und  heißt  die  Bemouältsche  Lemnis- 
kate]  fiir  r  <  ^w  zerföUt  sie  in  zwei  geschlossene  Äste  (3).  Die 
Tangenten  an  die  Lemniskate  im  Doppelpunkte  werden  nach  dem 
Verfahren  der  Nr.  157  als  Linien,  unter  45^  gegen  a  geneigt, 
gefunden,  weil  Eehlkreis  und  Meridiankrümmungskreis  gleich  sind. 


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IV,  162—168.  Der  einer  ümdrehnngsflache  umschriebene  Kegel  u.  Cylinder.  169 

162.    Übungsaufgaben, 

1)  Die  in  Nr.  159,  Fig.  78  gegebene  Konstruktion  des  Schnittes 
des  Ringes  mit  einer  zu  a  parallelen  Ebene  (Cassinische  Linie  mittelst 
des  Kreises  aus  C)  für  den  Fall  zu  erweitern,  daß  der  Abstand  b 
der  E  von  a  nicht  gleich  r  ist.  An  die  Stelle  des  Punktes  F  tritt 
ein  mit  dem  Halbmesser  r  —  b  beschriebener  Kreis. 

2)  Einen  Ring  mit  zwei  Kegelpunkten  (Nr.  155  u.  Fig.  79  (1)) 
mit  einer  durch  einen  dieser  Punkte  gehenden  Ebene  zu  schneiden, 
so  daß  in  ihm  ein  Doppelpunkt  oder  eine  Spitze  oder  ein  isolirter 
Punkt  entsteht. 

3)  Eine  Umdrehungsfläche  habe  eine  SinusUnie  A^BG^  (Nr.  48, 
Fig.  26b  oder  Figg.  18  ü.  19,  oder  Nr.  165,  Fig.  80)  zum  Meridiane'^ 
die  Axe  sei  die  Normale  A^A  m  einem  Scheitel.  Es  soll  ihr  Schnitt 
mit  einer  Ebene  konstruirt  werden,  welche  die  Flache  in  dem  Wende- 
punkte B  eines  Meridianes  (einem  parabolischen  Punkte  der  Fläche) 
berührt    Man  wird  finden,  daß  B  eine  Spitze  der  Schnittkurve  ist. 

4)  Die  ebenen  Schnitte  von  Umdrehungsflächen  zweiten  Grades 
sind  Kegelschnitte  und  werden  nach  Nr.  113  bestimmt 

IL   Der  einer  Umdrehungsfläohe  nmsohriebene  Kegel  und  Cylinder. 

(Sohattengrenze.) 

163.  Um  an  eine  krumme  Fläche  F  aus  einem  außerhalb  der- 
selben gegebenen  Punkte  L  eine  Berührungsebene  zu  legen,  lege 
man  durch  L  eine  Hilfsebene,  welche  die  P  in  einer  Kurve  h  schnei- 
det, ziehe  an  diese  die  aus  L  möglichen  Tangenten,  deren  Berüh- 
rungspunkte Sij  S^  .  ,  ,  seien.  Andere  Hilfsebenen  liefern  andere 
Schnittkurven,  Tangenten  und  Berührungspunkte.  Alle  Berührungs- 
punkte 8  bilden  eine  Kurve  9,  alle  Tangenten  einen  die  Fläche 
entlang  s  berührenden  Kegel,  den  man  den  der  Fläche  ans  L  um- 
schriebenen  Kegel  nennt  Jede  Berührungsebene  des  Kegels  ist  eine 
aus  L  an  die  F  gelegte  Berührungsebene;  denn  sie  enthält  eine 
Erzeugende  des  Kegels  und  die  Tangente  s  in  dem  jener  Erzeugen- 
den angehorigen  Punkte  S,  also  zwei  Tangenten  der  F  in  Ä  Und 
umgekehrt  geht  jede  Berührungsebene  der  F  in  einem  Punkte  der  s 
durch  L.  Es  lassen  sich  also  aus  einem  Punkte  L  im  allgemeinen 
unendlich  viele  Berührungsebenen  an  eine  Fläche  F  legen,  welche 
alle  von  dem  umschriebenen  Kegel  eingehüllt  werden. 

Ist  L  ein  unendlich  ferner  Punkt,  gegeben  durch  die  Gerade  ?, 
so  wird  der  Kegel  zu  einem  Cylinder,  dessen  Berührungsebenen  die 
an  F  parallel  zu  l  gelegten  Berührungsebenen  sind.  ^ 

Ist  F  eine  abwickelbare  Fläche,  z.  B.  ein  Kegel  oder  Cylinder, 


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170  IV,  163— 164.    Die  ümdrehungsflächen. 

und  sind  wieder  Sy,  S^  .  .  ,  die  Berührungspunkte  aller  aus  L  an 
eine  jener  Schnittkutven  k  gelegten  Tangenten,  so  berühren  die 
Berührungsehenien  der  P  in  Ä|,  Sg  .  .  .  die  F  entlang  der  durch 
Si,  S^  ...  gehenden  Erzeugenden  e^,  e^  .  •  .  Außer  diesen  gibt  es 
keine  durch  L  gehenden  Berührungsebenen  und  die  Berührungalinie 
s  besteht  aus  den  Erzeugenden  e^,  c^ . .  .  Denn  gäbe  es  außer  diesen 
noch  .einen  Punkt  j8^,  so  müßte  auch  die  durch  ihn  gehende  Erzeu- 
gende zu  s  und  ihr  Schnittpunkt  mit  der  Ebene  der  ky  d.  L  mit  k 
selbst,  .zu  den  S  gehören,. was  gegen  die  Voraussetzung  streitet. 

Hieraus  ergibt  sich:  Die  abunckelbare  Fläche  he&üjst  nur  einfach 
unendlich  viele  Beruhnmgsebenen^  oder  die  äbroUende  Beri4hrungsd)ene 
hat  einen  einzigen  möglichen  Ablaufe  wobei  die  Berührtingsgerade  die 
ganze  Fläche  oder  wobei  alle  Berührungspunkte  zugleich  alle  Kurven 
der  Fläche  beschreiben,  während  eine  andere  krumme  Fläche  zwei- 
fach unendlich  viele  Beruhrungsebenen  besitzt,  indem  man  der  ab- 
rollenden Berührungsebene  unendlich  vielerlei  Ablaufe  geben  kann, 
die  im  allgemeinen  keine  Lagen  gemein  haben,  und  wobei  der  Berüh- 
rungspunkt bei  jedem  Ablaufe  Kurven  anderer  Punkte  beschreibt 
Daher  kann  die  Berührungsebene  der  abwickelbaren  Fläche  nur 
noch  eine,,  die  einer  anderen  krummen  Fläche  noch  zwei  Bedingungen 
erfüllen,  z.  B.  durch  einen  bezw.  zwei  Punkte  gehen.  Oder  die  Be- 
rührungsebene einer  abwickelbaren  Fläche  beschreibt  nur  eine  end- 
liche Anzahl  mal  eine  Gerade,  d.  h.  durch  einen  Punkt  der  Geraden 
geht  nur  eine  endliche  Anzahl  von  Beruhrungsebenen,  die  Berüh> 
rungsebene  einer  anderen  krummen  Fläche  beschreibt  die  Gerade 
unendlich  oft  mal. 

Ist  L  ein  leuchtender  Punkt,  so  ist  der  berührende  Kegel  der 
LichtstraMen-  und  der  Schattenkegel,  s  die  Eigenschattengrenee,  und 
der  Schnitt  des  Schattenkegels  mit  einer  Fläche  die  Grenze  des 
ßchlagschattens  auf  dieser.  Ist  L  ein  Auge,  bo  ist  s  der  wahre  umriß 
und  jener  Schnitt  der  scheinbare  Umriß  der  Projektion  der  P  auf 
die  zweite  Fläche. 

164*  Äufg,  An  eine  Umdrehungsfläche  P  aus  einem  außerhalb 
derselben  gegebenen  Punkte  L  den  berührenden  Kegel  su  legere  und  die 
Berühnmgskurve  s  m  konstriiiren,  öder  die  durch  einen  leuchtenden 
Punkt  L  hervorgebrachten  Eigen-  und  Schlagschattengrenzen  s  und  Sj 
\3u  bestimmen^ 

Aufl.  Bei  den  ümdrehungsflächen  ersetzt  man  vorteilhaft  die 
Hilfsebenen  des  allgemeinen  Verfahrens  durch  Hilfskegd  oder  Kugeln, 
welche  die  Fläche  entlang  eines  Parallelkreises,  oder  durch  HUfs- 
cylinder,  welche  sie  entlang  eines  Meridianes  berühren,  legt  an  die 
Kegel  oder  Cylinder  die  berührenden  Ebenen,  oder  an  die  Kugeln 


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IV,  164— 166.  Der  einer  UmdiidhuDgsfl&che  nmachriebene.  Kegel  u.  Gylinder.  171 

die  berührenden  Kegel  aus  Lj  schneidet  die  Berührungslinie  mit 
jenem  Parallelbreise  bezw.  Meridiane  und  erhält  in  den  Schnitt- 
punkten Punkte  der  gesuchten  Berührungskurve.  An  den  Eegel  und 
Cylinder  haben  wir  aber  schon  die  Berührungsebene  aus  einem 
Punkte  L  gelegt;  die  Kugel  wird  durch  einen  Kegel  aus  L  in  einem 
Kreise  berührt^  dessen  Ebene  senkrecht  auf  dem  durch  L  gehenden 
Durchmesser  steht  und  die  Polarebene  von  L  ist.  —  Die  Meridian- 
ebene L  von  L  ist  Symmetrieebene  des  Berührungskegels  und  der 
Berührungskurve  der  P. 

\  165.  Wir  wählen  als  Meridian  eine  Gosinaslinie  («=  Sinuslinie);  Fig.  so 
als  Umdrehungsaxe  a  ihre  Normale  in  einem  Scheitel  Ä^  welche 
J_  Pj  gestellt  werde.  Seien  vom  Hauptmeridiane  gegeben  der  Scheitel 
J.",  die  Normale  a"  in  Ä'\  der  benachbarte  Wendepunkt  B'%  sei 
B"C"  ±a\  seien  G"-B",  C'Ä"  bezw.  die  x-  und  ^Axe  der  Coor- 
dinateU;  sei  femer  C"-4"=c,  C"-B"=^3rr,  so  ist 

X 

£f  =  c  cos  — - 

T 

die  Gleichung  des  Meridianes.  Dabei  ergibt  sich  für  ;8?  =  0,  —  =  ^  ^r, 

X  =  C"B",  also  r  =  2 . C"B" :^  =  ~  G"B''  =  MB,  (Fig.  a)  als 
Halbmesser  des  Grundkreises.  Zieht  man  dann  aus  dem  Punkte 
M  mit  den  Halbmessern  MB,=^r  und  MB^  =  c  Kreise  und  die 
(auf  einander  senkrechten)  Halbmesser  MB^B^  \  B"C"  und  MA^Ä^ 
I  C" A"y  so  ist  (7"JB"=  Bog.  Ä^^,.  Für  weitere  Punkte  ziehe  man 
(etwa  unter  Dreiteilung  des  Viertelkreises)  die  MD^D^  und  bestimme 
vier  Punkte,  wie  D",  vermittelst  je?  =  -[-  D^B^  und  a;  =*  +  Bog.  A^D^^ 
oder  x  =  +  Bog.  A^B,  (=  20" JB"-  Bog.  A^D,). 

Zur  Verzeichnung  der  Tangente  erhält  man  durch  DiflFereutiation 
der  Gleichung,  oder  auch  durch  eine  einfache  geometrische  Betrach- 
tung unendlich  kleiner  Dreiecke,  oder  auch  aus  der  Figur  26b  der 
Verwandelten  des  ebenen  Schnittes  eines  Kreiscylinders, 

ll^-l-sm^^MD,:MA,    (Fig.  a). 

80  daß  die  Tangente  der  Sinuslinie  in  D"  senkrecht  auf  A^B^  (oder 
bei  negativem  a;,  J_  A^B^)  steht.  Auf  diese  Weise  ist  ein  ganzer 
Gang  der  Cosinuslinie,  dessen  Bogenmitte  A^  gezeichnet 

166.  Bestimmwng  der  Ptmkte  der  EigenschaUengrenjsfe  s  a)  durch 
das  Verfahren  der  berührenden  Kegel.  Der  Kegel,  welcher  die  Fläche 
in  dem  Parallelkreise  b  des  Punktes  B  berührt,  hat  seine  Spitze  in 
B^  auf  a.  Dreht  man  nun  den  Meridian  l  des  L  um  a  in  den 
Hauptmeridian  Ä,  wodurch  L  nach  H  gelangt,  zieht  die  B^Hj 
schneidet  sie  mit  der  Ebene  des  b  in  B^,  dreht  die  Meridianebene 
zurück,  wodurch  B^  nach  B^  auf  A' L  {A' Bq  =  C"  B^)  gelangt, 


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172 


IV,  166.    Die  ümdrehungsflächen. 
Fig.  80. 


I 


.».*■'  /">' 

^     >    ^^X'/    /-'V 


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IV,  166—168.  Der  einer  Umdrehnogsfläche  omschriebene  Kegel  ü.  Cylinder.  173 

zieht  aus  B^  die  beiden  Tangenten  an  &',  so  sind  deren  Berührungs- 
punkte B^y  B^  die  gesuchten  Punkte  der  s.  —  Man  kann  die  Punkte 
auf  b  auch  dadurch  finden  ^  daß  man  den  berührenden  Kegel  -mit 
der  Parallelkreisebene  von  L  in  einem  Kreise  schneidet,  an  diesen 
aus  L'  die  Tangente  zieht,  und  die  Halbmesser  (so  Ä'  B^q)  der  Be- 
rührungspunkte, welche  zugleich  die  ersten  Projektionen  der  Berüh- 
rungserzeugenden des  Kegels  sind,  mit  b'  in  B^'  und  B^'  zum  Schnitte 
bringt.  Dies  Verfahren  liefert  insbesondere  die  Punkte  B^',  B^  und 
JK^',  K^  des  Grundrisses,  in  welchen  die  Tangenten  der  5'  nach  A' 
gerichtet  sind.  Sie  liegen  auf  denjenigen  Parallelkreisen,  deren  Be- 
rührungskegel die  Parallelkreisebene  von  L  in  einem  größten  oder 
kleinsten  Kreise  schneiden.  Der  Parallelkreis  des  Wendepunktes  B  der 
Cosinuslinie  liefert  einen  größten  solchen  Kreis,  wodurch  die  Punkte 
B^'y  B^  desselben  kleinste  Winkel  V A'B^  und  L' A'  B^  bestimmen. 
Der  Parallelkreis  des  L  liefert  einen  kleinsten  solchen  Kreis,  wodurch 
die  Punkte  JE^',  K^  desselben  größte  Winkel  L'A'K^  und  L'A'Kl  be- 
stimmen. Im  Aufriß  gehen  dann  die  Tangenten  der  s"  in  jenen  Punkten 
durch  die  Spitzen  der  umschriebenen  Kegel,  so  in  B^'  durch  B^. 

167.  b)  Bas  Verfahren  der  berührenden  Oylmder.  An  den 
Cylinder,  welcher  die  Fläche  entlang  eines  Meridians,  A'B^j  be- 
rührt, legt  man  die  Berührungsebenen  aus  £,  indem  man  von  Xr' 
die  Senkrechte  L'B^q  SLXjf  A'B^'  fällt,  dann  den  Meridian  samt  dem 
Fußpunkte  in  dem  Hauptmeridian  dreht,  aus  der  neuen  Lage  des 
Fußpunktes  an  den  Hauptmeridian  h  die  Tangenten  zieht,  deren  Be- 
rührungspunkte, wie  B",  bestimmt,  und  aus  ihnen  durch  Zurück- 
drehen in  den  ursprünglichen  Meridian  die  gesuchten  Punkte,  wie 
B^'  ermittelt.  Man  bemerkt,  daß  hier  dieselben  Linien  wie  bei 
dem  ersten  Verfahren,  nur  in  umgekehrter  Reihenfolge,  gezogen 
werden.  Zur  Bestimmung  des  Berührungspunktes  einer  gezeichneten 
Tangente  der  Cosinuslinie  dient  ebenfalls  die  umgekehrte  Linien- 
folge. --  Das  Verfahren  der  Meridiancylinder  dient  zur  Bestimmung 
der  Punkte  des  zweiten  Umrissef  oder  des  Hauptmeridians,  als  der 
Berührungspunkte  der  an  ihn  aus  L''  gezogenen  Tangenten.  Ebenso 
findet  man  durch  es  die  Punkte  des  durch  L  gehenden  Meridians  l, 
bei  dessen  Drehung  in  den  Hauptmeridian  L  nach  H  gelangt;  die 
Berührungspunkte,  wie  JE",  der  aus  -BT"  an  den  Hauptmeridian  ge- 
zogenen Tangenten,  gelangen  beim  Zurückdrehen  in  l  in  die  ge- 
suchten Punkte,  wie  E^. 

168.  c)  Das  Verfahren  der  berührenden  Kugeln.  Die  Normale 
des  Hauptmeridians  in  D"  bestimmt  auf  a"  den  Mittelpunkt  der 
Kugel,  welche  die  Fläche  entlang  des  Parallelkreises  d  berührt. 
Dreht  man  wieder  L  nach  JS,  so  ist  die  zweite  Projektion  des  aus 


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174  IV,  168—169.    Die  ümdrehiinggfl&chen. 

Fig.  80.  J?  der  Kugel  umschriebenen  Kegels  eine  GEemde,  welche  die  d"  in 
Dg  tri£Pt.  Die  zwei  durch  D^  dargestellten  Punkte  des  d  gelangen 
beim  Zurückdrehen  nach  D^  und  Dg,  wenn  die  Abstände  von  D^ 
und  D^  von  dem  auf  l  senkrechten:  Kreisdurchmesser  m  gleich  dem 
Abstände  des  D^  von  a"  sind.  —  Das  Kugelverfahren  erfordert  zur 
Bestimmung  der  beiden  Punkte  eines  schon  gezeichneten  Parallel- 
kreises zehn  Operationen,  das  Kegelv^ahren  sieben.  Dennoch  ist 
für  den  Parallelkreis  d  wegen  entfernter  Lage  von  Punkten  das  Kugel* 
verfahren  zweckmäßiger. 

D9  ist  ein  Punkt  der  Projektion  ^^  der  Berührungskurve  s  actf 
die  Meridianebene  L,  nach  deren  Drehung  in  die  Hauptmeridian - 
ebene.  Man  erhält  mittelst  des  Kugelverfahrens  .diese  Kurve  un- 
abhängig von  der  ersten  Projektion  und  kann  sie  auch  noch  über 
die  umrisse  der  Fläche  ausdehnen,  wo  erst  die  Verlängerungen  der^ 
jenigen  Geraden  sich  schneiden,  welche  bezw.  den  Parallelkreis  der 
Fläche  und  den  Berührungskreis  der  Kugel  mit  dem  ihr  aus  B.  um- 
schriebenen Kegel  abbilden.  In  der  Figur  ist  der  Punkt  F  auf  der 
Tangente  der  Cosinuslinie  in  ihrem  Scheitel  A  vermitt-elst  des  Krüm- 
mungskreises der  Kurve  in  A  konstruirt.  Der  Krümmungshalbmesser 
wird  aber  gefunden,  wenn  man  aus  A"  eine  Parallele  zu  der  Tangente 
im  Wendepunkte  B"  zieht  (_L  A^B^  der  Fig.  a),  dieselbe  mit  B"(y' 
schneidet,  von  da  aus  eine  Senkrechte  zu  ihr  zeichnet,  welche  die  a"  in 
2^1  trifft.  jFj  G"  ist  dann  der  gesuchte  Krümmungshalbmesser.  Von 
der  Richtigkeit  dieser  Konstruktion  überzeugt  man  sich  durch  Ver- 
gleichung  mit  der  entsprechenden  Konstruktion  in  der  Fig.  26,  deren 
Punktefolge  A^' A" A^  durch  A"C"Fy^  in  unserer  Figur  ersetzt  ist 

Auch  das  Kegelverfahren  liefert  die  Kurve  s^  und  ihre  Fort- 
setzung über  die  Umrisse.  Ihr  Punkt  B^  auf  6"  ist  durch  O"  B^ 
=  Abstand  B^  von  m  bestimmt,  und  weil  B^  und  B^  B^  Pol  und 
Polare  zu  6',  so  sind  B^  und  B^  harmonisch  getrennt  durch  die 
Endpunkte  von  V\  Von  JE"  an  wird  der  dem  B^  entsprechende 
Punkt  ein  innerer,  daher  sein  zugeordnet  harmonischer  ein  äußerer. 

169«  Es  hat  aber  eine  Fortsetzung  der  Kurve  s^  über  den  Umriß 
hinaus  auch  räumlich  eine  Bedeutung,  weil  die  Projektion  5q  der  s 
auf  die  Meridianebene  L  ungeändert  bleibt,  wenn  man  die  Fläche  F 
durch  eine  affine  Fläche  F^  ersetzt,  wobei  L  die  Affinitätsebene  und 
die  dazu  Senkrechten  die  Affinitätsstrahlen  sind,  da  hierbei  die  aus 
L  der  F  und  der  F^  umschriebenen  Kegel,  sowie  die  Berührungs- 
kurven sich  entsprechen,  die  letzteren  also  dieselbe  Projektion  s^ 
auf  L  besitzen.  Nimmt  man  nun  in  den  Ebenen  der  Parallelkreise 
die  Charakteristik  der  Affinität  =  Y^ —  1,  d.h.  bildet  man  die  Ima- 
ginärprojektionen der  Kreise,  so  sind  diese  Projektionen  gleichseitige 


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lY,  169.  Der  einer  ümdrehuDgifläche'  amächriebene  Kegel  n.  Cylinder.       175 

Hyperbeln  und  erzeugen  eine  heüe  Flache  fj,  die  wir  die  Imaginä/r- 
projektion  oder  die  konjugirte  Fläche,  von  F  in  Bemg  auf  die  Men- 
dianebene  L  und  die  auf  ihr  senkrechte  lUcMung  nennen  wollen  (96  ffi)« 
Um  die  Stetigkeit  derselben  bei  A  nicht  zu  unterbrechen^  in  wel- 
chem Punkte  die  erzeugende  Hyperbel  in  zwei  gegen  die  Meridian- 
ebene li  unter  45^  geneigte  Gerade  i,  i  übergeht^  setzen  wir  sie 
über  Ä  hinaus  fort,  entsprechend  wie  es  bei  der  übereinstimmenden 
Imaginärprojektion  des  Umdrehungsparaboloides^  dem  gleichseitigen 
hyperbolischen  Paraboloide^  geschieht  Wir  fügen  nämlich  zur  (aus- 
gezogenen) Cosinuslinie  des  Meridians  eine  zu  ihr  in  Bezug  auf  A 
symmetrische  (gestrichelte)  hinzu;  dann  sind  die  auf  a  senkreichten 
Ordinaten  der  ersteren  die  halben  reellen^  die  der  letzteren  die  halben 
ideellen  Axen  der  erzeugenden  gleichseitigen  Hyperbeln.  Die  beiden 
so  entstehenden  Flächenteile  sind  unter  einander  kongruent,  grenzen 
in  den  genannten  auf  einander  senkrechten  Geraden  i  an  einander 
und  sind  in  Bezug  auf  jede  derselben  gegenseitig  symmetrisch. 

Die  auf  der  konjugirten  Fläche  F^  liegende  Berührungskurve 
des  ihr  aus  L  umschriebenen  Kegels  wollen  wir  die  zu  s  konjugirte 
Kurve  s^  nennen.  Um  ihre  Punkte  auf  einer  hyperbolischen  Erzeu- 
genden g  der  F^  zu  finden  ^  lege  man  entlang  der  g  den  berührenden 
Kegel  an  die  F^.  Seine  Spitze  ist  der  Schnittpunkt  G^  der  a  mit 
der  Tangente  eines  Meridianschnittes  der  F^,  in  dessen  Punkte  G" 
auf  g,  in  der  Figur  des  Meridians  der  ideellen  Scheitel.  Schneidet 
man  H"  G^  mit  g"  in  G^  und  sucht  auf  der  gleichlaufenden  Involu- 
tion, welche  auf  g'  in  Bezug  auf  die  Hyperbel  g  und  den  berüh- 
renden Kegel  stattfindet,  und  von  welcher  G^  auf  a  der  Mittelpunkt^ 
G"  ein  ideeller  Doppelpunkt  ist,  den  zu  ög  zugeordneten  Punkt  G^ 
(vermittelst  G^  G^  auf  a  =  G^o  f^'\  ^  ^^6  G^e  ^^9  =  90^);  so  ist  G^  die 
Projektion  der  Berührungspunkte  der  beiden  aus  G^  an  die  Hyperbel 
g  gezogenen  Tangenten,  d.  i.  ein  Punkt  der  s^.  Die  Punkte  6r/,  G^ 
der  Sk  auf  der  ersten  Projektion  der  zurückgedrehten  Hyperbel  g^  die 
nicht  verzeichnet  zu  werden  braucht,  erhält  man,  wenn  man  auf  l 
die  A'G^Q  =  G^  Gq  aufträgt,  und  G^^  G,'«»  Gjo  G^'  JL  l  und  =»  G^  G^ 
zeichnet  (I,  371). 

Zieht  man  aus  H''  die  Tangenten  an  die  gestrichelte  Cosinus- 
linie, so  sind  die  den  Berührungspunkten  symmetrisch  in  Bezug 
auf  a"  gegenüberliegenden  Punkte  solche  der  Sq.  So  ist  in  dem 
Berührungspunkte  J"  auch  der  Punkt  J^  gelegen,  dessen  zugeord- 
neter der  gegenüberliegende  J^  ist.  Die  Tangenten  der  Sq  und  Sm  in 
den  Punkten  der  Hyperbel  des  Wendepunktes  der  C!osinuslinie  gehen 
wieder  nach  der  Spitze  des  berührenden  Hilfskegels,  weil  dieser  Kegel 
wieder  die  ParaHelkreisebene  des  Punktes  L  in  einer  kleinsten  oder 


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176  IV,  169—170.    Die  ümdrehungsflächen. 

Fig.  80.  größten  Kurve,  diesmal  einer  Hyperbel,  schneidet.  —  Die  Asymptoten 
der  Sq  und  5*"  sind  die  zxxÄ"  symmetrischen  Geraden  x,  x^j  diejenigen 
der  5/  sind  die  Asymptoten  i,  i  der  Hyperbeln;  denn  wenn  sich  G" 
der  X  oder  x^  nähert,  nähert  sich  auch  G^  der  x  oder  x^^  G^  der  a,  Gq 
geht  ins  Unendliche,  und  es  wird  G^G^^^G^G^^  daher  G^qG^^^ÄG^^. 

Die  ümdrehxmgsfläche  F  setzt  sich  über  alle  Gänge  der  Cosinus- 
linie fort,  jenseits  A  wird  sie  imaginär;  die  konjugirte  Fläche  F^  setzt 
sich  reell  über  alle  Gänge  der  Cosinus-  und  ihrer  in  Bezug  auf  Ä 
symmetrischen  Linie  fort;  ebenso  die  Kurven  s  und  St  auf  beiderlei 
Flächen. 

170.  Die  SchlagschaUengrenzen  s^  und  $2  auf  P^  und  P^  sind 
die  Schatten  der  s.  Man  sucht  durch  Strahlen  aus  L  die  Schatten 
der  einzelnen  Punkte,  so  D^  von  Dg.  Die  Tangente  an  s^  in  D^ 
ist  parallel  zur  Tangente  an  den  Parallelkreis  (7  in  Dg,  d.  i.  J.  Ä'Dg. 
Denn  sie  ist  der  Schatten  der  Tangente  von  s  in  Dg';  die  Licht- 
strahlenebene dieser  Tangente  enthält  aber  zwei  Tangenten  der  Fläche 
in  Dg,  die  der  s  und  den  Strahl  XDg;  sie  ist  daher  eine  Berüh- 
rungsebene der  Fläche  in  Dg,  enthält  demnach  auch  die  Tangente 
an  d  in  Dg,  und  mit  dieser  ist  ihre  erste  Spur,  d.  i.  die  Tangente 
an  s^,  parallel. 

Bemerkenswert  ist  der  Schatten  N^  des  Punktes  N  der  s,  in 
welchem  s  von  dem  Lichtstrahle  LN  berührt  wird,  weshalb  N^  eine 
Spitee  von  s^  wird  (I,  260).  Die  Tangente  aus  D  an  5  wird  durch 
Anlegen,  der  Berührungspunkt  durch  eine  Fehlerkurve  bestimmt.  Die 
Tangente  der  s^  in  der  Spitze  N^  ist  entsprechend,  wie  vorhin,  J_  A'N\ 
—  Die  unendlich  fernen  Funkte  der  Sj  sind  die  Schatten  von  JE, 
und  Ä"g,  weil  LK^  und  LK^  ||  Pj.  Die  Asymptoten  der  s^  sind  die 
Schatten  der  Tangenten  an  s  in  £7  und  K^.  Die  erste  Spur  der 
Tangente  in  K^  ist  K^y  und  die  Asymptote  geht  durch  K^  und  ist 
\\L'K;  oder  XÄ'K;. 

Von  Sg  ist  ein  Teil  gezeichnet;  s^  besitzt  in  unserem  Falle 
ebenfalls  zwei  Asymptoten,  die  man  durch  die  zu  Pg  parallelen 
Lichtstrahlen  findet. 

Der  Schlagschatten  $,  von  s  auf  die  Fläche  F  selbst  beginnt  in 
den  Berührungspunkten  der  die  5  berührenden  Lichtstrahlen,  so  in 
N.  Diese  Punkte  heißen  die  GrempunUe  der  EigenschaUengrenee  s. 
Denkt  man  sich  die  Fläche  als  Grenze  eines  undurchsichtigen  Korpers, 
wodurch  eine  äußere  und  eine  innere  Seite  der  Fläche  unterschieden 
sind,  so  trennen  die  Grenzpunkte  denjenigen  Teil  von  s,  nach  wel- 
chem die  Lichtstrahlen  von  außen  kommen  und  nach  außen  gehen, 
welche  also  physische  Eigenschattengrenze  isty  von  demjenigen  Teile, 
in  welchem  sie  von  innen  kommen  und  nach  innen  gehen,  wo  also  $ 


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IV,  170—171.  Der  einer  Umdrehnngsfläche  amschriebene  Kegel  u.  Cy linder.  177 

nur  die  Bedeatung  einer  geometrischen  Berührungskurve  hat.  In  den 
Grenzpünkten  berührt  und  schneidet  zugleich  der  Lichtstrahl  die  F. 
Den  Schattenpunkt  P,  auf  einem  beliebigen  Parallelkreise  d  erhält 
man  (I,  502)^  indem  man  mittelst  der  Strahlen  aus  H''  den  Schatten 
d|  von  d  auf  die  F^  sucht,  und  den  d^  mit  s^^  so  in  P^^  schneidet; 
L'Pi  bestimmt  dann  P3  auf  d\  Die  zweiten  Endpunkte  von  Sg  lie- 
gen in  den  Schnittpunkten ,  so  in  Q,  des  Berührungskreises  der  F 
mit  Fl  und  der  s^.  In  diesen  Punkten  berühren  sich  s^  und  s^,  weil 
sich  in  ihnen  F^  und  F  berühren;  in  den  Grenzpunkten  ^berühren 
sich  5  und  s^,  weil  der  dem  N  benachbarte  Punkt  der  s^  von  N 
einen  Abstand  ==  0\  und  von  der  Tangente  LN  der  s  einen  sol- 
chen =  0*  besitzt 

171.  Die  Krümmungshalbmesser  der  Schaüengremen  in  ihren 
Scheiteln.  Der  Scheitel  i?/  van  s'  kommt  bei  der  Drehung  von  l  in 
h  nach  B  {R\  R")]  dann  steht  die  Schmiegungsebene  von  5  in  i?  XFj 
und  projicirt  sich  auf  F^  in  die  Tangente  R'^Rq  von  s^,  welche  man 
mittelst  einer  Fehlerkurve  (I,  201),  oder  hier  bei  der  schwachen 
Krümmung  genügend  genau  durch  Anlegen  eines  Lineals  findet,  und 
welche  die  a"  in  Bq  treffe.  -Ersetzt  man  die  Umdrehungsfläche  F 
durch  den  entlang  des  Parallelkreises  von  R  berührenden  Kegel,  so 
hat  die  Schnittellipse  jener  Schmiegungsebene  mit  dem  Kegel  in  R 
den  Krümmungshalbmesser  RqR^j  wenn  dies  der  Halbmesser  des 
Parallelkreises  des  Kegels  vom  Mittelpunkte  Bq  ist  (57).  R^Ri 
=  Rq  i?2  hildet  daher  den  Krümmungshalbmesser  der  s'  in  Ji/.  — 
Ebenso  wurde  der  Krümmungshalbmesser  der  5'  im  Scheitel  E^' 
bestimmt. 

Die  konjiigirte  Kurve  St  hat  in  jedem  Scheitel  JR/,  E^  hezw.  den 
gleichen  und  entgegengesetzt  gerichteten  Krümmungshalbmesser  wie  die 
ursprüngliche  Kurve  s\  Denn  zwei  koujugirte  Kegelschnitte  haben 
in  jedem  ihrer  Berührungspunkte  gleiche  und  entgegengesetzt  ge- 
richtete Krümmungshalbmesser.  Läßt  man  nämlich  in  I,  Fig.  234 
die  -4|  R,  also  auch  die  A^  Q  unendlich  klein  werden,  so  wird 
BB^C^C  ein  Parallelogramm  mit  dem  Mittelpunkte  J.^;  darin  wird 
BB^  =  CCi  =  0^  Ä^R  =  —  Ji  Q  =  0»,  deshalb  weichen  die  Fußpunkte 
der  von  Ä^  auf  die  Seiten  BB^,  CC^  gefällten  Senkrechten  von  deren 
Mitten  um  0*  ab,  dieses  verschwindet  gegen  PPj  und  CCi,  es  sind 
daher  die  Dreiecke  BB^Ay  nnd  CC^Ax  kongruent,  und  die  durch 
sie  gelegten  Kreise,  d.  i.  die  Krümmungskreise  der  konjugirten 
Kegelschnitte  in  ihrem  Berührungspunkte,  gleich.  —  Nun  wird  aber 
der  ümdrehungskegel,  welcher  unsere  Fläche  F  in  dem  Parallel- 
kreise von  R  berührt  und  sein  in  Bezug  auf  die  Meridianebene  von 
jR  konjugirter  hyperbolischer  Kegel  von  der  Schmiegungsebene  der  8 

Wiener,  Lehrbuch  der  danteilenden  Geometrie.  IT.  12 


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178  IV,  171—172.    Die  ümdrehungsflächen. 

in  R  in  konjugirten  Kegelschnitten  getroffen  (96),  und  diese  bei- 
derlei Kegel  haben  mit  P  und  P^  bei  R  zwei  erzeugende  Kreise, 
bezw.  Hyperbeln,  gemein,  also  haben  jene  konjugirten  Kegelschnitte 
mit  s  bezw.  St  je  vier  Punkte  bei  R  gemein,  also  besitzen  alle  vier 
Kurven  gleiche  vierpunktig  berührende  Krümmungskeise  in  R.  Da 
nun  auch  die  Projektionen  jener  kongruenten  Dreiecke  BB^A^y 
CCiÄi  auf  dieselbe  Ebene  kongruent  sind,  so  haben  auch  gleich- 
namige Projektionen  der  konjugirten  Kurven  in  R  gleiche  Krüm- 
mungskreise, und  zwar  s\  St  vierpunktig,  s",  Sk'  dreipunktig  be- 
rührende. 

Der  SdhlagschoMen  54  der  EigenschaUengrenise  s  auf  die  Ebene 
des  Parallelkreises  r  ihres  Scheitels  R  hat  diesen  Parallelkreis  zum 
Krümmungskreise  in  R.  Denn  trägt  man  auf  der  gemeinschaftlichen 
Tangente  der  drei  Kurven  5,  s^^  r  in  R  das  unendlich  kleine  RT 
=  0^  auf,  und  schneidet  die  durch  T  senkrecht  zur  Tangente  ge- 
legte Ebene  mit  s,  54,  r  bezw.  in  F,  F4,  W,  so  ist  F4  der  Schatten 
von  F,  FF4  ein  Lichtstrahl,  welcher  die  Schnittkurve  FTF  jener 
Ebene  mit  P  in  F  berührt.  Daher  sind  TF,  rF4,  TTF,  sowie  FTF 
gleich  0*,  dagegen  ist  TFF4  =  0*  als  Abweichung  der  Schnittkurve 
von  ihrer  Tangente  in  einem  Abstände  FTF=0^  vom  Berührungs- 
punkte F,  also  ist  r  der  Krümmungskreis  von  «4  (I,  237).  —  Der 
Krümmungshalbmesser  US'  von  s^  auf  Pj  in  S"  ist  daher  der  Schatten 
des  Halbmessers  jenes  Parallelkreises  in  R,  d.  i.  US'  =  UqS. 

172.    Aufg.    Für  eine  Umdrehimgsfläche   bei  ParaUelheleuchtung 
die  Eigen-  und  Schlagschattengrenzen  s  und  s^,  Sg  zu  bestimmen. 
Fig.  81.  Äufl,    Sei  die  Fläche  ein  Ring,  dessen  Axe  a  J_  P^  steht,  und 

gebe  die  durch  den  Mittelpunkt  M  der  Fläche  gezogene  Gerade  l 
die  Richtung  der  Lichtstrahlen  an.  Man  wendet  wieder  die  drei 
Verfahren  an. 

a)  Das  Kegel-Verfahren.  Zwei  von  der  Äquatorebene  gleich 
weit  entfernte,  durch  die  Punkte  B^  und  Cj  des  Hauptmeridians 
geführte  Ebenen  schneiden  die  Fläche  in  vier  Parallelkreisen,  deren 
zweite  Projektionen  zwei  Gerade  und  deren  erste  Projektionen  zwei 
Kreise  sind.  Die  vier  der  Fläche  entlang  dieser  Keise  umschrie- 
benen Kegel  sind  in  ihrer  unbegrenzten  Gestalt  alle  kongruent,  so 
daß  sie  sich  decken,  wenn  man  durch  Parallel  Verschiebung  (in  der 
Richtung  von  a)  ihre  Spitzen,  etwa  in  JfcT,  zusammenbringt;  zwei  der 
Parallelkreise  liegen  auf  den  unteren,  zwei  auf  den  oberen  Kegel- 
ästen. Man  zeichnet  diesen  Kegel  durch  die  Parallele  iM"D"  zu 
den  Tangenten  des  Hauptmeridiaus  in  B^'  und  C/',  und  seine  erste 
Spur  als  Kreis  aus  M'  durch  D'.  um  an  diesen  Kegel  Berührungs- 
ebenen II  l  zu  legen,  zieht  man  aus  der  ersten  Spur  L'  des  durch 


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IV,  172.   Der  einer  ümdrehungaflache  umschriebene  Kegel  u.  Cylinder.     179 

seine  Spitze  M  gehenden  Lichtstrahles  l  die  Tangenten  an  die  erste 
Spur   des  Kegels^    oder  bestimmt   vielmehr   nur  ihre  Beröhrungs- 

Fig.  81. 


punkte  durch  den  über  M'  V  als  Durchmesser  gelegten  Kreis.  Die 
aus  M'  nach  den  Schnittpunkten  beider  Kreise  gezogenen  Geraden 
sind  die  ersten  Projektionen  der  BerQhrungserzeugenden  des  Kegels^ 

12* 


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180  IV,  172.    Die  ümdrehungsflächen. 

Fig.  81.  und  bleiben  es  auch,  wenn  man  die  Kegel  wieder  in  ihre  ursprüng- 
liche Lage  zurückschiebt.  Diese  Berührungserzeugenden  schneiden 
die  Parallelkreise,  welche  auf  unteren  Eegelästen  liegen,  in  den  ge- 
suchten Punkten,  wie  B\  und  ihre  Verlängerungen  über  Jf  hinaus 
schneiden  die  auf  oberen  Kegelästen  liegenden«  Parallelkreise  in 
Punkten,  wie  C\  So  ergeben  sich  aus  dem  Kegel  MD  acht  Punkte 
der  Eigenschattengrenze  s.  Die  Punkte  des  Äquators  und  KeM- 
hreises,  d.  i.  der  ersten  Umrisse,  liegen  auf  dem  zu  V  senkrechten 
Durchmesser;  so  der  Punkt  E, 

b)  Das  Gylinder 'Verfahren  liefert,  wie  in  Nr.  167,  dieselben 
Linien,  wie  das  der  Kegel,  nur  in  umgekehrter  Reihenfolge.  Es 
ist  von  Wert  für  den  Symmetriemeridian  V,  in  welchem  es  durch 
Umdrehen  in  den  Hauptmeridian,  wobei  L  nach  L^  und  Z"  nach  V" 
gelangt,  die  zwei  höchsten  und  die  zwei  tiefsten  Punkte  der  Kurve 
liefert,  so  den  höchsten  inneren  H,  vermittelst  der  Endpunkte,  wie 
H^'f  der  auf  V"  senkrechten  Durchmesser  der  Meridiankreise.  Ebenso 
ist  es  von  Wert  für  den  Sai4^tmeridian,  den  zweiten  Umriß,  und 
ergibt  in  ihm  vier  Punkte  durch  die  auf  Z"  senkrechten  Durchmesser 
der  Meridiankreise. 

c)  Nach  dem  Kugel-Verfahren  legt  man  in  B^"  die  Meridian- 
normale, welche  die  a"  in  ^',  dem  Mittelpunkte  der  die  Fläche  nach 
dem  Parallelkreise  von  Bg"  berührenden  Kugel,  trifft.  Der  ||  T"  dieser 
Kugel  umschriebene  Cylinder  berührt  sie  nach  einem  größten  Kreise, 
welcher  durch  die  auf  T"  senkrechte  Gerade  K''L^'  dargestellt  ist; 
dieselbe  schneidet  den  Parallelkreis  von  B^'  in  Lg",  nud  dieser  Punkt 
bestimmt  nach  dem  Zurückdrehen  in  L^  zwei  Punkte  des  Parallel- 
kreises, so  den  B',  wenn  man  den  Abstand  des  J5'  von  ME'  gleich 
dem  Abstände  des  Lg"  von  a"  macht. 

Der  Schlagschatten  s^  auf  P^  wird  durch  die  ersten  Spuren  der 
durch  die  Punkte  der  Eigenschattengrenze  gelegten  Lichtstrahlen 
gefunden,  so  B^  als  Schatten  von  B.  Die  Tangente  von  s^  in  jB, 
ist  parallel  zur  Parallelkreistangente  in  B'  oder  Jl  MB'  (170). 
Weil  M  der  Mittelpunkt  der  Fläche,  so  ist  sein  Schatten  L'  Mittel- 
punkt der  «ij  außerdem  ist  ML\  weil  in  der  Symmetrieebene  ge- 
legen, eine  Axe  dieser  Grenze;  dann  muß  auch  die  J_  V  gezogene 
L'Ei  eine  Axe  sein.  Die  Gestalt  der  s^  wird  nachher  erörtert  werden. 

Den  Schlagschatten  S2  auf  Fg  findet  man  am  genauesten  aus  s^ 
als  dessen  Schatten  auf  Fg  mit  rückwärts  gezogenen  Lichtstrahlen. 
So  ergibt  sich  aus  G^  der  s^  der  Punkt  G^  der  %  durch  die  Linien- 
züge G^G^Gz,  Q^G'G^.  Ist  die  Tangente  an  s^  in  G^  ||  x,  so  gilt 
dies  auch  für  s^  in  Gg?  ^^^  bilden,  wie  in  der  Figur,  V  und  V 
Winkel  von  45^  mit  o;,  so  fallen  jene  Tangenten  in  G^  und   G^ 


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IV,  172—174.  Der  einer  ümdrehungeflö che  umschriebene  Kegel  u.  Cylinder.  181 

zusammen,  und  es  ist  G^^G^  ^^  G^G^  ^^  G'G^.  Si,  «2  s^^d  affin  mit 
X  als  Axe,  und  in  unserem  Falle  mit  Affinitätsstrahlen  parallel  x, 
Sif  $2  schneiden  sich  auf  x  in  R,  und  maii  findet  aus  der  Tangente 
RBi  an  5,  die  Tangente  RB^  der  s^y  indem  man  R^R^  ^==>  Gy^G^ 
macht,  wenn  jene  Tangenten  die  G^G^  in  R^  und  R^  treflFen. 

In  gleicher  Weise  ist  noch  aus  einem  beliebigen  Punkt  Fj  der 
5i  mit  seiner  Tangente  Vq  W^  der  Punkt  V^  der  s^  mit  der  Tangente 
Fo  TFj  abgeleitet  (  »F,  TF,  =  G^  G^). 

173.  Eine  einfache  Konstruktion  der  Schatten  s  und  s^  eines 
Riuges  bei  Parallelbeleuchtung  gibt  Dunesme*)  für  den  allgemeine- 
ren Fall,  daß  jede  der  beiden  symmetrischen  Meridianhälften  ein  • 
Kegelschnitt  ist,  dessen  eine  Axe  parallel  zur  Umdrehungsaxe  a 
steht,  ein  Fall,  der  bei  unserem  Ringe,  dem  Kreisringe,  stattfindet. 
Verschiebt  man  in  jeder  Meridianebene  eine  solche  Hälfte  in  der 
zu  a  senkrechten  Richtung,  bis  die  zu  a  parallele  Axe  in  a  fällt, 
also  alle  um  dieselbe  Yerschiebungslänge  m,  so  sind  alle  verschobe- 
nen Linien  Meridiane  einer  ümdrehungsfläche  zweiten  Grades,  beim 
Kreisringe  von  einer  Kugel.  Der  dieser  Fläche  parallel  zum  Licht- 
strahl umschriebene  Cylinder  berührt  nach  einem  Kegelschnitte, 
welcher  leicht  zu  verzeichnen  ist.  Schiebt  man  nun  die  Meridiane 
wieder  in  ihre  ursprüngliche  Lage  zurück,  so  gelangen  die  Punkte 
der  Berührungskurve  der  Fläche  zweiten  Grades  nach  Punkten  der 
Berührungskurve  des  Ringes,  weil  die  Berührungsebenen  beider 
Flächen  in  solchen  entsprechenden  Punkten  offenbar  parallel  sind. 
Zwei  entsprechende  Punkte  besitzen  den  Abstand  m. 

Die  dem  Kreisringe  zugehörige  Kugel  ist  in  der  Figur  in  der 
ersten  Projektion  gezeichnet,  in  welcher  die  Berührungskurve,  ein 
größter  Kreis,  als  Ellipse  erscheint,  deren  große  Halbaxe  M''iJ^ 
senkrecht  auf  V  steht,  während  die  kleine  Halbaxe  M'H^  gleich 
dem  Abstände  des  H^'  von  dem  zu  a  parallelen  Meridiankreisdurch- 
messer (aus  0)  ist  Auf  dem  Meridiane  M'  B'  befinden  sich  zwei 
Punkte  der  Ellipse,  welche  nach  dem  einen  und  nach  dem  andern 
Sinne  im  Meridiane  um  m  verschoben,  die  vier  Punkte  des  Meridians 
angeben.  So  entsteht  z.  B.  jB'  aus  dem  B^  der  Ellipse  vermittelst 
B^B'  =  m, 

174.  Da  die  gewöhnliche  Komhoide  entsteht,  wenn  man  auf 
Strahlen,  die  aus  einem  Punkte,  dem  PcUej  gezogen  werden,  von 
ihren  Schnittpunkten  mit  einer  Geraden  aus  eine  unveränderliche 
Länge  m  nach  beiden  Seiten  aufträgt,  so  ist  unsere  im  Grundrisse 
konstruirte  Kurve  eine  verallgemeinerte  Konchoide,  indem  die  Gerade 


*)  Comptes  rendus.    B.  38  (1864),  S.  963  und  B.  45  (1867),  S.  527. 

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182 


IV,  174.   Die  ümdrehungeflächen. 


Fig.  82. 


durch  eine  Ellipse  ersetzt  ist;   den  Pol  bildet  der  Mittelpunkt  M' 
der  Ellipse.    Denkt  man  aus  dem  Pole  als  Mittelpunkt  einen  Kreis 
mit  dem  Halbmesser  m  gezeichnet,  so  entsteht  die  Eonchoide  durch 
Addition   der  Leitstrahlen  zweier  Grundkurven  (Kreis   und  Gerade 
bezw.  Kreis  und  Ellipse)  aus  einem  gemeinschaftlichen  Pole.      Die 
noch  weiter  verallgemeinerte  Konchoide  kann  auf 
dieselbe  Weise  aus  beliebig  vielen ,  beliebig  ge- 
stalteten Grundkurven  gebildet  werden.  Für  eine 
solche    läßt    sich   aber   die   Tangente    aus   den 
Tangenten    der  Grundkurven   leicht   bestimmen. 
Fig.  82.  /  ^v  \  Seien  Jc^j  Jc^,  h^  ,..  die  Grundkurven,  k  die  Kon- 

choide, JlfderPol,  -MP  ein  Strahl,  auf  welchem 
durch  die  Kurven  die  Leitstrahlen 

MPi=>r,,         MP^  =  r^,...        MP=r 
abgegrenzt  werden,   so  ist  die  Konchoide  durch 
die  Gleichung  bestimmt 

r  =  r^+r,  +  r^-] ; 

wobei  die  Summe  algebraisch  genommen  und  in  der  Figur  r^  nega- 
tiv '  ist. 

Bilde  nun  ein  benachbarter  Leitstrahl  MQ  mit  MP  den  Winkel 
9,  und  seien  RQ  =  dr^  RiQi  =  rf^i  ...  die  Zunahmen  von  r,  f\  .  ., 
wobei  MB  =  MP,  MR^  =  MP^  . . . ,  so  ist  auch 

MQ  =  MQ,  +  MQ,+  ^^^, 
daher  auch  dr  =  dr^  +  ^^2  +  •  •  • . 

Sei  ferner  PN  die  Normale  der  k  in  N,  und  schneide  dieselbe  auf 
der  zum  Leitstrahle  MP  gezogenen  Senkrechten  die  MN  =  s  ab, 
welche  die  Suimormdle  heißt,  so  folgt  aus  ähnlichen  Dreiecken 

MN:MP=RQ:RP, 
oder  s  :  r  =  dr  irtp  y       dr  =  Sfp, 

Entsprechend  ist,  wenn  MN^^  =  s^  die  Subnormale  von  ftj  u.  s.  w., 

dr^  =  Sy(p y         dr^  =  s.^q>  . . . , 
daher 

59)  =  Sji9?  +  529?  +  •  •  • ;     o^®r     ^'  =  «1  +  Sg  +  •  •  • , 

d.  h.  die  Subnormale  der  Konchoide  ist  gleich  der  algebraischen  Summe 
der  Subnormalen  ihrer  Grundkurven, 
Fig.  81.  lu  unserem  Falle   sind   die  Grundkurven  ein  Kreis   und   eine 

Ellipse,  die  Subnormale  des  Kreises  ist  Null,  die  der  Ellipse  fElr 
den  Punkt  jBg  ist  M'N  (wenn  JJgJV'ihre  Normale),  demnach  die  der 
Konchoide  ebenfalls  M'N,  ihre  Normale  daher  NB\  wodurch  ihre 
Tangente  bestimmt  ist. 


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IV,  176.   Der  einer  Umdrehongsfläche  umschriebene  Kegel  u.  Cylinder.      183 

175«  Der  SMagschatten  s^  des  Einges  wird  ebenfalls  aus  dem 
der  zugehörigen  Fläche  zweiten  Grades,  hier  der  Kugel,  hergeleitet. 
Ihr  Schatten  ist  eine  Ellipse  mit  dem  Mittelpunkte  L',  deren 
große  Halbaxe  sich  =  Oi2J  ergibt  (iSg^'ü  ||  T"),  und  deren  kleine 
Halbaxe  L'E^  gleich  dem  Eugelhalbmesser  ist.  Die  Schatten  der 
entsprechenden  Punkte  B  und  B^  seien  B^  und  B^\  dann  ist 
B^Bi  #  B^B'  '^  m.  Ferner  sind  die  Tangenten  der  Schatten- 
grenzen in  B^  und  B^  parallel  zu  den  Parallelkreistangenten  in 
^3  und  B,  d.  i.  J_  M'B^B'  (170)  oder  ±B^B^.  Der  Abstand 
B^B^  zweier  entsprechenden  Punkte  beider  Kurven  ist  also  eine 
gemeinschaftliche  Normale  beider  Kurven  und  von  der  unveränder- 
lichen Länge  m. 

Die  Kurven  sind  daher  solche,  welche  äquidistante  oder  parallele 
genannt  werden;  sie  besitzen  wegen  der  gemeinschaftlichen  Nor- 
malen eine  gemeinschaftliche  Evolute.  Ein  Quadrant  der  Ellipse  und 
der  zugehörige  der  Evolute  sind  verzeichnet;  die  Spitze  E2  der  Evo- 
lute ist  Krümmungsmittelpunkt  der  Ellipse  und  der  Schlagschatten- 
grenze Si  in  ihren  Scheiteln  E^^,  bezw.  E^  und  E^.  s^  zerfällt  in 
einen  ellipsenartigen  äußeren  Teil  und  in  einen  inneren,  der  in 
unserem  Beispiele  vier  Spitzen  und  zwei  Doppelpunkte  besitzt.  Die 
Spitzen  sind  die  Punkte,  in  denen  die  Kurve  auf  ihre  Evolute  auf- 
trifft, und  diejenige  Q^  z.  B.  erhält  man,  wenn  man  JE^2-^5  ^^f  dem 
Bogen  der  Evolute  von  JEg  bis  Q^  aufträgt  Der  aus  Q^  rückwärts 
gezogene  Lichtstrahl  bestimmt  auf  der  Eigenschattengrenze  s  den 
Greuzpunkt  Q,  in  welchem  s  von  dem  Lichtstrahle  berührt  wird 
(170).  Um  den  Berührungspunkt  Q'  genauer  zu  bestimmen,  beachtet 
man,  daß  die  Tangente  der  s^  in  Q^  parallel  ist  mit  der  Parallel- 
kreistangente in  Q\  daß  also  der  Halbmesser  M'Q'  parallel  mit 
der  Tangente  der  Evolute  Q^  Q^  gezogen  werden  muß,  wodurch  Q' 
bestimmt  wird.  Die  Tangente  der  Evolute  in  Q^,  deren  Fußpunkt 
auf  der  Ellipse  Q^  sei,  wurde  durch  ^ine  Fehlerkurve  ermittelt,  in- 
dem für  zwei  dem  mutmaßlichen  Punkte  Q^  nahe  liegende  Punkte 
der  Ellipse  die  Normalen  und  die  Krümmungsmittelpunkte  (nahe 
bei  Qi)  konstruirt  wurden. 

Die  vier  mit  Q  gieichartigen  Punkte  (so  auch  F)  sind  die  Grenz- 
punkte der  Eigenschattengrenze  (170);  sie  trennen  die  physischen 
Schattengrenzeu,  wie  QH,  von  den  nur  geometrischen  Berührungs- 
kurven, wie  QPF,  In  den  Grenzpunkten  beginnt  der  Schlagsctiatten 
s^  auf  dem  Ringe;  es  berühren  sich  hier  s  und  s^.  Der  andere  End- 
punkt ist  J  auf  dem  unteren  Teile  der  s  und  rührt  von  dem  Doppel- 
punkt Ji  der  Si  her.  Der  Lichtstrahl  JJi  berührt  die  F  in  zwei 
getrennten  Punkten  der  s,  ist  daher  die  Schnittlinie  der  Berührungs- 


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184 


IV,  175—176.    Die  Umdiehongsflächen. 


Fig.  81.  ebenen  der  F  in  diesen  beiden  Punkten ,  und  daher  die  Tangente 
des  Schlagschattens  auf  F  in  J.  Endlich  erhält  man  einen  Punkt 
P  der  s^  auf  einem  beliebigen  Parallelkreise ,  z.  B.  dem  Eehlkreise, 
wenn  man  dessen  Schlagschatten  (den  Kreis  aus  L^  durch  E^)  mit 
dem  Teile  QiJ^  der  s^  in  Pj  zum  Schnitt  bringt  und  aus  P^  durch 
den  rückwärts  geführten  Lichtstrahl  P  bestimmt,  genauer  durch 
Jf' P'  II  L'Pj.  In  P'  berührt  die  erste  Projektion  des  Kehlkreises 
die  des  gesuchten  Schlagschattens.  Diese  drei  Punkte  von  $^  ge- 
nügen meist.    Aus  &,'  wird  s^"  erhalten. 

Wir  werden  alsbald  auch  die  Verzeichnung  der  Schattengrenzen 
mittelst  der  Krümmungskreise  in  den  Scheiteln  bringen. 

176.  Äufg.  Die  Eigen-  und  SchlagschaUengrenze  eines  Binges 
bei  Centralbeleucktung  sfu  bestimmen, 

Aufl.  Stellen  wir  (in  Fig.  84)  P^  senkrecht  auf  die  Axe  a 
der  Fläche  F,  und  drehen  den  leuchtenden  Punkt  L  mit  seiner 
Meridianebene  L  und  der  Meridianlinie  l  derselben  in  die  Haupt- 
meridianebeue  H  bezw.  die  Hauptmeridianlinie  h  und  den  Punkt  H. 

Fig.  83.  Wir  bestimmen  dann  wieder  zuerst  in  Fig.  83  die  Eigenschatten- 


grenze Sq  aus  H  und  zwar  ihre  zweite  Projektion  ohne  Benutzung  der 
ersten,  und  darin  zunächst  einen  Punkt  P  des  Parallelkreises  eines 
beliebigen  Punktes  B  des  Meridiankreises  hj  dessen  Mittelpunkt  0  ist. 
Ziehen  wir  in  B  die  Normale  OBN  und  die  Tangente  BT  der  A, 
schneiden  beide  mit  a  in  -^T  und  T,  so  sind  N  und  T  bezw.  die 
Mittelpunkte  der  Kugel  und  des  Kegels ,  welche  die  Fläche  entlang 
jenes  Parallelkreises  berühren;  zieht  man  dann  aus  N  eine  Senk- 
rechte zu  HT,  so  schneidet  diese  den  Parallelkreis  in  dem  gesuch- 


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IV,  176—177.  Der  einer  Umdrehoogsfläche  omschriebeDe  Kegel  u.  Cylinder.   185 

ten  Punkte  P.  Denn  HT  ist  die  Spur  in  H  yon  den  beiden  aus  H 
an  den  Kegel  gelegten  Berührungsebenen,  welche  auch  die  Kugel 
je  in  einem  Punkte  des  Parallelkreises  von  R  berühren,  und  auf 
HT  steht  die  Projektion  NP  der  nach  den  Berührungspunkten 
gehenden  Kugelhalbmesser  senkrecht  —  Wenn  T  sehr  weit  entfernt 
liegt^  ist  folgendes  Verfahren*)  vorteilhaft.  Man  föllt  HA  J_  a, 
schneidet  BT  mit  HA  in  C  und  HB  mit  a  in  2),  so  geht  CD 
durch  P.  Denn  setzt  man  ^  Jlf 05  ==  9,  ^ATH=X,  so  gilt, 
wenn  E  der  Fußpunkt  der  yon  B  auf  a  gefällten  Senkrechten  ist, 
nach  der  ersten  Konstruktion: 

EP:  EB  =  cot  l  :  cotqp, 

und  nach  der  zweiten  Konstruktion: 

EP:EB^  ACiAH  =  TA  ig  q>  :  TA  ig  k  =^  cotl :  cot  9, 

wonach  beide  Konstruktionen  denselben  Punkt  P  liefern. 

Auf  diese  Weise  wurde  in  Fig.  84  Sq  konstruirt.  Dabei  ergeben  i^-  ^^ 
sich  als  ausgezeichnete  Punkte  die  des  Haupimeridians  h,  in  welchen 
dessen  Tangenten  nach  H''  laufen;  die  Punkte  auf  a",  welche  auf 
den  Parallelkreisen  liegen,  deren  berührende  Kegel  ihre  Spitze  in 
dem  Fußpunkte  A  der  von  H"  auf  a"  gefällten  Senktrechten  haben, 
und  die  Punkte  des  Äquator-  und  Kehlkreises,  welche  nach  dem 
zweiten  Verfahren  bestimmt  werden,  oder  noch  zweckmäßiger  zuerst 
im  Grundriß  als  Berührungspunkte  der  aus  L'  an  diese  Kreise  ge- 
zogenen Tangenten,  oder  auch  im  Aufriß  als  die  durch  die  Endpunkte 
der  Projektion  je  eines  Kreises  von  H^'H  harmonisch  getrennten 
Punkte.  Die  Kurve  Sq  kann  wieder  (168,  169)  über  den  Umriß  fort- 
gesetzt werden,  und  zwar  ohne  Änderung  des  Verfahrens;  Sq  hat 
die  auf  a'  senkrechten  Meridiantangenten  zu  Asymptoten.  Aus  $q 
bestimmt  man  zuerst  s\  indem  man  die  Durchmesserlinie  m  der 
Parallelkreise  JL  l  zieht  und  aus  einem  Punkte  P^  der  Sq  den  Punkt 
P'  der  s'  auf  dem  zugehörigen  Parallelkreise  bestimmt,  vermittelst 
Abstand  P'  von  m  =  Abstand  Pq  von  a\  Aus  s'  bestimmt  man  s". 
Man  konnte,  wie  bei  der  ümdrehungsfläche  der  Cosinuslinie  (169), 
die  zur  Fortsetzung  des  Sq  über  den  Umriß  gehörigen  5'  und  s" 
verzeichnen. 

177,    Die  Tangente  an  Sq  soll  später  mitteltst  der  Theorie  der 
Krümmung  der  Flächen,  hier  aber  durch  das  Verfahren  der  ähn- 
lichen Figur  bestimmt  werden.    Man  findet  den  zu  P  benachbarten  irig.  ss. 
Punkt  Q  der  Sq,    indem   man   den   zu  P  gehörigen  Punkt  B   des 


♦)  De  la  Goarnerie,  gäom.  descr.,  ß.  8,  S.  14. 

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186 


IV,  177.    Die  ümdrehuogsfl&chen. 


Jt' 


Fig.  84. 
.e^: ^*«_ 


I«* 


^^  "  ■  t.^  *^^    .  ."  ~p^r"^'''    ^!4--- ^.^^  ._^^.ü  ,  ^B-J  ,4-  >?■ 


i^# 


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IV,  177.   Der  einer  ümdrehuDgsfläche  umschriebene  Kegel  u.  Cylinder.      187 

Meridians  h  durch  dessen  benachbarten  S  ersetzt;  dadurch  statt  N  Fig.  ss. 
und  T  die  Punkte  N^  und  T^  erhält,  worauf  dann  der  Parallel- 
kreis von  S  durch  die  auf  HT^  senkrechte  N^Q  in  Q  getroffen 
wird.  So  entsteht  durch  die  Konstruktionslinien  das  Viereck  (in 
der  Grenze  ein  Parallelogramm)  PWQV  (siehe  Figur);  die  zu 
NiQ  Parallele  NU  schneide  die  PW  in  U.  Es  sollen  folgende  Be- 
ziehungen gelten: 

MO  =  m,      OR=^r,       ÄH  =  l, 

MX=^EB  =  x,      PV=^v,      PW=w,      ^NON.^dq). 

Nun  ist  offenbar 

PV=^RS^     oder     v=rdip^, 

Bin  X  ^  Bin  X  ' 

W  =  PU+  UW, 
und  wegen  Ähnlichkeit  der  Dreiecke  NPU  und  HTT^ 

VIT         TT  ^^ 7^T   "^^ TT  -^^ 

worin  das  negative  Zeichen  gesetzt  wurde,  weil  Pü  und  ÄH  ent- 
gegengesetzten, TT^  und  EN  dagegen  gleichen  Sinn  besitzen.  Da 
ferner 

*  Bin  (f  ü\n^  tp  Bin''  qp     ^  ' 

und  EN  =  ER  igtp  =  a;  tg  9) , 

so  ist  PU=^-  ,   .i^'^^      -; 

l  Bin  9  cos  qp  '  , 

und  da  femer 

UW=^  NN,  cot  X  =  ^^^  cot  A  =  ^^  cot  A, 

*  C08  9  COS*  qp  ' 

so  ist  w  =      ^—  Im  cot  l  —    ,  cot  op V 

cos^  (jp  y  l  ^  j 

Durch  das  Verhältnis  von  v  und  w  ist  die  Tangente  bestimmt, 
und  es  dürfte  für  die  Konstruktion  am  zweckmäßigsten  sein,  beide 
Werte  mit  igq)id(p  zu  multipliciren,  wodurch  man  v^  und  w^  erhält; 
es  ist  dann 


sin  qp 

*  Bin  ;i  '        ^ 


^  _  i /^  tgjp  _  x\ 

cos*  tp  \^      igl  l  J 


Es   ist   aber   v^  =  GP  (s.  Fig.),    weil   GP  sin  A  =  OB  sin  9. 
Ferner  ist 

tgx  '  i 

Denn  bestimmt  man,   in  Bezug  auf  letzteres,   H^  durch  HJS^  \\  a, 

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188 


IV,  177—178.    Die  Umdrehmigsflachen. 


Tis.83.  Ej^j  Xa,  schneidet  dann  H^X  mit  a  in  F,  und  BF  mit  MO  in 
J,  80  ist 

JM:MX  =  ER:H,E    oder    JJlf :  a;  =  a;:  (— Q. 


Daher  ist 


JG 


MÖ  +  JJtf  =  ^||_?!; 


und  zieht  man  JK  y  a,  GK  ß  Oi?,  schneidet  diese  Linien  in  K,  zieht 
-BTß  J_  GK  (oder  J_  Oli)  bis  B  auf  OJlf,  so  ist 


BG  =  KG  :  cos  9?  =  JG  :  cos*  qp 


M^i 


PB  ist  dann  die  gesuchte  Tangente^  weil  v  :w  '^^  v^i  w^,  also 
PF:  VQ  =  GB:BG. 

Daraus  folgt  mr  Bestimmung  der  Tangente  in  P  folgende  Regel: 
Man  ziehe  durch  den  Lichtpunkt  H  eine  Parallele  HH^  zur  Axe  a, 
durch  P  eine  Senkrechte  zu  a^  welche  die  HM^  in  H^  und  den 
Meridiankreis  in  dem  Punkte  22  des  Parallelkreises  von  P  tri£Ft^  ver- 
binde H^  mit  dem  Pußpunkte  X  der  von  JB  auf  die  Verbindungs- 
linie des  Mittelpunktes  M  der  Fläche  mit  dem  Mittelpunkte  0  des 
Meridiankreises  gefällten  Senkrechten,  schneide  H^X.  mit  a  in  i^, 
ziehe  BF  bis  J  auf  MO^  sodann  JK  ||  a,  GK  \  ORy  schneide  beide 
in  K,  ziehe  KB  J_  OB  bis  B  auf  MO,  so  ist  P£  die  Tangente. 
Es  sind  sechs  neue  Hilfslinien  notwendig. 

178.  Fällt  P  auf  dm  Umriß  h,  in  B,  so  muß  BT  durch  H 
gehen;  dann  gelangt  6r  in  0  und  GK  in  die  Linie  OK  Fällt  da- 
gegen P  in  a,  so  gelangt  T  in  -4  (176)  und  G  in  M,    Fallen  aber 

JR  und  P  auf  den  größ- 
ten oder  kleinai)en  Parallel - 
kreis  MO,  so  versagt  sowohl 
das  erste  Verfahren  zur  Be- 
stimmung von  P,  wie  das 
darauf  gestützte  Tangenten- 
verfahren. Man  erhält  dann 
nach  dem  zweiten  Verfahren 
Py  indem  man  HB  mit  a  in 
D  schneidet^  und  die  ÜC  H  a 
bis  C  auf  HA  zieht;  die 
CD  bestimmt  dann  P  auf 
MO.  Der  dem  JB  benach- 
barte Punkt  S  liefert  C^,  D^  und  Q.  Fällt  man  QZ±MO,  so  geht 
ZCj  durch  2),  weil  QZ^=SB  und  die  Projektionen  dieser  Strecken 
aus  Ci  und  H  auf  a  offenbar  einander  gleich  sind  und  sich  in  D^D 


Fig.  86. 

Oll 

^ . 

C,  C 

>r-  T  -  - 

p.^% 

Jrtg.  «6.          <- ^ 

>j:i--j^-' 

«\ 

\ 

\ 

-VE 


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IV,  178—181.   Der  einer  ümdrehungsfläche  omschriebene  Kegel  u.  Cy linder.  189 

decken.  Schneidet  man  die  Tangente  PQ  mit  der  BC  ia  Ey  so  ist 
aus  ähnlichen  Dreiecken 

Hieraus  aber  folgt,  daß  die  Dreiecke  OBE  und  BCH  ähnlich  sind 
und  daß  OE±HB  steht,  weil  schon  OB±BG  und  BE±CH. 
—  Man  erhält  also  die  Tangente  PE  in  dem  Punkte  P  des  in  B  le- 
grenzten  größten  oder  kleinsten  Parallelkreises,  wenn  man  OE 1.  HB 
zieht  und  in  E  mit  der  Meridiantangente  in  B  schneidet. 

179.  Bei  Parallelbeleuchtung  gestaltet  sich  die  Konstruktion  der 
Tangente  wesentlich  einfacher.     Indem  H  ins  Unendliche  rückt,  ge-  ng.  83. 
langt  H^  auf  BE  ebenfalls  ins  Unendliche,  gelangen  F  und  J  nach 

My  JK  in  a,  so  daß  nur  noch  zwei  Hilfslinien,  GK  {K  auf  a)  und 
KB,  notwendig  sind.  —  Andererseits  ist  in  Fig.  85  OJ^JL  Z,  wenn  Fig.  ss. 
l  der  Lichtstrahl  im  Lichtmeridiane. 

180.  Aus  der  Tangente  an  Sq.  in  ihrem  Punkte  Pq,  welche  die  Fig.  84. 
M*'0  in  B  treffe,   findet  man  diejenige  an  s'  in  P'  und  an  5"  in 

P",  indem  man  beachtet,  daß  die  Tangente  an  s  zugleich  in  der 
Berührungsebene  der  Fläche  in  P  enthalten  ist.  Man  legt  daher  in 
dem  Schnittpunkte  des  Parallelkreises  von  P^  mit  dem  Hauptmeri- 
diane an  diesen  die  Tangente,  schneidet  sie  mit  der  Mittelebene 
CJPi  durch  M)  in  T^,  trägt  den  Abstand  M''Tq  auf  M'P'  als  M'T 
auf,  zieht  TB'  ±M'P'y  so  ist  T'B'  der  Schnitt  der  Berührungs- 
ebene  der  Fläche  in  P  mit  der  Mittelebene.  Bestimmt  man  nun  auf 
TB'  den  Punkt  B'  so,  daß  sein  Abstand  von  m  =  M"B  ist,  so 
ist  TB'  die  gesuchte  Tangente  an  s',  B" P"  diejenige  an  s\ 

181.  Die  Grengpunkte  der  Eigenschattengrenze  y  in  welchen  die 
Tangenten  derselben  nach  der  Lichtquelle,  bei  Sq  nach  H,  gehen, 
und  welche,  wie  früher  bei  der  Parallelbeleuchtung,  auf  dem 
inneren  Kurvenaste  liegen,  findet  man  durch  eine  Fehlerkurve. 
Geht  eine  Projektion  der  Tangente  an  s  durch  die  gleichnamige 
Projektion  des  Lichtpunktes  £,  so  geht  im  allgemeinen  auch  die 
räumliche  Tangente  der  s  durch  L.  Denn  die  Tangente  ist  der 
Schnitt  der  durch  ihre  Projektion  gehenden  projicirenden  Ebene  mit 
der  Berührungsebene  der  Fläche  im  fraglichen  Punkte^  und  beide 
Ebenen  gehen  durch  L.  Ausgenommen  ist  der  Fall,  in  welchem 
diese  Ebenen  keine  Schnittlinie  liefern,  weil  sie  ganz  in  einander 
fallen,  wo  also  der  Punkt  auf  dem  Umrisse  liegt.  Dies  gilt  von 
den  Punkten  der  s'  auf  dem  Kehlkreise  und  dem  Äquator,  und  von 
den  Punkten  der  $''  auf  dem  Hauptmeridiane.  Bei  Sq  kommen  in 
unserem  Falle  solche  Punkte  nicht  vor.     Eine  Fehlerkurve  zur  Be- 


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190  IV,  181—184.   Die  ümdrehungaflachen. 

Fig.  84-  Stimmung  der  Berührungspunkte  der  aus  J?"  an  Sq  gezogenen  Tan- 
genten kann  man  dadurch  bilden^  daß  man  die  Tangente  in  einem 
Punkte  Qq  der  Sq  mit  AH''  in  Q  schneidet  und  QH"  als  Maß  des 
Fehlers  annimmt.  Schneidet  man  die  Parallelkreisebene  von  Qq  mit 
dem  Hauptmeridiane  in  einem  behufs  Trennung  der  Linien  außen 
gewählten  Punkte  Q^^  und  trägt  auf  dem  Halbmesser  OQi  den  Fehler 
QH"  als  Q1Q2  auf,  so  bilden  die  Punkte  Q^  für  alle  Punkte  der  Sq 
eine  Fehlerkurve,  welche  im  allgemeinen  zweimal  durch  0  geht, 
nämlich  da,  wo  der  Fehler  gleich  Q^  0  ist,  und  welche  den  Haupt- 
meridian in  zwei  Punkten  schneidet.  Auf  den  Parallelkreisebenen 
dieser  Schnittpunkte  liegen  die  gesuchten  Grenzpuukte  Eq,  Fq]  sie 
werden  auf  die  gewöhnliche  Weise  gefunden  und  auf  5'  und  s" 
übertragen. 

182.  Die  SchlagschaUengren^en  s^  auf  P^  und  diejenige  s^  auf 
der  Fläche  selbst  werden  am  genauesten  aus  Sq  und  s'  konstruirt. 
So  erhält  man  den  Schatten  Dj  von  D  durch  M'Di  =  M^D^,  den 
Schatten  M^  von  M  durch  M' M^  =  MqMq.  s^  hat  in  den  Schatten 
der  vier  Grenzpunkte  Spitzen,  wie  E^,  F^'^  in  ihnen  stehen  die  Tan- 
genten senkrecht  auf  den  nach  den  schatten  werfenden  Punkten 
gehenden  Parallelkreishalbmessern  (170),  so  E^E^^.M'E'.  Von 
dem  Schlagschatten  s^  auf  der  Fläche  ist  wieder  E  ein  Anfangs-,  und 
ein  aus  einem  Selbstschnitte  fl^  der  s^  bestimmter  Punkt  H  ein 
Endpunkt;  in  E  und  H  laufen  die  Tangenten  der  53  nach  L.  Der 
Punkt  J  der  53  auf  dem  Kehlkreise  wird  aus  dem  Schnittpunkte  Jj 
des  Schattens  des  Kehlkreises  (ein  Kreis  aus  Mi  durch  G^)  mit  s^ 
bestimmt  (L'J^J'J^).  Die  Tangente  der  53"  in  J"  wird  durch  ihre 
erste  Spur  K\  K'  gefunden,  wobei  K'  der  Schnitt  der  ersten  Spur 
J'K'  der  Berührungsebene  der  Fläche  in  J  und  der  Tangente  J^^ 
(J_  M!  J^  der  s^  in  J^  ist. 

183.  Die  Krümmungshalbmesser  der  Schattengremen  in  ihren 
Scheiteln.  Für  die  Scheitel  C,  D'  von  s  werden  die  Krümmungs- 
mittelpunkte wieder  (171)  mittelst  der  nach  den  Parallel  kreisen  von 
C  bezw.  D  berührenden  Kegel  gefunden.  Schneidet  die  Tangente 
der  Sq  in  Cq  die  a"  in  C3,  und  treflfen  sich  die  Senkrechte  C^C^  zu 
a"  und  die  Meridiantangente  WC^C^^  in  C^,  so  ist  C^C^  =  CC^ 
der  gesuchte  Krümmungshalbmesser. 

Die  Krümmungshalbmesser  der  s^  in  Cj  und  Dj,  so  D^D^^  sind 
bezw.  die  Schatten  von  Halbmessern  der  Parallelkreise  von  C  und 
D  (171);  daher  D^D^^D^D,. 

184.  Verzeichnung  der  Schattengrenzen  des  Ringes  hei  ParaUel- 
beleuchtung  mit  Benutmng  der  Krümmungskreise  in  den  Scheüdn. 

Fig.  86  Der  Schlagschatten  s^  ergab  sich  (175)  als  parallele  Kurve  zu 


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IV,  184.   Der  einer  Umdrehnngsfiäche  umschriebene  Kegel  u.  Cylinder.       191 

einer  Ellipse,  so  daß  beide  Kurven  dieselbe  Evolute  besitzen;    von 
H^y  Bi   waren  dabei  jffg,  Ik  ^i®  Krüramungsmittelpunkte.     Die  so 

Fig.  86. 


gewonnenen  ErQmniungshalbmesser  sind  aber  auch  die  Schatten  von 
Halbmessern   der  Parallelkreise   von  H  und  B^   also  bei  Parallel- 


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192  IV,  184.    Die  Umdrehnngsflächen. 

Flg.  86,  beleuchtmig  denselben  gleich^  so  daß  sein  muß  HiB^^^  H'M'y 
R,B^^  E'M. 

Zu  weiteren  Bestimmungen  von  Krümmungshalbmessern  ermit- 
telt man  zuerst  die  Tangenten  der  s^  in  den  Punkten  H^j  Rq  des 
Meridians,  oder  in  deren  gegenüberliegenden  Punkten  Gq,  S^,  sowie 
ihre  Tangenten  in  M".  Zu  dem  Ende  schneidet  man  den  zu  V  senk- 
rechten Meridiandurchmesser  (aus  0^)  mit  a  und  den  beiden  zu  a 
parallelen  Tangenten  des  einen  Meridiankreises  bezw.  in  A^  G^^  S^^ 
zieht  AJ±  0,A  bis  J  auf  Jf"0,  so  sind  G^J,  S^J,  M" G,,  M" S^ 
die  gesuchten  Tangenten  (179). 

Nun  erhält  man  den  Krümmungshalbmesser  der  s  in  R'  =  R'R^ 
=  S^S^,  wenn  man  die  Tangente  SqJ  der  s^  mit  a"  in  84^  schneidet 
und  S4S5  J_  a"  bis  S^  auf  der  ümrißtangente  S^S^  zieht  (171).  Ent- 
sprechend findet  man  H^  zu  H'  durch  -ET-BTj  ==  G^G^. 

Der  Krümmungshalbmesser  E'E^  der  s'  in  ihrem  Scheitel  E'  wird 
aus  demjenigen  E^E^  der  s^  in  E^  bestimmt.  Weil  s^  und  sein 
Krümmungskreis  in  E^  drei  Punkte  (weil  E^  ein  Scheitel,  auch  noch 
einen  vierten)  gemein  haben,  so  haben  die  Cylinder,  welche  beide 
Kurven  durch  Lichtstrahlen  projiciren,  bei  E^  drei  Erzeugende  ge- 
mein, und  die  Schmiegungsebene  der  5  in  -B  schneidet  beide  Cylin- 
der in  Kurven,  welche  unter  einander  und  mit  s  drei  Punkte  bei  E 
gemein  haben,  und  für  deren  Projektionen  auf  irgend  eine  Ebene 
dasselbe  gilt  Daher  hat  s'  bei  E'  denselben  Krümmungskreis,  wie 
die  Projektion  des  elliptischen  Schnittes  jener  Schmiegungsebene  mit 
dem  schiefen  Kreiscylinder.  Der  Grundkreis  dieses  Cylinders  und 
die  Ellipse  des  schiefen  Schnittes  und  deren  Projektion  haben  in  der 
Richtung  E^E^  die  gleichen  Halbaxen  E^E^^  in  der  darauf  senkrech- 
ten Richtung  dagegen  bezw.  die  Halbaxen  E^E^y  ^a^>  ^a^i}  wenn 
man  auf  der  Projektionsaxe  x  von  deren  Schnittpunkte  L^  mit  V"  die 
2/3^4  =  E^Ei  aufträgt,  E^B  parallel  M"Si  (der  Schmiegungsebene 
der  s  in  E)  bis  B  auf  Z'"  zieht,  und  dann  BB^  _L  x  fallt  Der 
Krümmungshalbmesser  der  letzten  Ellipse,  also  auch  der  s'  in  E' 

ist   dann   =  E^B^^ :  E^L^  =  E^B^  ^A  =  e^B^  =  E'E^,   wenn 

man  B^B^  H  T"  bis  B2  auf  E^B  und  B^B^  J^x  bis  B^  auf  x  zieht. 

Entsprechend  findet  man  von  s'  in  C  den  Krümmungshalb- 
messer C'Cj  =  C^D^,  wenn  man  denjenigen  E^Ci  von  s^  in  C^  auf 
X  als  L^C^  aufträgt,  C^D  g  M"G,  bis  D  auf  V"  zieht,  DDi±x 
fällt,  DiA  B  r  bis  D,  auf  C^D  zieht  und  D^ A  -L  ^  ^a^*^- 

Man  kann  die  Krümmungshalbmesser  von  s'  in  E'  und  C  audi 
unabhängig  von  s^  durch  eine  Umdrehungsfläche  zweiten  Grades  fin- 
den, welche  mit  dem  Ringe  den  Parallelkreis  von  E^  bezw.  (7,  und 


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IV,  184—186.   Der  einer  Umdrehangsfläche  umschriebene  Kegel  u.  Cylinder.  193 

noch  zwei  und  dann  auch  noch  einen  vierten  benachbarten  Parallel- 
kreis gemein  hat.  Für  E  ist  diese  Fläche  ein  Ellipsoid,  dessen 
Meridianellipse  die  beiden  Meridiankreise  des  Ringes  zu  Erümmungs- 
kreisen  hat  und  dessen  in  a  liegende  Axe  daher  YFM''  •  FO  =  FK 
ist.  Dieses  Ellipsoid  wird  von  der  Schmiegungsebene  der  s  in  E  in 
einer  Ellipse  geschnitten,  deren  erste  Projektion  wieder  eine  Ellipse 
ist,  welche  M'E'  und  M'  N^  =  dem  Abstände  N^y  a"  zu  Halbaxen 
hat.  Abstand  ^2)  ^"  ^^^  bmcIl  gleich  dem  Abstände  des  Schnittpunk- 
tes der  Jf"Si  (Schmiegungsebene  in  E)  mit  der  Lichtmeridianellipse 
jenes  EUipsoides  von  a\  und  diesen  Abstand  findet  man  mittelst  des 
aus  M"  durch  2^  gezogenen  Kreises,  welcher  zu  jener  Ellipse  affin  ist 
in  Bezug  auf  M"F  als  Axe  und  a'  als  Strahl  der  Affinität.  Der 
Geraden  M^'S^N  entspricht  dabei  diejenige  M" N^,  wenn  N  auf 
M"S^  so  bestimmt  ist,  daß  sein  Abstand  von  M"F^  NqN=  FK, 
und  wenn  N^  auf  NNq  durch  ^o-^i  =  M''F  festgelegt  wurde; 
M" N^  trifft  dann  den  affinen  Kreis  in  N^.  In  jener  Ellipse  von 
den  Halbaxen  M'  E',  M  N^  (#  E' N^  ist  aber  der  Krümmungs- 
mittelpunkt E^  für  E'  durch  N^E^±  E' N^  bestimmt 

Die  nach  dem  Parallelkreise  von  C  sich  anschmiegende  Fläche 
zweiten  Grades  ist  ein  einschaliges  ümdrehungshyperboloid,  von 
welchem  die  in  a  liegende  ideelle  Axe  =5  ^Jf  "P  •  PO  «==  PPi,  daher 
eine  Meridianasjmptote  die  Linie  M^'T^P^  ^^^*  ^^^  Schmiegungs- 
ebene der  s  in  C,  bestimmt  durch  M"G^y  schneidet  daher  das  Hyper- 
boloid in  einer  Hyperbel,  deren  reelle  Halbaxe  M'C\  deren  ideelle 
=  C'Q^  ist.  Ihre  Asymptote  M'Q^  nämlich  ist  die  Projektion  einer 
Schnittlinie  jener  Schmiegungsebene  mit  dem  Asymptotenkegel  und 
ist  durch  M' Q'  =  A^Q  (s.  Fig.)  und  ö'ö/ =  QQi  bestimmt  Der 
Krümmungsmittelpunkt  G,  der  s'  in  C  wird  dann  durch  Q^C^  J_ 
M'Q^  ermittelt 

Aus  der  Zeichnung  ersieht  man,  daß  die  Krümmungshalbmesser 
der  äußereh  Kurve  s'  in  allen  vier  Scheiteln  Minima  sind,  daß  also 
dazwischen  noch  Maxima  liegen  müssen,  so  daß  die  Evolute  acht 
Spitzen  besitzt  Dieses  Flacherwerden  der  s'  zwischen  den  Scheiteln 
bedingt  den  Unterschied  in  ihrem  Aussehen  gegen  die  Ellipse. 

Von  s"  findet  man  die  Tangenten  in  ihren  Punkten  der  Mittel- 
e&ane,  so  E''  T'  in  E'\  aus  den  Tangenten  der  s^  in  3/".  Schneidet 
die  Tangente  des  äußeren  Astes  von  s^  in  M*'  die  Ebene  des  höch- 
sten Parallelkreises  in  T^,  und  trägt  man  Abstand  T^,  a"  =  -4,  T^ 
auf  der  Tangente  von  8  in  E'  nach  E'  T\  so  ergibt  sich  aus  T  d^r 
Punkt  T"  in  jener  höchsten  Parallelkreisebene. 

185«    Es  sind  auch  die  zu  s'  und  s"  Jconjtigirten  Kurven  Sk  und 

Wiener,  Lehrbaoh  der  dartieUenden  Geometrie,    n.  13 


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194  IV,  185—187.    Die  Umdrehongsflächen. 

Sk'  nach  Art  derjenigen  in  Nr.  169  zugefügt.  Aus  dem  Punkte  Üq 
der  Sq  ist  wieder  ü'  gewonnen  durch  M'  U^  =  Abst.  t/^,  a",  und 
U^TJ'  =  Kathete  eines  rechtwinkligen  Dreiecks,  dessen  Hypotenuse 
=  Absi  Uq,  a\  und  dessen  andere  Kathete  gleich  dem  Halbmesser 
des  Parallelkreises  von  TJ^  ist.  Aus  V  ergibt  sich  TJ".  Die  Asymp- 
toten der  si'  sind  die  (geraden)  Projektionen  der  äußersten  Parallel- 
kreise,  die  der  si  die  Geraden  aus  M\  welche  45^  mit  V  bilden. 
Die  Sjfe'  haben  das  ungefähre  Ansehen  zweier  Hyperbeln  mit  je  zwei 
kongruenten  Ästen;  der  Übergang  durch  das  Unendliche  geschieht 
aber  von  einem  Aste  zu  dem  gegenüberliegenden  nicht  kongruenten, 
weil  er  in  derselben  zu  a  senkrechten  Ebene  vor  sich  geht.  Bei 
s*"  projiciren  sich  zwei  Asymptoten  als  Punkte,  so  A^^  wodurch 
jener  Übergang  im  Unendlichen  in  das  Endliche  projicirt  ist. 

186*  Übungsaufgaben.  Aus  einem  gegebenen  Punkte  L  einen 
Kegel;  oder  parallel  zu  einer  gegebenen  Geraden  l  einen  Gylinder  zu 
umschreiben,  oder  bei  Central-  (L)  oder  Parallelbeleuchtung  (l) 
die  Eigen-  und  Schlagschattengrenzen  zu  bestimmen  für  folgende 
Flächen: 

1)  ein  Umdrehungsellipsoid,  ein  ein-  oder  zweischab'ges  Um- 
drehungshyperboloid, ein  Umdrehungsparaboloid ; 

2)  einen  elliptischen  Ring,  mag  die  Axe  der  Meridianellipse 
parallel  oder  geneigt  gegen  die  Umdrehungsaxe  sein; 

3)  eine  Umdrehungsfläche  der  Cosinuslinie  (165),  wobei  man 
die  Umdrehungsaxe  parallel  mit  der  Tangente  oder  mit  der  Nor- 
male des  Scheitels  legen  kann;  besonders  ist  der  Fall  zu  beachten, 
in  welchem  der  Lichtpunkt  in  einer  Tangente  der  Cosinuslinie  in 
ihrem  Wendepunkte  liegt. 


nL    Die  dnroh  eine  gegebene  Gerade  an  eine  XJmdrehtingsfl&ohe 
gelegte  Berühmngsebene. 

187.  Die  Berührungsebenen  einer  belid>igm  Fläche  P,  welche 
durch  eine  gegebene  Gerade  g  gehen,  berühren  jeden  Kegel,  der 
aus  einem  Punkte  von  g  der  P  umschrieben  ist,  und  ihre  Berüh- 
rungspunkte liegen  auf  der  Berührungskurve  eines  jeden  solchen 
Kegels.  Alle  diese  Kegel  werden  daher  von  jenen  Ebenen  berührt, 
und  die  Berührungskurven  aller  gehen  durch  die  Berührungspunkte 
jener  Ebenen.  Um  die  durch  g  gehenden  Berührungsebenen  an  F 
zu  bestimmen,  kann  man  daher 

1)  aus  zwei  Punkten  der  g  berührende  Kegel  an  P  legen  und 
ihre  BerUhrungskurven  verzeichnen;  die  Schnittpunkte  derselben  sind 
dann  die  Berührungspunkte  der  gesuchten  Ebenen,  und  ihre  Anzahl 


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IV,  187—188.  Die  durch  eine  gegebene  Gerade  gelegte  Berührnngsebene.    195 


ist  bei  algebraischen  Flächen  eine  endliche.  Der  unendlich  ferne 
Punkt  der  g  liefert  einen  umschriebenen  Cylinder.  Schneiden  sich 
zwei  Berührungskuryen  nicht  reell;  so  gibt  es  keine  durch  g  gehen- 
den Berührungsebenen. 

2)  Oder  man  kann  aus  Einem  Punkte  der  g  einen  Kegel  um 
F  beschreiben  und  an  ihn  die  berührenden  Ebenen  durch  g  legen. 
Ist  die  Berührungskurve  eine  ebene,  so  legt  man  aus  dem  Schnitt- 
punkte der  g  mit  ihrer  Ebene  die  Tangenten  an  die  Berührungs- 
kurve; ihre  Berührungspunkte  sind  auch  die  der  gesuchten  Ebenen. 

Ist  F  eine  cämnckdbare  Fläche^  so  gibt  es  im  allgemeinen  keine 
Auf  losung,  weil  ein  Punkt  der  g  schon  die  Berührungsebenen  be- 
stimmt (163). 

Für  die  Flächen  eweiten  Grades  wurde  unsere  Aufgabe  schon 
in  Nr.  134  gelöst.  Dennoch  soll  zur  Veranschaulichung  des  eben 
angegebenen  Verfahrens  für  die  Umdrehungsflächen  eine  solche 
zweiten  Grades  gewählt  werden,  weil  für  andere  Umdrehungsflächen 
ein  anderes  Verfahren  zweckmäßiger  ist. 

188.  Äufg.  Durch  eine  gegebene  Gerade  g  an  eine  gegebene  Kugel 
P  eine  Berührungsebene  m  legen. 

Man  lege  die  Projektionsaxe  x  durch  den  Mittelpunkt  M  der 
Kugel,  so  fallen  die  beiden  Umrisse  in  einem  aus  M  mit  dem  Kugel- 
halbmesser beschriebenen  Kreise  h  zusammen. 

Aufl.  1.     Als   Spitzen   der   umschriebenen  Kugel    nimmt   man  Fig.  87. 
zweckmäßig  die  Spuren  Gi  und  G^  der  g  an;  dann  sind  die  Ebenen 
der    Berührungskurven 

bezw.    auf   P^    und  P^  ^'^-  ^'^• 

senkrecht;  die  erstere 
hat  die  Berührungs- 
sehne h'  der  aus  G^ 
an  Je  gelegten  Tangen- 
ten zur  ersten  Spur  und 
Projektion;  die  zweite 
hat  die  Berührungs- 
sehne Ä"  aus  G^  zur 
zweiten  Spur  und  Pro- 
jektion. Der  Schnitt 
beider  Ebenen  ist  die 
Polare  h  der  g  zu  F. 
Um  ihre  Schnittpunkte 

P  und  Q  mit  der  Kugel  zu  bestimmen,  lege  man  die  h  mit  ihrer 
ersten  projicirenden  Ebene  und  deren  Durchschnitt  mit  der  Kugel 
(einen  Berührungskreis)  in  P^  um,  so  triflft  h'"  den  umgelegten  Kreis 


13" 


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196 


IV,  188.    Die  Umdrehangsflächen. 


in  P'"  und  Q"\  aus  denen  sich  F,  Q'  auf  W  und  P",  Q''  auf  h" 
ergeben.  Weil  die  Berührungsebene  S  in  P  senkrecht  auf  dem  Halb- 
messer MF  steht,  so  lege  man  durch  Cr^  die  5,  J_  3f P',  durch  6?^ 
die  Sg  J_  JJf  P";  ebenso  für  die  Berührungsebene  T  in  ^  durch  G, 
die  t^  _L  Jf^',  durch  G^  die  ^  X  Jf  ö". 

Aufl,  2.  Die  ^  schneidet  die  Ebene  des  Berührungskreises  W 
in  Hy  welcher  Punkt  durch  die  Umlegung  nach  H"'  gelangt.  Die 
beiden  aus  H"'  an  den  umgelegten  Berührungskreis  gelegten  Tan- 
genten bestimmen  die  Berührungspunkte  T^"  und  Q"'  und  haben, 
die  eine  S^  zur  ersten,  die  andere  T,  (bestimmt  aus  T/")  zur  zwei- 
ten Spur,  so  daß  8^  durch  S^y  ^  durch  Tg  gezogen  werden  kann. 
Fig.  88.  Aufl,  3.     Sind  die  Spuren   der  g  nicht  erreichbar,    so   denke 

man  sich  der  Kugel  parallel  zu^  einen  Gylinder  umschrieben,  dessen 
Berührungskurve  der   größte  Kreis   der   auf  g  senkrechten  Durch- 
messerebene ist.     Ihre 
^*  erste  Spur  ist  MÄ  l.g 

^^^^"^"^       mit  dem  Fußpunkte  A' 
auf  g\    Legt  man  die 
erste  projicirende  Ebene 
der  g  in  die  P^  um,  wo- 
bei ^  nach  If'"  C'"=  </'" 
gelangt,   so  zeigt  sich 
der  Schnitt  der  Ebene 
jenes    größten  Kreises 
mit    der    projicirenden 
Ebene  als  dieauf^r'^ge- 
föllte  Senkrechte^'»'", 
und  der  Fußpunkt  (?'" 
auf  g"'    bestimmt  den 
Schnittpunkt     G     der 
Ebene    jenes    größten 
Kreises   mit   g.     Legt 
man   nun  diesen  Kreis 
samt  G  iu  P^  um,   wobei  der  Kreis  in  den  Umriß  Jfc  und  G  nach 
G'^  auf  g'  gelangt,    zieht   aus  G^^  die   beiden    Tangenten   an   i, 
welche  die  Berührungspunkte  P^*",  Q^^  besitzen   und  die  MA'  in 
Sj  und  Ti  schneiden,   schlägt   dann  den  Kreis  wieder  zurück,   so 
erhält  man  (und  zwar  auf  diese  Weise  am  genauesten)  von  den  Be- 
rührungspunkten vermittelst  der  dritten  Projektionen  der  beschrie- 
benen Kreisbogen  die  dritten  Projektionen  P"'  und  Q"\  und  dadurch 
P',  Q\  F\  Q'\  während  die  ersten  Spuren  S^  und  T^  der  Tangen- 
ten an  ihrer  Stelle  bleiben.    Die  Spuren  der  durch  ^,  P,  Ä^,  bezw. 


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IV,  188—189.  Die  durch  eine  gegebene  Gerade  gelegte  Berührungsebene.    197 

9}  Qj  ^i  gehenden  und  auf  MFy  hezYr.  MQ  senkrechten  Ebenen  S 
und  T  sind  nun  leicht  zu  verzeichnen. 

189.  Ist  die  Umdrehungsfläche*  F  nicht  vom  zweiten  6rade^  so 
vermeidet  man  die  beiden  Berührungskegel  durch  ein  von  Monge 
gegebenes  imd  in  I,  23  angedeutetes  Verfahren,   indem  man  die  g 

Fig.  89. 


durch  Drehung  um  die  Umdrehungsaxe  a  der  F  ein  Umdrehungs- 
hjperboloid  beschreiben  läßt.  Eine  durch  g  an  die  F  gelegte  Be- 
rührungsebene berührt  auch  dieses  Hyperboloid,  weil  es  die  Erzeu- 
gende g  desselben  enthält,  und  zwar  beide  Flächen  in  Punkten  der- 
selben auf  der  Berührungsebene  senkrechten  Meridianebene.  Man  hat 


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198  IV,  189.    Die  ümdrehungsflachen. 

daher  nur  an  beide  Flächen  mittelst  der  gemeinschaftlichen  Tangenten 
entsprechender  Meridiane  die  dabei  möglichen  gemeinschaftlichen  Be- 
rührungsebenen  zu  legen  und  jede  derselben  zu  drehen,  bis  sie  g  enthält 
Äufg.  An  einen  Ring  F  durdh  eine  gegebene  Gerade  g  eine  Be- 
rührungsebene zu  legen. 
Flg.  89.  Äufl.l]^Es  stehe  die  ümdrehungsaxe  a  {M\  a')  des  Ringes  J_  P^' 

es  sei  die  geneigte  Ellipse  e  die  Hälfte  seines  Hauptmeridians  und 
Gl  die  erste  Spur  der  g.  Von  dem  durch  Drehung  der  g  um  a  ent- 
stehenden ümdrehungshyperboloide  geht  der  Eehlkreis  durch  den 
Fußpunkt  Äi  der  von  M'  auf  g'  gefällten  Senkrechten  M!  A^,  Seine 
zweite  Projektion  geht  daher  durch  A^  auf  g\  bestimmt  auf  a 
den  Mittelpunkt  {M!\  M)  des  Hyperboloids  und  triflft  den  Haupt- 
meridian in  A"y  wobei  M'* A"  «=  M! A^.  A"  ist  dann  ein  Scheitel 
der  Hyperbel  des  Hauptmeridians,  und  einen  Punkt  G"  einer 
Asymptote  M"G*'  derselben  erhält  man  noch  auf  der  von  (?/' 
auf  a'  gefällten  Senkrechten  G^'G^^  wenn  man  G^G*'  ==  A^G^ 
macht.     Damit  wird  die  Hyperbel  verzeichnet. 

In  der  Hauptmeridianebene  kann  man  vier  gemeinschaftliche 
Tangenten  an  die  Ellipse  und  die  Hyperbel  legen;  eine  derselben 
berührt  die  erstere  in  P^,  die  letztere  in  B^y  der  Mitte  des  Ab- 
schnittes der  Tangente  zwischen  den  Asymptoten.  Die  durch  eine 
solche  Tangente  senkrecht  zu  Pg  geführte  Ebene  ist  eine  gemein- 
schaftliche BerühruDgsebene  beider  Flächen  und  enthält  eine  aus  g 
entstandene,  durch  den  Berührungspunkt  des  Hyperboloids  gehende 
Erzeugende  desselben.  Man  dreht  nun  jene  in  B^  berührende  Ebene 
um  a,  bis  B^  nach  B  m  g  fällt;  dabei  ist  B'  als  einer  der  beiden 
Schnittpunkte  des  Parallelkreises  B^B'  mit  g'  eindeutig  aus  B"  be- 
stimmt, oder  im  Grundriß  allein  durch  die  Regel,  daß  B'  und  G^ 
auf  derselben  oder  auf  entgegengesetzten  Seiten  von  A^  liegen,  je 
nachdem  B^'  und  6r/'  sich  auf  derselben  oder  auf  entgegengesetzten 
Seiten  von  M^'A^'  befinden.  Bei  der  Drehung  bleibt  jene  Ebene 
eine  gemeinschaftliche  Berührungsebene  beider  Flächen;  ihre  Lage 
nach  der  Drehung  geht  durch  g,  ist  daher  eine  der  gesuchten  Ebe- 
nen. Der  Berührungspunkt  P'  der  Ebene  mit  dem  Ringe  liegt  auf 
dem  Parallelkreise  von  P^,  in  der  Meridianebene  von  B  und  in  un- 
verändertem Abstände  von  B.  Die  erste  Spur  p^  der  Berührungs- 
ebene geht  durch  G^  und  ist  J_  M!P,  Entsprechend  findet  man,  für 
eine  zweite  Berührungsebene,  Q  und  q^.  Zwei  weitere  Ebenen  bereiten 
im  vorliegenden  Falle  dadurch  eine  Schwierigkeit,  daß  in  dem  Haupt- 
meridiane die  Berührungspunkte  der  gemeinschaftlichen  Tangenten 
auf  der  Hyperbel  über  die  Grenze  der  Zeichenfläche  hinausfallen. 
Man   kann  dabei  durch  eine  Verkleinerung  jeder  Projektion  bezw. 


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IV,  189—190.  Die  durch  eine  gegebene  Gerade  gelegte  Berfihmngsebene.    199 

mit  M  und  M"  als  Äbnlichkeitspunkte  zum  Ziele  gelangen.  Diese 
Verkleinerung  wurde  im  Grundriß  vorgenommen ,  im  Aufrisse  aber, 
um  die  Verzeichnung  neuer  Kurven  zu  vermeiden ,  durch  ein  An- 
näherungsverfahren ersetzt.  Zieht  man  hier  schätzungsweise  eine 
gemeinschaftliche  Tangente ,  welche  die  beiden  Asymptoten  in  dem 
erreichbaren  Punkte  F  und  in  dem  unerreichbaren  K  treffe,  so  muß 
(vergl.  d.  Fig.)  M"F'M"K=M"H^  (1,379),  oder,  wenn  n  eine 

passende  ganze  Zahl,  in  unserem  Falle  4,  n  •  M"F —  M"K=  M"H^ 

=  M"J\M''J  J_  M''H).  Macht  man  M"F^  =  n  •  M"F  =  4  Jlf  "JP, 
so  ergibt  sich  durch  ^  F^JK^  =  90<>  der  Punkt  Z;  und  Jf  "Z;  = 

—  M"K  =  ~  M"K.  Zieht  man  dann  K^K^  parallel  zur  Asymptote 
M'F  und  macht  K^K^  =^  "^  M"F  =  ^M"F,  so  müßte  K^  ein 

Punkt  der  angenähert  gezeichneten  Tangente  sein,  und  diese  kann 
daher,  ohne  große  Änderung  von  F,  eine  Verbesserung  erfahren. 
Der  ebenfalls  unerreichbare  Berührungspunkt  i)^  dieser  Tangente  ist 
die  Mitte  von  FK]    sein  Abstand  von  a"  ist  daher   Abst.  D^  «=» 

y  (Abst  K  +  Abst.  F)  =  Y  ^^^*-  ^i  +  y  Abst  F.  Verkleinert  man 

nun  den  Grundriß   aus  M'  als  Ähnlichkeitspunkt  auf    -  ^hier  j) 

seiner  Größe,  wodurch  aus  g'  die  zu  ihr  Parallele  g^  wird, 
schneidet  g^    mit  einem  Kreise  aus  M\  dessen  Halbmesser  gleich 

-  Abst  A  =  V  Abst.  Ki  +  ^  Abst  F=^  Abst. K  +  4^  Abst-  ^ 
n  *         2  *    '    2n  2  ^    '     8 

ist,  und  bestimmt  unter  den  beiden  Schnittpunkten  den  D^  nach  der 
gegebenen  Regel,  so  liegt  R'  auf  M'D^  und  auf  dem  Parallelkreise 
des  Bi,  Entsprechend  wird  mit  n  =  6  der  Punkt  S  bestimmt, 
und  dann  r^  _L  M'jB'  und  s^  J_  M'S'  gezogen. 

190.  Liegt  die  Gerade  g  im  Unendlichen  und  ist  durch  eine 
Ebene  G  gegeben,  so  wird  auch  verlangt,  an  eine  Fläche  F  eine 
Berührungsebene  parallel  zu  G  zu  legen.  Die  beiden  aus  Punkten  von 
g  der  F  umschriebenen  Kegel  werden  dann  zu  Cy lindem,  welche 
der  F  bezw.  parallel  mit  zweien  nicht  unter  einander  parallelen  Gera- 
den der  G  umschrieben  werden.  —  Ist  F  eine  ümdrehungsfläche,  so 
liegen  die  Berührungspunkte  auf  dem  Meridiane,  dessen  Ebene  J_  G 
steht,  und  die  Meridiantangenten  in  ihnen  sind  parallel  mit  der  Schnitt- 
geraden dieser  Meridianebene  mit  der  G.  —  Ist  F  ein  einschaliges 
Umdrehungshyperboloid,  so  liegen  in  den  Berührungsebenen  die  zu 
G  parallelen  Erzeugenden,  und  diese  laufen  parallel  zu  den  Schnitt- 
geraden des  Asymptotenkegels  mit  einer  durch  seine  Spitze  parallel 
zu  G  gelegten  Ebene. 


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V.  Abschnitt. 

Die  Beleacbtang  krammer  Fläcben  im  allgemeinen,  Und  die  des 
Cylinders,  des  Kegels  nnd  der  Umdrehnngsfläelie  im  besonderen. 

L    Allgemeines. 

191.    Die  Helligkeit  H  einer  matten  Körperoberfläche  an  irgend 
einer  Stelle  bei  Parallelbeleuchtung  fanden  wir  in  I,  483  (5) 

fi"  =  L'  cos  «  J. , 

worin  a  den  Einfallswinkel  des  Lichtstrahles  (Winkel  mit  der  Flächen- 
normale) an  jener  Stelle,  V  die  Stärke  des  Lichtes  und  A  das  Rück- 
strahlungsvermögen  der  Oberfläche  bedeuten.  Dabei  war  das  Lam- 
bertsche  Gesetz  vorausgesetzt,  wonach  eine  Stelle  einer  matten 
Korperoberfläche  bei  einer  bestimmten  Beleuchtung  gleich  hell  er- 
schehit,  von  welcher  Seite  man  sie  auch  betrachten  mag.  Dieses 
Gesetz  entspricht,  wie  wir  sahen  (I,  481),  nur  annäherungsweise 
der  Wirklichkeit.  Insbesondere  zeigen  sich  bei  mattem  Gipse,  bei 
welchem  unter  mittleren  Ein-  und  Ausfallswinkeln  im  allgemeinen 
eine  gute  Übereinstimmung  mit  diesem  Gesetze  stattfindet,  haupt- 
sächlich zwei  Abweichungen,  eine  an  dem  Glanzpunkte  und. eine 
am  Umrisse.  Der  Glanepunkt  ist  derjenige  Punkt  der  Fläche,^ an 
welchem  sich  das  Spiegelbild  der  Lichtquelle  zeigen  wörde,  wenn 
die  Fläche  spiegelnd  wäre*,  es  ist  also  der  Punkt,  an  dem  die  Flächen- 
normale den  Winkel  des  Licht-  und  des  Sehstrahles  halbirt.  An 
diesem  Glanzpunkte  tritt  nun  eine  Verstärkung  der  Helligkeit  ein, 
die  bei  großem  Einfallswinkel  sehr  bedeutend  ist  und  das  Ansehen 
einer  Glanzstelle  hervorbringt,  während  sie  bei  Winkeln  von  weniger 
als  35**  fast  verschwindet.  Da  wir  nun,  entsprechend  der  gewöhn- 
lichen Annahme,  den  Projektionen  des  Lichtstrahles  eine  Neigung 
von  45^  gegen  die  Projektionsajce  geben  werden,  und  da  hierbei 
der  Lichtstrahl  einen  Winkel  von  54**  44'  (dessen  Tangente  =  ]/2 
ist)  mit  den  Sehstrahlen  bilden,  so  ist  der  Einfallswinkel  27**  22', 
also  die  Spiegelung  fast  unmerklich.  Andererseits  tritt  in  der  Nähe 
des  Umrisses  vorwiegend  eine  Verminderung  der  Helligkeit  ein,  die 


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V,  191—192.    AUgememes.  201 

auf  der  Seite  des  Lichtes  am  größten  ist;  während  auf  der  ent- 
gegengesetzten Seite;  der  der  Spiegelung,  bei  großen  Einfallswinkeln 
eine  Verstärkung  und  zwar  eine  recht  bedeutende  stattfindet.  Im 
ersteren  Falle,  der  bei  unserer  Annahme  allein  vorkommt,  kann  in  der 
Nähe  des  Umrissen,  wo  der  Ausfallswinkel  90^  ist,  eine  Verdun- 
kelung bis  auf  0,6  der  nach  dem  Lambertschen  Gesetze  herrschenden 
Helligkeit  eintreten.  Dieselbe  erstreckt  sich  mit  allmählicher  Ab- 
nahme bis  zu  den  Punkten  mit  einem  Ausfallswinkel  von  75^,  so 
daß  dieser  verdunkelte  Streif  bei  der  Kugelabbildung  eine  Breite 
von  ^  ihres  Halbmessers  (1  —  sin  75^)  einnimmt,  also  nur  schwach 
merklich  ist 

Wir  begehen  also  bei  Gips  unter  der  angeführten  Annahme 
des  Lichtstrahles  bei  Befolgung  des  Lambertschen  Gesetzes  keine 
erheblichen  Fehler,  und  werden  auch  für  viele  andere  Körper,  deren 
verschiedenartiges  Verhalten  gegen  das  Licht  wir  nur  sehr  ober- 
flächlich kennen,  mit  guter  Annäherung  dieses  auch  durch  seine 
große  Einfachheit  so  zweckmäßige  Gesetz  anwenden. 

Wir  wollen  in  der  Folge  nur  eine  Art  von  Oberflächenbeschafifen- 
heit  voraussetzen.  Dann  ist  VA  unveränderlich;  und  indem  wir 
es  =  1  setzen,  nehmen  wir  die  Helligkeit  dieser  Oberfläche  bei 
senkrechter  Beleuchtung  als  Helligkeitseinheit  an.  Wir  erhalten  dann 

£  =  cos  £  . 

192.  Um  auf  der  Abbildung  einer  Fläche  in  richtiger  Weise 
die  Helligkeit  darstellen  zu  können,  zeichnet  man  auf  dieselbe  zu- 
nächst Linien  von  gleicher  Helligkeit,  das  sind  Linien,  in  deren  Punk- 
ten dieselbe  Helligkeit  herrscht,  also  cos  6  (und  s)  unveränderlich 
ist  Diese  Linien  heißen  auch  Isophoten  (r<To$,  gleich;  g>cigy  das 
Licht);  wir  wollen  sie  Lichtgleichen  nennen.  Zu  ihnen  gehört  die 
Eigenschattengrenze y  für  welche  b  =  90^,  cos  £  <=  0  ist;  sie  heißt 
auch  die  Grenzisophote  oder  Grenzlichtgleiche,  Man  legt  Lichtgleichen 
von  unveränderlichem  Helligkeitsunterschiede,  der  gewöhnlich  =  0,1 
angenommen  wird,  so  daß  in  den  Lichtgleichen  die  Helligkeiten  0; 
0,1;  0,2. . .  0,9;  1  herrschen.  Diese  Zahlenreihe  der  Helligkeiten  heißt 
die  zehnstufige  Stärkereihe  oder  Intensitätsskala.  Die  entsprechenden 
Lichtgleichen  bezeichnet  man  abgekürzt  mit  0,  1,  2*.  .9,  1..  Wir 
werden  uns  hier  mit  der  Hälfte  derselben  begnügen. 

Legt  man  nun  die  Streifen  des  beleuchteten  Teiles  zwischen 
den  auf  einander  folgenden  Lichtgleichen  nach  den  Regeln  von  I,  496 
mit  Tuschlagen  an,  so  erhält  man  ein  gutes  Bild  dieses  Teiles  der 
Fläche.  Will  man  noch  die  Beleuchtung  durch  die  Luft  und  durch 
den  Reflex  von  anderen  Körpern  berücksichti^gx^-r^Aj^önnte  man 


-'PY^pooglc 


o"r 


202  V,  192—193.    Die  Beleuchtung  krammer  Flächeu. 

dies  in  der  Weise  von  I,  500  für  eine  Anzahl  von  Punkten  aus- 
führen, wodurch  sich  veränderte  Lichtgleichen  ergeben  würden.  Wir 
gehen  hierauf  nicht  ein,  bemerken  aber,  daß  die  Bestimmung  der 
Helligkeit  im  Schatten  auf  diese  Weise  durch  Rechnung  oder  durch 
Schätzung  geschehen  muß.  Die  gewohnlich  für  den  Eigenschatten 
gemachte  Annahme,  daß  er  durch  den  sog.  atmosphärischen  Strahl, 
der  dem  Sonnenstrahle  gerade  entgegengesetzt  angenommen  wird,  be- 
leuchtet werde,  ist  nach  I,  488  ganz  zu  verwerfen;  die  dabei  benutzten 
Lichtgleichen  auf  dem  Schattenteile  der  Fläche  haben  in  Bezug  auf 
dessen  Helligkeit  keine  Bedeutung. 

Geometrisch  betrachtet,  liegen  die  Lichtgleichen,  als  Linien  von 
tmveränderlichem  Einfallswinkel  s,  auf  beiden  Seiten  der  Eigenschatten- 
grenze, Physisch  haben  immer  nur  die  Linien  im  beleuchteten 
Flächenteile  Bedeutung,  also  die  einerseits  oder  die  andererseits  der 
Eigenschattengrenze  liegenden,  je  nachdem  die  Eörpermasse  auf 
der  einen  oder  auf  der  anderen  Seite  der  Oberfläche  liegt,  z.  B.  bei 
der  Eugelfläche,  je  nachdem  es  sich  um  eine  Yollkugel  oder  um 
eine  geö&ete  Hohlkugel  handelt. 

Wir  werden  beiderlei  Kurven  bestimmen,  sie  auf  den  verschie- 
denen Seiten  der  Fläche  liegend  denken  und  die  einen,  wie  ge- 
bräuchlich, mit  -|-,  die  anderen  mit  —  bezeichnen. 

Es  sei  noch  bemerkt,  daß  der  Verfasser  die  Linien  gleicher 
Helligkeit  für  eine  Gipskugel  nach  seinen  übei^  den  Gips  angestell- 
teü  Beobachtungen  konstruirt  hat,  die  er  auch  später  mit  den  Er- 
gebnissen über  die  Beleuchtung  durch  die  Luft  und  den  Bodeureflex 
zu  veröffentlichen  gedenkt;  daß  er  aber  bei  der  gemachten  An- 
nahme des  Lichtstrahles  nur  kleine,  immerhin  aber  bemerkbare 
Abweichungen  von  den  nach  dem  Lambertschen  Gesetze  bestimm- 
ten Lichtgleichen  erhalten  hat. 

193.  Zur  Bestimmung  von  Punkten  der  Lichtgleichen  einer  ge- 
gebenen Fläche  P  wendet  man  das  Verfahren  der  Berührungsebenen 
und  das  der  Normalen  an. 

1)  Bas  Verfahren  der  Berührungsehenen.  Alle  durch  einen  Punkt 
gelegten  Ebenen  von  unveränderlichem  Einfallswinkel  s  eines  Licht- 
strahles werden  von  einem  ümdrehungskegel  eingehüllt,  dessen  Axe 
ein  Lichtstrahl  ist,  dessen  Erzeugende  mit  diesem  Lichtstrahle  den 
Winkel  90^  —  a  bilden,  und  welcher  der  Tangentialkegd  heißen 
soll.  Ein  solcher  Kegel  würde  eine  gleichförmige  Helligkeit  =»  cos  e 
besitzen.  Jeder  Punkt  der  F,  in  welchem  ihre  Berührungsebene 
parallel  zu  einer  Berührungsebene  jenes  Kegels  ist,  bildet  einen  Punkt 
der  Linie  von  der  Helligkeit  cos  s.  Man  kann  solche  Punkte  auf  einer 
beliebigen  Linie  der  F  finden,  wenn  man  in  Punkten  derselben  die 


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Y,  193—194.    Die  Beleuchtung  der  Engel,  des  Cylinders  u.  des  Kegels.    203 

Berührungsebenen  der  F  legt,  parallele  Ebenen  zu  denselben  durch 
die  Spitze  des  Tangentialkegels  führte  einen  zweiten  Kegel  bil- 
det, welcher  sie  einhüllt,  und  für  beide  (koncentrische)  Kegel  die 
gemeinschaftlichen  Berührungsebenen  bestimmt.  Trägt  man  diese 
Ebenen  durch  Parallelverschiebung  an  die  F  zurück  und  ermittelt 
ihre  Berührungspunkte  (im  allgemeinen  durch  Einschaltung),  so  sind 
dies  die  gesuchten  Punkte  auf  der  gewählten  Linie. 

2)  D(is  Verfahren  der  Normalen.  Alle  durch  einen  Punkt  unter 
dem  Winkel  s  gegen  den  Lichtstrahl  gelegten  Geraden  bilden  einen 
Umdrehungskegel,  dessen  Äxe  ein  Lichtstrahl  ist,  und  welcher 
Normalkegel  heißen  soll.  Die  Punkte  der  F,  in  denen  ihre  Nor- 
malen parallel  mit  Erzeugenden  jenes  Kegels  laufen,  sind  Punkte 
der  Linie  von  der  Helligkeit  cos  s.  Man  kann  die  Punkte  auf 
einer  beliebigen  Linie  der  F  finden,  wenn  man  in  Punkten  der- 
selben die  Normalen  der  Fläche  zieht,  Parallele  mit  denselben  durch 
die  Spitze  des  Normalkegels  legt,  durch  sie  einen  zweiten  Kegel 
führt,  und  beide  (koncentrische)  Kegel  zum  Schnitte  bringt.  Trägt 
man  die  Schnitterzeugenden  durch  Parallelverschiebung  an  die  F 
zurück,  so  sind  ihre  Fußpunkte  (die  im  allgemeinen  durch  Ein- 
schaltung ermittelt  werden)  die  gesuchten  Punkte  auf  der  gewählten 
Linie.  Zur  Bestimmung  des  Schnittes  beider  Kegel  wendet  man 
gewöhnlich  am  zweckmäßigsten  eine  zu  ihnen  koncentrische  Ktigd 
an;  und  da  diese  bei  vielen  Konstruktionen  eine  hervorragende  Rolle 
spielt,  so  gewinnen  wir  die  größte  Anschaulichkeit,  wenn  wir  zu- 
nächst für  sie  die  Lichtgleichen  bestimmen. 

IL   Die  Belenohtmig  der  Kugel,  des  Oylinders  und  des  Kegels. 

194.    Äufg,    Die  Lichtgleichen  einer  Kugel  zu  verzeichnen.  Fig.  90. 

Aufl.  Bestimmen  wir  die  Linien  von  den  Helligkeiten  0;  0,2; 
0,4 .. .  1,  und  bezeichnen  sie  mit  0,  2,  4 ...  1.,  —  2,  —  4 ...  —  1.. 

Sei  M  der  Mittelpunkt  der  Kugel,  l  (l\  l")  der  durch  ilf  gehende 
Lichtstrahl,  so  bildet  man  die  Projektion  auf  eine  zu  P^  senkrechte, 
mit  l  parallele  dritte  Ebene  P3,  und  erhält  vermittelst  der  ersten 
Spur  L  von  l  die  dritte  Projektion  M'"L'"=  V"  von  /.  Die  Schnitt- 
punkt 1.  und  —  1.  von  T"  mit  dem  dritten  Umriß  der  Kugel  be- 
zeichnen die  hellsten  Punkte  der  positiven  und  negativen  Flächen- 
seite der  Kugel  von  der  Helligkeit  1.  Teilt  man  nun  die  beiden 
Halbmesser  M''  1.  und  jjf'"  —  1.  in  je  fünf  gleiche  Teile,  und  legt 
durch  die  Teilungspunkte  1.,  8,  6  . . .  —  6,  —  8,  —  1.  Ebenen  senk- 
recht zum  Halbmesser  /,  so  schneiden  diese  die  Kugel  in  Parallel- 
kreisen von  den  angegebenen  Helligkeiten.     Denn   für  die  Punkte 


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204 


y,  194.    Die  Beleuchtung  krummer  Flächen. 


dieser  Kreise  haben  die  Cosinus  der  Winkel  der  Normalen  oder 
Kugelhalbmesser  mit  l  oder  Jf'"  1.  jene  Werte  0;  0,2  ...  1.  Die 
Lichtgleiclie  Null  ist  die  Eigenschattengrenze.  Ein  ümdrehungs- 
kegel,  welcher  einen  dieser  Parallelkreise  aus  M  projicirt,  ist  ein 

Normalkegel;  alle 
^^^'  ^^'  zusammen   sollen 

^"^  das    Büschd    der 

Normalhegd 
heißen. 

Die  ersten 
Projektionen  der 
Lichtgleichen  sind 
Ellipsen,  deren 
Mittelpunkte  die 
Halbmesser  M'  1. 
und  M'  —  1.  in 
je  fünf  gleiche 
Teile  teilen;  ihre 
großen  Axen  sind 
J_  V  und  gleich 
den  in  der  dritten 
Projektion  gege- 
benen Kreis- 
durchmessern; 
ihre  kleinen  Axen 
liegen  in  3f'  1. 
und  werden  aus 
der  dritten  Pro- 
jektion erhalten. 
Die  Ellipsen  sind 
ähnlich  und  ähn- 
lich gelegen,  so 
daß  aus  der  klei- 
nen Axe  der 
Grenzlichtgleiche 
diejenigen  der  an- 
deren gefunden 
werden  können, 
da  die  Sehnen, 
welche  zwei  benachbarte  entsprechende  Scheitel  verbinden,  bei  allen 
parallel  sind. 

Die  zweiten  Projektionen  der  Lichtgleichen  werden  am  kürzesten 


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y,  194.    Die  Beleuchtung  der  Kugel,  des  Cylinders  u.  des  Kegels.     205 

und  genauesten  unmittelbar  konstruirt^  ohne  Benutzung  ihrer  ersten 
Projektionen,  woraus  zugleich  ersichtlich,  daß  die  dritte  Projektion 
nur  der  Erklärung  halber  gezeichnet  wurde.  Legt  man  die  zweite 
projicirende  Ebene  von  l  in  eine  parallel  zu  P^  durch  M  gelegte 
Ebene  um,  so  gelangen  l  und  der  in  jener  Ebene  liegende  größte 
Eugelkreis  nach  V^  und  in  den  Eugelumriß,  wobei  zur  Bestim- 
mung Ton  U^  die  u^  J.  V  und  berührend  an  den  zweiten«  Engel- 
umriß  gleich  der  u  der  ersten  Projektion  gemacht  wird.  Den  Eugel- 
halbmesser  Jf"  1/^  auf  U^  teilt  man  nun  in  fünf  gleiche  Teile 
und  zieht  durch  die  Teilungspunkte  Senkrechte  zu  l'\  so  enthalten 
diese  d|e  großen  Äxen  der  zweiten  Projektionen  der  Lichtgleichen. 
Ihre  halben  Längen  erhält  man  durch  die  aus  den  Teilungspunkten 
Ton  Jf"l/^  J_  l^^  bis  zum  Eugelumriß  gezogenen  Geraden,  die 
kleinen  Äxen  auf  M"  1.  durch  die  aus  den  gewonnenen  Punkten 
des  Eugelumrisses  auf  V  gefällten  Senkrechten.  Die  negativen  Licht- 
gleichen werden  durch  Fortsetzung  der  Teilung  kongruent  mit  den 
positiven  gezeichnet  Ist  die  erste  Projektion  schon  ausgeführt,  so 
bestimme  man  in  der  zweiten  nur  V^,  1/^,  1.,  teile  M"l.  in  fünf 
gleiche  Teile,  mache  die  großen  Axen  der  Ellipsen  gleich  denen  im 
Grundriß,  die  kleine  Halbaxe  der  Grenzlichtgleiche  «=  1.  1/^  (we- 
gen eines  rechten  Winkels  bei  M"),  und  bestimme  die  anderen 
kleinen  Axen  aus  der  Ähnlichkeit.  Bilden,  wie  in  der  Figur,  V 
und  V  45^  mit  a;,  so  sind  Grund-  und  Aufriß  kongruent. 

Die  Lichtgleichenpunkte  auf  den  Kugdumrissen  erhält  man  durch 
die  Schnittlinien  der  Ebenen  der  Lichtgleichen  mit  der  Ebene  des 
Umrisses;  die  Schnittlinien  bilden  eine  Schaar  paralleler  Geraden 
von  gleichförmigem  Abstände.  Schneidet  man  z.  B.  in  der  zweiten 
Projektion  die  durch  \J^  l^V^  gelegte  Gerade  mit  M"i.  in  1.", 
teilt  Jf"  1."  in  fünf  gleiche  Teile  und  trägt  die  Teilung  über  Jf' 
weiter,  zieht  durch  die  Teilungspunkte  Gerade  _L  i",  so  bilden  diese 
jene  Schaar  und  schneiden  auf  dem  zweiten  Umrisse  die  Licht- 
gleichenpunkte ein. 

Der  Schlagschatten  der  Kugel  auf  P,  ist  mittelst  der  dritten 
Projektion  bestimmt,  und  es  sei  nur  bemerkt,  daß  die  Schatt^i  der 
Endpunkte  des  auf  Pj  senkrechten  Eugeldurchmessers  (wie  F)  die 
Brennpunkte  der  Schattenellipse  bilden.  Denn  der  der  Engel  um- 
schriebene Lichtstrahlencylinder  ist  ein  Umdrehungscylinder,  sein 
Schnitt  mit  einer  zu  P^  parallelen,  die  Engel  in  einem  Endpunkte 
des  auf  P|  senkrechten  Durchmessers  berührenden  Ebene  ist  eine 
Ellipse,  deren  einen  Brennpunkt  der  Berührungspunkt  mit  der  Eugel 
bildet  (I,  329),  und  der  Schlagschatten  der  Eugel  ist  auch  derjenige 
dieser  Ellipse.  —  Der  Schlagschatten  auf  P^  ist  eine  Ellipse,  deren 


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206 


y,  194—196.   Die  Belouchtnng  krummer  Flächen. 


L 


große  Axe  M^A^^  M" A'\  wenn  durch  den  Ptmkt  A"  der  V  eine 
zu  V^  parallele  Tangente  des  Umrisses  geht. 

195.  Die  Lichtgleichen  von  abwickelbaren  Flächen  sind  gerad- 
linige Erzeugende,  weil  entlang  einer  solchen  die  Fläche  von  ein 
und  derselben  Ebene  berührt  wird.  Es  kommt  also  nur  auf  die 
Bestimmung  der  Lichtgleichenpunkte  auf  einer  passend  gewählten 
Kurve  •der  Fläche  an. 

Die  Lichtgleichen  eines  Oylinders  sind  Erzeugende  desselben. 
Aufg.    Die  Lichtgleichen  eines  aufT^  senkrecht  stehenden  geraden 
Kreiscylinders  zu  bestimmen, 
Fig.  91.  Aufl,    Man  denke  sich  eine  den  Cylinder  entlang  seinem  Grund- 

kreises k  berührende  Kugel  (mit  dem  Mittelpunkte  M),  so  sind  die 

Lichtgleichenpunkte  der  Kugel 
^^^'  ^^'  auf  jenem  Kreise  auch  die  des  Oy- 

linders. Legt  man  entsprechend 
dem  Verfahren  der  vor.  Nr.  die 
erste  projicirende  Ebene  des  durch 
M  gehenden  Lichtstrahls  in  F^ 
um,  so  daß  l  nach  V"  {VV" 
=  L^L")  und  der  größte  Kugel- 
kreis in  den  Grundkreis  des  Oy- 
linders gelangt,  so  wird  dieser 
Kreis  von  Z'"  in  1.'  geschnitten; 
die  Senkrechte  zu  V"  durch  1.' 
gelegt,    bestimmt    auf   V    den 
Punkt  1.,  wobei  M'  1.  =  Jf' i'"; 
die  Teilung  von  M'l.  in  fünf 
gleiche  Teile  und  ihreFortsetzung 
über  jjf '  liefert  vermittelst  der 
durch  die  Teilungspunkte  geführ- 
ten Senkrechten  zu  l'  die  Lichtgleichenpunkte  auf  dem  Gnmdkreise, 
durch  welche  dann  die  Erzeugenden  als  Lichtgleichen  gezogen  wer- 
den.  Die  hellste  Erzeugende  (gestrichelt)  besitzt  die  Helligkeit  0,82 
(in  der  Figur  mit  82  bezeichnet)-,  man  kann  auch  von  jeder  belie- 
bigen Erzeugenden  die  Helligkeit  leicht  rückwärts  auf  dem  Maßstabe 
1.  —  1.  bestimmen. 

Der  Schlagschatten  c^  des  oberen  Grenzkreises  auf  Pj  ist  ein 
ihm  gleicher  Kreis  mit  dem  Mittelpunkte  (7|,  der  Schlagschatten  Cg 
auf  Pg  eine  Ellipse  mit  dem  Mittelpunkte  Gg.  Ci  und  c^  sind  affin  mit 
X  als  Axe  und  C^  C^  als  Strahl  der  Affinität,  der,  für  ^  a:Z'  =  ^  xV'^ 
\\  X  ist.  um  die  Axen  von  c^  zu  bestimmen,  legt  man  (I,  377, 1))  aus 
einem  Punkte  (D)  der  x  durch  C^  und  C^  einen  Kreis,  schneidet  ihn 


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V,  195—196.    Die  Beleachtung  der  Kugel,  des  Gylinders  q.  des  Kegels.    207 

mit  X  in  E  und  F,  so  liegen  in  C^E  und  C^F  die  Axen  von  c^, 
deren  Endpunkte  A2,  B^  aus  den  entsprechenden  Endpunkten  A^y 
JBj  der  Durchmesser  C^E,  C^F  des  Kreises  c^  durch  Affinit'äts- 
strahlen  Ä^  A^  ||  B^  B^  ||  G^  Cj  ('  x)  gefunden  werden. 

196,  Wir  nennen  mit  Bunnester*)  die  geteilte  Linie  M'  1.  die 
Intensitatsskala  oder  den  Stärkemaßstab,  die  Länge  M'  1.  die  Einheit 
des  Stärkemaßstahes,  das  Strahlenbüschel  ^  welches  die  Lichtgleichen- 
punkte des  Grundhreises  aus  M'  projicirt,  das  Normalhüschel,  und 
das  Strahlenbüschel,  welches  aus  ihm  durch  Drehung  in  seiner 
Ebene  um  90**  entsteht,  das  Tangentialbüschel,  weil  ihre  Strahlen 
bezw.  mit  den  Normalen  und  Tangenten  der  Spur  des  Gylinders  in 
den  bestimmten  Lichtgleichenpunkten  parallel  sind.  Der  Winkel 
A  =  1.  Jlf'  1/  ist  der  Neigungswinkel  des  Lichtstrahles  gegen  die  Ebene 
des  senkrechten  Schnittes  des  Gylinders,  und  es  ist  die  Einheit  des 
Stärkemaßstabes  M  1.  =  M' L'"=  sec  A,  wenn  der  Halbmesser  des 
Grundkreises  =^  1.  Wir  nennen  die  Projektion  des  Lichtstrahles 
auf  die  Ebene  der  StrahlenbOschel,  also  M'L'=^  V  den  Grundstrahl, 
den  nach  dem  Null- 
punkt der  Ereisteilung  ^^' 
gehenden  Strahl  Jfcf'O  ""^ 
den  NiülstrcM\  der- 
selbe steht  bei  demNor- 
malbüschel  senkrecht 
auf  dem  Grundstrahle 
und  fallt  bei  dem 
Tangentialbüschel  in 
denselben.  DerWinkel 
r  /  =  A  des  Lichtstrah- 
les mit  der  Ebene  des 
Büschels  heiße  der 
Crnmd-  oder  Model- 
unrikd  des  Büschels; 
cos  k  ist  die  größte 
in  den  Büscheln  ent- 
haltene Helligkeit.  In 
unserem      Falle     bei 

ist    tg   A  =  •)/%,    A 

=  35®  16',  cos  A  =  0,82,  sec  A  =  1,22,  die  Helligkeit  der  Pro- 
jektionsebene «=>  sin  A  ■=»  0,61,  und  endlich  der  Abstand  des  in  der 

*)  Burmester,  Theorie  nnd  Darstellung  der  Beleachtang  gesetzmäßig  ge- 
stalteter Flftchen,  1871,  S.  24. 


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208  V,  196—198:    Die  Beleuchtang  krummer  Flächen. 

Zeichnung  unsicheren  Punktes  8  des  Grundkreises  k  vom  Grund- 
strahle V  ist  =  0,2,  da  0,8 . 1,22  =  0,98  und  0,98«  +  0,2«  =  1. 

Man  bemerkt,  daß  das  Normal-  und  das  Tangentialbüschel  invo- 
lutorisch  sind  und  den  Grund-  und  Nullstrahl  zu  Doppelstrahlen  haben. 
Fig.  92.  197.    Äufg.   Die  lAcktgUichen  eines  auf  P^  senkrecht  stehenden 

elliptischen  Gylinders  zu  bestimmen. 

Aufl,  Die  Lichtgleichenpunkte  auf  der  Grundellipse  c  sind  die 
Fußpunkte  von  deren  zu  den  Strahlen  des  Normalbüschels  paral- 
lelen Normalen.  Zu  ihrer  Bestimmung  konstruire  man  aus  einem 
Brennpunkte  F  der  Grundellipse  c  mittels  eines  aus  F  gezogenen 
Kreises  k  und  dem  Grundwinkel  A  das  Normalbüschel,  schneide  seine 
Strahlen  mit  dem  aus  dem  anderen  Brennpunkte  f\  mit  der  großen 
Axe  der  Ellipse  als  Halbmesser  gezogenen  Kreise  k^  (z.B.  2^6'  in 
6"),  so  schneiden  die  Verbindungslinien  dieser  Schnittpunkte  mit  Fj 
(so  Fl  6")  auf  der  Ellipse  c  die  gesuchten  Punkte  (6)  ein  (I,  222), 
durch  welche  dann  die  Lichtgleichen  gezogen  werden. 

198.    Die  Lichtgleichen  eines  auf  Pi   schief  aufstehenden  eUip- 
Fig.  98.  tischen  Gylinders  m  bestimmen. 

Aufl.  Eine  zu  den  Erzeugenden  des  Gylinders  senkrechte  Ebene 
E  vertritt  die  Stelle  der  P^  in  der  vorigen  Aufgabe.  Man  projicire 
daher  den  Lichtstahl  l  auf  E,  bestimme  seine  Neigung  X  gegen  E, 
so  kann  man  in  E  das  Normal-  oder  das  Tangentialbüschel  ange- 
ben, und  mittelst  desselben  die  Lichtgleichenpunkte  auf  der  Schnitt- 
kurve der  E  mit  dem  Cylinder  ermitteln.  Um  aber  die  Verzeich- 
nung dieser  Schnittkurve  zu  vermeiden,  projicire  man  das  Tangential- 
büschel durch  Parallele  mit  den  Erzeugenden  auf  die  P^,  oder  auf  die 
Ebene,  in  welcher  die  Leitlinie  des  Gylinders  gegeben  ist,  und  be- 
stimme auf  ihr  mittelst  dieser  Projektion  des  Büschels  die  Licht- 
gleichenpunkte. Das  Normalböschel  dagegen  verliert  durch  Pro- 
jektion seine  bezeichnende  Eigenschaft,  da  die  Projektionen  der 
Normalen  einer  Kurve  im  allgemeinen  nicht  wieder  Normale  der 
Projektion  der  Kurve  sind. 

Legt  man  durch  einen  Punkt  P  einer  Erzeugenden  AP  die 
Ebene  E,  so  erhält  man  einen  Punkt  Q  ihrer  ersten  Spur  e^  als 
erste  Spur  der  PQ,  welche  J_  A!'F'  und  ||  Pg  gezogen  wird;  c, 
zeichnet  man  dann  durch  Q'  J_  ÄP'.  Die  erste  Spur  des  durch  P 
gehenden  Lichtstrahles  l  ist  V.  Die  den  Strahl  l  auf  die  E  senk- 
recht projicirende  Ebene  enthält  die  AP  und  hat  zur  ersten  Spur 
ÄL\  welche  die  e^  in  K  trifft;  die  Projektion  ist  daher  PjB  (nicht 
gezeichnet).  Legt  man  E  um  e^  in  P^  um,  so  gelangt  P  nach  P^" 
(P'pvjy-  ±e,,  P^P'^=P'P\  pvp-^pivp''^^  und  PB  nach 
P'"jB'.    P'"K  wäre  für  das  umgelegte  Normalbüschel  der  Träger 


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V,  198.    Die  Beleuchtung  der  Kugel,  des  Cylindere  u.  des  Kegels.    209 

des  Stärkemaßstabes,  für  das  umgelegte  Tangentialbüschel  ist  dies 
daher  die  auf  P'"iZ'  Senkrechte  P'"JB'",  und  der  Neigungswinkel  A 
von  l  gegen  £  ist  in  dem  Dreiecke  RPL  bei  P  enthalten;  man  trägt 
ihn  gegen  P'"B'"  an,  indem  man  r"R"=FR  =  r"R\  F" V" 
=  PL  =  r'U^  {T^U^  =  PL')  und  E"'L'"=  EL  =  B' V  macht. 
Ist  der  Winkel  des  Dreiecks  bei  L"'  von  0  oder  180^  nicht  sehr 
verschieden,  so  überträgt  man  erst  das  rechtwinklige  Dreieck  BFA 
nach  K"P"A"'  (P'"^'"=  F"  A'^,  Po  ^^^  =  P'^')>  "°d  macht 
dann  auf  K" A"'  die  U"'Z/'"=  K L\  Trägt  man  dann  von  P'" 
gegen  U'"  fünf  gleiche  Teile  von  willkürlicher  abfer  passender  Länge 

Fig.  93. 

/  ^ 

bis  zu  1.  weiter,  fallt  l.-B  _L  P'"Z/'",  beschreibt  aus  P'"  durch  B 
den  Kreis  fe,  so  wird  auf  ihm  das  Tangential-,  wie  früher  das  Nor- 
malbüschel bestimmt. 

Bei  dem  Zurückdrehen  des  Büschels  um  e^  in  £  gelangt  P'" 
wieder  nach  P,  und  bei  dem  Projiciren  in  Pj  in  der  Richtung  der 
Cylindererzeugenden  projicirt  sich  P  nach  A\  während  die  Schnitt- 
punkte der  Strahlen  mit  e^  an  ihrer  Stelle  bleiben.  Mit  den  Strahlen 
dieses  Büschels  A'  muß  man  dann  parallele  Tangenten  an  die  Leit- 

Wiener,  Lehrbach  der  dantelleaden  Oeomeirie.    II.  14 

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210  V,  198—200.    Die  Beleuchtung  krummer  Pl&chen. 

ellipse  c  des  Cylinders  in  P^  gezogen  denken  und  deren  Berührungs- 
punkte bestimmen,  was  durch  das  Büschel  M'  der  zu  den  Strahlen 
konjugirten  Durchmesser  geschieht  Dieses  Büschel  M'  ist  aber 
parallel  zu  dem  Büschel  C  der  zu  den  von  Ä'  ausgehenden  Strahlen 
konjugirten  Sehnen;  wobei  Ä'M'C  ein  Durchmesser  von  c  ist  Die 
Konstruktion  ist  also  diese:  Man  schneide  einen  Strahl  P".'8'  des 
Büschels  P"'  mit  e^  in  8",  ziehe  die  -4' 8",  schneide  sie  mit  c  in 
8'",  lege  nach  C'8'"  an,  und  ziehe  damit  die  Parallele  M'  8,  so  schnei- 
det diese  die  c  in  den  Lichtgleichenpunkten  +  8.  Die  hellste  Er- 
zeugende besitzt  in  unserem  Beispiele  die  Helligkeit  0^95.  Tritt 
eine  Unsicherheit  in  der  Lage  der  konjugirten  Sehnen  ein,  so  be- 
nutze man  statt  Ä'C  einen  anderen  Durchmesser  der  c;  fallen  die 
Punkte  auf  e^  außerhalb  der  Zeichenfläche ^  so  benutze  man  ein 
passendes  Paar  entsprechender  Geraden  in  den  afflnen  ebenen  Sy- 
stemen der  Büschel  P"'  und  Ä\  welche  sich  auf  e^  schneiden,  wie  z.B. 
die  aus  N  bezw.  zu  R'P'"  und  R'Ä'  gezogenen  Parallelen  a  und  b, 
mit  denen  zwei  Punkte  +  4  konstruirt  wurden. 

Man  kann  auch  das  Tangentialbüschel  für  c  mit  M'  als  Mittel- 
punkt konstruiren;  das  Büschel  der  konjugirten  Durchmesser  be- 
stimmt dann  die  Lichtgleichenpunkte  auf  c ;  dasselbe  wird  auf  einem 
durch  M'  gelegten  Kreise  vermittelst  der  Livolution  hergeleitet  (1,348). 
—  Man  kann  ferner  zu  den  Strahlen  von  A'  Senkrechte  aus  einem 
Brennpunkte  von  c  ziehen;  sie  bilden  das  Normalbüschel  für  c,  aus 
dem  man  nach  der  vor.  Nr.  die  Punkte  erhält.  Das  oben  ange- 
gebene Verfahren  dürfte  etwas  kürzer,  als  diese  sein. 

Von  dem  Schatten  der  oberen  Grenzellipse  auf  Pg  sind  zwei 
koDJugirte  Durchmesser  bestimmt,  als  Schatten  der  von  den  Licht- 
gleichen  0  und  95  begrenzten  Durchmesser;  aus  ihnen  kann  man 
dann  die  Axen  der  Schattenellips'fe  herleiten,  die  in  unserer  Figur 
zufällig  in  jene  konjugirten  Durchmesser  hineinfallen. 

199.  Übungsaufgaben. 

1)  Auf  einem  geraden  Kreiscylinder,  der  schief  gegen  jede  Pro- 
jektionsebene steht,  die  Lichtgleichen  zu  bestimmen. 

2)  Auf  einem  Cylinder  die  Lichtgleichen  zu  bestimmen,  dessen 
senkrechter  Schnitt  a)  eine  Kreisevolvente,  b)  eine  Evolvente  oder 
Evolute  oder  Aquidistante  einer  Ellipse,  c)  eine  gemeine  Cykloide 
oder  eine  Epi-  oder  Hypocykloide,  d)  eine  Sinuslinie  ist,  mag  der 
Cylinder  senkrecht  auf  P,  oder  geneigt  gegen  beide  Projektions- 
ebenen stehen.  —  Es  muß  für  alle  diese  Kurven  die  Aufgabe  ge- 
löst werden,  ihren  Berührungspunkt  mit  einer  zu  einer  gegebenen 
Geraden  parallelen  Tangente  zu  konstruiren. 

200.  Die  Lichtgleichen  eines  Kegels  sind  Erzeugende  desselben 


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V,  200—201.    Die  Beleuchtung  der  Kugel,  des  Cylinders  u.  des  Kegels.    211 

und  lassen  sich  bei  Umdrehungskegeln  mittelst  eines  Starkemaß- 
stabes, bei  anderen  Kegeln  aber  mittelst  der  Tangentialkegel  (193) 
finden.  Letztere  bestimmt  man  nach  der  angenommenen  Starkereihe, 
indem  man  durch  die  Spitze  S  des  gegebenen  Kegels  einen  Licht- 
strahl l  zieht;  durch  l  eine  Ebene  legt  und  in  dieser  aus  S  das 
Tangentialbüschel  für  jene  Reihe  zeichnet;  durch  dessen  Umdrehung 
um  l  entsteht  das  Büschel  der  Tangentialkegd.  Legt  man  nun  an 
jeden  dieser  Kegel  und  'an  den  (koncentrischen)  gegebenen  die  gemein- 
schaftlichen Berührungsebenen  ^  so  sind  deren  Berührungserzeugende 
auf  dem  gegebenen  Kegel  die  gesuchten  Lichtgleichen.  Um  die  ge- 
meinschaftlichen Berührungsebenen  zu  bestimmen,  schneide  man 
eine  auf  dem  Lichtstrahle  senkrechte  Ebene  mit  dem  Kegelbüschel 
und  mit  dem  gegebenen  Kegel,  wobei  sich  bezw.  koncentrische 
Kreise  und  irgend  eine  Kurve  ergeben  werden,  ziehe  an  diese  und 
an  die  Kreise  alle  gemeinschaftlichen  Tangenten,  so  sind  die  durch 
ihre  Berührungspunkte  auf  der  Kurve  gehenden  Erzeugenden  des 
Kegels  die  gesuchten  Lichtgleichen. 

201  •  Äufg.  Die  Lichtgleichen  eines  auf  die  Grundrißebene  auf- 
gestellten elliptischen  Kegels  m  bestimmen. 

Aufl.  Sei  die  Ellipse  c  in  P^  die  Leitlinie,  S  die  Spitze  des  Fig.  94 
Kegels.  Der  durch  S  gelegte  Lichtstrahl  l  hat  L'  zur  ersten  Spur 
und  die  Tangenten  aus  L'  an  c  bestimmen  durch  ihre  Berührungs- 
punkte die  Grenzlichtgleichen  05.  Legt  man  die  erste  projicirende 
Ebene  von  l  um  V  in  P^  um,  so  gelangt  l  nach  V"  =  S"'  L',  wenn 
S'S'"±S'L'  und  =SqS'\  Eine  zu  l  senkrechte  Ebene  E  habe  e^ 
(J_  V)  zur  ersten  und  e^  (_L  T")  zur  dritten  Spur,  derart  daß  e^ 
und  e^  sich  in  Eq  auf  V  treffen,  und  schneidet  die  i  in  P,  wobei  P'" 
der  Schnittpunkt  von  e^  und  V".  Die  Tangentialkegel,  aus  S  um 
l  als  Axe  gelegt,  schneiden  die  E  in  Kreisen,  deren  Mittelpunkt  P  ist. 
Legt  man  B  um  e^  in  P^  um,  so  gelangt  P  nach  P^^,  und  die 
auf  E  und  nach  der  Umlegung  auch  auf  P^  senkrechte  Axe  PS  der 
Tangentialkegel  kann  man  dann  um  V  in  P^^S  ^  (J-  V  und  =  P'" S'") 
umlegen.  Man  zeichnet  dann  mit  einer  auf  dem  Lichtstrahle  S^P^^ 
senkrechten  Geraden  S^l.  als  Stärkemaßstab  Ol.  das  Tangential- 
büschel, und  legt  durch  die  Schnittpunkte  seiner  Strahlen  mit  V 
aus  P^^  jene  koncentrischen  Kreise. 

Die  Ebene  E  schneidet  den  Kegel  in  einem  Kegelschnitte,  der 
durch  die  Umlegung  von  E  in  P^  nach  Cq  gelangt;  Cq  liegt  gegen 
c  perspektiv  mii  e^  als  Axe  und  S^^  als  Mittelpunkt  der  KoUineation. 
S^^  ist  aber  aus  S  entstanden  durch  Umlegung  mit  der  durch  S 
parallel  zu  E  geführten  Ebene  in  P^  (S'"ÖIK,  Q  auf  '',  QS^^ 
=  QS).    Die  Cq  wird  als  Kollineare  von  c  konstruirt,  bequem  mit 

14* 


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212 


V,  201.    Die  Beleuchtung  krummer  Flachen. 


Zuhilfenahme  der  Tangente  L'OA  von  c  und  deren  Entsprechenden 
P^^  A,  mittelst  des  zu  e^  konjugirten  Durchmessers  CD  der  c,  wel- 

Pig.  94. 


f 

-^^^ 

t 

\ 

l 

1 

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1 

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1 

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'L           ^    / 

"■-j^ 

^r 


chem   der  Durchmesser  CD^  der  Cq  entspricht,  dessen   konjugirter 
dann  leicht  aus  c  erhalten  wird^  wie  in  der  Figur  angedeutet;  aus 


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V,  201—202.    Die  Beleuchtung  der  Kugel,  des  Cylinders  u.  des  Kegels.    213 

den  konjugirten  Durchmessern  ist  dann  die  Ellipse  Cq  nach  vorheriger 
Bestimmung  der  Axen  (I,  377)  verzeichnet  worden. 

Nun  zieht  man  an  die  Kreise  und  an  Cq  die  gemeinschaftlichen 
Tangenten  y  bestimmt  ihre  Berührungspunkte  auf  Cq  und  überträgt 
sie  durch  Strahlen  aus  S^^  auf  c;  oder  man  schneidet  jede  Tan- 
gente mit  e^f  zieht  aus  dem  Schnittpunkte  die  entsprechende  Tangente 
an  c  und  bestimmt  deren  Berührungspunkt.  Letzteres  ist  in  der 
Figur  ausgeführt,  und  zwar  wegen  der  größeren  Ausdehnung  der  c 
gegenüber  Cq.  So  ist  z.  B.  der  Strahl  S^  8'  des  Tangentialbüschels 
mit  r  in  8'  geschnitten,  an  den  durch  8^  gelegten  Kreis  nnd  an  Cq 
sind  die  gemeinschaftlichen  Tangenten  gezogen,  deren  eine  die  e^ 
in  8"  trifft,  aus  8"  ist  die  entsprechende  Tangente^  an  c  gelegt  und 
deren  Berührungspunkt  8  bestimmt.  Diese  Punkte  liefern  durch 
ihre  Verbindungslinien  mit  S  im  vorliegenden  Falle  zwei  positive, 
dagegen  keine  negative  Lichtgleichen. 

Die  aus  P^^  berührend  an  Cq  gezogenen  Kreise  bestimmen  durch 
ihre  BerQhrungspunkte  die  hellste  positive  und  negative  Lichtgleiche, 
deren  Lichtstarkezahlen  sich  durch  die  rückwärts  ausgeführte  Kon- 
struktion auf  dem  Stärkemaßstab  als  0,83  und  —  0,39  ergeben.  Die 
Berührungspunkte  werden  am  einfachsten  durch  eine  Fehlerkurve 
bestimmt,  welche  durch  die  Mitten  der  von  Cq  eingeschlossenen 
Bogen  jener  koncentrischen  Kreise  geht 

(jbungsaufg.  Man  bestimme  die  Lichtgleichen  auf  einem  Kegel, 
dessen  Leitlinie,  z«  B.  ein  Kreis,  in  einer  beliebigen  Ebene  ge- 
geben ist. 

202.  Anfg,  Die  Lichtgleichm  eines  auf  die  Grundrißebene  ge 
rcuk  aufgestellten  Umdrehungskegels  zu  bestimmen. 

Aufl.  Man  lege,  wie  früher  bei  dem  Umdrehungscylinder,  eine  Fig.  96. 
Kugel,  welche  den  Kegel  nach  dem  Grundkreise  berührt,  bestimme 
auf  ihr  die  Lichtgleichen  nach  der  gewählten  Stärkereihe,  so  schnei- 
den diese  den  Grundkreis  in  Punkten  der  Lichtgleichen  des  Kegels 
von  derselben  Reihe.  Der  Mittelpunkt  N"  der  Kugel  wird  auf  der 
Umdrehungsaxe  S"  Sq  erhalten  durch  die  aus  dem- Fußpunkte  A^ 
der  Umrißerzeugenden  S'' Aq  zu  dieser  gezogenen  Normale  ^o-^'- 
Aus  N"  ist  ein  Kreis  durch  Aq  als  Umriß  der  Kugel  teilweise 
gezeichnet  Durch  die  Spitze  des  Kegels  geht  der  Lichtstrahl  l, 
dessen  erste  Spur  L  ist  Dreht  man  die  Lichtmeridianebene  in 
die  Hauptmeridianebene,  wobei  l  in  der  zweiten  Projektion  nach 
S"V"'^  V"  gelangt,  und  denkt  sich  den  Kugelhalbmesser  parallel 
zu  V"  gezogen,  in  fünf  gleiche  Teile  geteilt,  und  durch  die  Tei- 
lungspunkte die  zu  r"  senkrechten  Ebenen  der  Lichtgleichen  der 
Kugel  gelegt,  so  schneiden  diese  die  P^  in  parallelen  Geraden  von 


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214 


V,  202.    Die  Beleuchtung  krummer  Flächen. 


gleichen  Abständen.  Die  äußersten  dieser  Ebenen  werden  angegeben, 
indem    man  Senkrechte   zu    Z'"   durch  N"   und  berührend    an   den 

Kugelumriß      zieht. 


Fig.  95. 


S^  jy.  g_ V 


welche  die  Projek- 
tionsaxe  x  in  D'" 
bezw.  E"'  treffen. 
Nach  dem  Zurück- 
drehen des  Haupt- 
meridians in  den 
Lichtmeridian  kom- 
men jene  'Punkte 
nach  D'und  E'  auf  r, 
wobei  S'2)'=iSo2)'", 
S'E'=SoE''\  TeUt 
man  nun  D'E'  in 
fünf  gleiche  Teile, 
schreibt  zu  D'  und 
E'  bezw.  0  und  1., 
trägt  die  Teilung 
über  D'  nach  der 
entgegengesetzten 
Seite  weiter,  und  zieht 
durch  die  Teilungs- 
punkte Senkrechte 
zu  r,  so  sind  diese 
die  ersten  Spuren 
jener  Lichtgleichenebenen  der  Kugel  und  schneiden  auf  dem  Grund- 
kreise c  die  Lichtgleichenpunkte  ein.  Die  ganze  Teilung  1.  0 — 1. 
bildet  den  Stärkemaßstab  des  KegeUoreises,  und  es  sind  der  Abstand 
seines  Nullpunktes  D'  vom  Kreismittelpunkte  S"  und  seine  Einheit 
D'jB'  gegeben  durch 

S'2)'=  S'O  =  sigX,  D'E'=  0  1.  =  M  sec  A, 
wenn  X  den  Neigungswinkel  des  Lichtstrahles  gegen  die  Kreisebene 
{xV")j  n  =  -4o  JV"  die  Normale  des  Meridians  in  Äq,  s  =  SqN"  die 
Subnormale  bedeuten.  Man  erhält  daher /S'D'  und  D'E'  noch  etwas 
kürzer,  was  bei  häufiger  Wiederholung  wesentlich  ist,  wenn  pian 
L'''L^^  Jlx  zieht,  und  D^^  und  E^^  auf  T"  so  bestimmt,  daß  ihre 
Abstände  von  V'U^  bezw.  gleich  s  und  n  sind.  Dann  ist  der  Ab- 
stand des  jyy  von  x  =  S'B'  und  V'E'^'^D'K. 

Die  hellsten  Erzeugenden  auf  der  positiven  und  negativen  Flä- 
chenseite liegen  in  der  Lichtmeridianebene,  und  ihre  Hellig'keitszahlen 
lassen  sich  auf  dem  Stärkemaßstabe  =  +  0,96  und  «=  —  0,53  ab- 


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V,  202—203.    Die  Beleachttmg  der  Kugel,  des  Cylinders  n.  des  Kegels.     215 

lesen.     Die  Grenzlichtgleichen  können  auch  durch  die  Berührungs- 
punkte der  Tangenten  aus  L'  an  c  bestimmt  werden. 

Bei  dem  gleichzeitigen  Vorhandensein  ft^wfer  Kegeläste  bemerkt 
man  aus  der  Lage  einer  Berührungsebene ,  daß  die  äußere  Seite 
des  einen  Astes  die  Fortsetzung  der  inneren  Seite  des  anderen  Astes 
ist;  so  daß  die  positiven  Lichtgleichen,  welche  wir  bei  dem  unteren  Äste 
außen  annehmen ,  bei  dem  oberen  nach  innen  gelangen  ^  die  negativen 
dagegen  auf  dem  unteren  Aste  innen^  auf  dem  oberen  außen  liegen. 

208.  Um  den  Schlagschatten  in  dem  Inneren  des  oberen  Kegel- 
igstes zu  bestimmen,  der  von  dessen  Grenzkreis  d  (Mittelpunkt  T)  ge- 
worfen wird,  lege  man  durch  einen  Punkt  C  desselben  den  Lichtstrahl,  vig.  a'a' 
durch  diesen  und  die  Spitze  S  des  Kegels  eine  Hilfsebene,  welche  die 
Ebene  des  d  in  KC  schneidet,  wenn  diese  Ebene  von  dem  durch  S 
gelegten  Lichtstrahle  in  K  getroffen  wird  (T'K'=  T'K'").  Schnei- 
det K'C  den  d\  außer  in  C,  noch  in  H\  so  enthält  die  Hilfs- 
ebene die  Erzeugende  SH  des  Kegels,  und  deren  Schnittpunkt  mit 
jenem  durch  C  geführten  Lichtstrahle  ist  der  gesuchte  Schatten  G^ 
«>yon  (7.  Der  S(;hatten  beginnt  in  den  Berührungspunkten  der  aus 
K'  an  d'  gezogenen  Tangenten,  d.  i.  in  den  Punkten  0  der  Licht- 
gleichen. Um  seine  Punkte  in  der  Lichtmeridianebene  zu  finden, 
dreht  man  diese  um  die  Axe  a  in  die  Hauptmeridianebene,  so  erhält 
man  B^  als  Schatten  von  JB  {B'"B^  \\  T",  TB^  =  Abstand  B^  von  a"). 

Geometrisch  kann  man  den  Schlagschatten  fortsetzen  als  Schnitt 
des  durch  d  gehenden  Lichtstrahlencylinders  mit  dem  Kegel,  und 
insbesondere  noch  den  Punkt  Ä^  im  Lichtmeridiane  bestimmen. 
Der  Schnitt  dieser  Flächen  besteht  aus  dem  Kreise  d  und  dem  ge- 
suchten Schlagschatten,  und  der  letztere  ist  ebenfalls  eine  ebene 
Kurve,  daher  ein  Kegelschnitt.  Denn,  entsprechend  wie  in  Nr.  67, 
schneidet  die  durch  die  drei  Punkte  0,  0,  A^  der  Schattenkurve  ge- 
legte Ebene  beide  Flächen  in  Kegelschnitten,  welche  diese  drei 
Punkte  und  die  Tangenten  in  jedem  der  Punkte  0  gemein  haben, 
letzteres,  weil  in  jedem  dieser  Punkte  beide  Flächen  zur  gemein- 
schaftlichen Berührungsebene  die  Ebene  der  Tangente  der  d  und 
eines  Lichtstrahles  besitzen.  Daher  fallen  beide  Kegelschnitte  ganz 
zusammen,  und  der  Schatten  von  d  ist  dieser  Kegelschnitt;  derselbe 
bildet  bei  Parallelbeleuchtung  eine  Ellipse.  Ihre  erste  Projektion  hat 
A^B^  zur  großen  Axe,  T  zum  einen  Brennpunkte  (57),  während  die 
kleine  Axe  gleich  dem  Durchmesser  von  d  ist;  und  sind  a,  b,  e  ihre 
Halbaxen  und  Excentricität,  so  ergibt  sich  J.^  aus  T,  B^y  b  durch 
A,  r.    TB^  =  b\  weil  a^  =  6«  +  ^,  daher  (a  +  e){a  —  e)^  b\ 

Die  Schatten  von  d  auf  P^  und  Fg  sind  bezw.  ein  mit  d  gleicher 
Kreis  d^  (nicht  gezeichnet)  und  eine  damit  affine  Ellipse  d^,  deren 


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216 


V,  203—204.    Die  Beleuchtung  krummer  Flächen. 


Fig.  96, 


Mittelpunkte  T^,  T^  sind.  Für  '^xV  =  ^xV  können  die  Axen 
von  dg  nach  Nr.  195  bestimmt  werden,  aber  auch  in  folgender  noch 
etwas  vereinfachter  Weise  unter  Entbehren  von  dj.  Aus  der  Mitte 
F  von  T^'  T^  als  Mittelpunkt  legt  man  einen  Kreis  durch  T^  (und 
T,),  welcher  x  xa  G  treffe;  dann  liegt  die  eine  Axe  von  d^  in  T^G, 
die  andere  steht  darauf  senkrecht.  Zeichnet  man  aus  T^  als  Mittel- 
punkt einen  dem  d^  (und  d)  gleichen  Ereis,  so  werden  aus  dessen 
Schnittpunkten  mit  den  Axen  der  d^  durch  Parallele  zu  x  unter 
Vertauschung  der  Linien  der  Axen  ihre  Endpunkte  bestimmt  (be- 
gründet in  Fig.  91  durch  die  gleiche  Neigung  der  Linien  C^^E,  G^F 
und  Cg  E,  C\  F  gegen  x). 

204.  Ein  zweites  Verfahren  zur  Bestimmung  der  Lichtgleichen  be- 
steht darin ;  daß  man  zuerst  die  Helligkeit  der  beiden,  in  der  Lichi- 
meridianebene  liegendeu,  Punkte  größter  und  kleinster  Helligkeit  be- 
stimmt, wobei  das  Wort  „kleinste"  in  physikalischem  oder  nur  in 

geometrischem  Sinne  zu  nehmen  ist, 
und  dazwischen  den  Stärkemaßstab 
einschaltet.  Zu  dem  ^nde  dreht  man 
bei  der  angenommenen  aufrechten 
Stellung  den  Lichtmeridian  in  den 
Hauptmeridian,  wodurch  die  Erzeu- 
genden SF  und  SG  nach  S"F"  und 
S"G"\  und  l  nach  V"  gelangen.  Zu 
r"  zieht  man  die  Senkrechte  Ä"  L, 
trägt  auf  derselben  je  fünf  gleiche 
Teile  von  S"  bis  1.  und  bis  —  1.,  zieht 
aus  S"  durch  1.  und  —  1.  einen  Kreis, 
so  werden  die  durch  die  Teilungs- 
punkte zur  Maßstabslinie  gezogenen 
Senkrechten  auf  dem  Kreise  die 
Punkte  der  Strahlen  des  Tangentialbüschels  bestimmen.  Schneiden 
nun  S''F"  und  S"G"'  jenen  Kreis  in  jF'"  bezw.  G'",  und  fallt  man 
die  Senkrechten  ^"JF\,  G"'  G^  auf  die  Linie  des  Maßstabes,  so  geben 
die  Fußpunkte  JF\,  G^  auf  demselben  die  Helligkeiten  des  Kegels  in 
jF  und  G  (0,96  und  —  0,53)  an.  Da  aber  jede  der  Erzeugenden  den 
Kreis  in  zwei  Punkten  trifft,  so  ist  zu  beachten,  daß  JF"',  G'"  so 
gewählt  werden  müssen,  daß  F'"G'"  parallel  zur  Kegelaxe  ist.  Denn 
nur  dadurch  wird  erreicht,  daß  wenn  <^  FSG  =•  0  wird,  beide  Er- 
zeugende gleiche  Helligkeit  mit  entgegengesetzten  Vorzeichen  erhal- 
ten, wie  es  sein  muß,  daß  dann  beim  Wachsen  dieses  Winkels  diese 
entgegengesetzten  Zeichen  erhalten  bleiben,  bis  eine  der  Erzeugen- 
den in  l  übergeht,  und  daß  von  da  an  gleiche  Zeichen  eintreten. 


JLL 


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V,  204—206.    Die  Beleuchtang  der  Kugel,  des  CylinderB  u.  des  Kegels.      217 


Zieht  man  nun  in  F'  und  G'  Senkrechte  zu  V  und  schaltet 
zwischen  sie  F^  G^  =  F^  G^  ein  und  überträgt  alle  zwischenliegende 
Teilungspunkte  des  Stärkemaßstabes^  so  erhält  man  aus  ihnen  durch 
Senkrechte  zu  V  die  Punkte  der  Lichtgleichen  auf  dem  Kreise  c.  Ist^ 
F*  G'  >  F^Gif  so  nimmt  man  ein  Mehrfaches  von  jF\  Gj  und 
seiner  Teile. 

206.  Äufg.  Die  Lichtgleichen  eines  Umdrehungskegels  zu  bestim- 
men, dessen  Axe  gegen  beide  Projektionsebenen  geneigt  ist  und  in  dessen 

Inneres  Licht  eindringt. 

Fig.  97. 


'  /  .M'^'nfxW 77' 

'*<-   H^\:\  VV"- **--' 


Aufl.    Liege  die  Spitze  S  des  Kegels  in  P^,   sei  M  {M',  M")  Fig.  97. 
der  Mittelpunkt  und  r  =^  S'R  der  Halbmesser  des  Grundkreises,  so 
ist  dessen  erste  Projektion  eine  Ellipse  vom  Mittelpunkte  M',  deren 


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218  V,  205.    Die  BelenchtoDg  krummer  Flächen. 

große  Halbaxe  J_  S'M'  und  «=  r,  deren  kleine  Halbaxe  in  S'JT 
liegt  und  gleich  dem  Abstände  des  R  von  S'M'  ist,  wenn  SR  =  r 
in  der  mit  ihrer  ersten  projicirenden  Ebene  umgelegten  Höhenlinie 
^M,  nämlich  in  S'Jf'",  liegt,  wobei  M'M'"±  S' M'  und  =  M^if', 
weil  dieser  Abstand  =  r  cos  Jtf'Jtf'"/S';  dieser  Winkel  aber  der- 
jenige jener  kleinen  Halbaxe  mit  dem  sich  in  ihn  projicirenden 
Ereishalbmesser  ist.  Übereinstimmend  suche  man  die  zweite  Pro- 
jektion des  Grundkreises.  —  Sei  ferner  ML  der  Lichtstrahl,  L  seine 
erste  Spur,  so  ist  SML  die  Lichtmeridianebene,  und  diese  legen 
wir,  zur  Benutzung  des  zweiten  Verfahrens  (vor.  Nr.),  um  S' V  in 
Pj  nach  S'M'^V  um,  wobei  M'M'^±S'L\  S'M'^  =  S'M"'  ist; 
der  umgelegte  Lichtmeridian  ist  dann  das  gleichschenklige  Dreieck 
S'F'^G'^,  wenn  F'^M'^G'''  ±  S'M'^'^M'^F'^  =  M'^G'^  =  r. 
In  der  Ebene  des  Lichtmeridianes  bildet  man  dann  den  Stärkemaß- 
stab des  Tangentialbüschels,  indem  man  die  S'  —  1.  _L  M^^L'  zieht 
und  darauf  von  8'  aus  nach  beiden  Seiten  gleiche  Längen  von 
passender  Größe  aufträgt,  deren  fünf  =  ä  —  1.  etwa  =  fr  sind. 
Dann  legt  man  aus  S'  durch  —  1.  einen  Kreis,  schneidet  ihn 
mit  SF^^  und  SG^^  bezw.  in  F^  und  G^,  derart  aber,  daß  F^G^ 
II  S'M'^,  zieht  F^F^  und  G^G^±S'—\.,  so  geben  die  Fuß- 
punkte die  größte  und  kleinste  vorkommende  Helligkeit  (+  0,41  und 
«=  —  0,89)  an.  —  Die  Punkte  -F,  G  des  Lichtmeridians  an  dem  Kegel 
selbst  liegen  auf  dem  Durchmesser,  welcher  M  mit  dem  Schnitt- 
punkte X  von  S' U  mit  M^^G^^  verbindet.  Da  X  unzugänglich, 
ist  ein  mit  V  M^^M'  paralleles  Hilfsdreieck  K'N^^N'  benutzt 
{K"N"\L"M').  Dann  zieht  man  in  jeder  Projektion  in  i^  und  ß 
die  Tangenten  au  die  Ellipse  (etwa  vermittelst  konjugirter  Sehnen) 
und  schaltet  zwischen  sie  das  Stück  F^  G^  des  Stärkemaßstabes  ein, 
z.  B.  =  F^  G^,  so  bestimmen  die  durch  die  Teilungspunkte  gezo- 
genen Parallelen  zu  den  Tangenten  die  Lichtgleichenpunkte  auf 
der  Ellipse,  und  dadurch  die  Lichtgleichen.  —  Dies  Verfahren 
dürfte  hier  etwas  kürzer,  als  das  der  Nr.  202  sein,  weil  an  die 
Stelle  der  Teilung  einer  gegebenen  Strecke  in  jeder  Projektion  das 
Weitertragen  einer  willkürlichen  Strecke  und  dann  das  Übertragen 
einer  Teilung  tritt. 

Der  ScMagschaüen  des  Grenzhreises  im  Inneren  wird  im  Grund- 
und  Aufriß  gleichartig  konstruirt;  betrachten  wir  den  Aufriß.  Die 
durch  2^',  G"  gelegten  Lichtstrahlen  schneiden  bezw.  auf  S"G", 
S"F"  die  Schattenpunkte  -Fj,  G^  ein,  welche  einen  Durchmesser 
der  Schattenellipse  begrenzen,  und  deren  Mittelpunkt  J*  bestimmen. 
Ist  (t,  unerreichbar,  so  zieht  man  F^JT  durch  den  Mittelpunkt  R, 
der  Sehne  00  der  Schattenellipse  imd  macht  F^J  ^=^  J^^J^^  wenn  J^ 


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V,  206—206.   Die  Beleuchtung  der  UmdrehüDgsfl&che.  219 

der  Schnittpunkt  von  Jtf"L"  mit  iS"ö",  also  die  Mitte  von  F^G", 
wenn  J,J^  ||  F^HJ  und  J^  auf  G"  G^ ;  {J^J^  =  ^F^^x)-  Der  zu  F^J 
konjugirte  Durchmesser  ist  ||  00  und  gleich  dem  dazu  parallelen 
Durchmesser  der  Grenzellipse,  JF  #  M"Q,  Aus  den  konjugirten 
Halbdurchmessem  JF^^  JP  sind  die  angedeuteten  Halbaxen  kon- 
struirt  und  vermittelst  dieser  die  (durch  00  gehende)  Ellipse  ge- 
zeichnet 

Zur  Bestimmung  des  Schattens  des  Kegels  auf  Pj  und  Pj  sucht 
man  die  Schatten  des  Grundkreises  vermittelst  der  Schatten  zweier 
konjugirten  Durchmesser,  wozu  in  jeder  Projektion  die  Axen  gewählt 
sind,  und  bestimmt  aus  denselben  die  Axen  der  Schattenellipsen. 


HI.    Die  Beleuchtung  der  Umdrehnngefläohe. 

206,  Aufg.  Die  Lichtgleichen  einer  Umdrehungsfläche  m  bestim- 
men.   Dieselbe  sei  ein  Ring,  und  ihre  Äxe  a  stehe  J_  Pj. 

Aufl,  1)  Bei  dem  Verfahren  der  Parallelkreise  wird  dessen  Starke-  iwg. 
maßstab  mittelst  einer  entlang  dieses  Kreises  die  Fläche  berührenden 
Kugel,  wie  bei  dem  Kegel  (202),  bestimmt.  Sei  wieder  Z'"  der  mit 
der  Lichtmeridianebene  in  die  Hauptmeridianebene  gedrehte  Licht- 
strahl, und  X  seine  Neigung  gegen  Pj.  Von  dem  beliebigen  Parallel- 
kreise p  sei  M^  der  Mittelpunkt,  P  ein  Punkt  auf  dem  Hauptmeri- 
diane, PN=n  die  Normale  in  P  (N  auf  a),  MiN^=s  die  Sub- 
normale. Man  trage  nun  den  Stärkemaßstab  fürjp  auf  einer  Parallelen 
m  zu  r  auf,  welche  von  der  J_  V  durch  M'  gelegten  Geraden  in  Q  ge- 
troffen wird.  Auf  m  trägt  man  (202)  QO  ==  s  ig  X  in  einem  solchen 
Sinne  auf,  daß  eine  _L  l  durch  N  gelegte  Ebene  den  Punkt  0  enthält, 
macht  dann  0  1.  =  n  sec  A,  teilt  0  1.  in  fünf  gleiche  Teile,  welche  man 
von  0  aus  auch  in  entgegengesetztem  Sinne  weiter  trägt,  zieht 
durch  die  Teilungspunkte  Parallele  zu  QM\  so  schneiden  diese  auf 
p  die  Lichtgleichenpunkte  ein.  Auf  dem  mit  p  in  derselben  Ebene 
liegenden  Parallelkreise  Pi  liegen  die  Lichtgleichenpunkte  den  gleich- 
bezifferten von  p  diametral  gegenüber,  und  auf  den  beiden  Parallel- 
kreisen, welche  p  und  p^  symmetrisch  in  Bezug  auf  den  Mittelpunkt 
M  der  Fläche  gegenüber  liegen,  gilt  dies  auch  von  den  Lidit- 
gleichenpunkten.  In  der  Figur  sind  besonders  für  den  größten  und 
kleinsten  Parallelkreis  (s  =  0)  die  Lichtgleichenpunkte  bestimmt. 

2)  Bei  dem  Verfahren  der  Meridiane  wird  der  entlang  des  Meri- 
dians berührende  Cylinder  benutzt  (195);  es  ist  aber  im  allgemeinen 
nur  vorteilhaft  bei  Kreismeridianen,  also  in  unserem  Falle.  In  der 
LidUmeridianeibene  zieht  man  nach  ihrer  Drehung  in  die  Haupt- 
meridianebene (Fig.  a)  den  mit  Z'"  parallelen  Durchmesser  1.0 — 1., 


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220 


V,  206.   Die  BeleuchtoDg  krammer  Flächen. 


teilt  ihn  in  2  X  5  =  10  gleiche  Teile,  so  bestimmen  die  durch  die 
Teilungspunkte  gezogenen  Senkrechten  zu  V"  auf  dem  Meridiane 
die  Lichtgleichenpunk t^,   die  man   vermittelst  ihrer  Abstände  von 


,.^y^'"  ?^JÄ'  \ 


dem  mit  a  parallelen  Durchmesser  U^  in  den  Grundriß  auf  l\  und 
von  da  in  den  Aufriß  überträgt.  In  den  so  gewonnenen  Punkten 
sind  die  Tangenten  der  Lichtgleichen  senkrecht  auf  der  Lichtmeri- 
dianebene. —  Der  Meridian^  dessen  Ebene  senkrecht  [auf  der  Licht- 


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V,  206—207.    Die  Beleuchtung  der  ümdrehnngsflache.  221 

meridianebene  steht,  sei  ebenfalls  in  Fig.  a  dargestellt.  Dann  ist  U^  die 
Projektion  eines  Lichtstrahles  auf  seine  Ebene,  der  Grundwinkel  ist 
90^  —  1,  die  Einheit  des  Stärkemaßstabes  0  1/  =  (0  1.)  sec  (90^  —  l) 
wird  durch  die  Tangente  des  Kreises  in  1.  abgeschnitten ,  so  daß 
jene  J_  T"  gezogenen  Geraden  auch  auf  0  1.'  den  Stärkemaßstab 
einschneiden.  Die  durch  dessen  Teilungspunkte  _L  U^  gezogenen 
Geraden  bestimmen  die  Lichtgleichenpunkte ^  welche  in  den  Grund- 
und  Aufriß  übertragen  werden.  —  Im  Hcmptmeridiane  zieht  man  den 
zu  V  parallelen  Halbmesser  0"J.",  legt  dessen  zweite  projicirende 
Ebene  in  die  Hauptmeridianebene  um,  wobei  der  Punkt  A  des  Licht- 
strahles nach  -4^*^  gelangt  {A"  A^^  1.1"  und  =  Abstand  des  J.  von 
der  Hauptmeridianebene),  so  ist  A"  0"  A^^  die  Grundneigung,  und 
0"  B  =^  0"  A^^  die  Einheit  des  Stärkemaßstabes,  wodurch  die  Licht- 
gleichenpunkte des  Hauptmeridianes  im  Aufriß  und  daraus  im  Grund- 
riß bestimmt  werden.  Mit  demselben  stimmt  der  in  Bezug  auf  die 
Lichtmeridianebene  symmetrische  Meridian  überein,  dessen  Ebene  in 
unserem  Falle  auf  P,  senkrecht  steht.  —  In  ähnlicher  Weise 
können  die  Punkte  auf  einem  beliebigen  Meridiane  gefunden 
werden. 

207«  Einige  der  Lichtgleichen  (6, 8)  besitzen  äußerste  Punkte,  das 
sind  solche,  in  welchen  sie  von  einem  Meridiane  der  Fläche  berührt 
werden.  Um  dieselben,  z.  B.  auf  der  8,  zu  finden,  denken  wir  uns 
in  Fig.  a  die  Kugel,  welche  die  »Fläche  nach  einem  der  Kreise  des 
Lichtmeridians  berührt,  in  ihrer  Projektion  auf  dessen  Ebene  dar- 
gestellt. Die  Gerade  8^^  stellt  die  Lichtgleiche  8  dieser  Kugel  dar, 
woraus  sich  die  Spitze  D  (auf  V")  des  der  Kugel  nach  8  umschrie- 
benen  Kegels    durch  eine   Tangente    oder   durch   OD  *=^  -^xO\. 

(weil  02). 08=02). y=l*)  bestimmt.  Die  |]  P^  durch  2)  gelegte 
Ebene  schneidet  die  Kugel  in  einem  Kreise  Ä,  und  dieser  stellt 
sich,  wenn  man  durch  Parallelverschiebung  der  Kugel  ihren  Mittel- 
punkt nach  M  gebracht  denkt,  im  Grundriß  als  der  Kreis  h'  mit 
dem  Mittelpunkte  M'  dar.  Überträgt  man  dann  die  Spitze  2)  des 
Kegels  auf  V  nach  2)'  (Jtf'2)'  =  CD  in  Fig.  a)  und  zieht  aus  2)' 
die  Tangenten  an  V,  so  sind  dies  Erzeugende  des  Kegels,  stehen 
daher  senkrecht  auf  der  Berüfhrungskurve  8,  sowohl  im  Räume,  als 
im  Grundriß  auf  der  (elliptischen)  Projektion  der  8  (weil  jene  Tan- 
genten y  P,),  so  daß  die  bezw.  auf  ihnen  senkrechten  M' E^y  M'F^ 
Tangenten  dieser  Ellipsen,  und  ^/,  F^  äußerste  Punkte  derselben  sind. 
Da  nun  aus  jedem  Punkte  der  8  der  Kugel  durch  Parallelverschie- 
bung senkrecht  zu  a  um  m  =  M!'  0"  ein  Punkt  der  8  des  Ringes 
entsteht,  so  sind  M'E^,  M'F^  auch  Tangenten  an  die  8  des  Ringes, 


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222 


y,  207—208.   Die  Belenohtang  krammer  Flächea 


und  auf  jeder  liegen  zwei  äußerste  Punkte,  so  E\  Fy  für  welche 
die  Abstände  von  E^,  i^/,  so  E^E\  F^F\  =±_m  sind. 

Vorteilhaft  dürfte  es  sein,  zuerst  die  Punkte  auf  den  Meridianen 
zu  bestimmen  in  der  zu  l  parallelen,  in  der  darauf  senkrechten,  in 
der  zu  "B^  parallelen  und  in  der  zu  dieser  in  Bezug  auf  die  Licht- 
meridianebene symmetrischen  Ebene;  sodann  die  Punkte  auf  dem 
größten  Parallelkreise  und  auf  dem  größeren  der  beiden,  welche 
die  äußersten  Punkte  (D,  JE?)  von  8  enthalten,  und  aus  diesen  die 
Punkte  auf  den  anderen  Parallelkreisen  derselben  Ebenen  und  auf 
den  Parallelkreisen  der  in  Bezug  auf  M  symmetrischen  Ebenen.  • 

208.  Wir  werden  öfter  das  folgende  Verfahren  zur  Bestim- 
Fig.  99.  mung  des  Krümmungshalbmessers  einer  Kurve  gebrauchen.     Ist  von 


Fig.  99. 


einem  Kreise  M^  der  Mittelpunkt,  M^  -4^  «=  r^ 
ein  Halbmesser,  yi  =  D^Bj^  ^=>  —  D^ C^  eine 
auf  Ml  Ai  senkrechte  Ordinate,  x^  =  Ä^B^y 
so  ist  y^^  =  x^  {2r^  —  a:J,  und  für  x^  un- 
endlich klein 


Vi^^^r^^ij 


2   X, 


Im  allgemeinen  ist  r^  und  damit  das  Verhältnis  von  y^^  und  x^  end- 
lich, so  daß  y^  =  Q\  x^  =  0*.  Die  besonderen  Fälle  sind  durch 
die  Bemerkung  erledigt,  daß  bei  x^  =  0«  für  w  <  2,  r^  =  0,  für 
n  >  2,  rj  =  oo  wird. 

Ist  für  eine  beliebige  Kurve  A  T  die  Tangente  in  ihrem  Punkte 
Ay  BC=2y  eine  benachbarte  mit  AT  parallele  Sehne,  AB  =  x 
die  von^  auf  JBC  geföllte  Senkrechte,  E  der  Mittelpunkt  von  JBC, 
^BAE  =  Uy  so  ist 

BB  =  y  +  xtga  =  yy        BC  =  -  y  +  xiga  = —y y 
weil  xiga  unendlich  klein  gegen  y.     Daher  sind  die  Halbmesser 
der  die  ^T  in  ^  berührenden  Kreise,   deren   einer  durch  JB,   der 
andere  durch  C  geht,  bezw. 


=  -«    -  =  r     und    = 


1  BC^ 

2  X 


oder  beide  Kreise  fallen  zusammen,  der  Krümmungshalbmesser  r  ist 
daher  unabhängig  vom  Winkel  a.  • 

Findet  man  nun  bei  der  Vergleichung  zweier  von  einander  ab- 
hängigen Kurven,  von  deren  einer  der  Krümmungshalbmesser  r^  be- 
kannt ist,  die  Beziehung 


so  ist 


X  =  ax 

=  ^  yl 

2    X 


hl  7 

2    ax.  a     ^ 


17      y  = 

1   6«y,« 
1 


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y,  208 — 209.   Die  Belenchtang  der  ümdrehuDgafläche. 


223 


Fig.  100. 


Es  bestehen  daher  die  Verhältnisse, 
wenn        6  =  1     oder    y  =  y^,    r  :  r,  =  1 :  a  =  a?i :  a; , 
wenn        a  =  1     oder    x  =  x^,    r  :  r,  =  6^ :  1  =  t/* :  y^^. 

209.  Die  Projektionen  der  Lichtgleichen  des  Ringes  auf  eine 
zur  Ringaxe  senkrechte  Ebene,  oder  die  Grundrißlichtgleichen,  kön- 
nen als  Konchoiden  der  Lichtgleichen  einer  Kugel  angesehen  wer- 
den, ebenso  wie  es  bei  der  Lichtgleiche  Null  oder  der  Eigenschatten- 
grenze der  Fall  war  (173).  Zur  leichteren  Verzeichnung  einer 
solchen  verallgemeinerten  Konchoide  wollen  wir  einen  Satz  aufsuchen, 
der  Ähnliches  über  ihren  Krümmungshalbmesser  ausspricht,  wie  der 
in  Nr.  174  entwickelte  bekannte  Satz  über  ihre  Subnormale.  Sei  c  Fig.  loo. 
die  Konchoide  oder  eine  ihrer  Grundkur- 
ven, P  ein  Punkt  derselben,  0  der  Pol, 
OP=^u  der  Leitstrahl,  00'  der  positive 
Sinn  des  Leitstrahles,  FK  die  Normale 
der  c  in  Pj  K  ihr  Krümmungsmittelpunkt 
in  P,  Je  der  Krümmungskreis,  PK=>  r  der 
Krümmungshalbmesser,  0'PK=ilf  sein 
Winkel  mit  dem  Leitstrahle,  Q  der  dem  P 
benachbarte  Punkt  der  c,  daher  POQ  =  (p 
ein  unendlich  kleiner  Winkel  (0^)  und 
OQ  =^u'  der  benachbarte  Leitstrahl  der  c. 
Da  OQ  den  Krümmungskreis  Tc  in  einem 
Punkte  schneidet,  dessen  Abstand  von  Q, 
außer  wenn  ^  =  90^  (210),  wenigstens  un- 
endlich klein  von  der  dritten  Ordnung  (0^) 
ist  (1, 237),  bei  der  Bestimmung  des  Krüm- 
mungshalbmessers aber  nur  0*  in  Betracht 
kommt,  so  haben  wir  Q  als  einen  gemein- 
schaftlichen Punkt  von  c  und  Tc  anzusehen.  Um  u  durch  u,  tp,  t^,  r 
auszudrücken,  schneide  man  die  in  P  berührende  Tangente  PS  der  c 
mit  0^  in  5,  so  ist  OQ  =  OS  +  SQ.  Es  ergibt  aber  das  Dreieck  OPiS 


OS=OP  ,- 


sin  (90^  +  ip) 


u 


8in(90**— 1^- 

COBtff  - 


■9) 


coat^ 

cos  (!/>  +  9>) 


cos  if)  cos  q>  —  sin  ijf  sin  tp        cos  tp  —  tg  i^  sin  9  ^ 
oder,  wenn  man 

cos  9)  s«  1  —  ^9*,         sin  9  =  9) 

setzt,  indem  man  die  Reihen  bis  zur  zweiten  Potenz  von  9  beibehält, 


0S  = 


1  —  iy'—ytg'V' 


u{l  +  q>tgt  +  q>Hg^tl;  +  1^q>'), 


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224  V,  209.   Die  Belenchtang  krummer  Fl&chen. 

Um  SQ  auszudrücken^   ziehe  man  QRA.PS,   und    setze  PR 
=  y,  RQ  =  Xy  so  ist  y*  =  2rx, 

Darin  ist  y  =  PS  +  SR]  und  da  aus  dem  Dreiecke  OPS 


PS  =  u 


Bin  <p  U(p 


Bin  (90°  —  ijf  —  9)         COB  -^ 

ist,  indem  in  dem  Ausdrucke  von  PS  =  0^  die  fp  gegen  t  weg- 
fällt, da  sie  mit  dem  tp  des  Zählers  ein  0^  hervorbringen  würde, 
so  folgt 


indem  SiJ  und  SQ  mit  jR^  gleich  0*  sind.    Andererseits  liefert  das 
Dreieck  SRQ 

BQ  =  x^SQ  cos  (^  +  y)  =  SQ  cos  ^ . 

Diese  Werte  von  y^  und  a:  in  y'  ==  2rx  eingeführt,  geben 

^         2r  coB^i/; 
Daher  wird 

OÖ==OS+S<2  =  «  +  «p«tgV'+9*(;+MtgV  +  2-t8>)-     (1) 

Bezeichnet  man  die  Glieder  dieses  Ausdrucks  der  Reihe  nach 
mit  1,  2,  3,  4,  5,  so  kann  man  diese  Formel  aus  Fig.  100  a)  ab- 
lesen. —  Um  nun  die  einzelnen  Ausdrücke  zu  konstruiren,  zieht  man 
die  ONJL  OP,  schneidet  sie  mit  PK  in  N,  so  ist  NP  =  n  die  Normale, 
ON  =»  s  die  Subnormale  von  c  in  P;  zieht  man  dann  die  NVA.  PN 
und  schneidet  sie  mit  OP  in  F,  so  ist  offenbar,  wenn  VO  mit  v 
bezeichnet  wird, 

5  =  M  tg  ^,        VO  =  V  =  utg^  iffA 

^  ^*  ^'        TrT>       I  (^) 

n=    -,  —^~t==  —   :=:z.VP'nA 

COStp'        C08*t/;  U  -^ 

Zieht  man  ferner  0T\\  PN,  NT^  PO,  schneidet  beide  Linien 
in  T,  so  ist  TO  =  NP  =  n ;  macht  man  dann  auf  PK  die  KL 
=  PK=r,  so  daß  PL  =  2r,  zieht  TIFII  VL,  und  schneidet  sie 
mit  OP  in  W,  so  ist  (Gl.  2) 

OW  =  TO  ~  =  %^^  =  -^  ^-^^=w,  (3) 

FL  2r  2r  cos"  \p  ^  ^  ^ 

indem  wir  OW  =^  w  setzen,  und  ferner 


Fir  =  VO  +  0  W=  u  tg«  ^  +  —-3—  =  r  + 


w. 


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y,  209.   Die  Belenchtung  der  ümdrehongsfläcbe. 


225 


Fig.  101. 


Man  erhält  daher  aus  Gl.  (1)  , 

OQ  =  ii  +  q>s  +  q>'  (^  +  V  +  wy 

Gelten  diese  Bezeichnungen  fQr  die  Konchoide  und  gelten  fQr 
die  Grundkurven  der  Reihe  nach  die  Bezeichnungen  m^,  Ug . . .,  s^f 
s^  . , .,  im  allgemeinen  Uij  Si  . .  .^  so  ist 

OQ=OQ,  +  OQ,+  ...  =i:OQi, 

Diese  Ausdrücke   sind  bei  den   bis   zu  Null  abnehmenden  Werten 
von  q>  nur  gleich^   wenn  die 
Glieder  mit  übereinstimmen- 
den Potenzen  für  sich  gleich  ^    , 
sind.     Es  ist  daher  \ 

v  +  w^2:{Vi  +  Wi).  (5)  \ 
Die  erste  dieser  drei 
Gleichungen  bestimmt  die 
Punkte,  die  zweite  die  Tan- 
genten, die  dritte  die  Krüm- 
mungshalbmesser der  Kon- 
choide. Die  zweite  enthält 
wieder  den  Subtangentensatz 
(174),  die  dritte  einen  ent- 
sprechenden Satz  mr  Bestim- 
mung des  Krümmungshalbmes- 
sers der  Konchoide,  welcher 
sagt,  daß  die  Strecke  V  W  (= 
V  -\-  w)  der  Kondmde  gleich 
der  Summe  der  Sirecken  Vi  Wi 
der  Grundkurven  ist.  Dabei 
konstruirt  man  in  der  ange- 
gebenen Weise  das  FiTFi  der 
Grundkurven  aus  iljren  Krüm- 
mungshalbmessern und  dann 
umgekehrt  aus  dem  V  W  der 
Konchoide  deren  Krümmungs- 
halbmesser. 

Wählt  man  in   einem  Beispiele   als   Grundkurven  ewei  Kreise  ij'ig  loi. 
Ci,  Cs,  woraus  mit  dem  Pole  0  die  Konchoide  c  entsteht,  so  ist  für 
einen  Punkt  P  der  c  die  PN  die  Normale,  wenn 

Wiener,  Lehrbaoh  der  darttellenden  Geometrie,   ü.  15 


Pit^Ä- 


'k 


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226  V,  209—210.   Die  Beleuchtung  krummer  Flachen. 

ON^ON^  +  ON^. 

Ferner  werden  V^Wi  und  V^W^  aus  der  angegebenen  Konstruktion 
erhalten.  Bestimmt  man  daher  V  und  T  aus  N^  und  macht  VW 
=  FiTTi  +  FjTTa,  so  schneidet  die  zu  TW  parallele  VL  die  Nor- 
male NP  in  i,  so  daß  PL  ein  Durchmesser  des  Krümmungskreises 
ist  Eine  etwaige  Unsicherheit  des  Schnittes  L  läßt  sich  beseitigen^ 
wenn  man  P  F  um  P  und  0  W  um  0  in  gleichem  Drehungssinne  in 
die  günstigen  parallelen  Lagen  PV  und  OW'  (nicht  gezeichnet) 
dreht,  und  dann  V'L  \\  W'T  zieht  (weil  A  PFi  ~  A  OWT).  Da 
in  der  Figur  der  Krümmungskreis  von  c  in  P  zufallig  ganz  im 
Äußeren,  diejenigen  für  Q*  und  einen  anderen  gleichartigen  Punkt 
ganz  im  Inneren  von  c  liegen,  so  liegen  die  zugehörigen  Krümmungs- 
mittelpunkte nahe  bei  Spitzen  der  Evolute  von  c,  wodurch  diese 
teilweise  verzeichnet  werden  konnte. 

210.     Besondere  Punkte  der  verallgemeinerten  Konchaide. 

1)  Berührt  ein  Leitstrahl  eine  der  Grundkurven  ^  etwa  Cj,  so  be- 
rührt er  auch  die  Konchoide  c,  weil  dann  die  Subnormale  für  die 
erstere,  und  daher  auch  die  für  die  letztere  Kurve  unendlich  wird. 
Es  triflft  dies  für  Öi  und  Q,  Q*  zu. 

Femer  wird,  da  V'i  =  *  =  90°  (vergl.  Fig.  100),  nach  Gl.  (3) 
der  vor.  Nr.  w^  =  Uj^  :  2r^  cos'  V'i  =  oo;  daher  fallen  im  Ausdrucke 
w=^  ZWi  die  w^y  w^  ,,,  weg,  oder  r  hängt  nur  von  r^  ab.  Es  wird 
dann  auch  m*  :  2r  cos'  ^  =  00,  woraus  aber  wegen  cos  V'  =  0? 
r  unbestimmt  bleibt  Die  geometrische  Betrachtung  zeigt  jedoch 
für  Q^  und  Q  (vergl.  die  Fig.  101),  wenn  9)  =  a; :  m,  daß 

y^  =  2rx,      yi^  =  2r^Xi,      y  =  yi,      x  =  g)U,      rCi=9)Ui, 
daher 

2rx  ==  2rj^Xi ,        ru  =  r^u^     oder    r  :  r^  =  Wj :  u\  (6) 

es  verhalten  sich  also  die  Krümmungshalbmesser  umgekehrt  um  die 
Leitstrahlen.  Daher  wird  der  Krümmungsmittelpunkt  K'  für  Q  aus 
demjenigen  K^  für  Qj^  konstruirt,  wenn  man  auf  OQ  die  ÖC  = 
0  öl  aufträgt  und  Q' K^  mit  der  Normale  QK"  der  c  in  K' 
schneidet. 

Berührt  ein  Leitstrahl  mehrere  Grundkurven  c^,  C2  .  .  .,  im 
allgemeinen  o^,  so  ist 

y  =  y2rx=^y2^yrü,      yh  =  V2q>yrHUH,      y  =  SyHy 

Yrü  =  zynüh. 

2)  Fallen  die  Normalen  aller  Orundkurven  in  den  LeitstrcM^  so 
gilt  dies  auch  für  die  Konchoide;    es  werden   alle  ^,   alle  s  und 


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V,  210—211.   Die  Beleuohtang  der  ümdrehnngsfläche.  227 

auch  alle  v  zu  Null.    Aus  den  Gleichungen  (5)  und  (3)  ergibt  sich 
dann^  da  cos^  *:=  1, 


w 


.^n,  'y-2'i- 


3)  Geht  eine  der  Grundkurveny  etwa  c^,  durch  den  Ursprung  0, 
so  liefert  diese  auf  jedem  Leitstrahle  einen  Wert  u^^^O  und  außer- 
dem noch  andere  Werte^  entsprechend  den  anderen  Schnittpunkten 
des  Leitstrahles  mit  c^ .  Die  Eonchoide  zerfallt  daher  in  zwei  Aste, 
wovon  der  erste  die  Konchoide  ist,  welche  jene  Grundkurve  c^  ent- 
behrt, der  zweite  aber  derjenige,  bei  welchem  alle  Werte  von  u^ 
außer  dem  zu  Null  gewordenen  zur  Wirkung  gelangen.  In  dem- 
jenigen Leitstrahle,  welcher  die  c^  in  0  berührt,  schneiden  sich 
beide  Äste  und  bilden  einen  Doppelpunkt  Bei  der  Bestimmung  der 
Tangente  und  des  Krümmungshalbmessers  des  zweiten  Eurvenastes 
in  dem  Doppelpunkte  ist  zu  beachten,  daß  die 
Subnormale  s^  der  c^  in  0  gleich  ihrem  doppelten 

Erümmungshalbmesser  r^  ist  {s^  «=  2ri).    Denn  ist  ^  »   ^  ^^*' 

Pi  der  dem  0  benachbarte  Punkt  der  c^,  ON^  J_ 
OP^,  PiJVi  die  Normale  der  c^  in  P^,  so  ist  ON^ 
=■  s, ;  ist  femer  OK^  die  Normale  der  c^  in  0, 
welche  die  P^N^  die  K^  trifft,  so  ist  OK^  =  P^^K^ 
=  ri;  und  da  ON^  parallel  der  Höhenlinie  üiZ,  des  gleichschenk- 
ligen Dreiecks  OP^K^^  so  ist  Ä^^^  =  P^^^  ==»  r^,  daher  in  der 
Grenze  s^  —  ON^  —  P^N^  =  2r^ . 

211.  Wenden  wir  diese  Ergebnisse  auf  die  Crrundrißlichtgleichen 
des  Binges  F  an.  Für  die  koncentrische  Eugel  E,  deren  größter  Fig.  los. 
Ereis  gleich  einem  Meridiankreise  der  F  (173),  ist  die  Grundriß- 
lichtgleiche eine  Ellipse;  und  es  hat  z.  B.  diejenige  8  die  Punkte 
^1,  Bi  zu  Scheiteln  der  in  l  liegenden  kleinen  und  daher  Mi  C^ 
zur  Linie  ihrer  großen  Axe.  Aus  einer  solchen  Ellipse  erhält  man 
die  entsprechende  Lichtgleiche  des  Ringes  durch  Verschiebung 
eines  jeden  Punktes  in  der  durch  den  Mittelpunkt  M  der  F  gehen- 
den Richtung  um  die  unveränderliche  Länge  m,  dem  Abstände  des 
Meridianmittelpunktes  der  F  von  M.  So  entstehen  aus  A^  und  B^ 
die  vier  Punkte  A,  ^♦,  JB,  JB*,  indem  A^A  —  —  A^A*  —  B^B 
■«  —  B^B^  =  w.  Die  Lichtgleiche  des  Ringes  ist  eine  Eonchoide, 
deren  Grundkurven  c^  und  c^  bezw.  die  Ellipse  ^^O^Pj  und  der  aus 
M  mit  dem  Halbmesser  m  beschriebene  Ereis  Tc  sind.  Man  kann 
daher  die  Tangente  der  Konchoide  in  jedem  ihrer  Punkte  leicht  be- 
stimmen, da  ihre  Subnormale  und  die  der  Ellipse  für  den  entspre- 
chenden Punkt  zusammenfallen,  weil  die  des  Ereises  Null  ist 

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228 


y,  211.   Die  Belenchtang  krammer  Flächen. 


Für  die  ErümmungsJuilbmesser  der  Konchoide  in  ihren  Scheitdn 
A,  Ä*,  By  B*  gilt  nach  Nr,  210,  2): 

Für    die   Ellipse   wird   der  Krümmungshalbmesser    r^  =:  A^K^  = 
Ai  Kl    der  Fig,  d)  bestimmt,  wenn  man  diese  Linie  _L  a  von  A^  bis 


\ 

Fig. 

103. 

1 

a 

i 

-i ■ 

Jf/  auf  r"  zieht;  denn  K^  ist  (ebenso  wie  D)  die  Spitze  eines  über 
8  gelegten  geraden  Ereiskegels,  und  JT/  der  Schnittpunkt  der  mit 
F^  parallelen  Normalen  zweier  benachbarten  Punkte  der  Grundriß- 
lichtgleiche 8  in  Ai]  oder  weil  sich  in  Fig.  a)  A(K^  =  a*:  6  der 
Grundrißellipse  8  ergibt.  Entsprechend  ergibt  sich  für  den  Kreis  Jz 
die  Ug  =  r^  «»  w,  daher 


^  =  ^  +  m, 


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V,  211—212.    Die  Beleachtung  der  Umdrehungsfläche.  229 

wobei  +  oder  —  gilt,  je  nachdem  r^  und  r^  gleiche  oder  ent- 
gegengesetzte Sinne  besitzen.  Demnach  gilt  -{-  für  A*  und  B, 
—  für  Ä  und  J5*  Zieht  man  nun  AJA.  MA  und  =  MA  =  u, 
und  zeichnet  MJ,  so  schneidet  diese  Linie  auf  allen  Senkrechten 
zu  l  das  u  des  Fußpunktes  ab,  so  auch  A^J^^  «=  u^  =  -Sf^n  die 
JiQj^KiJ^  bestimmt  dann  auf  l  die  A^Q  ^^Uj^  ir^.  Dann  sind 
AQ  und  A*Q  bezw.  =  Mj*  :  r^  +  w.  Trägt  man  nun  in  ungeän- 
dertem  Sinne  auf  l  die  AR  =  A*Q  und  die  A^R*  =  AQ  ab  und 
zieht  JKJuRJ,  J*K*  J.R*J*f  so  bestimmen  diese  Linien  auf  Z 
die  Erümmungsmittelpunkte  K  und  Z^*  für  A  und  -4*.     Denn  es 

ist  z.  B.  ^*  -  w  =  ^*^  =  ^^  =  I?  ="  Ä'  ^**^^^  ^ir=  r. 

Liegen  die  Scheitel  in  einem  ümrißJcreise,  so  findet  man  diesen 
als  Erümmungskreis.     Für  B  und  B*  ist  dies  nahezu  der  Fall. 

Eine  aus  M  an  die  Ellipse  A^  C^  B^  gezogene  Tangente  berührt 
diese  in  E^^  (aus  Fig.  a)  durch  D  und  k  nach  Nr.  207  erhalten)  und 
die  Konchoide  in  E  und E"*,  wobei  E^E  ==^  —  E^E"^  ^^^  m .  Bestimmt 
man  Kxxi E^D'  mittelst  der  Linie  M-^C^  der  großen  Axe  nach  1,392,3) 
den  Krümmungshalbmesser  E^L^  der  Ellipse,  verschiebt  ME^  in 
seiner  Linie  nach  ^F  und  nach  i?*  J'*  so  schneiden  ijjF  und  i^i^* 
bezw.  auf  den  Normalen  der  Konchoide  in  E  und  E*  deren  Krüm- 
mungsmittelpunkte L  und  L*  ein  (210,  1)). 

Die  Grenzlichtgleiche  enthält  auch  Scheitel  auf  dem  zu  l  senk- 
rechten Durchmesser  des  größten  und  kleinsten  Parallelkreises,  in 
denen  die  Krümmungshalbmesser  ebenso  wie  in  den  Scheiteln  auf  l 
(aber  auch  in  der  Weise  der  Nr.  184)  bestimmt  werden  können. 

212.  Die  Lichtgleiche  von  der  Helligkeit  der  zur  Umdrehungs- 
axe  a  der  F  senkrechten  Ebene  Pj  (=  0,57)  enthält  als  Bestandteile 
den  höchsten  und  tiefsten  Parallelkreis  k  und  noch  eine  andere  Kurve, 
welche  die  Kreise  k  in  den  Doppelpunkten  G  und  G*  schneidet. 
Die  entsprechende  Lichtgleiche  der  Kugel  K  hat  zum  Grundriß  eine 
durch  M  gehende  Ellipse,  deren  Tangente  in  M  (J_  T)  die  Doppel- 
punkte G,  G*  der  Konchoide  enhält.  Es  ist  dies  der  in  Nr.  210,  3) 
betrachtete  Fall,  in  welchem  eine  Grundkurve  durch  den  Ursprung 
der  Leitstrahlen  geht.  Bestimmt  man  den  Krümmungshalbmesser 
MKq  =  r^  (=  M'Eq  der  Fig.  a))  der  Ellipse  in  M  und  verlängert 
ihn  über  K^  um  sich  selbst  bis  H  {MH  =  2r^f  so  ist  MH  die 
Subnormale  der  Ellipse  in  M  (210,  3)),  und  auch  die  der  Konchoide, 
da  die  Subnormale  der  zweiten  Grundkurve,  des  Kreises  aus  M, 
Null  ist.  Also  sind  GH  und  G*S  die  Normalen  der  Konchoide  in 
G  und  G*. 

Zur  Bestimmung  des  Krümmungshalbmessers  der  Konchoide  in 


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230  V,  212-213.   Die  Belenchtong  krummer  Flächen. 

G  ist  das  allgemeine  Verfahren  unbrauchbar ,  weil  fär  die  Ellipse  v 
unendlich  und  t;  +  «;  unbestimmt  wird.  Eine  ursprüngliche  Be- 
trachtung zeigt  aber^  daß  der  Strahl  MG  der  Eonchoide  die  Lange 
m,  der  benachbarte  die  Länge  m  -\'  2rQfp  besitzt.  Dies  gleich  dem 
Ausdrucke  derselben  Länge  (1)  in  Nr.  209  gesetzt^  gibt 

w  +  9 . 2  ro  =  M  +  9 .  M  tg  ^  +  9)2  ^y  +  u  tg«  ^  +  ^iT^?^)  * 
Daraus  folgt  u^^^my      tg  ^  «=  — ^, 

also  ^  =  <^  MGHy  wie  schon  bemerkt,  und 

^  +  m  tg«^  + -r-^^V- =  0, 

und  hieraus  r  ■= -r-i — r-^ — 

cos  ^   1  +  sm*  -^ 

Da  GH  =  GM :  cos  ^  =  -71»:  cos  ^,  so  ergibt  sich  r  =  GS, 
wenn  man  HP±HG  und  =  HM,  HU  ±  GP  bis  U  auf  GP, 
US±GH  bis  8  B,xii  GH  zieht,  weü  GP«  =  (?IP  +  fi^P«  = 
(?fi«(l+  sinV);  daher  G8=GU{GH:  GP)  =  GH(GH^ :  GP^) 
=  ( —  m  :  cos  V')  :  (1  +  sin*  V')  =  ^• 

Bildet,  wie  bei  unserer  Annahme,  der  Lichtstrahl  gleiche  Win- 
kel mit  Fj  und  P, ,  so  sind  diejenigen  Punkte  der  ümrißkreise  des 
Grundrisses  Punkte  unserer  Lichtgleiche,  in  denen  die  Berührungs- 
ebenen H  P2  sind ;  und  ebenso  deren  zu  l  symmetrische  Punkte. 

Wir  wollen  eine  Lichtgleiche  dann  Typuslichtgleiche*)  nennen, 
wenn  sie  als  Bestandteil  eine  Kurve  enthält,  nach  welcher  die  Fläche 
von  einer  Ebene  berührt  wird.  Li  die  bei  ihren  Doppelpunkten 
gebildeten  Ecken  schmiegen  sich  die  benachbarten  Lichtgleichen 
herein. 

218.  Wir  wollen  noch  eine  andere  Art  der  Bestimmung  des 
Krümmungshalbmessers  der  Typuslichtgleiche  in  ihrem  Doppelpunkte 
Fig.  104.  angeben.  Gelten  die  Bezeichnungen  der  vor.  Nr.,  seien  T  und  U 
bezw.  die  dem  M  und  G  benachbarten,  sich  entsprechenden  Punkte 
der  Ellipse  und  der  Typuslichtgleiche,  so  daß  MG  =  TU'=  m,  und 
sei  auch  auf  MU  die  MV  =  my  sei  MTH  der  aus  K^  gezogene 
Erümmungskreis  der  Ellipse  in  üf,  seien  die  unendlich  kleinen 
Winkel    G  M T  '==-  MHT  =  9,    so    ist    VU  =  MT  =  2ro9), 

Zur  Bestimmung  der  Tangente  ist  die  Berücksichtigung  der  0' 


*)  Burmester  in  s.  Th.  u.  D.  der  Beleuchtung,  1871,  S.  102,  hat  den  Namen 
Typasisophote  für  diese  Eorve  bei  ümdrehongsflächen  eingeführt. 


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y,  218.   Die  Belenchtung  der  XJmdrehungsfläche. 


231 


Fig.  104. 


notwendig.  Es  sind  aber  die  bezw.  bei  V  (in  der  Grenze)  und  M 
rechtwinkligen  Dreiecke  GFUund  GMH  ähnlich,  weil  GViVU^ 
mq> :  2rQfp=  GM:  MH\  und  da  die  Katheten  des  ersten  Dreiecks 
durch  Drehung  um  G  um  90^  mit  den 
entsprechenden  des  zweiten  nach  Rich- 
tung und  Sinn  parallel  gemacht  wer- 
den können  y  so  gilt  dies  auch  von  den 
Hypotenusen  und  es  ist  das  Element 
G  Ü  oder  die  Tangente  G  W  unserer 
Lichtgleiche  1.GH. 

Der    Erümmungshälbmesser    der 
Lichtgleiche  bei  G  ist  (208) 


2    X 


1  GW* 

2  WU  ' 


Es  ist  aber  GW=GU  (=0'^  Unterschied  =  0»  nach  I,  236,  8)), 
und  aus  den  bezeichneten  ähnlichen  Dreiecken  GU'.GV  ^==  GH:  GM, 
oder  wenn  man  HG  =  n  setzt, 

Cr  Tr=  GU'=^  mq>  .n:m^=^nq>. 
Zieht  man  durch  V  eine  Parallele  und  durch  G-  eine  Senkrechte  zu 
MG,  so  bilden  diese  beiden  Linien  mit  der  Geraden  G  W  ein  zu 
HMG  (m,  n,  2r^  ähnliches  Dreieck;  und  da  6?r=  6fF  (0*,  Unter- 
schied =  0')  =  mq> ,  so  ist  die  in  G  TT  liegende  Seite  «==  ny  =  G  TT, 
so  daß  VY  durch  TT  geht,  und  die  dritte  Seite  YW=2r^(p  = 
VU  ist.  FäUt  man  UX±  VW,  so  ist  auch  VX=  VU,  daher 
WX  =  Yr==imf,  XU=VU.ip^2r^q>^',  undheiXX'±WU 
ergibt  sich  aus  der  Ähnlichkeit  der  Dreiecke  XTW,  UX'X,  HMG 


Wü=  WX'  +  Tü=WX 


+  XU^ 


Setzt  man  die  gewonnenen  Werte  von  G  W  und  WU  in  dem  Aus- 


drucke von  r  ein,  so  erhält  man 


r  = 


MH=^2r, 


Macht  man  nun  in  Fig.  103  auf  MG  die  MH^ 
auf  MH  die  MH^  =  HH,,  so  ist  HH^^  -=  2(2r^y  « 
m^  +  8rQ^;  bestimmt  man  dann  die  Punkte  JBg,  H^  auf  GH^,  und 


w. 


GH^^ 


09 


H^,  S  auf  GH  so,  daß  GH^  =  GH,  H^H^  ||  MH,  GH^ 
H^S  II  MH,  so  ist  GS  =  r ;  denn  es  ist  dann 

GH*  n» 


GH 


A) 


n  Q       n  TT    ^^       n  tt  ^^ 


GH, 


»Gif,»        m'  +  9r* 


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232 


y,  214.   Die  BelenchtuDg  krummer  Fl&chen. 


214.    Die  Projektionen  der  LicMgleichen  des  Ringes  auf  die  Lickt- 
meridianebene.    Wir  bestimmen  sie  aus  den  gleichartigen  Projektio- 
nen  der   Liehtgleichen   der   mehrerwähnten   koncentrischen   Kugel, 
Fig.  106.  welche  gerade  Linien  sind.     Aus  den  Meridianpunkten  Ä^,  B^  der 

Fig.  106. 


•Z" 


r 


// 


/ 


y    // 

'      // 
// 
// 


^/K 


ir' 


Lichtgleiche  8^  der  Kugel  ergeben  sich  die  Meridianpunkte  Ä,  B 
der  Lichtgleiche  8  des  Ringes  durch  Senkrechte  zur  Umdrehungs- 
axe  a.  Aus  einem  beliebigen  Punkte  Q  der  8^  erhält  man  den  in 
derselben  Parallelkreisebene  liegenden  Punkt  G  der  8,  indem  man 
diese  Ebene  mit  den  beiden  Parallelkreisen  von  den  Halbmessern 
JSDi,  ED  in  die  Lichtmeridianebene  umlegt^  wobei  die  aus  C^,  G 
entstehenden  Punkte  C/,  C  auf  demselben  Halbmesser  EG^  liegen. 
Weil  dabei  EG :  ED  «=  EGy^ :  ED^ ,  kann  man  die  Konstruktion 
abkürzen,  indem  man  durch  Gi  eine  Gerade,  vorteilhaft  die  8,, 
zieht,  sie  mit  a  in  F  schneidet,  und  mit  D^F  die  Parallele  DG 
bis  G  auf  a  zeichnet;  dann  geht  die  H  FG^  durch  G  gezogene  Ge- 
rade durch  C.  Es  ist  vorteilhaft,  wie  es  in  der  Figur  geschehen, 
zugleich  zwei  Punkte  der  8  zu  bestimmen,  entsprechend  den  beiden 
Schnittpunkten  der  FD^  mit  dem  ümrißkreise  der  Kugel.  Die  mit  8^ 
parallele  Tangente  der  8  erhält  man  durch  die  aus  F  an  den  Um- 
rißkreis gezogene  Tangente,  wie  die  Figur  zeigt  (Punkt  E  der  Fig.  103). 
Die  Tangente  der  Kurve  in  einem  Meridianpunkte,  z.  B.  in  A, 
erhält  man,  wenn  man  aus  dem  Mittelpunkte  H  des  Parallelkreises 
von  A  eine  Parallele  zur  Meridiantangente  in  A  (und  A^)  bis  zu  J 


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y,  214-215.   Die  Beleuchtung  der  ümdrehungBfläche.  233 

auf  8^  zieht;  AJ  ist  dann  die  gesuchte  Tangente.  Denn  die  Linien- 
stücke auf  der  zu  HA^A  benachbarten  parallelen  Geraden  (der  Pro- 
jektion des  benachbarten  Parallelkreises),  welche  zwischen  der  Sj 
und  der  Tangente  des  Meridianes  in  A^  und  zwischen  der  Tangente 
von  8  und  der  des  Meridianes  in  A  enthalten  sind,  verhalten  sich 
wie  HAi :  HA^  weil,  wenn  ED^D  dieser  benachbarte  Parallelkreis 
wäre,  sie  sich  wie  D^C^:  DC  =  ED^ :  ED  verhalten  würden.  Zwi- 
schen den  Linien  JH,  JA^  und  zwischen  JH,  JA  liegen  aber 
Stücke  einer  Senkrechten  zu  a,  welche  HA^  und  HA  selbst  sind; 
und  da  JH  parallel  zu  den  Meridiantangenten,  JA^  die  8^  ist,  so 
muß  JA  parallel  zur  Tangente  an  8  in  ^,  oder  viemehr  diese 
selbst  sein. 

Aus  dieser  Tangente  erhält  man  dann  leicht  den  Krümmungs- 
halbmesser der  Grundrißlichtgleiche  in  ihrem  Scheitel  A  nach  dem  Ver- 
fahren der  Nr.  57,  indem  man  AJ  mit  a  in  i  schneidet  und  LKA_a 
bis  zu  K  auf  der  Meridiantangente  AK  zieht;  LK  ist  dann  der 
gesuchte  Krümmungshalbmesser. 

215.  Die  Lichtgleichen  der  Umdrehungsflächen  zweiten  Grades 
werden  im  allgemeinen  am  zweckmäßigsten  nach  dem  allgemeinen 
Verfahren  für  Umdrehungsflächen  konstruirt.  Wir  werden  später 
auch  die  den  Flächen  zweiten  Grades  eigentümlichen  Eigenschaften 
der  Lichtgleichen  kennen  lernen.  Nur  bei  dem  Umdrehungspara- 
boloide  ist  die  Auf losung  einfacher,  als  bei  anderen  Flächen  zweiten 
Grades,  abgesehen  von  der  Kugel  und  dem  Kegel. 

Aufg.  Die  Lichtgleichen  eines  TJmdrehungsparaböloides  eu  bestimmen. 

Aufl.  Sei  A  der  Scheitel  der  Fläche,  a  ihre  senkrecht  zu  Pj  pig.  io6. 
gestellte  Umdrehungsaxe,  F  ihr  Brennpunkt,  sei  auf  a  die  AD  =^ 
FA  aufgetragen,  so  ist  die  durch  D  JLa  gelegt«  Ebene,  deren 
zweite  Projektion  d"  ist,  die  Leitebene  der  Fläche,  welche  die  Leit- 
linien der  Meridianparabeln  enthält;  endlich  sei  der  Kreis  JB'C  die 
erste  Spur  der  Fläche.  Projicirt  man  einen  beliebigen  Punkt  S  (nicht 
gezeichnet)  der  Fläche  auf  die  Leitebene  nach  S\  so  ist  S'F  par- 
allel mit  der  Flächennormale  in  S  (I,  220),  daher  müssen  für  alle 
Punkte  S  einer  Lichtgleiche  die  S'F  gleiche  Winkel  mit  dem  Licht- 
strahle bilden,  und  daher  isi  die  Projektion  einer  Lichtgleiche  des  Um- 
drehungsparaboloides  auf  seine  Leitd)ene  der  Schnitt  dieser  Ebene  mit 
dem  der  Helligkeit  der  Lichtgleiche  zugehörigen  Normälkegelj  dessen 
Spitze  im  Brennpunkte  der  Fläche  liegt.  Die  Grundrißlichtgleichen  sind 
daher  ein  Büschel  von  Kegelschnitten  j  nämlich  die  ersten  Projektionen 
des  Schnittes  der  Leitebene  mit  dem  aus  F  als  Mittelpunkt  geleg- 
ten Büschel  der  Normalkegel. 

Zur  Konstruktion  lege  man  die  Lichtmeridianebene  in  eine  zu 


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234 


V,  215.   Die  Beleachtung  krummer  Fl&ohen. 


Pi  paralle  Ebene  um;  dabei  gelangt  a  nach  a"  oder  Ä'F'"{±V), 
F  nach  r"  {A'r"  beliebig  groß),  D  nach  D"'  {F^'B"' =  r'B'y 

Fig.  106. 
?^fl  _-;{>'- --Äl 


/la' 


d  nach  d'"  (J_  a"  durch  D"')?  '^^  wenn  der  durch  F  gelegte  Licht- 
strahl l   die   Leitebene  in  P  trifft,    gelangt  P  nach  P'",    2  nach 


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V,  216—216.    Die  Beleuchtang  der  ümdrehungsfläche.  235 

r^F^'P"',  wobei  ^d"'l"'^L  V"  ist  dann  in  der  ümlegung 
die  Axe  des  Normalkegelbüscbels,  dessen  Schnitt  mit  der  Licht- 
meridianebene der  Normalbüschel  ist.  Die  Schnittpunkte  seiner 
Strahlen  mit  d'"  bestimmen  dann  die  Scheitel  der  Haxi^taxen  der 
Grundrißlichtgleichen.  Die  Normalkegel  1.  und  0  sind  bezw.  die 
Gerade  l  und  die  darauf  senkrechte  Ebene,  ihre  Schnitte  mit  der 
Leitebene  bezw.  der  Punkt  P  und  eine  Gerade  (J_  Q,  aus  denen  der 
Punkt  1.  imd  die  Grenzlichtgleiche  0  sich  ergeben;  letztere  isi;  im 
Grundriß  eine  Gerade  p  J_  l\  und  im  Räume  eine  zur  Meridian- 
parabel kongruente  Parabel  mit  dem  Scheitel  Q.  G  und  B.  sind  die 
Scheitel  der  hier  zugefügten  Lichtgleiche  9. 

Die  Nebenaxe  einer  Grundrißlichtgleiche,  z.  B.  der  G'H',  liegt 
in  der  durch  den  Mittelpunkt  J  von  GH  senkrecht  zur  Licht- 
meridianebene geführten  Geraden  und  kann  durch  deren  Schnitt- 
punkte mit  dem  Paraboloide  oder  in  der  Projektion  auf  die  Leit- 
ebene durch  die  Schnittpunkte  mit  dem  Normalkegel  begrenzt  wer- 
den; einer  der  Grenzpunkte  ist  K. 

Je  nachdem  diese  Schnittpunkte  reell  oder  imaginär  sind,  ist 
auch  die  Nebenaxe  reell  oder  imaginär  und  der  Kegelschnitt  eine 
Ellipse  oder  Hyperbel;  im  letzteren  Falle  wird  die  ideelle  Neben- 
axe verzeichnet.  Wir  werden  sogleich  ein  forderlicheres  Verfahren 
zu  ihrer  Bestimmung  angeben. 

216.  Da  die  Grundrißlichtgleichen  perspektiv  dem  Schnitte 
des  Normalkegelbüschels  mit  einer  zu  seiner  Axe  senkrechten  Ebene 
sind,  da  ferner  dieser  Schnitt  aus  einem  Büschel  koncentrischer 
Kreise  besteht,  und  da  endlich  ihrem  Mittelpunkte  der  Punkt  P' 
und  ihrer  unendlich .  fernen  Geraden  die  Gerade  p'  entspricht,  so 
folgt  ßr  das  KegeUchniUhüschel  der  Gmndrißlichtgleichen:  1)  P'  und 
p'  sind  Pol  und  Polare  für  jede  derselben;  2)  je  zwei  derselben 
sind  perspektiv  und  haben  P'  zum  Mittelpunkte  und  p'  zur  Axe 
der  KoUineation.  Durch  diese  Eigenschaft  ist  es  möglich,  aus  einer 
der  Kurven,  und  aus  einem  Punkte  jeder  anderen,  etwa  einem 
Scheitel  auf  Ä'P\  diese  zu  konstruiren,  was  aber  nicht  ausgeführt 
wurde;  3)  die  Grundpunkte  des  Kegelschnittbüschels  sind  die  imagi- 
nären Doppelpunkte  der  gemeinsamen  Involution  auf  p'  mit  den 
imaginären  Tangenten  in  diesen  Punkten,  welche  durch  P'  gehen; 
4)  die  Scheitel  K  der  Nebencixen  der  KegdschniUe  liegen  auf  einer 
Parabel y  deren  Scheitel  P',  deren  Axe  r=-4.'P'  ist,  und  von  wel- 
cher man  einen  Punkt  N'  erhält,  wenn  man  auf  V  die  P'L'  «^  Q'P' 
aufträgt  und  L'lf  ±1'  und  =  F'^'Q'"  zeichnet.  Denn  jene  Scheitel 
der  Grundrißlichtgleichen  sind  ihre  Berührungspunkte  mit  Tan- 
genten, die  aus  dem  unendlich  fernen  Punkte  U'  der  V  gezogen 


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236  V,  216.    Die  Belencbtang  krummer  Flächen. 

Fig.  106.  werden;  sie  entsprechen  daher  in  dem  Kreisbüschel  den  Berührungs- 
punkten der  koncentrischen  Kreise  mit  Tangenten  aus  dem  Punkte 
Uly  welcher  dem  Punkte  TJ'  entspricht.  Denkt  man  sich  die  kon- 
centrischen Kreise  in  einer  Ebene,  welche  die  l  in  dem  Punkte  E 
(dem  Mittelpunkte  der  Kreise)  schneidet,  derart,  daß  P''E'"^F'"  P"\ 
so  ist  die  Gerade  E"'L'"  (J_  V")  die  dritte  Projektion  der  Kreise, 
und  V^  ist  derjenige  Punkt  der  E'"V'\  für  welchen  JF"'  TJ^  \  d"\ 
Alle  jene  Berührungspunkte  der  koncentrischen  Kreise  liegen  aber 
auf  dem  Kreise,  welcher  ETJ^  zum  Durchmesser  hat  und  dessen 
Ebene  _L  l  steht,  dessen  Mittelpunkt  (i',  i"')  ist,  weil  P'^'V" 
=-(2'"P'",  und  dessen  Halbmesser  =  r"JE'"«  i'"  fT,  =  2^"^'" 
ist.  Die  Projektion  dieses  Kreises  aus  F  auf  die  Leitebene  enthält 
dann  die  Scheitel  der  Nebenaxen  der  Grundriß  lichtgleichen;  sie  ist 
aber  die  vorhin  angegebene  Parabel,  weil  E  und  TJ^  sich  in  P' 
und  V  projiciren,  weil  P'Z'=  ö  ■?'=  P'"i'"  gemacht  wurde,  und 
daher  K  (für  V N*  ^=  F"' Q"')  einen  Schnittpunkt  jenes  Kreises 
mit  der  Leitebene  bildet.  Da  femer  die  ideellen  Punkte  dieser  Pa- 
.  rabel  die  mit  der  reellen  Kurve  in  Bezug  auf  die  Axe  V  konjugirte, 
also  mit  ihr  in  Bezug  auf  den  Scheitel  P'  symmetrische  Parabel 
bilden  (s.  I,  402),  so  ist  diese  ideelle  Parabel  durch  Q'K  1.V 
und  =  F"' Q'"  bestimmt.  Bei  unserer  Annahme  von  l  (^^xV 
=  -^  a?r'  =  45®)  ist  B'  auch  ein  Schnittpunkt  des  aus  A'  durch 
F  gezogenen  Kreises  mit  p\  weil  A' Q'^  +  Q'B'^^A'F^  oder 
2)-g-'2  ^  2^-^-2  _  j)'-]^-\  Denn  es  ist  tg«  A  =  tg^  j)rr^p-'jp'- 
=  i;  daher  D'"P'"2  _  2D'"P'"^  =  4:D'"  Q"'\  P'"^'"« 
=  32)"'^"'*,  woraus  die  Behauptung  folgt.  —  Ist  der  Mittelpunkt 
einer  Grundrißlichtgleiche  nicht  erreichbar,  so  konstruirt  man  sie 
als  Schnittkurve  des  Normalkegels  mit  der  Leitebene. 

Die  Aufrisse  der  Lichtgleichen  erhält  man  durch  Übertragen 
der  Punkte  von  Parallelkreisen  (Ä).  Die  Tangente  einer  Licht- 
gleiche (z.  B.  der  9)  in  ihrem  Punkte  V  liegt  in  der  Berührungsebene 
der  Fläche  F  in  F  und  hat  zum  Grundrisse  die  Tangente  der 
Grundrißlichtgleiche,  eines  Kegelschnittes.  F  wird  entlang  des  durch 
V  gehenden  Parallelkreises  von  einem  Kegel  berührt;  projicirt  man 
auf  diesen  Kegel  durch  Parallele  zu  a  einen  anderen  Parallelkreis  Tc 
in  den  Kreis  g,  so  wird  dessen  Ebene  von  der  Berührungsebene  der 
F  in  F  in  einer  Geraden  getroflfen,  deren  Grundriß  eine  A-.  A'V* 
gezogene  Tangente  an  Ä'  ist.  Wird  diese  von  der  Tangente  der 
Grundrißlichtgleiche  (9)  in  T  getroflfen,  so  ist  V"  T'  die  gesuchte 
Tangente,  wenn  man  T  nach  T'  auf  3"  projicirt  hat 

Die  SchlagschaUen  auf  P^  und  Pg  sind  Parabeln.  Der  Scheitel 
der  letzteren  ist  der  Schatten   des  Schnittpunktes  der  Grenzlicht- 


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V,  216—218.    Die  Beleuchtoog  der  ümdrehiiDgsfläche.  237 

gleiche  0  mit  der  auf  Pg  senkrechten  Meridianebene,   weil  die  Be- 
rühmngsebene  der  F  in  diesem  Punkte  0  x  ist 

217.  Aufg,  Von  einer  TJmdrehungsflächej  deren  Axe  a  auf  der 
Grundrißebene  senicrecht  steht^  sind  gegeben  der  Grundriß  M'  der  Axe, 
derjenige  k  der  Grenzlichtgleiche  (Eigensdiattengrenze) ,  ferner  der  Licht- 
strahl l  (l\  gehend  durch  M\  und  V),  man  soll  die  Grundrisse  der 
anderen  Lichtgleichen  und  den  Aufriß  der  Fläche  und  der  Licht- 
gleichen  bestimmen'*). 

Aufl.  Da  der  Grundriß  der  Grenzlichtgleiche  die  V  zur  Sym-  Fig.  107. 
metrieaxe  haben  muß;  so  ist  es  notwendig,  wenn  dies  für  die  ge- 
gebene Grenzlinie  h  nicht  stattfindet,  dieselbe  durch  eine  in  Bezug 
auf  V  symmetrische  Linie  \  zur  vollständigen  Schattengrenze  zu 
ergänzen.  In  dem  Beispiele  seien  Ic  und  \  zwei  in  Bezug  auf  V 
symmetrische  Kreise,  deren  Mittelpunkte,  wie  Q  von  Ä,  auf  der 
durch  M  senkrecht  zu  V  geführten  Geraden  y  liegen.  —  Die  Fläche 
reicht  im  allgemeinen  nur  so  weit,  wie  die  von  der  Grenzlicht- 
gleiche geschnittenen  Parallelkreise.  Ist  die  Grenzlichtgleiche  nicht 
durch  eine  regellos  gezeichnete  Linie,  sondern  durch  eine  Kurve 
von  bekanntem  Entstehungsgesetze  gegeben,  so  kann  man,  wenn 
sie  nicht  alle  Parallelkreise  schneidet,  die  Meridianlinie  durch  Um- 
formung ihres  Entstehungsgesetzes,  z.  B.  durch  Bestimmung  ihrer 
Gleichung,  vervollständigen. 

Die  Auflosung  unserer  Aufgabe  stützt  sich  nun  auf  den  Ge- 
danken, daß  in  jedem  Punkte  C^  der  h  die  Stellung  der  Berührungs- 
ebene der  Fläche  gegeben  ist,  indem  diese  Ebene  die  Tangente  des 
durch  (7|  gehenden  Parallelkreises  in  C^  und  einen  Lichtstrahl  ent- 
halten muß.  Dadurch  ist  aber  der  entlang  des  Parallelkreises  be- 
rührende Kegel,  und  durch  diesen  sind  die  Lichtgleichenpunkte  auf 
diesem  Parallelkreise  und  die  Gestalt  der  Fläche  bestimmt. 

218.  Suchen  wir  demgemäß  für  einen  beliebigen  Parallelkreis  c 
die  Richtung  der  Tangente  des  Hauptmeridians  in  dessen  Schnitt- 
punkte C  mit  c,  und  die  Lichtgleichenpunkte  auf  c.  Der  Kreis  c 
schneidet  den  Tc  in  zwei  Punkten,  C^  und  C^*,  und  der  ümdrehungs- 
kegel,  welcher  die  Fläche  entlang  c  berührt,  hat  daher  die  Erzeu- 
gende 3f'Ci  oder  3f' Cj*  zu  einer  Eigenschattengrenze.  Verschieben 
wir  zunächst  den  ersteren  dieser  Kegel  in  der  Richliung  der  Axe  a, 
bis  er  einen  für  alle  derartige  Kegel  übereinstimmenden  Parallel- 
kreis in  sich  aufnimmt,  etwa  den  größten  b  der  Fläche,  welcher  M 
(auf  a)  zum  Mittelpunkte  und  MB  («=  MB^  zu  einem  mit  Fg  paral- 


*)  Diese  Aufgabe  wnrde  analytisch  gelöst  von  Herrn  Burmester  in  seiner 
Theorie  u.  Darst  der  Beleuchtung,  S.  191—196. 


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238  V,  218.    Die  Beleuchtung  krummer  Flächen. 

Fig.  107. 


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V,  218.    Die  BeleachtiiDg  der  ümdrehongsfläcbe.  239 

lelen  Halbmesser  hat^  so  bleibt  der  Grundriß  des  Kegels  angeän- 
dert. Schneidet  man  MG^  mit  V  in  C^  und  dreht  die  Fläche  samt 
l  um  a^  bis  der  Lichtmeridian  in  den  Hauptmeridian  gelangt,  so 
kommt  Cg  im  Aufriß  nach  Cj  auf  6",  wenn  JT'Cj  =  Abstand  (C^,  y) 
ist  (wobei  y  durch  M'  J_  V  gezogen  wurde),  und  der  Lichtstrahl 
nach  r"  (durch  B"  geführt),  welche  Linie  die  erste  Grundneigung  A 
zeigt  Zieht  man  dann  QjC^  J_r"  bis  C^  auf  a\  so  ist  JS^C^  eine 
Normale  jenes  die  Fläche  nach  c  berührenden  Kegels  (Nr.  202, 
Fig.  95).  Den  Stärkemaßstab  für  den  Kreis  c  des  Kegels  zeichnet 
man  auf  einer  Parallelen  c^  zu  T,  indem  man  auf  c^  den  Punkt  G^ 
nach  0,  einen  Punkt  c'V  nach  V^  projicirt,  und  die  Helligkeit  dieses 
Punktes  c'V  nach  Nr.  204  mit  Hilfe  des  Normalbüschels  ermittelt, 
das  man  mit  V"  als  Axe  und  B"  als  Mittelpunkt  zeichnet.  Schnei- 
det man  nämlich  die  Normale  J^'^C^  des  Kegels  mit  dem  Kreise 
des  Büschels  in  dem  jenem  Punkte  cV  entsprechenden  Punkte  und 
projicirt  den  Schnittpunkt  auf  V"  nach  F,  so  gibt  dieser  Punkt  auf 
dem  Stärkemaßstabe  B"\.  die  Helligkeit  von  cV  an.  Trägt  man 
dann  auf  q  die  Strecke  0  1.  so  auf,  daß  0  L  :  0  F^  —  J3"l. :  B"F, 
und  teilt  Ol.  in  fünf  (oder  zehn)  gleiche  Teile,  so  ist  der  Stärke- 
maßstab für  c  gebildet. 

Für  C^  erhalten  G^  und  C^  die  entgegengesetzten  Lagen  gegen 
jM!\  wodurch  G^  bestimmt  ist.  Indem  M'G^  den  Kreis  h  noch  in 
einem  zweiten  Punkte  G^  schneidet,  durch  welchen  der  Parallel- 
kreis g  der  Fläche  geht,  gelten  für  c  und  g  dieselben  Punkte  C^, 
6*5,  G^j  so  daß  J5"C4  auch  eine  Normale  des  die  P  nach  g  berüh- 
renden Kegels  ist  Die  Lichtgleichenpunkte  von  g  liegen  daher  mit 
den  entsprechenden  von  c  im  Grundriß  auf  denselben  Strahlen  aus 
M\  Auf  gleiche  Weise  sind  auf  verschiedenen  Parallelkreisen,  ins- 
besondere dem  größten  h  und  dem  kleinsten  h  die  Lichtgleichen- 
punkte bestimmt 

Läßt  man  die  Sehne  M'C^  des  h  zu  einq^  Tangente  mit  dem 
Berührungspunkte  E^  werden,  so  erhalten  E^  von  y  und  jEJj,  JS4  von 
M!'  größte  Abstände,  die  Normale  B*'E^  daher  eine  größte  und  die 
zugehörige  Tangente  des  Meridianes  eine  kleinste  Neigung  gegen  F^. 
Die  Meridiane  besitzen  daher  in  den  Punkten  E  des  durch  E^  gehen- 
den Parallelkreises  e   Wendepunkte. 

Um  im  Grundriß  auf  dem  Licktmeridiane  V  die  Punkte  der 
verzeichneten  Lichtgleichen  zu  erhalten,  geht  man  den  umgekehrten 
Weg.  Man  zieht  im  Normalbüschel  z.  B.  für  die  Lichtgleiche  4  den 
Strahl  B"4  bis  4'  auf  a",  zeichnet  4'4"  XT"  bis  4"  auf  6",  be- 
stimmt  auf  h'  den  Punkt  4'",  dessen  Abstand  von  y  =  Jf"4",  zieht 
3r4'",  schneidet  sie  mit  A;  in  4^^  und  4^,    so   treflFen   die   durch 


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240  V,  218—219.    Die  Beleuchtung  krummer  Flachen. 

Fig.  107.  diese  Punkte  gezogenen  Parallelkreise  die  V  in  den  vier  Punkten 
der  Lichtgleichen  4  und  — 4. 

Auf  diese  Weise  sind  auch  die  hellsten  Punkte  1.  bestimmt; 
dieselben  liegen  auf  den  Parallelkreisen  von  Dj  und  JFj,  wenn  Z)^ 
=  V'a'  isi  Auf  umgekehrtem  Wege  sind  die  Helligkeiten  in  den 
Wendepunkten  des  Lichtmeridianes  =  0,994  und  0,25  ermittelt. 

Die  Wendepunkte  des  Lichtmeridianes  sind  Punkte  kleinster 
Helligkeit  auf  ihrem  Meridiane  und  Punkte  größter  Helligkeit  auf 
ihren  Parallelkreisen;  sie  bilden  Doppdpwnkte  auf  deti  Lichtgleichen 
ihrer  Helligkeit  (994  und  25),  weil  die  durch  sie  gehenden  Licht- 
gleichen in  jeden  der  vier  von  Meridian  und  Parallelkreis  gebil- 
deten Quadranten  hineingehen  müssen;  dieselben  sind  verzeichnet 
mittelst  ihrer  Punkte  auf  dem  Lichtmeridiane  und  auf  den  Parallel- 
kreisen der  Punkte  1. 

219.  Verzeichnung  des  Hauptmeridianes.  Der  zu  jedem  Punkte 
C  seines  Grundrisses  gehörige  Punkt  C"  (und  0*")  liegt  auf  der 
durch  C  II  a"  gezogenen  Geraden,  wird  aber  auf  derselben  nicht 
durch  eine  zweite  durch  0"  gehende  Linie,  sondern  durch  die  Rich- 
tung der  Meridian tangente  in  C"  {J^B"C^  bestimmt.  Da  man  die 
unendlich  kleinen  Elemente,  welche  die  Kurve  unmittelbar  zusam- 
mensetzen, nicht  zeichnen  kann,  so  muß  man,  um  an  einen  gege- 
benen Punkt  J5"  einen  anderen  C"  in  endlichem,  aber  nicht  großem 
Abstände  anzureihen,  im  allgemeinen  die  Richtung  der  Sehne  JB"C" 
annäherungsweise  bestimmen.  Denkt  man  sich  durch  B"  die  Tan- 
gente in  J3",  die  Sehne  jB"C"  und  eine  Parallele  zur  Tangente  in 
C"  gezogen,  so  wird,  wenn  man  sich  die  unbekannte  Kurve  durch 
einen  Kreisbogen  ersetzt  vorstellt,  die  Sehne  den  Winkel  der  beiden 
Tangentenlinien  halbiren;  wenn  aber  durch  eine  Parabel  von  ange- 
nommener Axenrichtung,  so  wird  die  Sehne  die  Strecke  halbiren, 
welche  die  beiden  Tangentenlinien  auf  irgend  einer  mit  der  Axe 
parallelen  Geraden  abschneiden  (I,  361),  oder,  wenn  man  Senkrechte 
zu  der  Sehne  und  den  Tangentenlinien  durch  J5"  gezogen  denkt, 
wird  die  erstere  die  Strecke  halbiren,  welche  die  letzteren  auf 
irgend  einer  Senkrechten  zur  Axenrichtung  abschneiden.  Die  Parabel- 
annahme ist  als  zweckmäßiger  für  die  Genauigkeit  vorzuziehen, 
wenn  der  Sinn  der  Abnahme  der  Krümmung  auf  dem  Bogen  be- 
kannt ist  und  dementsprechend  die  Richtung  der  Axe  schätzungs- 
weise gewählt  werden  kann.  Da  nun  B"M"  eine  Symmetrielinie 
der  Meridiankurve  sein  und  die  Krümmung  von  JB"  gegen  den 
Wendepunkt  E"  hin  abnehmen  muß,  so  ist  es  angemessen,  B"M" 
als  Parabelaxe  anzunehmen;  a"  ist  eine  Senkrechte  zu  ihr,  auf  wel- 
cher die  aus  B"  senkrecht  zu  den  Tangentenlinien  gezogenen  Ge- 


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V,  219—820.    Die  Beleuchtung  der  ümdrehungsfläche.  241 

raden  (die  NormaleDlinien)  die  Strecke  M"C^  abschneiden;  daher 
ist  B''J  die  Senkrechte  zur  Sehne  J?"C",  wenn  J  die  Mitte  von 
M"C^y  und  hierdurch  ist  C"  auf  C'C"  bestimmt 

Wenige  passend  auf  h  gewählte  Punkte,  die  paarweise  auf  Strah- 
len aus  M'  liegen,  genügen  zur  Verzeichnung  des  Hauptmeridians. 
Es  sind  dies  die  Punkte  B^,  H^  des  größten  und  kleinsten  Parallel- 
kreises,  der  Berührungspunkt  jEJ^  der  Tangente  aus  M\  die  Punkte 
D^y  JF\  der  Parallelkreise  mit  den  Punkten  1.,  und  ein  Paar  allge- 
meiner Punkte  C^y  &,.  Aus  ihnen  erhält  man  auf  a"  die  Punkte 
M"j  C^,  D^y  E^\  und  sind  J,  N^  P  bezw.  die  Mitten  von  M"C^, 
C^D^,  B^E^y  so  sind  die  Sehnen  B'T  und  H"G"JLB'J',  CD" 
und  0"r'±B''N',  D"E"  und  F"^"J.  JB"P";  und  dadurch  ist 
der  Meridian  bestimmt. 

220.  Man  kann  aber  in  unserem  Falle  den  Hauptmeridian  auch 
leicht  durch  die  Koordinaten  seiner  Punkte  verzeichnen,  wobei  wir  M" 
als  Ursprung/  M'B"  als  a;Axe,  a"  als  ^e^Axe  annehmen  wollen. 
Setzt  man  (Fig.  107,  a))  M'B^  =  a,  MH^  —  6,  KQ  =  m  —  ^  (a  +  6), 
QB^  —  r,  M'C,  —  c,  ^  J5i  QC,  -  y,  ^  QC,M'  —  V',  die  Koor- 
dinaten  von  C  gleich  x  und  z,  den  zugehörigen  Bogen  B^  C^  «=  5,  so 
sind,  wenn  (/"D'' und  CiD^  zusammengehörige  Elemente  des  Meridians 
und  des  h  bilden,  die  Zunahmen  von  x,  z,  s  bezw.  da;  ■=»  —  SC", 
dz  =  SD",  ds  =,Ci  Dl-  Da  (das  Element)  CD" J_  B"C^,  so  sind 
SC'D"  und  M'C^B"  ähnliche  Dreiecke,   woraus  folgt  SD":  SC' 

=  M"B"  :  JJf'C^.  Es  ist  aber  SD"—  d^;  SC"—  —  dx UD^ 

— »  —  Cj  Dj  sin  V"=  —  ^5  sin  9? .  m  :  c,  letzteres  aus  dem  Dreiecke 
C^QM-,   M"B"=  a;   Jf"(7,  =  M" C^  :  tg  A  =  -  C^  C,  :  tg  A  = 

—  r  sin  9>  (a  :  c)  :  tg  A ;  daher  durch  Einsetzen  dieser  Werte  in  obige 
Proportion 

und  durch  Addition  der  dz  und  der  ds,  da  m,  r,  A  unveränderlich, 

m  tgX 

r 

Man  bestimmt  daher  auf  a"  die  Punkte  der  c",  d" . . .  oder  der 
c*"  . . .,  indem  man  auf  M"B"  die  Punkte  C5,  Dß, . . .  H^,  Q^,  JBß 
derart  aufträgt,  daß  M"C^  =  Bogen  B^  C^,  M"D^  =  Bog.  JB^Di, 
.  .  .  M"H,  =  Bog.  B,H,,  M"  ^5  =  M'Q  =  m,  Jlf"2^  -  ^JB,  =  r 
sind,  und  Q^Q^  1  T"  bis  Q4  auf  a"  zieht;  dann  schneiden  die  durch 
Cg,  D5  .  .  .  ITg  gezogenen  Parallelen  zu  1?5^4  die  a"  in  den  ge- 
suchten Punkten  C^  .  .  .  Hq.     Denn  es  ist  Jlf"^^  =  fn  tg  A,  ilfCe 

—  JIT'Cj  •  3f"  ^4 :  3f "1^5  =  s  •  m  tg  A  :  r  —  ;8f.  Die  xf  sind  auch  gleich 
den  Projektionen  der  zugehörigen  Bogen   von  h  auf  einen  koncen- 

Wi«ner,  L«hrbaoh  der  dant«11«nden  Geometrie.  IL  IG 

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^ 


242  V,  220.    Die  Beleuchtang  krummer  Flächen. 

trisch  zu  k  mit  dem  Halbmesser  m  ig  X  ^^  M"  Q^  gezogenen  Kreis, 
aus  Q  als  Projektionsmittelpunkt;  und  die  ganze  Hohe  des  Aufrisses 
=  2  M" Hq  ist  gleich  dem  Umfange  dieses  Kreises  *=  2  «  •  M"Q^. 
Der  Meridian  wiederholt  in  der  Richtung  von  a  unendlich  oft  die 
Form  der  gezeichneten  doppelten  Welle. 

Der  Krümmungshalbmesser  r^  des  Meridianes  im  Punkte  B"  ist 

bestimmt  durch  (208) 

ds^ 

*"!  ~  2dx' 

Nun  ist  9>  =  0,  ds  =^  Bj^C^j  und  da  hierfiir  dx  durch  die  obige 
Formel  wegen  sin  9>  «==  0  nicht  angegeben  wird,  ermittelt  man 
dx  <=»  Cg  Ci  (Fig.  a)  als  Unterschied  der  Abstände  der  Punkte  C, 
und  Ci  von  der  Tangente  des  h  in  B^y  und  erhält 

j  n  n         ds*       ds*        ds*  a  —  r        ds'.m 

"^         2r         2  a  2       ar  2ar 

Dies  verbunden  mit  den  Ausdrücken  von  d0  und  r^  Jiefert 

am  ,   o  - 

Den  Krümmungshalbmesser  r,  in  ^"  erhält  man^  wenn  man  a  durch 
b  und,  wegen  entgegengesetzter  Lage  von  h  gegen  den  Kreis  von 
Hy  r  durch  —  r  ersetzt, 

r,  = ^-  tg*  A  =  —  ~  ri . 

Da  nun  M"Q^  =  m,  M"B^  =  r,  so  ist,  wenn  man  auf  a"  die 
Jf'D/  =  Jf"  D3  =  3f"D^  .  tg  A  =  a  tg«  A  aufträgt,  auf  a"  die 
M''Kj^^=r^,  wenn  ^5^/  1  B^D^  gezogen  wird.  Daher  ist  K^  der 
Krümmungsmittelpunkt  für  J3"  {B'^K^  =  M"K^).  Der  Krümmungs- 
halbmesser H^'K^  =  r,  =  —  Ii"K^  wird  gefunden,  weon  man 
Äi-Kg'  durch  den  Schnittpunkt  von  B^H^"  mit  a"  zieht. 

Die  Aufrisse  der  Lichtgleichen  werden  durch  Übertragen  der 
Punkte  der  Parallelkreise  aus  dem  Grundrisse  erhalten.  Ihre  Tan- 
genten in  den  Punkten  des  Parallelkreises  e"  laufen  nach  der  Spitze 
Eq  des  der  P  nach  e  umschriebenen  Kegels  {E"Eq  J_  B"E^),  weil 
die  entsprechenden  Tangenten  im  Grundriß  nach  JT  laufen. 


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VI.  Abschnitt. 

Der  Durchschnitt  krnmmer  Flächen  mit  krummen  Flächen 
und  krummen  Linien. 

I.  Allgemeines. 

221.  Das  allgemeine  Verfahren  zur  Bestimmung  der  Schnittlinie 
zweier  Jcrummen  Flächen  stützt  sich  auf  die  früher  ausgeführte  Kon- 
struktion der  Schnittlinie  einer  krummen  Fläche  mit  einer  Ebene 
und  besteht  darin,  daß  man  zweckmäßig  gewählte  Hilfsebenen  legt, 
jede  derselben  mit  jeder  der  beiden  Flächen  schneidet,  die  Schnitt- 
punkte zweier  solchen  in  derselben  Hilfsebene  liegenden  Schnitt- 
linien als  Punkte  der  gesuchten  Schnittkurve  hezeichnet  und  diese 
Punkte  in  der  Reihenfolge  der  Hilfsebenen  verbindet  Befinden 
sich,  wie  gewöhnlich,  in  jeder  Hilfsebene  mehrere  solcher  Punkte, 
so  verbindet  man  einen  Punkt  der  einen  Ebene  mit  demjenigen  der 
folgenden,  in  welchen  er  bei  Verschiebung  der  Hilfsebene  über- 
geht; worüber  die  Entscheidung  durch  die  von  der  Erzeugenden 
jeder  Fläche  auf  ihrer  Leitlinie  beschriebene  Bahn  getroflfen  wird. 

Die  Hüfsä>enen  sind  zweckmäßig  y  wenn  ihre  Schnittlinien  mit 
den  gegebenen  Flächen  oder  deren  Projektionen  leicht  und  genau 
verzeichnet  werden  können.  Es  sind  dabei  folgende  Fälle  zu  unter- 
scheiden: 

1)  Diese  Schnittlinie  ist  stets  leicht  zu  Jconstruirenj  wenn  die 
Hilfsebene  senkrecht  auf  einer  Projektionsebene  steht 

2)  Die  Schnittlinie  ist  leicht  und  sicher  zu  verzeichnen,  wenn 
sie  eine  Gerade,  oder  wenn  sie  oder  ihre  Projektion  ein  Kreis  ist 
Ist  sie  selbst  ein  Ereis,  aber  nicht  parallel  zu  einer  Projektionsebene 
P,  80  kann  man  den  Ereis  vor  der  Projektion  in  eine  zu  P  paral- 
lele Lage  drehen,  oder  man  kaim  ihn  schief  als  Ereis  projiciren; 
ist  die  Schnittlinie  ein  nicht  nut  einer  Projektionsebene  paralleler 
Eegelschnitt,  so  kann  man  ihn  aus  einem  im  Endlichen  oder  im 
Unendlichen  liegenden  Punkte  als  Ereis  projiciren. 

3)  Man  vermeidet  die  Verzeichnung  der  Schaar  von  Schnittlinien 
der  Hilfsebenen  mit  der  einen  Fläche,  wenn  man  sie  aus  ein  und 

IG» 


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244      VI,  221—224.  Dorchsclinitt  krummer  Plächen  mit  krummen  Placken. 

demselben  oder  aus  wechselnden  Punl^ten  in  eine  feste^  nur  einmal 
zu  verzeichnende,  oder,  noch  besser,  in  eine  schon  aus  anderen 
Gründen  verzeichnete  Kurve  projiciren  kann.  —  Für  alle  diese  Fälle 
werden  Beispiele  gegeben  werden. 

Hilfsebenen  führen  immer  zum  Ziel;  ebenso  könnten  Hilfs- 
cylinder,  welche  senkrecht  zu  einer  Projektionsebene  gestellt,  und 
etwa  durch  die  Erzeugenden  der  einen  Fläche  gelegt  würden,  stets 
angewendet  werden,  ohne  daß  aber  ein  vorteilhafter  Fall  bekannt 
wäre.  Von  anderen  krummen  Hilfsflächen  erweist  sich  in  einem 
Falle  die  Kugel  als  höchst  vorteilhaft 

222.  Die  Tangente  der  Schnitthurve  zweier  Flächen  in  einem 
Punkte  derselben  ist  die  Schnittlinie  der  Berührungsebenen  der  Flächen 
in  diesem  Punkte,  weil  sie  in  jeder  von  beiden  liegt.  Hierdurch  ist 
ihre  Konstruktion  gegeben.  Die  Norm^akbene  der  Schnütkurve  in 
einem  ihrer  Punkte  ist  die  Ebene  der  Normalen  beider  Flächen  in 
diesem  Punkte.  Tangente  und  Normalebene  bestimmen  sich  als 
auf  einander  senkrecht  auch  gegenseitig,  und  manchmal  ist  die 
Bestimmung  der  Tangente  vermittelst  der  Normalebene  einfacher 
als  die  unmittelbare. 

228.  Die  Schnittpunkte  einer  krummen  Fläche  mit  einer  krummen 
Linie  erhält  man,  wenn  man  durch  die  Linie  eine  Hilfsfläche  legt 
und  dieselbe  mit  der  gegebenen  Fläche  schneidet;  die  Sclmittpunkte 
der  Schnittkurve  mit  der  gegebenen  Kurve  sind  die  gesuchten 
Punkte.  Als  Hilfsfläche  legt  man  zweckmäßig  einen  projicirenden 
Cy linder  oder  Kegel  durch  die  Kurve,  oder  man  benutzt  ihre  Ebene, 
wenn  sie  eben  ist 

n.    Der  Dnrohsohnitt  von  Oylindem  und  Kegeln  untereinander. 

a)  Die  allgemeineren  Aufgaben. 

224.  Legt  man  bei  Kegeln  die  Hilfsebenen  durch  beide  Spitzen, 
so  schneiden  sie  beide  Flächen  in  Erzeugenden.  Beim  Cylinder 
fällt. die  Spitze  ins  Unendliche,  und  die  Hilfsebene  wird  mit  der 
Richtlinie  und  den  Erzeugenden  parallel. 

Aufg.  Die  Schnittlinie  zweier  Cylinder  vermittelst  der  gleichna- 
migen Spuren  derselben  m  bestimmen. 

Es  seien  ihre  ersten  Spuren  c  und  k  (eine  Ellipse  und  ein 
Kreis)  gegeben.  Liegen  die  Leitlinien  nicht  in  derselben  Projek- 
tionsebene, so  kann  man  zuerst  gleichnamige  Spuren  oder  die 
Schnitte  beider  Flächen  mit  irgend  einer  passenden  Ebene  kon- 
struiren^   z.  B.  mit  einer  solchen,   in   welcher   eine   der  Leitlinien 


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VI,  224.  Der  DDrcbschnitt  von  Gyliiidem  q.  Kegeln  untereinander.     245 

schon  liegt,  welche  Ebene  dann  an  die  Stelle  von  F,   in  unserem 
Falle  tritt,  und  kann  dann  ebenfalls  das  folgende  Verfahren  anwenden. 

Aufl,    Man  lege  durch  einen  Punkt  B  einer  Erzeugenden  AB  Fig.  los. 
des  einen  Gylinders  eine  Parallele  BC  zw  den  Erzeugenden  des  an- 
deren, bestimme  die  ersten  Spuren  A  uud  C  beider  Geraden,  so  ist 
AC  die    erste    Spur   einer   mit   den   Erzeugenden   beider    Cylinder 
parallelen  Hilfsebeue,  mit  der  alle  anderen  parallel  gelegt  werden. 

Fig.  108. 


---W» -W 


!      / 

I 


A'C  schneidet  c  und  Tc  in  je  zwei  Punkten  E\  D'  und  A\  jP', 
also  schneidet  die  Hilfsebene  die  Cylinder  in  ihren  bezw.  durch 
diese  Punkte  gehenden  Erzeugenden,  von  denen  die  des  einen  die 
des  anderen  in  vier  der  Schnittkurve  angehörigen  Punkten  P,  Qy 
iZ,  S  treffen.  Man  bestimmt  dieselben  am  besten  in  jeder  Projektion 
selbständig  und  hat  dann  die  Probe  P'F"  A.x  u.  s.  w. 

Ausgezeichnete  Punkte  liegen  in  den  zwei  äußersten  Hilfsebenen 
und  in  den  Umrissen  der  Cylinder.     Die  äußersten  Hilfsebenen  be- 


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246      VI,  224—226.    Darcbscbnitt  krummer  Flächen  mit  krummen  Flächen. 

rühren  den  einen  Cylinder^  während  sie  den  anderen  im  allgemeinen 
schneiden  oder  in  besonderem  Falle  ihn  ebenfalls  berühren.  Von 
der  einen  dieser  Ebenen  ist  G'H'X  die  erste  Spur,  welche  c  in 
G'  berührt,  h  in  W  und  J'  schneidet.  Sie  liefert  statt  vier  nur 
zwei  Punkte  H^  und  J^  der  Schnittkurve,  in  denen  diese  von  den 
Erzeugenden  UH^  und  JJ^  des  geschnittenen  Gylinders  berührt 
wird,  weil  diese  Geraden  sowohl  in  der  zugehörigen  Berührungs- 
ebene des  einen,  als  des  anderen  Gylinders  liegen.  Berühren  beide 
äußersten  Hilfsebenen  denselben  Cylinder,  so  durchdringt  dieser  den 
anderen  in  zwei  getrennten  Ästen  der  Schnittkurve,  berühren  sie 
die  verschiedenen  Cylinder,  wie  in  unserem  Falle,  so  schneiden  sich 
beide  Cylinder  in  einer  zusammenhängenden  Schnittkurve  gegen- 
seitig aM5.  Die  Punkte  der  Umrißlinien  werden  durch  Hilfsebenen 
erhalten^  welche  durch  die  ümrißerzeugenden  gehen;  in  ihnen  wird 
die  Kurve  im  allgemeinen  vom  zugehörigen  Umrisse  berührt. 

Hat  man  diese  ausgezeichneten  Punkte  bestimmt,  so  sind  in 
der  Regel  nur  noch  wenige  Hilfsebenen  in  etwa  gebliebenen  weiten 
Lücken  zu  legen.  —  Um  die  konstruirten  Punkte  in  der  richtigen 
Eeihenfolge  zu  verbinden,  umfahre  man  die  Spuren  c  und  k  so,  daß 
die  auf  beiden  gleichzeitig  erreichten  Punkte  stets  in  derselben 
Hilfsebene  liegen,  und  verbinde  in  derselben  Reihenfolge  die  da- 
durch erhaltenen  Punkte  der  Schnittkurve. 

225,  Die  Tangente  der  Schnittkurve  in  ihrem  Punkte  P  wird 
gefunden,  indem  man  in  den  ersten  Spuren  JB'  und  F'  der  durch 
P  gehenden  Erzeugenden  beider  Cylinder  bezw.  die  Tangenten  an  c 
und  k  legt*,  sie  sind  die  ersten  Spuren  der  Berührungsebenen  in  P, 
und  ihr  Schnittpunkt  T  ist  die  erste  Spur  der  gesuchten  Tangente 
PT.  Fällt  T  außerhalb  der  Zeichenfläche,  so  bestimmt  man  einen 
weiteren  Punkt  der  Schnittlinie  beider  Berührungsebenen  durch  eine 
parallel  zu  F^  oder  parallel  zu  den  Hilfsebenen  gelegte  Hilfsebene. 

Schneiden  sich  zwei  ümrißlinien  derselben  Projektion,  wie  in 
der  Figur  in  der  ersten  die  von  Ä  und  D  ausgehenden  in  R,  so 
stehen  in  i2  die  Berührungsebenen  beider  Flächen,  daher  auch  die 
Tangente  der  Schnittkurve  senkrecht  auf  P^,  und  die  erste  Pro- 
jektion der  Schnittkurve  hat  in  B'  eine  Spitze  (I,  260). 

326.  Man  bemerkt  in  jeder  Projektion  der  Schnittkurve  einen 
Doppelpunkt,  so  im  Grundriß  den  K.  Derselbe  ist  aber  nicht  die 
Projektion  eines  Doppelpunktes  der  Raumkurve,  sondern  die  Pro- 
jektion einer  auf  P^  senkrechten,  oder  allgemeiner,  einer  durch  den 
Projektionsmittelpunkt  gehenden  Sehne  der  Kurve,  und  wird  daher 
scheinbarer  Doppelpunkt  der  Baumkurve  genannt  Um  diese  Punkte 
bei  Cylindem  zweiten  Grades  zu  konstruiren,  beachte  man,  daß  die 


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VI,  226—227.  Der  DurchBchnitt  von  Cylindem  o.  Kegeln  ontereinander.     247 

Mittelpunkte  aller  auf  F|  senkrechten  Sehnen  eines  Gylinders^  oder 
allgemeiner,  daß  diejenigen  Punkte  aller  nach  dem  Projektions- 
mittelpunkte 0  gehenden  Sehnen  einer  Fläche  zweiten  Grades  F, 
welche  von  0  durch  die  Schnittpunkte  mit  F  harmonisch  getrennt 
werden y  in  der  Polarebene  des  0  zu  F,  d.  i.  auch  in  der  Ebene 
der  Umrißlinie  von  F,  liegen.  Diese  vierten  harmonischen  Punkte 
auf  den  nach  den  scheinbaren  Doppelpunkten  der  Schnittkurve  zweier 
Flächen  zweiten  Grades  gehenden  Sehnen  aus  0  müssen  daher  in 
der  Schnittlinie  der  Polarebenen  von  0  zu  jeder  der  beiden  Flächen 
liegen« 

Nun  sind  aber  in  unserem  Falle  für  den  Grundriß  jene  Polar- 
ebenen die  Ebenen  der  ümrißerzeugenden,  und  ihre  Spuren  bezw. 
die  durch  D  und  Ä  gehenden  Durchmesser  der  c  und  h.  Ihr  Schnitt- 
punkt R^  bildet  einen  und  B  einen  zweiten  Punkt  der  Schnittlinie 
beider  Polarebenen,  da  sieh  in  unserem  Falle  in  R  zwei  Umriß- 
erzeugende treffen.  Daher  liegt  auf  jß|  B'  jeder  scheinbare  Doppel- 
punkt des  Grundrisses. 

Für  den  Aufriß  erhält  man  als  erste  Spuren  der  Ebenen  der 
Umrißerzeugenden  je  einen  Durchmesser  von  c  und  Tc,  welche  sich 
in  U  schneiden;  für  eine  zweite  mit  P^  parallele  Spurebene  erhält 
man,  wie  die  Figur  zeigt,  durch  Parallele  zu  jenen  Durchmessern 
den  Punkt  tTj,  so  daß  U"TJ^'  die  Gerade  der  scheinbaren  Doppel- 
punkte ist. 

227.  Um  nun  auf  jeder  dieser  Geraden  die  scheinbaren  Doppel- 
punkte zu  bestimmen,  beachte  man,  und  zwar  zunächst  im  Aufrißt 
daß  die  projicirende  Ebene  von  UUi  jede  F  in  einem  Kegelschnitte, 
in  unserem  Falle  in  einer  Ellipse,  trifft,  welche  beide  den  (unend- 
lich fernen)  Projektionsmittelpimkt  0  und  UUi  zu  Pol  und  Polare 
haben,  und  deren  vier  Schnittpunkte  sich  aus  0  in  die  beiden  ge- 
suchten scheinbaren  Doppelpunkte  projiciren.  Bildet  man  von  jenen 
Kegelschnitten  die  Parallelprojektion  vermittelst  Senkrechter  zu  x 
auf  eine  zu  P^  parallele  Hilfsebene,  derart  daß  aus  TJTJi  eine 
Parallele  zu  x  wird,  so  enthält  diese  Parallele  die  Axen  V^  Fg  und 
TTj  TTg  der  Projektionen  v  und  uo  der  Kegelschnitte;  die  zweiten 
Halbaxen  derselben  Fj  F4  und  W^  W^  sind  offenbar  bezw.  gleich 
den  auf  F,  senkrechten  Halbdurchmessern  von  c  und  h  Die  vier 
Schnittpunkte  von  v  imd  w  und  die  gesuchten  scheinbaren  Doppel- 
punkte liegen  nun  nach  I,  411  auf  zwei  Strahlen  aus  0,  welche 
durch  jede  zwei  in  Bezug  auf  v  und  w  konjugirte  Punkte  harmo- 
nisch getrennt  und  daher  durch  zwei  solche  Punktepaare  bestimmt 
sind.  Als  erstes  Punktepaar  wählt  man  die  auf  V^  Wi  liegenden 
Eckpunkte  des  gemeinschaftlichen  Polardreiecks  von  v  und  w^  welche 


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248      VI,  227—228.   Durchschnitt  krummer  Flächen  mit  krummen  Flächen. 

also  durch  F^  und  Fg,  und  durch  TTj  und  W^  harmonisch  getrennt 
sind.  Da  in  der  Figur  F^  und  V^  durch  W^  und  W^  getrennt  werden, 
so  sind  jene  Eckpunkte  imaginär,  was  aber  die  Konstruktion  nicht 
stört,  da  alle  durch  diese  imaginären  Punkte  harmonisch  getrennten 
Punkte  oder  Strahlen  aus  0  der  Involution  Fj,  F,;  TTj,  W^  an- 
gehören. An  einen  berührend  an  Fj  TTj  gezeichneten  Hilfskreis 
legt  man  Tangenten  aus  Fj,  Fg,  welche  sich  in  Fq,  solche  aus 
TFj,  TF2,  welche  sich  in  Wq  schneiden.  Der  Pol  X  von  V^W^ 
zum  Hilfskreise  ist  der  Mittelpunkt  der  fraglichen  auf  den  Kreis 
übertragenen  Involution.  —  Als  einen  Punkt  des  zweiten  Paares- 
konjugirter  Punkte  zu  v  und  w  wähle  man  den  Scheitel  TF4  der  w 
und  TFg.  Es  ist  nämlich  die  Polare  von  W^^  zu  w  die  (mit  x  paral- 
lele) Tangente  der  w;  in  TF4 ;  die  von  TF4  zu  v  ist  F5  TFg,  wenn  F5 
und  TFß  bezw.  die  Pole  der  durch  IF4  parallel  und  senkrecht  zu  x 
gelegten  Geraden  sind;  ,die  beiden  Polaren  schneiden  sich  aber  im 
Punkte  Wß,  der  also  zu  W^  konjugirt  ist.  Aus  den  Projektionen 
IF3  und  Wq  bezw.  von  W^  und  Wq  auf  F^  TFj  zieht  man  nun  je 
eine  zweite  Tangente  an  den  Hilfskreis;  ihr  Schnittpunkt  X^  ist 
dann  der  Mittelpunkt  der  durch  die  Doppelpunkte  TFj,  W^  be- 
stimmten Involution  (der  Paare  von  Punkten,  welche  durch  TF,,  TF/ 
harmonisch  getrennt  sind).  Zieht  man  nun  die  Gerade  XX^  und 
aus  ihren  in  unserem  Falle  reellen  Schnittpunkten  mit  dem  Hilfs- 
kreise dessen  zwei  Tangenten,  so  bestimmen  diese  auf  F,  TFi  die 
Punkte,  welche  aus  0  auf  ü"  17/'  in  die  gesuchten  Doppelpunkte 
L  und  N  projicirt  werden.  L  ist  ein  eigentlicher  Doppelpunkt,  N 
ein  isoUrter  Putikty  weil  OL  eine  reelle  eigentliche,  ON  eine  reelle 
uneigentliche  gemeinschaftliche  Sehne  von  v  und  w  ist. 

228,  Um  im  Grundriß  (auf  der  Geraden  B^B*)  die  schein- 
baren Doppelpunkte  zu  bestimmen,  bildet  man  wieder  von  den 
Schnittkurven  der  ersten  projicirenden  Ebene  von  B^B,  mit  den 
Cylindern  eine  Parallelprojektion  auf  eine  auf  x  senkrechte  Ebene 
durch  Projicirende  jj  Pj,  derart  daß  sich  die  B^B  in  die  zu  Pj  parallele 
B^  Fg  projicirt.  Die  in  dieser  Linie  liegenden  Axen  der  Projektionen 
y,  8  der  Kegelschnitte  sind  bezw.  B^Y^  und  B^Z^,  deren  Scheitel 
i2g  zusammenfallen,  während  die  zweiten  Halbaxen  Y^  ^4  "^  Vu 
Z3Z4  =  01  gleich  den  aus  den  Mittelpunkten  von  c  und  k  senkrecht 
zu  P^  bis  zu  den  zugehörigen  Cylinderflächen  gezogenen  Geraden 
sind.  Von  den  in  Bezug  auf  y  und  z  konjugirten  Punkten  sind  die 
in  jBjF,  gelegenen  durch  ü,,  Y^  und  durch  Bg,  Z^  harmonisch  ge- 
trennt; sie  fallen  also  beide  in  B^  zusammen,  oder  sind  22^,  jß,. 
Als  zweites  Paar  wähle  man  den  Scheitel  F4  und  seinen  konju- 
girten Punkt  Yq,  wobei  von  Y4,  die  Polare  zu  y  die  Tangente  F^Tg 


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VI,  228—280.   Der  Dnrcbschnitt  von  Cy lindem  u.  Kegeln  untereinander.    249 

(l'U^r,),  und  zu  g  die  Y^Z^,  der  Schnittpunkt  beider  Polaren  aber 
Yß  ist  Die  Projektionen  von  Y^  undiF^  auf  ügF,  sind  bezw.  Y,  und 
Y^.  Die  gesuchten  Punkte  müssen  nun  durch  die  Punkte  eines  jeden 
der  beiden  Paare  harmonisch  getrennt  sein,  also  durch  B^  und  R^ 
(dies  sind  ü,  und  jeder  beliebige  Punkt  der  B^  Fg)  und  durch  Y^ 
und  Fß',  sind  also  B^  und  der  von  B^  durch  Yj  und  Y^  harmo- 
nisch getrennte  Punkt  K'\  und  diese  projiciren  sich  auf  B^B'  in 
B'  und  K.  Die  Spitze  B'  ergibt  sich  also  als  ein  scheinbarer 
Doppelpunkt;  die  Sehnenlänge  ist  bei  ihm  Null. 

Man  bemerkt^  daß  die  Projektion  der  Schnittkurve  zweier 
Flachen  zweiten  Grades  smei  scheinbare  Doppelpunkte  besitzt,  welche  . 
reeü  oder  imaginär  sind,  je  nachdem  die  gemeinschaftlichen  Sehnen 
jener  Kurven  v,  to  (oder  y,  jer)  durch  den  Projektionsmittelpunkt  0 
gehen  oder  nicht.  Sind  sie  reell,  so  kann  jeder  der  scheinbaren 
Doppelpunkte  ein  eigetiÜicher  Doppelpunkt^  ein  isolvrter  Punkt,  oder, 
als  Übergang  dieser  beiden  in  einander,  eine  Spitsse  sein. 

229.  Übungsaufg,  Die  Projektionen  eines  Punktes  zu  bestim- 
men, der  von  drei  beliebigen  gegebenen  Geraden  gegebene  Abstände 
besitzt.  (Vermittelst  des  Schnittes  dreier  ümdrehungscylinder;  acht 
Auflösungen.) 

230.  Äufg.  Die  Schnittlinie  eines  Cylinders  und  eines  Kegel^  m 
ermitteln,  deren  Leitlinien  in  verschiedenen  Ebenen  liegen.  Es  soll 
der  Fall  gewählt  werden,  daß  beide  Flächen  eine  gemeinschaftliche 
Berührungsebene  besitzen. 

Der  Kegel  sei  ein  Umdrehungskegel,  dessen  Spitze  S  sei,  und  fi«.  loo. 
dessen  Grundkreis  k  den  Mittelpunkt  M  und  den  Halbmesser  M'Ä' 
habe.     Vom  Cylinder  sei  die  Richtlinie  r  gegeben.     Die  Leitlinie, 
ein  Kreis  c  in  Pj,   werde  unter  der  Beachtung  der  gegebenen  Be- 
dingung gewählt 

Aufl.  Auf  einer  zur  Axe  SM  des  Kegels  parallelen  auf  F| 
senkrechten  Ebene  Pj  mit  der  Projektionsaxe  a:^  (||  S'Jf')  zeichne 
man  die  dritte  Projektion  S'"M"  seiner  Axe  und  diejenige  M'"B'" 
oder  k'"  seines  Grundkreises  {S'^M^'B'"  =  90^,  M"B'"^M'A'). 
Von  der  ersten  Projektion  des  Grundkreises  ist  Jtf' -4' (J_  S'Jtf'  und 
von  der  wahren  Größe)  die  große  und  MB'  in  S' M'  \b'" B' ±  x^^) 
die  kleine  Halbaxe  der  Ellipse,  woraus  man  sie  verzeichnet.  Die 
zweite  Projektion  hat  M"a\XS"M"  und  =3f'^')  zur  großen 
und  M"  D"  (aus  der  ümlegung  S^^M"D^^)  zur  kleinen  Halbaxe.  Die 
erste  Spur  der  Ebene  des  Grundkreises  ergibt  sich  aus  der  dritten 
Projektion  als  \  (±  S'Jf ). 

Man  lege  nun  durch  die  Spitze  S  des  Kegels  die  Parallele  SB 
zu  der  Richtlinie  r  des  Cylinders^  bestimme  ihre  erste  Spur  B,  ihre 


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250       VI,  230.    Darchscbnitt  krummer  Flächen  mit  krummen  Flächen. 

dritte  Projektion  8'"B"\  und  daraus  ihren  Schnittpunkt  Q  {Q'"  und 
Q')  mit  der  Grundfläche  des  Kegels.     Durch  SBQ  legt  man  die 


Fig.  109. 


A5'^ 


•Z,'^. 


^- 


JSI. 


Hilfsebenen,  welche  ein  Ebenenbüschel  bilden,  das  die  Grundfläche 
Pi  des  Cylinders  in  einem  Strahlenbüschel  B,  und  die  Grundfläche 


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VI,  280—281.  Der  Darcbschnitt  yon  Cylindern  u.  Kegeln  untereinander.    251 

des  Kegels  in  einem  Sirahlenbüschel  Q  schneidet^  von  welchen 
Büscheln  die  entsprechenden ,  d.  h.  derselben  Hilfsebene  angehörigen 
Strahlen  sich  auf  der  Schnittlinie  k^  der  beiden  Grundflächen  trefiFen, 
Die  den  Kegel  berührenden  Hilfsebenen  enthalten  die  Tangenten 
Q'l  und  Q'9  des  Kegelgrundkreises,  wobei  1  und  9  auf  k^  liegen, 
und  haben  zu  ersten  Spuren  It'l  und  iZ'9.  Soll  nun  der  Cylinder 
eine  gemeinschaftliche  Berührungsebene  mit  dem  Kegel  haben,  so 
muß  dies  eine  dieser  Ebenen  sein.  Daher  muß  die  erste  Spur  c 
des  Cylinders  eine  der  Linien  JR'l,  R'9  berühren;  es  wurde  der  Kreis 
c  berührend  an  iZ'l  gelegt,  während  er  die  R'9  schneidet,  so  daß 
ein  Einschneiden  des  Kegels  in  den  Cylinder  stattfindet. 

Legt  man  nun  zunächst  Hilfsebenen,  welche  ausgezeichnete 
Punkte  liefern,  zieht  also  Strahlen  aus  B'  nach  den  Fußpunkten 
der  vier  ümrißerzeugenden  beider  Projektionen  des  Cylinders,  und 
Strahlen  aus  Q'  nach  den  auf  k'  liegenden  Gnmdpunkten  der  vier 
Ümrißerzeugenden  des  Kegels,  von  denen  wegen  der  Nähe  der 
Punkte  beidesmal  nicht  alle  ausgeführt  sind,  so  erhält  man,  ohne 
weitere  einzuschalten,  schon  eine  genügende  Anzahl  von  Hilfsebenen. 
Verfolgen  wir  die  Hilfsebene  B'SQ'y  so  zeigt  sich,  daß  ü'3  den  c 
und  Q'S  den  k'  in  je  zwei  Punkten  schneidet,  aus  denen  je  zwei 
Erzeugende  des  Cylinders  und  des  Kegels  gezogen  sind.  Die  ersteren 
schneiden  die  letzteren  in  vier  Punkten,  darunter  in  P.  Alle  so 
gewonnenen  Punkte,  in  der  Reihenfolge  der  Hilfsebenen  verbunden, 
liefern  die  Schnittkurve.  Projicirt  man  die  Grundpunkte  der  benutz- 
ten Erzeugenden  von  c  auf  ic,2,  von  Ä'  auf  i",  wobei  man  zur  Sicher- 
stellung *'"  benutzt,  so  erhält  man  mittelst  der  zweiten  Projektio- 
nen der  Erzeugenden  diejenigen  der  Punkte  der  Schnittkurve.  — 
Man  hätte  die  Schnitte  der  Strahlen  aus  Q'  mit  der  Ellipse  k'  durch 
die  Umlegung  des  Grundkreises  k  in  F^  auf  Schnittpunkte  mit  einem 
Kreise  zurückführen  können;  doch  erhält  man  die  Schnittpunkte 
rascher  und  genauer,  wenn  man  die  Ellipse  zweckmäßig  (mittelst  der 
Scheitelkrümmungskreise)  und  scharf  (mit  Hilfe  des  Kurvenlineals) 
verzeichnet  hat 

231.  Die  Tangente  der  SchnitthMrve  in  ihrem  Punkte  P  erhält 
man  als  Schnittlinie  der  Berührungsebenen  der  Flächen  inP,  und  diese 
Schnittlinie,  da  die  Projektionsebenen  ungünstig  sind,  vermittelst  der 
Spuren  der  Berührungsebenen  in  einer  durch  S  parallel  zu  P^  gelegten 
Spurebene  S.  Die  Kegelerzeugende  von  P  trifft  den  k  in  E,  die 
Tangente  in  E'  schneidet  den  Durchmesser  M' A'  in  JE/,  die  Tan- 
gente E^E'y  E^'E"  durchdringt  die  Spurebene  S  in  G;  daher  ist 
8'G'  die  Spur  in  S  von  der  Berührungsebene  des  Kegels  in  P. 
Die  Erzeugende  des  Cylinders  von  P  trifft  den  Kreis  c  in  H'  und 


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252      VI,  231—283.  Durchschnitt  krummer  Flächen  mit  krummen  Flächen. 

Mg.  109.  den  in  S  liegenden  Kreis  (J,  des  Cjlinders  in  J?/  {H' H^  =  R'S"). 
Daher  ist  die  Tangente  des  c^  in  H^'  die  Spur  der  Berührungsebeue 
des  Cy linders  in  S.  Der  Schnittpunkt  K'  von  S'G'  und  J^/Z*  ist 
ein  Punkt  der  Tangente  P'K']  diese  schneidet  die  E'G'  in  K/, 
woraus  sich  JST/'  und  die  Tangente  F"K^'  ergibt. 

232,  Die  äußerste  Hilfsebene  9,  welche  den  Kegel  beröhrt, 
liefert  nur  zwei  Punkte  der  Schnittkurve;  und  in  diesen  ist  jedesmal 
die  Erzeugende  d^s  Cylinders,  als  Schnittlinie  beider  Beröhrungs- 
ebenen,  Tangente  der  Kurve.  Die  äußerste  Hilfsebene  1,  welche 
beide  Flächen  berührt,  liefert  nur  einen  Punkt  L^  einen  BoppdpuplU 
der  Kurve,  da  er  mit  den  vier  Punkten  der  benachbarten  Hilfsebene 
verbunden  werden  muß.  Die  Tangenten  L  sind  als  Durchschnitte 
je  zweier  Berührungsebenen  nicht  zu  erhalten,  da  diese  ineinander 
fallen.  Wir  werden  solche  später  aus  der  Krümmung  der  Flächen  in 
L  ableiten;  doch  läßt  sich  jede  derselben  auch  durch  eine  Fehler- 
kurve bestimmen,  deren  eine  durch  die  Spuren  K\  N\  0'  in  S  von 
den  Tangenten  eines  Zweiges  der  Schnittkurve  gebildet  ist,  deren 
Berührungspunkte  in  der  Nähe  und  auf  den  beiderlei  Seiten  von 
L  liegen.  Diese  Kurve  K'N'O'  wird  durch  die  in  S  hervorge- 
brachte Spur  S'T{\B'l)  der  gemeinschaftlichen  Berührungsebene 
beider  Flächen  in  T  getroflfen;  daher  ist  TL  die  Tangente  des 
einen  Zweiges  der  Schnittkurve  in  L. 

283,  Außer  dem  wirklichen  Doppelpunkte  L  der  Schnittkurve 
zeigt  noch  in  unserem  Beispiele  jede  ihrer  beiden  Projektionen  J3wei 
scheinbare  Doppelpunkte,  die  reell  und  eigentlich  sind,  und  die  wir 
im  Grundriß  bestimmen  wollen.  Die  Gerade  V^V^,  welche  sie  ent- 
hält, ist  die  Projektion  der  Schnittlinie  der  Ebenen  der  beiden  üm- 
rißerzeugenden  einer  jeden  Fläche.  Die  Spuren  dieser  Ebene  in  P^ 
und  S  für  den  Cy  linder  sind  U^V^  und  der  damit  parallele  (durch 
Fj  gehende)  Durchmesser  des  Kreises  Cj;  und  diejenigen  für  den 
Kegel  sind  WV^  und  die  damit  parallele  S'F,,  wenn  TT  die  erste 
Spur  einer  TJmrißerzeugenden  und  wenn  WVi±.S'M\  Daraus 
ergibt  sich  V^  V^  als  Projektion  der  Schnittlinie  beider  Ebenen.  Die 
erste  projicirende  Ebene  dieser  Linien  schneidet  beide  Flächen  in 
Kegelschnitten,  deren  zu  dem  unendlich  fernen  Projektionsmittel- 
punkte 0  polare  Durchmesser  in  der  räumlichen  Linie  V^  V^  lie- 
gen, und  welche  auf  die  schon  gewählte  dritte  Projektionsebene 
Pg  projicirt  werden  mögen  durch  Projicirende  parallel  zur  ersten 
projicirenden  Ebene  der  Cylin^ererzeugenden,  derart  daß  jene  räum- 
liche Linie  V^V^  sich  in  eine  Parallele  zu  x^^  projicirt;  um  diese 
nehmen  wir  auch  die  ümlegung  der  Pg  in  eine  zu  P^  parallele 
Ebene  vor.     Die  Schnittkurven  der  projicirenden  Ebene  von  V^  F, 


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VI,  283—234.  Der  Darchscbnitt  Ton  Cylindern  u.  Kegeln  aotereinander.    253 

mit  dem  Cylinder  und  dem  Kegel  projiciren  sich  dabei  in  eine 
Ellipse  y  und  eine  Hyperbel  0,  deren  in  o?!,  liegende  Axen  T^  T^^ 
Zi  Zg  sind.  Die  zweite  Halbaxe  F,  Y^  der  y  ist  gleich  der  vom 
Mittelpunkte  des  c  bis  zur  Cylinderfläche  gezogenen  Senkrechten  zu 
Pj  und  gleich  dem  Abstände  des  JR,  von  x^^,  wenn  man  (s.  Fig.)  2t" ä, 
=  R'S',  K'R^  =  Halbmesser  des  c,  JJ^JR,  1  S^S"  macht  Von  der 
Hyperbel  0  wollen  wir  eine  durch  ihren  Mittelpunkt  Z,  gehende 
Asymptote  Z^Z^  ermitteln.  Eine  parallel  zur  ersten  projicirenden 
Ebene  von  V^V^  durch  S  gelegte  Ebene  trifft  den  Kegel  in  der 
zu  einer  Asymptote  der  Schnitthyperbel  parallelen  Erzeugenden  SJ^ 
und  die  Ebene  der  Umrißerzeugenden  in  SJy  so  daß  ein  zu  F^  senk- 
rechter Abstand  beider  Linien  «=  J"J^  ist.  Durch  Parallele  zu  r' 
projicirt  sich  S'J*  auf  x^^  in  SqJq\  und  macht  man  J^J^  JL  x^^  und 
^^J"J^y  80  ist  die  zu  S^J^  parallele  Z^Z^  eine  Asymptote  der  0. 
Man  bestimmt  nun  zu  dem  unendlich  fernen  Punkte  Z^  der  Z^Z^ 
den  in  Bezug  auf  y  und  z  konjugirten  Punkt  T^  als  Schnittpunkt 
der  Polaren  von  Zg  zu  j»,  d.  i.  Z3Z4,  und  zu  y,  d.  i.  Y^T^  (ein  ver- 
mittelst der  Affinitat  von  y  zu  dem  aus  Y^  durch  Y^  gezogenen 
Kreise  bestimmter  Durchmesser),  und  gibt  die  Projektionen  Z^  und 
Y^  dieser  Punkte  auf  o:,,  an.  Ermittelt  man  nun  zu  einem  die  x^^ 
berührenden  Ejreise  den  Mittelpunkt  X  der  Involution  Y^Y^{Yf^\ 
Z^Z^{Z^  als  Pol  zu  YqZqj  und  den  Mittelpunkt  X,  zu  der  Invo- 
lution von  den  Doppelpunkten  Y^y  Z^,  so  schneidet  XX^  diesen 
Kreis  in  zwei  reellen  Punkten,  in  denen  die  Tangenten  die  x^^  in  F' 
und  JP/  treffen;  und  aus  diesen  erhält  man  durch  Zurückprojiciren 
die  scheinbaren  Doppelpunkte  F  und  F^ . 

234.  Aufg.  Die  Schnittlinie  zweier  Kegel  zu  ermitteln.  Dabei 
soü  der  Fall  gewählt  werden  y  daß  die  Kegel  vom  ztoeiten  Grade  ^  etwa 
Umdrehungskegel  y  sind  und  zwei  gemeinschaftliche  Berührungsebenen 
besitzen. 

Aufl.  Seien  bezw.  S  und  T  die  Spitzen,  8My  TN  die  Axen  Fig.  110. 
beider  Kegel,  so  gehen  die  gemeinschaftlichen  Berührungsebenen 
durch  STy  und  die  Axen  müssen  in  einer  der  Halbirungsebenen  der 
von  den  Berührungsebenen  gebildeten  Winkel  liegen  und  sich  daher 
schneiden.  Stellen  wir  F^  parallel  zur  Ebene  der  Axen,  F^  senk- 
recht zu  SM,  begrenzen  die  Kegel  durch  Parallelkreise  m  bezw.  n 
mit  den  Mittelpunkten  M  bezw.  Ny  so  ist  von  m  der  Grundriß  ein 
aus  M'  als  Mittelpunkt  gezogener  Kreis  m\  sein  Aufriß  m"  eine 
auf  S"M'  senkrechte  Gerade,  und  von  n  der  Aufriß  n"  die  auf 
T'K'  senkrechte  Gerade  K'B",  der  Grundriß  eine  Ellipse  n  mit 
dem  Mittelpunkte  2^y  während  die  Große  des  Kreishalbmessers  erst 
noch  durch  die  Bedingung  des  Bestehens  zweier  gemeinschaftlichen 


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254      VI,  234—236.  DurcHschnitt  krommer  Flächen  mit  knunmen  Flächen. 


Berührungsebenen  beider  Kegel  bestimmt  werden  muß.     Schneidet 

ST  die  Grundflächen  M  und  N  der  Kegel  S  und  T  bezw.  in  A  und 

B,  und  schneiden  sich  M   und  N  in  C"C'  (±S'T'),    so   ist   der 

Schnitt  der  einen 
Fig.  110. 


\^. 


der  gemeinschaft- 
lichen Berüh- 
rungsebenen mit 
M  eine  aus  Ä'  an 
den  Kreis  m'  ge- 
zogene Tangente 
^x  Ä'E\  welche  die 

\,      C'Cr  in  D'  trifft 
fi^  Legt     man      die 
--''  Ebene  N  des  Krei- 

ses n  um  dessen 
zu  P)  parallele 
Durchmesserlinie 
NB,  welche  die 
M  in  C  trifft,  in 
eine  zu  Fg  paral- 
lele Ebene  um,  so 
gelangt  ihrSchnitt 
mit  jener  gemein- 
schaftlichen Be- 
rührungsebene 
nach  B"D"'j  wenn 
C" D"'  1.B" G"  und  =  CD';  der  umgelegte  Grundkreis  «'"wird  dann 
aus  N"  berührend  an  B"  D"  gezogen.  Die  Berührungspunkte  auf  m 
und  n  sind  bezw.  E  und  F,  die  Berührungserzeugenden  SE^  TF^ 
welche  sich  in  dem  einen  Doppelpunkte  G  der  Schnittkurve  beider 
Kegel  treffen.  Der  zweite  hat  ebenfalls  6r"  zur  zweiten  Projektion. 
Weitere  Punkte  könnte  man  durch  neue  durch  8T  gelegte  Hilfs- 
ebenen finden;  die  durch  beide  Kegelaxen  gehende  trifft  die  Kegel 
in  den  umrissen  ihrer  zweiten  Projektionen,  und  diese  liefern  vier 
gemeinschafthche  Punkte  H,  J",  JST,  L.  Einfacher  verzeichnet  man 
aber  die  Schnittlinie  durch  die  Erkenntnis,  daß  sie  in  unserem  Falle 
aus  zwei  Kegelschnitten  besteht,  wie  in  Nr.  67,  und  wie  es  auch  aus 
den  folgenden  Sätzen  folgt  Ihr  Aufriß  besteht  dann  aus  den  zwei 
Geraden  R"G"K'\  J"G"V\  ihr  Grundriß  aus  zwei  Kegelschnitten, 
welche  8'  zu  einem  gemeinschaftlichen  Brennpunkte  haben  (57). 

235.    Einige  Sätze  über  die  SchniUJcurven  von  Flächen  Bweikn 
Grades  untereinander. 


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VI,  235 — 286.  Der  Durchschnitt  von  Cylindern  n.  Kegeln  untereinander.    255 

1)  Zwei  Flächen  BweUen  Grades  schneiden  sich  in  einer  Linie 
vierter  Ordnung y  d.  i.  in  einer  solchen  Kurve,  welche  von  einer  Ebene 
in  vier  (reellen  oder  imaginären)  Punkten  geschnitten  wird;  den  Fall 
ausgenommen,  daß  diese  Ebene  eine  der  Schnittkurve  angehorige 
Linie  enthält,  welche  dann  von  der  zweiten  Ordnung  ist.  Denn  eine 
Ebene  schneidet  jede  der  beiden  Flächen  in  einer  Linie  zweiter 
Ordnung,  und  diese  haben  im  allgemeinen  vier  Punkte  gemein, 
welche  zugleich  die  der  Ebene  und  der  Schnittlinie  beider  Flächen 
gemeinsamen  Punkte  sind.  In  dem  Ausnahmefalle,  daß  beide  Linien 
zweiter  Ordnung  fOnf  Punkte  gemein  haben,  fallen  sie  ganz  inein- 
ander und  bilden  dann  einen  ebenen  Bestandteil  der  Schnittkurve. 

2)  Besitzt  die  Schnittlinie  zweier  Flächen  zweiten  Grades  als  Be- 
standteil eine  ebene  Kurve  k,  die  dann  vom  zweiten  Grade  ist^  so  ist 
der  Best  ebenfalls  eine  Kurve  vom  zweiten  Grade.  Denn  legt  man 
durch  drei  Punkte  des  Reststückes  eine  Ebene  E,  welche  die  Ebene 
der  h  in  der  Geraden  g  trifft,  so  schneidet  g  die  Je  in  zwei  (reellen 
oder  imaginären)  Punkten,  die  auch  jedem  der  Kegelschnitte  ange- 
hören, in  welchen  E  die  Flächen  schneidet  (76).  Diese  beiden 
Kegelschnitte  haben  daher  3  +  2  =  5  Punkte  der  Schnittlinie  ge- 
mein, fallen  also  ganz  ineinander  und  bilden  einen  zweiten  Bestand- 
teil der  Schnittlinie.  Besäßen  die  Flächen  noch  einen  weiteren 
gemeinsamen  Punkt  P,  so  müßten  sie  ganz  ineinanderfallen,  da 
jede  durch  P  gelegte  Ebene  beide  Flächen  in  ineinanderfallenden 
Kegelschnitten  träfe,  weil  diese  Kegelschnitte  den  Punkt  P  und  vier 
Punkte  der  gemeinsamen  Kegelschnitte  gemeio  hätten. 

Fallen  beide  gemeinsamen  Kegelschnitte  in  einen  zusammen,  so 
berühren  sich  die  Flächen  entlang  desselben. 

3)  Besitzen  zu)ei  Flächen  zweiten  Grades  in  jedem  von  zwei  ge- 
meinsamen Punkten  eine  gemeinschaftliche  BerOhrungsebene,  so  zerfallt 
ihre  Sdinittlinie  vierter  Ordnung  in  zwei  Linien  zweiter  Ordnung,  welche 
sich  in  jenen  Punkten  schneiden.  Denn  eine  durch  jene  zwei  Punkte 
und  einen  beliebigen  dritten  Punkt  der  Schnittlinie  gelegte  Ebene 
schneidet  beide  Flächen  in  Kegelschnitten,  welche  drei  Punkte  und 
die  Tangenten  in  den  beiden  ersten  gemein  haben,  also  ganz  in- 
einanderfallen, daher  Teile  der  Schnittlinie  sind. 

236.  Aufg.  Die  Schnittlinie  zweier  Kegel  zweiten  Grades,  welche 
eine  gemeinschaftliche  Hauptebene  besitzen,  zu  konstruiren  und  ihre  Pro- 
jektion  auf  diese  Ebene  zu  verzeichnen. 

Aufl.    Man  stelle  F,  parallel   zur   gemeinschaftlichen  Haupt-  Fig.  in. 
oder  Sjmmetrieebene,  und  es  sei  B'C  (  P  x)  ihre  erste  Projektion. 
8  und  T  seien  die  Spitzen,  der  Kreis  k  bezw.  die  Ellipse  Z,  beide 
in  P^  gelegen,  die  Leitlinien  der  Kegel,  so  liegen  in  jener  Haupt- 


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2Ö6      VI,  236—238.  Durchschnitt  krammer  Flächen  mit  krummen  Flächen. 


ebene  die  Spitzen  S  und  T,  sowie  die  Axen  A'B'  von  A'  und  CD' 
von  r.    Die  Verbindungsgerade  ST  der  Spitzen    triflFt  die  P^  im 

Punkte  ü,  und  durch 
ihn  gehen  die  ersten 
Spuren  der  Hilfsebe- 
nen. Die  gemein- 
schaftliche Haupt- 
ebene enthält  die 
zweiten  Umrisse,  und 
diese  liefern  die  vier 
Punkte  H,  J,  K,  L 

der  Schnittlinie; 
ebenso  viele  be- 
stimmt im  allgemei- 
nen jede  andere  Hilfs- 
ebene, von  denen 
noch  eine  angegeben 
ist,  und  welche  Ebe- 
nen man  zweckmäßig 
paarweise  symme- 
trisch zur  gemein- 
samen Hauptebene 
legt.  Die  letzte  nutz- 
bare Hilfsebene  be- 
rührt die  k  und  schnei- 
det die  l  in  zwei 
Punkten;  sie  liefert 
zwei  Schnittpunkte, 
in  denen  die  Tangen- 
ten der  Schnittkurve 
nach  T  laufen. 

237.  Man  bemerkt,  daß  die  zweite  Projektion  der  Schnittlinie 
Stücke  eines  Kegelschnittes  und  zwar  einer  Hyperbel  bilden.  Es 
beruht  dies  auf  folgendem  Satze:  Die  Projektion  der  Schnittlinie  moeier 
Flächen  zweiten  Grades^  welche  eine  gemeinschaftliehe  Haupteibene  be- 
sitzen, auf  diese,  ist  ein  Kegelschnitt  Denn  eine  Gerade  kaun  die  Pro- 
jektion der  Kurve  in  nicht  mehr  als  in  zwei  Punkten  schneiden,  weil 
sonst  die  projicirende  Ebene  der  Geraden  die  Kurve  vierter  Ordnung 
in  mehr  als  den  vier  Punkten  träfe,  welche  jenen  zweien  entsprechen. 
—  Wir  werden  später  allgemeinere  Sätze  dieser  Art  aufstellen. 

238.  Die  unendlich  fernen  Punkte  der  Schnittlinie  werden  durch 
Paare  paralleler  Erzeugenden  beider  Kegel  geliefert.     Um  diese  zu 


1 

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VI,  Sd8— 289.  Der  DarchschDitt  yon  Gjlindem  n.  Kegeln  untereinander.    257 

erhalten,  verschiebt  man  den  einen  Kegel^  etwa  den  mit  der  Spitze 
Sf  welcher  den  Kreis  k  zur  Leitlinie  hat,  parallel  mit  seiner  An- 
fangslage, bis  8  in  die  Spitze  T  des  anderen  Kegels  gelangt;  dann 
ist  die  erste  Spur  des  verschobenen  Kegels  eine  ähnliche  und  paral- 
lele Kurve  zu  der  ersten  Spur  des  ursprünglichen,  in  unserem  Falle 
der  Kreis  E'  F  (TE  \\  SA,  TF  ||  SB).  Die  ersten  Spuren  ET  und 
r,  des  verschobenen  Kegels  und  des  Kegels  T,  haben  in  unserem 
Falle  zwei  reelle  Punkte  gemein,  wovon  der  eine  G'  ist;  daher  haben 
diese  koncentrischen  Kegel  zwei  reelle  Erzeugende  gemein,  von  denen 
die  eine  TG  ist.  Schiebt  man  den  einen  Kegel  wieder  in  seine  ur- 
sprüngliche Lage  zurück,  so  gelangt  jene  Erzeugende  in  die  zu  TG 
parallele  Lage  SM,  und  diese  beiden  bestimmen  einen  unendlich 
fernen  Punkt  der  Schnittkurve.  Die  Tangente  in  demselben  ist  eine 
Asymptote  und  wird  erhalten  als  die  Schnittlinie  NP  der  Berüh- 
rungsebene der  Kegel  entlang  TG,  bezw.  SM  {G'N*  Tangente  an 
V  in  G' ,  M'N'  Tangente  an  fc'  in  M',  N'  Schnittpunkte  dieser 
Tangenten,  NP  \  GT  \  MS),  Ebenso  findet  man  eine  zweite 
Asymptote;  die  zweiten  Projektionen  beider  fallen  aber  in  eine  ein- 
zige Gerade  zusammen,  welche  die  Asymptote  an  das  ins  Unend- 
liche verlaufende  Stück  der  hyperbolischen  zweiten  Projektion  der 
Schnittkurve  ist,  während  man  die  Asymptote  des  Ergänzungsstückes 
der  Hyperbel  auf  diese  Weise  nicht  erhält. 

239.  Man  bemerkt,  daß  in  unserem  Falle  die  Schnittlinie  s 
aus  einem  geschlossenen  Aste  KL  und  zwei  ins  Unendliche  laufen- 
den Asten  besteht,  welche  letztere  H  und  J  zu  Scheiteln  haben 
und  durch  zwei  gemeinsame  unendlich  ferne  Punkte  gleichsam  zu- 
sammenhängen. Die  zweite  Projektion  dagegen  besteht  aus  drei 
getrennten  Stücken  einer  Hyperbel,  K" L",  J"(x>,  cx>  H",  wovon 
beide  letzteren  wieder  durch  einen  gemeinsamen  unendlich  fernen 
Punkt  gleichsam  zusammenhängen.  Die  übrigen  Stücke  der  Hyperbel 
erscheinen  nicht  zur  Schnittlinie  gehörig,  sie  erscheinen  fremd  oder 
parasitisch,  im  Gegensatz  zu  den  brauchbaren  oder  nützlichen  Stücken. 
Es  müssen  aber  auch  die  ersteren  Linienstücke  als  zur  zweiten  Pro- 
jektion der  Schnittkurve  gehörig  angesehen  werden,  weil  die  pro- 
jicirenden  Geraden  ihrer  Punkte  übereinstimmende,  und  zwar  gleich- 
laufende, Involutionen  konjugirter  Punkte  in  Bezug  auf  beide  Kegel, 
oder  je  zwei  imaginäre  gemeinsame  Punkte  beider  Kegel  enthalten. 
Diese  je  zwei  imaginären  Punkte  projiciren  sich  in  je  zwei  reelle  ver- 
mittelst der  Imaginärprojektion  aus  dem  unendlich  fernen  Punkte  Y 
der  (auf  F,  senkrechten)  yAxe.  Die  Imaginärprojektionen  der  Leit- 
kegelschnitte (Kreis  und  Ellipse)  h  und  l  aus  T  sind  zwei  Hyperbeln  Fig.  iis. 
*,,?!,  die  der  Kegel  Sic,  Tl  zwei  Kegel  Sh^,  Tl^,  die  der  Schnittkurve  s 

Wiener,  Lehrbaoh  der  dareteUenden  Geometrie.   II.  17 

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258      VI,  239.   Durchschnitt  krummer  Flä^^hen  mit  krommen  Flächen. 

der  ersteren  Kegel,  die  Schnittkurve  5^  der  letzteren  Kegel,  und  wir 
wollen  dabei  die  Kurve  vierter  Ordntmg  Sj  die  Imaginärprojektion  der 
Kurve  vierter  Ordnung  s  aus  Y  nennen.     Die  Konstruktion  Yon  Sj 

Fig.  112. 


ist  in  der  Figur  ausgeführt-,  es  sind  dabei  auch,  und  zwar  wieder 
durch  eine,  jedoch  nicht  angegebene  Parallel  Verschiebung,  die  beiden 
Asymptoten  der  5^  bestimmt,  welche  in  der  zweiten  Projektion  eine 
einzige,  und  zwar  die  vorhin  nicht  erhaltene  Asymptote  der  Hyperbel 
s/'  (und  5")  bilden»). 

Weil  im  vorliegenden  Falle  die  drei  benutzten  Teile  der  hyper- 
bolischen 5i"  schon  den  Asymptoten  sehr  nahe  liegen,  so  schließen 
sich  die  entsprechenden  drei  Aste  der  s^  und  der  s^"  sehr  nahe, 
und  in  der  Figur  nicht  unterscheidbar,  den  beiden  Asten  der  Hyperbel 

*)  Diese  Konstruktion  wurde  von  dem  Verf.  gegeben  in  der  schon  ange- 
führten Abhandlung  in  Schlömilchs  Zeitschr.  f.  Math.  u.  Phys.,  B.  12,  1867, 
S.  375  f.  f.  „Über  scheinbare  Unstetigkeit  geometrischer  Constractionen ,  welche 
durch  imaginäre  Elemente  derselben  verursacht  wird". 


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VI,  239—240.   Der  Durchschnitt  von  Cylindern  u.  Kegehi  untereinander.    259 

und  der  Ellipse  an,  in  welchen  die  durch  jene  Asymptoten  auf  P^ 
projicirten  Ebenen  die  beiden  Kegel  Sh^^,  Tl^  treflfen.  Die  Kurven  s 
und  s^  haben  in  ihren  Scheiteln  H,  «7,  K^  L  gleiche  und  entgegen- 
gesetzte Krümmungshalbmesser,  weil  sie  gegenseitige  Imaginär- 
projektionen oder  konjugirte  Kurven  sind  (171);  daher  sind  auch  die 
Krümmungshalbmesser  der  s  in  H  und  Ky  sowie  die  in  J  und  L 
nahezu  gleich.  Der  endliche  (geschlossene)  Ast  von  s  ist  in  seinem 
bei  K  liegenden  Teile  von  einer  halben  Ellipse,  die  in  den  bezeichneten 
Ebenen  zweier  Asymptoten  liegt,  in  unserer  Figur  nicht  zu  unter- 
scheiden und  daher  als  solche  gezeichnet  worden. 

240.  Die  4  unendlich  fernen  Funkte  der  Schnittlinie  zweier 
Kegel  zweiten  Grades,  d.  h.  ihre  4  Schnittpunkte  mit  der  unendlich 
fernen  Ebene,  erhält  man  allgemein  dadurch,  daß  man  den  einen  Kegel 
durch  Parallelverschiebung  zu  sich  selbst  koncentrisch  mit  dem  anderen 
macht  und  die  4  gemeinsamen  Erzeugenden  beider  Kegel  dadurch 
sucht,  daß  man  beide  Kegel  mit  einer  Ebene  schneidet  und  die  4  ge- 
meinsamen Punkte  der  entstehenden  Kegelschnitte  ermittelt  Nach 
ihnen  laufen  die  gemeinsamen  Erzeugenden  und  diese  bestimmen 
die  Paare  paralleler  Erzeugenden  der  ursprünglichen  Kegel  und  die 
unendlich  fernen  Punkte  der  Kurve.  Die  Asymptoten  sind  die 
Schnittlinien  der  Berührungsebenen  beider  Kegel  entlang  zweier  sol- 
chen parallelen  Erzeugenden.  Man  kann  dabei  folgende  Fälle  unter- 
scheiden: Von  den  4  Schnittpunkten  jener  Kegelschnitte  sind:  a)  alle 
4  reell  und  1)  getrennt,  2)  2  getrennt,  2  andere  zusammenfallend, 

3)  je  2  in  verschiedenen  Punkten  zusammenfallend,  4)  3  zusammen- 
fallend, 1  getrennt,  5)  alle  4  zusammenfallend,  wobei  sich  die 
Kegelschnitte  in  einem  Punkte  vierpunktig  berühren;  b)  2  reell  und 
2  imaginär,  dabei  die  2  reellen  6)  getrennt,  7)  zusammenfallend; 
c)  8)  alle  4  imaginär.  In  diesen  Fällen  besitzt  die  Schnittkurve 
vierter  Ordnung:  1)  4  Asymptoten  und  4mal  einen  hyperbolischen 
Verlauf,  2)  2  Asymptoten  und  eine  unendlich  ferne  Tangente,  oder 
2  hyperbolische  Verläufe  und  1  parabolischen  Verlauf,  wobei  2 
Zweige  der  Kurve  dem  unendlich  fernen  Punkte  in  gleichem  Sinne 
mit  wachsender  Entfernung  zustreben,   3)  2  parabolische  Verläufe, 

4)  die  unendlich  ferne  Ebene  als  Schmiegungsebene,  wobei  2  Zweige 
dem  unendlich  fernen  Punkte  in  entgegengesetztem  Sinne  ohne  An- 
näherung an  eine  Asymptote  zustreben  (da  die  dreipunktig  berüh- 
rende Schmiegungsebene  die  Kurve  schneidet  (I,  260)),  und  außer- 
dem eine  Asymptote,  5)  die  unendlich  ferne  Ebene  als  vierpunktig 
berührende  Schmiegungsebene  (Rückkehrebene),  wobei  dem  unendlich 
fernen  Punkte  zwei  Zweige  in  gleichem  Sinne  zustreben,  6)  2  Asymp- 
toten, 7)  einen  parabolischen  Verlauf,  8)  keinen  unendlich  fernen  Punkt. 


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260        VI,  241.   Durchschnitt  knimmer  Flächen  mit  krammen  Flächen. 

241.     Übungsaufgaben. 

1)  Man  nehme  Kegel  (einschließlich  Cylinder)  nach  diesen  Be- 
dingungen an  und  konstruire  ihre  Schnittkurve  samt  deren  Asymp- 
toten. Im  Falle  zweier  zusammenfallenden  unendlich  fernen  Punkte 
oder  des  parabolischen  Verlaufes  suche  man  die  asymptotische  Para- 
bel, welche  sich  der  Kurve  mit  dem  Fortschreiten  gegen  das  Unend- 
liche beliebig  nahe  annähert.  Dieselbe  liegt  in  derjenigen  Ebene, 
welche  parallel  zu  den  beiden  unter  einander  parallelen  und  die 
Kegel  nach  parallelen  Erzeugenden  berührenden  Ebenen  verläuft, 
und  die  beiden  Kegel  in  kongruenten  (und  parallelen)  Parabeln 
schneidet  Mit  beiden  wird  die  asymptotische  Parabel  kongruent 
und  parallel  sein,  ihre  Lage  gegen  sie  aber  von  den  Krümmungs- 
kreisen der  Kegelschnitte  der  vorigen  Nr.  in  ihrem  Berührungs- 
punkte abhängen. 

2)  Man  fertige  Fadenmodelle  der  vorgenannten  Kegel  und  ihrer 
Schnittkurven  an.  Der  Verfasser  hat  folgende  Art  der  Ausführung 
zweckmäßig  gefunden*).  Die  Grundlage  bildet  ein  würfelformiger 
Holzkasten  von  30  cm  Seite  in  Lichten,  dessen  Wände  aus  Brettern 
von  gleichförmigem  Holze  (vom  Birnbaum)  in  der  Stärke  von  1  cm 
gebildet  werden,  welche  an  vier  parallelen  Kanten  (schwalbenschwanz- 
tirtig)  verzinkt,  während  Boden  und  Deckel  aufgeschraubt  sind.  In 
drei  Projektionen  werden  die  Kegelflächen  und  die  zwei  Schnittpunkte 
jeder  Erzeugenden  mit  der  inneren  Würfeloberfläche  konstruirt  Diese 
Punkte  (in  einem  mittleren  Abstände  von  etwa  1  cm)  werden  auf  die 
Innenfläche  der  Bretter  übertragen,  in  ihnen  die  Bretter  fein  durch- 
bohrt, um  die  Schnittkurven  der  Flächen  Stäbe  von  1,5  cm  Breite 
eingezeichnet,  diese  unter  Stehenlassen  der  zurVerbindung  notwendigen 
anderen  Stäbe  (häufig  entlang  der  Würfelkanten)  ausgesägt,  zusam- 
mengefügt, schwarz  gebeizt,  und  dann  die  Erzeugenden  der  Flächen 
mit  stärkeren  Seidefäden  von  verschiedenen  Farben  eingespannt. 
Die  Schnittkurve  wird  durch  Glasperlen  bezeichnet,  durch  welche 
je  zwei  sich  schneidende  Erzeugende  gehen.  Im  Falle  des  spitz- 
winkligen Schnittes  kann  man  die  Perlen  durch  einen  nach  der 
Kurve  durchgezogenen  feinen  Faden  vereinigen.  Im  Falle  sich  die 
gespannten  Fäden  nicht  treffen,  macht  man  die  Kurve  durch  einen 
mehrfachen,  in  die  Kante  gespannten  Faden  bemerklich. 


*)  Die  technische  Hochschule  in  Karlsrahe  besitzt  eine  größere  Anzahl 
von  Modellen,  darunter  von  Kegelflächen  uncl  deren  Kurven,  welche  unter 
Anleitung  des  Verfassers  von  Stadirenden  in  der  oben  angegebenen  Weise  kon- 
struirt und  ausgeführt  wurden. 


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VI,  242—248.  Der  Darchsclinitt  Yon  Cylindem  a.  Kegeln  ontereinander.    261 

b)  Die  Raumkurye  dritter  Ordnung. 

242.  Haben  zwei  Kegel  zweiten  Grades  eine  Erzeugende  gemein 
(wobei  die  Spitze  eines  jeden  Kegels  auf  dem  anderen  liegt),  so  zerfalU 
die  Schnittlinie  in  eine  Gerade,  jene  Erzeugende,  und  in  eine  unebene 
Kurve  dritter  Ordnung  (kubische  Baumkurve),  Denn  eine  Ebene 
schneidet  die  Gesamtschnittkuire  in  vier  Ponkten;  und  da  von  den- 
selben einer  auf  jene  Gerade  fallt,  so  kommen  auf  die  ßestkurve  nur 
noch  drei.  Von  diesen  muß  stets  einer  reell  sein,  weil  von  den 
vieren  der  auf  der  Geraden  liegende  reell  ist,  während  die  zwei 
anderen  reell  oder  konjugirt  imaginär  sein  können. 

Diese  Kurve  dritter  Ordnung  geht  durch  die  Spitze  eines  jeden  der 
drei  Kegel.  Der  eine  Kegel  wird  in  seiner  Spitze  von  der  Berüh- 
rungsebene des  andern  Kegels  in  demselben  Punkte  in  zwei  Er- 
zeugenden getroffen,  von  denen  die  eine  die  gemeinschaftliche  Er- 
zeugende beider  Kegel,  die  andere  die  Tangente  unserer  Kurve  in 
jener  Spitze  ist 

Die  bezeichnete  Kurve  dürfen  wir  kurzweg  die  und)ene  oder 
Baumkurve  dritter  Ordnung  nennen,  weil  die  Analysis  zeigt,  daß  jede 
Kurve  dritter  Ordnung  auf  die  angegebene  Weise  erzeugt  werden  kann. 

243.  Satz.  Die  Baumkurve  k  dritter  Ordnung  unrd  aus  jedem 
ihrer  Punkte  durdi  einen  Kegel  zweiten  Grades  prqjicirt 

Geometrischer  Beweis,  Seien  A,  B  die  Spitzen  der  beiden  sich 
in  k  schneidenden  Kegel,  C  ein  beliebiger  Punkt  der  k,  aus  wel- 
chem k  projicirt  werden  soll,  und  P.der  bewegliche  Punkt  der  k] 
dann  sind  ÄC,  AP  und  BC,  BP  Erzeugende  bezw.  des  ersten  und 
zweiten  Kegels.  Die  beweglichen  Ebenen  ABP,  ACP  schneiden 
sjch  in  der  AP,  welche  den  ersten  Kegel  (A)  erzeugt;  sie  selbst  bilden 
daher  zwei  projektive  Ebenenbüschel  mit  den  Axen  AB  und  AG, 
Ebenso  sind  die  Ebenenbüschel  BA  und  BC,  welche  den  Kegel  B 
erzeugen,  unter  einander  projektiv.  Daher  sind  auch  die  Ebenen- 
büschel CA,  CB,  deren  entsprechende  Ebenen  durch  P  gehen,  die 
sich  also  in  den  projicirenden  Strahlen  CP  schneiden,  unter  ein- 
ander projektiv,  und  die  CP  erzeugen  einen  Kegel  zweiten  Grades 
(21),  w.  z.  b.  w. 

Auf  Grund  des  analytischen  Satzes,  daß  eine  algebraische  Kurve 
von  jeder  Ebene  in  derselben  Anzahl  (reeller  oder  imaginärer)  Punkte 
geschnitten  wird,  kann  man  den  vorigen  Satz  erweitert  aussprechen 
und  beweisen. 

Satz.  Eine  Baumkurve  k  von  der  n^  Ordnung  wird  aus  einem 
Punkte  C  durch  einen  Kegel  von  der  Ordnung  n,  n  -—  1,  n  —  2,  . . . 


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262    VI,  248>-244.  Darchschnitt  krummer  Flächen  mit  krammen  Flächen. 


Fig.  118. 


Fig.  118. 


n  —  m  projicirty  je  nachdem  G  außerhalb  Je,  oder  in  einem  1-,  2-,  ... 

m  fachen  Punkte  von  h  liegt. 

Analytischer  Beweis.    Eine  durch  C  gelegte  Ebene  schneidet  h 

in  n  Punkten,  außerhalb  C  daher  in  n,  n— 1,  n  —  2  ...  Punkten^ 

enthält  also  von  dem  Kegel'  in  den  bezeichneten  Fällen  bezw.  n, 

n  —  l,w  —  2,  ...n  —  W  Erzeugende,  woraus  der  Satz  folgt  (21). 
244.    Säte.    Eine  Baumkurve  dritter  Ordnung  k  ist  durch  sechs 

willkürlich  angenommene  Punkte   bestimmt^    von  denen  nicht  vier  in 

derselben  Ebene  liegen. 

Denn  legt   man   einen   projicirenden  Eegel   aus   einem   dieser 

Punkte  {Ä),    so  ist  derselbe  vom    zweiten  Grade,    kann  also   nur 

fönf  willkürliche  Erzeu- 
gende besitzen,  daher  k 
außer  Ä  nur  noch  fünf 
willkürliche  Punkte  enthal- 
ten kann,  welche  denKegel 
A  bestimmen.  Ebenso  ist 
der  aus  jedem  anderen  der 
Punkte  die  k  projicirenden 
Kegel  bestimmt.  Es  ist 
daher  k  die  gemeinschafb- 
liehe  Kurve  dieser  sechs 
Kegel  und  durch  zwei  der- 
selben bestimmt. 

Aufg.  Eine  Projektion 
der  Baumkurve  dritter  Ord- 
nung k  m  konstruiren,  wel- 
che durch  sechs  gegebene 
Punkte  A,  B,  C,  D,  E,  F 
geht,  von  denen  keine  vier 
in  einer  Ebene  liegen. 

Aufl.  Man  nehme 
zwei  der  Punkte,   A  und 

B,  als  Spitzen  der  bestim- 
menden Kegel,  lege  die 
Projektionsebene  P  durch 
drei    andere   der   Punkte, 

C,  D,  E,  so  sind  die  letz- 
teren Punkte  unmittelbar 

in  P,  die  drei  anderen  A,  B,  F  durch  ihre  Projektionen  und  etwa 
ihre  Abstände  von  P  gegeben.  Dadurch  kann  man  (in  einer  in  der 
Figur  nicht  angegebenen  Weise)  die  Spuren  0  und  JF\   bezw.  von 


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VI,  244—245.   Der  Durchschnitt  von  Cjlindem  u.  Kegeln  untereinander.    263 

AB  und  AF  in  P  bestimmen,  und  aus  F^  die  Spur  F^  von  BF, 
da  OF^F^  als  Spur  der  Ebene  ABF  eine  Gerade  sein  muß.  Mit- 
telst dieser  Projektion  löst  man  die  Aufgabe^  wobei  es  ganz  gleich- 
giltig  ist,  ob  Central-  oder  Parallelprojektion  angewendet  wurde. 

Die  Kegel  A  und  B  haben  nun  bezw.  die  durch  die  fünf  Punkte 
OCDEFi  und  OCDEF^  gelegten  Kegelschnitte  l  und  m  zu  Spuren. 
Man  bestimmt  einen  allgemeinen  Punkt  P  der  k,  indem  man  durch 
ABO  eine  beliebige  Hilfsebene  legt,  deren  Spur  OP^P^- die  l  und 
m  außer  in  0  bezw.  in  P^  und  Pj  treffe;  die  Ebene  schneidet  die 
Kegel  in  den  Erzeugenden  AP^y  BP^,  deren  Schnittpunkt  P  ist 
Die  Punkte  P^,  P^,  P  kann  man  ohne  Verzeichnung  der  Kegel- 
schnitte Z,  m  linear,  d.  i.  nur  mit  geraden  Hilfslinien  bestimmen 
(I,  321,  322).  —  Die  Tangente  der  k  in  P  erhält  man  als  Schnitt- 
linie PPq  der  Berührungsebenen  in  P  an  jeden  der  Kegel,  wobei  Pq 
der  Schnittpunkt  der  Tangenten  an  Z  in  P^  und  an  m  in  P^  ist. 

Um  die  Asymptoten  der  k  zu  ermitteln,  verschiebt  man  einen 
der  Kegel,  etwa  den  AI,  parallel  zu  seiner  Anfangslage,  bis  seine 
Spitze  A  nach  B  gelangt;  seine  Spur  V  ist  dann  eine  zu  l  per- 
spektiv-ähnliche  Kurve  mit  0  als  Ahnlichkeitspunkt,  wobei  dem 
Mittelpunkte  L  der  l  derjenige  L'  der  V  entspricht  (OLL'  eine 
Gerade,  BL'  \\  AL),  Man  bestimmt  nun  die  Schnittpunkte  von  V 
und  m,  welche  außer  0  in  der  Figur  die  drei  reellen  Punkte  Q,  R,  S' 
sind;  die  Kegel  BZ',  Bm  haben  daher  außer  SO  drei  gemeinschaft- 
liche Erzeugende  BQ,  BR,  BS,  mit  welchen  bezw.  die  Asymptoten 
q,  r,  s  der  k  parallel  laufen.  Es  ist  dann  z.  B.  die  r  durch  einen 
Punkt  Rq  derselben  bestimmt,  den  Schnittpunkt  der  Tangente  der 
m  in  JB,  und  der  Tangente  an  Z,  welche  derjenigen  der  V  in  R  ent- 
spricht, also  mit  ihr  parallel  ist.  Da  die  Kegelschnitte  V,  m  einen 
reellen  Punkt  0  gemein  haben,  so  besitzen  sie  wenigstens  noch 
einen  reellen  Schnittpunkt,  während  die  beiden  anderen  reell  oder 
konjugirt  imaginär  sind.  Daher  hat  k  auch  wenigstens  eine  reelle 
und  außerdem  noch  zwei  reelle  oder  zwei  imaginäre  Asymptoten. 

245.  Auf  einer  solchen  Grundlage  gelangt  man  zu  einer  Ein- 
teilung dieser  Kurven.  Jede  Raumkurve  dritter  Ordnung  schneidet  die 
unendlich  ferne  Ebene  in  drei  Punkten,  von  denen  wenigstens  einer 
reell  ist  Aus  jedem  ihrer  unendlich  fernen  Punkte  wird  die  Kurve 
durch  einen  Cyb'nder  (zweiten  Grades)  projicirt.  Nach  der  Eigen- 
tümlichkeit ihrer  unendlich  fernen  Punkte  unterscheidet  man  fol- 
gende drei  Arten  der  Kurven: 

1)  Die  kubische  Hyperbel;  sie  hat  drei  reelle  getrennte  unendlich 
ferne  Purste  und  drei  Asymptoten.  Sie  liegt  daher  auf  drei  Cylindem, 
welche  hyperbolisch  sind  und  wovon  je  zwei  eine  unendlich  ferne 


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264    VI,  245—247.  Dorclischnitt  krammer  Flächen  mit  krummen  Flächen. 

VerbiuduDgsgerade    von  zweien   jener  Punkte   gemein^    oder    zwei 
Äsymptotenebenen  parallel  haben. 

2)  Die  kubische  hyperbolische  Parabel;  sie  hat  einen  allein  liegenden 
und  0wei  msanwnenfallende  unendlich  ferne  Punkte,  eine  Asymptote 
und  eine  asymptotische  Parabel.  Aus  dem  ersteren  Punkte  wird  sie 
durch  einen  parabolischen^  und  aus  dem  letzteren  durch  einen  hyper- 
bolischen Cylinder  projicirt;  beide  Gy linder  haben  die  unendlich 
ferne  Verbindungslinie  der  getrennten  Punkte  gemein. 

3)  Die  kubische  Parabel;  sie  hat  drei  zusammenfallende  unendlich 
ferne  Punkte,  so  daß  die  unendlich  ferne  Ebene  ihre  Schmiegungs- 
ebene  bildet;  eine  Asymptote  besitzt  sie  nicht.  Aus  dem  unendlich 
fernen  Punkte  wird  sie  durch  einen  parabolischen  Cylinder  projicirt 

4)  Die  kubische  Ellipse;  sie  hat  einen  reellen  und  zwei  imaginäre 
unendlich  ferne  Punkte  und  eine  Asymptote;  sie  liegt  auf  einem  ellipti- 
schen Cylinder.  —  Diese  und  die  vorhergehende  Kurve  bedürfen  zu 
ihrer  Erzeugung  noch  eines  eigentlichen  Kegels. 

246.     Übtmgsaufgaben. 

1)  Die  vier  Fälle  der  kubischen  Baurnkurve  nach  der  vorigen 
Nr.  zu  konstruiren  und  in  der  in  Nr.  241  angegebenen  Weise  durch 
Fadenmodelle  darzustellen.  Dabei  empfiehlt  es  sich  bei  1)  die  drei 
Cylinder ;  bei  2)  die  zwei  Cylinder  und  die  Asymptotenebenen  des 
hyperbolischen  durch  Fäden  darzustellen.  Der  Schnitt  der  einen 
Asymptotenebene  mit  dem  parabolischen  Cylinder^  den  man  durch 
andersfarbige  Perlen  wie  die  Raumkurve  bezeichnen  kann,  bildet  die 
asymptotische  Parabel. 

2)  Die  Schnittlinie  ssweier  Kegel  zu  bestimmen,  wenn  die  Spitze 
des  ersten  Kegels  auf  dem  zweiten,  nicht  aber  die  des  zweiten  auf 
dem  ersten  liegt  —  Die  Spitze  des  ersten  Kegels  bildet  einen 
Doppelpunkt,  eine  Spitze  oder  einen  isolirten  Punkt  der  Schnitt- 
kurve, je  nachdem  die  Berührungsebene  des  zweiten  Kegels  in  die- 
sem Punkte  zwei,  eine  oder  keine  Erzeugende  des  zweiten  Kegels 
enthält 


m.    Der  Durohsohnitt  einer  Umdrehungsfl&ohe  mit  einem  Kegel 
oder  einem  Cylinder. 

a)  Der  Kegel  und  die  koncentrische  Kugel. 

247.  Man  stelle  die  P^  senkrecht  auf  die  Axe  a  der  üm- 
drehungsfläche;  vom  Kegel  sei  die  erste  Spur  c  gegeben  oder  sie 
werde,  wenn  eine  andere  Leitlinie  gegeben  ist,  konstruirt 

Aufg.  Die  Schnittlinie  einer  Umdrehungsßäche  mit  einem  Kegd 
m  konstruiren,  dessen  Spitze  auf  der  Axe  a  der  ersteren  Fläche  liegt 


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YI,  247— 248.  Durchsohnitt  e.  ümdrehnngsfl&che  mit  e.  Kegel  od.  Cjlinder.  265 

Als  Beispiel  sei  eine  Kugd  und  ein  damit  hmcentrischer  Kegel 
gewählt. 

Auft,  Sei  S  der  Mittelpunkt  der  Kugel  und  des  Kegels,  c  die  Fig.  lu. 
erste  Spur  des  Kegels,  h  der  zweite  Umriß  der  Kugel.  Der  Deut- 
lichkeit halber  sei  nur  ein  Ast  des  Kegels  und  der  Schnittlinie  ge- 
zeichnet; der  andere  ist  mit  ihm  symmetrisch  in  Bezug  auf  S.  Die 
Kugel  werde  durch  eine  zu  F|  parallele  Ebene  begrenzt.  Man 
könnte  nun  die  Hilfsebenen  durch  a,  in  unserem  Falle  durch  den 
auf  P|  senkrechten  Durchmesser  der  Kugel  legen;  sie  schneiden  die 
Umdrehungsfläche  in  Meridianen,  in  unserem  Falle  in  größten 
Kreisen,  den  Kegel  in  Erzeugenden.  Um  die  Schnittpunkte  beider 
Linien  zu  erhalten,  aber  doch  mit  der  Verzeichnung  des  Haupt- 
meridianes  auszureichen,  würde  man  jene  Meridian  ebenen  um  a  in 
die  Hauptmeridianebene  drehen,  hier  die  Schnittpunkte  bestimmen 
und  dann  zurückdrehen.  —  Zu  denselben  Konstruktiouslinien  führt 
auch  eine  andere  Anschauung,  die  wegen  ihrer  allgemeineren  Brauch- 
barkeit hier  sogleich  durchgeführt  werden  soll.  Man  legt  die  Hilfs- 
ebenen JLa(j|Pi);  sie  schneiden  die  Umdrehungsfläche  in  Parallel- 
kreisen, den  Kegel  in  Kurven,  welche  mit  c  ähnlich  und  parallel 
sind;  um  ihre  Verzeichnung  zu  ersparen,  projicirt  man  beide  Kur- 
ven aus  S  auf  P|,  wobei  sich  die  Parallelkreise  wieder  in  Kreise, 
die  Kurven  des  Kegels  alle  in  c  projiciren.  Man  bestimmt  deren 
Schnittpunkte  und  projicirt  sie  aus  S  auf  die  zugehörige  Hilfsebene 
zurück.  So  schneidet  eine  Hilfsebene  (||Pi)  die  Fläche  in  einem 
Parallelkreise,  dessen  Punkt  auf  dem  Hauptmeridiane  Q  ist;  Q  wird 
aus  8  auf  P^  nach  Q^,  der  Parallelkreis  in  den  aus  S'  durch  Q^ 
gezogenen  Kreis  projicirt,  dieser  schneidet  die  c  in  P,  und  R^, 
welche  aus  8  auf  jenen  Parallelkreis  nach  P  und  R  zurückprojicirt 
werden. 

Als  ausgezeichnete  Punkte  findet  man  diejenigen  auf  dem  zweiten 
Umrisse  der  Kugel  vermittelst  ihrer  Ebene  als  Hilfsebene,  und  die- 
jenigen auf  den  zweiten  Umrissen  des  Kegels  vermittelst  der  durch 
jeden  Umriß  gelegten  Umdrehungskegel  mit  a  als  Axe. 

248.  Die  Tangente  FT  in  einem  allgemeinen  Punkte  P  der 
Schnittlinie  erhält  man,  wenn  man  die  ersta  Spur  der  Berührungs- 
ebene des  Kegels  in  P,  d.  i.  die  Tangente  P^T  der  c  in  Pj,  mit 
derjenigen  VT  der  Kugel  in  T  schneidet;  VT'  wird  aus  der  Tan- 
gente Q"  W"  an  *"  in  Q"  durch  Drehung  von  W  um  a  nach  F, 
als  VT'±  S'  V  bestimmt  PT  ist  dann  die  Schnittlinie  beider  Be- 
rührungsebenen. 

Höchste  und  tiefste  Pimkte  der  Schnittkurve,  in  welchen  also 
die  Tangenten  ||  F^  laufen,  erhält  man  dann,  wenn  die  zusammen- 


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266    VI)  248 — 249.   Darchschnitt  krummer  Flächen  mit  krammen  Flächen. 


gehörigen    ersten    Spuren    der    Berührungsebenen    beider    Flächen 
unter  einander  parallel  sind^  wenn  also  die  Tangente  der  c  senk- 
recht   auf    der  Ver- 
Fig.  114.  bindungslinie       ihres 

Berührungspunktes 
mit  S'  steht  Die  Auf- 
gabe kommt  also  da- 
rauf hinaus^  aus  einem 
beliebigen  Punkte  S' 
der  Ebene  der  c  eine 
Normale  zu  ihr  zu 
I^  legen.  Diese  Aufgabe 
könnte  man  entweder 
mittelst  einer  Pehler- 
kurve  lösen  (I,  202), 
oder  dadurch  y  daß 
man  die  Evolute  der 
c  konstruirt  (I,  251), 
von  der  in  der  Fi- 
gur die  notwendigen 
Stücke  ausgeführt  sind 
und  an  sie  durch  An- 
legen des  Lineals  Tan- 
genten aus  S'  zieht; 
sie  sind  die  gesuch- 
ten Normalen  der  c. 
Ist  c  eine  Ellipse,  so 
zeigt  der  Anblick  ihrer  Evolute,  daß  wenn  S'  im  Inneren  der- 
selben liegt,  vier  Tangenten  an  dieselbe  gezogen  werden  können, 
wenn  im  Äußeren,  wie  in  unserem  Falle,  zwei.  Auf  diese  Weise 
sind  im  vorliegenden  Falle  die  zwei  Normalen  S'A^  und  S'Bi  ge- 
zogen, auf  denen  sich  der  höchste  Punkt  A,  bezw.  der  tiefste  B 
der  Schnittlinie  ergibt 

2i9.  Die  zweite  Projektion  der  Schnittlinie  besitzt  zwei  Doppd- 
punhte,  wovon  der  verzeichnete  Ast  den  einen  0"  enthält.  Man  be- 
stimmt dieselben  (233),  indem  man  von  dem  unendlich  fernen  Pro- 
jektionsmittelpunkte die  Polarebenen  beider  Flächen  ermittelt,  d.  i. 
die  Durchmesserebenen,  welche  die  zu  Pg  senkrechten  Sehnen  hal- 
biren  und  die  zweiten  Umrisse  enthalten.  Für  die  Kugel  ist  es  die 
zu  P^  parallele  Durchmesserebene  Sic,  für  den  Kegel  die  Durch- 
messerebene SDEj  wenn  BE  der  zur  Senkrechten  zu  Pj  konjugirte 
Durchmesser  der  Ellipse  c  ist.    Diese  beiden  Polarebenen  schneiden 


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VI,  249—250.  Durchschnitt  e.  Umdrehungsfläche  mit  e.  Kegel  od.  Cylinder.  267 

sich  in  SF,  deren  zweite  Projektion  8"  F"  die  Doppelpunkte  ent- 
hält;  die  dann  in  der  gewöhnlichen  Weise  konstruirt  werden. 


T     B' 


250,  Die  Losung  dieser  Aufgabe  gestattet  es^  die  andere  Auf- 
gabe^  „einen  hdiAigen  Kegel  obzuwickeM^j  mittelst  einer  geringeren 
Anzahl  von  Erzeugenden,  welche  aber  bei  Verwertung  der  Stetig- 
keit hinreicht,  jedoch  nicht  auf  so  einfache  Weise,  wie  in  Nr.  65, 
zu  lösen.  Die  Schnittlinie  des  Kegels  mit  einer  koncentrischen 
Kugel  wird  nämlich  bei  der  Abwickelung  zu  einem  Kreisbogen 
vom  Halbmesser  der  Kugel  und  vod  gleicher  Länge  mit  der  Scheitel- 
kurve. Die  Länge  einer  unebenen  durch  ihre  Projektionen  gegebenen 
Kurve  kann  aber  nicht  unmittelbar  aus  diesen  entnommen  werden; 
vielmehr  muß  man  diese  Kurve  erst  durch  Abwickelung  eines  ihrer 
projicirenden  Cylinder  in  eine  ebene  Kurve  von  gleicher  Länge  ver- 
wandeln. Der  erste  projicirende  Cylinder  hat  die  erste  Projektion 
zum  senkrechten  Schnitte,  und  dieser  wird  bei  der  Abwickelung  des 
Cy linders  zu  einer  Geraden  B'  A'B\  auf  welche  man  vermittelst  ifig.  ii4». 
kleiner  Stückchen  die  Länge  der  Kurve  B' A'B'  der  Hauptfigur 
unter  Bezeichnung  der  konstruirten  Punkte  überträgt.  Zieht  man 
in  diesen  Punkten  Senkrechte  zu  B'A'B\  überträgt  auf  sie  aus 


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268    VI,  250—251.   Dorchschnitt  krummer  Flächen  mit  krummen  il&olien. 

dem  Aufriß  die  Längen  der  jedesmal  zugehörigen  Projicirenden^  so 
bestimmen  deren  Endpunkte  die  Verwandelte  BÄB. 

Die  Tangente  FT  in  P  an  dieselbe   erhält  man,    wenn   man 
auf  Fä'  die  Länge  FT  aus    dem  Grundriß  (=  P" T)  überträgt 
und  FT  zieht. 
Fig.  114  b.  Zeichnet  man  nun  mit  dem  Halbmesser  der  Kugel  einen  freis  aus 

Sy  überträgt  auf  denselben  durch  kleine  Stückchen  die  Kurve  BAB 
der  Fig.  a  unter  Bezeichnung  der  konstruirten  Punkte,  zieht  durch  sie 
aus  S  die  Kegelerzeugenden,  gibt  ihnen  die  wahre  Länge  ihrer  bis 
zur  Leitlinie  e  reichenden  Stücke,  indem  man  z.  B.  8"Q^'  als  SF^  und 
SB^  überträgt,  so  erhält  man  durch  die  Endpunkte  die  Verwandelte 
B^  Äi  Bi  der  Leitlinie  c  und  somit  die  Abwickelung  des  Kegels. 

Die  Tangente  FT  in  F  wird  durch  Auftragen  des  rechtwink- 
ligen Dreiecks  bestimmt,  indem  man  FiFT=  90^  und  FT  gleich 
dem  FT  der  Fig.  a,  oder  Pj  T  gleich  dem  Pj  T  der  Hauptfigur  macht. 

Für  die  Punkte  Ä^,  B^,  in  welchen  die  Tangente  der  c  bezw. 
senkrecht  auf  der  zugehörigen  Kegelerzeugenden  SÄ^j  SB^  steht, 
kann  man  leicht  nach  Nr.  61  den  Krümmungshalbmesser  der  Ver- 
wandelten c  in  Fig.  b  bestimmen,  indem  man  den  Krümmungs- 
halbmesser der  ebenen  Kurve  c  in  der  Hauptfigur  durch  den  Co- 
sinus des  Winkels  der  Ebene  der  c  mit  der  Berührungsebene  des 
Kegels  im  fraglichen  Punkte  teilt  Ist  in  der  Ebiuptfigur  A^  A^  der 
Krümmungshalbmesser  der  c  in  A^,  ist  Ä^-^s-^s  =  ^'-^o-^u  ^^^  -^4 
auf  S"A^  so  bestimmt,  daß  A^AiJ^x,  so  ist  A^A^^  gleich  A^A^ 
der  Fig.  b.  Die  Krümmungskreise  in  A^  und  B^  schneiden  in  der 
Figur  die  c  bezw.  in  A^  und  Bi ;  doch  ist  dies  in  Ai  wegen  des 
nahen  Maximums  der  Krümmung  nicht  bemerkbar,  äußert  sich 
vielmehr  als  weit  reichendes  Zusammenfallen. 

b)  Die  sphärischen  Kegelschnitte. 
251,  Die  Schnittlinie  eines  Kegels  zweiten  Grades  mit  einer 
koncentrischen  Kugel  nennt  man  einen  sphärischen  oder  Kugeücegd- 
schnitt^  weil  er  ähnliche  Eigenschaften  wie  der  ebene  Kegelschnitt 
besitzt  Gehen  wir  von  einer  solchen  Eigenschaft  aus.  Ein  sphä- 
rischer Kegelschnitt  sei  erhlärt  als  der  geometrische  Ort  eines  FtmJUes 
F  auf  einer  Kugel,  dessen  Abstände  von  sswei  festen  Funkten  F,  F^ 
der  Kugel,  gemessen  durch  Bogen  größter  Kreise,  eine  Summe  oder 
Differenz  von  gegebener  Größe  besitzen.  Die  Punkte  F,  F^  heißen 
die  Brennpunkte,  die  Bogen  FF,  FF^  die  Leitstrahlen,  die  gegebene 
Größe  der  Summe  muß  größer,  und  die  der  Differenz  kleiner  als 
Fig.  116.  der  Bogen  FFi  sein.  Die  Figur  115  gibt  die  Projektion  auf  die 
durch  F,  F^  und  den  Kugelmittelpunkt  M  gelegte  Ebene;  es  soll  der 


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VI,  261—252.  DorchBchnitt  e.  ümdrehongsfl&che  mit  e.  Kegel  od.  Cylinder.  269 

sphärisclie  Kegelschnitt  konstruirt  werden^  für  welchen  die  Summe 
der  Leitstrahlen  FP+  PF^  =AA^{:>  FF^)  ist,  so  daß  man  die 
Kurve  eihe  sphärische  Ellipse  nennen  kann.  Um  einen  Punkt  P  zu 
erhalten,  teile  man  Bogen  ÄAi  durch  E  p.     ^^^ 

in   zwei   Teile,   ziehe   aus  F  mit  ÄE  _ 

«*=  FEi    als    sphärischen    Halbmesser.  V^-n 

einen  Kugelkreis  E^P  (in  der  Projektion 
ist  derselbe  eine  auf  FM  senkrechte 
Gerade),  und  aus  F^  mit  EÄi  =  F^E^ 
einen  solchen  E^  P;  beide  schneiden  sich 
in  zwei  Punkten  der  Kurve,  welche  sich 
beide  in  Pprojiciren.  Man  kann  natürlich 
auch  die  Mittelpunkte  F,  i^j  der  Kugel- 
kreise vertauschen.  Ist  auf  dem  größten 
Kreise  FF^  die  FÄ  ^-^F^A^,  so  sind 
A  und  A^  Punkte  der  Kurve,  die  Scheitel 

der  Hauptaxe  der  sphärisehen  Ellipse;  rückt  man  den  Teilungs- 
punkt E  in  die  Mitte  C  von  AA^^  so  erhält  man  die  beiden  Punkte 
B  der  Kurve,  welche  die  Scheitel  der  durch  den  Mittelpunkt  C  des 
Bogens  FFy  gehenden,  auf  AA^  senkrechten,  Nebenaxe  bilden. 

252.  Bezeichnet  man  die  den  Punkten  F,F^,A...  diametral 
gegenüberliegenden  Punkte  mit  2^',  F/,  -4' .  .  . ,  so  erhält  man  eine 
der  APA^  symmetrische  Kurve  A'P'A^^  deren  Brennpunkte  F, 
F^  sind.  Aber  J.P^i  kann  auch  als  sphärische  Ellipse  angesehen  wer- 
den, welche  A,  A^  zu  Scheiteln  der  Hauptaxe  und  F\  F^  zu  Brenn- 
punkten hat  Denn  aus  FP  +  PF^  =*  AA^  folgt,  wenn  der  Kugel- 
halbmesser =  1  gesetzt  wird,  so  daß  der  Halbkreis  CAC'^^  n  ist, 

{%  —  FP)  +  {n  —  PFy)  —  2«  —  AA^, 
oder  Pr  +  F/P  =  A,  CA . 

Man  nennt  die  beiden  Kurven  APAy^  und  A'P' A^  zusammen 
eine  sphärische  Ellipse,  deren  Brennpunkte  zugleich  F,  F^  und 
F',  Fy  sind.  —  Außerdem  kann  man  dieselben  beiden  Kurven  zu- 
sammen als  eine  sphärische  Hyperbel  betrachten,  deren  Brennpunkte 
zugleich  F,  Fi  und  -F^,  F'  sind.  Denn  aus  FP  +  PF^  =  AAi 
folgt  z.B.  für  -Fl, -F': 

(ä  -  FP)  -  PF,  =  7t  —  AA^, 
oder  F'P-PF,  =  A'A,. 

Daher  können  beide  Kurven  sowohl  als  sphärische  Ellipse,  wie 
auch  als  sphärische  Hyperbel  angesehen  werden.  Man  nennt  beide 
Kurvenäste  zusammen  einen  sphärischen  Kegelschnitt  mit  den  vier 
Brevmpwnkterk  F,  F^,  F\  Fi,  und  den  vier  Scheiteln  der  Hauptaxe 
Aj  Ay^j  A ,  Ai» 


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270    VI,  263—266.   Durchschnitt  krammer  Flächen  mit  krummen  Fl&chen. 

253,  Ein  sphärischer  Kegelschnitt  wird  a\As  dem  Mittdpunkte  M 
der  Kugel  durch  einen  Kegel  zweiten  Grades  prcjicirt.  Man  denke 
sich  auf  der  Verlängerung  eines  Leitstrahles  FP  von  JF^  aus  den 
anderen  Leitstrahl  PF^  als  PQ  aufgetragen,  so  bilden  alle  Q  einen 
aus  F  mit  FQ  =  ÄA^  beschriebenen  Kugelkreis  q.  Die  Tangenten 
an  PF^  in  F^  und  an  P^  in  ^  schneiden  sich  wegen  PJF\  =  PQ  in 
einem  Punkte  S  der  MP.  Bei  der  Bewegung  von  P  Bxxt  ÄPÄ^  be- 
schreibt jene  Tangente  in  F^  eine  Berührungsebene  der  Kugel,  jene 
Tangente  in  Q  einen  Umdrehungskegel,  welcher  der  Kugel  entlang  q 
umschrieben  ist,  folglich  beschreibt  der  Punkt  S  die  Schnittkurve 
jener  Berührungsebene  mit  diesem  Umdrehungskegel.  Der  Kegel, 
welcher  aus  M  den  von  P  beschriebenen  sphärischen  Kegelschnitt 
projicirt,  projicirt  auch  den  von  S  beschriebenen  ebenen  Kegel- 
schnitt, ist  also  vom  zweiten  Grade. 

Umgekehrt  schneidet  jeder  Kegel  zweiten  Grades  eine  koncen- 
trische  Kugel  in  einem  sphärischen  Kegelschnitte.  Denn  legt  man 
die  (drei  auf  einander  senkrechten)  Hauptebenen  des  Kegels,  wo- 
von zwei  den  Kegel  in  je  zwei  Erzeugenden  treffen,  so  schneiden 
diese  die  Kugel  in  den  Punkten  ÄÄ^^  und  in  den  zwei  Punkten  P; 
sei  AA^  >  BB,  und  bestimmt  man  auf  AA^  die  Punkte  F,  F^  durch 
BF^r^  BF^'=  \  AAi,  so  geht  ein  sphärischer  Kegelschnitt  durch 
Ay  -4,,  Bf  JB,  dessen  Brennpunkte  2^,  F^  sind,  welcher  daher  auch 
die  Ebenen  MAA^  und  MBB  zu  Symmetrieebenen  hat.  Dieser 
sphärische  Kegelschnitt  wird  aus  M  durch  einen  Kegel  zweiten 
Grades  projicirt,  dessen  Hauptebenen  samt  den  vier  Strahlen  in  den- 
selben mit  denen  des  gegebenen  Kegels  zusammenfallen.  Daher 
fallen  auch  beide  Kegel  zusammen  und  der  gegebene  schneidet  die 
Kugel  in  dem  bezeichneten  sphärischen  Kegelschnitte. 

254,  Die  Tangente  an  einen  sphärischen  Kegelschnitt  bildet  gleiche 
Winkel  mit  den  Leitstrahlen  des  Berührungspunktes ^  sie  halbirt  also 
in  unserem  Falle  die  Winkel  FPF^   und  F^PF'. 

Denn  man  erhält  den  zu  P  benachbarten  Punkt  Q  der  Kurve, 
wenn  man  zu  PE^,  PE^  zwei  benachbarte  gleich  weit  abstehende 
Parallelkreise  zeichnet  Beide  Paare  von  Parallelkreisen  bilden  einen 
unendlich  kleinen  Rhombus,  dessen  eine  Diagonale  PQ  ist  Daher 
bildet  PQ  oder  die  Tangente  der  Kurve  gleiche  Winkel  mit  den 
Parallelkreisen  und  mit  den  auf  ihnen  senkrechten  Leitstrahlen 
PF,  PF,. 

255,  Auf  einer  Kugel  können  durch  jeden  Punkt  P  zwei 
sphärische  Kegelschnitte  gelegt  werden,  welche  zwei  Paare  diame- 
tral gegenüberstehende  Punkte  F,  JP';  F,,  F,  zu  Brennpunkten 
haben.     Ihre  Tangenten  in  P  stehen  auf  einander  senkrecht     Für 


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VI,  255— 256.  Darchschnitt  e.  ümdrihangsfläche  mit  e.  Kegel  od.  Cylinder.  271 


Fj  F^  als  Brennpunkte  ist  der  eine  Kegelschnitt  eine  Ellipse,  der 
andere  eine  Hyperbel.  Die  Tangenten  halbiren  die  Nebenwinkel 
der  Leitstrahlen,  stehen  also  auf  einander  senkrecht  (oder  auch, 
weil  die  Elemente  beider  Kurven  die  eine  Diagonale  und  eine  Paral- 
lele zur  andern  Diagonale  des  Ehombus  der  vor.  Nr.  sind). 

256«    Die  Schaar  aller  sphärischen  Kegelschnitte  mit  denselben 
Brennpunkten  heißen  Jconfokale  sphärische  Kegelschnitte, 

Aufg,  Eine  Anzahl  Jconfokaler  sphärischer  Kegelschnitte  zu  ver-  Fig.  iie. 
zeichnen.  Es  sollen  Projektionen  auf  die  beiden  Durchmesserebenen 
gebildet  werden, 
von  denen  die 
eine  die  Brenn- 
punkte 1^,  Fj,  1^, 
Fl  enthält,  die 
andere  die  J^ogen 
FFi  und  F^F' 
halbiri 


Fig.  116. 


v^taK 


^ 


Aufl.  Man  ziehe  ^^x'Yv'l 
auf  der  Kugel  ^\;? 
aus  zwei  diametral  ^s 

gegenüber  ste- 
henden Brenn- 
punkten 2^  und  J?" 
als  Mittelpunkten 

Parallelkreise, 
welche  den  Um- 
fang des  größten 
Kreises  FF'  in 
eine  durch  vier 
teilbare  Anzahl  n 
(hier  28)  gleicher 
Teile  teilen;  eben- 
so Parallelkreise 
aus  Fl  und  F/  in 
denselben  Abstän- 
den. Man  denke 
sich    die    Kreise 

von  F  und  F^  aus  mit  0,  1,  2...i»...y  beziflfert.  Schneidet 
man  nun  die  Kreise  0,  1,  2  . . .  aus  F  bezw.  mit  denen  m,  m  —  1, 
m  —  2  ...  aus  F^,  so  ist  die  Summe  der  Abstände  aller  Schnitt- 


punkte von  F  und  Fi  übereinstimmend 


2ä,   wenn  wieder  der 


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272    VI,  256—257.  Porchschnitt  krammer  Flächen  mit  krummen  Flächen. 

Halbmesser  der  Kugel  <=»  1  gesetzt  wird.  Die  Punkte  gehören 
daher  einer  sphärischen  Ellipse  mit  den  Brennpunkten  F  und  F^ 
an.  Schneidet  man  die  Kreise  0^  1,  2  .  .  .  aus  jP  bezw.  mit  denen 
m,  m  +  1  ?  w  +  2  . .  .  aus  JP, ,  so  erhält  man  die  sphärische  Hy- 
perbel zu  F  und  jPj. 

In  der  Figur  sind  F  und  JPj  so  gewählt  ^  daß  ihr  Abstand  eine 
ganze  Anzahl^  nämlich  sechs  der  28  Teile  des  größten  Kreises  ent- 
hält. Dadurch  fallen  die  Teilungspunkte  aus  F  und  F^  in  einander. 
Jene  Parallelkreise  zeigen  sich  in  der  Projektion  auf  die  Ebene  der 
Brennpunkte  als  Gerade.  Die  Projektionen  der  sphärischen  Kegel- 
schnitte auf  jede  der  Projektionsebenen,  weil  diese  Symmetrieebenen 
derselben  sind,  bilden  Kegelschnitte  (237),  und  zwar  auf  der  Brenn- 
punktsebene Ellipsen,  deren  der  Kugel  nicht  mehr  angehorige  Teile 
durch  dieselben  Konstruktionslinien  erhalten  werden,  und  welche 
€line  Schaar  von  Kegelschnitten  bilden,  die  einem  Parallelogramme 
eingeschrieben  sind*).  Die  Projektionen  der  Kurven  auf  die  andere 
Projektionsebene  sind  teilweise  Ellipsen,  teilweise  Hyperbeln;  die 
ersteren  bestimmt  man  leicht  durch  ihre  aus  der  anderen  Projek- 
tion erhaltenen  Axen;  die  letzteren  durch  ihre  Hauptaxe  und  die 
Punkte  des  Umrisses  der  Kugel.  Drei  der  sphärischen  Kegelschnitte 
fallen  in  einen  größten  Kreis. 

257,  Projicirt  man  einen  sphärischen  Kegelschnitt  und  seine 
Brennpunkte  aus  dem  Kugelmittelpunkte  bezw.  durch  einen  Kegel 
zweiten  Grades  und  durch  zwei  Strahlen  MF^  MF^,  so  heißen 
diese  Strahlen  die  Fokallinien  des  Kegels.  Es  gilt  der  SabSj  daß 
jede  auf  einer  FokaUinie  senkrechte  Ebene  den  Kegel  in  einem  Kegel- 
schnitte trifft,  dessen  einer  Brennpunkt  auf  dieser  FokaUinie  liegt.  Es 
ergibt  sich  dies  daraus,  daß  nach  Nr.  253  Fig.  115  eine  solche  auf 
MFi  senkrechte  durch  F^  gelegte  Ebene  die  Kugel  berührt,  wäh- 
rend der  Kegelschnitt  zugleich  auf  einem  der  Kugel  (nach  q)  um- 
schriebenen Umdrehungskegel  liegt,  so  daß  der  Berührungspunkt  JP\ 
ein  Brennpunkt  der  Schnittkurve  der  Ebene  mit  dem  Kegel  ist 
(I,  333).  Die  Eigenschaften  von  Pol,  Polare  und  Leitlinien  kann 
man  durch  Projektion  von  diesem  ebenen  auf  den  sphärischen  Kegel- 
schnitt übertragen,  für  welchen  dann  auch  die  konjugii*ten,  durch 
einen  Brennpunkt  gehenden  Strahlen  auf  einander  senkrecht  stehen, 


*)  Nachdem  ich  diese  Eonstraktion  für  konfokale  sphärische  Kegelschnitte 
im  Anschluß  an  die  bekannte  fOr  ebene  Kegelschnitte  (I,  Fig.  248)  gezeichnet 
hatte,  brachte  mich  diese  Figur  und  ihre  Ähnlichkeit  mit  derjenigen  der  Erüm- 
mungelinien  des  EUipsoides  auf  die  früher  (1, 442}  angegebene  Art  derVerzeichnnng 
einer  gewissen  Schaar  von  Eegelschnitten,  worauf  ich  ähnliche  Eonstruktionen 
fär  alle  Arten  von  Eegelschnittschaaren  und  Büscheln  aufsuchte  (I,  426—447). 


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VI,  257—259.  Darchscbnitt  e.  ümdrehnngsfläche  mit  e.  Kegel  od.  Cjlinder.  273 

woraus  folgt ,   daß  hei  einem  Kegel  zweiten  Grades  die  konjugirten 
durch  eine  Fokallinie  gehenden  Ebenen  auf  einander  senkrecht  stehen*). 

c)  Die  stereographische  Projektion. 
258,     Hier   lassen  sich   leicht  die  Sätze   der  stereographischen 
Projektion  ableiten.    Es   ist   dies   die   Projektion   der  Linien   einer 
Eugelfläche  aus  einem  Punkte  S  derselben  auf  eine  Ebene ;  welche 
mit  der  Berührungsebene  der  Eugel  in  8  parallel  ist 

1)  Zum  Linien  auf  der  Kugel  bilden  denselben  Winkel,  wie  ihre 
Projektionen]  oder  was  dasselbe  sagt:  Zwei  Tangenten  der  Kugel 
in  einem  Punkte  P  derselben  bilden  denselben  Winkel,  wie  ihre 
Projektionen  in  P',  —  Denn  der  Strahl  SPP'  bildet  gleiche  Winkel 
mit  den  Berührungsebenen  der  Kugel  in  P  und  S,  also  auch  mit 
der  Ebene  jener  zwei  Tangenten  und  der  Projektionsebene.  Ferner 
steht  SPP'  senkrecht  auf  der  Schnittlinie  jener  Berührungsebenen, 
also  auclu  auf  der  Schnittlinie  s  der  Ebene  jener  Tangenten  und 
der  Projektionsebene.  Legt  man  daher  die  erstere  Ebene  in  die 
zweite  um,  so  kommt  P  in  P',  die  Tangenten  aus  P  kommen  mit 
ihren  Projektionen  aus  P',  welche  sie  in  s  schneiden,  zur  Deckung, 
und  ihre  Winkel  sind  daher  gleich. 

2)  Die  Projektion  k'  eines  Kreises  k  der  Kugel,  der  nicht  durch 
S  geht,  ist  wieder  ein  Kreis,  dessen  Mittelpunkt  C  die  Projektion  der 
Spitze  C  des  der  Kugel  nach  k  umschriebenen  Kegels  ist.  Denn  jede 
Erzeugende  des  umschriebenen  Kegels  berührt  die  Kugel  und  steht 
in  ihrem  Schnittpunkte  mit  k  senkrecht  auf  k.  Die  Projektionen 
der  Erzeugenden  sind  daher  Strahlen  aus  C,  welche  k'  senkrecht 
schneiden;  daher  muß  der  k'  ein  Kreis  mit  dem  Mittelpunkte  C 
sein.  —  Es  folgt  diese  Eigenschaft  auch  aus  Ni*.  67,  indem  die 
Ebene  des  gegebenen  Kreises  und  die  Projektionsebene  im  proji- 
cirenden  Kegel  antiparallel  sind. 

Übungsaufgaben,  Die  stereographische  Projektion  der  Erdkugel 
mit  ihren  Meridianen  und  Parallelkreisen  aus  a)  dem  Pole,  b)  einem 
Punkte  des  Äquators,  c)  aus  einem  beliebigen  Punkte  der  Kugel  zu 
yerzeichnen**). 

d)  Die  allgemeine  Aufgabe. 
269,    Aufg.    Die  Schnittlinie  einer   Umdrehungsfläche  mit  einem 
beliebigen  Kegel  zu  konstruiren, 

*)  ChasleSf  memoire  sor  les  propri^t^  g^n^rales  des  cönes  da  second  de- 
gr6,    Broxelles,  1880. 

**)  Eine  eingehende,  auf  Theorie  xind  auf  mannigfaltige  Anwendungen  ge- 
richtete Behandlang  hat  diese  Darstellungsweise  gefunden  in:  „Die  stereogra- 
phische ProjecUon  von  E.  Beusch,  1881." 

Wiener,  Lehrbach  der  darsteUenden  Aeometrie.   n.  18 

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274      VIi  269—260.    Dorcbscbnitt  krommer  Flächen  mit  krummen  Flächen. 


Fig.  117.  Aufl,    Sei  Pi  senkrecht  zur  Axe  a  der  UmdrehuDgsfläche,  eines 

Umdrehungsellipsoides,  gestellt,   und  sei  A  die  erste  Spur  der  a. 
Der  Eegel  habe  S  zur  Spitze  und  c  zur  ersten  Spur  (hier  eine  Ellipse). 

Eine  mit  Pj  paral- 
'^'  lele  Hilfsebene 

schneidet  die  üm- 
drehungsfläche  in 
einem  Kreise  PQ, 
den  Eegel  in  irgend 
einer  Kurve,  deren 
Verzeichnung  man 
vermeidet,  wenn  man 
den  Kreis  und  diese 
Kurve  aus  S  auf  die 
Pj  projicirt;  die  Pro- 
jektion d^r  ersteren 
Linie  ist  wieder  ein 
Kreis  Pi^i,  die  der 
letzteren  die  erste 
Spur  c  des  Kegels; 
die  Schnittpunkte  Pj 
und  Q^  beider,  aus 
S  auf  die  Hilfsebene 
zurückprojicirt,  lie- 
fern die  Punkte  P 
und  Q  der  gesuchten 
Kurve. 

Um  die  Tangente 
an  die  Schnittlinie 
in  P  zu  konstrui- 
ren,  bestimme  man 
für  P  die  erste  Spur 
Si  (_L  A'F")  der  Be- 
rührungsebene der 
Umdrehungsfläche  und  die  des  Kegels  als  Tangente  P^'  T'  an  c.  Der 
Schnittpunkt  T  von' beiden  bestimmt  mit  P  die  Tangente. 

260,  Die  atisgeiseichneten  Punkte  auf  den  Umrissen  des  Kegels 
erhält  man  mittelst  Hilfsebenen,  die  man  durch  sie  senkrecht  zu 
einer  Projektionsebene  legt.  So  führt  man  durch  den  Umriß  STJ^ 
der  zweiten  Projektion  eine  zu  P,  senkrechte  Hilfsebene;  sie  schnei- 
det das  Umdrehungsellipsoid  in  einer  Ellipse,  von  dem  sich  zwei 
Scheitel  B  und  G  auf  dem  Hauptmeridiane  ergeben,  während  ein 


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VI,  260—262.  Der  Durchschnitt  zweier  ümdrehongsflächen  unter  einander.  275 

dritter  Scheitel  D  bestimmt  ist  durch  die  Mitte  JD"  von  B"C"  und 
durch  D'  als  Punkt  des  Parallelkreises  von  D'\  Um  diese  Ellipse 
B'C'D'  mit  S'Ui  zu  schneiden^  kann  man  die  Verzeichnung  der 
Ellipse  vermeiden ;  indem  man  ihre  Affinität  mit  dem  über  der  einen 
(großen)  Axe  (wovon  2)'  der  eine  Endpunkt)  als  Durchmesser  ver- 
zeichneten Kreise  benutzt,  ^wodurch  man  die  Schnittpunkte  U\ 
U*'  und  daraus  Z7",  f7*"  erhält.  Entsprechend  verfährt  man  mit 
den  anderen  Umrissen  des  Kegels.  —  Die  Punkte  auf  dem  zweiten 
Umrisse  der  Umdrehungs fläche,  also  auf  seinem  Hauptmeridiane,  er- 
hält man,  indem  man  dessen  Ebene  mit  dem  Kegel  in  der  Kurve 
(Ellipse)  h'  schneidet,  welche  (ohne  vollständige  Verzeichnung)  auf 
jenem  Umrisse  die  Punkte  H",  L"  bestimmt,  woraus  sich  H',  L'  ergibt 
Die  hockten  und  tiefsten  Funkte  der  Schnittkurve,  in  denen 
ihre  Tangenten  parallel  mitP^  sind,  erhält  man  auf  einem  solchen 
Parallelkreise,  auf  welchem  zwei  Punkte  der  Kurve,  wie  P  und  Q^ 
zusammenfallen,  oder  dessen  Projektion  aus  S  auf  F^  die  c  in 
zwei  zusammenfallenden  Punkten,  wie  P^  und  Q^^  berührt.  Halbirt 
man  die  Bogen  P/^/  solcher  Kreise  1,  2,  3  .  •  .,  und  verbindet 
die  Mittelpunkte  durch  eine  Fehlerkurve  /*,  so  schneidet  diese  die  c 
in  Punkten,  wie  £/,  auf  deren  Erzeugenden,  wie  auf  SE^y  höchste 
oder  tiefste  Punkte,  wie  jB,  liegen.  E  erhält  man  wieder  vermit- 
telst einer  durch  SE^  gelegten  Hilfsebene;  oder  indem  man  durch 
eine  andere  Fehlerkurve  auf  8'  A'  den  Mittelpunkt  0  des  die  c  in  E^ 
berührenden  Kreises,  und  daraus  den  Parallelkreis  0  des  Punktes  E 
bestimmt 

261,  Übungscrnfgabe.  Den  Durchschnitt  einer  Umdrehungsfläche 
mit  einem  Cjlinder  zu  konstruiren,  etwa  eines  Ringes  mit  einem 
elliptischen  Cylinder. 

Sind  die  Erzeugenden  des  Cylinders  parallel  oder  senkrecht  zur 
Umdrehungsaxe,  so  gestaltet  sich  die  Auflösung  besonders  einfach. 

rv.    Der  Durohsohnitt  zweier  Umdrelumgsfläolien  unter  einander. 

262,  Man  erkennt  leicht: 

1)  Haben  zwei  ümdrehungsflächen  eine  gemeinschaftliche  Um- 
drehungsaxe, so  besteht  ihre  Schnittlinie  aus  gemeinschaftlichen 
Parallelkreisen. 

2)  Eine  Kugel  schneidet  eine  Umdrehungsfläche,  auf  deren  Axe 
ihr  Mittelpunkt  liegt,  nach  Parallelkreisen. 

Aufg.  Die  Schnittlinie  s  zweier  ümdrehungsflächen  fsu  Jconstruiren, 
deren  Axen  sich  treffen, 

Aufl,    Es  seien  a  und  h  die  Umdrehungsaxen  beider  Flächen  i^^.  iis. 
und  M  ihr  Schnittpunkt    Man  stelle  Pj  senkrecht  zur  einen  Axe, 

18* 

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276         VI,  262.   Durchschnitt  krummer  Flächen  mit  krommen  Flächen. 


etwa  der  a,  Pg  parallel  zu  beiden.  Die  erste  Fläche  sei  ein  verlänger- 
tes^ die  zweite  ein  abgeplattetes  Umdrehungsellipsoid^  bezw.  mit  den 
Hauptmeridianen  h  und  l,  den  Mittelpunkten  K  und  L,  und  den 
nicht  in  den  Umdrehungsaxen  liegenden  Halbaxen  K"  C  und  L"D'\ 
Der  erste  Umriß  der  ersten  Fläche  ist  der  Äquatorkreis,  derjenige 
der  zweiten  Fläche  eine  Ellipse,  welche  aber,  weil  nicht  notwendig, 

Fig.  118. 


.,^'-/f 


^-F^.iK 


\'^>. 


.,',-'''''tf' 


-^-:^:i^i 


nicht  verzeichnet  wurde.  Legt  man  eine  Hilfskugel  aus  M  als 
Mittelpunkt,  so  schneidet  dieselbe  jede  der  Flächen  in  einem  Parallel- 
kreise, deren  zweite  Projektionen  Gerade  sind  senkrecht  zu  den  be- 
züglichen Axen,  und  welche  Kreise  sich  in  reellen  oder  imaginä- 
ren Punkten  treffen,  weil  sie  auf  derselben  Hilfekugel  liegen.  So 
schneidet  der  Hauptmeridian  Q'^B!'  einer  Hilfskugel,  der  ein  Kreis 
aus  Jf"  ist,  jeden  der  beiden  gegebenen  Hauptmeridiane  in  zwei 
Punkten,  deren  Verbindungsgeraden  (?"P"  (J.  a")  und  T^'T"  (±  6") 
die  Schnittkreise  der  Kugel  mit  den  gegebenen  Flächen  darstellen. 
Der  Schnittpunkt  P"  beider  Geraden  ist  die  zweite  Projektion  der 
beiden  Schnittpunkte  jener  Kreise,  deren  erste  Projektionen  P',  P*' 
man  auf  der  ersten  Projektion  des  zu  P^  parallelen  Kreises  ^P 
erhält.     Auf  dieselbe  Weise  findet  man  beliebig  viele  Punkte  der 


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YI,  262—263.  Der  Durchscbnitt  zweier  ümdrehongsflächen  unter  emander.  277 

Scbnittknrve  Sy  insbesondere  auch  diejenigen  auf  dem  ersten  Um- 
risse der  aufrechtstehenden  ümdrehungsfläche.  —  Die  beiden  Haupt- 
meridiane liefern  die  Schnittpunkte  Ä  und  B. 

263,  Da  beide  Flächen  zweiten  Grades  sind  und  da  die  Ebene 
beider  Axen  eine  gemeinschaftliche  Hauptebene  und  parallel  zu  F^ 
ist,  so  ergibt  sich  die  zweite  Projektion  s"  der  Schnitthurve  als  eine 
Linie  zweiten  Grades  (237).  Von  derselben  ist  der  begrenzte  Bogen 
A"P'B"  nützlich,  der  übrige  Teil  parasitisch.  Doch  muß  man, 
wie  bei  den  Kegeln  in  Nr.  239,  die  ganze  Kurve  zweiten  Grades 
im  erweiterten  Sinne  als  zur  Schnittkurve  gehörig  ansehen.  Ein 
Teil  des  äußeren  Teiles  wird  durch  dieselbe  Konstruktion  erhalten, 
nur  daß  man  die  Sehnen,  wie  Q"P"  und  R"P'\  verlängern  muß. 
Die  Ergänzung  der  Kurve  ist  die  Schnittlinie  der  beiden  zu  den 
ümdrehungsflächen  in  Bezug  auf  den  unendlich  fernen  Projek- 
tionsmittelpunkt für  Pg  konjugirten  Flächen,  d.  i.  zweier  einschaligen 
Hyperboloide. 

Indem  man  die  gemeinschaftlichen  unendlich  fernen  Punkte 
dieser  Hyperboloide  aufsucht,  entscheidet  man  zugleich,  ob  s'  eine 
Ellipse,  Hyperbel  oder  Parabel  ist  Die  Asymptotenkegel  der  Flächen 
schneiden  die  parallel  zu  der  gemeinschaftlichen  Hauptebene  (und 
zu  Pg)  in  dem  Abstände  der  auf  Pg  senkrechten  jedesmaligen  halben 
Flächenaxe  (=  K'C  und  i"2)")  gelegten  Ebenen  bezw.  in  Kur- 
ven, deren  zweite  Projektionen  Ä  und  l  sind.  Verschiebt  man  den 
zweiten  Kegel  parallel  zu  seiner  Anfangslage  so,  daß  er  koncen- 
trisch  mit  dem  ersteren  liegt  (daß  also  LmK  rückt),  so  schneidet 
er  die  erstere  im  Abstände  K"C"  gelegte  Parallelebene  in  einer 
zu  V  ähnlichen  und  parallelen  (nicht  verzeichneten)  Ellipse  {|,  deren 
dem  i"  2)"  entsprechender  Halbdurchmesser  K"D^  =  K"C"  ist  Die 
Verbindungslinien  der  vier  Schnittpunkte  der  koncentrischen  Ellipsen 
h  und  \  mit  K  sind  parallel  zu  den  Asymptoten  der  Ergänzungs- 
kurven von  s\  und  die  zwei  Vertikalprojektionen  dieser  vier  Ge- 
raden sind  parallel  zu  den  Asymptoten  von  s". 

Je  nachdem  jene  vier  Schnittpunkte  reell  und  getrennt,  imaginär 
oder  in  zwei  Punkte  zusammenfallend  sind,  ist  s'  eine  Hyperbel, 
Ellipse  oder  Parabel;  und  dies  tritt,  wie  man  sich  leicht  vorstellen 
kann,  der  Reihe  nach  ein,  wenn  die  zwei  gleichen  Axen  {K"C  und 
K"Di)  nicht  parallel  und  gleichartig  (beide  große  oder  beide  kleine), 
nicht  parallel  und  ungleichartig  oder  parallel  sind.  Daraus  folgt  der 

Satz.  Die  Schnittlinie  zweier  UmdrehungseUipsoide,  deren  Um- 
drehungsaxen  in  einer  Ebene  liegen,  prqjicirt  sich  auf  diese  Ebene  in 
eine  Parabel,   wenn  die  Axen  parallel  laufen,   andernfalls  in  eine 


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278     VI,  263 — 266.    Dorchschnitt  krummer  Flächen  mit  krummen  Fl&chen. 

Hyperbel  oder  Ellipse,  je  nachdem  die  Flächen  gleichartig  {d.  i.  beide 
verlängert  oder  beide  abgeplattet)  oder  ungleichartig  sind. 

Auch  f&r  andere  Umdrehungsflächen  oder  für  dreiaxige  Flächen 
zweiten  Grades^  von  denen  zwei  Axen  sich  treflfen^  läßt  sich  in 
ähnlicher  Weise  die  gleiche  Frage  beantworten. 

264,  Die  Doppelpunkte  G%  G*'  der  ersten  Projektion  s'  der 
Schnittkurve  liegen  in  der  ersten  Projektion  der  Schnittgeraden 
der  Polarebenen  des  unendlich  fernen  Punktes  der  zAxe  zu  beiden 
Flächen  (226).  Die  zweiten  Projektionen  dieser  Ebenen  enthalten 
die  Halbdurchmesser  K''C",  L"E"  der  Ellipsen  k  und  l,  und  die 
erste  Projektion  ihrer  Schnittgeraden  ist  die  auf  P^  senkrechte  (und 
mit  der  ^Axe  parallele)  H"H\  Auf  ihr  findet  man  die  Doppel- 
punkte aus  den  vier  Schnittpunkten  der  beiden  Ellipsen^  in  welchen 
die  erste  projicirende  Ebene  von  WH'  beide  Flächen  trifft.  Diese 
Ellipsen  haben  H  zu  ihrem  gemeinschaftlichen  Mittelpunkte  und 
ihre  mit  y  und  e  parallelen  Axen  sind  bei  dem  aufrechten  Ellipsoid 
H'J,  H"Fj  bei  dem  geneigten  H"U,  H"Vy  wie  leicht  aus  der 
Figur  zu  erkennen. 

266,  Die  Aufgabe,  die  Schnittpunkte  istveier  Ellipsen  m  bestim- 
men, deren  beiderlei  Äxenlinien  in  einander  liegen,  kann  man  auf  ver- 
schiedene Weisen  lösen.  Zunächst  durch  eine  solche  affine  Ver- 
änderung, durch  welche  die  eine  Ellipse  in  einen  Kreis  übergeht 
Projicirt  man  durch  Parallele  zu  Pjj  und  Geneigte  gegen  P^  beide 
Ellipsen  so  auf  die  Äquatorebene  K"C  des  aufrechten  Ellipsoides, 
daß  die  erstere  Ellipse  ein  Kreis  wird,  wobei  die  zweite  aber  eine 
Ellipse  bleibt,  so  hat  man  nur  die  vier  Schnittpunkte  einer  Ellipse 
mit  einem  koncentrischen  Kreise  zu  bestimmen.  Diese  schiefe  Pro- 
jektion wurde  in  P^  in  der  Richtung  der  a?Axe  verschoben,  so  daß 
die  mit  y  parallelen  Axen  H^J^  ^=^  H'J  und  H^  U^^  ff'  U  sind. 
Macht  man  in  H''C"  die  H"F^=H'J,  so  hat  FF^  die  Richtung  der 
Projicirenden,  und  VV^'  ||  FF^  bestimmt  die  Axe  H"  F,"—  H^  V^  der 
schiefen  Projektion  der  zweiten  Ellipse.  Es  sind  nun  die  Schnittpunkte 
der  Ellipse  von  den  Axen  H^U^^==b ,  HJ^^=^  c  mit  dem  koncentrischen 
Kreise  von  dem  Halbmesser  H^ J^  =  H^F^=r  zu  bestimmen. 

Aufl.  1.   Analytisch  gibt  man  die  Gleichungen  beider  Kurven  an: 

woraus  man  für  die  Schnittpunkte  erhält 

1/6' -c» 
Aas  der  Figur  ist  ersichtlich,  daß 


,  Google 


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VI,  266.    Der  DorchschDitt  zweier  Umdrebongsflächen  unter  einander.        279 

schneidet  man  daher  U^  Y  mit  H^  F^  in  Z,  und  zieht  die  ZS^  so 
schneidet  diese  auf  H^Ji  die  H^G^'=^y  ab.  Dadurch  ist  G*'  und 
G'  (sowie  ein  Schnittpunkt  G^  jener  Ellipse  mit  dem  Kreise)  be- 
stimmt. Vermittelst  des  durch  G'  gehenden  Parallelkreises  lassen  sich 
dann  auch  die  beiden  zweiten  Projektionen  ff",  ff/'  der  vier  Punkte 
ermitteln. 

Aufl,  2.  Geometrisch  bestimmt  man  die  Schnittpunkte  einer 
Ellipse  mit  einem  koncentrischen  Kreise*),  indem  man  beachtet, 
daß  (I,  372)  Punkte  der  Ellipse  aus  den  beiden  über  den  Axen 
als  Durchmessern  gezogenen  Kreisen  als  Scheitel  der  rechten  Winkel 
in  rechtwinkligen  Dreiecken  gewonnen  werden,  deren  Hypotenusen 
durch  den  Mittelpunkt  gehen  und  von  beiden  Kreisen  begrenzt  sind, 
und  deren  vom  Punkte  des  großen  Kreises  ausgehende  Kathete 
senkrecht  auf  der  großen  Axe  stehl  Schneidet  man  jene  Kreise 
mit  -Hi  ?7|  bezw.  in  U^  und  F,,  beschreibt  über  U^V^  als  Durch- Fig.  iis. 
messer  einen  Kreis  und  schneidet  ihn  mit  jenem  koncentrischen 
Kreise  in  ff^,  so  ist  U^V^G^  die  Gestalt  desjenigen  rechtwinkligen 
Dreiecks,  welches  die  vier  Punkte  ff  liefert.  Man  dreht  dieses 
Dreieck  um  H^  an  seine  richtige  Stelle,  indem  man  vom  Punkte  U^ 
des  großen  Kreises  die  Kathete  U^  G^  zieht,  an  sie  einen  berühren- 
den Kreis  aus  i/^,  und  an  diesen  die  beiden  zur  großen  Axe  senk- 
rechten Tangenten  legt;  dieselben  enthalten  die  gesuchten  vier  Schnitt- 
punkte, sowie  auch  ff',  ff*'.  Oder  man  bestimmt  ff^  auf  dem  kleinen 
Kreise  so,  daß  H^gJ\  TJ^G^-,  dann  liegt  ff^  auf  G^G^G*'. 

Aufl.  3.  Unsere  Aufgabe,  auch  ng.  119. 

in  der  allgemeineren  Fassung,  die  ^^*  ^ ^^• 

vier  Schrnttpimktey  wie  Ä,  eweier  /f\^' 

koncentrischen  Kegelschnitte  Je,  k^  /'  \ 

Sfu  bestimmen,  kann  man  nach  I, 
409  ff.  lösen.    Man  ermittele  als  /  1 


I 


-f  / 


1^ 


Doppelstrahlen  der  beiden  Invo- 
lutionen konjugirter  Durchmes- 
ser (1, 348)  die  konjugirten  Halb-  y^  /     "'""i^Z.^ .  ."^.r 
durchmesser  MA,  MB  des  *,               y^        j         ''Ijj^'-.C" 
welche  in  konjugirte  Halbdurch-        y^  \  j/v'! 
messer  MAi ,  MB^  des  k^  fallen,    j^"        ir        'ji          AO<la 
mögen  diese  reell  oder  ideell  sein. 

Sind  TJ  und  V  die  unendlich  fernen  Punkte  von  MA  und  MB,  so 
ist  MW  das  gemeinschaftliche  Polardreieck  zu  k  und  \,    Sind  nun 


*)  Diese  Eonstruktion  ist  ans  Peschka,  darstellende  und  projektive  Geo- 
metrie, B.  3,  S.  261  entnommen. 


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280      VI,  266—266.   Durchschnitt  krammer  Flächen  mit  krummen  Flächen. 

die  P  und  Q  zwei  in  Bezug  auf  Tc  und  \  konjugirte  Punkte,  so  liegen 
vier  Schnittpunkte,  wie  S,  auf  zwei  Strahlen  aus  jedem  der  Punkte 
My  TJj  Vy  welche  durch  die  zwei  anderen  Punkte  und  durch  P  und 
Q  harmonisch  getrennt  sind.  Wählt  man  P  als  vierten  Eckpunkt  des 
Parallelogrammes  A^MBPy  so  sind  die  Polaren  BB  und  Ä^B^  von 
P  bezw.  zu  Je  und  k^  auf  die  in  der  Figur  ersichtliche  Weise  er- 
mittelt {MB .  MA^  =  MÄ^,  MB^  .  MB  =  MB^^]  ihr  Schnittpunkt 
ist  Q.  Schneidet  man  nun  VQ  mit  MÄ  in  Qq  und  bestimmt  G 
auf  MÄ,  so  daß  MG^  =  MAi .  MQ^,  so  geht  VG  durch  S.  Man 
erhält  aber  MG  ^==  MT ^  wenn  T  ein  Schnittpunkt  der  QQ^  mit 
dem  über  MA^  als  Durchmesser  beschriebenen  Kreise  ist.  Entspre- 
chend erhält  man  U8H,  sowie  MS.  Sollten  M,  P,  Q  auf  einer 
Geraden  liegen,  so  liegt  auch  8  auf  derselben.  —  Doch  dürfte  die 
unmittelbare  Verzeichnung  der  beiden  Kegelschnitte  rascher  und 
ebenso  genau  die  Schnittpunkte  liefern. 
Fig.  118.  266,    Die  Tangente  der  Schnittkurve  in  einem  Punkte  P  der- 

selben wird  hier  am  kürzesten  als  Senkrechte  zu  ihrer  Normalebene 
bestimmt,  und  diese  als  die  Ebene  der  Normalen  der  beiden  Flächen 
in  P.  Die  Normale  der  aufrechten  Fläche  ist  PN,  wenn  die  Nor- 
male QN  des  Hauptmeridians  die  Umdrehungsaxe  a  in  .W  schneidet; 
die  Normale  der  geneigten  Fläche  entsprechend  PO.  Daher  ist  NO 
die  Spur  der  Normalebene  in  der  Ebene  der  beiden  Umdrehungs- 
axen,  und  auf  ihr  steht  die  zweite  Projektion  P"T"  der  Kurven- 
tangente senkrecht;  die  Spur  der  Normalebene  in  der  ||  P^  durch  P 
gelegten  Ebene  ist  P'X',  wenn  X  der  Schnittpunkt  dieser  Ebene 
mit  NO]  daher  ist  P'r±P'X\ 

Man  bemerkt,  daß  die  Tangente  im  Aufriß  unabhängig  vom 
Grundriß  gefunden  wird,  so  daß  dadurch  auch  die  Tangenten  in 
den  Endpunkten  Ä",  B"  des  nützlichen  Kurvenstückes  bestimmt 
werden  können,  während  eine  solche  als  die  Projektion  der  Schnitt- 
linie der  Berührungsebenen  beider  Flächen,  da  diese  J_  P,  stehen,  nur 
ein  Punkt  sein  würde.  So  ist  für  A"  die  Tangente  A''T^  J^N^O^, 
wenn  jy^,  0^  die  Schnittpunkte  der  Normalen  der  Flächen  in  A 
bezw.  mit  a  und  b  bilden.  Aus  der  Tangente  -4."  T^  läßt  sich  auch 
leicht  der  Krümmungshalbmesser  A'Aq  =  WA^  (und  entsprechend 
der  B'Bq  in  B')  nach  Nr.  171  bestimmen,  wenn  TT  den  Schnittpunkt 
von  A"Tj^  mit  a"  bezeichnet,  als  Halbmesser  des  Parallelkreises 
mit  dem  Mittelpunkte  W  des  die  erste  Fläche  nach  dem  Parallel- 
kreise von  A  berührenden  Kegels. 

Man  kann  auch  auf  eine  andere  Art  diesen  Krümmungshallh 
messer  bestimmen,  indem  man  A^T^  als  die  zweite  Projektion  der 
Schnittlinie  der  beiden  Kugeln  auffaßt,  welche  aus  N^  und  0,  durch 


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VI,  266—267.   Der  Durchschnitt  zweier  Umdrehncgeflächen  unter  einander.  281 

A  gelegt  sind,  also  die  Umdrehungsfläclien  bezw.  nach  ihren  durch 
A  gehenden  Parallelkreisen  berühren.  Die  Schnittlinie  dieser  Kugeln 
ist  ein  Kreis ,  dessen  Ebene  XN^O^  stellt,  dessen  Halbmesser  und 
halbe  zweite  Projektion  «=  I\-4"  ist,  und  welcher  den  Krümmungs- 
kreis der  Schnittkurve  s  in  -4  bildet,  und  zwar,  weil  A  ein  Scheitel 
der  Sj  einen  solchen  mit  vierpunktiger  Berührung.  Denn  der  Kreis 
T^A"  und  die  durch  A  gehenden  Parallelkreise  beider  Flächen  und  s 
berühren  sich  zweipunktig  in  A]  die  benachbarten  Parallelkreise, 
welche  je  einer  Fläche  und  ihrer  berührenden  Kugel  gemein  sind, 
liefern  noch  zwei  Schnittpunkte,  welche  der  s  und  dem  Kreise. 
T^A"  angehören,  so  daß  diese  letzteren  Linien  vier  in  A  zusammen- 
fallende Punkte  gemein  haben*).  Die  erste  Projektion  dieses  Krüm- 
mungskreises der  $  ist  eine  Ellipse,  deren  Axen  =  T^A"  und  gleich 
der  ersten  Projektion  (T^A")  von  T^A"  sind,  deren  Krümmungs- 
halbmesser in  A'  daher  =  T^A"^:{T,A")  ^A"A,  =  A'A^  ist, 
wenn  A^  den  Schnittpunkt  der  N^  0^  mit  der  auf  a"  Senkrechten 
A"  A^  bezeichnet. 

267.    Übungsaufgaben. 

1)  Die  Schnittlinien  zweier  Umdrehungsflächen  zweiten  Grades, 
deren  Umdrehungsaxen  sich  treffen,  zu  verzeichnen,  unter  Annahmen, 
wodurch  die  Projektion  der  Schnittlinie  auf  die  Ebene  jener  Axen 
eine  Ellipse,  Hyperbel  oder  Parabel  wird  (s,  Nr.  263).  Ebenso  von 
zwei  dreiaxigen  Flächen  zweiten  Grades  mit  zusammenfallenden 
Hauptebenen  (263,  Schluß);  die  erste  Projektion  kann  auch  bei 
Ersatz  der  Kreise  durch  Kegelschnitte  leicht  ohne  deren  Verzeich- 
nung bestimmt  werden. 

2)  Aus  drei  Punkten  von  bekannter  Lage  auf  der  eben  und 
horizontal  gedachten  Erdoberfläche  mißt  man  gleichzeitig  die  Winkel, 
welche  die  Sehstrahlen  nach  einem  Luftballon  mit  der  Lotlinie  bil- 
den; man  soll  aus  diesen  Winkeln  die  Horizontalprojektion  und  die 
Höhe  des  Ballons  konstruiren. 

Die  Auflösung  vermittelst  der  Durchschnitte  dreier  Umdrehungs- 
kegel bietet  eine  Mehrdeutigkeit,  welche  aber  durch  die  Angabe 
beseitigt  wird,  in  welchen  von  den  durch  die  Vertikalebenen  je 
zweier  Beobachtungspunkte  gebildeten  Winkeln  sich  die  Sehstrahlen 
nach  dem  Ballon  befinden. 

3)  Den  Ort  des  Ballons  in  der  vorhergehenden  Aufgabe  zu  be- 
stimmen, wenn  von  ihm  aus  die  drei  Winkel  gemessen  sind,  welche 
die  Sehstrahlen  nach  den  drei  gegebenen  Punkten  miteinander  bilden. 


*)  Soweit  findet  sieb  diese  Entwickelung  in  Mannheim ^  C.  d.  g6om,  desc, 
1880,  S.  212. 


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.iv" 


282      VI,  267—268.   Darchschnitt  knimmer  Flächen  mit  kmmmen  Fl&chen. 

Die  Auflösung  geschieht  vermittelst  des  Durchschnittes  dreier 
Ringflächen,  wovon  jede  die  Verbindungslinie  zweier  der  gegebenen 
Punkte  zur  Axe  und  einen  Kreisbogen  zum  Meridiane  hat,  der  den 
zugehörigen  gemessenen  Winkel  faßt. 

268.   Aufg.    Die  Schnittlinie  eweier  ümdrehungselUpsoide  zu  hm- 
struiren,  deren  Umdrehungsaxen  sich  nicht  schneiden*). 
Fig.  120.  Aufl.    Man  nehme  die  eine  Projektionsebene,  etwa  P^,  parallel 

zu  beiden  Umdrehungsaxen,  und  es  seien  dann  die  zweiten  Projek- 

tionen    der   Umrisse   und 
^'  Hauptmeridiane  beider 

Flächen  die  Ellipsen  &,  l 
bezw.  mit  den  Halbaxen 
K''A'%  K''B"  und  VC", 
L"I)"\  ^^  und  ZrC  seien 
die  U  mdrehungsaxen,  de  n 
kürzester  Abstand  außer- 
dem gegeben  sei  mit  der 
Bemerkung,  daß  der  Mit- 
telpunkt L  vor  demjeni- 
gen £"  liege.  Die  Stellung 
der  Pj  soll  in  einer  für 
die  Konstruktion  zweck- 
mäßigen Weise  bestimmt 
werden.  Jede  auf  P,  senk- 
rechte Hilfsebene  schnei- 
det jede  der  Flächen  in 
einer  Ellipse,  deren  eine 
Axe  senkrecht  auf  Pg  steht^ 
so  daß  die  Axen  beider 
Ellipsen  paarweise  parallel 
sind.  Bestimmt  man  nun 
die  Stellung  der  Hilfs- 
ebene derart,  daß  die  bei- 
den Schnittellipsen  ähn- 
lich und  ähnlich  gelegen  sind,  so  kann  man  P^  so  annehmen,  daß 
die  ersten  Projektionen  beider  Ellipsen  Kreise  werden.  Um  dies  zu 
erreichen,  lege  man  ein  drittes  Umdrehungsellipsoid,  ähnlich  und 
ähnlich  gelegen  mit  dem  ersten  (£),  von  dem  der  Mittelpunkt  und 
die   Scheitel  der  auf  Pg.  senkrechten  Axe  bezw.   mit  dem   Mittel- 


*)  Der  Grandgedanke  der  folgenden  Auflösung  rührt  von  Chapw^  her 
(Correspondance  sur  T^cole  polytechnique,  B.  2,  1811,  S.  156). 


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VI,  268—269.  Der  DurcliBchnitt  zweier  Umdrebangsflächen  unter  einander.   283 

punkte  L  und  mit  Scheiteln  des  zweiten  zusammenfallen.  Sein  Haupt- 
meridian ist  daher  die  Ellipse  \  mit  den  Scheiteln  E'\  F'\  wobei 
L"E"\K"Ä',   L"F'\K"B\   VF"  ^L"I)'\   F'E"\B"A". 

Die  beiden  koncentrischen  Ellipsoide  berühren  sich  nun  in  den 
gemeinsamen  Scheiteln  der  auf  F,  senkrechten  Axe;  daher  wird  ihre 
SchnittkuryO;  wenn  überhaupt  eine  solche  besteht;  durch  zwei  El- 
lipsen gebildet;  deren  jede  jene  Scheitel  zu  Scheiteln  hat;  und  deren 
zweite  Projektionen  die  gemeinschaftlichen  Durchmesser  G" E!\ 
J" M"  ihrer  Hauptmeridiane  sind,  wenn  sich  diese  in  den  vier 
Punkten  6r",  B.'\  J'\  M"  treffen.  Die  auf  Pg  senkrechte  durch 
einen  dieser  Durchmesser,  etwa  durch  Gr" B!\  gehende  Ebene  schnei- 
det daher  die  zweite  und  dritte  Fläche  in  derselben  Ellipse,  daher 
die  erste  und  zweite  in  ähnlichen  und  ähnlich  gelegenen  Ellipsen; 
nnd  letzteres  gilt  auch  von  jeder  mit  jener  Ellipse  0"H"  parallelen 
Ebene.  Soll  die  Projektion  auf  eine  P^  von  der  Ellipse  GH  und 
dann  von  jeder  der  bezeichneten  parallelen  Ellipsen  ein  Ereis  sein, 
so  ziehe  man,  am  besten  an  der  größten  KW  dieser  Ellipsen,  aus 
einem  Endpunkte  W"  einer  der  mit  P^  parallelen  Axen  eine  der 
Tangenten  W"W'  an  den  aus  Jl"  durch  JS"  gezogenen  Ereis,  und 
stelle  Pj  senkrecht  zu  dieser  Tangente.  Dann  sin^  die  auf  der  Tan- 
gente senkrechten  Linien  K'Ä'  und  L'C\  deren  Abstand  gleich  dem 
gegebenen  Abstände  der  ümdrehungsaxen  ist,  die  ersten  Projektionen 
von  diesen  Axen  und  von  den  Hauptmeridianen*,  und  es  können 
dann,  wie  in  der  Figur  geschehen,  die  ersten  Umrisse  der  Flächen, 
zwei  Ellipsen,  die  jedoch  zur  weiteren  Eonstruktion  nicht  notwendig 
sind,  leicht  verzeichnet  werden.  Eine  mit  G" H"  parallele  Hilfs- 
ebene 0"S"  schneidet  beide  Flächen  in  Ellipsen,  deren  Mittelpunkte 
N  und  Jß  auf  den  zu  den  Hilfsebenen  bezw.  konjugirten  Durchmes- 
sern KN  und  LB  liegen.  Die  ersten  Projektionen  dieser  Ellipsen 
sind  die  aus  N'  durch  0'  und  aus  B'  durch  S'  gezogenen  Exeise; 
diese  schneiden  sich  in  den  Punkten  P'  und  Q'  der  gesuchten 
Schnittkurve  s,  aus  denen  sich  B"  und  Q"  auf  0" 8"  ergeben. 

269.  Um  die  Tangente  der  Schnittkurve  in  ihrem  Punkte  P  zu 
ermitteln,  lege  man  in  P  die  Berührungsebene  an  jede  der  beiden 
Flächen,  die  man  durch  die  Tangenten  der  durch  P  gehenden  Hilfs- 
ellipse und  durch  die  Erzeugende  des  der  Fläche  entlang  dieser 
Ellipse  umschriebenen  Eegels  bestimmt,  und  schneide  beide  Be- 
rührungsebenen mit  einer  der  Hilfsebenen,  etwa  mit  der  durch 
K"  W"  «=»  Ä"  bestimmten  Hilfsebene  H.  Für  die  erste  Ellipse  ist  die 
Spitze  jenes  Eegels  der  Schnittpunkt  TJ  der  Tangente  0"Z7"  des 
Hanptmeridians  h  in  0"  mit  dem  Durchmesser  K"N"]  der  Schnitt- 
punkt der  Erzengenden  ÜB  dieses  Eegels  mit  H  ist  27^,   und  die 


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284     VI,  269—270.   Darchsolmitt  krammer  Flächen  mit  krammen  Flächen. 

Spur  der  Berührungsebene  in  H  ist  die  mit  der  Tangente  jener 
Hilfsellipse  in  P  parallele  TJ^Ty  deren  erste  Projektion  IJ^T  par- 
allel mit  der  Tangente  des  Hilfekreises  in  P'  oder  J_  JVP'  läuft. 
Entsprechend  zeichnet  man  für  die  zweite  Fläche  die  Tangente 
S'T'  der  Z,  VF,  V^  und  V^T  ±R'P\  Die  Spuren  U^T  und 
F/T'  beider  Berührungsebenen  treffen  sich  in  T\  so  daß  PT  die 
gesuchte  Tangente  ist. 

Man  bemerkt^  daß  zweierlei  Stellungen  der  Hilfsebenen  und 
viererlei  Stellungen  der  P^  möglich  sind.  —  Treffen  sich  die  Haupt- 
meridiane l  und  \  des  zweiten  und  dritten  EUipsoides  nicht;  so  ist 
das  angegebene  Verfahren  nicht  anwendbar.  Man  konnte  zwar  eine 
andere  mit  der  ersten  Fläche  ähnliche  und  parallele  Gestalt  der 
dritten  so  bestimmen^  daß  die  Hauptmeridiane  der  zweiten  und  drit- 
ten Fläche  sich  in  zwei  diametral  gegenüberstehenden  Punkten  be- 
rührten ^  die  Flächen  daher  doch  wieder  zwei  Ellipsen  gemein  hat- 
ten^  und  könnte  diese  als  Kreise  projiciren.  Da  die  Ebenen  dieser 
gemeinsamen  Ellipsen  aber  gegen  F,  geneigt  wären  ^  so  würde  dieses 
Verfahren  zu  umständlich  sein;  man  wendet  daher  dann  besser  das  der 
folgenden  Aufgabe  für  zwei  allgemeine  Flächen  zweiten  Grades  an. 

Die  Doppelpunkte,  wie  X\  der  ersten  Projektion  s'  der  Schnitt- 
kurve  liegen  wieder  in  der  ersten  Projektion  X"X'  der  Schnitt- 
geraden der  zur  ersten  Projicirenden  (J-Pj)  konjugirten  Durch- 
messerebenen JSr"X",  VX!'  beider  Flächen.  Der  eine  Doppelpunkt 
X'  ist  ein  eigentlicher^  der  andere  ist  ein  isolirter  Punkt.  Beide 
konnten  wie  in  den  Nummern  227,  233  bestimmt  werden. 

270.  tjhungsaufg.  Die  Schnittlinie  zweier  beliebigen  Umdrehungs- 
flächen  m  ermitteln.  Man  wendet  hier  vorteilhaft  eine  Fj  und  Hilfs- 
ebenen an^  welche  senkrecht  auf  der  Axe  der  einen  Fläche  stehen. 
Dieselben  schneiden  diese  Fläche  in  Kreisen,  die  andere  aber  in 
Kurven  von  wechselnder  Gestalt^  deren  Verzeichnung  im  allgemeinen 
nicht  vermieden  werden  kann. 

Sind  aber  diese  Kurven  unter  einander  ähnlich  und  ahnlich  ge- 
legen, so  gestaltet  sich  das  Verfahren  einfacher.  Nun  kommt  unter 
allen  Umdrehungsflächen  nur  denen  vom  zweiten  Grade  die  Eigen- 
schaft zu^  von  unter  einander  parallelen  Ebenen  von  beliebiger 
Stellung  in  ähnlichen  und  ähnlich  gelegenen  Kurven  geschnitten  zu 
werden.  Ist  daher  die  eine  von  beiden  Flächen  vom  zweiten  Grade, 
so  legt  man  die  Hilfsebenen  senkrecht  zur  Axe  der  anderen  Fläche; 
dann  schneiden  sie  diese  Fläche  in  Kreisen,  diejenige  vom  zweiten 
Grade  in  ähnlichen  und  ähnlich  gelegenen  Kegelschnitten.  Die  Ver- 
zeichnung derselben  kann  man  aber  vermeiden,  wenn  man  in  P| 
einen  mit  jenen  Kegelschnitten   ähnlichen   und    ähnlich   gelegenen 


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VI,  270—272.   Der  Dorchschnitt  zweier  Flächen  2.  Gr.  unter  einander     285 

festen  Kegelschnitt  verzeichnet  und  in  ihn  jene  Schnittkurven  aus 
wechselnden  Projektionsmittelpunkten  projiciri  Dabei  projiciren  sich 
die  Schnittkreise  wieder  in  Kreise,  deren  Schnittpunkte  mit  dem 
festen  Kegelschnitte  *man  dann  nur  aus  den  zugehörigen  Projektions- 
mittelpunkten in  die  entsprechenden  Hilfsebenen  zurückzuprojiciren 
braucht;  um  in  ihnen  Punkte  der  gesuchten  Schnittkurve  zu  erhalten. 
Dies  Verfahren  ist  auch  bei  zwei  Umdrehungsflächen  zweiten 
Grades  nicht  unvorteilhaft. 


V.    Der  Dnrohflohnitt  zweier  Flächen  zweiten  Orades 
unter  einander. 

271.  Jede  Fläche  zweiten  Grades  läßt  ßtm  Schaaren  paralleler 
Ebenen  zu^  welche  die  Fläche,  wenn  sie  ein  hyperbolisches  Para- 
boloid  ist,  in  einer  unendlich  fernen  und  in  je  einer  durch  das  End- 
liche gehenden  Geraden,  in  den  anderen  Fällen  in  je  einem  Kreise 
schneiden.  Bei  der  Bestimmung  der  Schnittlinien  zweier  Flächen 
zweiten  Grades  benutze  man  die  Ebenen  einer  dieser  Schaaren,  welche 
der  einen  von  beiden  Flächen  zugehoren,  als  Hilfsebenen;  sie  schnei- 
den die  andere  Fläche  in  ähnlichen  und  ähnlich  gelegenen  Kegel 
schnitten.  Um  die  wiederholte  Verzeichnung  von  solchen  zu  ver- 
meiden, lege  man  die  eine  Projektionsebene  P^  parallel  zu  den  Hilfs- 
ebenen, zeichne  in  P^  einen  Kegelschnitt  k\  ähnlich  und  ähnlich  ge- 
legen mit  den  genannten  und  in  passender  Größe  und  Lage,  so  lassen 
sich  diese  auf  k'  aus  einem  der  jedesmaligen  beiden  Ahnlichkeits- 
punkte  8  projiciren;  aus  S  pfojicire  man  auch  jene  Geraden  bezw. 
Kreise  der  ersten  Fläche  in  P^  (wieder  in  Gerade  bezw.  Kreise), 
schneide  diese  Projektionen  mit  dem  festen  Kegelschnitte  1c'  und 
projicire  die  Schnittpunkte  aus  S  in  die  zugehörigen  Hilfsebenen 
(also  auf  die  ursprünglichen  Geraden  und  Kreise)  zurück,  so  erhält 
man  in  den  Projektionen  Punkte  der  Schnittkurve.  Liegt  eine  Schaar 
von  Geraden  vor,  so  kann  man  deren  Durchschnitte  mit  den  Kegel- 
schnitten auch  ohne  Projektion  auf  den  festen  Kegelschnitt  und  mit 
Vermeidung  der  Verzeichnung  der.  einzelnen  Kegelschnitte  bestim- 
men (I,  384,  besonders  einfach  bei  Ellipsen). 

272.  Ätrfg.   Die  Durchschnittslinie  eines  EUipsoides  mit  einem 
elliptischen  Parabohide  zu  bestimmen. 

Aufl.    Man  nehme  die  eine  Schaar  der  Kreisschnittebenen  des 
EUipsoides  zu  Hilfsebenen;   da  dieselben  parallel   mit  der  mittel- 
großen der  drei  Axen  des  Ellipsoids  sind,  so  stelle  man  die  P^  senk- 
recht auf  diese  Axe  und  damit  auf  die  Hilfsebenen.   M  sei  der  Mittel-  rig.  i«. 
punkt,    MÄ   die    mittelgroße   Halbaxe,    die   Ellipse   e   die   zweite 


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286         VI,  272.    Durchschnitt  krummer  Flächen  mit  krummen  Flächen. 

Projektion  des  zu  Pg  parallelen  Hauptschnittes  der  Fläche.  Legt 
man  nun  aus  M  als  Mittelpunkt  eine  Kugel  mit  dem  Halbmesser 
MÄ,  welche  die  Ebene  der  Ellipse  e  in  einem  koncentrischen  größ- 
ten Kreise  trifft ^   so   schneidet  dieser  die  e  in  yier  Punkten^   den 

'   Fig.  121. 


Endpunkten  zweier  Durchmesser^  welche  die  Projektionen  zweier 
Kreise  des  EUipsoides  sind,  mit  deren  einem  wir  die  Projektionsaxe  x 
und  Pj  parallel  annehmen.  Der  Umriß  der  ersten  Projektion  ergibt 
sich  als  Ellipse,  deren  eine  Halbaxe  Jf' J.'  «=  MA  ist. 


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VI,  272—278.   Der  Darohschnitt  zweier  Flachen  2.  Gr.  unter  einander.    287 

Das  Paraboloid  sei  gegeben  durch  seine  erste  Spur^  die  Ellipse 
JCj  und  durch  den  Berührungspunkt  E  seiner  mit  F^  parallelen  Be- 
rührungsebene. Sind  B'  und  C  die  Berührungspunkte  der  auf  x 
senkrechten  Tangenten  der  Je,  so  ist  die  Parabel  BEC  oder  p,  deren 
Tangente  in  E  parallel  zu  BC^  der  zweite  Umriß  des  Paraboloides 
und  wird  nach  I,  380  verzeichnei  Sei  D  der  Mittelpunkt  von  BC, 
80  ist  ED  der  zu  P^  konjugirte  Durchmesser  der  Parabel  p  und  des 
Paraboloides;  er  enthält  die  Mittelpunkte  aller  mit  P^  parallelen 
(und  mit  h  ähnlichen  und  ähnlich  gelegenen)  Schnittellipsen  der 
Fläche^  sowie  die  Spitzen  der  Eegel^  welche  diese  Kegelschnitte  auf 
jenen  festen  Kegelschnitt  projiciren,  wenn  man  als  solchen  die  erste 
Spur  Je  des  Paraboloides  wählt 

Man  lege  nun  parallel  zu  ^^  eine  Hilfsebene;  dieselbe  schneidet 
die  Ellipse  e  in  zwei  Punkten,  deren  einer  JF"  sei,  und  den  zu  x  kon- 
jugirten  Durchmesser  der  e  in  G'\  daher  das  EUipsoid  in  einem 
Kreise  t  vom  Mittelpunkte  G  und  dem  Halbmesser  G''F".  Die 
erste  Projektion  %  desselben  kann  nun,  mittelst  M'  G' F*  \Xj  ver- 
zeichnet werden.  —  Dieselbe  Hilfsebene  trifiFb  das  Paraboloid  in  einer 
zu  Je  ähnlichen  und  ähnlich  gelegenen  Ellipse,  deren  auf  dem  Um- 
risse p  gelegener  Punkt  H"  dem  Punkte  B  oder  C  der  Je  entspricht, 
weil  die  Tangenten  beider  Kurven  in  diesen  Punkten  J-Pj,  also 
unter  einander  parallel  sind.  Die  Spitzen  der  beiden  diese  zwei  El- 
lipsen auf  einander  projicirenden  Kegel  sind  daher  die  Schnittpunkte 
von  ED  mit  HB  bezw.  mit  HC.  Wählen  wir  den  ersteren  Punkt 
S  (den  äußeren  Ahnlichkeitspunkt  der  Ellipsen),  so  projicirt  sich 
aus  ihm  die  in  der  Hilfsebene  gelegene  Ellipse  des  Paraboloides 
auf  Pj  in  Je,  der  Kreis  %  des  EUipsoides  in  i^ ,  dessen  Mittelpunkt  G^ 
die  erste  Spur  der  8G,  und  dessen  Halbmesser  gleich  der  Projek- 
tion ff/'J\"  des  G"F''  aus  S"  auf  x  ist.  Schneiden  sich  *  und 
«I  in  den  Punkten  P|  und  Q^,  so  projicire  man  diese  aus  S  auf  % 
zurück  in  die  Punkte  P  und  Q,  oder,  was  genauer,  man  bestimme 
r  und  Q'  auf  V  durch  G'^  |  G^P^  und  G' Q'  \  G^Q^.  P  und  Q 
sind  dann  Punkte  der  Schnittkurve  s. 

Das  angegebene  Verfahren  erfordert  zur  Bestimmung  der  zwei 
oder  vier  Punkte  einer  Hilfsebene  15  bezw.  19  Operationen,  nach- 
dem die  für  alle  Hilfsebenen  zu  benutzende  Konstruktion  ausgeführt 
ist;  zu  der  Verzeichnung  der  Kegelschnitte  in  ihren  Hilfsebenen 
würden  dagegen  mehr  als  die  doppelte  Anzahl  von  Operationen 
notwendig  sein. 

273.  Die  Tangente  der  Schnittkurve  s  in  einem  Punkte  P  der- 
selben erhält  man  mittelst  der  Berührungsebenen  beider  Flächen 
in  P,  und  diese  mittelst  der  berührenden  Kegel  beider  Flächen  entr 


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288        VI,  273.    Darchschnitt  krammer  Flächen  mit  krummen  Flächen. 

lang  ihrer  Kurven  in  der  durch  P  gelegten  Hilfsebene.  Die  erste 
Spur  dieses  Kegels  fQr  das  Ellipsoid  ist  ein  Kreis  ^  dessen  Mittel- 
punkt die  erste  Spur  eT  des  zu  Pj  konjugirten  Durchmesser  MJ 
des  EUipsoides  und  dessen  Halbmesser  =  «/""Jf",  wenn  F"K"  die 
Tangente  des  zweiten  Umrisses  dieser  Fläche  in  F'\  und  K"  deren 
Schnitt  mit  x.  Die  erste  Spur  der  durch  P  gehenden  Erzeugenden 
ist  Ji,  wenn  XJ^  \  G'P  ||  Ö/P^,  und  wenn  J'3^=J"K',  die 
erste  Spur  der  Berührungsebene  des  Kegels  und  des  EUipsoides  in 
P  ist  dann  J^  T  (_L  «TJi).  Andererseits  ist  die  erste  Spur  jenes 
dem  Paraboloide  umschriebenen  Kegels  ähnlich  und  ähnlich  gelegen 
mit  der  ersten  Spur  h  des  Paraboloides^  und  zugleich  mit  ihr  kon- 
centrisch,  weil  die  Spitze  des  berührenden  Kegels  auf  dem  der  F, 
konjugirten  Durchmesser  2) JE?  des  Paraboloides  liegt,  welcher  die 
Mittelpunkte  der  Berührungsellipse  und  der  2;  enthält.  Ein  Punkt 
der  ersten  Spur  des  Kegels  ist  die  auf  JS'C  liegende  erste  Spur  Y' 
der  Tangente  der  ^  in  H\  die  erste  Spur  der  durch  P  gehenden 
Erzeugenden  des  Kegels  ist  dann  der  Punkt  W  der  Geraden  D'Pj, 
wenn  F'TTBJB'Pi,  und  die  erste  Spur  der  Berührungsebene  des 
Kegels  und  des  Paraboloides  in  P  ist  TTT',  welche  parallel  mit  der 
Tangente  der  Ä;  in  P^  gezogen  wird.  J^T  und  WT  bestimmen 
durch  ihren  Schnittpunkt  T  die  erste  Spur  der  gesuchten  Tangente 
PT,  woraus  auch  F'T  folgt. 

Die  scheinbaren  Doppelpunkte,  wie  K\  der  zweiten  Projektion 
der  Schnittkurve  liegen  in  der  zweiten  Projektion  der  Schnittlinie 
XY  der  Ebenen  der  zweiten  Umrisse  beider  Flächen  (e  und  p  = 
BEC),  ist  also  bestimmt  durch  die  Schnittpunkte  X  und  Y  der  auf 
Pj  senkrechten  Ebene  der  Ellipse  e  bezw.  mit  BC  und  DE.  Zur 
Bestimmung  der  Doppelpunkte  selbst  konnte  man  zwar  (227,  233) 
die  Verzeichnung  von  Kegelschnitten  vermeiden;  wir  wollen  sie 
aber  verzeichnen,  weil  dadurch  die  Betrachtung  einfacher  und  die 
Ausfuhrung  kaum  verwickelter  wird.  Die  zweite  projicirende  Ebene 
von  XY  samt  ihren  Schnittlinien  i",  m"  mit  beiden  Flächen  ist  in 
P2  umgelegt,  und  die  Kegelschnitte  sind  aus  ihren  Axen  teilweise 
verzeichnet.  Sie  besitzen  zwei  reelle  Schnittpunkte,  wie  N"\  deren 
zweite  Projektion  N"  den  eigentlichen  Doppelpunkt  bildet.  Außer- 
dem besitzen  sie  aber  noch  eine  gemeinschaftliche  auf  X'"  Y'"  senk- 
rechte Sehne  R'"B"y  welche  nach  I,  410  als  gemeinschaftliche  Sehne 
der  zu  T"  und  w'"  konjugirten  Kegelschnitte,  oder  nach  I,  411  zu- 
gleich mit  der  reellen  gemeinschaftlichen  Sehne  ohne  Verzeichnung 
der  Kegelschnitte  gefunden  werden  könnte.  Einfacher  aber  erhält 
man  diese  zweite  Sehne  iJ'"2iJ",  nachdem  die  erste  N'"N"  konstruirt 
ist,   indem  man  beachtet,    daß  die  beiden  Sehnen  zu  dem   durch 


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VI,  278—274.   Der  Durchschnitt  zweier  Flächen  2.  Gr.  unter  einander.    289 

V"  und  m'"  bestimmten  Kegelschnittbüschel  gehören,  deren  Kurven 
also  auf  X"'y"  eine  involutorische  Punktreihe  einschneiden.  Je 
ein  Paar  derselben  ist  durch  V"  und  m"  gegeben,  von  dem  dritten 
durch  jene  Seimen  bestimmten  Paare  ist  ein  Punkt  (auf  K"  N")  ge- 
geben, woraus  der  andere  J?'"  durch  eine  Rechtwinkelinvolution  mit 
dem  Mittelpunkte  Z  (I,  302)  gefunden  wird.  Derselbe  bestimmt  den 
isolirten  Punkt  J?"  der  s\ 

Für  die  scheinbaren  Doppelpunkte  der  ersten  Projektion  (wie 
L')  ist  nur  die  sie  enthaltende  Grade  VU'  bestimmt,  als  Schnitt- 
linie der  Ebenen  der  ersten  Umrisse  beider  Flächen.  Die  für  das 
EUipsoid  (_L  Pj)  hat  u^  zur  zweiten  Projektion;  die  für  das  Para- 
boloid  ist  durch  die  drei  Punkte  L^,  Lg,  L^  bestimmt,  wobei  L^  der 
Berührungspunkt  des  Paraboloids  mit  einer  auf  x  senkrechten  Ebene, 
L^j  L^  die  Berührungspunkte  der  aus  iS^  an  Ic  gezogenen  Tangenten, 
wenn  8^  auf  DE  die  Spitze  des  dem  Paraboloid  entlang  h  um- 
schriebenen Kegels  {ESy^  ™  DE), 

274,     Übungsaufgaben. 

1)  Die  Schnittlinie  eines  hyperbolischen  Paraboloides  mit  einem 
einschaligen  Hyperboloide  (oder  einer  andern  Fläche  zweiten  Grades) 
zu  ermitteln.  Das  Paraboloid  sei  durch  F^  als  Leitebene  und  durch 
zwei  Leil^erade,  das  Hyperboloid  durch  seine  erste  Spur,  einen 
Kegelschnitt  h,  durch  seinen  Mittelpunkt  M  und  durch  einen  mit  F^ 
parallelen  Halbdurchmesser  MÄ,  oder,  wenn  M  in  Fj  liegt,  durch 
den  zu  F^  konjugirten  Halbdurchmesser  mit  seinem  reellen  oder 
ideellen  Endpunkte  gegeben  (vergl.  Ende  271). 

2)  Die  Schnittlinie  zweier  hyperbolischen  Paraboloide  zu  kon- 
struiren,  welche  eine  gemeinschaftliche  Richtebene  besitzen. 

3)  Die  Schnittlinie  eines  hyperbolischen  Paraboloides  mit  einem 
Cylinder  zu  bestimmen,  wenn  die  Erzeugenden  des  letzteren  mit  der 
Richtebene  des  ersteren  parallel  laufen. 

4)  Die  Schnittlinie  eines  Kegels  (oder  Cylinders)  mit  einer  Regel- 
flache zweiten  Grades  F  zu  verzeichnen.  Die  Hilfsebenen  lege  man 
durch  die  Spitze  S  des  Kegels  und  durch  wechselnde  Erzeugende 
der  F;  eine  solche  Hilfsebene  enthält  noch  eine  zweite  Erzeugende 
der  F  und  liefert  im  allgemeinen  vier  Punkte  der  Schnittlinie.  Alle 
Hilfsebenen  berühren  den  aus  8  der  F  umschriebenen  Kegel,  der 
mit  Vorteil  benutzt  werden  kann. 

5)  Die  Schnittlinie  s  eines  beliebigen  Kegels  K,  dessen  Spitze 
S  ist,  mit  einer  Nichtregelfläche  zweiten  Grades  F  zu  ermitteln.  Jede 
Hilfsebene,  welche  man  durch  8  legt,  schneidet  den  K  in  einer  An- 
zahl von  Erzeugenden  ^,  die  F  in  einem  Kegelschnitte  k]  die  Schnitt- 
punkte der  g  und  k  gehören  der  s  an.     Um  die  Verzeichnung  der 

Wiener,  Lehrbaoh  der  darstellenden  Geometrie.  II.  ^-*|rtt:  -      '    -  ^"^x^^ 


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290     VI,  274—276.  Dorchsclinitt  krammer  Flächen  mit  krummen  Flächen. 

Eegelschnitte  k  zu  vermeideD^  könnte  man  nach  I,  384  ihre  Eolli- 
neation  mit  dem  Kreise  benutzen.  Besser  aber  verwendet  man  einen 
festen  Kegelschnitt  f  der  F^  projicirt  in  ihn  jeden  Je  aus  einem  der 
beiden  zulässigen  Punkte  der  Verbindungslinie  der  Pole  der  Ebenen  von 
k  und  von  /*  zu  P  (86),  projicirt  dabei  die  Geraden  g  in  Gerade  g'y 
und  dann  die  Schnittpunkte  der  g'  mit  f  wieder  auf  die  g  zurück. 
Vorteilhaft  dürfte  es  sein,  die  Ebene  von  f  durch  S  zu  legen. 

276.  Die  als  SchnütUnie  zweier  Flächen  ztoeiten  Grades  gebildete 
RaumJcurve  vierter  Ordnung  kann  jserfaUen*): 

1)  In  ewei  Kegelschnitte.  Es  geschieht  dies  dann,  wenn  beide 
Flächen  in  jedem  von  zwei  Punkten  ihrer  Schnittlinie  eine  gemein- 
schaftliche Berührungsebene  besitzen  (235,  3)).  In  diesen  Punkten, 
welche  reell  oder  imaginär  sein  können,  treffen  sich  dann  die  bei- 
den Kegelschnitt.e. 

2)  In  eine  Gerade  und  eine  Baumkurve  dritter  Ordnung;  wir 
werden  diesen  Fall  in  der  folgenden  Nummer  betrachten. 

3)  In  zwei  Gerade  g  und  h  und  einen  Kegeischnitt  k.  Die  Flächen 
sind  dann  Regelflächen,  im  allgemeinen  einschalige  Hyperboloide. 
Es  müssen  g  und  h  den  k  schneiden,  weil  die  Ebene  des  k  außer 
k  keine  Punkte  mit  einer  Fläche  zweiten  Grades  F  gemein  haben 
kann.  Außerdem  müssen  sich  g  und  h  unter  einander  schneiden, 
weil  sonst  nur  eine  Fläche  P  durch  g,  A,  k  gehen  würde  (142, 1)), 
und  nicht  zwei,  deren  Schnitt  sie  bilden,  g  und  h  gehören  dann 
nicht  derselben  Schaar  von  Erzeugenden  an,  und  jede  g^^,  welche  h 
und  k,  aber  nicht  g  schneidet,  bestimmt  mit  g  und  k  eine  durch 
diese  Linien  und  durch  h  gehende  F.  —  Im  besonderen  haben  zwei 
Kegel  (mit  verschiedenen  Spitzen),  welche  sich  entlang  einer  gemein- 
samen Erzeugenden  berühren,  noch  einen  Kegelschnitt  gemein. 

4)  In  vier  Gerade  ^,  g^,  ä,  Äj.  Haben  zwei  Flächen  zweiten 
Grades  F,  Fj  drei  Gerade  gemein,  so  sind  dies  Erzeugende,  aber 
nicht  alle  von  derselben  Schaar,  weil  sonst  die  Flächen  ganz  ineinander 
fallen  würden;  sie  seien  g,  A,  h^,  wobei  g  die  h  und  die  h^  trifft.  Die 
Restschnittlinie  kann  keine  krumme  Linie  sein,  weil  sonst  jede  durch 
zwei  Punkte  dieser  Linie  gelegte  Ebene  die  drei  Geraden  noch  in 
drei  Punkten,  die  beiden  Flächen  daher  in  dem  durch  dieselben  fünf 
Punkte  bestimmten  Kegelschnitte  träfe,  so  daß  die  Flächen  ganz 
ineinander  fielen.  Femer  kann  die  Restschnittlinie  keine  Gerade  h^ 
sein,  weil  sonst  die  drei  gemeinsamen  Geraden  h,  h^,  h^  nur  eine 
Fläche  bestimmen  würden.     Dagegen  kann  sie  eine  (die  h  und  h^ 

*)  Bei  analytischer  Behandlung  würde  man  hier  zweckmäßig  den  Satz  an- 
wenden, daß,  wenn  eine  Kurve  in  Teilkurven  zerßült,  die  Summe  der  Ord- 
nungszahlen der  Teilkurven  gleich  der  Ordnungszahl  der  Gesamtkurve  ist. 


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VI,  275—276.   Der  Dorohschnitt  zweier  Flächen  2.  Gr.  unter  einander.    291 

schneidende)  Grerade  g^  sein,  weil  die  Fläche  F  dann  durch  die  vier 
Geraden  g^  g^,  h,  h^  noch  nicht  bestimmt  ist;  sondern  erst  durch 
einen  weiteren  Punkt  P  (nämlich  durch  die  Erzeugende  g^^  welche 
man  durch  P  schneidend  mit  h  und  h^^  oder  durch  die  Ag^  welche 
man  durch  P,  g,  g^  legen  kann).  Die  vier  gemeinsamen  Geraden  zweier 
Regelflächen  zweiten  Grades  gehören  daher  zu  zwei  jeder  der  beiden 
Schaaren  an  und  bilden  ein  windschiefes  Viereck.  —  In  besonderem  Falle 
sind  sie  vier  gemeinsame  Erzeugende  zweier  koncentrischen  Eegel. 

276.     untersuchen  wir  nun  den  zweiten  Fall  der  vor.  Nr. 

Haben  zwei  Regelflächen  zweiten  Grades  "EL^y  H,  {im  allgemeinen 
einschalige  Hyperboloide)  eine  Gerade  g  gemein^  so  wird  der  Best  k 
ihrer  Schnittlinie  von  jeder  Ebene  in  drei  Punkten  geschnitten,  ist  also 
eine  RaumJcurve  dritter  Ordnung"^),  und  zwar,  wie  wir  alsbald  sehen 
werden;  dieselbe;  wie  die  durch  den  Schnitt  zweier  Eegel  zweiten 
Grades  entstehende  (242). 

Es  ergeben  sich  folgende  Sätze: 

1)  Die  Baumkurve  dritter  Ordnung  k  kann  auch  als  der  Ort  des 
Schnittpunktes  der  (drei)  entsprechenden  Ebenen  von  drei  unter  einander 
projektiven  Ebenenbüscheln  betrachtet  werden.  Denn  ist  g^  eine  Er- 
zeugende der  Fläche  H^;  g^  der  H,;  welche  jedesmal  derselben  Schaar; 
wie  die  gemeinschaftliche  Erzeugende  g  angehören;  so  sind  die 
Flächenbüchel  g^y  g^  mit  dem  Flächenbüschel  g,  und  daher  auch 
unter  einander  projektiv;  wenn  diejenigen  Ebenen  als  entsprechend 
bezeichnet  werden;  welche  durch  denselben  Punkt  der  k  gehen;  und 
k  ist  der  Ort  des  gemeinschaftlichen  Punktes  der  entsprechenden 
Ebenen  der  drei  unter  einander  projektiven  Ebenenbüschel  g,  g^,  g^. 


*)  Über  Banmknrven  3.  0.  rührt  die  erste  Arbeit  von  Möbius  her.  Der- 
selbe leitet  in  seinem  barycentrischen  Calcnl,  1827,  S.  120,  aus  ihrer  Gleichung 
die  Eigenschaft  her,  daß  die  Kurve  unter  gewissen  Umständen  der  Schnitt 
zweier  Eegel  2.  0.  ist ,  und  gibt  Ebenen  an ,  welche  von  der  Gesamtheit  ihrer 
Tangenten  in  einem  Kegelschnitte  getroffen  werden.  Seydetoitz  (Arch.  der  Math. 
Q.  Phys.  V.  Grnnert^  B.  10,  1847,  S.  208)  läßt  diese  Kurven  aus  zwei  kollinearen 
räumlichen  Strahlenbüsoheln  entstehen,  dann  als  Schnitt  zweier  Kegel  2.  0., 
und  giht  ihre  Konstruktion  aus  6  Punkten  an.  Sodann  liefert  Chasles  (Comptes 
rendus,  ß.  45,  1857,  8.  189)  eine  umfassende  Darstellung  ihrer  vielseitigen 
Eigenschaften.  Weitere  wertvolle  Beiträge  zu  ihrer  Erforschung  wurden  ge- 
geben von  H.  Schröter,  (Joum.  f.  r.  u.  ang.  Math,  von  Grelle- Borchardt,  B.  66, 

1859,  S.  27);     von  v,  Staudt  in    seinen   Beiträgen    zur  Geometrie   der  Lage, 

1860,  §  83;  von  Cremona  (Joum.  Crelle-Borchardt,  B.  68,  1861,  S.  188;  B.  60, 
1862,  S.  818;  B.  63,  1864,  S.  141);  von  Beye  in  seiner  Geometrie  der  Lage, 
2.  Abt  (2.  Aufl.  1880),  S.  84  ff.;  von  Sturm  (Joum.  Crelle-Borchardt,  B.  79, 
1875,  S.  99;  B.  80,  1875,  S.  128);  von  H.  Schröter  in  seiner  Theorie  der  Ober- 
flächen 2.  Ordn.  u.  der  Raumkurven  3.  Ordn.,  nach  J.  Steiners  Principien  bear- 
beitet, 1880,  S.  227  ff. 

19* 


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292  VI,  276.  Durchschnitt  krummer  Flüchen  mit  krummen  Flachen. 

2)  Liegt  die  Raumkurve  drüter  Orämmg  k  auf  einer  Begdfläche 
zweiten  Grades  H^,  so  toird  sie  von  allen  Ersseugenden  h  der  einen 
Schaar  in  einem,  von  allen  g  der  anderen  in  zum  reellen  oder  kon- 
jugirt  imaginären  Punkten  getroffen.  Zu  der  Schaar  der  g  gehört  die- 
jenige Erzeugende  g^,  welche  auch  der  Begdfläche  H,  angehört,  deren 
Schnitt  mit  H^  die  k  ist  Denn  jede  h  und  jede  g  trifft  die  H,  in 
zwei  reellen  oder  konjugirt  imaginären  Punkten ;  und  da  jede  h  die 
gQ  in  einem  reellen  Punkte,  jede  g  die  gQ  aber  nicht  trifft,  so  ge- 
hören von  jeder  h  nur  einer,  von  jeder  g  aber  zwei  reelle  oder  kon- 
jugirt imaginäre  Punkte  der  k  an.  Man  nennt  entsprechend  die 
Geraden  g  eigentliche  oder  uneigenttiche  Sekanten  der  k. 

3)  Eine  Baumkurve  dritter  Ordnung  k  unrd  aus  jedem  ihrer  Funkte 
P  durch  einen  Kegel  zweiten  Grades  prqjicirt  Ist  k  die  Schnittlinie 
der  Begelflächen  H|  und  Hj,  die  noch  die  Gerade  g  gemein  haben, 
so  lege  man  durch  P  die  Erzeugenden  g^  von  H^  und.^^2  ^^^  ^9 
von  derselben  Schaar  wie  g]  dann  sind  die  Ebenenbüschel  g^,  g^, 
welche  Punkte  der  k  projiciren,  projektiv  mit  dem  gemeinschaft- 
lichen Ebenenbüschel  g  beider  Flächen,  welches  dieselben  Punkte  der  k 
projicirt.  Daher  sind  die  Ebenenbüschel  g^,  ^2  ^i^ter  einander  pro- 
jektiv; und  da  sich  ihre  Axen  in  P  treffen,  so  erzeugen  sie  einen  Kegel 
zweiten  Grades,  dessen  Erzeugende  die  Punkte  der  k  aus  P  projiciren. 

k  ist  daher  auch  die  Schnittlinie  zu?eier  Kegel  zweiten  Grades, 
deren  Spitzen  Punkte  der  k  sind  (242). 

4)  Durch  eine  Baumkurve  dritter  Ordnung  k  und  durch  zwei  be- 
liebige Sekanten  AB  und  CD  derselben  kann  eine  einzige  Begdfläche 
zweiten  Grades  gelegt  werden.  Alle  Erzeugenden  der  \mendUch  viden 
derartige»  Begelflächen,  von  derselben  Schaar,  une  die  gewählten  Sekan- 
ten AB,  CD,  bilden  die  Gesamtheit  der  eigentlichen  und  uneigentlichen 
Sekanten  der  Kurve  k. 

Denn  aus  B  und  aus  C  wird  die  k  durch  je  einen  Kegel  zweiten 
Grades  projicirt,  und  beide  Kegel  haben  die  Erzeugende  BC  gemein; 
daher  sind  bei  diesen  Kegeln  bezw.  die  Ebenenbüschel  AB  und  CD, 
welche  die  Punkte  der  k  projiciren,  projektiv  mit  dem  Ebenenbüschel 
BC,  welches  dieselben  Punkte  der  k  projicirt;  daher  sind  sie  auch 
unter  einander  projektiv  und  erzeugen  eine  Regelfläche,  auf  welcher 
k  liegt     Der  Rest  des  Satzes  folgt  aus  2). 

5)  Zwei  Baunikurven  dritter  Ordnung  k,  \,  todche  auf  derselben 
Begdfläche  zweiten  Grades  H  liegen,  schneiden  sich  in  vier  oder  ßnf 
Punkten  y  je  nachdem  die  Erzeugenden  g  derselben  Schaar  die  beiden 
Kurven  in  zwei  Punkten,  oder  die  eine  Kurve  k  in  zweien,  die  andere 
kl  in  einem  Punkte  treffen. 

Sei  im  ersteren  Falle  g  irgend  eine  der  die  k  und  die  k^  zwei- 


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VI,  276—277.   Der  Durchschnitt  zweier  Flachen  2,  Gr.  unter  einander.    293 

punktig  schneidenden  Erzeugenden^  jedoch  nicht  gerade  eine  durch 
einen  Schnittpunkt  von  Tc  und  \  gehende^  und  sei  P  einer  ihrer 
Schnittpunkte  mit  %,  so  wird  aus  P  die  h  durch  einen  Eegel  zwei- 
ter, die  \  durch  einen  solchen  dritter  Ordnung  projicirt,  denen  die 
g  bezw.  als  einfache  und  als  doppelte  Erzeugende  angehört.  Außer 
dieser  doppelt  zahlenden  haben  beide  Kegel  noch  vier  Erzeugende  ge- 
mein,  da  die  Gesamtzahl  ihrer  gemeinsamen  Erzeugenden  >»  2  •  3  *=  6 
ist*).  Im  zweiten  Falle  ist  g  nur  eine  einfache  Erzeugende  des  Kegels' 
PÄj  dritter  Ordnung,  so  daß  beide  Kegel  außer  g  noch  fünf  Er- 
zeugende gemein  haben.  Ebenso  «viele  Punkte  haben  in  beiden  Fäl- 
len die  Kurven  Tc  und  \  gemein.  Denn  die  gemeinsamen  Erzeugen- 
den beider  Kegel  gehen  in  ihren  neben  P  bestehenden  zweiten 
Schnittpunkten  mit  dem  Hyperboloide  H  durch  gemeinschaftliche 
Punkt«  von  i  und  Ä^,  indem  keine  dieser  Kegelerzeugenden,  außer  ^, 
ganz  dem  H  angehören  kann,  da  durch  P  nur  noch  eine  Erzeugende 
h  geht,  welche  aber  mit  h  keinen  Punkt  außer  P  gemein  hat  (2)). 

Eine  Verbindungslinie  zweier  Schnittpunkte  von  h  und  h^  ist 
eine  gemeinschaftliche  Sekante ^on  h  und  \y  und  daher  auch  der 
Regelfläche  H  und  aller  durch  h  und  aller  durch  hy  gehenden  Regel- 
flächen.    Daher  gilt  auch: 

6)  Imaginäre  Schnittpunkte  zweier  Raunihurven  dritter  Ordnung 
k  und  kif  die  auf  derselben  Begelfläche  zweiten  Grades  H  liegen ,  befinden 
sich  auf  jeder  gemeinschaftlichen  uneigentlichen  Sekante  von  H  und  von 
zwei  anderen  bezw.  durch  k  und  \  gehenden  Regdflächen  H^  und  Hg, 
und  sind  auf  einer  solchen  Sekante  die  {imaginären)  Doppelpunkte  der 
Involution,  welche  die  Paare  der  zugleich  in  Bezug  auf  H,  H^  und  H, 
konjugirten  Punkte  bilden**), 

277.  Satz.  Durch  die  Schnittlinie  zweier  Flächen  zweiten  Grades 
können  vier  Kegel  zweiten  Grades  gelegt  werden. 

Erkennen  wir  diesen  Satz  zuerst  in  dem  Falle,  daß  die  Flächen 
koaxial  sind,  d.  h.  daß  die  Axenlinien  der  einen  Fläche  in  diejenigen 
der  anderen  Fläche  fallen,  ohne  jedoch  mit  ihnen  gleiche  Längen 
zu  besitzen.  Diese  Axenlinien  seien  MX,  MY,  MZ\  M  der  gemein- 
same Mittelpunkt  Die  Flächen  haben  dann  gemeinschaftliche  Haupt- 
ebenen, und  diese  sind  auch  Ebenen  senkrechter  Symmetrie  für  die 

*)  Da  die  ebenen  Kurven  dritter  Ordnung  hier  nicht  geometrisch  unter- 
sucht worden  sind,  so  maß  der  Satz  der  Analysis  benutzt  werden,  daß  die 
Anzahl  der  Schnittpunkte  zweier  ebenen  Kurven  bezw.  von  der  m^^  und  n^^ 
Ordnung  '^  mn  ist. 

**)  In  der  Analysis  ergeben  sich  die  Koordinaten  der  gemeinschaftlichen 
Punkte  von  H,  Hj,  H,  als  die  Wurzeln  je  einer  Gleichung  mit  reellen  Koef- 
ficienten,  deren  imoginSxe  Wurzeln  daher  paarweise  koujugirt  sind,  also  Punkte 
einer  reellen  Geraden  darstellen. 


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294    VI,  277—278.    Durchschnitt  krummer  Flächen  mit  krummen  Fl&chen. 

Schnittkurve,  oder  diese  wird  auf  jede  der  Hauptebenen  durch  einen 
doppelt  projicirenden  Cylinder  projicirt.  Der  vierte  doppelt  pro- 
jicirende  eigentliche  Kegel  hat  seine  Spitze  im  Mittelpunkte  My  weil 
jedes  Raumgebilde;  welches  in  Bezug  auf  drei  zu  einander  senk- 
rechte Ebenen  symmetrisch  mit  sich  selbst  ist,  es  auch  in  Bezug 
auf  deren  Schnittpunkt  M  sein  muß.  M  bildet  daher  den  Mittel- 
punkt der  Schnittkurve.  Es  sind  also  die  drei  unendlich  fernen 
Punkte  Xy  Y,  Z  der  Axen  und  der  Mittelpunkt  M  die  Spitzen  der 
vier  doppelt  projicirenden  Kegel  der  Schnittlinie,  die  Kegel  sind 
daher  vom  zweiten  Grade  (237).  Zugleich  bemerkt  man,  daß  die 
Tangenten  der  Schnittlinie  in  den  beiden  Punkten,  in  welchen  sie 
von  einer  durch  X  gehenden  Geraden  getroffen  wird,  sich  in  der 
Ebene  MYZ  schneiden,  weil  diese  eine  Symmetrieebene  der  Kurve 
und  insbesondere  diejenige  jener  beiden  Punkte  ist,  daß  daher  die 
Ebene  MYZ  eine  Doppdkurve  der  durch  alle  Tangenten  der  Schnitt- 
kurve  gd)ildeten  Fläche  enthält.  Dasselbe  gilt  von  den  Ebenen  MZX, 
MXY  und  auch  von  der  unendlich  fernen  Ebene  XYZ,  weil  die 
Tangenten  der  Schnittkurve  in  zwei  Punkten,  welche  symmetrisch 
in  Bezug  auf  M  liegen,  zu  einander  parallel  laufen. 

Jede  dieser  beiden  koaxialen  Flächen  zweiten  Grades  mit  einem 
im  Endlichen  liegenden  Mittelpunkte  M  kann  das  Ellipsoid^  das  ein- 
schalige oder  das  zweischalige  Hyperboloid  sein.  Bildet  man  eine 
beliebige  Baumprojektion  von  beiden,  wobei  die  gemeinschaftlichen 
Axenlinien  in  gemeinschaftlich  konjugirte,  durch  denselben  Punkt 
gehende  Sekanten  übergehen,  so  können  aus  den  Ausgangsflächen 
Flächen  zweiten  Grades  jeder  Art  entstehen,  geradlinige  und  nicht 
geradlinige,  auch  jedes  der  Paraboloide,  indem  eine  Berührungsebene 
einer  Fläche  ins  Unendliche  projicirt  werden  kann.  Aus  den  vier 
doppelt  projicirenden  Kegeln  werden  dabei  wieder  solche,  deren 
Spitzen  X,  F,  Z,  M  aber  beliebige  Lagen,  im  allgemeinen  im  End- 
lichen, einnehmen.  Die  vier  Flächen  des  Tetraeders  XYZM  ent- 
halten dann  wieder  Doppelkurven  der  durch  die  Tangenten  der 
Schnittkurve  gebildeten  Fläche. 

278.  In  der  vorigen  Nr.  war  XYZM  ein  gemeinschaftliches 
Polartetraeder  der  beiden  Flächen  zweiten  Grades  P  und  P^,  sowohl 
in  dem  Falle  der  gemeinschaftlichen  Symmetriebenen,  als  auch  in 
dem  kollinear  abgeleiteten  Falle,  weil  durch  diese  Ableitung  die 
Eigenschaft  der  Polarität  nicht  verloren  geht.  Wir  wollen  nun 
zeigen,  einmal,  daß  wenn  die  Schnittlinie  irgend  zweier  Flächen 
zweiten  Grades  aus  einem  Punkte  X  doppelt,  also  durch  einen  Kegel 
zweiten  Grades,  projicirt  wird,  dieser  Punkt  X  eine  und  dieselbe 
Ebene  X  zur  Polarebene  in  Bezug  auf  jede  der  beiden  Flächen  be- 


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VI,  278.   Der  Durchschnitt  zweier  Flächen  2.  Gr.  unter  einander.       295 

sitzt,  und  sodann  daß,  wenn  umgekehrt  ein  Punkt  X  in  Bezug  auf 
zwei  beliebige  Flächen  zweiten  Grades  dieselbe  Polarebene  X  besitzt, 
der  Punkt  die  Spitze  eines  doppelt  projicirenden  Kegels  der  Schnitt-  * 
linie  der  Flächen  bildet.  Schneide  zunächst  ein  doppelt  projiciren- 
der  Strahl  aus  X  die  Schnittlinie,  also  jede  der  Flächen,  in  den 
Punkten  F  und  F,  so  liegt  der  von  X  durch  F  und  F'  harmonisch 
getrennte  Punkt  X'  in  der  Polarebene  von  X  in  Bezug  auf  jede 
der  beiden  Flächen,  so  daß  drei  solcher  Strahlen  die  gemeinschaft- 
liche Polarebene  Z  bestimmen,  und  hierdurch  ist  die  erste  Behaup- 
tung bewiesen.  In  Bezug  auf  die  zweite  lege  man  einen  Strahl 
aus  X  nach  einem  Punkte  F  der  Schnittkurve,  welcher  die  gemein- 
schaftliche Polarebene  X  in  X'  schneide,  so  gehört  der  von  F  durch 
X  und  X'  harmonisch  getrennte  Punkt  jeder  der  beiden  Flächen, 
d.  i.  ihrer  Schnittkurve  an,  und  der  Strahl  projicirt  doppelt. 

Um  nun  solche  Punkte,  die  wir  jetzt  wegen  ihrer  Gleichartig- 
keit mit  demselben  Buchstaben  S  (S^^  S^  •  > .)  bezeichnen  wollen, 
zu  ermitteln,  welche  in  Bezug  auf  zwei  Flächen  zweiten  Grades  F 
und  F]  eine  gemeinschaftliche  Polarebene  S  besitzen,  lege  man  durch 
einen  beliebigen  Punkt  P  drei  beliebige,  aber  nicht  in  derselben 
Ebene  befindliche  Gerade  g,  h,  i.  Zur  Punktreihe  g  gehört  für 
jede  der  beiden  Flächen  ein  mit  ihr  projektives  Büschel  der  Polar- 
ebenen (77),  welche  beide  unter  einander  projektiv  sind  und  durch 
die  Schnittlinien  entsprechender  Ebenen  eine  BrCgelschaar  zweiten 
Grades  erzeugen,  wobei  jede  Gerade  der  Schaar  einem  Punkte  der  g 
in  Bezug  auf  beide  Flächen  zugleich  konjugirt  ist  Ebenso  ent- 
spricht der  Geraden  h  eine  zweite  Kegelschaar  und  der  Geraden  i 
eine  dritte.  Alle'  drei  Regeischaaren  haben  eine  Gerade  p  gemein, 
welche  dem  gemeinsamen  Punkte  P  der  Geraden  in  Bezug  auf  beide 
Flächen  F  und  F^  konjugirt  ist.  Außerdem  schneiden  sich  je  zwei 
Flächen  der  Regeischaaren  in  einer  Kurve  dritter  Ordnung,  je  zwei 
dieser  Kurven  liegen  auf  derselben  Regelfläche  und  durch  ihre  Schnitt- 
punkte gehen  auch  die  beiden  anderen  Regelflächen  und  deren 
Schnittkurve.  Jeder  solche  Schnittpunkt  S  ist  aber  ein  Punkt  der 
angegebenen  Art;  denn  durch  S  geht  eine  Gerade  einer  jeden  der 
erhaltenen  Regeischaaren,  und  der  ersten  derselben  ist  ein  Punkt 
der  g,  der  zweiten  einer  der  Ä,  der  dritten  einer  der  i  in  Bezug 
auf  jede  der  beiden  Flächen  konjugirt,  so  daß  die  Polarebene  von  S 
in  Bezug  auf  jede  der  beiden  Flächen  durch  jene  drei  Punkte  der 
Geraden  geht,  also  ein  und  dieselbe  Ebene  S  isi 

Nun  haben  die  drei  Regeischaaren  zweiten  Grades  eine  Erzeu- 
gende p  gemein;  daher  trifft  p  jede  der  Schnittkurven  in  zwei  Punk- 
ten (276,  2)),    und   daher  haben  zwei   solche  Kurven  vier  Punkte 


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296       VI,  278.   Durchschnitt  krummer  Flächen  mit  krummen  Flächen. 

gemein  (216,  6)),  durch  welche  auch  die  dritte  Kurve  geht.  Diese 
vier  Punkte,  deren  jeder  eine  gemeinschaftliche  Polarebene  in  Bezug 
auf  beide  Flächen  besitzt,  sind  die  Eckpunkte  eines  gemeinschaft- 
lichen Polartetraeders  beider  Flächen.  Denn  ist  S^  einer  der  Punkte, 
S^  seine  gemeinschaftliche  Polarebene  zu  F  und  F|,  so  schneidet 
diese  Ebene  diese  Flächen  bezw.  in  den  Kegelschnitten  k  und  \, 
welche  im  allgemeinen  ein  gemeinschaftliches  Polardreieck  besitzen 
(I,  398  f.).  Im  besonderen  haben  sie  einfach  unendlich  viele,  wenn 
sie  zu  einem  Punkte  Q  die  Polare  q  und  die  Tangenten  aus  Q  ge- 
mein haben,  oder  dreifach  unendlich  viele,  wenn  sie  in  einander 
fallen.  Seien  Sj,  S^,  84^  die  Eckpunkte  des  gemeinschaftlichen  Polar- 
dreiecks, so  ist  81828^84^  das  gemeinschaftliche  Polartetraeder  bei- 
der Flächen;  und  da  jeder  seiner  Eckpunkte  eine  gemeinschaftliche 
Polarebene  zu  F  und  F^  besitzt,  solcher  Punkte  aber  im  allgemeinen 
nur  vier  bestehen,  so  müssen  die  drei  aus  8^  abgeleiteten  Punkte 
mit  den  drei  weiteren  Schnittpunkten  iSj,  8^,  84^  jener  Raumkurven 
zusammenfallen,  oder  deren  vier  Schnittpunkte  bilden  das  gemein- 
schaftliche Polartetraeder  von  F  und  F^.     Daher: 

Zwei  beliebige  Flächen  zweiten  Grades  F  imd  F^  besitzen  im  all- 
gemeinen ein  gemeinschaftliches  Polartetraeder  ^  dessen  etwaige  imaginäre 
Eckpunkte  paarweise  auf  einer  redien  Geraden  liegen  (276, 6)  samt  An- 
merkung). Die  Eckpunkte  dieses  Tetraeders  sind  die  8pitzen  der  durch 
die  8chnitÜinie  beider  Flächen  gehenden  Kegel  zweiten  Grades ,  von  denen 
ein  jeder  jenes  Tetraeder  ebenfalls  zum  Polartetraeder  hat.  Die  obwickd- 
bare  Fläche  der  Tangenten  der  8chnittkurve  von  F  und  Fj  besitzt  eine 
Doppelkurve,  welche  aus  d>enen  Asten  besteht,  die  in  den  8eitenflächen 
jenes  Tetraeders  liegen. 

In  einem  besonderen  Falle  besitzen  F  und  F^  einfach  unencUich 
viele  gemeinschaftliche  Polartetraeder,  wenn-  ihre  Schnittlinie  in  zwei 
Kegelschnitte  zerfällt;  sie  besitzen  dreifach  unendlich  viele,  wenn  diese 
Kegelschnitte  in,  einander  fallen  (die  Flächen  sich  also  entlang  eines 
Kegelschnittes  berühren);  sechsfach  unendlich  viele,  d.  i.  alle,  wenn 
die  Flächen  selbst  in  einander  fallen.  Im  ersteren  Falle  werden  zwei 
Kegel  zu  je  einem  Ebenenpaare,  im  zweiten  drei  Kegel  zu  je 
zwei  zusammenfallenden  Ebenen,  und  es  bleiben  zwei  bezw.  ein 
Kegel  eigentliche.  Es  wird  dabei  nur  die  Anzahl  der  Spitzen  der 
Kegel,  nicht  aber  die  der  Kegel  selbst  unendlich  groß.  —  Der 
folgende  Teil  des  Satzes  folgt  daraus,  daß  die  aus  der  Spitze  8  des 
einen  Kegels  gezogenen  Sehnen  der  Schnittkurve  auch  Sehnen  der 
drei  anderen  Kegel  sind,  und  daß  daher  der  Punkt  8  und  seine 
Polarebene  S  zu  F  und  F|  auch  die  Sehnen  der  Kegel  harmonisch 
teilen,   so  daß  S  auch  die  Polarebene  von  8  zu  diesen  Kegeln  isL 


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VI,  278  -280.  Der  Dorohscbiiitt  xweier  Flachen  2.  Gr.  unter  einander.    297 

Der  letzte  Teil  des  Satzes  folgt  daraus,  daß  die  Berührungsebeuen 
einer  jeden  der  Flächen  F,  F^  und  eines  jeden  der  Kegel  in  zwei 
Punkten,  welche  mit  einer  der  Tetraederecken  auf  einer  Geraden  liegen, 
sich  in  der  gegenüberliegenden  Fläche  des  Tetraeders  schneiden. 

279.  Für  das  Folgende  gebrauchen  wir  einen 

Hilfssate.  Ein  gesddossener  Linienmg  mrd  von  jeder  Ebene  enir 
weder  in  einer  geraden  oder  von  jeder  in  einer  ungeraden  Anzahl  von 
Punkten  geschnitten,  und  er  heißt  entdeckend  paar  oder  unpaar. 

Geschlossen  ist  ein  Linienzug;  wenn  man  auf  ihm  hinschreitend 
von  einem  Ausgangspunkte  wieder  zu  diesem  zurückkehrt,  wobei 
ein  Durchgang  durch  das  Unendliche  nicht  als  Unterbrechung  des 
Fortschreitens  angesehen  wird  (I,  190). 

Der  Satz  wird  durch  den  Nachweis  bewiesen,  daß,  wenn  der 
Linienzug  durch  irgend  eine  Ebene  E  in  einer  geraden  oder  unge- 
raden Anzahl  von  Punkten  geschnitten  wird,  dies  auch  für  jede 
andere  Ebene  F  gilt.  E  und  F  bilden  zwei  Paare  von  Scheitelwinkeln 
oder  zwei  vollständige  Winkel.  Da  man  bei  einmaligem  Durch- 
schreiten einer  Ebene  den  Winkel  wechselt,  in  welchem  man  sich 
befindet^  so  muß  man  beim  Zurückkehren  zum  Ausgangspunkte  beide 
Ebenen  zusammen  eine  gerade  Anzahl  mal  durchschritten  haben, 
also  jede  eine  gerade,  oder  jede  eine  ungerade  Anzahl  mal,  w.  z.  b.  w. 

280.  Es  können  in  Bessug  auf  das  Reell'  oder  Imaginärsein  der 
Eckpmkte  S^,  S2,  Äj,  S^  des  gemeinschaftlichen  Polartetraeders  ssweier 
Flächen  snoeiten  Grades  F,F|,  wid  der  durch  ihre  Schnittlinie  k  gehenden 
Kegel  zweiten  Grades  K^,  £,,  E3,  K^,  und  in  Bezug  auf  die  davon 
abhängige  Gestalt  der  Schnittlinie  k  aUer  dieser  sechs  Flächen  folgende 
Fälle  eintreten*). 

A.  Die  vier  Teiraederecken  sind  reell  Da  jede  der  Ebenen  S,  so 
84,  ein  reelles  gemeinschaftliches  Polardreieck,  so  S^S^S^y  in  Bezug 
auf  ihre  Schnittkurven  mit  F,  F^  enthält,  so  sind  jedenfalls  die  von 
einem  der  Punkte  5^,  S^,  5,  ausgehenden  gemeinschaftlichen  Sehnen 
dieser  Kurven  reell  (I,  411),  daher  auch  wenigstens  einer  der  ent- 
sprechenden Kegel.  Sei  der  von  S^  ausgehende  K|  reell,  so  schneidet 
die  Ebene  S^  (die  gemeinschaftliche  Polarebene  des  S^  zu  F,  F^,  K^, 
K,,  Kj  den  Kegel  K^  in  einem  reellen  Kegelschnitte  s^y  jeden  anderen 
in  zwei  reellen  oder  imaginären  Erzeugenden,  welche  Paare  wir 
bezw.  mit  s^,  s^y  s^  bezeichnen  wollen.  Diese  vier  Schnittlinien  haben 
die  vier  Schnittpunkte  der  Kurve  vierter  Ordnung  k  mit  der  Ebene 

♦)  Vergl.  diePreisscbriften:  Sturm,  Synthetische  Unteräuchungen  über  Flä- 
chen dritter  Ordnung,  1867,  8.304—310,  nnd  Cremona,  Memoire  de  g^om^trie 
pare  ear  les  surfaces  du  troisi^me  ordre  (Joum.  Crelle-Borchardt,  B.  68,  1868, 
S.  118—124). 


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298        VI,  280.   DurchschDitt  krummer  Flächen  mit  krammen  Flächen. 

S^  gemein,  und  besitzen  ein  reelles  gemeinsames  Polardreieck  S^S^S^, 
Daher  müssen  die  vier  gemeinsamen  Punkte  von  5^,  Sj,  «3,  s^  ent- 
weder alle  reell,  oder  alle  imaginär  (I,  399),  und  dann  die  drei  Gera- 
denpaare «2,  «3,  54  a)  alle  reell  oder  b)  eines  (s^)  reell  und  zwei  ima- 
*lf,'b)?  ginär  sein.   Im  Falle  a)  sind  auch  die  Kegel  E^;  ^;  ^4  ^^^  ^^^  Kurve 

„.     ^^^  Je  reell.  Im  zweiten  Falle 

Flg.    122.  ^  TT  ^ 

g  ist  der  Kegel  K^    reell, 

"^        "         und  es  kann  b)  s^  im  In- 
neren oder  im  Äußeren 
von  £,  liegen.   Wenn  s^ 
V)  im  Inneren  liegt,  so 
ist  die  Schnittlinie  k,  und 
so  sind  die  aus  S^  und 
S4    projicirenden    Kegel 
reell,  wie  bei  a);  wenn  b")  im  Äußeren,  so  ist  Je  imaginär,  und  so 
sind  die  sie  aus  S^  und  /S4  projicirenden  Kegel  imaginär,  weil  S,,  S^ 
bezw.  im  Inneren  der  reellen  Kegel  !E|,  K^  liegen,  so  daß  die  Kegel 
Kg,  !K4,  wenn  sie  reell  wären,   bezw.  die  Kegel  K^,  Kg  notwendig 
reell  schneiden  müßten.    Es  treten  daher  hier  zwei  Fälle  ein: 

1)  Die  vier  EcJcen  S'j,  S^,  S^,  S4  des  Polartetraeders  und  die  vier 
Kegd  K^,  K^,  Kg,  K4  sind  reell.  Im  Falle  a)  ist  S^  ein  äußerer 
Punkt  der  drei  Kegel  £,,  £3,  K4,  weil  die  Polarebene  von  S^  zu 
jedem  dieser  Kegel  ihn  in  zwei  reellen  Graden  schneidet.  Der  Fall 
b')  ist  aber  nur  eine  andere  Darstellung  von  a).  Denn  hier  muß 
einer  der  Punkte  S^y  S^  ein  innerer,  und  der  andere  ein  äußerer 
Punkt  von  s^  und  daher  auch  von  K^  sein;  es  sei  S3  der  innere 
und  S4  der  äußere  Punkt.  S^  ist  aber  auch  ein  äußerer  Punkt  von 
b:3,  weil  b:3  mit  der  Ebene  S^,  worin  S4  liegt,  nur  den  Punkt  S3 
gemein  hat;  und  es  ist  ^4  auch  ein  äußerer  Punkt  von  E^?  ^^^^ 
"K^y  damit  sein  Schnitt  mit  E^  reell  ist,  s^  und  den  im  Inneren  von 
s^  und  E^  liegenden  Punkt  S^  einschließen,  also  S^  ausschließen 
muß.  Daher  ist  ^4  ein  äußerer  Punkt  der  drei  Kegel  mit  den  an- 
deren Spitzen;  dasselbe  gilt  von  S^.  Daher  stellt  b')  den  Fall  a) 
dar,  wenn  S^  oder  S^  von  V)  an  die  Stelle  des  S^  von  a)  tritt 
Im  Falle  a)  mögen  S^  im  Inneren,  S^y  S^  im  Äußeren  von  s^  und 
von  El  liegen.  Die  Projektion  der  Schnittkurve  Je  aus  S^  auf  S, 
besteht  aus  den  von  einander  getrennten  Bogen  $/,  s^'  des  Kegel- 
schnittes s^y  welche  in  den  die  Kegel  E^,  E3,  E4  darstellenden 
Scheitel  winkelpaaren  S^y  S^,  S^  liegen.  Daraus  ergibt  sich,  daß 
wenn  die  Gerade  S^S^  die  Bogen  5/,  5^"  trifft,  S^  im  Inneren  von 
E4  und  ^4  im  Inneren  von  E3,  dagegen  S^  im  Äußeren  von  E3  und 
von  E4,  und  ^4  im  Inneren  von  E^  liegt.   Daher  befinden  sich  S^,  S^ 


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VI,  280—281.   Der  DorchBchmtt  zweier  Flächen  2.  Grades  unter  einander.    299 

im  Äußeren  aller  Kegel ^  8^  im  Inneren  von  K^  und  von  K^^  S^  im 
Inneren  Yon  K^  und  von  E3.  Zugleich  ergibt  sich^  daß  die  beiden 
Kuryenäste  der  h  paar  sind,  weil  jeder  von  der  Ebene  S^  in  zwei 
Punkten  geschnitten  wird  (in  b')  in  keinem). 

In  diesem  Falle  eerßllt  die  Schnittkurve  h  in  etvei  paare  Äste; 
zwei  Ecken  des  Tetraeders  liegen  außerhalb  der  prqjicirenden  Kegely 
gtoei  im  Inneren  von  je  zweien;  die  den  ersteren  Ecken  gegenüberstehen- 
den Ebenen  schneiden  die  h  in  vier  reellen,  die  anderen  in  vier  ima- 
ginären Punkten  (vergl.  Fig.  124). 

2)  (Fall  6".)  Die  vier  Ecken  des  gemeinschaftlichen  Folartetraeders 
sind  reell y  dagegen  sind  nur  zwei  Kegd,  etwa  Ki,  K^y  reell,  die  beiden 
anderen  imaginär.  Die  Schnittkurve  k  ist  dann  imaginär,  S,,  S2  lie- 
gen bezw.  außerhalb  der  Kegel  Zj,  K^;  S^  innerhalb  des  einen  der- 
selben, S^  innerhalb  des  anderen.  Die  dem  S',  und  die  dem  S^  gegen- 
überstehenden Ebenen  des  Tetraeders  schneiden  die  reellen  Kegel  bezw. 
in  einem  Kegelschnitte  und  in  zwei  reellen  Geraden,  die  anderen  Ebenen 
in  einem  reellen  und  einem  imaginären  Geradenpaxire. 

281.  B.  Zwei  Ecken  des  gemeinschaftlichen  Folartetraeders  sind 
reeü  und  zwei  imaginär. 

Seien  Sj,  S^  die  reellen  Ecken,  sei  g  ihre  Verbindungslinie,  so 
liegen  S^,8^  auf  der  gemeinsamen  Polare  g'  von  ^  zu  F  und  zu  F^; 
damit  Sj,  S^  imaginär  sind,  muß  g'  jede  Fläche  in  zwei  reellen  Punkten 
treffen,  und  es  müssen  die  Schnittpunkte  der  einen  durch  die  der 
anderen  getrennt  sein  (I,  350).  Daher  müssen  die  Flächen,  ihre 
Schnittlinie  k  und  beide  Kegel  Kj,  K^,  sowie  deren  Schnittpunkte 
mit  g'  reell  sein.  Daher  liegt  S^  außerhalb  E,  und  S^  außerhalb 
Kj.  Treffe  wieder  die  Polarebene  Sj  von  Sj  zu  K^  den  Kegel  K^  Fig.  123 
in  dem  Kegelschnitte  Sj,  den  Z^  in.  den  durch  S^ 
gehenden  Geraden  s^^  so  ist  g'  die  Polare  von  S^  zu 
s^,  und  es  müssen  die  Schnittpunkte  der  g'  mit  s^ 
durch  die  mit  %  getrennt  sein,  daher  muß  der  s^  von 
der  einen  Geraden  s^  reell,  von  der  anderen  imaginär 
geschnitten  werden  (s.  auch  I,  399).  Die  Schnittlinie  k 
besteht  aus  einem  Aste;  denn  sie  projicirt  sich  aus 
iSi  auf  Sj  in  den  einen  der  beiden  durch  die  s^  abge- 
schnittenen Teile  der  s^^  etwa  in  5/;  die  beiden  Teile  der  k,  welche 
durch  die  auf  der  einen  und  der  anderen  Seite  der  S^  liegenden  Schnitt- 
punkte der  Erzeugenden  von  K^  und  "K^  gebildet  werden,  hängen 
in  den  reellen  Schnittpunkten  von  s^  und  s^  (in  S^)  zusammen.  Von 
den  vier  Tetraederflächen  sind  diejenigen  g' S^,  g' S^  reell,  die  bei- 
den anderen  imaginär.     Es  tritt  daher  hier  nur  ein  Fall  ein: 

3)  Zwei  Ecken,  zwei  Kanten  und  zwei  FläcJwn  des  Polartetraeders, 


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300     VI,  281—282.    Durchscbnitt  krammer  Flächen  mit  krummen  Fläche^. 

sotcie  zwei  Kegel  sind  reelly  die  übrigen  imaginär.    Die  SchniWatrve 
hat  einen  einstigen  {paaren)  Ast. 

282.  C.  Die  vier  Ecken  des  Tetraeders  sind  imaginär.  Sie  liegen 
dann  paÄiweise  auf  zwei  reellen  Geraden  ^  =  5i  S^ ,  g'  '='  S^  S^, 
welche  gegenseitig  Polaren  zu  F  und  zu  F^  sind.  Damit  auf  g 
oder  g'  die  Eckpunkte  imaginär  sind,  muß  jede  dieser  Geraden 
jede  der  Flächen  in  zwei  reellen  Punkten  schneiden,  welche  durch 
die  der  anderen  Fläche  getrennt  sind.  Schneidet  aber  jede  von 
zwei  Polaren  g^  g'  zu  F  die  F  reell,  so  ist  F,  und  ebenso  F^,  eine 
Regelfläche  (82,  4)).  Trifft  die  Gerade  g  die  Flächen  F  und  F^ 
bezw.  in  A^  B  und  A^y  B^,  die  g'  bezw.  in  A\  B'  und  -4/,  JB/, 
so  sind,  da  g  und  g'  Polaren,  ABA'B'  und  AyB^A^'B^  wind- 
schiefe Vierecke  bezw.  auf  F  und  F^,  welche  von  je  zwei  Erzeu- 
genden der  beiderlei  Schaaren  gebildet  werden.  Dabei  müssen  A 
und  B  auf  verschiedenen  Seiten  der  F,  liegen,  und  ebenso  A'  und 
B\  Liegen  etwa  A  und  B'  auf  derselben  Seite  von  Fj,  also  B  und 
A'  auf  der  anderen  Seite,  so  tre£fen  die  beiden  Erzeugenden  AB' 
und  BA\  welche  der  einen  Schaar  der  F  angehören,  die  F^  nicht 
und  liegen  auf  verschiedenen  Seiten  der  F^.  Denn  wenn  zwei  kon- 
jugirte  Punkte  Ay  B'  (auf  g  bezw.  g')  einer  Fläche  zweiten  Grades 
auf  derselben  Seite  von  ihr  liegen,  so  schneidet  die  (Gerade  AB' 
die  Fläche  nicht,  weil  die  Punkte  A  und  B'  durch  die  Schnitt- 
punkte harmonisch  getrennt  sein,  also  auf  verschiedenen  Seiten 
der  Fläche  liegen  müßten.  Da  AB'y  BA',  daher  auch  -4,-4',  sowie 
B,  B'  je  auf  verschiedenen  Seiten  von  F^  liegen,  so  schneiden  die 
Geraden  AA'  und  BB'  die  F^,  und  die  Schnittpunkte  auf  jeder 
sind  durch  A  und  A'y  bezw.  durch  B  und  B'  oder  durch  die  Ge- 
raden AB'  und  BA'  harmonisch  getrennt  Daraus  folgt,  daß  die 
Schnittkurve  h  aus  zwei  Teilen  besteht,  welche  auf  F  durch  die 
Erzeugende  AB'y  BA'  derselben  Schaar  von  einander  getrennt  sind. 
Jeder  der  Kurvenäste  bildet  einen  geschlossenen  Zug,  weil  jede 
Erzeugende  der  F,  welche  der  Schaar  der  AB'  und  BA'  nicht  an- 
gehört, die  F^  in  einem  Punkte  eines  jeden  jener  Eurvenäste  schnei- 
det, da  sie  die  AB'  und  die  BA'  triflFt,  welche  ganz  auf  verschie- 
denen Seiten  der  F^  liegen.  Jeder  der  Eurvenäste  ist  aber  unpaar. 
Denn  jede  Ebene  tri£Pt  die  Begelfläche  F  und  F^  bezw.  in  den 
reellen  Kegelschnitten  c  und  c^.  Die  Schnittpunkte  von  AB'  und 
von  BA'  mit  der  Ebene  liegen  auf  c  und  auf  entgegengesetzten 
Seiten  von  c^ ;  daher  teilen  sie  den  c  in  zwei  Teile,  deren  jeder  den 
Ol  in  einer  ungeraden  Anzahl  (1  oder  3)  von  Punkten  schneidet^ 
welche  auch  die  Schnittpunkte  der  Äste  der  Eurve  h  mit  der  Ebene 
sind.     Es  tritt  daher  hier  der  Fall  ein: 


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VI,  282—284.   Der  Durchschnitt  zweier  Flächen  2.  Gr.  anter  einander.     301 

4)  Die  vier  Ecken  und  Flächen  des  gemeinschaftlichen  Polar- 
tetraeders  sind  imaginär,  zioei  Gegenkanten  desselben  reeil,  die  vier  Kegel 
imaginär.  Die  sich  schneidenden  Flächen  gweüen  Grades  sind  Begel- 
flächen;  die  Schnütkurve  besteht  aus  sswei  geschlossenen  unpaaren  Ästen. 

283.  Satz.  Die  Schnittlinie  k  zweier  Flächen  zweiten  Grades  P, 
Fj  besitzt  in  ihren  Schnittpunkten  mit  einer  Seitenfläche  S  des  gemein- 
schaftlichen  Polartetraeders  von  P  und  P^  Tangenten,  welche  nach  der 
der  S  gegenüberliegenden  Ecke  S  des  Tetraeders  laufen,  und  Schmie- 
gungsfhenen,  welche  Bückkehrebenen  der  k  und  Berührungsebenen  des 
die  k  aus  S  projicirenden  Kegels  sind. 

Denn  die  Berührungsebenen  der  P  und  der  P^  in  einem  solchen 
Punkte  gehen  durch  S,  daher  auch  ihre  Schnittlinie^  d.  i.  die  Tan- 
gente der  k.  Die  Schmiegungsebene  andererseits  geht  durch  diese 
Tangente  und  durch  die  benachbarte,  ebenfalls  durch  S  laufende 
Sekante;  sie  ist  daher  die  Berührungsebene  des  die  k  aus  S  proji- 
cirenden  Kegels ,  enthält  vier  benachbarte  Punkte  der  k  und  ist 
daher  eine  Bückkehrebene  (I,  260). 

284,  Es  sollen  die  drei  Fälle  der  reellen  Schnittlinie  zweier 
Flächen  zürnten  Grades  dargestellt  werden*). 

Äufg.  Die  Schnittlinie  k  zweier  Flächen  zweiten  Grades  darzu- 
stellen, wenn  sie  aus  zwei  paaren  Ästen  besteht  (280, 1)). 

Aufl.  Da  vier  reelle  Kegel  durch  k  gehen,  so  können  wir  die 
k  durch  zwei  derselben  bestimmen;  es  geschehe  durch  K^,  K^  (mit 
den  Spitzen  S^,  S^,  und  S^,  S^,  K^,  K^  werde  dann  ermittelt.  Es 
soll  eine  mehrfach  symmetrische  Anordnung  gewählt  werden.  E^  sei  Fig.  124. 
ein  mit  der  zAxe  paralleler  Umdrehungscy linder,  dessen  Spitze  Si 
(im  Unendlichen  von  z)  außerhalb  der  smdereu  Kegel  liegen  soll; 
£4  sei  ein  Umdrehungskegel  mit  y  als  Umdrehungsaxe,  S^  liege 
außerhalb  K^.  Die  Projektionsebene  P|  ist  daher  die  Polarebene  S| 
von  Si  zu  K^  und  sie  schneidet  !E^  in  einem  Kreise,  £4  in  zwei 
Geraden,  welche  den  Kreis  in  den  reellen  Punkten  Ä,  B,  C,  D 
tre£fen.  Die  Spitzen  von  K^  und  E3  ergeben  sich  als  die  weiteren 
Nebenecken  des  vollständigen  Vierecks  ÄBCD,  als  S^  (unendlich 
femer  Punkt  der  x)  und  Sg  (im  Inneren  von  Z^);  Sg/Sj  sei  die  xAxe. 
Die  dritte  Projektion  liefert  durch  die  Umrisse  von  K^  und  K^  die 
Scheitelpunkte  E,  Fy  G,  H  der  k,  wodurch  die  acht  Scheitelpunkte 
der  zweiten  Projektion  der  beiden  Äste   von  k  bestimmt  sind.    E^ 

*)  Diese  Eorven  als  Schnittlinien  von  Begelflächen  und  die  abwickel- 
baren Flächen  ihrer  Tangenten  eignen  eich  sehr  cur  Darstellung  durch  Faden- 
modelle  in  der  in  Nr.  241  angegebenen  Weise.  Mein  Sohn  Hermann  Wiener 
konstmirte  die  Modelle  der  drei  Hauptf&lle;  ihre  AusfÖhrung  in  Metallrahmen 
ist  bei  L.  Brill  in  Darmstadt  erschienen. 


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302      VI,  2f84.    Durcbschnitt  krummer  Flächen  mit  krummen  Flächen. 


ist  ein  Cylinder,  der  sich 
ist  durch  ihre  Scheitel  A 
stimmt  und  wird  mittelst 
yerzeichnet.  E^  kann  bei 
drehungskegel  sein.  Eine 
den  beliebigen  Punkt  Q 


auf  Pg  in  eine  Hyperbel  projicirt;  dieselbe 
",  D'"  und  vier  Punkte  überschüssig  be- 
der  nach  I,  371  ermittelten  Asymptoten 
diesen  Annahmen  nicht  ebenfalls  ein  Um- 
Erzeugende  des  Kegels  K4,  welche  durch 
seines  Schnittkreises  mit  P^  geht^  liefert 


Fig.  124. 


/fi 

/ <-^....\ 


Ci 


.:A     : 


^v 


1  Gr    /    fEjf 


4-#-\A- 


zwei  Punkte  der  Ä,  darunter  P.  Aus  P  ergeben  sich  noch  sieben 
weitere  Punkte  der  Ä,  welche  mit  P  eine  J.c%^inÄ;^9ii(ppe  bilden, 
derart  daß  auf  der  Verbindungslinie  eines  jeden  der  Punkte  mit 
einer  jeden  der  Tetraederecken  noch  ein  zweiter  Punkt  liegt,  der 


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VI,  284—286.   Der  Darchschnitt  zweier  Flächen  2.  Gr.  unter  einander.     303 

Yon  ihm  durch  diese  Ecke  und  ihre  Gegenebene  harmonisch  ge- 
trennt isi  Die  Tangente  der  Ä  in  P  ist  als  die  Schnittlinie  der 
bezw.  den  K^  und  den  K^  in  P  berührenden  Ebenen  bestimmt;  die 
Tangente  der  zweiten  (kreisförmigen)  Spur  der  K^  in  Q  triflFt  die 
P^  in  Jy  woraud  sich  die  erste  Spur  S^^'J'  der  Berührungsebene  des 
Kegels  K^  entlang  S^QP  ergibt;  diese  triflPb  die  erste  Spur  der  Be- 
rührungsebene der  E^  in  P  im  Punkte  T^,  so  daß  PT^  die  gesuchte 
Tangente  bildet  Dieselbe  schneidet  jede  der  Flächen  des  Tetraeders 
in  einem  Punkte  (I\,  Tj,  Tj,  T4),  und  durch  jeden  geht  noch  eine 
zweite  Tangente  der  h  in  einem  der  acht  Punkte;  zwei  sich  schnei- 
dende Tangenten  sind  durch  die  den  Schnittpunkt  enthaltende  Tetra- 
ederfläche und  deren  Gegenecke  harmonisch  getrennt.  —  Die  Örter 
der  Punkte  T  in  den  Ebenen  des  Tetraeders  wollen  wir  alsbald 
gesondert  konstruiren. 

Es  ist  noch  nützlich  und  leicht^  die  Krümmungshalbmesser  der 
h"  in  ihren  Scheiteln  zu  bestimmen;  sie  sind  dieselben,  wie  diejeni- 
gen der  zweiten  Projektionen  der  Schnittkurven  der  Schmiegungs- 
ebenen  der  h  in  den  entsprechenden  Paukten  mit  jedem  der  vier  Kegel. 
Die  Schmiegungsebene  der  h  in  einem  Punkte  C  der  Ebene  8^  ist 
die  Berührungsebene  des  Cylinders  K^;  diese  trifft  den  Kegel  K4 
in  einer  Kurve,  deren  zweite  Projektion  die  Strecke  C'Cq  =  C^C^ 
zum  Krümmungshalbmesser  hat,  wenn  Cj  der  Schnittpunkt  jener 
Berührungsebene  mit  y,  und  C^Ci  der  Parallelkreishalbmesser  des 
Kegels  K4  in  C^  ist  (57).  Ebenso  ist  B"Bq  =  B^B^.  Die  Schmie- 
gungsebene der  h  in  einem  Punkte  G  der  S^  ist  die  Berührungs- 
ebene des  hyperbolischen  Cylinders  Kg,  deren  dritte  Projektion  die 
Hyperbeltangente  G'"G^  bildet  Diese  Ebene  schneidet  den  Kreis- 
cylinder  K^  in  einer  Ellipse,  deren  zweite  Projektion  Axen  bezw. 
«=»  G"'G^  und  =  G^G^  hat,  wenn  die  G"G^  die  Cylinderaxe  in  G^ 
trifft,  und  G^  die  senkrechte  Projektion  von  G^  auf  G'G""  bildet.  Der 
Krümmungshalbmesser  dieser  Ellipse  in  G" ist  aber  =  G"Gq  =  G^G^j 
wenn  G^  auf  der  Cylinderaxe  durch  G^  G^  J_  G'"  G^  bestimmt  wird. 
Entsprechend  ist  E"Eq  «=  ^4^5,  wenn  in  etwas  anderer  Linien- 
führung E'"E^  die  Normale  der  Hyperbel  in  E"\  E'"E^  J.  KE'" 
und  JE?4,  E^  auf  der  Cylinderaxe  liegen. 

285.  Aufg.  Die  Schnittlinie  h  zweier  Flächen  zweiten  Grades 
darzustellen^  wenn  sie  aus  einem  Aste  besteht  (281). 

Aufl.    Es  gehen  zwei  reelle  Kegel  E^,  K^  durch  die  h,  und  als  Fig.  is^- 
deren  Schnittlinie  wollen  wir  die  k  bestimmen.    K^  und  K,  seien 
zwei  kongruente  Umdrehungscylinder,  deren  Axen  bezw.  mit  y  und 
X  parallel  laufen,  sich  aber  nicht  treffen.     Von  dem  gemeinsamen 
Polartetraeder  sind  die  Kante  g  =  S^S^  (im  Unendlichen  der  Pj 


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304        VI,  286.   DurchBclmitt  krummer  Flächen  mit  kmmmea  Flächen. 

und  ihre  Gegenkante  g^  (|!^),  sowie  die  Flächen  g^S^  und  g^S^ 
reell.  Die  Schnitte  dieser  Ebenen  mit  Kj  und  "K^,  ein  Ereis  und 
zwei  Gerade  (in  g^S2  der  Ereis  Si  und  die  Geraden  s^  und  u^j  lie- 
fern die  Punkte  JE?,  F,  (r,  H  der  h  Es  sind  in  der  ersten  Pro- 
jektion von  h  noch  die  Punkte  der  umrisse  (so  K')  bestimmt  und 
ein  allgemeiner  Punkt  P'  aus  P".  Sind  a^'  und  6"  die  mit  z  paral- 
lelen Mittellinien  der  zweiten  Projektionen  der  Cylinder  Z^  und  Kj, 
und  hat  auf  s/'  der  Punkt  Q"  den  Abstand  von  6",  wie  P"  von 
a^'y  so  ist  Abst.  P'a^'=^  Abst.  Q"gi\  Die  Ta«^e«fe  der  Ä'  in  P 
bestimmt  man  durch  ihre  Spur  T  etwa  mit  der  zu  F^  parallelen 

Fig.  126. 


X'^-^'ß 


^^' 


Berührungsebene  des  E^  entlang  s^.  Schneiden  die  Tangenten  des 
Ereises  5/'  in  P"  und  Q"  bezw.  die  5/'  in  T"  und  die  durch  G" 
gezogene  Parallele  zu  x  in  F",  so  ist  T  aus  T"  und  durch  Abst 
T'a^'^G"V  bestimmt.  Der  Krimmungshalhmesser  der  h'  in  JF' 
ist  F'Fq'^-F^F^.  Denn  die  Ä;  und  die  Schnittellipse  der  Schmie- 
gungsebene  F'*F^  der  Ä;  in  ^  mit  K,  besitzen  in  Fy  und  ihre  ersten 
Projektionen  besitzen  in  F'  dieselben  Erümmungskreise.    Schneiden 


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VI,  286.    Der  Dnrcbsclinitt  zweier  Flächen  2.  Gr.  unter  einander.         305 

nun  die  Gerade  F'F'^  die  Tangente  F"F^  und  die  Normale  2^'S/' 
des  Kreises  s^'  die  Og"  bezw.  in  f\,  F^^  J',,  so  sind  ^1-^5  und 
F^F"  Jdie  Axen  der  Projektion  jener  Schnittellipse,  und  F^F^  ist  ihr 
Krümmungshalbmesser  in  F\  Sodann  ist  auch  H'H^  =»  F'F^  u.s.w- 
um  ein  besseres  Bild  der  Tc  zu  geben,  ist  noch  die  Projektion 
auf  eine  zu  F,  senkrechte  und  dann  in  F,  umgelegte  Ebene  F,  ge- 
bildet, wobei  die  zu  F,  parallele  Symmetrieebene  der  Tc  sich  in  a,'"  pro- 
jicirt,  und  Abstand  F'"  a^"  «=  Abst  Ya^  ist.  Dabei  wurde  a,'" 
senkrecht  zur  Tangente  des  s/'  in  JE"  (und  ||  S^'E")  angenommen, 
so  daß  die  Schmiegungsebene  der  Tc  in  j^JLF,  steht,  also  proji- 
xjirende  Ebene  ist  K"  und  F'"  sind  Scheitelpunkte  der  *'".  In  F'" 
ist  der  Krümmungshalbmesser  F"Fq,  wie  vorhin  bestimmt,  durch 
F^Ff^XF^^F^  (s.  Fig.);  in  JE'"  ist  derselbe  unendlich  groß.  Der 
Krümmungshalbmesser  in  K'"  ist  gleich  demjenigen  der  dritten 
Projektion  der  Schnittellipse  der  Berührungsebene  des  K^  in  K  mit 
Kj,  deren  Axen  gleich  K'"E^  und  K^K^  sind,  er  ist  daher  «=  K'"K^^ 
wenn  K^K^A^K"K^  ist.  Ebenso  V" L^  in  L"\  Der  (sehr  kleine) 
Krünmiungshalbmesser  der  Iz  m  K'  könnte  ganz  entsprechend  be- 
stimmt werden.  —  Da  P"  auf  S^'E"  gewählt  wurde,  ist  P'P" 
Tangente  des  s^  und  der  V'\  Sind  r  =  r'S;'  und  r^  —  P^'Po 
die  Krümmungshalbmesser  bezw.  des  s/'  und  der  h'"  in  P"  und 
P"',  so  ist 


/  T^  T'  \  g 
\P"  T") ' 


denn  (208)  zu  gleichen  x  gehören  in  beiden  Kurven  y,  welche 
sich  wie  T^T  '^P"T"  verhalten.  Die  Formel  wird  konstruirt,  in- 
dem man  auf  FT  die  P"T^  =  T,r  auftragt,  und  auf  P^Äi" 
die  Punkte  P^  und  P,  so  bestimmt,  daß  T^P^  ||  r'S/'  und  T^P^ 
i;  r"Pi;  dann  ist  P'"Pq  =  P"P^.  —  Aus  entsprechenden  Gründen 
ist  der  Krümmungshalbmesser  H'"H^  '^^  H'Hq.  cos*  a,  wenn  a  der 
Winkel  der  Tangenten  der  t'  in  JET'  und  der  k'"  in  5'";  also  H'"  H^ 
«=»  HqH^,  wenn  HqS^  _L  02'"»  S' H^  J_  H^H^y  H^H^  J_  J3o^  • 

Die  D(>Kpe?pM«Äfe  der  ifc'",  wie  J"',  erhält  man,  wenn  man  die 
Ebene  der  dritten  ümrißlinien  des  K^  (-B"S/'P")  und  des  Z^  (O 
mit  einander  schneidet,  die  dritte  Projektion  J^  «T"  ihrer  Schnittlinie 
zeichnet  und  auf  ihr  die  beiden  Punkte,  wie  J"\  aus  J"  und  J* 
oder  aus  J*",  J*'  bestimmt. 

Der  Übergang  dieses  Falles  mit  einem  Aste  der  Schnittkurve  h 
in  den  ersten  Fall  mit  zwei  Asten  wird  gebildet,  indem  man  den 
Kegel  E^  ^^  ^^^  Richtung  von  g^  so  lange  verschiebt,  bis  einer  der 
Schnittpunkte  der  g^  mit  K^  in  einen  derjenigen  mit  !E|  fallt;  da- 
bei müssen  aber  die  in  der  Figur  angenommenen  Cy linder  !E,,  E, 

Wiener,  Lehrbuch  der  danteUenden  Geometrie,   n.  20 


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306      VI,  286—286.    Darchflchnitt  krummer  Flächen  mit  krummen  Flächen. 


ungleich   gemacht   werden^    damit   nicht    zugleich    auch    die    zwei 

anderen  Schnittpunkte    ineinanderfallen.     Es    berühren   sich    dann 

beide  Kegel,  und 
^'  im     Berührungs- 

punkte besitzt  die 
k  einen  Doppel- 
punkt;  in  wel- 
chem die  verei- 
nigten Spitzen  der 
reell  werdenden 
Kegel  Kg,  K^  lie- 
gen, so  daß  drei 
getrennte  Kegel 
Kl,  Kj,  (K^,  KJ 
vorhanden  sind. 
Bei  weiterer  Ver- 
schiebung in  dem- 
selben Sinne  teilt 
sich  k  in  zwei 
Aste,  und  der  eine 
Kegel  (Ka,  Kj 
teilt  sich  in  deren 
zwei £3,^4.  Läßt 
man  im  Falle  der 

Berührung  die 
Spitze  S^  von  K, 
in     den     Berüh- 
rungspunkt 
rücken,    so   wird 
dieser  aus  einem 

Doppelpunkte 
eine  Spitze  der  Ä;, 
und  es  bestehen 
nur  noch  zwei  ge- 
trennte Kegel  K| 
und  (Zj,  Ka,  Kj. 
286.  Aufgabe, 
Die  Schnüflinie  k 

zweier  Flächen  zweiten  Grades  darzustellen^  wenn  sie  aus  zum  un- 

paaren  Ästen  "besteht  (282,  4)). 

Aufl,    Es  gehen  dann  keine  reellen  Kegel  durch  X;;   und   die 

Flächen  zweiten  Grades  F,  F|,  deren  Schnitt  k  ist,  sind  Regelflächen. 


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VI,  286.    Der  Durchsclinitt  zweier  Flächen  2.  Gr.  unter  einander.        307 

Benutzen  wir  irgend  eine  Parallelprojektion  ^  deren  Art  unbestimmt 
bleiben  kann^  da  es  sieb  nur  um  Schnitte^  nicht  aber  um  wahre 
Maße  handelt,  und  seien  g^  g'  die  reellen  Gegenkanten  des  gemein- 
schaftlichen Polartetraeders,  so  treffen  diese  die  P  bezw.  in  A,  B  Fig.  is6. 
und  A' y  B\  die  P,  in  -4,,  B^  und  J./,  JB^',  derart  daß  J.,  B  durch 
-4i,  Bj,  und  A\  B'  durch  -4/,  B^  getrennt  sind. 

Es  wurde  der  Einfachheit  halber  in  der  Zeichnung  gA.g  und 
die  Punktreihe  A'B'  A^B^  symmetrisch  mit  ABA^B^  in  Bezug 
auf  die  Halbirende  s  des  einen  Winkels  von  g  und  g'  angenommen. 
Stellen  wir  uns  diese  s  als  die  Projektion  einer  Geraden  vor,  welche 
durch  die  Mitten  der  raumlichen  (windschiefen)  Strecken  AAj^  und 
B  B^  geht,  und  denken  uns  die  Raumgerade  s  parallel  zur  Projektions- 
ebene und  die  projicirenden  Ebenen  von  AA^  und  BB^  senkrecht 
auf  Sf  so  sind  auch  die  räumlichen  Punktreihen  auf  g  und  g'  senkrecht 
symmetrisch  zu  einander  in  Bezug  auf  die  Raum  gerade  s.  Wir 
wollen  die  beiden  Regelflächen  durch  zwei  zugleich  mit  g  und  mit 
g'  parallele  Ebenen  P  und  P'  begrenzen,  welche,  in  gleichen  Ab- 
ständen von  diesen  Geraden  gelegt,  dieselben  zwischen  sich  ein- 
schließen, und  durch  ihre  beiden  Schnittpunkte  C,  C  mit  AA'  be- 
stimmt sind,  wenn  A'C ^=^  —  AC  gemacht  wird.  Die  bezw.  auf  P 
und  Pj  liegenden  windschiefen  Vierseite  AA' BB'  und  A^A^B^B^ 
werden  von  P  und  P'  in  je  vier  Punkten  geschnitten,  welche  Parallelo- 
gramme bilden,  deren  Seiten  mit  g  und  g'  parallel,  also  in  unserem 
Falle  in  der  Abbildung  Rechtecke  sind.  Diejenigen  für  P  sind  da- 
durch als  CDEFy  CD'E'F'  bestimmt;  dabei  z.  B.  D  auf  AB' 
durch  CD\g\  Für  P^  bestimmt  man  zuerst  C^  und  (7/  durch 
A^C^i  A^A^ ^^  AC :  AA'  und  -4/(7/=  — -i^Ci,  oder  hier  wegen 
der  Symmetrie  kürzer  -4^  Cj  =  —  A'C\  und  ^/C/=  —  -4(7;  und 
sodann  C^B^E^F^  und  C^D^'E^F;  durch  Parallele  zu  g  und  g\  P 
und  Pj  sind  durch  jene  Vierseite  noch  nicht  bestimmt;  vnr  können 
für  jede  noch  einen  Punkt  willkürlich  annehmen,  wodurch  eine 
dritte  Erzeugende  einer  jeden  Schaar  und  somit  die  Fläche  bestimmt 
ist  Wir  thun  dies  dadurch,  daß  wir  in  P  zu  den  vier  Punkten 
C,  D,  Ey  F  noch  einen  fünften  annehmen,  wodurch  der  Schnitt- 
kegelschnitt von  P  mit  P  festgelegt  ist.  Da  CDEF  ein  Rechteck 
ist,  so  können  wir  als  diesen  Kegelschnitt  einen  Kreis  annehmen, 
ebenso  für  Pj  einen  solchen  durch  C^,  D^fE^,  F^  legen,  dann  sind  auch 
die  Spuren  der  Flächen  in  P'  Kreise;  die  Mittelpunkte  dieser  vier 
Eareise  seien  jSf,  jSf^,  M',  M^'.  Die  Regelflächen  sind  dann  ein- 
schalige Hyperboloide. 

Von  den  so  bestimmten  in  Bezug  auf  die  Raumgerade  s  sym- 
metrischen Flächen  ermitteln  wir  nun  die  Schnittlinie  h  in  unserem 

20* 

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308         VI,  286.   Durchschnitt  krummer  Flächen  mit  krummen  Flächen. 

Falle  leicht  durch  Hilfsebenen,  welche  ||  P  laufen  und  daher  beide 
Flächen  in  Kegelschnitten  treflfen,  deren  Abbildungen  Kreise  sind. 
Die  Geraden  MM\  M^M(  enthalten  die  Mittelpunkte  aller  dieser 
Kreise;  diese  Geraden  schneiden  die  g  und  g  bezw.  in  G,  Gj,  G', 
Gj',  und  diese  Punkte  sind  die  Mittelpunkte  zweier  Paare  von  Krei- 
sen, welche  der  Reihe  nach  durch  A^  B\  A^^  3^\  A'y  B' \  -4./,  B^ 
gehen  und  je  zwei  Punkte  der  Tc  liefern,  wie  in  der  Figur  ange- 
deutet ist.  Zur  Bestimmung  weiterer  Punkte  teile  man  GG'y  Gr^Gi 
und  etwa  BB'^  B^  B^  in  dieselbe  Anzahl  (etwa  sechs)  gleiche  Teile, 
trage  die  Teilung,  wenn  nötig,  über  (r,  G\  G^,  G^  hinaus  weiter 
und  ziehe  aus  den  ersteren  Teilungspunkten  Kreise  durch  die  letz- 
teren. Zwei  Kreise  derselben  Hilfsebene  liefern  zwei  Punkte  der  l; 
zwei  solche  mit  den  Mittelpunkten  0,  0^  sind  verzeichnet;  ihr  einer 
Schnittpunkt  ist  P.  Bei  der  Symmetrie  unserer  Figur  kommt  jeder 
Halbmesser  zweimal  vor.  Man  bemerkt,  daß  jeder  Ast  von  h  die- 
jenigen Erzeugenden  AB',  A'B,  A^ B^  -^i-B/  »icht  sch^eidet^ 
deren  Punkte  auf  g  und  g'  beide  auf  der  endlichen,  oder  beide  auf 
der  unendlichen  Strecke  liegen,  welche  durch  die  andere  Fläche  aus- 
geschnitten wird. 

Um  die  Tangente  der  ä;  in  P  zu  ermitteln,  bestimme  man  zu- 
nächst die  Beröhrungsebene  der  P  in  P  mittelst  der  auf  MM'  lie- 
genden Spitze  Q  des  die  P  entlang  des  Kreises  (0,  P)  berührenden 
Kreises,  wobei  man  beachtet,  daß  0  und  Q  konjugirte  Punkte  in 
Bezug  auf  F  sind.  Auf  MM'  sind  aber  schon  zwei  konjugirte 
Punkte  Gj  G'  gegeben;  ein  zweites  Paar  findet  man,  wenn  man 
von  dem  aus  G  durch  B  gezogenen  Kreise  den  Halbmesser  GH  |  g' 
und  «=  GB  zieht;  HA'  und  HB'  schneiden  dann  auf  Jf  Jf'  die  kon- 
jugirten  Punkte  J,  J'  ein  (1, 347).  Die  (gleichlaufende)  Involution  6, 
6r';  cT",  J'  wird  aus  einem  Schnittpunkte  L  zweier  in  derselben  Ebene 
über  GG'  und  JtT  als  Durchmesser  beschriebenen  Kreise  durch 
eine  Rechtwinkelinvolution  projicirt  (Da  «T  unerreichbar,  erhält 
man  den  Mittelpunkt  J^  von  JtT  durch  H^  J^  ||  HB'J*,  wenn  H^  der 
Mittelpunkt  von  JH.)  Q  ist  dann  bestimmt  durch  LQ  JL  LO,  Die 
Erzeugende  QB  jenes  Kegels  trifft  die  P  in  JR,  wenn  MB  \  OP, 
und  die  Berührungsebene  des  Kegels  und  der  P  in  P  hat  in  P  die 
Spur  jRT  (_L  MB).  In  übereinstimmender  Weise  bestimmt  man 
für  Pi  auf  Ml  Ml  den  zu  0^  konjugirten  Punkt  Q^,  und  zwar  in 
unserem  Falle  wegen  der  Symmetrie  von  MM'  und  Jf ,  M^'  in  Bezug 
auf  s  am  leichtesten  durch  M0i=-'Mi'0i,  0/iö/=90^,  Jf,^, 
=  —  M'Qi'.  Die  Pol  schneidet  die  P  in  JBi,  wenn  M^Ri  ||  OiP\ 
dann  ist  B^  T  (J_  Jtf, B^j  die  Spur  der  Berührungsebene  der  P,  in 
P    Schneiden  sich  JBT  und  JB,  T  in  T,  so  ist  BT  die  gesuchte 


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VI,  286—287.    Der  Dorchsolmitt  zweier  Flächen  2.  Gr.  unter  einander.       309 

Tangente.  —  Der  Ort  der  T  ist  die  Spur  der  abwickelbaren  Fläche 
der  Tangenten  der  ifc;  diese  Fläcbe  besteht  ans  zwei  geschlossenen 
Flächenästen  ^  und  ihre  Spur  aus  zwei  geschlossenen  Eurvenästen^ 
wovon  jeder  einem  der  beiden  geschlossenen  Äste  der  Tc  angehört 
und  eine  Spitze  in  jedem  Schnittpunkte  der  Ic  mit  der  P  besitzt. 

287.  Zur  Bestimmung  der  Asymptoten  der  Tc  ermitteln  wir  zuerst 
die  Asymptotenkegel  der  Hyperboloide.  Der  Mittelpunkt  der  F  liegt 
als  konjugirt  zu  dem  unendlich  fernen  Punkte  von  MM  im  Fußpunkte 
N  der  von  L  auf  MM!  gefällten  Senkrechten.  Die  Ebene  MM'H 
schneidet  die  Fläche  P  in  einer  Hyperbel,  in  welcher  die  Geraden  JfJtf' 
und  GH  konjugirt  sind.  Der  Halbdurchmesser  NS{\  GH)  ist  be- 
stimmt durch  NS^  =  NS^.NS^y  wenn  S^  und  Sg  auf  NS  und  bezw. 
s^ntHS^{\MM')  und  sm{  HG'  (Tangente  der  Hyperbel  in  H,  weil 
G  und  G'  konjugirt  sind)  liegen;  denn  S  ist  einer  der  Doppelpunkte 
der  Involution  konjugirter  Punkte,  in  welcher  N  der  Mittelpunkt 
und  Sj,  5g  ein  Punktepaar  ist  Auf  der  Ordinate  MU{\\N1^  er- 
hält man  den  Punkt  U^  einer  Asymptote  der  Hyperbel  vermittelst 
MUi^  ~  MIP  —  NS^  (I,  371).  Der  Asymptotenkegel  schneidet 
daher  die  P  in  dem  aus  M  durch  U^  gezogenen  Kreise  a  und  die 
Pj  in  dem  aus  M*  durch  U^  gezogenen  Kreise,  wenn  JIT  ü,  ||  Mü^ 
und  U^  auf  NU^.  —  Übereinstimmend  könnte  man  den  Asymptoten- 
kegel der  Pi  ermitteln;  wegen  jener  Symmetrie  ist  seine  Spitze  Ni 
symmetrisch  zu  N  in  Bezug  auf  Sy  und  seine  Spur  in  P  ist  der 
aus  Jlfi  mit  einem  Halbmesser  -«  Jf'ZJj  beschriebene  Kreis  04 . 

Um  die  unendlich  fernen  Punkte  der  Je  zu  erhalten,  bringt  man 
den  Asymptotenkegel  N^^  durch  Parallelverschiebung  in  eine  mit 
dem  Asymptotenkegel  N  koncentrische  Lf^e,  schneidet  die  koncen- 
trischen  Kegel  etwa  mit  P  in  je  einem  Kreise,  und  verbindet  deren 
Schnittpunkte  mit  N,  so  sind  mit  diesen  Verbindungslinien  die 
Asymptoten  der  Je  parallel,  unter  den  vier  Asymptoten  sind  stets 
zwei  reell,  da  jede  Ebene,  so  auch  die  unendlich  ferne,  die  F  und 
die  P^  in  reellen  Kegelschnitten  trifft,  die  sich  reell  schneiden,  weil 
die  Punkte  des  einen  Kegelschnittes,  welche  auf  jenen  Ausgangserzeu- 
genden der  zugehörigen  Fläche  liegen,  die  der  anderen  Fläche  nicht  reell 
begegnen,  sich  auf  entgegengesetzten  Seiten  des  anderen  Kegelschnit- 
tes befinden.  In  unserem  Falle  sind  nur  zwei  Asymptoten  reell,  da 
jene  Kegelschnitte  Kreise  sind  und  daher  nur  zwei  reelle  Punkte  ge- 
mein haben.  Sie  lassen  sich  bei  der  von  uns  gemachten  Annahme 
der  Symmetrie  besonders  leicht  bestimmen.  Die  koncentrischen 
Kegel  sind  in  Bezug  auf  eine  parallel  zur  Raumgeraden  s  durch  N 
gelegte  Gerade  s'  symmetrisch;  und  da  nur  zwei  Schnittgeraden 
beider  Kegel  bestehen,  müssen  sich  diese  in  der  durch  N  senkrecht 


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310      VI,  287—288.   Darchschnitt  krummer  Fl&chen]mit  krummen  Flächen. 

zu  s'  gelegten  Ebene  befinden^  wobei  jede  dieser  Schnittgeraden 
in  Bezug  auf  s'  symmetrisch  zu  sich  selbst  ist.  Lägen  nämlich  beide 
Gerade  nicht  in  jener  Ebene^  so  müßten  zu  den  zwei  Geraden  des  einen 
Astes  eines  der  Eegel  auf  dessen  anderem  Aste  zwei  symmetrische  in 
Bezug  auf  N  und  zwei  davon  verschiedene  symmetrische  in  Bezug 
auf  s'  bestehen^  also  im  ganzen  vier,  was  unmöglich.  In  der  Zeich- 
nung ziehen  wir  daher  durch  N  eine  (zugleich  durch  N^  gehende) 
Senkrechte  zu  s,  schneiden  sie  mit  dem  Kreise  a  des  Asymptoten- 
kegels N  in  V  und  W^  und  mit  demjenigen  a^  des  ¥rieder  zurück- 
geschobenen Kegels  Ni  in  den  entsprechenden  Punkten  V^  und  W^, 
ziehen  in  diesen  Punkten  die  Tangenten  VX,  FjX;  WY,  W^Y 
an  a  und  o^,  deren  Schnittpunkte  bezw.  X  und  Y  seien ,  so  sind 
die  auf  s  Senkrechten  XX\  YY  die  Asymptoten  der  Tc. 

In  der  Projektion  liegt  jede  Asymptote  auf  derselben  Seite  der 
beiden  nach  ihrem  unendlich  fernen  Punkte  laufenden  Zweige  der 
Kurve  Tc^  so  daß  dieser  Punkt  ein  Wendepunkt  der  Tc  ist.  Es  rührt 
dies  von  der  zu  den  Asymptoten  senkrechten  Lage  der  Symmetrie* 
axe  her;  die  durch  eine  Asymptote  gehende  Schmiegungsebene  steht 
dann  Senkrecht  auf  der  Projektionsebene  (I^  260). 

288.  Die  DoppeJkurve  d  der  äbtoicicelbaren  Fläche  der  Tangenten 
der  SchniMinie  h  ssweier  Flächen  gweiten  Grades  F,  F^  besteht  aus 
vier  ebenen  Asten,  welche  in  den  Seitenflächen  des  gemeinschaft- 
lichen Polartetraeders  von  F  und  F^  liegen  (278).  Damit  sie  reell 
ist,  müssen  wenigstens  zwei  Seitenflächen  und  daher  auch  die  ihnen 
gegenüberstehenden  Ecken  dieses  Tetraeders,  und  dann  auch  zwei 
der  durch  k  gehenden  Kegel  zweiten  Grades  reell  sein,  ohne  daß, 
wie  wir  sehen  werden,  die  Schnittkurve  k  reell  sein  müßte.  Ein 
solcher  ebener  Ast  ist  bestimmt,  wenn  der  Kegelschnitt  s^  und  die 
zwei  Geraden  s^  gegeben  aind,  worin  seine  Ebene  S^  bezw.  den 
von  der  gegenüberliegenden  Ecke  S^  des  Tetraeders  ausgehenden 
Kegel  El,  und  einen  der  anderen  Kegel,  etwa  K,;  schneidet  (dessen 
Spitze  S^  in  S^  liegt). 

1.  FaU,  Die  Ebene  S^  des  Kurvenastes  d  enthält  von  einem  der  vier 
Kegel  einen  reellen  Kegelschnitt  s^,  van  jedem  der  drei  anderen  ein 
Pig.  127.  Paar  reeller  Geraden  s^,  Vi  ^s;  V?  ^4;  ^/j  ^^®^®  ^^^^  Linien  gehen 
durch  die  vier,  der  Schnittkurve  k  augehorigen  reellen  Punkte  A, 
B,  C,  D.  Indem  wir  wieder  die  Projektion  aus  8^  auf  Sj  bilden, 
erhalten  wir  Si  als  Projektion  der  Schnittkurve  h  Bei  der  Kon- 
struktion können  wir  einen  beliebigen  der  drei  reellen  Kegel  S,, 
E3,  K4  benutzen.  Es  sei  K^]  derselbe  kann  sich  in  dasjenige  Paar 
von  Scheitelwinkeln  S^is^s^')  projiciren,  in  welchem  S^  liegt,  oder 
in  das  andere.    Im  ersteren  Falle  stelle  S^Ri  eine  Erzeugende  des 


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VI,  288.   Der  Durchschnitt  zweier  Flächen  2.  Gr.  unter  einander. 


311 


K^  vor;  die  BerühruDgsebene  des  K^  entlang  S^Ri  hat  zur  Spur 
die  Gerade  S^  R^,  wenn  5,  B^  und  S^  R^  durch  s^  und  $2  harmonisch 
getrennt  sind.  Man  findet  zwei  solche  entsprechende  Strahlen /S^^i; 
S^B^  etwa  durch 

ihre   Punkte    R^,  Fig.  127. 

JBj  auf  einer  Pa- 
rallelen h  zu  S2f 
welche  von  s^'  in 
0  getroffen  werde, 
wenn  man  OR2 
«=  —  OjRi  macht. 
Trifft  nun  S^R,, 
den  Kegelschnitt 
Sj  (in  der  Figur 
ein  Kreis)  in  zwei 
Punkten  Q^,  ö/,  ^"  ^' 
80  sind  diese  die 
Projektionen  der 
beiden  Schnitt- 
punkte der  Erzeu- 
genden S^Ri  mit 
dem    Kegel    K^, 

also  zweier 
Punkte  der  h.  Die 
BerQhrungsebene 
des  Kl  entlang 
Si  Qi  hat  zur  Spur 
die  Tangente  Q^  Pj 
des  Si  in  Qiy  und 

die  Spuren  5,  R^  und  Q^  P^  beider  Berührungsebenen  treffen  sich  in 
der  Spur  P^  der  Tangente  der  Je  im  Raumpunkte  Q^,  so  daß  P^ 
ein-  Punkt  der  Doppelkurve  ist.  Q^  liefert  einen  zweiten  Punkt  P/ 
der  d  auf  S^iZg.  Würde  aber  der  Kegel  K^  sich  in  das  andere 
Paar  von  Scheitelwinkeln  s^s^'  projiciren,  so  wäre  S^R^QiQ^'  die 
Projektion  einer  Erzeugenden  dieses  Kegels,  S^Ri  die  Spur  der 
ihn  entlang  SR^  berührenden  Ebene,  und  die  Tangenten  des  s^ 
in  Q2  und  Q^  würden  auf  S^R^  die  zwei  Punkte  Pj,  P/  liefern, 
welche  die  Schnittpunkte  je  zweier  Tangenten  der  neuen  Schnitt- 
kurve sind.  Beide  Teile  zusammen  bilden  die  ganze  nur  von  dem 
Kegelschnitte  s^  und  seinem  eingeschriebenen  Vierecke  AB  CD 
abhängige  Kurve  d.  Nach  der  bald  zu  verfolgenden  Imaginär- 
projektion würde  aber  der  eine  der  Kegel  ^^2'  die  Imaginärprojek- 


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312      VI,  288—289.    Durchschnitt  Jammer  Flächen  mit  krummen  Flachen. 

tion  des  anderen  aus  S^  sein,  die  eine  Schnittkurve  h  die  Imaginär- 
Projektion  der  anderen,  die  reellen  Tangenten  der  einen  die  Pro- 
jektionen der  imaginären  der  anderen,  die  reellen  Doppelkurven  d  auf 
der  Eollineationsebene  S^  würden  aber  sich  selbst  entsprechen  als 
reelle  Schnittpunkte  von  je  zwei  reellen  oder  konjugirt  imaginären 
Tangenten. 

Die  Doppeücurve  d  berührt  die  Grundkurve  s^  in  den  vier  Punkten 
A,  B,  Cy  D  der  Schnitthurve  h;  sie  hat  einen  jeden  der  drei  in  ihrer 
Ebene  liegenden  Eckpunkte  S^,  S^,  S^  des  Tetraeders  m  einem  Doppel- 
punkte und  zu  einem  Wendepunkte  eines  jeden  durch  den  Funkt  gehen- 
den Astes.  Denn  zieht  man  aus  einem  dieser  Eckpunkte,  etwa  aus 
S^y  die  beiden  Tangenten  an  s^  und  sucht  deren  entsprechende 
Strahlen  S^  V,  S^  V\  so  findet  man  auf  jedem  derselben  den  Punkt 
S2  als  Punkt  der  d.  Zugleich  ist  jeder  der  Strahlen  eine  Tangente 
und  der  Punkt  ein  Wendepunkt  der  d,  weil  auf  dem  benachbarten 
Strahle  zwei  Punkte  der  d  auf  entgegengesetzten  Seiten  des  Punk- 
tes S2  liegen,  deren  Abstände  von  S^  =  0^  und  von  dem  Strahle 
=  0*  sind. 

Ebenso  findet  man  die  Tangenten  in  dem  in  der  Figur  un- 
endlich fernen  Doppelpunkte  S^^,  indem  man  zu  den  aus  ^4  an  s^ 
gezogenen  Tangenten,  deren  Berührungspunkte  ö,  G'  sind,  bezw. 
die  entsprechenden  Strahlen  S^F,  S^^F'  bestimmt,  derart  daß  S^Gy 
S^Fy  sovrie  S^^G'y  S^F'  durch  54,  S4'  harmonisch  getrennt  werden. 
Es  geschieht  dies  etwa  dadurch,  daß  man  GB  mit  s^  in  H,  RA 
mit  GG'  in  F  schneidet.  In  unserem  Falle  sind  S^F,  S^^F^  Asymp- 
toten der  d.  Da  die  aus  S^  an  Si  zu  ziehenden  Tangenten  imaginär 
sind,  so  sind  es  auch  die  in  S^  bld.  d  zu  ziehenden,  oder  S^  ist 
ein  isolirter  Punkt  der  d. 

Die  d)ene  Doppelkurve  d  ist  von  der  vierten  Ordnung ,  da  ein  aus 
einem  Doppelpunkte  gezogener  Strahl  außer  diesem  noch  zwei  Punkte 
derselben  enthält.  Die  gange  Doppelkurve  der  dbunckelbaren  Fläche 
ist  von  der  16*^  Ordnung^  da  sie  aus  vier  solchen  ebenen  Kurven- 
ästen besteht. 

289.  Die  Tangente  der  Doppelkurve  d.  Schneidet  die  durch 
einen  Punkt  E  der  5^  gezogene  Parallele  h'  zu  S2  die  Sg  ^  ^7 
und  macht  man  KL  =  —  KE,  und,  unendlich  wenig  davon  ver- 
schieden, JSTii  =  —  KE^,  so  sind  S^L,  S^E,  sowie  S^L^^,  S^E^ 
entsprechende  Strahlen;  schneiden  ÄgJ?,  S^E^  den  s^  in  den  benach- 
barten Punkten  J5,  E^,  und  treflfen  die  Tangenten  des  s^  in  E  und 
E2  bezw.  die  S^L  und  S^L^  in  J"  und  eT,  so  sind  dies  zwei  benach- 
barte Punkte  der  d.    Die  zwei  durch  J  und  die  zwei  durch  «T  ge- 


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VI,  289—890.   Der  Durchechnitt  zweier  Flächen  2.  Gr.  unter  einander.     313 

zogenen  Konstruktionslinien  bilden  ein  unendlich  kleines  Parallelo- 
gramm; vergrößert  man  dasselbe  aus  J  als  Ähnlichkeitspunkt  zu 
einem  mit  ihm  ähnlichen  und  endlichen  Parallelogramme  ^  so  ist 
dessen  aus  J  gezogene  Diagonale  die  gesuchte  Tangente.  Vergrößert 
man  dabei  EE^  zu  J5i,  so  wird  EE^  zu  J5^,  wenn  K  auf  EE^ 
(der  Tangente  der  s,)  und  wenn  L'S\S<^E.  Die  Tangenten  an  s^ 
in  E  und  E^  bilden  denselben  Winkel,  wie  die  aus  dem  Krüm- 
mungsmittelpunkte M  des  s^  in  jE^  zu  ziehenden  Normalen  ME^ 
ME^ ;  das  von  diesen  Tangenten  auf  einer  durch  J  und  _L  EJ  ge- 
zogenen Geraden  abgeschnittene  Stuck  n  verhält  sich  daher  zu  EE^y 
wie  EJiMEy  und  ebenso  verhalten  sich  die  aus  n  und  aus  EE^ 
durch  ihre  verhältnismäßige  Vergrößerung  entstandenen  Stücke  EN^ 
und  EN.  Daher  erhält  man  EN^y  wenn  man  auf  EM{±EJ)  die 
EJ^  =  EJ  und  hutEJ  die  EM^  =  EM  aufträgt,  und  NN^  ||  M^Ji 
zieht  Dann  ist  die  zu  jB  J"  Parallele  N^  T  eine  neue  Seite  des  ver- 
größerten Parallelogramms.  —  Andererseits  schneidet  S^L^  auf  der 
Parallelen  JU  zxx  EL  ein  Stück  ab,  das  durch  seine  verhältnis- 
mäßige Vergrößerung  =  Jü{U  auf  S^E)  wird;  daher  ist  ÜT^S^J 
die  andere  neue  Seite  des  vergrößerten  Parallelogramms.  Seine  Dia- 
gonale JT  ist  die  gesuchte  Tangente. 

Die  nicht  durch  eine  der  Tetraederecken  gehenden  Asymptoten  a,  a 
sind  in  der  Figur  verzeichnet;   ihre  Konstruktion  soll  bei  Fig.  129, 
welche  hierzu  mehr  Deutlichkeit  bietet,  gegeben  werden. 

290.  Satz.  Die  Krümmungshalbmesser  der  Doppelkurve  d  und 
der  Grundkurve  s^  in  einem  Funkte  gegenseitiger  Berührung  verhalten 
sich  wie  —  1  : 3.  So  ist  ÄAq  «=»  —  \AM, 

Kommen  Q^  und  Q^  dem  Punkte  A  unendlich  nahe,  so  wird 
Q\P%  II  02-Pi  I  ^^2  uiid  Abst  A.Q^T^  =  Abst.  A.Q^P^,  Schneidet  Fig.  m, 
AS^  die  Linien  Q^Q^,  i^^a  bezw.  in  Q^y  P^,  und  die  beiden  die  ^^' 
5i  in  §,  und  Q^  Berührenden  in  T,  so  ist  QqA  =  AT  (I,  236,  7)); 
femer  ist  QqT^  TPq,  daher  AP^^^S  .Q^A.  Denkt  man  sich  nun 
in  A  die  gemeinschaftliche  Tangente  und  Normale  der  Kurven  s^ 
und  d  gezogen,  und  bezeichnet  die  senkrechten  Abstände  des  Q^  von 
diesen  Linien  mit  x  und  y,  die  von  Pg  mit  x^  und  y^,  und  die 
Krümmungshalbmesser  der  s^  jand  d  in  A  mit  r  und  r^,  so  ist  wegen 
yi=y  und  x^^  —  Sx  (208) 

Diese  Eigenschaft  ist  projektiv,  und  es  gilt:  Die  Krümmungs- 
halbmesser zumer  Kurven  in  einem  gemeinschaftlichen  Punkte  mit  ge- 
meinschaftlicher Tangente  und  Schmiegungsebene  verhalten  sich  wie  die 
Krümmungshalbfnesser  der  {Central^   oder  Parallel-)  Projektionen  der 


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314     VI,  290—291.    Dorchsohnitt  krummer  Flächen  mit  krummen  Flächen. 

Kurven  in  der  Projektion  jenes  gemeinschaßlichen  Punktes.  Denn  wird 
bei  den  bisherigen  Bezeichnungen  aus  y,  y^^  x,  x^  durch  die  Pro- 
jektion y\  y/,  x\  x^y  so  ist  wegen  y  =  j/i  auch  y'=  y/  und  x  \x^ 
=  a: :  a?i,  woraus  der  Satz  folgt  (208). 

291.  2.  F(äl,  Die  Ebene  des  Kt^rvenastes  d  enthält  von  einem 
der  vier  Kegel  einen  reellen  Kegelschnitt  s^,  von  einem  anderen  Bwei 
von  S2  ausgehende,  den  Si  nicht  reell  schneidende  Gerade  s^,  s^',  von 
den  beiden  letzten  Kegeln  daher  je  zwei  bezw.  von  rollen  Punkten  S^ 
und  S^  ausgehende  imaginäre  Gerade.  Liegt  dabei  s^  im  Innern  des- 
jenigen Scheitel winkelpaares  S^is^s^),  in  welchen  sich  die  Projektion 
des  Kegels  K^  befindet^  so  ist  die  Schnittkurve  k  beider  Eegel  reell; 
im  anderen  Falle  ist  k  imaginär  und  d  ist  die  reelle  Doppelkurve 
der  imaginären  abwickelbaren  Fläche  der. Tangenten  der  k. 
Fig.  128.  In  der  Figur  wurden  s^  als  Ereis,  S^  im  Mittelpunkte  desselben 

angenommen^  wodurch  S^,  S^^  ins  Unendliche  fallen  und  «^  S^  S^  S^ 

Fig.  128. 


=  90®  wird.  Zieht  man  aus  S^  einen  Strahl,  welcher  die  S,  8^ 
und  Si  bezw.  in  B^  und  Q,  Q^  triflffc,  so  erhält  man  den  entspre- 
chenden Strahl  ^2  "^>  wenn  man  auf  s^  von  Kq  (auf  S^S^  aus 
Kq  JE'=  —  Kq  K,  die  wir  gleich  dem  Kreishalbmesser  machen  wollen, 
aufträgt,  KR^  mit  ^2  in  Jff,  und  HK'  mit  S5Ä4  in  JS,  schneidet; 
die  Tangenten  an  s^  in  Q  und  Q^  treffen  dann  die  S^B^  bezw.  in 
P  und  Pj,  Punkten  der  Doppelkurve  d.  Die  Asymptoten  ^2-^;  ^%^ 
entsprechen  den  die  5^  in  Gy  G'  berührenden  Strahlen  S^G,  S^G'. 
Die  Asymptoten  S^L,  S^L'  erhält  man,  indem  man  beachtet,  daß 
eine  jede  derselben,  z.  B.  S^L  und  die  in  J  berührende  Tangente 
S^KJ  der  Sj  zugeordnete  Strahlen  der  Involution  sind,  deren  Doppel- 
strahlen durch  je  zwei  der  Schnittpunkte  von  k  mit  S^  oder  von  s^' 


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VI,  291—292.   Der  Darchsohnitt  sweier  Flachen  2.  Gr.  unter  einander.        315 

und  Sg  mit  s^  gehen  (288),  d,  h.  daß  S^ii  und  S^K  die  s^  in  Punkten  L 
und  K  schneiden,  welche  in  Bezug  auf  s^  konjugirt  sind,  daß  also 
L  auf  der  Polaren  von  K  zu  5^  liegt,  oder  daß  JL  A.S^K  steht. 

292.  3.  Fall  Die  Ebene  des  Kurvenastes  d  enthalt  von  einem 
der  vier  Kegel  einen  reellen  Kegelschnitt  Sj,  von  einem  anderen  Bwei 
von  S^  ausgehende  Gerade  5,,  s^\  deren  eine  (s^)  den  s^  reeU,  die  an- 
dere (V)  ^^  imaginär  schneidet,  so  daß  die  beiden  letzten  Kegel  ima- 
ginär sind. 

Dabei  kann  das  eine  Scheitelwinkelpaar  s^  s^,  oder  das  andere  Fig.  129. 
die  Projektion  des  Kegels  K^  bilden;  jedesmal  ist  der  Teil  der  d, 
welcher      außer- 
halb der  Projek-  ^^-  ^^^• 
tion  von  K^  liegt, 
die    Doppelkurve 
der    reellen    ab- 
wickelbaren 
Fläche,   und    der 
Teil,  welcher  in- 
nerhalb derselben 
liegt,    die    reelle 
Doppelkurve   des 
imaginären  Teiles 
der     abwickelba- 
ren Fläche. 

Die  Schnitt- 
punkte Ä,  B  von 
s^  mit  Si  sind  Be- 
rührungspunkte 
der  d  und  s^.  Mit- 1 

telst  h  (II O, 
OR^  =  —  OR^ 

und  §1,  Q^  ergeben  sich  wieder  die  Pj,  P^  der  d. 
S^  an  Si  entsprechen  die  Tangenten  der  d  in  S^. 


Den  Tangenten  aus 
Die  Eur^e  besitzt 


auf  der  unendlich  fernen  Geraden  vier  Punkte  und  daher  auch  vier 
Asymptoten  j  deren  keine  bei  endlich  entferntem  ^2  durch  eine 
Tetraederecke  geht  Von  diesen  Asymptoten  sind  in  der  Figur  zwei 
reell.  Dieselben  wurden  in  folgender  Weise  durch  Fehlerkurven 
konstruirt.  Ist  S^E'  die  mutmaßliche  Richtung  einer  Asymptote, 
S^K  der  entsprechende  Strahl,  und  E  derjenige  seiner  beiden  Schnitt- 
punkte mit  ^1,  in  welchem  die  Tangente  des  s^  nahezu  parallel  mit 
82  E'  läuft,  femer  E^  derjenige  zunächst  bei  E  liegende  Punkt 
von  «1,  in  welchem  die  Tangente  des  5|  wirklich  parallel  mit  S^E' 


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316       VI,  292.    Dnrchsohnitt  knunmer  Fl&chen  mit  knunmen  Fl&chen. 

läuft;  so  kann  die  Strecke  J^^  als  Maß  des  Fehlers  dienen.  Ver- 
bessert man  die  Richtung  S^E'  schätzungsweise  in  S^F  und  erhält 
dadurch  entsprechend  F  und  F^  mit  dem  in  der  Zeichnung  entge- 
gengesetzt gerichteten  Fehler  FF^^  so  ziehe  man  durch  E^  und  F^ 
in  passender  Richtung  zwei  Parallele  und  trage  auf  ihnen  in  ihrem 
bezüglichen  Sinne  E^E^  —  E^E^  F^F^  =  F^F  auf;  dann  schneidet 
die  Gerade  E^F^  den  s^  in  dem  verbesserten  Punkte  G.  Ist  nun 
der  dem  S^G  entsprechende  Strahl  S^G'  parallel  mit  der  Tangente 
des  $1  in  G,  so  ist  S^G'  die  Richtung  einer  Asymptote;  anderen- 
falls verbessert  man  die  gerade  Fehlerlinie  E^F^  durch  einen  dritten 
Punkt  G^  zu  einer  Fehlerkurve ^  deren  Schnittpunkt  mit  ^|  die 
Asymptotenrichtung  bestimmt. 

In  der  Figur  ist  schon  S^G'  parallel  zur  Tangente  GN  des  s^ 
in  G,  also  die  Richtung  der  Asymptote;  man  bestimmt  nun  die 
Asymptote  a  selbst^  indem  man  beachtet^  daß  wenn  die  entspre- 
chenden Strahlen  S^G'  und  S^G  auf  h  gleiche  unendlich  kleine 
Strecken  in  entgegengesetztem  Sinne  beschreiben  ^  G  ein  unendlich 
kleines  Bogenstück  auf  s^  und  die  Tangente  an  s^  in  dem  beweg- 
lichen Punkte  einen  unendlich  kleinen  Winkel  beschreibt;  daß  end- 
lich die  Abstände  der  Asymptote  a  von  S^G'  und  von  G2V  im  Ver- 
hältnisse der  von  S^G'  und  von  GN  beschriebenen  Winkel  stehen, 
dabei  in  unserem  Beispiele  von  entgegengesetztem  Sinne  sind,  so 
daß  a  im  endlichen  Streifen  jener  Parallelen  liegt.  Ersetzt  man  h 
durch  die  Parallele  zu  s^  durch  G,  und  vergrößert  die  auf  ihr  von 
8^'G  und  S^G  beschriebenen  unendlich  kleinen  Wege  zu  dem 
zvrischen  G  und  S^G'  liegenden  Stücke  GH,  so  ist  S^H  gleich 
dem  verhältnismäßig  vergrößerten  Bogenelemente  des  s^  bei  G,  und 
es  ist  S^H  zugleich  das  Maß  des  Winkels  der  Endtangenten  dieses 
Elementes,  wenn  man  diesen  Winkel  durch  einen  Bogen  mißt, 
dessen  Halbmesser  gleich  dem  Krümmungshalbmesser  GK  des  Si 
in  G  ist.  Trägt  man  andererseits  diesen  Halbmesser  auf  S^G'  nach 
SiJ(=  GK)  auf,  zieht  JL  \\  h  bis  L  auf  S^G,  so  ist  der  Ab- 
stand des  L  von  S^J  das  verhältnismäßig  vergrößerte  gleichartige 
Maß  des  von  S2G'  beschriebenen  Winkels.  Man  teilt  nun  GH  im 
Verhältnisse  jener  unendlich  kleinen  Winkel,  indem  man  auf  den 
Parallelen  GN  und  S2G'  in  entgegengesetztem  Sinne  bezw.  GN 
—  S^H  und  HÜ^  Abst.  L.S^J  aufträgt,  und  NU  mit  GH  in  V 
schneidet  Durch  V  und  ^  S^G'  läuft  dann  die  Asymptote  a.  — 
Übereinstimmend  wurde  diejenige  a'  bestinmit. 


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VI,  293—294.  ImaginärprojektioQ  der  Solmittlime  zweier  Flächen  2.  Gr.       317 

VI.    Die  Imaginärprojektion  der  Sohnittlinie  zweier  Flächen 
zweiten  Grades. 

293.  Sind  von  etvei  Flächen  zweiten  Grades  P,  Pi  die  Imaginär- 
Projektionen  in  Besrng  auf  einen  Eclspunkt  S  ihres  gemeinschaftlichen 
Fölartetraeders  und  dessen  Gegenebene  S  die  Flächen  (sfweiten  Grades) 
H,  Hj  (96),  so  soU  auch  von  der  Schnittkurve  (vierter  Ordnung)  Je  von 
P  und  Ti  die  Schnittkurve  {vierter  Ordnung)  l  von  H  und  H^  die 
Imaginärprcjektion  oder  die  konjugirte  Kurve  in  Bezug  auf  S  und  S 
heißen.  Weil  V,  Pj  auch  die  Imaginärprqjektionen  von  H,  H^  sind^ 
ist  auch  Je  diejenige  von  l.    (Vergl.  239.) 

Da  H  und  H^,  ebenso  wie  P  und  P^,  die  S  zur  gemeinschaft- 
lichen Polarebene  von  S  haben  (96),  so  wird  l  aus  S  durch  einen 
Kegel  zweiten  Grades  {doppelt)  projicirt. 

Die  Kegd  zweiten  Grades ,  welche  die  Jconjugirten  Baumkurven  Je 
%md  l  vierter  Ordnung  aus  ihrem  KonjunktionsmittelpurJce  S  projidren, 
fcdlen  in  einen  Kegel  K  zusammen.  Derselbe  projicirt  entweder  mit 
allen  seinen  Erzeugenden  die  eine  der  Kurven  reell  und  die  andere  ima- 
ginär^ oder  er  projicirt  mit  einem  Teil  seiner  Erzeugenden  die  eine 
Kurve  reeU  und  die  andere  imaginär,  und  mit  dem  anderen  Teile  die 
zweite  reell  und  die  erste  imaginär. 

Denn  jede  durch  S  gelegte  Ebede  schneidet  die  P  und  H  in 
zwei  konjugirten  Kegelschnitten  f  und  h,  und  ebenso  die  P^  und  H^ 
in  zweien  solchen  /i  und  A^,  und  die  Schnittpunkte  von  f  und  /i 
werden  durch  zwei  durch  S  gehende  gemeinschaftliche  reell  oder 
imaginär  schneidende  Sehnen  (doppelt)  projicirt,  und  diese  sind  zu- 
gleich gemeinschaftliche  imaginär  oder  reell  schneidende  Sehnen  von 
h  und  %|  (I,  410  f.),  projiciren  also  auch  deren  Schnittpunkte  dop- 
pelt Da  aber  diese  Schnittpunkte  der  Je  und  l  angehören,  so  folgt 
hieraus  der  Satz: 

Eine  Baumkurve  vierter  Ordnung  Jiat  mit  ihrer  Jeonjugirten  in 
jedem  ihrer  Funkte  in  der  Ebene  der  KonjunJction  diesen  Punkt,  die  Tan- 
gente und  die  Schmiegungsebene  gemein,  und  die  Krümmungshalbmesser 
beider  Kurven  sind  gleich  und  entgegengesetzt  gerichtet  Die  Tangente 
geht  durch  den  Punkt  der  Konjunktion,  ebenso  die  Schmiegungs- 
ebene  und  berührt  den  gemeinschaftlich  doppelt  projicirenden  Kegel 
(283);  die  Krümmungshalbmesser  sind  diejenigen  der  konjugirten 
Kegelschnitte,  in  welchen  die  Schmiegungsebene  die  konjugirten 
Flächen  schneidet,  haben  daher  gleiche  und  entgegengesetzt  gerich- 
tete Krümmungshalbmesser  (171,  239). 

294.  Aufg.  Durch  die  imaginäre  Schnittlinie  k  zweier  Flächen 
zweiten  Grades  P,  P^  den  reellen  Kegd  zweiten  Grades  zu  legen  und 


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318       VI,  294.   Darchschnitt  krummer  Flächen  mit  krummen  Flächen. 


aw5  der  Spitze  dieses  Kegels  die  (reelle)  ImaginärprqjekHon  l  der  k 
m  bilden, 
Fig.  190.  ^^  ^^^  ^  ^^^  ^^g^l;  ^1  ^^^  Umdrehungsellipsoid,  das  ganz  im 

Inneren  der  P  liege,  M,  M^  seien  die  Mittelpunkte  der  Flachen, 
und  M  liege  in  der  Äquatorebene  des  Fj.  In  diese  Ebene  legen 
wir  die  P^,  MM^  sei  die  a?Axe;  durch  M  gehen  die  y-  und  die 
jffAxe.  Es  werden  P  und  P^  von  P^  bezw.  in  den  Kreisen  c  und  c, 
und  von  Pg  in  dem  Kreise  d  und  der  Ellipse  e  geschnitten. 

Fig.  180. 


.-^^ 


-->^ 


•v^ 


-_.Li?* 


Aufl.  Das  gemeinschaftliche  Polartetraeder  von  F  und  F^  hat 
die  unendlich  fernen  Punkte  S^  von  g  und  Ä,  von  y  zu  zwei  Ecken, 
da  Pj  und  P^  gemeinschaftliche  Symmetrieebenen  der  beiden  Flächen 
sind.  Die  anderen  Eckpunkte  S^^  S^  liegen  auf  x  und  sind  harmo- 
nisch getrennt  durch  die  Schnittpunkte  Ay  B  der  F  und  0,  D  der 
Fl  mit  X.  (Schneiden  C'C  und  D'D"  den  c'  in  je  zwei  Punkten, 
so  sind  S/,  Sl  Nebenecken  des  Vierecks  dieser  Punkte  (114).)    Die 


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VI,  294.  Imaginärprojektion  der  Schnittlinie  zweier  Flächen  8.  Gr.        319 

Imaginärprojektionen  der  Schnittlinie  h  von  F  und  Fj  aus  S^  und  S^ 
ergeben  sich  als  reell,  die  aus  S^  und  S^  als  imaginär.  Es  soll 
zunächst  diejenige  aus  S^  gebildet  werden. 

Die  Imaginärprojektion  aus  S^  von  F  ist  ein  einschaliges  gleich- 
seitiges Umdrehungshyperboloid  H,  die  von  F|  ein  Umdrehungs- 
hyperboloid H^,  ihre  Schnitte  mit  P^  sind  die  beiden  Hyperbeln 
Ä",  Äj",  welche  bezw,  A'\  J5";  (7",  D"  zu  Scheiteln,  und  die  mit 
e"  parallelen  Axen  von  d"  und  e"  zu  ideellen  Axen  haben.  Die 
Schnittlinie  l  von  H  und  H^  ist  die  Imaginärprojektion  von  Tc  aus 
Sj.  hy  \  liefern  vier  Punkte  j&,  Fy  Gj  H  der  Z,  und  weitere  Punkte 
P  derselben  können  durch  parallele  Ebenen  zu  Pj  erhalten  werden, 
welche  die  H  und  H^  in  Kreisen  schneiden.  Die  erste  Projektion 
V  t=s  E'P'F'  ist  ein  Kegelschnitt  und  die  Spur  des  reellen  die  l  und 
die  Je  aus  S^  doppelt  projicirenden  Kegels.  Dieser  Kegelschnitt  V 
ist  aber  ein  Kreis,  und  der  Kegel  ein  Cylinder.  Denn  V  geht  durch 
die  vier  Spurpunkte  der  Ä  in  P^,  d.  i.  durch  die  vier  (imaginären) 
Schnittpunkte  der  Kreise  c',  c^']  zwei  derselben  sind  die  unendlich 
fernen  Kreispunkte,  daher  ist  V  ebenfalls  ein  Kreis;  die  zwei  an- 
deren sind  die  imaginären  Punkte  auf  der  Potenzlinie  XK'  von 
c',  Ci'  (I,  302  und  395),  welche  Linie  J.  x'  durch  den  Schnittpunkt  X 
einer  Sehne  1,  2  des  c,  und  einer  solchen  3,  4  des  c/  geht,  wenn 
diese  vier  Punkte  auf  einem  (Emfs-)Kreise  (sein  Mittelpunkt  ist  0) 
liegen.  Die  ideellen  gemeinschaftlichen  Punkte  J',  K'  von  c'  und 
Ci  erhält  man,  wenn  man  K^  auf  c  so  bestimmt,  daß  S^K^  und 
S^K'  durch  A'  und  B'  harmonisch  getrennt  (die  Tangente  des  c^' 
in  Kl  geht  durch  den  Schnittpunkt  K^  von  K'X  mit  x')  und  daß 
A'K^J'  und  B'K^E^  Gerade  sind  (1 ,  400);  J'E!  wird  durch  x  hal- 
birt.  Auch  die  Punkte  E'y  F  des  V  können  ohne  Hilfe  der  Hyperbeln 
%,  Ax  bestimmt  werden  (I,  411;  Q^  Schnittpunkt  der  Polaren  von  Q 
zu  d"  bezw.  e",  Ö2  ^^f  ^';  QiQi-^^'^  Qst  Ö4>  ^5  ^^^  ^^^  Kreise, 
dessen  Durchmesser  Jf/ft,  S^Qji±x\  S^'Q^Q^±x,  Q^Q^^E'  und 
QtQiF'  gerade  Linien).  Es  muß  auch  XB'  JLK'E'  (I,  395,  3)). 
Der  Kreis  V  ist  dann  durch  seinen  Durchmesser  E'F'  bestimmt; 
sein  Mittelpunkt  0'  ist  die  erste  Projektion  der  Axe  a  des  Cy lin- 
ders S^l. 

Die  zweite  Projektion  V  von  l  ist  ein  Kegelschnitt,  dessen 
beide  Scheitel  auf  x'  die  reellen  Projektionen  der  beiden  Paare 
konjugirt  imaginärer  Spurpunkte  der  Ic  in  P;^  sind,  nämlich  der  un- 
endlich ferne  Punkt  und  eT';  daher  ist  l"  eine  Parabel.  Ihr  Krüm- 
mungshalbmesser J"Jq  im  Scheitel  ist  gleich  einer  Subnormale  (z.  B. 
«-»  F^F^.  Die  dritte  Projektion  l"'  bestimmt  man  durch  ihre  Scheitel- 
punkte E"\  F'\  G'",  H"\  durch  allgemeine  Punkte  P"'  und  durch  die 


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320    VI,  294—295.  Darchschnitt  kmmmer  Flächen  mit  krummen  Flächen. 

Punkte,  wieL'",  auf  den  Umrissen  des  Cy linders  SJ.  Die  Krümmungs- 
halbmesser der  l  und  der  V  stimmen  bezw.  mit  denen  der  Schnitt- 
linien der  Schmiegungsebenen  der  l  mit  dem  Gylinder  S^l  und  ihrer 
dritten  Projektionen  überein.  Für  G'"  ist  diese  Projektion  eine  Ellipse, 
welche  G'",  G^  zu  benachbarten  Scheiteln  {G"G^  Tangente  der  V 
in  ö",  (?i  auf  a",  G^G^G^^^z")  und  daher  G^  zum  Krümmungs- 
mittelpunkte  in  G'"  hat  {G^G^  Jl  G'"  G^.  Entsprechend  wurde 
H"'Hq,  L'"Lq  bestimmt. 

296.  Aufg.  Von  der  reellen  Schnittlinie  l  zweier  Flächen  zwei- 
ten Grades  H,  Hj  die  Imaginärprojektion  m  aus  einem  solchen  Punkte 
zu  bilden,  cms  welchen  l  nur  durch  einen  Teil  eines  reellen  Kegels  zwei- 
teti  Grades  prqjicirt  wird. 

Diese  Aufgabe  ist  schon  in  Nr.  239  gelost  worden.  Doch  bietet 
die  Auflösung  der  vorhergehenden  Aufgabe  Anlaß  auch  zur  Lösung 
Fig.  130.  der  gegenwärtigen  Aufgabe.  In  Fig.  130  wird  die  Schnittlinie  l  der 
beiden  Umdrehungshyperboloide  aus  S2  durch  einen  Teil  eines  para- 
bolischen Cylinders  projicirt;  es  soll  nun  die  Imaginärprojektion  m 
von  l  aus  ^^2  bestimmt  werden. 

Aufl.  Die  Imaginärprojektionen  der  einschaligen  Umdrehungs- 
hyperboloide H,  H^  aus  ^2  sind  die  zweischaligen  Hyperboloide  I,  I| 
bezw.  mit  den  Scheiteln  -4,  J5;  (7,  D.  Ihre  Spuren  in  Pj  sind  die  gleich- 
seitigen Hyperbeln  i',  i/,  welche  sich  in  vier  reellen  Punkten  treffen, 
den  unendlich  fernen  ihrer  Asymptoten,  und  den  ideellen  Schnitt- 
punkten «r,  K'  der  Kreise  c',  c/.  Die  zweite  Projektion  m"  der 
Schnittlinien  beider  Flächen  ist  durch  E'\  F",  (?",  fl",  durch  den 
unendlich  fernen  Punkt  des  x"  und  durch  J''  bestimmt;  sie  ergänzt 
die  Linie  l"  zu  einer  vollen  Parabel.  Die  erste  Projektion  m'  ist 
ein  Kegelschnitt,  der  durch  seine  Scheitel  E\  F'  und  die  Punkte 
cT,  K  bestimmt  ist;  er  ist  also  die  Imaginärprojektion  des  Kreises 
V  aus  /S2',  ^'  !•  61^16  gleichseitige  Hyperbel.  Die  dritte  Projektion 
m'"  besteht  aus  drei  Ästen,  welche  in  E"\  F'",  G"\  H"'  gemein- 
same Scheitel  und  gleiche  Krümmungshalbmesser  mit  V"  besitz^L 
Der  Krümmungshalbmesser  in  dem  auf  y'"  liegenden  Scheitel  eT" 
des  endlichen  Astes  der  w'"  ist  =  J'"J,  «=  eT'JJj :  tg  a,  wenn  « 
den  Winkel  der  Tangente  JT  T  der  Hyperbel  m'  in  eT  mit  x'  be- 
zeichnet. Ist  daher  J'J^  \  x'  und  ist  Jg  auf  J' T  so  gelegen,  daß 
Abst.  J's  *  J'J^==n  J'Jqj  so  gibt  Abst.  J^  •  J'J"  die  Größe  des  ge- 
suchten Krümmungshalbmesser  J"" Vi  an.  Denn  sind,  wie  in  Nr.  290, 
die  bezw.  mit  P^  und  z  parallelen  Elemente  von  m"  und  m'"  bei 
J:  a?,  y;  a?i,  yi,  so  ist  yi  =  y  und  iCi  =  a:  tg  a,  da  die  Schmiegungs- 
ebene  von  m  in  J"  die  J'  T  zur  ersten  Projektion  hat;  hieraus  folgt 
aber  die  Angabe. 


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VI,  296— 297.  BeBtiinzDaDge.Fläohe2.6r.  durch  9  Punkte.  Bfischel  u.  Bohaaren.  321 

996.     Übungsaufgaben. 

1)  Die  ImagiDarprojektion  der  imaginären  Schnittlinie  einer 
Engel  und  eines  mit  derselben  koncentrischen  Umdrebungsellipsoides 
aus  dem  unendlich  fernen  Punkte  der  Umdrehungsaxe  des  letzteren 
zu  bestimmen. 

2)  Von  einer  Engel  und  einem  ümdrehungscylinder,  welcher 
sie  berührt  und  durch  ihren  Mittelpunkt  geht^  die  Schnittlinie  und 
deren  Imaginärprojektion  aus  dem  unendlich  fernen  Punkte  des 
Eugeldurchmessers  zu  ermitteln ,  welcher  auf  dem  nach  dem  Be- 
rührungspunkte laufenden  und  auf  dem  in  einer  Cylindererzeugenden 
liegenden  Durchmesser  senkrecht  steht  Diese  Durchmesser  mögen 
der  Reihe  nach  die  Axen  y,  x,  0  bilden*). 


vn.    Bestimmting  einer  Fläche  zweiten  Grades  dnroli  neun 
Pnnkte.    Büsohel  xind  Sohaaren  von  Flächen  zweiten  Grades. 

297.  Für  das  Folgende  bedürfen  wir  einiger  Sätise  über  die 
trcjektivüät  ffunschen  invoUUorischen  und  einfachen  Gebilden**).  Es 
genügt  dabei  y  die  Punktreihe  auf  dem  Eegelschnitte  zu  betrachten^ 
da  dieselbe  projektiv  ist  mit  einem  Strahlen-  oder  Ebenenbüschel; 
dessen  Schnitt  sie  ist^  wenn  der  Eegelschnitt  durch  den  Mittelpunkt 
bezw.  die  Axe  des  Büschels  geht,  oder  mit  einer  geraden  Punktreihe^ 
deren  Projektion  aus  einem  Punkte  des  Eegelschnittes  sie  bildet. 

1)  Begriff.  Eine  auf  einem  Kegelschnitte  Je  liegende  invohdorische  mg,  isi. 
Punktreihe  soll  prqjeictiv  zu  demjenigen  (einfachen)  StraMenbüschel  heißen, 
dessen  Strählen  je  durch  die  beiden  Punkte  eines  Paares  der  Involution 
gehen;  dabei  soU  jeder  Strähl  dem  auf  ihm  liegenden  PunktqMare  und  auch 
jedem  Punkte  dieses  Paares  entsprechend  genannt  werden.  Sind  Ä^Ä^y 
B^B^  ...  die  Punktepaare  ^  so  gehen  die  Geraden  Ä^A^y  B^B^. . . 
durch  einen  und  denselben  Punkt  P,  den  Pol  der  Involution  (1, 346), 


*)  Von  der  Imagin&rprojektion  der  Flächen  zweiten  Grades  nnd  der  Schnitt- 
linie sweier  lolohen  Fl&chen  machte  der  Verfasser  Mitteilnng  in  der  mathe- 
matischen Sektion  der  Naturforscherversammlung  in  Straßbnrg  am  19.  Septem- 
ber 1886  (Tageblatt  dieser  Versammlung,  S.  864)  nnd  zeigte  dabei  ein  Modell 
za  der  obigen  Aufgabe  vor,  in  welchem  die  Erzengenden  der  vorkommenden 
Regelfl&chen,  zweier  Cjlinder  nnd  eines  einschaligen  Hyperboloides  durch  Fäden, 
Parallelkreise  der  Kugel  durch  Drähte  und  die  Schnittkurven  durch  einen  über 
die  Flächen  gespannten  siArkeren  Faden  dargestellt  waren. 

**)  Die  eiu-  und  zweideutige  Beziehung  wurde  aufgestellt  von  Chaäles  in 
,,Principe  de  correspondance  entre  deuz  objets  variables*'  (Comptes  rendns, 
B.  41,  1866,  S.  1097)  und  weiter  ausgebildet  von  Herrn  Weyr  in  seinem  Buche 
„Theorie  der  mehrdeutigen  geometrischen  Elementargebilde  der  algebraischen 
Kurven  und  Flächen,  als  deren  Erzengnisse,  1869". 

Wiener,  Lehrbaoh  der  dwttellenden  Geometrie,   n.  21 


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322       VI,  297.   Durchschnitt  krnmmer  Flächen  mit  krnmmen  Flächen. 


hz4^ 


und  es  heißt  dann  Ä^Ä^,  B^B^  . . .  projektiv  zu  F  {A^Bi  . . .)  oder 
zu  P  {Ä^B^  . . .)  oder  zu  P  {AB  . . .),  wobei  A,  B  . . .  bezw.  die 
Schnittpunkte  von  A^A^,  B^B^  ...  mit  der  Axe  p  der  Involution 
seien.  Die  Schnittpunkte  von  h  mit  p  sind  die  Doppelpunkte  der 
Involution  auf  h^  und  diesen  entsprechen  die  Tangenten  aus  P  an  ib, 
die  s.  g.  Verjsumgimgsdemmte  des  Strahlenbüschels  P.  Diese  teilen  das 
Büschel  in  zwei  Winkel;  den  Strahlen  im  einen  Winkel  entsprechen 

in     der     Involution      reelle 
^^*  Punktepaare  ^   denen  im  an- 

deren Winkel  imaginäre.  Ist 
P  ein  innerer  Punkt  von  i, 
so  sind  die  Doppelpunkte  der 
Involution^  sowie  die  Ver- 
zweigungsstrahlen imaginär; 
es  entsprechen  dann  allen 
Strahlen  reelle  Punktepaare. 
—  Rückt  P  in  Je,  so  fallen 
die  einen  Elemente  aller 
Punktepaare  auf  ft  in  P  zu- 
sammen,  während  die  anderen  eine  dem  Strahlenbüschel  P  projektive 
einfache  Punktreihe  bilden;  die  Verzweigungselemente  des  Strahlen- 
büschels sind  in  die  Tangente  des  Ä;  in  P  zusammengefallen.  Dann 
entspricht  der  Punkt  P  des  k  jedem  Strahle  aus  P,  und  außerdem 
jeder  Punkt  des  k  einem  bestimmten  Strahle  aus  P  in  gewohnlicher 
Projektivität. 

Ein  einfaches  und  ein  damit  projektives  involutorisches  Grund- 
gebilde heißen  auch  ein- zweideutig  venocmdt  oder  ein-etveideutige  Oe- 
bilde,  weil  jedem  Elemente  des  einfachen  zwei  des  involutorischen,  und 
jedem  Elemente  des  involutorischen  eines  des  einfachen  entsprechen. 
Ferner  sollen  gtoei  Involutionen  unter  einander  projektiv  heißen, 
wenn  diejenigen  einfachen  Grundgebilde  unter  einander  projektiv 
sind,  mit  deren  jedem  je  eine  der  Involutionen  projektiv  ist.  Dabei 
kann  ein  reelles  oder  ein  imaginäres  Elementenpaar  der  einen  In- 
volution sowohl  einem  reellen,  wie  einem  imaginären  der  anderen 
entsprechen.  —  Sie  heißen  auch  zwei-isweideutig  verwandt. 

2)  Satis,  Eine  Involution  von  Elementenpaaren  ist  projektiv  mit 
dem  Gebilde  der  einfachen  Elemente,  deren  jedes  von  einem  festen  Ele- 
mente durch  die  zwei  Elemente  je  eines  Paares  harmonisch  getrennt  wird. 
Ist  0  das  feste  Element,  also  hier  ein  Punkt  auf  k,  und  ist  A^  von 
0  durch  A^  und  A^  harmonisch  getrennt,  ebenso  Bq  von  0  durch 
J?i  und  JBg,  u.  s.  w.,  so  gilt 


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VI,  297.  Bestimmung  e.  Fläche  2.  Gr.  durch  9  Punkte.  Bfischel  u.  Schaaren.    323 

Denn  ist  A'  der  (auf  j>  liegende)  Schnittpunkt  der  Tangenten 
von  £  in  ^1  und  A^^  so  erhält  man  A^  als  zweiten  Schnittpunkt 
der  OA'  mit  "k^  weil  A^A^OA^  die  Projektion  der  vier  harmonischen 
Punkte  (AiA^)A'OA^  aus  A^  auf  Je  ist  Daher  projicirt  sich 
A'B' . . .  aus  0  in  A^Bq  . . .,  und  es  ist  {A'B'  •..)«=  (-^o-^o  •  •  •)> 
da  außerdem  {A'B'  . . .)  =  (^^  •••)(!>  343),  so  folgt 
.     Inv.  {A^A^,  B,B^  . . .)  proj.  P  {AB  . . .)  =  (A^B^  . . .)  • 

3)  Die  prqjekHve  Bmehung  eines^  involutorischen  m  einem  ein- 
fachen Gebilde  ist  dwrch  drei  Elementenpaare  des  involutorischen  und 
die  drei  entsprechenden  Elemente  des  einfachen  Gebildes  bestimmt.  Denn 
durch  diese  Elemente  ist  die  projektive  Beziehung  des  Strahlen- 
büschels P  zur  Punktreihe  p  (Fig.  131)  gegeben.  Dabei  können 
zwei  Paare  und  ein  Element  des  dritten  Paares  (I,  297)  und  die 
drei  Elemente  des  einfachen  Gebildes  willkürlich  angenommen  werden. 

Allgemeiner  ist  die  Beeiehimg  eines  involutorischen  zu  einem  damit 
projektiven  einfachen  Gebilde  durch  fünf  willkürlich  abzunehmende  Paare 
entsprechender  einfacher  Elemente  beider  Gebilde  geg^)en,  wie  durch 
ABCDE,  A^B^CtD^Ei.  D^nn  muß  P^A^BiC^D^E^)  ^^  ABCDE 
sein,  und  daher  wird  P  bestimmt  als  der  vierte  Schnittpunkt  eines 
durch  A^B^C^D^  gelegten  Kegelschnittes  kj  aus  dessen  Punk- 
ten diese  vier  Punkte  durch  Strahlenbüschel  vom  Doppelverhält- 
nisse {AB CD)  projicirt  werden,  und  eines  durch  A^B^C^E^  mit 
dem  Doppelverhältnis  (ABCE)  gelegten  Kegelschnittes  l.  Dazu 
ist  aber  die  Verzeichnung  keines  der  Kegelschnitte  k  oder  l  not- 
wendig. Denn  sind  A^K  und  A^L  die  Tangenten  in  A^  bezw.  von 
k  und  Z,  welche  man  vermittelst  A^  {E^B^  G^  D^  ^^  AB  CD  und 
-4i  {L B^ Cj E^)  ^^  ABCE  erhält,  und  schneiden  die  Strahlen 
A^KyA^D^  den  Kegelschnitt  l  in  den  yervoiiUilA  Bi{A^C^E^E! D') 
=  A^{LC^E^KD^  zu  konstruirenden  Punkten  JT,  D',  so  ist  wegen 
Ä;:^,(JfOiJDj)=Bi(^iCiA);ttnd  wegen  Z:4i(ifCiA)=-Bi(-^Ci2y), 
daher  auch  B^{A^CyD^  =  B^{K'C^D'),  Diese  koncentrischen  und 
projektiven  Strahlenbüschel  haben  B^C^  und  BiB  zu  Doppelstrah- 
len, wovon  man  den  zweiten  erhält,  wenn  man  die  Büschel  durch 
zwei  aus  einem  Punkte  C"  der  B^C^  gezogenen  Geraden  bezw.  in 
den  (Perspektiven)  Punktreihen  ^"CD",  J.'"C"Z)'"  schneidet,  und 
dann  B^B  durch  den  gemeinsamen  Punkt  von  A" A'"  und  D" D'" 
zieht  Dem  Strahle  B^P  entspricht  in  k  und  l  derselbe  Strahl  aus 
^1,  der  den  B^P  in  P  tnfft. 

Ein  involutorisches  und  ein  damit  projektives  einfaches  oder 
involutorisches  Gebilde,  welche  sich  nicht  auf  demselben  Träger 
befinden,  sollen  perspektiv  heißen,  wenn  ein  (einfaches)  Element  des 
einen  in  einem  entsprechenden  (einfachen)  des  anderen  liegt. 

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324       VI,  297.   Durchschnitt  krummer  FlS^hen  mit  krummen  Flächen. 

4)  S(xtz  und  Äufg,  Eine  involutorische  und  eme  mit  dersdben 
projektive  einfache  PuMreihe  eines  Kegelschnittes  haben  dreimal  snoei 
entdeckende  Punkte  gemein,  oder  sie  besitzen  drei  Doppelpunkte.  Es 
soUen  dieselben  bestimmt  werden. 

'  Beweis  und  Aufl.  Bestimmt  man  von  der  auf  dem  Kegelschnitte 
k  liegenden  Involution  den  Mittelpunkt  P  (s.  Fig.  131),  projicirt  ans 
P  die  involutorische  Beihe  doppelt^  und  sodann  aus  irgend  einem 
Punkte  D  des  k  die  ein&che  Punktreihe ,  so  sind  die  Strahlenbüschel 
P  und  D  projektiv  und  bestimmen  durch  die  Schnittpunkte  ent- 
sprechender Strahlen  einen  Kegelschnitt  k\  welcher  durch  D  und  P 
geht.  Die  außer  D  bestehenden  drei  gemeinsamen  Punkte  beider  Kegel- 
schnitte k  und  k'  sind  die  Doppelpunkte  beider  Reihen  auf  k.  Es 
können  daher  zwei  der  Doppelpunkte  imaginär  sein;  sie  sind  dann  durch 
die  auf  der  zweiten  gemeinschaftlichen  Sehne  beider  Kegelschnitte 
liegende  (gemeinschaftliche)  Punktinvolution  derselben  gegeben. 

Derselbe  Satz  gilt  von  zum  ein-zweideutigen  geraden  Pwnktreihen, 
Strahlen-  und  Ebenenbüscheln,  welche  je  auf  demselben  Träger  Uegen. 

5)  ScUz,  Alle  einfachen  und  edle  involutorischen  Punktreihen, 
welche  ein  Kegdschnittbüschel  bezw.  auf  Geraden  g  einschneidet,  die  durch 
einen  der  Grundpurikte  gehen,  saune  auf  Geraden  h,  die  durch  keinen 
solchen  gehen,  sind  unter  einander  projektiv,  und  je  zwei  derselben 
sind  per^pektiv. 

Die  Projektivitat  der  g  unter  einander  wurde  in  I,  396  bewie- 
sen. In  Bezug  auf  die  Involutionen  auf  zwei  Geraden  h  nehme  man 
deren  Schnittpuxikt  0  als  festen  Punkt  an;  man  erhält  dann  die 
von  0  durch  die  Punkte  je  eines  Paares  getrennten  Punkte  auf 
beiden  Geraden  h  zugleich  als  Schnittpunkte  mit  den  Polaren  des  0 
zu  den  einzelnen  Kegelschnitten.  Da  die  Polaren  ein  Strahlenbüschel 
bilden  (1, 397)^  so  sind  die  von  ihnen  eingeschnittenen  Punktreihen  und 
damit  die  Involutionen  unter  einander  projektiv.  In  Bezug  auf  eine 
Punktreihe  g  und  eine  Involution  h  beachte  man,  daß  wenn  0  der 
Schnittpunkt  von  g  und  h,  wieder  die  Punktreihe,  welche  die  Kegel- 
schnitte, und  die  Punktreihe,  welche  die  Polaren  von  0  zu  diesen 
Kegelschnitten  auf  g  erzeugen,  also  auch  das  Büschel  der  Polaren 
und  die  Involution  unter  einander  projektiv  sind  (denn  jene  Reihen 
auf  g  sind  in  I,  397,  1)  und  2)  die  der  H  und  der  Q).  In  allen 
diesen  Fällen  sind  je  zwei  Reihen  oder  Involutionen  perspektiv, 
weil  durch  den  Schnittpunkt  ihrer  Träger  nur  ein  Kegelschnitt  des 
Büschels  geht,  also  der  Schnittpunkt  auf  beiden  Geraden  sich  selbst 
entspricht. 

6)  ScUz.  Alle  Kegelschnitte,  u^dche  durch  die  zwei  Punkte  je  eines 
Paares  einer  auf  einer  Geraden  g  befindlichen  PunktinvohUion  und 


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VI,  297.  Bestimmung  e.  Fl&che  2.Qr.  durch  9  Pankte.  Bflschel  n.  Schaaren.    325 

durch  drei  feste  Punkte  gelegt  werden^  gehen  auch  durch  einen  vierten 
festen  Pwnkt  P  und  bilden  daher  ein  Kegelschnittbüsdhel  Denn  zwei 
solche  Kegelschnitte  treffen  sich  noch  in  einem  vierten  Punkte  P 
und  bestimmen  ein  Eegelschnittbüschel;  dieses  schneidet  auf  g  eine 
Involution  ein,  welche  mit  der  gegebenen  zusammenfallt^  da  sie  mit 
ihr  die  durch  die  zwei  ersten  Kegelschnitte  eingeschnittenen  Punkte- 
paare gemein  hat;  hieraus  folgt  unser  Satz. 

7)  Sat0.  Sind  in  einer  Ebene  auf  ewei  Geraden  mjoei  unter  ein- 
ander projektive  und  perspective  Punktinvolutionen  gegeben,  so  gehen 
aUe  Kegelschnitte  y  welche  durch  die  vier.Pwnkte  je  zweier  entsprechenden 
Paare  und  du/rch  einen  festen  Punkt  P  gelegt  werden,  auch  durch  drei 
weitere  feste  Punkte,  und  bilden  daher  ein  Kegdschnittbüschel.  Denn 
legt  man  zwei  Kegelschnitte  je  durch  die  vier  Punkte  zweier  ent- 
sprechenden Paare ;  die  den  Schnittpunkt  0  beider  Geraden  nicht 
enthalten  y  und  durch  P,  so  haben  diese  außer  P  noch  drei  Punkte 
gemein  (von  denen  zwei  konjugirt  imaginär  sein  können).  Das  Kegel- 
schnittbüschel mit  diesen  vier  Grundpunkten  schneidet  beide  Gerade 
in  projektiven  und  Perspektiven  Involutionen^  welche  mit  den  gege- 
benen zusammenfallen,  weil  sie  mit  diesen  die  Elemente  je  zweier  ent- 
sprechenden Paare  und  je  einen  Punkt  (nämlich  0)  zweier  dritten  ent- 
sprechenden Paare  gemein  haben  (s.  3)) ;  hieraus  folgt  wieder  der  Satz. 

8)  Saie,  Befinden  sich  in  einer  Ebene  a^f  den  Seiten  a,  b,  c 
eines  Dreiecks  ABC  Punktinvolutionen,  welche  m  zweien  projektiv  und 
perspectiv  sind,  und  welche  auf  zwei  Seiten  {a,  b)  vollständig  durch 
drei  entsprechende  Paare,  auf  der  dritten  (c)  unvollständig  durch  zum 
der  entsprechenden  Paare  von  Punkten,  die  auf  jeder  Seite  die  Eck- 
punkte A,  B,  C  des  Dreiecks  in  sich  schließen  und  sonst  unllkürlich 
angenommen  werden  können,  bestimmt  sind,  so  kann  man  auf  der  drit- 
ten Seite  c  als  drittes  entsprechendes  Pmktepaar  ein  solches  angeben, 
daß  durch  die  sechs  Punkte  dreier  entsprechenden  Paare  ein  Kegelschnitt 
gelegt  werden  kann,  und  daß  alle  diese  Kegelschnitte  durch  vier  feste 
Punkte  gehen  und  daher  ein  Büschel  bilden.  Nimmt  man  nämlich  auf 
der  Seite  a  die  seinen  Eckpunkten  B  und  C  zugeordneten  Punkte  Ba, 
Ca  vrillkürlich  an,  ebenso  auf  b  die  Punkte  Ct,,  Ab,  und  auf  c  die 
Ac,  Bc,  endlich  auf  a  und  b  willkürlich  zwei  Punkte  A^  und  B^ 
zweier  dritten  sich  entsprechenden  Paare,  deren  zugeordnete  ^2;  -^a 
dann  konstruirt  werden. können,  so  ist  alles  Andere  dadurch  bestimmt 
Denn  legt  man  zwei  Kegelschnitte  bezw.  durch  die  fünf  Punkte 
AAbAcA^A^  und  BBoBaB^B^,  so  schneiden  sich  dieselben  in  vier 
Punkten;  und  legt  man  durch  diese  und  durch  C  einen  Kegelschnitt, 
80  geht  derselbe  durch  die  dem  C  auf  a  und  b  zugeordneten 
Punkte  Ca,  Ct  der  gegebenen  Involutionen  (5))  imd  schneidet  die  c 


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326     VI,  297—298.   Durchschnitt  krummer  Flächen  mit  krummen  Flächen. 

in  den  Punkten  C^y  C^  desjenigen  PaareS;  welches  den  Paaren  (7,  C« ; 
(7,  Cb  entspricht  Die  entsprechenden  Punktepaare  der  drei  Invo- 
lutionen sind  dann 

auf  a:  A^A^^  B  Ba,  C  Ca, 
aufJ:  ÄAö,  B^B^y  0  0,, 
auf  c:    AAc,      B  Be,      C^C^. 

Der  letzte  Teil  des  Satzes  folgt  aus  7). 

298.  Da  die  beiden  folgenden  Sätae  tmd  Aufgaben  durch  die- 
selbe Konstruktion  bezw.  bewiesen  und  gelost  werden,  so  sollen  sie 
zusammen  betrachtet  werden.  , 

SaUf  1).  Dwch  acht  von  einander  unabhängig  im  Baume  gegebene 
Punkte  geht  eine  einzige  Kurve  vierter  Ordnung  Ä,  und  durch  diese 
können  unendlich  viele  Flächen  zweiten  Grades  gelegt  werden. 

Legt  man  in  einer  alsbald  anzugebenden  Weise  durch  sieben 
Punkte  drei  Flächen  zweiten  Grades  Pj,  Pg,  Pj,  von  den  mehrfach 
unendlich  vielen,  die  durch  sie  gelegt  werden  können,  so  schneiden 
sich  je  zwei  derselben  in  einer  Baumkurve  vierter  Ordnung,  und 
diese  drei  Kurven  k^,  k^,  k^  müssen  noch  einen  achten  Punkt  ge- 
mein haben,  nämlich  einen  weiteren  Schnittpunkt  der  Schnittlinie  k^ 
von  Pg,  Ps  mit  P^.  Da  nämlich  jede  k  eine  geschlossene  Kurve  ist 
oder  aus  zwei .  geschlossenen  Ästen  besteht,  so  muß  die  Anzahl  der 
Schnittpunkte  der  ganzen  Kurve  (sowie,  eines  jeden  in  sich  geschlos- 
senen Astes)  mit  einer  P  eine  gerade  sein,  weil  man  auf  k  hin- 
schreitend zum  Ausgangspunkte  nur  zurückkehren  kann,  nachdem 
man  die  Fläche  P  vom  zweiten  Grade  eine  gerade  Anzahl  mal  durch- 
schritten hat  Daher  muß  noch  ein  achter  Schnittpunkt  bestehen; 
derselbe  ist  von  den  sieben  anderen  abhängig,  darf  also  keiner  der 
acht  unabhängig  zu  wählenden  Pimkte  sein.  Es  sei  nebenbei  be- 
merkt, daß  nicht  nur  jene  drei,  sondern  alle  durch  dieselben  sieben 
Punkte  gelegten  Flächen  zweiten  Grades  durch  denselben  achten 
Punkt  gehen. 

Satz  2).  Durch  neun  von  einander  tmabhängig  im  Baume  gege- 
bene Renkte  geht  eine  einzige  Fläche  zweiten  Grades  P. 

Weim  dagegen  die  Punkte  derart  von  einander  abhängen,  daß 
der  eine  derselben  auf  der  durch  die  übrigen  acht  bestimmten  Kurve 
vierter  Ordnung  liegt,  gehen  unendlich  viele  P  durch  die  neun  Punkte. 

Eine  Begelfläche  zweiten  Grades  fanden  wir  durch  drei  Leit- 
gerade, welche  mit  je  drei  Punkten  und  dann  ganz  auf  der  Fläche 
lagen,  also  durch  3 .  3  «>  9  Punkte  bestimmt;  ebenso  jede  Fläche 
zweiten  Grades  durch  einen  Kegelschnitt  p  (<=  5  Punkten),  durch 
die  Berührungsebenen  der  Fläche  in  drei  Punkten  des  p,  indem  deren 
gemeinsamer  Punkt  P  der  Pol  der  Ebene  von  jp  war  (also  drei  weitere 


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VI,  298.  Bestimmong  e.  Flacho  2.  Gr.  durch  9  Punkte.  Büschel  u.  Schaaren.    327 

Punkte),  und  noch  einen  letzten  Punkt,  d.  i.  durch  5  +  3+1  =  9 
Punkte. 

Aufgaben,  Durch  eicht  unabhängig  von  eincmder  gegebene  Punkte 
eine  Eaumkurve  vierter  Ordnung  und  durdi  neun  solche  Punkte  eine 
Fläche  ßfweiten  Grades  m  legen*). 

Bew.  und  Aufl.  Die  neun  gegebenen  Punkte  teile  man  in  drei 
Gruppen  von  je  drei  Punkten 

-^1  4«  -^3  >  -^1  ^2  -^3  >  ^1  ^2  ^3  I 

lege  durch  die  Punkte  je  einer  Gruppe  eine  Ebene,  also  die  drei 

A,         B,         O, 
und  bilde  die  Schnittlinien  dieser  Ebenen 

deren  gemeinschaftlicher  Punkt  0  sei.  Geht  nun  eine  Fläche  zwei- 
ten Grades  durch  die  neun  gegebenen  Punkte,  so  schneidet  sie  jede 
der  Ebenen  in  einem  durch  drei  der  Punkte  gehenden  Kegelschnitte, 
und  je  zwei  der  Kegelschnitte  treffen  die  Schnittgerade  ihrer  Ebenen 
in  denselben  beiden  Punkten.  Wenn  umgekehrt  drei  Kegelschnitte 
je  durch  die  drei  Punkte  einer  Gruppe  gehen  und  sich  paarweise 
in  zwei  Punkten  einer  jener  Geraden  treffen,  so  geht  durch  sie,  also 
auch  durch  die  neun  Punkte,  eine  Fläche  zweiten  Grades  (87),  und 
zwar  nur  eine,  wenn  solche  Kegelschnitte  nur  auf  eine  Art  gelegt 
werden  können. 

Nimmt  man  auf  einer  der  Geraden,  etwa,  auf  a,  willkürlich 
einen  Punkt  P  an,  und  legt  in  der  Ebene  0  durch  die  vier  Punkte 
Ol,  Cs,  O3,  P  als  Grundpunkte  ein  Kegelschnittbüschel,  so  schneidet 
dieses  auf  a  eine  Reihe  veränderlicher  Punkte  X  und  auf  b  eine 
mit  dieser  Reihe  projektive  und  Perspektive  Involution  veränderlicher 
Punktepaare  F,  Y'  ein  (297,  5)).  Legt  man  sodann  in  der  Ebene 
A  durch  die  drei  festen  Punkte  J.^,  A^j  A^  und  durch  die  Punkte 
F,  Y'  eines  jeden  Paares  der  Involution  einen  Kegelschnitt,  so  bil- 
den diese  Kegelschnitte  ein  Büschel. mit  einem  vierten  Grundpunkte 
(297,  6)),  und  dieses  Büschel  schneidet  auf  der  Geraden  c  eine  In- 
volution von  Punktepaaren  ZZ'  ein,  welche  mit  derjenigen  YY' 
auf  b  projektiv  und  perspektiv  ist  Daher  ist  auch  in  der  Ebene 
B  die  Involution  der  ZZ'  auf  c  mit  der  Reihe  der  X  auf  a  projek- 


*)  Die  hier  gegebene  AuflOsxmg  ist  im  wesentlichen  die  von  Ghaslea  ge- 
lieferte und  auf  das  Eorrespondenzprincip  gegründete  (Principe  de  correspon- 
dance  entre  denz  objets  variables;  Comptes  rendus,  B.  41,  1866,  8.1097).  Da- 
mit stinunt  aach  die  von  Steiner  aas  dem  Jahre  1836  herrührende,  aber  erst 
von  Herrn  Greiser  1867  veröffentlichte  Lösung  in  den  Gmndzügen  überein 
(Borchardts  Joorn.  f.  r.  n.  ang.  Math.,  B.  68,  8.  191). 


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328        VI,  298.   Dorchschnitt  krummer  Flächen  mit  krummen  Fl&chen. 

tiy,  und  auch  perspektiy^  weil  bei  diesen  Reihen  der  Punkt  0  stets 
sich  selbst  entspricht.  Legt  man  nun  durch  zwei  der  drei  Punkte 
B^,  B^y  Bg,  etwa  durch  B^,  B^,  sowie  durch  P  (auf  a)  und  durch 
die  zwei  Punkte  Z^  Z'  je  eines  Paares  einen  Kegelschnitt;  so  bilden 
alle  diese  ein  Büschel,  welches  außer  B^y  B^,  P  noch  einen  Tierten 
Grundpunkt  besitzt  und  auf  der  a  eine  mit  der  Involution  der  ZZ'j 
also  auch  mit  der  Reihe  der  X  projektive  Reihe  von  Punkten  X' 
einschneidet.  Die  Reihen  X  und  X'  der  a  haben  außer  0  noch 
einen  zweiten  Doppelpunkt  P'y  welcher  leicht  linear  bestimmt  wer- 
den kann*).  Legt  man  nun  den  Kegelschnitt  GiC^G^PP',  durch 
dessen  Schnittpunkte  F,  Y'  mit  b  und  durch  A^,  A^,  A^  einen 
zweiten  Kegelschnitt,  durch  dessen  Schnittpunkte  Zy  Z'  mit  c  und 
durch  B^y  B^^  P  einen  dritten  Kegelschnitt,  so  läuft  derselbe  auch 
durch  P.  Durch  diese  drei  Kegelschnitte  geht  eine  Fläche  zweiten 
Grades,  welche  daher  acht  von  den  neun  gegebenen  Punkten  (JSj 
nicht)  und  den  Punkt  P  enthält.  Legt  man  auf  gleiche  Weise  durch 
dieselben  acht  der  gegebenen  Punkte  und  durch  einen  anderen  Punkt 
Pj  der  Geraden  a  eine  Fläche  zweiten  Grades  Pj,  welche  die  a  noch 
in  Pj'  treffe,  so  schneiden  F  und  F^  die  Ebene  A  in  zwei  Kegel- 
schnitten, welche  die  Punkte  J-j,  A^,  Aq  und  außerdem  einen  vier- 
ten Punkt  Aq  gemein  haben,  die  0  in  zweien,  welche  G^,  Cg,  C»  und 
Cq,  die  B  in  zweien,  welche  B^  B^  und  außerdem  Bq,  Bq  gemein 
haben.  Diese  vier  Schnittpunkte  in  jeder  der  Ebenen  sind  die  Grund- 
punkte je  eines  Kegelschnittbüschels,  und  jedes  derselben  schnei- 
det auf  zweien  der  Geraden  a,  b,  c  zwei  unter  einander  projektive 
und  Perspektive  Punktinvolutionen  ein  (297,  5)).  Die  beiden  auf 
jeder  der  Geraden  liegende  fallen  aber  zusammen,  weil  sie  durch  die- 
selben beiden  durch  F  und  F^  eingeschnittenen  Punktepaare  bestimmt 
sind.  Da  nun  vermöge  des  in  jedem  Büschel  durch  den  gemein- 
samen Punkt  Q  von  a,  b,  c  gelegten  Kegelschnittes  in  allen  diesen 
Involutionen  0  sich  selbst  entspricht,  so  ist  die  Projektivitat  der 
Involutionen  auf  a,  &,  c  durch  je  zwei  Paare  und  ein  Element  0 
eines  dritten  Paares  bestimmt.  Gibt  man  daher  irgend  drei  ent- 
sprechende Punktepaare  auf  den  Involutionen  a,  b,  c  an,  so  geht 
durch  je  zwei  dieser  Paare  ein  Kegelschnitt  eines  der  drei  Büschel, 


*)  Wohl  am  einfachsten  auf  folgende  Weise.  Sind  MAB,  MA^  B^  zwei 
auf  einer  Geradeh  g  vereinigte  projektive  Panktreihen,  mit  dem  Doppelpunkte 
3f ,  80  lege  man  durch  M  eine  von  g  abweichende  Gerade,  w&hle  auf  der- 
selben zwei  beliebige  Punkte  P,  Q,  schneide  PA  mit  QB  in  (7,  FA^  mit 
QB^  in  C^y  dann  trifft  die  CC^  die  ^  in  dem  zweiten  Doppelpunkte  N.  Denn 
schneidet  CC^  die  MFQ  in  Ä,  so  ist  bezw.  wegen  der  Projektionen  aus  Cund 
Cj ,  ABMN  =3  PQMB  —  Ä,B^ MN, 


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VI,  298 —299.  BestimmuDg  e.  Fläche  2.Qr.  dnrcli  9  Pankte.  BüBchel  a.  Schaaren.  329 

und  durch  diese  drei  Kegelschnitte  geht  eine  Fläche  zweiten  Grades. 
Man  kann  daher  durch  die  acht  Punkte  (die  neun  gegebenen  außer 
£3)  unendlich  viele  Flächen  zweiten  Grades  legen,  und  eine  der- 
selben enthält  den  durch  B^  gehenden  Kegelschnitt  des  Büschels 
B^B^BqBqj  so  daß  durch  die  neun  gegebenen  Punkte  nur  eine 
Fläche  zweiten  Grades  geht. 

Die  Flächen  F  und  F^  schneiden  sich  in  einer  Raumkurve  vier- 
ter Ordnung  k,  welche  die  Ebenen  A,  B,  0  bezw.  in  den  Grund- 
punkten ^1,  A^  Ä^,  Aq]  B^y  B^,  Bq,  Bo';  C,,  C^,  C^y  C^  triflPt 
Durch  diese  Punkte  gehen  alle  durch  die  acht  der  gegebenen  Punkte 
gehenden  Flächen  zweiten  Grades;  denn  sie  schneiden  die  Ebenen 
je  in  einem  Kegelschniitbüschel  mit  diesen  Grundpunkten.  .  Jede 
dieser  Flächen  enthält  aber  die  ganze  Kurve  h\  denn  jede  Ebene  E 
schneidet  die  Gesammtheit  der  Flächen  in  einem  Kegelschnittbüschel; 
und  die  vier  Grundpunkte  desselben  sind  die  den  Flächen  gemein- 
samen Punkte  der  Tc,  Es  schneidet  nämlich  £3  die  Ebenen  A;  B;  0 
bezw.  in  den  Geraden  a^  h^y  c^y  und  die  Kegelschnittbüschel  dieser 
Ebenen  in  Involutionen  auf  den  Geraden;  diese  sind  zu  zwei,  so  \ 
und  q,  projektiv  und  perspektiv,  weil  jede  derselben  mit  der  Invo- 
lution auf  a  projektiv  ist  (297,  5)),  und  weil  der  gemeinschaftliche 
Punkt  von  h^y  c^y  a  sich  selbst  entspricht.  Die  Kegelschnitte,  in 
welchen  B  alle  durch  die  acht  gegebenen  Punkte  gehenden  Flächen 
zweiten  Grades  trifft,  gehen  nun  durch  die  Punkte  der  drei  ent- 
sprechenden Paare  der  Involutionen  o^,  b^y  c^,  bilden  daher  ein 
Büschel,  dessen  vier  Grundpunkte  die  Schnittpunkte  der  E  mit  k 
sind  und  allen  den  Flächen  angehören  (297,  8)). 

299.  Die  Gesamtheit  der  einfach  unendlich  vielen  Flächen  zwei- 
ten GradeSy  welche  durch  eine  Baumhurve  vierter  Ordnung  k  gehen, 
heißt  ein  Flächerümschd  zweUen  Grades  und  k  dessen  Grundhurve. 
Durch  jeden  außerhalb  k  liegenden  Punkt  geht  eine  der  Flächen,  unter 
diesen  Flächen  befinden  sich  vier  Kegd  eweiten  Grades,  deren  Spitzen 
in  den  Eckpunkten  des  gemeinschaftlichen  Polartetraeders  aller  Flächen 
des  Büscheis  liegen  (278).  Die  Kegel  bilden  den  Übergang  von  Begeh 
flächen  in  Niohtregel flächen  des  Büschels,  indem  sich  ihnen  einerseits  ein- 
schalige, andererseits  zweischalige  Hyperboloide  anschließen.  Sind 
alle  Kegel  imaginär,  so  sind  alle  Flächen  Begelflächen  (282,  4)). 

Jede  Gerade  g,  wdche  durch  keinen  Punkt  der  Grundkurve  geht, 
schneidet  das  Flächenbüschel  in  einer  Involution,  wenn  die  beiden  Punkte 
derselben  Fläche  einander  zugeordnet  sind.  Denn  eine  durch  g  gelegte 
Ebene  schneidet  das  Flächenbüschel  in  einem  Kegelschnittbüschel, 
und  dieses  erzeugt  die  genannte  Involution. 

Die  Beihen  der  Schnittpunkte  der  Flächen  des  Büschels  mit  Ge- 


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330    VI,  299—300.  Darchschnitt  krummer  Flächen  mit  krummen  Flächen. 

roden  g,  welche  durch  einen  Punkt  der  Grundkurve  gehen,  sowie  die 
Büschel  der  Berührungsebenen  dieser  Flächen  in  einem  Punkte  P  der 
Grundkurve  sind  unter  einander  projektiv,  wenn  die  Punkte  und  Be- 
ruhrungsä)enen  derselben  Fläche  einander  entsprechen.  Man  nennt 
auch  das  Flächenbüschel  mit  diesen  Punktreihen  und  Ebenenbüscheln 
projektiv.  Für  zwei  Büschel  von  Berührungsebenen  in  den  Punkten 
P  und  P^  der  k  folgt  der  Satz  aus  dem  entsprechenden  Satze  f&r 
das  Kegelschnittbüschel  (I,  396),  in  welcheni  eine  durch  P  und  P^ 
gelegte  Ebene  das  Flächenbüschel  schneidet;  für  eii^  Büschel  P  und 
eine  Punktreihe  g  folgt  er  yermittelst  einer  durch  P  und  g  gelegten 
Ebene  y  und  für  zwei  Punktreihen  g  und  g^  yermittelst  zweier  Ebe- 
nen^ welche  durch  einen  Hilfspunkt  P  der  k  und  durch  g,  bezw. 
durch  P  und  g^  gelegt  werden. 

Man  findet  daher  Punkte  Q  einer  durch  die  (reelle  oder  imagi- 
näre) Schnittkurve  k  zweier  gegebenen  Flächen  zweiten  Grades  P  und  Pi 
und  du/rch  einen  Punkt  P  gegebenen  Fläche  zweiten  Grades  Pg,  indem 
man  Gerade  durch  P  legt,  jede  mit  P  und  P^  in  einem  Punkte- 
paare schneidet,  und  in  der  durch  diese  zwei  Paare  bestimmten  In- 
volution den  zugeordneten  Punkt  Q  zu  P  suchi 

Von  den  polaren  Eigenschaften  der  Büschel  von  Flächen  zuzeiten 
Grades  wollen  wir  nur  einen  anführen:  Die  Polarebenen  eines  Punktes 
P  zu  den  Flächen  eines  Büschels  zweiten  Grades  bilden  ein  mit  dem 
Flächenbüschel  projektives  Ebenenbüschel.  Die  Polarebenen  von  P  zu 
zweien  der  Flächen  schneiden  sich  in  einer  Geraden  g.  Eine  durch 
P  gelegte  Ebene  schneidet  das  Flächenbüschel  in  einem  Eegelschnitt- 
büschel,  und  schneidet  die  Polarebeuen  von  P  zu  den  Flächen  in 
den  Polarlinien  von  P  zu  den  Kegelschnitten  der  Flächen.  Da  aber 
alle  Polarlinien  durch  ein  und  denselben  Punkt  gehen  (I;  397),  und 
dieser  auf  g  liegt,  und  da  das  Büschel  der  Polaren  mit  dem  Büschel 
der  Kegelschnitte  projektiv  ist  (weil  die  Punktreihen  der  Q  und  der 
H  in  dem  Beweise  von  I,  397,  1)  2)  projektiv  sind),  so  gehen  alle 
Polarebenen  durch  jeden  Punkt  der  g  und  bilden  ein  mit  dem 
Flächenbüschel  projektives  Ebenenbüschel. 

Es  kann  noch  der  Satz  ausgesprochen  werden:  drei  Flächen 
ztoeiten  Grades  haben  acht  Punkte  (298,  1)),  die  paarweise  kofyugirt 
imaginär  sein  können,  oder  eine  Baumkurve  vierter  Ordnung  gemein. 

300.  Zu  den  Sätzen  über  die  Schnittlinie  von  Flächen  zweiten 
Grades  und  über  die  Büschel  solcher  Flächen  können  wir  nach  dem 
Gesetze  der  Beciprodtät  (103)  neue  Sätze  bilden,  von  denen  vnr  aber 
nur  einige  anführen  wollen. 

Einer  Fläche  zweiter  Ordnung,  welche  aus  Punkten  besteht, 
entspricht  reciprok  eine  Fläche  zweiter  Klasse,    welche  aus  ihren 


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VI,  300.  BestimmaDg  e.  Fläche  2.  Gr.  durch  9  Punkte.  Büschel  n.  Schaaren.    331 

Berührungsebenen  gebildet  istf  oder  einer  Fläche  zweiten  Grades 
entspricht  wieder  eine  Fläche  zweiten  Grades  (74).  Den  gemein- 
samen Punkten  und  der  von  ihnen  gebildeten  Schnittkurye  h  zweier 
Flächen  zweiten  Grades  P  und  Pj,  welche  von  jeder  Ebene  in  vier 
Punkten  getroffen  wird;  also  von  der  vierten  Ordnung  ist,  ent- 
sprechen reciprok  die  gemeinsamen  Berührungsebenen  zweier  Flächen 
zweiten  Grades  F  und  F^,  und  die  sie  eitiMllende  abunckelbare  Fläche 
K,  von  deren  Ebenen  vier  durch  jeden  Punkt  gehen  ^  die  also  von 
der  vierten  Klasse  ist.  Dem  gemeinsamen  Polartetraeder  von  F  und 
Fj  entspricht  wieder  ein  solches.  Den  vier  Kegeln  zweiten  Grades, 
welche  die  Schnittkurve  k  von  F  und  F^  aus  den  Eckpunkten  des 
gemeinsamen  Polartetraeders  doppelt  projiciren,  entsprechen  vier 
Kegelschnitte  in  den  Flächen  des  neuen  Polarteb^aeders,  durch  deren  Taji- 
genten  je  zwei  Ebenen  der  abwickelbaren  Fläche  K  gehen,  oder  welche 
eine  Dappelkurve  der  K  ist.  Den  Tajigenten  der  k  entsprechen  die 
geradlinigen  Erzeugenden  der  K;  der  Doppelkurve  vierter  Ordnung, 
welche  durch  die  Schnittpunkte  je  zweier  Tangenten  der  k  in  jeder 
Fläche  jenes  Tetraeders  gebildet  wird,  entspricht  reciprok  ein  Kegel 
vierter  Klasse,  welcher  durch  die  Ebenen  je  zweier  Erzeugenden  der 
Fläche  K  gebildet  wird,  und  deren  SpiUsen  in  den  Ecken  jenes  Te- 
traeders liegen. 

Dem  Büschel  von  Flächen  zweiten  Grades  entspricht  reciprok 
eine  Schaar  von  Flächen  zweiten  Grades;  dieselbe  besteht  aus  der  Ge- 
samtheit der  einfach  unendlich  vielen  FläcJien  »weiten  Grades,  todche 
von  einer  abwickelbaren  Fläche  vierter  Klasse  eingehüllt  werden.  Diese 
Fläche  ist  du/rch  acht  von  einander  unabhängig  angenommene  Ebenen 
bestimmt.  Jede  die  abunckelbare  Fläche  nicht  berührende  Ebene  wird 
von  einer  Fläche  der  Schaar  berührt;  oder  eine  Fläche  aweiten  Grades 
ist  dMTch  neun  von  einander  unabhängig  angenommene  Ebenen,  welche 
sie  berührt,  bestimmi. 

Endlich:  Drei  Flächen  sweiten  Grades  haben  acht  berührende 
Ebenen,  die  paarweise  kofyugirt  imaginär  sein  können,  oder  eine  ein- 
hüllende abwickelbare  Fläche  vierter  Klasse  gemein» 


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VII.  Abschnitt 

Die  Belenchtang  der  Fläeheii  zweiten  Cfrades. 

301,  Um  auf  einer  Fläche  zweites  Grades  F  eine  Lichi^leiche 
von  gegebener  Lichtstärke  zu  bestimmen ^  lege  man  aus  dem  Mittel- 
punkte M  der  P  den  Tangentialkegel  von  dieser  Lichtstärke  (193), 
führe  parallel  zu  jeder  seiner  Berührungsebenen  zwei  Berührungs- 
ebenen an  die  F,  so  bilden  deren  Berührungspunkte  die  Lichtgleiche, 
Diese  Punkte  findet  man  auf  den  zu  den  Berührungsebenen  des 
Tangentialkegels  in  Bezug  auf  F  konjugirten  Durchmessern,  und 
eine  solche  Ebene  und  ihr  konjugirter  Durchmesser  schneiden  die 
Polar  ebene  von  üf  zu  F,  d.  i.  die  unendlich  ferne  Ebene  in  einer 
Geraden  und  einem  Punkte,  welche  Polare  und  Pol  in  Bezug  auf 
den  unendlich  fernen  Kegelschnitt  der  Fläche  sind;  oder  auch  die 
Durchmesserebene  und  der  konjugirte  Durchmesser  sind  Polarebene 
und  Polare  in  Bezug  auf  den  (reellen  oder  imaginären)  Kegel,  wel- 
cher den  unendlich  fernen  Kegelschnitt  der  Fläche  aus  M  projiciri 
Der  Kegel  jener  Durchmesser  projicirt  aber  eine  Lichigleiche  und 
mag  daher  Lichtgleichenkegel  heißen.  Es  ergibt  sich  daraus,  daß 
die  unendlich  ferne  Kurve  des  Lichigleichenkegels  die  reciproke 
Figur  zu  dem  unendlich  fernen  Kegelschnitte  des  Tangentialkegels 
in  Bezug  auf  den  unendlich  fernen  Kegelschnitt  der  Fläche  F  ist, 
oder  daß  ein  Lichtgleichenkegel  die  reciproke  Fläche  zu  dem  Tan- 
gentialkegel in  Bezug  auf  den  (reellen  oder  imaginären)  Kegel  ist^ 
welcher  den  unendlich  fernen  Kegelschnitt  der  Fläche  aus  M  projicirt 

Daher  ist  für  eine  Fläche  vom  fsweiten  Grade  der  Licktgleichm' 
kegel  d)enfaUs  vom  «weiten  Grade,  und  sein  Schnitt  mit  der  Fläche, 
oder  deren  Lichtgleiche  eine  Kurve  von  der  vierten  Ordnung. 

Die  Gesamtheit  jener  Kegel  wollen  wir  das  Büschd  der  Licht- 
gleichenkegel  nennen-,  seine  Axe  ist  der  zu  einer  Geraden  gewordene 
Kegel,  welcher  den  Punkt  P  von  der  Helligkeit  1.  enthält. 

Ist  die  Fläche  eine  Kugel,  so  bilden  die  Lichi^leichenkegel  das 
Büschel  der  NormaXkegd\  seine  Axe  ist  der  Lichtstrahl,  und  derselbe 
enthält  den  Punkt  P^  der  Kugel  von  der  Helligkeit  1. 


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VII,  801—302.    Die  Beleachtang  der  Flächen  zweiten  Grades.        333 

Bas  Büschd  der  LicMgleichenkegel  K  einer  Fläche  moeiten  Grades 
F  ist  kollinear  mit  dem  Büschel  der  Karmalkegel  K^.  Denn  sie  sind 
die  reciproken  Gebilde  des  Tangentialbüschels  einmal  in  Bezug  auf 
die  Fläche^  das  anderemal  in  Bezug  auf  die  EugeL  Dabei  ist  irgend 
ein  Strahlenbüschel  des  K  reciprok  und  daher  projektiv  zu  einem 
gewissen  Ebenenbüschel  des  Tangentialbüschels;  diesem  entspricht 
ein  Strahlenbüschel  des  K^,  welches  mit  ihm  und  daher  auch  mit 
dem  Strahlenbüschel  des  K  projektiv  ist  und  ihm  entsprechend 
heißen  soU.  Wenn  aber  in  zwei  Strahlenbündeln  ^  von  welchen  die 
Eegelbüschel  Teile  sind,  jedem  Strahlenbüschel  des  einen  ein  mit 
ihm  projektives  Strahlenbüschel  des  anderen  entspricht,  so  sind  sie 
kollinear,  und  ihre  kollineare  Beziehung  ist  durch  vier  Paare  ent- 
sprechender Strahlen  bestimmt.  Denn  sind  in  zwei  Strahlenbündeln 
vier  Paare  entsprechender  Strahlen  gegeben,  deren  drei  in  jedem 
Bündel  nicht  in  derselben  Ebene  liegen,  so  ist  durch  das  erste  auch 
das  zweite  ganz  bestimmt,  sowohl  wenn  jedem  Strahlenbüschel 
des  einen  ein  damit  projektives  des  anderen  entsprechen  soll,  als 
auch  wenn  das  eine  mit  dem  anderen  kollinear  sein  soll  (wie  in 
I,  309  für  ebene  Systeme  gezeigt  ist).  In  dem  letzteren  Falle  sind 
aber  ebenfalls  alle  entsprechenden  Strahlenbüschel  projektiv,  und 
daher  fallt  das  zweite  projektive  mit  dem  zweiten  kollinearen  Bündel 
zusammen. 

303«  Aus  dieser  kollinearen  Beziehung  des  Büschels  K  der 
Lichtgleichenkegel  einer  Fläche  zweiten  Grades  F  zum  Büschel  K^ 
der  Normalkegel  folgt: 

1)  Der  mit  dem  Lichtstrahle  l  parallelen  Axe  MP^  des  K^ 
entspricht  die  Axe  MP  des  K,  welche  zu  der  auf  l  senkrechten 
Ebene  in  Bezug  auf  F  konjugirt  ist.  Der  Eegel  von  iC,  welcher 
die  Grenzlichtgleiche  „Null''  bestimmt,  ist  die  zu  2  in  Bezug  auf  F 
konjugirte  Durchmesserebene,  die  NuUebene. 

2)  Da  die  Axe  NP  zu  der  auf  l  senkrechten  Ebene  in  Bezug 
auf  F  konjugirt  ist,  so  ist  die  senkrecht^  Projektion  von  MP  auf 
eine  der  Hauptebenen  der  F,  z.  B.  auf  MAB,  konjugirt  in  Bezug 
auf  den  Hauptschnitt  AB  zu  der  Spur  jener  Ebene,  d.  h.  zu  einer 
Senkrechten  zur  Projektion  V  des  l  auf  MAB.  Durch  zwei  Haupt- 
ebenen ist  daher  MP  bestimmt. 

3)  Die  Richtungen  der  Halbaxen  MA,  MBy  MC  der  T  ent- 
sprechen in  K  und  K^  sich  selbst,  da  sie  in  beiden  zu  den  bezw. 
auf  ihnen  senkrechten  Ebenen  des  Tangentialbüschels  reciprok  sind. 
Die  kollineare  Beziehung  von  K  und  K^  ist  daher  durch  die  vier 
Paare  entsprechender  Strahlen  festgestellt,  welche  bezw.  nach  den 
Punkten  laufen:  P,  A,  B,  C  und  jP^,  A,  B,  C. 


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334        VIT,  802—303.    Die  Beleuchtting  der  Flächen  zweiten  Grades. 

4)  Da  die  Gestalt  von  K  nur  yon  der  Richtung  des  Licht- 
strahles l  und  von  dem  unendlich  fernen  Kegelschnitte  der  W  ab- 
hängt (301)^  äo  besitzen  koaxiale,  ähnliche  und  ähnlich  gelegene 
Flächen  F  bei  derselben  Lichtrichtung  dieselben  Büschel  K.  Es 
gilt  dies  daher  fBr  ein  ein-  und  ein  zweischaliges  Hyperboloid  mit 
demselben  Asymptotenkegel. 

5)  Irgend  ein  ebener  Schnitt  von  K  und  einer  von  K^  sind 
Eegelschnittbüschely  weil  sie  koUinear  sind,  und  in  K^  ein  Büschel 
koncentrischer  Kreise  vorkommt.  Es  entsprechen  sich  in  ihnen  die 
Schnittpunkte  mit  jenen  vier  Paaren  entsprechender  Strahlen. 

6)  Die  Beziehung  der  Büschel  K  der  Lichtgleichenkegel  in  den 
verschiedenartigen  Flächen  zweiten  Grades  ergibt  sich  folgendermaßen. 
Sei  M  der  endlich  entfernte  Mittelpunkt,  seien  MÄy  MBy  MG  die 
reellen  oder  ideellen  Halbaxen  der  F,  und  sei  für  das  EUipsoid  MP 
die  Axe  des  Büschels  K  Das  einschaUge  Hyperboloid  habe  MA  zur 
ideellen  Axe;  man  kann  es  dann  als  Lnaginärprojektion  des  Ellip- 
soides  aus  dem  unendlich  fernen  Punkte  J.»  der  MA  mit  MBC 
als  Kollineationsebene  ansehen.  Dann  ist  die  Axe  MP  für  das 
Hyperboloid  symmetrisch  zu  derjenigen  fOr  das  Ellipsoid  in  Bezug 
auf  die  Ebene  MBC,  weil  beide  Gerade  die  Polaren  derselben  (auf 
l  senkrechten)  Ebene  in  Bezug  auf  beide  Flächen,  daher  durch  A^ 
und  MBC  harmonisch  getrennt  sind  (100).  Das  zweischaiige  Hyper- 
boloid  mit  den  ideellen  Halbaxen  MB,  MC  kann  aus  dem  Ellipsoide 
durch  zweimalige  Imaginärprojektion  aus  B^^  und  Oo»  entstehen; 
daher  ist  für  es  die  Axe  MP  aus  derjenigen  für  das  Ellipsoid  durch 
zweimalige  symmetrische  Umwandlung  in  Bezug  auf  MCA  und  in 
Bezug  auf  MAB  zu  erhalten;  sie  fallt  dadurch  mit  derjenigen  für 
das  einschalige  Hyperboloid  zusammen,  wie  wir  es  in  4)  notwendig 
fanden.  —  Für  den  unendlich  fernen  Mittelpunkt  M  oder  für  die 
Paraboloide  werden  die  Lichtgleichenkegel  zu  Cylindem,  und  es 
kann  bei  dem  Umdrehungsparaboloide  ihr  Schnitt  mit  einer  auf 
der  Umdrehungsaxe  Jlf^  senkrechten  Ebene  kongruent  mit  deren 
Schnitt  mit  dem-  Normalbüschel  gemacht  werden.  Bei  dem  ellip- 
tischen Paraboloide  bestimmt  man  leicht  MP]  seine  unendlich  fernen 
Halbaxen  MB,  MC  mögen  als  reell  bezeichnet  werden  (94).  Hat 
dann  ein  hyperbolisches  Paraboloid  MA,  MB  zu  reellen,  MC  zur 
ideellen  Halbaxe,  so  ist  es  die  Imaginärprojektion  des  elliptischen 
aus  Ogo ,  und  seine  MP  ist  symmetrisch  zu  der  MP  des  elliptischen 
Paraboloides  in  Bezug  auf  MAB. 

303«  Aufg.  Die  Lichtgleichen  eines  elliptischen  Paraboloides  sm 
konstruiren, 

Aufl.    Bei  jedem  Paraboloide  werden  die  Lichtgleichenkegel  zu 


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VII,  308.    Die  Belenchtong  der  Fl&chen  zweiten  Grades. 


335 


Cylindem,  und  diese  sind  zugleich  die  projicirenden  Gylinder  der 
Lichtgleichen  för  eine  auf  der  Axe  senkrechte  Projektionsebene  P^ ; 
die  Grtmdrißlichtgleichen  (auf  P^)  bilden  daher  ein  KegdsdmitCbüschel. 

Fig.  132. 


Ist  die  Fläche  ein  Umdrehungsparäboloidy  so  schneidet  der  durch  den 
hellsten  Punkt  1.  oder  P  gehende  Lichtstrahl  die  Axe  der  Fläche, 
und  nimmt  man  den  Schnittpunkt  als  Mittelpunkt  des  Normal- 
büschels;  so  fallt  dessen  Schnitt  mit  der  durch  P  parallel  zu  P^ 


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336  VII,  303.    Die  Belenohtong  der  Flächen  zweiten  Grades 

gelegten  Ebene  mit  dem  Büschel  der  in  dieselbe  Ebene  gelegten 
Grundrißlichtgleichen  zusammen  (302^  6))  und  stimmt  offenbar  mit 
dem  firüher  (215)   erhaltenen  Schnitte   des   aus   dem  Brennpunkte 
gelegten  Normalbüschels  mit  der  Leitebene  überein. 
Fig.  182.  Von  dem  elliptischen  Paraboloide  stehe  die  Axe  J.Jlf  J^Pj,  die 

Hauptebene  AMB  \  "P^y  und  die  erste  Spur  sei  die  Ellipse  B'C\ 
Die  erste  Projektion  P'  seines  hellsten  Punktes  1.  oder  P  liegt  auf 
dem  zu  der  Senkrechten  zu  V  konjugirten  Durchmesser  der  Ellipse 
B'G\  und  seine  zweite  Projektion  P"  auf  dem  zur  Senkrechten  zu  l^ 
konjugirten  Durchmesser  P^P^  der  Parabel  Ä"B"  (302,  2));  letztere 
wird  also  erhalten,  wenn  man  aus  dem  Brennpunkte  F''  der  Parabel 
A"B"  die  F"P^  parallel  zu  V  zieht  und  mit  der  Leitlinie  d"  der 
Parabel  in  P^  schneidet.  Dadurch  ist  P'  auf  M P  bestimmt;  und 
aus  P'  wird  mittelst  der  durch  P  parallel  zu  P|  gelegten  Ebene 
und  ihrer  Schnittellipse  mit  F  der  Punkt  P'  ermittelt,  indem  man 
deren  Schnittpunkt  mit  der  Parabel  A"B"  bestimmt;  hierzu  aber 
genügt  die  Sehne  dieser  Ellipse,  welche  parallel  mit  der  in  dem- 
selben Winkel  von  Durchmessern  liegenden  Sehne  der  Ellipse  B'  C 
läuft.  Andererseits  schneidet  der  durch  F"  geführte  Lichtstrahl 
die  Ebene  D,  welche  durch  df"  parallel  zu  Pj  gelegt  wird,  im  Punkte 
(Pi,  Pg),  wenn  A'P^  die  erste  Projektion  V  eines  Lichtstrahles  ist. 
Die  Schnitte  der  Leitebene  D  mit  dem  Büschel  der  Lichtgleichen- 
kegel (Cylinder)  und  des  Normalbüschels  sind  daher  kollineare  Sy- 
steme, welche  A\  B'^,  C«  zu  gemeinsamen,  und  P',  Pj  zu  ge- 
trennten entsprechenden  Punkten  besitzen;  und  da  P'P^  J  J.'(7«, 
so  sind  sie  affin  mit  C«  |als  Mittelpunkt  und  A'B'^  als  Axe  der 
Affinität.  Wir  wollen  beide  Eegelschnittbüschel  bezw.  mit  P'  und 
Pi  bezeichnen. 

Man  bestimmt  nun  von  dem  Büschel  Pj  die  Punkte  auf  A'Pi 
=  Vy  indem  man  die  durch  l  und  A  M  gehende  Ebene  in  eine  zu 
Pi  parallele  Ebene  umlegt,  wobei  F  {A\  F")  nach  JP"'  gelangt 
(^'i^"J_r  und  von  passender  Länge,  r''D"'=r'B^,  D'"P^ 
#  ^'Pi),  wodurch  F"' P^  =  V"  der  umgelegte  l  wird.  Dann  bildet 
man  das  Normalbüschel  mit  F"'  als  Mittelpunkt  und  F"'P^  als 
Lichtstrahl,  schneidet  dessen  Strahlen  mit  B"'P^  in  Punkten,  unter 
denen  Q^  und  H^  den  Strahlen  9,  Q^  dem  Strahle  0  angehören,  projicirt 
diese  Punktreihe  aus  C«  auf  die  parallel  zu  A'P'  gezogene  Gerade 
B'"P"'  und  überträgt  die  Projektion  r"G'"K" . . .  Q'"  kongruent  auf 
A'P^  nach  P'G'H'. . .  Q\  so  sind  dies  die  Punkte  des  Kegelschnitt- 
büschels P'  auf  A'P"  und  Endpunkte  von  Durchmessern  seiner 
Kurven.  Die  zu  diesen  Durchmessern  konjugirte  Richtung  im  Büschel 
P'  entspricht   der  auf  V  senkrechten  im  Büschel  P^;   sie  ist  also 


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Vn,  308—304.    Die  Belencbtung  der  Fl&chen  zweiten  Grades.        337 

Q'B\  wenn  B'  der  Schnittpunkt  der  auf  V  Senkrechten  Q^Qi  mit 
der  AfOnitatsaxe  Ä'B'  ist  Es  ist  auch  Ö'JB'  in  der  Ellipse  B'G' 
zu  r  konjugirt.  Denn  sowohl  die  konjugirten  Durchmesser  dieser 
Ellipse,  wie  die  Gegenseiten  des  vollständigen  Vierecks  A'B'Q'Q^ 
(Qi  auf  r)  schneiden  auf  der  unendlich  fernen  Geraden  eine  Involution 
ein.  Und  da  von  beiden  Involutionen  zwei  Punktepaare,  nämlich 
die  durch  Ä'B\  Q'Q^  und  Ä'Q'y  B'Q^  bestimmten,  zusammenfallen, 
so  gilt  dies  auch  für  die  zwei  weiteren  Paare;  oder  A'Q^y  B'Q' 
sind  mit  zwei  konjugirten  Durchmessern  der  Ellipse  parallel 

Aus  den  Mitten  der  Durchmesser  auf  A'P'j  z.  B.  aus  «T  als 
Mitte  von  G'H'^  ziehe  man  die  Linien  der  konjugirten  Durchmesser, 
wie  J'JT,  parallel  zu  Q'B\  Die  Endpunkte  dieser  Durchmesser 
liegen  auf  der  affinen  Figur  derjenigen  Parabel,  welche  Pj  zum 
Scheitel,  -4.'Pi  zur  Axe  und  N^  zu  einem  Punkte  eines  ideellen 
zur  Axe  konjugirten  Punktepaares  hat,  wenn  auf  Q^B'  die  QiN^ 
=»  Q^F"'  gemacht  wurde  (216);  diese  affine  Figur  ist  daher  eben- 
falls eine  Parabel,  von  welcher  P'  ein  Punkt,  A'P'  ein  Durch- 
messer, Q'B'  die  demselben  konjugirte  Richtung  und  If  ein  Punkt 
eines  dem  Durchmesser  A'P'  konjugirten  ideellen  Punktepaares  ist, 
wobei  N'  auf  Q'B'  durch  N^N'  ||  A'C  bestimmt  wurde.  Man  ver- 
zeichnet die  durch  die  bezeichneten  konjugirten  Punktepaare  gebil- 
dete, durch  N"  gehende  Parabel  (nach  I,  380  oder  I,  382),  und  die  mit 
dieser  in  Bezug  auf  P'  symmetrische  Parabel,  so  schneidet  erstere  die 
ideellen  konjugirten  Durchmesser  der  Hyperbeln,  letztere  die  reellen 
der  Ellipsen  des  Büschels  P'  ab,  wie  K'  auf  J'K',  mittelst  deren  diese 
Kegelschnitte  leicht  verzeichnet  werden.  —  Der  Aufriß  der  Licht- 
gleichen wird  mittelst  einiger  zu  P^  parallelen  Ellipsen  der  W 
bestimmt 

804.    Aufg.   Die  LicMgleichm  eines  EUipsoides  zu  Jconstruiren.   wg.  m. 

Aufl.  Es  seien  MA,  MB,  MC  die  Halbaxen  des  EUipsoides; 
man  stelle  jede  der  Projektionsebenen  senkrecht  auf  eine  der  Axen, 
Pi  A.MAy  Pg  J_  MC;  dann  bilden  die  elliptischen  Hauptschnitte  B'C 
und  B"A"  die  umrisse,  l  sei  der  durch  M  gehende  Lichtstrahl. 
Die  aus  M  nach  dem  hellsten  Punkte  1.  der  Fläche  gehende  Ge- 
rade Jlf  1.,  die  Axe  des  Büschels  der  Lichtgleichenkegel,  hat  zu 
Projektionen  die  Linien  MB'  1.  und  M"B^'  1.,  welche  in  Bezug 
auf  die  Ellipse  B'G\  bezw.  B" A''  zu  der  Senkrechten  zu  V  bezw. 
l"  konjugirt  sind  (302,  2)).  Um  die  Schnitte  der  Lichtgleichenkegel 
mit  der  Fläche,  oder  die  Lichigleichen,  zu  erhalten,  wollen  wir  das 
Eegelschnittbüschel  verzeichnen,  in  welchem  das  Eegelbüschel  eine 
mit  Pj  parallele,  nicht  durch  M  gehende  Ebene  D  {d")  schneidet. 
Man  könnte  die  Verzeichnung  dieser  und  anderer  noch  vorkommenden 

Wiener,  LehTbaoh  der  dareieUenden  Geometrie.    II.  22 


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338  Vn,  304.    Die  Beleuchtang  der  F^hen  zweiten  Grades. 

Kegelschnitte  vermeid ea,  und  wir  wollen  auch  spater  solche  Ver- 
fahrungsweisen  andeuten;   aber   abgesehen  davon,   daß   bei   diesen 


...  T  ,.r<^  J 


^'' 


Verfahren  weitgehende  Betrachtungen  notwendig  würden,  ist  die 
Verzeichnung  von  so  leicht  herzustellenden  Hilfslinien,  wie  von 
Kegelschnitten,   in   Bezug   auf  Kürze   und   Genauigkeit  dann  vor- 


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VII,  304—306.    Die  Beleuchtnng  der  Flächen  zweiten  Grades.        339 

teilhafty  wenn^  wie  hier,  durch  jede  derselben  viele  Punkte  ge- 
wonnen werden. 

Jene  Ebene  D  {d")  schneidet  das  Büschel  der  Lichtgleichen- 
kegel in  einem  Eegelschnittbüschel,  welches  durch  den  Schnittpunkt 
P  der  D  mit  der  Axe  des  EegelbüschelS;  durch  Ä\B'a>f  0«  und 
V  vollständig  bestimmt  ist.  Man  wählt  den  Abstand  der  D  von 
M  nur  so  groß,  daß  noch  das  Eegelschnittbüschel  auf  der  begrenz- 
ten Zeichenfläche  in  hinreichender  Ausdehnung  dargestellt  werden 
kann.  Dann  erhält  man  nach  der  vor.  Nr.  das  Eegelschnittbüschel, 
wenn  man  P'Pj^  ||  M'C  zieht,  mit  T  in  Pj  schneidet,  den  Licht- 
strahl um  V  in  die  Hauptebene  MBG  nach  V"  umlegt,  J.'D'"J_  T 
von  passender  Länge  zeichnet,  D'"P^  #  Ä'Pi  macht,  PgP"'  ||  T" 
zieht  und  mit  Ä'D'"  in  P'"  schneidet,  dann  aus  P'"  das  Normal- 
büschel mit  dem  Lichtstrahle  F'^'P^  zeichnet  und  daraus,  ganz  wie 
in  der  vor.  Nr.,  das  Eegelschnittbüschel  P'  ableitet,  dessen  Eurven 
mit  (0),  (2)  . . .  bezeichnet  und  die  vorkommenden  Asymptoten  der 
Hyperbeln  andeutet.  Die  dabei  benutzten  durch  P'  gehenden  Para- 
beln sind  nur  einseitig  gezeichnet. 

305.  Um  nun  das  durch  den  Mittelpunkt  M  und  das  Eegel- 
schnittbüschel P'  gegebene  Büschel  der  Lichtgleichenkegel  mit  F 
zum  Schnitt  zu  briDgen,  legt  man  durch  M  Hilfsebenen,  schneidet 
sie  mit  dem  Büschel  P'  in  einer  Punktreihe  und  mit  F  in  einer  Ellipse, 
projicirt  die  Punkte  der  Reihe  aus  M  auf  die  Ellipse,  so  sind  die 
Projektionen  Lichtgleichenpunkte  auf  F.  Die  Hilfsebenen  legt  man 
zweckmäßig  durch  MA  oder  MCy  und  wählt  vor  allen  die  durch 
MA  und  P  geführte,  welche  auch  den  Punkt  1.  der  Fläche  liefert. 
Dieselbe  schneidet  die  F  in  einer  Ellipse,  deren  erste  Projektion 
die  Gerade  A'P'y  deren  zweite  als  Ellipse  aus  ihren  beiden  Axen 
gezeichnet  ist  A'P^  schneidet  die  Eegelschnitte  des  Büschels  P' 
in  Punkten,  deren  zweite  Projektionen  auf  d"  man  bestimmt  und 
aus  M"  auf  jene  Ellipse  projicirt;  daraus  ergeben  sich  dann  die 
ersten  Projektionen  der  Lichtgleichenpunkte  auf  A'P".  Dabei  sind 
stets  nur  die  sichtbaren  Punkte  angegeben;  und  da  dies  in  beiden 
Projektionen  nicht  dieselben  sind,  so  ist  die  Symmetrie  in  Bezug 
auf  M  benutzt  Es  ist  vorteilhaft  sogleich  auch  als  zweite  Hilfs- 
ebene die  zur  ersten  in  Bezug  auf  die  Ebene  MAB  symmetrische 
zu  legen,  weil  die  Schnittellipsen  beider  Ebenen  mit  F  dieselbe 
zweite  Projektion  besitzen. 

Sodann  legt  man  die  Ebene  MCP  und  ihre  in  Bezug  auf  die 
Hauptebene  MBG  symmetrische,  deren  Schnittellipsen  mit  F  eine 
gemeinschaftliche  durch  1.  gehende  erste  Projektion  besitzen.  Die 
Schnitte  dieser  Ebenen  mit  D   sind  bezw.  die  durch  P  gezogene 

22* 


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340        VII,  306—306.    Die  Beleuchtung  der  Flächen  zweiten  Grades. 

Parallele  zu  M'C  und  deren  Symmetrische  in  Bezug  auf  M\  Die 
Schnittpunkte  dieser  beiden  Geraden  mit  den  Kegelschnitten  des 
Büschels  P'  projicirt  man  aus  M  auf  jene  Schnittellipse^  zuerst 
in  der  ersten  Projektion,  und  übertragt  die  Punkte  in  die  zweite. 
Die  Lichtgleichenpunkte  auf  den  Umrissen  B" A"  und  B'(7  werden 
durch  die  Hilfsebenen  MAB  und  MBC  gewonnen,  und  weil  letz- 
tere mit  D  parallel  ist,  erhält  man  die  Punkte  auf  B'C  durch 
Strahlen  aus  JÜT  nach  den  unendlich  fernen  Punkten  der  Kegel- 
schnitte des  Büschels  P',  d.  h.  durch  Parallele  zu  deren  Asymptoten. 
Weitere  Hilfsebenen  legt  man  zweckmäßiger  durch  MC,  als  durch 
MAj  weil  sie  ein  Übertragen  der  Punkte  des  Kegelschnittbüschels 
P'  in  die  zweite  Projektion  nicht  notwendig  machen. 

Die  aus  A'  an  die  Kegelschnitte  des  Büschels  P'  gezogenen 
Tangenten  berühren  auch  die  jedesmal  zu  ihnen  gehörigen  Grund- 
rißlichtgleichen, so  die  Tangente  aus  A'  an  den  Kegelschnitt  (8) 
die  Lichi^leiche  8.  Um  den  Berührungspunkt  E  auf  letzterer  zu 
bestimmen,  ermittelt  man  denjenigen  D'  auf  dem  Kegelschnitte, 
und  legt  durch  die  Tangente  A'D'  und  die  Axe  MA  eine  Ebene; 
dieselbe  schneidet  das  EUipsoid  in  einer  Ellipse,  deren  Verzeich- 
nung man  besser  vermeidet,  weil  sie  nur  einen  Punkt  liefert  Man 
projicirt  sie  daher  auf  den  Hauptschnitt  A'B'  (durch  Parallele  zu 
H'  Bij  s.  Fig.),  dabei  D'  nach  D/,  dessen  zweite  Projektion  D/' 
auf  d"  liegt,  projicirt  D^'  aus  M"  auf  die  Ellipse  A"B"  nach  E^\ 
woraus  sich  JE/  auf  A'B'  ergibt,  und  projicirt  dann  E^  {E^\  jB,") 
auf  die  Ebene  MAB  zurück  nach  (E\  JE").  Im  Aufriß  schneiden 
sich  die  Tangente  der  Lichtgleiche  8  in  E"  und  die  des  Haupt- 
schnittes A"B"  in  E^'  im  Punkte  V  der  Axe  M" A'\  wodurch 
E"L"  bestimmt  ist. 

306.  Bk  Tangente  einer  lAchtgleiche  in  einem  beliebigen  Punkte 
derselben  erhält  man  leicht  als  Schnittlinie  der  Berührungsebenen 
der  Fläche  und  des  Lichtgleichenkegels  in  diesem  Punkte.  Für  den 
Punkt  G  der  Lichtgleiche  9  auf  dem  Axenschnitte  A  1.  der  Ebene 
MA  1.  mit  F  ist  die  Tangente  an  diese  Ellipse  in  6^  die  GJ^ 
welche  die  Ebene  D  in  J'  trifFt,  so  daß  die  Spur  der  Berührungs- 
ebene der  P  in  (r  die  XK'  bildet,  als  Konjugirte  zu  A'G'  in  Bezug 
auf  die  Ellipse  B'G\  Die  Berührungsebene  des  Lichtgleichenkegek 
in  G  schneidet  andererseits  die  Ebene  D  in  G^K ^  der  Tangente 
an  den  Kegelschnitt  (9)  im  Punkte  6^/,  in  welchem  die  Erzeugende 
6rJlf  die  D  trifPt,  d.  i.  auch  einer  Konjugirten  zu  V  in  Bezug 
auf  den  Kegelschnitt  B'G\  Die  Geraden  J'K  und  G^K'  haben 
den  Punkt  K  gemein;  K!  G\  K'  G"  sind  daher  die  Tangenten  an 
die  Projektionen  der  Lichtgleiche  9  in  6r,  wobei  K'  auf  d"  liegt 


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vir,  306—807.    Die  Belenchtnng  der  Flächen  zweiten  Grades.        341 

Alle  Tangenten  in  Punkten  des  Axenschnittes  A  1.  können  leicht 
gezeichnet  werden^  da  die  Entsprechenden  der  JTK'  und  der  G^'K' 
je  eine  Schaar  Paralleler  bilden. 

Die  Grenglichtgleiche  ist  eine  Diametralellipse,  von  der  man  zwei 
Punkte  auf  dem  ersten  Umrisse  B'G'm  dem  zu  V  konjugirten  Durch- 
messer C|  dieser  Umrißellipse  erhält  In  unserer  Zeichnung  sind  c^ 
und  M'P  gleichgeneigt  gegen  MB\  weil  V  und  daher  auch  die  zu  V 
Senkrechte  einen  Winkel  von  45^  mit  M'B'  bilden,  und  weil  Cj  und 
JITP'  bezw.  zu  diesen  beiden  letzteren  Linien  konjugirt  sind.  Ebenso 
findet  man  die  zwei  Punkte  der  Grenzlichtgleiche  auf  dem  zweiten 
Umrisse  in  dem  zu  V  konjugirten  Durchmesser  c^.  Dadurch  erhält 
man  im  Grundriß  zwei  Durchmesser,  c^  und  die  erste  Projektion 
von  c^j  sowie  die  Richtung  V  des  zu  c^  konjugirten  Durchmessers, 
und  kann  dann  die  Länge  der  V  durch  Affinität  zu  dem  über  c^ 
als  Durchmesser  verzeichneten  Kreise  leicht  finden,  was  aber  in  der 
Figur  nicht  ausgeführt  isi  Entsprechend  kann  man  im  Aufriß 
verfahren;  doch  ist  hier  der  Punkt  auf  V  zugleich  mit  den  Licht- 
gleichenpunkten bestimmt. 

307.  Man  kann  auch  die  Verzeichnung  des  Eegelschnittbüschels 
P'  vermeiden,  wenn  man  beachtet,  daß  dasselbe  von  allen  durch 
P  gelegten  Geraden  in  projektiven  Punktreihen  getroffen  wird,  weil 
das  Normalbüschel  und  dann  auch  das  Büschel  der  Lichtgleichen- 
kegel von  allen  durch  die  zugehörige  Axe  gelegten  Geraden  in  unter- 
einander projektiven  Punktreihen  geschnitten  wird  (vergl.  302,  5)). 
Bestimmt  man  daher  die  Punktreihe  M'F'  wie  vorhin,  und  sodann 
auf  anderen  durch  P'  gelegten  Geraden  die  Helligkeitszahlen  außer 
in  2^  in  zwei  Punkten,  etwa  in  den  Punkten  des  Umrisses  mittelst 
des  berührenden  elliptischen  Cylinders  (197),  so  kann  man  jede 
zweite  Punktreihe  als  Projektion  der  mit  ihr  Perspektiven  ersten 
{MF^  ermitteln.  Diese  Punktreihen  projicirt  man  aus  M  auf  die- 
jenigen Ellipsen  der  Fläche,  welche  in  ihren  projicirenden  Ebenen 
liegen;  wobei  man  die  Verzeichnung  der  Projektionen  der  Ellipsen 
vermeiden  kann,  wenn  man  sie  (und  mit  ihnen  die  Punktreihen) 
in  einen  Hauptschnitt  der  Fläche  projicirt,  wie  es  vorhin  mit  der 
Ellipse  AEH  geschah.  —  Andererseits  könnte'  man  das  Eegel- 
schnittbüschel  durch  ein  Büschel  koncentrischer  Ejreise,  den  senk- 
rechten Schnitt  des  Normalbüschels,  ersetzen,  womit  es  projektiv 
ist,  würde  aber  dazu  neue  Betrachtungen  und  ein  weiteres  Proji- 
ciren  von  Punktreihen  nötig  haben*).    Endlich  könnte   man   das 


*)  Herr  Bwrmestef  in  seiner  Theorie  and  Darst.  der  Belenchtong,  1871, 
8.  247,  benutzte  ein  Ereisbüschel. 


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342  Vn,  307.    Die  Beleuchtung  der  Flächen  zweiten  Grades. 

Büschel  der  Lichtgleichenkegel  ganz  entbehren^  der  Fläche  F  Gylinder 
umschreiben,  welche  entlang  Ellipsen  berühren,  deren  Ebenen  etwa 
die  Axe  MA  enthalten,  und  die  Lichigleichenpunkte  auf  diesen 
Ellipsen  mittelst  der  Gylinder  finden,  für  die  man  aber  besondere 
Normalbüschel  konstruiren  müßte.  —  Das  hier  angegebene  Ver- 
fahren scheint  mir  das  einfachere  zu  sein. 


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VIIL  Abschnitt. 

Die  Rolllinien  nnd  die  Schraubenlinie. 

L    Die  BoUlinien. 
808.    Wenn  eine  Kurve  auf  einer  anderen  (ohne  Gleiten)  hin- 
rollt oder  wälzt,  so  beschreibt  jeder  Punkt  der  ersteren  oder  jeder 

andere  fest  mit  ihr  ver- 

Fig.  134. 


Fig.  1S4. 


bundene  Punkt  eine 
RoUlinie.  Sei  f  die  feste 
oder  BahnJeurve,  w  die 
roUende  oder  uMeende 
Kurve,  A  der  Berüh- 
rungspunkt beider^Pder 
beschreibende  Punkt, 
so  erhält  man  eine 
neue  Lage  R  desselben, 
oder  einen  neuen  Punkt 

der  beschriebenen 
Kurve  c,  wenn  man  von 
Ä  aus  auf  /  und  to  in 
demselben  Sinne  glei- 
che Bogenlängen  ÄC 
=  AC'  aufträgt,  in  C 
und    C   in    demselben 

Sinne   die  Tangenten   CT  und    C  T    bji    f  bezw.   w    zieht,    und 
^  TCR  =  ^  TCP,  sowie  CR  =  C'P  macht. 

Um  in  P  die  Tangente  an  o  zu  erhalten,  bestimme  man  einen 
dem  P  benachbarten  Punkt  Q  der  c,  indem  man  das  Bollen  um 
die  unendlich  kleinen  Bogenstücke  AB  ^=^  AB' Yor  sich  gehen  läßt, 
wobei  B'P  nach  BQ  gelangt.  Man  kann  aber  auch  dieselbe  neue 
Lage  erhalten,  wenn  man  zuerst  eine  Drehung  des  Dreiecks  APB'  Fig.  a) 
um  A  vornimmt,  bis  B'  nach  B"  gelangt,  derart  daß  die  Tangente 
an  die  neue  Lage  von  u;  in  f  parallel  zur  Tangente  an  /"  in  JB  wird. 
Hierbei  gelangt  P  nach  Q\  und   wenn  man   dann   eine  Parallel- 


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344  VIII,  808—309.    Die  Bolllinien  und  die  Schraubenlinie. 

Verschiebung  des  Dreiecks  AQ'B"  vornimmt,  bis  JB"  nach  B 
kommt)  gelangt  Q'  nach  Q.  Der  zuerst  beschriebene  Drehungs- 
winkel ist  unendlich  klein  von  der  ersten  Ordnung  (0^),  ebenso  wie 
AB,  daher  ist  auch  der  mit  dem  endlichen  Halbmesser  AP  be- 
schriebene Kreisbogen  PQ'  «=  0*,  der  mit  dem  unendlich  kleinen 
AB'  beschriebene  Bogen  B'B"  dagegen  0^  Da  auch  JB'JB  =  0*, 
so  ist  auch  B"B  c=  Q'Q  =  Ol  Daher  ist  auch  der  Winkel  QPQ' 
der  Sehne  PQ  der  Rolllinie  mit  der  Sehne  PQ'  des  Kreisbogens 
=  0^,  oder  er  verschwindet  in  der  Grenze;  daher  steht  die  Tan- 
gente der  Rolllinie  senkrecht  auf  PA,  oder  die  Normale  einer  BoU- 
linie  in  einem  Punkte  P  derselben  geht  durch  den  zugehörigen  Beruh- 
ru/ngs^nkt  A  der  wälzenden  und  der  festen  Kurve. 

Es  berührt  daher  die  Rolllinie  c  den  aus  A  durch  P  gezogenen 
Kreis;  und  man  erhält  sie  am  kürzesten  als  einhüllende  Kurve  der 
Kreisbogen,  welche  man  aus  den  Punkten  A,  E,  C .  .  .  bezw.  mit 
den  Halbmessern  AP,  E'P,  C'P,. .  beschreibt,  wenn  A,  -4;  E,  E'; 
C,  C. . .  entsprechende  Punkte  der  f  und  w  sind. 

Anm.  In  der  Kinematik  wird  jede  Bewegung  eines  starren 
ebenen  Systems  in  einem  festen  Systeme  auf  das  Rollen  einer 
Kurve  w  des  beweglichen  auf  einer  Kurve  f  des  festen  Systems 
zurückgeführt.  Der  augenblickliche  Berührungspunkt  A  ist  der  ein- 
zige augenblicklich  ruhende  Punkt  des  beweglichen  Systems  und 
heißt  der  Pol  oder  das  Momentancentrum,  w  im  beweglichen  Systeme 
heißt  die  PoJbahn,  f  im  festen  die  Polkurve. 

309.    Den  Krümmungsmittelpuhkt*)   der  Rolllinie  c  in   ihrem 
Punkte  P  findet  man  als  Durchschnittspunkt  K  ihrer  beiden   be- 
nachbarten Normalen  PA  und  QB.    Sei  MAM'  die  gemeinschaft- 
liche Normale  von  f  und  w  in  A,  seien  auf  ihr  M  und  M'  bezw. 
die  KrQmmungsmittelpunkte  von  f  und  w,   so   ist   auch  MB   die 
Normale  der  f  in  B  und  M'B'  die  der  w  in  B\  Setzen  wir 
MA  =  r,     AM=r,     AP=p,     KA^q, 
^M'AP^q>,       ^M'B'P=^MBK=q>', 
^AMB  =  a,     ^AM'B'=a,     ^AKB  =  ß,    ^APB'=ß\ 
und  nehmen  den  Sinn  MA  positiv,  so  ist  r  stets,  und  r^=^AM' 
bei  der  Lage,  vrie  in  der  Figur,  positiv. 

Es  folgt  nun  aus  den  Vierecken  AMBK  und  AMB'P 

und  daraus  a  -(-«'=  /J  +  /J'.  (1) 

*)  Einen  Teil  der  folgenden  EntwickeluDg  habe  ich  schon  in  einem  Auf- 
sätze „Die  Evoluten  der  geschweiften  und  verschlungenen  cyklischen  Curven** 
in  Schlömilchs  Zeitachr.  f.  Math.  u.  Phys.,  B.  27,  1862,  S.  129  veröffentlicht 


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VIII,  809—810.    Die  Rolllinien. 


345 


Setzt  man  das  Bogenelement  AB  ^=  AB' ^=»  dSj  zieht  aus  P 
im  Winkel  ß'  den  Kreisbogen  AD\  und  aus  K  m  ß  den  AD^  so 
ist  AD'^=^  AD  «=  ds  cos  9  und 


ds 


ds 


-V>     «'=7^;     ß 


ds  cos  qp 


^'= 


({8  COS  <p 


1 

COS  qp' 


(2) 


Diese  Werte  in  (1)  eingesetzt,  liefern 

p  ^  q         \r  ^  r  J 

Man  findet  nach  dieser  Formel  q  oder  K,  wenn  man  -4^  J_  J.P,  Fig.  135. 
dann  PM'  bis  N  auf  J.^;   und  endlich  MN  zieht;   diese  Linie 
trifft  die  PA  in  Z**).   Denn  führt  man  EE  U  üf  ^^  schneidet  sie  mit 
NP  und  NA  bezw.  in  i^  und  2),  und  fallt  JfjF  J.  ^J.,  so  ergeben 
sich  aus  ähnlichen  Dreiecken  die  Proportionen 


und 


KD  +  DE       MÄ  +  ÄM' 
KA       "^        TilLF 

KA  +  ÄP  _  KD+DE 
AP        ~        AM' 


oder 


oder 


KD  +  DE  ^r  +  r' 
3  r  cos  qp 

p  +  q        KD  +  DE 


Fig.  136. 


durch  deren  Multiplikation  (2)  folgt 

Die  Gleichung  (2)  drückt  folgenden 
Satz  aus:  Wenn  man  durch  einen  Punkt 
A  im  Inneren  eines  Winkels  KNP 
eine  beliebige  Gerade  ziekt,  sie  mit  den 
Schenkeln  des  Winkels  hemo.  in  M  und 
Hr  schneidet  und  MA  =  r,  AM'^^^r' 
setzt,  so  ist  ßr  aUe  solche  Gerade 

(l  +  F)srizs  =  «*"»«*• 

310.  Läßt  man  den  beschreibenden 
Punkt  P  auf  der  Geraden  AP  verschie- 
dene Lagen  einnehmen,  und  bestimmt 
zu  jeder  den  Erümmungsmittelpunkt  K, 
so  ergibt  sich: 

1)  Die  Reihe  der  P  ist  projektiv  mit 
der  Reihe  der  zugehörigen  JT;  denn 
beide  Reihen  sind  mit  der  Reihe  der  N 
tLxitAN  perspektiv  bezw.  aus  M'  und  M, 

2)  Außer  in  dem  sogleich  zu  betrachtenden  besonderen  Falle, 
daß  M  iaM'  liegt,  aber  nicht  zugleich  AP  JL  AM  steht,  fallt  nach 


*)  Diese  Konstruktion  der  Formel  (2)  rührt  von  Euler  her  (noyi  commen- 
tarii  der  Petersburger  Aoad.^  £.  11,  1766,  S.  219). 


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346  Vm,  810.    Die  Rolllinien  nnd  die  Schraubenlinie. 

der  Konstruktion  der  Punkt  P  mit  seinem  zugehörigen  K  nur  dann 
zusammen,  wenn  P  in  ^  liegt.  Daher  ist  außer  in  dem  angege- 
benen besonderen  Falle  A  der  einzige  Doppelpunkt  der  Reihen  der 
P  und  der  JT;  und  der  Krümmungshalbmesser  FK  wird  Null,  wenn 
P  in  ^  fallt 

3)  Ist  -4  P  J_  -4.  jlf  ,  aber  nicht  M  in  JIT,  so  ergibt  die  Kon- 
struktion zu  jedem  P  den  Punkt  A  als  Krümmungsmittelpunkt  K. 

4)  Ist  M  in  M\  aber  nicht  AP  ±  AM,  so  fallt  Z  in  P  und 
der  Krümmungshalbmesser  ist  für  jeden  beschreibenden  Punkt  b=  0. 

5)  l^i  AP  1.  AM  und  M  in  JT,  so  läßt  die  Konstruktion  den 
Punkt  K  unbestimmt.  Der  Krümmungshalbmesser  der  Rolllinie  c 
ist  dann  durch  r  und  r'  allein  nicht  bestimmt,  sondern  erst  durch 
die  Art  der  Änderung  beider,  w  und  /",  die  sich  in  A  berühren, 
schneiden  sich  dann  im  allgemeinen  auch  in  diesem  Punkte,  und 
man  kann  sich  leicht  vergegenwärtigen,  daß  die  Rolllinie  c  dann 
in  P  einen  Schnabelpunkt  besitzt,  welcher  wirklich  jede  Große  des 
Krümmungshalbmessers  zuläßt,  die  aber  stets  eine  bestimmte  ist. 

6)  Liegt  P  auf  MM\  z.  B.  in  P',  so  läßt  die  gegebene  Kon- 
struktion keine  unmittelbare  Anwendung  zu. 

Es  muß  aber  für  JT  nach  Gleichung  (2),  da  y  =  0,  p  =  AP, 
q  =  K' A  wird,  gelten 

J_  +  -l 1  +  JL. 

AF'  ^  K'A         r  ^  r' 

Diese  Bedingung  erfüllt  man  mittelst  irgend  eines  schon  be- 
stimmten solchen  Paares  P,  Kj  welches  auf  einer  schief  zu  AM 
durch  A  gehenden  Geraden  liegt,  indem  man  AN  ^^  AP  zieht, 
PP'  mit  AN  in  K  schneidet  und  N'K  zieht;  diese  trifft  die  AM 
in  K\  Denn  weil  P  und  K  beschreibender  und  KrOmmungsmittel- 
punkt  sind,  ist  nach  Gl.  (2) 

AF^  KA        \r  ^  r'ycoscp' 
und  nach  dem  Satze  der  vor.  Nr.  gilt  im  Winkel  PN'K 

AP^  KA        \AP'  ^  KA)  cos cp 

Aus  diesen  beiden  Gleichungen  folgt  aber  die  vorhergehende;  die- 
selbe ist  also  durch  die  gegebene  Konstruktion  erfüllt. 

7)  Die  Punktreihen  der  P  und  der  K  sind  die  senkrechten 
Projektionen  der  Punktreihen  der  P*  und  der  K\  was  man  einsieht, 
wenn  man  JV^  auf  AN  ins  Unendliche  rücken  läßi 

8)  Beschreibt  man  über  AM'  und  über  MA  als  Durchmessern 
Kreise,  so  schneidet  jede  durch  A  gelegte  Gerade  den  ersten  Kreis 


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VIII,  810—312.    Die  BolUinien.  347 

in  einem  beschreibenden  Punkte  P"  und  den  letzteren  in  dem  zu- 
gehörigen Krümmungsmittelpunkte  Jf ,  weil  AVM!  und  AK"M 
rechte  Winkel  sind.  Dasselbe  gilt  von  den  Kreisen  mit  den  Durch- 
messern -4.P',  E'Ä. 

9)  Läßt  man  den  Kreis  der  Kjrümmungsmittelpunkte  (wie  den 
AK"M  oder  den  AK')  unendlich  groß  werden,  so  rückt -£"'  auf -4J!f 
ins  Unendliche;  dann  gelangt  P'  auf  M  A  nach  Z7,  wenn  TJ  auf  P2) 
liegt  und  KD  |  -4.Jlf  bis  2)  auf  AN  gezogen  wurde.  Zu  jenem  un- 
endlich großen  Kreise  der  Krümmungsmittelpunkte  gehört  der  Kreis  - 
AU *=»  u  der  beschreibenden  Punkte.  Dieser  Kreis  heißt  der  Wende- 
kreis, weil  jede  von  einem  Punkte  desselben  beschriebene  Kurve  in 
diesem  Punkte  einen  unendlich  großen  Krümmungshalbmesser,  also 
im  allgemeinen  einen  Wendepunkt  besitzt 

811.  Ist  mit  der  Kurve  w,  welche  auf  der  festen  f  wälzt,  eine 
beschreibende  Kurve  b  verbunden,  so  werden  alle  Lagen  derselben 
von  einer  Kurve  h  eingehüllt,  welche  ihre  HiUlbahfikurve  oder  En- 
veloppe  heißt  Ist  A  der  augenblickliche  Berührungspunkt  von  tc 
und  f,  d.  i.  das  Momentancentrum,  und  zieht  man  aus  A  eine  Nor- 
male AP  zu  b,  deren  Fußpunkt  P  sei,  und  ist  der  Punkt  M  auf 
AP  der  Krümmungsmittelpunkt  der  b  in  P,  sind  femer  &i,  P^,  Mi 
die  folgenden  Lagen  von  &,  P,  M  und  ist  Ai  das  Momentancentrum 
dieser  folgenden  Lage,  so  sind  MA^  M^A^  Normalen  der  von  M 
beschriebenen  Bahn  (308),  und  ihr  Schnittpunkt  K  ist  der  Krüm- 
mungsmittelpunkt dieser  Bahn.  Schneidet  M^Ay^  die  b^  in  Q,  so 
ist  auch  Ai  M^  Q  eine  Normale  der  b^  iaQ  (sie  bildet  mit  ihr  einen 
Winkel  =  0*,  wie  MB M^  in  I,  237,  Fig.  115),  und  es  ist  M^P^ 
=  MiQ+0^  (wie  in  I,  237,  Fig.  115  die  MB  =  MQ -\-  0»),  daher 
auch  KP  =  KQ  -(-  0^;  oder  der  aus  K  durch  P  gezogene  Kreis  ist 
der  EjTümmungskreis  der  in  P  und  Q  bezw.  die  b  und  b^  berüh- 
renden Kurve  (d.  i.  der  Ä),  weil  sie  mit  ihr  den  Punkt  P  und  die 
Normalen  in  P  und  Q  gemein  hat  (I,  231).  Daher:  Die  HiWhahn' 
kurve  k  einer  beschreibenden  Kurve  berührt  eine  Lage  b  dieser  Kurve 
in  dem  Fußpunkte  P  der  Normalen,  loeUhe  aus  dem  eu  b  gehörigen 
Momentancentrum  A  auf  b  gefäUt  wird;  und  der  Krümmungsmitfd- 
punkt  K  der  k  in  P  fällt  mit  demjenigen  der  -Kurve  msammen,  welche 
von  dem  Krümmungsmittelpmkte  M  der  b  in  P  beschrieben  ufird. 

312.  In  Bezug  auf  die  Gestalt  der  BolUinien  bemerkt  man,  daß 
der  beschreibende  Punkt  P,  wenn  er  auf  der  wälzenden  Kurve  w  liegt, 
im  allgemeinen  auf  die  feste  fin  einem  Punkte  A  der  augenblicklichen 
Berührung  auftreffen  und  sich  dann  wieder  von  ihr  entfernen  wird. 
Ein  solcher  Punkt  heißt  ein  ürsprungspunkt  der  Bolllinie  c,  und  in 
ihm  ist  der  Krümmungshalbmesser  der  c  (310,  2))  =  0.    In  einem 


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348  Vni,  312—818.    Die  Rolllinien  und  die  Schraubenlinie. 

Ursprungspunkte  fällt  die  Normale  der  c  in  die  Tangente  der  f, 
und  im  allgemeinen  ist  ein  solcher  Punkt  eine  Spitze.  Besitzen  da- 
gegen in  diesem  Punkte  w  oder  f  oder  beide  Kurven  Rückkehrele- 
mente, oder  schneiden  sich  in  ihm  to  und  f  (wozu  eine  3-,  oder 
5- . . .  punktige  Berührung  erforderlich),  so  kann  dieser  Punkt  der 
c  auch  ein  gewöhnlicher  Punkt,  ein  Wendepunkt,  eine  Spitze  oder 
ein  Schnabelpunkt  sein,  wie  man  sich  am  leichtesten  bei  der  Evol- 
vente einer  Kurve  f  überzeugen  kann,  die  eine  Rolllinie  mit  einer 
Geraden  als  w  darstellt  (vergl.  I,  243—246). 

Ist  w  eine  geschlossene  Kurve,  so  kehren  die  Ursprungspunkte 
auf  f  in  Bogenabstanden  gleich  dem  Umfange  von  w  wieder.  Die 
Bogen  der  Rolllinie  c  zwischen  zwei  auf  einander  folgenden  Ursprungs- 
punkten heißen  Gänge  derselben.  Es  gibt  deren  im  allgemeinen 
unendlich  viele;  nur  wenn  f  ebenfalls  geschlossen  und  die  Umfange 
von  to  und  f  kommensurabel  sind,  kehrt  nach  einer  endlichen  An- 
zahl von  Gängen  die  Rolllinie  c  in  sich  selbst  zurück.  Ist  w  nicht 
geschlossen  und  erstreckt  sich  ins  Unendliche,  ist  dagegen  f  ge- 
schlossen, so  kann  sich  c,  z.  B.  dann  wenn  f  keine  Rückkehr- 
punkte besitzt,  als  ^rale  in  unendlich  vielen  sich  erweiternden 
vollen  Windungen  ins  Unendliche  erstrecken. 

Gehört  der  beschreibende  Punkt  nicht  der  wälzenden  Kurve  an, 
so  fallen  die  Ursprungspunkte  weg,  jedoch  nicht  immer  der  Begriff 
der  Gänge,  indem  die  begrenzenden  Ursprungspunkte  durch  die 
Punkte  der  Rolllinie  ersetzt  werden  können,  welche  den  kleinsten 
Abstand  von  dem  zugehörigen  Berührungspunkte  A  der  w  und  f 
besitzen. 

313.  Sind  die  feste  f  und  die  wälzende  Kurve  w  Kreise,  ein- 
schließlich der  geraden  Linie,  so  heißen  die  Erzeugten  Rolllinien 
cyhlische  Kurven  oder  Badlinien,  Dieselben  werden  unterschieden 
als  eine  CyJdoide,  wenn  f  eine  Gerade  und  w  ein  Kreis,  eine  Erds- 
evölvente,  wenn  f  ein  Kreis  und  w  eine  Gerade,  eine  I^ncyJdaide, 
wenn  f  und  w  Kreise  und  w  außerhalb  f  liegt,  eine  HypocyTdoidßj 
wenn  f  und  w  Kreise  und  w  innerhalb  /'liegt;  und  jede  von  diesen  als 
gemein^  geschweift  (oder  gestreckt)  und  verschUmgen,  je  nachdem  der 
beschreibende  Punkt  auf  w,  oder  mit  dem  Mittelpunkte  des  /  auf 
entgegengesetzter  oder  auf  übereinstimmender  Seite  von  w  liegt*). 


*)  Diesen  Begriff  hat  der  Verf.  in  seinem  Aufsätze  ,,Doppelte  Entsehnngs- 
weise  der  geschweiften  und  verschlungenen  cyklischen  Knrven"  (Schlömilchs 
Zeitschr.  f.  Math.  n.  Phys.,  B.  26,  1881,  S.  267)  aufgestellt,  weil  der  gebräuch- 
liche Begriff,  wonach  eine  der  Kurven  geschw.  oder  verschl.  heißt,  je  nach- 
dem P  innerhalb  oder  außerhalb  to  liegt,  hinf&llig  wird,  sobald  man  die 
bisher  wenig  beachtete  doppelte  Entstehungsweise   dieser   Kurven  ins  Auge 


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VIII,  818—816.    Die  RoUlinie, 


349 


-L-^: L 


Man  erhält  dadurch  4x3  oder  12  Arten,  wovon  aber  4,  nämlich 
die  geschweifte  und  die  verschlungene  Epi-  und  Hypocykloide  hier 
bei  Seite  gelassen  werden  sollen,  weil  sie*  in  der  Folge  keine  An- 
wendung finden*). 

314.    Die  gemeine  Cykloide  oder  kurzweg  die  Cykhide.    Sei  die  Fig.  ise. 
Gerade  f  die  feste  Kurve  oder  Bahnlinie,  w  eine  Lage  des  wälzen- 
den  Ejreises,    sei 
der    Berührungs- 
punkt   A   von   f 
und    w    der    be- 
schreibende 
Punkt,  so  ist  A 
ein      ürsprungs- 
punkt;     ein     be- 
nachbarter     sol- 
cher A^  hat  den 

Abstand  AA^ 
—  ümf.  w.    Um 

einen  Punkt  P  der  Cykloide  c  zu  bestimmen,  trage  man  von  A  aus 
in  demselben  Sinne  auf  w  und  f  die  gleichen  Längen  AC *=»  AC 
auf,  versetze  die  w  so,  daß  sie  mit  ihrem  Punkte  C  die  f  in  C 
berührt,  so  nimmt  der  beschreibende  Punkt  A  den  Ort  P  ein.  Man 
erreicht  dies  alles  am  zweckmäßigsten,  wenn  man  zuerst  w  um 
seinen  Mittelpunkt  M^  im  Sinne  der  Drehung  beim  Rollen  dreht^ 
bis  C  nach  A  und  daher  A  nach  P'  gelangt,  wobei  Bog.  AP' 
=»  Bog.  (TA  wird,  und  daß  man  dann  eine  Parallel  Verschiebung 
von  to  vornimmt,  bis  A  nach  C  gelangt;  P'  kommt  dann  nach  P, 
und  ACPP'  ist  ein  Parallelogramm.  PC  ist  die  Normale  der  c 
in  P,  und  die  Tangente  ist  mit  P'B'  parallel,  wenn  AB'  ein 
Durchmesser  des  w.  Den  Scheitel  S  des  Cykloidenganges  erhält 
man,  wenn  man  aus  der  Mitte  D  von  AA^  die  DB  -iff^  AB',  also 
JL  AAi  macht. 

315«  Den  KrümfnungsmUtelpuhkt  JT  zu  P  könnte  man  leicht 
aus  der  Gleichung  (2)  der  Nr.  309  bestimmen;  doch  liefert  folgende 
Betrachtung  sogleich  die  Gestalt  der  Evolute. 

faßt,  da  bei  der  zweiten  Entetehüngsweise  der  Begriff  gegen  den  bei  der  ersten 
gerade  umgekehrt  werden  müßte. 

*)  Yerf.  hat  dieselben,  insbesondere  ihre  Evoluten,  in  seinem  Aufsätze 
„Die  Evoluten  der  geschweiften  und  verschlnngenen  cyklischen  Korven"  (Schlö- 
milchs  Zeitschr.  l  Math.  n.  Phys.,  B.  27,  1882,  S.  129)  behandelt  Eine  ein- 
gehende Untersuchung  der  cyklischen  Kurven  mit  Berücksichtigung  ihrer  man- 
nigfaltigen Gestalten  gibt  Burmester  in  seinem  Lehrbuche  der  Kinematik, 
B.  1,  1886. 


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360 


VIII,  316—316.   Die  Eolllinien  und  die  Schraubenlinie. 


Zeichnet  man  einen  mit  dem  Kreise  w  gleichen  und  ihn  in  Ä 
berührenden  Ereis  AF'  und  läßt  diesen  auf  der  zu  f  parallelen  Tan- 
gente F'E  hinrollen,  so  beschreibt  Ä  eine  mit  c  kongruente  CyUoide 
ÄKE,  und  diese  ist  die  Evolute  von  c.  Denn  schneidet  man  die 
Gerade  P'A  mit  dem  zweiten  Kreise  in  K',  wobei  Bog.  AK'  = 
Bog.  AP^,  läßt  diesen  Kreis  sich  um  seinen  Mittelpunkt  drehen,  bis 
A  nach  K'  gelangt,  und  verschiebt  ihn  dann  um  AC  <=  Bog.  AK', 
so  kommt  AK'  nach  CK,  K  ist  der  Punkt  der  beschriebenen  Cy- 
kloide  und  CK  ihre  Tangente.  Es  liegen  aber  CP  und  CK  in  der- 
selben Geraden,  oder  es  ist  die  Normale  der  ersten  Cykloide  in  P 
die  Tangente  der  zweiten  in  JT;  also  ist  die  letztere  die  Evolute 
der  ersteren  und  K  ist  der  Krümmungsmitte^nkt  für  P.  Der  Krüm- 
mungshaJbmesser  PK  ist  daher  gleich  der  doppelten  Normalen  PC 

Zugleich  bemerkt  man,  daß  der  Krümmungshalbmesser  der  c  in 
ihrem  Scheitel  B  gleich  dem  vierfachen  Halbmesser  des  Kreises  w 
ist.  Derselbe  hat  aber  auch  die  Länge  des  abgewickelten  Bogens 
EA  der  Evolute  (I,  237);  daher  ist  die  Bogenlänge  des  halben  Qa/nges 
einer  Cykloide  gleich  dem  vierfachen  Halbmesser  des  vxiUsenden  Kruses. 
Ebenso  ist  Bog.  AK  =  zweimal  Sehne  AK',  und  entsprechend 
Bog.  BP  =  zweimal  Sehne  B'P'. 

Benutzt  man  bei  der  Verzeichnung  der  Cykloide  die  Krümmungs- 

„.     ^^„  kreise,   so  reicht  man 

Flg.  187.  .         .„    .    ,  , 

mit  zwei  Zwischenpunk- 
ten P'  auf  dem  Ebtlb- 
kreise  -4B'  aus,  welchen 
man  von  A  aus  zweck- 
mäßig die  Winkelab- 
stände ^Jf'P' von  45^ 
und  90®  gibt,  oder  mit 
einem  einzigen  im  Ab- 
stände von  60®. 

AUe  Gänge  dieser, 
wie  einer  jeden  cykli- 
klischen  Kurve  sind 
offenbar  unter  einander 
kongruent, 
pig.  187.  \^^V  I  [  X  y  816.     Die   Zreis- 

evolvente  entsteht,  wenn 

die   feste   Linie  f  ein 

Kreis  und  die  wälzende  w  eine  Gerade  ist.     Der  Berührungspunkt 

A  beider  Linien  sei  der  beschreibende  Punkt;  er  ist  dann  auch  der 

ürsprungspunkt  der  Kurve  c,  und  zwar  ihr  einziger.    Dieselbe  er- 


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Vm,  816—318.   Die  Rolllinien.  351 

streckt  sich  als  Spirale  in  uneDdlich  vielen  Windungen  ins  Unend- 
liche. Trägt  man  auf  einer  die  f  in  dem  willkürlichen  Punkte  B 
berührenden  Geraden  w  in  übereinstimmendem  Sinne  J?P«>  Bog.  BAj 
BF  =  Bog.  BBA  auf,  so  sind  P,  P'  Punkte  der  c;  trägt  man 
dann  ferner  den  Umfang  von  f^^^u^^  BP'  auf  jener  Tangente  als 
P B^  ^=^  B^P^  , . .  ^^  P B"  ...  weiter,  so  erhält  man  neue  Punkte 
Pj,  P,  . . .  P"  . . .  der  c.  Für  alle  diese  Punkte  ist  B  der  Krümmungs- 
mittelpunkt der  c.  In  der  Figur  ist  f  in  vier  gleiche  Teile  geteilt 
und  aus  den  Teilungspunkten  A,  B,  C,  D  sind  Erümmungskreise 
der  c  mit  Halbmessern  «="  0,  ^  u,  f  u,  \u  gezeichnet,  und  sodann 
solche  mit  deren  Vergrößerungen  um  u,  2u,  3u  . . .  Der  durch  den 
Ursprongspunkt  A  gezogene  Durchmesser  MA  der  f  ist  eine  Sjm> 
metrielinie  der  Evolvente,  welche  die  Spitze  A  und  alle  Doppel- 
punkte der  c  enthält. 

317.  Die  Epicykloide.  Liegt  der  wälzende  Ereis  w  außerhalb  Fig.  iss. 
des  festen  f,  so  beschreibt  jeder  Punkt  des  w  eine  Epicykloide  c; 
dabei  sei  MA  =  r  der  Halbmesser  des  f,  AM'^==  r  der  des  w.  Es  sei 
der  Berührungspunkt  A  beider  Kreise  der  beschreibende  Punkt,  und 
es  liege  zunächst  auch  f  außerhalb  w.  Um  einen  Punkt  P  der  c  zu 
erhalten,  denke  man  sich  wieder  zuerst  w  um  W  in  demselben 
Sinne  wie  beim  Rollen  gedreht,  so  daß  A  den  Bog.  AB'  beschreibt, 
und  dann  denke  man  sich  w  fest  mit  MM'  verbunden  und  um  M  ge- 
dreht, bis  der  Berührungspunkt  nach  C  gelangt,  derart,  daß  Bog. 
AC  =^  Bog. -4P'  ist;  dann  gelangt  P'  nach  P.  Man  erhält  P, 
wenn  man  die  Sehne  B'A  mit  f  noch  in  Q'  schneidet  und  CQ  = 
AQ'  in  f  aufträgt,  QC  zieht  und  auf  ihr  CB=^  AB'  macht.  Man 
erhält  auch  die  Gerade  BC,  wenn  man  aus  M  'einen  berührenden 
Ereis  an  P'J.  zieht  und  an  diesen  aus  C  in  dem  Sinne  von  B'A 
eine  Tangente  legt.  —  BC  ist  die  Normale  der  c  in  P. 

Den  nächsten  Scheitel  B  bestimmt  man,  indem  man  auf /*  den  Bog. 
AD  =  ^  Umf.  w  =  Bog.  AB'  aufträgt  und  auf  JfD  die  DB  =  AB' 
macht;  den  zweiten  Ursprungspunkt  A^  durch  Bog.  AAi  =  Umf.  w, 

818.  Ein  Kreis  w',  der  in  A  von  dem  festen  Kreise  f  von 
innen  berührt  wird,  und  dessen  Durchmesser  gleich  der  Summe  der 
Durchmesser  von  fund  t^  ist,  also -4. JS"== -4. jB-(-P'il,  erzeugt  beim 
Bollen  auf /"durch  den  Punkt  .4  dieselbe  Epicykloide  c,  wie  w.  Schnei- 
det man  nämlich  die  Sehne  P'-4  Q'  mit  w'  in  Q",  so  ist  Bog.  A  Q"  = 
Bog.  AQ'+  Bog.  AB'  =  Bog.  CQ  -f  Bog.  ACy  und  Sehne  AQ"  = 
Sehne  AQ'  -\-  Sehne  B'A.  Beim  Rollen  von  w'  gelangt  daher  Q"  nach 
Q,  Q"A  nach  QCB,  weil  beide  Sehnen  mit  den  Kreistangenten  in  A, 
Q'}  Q'\  Q  gleiche  Winkel  bilden,  und  A  gelangt  nach  P.  Da  sich  im 
Scheitelpunkte  B  von  c  zusammengehörige  L^gen  von  to  und  w'  berüh- 


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352  VIII,  318—819.   Die  Rolllinien  und  die  Schraubenlinie. 

ren,  so  gilt  der  Satz,  den  wir  zugleich  für  die  Hypocykloide  aussprechen, 
fQr  die  er  als  ebenfalls  giltig  bald  bewiesen  werden  wird:  Teät  man 
den  Durchmesser  eines  festen  Kreises  f  durch  einen  äußeren  oder  inneren 
Punkt  P  in  zijoei  Teüe,  eeichnet  über  jedem  der  Teile  als  Durchmesser  einen 
Kreis  w  und  einen  w%  und  läßt  leide  auf  f  rollen,  so  beschreibt  B 
mit  jedem  dieser  Kreise  b&sw.  dieselbe  Epi-  und  Hypocykloide, 

Bei  der  Epicykloide  ist  daher  entweder  r'  >  0  oder  r'<  —  r; 
im  ersten  Falle  liegt  f  außerhalb,  im  zweiten  innerhalb  w.  Bei 
der  Hypocykloide  ist  entweder  r'  <  0  und  ^  —  \r  oder  r  <^  —  \r 
und  >  —  r;  im  ersten  Falle  liegt  M  außerhalb  oder  auf  w,  im 
zweiten  Falle  innerhalb. 

319.  Die  Evolute  e  der  Epicykloide  erhält  man  aus  dem  Kreise 
von  dem  Durchmesser  AL\  welcher  den  w  va  A  berührt,  und  außer- 
dem mit  ihm  zwei  nach  M  laufende  Tangenten  gemein  hat  Es  gilt 
dann,  weil  M  der  Ähnlichkeitspunkt  beider  Kreise  ist, 

AB' :  L'A  =  MB'  iMA^MA:  MV. 
MA  ist  daher  die  mittlere  Proportionale  von  MB'  und  ML',  und 
man  erhält  L"^  am  genauesten,  wenn  man  ausJ?'  eine  Tangente  an 
f  legt,  und  den  Berührungspunkt  auf  MB'  nach  L'  projicirt. 

Fig.  138. 


Läßt  man  nun  den  Kreis  AL'  auf  dem  aus  M  durch  L'  ge- 
zogenen Kreise  L'F  rollen,  so  beschreibt  der  Punkt  A  eine  Epi- 
cyMoide  e,  wdche  die  Evolute  der  EpicyMoide  c  ist.     Die  obige  Pro- 


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VIII,  319—321.   Die  Rolllinien.  353 

poridon  zeigt^  daß  sich  die  Darchmesser  der  beiden  wälzenden  Kreise 
w  und  AL'  wie  die  Durchmesser  der  zugehörigen  festen  f  und 
L'F  verhalten.  Daher  ist,  wenn  P'Ä  den  Kreis  AL'  in  K'  und 
CM  den  Kreis  VF  in  G  schneidet,  weil  Bog.  ^C  =  Bog.  AFy 
auch  Bog.  X'<r  =  Bog. -4Jr'.  Dreht  man  nun  den  Kreis  AL'  um 
seinen  Mittelpunkt,  bis  A  nach  K'  kommt,  dann  denselben  Kreis 
um  M,  bis  L'  nach  G  gelangt,  so  kommt  das  Dreieck  L'AK'  in 
die  Lage  GCK]  K  ist  ein  Punkt  der  entstehenden  Epicykloide  ^, 
KG  ihre  Normale,  KG  ihre  Tangente.  Da  zugleich  bei  jener 
Drehung  AP'  nach  CP  gelangt,  so  ist  die  Normale  PC  der  Epi- 
cykloide c  in  P  zugleich  Tangente  der  Epicykloide  e  in  K,  Diese 
ist  daher  die  Evolute  von  jener,  K  der  Krümmtmgsmittdpunkt,  PK 
«=  P'K'  der  Krümmungshalbmesser ^  wie  behauptet  war. 

Für  die  Verzeichnung  eines  halben  Ganges  genügt  häufig  der 
Ursprungspunkt,  der  Scheitel,  ein  Zwischen pijnkt,  und  der  Krüm- 
mungskreis für  die  beiden  letzteren. 

320.  Die  Epicykloide  und  ihre  Stücke  sind  leicht  m  rektificiren. 
Man  bemerkt,  daß  der  abgewickelte  Bog.  AK  der  Evolute  =  PK 
ist    Setzt  man  nun  die  Halbmesser  ML'  =r,,  ^L'A  =  r2,  so  ist 

Bog.  AK  =  PK=P'K'  =  AKT'"^^^' 

Sodann  ergibt  die  Figur 

r' :  r  =  r^ :  r^     und     r  =  2  r-g  +  r, , 
daher  ist 


»•'•.  _r^(2r,  +  r0,        »-.  +  ••'  _2('-.+^) 


und  Bog.  AK  =2-  AK'  ■  ^J-±^  • 

Ersetzt  man  nun  in  ähnlichen  Figuren  Bog.  AK  durch  Bog. 
BP,  imd  entsprechend  r^,  r^,  AK'  bezw.  durch  r,  r',  B'P',  so 
findet  man 

Bog.  -BP  =  2  .  Sehne  B'P'  •  ^  +^  • 
Daraus  der  halbe  Gang  BA  oder 

Bog.-B^  =  4^(r  +  r'). 

Anm.   Ist  w;  =  /*,  so  wird  die  c  geschlossen  und  heißt  Kardioide. 

321.  Die  HypocykUide  unterscheidet  sich  von  der  Epicykloide  Fig.  is9. 
nur  dadurch,  daß  w  innerhalb  f  liegt.  Da  sich  die  Konstruktionen 
von  den  eben  betrachteten  nur  durch  den  Sinn  von  r'  unter- 
scheiden, so  genügt  es,  sie  anzuführen,  wobei  entsprechende 
Punkte  durch  dieselben  Buchstaben  bezeichnet  sind,  wie  vorhin. 
Die   Hypocykloide    entsteht    durch   Rollen   eines  jeden   der   leiden 

Wiener,  Lehrbuch  der  darstellenden  Geometrie.  II.  23 


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354 


Vm,  321.   Die  RolUinien  aud  die  Schranbenlinie. 


Kreise  w  und  w!  im  Inneren  eines  Kreises  f,  dessen  Durchmesser 
gleich  der  negativen  Summe  der  Durchmesser  jener  Kreise  ist 
iEA^^^  —  iAE'+AB")]',  derselbe  Bogen  der  c  entsteht  aber 
durch  Rollen  der  Kreise  in  entgegengesetztem  Sinne.  Die  Evolute  e 
der  Hypocykloide  AB  ist  die  Hypocykloide  AL,  für  welche  der 
wälzende  Kreis  VA  und  der  feste  FL'  sind.  Die  beiden  walzenden 
Kreise  w  oder  J.  JB'  und  L'  A  berühren  sich  in  A  und  haben  außer- 


/i- 


i^* 


Fig.  189. 

,,^-- 

'-'"V - 

^y" 

/'i 

^■^ 

'•\ 

,y' 

/'^ 

./  \ 

/    

{                 ^                                                     1    « 

4 1  \ 
/  i  \ 

1        >^ 

//           I           \ 

1  1 

L        -^v                           1     >    / 

//       /^z.;^*^         \ 

«  '    "^          '"''          VJ 

rt^^             '    /    ^^"^\    ^ 

"^      ^»'"^"^^V.                      >\ 

^^^M- 

^,  i\3\ 

^^*N                                                                             .'/]\'' 

^'"v/              1^               \/ 

^^"^-••— <4|d^ 

^x'^^^jL" 

/  ^\K 

\  A. 

--> 


dem  zwei  gemeinschaftliche  Tangenten,  welche  nach  Jlf  laufen.  V 
kann  dadurch  konstruirt  werden,  daß  man  in  B'  eine  Senkrechte 
auf  MA  errichtet,  sie  mit  f  schneidet  und  im  Schnittpunkte  die 
Tangente  an  f  zieht;  dieselbe  geht  dann  durch  L\ 

P  und  K  erhält  man,  wenn  man  Bog.  AG^=^  Bog.  AF  macht, 
KArq^'Q'  zieht,  Cq  =  Aq'  oder  q'q  =  AQ  oder  Bog.  Aq  = 
Bog.^ö"  macht,  qC  zieht  und  auf  ihr  GP=AB\  oder  qF 
=  q"  Ay  und  ebenso  CK====AK'  aufträgt.  Zur  Verzeichnung 
genügen  gewöhnlich  die  Urspruugspunkte  und  der  Krümmungskreis 
im  Scheitel. 

Für  die  BekHßation  gilt 

Bog. BP=2'  Sehne  BT-  ^-^ 
und  Bog.  BA  =  4:y{r-'  r'). 


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VIII,  321—322.   Die  Rolllinien. 


355 


Zus.  Wird  der  wälzende  Kreis  halb  so  groß  als  der  feste,  so 
f4nrd  die  Hypocykloide  zu  einer  Geraden^  nämlich  zu  dem  Durch- 
messer AE  des  /*.  Denn  es  ist  dann  Bog.  AF'  =  ^  Bog.  AQ\  da- 
her auch  Bog.  C^  =  ^Bog.  C^,  oder  CQ±MA\  ferner  Sehne 
AP'  =  ^  Sehne  AQ\  daher  auch  CP  =  ^  Sehne  CQ,  oder  P  ein 
Punkt  der  MA. 

822.    Die  geschweifte  CyUoide.    Es  sei  die  Gerade  f  die  Bahn-  Fig.  i4o 
linie,  w  der  wälzende  Kreis,  M'  dessen  Mittelpunkt  und  A^M'  =  r 
dessen  Halbmesser,  A^  der  Berührungspunkt  von  f  und  w,   A  der 

Fig.  140. 


beschreibende  Punkt,  welcher  im  Inneren  von  w,  also  auf  entgegen- 
gesetzter Seite  von  w  liegt,  wie  der  (unendlich  ferne)  Mittelpunkt 
von  f.  Durch  A  legen  wir  aus  M!  einen  Kreis  6,  den  s.  g.  he- 
schreibenden  Ereis,  dessen  Halbmesser  jM' -4  =  r"  ist. 

Um  einen  Punkt  G  der  Kurve  c  zu  erhalten,  trage  man  auf  f 
und  w  von  A^  aus  in  entgegengesetztem  Sinne  A^G^ '=»  ^og,  A^G' 
auf,  ziehe  den  Halbmesser  M'G'  und  schneide  ihn  mit  b  in  6r". 
Denkt  man  sich  wieder  das  Rollen  ersetzt  durch  eine  Drehung  um 
M'y  bis  A2  nach  6?',  also  A  nach  G"  gelangt,  und  durch  eine  darauf 
folgende  Parallelverschiebung  in  der  Richtung  von  /*,  bis  A2  nach 
Gg  kommt,  so  gelangt  6r"  nach  G.  Man  erhält  G,  wenn  man 
G,ff  #  ^6?"  macht. 

Den  Krümmungsmitte^nkt  G^  der  c  in  G  bestimmt  man  nach 
Nr.  309,  indem  man  die  A^G^^A^A^G"  zieht,  sie  mit  G^M*  in  G4 


28" 


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356  VIII,  822—324.    Die  Rolllinien  und  die  Schraubenlinien. 

schneidet,  G4^G^J_f  (nach  dem  unendlich  fernen  Mittelpunkte  M 
der  f)  zieht,  mit  -4,ß"  in  Gß  schneidet  und  auf  GG^  die  (r^G,  = 
A^G^  auffarägt. 

333.     Die  besonderen  Punkte  der  Kurve  c  sind  folgende: 

1)  Die  Scheitel  A,  C  und  JB,  welche  aus  den  Punkten  A  und 
B"  des  Kreises  h  entstehen,  die  suxiA^M'  liegen.  Man  macht  auf 
f  die  Strecke  A^C^  =  Umf.  w,  zieht  CgC  #  -4^-4;  ebenso  A^B^  = 
^  Umf.  u;,  jBg^  #  A^B".  Die  zugehörigen  Krümmungsmittelpunkte 
-4i,  C7i,  J?i  erhält  man  nach  Nr.  310,  6),  wenn  man  die  auf  irgend 
einer  schief  gegen  A^M'  durch  A^  gelegten  Geraden  schon  bestimm- 
ten Punkte,  wie  G",  6?^,  benutzt  (als  welche  auch  die  Fußpunkte 
der  aus  M'  und  dem  unendlich  fernen  M  auf  A^  G"  gefällten  Senk- 
rechten dienen  könnten,  Nr.  310,  7)).  Man  zieht  nämlich  AG"  bis 
-^4  auf  A^G^,  dann  A^^G^  bis  A^  auf  AM  und  macht  CC^  #  AA^. 
Entsprechend  B"G"B^,  S^G^B^,  B^. 

2)  Der  Wendq^nkt  TT  der  c,  für  welchen  der  Krümmunga- 
mittelpunkt  im  Unendlichen  liegt.  M'  als  beschreibender  Punkt 
erzeugt  eine  zu  f  parallele  Gerade,  welche  im  IT  einen  unend- 
lich großen  Krümmungshalbmesser  und  einen  Wendepunkt  besitzt 
Daher  ist  M'  ein  Punkt  des  Wendekreises  (310,  9)),  M'A^  ist  der- 
selbe, und  sein  Schnittpunkt  TF"  mit  h  ist  ein  Wendepunkt  der  von 
W"  beschriebenen  Kurve.  Der  Wendepunkt  W  der  von  A  beschrie- 
benen Kurve   wird   aus   W"  in   der   angegebenen  Weise   gefunden 

W  läßt  sich  auch  durch  die  Betrachtung  bestimmen,  daß  in 
ihm  als  Wendepunkt  die  Tangente  und  daher  auch  die  Normale  eine 
größte  oder  kleinste  Neigung  gegen  f  besitzt,  daß  dies  auch  von 
der  Parallelen  A^  W"  zur  Normale  gilt,  und  daß  diese  Eigenschaft 
unter  den  Linien,  welche  von  A^  nach  einem  Punkte  des  Kreises  h 
gehen,  der  Tangente  zukommt  A^W'  ist  aber  auch  nach  der  ersten 
Konstruktion  diese  Tangente  aus  ^^  an  &. 

324.  3)  Zwischen  B  und  W  könnte  sich  noch  ein  Funkt  größter 
Krümmung  der  c  ergeben.  Er  entstehe  aus  G",  wozu  der  Krüm- 
mungsmittelpunkt ög  gehört.  G"  muß  auf  dem  Kreise  h  so  be- 
stimmt werden,  daß  der  Krümmungshalbmesser  G^G"  =^  G^G  ^=^k 
ein  größter  ist.  Finden  wir,  daß  G  der  einzige  zwischen  WxxnAB 
liegende  Punkt  von  größtem  oder  kleinstem  Krümmungshalbmesser 
Gl  G  ist,  so  folgt  aus  der  Nachbarschaft  zu  TF,  worin  k  unendlich, 
daß  G^G  ein  kleinster,  sodann  daß  JJ^B  ein  größter  ist.  Wir  wol- 
len die  Untersuchung  allgemein  fQhren,  ohne  r  =  oo  zu  setzen, 
damit  wir  das  Ergebnis  nachher  auch  auf  die  geschweifte  Kreis- 
evolvente anwenden  können.     Setzt   man,   wie  in  Nr.  309,   -4, Cr" 


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VIII,  324—325.    Die  Rolllinien.  357 

=  pj  G^Ä^  =  q,  also  A;  «=  j)  +  g,  ferner  ^  M' Ä^G"  =  q>j  so  gilt 
hier  zufolge  der  dortigen  Gleichung  (2): 

prr*  C08  cp 
P(^'\-^')  —  rr' cos  9 

Differenzirt  man  nach  q>  und  beachtet,  daß  p,  q  und  q)  verändere 
lieh;  so  erhält  man  nach  einer  Vereinfachung 

äl  =  (f,(r+r')-rr'co8y)' { "  *^ »■'*  «^««V ä^  "l'^rr'  (r  +  r')  sin  9} , 
und  daraus  nach  einer  Vereinfachung 

—  p^rr'  (r  +  r ')  sin  9 1  • 

Der  Wert  dp :  dq)  ergibt  sich  am  einfachsten  geometrisch  (Fig.  a). 
Ist  -^G" A^K=  dfpf  schneidet  Ä^K  den  Kreis  6  in  Z"  (benachbart 
dem  G")y  ist  G''J±A^G"  und  ±A^K,  sowie  M L  ±  A^G'\  so 
sind  die  Dreiecke  KJG"  und  M! LG"  ähnlich,  und  es  gilt 

JK.JG"  ^LM  .LG'\ 

oder,  da  J'JT  «=»  dp,  J'6r"  «=»  — P^V;  iJf'  =  r'  sin  9,  ZCr"  = 
p  —  r  cos  9,  auch 

dp  pr'  sin  9 

dqp  p  —  r'cosqp 

Führt  man  diesen  Wert  in  dem  Ausdrucke  von  dlt  :  dq>  ein,  setzt 
diesen  dann  gleich  Null,  so  erhält  man  als  Bedingung  eines  Maxi- 
mums oder  Minimums  von  X;,  nach  Weglassung  des  Nenners, 

0  =  —  pr  sin  q>  [p*  (r  +  >*')*  —  ^pTt  (r  +  r')  cos  9] 

—  (p  —  r'  cos  (p)p^rr{r  +  ^')  sin  tp . 

Diese  Gleichung  wird  erfüllt  durch  sin  9  <=  0,  d.  i.  für  die 
Scheitel  ^  und  jB,  und  außerdem  nur  noch  durch 

!>=  27^'-^^«9>.  (1) 

Dieser  Ausdruck  wird  für  unsern  Fall,  d.  i.  für  r  =  00, 

j)  =  I  r'  cos  9 . 

Macht  man  nun  A^H ^^^  ^r  ^^  ^A^M\  und  zieht  über  A^H 
als  Durchmesser  einen  Kreis,  so  gilt  für  jede  aus  A^  gezogene 
Sehne  p  desselben  diese  Gleichung;  der  Schnittpunkt  dieses  Kreises 
AgH  mit  dem  b  ist  daher  der  gesuchte  G",  aus  welchem  G  entsteht. 

826,     Die  Evolute  e  der  geschweiften  Cykloide  besteht  für  jeden 


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358 


VIII,  325—326.    Die  Rolllinien  und  die  Schraubenlinie. 


Gang  der  Kurve  aus  zwei  ins  Unendliche  verlaufenden  Ästen  N^A^  TF/ 
und  Wi' G^B^R^Si^  die  als  im  unendlich  fernen  Punkte  W^  za- 
sammenhängend  betrachtet  werden  können.  Ein  solcher  Gang  der 
Evolute  besitzt  0wei  unendlich  ferne  Punkte  W^,  S^  und  vier  Spitzen 

Af  Cri>  ^u  ^1- 

Zur  Verzeichnung  der  c  mittelst  Krümmungskreisen  reicht  die 

Konstruktion  der  besonderen  Punkte  gewöhnlich  aus. 
Fig.  141.  326.    Die  verschlungene  Cylcloide,  bei  welcher  der  beschreibende 

Punkt  Ä  im  Äußeren  von  w  liegt,  ist  an  entsprechenden  Punkten  mit 
übereinstimmenden  Buchstaben  wie  die  geschweifte  bezeichnet.    Bei 


Fig.  141. 


■g*^^ 


ihr  ist,  absolut  genommen,  r"  >  r',  daher  schneidet  der  Kreis  b 
die  Hilfskreise  A^M\  A^R  der  Fig.  140  nicht,  und  die  Punkte  W 
und  G  kommen  auf  der  Kurve  c  nicht  vor.  Jeder  Gang  derselben 
besitzt  einen  Scheitel  A  größter  und  einen  B  kleinster  Krümmung, 
und  jeder  Gang  der  Evolute  zwei  Spitzen  -4^,  JS^. 

Ein  hemerTcenswerter  Tunkt  der  c  ist  ihr  Schnittpunkt  E  mit 
der  Bahnlinie  /*;  er  wird  aus  dem  Schnittpunkte  -B"  des  6  mit  f 
erhalten,  wenn  man  M'E''  mit  w  in  E'  schneidet,  auf  f  die  A^E^ 
c=  Bog.  A2E'  aufträgt,  und  dann  aus  E^  mit  A^E'*  als  Halbmesser 
den  Krümmungskreis  zieht,  der  auf  f  den  Punkt  E  einschneidet 
In  E^  berührt  die-  Evolute  die  f. 

Der  Doppelpunkt  D  der  c  liegt  auf  deren  Symmetrielinie  A^M'. 
Er  entsteht  aus  dem  Punkte  D"  des  6,  welcher  so  liegt,  daß  wenn 
man  D"i)g  JL /*  fällt  und  M' D"  mit  w  in  D'  schneidet,  A^D^^=^ 
Bog.  ^jD'  ist.  Denn  dreht  man  zuerst  w  und  6  um  üf',  bis  A^ 
nach  D'  und  A  nach  D"  kommt,  und  verschiebt  dann  w  parallel  zu  f 


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VIII,  326-327.    Die  RoUlinien. 


359 


um  Bog.  Ä^D'y  so  gelangt,  da  A^Dq  =  Bog.  Ä^D\  Dq  nach  -4^  und 
D"  in  die  A^M'  (\D^B'')  nach  D.  Man  kann  D"  durch  eine  Fehler- 
kurve ermitteln,  bestimmt  durch  die  Schnittpunkte  von  Senkrechten 
auf  f  und  von  Strahlen  aus  M\  welche  bezw.  auf  f  und  auf  w  von 
A^  aus  in  gleichem  Sinne  gleiche  Strecken  und  Bogen  abschneiden. 

827.     Die  geschweifte  Kreisevolvente,     Die  Bahnlinie  f  ist  ein  Fig.  i«. 
Kreis,  die  wälzende  Linie  w  eine  Tangente  desselben,   A^  ihr  Be- 
rührungspunkt, der  beschreibende  Punkte  liegt  mit  Jlf  auf  entgegen- 
gesetzter Seite  von  w?,  der  beschreibende  Kreis  h  wird  zu  der  durch 


A  gezogenen  Parallelen  zu  w.  Trägt  man  auf  f  und  w  von  A^  aus 
in  entgegengesetztem  Sinne  A^G'  =  ^og.  A^G^  auf,  verschiebt  A^ 
in  u)  nach  G\  wobei  A  in  b  nach  6r"  kommt,  wenn  G'G''  ||  -4^  J., 
und  dreht  dann  w  und  &  um  Jf ,  bis  ^  nach  &2  kommt,  so  gelangt 
ö"  nach  einem  Punkte  G  der  c.  Man  erhält  ß,  wenn  man  G"  A^ 
mit  f  noch  in  ö'"  schneidet,  Bog.  G^G^  =  Bog.  A^G'''  macht,  und 
auf  der  Geraden  G^G^  die  G^G  ^=  A^G''  aufträgt. 

Den  Krünwnungsmittdpunkt  G^  der  c  m  G  bestimmt  man  auf 
ihrer  Normalen  GG^  nach  Nr.  309,  indem  man  die  A^G^X.  A^G" 
zieht,  sie  mit  G''G'  (gehend  nach  dem  unendlich  fernen  Mittelpunkte 


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360  VIII,  327—329.   Die  Rolllinien  und  die  Schraubenlinie. 

M'  des  w)  in  G^  schneidet,  ebenso  G^M  mit  A^G"  in  G5,  und  auf 
GG^  die  G^G^  =  A^G^  aufträgt. 

328,  Die  besonderen  Punkte  der  c  sind: 

1)  Der  Scheitel  A]  den  Erümmungsmittelpunkt  A^  erhält  man 
nach  Nr.  310,  6)  aus  6p"  und  Gg,  wenn  man  die  A^G^  mit  AG'^ 
in  A^y  und  die  -^^Gg  mit  MA  in  A^  sehneidet. 

2)  Der  Wendepunkt  W  ergibt  sich  aus  der  Formel  (2)  der 
Nr.  309,  worin  r' =  00  zu  setzen  ist,  für  g«:oo.  Dann  wird 
j)  «=»  r  cos  (p.  Macht  man  daher  auf  MA^  die  -4^  Cr=  r,  so  ist  der 
Kreis  vom  Durchmesser  A^U  der  Wendekreis  (310,  9)),  und  jeder 
seiner  Schnittpunkte  mit  6,  so  TF",  liefert  einen  Wendepunkt  W 
der  c  (  W'  W  J.  6,  W'A^  W%  Bog.  A^W^^A^  W,  W^  W^  = 
^Tf'",  W^W^W=  w'A^wy 

3)  Ein  Funkt  G  größter  Krümmung  außer  dem  Scheitel  A  wird 
nach  Formel  (1)  der  Nr.  324  gefunden,  wenn  man  in  derselben 
r'  =  00  setzt;  dann  wird  p  =  3r  cos  q).  Macht  man  daher  auf  MA^ 
die  A2H  '^^  3r^  oder,  da  fi"  nicht  erreichbar,  A^H^  =  fr,  beschreibt 
über  A^H  als  Durchmesser,  oder  aus  -Hj  durch  ^,  einen  Kreis, 
schneidet  denselben  mit  b  in  G",  so  ist  A2  Gr"  =  3  r  cos  9) ,  und 
aus  G''  entsteht  in  der  angegebenen  Weise  der  Punkt  G  größter 
Krümmung  der  c  und  die  Spitze  G^  der  Evolute  e. 

329.  Liegt  JT'  auf  b  so,  daß  auf  der  Geraden  J^A^J"'  die  A^J" 
=  A^J"'  (wodurch  Abst.  JT^'w  '^  A^A),  so  wird  J"'J"J^  (nicht  ver- 
zeichnet) ein  gleichschenkliges  m\iJ'"A^M  ähnliches  Dreieck;  J^J"' 
geht  dann  durch  Jlf,  J5  fällt  in  «T"  auf  /*  und  man  erhält  daraus  einen 
Schnittpunkt  J^  der  e  mit  /*.  Entfernt  sich  dann  J"  auf  &  von  A,  so 
fällt  J^  ins  Innere  des  Kreises  /*,  und  nähert  sich  samt  der  Sehne 
A^J'''  dem  f  bis  auf  jeden  Grad  der  Annäherung.  Daher  nähert 
sich  die  Evolute  e  dem  Kreise  f  asymptotisch,  und  zwar  in  unendlich 
vielen  Windungen.  —  e  besteht  aus  einem  Aste  mit  der  Spitze  A^ 
und  aus  zweien  zu  f  asymptotischen  Asten  mit  je  einer  Spitze,  wie 
G^.  Rückt  A  von  A^  weg  über  TJ  hinaus,  so  verschwinden  die 
Wendepunkte  und  der  erste  Ast  der  Evolute. 

Zeichnet  man  aus  M  einen  Kreis  durch  Ay  so  wird  derselbe  stets 
von  der  beweglichen  b  berührt.  Der  Abstand  des  auf  b  bleibenden 
beschreibenden  Punktes  von  dem  Berührungspunkte  ist  dann  offen- 
bar gleich  dem  von  diesem  beschriebenen  Kreisbogen,  vervielfacht 
mit  dem  Verhältnisse  MA^ :  MA.  Die  Kurve  kann  daher  als  eine 
Kreisevolvente  angesehen  werden,  bei  welcher  die  Tangentenlänge 
gleich  dem  abgewickelten  Kreisbogen  ist,  dieser  multiplicirt  mit 
einer  Verhältniszahl,  welche  bei  der  geschweiften  Evolvente  kleiner, 
bei  der  verschlungenen  größer  als.  Eins  ist. 


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VIII,  380—831.    Die  Rolllinien.  361 

330.    Die  verschlungene  Kreisevolvente.    Ein  allgemeiner  Punkt  Fig.  143. 
P  mit  P,,  und  der  Scheitel  Ä  der  c  mit  der  Spitze  Ä^  der  e  sind,  wie 
bei  der  geschweiften,  bestimmt;   der  Doppelpunkt  kann  durch  eine 
Fehlerkurve,  wie  bei  der  verschlungenen  Cyklgide,  erhalten  werden. 

Fig.  148. 


Der  Schnittpunkt  F  der  c  mit  f  entsteht  aus  dem  Schnittpunkte 
J^'  der  6  mit  f.  Die  Evolute  schließt  sich  wieder  dem  Kreise  f 
asymptotisch  von  innen  an.  —  Rückt  Ä  in  M,  so  geht  6  stets  durch 
M  und  es  wird,  da  AP"'  =  A^Pi  ist,  die  Bewegung  des  P"  auf  b 
gegen  M  mit  der  Drehungsbewegung  des  b  proportional.  Die  Kurve 
c  wird  dann  zu  einer  Archimedischen  Spirale,  welche  daher  als  be- 
sonderer Fall  der  verschlungenen  Kreisevolvente  angesehen  werden 
kann.  Betrachten  wir  sie  aber  auch  in  ihrer  einfachsten  Ent- 
stehungsweise. 

38  !•  Die  Archimedische  Spirale,  Dreht  sich  eine  Gerade  in  Fig.  144. 
einer  Ebene  um  einen  Punkt  M  und  bewegt  sich  gleichzeitig  ein 
Punkt  P  auf  der  Geraden,  so  beschreibt  P  eine  Kurve,  und  man 
nennt  M  den  Pol  der  Kurve,  MP  =  u  den  Leitstrahl  (radius  vector) 
von  P,  den  Winkel  XMP  =  9  des  Leitstrahles  mit  einer  festen  Ge- 
raden MXj  gemessen  durch  den  Bogen  vom  Halbmesser  1,  den  ^ 
Polarwifikd  von  P,  MX  die  Polaraxe.  u  und  q>  heißen  die  Polar- 
koardinaten  von  P.  Die  entstehende  Kurve  ist  bestimmt,  wenn  die 
Abhängigkeit  des  u  von  g)  gegeben  ist,  und  sie  heißt  die  Archime- 
dische Spirdte,  wenn  u  in  einem  unveränderlichen  Verhältnisse  zu  9 
steht,  oder  wenn  gilt     ' 

wobei  p  eine  UnveriLnderliche  und  der  Parameter  der  Spirale  ge- 


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362 


VIII,  331—332.   Die  Rolllinien  und  die  Schraubenlinie. 


nannt  wird.    Für  q)  =  0  ist  auch  u  =^0,  so  daß  die  Kurve  c  durch 
M  geht;  und  man  erhält  fCir  irgend  einen  Strahl  MP  den  Punkt  P 

der     Kurve,     wenn 
^i«'  ^^^'  man  aus  M  mit  MB 

=  p  als  Halbmesser 
den  Parameterhreis  f 
zieht  und  dessen 
zwischen  M'K.  und 
MP  liegenden  Bo- 
gen BQ  =  pq)  als 
MP  =^  u  aufträgt 
Für  9)  =  1  (entspre- 
chend 57^  18')  ist 
w  =  jp,  oder  es 
schneidet  die  c  jenen 
Kreis  in  JP,  wenn 
Bog.BF  =  p',  für 
9  =  +  2ä  ist  t*  = 
+  jp23r,  und  um 
diese  Länge  nimmt 
der  Leitstrahl  bei  jedem  Umgänge  zU;  d.  h.  bei  jedem  Kurvenbogen, 
bei  welchem  sich  q)  um  2%  ändert. 

332.  Um  die  Tangente  und  die  Evolute  der  c  zu  bestimmen, 
gehen  wir  auf  ihre  Entstehung  als  verschlungene  Kreisevolvente 
zurück.  Da  nach  Nr.  330,  Fig.  143,  auf  dem  Bahnkreise  f  durch 
den  Berührungspunkt  A^  der  w  und  dann  auch  durch  seine  Schnitt- 
punkte mit  b  Bogen  gleich  der  Zunahme  von  AP"  durchlaufen  wer- 
den, auf  jedem  anderen  Kreise  aber  nicht,  und  da  dies  in  Fig.  144 
für  den  Parameterkreis  f  gilt,  so  ist  dieser  der  Bahnkreis.  Betrachtet 
man' in  Fig.  143  P"  als  beschreibenden  Punkt,  so  ist  A^  der  Be- 
rührungspunkt der  w,  P"A^  die  Normale  und  P5  der  Krümmungs- 
mittelpunkt der  c.  Danach  geht  die  Normale  PP3  (Fig.  144)  der 
Spirale  durch  den  Punkt  P3  des  /,  wenn  MP^  _L  MP  im  Sinne  der 
Öffnung  der  Spirale  gezogen  ist  {P'AA^  =  90^  in  Fig.  143).  Der 
Krümmtmgsmittelpunkt  P^  ist,  entsprechend  det  Fig.  143,  der  Schnitt- 
punkt von  PP3  mit  MP^,  wenn  PP^  ±  MP  und  Pj^P^  ±  PP^  ge- 
zogen wurde.  Fällt  für  einen  Punkt  jR  der  c  der  Punkt  JB^  über  die 
Zeichenfläche  hinaus,  so  bildet  man  eine  zur  ursprünglichen  ähn- 
liche Figur  aus  M  als  Ähnlichkeitspunkt.  Man  bestimmt  daher, 
wie  vorher,  R^  auf  /'  mittelst  MR^±MB,  zieht  JB'JB'"  fl  UÄ,, 
schneidet  sie  mit  MB  und  MB^  bezw.  in  B'  und  7J'",  bestimmt 
B'^  durch  B'B'^±MB,  B"'B'^±BB^,  so  liegt  B,  auf  MB'"". 


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VIII,  382-833.    Die  Rolllinien. 


363 


M  ist  der  Sdieitd  der  Kurve  und  der  Krömmungshalbmesser 
MAi  ist  =^i>,  da  in  Formel  (2)  der  Nr.  309  jenes  j)  =  —  r, 
r' =  oo,  9  =  0,  daher  ^  =  i^,  also  in  unserer  Figur  -42^.1  = 
i  A^M  y/ird.  —  Doch  läßt  sich  auch  leicht  unmittelbar  einsehen, 
daß  der  Krümmungshalbmesser  in  M  oder  MA^  =,Jc=s^p  ist,  weil 
nämlich,  wenn  y  der  Winkel  des  Strahles  MB  und  seines  be- 
nachbarten Strahles  ist,  das  Bogenelement  der  Kurve  als  Leitstrahl 
und  als  Element  des  Krümmungskreises  ausgedrückt  wird  durch 
tpp  =  2g)1c. 

Alle  Doppelpunkte  der  c  liegen  auf  der  Symmetrielinie  Jf-^^; 

der  nächste  bei  M  liegt  in  D  mit  JJfZ)  =jp  y  =  Bog.  JB-ig.  — 

Mit  3f,  Ff  D  und  weiteren  Punkten  in  Zwischenräumen  von  Vi  Um- 
gang, sowie  den  zugehörigen  Krümmungskreisen,  deren  Mittelpunkte 
sich  dem  Parameterkreise  immer  mehr  nähern,  läßt  sich  die  Kurve 
verzeichnen.     Dabei  würde  man  erhalten  FF^  =  f  FF^ . 

333.  Läßt  man  bei  der  geschweiften  Cykloide  c  (322)  den 
wälzenden  Kreis  unendlich  werden  und  bildet  dann  die  affine  Figur 
der  c  durch  Verkleinerung  der  unendlichen  Ganglänge -42(72  zu  einer 
endlichen,  so  wird  c  zu  einer  Sinus-  oder  Cosinuslinie,    Wir  wollen 

Fig.  146. 


diese  beiden  Linien,  welche  sich  nur  durch  den  Ursprung  ihrer  Koor- 
dinaten unterscheiden  und  schon  in  Nr.  48  und  165  betrachtet  wur- 
den, einer  späteren  Benutzung  halber  untersuchen.  Ihre  Gleichung 
für  rechtwinklige  Koordinaten  ist 

y  =  &  cos  -    • 


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364  VIII,  333.   Die  BolUinien  und  die  Schraubenlinie. 

Fig.  145.  Sind  MC  und  MA  die  x-  und  yAxe,  und  zieht  man  aus  M  als 
Mittelpunkt  die  Kreise  (a)  und  (6)  mit  den  Halbmessern  a  und  h^ 
schneidet  sie  mit  der  +  x-  und  +  yAxe  bezw.  in  -4^,  Bq  und  -4,  jB, 
zieht  aus  M  einseitig  einen  Strahl^  welcher  (a)  und  (6)  in  H  und  S 
trifft^  so  erhält  man  einen  Punkt  P  der  Cosinuslinie  c  durch  seine 
Koordinaten  x  =  MQ,  y  =^  QF,  wenn  man  MQ  =  Bog.  AR, 
QP^  VS  macht,  wobei  V  die  Projektion  von  S  auf  x  ist  (iSP  ||  a;); 
denn  es  ist  FS  =  6  cos  (AR  :a)  =  b  cos  (x  :a)  ^=y.  Schneidet  die 
Tangente  der  c  in  P  die  xAxe  in  T,  so  ist  TQ  die  Subtangente; 
man  erhält  aber  durch  Differentiation  der  obigen  Gleichung 

j^  = sm  — :        TQ  =  v  :^  =  —  a  cot  —  • 

dx  a  a  ^  ^        ^  dy  a 

Daher  bestimmt  man  die  Tangente  entweder  durch  QT ^=  A^T^^ 
wenn  AqT^  ±.  x  und  T^  auf  MB,  weil  A^T^  ^=  a  cot  {AB  :  a)  == 
a  cot(x:a),  oder  (wenn  A'  der  Schnittpunkt  von  (a)  mit  —  y)  durch 
PTj_A'F,weüÖP:T(2  =  y:T(2  =  -MF:^'ilf=6sin(a::a):— a 
=  dy  :  dx.  Dabei  wurde  —  a  gesetzt,  weil  bei  der  Drehung  um  M 
die  '{'  y  in  +  x,  aber  die  +  ^  ^^  —  tf  fäUt.  Letztere  Konstruktion 
wird  nie  unbestimmt  und  enthält  keine  unerreichbaren  Punkte.  Die 
Normale  PP^  ist  dann  |  VA', 
vig.  146.  Zur  Bestimmung  des  Krümmimgshalbmessers  r  der  c  in  P  be- 

nutzt man  hier  zweckmäßig  die  Formel  der  Atidlysis,  die  wir  her- 
leiten wollen.     Sind  P,  Q,  B  drei  aufein- 
^^'  ander  folgende  Punkte  der  Kurve  c,  deren 

Abscissen  je  um  dx  verschieden  sind,  so 
gilt  för  die  Tangenten  der  c  in  P  und  Q 
bezw. 

Daraus  folgt  aber  nach  der  Figur,  wenn  JB'S  J_  QB, 


Hieraus  ergibt  sich,  da  ds  =  +  Yda^  +  ^t/^p 

^  _  ds  ^ ds^     ^  -p  {dx*  +  dy^)i 

dq>  dxd*y        "•"       dxd*y       ' 

wobei  —  vorgesetzt  wird,  um  die  Krümmungshalbmesser  für  nega- 
tive dq),  oder  für  Kurven,  die  gegen  +  Y  erhaben  sind,  positiv  zu 
bezeichnen. 

In  unserem  Falle  ist 


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VIII,  838—334.    Die  Scbraubenlinie.  365 

dx^f  « 


und  durch  Differentiation  von  {dy :  dx) 


=  - 

b 

daher 

r 

=  + 

t 

+  &«  sin 
afr  cos 

a/ 

X 

a 

• 

Nun  ist  aber 

("• 

+ 

6« 

sin 

■:)* 

= 

^'F  = 

^7 

6 

cos 

X 

a 

=  y; 

daher  auch 

r  = 

ay 

a 

Flg.  145. 


Man  konstruirt  diesen  Ausdruck  auf  eine  stets  anwendbare 
Weise  unter  Benutzung  der  letzteren  Form.  Zu  dem  Ende  schneidet 
man  PS  mit  MA  in  Y  und  mit  A^T^  in  X,  zieht  XW±AqY  bis  W 
auf  MA,  so  ist  YW=  YX(MAq  :  MY)  =  a{a:  y).  Dann  zieht 
man  die  WZZ^  ||  x,  und  schneidet  sie  mit  FQ  und  FF^  bezw.  in  ^ 
und  J^i,  zieht  ZiJ?2J_PPi  bis  J^g  auf  FQ,  und  2,Pi  J.  P^  bis 
Pi  auf  PPi,  so  ist  Pj  der  ErQmmungsmittelpunkt.  Denn  es  sind 
die  Dreiecke  FZZ^,  FZ^Z^,  PZ^^i  ähnlich  dem  Dreiecke  J^'JfF  (mit 
den  Seiten  a  und  v),  daher  ist  FF^  =  PZ^  (v  :  a)  =  PZ^  (v  :  a)*  = 
FZ{v  :  a)3  =  YW{v  :af^a{a:  y)  {via^  =  r. 

Für  den  Scheitel  B  rückt  X  in  X^  und  Xq-B,  J_  -4^^  bestimmt 
sogleich  den  Erümmungsmittelpunkt  B^  auf  üf  ^^  weil  der  ganze 
Linienzug  WZ^Z^F^  zu  einem  Punkte  wird.  Für  den  Wendepunkt 
C  wird  y  =  0,  r  =  oo;  die  Normale  der  c  in  C  ist  eine  Asymptote 
der  Evolute  und  läuft  ]  B^^A'. 

Für  a  =  b  könnte  man  die  Cosinuslinie  als  die  gemeine,  im 
Gegensatze  zur  allgemeinen,  bezeichnen.  Bei  ihr  wird  für  den  Scheitel 
B:v  ^=  a,  y  x=b  ==^  a,  r  ^^  a,  B^  fallt  in  Jf ;  die  Asymptoten  bilden 
45^  mit  der  xAxe.  —  Ist  &  ^  a,  so  fallt  B^  bezw.  auf  dieselbe  oder 
auf  die  entgegengesetzte  Seite  von  M,  wie  B. 

IL   Die  Schraubenlinie. 
334,    Eine   kürzeste   oder   geodätische  Linie   eines  Cylinders  pjg.  m. 
heißt  eine  Schraubenlinie]   der  Cylinder  heißt  dann  der  Schrauben- 
cylinder.    Die  bei  der  Abwickelung  des  Cylinders  entstehende  Ver-    . 
wandelte  der  Schraubenlinie  ist  daher  eine  Gerade^  und  umgekehrt 
wird  jede  Gerade   einer  Ebene ;   welche  man  mit  dieser  auf  einen 
Cylinder  aufwickelt^  zu  einer  Schraubenlinie.     So  wird  die  Gerade 
A'F  der  Ebene  A'QQ^A^,  welche  einen  Cylinder  entlang  QQ^  be- 


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366 


VIII,  334--336.   Die  Rolllinien  und  die  Schraubenlinie. 


Fig.  147. 


rührt,  beim  Aufwickeln  der  Ebene  zur  der  Schraubenlinie  APA^P^^A^, 
und  A'P  und  AP  berühren  sich  in  P.  Da  die  Verwandelte  A'P 
als  Gerade  gleiche  Winkel  mit  allen  Verwandelten  der  Erzeugenden 
des  .Cylinders  bildet,  so  schneidet  auch  die  Schraubenlinie  selbst 
die  Erzeugenden  des  Cylinders  unter  demselben 
unveränderlichen  Winkel,  und  jede  zu  den  Er- 
zeugenden senkrechte  Ebene  unter  einem  Winkel 
<y,  welcher  jenen  Winkel  zu  90®  ergänzt  und  die 
Neigung  der  Schraubenlinie  heißt. 

Schneidet  eine  solche  zu  den  Cylindererzeu- 
genden  senkrechte  Ebene  den  Cylinder  in  der 
Kurve  QA,  die  genannte  Berührungsebene  in 
der  Tangente  QA'  der  QA,  die  Schraubenlinie 
und  ihre  Tangente  PA'  bezw.  in  A  und  A\  so 
ist  das  geradlinige  Dreieck  PQA'  die  Abwicke- 
lung des  teilweise  krummlinigen  PQA,  und  es 
ist  QA'  =  Bog.  QA,  PA'  =  Bog.  PA.  Man 
nennt  auch  für  den  Punkt  P  und  die  Ebene  QAA' 
die  Strecken  PA'  und  QA'  bezw.  die  Tangente  und 
die  Subtangente  der  Schraubenlinie,  und  bemerkt, 
daß  bei  fester  Ebene  QAA\  aber  bei  wechselndem 
Punkte  Pder  Ort  AA'  des  Punktes  A'  die  Evolvente  sowohl  des  senk- 
rechten Cylinderschnittes  ist,  als  auch  aller  Schraubenlinien  des  Cylin- 
ders, welche  durch  die  Spitze  A  der  Evolvente  gehen.  Da  anderer- 
seits jede  Erzeugende  des  Cylinders  die  Schnittlinie  je  zweier  auf 
einander  folgenden  Normalebenen  der  Kurve  AA'  ist,  so  ist  um- 
gekehrt der  Cylinder  die  Evolutenfläche  der  Kurve  AA'  und  alle 
durch  A  gehenden  Schraubenlinien  des  Cylinders  sind  die  Evoluten 
der  ebenen  Kurve  AA'  (44). 

In  dem  bei  Q  rechtwinkligen  Dreiecke  A'QP  ist  der  Winkel 
bei  A'  gleich  der  Neigung  a  der  Schraubenlinie.  Bezeichnet  man 
nun  die  QP  mit  0,  die  A'Q  ^^  Bog.  AQ  mit  5,  so  ist 

jer  =  5  tg  (T ; 
oder  die  auf  einem  senkrechten  Schnitte  des  Cylinders  von  einem 
Punkte  der  Schraubenlinie  aus  gezählte  krummlinige  Abscisse  AQ  =  s 
und  die  auf  der  Erzeugenden  gemessene  Ordinate  QP  =  a  stehen 
in  unveränderlichem  Verhältnisse;  sie  wachsen  daher  auch  propor- 
tional mit  einander. 

335.  Ist  der  Cylinder  geschlossen,  so  wird  jede  Erzeugende  un- 
endlich oft  von  der  Schraubenlinie  geschnitten.  Ein  Stück  der- 
selben zwischen  zwei  auf  einander  folgenden  Schnittpunkten  heißt 
ein   Schraubengang,    das    eingeschlossene   Stück    der   Erzeugenden 


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VIII,  336—336.    Die  Schraubenlinie.  367 

AA^  oder  A^A^  oder  TP^  die  Hohe  des  Schraubenganges  oder  die 
Granghöhe  h.  Sie  ist  überall  dieselbe;  denn  ist  p  der  Umfang  der 
senkrechten  Schnittkurve  (=  AQA),  so  gilt  (^er  =  ä,  s=jp)  h  = 
p  tg0.  Der  wichtigste  und  in  der  Technik  allein  vorkommende 
Fall,  der  auch  ausschließlich  in  der  Folge  betrachtet  werden  soll, 
ist  der,  in  welchem  der  Schraubencylinder  ein  Umdrehungscylinder, 
also  der  senkrechte  Schnitt  ein  Kreis  ist;  die  Cylinderaxe  heißt 
dann  auch  die  Schraubenaxe,  der  Grundkreis  des  Cylinders  auch  der 
Grundkreis  der  Schraubenlinie,  und  der  Halbmesser  dieses  Kreises 
auch  der  Halbmesser  der  Schraubenlinie.    Sei  derselbe  r,  so  ist 

p  =  2ytr    und     A  =  2Ärtg(y. 
Setzt  man 

so  heißt  Aq  die  reducirte  Ganghohe  oder  der  Parameter  der  Schrauben- 
linie. Sie  ist  die  Ordinate  0,  welche  zu  s  =  r,  also  zu  einem  Bogen 
des  Grundkreises  von  57^  18'  gehört. 

Die  Schraubenlinie  des  Umdrehungscylinders  ist  in  sich  selbst  ver- 
schiebbar, oder  zwei  gleich  lange  Stücke  derselben  sind  unter  einander 
kongruent.  Denn  die  durch  die  Anfangspunkte  beider  gehenden 
senkrechten  Cylinderschnitte  sind  gleiche  Kreise,  können  also  samt 
den  Anfangspunkten  zur  Deckung  gebracht  werden;  dann  fallen  auch 
alle  Erzeugenden  beider  CylinderstQcke  paarweise  der  Richtung  und 
der  Länge  der  Ordinaten  nach  {z  =^  s  ig  0)  in  einander;  demnach 
auch  die  Schraubenlinien.  —  Diese  Eigenschaft  der  Verschiebbarkeit 
in  sich  selbst  besitzt  nur  noch  der  Kreis  und  die  Gerade,  die  beide 
aber  als  besondere  Arten  der  Schraubenlinie  angesehen  werden 
können. 

Man  kann  die  Schraubenlinie  auch  durch  die  Bewegung  eines 
Punktes  entstehen  lassen,  der  sich  um  eine  Axe  dreht  und  zugleich 
parallel  zur  Axe  verschiebt,  derart  daß  der  Winkel  einer  Drehung 
mit  der  Länge  der  gleichzeitigen  Schiebung  in  unveränderlichem  Ver- 
hältnisse steht.  Eine  solche  Bewegung  nennt  man  eine  Schraüben- 
bewegung. 

Rechts  gewunden  oder  rechtsgängig  nennt  man  eine  Schrauben- 
linie, wenn  sie,  betrachtet  von  einer  in  der  Schraubenaxe  aufge- 
stellten menschlichen  Figur,  gegen  rechts  abwärts  geht;  sonst  linhs 
gewunden  oder  linksgängig.  Dabei  ist  es  gleichgültig,  ob  die  Figur 
in  dem  einen  oder  in  dem  entgegengesetzten  Sinne  in  die  Axe 
gestellt  ist. 

386,  Aufg.  Eine  auf  einem  Umdrehungscylinder  gelegene  Schrau- 
benlinie darzustellen,  deren  Axe  senkrecht  auf  der  P^  steht. 


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368 


VIII,  336—337.    Die  Rolllinien  nnd  die  Schraubenlinie. 


Fig.  148. 


■n^ 


Fig.  148.  Aufl.     Sei  der  Kreis  A'C'B'  die  erste  Spur  des  Schrauben- 

cylinders,  A  in  P^  der  Anfangspunkt  und  A  «=»  A"A^'  die  Ganghohe 
einer  rechts  gewundenen  Schraubenlinie ,   so  teile  man  von  A'  aus 

den  Kreis  in  eine  Anzahl  n  {^  8)  glei- 
cher Teile,  und  in  ebenso  viele  die  Gang- 
höhe A"Ai\  lege  durch  die  Kreisteilungs- 
punkte die  Erzeugenden  des  Cylinders 
und  zeichne  deren  zweite  Projektionen, 
trage  auf  der  ersten  nach  A  von  der  Pj 

aus  —  Ä,  auf  der  zweiten  -  Ä,  auf  der 

m^^  ~  h  auf,  so  erhält  man  Punkte  der 

zweiten  Projektion  der  SchraubenliDie, 
deren  erste  Projektion  der  Grundkreis 
ist.  Aus  einem  Gange  A"B"A^'  lassen 
sich  die  folgenden  Gänge  durch  Weiter- 
tragen von  Ä,  2A,  3A  .  .  .  von  allen 
Punkten  aus  auf  den  Cylindererzeugen- 
den  bestimmen. 

Die  Tangente  an  die  Schraubenlinie 
in  einem  Punkte  P  findet  man,  wenn 
man  auf  der  Tangente  P' T  an  den 
Grundkreis  die  Länge  P'T  =  Bog.  P'A' 
zwischen  P'  und  der  ersten  Spur  A'  der 
Schraubenlinie  aufträgt.  T  ist  dann  die 
erste  Spur  der  gesuchten  Tangente,  wo- 
raus sich  F"T'  ergibt. 

337,     Die    zweite    Projektion    der 
Schraubenlinie  ist  eine  Sinuslinie\  denn 
nimmt    man    die    mittlere    Erzeugende 
G"Ci'  der  zweiten  Projektion  des  Cylin- 
ders  zur   a;Axe,    den  Kurvenpunkt  C 
zum  Koordinatenursprung,  die  yAxe  senkrecht  zur  a:Axe,  so  hat  der 
Punkt  P"  die  Koordinaten  C"Q''=x,  Q"P"^y.    Ist  r  der  Halb- 
messer des  Grundkreises,  so  ist 

X  :  Bog.  C'F  =  A  :  2rÄ  =  Ao  :  r 
Bog.O'P' 


und 


r  sm 


woraus 


y  =  r  sin  ^  23r  =  r  sin 


was  die  Gleichung  der  Sinuslinie  bildet  (333). 
die  Wendepunkte  C\  G^'  . . .  der  Kurve. 


Die  xAxe  enthält 


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Vm,  888—339.    Die  Schraubenlinie.  369 

338,  Aufg,  An  eine  gegebene  Schraubenlinie  parallel  einer  ge- 
gebenen Ebene  E  (eje,)  eine  Tangente  m  legen, 

Aufl,  Die  parallel  zu  den  Tangenten  der  Schraubenlinie  durch 
einen  Punkt  gelegten  Geraden  bilden  den  fiichtkegel  ihrer  Fläche. 
Derselbe  ist  hier  ein  Umdrehungskegel  mit  einer  auf  P|  senkrechten 
Äxe;  und  macht  man  den  Grundkreis  A'C'jB'  zu  seiner  ersten  Spur, 
80  erhält  man  seine  Spitze  G  (Jf ',  6r")  auf  der  Schraubenaxe  etwa 
durch  die  parallel  zu  SC  durch  A  gelegte  Gerade  {A'M\  A"G"), 
Die  Hohe  des  Kegels  ist 

Jtf"Gf"=-rtg<T  =  Ä„, 

gleich  der  reducirten  Ganghöhe  (335).  Sucht  man  nun  vermittelst 
einer  parallel  zu  E  durch  die  Spitze  G  des  Kegels  gelegten  Ebene 
seine  Erzeugenden  {M*I>\  G"Z)"  und  M'F'j  G"F"\  so  sind  diese 
zu  E  parallel,  und  man  hat  nur  noch  die  zu  diesen  Erzeugenden 
parallelen  Tangenten  der  Schraubenlinie  zu  ziehen,  das  sind  zwei- 
mal unendlich  viele  Geraden,  deren  Berührungspunkte  auf  zwei 
(nicht  vier)  Erzeugenden  des  Schraubencylinders  liegen.  Parallel 
zu  der  ersten  Projektion  JiT  D'  (und  M'F')  darf  man  nämlich  nur 
diejenige  Kreistangente  P  T'  ziehen,  welche  als  Tangente  der  Schrau- 
benlinie gleichen  Sinn  der  Neigung,  wie  MD  (bezw.  MF)  besitzt. 

339.  Der  Krümmungshalbmesser  der  Schraubenlinie,  Die  Schmie- 
gungsebene  der  Schraubenlinie  in  jedem  ihrer  Punkte  steht  senkrecht 
auf  der  Cylinderfläche  (42),  ihre  Hauptnormale  ist  daher  die  Nor- 
male der  Fläche,  d.  i.  auch  die  Senkrechte,  welche  aus  dem  frag- 
lichen Punkte  der  Kurve  auf  die  Schraubenaxe  gefällt  wird.  In 
ihr  liegt  der  Krümmungstialbmesser  rj  der  Kurve,  den  man  erhält, 
wenn  man  beachtet,  daß  die  Schmiegungsebene  den  Cylinder  in 
einer  Ellipse  schneidet,  deren  Halbaxen  r :  cos  <r  und  r  sind,  und 
deren  Krümmungshalbmesser  im  Scheitel  der  Axe  2r  mit  dem  ge- 
suchten übereinstimmt  und  ausgedrückt  wird  durch 

r*  r 

*         008*  a  '  008*  a 

Zieht  man  daher  G''H"  ±A"G''  bis  H"  auf  ^"Jf",  so  ist  ^"3f " 
=  r,  A"G"  =  r  :  cos  <y,  A''H''  =  r  :  cos*  er  =»  r, . 

Dieselbe  Formel  besteht  auch  zwischen  dem  Krümmungshalb- 
messer rj  irgend  einer  Kurve  in  einem  ihrer  Punkte  und  demjenigen 
r  ihrer  senkrechten  Projektion  auf  eine  zu  r^  parallele  Ebene,  wenn 
<y  der  Neigungswinkel  ihrer  Tangente  gegen  diese  Ebene.  Sie  gilt 
daher  auch  für  die  zweite  Projektion  der  Schraubenlinie  in  ihren 
Scheiteln  A'\  B"  .  . .,  wobei  der  Neigungswinkel  90**  —  ö  ist;  die- 
ser Krümmungshalbmesser  ist  daher  (335) 

Wiener,  Lehrbach  der  dartteUenden  Geometrie.    II.  24 


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370 


Vm,  339-841.    Die  Bolllinien  and  die  Sohranbenünie. 


r^  =  r^  cos«(90«  — <y)  =  r,  sin^tf  =  r  tg*  <y  =  ^  =  M'^H". 

Man  bemerkt,  daß  diese  Konstruktion  des  Sebeitelkrümmnngshalb- 
messers  der  Sinuslinie  im  wesentlichen  mit  derjenigen  der  Nr.  333 
übereinstimmt. 

340.  Bewegt  sieb  ein  Punkt  Ä  auf  einer  Schraubenlinie,  so 
beschreibt  der  zu  dem  Punkte  gehörige  Krümmungsmittelpttnkt  H  der 
Kurve  {A"H''=r^  ebenfalls  eine  Schraubenlinie  (O/'jBo"),  welche 
mit  jener  gleiche  Ganghohe  und  gleichen  Sinn  besitzt,  aber  zum 
Halbmesser  die  JT'-H"  =  r^  hat;  es  ist  daher  rfj  =  h^,  Bq  ist 
der  zu  Bi  gehörige  Scheitel  derselben.  Die  ursprüngliche  Schrau- 
benlinie und  di^enige  ihrer  Krümmufigsmittelpuhkte  sind  reciprok, 
oder  die  erste  enthält  auch  die  Krümmungsmittelpunkte  der  zwei- 
ten, wie  die  reciproke  Formel  rrg  =  A^*,  oder  das  reciproke  Kon- 
struktionsdreieck A*'  G" H"  zeigt.  Dabei  ist  die  Neigung  der  zwei- 
ten ^i  =  ^3f"Ä"(?"=  90<>  — (T,  und  es  gilt  tg^.tgtfi  —  l. 
Endlich  ist  K"  der  gemeinschaftliche  Krümmungsmittelpunkt  der 
zusammengehörigen  Scheitel  B^  und  Bq  der  zweiten  Projektionen 
beider  Kurven.  Denn  för  die  erste  ist  der  Krümmungshalbmesser 
=  H"M'  =  B;'K:\  für  die  zweite  =  A"M'  =  B^'K". 
Fig.  149.  341.    J)ie  schiefe  Projektion  der  Schraubenlinie  oder  ihr  Schatten 

bei  Parallelbeleuchtung  auf  eine  zur  Schraubenaxe  senJcrecfUe  Ebene  Pj 

Fig.  149. 


-.-«C-'--' 


ist  eine  gemeine,  eine  geschweifte  oder  eine  verschlungene  CyJcloide^  je 
nachdem  die  Neigung  X  der  Projicirenden  gleich  der  Neigung  a  der 
Schraubenlinie^  oder  kleiner  oder  größer^  als  sie  ist. 


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Vm,  341-842.   Die  Öchraubenlime.  37 1 

Denkt  man  sich  nämlich  die  Schraubenlinie  durch  Bewegung 
eines  Punktes  auf  einem  Kreise  erzeugt,  dessen  Mittelpunkt  zugleich 
auf  einer  zu  seiner  Ebene  senkrechten  Geraden  fortschreitet,  wäh- 
rend das  Verhältnis  der  beiden  in  derselben  Zeit  beschriebenen 
Wege  unveränderlich  ist,  so  kann  man  sich  jene  schiefe  Projektion 
entstanden  denken  durch  die  Bewegung  eines  Punktes  auf  einem 
Kreise,  der  stets  in  der  Projektionsebene  bleibt  und  mit  seinem  Mit- 
telpunkte eine  Gerade  beschreibt,  unter  unveränderlichem  Verhält- 
nisse der  beiden  in  derselben  Zeit  beschriebenen  Wege.  Dies  ist  aber 
das  Entstehungsgesetz  jener  drei  Rolllinien  (322).  Ist  dabei  die  Bahn 
des  Mittelpunktes  während  eines  Umganges  des  Punktes  auf  dem 
beweglichen  Kreise  gleich  dessen  Umfang  h  {A'A^  =  ^)7  so  ist  die 
Cykloide  A'B^A^  die  gemeine  und  die  Projicirende  Ä^'A^'  eine 
Tangente  der  Schraubenlinie  in  A^.  In  den  andern  Fällen  entsteht 
eine  geschweifte  Cykloide  A'B^A^^  oder  eine  verschlungene  A'B^A^y 
wobei  die  Längen  A'A^  und  A'A^  willkürlich  angenommen  werden 
können.  Aus  ihnen  sind  die  in  der  Figur  gezeichneten  Halbmesser 
der  in  P^  auf  einer  Geraden  rollenden  Kreise  durch  Proportionalität 
bestimmt.    Ist  r    der  Halbmesser  des  rollenden  Kreises,  so  ist 

A"A^'  =  2r 'ä  =  A  cot  A ,     oder    r  =  Jiq  cot  l. 

Aus  der  schiefen  Projektion  kann  man  folgeru:  Die  senkrechte 
Projektion  der  Schraubenlinie  auf  irgend  eine  Ebene  ist  eine  affine 
Figur  einer  gemeinen,  einer  geschweiften  oder  einer  verschlungenen  Cy- 
kloide, wobei  die  Richtung  der  Affinitätsstrahlen  parallel  der  ge- 
raden Bahnlinie  läufi  Denn  die  senkrechte  Projektion  ist  affin  mit 
dem  Schnitte  des  die  Schraubenlinie  projicirenden  Cylinders  mit 
einer  zur  Schraubenaxe  senkrechten  Ebene. 

Die  Sinuslinie  (s.  Fig.  148)  erscheint  dabei  als  besonderer  Fall 
einer  Affinen  der  geschweiften  Cykloide,  wenn  das  Verhältnis  der 
Ebilbmesser  des  rollenden  und  des  beschreibendes  Kreises  r' :  r  «=  oo, 
das  Affinitätsverhältnis  aber  =s  0  ist  (333).  Oder  die  Sinuslinie  wird 
von  einem  Punkte  P  beschrieben,  wenn  sich  ein  Punkt  Q  auf  einem 
Kreise  bewegt,  dessen  Mittelpunkt  eine  Gerade  g  beschreibt,  wenn  bei 
beiden  Bewegungen  ein  unveränderliches  Verhältnis  ihrer  gleichzei- 
tigen Wege  besteht,  und  wenn  P  die  Projektion  des  Q  auf  den  zu  g 
senkrechten  (sich  parallel  verschiebenden)  Kreisdurchmesser  ist. 

342.  Es  sollen  zunächst  noch  die  Krümmungshalbmesser  r,  der 
gemeinen,  geschweiften  und  verschlungenen  Cykloide  in  ihren  Scheiteln 
A  und  B  aus  den  Halbmessern  r  und  r'  bezw.  des  beschreibenden 
und  des  wälzenden  Kreises  unmittelbar  abgeleitet  werden,  und  dar- 
aus die  ihrer  affinen  Kurven.     Dreht  sich  der  Kreis  k  um  seinen 

24* 


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'^±^'V.-^  ^  ^(^±0' 


372  VIII,  342.    Die  Rolllinien  und  die  Schraubenlinie. 

Mittelpunkt  M'  um  einen  unendlich  kleinen  Winkel,  so  daß  A'  in 
der  Richtung  von  A' M  den  unendlich  kleinen  Weg  x  (=  0*),  in 
der  darauf  senkrechten  Richtung  den  Weg  y  (=  0^)  zurücklegt,  so 
beschreiben  B^  und  A^  wegen  der  gleichzeitigen  Verschiebung  in  der 
Richtung  von  A'A^  um  +  y{r' :  r)  bezw.  die  Wege  x  und  y  +  yC»*':»*). 
Daher  gilt  für  die  Krümmungshalbmesser  r^  der  Kurve  in  B^  und 
A^  (208) 

Macht  man  daher  auf  A'A^  die  A'G=  A'M'  =  r,  so  ist  wegen 
A'Bq  c=  r  +  r'  und  A'Alq  =  r  —  r\  r^^=  A'B  oder  =  -4'jB,  wenn  D 
und  E  auf  A'A^  'so  bestimmt  werden,  daß  CB^B  =  (7^J?  =  90^ 
sind.  Entsprechend  rj  =  J.'2)'  und  =  A'B'  für  5/  und  A^j  und 
r^  =  A'B"  und  =  0  für  B^  und  ^2';  <^3.  aber  offenbar  A'B'  =^  4r, 
so  stimmt  dies  mit  den  früheren  Ergebnissen  für  die  gemeine  Cy- 
kloide  überein  (315).     Da  r  =  Ä^  cot  tf,  r'  =  h^  cot  Jl,  so  ist  auch 

(Äo  cot  ff  +  Äo  cot  Z)*        (r  +  r  ige  Qotxy 

^1  Äo  coti  "^  r  ' 

was  zweckmäßig  in  der  letzten  Form  konstruirt  wird. 

Für  die  affinen  Kurven  dieser  Cykloiden  sei  a  die  Affiniiäts- 
Charakteristik y  so  daß  die  Längen  A'  A^^  . . .  der  Cykloiden  mit  a 
vervielfacht  werden;  dann  wird  y  ebenfalls  mit  a  vervielfacht  und 
der  Krümmungshalbmesser  r^  wird 

rg  ==  o?r^  =  ^       "^ — -~  ' 

Hiemach  muß  man  auch  in  der  vorigen  Konstruktion  A'Bq  und 
A'A^  mit  a  vervielfachen. 

Sind  unsere  affinen  Kurven  durch  andere  Elemente  gegeben,  so 
kann  man  aus  diesen  die  Krümmungshalbmesser  bestimmen.  So 
findet  man  für  die  verschlungene  Kurve  in  der  axonometrischen  Ab- 
bildung der  Fig.  147  die  Krümmungshalbmesser  in  den  Scheiteln 
r^  =  (6  +  h^y :  a,  wenn  a  und  b  die  Halbaxen  der  Grundellipse, 
und  Ä^  =  Ä  :  2ä  =  AAi  :  2n;  die  Projektion  der  reducirten  Ganghöhe 
bedeuten,  indem  die  zu  demselben  x  gehörigen  Elemente  des  Kreises 
vom  Halbmesser  a  und  unserer  Kurve  sind: 

y  und  y  {b:a)  +  y.h:  {2an)  =  y  (6  +  Äq)  •  ^• 


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IX.  Abschnitt. 

Die  abwickelbaren  Flächen  (zweiter  Teil),  die  gemeinschaftliclien 

Berfthrnngsebenen  mehrerer  Flächen,  die  topographische,  die 

UmhfiUnngsfläche;  Beleuchtung  solcher  Flächen. 

I.    Die  abwickelbare  Sohranbenfläche. 

348.  Die  abmckelhare  Schraubenfläche  ist  die  Fläche  der  Tan- 
genten einer  Schrauhenlinie;  diese  Linie  ist  ihre  Eückkehrkante. 

Die  Axe  a  der  Schraubenliuie^  die  auch  die  Axe  der  Flache  Fig.  i5o. 
heißt,  stehe  in  M'  senkrecht  auf  P^;  Ä^BC^  sei  ein  Gang  der 
Schraubenlinie,  Ä^  soll  in  P,  und  Äi'  auf  a"  liegen,  und  die  Flächen- 
erzeugenden sollen  durch  P,  und  durch  die  {  P,  durch  Q  gelegte  Ebene 
P3  begrenzt  werden;  ^Cj,  x^  sind  die  Spuren  von  P^  und  Pj  in  Pg.  Die 
erste  und  dritte  Spur  (in  P^  und  P3)  der  Fläche  bilden  dann  die 
Evolventen  der  Grundkreise  (334)  -i/JS/D'C/ 'und  C^B^B'Ä^, 
welche  im  Grundriß  zusammen  die  beiden  Zweige  derselben  Kreis- 
evolvente bilden.  Projicirt  man  die  Punkte  beider  Evolventen  bezw. 
auf  Xi  und  x^  und  verbindet  die  zusammengehörigen  Punkte,  wie 
B^'  und  JSg",  so  erhält  man  die  Projektionen  der  Erzeugenden, 
welche  von  der  zweiten  Projektion  der  Schraubenlinie  eingehüllt 
werden. 

Die  Erzeugenden  Ay^Ä^^  ^1^99  C^iQ  sind  ||  Pg  und  Umrisse 
der  zweiten  Projektion  der  Fläche;  denn  die  Berührungsebenen  ent- 
lang derselben  sind  J_  P^,  weil  dies  für  die  Tangenten  der  Kreis- 
evolventen in  -4,,  B^y  Cj  gilt.  —  BiB2  liegt  vor  den  beiden  anderen 
Umrissen,  und  dementsprechend  ist  die  Punktirung  vorgenommen. 

344.  Eine  Schravibenbewegung  um  eine  gegebene  Axe  ist  durch 
ihren  Sinn  und  ihren  Parameter  ä^,  d.  i.  die  zum  Drehungswinkel 
Eins  gehörige  Schiebung  (reducirte  Ganghöhe)  ganz  bestimmt  (335). 
Bei  dieser  Bewegung  beschreiben  alle  Punkte  eines  mit  der  Linie 
der  Axe  starr  verbundenen  Raumgebildes  koaxiale  Schraubenlinien 
von  gleichem  Sinne  und  gleicher  Ganghöhe;  jede  Linie  des  Gebildes 
beschreibt  eine  Fläche,  welche  Schratibenfläche  heißt,  jede  Fläche 
beschreibt  einen  Schraubenkörper.   Jede  Schraubenlinie,  jede  Schrauben- 


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374         IX,  344.    Abwickelbare  Flächen,  gemeinschaft].  BerQhrangsebeneii. 

fläche  und  jeder  SchraubenJcörper  bewegen  sich  in  sich  selbst  weiter, 
oder  sie  sind  in  sich  selbst  verschiebbar.  Eine  Tangente  einer  der 
beschriebenen  Schraubenlinien,  indem  sie  stets  Tangente  derselben 
bleibt,  beschreibt  eine  abwickelbare  Schraubenflädie.  Laßt  man  auf 
der  Schraubenlinie  die  Tangente  hingleiten  ^  wobei  sich  der  Berüh- 
rungspunkt auf  der  Tangente  nicht  verschiebt,  so  beschreibt  jeder 

Fig.  160. 


Punkt  der  Tangente  eine  Schraubenlinie.  Läßt  man  dagegen  die 
Tangente  auf  der  Schraubenlinie  (ohne  Gleiten)  hinrollen,  wobei  der 
Berührungspunkt  auf  beiden  Linien  um  gleiche  Längen  fortschreitet, 
so  beschreibt  jeder  Punkt  der  Tangente  eine  Kreisevolvente  in  einer 
zur  Schraubenaxe  senkrechten  Ebene  (334). 


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IX,  344.    Die  abwickelbare  SchranbeDfl&cbe. 


375 


Die  SchraubeDfläche  hat  unendlich  yiele  Windungen  und  erstreckt 
sich  nach  allen  Seiten  ins  Unendliche.  Die  Rückkehrkurve  trennt 
die  Fläche  in  zwei  Äste^  bei  der  gegebenen  Stellung  in  den  oberen 
und  den  unteren. 

Jede  der  Kreisevolventen,  so  die  in  P,,  hat  unendlich  viele, 
auf  demselben  Durchmesser  des  Kreises  liegende  Doppelpunkte,  von 
denen  D'  verzeichnet  isi  In  ihm  schneidet  sich  eine  Erzeugende  des 
oberen  und  eine  des  unteren  Flächenastes.  Denkt  man  sich  die 
Fläche  durch  die  Schraubenbewegung  jener  Kreisevolvente  erzeugt, 
80  beschreibt  jeder  Doppelpunkt  derselben  eine  Schraubenlinie,  eine 

Fig.  151. 


DoppeUinie  der  Fläche,  in  welcher  sich  die  beiden  Flächenäste  schnei- 
den. In  der  Figur  ist  die  durch  D  gehende  Doppellinie  teilweise 
gezeichnet,  und  es  ist  auch  noch  ein  Stück  des  anderen  durch  sie 
gehenden  Flächenastes,  begrenzt  durch  einen  koaxialen  Cy linder,  in 
der  zweiten  Projektion  zugefügi  Die  Erzeugenden  dieses  zweiten 
Astes  werden  leicht  im  Grundriß  als  zweite  Tangenten  an  den 
Grundkreis  gezeichnet  und  vermittelst  ihrer  auf  der  zugehörigen 
Evolvente  liegenden  Spuren  in  P^  und  in  Pj  in  den  Aufriß  über- 
tragen. 


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376     XI,  344—345.   Abwickelbare  Fl&chen,  gemeinschafll.  BerahningsebeneiL 

i^'ig.  150.  Eine  Berührungsebene  der  Fläche  berührt  entlang  einer  Erzeu- 

genden, z.  B.  entlang   W^  W^,  und  ihre  erste  und  dritte  Spur  sind 
#       die    (auf    TT/  W^'  senkrechten)  Tangenten  der   Kreisevolventen   in 
W,  und   W^. 

346.  Um  die  Schnittlinie  der  Schraubenfläche  mü  einer  Ebene  B 
zu  bestimmen,  benutzen  wir  zweckmäßig  die  parallelen  Ebenen 
Pi  und  P,  als  Spurebenen  (I,  112);  ihre  Schnitte  mit  E  proji- 
ciren  sich  in  die  Parallelen  e^  und  e^.  Es  ergibt  sich  dann  der 
Grundriß  der  Schnittkurve  allein  aus  dem  Grundrisse;  er  ist  unab- 
hängig von  der  Höhe  des  Schraubenganges.  Um  den  Schnittpunkt 
W  irgend  einer  Erzeugenden  Wi  W^  mit  E  zu  finden,  legt  man 
durch  die  Erzeugende  irgend  eine  Hilfsebene,  zweckmäßig  die  Be- 
rührungsebene der  Fläche;  ihre  Spuren  sind  die  auf  W^  W^'  senk- 
rechten Wi  Ti\  W^s'^^a';  man  schneidet  diese  bezw.  mit  e^,  e,  in 
r/,  T,;  so  bestimmt  T^  Tg  auf  W^  TTj  den  Schnittpunkt  W  und 
ist  zugleich  die  Tangente  der  Schnittkurve.  Als  ausgezeichnete  Punkte 
erhält  man: 

1)  Die  Spitzen,  wie  F]  sie  sind  die  Schnittpunkte  der  E  mit  der 
Rückkehrkante.  Teilt  man  die  (durch  M'  gelegte)  Falllinie  E^  E^  der 
E  in  12  gleiche  Teile,  entsprechend  der  12 Teilung  des  Schrauben- 
ganges und  des  Kreises,  und  denkt  sich  die  in  gleicher  Höhe  über  P^ 
liegenden  Teilungspunkte  mit  denselben  Zahlen  bezeichnet  (0  bei  Ä^ 
und  Eiy  12  bei  C^  und  E^),  und  durch  die  Teilungspunkte  der  E^  E^ 
Parallele  zu  e^,  durch  die  des  Kreises  Parallele  in  irgend  einer 
passenden  Richtung  gezogen,  so  stellen  erstere  die  Ebene  E,  letz- 
tere einen  die  Schraubenlinie  horizontal  projicirenden  Cylinder  dar; 
die  Schnittpunkte  gleichbezifferter  Geraden  geben  die  Schnittlinie 
beider  Flächen  an,  deren  Schnitt  mit  dem  Kreise  den  Punkt  F  bil- 
det. Von  allen  jenen  Parallelen  sind  aber  in  der  Ausführung  meist 
zwei  Paare,  hier  5  5',  6  6',  hinreichend,  deren  Schnittpunkte  durch 
eine  Gerade  verbunden  werden. 

2)  Die  unendlich  fernen  Punkte  der  Schnittkurve  werden  einer- 
seits durch  Erzeugende,   die  mit  E  parallel    sind  und    andererseits 

.  durch  unendlich  ferne  Erzeugende  geliefert.  Die  mit  der  E  paralle- 
len Erzeugenden  findet  man  mittelst  des  Richtkegels,  als  dessen 
erste  Spur  man  den  Grundkreis  A^H'B'  ansehen  kann.  Die  Höhe 
seiner  Spitze  M  über  P,  (=  h^  verhält  sich  dann  zu  der  Höhe  des 
Schraubenganges  Ä,  wie  1  :  2ar  =  M! A^  :  A^A^'.  Denkt  man  durch 
M  eine  zu  E  parallele  Ebene  gelegt,  so  findet  man  deren  mit  e^ 
parallele  erste  Spur  JK  mittelst  ihres  Schnittpunktes  G  mit  E^E^, 
indem  man  beachtet,  daß  sein  muß  M'G  :  -E,  JS^  =  Ä^  :  Ä  «=  1  :  2» 
'='  M'Ai  :  A^'Ai.   Bestimmt  man  daher  E^  auf  A^  A^  und  (r,  auf 


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IX,  846-346.    Die  abwickelbare  Sohraubenüäche.  377 

M'A;  80,  daß  a;E^  =  E^E^,  E^G^  B  A^'M\  so  ist  MG  =  MG^. 
Schneidet  die  JK  den  Grundkreis  in  J  und  K,  so  sind  MJ,  MK 
die  mit  E  parallelen  Erzeugenden  des  Richtkegels.'  Parallel  mit 
diesen  zieht  man  die  beiden  Erzeugenden  unseres  Astes  der  Flache, 
so  Xjij  II  M' K.  Die  Berührungsebene  der  Fläche  entlang  L^L^ 
schneidet  dann  die  E  in  einer  Asymptote  N^  N^  (||  X^  ij)  der  Schnitt- 
kurve. —  Andererseits  liefern  die  unendlich  fernen  Erzeugenden  der 
Fläche  Zweige  der  Schnittkurve,  die  ganz  im  unendlichen  liegen. 

Hat  die  durch  M  parallel  zu  E  gelegte  Ebene  2,  1,  0  Erzeu- 
gende mit  dem  Richtkegel  gemein,  so  besitzt  die  Schnittkurve  auf 
jedem  Crange  der  Fläche  zwei  unendlich  ferne  Punkte  mit  Asymp- 
toten, d.  i.  zwei  hyperbolische  Zweige  (einen  hyperbolischen  Ast), 
oder  einen  unendlich  fernen  Punkt  mit  einer  unendlich  fernen  Tan- 
gente, d.  i.  einen  parabolischen  Ast,  oder  keinen  unendlich  fernen 
Punkt,  und  ist  dann  spiralförmig. 

3)  Doppelpunkte  besitzt  die  vollständige  Schnittkurve  auf  der 
Doppellinie  der  Fläche. 

346.  Abunckelung  der  Schrauhenfläche,  Die  Rückkehrkante  be- 
sitzt den  unveränderlichen  Krümmungshalbmesser  r^  =r:cos^6  (339) 
und  ändert  denselben  durch  die  Abwickelung  nicht;  sie  wird  dem- 
nach zu  einem  Kreise  von  dem  Halbmesser  r^.  Zieht  man  daher 
IT'M''  II  JB/'JB,"  bis  M"  auf  a"  (A,'' M"  ^  \) ,  und  dann  M"  Q'' 
J_  H"  M"  bis  Q"  auf  x^j  so  ist  H"  Q"=  r^.  Beschreibt  man  nun  Fig.  151. 
einen  Kreis  mit  dem  Halbmesser  OA^  =s  r^,  trägt  auf  demselben 
die  Länge  A^'  A^'  (Fig.  150)  eines  Ganges  der  Rückkehrkante  von 
-4,  bis  G^  auf,  teilt  dieselbe  in  ebenso  viele  (zwölf)  gleiche  Teile 
wie  die  Rückkehrkante,  zieht  in  den  Teilungspunkten  die  Tangenten, 
so  sind  diese  die  Verwandelten  der  Flächenerzeugenden.  Trägt  man 
auf  jeder  derselben  vom  Berührungspunkte  aus  die  wahre  Länge 
der  Erzeugenden  bis  zur  Spur  mit  der  Pj  bezw.  P3  auf,  d.  h.  auch 
die  Bogenlänge  bis  A^  und  C3,  z.  B.  BB^'=^  Bog.  5-4,,  ^^3 
=  Bog.  BC^j  so  erhält  man  durch  die  Endpunkte  B^,  B^  .  .  .  die 
Verwandelten  der  Kreisevolventen  in  P,  und  P^;  dieselben  sind 
demnach  Evolventen  des  Kreises  A^BC^. 

Um  die  Verwandelte  einer  koaxialen  Schraubenlinie  der  Fläche 
zu  erhalten,  z.  B.  der  durch  D'  gehenden  Doppellinie,  übertrage 
man  die  unveränderliche  wahre  Länge  des  Stückes  der  Erzeugenden 
zwischen  jener  Schraubenlinie  und  der  Rückkehrkante,  nämlich 
-4,"-4/'  der  Fig.  150,  auf  die  Tangenten  der  Verwandelten  der 
Rückkehrkante,  so  bilden  die  Endpunkte  einen  koncentrischen  Kreis 
mit  jener  Verwandelten;  also  sind  die  Verwandelten  aller  Schrauben- 
linien  der  Fläche  koncentrische  Kreise. 


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378    IX,  347—348.    Abwickelbare  Flächen,  gemeiDScbaflL  BerührungscbeDen. 

347.  Die  Vertvandelte  der  Schniükurve  mit  E  erhält  man  zweck- 
mäßig durch  gleichzeitiges  Übertragen  eines  Punktes  der  Erzeugen- 
den und  der  Tangente  in  demselben.  Zu  dem  Ende  überträgt  man 
z.  B.  Wi,  W^  durch  Bogenstücke  aus  Fig.  150  auf  die  Evolventen 
der  Fig.  151,  zieht  TF;  TTj  und  die  zu  W^  TF,  senkrechten  W^T^, 
Wq  Tg,  überträgt  deren  Längen  aus  Fig.  150,  so  ist  T^  T^  die  Tan- 
gente der  Verwandelten  in  ihrem  Schnittpunkte  W  mit  W^  W^. 
Entsprechend  überträgt  man  die  Spitze  J^  mit  ihrer  Tangente  FP 
und  die  Asymptoten  (z.  B.  N^  N^  |  L^  L^). 

Die  Wendepunkte  der  VertmndeUen  der  Schnittkurve  liegen  auf 
denjenigen  Erzeugenden,  deren  Berührungsebenen  senkrecht  auf  der 
Schnittebene  E  stehen  (38).  Man  bestimmt  diese  vermittelst  des  Richt- 
kegels (Fig.  150),  indem  man  durch  dessen  Spitze  M  eine  Senkrechte 
MS  zu  E  zieht  und  deren  erste  Spur  S  auf  E^  M'E^  bestimmt  Es 
geschieht  dies  durch  ümlegung  in  P^,  indem  man  M'M'"S,E^]d! 
und  =  A^'M'  macht  und  Jtf '"Ä  ±  E^  Jf '"  zieht  Die  Berührungspunkte 
der  aus  S  an  den  Grundkreis  gelegten  Tangenten,  so  U^  bestimmen 
die  gesuchten  Erzeugenden  des  Kegels,  so  MU.  Die  mit  ihnen 
parallelen  Erzeugenden  der  Fläche  liefern  auf  der  Schnittkurve 
zwei  Punkte  V  und  Wj  welche  in  der  Abwickelung  zu  Wende- 
punkten werden.  Für  W  ist  auch  die  Tangente  WT^  ermittelt 
V  liegt  sehr  nahe  an  der  Spitze  F,  Wäre  dies  genau  der  Fall,  so 
würde  J^  ein  Schnabelpunkt  der  Verwandelten  sein;  in  der  Figur 
ist  die  Abweichung  davon  nicht  bemerkbar. 

348.  Aufg,  An  eine  cAunckelbare  Sehrauhenfläche  durch  einen 
außerhalb  derselben  gegebenen  Puitkt  P  eine  Berührungsebene  m  legen. 

Aufl.  1.  Man  schneide  die  Fläche  mit  einer  durch  P  senkrecht 
zur  Flächenaxe  gelegten  Ebene,  was  in  einer  Ereisevolvente  geschieht, 
lege  an  diese  aus  P  alle  möglichen  Tangenten,  so  bestimmt  jede 
derselben  eine  der  gesuchten  Berührungsebenen. 

2)  Sind  für  eine  zur  Schraubenaxe  senkrechte  Ebene,  z.  B.  für 
Pj  in  Fig.  150,  der  Grundkreis  des  Cylinders  der  Rückkehrkante, 
dessen  Evolvente  als  erste  Spur  der  Fläche  und  eine  Erzeugende 
der  Fläche  schon  verzeichnet,  so  erspart  man  sich  die  Verzeichnung 
einer  neuen  Kreisevolvente,  indem  man  aus  P  als  Spitze  mittelst  einer 
Parallelen  zu  einer  Flächenerzeugenden  einen  Richtkegel  bestimmt, 
seine  erste  Spur  verzeichnet,  und  an  diese  (Kreis)  und  an  die  erste 
Spur  der  Fläche  (Evolvente)  die  gemeinschaftlichen  Tangenten  zieht 
Von  diesen  sind  diejenigen  die  ersten  Spuren  der  gesuchten  Ebenen, 
von  deren  Berührungspunkten  räumlich  parallele  Erzeugende  beider 
Flächen  ausgehen. 

Ist  P  ein  unendlich  femer  Punkt,  d.  h.  soll  die  Berührungs- 


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IX,  348-350.    Die  abwickelbare  ScbraubeDß&che.  379 

ebene  parallel  einer  gegebenen  Geraden  p  geführt  werden,  so  löst 
man  die  Aufgabe  für  den  Richtkegel  und  überträgt  die  Berührungs- 
erzeugenden parallel  auf  die  Schraubenfläche. 

349.  Übungsaufgaben. 

1)  Eine  abwickelbare  Schraubenfläche  durch  eine  zu  ihrer  Axe 
parallele  Ebene  zu  schneiden,  wenn  diese  von  dem  Cyliuder  ihrer 
Rückkehrkante  zwei,  eine  oder  keine  Erzeugende  enthält. 

2)  Gegeben  sind  in  einer  Ebene  zwei  koncentrische  Kreise, 
welche  die  Projektionen  zweier  koaxialen  Schraubenlinien  von  glei- 
chem Sinne  und  gleicher  Ganghohe  auf  eine  zur  Schraubenaxe  senk- 
rechte Ebene  bilden,  und  auf  jedem  Kreise  ein  Punkt  als  Spur  der 
Schraubenlinie;  man  soll  eine  abwickelbare  Schraubenfläche  bestim- 
men, welche  beide  Kurven  enthält  —  Zeichnet  man  die  Evolvente 
von  jedem  Kreise  mit  der  auf  dem  Kreise  liegenden  Spur  als  Anfangs- 
punkt, zieht  aus  einem  der  Schnittpunkte  P  beider  Kurven  deren  Nor- 
malen, so  berührt  jede  derselben  einen  der  gegebenen  Kreise,  und  es 
ist  die  Verbindungsgerade  der  Berührungspunkte  die  Projektion  einer 
Erzeugenden  e,  und  der  sie  berührende,  mit  den  gegebenen  Kreisen 
koncentrische  Kreis  die  Projektion  der  Rückkehrkante  einer  der  unend- 
lich vielen  möglichen  Flächen.  Die  Kreistangenten  stellen  nämlich 
die  Tangenten  der  Schraubenlinien  dar,  welche  sich  in  P  schneiden; 
die  Ebene  derselben  berührt  daher  die  Schraubenfläche,  welche  durch 
die  Schraubenbewegung  der  e  auf  den  beiden  Schraubenlinien  hin 
erzeugt  wird,  entlang  e,  und  die  Schraubenfläche  ist  deswegen  ab- 
wickelbar. Man  bemerkt,  daß  die  Ganghöhe  und  der  Sinn  der  beiden 
Schraubenlinien  unbestimmt  bleiben.*) 

3)  Auf  einem  gegebenen  ümdrehungscylinder  vom  Halbmesser  r 
eine  Schraubenlinie  anzugeben,  welche  als  Rückkehrkante  einer 
Schraubenfläche  einen  Kreis  von  gegebenem  Halbmesser  r^  zur  Ver- 
wandelten hat    Welche  Grenze  darf  r^  nicht  überschreiten? 

350.  Die  Licht-  und  SchaUengremen  und  die  Lichtgleichen  einer 
abunckelbaren  Fläche  sind  Erzeugende,  Um  sie  zu  bestimmen,  kon- 
struirt  man  sie  zuerst  für  den  Richtkegel  der  Fläche,  und  zieht 
mit  diesen  Kegelerzeugenden  die  parallelen  Erzeugenden  der  Fläche 
als  Tangenten  ihrer  Rückkehrkante;  sie  sind  die  gesuchten  Licht- 
gleichen. 

Aufg.  Die  Lichtgleichen  einer  abunckelbaren  Schraubenfläche  zu 
bestimmen. 

Aufl.    Es  sei  die  Axe  a  der  Fläche  ±  Pj,  M'  ihr  Grundriß,  der  Fig.  152. 


♦)  Diese  Aufgabe  nnd  Auflösung  wurde  von  Olivier  in  seinen  Ddveloppe- 
ments  de  GMom^trie  descriptive,  1848,  S.  7  ff.  gegeben. 


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Fig.  162. 


380         IX,  350.    Abwickelbare  Flächen,  gemeinschafÜ.  BerühruDgsebenen. 

aus  M!  gezogene  Kreis  i'  der  Grundriß  derjenigen  Schraubenlinie  Jfc 
der  Fläche,  welche  die  Rückkehrkante  bildet,  e"  der  Aufriß  einer 
mit  P,  parallelen  Erzeugenden. 

Man  zeichne  den  Grundriß  einer  von  der  Rückkehrkante  ver- 
schiedenen  Schraubenlinie  %  der  Fläche,  als  Kreis  %    aus  M\    Der 

Leitkegel  der  Fläche  ist  ein  Umdrehungs- 
kegel, als  dessen  Axe,  die  mit  a  parallel  ist, 
wir  a  selbst,  und  als  dessen  erste  Spur  wir  % 
wählen  wollen;  der  eine  Umriß  desselben 
im  Aufriß  ist  mit  e'  parallel  und  geht 
durch  den  Punkt  JS"  der  Projektionsaxe  x. 
Sind  nun  M! B'  und  CD'  die  (parallelen) 
Grundrisse  zweier  parallelen  Erzeugenden 
des  Kegels  und  der  Schraubenfläche,  so 
haben  in  ihnen  beide  Flächen  dieselbe  Hel- 
ligkeit. Der  zwischen  ihnen  liegende  Bogen 
B' B'  des  %  ist  aber  für  alle  Paare  von 
parallelen  Erzeugenden,  d.  i.  von  Linien  der- 
V'  /h      V/^  selben    Helligkeit   auf  beiden  Flächen    die- 

'^   ^      // 1  /*  selbe.     Man    erhält   daher    die   Punkte   des 

Kreises  %  von  bestimmter  Helligkeit  der 
Schraubenfläche,  wenn  man  die  Punkte  der- 
selben Helligkeit  des  Kegels  auf  %  um  den 
Bogen  B' B'  dreht,  oder  unmittelbar,  wenn 
man  den  Stärkemaßstab  M'B'  =  V  nach 
M'B'  dreht  und  mit  dem  gedrehten  die 
Konstruktion,  wie  für  den  Kegel,  vornimmt. 
Hat  man  daher  die  erste  Neigung  X 
=  xV"  des  Lichtstrahles  l  bestimmt,  so 
zieht  man  (202)  B"Wl.  e"  bis  N"  auf  a\ 
und  macht  auf  B'M'  die  MO  =  M"N"  tg  A  =  Abst  Fx,  wenn  F 
auf  r"  und  Abst.  Fa'=  M''N'']  und  Ol.  =  E"N" aec  A  =  JT'G, 
wenn  G  auf  T"  und  Abst.  Ga'=  E'^N".  Teilt  man  dann  für  den 
fünf  stufigen  Stärkemaßstab  die  0  1.  in  fünf  gleiche  Teile,  zieht  durch 
die  Teilungspunkte  Senkrechte  zu  Ol.,  so  schneiden  diese  auf  % 
die  verlangten  Punkte  ein.  Die  aus  ihnen  an  Tc'  in  dem  Sinne  von 
D'C  gezogenen  Tangenten  sind  die  gesuchten  Lichtgleichen  der 
Fläche.  Hätte  man  ¥  als  i'  gewählt,  so  hätte  man  die  Berührungs- 
punkte der  Lichtgleichen  mit  %  erhalten,  und  der  Stärkemaßstab 
wäre  ±  V  geworden. 

Im  Aufriß  ist  ein  Gang  angegeben,  beiderseits  begrenzt  durcli 
Erzeugende  ||  Pg.     Die  Schlagschatten  auf  P^  imd   auf  die  untere 


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IX,  350^352.   Die  gemeinschaftl.  BerührungBebenen  mehrerer  Flächen.       381 

Seite  der  Fläche  sind  zugefügt;  der  letztere  kann  mittelst  der  Schlag- 
schatten der  schattenwerfenden  und  beschatteten  Linien  auf  eine 
(zu  Pj  parallele)  Ebene  bestimmt  werden. 


n.    Die  gemeinsohaftlichen  Berührungsebenen  mehrerer  Flächen 
und  die  abwickelbare  UmhüUungsfläohe  zweier. 

361.  Um  an  zwei  gegebene  Flächen  F  und  Fj,  von  denen 
keine  abwickelbar  ist^  eine  gemeinschaftliche  Berührungsebene  zu 
legen  y  fiihre  man  aus  einem  beliebigen  Punkte  P  als  Spitze  einen 
berührenden  Kegel  an  jede  der  Flächen,  schneide  beide  Kegel  mit 
einer  nicht  durch  P  gehenden  Ebene  und  ziehe  an  beide  Schnittkurven 
die  gemeinschaftlichen  Tangenten.  Die  durch  P  und  durch  je  eine 
der  Tangenten  gelegten  Ebenen  sind  gemeinschaftliche  Berührungs- 
ebenen der  beiden  Kegel  und  daher  auch  der  beiden  gegebenen 
Flächen.  Läßt  man  sich  P  auf  einer  Geraden  hin  bewegen,  wobei 
für  den  unendlich  fernen  Punkt  die  Hilfskegel  zu  Cylindern  wer- 
den, so  erhält  man  alle  Lagen  der  gemeinschaftlichen  Berührungs- 
ebenen, weil  jede  der  Ebenen  die  Geraden  schneiden  muß.  Alle 
Ebenen  werden  von  einer  abwickelbaren  Fläche  eingehüllt  (43),  deren 
Erzengende  die  Verbindungsgeraden  der  Berührungspunkte  derselben 
Ebene  sind.  Die  abwickelbare  Fläche  hat  die  gegebenen  Flächen 
zu  Leitflächen  oder  ist  ihnen  umschrieben.  Sie  besteht  im  allge- 
meinen aus  mehreren  getrennten  Asten,  welche  man  als  äußere  und 
innere  Äste  unterscheiden  kann,  wenn  beide  Leitflächen  auf  der- 
selben oder  auf  entgegengesetzten  Seiten  derselben  liegen. 

Ist  eine  von  den  beiden  gegebenen  Flächen  abwickelbar,  so  ist  die 
Aufgabe,  eine  gemeinschaftliche  Berührungsebene  zu  legen,  be- 
stimmt, d.  h.  es  gibt  deren  im  allgemeinen  nur  eine  endliche  An- 
zahl, da  eine  Ebene,  welche  eine  abwickelbare  Fläche  berühren 
soll,  außerdem  nur  noch  eine  Bedingung  erfüllen  kann  (163).  Sind 
beide  Flächen  abwickelbar,  so  haben  sie  im  allgemeinen  keine  ge- 
meinschaftlichen Berührungsebenen. 

352.  Eine  Ebene  ist  bestimmt,  wenn  sie  drei  gegebene  Flächen 
F,  Fj,  Fj  berühren  soll,  von  denen  keine  abwickelbar  ist.  Um  sie 
zu  erhalten,  beschreibe  man  eine  abwickelbare  Fläche  um  F  und 
Fi;  dieselbe  berühre  die  F  entlang  der  Kurve  k]  sodann  eine  um 
F  und  F^;  dieselbe  berühre  die  F  entlang  k\  In  jedem  Schnitt- 
punkte P  von  k  und  k'  lege  man  die  Berührungsebene  an  F;  die- 
selbe berührt  auch  die  Fj  und  Fg,  bezw.  weil  P  auf  k  und  auf  k' 
liegt.  In  gleicher  Weise  kann  man  auch  die  Berührungspunkte  auf 
F|  und  Fg  finden. 


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382    IX,  362—354.    Abwickelbare  Fl&chen,  gemeinschaftl.  Berühniogsebeiieii. 

An  die  Stelle  einer  Fläche  P2  ^^^"^"^  ^^^  Punkt  P  treten,  durch 
welchen  die  Berührungsebene  gehen  soll.  Dieselbe  ist  die  gemein- 
schaftliche Berührungsebene  der  aus  P  der  P  bezw.  der  Pj  um- 
schriebenen Kegel. 

363«  Um  die  gemeinschaftlichen  Beriihrungsebenen  zweier  Flächen 
P  und  Pj  zu  bestimmen,  von  denen  die  eine  P^  abwickelbar  ist,  lege 
man  an  P  Berührungseben^n  bezw.  parallel  zu  allen  denen  von  Pj ; 
sie  bilden  eine  der  P  umschriebene  abwickelbare  Fläche  P',  deren 
Erzeugende  mit  denen  von  Pj  parallel  sind.  P'  und  P^  haben  den- 
selben Richtkegel.  Die  gemeinschaftlichen  Berührungsebenen  von  P 
und  Pj  berühren  auch  die  P',  und  ihre  Spuren  in  irgend  einer  Ebene 
P  sind  gemeinschaftliche  Tangenten  an  die  Spuren  der  P'  und  P, 
in  P.  Man  schneide  daher  P'  und  P^  mit  einer  Ebene  P  in  den 
Kurven  Tc'  und  \y  lege  an  sie  die  gemeinschaftlichen  Tangenten, 
und  suche  unter  diesen  diejenigen  aus,  von  deren  Berührungspunk- 
ten parallele  Erzeugende  von  P'  und  P^  ausgehen,  so  bestimmen 
diese  Erzeugenden  die  gemeinschaftlichen  Berührungsebenen  von  P', 
P,  und  P.  Mit  jeder  von  jenen  gemeinschaftlichen  Tangenten  kann 
man  nämlich  im  allgemeinen  mehrere  parallele  Tangenten  an  die 
Spur  des  gemeinschaftlichen  Richtkegels  in  P  legen;  eine  der  gemein- 
schaftlichen Tangenten  ist  zuzulassen,  wenn  sie  für  P'  und  für  P 
derselben  Tangente  am  Richtkegel  entspricht;  dann  sind  die  zuge- 
hörigen Erzeugenden  parallel.  Hierbei  hat  man  die  abwickelbare 
Hilfsfläche  P'  der  P  und  der  unendlich  fernen  Kurve  der  P^  um- 
schrieben. Man  kann  das  Verfahren  verallgemeinern,  indem  man 
eine  beliebige  Kurve  der  P^  wählt.  Ist  P^  ein  Kegel  (oder  Cylinder), 
so  ist  als  diese  Kurve  die  Spitze  vorteilhaft;  die  P'  wird  dann  der 
aus  der  Spitze  von  P^  der  P  umschriebene  Kegel. 

864.    Aufg.   An  einen  Ümdrehungskegel  imd  eine  Kugel  eine  ge- 
mdnschaßliche  Berührtingsebene  m  legen. 
Fig.  168.  Aufl.    Man  lege  P^  und  Pg  durch  den  Mittelpunkt  M  der  Kugel, 

Pj  senkrecht  zur  Axe  des  Kegels,  Pg  durch  dieselbe,  so  ist  die 
Kugel  durch  einen  aus  M  als  Mittelpunkt  beschriebenen  Kreis  u 
bestimmt,  welcher  ihren  ersten  und  zweiten  Umriß  darstellt,  und 
der  Kegel  durch  die  Projektionen  S'  (auf  x)  und  S"  der  Spitze, 
und  den  in  P^  liegenden,  aus  S'  beschriebenen  Grundkreis  k\  Die 
abwickelbare  Fläche,  welche  wir  nach  der  vor.  Nr.  vermittelst 
Ebenen  parallel  zu  den  Berührungsebenen  des  Kegels  S  um  die  Kugel 
beschreiben,  besteht  aus  zweien  mit  dem  Kegel  S  kongruenten  und 
parallelen  Kegeln,  deren  Spitzen  K  und  L  sich  auf  der  durch  M  gehen- 
den Vertikalen  oberhalb  und  unterhalb  M  durch  Gerade  CK",  GL" 
ergeben,  welche  berührend  an  u  und  parallel  zu  den  Umrißerzeugen- 


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IX,  354—366.    Die  gemeinschaffcl.  Berfibrongsebenen  mebrerer  Fl&chen.      383 


den  des  Kegels  S  gezogen  sind  und  sich  in  C  aaf  x  treffen.     Die 
gemeinschaftliche  erste  Spur  beider  Kegel  ist  der  Kreis  c',  welcher 
aus  M  durch  C  be- 
schrieben ist     Man 
lege  nun  an  die  ersten 
Spuren  k'  und  c   der 
Kegel   die   viör  ge- 
meinschaftlichen 
Tangenteu  und  zwar 
die  äußeren  a^  und 
Ol*,  die  im  Punkte  A 
der  Projektionsaxe  x 

zusammenlaufen^ 
und  die  inneren  i^y 
ii*,    die   sich    in    J 
treffen.     Durch  jede 
derselben  geht  eine 
gemeinschaftliche 
BerQhruDgsebene 
beider  Kegel;  durch 
die   äußeren   solche 
an  dem  oberen  Kegel 

K  mit  der  gemeinschaftlichen  zweiten  Spur  K"S''Ä  =  o^,  durch 
die  inneren  solche  an  den  unteren  Kegel  L  mit  der  gemeinschaft- 
lichen zweiten  Spur  Z»"S"«r=  »j.  Die  vier  Berührungsebenen  sind 
also  aiO^,  «1*08;  iih)  h^h»    Sie  berühren  zugleich  die  Kugel. 

Um  noch  von  einer  dieser  Ebenen^  etwa  von  der  ersten ,  die 
Berührungserzeugende  auf  dem  Kegel  S  und  den  Berührungspunkt 
auf  der  Kugel  zu  bestimmen^  ziehe  man  zu  a^  die  Senkrechten  S'B' 
und  MD'*y  sie  sind  die  ersten  Projektionen  der  Berührungserzeu- 
genden auf  den  Kegeln  S  und  K.  Bestimmt  man  dann  den  Be- 
rührungskreis e  des  Kegels  K  mit  der  Kugel;  so  ist  der  Schnitt- 
punkt E  von  KD  und  e  der  Berührungspunkt  der  Kugel.  —  Der 
aus  S  der  Kugel  umschriebene  Hilfskegel  wäre  weniger  vorteilhaft 
gewesen. 

Änin.   Die  vier  Auflosungen  werden  zu  3,  2,  1,  0,  wenn  der 
Kegel  S  die  Kugel   von  außen  berührt,  sie  schneidet,  sie  in  sich 
schließt  un^  berührt,  sie  in  sich  schließt  und  nicht  berührt. 
366.    Übungsaufgaben. 

Die  gemeinschaftlichen  Berührungsebenen  zu  legen 
1)  an   einen  Umdrehungskegel   und   ein  Umdrehungsellipsoid, 
deren  Umdrehungsaxen  parallel  sind; 


\i- 


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384    IX,  356—356.    Abwickelbare  Flächei),  gemeinBchaftl.  Berühmngsebenen. 

2)  an  einen  Kegel  mit  der  Spitze  S  und  an  eine  Fläche  zweiten 
Grades  F  (etwa  mittelst  eines  aus  S  der  F  umschriebenen  Hilfs- 
kegels); 

3)  an  einen  Kegel  und  eine  Fläche  zweiten  Grades^  wenn  beide 
einen  Kegelschnitt  gemein  haben; 

4)  an  die  abwickelbare  Schraubenääche  (gegeben  durch  die 
Schraubenlinie  der  Rückkehrkante)  und  eine  Kugel. 

356.    Aufg.    An  drei  gegebene  Kugeln  eine  gemeinschaflUche  Be- 
rührungselene  eu  legen. 
Fig.  154.  Aufl.    Man  lege  die  Projektionsebene,  welche  dann   allein  ge- 

nügt, durch  die  Mittelpunkte  M^,  Jüfg,  M^  der  Kugeln;  sie  schneidet 

Fig.  154. 


dieselben  in  größten  Kreisen.  Die  zweien  der  Kugeln  umschriebene 
abwickelbare  Fläche  besteht  aus  zwei  Kegeln,  dem  äußeren  und 
dem  inneren,  deren  Spitzen  auf  der  Mittelpunktslinie  liegen.  Für 
die  Kugeln  Jl/g  und  M^  erhält  man  A^  und  «T^  als  Spitzen  des 
äußeren  und  des  inneren  Kegels,  für  M^  und  Mi  die  Spitzen  A^ 
und  J^,  für  Jf^  und  M^  die  A^  und  J,. 

Eine  Ebene,  welche  die  Kugeln  M2  und  üf,  zugleich  berühren 
soll,  muß  einen  der  umschriebenen  Kegel  berühren,  also  durch  A^ 
oder  Ji  gehen,  soll  sie  auch  noch  Mi  berühren,  so  muß  sie  noch 
einen  der  Punkte  A^  und  «Tg,  und  einen  der  beiden  A^  und  J^  ent- 
halten.   Berührt  sie  mit  derselben  Seite  die  drei  Kugeln,  so  berührt 


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IX,  356—857.    Die  Fläche  des  Schattens  and  des  Halbschattens.         385 

sie  alle  drei  äußeren  Kegel  und  enthält  die  drei  Punkte  A^,  Ä2,  A^] 
und  da  diese  alle  in  der  Projektionsebene  liegen^  so  bestimmen  sie 
die  Spur  der  Berührungsebene  und  müssen  daher  auf  eiuer  Geraden 
liegen.  A^,  A^y  A^  ist  die  Spur  von  zwei  gemeinschaftlichen  Be- 
rührungsebenen. Liegen  dagegen  die  Engeln  auf  verschiedenen  Seiten 
der  Berührungsebene;  so  kann  entweder  M^,  oder  -Mg,  oder  M^ 
allein  auf  einer  Seite  liegen.  Dann  sind  bezw.  die  Geraden  ^^  «Tg  J3; 
A^  J^Jxy  A^  Ji eTjj  die  Spuren,  jede  wieder  von  zwei  Berührungsebenen. 

Es  gibt  also  im  allgemeinen  acht  gemeinschaftliche  Berührungs- 
ebenen für  drei  Kugeln.  Dieselben  vermindern  sich  aber,  wenn 
eine  der  Kugeln  den  um  die  beiden  anderen  beschriebenen  Kegel 
oder  eine  der  anderen  Kugeln  selbst  berührt,  oder  schneidet,  oder 
im  Inneren  des  Kegels  oder  der  Kugel  liegt. 

Die  Berührungspunkte  findet  man,  wenn  man  auf  jeder  Kugel 
die  Berührungskreise  der  umschriebenen  Kegel  sucht,  welche  durch 
die  Berührungssehnen  der  zu  demselben  Kegel  gehörigen  Umriß- 
tangenten dargestellt  werden.  Ihre  vier  Schnittpunkte  auf  jeder 
Kugel  sind  die  Projektionen  der  acht  Berührungspunkte  zu  zweien. 
Zu  je  einem  der  vier  Paare  von  Berührungsebenen  gehören  der 
Reihe  nach  auf  den  drei  Kugeln  die  Berührungspunkte  B,  C,  D,  E, 
wobei  immer  zwei  mit  einer  Kegelspitze  auf  einer  Geraden  liegen, 
wie  jBi,  JSg  mit  A^,  oder  C^,  Cg  mit  J3. 

Anm.  Durch  die  räumliche  Bedeutung  der  Figur  ist  folgender 
Satz  der  ebenen  Geometrie  bewiesen.  Sind  drei  Kreise  in  einer 
Ebene  gegeben  und  man  zieht -alle  gemeinschaftliche  Tangenten  je 
zweier  derselben,  so  liegen  die  sechs  Schnittpunkte  je  zweier  dieser 
Tangenten,  welche  sich  auf  einer  Mittelpunktslinie  befinden  (die 
Ähnlichkeitspunkte  je  zweier  Kreise),  zu  drei  auf  vier  Geraden. 


m.    Die  FUU)he  des  Schattens  und  des  Halbschattens. 

367.  Ist  die  Oberfläche  F  eines  nicht  leuchtenden  undurch- 
sichtigen Korpers  den  Strahlen  einer  leuchtenden  Fläche  L  ausge- 
setzt, so  erhält  ein  Punkt  P  der  F  volles  Licht  oder  vollen  Schatten 
(Kernschatten),  oder  Halbschatten^  je  nachdem  die  Berührungsebene 
der  F  in  P  die  ganze  Fläche  L  und  die  Körpermasse  bei  P  auf 
entgegengesetzten,  oder  auf  derselben  Seite  liegen  hat,  oder  die  L 
schneidet.  Daher  ist  ein  Punkt  der  F  ein  Grenzpunkt  zwischen 
vollem  Licht  und  Halbschatten,  oder  zwischen  Halb-  und  vollem 
Schatten,  wenn  die  Berührungsebene  der  F  in  diesem  Punkte  auch 
die  L  berührt,  und  je  nachdem  die  ganze  L  und  die  Körpermasse 
bei  dem  Punkte  P  auf  entgegengesetzten  Seiten,  oder  auf  derselben 

Wiener,  Lehrbuch  der  darstellenden  Geometrie.    TT.  25 


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386    IX,  357—358.    Abwickelbare  Flächen,  gemeiDSchaftl.  BerübraagBebenen. 

Seite  der  Berührungsebene  liegen,  vorausgesetzt  noch,  daß  im  ersteren 
Falle  der  Körper  keinen  Schlagschatten  auf  den  Punkt  wirft.  Rollt 
eine  solche  gemeinschaftliche  Berührungsebene,  die  man  je  nach 
ihrer  Lage  eine  äußere  oder  eine  innere  (wechselnde)  nennt,  auf 
beiden  Flächen  ab,  so  beschreibt  sie  eine  abwickelbare  Fläche, 
welche  in  einen  äußeren  und  einen  inneren  Äst  zerfallt,  so  daß  gilt: 

Auf  einer  Fläche  F,  welche  von  einer  leuchtenden  Fläche  L  be- 
leuchtet  wird,  sind  die  Grenaen  des  vollen  Lichtes  wnd  des  HäCbschatiens^ 
und  des  HaUh  und  des  vollen  Schattens  die  BerührungsUnien  der 
Fläche  F  b&sw.  mit  dem  äußeren  und  dem  inneren  Aste  der  den  beiden 
Flächen  F  und  L  umschrid)enen  äbwickeJbwren  Fläche. 

Diese  Flächenäste  begrenzen  auch  bei  dem  Schlagschatten  auf 
eine  dritte  Fläche  das  volle  Licht,  den  Halb-  und  den  vollen  Schatten 
gegeneinander.  Die  Flächen  F  und  L,  oder  eine  derselben,  können 
auch  durch  scheibenartige  Flächenstücke  ersetzt  werden,  welche 
von  (ebenen  oder  unebenen)  Linien  begrenzt  sind;  dann  sind  diese 
Grenzlinien  die  Leitlinien  der  abwickelbaren  Flächen,  wobei  vor- 
ausgesetzt ist,  daß  die  abwickelbaren  Flächen  der  Grenzlinien  jene 
Flächenstücke  nicht  schneiden.  Tritt  dieser  Fall  ein,  so  müssen 
zweierlei  abwickelbare  Flächen  benutzt  werden. 

358.  Sind  die  Leitflächen  (F  und  L),  h&sw.  LeiÜinien,  vom 
moeiten  Grade,  so  ist  die  ihnen  umschrid)ene  abunckelbare  Fläche  von 
der  vierten  Klasse  (300).  Dabei  denkt  man  sich  den  Kegelschnitt 
als  Ausartung  der  Fläche  zweiten  Grades,  wobei  ein  Polartetraeder 
der  Fläche  durch  ein  Polardreieck  des  Kegelschnittes  und  einen  be- 
liebigen Punkt  des  Braumes  gebildet  wird  (oder  auch,  was  aber  hier 
nicht  weiter  in  Betracht  kommt,  durch  vier  Punkte  der  Ebene  des 
Kegelschnittes,  von  denen  drei  willkürlich  sein  dürfen).  Die  um- 
schriebene Fläche  besitzt  eine  DqppeUcurve,  die  aus  vier  Kegelschnitten 
besteht,  welche  in  den  Ebenen  des  gemeinschaftlichen  Polartetraeders 
der  beiden  Flächen  liegen  (300). 

Übungsaufg.  Die  Fläche  des  Schattens  und  des  Halbschattens 
mit  ihren  Doppelkurven^und  ihrer  Rückkehrkante  darzustellen,  wenn 
F  und  L  eine  Ellipse  und  ein  Kreis  sind,  deren  Ebenen  auf  der 
Verbindungslinie  ihrer  Mittelpunkte  senkrecht  stehen*).  —  Das  ge- 
meinsame Polartetraeder  hat  zu  Ecken  die  Mittelpunkte  der  beiden 
Kurven  und  die  unendlich  fernen  Punkte  der  Axen  der  Ellipse. 
Die  Doppelkurven  sind  die  beiden  Leitlinien  und  Kegelschnitte  in 
den  Ebenen,  welche  durch  den  Kreismittelpunkt  und  je  eine  Axe 
der  Ellipse  gehen. 

*)  la  de  la  Gournerie's  G^om^trie  descriptive,  B.  2,  1862,  S.  64  ff.,  ist  diese 
Aufgabe  behandelt. 


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IX,  859—360.    Die  Fläche  von  gleichförmiger  Neigung.  387 

IV.    Die  Fläche  von  gleichförmiger  Neigung. 

369,  Eine  Flädie  von  gleichförmiger  Neigtmg  ist  eine  solche 
Fläche,  deren  BerührungsAenen  alle  gleich  geneigt  sind  gegen  eine  feste 
Ebene,  die  man  als  horizontal  annimmt    Daraus  ergibt  sich: 

1)  Diese  Fläche  P  ist  abwickelbar  und  hat  einen  Umdrehungs- 
Jcegel  K  von  übereinstimmender  gleichförmiger  Neigung  0um  RidUkegel. 
Denn  alle  Berührungsebenen  der  Fläche  sind  mit  denen  des  be- 
zeichneten Kegels  parallel,  sie  haben  daher  nur  eine  einzige  Art 
des  AblanfS;  woraus  folgt,  daß  die  Fläche  abwickelbar  (163);  und 
jener  Eegel  ihr  Richtkegel  ist. 

2)  Die  Erzeugenden  der  Fläche  sind  parallel  mit  denen  des 
Richtkegels  ^  also  Linien  von  gleicher  Neigung  und  Falllinien  der 
Berührungsebenen;  dcther  sind  die  Erzeugenden  und  ihre  Horizontal- 
Projektionen  Normalen  jeder  Horizontalspur  der  Fläche  und  werden  von 
der  Evolute  dieser  Spur  eingehüllt;  diese  Evolute  bildet  daher  einen 
Umriß  der  Fläche. 

3)  Die  Erzeugenden  berühren  den  vertikalen  Cylinder^  dessen 
Horizontalspur  jene  Evolute  ist,  und  bilden  wegen  ihrer  gleichför- 
migen Neigung  auf  diesem  Gylinder  die  Tangenten  einer  Schrauben- 
linie] dieselbe  ist  die  Bückkehrkante  der  Fläche  F,  und  diese  kann  als 
eine  allgemeine  abunckelbare  Schraubenfläche  bezeichnet  werden. 

4)  Jede  Horizontalspur  der  Fläche  ist  eine  Evolute  der  Hori- 
zontalprojektion der  Rückkehrkante  und  der  Rückkehrkante  selbst 
(44).  Die  Horizontalprojektionen  aller  Horizontalspuren  der  Fläche 
sind  daher  äquidistante  oder  parallele  Kurven. 

5)  Eine  Fläche  von  gleichförmiger  Neigung  ist  durch  ihre  Nei- 
gung und  eine  Leitlinie  l  bestimmt,  der  sie  umschrieben  ist;  die 
Leitlinie  ist  eine  Doppelkurve  der  Fläche.  Die  Leitlinie  kann  auch 
durch  eine  Leitfläche  L  ersetzt  werden,  welche  von  jeder  Lage  der 
beweglichen  Ebene  berührt  wird. 

360.  Ist  die  Leitlinie  l  oder  die  Leitfläche  L  vom  zweiten  Grade, 
so  ist  die  Fläche  von  gleichförmiger  Neigung  P  von  der  vierten  Klasse 
(300).  Denn  als  die  andere  Leitfläche  dieser  abwickelbaren  Fläche  F 
ist  der  Richtkegel  K,  oder  als  ihre  andere  Leitlinie  dessen  unend- 
lich ferner  Kegelschnitt  k  anzusehen;  und  diese  sind  ebenfalls  vom 
zweiten  Grade.  Daher  besitzt  die  Fläche  vier  Doppelkegelschnitte, 
welche  in  den  Ebenen  des  gemeinsamen  Polartetraeders  T  beider  Leit- 
gebilde liegen,  und  zu  welchen  Doppelkegelschnitten  jener  unendlich 
ferne  k  gehört  (358).  Die  ihm  gegenüberliegende  Ecke  des  T  ist 
der  Mittelpunkt  des  zweiten  Leitgebildes.  Ist  dieses  eine  Linie 
zweiten  Grades  l,  so  ist  dieselbe  die  zweite  Doppellinie;  und  die 

25* 


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388    IX,  860—361.    Abwickelbare  Flächen,  gemeinschaftl.  Berührangsebeoen. 

ihr  gegenüberliegende  Ecke  des  T  ist  der  unendlich  ferne  Punkt 
des  zu  der  Ebene  der  l  konjugirten  Durchmessers  des  Bichtkegels  JL 
Die  beiden  anderen  Ecken  des  T  sind  die  Punkte  der  unendlich 
fernen  Geraden  der  Ebene  von  l,  welche  sowohl  in  Bezug  auf  1^ 
als  auf  h  (oder  K)  zu  einander  konjugirt  sind;  und  welche  etwa 
mittelst  zweier  Strahleninyolutionen  aus  dem  Mittelpunkte  und  in 
der  Ebene  von  l  nach  I^  350  konstruirt  werden. 

Ist  dagegen  das  zweite  Leil^ebilde  eine  Fläche  zweiten  Grades 
L;  so  sind  neben  dem  Mittelpunkte  von  L  die  drei  anderen  Eck- 
punkte des  %  die  Ecken  des  gemeinsamen  Polardreiecks  der  unend- 
lich fernen  Kegelschnitte  von  K  und  von  L.  Sie  werden  mittelst  einer 
im  Endlichen  9  zweckmäßig  horizontal  gelegten  Ebene  E  gefunden, 
indem  man  etwa  aus  dem  Mittelpunkte  von  L  als  Spitze  den  Kegel 
nach  dem  unendlich  fernen  reellen  oder  imaginären  Kegelschnitte 
der  L;  und  den  Richtkegel  legt;  beide  mit  E  schneidet^  wobei  die 
erstere  Schnittkurve;  wenn  sie  imaginär  ist;  durch  einen  ideellen 
Kegelschnitt  dargestellt  wird,  während  die  zweite  ein  Kreis  ist,  zu 
beiden  Schnittkurven  nach  I,  398,  oder  nach  IT;  23  S.,  das  gemein- 
schaftliche Polardreieck  sucht,  und  dessen  Eckpunkte  aus  der  Kegel- 
spitze ins  Unendliche  projicirt 

Übungsaufgaben.  Man  konstruire  die  Fläche  von  gleichförmiger 
Neigung,  insbesondere  ihre  Doppelkurven,  ihre  Rückkehrkante  und 
mehrere  Horizontalschnitte  in  ihren  wechselnden  Formen, 

1)  wenn  die  Leitlinie  l  eine  Ellipse  oder  Hyperbel  oder  Parabel 
ist,  von  welcher  a)  beide,  b)  eine,  c)  keine  Axe  horizotal  liegen*); 

2)  wenn  die  Leitfläche  L  ein  EUipsoid  oder  eine  andere  Fläche 
zweiten  Grades  ist,  von  welcher  a)  zwei,  b)  eine,  c)  keine  Axe 
horizontal  liegen. 

V.    Die  topographiflohe  Fläche. 

361.  Die  topographische  oder  Terrainfläche  ist  die  Fläche  des 
Erdbodens  imd  wird  durch  kotirte  Projektionen  dargestellt.  Man  kann 
mittelst  dieser  Projektionen  auch  jede  andere  Fläche  darstellen  und 
Aufgaben  über  dieselbe  losen;  aber  vorteilhaft  sind  sie  nur  bei  der 
topographischen  Fläche  und  wurden  auch  für  sie  erfunden  (I,  21). 

Nach  diesem  Verfahren  legt  man  Niveauflächen  (Flächen  des 
Wasserspiegels),  das  sind  Flächen,  welche  die  Lotlinien  senkrecht 
durchschneiden.     Man  kann  diese  Flächen  nicht   in  gleichförmigen 


*)  Diese  Aufgaben  wurden  eingehend  behandelt  von  Herrn  de  la  Gour- 
nerie  in  seiner  G^om^trie  descriptive,  B.  2,  1862,  S.  104—126,  und  dabei  die 
Doppelkurven  analytisch  bestimmt. 


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IX,  S61.    Die  topographische  Fläche.  389 

Abständen  legen ^  weil  sich  die  Abstände  zweier  unendlich  nahen 
Niveauflächen  an  zwei  verschiedenen  Punkten  umgekehrt  wie  die 
Schwerkräfte  an  diesen  Punkten  verhalten ;  da  unter  dieser  Be- 
dinguug  die  Stärke  des  Drucks  der  Schicht  auf  die  untere  Fläche 
an  jeder  Stelle  dieselbe  ist.  Für  eine  kleinere  Ausdehnung  der 
topographischen  Fläche  dagegen  ist  dies  möglich^  indem  man  die 
zugehörigen  Stücke  der  Niveaufiächen  als  Teile  von  koncentrischen 
Kugeln  oder  gar  von  horizontalen  Ebenen  ansehen  darf,  wie  wir 
es  thun  werden.  Man  wählt  dann  als  Abstand  zweier  solchen  be- 
nachbarten Niveauflächen,  oder  als  Schichthöhe  ein  Meter  oder  ein 
ganzzahliges  Vielfaches  oder  einen  ganzzahligen  (aliquoten)  Teil  des 
Meters,  und  als  Vergleichsebene  die  Meeresfläche  (1, 116).  Diese  be- 
stimmten Niveauflächen,  von  welchen  die  Vergleichsebene  eine  sein 
muß,  nennt  man  die  Schicht flächoi,  insbesondere  die  Schichtebenen. 
Man  schneidet  sie  mit  der  topographischen  Fläche  in  Linien,  welche 
Niveaulinien  oder  HorisantaUinien  heißen,  und  projicirt  alle  auf  eine 
Niveaufläche,  im  besonderen  auf  eine  horizontale  Ebene;  dann  ist 
durch  diese  Projektionen  und  durch  die  Höhenzahlen  oder  Koten  der 
Linien  die  Fläche  bestimmt,  und  zwar  um  so  genauer,  je  kleiner  die 
Schichthöhe  gewählt  wurde.  In  der  Figur  sind  die  Horizontallinien  Fig.  155. 
ausgezogen,  und  die  beigesetzten  Zahlen  bedeuten  ihre  Höhen  über 
der  Meeresfläche  in  Metern.     Man  erkennt  nun  im  einzelnen: 

1)  Der  Schnitt  der  topographischen  Fläche  mit  einer  vertikalen 
Ebene  wird  leicht  bestimmt.  Die  Gerade  AB  sei  der  Grundriß  des 
Schnittes,  die  krumme  Linie  A'B'  ist  dann  sein  Aufriß.  Dabei  wer- 
den gewöhnlich,  um  die  Höhenverhältnisse  kenntlicher  zu  machen, 
die  Höhenmaße  in  einem  größeren  Maßstabe,  als  die  Horizontal- 
maße aufgetragen;  in  der  Figur  sei  es  im  doppelten. 

2)  Die  Berührungsebene  der  Fläche  in  einem  Punkte  P  ist  die 
Ebene  der  Tangenten  der  durch  P  gehenden  Horizontallinie  und 
der  Schnittkurve  mit  einer  durch  P  gelegten  Ebene,  zweckmäßig 
einer  vertikalen.  Dadurch  ergeben  sich  in  der  Figur  ihre  Schnitte 
mit  den  Schichtebenen  61  und  60  als  PT  und  ihre  Parallele  QB^ 
wenn  man  B"Q'  nach  BQ  m  AB  überträgt. 

3)  Bas  Gefalle  oder  die  Böschung  der  Fläche  (T,  118)  in  einem 
Punkte  P  ergibt  sich  gleich  der  Schichthöhe,  geteilt  durch  den 
Abstand  der  Spuren  der  Berührungsebene  der  Fläche  in  P  in  zwei 
benachbarten  Schichtebenen;  in  der  Figur  ist  er  «■^P'P":PjB 
a=  0,13,  wobei  der  Paktor  ^  von  der  angenommenen  Verdoppelung 
der  Höhenmaße  herrührt  Bei  gleichförmigem  Gefälle  ist  Pü  gleich 
dem  Abstände  zweier  Horizontallinien.     Die  Fläche   ist   daher   an 


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390    IX,  361—362.    Abwickelbare  Flächen,  gemeinschaftl.  Berühnmgsebenen. 

einer  Stelle  am  so  steiler^  je  näher  daselbst  die  Horizontallinien 
beieinander  liegen. 

362.    Die  Linien  der  größten  Neigung  oder  die  FaiUinien  sind 
diejenigen  Linien  der  topographischen  Fläche,  welche  in  jedem  ihrer 

Fig.  155. 

/^^^"^'-^^^         '^^^^^^'^^^       /'^^ifrV  ^  V^^^^^^^^N^^"""''^^^         V^'^'v^ 

•^^^^^^^^ 

Punkte  stärker  geneigt  sind^  als  jede  andere  durch  diesen  Punkt 
gehende  Linie  der  Fläche;  sie  selbst  und  ihre  Horizontalprojektionen 
schneiden  daher  die  Horizontallinien  senkrecht.  In  der  Figur  sind  Fall- 
linien gestrichelt  angegeben.  Die  Falllinien  und  ihre  Horizontal- 
projektionen sind  im  allgemeinen  krumm  und  die  letzteren  nur  dann 

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IX,  362.    Die  topographische  Fläche.  391 

sämtlich  gerade^  wenn  die  Horizontallinieu  äquidistante  (parallele) 
Linien  bilden  (I,  238)  ^  z.  6.  parallele  Gerade  oder  koncentrische 
Kreise.  In  den  Falllinien  bewegt  sich  das  Wasser  zu  Beginn  seiner 
Bewegung  oder  nahezu  das  langsam  fließende  Wasser,  das  nicht 
viel  durch  die  Trägheit  abgelenkt  wird. 

Die  EigenHimlichkeiten  der  HorizontdlUnien  und  die  der  Fall- 
linien sind  toesesenÜich  von  einander  verschieden.  Die  Horizontaüinien 
sind,  wie  das  Meeresufer,  geschlossene  Linien.  Sie  werden  zu 
Punkten  in  einem  höchsten  oder  CHpfe^mikte,  und  in  einem  tiefsten 
(auf  dem  Grunde  des  Meeres  oder  einer  Bodenvertiefung  oder  Mulde), 
den  man  Müldenpunkt  nennen  könnte.  Wenn  zwei  Horizontallinien, 
welche  verschiedenen  Bergen  angehören,  beim  Abwärtssteigen  in 
einem  Punkte  mit  horizontaler  Berührungsebene  der  Fläche  zusam- 
mentreffen, so  bilden  sie  hier  einen  Doppelpunkt,  und  dieser  Punkt 
heißt  ein  Sattelpunkt  (S).  Die  Horizontallinien  sind  im  allgemeinen 
stetig;  eine  Ecke  kommt  vor  in  einer  Bodehkante^  d.  i.  entweder 
in  einer  scharfkantigen  Rinne  oder  in  einem  Grate^  wie  sie  meist 
nur  bei  nacktem  Felsen  auftreten. 

Die  Falüinim  verlaufen  im  allgemeinen  getrennt  von  einander, 
da  im  allgemeinen  durch  einen  Punkt  der  Fläche  nur  eine  solche 
geht  Nur  durch  einen  höchsten  oder  tiefsten  Punkt  H  (Gipfel- 
oder Muldenpunkt)  gehen  unendlich  viele,  nämlich  in  jeder  horizon- 
talen Richtung  eine;  und  durch  jeden  Punkt  einer  Bodenkante 
gehen  drei,  nämlich  diese  Linie  selbst  und  eine  in  jedem  Abhänge, 
welcher  in  ihr  endet  Die  Bodenkante  schneidet  die  Horizontallinien 
in  ihren  Ecken,  und  dies  stimmt  mit  dem  senkrechten  Schneiden  der 
Horizontallinien  mit  den  gewöhnlichen  Falllinien  überein  (1, 194).  Da- 
her gehen  alle  Falllinien,  welche  auf  eine  Bodenkante  treffen,  in 
dieselbe  über.  Jede  Falllinie  steigt  bis  zu  einem  höchsten  Punkte 
(einem  Gipfel)  und  sinkt  bis  zu  einem  tiefsten  (des  Meeresgrundes 
oder  einer  Mulde).  Läßt  man  sie  diese  Punkte  gerade  überschreiten, 
so  ist  sie  unbegrenzt  und  im  allgemeinen  ungeschlossen,  da  sie  im 
allgemeinen  nicht  in  sich  selbst  zurückkehrt.  Endlich  ist  jede  Linie 
der  Fläche,  auf  welche  außer  in  einem  höchsten  oder  tiefsten  Punkte 
eine  Falllinie  nirgends  auftriffb,  selbst  eine  Falllinie;  außerdem  sind 
nur  noch  Bodenkanten  Falllinien. 

Die  Falllinien  einer  Umdrehungsfläche  mit  lotrechter  Axe  bilden 
deren  Meridianlinien;  ihre  Grundrisse  sind  Gerade. 

Horizontallinien  und  Falllinien  sind  im  Grundriß  zwei  Schaaren 
von  gegenseitigen  senkrechten  Tr(yektorien,  also  reciprok.  Nicht  aber 
dürfen  sie  vertauscht  werden,  wenn  sie  die  kotirte  Projektion  einer 
krummen  Fläche,   und  gar  einer  Bodenfiäche,   bilden.sollen;   dem 


t-;;;iv^>---ITYjpogIe 


392    IX,  362—363.    Abwickelbare  Flächen,  gemeinschafU.  Berührnngsebenen. 

Fig.  155.  widerspricht  durchaus  die  Verschiedenheit  ihrer  Eigentümlichkeiten, 
wonach  die  einen  geschlossene  Linien  im  allgemeinen  mit  einfachem 
Verlaufe,  oder  höchstens  mit  Doppelpunkten,  die  anderen  im  allge- 
meinen ungeschlossene  Linien  mit  unendlich  vielfachen  Punkten  sind. 

363.  Zwei  Linien  der  topographischen  Fläche  sind  von  beson- 
derer Wichtigkeit,  die  Rinnelinie  oder  der  Thalweg  (CSD  der  Figur), 
und  die  Rückenlinie  oder  die  Wassersdieide  {ES HF).  Beide  sind 
Linien,  über  welche  das  langsam  fließende  Wasser  nicht  quer  hin- 
überfließt, sie  sind  also  Falllinien.  Die  Rinnelinie  insbesondere  ist 
eine  solche  Falllinie,  zu  welcher  das  abfließende  Wasser  zu  beideu 
Seiten  von  verschiedenen  Abhängen  zuströmt  und  entlang  welcher 
es  bei  hinreichender  Menge  einen  Bach  oder  einen  Fluß  bildet;  die 
Rückenlinie  ist  eine  solche,  von  welcher  das  beiderseits  fließende 
Wasser  sich  entfernt  und  verschiedenen  Rinnelinien  zufließt.  Rasch 
fließendes  Wasser  kann  durch  seine  Trägheit  eine  Rücken-  oder 
eine  Rinnelinie  überschreiten,  oder  sie  verlassen,  wenn  es  in  der- 
selben floß;  in  die  Rückenlinie  kehrt  es  dann  nicht  zurück,  wohl 
aber  im  allgemeinen  in  die  Rinnelinie.  Die  erstere  ist  daher  eine 
Linie  des  labilen^  die  letztere  eine  des  stabilen  Fließens. 

Bei  der  geometrischen  Auffassung  wird  das  fließende  Wasser 
durch  Falllinien  ersetzt.  Daher  sind  die  Rücken-  und  Rinnelinien  in 
besonderen  Fällen  die  in  den  Bodenkanten  liegenden  Falllinien,  und  auf 
diese  stoßen  die  benachbarten  Falllinien  auf;  im  allgemeinen  aber  sind 
es  solche  Falllinien ,  in  deren  Nähe  die  anderen  Falllinien  weit  kleinere 
gegenseitige  Abstände  besitzen,  als  an  entfernteren  Stellen,  an  welche 
sich  die  benachbarten  Falllinien  in  asymptotenähnlicher  Weise  annähern, 
und  zwar  im  Steigen  oder  Fallen,  je  nachdem  die  Linien  Rücken- 
oder  Rinnelinien  sind,  und  von  denen  aus,  wenn  sie  Rückenlinien  sind, 
die  auf  .verschiedenen  Seiten  liegenden  Fälllinien  nach  verschiedenen 
Rinnelinien  hin,  und  wenn  sie  Rinnelinien  sind,  nach  versdUedenen 
Rückenlinien  hin  laufen*).  Hieraus  folgt  auch,  daß  der  obere  End- 
punkt einer  Rinnelinie  und  der  untere  einer  Rückenlinie,  wenn  nicht 
in  einem  Sattelpunkte  der  Fläche,  in  einem  Flachpunkte  einer  Hori- 
zontcdlinie  liegt,  d.  i.  in  einem  Punkte,  in  dem  die  Horizontallinie 
von  ihrer  Tangente  vierpunktig  berührt  wird  (I,  246).  Es  ist  die 
Annäherung  als  „asymptotenähnlich*^  bezeichnet  worden,  weil  sich 
die  Falllinien  (in  einem  höchsten  oder  tiefsten  Punkte)  schneiden, 
während  „asymptotische"  Linien  im  Endlichen  nicht  zusammentreffen. 

*)  Boussinesq  (Comptea  rendns,  B.  76,  1872,  S.  198  f.)  stellte  einen  Begriff 
dieser  Linien  (lignes  de  falte  et  de  thalweg)  auf,  den  ich  nioht  für  zutref- 
fend halten  kann. 


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IX,  363.    Die  topographische  Fläche.  393 

Die  Rücken-  und  Rinnelinien  unterscheiden  sich  daher  nur  durch 
das  Auf-  und  Absteigen  der  sich  annähernden  anderen  Geföllelinien, 
was  im  Grundriß  nur  durch  die  beigeschriebenen  Hohenzahlen  zu 
entscheiden  ist.  Ohne  diese  Zahlen  besitzen  sie  im  Grundriß  keinen 
Unterschied,  und  durch  Umkehrung  des  Sinnes  des  Zunehmens  der 
Höhenssahlen  tverden  die  Rücken-  zu  Rinnelinien  und  umgekehrt.  Die 
Horizontallinien  haben  ihre  hohle  Seite  in  Punkten  einer  Rücken- 
linie im  Inneren,  in  Punkten  einer  Rinnelinie  im  Äußeren  der 
Erdmasse. 

Geht  man  von  einem  höchsten  Punkte  abwärts,  so  durchschreitet 
man  zunächst  Horizontallinien,    deren  hohle   Seite  in  jedem   ihrer 
Punkte  in  der  Erdmasse  liegt.    Es  kann  dann  an  einer  Stelle  eine  **ig.  ise. 
Umstülpung   eintreten,    so    daß    sich    die  p.     ^^^ 

hohle  Seite  nach  außen  kehrt.    Die  Grenze  ^ 

zwischen   beiderlei  Horizontallinien   bildet  ;l\ 

eine  solche  A,  welche  einen  Flachpunkt  F  i^, 

besitzt.     Die   Falllinie   dieses   Punktes   in 
ihrem  abwärts  gehenden  Teile  g  ist  aber 
eine   Riunelinie.     Denn    die    benachbarten 
FalUinien,   abwärts  gezogen,  nähern  sich 
ihr,  während  sie  aufwärts  gezogen  sich  den 
beiderseits  liegenden  Rückenlinien  r^  r^  nä- 
hern,  wie   dies   aus   der   Gestalt    der   Horizontallinien   hervorgeht. 
Der  aufwärts  gezogene  Teil  der  Falllinie  des  Flachpunktes  ist  keine 
Rinuelinie,  weil  sich  ihr  die  aufwärts  gezogenen  Falllinien  nähern; 
sie  ist  aber  auch  keine  Rückenlinie,  weil  die  Falllinien,  nach  unten 
gezogen,  sich  nicht  yerschiedenen,  sondern  derselben  Rinnelinie  an- 
schließen.   Bei   dem  Flachpunkte   findet   die   stärkste  Aufbauschung 
des  Bündels  von  Falllinien  statt. 

Es  kommt  häufig  vor,  daß  sich  ein  abwärts  gehender  Berg- 
rücken in  zwei  Rücken  teilt,  und  daß  unterhalb  der  Teilungsstelle 
zwischen  beiden  Rücken  ein  Thal  entspringt]  oder  daß  zwei  abwärts 
gehende  Thäler  sich  vereinigen,  und  daß  ein  zwischen  ihnen  ver- 
laufender Rücken  oberhalb  der  Yereinigungsstelle  endet.  In  dem 
ersten  Falle,  dem  der  zweite  reciprok  gegenübersteht,  lösen  sich 
aus  dem  Bündel  der  nahe  benachbarten  Falllinien  des  noch  un- 
geteilten Rückens  r  zwei  absteigende  Falllinien  los,  die  sich  weiter 
unten  deutlich  als  Rückenlinien  r^,  r^  erweisen,  und  eine  dritte, 
welche  zu  einer  Rinnelinie  g  wird.  Es  laufen  dann  auf  dem  noch 
ungeteilten  Rücken  zwei  Rückenlinien  nahe  nebeneinander  her,  welche 
einen  Streifen  einschließen,  der  zu  dem  Gebiete  des  erst  weiter  unten 
entstehenden   Thaies   gehört.    In   gleicher  Weise   läuft   auf  einem 


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^ 


394    IX,  363—364.    Abwickelbare  Flächen,  gemeinschafbl.  Berührangsebenen. 

hocUiegenden  Rücken  im  allgemeinen  eine  größere  Anzahl  von 
Rückenlinien  hin,  welche  den  Rücken  zugehören,  die  in  größerer 
Tiefe  ans  dem  ersteren  Rücken  entspringen. 

364.  DciS  GefiUle  einer  topographischen  Fläche  ist  entlang  einer 
Horizontallinie  derselben  in  demjenigen  Funkte  ein  größtes  oder  em 
Meinstes,  in  welchem  der  Grundriß  einer  Falllinie  einen  Wendeptinkt 
besitzt.  Es  ist  ein  größtes,  wenn  die  beiderseits  benachbarten  FaiUinien 
jenem  Punkte  beide  ihre  hohlen,  ein  Tdeinstes,  wenn  sie  ihm  beide 
ihre  erhabenen  Seiten  zukefiren.  Die  Verbindungslinie  dieser  Wende- 
punkte heißt  eine  Linie  des  größten  oder  kleinsten  Geßlles  der  Fläche''). 
Fig.  157.  Es  seien  nämlich  h  und  h^   zwei  benachbarte  Horizontallinien, 

a  und  b  zwei  benachbarte  Palllinien;  dieselben  schneiden  die  ersteren 
Linien  bezw.  in  den  Punkten  A,  B  und  Ä^ 
B^]  es  habe  die  a  in  J.  einen  Wendepunkt 
und  es  kehre  die  b  dem  Ä  in  Fig.  a)   ihre 
hohle,  in  Fig.  b)  ihre  erhabene  Seite  zu.   Die 
a   hat,    weil   Ä   ein   Wendepunkt   derselben, 
in  A  und  A^  dieselbe  Tangente  AA^KK^, 
die  b  habe  in  B  und  B^  bezw.  die  Tangenten 
BK,  B^K^,     Diese  Linien  sind  zugleich  die 
Normalen  der  h  und  \ ;   daher  sind  K  und 
K^  bezw.  die  Krümmungsmittelpunkte  von  h 
und  hl  in  A  und  A^.    Nun  liegt  offenbar  in 
a)  Kl  innerhalb,  in  b)  außerhalb  -4 -K";  daher 
schneidet   der  Kreis,   welcher   aus  K^   oder 
koncentrisch  mit  dem  Kreisbogen  A^  B^,  durch 
B  gelegt  wird,  die  AA^   in  a)  außerhalb  AA^,   in  b)  innerhalb 
AAi ;  oder  es  ist  in  a)  AA^  <  BB^ ,  in  b)  AA^  >  BB^.    Daher  ist 
das  Gefalle  der  Fläche  in  a)  bei  A  größer  als  bei  B,  in  b)  kleiner. 
Es  ist  also  in  einem  Punkte  A  einer  Horizontallinie  h,  in  welchem 
die  Falllinie  a  einen  Wendepunkt  hat,  das  Gefalle  der  Fläche  größer 
oder  kleiner,  als  in  einem  benachbarten  Punkte  B  der  h,  je  nach- 
dem die  Falllinie  b  von  B  dem  Punkte  A  ihre  hohle  oder  ihre  er- 
habene Seite  zukehrt     Hieraus  folgt  aber  der  Satz. 

Eine  Linie  des  kleinsten  Gefälles  k  (Fig.  155)  liegt  in  einer  Bücken- 
oder  Rinnelinie,  wenn  die  fragliche  der  letzteren  Linien  eine  Bodenkante 
oder  wenn  ihr  Grundriß  eine  Gerade  ist.  In  den  anderen  Fallen  umcht 


*)  Der  erste  Teil  dieses  Satzes  wurde  analytisch  schon  von  Boussinesq 
(Comptes  rendas,  B.  73,  1871,  S.  1368  f.)  nachgewiesen,  und  der  Verlauf  der 
Linien  gegen  die  Rficken-  und  Rinnelinien  von  ihm  bezeichnet.  Die  Kenn* 
zeichen  des  Maximums  und  Minimums  gibt  er  nicht  an. 


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IX,  364—366.    Die  topographische  Fläche.  395 

sie  von  dieser  Linie  ah;  es  liegt  aber  eine  Linie  des  Tcleinsten  Gefälles  gam 
nahe  hei  einer  krummen  Bücken-  oder  Rinnelinie  j  und  moar  auf  ihrer 
erlwbenen  Seite,  Denn  indem  die  auf  ihrer  erhabenen  Seite  liegen- 
den benachbarten  Falllinien,  welche  ihr  bei  der  asymptotenähu- 
lichen  Annäherang  ihre  hohle  Seite  zukehrten ;  sich  rasch  bei  ihrer 
Entfernung  abwenden^  kehren  sie  ihr  dann  ihre  erhabenen  Seiten 
ZU;  so  daß  auf  ihnen  ein  Wendepunkt  durchlaufen  wird.  Die  Linie 
dieser  Wendepunkte  ist  aber  eine  solche  Meinsten  Gefälles,  weil  sie 
solche  Wendepunkte  der  Falllinien  enthält,  denen  die  beiderseits 
benachbarten  Falllinien  ihre  erhabenen  Seiten  zukehren.  Eine  Linie 
des  kleinsten  Gefälles  schneidet  die  Rücken-  und  Rinnelinien  in 
deren  Wendepunkten. 

Andererseits  liegt  eine  Linie  des  größten  Gefälles  g  (Fig.  153)  im 
allgemeinen  in  Mitten  eines  Abhanges^  der  eine  liücken-  mit  einer  Rinne- 
linie  verbindet,  indem  der  Übergang  entlang  einer  Falllinie  von  der 
einen  zur  anderen  jener  Linien  meist  mit  Umkehr  des  Sinnes  der  Krüm- 
mung, d.  i.  mit  Durchschreitung  eines  Wendepunktes  geschieht,  denen 
die  beiderseits  benachbarten  Falllinien  ihre  hohlen  Seiten  zukehren. 
Doch  ist  auch  der  Fall  denkbar,  daß  zwischen  einer  Rücken-  und 
einer  benachbarten  Rinnelinie  eine  Falllinie  keinen  oder  nur  einen 
nahe  bei  einer  dieser  Linien  liegenden  Wendepunkt  besitzt,  so  daß 
hier  keine  Linie  des  größten  Gefälles  auftritt.  Wenn  z.  B.  die  Horizon- 
talprojektionen jener  beiden  Linien  koncentrische  Kreise  sind,  so  ist 
es  möglich,  daß  die  Falllinien  zwischen  ihnen  gar  keinen  Wende- 
punkt besitze^.  Dann  besteht  auf  dem  zwischenliegenden  Abhänge 
keine  linie  größten  Gefölles,  aber  auch  in  der  Nähe  der  durch 
den  kleineren  Ejreis  dargestellten  Linie  keine  Linie  kleinsten  Ge- 
föUes.  Es  nimmt  vielmehr  das  Gefälle  entlang  seiner  Horizontal- 
linie von  einem  auf  den  größeren  Kreis  projicirten  Punkte  gegen 
einen  auf  den  kleineren  Kreis  projicirten  und  über  diesen  hinaus 
beständig  zu,  so  daß  erst  jenseits  derselben,  wenn  sich  hier  die 
Umstände  ändern,  eine  Linie  des  größten  und  dann  erst  bei  der  folgen- 
den Rücken-  oder  Rinnelinie  eine  Linie  des  kleinsten  Gefälles  auftritt. 

366.  Die  Linien,  welche  die  Punkte  der  größten  oder  der 
kleinsten  Krümmung  der  Horizontallinien  verbinden  und  die  Linien 
der  größten  oder  kleinsten  Horufontalkrümmung  heißen  mögen,  wei- 
chen meistens  nicht  viel  von  den  Rücken-  und  Rinnelinien  und 
von  den  Linien  des  kleinsten  Gefälles  ab.  Daß  sie  aber  im  aU- 
gemeinen  von  ihnen  verschieden  sind,  erkennt  man  deutlich  an 
einem  schiefen  elliptischen  Kegel.  Bei  demselben  ist  im  Grund- 
riß eine  größte  Normale,  von  der  Spitze  auf  die  Grundellipse  ge- 
fällt,  von  denen   eine   oder   zwei   bestehen,   eine  Rückenlinie  und 


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396    I^)  365 — 366.    Abwickelbare  Flächen,  gemeinschaftl.  BerühniDgdebeneD. 

zugleich  eine  Linie  kleinsten  Gefälles;  eine  kleinste  Normale,  deren 
ebenso  viele  wie  größte  bestehen,  eine  Linie  des  größten  Gefälles, 
während  es  eine  Rinnelinie  nicht  gibt;  die  Geraden  von  der  Spitze 
nach  den  Scheiteln  der  großen  und  kleinen  Axe  der  Ellipse  sind  die 
Linien  bezw.  der  größten  und  kleinsten  Horizontal krQmmung. 

866.  Die  Gestalt  der  Bodenfläche  wird  durch  geologische  und 
meteorologische  Vorgänge  gebildet ^  so  durch  das  Erstarren  feuerflüssiger 
Massen,  durch  Faltungen  und  Brüche  der  Erdrinde,  durch  das  Ab- 
und  Anschwemmen  durch  Meteorwasser,  durch  das  langsame  Nieder- 
sinken fester  Eörperteilchen  auf  den  tiefen  Meeresgrund.  Einige 
dieser  Vorgänge  sind  unstetig,  wie  die  Brüche,  und  haben  unste- 
tige Formen  zur  Folge,  wie  die  Felsgrate  und  die  scharfen  Binnen 
in  nacktem  Gestein.  Andere  sind  mehr  oder  weniger  stetig,  wie 
das  Verwittern,  das  Ab-  und  Anschwemmen,  und  haben  mehr  oder 
weniger  stetige  Formen  zur  Folge.  Aus  der  StetigTceit^  wo  dieselbe 
bei  der  topographischen  Fläche  besteht,  können  durch  geometrische 
Folgerungen  Eigenschaften  der  verschiedeneu  Linien  der  Fläche  her- 
geleitet werden,  welche  geometrische  Eigenschaften  derselben  heißen 
mögen.     Als  solche  führen  wir  folgende  an: 

\)  Im  Grundrisse  hat  in  einem  höchsten  oder  tiefsten  Punkte  H 
einer  stetigefi  topographischen  Fläche  eine  Falllinie,  wenn  sie  in  un- 
geänderter  Richtung  über  denselben  fortgesetzt  ttnrd,   im  allgemeinen 
einen   Wendepunkt     Denn  jede  stetige  Fläche   schmiegt   sich   nach 
der  später  zu  gebenden  Lehre  der  Krümmung  in  jedem  elliptischen 
Punkte  derselben,  also  auch  in  einem  höchsten  oder 
Flg.  158.        tiefsten  (Gipfel-  oder  Muldenpunkte)  einem  EUipsoide 
Kg.  158.      /'Cr?\        *^;  ^^8  im  besonderen  auch  eine  Kugel  sein  kann, 
so  daß  im  Grundrisse  die   benachbarten  Horizontal- 
linien  A,  Aj,    weil   sie   beiden   Flächen   gemeinsam 
sind,   ähnliche  und    ähnlich  gelegene   koncentrische 
Ellipsen  (indicatrix)  bilden,  woraus  folgt,  daß  deren 
Mittelpunkt  H  ein  Punkt  jeder  Trajektorie  und  zu- 
gleich  ein  Symmetrie-,  daher  ein  Wendepunkt  der- 
selben ist.     Die  Axen  dieser  Ellipsen  sind  Tangenten  der  Projek- 
tionen der  Linien  des  größten  und  kleinsten  Gefälles  der  Fläche  im 
Punkte  JS",  weil  das  Gefälle  der  Fläche  in  den  Scheiteln  einer  sol- 
chen Ellipse  ein  größtes  oder  kleinstes  ist,  da  dies  für  den  Kegel 
gilt,  der  das  EUipsoid  entlang  der  .Ellipse  berührt.     Daher  gilt: 

In  einem  höchsten  oder  tiefsten  Funkte  einer  topographischen  Fläche 
schneiden  sich  im  allgemeinen  eine  Linie  des  größten  und  eine  des 
kleinsten  Gefälles  rechtwinklig;  die  erstere  Linie  berührt  in  jenem  Punkte 
eine  Bücken-  bessw.  Binnelinie.    (Vergl.  Fig.  155.)    Ist  aber  die  Fläche 


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IX,  366—367.    Die  topographische  Fiftche. 


397 


in  einem  höchsten  oder  tiefsten  Punkte  kugelartig^  so  werden  die 
Ellipsen  zu  Kreisen  ^  und  es  gehen  von  jenem  Punkte  die  genannten 
Linien  nicht  aus,  bilden  sich  vielmehr  erst  in  einem  Abstände  von 
jenem  Punkte,  und  möglicher  Weise  auch  mehr  wie  zwei  von  jeder 
Art  der  Linien. 

2)  In  einem  Sattelpunkte  S  (Fig.  155)  schneiden  sich  0u?ei  Linien 
kleinsten  Gefälles  k  rechtwinklig  unter  HaUnrung  der  beiden  Winkel 
der  durch  S  gehenden  Zweige  der  Horusonlallinie,  Außerdem  gehen 
durch  S  eine  Rücken-  und  eine  Rinnelinie,  welche  die  Linien  des  klein- 
sten Gefälles  berühren.  Eine  i/oeitere  Falllinie  geht  nicht  durch  S. 
Eine  anschmiegende  Fläche  in  einem  Sattelpunkte  ist  ein  einscha- 
liges Hyperboloid;  dasselbe  wird  von  der  Horizontalebene  von  S  in  Kg.  159. 
zwei  Erzeugenden,   und  von  zweien  bei-  p.     ^-^ 

derseits    von   S   in    gleichen,    unendlich 
kleinen  Abstanden  liegenden  horizontalen 
Ebenen  in  Hyperbeln  geschnitten,  deren 
Projektionen  Ä,  h^  auf  die  durch  8  gelegte 
Horizontalebene  konjugirt   sind  und  jene 
Erzeugenden  zu  Asymptoten  haben.     Die 
aufeinander  senkrechten  Axen  der  Hyper- 
beln sind  ebensowohl  Elemente  der  Linien  kleinsten  Gefälles  der 
Fläche,  weil  dies  für  jeden  Eegel  gilt,  welcher  die  Fläche  entlang  einer 
der  Hyperbeln  berührt,  als  auch  Elemente  bezw.  von  einer  Bücken- 
und  einer  Rinnelinie,  wie  aus  dem  Verlaufe  der  (punktirten)  Falllinien 
hervorgeht   Die  Asymptoten  endlich  sind  Tangenten  der  Horizontal- 
linie der  topographischen  Fläche.    Aus  allem  diesem  folgt  der  Satz. 

367.  Meteorologischer  Natur  sind  die  Vorgänge,  daß  in  dem  Ge- 
biete des  Abschwemmens,  dem  Hochlande,  die  Meteorwasser  Gerinne 
auswaschen,  daß  daher  gegen  abwärts  sich  vermehrende  Rinnelinien 
auftreten,  daß  dadurch  eine  Verzweigung  der  Rückenlinien  eintritt, 
daß  sich  Rinnelinien  vereinigen  und  dadurch  Rückenlinien  abschließen; 
daß  dagegen  in  dem  Gebiete  des  Anschwemmens,  der  Tiefebene^ 
insbesondere  in  einem  Flußdelta,  die  herbeigeschwemmten  Erdmassen 
wegen  des  zu  geringen  Gefälles  nicht  mehr  weitergeführt  werden 
können,  daß  sie  sich  niedersetzen  und  neue  Rücken  bilden,  die  zu 
einer  Teilung  der  abwärts  gehenden  Rinnen  führen.  —  Der  Cha- 
rakter der  Linien  wechselt  mit  der  Entstehungsweise  des  Bodens. 
Wurde  er  durch  Abschwemmen  geformt,  so  sind  die  Horizontal- 
kurven in  der  Nähe  der  Rücken-  und  Gerinnelinien  am  stärksten 
gekrümmt  infolge  des  geringsten  Abschwemmens  an  den  ersteren 
und  des  stärksten  an  den  letzteren.  Ist  der  Boden  durch  einen 
Lavastrom  gebildet,  so  verlaufen  an  dessen  (steilen)  Rändern  Linien 


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Fig.  160. 


398    IX,  367—368.    Abwickelbare  Flächen»  gemeinschaftl.  Berübrongsebenen. 

der  stärksten  HorieontaUcrümmung.  —  Im  tiefen  Meeresgrunde  mögen 
die  langsam  niedersinkenden  festen  Körperteilchen  ein  Yorherrsehen- 
des  Ausfällen  der  Tiefen  bewirken. 

368.    Grundaufgäben  über  die  tapographisdie  Fläche, 
Pig  160.  1)  Die  Schnittlinie  der  Fläche  mit  einer  Ebene  m  ermitteln.  Die 

Ebene  ist  durch  ihren  Gefallemaßstab  e  (I,  119)  gegeben.  Man  lege 

durch  dessen  Teilpunkte  die  (zu  e 
senkrechten)  Hauptlinien  der  Ebene; 
der  Schnittpunkt  einer  jeden  mit  der 
Horizontallinie  der  Fläche  von  der 
gleichen  Höhenzahl  ist  ein  Punkt  der 
Schnittlinie  s. 

2)  Den  Schnittpunkt  P  der  FläAe 
mit  einer  Geraden  g  zu  bestimmen.  Man 
lege  durch  die  Gerade  eine  Ebene,  schneide  sie  mit  der  Fläche,  so 
ist  der  Schnittpunkt  der  Schnittlinie  mit  g  der  gesuchte  Punkt  P. 
—  Sucht  man  zuerst  diejenige  Stelle  der  Geraden,  welche  zugleich 
zwischen  zwei  Punkten  dieser  Geraden  und  zwischen  zwei  Horizon- 
tallinien der  Fläche  liegt,  die  bezw.  dieselben  auf  einander  folgen- 
den Höhenzahlen  besitzen  (in  der  Figur  24  und  25),  so  erhält  man 
mittelst  der  durch  jene  Punkte  der  Geraden  in  passender  Richtung 
gelegten  Hauptlinien  einer  Hilfsebene  zwei  Punkte  von  deren  Schnitt- 
linie mit  der  Fläche,  und  zeichnet  man  dieselbe  zwischen  diesen 
Punkten  als  gerade  Linie,  so  liefert  deren  Schnitt  mit  g  den  Punkt 

P.    Ist  die  Gerade  nicht 
^^^-  ^^^'  genau  genug,  so  ermittelt 

man    noch    einen   dritten 
Punkt  der  Schnittlinie. 

3)  Auf  einer  stetigen 
Fläche  von  einem  gegebenen 
Funkte  F  aus  eine  stetige 
Linie  von  gegebenem  Ge- 
fälle y  0u  legen. 

Ist  die  Schichthöhe  a, 
Fiff  161-  so  ist  die  Länge  der  Linie 

zwischen  zwei  aufeinander  folgenden  Horizontallinien  (Kurven),  oder 
das  Intervall  ie=s  a:y.  Ist  P  ein  Punkt  einer  Kurve,  so  beschreibe 
man  aus  P  mit  dem  Halbmesser  i  einen  Kreis  und  schneide  mit 
ihm  die  beiden  benachbarten  Kurven  in  vier  Punkten;  dann  ge- 
hören je  zwei  derselben  einer  der  beiden  möglichen  Kurven  an.  Von 
den  zweien  auf  derselben  Horizontallinie  liegenden  Schnittpunkten  Q 
und  Q'  fährt  man  in  gleicher  Weise  fort,  behält  aber  dabei  der 


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IX,  368—369.   Die  topographische  Fläche.  399 

Stetigkeit  der  zu  bestimmenden  Kurve  halber  nur  den  dem  P  gegen- 
überliegenden Schnittpunkt  bei;  u.  s.  w.  Liegt  P  nicht  auf  einer 
der  Kurven,  so  beachtet  man,  daß  sich  die  Linienstücke  von  P  bis 
zu  den  benachbarten  Kurven  verhalten  wie  die  senkrechten  Abstände 
des  P  von  diesen  Kurven,  und  daß  ihre  Summe  =»  i  isi 

4)  Ztmschen  ewei  Ptmkte  R  und  8  der  Fläche  eine  Linie  von 
gleichförmigem  Geßlle  m  legen.  Man  verbindet  R  und  S  durch  eine 
Kurve,  welche  nach  dem  Augenmaße  gleiche  Stücke  zwischen  den 
aufeinander  folgenden  Kurven  besitzt,  trage  die  ungeföhre  mittlere 
Länge  dieses  Stückes  in  der  Weise  wie  bei  der  vorigen  Aufgabe 
von  R  aus  weiter,  bilde  zwei  derartige  Probelinien,  die  im  allge- 
meinen beide  nicht  nach  S  führen  werden,  imd  füge  dann  durch  ver- 
hältnismäßige Einschaltungen  auf  den  Horizontallinien  eine  weitere 
Kurve  zu,  deren  Stücke  zwischen  den  Horizontallinien  man  auf  ihre 
Gleichheit  prüfe  und  etwa  verbessere. 

369.  Ätifg.  Über  einen  geneigten  Boden  soll  auf  einem  Damme 
eine  ansteigende  Eisenhahn  in  einer  gegebenen  hreisförmigen  Kurve  ge- 
führt werden;  der  Erddamm  soU  eine  gegebene  gleichförmige  Böschung 
erhalten,  an  einer  Stelle  durch  eine  ebenfalls  gelöschte  Mauer  gestützt 
werden,  und  a/n  diese  soU  sich  der  Erddamm  kegelförmig  anschließen. 
Es  sind  die  Schnittlinien  der  verschiedenen  Flächen  0u  vergeichnen*). 

Aufl.  Von  der  2  m  breiten  Bahnkrone  seien  im  Grundrisse  die  Fig.  i62. 
Axe  durch  den  Bogen  AB  eines  Kreises  von  15  m  Halbmesser,  die 
Randlinien  daher  durch  Kreise  von  14  und  16  m  Halbmesser  ge- 
bildet; der  Mittelpunkt  M  dieser  Kreise  liegt  außerhalb  der  Zeich- 
nung. Femer  sei  die  Hohe  des  Punktes  A  über  dem  Meeresspiegel 
=  50  m,  das  Gefälle  der  gegen  B  steigenden  Mittellinie  der  (Zahn- 
rad-)Bahn  /J  =  1 :  5;  dann  beträgt,  wenn  die  Schichthöhe  a  =  ^  m 
ist,  das  Intervall  auf  der  Kronaxe  i  <=»  a  :  /3  =  ^  •  5  «»  2,5  m.  Entlang 
des  Stückes  CB  der  Bahn  sei  der  Damm  gegen  das  Thal  durch 
eine  Mauer  von  1  m  Kronbreite  gestützt.  Auf  der  Kronfläche 
sind  durch  die  Kotenpunkte  Gerade  durch  M  gelegt,  und  diese 
horizontalen  Linien  bilden  die  Kronfläche.  Die  räumliche  Mittellinie 
und  die  Kanten  der  Krone  sind  Schraubenlinien,  die  Kronfläche 
eine  windschiefe  geschlossene  senkrechte  Schraubenfläche  (Wendel- 
fläche), die  wir  später  näher  kennen  lernen  werden. 

Soll  nun  jede  Seitenfläche  des  Dammes  eine  gleichförmige 
Böschung  d  B»  4  :  5  besitzen,  so  muß  die  Böschungsfläche  eine  Fläche 


*)  Diese  Aufgabe  ist  dem  schon  früher  angeführten  (I,  21)  Bache  „Eotirte 
Projektionsmethode"  von  Peschka  (1882,  S.  187)  entnommen;  die  Böschungs- 
flächen des  Dammes  mußten  wegen  des  hier  angenommenen  größeren  Gfefälles 
der  Bahn  anders,  wie  dort,  behandelt  werden. 


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400    1^>  369.   Abwickelbare  Flächen,  gemeinschaftl.  BerObrnngBebenen. 

von  gleichförmiger  Neigung,  also  eine  abunckelbare  Schrmibenfläche 
(359,  3))  sein.  Durch  einen  Punkt  D  (50)  einer  schraubenförmigen 
Eronkante  s  denke  man  eine  horizontale  Ebene  gelegt;  dieselbe  schnei- 

Fig.  162. 


r"i    I   I,  '   i  '    '.  '    '.  '  X  '  J.  '  ;.  ^^ 


det  den  Schraubencylinder  in  einem  Kreise  Je  vom  Halbmesser  r ' 
=  14  m,  und  die  Böschungsfläche  in  einer  Kreisevolvente  h  (343); 
die  Tangenten  dieser  Linien  in  D  seien  bezw.  s\  Tc\  W\  sie  bilden 


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IX,  369.    Die  topographische  Fläche.  401 

ein  bei  h'  rechtwinkliges  Dreikant,  in  welchem  tg  (äj's')  = /J(r  :  r') 
das  Gefalle  von  s  ausdrückt,  tg  (Ä')  =  S  ist,  und  daher  die  Seite 
(k'h')  bestimmt  wird  durch 

Die  Normalen  von  k  und  h  bilden  ebenfalls  den  Winkel  k'h']  daher 
berührt  die  Normale  der  h  einen  mit  k  koncentrischen  Kreis  vom 
Halbmesser 

r'  sin  {k'h')  =  lr=i^.l5m  =  3,75  m . 

Dieser  Kreis  ist  die  Projektion  derjenigen  Schraubenlinie,  welche 
die  Rückkehrkante  der  Böschungsfläche  bildet,  und  h  ist  die  Evol- 
vente des  Kreises.  Der  Kreis  ist  unabhängig  von  r';  er  gilt  ulso 
auch  für  die  durch  die  äußere  Kronkante  (r"  =  16  m)  gehende 
Böschungsfläche,  was  sich  auch  dadurch  begreifen  läßt,  daß  Schnitte 
der  Böschungsfläche  der  einen  Kronkante  mit  koaxialen  Cylindem 
Schraubenlinien  von  gleicher  Ganghöhe  bilden,  welche  daher  auch 
solche  enthalten,  die  mit  der  andern  Kronkante  kongruent  sind. 

Es  wurden  nun  die  Falllinien  der  Böschungsflächen  als  Tangenten 
an  jenen  Kreis  in  zweierlei  Sinn  für  beide  Kronkanten  gezogen  und 
graduirt  mit  dem  Intervalle  i  ««  1 :  ä  =  1,25  m .  Ihre  Schnittpunkte 
mit  der  Bodenfläche  sind  dann  nach  der  vor.  Nr.  bestimmt,  wie  es 
an  der  von  50,5  ausgehenden  Falllinie  bemerklich  gemacht  ist. 

Die  Stützmauer  habe  eine  Böschung  ^  =  5.  Dann  ist  für  die 
Mauerfläche  die  Horizontalprojektion  der  (schraubenförmigen)  Rück- 
kehrkante ein  Kreis  mit  dem  Mittelpunkte  M  und  dem  Halbmesser 

ßr:  11=^  —1—  =  0,6  m,  und  ihre  Horizontalschnitte  sind  Evolventen 

dieses  Kreises.  Das  Intervall  der  Falllinien  ist  i  =a  1  :  5  «=  0,2  m , 
und  der  Schnittpunkt  einer  jeden  mit  der  Bodenfläche  kann  wegen 
ihrer  Steilheit  durch  Schätzung  im  Grundriß  genau  genug  als  der- 
jenige Punkt  angegeben  werden,  welchem  auf  der  Linie  und  auf  der 
Fläche  dieselbe  Höhenzahl  zugehört. 

Die  Stützmauer  werde  gegen  den  Damm  durch  eine  durch  M 
gehende  vertikale  Ebene  GC'E  abgegrenzt  Zwischen  diese  und  die 
Falllinie  C'F  des  Dammes  werde  die  Kegelfläche  von  der  Böschung 
d  (=  0,8)  und  mit  der  Spitze  C  gelegt;  dann  erhält  C'E  dieselbe 
Graduirung  wie  C'F,  und  es  können  ihre  Schnittpunkte  E  mit  der 
Bodenfläche  und  G  mit  der  geböschten  Mauerfläche  bestimmt  wer- 
den. Dann  schließt  man  in  GE  eine  gleich  geneigte  Kegelflache 
mit  der  Spitze  G  an,  deren  Schnitt  mit  der  Bodenfläche  und  mit  der 

Wiener,  Lehrbuch  der  dantellenden  Geometrie.  II.  26 


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402    IX,  369— 870.    Abwickelbare  Flächen,  gemeiDSchaftl.  Berührangsebenen. 

geböschten  Mauerfläche  durch  Erzeugende   oder  durch  Horizontal- 
linien der  Flächen  ermittelt  werden. 

Der  Schnitt  mit  der  Vertikalebene  ECM  ist  in  halber  Große 
des  Grundrisses  zugefögt. 


Fig.  163. 


VI.    Die  Umhüllimgsfläohen. 

370.  Bewegt  sich  eine  stetige  Fläche  F  in  stetiger  Weise 
unter  stetiger  (oder  ohne)  Änderung  ihrer  Gestalt,  so  werden  alle 
Lagen  derselben  von  einer  Fläche  U,  der  UmhüUungs fläche,  einge- 
hüllt Dieselbe  berührt  jede  Lage  der  beweglichen  oder  umhiUUen 
Fläche  F  nach  einer  Linie  k,  welphe  die  Schnittlinie  zweier  benach- 
barten Lagen  derselben  ist  und  die  Charakteristik  der  Umhüllungs- 
fläche heißt. 
Fig.  163.  Um  dies  zu  erkennen ,  bezeichnen  wir  eine  Lage  der  beweg- 

lichen Fläche  mit  F,  die  vorhergehende  und  folgende  mit  Fj  und  F^, 
und  die  Schnittlinie   von  F   mit  F|   und  F,  bezw.   mit  ki  und  k^. 

Legt  man  durch  alle  solche  Linien  eine 
Fläche  Uj,  so  besitzen  F  und  Uj  Flä- 
chenstreifen zwischen  k^  und  k^,  wobei 
man  jedem  Punkte  des  Streifens  der  F 
einen  unendlich  nahen  Punkt  des  Strei- 
fens der  Uj  zuordnen  kann,  etwa  ver- 
mittelst einer  durch  beide  Punkte  ge- 
hende Normalen  der  F.     Die  Berüh- 
rungsebenen von  F  und  Ui  in  diesen 
Punkten  bilden  imendlich  kleine  Winkel 
mit    einander,    weil    beide    unendlich 
kleine  Winkel    mit    einer    benachbar- 
ten die  beiden  Linien  k^  und  k^  berüh- 
renden Ebene  bilden.     Gehen  nun  F| 
und  Fg  in  F  über,  so  gehen  k^  und  k^ 
wegen  der  Stetigkeit  in  ein  und  dieselbe 
Grenzlinie  k,  die  Fläche  Uj   in  eine  Grenzgestalt  U,  jene  zugeord- 
neten Punkte  in  denselben  Punkt  der  k,  und  die  Berührungsebenen 
an  F  und  17  in  diesen  Punkten  in  eine  gemeinschaftliche  Berüh- 
rungsebene der  F  und  17  in  diesem  gemeinschaftlichen  Punkte  über. 
U  berührt  also  die  F  entlang  ky  ist  demnach  die  bezeichnete  Um- 
hüllungsfläche. 

Je  zwei  der  auf  einander  folgenden  Linien  A;^,  k^  . . .,  der  Erzeu- 
genden der  Fläche  U^,  da  sie  auf  derselben  Lage  der  beweglichen 
Fläche  F  liegen,  schneiden  sich  im  allgemeinen.    Die  wechselnden 


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IX,  370—372.    Die  ümhöllongsflächen.  403 

Schnittpunkte  PiQc^Jc^),  P^(k^k^)  . . .  bilden  ein  krummliniges  Vieleck, 
an  dessen  Seiten,  wie  P1P2;  ^i^  anliegenden  Flächenelemente  der 
Uj,  nämlich  die  Scheitel  winkelpaare  Jc^k^,  W,  auf  derselben  Seite 
liegen,  so  daß  das  Vieleck  eine  Schneide  von  V^  ist.  In  der  Grenze 
berühren  die  Charakteristiken  Je,  k'  . . .  der  U  eine  Kurve,  die  s.  g. 
Bückkehrkante  der  Umhüllungsfläche,  welche  deren  Erzeugende  einhüllt 

Ist  die  umhüllte  Fläche  eine  Ebene,  so  ist  die  Charakteristik 
eine  Gerade,  und  die  Umhüllungsfläche  eine  abwickelbare. 

371.  Umhüllte  Kegelf  Cylinder  und  Kugeln.  Bewegt  sich  ein 
Umdrehungskegel  so,  daß  sich  seine  Aze  in  sidh  selbst  verschiebt 
und  seine  Gestalt  sich  stetig  ändert,  so  ist  die  Charakteristik  ein 
Ejreis,  dessen  Ebene  senkrecht  auf  der  Axe  steht  und  dessen  Mittel- 
punkt in  der  Axe  liegt;  die  Umhüllungsfläche  ist  daher  eine  Um- 
drehungsfläche. Man  kann  so  jede  Umdrehungsfläche  erzeugen;  die 
entlang  ihrer  Parallelkreise  berührenden  Umdrehungskegel  sind  die 
umhüllten  Flächen.  Diese  Entstehung  ist  verkörpert  bei  der  Erzeugung 
eines  Umdrehungskörpers  auf  der  Drehbank,  wo  der  mit  seiner  geraden 
Schneide  im  Meridiane  stehende  Meißel  in  jeder  Lage  einen  Kegel- 
stumpf  erzeugt  Eine  Fläche  zweiten  Grades  kann  man  als  Umhül- 
lungsfläche von  Kegeln  ansehen,  so  daß  die  Charakteristiken  parallele 
Kegelschnitte  der  ersteren  Fläche  und  der  Ort  der  Spitze  des  Kegels 
der  jenen  Kegelschnitten  konjugirte  Durchmesser  der  Fläche  ist. 

Cylinder  werden  von  einer  Umdrehungsfläche  umhüllt,  wenn 
der  senkrechte  Schnitt  eines  jeden  Cylinders  ein  Meridian  der  letz- 
teren Fläche  ist;  oder  wenn  ein  Cylinder  von  unveränderlicher  Ge- 
stalt sich  um  eine  zu  seinen  Erzeugenden  senkrechte  Axe  dreht; 
aber  auch  dann,  wenn  diese  Axe  beliebig  gegen  den  Cylinder  ge- 
neigt ist. 

Umhüllfe  Kugeln.  Beschreibt  der  Mittelpunkt  einer  veränder- 
lichen Kugel  eine  Kurve,  so  ist  auf  jeder  Kugel  die  Charahteristik 
ein  Kreis,  dessen  Ebene  senkrecht  auf  der  Tangente  jener  Kurve  in 
dem  augenblicklichen  Orte  des  Kugelmittelpunktes  steht,  und  dessen 
Mittelpunkt  in  dieser  Tangente  liegt  Beschreibt  daher  der  Kugel- 
mittelpunkt eine  Gerade,  so  ist  die  Umhüllungsfläche  eine  Um- 
drehungsfläche, deren  Axe  jene  Gerade  bildet  Man  kann  jede  Um- 
drehungsfläche als  Umhüllungsfläche  einer  Kugel  ansehen,  wenn 
man  die  Normalen  der  Fläche  entlang  eines  Meridianes  vonr  Flächen- 
punkte bis  zur  Axe  als  Halbmesser  und  den  letzteren  Endpunkt  als 
Mittelpunkt  der  Kugel  annimmt 

Die  Charakteristiken  werden  imaginär,  wenn  eine  Kugel  von 
ihrer  benachbarten  ganz  eingeschlossen  wird. 

373.    Die  Böhrenfläche  entsteht,  wenn  die  bewegliche  umhüllte 

26* 


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404    IX,  372—873.    Abwickelbare  Flachen,  gemeinßchaftl.  Berübrungsebenen. 

Kugel  einen  unveränderlichen  Halbmesser  besitzt.  Die  Charakteristik 
ist  dann  ein  größter ,  also  unveränderlicher  Ereis,  dessen  Mittel- 
punkt die  Bahnlinie  des  Eugelmittelpunktes  beschreibt,  und  dessen 
Ebene  senkrecht  zur  Bahnlinie  im  jedesmaligen  Orte  des  Mittel- 
punktes steht.  Die  Bahn  des  Mittelpunktes  der  Kugel  soll  die  LeU- 
Unie  der  Rohrenfläche  heißen. 

Um  den  Umriß  einer  senkrechten  Projektion  der  Rohrenfläche 
zu  erhalten,  ziehe  man  aus  allen  Punkten  der  Projektion  der  Leit- 
linie Kreise  mit  dem  Halbmesser  der  umhüllten  Kugel,  so  ist  die 
UmhüMungslinie  dieser  Kreise  der  Umriß  der  Fläche,  weil  jeder 
Umrißpunkt  der  Fläche  zugleich  ein  Umrißpunkt  einer  Kugel  sein 
muß.  Der  Umriß  ist  daher  eine  äquidistante  oder  parallele  Linie  der 
Projektion  der  Leitlinie  (I,  238),  und  besteht  aus  zweien  auf  beiden 
Seiten  der  Projektion  der  Leitlinie  liegenden  Ästen. 

378.    Aufg.    Die  Bohrenfläche  darzustellen,  deren  Leitlinie  eine 

Kreisevolvente  ist 

Fig.  164.  Aufl.    Sei  Je  ein  Kreis,  M  sein  Mittelpunkt  und  Aq  der  Ursprung 

seiner  Evolvente,  so  wollen  wir  deren  Ebene  als  Projektionsebene  P 

annehmen.     In  einem  Punkte  A  der  Evolvente  legen  wir  eine  zn 


ihr  senkrechte  Ebene;  dieselbe  berührt  den  Kreis  Je,  und  der  Be- 
rührungspunkt sei  A^.  In  dieser  Ebene  befindet  sich  eine  Charak- 
teristik, ein  Kreis  vom  Durchmesser  BA  (7;  seine  Umlegung  in  P 
sei  BA'C.  Auf  der  Projektion  BC  des  Kreises  wählen  wir  die 
Grenzpunkte  JB,  C  und  einige  Zwischenpunkte  D,  A,  E,  welche  den 
Durchmesser  in  gleiche  Teile  teilen  mögen ;  jeder  ist  die  Projektion 


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IX,  373—374.    Die  ümhülluDgsfiächen.  405 

von  zwei  Punkten  des  Kreises,  deren  Abstände  von  der  P  bezw,  0, 
DD',  ÄÄ%  EE'  (=  BD'),  0  sind. 

Da  die  bezeichnete  Bewegung  der  Charakteristik  auch  durch 
Rollen  ihrer  Ebene  auf  dem  durch  k  senkrecht  zu  F  gelegten  Cylin- 
der  hervorgebracht  werden  kann,  so  beschreibt  jeder  Punkt  der 
Charakteristik  eine  zu  F  parallele  Kreisevolvente,  deren  Projektio- 
nen Evolventen  von  %,  also  mit  der  ursprünglichen  kongruent  und 
äquidistant  sind.  Dieselben  haben  zum  Ursprung  die  Punkte  D^, 
Dq  . . .,  wobei  Bog.  B^D^  =  DD,  Bog.  B^Äq  =  BA  , . .  ist. 

Zwei  benachbarte  Charakteristiken  schneiden  sich  erst  dann  in 
reellen  Punkten,  wenn  sie  den  über  h  stehenden  Cylinder  berühren. 
Diese  Punkte  bilden  zusammen  die  Äufwickelung  B^Ä^Cq  des  Kreises 
auf  den  Cylinder,  die  Bückkehrkante  der  Fläche,  welche  die  Bück- 
kehrpunkte oder  Spitzen  aller  Evolventen  enthält.  Die  Rückkehr- 
kante ist  die  Grenze  zweier  Flächenäste,  die  in  jedem  Punkte  der 
Kante  eine  gemeinschaftliche  Berührungsebene  besitzen,  bestimmt 
durch  die  Tangente  der  Rückkehrkante  und  die  Normale  zu  dem  über 
k  stehenden  Cylinder  in  jenem  Punkte. 

Der  Selbstschnitt  oder  die  Bqppelkttrve  der  Bohrenfläche  besteht 
zuerst  aus  den  Schnittkurven  der  zu  F  senkrechten  Ebene  A^M 
mit  der  Fläche.  Denn  diese  Ebene  ist  Symmetrieebene  für  die  Leit- 
linie, also  auch  für  die  Röhrenfläche,  und  wird  daher  von  beiden 
Flächenästen  in  denselben  Kurven  Ä^F^  GH,  ...  geschnitten. 

Andere  Doppelkurven  werden  gebildet  durch  die  Selbstschnitte 
aller  Kreisevolventen  der  Fläche.  Von  diesen  Punkten  projiciren 
sich  die  dem  Sjreise  k  zunächst  liegenden  inJ,K,L  . . . ;  und  da  sie, 
kongruenten  Evolventen  angehörend,  alle  gleich  weit  von  M  entfernt 
liegen,  bilden  sie  einen  mit  k  koncentrischen  Kreis.  Diese  Doppel- 
kurven liegen  daher  auf  koaxialen  Umdrehungscylindem  von  wach- 
sender Größe. 

374.     Übungscrnfgabe. 

Für  die  eben  behandelte  Röhrenfläche  zu  konstruiren: 

1)  Die  Projektion  auf  eine  zu  F  senkrechte  und  zu  A^M  paral- 
lele Ebene,  insbesondere  die  Projektion  der  Rückkehrkante  und  der 
Doppelkurven  A^F,  GJH,  KJL] 

2)  die  Schnitte  einer  Reihe  von  Ebenen,  welche  J^  A^M  stehen, 
insbesondere  derjenigen,  welche  durch  Aq,  oder  durch  F,  oder  durch 
Bq  geht,  sowie  einer  solchen,  welche  die  Rückkehrkante  in  vier 
Punkten  schneidet,  und  derjenigen,  welche  die  Fläche  in  zwei  ge- 
trennten Punkten  berührt,  entweder  in  der  Nähe  von  F  oder  mög- 
licher Weise  in  der  Nähe  von  B^  und  Cq] 


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406    IX,  374—376.   Abwickelbao-e  Flächen,  gemeinscliafü.  Berühnmgsebenen. 

3)  die  Berührangsebene  an  die  Fläche  in  einem  gegebenen  Punkte 
derselben  zu  legen. 

376.     Die  Schraüben-Rohrenfläche  daa-zustellen  (Röhrenfläche  mit 
schraubenförmiger  Leitlinie).     Verkörpert  heißt  sie  Schlangenrohr 
(Serpentine)    und    dient    als    Archimedische    Wasserschnecke    zum 
Heben  von  Wasser. 
Fig.  166.  Aufl.     Stellen  wir  die  P^  senkrecht  auf  die  Axe  a  {M\  a")  der 

Schraubenlinie,  so  ist  deren  erste  Projektion  ein  Eieis  A' B'  mit 
dem  Mittelpunkte  M  und  dem  Halbmesser  M A'  *=  r,  und  die 
zweite  Projektion  eine  Sinuslinie  Ä'B"  mit  der  Axe  a".  Sei  r^ 
der  Halbmesser  der  beweglichen  Kugel ,  wobei  r^<,r  sein  möge,  so 
erhält  man  die  Umrisse  der  Fläche  als  die  zwei  Äste  der  Aqui- 
distanten  der  Projektionen  der  Leitlinie  im  Abstände  r^  (372).  Die- 
selben sind  im  Grundrisse  zwei  aus  M!  mit  den  Halbmessern  r  +  r^ 
und  r  —  Tq  gezogene  Kreise.  Im  Aufriß  erhält  man  sie  einfach 
als  einhüllende  Linien  zu  den  Kreisen^  welche  man  aus  den 
Punkten  jener  Sinuslinie  mit  dem  Halbmesser  r^  zieht.  Einzelne 
Punkte  erhält  man  in  E"  und  T!,^\  wenn  man  auf  der  Normalen 
der  Sinuslinie  in  E"  nach  beiden  Seiten  E'^E"  =  E"E^'  =  r^ 
aufträgt. 

Wenn,  wie  in  dem  Falle  unserer  Figur,  ein  Umriß  Rückkehr- 
punkte besitzt,  so  ist  es  vorteilhaft,  ein  Stück  der  Evolute  der 
Sinuslinie  in  der  Nähe  des  Scheitels  B"  zu  verzeichnen.  Es  ist  dies 
nach  Nr.  333  an  einem  anderen  Scheitel  geschehen,  und  danach 
sind  die  Krümmungsmittelpunkte  B^  und  C^  für  B"  und  C"  aus 
(JBo),  (C),  (Co)  übertragen.  Diese  Evolute  ist  auch  die  Evolute  des 
Umrisses,  und  es  können  insbesondere  aus  B^  die  Krümmungskreise 
in  den  Scheiteln  JB/'  und  B^'  verzeichnet  werden.  Auf  der  Evolute 
liegt  die  Spitze  D"  des  Umrisses,  welche  die  Grenze  ihres  sicht- 
baren und  ihres  verdeckten  Teiles  bildet.  Die  erste  Projektion  u 
dieses  zweiten  Umrisses  B^DE^. . .  =  u  bestimmt  man,  indem  man 
beachtet,  daß  der  Durchmesser  E^EE^  der  umhüllten  Kugel,  welcher 
nach  den  Punkten  E^^  E^  des  zweiten  Umrisses  läuft,  parallel  zu 
Pg  liegt,  also  im  Grundriß  durch  E'  parallel  zu  x  als  E^E'E^  ge- 
zeichnet wird.  Der  Spitze  D"  entsprechen  Punkte  D  und  D'  der 
u  und  u\  in  welchen  die  Tangente  _L  Pg  steht,  ti"  besteht  aus 
zwei  unbegrenzten,  u  aus  zwei  geschlossenen  Kurvenästen.  In  der 
Figur  ist  die  Fläche  an  ihrem  oberen  Ende  durch  eine  auf  P^  senk- 
rechte Charakteristik  begrenzt,  deren  erste  Projektion  eine  El- 
lipse bildet 

376.     Um  noch  die  Krümmungshalbmesser  r^,  r,  von  u   in  den 
Scheiteln  JB/,  B2   zu  ermitteln,  gehe  man  auf  dem  Kreise  B'A'  um 


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IX,  376.    Die  Umhüllongsflächen. 


407 


ein  Element  B'F'  vorwärts,  dessen  Koordinaten  von  B'  aus  in  der 
Richtung  B' M'  und  in  der  darauf  senkrechten  Richtung  x  und  y 

Fig.  165. 


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408    IX,  376—378.    Abwickelbare  Flachen,  gemeinschafbl.  Berahnrngsebenen. 

seien;  dann  ist  r  =  y* :  2x.  Aus  F'  ergibt  sich  der  Punkt  jP/  von 
u'  (wie  Ej^  aus  JE'),  dessen  mit  den  Koordinaten  von  F"  parallele 
von  Bi  aus  gemessene  Koordinaten  Xi,  yi=y  sind,  woraus  r^  = 
y^:2xi  =  r(x:  Xi).  Zu  F'  gehört  der  Punkt  F"  der  Sinuslinie 
B"Ä"  mit  den  von  J5"  aus  gemessenen  Koordinaten  x  und  jet;  es 
ist  aber  jgf  «=  j^  tg  <^,  wenn  <^  die  Neigung  der  Schraubenlinie.  Die 
Neigung  der  Normale  BqF"  der  Sinuslinie  gegen  BqB"  ist  dann 
s  :  BqB"  =  9  =  y  tg  <j  :  r  tg*  <j  (339)  =  y  :  r  tg  <y.  Die  Koordinaten 
des  Punktes  F^\  der  ^xi^B^F"  durch  F"F^'  =  r^  bestimmt  ist,  sind 
dann,  von  jB/'  aus  gemessen,  a^j  und  z^^  wobei  z^  =  BqB^'.  y;  und 
hieraus  folgt,  da  F^'B^'  mit  z  den  Winkel  \q)  bildet, 

X,  =  B,B,'\  <p.^(p  =  B,B,\\iy  :  r  tg  <J)^ 

Daher  ist 

und  ''»  =  b:bI'> 


-»0  -"2 


wobei  Äq  ==  r  tg  <J  «=  M"A"  die  reducirte  Ganghohe  der  Schrauben- 
linien bedeutet.  Daher  erhält  man  auf  B^B"  den  r^  z=  B^Lj^  =  -Bi'-Ki 
und  rg  =  jBo-^«  *==  ^2^%)  wenn  man  ^^Cf  ||  a"  und  =  Jtf"  J."  macht 
und  GL,±BCGy  GL^±B^'G  zieht 

Die  Gestalt  der  Böhrenfläche  ist  verschieden,  je  nachdem  der 
Halbmesser  der  Charakteristik  r^  kleiner,  gleich  oder  großer  als  der 
Halbmesser  der  Leitschraubenlinie  angenommen  wird.  Benachbarte 
Spitzen  des  zweiten  scheinbaren  Umrisses  sind  in  zwei  Punkte 
getrennt,  vereinigen  sich  in  einem  Punkte  (mit  dem  Krümmungs- 
halbmesser gleich  Null),  oder  verschwinden,  je  nachdem  r^  >, 
«s,  oder  <  als  der  Krümmungshalbmesser  B^B"  jener  Sinuslinie 
in  ihrem  Scheitel  ist. 

377.  Übungsaufgabe.  Die  Schraubenrohrenfläche  durch  Ebenen 
zu  schneiden,  a)  welche  senkrecht  auf  der  Axe,  b)  parallel  zur  Aze 
unter  wechselndem  Abständen  (0,  r  —  H  ^o>  *"  —  ^o>  ^  —  A^o?  *'» 
r  +  ^fljj  ro ,  r  -\-  Tq),  c)  geneigt  gegen  die  Axe  stehen.  Dabei  sollen 
Tangenten  an  die  Schnittkurve  bestimmt  werden. 

378.  Die  lAcktgleichen  einer  Böhrenfläche  zeichnet  man  mittelst 
ihrer  Punkte  auf  den  Charakteristiken.  Da  diese  größte  Kreise  gleicher 
umhüllten  Kugeln  bilden,  so  übertrage  man  ihre  Projektionen  (El- 
lipsen) durch  eine  Parallelverschiebung  auf  die  gleichnamige  Pro- 
jektion einer  gleichen  Kugel,  auf  welcher  die  Projektionen  der  Licht* 
gleichen  gezeichnet  sind,  schneide  sie  mit  diesen  Lichtgleichen,  und 


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IX,  378»   Die  ümbüllungsflächen.  409 

führe  die  Schnittpunkte  durch  eine  Rückschiebung  auf  die  ursprüng- 
lichen Ellipsen  über. 

Übungsaufgaben.  1)  Von  einem  Gange  einer  Schraubenröhren- 
fläche  (375),  deren  Axe  senkrecht  oder  geneigt  gegen  Pj  steht,  die 
Lichtgleichen,  die  Eigenschattengrenze  und  den  Schlagschatten  der 
Flächenteile  auf  einander  und  auf  die  Projektionsebenen  zu  bestim- 
men. Steht  die  Axe  der  Fläche  senkrecht  auf  Pj,  so  sind  die  ersten 
Projektionen  aller  Charakteristiken  kongruente  Ellipsen, 

2)  Von  einem  Gange  einer  Schraubenröhrenfläche  die  Grenze 
des  Eigen-  und  Schlagschattens  zu  konstruiren,  wenn  der  leuch- 
tende Punkt  in  endlichem  Abstände  liegt 


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X.  Abschnitt. 
Die  windschiefen  Flächen. 

L    Allgemeines. 

379.  In  Nr.  136  wurde  eine  windschiefe  Fläche  als  eine  solche 
Regelfläche  bezeichnet,  bei  welcher  je  zwei  benachbarte  (gerade) 
Erzeugende  nicht  in  derselben  Ebene  liegen,  oder  welche  entlang 
einer  Erzeugenden  nicht  von  ein  und  derselben  Ebene  berührt  wird. 
Wir  lernten  als  die  einfachsten  die  vom  zweiten  Grade,  das  ein- 
schalige Hyperboloid  und  das  hyperbolische  Paraboloid,  kennen. 
Im  allgemeinen  sind  die  hauptsächlichsten  Entstehungsweisen  der  wind- 
schiefen Flächen  folgende: 

1)  Eine  jede  windschiefe  Fläche  kann  dadurch  entstehen,   daß 
' eme  Gerade  e  als  Erzeugende  auf  drei  festen  Leitlinien  l^,  l^^  l^  hin- 

gleitet^  indem  sie  jede  derselben  schneidet.  Man  findet  die  durch 
einen  beliebigen  Punkt  Ä^  der  l^  gehenden  Erzeugenden  als  die  ge- 
meinschaftlichen Erzeugenden  der  beiden  Kegel  Ail^,  A^l^j  welche 
Äi  zur  Spitze  und  bezw.  l^,  l^  zur  Leitlinie  haben.  Die  entstehende 
Fläche  ist  im  allgemeinen  windschief;  denn  sollten  zwei  benachbarte 
Erzeugende  A^A^Ä^  und  B^B^B^  in  einer  Ebene  liegen,  so  befan- 
den sich  in  derselben  die  Paare  benachbarter  Punkte  A^j  B^  der  J^; 
J.2,  B^  der  l^\  A^,  B^  der  Jj,  d.  h.  die  Tangenten  der  l^  in  ^i,  der  l^ 
in  A^  und  der  l^  m  A^,  Dies  findet  ofienbar  im  allgemeinen  nicht 
statt.  Tritt  es  aber  för  einzelne  Lagen  der  Erzeugenden  ein,  so 
besitzt  entlang  derselben  die  windschiefe  Fläche  ebene  Flächen- 
elemente; und  tritt  es  bei  besonderer  Annahme  der  Leitlinien  fÖr 
alle  Erzeugenden  ein,  so  entsteht  eine  abunckelbare  Fläche ,  welche 
sich  dadurch  als  besondere  Art  der  windschiefen  darstellt  So  ent- 
steht z.  B.  ein  Cy linder,  wenn  die  drei  Leitlinien  gleiche  parallele 
Ejreise  sind,  deren  Mittelpunkte  auf  einer  Geraden  liegen. 

2)  Die  reciproke,  ebenfalls  für  jede  windschiefe  Fläche  geltende 
Entstehungsweise  erhält  man,  wenn  man  an  die  Stelle  der  drei  Leit- 
linien, welche  man  als  einfache  Punktreihen  ansah,  drei  einfache 
Ebenenfolgen,  d.  i.  drei  abwickelbare  Flächen  setzt,  welche  von  jeder 


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Xf  379.    Allgemeines.  411 

Erzengenden  berührt  werden  sollen.  Eine  abwickelbare  Fläche  hüllt 
aber  die  Schmiegungsebenen  ihrer  Bückkehrkante  ein^  so  daß  an 
die  Stelle  der  Kurve,  als  Folge  von  Punkten ,  eine  Kurve  als  Folge 
von  Ebenen y  nämlich  ihrer  Schmiegungsebenen ,  tritt.  Man  erhält 
Erzeugende  der  windschiefen  Fläche,  wenn  man  eine  Berührongsebene 
der  ersten  der  abwickelbaren  Flächen  mit  den  beiden  anderen  schnei- 
det und  an  beide  Schnittkurven  die  gemeinschaftlichen  Tangenten 
zieht;  dieselben  bilden  die  Erzeugenden. 

3)  Sind  eine  ahwidcelbare  Leitfläche  und  zwei  Leitlinien  gegeben, 
so  findet  man  die  Erzeugenden  ähnlich  wie  in  2). 

4)  Die  erste  Entstehungsweise  nimmt  eine  besondere  Form  an^ 
wenn  die  eine  der  drei  Leitlinien,  etwa  ig,  im  Unendlichen  liegt 
und  durch  den  Kegel  gegeben  ist,  welcher  sie  projicirt,  mit  dessen 
Erzengenden  daher  die  der  windschiefen  Fläche  pt^rallel  sein  müssen. 
Dieser  Kegel  ist  der  Biditkegel  der  Fläche. 

5)  Wird  der  Richtkegel  zu  einer  Richtebene,  so  erhält  man  Er- 
zeugende, wenn  man  eine  zu  der  Richtebene  parallele  Ebene  mit 
l^  und  2g  schneidet  und  jeden  der  Schnittpunkte  mit  2|  mit  jedem 
derjenigen  mit  Z^  durch  eine  Gerade  verbindet. 

6)  Es  können  die  Leitlinien  zum  Teil  oder  alle  durch  Leit- 
flächen  ersetzt  werden,  welche  von  den  Erzeugenden  berührt  werden 
sollen.  Befindet  sich  unter  den  Leitgebilden  eine  Linie  l^,  so  be- 
stimmt man  die  durch  einen  Punkt  A^  der  l^  gehenden  Erzeugen- 
den der  windschiefen  Fläche  als  die  gemeinschaftlichen  Erzeugenden 
der  beiden  Kegel,  welche  aus  A^  je  einem  der  beiden  anderen  Leit- 
gebilde (Linie  oder  Fläche)  umschrieben  sind.  Sind  drei  Leitflächen 
Iij,  Ii2,  I13  gegeben,  so  findet  man  diejenigen  Erzeugenden  e  der 
windschiefen  Fläche,  welche  einer  beliebigen  und  wechselnden  Ebene 
E  parallel  sind,  indem  man  den  Ort  der  mit  E  parallelen,  die  L| 
und  I12  berührenden  Geraden,  d.  i.  eine  windschiefe  Fläche  F,  be- 
stimmt. Diejenigen  Erzeugenden  der  F,  welche  zugleich  noch  die  L3 
berühren,  sind  die  gesuchten  Erzeugenden;  sie  berühren  aber  auch 
die  Schnittkurve  k  der  F  und  der  L3,  da  im  Punkte  der  Berührung 
dieser  Erzeugenden  mit  L3  zwei  gemeinsame  Punkte  der  F  und  der 
I13,  d.  i.  der  Schnittkurve  beider  zusammenfallen,  so  daß  jene  Er- 
zeugende Tangente  der  Schnittkurve  ist.  Man  konstruirt  daher  diese 
Schnittkurve  und  zieht  ihre  mit  E  parallelen  Tangenten,  so  sind 
diese  die  gesuchten  Erzeugenden. 

7)  Es  kann  eine  Leitlinie  durch  eine  andere  Bedingung  ersetzt 
sein,  z.  B.  durch  die,  daß  das  Stück  der  Erzeugenden  zwischen  den 
beiden  Leitlinien  eine  gegebene  unveränderliche  Länge  besitze,  oder 
daß  die  Erzeugende   die   eine  Leitlinie  l^   unter   einem   gegebenen 


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412 


X,  879—380.    Die  windschiefen  Flächen. 


unveränderlichen  Winkel  schneide.    Ist  im  letzteren  Falle  Z,  eine  Ge- 
rade,  so  kann  die  Bedingung  durch  einen  Richtkegel  ersetzt  werden. 

8)  Die  Bewegung  der  Erzengenden  kann  dadurch  bestimmt  sein, 
daß  sie  die  Normale  einer  gegebenen  Fläche  längs  einer  auf  ihr  ge- 
gebenen Kurve  bleibt,  da,  wie  wir  später  sehen  werden,  zwei  be- 
nachbarte Normalen  einer  Fläche  im  allgemeinen  nicht  in  ein  und 
derselben  Ebene  liegen.    Eine  solche  Fläche  heißt  Normalenfläche. 

380.     Zwei  mndschiefe  Flächen  F,  Fi,  welche  eine  Erzeugende  e 
gemein  haben,  und  sich  in  drei  Punkten  Pj,  P2,  Pj  derselben  berührenj 
berühren  sich  in  jedem  Punkte  P  derselben, 
i^g.  166.  Um  dies    in  der   gebräuchlichen  Weise   zu    zeigen,    legen   wir 

durch  Pi,  Pg,  P3  je  eine  Ebene,  schneiden  dieselbe  mit  P,  P^  bezw. 
in  den  Kurven  \,  \\  k^,  l^^  k^y  h?   ^^  müssen  sich  diese  zu  zwei 


Fig.  166. 


in  jenen  drei  Punkten  berühren,  weil  sich  P,  Pj 
in  ihnen  berühren.  Läßt  man  nun  die  Erzeugende  e 
einmal  auf  k^,  k^,  k^,  dann  auf  l^  l^  l^  als  Leit- 
linien hingleiten,  so  beschreibt  sie  bezw.  P  und  P^, 
und  da  die  Leitlinien  zu  zwei  ein  Element  gemein 
haben,  so  haben  die  Flächen  außer  e  noch  eine 
benachbarte  Erzeugende  e^  gemein,  haben  also  in 
jedem  Punkte  P  der  e  eine  gemeinsame  Berührungs- 
ebene,  nämlich  die  durch  e  und  durch  den  zu  P 
benachbarten  Puiikt  der  e^  gehende  Ebene. 

Will  man  aber  die  unendlich  kleinen  Abstände 
und  Winkel  der  zu  e  benachbarten  Erzeugenden  g,  r 
der  beiden  Flächen  eingehend  erörtern,  so  trage  man 
auf  k^  und  l^  die  gleichen  Elemente  PxQi  ==»  PiBi 
=  0^  auf,  wodurch  im  allgemeinen  Q^P^^^Q^  und 
<^  öi-Pi^Si  =  0^  wird.  Durch  Q^  und  i^  lege  man 
bezw.  die  Erzeugenden  q  der  P  und  r  derPi-  Da 
bei  einer  windschiefen  Fläche,  für  P^Q^  =  endlich,  auch  der  Winkel 
von  e  und  q  endlich  ist,  so  ist  er  für  P^  ^^  =  0^,  im  allgemeinen 
ebenfalls  =  0^  (I,  232).  Wenn  ^  eq  im  besonderen  «=  0  von  höhe- 
rer Ordnung  wird,  so  ist  g  1  e,  das  Flächenelement  eq  eben,  und 
unser  Satz  selbstverständlich.  Ebenso  ist  der  Abstand  von  e  und  q 
im  allgemeinen  an  jeder  Stelle  <=  0^;  wenn  er  im  besondern  an  einer 
Stelle  =  0  von  höherer  Ordnung  wird,  so  schneiden  sich  hier  die 
q  und  e,  und  das  Element  eq  ist  wieder  eben.  Ebenso  ist  im^all- 
gemeinen  ^  er  =  OS  und  Abstand  e,  r  an  jeder  Stelle  =  OK 
Schneidet  man  nun  q  und  r  mit  den  durch  P^  und  Pg  gelegten 
Ebenen  bezw.  in  Q^,  ös»  -^2»  ^;  so  ergeben  sich  auch  ^  C^Pj-ßf 
und  ^  Ö3  P3  JBj  beide  «=  0*,   wenn  nicht  0  von  höherer  Ordnung. 


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X,  880—882.    Allgemeines.  413 

Daraus  folgt  aber,  daß  -^  gr  =  0*,  wenn  nicht  0  von  noch  höhe- 
rer Ordnung  ist.  Denn  zieht  man  durch  Q^  die  Gerade  s  ^r, 
und  schneidet  sie  mit  den  durch  P^y  P^  gelegten  Ebenen  bezw.  in 
Sf„  Sj,  so  sind  B^S^  und  Il^S^  =  0^  (wie  B^Qi),  und  ^S^P^B^ 
und  ^SiP^R^^'OK  Wäre  aber  ^qr=0\  so  würde  auch 
^qs  =  0^  sein,  ebenso  Q^S^  =  0*,  und  da  auch  P^  ös  =  0^,  so 
würde  <^  Ös-Ps^s  endlich  sein;  dasselbe  würde  für  jeden  Punkt  der  e 
gelten,  so  daß  z.  B.  auch  QiP^S^  endlich  wäre,  außer  da,  wo 
^  PQS  =  0^  oder  =  180^  ist,  wo  also  die  Ebene  js  die  e  schneidet, 
was  etwa  in  P^  stattfinden  möge;  dann  trifft  auch  die  ^2^2  ^^^  ^* 
Nur  an  den  beiden  Stellen  P,  und  Pg  könnten  dann  auch  die  Winkel 
QiPiRi  und  Q^P^R^-=0^  sein.  Da  ^QPR  aber  an  drei  Stellen 
Pi,  Pj,  P3  =  0*  ist,  so  kann  nicht  <^gr  =  0^,  es  muß  vielmehr 
—  0*  oder  0  von  noch  höherer  Ordnung  sein.  Dann  sind  auch  für 
jeden  vierten  Punkt  P  der  e,  wenn  man  durch  ihn  eine  Ebene  legt, 
bei  entsprechenden  Bezeichnungen,  QS^  SR,  QR,  alle  =  0*,  PQ, 
PR  =  OS  daher  ^  QPR  =  0^  oder  k  und  l  und  daher  auch  P 
und  Fl  berühren  sich  in  P,  w.  z.  b.  w. 

381.  Nimmt  man  die  Tangenten  ^,  ^2;  ^  ^^^  ^^^  Leitlinien 
hf  hf  h  ou^^f  windschiefen  Fläche  in  ihren  Schnittpunkten  mit 
einer  Erzeugenden  e  zu  Leitlinien,  oder  auch  drei  Gerade,  welche 
die  Fläche  je  in  einem  Punkte  einer  e  berühren,  so  bestimmen  diese 
als  Leitlinien  im  allgemeinen  ein  einschaliges  Hyperboloid,  welches 
die  Fläche  in  jedem  Punkte  der  e  oder  entlang  e  berührt  (380).  Man 
nennt  dasselbe  Berührungshyperboloid  entlang  der  Erzeugenden  e. 
Es  giebt  deren  unendlich  viele. 

Wählt  man  die  drei  Tangenten  parallel  mit  ein  und  derselben 
Ebene,  so  erhält  man  ein  entlang  e  berührendes  hyperbolisches 
Paraboloid,  ein  Berührungsparaboloid]  es  genügt  dann  die  Angabe 
zweier  Tangenten  i^i,^,  mit  denen  dann  jene  Ebene,  die  Bichtebene 
der  Tangenten,  parallel  ist.  Die  Berührungsebene  der  Fläche  (und 
des  Paraboloides)  in  dem  unendlich  fernen  Punkte  der  e  ist  dann 
diejenige  Ebene,  welche  durch  e  gelegt  wird  parallel  mit  einer  zweiten 
die  t^  und  ^2  schneidenden  Erzeugenden  des  Paraboloides. 

Wählt  man  t^  und  ^  senkrecht  zu  e,  so  ist  auch  die  mit  t^ 
und  ^  parallele  Richtebene  und  jede  Erzeugende  der  Schaar  t  des 
Paraboloides  senkrecht  zu  e  und  berührt  die  Fläche.  Denkt  man 
sich  dieses  Paraboloid  um  e  um  90®  gedreht,  so  werden  die  t  Nor- 
malen zur  Fläche,  woraus  folgt:  Die  Normalen  einer  tvindschiefen 
Fläche,  deren  FußjHmkte  in  einer  Erzeugenden  derselben  liegen,  baden 
ein  hyperbolisches  Paraboloid,  das  s.  g.  Normalenparaboloid. 

382.  Weil  das  Berührungshyperboloid  einer  windschiefen  Fläche 


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414 


X,  882.    Die  windschiefen  Flächen. 


Fig.  167. 


mit  dieser  in  jedem  Punkte  einer  Erzeagenden  die  Berührungsebene 
gemein  hat,  so  gilt  auch  für  die  Fläche  der  Satz  der  Nr.  139,  und 
heißt  dann:  Jede  durch  eine  Erzeugende  e  einer  toindschiefen  FUkiie 
gehende  Ebene  berührt  die  Fläche  in  einem  Punkte  der  e.  Das  Büsdid 
e  dieser  Ebenen  ist  mit  der  Beihe  e  der  zugehörigen  Beriihrungqmnkte 
projektiv. 

Danach  löst  man  die 

Aufg.    Für  drei  Funkte  P,,  Pg,  Pg  einer  Erzeugenden  e  einer 
windschiefen  Fläche  sind  die  Beruhrungsd}enen  Tj,  Tg,  Tj  gegeben;  man 
soll  für  einen  vierten  Punkt  P  der  e  die  Berührungsebene  T,  oder  für 
eifie  vierte  durch  e  gelegte  Ebene  T  den  Berührtmgspunkt  P  konstruiren. 
Fig.  167.  Aufl.  1.    Die  Figur  gibt  die  Darstellung  in  einer  einzigen  Pro- 

jektionsebene P,,  da  diese  genügt  E  sei  die  Spur  der  e,  die  durch 
E  gehenden  Geraden   ^i,  ^,  ^    seien   die   Spuren,    Pj,  Pj,  Pj  die 

Projektionen   der  Berührungspunkte   der 
T,,  Tg,  Tg.     Die  Punktreihe  c  der  P  ist 
nun  projektiv  mit  dem  Büschel  E  der  f, 
und  es  sollen  von  zwei  weiteren  entspre- 
chenden  Elementen   P,  t    das   eine   aus 
dem  gegebenen  anderen  gefunden  werden. 
Es  geschieht  dies  vermittelst  einer  Hilfs- 
geraden e^  in  P,    welche   das   Strahlen- 
büschel   in    der   Punktreihe    ^j,  Q^,  Q^ 
schneidet,   durch  die  Perspektive  Axe  p 
(I,  283)  zwischen  den  projektiven   B>eihen  der  P  und   der  Q  und 
durch  Bestimmung  der  entsprechenden  Elemente  P,  Q  und  EQ  =  i. 
Aufl.  2.     Denkt  man  sich  ein   entlang  e  berührendes  Hyper- 
boloid gelegt,   das  durch  drei  Erzeugende  der  zweiten  Schaar  ge- 
geben ist,    wovon  jede  in  einer  der  gegebenen  Berührungsebenen 
beliebig  angenommen  werden  kann,  so  seien  P^Q^,  P^Q^  die  beiden 
ersten  derselben,  und  öi>  Qs  il^re  Spuren.    Schneidet  nun  die  dritte 
Berührungsebene  die  Q1Q2  =  Cj  in  ^3,  so  kann  P3Ö8  ^^^  dritte  Er- 
zeugende angenommen  werden.    Dann  sind  e  und  e^  Erzeugende  der 
ersten  Schaar,   und  sie  werden  von  denen  der  zweiten  in  den  pro- 
jektiven Punktreihen  Pj,  Pg,  P3  und  Q^,  Q^,  Qs  geschnitten.    Zu  P 
sucht  man  dann,  wie  vorher,  den  entsprechenden  Punkt  Q  und  die 
Berührungsebene  eö  =  T,  oder  umgekehrt 

Sind  statt  der  Berührungsebenen  drei  die  Fläche  bezw.  in  Pj, 
Pg,  P3  berührende  Gerade,  etwa  die  Tangenten  der  Leitlinien,  ge- 
geben, so  lege  man  zwei  Gerade  e^  und  e,,  welche  diese  Tangenten 
schneiden,  und  durch  P  eine  die  e^  und  e^  schneidende  Gerade  t] 
dann  ist  et  =>  T  die  Berührungsebene  in  P;  oder  man  schneide  die 


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X,  382—384.    AUgemeineB.  415 

dnrch  e  gehende  Ebene  T  mit  e^  und  e^,   so  bestimmt  die  Verbin- 
dungslinie der  Schnittpunkte  auf  e  den  Berührungspunkt  P  der  T. 

383.  Die  Berührungsebene  einer  windschiefen  Fläche  in  dem 
unendlich  fernen  Punkte  einer  Erzeugenden  heißt  eine  asymptotische 
Ebene  der  Fläche.  Alle  asymptotischen  Ebenen  werden  von  einer 
abwickelbaren  Fläche  umhüllt,  welche  die  (asymptotische  abwickelbare 
Fläche  der  toindschiefen  Fläche  heißt  und  diese  entlang  ihrer  unend- 
lich fernen  J^urve  berührt.  Die  ans  ein  und  demselben  Punkte  als 
Spitze  gebildeten  Bichtkegel  der  windschiefen  und  jener  asymptoti- 
schen Fläche  fallen  zusammen;  sie  projiciren  die  gemeinschaftliche 
unendlich  ferne  Kurve  der  beiden  ersteren  Flächen.  Die  Berührungs- 
ebenen dieses  Bichtkegels  sind  mit  den  asymptotischen  Ebenen  der 
windschiefen  Fläche,  und  die  Erzeugenden  des  Kegels  sind  sowohl 
mit  denen  der  windschiefen ,  als  mit  denen  der  asymptotischen 
Fläche  parallel.  Also  sind  auch  die  in  einer  asymptotischen  Ebene 
liegenden  Erzeugenden  der  windschiefen  und  der  asymptotischen 
Fläche  unter  einander  parallel. 

384.  Wie  bei  dem  einschaligen  Hyperboloide  (149),  so  nennt 
man  bei  jeder  windschiefen  Fläche  den  Centralpuhkt  einer  Erzeugen- 
den den  Punkt,  in  welchem  sie  ihrer  benachbarten  Erzeugenden  am 
nächsten  ist,  in  welchem  also  auch  ihre  Berührungsebene,  die  s.  g. 
GentraUbene  der  Erzeugenden,  senkrecht  auf  ihrer  asymptotischen 
Ebene  steht.  Die  Gesamtheit  der  Gentralpunkte  der  Fläche  bildet 
deren  Striktionslinie. 

Ordnet  man  in  dem  durch  eine  Erzeugende  e  gehenden  Büschel 
von  Ebenen  einer  jeden  die  auf  ihr  senkrechte  zu,  so  bildet  das 
Ebenenbüschel  eine  gleichlaufende  Involution  (I,  348),  also  auch  die 
Reihe  ihrer  Berührungspunkte  auf  e,  deren  Potenz  p^  daher  negativ 
ist  (I,  300).  Der  Centralpunkt  C  ist  dabei  dem  unendlich  fernen 
Punkte  U  zugeordnet,  also  der  MitteJptmkt  der  Involution.  Den 
beiden  zugeordneten  Ebenen,  welche  mit  der  Gentralebene  einen 
Winkel  von  45^  bilden,  gehören  Berührungspunkte  M  und  N  an, 
welche  von  C  auf  beiden  entgegengesetzten  Seiten  gleich  weit  ab- 
stehen. Denn  CÜMN  müssen  harmonisch  liegen,  weil  ihre  Be- 
rührungsebenen so  liegen.  Daher  sind  M  und  N  die  ideellen  Doppel- 
punkte der  gleichlaufenden  Punktinvolution  und  es  ist  CM  oder 
CN=  ^y — p^  (I,  300).  Man  nennt  diese  Abstände  den  Para- 
meter der  Erzeugenden. 

Während  ein  Punkt  eine  ganze  Erzeugende  beschreibt,  dreht 
sich  die  zugehörige  Berührungsebene  um  180^,  und  zwischen  den 
ideellen  Doppelpimkten  um  90^.  Je  kleiner  der  Parameter,  um  so 
rascher  die  Drehung  in  der  Nähe  des  Centralpunktes.      Schneiden 


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416 


X,  384—386.    Die  windschiefen  Flächen. 


sich  zwei  benachbarte  Erzeugende,  so  ist  ihr  Schnittpunkt  der  Cen- 
tralpunkt;  in  ihm  kann  man  sich  die  ganze  Drehung  vor  sich  ge- 
gangen denken,. 

Es  leuchtet  ein:  Zwei  windschiefe  Flächen  beriäiren  sich  eniUmg 
einer  gemeinschaftlidien  Erzeugenden  c,  wenn  deren  Centralpunkte  und 
Centralebenen  sich  decken,  wenn  ihre  Parameter  gleich  sind  und  u^enn 
der  Drehungssinn  der  Berührungsebene  bei  beiden  übereinstimmt. 


386.  Die  Schnittlinie  einer 
Ebene  mit  einer  mndschiefen 
Fläche  ist  die  Verbindungslinie 
der  Schnittpunkte  der  Ebene  mit 
den  Erzeugenden  der  Fläche. 


Fig.  168. 


Der  aus  einem  Punkte  einer 
windschiefen  Fläche  umschriAene 
Kegel  ist  der  einhüllende  Kegel 
der  Verbindungsebenen  des  Punk- 
tes mit  den  Erzeugenden  der 
Fläche. 

Schneidet  eine  Gerade  g  eine  windschiefe  Fläche  in  n  Punkten, 
so  ist  jede  durch  g  und  die  Erzeugende  eines  jener  Punkte  gelegte 
Ebene  eine  durch  g  gehende  Berührungsebene  der  Fläche,  deren 
Berührungspunkt  jedoch  nicht  in  jenem  Schnittpunkte  liegt.  Außer- 
dem gibt  es  aber  keine  durch  g  gehende  Berührungsebene,  weil 
jede  eine  Erzeugende  enthält,  diese  aber  die  g,  und  zwar  in  einem 
jener  n  Punkte,  schneiden  muß.  Es  schneidet  daher  eine  Gerade  die 
Fläche  in  ebenso  vielen  Punkten,  als  Berührungsebenen  durch  sie 
an  die  Fläche  gelegt  werden  können,  oder  eine  unndschiefe  Fläche 
von  der  n^  Ordnung  ist  auch  von  der  n^  Blasse,  und  man  nennt  sie 
vom  w'**  Grade.  Die  Ordnung  einer  ebenen  Schnittkurve  und  die 
Klasse  eines  umschriebenen  Kegels  der  Fläche  sind  dann  eben- 
falls die  n^. 

386.  Eine  Leitlinie  l^  einer  windschiefen  Fläche  ist  im  allge- 
meinen eine  vielfache  Linie'  derselben;  durch  jeden  ihrer  Punkte  P 
gehen  nämlich  so  viele  Erzeugende,  als  die 
aus  P  durch  je  eine  der  anderen  Leitlinien 
^2  und  {3  gelegten  Kegel  Erzeugende  gemein 
haben,  also  m^m^,  wenn  m^  und  m^  die  Ord- 
nung bezw.  von  l^  und  l^  angeben.  In  der 
Figur  sind  zwei  solche,  e,  e\  gezeichnei  Be- 
rühren sich  die  aus  einem  Punkte  G  der  l^  ge- 
legten beiden  Kegel,  so  ist  ihr  entlang  der 
Berührungserzeugenden  c  liegendes  gemein- 
sames Element  auch  ein  ebenes  Flächenelement  der  windschiefen 
Fläche.  Eine  solche  Erzeugende  c  mag  eine  Kante*)  der  Fläche  heißen. 


Fig.  168. 


*)  Herr  de  la  Goumerie  in  seiner  G^m.  descr.,  B.  2,  1862,  S.  151,  nennt 
(mit  Bour)  ar§te  eine  Erzeugende  einer  windschiefen  Fläche,  welche  mit  ihrer 


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X,  386.    Allgemeines.  417 

Bewegt  sich  der  Punkt  auf  l^  von  C  aus  nach  der  einen  Seite, 
in  der  Figur  gegen  P  hin,  so  werden  wegen  der  Stetigkeit,  die 
wir  stets  voraussetzen,  die  beiden  den  Kegeln  gemeinsamen  zu- 
sammenfallenden Erzeugenden  in  zwei  getrennte  tibergehen,  und  bei 
der  Bewegung  nach  der  anderen  Seite  hin  verschwinden;  ausge- 
nommen den  Fall,  den  wir  nicht  weiter  verfolgen,  in  welchem  die 
Kante  eine  singulare  Erzeugende  (mit  Bückkehrelementen)  des  einen 
oder  der  beiden  Kegel  ist.  In  jenem  allgemeinen  Falle  wird  dann 
C  ein  Grenzpunkt  sein,  in  welchem,  wenn  er  von  dem  laufenden 
Punkte  P  durchschnitten  wird,  sich  die  Anzahl  der  reellen  Erzeu- 
genden um  zwei  verändert. 

Jede  der  Berührungsebenen  der  Fläche  in  dem  vielfachen  Punkte 
P  enthält  die  Tangente  der  2]  in  P  und  eine  der  durch  P  gehenden 
Erzeugenden.  Wenn  zwei  dieser  Erzeugenden,  c,  e\  bei  dem  Foi-t- 
rücken  von  P  auf  2^  sich  nähern  und  bei  C  zusammenfallen,  so 
fallen  auch  die  beiden  durch  sie  gehenden  Berührungsebenen  zu- 
sammen. Schneidet  eine  Ebene  die  l^  in  P,  und  die  c  in  J.,  so  schnei- 
det sie  die  Fläche  in  einer  Kurve  k,  welche  bei  P  einen  vielfachen 
Punkt  hat,  den  wir  nur  als  Doppelpunkt  ins  Auge  fassen,  indem 
wir  nur  die  beiden  Flächenzweige  l^  6,  l^  e  der  bei  0  zusammen- 
fallenden Erzeugenden  c,  e  beachten.  Die  Ic  wird  in  A  von  der 
die  Fläche  entlang  c  berührenden  Ebene  im  allgemeinen  ohne  gleich- 
zeitiges Schneiden  beröhrt.  Bückt  nun  der  Schnittpunkt  P  in  C, 
so  geht  die  Kurve  ft  mit  der  Schleife  P^P  in  die  Kurve  h^  mit 
der  Spitze  G  über,  da  die  beiden  Tangenten  in  P  zu  einer  einzigen 
Tangente  in  C  werden,  und  da  die  c  in  C  durch  jene  die  Fläche 
entlang  c  berührende  Ebene  ohne  Schneiden  berührt  wird.  Auch 
jede  unebene  durch  C  gehende  Kurve  der  Fläche  hat  in  0  eine 
Spitze,  da  man  jene  schneidende  Ebene  durch  die  Schmiegungs- 
ebene  der  Kurve  in  G  ersetzen  kann,  den  Fall  ausgenommen,  daß 
diese  Schmiegungsebene  die  Kante  c  enthält,  wo  dann  die  Kurve 
aus  c  und  einem  sie  berührenden  Zweige  besteht.  Der  Punkt  G 
heißt  ein  KttöpidalpunJct  der  Fläche  (Zwickpunkt,  pinch-point, 
sommet).  Da  jede  durch  die  Spitze  einer  Kurve  gehende  und 
in  ihrer  Schmiegungsebene  liegende  Gerade  als  Tangente  der- 
selben anzusehen  ist,  so  berührt  jede  durch  den  KuspiddlpuvJct  G 
gehende  Gerade  und,  da  jede  Berührungsebene  die  Erzeugende  ihres 
Berührungspunktes  enthält,  jede  durch  die  Kante  c  gehende  Ebene 


benachbarten  parallel  ist,  während  wir  die  Bezeichnung  Kante  auf  die  so  h&nfig 
vorkommenden,  aber,  wie  es  scheint,  nicht  benannten  Erzengenden  ausdehnen 
wollen,  welche  mit  ihrer  benachbarten  in  derselben  Ebene  liegen. 

Wiener,  Lehrbach  der  darsteUenden  Geometrie.   II.  27 


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418  X,  386—887.    Die  wincLscbiefen  Flächen. 

die  Fläche  in  C.    Daher  geht  auch  die  Bmihrungskurve  b  eines  jeden 
einer  windschiefen  Fläche  umschriebenen  Kegels,  also  jede  Umrißlinie 
tmd  jede  EigenschaUengreneSy  durch  aUe  Kuspidalpunkte  der  Flädie, 
Zugleich  berührt  sie  in  mnem  solchen  Punkte  die  durch  ihn  gehende 
Kante  der  Fläche,    um  noch  letzteres  zu  beweisen^  legen  wir  darch 
die  Spitze  8  des  Kegels   und   durch   die  Puükte  Ä   der  c  und  P 
der  l^,   för   welche  CA   und  CP  =  0^    ist,   eine  Ebene;   dieselbe 
schneidet  die  Fläche  in  einer  Kurve  k,  welche  bei  P  einen  Doppel- 
punkt besitzt.     Zieht  man  aus  8  9Ji  k  eine  Tangente,  welche  in  D 
berühren  möge,  so  ist  D  ein  Punkt  des  Umrisses  6,  welcher  außer- 
dem durch  C  geht    Wenn  wir  nun  zeigen,  daß  -4.D  ««  0*,  so  können 
wir  daraus  folgern,  daß  «^  ACD  «=  0*,  daß  also  CA  oder  c  die 
Tangente  der  b  in  C  ist.     Die  beiden  Tangenten  der  k  in  Ihrem 
Doppelpunkte  P  bilden  aber  einen  Winkel  =  0^,  weil  auch  die  Be- 
rührungsebenen der  Fläche  in  P  einen  solchen  Winkel  bilden.   Zieht 
man  nun  durch  8  die  Sehne  AE  der  Ä,  so  ist  im  Dreiecke  APE 
der  -^Pc=«0*  (nämlich  kleiner  als  der  Winkel  der  Tangenten  der 
k  in  P),  ^  A  endlich,  PA  =  0^  folglich  AE  =  0*;  daher  um  so 
mehr  -4D  =»  0*,  wodurch  der  Satz  bewiesen  ist. 

Bückt  ein  Kuspidalpufikt  ins  Unendliche^  so  wird  die  nach  ihm 
laufende  Karde  zu  einer  Asymptote  der  Berührungskurve  eines  jeden 
umschriebenen  Kegels  und  eines  jeden  Umrisses. 

Diese  für  eine  vielfache  Leitlinie  der  Fläche  gewonnenen  Ergeb- 
nisse gelten  für  jede  vielfache  Linie  der  Fläche,  da  man  diese,  wie 
jede  Linie  der  Fläche,  als  eine  Leitlinie  ansehen  kann,  möglicher- 
weise mit  Ausschluß  einer  Reihe  von  Erzeugenden,  die  durch  sie 
als  Leitlinien  neu  eingeführt  würden.  Jeder  Kuspidalpunkt  liegt 
auf  einer  vielfachen  Linie  der  Fläche. 

387.  Indem  wir  in  der  Folge  öfter  8ätjse  über  Linien  und 
Flächen  höherer  Ordnung  auf  analytischer  Grundlage  beweisen,  wollen 
wir  die  dabei  zu  benutzenden  und  zum  Teil  schon  früher  benutzten 
Begriffe  und  Sätze  zusammenstellen: 

1)  Eine  Linie  von  der  n^  Ordnung  ist  eine  solche  Linie,  welche 
von  jeder  Ebene  in  n  (reellen  oder  imaginären)  Punkten  geschnitten 
wird.  Ist  die  Linie  eben,  so  wird  sie  von  jeder  Geraden  ihrer 
Ebene  in  n  Punkten  geschnitten. 

2)  Eine  Linie  von  der  n*^  Klasse  ist  eine  solche  Linie,  von 
deren  Schmiegungsebenen  n  durch  jeden  Punkt  gehen,  oder  an 
deren  abwickelbare  Fläche  (ihrer  Tangenten)  durch  jeden  Punkt  n 
Berührungsebenen  gehen.  Ist  diese  abwickelbare  Fläche  ein  Kegel, 
so  gehen  durch  jede  durch  seine  Spitze  gelegte  Gerade  n  Berüh- 


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X,  387—388.    Allgemeinea.  419 

rongsebenen  desselben.     Ist  die  Linie  ehen^   so  gehen  durch  jeden 
Pankt  ihrer  Ebene  n  Tangenten  an  dieselbe. 

3)  Eine  ebene  Kurve  von  der  n*®"  Ordnung  oder  Klasse  ist 
durch  -J-  (n  +  1)  (n  +  2)  —  1  =  ^  w  (n  +  3)  Punkte^  durch  welche  sie 
geht,  oder  Gerade,  welche  sie  berührt,  bestimmt.  Denn  so  groß 
ist  die  Anzahl  der  unabhängigen  Konstanten  ihrer  allgemeinen 
Gleichung. 

4)  In  derselben  Ebene  haben  zwei  Kurven  bezw.  von  der  m**° 
und  n^^  Ordnung  oder  Klasse  mn  Punkte  oder  mn  Tangenten  ge- 
mein. Denn  durch  Elimination  der  einen  Veränderlichen  aus  ihren 
Gleichungen  erhält  man  eine  Gleichung  vom  mn^^  Grade  nach  der 
anderen  Veränderlichen. 

5)  Eine  Fläche  von  der  n**"  Ordnung  ist  eine  solche  Fläche, 
welche  von. jeder  Geraden  in  n  Punkten,  und  daher  von  jeder  Ebene 
in  einer  Linie  von  der  n^^  Ordnung  geschnitten  wird. 

6)  Eine  Fläche  von  der  w'**  Klasse  ist  eine  solche  Fläche,  an 
welche  durch  jede  Gerade  n  Berührungsebenen,  und  daher  aus  jedem 
Punkte  als  Spitze  ein  berührender  Kegel  von  der  n*®"  Klasse  gehen. 

7)  Eine  Fläche   von  der  n*^  Ordnung  oder  Klasse  ist  durch 

Ebenen,  welche  sie  berührt,  bestimmt, 

8)  Zwei  Flächen  bezw.  von  der  m^^  und  n*®°  Ordnung  schnei- 
den sich  in  einer  Linie  von  der  mn*^  Ordnung. 

9)  Eine  Fläche  von  der  n**^  Ordnung  hat  mit  einer  Linie  von 
der  m**°  Ordnung,  die  nicht  ganz  in  ihr  liegt,  mn  Punkte  gemein. 
Hat  eine  Linie  von  der  w**"  mit  einer  Fläche  von  der  n*®"  Ordnung 
mehr  als  mn  Punkte  gemein,  so  liegt  sie  ganz  in  derselben. 

10)  Drei  Flächen  bezw.  von  der  P®°,  w****,  n^^  Ordnung  haben 
Imn  Punkte  gemein. 

11)  Zerfallt  eine  Linie  oder  eine  Fläche  von  der  n*®°  Ordnung 
bezw.  in  Linien  oder  Flächen  von  der  Ordnung  i,  k,  l  .  .  .,  so  ist 
i  -(-  Ä;  +  Z  •  •  •  =  w. 

388.  Satz,  Sind  die  drei  Leitlinien  l^,  l^,  l^  einer  Regdfläche  P 
bejsw.  von  der  Ordnung  m^,  m^,  Wg,  und  schneidet  keine  derselben  eine 
der  anderen,  so  ist  der  Grad  der  Eegelfläche  n  =^2m^m^m^.  Eine  be- 
liebige Gerade  g  schneidet  die  Fläche  in  n  Punkten,  und  die  durch 
die  Schnittpunkte  gehenden  Erzeugenden  der  P  sind  die  Gesamt- 
heit der  Geraden,  welche  die  vier  Linien  g,  lu  hy  h  treffen.  Legt 
man  nun  durch  g,  2,,  l^  als  Leitlinien  eine  Regelfläche,  welche  vom 
n,*^  Grade  sei,  so  vrird  dieselbe  von  Z,  in  m^  nj  Punkten  geschnitten, 
und  die  durch  die  Schnittpunkte  gehenden  Erzeugenden  dieser  Fläche 

27* 


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420  X,  388—389.    Die  windschiefen  Flächen. 

sind  ebenfalls  die  Gesamtheit  der  Geraden^  welche  die  vier  Linien 
h>  9)  hi  h  treffen.  Daher  ist  n  =  w^Wj.  Hieraus  folgt  auch,  daß 
der  Grad  der  Regelfläche  (g,  l^,  ^)  «=  «i  =  Wj  w,  ist,  wenn  n^ 
der  Grad  einer  Regelfläche,  welche  zwei  Gerade  ^,  h  und  die  2,  zu 
Leitlinien  hat;  und  endlich,  daß  f^  =  fn^'2  ist,  weil  2  der  Grad 
einer  Regelfläche,  welche  drei  Gerade  g,  h,  i  zu  Leitlinien  hat.  Daraus 
ergibt  sich  durch  aufeinanderfolgende  Einführung  w  =  2  »»imjtw,. 

Haben  0wei  Leitlinien  I2,  l^  einen  Funkt  gemein,  so  zerfallt  die 
Regelfläche  in  zwei  Bestandteile,  von  denen  der  eine  derjenige  Kegel 
ist,  welcher  jenen  gemeinsamen  Punkt  zur  Spitze  und  l^  zur  Leit- 
linie hat;  und  da  dieser  Eegel  von  der  m^^^  Ordnung,  so  ist  die 
Ordnung  oder  der  Grad  der  (windschiefen)  Regelfläche  =  2  m^  fWg  «w, 

Haben  l^,  l^;  l^^l^ ;  l^,  ^  hezw.  Sj,  Sg?  h  FunJcte  gemein,  so  ist  hier- 
nach die  Regelfläche,  mit  Ausschluß  jener  Eegelflächen,  vom  Grade 

w  =  2  w»!  W2  »W3  —  Sj  f»!  —  Sj  m^  —  53 mg. 
Dabei  werden   die   Zahlen,   welche   die   VielfacMeit  der  Leitkurven 
ausdrücken,  erniedrigt  auf 

Wg  Wg  —  Sj ,    wig  m,  —  «2 ,     ♦»!  W2  —  «8  . 

EUerbei  ist  der  Fall  des  scheinbaren  Widerspruchs  zu  erörtern, 
welcher  eintritt,  wenn  die  drei  Leitlinien  Kegelschnitte  sind,  die  sich 
zu  zwei  in  zwei  Punkten  schneiden,  und  wobei  die  Regelfläche  zweiten 
Grades  entsteht  (142,  3)).  Es  ist  dann  m^  =  W2  =  m^  =  2,  «i  =  s, 
«=  «3  =  2,  woraus  n=  16  —  3.4  =  4  folgt,  und  die  Vielfachheit 
jedes  Kegelschnittes  =4  —  2  =  2.  Beides  scheint  einen  Wider- 
spruch zu  enthalten,  der  sich  aber  dadurch  löst,  daß  wirklich  durch 
jeden  Punkt  jeder  Leitlinie  zwei  Erzeugende  gehen,  und  daß  zwei 
Schaaren  von  Erzeugenden  die  Fläche  doppelt  bedecken.  Jede  Fläche 
mit  zwei  Schaaren  von  geraden  Erzeugenden  muß  aber  eine  Begdfläche 
zweiten  Grades  sein,  weil  jede  Schaar  drei  Gerade  der  anderen  zu 
Leitlinien  hat. 

n.    Das  Konoid,  seine  Sohattengrenzen  und  Liohtgleiolien. 

389.  Man  kann  die  windschiefen  Flächen  in  solche  mit  3,  2,  1 
oder  keiner  Leitgeraden  teilen.  Die  erster en  sind  die  vom  zweiten 
Grade,  die  zweiten  die  vom  2n^^  Grade,  wenn  die  krumme  Leit- 
linie von  der  n*®°  Ordnung  ist  (388).  Zu  ihnen  gehört  das  Konoid] 
bei  demselben  ist  die  eine  gerade  Leitlinie  unendlich  ferne,  also 
durch  eine  Richtebene  gegeben,  so  daß  das  Konoid  eine  windschiefe 
Fläche  mit  einer  Bichtebene  und  einer  geraden  Leitlinie  ist.  Die 
krumme  Leitlinie  kann  auch  durch  eine  Leitfläche,  welche  von  den 


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X,  389—390.    Das  Konoid,  seine  Schaitengrenzen  und  Lichtgleichen.      421 

'  Erzeugenden  berührt  wird,  ersetzt  sein.  Steht  die  gerade  Leitlinie 
senkrecht  auf  der  Kichtebene;  so  heißt  das  Konoid  ein  gerades,  sonst 
ein  schiefes.  Für  eine  Erzeugende  e  des  Konoides  erhält  man  ein 
Berührungsparäboloid,  wenn  man  die  krumme  Leitlinie  durch  ihre 
Tangente  in  ihrem  Schnittpunkte  mit  e  oder  durch  eine  andere  die 
Fläche  in  diesem  Punkte  berührende  Gerade  ersetzt;  oder  wenn 
man  die  Leitfläche  durch  eine  Tangente  derselben  in  ihrem  Berüh- 
rungspunkte mit  e  ersetzt. 

Da  der  Bichtkegel  zu  einer  Bichtebene  geworden  ist,  so  sind 
die  Berührungsebenen  in  allen  unendlich  fernen  Punkten  der  Fläche 
mit  der  Richtebene  parallel  (383).  Die  Gentralebenen  der  Erzeu- 
genden (384)  stehen  daher  auf  der  Richtebene  senkrecht  und  ihre 
Berührungspunkte ;  die  Centralpunkte  der  Erzeugenden  und  damit 
die  StrikHonslinie  bilden  den  Umriß  der  Fläche  bei  ihrer  senkrech- 
ten Projektion  auf  die  Richtebene. 

Die  gerade  Leitlinie  und  die  unendlich  ferne  Gerade  der  Richt- 
ebene sind  so  vieifache  Linien  der  Fläche ^  als  die  Ordnung  der 
krummen  Leitlinie  angibt.  '  Die  Kanten  erhält  man  durch  die  be- 
rührenden Ebenen,  welche  man  durch  die  eine  oder  die  andere 
dieser  Leitgeraden  an  die  krumme  Leitlinie  legi  Die  Erzeugende 
durch  jeden  der  Berührungspunkte  ist  eine  Kante,  und  ihr  Schnitt- 
punkt mit  der  Leitgeraden^  durch  welche  jene  Berührungsebene 
nicht  geht,  ist  ein  Kuspidalptmkt  (386).  —  Die  krumme  Leitlinie 
der  Fläche  ist  stets  eine  einfache  Linie  derselben ,  so  daß  das 
Konoid  außer  seinen  beiden  geraden  Leitlinien  keine  mehrfache 
Linie  enthält. 

390.  Äufg.  Das  gerade  Kreiskonoid  darzustellen  und  Berährungs- 
ebenen  an  dasselbe  zu  legen. 

Das  Kreiskonoid  ist  vom  vierten  Grade  (vor.  Nr.);  bei  dem  ge- 
raden Kreiskonoide  steht  die  gerade  Leitlinie  g  senkrecht  auf  der 
Leitebene;  wir  wollen  auch  die  Ebene  des  Leitkreises  k  senkrecht 
auf  die  Leitebene  stellen;  die  senkrechte  Projektion  von  g  auf  die 
Kreisebene  gehe  durch  den  Mittelpunkt  M  des  k, 

Aufl.  Legen  wir  Pg  in  die  Ebene  des  k,  nehmen  P^  als  Leit-  wg.  i«». 
ebene  und  legen  sie  durch  M,  so  geht  auch  x  durch  üf  ,  und  g"  steht 
J.X  und  geht  durch  M.  Es  ist  nur  die  obere  Hälfte  der  Fläche 
dargestellt  und  von  dieser  nur  das  von  k  und  g  begrenzte  Stück. 
Eine  Erzeugende  ist  die  mit  P^  Parallele  (G'E\  D''E").  Der  erste 
Umriß  der  Fläche  besteht  aus  den  beiden  Geraden  O'A^  G'B,  der 
zweite  scheinbare  (nicht  verzeichnete)  aus  den  beiden  zu  x  paral- 
lelen Tangenten  des  A".  Die  Kanten  (mit  ebene»  Flächenelementen) 
gehen  durch  die  Endpunkte  des  in  x  und  des  J.  x  liegenden  Durch- 


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422 


X,  390—891.    Die  windschiefen  Flachen. 


Fig.  169. 


messers  von  Ä,  drei  derselben  also  durch  Ä^  JB,  (7;  die  vier  Kuspi- 
dalpunJUe  sind  die  unendlich  fernen  Punkte  der  durch  A  und  B 
gehenden  Erzeugenden,  femer  (ß',  C)  und  der  andere  Grenz- 
punkt auf  g. 

Eine  zur  Ebene  des  h  parallele  Ebene  F' K'  schneidet  die 
Fläche  in  einer  Ellipse^  deren  vier  Scheitel  in  den  vier  Kanten  lie- 
gen. Der  Aufriß  zeigt  ihre  wahre 
Gestalt;  von  dem  Aufriß  ist  M  der 
Mittelpunkt,  2  .  MC"  in  g"  die  eine 
Axe,  F'K"  die  andere;  die  letztere 
kann  jede  Größe  annehmen.  Diese 
Kurve  ist  eine  Ellipse,  weil  ihre  zu 
X  parallelen  Ordinaten  zu  denen  des 
Ä",  welche  in  derselben  Linie  liegen, 
in  einem  unveränderlichen  Yerhältr 
nisse  stehen,  da  (s.  Fig.) 

=  G'D':G'M=conBt 
391.  Die  Berühnmgsebene  in  einem 
gegebenen  Punkte  P  der  Fläche  wollen 
wir  mittelst  eines  entlang  der  Erzeu- 
genden PE  sich  anschließenden  Para- 
boloides  bestimmen,  dessen  Leitebene 
Fl  und  dessen  Leitgeraden  g  und  die 
Tangente  (E'M,  E"  T')  des  l  in  E  sei  Schneidet  E"  T'  die  g" 
in  T\  so  ist  die  auf  P,  senkrechte  Gerade  (Cf'Jf,  T')  eine  wei- 
tere Erzeugende  dieser  Fläche.  Für  ihre  zweite  Schaar  von  Er^ 
zeugenden  ist  die  zu  g  und  E"T'  parallele  P^  die  Leitebene;  und 
schneidet  die  |  Pj  durch  P  gelegte  Ebene  P^D'  jene  beiden  Erzeu- 
genden der  ersten  Schaar  in  (D',  T")  und  P,  so  ist  (JD'P',  T'F') 
die  durch  P  gehende  Erzeugende  der  zweiten  Schaar.  Die  Ebene 
beider  durch  P  gehenden  Erzeugenden,  welche  E"H{\T'P")  zur 
zweiten,  und  HJ{IE'P')  zur  ersten  Spur  hat,  ist  dann  die  Berüh- 
rungsebene des  Hyperboloides  und  des  Konoides  in  P.  —  In  unserem 
besonderen  Falle  läßt  sich  auch  {P'D\  P'^T')  sogleich  als  Tan- 
gente der  vorhin  betrachteten  Schnittellipse  erkennen,  welche  mit 
PE  die  BerühruDgsebene  bestimmt. 

Die  umgekehrte  Aufgabe,  den  Beruhru/ngspunkt  einer  durch  eine 
Erzeugende  gehenden  Ebene  zu  ermitteln,  wird  durch  dieselben  Linien 
in  umgekehrter  Reihenfolge  gelöst.  Da  sie  sich  aber  bei  der  spä- 
teren Aufgabe  der  Umschreibung  eines  Kegels  'aus  einem  Punkte  L 
{Licht  oder  Auge)  häufig  wiederholt,  so  lohnt  es  sich,  die  Auflösung 


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X,  391—393.    Das  Konoid,  seine  Schattengrenzen  und  Lichtgleichen.    423 

zu  yereinfachen.  Man  denke  sich  durch  L  und  durch  irgend  eine  Er- 
zeugende {Q' E'y  D"E")  eine  Ebene  gelegt^  ziehe  die  in  dieser  Ebene 
befindliche  Gerade  {L'G\  L"D"),  schneide  sie  mit  der  durch  T' 
II  Pi  geführten  Ebene  in  5,  und  ziehe  S'O'  \  G'E\  so  triflEt  dieselbe 
die  G'M  im  Schnittpunkte  0'  der  Berührungsebene  mit  der  {G'M, 
T"),  und  O'Q'  \x  liefert  auf  G'E'  den  gesuchten  Berührungspunkt 
Q'.  Schneidet  man  die  zu  x  Parallele  S'  N  mit  G'M  in  N  und 
mit  G'  E'  in  JB,  so  ist  nach  Sinn  und  Größe  der  Abstand  des  Q' 
von  G'M  oder  0'Q'=  S'B,  Liegt  L  unendlich  fern,  behalten  also 
L'(t'  undL"D"  ihre  Richtungen  bei,  so  ist  offenbar  für  alle  Lagen 
von  D"  das  Verhältnis  G'N.B'T^  tg  NS'G'  :  tg  r'Ä"D" 
«=  const,  und  man  konstruirt  vorteilhaft  G'N  aus  D'' T"  durch 
einen  festen  Winkel  a,  dessen  sinus  (oder  cosecante)  gleich  jenem 
Verhältnisse  ist.  Der  Sinn  von  G'N  stimmt  aber  mit  dem  von 
D"T"  darin  überein,  daß  beide  die  Projektionen  des  Bewegungs- 
sinnes eines  sich  gegen  L  bewegenden  Punktes  (von  G'  gegen  L' 
und  von  D"  gegen  L")  auf  die  g"  sind.  Aus  N  erhält  man  dann 
S'B  =  0'  Q'.  Sind  die  Winkel  von  L'G'  und  L" D"  mit  x  einander 
gleich,  so  ist  jenes  Verhältnis  =  1,  und  6f'^=D"T". 

392.  Die  Lichtgleidien  einer  windschiefen  Fläche.  Um  auf  einer 
beliebigen  Erzeugenden  e  einer  windschiefen  Fläche  die  Punkte  der 
abgestuften  Lichtgleichen  zu  erhalten,  lege  man  senkrecht  zu  e  eine 
Ebene  E,  welche  die  e  m  E  schneide,  konstruire  in  E  aus  dem 
Mittelpunkte  E  das  Tangentialbüschel,  welches  die  Projektion  des 
durch  E  gelegten  Lichtstrahles  auf  E  zum  Nullstrahle  und  den 
Winkel  von  l  gegen  E  =  90^  —  le  zum  Grund winkel  hat  (196). 
Dann  lege  man  durch  die  Strahlen  dieses  Tangentialbüschels  und 
durch  e  Ebenen,  so  sind  dies  die  Ebenen  von  den  in  der  Lichtabstu- 
fung enthaltenen  Helligkeiten,  und  ihre  auf  e  liegenden  Berüh- 
rungspunkte mit  der  Fläche  sind  die  Punkte  der  abgestuften  Licht- 
gleichen. 

Dieses  Verfahren  wird  für  die  Ausführung  wesentlich  durch 
die  Bemerkung  abgekürzt,  daß  die  Reihe  der  Berührungspunkte  mit 
dem  Büschel  der  Berührungsebenen,  also  auch  mit  dem  Tangential- 
büschel  projektiv,  und  daß  diese  Beziehung  durch  drei  Paare  ent- 
sprechender Elemente  bestimmt  ist,  wobei  man  vorteilhaft  den  Punkt 
auf  der  Eigenschattengrenze  (Helligkeit  -=»  0),  diejenigen  auf  den  ge- 
raden Leitlinien  und  vielleicht  den  von  der  größten  Helligkeit  wählt. 

393.  Aufg.  Die  Lichtgleichen  des  geraden  Kreiskonoides  m 
bestimmen. 

Aufl.    Sei  wie  in  Nr.  390  Pj  die  Leitebene,  ^  -L  Pi   die  Leit-  Fig.  170. 
gerade,  c  in  P^  der  Leitkreis,  und  gehe  g"  durch  den  Mittelpunkt  M 


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424 


X,  398.    Die  windschiefen  Flächen. 


des  c.  Sei  der  hintere  Flächenast  durch  g  und  c,  der  vordere  durch 
g  und  einen  zu  c  parallelen  und  gleichen  Kreis  c^  begrenzt;  der 
Grundriß  ist  in  Fig.  a),  der  Aufriß  des  vorderen  Flächenastes  in  6), 
der  des  hinteren  in   c)  dargestellt,     l  sei  der  Lichtstrahl.     In  den 

Fig.  170  a. 


Kreisen  seien  die  Endpunkte  der  zu  P^  parallelen  Durchmesser  A^  B, 
A^^  Bj^,  der  zu  Pj  senkrechten  C,  D,  C^,  Dj,  so  daß  AA^,  BB^, 
CC^y  DD^  die  vier  Kanten  der  Fläche  bilden,  und  diese  sind  Licht- 
gleichen, weil  die  Fläche  entlang  einer  jeden  von  derselben  Ebene 


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X,  393.    Das  EoDoid,  seine  Schattengrenzen  and  Lichtgleichen.      42Ö 

berührt  wird.     Man  teile   von  A  und  A^   aus  jeden  Kreis  in  eine 
durch  vier  teilbare  Anzahl  (24)  gleicher  Teile,  lege  durch  die  Teilungs- 

Fig.  170  b,  c,  d. 


punkte  die  Erzeugenden  und  ermittle  für  jede  die  Lichtgleichen- 
punkte, indem  man  zuerst  für  drei  Punkte  die  Helligkeiten  bestimmt^ 
und  zwar  a)  für  den  zu  konstruirenden  Punkt  der  Eigenschatten- 


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426  X,  393—395.    Die  windschiefen  Flächen. 

grenze  (0),   6)  für  den  Punkt  auf  der  unendlich  fernen  und  c)  för 
den  Punkt  auf  der  Leitgeraden  g. 

394.  a)  Bestimmung  der  Eigenschattengrenge.  Eine  mitPi  parallele 
Ebene  schneide  die  g  in  E  ((?',  E"),  den  c  in  i^  und  H,  deii  c^  in 
Fl  und  -Hl,  so  sind  EFF^y  EHH^  zwei  Erzeugende.  Um  auf  den- 
selben die  Punkte  der  Eigenschattengrenze  zu  finden  ^  ziehe  man 
(391)  in  F  die  Tangente  an  c;  dieselbe  trifft  die  g"  in  T'\  und 
durch  diesen  Punkt  geht  auch  die  Tangente  an  c  in  J?;  sodann 
bestimme  man  auf  G' M'  den  Punkt  J  so,  daß  G'J.E'T' 
=  tg  VxiigV'Xf  in  der  Figur  «=  1,  weil  Ta;  =  T'a;  «=  45**,  wo- 
durch G'J=E"T'  wird.  Dabei  muß  man  sich  von  G'  gegen  J 
der  Lichtquelle  nähern,  wenn  man  sich  ihr  von  E"  gegen  T" 
nähert,  andernfalls  sich  von  ihr  entfernen  (391).  Sodann  ziehe  man 
durch  J  eine  Parallele  zu  x,  schneide  sie  mit  der  H  V  gezogenen 
G'V  in  tT,  mit  G'F'  in  jPj,  mit  G' H'  in  Äj,  und  bestimme  dann 
die  Schattengrenzpunkte  F^  auf  G'F'  und  H^  auf  G' H'  so,  daß 
ihre  Abstände  von  der  Mittellinie  G'  M  der  Große  und  dem  Sinne 
nach  bezw.  J^F^^J'F^  und  J^H^^^J'H^  sind.  —  Bezeichnen 
wir  die  äußere  Seite  des  hinteren  Flächenastes  mit  +,  so  hat  die 
äußere  Seite  des  vorderen  Flächenastes  das  Zeichen  — ,  indem  in 
jeder  der  Leitgeraden  das  Äußere  und  Innere  wechselt.  Wir  be- 
zeichnen auch  die  Grenzlichtgleiche  0  mit  +  oder  — ,  je  nachdem 
der  berührende  Lichtstrahl  auf  der  +  oder  —  Seite  der  Fläche  liegt. 

395.  b)  Da  der  Bichtkegel  des  Konoides  die  Ebene  F^  ist,  so 
ist  jede  unendlich  ferne  Berührungsebene  desselben  \  F,  und  die 
HelligJceit  der  Fläche  in  dem  unendlich  fernen  Punkte  jeder  Erzeugenden 
=  sin  A,  wenn  X  =  Vx  der  Winkel  von  l  gegen  Fj  ist.  Setzt 
man  G^K^  =  1,  so  ist  K^  K^  =  sin  A,  in  der  Figur  =  1 :  }/3  =  0,577. 

c)  Die  Helligkeit  der  Fläche  in  den  Funkten  der  Leitgeraden  g 
erhält  man  durch  ein  Tangentialbüschel,  das  man  in  F^  aus  G'  als 
Mittelpunkt  mit  G'  L'  \  T  als  Nullstrahl  und  X  als  Grundwinkel  ver- 
zeichnet, so  daß  cos  A  (=  |/2  :  j/3  —  0,816)  die  größte  auf  g 
mögliche  Helligkeit  ist  Macht  man  daher  G'  1.  J_  V,  6r'  1.  =  1 
==  G^K^j  teilt  diese  Strecke  in  fünf  gleiche  Teile,  zieht  aus  G'  als 
Mittelpunkt  einen  Ej-eis  k  mit  dem  Halbmesser  G'K^^G'  1.  cos  A 
«=  (tj  Ky^  cos  A  =  G^i  JTj,  so  sind  dessen  Schnittpunkte  mit  den  J_  G'  1. 
durch  deren  Teilungspunkte  gelegten  Geraden  die  Strahlenpunkte 
des  Tangentialbüschels.  Die  durch  die  so  bestimmten  Strahlen  und 
durch  g  gelegten  Ebenen  besitzen  die  zugehörigen  Helligkeiten,  und 
die  Strahlen  sind  die  Grundrisse  der  in  den  bezeichneten  Ebenen 
liegenden  Erzeugenden.  Überträgt  man  deren  Schnittpunkte  mit  c 
in  den  Aufriß,  und  zieht  hierdurch  ||  x  die  Erzeugenden,  so  bestim- 


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X,  396—396.    Das  Konoid,  seine  Scbattengrenzen  und  Lichtgleichen.     427 


/Ä 


'/ 


V 


'/ 


men  diese  auf  g'*  die  Punkte  der  Fläche  von  den  bestimmten  Hellig- 
keiten. Im  Grundriß  ist  aber  jeder  Strahl  des  Tangentialbüschels 
Tangente  der  fraglichen  Lichtgleiche  in  G\  Umgekehrt  erhält  man 
die  Helligkeit  der  Fläche  in  dem  Schnittpunkte  {G\  E")  einer  be- 
liebigen Erzeugenden  {G'F',  E"F')  als  den  Abstand  LyF^  des 
Schnittpunktes  F^  der  G'  F  mit  dem  Kreise  Tc  von  der  Geraden 
G' V  gemessen  auf  dem  Stärkemaßstabe  {=  L^F^iG'  \.), 

396.      um    nun 
auf  jeder  Erzeugenden  '^' 

aus  den  drei  Punkten  /\ 

von  bekannter  Hellig- 
keit die  Lichtgleichen' 
punkte  zu  ermitteln, 
bilde    man    in    einer 

zweiten  Figur  für  alle  /    .^-^r 

durch  je  eine  Erzen-  /^-i 

gende  gehenden  Ebe- 
nenbüschel die  Tan- 
gentialbüschel  aus  dem-  ^ .  - 

selben  Mittelpunkte  0  ^-"' 

mit  derselben  Einheit  / 

des    Stärkemaßstabes  / 

~Oi:=G'l.^G,K,,  ^A^ 

und  ziehe  durch  deren  /  ^^^ 

Teilungspunkte  Oy  2,  ^,^ 

4  . . .   Senkrechte    zu  / 

Ol/,  so  Oij.  Der 
Grund  Winkel    für    ir-  /'' 

gend  eine  Erzeugende     ^/  \ 

f^{G'F\E"F')  ist     ^' 1.^. 

aber(392)  =  90«— i/-,  1 

und    der  Halbmesser  ^^J 

des  Grundkreises  da- 
her —  0 1/ sin  Z/I  Da 
nun  auf  dem  durch 
{G\  E")  gelegten 
Lichtstrahle  die   GL 

aufgetragen  ist,  so  ist  0  1/  sin  le  gleich  der  von  L  auf  f  (G'F'^ 
E"F")  gefönten  Senkrechten.  Der  Fußpunkt  derselben  ist  aber 
auch  der  Fußpunkt  Fg  der  aus  L'  auf  G'F'  gefällten  Senkrechten; 
daher  ist  die  Länge  der  Senkrechten  die  Hypotenuse  eines  recht- 


Fig.  170  e. 


,V 1 


^  1     1/-  ;    i 

/       1            X.          ^           In 

\                   1       -     I 

K        !           1 

"H 

"H- — 


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428  X,  396.    Die  windschiefen  Flächen. 

Fig.  170.  winkligen  Dreiecks,  dessen  eine  Kathete  für  alle  Erzeugenden  «=  LL' 
=^K^K^y  und  dessen  andere  Kathete  die  von  V  auf  G' F  gefällte 
Senkrechte  L'F^  bildet. 

Trägt  man  daher  auf  dem  Nullstrahle  die  OL^  ^=  K^K^  auf, 
macht  L^Fq±.  OL^  und  =  L'F^^  zieht  aus  0  durch  F^  einen  Kreis, 
so  ist  derselbe  der  Grundkreis  für  f  und  wird  von  den  senkrecht  zu 
dem  Stärkemaßstabe  aus  dessen  Teilungspunkten  gezogenen  Geraden 
.  in  den  +  Strahlenpunkten  geschnitten,  welche  das  Tangential- 
büschel  bestimmen. 

In  diesem  Büschel  bezeichnet  aber  der  Strahl  OFq  die  Hellig- 
keit in  dem  Schnittpunkte  (6r',  JE?")  der  f  mit  g ;  denn  diese  Hellig- 
keit wurde  vorhin  =  L^  F^  bestimmt,  und  es  ist  oflFenbar  L^  F^ 
=  F^L'  =  L^Fq,  Der  auf  OF^  senkrechte  Strahl  bezeichnet  die 
Helligkeit  im  unendlich  fernen  Punkte  der  Erzeugenden,  weil  die 
Berührungsebenen  der  Fläche  in  diesem  Punkte  und  in  demjenigen 
(G\  E")  aufeinander  senkrecht  stehen.  Und  wirklich  liefert  dieser 
Strahl  eine  für  alle  Erzeugende  unveränderliche  Helligkeit  =  OL^ 
=  K^  JEg  (s.  vor.  Nr.).  Endlich  bezeichnet  der  Strahl  OL^  die  Hel- 
ligkeit im  Schattengrenzpunkte  F^  der  f. 

Man  lege  nun  die  Erzeugende  O' F'  perspektiv  in  das  Tan- 
gentialbüschel  nach  /*,  derart  daß  ihr  unendlich  ferner  Punkt  in  den 
zu  OjFg  senkrechten  Strahl  gelangt,  f  also  JL  OF^  zu  stehen  kommt, 
und  daß  ferner  G'  nach  (6r)  in  OF^  und  F^  nach  {F^  in  OL^  gelangt; 
man  erreicht  dies  dadurch,  daß  man,  was  zweckmäßig  mit  dem 
Zirkel  allein  geschieht,  den  Punkt  {F^  auf  OL^  so  bestimmt,  daß 
sein  senkrechter  Abstand  (1^2^)  ^^^  OF^^^G'F^  ist,  und  daß 
(ö)  auf  der  —  Seite  von  0  1.'  liegt,  weil  G'  der  —  Lichtgleiche  an- 
gehört; dann  schneidet  das  Tangentialbüschel  auf  f  die  auf  G'F* 
zu  Obertragenden  +  Lichtgleichenpunkte  ein.  Der  Strahl  Ol.' gibt  auf 
jeder  Erzeugenden  deren  hellsten  Punkt  an,  dessen  Ort  für  alle 
Erzeugenden  die  Maximalkurve  {m)  heißt.  Jede  Lichtgleiche  wird 
in  ihrem  Schnittpunkte  mit  m  von  einer  Erzeugenden  berührt,  weil 
in  diesem  Punkte  zwei  Punkte  der  Lichtgleiche  zusammenfallen.  — 
Fallen  die  Punkte  der  Schattengrenze  in  der  ersten,  oder  die  über- 
tragenen Erzeugenden  in  der  zweiten  Figur  außerhalb  der  Grenzen 
der  Zeichenfläche,  so  verkleinere  man  verhältnismäßig.  So  ist  för 
die  Erzeugende  j)  (6r'P',  Z"P,")  die  Verkleinerung  auf  ^  in  einer 
in    der    Figur    ersichtlichen   Weise   durchgeführt.     Dabei    ist    zur 

Raumersparnis  ~-  auf  dieselbe  Seite  von  0  gesetzt,  wie  f,  obgleich 

es  auf  der  entgegengesetzten  liegen  sollte;  daher  sind  auch  -|-  und 
—  vertauscht  worden. 


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X,  396—897.    Das  Konoid,  seine  Schattengrenzen  und  Lichtgleichen.    429 

Die  Tangente  einer  LicfUgleiche  im  Aufriß  (Fig.  b)  und  c))  in 
den  Kuspidalpunkten  C",  D'\  C,",  D/'  bestimmt  man,  indem  man 
beachtet,  daß  die  trigonometrische  Tangente  ihres  Neigungswinkels 
gegen  die  Projektionsaxe  x  halb  so  groß  ist,  als  diejenige  des  zu 
der  gleichen  Helligkeit  gehörenden  Strahles  des  Tangentialbüschels 
in  der  Aufrißebene  P^.  In  Fig.  d  ist  dieses  Büschel  gezeichnet 
(man  hätte  auch  die  Fig.  e  benutzen  können);  und  wenn  man  für 
irgend  welche  Strahlen,  z.  B,  für  die  beiden  0"2",  die  Ordinaten 
(-L  x')  halbirt,  hier  in  2^,  so  laufen  die  Tangenten  der  Licht- 
gleichen 2,  —  2  in  jenen  Kuspidalpunkten  bezw.  parallel  mit  den 
beiderlei  Linien  0^2^^  ebenso  an  die  Grenzlichtgleiche  0  parallel 
zu  0"0^.  Es  folgt  dies  daraus,  daß  für  die  unendlich  nahen  Punkte 
unserer  Flache  P  bei  jedem  jener  Kuspidalpunkte,  z.  B.  bei  (7,  die 
Erzeugende  mit  der  Senkrechten  zu  Pg  einen  unendlich  kleinen  Winkel 
bildet)  daß  also  für  diese  Erzeugende  das  Tangentialbüschel  der  Fig.  d) 
gilt,  daß  eine  durch  einen  solchen  unendlich  nahen  Punkt  ||  Pg  gelegte 
Ebene  die  P  in  einer  Kurve  (Ellipse)  schneidet,  welche  in  C  einen 
unendlich  kleinen  Krümmungshalbmesser  besitzt,  daß  die  mit  den 
Strahlen  des  Tangentialbüschels  parallelen  Tangenten  dieser  Kurve 
Punkte  der  Lichtgleichen  sind,  welche,  außer  für  die  zu  g"  parallele 
Tangente,  unendlich  nahe  bei  C  liegen,  daß  deren  Verbindungslinien 
mit  C  Elemente  der  Lichtgleichen  bilden,  daß  aber  C  in  der  Mitte 
der  Punkte  liegt,  welche  auf  g"  durch  jenen  berührenden  Licht- 
strahl und  durch  die  von  seinem  Berührungspunkte  auf  g"  gefilllte 
Senkrechte  eingeschnitten  werden  (I,  236,  Formel  7). 

397.  Die  Gestalten  der  Lichtgleichen,  Der  Mittelpunkt  (G',  M") 
der  Fläche  ist  auch  der  Mittelpunkt  der  Lichtgleichen,  G'  ihrer  Grund-, 
M"  ihrer  Aufrisse.  Vom  Grundriß  ist  nur  die  obere  Hälfte  gezeich- 
net; die  Aufrisse  beider  Flächenäste,  aufeinander  gelegt,  lassen  M" 
als  Mittelpunkt  erkennen,  und  zeigen  den  Zusammenhang  der  Kurven. 

Fassen  wir  zuerst  die  Typuslichtgleichen  und  das  Verhalten  der 
Kurven  gegen  die  Kuspidalpunkte  und  die  Leitgeraden  ins  Auge. 
Die  Typuslichtgleichen  (212)  sind  diejenigen  Lichtgleichen,  welche 
Linien  mit  ebenen  Flächenelementen,  also  hier  die  Kanten,  als  Be- 
standteile enthalten.  Die  gleichförmige  Helligkeit  entlang  der  Kante 
AA^  ist  0,78,  die  entlang  B-Bj  =0,2,  wie  es  der  Tangentialbüschel 
in  Fig.  a)  ablesen  läßt,  die  Helligkeit  entlang  der  Kanten  CC^  und 
BD^  ist  =  0,58,  wie  x"  auf  dem  Tangentialbüschel  d)  zeigt  (Hel- 
ligkeit von  Pj).  Die  Lichtgleichen  78  und  2  enthalten  daher  bezw. 
die  Geraden  AA^,  ^^i't  die  krummen  Äste  sind  verzeichnet;  der- 
jenige der  anderen  Typuslichtgleiche  58  ist  nicht  ausgeführt. 

Da  jede  durch  eine  Kante  der  Fläche  gelegte  Ebene  dieselbe 


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430  X,  397.    Die  windschiefen  Fl&chen. 

Fig.  170.  in  dem  KuspidäljmnJcte  dieser  Kante  berünrt  (386),  so  herrschen  in 
dem  (unendlich  fernen)  Euspidalpunkte  der  Kante  AÄ^  alle  Hellig- 
keiten, welche  die  Ebenen  des  Büschels  AA^  besitzen.  Man  erhält 
dieselben,  wenn  man  aus  Fig.  ä)  den  Abst.  L' .A' A^  in  die  Fig.  e) 
auf  Lg  JPg  nach  L<^  Al^  trägt;  der  aus  0  durch  A^  gezogene  Kreis 
schneidet  den  Stärkemaßstab  im  Punkte  0,98.  Also  herrschen  in 
jenem  Kuspidalpunkte  alle  Helligkeiten  von  0  bis  0,98,  jede,  außer 
0  und  0,98,  in  zwei  Ebenen  oder  alle  Lichtgleichen  von  0  bis  98 
gehen  nach  diesem  Punkte  und  haben  AA^  zur  Asymptote  (386); 
und  zwar  jede  Kurve,  außer  0  und  98,  mit  zwei  Ästen,  und  jeder 
Ast,  wie  immer  bei  stetigen  Kurven,  mit  zwei  Zugängen.  Ebenso 
ergibt  sich  durch  L^B^  =  Abst  L\B'B^\  daß  BB^  Asymptote 
aller  Lichtgleichen  von  0  bis  62  ist.  Daher  haben  diese  Licht- 
gleichen sowohl  AA^,  als  BB^  zu  Asymptoten.  —  In  jedem  der 
Kuspidalpunkte  der  ^r,  d.  i.  in  deren  Grenzpunkten  ((?',  C")  und 
{G\  D"),  finden  die  Helligkeiten  der  Ebenen  der  Büschel  CC^, 
DDi  statt,  und  diese  gehen  nach  der  Fig.  d)  oder  nach  Fig.  e  (C^) 
von  0  bis  0,82.  Daher  gehen  alle  Lichtgleichen  von  0  bis  82  durch 
diese  beiden  Punkte  und  berühren  in  ihnen  bezw.  die  Kanten  CCj, 
DDi.  —  Endlich  finden  in  Punkten  der  Leitgeraden  g  die  Hellig- 
keiten derjenigen  Ebenen  des  Büschels  g  statt,  welche  mit  der 
Fläche  (zwei  oder  eine)  Erzeugende  gemein  haben,  also  von  0,2 
bis  0,78.  Daher  schneiden  die  Lichtgleichen  2  bis  78  die  g  außer 
in  deren  Grenzpunkten  (C,  D")  noch  in  zwei  oder  einem  {M  bei 
2  und  78)  zwischenliegenden  Punkte. 

Die  Lichtgleichen  1  bis  98  ausschließlich  treten  in  unserem  Falle 
nicht  auf;  sie  würden  vorkommen,  wenn  eine  Erzeugende  J.  l  wäre; 
auf  ihr  würde  der  Punkt  1.  liegen.  Die  Lichtgleichen  1.  bis  aus- 
schließlich 98  wären  dann  endliche  geschlossene  Kurven.  —  Die 
Lichtgleichen  98  bis  82  ausschließlich  erreichen  die  g  nicht,  und  haben 
AA^  zu  Asymptoten.  —  Die  Lichtgleichen  82  bis  78  ausschließlich 
schneiden  die  g  nur  in  deren  Grenzpunkten;  sie  kommen  aus  dem 
unendlich  fernen  Punkte  von  AA^^  schneiden  die  g  in  einem  Grenz- 
punkte, bilden  eine  (kleine)  Schleife,  gehen  durch  denselben  Grenz- 
punkt zurück,  jedesmal  eine  Kante  berührend,  und  laufen  gegen 
denselben  unendlich  fernen  Punkt  auf  demselben  Flächenaste,  auf 
welchem  sie  von  ihm  kamen.  —  Die  Lichtgleichen  78  einschließUch 
bis  62  aiASSchiießlich  kommen  aus  dem  unendlich  fernen  Punkte  von 
AAi,  schneiden  die  g  in  einem  Grenzpunkte,  bilden  eine  (größere) 
Schleife,  gehen  durch  denselben  Grenzpunkt  zurück,  jedesmal  eine 
Kante  berührend,  bilden  einen  Bogen,  schneiden  die  g  noch  in  einem 
inneren  Punkte,  und  gehen  auf  dem  anderen  Flächenaste  nach  dem- 


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X,  397—398.    Das  Konoid,  seine  Schattengrenzen  und  Lichtgleichen.     431 

selben  unendlich  fernen  Punkte.  Jener  Bogen,  der  durch  zwei  ver- 
schiedene Punkte  der  g  begrenzt  ist,  erscheint  im  Grundriß  als 
Schleife  mit  dem  Doppelpunkte  G\  und  wird  von  G'M'  und  einem 
davon  verschiedenen  Strahle  berührt.  —  Die  Licktgleichen  62  bis  2 
bestehen  aus  zwei  verschiedenartigen  Ästen.  Der  eine  kommt  aus 
dem  unendlich  fernen  Punkte  der  AA^^  schneidet  die  g  in  einem 
Grenzpunkte  unter  Berührung  einer  Kante  und  geht  dann  auf  dem 
anderen  Flächenaste  nach  dem  unendlich  fernen  Punkte  der  BB^. 
Der  andere  Ast  kommt  aus  dem  unendlich  fernen  Punkte  Aer  AA^^ 
schneidet  die  g  in  einem  Grenzpunkte  unter  Berührung  einer  Kante, 
bildet  einen  Bogen,  schneidet  die  g  in  einem  inneren  Punkte,  und 
geht  auf  dem  ursprünglichen  Flächenadte  nach  dem  unendlich  fernen 
Punkte  Aex  BB^.  Im  Grundriß  wird  jener  Bogen  zu  einer  Schleife 
mit  G'M'  und  einer  davon  verschiedenen  Tangente  in  G'.  —  Die 
Lichtgleiclien  von  2  ausschließlich  bis  0  ausschließlich  bestehen  aus 
zweierlei  Ästen.  Die  einen  kommen,  wie  die  ersten  der  vorher- 
gehenden Art,  aus  dem  unendlich  fernen  Punkte  der  AA^  in  ge- 
strecktem Verlaufe,  schneiden  die  g  in  einem  Grenzpunkte  unter 
Berührung  einer  Kante,  und  gehen  dann  auf  dem  anderen  Flächen- 
aste in  gestrecktem  Verlaufe  nach  dem  unendlich  fernen  Punkte  der 
BB^.  Von  den  anderen  gilt  dasselbe,  nur  daß  der  eine  der  beiden 
Verlaufe  bei  den  Kurven  von  größerer  Helligkeit  nicht  gestreckt  ist, 
sondern  sich  in  die  Ecke  der  2  bei  M  hereinschmiegt.  Beiderlei 
Äste  vereinigen  sich  dann  in  der  Lichtgleiche  0, 

398.  Den  Schlagschatten  der  Fläche  auf  P,  bestimmt  man,  in- 
dem man  den  Schlagschatten  der  g  und  ihrer  Schnittpunkte  mit  den 
angegebenen  Erzeugenden  ermittelt,  und  aus  diesen  Schlagschatten- 
punkten Parallele  zu  den  Erzeugenden  zieht;  die  Schlagschatten- 
grenze der  Fläche  ist  die  Einhüllende  dieser  Geraden.  In  ähnlicher 
Weise  bestimmt  man  den  Schatten  der  Fläche  auf  Pg  als  Einhül- 
lende der  Schatten  der  Erzeugenden.  —  Die  Schlagschatten  der  be- 
grenzenden Kreise  sind  Ellipsen,  welche  aus  zwei  zu  ermittelnden 
konjugirten  Durchmessern  (und  etwa  den  daraus  hergeleiteten  Axen) 
gezeichnet  werden  können. 

Zur  Bestimmung  des  Schlagschattens  s  des  Kreises  c^  in  das  Innere 
des  vorderen  Flächenastes  suche  man  rückwärts  den  (geometrischen) 
Schatten  g^  =  ^1^2  (^1  in  ^ig-  <^))  a^f  <Jie  Ebene  von  c^.  TriflFt 
nun  irgend  eine  Erzeugende  die  g  in  N,  den  Kreis  c^  in  Q,  so  suche 
man  den  Schatten  N^  (auf  g^)  von  N]  hierdurch  ist  der  Schatten 
N^Q"  von  NQ  bestimmt  Trifft  die  K,Q"  den  c/'  in  B,  und 
schneidet  der  Lichtstrahl  aus  B  die  2f"Q"  in  B^,  so  ist  B^  der 
Schatten  von  B  ins  Innere  der  Fläche.    Ebenso  ist  auf  der  Erzeu- 


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432  X,  898—899.    Die  windschiefen  Flächen. 

genden  SU  der  Punkt  V^  der  Schatten  des  Punktes  V  des  c,.  — 
Der  Schlagschatten  8  im  Aufriß  berührt  den  Kreis  c/'  in  D/',  und 
schneidet  ihn  in  seinen  Schnittpunkten  mit  der  Eigenschattengrenxe, 
so  in  W.  —  Die  Tangente  der  Kurve  s  in  V^  ist  der  Schatten  der 
Tangente  VT  des  Kreises  Cj  auf  die  Berührungsebene  der  Flache 
in  Fj .  Schneidet  die  Tangente  des  c^  in  U"  die  g"  in  Tj,  so  ist 
FjjTi  eine  mit  Pg  parallele  Tangente  der  Fläche  in  Vi]  daher  ist 
Ü"T\\  FjTj  die  Spur  jener  Berührungsebene  in  der  Ebene  des  c^. 
TreflFen  sich  VT  und  U''T  in  T,  so  ist  V^T  die  gesuchte  Tangente 
der  s.  —  Die  Tangente  der  s  im  Grenapunkte  W  ist  auf  diese- Weise 
nicht  zu  bestimmen«,  man  ermittelt  sie  nach  dem  allgemeineren  Ver- 
fahren (I,  204),  indem  man  die  unendlich  kleine  Figur ,  welche  den 
dem  W  unendlich  nahen  Punkt  der  s  bestimmt,  aus  W  als  Ähnlich- 
keitspunkt zu  einer  eodlichen  Figur  vergrößert.  Zu  dem  Ende  trägt 
man  auf  der  Tangente  des  c^  in  W  die  Strecken  WX^  =  WX^  von 
passender  Länge  auf,  zieht  durch  den  einen  der  Endpunkte,  etwa 
durch  X^  die  Entsprechende  einer  Erzeugenden  X,  F  ( j|  ic),  führt 
den  Lichtstrahl  X^Ydl"),  so  gibt  dessen  Schnittpunkt  T  mit 
Zg  Y  einen  Punkt  der  Tangente  WY  der  s. 

399.     Äufg.    Das  schiefe  Kreiskonoid  darssustellenj   und   seine 
Striktionslinie  und  bemerkenswerthen  Schnitte  m  verzeichnen. 
Fig.  171.  Äufl,     Die  Ebene  des  Leitkreises  k   stehe   senkrecht   auf  der 

Richtebene,  die  Leitgerade  g  schief  gegen  beide  Ebenen.  Wir  legen 
Pj  parallel  zur  Richtebene,  Pj  parallel  zur  Ebene  des  k.  AB  und  CD 
seien  der  zu  P^  parallele  und  der  dazu  senkrechte  Durchmesser  des  k. 
Von  ihren  vier  Endpunkten  aus  teile  man  k  in  etwa  zwölf  gleiche 
Teile,  lege  durch  je  zwei  Teilungspunkte,  z.  B.  durch  A  und  B,  eine 
zu  P^  parallele  Ebene,  schneide  sie  mit  g  in  G,  so  erhält  man  zwei 
Erzeugende  GA,  GB  der  Fläche. 

Um  die  Kanten  der  Fläche  zu  bestimmen,  schneidet  man 
jede  der  beiden  Leitgeraden  mit  der  Ebene  des  k,  zieht  aus  den 
Schnittpunkten  Tangenten  an  k,  so  sind  die  Erzeugenden  der  Be- 
rührungspunkte die  vier  Kanten.  Für  die  unendlich  ferne  Leit- 
gerade (in  Pj)  sind  C  und  D  die  Berührungspunkte,  und  CE  und 
DF  die  Kanten.  Die  g  schneide  die  Ebene  des  k  in  H]  die  Tan- 
genten aus  H  berühren  den  k  in  J  und  K.  Da  aber  im  Aufriß 
H"  nicht  zugänglich  ist,  so  sind  darin  die  Berührungspunkte  durch 
eine  ähnliche  Figur  mit  dem  Mittelpunkte  M"  des  k"  als  Ahn- 
lichkeitspunkt  und  mit  einer  Verkleinerung  auf  \  bestimmt.  Dabei 
ist  gemacht  M''A/'  =  ^  M'' A'\  M"  G^'  =  i  Jf "  G",  M" H^' 
=  \  C'if';  dann  ist  H^'  bestimmt  durch  G/'JJ/'  |  g\  n^'H;'±M"G'\ 
Aus  Hl'  sind  die   beiden  Tangenten  an  den   aus  M"   durch  A^' 


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X,  399->400.  *Da8  Konoid,  seine  Schatte ngrenzen  und  Lichtgleichen.     433 


gezogenen  Ereis  gelegt;  es  schneiden  dann  die  Radien  der  Berührungs- 
punkte auf  Ä"  die  gesuchten  Punkte  J"  und  K"  ein.  JL  und  KJS 
(L  und  N  auf  g)  sind  dann  die  Kanten.  —  Die  unendlich  fernen 
Punkte  dieser  Erzeugenden  und  die  Punkte  E  und  jP  der  g  sind  die 
vier  Kmpidalpunkte]  durch  sie  gehen  alle  Umrißlinien  und  Eigen- 
schattengrenzen  der  Fläche  und  werden  in  denselben  von  den  Kan- 
ten beröhrt 

Fig.  171. 


400.  Die  StrikHonslinie  s,  s*  ist  der  zur  ersten  Projektion  ge- 
hörige Umriß  (389).  Sie  geht  durch  die  Punkte  Ä  und  B  des 
Leitkreises,  in  welchen  die  Kreistangenten  J_  P^  stehen,  durch  die 
Kuspidalpunkte  E  und  F,  in  denen  sie  von  den  Kanten  EC  und 
FD  berührt  wird,  und  hat  JL  und  KN  zu  Asymptoten.  Ein  Punkt 
derselben  auf  der  beliebigen  Erzeugenden  OP  ist  der  Berührungs- 
punkt T  der  ersten  projicirenden  Ebene  der  OP  mit  der  Fläche. 
Um  T  zu  bestimmen,  lege  man  entlang  der  OP  ein  Berührungs- 
paraboloid;    dabei   wollen  wir  den  Kreis  als  Leitlinie  durch  seine 

Wiener,  Lebrbnob  der  dartteUenden  Geometrie.    II.  28 


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434  X,  400—401.   Die  windschiefen  Flachen.    • 

Tangente  OQ  ersetzen,  deren  erste  Spur  Q  ist,  die  Gerade  g  durch 
die  mit  Pg  parallele  Tangente  PR  der  Fläche  in  P.  Die  Berüh- 
rungsehene  der  Fläche  in  P  hat  aber  zur  ersten  Spur  die  mit  O'P' 
parallele  F'B',  und  diese  bestimmt  auf  P'iZ'  {\\x)  deren  erste  SpurjR. 
Eine  zugehörige  Leitebene  muß  P^  bleiben,  während  die  andere  mit 
OQ  und  PB  parallele  Leitebene  die  Pg  ist  Dann  ist  die  Verbin- 
dungslinie QB  jener  beiden  ersten  Spuren  eine  Erzeugende  von 
derselben  Schaar  wie  OP,  Schneiden  sich  O'P'  und  Q' R'  in  T, 
so  ist  T  die  erste  Projektion  einer  auf  P^  senkrechten  Erzeugenden 
der  anderen  Schaar  des  Paraboloides,  weil  sie  die  OP  und  QR 
trifft  und  ||  Pg  läuft.  Daher  ist  T  auf  0  P  der  gesuchte  Berührungs- 
punkt der  ersten  projicirenden  Ebene  von  OP  mit  der  Fläche;  aus 
T'  ergibt  sich  T"  auf  0"P".  —  Liegt  Pi  nahe  bei  der  Erzeugen- 
den (OP),  so  sucht  man  die  Spuren  in  einer  entfernteren  mit  Pj 
parallelen  Ebene. 

401.  Ebene  Schnitte  sind  leicht  durch  die  Schnittpunkte  mit 
den  geraden  Erzeugenden  zu  erhalten.  Die  Schnittkurve  besitzt  auf 
der  endlich  und  der  unendlich  entfernten  Leitgeraden  je  einen  Doppel- 
punkt, oder  eine  Spitze,  oder  einen  isolirt^en  Punkt. 

In  der  Figur  wurde  eine  Schnittebene  parallel  zu  P^  durch  den 
Kuspidalpunkt  F  der  g  gelegt;  die  Schnittkurve  ist  F"Ü"V"  mit 
einer  Spitze  in  jP".  Ihre  Tangente  in  dem  Punkte  F"  der  Erzeugen- 
den OP  ist  F"X",  wenn  X  den  Schnittpunkt  der  QR  mit  der 
Schnittebene  bezeichnet.  Denn  jenes  nach  0  PV  berührende  Paraboloid 
besitzt  QR  als  eine  Erzeugende  der  einen  und  daher  VX  als  eine 
Erzeugende  der  anderen  Schaar,  weil  die  Schnittebene  parallel  zur 
Leitebene  Pg  steht  —  Die  Tangente  F''  W"  in  der  Spitze  F"  erhält 
man,  wenn  man  JE'  W  \\  D'F'  zieht  und  mit  der  Schnittebene  in 
W  schneidet;  denn  DFEW  ist  die  Berührungsebene  der  Fläche  in 
TT,  und  FW  ihr  Schnitt  mit  der  Schnittebene. 

unter  den  ebenen  Schnitten  gibt  es  eine  Schaar  Ellipsen.  Ihre 
Ebenen  bilden  ein  Büschel,  dessen  Axe  die  Verbindungslinie  der  Schnitt- 
punkte beider  geraden  Leitlinien  mit  der  Ebene  des  Leithreises  ist, 
d.  h.  die  durch  H  parallel  zur  Projektionsaxe  x  gelegte  Gerade.  Um 
zunächst  einen  solchen  Schnitt  zu  konstruiren,  nehme  man  eine 
dritte  auf  den  beiden  anderen  senkrechte  Projektionsebene  P,  an 
und  lege  sie  um  die  Axe  x^^  in  die  Pj  um.  Die  dritte  Projektion 
des  Leitkreises  ist  die  Gerade  C'"D"\  die  der  Leitgeraden  g  ist 
E"'F"\  Der  Schnittpunkt  beider,  H'",  ist  die  dritte  Projektion  der 
Axe  jenes  Ebenenbüschels,  und  der  Mittelpunkt  des  Strahlenbüschels, 
welcher  die  dritte  Spur  und  Projektion  jenes  Ebenenbüschels  bildet 
Da  nun  jff"'  unzugänglich,  so  erhält  man  eine  Gerade  S'"X'"T'\ 


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X,  401—403.   Die  WOlbfl&che  des  Eingangs  in  einen  runden  Tnrm.      435 

wenn  man  die  Strecken  C"'E'"  und  D'^'F"'  durch  die  Punkte  Z'" 
und  r'"  in  demselben  Verhältnisse  teilt.  Zeichnet  man  die  dritte 
Projektion  von  einer  Reihe  von  Erzeugenden,  so  erhält  man  aus 
diesen  die  gesuchten  Schnittpunkte,  wie  X  und  T  auf  CE  und  DF. 

Daß  diese  Kurven  vom  zweiten  Grade  sind,  kann  man  daraus 
erkennen ,  daß  die  Verbindungsgerade  der  Schnittpunkte  der  beiden 
Leitgeraden  mit  der  Ebene  von  k,  die  k  in  zwei  reellen  oder  konjugirt 
imaginären  Punkten  schneidet,  daß  sie  daher  eine  Doppelgerade 
der  Fläche  ist,  entweder  eine  reelle  doppelte  Erzeugende  der  Fläche 
oder  eine  isolirte  Doppelgerade,  so  daß  jede  durch  sie  gelegte  Ebene 
die  Fläche  von  der  vierten  Ordnung  nur  noch  in  einer  Linie  zweiter 
Ordnung  schneiden  kann.  —  Geometrisch  läßt  sich  die  Schnittkurve 
in  folgender  Weise  als  Ellipse  erkennen.  Von  dem  durch  jene  Ge- 
rade als  Axe  gelegten  Ebenenbüschel  geht  eine  Ebene  durch  ^,  eine 
durch  k]  und  da  noch  die  Axe  des  Büschels  parallel  mit  der  Richt- 
ebene, so  teilt  jede  Ebene  des  Büschels  die  zwischen  g  und  k  liegen- 
den Stücke  der  Erzeugenden  in  demselben  Verhältnisse,  so  daß 
z.  B.  EX :  EC  =  FY :  FD.  Da  nun  die  zweiten  Projektionen  der 
Erzeugenden  parallel  sind,  so  ist  die  zweite  Projektion  der  Schnitt- 
kurve eine  affine  Figur  zum  Kreise  Ä;''mit  g"  als  Axe  und  x  als  Rich- 
tung der  Strahlen  der  Affinität,  also  eine  Ellipse.  Da  ferner  die  Figur 
in  einer  Ebene  liegt,  so  ist  auch  die  wahre  Gestalt  eine  Ellipse. 

402,     Ubtmgsaufgäben. 

1)  Die  Eigen-  und  Schlagschattengrenze  des  vorigen  Konoides 
für  Central-  oder  Parallelbeleuchtung  zu  bestimmen. 

2)  Das  gerade  oder  das  schiefe  Kugelkonoid  (mit  einer  Kugel  als 
Leitfläche)  zu  konstruiren,  insbesondere  seine  Berührungskurve  mit 
der  Kugel  (bei  dem  geraden  Konoide  ist  deren  Projektion  auf  die 
Richtebene  ein  Kreis),  seine  Kanten  und  Kuspidalpunkte,  seine 
Striktionslinie,  einen  ebenen  Schnitt  samt  seinen  Tangenten,  die 
Schnittpunkte  mit  einer  gegebenen  Geraden  und  die  Berührungs- 
punkte der  durch  die  Gerade  gehenden  Berührungsebenen,  dieEigen- 
und  Schlagschattengrenze  für  Central-  oder  Parallelbeleuchtung  und 
die  Lichtgleichen  für  Parallelbeleuchtung. 


nL    Die  Wölbfläohe  des  Eingangs  in  einen  runden  Turm. 

403.  Die  Wölbfläche  des  Eingangs  in  einen  runden  Turm  ist 
das  gerade  Konoid,  welches  zur  geraden  Leitlinie  die  Axe  a  eines 
ümdrehungscylinders  hat,  und  zur  krummen  Leitlinie  eine  auf 
diesen  Cylinder  aufgewickelte  Ellipse,  deren  eine  Axe  parallel  zur 
geraden  Leitlinie  a,   deren  andere  also  parallel  zu  der  auf  a  senk- 

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436 


X,  403.   Die  windschiefen  Flächen. 


rechten  Richtebene  läuft.  Ist  jener  Cylinder  die  Außenfläche  eines 
Turmes,  so  bildet  unsere  Fläche  die  Wölbfläche  eines  Eingangs 
von  abnehmender  Weite,  aber  von  unveränderlicher  Hohe.  Dies 
Konoid  kann  auch  mit  einem  Ringgewölbe  von  übereinstimmender 
Höhe  ein  Ejreuzge wölbe  bilden,  und  den  dabei  vorkommenden  Schnitt 
der  beiden  Wölbflächen  wollen  wir  konstruiren. 

Aufg.  Dm  Burchschnitt  der  Wölbfläche  des  Eingangs  in  einen 
runden  Turm  mit  einem  Ringe  jsu  Jconsiruireny  wenn  beide  Flächen 
dieselbe  Axe  a  besitzen,  wenn  der  Meridian  des  Ringes  eine  Ellipse 
ist,  deren  eine  Axe  parallel  der  Axe  a  der  Fläche,  und  wenn  beide 
Flächen  zwischen  denselben  zur  Richtebene  parallelen  Berührungs- 
ebenen eingeschlossen  sind. 

Pig.  172. 


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■5^ 

Fig.  17Ä.  Sei  P,  die  Richtebene,  Ä'  die  erste  Projektion  der  Leitgeraden  a^ 

A!B'  ein  Meridian  des  Ringes,  die  halbe  Ellipse  GB'B'E'"  des- 
sen ümlegung,  seien  B'C  und  B'E"'  deren  Halbaxen,  sei  femer 
Ä'F'  die  horizontale  Mittellinie  der  Wölbfläche,  und  schneide  diese 
Linie  den  Parallelkreis  des  Mittelpunktes  B  der  Meridianellipse  in  F. 
Dieser  Kreis  sei  die  Horizontalspur  des  lotrechten  Cylinders,  auf 
welchem  die  Leitellipse  der  Wölbfläche  aufgewickelt  ist;  F  sei  der 
Mittelpunkt  dieser  Ellipse,  der  Bogen  FO  die  Aufwickelung  der 
einen  Halbaxe,  deren  wahre  Länge  auf  der  Tangente  des  Kreises 
BF  in  F  als  FG^  =  Bog.  FG  aufgetragen  ist.  Die  Projektion  der 
wahren  Gestalt  der  abgewickelten  Ellipse  auf  eine  zur  Mittellinie  ÄF 
senkrechte  Ebene  sei  G^' J"  H^'  mit  dem  Mittelpunkte  JP",  wobei 
die  vertikalen  Axen  F" J"  und  B' E'"  beider  Ellipsen  gleich  sind. 


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X,  403—405.    Die  Wölbfläcbe  des  Eingangs  in  einen  runden  Turm.     437 

Die  Pi  enthält  von  dem  Ringe  die  beiden  durch  C  und  D' 
gehenden  Parallelkreise  und  von  der  Wölbfläche  die  beiden  Geraden 
äGj  ah,  und  beide  liefern  2*4  Schnittpunkte,  von  denen  nur 
die  zum  Eingange  gehörige  Hälfte  verzeichnet  ist.  Der  Scheitel- 
kreis und  die  Scheitelerzeugende  treffen  sich  im  Grundriß  in  F\ 
Um  allgemeine  Punkte  zu  finden,  lege  man  horizontale  Hilfsebenen; 
jede  solche  trifiFt  den  Ring  in  zwei  Kreisen,  die  Wölbfläche  in  zv^ei 
Geraden,  von  deren  Schnittpunkten  vier  verzeichnet  sind,  darunter 
P;  dabei  gilt  P/P,'"=  Po"P/',  Bog.  P'P/  =  P"Po".  Die  Schnitt- 
kurve hat  in  F  einen  Doppelpunkt. 

404.  Um  die  Tangente  an  die  Schnittlinie  in  einem  Punkte  P  zu 
bestimmen,  lege  man  in  P  die  Berührungsebene  an  jede  der  beiden 
Flächen.  Die  des  Ringes  hat  S'V  zur  ersten  Spur  (Pg"'S'"  Tan- 
gente an  die  Ellipse,  FS'  =  P^8"\  P'ST  — 90«);  die  der  Wölb- 
fläche erhält  man  mittelst  des  nach  der  Erzeugenden  von  P  berüh- 
renden Paraboloides,  welches  P^,  die  Cylinderaxe  und  die  Tangente 
PjjT  in  P|  an  die  aufgewickelte  Leitellipse  des  Konoides  zu  Leit- 
gebilden hat  Die  erste  Spur  der  Tangente  P^T  ist  T  (P/T/' 
Tangente  an  die  Ellipse,  ^'P/r=  90^  F^T^P^'T^'y,  daher 
ist  die  in  F^  liegende  A'  T'  eine  Erzeugende  des  Paraboloides.  Die 
Leitlinien  für  die  zweite  Schaar  sind  dann  w4P,  A' T\  und  die  Leit- 
ebene ist  die  erste  projicirende  Ebene  P/  jT,  weil  diese  mit  den  zwei 
Erzeugenden  der  ersten  Schaar  (P^  T  und  Axe  a)  parallel  läuft.  Eine 
Erzeugende  der  zweiten  Schaar  ist  daher  PET (P'J/'  \  P/I^,  ü'  auf 
A'T),  V  deren  erste  Spur,  und  U'V  ^A'P'  die  erste  Spur  der 
Berührungsebene  P^PÜ  des  Paraboloides  und  der  Wölbfläche  in  P 
Die  ersten  Spuren  beider  Berühruugsebenen  treffen  sich  in  V,  daher 
ist  P'F'  die  erste  Projektion  der  gesuchten  Tangente.  —  Diese 
Konstruktion  der  Tangeute  versagt  im  Scheitel  F\  weil  hier  beide 
Berührungsebenen  in  einander  fallen,  und  in  den  vier  Endpunkten 
der  ersten  Projektion  der  Schnittlinie,  weil  sich  hier  deren  Tangen- 
ten als  Punkte  projiciren.  Wir  werden  aber  auch  diese  Tangenten 
leicht  ziehen  lernen. 

405.  Die  erste  Projektion  der  Schnittkurve  ist  eine  Archime- 
dische Spirale  mit  A'  als  Pol  (331).  Denn  die  Zunahme  z/m  des 
Leitstrahles  u  von  F  bis  P,  oder  Pi'P',  steht  mit  der  Zunahme  z/g> 
des  Polarwinkels  q>,  und  mit  dem  Bogen  J^P/  in  unveränderlichem 
Verhältnisse,  oder  es  ist  P/F : rP^^B'P^.F'P^'^  B'D' :  F"J?/', 
letzteres,  weil  P/Pg'"«»  Po"P".    Der  Parameter 

wird  durch  ähnliche  Dreiecke  konstruirt,  wenn  man  A' H^^=^  F"H^\ 


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438  X,  406—406.    Die  windschiefen  Flachen. 

A'D^  =  B'D\  A'F^  =  Ä'F\  D^P^^H^Fj^  macht;  dann  wird 
jP  «=» -l'Pj  und  P^K'L'  ist  der  Parameterkreis.  Die  Polaraxe  A'V 
erhält  man^  wenn  man  auf  dem  Parameterkreise  von  A' F'  aus,  im 
Sinne  der  Abnahme  von  g>,  Bog.  K' L'  =  F A'  aufträgt.  Macht 
man  ^  i^-A'Ps  =  90^,  so  ist  die  Tangente  der  Spirale  in  F'  durch 
ihre  Normale  i^P3  bestimmt,  und  entsprechend  die  in  anderen  Punkten. 


rv.    Die  gerade  Normalenfläohe  einer  Fläche  zweiten  Gerades« 

406.  Die  Normalenfläche  F  einer  gegebenen  Fläche  K  entlang 
einer  auf  ihr  liegenden  Kurve  k  hat  zu  Erzeugenden  die  Normalen 
der  Fläche  K  in  den  Punkten  der  Je,  K  heißt  die  Leitfläche,  k  die 
Leitlinie  der  Normalenfläche.  Die  Fläche  ist  im  allgemeinen  unnd- 
schief  und,  wie  wir  später  finden  werden,  nur  dann  abwickelbar, 
wenn  k  eine  Erümmungslinie  der  K  ist  (wie  ein  Parallelkreis  oder 
ein  Meridian  einer  Umdrehungsfläche). 

Ist  K  eine  Fläche  zweiten  Grades  und  k  eine  ebene  Kurve  der- 
selben, also  ein  Kegelschnitt,  so  stehen  die  Flächennormalen  auch 
senkrecht  auf  dem  Kegel,  welcher  der  K,  entlang  i,  umschrieben 
ist,  so  daß  man  K  durch  den  Kegel  ersetzen  kann.  Wir  betrachten 
den  Fall,  in  welchem  die  Ebene  von  k  parallel  mit  einer  Haupt- 
ebene der  K  und  daher  auch  des  Kegels  steht,  und  nennen  die 
dann  entstehende  Normalenfläche  die  gerade  Normalenfläche  einer 
Fläche  zweiten  Grades.  Die  Leitlinie  ist  dabei  eine  Ellipse  oder 
eine  Hyperbel  oder  eine  Parabel,  ihr  Mittelpunkt  sei  M,  die  Leit- 
fläche ist  ein  gerader  Kegel  K  über  k]  derselbe  wird  zu  einem 
schiefen  Cylinder,  wenn  k  eine  Parabel  wird.  Die  Axe  des  Kegels, 
welche  senkrecht  auf  der  Ebene  von  k  steht,  bildet  auch  die  Axe 
der  Normalenfläche*). 

*)  Diese  Fläche  in  dem  besonderen  Falle  als  „Normalenfläche  zom  drei- 
axigen  Ellipsoide"  wurde  von  Herrn  Salin  in  eingehender,  vorwiegend  analyti- 
scher Weise  untersucht  (Abh.  d.  Ges.  der  Wiss.  in  Prag,  Ser.  6^  B.  2,  1868). 
Untersuchungen  über  die  allgemeine  Normalenfläche  (normalie)  lieferte  Herr 
Mannheim  in  seiner  Abhandlung:  Memoire  sur  les  pinceaux  de  droites  et  les 
normalies,  oontenant  nne  nouvelle  exposition  de  la  th^orie  de  la  courbure  des 
surfaces  (Joum.  de  mathäm.  p.  Liouville,  B.  17,  1872,  S.  109—166).  Auch  be- 
handelte er  sie  in  seinem  Cours  de  g^om.  descr.,  1880,  S.  273  ff.  Femer 
wurden  diese  Flächen  untersucht  von  Koutny  in  „die  Normalenflächen  der 
Flächen  2.  Ordnung  längs  ebener  Schnitte  derselben"  (Sitzungsber.  d.  Ak.  d. 
Wiss.  in  Wien,  B.  76,  A.  2,  1877,  8.  861),  und  von  Herrn  Peschka  „Beitrag  »ur 
Theorie  der  Normalenflächen"  (Sitzungsber.  d.  Ak.  d.WiBs.  in  Wien,  B.  81,  A.2, 
1880,  S.  1128)  und  „Normalenflächen  längs  ebener  Flächenschnitte"  (ders.  B., 
S.  1163).  Die  oben  gegebene  Untersuchung  ist  vorwiegend  geometrisch  gefdhrt 
und  liefert  einige  neue  Sätze  und  Konstruktionen. 


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X,  407.   Die  gerade  Normalenflächo  einer  Fläche  2.  Gr. 


439 


407,    Aufg.   Die  gerade  Normalenfläche  F  mier  Fläche  aweiten 
Crrades  darzustellen. 

Aufl.    Legen  wir  P^  in  die  Ebene  von  k,  Pg  durch  die  Haupt-  Fig.  173. 
axe  AB,  P3  durch  die  Nebenaxe  CD,  sei  M  der  Mittelpunkt  des  k, 
S  die  Spitze  des  Leitkegels  K'=^  Sk,   so  ist  bei  der  geraden  Nor- 


Fig.  173. 


..'-r 


X*   S* 


malenfläche  MS  senkrecht  auf  der  Ebene  des  k.  Die  durch  einen 
Punkt  Q  des  k  gehende  Erzeugende  der  F  steht  senkrecht  auf  der 
BerQhrungsebene  des  K  in  Q,  die  erste,  zweite,  dritte  Spur  dieser 
Ebene  sind  bezw.  Q'T'T,',  S"  r\  S'"T,"\  wenn  Q' T' T^'  die  Tan- 
gente des  k  in  Q  ist,  und  T  deren  zweite,    T^  deren  dritte  Spur 


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440  X,  407—408.    Die  windschiefen  Flachen. 

Fig.  178.  bildet.  Die  drei  Projektionen  der  Erzeugenden  sind  daher  Q'  V  W 
JLTT;,  Q^'r'H''  JLS"r\  Q'"G'"W''  XS'"T;\  Die  ersten 
Projektionen  der  Erzeugenden  sind  also  die  Normalen  des  Kegel- 
schnittes hy  der  erste  scheinbare  Umriß  daher  die  Evolute  des  i; 
die  zweiten  und  dritten  Projektionen  der  Erzeugenden  gehen  aber 
bezw.  durch  einen  festen  Punkt  H  und  G  der  Axe  SM  der  Fläche,  ' 
und  es  ist  daher  auch  <^  HAS  =  <^  GCS  =  90^.  Da  nämlich  T 
der  Pol  von  Q'  Q"  zu  i,  so  bilden  die  Punkte  T  und  die  Punkte  Q^ 
oder  die  Geraden  Q'  Q"  projektive  Punktreihen  auf -4'.B';  und  ebenso 
ist  die  Reihe  der  T"  projektiv  mit  derjenigen  der  Q'',  daher  auch 
das  Büschel  der  Strahlen  B!*  Q"  aus  fi^"  projektiv  mit  dem  Büschel 
der  Strahlen  S"T'  aus  S'\  Nun  stehen  aber  drei  Strahlen  des 
einen  Büschels  senkrecht  auf  den  entsprechenden  des  andern,  nämlich 
H"  Q'\  sein  symmetrischer  in  Bezug  auf  S'' M"  und  H." M!'  sind 
bezw.  senkr.  auf  S''T",  seinem  symmetrischen  in  Bezug  auf  iS"Jlf" 
und  S"T^  (wenn  T«  der  unendlich  ferne  Punkt  der  Jlf"T");  daher 
sind  alle  entsprechende  Strahlen  auf  einander  senkrecht,  und  die  aus 
H"  nach  den  Punkten  Q''  gezogenen  Geraden  die  zweiten  Projek- 
tionen der  Erzeugenden.  Ebenso  bilden  ihre  dritten  Projektionen 
das  Strahlenbüschel  (?'". 

408.  Daraus  folgt,  daß  alle  Schnittpunkte  V  der  Erzeugenden 
mit  der  Hauptebene  ABS  =  Pg  in  einer  zu  AB  parallelen  Geraden  g 
liegen,  deren  dritte  Projektion  der  Pimkt  G'''  ist;  und  alle  ihre 
Schnittpunkte  mit  der  Hauptebene  CD/S^^Pg  in  einer  zu  CD 
parallelen  Geraden  h  mit  der  zweiten  Projektion  fi";  daß  ferner  g 
und  h  Doppellinien  der  Fläche  bilden,  weil  jede  in  einer  Symmetrie- 
ebene liegt,  und  deswegen  durch  jeden  Punkt  der  Linie  außer  der 
ersten  noch  eine  zweite  zu  ihr  symmetrische  Erzeugende  gehen  muß. 
Daher  ist  die  gerade  Normalenfläche  einer  Fläche  zweiten  Grades  auch 
eine  windschiefe  Fläche,  deren  Leitlinien  ein  Kegelschnitt  k  und  zu?ei 
Gerade  g  und  h  sind,  welche  parallel  hezw,  eu  den  Axen  des  Je  laufen 
und  die  senkrecht  zur  Ebene  des  k  durch  dessen  Mittelpunkt  M  gehende 
•  Aoce  der  Fläche  in  zum  verschiedenen  Punkten  G  und  H  treffen,  Sie 
ist  also  vom  vierten  Grade,  wie  das  Kegelschnittskonoid,  und  unter- 
scheidet sich  von  dem  geraden  Kreis -(oder  Kegelschnitts -)konoide 
nur  dadurch,  daß  bei  letzterem  eine  der  geraden  Leitlinien  im  Un- 
endlichen liegt. 

Die  vier  Kanten  der  Fläche  gehen  von  den  Scheiteln  des  k  aus 
und  bestimmen  auf  den  Leitgeraden  die  Kuspidalpufücte,  auf  g  die- 
jenigen E  und  F,  auf  h  diejenigen  J  und  K  Ihre  ersten  Projek- 
tionen E',  F,  J',  K*  sind  die  JErwwwmw^fsmi^ipMWÄrfe  von  k'  bezw. 
in  den  Scheiteln  A',  B',  C,  D',  weil  sie  die  Schnittpunkte  der  Nor- 


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X,  408—409.   Die  gerade  Normalenfl&che  einer  Fläche  2.  Gr.         441 

malen  des  h  in  den  zu  den  Scheiteln  benachbarten  Punkten  mit 
einer  Axe  des  k'  sind,  und  es  liegen  daher  je  zwei,  wie  E'y  JT,  auf 
einer  Geraden  LN,  welche  durch  den  Schnittpunkt  L  der  Tangenten 
der  t'  in  zwei  benachbarten  Scheiteln,  hier  A'  und  D\  senkrecht 
zu  A'D'  gelegt  wird  (I,  250),  Setzt  man  daher  MA  «—  a,  MC  =  6, 
M'E'  =  GE  —  g,  iTK'^HK^h,  so  ist  gih^bia. 

Ist  Je  eine  Ellipse,  so  liegen  augenscheinlich  g  und  h  auf  der 
entgegengesetzten  Seite  von  k^  wie  die  Kegelspitze  8,  alle  vier 
Eointen  und  Euspidalpunkte  sind  reell,  und  g  und  k  sind  bezw.  in 
den  endlichen  Stücken  EF,  JK  Doppelgerade,  in  deren  unendlichen 
Ergänzungen  F.E,  K.J  isolirte  Gerade  der  Fläche.  Geht  k  in  eine 
JPardbely  etwa  mit  dem  Scheitel  A,  über,  so  rückt  /S  in  Fg,  etwa 
auf  der  Geraden  AS,  ins  Unendliche,  der  Kegel  "K  wird  zu  einem 
schiefen  Cylinder,  die  zweiten  Projektionen  der  Erzeugenden  der 
Normalenfläche  werden  parallel,  h  rückt  ins  Unendliche,  eine  Kante 
AE  mit  ihrem  Kuspidalpunkte  E  bleibt  im  Endlichen,  die  drei  übrigen 
rücken  ins  Unendliche;  die  Normalenfläche  wird  dann  ein  Konoid. 
Wird  darauf  k  zu  einer  Hyperbd  mit  AB  ^b  Hauptaxe,  so  wechseln 
8  und  h  die  Seite  von  k,  während  g  seine  Seite  beibehält,  so  daß 
g  und  h  auf  entgegengesetete  Seiten  von  k  zu  liegen  kommen;  die  beiden 
durch  A  und  B  gehenden  Kanten  mit  den  Kuspidalpunkten  E  und  F 
sind  dann  reell,  die  beiden  anderen  imaginär,  die  ^  ist  in  EF  eine 
isolirte  Gerade,  in  F.E  eine  Doppelgerade,  ebenso  die  ganze  A. 

409.  Eine  tmndschiefe  Fläche,  deren  Leitlinien  ein  Kegelschnitt  k 
und  0wei  Gerade  g  und  h  sind,  welche  parallel  be0w.  m  den  Axen 
des  k  laufen  und  die  senkrecht  »ur  Ebene  des  k  durch  dessen  Mittel- 
punkt M  gehende  Gerade  in  zwei  verschiedenen  Punkten  treffen,  wird 
van  jeder  mit  der  Ebene  des  k  paraUeien  Ebene  in  einem  mit  k  gleich- 
artigen Kegelschnitte  getroffen.  Dies  gilt  daher  auch  von  unserer  Nor- 
malenfläche.  Dieser  Satz  ergibt  sich,  ganz  entsprechend  wie  bei 
dem  Kegelschnittskonoide,  analytisch  daraus,  daß  die  unendlich  ferne 
Gerade  der  Ebene  des  k  eine  doppelte  Erzeugende  der  Fläche  ist, 
weil  sie  die  Schnittpunkte  der  g  und  h  mit  der  Ebene  des  k  unter 
einander  verbindet;  diese  Gerade  ist  eine  Doppelgorade,  eine  Rück- 
kehrkante oder  eine  isolirte  Gerade,  je  nachdem  k  eine  Hyperbel, 
Parabel  oder  Ellipse  ist.  Jede  durch  sie  gehende  Ebene  schneidet 
die  Fläche  nur  noch  in  einem  Kegelschnitte  k^,  wie  in  A^B^C^D^, 
deren  Mittelpunkt  M^  ist 

Geometrisch  beweist  man  den  Satz  in  folgender  Weise:  Nimmt 
man  MA,  MC,  M8  bezw,  als  die  x-,  y-,  akiQ  eines  rechtwinkligen 
Koordinatensystems,  und  nennt  einen  Punkt  von  k  und  einen  von 
der  Scl\pittkurve  k^  entsprechend,  wenn  sie,  wie  A  und  A^,  auf  der- 


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442  X,  409—410.   Die  windschiefen  Flächen. 

vig.  173.  selben  Erzeugenden  liegen,  so  ergibt  sich  aus  der  zweiten  und 
dritten  Projektion,  daß  die  o;  Koordinaten  zweier  entsprechenden 
Punkte  das  unveränderliche  Verhältnis  H!'M"  :  H"M"^  und  die  y 
dasjenige  6?'"  JT"  :  G'^M^''  besitzen,  daß  also  die  erste  Projektion 
A^C^B^D^  der  Schnittkurve  aus  h'  durch  eine  zweifache  affine 
Veränderung  entsteht,  also  ein  Kegelschnitt  von  gleicher  Art  ist. 
Bei  diesen  Kegelschnitten  liegen  die  Eckpunkte  der  parallel  zu  ihren 
Axen  umschriebenen  Rechtecke,  wie  L  und  N,  auf  den  vier  Seiten 
des  windschiefen  gleichseitigen  Vierecks  EKFJ,  dessen  Eckpunkte 
die  vier  Kuspidalpunkte  der  Fläche  sind;  sie  liegen  nämlich  in 
Schnittlinien  der  Berührungsebenen  der  Fläche  nach  ihren  vier  Kan- 
ten. Ist  Ic  eine  Hyperbel,  und  beschreibt  man  jene  Becktecke  über 
der  reellen  {AB)  und  der  ideellen  (CD)  Axe,  so  enthält  jenes  wind- 
schiefe Viereck  die  zwei  ideellen  Kuspidalpunkte  auf  einer  (&)  der 
Leitgeraden. 

Die  Schnittkurve  der  Fläche  mit  der  unendlich  fernen  Ebene 
gehört  zu  diesen  Kegelschnitten;  daher  ist  auch  der  Richtk^el  vom 
eweiten  Grade.  Legt  man  seine  Spitze  auf  die  Axe  e  in  G  (oder  iT), 
so  ist  sein  Schnitt  mit  der  J.  ß  durch  H  (oder  G)  gelegten  Ebene 
ein  Kegelschnitt,  dessen  Axen,  wie  die  zweite  und  dritte  Projektion 
zeigen,  E"F'  ^  E'F'=2g  und  r' K'"  =  XK'=2h  sind,  in  - 
dessen  erster  Projektion  E'J'F'K!  daher  die  Scheitel  in  die  Kus- 
pidalpunkte fallen.  Ist  nun  bei  unserer  Nonnalenfläche  Je  der  auf 
dem  Leitkegel  E!  liegende  Leitkegelschnitt,  so  soll  derselbe  der 
NormaücegelschniU  heißen.  Mit  ihm  ist  der  Kegelschnitt  •JB'eT 2^  JT 
des  Richtkegels  ähnlich,  jedoch  verschränkt  gelegen,  weil  (408) 
gr  :Ä  =  6  :a. 

410.  Es  gilt  auch  der  umgekehrte  Satz  zu  dem  der  Nr.  408, 
nämlich:  Jede  windschiefe  Fläche y  deren  Leitlinien  ein  Kegelschnitt  \ 
und  zwei  Gerade  g  und  h  sifid,  welche  parallel  b&sw.  zu  den  Axen 
von  \  laufen  und  eine  senkrecht  zur  Ebene  von  \  durch  dessen  Miäet- 
punkt  Ml  gelegte  Gerade  z  in  verschiedenen  Punkten  treffen,  ist  die 
gerade  Normalenfläche  einer  Fläche  zweiten  Grades. 

Sind  nämlich  E^  Fj  J,  K  die  bezw.  auf  g  und  h  liegenden  Kus- 
pidalpunkte, so  liegen  von  allen  Kegelschnitten  der  Fläche  (deren 
Ebenen  mit  der  Ebene  des  \  parallel  sind),  die  Eckpunkte  der 
durch  die  Scheitel tangenten,  unter  denen  auch  ideelle  sein  können, 
gebildeten  Rechtecke  in  den  Seiten  des  windschiefen  Vierecks  EJFK 
(409).  Soll  nun  unter  diesen  Kegelschnitten  ein  Normalkegelschnitt 
k  sein,  so  müssen  von  seinem  Grundrisse  die  Punkte  E\  F',  eT,  K' 
die  Scheitelkrümmungsmittelpunkte  bilden.  Man  findet  aber  einen 
Eckpunkt  L  des  zu  k  gehörigen  Rechtecks  auf  E'K'  mittest  M'L 


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X,  410-411.   Die  gerade  Normalenfläche  einer  Fläche  2.  Gr.         443 

J.  K'F'  oder  J_  K'E\  je  nachdem  \  eine  Ellipse  oder  Hyperbel  ist; 
es  folgt  dies  daraus,  daß  das  Dreieck  M A' L  bezw.  mit  dem  Drei- 
ecke K'M'F'  und  K'M'K  ähnlich  ist  und  durch  Drehung  in  seiner 
Ebene  um  90^  mit  ihm  in  parallele  Lage  gebracht  werden  kann. 
Aus  L  ergeben  sich  die  Scheitel  A  und  D  (letzterer  möglicher  Weise 
ideell),  und  man  sieht,  daß  A  außerhalb  oder  innerhalb  M' E\  und 
dann  M  (und  Tc)  außerhalb  oder  innerhalb  HQ  liegt,  je  nachdem 
Ä^i  eine  Ellipse  oder  Hyperbel  ist,  übereinstimmend  mit  dem  Ergeb- 
nisse der  Nr.  408.  —  Legt  man  nun  durch  A  eine  Ebene  _L  HA^ 
schneidet  sie  mit  si  in  S,  und  konstruirt  zu  dem  Kegel  Sk  {k^=^ 
A'C'B'D')  die  Normalenfläche,  so  hat  diese  mit  unserer  Fläche 
gemein  1)  den  Kegelschnitt  ky  dessen  vier  Scheitelkrümmungsmittel- 
punkte in  den  Projektionen  E\  F\  cT,  K'  der  Kuspidalpunkte  liegen; 
die  Erzeugenden  AAy^  und  BB^^  die  auf  ihnen  liegenden  Punkte 
Ey  F,  daher  2)  ^,  sodann  B  und  3)  h,  fällt  also  mit  ihr  zusammen. 

Ist  kl  eine  Parabel  und  daher  h  im  Unendlichen,  so  muß  man 
außer  der  einzig  erreichbaren  Kante  A^HE  noch  eine  allgemeine 
Erzeugende  benutzen,  deren  erste  Projektion  F'  W  sei.  Die  erste 
Projektion  des  Normalkegelschnittes  ist  dann  diejenige  Parabel  Vy 
deren  Axe  in  VE'  (a)  der  Fig.  173)  liegt,  von  welcher  E'  der 
Krümmungsmittelpunkt  im  Scheitel  und  V  W  die  Linie  einer  Nor-  ^^^^j"** 
male  ist  Um  aus  diesen  Angaben  die  Parabel  zu  bestimmen,  ins- 
besondere ihren  Brennpunkt  X  und  ihren  Scheitel  A'  (auf  E'  F'), 
beachte  man,  daß  der  Brennpunkt  X  in  der  Mitte  zwischen  den 
Schnittpunkten  F' und  T  einer  Normale  Q'V'W  und  der  zugehöri- 
gen Tangente  Q' T  liegt  (in  1,219  istri^=  UF  ^  FN).  Denkt 
man  daher  die  Linie  XYXV'W  gefällt,  so  liegt  der  Fußpunkt  T 
in  der  Mitte  von  V'Q']  und  zieht  man  dann  YY^S.  F'JST,  so  ist 
r  Fo  =  i  Subnormale  =  ^  Parameter  =  E'X  =  XA'  (I,  219),  also 
auch  rX  -rY^  =  rX-  E'X  =  Y^X  =  VE'.  Man  erhält 
daher  auch  die  ^Subn.,  wenn  man  VZl,  VE'  und  E'Z±VW 
zieht,  beide  Linien  in  Z  schneidet,  ZZ^  ||  F'  VT  zeichnet  und  mit 
VE'  in  Zq  schneidet;  dann  ist  Z^V  =  VY^  —  ^  Subn.  —  JS'X 
=  XA'y  wodurch  X  und  A'  bestimmt  sind. 

411.  Um  in  einem  gegebenen  Punkte  P  der  Fläche  deren  JBe-i^g. "«. 
rührungsebene  zu  legeny  bestimme  man  ein  nach  der  Erzeugenden 
PQVW  anschließendes  Parabohid.  Als  Leitlinien  desselben  kann 
man  nehmen  g,  h  und  die  Tangente  i^T  des  k  in  Q,  und  diese  ge- 
hören wirklich  einem  Paraboloide  an,  weil  sie  mit  ein  und  derselben 
Ebene  F|  parallel  sind.  Schneidet  QT  die  Ebene  X0  in  T,  so  ist 
HT  eine  weitere  Erzeugende  der  ersten  Schaar,  weil  sie  auch  die 
g  trifft;   und  schneidet  die  parallel  zu  F^  durch  P  gelegte  Ebene 


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444  X,  411-413.   Die  windschiefen  Flächen. 

Fig.  178.  die  HT  in  [7,  so  ist  PET  die  Erzeugende  der  zweiten  Schaar,  und 
die  Ebene  UFQ  die  gesuchte  Berührungsebene  des  Paraboloides  und 
unserer  Fläche. 

412.  Die  Asymptotenebene  A  für  die  durch  den  Punkt  Q  der 
LeiÜinie  h  gehende  Erzeugende  steht  senkrecht  <mf  der  Erfseugenden  SQ 
des  Leitkegels.  Denn  ist  öi  der  dem  Q  benachbarte  Punkt  des  k,  so 
ist  A  parallel  mit  den  beiden  bezw.  durch  Q  und  Q^  gehenden  Er- 
zeugenden der  Normalenfläche y  also  senkrecht  auf  der  BerQhrungs- 
ebene  des  Leitkegels  bezw.  nach  SQ  und  SQ^,  daher  senkrecht  auf 
der  Schnittlinie  beider,  d.  i.  in  der  Grenze  senkrecht  auf  SQ.  Die 
erste  Spur  der  A  ist  daher  J_  JM'  Q'.  Die  Centralebene  für  jede  Er- 
zeugende  Q  V  amserer  Nomuüenfläche  geht  daher  durch  die  Spitze  S  des 
Leitkegels f  da  sie  JL  A  steht;  also  SQ  enthält.  Die  BerQhrungspunkte 
der  Centralebenen  bilden  aber  die  Striktionslinie,  so  daß  die  Striktions- 
linie  unserer  Normalenfläche  die  Berührungskurve  des  ihr  aus  der  Spitze 
S  des  Leitkegels  umschriebenen  Kegels  ist.  Die  Spur  der  Centralebene 
für  ö  F  in  der  Ebene  xz  ist  die  Gerade  S"  F",  sie  schneidet  die 
K'T'  in  ü^y  daher  liefert  die  zu  x"  Parallele  U^P^'  auf  Q^T' 
den  Punkt  P^  der  Striktionslinie,  in  Umkehrung  des  Verfahrens  zur 
Bestimmung  der  Berührungsebene.  Die  Striktionslinie  hat  Spitzen 
in  den  vier  Kuspidalpunkten;  ihre  erste  Projektion  weicht  in  der 
Figur  so  wenig  von  der  Evolute  des  k  ab;  daß  sie  nicht  besonders 
Terzeichnet  werden  konnte. 

418.  Der  erste  scheinbare  Umriß  unserer  Normalenfläche  ist  die 
Evolute  des  Leifkegelschnittes  k.  Um  von  der  zweiten  Projektion  des 
ersten  Umrisses  den  Punkt  Pj"  auf  einer  Erzeugenden  ÖF  zu  er- 
halten, beachte  man,  daß  die  auf  P^  senkrecht  durch  PV  gehende 
Berührungsebene  zur  zweiten  Spur  die  F'F'  hat,  daß  diese  die 
ff'  T'  in  U^  schneidet,  und  daß  sich  hieraus  P^'  durch  ügP,"  |  x\ 
und  hieraus  P^  ergibt. 

Die  zweite  Projektion  des  ersten  Umrisses  ist  eine  Neilsche  Parabel, 
Denn  sind  ff'P^  =  z,  P0P2"  =  ^  die  Koordinaten  von  P,",  und 
setzt  man  ^"(?"  =  d,  G"U^  =  w,  G'T'  =  P^U^  =  v,  so  folgt  aus 
ähnUchen  Dreiecken  und  weil  M''Ä''^  =  M'Q"  .  M"r\ 

oder      -  =  -,  --=-,  g'^vu. 

Durch  Multiplikation  jeder  der  beiden  ersten  Gleichungen  mit  der 

dritten  entsteht 

a?^  =  t?%  z^^dv^, 

woraus  v^  =  o^V  =  ^d^y 


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X,  418—414.   Die  gerade  Normalenfläohe  einer  Flftche  2.  Gr.         445 

oder  _  = 

die  Gleichung  der  Neilschen  Parabel  (vergl.  I,  251). 

414.  Die  Projektionen  der  Erzeugenden  der  Fläche  auf  eine 
beliebige  Ebene  erhält  man,  wenn  man  die  Punktreihe  der  V  oder 
EF^g  auf  E^^F^^^g^^  und  die  der  W  oder  JK^h  auf 
Jiv^iv  „^  j^iv  projicirt,  und  die  zusammengehörigen  (auf  derselben 
Erzeugenden  liegenden)  Punkte  F^^,  W^^  durch  Gerade  verbindet 
Dabei  gilt:  Der  scheinbare  Umriß  w  der  ParaUelprcjektion  der  geraden 
Nornuüenfläche  der  Fläche  eumten  Grades  auf  eine  ielid)ige  Ebene  ist 
ein  Kegelschnitt y  wenn  die  projicirenden  Strahlen  senkrecht  auf  der 
Flächenaxe  g  stehen.  In  der  Figur  ist  zugleich  die  Projektionsebene 
senkrecht  auf  die  Projicirenden,  also  auch  \  z  gestellt.  Es  ergibt 
sich  dies  daraus,  daß  das  Büschel  der  Erzeugenden  V^^W^^  kolli- 
near ist  mit  dem  Büschel  der  Tangenten  an  i',  wie  Q'T'T^^  wobei 
eine  Erzeugende  VW  und  eine  Tangente  TT^  sich  entsprechen,  wenn 
der  Fußpunkt  der  ersteren  und  der  Berührungspunkt  der  letzteren 
(in  Q)  zusammenfallen;  dann  ist  auch  die  Einhüllende  jener  Erzeu- 
genden, d.i.  der  scheinbare  Umriß  u  mit  Tc'  kollinear.  Es  berührt  aber 
der  Umriß  u  in  den  Kuspidalpunkten  E^^,  F^^,  J^^,  K^^  die  Kanten 
der  Fläche,  und  diese  schneiden  sich  paarweise  in  J?^^  und  G^*",  den 
Mitten  von  J^^K^^  und  E^^F^^.  Die  KoUineation  von  Je'  und  u 
kann  durch  vier  Paare  entsprechender  Punkte  dieser  Linien  bestimmt 
werden  (I,  309),  und  als  diese  wählen  wir  A\  B\  C,  B'  und 
E^^y  F^\  J^^,  K^^,  dabei  entspricht  dem  Schnittpunkte  M  von 
A'B',  C'B'  derjenige  R  von  E^^F^^,  J^^  K^\  Zugleich  müssen 
aber  auch,  wenn  h'  und  u  kollinear  sein  sollen,  dem  Schnittpunkte 
der  Tangenten  des  h'  in  A\  B\  d.  i.  dem  unendlich  fernen  Punkte 
r,  der  C'B\  der  Schnittpunkt  H^^  der  Tangenten  der  u  in  E^^,  F^^ 
entsprechen;  und  ebenso  dem  unendlich  fernen  Punkte  X^  der^'JB' 
der  Punkt  Q^\  Dies  ist  jedoch,  da  A'B'X^M  und  C'B'T^M 
harmonisch,  nur  dann  möglich,  wenn  auch  E^^F^^O^^B  und 
JiYX^^H^^B  harmonisch,  d.  i.  wenn  B  im  Unendlichen  liegt;  und 
hierzu  müssen  die  projicirenden  Strahlen  J.  ß  stehen.  Dann  sind  aber 
wirklich  die  Reihen  der  Punkte  V^^  und  W^^  bezw.  mit  den  Reihen  der 
T  und  T/  projektiv,  weil  —  in  Bezug  auf  die  F^^  und  T  —  die  Reihe 
der  T  projektiv  ist  mit  derjenigen  der  <2o>  ^^  ^^  Punkte  paarweise 
in  Bezug  auf  *'  konjugirt  sind  (1,344);  weil  femer  die  Reihe  der  Q^ 
ähnlich  mit  derjenigen  der  V  ist,  da  sich  in  der  zweiten  Projektion 
diese  parallelen  Punktreihen  aus  ff  auf  einander  projiciren;  und 
weil  endlich  die  Reihe  der  V  mit  deijenigen  der  V^^  ähnlich  ist. 
Die  projektive  Beziehung  der  Reihen  der  V^^  und  der  T  ist  aber 


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446  X,  414—415.   Die  windschiefen  Flächen. 

Flg.  178.  durch  die  drei  Paare  entsprechender  Punkte  E^^,  A'\  jP^^,  B'\ 
G^^y  Xj  bestimmt.  Ebenso  sind  die  Punktreihen  der  W^^  und  der 
T/  mit  einander  projektiv,  und  ihre  Beziehung  ist  durch  J^^^  C; 
K'^y  D';  H^^y  Fl  bestimmt.  Daher  ist  auch  das  Büschel  der  Tan- 
genten, welche  je  zwei  Punkte  T  und  T/  verbinden,  kollinear  mit 
dem  Büschel  der  Erzeugenden,  welche  jedesmal  die  jenen  Punkten 
entsprechenden  Punkte  V^^  und  W^^  mit  einander  verbinden,  oder 
jfc'  mit  Uf  und  u  ist  ein  Kegelschnitt. 

415.  Um  die  Gestalt  des  Umrißkegdschniües  u  näher  zu  unter- 
suchen, nehmen  wir,  wie  in  der  Figur,  die  (vierte)  Projektionsebene 
senkrecht  zum  projicirenden  Strahle,  also  H  0.  Die  Projektion  der 
Fläche  auf  eine  beliebige  Ebene  bei  ungeänderter  Richtung  der  Pro- 
jicirenden ist  dann  eine  schiefe  Projektion  der  hier  erhaltenen  senk- 
rechten Projektion,  wobei  aus  dem  Mittelpunkte  des  Umrisses  wie- 
der sein  Mittelpunkt,  aus  den  Axen  dagegen  im  allgemeinen  nicht 
wieder  Axen,  sondern  nur  konjugirte  Durchmesser  werden. 

Von  dem  UmrißJcegelschniUe  u  ist  js^^  eine  Axe,  weil  sie  Sym- 
metrielinie der  Punktreihen  g^^  und  k^^  ist.  In  der  kollinearen 
Beziehung  von  u  zu  k'  entspricht  die  e^^,  als  Polare  von  B,  der 
unendlich  fernen  Geraden  X^  Y^,  als  Polare  von  M\  Ist  daher 
Je'  eine  Ellipse,  so  ist  X^Y^  eine  ideelle  Sehne  der  1c\  und  0^^  eine 
ideelle  Axe  des  Umrißkegelschnitte^  u,  dieser  also  eine  Hyperbel. 
Ist  dagegen  k'  eine  Hyperbel,  so  ist  0^^  eine  reelle  Axe  des  u,  dieser 
kann  dann  eine  Ellipse,  Hyperbel  oder  Parabel  sein.  Ist  endlich  fc' 
eine  Parabel,  so  ist  X^  Y^  eine  Tangente  des  k\  daher  auch  0^^  eine 
Tangente  des  w;  dann  ist  u  eine  Parabel,  und  0^^  fällt  ins  Unendliche. 

Um  den  Mittelpunkt  0  des  Kegelschnittes  u  (auf  0^^)  zu  finden,  be- 
achte man,  daß  von  u  die  E^^F^^  =^  g^^  stets  eine  reelle  Sehne 
ist  (weilw4JS  als  reell  vorausgesetzt  wurde),  daß  J'^'^jK'^^  =  h^^  eine 
reelle  oder  ideelle  Sehne  mit  den  reellen  oder  ideellen  Eurvenpunk- 
ten  J'^,  K^y  bildet,  und  daß  H^\  G^^  die  Pole  bezw.  von  g'"",  A'^ 
sind.  Man  erhält  daher  Punkte  von  u  als  Schnittpunkte  je  zweier 
Strahlen,  welche  man  aus  den  (reellen)  Endpunkten  E^^^  F^^  einer 
durch  den  Pol  G^^  der  h^^  gezogenen  Sehne  des  m  nach  zugeordneten 
Punkten  von  h^^  zieht  (I,  347).  Ist  k'  eine  Ellipse,  sind  also  C,  D' 
und  daher  auch  J^^y  K^^  bezw.  reelle  Kurvenpunkte,  so  bestimme 
man  auf  h^^  den  Punkt  E^  so  daß  E^^E^  ||  0^^,  zu  E^  den  zugeord- 
neten Punkt  E2  der  Involution  A^^  (indem  man  etwa  aus  H^^  durch 
J^y  einen  Ejreis  zieht,  an  ihn  aus  E^  die  Tangente  legt  und  deren 
Berührungspunkt  JB,  auf  V^  projicirt),  so  ist  der  Schnittpunkt  von 
E^^E^  mit  F^^E^  ein  Punkt  des  m,  und  zwar  der  zu  F^^  in  Bezug 
auf  den  Mittelpunkt  symmetrische,  so  daß  F^^E^  di&  Axe  0^^  im 


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XI,  415—416.  Regelflache  8.  Grades  und  Raamkurve  4.  Ordnung  2.  Art.    447 

Mittelpunkte  0  von  t*  schneidet.  Von  der  Hyperbel  u  bestimmt 
man  die  in  z^^  liegende  ideelle  und  die  darauf  senkrechte  reelle 
Axe  unter  Beachtung,  daß  auf  der  ersteren  die  E^^F^^y  E^^W^y  und 
auf  der  letzteren  die  E^^E^,  i^^^iT^^  konjugirte  Punkte  einschneiden. 
—  Ist  ¥  eine  Hyperbel,  so  sind  J^^,  K^^  ideelle  Kurvenpunkte,  also 
einander  zugeordnet;  folglich  sind  die  Schnittpunkte  E^^J^^^  F^^K^^ 
und  E^^K^^j  F^^J^^  Punkte  des  u,  und  da  sie  auf  z^^  liegen,  die 
Scheitel  einer  Axe.  Da  H^^  als  Pol  der  reellen  Sehne  G^^H^^ 
jedenfalls  ein  äußerer  Punkt  des  u  ist,  so  gehört  die  Axe  auf  z^^ 
einer  Ellipse,  Hyperbel  oder  Parabel  (u)  an,  je  nachdem  diese  Axe 
den  Punkt  H^^  nicht  einschließt,  ihn  einschließt,  oder  unendlich  ist, 

d.  h.  je  nachdem  h^^^g^^  ist. 

Man  kann  daher  sagen:  Der  scheinbare  Umriß  der  senkrechten 
Projektion  der  geraden  Nonnalenfläche  der  Fläche  zweiten  Grades  auf 
eine  zu  ihrer  Axe  z  parallele  Ebene  ist  ein  Kegelschnitt  u,  welcher  die 
Projdction  von  z  zu  seiner  imaginären  oder  reellen  oder  unendlich  fernen 
Axe  hat,  je  nacMem  der  Leitkegelschnitt  k  eine  Ellipse  oder  Hyperbel 
oder  Parabel  ist.  Im  ersten  Falle  ist  u  eim  Hyperbel,  im  zweiten  eine 

Ellipse,  Hyperbel  oder  Parabel,  je  nachdem  ä^^^  g^^   ist,   im   letzten 

Falle  eine  Parabel 

Vi  Die  Begelfläohe  dritten  Grades  und  die  Banmknrve  vierter 
Ordnung  zweiter  Art. 

a)  Die  Regelfläche  dritten  Grades. 
416.  Die  Regelfläche,  welche  einen  Kegelschnitt  k  und  zwei 
Gerade  d  und  e,  deren  eine,  d,  den  k  ia  D^  schneidet,  zu  Leitlinien 
hat,  ist  eine  windschiefe  Fläche  vom  dritten  Grade*)  (388).  (Es 
können  die  späteren  Figuren  174  a)  und  b)  verglichen  werden.) 
Legt  man  durch  e  eine  Ebene,  so  schneidet  dieselbe  den  k  in  zwei 
(reellen  oder  imaginären)  Punkten  K,  K*,  die  d  in  einem  Punkte  D, 
und  es  sind  dann  KD,  K*D  die  zwei  durch  den  Punkt  D  der  d 
gehenden  Erzeugenden;  dieselben  treffen  die  e  in  zwei  verschiede- 
nen Punkten  E,  E*,  und  in  diesen  wird  F  von  jener  Ebene  berührt. 
Legt  man  dagegen  durch  d  eine  Ebene,  so  schneidet  dieselbe  den 
k  außer  in  D^  noch  in  einem  Punkte  K,  die  e  in  E,  und  es  ist 
dann  KE  die  einzige  durch  den  Punkt  E  der  e  gehende  Erzeugende; 

*)  Die  Erforschung  dieser  Fläche  verdankt  man  hauptsächlich  Herrn  Cre- 
mona  (Memoria  sulle  superficie  gobbe  del  terz*  ordine  in  den  Atti  del  Institute 
Lombardo,  B.  2,  1861).  Sodann  lieferte  Herr  Weyr  eine  Bearbeitung  derselben 
in  seiner  ,,Geometrie  der  räumlichen  Erzeugnisse  ein -zweideutiger  Gebilde, 
insbesondere  der  Begelflächen  dritter  Ordnung,  1870^'. 


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448  X,  416—417.    Die  windschiefen  Flächen. 

dieselbe  trifft  die  d  in  D^  und  in  diesem  wird  F  von  jener  Ebene 
berührt.  Daher:  Läßt  man  eine  Regelfläche  dritten  Grades  P  mitkist 
eines  Leitkegelschnittes  Je  und  gtoeier  Leitgeraden  d^  e  entstehen^  von 
denen  die  eine^  dj  den  Je  schneidet,  die  andere,  e,  ihn  nicht  schneidet,  so 
ist  e  eine  einfache,  d  eine  Doppelgerade  der  P,  indem  durch  jeden 
Punkt  E  der  e  eine,  durch  jeden  D  der  d  jsum  (reelle  oder  imaginäre) 
Erzeugende  gehen,  und  es  enthalt  jede  durch  e  oder  d  gelegte  Ebene 
beaw.  sswei  oder  eine  Erzeugende^  und  berührt  die  Fläche  beew.  in  deren 
SchnittptmJcten  E,  E*  mit  e  oder  D  mit  d. 

Eine  durch  e  gelegte ;  den  Kegelschnitt  Je  (in  B)  berührende 
Ebene,  welche  die  d  in  C  trifft,  enthält  zwei  in  BC  zusammen- 
fallende Erzeugende;  daher  (386)  ist  C  ein  Ku^pidalpunJct,  BC  eine 
Kante  der  P.  Ist  der  Schnittpunkt  E^  der  e  mit  der  Ebene  des  Je 
ein  äußerer  Punkt  des  Je  (Fig.  174  a),  so  gibt  es  zwei  reelle  Kanten 
BC,  B*C*  und  zwei  Kuspidalpunkt«  C,  (7*;  ist  E^  ein  innerer 
Punkt  des  Je  (Fig.  174  b),  so  gibt  es  keine  reellen  Kuspidalpunkte 
und  Kanten.  Im  ersteren  Falle  ist  die  d  in  dem  einen  der  Stücke 
CC*  eine  reelle  Doppellinie,  in  dem  anderen  eine  isolirte  Linie 
der  P,  im  zweiten  Falle  ist  die  d  in  ihrem  ganzen  Verlaufe  eine 
reelle  Doppellinie. 

417,  Man  bemerkt,  daß  je  zwei  der  Punkte  JT,  K*  des  Kegel- 
schnittes Je  aus  dem  Punkte  E^  durch  einen  einzigen  Strahl,  aus 
dem  Punkte  D^  des  Je  aber  durch  zwei  Strahlen  projicirt  werden, 
und  daß  das  durch  die  ersteren  einfachen  Strahlen  gebildete  Büschel 
E^,  und  das  durch  die  letzteren  Paare  konjugirter  Strahlen  gebildete 
involutorische  Büschel  D^  projektiv  (297)  oder  ein -zweideutig  ver- 
wandt sind.  Projicirt  man  diese  Strahlenbüschel  E^  und  D^  bezw. 
aus  e  und  d  durch  Ebenenbüschel,  so  ist  offenbar  jede  Schnittlinie 
zweier  entsprechenden  Ebenen  eine  Erzeugende  unserer  Begelfläche. 
Es  gilt  nun: 

Ein  einfaches  und  ein  damit  prqjeJetives  involutorisches  Ebenen- 
büschd  {oder  zu)ei  ein- zweideutige  Ebenenbüschel),  deren  Axen  sich  nidU 
schneiden,  erzeugen  durch  die  Schnittlinien  entsprechender  Ebenen  eine 
Begelfläche  dritten  Grades. 

Es  sei  dabei  die  projektive  Beziehung  durch  fünf  Paare  will- 
kürlich angenommener  entsprechender  einfacher  Ebenen  beider 
Büschel  bestimmt  (297,  3)),  so  sind  auch  fünf  Erzeugende  als  Durch- 
schnitte je  zweier  entsprechenden  Ebenen  gegeben.  Legt  man  durch 
eine  (die  erste)  dieser  fünf  Erzeugenden  irgend  eine  Ebene,  schnei- 
det dieselbe  mit  d  und  e  bezw.  in  D^  und  E^,  und  mit  den  vier 
anderen  Erzeugenden  in  vier  Punkten,  führt  dann  durch  einen  der 
Punkte  Dl,  E^,  etwa  durch  D^,  und  durch  diese  vier  Punkte  den  durch 


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X,  417—418.  Regelfläche  8.  Grades  und  Eaumkarve  4.  Ordnung  2.  Art.     449 

sie  bestimmten  Kegelschnitt  Tc,  und  nimmt  k,  d,  e  als  Leitlinien  für 
eine  Regelfläche  dritten  Grades,  so  enthält  diese  unsere  fünf  Er- 
zeugenden, von  denen  die  Gerade  D^  E^  die  erste  ist.  Diese  Fläche 
kann  auch  durch  zwei  ein -zweideutige  Ebenenbüschel  d,  e  entstehen, 
und  diese  Büschel  fallen  mit  den  gegebenen  zusammen,  weil  sie 
durch  dieselben  fünf  entsprechenden  Ebenen  bestimmt  sind,  welche 
jene  fünf  Erzeugende  enthalten.  Daher  erzeugen  die  zwei  beliebig 
angenommenen  ein -zweideutigen  Ebenenbüschel  eine  Regelfläche 
dritten  Grades. 

Das  einfache  Ebenenbüschel  e  schneidet  auf  der  Geraden  d  eine 
einfache,  das  involutorische  Ebenenbüschel  d  auf  der  e  eine  invo- 
lutorische  Punktreihe  ein;  beide  Reihen  sind  projektiv,  und  die  Ver- 
bindungslinien entsprechender  Punkte  sind  auch  die  Schnittlinien 
entsprechender  Ebenen  der  Büschel.     Daher  gilt: 

Eine  einfache  d  und  eine  damit  projektive  involutorische  Pnnkt- 
reihe  e  (oder  zwei  ein- zweideutige  Punktreihen),  deren  Träger  sich 
nicht  schneiden,  erzeugen  durch  die  Verbindungslinien  entsprechender 
Punkte  eine  Hegel  fläche  dritten  Grades. 

Man  bemerkt,  daß  der  Träger  der  einfachen  Punktreihe  d  eine 
Doppelgerade  der  Fläche  ist,  weil  jedem  Punkte  D  derselben  zwei 
Punkte  E,  E*  der  e  entsprechen,  nach  welchen  zwei  Erzeugende 
aus  D  laufen;  und  daß  der  Träger  der  Involution  eine  einfache 
Gerade  der  Fläche  ist.  Entsprechen  den  Doppelpunkten  A,  -4*  der 
Involution  auf  e  bezw.  die  Punkte  C,  (7*  auf  d,  so  sind  die  letzteren 
die  Verzweigungspunkte  der  d  (297,  1))  und  die  Ku^idalpunkte  der 
Fläche,  welche  die  Punkte  der  d  von  einander  scheiden,  denen 
reelle  und  denen  imaginäre  Punktepaare  der  e  entsprechen.  AC, 
A*C*  sind  die  Kanten]  entlang  derselben  wird  die  Fläche  von  den 
Ebenen  eC,  eC*  berührt,  welche  den  Doppelebenen  dA,  dA*  der 
Ebeneninvolution  d  entsprechen  und  die  Kuspiddlebenen  heißen.  Es 
gilt  daher: 

Die  Doppelebenen  dA,  dA*  der  Involution  d  gehen  durch  die 
Doppelpunkte  Ay  A*  der  Involution  e,  und  die  Kuspiddlebenen  eC, 
eC*  durch  die  Kuspidalpunkte  C,  C*  der  d.  Die  Kanten  AC,  A*C* 
sind  die  Verbindungslinien  je  eines  Doppelpunktes  mit  dem  entsprechen- 
den Kuspidalpunkte,  und  zugleich  die  Schnittlinien  je  einer  Doppelebene 
mit  der  efitsprechenden  Kuspidalebene.  Entlang  der  Kante  eines  Kus- 
pidalpunktes  wird  die  Fläche  von  der  durch  diesen  Punkt  gehenden 
Kuspidalebene  berührt. 

418,  Das  Ebenenbüschel  der  den  Kegelschnitt  k  treffenden 
Geraden  d  schneidet  den  k  und  die  den  k  nicht  treffende  Gerade  e 
in  projektiven  Punktreihen,  und  das  Ebenenbüschel  e  schneidet  den 

Wiener,  Lebrbaoh  der  darsteUenden  Geometrie.   II.  29 

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450  X,  418—419.    Die  windschiefen  FlÄchen. 

Je  in  einer  involutorischeii  und  die  d  in  einer  damit  projektiven  ein- 
fachen Punktreihe^  und  beide  liegen  perspektiv  (besitzen  in  ihrem 
Schnittpunkte  entsprechende  Punkte);  die  Verbindungslinien  ent- 
sprechender Punkte  erzeugen  in  beiden  Fällen  die  Fläche  dritten 
Grades.     Daher  gilt: 

Eine  Eegelfläche  dritten  Grades  wird  erzeugt  durch  die  Verbin- 
dungslinien entsprechender  Punkte 

1)  zweier  projektiven  Punktreihen  auf  einem  Kegelschnitte  k  und 
auf  einer  Geraden  e,  welche  den  k  im  allgemeinen  nicht  schneidet; 

2)  einer  involutorischen  Punktreihe  auf  einem  Kegelschnitte  k  und 
einer  damit  projektiven  einfachen  Punktreihe  auf  einer  Geraden  d,  wenn 
sich  leide  Linien  schneiden  \md  in  ihrem  Schnittpunkte  entsprechende 
Punkte  vereinigt  sind. 

Diese  Fläche  entsteht  in  beiden  Fällen  bei  willkürlicher  An- 
nahme der  bestimmenden  Elemente.  Nimmt  man  nämlich  im  ersten 
Falle  auf  h  und  e  drei  Paare  entsprechender  Punkte  ^  d.  i.  auch  drei 
Erzeugende;  an^  bestimmt  den  Punkt  des  ky  welcher  dem  Schnitt- 
punkte E^  der  e  mit  der  Ebene  des  k  entspricht^  schneidet  die  Er- 
zeugende, welche  diese  Punkte  verbindet,  ein  zweitesmal  mit  k  in 
Dj,  legt  durch  Dj  diejenige  Gerade  D,  welche  zwei  andere  Erzeu- 
gende schneidet,  so  bestimmen  dy  e,  k  als  Leitlinien  eine  Fläche 
dritten  Grades,  welche  mit  unserer  Fläche  drei  Erzeugende  gemein 
hat,  also  durch  sie  dieselben  Punktreihen  auf  e  und  k  einschneidet 
und  mit  ihr  zusammenfällt  —  Sind  im  zweiten  FaUe  außer  den  in 
D^  vereinigten  entsprechenden  Punkten  von  k  und  d  zwei  Punkte- 
paare auf  k  und  ihre  beiden  entsprechenden  Punkte  auf  d  willkür- 
lich angenommen  (oder  aus  fünf  Paaren  einfacher  entsprechender 
Punkte  konstruirt),  und  bildet  man  die  Schnittlinie  e  der  beiden 
Ebenen  der  Punkte  je  eines  Paares  und  seines  entsprechenden 
Punktes,  so  bestimmen ^ß,  d,  k  als  Leitlinien  eine  Fläche  dritten 
Grades,  welche  mit  unserer  Fläche  zwei  Paare  von  Erzeugenden 
gemein  hat,  also  durch  diese  und  durch  den  Punkt  D^  auf  k  und  e 
dieselben  Punktreihen  einschneidet  und  mit  ihr  zusammenfallt. 

419,  Wir  fügen  noch  hinzu,  daß  ^ie  Hegdfläche  dritten  Grades 
auch  entstehen  kann 

1)  mittelst  einer  Kurve  dritter  Ordnung  k  und  zweier  Geraden 
dy  e  als  Leitlinien,  wenn  k  von  d  in  zwei  Punkten  (oder  im  Doppel- 
punkte von  ky  wenn  k  eben  ist)  und  von  e  in  einem  Punkte  ge- 
troffen wird;  d  ist  dann  die  Doppellinie. 

2)  Mittelst  zweier  projektiven  Punktreihen  auf  einer  Kurve  dritter 
Ordnung  k  und  auf  einer  Geraden  e,  wenn  sich  beide  in  einem 
Punkte   schneiden,   und   dieser  Punkt   sich   selbst   entspricht     Die 


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X,  419—420.  Regelfläche  8.  Grades  nnd  Raumkurve  4.  Ordnnng  2.  Art.     451 

Reihen  werden  durch  ein  Ebenenbüschel  eingeschnitten^  dessen  Axe 
d  die  k  in  zwei  Punkten  trifft. 

3)  Mittelst  einer  Punktreihe  auf  einer  Geraden  d  und  einer  da- 
mit projektiven  involutorischen  auf  einer  Kurve  dritter  Ordnung  k,  wenn 
d  die  X;  in  zwei  Punkten  schneidet;  und  jeder  dieser  Punkte  sich 
selbst  entspricht.  Die  Reihen  werden  durch  ein  Ebenenbüschel 
eingeschnitten ;  dessen  Axe  e  die  k  in  einem  Punkte  trifft. 

420,  Schneidet  die  gerade  Punktreihe  e  die  mit  ihr  projektive 
Punktreihe  des  Kegelschnittes  k,  ohne  daß  im  Schnittpunkte  ent- 
sprechende Punkte  vereinigt  sind»  also  in  nicht  perspektiver  Lage, 
so  entsteht  die  Cayleysche  Fläche"*).  Was  wird  dabei  aus  der  gera- 
den Punktreihe  d  und  ihren  Beziehungen  zu  den  Punktreihen  e  und 
A?  Zunächst  erkennt  man^  daß  d  mit  e  zusammenfallt.  Denn  zieht 
man;  um  d  zu  bestimmen ;  die  Verbindungslinie  des  Schnittpunktes 
E^  von  e  mit  der  Ebene  des  k  (und  mit  k  selbst)  und  des  dem  E^ 
entsprechenden  Punktes  des  k^  schneidet  diese  Linie  mit  k  in  einem 
zweiten  (von  diesem  entsprechenden  verschiedenen)  Punkte  D^,  so 
fallt  Dl  in  E^,  und  die  durch  D^  (E^)  schneidend  gegen  zwei  Er- 
zeugende der  Fläche  gelegte  Gerade  ist  sowohl  d  als  e.  Die  Doppel- 
punkte A,  A*  der  Involution  auf  e  entsprechen  den  Berührungs- 
punkten JB,  B*  der  aus  E^  an  k  gezogenen  Tangenten,  und  da 
diese  in  E^^  (DJ  zusammenfallen,  die  Punkte  -4,  A*  der  e  aber  in 
der  projektiven  Beziehung  der  Punktreihen  k  und  e  den  Punkten 
jßy  B*  der  k  entsprechen,  so  fallen  auch  A,  A*  in  demjenigen 
Punkte  der  e  zusammen,  welcher  dem  Punkte  E^  der  k  entspricht. 
—  Die  eindeutige  Punktreihe  d  ist  zur  zweideutigen  Reihe  e  pro- 
jektiv; da  aber  auf  e  die  Doppelpunkte  in  A  zusammenfallen,  so 
fallt  der  eine  Punkt  jedes  Paares  in  Ay  welcher  Punkt  dann  jedem 
Punkte  der  d  entspricht,  während  die  anderen  Punkte  der  Paare 
eine  einfache  mit  d  projektive  Punktreihe  bilden  (297,  1));  dabei 
fallen  die  entsprechenden  Punkte  von  d  und  e  in  einander  als 
Schnitt;punkte  von  d  (e)  mit  denselben  Erzeugenden.  Den  in  A  zu- 
sammenfallenden Doppelpunkten  A,  A*  auf  e  entsprechen  aber  die 
Kuspidalpunkte  C,  C*  auf  d]  daher  fallen  auch  die  Kuspidalpunkte 
in  A  zusammen.  —  In  der  Punktreihe  des  Kegelschnittes,  welche 
zweideutig  mit  der  eindeutigen  Reihe  d  projektiv  ist,  fallen  die 
beiden  Doppelpunkte  D,  D*  in  Dj  (Ei)  zusammen.  Daher  liegt  der 
eine  Punkt  jedes  Paares  des  k  in  D^  und  entspricht  jedem  Punkte 


*)  Ans  einem  Briefe  des  Herrn  Cayley  mitgeteilt  von  Herrn  Cremona 
in  seinem  Aufsätze  ,;Sar  les  snifaces  gauches  du  troisi^me  degr^*^  (Grelles  Joum. 
f.  r.  u.  a.  Math.,  B.  60,  1862,  S.  818). 

29* 


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452  X,  420-421.    Die  windschiefen  Flächen. 

der  d,  daher  auch  sich  selbst;  und  hierdurch  ist  die  Perspektive 
Lage  der  Punktreihen  h  und  d  gewahrt.  Die  anderen  Punkte  der 
Paare  auf  Je  bilden  aber  eine  einfache  mit  der  Punktreihe  e  und 
mit  der  damit  zusammenfallenden  Reihe  der  zweiten  Punkte  der 
Paare  auf  d  projektive  und  nicht  Perspektive  Reihe.  So  werden 
alle  drei  Punktreihen  d,  e,  Je  zu  einfach  projektiven  ^  in  denen  der 
ScfmittptinJct  D^  (E^)  des  Je  mit  d{e)  den  in  A  vereinigten  Doppel-  und 
Kmpidalpunicten  der  d  entspricht  Die  beiden  Kanten  fallen  in  A  D^ 
zusammen;  welche  Linie;  indem  sie  eine  Leitlinie  und  eine  Erzeu- 
gende vereinigt;  eine  Doppelgerade  der  Fläche  bildet  Die  Doppd^ 
und  Kuspidalebenen  sind  die  durch  die  Kante  und  bezw.  durch  d 
und  e  gehenden  Ebenen.  Da  aber  alle  drei  Gerade  zusammen- 
fallen, so  ergeben  sich  Ebenen  erst;  indem  man  beachtet;  daß  sie 
unendlich  kleine  Winkel  mit  den  Ebenen  bilden,  bei  welchen  die 
Kante  durch  ihre  benachbarte  Erzeugende  ersetzt  wird;  daß  also 
alle  diese  Ebenen  in  der  einen  Ebene  zusammenfallen;  welche  durch 
^  Dj  =  d  =  6  und  durch  die  Tangente  des  Ä  in  D^  geht.  EHe 
Fläche  wird  demnach  entlang  e  (d)  von  dieser  Ebene  berührt  und 
außerdem  in  jedem  von  A  verschiedenen  Punkte  der  e  von  einer 
anderen  (wechselnden)  Ebene. 

Liegen  di^  eindeutigen  Punktreihen  e  (d)  und  Je  perspektiv;  d.  h. 
fällt  A  in  E^  (DJ;  so  zerfällt  die  Fläche  in  ein  geradliniges  Hyper- 
boloid (l4l;  4))  und  in  die  Ebene  der  e{d)  und  der  Tangente  desÄ: 
in  E,{B,). 

421.  Wir  wollen  noch  erkennen;  daß  jede  Regelfläche  dritten 
Grades  F  mit  der  bisher  betrachteten  Fläche  übereinstimmt  Es 
wird  dies  bewiesen;  indem  man  zeigt;  daß  alle  Erzeugende  einer 
Regelfläche  dritten  Grades  zwei  (sich  nicht  treffende)  Geraden  d 
und  e  schneiden;  dann  liat  die  FläcJie  m  Leitlinien  die  Gefaden  d 
und  e  und  außerdem  jeden  Kegelschnitt  Je,  in  welchem  eine  durch  eine 
Erzeugende  gelegte  Ebene  die  Fläche  trifft;  und  eine  der  Leitge- 
raden muß  den  Je  schneiden;  weil;  wenn  keine  oder  beide  den  Je 
schnitten;  der  Grad  bezw.  vier  oder  zwei  wäre.  —  um  jenes  zu 
beweisen;  lege  man  durch  vier  beliebige  gerade  Erzeugende  der 
Regelfläche  die  zwei  sie  schneidende  Geraden  d,  e  (144;  12)).  Da 
jede  derselben  vier  Punkte  der  Fläche  dritten  Grades  enthalt,  muß 
sie  ganz  in  ihr  liegen  (387;  9)).  Könnten  durch  jene  vier  Erzeu- 
gende unendlich  viele  Gerade  gelegt  werden,  so  würden  dieselben 
das  durch  drei  derselben  bestimmte  einschalige  Hyperboloid  bilden, 
und  die  F  müßte  in  dieses  und  in  eine  Ebene  zerfallen ;  also  einen 
besonderen  Fall  unserer  Fläche  Je,  d,  e  darstellen.  Legt  man  nun 
durch  eine  der  Geraden  d,  e,  etwa  durch  d,  und  durch  eine  jener 


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X,  421—422.  Regelfläche  3.  Grades  und  Raamknrve  4.  Ordnung  2.  Art.     453 

vier  Erzeugenden  g  eine  Ebene ,  so  muß  dieselbe  die  Fläche  dritten 
Grades  noch  in  einer  dritten  Geraden  g'  schneiden  (387, 11)).  Die 
übrigen  Erzeugenden  schneiden  diese  Ebene  in  Punkten,  die  nur  in 
den  drei  Geraden  d^  g^  g'  liegen  können.  In  der  Erzeugenden  g  oder 
in  derjenigen  g'  ist  dies  aber  nicht  möglich,  weil  es  dann  für  jede 
der  vier  g  oder  für  jede  der  vier  zugehörigen  g'  stattfinden,  und 
dann  die  Fläche  das  soeben  bezeichnete  Hyperboloid  sein  müßte. 
Daher  müssen  die  Schnittpunkte  der  Erzeugenden  der  Fläche  mit 
der  Ebene  dgg'  auf  d  liegen,  oder  d  muß  von  allen  Erzeugenden 
getroffen  werden.  Dasselbe  gilt  von  6,  und  somit  ist  die  Behaup- 
tung bewiesen. 

422,  Aufg.  Die  Begelfläche  dritten  Grades  aus  ihren  Leitlinien, 
einem  Kegelschnitte  (Kreis)  Je,  der  sie  schneidenden  Doppelgeraden  d 
und  der  einfaclien  Leitgeraden  6,  durdi  ihre  Projektion  auf  die  Ebene 
Pi  des  h,  und  durch  ihre  Spuren  mit  P^  und  mit  einer  parallel  gu  P^ 
gelegten  Ebene  Pg  darzustellen, 

Aufl,  Die  Erzeugenden  der  Fläche  erhält  man  paai-weise  als  Fig.  i74 
die  Schnittlinien  einer  Ebene  des  Büschels  e  mit  den  beiden  ent-  **  ^* 
sprechenden  (sie  in  Punkten  des  k  treffenden)  Ebenen  des  Büschels  d. 
Sind  die  Spuren  von  d  und  e  in  Pj  und  P,  bezw.  D^  (auf  Ä),  D^, 
und  El,  E^,  so  lege  man  durch  e  eine  Ebene  mit  den  (parallelen) 
Spuren  E^KK^,  E^GG*,  schneide  die  erstere  Linie  mit  k  in  K 
und  JT*;  dann  sind  die  Parallelen  D^K,  D^G  und  D^K"^,  D^G"* 
die  Spuren  der  beiden  entsprechenden  Ebenen  des  Büschels  d,  und 
KGy  K*G*  zwei  Erzeugende  der  Fläche.  Die  durch  e  berührend 
an  k  gelegten  Ebenen  enthalten  die  Tangenten  J5?,  jB,  JS^JS*  des 
Kreises,  die  Kanten  B  CA,  B*C*A*,  und  auf  diesen  die  Knspidalpunkte 
C,  C*  auf  d  und  die  Doppelpunkte  A,  A*  auf  e.  In  Fig.  174a  ist 
El  ein  äußerer,  in  174b  ein  innerer  Punkt  des  k,  in  der  ersteren 
sind  die  Kanten  und  die  bezeichneten  Punkte  reell,  in  der  letzteren 
imagiuär.  Die  gezeichneten  Erzeugenden  sind  mit  einer  gewissen 
Regelmäßigkeit  verteilt,  indem  k  durch  die  Strahlen  Ei  KK"^  in 
24  symmetrisch  zu  der  Mittellinie  E^MiM  ^=^  Mittelpunkt  des  k) 
liegende  Teile  geteilt  wurde,  welche  stetig  vom  einem  zum  anderen 
der  Schnittpunkte  der  E^  M  mit  k  abnehmen. 

Die  ebenen  Schnitte  der  P  sind  Linien  dritter  Ordnung.  Die  erste 
Spur  zerfallt  in  den  Kreis  k  und  in  die  Gerade  MiD^,  die  zweite 
Spur  ist  der  Ort  der  Punkte  G,  G*,  enthält  E^  als  einfachen,  D^ 
als  Doppel-  oder  als  isolirten  Punkt,  letzteres,  wenn  D^  auf  dem 
Teil  der  d  liegt,  welcher  der  F  als  isolirte  Linie  angehört.  In  Fig.  a) 
sind  noch  die  Schnittlinien  c,  c*  mit  den  parallel  zu  P^  durch  die 
Kuspidalpunkte  C,  C^  gelegten  Ebenen  yerzeichnei    Dieselben  be- 


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454 


X,  422.    Die  viodscliiefeii  Flächen. 


sitzen  bezw.  in  (7,  C*  eine  SpiteCy  in  welchen  die  Tangenten  bezw. 
parallel  zu  D^  B,  D^B*  laufen.  Sodann  wurde  noch  eine  mit  P^ 
parallele  Schnittlinie  f  mit  einem  Doppelpunkte  D  (auf  d)  verzeich- 
net. Man  erhält  diese  Kurven,  indem  man  jede  Erzeugende,  z.  B. 
KG,  durch  Strahlen  schneidet,  welche  man  parallel  mit  dem  zu- 
gehörigen Dl  K  (oder  Dg  G)  durch  C,  (7*,  D  zieht;  oder  auch,  wenn 

Fig.  174  a. 


die  Schnittpunkte  unsicher  werden,  indem  man  jede  Erzeugende,  so 
KG,  in  dem  Verhältnisse  teilt,  wie  D1D2  durch  C,  C*,  D  geteilt 
ist  Die  Tangenten  und  Asymptoten  dieser  Kurven  werden  wir  alsbald 
konstruiren,  und  bemerken  nur,  daß  danach  die  Asymptoten  aller 
dieser  Kurven  parallel  zu  D,  E^  laufen,  und  daß  die  für  g  durch  den 
Punkt  U  der  D^E^  gezogen  wird,  welcher  die  D^E^  in  demselben 
Verhältnisse  teilt,  in  welchem  die  JE^Di  durch  ihren  zweiten  Schnitt- 
punkt U'  mit  k  geteilt  ist. 


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X,  422—423.  Regelfläcbe  3.  Grades  und  Raamkurve  4.  Ordnung  2.  Art.     455 


Der  Umriß  der  Fläche  ist  als  Einhöllende  der  Erzeugenden  ge- 
zeichnet. Er  geht  durch  die  Kuspidalpunkte  C,  C*,  und  besitzt  in 
Fig.  a)  drei  Spitzen  und  zwei  unendlich  ferne  Punkte,  in  Fig.  b) 
eine  Spitze  und  keinen  unendlich  fernen  Punkt. 

423.  Nach  der  vor.  Nr.  können  zwei  ein-  zweideutige  Strahlen- 
büschel E^y  D^  eine  Kurve  dritter  Ordnung  mit  einem  Doppel-  oder 
einem  isolirten  Punkte  erzeugen.  Aber  auch  allgemein  erzeugen  irgend 

Fig.  174  b. 


ztoei  ein- zweideutige  in  derselben  Ebene  liegende  Strahlenbüschel  E^, 
Dg  durch  die  Schnittpunkte  entsprechender  Strahlen  eine  Linie  dritter 
Ordnung,  welche  E^  zu  einem  einfachen  und  D^  zu  einem  Doppel- 
oder  isolirten  Punkte  hat  Denn  die  Büschel  schneiden  jede  Gerade 
in  zwei  ein -zweideutigen  Punktreihen,  und  diese  haben  drei  Doppel- 
punkte (297,  4)),  welche  die  Schnittpunkte  der  Geraden  mit  der  er- 
zeugten Linie  sind.  Die  Tangente  der  Linie  in  E^  ist  der  einfache 
Strahl,  welcher  dem  Strahle  D^E^  entspricht,  ihre  Tangenten  in 
Dg  sind  die  reellen  oder  imaginären  Strahlen  des  Paares,  welches 
dem  Strahle  E^B^  entspricht. 


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456 


X,  423—424.    Die  windschiefen  Flächen. 


lu  Fig.  174  befinden  sich  die  ein-eweidmtigen  Strahlenbüsdwl 
E^j  Dl  in  perspektiver  Lage,  indem  dem  Strahle  E^D^  derjenige 
Dj  E^  entspricht,  also  zwei  entsprechende  Strahlen  sich  decken 
(297,  3));  die  von  ihnen  erzeugte  Linie  dritter  Ordnung  zerßUt  dann 
in  die  Verbindungsgerade  E^D^  ihrer  Mittelpunkte  und  in  den 
Kegelschnitt  Äj,  welcher  durch  D^,  aber  nicht  durch  E^  geht;  die 
mit  E^y  Dj  parallelen  Strahlenbüschel  in  den  zu  F^  parallelen 
Ebenen,  wie  JSg,  Dg,  befinden  sich  nicht  in  perspektiver  Lage,  und 
erzeugen  eigentliche  Linien  dritter  Ordnung. 

424.  Aufg.  Es  sind  gwei  Perspektive  ein- zweideutige  StrcMen- 
hüschel  durch  ihren  Schnittkegelschnitt  k^  und  ihre  bezw.  auf  und  außer- 
halb k^  liegenden  Mittelpunkte  Dj,  E^  gegeben;  man  soll  mittelst  paral- 
leler Strahlenbüsdiel  Dg,  E^  eine  Linie  dritter  Ordnung  k^  mit  ihren 

Fig.  176. 


Tangenten  und  Asymptoten  konstruiren.  Man  kann  auch  das  Büschel 
Dg  mit  D^  und  E^  mit  E^  perspektiv  bilden  mit  derselben  oder  mit 
verschiedenen  Axen;  in  unserem  Falle  ist  die  gemeinschaftliche  per- 
Fig.  176.  spektive  Axe  die  unendlich  ferne  Gerade.  Es  sei  k^  eine  Hyperbel. 
Denkt  man  sich  unter  JDiD^j  ^i^i  die  Projektionen  zweier  räum- 
lichen Geraden  rf,  6,  so  stellt  die  Figur,  wie  die  beiden  vorher- 
gehenden, eine  Regelfiäche  dritten  Grades  mittelst  der  parallelen 
Ebenen  Pj,  Pg  ihrer  Spuren  k^,  k^  dar. 


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X,  424—425.   Regelfläche  8.  Grades  und  Raumknrve  4.  Ordnung  2.  Art.    457 

Aufl.  Ist  Pi  ein  beliebiger  Punkt  der  Jc^^  so  bildet  Pj  einen  Punkt 
der  k^,  wenn  D^  P,  8  A  ^i;  ^2  ^2  II  -^1  ^1  gezogen  wird.  Die  unend- 
lich fernen  Punkte  der  k^  erhält  man,  wenn  man  Pj  auf  Jc^  in  deren 
unendlich  ferne  Punkte  oder  in  den  zweiten  Schnittpunkt  der  \ 
mit  D^E^  rücken  läßt  Der  letztere  Punkt  ist  stets  reell;  daher 
hat  k2  ein^  zwei  oder  drei  getrennte  reelle  unendlich  ferne  Punkte, 
je  nachdem  \  eine  Ellipse,  Parabel  oder  Hyperbel  ist,  vorausgesetzt, 
daß  Dl  El  nicht  nach  einem  unendlich  fernen  Punkte  der  k^   läufL 

Die  Tangente  der  k^  in  E^  ist  parallel  zu  E^G,  wenn  die  zu 
Dg  E^  Parallele  Dj  G  den  k^  noch  in  G  trifft;  die  Tangenten  der  k^ 
in  Dg  sind  parallel  zu  D^  F  und  D,  J^,  wenn  die  zu  E^  Dj  Paral- 
lele E^FF'  den  Ä^  in  F  und  F  trifft. 

425.  Bestimmung  der  Tangente  der  k^  in  einem  allgemeinen  Funkte 
Pg.  Ein  erstes  Verfahren  stützt  sich  auf  die  Anschauung  der  Figur  als 
Projektion  einer  Fläche  dritten  Grades.  P^  P^  stellt  dann  eine  Erzeu- 
gende vor;  dieselbe  schneidet  die  d  und  e  bezw.  in  D  und  E.  Die 
Berührungsebenen  der  Fläche  in  den  Punkten  D,  JS,  Pj,  P,  der 
PjPg  bilden  ein  mit  der  Reihe  der  Berührungspunkte  projektives 
Ebenenbüschel,  dessen  Spur  in  P^  das  Strahlenbüschel  P^  bildet.  Zu 
D,  E,  Pi  gehören  die  Strahlen  P^Di,  P^E^y  P^D  (Tangente  an  *i); 
und  indem  durch  diese  drei  Paare  entsprechender  Elemente  die 
projektive  Beziehung  hergestellt  ist,  findet  man  den  dem  P,  ent- 
sprechenden Strahl  PjJ,  indem  man  die  Punktreihe  DEF^F^  aus 
dem  Schnittpunkte  N  von  d  und  e  auf  E^F^  in  D^E^F^J'  projicirt, 
und  das  Strahlenbüschel  Fi^DiE^L)  mit  D^E^  in  Di E^L  schneidet 
Die  so  erhaltenen  beiden  Punktreihen  sind  perspektiv;  ihr  Projek- 
tionsmittelpunkt ist  der  Schnittpunkt  L'  von  D'D^  =  d  und  von 
PjD;  daher  entspricht  dem  J'  der  Schnittpunkt  J  von  D^E^  mit 
DV,  und  F^J  ist  der  gesuchte  vierte  Strahl;  die  Tangente  F^T 
der  k^  ist  dann  ||  Pie7.  —  Die  Konstruktion  ist  daher  die  folgende: 
Man  ziehe  die  Tangente  an  k^  in  Pj  bis  L'  auf  D^Dg,  verbinde 
den  Schnittpunkt  N  von  D^Dg  und  E^E^  mit  P,  und  schneide  diese 
Linie  mit  E^F^  in  J',  ziehe  D'J'  bis  e7  auf  D^Ei,  so  ist  die  Tan- 
gente F^T^FiJ. 

Ein  eweites  Verfahren  gewinnt  man  durch  Anwendung  des  all- 
gemeinen Verfahrens  der  ähnlichen  Figur  (I,  204).  Man  nimmt  auf 
der  Tangente  PjD  der  %  einen  passenden  Punkt,  etwa  L  auf  DiEi 
an,  zieht  F^R  ]  F^L,  dann  D^R  B  D^L  bis  iJ  auf  F^R  und  JS^S 
jl  JSiD  bis  8  auf  P,22,  zieht  RT\\  D^F^,  ST^E^F^,  so  ist  T  ein 
Punkt  der  Tangente.  Man  überzeugt  sich  von  der  Richtigkeit,  wenn 
man  L  auf  der  Tangente  unendlich  nahe  an  P^  rücken  läßt;  da« 
durch  gehen,  indem  die  Figur  P^iZ 5 T  ähnlich  und  parallel  zu  ihrer 


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458  X,  426—427.    Die  windschiefen  Flächen. 

gezeichneten  Anfangsgestalt  bleibt;  JD^RT  und  E^ST  in  gerade 
Linien  bezw.  parallel  zu  D^L  und  E^L  {L  unendlich  nahe  bei  P,) 
über,  und  T  in  den  zu  P,  benachbarten  Punkt  der  h^, 

426.  Die  Asymptoten  können  nicht  unmittelbar  nach  den  ge- 
gebenen Verfahren  bestimmt  werden.  Die  mit  den  Asymptoten  der 
Hyperbel  Ic^  parallelen  Asymptoten  der  h^  erhält  man,  wenn  man 
die  D^E^  durch  die  Punkte  V"  und  W"  in  demselben  Verhältnisse 
teilt,  in  welchem  B^E^  durch  die  Asymptoten  der  Hyperbel  \  in 
V  und  W  geteilt  ist,  und  durch  V'\  W"  die  Asymptoten  der  h^ 
bezw.  parallel  zu  den  durch  F,  W  gehenden  der  \  zieht.  Für  diese 
Teilung  projicirt  man  F,  W  aus  dem  Schnittpunkte  N  von  d  und  e 
auf  die  zu  B^E^  Parallele  D^JR  nach  F',  TT',  und  zieht  dann  FF" 
und  TF'TF"  H  6.  Denn  denkt  man  sich  durch  D,,  E^  Gerade  nach 
dem  zu  einem  unendlich  fernen  Punkte  der  \  benachbarten  Punkte 
der  \  gelegt,  welche  Gerade  von  der  Richtung  einer  Asymptote 
unendlich  wenig  abweichen,  und  dann  durch  Dg,  E,^  bezw.  Parallele 
Bu  ihnen  gelegt,  so  bilden  die  ersteren  Linien  mit  By^E^  und  die 
letzteren  mit  einer  Parallelen  zu  B^E^  ähnlidie  Figuren,  und  die 
durch  die  unendlich  fernen  Eckpunkte  dieser  Dreiecke  gehenden 
(parallelen)  Asymptoten  von  \  und  \  teilen  die  By^E^^  und  die 
Parallele  zu  ihr,  und  dann  auch  die  B^E^,  in  demselben  Verhältnisse. 
—  Die  mit  B^  E^  parallele  Asymptote  erhält  man,  wenn  man 
B^E^  durch  V"  in  demselben  Verhältnisse  teilt,  wie  E^B^  durch 
Ij  in  TJ  geteilt  ist,  und  durch  U'"  die  Parallele  zu  B^E^  zieht. 
U'"  erhält  man,  wenn  man  JJ  aus  JSf  auf  D^P  in  TJ'  projicirt, 
V'ü"\\e  bis  ü"  ^Mi  B^E^  zieht, 'und  B^TT"  —  —  E^ü"  macht 
Denn  ist  X  der  dem  ü  benachbarte  Punkt  der  Ä,,  X'  der  dem  zu- 
gehörigen unendlich  fernen  Punkte  der  h^  benachbarte  Punkt  der 
Ä^,  so  sind  die  Strahlen  X'B^,  X'E^  und  die  Asymptote  X'Ü'" 
bezw.  parallel  zu  XD,,  XE^y  B^E^]  daher  schneiden  die  ersteren 
drei  Strahlen  auf  jeder  sie  in  endlichem  Abstände  schneidenden  Ge- 
raden, insbesondere  auf  D^Pg  Stücke  Pg  J7%  U'^'E^  ab,  die  sich 
wie  Pj  ü:  UBi  verhalten.    Hieraus  folgt  die  Konstruktion. 


b)  Die  Raumkurve  vierter  Ordnung  zweiter  Art. 

427.  Es  gibt  zwei  Arten  von  Baumkurven  vierter  Ordnung  A^; 
diejenige  Kurve  fc^*,  welche  wir  als  Schnittlinie  zweier  Flächen 
zweiten  Grades  kennen  gelernt  haben,  durch  welche  unendlich  viele 
solcher  Flächen  (ein  Büschel)  gehen,  und  welche  erster  Art  heißt, 
und  diejenige  zweiter  Art  Jc^\  durch  welche  nur  eine  Fläche  zweiten 
Grades  geht,   und  welche  nur  als  der  teilweise  Schnitt  einer  Fläche 


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X^  427.  Regelfläche  8.  Grades  und  Ramnkurvc  4.  Ordnuug  2.  Art         459 

zweiter  mit  einer  Fläche  dritter  Ordnung  erhalten  werden  kann*). 
Auch  diejenigen  erster  Art  kann  man  (in  anderer  Weise)  als  den 
teilweisen  Schnitt  einer  Fläche  zweiter  mit  einer  Fläche  dritter 
Ordnung  erhalten.     Es  gilt  nämlich  der 

ScUjs.  Durch  jede  Kurve  vierter  Ordnung  kann  man  wenigstens 
eine  Fläche  zweiter  Ordnung  F*  und  unendlich  viele  Flächen  dritter 
Ordnung  F*  legen. 

Denn  legt  man  durch  9  Punkte  der  Kurve  Ä*  die  durch  die- 
selben bestimmte  Fläche  F^,  so  enthält  dieselbe  die  Js^  ganz,  weil 
sie  mehr  als  4  . 2  ««  8  Punkte  derselben  enthält  (387^  9));  und  legt 
man  durch  13  Punkte  der  k^  und  6  willkürliche  Punkte  die  durch 
diese  19  Punkte  bestimmte  F'  (387, 7)),  so  enthält  sie  die  Jc^  ganz,  weil 
sie  Ton  ihr  mehr  als  4  . 3  «=  12  Punkte  enthält.     Es  gilt  nun  der 

Satjs.  Jede  Baumkurve  vierter  Ordnung  k^  kann  als  der  teilweise 
Schnitt  einer  Fläche  Zureiter  F*  und  einer  Fläche  dritter  Ordnung  F* 
erh(Uten  werden.  Sie  ist  von  der  ersten  Art  (Ä;/),  wenn  der  andere 
Teü  des  Schnittes  eine  solche  Linie  zweiter  Ordnung  ist,  daß  man  sie 
als  ebenen  Schnitt  einer  Fläche  zweiter  Ordnung  erhalten  kann  (ein 
Kegelschnitt  oder  zwei  getrennte  oder  zusammenfällende  Gerade  einer 
Ebene);  sie  ist  von  der  zürnten  Art  (k^"^),  u)enn  der  andere  Teü  aus 
zweien  nicht  in  einer  Ebene  liegenden  oder  aus  der  Doppelgeraden  der 
F'  besteht,  wobei  die  F^  eine  Segelfläche  ist 

Bew,  Erster  Fall.  Haben  eine  durch  die  Kurve  Ä*  gelegte 
Fläche  zweiter  und  eine  Fläche  dritter  Ordnung  F*  und  F*  außer  Jfc* 
noch  eine  ebene  Linie  zweiter  Ordnung  1^  gemein,  also  einen  eigent- 
lichen Kegelschnitt,  oder  zwei  getrennte  Gerade  (welche  von  F^  zwei 
Erzeugende,  die  sich  auf  der  Doppelgeraden  d  schneiden,  oder  eine 
Erzeugende  und  die  einfache  Leitlinie  e  sein  können),  oder  zwei  in 
einer  Ebene  zusammenfallende  Gerade  (d.  i.  eine  Gerade,  entlang 
welcher  die  F'  und  F*  eine  gemeinschaftliche  Berührungsebene  be- 
sitzen, so  daß  diese  Gerade  eine  Kante  der  F^  und  daß  F^  ein 
Kegel  sein  muß),  so  enthält  die  Ebene  dieser  Linie  zweiter  Ordnung 
außer  ihr  von  der  F^  noch  eine  Gerade  g.    Eine  zweite  durch  diese 


♦)  Sie  wurde  zuerst  gefanden  von  Sdlmon  und  mitgeteilt  in  seiner  Ab- 
handlung f,On  the  Classification  of  curves  of  double  curvature**  (Cambridge  and 
Dublin  Math.  Joum.,  B.  5,  1850,  S.  23),  und  dann  von  Steiner^  der  sie  für  neu 
hielt,  und  veröffentlichte  in  seiner  Abhandlung  „Über  Flächen  dritten  Grades** 
(Grelles  Joum.  f.  r.  u.  a.  Math.,  B.  58,  1857,  8.  138);  sie  wurde  eingehend  un- 
tersucht von  Herrn  Cretnona  in  seiner  „Memoria  intomo  alla  curva  gobba  del 
quart  ordine,  per  la  quäle  passa  una  sola  superfieie  di  secondo  grado**  (Ab- 
handlungen der  Akad.  v.  Bologna,  1861,  und  Annali  di  matematica,  B.  4,  1861, 
8.  71);  endlich  erörtert  von  Herrn  Weyr  in  seinem  schon  angefahrten  Buche 
über  die  Begelfl&cheu  dritter  Ordnung,  1870,  8.  82. 


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460  X,  427.    Die  windBchiefen  FlächeiL 

Gerade  gelegte  Ebene  schneidet  die  F^  in  einer  anderen  Linie  zweiter 
Ordnung  h^\  Durch  fünf  Punkte  derselben  und  durch  vier  Punkte 
der  y^  lege  man  eine  zweite  Fläche  zweiter  Ordnung  F^'.  Dieselbe 
schneidet  die  F^  in  einer  Kurve  vierter  Ordnung  erster  Art  Ä*',  und 
diese  bestimmt  ein  Flächenbüschel  zweiter  Ordnung.  Die  i^  und  Tf^^ 
welche  beide  auf  F^  liegen ^  haben  acht  Punkte  gemein,  nämlich 
die  4.2  Schnittpunkte  der  A^  mit  der  F^'.  Nun  lege  man  durch  g 
eine  dritte  Ebene;  dieselbe  trifft  die  F^,  außer  in  g^  in  einer  Linie 
zweiter  Ordnung,  und  durch  einen  ihrer  außerhalb  g  liegenden  Punkte 
und  durch  die  T^'  lege  man  die  Fläche  des  Büschels;  es  ist  dann 
eine  projektive  Beziehung  zwischen  dem  Flächenbüschel  T^'  and 
dem  Ebenenbüschel  g  hergestellt,  indem  drei  Flächen  des  Büschels 
Ä*'  bezw.  denjenigen  drei  Ebenen  des  Büschels  g  als  entsprechend 
zugewiesen  sind,  mit  welchen  sie  je  einen  Kegelschnitt  oder  einen 
Punkt  eines  solchen  gemein  haben.  Schneidet  man  nun  alle  Flächen 
(zweiter  Ordnung)  des  Büschels  Ä*'  mit  ihren  entsprechenden  Ebenen 
des  Büschels  g^  so  bilden  alle  Schnittlinien  (zweiter  Ordnung)  eine 
Fläche  F^',  und  diese  ist  von  der  dritten  Ordnung,  weil  sie  von 
jeder  Geraden  h  in  drei  Pimkten  geschnitten  wird.  Denn  das  Flächen- 
büschel 1^'  schneidet  auf  %  eine  involutorische,  und  das  Ebenen- 
büschel g  eine  damit  projektive  einfache  Punktreihe  ein  (299),  und 
es  gibt  drei  Punkte  der  h,  in  welchen  entsprechende  Punkte  beider 
Reihen  zusammenfallen  (297,  4));  dieselben  sind  aber  die  Schnitt- 
punkte der  Ä  mit  der  F''.  Diese  Fläche  enthält  die  Grundlinie  t*' 
des  Flächenbüschels  Ä*',  weil  jeder  Punkt  derselben  in  einer  Ebene 
des  Büschels  h  und  in  der  entsprechenden  des  Büschels  lf^\  nämlich 
in  jeder  Fläche  desselben,  liegt.  Die  Fläche  F^'  fällt  aber  mit  der 
F^  zusammen,  da  sie  mit  ihr  19  Punkte  gemein  hat,  nämlich  die 
acht  gemeinsamen  Punkte  des  Tf^  und  A^',  je  fünf  auf  jedem  der 
beiden  ersten  Linien  zweiter  Ordnung,  und  einen  auf  der  letzten 
Linie  zweiter  Ordnung,  in  welchen  die  drei  gelegten  Ebenen  des 
Büschels  g  die  F'  schneiden.  Dann  fallen  aber  auch  A^  und  2^'  in 
einander,  weil  sie  die  Schnittlinien  von  F*  bezw.  mit  F^  und  F*'  sind, 
und  weil  F'  und  F^'  zusammenfallen.  Daher  gehen  durch  i*  alle 
Flächen  (zweiter  Ordnung)  unseres  mit  Ä^'  bezeichneten  Büschels. 

Zweiter  Fall.  Haben  die  durch  die  Ä*  gelegten  Flächen  F*  und 
F'  außer  JI^  noch  zwei  nicht  in  einer  Ebene  liegende  Gerade  oder 
die  Doppelgerade  der  F'  gemein,  so  muß  F^  eine  Regelfläche 
sein  und  die  gemeinsamen  Geraden  sind '  zwei  Erzeugende  dieser 
Flächen  von  derselben  Schaar,  oder  eine  einzelne  Erzeugende.  Jede 
Erzeugende  der  F^  von  derselben  Schaar,  wie  die  gemeinsamen  Ge- 
raden, schneiden  diese  Geraden  nicht;  ihre  drei  Schnittpunkte  mit 


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X,  427—428.  Regelfläohe  8.  Grades  und  Ranmkorve  4.  Ordnung  2.  Art.     461 

P'  gehören  daher  der  Schnittlinie  Tc^  an.  Jede  Erzeugende  der  P* 
von  der  anderen  Schaar,  wie  die  gemeinsamen  Geraden^  schneidet 
diese  Geraden  in  zwei  getrennten  Punkten  oder  in  einem  Punkte 
der  Doppelgeraden ^  der  als  Punkt  der  F^  doppelt  zählt;  daher  liegt 
von  den  drei  Schnittpunkten  der  Erzeugenden  mit  P*  nur  einer  auf 
1^.  Man  kann  daher  durch  'kf'  keine  weitere  Fläche  zweiten  Gra- 
des P*'  legen,  weil  die  je  drei  Schnittpunkte  jener  Geraden  mit 
Ä*  zugleich  ihre  Schnittpunkte  mit  dieser  P*'  sein  müßten,  was  un- 
möglich. Die  Schnittkurve  ist  also  von  der  zweiten  Art  {lt^)j  wie 
behauptet  war. 

428.  Wir  gä>en  nun  die  wesentlichsten  unterscheidenden  Eigen- 
schaften der  Ratmkurven  vierter  Ordnung  erster  und  eweiter  Art  (Jc^^ 
Äj*)  an: 

1)  Durch  jede  1/  können  unendlich  viele  Flächen  zweiter  Ord- 
nung P^,  darunter  unendlich  viele  Begelflächen  gelegt  werden;  eine 
solche  Regelfläche  ist  bestimmt  durch  Jcj^  und  einen  Punkt  auf  einer 
die  k^^  zweipunktig  schneidenden  Geraden.  Denn  dann  muß  die 
ganze  Gerade  in  P^  liegen,  also  diese  eine  Regelfläche  sein. 

2)  Durch  eine  Ä^*  können  unendlich  viele  Flächen  dritter  Ord- 
nung P^  gelegt  werden,  aber  im  allgemeinen  keine  solche  Regelfläche 
P'.  Denn  eine  Regelfläche  dritter  Ordnung  P^  hat  eine  Doppelgerade 
d,  und  diese  trifiFt  eine  durch  Ä/  gehende  P*  in  zwei  Punkten.  Die 
gemeinsame  Linie  zweiten  Grades,  welche  außer  Ä/  der  P*  und  P* 
gemein  ist,  und  deren  Ebenfe  die  d  nicht  enthalten  kann  (vor.  Nr.,  1)), 
geht  durch  einen  dieser  Punkte,  der  andere  derselben  ist  daher  ein 
Doppelpunkt  der  Ä;/.  Wenn  daher  k^^  keinen  Doppelpunkt  besitzt, 
kann  keine  Regelfläche  dritter  Ordnung  durch  sie  gelegt  werden. 
Im  Falle,  daß  P*  ein  Kegel  (vor.  Nr.,  1)),  hat  wirklich  Ä/  einen 
Doppelpunkt  in  einem  Euspidalpunkte  der  P^ 

3)  Durch  jede  kg^  kann  nur  eine  Fläche  zweiten  Grades  P^ 
gelegt  werden  und  diese  ist  eine  Regelfläche  (vor.  Nr.,  2)). 

4)  Eine  k^*'  wird  durch  jede  Erzeugende  der  einen  Schaar  der 
(einzigen)  durch  sie  gehenden  Regelfläche  zweiten  Grades  in  einem, 
durch  jede  Erzeugende  der  anderen  Schaar  in  drei  Punkten  getroffeii. 
Durch  jeden  Punkt  der  igS  ^^^^  ^^^  ^^f  ^^^  Regelfläche  P^  liegt,  geht 
daher  eine  dreipunktige  Sehne  der  A^^  (nicht  zwei,  weil  sonst  in  der 
Ebene  dieser  zweien  fünf  Punkte  einer  Linie  vierter  Ordnung  k^^ 
lägen),  und  die  P'  hat  zur  einen  Schaar  ihrer  Erzeugenden  die  Ge- 
samtheit der  dreipunktigen  Sehnen  der  k^^. 

5)  Durch  eine  k^^  können  unendlich  viele  Regelflächen  dritter 
Ordnung  P'  gelegt  werden.  Man  erhält  eine  solche,  wenn  man 
durch  eine  dreipunktige  Sehne  d  der  k^'  als  Aze  ein  involutorisches 


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462  X,  428.    Die  windschiefen  Flächen. 

Ebenenbüschel,  und  darch  eine  zweipunktige  Sehne  e  der  h^  als 
Axe  ein  einfaches  Ebenenbüschel  legt,  und  beide  Büschel  dadurch 
projektiv  auf  einander  bezieht,  daß  man  durch  fünf  weitere  Punkte 
der  Äg*  entsprechende  Ebenen  führt  (297,  3)).  Beide  Büschel  erzeugen 
dann  durch  die  Schnittlinien  entsprechender  Ebenen  eine  Regel- 
fläche  dritter  Ordnung  P^  (417),  und  diese  enthält  die  k^  ganz, 
weil  sie  von  ihr  2  .  3  +  2  +  5  =  13  Punkte  enthält  (387, 9));  dabei 
sind  die  drei  Punkte  auf  der  Doppellinie  d  der  F^  doppelt  gezählt. 

6)  Jede  Erzeugende  einer  durch  eine  \^  gelegten  Regelfläche 
dritter  Ordnung  P^  schneidet  die  h^  in  zwei  oder  in  einem  Punkte, 
je  nachdem  die  P'  mit  der  (einzigen)  durch  h^  gehenden  Regel- 
fläche zweiter  Ordnung  P*  außer  h^  zwei  getrennte  (sich  nicht 
schneidende)  Gerade,  oder  eine  Doppelgerade  (der  P^)  gemein  hat; 
denn  im  ersteren  Falle  sind  die  letzteren  Geraden  Erzeugende  der  P^  und 
der  P*,  welche  von  den  anderen  Erzeugenden  der  P^  nicht  getroffen 
werden,  so  daß  deren  zwei  Schnittpunkte  mit  P*  auf  Ä^*  liegen ;  im 
zweiten  Falle  treffen  die  Erzeugenden  der  P^  deren  Doppelleitlinie, 
welche  der  P'  einfach  angehört,  in  einem  Punkte,  so  daß  nur  ihr 
zweiter  Schnittpunkt  mit  P^  auf  Ic^  liegt.  Im  ersten  Falle  schneidet 
die  einfache  Leitlinie  e  der  P*  die  Tc^  nicht,  im  zweiten  Falle  in 
zwei  Punkten.  Denn  eine  durch  e  gelegte  Ebene  enthält  noch  zwei 
Erzeugende  der  P3,  von  denen  jede  die  k^  im  ersten  Falle  in  zwei, 
im  letzten  Falle  in  einem  Punkte  schneidet;  woraus  die  Behauptung 
folgt,  da  die  Ebene  vier  Punkte  der  h^  enthält. 

7)  Eine  Tc^  kann  durch  drei  verwandte  Ebenenbüschel  erzeugt 
werden.  Denkt  man  nämlich  h^^  als  Schnitt  zweier  Regelflächen  P^ 
und  P*  entstanden,  welche  außerdem  die  Doppelgerade  d  der  P* 
gemein  haben,  so  legt  man  durch  eine  dreipunktige  Sehne  d  der 
h^  ein  involutorisches,  und  durch  eine  zweipunktige  e  ein  einfaches 
Ebenenbüschel,  welche  man  durch  fünf  weitere  Punkte  der  k^  pro- 
jektiv aufeinander  bezieht,  und  femer  durch  eine  weitere  dreipunktige 
Sehne  d'  der  h^  ein  Ebenenbüschel,  welches  man  durch  drei  von 
jenen  fünf  Punkten  projektiv  auf  dasjenige  d  bezieht,  so  bilden  die 
Schnittpunkte  je  dreier  entsprechenden  Ebenen  der  drei  Büschel  die 
Kurve  h^.  Denn  die  Büschel  d  und  e  erzeugen  eine  P^,  welche  die 
Tc^  enthält  (5)),  und  d  und  d'  erzeugen  eine  Regelfläche  P*,  welche 
ebenfalls  die  Tc^  enthält,  weil  sie  3  +  3  +  3  =  9  Punkte  derselben 
enthält  (>  4  •  2).  Daher  ist  ig*  der  Schnitt  von  P*  mit  P*,  und  es 
gehen  durch  jeden  Punkt  der  h^  entsprechende  Ebenen  der  Büschel 
d  und  Cy  sowie  der  d  und  d',  daher  auch  derjenigen  e  und  d'\ 
demnach  erzeugen  auch  die  ein -zweideutigen  Ebenenbüschel  e  und  d' 
eine  Regelfläche  dritter  Ordnung,  welche  durch  h^^  geht. 


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Fig.  176. 


X,  428—429.  Regelfläcbe  3.  Grades  and  Haamkarve  4.  Ordnoog  2.  Art     463 

8)  Eine  "k^  hat  weder  einen  Doppel-  noch  einen  Rückkehrpunkt. 
Denn  eine  durch  einen  solchen  Punkt  und  eine  dreipunktige  Sehne 
der  Kurve  gelegte  Ebene  würde  sie  in  fünf  Punkten  schneiden 'fe). 

429.  Die  Raumkurren  vierter  Ordnung  kann  man  nach  dem  Reell- 
oder Imaginärsein^  dem  Getrenntsein  oder  Zusammenfallen  einiger 
oder  aller  von  ihren  vieren  unendlich  fernen  Punkten  unterscheiden. 

Aufg.  Eine  Baumkurve  vierter  Ordnung  aweiter  Art  c  darzustellen 
als  teilweisen  Schnitt  einer  Regelfläche  dritten  Grades  F'  mit  einer 
Eegdfläche  zweiten  Grades  P*,  wenn  beide  die  Doppelgerade  d  der  F^ 
gemein  haben.  Es  soll  der  Fall  gewählt  werdeny  in  welchem  die  vier 
unendlich  fernen  Punkte  in  einen  Punkt  zusammenfallen. 

Aufl.  Die  Darstellung  geschehe  mittelst  zweier  parallelen  Spur- 
und  Projektionsebenen  F|  und  F,. 

1)  Die  Begdfläche  F^  habe  zu  Leitlinien  einen  in  der  F|  lie- 
genden Kreis  k^  mit  dem  Mittelpunkte  M,  die  Doppelgerade  d,  welche  Fig.  i76. 
den  Äj  schneidet  und  J_  Fj 
stehe  y  so  daß  sie  sich  in 
einen  Punkt  D  (des  k^) 
projicirt,  und  die  einfache 
Leitgerade  e,  welche  zu 
Spuren  jE^i^J^g  habe;  dabei 
liege  El  im  Inneren  von. 
kl  auf  DMy  und  es  sei 
EiE^±DM.  Von  einer 
Erzeugenden  der  Fläche 
erhalt  man  die  beiden 
Spuren  Pj  (auf  k^)  und  P,, 
wenn  man  je  eine  Ebene 
durch  d  und  e  legty  welche 
sich  in  einem  Punkte  P] 

des  kl  schneiden;    ihre   zweiten  Spuren  BPi  P^  und  E^P^^EiPi 
schneiden  sich  dann  in  dem  Punkte  P^  der  zweiten  Spur  k^  der  F^ 

Die  Tangente  der  k^  in  E^  entspricht  dem  Strahle  DE^,  ist  also 
[EiG,  wenn  G  der  Schnittpunkt  von  DE^  mit  t,;  die  Tangenten 
der  %2  in  D  entsprechen  dem  Strahle  E^D^  sind  also  DF  und  DF', 


';y-^v»i^ 


*)  Eb  sei  noch  erwähnt,  daß  aus  jedem  Ponkte  des  Baumes  an  eine  ib,^ 
zwei  Eweipnnktige  Sehnen  gesogen  werden  können  (226),  an  eine  Ä;,^  deren 
drei.  Jede  Projektion  einer  X;/  hat  daher  zwei,  diejenige  einer  k^^  drei  Doppel- 
punkte. Wir  unterlassen  den  Beweis  dieses  Satzes,  weil  er  mittelst  der  Plücker- 
sehen  Formeln  (zwischen  den  Anzahlen  der  Singularitäten  einer  ebenen  Kurve, 
ihrer  Ordnnngs-  und  Elassenzahl,  erweitert  von  Herrn  Cayley  för  nnehene 
Kurven)  erbracht  wird,  deren  Herleitnng  nns  zu  weit  führen  würde. 


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464  X,  429.    Die  windschiefen  Flächen. 

wenn  die  zu  ^^D  Parallele  E^F  den  i^  in  F  und  F'  trifft.  Die 
Tangente  der  k^  in  einem  dllgemeinen  Punkte  bestimmt  man  nach 
dem  ersten  Verfahren  der  Nr.  425,  indem  man  die  Figur  als  die 
Projektion  unserer  Regelfläche  dritten  Grades  F*  betrachtet,  wobei 
wir  auf  die  Grundanschauung  zurückgehen,  weil  hier  d  als  Punkt 
erscheint.  Die  Berührungsebenen  der  F'  in  den  Schnittpunkten  der 
Erzeugenden  PiP^  ^^^  den  Leitlinien  J,  e,  \,  d.  i.  in  D,  JB,  P^ 
haben  zu  ersten  Spuren  bezw.  P^  2),  P^  E^ ,  die  Tangente  Pj  H  des 
\ ;  diese  Linien  schneiden  die  DE^  in  den  Punkten  D,  E^,  H]  deren 
Reihe  ist  projektiv  und  perspektiv  mit  der  Reihe  der  Berührungs- 
punkte D,  E,  P^;  der  Perspektive  Mittelpunkt  beider  Reihen  ist 
der  Schnittpunkt  H'  von  E^E  mit  -ffP^;  dem  vierten  Berührungs- 
punkte Pg  entspricht  daher  auf  DE^  der  Schnittpunkt  /  mit  H'P^ ; 
daher  ist  P^J  die  erste  Spur  der  Berührungsebene  in  Pj,  und  die 
damit  Parallele  P^T  ihre  zweite  Spur  oder  die  gesuchte  Tangente 
der  Äj  in  Pg. 

In  Anwendung  des  zweiten  Verfahrens  der  Nr.  425  zieht  man 
PgJB  H  Pi-ff,  zeichnet  einen  Strahl  aus  D,  etwa  DF^  (welcher  die 
zwei  parallelen  Strahlen  DiL,  B^B  der  Fig.  175  darstellt),  schnei- 
det dp;  mit  P^H  und  P^R  bezw.  in  L  und  ü,  zieht  E^S\E^L 
bis  iS  auf  Pjü,  so  ist  der  Schnittpunkt  T  von  JBr(||DPi)  und 
ST{\\E^P;)  ein  Punkt  der  Tangente.       . 

Für  die  Schnittpunkte  B,  B'  der  e  und  \j  welche  auch  der  t, 
angehören,  bleibt  das  zweite  Verfahren  brauchbar.  Kürzer  aber 
erhält  man  die  Tangente  in  B  parallel  zu  ^i-4,  wenn  Ä  der  Schnitt- 
punkt der  BB  mit  der  zur  Tangente  des  \  in  B  Parallelen  E^A. 
Entsprechend  für  B'  ||  E^A\  Man  beweist  dies  unmittelbar  nach 
dem  Verfahren  der  ähnlichen  Figur,  indem  man  beachtet,  daß  der 
Strahl  BB  und  die  Tangenten  der  \  und  ä:^  inP,  sowie  deren  Parallele 
aus -4,  auf  einem  aus  E^  (oder  aus  E^  benachbart  zu  E^B  gezogenen 
Strahle  Stücke  abschneiden,  welche  sich  wie  BE^ :  BE^  verhalten. 

Läßt  man  Pj  nach  D  i-ücken,  so  erhält  man  den  Punkt  P,  der 
k^  durch  BF^  als  Tangente  an  \  und  E^F^  ||  E^B,  also  auch  durch 
BF^  ^  E^E^.  Die  Tangente  in  F^  steht  J.  F^G^  (C^  =  BE,,  k,). 
Denkt  man  sich  nämlich  den  zu  B  benachbarten  Punkt  Q^  der  k^y 
so  erhält  man  daraus  den  zu  F^  benachbarten  Punkt  Q^  der  A,  mit- 
telst der  Geraden  BQ^Q^  und  E^Q^  B  -£^iöi.  Nun  bilden  die  auf- 
einander senkrechten  Linien  BQ^^  und  G^Q^^  bezw.  mit  BF^  und  G^B 
die  gleichen  unendlich  kleinen  Winkel  q) ;  daher  ist  beim  Übergang 
von  F^  nach  Q^  das  Fortschreiten  auf  F^E^  =  BF^ .  q),  dasjenige 
auf  BF^  ^^  BQi  =  GiB  .(p,  und  deswegen  ist  das  aus  F^Q^  und 
jenen  Portschreitungsstrecken   gebildete  Dreieck   ähnlich  mit  dem- 


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X,  429—430.  Regelfläche  3.  Grades  und  Eaamkorve  4.  Ordnung  2.  Art.     465 


jenigen  F^DC^f  und  die  entsprechenden  Seiten  stehen  auf  einander 
senkrecht,  woraus  die  Konstruktion  folgt. 

Unsere  Kurve  Jc^  besitzt  nur  einen  reellen  tmendlich  fernen  Punkt, 
weil  der  Kreis  Jc^  keinen  solchen  enthalt  (424).  Die  Asymptote  für 
diesen  Punkt  läuft  H  DE^  und  muß  die  DE^,  und  daher  auch  die 
E^E^y  in  demselben  Verhältnisse  teilen ,  in  welchem  die  E^D  durch 
Ci  (auf  hl)  geteilt  wird  (426);  sie  geht  daher  durch  den  Punkt  U 
der  E^E^,  wenn  C^  U  |  DE^. 

430.  Um  nun  die  Regelfläche  F'  so  annehmen  zu  können,  daß 
die  Schnittlinie  c  von  F^  und  F^  gewisse  unendlich  ferne  Punkte  der 
F^  erhält,  müssen  wir  zunächst  die  unendlich  ferne  Kurve  der 
Fläche  F'  durch  den  sie  projicirenden  Kegel,  d.  h.  durch  emenBicht- 
heget  K^  der  F'  angeben.  Wir  erhalten  einen  Richtkegel,  wenn  wir 
von  den  beiden  ein -zweideutigen  Ebenenbüscheln  d,  e,  welche  die  F^ 
erzeugen,  den  einen,  e,  verschieben,  bis  seine  Axe  e  die  d  schneidet, 


Fig.  177. 


welchen    Schnittpunkt    wir    in    die  ^.      __  pig.  177. 

erste  Spur  D  der  d  legen  wollen; 
die  zweite  Spur  der  verschobenen  e 
ist  dann  F^{DF^  #  -£^1^2)-  Wir 
erhalten  von  der  zweiten  Spur  r, 
des  Richtkegels  einen  Punkt  P^, 
wenn  wir  einen  Strahl  DP^  mit  \ 
in  Pj  schneiden  und  F^P^  I  ^1^1 
bis  Pg  auf  DP^  ziehen,  r^  ist  daher 
auch  die  zweite  Spur  einer  Regel- 
fläche dritten  Grades,  welche  h^j  d 
und  E^F^  zu  Leitlinien  hat.  r^  geht 
durch  die  Schnittpunkte  JST,  K'  von 
E^F^  mit  i|.  Die  Tangenten  der 
r,  in  ihrem  Doppelpunkte  D  laufen 
nach  den  Schnittpunkten  der  E^E^ 

mit  \j  diejenige  in  ihrem  einfachen  Punkte  jP^  läuft  ||  DE^.    DF^ 
ist  eine  Symmetrieaxe  der  r,. 

Die  Tangente  der  r,  in  einem  allgemeinen  Punkte  kann  nach 
den  beiden  Verfahren  der  vor.  Nr.  gefunden  werden.  Nach  dem 
ersten  Verfahren  beachtet  man,  daß  die  Berührungsebene  des  Richt- 
kegels nach  der  Erzeugenden  DP^  parallel  ist  mit  der  Berührungs- 
ebene der  F*  in  dem  unendlich  fernen  Punkte  der  parallelen  Er- 
zeugenden. Man  schneidet  daher  die  Tangente  des  h^  in  P^  mit 
El  E^  in  IT,  zieht  H'J  nach  dem  unendlich  fernen  Punkte  der 
BP^  oder  |  DPj  bis  J  auf  DE^ ;  dann  ist  die  Tangente  P^T\  JP^. 
Nach  dem  tsweUen  Verfahren  ersetzt  man  nur  E^  der  vor.  Nr.  durch 

Wiener,  Lehrbacb  der  d»r8tellenden  Geometrie,  n.  30 


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466  X,  430—481.    Die  windschiefen  Flächen. 

F^.  Man  schneidet  daher  F^H'  mit  DF^  in  i,  zieht  P^B  \  P^H' 
bis  R  auf  DF^,  F^S  H  E,L  bis  S  auf  P^ü,  UT  ||  DP^,  ST  |  J;P„ 
so  ist  Pg  T  die  Tangente.  —  Die  Asymptote  der  r,  läuft  |  i) JS^  und 
muß  die  DF^^  daher  auch  die  E^E^y  in  demselben  Verhältnisse 
teilen y  in  welchem  J?|D  durch  C7|  geteilt  wird;  sie  geht  daher 
durch  den  früher  erhaltenen  Punkt  U  von  E^E^,  für  welchen  C,  CT 
II D^,  ist. 

Die  Tangenten  in  K,  K  (E^F^^hi)  erhält  man  nach  dem  zwei- 
ten Verfahren  oder  kürzer  nach  dem  besonderen  Verfahren  der  vor. 
Nr.  für  die  Punkte  B,  B'  der  Fig.  176.  Man  schneidet  danach  für 
E'  die  DK'  mit  -F,  F'  (||  Tangente  des  k^  in  K')  in  T,  so  ist  die 
Tangente  in  K'  |  E,  V\ 

431.  Soll  die  Begelfläche  zweiten  Grades  F'  so  angenommen 
werden,  daß  die  vier  unendlich  fernen  Punkte  der  Schnittkurve  c 
von  F*  und  F*  gegebene  Punkte  der  F^  sind,  so  muß  der  Richt- 
kegel K*  der  F*,  wenn  er  koncentrisch  zu  K'  gelegt  wird,  mit  K' 
die  nach  diesen  unendlich  fernen  Punkten  laufenden  Erzeugenden 
gemein  haben,  während  er  mit  ihm  die  Parallele  zur  Doppelgeraden 
d  der  F^  schon  nach  der  Annahme  der  Nr.  429  gemein  hat.  Durch 
die  hiermit  gegebenen  fünf  Erzeugenden  ist  dann  der  Kegel  zweiten 
Grades  bestimmt,  und  ebenso  seine  zweite  Spur  s^  durch  D  und 
die  vier  Punkte  der  zweiten  Spur  r,  des  K^,  durch  welche  jene 
vier  Erzeugenden  gehen*). 

Sollen  nun,  wie  in  unserer  Aufgabe  vorausgesetzt  ist,  die  vier 
unendlich  fernen  Punkte  der  c  zusammenfallen,  so  muß  man  den 
Kegelschnitt  8^  so  bestimmen,  daß  er  durch  D  geht  und  die  Kurve  r, 
in  dem  jenem  unendlich  fernen  Punkte  entsprechenden  Punkte,  etwa 
P2,  vierpunktig  berührt.  Man  kann  dies  durch  eine  Pehlerkurve  so 
ausführen,  daß  man  aus  irgend  einem  Punkte  T  der  Tangente  PgT 
der  r^  in  Pg  Strahlen  zieht,  welche  die  r^  in  je  drei  Punkten  schnei- 
den, deren  je  zwei  nahe  bei  P^  liegen;  daß  man  zu  jedem  Strahle 
einen  Kegelschnitt  bestimmt,  welcher  durch  die  zwei  letztbezeich- 
neten Schnittpunkte  des  Strahles  und  durch  D  geht,  und  die  P^T 
in  Pg  berührt;  und  daß  man  endlich  vermittelst  einer  Pehlerkurve 


'*)  Sind  von  den  vier  unendlich  fernen  Punkten  zwei  oder  alle  vier  ima- 
ginär, 80  sind  sie  paarweise  koxgogirt  und  je  auf  einer  reellen  (Geraden  g  ge- 
geben ,  welche  die  r,  nur  in  einem  reellen  Punkte  W  trifft.  Zieht  man  nun, 
indem  man  den  Mittelpunkt  P,  des  eindeutigen  Strahlenbüachels  durch  W  er- 
setzt denkt,  aus  W  zwei  Strahlen,  welche  die  r,  noch  in  je  zwei  reellen 
Punkten  schneiden,  projicirt  beide  Punktepaare  aus  dem  Doppelpunkte  D  in 
Punktepaare  auf  ^,  so  sind  die  Doppelpunkte  der  durch  die  letzteren  Paare 
auf  g  bestimmten  Involution  zwei  koujugirt  imagin&re  Punkte  der  r, . 


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X,  481—482.  Regelfläcbe  8.  Grades  und  Ranmkorre  4.  Ordnong  2.  Art.     467 

denjenigen  dieser  Kegelschnitte  ermittelt,  für  welchen  jener  Strahl 
in  TP,  fallt. 

Wählt  man  P,  im  Scheitel  F^  der  r^,  so  kann  man  leicht  eine 
genaue  Konstruktion  finden.  Weil  F^  D  eine  Symmetrielinie  oder  « 
Axe  der  r,,  so  ist  sie  auch  eine  solche  des  gesuchten  Kegelschnittes 
s^\  und  da  in  Pj  ^^^  Krümmungskreis  die  r^  und  s^  vierpunktig 
berührt,  so  hat  man  nur  den  Krümmungsmittelpunkt  K  von  r,  in 
P2  zu  ermitteln,  und  dann  den  s^  so  zu  bestimmen,  daß  er  auch 
ihm  zugehört.  Es  ist  aber  der  Krümmungshalbmesser  r  »«=  KF^ 
=  \  DNf  wenn  N  auf  DF^  durch  E^Nl  G^  Pg  eingeschnitten  wird. 
Denn  ist  Q^  ein  dem  P^  benachbarter  Punkt  der  rg,  und  ist  der 
Winkel  i^r  Sehne  Pg  Q^  mit  der  Tangente  PgPg  =  9?,  so  ist  der 
Krümmungshalbmesser  r  =  P2Ö2  •  29.  Der  Punkt  Q^  wird  aber 
aus  dem  zu  D  benachbarten  Punkte  Q^  des  Äj  gewonnen  durch  die 
Geraden  DQ^  Q2  und  durch  P^ft  II  ^i  Qi-  Da  nun  DQ^  ±  C^Q^y  so 
ist  F^Q^  =  DQi  {DF^ :  C^D)  und  9?  =  DQ^ :  E^D.  Hieraus  ergibt 
sich,  wie  behauptet, 

Den  Kegelschnitt  $2  erhält  man  nun  aus  seiner  einen  Axe  DF^ 
^2a,  welche  aber  nicht  notwendig  die  Hauptaxe  ist,  und  dem 
Krümmungsmittelpunkte  £*  für  P2,  wenn  man  die  Linie  der  anderen 
Axe  2  b  senkrecht  zur  ersteren  durch  deren  Mitte  0  zieht  und  mit 
einem  Kreise  schneidet,  der  aus  dem  Mittelpunkte  zwischen  0  und 
K  durch  Pg  gezogen  wurde.  Denn  es  ist  dann  6*  =  r .  a  (1, 250),  weil 
der  genannte  Kreis  über  den  aneinander  gesetzten  Strecken  F^K 
B»  r  und  a  als  Durchmesser  beschrieben  und  die  andere  Axe  durch 
den  Grenzpunkt  dieser  Strecken  senkrecht  zu  denselben  gezogen  ist. 

Weil  ^2  ein  eigentlicher  Kegelschnitt,  so  ist  F^  ein  einschaliges 
Hyperboloid]  bestünde  $2  aus  zwei  Geraden,  so  würde  der  Richt- 
kegel aus  zwei  Ebenen  bestehen  und  F*  ein  hyperbolisches  Para- 
bohid  sein.  Dies  tritt  ein,  wenn  P,  in  D  (statt  in  Pg)  fällt  Die 
zwei  Berührungsebenen  des  K'  entlang  d  sind  dann  die  Richt- 
ebenen der  F^ 

482.  Um  nun  die  Schnittkurve  c  der  Flächen  F^  und  F*  zu 
konstruiren,  genügt  es  in  Bezug  auf  F*,  ihre  drei  Leitlinien  Äj,  Fig.  i78. 
d,  e  anzugeben.  Von  F^  ist  infolge  der  Bedingungen  der  Aufgabe 
(429)  ermittelt,  daß  sie  durch  die  Grerade  d  gehen  und  DS2  der 
Fig.  177  zum  Richtkegel  haben  muß;  es  sind  also  3  +  4  Punkte 
derselben  bestimmt  (drei  auf  der  Geraden  d  und  vier  weitere  auf 
dem  unendlich  fernen  Kegelschnitte  k,  von  dem  ein  fünfter  Punkt 
auf  d  liegt),  also  noch  zwei  willkürlich  anzunehmen.     Verzeichnen 

80* 


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468 


X,  432.    Die  windßchiefen  FläcKen. 


wir  zunächst  die  zweite  Spur  Äg  der  P* ;  sie  geht  durch  D  und  ist 
ähnlich  und  ähnlich  gelegen  mit  s^  oder  geht  durch  deren  beide 
unendlich  ferne  (imaginäre)  Punkte.  Die  zwei  noch  willkürlich  an- 
zunehmenden Punkte  können  zur  vollständigen  Bestimmung  des 
Kegelschnittes  Äg  verwendet  werden.  Gleichwertig  mit  deren  An- 
nahme ist  die  willkürliche  Annahme  des  Mittelpunktes  0^  des  h^, 

Fig.  178. 


und  daher  auch  seiner  beiden  Axenlinien  ||  und  J^E^E^.  Zeichnet 
man  dann  in  Fig.  177  einen  Halbdurchmesser  OD'  des  r,  parallel 
zu  OgD  der  Fig.  178,  so  erhält  man  eine  Axe  des  \  durch  eine 
Parallele  aus  D  zu  D'D  der  Fig.  177;  entsprechend  die  andere; 
hierdurch  ist  h^  (oo  s^)  bestimmt.  Die  erste  Spur  h^  der  P*  ist  nun 
ebenfalls  bestimmt,  indem  jeder  Strahl  aus  D  zwischen  \  und  h^ 
gleich  der  zu  ihm  parallelen  Sehne  des  s^  aus  D  ist  Ebenso  ist  ein 
solcher  Strahl  zwischen  den  Mittelpunkten  0^  und  0^  der  h^  und 
h^  #  DO  der  Fig.  177,  woraus  sich  Oj  ergibt  A^  und  h^  schneiden 
sich  in  D  und  in  einem  zweiten  Punkte  D'  der  DE^.  Die  Punkte 
D  und  D'  sind   die  Projektionen   der  beiden   auf  P^   senkrechten 


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X,  432—  433.  Begelfl&che  3.  Grades  und  Raumkurve  4.  Ordnung  2.  Art.     469 

Erzeugenden  der  einen  und  der  anderen  Schaar  der  F^  Die  Erzeu- 
genden der  beiden  Schaaren  projiciren  sich  daher  als  die  Strahlen- 
büschel  D  und  B\ 

Man  erhält  einen  Punkt  P  der  Schnittkurve  c,  wenn  man 
durch  die  Doppelgerade  d  eine  Ebene  DPy^  legt;  dieselbe  enthält 
noch  je  eine  Erzeugende  von  F^  und  F'^  und  deren  gegenseitiger 
Schnittpunkt  ist  P.  Um  ihn  zu  erhalten,  legt  man  eine  Hilfsebene 
durch  jede  der  Erzeugenden.  Diejenige  durch  die  Erzeugende  der  F^ 
läßt  man  am  zweckmäßigsten  auch  durch  e  gehen;  ihre  Spuren 
sind  dann  E^F^  Q^  (P^  auf  Tc^  und  E^  Q^  J  E^P^.  Die  Erzeugende 
der  F*  ist  H^H^,  wenn  H^y  H^  die  Schnittpunkte  von  DP^  mit 
h^y  h^  sind,  und  die  durch  sie  zu  legende  Hilfsebene  gibt  man  durch 
zwei  passende  zu  einander  parallele  Spuren  H^  Q^  und  H^  Q^  an. 
Die  ersten  Spuren  der  Hilfsebenen  schneiden  sich  in  Q^,  die  zweiten 
in  Q^ ;  daher  ist  Q^  Q^  ihre  Schnittlinie  und  bestimmt  auf  DP^  den 
Punkt  P.  Die  Hilfsebenen  sind  passend,  w^in  sich  Q^,  Q^,  P  sicher 
ergeben.  Zieht  man  die  erste  Spur  H^Q^  durch  E^,  so  fallt  auch 
Qi  in  jBi  und  man  erspart  die  Linien  E^Q^  und  H^Qi]  doch  darf 
dies  nur  geschehen,  wenn  der  Schnittpunkt  P  dadurch  sicher  wird, 
was  in  unserem  Falle  nicht  stattfindet.  Die  Kurve  c  geht  dreimal 
durch  D,  weil  jede  Erzeugende  der  F*  von  der  Schaar,  zu  welcher  d 
gehört,  also  auch  d,  die  c  dreimal  schneidet  (428,  4));  femer  durch 
D'  in  Pj,  weil  durch  D'  der  Kegelschnitt  Ä^  der  F*  und  die  Er- 
zeugende DE^C^  der  F*  geht;  sie  wird  in  D'  von  \  berührt,  weil 
die  Berührungsebene  der  F*,  welche  die  räumliche  Tangente  der  c 
enthält,  sich  in  die  Tangente  der  \  in  D'  projicirt,  da  sie  diese 
und  die  sich  in  D'  projicirende  Erzeugende  der  F*  (J-Pi)  enthält. 
Ferner  geht  c  einmal  durch  die  Schnittpunkte  P,  B'  von  \  xmAE^E^^ 
weil  jeder  dieser  Punkte  die  Projektion  einer  Erzeugenden  der  F^  ist, 
imd  eine  solche  einen  Punkt  der  c  enthält  (428,  6));  femer  durch 
den  Schnittpunkt  G^  der  ersten  Spuren  \y  \y  und  durch  die  Q^}  ^2 
der  zweiten  Jc^,  A^,  welche  letztere  mittelst  der  Fig.  176  bestimmt 
sind,  nicht  aber  durch  die  Schnittpunkte  D  (Dj,  D,)  der  Spuren 
(s.  433).  Die  Zweige  DGj,  DB  vereinigen  sich  im  Endlichen,  die 
Zweige  BW,  BB'  laufen  gegen  den  unendlich  femen  Punkt  (ohne 
Asymptote). 

433.  Die  Tangente  der  c  in  P  ist  die  Schnittlinie  der  Beruh- 
rangsebenen  der  F'  und  der  F*  in  P  und  soll  mittelst  deren  ersten 
Spuren  bestimmt  werden.  Die  der  F^  findet  man  nach  Nr.  429, 
indem  man  die  Tangente  des  Jb^  in  P^  mit  E^E^  in  H\  und  darauf 
H'P  mit  BEy^  in  J  schneidet;  dann  ist  Py^J  jene  erste  Spur.  Die 
Erzeugenden  BPy  B'P  der  beiden  Schaaren  der  F*  treffen  die  \ 


470  X,  438.    Die  windschiefen  Flächen. 

bezw.  in  H^  und  K^,  daher  ist  H^K^  die  erste  Spur  der  BerQhrungs- 
ebene  der  ff*.  Schneiden  sich  F^J  und  H^Ky^  in  T,  so  ist  TT  die 
gesuchte  Tangente. 

Für  die  Punkte  B,  B'  der  c,  welche  in  den  Schnittpunkten 
der  E^E^  und  des  \  liegen ^  versagt  das  allgemeine  Verfahren.  In- 
dem die  durch  diese  Punkte  gehenden  Erzeugenden  der  F'  J_  Pj 
stehen;  gilt  dies  auch  von  den  Berührungsebenen  der  F'  in  den 
durch  B  und  B'  dargestellten  Raumpunkten  der  Schnittkurve;  die 
Spuren  und  Projektionen  dieser  Ebenen  sind  dann  die  Tangenten 
an  c.  Um  sie  zu  bestimmen,  muß  erst  die  räumliche  Lage  dieser 
Punkte,  so  des  JB,  ermittelt  werden.  Dies  geschieht,  indem  man 
BB  mit  \y  h^  bezw.  in  L^,  L^  schneidet;  wenn  diese  Punkte,  wie 
in  der  Figur,  unsicher  sind,  verschärft  man  sie,  indem  man  aus  den 
zu  B  diametral  gegenüberliegenden  Punkten  des  ^,  h^  Strahlen  zieht, 
die  zu  BB  in  Bezug  auf  \  und  h^  konjugirt  sind.  Die  Spuren  der 
durch  die  Erzeugende  (B)  der  P*  gelegten  Hilfsebene  fallen  in 
E^BE^  zusammen,  während  als  Spuren  der  durch  die  Erzeugende 
L^L2  der  P^  gelegten  Hilfsebenen  vorteilhaft  die  Parallelen  L^E^, 
L^A  angenommen  werden.  E^E^  und  L^A  schneiden  sich  in  A, 
daher  liegt  der  Raumpunkt  B  der  Schnittkurve  auf  der  Verbindungs- 
linie von  El  in  P^  mit  J.  in  Pg .  Die  Berührungsebenen  der  F'  in 
den  Schnittpunkten  ihrer  durch  B  gehenden  Erzeugenden  mit  d,  e,  k^^ 
schneiden  die  BE^  bezw.  in  D,  E^,  F,  wenn  durch  F  die  Tangente 
des  kl  in  B  geht;  die  Berührungspunkte  projiciren  sich  aus  dem 
Punkte  El  der  P^  auf  die  Gerade  der  E^E^  der  P,  in  .Bj,  -B,,  [/(un- 
endlich ferner  Punkt).  Die  projektiven  Punktreihen  BE^F,  EiE^Ü 
haben  DJS,  zur  Perspektiven  Axe  (BU  und  FE^  schneiden  sich  in 
2),  El  U  und  FE2  in  E^).  Der  vierte  fragliche  Berührungspunkt 
projicirt  sich  aber  aus  Ei  in  P^  nach  A  in  P^;  dem  Punkte  A  der 
Reihe  EiE^UA  entspricht  N  der  Reihe  BEiFN,  wenn  AF  und 
UN  sich  in  einem  Punkte  der  Perspektiven  Axe  BE^  treflFen;  BN  ist 
dann  die  gesuchte  Tangente.  Entsprechend  erhält  man  für  B'  die 
B'N'  aus  A',  wobei  sich  wieder  A'F  und  UN'  auf  BE^  treffen. 

Zur  Bestimmung  der  drei  Tangenten  der  c  in  B  müßte  man 
erst  die  drei  räumlichen  Punkte  auf  d  als  Doppelpunkte  einer  ein- 
und  einer  verwandten  zweideutigen  Punktreihe  suchen  (297,  4)). 
Legt  man  nämlich  durch  einen  Punkt  P  der  d  als  Punkt  der  ersteren 
Reihe  die  beiden  durch  ihn  gehenden  Erzeugenden  der  F^  (welche 
in  der  Ebene  Pe  liegen),  legt  durch  jede  von  diesen  und  durch  d  eine 
Ebene,  schneidet  sie  mit  F^  in  je  einer  Erzeugenden,  so  bestimmen 
diese  auf  d  die  beiden  entsprechenden  Punkte  P',  P"  der  zweiten 
Reihe,  weil  jeder  Punkt  der  c  durch  zwei  Erzeugende  der  P*  und  F* 


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X,  488—434.    Das  Cylindroid.  471 

geliefert  wird,  welche  in  einer  durch  d  gehenden  Ebene  liegen.  Die 
Projektion  zweier  solchen,  je  durch  einen  jener  drei  Doppelpunkte 
gehenden^  Erzeugenden  ist  eine  Tangente  der  c  in  D. 

Man  bemerkt  aus  der  yeischärften  Bestimmung  von  L^,  L^^  wie 
die  Verzeichnung  der  Kegelschnitte  h^ ,  \  entbehrlich  gemacht  werden 
kann.  Zur  Konstruktion  von  c  genügen  Kreis  und  Gerade,  welche 
zur  Bestimmung  der  ein -zweideutigen  Strahlenbüschel  dienen. 


VL    Das  Cylindroid. 

434.  Eine  windschiefe  Fläche  mit  einer  einzigen,  und  zwar 
unendlich  fernen  Leitgeraden,  also  mit  einer  Leitebene,  ist  das 
Cylindroid.  Schneidet  man  einen  Cylinder  durch  zwei  mit  seinen 
Erzeugenden  nicht  parallelen  Ebenen,  deren  Schnittgerade  g  sei, 
seien  die  Schnittpunkte  derselben  Erzeugende  mit  der  einen  und 
der  anderen  Schnittkurve  bezw.  -4,  B,  C  . . .  und  -4j,  B^,  C^  . . ., 
und  verschiebt  man  die  erste  Kurve  in  ihrer  Ebene  in  der  Richtung 
von  g  um  eine  beliebige  Strecke  nach  -4^,  JBg,  Og  . . .,  und  zieht  die 
Geraden  Ä^Ä^,  B^B^,  G^C^  . . .,  so  sind  diese  die  Erzeugenden  des 
Cylindroids;  sie  haben  eine  zu  g  und  zu  den  Cylindererzeugenden 
parallele  Ebene  zur  Bichtebene.  Den  Cylinder  wollen  wir  den 
(xrundcylinder  der  Fläche  nennen. 

Sind  der  Cylinder,  und  dann  auch  die  Schnittlinien  vom  zweiten 
Grade,  so  ist  die  durch  diese  zwei  Linien  als  Leitlinien  und  durch 
die  Leitebene  bestimmte  windschiefe  Fläche  vom  achten  Grade 
(388),  wobei  diese  Fläche  aus  unserem  Cylindroide  und  aus  noch 
einem  zweiten  Flächenaste  besteht,  welcher  die  Erzeugenden  BiD^y 
D1B2  u.  s.  w.  enthält,  wenn  B^B^,  A-^a  ^-  s.  w.  zwei  Erzeugende 
des  Cylindroids  sind,  die  in  derselben  zur  Richtebene  parallelen 
Ebene  liegen.    Bas  Cylindroid  ßr  sich  ist  daher  vom  vierten  Grade. 

Äufg.    Das  Cylindroid  darmstellen  und  die  StrikHonslinie  wnd  Fig.  179. 
die  bemerkenswerten  Schnitte  desselben  m  konstruiren^  wenn  der  Grund- 
cylinder  ein  Umdrehungscylinder  ist. 

Aufl.  Seien  die  Erzeugenden  des  Grundcylinders  parallel  zur 
Projektionsaxe  a?,  sei  die  Gerade  g  A.'Pi  und  G'  ihre  erste  Projek- 
tion, seien  G'A^y  G'Ä^  die  ersten  Spuren  und  Projektionen  der 
beiden  Schnittebenen,  so  ergeben  sich  von  den  Ellipsen,  in  welchen 
sie  den  Cylinder  schneiden,  die  zweiten  Projektionen  aus  dem  in  Fj 
umgelegten  senkrechten  (kreisförmigen)  Schnitte  V"  des  Cylinders 
mittelst  ihrer  Axen;  zugleich  sind  die  Punkte  aus  zwölf  gleichförmig 
auf  i'"  verteilten  Punkten  bestimmt.  Die  eine  dieser  zweiten  Pro- 
jektionen ist  eine  Ellipse  t/'=  ^/'-B/'O/'D/',  die  andere  ^"-B"C"D" 


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472 


X,  434—436.    Die  windachiefen  Flachen. 


wurde  dadurch  zu  einem  Kreise  gestaltet,  daß  die  Schnittebene  unter 
45^  gegen  P^  geneigt  gelegt  wurde.  Diese  Kurve  wurde  nun  in  der 
Richtung  von  g  nach  h^  ^=  Ä^B^G^D^  geschoben;  dann  sind  Ä^A^^ 
B^B^  ...  die  Erzeugenden  des  Cylindroids.  Man  bemerkt,  daß 
dabei  die  erste  Projektion  dieselbe,  wie  die  des  Cy linders,  ge- 
blieben ist. 

Fig.  179. 


485.  Jede  durch  g  gdegte  Schnittebene  trifft  den  CrrundcyUnder 
und  das  Cylindroid  in  kongruenten  und  parallelen  Kurven,  so  A^  C^ 
und  Ä^C^^,  hier  Ellipsen,  wovon  die  zweite  aus  der  ersten  durch 
Verschiebung  in  der  Richtung  von  g  entsteht.  Denn  der  Höhenunter- 
schied {\  g)  zweier  Punkte -ig  und -4.4,  welche  auf  den  aus  einander 
entstandenen  Erzeugenden  Ä^Ä  und  Ä^Ä^  senkrecht  über  einander 
liegen,  ist  gleich  dem  Höhenunterschiede  ÄA^,  mnltiplicirt  mit  dem 
Verhältnis  der  Abschnitte  A^A^:  Ä^A^.  Dieser  Wert  ist  aber  für 
alle  Erzeugende  derselbe;  denn  AA^  ist  die  ursprüngliche  für  alle 
Punkte  der  Schnittlinie  A^A^  gleiche  Verschiebung,  und  die  drei 
Schnittebeneu,  weil  sie  durch  die  zur  Richtebene  parallele  Gerade  g 


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X,  436—436.    Das  Cylindroid.  473 

gehen,  teilen  alle  Erzeugende  in  demselben  Verhältnisse.  Die  durch 
g  senkrecht  zu  den  Erzeugenden  des  Cylinders  gelegte  Ebene  schnei- 
det daher  den  Cylinder  und  das  Cylindroid  in  kongruenten  Kreisen. 
Die  Projektionen  des  letzteren  sind  die  Geraden  Ä^C^^  Bq'Dq\ 

Da  zwei  Erzeugende,  die  in  einer  zur  Richtebene  (Pj)  paralle- 
len Ebene  liegen,  zu  einander  parallel  sind  und  symmetrisch  zu  der 
auf  Pg  senkrechten  Geraden  (G'Äq,  Aq')  liegen,  so  ist  diese  Gerade 
eine  Symmdrielinie  der  Fläche ^  daher  G'A^'  Symmetrielinie  des 
Grundrisses,  und  Aq'  Mittelpunkt  ihres  Aufrisses. 

Jede  mit  g  parcMele  Ebene  schneidet  den  Cylinder  und  das  Cylin- 
droid in  Figuren  von  gleichem  Flächeninhaile.  Eine  solche  Schnitt- 
figur ^5  (75P5  auf  dem  Cylindroide  ergibt  sich  leicht;  sie  ist  flächen- 
gleich mit  der  (nicht  yerzeichneten)  Schnittellipse  ihrer  Ebene  mit 
dem  Cylinder.  Zieht  man  nämlich  in  der  gemeinschaftlichen  Ebene 
beider  Figuren  zwei  benachbarte  mit  g  parallele  Gerade,  so  enthält 
jede  derselben  gleiche  Sehnen  der  Kurven,  daher  schließen  diese 
auch  gleiche  Flächenelemente  ein,  woraus  der  Satz  ^olgi 

Um  die  Tangente  an  die  Schnittkurve  in  einem  Punkte  P5  der- 
selben zu  konstruiren,  lege  man  ein  Bertihrungsparaboloid  nach  der 
Erzeugenden  P^P^P^,  mit  der  Richtebene  des  Cylindroids,  P,,  und  den 
Tangenten  der  Kurven  k^,  k^  in  P^  und  P^  als  Leitgeraden.  Diese 
sind  PiTi  und  PgTg  mit  den  zweiten  Spuren  T^  und  Tg.  Das  Para- 
boloid  hat  zu  Erzeugenden  der  ersten  Schaar  die  Geraden  P1P21 
TjTj,  g]  und  es  ist  T^T^  ||  /Si^g,  wenn  5^,  5,  die  zweiten  Spuren  der 
zu  Ti  parallelen  Axen  von  k^y  k^  sind.  Um  durch  P5  die  Erzeugende 
der  zweiten  Schaar  zu  legen,  schneide  man  die  Ebene  P^g  mit  der 
T^ T^  ia  U,  P^U  ist  dann  diese  Erzeugende,  U  ihre  zweite  Spur, 
und  UT  {\P1P2)  die  zweite  Spur  der  Berührungsebene  des  Para- 
boloids  und  des  Cylindroids  in  P5.  Deren  Schnitt  P^T  mit  der 
Ebene  unserer  Kurve  ist  die  gesuchte  Tangente. 

486.  Die  Striktionslinie  s  des  Cylindroids  fällt  wie  bei  dem 
Konoide  mit  dem  Umrisse  der  Fläche  zusammen,  welcher  zu  ihrer 
Projektion  auf  die  Richtebene,  d.  i.  auch  auf  die  P^,  gehört.  Um 
den  Punkt  P^  derselben  auf  einer  Erzeugenden  PiP^,  zu  erhalten, 
bringe  man,  im  umgekehrten  Gange  der  vor.  Nr.,  die  zweite  pro- 
jicirende  Ebene  von  P^  P,  mit  der  Erzeugenden  T^  T,  des  Berüh- 
rungsparaboloides  in  Q  zum  Schnitte;  dann  ist  der  gemeinsame 
Punkt  der  Ebene  Qg  und  der  Geraden  PiPj  der  gesuchte  Punkt  Pg. 
Bei  der  Wiederholung  dieses  Verfahrens  ist  es  zweckmäßig,  das 
Parallelsein  von  T^T^  mit  S^S^  zu  benutzen;  dadurch  wird  die  Ver- 
zeichnung der  Tangente  P^T^  entbehrlich.  Von  dem  Kreise -4oJBo(7o  Do 
gehören  der  höchste  und  tiefste  Punkt  Bq  und  Dq  der  Striktions- 


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474  X,  436.    Die  windschiefen  Fl&cben. 

linie  an,  weil  in  jedem  die  Ereistangente  senkrecht  auf  der  Bicht- 
ebene  steht. 

Kanten  sind  die  Erzeugenden  Ä^A^  und  CiG^y  weil  die  Fläche 
entlang  ihrer  von  derselben  Ebene  (_L  Pi)  berührt  wird,  indem  diese 
Linien  die  Umrisse  in  der  ersten  Projektion  bilden.  Ihre  benach- 
barten Erzeugenden  sind  bezw.  mit  ihnen  parallel,  weil  dies  bei  dem 
Grundcylinder  der  Fall  ist.  Die  KuspiddlpunJcte  der  Fläche  liegen 
daher  in  den  unendlich  fernen  Punkten  der  Kanten,  und  diese  sind 
die  Asymptoten  jedes  Umrisses  (386),  also  auch  der  Striktionslinie. 

Wir  wollen  nun  noch  die  Tangente  an  die  erste  PrqjekHon  s'  der 
Striktionslinie  mittelst  des  Verfahrens  der  ähnlichen  Figur  (I,  204) 
konstruiren,  wobei  in  unserem  Falle  besondere  Aufmerksamkeit  not- 
wendig ist,  weil  sich  die  Konstruktion  von  s'  über  Grund-  und 
Aufriß  erstreckt  Wir  fanden  den  Punkt  Pg'  der  s'  auf  der  Erzeu- 
genden ^iF^y  indem  wir  die  Tangenten  von  Jfc/',  ig"  in  P/',  P," 
bis  T;\T^'  auf  T/T/',  T/T;' zogen,  T," T^'' Q]  S^' S^")  mit  P/'P/' 
in  Q"  schnitten  und  ö"  auf  x  nach  Q'  projicirten;  die  G'Q'  ergab 
dann  auf  Pi'P2'  den  Punkt  Pg'.  Indem  wir  nun  den  zu  P/  benach- 
barten Punkt  der  s'  auf  der  benachbarten  Erzeugenden  bestimmen 
wollen,  werden  wir  dem  Verfahren  gemäß  das  entstehende  unend- 
lich kleine  Parallelogramm  bei  P/,  von  welchem  zwei  Seiten  in 
Pi'P^  nn^  Cr^Q'  fallen,  aus  Pg'  als  Ähnlichkeitspunkt  vergrößern. 
Bei  dieser  Vergrößerung  verschieben  wir  die  zu  Pj,  Pj  benachbarten 
Punkte  der  Äj,  Jc^  auf  deren  Tangenten,  was  im  Grundriß  bis 
JB/,  JB/,  also  im  Aufriß  bis  ^„  E^  auf  JB/5/',  B^'B^"  geschehen 
mag.  Dann  wird  sich  auch  der  dem  Q'  benachbarte  Punkt  auf  x 
verhältnismäßig  verschieben,  daher  auch  der  dem  Q'^  benachbarte, 
so  daß  zur  Bestimmung  dieser  Verschiebung  im  Aufriß  Q"  der 
Ahnlichkeitspunkt  ist  Indem  sich  bei  dem  Übergange  von  P^",  P," 
zu  benachbarten  Punkten  der  Jfc/',  Ä;^"  die  Erzeugende  P^'P^'  un- 
endlich wenig  dreht,  schneidet  sie  auf  jedem  durch  Q"  gelegten 
Strahle,  als  welcher  Q"Q'{A-x)  angenommen  werden  mag,  ein 
unendlich  kleines  Stück  ab,  das  verhältnismäßig  vergrößert  werden 
muß.  Um  dies  zu  erreichen,  zieht  man  durch  P/',  P^'  Parallele 
P/'jP\,  P2"P2  2u  Q"  Q\  und  schneidet  diese  bezw.  mit  den  durch 
JSi,  E^  parallel  zu  P^'P^*  gelegten  Geraden  in  P^,  JPj;  die  Gerade 
F^F^  schneidet  dann  auf  Q" Q'  den  Endpunkt  G  der  verhältnis- 
mäßigen Verschiebung  Q''G  ein,  und  ff  JB"  ||  P/'P»"  ist  die  ver- 
schobene P^'P^\  —  Andererseits  vrird  aber  auch  T/' T/'dlS/'Sj") 
paralle^mit  sich  selbst  verschoben.  Geht  Pj"  auf  Tc^'  um  ein  Bogen- 
element  vorwärts,  so  bewegt  sich  T^'  auf  T^'  T^  um  ein  Element, 
dessen  senkrechter  Abstand  von  P^'T^'  sich  zum  Bogenelemente  ver- 


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X,  436—438.   Die  Wölbfläche  des  schrÄgen  Durchgangs.  475 

hält,  wie  F^' ^%  ^^^  Halbmesser  des  Kreises  Tc^\  Vergrößert  man 
das  Bogenelement  zu  P^'E^j  so  wird  jener  Abstand  «=  P^'Jy  wenn 
man  auf  dem  Kreishalbmesser  von  P/'  die  P^' H '^  P%  ^^'  *^f' 
tragt  und  HJ\  E^B^'  bis  J  auf  P/'T/'  zieht;  dann  geht  T/'  auf 
T^'T^  nach  K,  wenn  Abstand  (TT,  P/'T^")  =  Pg'V.  Die  ver- 
schobene T^'T;'  ist  dann  KK'  \  T^' T;\  Der  Schnittpunkte"  von 
GTC'  und  JTJB"  ist  der  verschobene  Punkt  des  dem  Q"  benachbarten 
Punktes;  er  projicirt  sich  auf  x  nach  Ti\  woraus  sich  durch  G' B! 
auf  Pi'Pj'  der  Punkt  h  und  die  Seite  Pg'L  des  vergrößerten  Paral- 
lelogrammes  ergibt.  Die  anstoßende  Seite  desselben  ist  Zr^y  G' (i\ 
wobei  'S  auf  B^B^^  und  Pq  N  ist  die  gesuchte  Tangente. 

Etwas  einfacher  gestaltet  sich  die  Konstruktion  fflr  den  Punkt 
Bq  ^er  s.  Verschiebt  man  die  Punkte  JB/',  B^'  auf  den  Tangenten 
der  ij",  Jc^'  bis  Ei\  E^'  (um  die  Länge  der  parallelen  Axen),  so 
verschiebt  sich  die  B^B^  nach  C/C,'.  Der  Punkt  Q"  ist  aber  in 
unserem  Falle  Bq\  und  seine  Verschiebung  ist  Null,  weil  die  par- 
allel zu  Bi'E^"  und  zu  B^'E^'  durch  B^'  gezogene  Gerade  von 
E^'E^'  ebenfalls  in  B^'  getroffen  wird.  Der  zu  B^'  gehörige  Punkt 
T^'  verschiebt  sich  aber  auf  T^'T"  um  eine  Länge  =»  Abst. 
{B^'.T^'T^),  geht  also  bis  Ef'  9L\xi  B^'G^'.  Schneiden  sich  nun 
Bi'B^'  und  K"B^'  (Ij  S^'S^')  in  dem  Punkte  B^'j  und  projicirt  man 
diesen  auf  x  nach  B^y  diesen  aus  G'  auf  B^B^  nach  L\  zieht 
i' JV'  1  G'B^  bis  jr  auf  C/O/,  so  ist  B^K  die  gesuchte  Tangente. 

437.  Übungsaufgabe,  1)  Das  C^indroid  mit  einer  gegen  seine 
Richtebene  geneigten,  aber  mit  einer  Erzeugenden  parallelen  Ebene 
zu  schneiden  und  die  Asymptoten  der  Schnittkurve  zu  konstruiren. 

2)  Für  das  einfache  Hyperboloid,  das  hyperbolische  Paraboloid, 
ein  Konoid  oder  ein  Cylindroid  die  Pa/rameterhurve  zu  konstruiren, 
worunter  der  geometrische  Ort  des  Punktes  einer  Erzeugenden  ver- 
standen sein  soll,  welcher  von  ihrem  Centralpunkte  den  Abstand 
des  Parameters  besitzt  (384). 

vn.  Die  Wölbfläohe  des  sohr&gen  Durohgangs. 

488.  Die  Wölbfläche  des  schrägen  Durchgangs  ist  die  windschiefe 
Fläche,  welche  zu  Leitlinien  hat  zwei  in  parallelen  Ebenen  liegende 
gleiche  Kreise  ij,  ig,  und  die  durch  den  Mittelpunkt  0  der  Verbin- 
dungslinie der  beiden  Kreismittelpunkte  M^,  M^  senkrecht  zu  ihren 
Ebenen  gelegte  Gerade  o.  Der  Mittdpunht  und  die  Symmetrieebene 
für  die  Leitlinien  und  daher  auch  für  die  Fläche  sind  bezw.  0  und 
(o,  My^M^.  Wir  wollen  Pj  parallel  zur  Symmetrieebene,  Pg  parallel  ^^ 
zu  den  Kreisebenen  annehmen.  A^By^  und  Ä^B^  seien  die  mit  F^ 
parallelen  Durchmesser   der   beiden  Kreise.     Li  den  Figuren  sind 


Fig.  180, 
181. 


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476 


X,  438.    Die  windschiefen  Flächen. 


zwei  Falle  dargestellt;   in  Fig.  180  schneiden  sich  die  zweiten  Pro- 
jektionen beider  Kreise  in  reellen  Punkten  C  und  2),  in  Fig.  181  in 


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X,  438.   Die  Wölbfläche  des  schr&gen  Durchgangs. 


477 


imaginären;  im  ersten  Falle  trifiFfc  die  Leitgerade  o  die  Kreisebenen 
in  inneren  Punkten  0^^  0^  der  Kreise^  im  zweiten  in  äußeren. 

Um  Erzeugende  zu  konstruiren,  legt  man  durch  die  Leitgerade  o 

Fig.  181. 


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478  .   X,  438 — 439.    Die  windschiefen  Flächen. 

^g  m'  ^^^D^i^;  dieselben  projiciren  sich  im  Aufriß  als  Gerade.  Eine 
solche  schneidet  den  einen  Kreis  in  den  Punkten  Pi^Qi^  den  andern 
in  P^fQi»  Die  Verbindungslinien  eines  der  ersteren  mit  einem  der 
letzteren  Punkte  schneiden  alle  drei  Leitlinien.  Zwei  davon  PiQ^ 
und  QiP^  gehen  durch  den  Mittelpunkt  0  von  OjOj  und  bestimmen 
daher  einen  Ereiskegel  mit  dem  Mittelpunkte  0,  den  wir  aber  von 
der  Fläche  ausschließen  wollen;  die  beiden  anderen  P^P^,  QiQ^  sind 
Erzeugende  unserer  Fläche,  und  zwar  mit  einander  parallele^  und 
wir  wollen  solche  ein  Paar  nennen. 

Da  die  Kreise  ihre  beiden  unendlich  fernen  Punkte  gemein 
haben ;  so  ist  die  Ordnung  der  Gesamtfläche  =:  6  (388);  und  indem 
man  jenen  Kegel  0  ausschließt,  ergibt  sich  die  Ordnung  der  WoBh 
fläche  =»  4. 

439.  Kanten  sind  zunächst  die  in  der  Hauptebene  liegenden 
Erzeugenden  Ä^Ä^j  ^i^s?  ™i*  Berührungsebenen  -LPi-  Sie  schnei- 
den die  gerade  Leitlinie  o  in  Ktispidalpunkten  E  und  F.  In  Fig.  180 
ist  die  Strecke  E.F  reelle  Doppelgerade  und  die  Strecke  FE  iso- 
lirte  Gerade  der  Fläche,  in  Fig.  181  umgekehrt 

Die  anderen  Kanten  liegen  in  den  durch  o  berührend  an  k^  und 
h^  gelegten  Ebenen,  und  sie  sind  nur  in  Fig.  181  reell;  sie  enthalten 
die  Kanten  CrjGg  und  H^H^.  Jede  dieser  Kanten  ist  zu  ihrer  Nach- 
barerzeugenden parallel,  weil  beide  ein  Erzeugendenpaar  bilden.  Die 
Kuspidalpunkte  derselben  liegen  daher  im  Unendlichen. 

Der  Richtkegel  ist  vom  zweiten  Grade.  Denn  die  unendlich 
föme  Ebene  enthält  eine  Doppelkurve  der  Fläche,  weil  die  Erzeu- 
genden paarweise  parallel  sind;  diese  Kurve  unserer  Fläche  vierter 
Ordnung  ist  daher  von  der  zweiten  Ordnung.  Geometrisch  erkennt 
man  aber  auch  leicht  die  Gestalt  des  Richtkegels,  dessen  Spitze  wir 
in  0  annehmen  und  dessen  Spur  wir  auf  beiden  Kreisebenen  be- 
stimmen wollen.  Es  leuchtet  nämlich  ein,  daß  die  Länge  OP^  einer 
Erzeugenden  des  Kegels  zwischen  0  und  einer  Kreisebene  halb  so 
groß  ist,  als  die  Länge  der  zu  ihr  parallelen  Erzeugenden  der  wind- 
schiefen Fläche  zwischen  beiden  Kreisebenen,  oder  im  Aufriß  0"P^' 
=  \  Pi'P;'\  und  da  ft"0"  =  \  Qi'Pi\  ergibt  sich  durch  Addition 
qi'P^'  =  \  QCPi'y  d.  h.  die  Spur  des  Richtkegels  in  der  Ebene 
eines  Leitkreises  ist  der  Ort  des  Mittelpunktes  P,"  einer  durch  0" 
gezogenen  Sehne  dieses  Leitkreises,  also  auch  der  Ort  des  Fuß- 
punktes der  aus  dem  Mittelpunkte  M^'  auf  die  Sehne  geföUten  Senk- 
recht-en;  daher  ist  er  ein  Kreis  k^y  dessen  Durchmesser  0" M^'  ist 
Die  andere  Spur  ist  der  Kreis  k^  =  0'' M^\  —  Eine  Erzeugende  des 
Richtkegels  ist  mit  den  beiden  Erzeugenden  eines  Paares  parallel, 
so  P:^OQ^  mit  P^P^^  und  Q^Q^,  —  Man  bemerkt,  daß  in  Fig.  181 


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X,  439—441.   Die  Wölbflftche  des  schrägen  Durchgangs.  479 

der  Teil  G^Jd^Ei  derEegelspur  und  der  zugehörige  Teil  des  Rieht- 
kegeis  nützlich,  der  Teil  H^O^G^  parasitisch  ist.  In  Fig.  180  ist 
der  ganze  Kegel  nützlich. 

440.  um  die  Berührungsfhene  in  einem  Ptmkte  P  der  Fläche  zu 
bestimmen,  beachte  man,  daß  dieselbe  schon  für  je  vier  Punkte  der 
durch  P  gehenden  Erzeugenden  bekannt  ist,  nämlich  für  die  Punkte 
Pj,  P,  der  Leitkreise,  den  Punkt  (0)  der  Leitgeraden  o  und  den 
unendlich  fernen  Punkt  P«  (durch  den  Richtkegel).  Das  schon  durch 
drei  Berührungsebenen,  etwa  in  P^,  (0),  P«,  bestimmte  Büschel 
ist  aber  mit  der  Reihe  der  Berührungspunkte  projektiv,  so  daß  die 
Berührungsebene  in  P  dem  Punkte  P  der  Reihe  entspricht  Die 
Spuren  jener  drei  Berührungsebenen  in  einer  |  F,  durch  einen  ge- 
eigneten Punkt,  etwa  Pg,  der  Erzengenden  gelegten  Ebene  schnei- 
den die  durch  0"  parallel  zur  Tangente  P^T^  des  k^  (T«>  deren 
unendlich  femer  Punkt)  gelegte  Gerade  0"jP«,  bezw.  in  den  Punk- 
ten 2\  (P,"2\  U  Tangente  des  Jc^  in  PJ,  0"  (da  die  Berührungs- 
ebene in  (0)  die  Gerade  o  enthalt),  T^.  Die  projektiven  Reihen 
PiO"P^,  T^O" T^  sind  aber  perspektiv,  da  in  0"  entsprechende 
Punkte  vereinigt  sind,  und  ähnlich^  da  die  unendlich  fernen  Punkte 
P«  und  Too  »ich  entsprechen.  Dem  Punkte  P  der  ersteren  Reihe 
entspricht  daher  T  der  letzteren,  wenn  PT||  P,jPi  gezogen  wurde; 
daher  ist  die  gesuchte  Tangente  F'T"  H  P^'T. 

441.  Der  Umriß  u  der  ersten  Projektion  besteht  aus  den  zwei 
Kanten  Ä^Ä^  und  B^B^  und  aus  einer  krummen  Linie.  Man 
könnte  den  Umrißpunkt  einer  jeden  Erzeugenden  als  den  Berüh- 
rungspunkt der  ersten  projicirenden  Ebene  derselben  nach  dem  um- 
gekehrten Verfahren  der  vor.  Nr.  bestimmen.  Es  läßt  sich  aber 
auch  leicht  die  Gestalt  des  scheinbaren  Umrisses  als  eine  Hyperbel 
erkennen,  indem  man  sich  überzeugt,  daß  die  von  diesem  Umrisse 
eingehüllten  Projektionen  der  Erzeugenden  auf  den  Geraden  Ä^B^ 
und  Ä^B^  gewisse  projektive  Punktreihen  erzeugen.  Man  suche  die 
Polare  OiH^  von  0^  zu  dem  Leitkreise  A^,  und  die  Polare  G^H^ 
von  O2  zu  1c^\  in  Fig.  181  erhält  man  sie  durch  die  Tangenten  aus 
0",  (welche  Kanten  der  Fläche  darstellen  (439)  und  deren  Berüh- 
rungspunkte öj,  Gg  und  H^,H^  sind,  wobei  G^' H^'  die  Axe  M^'M^" 
in  G  trifft;  in  Fig.  180  dagegen  gehen  die  Polaren  durch  die  Schnitt- 
punkte der  Kreistangenten  in  C"  und  D"  mit  der  Mi'M^\  so 
durch  G .  Die  Polaren  haben  zur  ersten  Projektion  die  Punkte  G^ 
und  (t/.  Ein  durch  0"  gehender  Strahl  stellt  aber  die  beiden  Er- 
zeugenden eines  Paares  dar,  so  PiPfy  QiQt*  Es  sind  dabei  die 
Punkte  P/',  Q^'  des  Kreises  i/'  durch  den  Punkt  0"  und  dessen 
Polare  G^'  H"  harmonisch  getrennt,   daher  bilden  die  ersten  Pro- 


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480  X,  441—442.    Die  windschiefen  Flüchen. 

^*|- }®J»  jektionen  jener  vier  Punkte,  nämlich  O^GiPi  Q^  vier  liarmonische 
Punkte;  und  das  Gleiche  gilt  von  0/  O^  P,'  Q^.  Daher  bilden 
F^  und  Qij  sowie  F^  und  Q^  je  ein  Punktepaar  einer  ungleich- 
laufenden Involution  mit  0/,  G^^  bezw.  0^',  G2'  ^'^  Doppelpunkten; 
demnach  ist  die  Reihe  der  P^  mit  derjenigen  der  Q/  projektiv;  und 
da  außerdem  die  Beihe  der  F^  mit  derjenigen  der  Q^  kongruent 
ist,  so  sind  auch  die  Reihen  der  F^  und  der  P/  projektiv,  d.  h.  die 
Erzeugenden  F^F^j  . . .  beschreiben  auf  -4,'B/  und  A^B^  projek- 
tive Punktreihen,  werden  also  von  einem  Kegelschnitte  eingehüllt 
Durch  die  zugeordneten  Punkte  Pj',  Q^  der  bezeichneten  Involution 
gehen  zwei  parallele  Tangenten  jenes  Kegelschnittes;  0/  und  G^ 
sind  aber  die  Doppelpunkte  der  Involution;  die  durch  diese  Punkte 
gehenden  Erzeugenden  sind  daher  zwei  zusanunenfallende  parallele 
Tangenten  des  Kegelschnitts,  was  nur  bei  den  Asymptoten  der  Hy- 
perbel möglich  ist  Daher  ist  der  erste  scheinbare  Umriß  u  der  Fläche 
eine  Hyperbel  und  0^  0,',  G^  G^  sind  ihre  Asympioten.  —  0/  G/ 
und  O^G^  sind  Tangenten  der  Hyperbel  und  ihre  Berührungspunkte 
liegen  in  den  Mitten  J^  und  J^  der  bezeichneten  von  den  Asympto- 
ten eingeschlossenen  Strecken.  Ebenso  liegen  die  Berührungepunkte 
A^y  B^y  P5'  • . .  der  Kanten  imd  einer  beliebigen  Erzeugenden  in  der 
Mitte  der  auf  ihnen  von  den  Asymptoten  eingeschlossenen  Strecken. 
A^  und  B^  bilden  die  Grenze  von  niiUlichen  und  parasiHschen  Stücken 
der  Umrißhyperbel.  In  Fig.  181  stellen  G^G^  xmd  HiH^  die  beiden 
reellen  Kanten  der  Fläche  dar,  welche  Asymptoten  aller  ümriß- 
linien  (386)  und  so  auch  jener  Hyperbel  sind,  in  Fig.  180  dag^en 
sind  diese  Kanten  imaginär  und  daher  diese  Asymptoten  der  Hy- 
perbel parasitisch.  Umgekehrt  ist  die  Leitgerade  0|0„  welche  die 
andere  Asymptote  des  Umrisses  bildet,  in  Fig.  180  mit  ihrem  un- 
endlichen Stücke  E\F'  nützlich  und  ebenso  die  Asymptote;  in 
Fig.  181  dagegen  ist  dieses  ßtück  parasitisch.  —  Beide  Figuren  sind 
so  bemessen,  daß  die  Umrißhyperbeln  kongruent  sind,  während  die 
übereinstimmenden  Asymptoten  in  Bezug  auf  das  Parasitische  ent- 
gegengesetzte Rollen  spielen.  Die  Grenzen  der  parasitischen  Stücke 
stimmen  übrigens  nicht  überein. 

443.  Die  »weite  Frcjektion  u"  =  A^'B^'F^'  des  ersten  Um- 
risses läßt  sich  aus  der  ersten  Projektion  u'  leicht  bestimmen.  Wir 
wollen  nachweisen,  daß  sie  ebenfalls  ein  Kegelschnitt  ist,  welcher 
sich  sowohl  mit  Jc^'  als  mit  7c^"  in  perspektiver  Lage  befindet,  und 
daß  0"  den  Mittelpunkt,  und  die  mit  0"Z"  Parallelen  J^'Q^" 
bezw.  J%F^*  die  Axen  der  KoUineation  bilden,  wenn  diese  Linien 
in  der  Mitte  zwischen  dem  Punkte  0"  und  bezw.  seinen  Polaren 
Gl'  Bl('   zu  \   und  G^'  H^'   zu  h^  liegen.     Es   sind   nämlich    Y^ 


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X,  442.   Die  Wölbfläche  des  sclirägen  Durchgangs.  481 

iP^P^J^P^)  vier  harmonische  Strahlen  (Fig.  181  ist  hierbei  deut- 
licher), wobei  F«  der  unendlich  ferne  Punkt  der  Asymptote  0^0^ 
der  Hyperbel  w",  «T/,  Pg'  die  Berührungspunkte  Aet  A^B^  und  der 
Pi'P^  mit  der  «',  und  P^  der  Schnittpunkt  der  beiden  letzteren  Ge- 
raden sind.  Denn  es  ist  P,'  der  Pol  von  J^  P^  zu  w',  daher  ist  der 
Schnittpunkt  der  J^P^  mit  der  T^O^  der  Pol  der  Y^P^^  demnach 
werden  J^  und  P^  durch  diesen  Schnittpunkt  und  seine  Polaren 
Y^P^  harmonisch  getrennt,  woraus  die  Behauptung  folgt  Diese 
vier  Strahlen  schneiden  daher  im  Aufriß  auf  der  Erzeugenden  P^'P^' 
die  vier  harmonischen  Punkte  0"P^'P^'P^'  ein.  Bewegt  sich  nun 
die  Erzeugende  P1P2,  so  bleiben  0  und  J^  unverändert;  daher  bleibt 
0"  an  der  Stelle,  P/'  beschreibt  die  Gerade  J^J^'P^'y  P/'  be- 
schreibt den  Kreis  i,",  und  P5"  die  Kurve  u\  Da  nun  das  Doppel- 
verhältnis {0"  P^' P^' P^')  =  —  1  ist,  so  ist  auch  dasjenige 
{0" P^' P^' P^')  unveränderlich.  Daher  ist  u'  eine  mit  h^'  per- 
spektiv- kollineare  Kurve,  also  ein  Kegelschnitt,  mit  0"  als  Mittel- 
punkt, J^J^'P^'  als  Axe  der  KoUineation,  und  mit  der  Charakteri- 
stik 8  =  {0" P^' P^' P^')  =  2.  Man  erhält  diesen  Wert,  wenn  man 
0"P^'  nach  0"Z"  dreht,  wodurch  Pg"  ins  Unendliche  imd  sein 
harmonisch  zugeordneter  Punkt  P5"  in  die  Mitte  von  ©"Pg"  rückt 
(mag  Pg"  ein  Punkt  der  h^'  sein  oder  nicht),  so  daß  0"P^'  = 
2.0"P^'  wird.    Dann  ist  nämlich 

Dem  Punkte  G  (statt  Pj")  im  ebenen  Systeme  von  Tc^'  entspreche  G^ 
(statt  P5")  in  dem  von  w";  indem  dann  J^'  an  die  Stelle  von  P/' 
tritt,  muß  auch  die  Reihe  0"GJ^'G^  harmonisch  sein;  und  da  J^' 
in  der  Mitte  von  0"Gj  so  muß  G^  im  Unendlichen  liegen.  Daher 
entspricht  der  GG^' H^'  die  unendlich  ferne  Gerade;  und  da  0"  der 
Pol  der  ersteren  zu  Ä^",  so  ist  0"  auch  der  Pol  der  unendlich  fer- 
nen Geraden  zu  u\  oder  dessen  Mittelpunkt  Ä^'B^'  als  (reelle) 
Symmetrielinie  ist  eine  reelle  Axe  des  «",  während  die  andere  Axe 
in  Fig.  180  reell,  in  Fig.  181  imaginär  ist,  da  sie  den  h^'  bezw. 
reell  und  imaginär  schneidet.  Daher  ist  u'  in  Fig.  180  eine  Ellipse^ 
deren  zweite  Axe  C/'Dß"  =  ^  G"D'\  in  Fig.  181  eine  Hyperbel, 
deren  Asymptoten  die  aus  0"  an  k^"  gezogenen  Tangenten  Gi"G^\ 
H^'H^'  sind.  In  Fig.  180  muß  der  Punkt  C^  als  der  unendlich 
ferne  Berührungspunkt  der  Fläche  mit  einer  zugleich  auf  F^  und  F2 
senkrechten  Ebene  angesehen  werden,  welche  durch  die  Erzeugende 
geht,  deren  Aufriß  C"  ist;  ebenso  Dg  in  Bezug  auf  D".  C^'  und 
D^'  sind  daher  die  zweiten  Projektionen  zweier  Asymptoten  des 
ersten  Umrisses,  und  diese  fallen  nicht  mit  den  Erzeugenden  (C/'y  7)") 

Wiener,  Lehrbuch  der  darstellenden  Geometrie.    II.  31 

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482  X,  442—443.    Die  windschiefen  Flächen. 

»^  i8i!  zusammen,  wie  es  bei  Kanten  mit  unendlich  fernem  Knspidalpimkte 
der  Fall  sein  würde. . 

Die  erste  Umrißlinie  ist  von  der  vierten  Ordnung,  weil  sie  der 
Schnitt  zweier  projicirenden  Cylinder  von  der  zweiten  Ordnung  ist 

443.  SchnitUinien  mit  Ebenen ,  die  pardM  m  den  Ebenen  der 
Leithreise  liegen^  lassen  sich  aus  der  ersten  Projektion  leicht  kon- 
struiren;  eine  solche  ist  ÄPB.  Sie  ergibt  sich  aber  auch  unab- 
hängig von  der  ersten  Projektion  vermittelst  des  Schnittpunktes 
(M\  M")  der  schneidenden  Ebene  A'B'  mit  der  Geraden  M^M^. 
Der  Richtkegel  nämlich ,  welcher  die  Ebene  Ä^B^  in  dem  Kreise 
0"Jlf/'  trifft,  schneidet  die  Ebene  A'B'  in  dem  Kreise  0"Jf'';  auf 
einer  beliebigen  Erzeugenden  ist  daher  das  zwischen  diesen  beiden 
Kreisen  enthaltene  Stück  P^'P^"  auch  zwischen  beiden  Ebenen 
A^Bl  und  A'B'  eingeschlossen,  und  daher  auch  gleich  dem  zwi- 
schen denselben  Ebenen  liegenden  Stücke  P^'P'  der  parallelen  Er- 
zeugenden unserer  windschiefen  Fläche.  Es  ist  daher  für  die 
Schnittkurve 

o^'p'  -  o"p;'  =  o"p;'  -  o"p;\ 

oder  0"r'  =  0"P^'  +  0"  P/'  —  0"  P^\  (1) 

0"P"  =  0"P/'4-P3"P/'; 

ebenso  O^Q"  =  0"P;'  -  P^'Pl'. 

Die  Kurve  ist  daher  eine  verallgemeinerte  Konchoide  mit  0"  als 
Pol  und  den  drei  Kreisen  0"M'\  Al'Bl\  0"Jlf/'  als  örundkurven 
(174),  von  denen  man  die  erste  imd  dritte  auf  einen  durch  0"  gehen- 
den Kreis,  dessen  Durchmesser  =  M"M"  ist,  zurückführen  könnte. 
Die  Subnormale  der  Konchoide  ist  gleich  der  algebraischen  Summe 
der  entsprechenden  Subnormalen  der  Grundkurven.  Zieht  man  nun 
die  0"N  ±.  0"P^\  so  ergeben  sich  auf  ihr  die  Subnormalen  der 
drei  Gruudkurven,  welche  in  der  Reihenfolge  wie  in  der  Gleichung 
(1)  und  mit  denselben  Vorzeichen  verbunden  die  Subnormale  0"'N 
liefern 

0'"^=  0"N,  +  0"N^  -  0"2V3 

Hieraus  ergibt  sich  die  Normale  P"N  und  die  schon   in  Nr.  440 
auf  andere  Weise  konstruirte  Tangente  P^T". 

Für  die  wechselnden  Schnittebenen  treten  verschiedene  Gestalten 
unserer  Schnittkurven  auf.  Für  den  Fall  der  Fig.  180  besitzt  sie 
in  der  Mitte  0  eine  brillenartige  oder  eine  zusammengedrückt  ellip- 
senartige Gestalt  Jcq,  geht  in  0^  und  0^  in  die  Leitkreise  über;  in 
den  Kuspidalpunkten  E,  F  erhält  sie,  wie  Tc^,  eine  Spitze  (in  0'^, 


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X,  448—444.   Die  Wölbfläche  des  schrägen  Durchgangs.  483 

sodann  als  k  eine  Schleife  mit  dem  Doppelpunkte  0",  und  wird  im 
Unendlichen  der  doppelt  zu  zahlende  Kreis  des  Richtkegels.  —  In 
der  Fig.  181  wird  sie  för  0  eine  Schleife  k^  mit  0"  als  Doppel- 
und  Mittelpunkt;  f&r  die  Euspidalpunkte  E^  D  eine  Kurve  {h^  mit 
einer  Spitze  in  0'\  dann  einer  der  Leitkreise,  dann  eine  bohnen- 
förmige  Kurve  Tc  oder  ib,,  die  im  Unendlichen  in  einen  doppelt  zu 
rechnenden  Teil  des  Kreises  des  Richtkegels  übergeht. 

444.  Wir  wollen  noch  die  Krümm%mgshdlbfne8ser  unserer  Schnitt- 
hurven  k  in  mehreren  ausgezeichneten  Punkten  bestimmen ,  zunächst 
in  den  Scheiteln,  so  in  Ä"  der  Fig.  180  und  in  5/'  der  Fig.  181. 
Führen  wir  dies  aus  durch  Vergleichung  des  Krümmungskreises  von 
kf"  in  B/'  mit  demjenigen  von  k^"  (Kreis)  in  £/'  (Fig.  181).  Seien 
bezw.  r\  r  die  Krümmungshalbmesser  beider  Kurven,  x',  z'  und 
Xy  e  die  Koordinaten  der  zu  B^'\  B^'  benachbarten  auf  derselben 
Erzeugenden  liegenden  Punkte^  mit  B/'  und  B^*  als  Ursprung,  so  ist 

Es  wird  aber  im  Grundriß  x  auf  x'  aus  B^  (dem  ersten  Umriß- 
punkte der  B^^B^),  und  im  Aufriß  e  auf  /  aus  0''  projicirt;  daher  ist 

Hieraus  folgt 

,       il  /^'-B/  \« ^:bI^  _  ^  (E'B,'\t B^B^ 
^   ^2x\E'B\')  B,' B,' —  "^  \E' B,' )  B,' B/ ' 

Diese  Formel  wird  konstruirt,  da  r  =  B^M^,  indem  man  E'M^ 
bis  m,  auf  V  zieht,  M^M^  \  B^B^  bis  Jf^  auf  V;  E' M^  bis  M^ 
auf  V;  -Mi^ö'  bis  Jfe  auf  V;  dann  is*  r'  =  B,"B^  =  B^M^. 
Entsprechend  wird  in  Fig.  180  r  =  A"  A^  =  -4/Jüfß  durch  Benutzung 
von  F'  und  ^5'  gewonnen. 

Den  Krümmungshalbmesser  G^'Gq  der  ifc^^'  in  dem  Berührungs- 
j^inkte  ö/'  der  Umrißereeugenden  des  Aufrisses  (Fig.  181)  ermitteln 
wir  ebenfalls  durch  Vergleichung  der  kj"  mit  dem  Kreise  k^'\  Der 
dem  gemeinschaftlich  berührenden  Strahle  O'^G^'G^'*  benachbarte 
Strahl  schneidet  gleiche  Sehnen  bei  beiden  Kurven  ab;  die  Pfeil- 
höhen {x)  der  darüberliegenden  Bogen  verhalten  sich  aber  wie 
0"G^":0"G^\  die  Krümmungshalbmesser  daher  umgekehrt  yn^ 
diese  Strecken  (208),  so  daß  gilt 

Man  trage  daher  auf  0"6?/'  die  &/'öj  =  0'' G^"  auf,  so  geht  die 
M^"G^  durch  G^. 

81  ♦ 


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484  X)  ^^*    I^ie  windschiefen  Flächen. 

Um  noch  den  Krümmungshalbmesser  r'  der  mittleren  SchnitUmie 
Äg"  (Fig.  180)  in  ihren  zweiten  Scheiteln  0",  D"  zu  ermitteln,  beach- 
ten wir,  daß  auf  jedem  Strahle  aus  0"  ein  Punkt  der  A3"  in  der 
Mitte  einer  Erzeugenden  zwischen  Jc^  und  k^,  so  P^"  in  der  Mitte 
von  Fj^'P^'f  liegt  Überträgt  man  die  Figur  mit  ihren  Buchstaben, 
Fig.  180,  aber  ohne  deren  oberen  Beistriche,  in  Fig.  6),  zieht  den  zu  OC  be- 
nachbarten Strahl  OKj  schneidet  ihn  mit  \y  ik^y  1c^  und  deren  in 
C  gezogenen  Tangenten  (die  von  Jc^  ist  _L  00),  bezw.  in  JSTi,  Z,,  jBT, 
Ti,  Tg,  T,  und  setzt  CK^  =  CT^  =  CK^  =  CT^  =  y  (diese  Größen 
=  0^  haben  Unterschiede  =0*),  CK=CT  =  y,  und  die  senk- 
rechten Abstände  der  Punkte  S^  und  K  von  den  zugehörigen  Tan- 
genten X^Ki  =a;,  TK^^x\  so  ist 

r  BS3  -^—  r  =  — — . 

Es  liegt  jK"  in  der  Mitte  von  K^K^\  und  wenn  man  TTJ^XOG 
zieht  und  mit  CT^^  GT^  bezw.  in  ZJ^,  C/^  schneidet ,  so  erhält  man 
T  in  der  Mitte  von  TJ^  TJ^.  Da  die  Abstände  der  Punkte  TJ^^K^j  T^ 
von  einander,  sowie  diejenigen  von  0,,  K^y  T^  von  einander  =  0*, 
die  ersteren  und  die  entsprechenden  letzteren  aber  nur  um  O'  von 
einander  verschieden  sind,  so  ist  der  Abstand  TK  =  x'  gleich  der 
Änderung  des  Abstandes  der  Geraden  CT  von  einem  Punkte,  wel- 
cher von  Z7i  nach  K^  übergeht,  und  dabei  über  jPj  schreiten  soll. 
Sei  l\Fi  ±TV^  gefällt,  so  ist 

x'  =  TK U^V,  +  T,K^, 

wobei  die  T^K^  (=  0*)  imd  ihre  Projektion  auf  0(7  um  0*  verschieden 
sind.  Setzt  man  nun  die  Winkel  der  OC  mit  den  Tangenten  von 
\  und  Ä^  in  0,  welche  =  GM^M^  =  C-lfjJfi  sind,  =  a,  so  ergibt 
sich  üiFi=  üjTj.cos  a  ===: G Ti{TUi: OC)  co8a  =  y(ycosa:r  sina) 
cos«  =  y*co8*a:r  sin«  und  2\JEi  =  X^jK^zsin  «  =  a;:sina,  daher 

,  t/*  €08*  a    ,       a?  c^     cos'  a    ,       a;  cos  2  a 

X  =  — ; — -. —  =  —  2x  ~ — : —  =  —  X  —. 

r     sm  ce     '    sin  a  sin  a     '    sin  ce  sin  a 

Außerdem  ist,  da  G17^  =  GT^  =  y, 

y'  s=  CT  =  GU^  .  sin  a  =  y  sin  a, 


daher 


y*  sin*  a  sin  a  sin*  a 


2x  cos  2tt  cos  2  a 


Fällt  man  daher  0  1J_  0 J^,  12J.C0,  so  ist  02  =  rsin*a; 
überträgt  man  dann  02  nach  03  auf  GT^,  zieht  30' J.OT,  bis 
G'  auf  OjP|,  so  ist  r'  ==  —  GG\  Demnach  ist  der  Krümmungshalb- 
messer für  2)"=  D" Dq  =  —  GC\    r   ist  negativ  oder  positiv,  je 


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X,  444—445.   Die  Wölbfl&che  des  schrägen  Durchgangs.  485 

■ 

nachdem  a  ^45^;  im  ersteren  Falle,  wie  in  der  Figur,  hat  Äg"  vier 
Wendepunkte. 

446.  Bemerkenswert  sind  noch  die  SchniUJcurven  mit  denjenigen  *^-  J®J» 
auf  Pi  senkrechten  Ebenen,  toelche  eine  und  dann  auch  noch  eine  isweite 
Erzeugende  der  Fläche  enthaiten,  deren  erste  Projektionen  daher  die 
Hyperbel  des  ersten  scheinbaren  Umrisses  der  Fläche  berühren.  Da 
die  gesamte  Schnittlinie  von  der  vierten  Ordnung  ist,  und  da  diese 
jene  zwei  Oerade  enthält,  so  ist  der  Best,  die  gesuchte  Schnitt- 
kurve, von  der  zweiten  Ordnung.  Doch  läßt  sich  auch  geometrisch 
leicht  erkennen,  daß  die  zuzeiten  Prcjektionen  der  Schnitthurven  Kegelr 
schnitte  sind,  von  welchen  irgend  ewei  m  einander  perspektiv  liegen  mit 
0"  als  Mittelpunkt  und  0" Z"  als  Ace  der  KoUineation. 

Nennen  wir.  in  den  verschiedenen  Schnittkurven  diejenigen 
Punkte  entsprechend,  welche  auf  derselben  Erzeugenden  liegen,  so 
befinden  sich  im  Aufriß  alle  entsprechenden  Punkte  auf  je  einem 
Strahle  aus  0'\  Nun  werden  im  Omndriß  irgend  zwei  Tangenten 
der  Umrißhyperbeln  von  allen  anderen  Tangenten  derselben  in  pro- 
jektiven Punktreihen  geschnitten.  Daher  werden  auch,  wenn  man 
zwei  dieser  Tangenten  als  erste  Projektionen  von  Erzeugenden,  und 
alle  anderen  als  erste  Projektionen  unserer  Schnittkurven  ansieht, 
in  der  zweitei\  Projektion  irgend  zwei  Erzeugende,  das  sind  zwei 
Strahlen  aus  0'',  von  allen  Schnittkurven  in  projektiven  Punktreihen 
geschnitten,  und  diese  Beihen  liegen  außerdem  perspektiv,  weil  ent- 
sprechende Punkte  in  0"  zusammenfallen.  Daher  gehen  alle  Ver- 
bindungslinien je  zweier  entsprechenden  Punkte  der  zwei  Strahlen 
durch  ein  und  denselben  Punkt,  und  dieser  liegt  auf  0" Z"y  weil 
diese  Gerade  die  Grenzlinie  der  Aufrisse  der  Schnittkxurven  ist  und 
daher  die  Grenzlage  der  Verbindungslinie  zweier  entsprechenden  und 
in  0"  zusammenfallenden  Punkte  bildet  Da  also  entsprechende  Seh- 
nen der  Aufrisse  irgend  zweier  Schnittkurven  sich  in  einem  Punkte 
der  0"Z"  treffen,  so  ist  0"  Z"  ihre  Eollineationsaxe.  Demnach 
sind  die  Aufrisse  aller  Schnittkurven  unter  einander  kollinear;  und 
da  einer  derselben  ein  Kreis  ist  (jeder  der  beiden  Leitkreise),  so 
sind  sie  alle,  und  daher  auch  die  Kurven  selbst,  Kegelschnitte, 
w.  z.  b.  w. 

Von  diesen  Kegelschnitten  sind  in  Fig.  180  a)  im  Grundriß 
diejenigen  1,  2  ...  7,  S,  7'  ...  2',  1'  angegeben,  während  im  Aufriß 
3,  4,  3',  4'  weggelassen  wurden;  in  Fig.  181  a)  sind  in  beiden  Pro- 
jektionen 1,  2  ...  5,  6,  5'  ...  2',  1'  gezeichnei  Von  jedem  der 
Kegelschnitte  liegt  die  eine  Axe  in  der  Symmetrieebene  der  Fläche, 
und  deren  Scheitel  in  den  Erzeugenden  A^Ä^  und  B^B^.    Die  andere 


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486  X,  445—446.    Die  windschiefen  Flächen. 

Axe  hat  zum  Grundriß  einen  Punkt  der  M^M^  und  kann  mittelst 
der  durch  diesen  Punkt  gelegten  Erzeugenden  (Tangente  an  den 
hyperbolischen  Umriß) ^  wenn  diese  Erzeugende  reell  ist,  bestimmt 
werden,  wie  dies  Fig.  180  für  7'  und  Fig.  181  för  2'  zeigt  Die 
Erzeugende  gibt  nämlich  den  entsprechenden  Punkt  des  Leitkreises 
an;  in  diesem  zieht  man  an  sie  die  Tangente^  so  ist  die  durch  deren 
Schnittpunkt  mit  0" Z"  senkrecht  zu  0" Z"  gelegte  Grerade  die  ent- 
sprechende Scheiteltangente  der  Schnittkurve,  welche  auf  der  Er- 
zeugenden den  Scheitel  einschneidet.  Alle  Kegelschnitte  treffen  die 
EoUineationsaxe  in  denselben  beiden  reellen  oder  imaginären  Punk- 
ten C'\  D",  und  alle  werden  durch  die  beiden  reellen  oder  imagi- 
nären Leitkreistangenten  0"  G(\  0"  Hy  berührt  Ist  die  Kurve 
eine  Hyperbel,  wie  die  2  in  Fig.  180,  die  5'  (=  V^T?^  in  Fig.  181, 
so  zieht  man  ihre  Asymptoten  aus  ihrem  Mittelpunkte  M^  parallel 
zu  den  beiden  Flächenerzeugenden  der  Schnittebene,  wobei  zu  beach- 
ten, daß  die  zu  ihnen  parallelen  Erzeugenden  (wie  Q^Q^  die  unendlich 
fernen  Punkte  der  Schnittkurre  liefern.  Die  Erzeugenden  der  Schnitt- 
ebene selbst  schneiden  die  Schnitthyperbel  in  Punkten  des  Grundriß- 
umrisses u.  Es  sind  nun  die  Asymptoten  reell,  und  es  ist  die  Schnitt- 
kurre eine  Hffperbel,  wenn  die  Schnittebene  zwei  reelle  Erzeugende 
enthält,  sie  ist  eine  Ellypse  oder  Parabely  wenn  sie  bezw.  keine  reel- 
len oder  zwei  zusammenfallende  Erzeugende  enthält  Der  letztere 
Fall  tritt  für  Ä^'A^\  B^B^  ein,  bei  6  undö'  der  Fig.  180  und  bei 
4  und  4'  der  Fig.  181. 

Übtmgsaufg,  Für  die  Wölbfläche  des  schrägen  Durchgangs  die 
Striktionslinie  und  die  Umrißlinie  m  ihrer  Projektion  auf  die  Kreuariß- 
ebene  0u  konstruiren,  d.  i.  für  die  parallel  zur  Leitgeraden  und  senk- 
recht zur  Symmetrieebene  der  Fläche  gelegte  Ebene. 


vm.    Die  windsohiefe  Sohraubenlläohe. 

a)  Die  Schraubenfläche  und  die  Regelschraubenfläche 
im  allgemeinen. 

446.  Eine  Schraubenfläche  wird  von  einer  Linie  e  erzeugt, 
welche  eine  Schraubenbewegung  vollführt,  oder  auch  von  einer  Linie 
e,  welche  mit  einer  Schraubenlinie  eines  Umdrehungscylinders  fest 
verbunden  ist,  während  sich  diese  in  sich  selbst  bewegt.  Wir  haben 
gesehen  (344),  daß  dabei  alle  Punkte  der  Erzeugenden  e  Schrauben- 
linien von  derselben  Axe,  derselben  Ganghohe  h  und  demselben 
Sinne  der  Windung  beschreiben.  Die  Schnittlinie  der  Schrauben- 
fläche mit  einer  durch  die  Axe  gehenden  Ebene  heißt  ihre  Meridiam- 


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X,  446—448.   Die  windschiefe  Schraubenfläche.  487 

kurvCf  ihre  SchnitÜinie  mit  einer  zur  Axe  senkrechten  Ebene  ihre 
Normdlkurve,  Jede  dieser  Linien,  sowie  jede  andere  Linie  der  Fläche, 
welche  alle  ihre  Schraubenlinien  trifft,  kann  als  Erzeugende  ange- 
sehen werden  und  durch  Schraubenbewegung  die  Fläche  erzeugen. 
Es  ergibt  sich  daraus,  daß  alle  Meridiankurven  unter  einander  und 
alle  Normalkurven  unter  einander  kongruent  sind,  da  sie  als  Er- 
zeugende in  einander  übergehen. 

Eine  Schraubenfläche  heißt  geschlossen,  wenn  ihre  Axe  von  der 
Erzeugenden  e  getroffen  wird,  sonst  offen.  Bei  der  ersteren  gehört 
die  Axe  zur  Fläche,  bei  der  letzteren  nicht;  im  letzteren  Falle  er- 
zeugt der  der  Axe  zunächst  liegende  Punkt  der  Erzeugenden  die 
Schraubenlinie  vom  kleinsten  Halbmesser,  die  s.  g.  Kdilschrcmbenlinie. 

447.  Kann  eine  Schraubenfläche  durch  eine  Oerade  als  Er- 
zeugende e  entstehen,  so  ist  sie  eine  Begdfläche  und  heißt  Begd- 
schraubenfläche]  sie  ist  im  allgemeinen  umdsckief.  Man  nennt  sie 
rechtwinklig  oder  schief witiklig ,  oder  kürzer  gerade  oder  schief  ,  je  nach- 
dem e  senkrecht  oder  geneigt  zur  Axe  a  steht.  Ist  r  der  kürzeste 
Abstand  der  e  von  der  a,  also  der  Halbmesser  der  Eehlschrauben- 
linie,  so  ist  die  Neigung  6  (<  90®)  derselben  gegen  die  (zur  Axe 
senkrechte)  Normalebene  durch 

®  2wr         r 

(335)  ausgedrückt.  Bezeichnet  man  andererseits  mit  a  (<  90®)  die 
Neigung  der  Erzeugenden  gegen  die  Normalebene,  so  ergibt  sich 
die  Fläche  als  abwickelbar,  wenn  /$  ^==  s  ist,  indem  dann  die  Erzeu- 
genden Tangenten  der  Eehlschraubenlinie  sind. 

Da  die  Benennungen  „gerade"  und  „schief"  nur  auf  Begel- 
schraubenflächen  anwendbar  sind,  so  heißt  eine  solche  Fläche: 

1)  eine  geschlossene  gerade  Schraubenfläche  (oder  axial-normale), 
auch  Wendelfläche,  wenn  r  «=  0,  c  =  0, 

2)  eine  geschlossene  schiefe  Schrauben  fläche,  wenn  r  =  0,  s>0, 

3)  eine  offene  gerade,  wenn  r  >  0,  c  «=  0, 

4)  eine  offene  schiefe,  wenn  r  >  0,  «  >  0;  dabei  ist  sie  äbwidcel- 
bar,  wenn  a  =  <y . 

448.  Suchen  wir  zu  der  (iUgemeinen  Regelschrauben  fläche,  also 
zur  offenen  schiefen,  die  asymptotische  Fläche  und  die  Striktions- 
linie.    Der  RichÜcegd  derselben   ist   ein  Umdrehungskegel,   dessen 

Axe  zu  a  parallel  läuft.     Stehe  von  der  Schraubenfläche  die  Axe  Fig.  i88. 
a{M',  a")  A.'Bi,  sei  e^  {e^ ,  e'')  eine  zu    Pj   parallele   Erzeugende, 
B  ihre  Neigung  gegen  die  Normalebene  F|,  M'Bi^^r^  ihr  Halb- 
messer, B^A^{B^Ä{,  B"A^')  die  Kehlschraubenlinie,  so  mag  vom 


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488  X,  448-449.   Die  windschiefen  Flächen. 

Bichtkegel  die  Axe  a,  die  Spitze  {M\  B")^  die  zu  e^  parallele  Er- 
zeugende (M'Eq,  B"E")  sein.  Die  Berührungsebene  des  Bicht- 
kegeis  nach  dieser  Erzeugenden  ist  parallel  zur  Berührungsebene 
der  Schraubenfiäche  in  dem  unendlich  fernen  Punkte  der  parallelen 
Erzeugenden  ßi,  und  da  sie  die  e^  selbst  enthält,  ist  sie  die  Cisymp- 
toHsche  Ebene  für  e^.  Zieht  man  in  dieser  Ebene  Parallele  zu  e^^ 
wie  e^^e,...  welche  yon  a  die  Abstände  r2,ry . . ,  besitzen,  und  läßt 
sie  Schraubenbewegungen,  übereinstimmend  mit  derjenigen  von  e^, 
ausführen,  so  beschreibt  jede  eine  Schraubenfläche,  darunter  die  e 
eine  abwickelbare,  wenn,  wie  hier,  ihr  Halbmesser 

ist.  Jene  asymptotische  Ebene  ist  von  allen  beschriebenen  Schrau- 
benflächen die  asymptotische  Ebene  für  ihre  Erzeugenden  e^  .  • . , 
und  von  der  abwickelbaren  die  Berührungsebene  für  e.  Da  bei  der 
.  gemeinsamen  Schraubenbewegung  von  e^y  e^,  e  ...,  alle  diese  Ge- 
rade in  jeder  Lage  stets  in  derselben,  die  abwickelbare  Fläche 
berührenden  Ebene  liegen,  so  ist  die  letztere  die  asympU^ische 
{(jibwickelba/re)  Fläche  aller  beschriebenen  windschiefen  Schrauben- 
flächen (383). 

Die  C€ntrald)€ne  der  Fläche  für  e^  steht  senkrecht  auf  der 
asymptotischen  Ebene  (384),  ist  daher  die  erste  projicirende  Ebene 
der  e^.  Dieselbe  enthält  die  Tangente  der  Kehlschraubenlinie  in 
B^y  berührt  daher  die  Fläche  in  diesem  Punkte,  so  daß  derselbe 
der  Centrcilpimkt  von  e^  ist.  Bie  Striktionslinie  einer  Begetschrauben- 
fläche  liegt  daher  in  ihrer  Kehlschraubenlinie,  und  wird  bei  der  ge- 
schlossenen Fläche  zur  Axe. 

449.    Äufg.   Von  der  offenen  schiefen  Schraubenfläche  die  Normal' 
kurve  m  Jconstruiren. 
Fig.  182.  Aufl.    Wir  wollen  unter  den  Annahmen  der  vor.  Nr.  gleichzeitig 

drei  Schraubenflächen  betrachten-,  für  welche  gilt 

h  =  2n;rtg€,        r^KrKr^. 

Von  den  rechtsgewundenen  Kehlschraubenlinien  seien  B^A^^  BA, 
B^A^  die  von  B"  abwärts  gerichteten  Viertelsgänge,  durch  deren 
untere  Enden  A^j  Ay  A^  die  P^  gelegt  sei.  Als  NormdOcurven  werden 
die  ersten  Spuren  der  Flächen  konstruirt  Von  der  abwickelbaren 
Fläche  (a,  e)  ist  die  erste  Spur  die  Kreisevolvente  A'E'  (344),  und 
man  erhält  einen  Punkt  P'  derselben,  wenn  man  an  den  Kreis 
(M',  r)  in  Q'  die  Tangente  Q'F'  zieht  und  Q'P"  =  Bog.  Q'A' 
macht;  ebenso  ist  Tangente  B' E' t=  Bog.  B' A\  In  Bezug  auf  die 
anderen   Flächen    beachte    man,    daß    bei    der    gemeinschaftlichen 


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X,  449.   Die  windschiefe  Scbraabenflftche. 


489 


Schraubenbewegang  der  fest  Terbuodenen  Erzeugenden  e,  ei,  e^  die 
Berührungspunkte  derselben  mit  den  zugehörigen  Kehlschrauben- 
linien,  wie  By  B^j  B^y  auf  einer  die  a  senkrecht  schneidenden 
Geraden,  und  sie  selbst  in  ein  und  derselben  Ebene  bleiben.  Sind 
im  Grundriß  Q\  Q^'y  Q^  drei  solche  zusammengehörige  Berührungs- 
punkte,  die  also  mit  JiT  auf  einer  Geraden  liegen,  so  sind  die  Er- 
zeugenden Senkrechte  zu  dieser  Geraden  in  jenen  Punkten,  und  ihre 
ersten  Spuren  liegen  in  einer  zu  der  Greraden  M'Q'  parallelen  Ge- 
raden,  der  ersten  Spur  der  Ebene  der  Erzeugenden.    Man  erhält 


Fig.  182, 


daher  auf  ihnen  die  ersten  Spuren  P',  P^,  P^',  wenn  man  Q'P* 
=  Bog.  Q'Ä'  macht,  die  Gerade  P'P^'  \  Jf  Q'  zieht  und  mit  jenen 
Tangenten  bezw.  in  P/  und  P^'  schneidet,  oder  wenn  man  auf 
FP/  die  yPt^Q'Qiy  und  die  P'P^'^Q'Q^  auftragt  Diese 
Konstruktion  zeigt,  daß  die  Normalkurven  der  Flächen  durch  Punkte 
P/,  P^  beschrieben  werden,  welche  fest  mit  der  auf  einem  Kreise 
abrollenden  Tangente  verbunden  sind,  daß  sie  also  die  verschlungene 
oder  geschupfte  Ereisevolvente  bilden,  je  nachdem  r^  oder  r,  <  oder  >  r 
ist  (327—330).    Daher  gehen  ihre  Normalen  in  P',  P/,  P,'  alle  durch 


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490  X,  449—460.   Die  windschiefen  Flächen. 

Q'  (308),  und  man  kann  nach  Nr.  309  und  310,  6),  Fig.  135  die 
KfiitnmungsmittelpunJde  bestimmen.  Indem  wir  denselben  für  Ä^ 
bestimmen  wollen,  müssen  wir  ihn  vorher  für  einen  außerhalb  A'A^' 
liegenden,  sonst  aber  beliebigen  Punkt  ermitteln.  In  Fig.  135  ist 
dies  der  Punkt  P;  denselben  rücken  wir  zweckmäßig  auf  der  dort 
willkürlich  durch  A  gezogenen  Geraden  J.P  ins  Unendliche.  Da 
auch  M'  als  ErQmmungsmittelpunkt  der  rollenden  Geraden  ins  Un- 
endliche fallt,  so  gilt  dies  auch  von  Ny  und  K  rückt  in  den  Fuß- 
punkt K"  der  von  M  auf  AP  geföUten  Senkrechten.  Daher  ziehe 
man  in  Fig.  182  durch  A'  die  beliebige  Gerade  A'L,  ferner  M^L 
±  A'L,  A'N^  ±  A'L,  A,'N,  |  A'L]  dann  schneidet  LN,  die  A'A^ 
im  Erümmungsmittelpunkte  K^  für  A^.  Entsprechend  findet  man 
jKj  zu  A^'  mittelst  L  und  N^. 

Da  auch  e/P/=  Q^P^^  Q'P'=  Bog.  Q'A\  und  da  Q'A' 
=»  Xi .  Q^A^^=^  Xjj .  Q%A^,  wenn  «^  «=«  r  :  rj,  Xjj  =  **  •  **a  unveränder- 
lich (und  zwar  in  unserem  Falle  x^  >  1,  x,  <  1),  so  gilt  auch 

(2/p/=  X, .  q^a;,    q,'p,'=  X, .  ö,x. 

Daher  entstehen  diese  Kurven  auch,  wenn  man  auf  jeder  Tangente 
eines  Kreises  die  Bogenlänge  zwischen  dem  Berührungspunkte  und 
einem  festen  Punkte  des  Kreises^  muUiplicirt  mit  einer  unveränderlichen 
Zahl  X,  aufträgt,  tmd  awar  die  gemeine ,  verschlungene  oder  geschweifte 
Kreisevolvente,  je  nachdem  x  =  1,  >  1,  <  1. 

450.    Aufg.    Von  der  offenen  schiefen  Schraubenflädie  die  Meri- 
dianhurve  jsu  bestimmen. 
Fig.  18S.  Aufl.    Gelten   alle  Bezeichnungen   der   vor.  Nr.,   so   bestimmt 

man  einen  Punkt  des  (mit  Fg  parallelen)  Hauptmeridianes,  indem 
man  eine  Erzeugende  Q^P^  mit  der  Hauptmeridianebene  in  B^ 
schneidet  und  beachtet,  daß  der  Abstand  des  B^  von  der  F^ 
»Pj'lZ^'.tg«  ist.  Dieser  Abstand  ist  hier  eine  Tiefe  unter  F|, 
weil  B^  mit  Q2  auf  entgegengesetzter  Seite  von  der  ersten  Spur  P^ 
li6g^7  Q%  ^^^f  6u^6  Höhe  über  F^  besitzt.  Daher  trage  man  auf 
x"  im  Sinne  des  Fallens  der  e"  die  E"S  =  Pg'Ug'  auf,  ziehe  ST 
±  x"  bis  T  auf  e\  TB^'  ||  x\  B^'B^'±  x'\  so  schneiden  sich  die 
beiden  letzteren  Linien  in  einem  Punkte  B^'  des  Meridianes.  Auf 
derselben  Geraden  B^B^'  erhält  man  Punkte  der  anderen  Kurven, 
wenn  man  aus  B^  auch  Tangenten  an  die  Kreise  (r),  {r^  zieht  und 
ihre  Schnittpunkte  mit  den  zugehörigen  Normalkurven  an  der  Stelle 
von  P,'  benutzt.  Die  mit  F,  parallelen  Erzeugenden  {e ,  e^,  ei\  e*^ 
liefern  für  die  Meridiane  der  drei  Flächen  als  gemeinschaftlichen 
uilendlich  fernen  Punkt  denjenigen  von  e"\  und  da  die  Berührungs- 
ebene der  abwickelbaren  Fläche  (a,  i)  entlang  e  Asymptotenebene 


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X,  450.    Die  wiocUcbiefe  Schraubenfläche.  491 

der  beiden  anderen  Flächen  (a,  e^)  und  (a,  e^)  ist  (449)  ^  dieselben 
also  im  Unendlichen  berührt^  so  ist  die  zweite  Spur  dieser  Ebene, 
d.  i.  e'\  die  Asymptote  der  drei  Meridiankurven. 

Die  Meridianlinien  haben  unendlich  viele  unter  einander  kon- 
gruente Äste.  Jeder  derselben  hat  eine  Spitze  {Ä"),  einen  Doppel- 
punkt (Z)');  oder  keines  von  beiden,  vielmehr  einen  offenen  (hyperbel- 
artigen) Verlauf,  je  nachdem  das  Gleiche  bei  dem  Normalscbnitte 
auf  dem  beiderseits  sich  erstreckenden  Viertelsgange  stattfindet,  also 
je  nachdem  r^^r  oder  x  =  r :  r^  >  1  ist;  die  Fläche  ist  dann  ab- 
toickelbar^  verschlungen  oder  geschweift,  wie  wir  sie  in  den  letzteren 
Fällen  nennen  wollen.  Bei  der  geschweiften  Schraubenfläche  schmie- 
gen sich  an  die  hyperbelartige  Meridianhurve  deren  Asymptoten  von 
innen^  wie  in  der  Figur,  oder  von  außen,  une  bei  der  Hyperbel,  an, 
je  nachdem  r^  ^  2 r,  oder  x^^  ist  Denn  der  Punkt  T  der  Asymp- 
tote liegt  im  Inneren  oder  Äußeren  des  Meridiauastes,  je  nachdem 
TjRj"^0  ist,  wenn  der  Sinn  M"E"  als  positiv  angenommen  wird. 
Es  ist  aber  IB^'~  SE"+  E^B^^  It^P%  —  B^E^.  Um  über  das 
Anschmiegen  im  Unendlichen  zu  entscheiden,  ziehen  wir  im  Grund- 
riß die  zu  B^E^  benachbarte  Erzeugende  Q^B^,  welche  die  E^E' 
und  die  Hauptmeridianebene  bezw.  in  C  und  B^  trifft,  und  auf 
welche  aus  E^  eine  Senkrechte  mit  dem  Fußpunkte  F  gefallt  werde, 
wobei  CF'^'B^Q^.  Es  treten  dann  jene  Fälle*  ein,  je  nachdem 
das  zu  denkende  TB^'^  B^B^  —  B^E^^O  ist.  Der  aus  B^  durch 
Eq  gezogene  Kreis  geht  aber  durch  die  Mitte  von  FO  (I,  236,  7)); 
es  ist  daher  B^E^  =  B^F  +  ^ J^'C  —  B^F  —  \  B^Q^.  Femer  ist 
JBjP,  —  B^F  +  FP,;  und  da  wegen  B^Qj^  —  CF  auch  B^ E^ 
"s  Q^F,  und  andererseits  nach  der  Konstruktion  der  Kurve  B^'E^ 
-  Qt^z  =  X  .  B^Q^,  daher  auch  Q^F^  Q,P,  =  P,F  -  x.B^'Q,, 
so  ist  auch  JJjP,  =»  li^l^— x,  JB,'^,,  Daraus  ergibt  sich  aber 
TR;'~B,P,^B,E,'^^x.B,'Q,  +  iB,'Q„  won^h  TB^^O, 
je  nachdem  —  x  +  1  ^  0  oder  x  ^  ^  ist,  w.  z.  b.  w. 

Die  Tangenten  der  Meridiankurve  in  ihrem  Doppelpunkte  D" 
erhält  man  aus  denen  der  Normalkurve  in  D',  Die  letzteren  erhält 
man,  wenn  man  aus  D'  eine  Erzeugende  als  Tangente  D'Vi  an 
den  Kreis  (rj  zieht  und  den  Halbmesser  des  Berührungspunktes 
üi  über  diesen  hinaus  bis  zu  V  auf  dem  Kreise  (r)  verlängert,  dann 
ist  D'J'A.  D'  Z7'  eine  der  Tangenten  in  D'.  Die  Berührungsebene 
der  Schraubenfläche  in  D  ist  nun  durch  ihre  erste  Spur  D'J'  und 
die  Erzeugende  DU^  bestimmt  und  ihr  Schnitt  D"V"  mit  der 
Hauptmeridianebene   ist   die   gesuchte  Tangente«     Man   findet   sie, 


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492  X,  460—452.    Die  windschiefen  Fl&chen. 

wenn  man  in  der  Berührungsebene  die  Parallele  "M-'J*  zur  Erzeu- 
genden fTi'D'  bis  zu  T  in  der  ersten  Spur  zieht,  die  M!jr^=^  Jtf"Jo 
auf  x"  aufträgt,  und  J^V^le"  bis  V"  auf  a"  zieht;  dann  ist 
D"T"  bestimmt 

461.  Die  Krümmungshalbmesser  r^  und  r»,  der  Normdlr  und 
der  Meridiankurve  in  ihren  Scheiteln  lassen  sich  leicht  bestimmen. 
FQr  die  ersteren  ergibt  sich  dabei  eine  zweite  Konstruktion  (449). 

Nimmt  man  A^  als  Ursprung  und  A^B^  als  -|~  ^Axe^  zieht  in 
dem  um  den  unendlich  kleinen  Bogen  r^  tp  von  A^  entfernten  Punkte 
des  Kreises  A^Q^  die  Tangente,  und  trägt  auf  ihr  die  Länge 
xr^9)s=r9>  auf,  so  hat  der  Endpunkt  offenbar  die  Koordinaten 
(wobei  cos  9*  «=»  1  —  J^  9*)  x  '^  —  r^  •{-  r^  c^o^  q>  -{-  x  r^  q>  wi  q> 
«=»  fi  9*  (x  —  i^);  y  =  ^1  sin  9  —  X  r^  9  cos  9  =  r^  9  (1  —  x) ;  daher 


^»        ^  «         ^1  2*  — 1         2r  — fj 


Die  Kreistangente  in  jenem  dem  A^  benachbarten  Punkte  ist 
die  Projektion  einer  Erzeugenden  der  Schraubenfläche  und  der  Punkt 
der  Normalkurve  ihre  erste  Spur;  hieraus  ergeben  sich  die  Koor- 
dinaten ihres  Schnittpunktes  mit  der  Hauptmeridianebene  und 
dann  fm: 

««(r^tg?)  — xri9)tgc  =  r,9)(l  — x)  tg«, 

Der  positive  Krümmungshalbmesser  hat  den  Sinn  von  -|-  Xj  ist 
also  von  M  weg  gerichtet.  Es  ist  daher  r^  ^  0,  je  nachdem  2 r  >ri ; 
der  Übergang  geschieht  durch  r,,  «b  00.  Dagegen  ist  stets  r0i>O. 
—  Zur  Konstruktion  für  den  Scheitel  A^  ziehe  man,  wenn  (?,  G^ 
die  diametralen  Gegenpunkte  von  A',  -ä/,  die  G^G^JL]l£G^y  mache 
G^G^  =  2r  —  ri  =  GA'--  MA^\  ziehe  GG^  X.  GG^  bis  Ö3  auf 
G^G^y  so  ist  r„  =  G^G^.  Andererseits  ziehe  man  GH^l  B"E" 
bis  fli  auf  G^  G^  und  H^H^  ±  M'H^  bis  H^  auf  M'G^,  so  ist  r„ 
s=3  G^i  £^2*  —  ^^^  ^'  ^^^  ^^^  entsprechenden  Linien  gezeichnet 

b)  Die  geschlossene  schiefe  Schraubenfläche. 

462.  Die  Axe  teilt  die  Fläche  in  zwei  Äste,  in  den  oberen 
und  unteren,  wenn  die  Axe  aufrecht  steht 

Aufg.    Den  unteren  Ast  eines  Ganges  der  geschlossenen  schiefen 
Schraubenfläche  dareusteüen. 
Fig.  18S.  Aufl.    Sei  a  {M',  a")  die  auf  P^  senkrechte  Axe,  e  eine  mit  P, 


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X,  462.   Die  windschiefe  Sohranbenfläche. « 


493 


parallele  Erzeugende  von  der  Neigung  s  gegen  P^,  sei  (M\  B^') 
ihr  Schnittpunkt  mit  der  Axe^  B  ein  anderer  Punkt  derselben^ 
durch  welchen  die  P^  gelegt  werde,  BCD  ein  Gang  der  auf  der 
Fläche   durch   B   gelegten  (rechtsgängigen)  Schraubenlinie;   deren 

Neigung  =3  a.  Dieselbe 

•  i.  T>  •       i  >!  Fig.  183. 

ist   von  B  aus   in   14  ^ 

gleiche  Teile  geteilt, 
und  durch  die  Teilungs- 
punkte sind  Erzeugende 
gezogen;  sie  schnei- 
den auf  der  Schrauben- 
axe  Stücke  von  ^  der 
Ganghöhe  Ä(=B/'2)/' 
=  B"D")ab.  Der  Ein- 
fachheit  halber  wurde 
Bi'  in  der  Höhe  eines 
Teilungspunktes  Q  der 
Schraubenlinie  ange- 
nommen. 

Die  Meridiankurve 
besteht  aus  zwei  Schaa- 
ren  paralleler  Erzeu- 
genden; in  der  Haupt- 
meridianebene ist  die 
eine  Schaar  parallel  zu 
B"Bi"y  die  andere  zu 
C"C/'.  Die  Schnitt 
punkte  der  Geraden  ver- 
schiedener Schaaren, 
wie  i^',  beschreiben  die 
Doppdschraubenlinien 
der  Fläche. 

Die  Nonnalhurve 
soll  in  der  J.a  durch 
Bi  gelegten  Ebene  S  be- 
stimmt werden.  Schnei- 
det E  die  Erzeugende  (M'Q\  Q^'Q")  in  Qy  und  ist ^ B'M'Q'=  9, 
M'Q'mmr,  so  wächst  proportional  mit  dem  Drehungswinkel  tp  der 
Erzeugenden  der  Abstand  ihres  Schnittpunktes  mit  der  Axe  a  von  S, 
daher  auch  der  Leitstrahl  r,  so  daß  die  Narmalkurve  der  gesdUosse- 
nen  schiefen  Schratibenfläche  eine  Archimedische  Spirale  ist  (331).  Ihre 
Gleichung  ergibt  sich,  indem  man  beachtet,  daß 


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494  X,  4ft3— 46S.    Die  windiohiefen  Fl&chen. 

B;'Q"=^  h  -^^  und  r  =  M'Ö'=  B/'Ö,"-  cot«; 

dann  ist  r  =  Ä  ^  cot  £  =  Ä^  9)  cot  £  =  r^  9. 

Es  ist  dies  die  Gleichung  einer  Archimedischen  Spirale,  deren 
Parameter  r^  «=  Hq  cot  €,  worin  ä^,  die  reducirte  Ganghohe  oder  den 
Parameter  der  Schraubenbewegung  bedeutet. 

Dies  Ergebnis  fOr  die  geschlossene  Fläche  stimmt  mit  den  Er- 
gebnissen der  Nr.  449  überein,  nach  welchen  die  Normalkurre  der 
offenen  Regelschraubenfläche  eine  verschlungene  Kreisevolvente  ist, 
da  man  die  Archimedische  Spirale  als  besonderen  Fall  derselben 
ansehen  kann  (330),  in  welchem  r^  (r^  der  Nr.  449)  «=  0,  und 
X  =  00  geworden  ist.  Die  Gestalt,  welche  die  Fig.  182  für  r^  ««  0 
annimmt,  ergibt  den 

Sat0:  Die  Fußpunkte  (P/)  der  aus  dem  Matelpunkte  {M')  des 
Grundkreises  einer  Kreisevolvente  auf  deren  Tangenten  gefäükn  Senk- 
rechten bilden  eine  Archimedische  Spirale,  deren  Seheitel  in  dem  Krets- 
mitteJpunkte  liegt. 

Übungsaufgabe.  Den  Schnitt  einer  beliebigen  Ebene  mit  der 
Schraubenfläche  zu  bestimmen.  Man  erhält  Kurven,  welche  auf 
jedem  Gange  der  Fläche  zwei  Asymptoten,  oder  eine  unendlich  ferne 
Tangente  oder  keinen  unendlich  fernen  Punkt  besitzen,  je  nachdem 
die  Neigung  der  Schnittebene  gegen  die  Normalebene  >,  «>  oder 
<€  ist. 

463.  Die  Beruhrungsebene  in  einem  gegebenen  Punkte  Q  oder  P 
der  Fläche  enthält  die  Erzeugende  des  Punktes,  und  die  Tangente 
der  durch  den  Punkt  gehenden  Schraubenlinie  der  Flache.  Ihr 
Schnitt  mit  der  durch  Q  gelegten  Normalebene  E  ergibt  sich  auch 
als  Tangente  Q'T'  der  Normalkurve  der  Fläche  in  Q\  einer  Archime- 
dischen Spirale.  Diese  Tangente  zieht  man  senkrecht  zur  Normale 
Q'Nf  und  letztere  erhält  man  (332),  wenn  man  zum  Leitstndile  HfQ' 
die  Senkrechte  M'N  im  Sinne  der  Öffnung  der  Spirale  zieht  (also  bei 
unserem  unteren  Aste  einer  rechtsgängigen  Schraubenfläche  nach 
links,  wenn  man  von  M  gegen  Q  schaut),  und  auf  ihr  den  Para- 
meter r^  «s  M'N  aufträgt,  um  r^  zu  bestimmen,  zeichnet  man  im 
Aufriß  eine  zu  Fg  parallele  Tangente  der  Schraubenlinie,  etwa  die 
nächste  bei  B,  indem  man  auf  a"  nach  oben  die  M"H  -»  i  A^  und 
auf  X  nach  links  die  M^'Hq  "»  \  Umfang  des  durch  B'  gehenden 
Grundkreises  aufträgt;  dann  ist  '^M^HqH'^ö  bestinmit.  Die 
Parallele  B"Ä"  zu  H^H  schneidet  dann  auf  a"  die  M"Ä"^rtg6 
—  Äo>  ^»<i  <Jiö  Parallele  A"E"  zu  e"  auf  x  die  M''E"'^\  cotc 


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X,  468—464.   Die  windschiefe  Sohraubenfl&che.  495 

Da  alle  Nonnalschnitte  kongruente  Archimedische  Spiralen  mit 
demselben  Parameter  r^  sind,  so  bleibt  der  Punkt  N  ungeändert 
f&r  alle  Punkte  der  Erzeugenden  M'Q\  so  daß  für  irgend  einen 
solchen  Punkt  P'  die  P'N  die  Normale  der  durch  P  gelegten  Nor- 
malkurye  ist,  und  daß  die  X  P'N  durch  Q'  gehende  Q'S'  den 
Schnitt  der  S  mit  der  Berührungsebene  der  Fläche  in  P  bildet. 
Dabei  wird  anschaulich,  wie  mit  der  Reihe  der  Berührungspunkte  P 
auf  der  Erzeugenden  MQ  das  Strahlenbüschel  N  und  daher  auch 
dasjenige  Q'  der  Spuren  Q'S'  der  Berührungsebenen,  und  daher  das 
dieser  Ebenen  selbst  projektiv  ist.  -—  Es  wird  sich  als  vorteilhaft  er- 
weisen, den  ParcMteterhreis  (331)  aus  M'  durch  N  zu  zeichnen. 

464.  Den  Umriß  u  der  senkrechten  Projektion  der  geschlossenen 
schiefen  Schraubenfläche  auf  eine  mr  Axe  a  paraUde  Ebene  findet 
man  durch  Umkehrung  der  Aufgabe  der  vor.  Nr.  Ist  F,  jene  Ebene, 
so  wird  der  Umriß  der  zweiten  Projektion  gesucht,  und  es  ist  jede 
zu  legende  Berührungsebene  J_  F^,  oder  der  Umriß  ist  der  Ort  des 
Punktes  K  der  Fläche,  in  welchen  die  Tangente  der  durch  den 
Punkt  gehenden  Archimedischen  Spirale  J.  F,,  also  ihre  Normale 
II  X  läuft  Sucht  man  auf  einer  Erzeugenden  {M'J'y  Ji'J")  den 
Punkt  Ky  so  ziehe  man  aus  M'X  MJf  im  Sinne  der  Öffnung  der 
Spirale  die  M'Q  ^^r^  und  dann  die  GK'  \x\  durch  sie  wird  K'  be- 
stimmt. Eine  zweite  Konstruktion  ist  ebenso  kurz.  Ist  die  M'L 
J.  X  und  «»  r^y  LB  \  x  oder  eine  Tangente  des  Parameterkreises, 
und  schneidet  sie  die  Erzeugende  WJ'  in  12,  so  sind  die  recht- 
winkligen Dreiecke  GM'K'  und  MLR  offenbar  kongruent,  so  daß 
M'K'^^  LB.  Daher  erhält  man  den  Punkt  K'  auch,  wenn  man 
die  M'J'  mit  der  Z 12  in  12  schneidet  und  M'K^=^LB  macht 
Setzt  man  M'K'=  r^,  ^  B'MK'=  ^,  so  folgt  hieraus  die  Polar- 
gleidmng  der  ersten  Projektion  u   des  »weiten  Umrisses 

Zieht  man  die  Erzeugende  A.X,  so  wird  M  K'^==^  LB  «=»  0,  so  daß 
diese  Erzeugende  die  Kurve  berührt;  zieht  man  sie  H  x,  so  fällt 
K"  ins  Unendliche,  und  es  sind  die  beiden  zu  x  parallelen  Tan- 
genten des  Parameterkreises  die  Asymptoten  der  Kurve,  da  von 
ihnen  der  Kurvenpunkt  f  denselben  Abstand,  wie  der  Kreispunkt 
G  besitzt,  der  letztere  aber  beim  Fortschreiten  von  K'  beliebig 
klein  wird. 

Um  die  Tangente  der  Kurve  in  K'  nach  dem  Verfahren  der 
ähnlichen  Figur  (I,  204)  zu  bestimmen,  denke  man  sich  auf  BL 
gegen  L  und  auf  K'llif  gegen  IT  zwei  gleiche  unendlich  kleine 
Strecken  BB\  K'K*'  aufgetragen,  und  die  Gerade  12'Jlf'  mit  dem 


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496  X,  454.   Die  windschiefen  Flächen. 

aus  M'  durch  K"  gezogenen  Kreise  in  K^  geschnitten;  dann  ist 
K'Kq  ein  Element  der  Kurve.  Die  KM'  schneidet  aber  auf  X'Gf 
ein  unendlich  kleines  Stück  K'L^  ab.  Um  nun  die  Figur  K'K"KqLq 
mit  dem  Ahnlichkeitspunkte  K'  zu  vergrößern;  ersetze  man  die 
unter  einander  gleichen  Strecken  RB\  K'K'  durch  die  unter  ein- 
ander gleichen  "RLyK' M!\  dann  entspricht  dem  Kreiselemente  K'K^ 
die  zu  WK  Senkrechte  JTZi,  L^  rückt  in  den  Schnittpunkt  2^ 
von  LM!  mit  K'Gy  und  der  L^K^  entspricht  die  mit  KM!  Paral- 
lele L^K^*    Daher  ist  K K^  die  Tangente. 

Der  Krüfnmungshalbmesser  der  ersten  Projektion  u  des  0weUen 
Umrisses  in  ihretn  Scheitel  M'ist=^^  r^.  Denn  wenn  der  ^  LM'B 
unendlich  klein  wird,  ist  er  zugleich  Umfangswinkel  des  Krümmungs- 
kreises  und  Mittelpunkts winkel  des  Kreises  (M',  Tq),  während  die 
Bogen  M'K  und  LB,  der  beiden  Kreise  unter  einander  gleich  sind. 
Daher  gehört  zu  den  gleichen  Bögen  ein  doppelt  so  großer  Mittel- 
punktswinkel des  Krümmungs-  als  des  Parameterkreises,  folglich  ist 
sein  Halbmesser  halb  so  groß,  als  der  des  letzteren. 

Die  Figur  a)  mit  übereinstimmenden  Buchstaben  (ohne  Striche) 
zeigtnoch,  daßAJfFTF^  AG^-lfD',  daher  FTr=-afD' ist;  und  da- 
durch ergibt  sich  eine  neue,  später  zu  benutzende  Konstruktion. 

Die  Punkte  der  zweiten  Projektion  oder  des  scheinbaren  zweiten 
Umrisses  u'  erhält  man  durch  Hinaufprojiciren  der  Punkte  K  auf 
die  zweiten  Projektionen  der  zugehörigen  Erzeugenden  nach  K'*. 
Sie  besteht  aus  unendlich  vielen  hyperbelartigen  Ästen,  welche  a' 
berühren  und  die  zu  F^  parallelen  Erzeugenden  zu  Asymptoten 
haben.  Der  Teil  der  Kurve  ist  strichpunktirt,  welcher  auf  der  Fort- 
setzung des  dargestellten  Flächenteiles  liegt 

Um  den  Krümmungshalbmesser  r^^  =  X"Xq  des  etoeüen  scheifi' 
baren  Umrisses  u'  in  einem  Scheitel  X"  zu  bestimmen,  denke  man 
sich  auf  LR  von  L  aus  ein  Linienelement  y'  aufgetragen;  der  nach 
dessen  zweitem  Endpunkte  aus  JT  gezogene  Strahl  schneidet  dann 
auf  u  von  M'  aus  das  gleiche  Element  ab.  Die  zweite  Projektion 
des  Endpunktes  dieses  Elementes  auf  u"  hat  einen  Abstand  von 
X"  =  y",  und  daher  besteht  das  Verhältnis  der  Krümmungshalb- 
messer ^^0  von  u    und  r^  von  u'  in  ihren  Scheiteln  (208) 

y"  besteht  aber  aus  der  Bahn  des  Schnittpunktes  der  über  y'  hin- 
gleitenden Erzeugenden  auf  der  Schraubenaxe,  und  diese  ist  a. 
y'iK'^o)*  ^^^  *^s  ^®^  Projektion  des  y'  der  Grundrißerzeugenden 
auf  die  Aufrißerzeugende,  und  diese  ist  ebenfalls  =  y'  (h^ :  r^),  so 
daß  ?/"  =  2y'  (Äo'**©)'    Daraus  folgt  aber  mit  Hilfe  obiger  Gleichung 


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X,  454—456.   Die  windschiefe  Scbraubenfläche.  497 

Diese  Formel  wird  mittelst  des  Punktes  X^  der  x  konstruirt,  für 
welchen  Ä"X,±.E''Ä''  oder  B"X,  ±  B^'Ä'',  es- ist  dann  r,= 
T'X^  =  2M"X,'*), 

Übungsaufg.  Man  suche  eine  Tangentenkonstruktion  für  u  nach 
dem  Verfahren  der  ähnlichen  Figur  aus  der  Eigenschaft  VW=  MU 
(Fig.  183  a)).  Die  Einfachheit  der  Beziehung  verspricht  eine  sehr 
einfache  Auflösung,  die  ich  unberührt  lassen  will,  um  die  Erfindungs- 
freu^e  des  Lesers  nicht  zu  stören. 

c)  Die  Schattengrenzen  der  geschlossenen  schiefen 
Schraubenfläche. 
466.  Die  bei  Parallelbeleuchtung  entstehende  Eigen-  und 
Schlagschattengren^e  einer  beliebigen  Schrauhenfläche  werden  mit  Hilfe 
einiger  wichtigen  Sätee  von  Burmester"**)  aus  der  Normalkurve  leicht 
konstruirt.  Es  sei  Pj  senkrecht  auf  der  Schraubenaxe  a  (M,  a"),  ^ig.  i84. 
F2  parallel  mit  dem  Lichtstrahle  l,  X  dessen  Neigung  gegen  F,, 
Ä  die  Höhe,  Ä^  =  Ä :  2ä  die  reducirte  Höhe  des  Schraubenganges. 
Die  Schraubenfläche  sei  rechtsgewunden,  ihre  Normalkurve  in  P^ 
sei  n.  Läßt  man  die  n  durch  Schraubenbewegung  die  Fläche  er- 
zeugen, so  gibt  es  in  der  Ebene  der  n  einen  aus  M  als  Mittelpunkt 
beschriebenen  Kreis  l^,  dessen  Punkte  Schraubenlinien  beschreiben, 
an  welche  ein  Lichtstrahl  {  eine  Tangente  sein  kann;  sein  Halb- 
messer ist  Iq  ^=  Äq  cot  X  (341).  Der  Schatten  dieser  Schraubenlinie 
auf  jede  zu  a  senkrechte  Ebene  ist  eine  gemeine  Cykloide,  deren 
Bahnlinie  die  Projektion  jenes  berührenden  Lichtstrahles,  also  eine 
der  beiden  mit  V  parallelen  Tangenten  des  Kreises  Zj,  bei  unserer 
rechtsgewundenen  Fläche  die  DE,  ist.  Während  l^  und  n  fest  mit  ein- 
ander verbunden  die  Schraubenbewegung  ausführen,  rollt  der  Schat- 
ten des  l^  auf  P^,  der  ein  mit  l^  gleicher  Kreis  ist,  auf  der  Geraden 
DE  hin,  und  bewegt  sich  der  fest  mit  diesem  Schattenkreise  ver- 
bundene Schatten  von  n  mit;  die  Einhüllende  s^  desselben,  oder  seine 
Hüllbahnkurve  ist  die  Schlagschattengrenze  der  Schraubenfläche  auf  Pj . 


♦)  Herr  Tesar  hat  auf  kinematischem  Wege  die  Evolute  der  Kurve  u"  be- 
stimmt und  dabei  auch  den  Erümmungshalhmesser  für  den  Scheitel  vermittelst 
der  Lüiie  -B/'X,  der  obigen  Figur  konstruirt.  Es  geschah  dies  in  seiner  Ab- 
handlung: „Die  Eontourevolute  axialer  Schraubenflächen**  (Sitzungsber.  d.  Akad. 
d.  Wiss.  in  Wien,  B.  94,  Abt.  2,  1886). 

*•)  Bwrmester,  .kinematisch -geometrische  Constructionen  der  Parallelpro- 
jection  der  Schraubenflächen  und  insbesondere  des  Schattens  derselben.  Schlö- 
milchs  Zeitschr.  f.  Math.  u.  Phjs.,  Jahrg.  18,  1878,  S.  185. 

Wiener,  Lehrbaoh  der  darstellenden  Oeometrie.   II.  32 


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498 


X,  456—466.    Die  windschiefen  Fl&chen. 


Ist  nun  n  eine  beliebige  Lage  des  Normalsclinittes  und  ist  durch 
sie  die  P^  gelegt,  so  ist  l^  sein  eigener  Schatten  und  D  der  Be- 
rührungspunkt dieses  rollenden  Kreises  mit  seiner  Bahnlinie  DE. 

Man    erhält    dann    den 
^''^'  ^^^'  Berührungspunkt  P  der 

Hüllbahnkurve  von  n, 
oder  der  Schlagschatten- 
grenze, als  Fußpunkt  P 
der  aus  2)  zu  n  gezoge- 
nen  Normale  DP  (311). 
Weil  n  der  Fläche  ange- 
hört, ist  P  auch  ein 
Punkt  der  Eigenschatten- 
grenze. Andererseits  ist 
im  Grundriß  der  Punkt 
D  unveränderlich,  welche 
Lage  n  auch  einnehmen 
mag;  dieser  Punkt  von 
besonderer  Wichtigkeit 
heißt  der  AtAsgangspunkt; 
er  ist  durch  MDA^V 
und  =  Iq  cot  X  und  noch 
dadurch  bestimmt^  daß 
er  auf  derjenigen  Seite 
von  M  liegt,  auf  welcher  eine  Tangente  der  von  D  beschriebenen 
Schraubenlinie  mit  l  parallel  läuft  Wir  können  daher  den  ScUe  von 
Burmester  aussprechen:  Die  Projektion  s'  der  EigenschcUtengrenae  s 
eitler  Schraubenfläche  auf  eine  Normalä)ene  Pj  ist  der  Ort  derjenigen 
Punkte  der  sich  um  die  Schraubenaxe  drehenden  Projektion  der  Normal- 
kurve  n  der  Fläche,  in  welchen  deren  Normalen  durch  den  Ausgangs- 
punkt D  gehen. 

466.  Da  es  meist  leichter  ist,  in  einem  Punkte  einer  Kurve  n, 
als  aus  einem  außerhalb  derselben  liegenden  Punkte,  eine  Normale  zu 
ihr  zu  ziehen,  so  findet  man  Punkte  P  der  s\  wenn  man  in  irgend 
einem  Punkte  Q  einer  Lage  nj  der  n  eine  Normale  QB  zu  n^  zieht, 
sie  mit  dem  Kreise  i^  in  JB  und  jB^  schneidet  und  dann  um  M  dreht, 
bis  B  oder  B^  nach  D  gelangt.  Q  kommt  dann  nach  P  oder  P,, 
und  diese  zwei  Punkte  gehören  der  s'  an  und  liegen  auf  dem  aus  M 
durch  Q  geführten  Kreise  k.  Die  neuen  Lagen  DP,  D P^  erhält 
man  entweder  durch  Übertragen  der  Sehne  BB^  auf  l^  von  D  aus 
nach  beiden  Seiten,  oder  als  die  beiden  aus  D  gezogenen  Tangenten 
des  Kreises  \j  der  aus  M  berührend  ml  QB  gelegt  wird. 


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Xy  456—467.    Die  windschiefe  Schraubeufläche.  499 

Man  findet  die  Punkte  der  5'  auf  einem  beliebig  aus  M  ge- 
zogenen Kreise  Je  aus  dessen  Schnittpunkten  Q,  ü  mit  nj.  Ist  n^ 
symmetrisch  in  Bezug  auf  eine  durch  M  gehende  Gerade  MGf  so 
liegen  Q  und  U  symmetrisch  in  Bezug  auf  MG]  die  Normalen  der 
n2  in  Q  und  U  berühren  dann  denselben  Ereis  h^,  und  die  aus  D 
an  hl  gezogenen  Tangenten  liefern  auf  h  zwei  in  Bezug  auf  MD 
symmetrische  Punktepaare  der  s\  nämlich  P,  S  und  Pj,  S^.  Da 
außerdem  aus  der  Symmetrie  der  n^  in  Bezug  auf  MO  auch  die 
Symmetrie  der  mit  Jlf  6r  in  derselben  Ebene  liegenden  Meridianlinie 
der  Fläche  in  Bezug  auf  JfG^  folgt,  weil  bei  der  Schraubenbewegung 
aus  Q  und  U  offenbar  zwei  derart  symmetrische  Punkte  der  Meridian- 
linie  entstehen,  und  da  andererseits  das  Umgekehrte  gilt,  so  folgt: 
Ist  die  Normälkurve  ehier  Schraubenfläche  symmetrisch  in  Bezug  auf  eine 
Meridianebene  y  so  ist  es  auch  die  Meridia/nlcurve  in  Bezug  auf  ei^ie 
NormalebenCy  und  umgekehrt.  In  diesem  Falle  ist  die  Projektion  s'  der 
Eigenschattengrenee  s  auf  eine  Normalebene  symmetrisch  in  Bezug  auf 
die  zur  Lichtstrahljprqjektion  V  senkrechte  Durchmesserlinie  MD. 

Da  ferner  der  Punkt  F  der  Berühijing  der  PS^  mit  k^  auf 
dem  über  üfD  als  Durchmesser  beschriebenen  Kreise  liegt,  so  folgt: 
In  dem  bezeichneten  Fälle  der  Symmetrie  werden  die  durch  den  Aus- 
gangspunkt  D  gehenden  Sehnen  der  s'  von  dem  Kreise  haJhirt,  dessen 
Durchmesser  MD  ist. 

467«  Den  ErümmungsmittelpunJct  K  der  Schlagschattengrenze  s^ 
in  ihrem  Punkte  P  erhält  man,  indem  man  beachtet,  daß  s^  die 
Hüllbahnkurve  der  beweglichen  Kurve  n  ist,  wenn  diese  mit  dem 
auf  BF  hinrollenden  Kreise  l^  fest  verbunden  bleibt  Er  fällt  daher 
mit  dem  Krümmungsmittelpunkte  K  derjenigen  Kurve  zusammen, 
welche  bei  dieser  Bewegung  von  dem  Krümmungsmittelpunkte  M^ 
der  n  in  P  beschrieben  wird  (311).  Diesen  Punkt  K  findet  man 
(309)  auf  der  Normale  PD,  wenn  man  M^M  mit  der  zu  PD 
Senkrechten  DN  in  N  schneidet,  und  NKA.  DE  oder  _L  V  zieht 
Zugleich  ergibt  sich  dann  PN  als  Normale  des  Grundrisses  s'  der 
Eigenschattengrenze  s.  Denn  sind  T,  T',  I\  die  dem  P  benachbarten 
Punkte  bezw.  der  s,  /,  «j,  derart  daß  TT  _L  P,  und  I\  der  Schatten 
des  T,  also  TT^^V  ist,  und  schneidet  die  Normale  T^K  der  s^  die 
DE  in  JB,  80  ist  B  der  zu  dem  Punkte  T^  der  RolUinie  s^  gehörige 
Punkt  der  Berührung  des  rollenden  Kreises  l^  mit  der  Bahnlinie 
DE]  zugleich  ist  T'T^  =  DP,  weil  beide  Linien  die  Schatten  der 
Steigungshöhe  der  n  von  P  zu  T  bilden.  Schneidet  femer  T^  T  diePK 
in  C,  so  folgt  aus  der  Ähnlichkeit  der  Dreiecke  ZDiV^  und  T^  PC  (deren 
Seiten  paarweise  aufeinander  senkrecht  stehen)  und  der  Dreiecke  KCT^ 
und  KDB,  unter  Beachtung,  daß  für  PT,  =0,  ZC=»  KP  wird, 

32* 

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500 


X,  467—468.    Die  windschiefen  Flächen. 


.   KO        T^C 


oder 


KD       T^F 
KN~  T^C 

und  durch  Multiplikation  dieser  Gleichungen 


KP 
KD 


KP^ 
KN 


Demnach  ist  AEFN^^AT^PT,  und  da  zweimal  zwei  entspre- 
chende Seiten  dieser  ähnlichen,  nicht  rechtwinkligen  Dreiecke  auf 
einander  senkrecht  stehen,  so  gilt  dies  auch  von  den  letzten  PN 
und  Pr,  w.  z.  b.  w. 

468.     Äufg.    Die  Eigenschattengrenjse  s  der  geschlossenen  schiefen 
Schrmbenfläche  hei  Parallelbeleuchtung  m  bestimmen'*). 


Fig.  185. 


Fig.  186. 


Flg.  186. 


Aufl.  Seien  Be- 
grenzung, Stellung 
und  Bezeichnung  die- 
selben wie  in  Nr.  452, 
insbesondere  wieder 
M!'A"  =  \  die  re- 
ducirte  Ganghohe, 
Jtf"^-  =  r^  der  Pa- 
rameter der  Archi- 
dischen  Spirale  des 
Normalschnittes,  sei 
'^  l  der  Lichtstrahl, 
A"  L"  parallel  zu 
dem  um  a  parallel  zu 
Fg  gedrehten  Licbt- 
strahle,  so  ist  Hf'L" 
=  ÄflCotA«=»Z^.  Wir 
können  nun  nach 
den  vorhergehenden 
Nummern  die  Eigen- 
schattengrenze im 
Grundriß  allein  kon- 
struiren,  der  in  Fig. 
186  in  vergrößertem 
Maßstabe,  unter 
Weglassung  der  Stri- 
che bei  den  Buchsta- 
ben, verzeichnet  ist, 


*)  Eine  eingehende  vorwiegend  analytische  Bearbeitong  dieses  Gegenstandes 
hat  Herr  de  la  Goumerie  geliefert  in  seinem  Memoire  sur  les  lignes  d'ombre  et 
de  perspective  des  häli9oides  gauches  (Joam.  de  T^cole  poljt.,  t.  20,  cah.84,  1861). 


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X,  458.   Die  windschiefe  Schraubenfläche.  501 

und  worin  insbesondere  der  Parameterkreis  p  mit  dem  Halbmesser 
^Q  und  der  Kreis  l^  mit  demjenigen  Iq  eingetragen  sind.  Auf  letz- 
terem liegt  (455)  der  Ausgangspunkt  D,  wobei  MD  J_  l  auf  der 
Seite  gezogen  wurde,  auf  welcher  der  Lichtstrahl  die  durch  l^  dar- 
gestellte Schraubenlinie  berührt 

Man   findet   nun  nach  Nr.  456   auf  einem   aus  M  gezogenen 
Kreise  Je   die  Punkte  der  Eigenschattengrenze   beider  Flächenäste, 
wenn  man  auf  h  einen  Punkt  Q  annimmt,   welchen   wir  auf  dem 
einseitig  aus  M  gezogenen  Strahle 
MD  wählen  wollen,  durch  diesen  ^' 

die  Normalkurye,  also  hier  die 
beiden  Aste  einer  Archimedischen 
Spirale  vom  Parameter  r^  gelegt 
denkt,  deren  Normalen  QO  und 
QG^  zieht,  wobei  MGG^±MQ 
und  MG  —  MG^  =  r^  (453),  und 
ferner  QG  und  QG^  mit  l^  in  vier 
Punkten,  wie  JR,  B^,  schneidet; 
dann  geben  die  yier  Strahlen,  wie 
MRf  MBij  auf  h  yier  Kurven- 
punkte S,  Si,  P,  Pi  an.  Denn 
dreht  man  z.  B.  QB^  um  My  bis  B^  nach  D  gelangt,  so  gelangt  Q 
nach  Pi,  weil  A  B^MQ  ^  A  DMP^.  Dabei  liegen  P  und  S^,  sowie 
Pi  und  8  mit  D  auf  einer  Geraden,  weil  DP,  DP^,  DS,  DA, 
gleiche  und  paarweise  gleich  gerichtete  Winkel  mit  MD  bilden, 
nämlich  die  Winkel  MBB^  =  MB^B  ...  Da  für  die  Spirale  auf 
dem  unteren  Aste  der  rechtsgängigen  Fläche  QG  die  Normale  ist, 
und  bei  deren  Drehung  B  oder  B^  nach  D  gelangen  muß,  so  ge- 
langt dann  Q  nach  P  oder  P,,  und  diese  beiden  Punkte  gehören  daher 
dem  unteren  Aste  an;  5,  /S,  dagegen  gehören  dem  oberen  an. 

Schneidet  die  Gerade  DPS^  den  Kreis  p  in  ^  und  JT,,  so  ge- 
langt bei  der  bezeichneten  Drehung  das  rechtwinkige  Dreieck  GMQ 
nach  NMP,  daher  ist^JVJfP  und  ebenso  ^  JV,  Jlf  Ä,  =  90«. 
Hierdurch  ist  eine  Konstruktion  gegeben  für  die  Kurvenpunkte  auf 
einem  durch  D  gezogenen  Strahle  DPSy  mittelst  seiner  Schnittpunkte 
N,  Ni  mit  p  und  der  Linien  MP±MN  und  MS^  ±  MN^,  und 
auf  einem  dwrch  M  gezogenen  Strahle  MP  mittelst  der  Linien  MN 
J.  MP  und  NDj  und  entsprechend  eines  zweiten. 

Schneidet  endlich  DPS^  den  über  MD  als  Durchmesser  gezoge- 
nen Kreis  außer  in  D  noch  in  K,  so  ist  KP  ■=»  KS^  (456). 

Sodann  ist  MD  eine  Symmetrielinie  des  Grundrisses  der  Eigen- 
schattengrenze, weil  ein  Strahl  aus  M  Symmetrielinie  der  Normal- 


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502  X,  468—469.    Die  windschiefen  Flachen. 

kurve,  d.  i.  der  Archimedischen  Spirale  ist  (456);  wie  es  aber  auch 
die  Konstruktion  unmittelbar  zeigt. 

469.  Die  vier  Punkte  auf  dem  Kreise  l^  werden  ^  da  fQr  ihn 
^  in  Z>  föUt,  unmittelbar  durch  die  Strahlen  DG,  DG^  geliefert, 
nämlich  zwei  getrennte  Punkte  J,  J^  und  zwei  in  D  vereinigte;  daher 
ist  D  ein  Doppelpunkt  mit  DG,  DG^  als  Tangenten.  Die  vier  Punkte 
auf  dem  aus  M  mit  dem  Halbmesser  Null  gezogenen  Kreise  fallen  in 
M  zusammen;  daher  ist  auch  M  ein  Doppelpunkt,  und  zwar  mit  l 
als  Doppeltangente,  weil  auf  dem  aus  M  benachbart  zu  l  gezogenen 
Strahle  nach  dem  gegebenen  Verfahren  beiderseits  von  M  je  ein 
dem  M  benachbarter  Punkt  der  Kurve  gefunden  wird. 

Die  Kurve  ist  von  der  vierten  Ordnung,  weil  jeder  aus  einem 
der  Doppelpunkte  D  und  M  gezogene  Strahl  außerdem  noch  zwei 
Punkte  enthält. 

Die  beiden  aus  D  an  den  Kreis  p  gezogenen  Tangenten  sind  Asymp- 
toten der  Kurve.  Denn  auf  jeder  derselben  fallen  die  beiden  Schnitt- 
punkte mit  p,  N  und  Ni,  zusammen;  daher  werden  die  beiden  d.MN 
und  J_  MN^  durch  M  gezogenen  Strahlen  parallel  zur  Tangente  und 
liefern  auf  ihr  zwei  zusammenfallende  unendlich  ferne  Punkte,  woraus 
der  Satz  folgt.  Daß  gerade  jene  Tangente  an  p  und  nicht  eine  mit 
ihr  Parallele  die  Asymptote  ist,  folgt  auch  daraus,  daß,  so  lange 
DN  endlich,  bei  einer  unendlich  kleinen  Verschiebung  von  N  auf 
p  sich  die  Tangente  um  0^,  der  mit  ihr  parallele  Strahl  aus  M  um 
0^  dreht^  der  Schnittpunkt  beider  daher  oder  der  dem  unendlich 
fernen  Punkte  benachbarte  Punkt  der  Kurve  in  die  Tangente  fallt. 

Die  Tangente  der  Kurve  in  einem  allgemeinen  Punkte  Pg  der- 
selben {P^MN^  =  90^)  findet  man  nach  dem  Verfahren  der  ähnlichen 
Figur,  wenn  man  den  rechten  Winkel  P^MN^,  dessen  Schenkel 
MPi  den  Kreis  p  in  Q^  (und  einem  zweiten  Punkte)  schneidet,  um 
M  um  einen  unendlich  kleinen  Winkel  dreht,  wodurch  Q^  und  N^ 
auf  p  in  demselben  Sinne  Elemente  von  derselben  Größe  s  beschrei- 
ben, dann  das  bei  Q^  liegende  Element  aus  M  auf  die  zu  ihm  par- 
allel durch  Pg  (XMP^)  gedachte  Gerade  in  x,  und  das  bei  N^ 
liegende  aus  D  auf  die  zu  ihm  parallele  P^M  in  y  projicirt,  und 
von  den  zweiten  Endpunkten  der  x  und  y  Parallele  bezw.  zu  MP^ 
und  DP2  zieht.  Diese  Parallele  schneiden  sich  in  einem  zu  P^  be- 
nachbarten Punkte  der  Kurve,  d.  i.  auch  in  einem  Punkte  der  ge- 
suchten Tangente.  Wenn  man  x  und  y  ohne  Änderung  ihres  Ver- 
hältnisses zu  x'  und  y'  vergrößert,  so  kann  man  unmittelbar  nach 
dieser  Anleitung  konstruiren;  man  erhält  aber  eine  einfachere  Kon- 
struktion mit  Hilfe  einiger  Proportionen.  Wir  gehen  von  derjenigen 
Lage  aus,   bei  welcher  sich  Pg  auf  einem  der  Kurven  bogen  M,D 


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X,  459.   Die  windschiefe  Schraubenfläche.  503 

(im  Inneren  des  Kreises  vom  Durchmesser  MD)  befindet^  daher  N^ 
auf  demjenigen  Viertel  des  Kreises  py  welcher  von  G^  (oder  G)  be- 
grenzt ist,  dem  D  gegenüber  und  mit  P^  auf  derselben  Seite  von 
MD  liegt,  und  nehmen  Q^  als  den  auf  eben  dieser  Seite  liegenden 
Schnittpunkt  von  MP^  mit  p  an.  Man  beschreibe  nun  das  bei  Q^ 
biegende  Element  s  im  Sinne  des  mit  ihm  parallelen  Halbmessers 
MN^y  so  wird  das  bei  N^  liegende  s  im  Sinne  von  Q^M  be- 
schrieben. Die  übereinstimmenden  Sinne  haben  dann  bezw.  auch 
X  und  y.  Setzen  wir  nun  JfP,  ««  iw,  DP^  =  d,  DN^  =  n,  {MN^ 
B=  rj,  so  ergibt  sich  aus  ähnlichen  Dreiecken 

m  d 

woraus  y  =■  x-^—- 

Ersetzen  wir  x  und  y  durch  x'  und  y',  von  denen  die  eine,  etwa 
x'y  willkürlich  angenommen  wird,  so  scheint  es  vorteilhaft,  x  =^m 
oder  =3  n  zu  nehmen.    Ich  fand  es  aber  zweckmäßiger,  zu  setzen 

^'  =  ♦'o  >       wodurch  y'  ==  -^ ,      f=-^-. 

Man  findet  nun  y'^ME,  wenn  man  N^E±,MD  bis  E  aufitfP^ 
ziehi  Denn  zieht  man  in  Gedanken  N^F\  MD  bis  F  auf  MP^, 
so  ist  wegen  ähnlicher  Dreiecke  MF  =  mn  :d  =  fy  und  da  N^ E 
±MD  und  ±N^F,  so  ist  ME  =  r^^:f=y.  Zugleich  liegt Jlfi^ 
im  Sinne  von  MQ^y  daher  ME  im  Sinne  von  Q2M  oder  y\  Trägt 
man  daher  in  Gedanken  von  P^  aus  auf  der  Senkrechten  zu  MP2  im 
Sinne  von  MN^  die  x'  =  r^  auf  und  zieht  durch  ihren  Endpunkt  die 
Parallele  zu  MP^,  so  ist  dies  zugleich  die  Tangente  N^T  des  p  in  N^. 
Und  trägt  man  von  P,  aus  auf  P^  M  in  deren  Sinne  die  ME  auf  und 
zieht  durch  ihren  Endpunkt  die  Parallele  zu  P2N2,  so  schneidet 
diese  auf  N^T  die  N^T^ME  ab,  und  T  ist  ein  Punkt  der  ge- 
suchten Tangente.  Diesen  Punkt  T  der  gesuchten  Kurventangente  er- 
hält man  daher,  wenn  man  die  Tangente  N^  T  des  Kreises  p  zeichnet, 
und  dann  N^E  ±  MD  bis  E  auf  MP^y  und  ET  \  MN^  bis  T  auf 
N^T  sfieht;  oder,  was  einleuchtet,  wenn  man  N^T  mit  MG  in  H 
schneidet  und  N^T^^  HN^  macht.  Diese  Konstruktion  bleibt  unter 
allen  Umständen  richtig,  wenn  in  dem  Falle  der  Umkehrung  des  Sinnes 
von  einer  der  Größen  x',  y'  (die  ürakehrung  beider  kommt  nicht  vor) 
auch  eine  der  Größen  MN^y  N^  T,  einerlei  welche,  vermöge  der 
Konstruktion  ihren  Sinn  umkehrt;  oder,  da  wir  dem  MN2  stets 
seinen  Sinn  belassen,  wenn  in  jenem  Falle  N^T  seinen  Sinn  um- 
kehrt. Gelangt  nun  ^2  zwischen  G^  und  die  benachbarte  Kurven- 
asymptote, so  gehen  Q^  und  P,  auf  die  andere  Seite  von  MD]  dann 


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504  X,  459.    Die  windschiefen  Flächen. 

behält  x'  seinen  Sinn  bei  und  y   kehrt  ihn  um.    Gelangt  ferner  JN", 
zwischen  die  Asymptote  und  MD^  so  bleibt  Q^  jenseits  und  P,  kommt 
nach  diesseits  zurück;   dann  behält  y    den  ursprünglichen  Sinn  bei 
und  X    kehrt   ihn  um.      In   beiden  Fällen  aber  nimmt  N^  T  den  - 
zum  ursprünglichen  entgegengesetzten  Sinn  an. 

Um  den  Krümmv/i^shalhmesser  r  der  beiden  Kurvenäste  in  ihrem 
Scheitel  M  zu  bestimmen  ^  ziehe  man  durch  M  einen  Strahl  (wie 
MS^y  der  mit  l  den  unendlich  kleinen  Winkel  q>  bildet;  die  darauf 
Senkrechte  (wie  itf -AT,)  bildet  mit  Jlf  D  den  Winkel  q>  und  schneidet 
auf  dem  Kreise  p  an  zwei  Stellen,  von  MD  aus,  den  Bogen  r^tp 
ab,  deren  aus  D  auf  MSy  gebildete  Projektionen  bei  M  Kurven- 
elemente von  der  Große 

ausmachen.    Außerdem  ist  s=^2rtp'^  daher 


2    fo±Zo 

Man  konstruirt  demnach  die  Krümmungsmittelpunkte  0^,  O^, 
indem  man  (s.  Fig.)  MO  =  ^MD  =  i^lo,  0^^  =  -^  O^  ü^  =  l^ 
macht  und  G^O^  B  ^,0,  0^0^  \  U^O  zieht 

Um  die  beiden  Erimmungshalbmesser  DD^*^  DD^  ^^r^  der 
Kurve  in  ihrem  Doppelpunkte  D  zu  erhalten,  denke  man  sich  aus 
D  einen  zur  Kurventangente  DG^  unter  dem  unendlich  kleinen 
Winkel  g>  geneigten  Strahl  gezogen.  q>  schließt  ein  Element  s  der 
Kurve  ein,  so  daß  ri  =  s:2<p.  Man  erhält  s  durch  Konstruktion 
des  Kurvenpunktes  auf  dem  zweiten  Schenkel  von  q).  Dieser  schnei- 
det von  dem  Kreise  p  von  G^  aus  ein  Element  =  ^  9 :  sin  d  ab, 
wenn  man  ^  MDGi  =  d,  DG^^^^g  setzt  Trägt  man  dies  Ele- 
ment in  seinem  Sinne  auf  p  von  MD  aus  auf,  so  schneidet  der 
durch  seinen  Endpunkt  aus  M  gezogene  Strahl  auf  der  Kurve  von 
D  aus  das  Element  5  =  (^  9  :  sin  ö)  Qq  :  r^)  :  sin  d  ab.     Daher  ist 

^         ^   Tq  8in'  d  ^    e  ^    2  r^ 

Darin  ist  G'  der  Schnittpunkt  der  DDo  (J-DGi)  mit  GG^,  e  die 
auf  DG  liegende  Sehne  des  |);  es  ist  dann  G'G^  '^  g  :  sin  d, 
e  =  2rQ  sin  d,  Dö'  =  Z^  :  sin  d .  Nach  jeder  der  letzteren  Formeln 
kann  man  r^  konstruiren,  z.  B.  nach  der  zweiten,  indem  man  auf  { 
die  G'A  =  2r^  =  ö  G^  (in  der  Fig.  gegen  M  hin),  dann  in  entgegen- 
gesetztem Sinne  die  AB '=>^  G^G'  aufträgt  und  BD^^AD  zieht 
Man  erhält  offenbar  A  und  B  etwas  kürzer  vermöge  6rj  ^  «=>  G'B 
■=  GG'.    Nimmt  man  den  Sinn  der  G'A  als  G'A'  von  M  weg,  so 


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X,  469—460.   Die  windschiefe  Schraubenfläche.  505 

erhält  man  A'  und  B'  durch  G'A'  ^G^G,  A'B'  =  G'G^,  oder 
B'  in  G,  so  daß  auch  GB^  \  BA'  {A!  in  der  Fig.  nicht  angegeben), 
was  etwas  kürzer,  jedoch  weniger  genau  ist 

460,    Die  Kurve  nimmt  verschiedene  Gestatten  an,  je  nachdem 
B  außerhalb;  auf  oder  innerhalb  des  Kreises  p  liegt,  oder  je  nach-  Fig.  i86% 
dem  r^^l^,  oder  «  ^  A  ist    In  Fig.  185  und  186  war  £  >  A  an- 
genommen. 

Ist  £  =  A,  so  fallen  die  Kreise  p  und  l^  in  einander,  und  der 
Ast  Pj  MSi  wird  zur  Geraden  Z,  welche  der  Kurve  angehört.  Denn 
für  den  aus  M  gezogenen  Strahl  l  föllt  der  Punkt  N  (Fig.  186, 
MN±l)  in  B,  und  wird  BN 
unbestimmt  und  liefert  jeden  Punkt 
von  l  als  Punkt  der  Kurve.  Räum- 
lich aufgefaßt  ist  l  die  Erzeugende, 
welche  mit  einem  Lichtstrahle  zu- 
sammenföUt  Schneidet  nun  ein 
Strahl  aus  B  die  Kurve  in  den 
zwei  Punkten  P,  S,  so  wird  PS 
durch  den  Kreis  vom  Durchmesser 
MB  in  K  halbirt  (458)  und  hier- 
durch ist  eine  einfachere  Ent- 
stehungsart der  Kurve  gegeben.  —  ^"- — ^-^^' 
Dieselbe  wird  Strophoide  genannt, 

und  ist,  mit  Ausschluß  der  Geraden  ?,  von  der  dritten  Ordnung*), 
da  die  gesamte  Linie  von  der  vierten  ist  (vor.  Nr.). 

Asymptote  der  Kurve  ist  die  zu  l  in  Bezug  auf  B  symmetrische 
(also  parallele)  Gerade  QQ^ .  Denn  der  schiefe  Abstand  BP  eines 
Kurvenpunktes  P  von  QQ^  ist  =  BS+BP-^2.BK,  und  nähert 
sich  beliebig  der  Null,  wenn  sich  BP  den  Parallelen  zu  l  nähert. 
Die  beiden  durch  B  laufenden  Asymptoten  der  allgemeinen  Kurve 
gehen  hier  in  die  Parallelen  GG^,QQi  über,  und  laufen  nicht  mehr 


Fig.  186  a. 

.'*/ 

/     / 

/     / 

/      / 

>. 

'    K' 

^ 

/ 

i 

\ 
\ 

/ 

^^^^--^  ^^ 

r 

\ 

\ 

1  \.V:£j^, 

\ 

/ 

V 

i 

X 

\                 / 

V  Kf 

l^^ 

*)  Nimmt  man  D  als  Ursprung,   DM  als  rcAze,   setzt  DP'^  r,   MBP 
=-  qp,  DM^a,  so  ist,  da  DP-\-DS.^  2 .  DK,  die  Polargleichnng  der  Kurve 

r  H «—  2a  cos  w     oder    r  «— (2  cos*  q>  —  1). 

•    cos  9  ^  cos  qp  ^  ^         ' 

Für  rechtwinklige  Koordinaten  gilt 

r  cos  qp  —  «,      r  sin  9  »  y,      woraus      cos*  9  =■  — ,— £- — ^ ; 
daher  die  Gleichung  der  Kurve 

X* 

X  +  a  ^  2a  -,— r- — -    oder    (x  +  a)  {x*  +  y*)  «=  2 ax^. 


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506 


X,  460—461.    Die  windschiefen  Flächen. 


durch  D,  weil  in  dieser  Grenzlage  die  Strecke  D-^  (vor.  Nr.,  Fig.  186) 
aufhört  endlich  zu  sein. 

Um  die  Tangente  der  Kurve  in  einem  Punkte  P  noch  in  anderer 
als  der  allgemeinen  Weise  zu  bestimmen,  ziehe  man  die  Tangente 
des  Kreises  MD  in  K,  schneide  sie  mit  ?  in  JE?  und  ziehe  EP. 
Nun  denke  man  sich  aus  einem  zu  S  benachbarten  Funkte  S'  der  { 
einen  Strahl  nach  D  und  eine  Parallele  zu  52)  gezogen;  man  er- 
hält dann  einen  zu  P  benachbarten  Punkt  der  Kurve,  wenn  man 
auf  der  Parallelen  bis  auf  EP  geht  (wodurch  man  ihr  Stück  von 
S'  bis  zum  Kreise  MD  verdoppelt)  und  von  dort  in  einer  Parallelen 
zu  KE  bis  S'D.  Die  letztere  Strecke  ist  gleich  dem  zwischen 
den  beiden  Parallelen  liegenden  Stücke  der  KE  (das  man  an  D 
verschoben  denke),  vervielfacht  mit  dem  Verhältnisse  SP:  SD. 
Vergrößert  man  SS'  zu  SE,  so  ist  der  Weg  auf  jener  Paral- 
lelen zu  SD  gleich  Null,  jener  Weg  auf  der  Parallelen  zu  EK  ist 
=  EK(SP  :  SD)  =  EK{EP  :  EF),  wenn  F  der  Schnittpunkt 
von  EP  und  V  {\\l  durch  D).  Zieht  man  nun  PT\FK  bis  T  auf 
EK,  so  ist  ET  jener  Weg,  und. zugleich  PT  die  gesuchte  Tan- 
gente. Man  zeichne  demnach  für  alle  Tangenten  DF\lj  ziehe  die 
Kreistangente  KE  bis  E  auf  ?,  dann  EP  his  F  auf  l\  so  ist 
PT  1  FC.  Oder  auch,  man  zieh^^FH  -Bä:  l>is  V  auf  EP,  so  ist 
Pt\  rS]  dabei  trat  DV  an  die  Stelle  von  KE. 

Die  Krümmüngshalbfnesser  r  für  M  sind  wegen  r^  =  Z^,  r  =  oo 
und  ^  =  i  ?o  (vor.  Nr.).     Die  KrOmmungsmittelpunkte  für  D  fallen 
in  G  und  ö^,  weil  6r'G^i  «=  2r^  wird  (vor.  Nr.). 
Fig.  186  b.  ^61»     Ist  f  <  A,   liegt  also  D  innerhalb  jp,   so  sind  die  Tan- 

genten aus  D  Bü  p  nicht  reell,   und  die  Kurve  hat  keine  reellen 

Asymptoten  und  unendlich  fernen 
Punkte.  Der  größte  aus  M  ge- 
zogene Kreis,   auf  welchem  sich 


Fig. 

186  b. 

^. 

j> 

■*  \ 

"''/^ 

— "•->-. 

^x 


noch  Punkte,  P,/Si,  befinden,  wird 
erhalten,   wenn  man  die  aus  G 
an  Z|   gezogene  Tangente,  deren 
Berührungspunkt  j^Tist,  mit  MD 
in  Q  schneidet  und  aus  M  durch 
Q  den  Kreis  k  legt.   JfjN' schnei- 
det den  Je  ia  S^.    Größere  Kreise 
liefern  nämlich  (458)  keine  Punkte 
N  und  Si  oder  P  mehr. 
462.     Auf'  die  Weise,  wie  in  Fig.  186,  ist  die  EigenschaUen- 
grenze  s'  im  Grundriß  der  Fig.  185  gezeichnet.    Der  Aufriß  s"  der- 
selben wird  durch   Übertragen   der  Schnittpunkte   der  s'  mit   den 


ji — 


2*-—  ^' 


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X,  462.   Die  windschiefe  Scliraubenfläche. 


507 


Erzeugenden  der  Fläche  in  den  Aufriß  ermittelt.  Die  Punkte  der 
Axe  a"  liegen  auf  den  Erzeugenden,  deren  Grundriß  V  ist  Mit 
der  Asymptote  VV^  der  s  lauft  parallel  die  Erzeugende  üüi  des 
Punktes  ü  der  Schraubenlinie,  deren  Aufriß  man  aus  U"  als  Tan- 
gente an  den  Umriß  der  Fläche  zieht,  oder  durch  Bestimmung  ihres 
Punktes  Z7/'  der  Axe  a'  bestimmt.  VV^  liegt  in  der  asymptotischen 
Ebene  der  Schraubenfläche  für  die  Erzeugende  UUi,  und  diese  Ebene 
steht  senkrecht  auf  der  Meridianebene  üa.  Sie  enthält  daher  die 
auf  Ua  senkrechte  (zu  P^  parallele)  ÜV{ü'r  ±M'Ü\  Ü^'T'  ||  x\ 
und   auf   TJ"V"    wird   V"    aus    V    bestimmt.      Dann    zieht    man 

Um  den  Schlagschatten  der  Fläche  aufB^  zu  erhalten,  verzeichne 
man  den  Schlagschatten  B'C^D^  der  Schraubenlinie,  d.  i.  eine  ver- 
schlungene Cykloide  (341),  für  welche  der  Kreis  B'C  der  beschrei- 
bende, l^  der  wälzende  Kreis,  und  die  Tangente  des  letzteren  in  E 
die  Bahnlinie  ist;  sodann  verzeichne  man  den  Schatten  B^C^D^  der 
Schraubenaxe  a,  verbinde  die  zusammengehörigen  Punkte  durch 
die  Schatten  der  Erzeugenden,  wieJB'JJg,  C^Cg,  B^B^^  und  zeichne 
die  Einhüllende  s^  an  die  letzteren  als  Umriß  des  Schattens  der 
Fläche  oder  als  Schlagschatten  der  s. 

Der  Schlagschatten  s^  der  Gren0er0eugenden  B  B^  auf  die  untere 
Seite  unseres  Flächenastes  ist  vermittelst  der  Schnittpunkte  des  Schlag- 
schattens D^Dj  der  BB^  und  derjenigen  der  beschatteten  Erzeu- 
genden auf  P^  bestimmt,  wie  es  durch  einige  projicirende  Linien 
angedeutet  ist. 

Zur  vollständigeren  Erkenntnis  der  Formen  ist  in  Fig.  187   in  Fig.  ist. 
verkleinertem  Maßstabe   der  Schlagschatten  zweier  Gänge  unserer 
Schraubenfläche  auf  P^  verzeichnet,  denen  noch  die  oberen  Flächen - 

Fig.  187. 


äste  in  der  Ausdehnung  der  unteren  zugefügt  sind.  B^C^B^C^B^ 
und  B^C^B^C^B^  sind  die  Schatten  bezw.  der  unteren  und  der  oberen 
begrenzenden  Schraubenlinie.  Die  Äste  der  Schlagschattengrenze  s^ 
der  Fläche  haben  auf  beiden  Seiten  des  Schattens  a,  der  Schrauben- 
axe verschiedene  Formen;  ihre  Asymptoten  sind  die  Schatten  der 
Asymptoten  der  Eigenschattengrenze  s. 


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508  X,  463—464.   Die  windschiefen  Flächen. 

d)  Die  Lichtgleichen  der  Schraubenfläche,  insbesondere 
der  geschlossenen  schiefen. 

463.  Aufg.  Die  Lichtgleichen  einer  beliebigen  Schraubenfläche 
m  bestimmen. 

Aufl.  Um  die  Punkte  der  Lichtgleichen  auf  einer  beliebigen 
Schraubenlinie  einer  Schraubenfläche,  zu  deren  Axe  die  Grundriß- 
ebene senkrecht  gestellt  sei,  zu  finden,  denken  wir  uns  in  einem 
Punkte  P  jener  Schraubenlinie  die  Berührungsebene  T  der  Fläche, 
sodann  in  T  und  durch  P  die  Linie  des  größten  Falles  f  der  T 
gegen  die  Grundrißebene  und  die  Tangente  t  des  Meridians  der 
Fläche  gelegt;  dann  sind  bei  der  Bewegung  des  Punktes  P  auf  der- 
selben Schraubenlinie  offenbar  unveränderlich:  1)  die  Neigung  der 
Berührungsebene  T  gegen  die  Axe  und  gegen  die  Grundrißebene, 
2)  der  Winkel  der  durch  P  gehenden  Linien  f  und  t,  und  3)  die 
Projektion  f't'^==  d  dieses  Winkels  auf  die  Grundrißebene.  Ein 
Richtkegel  der  Fläche  ist  ein  Umdrehungskegel,  dessen  Axe  |  a, 
dessen  Berührungsebenen  Q  T,  und  dessen  Erzeugenden  ||  /*;  und  den- 
jenigen Richtkegel,  welcher  über  dem  Grundriß  jener  Schraubenlinie, 
einem  Kreise  Je,  in  demselben  Sinne  der  Neigung  gegen  a,  welchen 
die  Fläche  entlang  dieser  Schraubenlinie  besitzt,  beschrieben  wird, 
wollen  wir  den  Hilfskegd  nennen.  Zieht  man  nun  im  Grundriß  in 
einem  Punkte  P'  des  k  jene  Falllinie  f  (senkrecht  zum  Normal- 
schnitte in  P),  die  Meridiantangente  t'  (ein  Halbmesser  des  Ä;),  und 
die  mit  f  parallele  Erzeugende  des  Kegels,  so  ist  der  Winkel  der 
letzteren  zwei  Linien  ebenfalls  «»  S^  und  die  Beleuchtungsstärke  der 
Schraubenfläche  in  P  und  der  Kegelfläche  in  der  zu  f  parallelen 
Erzeugenden  und  in  deren  Punkte  auf  Tc  sind  gleich.  Man  erhält 
also  im  Grundriß  die  Lichtgleichenpunkte  der  Schraubenfläche  auf 
Tc  aus  denen  des  Kegels  auf  Tc  durch  Drehung  des  k  um  seinen 
Mittelpunkt  um  den  Winkel  8  {im  Sinne  von  f  gegen  t')  oder  auch: 
Die  Punkte  des  Grundrisses  der  Lichtgleichen  der  Sdiraubenfläche  auf 
einem  Kreise  k,  welcher  der  Grundriß  einer  Schraubenlinie  ist,  fallen 
mit  denen  des  Hilfskegels  zusammen,  toelcher  über  k  im  Sinne  des  durch 
die  Schraubenlinie  gdienden  Flächenastes  beschrieben  ist,  wenn  die  Bich- 
timg  des  Lichtstrahles  für  den  Kegel  aus  demjenigen  für  die  Schrauben- 
fläche durch  Drehung  um  die  Schraubenaxe  um  den  Winkel  d  =  ff 
entstanden  ist. 

464.  Aufg,  Die  Lichtgleichen  der  geschlossenen  schiefen  Schrau- 
benfläche  ssu  bestimmen. 

Fig.  188.  Aufl.    Es  sei  wieder  ein  Gang  des  unteren  Astes  der  rechts- 

gängigen Schraubenfläche  dargestellt,  a  {M',  a'')  die  auf  P^  senk- 


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X,  464.    Die  windschiefe  Schranbenfläcbe. 


509 


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510  X,  464.    Die  windschiefen  Flächen. 

rechte  Axe,  BCD^=^\  die  begrenzende  Schraubenlinie,  BB^  eine 
zu  Pg  parallele  Erzeugende,  B  und  M  die  ersten  Spuren  der  \ 
und  der  a,  B"A"  die  Parallele  zu  einer  zu  P^  parallelen  Tangente 
der  Äi,  A''  ihr  Schnittpunkt  mit  a\  daher  M!'A"  «=  Ä^^  die  reducirte 
Ganghohe,  l  der  Lichtstrahl.  Um  Überladung  zu  vermeiden,  zeichne 
man  in  einer  Nebenfigur  a)  die  M'^A'"  {a")  *  M:'A'\  :M!"E'"  \  x, 
A'"W  \  A"E'  \  B;'B'\  so  ist  ][r"E'''  =  M:'E"  =  ro  =  dem 
Parameter  der  Archimedischen  Spirale  der  Fläche,  womit  als  Halb- 
messer man  aus  M  den  Parameterkreis  jp  zeichne;  man  ziehe  femer 
Z'"  als  A'"L'"  II  A"Ij"  in  der  Richtung  des  um  a  parallel  zu  Pg  ge- 
drehten Lichtstrahles  und  konstruire  zur  weiteren  Benutzung  mit 
einem  im  Verhältnis  zum  Grenzkreise  It^  nicht  zu  kleinen  Kreise 
das  Tangentialbüschel,  dessen  geteilter  Durchmesser  1.  —  1.  also  auf 
V"  senkrecht  steht. 

Um  nun  die  Punkte  der  Grundrißlichtgleichen  auf  einem  be- 
liebigen aus  M'  gezogenen  Kreise  h  zu  erhalten,  schneide  man  h 
mit  dem  aus  M'  gegen  die  Lichtquelle  hin  (wie  wir  annehmen  wol- 
len) gezogenen  Strahle  Z'  in  G,  ziehe  den  zu  JTCr  senkrechten 
Halbmesser  M'F  des  p  auf  der  Seite  der  Erweiterung  der  durch  G 
gehenden  Archimedischen  Spirale  der  Fläche,  so  ist  GF  die  Normale 
dieser  Spirale  in  G  (449),  also  auch  der  Grundriß  der  Falllinie  f 
der  Berührungsebene  der  Fläche  in  G.  Diese  Ebene  enthält  noch 
die  Erzeugende  GM'  (als  Meridiantangente  t)  und  wird  von  der 
durch  den  Schnittpunkt  der  GM'  mit  der  a  gelegten  horizontalen 
Ebene  in  der  zu  GF  senkrechten  Geraden  M'  G^  geschnitten.  Be- 
stimmt man  nun  auf  der  Erzeugenden  A'"F"'  den  Punkt  G'"  so, 
daß  sein  Abstand  R'" G'"  von  a"  =  M'G  ist,  trägt  auf  R"'G"' 
die  H'"G^"=GqG  auf,  so  besitzt  A"'G^"  dieselbe  Neigung  gegen 
a"\  wie  die  Falllinie  GGq  gegen  a.  Andererseits  ist  -^G^GM! 
=^ft'=  8'^  und  dreht  man  das  AM'GGq  um  M'  in  M'JJq,  so 
daß  M'Gq  in  M'Jq  auf  M'F,  daher  G^G  in  J^J^  V  kommt,  so 
ist  M'J  der  im  Grundriß  um  d  =  f  t'  gedrehte  Lichtstrahl  V, 
Kürzer  erhält  man  J  auf  kj  wenn  man  beachtet,  daß  sein  Abstand 
von  V  gleich  demjenigen  des  M'  von  GF  ist. 

Nun  bestimmt  man  nach  dem  Verfahren  der  Nr.  204  auf  dem 
Hilfskegel,  dessen  Grundkreis  hy  dessen  Axe  a,  und  bei  dem  die 
Neigung  der  Erzeugenden  gegen  a  =  H"'  A'"G^"  ist,  die  Punkte 
der  Grundrißlichtgleichen  auf  A;,  wenn  M'J  den  Grundriß  und  k  die 
Grundrißneigung  der  Lichtstrahlen  bezeichnen.  Schneidet  A"'G^" 
den  Einheitskreis  des  Tangentialbüschels  in  K  und  ist  K^  der  Punkt 
dieses  Kreises,  für  welchen  KK^  ||  a'\  so  fällt  man  aus  K  und  K^ 
Senkrechte  auf  den  zu  V"  senkrechten  Stärkemaßstab  nach  N  und 


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X,  464>-465.   Die  windschiefe  Schraobenflädie.  511 

Niy  zieht  an  Je  zwei  parallele  Tangenten  in  J  und  J^,  und  legt  die 
Lange  N  Ni  mit  dem  auf  ihr  befindlichen  Stücke  des  Stärkemaß- 
stabes, oder  ein  Vielfaches  (hier  Zweifaches)  davon,  zwischen  die 
Parallelen,  so  daß  N  nach  N'  in  die  Tangente  in  cT",  N^  nach  N^ 
in  die  Tangente  in  eT^  gelangt,  zieht  aus  den  Teilungspunkten  von 
N'Ni  Parallele  zu  jenen  Tangenten,  so  schneiden  diese  den  Ereis  Je 
in  den  gesuchten  Punkten  der  Grundrißlichtgleichen. 

466.  Um  die  Tangenten  der  Qrundrißlicfitgleidien  in  M!  zu 
erhalten,  beachte  man,  daß  die  Berührungsebenen  der  Fläche  in 
den  Schnittpunkten  der  Lichtgleichen  mit  a  die  a  enthalten,  also 
ein  Büschel  von  Ebenen  bilden,  deren  erste  Spuren  die  gesuchten 
Tangenten  sind.  In  Bezug  auf  die  Beleuchtung  bilden  aber  diese 
ersten  Spuren  die  Strahlen  des  Tangentialbüschels  M!y  in  welchen  die 
Berührungsebenen  jenes  Hilfskegels  übergehen,  dabei  geht  Ä"G^" 
in  a"'  über,  und  hierdurch  ist  das  zu  benutzende  Stück  (wie  'N'N^ 
des  Stärkemaßstabes  bestimmt,  das  (in  dreifacher  Große)  zwischen 
die  zu  V  parallelen  Tangenten  etwa  des  Kreises  /;/  geschoben  wird, 
indem  V  den  Nullstrahl  bildet.  Wegen  der  Symmetrie  genügt  die 
Hälfte.  Die  aus  M!  nach  den  Teilpunkten  des  Ä/  gezogenen  Strah- 
len bilden  die  gesuchten  Tangenten. 

Um  die  unendlich  fernen  PunJcte  und  die  Asymptoten  der  Grund- 
rißlicJitgleichen  zu  «rhalteu,  lasse  man  G  auf  T  ins  Unendliche  rücken. 
Dann  rückt  Jq  in  F,  und  J  auf  der  durch  F  parallel  zu  V  gezoge- 
nen Geraden  ins  Unendliche.  Daraus  folgt,  daß  für  den  unendlich 
großen  Kreis  Je  der  (für  alle  Helligkeiten  gleiche)  Drehungsbogen 
GJ  zu  M'F^r^  wird;  zugleich  geht  G^  in  JP,  daher  G^'"  in  G"\ 
und  der  Hilfskegel  in  den  Asymptotenkegel  über,  dessen  Grundriß- 
lichtgleichen daher  die  unendlich  fernen  Punkte  derjenigen  unserer 
Fläche  bestimmen.  Daher  gilt:  Die  Asymptote  einer  GrundrißlicJd- 
gleiche  der  geschlossenen  Begelschrauhenfläcfie  ist  diejenige  Tangente  des 
ParameterJcreiseSy  welcJie  gegen  den  unendlich  fernen  JPunJct  der  Kurve 
auf  der  Seite  der  Öffnung  der  Archimedischen  Spirale  des  Flächen- 
astes  gessogen  unrd.  Für  beide  Flächenäste  erhält  man  dieselbe 
Asymptote,  weil  beim  Wechsel  des  Astes  sich  sowohl  der  Sinn  nach 
dem  unendlich  fernen  Punkte  als  die  Seite  der  Öffnung  der  Spirale 
umkehren.  Da  die  Asymptote  der  Lichtgleiche  selbst  in  der  Asymp- 
totenebene liegt,  und  der  Parameterkreis  die  erste  Projektion  der- 
jenigen Schraubenlinie  ist,  welche  die  Rückkehrkante  der  asympto- 
tischen Fläche  H)ildet  (448),  so  sind  die  Asymptoten  der  lAchtgUichen 
der  geschlossenen  Begelschraxibenfläehe  und^  wie  wir  sogleich  sehen  u^er- 
den^  von  jeder  windschiefen  Fläche  die  Erzeugenden  der  asymptotischen 
Fläche  von  übereinstimmender  HelligJceit. 


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512  X,  466—466.    Die  windschiefen  Flächen. 

Fig.  188.  Der  Satz  gilt  in  der  angegebenen  Allgemeinheit.     Denn  hat 

man  auf  irgend  einer  Fläche  zwei  benachbarte  Lichtgleichen  (yon 
unendlich  kleinem  Helligkeitsunterschiede),  so  kann  man  zu  einem 
Punkte  der  einen  Kurve  einen  benachbarten  Punkt  der  andern  Kurve 
80  angeben,  daß  die  Berührungsebenen  der  Fläche  in  beiden  Punkten 
sich  in  der  Tangente  der  beiden  in  einander  gerückten  Lichtgleichen 
schneiden.  Alle  zu  dem  unendlich  fernen  Punkte  einer  Lichigleicbe 
einer  windschiefen  Fläche  benachbarten  Punkte  der  benachbarten 
Lichtgleiche  sind'  aber  unendlich  ferne  Punkte  der  Fläche;  die  Be- 
rührungsebenen in  denselben  sind  daher  benachbarte  Asymptoten- 
ebenen, ihre  Schnittlinie  ist  eine  Erzeugende  der  asymptotischen 
Fläche,  und  diese  ist  die  Asymptote  an  jene  beiden  in  einander  ge- 
rücken  Lichtgleichen.  —  Diese  Asymptoten  werden  durch  den  Bichi- 
Icegel  konstniirt  Wird  derselbe  zu  einer  Ricktd>eney  so  haben,  wie 
vrir  beim  Konoide  sahen  (397),  alle  je  zwischen  gewissen  Grenzen 
liegenden  Lichtgleichen  diejenigen  Kanten  zu  Asymptoten,  deren 
Kuspidalpunkte  tmendlich  ferne  sind. 

Die  Grundrißlichtgleichen  des  Asymptotenkegels  sind  in  der 
Figur  auf  dem  Kreise  ij,  über  welchem  der  Hilfskegel  errichtet  ge- 
dacht wird,  mittelst  der  Hilfspunkte  12,  R^  des  Einheitskreises  und 
des  entsprechenden  Stückes  des  Stärkemaßstabes  bestimmt,  das  (in 
vierfacher  Größe)  zwischen  den  JL  i'  an  Aj,  gezogenen  Tangenten 
eingeschaltet  wurde. 

466«  JDie  Maximälhurve.  Wir  haben  auf  einem  beliebigen 
Kreise  Je  einen  vergleichungsweise  hellsten  Punkt  J  auf  der  oberen 
(positiven)  Flächenseite  erhalten,  welchem  symmetrisch  in  Bezug 
auf  M'  ein  hellster  auf  der  unteren  (negativen)  Flächenseite  gegen- 
über liegt.  Die  Kurve  m,  —  m  aller  dieser  Punkte  heißt  die  Maxt- 
maUcurve  der  Fläche;  und  da  in  jedem  ihrer  Punkte  J  die  Tangente 
der  Normalschnitte  der  Fläche  JL  V  ist,  da  also  alle  diese  Tangen- 
ten senkrecht  auf  der  Ebene  la  stehen,  so  ergibt  sich: 

Für  jede  Schratibenfläche  ist  die  MaximcHhwrve  zugleich  ihre  um- 
rißlinie  oder  EigenschaUengrensse  für  eine  auf  der  Axe  a  und  dem 
Lichtstrahle  l  senkrechte  Seh-  hezw.  Lichtrichtung, 

Für  unsere  Fläche  ist  es  die  in  Nr.  454  bestimmte  Linie. 

Um  die  Punkte  der  Lichigleichen  auf  m  zu  bestimmen,  beachte 
man  zunächst,  daß  wenn  die  A'"Gq'  die  M"E'"  in  cT"'"  schneidet, 
M'"J'"  =  M'Gq  =  M'Jq  ist.  Denn  aus  der  Ihnlicj^keit  von  Drei- 
ecken folgt 

GM':GGo  =  M'F:M'G^ 


und  fl'"(?'"  :  fi'"(?o'"  =  M'^'E'"  :  M"V". 


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X,  466^-467.    Die  windschiefe  Scbranbenfläche.  513 

Da  aber  die  drei  ersten  Glieder  dieser  Proportionen  einander  paar- 
weise durch  Konstruktion  gleich  sind,  so  müssen  es  auch  die  beiden 
letzten  sein.  Will  man  nun  einen  Punkt  P  der  m  von  einer  be- 
stimmten Helligkeit,  z.  B.  <»  —  2,  erhalten,  so  nimmt  man  auf  dem 
Einheitskreise  Q^  (als  JEi)  in  —  2  an,  zieht  ^'"  Q^  bis  P"'  auf 
3f'"JE;'",  legt  die  Jf'JE;"'  in  M'F,  so  daß  M"'  nach  JT,  E'"  nach 
Fy  und  dann  P"'  nach  P^  kommt,  zieht  durch  Pq  eine  Parallele 
zu  r,  so  triflFt  diese  die  —  m  in  P.  Dieser  Punkt  ist  noch  dadurch 
bestimmt,  daß  der  Schnittpunkt  P^  der  M'P  mit  p  von  dem  zu  V 
senkrechten  Durchmesser  M'  F  des  p  einen  Abstand  «=  MTq  = 
Jf'P"  besitzt  (454). 

Eine  Grundrißlichtgleiche  wird  in  ihren  Schnittpunkten  mit  m' 
von  einem  aus  JT  gezogenen  Kreise  berührt,  weil  in  den  beider- 
seits benachbarten  Punkten  dieses  Kreises  kleinere  Helligkeiten 
stattfinden.  • 

Die  Verzeichnung  der  Orundrißlichtgleichen  dürfte  nun  am  ge- 
nauesten und  kürzesteü  dadurch  geschehen,  daß  man  ihre  Tangen- 
ten in  M'y  ihre  Asymptoten,  ihre  Punkte  (wie  P)  auf  der  Maximal- 
kurye,  und  dann  diejenigen  auf  einigen  passend  verteilten  Kreisen  h, 
welche  zweckmäßig  durch  Punkte,  wie  P,  gelegt  werden,  ermittelt. 
Man  erhält  dadurch  zugleich  die  Eigenschattengrenze.  Hat  man 
diese  aber  vorher  auf  andere  Weise  gezeichnet,  so  könnte  man  sie 
zur  Gewinnung  des  Nullpunktes  der  Teilung  für  die  Kräftemaßstäbe 
der  einzelnen  Kreise  k  benutzen.  Doch  empfiehlt  es  sich  am  meisten, 
ihren  innerhalb  des  Kreises  p  (oder  des  l^  liegenden,  mittelst  Krüm- 
mungskreisen verzeichneten  Teil  zum  Anhalte  für  die  anderen  Licht- 
gleichen zu  benutzen,  ihre  entfernteren  Teile  aber  zur  größeren 
Stetigkeit  in  der  Schaar  aller  Kurven  mit  diesen  in  gleicher  Weise 
zu  konstruiren. 

467,  Die  Äufrißlichtgleichen  erhält  man  durch  Hinaufprojiciren 
der  Punkte  der  Erzeugenden  (von  denen  nur  die  Hälfte  der  benutz- 
ten angegeben  ist)  und  der  Punkte  der  begrenzenden  Schrauben- 
linie. Die  Punkte  auf  der  Axe  a"  bestimmt  man  mittelst  der  Tan- 
genten der  Grundrißlichtgleichen  in  M'.  So  wird  die  Lichtgleiche  8 
in  M'  von  der  Erzeugenden  Jlf' T'  berührt,  deren  Aufriß  T' T^'  die 
a"  in  dem  gesuchten  Punkte  T^'  schneidet  Ist  55^  die  nächst 
liegende  angegebene  Erzeugende,  so  ist  /S/'T/'««-  Bog.  S'jT.  tg  <T 
leicht  mit  dem  Zirkel  abzugreifen.  Übrigens  berührt  die  Aufriß- 
gleiche in  ihrem  Punkte  T^'  der  Axe  nicht  die^  durchgehende  Er- 
zeugende, obgleich  es  im  Grundriß  stattfindet,  weil  die  Berührungs- 
ebene der  Fläche  in  2\  ±  Pi  steht 

Die  Asymptoten  der  Äufrißlichtgleichen    werden  aus  denen  des 

Wiener,  Lchrbach  dor  darsteUendon  Geometrie.  II.  88 

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5 14  X,  467— 468.   Die  windschiefen  Fl&chen. 

Grundrisses  bestimmt^  wie  die  der  Eigenschattengrenze  in  Nr.  462 
bestimmt  wurde.  In  gleicher  Weise  geschieht  es  für  die  Maximal- 
kurve m]  die  Asymptote  VV^'  der  w"  wird  demgemäß  parallel  zu 
der  Erzeugenden  von  C7"  durch  F"  gezogen.  Nachdem  so  die  Asymp- 
tote einer  der  Kurven  bestimmt  ist,  erhält  man  diejenigen  der 
übrigen  etwas  einfacher,  wenn  man  beachtet,  daß  die  durch  den 
Schnittpunkt  X'  oder  Y'  einer  Grundrißasymptote  mit  dem  4/  ge- 
zogene Senkrechte  zu  P^  stets  das  gleiche  Stück  zwischen  der  Schrau- 
benlim'e  \  und  der  Asymptote  enthält  Man  macht  daher  z.  B. 
F"  Fl"  =  X"X^\  Jedoch  kann  man  diese  Größe  auch  unmittelbar 
bestimmen  durch  X"Z/'=  Bog.  ?7'Z'.tg<y  —  F'Z'.tgf,  was  leicht 
mit  dem  Zirkel  abzugreifen  ist. 

Den  Schlagschatten  s^  der  Kante  BB^  auf  die  Fläche  konnte  man, 
wie  in  Nr.  462,  mittelst  des  Schlagschattens  der  in  Betracht  kom- 
menden Erzeugenden  auf  P^  bestimmen.  Da  aber  letztere  in  der 
Figur  nicht  schon  vorhanden  sind,  ist  es  hier  zweckmäßiger,  die 
Schatten  der  BB^  auf  die  Meridianebenen  der  beschatteten  Erzeu- 
genden, d.  i.  die  Verbindungslinien  der  Schatten  von  B  auf  diese 
Ebenen  mit  dem  Punkte  D^,  jedesmal  mit  den  Erzeugenden  der- 
selben Ebene  zum  Schnitt  zu  bringen. 

e)  Die  geschlossene  gerade  Schraubenfläche,   ihre 
Schattengrenzen  und  Lichtgleichen. 

468.    Anfg.    Von  der  geschlossenen  geraden  SchranbenflärJw  (  Wen- 
dclfläche)  bei  Farallelheleuchtumg  die  Eigenschattengrenze ^   den  SdUag- 
schatten  auf  die  PrqjeMionsehenen  P,,  Pg,  und  auf  die  Fläche  selbst^ 
und  die  Lichtgleichen  zu  bestimmen. 
Flg.  189.  Aufl,   Stehe  die  Schraubenaxe  a  {M\  a")  _L  P^,  sei  ein  Gang  der 

rechtsgängigen  Fläche  gezeichnet,  der  durch  einen  koaxialen  Cylinder, 
also  durch  die  einfachen  Gänge  zweier  gegenüberstehenden  Schrau- 
benlinien BCFGH  und  B^C^F^G^H^  (in  der  Figur  nicht  alle  an- 
gegeben), und  durch  zwei  aufPj  senkrechte  Erzeugende  BB^,  HH^ 
begrenzt  ist  l  sei  der  Lichtstrahl.  Man  ziehe  V  durch  M\  M'B' 
±  r,  trage  auf  V  die  MA'  =  \=  B"F" :  3,141  auf,  bestimme 
D'  auf  M'B'  so,  daß  ^  M'B'A'  =  A  =  der  Neigung  von  l  gegen 
Pi,  also  M'B'  =  Iq  und  B'  der  Ausgangspunkt  (455),  daß  also  die 
Fläche  in  den  durch  B'  dargestellten  Punkten  von  l  berührt  wird. 

Die  Norm/xücurve  ist  die  gerade  Erzeugende,  die  Eigenschatten- 
grenze im  Grundriß  daher  der  Ort  der  Fußpunkte  der  von  B'  auf 
die  sich  um  M'  drehende  Gerade  gefällten  Senkrechten;  d.  h,*  die 
Eigenschattengrenze  im  Grundriß  ist  der  Kreis  Über  M'B'  als  Burch- 
messer. 


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X,  4^8.   Die  windaobiefe  Scbranbenfläche. 


515 


iTß 


SS'* 


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516 


X,  468—469.    Die  windschiefen  Fl&ckeiL 


Die  Eigenschattengrenee  selbst  ist  eine  Schraubenlinie  von  der  hal- 
ben Ganghöhe  der  Fläche.  Denn  der  von  dem  Punkte  auf  dem 
Kreise  M'D'  beschriebene  Bogen  ist  mit  seiner  Steigung  proportio- 
nal, weil  beide  mit  dem  Drehungswinkel  der  Erzeugenden  propor- 
tional sind;  dabei  wird  dieser  Kreis  M'D'  bei  einer  halben  Drehung 
der  Erzeugenden  ganz  durchlaufen.  Jeder  ümdrehungscylinder, 
welcher  a  zu  einer  Erzeugenden  hat,  schneidet  die  Fläche  in  einer 
solchen  Schraubenlinie. 

Der  Schlagschatten  der  Fläche  auf  P^  erscheint  in  der  Figur  nur 

Pig.  190.  in  geringer  Ausdehnung  und  ist  deswegen  in  Fig.  190  gesondert  in 

halber  Große  dargestellt.    Die  Schlagschattengrenze  ist  der  Schatten 

Fig.  190. 


der  Eigenschattengrenze,  also  jener  Schraubenlinie  von  der  halben 
Ganghöhe.  Da  diese  von  l  berührt  wird,  ist  ihr  Schatten  eine  ge- 
meine CyJcloide  (341);  die  Schatten  der  beiden  begrenzenden  Schrau- 
benlinien sind  zwei  allgemeine^  in  der  Figur  verschlungene  CffhUn- 
den]  die  Schatten  der  Erzeugenden  sind  Tangenten  jener  gemeinen 
Cykloide,  deren  Mittelpunkt  auf  dem  Schatten  o,  von  a  um  eine 
mit  ihrer  Drehung  in  unveränderlichem  Verhältnis  stehende  Lange 
Fig.  189.  fortschreiten.  Vom  Schlagschatten  auf  Pj  ist  in  Fig.  189  wenig  er- 
sichtlich; er  wird  am  sichersten  als  affine  Figur  zum  Schlagschatten 
auf  F^  konstruirt.  Die  Schlagschatten  auf  die  Fläche  sind  durch 
das  Verfahren  der  Schnitte  der  Schatten  der  schattenwerfenden  und 
der  beschatteten  Linien  (insbesondere  der  Erzeugenden)  auf  F^ 
konstruirt  Die  Grenjspunkte  der  Eigen-  und  Schlagschattengrenzen 
sind  die  Punkte  D,  in  welchen  die  Eigenschattengrenze  von  l  be- 
rührt wird. 

469«  Bei  der  Bestimmung  der  Grundrißliditgleichen  beachte  man, 
daß  die  Erzeugende  M'D'  die  Maximalkurve  ist,  weil  r^  =  oo  wird, 
oder  weil  in  den  Punkten  der  MD  die  Berührungsebenen  der  Fläche 
senkrecht  auf  der  Ebene  al  stehen  (466).  Sie  bilden  ein  Ebenen- 
büschel mit  MD  als  Axe;  und  die  Neigung  v  der  Berührungsebene 


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X,  469—470.   Die  wiDcUchiefe  Schraubenfl&che.  517 

der  Fläche  in  irgend  einem  Punkte  J  der  MD  gegen  die  F|  ist 
durch  tg  1/  -a  Ä^ :  M'J*  gegeben,  so  daß  v  =  ^  M'A'JT.  Daher 
ist  auch  das  Büschel  der  Strahlen ,  welche  aus  A'  nach  den  Punk- 
ten der  MD'  gezogen  werden,  einem  senkrechten  Schnitte  jenes 
Ebenenbüschels  kongruent,  wobei  jeder  Strahl  den  Berührungspunkt 
der  durch  ihn  dargestellten  Ebene  mit  der  Fläche  enthält.  Die 
Helligkeit  jeder  dieser  Ebenen,  sowie  der  Fläche  in  ihrem  Berührungs- 
punkte, erhält  man  daher  durch  das  TangentialbüschelJ.^  in  welchem 
A'D'  den  Lichtstrahl  darstellt.  Man  trage  daher  von  A'  aus  auf 
einer  Senkrechten  zu  A'D'  fünf  gleiche  Teile  als  halben  Stärke- 
maßstab bis  E  auf,  ziehe  den  Einheitskreis  aus  A'  durch  Ey  schneide 
ihn  mit  den  durch  die  Teilungspunkte  ±.  A'  E  gezogenen  Ge- 
raden, so  bilden  die  aus  A'  nach  den  Schnittpunkten  gezogenen 
Strahlen  das  Tangential büschel,  welches  auf  MD'  die  Punkte  der 
gesuchten  Lichtgleichen  einschneidet,  insbesondere  durch  A'E  den 
hellsten  Funkte  1.. 

Um  sodann  die  Punkte  auf  einem  beliebigen  aus  M'  gezogenen 
Kreise,  z.  B.  dem  begrenzenden,  zu  erhalten,  bestimme  man  die 
Helligkeit  in  seinen  Schnittpunkten  «T  und  K'  mit  M'D'  vermittelst 
der  Punkte  J^,  K^  des  Stärkemaßstabes,  derart,  daß  auf  JiK^  »= 
A'Ji  +  A'K^  der  Nullpunkt  A'  enthalten  ist  oder  nicht,  je  nach- 
dem der  gewählte  Ereis  J'K'  die  Eigenschattengrenze  (Ereis  MD') 
schneidet  oder  nicht.  Zwischen  die  parallel  zu  V  durch  «T,  K'  ge- 
zogenen Geraden  schalte  man  dann  die  Strecke  JiK^  oder  ein  Viel- 
faches desselben  (in  der  Figur  das  fünffache)  als  J^K^  ein,  und 
übertrage  darauf  kongruent  oder  ähnlich  die  auf  JiK^  enthaltenen 
Teilungspunkte  des  Maßstabes.  Die  durch  diese  übertragenen  Tei- 
lungspunkte zu  V  gezogenen  Parallelen  schneiden  auf  dem  Kreise 
JTK'  die  Punkte  der  Lichtgleichen  ein.  Es  ist  vorteilhaft  die  Kreise 
durch  Punkte  der  Lichtgleichen  auf  MD'  zu  legen,  wie  in  der 
Figur  durch  0  und  — -  2  geschehen  ist.  —  Die  Tangenten  der  Kurven 
in  M'  werden  (465)  durch  das  Stück  eines  Stärkemaßstabes  be- 
stimmt, dessen  Hälfte  der  in  V  liegende  Halbmesser  des  Einheits- 
kreises bildet,  und  dessen  Teilung  sich  auf  diejenige  von  A'E  senk- 
recht projicirt 

Indem  die  beiden  Flächenäste  durch  Verschiebung  |  a  um  die 
halbe  Ganghohe  zur  Deckung  gebracht  werden  können,  fallen  die 
Grundrißlichtgleichen  derselben  zusammen.  Jede  derselben  ist  sym- 
metrisch zu  M'D'j  während  bei  der  schiefen  Schraubenfiäche  nur 
die  Kurve  des  einen  Astes  mit  der  des  andern  symmetrisch  war. 

470.  Da  die  Gmndrißlichtgleichen,  welche  der  kreisförmigen 
Nulllinie  benachbart  sind,  der  Kreisgestalt  nahe  kommen,  so  ist  es 


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518  X,  470.    Die  windschiefen  Flächen. 

erwOnscht^  ihre  Erümmungskreise  in  ihren  Scheiteln  benutzen  zu  kön- 
nen. Wir  haben  dieselben  daher  bestimmt,  und  zwar  mü  Hufe  des 
Verfahrens  der  ähnlichere  Figur,  das  wir  bisher  nur  auf  die  Bestim- 
mung von  Tangenten  anwendeten.  Um  so  den  Krümmungshalb- 
messer r,  der  Lichtgleiche  2  in  ihrem  Scheitel  L  zu  ermitteln^  denkt 
man  sich  auf  LM'  die  unendlich  kleine  Strecke  LL'  =  rc  in  einem 
solchen  Sinne  aufgetragen,  daß  der  aus  M'  durch  L'  gezogene 
Kreis  Je  die  Lichtgleiche  2  schneidet;  wir  können  die  zwei  unendlich 
nahe  bei  L  liegenden  Schnittpunkte  dadurch  erhalten,  daß  wir  auf 
dem  von  L'  ausgehenden  Durchmesser  des  h  den  Starkemaßstab  auf- 
tragen, welcher  zur  Bestimmung  der  Lichtgleichenpunkte  auf  h  dient 
(469),  und  im  Punkte  2  =  L"  desselben  die  Senkrechte  zu  ML' 
ziehen;  dieselbe  enthält  die  beiden  Schnittpunkte  der  Lichtgleiche  2 
mit  h.  Sei  nun  L'L"  ^=^x^j  und  geben  wir  dieser  stets  gegen  JlT 
gerichteten  Strecke  das  positive  Zeichen,  wodurch  das  Zeichen  von  x 
als  positiv  oder  negativ  bestimmt  ist,  sei  ferner  r  ^^  M!L^=^  1^'V 
(ihr  Unterschied  =0^),  so  erhalten  wir  (208) 


*  «1  -fa; 

Nun  ist  Xi  von  x  in  der  Art  abhängig,  daß  der  Unterschied  der 
Helligkeiten  auf  LM!  an  den  Endpunkten  von  x,  also  in  L  und  L', 
gleich  ist  dem  Unterschiede  der  Helligkeiten  auf  dem  Kreise  Ic  in 
V  und  in  jenen  Schnittpunkten  mit  2,  oder  gleich  dem  Unterschiede 
der  Angaben  des  Stärkemaßstabes  des  Iz  in  den  Endpunkten  des  Xyy 
also  in  V  und  L".  Man  erhält  den  Helligkeitsunterschied  von  L 
und  L\  wenn  man  x  aus  A'  auf  den  Einheitskreis  als  Element 
desselben  bei  L^  projicirt,  und  hierauf  dieses  Element  senkrecht 
auf  den  Stärkemaßstab  A'  F  in  y,  x^  steht  dann  zu  y  in  dem- 
selben Verhältnisse,  wie  der  Durchmesser  LB,  des  Kreises  i  zu 
dem  Stücke  LiB,  (=  ^'22^  (+)  ^'Xi)  des  Stärkemaßstabes  A'E, 
welches  dem  LB,  zugehört. 

Um  nach  diesen  Bestimmungen  die  Konstruktionen  ausführen 
zu  können,  vergrößere  man  x,  y,  x^^  in  ein  und  demselben  Verhält- 
nisse zu  den  endlichen  Strecken  x\  y\  x(,  und  nehme  x  =  LM!  an. 
Die  verhältnismäßig  vergrößerte  Projektion  auf  das  verlängerte  Ele- 
ment des  Einheitskreises  bei  L<^  erhält  man,  wenn  man  zuerst  aus 
Ä  die  LM'  auf  die  parallel  zu  ihr  durch  L^  geführte  Gerade  in 
L^8  projicirt,  und  L^8  durch  eine  Parallele  zu  LA'L^  auf  die  Tan- 
gente des  Einheitskreises  in  Zg,  welche  Projektion  gleich  dem  senk- 
rechten Abstände  ST  des  S  von  LA'L^  ist  y'  ist  dann  die  Pro- 
jektion von  ST  auf  ^'JB,  oder  es  ist  y' =  TU,  wenn  SU±A'Ej 
TÜ^A'E.     Bestimmt   man  nun  L^B^  auf  A'E  aus  LB  so,  wie 


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X,  470—471.   Die  windschiefe  Schraubenfläche.  519 

K^Ji  aus  K'JT  bestimmt  wurde,  zieht  aus  L  eine  beliebige  Gerade^ 
etwa  ±M'L,  tragt  auf  ihr  LÜ^^TÜ,  LB^  =  L^It^  auf,  und 
zieht  TJ^X^  ||  JB,JB  bis  X^  auf  LBy  so  ist  LX^  =»  a?/,  weil 

a;/  :  /  =  rCj :  y  =  LB  :  Xj!?! . 

Da  ferner  r^  =  ro?/ :  (a;/ +  a?'),  so  erhält  man  r^'^LL^,  wenn 
man  auf  Z»Z7g  die  Z»Xi  =  ü,  =  a:/  in  irgend  einem  Sinne,  und 
XiX  =  a;'  =  Z/JK'  in  gleichem  oder  entgegengesetztem  Sinne  mit 
Xi'  aufträgt,  je  nachdem  x^  denselben  oder  den  entgegengesetzten 
Sinn  mit  x  hat,  und  wenn  man  X^Lq  ||  XM'  bis  Lq  s.\xi  LM'  zieht 

Übungsaufg.  Man  suche  durch  ähnliche  Betrachtungen  die  Tan- 
gente der  Grundrißlichtgleiche  zu  bestimmen;  aus  ihr  ergibt  sich 
dann  diejenige  der  Aufrißlichtgleiche. 

471«  Die  AufrißUchtgleichen  erhält  man  durch  Hinaufprojiciren 
der  Grundrißpunkte  auf  den  verzeichneten  Erzeugenden,  von  denen 
nur  die  Hälfte  der  benutzten  angegeben  ist.  Ihre  Punkte  auf  der  Axe 
a"  erhält  man  durch  Hinaufprojiciren  der  Tangenten  der  Grundrisse 
in  M' ;  und  da  einer  Lichtgleiche  im  Grundriß  zwei  solche  Tangenten 
zukommen,  und  diese  einerseits  in  Bezug  a,\xi M'D'y  andererseits  in 
Bezug  auf  die  dazu  senkrechte  -M'Ä'  symmetrisch  sind,  so  gehören  zu 
einer  Lichtgleiche  im  Aufriß  zwei  Punkte  der  a'\  welche  einerseits 
in  Bezug  auf  M'D'",  andererseits  in  Bezug  auf  die  davon  um 
\  Ganghöhe  entfernte  Erzeugende  symmetrisch  liegen,  daher  auch 
symmetrisch  in  Bezug  auf  M"  und  auf  jeden  von  M"  um  eine  ganze 
Anzahl  von  \  Ganghöhen  entfernten  Punkt  der  a". 

Die  Tangenten  der  ÄufrißlidUgleichen  in  den  Punkten  B'\  i^', 
H"  der  Äxe  werden  durch  ein  Tangentialbüschel  mit  V  als  Pro- 
jektion des  Lichtstrahles  und  der  Neigung  Aj  (hier  »=  k)  des  l  gegen 
Fg  bestimmt,  wie  es  in  der  Figur  für  F"  angegeben  ist 

Bezeichnet  man  die  von  oben  sichtbare  Seite  der  von  dem  ein- 
seitigen Strahle  MB  beschriebenen  Flächenhälfte  als  positiv^  so  ist 
die  von  oben  sichtbare  von  MB^  beschriebene  negativ.  Im  Grundriß 
ist  dann  die  linke  sichtbare  Hälfte  -f"?  ^^^  rechte  — ,  im  Aufriß 
die  obere  sichtbare  Hälfte  — ,  die  untere  +. 

Eine  senkrecht  zur  Erzeugenden  if*"D*"  gelegte  Schnittebene 
Fs,  in  F,  umgelegt,  schneide  diese  Erzeugende  in  N,  die  Fläche 
in  der  Kurve  PNQ,  welche  von  oben  gesehen,  auf  der  +  Seite  der 
Fläche  liegt,  und  bemerken  läßt,  daß  die  Lichtstrahlen  auf  der 
einen  Seite  von  N  die  +  Seite,  auf  der  andern  die  —  Seite  der 
Fläche  berühren,  und  so  eine  Lichtgleiche  +  0  und  —  0  erzeugen; 
daß  ferner  die  Lichtgleiche  2  zwischen  beiden  Nullpunkten  — , 
außerhalb  +  ist 


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520  X,  472—474,  Die  wiDdßchiefen  Flächen. 

472«  Übungsaufgabe.  Unter  einem  gewundenen  KreiscyUnder 
versteht  man  eine  Schraubenfläche,  deren  Normalkurve  ein  zur 
Schraubenaxe  a  excentrischer  Kreis  ist  Diese  Fläche  begrenzt  die 
in  der  Baukunst  gebrauchte  geumndene  Säule,  wobei  der  Abstand  der 
Axe  a  von  dem  Mittelpunkte  des  Kreises  etwa  gleich  ^  von  dessen 
Halbmesser,  die  Höhe  des  Ganges  etwa  gleich  dem  doppelten  Durch- 
messer  ist.  Unter  dieser  Annahme  sollen  von  der  Fläche  der  Grund- 
riß (Pj  _L  d),  der  Aufriß,  der  zweite  Umriß  in  jeder  Projektion,  die 
Eigenschattengrenze,  der  Schlagschatten  und  die  Lichtgleichen  mit 
der  Maximalkurve  bestimmt  werden  (vergl.  455,  456,  463). 

f)  Die  Schraube,  ihre  Schattengrenzen  und 
Lichtgleichen. 

473.  Die  Schraube  ist  ein  Körper,  der  durch  eine  begrenzte 
Fläche  erzeugt  wird,  wenn  diese  eine  Schraubenbewegung  vollführt 
Gewöhnlich  enthält  die  Schraube  als  einen  Bestandteil  den  Körper 
eines  Umdrehungscylinders,  und  dieser  heißt  der  Kern.  Der  übrige 
Bestandteil  heißt  das  Gewinde,  und  kann  stets  erzeugt  werden  durch 
die  ebene  Figur  eines  Meridianschnittes,  welche  mit  einer  geraden 
Seite  auf  einer  Erzeugenden  der  Kemoberfläche  aufliegt  und  eine 
Schraubenbewegung  um  dessen  Axe  a  vollführt,  derart  daß  zwischen 
den  Gängen  des  Gewindes  Lücken  bestehen  bleiben.  Jede  gerade 
oder  krumme  Seite  der  beschreibenden  Figur  erzeugt  eine  Schrau- 
benfläche, welche  für  jede  mit  a  parallele  Seite  in  einen  Cylinder 
übergeht.  Ein  Körper,  der  einen  Hohlraum  besitzt,  in  welchen  die 
Schraube  hineinpaßt,  heißt  SchraubenmuMer. 

Ist  diese  beschreibende  Figur  ein  mit  der  Grundlinie  auf  der  Seite 
des  Kerns  aufsitzendes  gleichschenkliges  Dreieck,  und  ist  die  Gang- 
höhe gleich  der  Grundlinie,   so  entsteht  die  einfache  Schraube  mit 

Fig.  191.  dreieckigein  oder  scharfem  Gewinde;  ist  die  Figur  eine  Brcihe  zweier 
oder  mehrerer  solcher  kongruenten,  mit  den  Enden  ihrer  Grund: 
linien  an  einander  stoßenden  Dreiecke,  und  ist  die  Ganghöhe  gleich 
der  Summe  der  Grundlinien,  so  entsteht  die  Schraube  mit  doppel- 

Fig.  192.  tem  oder  mehrfachem  Gewinde.  Ist  die  Figur  ein  Bedüedc,  und  die 
Ganghöhe  größer  als  die  mit  a  parallelen  Seiten,  gewöhnlich  dop- 
pelt so  groß,  so  entsteht  die  einfache  Schraube  mit  viereckigem  oder 
flachem  Gemnde,  die  entsprechend  eine  solche  mit  mehrfachem  Ge- 
winde werden  kann.  Die  in  beiden  Fällen  beschriebenen  Schrauben- 
flächen sind  windschief,  gechlossen,  und  bezw.  schief  oder  gerade. 

474,  Aufg.  Die  Schraube  mit  scharfem  Gewinde  mii  ihren 
Eigenschatten,  Schlagschatten  und  Lichtgleichen  m  verzeichnen. 

Flg.  191.         Aufl.    Ihre  Axe  a  sei  J_  Pj,  und  im  Hauptmeridiane  sei  GBC^ 


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X,  474.   Die  windscbiefe  Schraubenfläche. 
Fig.  191. 


521 


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522  X,  474.    Die  windschiefen  Flächen. 

{BC  '^  BC^)  das  Dreieck,  welches  das  Gewinde  erzeugt  Mau  ver- 
zeichne zuerst  die  Schraubenlinien,  welche  Bj  C  und  Cj  beschrei- 
ben; letztere  beide  fallen  zusammen.  Die  zweiten  Umrisse  der 
Schraubenflächen  sind  bei  ihren  vorhandenen  Erstreckungen  schwach 
gekrümmte  Linien,  die  als  gerade  oder  als  fast  gerade  Berührende 
an  die  äußere  und  innere  Schraubenlinie  gezeichnet  werden  können. 
Seitwärts  ist  das  teilweise  Verdecken  der  Umrisse  an  der  Stelle  C^" 
durch  eine  Zeichnung  von  doppelter  Größe  deutlich  gemacht.  Die 
Schraube  besitzt  einen  Kopf  von  der  Form  eines  regelmäßigen  sechs- 
seitigen Prismas.  Die  beiden  horizontalen  Grenzebenen  schneiden 
die  Schraubenflächen  in  den  verzeichneten  Stücken  von  Archimedi- 
schen Spiralen  (452). 

Zur  Bestimmung  der  Eigenschattengrenise  sind  (wie  in  Nr.  458, 
Fig.  185,  186),  aus  h^  =  M'A''  die  r,  =  M"E''  und  l^  =  M"  L" 
bestimmt,  mit  diesen  als  Halbmessern  die  Kreise  p  und  l^  gezeich- 
net, die  Asymptoten  und  die  Punkte  der  Kurve  auf  dem  größten 
Kreise  ermittelt,  durch  welche  unter  Benutzung  des  Doppelpunktes  If 
und  der  Tangenten  oder  der  Krümmungskreise  in  D'  die  bestehen- 
den Stücke  der  Eigenschattengrenze  schon  gezeichnet  werden  können. 

Man  zeichne  nun  den  Schlagschatten  der  äußeren  Schraubenlinie 
auf  F^  unter  Benutzung  der  Krümmungshalbmesser  in  den  Scheiteln, 
welche  (342)  =  r  T^  und  =  TT^  sind(r  To  =  T'M%  ^  T^D'T^  = 
^  ToA  T,  =  90«),  wobei  F,G,  der  Schatten  von  FG  {¥'' G")  ist; 
ferner  die  Schlagschatten  der  Eigenschattengrenzen,  so^G^Hj^  von 
GH,  und  die  des  Sphraubenkopfes,  so  können  durch  Rückwärtsziehen 
der  Lichtstrahlen  aus  den  Schnittpunkten  dieser  Schlagschatten,  die 
Grenzpunkte  der  auf  die  Oberfläche  des  Schraubengewindes  feilen- 
den Schlagschatten  ermittelt  werden,  so  aus  J\  der  Schatten  F^  des 
F  auf  die  äußere  Schraubenlinie.  Weiter  bestimme  man  von  einer 
Erzeugenden  JK  der  Schraubenfläche  den  Schatten  JiK^  auf  P^. 
Sind  J,  K  die  Schnittpunkte  der  Erzeugenden  mit  der  äußeren  Schrau- 
benlinie und  der  Axe  a,  ebenso  B  und  Bq  die  entsprechenden 
Schnittpunkte  der  Erzeugenden  BCi,  so  ist  der  Höhenunterschied 
von  J  und  K  gleich  demjenigen  von  B  und  Bq,  so  daß,  wenn  wie 
hier,  J"K"  in  a"  fällt,  K"  aus  e7"  durch  J" K" ^=^  -ä^'^o  bestimmt 
wird.  Schneidet  nun  e/jJEi  die  Linien  G^H^,  die  verlängerte  F^Gi 
und  den  benachbarten  Schatten  einer  Schraubenkopfkante  bezw.  in 
in  ^1,  ?7i,  Fj,  so  ermittelt  man  hieraus  im  Aufriß  auf  J"K"  die 
Punkte  N^f  U^j  V^  als  Punkte  der  Schlagschatten  bezw.  der  Eigen- 
schattengrenze GH,  der  äußeren  Schraubenlinie  und  einer  Schrau- 
benkopfkante. Unter  Benutzung  einer  weiteren  Erzeugenden  erhält 
man  so  die  zusammengesetzte  Linie  H" N^G^P^Q^  als  Schatten  jener 


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X,  474—475.   Die  windschiefe  Schranbenfläche.  523 

drei  Linien  auf  eine  Fläche  des  Gewindes;  sie  hat  bei  P^  eine  Ecke, 
bei  G2  nicht.  Ebenso  bestimnit  man  aus  den  Schattenpunkteu  auf 
P^:  Pj,  JBijXi  und  dem  Schatten  einer  zwischenliegenden  Erzeugen- 
den die  Schlagschatten  F^S^R^f  X^iSg  des  Schraubenkopfes  auf  die 
oberste  Fläche  des  Gewindes. 

Von  den  LicJUgleichen  sind  nach  Nr.  464,  Fig.  188,  mittelst  des 
verzeichneten  Tangentialbüschels  die  Punkte  auf  der  äußeren 
Schraubenlinie  bestimmt,  wobei  der  Hilfskegel  von  dem  Richtkegel 
nicht  mehr  unterschieden  werden  kann.  Hierdurch  werden  auch  die 
Punkte  der  Nulllichtgleiche  genauer,  als  durch  die  (kleinen)  Kreise 
p  und  ij,  erhalten.  Mittelst  dieser  Punkte  allein  können  im  Grundriß 
und  daraus  im  Aufriß  die  kurzen  Stücke  der  Lichtgleichen  gezeichnet 
werden,  da  ihre  Asymptoten  (als  Tangenten  an  p)  und  ihr  Bjrüm- 
mungssinn  (siehe  Fig.  188)  in  Gedanken  noch  Anhalt  bieten. 

Die  Hdligkeiten  der  (ebenen)  Seitenflächen  des  Schraubenkopfes 
sind  nach  I,  501  bestimmt,  wobei  h  die  Länge  ihrer  vertikalen  Kan- 
ten, h^tsaS'S^  die  Länge  von  deren  Schatten  auf  Pj,  und  h^  die 
Länge  des  Schattens  einer  in  der  projicirenden  Ebene  eines  Licht- 
strahles senkrecht  zu  ihm  gestellten  Strecke  k  ist.  Dann  ergibt 
sich  die  Helligkeit  der  mittleren  und  der  linken  Seitenfläche  des 
Schraubenkopfes,  und  die  der  P^  (hier  auch  der  P^)  bezw.  =  A3 :  äJj 
=  0,66,  A4  :  Äi  =  0,72,  Ä  :  Äj  =  0,58. 

476.  Aufg,  Die  Schraube  mit  flachem  Gewinde  mit  ihren  Eigen- 
schatten  j  Schlagschatten  und  Lichtgleichen  gu  verzeichnen. 

Aufl.  Das  Gewinde  der  Schraube  und  ihre  Lücke,  das  ist  auch  Fig.  192. 
das  Gewinde  der  Schraubenmutter,  werden  von  kongruenten  Recht- 
ecken beschrieben;  die  vier  Schraubenlinien  der  Eckpunkte  sind, 
soweit  sichtbar,  verzeichnet.  Man  sieht  nur  kleine  Stücke  der 
oberen  und  der  unteren  Wendelfläche.  Es  sei  wieder  ein  sechseckig 
prismatischer  Schraubenkopf  aufgesetzt.  Die  Schatten  der  Schrau- 
benlinien auf  P^  sind  verschlungene  Gykloiden  mit  l^  als  rollendem 
Kreise,  dessen  Halbmesser  MB'  =  l^  aus  M' A'  =  h^  und  X  be- 
stimmt ist.  Von  diesen  Kurven  sind  nur  kleine  Bogen  bei  den 
Scheiteln  notwendig,  welche  als  Teile  der  Krümmungskreise  ver- 
zeichnet werden  können,  deren  Halbmesser  =  T'Ti  und  ««T'Tj 
durch  r  To  =  T'M,  nnd  ^T^D.T,  =  <^  T^D'T^  =  90«  (342)  be- 
stimmt  sind.  Der  Schlagschatten  des  Kopfes  und  der  Schrauben- 
linien auf  die  cylindrischen  Flächen  wird  mittelst  des  Grundrisses, 
der  Schlagschatten  JPj-^s  ^^^  ^^^  ^^^^  obere  Wendelfläche  mittelst 
der  Schlagschatten  auf  P^  mit  Zuhilfenahme  einer  Erzeugenden  BE 
der  Wendelfläche  bestimmt.  Eine  Eigenschattengrenze  der  Wendel- 
fläche  tritt  nicht  hervor;    dagegen   die   beiden,   jedoch  verdeckten, 


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524 


X,  475.   Die  windschiefen  Flächen. 
Fig.  192. 


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X,  476.    Die  windsohiefe  Schranbenfl&olie.  525 

Lichtgleichen  4  und  6,  deren  Punkte  auf  dem  Symmetriemeridiane 
M'D'  and  auf  dem  größten  und  kleinsten  Kreise  nach  Nr.  469 
mittelst  des  Tangentialbüschels  Ä'  verzeichnet  sind.  Die  Licht- 
gleichen auf  den  Cylindern  sind  angegeben.  Die  Helligkeiten  der 
ebenen  Flächen  sind  wie  in  der  vorigen  Nr.  bestimmt,  und  da  die 
Maße  in  beiden  Figuren  übereinstimmen,  wurde  nur  in  der  neuen 
Figur  S'Sf  gezeichnet,  und  die  Abstände  des  5,  von  den  beiden 
benachbarten  Seitenflächen  des  Schraubenkopfes  abgegriffen,  auf  dem 
k^  der  vorhergehenden  Figur  gemessen  und  bezw.  «=  0,5  und  0,8 
erhalten. 

Übungsaufg.  Die  Schraubenmuttern  zu  den  beiden  betrachteten 
Schrauben  darzustellen,  in  deren  Inneres  man  sieht,  indem  man  die 
vordere  durch  die  Hauptmeridianebene  getrennte  Hälfte  entfernt 
denkt,  und  in  ihnen  die  Schattengrenzen  und  Lichtgleichen  zu  ver- 
zeichnen. 


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XI.  Abschnitt 
Die  Erflmmiing  der  Flächen. 

L   Die  Erümmang  der  Normal-  und  der  schiefen  Schnitte. 

476,  Die  Krümmung  einer  Fläche  P,  die  wir  immer  als  stetig 
voraussetzen,  in  einem  Punkte  P  derselben  ist  durch  die  Krüm- 
mungen aller  durch  P  gehenden  Kurven  der  F  im  Punkte  P  be- 
zeichnet. 

Sota.  Die  Krümmung  aller  Kurven  einer  stetigen  Fläche  P  in 
einem  Punkte  P  derselben  ist  durch  die  Krümmung  dreier  dieser  Kur- 
ven in  P  bestimmt,  von  denen  nicht  zwei  eine  gemeinschafÜid%e  Tangente 
in  P  besitzen. 

Bew,  Jede  durch  P  gehende  Kurve  Je  der  Fläche  hat  in  P 
dieselbe  Krümmung,  wie  die  Schnittkurve  h^  der  P  mit  der  Schmie- 
guDgsebene  der  h  in  P,  weil  drei  in  P  zusammenrückende  Punkte 
der  h  stets  auch  der  Schnittkurve  der  Ebene  der  drei  Punkte  mit 
der  P  angehören,  und  weil  diese  drei  Punkte  fQr  h  und  k^  dieselben 
Kreise,  also  auch  dieselben  Grenzlagen  derselben,  d.  h.  dieselben 
Krümmungskreise  bestimmen.  Legt  man  nun  außer  jenen  drei  Kur- 
ven eine  vierte  k  durch  P,  und  schneidet  eine  mit  ihrer  Schmie- 
gungsebene  in  P  parallele  und  ihr  unendlich  nahe  Ebene  die  P  in 
einer  Kurve  Ä^»  so  besitzt  diese  wegen  der  Stetigkeit  der  Fläche 
eine  von  derjenigen  der  k  nur  unendlich  wenig  abweichende  Krüm- 
mung bei  P.  TriflFt  diese  letztere  Ebene  die  drei  ursprünglich  ge- 
gebenen Kurven  in  den  Punkten  Q,  ü,  5,  und  ihre  Krümmnngs- 
kreise  fQr  P  bezw.  in  den  Punkten  ^j,  ü^,  Sj,  so  weichen  die 
Halbmesser  r  und  r,  der  Kreise  QBS  und  QtBiSi  nur  unendlich 
wenig  von  einander  ab.    Es  sind  nämlich  die  Krümmungshalbmesser 

S  8t 

wenn  man  den  Abstand  der  Mitten  der  Elemente  QB  und  BS  mit  s, 
den  von  QiB^  und  B^S^  mit  s^  bezeichnet  und 

n  —  ^QBS^fp,         n-^Q,B,8,^q>, 
setzt.    Da  die  Tangenten  der  drei  gegebenen  Kurven  in  P  nach  der 


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XI,  476—477.   Eifammiing  der  Normal-  und  der  schiefen  Schnitte.     527 

Voraussetzung  endliche  Winkel  mit  einander  bilden,  so  sind  QR, 
QiBi,  ...  sowie  s  und  s^  >=  0\  und  ebenso  sind  im  allgemeinen  (p 
und  <pi  s=  OS  im  besonderen  0  von  höherer  Ordnung  =  0".  Da- 
gegen sind  die  Abstände  ÖOi,  -B-Ru  ^^i  =0'  (I>  237);  daher  ist 
einerseits  5  —  Si  =  0^,  und  andererseits  ist  der  Winkel  von  QB 
und  Q^R^  =  {QQ^  -  RR^)  :  ^B  =  0»  :  0^=  0«,  ebenso  der  von  RS 
und  iJjiSi,  daher  auch  (p  —  <pi  =  0^  Hieraus  folgt,  daß  im  allge- 
meinen Falle  5  ««  Sj,  9?  =  9i  und  r  =  r^  ist.  Andererseits  ist  im 
besonderen  Falle  (^  «=  0*,  n  >  1)  r  «=  0^  :  0"  =  cx>;  dann  ist 
9i  =  9  +  0*  =  0*,  daher  r^  «=  0* :  0*  =»  cx> ,  also  wieder  r  ^r^. 
Und  da  auch  der  Krümmungshalbmesser  jener  vierten  durch  P 
gehenden  Kurven  Je  von  r^  und  daher  auch  von  r  unendlich  wenig 
verschieden,  d.  h.  mit  r  gleich  ist,  so  ist  auch  er  durch  die  drei 
gegebenen  Kurven  bestimmt,  w.  z.  b.  w. 

Daraus  folgt  der  Sat^:  Zwei  Flächen,  welche  sich  in  einem  ge- 
meinschaftlichen Punkte  P  berühren  j  werden  von  jeder  durch  P  gelegten 
Ebene  in  zwei  Kurven  geschnitten ,  welche  in  P  dieselbe  Krümmung 
besitzen,  wenn  dies  ßr  drei  solche  Ebenen  der  Fall  ist,  von  denen 
keine  zwei  eine  Tangente  der  Flächen  in  P  gemein  haben.  Man  sagt 
dann,  beide  Flächen  besitzen  in  P  dieselbe  Krümmung,  oder  die  eine 
Fläche  ist  eine  sich  in  P  anschmiegende  oder  oshüirende  Fläche  oder 
eine  Schmiegungsfläche  der  andern. 

Die  beiden  Flächen  haben  bei  P  nach  jeder  Seite  hin  zwei 
Flächenelemente  gemein,  weil  ihre  Schnittlinien  mit  jeder  durch  P 
gelegten  Ebene  zwei  Linienelemente  gemein  haben. 

477.  Satz,  Es  gibt  eine  dreifach  unendliche  Schaar  von  Flächen 
zweiten  Grades  F^  welche  sich  einer  beliebig  gegebenen  Fläche  F  in 
einem  Punkte  P  anschmiegen. 

Denn  legt  man  durch  P  eine  die  F  schneidende  Gerade  und 
durch  diese  drei  Ebenen,  bestimmt  ihre  Schnittlinien  mit  F,  nimmt 
auf  der  Geraden  außerhalb  P  einen  willkürlichen  Punkt  Q  an  und 
legt  durch  diesen  in  der  ersten  jener  Ebenen  eine  willkürliche  Ge- 
rade t,  in  der  zweiten  eine  solche  t^,  legt  dann  in  jeder  der  drei 
Ebenen  durch  P  und  Q  einen  Kegelschnitt,  wovon  jeder  mit  der  in 
derselben  Ebene  liegenden  Schnittlinie  der  F  denselben  Krümmnngs- 
kreis  in  P  besitzt  und  von  denen  die  erste  in  Q  die  t,  die  zweite 
die  ti,  die  dritte  die  Ebene  tt^  berührt  (wobei  jeder  durch  fünf 
Punkte  gegeben  ist),  so  bestimmen  diese  drei  Kegelschnitte  eine 
Fläche  zweiten  Grades  F*  (87),  welche  sich  der  F  in  P  anschmiegt. 
Wegen  der  WillkOrlichkeit  in  der  Wahl  von  Q,  t,  t^  gibt  es  drei- 
fach unendlich  viele  solcher  F*,  während  die  Wahl  der  durch  P  ge- 
legten Geraden  die  Anzahl  der  Schmiegungsflächen  nicht  vermehrt, 


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628 


XI,  477--478.    Die  Krümmung  der  Fl&chen. 


da  jede  solche  Gerade  von  jeder  P*  in  einem  zweiten  Punkte  Q  ge- 
schnitten wird. 

Die  Schaar  der  anschmiegenden  V\  welche  in  P  einen  Scheitel 
besitzen,  ist  einfach  unendlich.  Um  eine  solche  zu  erhalten,  legt 
man  FQ  als  Normale  der  F  in  P  und  zieht  t  und  t^A.PQ\  dann 
ist  PQ  eine  Axe  der  F*.  Durch  die  Wahl  von  Q  oder  des  Mittel- 
punktes M  der  PQ,  welcher  auch  der  Mittelpunkt  der  F*  ist,  und 
durch  die  Krümmungshalbmesser  r,  r',  r"  der  drei  Normalschnitte 
der  F  in  P  ist  F*  bestimmt  Dabei  enthält  der  zu  PM  senkrechte 
Hauptschniti;  der  F^  in  den  drei  Normalschnitten  Halbdurchmesser 
d,  d'y  d'\  und  diese  sind,  wenn  die  Halbaxe  MP  ■=  MQ  =  c  ge- 
setzt wird,  bestimmt  durch  (I,  250) 

^  =  er,        d'^  =  CT,        d"«  —  er". 

Durch  diese  drei  (reellen  oder  imaginären)  Halbdurchmesser  (näm- 
lich durch  f&nf  von  den  sechs  Endpunkten  der  drei  Durchmesser) 
ist  der  Kegelschnitt  bestimmt,  welcher  den  auf  PQ  senkrechten 
Hauptschnitt  der  F*  bildet,  und  damit  dessen  Axen  2  a  und  25, 
und  die  F^  selbst. 
Fig.  198.  Sind  die  Krümmungshalbmesser  der  durch  MA  =  a  und  MB 
=  b  gelegten  Normalschnitte  in  P  bezw.  r^  =»  PB^  und  r,  =  PiJ,, 
so  ist 

a^^^^r^Cf        ¥'=»r^c, 

Fig.  198.  woraus    folgt,    daß  bei 

wechselndem  c  die  Haupt- 
schnitte   A  MB     aller 
anschmiegenden  F^   das 
Verhältnis    a  :  b    nicht 
ändern,  also  unter  ein- 
ander ähnliche  und  ähn- 
lich    gelegene     Kegel- 
schnitte bilden.  Ergeben 
sich  a  und  b  beide  ima- 
ginär, so  kann  man  sie 
durch    Umkehrung    des 
Sinnes  von  c  reell  machen. 
478.    Eine  parallel  zur  Berührtmgsebene  der  F  in  P  und  un- 
endlich nahe  bei  P  gelegte  Ebene   schneidet  die  F  und  die  sich 
anschmiegende  F'  in  Kurven  i\  t,  deren  unendlich  nahe  bei  P  lie- 
genden Teile   zusammenfallen,    weil  jede  durch  P  gelegte  Ebene 
beide  Flächen  in  Kurven  Je  und  Jc^  von  gemeinschaftlichen  Krüm- 
mungskreisen trifft    Sind  nämlich  die  benachbarten  Schnittpunkte 


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XI,  478—  479.    Krümmung  der  Normal-  und  der  schiefen  Schnitte.      529 

jener  parallelen  Ebene  mit  h,  h^  und  ihrem  gemeinschaftlichen  Krüm- 
mungskreise  bezw.  R,  B^,  Bq,  wobei  R  und  B^  bezw.  auf  V  und  i 
liegen,  so  sind  BBq  und  B^Bq,  daher  auch  BB^  —  0*,  wenn  PB 
=  0*  ist.  Denn  die  Abstände  der  Je  und  \  Ton  ihrem  Krümmungs- 
kreise sind  bei  B  in  der  Richtung  der  Normale  in  P  «=  0^  (1, 237), 
daher  in  der  Richtung  der  Tangente  in  P,  weil  diese  einen  Winkel 
0^  mit  den  Tangenten  der  Kurven  bei  JB  bildet,  =  0' :  0*  =  0*. 
Wenn  aber  iJBj  — 0*,  Pi?  =  0^  so  fallen  i?  und  Bi,  oder  die 
Punkte  der  i'  und  der  i  zusammen.  Dasselbe  gilt  auch  von  ihren 
Tangenten  in  B  und  JR^.  Denn  sind  S,  S^  die  bezw.  den  Jß,  B^ 
benachbarten  Punkte  der  i',  i,  wobei  wegen  Pi?  «==  0^,  BS  und 
und  ebenso  B^Si  nur  0*,  so  ist  die  Änderung  des  BBi  zxxSSi  ^^^^ 
BB^  —  SSi  =  0^  daher  der  Winkel  der  Elemente  BS,  B^S^  oder 
der  Tangenten  der  i\  i  in  B,  B^,  ^{BB^  —  SS^)  :  iJS  =  0» :  0« 
=  0^  Da  nun  der  Schnitt  i  auf  der  Fläche  zweiten  Grades  F*  ein 
mit  deren  parallelem  Hauptschnitte  MAB  ähnlicher  Kegelschnitt 
ist,  so  können  wir  sag^n: 

Eine  parallel  und  unendlich  nahe  zu  der  Beruhrungsebene  einer 
Fläche  F  in  ihrem  Punkte  P  gelegte  Ebene  schneidet  die  F  in  einer 
Kurve,  welche  mit  ihren  dem  P  unendlich  nahen  Punkten  und  ihren 
Tangenten  in  denselben  mit  einem  Kegelschnitte  i  zusammenfällt,  der 
unendlich  kleine  Axen  besitzt;  derselbe  heißt  die  Indikatrix*)  derT  in  P. 
Man  stellt  denselben  dar  durch  die  senkrechte  Projektion  PA'B' 
des  Hauptschnittes  MAB  auf  die  (mit  ihm  parallele)  Berührungs- 
ebene der  F  in  P  und  nennt  auch  diese  Projektion  die  Indikatrix. 
Für  ihre  Axen  a,  b  gilt  das  Verhältnis  (477) 

Die  Großen  der  Axen  wechseln  mit  c  und  sind  daher  willkürlich; 
aber  alle  Indikatrixen  sind  unter  einander  koncentrisch,  ähnlich  und 
ähnlich  gelegen. 

479,  Durch  die  sich  der  F  in  P  mit  einem  Scheitel  anschmie- 
gende Fläche  F^^  oder  vermittelst  einer  Indikatrix  und  des  ihr  zu- 
gehörigen c,  kann  man  leicht  die  Krümmungshalbmesser  aller  ebenen 
Schnitte  der  F  in  P  bestimmen,  was  zunächst  ßr  die  Normalschnitte 
geschehen  soll. 

Die  Gleichung  des  Hauptschnittes  MAB,  wenn  man  MA  als 
X',  MB  als  yAxe  annimmt,  ist 


*)  Die  Theorie  der  Indikatrix  rührt  von  Ihipin  her  (d^veloppements  de 
g^om^trie,  Paris,  181 S). 

Wiener,  Lehrbach  der  darttellenden  Oeometrie.   IL  84 


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530  XI,  479—480.    Die  Krümmung  der  Flächen. 

Diese  Mittelpunktsgleichung  stellt  eine  Ellipse,  eine  Hyperbel  oder 
ein  Paar  paralleler  Geraden  dar,  je  nachdem  beide  Axen  reell,  eine 
reell  und  eine  imaginär,  oder  eine  reell  und  endlich  und  eine  un- 
endlich ist. 

Die  Normalschnitte  PMA,  PMB,  PMD,  wobei  D  ein  Punkt 
des  Kegelschnittes  AB,  für  welchen  MD  =  d,  sind  Kegelschnitte 
mit  den  Halbaxen  c,  a;  c,  &;  c,  d,  und  haben  zu  Krümmungshalb- 
messern in  P  bezw.: 

Bezeichnet  man  -^AMD  mit  9,  so  ist  für  D: 

X  =  d  cos  q>,        y  =  d  sin  9, 
und  nach  Gl.  (1) 

-,- cos*  9  + -^  8in>  =  1; 

setzt  man  darin  die  aus  (2)  bestimmten  Werte  von  eP  :  a*  und  d* :  6* 
ein,  so  erhält  man 

—  5=  —  cos*  9)  -j sin*  9? .  (3) 

Diese  Formel  und  die  Folgerungen  aus  derselben  verdankt  man 
Etiler*). 

Man  ersieht  aus  Gl.  (2),  daß  r,  r^,  r^  stets  reell,  aber  positiv 
oder  negativ  sind.     Man  kann  die  Gleichung  (3)  auch  schreiben 


i-  =  -i  4.  /-i  _  i-\    •  « 


woraus  folgt,  daß  für  <^  AMD  =  9  und  =  —  (p  die  Werte  von  r 
übereinstimmen,  und  daß  r  stets  wächst  oder  stets  abnimmt,  wäh- 
rend <p  von  0  zu  +  90^,  r  selbst  aber  von  r^  zu  r^  übergeht,  daß 
also  einer  der  beiden  Werte  r^  und  r^  ein  größter,  der  andere  ein 
kleinster  ist.     Daher: 

Unter  allen  Normälschnitten  einer  Fläche  F  in  einem  Punkte  P 
derselben  gibt  es  zwei  auf  einander  senkrechte,  von  denen  der  eine  die 
größte,  der  andere  die  kleinste  Krümmung  in  P  besitz.  Diese  beiden 
Schnitte  heißen  die  Hauptschnitte,  ihre  Ebenen  die  Hauptebenen  und 
ihre  Krümmungshalbmeser  r^  und  r^  die  Hauptkrümmungshalbmesser. 

480.    Erörterung  der  Eulerschen  Formel. 

1)  Sind  die  beiden  Hauptkrümmungshalbmesser  r^,  r,  enMä^ 


*)  Euler,   Recherches  aar  la  coarbure  des  surfaces.     Abhandinngen  der 
Akad.  V.  Berlin,  1760. 


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XI,  480.    Krümmang  der  Normal-  und  der  schiefen  Schnitte.  531 

und  haben  denselben  Sinn,  den  wir  als  den  positiven  bezeichnen 
wollen y  so  ergeben  sich  nach  (2)  der  Tor.  Nr.,  je  nachdem  man  c 
positiv^  unendlich  oder  negativ  wählt,  a  und  b  als  endlich  und  reell, 
unendlich,  oder  imaginär,  also  die  anschmiegende  Fläche  F^  als 
EUipsoid,  elliptisches  Paraboloid  oder  zweischaliges  Hyperboloid. 
Die  Indikairix  ist  dann  stets  eine  Ellipse,  der  Punkt  heißt  ein.  dlip- 
tischer  und  die  Fläche  ist  in  diesem  Punkte  konvex  (vergl.  Nr.  33). 
Ist  ry^m^r^,  so  haben  alle  Normalschnitte  denselben  Krümmungs- 
halbmesser, c  wird  eine  Umdrehungsaxe  der  F*,  welche  auch  eine 
Kugel  sein  kann,  die  Direktrix  wird  ein  Kreis,  und  der  Punkt  heißt 
ein  Kreis-  oder  l^äbe^nkt, 

2)  Sind  r^  und  r,  endlich  und  haben  entgegengesetzten  Sinn,  wo- 
bei die  Fläche  eine  sattelförmige  Gestalt  besitzt,  so  ist  von  den 
Axen  a  und  b  die  eine  reell,  die  andere  imaginär,  welchen  Sinn 
man  c  auch  geben  mag;  die  F*  wird  ein  einschaliges  Hyperboloid, 
welches  für  c  =  oo  in  das  hyperbolische  Paraboloid  übergeht  Die 
Direktrix  ist  eine  Hyperbel,  der  Punkt  heißt  ein  hyperbolischer  und 
die  Fläche  in  diesem  Punkte  konvex-konkav  oder  von  entgegenge- 
setzter Krümmung.  Indem  mit  der  Veränderung  von  (p  der  Krüm- 
mungshalbmesser r  vom  positiven  zum  negativen  Werte  übergeht, 
durchläuft  er  den  unendlichen  Wert  (479,  Gl.  (3)  und  (2))  für 

Dieser  Ausdruck  ist  reell,  da  r^ :  r^  negativ,  und  bestimmt  den  Winkel 
g)  der  Asymptoten  der  Direktrix  mit  der  Axe  a.  Ein  durch  eine  der 
Asymptoten  gelegter  Normalschnitt  der  F  berührt  die  Berührungs- 
ebene der  F  dreipunktig,  weil  sein  Krümmungshalbmesser  unendlich 
ist.  In  diesen  beiden  Normalebenen  erfolgt  der  Übergang  des 
Krümmungskreises  des  Normalschnittes  von  der  einen  zu  der  an- 
deren Seite  der  Berührungsebene.  Die  Projektionen  zweier  auf  ent- 
gegengesetzten Seiten  der  Berührungsebene  liegenden  Direktrixen 
auf  diese  Ebene  liegen  in  den  verschiedenen  Winkeln  jener  Asymp- 
toten und  sind  bei  gleichen  Werten  von  c  (s.  479)  zu  einander  kon- 
jugirt.  Die  Asymptoten  der  Indikatrix  in  P  heißen  die  Haupt- 
tangenten  der  Fläche  in  P. 

3)  Ist  einer  der  Hauptkrümmungshalbmesser^  etwa  r^,  unend- 
lich, so  wird  (479,  Gl.  (2)  und  (3)) 

a  =  cx>,        b  '^  +  yrlc,        r  ■= -r-l — 

Die  Direktrix  besteht  dann  aus  zweien  mit  a  parallelen  Geraden,  die 
anschmiegende  F'  wird  ein  Cylinder,  von  welchem  die  Taugente  an 


84* 

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532  XI,  480—481.    Die  Krümmung  der  Flachen. 

den  Hauptschnitt  ac  der  F  (mit  unendlichem  Krümmungshalbmesser) 
eine  Erzeugende  ist  Ein  solcher  Punkt  heißt  ein  parabolischer, 
weil  er  den  Übergang  zwischen  den  beiden  anderen  Punktarten  bil- 
det, wie  im  allgemeinen  die  Parabel  zwischen  der  Ellipse  und  der 
Hyperbel,  obgleich  die  Indikatrix  keine  Parabel  ist  und  nicht  sein 
kann,  da  ihr  Mittelpunkt  P  im  Endlichen  liegt  Vielmehr  geht  die 
Indikatrix  von  der  Ellipse  in  die  Hyperbel  durch  jene  zwei  parallele 
Gerade  über.  Abwickelbare  Flächen  haben  nur  parabolische  Punkte. 
4)  Ist  ein  Hauptkrümmungshalbmesser,  etwa  r^,  Null,  der  an- 
dere rg  endlich f  wie  es  an  der  Rückkehrkante  einer  abwickelbaren 
Fläche  vorkommt,  so  sind  alle  r  bis  auf  r,  Null.  Sind  r^  und  fg 
Null,  so  sind  alle  r  Null;  wie  dies  in  der  Spitze  einer  Umdrehungs- 
fläche vorkommt,  welche  durch  Drehung  einer  Kurve  um  ihre  Tan- 
gente in  ihrer  Spitze  entsteht. 

Die  Haupttangenten  einer  Fläche  in  einem  Punkte  P  derselben, 
als  Asymptoten  ihrer  Indikatrix,  sind  entweder  reell  und  getrennt^ 
oder  reell  und  vereinigt,  oder  imaginär. 

481.    Konstruktion  des  Krümmungshcdbmessers  r  eines  Normal- 
Schnittes  aus  den  beiden  Hauptkrümmungshalbmessem  r^,  r^. 
Flg.  194.         Erstes  Verfahren.    Es  sei  P  der  gegebene  Punkt  der  Fläche  F, 
PN  deren  Normale,   auf  derselben  PRi^^^r^,   PR^^=r^j    femer 
-^  NPD^  «=  9  der  Winkel,  welchen  eine  an- 
dere Normalebene  der  P  in  P  mit  der  Haupt- 
ebene des  rj  bildet.   Man  ziehe  BiD^  und  JB^Dj 
senkrecht  zu  PN,  PD^±PD^,  schneide  PD^ 
mit  BijDi  in  Dj,  P^B^  mit  B^D^  in  D^,  so 
bestimmt  die  Gerade  D^D^  auf  PN  den  Krüm- 
mungsmittelpunkt B  und  den  Krümmungshalb- 
messer PB,  ="  r  unseres  Normalschnittes.  Denn 
es  ist 
A  PA A  =  A  PD^B  +  A  PSA, 
daher  auch 

PA  .  PA  =  -PA  .  Pi2 .  sin  9  +  PjR  .  PA  -cos  9. 

Teilt  man  durch  PB .  PA  •  ^A?  ^^  erhält  man 

und  bezeichnet  man  PB  mit  r,  und  beachtet,  das  PA  "^  ^1 '  cos  9), 
PDg  =  r^ :  sin  9,  so  erhält  man 

—  =  —  cos*  fp  -{ sm'  q> . 

Die  Übereinstimmung  dieses  Ausdrucks  mit  der  Eulerschen  Formel 

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Fig. 

194. 

n 

^r 

\^ 

^ 

\r 

Ä 

\ 

^'    / 

y^< 

\ 

^r. 

XI,  481—482.   Erammung  der  Normal-  und  der  schiefen  Schnitte.      533 


(479,  Gl.  (3))  zeigt,    daß  PR  '==^  r  der  gesuchte  Krümmungshalb- 
messer ist*). 

Man  bemerkt,  daß  die  Geraden  D^D^  einen  Kegelschnitt  ein- 
hüllen (weil  Dl  und  D,  projektive  Punktreihen  beschreiben),  daß 
22i,  B^  Scheitel  dieses  Kegelschnittes  sind,  und  daß  er  selbst  die 
Gestalt  einer  Hyperbel,  Ellipse  oder  Parabel  besitzt,  je  nachdem 
P  ein  elliptischer,  hyperbolischer  oder  parabolischer  Punkt  der 
Fläche  F  ist 

482.    2koeites  Verfahren,     Es  seien  wieder  PN  die  Normale  Fig.  m. 
der  Fläche  in  ihrem  Punkte  P;  Ri,  R^  die  Hauptkrümmungsmittel- 
punkte,  R^Di  und  R^D^±PN] 


dann  ziehe  man  RiQi  unter  dem 
Winkel  (p  gegen  RiDi]  der  zu  (p 
gehörige  Krümmungshalbmesser 
sei  PR  =  r,  und  es  sei  JB  ^i  J_ 
PJB.  Wir  wollen  den  geometrischen 
Ort  h^  dieses  Punktes  Q^  durch 
Aufstellung  seiner  Gleichung  er- 
mitteln ,  wobei  RiR  =  x,  -B öi  =» y 
sei.    Es  ist 

y^ajcot^;  (1) 

aus  dieser  Gleichung  eliminiren 
wir  die  Veränderliche  9?  mittelst 
der  Eulerschen  Gleichung  (479,  (3)) 
und  einer  Beziehung  für  r,  näm- 
lich mittelst 


Fig.  196. 


und 


r.  —  X. 


—  «=  —  cos'  9)  H sm*  9? 

Aus  der  ersteren  folgt,  weil 

cos^  <p  =  cot*  9  :  (l  +  cot*  <p) ,         sin*  9)  =  1  :  (l  -f-  cot*  <p) , 
y  (1  +  cot*  9).=  ^  cot*  q>  +  l^y 


oder 
oder 


r^  cot* g)  {r^  —  r)  ^^ri{r  —  r^), 
r^  X  cot*  9  =  r,  (r^  —  r^  —  x). 


*)  Diese  Eonstraktion  gibt  Herr  Mannheim  (cours  de  g^omdtrie  descrip- 
tive,  1880,  S.  281)  und  leitet  sie  mittelst  der  Normalenfläche  ab,  aof  welche 
er  die  Theorie  der  KrflmmaDg  der  Flächen  gründet.  Aus  der  Konstruktion 
entwickelt  er  dann  in  obiger  Weise  die  Eulersch^  Formel.  Eine  andere  Kon- 
struktion unserer  Aufgabe  mittelst  eines  Hilfskegelscbnittes  gibt  Eüler  (Re- 
cherches  sur  la  courbure  des  snrfaces  in  den  Möm.  de  TAcad.  de  Berlin,  1760; 
siehe  de  la  Ooumerie,  tr.  de  g^om.  descr.,  B.  8,  1864,  S.  18). 


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534  Xr,  482.    Die  Krümmung  der  Flächen. 

Multiplicirt  man  diese  Gleichung  mit  der  quadrirten  Gleichung  (1), 
so  erhält  man  die  Gleichung  von  J;^: 

y«  =  ^x(r.-r,-a;).  (2) 

Vergleicht  man  dieselbe  mit  der  Gleichung  der  Ellipse  von  den 
Halbaxen  zu  a,,  ft^,  bezogen  auf  einen  Scheitel  der  Axe  26i: 

(welche  man  aus  der  letzten  Gleichung  von  I,  363  erhält,  wenn  man 
a  mit  h  vertauscht,  und  x  durch  x  —  h  ersetzt),  so  findet  man  beide 
übereinstimmend,  wenn 

Die  Kurve  Aj  ist  also  eine  Ellipse,  welche,  unter  der  Voraus- 
setzung ^1  >  fj,  woraus  a^  >  Jj,  die  R^  R^  zur  Nebenaxe  hat  und 
ähnlich  mit  der  Indikatrix  ist,  weil  deren  Axen  das  gleiche  Verhält- 
nis besitzen  (478). 

Zieht  man  andererseits  R^Q^-^^Qx^  ^^so  unter  dem  Winkel 
90^  —  9)  gegen  R^D^,  und  schneidet  R<gQ^  mit  Ji^j  ^Qiy  so  erhält 
man  die  Gleichung  des  geometrischen  Ortes  Ti^  des  Punktes  Q^,  worin 
R^R'^  X,  RQ^=^y  ist,  wenn  man  in  der  Gleichung  (2)  **i,  »"2,  9,  a? 
bezw.  durch  r^,  r^,  90^—  9,  ^'i  —  ^2  —  ^  ersetzt, 

y'-^x{r,-r,^x).  (3) 

Es  ist  dies  wieder  die  Scheitelgleichung  einer  Ellipse  von  den 
Halbaxen  «2;  ^2;  wobei 

Ic^  hat  daher  R^R^  zur  Havptaxe  und  ist  ebenfalls  der  Indikatrix 
ähnlich. 

Da  RiQi  und  R2Q2  auf  einander  senkrecht  stehen,  so  ist  der 
Ort  ihres  Schnittpunktes  Q  der  Kreis  Je  vom  Durchmesser  JBi  22^  und 
dem  Mittelpunkte  0.  Für  9  =  45^  sei  r=»r']  dann  wird  cos*  9 
=  sin*  y  =  ^ ,  und  die  Eulersche  Gleichung  wird 

—  =  —  -4-  i. 

Der  Erümmungsmittelpunkt  R'  ist  dann  von  P  durch  R^  und  R^ 
harmonisch  getrennt  (I,  289),  oder  die  Berührungspunkte  der  aus 
P  an  A,  \,  Jc^  gezogenen  Tangenten,  nämlich  S^,  S^,  Sg,  liegen  auf 
einer  durch  iJ'  gehendeil,  auf  P^  senkrechten  Geraden.  Der  Schnitt- 
punkt 8  von  R^Sj^  und  B^Sg  l^ßg*  ^^f  ^>  ^^^y  wegen  9  =  45®,  in 
der  Mitte  des  Halbkreises  RiR^,  so  daß  OSA^R^R^.    Man  erhält 


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Fig.  196. 


XI,  482—483.   KrümmuDg  der  Normal-  und  der  schiefen  Schnitte.     535 

daher  die  Punkte  S^,  S^  bezw.  Ton  Äj,  i,,  wenn  man  die  Polare 
SqB'  von  F  zn  k  mit  den  durch  S,  oder  unter  45^  gegen  B^Dj^  ge- 
zogenen Strahlen  R^S,  B^S  in  S^,  S^  schneidet,  oder  wenn  man 
R'S^  =  B'B^y  B'S^  =  B'B^  macht.  Dadurch  sind  \,  h^  als  affine 
Ellipsen  zu  Tc  bestimmt*). 

4:83,     Um   bei  der  Konstruktion  von  B  die  Ellipsen  entbehren 
zu  können,  benutzen  wir  die  KoUineaüon  einer  derselben,  etwa  der 
Ä^t,  mit  dem  Kreise  h]  wir  konnten  als  solche  die  Affinität  mit  der 
Axe  jR,  üj  wählen,   ziehen  aber, 
wegen  Übereinstimmung  mit  dem  ^' 

Folgenden,  die  KoUineation  vor 
mit  iZj  als  Mittelpunkt  und  B2D2 
als  Axe.  Dann  entsprechen  sich 
in  Je  und  k^  die  aus  einem  pas- 
senden Punkte  C  der  B^D^  ge- 
zogenen Geraden  GS  und  CS^ 
(in  der  Figur  wurde  CS  als  Tan- 
gente an  k  gewählt).  Schneidet 
nun  ein  Strahl  B^Q  den  k  in  Q, 
so  ziehe  man  QU\\  B^D^  bis  U 
auf  CSj  dann  B^^U  bis  Ui  auf 
CSi,  so  schneidet  die  Parallele 
Ü^B  zu  B2D2  die  B^Q  in  Q^, 
einem  Punkte  der  Ä^,  und  die  B^B^  in  B. 

Ist  P  ein  hyperbolischer  Funkt,  so  liegt  P  auf  der  endlichen  rig.  197. 
Strecke  Ü1JB2  und  der  von  P  durch  ü^,  IZ^  harmonisch  getrennte 
Punkt  jR'  wird  durch  den  Kreis  k  vom  Durchmesser  iJ^JB^  gefun- 
den, wenn  man  FS^^J^B^^B^  bis  Sq  auf  i,  und  in  Sq  die  Tangente 
an  k  bis  iJ'  auf  ü^üj  zieht.  Ä,,  i^  werden  Hyperbeln  mit  B^B^ 
als  reeller  Axe,  gehen  bezw.  durch  die  Punkte  ä/,  S^  der  Polare 
iJ'iS/  von  P  zu  A,  Ä^,  ig,  wenn  iJ^fif'S/  und  iJ^ß^S/  unter  45^ 
gegen  B^D^  gezogen  sind  (JB'Ä/ =  jB'i?i,  B'S^  =  B'B^).  Die 
Hyperbeln  sind  ähnlich  mit  den  konjugirten  Hyperbeln  der  Indi- 
katrix,  und  haben  dieselbe  gegenseitige  Lage  wie  die  eine  Indikatrix- 
hyperbel  gegen  die  um  90^  gedrehte  andere;  ihre  Asymptoten  stehen 
daher  paarweise  auf  einander  senkrecht.  Sie  sind  als  kollineare 
Kurven  zu  k  mit  B^  als  Mittelpunkt  und  ü^Dj  ^Is  Axe  der  Kol- 
lineation  gezeichnet  Zieht  man  den  Strahl  B^  Q^  unter  dem  Winkel 
q)  gegen  üj 2)^,  und  schneidet  ihn  mit  k^  in  $/,  zieht  Q^BA^B^B^, 


*)  Die  Konstruktionen   dieser  Nr.   rühren   von   meinem   Sohne  Hermann 
Wiener,  Privatdocent  in  Halle,  her. 


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536 


XI,  483.    Die  Krümmung  der  Flächen. 


SO  ist  12  der  za  (p  gehörige  Erümmungsmittelpunkt  Denselben 
erhält  man  auch  durch  den  Strahl  B,  Q^  unter  dem  Winkel  90* —  9) 
gegen  B^D^y  durch  seinen  Schnitt  Q/mit  %,,  und  dnrch  Q^B  J_  Üi-Bs- 

Fig.  197. 


Um  die  Hyperbeln  entbehren  zu  können,  zieht  man  unter  Be- 
nutzung der  bezeichneten  KolUneation  zwischen  h  und  k^,  in  der  sich 
BgiS  und  B^Si  entsprechen,  JB^^  unter  dem  Winkel  q>  gegen  JS,Di 
bis  Q  auf*,  QU^R^D^  bis  U  auf  R^S,  R^U  bis  U^  auf  B^S^, 
so  liefert  UiR  \\  R^D^  auf  R^Q  den  Punkt  Q^  der  Äj,  und  auf  E,iJj 
den  Erümmungsmittelpunkt  Jß  zu.  9. 

Die  Paare  der  Normalebenen  der  Fläche  in  P,  .welche  den- 
selben Winkel  (p  mit  der  zu  r^  gehörigen  Hauptebene  einschließen, 
bilden  eine  luToIution,  deren  Doppelebenen  die  beiden  Hauptebenen 
|?f-  S?:  ^^^^'  ^i®  Büschel  JRj  und  R^  der  Strahlen  JRi  öi  und  B,  ^^  (oder 
R^Qi)  sind  mit  dem  senkrechten  Schnitte  dieses  Ebenenbüschels 
kongruent,  und  erzeugen  daher  bezw.  auf  äj^,  Tc^  inyolutorische  Punkt- 
reihen, deren  Punktepaare  aus  dem  Pole  der  Involution  (dem  unend- 
lich fernen  Punkte  der  Bj  Dj)  auf  die  Axe  der  Involution  R^R^ 
in  die  Reihe  der  Krümmungsmittelpunkte  R  projicirt  wird;  daraus 
folgt  (297,  D): 

Bas  Büschel  der  Normäld>enen  einer  Fläche  T  in  einem  Punkte  P 
derselben  ist  involtäorisch  und  projektiv  m  der  Reihe  der  entsprechen- 
den Krümmungsmittelpunkte  y  wenn  man  ßwei  Ebenen  des  Büschels  ein- 
ander zuordnet  j  welche  gleiche  Winkel  mit  jeder  der  beiden  Hauptd)enen 
bilden,  und  wenn  man  ihnen  den  gemeinschaftlichen  Krümmungsmittd- 
punkt  ihrer  Schnittkiirven  mit  T  in  P  entsprechen  läßt.    Der  eu  dem 


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XI,  483—484.   Krümmung  der  Normal-  und  der  schiefen  Schnitte.      537 

Winkel  von  45®  gehörige  KriimmungsmittdpanTct  R'  ist  von  P  durch 
die  HattpikrümmungsmittelpunJOe  JB^,  JB,  harmonisch  getrennt. 

484.     Schneidet  man  die  Berührungsebene   mit   den  Normal- 
ebenen der  F  in  P  und  trägt  auf  jeder  Schnittlinie  den  Krümmungs- 
halbmesser PR  =  r  des  von  ihr  berührten  Normalschnittes  nach  Fig.  los 
beiden  Seiten  hin  auf,  so 
bilden  die  Punkte  B  die  ^"  ^ 

Kurve  der  Krümmungs- 
halbmesser oder  die  Euler" 
sehe  KurvCf  deren  Polar- 
gleichung die  Eulersche 
Gleichung  (479,(3))  ist.  Man 
konstruirt  die  Kurve  aus 
den  auf  einander  senkrech- 
ten Hauptkrümmungshalb- 
messern Pi?i  =  ri,  PjB, 
=  r,  (481),  indem  man 
auf  PJB,diePJi/  =  PjBi 
auftragt,  R^'D^  und  B^D^ 
±PR2    und    PDi±PR 

zieht,  D^D^  mit  PU,  in  R'  schneidet  und  PR=^PR'  macht.  In 
der  Figur  wurde  P  als  elliptischer  Punkt  der  Fläche  angenommen; 
dann  haben  r^  und  r^  gleichen  Sinn,  und  deswegen  wurde  auch 
Pi2/  in  dem  Sinne  von  PR^  aufgetragen. 

Die  Tangente  im  Punkte  R  bestimmt  man  nach  dem  Verfahren 
der  ähnlichen  Figur  (I,  204).  Dreht  man  den  rechten  Winkel 
DiPD^  um  P  unendlich  wenig  im  Sinne  der  Zunahme  von  q>  (= 
RiPR)f  so  verhalten  sich  die  von  D^,  Z)^,  -R  beschriebenen  Kreis- 
bogen, wie  PDi :  PD^ :  PR  =»  E/Di :  PjR,  :  PF,  wenn  F  der  Fuß- 
punkt der  von  R  auf  PR^  geföllten  Senkrechten  ist.  Die  letzteren 
Linien,  multiplicirt  mit  cos  q>,  wollen  wir  als  die  verhältnismäßigen 
Vergrößerungen  der  unendlich  kleinen  Wege  betrachten.  Dieser 
Weg  für  R  ist  daher  RS,  wenn  RS  ±  PR,  FS  ±  RS,  Trägt  man 
dann  auf  FS  die  noch  zu  bestimmende  zugehörige  Verkleinerung 
von  PR,  d.  i.  auch  den  Weg  von  R'  gegen  P,  =  ST  auf,  so  ist  RT 
die  gesuchte  Tangente.  Nimmt  man  vorübergehend  Ü/Di,  P-Kj, 
PF  als  die  Längen  der  bezw.  von  Dj,  Z),,  R  beschriebenen  ver- 
größerten Bogenelemente  an,  so  sind,  wie  man  leicht  sieht,  die 
dabei  von  D^,  D^  auf  iZ/A,  D^jB«  (in  gleichem  Sinne)  beschriebe- 
nen Wege  gleich  EDi,  D^P,  wenn  D^E  ±PDi  bis  E  mf  PR^ 
gezogen  wurde.  Der  dabei  auf  einer  ||  Ri  B^  durch  R'  gelegten 
Geraden  von  ihrem  Schnittpunkte  R'  mit  D^D^  beschriebene  Weg 


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538 


XI,  484.    Die  Krümmung  der  Flächen. 


ist  =  J^J^  wenn  die  \  FD^  durch  Bf  gezogene  Gerade  die  FB^  in 
J,  und  die  D^E  in  J^  triflFfc.  Zieht  man  J^J^  \  FD^  bis  J^  auf  Dj^B, 
so  ist  JgDi  =  Ji  J,  und  der  zum  Wege  RS  =  FF .  cos  g>  gehörige 
Weg  von  JB'  in  der  Richtung  von  B^'D^  ist  J2D1  .  cos  9  =  J^2),, 
wenn  J^^  J3  U  PJBg  his  J^  auf  iJ/Di  gezogen  wurde.  Zieht  man  sie 
noch  bis  J4  auf  Di  Dg,  so  ist  der  Weg  von  B'  gegen  P,  oder  die 
Abnahme  von  r  =  J^J^y  und  diese  hat  man  als  ST  aufzutragen. 

Die  Figuren  198,  199,  200  geben  die  Eulersche  Kurve  för  einen 
elliptischen,  hyperbolischen  und  parcibolischen  Punkt  P  einer  Fläche. 
Die  erstere  schließt  sich  einer  Ellipse  an,  die  zweite  zwei  kon- 
jugirten  Hyperbeln  und  die  letztere  zweien  in  Bezug  auf  den  Scheitel 
symmetrischen  Parabeln. 
Fig.  199.  Bei  der  Eulerschen  Kurve  für  einen  hyperbolischen  Punkt  wird 

r  =  00,  wenn  B^D^  in  die  zu  FB^  parallele  D'D"  brückt,  wodurch 

Fig.  199. 


der  Schnittpunkt  Z  der  B'B"  mit  PB^  sich  ergibt  durch  PZ*  = 
—  rjTg,  oder  als  Schnittpunkt  mit  dem  über  B^'B^  als  Durchmesser 


beschriebenen  Kreise.     Aus  dieser  Gleichung  folgt 


lgZPJ)"  =  tg»--Ä^  =  + 


±v-?.. 


was  bei  Vergleichung  mit  480,  2)  zeigt,  daß  FB"  in  die  Asymp- 
tote der  Direktrix  fallt,  wie  es  sein  mußte.  —  Die  Asymptoten 
der  Eulerschen  Kurve  sind  mit  denjenigen  der  Direktrix  par- 
allel, ohne  in  dieselben  zu  fallen.    Läßt  man  q)'  um  das  unendlich 


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XI,  484.   Krümmung  der  Normal-  und  der  schiefen  Schnitte.         539 

kleine  d  zunehmen ,  oder  läßt  man  den  rechten  Winkel  D'PD"  sich 
um  P  um  *  drehen,  so  beschreiben  D'  und  D"  bezw.  auf  D' JB/  und 
D"Il^  gleiche  und  entgegengesetzte  Linienelemente,  weil  sie  die- 
selben auch  auf  dem  Kreise  beschreiben,  der  durch  P,  D\  D"  gelegt 
ist  (und  D'D"  zum  Durchmesser  hat).  Die  Gerade  D'  D"  dreht 
sich  daher  um  26,  den  Centriwinkel,  der  mit  den  Peripheriewin- 
keln d  auf  denselben  Bogen  ruht  Die  Strecke  (wie  PB'),  welche 
dann  die  gedrehte  D'D''  auf  PR^  abschneidet,  ist  «  PZ:  2d;  und 
trägt  man  diese  auf  dem  um  d  gedrehten  Strahle  PD"  auf,  so  ist 
der  Abstand  ihres  entfernten  Endpunktes  von  PD"  =  d(PZ  :2d) 
=  ^  PZ.  Eine  Asymptote  unserer  Kurve  hat  daher  einen  Abstand 
von  einer  Hyperbelasymptote  und  von  P  =  ^  PZ]  das  von  ihr  mit 
den  Axen  gebildete  und  mit  PD'D"  ähnliche  Dreieck  hat  daher 
die  halben  Maße  des  letzteren,  und  die  Abschnitte,  die  sie  aufPJßi 
und  PR,  bildet,  sind  bezw.  PC  =  PC'  =  i  PD',  und  PL  =  PL' 
=  \PD". 

Bei  einem  parabolischen  Punkte  {r^  =  oo)  fallen  R^  und  B/Dj  y^e  ^doo 
ins  Unendliche,  und  es  wird  D^B'  ±  PD^,   so  daß  PB'  =  PB  = 
r  =  Tj :  sin*  g>  (wie  in  480, 3))  die  Polargleichung  der  Kurve  vorstellt 
»  Fig.  200. 


X'V.- 


Trägt  man  auf  dem  Strahle  PB  die  PQ  =  q  =  FB  =  D^B'  = 
r  cos  g)  auf,  so  bilden  die  Punkte  Q  eine  Kurve  von  der  Polar- 
gleichung $  °»  (^2 '  ^^^^  9)  ^^^  9;  ^^^  diese  Kurve  ist  die  Parabel 
vom  Parameter  rg  und  der  Gleichung  in  rechtwinkligen  Koordinaten 
f^  ='  r^x,  da  diese  Gleichung  vermittelst  y  =  g  sin  9,  a;  =  g  cos  9 
in  die  obige  übergeht  Zwei  solche  Parabeln  schließen  sich  unserer 
Kurve  asymptotisch  an. 

Es  sind  durch  das  Vorige  drei,  wie  mir  scheint,  neue  Parabel- 
konstruMionen  gegeben  durch  PB2  «=  rj  =  Parameter,  PQ  =  D^B', 
oder  Abstand  (Ja;  «=  y  -=  B^D^,  oder  Abst  (gy  =■  o;  =  B^B'. 


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540  XI,  484—486.    Die  Krümmung  der  Flächen. 

Die  Tangente  BT  unserer  Eulerschen  Kurve  in  B  ist  durch 
FT^  BP  und  «=»  jB,B'  bestimmt  Denn  der  Punkt  B^'  der  Fig.  198 
und  damit  2),,  E  rücken  ins  Unendliche,  D^Di  wird  |  PD^  oder 
J_PDj,  A-^l  ^-K»;  ^^^  wenn  man  die  endliche  Figur  DiJ^J^J^^ 
die  ins  Unendliche  rückt,  an  das  mit  DiJ^  gleiche  JJi  angesetzt 
denkt,  so  wird  das  A  D^J^J^  zum  A  JJ^^^  der  Fig.  200;  dieses 
aber  ist  ähnlich  mit  dem  A  D^PE'  und  doppelt  so  groß,  wie  das- 
selbe (JiB'~D^P  =  B'J),  also  J^J^  der  Fig.  198  =  2B^B'  der 
Fig.  200.  Hier  ist  A  BSF  &  A  D^B^B\  weil  BS'^PF.  cos  tp  = 
PD, .  cos  9  =  DglJa,  daher  SF  =  B^B\  so  daß  man  SFTr=^ 2B^B' 
=  2  SP'  erhält,  wenn  man  FT  «^  B^B'  macht,  wie  angegeben. 

485.  Um  den  Krümmungshalbmesser  der  Kurve  in  einem  Scheitel, 
z.  B.  in  Pjy  2^  bestimmen,  denken  wir  uns  ihren  Punkt  B  unendlich 
Fig  198.  nahe  zu  B^  gerückt  und  bezeichnen  <^  B^PB  («»  0^)  mit  d,  denken  uns 
aus  B  die  Senkrechte  EP  auf  PB^  gefallt,  so  gehen  durch  B  der  aus 
P  durch  B'  mit  einem  von  r,  unendlich  wenig  verschiedenen  Halb- 
messer beschriebene  Kreis,  und  der  durch  Jßg  gehende  Krümmungs- 
kreis vom  Halbmesser  r".     Daher  verhalten  sich  (208) 

r"  :  B^P^r"  :  (-  r,)  =  B'FiB^F.  (1) 

Dabei  ist  r,  =»  Pl^s^  ^^^  ^^^  ^^^  ^^^i  Krümmungshalbmessers  r" 
wurde  vom  Berührungspunkte  gegen  den  Krümmungsmittelpunkt 
hin  genommen  gedacht.     Sodann  ist,  da  DgPj  =  0*, 

B^B' :  B^B,'  =  D^B^  :  (A^  +  ^Z A)  =  A A  :  A' A , 

und  da  A A  =  ^«^  ^^^  A'A  =  ^i  •  *>  ^^^  ^^t 

iJ,B' -=  B,U/ ^^ -=  (r.  -  r,)  ^  d«. 

Femer  ergibt  sich,  weil  BP'  ein  Kreisbogen,  P'P«=  — ^rjJ* 
(negativ,  weil  sein  Sinn  entgegengesetzt  mit  dem  von  r,);  daher 

R,F^B,R'-^R'F=(r,-r,)^d>-^r,ö'  =  '^ir,-2r,), 
und  mit  Hilfe  von  (1) 


Entsprechend  ist  der  Krümmungshalbmesser  r'  in  P^ 

Hiernach  werden  die  Krümmungshalbmesser  konstruirt,  z.  B. 
deqenige  in  A>  indem  man  auf  AA  ^^^  A^^^'^PA  aufträgt 
und  P^G  mit  PA  in  fi"  schneidet;  dann  ist  r"  =  Pfi"  '^  B^Ky  und 
zwar  hier  von  gleichem  Sinne  wie  r,,  da  r^>2r^. 


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XI,  486—486.   KrömmuDg  der  Normal-  und  der  schiefen  Schnitte.      541 

Für  fj  =  oo  wird  r"  «=  r^,  r'=  —  ^r^.    r  ist  dann  der  Krüm-  Fig.  200. 
mungsbalbmesser  sowohl  im  unendlich  fernen  Scheitel ,  wie  in  dem- 
jenigen P  der  asymptotischen  Parabel,  deren  Parameter  r,  ist. 

486.    Wir  wollen  nun  den  Krümmungshalbmesser  eines  schie- 
fen Schnittes  einer  Fläche  P  bestimmen.     Sei  P  ein  Punkt  der  P,  Fig.  201. 
PN  ihre  Normale;  auf  dieser  tragen  wir  das  unendlich  kleine  PM 
auf,    dann  schneidet  eine  durch  M  J_  PN  gelegte 
Ebene  die  P  in  der  Indikatrix  AA'B'B  =  i  vom  Mit- 
telpunkte Jlf  (478).   Die  willkürlich  durch  P  gelegte 
Schnittebene  bilde  mit  der  Normale  PN  den  ^  a  und 
habe  mit  der  die  P  in  P  berührenden  Ebene  die  Ge- 
rade PT  gemein.    Die  Normalebene  PTN  der  P 
schneide  die  Indikatrix  in  A  und  B  (AHB  |  PT), 
und  die  P  in  der  Kurve  APB ;  ihr  Krümmungskreis  in  P  ist  durch  diese 
drei  Punkte  oder  durch  P,  A  und  die  Tangente  PT  gegeben;  sein 
Halbmesser  sei  r.   Setzt  man  PM«^  a?,  MA  =  y ,  so  ist  y*  =  2  rXy  und 
y  =  0%  a;  =  0*  (208).   Jene  durch  PT  gehende  schiefe  Schnittebene 
treffe  die  Indikatrix  in  A\B'  (A'B'  ||  PT||  ^JB);  sie  schneidet  dann 
die  P  in  einer  Kurve  A'PB\  deren  Krümmungshalbmesser  r   durch 
diese  drei  Punkte  bestimmt  ist,  oder  durch  P,  A'  und  die  Tangente 
PT.    Fällt  man  PM'  ±A'B\   und   setzt  PM  =  x\    M'A'  =  y\ 
so  ist  y'*  =  2r'x.    Nun  ist  auch  MM'  ±  A'B'  und  ^  MPM  =  «, 
daher   PM'  =^  x'  =^  x:  cos  a,   MM'  =  a;  tg  a,   und  beide  Größen 
sind  0*,  wie  x.    Ist  M"  die  Mitte  von  A'B\  so  ist  MM"  der  zu 
AB  konjugirte  Durchmesser  der  i  und  bildet  mit  MM'  im  allgemeinen 
einen  Winkel  <  90®,    so  daß  im   allgemeinen   auch  M'M"  =  0^ 
Ist  dagegen  dieser  Winkel  =  90^,   was  nur  eintritt,  wenn  i  eine 
Hyperbel  und  A  B  ihre  Asymptote,   so  sind  r  und  r'  =  00 .     Da 
femer  MM"  parallel  mit  den  Tangenten  der  i  in  A  und  B,  so  ist 
MA  -  M"A'  =  0^ .  AA'  =  0\    Demnach  ist 

y'=M'A'  =  M'M"  +  M"A'^0^  +  MA-(fi  =  MA  =  y, 

so   daß   aus  y^*^2r'x'    folgt   y*  «=  2r'a?:  cos  a,    oder  da  auch 
y*  =  2ra;, 

r '  =  r  cos  a . 

Diese  Formel  drückt  den  Satz  von  Metisnier*)  aus,  nach  wel- 
chem der  Krümmungshalbmesser  eines  schiefen  Schnittes  einer  Fläche 
die  Projektion  des  Krümmungshalbmessers  des  ihn  berührenden  Normal- 
Schnittes  ist.    Daraus  ergibt  sich,  daß,  wenn  man  durch  eine  Tangente 


*)  Meumier,  Memoire  sur  la  courbure  de«  sarfaces  (Savants  dtrangers, 
1776). 


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542  XI,  486—488.    Die  Krümmung  der  Flächen. 

einer  Fläche  in  ihrem  Punkte  P  aUe  Ebenen  legt,  die  Krümmtings- 
mittelpunkte  von  deren  Schnittkurven  in  P  einen  Kreis  und  ihre  Erüm- 
mungskreise  eine  Kugel  Ulden. 

487,  Die  Krümmungskreise  der  Normalschnitte  einer  Fläche  F 
in  einem  Punkte  P  derselben  bilden  eine  Fläche  vierter  Ordnung,  welche 
die  Normale  der  T  in  P  zu  einer  DoppeUinie  hat.  Nimmt  man  die 
Tangenten  des  ersten  und  zweiten  Hauptschnittes,  welche  bezw.  r^ 
und  r^  liefern,  und  die  Normale  der  P  bezw.  zur  x-,  y-  und  ^Axe, 
nimmt  man  dann  von  dem  Normalschnitte  (9,  r)  die  Tangente  in 
P  zur  vAxe,  so  ist  die  Gleichung  des  Erümmungskreises  dieses 
Normalschnittes 

v^  =  2r0'^0^  (1) 

Mit  Hilfe  der  Gleichungen  (379,  3)) 

—  =  ^—  cos*  op  -1 sin*  w     oder    r  = = — ^-~ — =-=— , 

r  fj  ^    '     Tj  ^  r,  cos*  9  +  r,  am*  9 ' 

erhält  man  aus  (1) 


und  cos9=   -,       sin  9==^,      v^  =  ix^  +  y^, 


**«  V«  ■+*  *'*  t?» 

oder  {^  +  y'  +  z')  {r^a?  +  r,f)  =  2r,r,z (^  +  y*) 

als  Gleichung  der  Fläche.  Dieselbe  ist  also  von  der  vierten  Ord- 
nung, und  hat  die  Normale  der  P  in  P  zu  einer  Doppellinie,  weil 
durch  jeden  Punkt  derselben  zwei  (reelle  oder  imaginäre)  Erüm- 
mungskreise  gehen  (483). 

Legt  man  durch  die  Tangente  des  Normalschnittes  (qp,  r)  in  P 
alle  Ebenen,  so  bilden  die  Erümmungsmittelpunkte  ihrer  Schnitt- 
kurven  mit  P  einen  Ereis  (486),  dessen  Ebene  seukrecht  auf  der 
Ebene  des  Normalscbnittes  (9,  r)  steht  und  welcher  den  vom  Be- 
rührungspunkte ausgehenden  Erümmungshalbmesser  r  zu  seinem 
Durchmesser  hat,  also  halb  so  groß  wie  der  Erümmungskreis  des 
Normalschnittes  isi  Verkleinert  man  daher  die  Fläche  der  Erüm- 
mungskreise  der  Normalschnitte  in  P  mit  P  als  Ähnlichkeitspunkt 
auf  die  Hälfte,  und  dreht  die  verkleinerte  Fläche  um  die  Normale 
um  90^,  so  erhält  man  die  Fläche  der  Krümmungsmittelpvnkte  aMer 
{ebenen  oder  unebenen)  durch  P  gehenden  Kurven  der  Fläche  in  P. 
Beide  Flächen  sind  daher  ähnlich  mit  dem  ÄhnlichkeitsverJuiltnisse  snoeL 

488,  Legt  man  in  einem  Punkte  P  einer  Fläche  P  eine  sich 
mit  einem  Scheitel  anschmiegende  Fläche  zweiten  Grades  P',  sowie 
eine  zu  der  Berührungsebene  der  P  in  P  parallele  unendlich  nahe 


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XI,  488-489.   Krümmung  der  Normal-  und  der  schiefen  Schnitte.      543 

Ebene;  so  schneidet  diese  die  F^  in  einer  Indikatrix  i.  Alle  Nor- 
malen der  F'  in  den  Punkten  der  i  bilden  die  gerade  Normalen- 
flache  der  Nr.  407,  d.  i.  eine  windschiefe  Fläche,  welche  zwei  mit 
den  Axen  der  Indikatrix  parallele  und  die  Normale  in  endlichen 
Absfönden  von  P  schneidende  Gerade  zu  Leit-  und  Doppellinien 
hat  (408).  Jene  zur  Berührungsebene  parallele  Ebene  schneidet  die 
F  selbst  in  einer  Kurve  »',  welche  in  der  Nahe  von  P  von  der  i  Ab- 
stände «»=  0*  hat,  wenn  die  Durchmesser  der  i  «=  0^  sind  (478).  Die 
Normalen  der  F  in  den  Punkten  der  i'  bilden  mit  den  Normalen  der 
F*  in  den  um  0*  entfernten  Punkten  der  i  Winkel  =-  0*;  sie  erzeugen 
daher  eine  windschiefe  Fläche,  deren  Schnittlinien  mit  sich  selbst  von 
den  beiden  geraden  Doppellinien  jener  Normalenfläche  bezw.  Abstände 
"°0^  besitzen,  weil  die  Winkel  der  zum  Schnitte  gelangenden  Erzeu- 
genden dieser  Fläche  »» 0^  sind,  so  daß  sie  mit  jenen  geraden  Doppel- 
linien zusammenfallen.  Diese  Geraden  sind  daher  auch  Leitlinien 
der  windschiefen  Fläche  der  t';  oder  V  und  i  und  beide  windschiefe 
Flächen  fallen  in  einander.  Femer,  wenn  die  Normale  n  der  F  und 
der  F'  in  P  von  einer  Normale  der  F*  in  einem  Punkte  Ä  (Scheitel) 
der  i  geschnitten  wird,  so  gehen  die  Normalen  der  F  in  Punkten, 
welche  von  Ä  den  Abstand  0^  besitzen,  also  auf  Kurven  der  F  lie- 
gen, welche  in  P  den  Hauptschnitt  PÄ  berühren,  von  der  n  in 
Abständen  «=  0^  vorbei,  und  da  sie  beim  Durchlaufen  der  i'  die 
Seite  der  n  wechseln,  so  gibt  es  auch  Normalen,  die  den  Abstand  0^ 
und  absolut  0  von  n  besitzen.     Es  ergibt  sich  daher: 

An  der  Normale  einer  Fläche  F  in  ihrem  Punkte  P  gehen  ihre 
Normalen  in  benachbarten  Punkten  (0^)  des  P  im  allgemeinen  in  Ab- 
ständen =  0*  vorbei;  nur  für  Punkte  von  Kurven  der  F,  welche  einen 
Hauptschnitt  in  P  berühren,  werden  diese  Abstände  0',  .0'  oder  auch  ab- 
solut 0.  Der  dieser  benachbarten  Normale  nächstliegende  Punkt  der  Nor- 
male in  P  ist  dann  der  Erümmungsmittelpunkt  dieses  Hauptschnittes 
in  P.  AUe  anderen  Normalen  der  "F  in  benachbarten  Punkten  des  P 
schneiden  ewei  Gerade,  die  s.  g.  Abweichungs-  oder  Deviationsaxen"^), 
welche  in  den  Krümmungsmittelpunkten  der  Hauptschnitte  beaw.  senkrecht 
auf  deren  Ebenen  stehen. 

489.  Unter  den  Krümmwngslinien**)  einer  Fläche  versteht  man 
diejenigen  Linien  derselben,  welche  in  jedem  ihrer  Punkte  einen  der 
Hauptschnitte  dieses  Punktes  berühren.  Durch  jeden  Punkt  der 
Fläche  gehen  daher  zwei  Krümmungslinien  und  dieselben  schneiden 

^  Azes  de  d^viation;  sie  wurden  von  Sturm  aufgestellt  (Gomptes  rendus, 
1845,  1.  Bern.). 

^  Die  Theorie  der  Erammnngslinien  verdankt  man  Monge  (Application 
de  Tanalyse  h,  la  g^m^trie,  1796,  XV  o.  XVI). 


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544  XI,  489—490.    Die  Erümmung  der  Flächen. 

sich  senkrecht;  die  eine  ist  die  Linie  der  größten^  die  andere  die 
der  kleinsten  ErQmmung.  Die  Flächennormalen  in  allen  Punkten 
einer  Erüuimungslinie  bilden  eine  abwickelbare  Fläche,  weil  sich 
zwei  benachbarte  derselben  schneiden  (vor.  Nr.),  während  diese  Nor- 
malen entlang  einer  anderen  Linie  eine  windschiefe  Fläche  bilden. 

Asymptotische  Linien  einer  Fläche  heißen  diejenigen,  welche  in 
jedem  ihrer  Punkte  eine  der  Haupttangenten  (480, 2))  dieses  Punktes 
berühren.  Durch  jeden  Punkt  der  Fläche  gehen  daher  ebenfalls 
zwei  solche  Kurven,  welche  gleiche  Winkel  mit  jeder  Erümmungs- 
linie  dieses* Punktes  bilden.  Die  asymptotischen  Linien  sind  nur  auf 
Flächen  von  entgegengesetzter  Erümmung  reell. 

490.  Bei  einer  Umdrehungsflädie  sind  die  Krümmungslinien 
die  Meridiane  und  die  (sie  senkrecht  schneidenden)  ParaUelkreise. 
Die  Flächennormalen  entlang  eines  Meridianes  schneiden  sich  in 
deren  Ebene,  die  Flächennormalen  entlang  eines  Parallelkreises  in 
einem  Punkte  der  Axe.  Daher  ist  für  eine  Umdrehungsfläche  in 
irgend  einem  Punkte  P  der  eine  Hatiptkrümmungshalbmesser  der  Krüm- 
mungshalbmesser des  Meridianes,  der  andere  das  zwischen  P  und  der 
Umdrehungsaxe  liegende  Stück  der  Flächennormale  in  P. 

Bei  einer  abwickelbaren  Fläche  bilden  offenbar  die  Ergeugenden 
die  eine  Schaar  von  Erümmungslinien.  Die  andere  Schaar  wird 
durch  die  Linien  gebildet,  welche  die  Erzeugenden  senkrecht  schnei- 
den, d.  i,  durch  ihre  senkrechten  Trajektorien ,  welche  die  Evolventen 
der  Bückkehrkante  sind;  bei  der  abwickelbaren  Schraubenfläche  also 
durch  ihre  Normalkurven,  welche  zugleich  Evolventen  der  Normal- 
schnitte des  Cylinders  der  Rückkehrkante  sind  (334);  bei  dem  Cy- 
linder  durch  seine  Normalschnitte,  bei  dem  Eegel  durch  seine 
Schnitte  mit  koncentrischen  Engeln. 

An  eine  windschiefe  Fläche  konnten  wir  (381)  unendlich  viele 
entlang  einer  Geraden  berührende  einschalige  s.  g.  Berührungs- 
hyperholoide  legen,  welche  nämlich  auch  noch  die  benachbarte 
Erzeugende  mit  ihr  gemein  haben.  Läßt  man  noch  eine  dritte 
benachbarte  Erzeugende  beiden  Flächen  gemein  sein,  so  ist  das 
Hyperboloid  bestimmt,  welches  das  sich  anschmiegende  heißt  Jede 
Berührungsebene  der  Fläche  schneidet  diese,  in  der  Erzeugenden  des 
Berührungspunktes  und  in  einer  Eurve,  welche  ebenfalls  durch  den 
Berührungspunkt  geht  und  in  ihm  die  Erzeugende  von  der  zweiten 
Schaar  des  sich  anschmiegenden  Hyperboloides  zur  Tangente  hat 
Man  sieht  daraus^  daß  windschiefe  Flächen  nur  hyperbolische  Punkte 
besitzen  und  daß  alle  zürnten  Haupttangenten  in  den  verschiedenen 
Pu/iilden  derselben  Erzeugenden  ein  einsdialiges  Hyperboloid  bilden^  wel- 
ches sich  der  Fläche  entlang  der  Erzeugenden  anschmiegt     Dasselbe 


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Xr,  490—492.  Die  Tangenten  im  Doppelpunkte  d.  Schnittknrve  zweier  Flächen.  545 

ist  gegeben,  wenn  in  drei  Punkten  der  fraglichen  Erzeugenden  die 
zweiten  Haupttangenten  gegebenen  sind. 

n.   Die  Tangenten  der  Schnittknrye  sweier  sich  berührendei^ 
Flächen    in    deren    fierührangsptinkte,    einem   Doppelpunkte 
^  der  Kurve. 

491.  Wird  eine  Fläche  F  in  einem  hyperbolischen  Punkte  P  von 
einer  Ebene  T  berührt^  so  ist  P  ein  Doppelptmkt  der  SchniUkurve, 
und  ihre  Tangenten  in  P  sind  die  Asymptoten  der  Indikatrix  in  P. 
Denn  zwei  mit  T  parallele,  ihr  unendlich  nahe  und  auf  beiden  Seiten 
derselben  liegende  Ebenen  schneiden  die  F  in  Kurven,  und  diese  haben 
benachbarte  Punkte  des  P  mit  Hyperbeln  gemein,  welche  Formen 
der  Indikatrix  in  P  bilden  (480,  2)),  also  parallele  Asymptoten  be- 
sitzen; und  da  diese  Hyperbeln  beim  Hereinrücken  der  Ebenen  in 
die  T  in  die  Indikatrixasymptoten  übergehen,  so  hat  auch  die 
Schnittkurve  der  T  mit  F  die  dem  P  benachbarten  Punkte  mit  die- 
sen Asymptoten  gemein,  oder  sie  wird  von  ihnen  berührt  Diese 
Asymptoten  werden  aber  als  die  durch  P  gehenden  Erzeugenden 
des  sich  in  P  der  F  anschmiegenden  einschaligen  Hyperboloides  be- 
stimmt. Mittelst  desselben  wurden  die  Tangenten  der  Schnittlinie 
eines  Ringes  mit  seiner  ihn  in  einem  hyperbolischen  Punkte  berüh- 
renden Ebene  ermittelt  (157)*). 

493.  Satz.  Haben  zum  Flächen  in  einem  gemeinschaftlichen 
Ptifikte  P  eine  gemeinschaftliche  Berührungsebene  T,  so  hat  ihre  Schnitt- 
linie  in  P  einen  Doppelpunkt  ^  in  welchem  deren  {reelle  oder  imaginäre) 
Tangenten  die  beiden  gemeinschaftlichen  Durchmesser  derjenigen  Indi- 
katrixen  beider  Flächen  in  P  sind^  welche  zu  demselben  auf  der  Be- 
rührungsebene senkrechten  Halbdurchmesser  c  der  sich  bezw.  jenen  Flä- 
chen in  P  anschmiegenden  Flächen  zweiten  Grades  gehören. 

Denn  bestimmt  man  mit  diesem  c  ^==  PM,  also  mit  dem  ge- 
meinschaftlichen Mittelpunkte  M  (vergl.  Fig.  193)  die  in  P  sich 
anschmiegenden  Flächen  zweiten  Grades,  deren  Hauptschnitte  in  der 
auf  c  senkrechten  Hauptebene  H  sich  (reell  oder  imaginär)  in  den 
Endpunkten  zweier  Durchmesser  ^,  t^  schneiden,  so  besteht  die 
Schnittlinie  dieser  beiden  Flächen  aus  zwei  Kegelschnitten,  deren 
Ebenen  Pt^  Pt^  sind,  und  deren  Tangenten  in  P  die  Projektionen 
von  t  und  t^  auf  T  oder  die  gemeinschaftlichen  Durchmesser  der 
beiden  zu  demselben  c  gehörigen  Direktrixen  bilden.  Dieselben  Ge- 
raden berühren  aber  auch  die  Schnittlinie  der  ursprünglich  gegebe- 


*)  Eine  andere  ebenso  einfache  EonBtrnktion  bat  Herr  Pelz  gegeben  in  den 
Sitznngsber.  d.  k.  Akad.  d.  Wiss.  in  Wien,  B.  79,  Abt.  2,  1879,  S.  470. 
Wiener,  Lehrbuch  der  darstelleuden  Geometrie.   II.  35 


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546  XI,  492—493.  Die  Srömmmig  der  Flachen. 

nen  Flächen  in  P,  weil  jede  dieser  Flächen  mit  ihrer  anschmi^en- 
den  Fläche^  und  daher  auch  die  Schnittkurye  der  ersteren  mit  der- 
jenigen der  letzteren  Flächen  außer  P  noch  die  dem  P  benachbarten 
Punkte  in  der  zu  T  benachbarten  parallelen  Ebene  gemein  haben. 

'493.  Aufg.  IHe  Tangenten  der  Schnittlinie  eines  Ringes  mit 
einem  geraden  Konoide  in  einem  Dqppdpunkte  derselben  m  bestimmen. 
F?g' m.  Aufl.  Sei  der  Fall  der  Nr.  403''gewählt,  wofür  die  Schnittlinie 
konstruirt  wurde.  Der  Doppelpunkt  befindet  sich  auf  einer  Kante 
{F'A'y  J")  des  Konoides  (entlang  deren  das  Flächenelement  eben 
ist).  Diese  Erzeugende  ist  eine  KrümmungsliniC;  weil  die  Flächen- 
normalen in  allen  Punkten  derselbe^  in  derselben  Ebene  liegen. 
Der  auf  dieser  Erzeugenden  senkrechte  Schnitt  FG^  der  Fläche  hat 
denselben  Krümmungshalbmesser  wie  die  Ellipse  (G^/.F',  G^'J"H^'), 
deren  Aufwickelung  auf  den  zu  P^  senkrechten  Cy linder  G'FH'  die 
Leitlinie  bildet.  Denn  die  Ellipse  und  die  Projektion  ihrer  Auf- 
wickelung auf  die  Ebene  der  Ellipse  haben  den  Punkt  (F,  J")  ge- 
mein ,  sowie  benachbarte  Punkte  von  Jy  weil  die  Schnittpunkte  einer 
unendlich  nahe  bei  J  parallel  zu  P^  geführten  Ebene  beide  Kur?en 
in  Punkten  schneidet,  deren  Abstände  als  Unterschied  des  Bogens 
und  der  Sehne  =  0^  sind,  was  gegen  den  Abstand  0*  der  Punkte 
Ton  J  verschwindet.  Demnach  schmiegt  derjenige  Cylinder  sich 
dem  Konoide  in  {Fy  J")  an,  welcher  jene  Ellipse  zum  senkrechten 
Schnitte  und  die  zwei  Geraden  G^G^\  B^H^'  zu  ersten  Spuren  hat 

Von  dem  Ringe  ist  der  Meridiankreis  von  F  die  eine  Krüm- 
mungslinie, die  darauf  senkrechte  hat  für  den  Punkt  {F\  J")  einen 
unendlich  großen  Krümmungshalbmesser,  weil  die  Flächennormale  mit 
der  Umdrehungsaxe  der  Fläche  parallel  ist  (490).  Daher  ist  eine 
Schmiegungsfläche  derjenige  Cylinder,  welcher  jenen  Meridiankreis 
zum  senkrechten  Schnitte  besitzt,  also  die  P^  in  zwei  Geraden  trifft, 
Yon  denen  lifN'  die  eine  ist.  Da  beide  Schmiegungsflächen  den 
Punkt  (Ff  F")  zum  Mittelpunkte  haben,  so  sind  ihre  ersten  Spuren 
zugleich  die  Grundrisse  ihrer  zu  demselben  c  gehörigen  Direktrixen, 
und  die  Diagonalen  des  von  ihnen  gebildeten  Rechtecks^  wie  jP"^, 
die  Grundrisse  der  Tangenten.  Man  bemerkt,  daß  F  für  jede  der 
beiden  Flächen  ein  parabolischer  Punkt  ist,  daß  daher  die  Direk- 
trixen je  zwei  parallele  Gerade  sind. 

Übtmgsaufg.  Die  Tangenten  in  dem  Doppelpunkte  P  der  Schnitt- 
linie zweier  Cylinder,  Kegel  oder  beliebigen  Flächen,  deren  Haupt- 
krümmungshalbmesser ermittelt  werden  können^  zu  bestimmen*  — 
Man  legt  zweckmäßig  die  P^  parallel  zur  gemeinschaftlichen  Be- 
rührungsebene beider  Flächen  in  P. 


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XI,  494—496.    Die  Evolute  einer  ebeüed  Scbnittkurve  einer  Pl&che.     54t 

nL   Die  Evolute  einer  ebenen  Sohnittkturre  einer  Fläche 
und  ihrer  Projektionen. 

494.  Sind  in  einem  Punkte  P  einer  Fläche  F  die  Ebenen 
ihrer  Hauptschnitte  und  deren  Erümmungshalbmesser  bekannt  ^  so 
kann  daraus  nach  den  Sätzen  von  Euler  und  Mmsnier  der  Krüm- 
mungshalbmesser der  Schnittkurye  der  F  mit  irgend  einer  durch  P 
gelegten  Ebene  in  P,  und  daraus  der  Krümmungshalbmesser  jeder 
Projektion  der  Kurve  gefunden  werden^  unter  Anwendung  derselben 
Sätze  auf  den  projicirenden  Kegel  oder  Cylinder.  Wir  werden  aber 
einfacher  zum  Ziel  gelangen,  einerseits  wenn  wir  an  die  Fläche  F 
eine  Schmiegungsfläche  F'  zweiten  Grades  legen  und  den  Krüm- 
mungshalbmesser des  Kegelschnittes  bestimmen;  in  welchen  diese 
F^  von  jener  Ebene  geschnitten  wird;  und  andererseits ;  wenn  wir 
auf  die  Projektionen  den  Satz  von  Geisenheimer  (I,  261)  anwenden. 

496.  Äufg.  Die  Evoluten  der  ebenen  Schnitthurve  eines  Binges 
und  des  Grund-  tmd  Aufrisses  derselben  m  ermitteln. 

Aufl.  Es  sei  F^  senkrecht  gestellt  zur  Umdrehungsaxe  a  des  Fig.  208. 
Ringes  und  berühre  ihn  nach  seinem  tiefsten  Parallelkreise ,  es  sei 
der  Ring  durch  seine  Axe  a  {A\  a")  und  den  Kreis  Je  (mit  dem  Mittel- 
punkte C),  welcher  die  Hälfte  der  zweiten  Projektion  seines  Haupt- 
meridianes  bildet;  und  es  sei  die  Schnittebene  E  durch  ihre  Spuren 
^1  in  Fj  und  e^  in  der  Hauptmeridiauebene  gegeben,  woraus  noch 
ihre  Spur  63  in  der  oberen  auf  der  a  senkrechten  Berührungsebene 
Fg  des  Ringes  bestimmt  wurde  (e,  ||  e^).  Die  auf  E  senkrechte 
Meridianebene  schneidet  die  E  in  der  Symmetrielinie  m  {m\  m") 
der  Schnittkurve  5,  deren  erste  Spur  (auf  e^)  Jfj  ist;  man  drehe  m  um 
a  in  die  Hauptmeridianebene  nach  m|  (m/,  ^/0>  ^i  ^^'^  -^  ^^^  ^ 
{A^ M^  =  A'M^\  es  sei  A^  =  a'x,  A^  =  «"O*  ^^^  Mittelpunkt 
des  Ringes  sei  Aj  die  durch  A  jLa  gelegte  Ebene  heiße  die  Mittel- 
ebene und  ihr  Schnitt  c  (c\  c")  mit  E  die  Mittellinie. 

Die  Projektionen  der  Schnittkurve  s  zeichnet  man,  indem  man 
den  Meridiankreis  &;  ausgehend  von  der  Mittelebene;  in  eine  durch 
vier  teilbare  Anzahl  (16)  gleicher  Teile  teilt;  von  einem  Teilungspunkte 
Q  die  Senkrechte  QA^  auf  a"  fällt,  diese  mit  m/'  in  R  schneidet; 
auf  m'  die  A'B'  -=  A^B  aufträgt,  BT  ±  m  zieht  und  auf  ihr  F 
bestimmt  derart,  daß  -4'P'-=»  A^Q.  Daraus  folgt  P"  auf  A^Q. 
Die  wahre  Gestalt  s"  ermittle  man  durch  Umlegung  der  E  um  e^ 
in  F,.  Dabei  gelangt  B'  nach  B'"  auf  m',  wobei  MiB"'  =^  M^B. 
Sodann  zieht  man  B'"P'"±m'  und  =B'P. 

Die  Tangenten  der  s  erhält  man  durch  ihre  Spuren  mit  Zweien 
von  den  drei  Ebenen  F^jFj,  der  Mittelebene.   Für  die  Tangente  in  F 

35* 

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548 


XI,  495.    Die  Erfimmimg  der  Flächen. 
Fig.  202. 

'     ii  ^'^ 


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XI^  495—496.   Die  Evolute  einer  ebenen  SchniUkarve  einer  Fläche.     549 

benutzt  man  die  beiden  letzteren;  man  schneidet  die  Tangente  der 
Ä  in  Ö  mit  c"  in  J7,  mit  Cg"  in  F,  tragt  die  A''JJ  und  A^Y  auf 
A'r  bezw.  nach  A'V^  und  ÄY^,  zieht  V^T^  und  Y^T^  l^A'r, 
und  schneidet  sie  bezw.  mit  c  und  Cj'  in  T^  und  Tj',  so  ist  To'Ts' 
die  Tangente  der  s  in  P',  woraus  mittelst  dieser  zwei  Punkte  die- 
jenigen der  s"  und  s"  gefunden  werden. 

496.  Die  Volute  v^  der  wahren  Gestalt  s"\  Um  den  JTrtwn- 
mwngsfnittelpimht  Pg  der  wahren  Oestalt  s'"  in  einem  allgemeinen  Funkte 
P"'  zu  erhalten,  legt  man  eine  sich  der  F  entlang  des  durch  P 
gehenden  Parallelkreises  PQ  anschmiegende  Umdrehungsfläche  zwei- 
ten Grades  F',  deren  Umdrehungsaxe  dann  a  ist.  Zu  dem  Ende 
legt  man  einen  dem  Meridiane  h  m  Q  sich  anschmiegenden  Kegel- 
schnitt mit  a  als  Axe.  Seinen  Mittelpunkt  A^  auf  a  findet  man*) 
durch  Umkehrung  der  in  I,  392,  1)  gegebenen  Konstruktion  des 
Krümmungsmittelpunktes  C  in  Q^  wenn  man  die  Normale  QC  mit 
a  m  N  schneidet,  NBA.  QN  h\B  B  auf  CA"  zieht;  dann  trifft 
BQ  ^\e  a  in  A^,  und  hierdurch  ist  die  F*  bestimmt.  Die  F*  wird 
von  S  in  einem  Kegelschnitte  EF'  getroffen^  dessen  Mittelpunkt 
auf  der  Symmetrielinie  m  und  auf  dem  zu  E  koi\jugirten  Durch- 
messer der  F^  liegt;  um  diesen  zu  ermitteln,  drehen  wir  m  um  a 
nach  m^  und  suchen  den  Durchmesser  A^Dj  welcher  zu  der  Linie 
m^'  in  Bezug  auf  den  Hauptmeridian  h  der  F^  konjugirt  ist.  Dieser 
h  ist  ein  Kegelschnitt,  welcher  a"  zur  einen  Axenlinie,  A^  zum  Mittel- 
punkte, Q  N  zur  Normale  und  Q  Y  zur  Tangente  hat.  Zieht  man 
nun  A^D^  ||  w/'  bis  D^  auf  QA^,  so  ist  die  JL  ND^  gelegte  A^D 
der  zu  m/'  (und  zu  A^D^)  konjugirte  Durchmesser,  und  sein  Schnitt- 
punkt D  mit  der  mi"  der  gesuchte  Mittelpunkt  des  Kegelschnittes 
EF'  nach  der  Drehung  um  a.  Denn  denkt  man  sich  die  Tangente 
QV  mit  a''  in  dem  (nicht  verzeichneten)  Punkte  X  geschnitten, 
XYA.ND^  bis  T  auf  A^Q  gezogen,  so  sind  D^  und  T  durch  h 
harmonisch  getrennt,  d.  i.  durch  Q  und  den  zu  Q  in  Bezug  auf  A^ 
symmetrischen  Punkt  (weil  XQN=  90^  und  XY ±  ND^  (I,  302, 
Fig.  160));  und  da  A^Q  die  Polare  von  X  zu  Ä,  so  ist  Dj  der  Pol 
der  2F  zu  h.  Daher  ist  zu  dem  Durchmesser  A^D^  des  h  der 
zu  2F  parallele  A^D  (ebenfalls  J_  ND^)  konjugirt.  Überträgt  man 
nun  die  Strecke  M^D  auf  m'  nach  M^D^y  so  ist  von  der  wahren 
Gestalt  des  Kegelschnittes  EF',  m'  eine  Axenlinie,  D^  der  Mittel- 
punkt, P"'  ein  Punkt,  die  auf  P'"!;'"  Senkrechte  P'''Pj^  die  Normale; 

*)  Das  Verfahren  der  sich  entlaDg  eines  Parallelkreises  anschmiegenden 
Fläche  rührt  von  Herrn  Staudigl  her  (Sitzongsber.  d.  Ak.  d.  Wiss.  in  Wien, 
B.  68,  Abt.  2,  1873,  S.  228);  das  Verfiähren  zur  Bestimmnng  des  Mittelpunktes 
dieser  Flächen  von  Herrn  Pdz  (dies.  Sitznngsber. ,  B  79,  Abi  2,  1879,  S.  471). 


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riv'" 


t  A     . 


550  XI,  496->499.    Die  Erümmang  der  Flächen 

und  auf  dieser  wird  der  Krümmungsmittelpunkt  P3  gefunden  (I^ 
392,  D),  wenn  man  F"Fj^  mit  m'  in  E^  schneidet,  E^E^1.P^'E^ 
zieht,  mit  P'" 2)5  in  JE'j  schneidet,  woraus  Pj  durch  ^^-Ps-L»*' folgt 
Für  den  PardUdkreiSj  welcher  mit  demjenigen  PQ  in  Bezug 
auf  die  Mittelebene  symmetrisch  ist,  gilt  diese  Symmetrie  auch  für 
die  sich  anschmiegende  F^  und  ihren  Mittelpunkt;  der  zu  m^'  kon- 
jugirte  Durchmesser  ist  dann  mit  Ä^D  parallel. 

497.  Liegt  der  Purikt  der  Sdmitthirve  s  in  der  MittehAene,  etwa 
auf  dem  größten  Parallelkreise  -4"^o,  so  ist  Ä"  der  Mittelpunkt 
der  sich  anschmiegenden  F^;  aber  zur  Bestimmung  des  zu  m/'  kon- 
jugirten  Durchmessers  A"  1)^  versagt  das  soeben  angewendete  Ver- 
fahren. Man  findet  ä'^Dq  vielmehr,  wenn  man  die  Tangente  Q^G 
des  Kreises  Je  in  Qq  mit  dem  zu  m^'  senkrechten  Durchmesser  CG 
des  ik  in  (7  schneidet  (G  zufallig  auf  a;);  dann  bestimmt  die  J.''6r  auf 
m^"  den  Punkt  D^.  Denn  k  und  der  Hauptmeridian  h  der  F^  be- 
rühren sich  in  dem  Scheitel  Qq  vierpunktig;  daher  können  für  diese 
beiden  Perspektiven  Kegelschnitte  Q^  und  Q^  G  bezw.  als  Mittelpunkt 
und  Axe  der  Kollineation  angesehen  werden,  und  die  Pole  des  aus 
Qq  parallel  zu  m^'  gezogenen  Strahles  zu  h  und  h  fallen  in  einem 
Punkte  von  QqG  zusammen*  Dieser  Pol  zu  k  liegt  aber  auf  dem 
zu  m^"  senkrechten  Durchmesser  CG,  ist  also  G]  daher  ist  er  es 
auch  zu  A,  und  A"G  ist  die  Polare  des  unendlich  fernen  Punktes 
der  m^"  oder  der  zu  m^^'  konjugirte  Durchmesser  des  A. 

498.  Liegt  ein  PunJct  F  der  ScJ^nitfkurve  s  in  deren  Symmebrie- 
linie  m,  so  liegt  die  Tangente  des  Parallelkreises  der  F  in  P"  in  der 
Schnittebene  E,  und  es  geht  durch  diese  Tangente  eine  Hauptebene 
der  F.  Der  Krümmungshalbmesser  des  durch  sie  auf  F  erzeugten 
Hauptschnittes 'ist  aber  «=»  SH^,  wenn  fi"  derjenige  Schnittpunkt  von 
k  und  m^'y  auf  dessen  Parallelkreise  F  liegt,  und  wenn  EH^  die 
Normale  des  k,  und  H^  ihr  Schnittpunkt  mit  a''  ist  Nach  dem 
Satze  von  Meusnier  ist  aber  der  Krümmungshalbmesser  der  Schnitt- 
kurve s  gleich  der  Projektion  des  Krümmungshalbmessers  unseres 
Hauptschnittes  auf  die  Ebene  E,  und  diese  fallt  in  die  Symmetrie- 
linie m,  ist  daher  nach  der  Drehung  die  Projektion  HH^  von  HH^ 
auf  %".  Daher  ist  P,  der  Krümmungsmittelpunkt  für  P"',  wenn 
auf  m'  die  F^'F^^HH^. 

499.  Liegt  ein  Punkt  J  der  Kurve  s  cmf  dem  höchsten  oder 
tiefsten  ParälleOcreise,  so  sind  die  Krümmungshalbmesser  der  Normal- 
schnitte der  F  in  der  Meridianebene  =»  r^  »»  CQq,  und  in  der  darafn 
senkrechten  Ebene  «T  jr(±  A'X)  unendlich,  so  dass  der  Krümmungs- 
halbmesser r  des  durch  e^  gehenden  Normalschnittes  der  F  durch 
r  =  r j  :  sin^  9  ausgedrückt  ist,  wenn  q>  den  Winkel  der  e^'  mit  tTK 


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XI,  499—500.    Die  Evolute  einer  ebenen  Schnittknrve  einer  Fläche.    551 


bedeutet  (480^  3)).  Bestimmt  man  daher  auf  J'K  zuerst  K  so,  dass 
sein  Abstand  von  e^  '^^2='  CQq,  dann  K^  so,  dass  dessen  Abstand 
von  63'  =  J'Kf  so  ist  J'K^  =  r.  Nun  bildet  aber  E  mit  der  durch 
e^  gehenden  Normalebene  den  Winkel  a'mi']  daher  ist  (486)  der 
Krümmungshalbmesser  der  s  in  J=  J*"J^  =  r  cos  a"ml'  =»  r  sin  xm^' 
=  Abstand  K^x^  wenn  auf  m,"  die  JlfgjKa  «=  r  =  cTjKi  aufgetragen 
wurde.  —  Ebenso  kurz  kann  man  J^  bestimmen  mittelst  des  CylinderS; 
welcher  die  F  entlang  des  Meridiankreises  von  J  berührt,  durch 
Bestimmung  des  Krümmungshalbmessers  seines  Schnittes  mit  E  aus 
zwei  konjugirten  Durchmessern  (I,  262). 

500«  Die  Schnittkurve  s  besitzt  Punkte  mit  unendlich  großen 
Krümmungshalbmessern;  die  im  allgemeinen  Wmdejguv^  sind;  sie 
liegen  in  denjenigen  Punkten  des  konvex-konkayen  (inneren)  Teiles 
der  F;  in  denen  eine  Haupttangente  der  F  in  die  E  fallt.  Denn  in 
dem  durch  eine  Haupttangente  gehenden  Normalschnitte  (480^  2))  ist 
der  Krümmungshalbmesser  unendlich  groß;  daher  auch  im  schiefen 
Schnitte  (486) ,  außer  wenn  dessen  Ebene  die  F  berührt  Der  un- 
endlich große  Krümmungshalbmesser  erhält  sich  in  den  Projektionen. 
Die  Kurven  s,  5',  s'  besitzen  viermal  in  drei  entsprechenden  Punkten 
Wendepunkte. 

Man  bemerkt  aus  der  ent-  '^* 

gegengesetzten  Krümmung  der 
5,  daß  zwischen  F  und  J  ein 
Wendepunkt  W  liegen  muß, 
und  sucht  daher  in  einer  ge- 
sonderten Figur  mittelst  einer 
Fehlerkurve  denjenigen  zwi- 
schenliegenden Parallelkreis, 
für  welchen  eine  Haupttangente 
in  E  fällt;  dabei  möge  x  durch 
A'  gelegt  werden.  J  (der 
höchste)  und  B.  seien  die- 
jenigen Punkte  des  %,  auf 
deren  Parallelkreisen  bezw. 
die  Punkte  J  und  F  der  s 
in  Fig.  202  liegen.  Neh- 
men wir  auf  Iz  etwa  zwei 
Punkte  zwischen  J  und  E. 
an,  von  denen  B  (B\  B") 
einer  sei,  so  konstruiren  wir  eine  der  zwei  Haupttangenten  der  F 
in  B  nach  Nr.  157,  indem  wir  in  B"  die  Tangente  JB'T"  und  die 
Normale  CB"D  des  h  ziehen,  letztere  mit  a"  in  B  schneiden,  und 


Fig.  802  a. 


•i/Tr' 


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552  XI,  600—501.    Die  Erfimmimg  der  Flächen. 

über  DG  als  Durchmesser  einen  Kreis  zeichnen  (dessen  Mittelpunkt 
Dq  adf  der  Geraden  liegt,  welche  A"G  senkrecht  halbirt);  derselbe 
treflTe  die  B"  T'  in  jB",  und  hieraus  bestimme  man  E'  so,  daß 
E'E^E'  _L  A'B\=  x),  Eo  der  Fußpunkt  auf  a;,  und  E^E'  =  B"D. 
Dann  ist  B'E'  die  erste  Projektion  einer  der  beiden  gesuchten  EEaupt- 
tangenten,  deren  Schnittpunkt  T  (T",  T)  mit  einer  zu  P^  parallelen 
Hilfsebene  H,  welche  h  zur  zweiten  Projektion  hat,  bestunmt 
werde.  Dreht  man  nun  B  mit  der  Haupttangente  um  a,  bis  £  in 
E  fällt,  und  fallt  dann  zugleich  die  Haupttangente  in  B,  so  ist  diese 
Lage  von  B  ein  Wendepunkt  der  8.  Man  kann  dies  auch  durch 
Drehung  von  E  um  a,  bis  sie  durch  B  geht,  entscheiden.  Dreht 
man  zunächst  E  um  a,  bis  sie  J_  P^  steht,  wobei  sie  m^''  zur  zwei- 
ten Projektion  hat,  so  schneidet  sie  den  Parallelkreis  von  B  in 
K{K"y  K')  und  die  Ebene  H  in  einer  Tangente  in  JIT  aii  den  bei 
der  Drehung  um  a  durch  den  Schnittpunkt  M  von  w/'  und  ä  er- 
zeugten Kreises  MN.  Dreht  man  nun  die  E  zurück,  bis  sie  durch 
B  geht,  was  man  erreicht,  wenn  man  die  auf  ihr  senkrechte  Meri- 
dianebene aus  A'B'  in  A'K'  dreht,  so  ist  ihre  Spur  eine  auf  ^.'JST 
senkrechte  Tangente  NL  des  Kreises  M'N\  und  sie  enthalt  auch 
die  Haupttangente  BT  der  F  in  £  dann,  wenn  T  in  NL  liegt  Dies 
ist  aber  hier  nicht  der  Fall,  und  der  Abstand  TL  des  T  von  NL 
kann  als  Maß  des  Fehlers  dienen.  Trägt  man  diesen  Fehler  FL 
auf  dem  Halbmesser  OB"  in  irgend  einem  Sinne  nach  B"B^  auf, 
sucht  ebenso  für  den  Zwischenpunkt  P  und  fQr  H  die  Fehler,  die 
man  mit  ihrem  jetzt  bestimmten  Sinne  bezw.  nach  PPiy  HH^  auf- 
trägt, so  ist  P^B^H^  eine  Fehlerkurve,  welche  den  Kreis  h  in  dem 
Punkte  W  schneidet.  Auf  dem  Parallelkreise  von  W  sucht  man 
dann  in  Fig.  202  den  Punkt  W  der  Schnittkurve  5,  welcher  ihr 
Wendepunkt  ist,  sowie  die  Tangente  in  jeder  Projektion  und  deren 
Normale;  die  letztere  bildet  dann  jedesmal  die  Asymptote  der  & 

601.  Den  größten  und  kleinsten  Krümmungshalbmessern  der 
s  entsprechen  Spitzen  ihrer  Evolute.  Solche  sind  im  allgemeinen  die 
Punkte  der  Symmetrielinien,  wenn  deren  vorhanden  sind,  so  in  s'"  und 

s':  die  anderen  Spitzen,  wie  So  för  S"\  können  durch 
202  b  j.  #  »»  / 

Fehlerkurven  bestimmt  werden.    Zeigt  der  Verlauf 
Fig.  202b.    5c^^^^^xJ/ '    ^^^  Evolute  V  eine  Spitze  S^  an,  so  müssen  in  klei- 
nen Abständen  von  derselben  auf  der  einen  Seite  von 
S^  wenigstens  ein  Punkt  (7|,  auf  der  anderen  zwei 
Punkte  Alf  B^  der  v,  bezw.  zuC,A,B  der  s  gehörig, 
konstruirt  sein,  damit  man  die  Bogen  ABC  der  s 
und  Ai  B^  Gl  der  t;  genügend  genau,  letztere   mit  Ausnahme  der 
Stelle  bei  S^,  zeichnen  kann.    Man  ziehe  nun,  nahezu  senkrecht  auf 


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XI,  601—502.    Die  Evolute  einer  ebenen  Schnittkurve  einer  Fläche.    553 


die  mutmaßliebe  Richtung  S^S  die  Sehnen  der  Evolute  A^A^,  S^B^, 
C1C2,  so  sind  deren  Längen  ein  Maß  f&r  ihre  Abstände  von  der  Spitze 
und  werden  in  dieser  Null,  so  daß  sie  als  Maß  der  Fehler  bezeichnet 
werden  können.  Trägt  man  sie  bezw.  auf  A^Ä  nach  AA^,  eben  so 
nach  BB^f  CC^  in  ihrem  Sinne  auf,  zieht  die  Pehlerkurve  A^B^G^, 
so  schneidet  diese  die  8  in  dem  Punkte  S^  dessen  Krümmongsmit- 
telponkt  8^,  in  gewöhnlicher  Weise  gesucht,  die  Spitze  der  Evolute 
hildet. 

602.  Zur  Verzeichnung  der  Evoluten  v^,  v^  der  beiden  Projek- 
tionen $',  s'  der  Schnittkurve  bestimmt  man  die  Krümmungshalb- 
messer r',  r"  der  $',  5"  aus  denen  r  der  wahren  Gestalt  8  oder  s'" 
nach  I,  261,  worin  für  unseren  Fall  der  Affinität  zwischen  s  und  s\ 
s  und  5"  gilt  (I,  262),  wenn  man  P  durch  P"'  und  t  durch  f" 
ersetzt. 

Darin  bedeuten,  zunächst  für  die  erste  Projektion,  Pq  den  Schnitt-  Fig.  202. 
punkt  von  P^"P'  mit  der  Affinitätsaxe  Cj,  sowie  J^  von  3'"  J"  mit 
ej,  daher  P'"Pq\P'Pq  =  J'^JqiJ'Jq  die  unveränderliche  Charak- 
teristik der  Affinität,  t'" j  t'  die  Stücke  der  Tangenten  der  5'",  s' 
bezw.  in  P"',  P'  zwischen  je  einem  dieser  Punkte  und  e^,  oder  auch 
irgend  zwei  andere  entsprechende  Stücke  dieser  Tangenten. 

Zeichnet  man  nun  einen  (für  alle  Punkte  gütigen)  Winkel  a^,  jfig.  ««c 
so  daß   sin  «i  ==  «TJ^  :  J"'  J^j  überträgt   also  J*  J^  und  J'"  J^  aus 
Fig.  202  in  Fig.  202  c,  bezw.  als  eine  Kathete  und  die  Hypotenuse 
eines  rechtwinkligen  Dreiecks;  zeichnet  ferner  für  den  Punkt  P  einen 


Fig.  202  c. 


Fig.  202  d. 


7>'^    ^'     rj^y- 


(mit  dem  Punkte  wechselnden)  Winkel  /J^,  so  daß  sin  /J,  =  ^' :  t"'y  Fig.  aoid. 
indem  man  aus  Fig.  202  die  sich  entsprechenden  Strecken  T^  T^  und 
und  T^"T^"  in  die  Fig.  202d  bezw.  als  eine  Kathete  T^T  und  die 
Hypotenuse  Tj  T'"  eines  rechtwinkligen  Dreiecks  aufträgt,  so  erhält 
man  nach  der  obigen  Formel  und  in  der  Weise  der  I,  261  aus  dem 


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554  XI,  502—503.    Die  Krümmung  der  Flächen. 

r  =  ^''P,  der  Fig.  202  den  r  mittelst  der  Figuren  202c,  d,  wenn 
man  in  diese  jene  P'"Ps  überträgt,  ferner  V^J'"  nach  T'n'y  R'R, 
nach  r'Q',  Q'Q^  nach  r"F  trägt;  dann  ist  PP,=r'  ^PP, 
der  Fig.  202. 

In  Bezog  auf  die  zioeite  Projektion  beachtet  man,  daß  man  die 

^ig  202.  Schnittlinie  e^  der  E  mit  der  Uauptmeridianebene  als  Kollineations- 
axe  zwischen  der  in  diese  Ebene  umlegbaren  wahren  Gestalt  s  und 
der  zweiten  Projektion  s'  ansehen  kann,  welche  Linie  e^  daher  als 
e^"  in  die  Figur  der  wahren  Gestalt  s"'  übertragen  wurde.    Es  ist 

Fig.  202  c.  dann  wieder  ein  Winkel  «2,  und  zwar  für  einen  beliebigen  Punkt  Z 
der  s  gezeichnet,  so  daß  J'  Z^  und  2!"'  Z^  der  Fig.  202c  bezw.  gleich 
den  Abständen  des  Z"  von  e^'  und  des  Z'"  von  e,'"  in  Fig.  202 

Fig.  202d.  sind;  und  ein  Winkel  ft  für  P,  so  daß  T^T  imd  T^T^  in  Fig.  202d 
bezw.  gleich  T^' T^'  und  T^"T^"  der  Fig.  202  sind;  dann  trägt  man 
r  (=  P'"P3  in  Fig.  202)  nach  {P'"P^)y  {JP^)Z'"  nach  T^R\  K'R, 
nach  T3Ö",  Q'^Q^  nach  T3P",  so  ist  P^'P^  ^  r"  =  F' P^  der 
Fig.  202. 

Die  Spitzen  der  Evoluten  der  s'  und  s"  müssen  besonders,  so  wie 
die  der  s"\  gesucht  werden. 

IV.    Die  konjogirten  Tangenten  einer  Fläche  nnd  die  Tangenten 
ihrer  Eigenschattengrenze. 

503.  Satz  von  Dupin*).  Ist  einer  Fläclie  P  eine  abunckelbare 
Fläche  umschrieben,  so  sind  in  einem  Punkte  P  der  Berührungskurve  h 
deren  Tangente  t  und  die  Erzeugende  e  der  abwickelbaren  Fläche  zwei 
konjugirte  Tangenten  der  P  und  zugleich  zwei  konjugirte  Durchmesser 
der  Indikatrix  der  F  in  P. 

Bew.  Legt  man  an  F  die  sich  in  P  anschmiegende  Fläche 
zweiten  Grades  F^  und  aus  allen  Punkten  E  der  e  die  umschriebe- 
nen Kegel  an  F^,  so  liegen  deren  Berührungskurven  in  Ebenen, 
welche  ein  Büschel  bilden,  dessen  Axe  die  zu  e  konjugirte  Tangente 
der  F*  in  P  ist  (77,  3)).  Die  Durchmesserebene  der  F*,  welche  zu 
ihrer  Berührungsebene  in  P  parallel  läuft,  und  deren  Schnitt  mit  F* 
ähnlich  und  ähnlich  gelegen  mit  ihrer  Indikatrix  »  in  P  ist,  wird  von 
der  Polarebene  des  unendlich  fernen  Punktes  der  e  in  einem  zu  t 
parallelen  und  zu  der  Richtung  von  e  konjugirten  Durchmesser  ge- 
schnitten, so  dass  e  und  t  konjugirte  Durchmesser  der  i  sind.  Zu- 
gleich ist  t  die  Tangente  der  Berührungskurve  k  der  F,  weil  F  und 
F*  in  P  und  in  dessen  benachbarten  Punkten  gemeinschaftliche  Be- 
rührungsebenen besitzen,  also  in  denselben  Punkten  zugleich  von  <ler 

*)  Dupin^  d^veloppements  de  göom^trie,  1818. 

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XI,  503—504.    Die  konjugirten  Tangenten  einer  Fläche.  555 

der  F  umschriebenen  abwickelbaren  Fläche,   als  von  jenen  der  F^ 
umschriebenen  Kegeln  berührt  werden. 

Ist  die  Indikatrix  i  eine  Hyperbel^  so  sind  t  und  e  durch  die 
Asymptoten  der  t  harmonisch  getrennt;  besteht  die  Indikatrix,  und 
dies  findet  bei  einem  parabolischen  Ptmkte  statt,  auM  einem  Paare 
paralleler  Geraden,  so  kann  man  sich  diese  als  eine  Hyperbel  denken, 
deren  beide  Asymptoten  in  eine  zu  den  Geraden  parallele  Gerade 
zusammengefallen  sind;  diese  ist  dann  stets  die  t,  welche  Richtung 
auch  e  haben  mag. 

604.  Äufg.  Für  die  Eigen-  und  Schlagschattengrenze  einer  Um- 
drehungsfläche  die  Tangenten  in  belidfigen  Ptmkten  und  die  Krüm- 
mungskreise in  den  Scheiteln  zu  bestimmen. 

Diese  Aufgabe  wurde  schon  früher  (177  ff.)  auf  Grundlage  der 
Eonstruktions weise  der  Kurve  (für  die  Taugenten  nach  dem  Ver- 
fahren der  ähnlichen  Figur)  gelöst;  es  soll  aber  hier  ihre  Lösung 
mit  Hilfe  der  Sätze  über  die  Krümmung  der  Flächen  und  ihrer  Schnitte 
gegeben  werden.  —  Es  möge  dabei  der  leuchtende  Punkt  L  im  End- 
lichen angenommen^  die  F^  senkrecht  zur  Umdrehungsaxe  a  der 
Fläche,  F2  parallel  zur  Meridianebene  La  gestellt  und  als  Fläche  F 
ein  Kreisring  gewählt  werden;  von  demselben  wird  nur  die  hintere, 
durch  die  Ebene  La  begrenzte  Hälfte  als  vorhanden  gedacht.  Auch 
sollen  die  Konstruktionen  nur  für  den  konvex-konkaven  (inneren) 
Teil  der  Fläche  ausgefahrt  werden. 

Der  Hauptmeridian  (in  der  Ebene  La)  wird  durch  die  beiden 
Kreise  k,  k^  mit  den  Mittelpunkten  C,  C^  gebildet;  Ä  auf  00^  ist 
der  Mittelpunkt  der  Fläche.  Ein  Punkt  P  der  Eigenschattengrenze  s 
auf  dem  Parallelkreise  eines  Punktes  Q  des  k  wurde  im  Aufriß  als  P" 
ohne  Benutzung  des  Grundrisses,  wie  in  Nr.  176,  bestimmt,  entweder, 
indem  man  in  Q  die  Tangente  und  die  Normale  des  k  mit  a''  bezw. 
in  T  und  N  schnitt,  und  NP''  _L  X'T  zog,  oder  nach  einem  Ver- 
fahren, welches  auch  für  den  Kehlkreis  anwendbar  bleibt,  für  wel- 
chen das  andere  versagt,  indem  man  die  Tangente  des  k  in  seinem 
Schnittpunkte  Q2'  mit  dem  Kehlkreise  mit  der  auf  a"  Senkrechten 
L"B"  in  D  schnitt,  L"ft"  bis  E  auf  a"  zog,  worauf  sich  P^"  auf 
DE  ergab. 

Die  Konstruktion  der  Tangente  an  die  Eigenschattengrenze  wird 
von  Herrn  de  la  Gaumerie*)  als  konjugirte  Tangente  zum  Licht- 
strahle bestimmt,  und  diese  durch  die  aus  den  Hauptkrümmungs- 
halbmessem  ermittelte  Projektion  der  Indikatrix.    Herr  Staudigl**) 

♦)  De  la  Geumerie^  trait^  de  göomätrie  deBcriptive,  B.  3,  1864,  S.  63.  • 
**)  Staudigl,  BestimmuDg  von  Tangeoten  an  die  Selbstachattengreazen  von 
Botationsflächen;  Sit^ungsber.  d.  Ak.  d.Wiss.  in  Wien»  B.68,  Abi  2,  1873,  S.  228. 


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556 


XI,  504—605.    Die  Erammang  der  FlächezL 


benutzt  dagegen  eine  an  die  Fläche  F  entlang  eines  Parallelkreises 
sich  anschmiegende  Fläche  zweiten  Grades  P*,  und  Herr  Pdz*) 
behält  diesen  Grundgedanken  bei;  vereinfacht  aber  die  Durchftihrung 
(vergl.  Nr.  496).  Seine  Konstruktion  für  den  Grundriß  habe  ich  im 
Folgenden  ungeändert  beibehalten  ^  ffir  den  Aufriß  eine  andere  wohl 
noch  etwas  einfachere  gegeben. 


Fig.  203. 


506.  Aufl.  Der  Mittelpunkt  M  der  Fläche  zweiten  Grades  F*, 
welche  sich  der  F  entlang  des  durch  die  Punkte  P  und  Q  gehenden 
Parallelkreises  anschmiegt  (und  welche  für  die  inneren  Punkte,  wie 
P,  ein  einschaliges  Hyperboloid  ist),  wird  nach  Nr.  496  gefunden, 


*)  PdZf  die  TangenienbeBtimmuog  der  Selbstschattengrensen  ?on  BoU- 
tionsflächen;  Sitzungsber.  d.  Ak.  d.  Wiss.  in  Wien,  B.  79,  Abt  2,  1879,  S.  471. 


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XI,  606.    Die  konjngirten  Tangenten  einer  Flache.  557 

wenn  man  NF  ±  QN  bis  F  auf  CG,  zieht  und  QF  mit  a"  in  M 
schneidet. 

Die  Tangente  der  s  in  P  liegt  in  der  Polarebene  jedes  Punktes 
der  LP  zu  F^  (503);  wählt  man  diesen  Punkt  in  der  zu  P|  oder  zu 
Ps  parallelen  Hauptebene  der  F^,  so  ist  diese  Polarebene  J.  P^  bezw. 
X  Pj^  ihre  Spur  und  Projektion  ist  dann  die  Polare  jenes  Schnitt- 
punktes zu  dem  Hauptschnitte  der  F'  in  dieser  Hauptebene  und  un- 
mittelbar die  erste  bezw.  zweite  Projektion  der  gesuchten  Tangente. 

Schneidet  man  daher  für  den  Grundriß  LF  mit  der  durch  M 
gehenden  zuP^  parallelen  Hauptebene  in  H{H"  auf  V'V"  ^  MH"  \  x, 
H'  auf  L'P'),  so  ist  die  Polare  von  H'  zu  dem  mit  Pj  parallelen 
Hauptschnitte  von  F'^  d.  L  zu  einem  aus  Ä'  gezogenen  Kreise, 
A.A'E'j  und  die  gesuchte  Tangente  an  s'  ist  daher  die  aus  P'  auf 
A'H'  gefällte  Senkrechte. 

Für  den  Aufriß  sehneidet  man  L"M  mit  QP''  in  J,  dann  ist 
die  gesuchte  Tangente  die  aus  P"  auf  JV^J  gefällte  Senkrechte..  Denn 
der  Schnittpunkt  der  LP  mit  der  zu  P^  parallelen  Hauptebene  La 
ist  L,  und  die  Polare  von  L  zu  dem  in  jLa  liegenden  Hauptschnitte 
m  der  F^  ist  parallel  zu  dem  zu  ML  konjugirten  Durchmesser  des  m. 
Um  diesen  zu  finden ,  beachte  man,  daß  das  Büschel  der  Durch- 
messer des  m  und  das  ihrer  konjugirten  Durchmesser,  sowie  ein  Bü- 
schel Yon  Senkrechten  zu  den  letzteren  unter  einander  projektiv  sind 
und  auf  jeder  Geraden  projektive  Punktreihen  einschneiden.  Wählt 
man  N  als  Mittelpunkt  des  Büschels  der  Senkrechten  und  QP"  als 
Gerade,  so  decken  sich  die  erste  und  die  letzte  Punktreihe,  weil  sich 
dreimal  zwei  entsprechende  Punkte  decken.  Liegen  nämlich  von  QP" 
die  Punkte  Jq  und  J^  bezw.  auf  a'  und  im  Unendlichen,  so  sind 
jene  drei  sich  selbst  entsprechende  Punkte  /q,  c7«,  Q,  weil  zu  den 
Durchmessern  MJq,  MJ^,  MQ  bezw.  die  Durchmesser  MJ^o,  MJq 
und  der  zur  Tangente  QT  parallele  konjugirt  sind,  und  auf  diesen 
bezw.  die  Strahlen  NJq,  NJ^  und  NQ  senkrecht  stehen.  Daher 
müssen  alle  entsprechenden  Punkte  sich  decken,  und  es  ist  zum 
Durchmesser  ML*'  J  der  auf  NJ  senkrechte  konjugirt  und  damit  die 
Tangente  an  5"  in  P"  parallel.  —  Da  die  Beziehung  reciprok  ist,  kann 
man  auch  NJ'  J.  MV  bis  J'  auf  QP^' y  und  die  Tangente  aus 
P^'  II  MJ'  ziehen.  Der  Genauigkeit  halber  wird  man  das  Verfahren 
wählen,  welches  die  längere  bestimmende  Linie  {NJ  oder  MJ'^ 
liefert.  —  In  Nr.  496  wurde  das  gleiche  Verfahren  nur  mit  anderer 
Begründung  gegeben. 

Ganz  auf  dieselbe  Weise  sind  die  Tangenten  an  s"  in  ihren 
Pufiden  des  Hauptmeridians  h  und  ä^,  so  in  P/',  bestimmt 

Für  den  Punkt  P,"  des  KeMkreises  versagt  das  Verfahren,  weil 


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558  XI,  505—606.    Die  Krümmung  der  Flächen. 

für  ihn  M,  N  und  J^  üi  Ä"  ineinanderfallen.  Wählt  man  aber  hier 
G  als  Mittelpunkt  des  Büschels  jener  Senkrechten,  so  ist  Q^'^D  der 
Perspektive  Schnitt  mit  dem  ersten  Büschel  Ä"  der  Durchmesser, 
weil  den  Durchmessern  A"Q^\  A"B"  die  mit  ihnen  parallelen  Strahlen 
aus  Cy  und  der  Asymptote  der  Hyperbel  m,  die  mit  sich  selbst  kon- 
jugirt  ist,  der  auf  ihr  senkrechte  Strahl  aus  C  entspricht,  und  weil  sich 
beide  auf  der  Scheiteltangente  Q^'  D  treffen  (1,250).  Zieht  man  dann 
die  A"L"  oder  die  CJ^  J_  A" L" ,  und  schneidet  sie  mit  Q^'D  bezw. 
in  J^  und  J^',  so  ist  die  Tangente  der  s"  in  P/'  J_  CJ^  und  \A''J^. 
Die  zweiten  Linien  sind  hier  zweckmäßiger,  weil  A"J^  >  CJ^.  — 
Es  ist  leicht  einzusehen,  daß  das  Verfahren  ungeandert  auch  gilt^ 
wenn  m  eine  Ellipse  ist.  —  Eines  der  Verfahren  des  Herrn  Fde, 
auch  für  den  allgemeinen  Punkt  P",  kann  durch  die  obigen  Be- 
trachtungen begründet  werden,  wenn  man  die  {|  a"  durch  Q  gezogene 
Gerade  als  Perspektiven  Schnitt  jener  beideit  Strahlenbüschel  wählt 
506.  Die  GhrenzpwiMe  der  Eigenschattengrenze  sind  diejenigen 
Punkte,  in  welchen  der  Lichtstrahl  und  die  Tangente  der  Schatten- 
grenze in  einander  fallen  (181),  was  in  einer  Asymptote  der  Indi- 
katrix,  d.  i.  in  einer  Haupttangente  der  Fläche  stattfindet  Wir 
müssen  daher  die  Grenzpunkte  als  diejenigen  (hyperbolischen)  Punkte 
der  Fläche  aufsuchen,  in  welchen  eine  Asymptote  ihrer  Indikatrix 
durch  den  leuchtenden  Punkt  L  geht,  oder  es  müssen  in  jedem 
Punkte  des  Parallelkreises  eines  Grenzpunktes  die  Asymptoten  der 
Indikatrix  den  Kreis  LB  schneiden,  welchen  L  bei  seiner  Drehung 
um  a  beschreibt  Man  sucht  nun  in  verschiedenen  Punkten  des 
Hauptmeridians  k  die  Asymptoten  der  Indikatrix,  schneidet  sie  mit 
der  Ebene  des  LB  in  Punkten  einer  Ortskurve,  aus  deren  Schnitt- 
punkten mit  dem  Kreise  LB  sich  dann  die  Parallelkreise  der  Grenz- 
punkte ergeben.  Zur  Ausführung  ziehe  man  (157)  in  einem  Punkte 
ü"  des  Kreises  Tc  dessen  Tangente  ZT'U^'  und  Normale  (7Z7",  welch 
letztere  die  a"  in  U^  trifft,  zeichne  über  CU^  als  Durchmesser  einen 
Halbkreis,  schneide  ihn  mit  der  Tangente  VV^'  in  ü^\  projicire 
diesen  Punkt  auf  A'L'  nach  U^  und  trage  auf  der  Projicirenden 
die  CTg'  D3  ==•  17"  U^  auf,  so  ist  V  U^  die  erste  Projektion  einer 
Asymptote  der  Indikatrix  in  Z7;  diese  Asymptote  schneidet  die  Ebene 
des  Kreises  LB  in  ü^,  so  daß  U^  ein  Punkt  der  Ortskurve  ist 
Ein  weiterer  Punkt  derselben  wird  leicht  aus  dem  Punkte  der  k  ge- 
wonnen, welcher  zu  J7"  in  Bezug  auf  CCi  symmetrisch  liegt  Die 
ersten  Projektionen  der  Asymptoten  der  Indikatrix  fallen  für  beide 
symmetrischen  Punkte  offenbar  zusammen;  und  man  findet  daher  am 
kürzesten  einen  Punkt  U^'  desselben  Astes  der  Ortskurve,  wenn 
man  die  zweite  Asymptote  D'  U^'  symmetrisch   mit  der  ersten  in 


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XI,  606-507.  Die  konjngurten  TaDgenien  einer  Fläche.  559 

Bezug  auf  U'  U"  zeichnet,  die  Tangente  U"  VI'  mit  der  zu  B"V' 
in  Bezug  auf  GG^  symmetrischen  Geraden  B^'U^'  in  TJ^'  schneidet 
und  zu  diesem  Punkte  die  erste  Projektion  U^  auf  Ü'V^  bestimmt. 

Rückt  J7"  nach  Q^  eiutCGi,  ^^  schneidet  der  Kreis  von  Durch- 
messer GÄ"  die  Tangente  Qi'JD  in  F,  und  Ä"V  kann  als  die  zweite 
Projektion  der  einen  Asymptote  der  Indikatrix  in  dem  Punkte  des 
Eehlkreises  angesehen  werden,  dessen  zweite  Projektion  A"  ist. 
Schneidet  ^"Fdie  i"B"  in  Fj,  so  ist  offenbar  Fg  der  Schnittpunkt 
der  Asymptote  der  Indikatrix  in  Q^  mit  der  Ebene  des  Kreises  LB, 
wenn  auf  Q^Q^    die  Q^V^  =«  J5"F  aufgetragen  wird. 

Die  Ortskurve  besteht  aus  zwei  zu  A'L'  symmetrischen  parabel- 
artigen Ästen,  deren  unendlich  ferne  Punkte  auf  einer  Senkrechten 
zu  A'  11  liegen,  weil  dies  für  die  Haupttangenten  in  dem  höchsten 
und  tiefsten  Punkte  des  X;  gilt.  Es  genügt,  einen  Teil  des  einen 
Astes  zu  zeichnen;  er  schneidet  den  Kreis  L'B'  in  den  Punkten 
TF',  TF/,  woraus  sich  TF",  PF/'  auf  V'B"  ergeben;  die  aus  diesen 
Punkten  an  die  innere  Hälfte  von  h  gezogenen  Tangenten  liefern 
Berührungspunkte  TFg,  TFg,  auf  deren  Parallelkreisen  die  Grenz- 
punkte G^,  Gr^  liegen  (in  denen  die  Tangenten  an  s  durch  L 
gehen). 

507.  Die  ISjümmungskreise  der  s,  s\  s^  in  ihren  Scheiteln,  von 
denen  die  an  s',  s^  schon  in  Nr.  183  bestimmt  worden  sind,  sollen 
noch  mittelst  der  Lehre  der  Krümmung  der  Flächen  ermittelt  werden. 
Ist  Pj  ein  Scheitel  der  s  und  P/'JSl  die  Tangente  der  s"  in  P/',  so 
berührt  deren  zweite  projicirende  Ebene  die  s  vierpunktig  in  P,  und 
ist  ihre  Schmiegungsebene.  Der  Krümmungshalbmesser  der  s  in  P^ 
fallt  mit  demjenigen  der  Schnittkurve  dieser  Ebene  P/'£  mit  dem 
Ringe  zusammen  und  ist  nach  dem  Satze  von  Meusnier  (486)  die 
Projektion  P^'K  der  Flächennormale  P/'J/^  auf  P^'K,  weil  P/'JV, 
der  Krümmungshalbmesser  des  Normalschnittes  der  Kurve  ist,  wel- 
cher mit  unserer  Schnittebene  die  Tangente  der  Fläche  in  P,  gemein 
hat  Den  Krümmungshalbmesser  der  ersten  Projektion  s'  in  P/ 
erhält  man  als  PiV/  =  Pi'Ji'f  wenn  J/'  der  Schnittpunkt  von  ' 
N^K  mit  Pi'E,  weil  auf  dem  Cylinder,  welcher  5  in  s'  projicirt, 
nach  dem  Satze  von  Meusnier  der  Krümmungshalbmesser  des  schie- 
fen Schnittes  P/'JT  die  senkrechte  Projektion  desjenigen  des  Normal- 
schnittes P/'JB  sein,  also  Ji'K±  P^' K  stehen  muß.  J/'  ist  aber 
auch  der  Schnittpunkt  der  L"M^  mit  P/'jB,  weil  die  Tangente  Pl'K 
als  Senkrechte  zu  l^^J^'  konstruirt  wurde  (505), 

Dar  Krümmungshreis  des  Schlagschattens  von  s  auf  die  Ebene 
des  Parallelkreises  in  seinem  Scheitel  P^  ergab  sich  schon  früher 
(171)  als  dieser  Pa/raUeü&reis  selbst,  und  als  Krümmungshalbmesser 


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560  '  XI,  607—610.  Die  Krümmung  der  Flachen. 

die  P^'E.  Es  folgt  dies  auch  aus  dem  Satze  von  Meusnier.  Denn 
schneidet  man  den  umschriebenen  Lichtstrahlenkegel ,  welcher  s  aus 
L  projicirt,  mit  Ebenen,  welche  durch  die  Tangente  des  Parallel- 
kreises Yon  P^  in  Pj  gehen,  so  liegen  alle  Erümmungsmittelptmkte 
der  Schnittkurven  in  P^  auf  einem  Kreise,  dessen  Ebene  senkrecht  auf 
jener  Tangente  steht,  also  die  Hauptmeridianebene  La  ist,  und  wel- 
cher die  Fläche  in  Pj  berührt  Da  einer  dieser  Krümmungsmitiel- 
punkte  K  bekannt  ist,  so  ist  der  Kreis  bestimmt  und  hat  Pi^i  zum 
Durchmesser,  weil  P"KN^  =  90^.  Dieser  Kjeis  schneidet  aber 
die  P/jB  in  E,  weil  auch  P^'EN^  =  90^,  also  ist  E  der  gesuchte 
Krttmmungsmittelpunkt. 

Wegen  der  Ähnlichkeit  der  Figuren  ist  daher  auch  der  Schauen 
jenes  ParaUeUkreises  auf  F^  mit  dem  Mittelpunkte  E^  der  Krümmungs- 
kreis  der  Schlagschattengrenze  s^  in  dem  Schattenpunkte  P/  yon  P|. 

SOS.  Tritt  ParaUelbeleuchtung  ein,  so  daß  L  ins  Unendliche 
rückt,  so  geht  die  Tangente  der  5"  in  P"  durch  den  Mittelpunkt  M 
jener  sich  anschmiegenden  Fläche  zweiten  Grades  F^  weil  dies  fOr 
die  Polare  des  unendlich  fernen  L''  im  Bezug  auf  den  Hauptmeridian 
m  der  P^  gilt.  Ebenso  ist  dann  Pi'My  die  Tangente  in  P/'.  Die 
Punkte,  wie  P/',  des  größten  und  kleinsten  Parallelkreises  fallen  in 
die  Mitte  A",  und  die  Tangente  (|1  A''J^)  fallt  in  A"J^.  A"  wird 
Symmetrie-  oder  Mittelpunkt  für  jeden  Kurvenast;  und  die  Kon- 
struktion beider  Äste  ergibt,  daß  dieselben  in  doppelter  Weise  gegen- 
seitig schief  symmetrisch  sind,  nämlich  in  Bezug  auf  CGi  und  in 
Bezug  auf  die  durch  A"  gelegte  Senkrechte  zu  A!' V  (=^")»  wobei 
eine  dieser  Linien  die  Axe  ist,  die  andere  die  Richtung  der  Sym- 
metrielinien angibt. 

609.  Aufg.  An  die  BerÜhrungshurve  einer  tvindschiefen  Fläche 
mit  einem  umschriebenen  Kegel  {oder  Cylinder)  eine  Tangente  isu  giehen. 

Aufl.  Bei  einer  windschiefen  Fläche  F  bildet  in  jedem  Punkte 
P  die  Erzeugende  e  dieses  Punktes  die  eine  Haupttangente,  und 
die  Erzeugende  der  zweiten  Schaar  des  sich  der  F  entlang  der  e 
anschmiegenden  Hyperboloides  die  zweite  Haupttangente  (490).  Diese 
beiden  Haupttangenten  sind  die  Asymptoten  der  Indikatrix  und  tren- 
nen daher  die  durch  P  gehende  Erzeugende  des  umschriebenen 
Kegels  und  die  Tangente  der  Berührungskurve  in  P  harmonisch 
(503),  so  daß,  wenn  drei  von  diesen  Linien  gegeben  sind,  die  vierte 
bestimmt  ist. 

510.  Aufg.  Die  leiden  Haupttangenten  in  einem  Punkte  einer 
geschlossenen  windschiefen  Schraubenfläche  zu  bestimmen. 

Aufl.  Die  erste  Haupttangente  ist  die  durch  den  Punkt  gehende 
Erzeugende,  so  daß  es  sich  nur  um  die  zweite  handelt   Nun  wurde 


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XI,  510—611.   Die  koigngirten  Tangenten  einer  Fläche.  561 

in  Nr.  459,  Fig.  186  die  Tangente  der  Eigenschattengrenze  bei 
Parallelbeleuchtung  in  der  Projektion  auf  die  zur  Schraubenaxe 
senkrechte  Ebene  in  dem  Doppelpunkte  D  jener  Grenze  als  D  Cr 
(oder  DQi)  bestimmt.  Von  den  vier  durch  D  gehenden  harmoni- 
schen Linien:  dem  Lichtstrahle  (||  2),  der  Tangente  DG,  der  Erzeu- 
genden DM  und  der  zweiten  Haupttangente  sind  die  drei  ersten 
bekannt;  sie  schneiden  den  durch  M  gezogenen  Lichtstrahl  l  der 
Reihe  nach  in  seinem  unendlich  fernen  Punkte,  in  G  und  in  M. 
Der  vierte  dem  Jf  zugeordnete  Punkt  ist  daher  W,  wenn  GW'^MG, 
und  daher  JlfTF«=»  2r^j,  gleich  dem  doppelten  Parameter  der  Archi- 
medischen Spirale  der  Fläche  ist  Daher  ist  D  TT  die  zweite  Haupt- 
tangente der. Fläche  in  D.  Würde  man  dem  Lichtstrahle,  ohne 
seine  erste  Projektion  l  zu  ändern,  eine  andere  erste  Grundneigung  X 
geben,  so  würde  (da  MD  der  Fig.  186  —  Jf"L"  der  Fig.  185) 
der  Punkt  D  sich  auf  MD  verschieben,  ohne  daß  G  {MG  Fig.  186 
=  M"E"  der  Fig.  185)  und  W  ihren  Ort  änderten ;  und  würde  man 
l  senkrecht  zu  einer  beliebigen  Erzeugenden  annehmen,  so  würde 
man  auch  für  sie  dasselbe  Ergebnis  erhalten.  Daher  läßt  sich  all- 
gemein aussprechen:  In  der  Projektion  einer  geschlossenen  windschiefen 
Schraubenfläche  F  auf  eine  m  ihrer  Axe  senkrechte  Ebene,  bei  welcher 
der  Punkt  M  die  Projektion  der  Schraubenaxe  bildet,  ist  in  einem  be- 
liebigen Punkte  D  der  Y  die  eine  Haupttangente  die  Erzeugende  DM 
der  F,  die  andere  schneidet  auf  der  durch  M  gezogenen  Senkrechten 
zu  MD  im  Sinne  der  Erumterung  des  durch  D  gehenden  Zweiges 
der  Archimedischen  Spirale  der  F  den  doppelten  Parameter  dieser 
Spirale  ab*). 

611.  Aufg.  Von  der  bei  Centrcdbeleuchtung  entstehenden  Eigenr 
schattengrenze  einer  geschlossenen  windschiefen  Schraubenfläche  einzelne 
Punkte  und  Tangenten  zu  bestimmen. 

Aufl.  Nehmen  wir  die  durch  den  leuchtenden  Punkt  L  senk-  F^ir-  ao^i 
recht  zur  Schraubenaxe  a  gelegte  Ebene  P  als  Projektionsebene  an, 
sei  A  die  Spur  der  Axe,  sei  die  Archimedische  Spirale  AQ  die  Spur 
der  Fläche  und  der  aus  A  mit  dem  Parameter  AR  beschriebene 
Kreis  der  Parameterkreis  p.  Eine  beliebig  durch  A  gelegte  Gerade  e 
stellt  unendlich  viele  Erzeugende  vor,  deren  Spuren  gegen  P  in  den 
Schnittpunkten  der  e  mit  der  Spirale  liegen;  sei  Q  einer  derselben, 
so  ist  LQ  die  Spur  der  durch  L  und  durch  die  Erzeugende  AQ  geleg- 
ten Ebene,  deren  Berührungspunkt  P  mit  der  Fläche  gefunden  wird, 
wenn  man  den  zu  e  senkrechten  Halbmesser  AR  des  j>  in  dem  Sinne 


*)  Diese  Entwickelang  findet  sich  in  De  2a  Goumerie,  tr.  de  g^om.  descr., 
B.  8,  1864,  8.  148. 

Wiener,  Lehrbaoh  det  dartteUwiden  Geometrie,    n.  86 


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562 


XI,  611—612.   Die  ErümmuDg  der  Flächen. 


der  Erweiterung  des  durch  Q  gehenden  Zweiges  der  Spirale  zieht, 
aus  R  eine  Senkrechte  auf  LQ  fallt,  und  sie  mit  ß  in  P  schneidet 


(453). 


P  ist  dann  ein  Punkt  der  Schattengrenze;  und  alle  Punkte 

Fig.  204. 


der  e  liegen  auf  einem  Büschel  R  von  Strahlen,  die  bezw.  senkrecht 
^uf  den  Strahlen  des  Büschels  stehen,  welches  aus  L  die  Punkte  Q 
der  e  projicirt. 

513.  Verlängert  man  nun  AR  über  R  hinaus  um  sich  selbst 
bis  S,  so  daß  RS^AR,  so  sind  (510)  P^  und  PS  die  beiden 
Haupttangenten  der  Fläche  in  P,  und  der  Lichtstrahl  PL  und  die 
Tangente  PT  der  Schattengrenze  werden  durch  sie  harmonisch  ge- 
trennt. Daher  bestimmen  diese  vier  Strahlen  auf  der  Geraden  LS 
vier  harmonische  Punkte  B,  S,  Z>,  T,  von  denen  T  dem  L  zugeord- 
net ist  und  gesucht  werden  muß.  Schneidet  man  LR  mit  e  in  0, 
zieht  CD  parallel  mit  -4iJ  bis  D  auf  LA  und  verlängert  DC 
über  G  hinaus  um  sich  selbst  bis  T,  so  daß  CT  =>  DG,  so  ist  T 
der  gesuchte  Punkt.  Denn  T  liegt  auf  LS,  weil  AR^=^RS  und 
DG  ^=  CT]  und  T  ist  der  gesuchte  vierte  harmonische  Punkt  auf 
LS,  weil  LBTS  die  Projektion  der  vier  harmonischen  Punkte  D,  C, 
T,  oo  aus  A  bildet 

Da  der  Punkt  T  unabhängig  von  der  Lage  von  Q  und  von  P 
auf  e,  so  gehen  die  Tangenten  aller  Kurvenpunkte  P  der  e  durch  T. 

Auf  jeder  Erzeugenden,  die  sich  in  AL  projicirt,  ergibt  sich 
der  Kurvenpunkt  A  mit  der  Tangente  AL]  auf  jedem  Gange  der 
Fläche  schneidet  daher  die  Schattengrenze  zweimal  die  Axe. 


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XI,  612—614.   Die  koiqagirten  Tangeoten  einer  Fläche. 


563 


Man  erhält  unendlich  ferne  Punkte  der  Schattengrenze j  wenn  BP 
(±LQ)  II  AQ,  wenn  also  LQA  =  90*^.  Solche  Punkte  Q  der  Spirale 
sind  ihre  Schnittpunkte  mit  dem  über  AL  als  Durchmesser  beschrie- 
benen Kreise.  In  der  Figur  haben  sich  außer  dem  Punkte  A,  wel- 
cher keine  unendlich  fernen  Punkte  liefert^  deren  drei  ergeben:  Q^^ 
Qif  Qi'  ^^  ^^^  ^u^  ^^^  Erzeugenden  AQi^  -^Qa  -^Qs  liegenden 
unendlich  fernen  Punkte^  wie  für  P^,  erhält  man  die  Asymptoten 
nach  der  allgemeinen  Konstruktionsweise ^  so  P^  2\ . 

513.  Bei  Pardllelbeleuchttmg  vereinfacht  sich  das  Verfahren 
wesentlich.  Es  rückt  dann  L  ins  Unendliche,  LA,  LR,  LQ  werden 
unter  einander  parallel,  RP  wird  senkrecht  zu  diesen  Linien,  so 
daß  man  auf  einem  Strahle  AQ  außer  in  A  nur  noch  eiuen  Punkt 
Perhält;  ferner  wird  CT=R8  =  AR,  daher  TR:^GA,  und 
wenn  man  TR  mit  LA  in  U  schneidet,  auch  ü  Z7  =  TR  Daher 
findet  man  T,  wenn  man  RU^  PCA,  d.  h.  als  Tangente  an  j)  legt, 
üü'mit  LA  in  J7  schneidet  und  auf  ÜR  die  jBjP=  üR  weiter  trägt. 
Es  slimmt  dies  mit  der  in  Nr.  459  Fig.  186  gefundenen  Kon- 
struktion N^T^SN^  überein. 

V     514.    Ist  die  geschlossene  Schraubenfläche  die  senkrechte  oder 
die  WendelflächCy  so  sind  die  bisherigen  Konstruktionen  unbrauch- 
bar, weil  der  Parameter  unendlich  wird.    Legt  man  wieder  die  Pro-  Fig.  206. 
jektionsebene  P  durch  den  leuch- 
tenden   Punkt   L    senkrecht    zur 
Schraubenaxe  a,  deren  Spur  A  bilde, 
und  sei  s  ein  aus  A  mit  beliebigem 
(passendem)  Halbmesser  beschrie- 
bener Kreis,    so  ist  derselbe  die 
Projektion  einer  Schraubenlinie  der 
Fläche,  deren  Spur  S  sein  möge. 
Man  findet  nun   die  Berührungs-    ' 
ebene   in   einem  in  P  projicirten 
Punkte  der  Fläche,  wenn  man  die 
AP  mit  s  in  B  schneidet,  die  Tan- 
gente BF  der  s  zieht  und  auf  ihr  den  Bogen  BS  in  seinem  Sinne 
von  B  aus  nach  BF  aufträgt;   dann  ist  F  die  Spur  der  Tangente 
BF  der  in  s  projicirten  Schraubenlinie.      Die    koaxiale   durch  P 
gehende  Schraubenlinie  hat  ihre  (nicht  verzeichnete)  Spur  S'  auf 
der  Geraden  AS,  daher  die  Spur  ihrer  Tangente  PD  (_L  ^P)  in  D, 
wenn  PD  —  Bog.  PS',  woraus  folgt,   daß  D  auf  ^  J'  liegt.     Die 
Parallele  DL  zu  AP  ist  dann  die  Spur  der  Berührungsebene  der 
Fläche  in  P 

Soll  umgekehrt  der  Berührungspunkt  einer  durch  eine  Erzeugende 


86« 


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&64  XI,  614-516.    Die  KrÜmmnng  der  Pl&chen. 

AB  «B  e  und  durch  L  gelegten  Ebene  auf  e  gefunden  werden,  so 
beachtet  man,  daß  ihre  Spur  LJ)  ^e  ist.  Man  schneidet  e  mit  ^ 
in  B,  macht  die  Tangente  BF  gleich  und  gleichgerichtet  mit  Bog. 
BS,  zieht  AF  bis  D  auf  LD,  faUt  DP±e,  so  ist  der  Fußpunkt 
P  der  Berührungspunkt.  Weil  Bog.  BS  im  einen  und  im  entgegen- 
gesetzten Sinne  genommen  und  um  eine  beliebige  ganze  Anzahl  von 
Umfangen  des  Kreises  s  vermehrt  werden  kann,  so  erhält  man  auf 
BF  unendlich  viele  Punkte  F,  deren  Abstände  von  einander  gleich 
dem  umfange  von  s  sind.  Dieselben  stellen  die  Schnittpunkte  der 
BF  und  .  der  Evolvente  der  s  vom  Ursprünge  S  dar,  welche  die 
Spur  der  Fläche  der  Tangenten  jener  in  s  projicirten  Schraubenlinie 
bildet.  Die  Reihe  der  Punkte  F  auf  B  F  wird  aus  A  auf  LD  als 
die  Reihe  der  Punkte  D,  und  diese  senkrecht  auf  e  als  die  Reihe 
der  Punkte  P  projicirt,  welche  alle  der  Eigenschattengrenze  auf  e 
angehören.  Da  der  Punkt  D  sich  dem  L  in  unendlich  vielen  Lagen 
und  in  immer  kleineren  Abständen  von  beiden  Seiten  her  nähert, 
ohne  ihn  je  zu  erreichen,  so  nähert  sich  die  Eigenschattengrenze  in 
zweierlei  Windungen  asymptotenartig  dem  Punkte  A. 

Um  die  Tangente  der  Schattengrenze  in  P  zu  bestimmen,  be- 
achte man,  daß  in  Fig.  204,  weil  der  Parameter  AR  «=  oo  wird, 
LCR  _L  AP  zu  stehen  kommt,  so  daß  CD  in  CL  und  D  in  L  ßUt 
Daher  fälle  man  in  Fig.  206  LC  ±  AP,  trage  auf  ihr  GT=LC 
weiter,  so  gehen  durch  T  die  Tangenten  in  allen  Punkten  P  der  e. 

Jene  beiden  Windungen  erstrecken  sich  ins  Unendliche  und 
hängen  durch  eine  gemeinschaftliche  Asymptote  gleichsam  zusam- 
men; diese  Asymptote  ist  ||  -^^  ^^^  S^^^  durch  den  zu  X  in  Bezug 
auf  AS  symmetrischen  Punkt. 


V.   Die  Krümmnngalinien  der  Flächen  zweiten  Grades. 

a)   Die  Krümmungslinien  als  Schnittlinien  konfokaler 

Flächen. 

6 16.  Eine  Krümmungslinie  einer  Fläche  ist  nach  Nr.  489  eine 
solche  Linie  der  Fläche,  welche  in  jedem  ihrer  Punkte  einen  der 
beiden  Hauptschnitte  dieses  Punktes  berührt,  so  daß  durch  jeden 
Punkt  zwei  auf  einander  senkrechte  Erümmungslinien  gehen,  und 
welche  die  Eigenschaft  hat,  daß  zwei  Flächennormalen  in  benach- 
barten Punkten  einer  solchen  Linie  sich  schneiden.  Zu  ihrer  Kon- 
struktion bedürfen  wir  einiger  Hilfssätze. 
mg  206.  Zieht  man  in  einem  Punkte  P_  einer  Fläche  die  Normale  PN 

und  zwei  auf  einander  senkrechte  Tangenten  PS  und  PT  der  Fläche, 


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XI,  616.   Die  Erümmangslinien  der  Flächen  2.  Grades. 


565 


trägt  auf  diesen  zwei  gleiche  unendlich  kleine  Stücke  PS  —  PT  auf, 
und  ergänzt  dieselben  zu  dem  Quadrate  PSTJTy  legt  durch  jede 
Seite  desselben  eine  Ebene  parallel  zur  Normale  PNy  welche  daher 
ein  Prisma  mit  den  parallelen 

Kanten  PN,  SJ",   UQ,  TK"  ^«'  ^^-  ^ 

bilden,  und  schneidet  diese  Ebe- 
nen mit  der  Fläche  in  den  Kur- 
ven PL,  LQ,  QM,  MP,  so 
werden  die  erste  und  letzte  der- 
selben von  PiSf  und  PT  in  P 
berührt.  Zieht  man  durch  L  die 
L  V I  PTund  die  Tangente  i  F 
der  Kurve  LQy  bezw.  bisF  und 
T'  auf  J7(2,  so  ist  der  Winkel 
YJj  V  der  unendlich  kleine  Win- 
kel ,  welchen  die  Tangenten  der 
zwei  unendlich  nahen  paral- 
lelen ebenen  Schnitte  PM  und 

LQ  der  Fläche  in  den  Punkten  P  und  L  der  Kurve  PL  bilden; 
er  ist  im  allgemeinen  unendlich  klein  von  der  ersten  Ordnung  (0^); 
weil  er  für  eine  endliche  Länge  von  PZ  im  allgemeinen  endlich 
wird  (I,  232).  Ebenso  ziehe  man  MW\  PS,  MW  als  Tangente 
der  MQ  bezw.  bis  W  und  W  auf  UQ^  so  ist  wieder  im  allgemeinen 
^  WMW'  =  OK  Nun  ist  ÜQ=Ur+rr+  rQ=  ÜW  + 
WW+  WQ.  Da  aber  UV^SL,  UW—TM  und  da  femer 
V'Q  =  TM,  W'Q  =  SL,  weil  der  Unterschied  je  zweier  der  letz- 
teren Größen,  welche  —  0^  sind,  0*  ist  und  daher  wegfallt,  so  folgt 
aus  den  beiden  Ausdrücken  von  UQ,  VV=  WW,  oder  FF'  und 
WW  sind  nach  Sinn  und  Große  einander  gleich.  Daraus  ergibt 
sich  auch  ^VLT^^  WMW  =  *. 

Zieht  man  nun  in  der  Ebene  TJSJ"  die  LJf  ±.  LV,  so  ist 
J"LJ'  der  unendlich  kleine  Winkel  (0*)  dieser  Normalen  LX  der 
Kurve  LQ  mit  der  Ebene  NP8J'\  und  «=  ^  FiF'—  *.  Sodann 
sei  LJ  die  Flächennormale  in  Z>;  sie  ist  der  Schnitt  der  Normal- 
ebenen der  Kurven  LQ  und  LP  in  L,  und  die  erstere  dieser  Ebenen 
enthält  die  Gerade  LJ",  Der  Winkel  der  LJ  mit  der  Ebene  NPSJ" 
ist  —  0*,  und  von  *^  J^LtT  =  8  nur  um  0  von  einer  höheren  Ord- 
nung verschieden,  also  ihm  gleich  zu  setzen.  Denn  die  Ebenen 
PSfT'  und  die  Normalebene  der  LQ  in  L  bilden  einen  Winkel  0* 
mit  einander  und  in  der  letzteren  Ebene  liegen  die  Linien  LJ,  LJ', 
welche  ebenfalls  einen  Winkel  0^  bilden;  dann  ist  der  Unterschied 
der  Winkel  dieser  Linien  mit  der  ersteren  Ebene  {PSJ")  im  all- 


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566  XI,  515-516.    Die  KrümmuDg  der  Flächen. 

gemeinen  =  0*,  da  er  erst  für  eine  endliche  Große  von  J'  LJ  ein 
0^  wird.  (Dieser  unterschied  ist  hier  sogar  0^,  weil  LJ  senkrecht 
auf  der  Schnittlinie  beider  Ebenen  steht) 

Ebenso  sei  MK  die  Plächennormale  in  3f,  und  es  ist  ihr  Winkel 
mit  der  Ebene  NPTK'  ^^WMW\  also  ebenfalls  =  *.  Da 
ferner  VV  und  TFTF"  gleichen  Sinn  haben,  so  liegen  die  auf  der- 
selben Seite  der  Fläche  gezogenen  Normalen  LJ  und  MK  entweder 
beide  außerhalb  (wie  in  der  Figur)  oder  beide  innerhalb  des  (rech- 
ten) Flächenwinkels  der  Halbebenen  NPL  und  NPM. 

Daraus  folgt  der  Sat0  von  Bertrand*):  Zieht  man  auf  einer 
Fläche  von  einem  Funkte  F  a/us  ewei  auf  einander  senkrechte  gleitke 
Liniendemente  FL  und  FM,  so  hüden  die  in  L  und  M  auf  derselben 
Seite  der  Fläche  gezogenen  Flächennormdlen  LJ  und  MK  gleiche 
Winkel  mit  den  bezw.  durch  L  und  M  gelegten  Normalebenen  NFL, 
NFM  der  Fläche  in  F,  die  Äblenkungs-  oder  Deviationswinkel y  und 
liegen  entweder  beide  außerhalb  oder  beide  innerhalb  des  von  diesen 
Ealbebenen  gebildeten  k  rechten  Winkels.  Ist  daher  der  eine  dieser 
Winkel  Null,  so  ist  es  auch  der  andere;  FL  und  FM  sind  dann 
Elemente  der  Erümmungslinien,  die  daher  auch  nach  diesem  Satze 
auf  einander  senkrecht  stehen. 

616.  Hieraus  ergibt  sich  folgender  Säte:  Stehen  drei  Flächen 
F^,  F2,  F3  paartoeise  auf  einander  senkrecht  sowohl  in  einem  ihnen 
gemeinschaftlichen  Funkte  F,  als  in  den  m  F  benachbarten  Funkien 
Lf  M,  N  der  Schnittlinien  von  je  zweien,  so  ist  jede  der  Linien  PL, 
FM,  FN  ein  Element  einer  Krümmungslinie  einer  jeden  der  beiden 
Flächen,  deren  Schnitt  sie  badet. 

Zieht  man  an  die  drei  Schnittlinien  der  Flächen  in  F  bezw.  die 
Tangenten  FL',  FM',  FN*,  so  stehen  diese  paarweise  auf  einander 
senkrecht  und  bilden  einen  Oktanten,  dessen  Ebenen  Berührungs- 
ebenen und  dessen  Kanten  Normalen  je  einer  der  drei  Flächen  sind. 
Seien  FL',  FM',  FK  bezw.  die  Normalen  der  F^,  T^,  Fj,  so  bil- 
den die  Ebenen  L'FM',  L'FN'  zwei  Normalschnitte  FM",  FN" 
der  Fl,  und  auf  diese  sowie  auf  die  von  ihnen  berührten  Flächen- 
schnitte trage  man  die  gleichen  Elemente  FM"  =  FN"  «=  FM  »= 
FN  auf;  dann  ist  JlfM"=  0^  und  NN"  =  0\  Daher  bUden  auch 
die  Normalen  der  F^  in  ihren  Punkten  M  und  M"  einen  Winkel 
=  0*,  ebenso  die  in  N  und  N".  Nun  liegen  nach  der  vor.  Nr.  die 
Normalen  der  F^  in  M"  und  N",  wenn  man  sie  auf  derselben  Seite 


*)  Journal  de  Lionville,  1844.  —  Der  gegebene  Beweis  rfihrt  im  wesent- 
lichen von  Herrn  de  la  Churnerie  her  (tr.  de  g^om.  descr.,  B.  8,  1864,  S.  4), 
welcher  jene  Winkel  d  die  Deviation  nannte. 


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XI,  616.   Die  ErümmangBlinieD  der  Flächen  2.  Grades.  567 

der  Fl  zieht,  beide  im  loneren  oder  beide  im  Äußeren  des  Flächen* 
winkeis  TL'  (JIT,  ^)  und  bilden  mit  dessen  Seiten  (gleiche)  Win- 
kel, welche  im  allgemeinen  «=  0^  sind;  daher  gilt  dasselbe  auch  von 
den  Normalen  der  F^  in  M  und  JV,  da  diese  bezw.  mit  denen  in 
M"  und  'S"  Winkel  «=  0^  bilden.  Hat  man  nun  die  Normalen  auf 
derselben  Seite  von  F^  gezogen,  wie  deren  Normale  PL',  so  liegen 
sie  auch  beide  im  Inneren,  oder  beide  im  Äußeren  des  Oktanten  P 
(Z»',  Jf',  ^).  Das  Eutsprechende  gilt  von  den  Normalen  der  Fg  in 
If  und  Z»,  und  von  denen  der  F3  in  L  und  M.  Zieht  man  anderer- 
seits in  einem  der  Punkte  L,  Mj  N,  so  in  L,  die  Normalen  der  Fg 
und  der  Fg,  so  stehen  diese  auf  einander  senkrecht;  wenn  daher  eine 
derselben  im  Inneren  jenes  Oktanten  liegt,  so  liegt  die  andere  im 
Äußeren.  Nennt  man  nun  die  Seite  des  Oktanten  (innen  oder  außen); 
auf  welcher  jene  Normale  der  F^  in  M  liegt,  die  positive,  die  an- 
dere die  negative,  so  liegt  auch  die  Normale  der  F^  in  N  auf  der 
positiven,  die  Normale  der  F^  in  JV  und  dann  auch  die  in  L  auf  der 
negativen,  die  der  F3  in  L  und  dann  auch  die  in  M  auf  der  positiven, 
die  der  F^  in  M  auf  der  negativen  Seite,  und  dies  widerspricht  der 
ersten  Feststellung,  wonach  die  Seite,  auf  welcher  die  Normale  der 
Fl  in  M  liegt,  die  positive  genannt  wurde.  Es  können  daher,  bis  auf 
Abweichungen  *-»  0^,  alle  jene  Normalen  auf  gar  keiner  Seite  des 
Oktanten  liegen,  sie  müssen  daher  mit  den  Flächen  der  Oktanten 
Winkel  bilden,  die  unendlich  klein  von  höherer  Ordnung  sind;  PL, 
PMy  PN  müssen  daher  Elemente  von  Krümmungslinien  in  je  zweien 
der  Flächen  sein  (488  f.),  w.  z.  b.  w. 

Daraus  folgt  unmittelbar  der  Sata  von  Dupin*)  über  orthogonale 
Flächen^  worunter  man  zwei  solche  versteht,  die  sich  durchweg, 
d.  h.  in  jedem  ihrer  gemeinsamen  Punkte  rechtwinklig  schneiden. 
Er  lautet: 

Wenn  drei  Schaaren  von  Flächen  derart  beschaffen  sind,  daß  jede 
Fläche  einer  jeden  Schaar  jede  Fläche  der  beiden  anderen  Schaaren 
durchtoeg  rechtwinklig  schneidet^  so  ist  jede  Schnittkurve  eine  Krüm- 
mungslinie  einer  jeden  der  beiden  Flächen  von  verschiedenen  Schaaren, 
denen  sie  angehört. 

Es  kann  leicht  hieraus  gefolgert  werden,  daß,  wenn  Bwei  Flä- 
chen Fl,  Fj  sich  durchweg  unter  demselben  Winkel  schneiden,  ihre 
Schnittlinie  s,  wenn  sie  eine  Krümmungslinie  der  einen  Fläche  ist,  auch 
eine  solche  der  anderen  sein  muß.  Denn  ist  s  eine  Erümmungs- 
linie  der  Fi,  so  liegen  die  Normalen  der  Fj  in  zwei  benachbarten 
Punkten  der  s  in  einer  Ebene,  dann  liegen  auch  die  Normalen  der 


*)  Dttpin,  D^veloppementB  de  G^om^trie  (5.  memoire),  Paris,  1818. 

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568 


XI,  516—518.    Die  Erfimmang  der  Fl&chen. 


Fj  in  denselben  Ponkten^  weil  sie  gegen  die  ersteren  gleich  geneigt 
sind,  in  einer  Ebene,  und  dann  ist  s  ancli  eine  Erümmungslinie 
der  P,.  —  Auf  einer  Fläche  von  gleichförmiger  Neigung  (359) 
ist  daher  jede  mit  der  Grundebene  parallele  Linie  eine  Erüm- 
mungslinie, weil  sie  eine  Krümmungslinie  der  Ebene  ist,  in  wel- 
cher sie  liegi 

517.  Zur  weiteren  Erörterung  bedürfen  wir  einiger  Sätze  über 
konfokale  Kegelschnitte  (I,  436  ff.)  und  konfokale  Flächen  zwei- 
ten Grades.  Der  nächste  Satz  folgt  schon  durch  Reciprocität  aus 
I,  397,  soll  aber  der  größeren  Anschaulichkeit  wegen  noch  unmittel- 
bar bewiesen  werden. 

In  Be0ug  auf  alle  Kurven  einer  Schaar  Jconfokaler  Kegdschniüe 
ist  ßu  einer  Geraden  g  diyenige  (auf  ihr  senkrechte)  Gerade  h  Jconjugirt, 
u)elche  von  g  durch  die  leiden  Pwnkte  eines  jeden  der  drei  Paare  ge- 
meiftöckafilicher  konjugirter  Brennpunkte  harmonisch  getrennt  ist 

Denn  in  I,  388  wurden  auf  jeder  der  drei  Axen  in  erweitertem 
Sinne,  der  Hauptaxe,  der  Nebenaxe  und  der  unendlich  fernen  Gre- 
raden,  die  (konjugirten)  Brennpunkte  als  die  Doppelpunkte  der  In- 
volution bezeichnet,  welche  je  zwei  konjugirte,  auf  einander  senk- 
Fig.  807.  rechte  Gerade  auf  diesen  Axen  einschneiden.    Sind  daher  Jlf ,  F,  F^ 

der  Mittelpunkt  und  die  beiden  reellen 
Brennpunkte  der  konfokalen  Kegelschnitte, 
und  sind  von  g  und  h  die  Schnittpunkte 
mit  der  Hauptaxe,  der  Nebenaxe  und  der 
unendlich  fernen  Geraden  G,  trj,  G«; 
^  H,  Hi,  Ea^y  so  sind  G,  H-y  Gj,  H^]  G«, 
Hai,  J6  ^^  Punktepaar  einer  solchen  In- 
volution, und  die  Punkte  eines  Paares 
sind  durch  die  (reellen  oder  imaginären) 
Doppelpunkte,  d.  i.  durch  die  Brennpunkte  harmonisch  getrennt.  Ist 
daher  giGG^G^)  gegeben,  so  ermittle  man  zwei  der  Punkte  H, 
H„  fl«,  und  zwar  durch  ME. MG  =  MF^,  MH^,MG^^  —  MF^ 
{G^F^H^  =  G^FH^  =  90<>);  hXg-,  dann  ist  A  bestimmt. 

Zugleich  ist  der  Berührung^pidnkt  eines  der  konfokalen  Kegel- 
schnitte mit  g,  oder  eines  anderen  mit  A,  der  Schnittpunkt  der  g 
und  h,  weil  die  zu  einer  Tangente  konjugirte  Gerade  durch  ihren 
Pol,  d.  i.  ihren  Berührungspunkt  gehen  muß. 

518.  Die  Brennpunkte  der  Hauptschnitte  und  die  FokaUcegd- 
schnitte  einer  Fläche  zweiten  Grades. 

Fig.  808.  Von  einer  solchen  Fläche  F  sei  M  der  Mittelpunkt,   von  des- 

sen Lage  im  Endlichen  wir  ausgehen,  femer  seien  a,  6,  c  die  Halb- 
axen,   welche  reell  oder  imaginär  sind,   so  daß  sich  a^,  6*,  c*  als 


Fig.  207. 


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XI,  618.   Die  Krümmungslinien  der  Flächen  2.  Grades. 


569 


reelle  positive  oder  negative  Größen  ergeben,  es  sei  a*  >  6*  >  c*, 
so  ist  P  ein  EUipsoid,  wenn  c*  >  0,  ein  einschaliges  Hyperboloid, 
wenn  6*  >  0  >  c*,  ein  zweischaliges  Hyperboloid,  wenn  a*  >  0  >  6', 
und  die  Flache  ist  imaginär,  wenn  0  >  a^  In  der  Figur  dienen 
die  Hauptebenen  a&,  ac,  bc  als 


Pj ,  Pj ,  Pj .  Von  den  sechs  Brenn- 
punkten des  Hauptschnittes  ab 
liegen  die  zwei  reellen,  vne  F^ 
auf  a,  zwei  imaginäre,  die  ideell 
durch  zwei  reelle  (I,  388),  wie 
Fif  dargestellt  werden,  auf  6, 
und  es  ist  MF=  MFi  —  f,  und 
die  zwei  letzten  auf  der  unend- 
lich fernen  Geraden  als  deren 
imaginäre  Ereispunkte.  Von 
den  Brennpunkten  des  Haupt- 


4? 


Fig.  208. 


4? 


ßT 


Schnittes  ac  liegen  die  zwei  reellen,  wie  E,  auf  a,  zwei  ideelle,  wie 
Ei,  auf  c  (ME 'Tza  MEi  ==  e)  f  und  zwei  sind  die  unendlich  fernen 
imaginären  Ereispunkte.  Von  den  Brennpunkten  des  Hauptschnittes 
bc  liegen  die  zwei  reellen,  wie  D,  auf  6,  zwei  ideelle,  wie  Di,  auf 
c  (MD  =»  MDi  =  rf),  und  zwei  sind  die  unendlich  fernen  imagi- 
nären Ereispunkte«  Die  Brennpunkte  des  unendlich  fernen  Eegel- 
schnittes  können  wir  erst  nachher  bestimmen. 

Nun  gilt  für  jedes  Vorzeichen  von  a*,  6*,  c*: 


/^  =  a«  -  b\ 
daraus  folgt 


a^  —  c\        (p  -.  6«  —  c«; 


r  =  e«-(?. 


(1) 


sowie^  wegen  a*  >  6*  >  c*,  daß  /^,  e*,  cP  positiv,  also  f,  e,  d  reell 


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570  XI,  518.    Die  Erümmung  der  Flächen. 

sind.    Indem   wir  die  unendlich  ferne  Ebene  zu  den  Haaptebenen 
zählen,  sprechen  wir  den  SaUs  aus: 

In  jeder  der  vier  Hauptebenen  einer  Fläche  eweiien  Orades  F  gibt 
es  einen  Kegelschnitt,  welcher  ein  Fokalkegelschnitt  der  F  heißt,  dessen 
sechs  Brennpunlcte  mit  denen  des  Hawptschnittes  seiner  Ebene  mir 
samnienfallen,  und  dessen  Scheitel  in  den  sechs  übrigen  in  seiner  Ebene 
liegenden  Brennpunkten  der  drei  anderen  Hauptschnitte  liegen. 

Danach  ist  zunächst  in  der  Ebene  ab  der  Fokalkegelschnitt 
derjenige,  welcher  den  in  a&  liegenden  Brennpunkt  E  des  Hanpt- 
schnittes  bc  und  den  D  des  bc  zu  Scheiteln,  und,  da  6*  —  d^=mp 
(Gl.  1),  den  Punkt  F  zu  einem  Brennpunkte  hat;  dann  hat  er  aber 
alle  sechs  Brennpunkte  mit  dem  Hauptschnitte  ab  gemein.  Weil 
die  Scheitel  E,  D  reell,  ist  er  eine  Ellipse  und  hat  M  zum  eigent- 
lichen Mittelpunkte.  —  In  der  Ebene  ac  ist  der  Fokalkegelschnitt 
diejenige  Hyperbel,  welche  Jf  zum  eigentlichen  Mittelpunkte,  F  und 
Di  zu  Scheiteln  bezw.  einer  reellen  und  ideellen  Axe  und  daher, 
wegen  Gl.  (1),  E  zu  einem  Brennpunkte  hat.  —  In  der  Ebene  bc 
endlich  ist  der  Fokalkegelschnitt  derjenige  imaginäre  Kegelschnitt  (als 
Ellipse  anzusehen),  welcher  M  zum  eigentlichen  Mittelpunkte,  Fi 
und  Ei  zu  ideellen  Scheiteln  und,  wegen  Gl.  (1),  D  zu  einem  reellen 
Brennpunkte  hat.  Di  ist  dann  ein  reeller  Brennpunkt  derjenigen 
reellen  Ellipse,  welche  jener  imaginären  Fokalellipse  in  Bezug  auf 
M  konjugirt  ist  und  ihre  ideelle  Darstellung  (I,  408)  bildet  (in  der 
Figur  gestrichelt). 

Der  Fokalkegelschnitt  der  unendlich  fernen  Ebene  soll  auf  jeder 
der  drei  durch  M  gehenden  Hauptebenen  die  beiden  unendlich  fer- 
nen Brennpunkte,  also  je  zwei  unendlich  ferne  imaginäre  Ejreis- 
punkte,  enthalten.  Der  durch  diese  sechs  Punkte  gehende  Kegel- 
schnitt kann  als  die  Schnittlinie  der  unendlich  fernen  Ebene  mit 
einer  Fläche  zweiten  Grades  betrachtet  werden,  deren  Schnittlinien 
mit  jenen  drei  durch  M  gehenden  Hauptebenen  je  zwei  solche  un- 
endlich ferne  imaginäre  Ereispunkte  enthalten,  also  Kreise  sind. 
Diese  Fläche  zweiten  Grades  muß  daher  eine  Kugel  sein,  da  jede 
andere  solche  Fläche  nur  zwei  Stellungen  von  Kreisschnitten  enthalt; 
der  unendlich  ferne  Fokalkegelschnitt  ist  daher  der  unendlich  ferne 
(imaginäre)  Kugeüoreis. 

Um  den  obigen  Satz  ganz  zu  rechtfertigen,  muß  man  noch 
nachweisen,  daß  die  drei  ersteren  Fokalkegelschnitte  durch  die 
Brennpunkte  des  unendlich  fernen  Hauptschnittes  h  der  Fläche  F 
und  des  unendlich  fernen  Kugelkreises  u  gehen;  d.  h.  daß  die  in 
der  unendlich  fernen  Ebene  TT  durch  diese  Punkte  zu  einander  senk- 
recht gezogenen  Geraden  in  Bezug  auf  h  und  u  zu  einander  kon- 


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X],  518—519.  Die  KrümmangsliDien  der  Fl&chen  2.  Grades.         571 

jugirt  sind.  Als  derartige  Gerade  mQssen  wir  nach  Maßgabe  der 
gewöhnlichen  Hauptebenen  solche  Gerade  ansehen^  welche  aus  dem 
Pole  M  der  U  durch  Ebenen  projicirt  werden,  welche  auf  einander 
senkrecht  stehen  und  zu  einander  konjugirt  sind  in  Bezug  auf  jede 
Fläche  zweiten  Grades,  die  durch  A  bezw.  durch  u  geht  und  U  und 
M  zu  Polarebene  und  Pol  hat.  Für  den  Kegelschnitt  h  wird  dies  in 
Nr.  528  nachgewiesen  werden.  Für  den  u  sind  jene  Flächen  Kugeln 
vom  Mittelpunkte  M\  und  es  ergibt  sich,  daß  jeder  Punkt  P  der  U 
ein  Brennpunkt  des  u  ist,  weil  jede  zwei  durch  MF  gelegte  auf 
einander  senkrecht«  Ebenen  in  Bezug  auf  diese  Kugeln  zu  einander 
konjugirt  sind.  Daher  sind  auch  die  sechs  unendlich  fernen  Punkte 
der  drei  anderen  Fokalkegelschnitte,  von  denen  aber  nur  die  der 
Fokalhyperbel  reell  sind,  Brennpunkte  des  w,  und  es  gilt:  Der  un- 
endlich ferne  FoJccUkegelschniU  einer  Fläche  gtveiten  Grades  (der  durch 
den  unendlich  fernen  imaginären  KugeOcreis  gebildet  wird)  hat  die  sechs 
Punkte  der  drei  anderen  Fokalkegelschnitte  ssu  Brennpunktenj  und  von 
diesen  sind  0wei  reell. 

519.  Flächen  jsweUen  Grades  heißere  konfokal  ^  umtn  sie  die 
Brennpunkte  ihrer  Hauptschnitte  gemein  haben,  und  dies  ist  schon 
erfüllt,  wenn  die  Axenlinien  und  auf  ihnen  zwei  von  einander  unab- 
hängige Brennpunkte  gemeinsam  sind.  Solcher  von  einander  unab- 
hängiger reeller  Brennpunkte  gibt  es  viererlei,  nämlich  D,  E,  F  und 
ein  unendlich  ferner  Punkt  der  Fokalhyperbel.  Um  uns  eine  Vor- 
stellimg  von  dem  Übergange  der  Flächen  der  Schaar  in  einander 
zu  machen,  wollen  wir  von  der  Halbaxe  a  ausgehen,  die  wir  zu- 
nächst reell  annehmen,  so  daß  es  auch  Ä  ist.  Läßt  man  Ä  auf  a  ^8-  sos. 
sich  aus  dem  Unendlichen  dem  Mittelpunkte  M  nähern,  so  geht  die 
Fläche  von  der  unendlich  großen  Kugel  in  das  Ellipsoid  J.|  JS|  Cj 
über,  welches  sechs  reelle  Brennpunkte  in  seinem  Inneren  einschließt. 
Gelangt  Ä  nach  E,  so  wird  a  ^^  e  und  der  Hauptschnitt  ab  zur 
Fokalellipse  ED,  die  Halbaxe  c  wird  Null,  und  das  Ellipsoid  wird 
zur  doppelten  Fläche  dieser  Ellipse.  Die  Schaar  der  EUipsoide  er- 
füllt den  ganzen  Raum  einfach,  d.  h.  durch  jeden  Punkt  geht  ein 
Ellipsoid. 

Bewegt  sich  nun  A  von  E  gegen  F,  so  bleibt  der  Hauptschnitt 
ab  eine  Ellipse,  wie  A^B^,  in  dessen  Äußerem  die  Brennpunkte 
Ef  D  liegen;  die  anderen  Hauptschnitte  werden  daher  Hyperbeln, 
die  Fläche  wird  zu  einem  einschaiigen  Hyperboloide^  dessen  Anfangs- 
gestalt die  doppelte  Außenfläche  der  Fokalellipse  ED  ist  Gelangt  ' 
Ä  nach  Fj  so  wird  die  Ellipse  ab  zu  einer  doppelten  Geraden 
{2 MF),  der  Hauptschnitt  ac  wird  zu  der  Fokalhyperbel,  und  die 
Fläche  zur  doppelten  Außenfläche  dieser  Hyperbel«    Die  Schaar  der 


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572 


XI,  619-520.    Die  Erümmung  der  Flächen. 


einschcUigen  Hyperboloide  erfüllt  ebenfalls  den  ganzen  Baum  einfach. 
—  Bewegt  sich  dann  Ä  von  F  bis  M,  so  wird  der  Hauptschnitt  ab 
eine  Hyperbel  mit  einem  Scheitel  ^3,  derjenige  ac  ebenfialls  eine 
Hyperbel,  die  Scheitel  auf  b  und  c  werden  imaginär  und  der  Haupt- 
schnitt bc  ein  imaginärer  Kegelschnitt,  die  Fläche  ein  zweischaliges 
Hyperboloid.  Dasselbe  geht,  für  Ä  in  F,  von  der  doppelten  Innen- 
fläche der  Fokalhyperbel  ac  aus,  und  schließt,  für  J.  in  Jlf,  mit 
der  doppelten  unbegrenzten  Ebene  bc.  Auch  die  Sckaar  der  ein- 
schaligen Hyperboloide  erfüllt  den  ganzen  Baum  einfach.  —  Wird 
endlich  a  imaginär ^  so  werden  es  auch  &,  c  und  die  Fläche  selbst; 
ideelle  zusammengehörige  Scheitel  sind  ^1,  J?4,,  Cu.  Das  EUipsoid 
mit  diesen  reellen  Scheiteln  und  den  reellen  Brennpunkten  i^-,  Ei^  Di 
ist  die  ideelle  Darstellung  des  imaginären  Ellipsoides  in  Bezug  auf 
seinen  Mittelpunkt  M. 

Durch  jeden  Punkt  P  des  Baumes  geht  daher  von  der  Schaar 
konfokaler  Flächen  ein  EUipsoid,  ein  ein-  und  ein  zweischaliges 
Hyperboloid,  und  ein  reelles  EUipsoid,  welches  die  ideelle  Mittel- 
punktsdarstellung eines  konfokalen  imaginären  ist. 

620.    In  Beeug  auf  alle  Flächen  einer  Schaar  JconfökaJer  Flächen 

0fveüen  Orades  ist  einer  Ebene  E  ein  und  dieselbe  auf  E  senhreciUe 

Fig.  209.  Gerade  g  honjttgirt.    Denn  sei  in  einer  Hauptebene  P  die  Gerade  e, 

die  Spur  der  E,  sei  g'  die  nach  Nr.  517  konstruirte  zu  e^  in  Bezug 

auf  die  in  P  liegenden  (konfokalen)  Hauptschnitte  aller  Flächen  der 

Schaar    konjugirte     Gerade, 
*^'  so    ist    die    _L  P    durch   g' 

gehende  Ebene  zu  e^  in  Be- 
zug aufjede  Fläche  der  Schaar 
konjugirt,  weil  sie  zu  ihr  die 
Pole  zweier  durch  e^  gehen- 
den Ebenen,  also  die  Polare 
der  e^  enthält,   nämlich  den 
Pol  der  _L  P  durch  e^  geleg- 
ten Ebene,  welcher  in  g'  liegt, 
und  den  Pol  der  P,  welcher 
der    unendlich    ferne   Punkt 
jeder  zu  P  senkrechten  Gera- 
den ist    Das  Entsprechende 
gilt  in  der   zweiten  Hauptebene   für   die  Spur  «2  ^^^  ^^^  zu  ihr 
senkrechte  und  koigugirte  g".     Daher  ist  zu  der  durch  e^    und  e^ 
gehenden  Ebene  E  die  Schniti^erade  g  jener  beiden  auf  e^  bezw.  e^ 
senkrechten  Ebenen  in  Bezug  auf  alle  Flächen  der  Schaar  konjugirt, 
und  es  steht  g,  deren  Projektionen  g\  g'  sind,  X.  B« 


^^^ 


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XI,  620^522.   Die  ErammuDgalinien  der  Fl&chen  2.  Grades.         573 

Der  Schnittpunkt  P  einer  Ebene  E  mit  seiner  in  Besfug  auf  eine 
Schaar  konfohäler  FläcJien  etoeiten  Grades  konjugirten  'Geraden  g  ist 
der  Berühru/ngspunkt  der  E  mit  einer  Fläche  der  Schaar.  Denn  der 
Berührungspunkt,  als  Pol  der  E  in  Bezug  auf  die  berührte  Fläche, 
muß  auf  g  liegen. 

521.  Zwei  Jconfohale  Flächen  tsweiten  Grades^  die  nicht  von  der- 
selben Art  sind,  schneiden  sich  durchweg  rechttvinklig. 

Denn  sei  in  einem  beliebigen  Punkte  P,  E  die  Berührungs- 
ebene und  g  die  Normale  einer  der  drei  durch  P  gehenden  Flachen 
F  der  Schaar,  so  ist  g  die,  stets  einzige,  der  E  in  Bezug  auf  F 
konjugirte  auf  ihr  senkrechte  Gerade,  und  daher  auch  der  E  in 
Bezug  auf  alle  Flächen  der  Schaar  konjugirt  (520).  In  der  Invo- 
lution der  konjugirten  Tangenten  der  F  in  P  seien  h  und  i  das 
Recht  winkelpaar,  so  ist  auch  die  Ebene  gh  zu  der  auf  ihr  senk- 
rechten Geraden  i,  und  die  gi  zu  der  h  in  Bezug  auf  F,  und  daher 
auch  in  Bezug  auf  alle  Flächen  der  Schaar  konjugirt.  Demnach 
sind  diese  Ebenen  auch  die  Berührungsebenen  zweier  weiteren  durch 
P  gehenden  Flächen  der  Schaar.  Die  Normalen  der  drei  durch  P 
gehenden  Flächen  sind  daher  die  auf  einander  Senkrechten  g,  h,  i, 
und  die  Flächen  schneiden  sich  zu  zwei  rechtwinklig. 

Zus.  g,h,  i  sind  auch  in  Bezug  auf  alle  Kegel  konjugirt,  welche 
aus  P  je  einer  der  Flächen  umschrieben  sind  (89,  Bew.),  und  daher 
die  gemeinschaftlichen  Axen  derselben.  Diese  drei  Linien  können 
konstruirt  werden  als  die  drei  Axen  des  aus  P  einer  der  Flächen, 
am  einfachsten  einem  der  Fokalkegelschnitte,  umschriebenen  Ke- 
gels  (23). 

522.  Die  Schnittlinien  einer  Fläche  zweiten  Grades  mit  den  eu 
ihr  konfokalen  Flächen  sstoeiten  Grades  anderer  Art  bilden  sämmüiche 
Kriknmungslinien  der  ersteren  Fläche. 

Denn  die  konfokalen  Flächen  schneiden  sich  rechtwinklig  (521), 
ihre  Schnittlinien  sind  daher  Erümmungslinien  der  gegebenen  Fläche 
(516),  und  zwar  sämmüiche,  weil  die  zwei  durch  jeden  Punkt  der 
Fläche  geh^iden  andersartigen  Flächen  (519)  die  zwei  durch  diesen 
Punkt  gehenden  Erümmungslinien  (489)  liefern. 

Diese  Krümmungslinien  sind  daher  von  der  vierten  Ordnung,  und 
da  die  sich  schneidenden  konfokalen  Flächen  das  Polartetraeder  der 
vier  Hauptebenen  gemein  haben,  so  werden  aus  dessen  Eckpunkten, 
d.  i.  dem  Mittelpunkte  und  dem  unendlich  fernen  Punkte  jeder  der 
drei  Axen  die  Krümmungslinien  durch  Kegel  zweiten  Grades  (doppelt) 
projicirt;  daher  sind  die  (benefi  Projektionen  der  Krümmungslinien 
einer  Fläche  eweiten  Grades  aus  dem  Mittelpunkte  oder  dem  unendlich 


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574 


XI,  522—528.    Die  ErümmaDg  der  Flächen. 


fernen  Punkte  einer  Axe  der  Fläche  Kegelschnitte.    Die  Hauptsdinitie 
selbst  sind  offenbar  Krümmungslinien. 

62S.    Äufg.   Die  Krümmungslinien  einer  Fläche  zweiten  Grades 
durdi  ihre  ProjMonen  auf  die  drei  Hauptd>enen  darzustellen^). 

Aufl.    Werden  nur  einzelne  Erümmungslinien  verlangt,   so  ist 

zweckmäßig  ein 

Fig.  sio.         ErstesVer fahren y  welches  zunächst  an  einem Eüipsoide  ausgeführt 

werden  soll.    Dieses  habe  den  Mittelpunkt  M,  die  Halbaxen  a^b^c 

mit  den  Scheiteln  Ä,  By  G\  in  den  Hauptschnitten  bc,  ca^  ab  die 


Fig.  210. 


> 


reellen  Brennpunkte  D,  E^  Fy  und  es  sei  auf  die  drei  Hauptebenen 
aby  aCy  bc  projicirt.  Soll  durch  den  willkürlichen  Punkt  G  des 
Hauptschnittes  ac,  der  selbst  eine  Erümmungslinie  ist,  die  zweite 
Krfimmungslinie  gelegt  werden,  so  bestimmt  man  den  auf  a  liegen- 
den Scheitel  Ä^  der  konfokalen  durch  G  gehenden  Fläche,  indem 
man  den  Abstand  E"G"  von  Ä"  gegen  E''  hin  nach  Ä"Äi'  auf- 
trägt (I,  435);  dabei  finde  zunächst  statt,  daß  A"Ai''>Ä''F"  sei, 
wodurch  die  konfokale  Fläche  ein  zweischaliges  Hyperboloid  wird 
(519).  Die  Hauptschnitte  beider  Flächen  in  der  Ebene  ab  treffen 
sich  dann  in  vier  in  Bezug  auf  a  und  b  symmetrischen  Punkten, 


*)  Zuerst  von  Monge  aof  analytischem  Wege  gelOst  in  seiner  AppHcatioD 
de  r Analyse  ^  la  G^om^trie,  XV  et  XVI,  1795. 


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XI,  623—626.  Die  ErümmimgBliDien  der  Flächen  2.  Grades.         575 

deren  einer  auf  der  Ellipse -4' JB'  der  H'  ist,  wenn  F B!  ^=»  A'A(y 
die  Hanptschnitte  in  der  Ebene  ac  treffen  sich  in  vier  Punkten,  wie 
(jt" j  die  Hauptschnitte  in  &c  in  vier  imaginären  Punkten.  Durch 
die  reellen  Punkte  G  und  H.  sind  von  der  Schnittkurve  beider  Flä- 
chen die  kegelschnittförmigen  Projektionen  auf  die  Hauptebeneu 
bestimmt,  und  zwar  von  der  ersten  zwei  Scheitel;  wie  G\  und  vier 
Punkte,  wie  J3';  von  der  zweiten  zwei  Scheitel,  wie  H!\  und  vier 
Punkte,  wie  G"\    von  der  dritten  die  vier  Scheitel,  wie  G"\  H"\ 

Die  erste  Projektion  der  Krümmungslinie  ist  eine  Hyperbel  G'n\ 
deren  eine  Asymptote  M'L  man  findet,  wenn  man  H'J±.  M'B' 
fällt,  auf  Jlf'JB'  die  JK=MG'  macht,  und  auf  JE'  den  Punkt 
L  durch  KL  =  JH'  bestimmt  (I,  371).  Damit  läßt  sich  die 
Hyperbel  leicht  verzeichnen.  Die  zweite  Projektion  ist  eine  Ellipse, 
und  man  findet  aus  den  zwei  Scheiteln  der  einen  Axe,  wie  H'\  und 
einem  Punkte  G",  einen  Scheitel  P  der  anderen  Axe,  durch  Affinität 
mit  dem  aus  M"  durch  H"  gezogenen  Kreise,  oder  (wie  in  einer 
Nebenfigur  angedeutet  werden  mußte,  weil  die  Ellipse  H"P'  sich 
kaum  von  einem  Kreise  unterscheidet)  unter  Anschluß  an  die  Kon- 
struktion der  Ellipse  mittelst  der  über  den  Axen  als  Durchmesser 
beschriebenen  Kreise  (I,  372).  Die  dritte  Projektion  ist  eine  Ellipse 
und  durch  ihre  vier  Scheitel,  wie  G'"j  H"\  gegeben. 

524.  Soll  die  Krümmungslhiie  durch  den  Punkt  Q  des  Haupt- 
schnittes ac  gelegt  werden,  für  welchen  E" Q" '=^  Ä" A^'  <  A" F' 
ist,  so  liegt  der  Scheitel  A^  der  konfokalen  Fläche  zwischen  E  und 
F,  und  diese  Fläche  ist  ein  einschaliges  Hyperboloid,  dessen  anderer 
reeller  Scheitel  B,  durch  F'B^  =  M'A^'  bestimmt  wird.  Die  Haupt- 
schnitte beider  Flächen  treffen  sich  nun:  in  a&  (die  Ellipsen)  in  ima- 
ginären Punkten,  in  ac  in  vier  reellen  Punkten  wie  Q,  in  hc  in 
vier  reellen  Punkten  wie  B,  bestimmt  durch  D'" R'' ^  B'" B^'\ 
Es  können  dann,  wie  vorhin,  die  drei  Projektionen  der  Schnittlinien 
verzeichnet  werden:  in  a&  eine  Ellipse  aus  den  vier  Scheiteln  wie 
Q\  B'\  m  ac  eine  Ellipse  aus  zwei  Scheiteln,  wie  22",  und  vier 
Punkten,  wie  $";  in  Je  eine  Hyperbel  aus  zwei  Scheiteln,  wie  Q"\ 
und  vier  Punkten,  wie  JB'". 

525«  Man  kann  aber  auch  die  fehlenden  reellen  und  ideellen 
Scheitel  der  verlangten  Kegelschnitte  in  den  beiden  vorhergehenden 
Nummern  unmittelbar  aus  den  imaginären  Schnittpunkten  konfoka- 
ler gleichartiger  Kegelschnitte  bestimmen.  Sind  von  zwei  kon- 
fokalen Kegelschnitten  die  Haupt-  und  Nebenaxen  bezw.  a,  a^\  &,  b^, 
so  sind  ihre  Gleichungen,  bezogen  auf  die  Haupt-  al&  rrAxe,  und 
die  Neben-  als  yAxe, 


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576  XI,  526—626.    Die  Krümmung  der  Flächeo. 

und  wenn  ihre  gemeinschaftliche  tlxcentricit  f  ist;  gilt 

/^  =3  a«  -  6«  -  a^«  -^  6,1  (2) 

Eine  Kurve  ist  eine  Ellipse,  eine  Hyperbel  oder  ein  imaginärer 
Kegelschnitt  (Ellipse),  je  nachdem  bezw.  a*>0,  6*>0;  a*>0, 
6*<0;  a*<0,  6*<0.  Eliminirt  man  aus  den  Gleichungen  (1)  y, 
setzt  in  der  entstehenden  Gleichung  die  Werte  von  6*  und  h^  aus 
(2)  ein,  und  verfährt  entsprechend  mit  x,  a*,  a,*,  so  erhält  man, 
wenn  )/--l  =  i  gesetzt  wird,  die  Koordinaten  der  Schnittpunkte 
beider  Kegelschnitte 

^==±y^,       y  =  +  iy^  =  ±V.  (3) 

Sind  a^a^j  b,bi  reell,  so  ist  x  die  reelle  Abscisse,  y  die  imaginäre, 
y'  die  ideelle  Ordinate  eines  Schnittpunktes. 

Wir  erhalten  nun  die  Koordinaten  der  Schnittpunkte  der  Ellip- 
sen AB  und  A^B^  der  vorigen  Nr.,  wenn  wir  a  =»  M'A\  b  =  M'B\ 
«1  =  M'A^^  \  =  M' B^  setzen.  Ziehen  wir  dann  die  JB'2^,  schnei- 
den sie  mit  der  zu  a  Senkrechten  A^S^  in  S^  so  ist  offenbar 
nach  der  ersten  der  Formeln  (3)  x^=^B'S^j  was  wir  auf  a  nach 
M'S'  tragen.  S"  ist  dann  ein  Scheitel  der  Ellipse  B"Q"8".  Tragen 
wir  andererseits  auf  a  die  F'TJ  ^==  M'B^  =  6^  auf,  ziehen  UT^  _L  a 
bis  T^  auf  B'F,  so  ist  nach  der  zweiten  der  Formeln  (3)  y'  = 
ÜT,=M"r'  die  ideelle  Halbaxe  der  Hyperbel  Q'"K". 

Man  hätte  die  aus  dem  unendlich  fernen  Punkte  der  x  oder 
der  y  gezogenen  gemeinschaftlichen  reellen  oder  ideellen  Sehnen  der 
Kegelschnitte  ab,  ai\  auch  nach  I,  410  mittelst  konjugirter  Kegel- 
schnitte, oder  nach  1,411  als  Strahlen  konstruiren  können,  die 
durch  die  Punkte  jedes  von  zwei  Paaren  in  Bezug  auf  beide  Kegel- 
schnitte konjugirter  Punkte  harmonisch  getrennt  sind;  aber  das  ge- 
gegebene Verfahren  dürfte  das  einfachere  sein. 

526.  Bestimmung  der  KrümmungsUnien  auf  dem  einschaligen 
Fig.  SU.  Hyperboloide  nach  dem  ersten  Verfahren.  Es  mögen  die  Bezeichnungen 
von  Nr.  523  gelten,  wobei  A,  B  reelle,  und  C  ein  ideeller  Scheitel 
sind.  Durch  den  willkürlichen  Punkt  G  des  Hauptschnittes  ac  legt 
man  die  zweite  Krümmungslinie  als  Schnitt  mit  der  durch  G  gehen- 
den konfokalen  Fläche,  deren  Scheitel  A^  und  B^  durch  A"E' A^ 
r^E"G",  und  durch  FB(^M'Al  bestimmt  sind,  und  welche 
ein  EUipsoid  ist.  Die  Hauptschnitte  bc  beider  Flächen  treffen  sich 
in  vier  Punkten,  wie  H"\  wobei  B'" K"  —  B'^B^'.  Von  der 
Schnittkurve-  wird   gezeichnet  die  erste  Projektion  als  Ellipse  aus 


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XI,  626—627.    Die  Krümmungslinien  der  Flachen  2.  Grades.         577 

den  vier  Scheiteln,  wie  G\  H\  die  zweite  als  Ellipse  aus  zwei 
Scheiteln,  wie  H'\  und  vier  Punkten  wie  G",  die  dritte  als  Hyperbel 
aus  zwei  Scheiteln,  wie  G"\  und  vier  Punkten  wie  H'"  nach  dem 

Fig.  211. 


Verfahren  der  Nr.  523.  Man  findet  auch  einen  Scheitel  P"  der 
Ellipse  H"G"  nach  der  ersten  der  Formeln  (3)  der  Nr.  525,  wenn 
man  B'F'  mit  der  zu  a  Senkrechten  A^Pi  in  P^  schneidet  und 
M"P''^B'Pi  macht;  und  ebenso  den  ideellen  Scheitel  J'"  der 
Hyperbel  O'" H'"  nach  der  zweiten  jener  Formeln,  wenn  man  auf  a 
FK^M'B;  aufträgt,  KJ^A,a  bis  eTj  auf  F B'  zieht  und 
M"r'=KJ,  macht. 

627.  Durch  den  willkürlichen  Punkt  Q  des  Hauptschnittes  a6 
legt  man  die  zweite  Erümmungslinie  als  Schnitt  mit  der  durch  Q 
gehenden  konfokaleu  Fläche,  deren  Scheitel  A^  durch  A'F'Ä^  = 
jP'Q' bestimmt  wird,  und  welche  ein  zweischaliges  Hyperboloid  ist. 
Seine  ideellen  Scheitel  JBg,  G^  erhält  man  durch  Ä^B^  ^^  M'F  und 
Ä^'G^'^M'F'  oder  aus  {M'^G^'J  =  {M"B^y  +  {W  D'y, 
Denn  der  dritte  Hauptschnitt  des  zweischaligen  Hyperboloids  ist 
imaginär  und  hat  zu  Halbaxen  \  =  i.M'"B^",  c^  =  i.M'"G^" 
und  zur  Excentricität  d=^  M'"D"\  so  daß  die  obige  Gleichung  aus 
e?  =  6«  -  c*  folgt  (518). 

Die  Schnittlinie  der  beiden  konfokalen  Flächen,  eines  ein-  und 

Wiener,  Lehrbach  der  dorfiellendon  Geometrie.   II.  37 


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578  XI,  627—528.    Die  Krümmung  der  Flächen. 

eines  zweisebaligen  Hyperboloides,  hat  vier  Asymptoten  und  man 
könnte  diese  als  Schnittlinien  der  Asymptotenkegel  der  Flächen  kou- 
struiren;  unsere  Projektionen  der  Schnittlinien  sind  dann  Hyperbeln, 
welche  aus  ihren  Asymptoten  und  ihren  vier  reellen  Punkten,  wie  Q, 
verzeichnet  werden  könnten.  Einfacher  ist  es  aber,  die  noch  fehlen- 
den Axen  der  Projektionen  nach  Nr.  525  zu  bestimmen.  Die  kon- 
fokalen hyperbolischen  Hauptschnitte  ac  mit  den  Scheiteln  Ä",  A^' 
haben  Schnittpunkte,  deren  Koordinaten  bezw.  der  aAxe  der  ersten 
und  der  cAxe  der  dritten  Projektion  der  Schnittknrve  gleich  sind 
und  sich  nach  Formel  (3)  der  Nr.  525  ergeben,  wenn  man  darin 
a  =  m:'A'\  b  =  i.  M"a\  a^  =  M'X';  6i  =  » •  M"C;',  f  =  M"E" 
setzt;  man  erhält  dann 

oder  X  =  M'E\  wenn  man  auf  einer  Asymptote  M'  K^  der  Hyperbel 
^"ö"  die  M'K^=M"A^'  aufträgt,  und  K^K'  \  M' M'  zieht; 
und  y^=^i,M"'V\  wenn  man  auf  derselben  Asymptote  M" K^ 
die  M"L,  =  M"C^"  aufträgt  und  Jlf"'r"  =  Abstand  L^ .  Jf'^" 
macht. 

Ebenso  erhält  mau  aus  den  konfokalen  Kegelschnitten  bc,  einer 
Hyperbel  mit  einem  reellen  Scheitel  JB'"  und  einem  ideellen  C"\ 
und  einer  imaginären  Ellipse  mit  den  ideellen  Scheiteln  B^''^  C^'\ 
die  Koordinaten  ihrer  Schnittpunkte  aus  denselben  Formeln,  wenn 
man  a  =  M'"B'%  h  =  i.M"'C'\  a,  ==  %.M'"B^'\  h,  =  i.M'^C^", 
f=^M'"D"'  setzt,  woraus  folgt. 

Dann  ist  die  &Axe  der  ersten  Projektion  der  Schnittkurve  beider 
Flächen  =  a;  =  t .  M'R\  wenn  man  auf  einer  Asymptote  M"'R^ 
der  B'"H"'  die  M''' R,  =  M"B^"  aufträgt  und  B^K  \  WM 
zieht;  und  die  cAxe  der  zweiten  Projektion  der  Schnittkurve  =  y  = 
i,M"S",  wenn  man  auf  derselben  Asymptote  die -Sf' "S,  =  M"'C^'' 
aufträgt  und  M"S"  gleich  Abstand  «i  .JIf"'JB'"  macht.  —  Nun  ver- 
zeichnet man  von  der  Schnittkurve  die  Projektionen  als  Hyperbeln 
aus  den  reellen  und  ideellen  Scheiteln:  1)  K%  ü';  2)  ©",  S"; 
3)  Q"\  V". 

b)  Die  Projektionen  der  Krümmungslinien  auf  die  Haupt- 
ebenen als  Kurven  einer  Kegelschnittschaar. 
528.     Soll  eine  Anzahl  von  Krümmungslinien  verzeichnet  wer- 
den, so  ist  es  vorteilhaft,  eine  weitere  Eigenschaft  ihrer  Projektionen 
auf  die  Hauptebenen  zu  benutzen. 


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XI,  628—629.   Die  KrummungfllinieD  der  Flächen  2.  Grades.         579 

Bei  einer  Schaar  konfoJcaler  Flächen  zweiten  Grades  ist  jede  Tan- 
gente eines  zugehörigen  Fohalkegdschnittes  die  Axe  eines  rechtwinklig- 
involutorischen  Ebenenbüschels,  in  welchem  zwei  zugeordnete,  d.  i.  auf 
einander  [senkrechte  Ebenen  in  Bezug  auf  jede  Fläche  der  Schaar  zu 
einander  konjugirt  sind. 

Denn  sei  t  die  Tangente  eines  Fokalkegelschnittes  in  einem 
Punkte  N  desselben,  so  ist  jede  durch  t  gehende  Ebene  E  eine  Be- 
rührungsebene derjenigen  Fläche  der  Schaar,  welche  in  den  frag- 
lichen Fokalkegelschnitt  übergegangen  (519)  ist;  und  die  _L  B  durch 
N  gelegte  Gerade  g  bildet  die  zugehörige  Normale  dieser  Fläche 
(520).  Daher  sind  E  und  g  koujugirt  in  Bezug  auf  den  Fokalkegel- 
schnitt und  dann  in  Bezug  auf  jede  Fläche  der  Schaar  (520),  oder 
die  g  enthält  die  Pole  der  E  zu  jeder  dieser  Flächen;  daher  sind 
auch  die  auf  einander  senkrechten  Ebenen  E  und  tg  konjugirt  in 
Bezug  auf  jede  Fläche  der  Schaar,  w.  z.  b.  w. 

529.  Während  nun  durch  einen  allgemeinen  Punkt  P  des  Rau- 
mes drei  auf  einander  senkrechte  Normalen  g,  h,  i  von  Flächen  der 
Schaar  gehen  und  die  Axen  für  alle  Eegel  bilden,  welche  aus  P  je 
einer  Fläche  der  Schaar  umschrieben  sind  (521),  gehen  durch  einen 
Punkt  N  eines  Fokalkegelschnittes  unendlich  viele  solcher  Linien 
g,  h,  i,  nämlich  die  Tangente  t  dieses  Kegelschnittes  und  jedes  Paar 
auf  einander  und  auf  t  senkrechter  Geraden  g,  h,  und  hieraus  folgt, 
daß  für  einen  solchen  Punkt  N  jene  Kegel  ümdrehungskegel  sind 
mit  t  als  Axe.    Daher  der  Satz: 

1)  Bei  einer  Schaar  konfokaler  Flächen  zweiten  Grades  sind  alle 
aus  einem  Punkte  N  eines  Fokalkegelschnittes  je  einer  der  Flächen  um- 
schriebenen  Kegel  Umdrehungskegel ,  deren  gemeinschafUicJie  Umdrehungs- 
axe  die  Tangente  t  des  Fokalkegelschnittes  in  N  ist. 

Alle  genannten  Geraden  g  und  h  erfüllen  die  Normalebene  des 
Fokalkegelschnittes  in  N,  und  diese  Ebene  schneidet  die  Schaar  der 
konfokalen  Flächen  in  einem  Systeme  von  Kegelschnitten.  Da  nun 
eine  Gerade  g  in  Bezug  auf  jede  Fläche  der  Schaar  zu  der  auf  ihr 
senkrechten  Ebene  ht  konjugirt  ist,  d.  h.  deren  Pol  enthält,  so  ent- 
hält sie  auch  den  Pol  der  Geraden  h  in  Bezug  auf  jeden  Kegel- 
schnitt jenes  Systems  (73,  2)),  oder  sie  ist  der  g  in  Bezug  auf  jeden 
konjugirt;  daher  bilden  alle  jene  auf  einander  senkrechten  Geraden 
g  und  h  eine  senkrechte  Involution  konjugirter  Strahlen  in  Bezug 
auf  jeden  dieser  Kegelschnitte,  oder  es  gilt  (I,  388): 

2)  Ein  Punkt  N  eines  Fokalkegelschnittes  ist  ein  Brennpunkt  aller 
Kegdschnitte,  in  welchen  die  konfokalen  Flächen  von  einer  zum  Fokal- 
kegelschnitte in  N  senkrechten  Ebene  getroffen  werden. 

Da  ferner  die  auf  t  senkrechte  Ebene  gh   in  Bezug  auf  alle 

87* 

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580  XI,  629->530.    Die  Krümmung  der  Flächen. 

Flächen  der  Schaar  zu  t  konjugirt  ist;  so  ist  der  Schnittpunkt  N 
von  t  und  gh  der  Berührungspunkt  der  Ebene  gh  mit  einer  Flache 
der  Schaar  (520);  und  da  die  Geraden  e/,  h  eine  senkrechte  Invo- 
lution konjngirter  Tangenten  dieser  Fläche  bilden ,  so  ist  die  Indi- 
katrix  ein  Kreis  und  N  ein  Nabel punkt  dieser  Fläche.    Daher  gilt: 

3)  Die  SchniUpiinkte  einer  Fläche  zweiten  Grades  mit  einer  Fokal' 
kurve  derselben  sind  Nabelptmlcte  der  Fläche. 

Die  Fläche  hat  in  jeder  der  vier  allgemeiner  genommenen  Haupt- 
ebenen vier,  im  Granzen  daher  16  Nabelpunkte,  von  denen  sich  aber 
höchstens  vier  als  reell  ergeben  werden;  bei  den  windschiefen  Flä- 
chen keine,  weil  sie  keine  elliptischen  Punkte  besitzen. 

530.  Irgend  eine  Erümmungslinie  Je  einer  Fläche  zweiten  Gra- 
des F  kann  als  der  Schnitt  derselben  mit  einer  zu  ihr  konfokalen 
Fläche  Pj  angesehen  werden.  Sei  N  ein  Nabelpunkt  der  P,  ^  die 
Normale  der  P  in  N,  und  seien  g  und  h  zwei  durch  N  in  der  Be- 
rührungsebene der  P  auf  einander  senkrecht  gelegte  Gerade,  so  ist 
in  Bezug  auf  F  die  g  die  Polare  der  h,  und  in  Bezug  auf  P^  liegt 
der  Pol  P  der  Ebene  ht  auf  g.  Daher  gehen  die  Polarebenen  des 
Punktes  P  der  g  in  Bezug  auf  P  und  P^  durch  ä,  oder  A  ist  ihre 
Schnittlinie. 

Legt  man  nun  aus  dem  Mittelpunkte  M  und  aus  den  unendlich 
fernen  Punkten  X,  F,  Z  der  Axen  a,  6,  c  der  P  durch  Je  die  dop- 
pelt projicirenden  Kegel  (zweiten  Grades),  im  besonderen  Cylinder, 
so  bilden  P,  P^  und  diese  vier  Kegel  ein  Flächenbüschel  zweiter 
Ordnung,  und  es  sind  in  Bezug  auf  jede  Fläche  dieses  Büschels  P 
und  h,  und  dann  auch  g  und  h  zu  einander  konjugirt.  Denn  legt  man 
durch  Peine  Ebene,  so  schneidet  diese  das  Flächenbüschel  in  einem 
Kegelschnittbüschel,  dessen  Grundpunkte  die  vier  Schnittpunkte  der 
Ebene  mit  Je  sind.  Daher  gehen  die  Polaren  von  P  in  Bezug  auf  alle 
Kurven  des  Kegelschnittbüschels  durch  ein  und  denselben  Punkt  P* 
(I,  397),  und  durch  diesen  müssen  auch  die  Polarebenen  von  P  in 
Bezug  auf  alle  Flächen  des  Flächenbüschels,  also  auch  in  Bezug  auf 
P  und  Pi  gehen,  oder  P'  muß  auf  der  Schnittlinie  h  der  letzteren 
Polarebenen  liegen.  Eine  zweite  Hilfsebene  zeigt,  daß  alle  diese 
Polarebenen  von  P  noch  durch  einen  zweiten  Punkt  von  h,  also 
durch  h  selbst  gehen,  so  daß  P  und  h,  und  daher  auch  g  und  h  in 
Bezug  auf  alle  Flächen  des  Büschels  konjugirt  sind.  Daher  sind  die 
zwei  auf  einander  senkrechten  Strahlen  g  und  h  des  Büschels  N  zu 
einander  konjugirt  auch  in  Bezug  auf  jene  vier  Kegel  M,  X,  F,  Z, 
und  daher  bilden  die  Projektionen  eines  solchen  Strahlenbüschels  N 
aus  einem  dieser  vier  Punkte  auf  irgend  eine  Ebene  eine  Involution 
von  Strahlen,    welche  paarweise  konjugirt  sind   in  Bezug   auf  die 


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XI,  630—531     Die  KrömmuDgslimen  der  Flächen  2.  Grades.  581 

Schnittlinien  der  von  demselben  Punkte  ausgebenden  Eegel  mit  der- 
selben Ebene ;  d.  i.  in  Bezug  auf  die  Projektionen  aller  Erümmungs- 
linien  aus  demselben  Punkte  auf  dieselbe  Ebene. 

531.  Wenden  wir  die  allgemeinere  Bezeichnung  an,  wonach 
M,  X,  Yy  Z  die  vier  Mittelpunkte  M  und  die  vier  Ebenen  je 
dreier  derselben  die  Hauptebenen  H  der  Fläche  F  heißen,  so 
projiciren  sich  aus  jedem  M  die  'vier  Nabelpunkte  N  der  P, 
welche  in  jeder  durch  M  gehenden  H  liegen,  (wegen  der  Symmetrie) 
paarweise  durch  zwei  Gerade,  derart  daß  aus  den  drei  durch  M 
gehenden  H,  sechs  Projektionen  K  von  Nabelpunkten  entstehen, 
also  Punkte  gleicher  Strahleninvolution  für  diejenigen  Kegelschnitte 
Ä',  welche  die  Projektionen  der  Krümmungslinien  To  der  P  sind.  In 
der  dem  M  gegenüberliegenden  Ebene  H  befinden  sich  ebenfalls 
vier  Nabelpunkte  der  P,  nämlich  die  Schnittpunkte  der  P  mit  dem 
Fokalkegelschnitte  dieser  H.  Die  Berührungsebenen  der  P  in  diesen 
Nabelpunkten  gehen  aber  durch  den  Pol  M  der  H,  jene  in  diesen 
Berührungsebenen  liegenden  rechtwinkligen  Involutionen  projiciren 
sich  daher  aus  M  als  vier  Gerade  ^,  deren  jede  demnach  sich  selbst 
konjugirt,  daher  eine  Tangente  eines  jeden  ¥  ist.  Die  sechs  Schnitt- 
punkte der  vier  t  unter  einander  sind  dadurch  Punkte  gleicher 
Strahleninvolution  der  Tc'  und  fallen  mit  den  vorherbezeichneten  N' 
zusammen,  da  zwei  Kegelschnitte  h'  nur  sechs  Punkte  gemeinschaft- 
licher Strahleninvolution  besitzen  (I,  412).     Daraus  folgt  der 

SaU.  Die  Projektionen  V  der  Krümmtmgslinien  Je  einer  Fläche 
zweiten  Grades  P  aus  einem  der  vier  im  verallgemeinerten  Sinne  ver- 
standenen Mittelpunkte  M  der  Y  auf  irgend  eine  Ebene  bilden  eine 
Kegelschnittschaary  die  demjenigen  Vierseit  einbeschrid>en  ist^  dessen  Seiten 
die  Projektionen  der  Berührungsebenen  der  F  in  denjenigen  vieren  ihrer 
Nabelpunkte  sind,  weldie  in  der  jenem  Mittelpunkte  M  gegenüberstehen- 
den Hauptebene  "EL  der  F  liegen,  während  jeder  der  sechs  Uckpunkte  des 
Vierseits  die  Projektion  von  0wei  solchen  Nabelpunkten  der  ¥  ist,  welche 
in  den  drei  durch  M  gehenden  Hauptebenen  B.  der  F  liegen, 

Ist  die  Projektionsebene  parallel  mit  der  Berührungsebene  der 
P  in  einem  und  dann  auch  in  einem  zweiten  Nabelpunkte  N  der  P, 
ohne  durch  den  Projektionsmittelpunkt  zu  gehen,  so  projicirt  sich 
die  rechtwinklige  Involution  konjugirter  Tangenten  in  jedem  N  in  eine 
rechtwinklige  Involution  N'  konjugirter  Strahlen  in  Bezug  auf  die 
Kegelschnittschaar,  oder  jeder  Punkt  N'  ist  ein  gemeinschaftlicher 
Brennpunkt  der  %';  und  die  k'  sind  konfokal,  wenn  beide  N"  getrennt 
sind.  Ist  P  ein  Ellipsoid  oder  ein  elliptisches  Paraboloid,  so  gibt  es 
daher  zwei  Stellungen  von  Ebenen  (parallel  zu  der  Berührungsebene 
der  P  in  einem  der  reellen  Nabelpuukte),   auf  welche  sich  aus  X 


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582  XI,  631—533.    Die  Krümmung  der  Flächen. 

und  Z  die  h  als  eine  Schaar  konfokaler  Kegelschnitte  projiciren,  beim 
elliptischen  Paraboloide  aus  Z  als  Parabeln. 

632,  Aufg,  Die  Schaar  der  Krümmungslinien  einer  Fläche  zwei- 
ten Grades  du/rch  ihre  senkrechten  Projektionen  auf  die  drei  Haupt- 
ebenen und  etwa  noch  durch  eine  Projektion  aw5  dem  Mittelpunkte  der 
Fläche  darzustellen. 

Aufl.  Indem  diese  Projektionen  Kegelschnittschaaren  sind,  kön- 
nen wir  zur  Verzeichnung  derselben  das  Verfahren  der  Hilfskegel- 
schnitte (I,  414  ff.)  oder  das  der  Netze  (I,  425)  anwenden.  In  un- 
serem Falle  verdient  das  erstere  den  Vorzug,  weil  es  gestattet,  von 
der  Schaar  beliebige  einzelne  Kegelschnitte  zu  verzeichnen,  also 
insbesondere  die  verschiedenen  Projektionen  derselben  Krümmungs- 
linien anzugeben,  und  weil  es  die  Scheitel  derselben  liefert,  aus 
denen  die  Zeichnung  leicht  ausgeführt  wird.  Wenden  wir  zunächst 
dieses  Verfahren  an, 
Fig.  212.  1-    Die  Krümmungslinien  des  Ellipsoides.    Es  sollen  wieder  die 

Bezeichnungen  der  Nr.  523  ff.  gelten,  wonach  MÄ  =  a,  MB  =  h, 
MC  =  c  die  Halbaxen,  a>b>  c,  D,  E,  F  Brennpunkte  der  El- 
lipsen J5(7,  (7-4,  AB  sind.  Wir  bestimmen  zunächst  die  vier  reellen 
Nabelpunkte  der  Fläche,  wie  N,  N^-^  sie  liegen  auf  dem  Haupt- 
schnitte ac  und  werden  erhalten  durch  E"N"  =^  A"F".  Die  Tan- 
genten in  den  Nabelpunkten  werden  parallel  zu  je  einem  derjenigen 
Durchmesser  der  Ellipse  A" G"  gezogen,  welche  =  26  sind,  weil  sie 
parallel  zu  den  Kreisschnitten  der  Fläche  laufen.  Dadurch  können 
ebenfalls  die  Punkte,  wie  ^",  bestimmt,  sonst  geprüft  werden,  und 
aus  ihnen  ergeben  sich  dann  ihre  Projektionen  1^',  ^/;  'N"\  Nj^". 

6S3,  Die  Kegelschnittschaar  der  Projektionen  der  Krümmungs- 
linien  auf  die  HoAjiptebene  ac  ist  dem  Vier  seit  der  vier  (reellen)  Tan- 
genten des  Hauptschnittes  ac  in  den  Nabelpunkten  N  eingeschrie- 
ben. Dieses  Vierseit  ist  ein  Rhombus;  und  sein  und  der  Kurven- 
schaar  zugehöriges  Polardreiseit  ist  aus  den  Axen  a,  c  und  der 
unendlich  fernen  Geraden  gebildet.  Sind  G  und  H  Eckpunkte  des 
Rhombus  auf  der  a  bezw.  der  c,  so  sind  sie  auch  Scheitel  des  zu 
benutzenden  Hilfskegelschnittes  (I,  418),  einer  Ellipse,  von  welcher 
der  Quadrant  GH  verzeichnet  ist.  Fällt  man  von  irgend  einem 
Punkte  J  der  Ellipse  GH  Senkrechte  auf  a"  und  auf  c",  so  sind 
deren  Fußpunkte  K'\  L"  Scheitel  der  Projektion  einer  Kurve  der 
Schaar,  hier  einer  Ellipse,  welche  dadurch  bestimmt  ist 

Die  beiden  anderen  Hilfskegelschnitte  sind  die  in  der  Figur 
angedeuteten  zu  der  Ellipse  in  Bezug  auf  X  bezw.  Z  konjugirten 
Hyperbeln  und  können  entbehrt  werden,  weil  nur  die  im  endlichen 
Rhombus  eingeschriebenen  Kegelschnitte  Krümmungslinien   des  El- 


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X],  533—534.   Die  KrümmungMÜDien  der  Flächen  2.  Grades. 


583 


lipsoides  darstellen.  Die  drei  Paare  von  Gegenecken  des  Vierseits, 
also  zwei  Punkte  G,  zwei  H,  zwei  unendlich  ferne^  sind  die  sechs 
reellen  Projektionen  von  je  zwei  konjugirten  imaginären  Nabel- 
punkten der  Flache,  woraus  sich  ergibt,  daß  die  zwölf  imaginären 
Nabelpunkte  paarweise  auf  reellen  mit  der  Axe  h  parallelen  Geraden 
liegen.  Es  folgt  daraus,  daß  in  den  Projektionen  auf  die  anderen 
Hauptebenen  die  umschriebenen  Vierecke  nur  zwei  reelle  Eckpunkte 
besitzen,  welche  die  Projektionen  der  vier  reellen  Nabelpunkte  N  sind. 


Fig.  212. 


-^/     ..I        ^  "*V  '      ^■ 


634,  In  der  Projektion  auf  die  Hauptebene  ah  sind  die  Seiten 
des  umschriebenen  Vierseits  imaginär,  und  N\  N^  sind  die  beiden 
einzigen  reellen  Mittelpunkte  der  involutorischen  Strahlenbüschel. 
Es  tritt  also  der  Fall  von  I,  414  ff.  ein.  Weil  diese  Büschel  die 
Projektionen  rechtwinklig  involutorischer  Strahlenbüschel  in  den 
Nabelpunkten  sind,  sind  den  in  N'N^'  vereinigten  Strahlen  die  zu  ihnen 


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584  XI,  534—536.    Die  Erammimg  der  Flächen. 

senkrechten  Strahlen  konjugirt.,  und  der  unendlich  ferne  Punkt  Y  ist 
der  Pol  der  N'N^'  oder  der  a.  Sodann  müssen  wir  das  Paar  der- 
jenigen zugeordneten  Strahlen  der  Involutionen  N'  suchen,  welche 
durch  N'Ni  und  den  ihm  zugeordneten  und  auf  ihm  senkrechten 
Strahl  N'T  harmonisch  getrennt  sind,  welche  also  gleiche  Winkel 
mit  diesen  beiden  bilden.  Es  sind  dies  die  Projektionen  derjenigen 
konjugirten  Tangenten  im  Nabelpunkte  N,  welche  mit  der  Haupt- 
ebene  ac  Winkel  von  45**  bilden;  und  es  leuchtet  ein,  daß  die 
erste  Projektion  N'P  des  einen  derselben  die  6Axe  in  dem  Punkte 
P  schneidet,  wenn  M'P^^  N"H  gemacht  wird.  Dann  ist  auch 
Ni'P  ein  solcher  Strahl  aus  N^']  und  das  Vierseit  der  vier  derartigen 
Strahlen  ist  offenbar  der  Rhombus,  welcher  JV,  N^,  P  zu  Ecken 
hat  Die  Punkte  N\  N^  sind  dann  reelle  Scheitel  eines  jeden  der 
beiden  Hilfskegelschnitte,  während  die  beiden  Punkte,  wie  P,  reelle 
des  einen  (der  Ellipse)  und  ideelle  des  andern  (der  Hyperbel)  sind 
(1,416). 

Fällt  man  nun  von  einem  Punkte  Q  der  Hilfsellipse  Senkrechte 
auf  a'  und  6',  so  ist  der  Fußpunkt  R'  der  ersteren  ein  reeller,  der- 
jenige S'  der  letzteren  ein  ideeller  Scheitel  einer  Hyperbel  der 
Schaar;  und  ebenso  liefert  jeder  Punkt  der  Hilfshyperbel  reelle 
Scheitel  einer  Ellipse  der  Schaar. 

Ganz  entsprechend  verfahrt  man  in  der  dritten  Projektion^  in 
der  man  auf  der  6Axe  M'"T=N"G  aufträgt.  N"'  ist  dann  ein 
reeller  Scheitel  eines  jeden  der  beiden  Hilfskegelschnitte,  und  T  ist 
ein  reeller  der  Ellipse  und  ein  ideeller  der  Hyperbel. 

636,  Um  eine  gleichmäßige  Verteilung  der  Erümmungslinien 
zu  erhalten,  teile  man  einen  Quadranten  Ä'B'  des  Hauptschnittes  ab 
in  eine  Anzahl,  etwa  vier,  nahezu  gleicher  Teile,  projicire  die  Tei- 
lungspunkte, wie  K\  in  die  zweite  und  dritte  Hauptebene  nach  K" 
bezw.  K*",  bestimme  aus  diesen  Scheiteln  vermittelst  der  Hilfskegel- 
schnitte die  anderen  Scheitel  der  Kegelschnitte  der  Schaar  und  ver- 
zeichne sie  dann.  Aus  der  zweiten  Projektion  einer  Kurve  ei^bt 
sich  ihr  Schnittpunkt  R"  mit  dem  Hauptschnitte  A"C'\  aus  diesem 
der  Scheitel  R*  der  ersten  Projektion,  woraus  durch  die  Hilfsellipse 
der  ideelle  Scheitel  S'  und  die  erste  Projektion  der  Kurve  folgen. 
Die  dritte  Projektion  läßt  sich  dann  aus  den  reellen  Scheiteln  K"\ 
R'"  verzeichnen. 

Außerdem  teile  man  den  Quadranten  B"'C'"  in  vier  nahezu 
gleiche  Teile  und  verfahre  entsprechend.  —  Man  erhält  so  im  Ganzen 
außer  den  Hauptschnitten  sechs  Krümmungslinien. 

636,     2.  Die  Krümmungslinien  des  einschaligen  Hyperboloides. 

Aufi,    Da  die  Fläche  keine  reellen  Nabelpunkte  besitzt,  so  ist 


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XI,  536.    Die  Erämmungslinien  der  Flachen  2.  Grades.  585 

das  vorhergehende  Verfahren  nicht  anwendbar.  Wir  bestimmen  nun 
in  jeder  der  vier  Hauptebenen,  zu  denen  wir  in  erweitertem  Sinne 
die  unendlich  ferne  Ebene  rechnen,  die  vier  imaginären  Nabel- 
punkte der  Fläche  als  Schnittpunkte  des  Hauptschnittes  und  des 
Fokalkegelschnittes,  welche  unter  einander  konfokal  sind,  nach 
Nr.  525,  Formel  (3).  Die  Tangenten  des  Hauptschnittes  in  diesen 
vier  Punkten  bilden  dann  das  (imaginäre)  Vierseit,  welches  der 
Kegelschnittschaar  der  Projektionen  der  Krümmungslinien  auf  diese 
Hauptebene  umschrieben  ist.  Andererseits  werden  aber  jene  vier 
Nabelpunkte  aus  jedem  der  drei  in  ihrer  Ebene  liegenden  Mittel- 
punkte der  Fläche  auf  die  diesem  Punkte  gegenüberliegende  Haupt- 
ebene projicirt,  und  da  eine  solche  Projicirende  wegen  der  Sym- 
metrie der  Punkte  durch  zwei  derselben  geht,  werden  diese  vier 
Punkte  durch  je  zwei  Strahlen,  einmal  durch  reelle,  und  zweimal 
durch  imaginäre,  die  aber  durch  ideelle  dargestellt  werden  sollen, 
projicirt  Von  jedem  der  vier  Mittelpunkte  gehen  drei  solche  Ge- 
radenpaare aus  und  bestimmen  auf  der  gegenüberliegenden  Haupt- 
ebene die  drei  Paare  von  Gegenecken  des  genannten  umschriebenen 
Vierseits,  von  denen  ein  Paar  reell,  die  beiden  anderen  imaginär 
sind,  und  ideell  dargestellt  werden.  Dabei  soll  die  unendlich  ferne 
Hauptebene  durch  ihre  Projektion  aus  M  auf  eine  parallel  zur 
Hauptebene  a  b  durch  den  ideellen  Scheitel  C  gelegte  Ebene  U  dar- 
gestellt werden,  wobei  die  Ebenen  ac,  bc  sich  bezw.  in  M^^X^^ 
=  a^^  M'^Y'^  =  6'^  projiciren. 

In  der  Hauptebene  ab  liegt  als  Hauptschnitt  die  Ellipse  A'JB'  Fig.  «i». 
und  die  nicht  verzeichnete  Fokalellipse  E'D\   so  daß  wir  in  den 
Formeln  (3)  der  Nr.  525  zu  setzen  haben: 

a  =  M'A',    b  =  M'B\    a,  =  ME\    b,  =  M'D\    f=Mr, 

(wobei  F'D'  =  M'E'),  Wir  erhalten  dann  aus  diesen  Formeln, 
und  durch  Konstruktionen  in  der  Figur,  die  sich  denen  in  den  Figu- 
ren 210  und  211  anschließen,  unter  Weglassung  der  doppelten  Vor- 
zeichen, 

y  =  itp==i,H,H^  =  i,  M"H, 

wobei  2^5,  =  M!D\  Projicirt  man  die  hierdurch  bestimmten  vier 
Nabelpunkte  der  Ebene  ab  paarweise  1)  aus  dem  unendlich  fernen 
Mittelpunkte  X  der  Fläche  auf  die  Hauptebene  &c,  so  erhält  man 
zwei  imaginäre  Punkte,  welche  durch  zwei  ideelle,  wie  H  dargestellt 
sind;  2)  aus  Y  auf  die  Ebene  ac,  so  erhält  man  zwei  reelle  Punkte, 


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586 


XI,  536.    Die  Krümmung  der  Flächen. 


wie  ö";  3)  aus  M  auf  die  unendlich  ferne  Ebene,  so  geschieht 
dies  durch  zwei  imaginäre  Strahlen,  welche  mit  der  a;Axe  die  Winkel 
a  bilden,  bestimmt  durch  tga=  4:y'^  =  lt*-  ^"  S\  M!'G'\ 
deren  ideelle  Darstellungen  mit  x  die  reellen  Winkel  a  bilden,  be- 
stimmt durch  tg  a' »=  +  M'"  H:  M"G'\  Ihre  Schnittpunkte  mit 
der  unendlich  fernen  Ebene  werden  durch  dieselben  Strahlen  ans  M 
auf  die  Ebene  U  projicirt;  und  da  sie  mit  dieser  parallel  sind,  ge- 
schieht es  in  unendlich  ferne  Punkte,  deren  einer  durch  den  Strahl 
M'^'O^  dargestellt  ist,  wenn  Abst.  O^a^^  ==  M"' H  und  Abst  0^,1'"' 

==M"G"  ist. 

Fig.  213. 


Die  in  der  Hauptehene  ac  liegenden  Nabelpunkte  sind  die  Schnitt- 
punkte der  Hyperbel  A" C"  des  Hauptschnittes  mit  der  nicht  ver- 
zeichneten Fokalhyperbel,  von  der  ein  Scheitel  F"  und  ein  Brenn- 
punkt E"  ist.  Man  setzt  daher  in  jenen  Formeln  (525,  (3)):  a  = 
M"Ä'\  h  =  i.  M"C'\  a,  =  M''F ',  h,  =  i.  M" H  (wobei  M" H 
=  MD'  und  r'H=M''E"),  f=M'E'\  und  erhält 


x  =  ^=^J,J^  =  M'J, 


wobei  C'V,  =  M"r\ 


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XI,  536.   Die  Krümmungslinieu  der  Flächen  2.  Grades.  587 

wobei  A"K,  =  Jf'if;  und  tg  «  =  i .  M'^'K:  M' J . 

Diese  so  bestioimten  vier  Nabelpunkte  projiciren  sieh  1)  aus 
X  auf  die  Hauptebene  hc  in  zwei  imaginäre  Punkte,  die  durch  zwei 
ideelle,  wie  JK",  dargestellt  sind;  2)  aus  Z  auf  a6  in  zwei  reelle 
Punkte,  wie  J\  3)  aus  M  auf  die  Ebene  U,  welche  die  unendlich 
ferne  Ebene  darstellt,  in  zwei  imaginäre  Punkte  der  a^^y  welche 
durch  zwei  ideelle  dargestellt  sind,  deren  einer  0^  bestimmt  ist  und 
konstruirt   wurde   durch   M'^0^  =  c  (M'J:  M'"K)  =  M"  C' {M'J 

In  der  Hauptehme  hc  liegt  als  Hauptschnitt  die  Hyperbel  mit 
dem  reellen  Scheitel  J5"'  und  dem  ideellen  C",  und  der  imaginäre 
Fokalkegelschnitt,  welcher  D'"  zu  einem  reellen  Brennpunkte  hat, 
zu  ideellen  Scheiteln  aber  auf  der  bAxe  die  ideellen  Brennpunkte 
der  Ellipse  AB  auf  dieser  Axe,  deren  einer  F^  ist,  wenn  M'" F^ 
=  M'F'y  und  entsprechend  auf  der  cAxe  den  Punkt  E^y  wenn 
M'"E^  =  Jf'JB".  Man  setze  daher  in  jenen  Formeln  (525,  (3)) 
a  =  M'"B'",  b  =  i.  M"C'\  a,  =  i .  M'"F^ ,  l,  =  i .  M"'E, , 
f=M'*'D'"\  dann  wird 

i  .  L^L^  =  i .  M Ly 


wobei  B'"P,  =  M"'E, ;  und  tg  a  =  M"P :  M'L . 

Die  so  bestimmten  vier  Nabelpunkte  projiciren  sich  1)  aus  Y 
auf  ac  in  zwei  imaginäre  Punkte,  von  deren  ideellen  Darstellungen 
P  einer  ist;  2)  aus  Z  auf  ab  in  zwei  imaginäre  Punkte,  von  deren 
ideellen  Darstellungen  L  einer  ist;  3)  in  die  Ebene  U,  welche  die 
unendlich  ferne  Ebene  darstellt,  in  zwei  reelle  Punkte,  wie  0^,  be- 
stimmt und  zu  konstruiren  durch  M^^O^ «-»  Hf'C"  {M' L  :  M"P). 

In  der  unendlich  fernen  Hat^tebene  liegt  ein  Kegelschnitt  der 
Fläche  und  ein  Fokalkegelschnitt,  der  unendlich  ferne  Kugelkreis, 
welche  beide  konfokal  sind.  Ihre  vier  Schnittpunkte  bestimmen  wir 
vermittelst  der  Projektionen  der  Kurven  aus  M  auf  die  Ebene  U 
durch  deren  vier  Schnittpunkte  0.  Der  unendlich  ferne  Kegelschnitt 
der  Fläche  wird  durch  ihren  Asymptotenkegel  in  eine  zw  AB  kon- 
gruente und  parallele  Ellipse  A^^B^^  projicirt;  von  jenem  imagi- 
närei)  Kugelkreise  ist  die  Projektion  ein  mit  dieser  Ellipse  koncen- 
trischer  imaginärer  Kreis  vom  Halbmesser  c;   diese  beiden  Projek- 


X  = 

f 

wobei  C'Li 

= 

M"'I\, 

y^i 

bb, 
f 

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588  XI,  536—537.    Die  Krümmung  der  Flächen. 

tionen  der  uneudlich  fernen  konfokalen  Kegelschnitte  sind  aber  nicht 
konfokal.  Man  könnte  die  ideelle  Darstellung  der  vier  imaginären 
Schnittpunkte  0  beider  Projektionen  mittelst  konjugirter  Kegel- 
schnitte konstruiren;  einfacher  ist  aber  die  Benutzung  ihrer  Glei- 
chungen. Dieselben  sind,  wenn  a  p=  M*Ä\  h  =^  M'B\  c  =  i.M"C\ 


C     ■    C 


Aus  denselben  erhält  man 


5»  — a«     >  y    —      a»  — 6"^ 


x  =  t j ,  y=- 

wobei  /'=  M'F'.     Man  erhält  dann 

x^i.M'N'^i.M'N,, 
wenn  A'N,  \\  F'D^  da  Jlf' D'=  ilf'"2)"'=  JS'"C"', 

y  =  M'Z\ 
wenn  E' Z'  \\  FB\  da  ME'  =  ^"C";  und  tg  «  =  i .  M' Z' :  M'N\ 

Die  vier  Nabelpunkte  der  unendlich  fernen  Ebene  werden  also 
durch  die  Strahlen  aus  M  in  die  soeben  bestimmten  vier  Punkte 
0  der  Ebene  U  projicirt;  und  ihre  Projektionen  aus  X,  Y,  Z  auf 
die  bezw.  gegenüberliegenden  Hauptebenen  sind  unendlich  ferne 
Punkte  dieser  Ebenen,  welche  durch  die  Projektionen  jener  aus  M 
nach  ihnen  gerichteten  Strahlen  auf  die  Hauptebenen  bezw.  aus  X, 
Y,  Z  bestimmt  sind.  1)  In  a&  erhält'  man  zwei  imaginäre  Strahlen, 
dargestellt  durch  zwei  ideelle,  wie  MO',  wenn  0'  durch  seine  Koor- 
dinaten M'  If,  M'Z'  festgelegt  ist;  2)  in  ac  liegen  die  Projektionen 
der  Punkte  0  auf  der  CO"  (i|a");  sie  sind  imaginär,  und  ideell 
dargestellt  durch  zwei  Punkte,  wie  0",  wenn  (7"0"  =  Jlf' JT;  die 
imaginären  Strahlen  sind  dann  durch  zwei  ideelle,  wie  M"0"  dar- 
gestellt; 3)  in  hc  liegen  die  Punkte,  wie  0'",  auf  C'"0'"  (||6'"),  und 
die  Strahlen,  wie  M'"0"'  sind  reell,  bestimmt  durch  C'"0'"  =- 
MZ'. 

637.  Die  so  in  jeder  der  vier  Hauptebenen  bestimmten  sechs 
Punkte,  welche  die  Projektionen  der  zwölf  nicht  in  dieser  Haupt- 
ebene liegenden  (imaginären)  Nabdpmücte  der  Fläche  sind,  bilden 
die  Ecken  des  der  Kegelschnittschaar  der  Projektionen  der  Krüm- 
mungslinien umschriAenen  Viersäts  und  die  sechs  Scheitel  eines  jeden 
der  drei  HilfskegelschniUe;  dieselben  sollen  nun  verzeichnet  werden. 

In  der  Ebene  ah  sind  von  den  sechs  Punkten  zwei  reell,  wie  J, 
zwei  imaginär,   dargestellt    durch  zwei  ideelle,    wie  L,    und  zwei 


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XI,  637—638.   Die  Erümmangslinien  der  Flächen  2.  Grades.         589 

imaginär  und  unendlich  fern,  dargestellt  durch  die  ideellen  Strahlen, 
wie  M'0\  Von  den  drei  Hilfskegelschnitten  sind  nur  diejenigen  bei- 
den JL,  eT'O' gezeichnet,  welche  durch  die  reellen  ScheitelJ"  gehen ; 
der  dritte,  L0\  welcher  die  imaginären  Kegelschnitte  der  Schaar 
bestimmen  würde,  ist  weggelassen,  ebenso  wie  die  ideelle  Darstel- 
lung dieser  imaginären  Kegelschnitte.  Jeder  der  drei  Hilfskegel- 
schnitte hat  vier  von  den  sechs  Scheiteln  zu  reellen,  zwei  zu  ideellen 
Scheiteln.  Es  besteht  die  Probe,  daß  JL  und  Jf'O'  gleich  geneigt 
gegen  x  sind,  oder  JL  ||  N'Z\  —  In  der  Ebene  ac  sind  von  den  sechs 
Punkten  zwei  reell,  wie  G'\  zwei  imaginär,  dargestellt  durch  ideelle, 
wie  P,  zwei  imaginär  und  unendlich  fern,  dargestellt  durch  ideelle 
Strahlen,  wieJIf'O".  Es  sind  nur  die  zwei  Hilfskegelschnitte  6r"P, 
CO"  gezeichnet  und  benutzt,  und  es  besteht  die  Probe  N"C''\\ 
G" P.  —  In  der  Ebene  bc  sind  von  den  sechs  Punkten  zwei  reell  und 
unendlich  fern  aufstrahlen,  wie -Sf'O"',  zwei  imaginär,  dargestellt 
durch  ideelle,  wie  -ff,  zwei  imaginär,  dargestellt  durch  ideelle,  wie  K 
Es  sind  nur  die  beiden  Hilfskegelschnitte  0'" Hy  0'"K  verzeichnet, 
und  man  hat  die  Probe,  M!"  0'"  und  HK  gleich  geneigt  gegen  y.  — 
In  der  Projektion  der  unendlich  fernen  Ebene  auf  die  Ebene  U  sind 
von  den  sechs  Punkten  zwei  reell,  wie  0^,  zwei  imaginär,  dargestellt 
durch  ideelle,  wie  0^,  zwei  imaginär  und  unendlich  fern,  dargestellt 
durch  ideelle  Strahlen,  wie  M"'0^,  Es  sind  nur  die  beiden  Hilfs- 
kegelschnitte 0^0^,  O1O3  verzeichnet,  und  man  hat  die  Probe,  M^^O^ 
und  O^Oi  gleich  geneigt  gegen  x, 

638.  Zur  Verzeichnung  der  reellen  Kurven  der  Kegelschnitt- 
schaaren  beachten  wir,  daß  wir  nach  I,  415  f.  diejenigen  beiden 
Hilfskegelschnitte  zu  benutzen  haben,  welche  durch  die  beiden  reel- 
len Ecken  des  umschriebenen  Vierseits  gehen,  also  hier  durch  die 
reellen  Scheitel,  wie  J  in  a6,  G"  in  ac,  unendlich  ferner  Punkt  der 
M'"0"'  in  6c,  Ol  in  U.  Diese  Hilfskegelschnitte  haben  wir  auch 
nur  verzeichnet.  Die  Kurven  der  Schaaren  haben  dann  reelle  Scheitel 
auf  den  Axen,  welche  durch  jene  reellen  Ecken  gehen,  also  auf  a 
in  a&,  a"  in  ac,  auf  der  unendlich  fernen  Geraden  in  bc,  auf  b^^ 
in  U.  Ihre  anderen  reellen  Scheitel  liegen  auf  denjenigen  Axen,  auf 
welchen  ein  imaginärer  Scheitel  des  benutzten  Hilfskegelschnittes 
liegt,  80  der  reelle  Scheitel  W  der  Kurve  VW  einer  Schaar  auf 
der  Axe  &',  auf  welcher  der  imaginäre  Scheitel  der  benutzten  Hilfs- 
hyperbel JO'  liegt  u.  s.  w. 

Um  nun  die  Kriimmungslinien  gleichförmig  anzuordnen,  teile 
man  einen  Quadranten  A'B'  des  Hmtptschnittes  ab  in  eine  Anzahl 
(vier)  nahezu  gleicher  Teile;  Q'  sei  ein  Teilungspunkt.  Projicirt 
man  Q  ans  Y  auf  die  Ebene  ac  in  Q'\  beachtet,   daß  Q"  mit  A'' 


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590  XI,  538-639.    Die  Krammung  der  Piachen. 

auf  derselben  (endlichen)  Strecke  zwischen  denselben  reellen  Vier- 
seitsecken,  wie  G'\  liegt,  daß  also  nach  I,  415,  die  durch  Q"  und  die 
durch  A''  gehende  Kurve  dieselbe  Hilfskurve  gebrauchen,  daß  diese 
G"P  ist,  weil  ihr  reeller  Scheitel  P  auf  derselben  Axe  c'  liegt,  wie 
der  imaginäre  der  durch  A''  gehenden  (des  Hauptschnittes),  so  hat 
man  nur  die  Q"Z''  (j|c")  mit  dem  Hilfskegelschnitte  Gr"P  in  2J  zu 
schneiden,  um  in  M''R  eine  Asymptote  der  durch  Q"  gehenden 
(hyperbolischen)  Projektion  der  Erümmungslinie  zu  erhalten. 

Projicirt  man  ebenso  den  Punkt  Q  aus  X  auf  bc  in  Q"'  und 
schneidet  die  Q"'Z'''  (||c'")  mit  dem  Hilfskegelschnitte  KO'''  in  S, 
so  ist  M'"S  die  Asymptote  der  (hyperbolischen)  durch  Q  gehenden 
Kurve  der  Schaar.  Projicirt  man  endlich  Q  aus  M  auf  die  Dar- 
stellungsfläche U  der  unendlich  fernen  Ebene  in  den  unendlich  fer- 
nen Punkt  der  Geraden  M^^Q^^,  so  ist-Sf^^^^''  die  Asymptote  der 
vierten  (hyperbolischen)  Projektion  der  Krümmungslinie.  Ihr  reeller 
Scheitel  auf  üf^^B^^  und  ihr  ideeller  B.ui  M^^A^^  werden  durch  den 
Schnittpunkt  derüf^^^^^  mit  dem  Hilfskegelschnitte  0, 0^  erhalteo. 
Um  endlich  die  erste  Projektion  unserer  (durch  Q'  gehenden)  Kröm- 
mungslinie  zu  zeichnen,  bestimmt  man  die  erste  Projektion  M'T 
einer  ihrer  Asymptoten  {M''R,  M'"  S)  vermittelst  der  zweiten  und 
dritten  Projektionen  T",  T"  eines  Punktes  T  derselben  (Abst.  T'a" 
=  Abst.  jP'"6'").  Sie  schneidet  den  Hilfskegelschnitt  JL  in  ü,, 
woraus  sich  der  reelle  Scheitel  ü  ergibt. 

Entsprechend  trage  man  in  dem  HauptschniUe  ac  von  A''  aus 
nahezu  gleiche  Teile  weiter;  F"  sei  ein  Teilungspunkt.  Projicirt 
man  V  aus  Z  auf  ah  in  F',  schneidet  die  F'  Y'  (||&')  mit  dem  Hilfs- 
kegelschnitte JO',  und  projicirt  den  Schnittpunkt  auf  &'  in  W,  so 
sind  F',  W  die  Scheitel  der  ersten  (elliptischen)  Projektion  einer 
Krümmungslinie.  Projicirt  man  F  aus  X  auf  6  c  in  V",  zieht 
r"r"  (il6'")  bis  Y  auf  dem  Hilfskegelschnitte  fl^O%  so  ist  M'^'Y 
die  Asymptote  der  dritten  (hyperbolischen)  Projektion  der  Krüm- 
mungslinie. Projicirt  man  endlich  F  aus  M  auf  die  Ebene  der  vier- 
ten Projektion  nach  F^  {M^^  V^  =  C"  Fg),  so  ist  dies  der  eine  Scheitel 
der  vierten  (elliptischen)  Projektion  der  Krümmungslinie;  und  zieht 
man  F,  Y^^  {\\b^^)  bis  F^  auf  dem  Hilfskegelschnitte  0^0^^,  so  ergibt 
sich  aus  Fg  der  andere  Scheitel  F4.  Die  unendlich  ferne  Krüm- 
mungslinie derselben  Art  hat  die  mit  dem  Hauptschnitte  ae  kon- 
gruente Ellipse  A^^B^^  zur  vierten  Projektion. 

539.  Wir  wollen  noch  auf  die  Vermchmmg  der  Prqjektianen  der 
ErümmungsUnien  der  Flächen  eweiten  Grades  (mf  eine  Haupid)ene  der 
Fläche  das  Verfahren  der  Netze  anwenden  (I,  425  fF.),  und  zwar  wol- 
len wir  die  Projektionen  derselben  für  das  EUipsoid  und  das  ewd- 


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XI,  539.    Die  Erümmnngslinien  der  Flächen  2.  Grades. 


591 


schalige  Hyperboloid  auf  die  Hauptebene  ac  darstellen ,  wo  sie  sich  Fig.  214. 
als  die  Schaar  der  Kegelschnitte  zeigen,  welche  dem  reellen  Rhom- 
bus eingeschrieben  sind,  der  von  den  Tangenten  des  Hauptschnittes 
ac  in  den  Nabelpunkten   der  Fläche   gebildet   wird.     Sei  DEFG 

Fig.  214. 


dieser  Rhombus,  so  erfüllt  die  Kegelschnittschaar  den  endlichen 
Rhombus  und  diejenigen  beiden  unendlichen,  welche  durch  die  beiden 
Scheitelwinkel  je  zweier  gegenüberstehenden  Winkel  des  Rhombus 
gebildet  werden,  während  die  vier  Parallelstreifen  frei  bleiben.  Be- 
schreibt man  nun  (I,  442)  über  der  (größeren)  Diagonale  DF  des 
Rhombus  als  Durchmesser  einen  Halbkreis,  teilt  denselben  in  eine 
gerade  Anzahl  (sechs)  gleicher  Teile,  projicirt  die  Teilungspunkte 
senkrecht  auf  den  Durchmesser  DFy  und  zieht  durch  die  Projektio- 
nen die  zwei  Schaaren  von  Parallelen  zu  den  Seiten  des  Rhombus, 
so  sind  die  Schnittpunkte  der  beiderlei  Parallelen  Punkte  der  Kur- 
ven, wobei  stets  zwei  Punkte  verbunden  werden,  welche  Gegenecken 
eines  der  durch  benachbarte  Parallele  gebildeten  Parallelogramms 
sind.  Die  abwechselnd  fehlenden  Scheitel  der  Kurven  erhält  man 
auf  den  Diagonalen  durch  nochmalige  Halbirung  der  Kreisteile. 
Projicirt  man  nun  die  entstandene  Teilung  der  Seiten  des  endlichen 
Rhombus  auf  die  der  unendlichen  Rhomben,  indem  man  z.  B.  die 
Teilung  von  DE  aus  F  auf  die  Strecke  der  DG  von  D  bis  ins 
Unendliche  projicirt,   so  kann   man  durch  diese  Teilungspunkte  in 


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592  XI,  639—640.    Die  Krümmung  der  Flächen. 

den  unendlichen  Rhomben  leicht  die  bestimmenden  Strahlen  ziehen, 
z.  B.  in  demjenigen  der  Winkel  D  und  F  die  Strahlen  aus  E  und  6. 
Die  Kegelschnitte  .werden  dann  in  der  angegebenen  Weise  einge- 
zeichnet. 

640.  Die  Kurven  im  endlichen  Rhombus  stellen  die  Krüm- 
mungslinien eines  jeden  Ellipsoides  dar,  dessen  Hauptschnitt  ac 
eine  dieser  Ellipsen  ist.  Die  2»Axe  des  Ellipsoides  ist  gleich  dem 
mit  einer  Rhombusseite  parallelen  Durchmesser  des  Hauptschnittes 
a  c  (532).  Die  Kurven  in  jedem  der  beiden  unendlichen  Rhomben, 
des  DF  und  des  EGj  stellen  ebenso  die  Krümmungslinien  eines 
zweischaligen  Hyperboloides  dar,  dessen  Hauptschnitt  ac  einer  der 
in  den  Rhombus  eingeschriebenen  Hyperbeln  ist  Jeder  der  unend- 
lichen Rhomben  mit  seinen  eingeschriebenen  Kurven^  so  derjenige 
DFy  befindet  sich  in  perspektiver  involutorischer  KoUineation  (1, 312) 
mit  dem  endlichen  Rhombus  und  mit  seinen  eingeschriebenen  Ellipsen, 
wobei  F  (oder  D)  der  Mittelpunkt  und  die  durch  D  (oder  F)  ge- 
zogene Senkrechte  zu  FD  die  Axe  der  Kollineation  sind,  und  wobei 
EG  und  die  unendlich  ferne  Gerade  sich  doppelt  entsprechen.  Da- 
her sind  die  Asymptoten  der  eingeschriebenen  Hyperbel  parallel  zu 
den  aus  F  nach  den  Ellipsenscheiteln  in  EO  gezogenen  Geraden. 
Die  ideelle,  auf  der  Zeichenfläche  {ac)  senkrechte  &Axe  eines  der 
zweischaligen  Hyperboloide  findet  man  unter  Beachtung,  daß  die 
Rhombusseiten  die  Fläche  in  Nabelpunkten  berühren,  durch  Be- 
stimmung des  Asymptotenkegels  nach  dem  umgekehrten  Verfahren 
der  Nr.  67  aus  seinen  Erzeugenden  in  der  Hauptebene  ac  und  aus 
der  mit  h  und  mit  einer  Rhombusseite  parallelen  Lage  seiner  Kreis- 
schnitte. 

Aus  den  gezeichneten  Projektionen  der  Krümmungslinien  auf 
die  Hauptebene  ac  lassen  sich  die  auf  die  anderen  Hauptebenen  ab- 
leiten. Man  kann  diese  anderen  Projektionen  ebenfalls  aus  Netzen 
konstruiren  (I,  439);  es  gehören  aber  dann  die  Kegelschnitte  der 
verschiedenen  Schaaren  nicht  als  die  verschiedenen  Projektionen  der- 
selben Krümmungslinien  zu  einander. 

Übungsaufg.  Die  Projektionen  der  Krümtnungslinien  des  eUiptP- 
sehen  und  des  hyperbolischen  Parabohides  auf  ihre  Hauptebenen  nach 
einer  der  drei  angegebenen  Verfahren  zu  konstruiren. 


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XII.  Abschnitt 

Axonometrische  und  schiefe  Projektion,  Perspektive  und 
Reliefperspektive  krummer  Flächen. 

I.    Axonometrie. 

541.  Wir  wollen  eine  Anzahl  der  ih  der  Überschrift  bezeich- 
neten Aufgaben  in  einer  durch  das  Bedürfnis  der  Technik  und 
Kunst  bestimmten  Auswahl  lösen. 

Aufg.  Die  axionometriscJie  Projektion  *)  eines  auf  die  Grundriß- 
ebene Pi  aufgestellten  geraden  Kreiscylinders  mit  seinen  Schatten  bei 
Parallelbeleuchtung  zu  bestimmen, 

Aufl,  Es  sei  von  dem  durch  die  Axen  x,  y,  z  gebildeten  Asjcen-  p»g  215 
hreuze  0  die  Abbildung  (Fig.  a)  nach  I,  507  gegeben,  jedoch  in 
etwas  mehr  zusammengedrängter  Weise  mit  alleiniger  Angabe  der 
Axe  z  und  der  Axenebene  xy  ==  Pj  und  ohne  Bezeichnung  der 
Axen  X,  y  in  P^.  Dabei  sei  die  projicirende  Ebene  von  z  samt 
z  und  samt  ihrer  Schnittlinie  mit  Pj  in  die  Bildebene  P  in  den 
rechten  Winkel  CO''C"  umgelegt,  und  daraus  0'  auf  z  durch 
0"0'J^z  bestimmt;  ferner  sei  durch  den  Schnittpunkt  C"  von 
0"C"  mit  z  die  Spur  c  der  Pj  (_L  z)  gezeichnet  und  die  P^  um  c 
in  P  umgelegt,  wobei  0  nach  Oj  in  z  gelangt  {CO^  =  C"0''), 


*)  Anfgaben  über  die  axonometrische  Projektion  des  Kreises,  des  üm- 
drehoDgcylinders,  des  ümdrehnngskegels  and  der  Kugel,  sowie  ihrer  Schatten 
bat  Herr  Pelz  in  seinen  Abhandinngen  „Zur  wiBsenschaftlichen  Behandlung 
der  orthogonalen  Axonometrie**  (Sitsungsber.  d  Akad.  d.  Wiss.  in  Wien,  B.  40, 
Abt.  2,  1884)  und  „Beiti'äge  zur  wiss.  Beb.  d.  orth.  Axon.<*  (Sitzungsber.  d.  k. 
b5hm.Gesellsch.d.Wi8s.  in  Prag,  1886)  in  sinnreicher  Weise  auf  alleiniger  Grund- 
lage der  gegebenen  Richtung  der  Koordinatenaxen  (der  Linien  des  Axenkrenzes) 
bestimmt  und  dabei  unmittelbar  die  Axen  der  vorkommenden  Ellipsen  gesucht. 
Bei  einem  Teile  der  oben  gegebenen  Auflösungen  sind  auch  die  sehr  fördern- 
den Richtungsmaße  benutzt,  die  man  bei  vereinzeltem  Gebrauche  einfach  am 
Axenkreuze  bestimmt,  bei  häufigem  aber  aus  besonderen  Maßstäben  entnimmt, 
welche  man  zweckmäßig  an  einem  Strahlenmaßstabe  bildet.  Auch  habe  ich 
wegen  der  einfacheren  Erörterungen  vorgezogen,  von  den  Ellipsen  konjugirte 
Durchmesser  und  ans  diesen  die  Axen  zn  bestimmen,  zumal  da  die  Gesammt- 
konstruktion  dadurch  nicht  verwickelter  wird. 

Wiener,  Lehrbuch  der  darstcllonden  Geometrie.   H.  38 


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594    XII,  541.  Axionometr.  u.  schiefe  Projektion,  Perspektive  krummer  Flächen. 

Von  dem  Cylinder  erhält  man  die  Abbildung  (Fig.  b)  der  Axe 
parallel  zu  O'C  =  0  und  von  der  Länge  MN,  wenn  man  ihre 
Größe    nach  dem   in   der  Bildfläche    geltenden  Maße,   das  wir  die 

wahre  Große  nennen 
^'^•^^^'  wollen,   auf  0"C  ab 

(y'JT'auftragt  und  de- 
ren Projektion  auf  O'C 
bildet,  oder  auch  MN 
=  Abstand  J^".0"0' 
macht.  Der  Grund- 
kreis bildet  sich  in 
eine  Ellipse  ab,  deren 
große  Halbaxe  MD 
1.  MN  und  in  wahrer 
'^^  "  Größe  zu  zeichnen  ist 

(I,  508).  Die  kleine 
in  MN  liegende  Halbaxe  erhält  man  aber  als  ME  =  Abst 
E'\  O'C,  wenn  man  auf  CO"  die  CE"=  MD  =  der  wahren  Größe 
aufträgt.  Denn  da  O'CO"  der  Winkel  von  jßf  mit  der  Bildebene  P  ist^ 
so  ist  0'0"C  der  Winkel  desjenigen  Kreishalbmessers  mitP,  welcher 
sich  in  ME  projicirt,  daher  ME  =  Projektion  von  CE"  auf  O'O'' 
=  Abst.  E'\  O'C.  Hieran  schließt  sich  der  für  das  Folgende  nützliche 
Säte.  Sind  von  zweien  auf  einander  senkrechten  gleichen  Strecken 
die  senkrechten  Projektionen  auf  dieselbe  Bildebene  P  in  derselben  oder 
in  parallelen  Geraden  gelegen^  so  verhalten  sich  die  Projektionen  wie  der 
Cosinus  zum  Sinus  der  Neigung  der  ersteren  Strecke  gegen  P,  oder  so 
kann  man  aus  beiden  Projektionen  und  aus  der  wahren  Länge  der 
Strecken  als  Seiten  ein  rechtwinkliges  Dreieck  bilden  (vergl.  1, 159). 

Zur  Verzeichnung  des  Schlagschattens  des  Oylinders  auf  die  Grund- 
rißebene  Pj  müssen  die  Abbildungen  l  und  V  des  Lichtstrahles  und 
seines  Grundrisses  gegeben  sein.  Der  durch  den  Mittelpunkt  N  des 
oberen  Grenzkreises  gezogene  Lichtstrahl  l  und  dessen  durch  M 
gehender  Grundriß  V  schneiden  sich  im  Schatten  N^  von  N]  und 
der  Schatten  des  oberen  Grenzkreises  bildet  sich  in  eine  mit  der 
Ellipse  DE  kongruente  und  parallele  Ellipse  vom  Mittelpunkte 
JVi  ab.  Die  Schlagschattengrenze  der  Cylinderfläche  wird  durch  die 
beiden  mit  V  parallelen  gemeinschaftlichen  Tangenten  der  Ellipsen 
M  und  N^  bestimmt;  und  sucht  man,  etwa  mittelst  konjugirter 
Durchmesser,  einen  Berührungspunkt  F  auf  DE,  so  ist  die  durch 
F  gehende  Erzeugende  eine  Eigenschattengrenze,  Um  F  unabhängig 
von  der  Verzeichnung  der  Ellipse  DE  zu  erhalten,  suche  man  in 
der  Fig.  a  jene  zu  O'L  (  ||  T)  konjugirte  Linie,  als  Abbildung  einer 


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Xll,  541—542.   AxoDomeiiie. 


595 


zu  ihr  Senkrechten  in  der  a;yEbene.  Zu  dem  Ende  schneide  man 
O'L  mit  c  in  X,  ziehe  zu  O^L  die  Senkrechte  O^V  bis  V  auf  c, 
so  ist  O'L'  jene  konjugirte  Linie.  Tragt  man  die  wahre  Lange  des 
Halbmessers  des  Grundkreises  auf  O^V  als  OF^  =  MD  auf,  zieht 
F^F  ±c  bis  F'  auf  0'L\  so  hat  man  nur  MF  #  O'JF'  zu  machen. 

642,  Äufg.  Die  ctxonometrische  Projektion  inoeier  geraden  Kreis- 
cylinder  m  verzeichnen,  von  denen  der  eine  in  beliebiger  Bichtung  auf 
die  Grundrißd)ene  aufgelegt,  der  andere  auf  den  ersten  aufgelehnt  ist, 
und  ihre  Schatten  bei  PardUelbeleuchtung  zu  bestimmen, 

Aufi,  Sei  wieder  vom  Axenkreuze  nur  die  Axe  z  und  die  Grundriß-  Pig.  210  a 
ebene  xy  =  Pj  in  Fig.  a  angenommen,  sei  femer  in  P^  die  Abbildung 
O'A  =  a  der  Richtung  der  Erzeugenden  des  liegenden  Cylinders  O 

Fig.  216  a,  b. 


gegeben,  so  bestimme  man  in  Pj  die  Abbildung  &  =  O'B  der  auf 
a  senkrechten  Richtung  durch  ^0,B  =  90^,  wobei  wieder  C"0^ 
=  C'0'\  Man  konnte  die  wenigen  in  den  verschiedenen  Richtun- 
gen vorkommenden  Maße  wie  bei  der  vorigen  Aufgabe  und  wie  hier 
die  Maßeinheiten  bestimmen  und  den  Strahlenmaßstab  entbehren; 
wir  wollen  denselben  aber  dennoch  verzeichnen,  um  auch  das  Ver- 
fahren fQr  ausgedehntere  Abbildungen  anzugeben.  Wir  bilden  ihn 
nach  der  Art  von  I,  507,  Pig.  283,  indem  wir  zuerst  den  wahren  (für  wg.  «icb. 
die  Bildebene  geltenden)  Maßstab  w  herstellen,  nach  den  Teilnngs- 

38* 

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596    XII,  542.  Axonometr.  u.  schiefe  Projektion,  Perspektive  krummer  FUlchen. 

punkten  die  Strahlen  aus  einem  entfernteren  Punkte  ziehen ,  derart 
daß  der  Strahl  nach  dem  Nullpunkte  des  Maßstabes  _L  fc  steht, 
tragen  die  Maßstabseinheit  (=  10)  als  0"Z"=  O^A^  =  O^B^  auf, 
und  bestimmen  daraus  ihre  Abbildungen  Abst.  Z'\  0'  0'\  0'A\ 
0' B']  diese  können  wir  dann,  und  zwar  mit  Hilfe  jeuer  senkrech- 
ten Strahlenrichtung  ausschließlich  mittelst  des  Zirkels,  in  den 
Strahlenmaßstab    einschalten,    wodurch    wir   die   Maßstabe  0,  a,  h 

erhalten. 

Fig.  216  c. 


Flg.  216  c.  Ist  nun  M  die  Abbildung  des  Mittelpunktes  des  einen  Grund- 

kreises des  liegenden  Cylinders  O,  und  ist  dessen  Halbmesser  r  =  6 
gegeben,  so  zeichnet  man  die  große  Halbaxe  MF^  der  abbildenden 
Ellipse  J_  a  nach  dem  Maßstabe  w\  die  kleine  Halbaxe  MF^  erhält 
man  aber,  wenn  man  auf  MF^  die  MF^  «=  r  =  6  nach  dem  Maß- 
stabe a  aufträgt  und  F^F^  «=  MF^  macht,  wonach  F^  einen  Brenn- 
punkt der  Ellipse  bezeichnet.  Denn  nach  dem  Satze  der  vorigen  Nr. 
bilden  der  wahre  Halbmesser  (=*  F^F^^  seine  Projektion  auf  a  (= 
Jf  jFg)  und  diejenige  auf  MF^  (=  MF^  ein  rechtwinkliges  Dreieck. 
Daher  gilt  der 

SaUi.  Die  Exeeniricität  einer  Ellipse^  welche  die  senkrechte  Pro- 
jektion eines  Kreises  bildet,  ist  gleich  der  Projektion  einer  Strecke^ 
welche  gleich  dem  Kreishalbmesser  ist  und  senkrecht  auf  der  Ebene  des 
Kreises  steht 


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Xir,  542-543.    Axonometrie.  597 

Ist  ferner  die  Länge  des  Gylinders  =  30  gegeben ,  so  zeichnet 
man  MP  |  a  und  »=>  30  nach  dem  Maßstabe  a,  und  dann  um  P  als 
Mittelpunkt  die  mit  F^F^  kongruente  und  parallele  Endellipse.  Den 
Berührungspunkt  M'  der  Endellipse  mit  der  Grundrißebene  P|  er- 
hält man  durch  MM  |  z  (und  zur  Probe)  ==>  6  nach  dem  Maßstabe  0, 
Die  MG\})  (der  Fig.  a)  ist  dann  die  Projektion  des  Grundkreises 
auf  die  Bodenfläche. 

Die  Erzeugenden  des  auf  O  gelehnten,  geneigten  Gylinders  O^ 
stehen ;  der  Sicherheit  der  Stützung  halber,  senkrecht  auf  denen 
des  Oy  d.  i.  J_  a,  und  man  kann  eine  Tangente  der  Ellipse  F^F^ 
annehmen,  womit  die  Axe  d  des  C^  parallel  sein  soll;  diese  Tan- 
gente G^G  mit  dem  Berührungspunkte  G^  schneide  die  MG  und 
daher  die  P^  in  6r;  und  man  erhält  den  Stützpunkt  K  des  O^  auf 
Pi  auf  einer  Parallelen  GK  zu  a,  zweckmäßig  mit  GK  =  ^  MF, 
Der  Stützungshalbmesser  KN'^e  des  Grundkreises  des  O^  liegt 
mit  d  in  einer  auf  a  (und  P|)  senkrechten,  daher  mit  der  Ebene 
des  Grundkreises  F^F^  parallelen  Ebene,  und  seine  Richtung  kann 
als  diejenige  des  zu  d  konjugirten  Halbdurchmessers  MGi  der  El- 
lipse F^F^  gefunden  werden.  Genauer  erhält  man  ihn  aber  in  der 
Fig.  a,  wenn  man  die  Ebene  COB  um  ihre  Spur  CB  in  die  Bild- 
ebene mittelst  0'0i±CB,  BO^^BO^  umlegt,  die  O'D  ||  d  bis 
D  auf  CB,  und  die  O^E±O^D  bis  E  auf  CB  zieht,  dann  ist 
e  I  0' E.  Die  Maßstäbe  d,  e  erhält  man  wieder  durch  O^D^  =  O^E^ 
=  der  Maßstabseinheit  (=  10),  D^D'  und  E^E'  ±  CB,  und  Ein- 
schalten von  O'D'  und  O'E'  in  den  Strahlenmaßstab  in  d  und  e. 
Soll  nun  der  Grundkreis  des  Gylinders  C^  ebenfalls  den  Halb- 
messer r«=>6  haben,  so  macht  man  KN\e  und  «»6  nach  dem 
Maßstabe  e  und  hat  die  Probe  MG^  #  KN.  Man  zeichnet  dann 
die  Grundellipse,  indem  man  die  große  Halbaxe  NJ^  J_  d  und  =  6 
nach  dem  Maßstabe  w  angibt,  darauf  die  Excentricität  NJ^  =  6 
nach  dem  Maßstabe  d  aufträgt,  und  die  kleine  Halbaxe  NJ^  \\  d 
durch  cT'scT'g  =  NJ^  bestimmt.  Sodann  trägt  man  auf  der  Axe  NQ 
des  Oj  (  1  d)  ihre  Länge  NQ  gleich  der  gegebenen  Länge  40  nach 
dem  Maßstabe  d  auf,  und  zeichnet  die  zweite  Grenzellipse  kon- 
gruent und  parallel  zur  ersten. 

543.  Zur  Bestimmung  der  Schatten  dient  die  gegebene  Abbil- 
dung l  des  Lichtstrahles  und  diejenige  V  seines  Grundrisses.  Für  den 
Sdüagsduitten  des  Cylinders  O  und  zunächst  seines  Grundkreises  F^F^ 
auf  P|  ermittelt  man  den  Schatten  M^  von  dessen  Mittelpunkte  M 
als  Schnitt  von  MM^  ||  l  mit  Jtf' Jtf,  P  T.  Der  Halbdurchmesser 
MM  hat  dann  M^M'  zum  Schatten,  und  sein  konjugirter  (mit  h 
paralleler)  Halbdurehmesser  MB  hat  M^B^^h  und  =  6  nach  dem 


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598    ^II|  543—544.  Axonometr.  a.  schiefe  ProjektioD,  PerspekiLye  kr.  Flächen. 

Maßstabe  b  zum  Schatten.  Daher  sind  M^M^  M^Ri  zwei  konja- 
girte  Halbdurcbmesser  der  Schattenellipse,  und  aus  diesen  ermittelt 
man  nach  I,  377  die  Axen  und  verzeichnet  daraus  die  Kurve.  Die 
beiden  mit  a  parallelen  Tangenten  dieser  Ellipse  sind  die  Schlag- 
schattengrenzen der  CylinderSäche.  Aus  diesen  konnte  man  auch 
rückwärts  ihre  Eigenschattengrenisen  finden ;  doch  ist  es  genauer,  die- 
selben unmittelbar  zu  bestimmen.  Die  berührenden  Lichtstrahlen- 
ebenen des  Cy linders  O  sind  mit  der  Ebene  seiner  Axe  JlfP=a 
und  des  Lichtstrahles  MM^^  «=  l  parallel.  Diese  schneidet  die  Grund- 
kreisebene in  MH^j  wenn  die  M^H2la  bis  H^  auf  JlTG  gezogen 
wurde.  Bestimmt  man  dann  den  zu  MH^  konjugirten  Durchmesser 
der  Grundellipse,  so  gehen  durch  dessen  Endpunkte,  wie  H,  die 
Eigenschattengrenzen  des  Cylinders  1  a.  Dieser  konjugirte  Durch- 
messer wird  am  genauesten  in  Fig.  a  ermittelt  {0' H^  |  MH^j 
O^H'±O^H^\  MH\0'H',  die  Länge  Ifif  konnte  wieder  durch 
den  Maßstab  seiner  Linie  bestimmt  werden). 

Zur  Konstruktion  des  SchlagschaMens  des  Cylinders  0|  auf  P| 
verzeichnet  man  den  Grundriß  seiner  Axe  NQ  als  KQ'  |  6;  auf 
diesem  ergeben  sich  die  Grundrisse  N\  Q'  von  JV,  Q{NN'  l  QQ'  l  ^). 
Dann  ermittelt  man  die  Schatten  N^,  ^,  von  N,  Q  durch  ^^j  |, 
QQi  1  Z,  N'N^  I  G'Öi  I  l']  der  Schatten  jV^^^  von  NQ  muß  dann 
durch  d^e  Grundrißspur  K^  der  NQ^  d.  i.  ihren  Schnitt  mit  Klf  Q' 
gehen.  Von  dem  Grundkreise  J^  J^  wirft  der  Halbdurchmesser  NK 
seinen  Schatten  in  N^K,  sein  konjugirter,  mit  a  paralleler  Halb- 
durchmesser in  ^^/S  1  a  und  =s  6  nach  dem  Maßstabe  a.  Aus  die- 
sen konjugirten  Halbdurchmessem  bestimmt  man  die  Axen  und 
zeichnet  die  Schattenellipse,  sowie  die  mit  ihr  kongruente  und  par- 
allele aus  Q|.  Die  Schlagschattengrenzen  des  Cylinders  O^  sind  die 
beiden  gemeinschaftlichen,  mit  N^Qi  parallelen  Tangenten  dieser 
Ellipsen,  so  T^U^. 

Zur  Bestimmung  der  Eigenschattengrensen  des  Oj  schneidet  man 
wieder  die  Lichtstrahlenebene  der  Axe,  nämlich  NQQ^N^  mit  der 
Grundkreisebene  in  JVT^,  wobei  T^  der  Schnittpunkt  you  Q^N^  mit 
KG,  sucht  zu  NT^  den  konjugirten  Durchmesser  der  Grundellipse, 
durch  dessen  Endpunkte,  so  durch^T,  die  Eigenschattengrenzen  jd 
laufen,  so  TU.  Dieser  konjugirte  Durchmesser  konnte  bei  der 
wenig  excentrischen  Gestalt  der  Grundellipse  mit  genügender  Sicher- 
heit an  dieser  ermittelt  werden;  sonst  hätte  man  in  Fig.  a  die  mit 
der  Kreisebene  parallele  Ebene  ÄEO  und  ihre  Umlegung  benutzt 
Der  Schatten  von  TU  auf  P^  ist  T^U^. 

644.  Der  Schlagschatten  des  Cylinders  Oj  auf  denjenigen  O  ist 
der  Schatten  der  beiden  Eigenschattengrenzen,  so  der  Erzeugenden 


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XII,  544—546.    Axonometrie. 


599 


TJ7;  letzterer  ist  also  der  Schnitt  der  Ebene  TUU^T^  mit  O,  d.  i. 
eine  Ellipse,  von  der  wir  zwei  konjugirte  Durchmesser  in  den  kon- 
jugirten  Durchmesserebenen  des  O  bestimmen  wollen,  welche  durch 
die  Axe  MP  und  einerseits  ||  P^,  andererseits  durch  M'  gehen.  Die 
erstere  schneidet  den  O  in  der  Erzeugenden  2222'  ||  a,  die  T 17  in 
IFund  die  Lichtstrahlenebene  der  TU  in  der  TFF||  T^U^.  Man 
erhält  aber  TF,  wenn  man  den  Grundriß  T  von  T  durch  TT"  \e 
bis  T"  auf  JSTÖ,  durch  T' T  \l  und  durch  TT  ||  z  ermittelt,  wenn 
man  dann  auf  TT  die  rW'-^r  =  M'M  auftritt  und  W'W^  b 
bis  W  ant  TU  zieht.  Die  WV  schneidet  die  MP  und  die  2222' 
bezw.  in  V  und  22',  und  die  T^  U^  schneidet  die  durch  M'  gehende 
Auflagerungserzeugende  des  Cylinders  O  auf  P^  in  X;  dann  ist  V 
der  Mittelpunkt  und  F22',  VX  sind  konjugirte  Halbdurchmesser  der 
Schattenellipse.  Aus  ihnen  bestimmt  man  die  Axen  und  verzeichnet 
die  Ellipse;  sie  muß  die  Umrisse  des  Cylinders  O  berühren.  Aus 
dieser  Ellipse  erhält  man  die  zweite  Schlagschattengrenze  des  0| 
auf  O  durch  eine  Parallelverschiebung  der  ersten  in  der  Richtung  a 
um  eine  Strecke,  wie  sie  auf  jeder  Linie  a  zwischen  den  Schlag- 
schatten des  Cylinders  O^  auf  P^  eingeschlossen  wird. 

646.  Äufg.  Die  axonometrische  Projektion  einer  Kugel,  welche 
auf  der  Grundrißebene  Pj  aufliegt,  sowie  die  Grenze  ikres  Eigen-  und 
ihres  Schlagschattens  auf  P^  bei  Parallelbeleuchtung  zu  bestimmen. 

Aufl.    Wir  wollen  die  Aufgabe  mit  alleiniger  Benutzung  der 
Axenrichtungen  x,  y,  z  lösen,  deren  Ursprung  wir  in  dem  Auflager-  Fig.  an. 
punkte  M'  der  Kugel  p.^  ^ ^^ 

auf  der  P^  anneh- 
men. Den  Mittel- 
punkt der  Kugel  wäh- 
len wir  auf  der  Axe 
z  in  üf ,  und  legen 
durch  M  die  Bild- 
ebene P;  dann  sind 
die  Spuren  der  zx- 
und  a;yEbene  bezw. 
die  Geraden  MÄ  _L  y , 
AB  J.  z,  wobei  Ä 
auf  X  liegt.  Um  die 
wahre     Größe     des 

Kugelhalbmessers  zu  erhalten,  beschreibe  mau  über  MÄ  als  Durch- 
messer einen  Kreis,  und  schneide  denselben  mit  y  in  2>,  so  ist 
MD  jene  wahre  Größe,  und  der  Umriß  ist  der  aus  M  als  Mittel- 
punkt durch  D  gelegte  Kreis;   denn  jener  Kreis  MA  ist  die  Um- 


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600    XII,  545-646.  Axonometi-.  u.  schiefe  Projektion,  Perspektive  kr.  Fachen. 

legung  des  über  MA  durch  den  Ursprung  gelegten  Kreises  (D  kiit 
an  die  Stelle  von  Oj  in  der  Fig.  216  a). 

Geben  nun  MM^  =  l  den  Lichtstrahl  und  M'  M^  =  V  seinen 
Grundriß  an,  wobei  M^  der  Schatten  von  M  auf  F^,  und  beachtet 
man,  daß  die  Eigenschatkngreme  der  grpßte  Kreis  ist,  dessen  Ebene 
senkrecht  auf  l  steht,  so  findet  man  die  große  Halbaxe  der  Ellipse, 
welche  ihn  abbildet,  als  den  auf  l  senkrechten  Halbmesser  ME. 
Da  derselbe  in  der  Bildebene  P  liegt,  so  ist  seine  Grundrißspur 
sein  Schnittpunkt  F  mit  AB.  Der  Schlagschatten  von  MF  auf  F| 
ist  daher  M^F^  und  der  von  ME  ist  M^E^j  wobei  E^  auf  M^F  und 
EE^  H  l.  Um  die  kleine  Halbaxe  MG  der  Eigenschattenellipse  und 
ihren  Schlagschatten  M^G^  auf  P^,  welche  beide  in  l  liegen,  zu  er- 
mitteln, lege  man  die  Ebene  L,  welche  den  durch  üf  gehenden  Licht- 
strahl auf  die  P  projicirt,  um  MM^  («=  T)  in  P  um;  dabei  gelangt 
Jlfi  nachüf^,  wenn  üf^üfj  _L  2  und  gleich  dem  Abstände  des  Ifj  von 
P  ist.  Diesen  Abstand  bestimmt  man  aus  demjenigen  des  JIT,  und 
diesen  erhält  man  gleich  dem  Stücke  B'D'  der  MA^  wenn  B'  der 
Schnittpunkt  von  y  mit  MA,  und  wenn  M'D'=^B'D  gemacht 
wurde.  Denn  der  wahre  Abstand  B'D  (==  MD')  des  B'  vom  raum- 
lichen Urspruugspunkte,  dessen  Projektion  B' M'  und  der  Abstand 
des  Ursprungspunktes  von  P  (=  B'D')  sind  die  Seiten  eines  recht- 
winkligen Dreiecks.  Nun  schneidet  aber  die  V  =  M'M^  die  P  in 
ihrem  Schnittpunkte  L  mit  AB\  und  da  sich  die  Abstände  des  M' 
und  des  M^  von  P  wie  LM'  zu  LM^  verhalten,  so  erhält  man 
letzteren  Abstand  ==  Jf^jM^,  wenn  man  M'M"  ||  M^M^  und  =  B'D' 
zeichnet  und  LM"  mit  M^M^  in  M^  schneidet.  Jene  Ebene  L  ent- 
hält einen  größten  Kreis  der  Kugel,  den  Lichtstrahl  MM^  und  eine 
Schnittlinie  HM^  mit  der  Ebene  Pj,  wobei  U  der  Schnittpunkt  von 
l  mit  AB.  Diese  Linien  gelangen  bei  der  Umlegung  der  L  in  F 
bezw.  in  den  Kugelumriß,  in  die  MM^  =  V'  und  in  die  HM^. 
Legt  man  nun  eine  Tangente  ||  l"  an  den  Kugelumriß,  und  berührt 
dieselbe  den  Umriß  in  G'  und  schneidet  die  HM^  in  6?^,  so  ge- 
langen diese  Punkte  beim  Zurückdrehen  bezw,  nach  G  und  G^  auf  Z, 
wenn  G'G  und  G^G^  1^1  sind;  und  hierdurch  sind  diese  gesuchten 
Punkte  bestimmt.  Die  Schlagschattenellipse  hat  dann  M^Ei  und 
MiGi  zu  konjugirten  Halbdurchmessem;  aus  denselben  bestimmt 
man  die  Axen  und  mittelst  dieser  verzeichnet  man  die  Kurve. 


n.    Schiefe  Projektion. 

546.     Die  Anwendung  der  schiefen  Projektion   ist  nur   dann 
gerechtfertigt  (I,  526),   wenn  bei  dem  abzubildenden  Gegenstande 


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XII,  546—547.    Schiefe  Projektion. 


601 


Fig.  218. 


Ebenen  von  übereinstimmender  Stellung  vorkommen,  welche  wegen 
ihrer  Wichtigkeit  kongruent  abgebildet  werden  sollen;  diese  Stel- 
lung gibt  man  der  Bildebene.  Bei  krummen  Flächen  findet  dieser 
Umstand  nicht  statt,  und  man  würde  deswegen  für  sie  die  schiefe 
Projektion  nicht  wählen,  da  sie  bei  dieser  Abbildung  verzerrt  er- 
scheinen, wie  wir  alsbald  sehen  werden.  Demohngeachtet  müssen 
sie  in  dieser  Projektion  dann  abgebildet  werden,  wenn  man  wegen 
anderer  vorherrschender  Gegenstände  dieselbe  gewählt  hat.  Wir 
werden  uns  aber  mit  zwei  Beispielen  begnügen. 

Aufg.  Die  schiefe  Projektion  eines  auf  die  Grundrißebene  Pj  auf- 
gestellten geraden  KreisqfUnders  mit  seinen  Schatten  bei  ParaHdbeleuch- 
tung  zu  verzeichnen, 

Aufl,  Die  Bildebene  P  stehe  parallel  mit  der  Axe  MN  des  Fig.  218. 
Cylinders  und  MA  sei  der  mit  P  parallele  Halbmesser  des  Grund- 
kreises; dann  ist  in  der  Abbildung  NMA 
=  90^;  der  auf  MA  senkrechte  Halb- 
messer bilde  sich  in  die  willkürlich  an- 
zunehmende Strecke  MB  ab.  Die  Ab- 
bildung des  Grundkreises  ist  dann  die 
Ellipse  von  den  konjugirten  Halbdurch- 
messern MAf  MB ;  aus  ihnen  bestimme 
man  die  Axen  und  mittelst  dieser  ver- 
zeichne man  die  Kurve.  Die  andere  Grenz- 
ellipse bilde  man  aus  N  als  Mittelpunkt 
kongruent  und  parallel  zur  ersten. 

Man  bemerkt,  daß  bei  der  schiefen  Projektion  eines  geraden  Kreis- 
cylinders  die  große  Axe  der  Enddlipse  im  allgemeinen  schief  gegen  die 
Oylinderctxe  steht y  senkrecht  dagegen  in  dem  besonderen  Falle,  in  wel- 
chem die  Abbildung  der  auf  der  Bildebene  senkrechten  Geraden  und 
der  Cylinderaxe  {MB  und  MN)  in  dieselbe  Gerade  fallen.  Durch 
diese  schiefe  Stellung  der  großen  Ellipsenaxe  gegen  die  Cylinderaxe 
unterscheidet  sich  wesentlich  die  schiefe  von  der  axonometrischen 
(senkrechten)  Projektion,  bei  welch  letzterer  stets  die  senkrechte 
Stellung  stattfindet. 

Den  Schlagschatten  des  oberen  Grundkreises  auf  P|  bildet  man 
als  kongruente  und  ähnliche  Ellipse  zu  den  beiden  anderen  ab,  und 
zwar  aus  dem  Mittelpunkte  JVj,  dem  Schatten  von  JV,  wobei  JVJVi  =  Z 
der  Lichtstrahl  und  MNi  =  V  dessen  Grundriß  ist.  Dadurch  ergeben 
sich  die  mit  V  parallelen  Schlagschattengrenzen  des  Cylinders,  wie 
(7Di,  und  dann  seine  Eigenschattengrenzen,  wie  CD  aus  dem  zu  V 
konjugirten  Durchmesser  2 MC  der  Grenzellipse. 

647.    Die  schiefe  Projektion  einer  Kugel,  welche  auf  der  Grund- 


^€P*' 


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602    XII)  547.  Axonometr.  n.  schiefe  Projektion,  Perspektive  kmmmer  Fl&cheD. 

rißebene  P,  außiegt,  sowie  die  Grenze  ihres  Eigen-  nnd  ihres  Schlag- 
schattens cmf  F|  bei  Parallclbelcuchtung  zu  bestimmen. 
Flg.  S19.  Aufl.    Sei  M  die  Abbildung  ihres  Mittelpunktes ^  MC  diejenige 

eines  auf  der  Bildebene  senkrechten  Halbmessers,  MB{J^  MC)  die- 
jenige eines  mit  der  Bildebene  parallelen  Halbmessers ,  der  also  die 
wahre  Größe  desselben  angibt.  Dann  ist  der  Umriß  der  Abbildung 
eine  Ellipse,  welche  M  zum  Mittelpunkte,  C  zu  einem  Brennpunkte 
hat,  dessen  kleine  Halbaxe  (_L  MC)  =  MB,  und  dessen  große 
Halbaxe  MÄ  (auf  MC)  daher  =  CB  ist.  Denn  der  projicirende 
Cy linder  ist  ein  der  Kugel   umschriebener  (ümdrehungs-)Cy linder; 

Fig.  219. 


und  denkt  man  sich  die  auf  dem  Halbmesser  MC  senkrechte  Bild* 
ebene  durch  C  gelegt,  so  berührt  sie  in  C  die  Kugel,  imd  ihr 
Schnitt  mit  dem  Cylinder,  oder  der  gesuchte  Umriß  ist  dann  eine 
Ellipse,  welche  C  zu  einem  Brennpunkte,  den  Schnittpimkt  mit  der 
Cylinderaxe,  d.  i.  die  Abbildung  M  des  Kugelmittelpunktes  zum 
Mittelpunkte,  und  die  kleine  Halbaxe  gleich  dem  Kugelhalbmesser 
hat  (I,  329). 

Man  bemerkt,  daß  in  dieser  elliptischen  Abbildung  der  Kugel  ein 
zweiter  wesentlicher  Unterschied  der  schiefen  gegen  die  axonome- 
trische  (senkrechte)  Projektion  liegt,  bei  welch  letzterer  sich  die 
Kugel  stets  als  Kreis  abbildet.  Durch  diese  Eigentümlichkeiten 
bringt  aber  die  schiefe  Projektion  des  geraden  Kreiscylinders  und 
noch  mehr  die  der  Kugel,  wenn  man  sie  gerade  von  vom  betradi* 
tet,  einen  empfindlich  fehlerhaften  Eindruck  heryor,  wie  schon  er- 
wähnt wurde. 

Der  Umriß  der  schiefen  oder  der  axonometrischen  Projektion  irgend 
einer  Fläche  zweiten  Grades  wird  oms  der  Abbildung  dreier  hmjugirten 
Halbdurchmesser  der  Fläche  nach  den  Nummern  128  ff.  gefunden. 


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XII,  548—549.    Perspektive.  603 

548.  Die  Schatten  ergeben  sich  auf  gleichem  Wege^  wie  bei 
der  axpnometrischen  Projektion.  Die  durch  den  Mittelpunkt  M 
gehend  gedachte  Bildebene  F  schneidet  die  Kugel  in  einem  Kreise, 
dem  Hauptkreise,  welcher  sich  als  der  aus  M  durch  B  gezogene 
Kreis  abbildet;  sodann  schneidet  die  P  die  Grundrißebene  Pj  in  einer 
wagerechten  Tangente  a  dieses  Kreises ,  deren  Berührungspunkt  M' 
der  Auflagerpunkt  der  Kugel  auf  P^  ist.  Es  stellen  wieder  MMi 
=  1  den  Lichtstrahl,  M'M^  =V  seinen  Grundriß,  daher  M^  den 
Schatten  des  M  auf  P^  dar.  Von  den  Eigen-  und  Schlagschatten- 
grenzen bestimmen  wir  je  zwei  konjugirte  Halbdurchmesser,  den 
einen  in  der  durch  den  Lichtstrahl  MMi  senkreckt  zu  P  gelegten 
Ebene  L,  den  anderen  daher  bei  der  kreisförmigen  Eigenschatten- 
grenze J_  L.  Die  L  schneidet  die  Pj  in  der  M^D  (\\  MC)y  die  P  in 
MD,  wenn  D  der  Schnittpunkt  der  J^jD  mit  a;  daher  ist  der  auf 
MD  senkrechte  Halbmesser  MC"  des  Hauptkreises,  der  zweite  von 
jenen  konjugirten  Halbdurchmessern  der  Eigenschattengrenze.  So- 
dann schneidet  die  Ebene  L  die  Kugel  in  einem  größten  Kreise, 
von  dem  eine  Durchmesserlinie  MD  ist.  Legt  man  nun  L  um  MD 
in  P  um,  so  gelangen  MG  und  DM^  in  die  zu  MU  Senkrechten 
MC"  und  DM^y  wobei  M^M^  ||  (70",  und  der  Schnittkreis  der  L 
mit  der  Kugel  gelangt  in  den  Hauptkreis.  Zieht  man  daher  an 
diesen  eine  Tangente  |  MM^j  bestimmt  ihren  Berührungspunkt  F" 
und  ihre  Schnittpunkte  G  mit  MD  und  F2  mit  DM^y  so  gelangen 
beim  Zurückdrehen  F^  in  F^  auf  DM^y  wenn  JF^Fii  CG",  die  GF^ 
in  die  (zu  l  parallele)  GF^  (so  daß  G  auch  entbehrt  werden  kann), 
F'  nach  -F,  wenn  F"F\CC"y  so  daß  MF  und  M^F^  die  in  der 
Ebene  L  liegenden  Halbdurchmesser  beider  Schattengrenzen  sind. 
Ihre  konjugirten  sind  der  schon  bestimmte  MC"  und  dessen  Schat- 
ten M^G^  auf  P,.  Man  erhält  den  letzteren,  wenn  man  MC"  mit  a, 
also  auch  mit  P^,  in  J&  schneidet;  dann  ist  M^E  der  Schatten  von 
MC'Ey  und  ihr  Punkt  C^  der  von  C",  wenn  C"G^  \  l.  —  Aus 
den  konjugirten  Halbdurchmessem  MF,  MG"  und  M^F^y  M^C^ 
bestimmt  man  die  Axen  beider  Kegelschnitte,  und  aus  diesen  ver- 
zeichnet man  die  Kurven. 


in.  Perspektive. 

549«  Zur  Konstruktion  der  Perspektive  krummer  Flächen  ist 
diejenige  krummer  Linien  notwendig.  Diese  werden  im  allgemei- 
nen in  bekannter  Weise  durch  ihre  Punkte  und  Tangenten  in 
Perspektive  gesetzt.  Im  besonderen  können  wesentliche  Vorteile  ge- 
wonnen werden;  wir  gehen  aber  in  dieser  Beziehung  nur  auf  den 


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604    XII,  549.  Axonometr.  n.  schiefe  Projektion,  Perspektive  krummer  Flächen. 

Kreis  ein  unter  den  in  der  Technik  und  Kunst  vorkommenden  An- 
nahmen *)• 

Aufg.    Einen  Kreis  in  Perspektive  ßu  seteen. 

Auflösung  mittelst  des  umschrid>enen  regelmäßigen  AdUecks  (vergl. 
I,  373). 

Erster  FaU.  Der  Kreis  liegt  in  einer  horizontalen  Ebene.  Der 
Fall,  in  welchem  er  in  einer  beliebigen  auf  der  Bildfläche  senkrech- 
ten Ebene  liegt  ^  unterscheidet  sich  von  unserem  Falle  nur  physisch, 
Fig.  280.  nicht  aber  geometrisch.  Seien  wie  in  I,  537  ff.  h  der  Horizont^ 
A  der  Augenpunkt,  D,  D'  die  Distanzpunkte,  ^  (||  ä)  die  Grundlinie 
oder  die  Spur  der  Ebene  F^  des  Kreises  h  in  der  Bildfläche  F,  sei 
\  der  um  g  in  die  P  umgelegte  Kreis  h^  so  beschreibe  man  um  k^ 
ein  Quadrat  durch  parallele  und  senkrechte  Tangenten' zu  g^  ziehe 
seine  Mittellinien  und  Diagonalen  und  setze  diese  Geraden  in  Per-* 
spektive  durch  Gerade,  welche  von  ihren  Spuren  auf  g  nach  A,  2), 
JD'  gezogen  werden,  und  durch  Linien  parallel  zu  g.  Man  erhält 
dadurch  von  der  Abbildung  h'  vier  Punkte  und  in  ihnen  die  Tan- 
genten. iN^un  denke  man  sich  noch  um  \  das  zweite,  gegen  das 
erste  um  45^gedrehte,  umschriebene  Quadrat  gezeichnet;  eine  seiner 
Seiten  schneidet  den  zu  g  parallelen  Durchmesser  üf^J^i  in  (7|;  von 
diesem  Punkte  suche  man  die  Perspektive  C  auf  M'  B\  und  dessen 
zu  M  symmetrischen  Punkt  E\  Die  aus  C  und  E'  nach  D  und 
D'  gezogenen   Geraden   bilden    das   zweite    Quadrat   ab,    und   die 


*)  Es  seien  hier  erwähnt  die  teilweise  schon  bei  der  „Geschichte  der  dar- 
stellenden Geometrie"  (I^  29  f.,  36  ff.)  angeführten  Arbeiten:  Cousinery^  G^ 
m^trie  perspective,  1828.  De  la  Gotwnerie,  Traitä  de  perspective  lin^aire,  1859. 
Tihcher,  System  der  Perspektive,  1867.  Koutny,  Konstruktion  der  Selbst- 
schattengrenze  von  Rotationsflächen  in  der  Perspektive,  unter  Voraussetenng 
paralleler  Lichtstrahlen  (Sitzangsber.  d.  Akad.  d.  Wiss.  in  Wien,  B.  55,  Abi  2, 
1867,  S.  215).  Peschka  and  Koutny,  Freie  Perspektive,  1868.  Pdz^  Über  eine 
allgemeine  Bestimmongsart  der  Brennpunkte  von  Contouren  der  Flächen  zwei* 
ten  Grades  (Sitzungsber.  d.  Akad.  d.  Wiss.  in  Wien,  B.  75,  Abt.  2,  1877);  Er- 
gänzungen hierzu  (B.  77,  Abt.  2,  1878);  Beiträge  zur  Bestimmung  der  Selbst- 
und  Schlagschattengrenzen  von  Flächen  zweiten  Grades  bei  Centralbelenchtung 
(27.  Jahresbericht  der  Oberrealschule  in  Graz,  1878);  Zur  Tangentenbestimmung 
der  Selbstschattengrenzen  von  Botationsflächen  (Sitzungsber.  d.  Akad.  d.  Wiss. 
in  Wien,  B.79,  Abt.  2,  1879);  Zur  Gonstruction  der  Selbst-  und  Schlagschatten- 
grenzen von  Flächen  zweiten  Grades  unter  Voraussetzung  centraler  Beleuchtung 
(Sitzungsber.  d.  k.  böhm.  Ges.  d.  Wiss.,  1880).  —  Ich  habe  in  den  Fällen,  in 
welchen  Kegelschnitte  gesucht  werden,  Konstruktionen  gegeben,  welche  aus 
der  Natur  der  Au%abe  irgend  welche  bestinunende  Elemente  derselben,  meist 
konjugirte  Durchmesser,  liefern  und  aus  diesen  dieAxen  ermittelt,  und  glaube 
dadurch,  wie  bei  der  Parallelprojektion,  Einfachheit  in  den  Betrachtungen  und 
in  den  Konstruktionen  gewonnen  zu  haben. 


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Xll,  649—660.    Perspektive. 


605 


schon  gezogenen  Geraden  M'Dy  M'D'  geben  ihre  Berührungs- 
punkte an.  Aus  den  gewonnenen  acht  Punkten  und  Tangenten  kann 
man  nun  die  Ellipse  zeichnen.  Aus  M'B'  läßt  sich  auch  unmittel- 
bar C  konstruiren  durch  M'C  =  }/2  M'B'.  Man  könnte  auch  leicht, 
wie  in  I,  373,  die  Abbildung 

des     dem    jfcj    umschriebenen  ^'fif-  22^- 

regelmäßigen    Zwölfecks    her-  ^' 

stellen.  '  i 

Es  ist  oft  von  Wichtig- 
keit, die  auf  g  senkrechten 
Tangenten  genau  zu  zeichnen, 
z.  B.  dann,  wenn  eine  Säule 
über  h  steht.  Um  sie  zu  er- 
halten, benutzt  man  den  mit 
P,  in  die  F  umgelegten  Grund- 
riß A^  des  Auges  (I,  544),.  der 
in  der  Senkrechten  AA^  z\x  h 
in  einem  Abstände  von  g  liegt 
gleich  der  Distanz  AD.  Zieht 
man  aus  A^  die  Tangenten  an 
Tcyy  schneidet  sie  mit  g^  und 
zieht  aus  den  Schnittpunkten 
Senkrechte  zu  ^,  so  sind  dies 
die  gesuchten  Tangenten.  Denn 
da  der  Punkt  A^^  in  welchem 

sich  die  Tangenten  des  \  schneiden,  auf  der  Gegenaxe  der  P^  liegt 
(I,  304),  so  müssen  sich  die  entsprechenden  Tangenten  der  k'  in 
dem  entsprechenden,  d.  h.  auf  dem  Strahle  AA^  liegenden  Punkte 
der  unendlich  fernen  Geraden  der  Bildfläche  P  treffen.  Die  Berüh- 
rungspunkte dieser  Tangenten  erhält  man  durch  Hilfslinien,  die  man 
durch  'die  Berührungspunkte  des  ij  unter  90"  oder  45®  gegen  g 
zieht  (hier  genauer  unter  45®). 

660.    jZtoeUer  Fall.    Der  Kreis  liegt  in  einer  beliebigen  Ebene. 

Seien  A  der  Augenpunkt,  d  der  Distanzkreis,  e^  die  Spur,  e^oile^) 
die  Fluchtlinie  der  Ebene  des  Kreises  Ä,  M  sein  Mittelpunkt,  Mq  ^ig.  221 
der  Fußpunkt  der  von  M  auf  ß|  gefällten  Senkrechten,  so  trage  man 
auf  Cj  die  gegebene  Länge  JMJ,  M  dieser  Senkrechten  als  M^O  ^=^ 
M^G\  und  ebenso  die  gegebene  Größe  seines  Halbmessers  <==  M^H 
=  MqW  auf.  —  Der  Fluchtpunkt  der  MM^  ist  dann  der  Fußpunkt 
A'  der  aus  dem  Auge  0  auf  e^  gefällten  Senkrechten,  und  wird 
erhalten  durch -4-4' J.  Coe;  die  Fluchtpunkte  der  unter  45®  gegen  e^ 
geneigten  Geraden  JfG,  MG'  werden  auf  e^  in  den  zu  A'  gehörigen 


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606    XII,  560-651.  Axonometr.  u.  «chiefe  Projektion,  Perspektive  kr.  Flächen. 


¥ig.  22S 


Teilungspunkten  T,  T  erhalten  durch  A'T-=^A'T'^  A'O  =  4'D, 
wenn  die  Parallele  AD  tm  e^  den  Disianzkreis  d  in  D  trifft 

Nun  leuchtet  ein,  daß  M^A\  HA\  H'A'  die  Abbildungen  des 
Durchmessers  und  der  Tangenten   des  Tc  sind,   welche  J_  e^  stehen, 

Fig.  221.  nnAGT  rmAG'T 

die  der  Diagona- 
len des  umschriebe- 
nen Quadrates.  Da- 
durch ergeben  sich 
die  Abbildungen  M 
des  My  diejenige 
M'B'  des  mit  e^  par- 
allelen Durchmes- 
sers, sowie  diejeni- 
gen der  mit  e^  paral- 
lelen Quadratseiten. 
Trägt  man  dann  auf 
MB'  die  M'(r  = 
M'E'^=y2M*B  (die  Hypotenuse  eines  rechtwinkligen  Dreiecks, 
dessen  Katheten  =  M'B'  sind)  auf,  und  zieht  aus  C,  E'  Gerade 
nach  Ty  T,  so  erhält  man  *auch  yon  dem  zweiten  umschriebenen 
Quadrate  die  Seiten  und  Berührungspunkte. 

551.  Konstruktion  der  Perspektive  des  Kreises  h  mittelst  Besüm- 
mung  der  Axen  des  abbildenden  Kegelschnittes  h\  Wir  wollen  hier 
nur  den  gewohnlichen  Fall  durchführen,  in  welchem  h'  eine  Ellipse 
ist;  in  Bezug  auf  den  Fall  der  Hyperbel  oder  der  Parabel  verweisen 
wir  auf  I,  383. 

Erstes  Verfahren.  Von  der  Ellipse  k'  sei  nach  dem  vorher- 
gehenden Verfahren  ein  Durchmesser  E'F'  mit  seinen  zu  g  oder  c, 
parallelen  Endtangenten,  darauf  die  Abbil- 
dung M'  des  Ereismittelpunktes  M  und  die 
zu  E'F'  konjugirte  (mit  jenen  Tangenten  par- 
allele) Halbsehne  M'B'  bestimmt,  so  ist  die 
Mitte  C  von  E'F'  der  Mittelpunkt  der  k'  und 
CG'  l  M'B'  die  Linie  des  konjugirten  Halb- 
durchmessers. Seinen  Endpunkt  G'  erhält 
man  durch  die  Affinität  mit  dem  über  E'F 
als  Durchmesser  gezeichneten  Halbkreise,  des- 
sen Punkte  By  G  denen  JB',  G'  entsprechen,  wenn  M'B  und  CG 
±  E'F']  G'  wird  dann  erhalten  durch  GG'  ||  BB'.  Aus  den  kon- 
jugirten Halbdurchmessem  CE',  CG'  bestimmt  man  die  Axen  (1, 377) 
und  mittelst  ihrer  verzeichnet  man  die  k'. 


Fig.  222. 


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XII,  552.    Perspektive. 


607 


562.     Zweites  Verfahren  (vergl.  116).      Seien  wie  in  Nr.  550  Fig.  223. 
6|  und  e«   die  Spur  und  die  Fluchtlinie  der  Ebene  E   des  Kreises 
Jfc,  Ä  der  Augenpunkt,   AD  H  e,  die  Distanz,  Ä'  auf  e^  (ÄA'J_e^) 
der  Fluchtpunkt    der   auf  e^   senkrechten    Linien   der  E,    so   lege 


Fig.  223. 


.^;^^/- 


man  die  Ebene  B  und  die  mit  ihr  parallel  durch  das  Auge  0  ge- 
führte Ebene  Oa«  bezw.  um  e^  und  «od  i^  gleichem  Drehungssinne 
in  die  Bildfläche  F  um.  Dabei  gelange  der  Kreis  k  in  den  Kreis  JCi 
(mit  dem  Mittelpunkte  M^),  es  gelangt  0  in  ^,  wobei  Ä'A^  JL  e^ 
und  '^^  A'D.  Der  gesuchte  Kegelschnitt  h'  ist  nun  bestimmt  als 
perspektiv- kollineare  Figur  zu  Jc^  mit  A^  und  e^  als  Mittelpunkt  und 
Axe  der  Kollineation,  und  mit  e«  als  Gegenaxe  in  P  (I,  304);  die 
Gegenaxe  der  E  ist  u^  ( ||  Cj),  wenn  Abst.  e^Ui  ==»  —  Abst.  A^^e^  = 
A'A^.  Da  der  u^  der  E  die  unendlich  ferne  Gerade  u  der  F  ent- 
spricht, so  entspricht  dem  Pole  G^  der  u^  zu  Jc^^  der  Pol  der  u 
zu  k'  oder  deren  Mittelpunkt  G\  Man  bestimme  G^^,  indem  man 
aus  zwei  Punkten  der  ti^  die  Tangenten  an  k^  zieht,  etwa  aus  dem 
unendlich  fernen  (zwei  zu  e^  parallele  Tangenten)  und  aus  dem 
Schnittpunkte  B  der  u^  mit  der  von  M^  auf  e^  gefällten  Senkrechten 
Jf,  Mq  (deren  Fußpunkt  JMJ,  ist).  Der  dem  G^  entsprechende  Punkt 
G'  liegt  auf  dem  Strahle  A^G^  und  auf  der  Entsprechenden  MqA' 


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608    XII,  652—663.  Axonometr.  u.  schiefe  Projektion,  Perspektive  kr.  Flachen. 

der  MqM^j  sowie,  weon  der  Schnitt  beider  unsicher,  auf  der  Ent- 
sprechenden E^E^  einer  anderen  durch  6^  gezogenen  Geraden  (r| £, 
{AqE^  B  Gj-B,).  Der  Involution  der  durch  (r,  gehenden  in  Bezug 
auf  h^  konjugirten  Sehnen  entspricht  die  Involution  der  durch  G' 
gehenden  konjugirten  Durchmesser  (mit  dem  Perspektiven  Schnitte 
Cj).  Als  zwei  Paare  von  Strahlen,  welche  die  erstere  Involution  be- 
stimmen, kann  man  GjJMq  und  G^U  (wenn  U  der  unendlich  ferne 
Punkt  der  e^\  sowie  die  beiden  Diagonalen  G^E^,  Gr^F^  jenes  dem 
\  umschriebenen  Parallel trapezes  annehmen.  Die  durch  sie  ein- 
geschnittene Involution  auf  Cj:  Jf^,  U\  E^,  F^  wird  auch  durch  eine 
rechtwinklige  Involution  aus  dem  Punkte  H  projicirt,  in  welchem 
sich  die  über  Mf^U  und  über  E^Fi  als  Durchmesser  beschriebenen 
Kreise  treffen,  d.  i.  auch  aus  dem  Schnittpunkte  der  Geraden  M^M^ 
mit  dem  aus  Mq  durch  E^  (und  Fi)  gelegten  Kreise.  Dieselbe 
Punktinvolution  auf  Cj  wird  aber  auch  die  Involution  (?'  der  kon- 
jugirten Durchmesser  eingeschnitten.  Man  erhält  nun  die  entspre- 
chenden Rechtwinkelstrahlen,  wenn  mau  einen  Kreis  aus  einem 
Punkte  der  e^  durch  G^  und  G'  legt.  Derselbe  schneide  die  e^  in 
«7^,  J5lj;  dann  sind  G'J^yG'K^  die  Axenlinien  des  h\  und  die  Halb-« 
axen  G' L\  G' N'  werden  aus  Schnittpunkten  L^,  N^  der  durch 
GiJj,  Gl  Kl  mit  kl  durch  Strahlen  aus  A^  oder  durch  Hilfslinien 
(so  bei  Li)  bestimmt. 

553.    Äufg.    Die  Perspektive  eines  auf  die  Grundrißebene  auf- 
gestellten geraden  Kreiscylinders  mit  seinen  Schatten  hei  ParcMelbeleuch' 
ttmg  0u  bestimmen. 
pig.  224.  Aufl.    Sind  wieder  g  die  Grundlinie,    h  der  Horizont,    A  der 

Augenpunkt,  A^  das  aufgeklappte  Auge,  2),  2>'  die  Distanzpunkte, 
Ai  der  umgelegte  Grundriß  des  Auges  0,  so  daß  Abstand  gAi^^ 
AA^  =  AD  «a  AD'  =»  der  Distanz,  und  daß  AiB  «=  n,  (||  h)  die 
Gegenaxe  des  Grundrisses  ist  Sei  in  der  umgelegten  Grundrißebene 
kl  der  Grundkreis  des  Cylinders,  Mi  sein  Mittelpunkt,  so  ist  wieder 
MiMqB  J_g  gezogen,  mit  g  in  Jf^,  mit  Uy  in  B  geschnitten,  und 
dann  sind  mittelst  des  um  ki  beschriebenen  Paralleltrapezes,  wie  in 
der  vor.  Nr.,  die  Axen  der  Perspektive  k'  des  Grundkreises  bestimmt 
Dabei  ist  G'  der  Mittelpunkt  von  k'  und  M'  die  Perspektive  von 
Ml .  Um  die  auf  g  senkrechten  Tangenten  an  k\  d.  i.  die  Umrisse 
des  Cylinders,  genau  zu  verzeichnen;  beachte  man  (549),  daß  sie 
durch  die  Schnittpunkte  der  aus  Ai  an  ki  gezogenen  Tangenten  mit 
g  gehen.  Zur  Abbildung  des  oberen  Grenzkreises  l  des  Cylinders 
ziehe  man  aus  Mq,  M\  G'  Senkrechte  zu  g  und  trage  auf  der  erste- 
ren  (MqB)  die  gegebene  Höhe  des  Cylinders  nach  dem  Maßstabe 
der   Bildfläche  ^^  MqPq   auf;    dann   schneidet   die  PqA   auf  jenen 


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1 


XII,  668.    Perspektive. 


609 


anderen  Senkrechten  die  Punkte  P',  «T  ein,  welche  bezw.  die  Abbil- 
dungen der  Mittelpunkte  des  Kreises  l,  und  der  abbildenden  Ellipse  V 
sind,  letzteres y  weil  JT  den  in  PqÄ  liegenden  Durchmesser  der  V 
halbiri  Um  die  Axen  von  V  auf  dieselbe  Weise  wie  für  k'  zu  ermit- 
teln, müßten  wir  die  Ebene  des  i,  deren  Spur  in  P  die  durch  Po^g 

Fig.  224. 


^ 


^' 


'jS^JaMß''''"' 


I 


P  ^ 


gezogene  i  ist,  um  i  in  P  umlegen;  dabei  käme  l  nach  dem  (nicht 
verzeichneten)  Kreise  Zj,  und  es  müßte  in  M^P^  ein  dem  B  ent- 
sprechender Punkt  in  einem  Abstände  von  P^  «»■  JKJj  JB  bezeichnet 
werden.  Schieben  wir  aber  die  erhaltene  Figur  in  der  Richtung 
A^A^  herunter,  bis  i  nach  g  gelangt,  also  um  die  Länge  P^M^y  so 
gelangt  \  in  \y  jener  dem  B  entsprechende  Punkt  nach  JB,  A  nach 
A'  und  A^  nach  ^',  wenn  -4J.'-=  A^A^^^P^M^^  und  die  an  Zj 
auszufahrenden  Konstruktionslinien  gelangen  in  die  an  \  schon  aus- 
geführten. Zugleich  gelangt  eT  nach  J"  {X  J*'  #  Po-Mq),  dem  Mittel- 
punkte der  verschobenen  Ellipse  V  \  und  für  diese  konstruirt  man 
die  Axen  J*"C",  J"F"  mittelst  des  durch  J3"  und  J"  gelegten  Kreises. 

Wiener,  Lehrbuch  der  danteUenden  Geometrie.  IL  39 


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610    XII,  563—666.  Axonometr.  u.. schiefe  Projektion,  Perspektive  kr.  Flächen. 

dessen  Mittelpunkt  auf  g  liegt^  schiebt  sie  nach  JTC'j  J'F'  hinauf 
und  verzeichnet  durch  sie  die  V. 

554.  Um  nun  die  Schatten  zu  ermitteln,  nehme  man  den 
Fluchtpunkt  8  der  Lichtstrahlen  y  d.  i.  auch  die  Abbildung  des  Son- 
nenmittelpunktes  an;  die  Projektion  8'  des  8  auf  Ä  ist  dann  der 
Fluchtpunkt  der  Horizontalprojektionen  der  Lichtstrahlen  (I,  539). 
Der  Schatten  P^  von  P  auf  die  Grundrißebene  ist  der  Schnittpunkt 
von  P'S  mit  M'8\  Der  Schatten  des  Kreises  l  auf  P^  ist  ein  um 
P^  als  Mittelpunkt  mit  dem  Halbmesser  jenes  Exeises  beschriebener 
Ereis.  Von  seiner  Abbildung  erhält  man  eine  zu  h  parallele  Halb- 
sehne P^Qi,  wenn  man  eine  passend  durch  P^  gelegte  Gerade,  etwa 
P^8  mit  g  in  Pq  und  mit  h  in  P^  schneidet,  auf  g  die  PqQq  gleich 
dem  Kreishalbmesser  M^Bi  aufträgt,  und  Q0P2  mit  Pj  ^^  in  Q^ 
schneidet  Durch  Linien  aus  Pj,  Qi  und  dem  in  Bezug  auf  Pj 
symmetrischen  Punkte  des  Q^  nach  J.,  durch  Linien  aus  P  nach  D 
und  D',  und  durch  zwei  Parallele  zu  g  erhält  man  die  Abbildung 
eines  um  den  Kreis  beschriebenen  Quadrates,  und  dies  genügt  zur 
Verzeichnung  der  Ellipse  in  unserem  Falle,  wo  sie  so  schmal  ist  In 
anderen  Fällen  könnte  man  noch  das  zweite  Quadrat  abbilden  oder 
die  Axen  konstruiren.  —  Die  beiden  aus  5'  an  h'  gelegten  Tan- 
genten müssen  auch  die  Ellipse  (P^)  berühren  und  sind  die  Schlag- 
schattengrenjsen  des  Cylinders.  Die  Eigenschattengreneen  gehen  durch 
ihre  Berührungspunkte  auf  k\  wie  JB',  und  liegen  auf  dem  zum 
Grundriß  der  Lichtstrahlen  senkrechten  Durchmesser  M  Nj  wenn 
N  auf  A  als  Fluchtpunkt  dieser  Senkrechten  durch  A^N±.Ä^S' 
bestimmt  wird.  Man  konnte  auch  R'  aus  seinem  Grundrißpunkte 
JBi  ermitteln  durch  Mt^B^±A^S\  B'  auf  B^A^. 

555,  Zum  Folgenden  haben  wir  die  Auflosung  nötig  von 
folgender 

Aufg,  Aus  fünf  gegAenen  Punkten  oder  Tangenten  eines  Kegd- 
sdmittes  seine  Ästen  0u  bestimmen.  In  I,  378  wurde  eine  Auflösung 
gegeben;  die  hier  gegebene  schließt  sich  mehr  den  gegenwärtigen 
Konstruktionen  an. 

Aufl.  Man  bestimme  zuerst  nach  dem  Satze  von  Pascal  oder 
Brianchon  in  dreien  der  Punkte  die  Tangenten  bezw.  auf  dreien  der 
Tangenten  die  Berührungspunkte.  Man  könnte  auch  von  drei  Tim- 
genten  a,  6,  c  und  ihren  Berührungspunkten  -4,  -B,  C  fünf  Stücke 
willkürlich  annehmen,  und  das  sechste  nach  I,  325,  3)  herleiten. 
Fi«.  225.  Seien  etwa  die  a,  6,  c,  welche  das  Dreieck  AiB^Ci  bilden,  sowie  JB,  C 
gegeben,  so  wird  A  dadurch  bestimmt,  daß  AA^  durch  den  Schnitt- 
punkt von  BB^  und  0(7,  geht    Nun  ermittle  man  die  zu  c  paral- 


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XII,  555.    Perspektive. 


611 


lele  Tangente  d  nach  I,  381,  indem  man  den  unendlich  fernen  Punkt 
der  c  mit  C^  verbindet,  diese  Linie  mit  BG  in  JS,  dann  B^E  mit  6 
in  F  schneidet  und  durch  i^  die  df  |  c  zieht;  ihr  Berührungspunkt  T) 
liegt  ?k\dAE,    Nun 

ist  CT)  ein  Durch-  ^^*^'  ^^^• 

messer  und  sein  Mit- 
telpunkt M  auch  der 
Mittelpunkt  des  Ke- 
gelschnittes A:.  Die- 
ser kann  jetzt  aus 
dem  Durchmesser 
CD,  seinen  Endtan- 
genten c,  d^  und 
durch  einen  weiteren 
seiner  Punkte,  etwa 
A  (den  entfernteren 
von  C  und  D)  bestimmt  werden,  indem  man  zunächst  die  Ordinate 
-4 G  Je  bis  ö  auf  CD  zieht 

Der  Kegelschnitt  Ä  ist  eine  Ellipse,  Hyperbel  oder  Parabel, 
wenn  bezw.  G  auf  der  endlichen  Strecke  CD,  oder  auf  der  unendlichen 
CB^  oder  wenn  C  oder  D  im  Unendlichen  liegt.  Im  ersteren  Falle 
wird  von  der  i?Zfojps6  der  konjugirte  Halbdurchmesser  ikTS"  (551)  in 
der  in  der  Figur  angegebenen  Weise  bestimmt,  und  daraus  werden  die 
Axen  ermittelt  (I,  377).  —  Im  zweiten  Falle  werden  von  der  Hyperbel  ^ig.  »e. 
die  Asymptoten  nach  dem 
auch  für  schiefe  Koordinaten 
geltenden  Verfahren  der  Nr. 
1,371  bestimmt,  indem  man 
MJ\\  GA  und^tT'II  CDzieht, 
beide  Linien  in  J  schneidet, 
JK±JA  und  =  MC  macht, 
und  H  und  H^  auf  JA  durch 
KH  =  KHy^ = JA  bestimmt; 
MH  und  MH^  sind  dann  die 

Asymptoten.  Nun  ermittelt  man  die  Excentricität  e,  indem  man 
die  Tangente  in  C{}\GA)  mit  den  Asymptoten  in  Pund  Q  schneidet; 
dann  ist  c*  =  MB.  MQ  =  MN  (I,  365),  wenn  man  an  BM  die 
MQ^  =  MQ  angesetzt,  über  P^j  als  Durchmesser  einen  Halbkreis 
beschrieben  und  dessen  auf  BQ^  senkrechte  Ordinate  MN  gezeich- 
net hat.  Der  aus  M  durch  N  gezogene  Kreis  (geht  durch  die  Brenn- 
punkte und)  schneidet  auf  den  Asymptoten  Punkte  ein,  unter  deren 
Verbindungslinien  zweier  sich  die  beiden  Scheiteltängenten  befinden. 

39* 


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612     XII,  665— 556.  Axonometr.  u.  schiefe  Projektion,  Perspektive  kr.  Flächen. 

Die  Axen  zeichnet  man  dann  senkrecht  und  parallel  zu  diesen  Tan- 
genten. —  Wird  in  Fig.  225  BiE^b,  so  fallen  F,  d,  D  ins  un- 
endliche^ die  Kurve  wird  eine  Parabel,  ihre  Axe  ist  mit  AE  par- 
allel und  wird  nach  I^  380  bestimmt. 

556.    Äufg.    Die  Perspektive  eines  auf  die  Chrundrißebene  geneigt 
gegen  die  Bildfläche  aufgelegten  geraden  Kreiscylinders  mit  seinen  Schat- 
ten bei  Parallelbeleuchtung  0u  bestimmen. 
Fig.  227.  Aufl.    Sind  wieder  g  die  Grundlinie,   h  der  Horizont,   A  der 


Fig.  227. 


zr+ 


l* 


:**. 


4  -'fe?v:^ 


— ji- 


Augenpunkt,  ist  femer  -^  das  reducirte  umgeklappte  Auge  (I,  542), 

Ä  A    F 

wobei  A-~  JLh  und  =  ^  Distanz,  ist  -^  y  parallel  zu  dem  Grund- 

F 

risse  der  Erzeugenden   des  Cy linders,   so  bildet  —  den   reducirten 

F 

Fluchtpunkt,  während  der  Fluchtpunkt  F  durch  J.i^=  2 .  -A  —  be- 


stimmt ist. 


Zieht  man  4^  ^  JL  4^  f,  und  macht  AF,  - 


•  2.A 


Fx 


2      2-^22' ^ --^  1  —  «  .  -c*  2   , 

so  ist  F^  der  Fluchtpunkt  der  (auf  den  Erzeugenden  senkrechten) 
Grundrißlinie  der  Grundfläche  des  Cylinders.  Sei  BMCjLg  die 
Spur  dieser  Grundfläche  in  der  Bildfläche  T,  B  in  g,  BM=MC 
=  dem  Halbmesser  des  Grundkreises  Je,  so  sind  BFi,  CF^,  MFi 
die  Abbildungen  der  horizontalen  Tangenten  und  der  horizontalen 
Mittellinie  des  Grundkreises.     Der  Teilungskreis  zu  Fi  ist  der  aus 


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XII.  Ö-Se-ÖÖT.    Perspektive.  613 

i^i   als  Mittelpunkt  durch  A^   oder  mit  dem  Halbmesser  2  •  -^  =^ 

beschriebene  Kreis;  er  schneidet  den  Horizont  h  in  dem  Teilungs- 
punkte Ti'  und  die  zu  h  Senkrechte  F^ 2\'  in  T/  un4  in  dem  nicht 
erreichbaren  Punkte  T|.    Den  letzteren  ersetzt  man  durch  den  auf 

T 
AT^  liegenden  reducirten  Teilungspunkt  -— y   indem  man  die  zu  h 

TP    T  TP  A 

Senkrechte  -^  -^  ^^*  ^®™  ^^^  "ö^  durch  —^  gezogenen  Kreise   in 

T 

-~  schneidet     Trägt  man  nun  den  Abstand  des  Mittelpunktes  des 

Grundkreises  von  dem  Punkte  M  der  P  auf  BC  als  ME  und  ME' 
auf,  so  bestimmen  ET^,  E'T^  auf  MF^  die  Abbildung  M'  dieses 
Mittelpunktes ;  bilden  die  Diagonalen  des  dem  Kreise  %  umschriebe- 
nen aufrechten  Quadrates,  schneiden  daher  auf  JB2^i,  CF^  die  Eck- 
punkte der  Abbildung  dieses  Quadrates  ein,  so  daß  man  seine  auf 
g  senkrechte  Seiten  ziehen  kann.  Um  aus  E  die  nach  dem  nicht 
erreichbaren  Punkte  2\  gehende  Gerade  zu  ziehen,   trage  man  auf 

AE  die  ^  y  =  i^-E  auf;  dann  ist  ET^  \  ~  -^.  MF^  enthält  nun 

einen  Durchmesser  der  abbildenden  Ellipse  V  des  Ä;;  seine  Mitte  G^ 
ist  der  Mittelpunkt  der  V^  und  man  bestimmt  nach  551  den  zu 
MF^  konjugirten  Halbdurchmesser  und  daraus  die  Axen  der  V.  Der 
Auflagerungspunkt  ist  B'  auf  BF^  (M'B'±g). 

Zum  Perspektiven  Abtragen  der  Länge  des  Cylinders  konnte 
man  den  zum  Fluchtpunkte  F  gehörigen,  auf  h  liegenden  Teilungs- 
punkt T  benutzen,    welcher   durch  FT=  FAq  bestimmt  ist  und 

durch  AT ^=2  ,  aIy)   konstruirt  wird,    wenn  in  übereinstimmen- 

TP  I  'V\  TP   A 

dem  Sinne  y  ( yj  «=  —  —^  gemacht  wurde.   Da  aber  der  Raum  zum 

Abtragen  der  Längenmaße   nicht  ausreicht,   so   benutze   man    den 

T  T 

reducirten  Teilungspunkt  -^,  bestimmt  durch  JP'— =  ^i^T,    kon- 

TP  T  i  T\ 

struirt  durch  -—  y  =  ^  (— j.  Um  nun  auf  der  Auflagerungserzeugenden 
B'B"  ihre  Länge  perspektiv  abzuschneiden,  ziehe  man  y  B'  bis  -y 
auf  ^,  trage  auf  ^  in  dem  zur  Erstreckungsrichtung  des  Cylinders  ge- 

S    S  H     T 

hörigen  Sinne  dessen  halbe  Länge  als  -y  -^  *^f>  ^^  bestimmt  -y  y 

auf  B'B"  den  Endpunkt  B'\  Mittelst  seiner  bildet  man  das  dem 
zweiten  Grundkreise  umschriebene  aufrechte  Quadrat  ab,  und  be- 
stimmt wieder  daraus  die  Axen  der  abbildenden  Ellipse. 

557*  Zur  Schattenbestimmung  nehme  man  S  und  S'  als  Flucht- 
punkte der  Lichtstrahlen  und  ihrer  Grundrisse  an.   Den  Schlagschatten 


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614    Xn,  657—668.  Axonometr.  u.  schiefe  Projektion,  Perspektive  kr.  Flächen, 

Äj  des  Grundkreises  h  ermittelt  man  aus  dem  in  bekannter  Weise 
konstruirten  Schatten  des  dem  h  umschriebenen  Quadrates  und  seiner 
Mittellinien.  Die  Axen  der  Ellipse  \  konstruirt  man,  wenn  ihre 
Größe  es  lohnt,  und  zwar  nach  Nr.  555,  wobei  wir  uns  auf  das 
umschriebene  Dreieck  F^HJ  mit  den  Berührungspunkten  J5',  X,  L 
seiner  Seiten  stützen  wollen,  dessen  Linien 'fl" «7  und  B'L  nach  S' 
laufen.  Wir  ziehen  JN  ||  HF^  bis  N  auf  B'L,  SN  bis  P  auf  JF^, 
PQ  1  HFi,  KN  bis  Q  auf  PQ,  so  ist  B' Q  ein  Durchmesser;  aus 
ihm,  seinen  Endtangenten  HF^,  PQ,  und  dem  Punkte  K  bestimmen 
wir  dann  die  Axen. 

Die  EigensckaMmgrenzen  des  Cylinders  sind  diejenigen  Erzeugen- 
den desselben,  nach  welchen  er  von  Ebenen  berührt  wird,  die  par- 
allel zu  den  Lichtstrahlen  liegen.  Die  Fluchtlinie  dieser  Ebenen  ist 
die  Verbindungslinie  der  Fluchtpunkte  F  und  S  der  bestimmenden 

(F  ^  \ 

FS  II  Y  T  ^^^^  ^)  5  ^^^  Fluchtlinie   der  Grundkreisebene 

ist  jPi  T/,  und  der  Schnittpunkt  U  beider  Linien  ist  der  Fluchtpunkt 
der  Schnittlinien  der  beiderlei  Ebenen.  Der  Durchmesser  des  Grund- 
kreises, welcher  senkrecht  auf  diesen  Schnittlinien  steht,  hat  daher 
U'  zum  Fluchtpunkte,  wenn  T/'  der  vorhin  bestimmte  zu  F^  ge- 
hörige auf  h  liegende  Teilungspunkt  ist,  und  wenn  U'  auf  F^  U 
durch  Tj"  Z7'  J_  T^"  U  bestimmt  wird.  Denn  nach  T^'  gelangt  das 
Auge  0  bei  der  Umlegung  der  Ebene  OF^  T/  in  P.    Der  unerreich- 

bare  Punkt  ü'  könnte  leicht  durch  -^  ersetzt  werden.    Der  in  M'V 

abgebildete  Ereisdurchmesser  bestimmt  dann  die  Berührungspunkte 
auf  Ä',  wie  ü';  R'F  ist  dann  eine  Eigenschattengrenze.  Der  Schlag- 
schatten jßj  von  R  kann  auf  \  ermittelt  werden;  durch  ihn  geht 
die  ScMagschxttengrmze  des  Cylinders.  Den  Schlagschatten  des  zwei- 
ten Grenzkreises  kann  man  vne  den  des  ersten  ermitteln.  Häufig 
genügt  die  Verzeichnung  eines  kleinen  Stückes;  in  unserem  Falle 
ist  er  ganz  verdeckt. 

558.  Aufg.  Ein  Kreuzgewölbe  in  gerader  Stellung  gegen  die 
Bildfläche  in  Perspektive  m  setzen  und  die  darin  auftretendem  Schatten 
iei  Parallelbeleuchtung  m  bestimmen. 

Aufl.  Ein  Kreuzgewölbe  wird  gebildet  durch  zwei  sich  durch- 
dringende Tonnengewölbe  (mit  cylindrischen  Wölbungsflächen),  welche 
dieselbe  Anfangsebene  und  gleiche  Höhen  besitzen.  In  unserem  Falle 
mögen  die  Gewölbaxen  auf  einander  senkrecht  stehen,  und  die  senk- 
rechten Schnitte  beider  Wölbungsflächen  (gleiche)  Halbkreise  bilden. 
Das  Kreuzgewölbe  liegt  dann  über  einem  Quadrate,  die  Schnittlinien 
der  Wölbungsflächen,   das    sind   die  Gratlinien   des  Kreuzgewölbes, 


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XII,  658.    Perapektive. 


615 


projiciren  sich  in  die  Diagonalen  des  Quadrates  und  sind  halbe  El- 
lipsen. Die  Eckpfeiler  seien  ebenfalls  quadratisch,  und  der  ganze 
Bau  freistehend  als  doppelter  Durchgang  behandelt,  um  den  Licht- 
strahlen und  der  Schattenkonstruktion  mehr  Raum  zu  geben.     Die  Fig.  2ds. 


Fig.  228. 


-4 


Bildfläche  P  sei  in  die  vordere  Frontfläche  gelegt;  sie  zeigt  von 
der  entgegenstehenden  Wölbungsfläche  den  begrenzenden  Halhhreis 
BEC  mit  seinem  Mittelpunkte  My  sowie  die  Frontflächen  zweier 
Pfeiler  und  zwei  Eckkanten  FF^^  GG^,  Der  Augenpunkt  Ä  liege 
im  Inneren  der  Öfi^nung,  h  sei  der  Horizont,  D,  D'  die  Distanz- 
punkte, g  die  Grundlinie.  Schneidet  man  die  Linie  des  Anfangs- 
durchmessers BC  des  Fronthalbkreises  mit  den  Eckkanten  in  B^,  C^, 
so  bestimmen  die  aus  5,  C,  JBj,  Cj  nach  -4,  und  die  aus  JBj,  G^ 
nach  D  und  D'  gezogenen  Linien  die  in  der  Anfangsebene  des  Ge- 
wölbes liegenden  Quadrate*,  von  ihren  Eckpunkten  zieht  man  dann 


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616    XII,  558—559.  Axonometr.  u.  schiefe  Projektion,  Perspektiye  kr.  Flächeo. 

die  Kanten  der  Pfeiler  abwärts  und  begrenzt  sie  durch  die  ent- 
sprechenden nach  A  laufenden  Linien  der  durch  g  gehenden  Grund- 
rißebene. 

Der  HaJbhreis  in  der  hinteren  Flache  bildet  sich  als  Halbkreis 
ab;  die  Halbkreise  in  den  Seitenflächen  und  die  elliptischen  Grair 
linien  als  Ellipsen ,  die  man  mittelst  horizontaler  Hilfsebenen  erhalt^ 
welche  man  durch  Punkte  des  Frontkreises,  wie  durch  P,  legt.  Eine 
solche  schneidet  die  Frontebene  in  PF^  ||  Ä,  eine  Eckkante  in  P^, 
eine  Seitenfläche  in  Pi-4,  die  (vertikale)  Diagonalebene  einer  Grat- 
linie in  PiD\  die  entgegenstehende  Wölbungsfläche  in  PA,  so  daß 
(fer  Schnittpunkt  P3  von  P^D'  und  PA  einen  Punkt  einer  Gratlinie, 
und  der  Schnittpunkt  P,  der  noch  zu  ziehenden  PD  mitPjJ.  einen 
Punkt  des  Seitenkreises  abbildet;  denn  PP^  muß  parallel  mit  einer 
Diagonale  der  horizontalen  Quadrate  sein.  Zudem  besteht  die  Probe 
P^P^lh,  weil  diese  Linie  eine  Schnittgerade  jener  Hilfsebene  mit 
der  quers^ehenden  Wölbungsfläche  darstellt  Auf  diese  Weise  erhält 
man  durch  jede  horizontale  Hilfsebene  vier  Punkte  der  seitlichen 
Ellipsen  und  vier  der  Gratlinien.  Zugleich  bemerkt  man,  daß  in 
der  Abbildung  die  Seitenkreise  und  die  Gratlinien  perspektiv-kolli- 
near  mit  dem  Frontkreise  sind,  mit  den  Eckkanten  als  Äxen  und 
bezw.  mit  D,  D\  A  als  Mittelpunkten  der  KoUineation. 

559«  Die  Tangenten  der  Kurven  in  den  konstruirten  Punkten 
erhält  man  aus  der  Kreistangente  in  P;  diese  schneide  man  mit 
einer  Eckkante  GG^  in  Q  und  mit  dem  vertikalen  Halbmesser  ME 
des  Fronthalbkreises  in  T,  Dann  gehen  die  Tangenten  einer  Seiten- 
ellipse in  P2  und  die  einer  Gratlinie  in  P3  durch  den  Punkt  Q  der 
Kollineationsaxe  GG^^  und  die  Tangenten  in  den  anderen  Punkten 
jener  Kurven,  die  in  der  Horizontalebene  von  P  liegen,  gehen  durch 
die  Punkte  Qi,  .  .  der  anderen  Eckkanten,  welche  in  der  Horizontal- 
ebene von  Q  liegen.  Schneidet  man  andererseits  die  TA  mit  der 
vertikalen  Mittellinie  des  ganzen  Baues,  welche  durch  den  Schnitt- 
punkt der  Diagonalen  des  Quadrates  der  Anfangsebene  geht,  in  T|, 
so  gehen  durch  T^  die  Tangenten  in  den  vier  Punkten  der  Grat- 
linien, wie  in  P^.  Doch  erhält  man  Tj  genauer  durch  TT^  |  Ä  bis 
zu  Tg  auf  GGj^,  und  T2D'  bis  I\  auf  jener  Mittellinie. 

Im  Ganzen  genügen  drei  horizontale  Hilfsebenen,  die  schon 
gelegte  Anfangsebene,  die  Ebene  durch  den  Kreisscheitel  E,  und 
eine  durch  die  Mitten  der  Viertelkreise  B  Ey  CE,  wie  durch  P. 
In  den  Kurvenpuukten  der  ersten  Ebene  laufen  die  Tangenten  ver- 
tikal, in  denen  der  zweiten  laufen  sie  in  den  Seitenellipsen  nach  J, 
in  den  in  einem  Doppelpunkte  E^  zusammenfallenden  Punkten  der 
Gratlinien  nach  Z)  und  D\ 


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XII,  669— Ö60.    Perspektive.  617 

Die  scheinbar  höchste  Erzeugende  oder  den  scheinbaren  Umriß 
der  queren  Wölbungsfläche  erhält  man  durch  eine  an  dieselbe  aus 
dem  Auge  0  gelegte  Berührungsebene.  Dieselbe  enthält  eine  dur^b 
0  parallel  zu  h  gelegte  Gerade,  und  diese  schneidet  eine  Seiten- 
fläche in  einem  Punkte  H,  dessen  Projektion  auf  die  Bildfläche  F 
der  Schnittpunkt  H^  von  h  mit  der  Eckkante  GG^  ist  Legt  man 
nun  aus  H  eine  Tangente  an  den  Seitenkreis ,  welche  den  Kreis  in 
«T  berührt  und  die  GG^  in  J^  schneidet,  so  ist  die  |  h  durch  J*j 
gezogene  Gerade  die  gesuchte  scheinbar  höchste  Erzeugende  JiJ^* 
Man  erhält  diese  Punkte  am  besten,  wenn  man  die  Seitenfläche  um 
GG^  in  "P  umlegt;  dabei  kommt  der  Seiteukreis  in  den  Frontkreis, 
H  kommt  nach  H2  auf  A,  wenn  man  auf  h  im  Sinne  von  AHi  die 
H^H^  =  AD  aufträgt.  Die  Tangente  aus  jff,  an  den  Frontkreis 
berührt  diesen  in  J  und  schneidet  die  GG^  in  cTj.  Beim  Zurück- 
drehen gelangt  die  Tangente  J^J  nach  JiJ^,  J  nach  «7,  auf  JD] 
und  auf  J^J^  erhält  man  die  vier  Berührungspunkte  dieser  Geraden 
mit  den  vier  verzeichneten  Ellipsen,  so  noch  J^. 

Auf  diese  Weise  erhält  man  für  jede  der  vier  halben  Ellipsen 
sechs  Punkte  mit  den  Tangenten  und  kann  durch  Anlegen  des  Kurven- 
lineals zwischen  zwei  benachbarte  Punkte  unter  Beachtung  des  Sin- 
nes der  Zunahme  der  Krümmung  die  Kurve  sehr  gut  zeichnen.  Die 
etwa  noch  auftretende  Unstetigkeit  der  Kurven  ist  dann  durch  die 
Ungenauigkeit  der  konstruirten  Elemente  verursacht  Wir  wollen 
nachher  auch  die  Axen  ermitteln. 

560.  Soll  bei  den  Schattenbestimmungen  der  Lichtstrahl  so  an- 
genommen werden,  daß  der  Schatten  des  Anfangspunktes  B  des 
Frontkreises  in  den  gewählten  Punkt  Bi  einer  Seitenfläche  des  dia- 
gonal gegenüberstehenden  Pfeilers  fällt,  so  ist  BB^  ein  Lichtstrahl 
und  B^Bq  sein  Grundriß,  wenn  B^  der  Fußpuukt  der  Pfeilerkante 
BB^,  und  Bq  der  Fußpunkt  der  Vertikalen  B^B^  auf  der  Grund- 
linie jener  Seitenfläche  ist.  Die  Gerade  B^B^  bestimmt  dann  auf  h 
den  Fluchtpunkt  S'  der  Grundrisse  der  Sonnenstrahlen,  und  BBi 
auf  der  Vertikalen  aus  S'  den  Fluchtpunkt  S  der  Sonnenstrahlen. 

Um  zuerst  den  Schatten  des  Frontkreises  auf  die  Frontfläche 
jenes  gegenüberstehenden  Pfeilers  zu  erhalten,  schneidet  man  B^S' 
mit  der  (Verlängerung  der)  Grundlinie  dieser  Fläche  in  B^,  und  die 
durch  J?4  gezogene  Vertikale  mit  BS  in  £5,  so  ist  B^  der  Schatten 
von  B.  Ebenso  ist  M^  der  von  M,  wenn  B^M^  ||  Ä  und  Mi  auf 
MS.  Der  gesuchte  Schatten  des  Frontkreises  ist  dann  der  aus  M^ 
durch  JB5  gelegte  Kreis,  wovon  nur  das  kleine  Stück  KV  auf  der 
Frontfläche  bis  zu  den  Grenzkanten  ausgezogen  wird.  Der  Schatten 
auf  die  Seitenfläche   des   Pfeilers   ist   der   elliptische  Bogen  BiK, 


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618    XII,  560—561.  Axonometr.  u.  schiefe  Projektion,  Perspektive  kr.  Flächen. 

dessen  Tangente  in  B^  vertikal  und  in  K  die  KLi  ist,  woraus  er 
genügend  bestimmt  erscheint.  Um  einen  Punkt  L^  von  KL^  zu 
ermitteln,  beachte  man,  daß  die  Schatten  aller  mit  h  parall^en 
Linien  auf  Ebenen,  parallel  zu  den  Seitenflächen  des  Bauwerkes,  den 
Punkt  Si  zum  Fluchtpunkte  haben.  Denn  die  Lichtstrahlenebene 
einer  solchen  Kante  hat  die  Verbindungsgerade  S/Sj  des  S  mit  dem 
Fluchtpunkte  der  Kante  (unendlich  fern  auf  h)  zur  Fluchtlinie,  und 
jene  Seitenfläche  die  Vertikale  AS^'j  der  Schnittpunkt  S^  beider  ist 
daher  jener  Fluchtpunkt  (I,  539).  Schneidet  man  nun  die  Tangente 
des  aus  M^  durch  B^  (und  K)  gezogenen  Kreises  in  K  mit  M^B,, 
in  L,  so  ist  der  Schatten  von  MB  und  von  M^B^  auf  die  frag- 
liche Pfeilerseitenfläche  die  B^S^  (welche  die  B^Mi  auf  einer  Pfeiler- 
kante triflft),  und  ihr  Schnittpunkt  L^  mit  LS  ist  der  Schatten 
von  L. 

561.  Suchen  wir  sodann  den  Schatten  des  Frontkreises  in  die 
entgegenstehende  WöUmngsfläche.  Wir  legen  durch  einen  Punkt  1  des 
Kreises  den  Lichtstrahl  1 S,  durch  diesen  parallel  zu  den  Erzeugen- 
den (Fluchtpunkt  A)  der  Wolbungsfläche  eine  Ebene;  ihre  Flucht- 
linie ist  AS,  Diese  Ebene  schneidet  daher  die  Front-  und  Bild- 
fläche F  in  der  zu  AS  Parallelen  12,  sie  schneidet  den  Frontkreis 
noch  in  2  und  jene  Wölbungsfläche  in  2A,  deren  Schnittpunkt  3 
mit  1/S»  der  gesuchte  Schatten  von  1  ist.  Der  Grenzpunkt  des  Schlag- 
schattens liegt  offenbar  im  Berührungspunkte  4  des  Frontkreises  mit 
einer  Parallelen  zu  AS,  d.  i.  in  dem  zu  AS  senkrechten  Halbmes- 
ser Jf  4,  (Man  bestimmt  zuerst  4,  dann  4  2  =  14.)  —  Der  Schat- 
ten des  Kreises  in  die  Wölbungsfläche  ist  ein  Kegelschnitt.  Denn 
sie  ist  die  Schnittlinie  des  Wölbungscylinders  mit  dem  Lichtstrahlen- 
cylinder;  und  da  beide  schon  den  Frontkreis  gemein  haben,  so  ist 
der  zweite  Ast  ihrer  Schnittkurve,  d.  i.  jener  Schatten,  ebenfalls  ein 
Kegelschnitt.  Derselbe  ist  im  Baume  affin  mit  dem  Frontkreise, 
weil  sich  beide  durch  die  parallelen  Lichtstrahlen  auf  einander  pro- 
jiciren;  in  der  Perspektive  sind  beide  kollinear  mit  S  als  Mittelpunkt 
und  mit  MA  als  Axe  der  Kollineation.  Daher  schneiden  sich  die 
Tangenten  der  Kurven  in  ihren  entsprechenden  Punkten  1  und  3  in 
dem  Punkte  5  der  MA,  wodurch  die  Tangente  3  5  bestimmt  ist; 
und  schneidet  man  die  Kreistangente  in  4  mit  1  5  in  6,  projicirt  6 
aus  S  auf  3  5  in  7,  so  ist  4  7  die  Kurventangente  in  4.  Daraus 
kann  man  den  Bogen  4  3  überaus  genügend  genau  zeichnen;  derselbe 
wird  bis  zum  Punkte  R  einer  Gratlinie  ausgezogen.  Dabei  wählt 
man  1  so,  daß  3  nahe  bei  dieser  Gratlinie  liegt. 

Den  gleichartigen  Schatten  an  der  dem  S  gegenüberliegenden 
Seitenfläche  könnte  man  dort  unmittelbar  in  entsprechender  Weise 


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XII,  661.    Perspektive.  619 

bestimmen ;  wobei  an  die  Stelle  der  parallelen  Geraden  12  solche 
mit  dem  Fluchtpunkte  S^  treten  würden.  Genauer  aber  erhält  man 
denselben,  wenn  man  den  Bau  um  die  Eckkante  FF^  so  gedreht 
denkt,  daß  der  Seitenkreis  in  den  Frontkreis  gelangt  Um  dabei 
den  Lichtstrahl  in  gleichem  Sinne  um  90^  zu  drehen,  denke  man 
sich  den  Strahl  durch  OS^  (0  das  Auge)  und  durch  Sj/S  bestimmt 
Die  OSi  kommt  durch  die  Drehung  in  die  Richtung  ÄS^t  wenn 
SS^  II  Ä,  DSa  _L  Ä,  und  ÄS^  ist  die  gedrehte  Projektion  eines  Licht- 
strahles auf  die  Seitenfläche.  Denkt  man  sich  einen  derartigen 
Lichtstrahl  durch  ein  Auge  0^  gelegt,  welches  von  jener  Seiten- 
fläche des  Baues  einen  Abstand  gleich  der  Distanz  AD  besitzt, 
und  welches  (OJ  bei  der  Drehung  um  FF^  nach  ö  gelangt,  so 
ergibt  sich  die  Tiefe  der  Spur  jenes  durch  0^  geführtefi  Lichtstrah- 
les in  der  Seitenfläche  unter  dem  Horizonte  gleich  DS^,  wenn  Sq 
auf  AS  und  auf  DS^.  Nach  der  Drehung  liegt  daher  jene  Spur  in 
AS^  und  in  der  Parallelen  S^S^^  zu  h.  Der  Schnittpunkt  S^  beider 
Linien  ist  dann  der  Fluchtpunkt  der  Lichtstrahlen  für  die  Konstruk- 
tion des  Schattens  nach  der  Drehung.  Nun  bestimmt  man  bei  ent- 
sprechenden Ziffern  4'  durch  Jlf4'JL.4/S'4,  4'2'=1'4',  3'  auf  2'-4 
und  l'S^f  Kreistangente  1'5'  bis  5'  auf  Jlf4',  3' 5',  Kreistangente 
4'6'  bis  6'  auf  1'5',  7'  auf  3'5'  und  6'S^,  4'7'.  Dreht  man  zu- 
rück, so  gelangen  durch  Strahlen  nach  D\  A'  und  2'  auf  die  Seiten- 
ellipse nach  4",  2";  3"  hegt  auf  2"3"  ||  h  und  auf  3'D',  M'  auf 
B^A  und  MB',  5"  auf  il£"4"  und  5'D',  dann  3"5",  7"  auf  3"5" 
und  auf  1' B\  endlich  4"  7".  Die  Tangente  der  Seitenellipse  in 
4"  läuft  nach  Sj. 

Der  SchlagschaUm  auf  die  Bodenflächey  der  von  der  vorderen 
Öffnung  herrührt,  ist  begrenzt  zunächst  durch  den  Schatten  ^2-^1  ^^^ 
Pfeilerkante  ^2-^;  ^^^  ^^^  Schatten  N^Ri  des  Bogens  NK  IstB^  der 
Grundriß  von  R  (auf  einer  Diagonale  des  Grundquadrates),  so  liegt 
Bi  auf  RS  und  auf  Jßg/S»'.  Die  Tangente  in  R^  geht  durch  den 
Schatten  Ui  des  Schnittpunktes  U  der  Tangente  an  die  Gratlinie 
in  R  mit  der  Eckkante,  und  dieser  wird  durch  den  Frontkreis  be- 
stimmt Die  durch  R  und  V  aus  S  rückwärts  gezogenen  Strahlen 
schneiden  den  Frontkreis  in  R^  und  Fg,  und  der  Schatten  des  Bogens 
JB3F3  fällt  auf  die  Bodenfläche  in  RiVi,  Man  bestimme  noch  den 
Schatten  E^  des  zwischenliegenden  Scheitels  E,  in  welchem  die  Tan- 
gente 0  h  läuft.  Dadurch  ist  der  Bogen  RiE^  Vi  meist  genügend  be- 
stimmt, dessen  Endtangenten  nötigenfalls  aus  denen  in  Ü3,  F,  zuzu- 
fügen wären.  —  Ebenso  bestimmt  man  die  von  der  anderen  Öf&iung 
herrührenden  Schatten  auf  den  Boden,  sowie  die  der  oberen  Bau- 
begrenzung. 


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620    XII,  662—563.  Axonometr.  u.  schiefe  ProjektioD,  Perspektive  kr.  Flächen. 

562.  Die  Deckplatte  werde  von  der  Frontfläche  in  dem  Profil 
i^i  FFi  TT  (rechts  gesondert  gezeichnet)  durchschnitten,  wobei  ^jTFj 
auf  der  Eckkante  FF^  liegt  Durch  W  geht  eine  Kante  WA^ 
deren  Grenzpunkt  W^  in  der  Diagonal-  oder  Gehrungsebene  durch 
W^D  bestimmt  wird.  Sowie  W^  werden  auch  die  übrigen  Eckpunkte 
der  GehruDgslinie  ermittelt,  so  daß  man  diese  Linie  mit  Hilfe  ihrer 
horizontalen,  in  der  Abbildung  nach  B  laufenden  Tangenten  yer- 
zeichnen  kann.  Durch  ihre  Eckpunkte  zeichnet  man  die  Kanten  der 
Deckplatte  einerseits  parallel  zu  h  und  andererseits  laufend  nach  A. 

Die  Schatten  an  der  Deckplatte,  welche  von  den  zu  h  parallelen 
Kanten  herrühren,  erhält  man  (I,  545)  mittelst  der  durch  sie  gehen- 
den Lichtstrahlenebenen,  deren  Fluchtlinie  SS^  ist.  Die  Fluchtlinie 
der  Gehrungsebene  ist  BS^-^  folglich  ist  S^  der  Fluchtpunkt  der 
Schnitte  jener  Lichtstrahlenebene  mit  der  Gehrungsebene.  An  die 
Gehrungslinie  zeichnet  man  daher  die  streifenden  und  berührenden 
Linien  nach  ^2  und  bestimmt  ihre  Schnittpunkte  mit  der  Gehrungs- 
linie. Durch  sie  und  durch  die  Berührungspunkte  laufen  dann  die 
mit  h  parallelen  Schattengrenzen  an  den  vorderen  Flächen  der  Deck- 
platte. —  Die  Lichtstrahlenebenen  der  nach  A  laufenden  Kanten 
haben  AS  zur  Fluchtlinie,  deren  Schnittpunkt  ä,  mit  der  Flucht- 
linie BS^  der  Gehrungsebene  der  Fluchtpunkt  der  Schnittlinien  die- 
ser Lichtstrahlenebenen  mit  der  Gehrungsebene  ist.  Mittelst  ihrer 
bestimmt  man  auch  die  an  den  Seitenflächen  der  Deckplatte  vor- 
kommenden nach  A  laufenden  Schattengrenzen.  —  Zieht  man  dann 
noch  aus  den  Eckpunkten  der  Gehrungslinie  die  Lichtstrahlen  nach 
S,  und  schneidet  sie  mit  den  jedesmal  zugehörigen  Schattenlinien 
auf  den  vorderen  oder  auf  den  seitlichen  Flächen  der  Deckplatte, 
so  erhält  man  noch  Schattenpunkte  der  Gehrungslinie,  welche  mit 
den  auf  der  Gehrungslinie  liegenden  Grenzen  4er  anderen  Schatten- 
linien verbunden  werden  müssen.  Diese  Linien  liegen  in  der  Figur 
auf  den  seitlichen  Flächen  und  sind  nicht  bemerkbar. 

663.    Verzeichnung  der  bei  der  Perspektive  des  Kretizgewölbes  vor- 
kommenden Ellipsen  mittelst  der  Axen. 
Fig.  229.  Bildet  man  die  in  der  Anfangsebene   des  Gewölbes  liegenden 

Quadrate  wie  vorher  ab,  wodurch  die  in  dieser  Ebene  liegenden 
Durchmesser  B^C^^  B^C^  ...  jener  Ellipsen,  entsprechend  demjeni- 
gen BC  des  Frontkreises,  bestimmt  sind,  so  halbire  man  den  größ- 
ten B^Ci  dieser  Durchmesser  in  E^  ermittle  die  vertikale  Ordinate 
EiFi  der  Ellipse  aus  der  entsprechenden  EF  des  Frontkreises,  wo- 
bei E  auf  E^A,  F^  auf  FA  liegen,  und  letztere  genauer  aus  dem 
Punkte  Fq  einer  Eckkante  bestimmt  wird,  wenn  FFq  |  ä,  F^  auf 
FqB'  liegt.    Aus  den  konjugirten  Halbdurchmessem  E^Ciy  E^F^  be- 


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Xir,  663—564.    Perspektive. 


621 


stimmt  man  die  Äxen,  indem  man  (I,  377)  EiG^AdEiFi  und  = 
E,F^  zieht,  G,C^  in  H,  halbirt  und- auf  G^C,  die  H^J^=H,K^ 
=  H^E^  aufträgt;  E^J^  und  E^K^  sind  dann  die  Linien  der  Axen, 
und  die  Halbaxen  sind  bezw.  JEJjjL,  =  G^J^  und  E^N^  ^^^G^K^.  — 

Fig.  229. 


Für  die  gleichartigen  Konstruktionen  der  anderen  Ellipsen  hat  man 
die  Erleichterungen,  daß  E^E^  . ,  und  EfiH2  . .,  sowie  die  gedachte 
Linie  F^F^  . .  (I  ä,  und  daß  E^G^  =  E^G^  =  E,F^,  weil  E^F^  # 
E^Fy^.  Doch  muß  immerhin  die  Halbirung  der  B^C^  durch  E^E^ 
(in  JE^),  sowie  die  von  G^G^  durch  B^H^  (in  H^  geprüft  werden. 
Die  weiteren  Konstruktionen  fOr  die  verschiedenen  Ellipsen  sind  un- 
abhängig von  einander.  Es  muß  auch  die  Probe  zutreffen,  daß  die 
vier  HalbelUpsen  eine  gemeinschaftliche  mit  h  parallele  Tangente 
besitzen. 

564.  Aufg.  Ein  Brückengewölbe  in  schiefer  Stellung  gegen  die 
Bildfläche  mit  den  an  demselben  bei  Parällelbeletichtung  auftretenden 
Schattengrenzen  ^  mit  der  Grenze  der  Beflexbeleuchtung  und  mit  den 
Spiegelbildem  in  Perspektive  zu  setzen, 

Aufl.  Sei  g  die  Grundlinie  und  die  Spur  der  Wasserfläche  P^,  h  der  Fig.  «so. 

Horizont,  A  der  Augenpunkt,  -~  das  reducirte  umgeklappte  Auge, 

schneide  die  Stirnfläche  der  Brücke  die  g  in  B  und  die  Bildfläche  F 
in  BE^  (J.  g),  und  habe  ihre  Grundlinie  den  außerhalb  der  Zeichen- 
fläche liegenden  Punkt  i^(auf  h)  zum  Fluchtpunkte,  wobei  ihre  Rich- 

A      TP  TP 

tung  durch  ^  —  bestimmt  ist  und  AF  =  2  »  Ay  gedacht  wird. 
Da  das  Gewölbe  ein  gerades  sein  soll,  so  haben   die  Erzeugenden 


den  Punkt  F^  der  h  zum  Fluchtpunkte,  bestimmt  durch  T^  -  ^  J.  -  ® 


1^ 


2     2 


F 
2  ' 


AF^  =  2  •  -4-—-    Den  zu  F  gehörigen  Teilungspunkt  T  der  Grund- 


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622    XII,  664.  Axonometa:.  n.  schiefe  Projektion,  Perspektive  krammer  Flächen. 

linie  der  Stirnfläche  bestimmt  man  auf  h  durch  y  ^yj  "^  T  2    "°^ 
ÄT=2  'Ä  (yj;  und  entsprechend  den  zu  F^  gehörigen  T^  der  Er- 


F,  A, 


T, 


zeugenden   durch  JF^Tj  =  2  •  -y  -y,   und  den  reducirten  -y  durch 

/TT  V  Ä 

JP,  -~  =  -y  -y  •     Die  Anfangsebene  der  Wölbungsfläche  P  liege  im 

Wasserspiegel  P^;  durch  diese  Annahme  erhält  man  zusammenhän- 
gende Kurven ;  ohne  die  Allgemeinheit  zu  beeinträchtigen.    Auf  der 

Fig.  230. 


ir 


Grundlinie  BF^  welche  man  mittelst  y  verzeichnet  (556),    trägt 

man  die  Spannweite  BC  des  Gewölbes  perspektiv  auf,  indem  man 
diese  Länge  nach  dem  Maßstabe  der  Bildfläche  auf  g  als  BC^  auf- 
trägt und  C^T  mit  BF  in  G  schneidet.  Halbirt  man  BC^  in  M^, 
so  bestimmt  M^T  auf  BG  die  Abbildung  M  der  Mitte.  Die  Leit- 
linie der  Wölbungsfläche  in  der  Stirnfläche,  d.  i.  die  Stimkurve  sei 
eine  halbe  Ellipse  von  der  Höhe  BE^{A-g)\  die  Abbildung  ihrer 
vertikalen  Halbaxe  ist  dann  ME  (_L  g)y  wenn  E  auf  E^F,  Da  die 
Tangenten  der  Abbildung  Tc  dieser  Kurve  in  B  und  C  vertikal  stehen, 
so  ist  BC  ein  Durchmesser  der  Ellipse  J,  deren  Axen  nach  Nr.  551 
gefunden  werden.     Man  halbirt  nämlich  BC  in  G,   beschreibt  aus 


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Xir,  564—666.    Perspektive.  623 

G  einen  Halbkreis  durch  B  (und  C),  schneidet  ihn  mit  den  1.BC 

gezogenen  ME^y  GH^  in  E^y  Hq,  zieht  die  GH  JLg  und  bestimmt 

auf  ihr  den  Punkt  H  durch  H^H  |  E^E,   Aus  den  konjugirten  Halb- 

durchmessem  GBy  GH  ermittelt  man  dann  die  Axen  der  h  (I,  377). 

Die  Anfangserzeugenden  der  Wolbungsfläche  F  sind  BF^y  CF^y 

und  man  trägt  auf  CF^  perspektiv  die  Länge  CC^  der  Erzeugenden 

auf,  indem  man,  wegen  Raummangels  den  reducirten  Teilungspunkt 

T  T 

-^  benutzend,  C-~  bis  C^  auf  ^  zieht,  C^C^  auf  (jf  gleich  der  halben 

T 

Erzeugenden  macht  und  C5  ~  mit  GF^  in  C^  schneidet;   BF^  und 

C^F  treffen  sich  dann  in  B^.  Zur  Bestimmung  von  konjugirten 
.  Halbdurchmessem  J^B^y  J^J^  (letztere  l.g)  zieht  man  aus  der  Mitte 
cT'j  der  B^C^  die  J^F^  bis  J  auf  BG,  JJ^  l.g  bis  J^  auf  der  k  (die 
man  nach  ihrer  Verzeichnung  aus  den  Axen  sehr  gut  als  Grundlage 
für  die  Konstruktion  benutzen  kann),  zieht  J^F^  bis  J^  auf  J^J^] 
daraus  zeichnet  man  die  Axen  und  die  Ellipse.  —  Die  Annahmen 
sind  so  gemacht,  daß  der  Fluchtpunkt  i^^  der  Erzeugenden  im  In- 
neren der  Abbildung  der  Stirnkurve  liegt,  damit  man  in  das  Innere 
des  Gewölbes  sieht. 

Die  obere  vordere  Grenekante  der  Stirnfläche  ist  KFy  wenn  ma^n 
ihre  Höhe  über  F^  auf  BE2  als  BK  aufgetragen  hat,  und  die  hintere 
Grenzkante  ist  ä,jF,  wenn  JS^  auf  KF^  und  auf  JögiTg  {A.g)  liegt. 

565*  In  Bezug  auf  die  Spiegelung  beachte  man,  daß  ein  auf 
eine  spiegelnde  Fläche  fallender  Lichtstrahl  derart  zurückgeworfen 
wird,  daß  der  AusfäUswinkd  gleich  dem  EinfciUswinkd  ist,  und  daß 
die  Ebenen  beider  in  einander  fallen;  diese  Winkel  sind  aber  bezw. 
die  Winkel  des  ein-  und  des  ausfallenden  (zurückgeworfenen)  Strahles 
mit  der  Normale  der  spiegelnden  Fläche  im  Einfallspunkte.  Die 
gerade  Linie  des  zurückgeworfenen  Strahles  geht  daher  durch  den 
Symmetriepunkt  eines  jeden  Punktes  des  einfallenden  Strahles  in 
Bezug  auf  die  Berührungsebene  der  spiegelnden  Fläche  im  Einfalls- 
punkte. Gehen  nun  alle  einfallenden  Strahlen  von  demselben  Punkte 
P  aus,  der  ein  selbstleuchtender  oder  ein  das  auffallende  Licht  zer- 
streuender Punkt,  also  ein  Punkt  einer  nicht  spiegelnden  Körper- 
oberfläche sein  kann,  und  ist  der  Spiegel  eben,  so  gehen  die  Linien 
aller  zurückgeworfenen  Strahlen  von  dem  zu  P  in  Bezug  auf  die 
Spiegelebene  S  symmetrischen  Punkte  P'  aus,  und  es  ist,  abgesehen 
von  einer  Lichtschwächung,  die  Wirkung  der  Spiegelung  eines  Punk- 
tes, daher  auch  eines  ganzen  Körpers  'K  ebenso,  wie  wenn  ein  zu  E  in 
Bezug  auf  S  symmetrischer  Körper  E'  durch  eine  Öffnung  betrachtet 
würde,  welche  die  Stelle  des  ausgedehnten  Spiegels  einnimmt 


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624    XII,  Ö66— 666.  Axonometr.  u.  schiefe  Projektion,  Perspektive  kr.  Fl&chen. 

Das  durch  die  Wasserfläche  F|  hervorgebracht^  Spiegelbild  der 
Wölbungsfläche  F  ist  das  Bild  der  zur  Wölbungsflache  in  Bezug  auf 
die  Ebene  F^  symmetrische  Cylinderfläche  F';  und  da  F^  eine  Haupt- 
ebene des  Gylinders  F  bildet,  welche  also  zu  der  Senkrechten  zu  F^ 
konjugirt  ist;  so  setzen  sich  F  und  F'  zu  einem  vollen  Cylinder 
zusammen,  dessen  Perspektive  durch  Ergänzung  der  beiden  halben 
Stimellipsen  durch  ihre  anderen  Hälften,  so  der  k  durch  k\  ge- 
zeichnet vrird. 

566.  Zur  Bestimmung  der  Schalten  sind  S  und  S'  (S'  auf  hy 
SS'A.  h)  als  Fluchtpunkte  der  Sonnenstrahlen  und  ihrer  Orundrisse 
angenommen.  Der  Schalten  der  Stimdlipse  k  in  die  Wölbungsfläd^  F 
wird  mittelst  Hilfsebenen  bestimmt,  welche  zum  Lichtstrahle  und 
zu  den  Erzeugenden  der  F  parallel  sind;  deren  Fluchtlinie  daher 
die  Verbindungslinie  SF^  der  Fluchtpunkte  S  und  F^  dieser  bei- 
derlei Linien  ist.  Solche  Hilfsebenen  schneiden  die  Stirnfläche 
in  parallelen  Linien  ^  deren  Fluchtpunkt  der  Schnittpunkt  /S»|  der 
Fluchtlinien  SFi  und  FS^  der  beiderlei  Flächen  sind,  wobei  FS^  J_  h 
steht.    Da  F  und  S^^  nicht  erreichbar,  so  bestimmt  man  den  redu- 

cirten  Fluchtpunkt  y    in    der    Mitte    von    ÄS^    als   Schnitt    von 

^|(||F.S)und||(±Ä). 

Zieht  man  nun  aus  einem  beliebigen  Punkte  L  der  k  den  Licht- 
strahl LS,  legt  durch  denselben  eine  der  bezeichneten  Hilfsebenen, 

so  schneidet  diese  die  Stirnfläche  in  der  vermittelst  ^  zu  verzeich- 
nenden Geraden  LS^ ,  diese  trifft  die  k  in  einem  Punkte  (7,  die  Hilfs- 
ebene  trifft  die  F  in  OjPj,  und  diese  wird  vom  Lichtstrahle  LS  im 
Schatten  L^  von  L  geschnitten.  Indem  von  C  durch  S^  C  rückwärts 
nachX  gegangen  wurde,  erhielt  man  den  Schatten  L^  auf  der  Anfangs- 
linie der  F.  Es  möge  hier  sogleich  der  später  sich  als  notwendig 
erweisende  Schatten  der  k  und  %'  in  die  F  und  F'  gezeichnet  werden. 
Seine  Endpunkte  auf  der  k  ergeben  sich,  wenn  die  Sehne  LC  zn 
einem  Punkte  wird,  d.  i.  in  den  Berührungspunkten  N,  P  der  aus 
S^  an  die  Ellipse  gezogenen  Tangenten  (zu  bestimmen  durch  kon- 
jugirte  Sehnen).  NP  ist  die  Polare  von  S^  und  könnte  auch  durch 
zwei  schneidende  Strahlen  aus  Si  und  ein  vollständiges  eingeschrie- 
benes Viereck  erhalten  werden.  Man  bestimme  so  noch  den  Schatten 
B^  von  B  durch  BS^  bis  B^  auf  *',  B^F^B^,  BS,B^. 

Der  Schatten  NL^B^P=\  von  Qc  +  V)  in  die  volle  Cylin- 
derfläche (F  +  F')  ist  ein  Kegelschnitt,  welcher  mit  (t  -+-  k')  per- 
spektiv  ist  mit  S  als  Mittelpunkt  und  NP  als  Axe  der  Eollineation 
(vergl.  559).     Man  findet  daher  die  Tangente  £^{7  an  X:^   in  JL,, 


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XU,  666—667.    Perspektive.  625 

wenn  man  die  Tangente  an  A;  in  X  mit  NP  in  U  schneidet  und 
L^  U  zieht;  ebenso  die  Tangente  NQ^  an  Jj  in  JT,  wenn  man  die 
Tangente  NQ  an  Ä  in  ^  bis  ^  auf  L U  zieht,  QS  mit  LiU  in  Q^ 
schneidet  und  NQi  zeichnet  Entsprechend  in  B^  und  P.  Mit  diesen 
vier  Punkten  und  Tangenten  kann  man  ki  genügend  sicher  zeichnen. 

Der  Scheuten  k^  von  k  auf  die  Wasserfläche  Pj  ist  ein  Kegel- 
schnitt BL^.  Seine  Tangente  in  B  ist  der  Schatten  BS'  der  ver- 
tikalen Tangente  BK  des  k.  Die  Tangente  des  k^  in  Li  erhält  man, 
wenn  man  die  Tangente  des  i  in  L  mit  der  BK  in  L^  schneidet, 
L^S  bis  L^  auf  BS\  und  dann  L1L2  ziehi  Ebenso  bestimmt  man 
noch  den  Schatten  B^  eines  Zwischenpunktes  B  des  %,  indem  man 
BBQ±.g  bis  Bq  auf  BF  zeichnet,  und  B^S'  mit  US  in  B^  schnei- 
det; endlich  die  Tangente  B^B^  wie  vorher  durch  den  Linienzug 
BB^B^B^.  —  Der  Schatten  der  obei*en  hinteren  Grenzkante  ist  K^F, 
wenn  K^  auf  K^S  und  auf  B^S\ 

567.  Durch  Zurückwerfimg  der  Lichtstrahlen  auf  der  Wasser- 
fläche Fl  findet  eine  Beflexbdeuchiung  der  Wölbungsfläche  F  statt, 
deren  Grenze  bestimmt  werden  soll.  Die  Lichtstrahlen,  welche  die 
Stirnkurve  k  gestreift  haben  und  in  Punkten  der  k^  die  F^  treflPen, 
werden  hier  zurückgeworfen  und  treflFen  die  F  in  Punkten  der  Grenz- 
linie kl  der  Reflexbeleuchtung.  Die  geraden  Verlängerungen  der  in 
k^  die  Fj  treffenden  Lichtstrahlen  sind  symmetrisch  in  Bezug  auf  F^ 
zu  den  zurückgeworfenen  Strahlen,  und  die  Schnittlinie  der  ersteren 
mit  der  F'  ist  daher  symmetrisch  zur  Reflexgrenze  Ä/.  Die  erstere 
Linie  ist  aber  der  schon  gezeichnete  Schatten  k^  von  k  in  die  F', 
als  deren  Symmetriekurve  man  k^  konstruirt,  indem  man  BqB^ X.g 
bis  B^  auf  k  zieht,  dann  B^B^l^g  und  B^F^  bis  J5/  auf  JBiJ5/. 
So  entsteht  der  Bogen  L^B^    aus  L^B^. 

Von  B  an  ändert  sich  der  Vorgang;  die  Lichtstrahlen  treffen 
hier  zuerst  die  Wasserfläche  Fj,  werden  von  derselben  zurückgewor- 
fen, streifen  den  k  und  erzeugen  auf  der  F  die  Fortsetzung  der 
Reflexgrenze  Ä/.  Die  Symmetrielinien  dieser  zurückgeworfenen 
Strahlen  sind  (nach  S  laufende)  Lichtstrahlen, .  streifen  den  k'  und 
erzeugen  auf  der  F'  die  Fortsetzung  B^B  der  Äj,  so  dafs  man  auch 
jB/P'  symmetrisch  zu  B^P  zu  bestimmen  hai 

Die  Spiegelbilder  der  physischen  Schattengreme  NL^  und  der  Beflex- 
grenee  L^  P'  sind  die  Bilder  der  Symmetriekurven  dieser  Linien, 
dabei  L^P  der  Schatten  der  {Je  +  k')  in  die  F'.  Daher  besteht  der 
ganze  Schatten  k^  von  {k  +  k')  in  die  (F  -h  F')  aus  dem  physischen 
Schatten  N  L^  der  bezeichneten  Art  und  aus  dem  Spiegelbilde 
ijP  der  Reflexgrenze,  und  die*  Symmetriekurve  A/  von  k^  aus  dem 
Spiegelbilde  N'L^  der  physischen  Schattengrenze  und  aus  der  Reflex- 

Wiener,  Lehrbuch  der  danteUenden  Geometrie.  II.  40 

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626    XII,  567—668.  Axonometr.  u.  schiefe  Projektion,  Perspektive  kr.  Flächen. 

grenze  L^P\  Die  A;/  kann  man  auch  unmittelbar  als  Schlagschat- 
ten der  (Ä  +  Ä')  in  (P  +  F')  konstruiren  mit  Umkehrung  der  Licht- 
strahlen in  ihre  in  Bezug  auf  F^  symmetrischen  ^  oder  mit  Verlegung 
von  S  in  den  zu  ihm  in  Bezug  auf  h  (und  S')  symmetrischen  Punkt 

568«  Der  verzeichnete  Schatten  auf  der  Wass&rfHiche  ist  nicht 
sichtbar,  wenn  das  Wasser  vollkommen  klar  ist.  Dies  zeigt  der 
Versuch.  Füllt  man  nämlich  ein  Gefäß  mit  klarem  Wasser  und 
läßt  einen  Schatten  darauf  fallen ,  so  sieht  man  denselben  an  der 
Wand  des  Gefäßes  herunter  unter  die  Oberfläche  steigen  und  auf 
den  Boden  übergehen;  man  sieht  aber  keinen  Schatten  auf  der 
Wasserfläche,  während  das  Spiegelbild  des  schattenwerfenden  Kor- 
pers bei  entsprechender  Augenstellung  sichtbar  ist.  Man  erblickt 
an  einer  Stelle  der  Wasserfläche  zugleich  die  Bilder  gespiegelter 
Gegenstände,  und  diejenige  von  Gegenständen,  die  unter  der  Ober- 
fläche liegen.  Weil  aber  die  Stärke  der  Spiegelung  mit  dem  Ein- 
und  Ausfallswinkel  der  Lichtstrahlen  zunimmt  (I,  479),  die  Stärke 
des  die  Oberfläche  (von  innen  her)  durchdringenden  Lichtes  aber 
mit  zunehmendem  (Brechungs-  oder)  Ausfallswinkel  abnimmt,  so 
sieht  man  bei  kleinem  Ausfalls winkel  oder  steilem  Aufschauen  auf 
die  Oberfläche  allein  oder  vorherrschend  den  Boden  des  Gefäßes, 
bei  zunehmendem  Ausfallswinkel  vorherrschend  oder  allein  die  ge- 
spiegelten Gegenstände,  bis  bei  totaler  Reflexion  von  einzelnen 
Stellen  des  Bodens  gar  keine  Lichtstrahlen  mehr  von  diesen  in 
das  Auge  gelangen.  Im  letzteren  Falle,  und  wegen  zu  geringer 
Lichtstärke  auch  schon  vorher,  kann  der  auf  den  Boden  fallende 
Schatten  nicht  mehr  gesehen  werden.  —  Aus  diesen  Beobachtungen 
folgt,  daß  die  zusammenhängende,  insbesondere  die  ruhige  Ober- 
fläche des  Wassers  das  auffallende  Licht  nicht  zerstreut,  daß  sie 
also  ein  voUkomniener  Spiegel  ist;  sie  wirft  es  vielmehr  entweder 
spiegelnd  zurück  oder  läßt  es  eindringen. 

Anders  ist  es  bei  unvoUkommenen  Spiegeln.  Trübt  man  das 
Wasser,  etwa  durch  aufgeschwemmten  Thon,  so  sieht  man  einen 
Schatten  auf  der  Oberfläche,  indem  die  festen  Teilchen  das  auffal- 
lende Licht  zerstreuen,  so  daß  von  jedem  Standpunkte  aus  die  Ober- 
fläche auf  beiderlei  Seiten  einer  Schattengrenze  ungleich  hell  er- 
scheint, oder  daß  der  Schatten  sichtbar  ist.  Nun  haben  Bäche  und 
Seeen  gewöhnlich  eine  Trübung,  die  mit  der  Stelle  und  mit  der  Zeit 
wechselt.  Der  Bodensee  z.  B.  ist  an  seinen  Ufern  recht  merklich  trübe, 
in  seiner  Mitte  nicht  auffallend,  aber  doch  in  dem  Grade,  daß  eine 
fünf  Meter  unter  die  Oberfläche  getauchte  weiße  Scheibe  zu  Zeiten 
nicht  mehr  wahrgenommen  wird.  Der  Verfasser  beobachtete  nun,  daß 
mitten  auf  diesem  See  bei  Sonnenschein  der  Schatten  des  Schiffes  unter 


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XIT,  568-569.    Perspektive.  627 

ümstaDden  schwach  sichtbar  war,  unter  anderen  gar  nicht.  Er  war 
sichtbar,  wenn  man  die  Sonne  im  Rücken  hatte,  er  war  nicht  sicht- 
bar, wenn  man  sie  vor  sich  hatte,  ohne  daß  sie  dem  Beobachter  ins 
Gesicht  schien.  Es  war  dies  eine  Folge  des  Weberschen  Gesetzes,  wo- 
nach in  Bezug  auf  den  Gesichtssinn  ein  Unterschied  der  Helligkeiten 
zweier  scheinbar  benachbarten  Stellen  nur  dann  empfunden  wird, 
wenn  dieser  Unterschied  mehr  als  ein  gewisser  verhältnißmäßiger 
Teil  der  Helligkeit  einer  dieser  Stellen  beträgt  Diese  Bruchzahl 
ist  nach  Versuchen  des  Verfassers  unter  Umständen  nicht  kleiner 
als  -ß^  (vergl.  I,  477,  1)),  kann  aber  unter  anderen  günstigen  Um- 
ständen nach  Versuchen  von  Helmholtz  auch  ^^^  sein.  Nun  ist  der 
Himmel  in  der  Nähe  der  Sonne  vielmals  heller  als  auf  der  gegen- 
überstehenden Seite,  so»  daß  die  Helligkeit,  welche  das  durch  die 
Trübung  zerstreute  Sonnenlicht  besitzt,  im  Versältniß  zur  Helligkeit 
des  Spiegelbildes  des  dunkleren  Himmelteils  mehr  als  ^,  imVerhält- 
niß  zu  der  des  'helleren  aber  weniger  als  -^  betragen  kann,  woraus 
sich  die  obige  Erscheinung  erklärt  —  Das  Entsprechende  findet  man 
bei  einem  gewöhnlichen,  durch  einen  Beleg  mit  Zinnamalgam  herge- 
stellten Spiegel,  der  sich  als  wenig  vollkommen  erweist.  Ein  auf  ihn 
fallender  Schatten  ist  sichtbar,  wenn  sich  an  der  Schattengrenze  ein 
dunklerer  Gegenstand  spiegelt,  nicht  sichtbar,  wenn  ein  hellerer. 

In  der  Zeichnung  ist  der  Schatten  auf  die  Wasserfläche  an  der 
Stelle  schwach  angedeutet,  wo  sich  der  Himmel  spiegelt,  an  den 
Stellen  stärker,  wo  sich  Schattenteile  des  Gewölbes  spiegeln. 

569,  Äufg.  Die  Perspektive  einer  Kugd  und  ihres  Schattens  bei 
PardUdbeleuchtung  m  bestimmen. 

Aufl.  Sei  A  der  Augenpunkt,  d  der  Distanzkreis,  M^  die  senk-  Fig.  ssi. 
rechte  Projektion  des  Mittelpunktes  der  Kugel  auf  die  Bildfläche  P, 
und  seien  dessen  Abstand  von  F  und  der  Halbmesser  der  Kugel  ge- 
geben. Die  Perspektive  der  Kugel  ist  der  Kegelschnitt  h^  in  wel- 
chem die  P  den  (Umdrehungs-)Kegel  trifft,  der  aus  dem  Auge  0  der 
Kugel  umschrieben  wird,  und  die  Hauptaxe  von  k  liegt  in  der  auf 
P  senkrechten  Meridianebene  des  Kegels,  d.  i.  in  der  J_  P  durch 
AMy^  geführten  Ebene.  Legt  man  diese  Ebene  in  die  P  um,  so 
gelangt  0  in  den  Punkt  Aq  des  rf,  wenn  AA^±.AM.^j  und  der 
Kugelmittelpunkt  nach  M^,  wenn  M^Mq±.AM^  und  gleich  dem 
gegebenen  Abstände  des  Kugelmittelpunktes  von  P,  und  wenn  M^M^ 
in  demselben  oder  in  dem  entgegengesetzten  Sinne  wie  AA^  auf- 
getragen wird,  je  nachdem  der  Kugelmittelpunkt  auf  derselben  oder 
auf  der  entgegengesetzten  Seite  von  P  wie  0  liegt.  Zeichnet  man 
nun  aus  M^  als  Mittelpimkt  mit  dem  gegebenen  Halbmesser  der 
Kugel  einen  Kreis  Cq,   den  größten  Kugelkreis  in  der  umgelegten 

40* 


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628    XII,  569.  Axonometr.  u.  schiefe  Projektion,  Perspektive  krummer  Flächen. 


Ebene,  zieht  an  ihn  aus  Aq  die  beiden  Tangenten  und  den  Strahl 
AqMq,  so  schneiden  diese  Linien  die  AMi  bezw.  in  den  beiden 
Scheiteln  der  Hauptaxe  von  h,  so  in  .B,  und  in  der  Abbildung  Jf 
des  Eugelmittelpunktes. 

Fig.  281. 


•V 

/  '\    N 

//•\" 

JfX 

/ 

A\ 

'  l\\ 


y.Si  1'  '^-^^ 


^N 


//' 


\ 


^M^ 


Zeichnet  man  femer  aus  M  als  Mittelpunkt  einen  Kreis  c^  wel- 
cher jene  beiden  aus  A^  gezogenen  Tangenten,  so  -4^B,  berührt, 
und  denkt  sich  diesen  Kreis  als  größten  Kreis  einer  zweiten  Kugel, 
der  Hüfshugel,  deren  Mittelpunkt  M  in  der  Bildfläche  F  liegt,  so 
ist  diese  demselben  Kegel  eingeschrieben  und  besitzt  dieselbe  Per- 
spektive Ä,  wie  die  gegebene  Kugel;  för  sie  ist  c  sowohl  die  Spur 
in  P  als  der  umgelegjie  größte  Kreis  in  der  Ebene  OAMi.  Es  ist 
vorteilhaft,  die  gegebene  Kugel  durch    die  Hilfskugel   zu  ersetzen 


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Xn,  569—670.    Perspektive.  629 

und  wir  dürfen  das  für  alle  weiteren  Konstruktionen  thun,  wenn 
wir  die  anderen  gegebenen  Gegenstände^  so  den  Boden^  auf  welche 
die  Kugel  aufgelegt  ist  und  den  Schatten  wirft,  sowie  die  Licht- 
quelle, durch  neue  solche  Gebilde  ersetzt,  welche  perspektiv-ähnlich 
mit  den  gegebenen  liegen  und  mit  ihnen  0  zum  ÄhnKchkeitspunkte 
und  A^M :  AqMq  zum  Ähnlichkeitsverhältnisse  haben.  Die  Grundlinie 
g  wird  dann  die  untere  mit  dem  Horizonte  h  parallele  Tangente 
des  c,  während  die  Lichtquelle  als  unendlich  fern  im  Unendlichen 
bleibt 

Die  Brennpunkte  des  h  sind  die  Abbildungen  der  beiden  Punkte 
der  Kugel,  in  welchen  sie  von  Ebenen  berührt  wird,  welche  zu  P 
parallel  sind  (I,  329,  vergl.  II,  547).  Man  erhält  sie,  wenn  man 
den  zu  AM^  senkrechten  Durchmesser  des  c  (oder  des  Cq)  zieht  und 
seine  Endpunkte  aus  A^  auf  AM^  so  in  P,  projicirt.  Die  Neben- 
axe  geht  durch  die  Mitte  C  der  Hauptaze;  für  ihre  Scheitel,  wie  jB, 
gilt  FE  =  CB. 

570.  Man  bemerkt,  daß  die  Perspektive  k  einer  Kugel  ein  Kegel- 
schnitt isty  dessen  Haaptaxe  durch  den  Augenpunkt  A  geht.  Er  ist 
eine  Ellipse,  eine  Parabel  oder  eine  Hyperbel,  je  nachdem  die  Kugel 
keinen  Punkt  mit  der  Verschwindimgsebene  ( \\  F  durch  0)  gemein 
hat,  sie  berührt  oder  schneidet.  Im  letzteren  Falle  ist  nur  derjenige 
Hyperbelast  physisch  vorhanden,  welcher  einen  vor  dem  Auge  0 
liegenden  Teil  der  Kugel  abbildet;  und  dieser  Fall  kommt  z.  B.  dann 
vor,  wenn  man  eine  Landschaft  von  einer  kugelförmigen  Gebäude- 
kuppel aus  abbildet,  wobei  der  Umriß  der  Kuppel  die  Grenze  des 
Landschaftsbildes  ausmacht  und  sich  hyperbolisch  darstellt  Ge- 
wöhnlich ist  k  eine  Ellipse;  dieselbe  wird  ein  Kreis,  wenn  der  nach 
dem  Kugelmittelpunkte  gehende  Sehstrahl  J.  F  steht,  d.  i.  auch  wenn 
die  Abbildung  M  des  Kugelmittelpunktes  im  Augenpunkte  A  liegt 
Ist  aber  -4Jf  =m,  die  Distanz  -40««d,  und  der  Winkel  AOM 
<=»  a,  und  ist  die  Kugel  unendlich  klein,  so  daß  die  berührenden 
Sehstrahleu  parallel  sind,  so  gilt  für  die  Axen  a  und  h  der  Ellipse  k 

h  d 

ma  COS  a  «-B 


Steht  nun  die  Kugel  möglichst  seitwärts,  so  daß  m  etwa  =  ^  Bild- 
breite, und  ist  die  Distanz  d  «=  1^  Bildbreite,  so  ist  m :  t2  «»  1:3  und 


b:a  =  Yd  :  10,  nahezu  =  19  :  20. 
Die  Figur  232  zeigt  eine  solche  Ellipse  und  läßt  erkennen,  daß  Fig.  232. 
dieselbe    von   dem   Kreise    kaum    merklich    abweicht     Selbst    bei 
m:d  =  l  :2  wird  b :  a  nahezu  =  9  :  10,  also  ebenfalls  nicht  stark 
vom  Kreise  abweichend. 


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630    XII,  670—571.  Axonometr.  u.  schiefe  ProjektioD,  Perspektive  kr.  Flachen. 

Es  wird  oft  behauptet;  daß  eine  Kugel  stets  als  Kreis  abge- 
bildet werden  müsse,  weil  alle  Durchmesser  des  ümrißkreises  gleich 
groß  erscheinen,  während  die  durch  M  gehenden  Sehnen  der  Ellipse 
Ä  in  Fig.  231  ungleich  sind.     Dieser  Grund  kann  nicht  anerkannt 

werden;    in   dieser   Art   ausgesprochen, 
^J^ij^^^  beruht  er  auf  einer  Verwechselung  zwi- 

schen Gesichtswinkel  und  Abbildung, 
welche  den  Grund  aller  Streitfragen  aber 
Perspektive  bildet.  Jene  Kreishalbmesser 
erscheinen  allerdings  unter  gleichen  Ge- 
sichtswinkeln, ihre  Abbildungen,  das  sind 
die  durch  M  gehenden  Sehnen  der  Ellipse 
Tty  aber  ebenfalls,  wenn  man  sie  von 
dem  angenommenen  Orte  0  des  Auges 
aus  betrachtet.  Wenn  man  sich  aber 
vor  dem  Bilde  hinbewegt,  um  die  Einzelheiten  näher  anzuschauen, 
so  würde  die  elliptische  Gestalt  allerdings  störend  wirken;  und 
da  sich  selbst  für  die  richtige  Stellung  des  Auges  meist  nur  ge- 
geringe Abweichungen  von  dem  Kreise  ergeben,  so  ist  die  bei  den 
Malern  gebräuchliche  kreisförmige  Abbildung  der  Kugel,  so  der 
(verschleierten)  Sonne  und  des  Mondes,  durchaus  gerechtfertigt,  zu- 
mal da  eine  volle  Kugel  in  keinem  so  innigen  Zusammenhange  mit 
benachbarten  Gegenständen  steht,  daß  an  der  Verbindungsstelle  ein 
Widerspruch  bemerkbar  würde*).  —  Andererseits  aber  ist  in  jenem 
erwähnten  Falle  der  Kuppel  die  hyperbolische  Abbildung  eines 
Kugelteiles  vorgeschrieben. 

Bei  den  folgenden  rein  geometrischen  Konstruktionen  wird  die 
elliptische  Gestalt  von  Ic  beibehalten,  die  noch  durch  eine  kleine 
Distanz  besonders  excentrisch  gestaltet  wurde. 

571,  Um  die  EigenschaUengrenze  s  der  Kugel  zu  bestimmen, 
nehme  man  den  Fluchtpunkt  S  der  Lichtstrahlen  an;  die  s  ist  dann 
die  Abbildung  des  größten  Kreises  der  Kugel,  dessen  Ebene  senk- 
recht auf  OS  steht  Die  Spur  dieser  Ebene  ist  e^^  MJ A.AS 
und  ihre  Fluchtlinie  e^  «=  STl  e^.  Man  erhält  von  e«  den  Punkt 
H  auf  ASj  wenn  man  AD  J^  AS  bis  D  auf  dem  Distanzkreise  d 
und  DH  ±.  SD  zieht.  Die  Spur  e^  dieser  Ebene  schneidet  die  Spur  c 
der  Kugel  in  den  beiden  Punkten  J  und  6r,  welche  einen  Durch- 
messer des  Schattenkreises   begrenzen;    und   man   zeichnet  s  nach 

♦)  Ich  weise  hier  auf  die  schon  im  I.  Bande  (Nr.  30  und  87)  besprochenen 
eingehenden  und  interessanten  Untersuchungen  von  Herrn  de  la  Ooumerie  (tr. 
de  perspective  lin^aire,  1859)  und  Herrn  Hauck  (die  subjektive  Perspektive  und 
die  horizontalen  Curvaturen  des  dorischen  Styls,  1879)  hin. 


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XII,  671.    PerBpektdve.  631 

Nr.  550;  indem  man  aus  H  durch  D  den  Teilungskreis  legt,  ihn 
mit  e«  in  den  Teilungspunkten,  so  in  T,  schneidet,  MB.  zieht  und 
auf  ihr  durch  JT  und  (?  T  die  Punkte  K  und  L  bestimmt;  dann 
ist  KL  ein  Durchmesser  der  %,  deren  Endtangenten  ||  e^  laufen.  Aus 
diesen  Elementen  .und  aus  einem  der  Punkte  J,  G  bestimmt  man 
dann  nach  Nr.  551  die  Axen  und  zeichnet  die  Kurve  s. 

Zur  Bestimmung  der  ScMagschattengrenee  s^  auf  die  Bodenfläche 
P^  zeichnet  man  die  Fluchtlinie  und  die  Spur  der  P^,  d.  i.  den 
Horizont  h  (durch  Ä)  und  die  Grundlinie  g  (||ä)  als  untere  in  Q 
berührende  Tangente  des  c.  Um  von  s^  den  Durchmesser  JV^Pi  zu 
erhalten,  dessen  Endtangenten  ||  h  sind,  beachte  man,  daß  die  durch 
diese  Tangenten  gehenden  Lichtstrahlenebenen  die  SU  ^h  zur  Flucht- 
linie haben.  Diese  Ebenen  schneiden  die  Ebene  des  Kreises  der 
Eigenschattengrenze  in  Linien,  deren  Fluchtpunkt  der  Schnittpunkt 
U  von  SU  mit  e^o  ist.  Andererseits  ist  der  Fluchtpunkt  des  auf 
diesen  Linien  senkrechten  Durchmessers  NP  der  Eigenschatten- 
grenze der  Punkt  V  der  c«,  für  welchen  J7 OF— 90®,  der  aber 
auch  auf  AVl.h  liegt.  Denn  OS  steht  J_  der  Kreisebene  e^e^, 
also  auch  1.0  V]  daher  ist  OV  JlOS  und  JL  0  ü*,  also  auch  J_  der 
Ebene  SOU,  und  AV ±  SU  oder  J_Ä.  Daher  ist  MV  die  Abbil- 
dung der  Linie  des  Kreisdurchmessers  NP,  dessen  Endtangenten  U 
zum  Fluchtpunkte  haben,  und  Schatten  auf  P^  werfen,  die  ||  g  laufen. 
Der  Schlagschatten  der  MV  auf  P^  ist  (I,  539)  die  Schnittlinie  der 
Lichtstrahlenebene  der  MV  mit  Pj;  erstere  hat  SV  zur  Fluchtlinie 
und  die  damit  Parallele  MR^  zur  Spur,  letztere  bezw.  h  und  g. 
Die  Fluchtliuien  treffen  sich  in  ü«,  die  Spuren  in  jB^,  daher  ist 
i2|jR«  der  Schlagschatten  von  MV,  und  darauf  die  Schnittpunkte 
Ni,  Pi  mit  NS,  PS  die  Schatten  von  N,  P.  N^Pi  ist  daher  ein 
Durchmesser  des  S|  und  die  durch  seine  Mitte  W^  und  ||  g  gezogene 
WiX^Y^  ist  der  konjugirte  Durchmesser,  dessen  Endpunkte  X^,  Y^ 
man  erhält,  wenn  man  SWi  mit  MV  in  W,  und  WU  mit  $  in 
X,  Y  schneidet;  die  XS,  YS  gehen  dann  durch  X^,  Y^.  Sind  die 
letzteren  Schnittpunkte,  wie  in  der  Figur,  unsicher,  so  benutzt  man 
die  Projektionen  der  Linien  MV  und  WU  auf  Pj;  da  die  Flucht- 
punkte dieser  Linien  bezw.  V  und  U  sind,  so  sind  diejenigen  ihrer 
Projektion  die  Punkte  Ä  und  U'  der  h  {VA  und  UU'±h).  Da 
außerdem  Q  die  Projektion  von  M  auf  P^ ,  so  ist  QA  die  Projektion 
der  MV.  Auf  ihr  liegt  die  Projektion  W^  von  TT,  und  man  hat 
noch  die  Probe,  daß  WiS'  durch  W^  läuft;  durch  W^  geht  die  Pro- 
jektion W^  U'  von  WUf  und  auf  dieser  liegen  die  Projektionen  X^, 
Fg  von  X,  Y.  Die  Grundrisse  X,S',  Y^S'  der  Lichtstrahlen  XS, 
YS  bestimmen  dann  die  Punkte  X^,  Y^  (Probe   W^X^  =  W^Y;). 


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632    XII,  671—572.  Axonometr.  u.  schiefe  Projektion,  Perspektive  kr.  Flachen. 


Fig.  233. 


Die  drei  Geraden  WVy  ihre  Projektion  W^A  und  ihr  Schatten 
TTjJBoo  aiif  ^1  müssen  sich  in  demselben  Punkte  Z,  der  Spur  der 
ITF  in  Pj,  treflfen.  Mittelst  der  konjugirten  Durchmesser  -N^Pi, 
X^Fj  bestimmt  man  dann  die  Axen  der  s^. 

572.  Aufg.  Dm  Umriß  der  Perspektive  einer  Fläche  stoeUm 
Grades  aus  den  AbUldtmgen  dreier  konjugirten  Durchmesser  der  Fläche 
m  bestimmen. 

Ist  die  Fläche  durch  andere  Elemente  gegeben^  und  kann  man 
aus  diesen  die  Abbildungen  dreier  konjugirten  Durchmesser^  z.  B. 
der  Axen^  bestimmen,  so  ist  dadurch  die  Auflösung  auf  die  folgende 
zurückgeführi  —  Diese  Aufgabe  schließt  sich  an  die  entsprechende 
für  Parallelprojektion  an  (128  flF.). 
Fig.  aas.  Aufl.   Seien  die  Strecken  A^A^,  B^B^,  C^C^,  oder  a,  6,  c,  welche 

durch  denselben  Punkt  M  gehen,  die  Abbildungen  dreier  konjugir- 
ten Durchmesser,  M  die  des  Mittelpunktes  der  Fläche  F.   Man  suche 

auf  jeder   dieser  Gera- 
den den  vierten  harmo- 
nischen,  dem  M  zuge- 
ordneten Punkt,   näm- 
lich Aj  B,  C,   so  sind 
dies  die  Abbildungen  der 
unendlich  fernen  Punkte 
der  Durchmesser.    Die 
Abbildung    des  Kegel- 
schnittes jeder  der  drei 
konjugirten  JDurchmes- 
serebenen   ist  nxm   ge- 
geben,    z.  B.   derjeni- 
gen ab  durch  die  vier 
Punkte  A^,  A^,  JB,,  B^, 
und  durch  die  Tangenten  in  denselben  A^B,  A^B,  B^A^  B^A.    Ein 
parallel  mit  einem  der  Durchmesser  der  F  umschriebener  Cylinder 
berührt  nach  dem  Kegelschnitte   der  beiden  anderen  Durchmesser, 
und  die  Umrißerzeugenden  dieses  Gylinders  berühren  diesen  Kegel- 
schnitt und  den  Umriß  k  der  F  in  denselben  Punkten.     Legt  man 
daher  aus  jedem  der  Punkte  A,  Bj  C  Tangenten  bezw.  an  die  Kegel- 
schnitte bCj  ca,  ab,  und  bestimmt  ihre  Berührungspunkte,   so  ist 
durch  diese  sechs  Geraden  und  sechs  Punkte  der  Umriß  der  F  über^ 
schüssig  bestimmt.    Man  begnügt  sich  mit  drei  Tangenten  und  den 
Berührungspunkten  zweier. 

Von  jenen  vierten  harmonischen  Punkten  sind  nur  zwei,  etwa 
A  und  B,  notwendig;    sie  liegen  auf  der  Nebenseite  des  voUstän- 


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XII,  572.    Perspektive.  633 

digen  Vierecks  A^A^B^B^,  welche  Jfcf  gegenübersteht,  also  die  Punkte 
AiBijA^B^und  A^B^,  ^^Bi  verbindet  um  nun  aus  A  an  den  Kegel- 
schnitt bc  die  beiden  Tangenten  zu  legen,  ziehe  man  überO^C^  als 
Durchmesser  einen  Kreis  {  und  betrachte  bc  und  l  als  perspektiv  mit 
C1C2  als  Kollineationsaxe.  Zieht  man  aus  M  die  nach  dem  Schnitt- 
punkte der  Kreistangenten  in  C^  und  C2  gehende,  d.  i.  auf  CiC^ 
senkrechte  Gerade,  so  entsprechen  deren  unendlich  femer  Punkt  und 
deren  Schnittpunkte  mit  l,  d.  i.  jß«;  B',  B"  im  Systeme  des  l  den 
Punkten  J?,  B^,  B^  im  System  des  bCy  so  daß  der  Kollineations- 
mittelpunkt  für  l  und  bc  als  der  gemeinschaftliche  Punkt  D  von 
B^By  B'B^,  B"B^  überschüssig  bestimmt  ist.  Dem  Punkte  ^  im 
Systeme  bc  entspricht -4^  im  Systeme  i,  wenn-i^  auf  D-4  und  wenn 
AB  und  AqB^  sich  in  einem  Punkte  der  G^C^  treffen.  Zieht  man 
aus  Aq  die  beiden  Tangenten  an  Z,  welche  di&  Kollineationsaxe  in 
Jj  F  schneiden,  und  den  l  in  G'  und  H'  berühren,  so  sind  AJ^ 
AF  die  Tangenten  aus  A  an  bc  und  ihre  Berührungspunkte  sind 
(?,  H  auf  G'D,  H'D.  Dabei  besteht  die  Probe,  daß  sich  QH 
und  Q' H'  auf  C^C^  treffen.  —  In  entsprechender  Weise  legt  man 
die  Tangenten  aus  B  an  den  Kegelschnitt  ac.  Man  benutzt  dazu 
denselben  Kreis  0x0^  =  1  als  perspektiv  zm  ac  mit  G^G^  als  Axe 
und  mit  E  als  Mittelpunkt  der  Kollineation,  wobei  E  der  gemein- 
same Punkt  von  B^A^  B'A^,  B"A^.  Dem  B  entspricht  dann  B^ 
auf  EBj  wenn  BA  und  B^B^  sich  auf  GC^  treffen,  wenn  also  Bq 
auf  der  schon  gezeichneten  Geraden  A^B^  liegt.  Zieht  man  nun 
aus  Bq  die  beiden  Tangenten  an  l  und  durch  deren  Schnittpunkte 
mit  GiG^  die  Geraden  aus  J9,  so  sind  dies  die  beiden  Tangenten 
aus  B  an  den  Kegelschnitt  ac  und  an  den  Umriß  k.  Man  benutzt 
von  denselben  diejenige,  welche  mit  denen  AJj  AF  das  günstigere, 
einem  gleichseitigen  näher  kommende  Dreieck  ANK  bildet,  und 
konstruirt  aus  ihm  und  den  Berührungspunkten  O,  H  die  Axen  des 
Ti  nach  Nr.  555,  indem  man  den  Berührungspunkt  L  von  BK  aus 
L'  und  zur  Probe  auch  aus  dem  Dreiecke  ANK  bestimmt,  und 
dann  eine  zu  einer  Dreiecksseite  parallele  Tangente,  und  zwar  die- 
jenige vom  größten  Abstände  von  der  Dreiecksseite,  sowie  ihren 
Berührungspunkt  ermittelt;  auch  die  folgende  Axenbestimmung  (551) 
ist  in  der  Figur  angedeutet. 

Sind  einer  oder  zwei  der  gegebenen  konjugirten  Durchmesser 
imaginär,  welche  dann  ideell  gegeben  werden,  so  wähle  man  als 
G^G^  den  reellen;  einer  von  den  Kegelschnitten  ac,  bc,  oder  beide 
sind  dann  Hyperbeln,  an  welche  man  die  Tangenten  bezw.  aus  B 
und  A  zu  zeichnen  hat  Es  kann  dies  nach  I,  383  oder  384,  oder 
im  Anschluß  an  II,  129  geschehen,    oder   dadurch,   daß   man  die 


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634    Xn,  672 — 673.  Axonometr.  n.  schiefe  Projektion,  Perspektiye  kr.  FläcbeD. 

Hyperbel  ac  als  perspektiv  zur  Ellipse  ac  mit  C^  als  Mittelpunkt 
und  C2A  als  Aze  der  KoUineation  ansieht,  zu  B  den  entsprechen- 
den Punkt  sucht,  aus  diesem  an  die  Ellipse  nach  dem  g^ebenen 
Verfahren  die  Tangenten  sucht,  deren  Entsprechende  dann  die  ge- 
suchten bilden.  —  Sind  alle  drei  Durchmesser  imaginär  und  ideell 
gegeben,  und  ist  daher  auch  die  Fläche  F  imaginär,  so  ist  das 
Ellipsoid  der  Figur  die  ideelle  Darstellung  der  F  in  Bezug  auf  M 
und  der  konstruirte  Umriß  Je  die  ideelle  Darstellung  des  Umrisses 
der  P. 

Sind  A1Ä2,  -BiJ?2,  CiC^  nicht  Durchmesser,  sondern  nur  hm- 
jugirte  durch  denselben  Punkt  M  gehende  Sehnen  der  P,  so  ist  die 
konstruktive  Auflosung  genau  dieselbe. 

Übungsaufg.  Man  suche  die  Aufgabe  im  Anschluß  an  die 
Nrr.  130,  131  zu  lösen. 

6  7  3,    Au  fg.    Die  Perspective  einer  ümdrehungsfläche,  der  Jconvex- 
honka/ven  Fläche  des  Fußgestelles,  samt  den  dabei  auftretenden  Eigen- 
und  Schlagschatten  bei  Parallelbeleuchtung  zu  bestimmen. 
Fig.  234.  Aufl.     Die  Umdrehungsaxe  a  stehe  vertikal   und  liege  in  der 

Bildfläche  P,  wodurch  nach  Nr.  5G9  die  Allgemeinheit  nicht  beein- 
trächtigt wird.  Der  halbe  Hauptmeridian  (in  P)  ist  eine  halbe  El- 
lipse m  =  BC,  deren  beiden  Endtangenten  J_  a  stehen,  und  von 
welcher  man  den  zu  BC  konjugirten  Halbdurchmesser  annimmt,  die 
Axen  bestimmt,  und  die  mau  daraus  zeichnet.  Die  halbe  Ellipse  m 
kehre  der  Axe  a  ihre  konvexe  Seite  zu;  hierdurch  wird  die  erzeugte 
Umdrehungsfläche  P  konvex-konkav.  Durch  ZufOgen  zweier  (cylin- 
drischen)  Reife  ist  ein  Fußgestell  gebildet  —  Ferner  sei  h  der  Hori- 
zont,  A  der  Augenpunkt,   A^  (nicht   angebbar)   das   aufgeklappte 

Auge,  ^  das  reducirte,   D  der  Distanzpunkt    Das  Fußgestell  ist 

so  groß  angenommen,  daß  die  meisten  Fluchtpunkte  keinen  Platz 
mehr  finden,  dieselben  sind  aber  als  benutzbar  angenommen.  Andern- 
falls müßten  sie  durch  die  reducirten  ersetzt  werden. 

Den  Umriß  u  der  P  könnte  man  bestimmen,  indem  man  eine 
Anzahl  von  Parallelkreisen  in  Perspektive  setzte  und  den  Umriß  als 
Einhüllende  ihrer  Abbildungen  zeichnete.  Kürzer  und  genauer  kommt 
man  aber  zum  Ziele,  wenn  man  entlang  einzelner  Parallelkreise  der  P 
Kegel  umschreibt  und  an  sie  aus  dem  Auge  die  beiden  Berührungs- 
ebenen legt;  ihre  Schnitte  mit  P  sind  Tangenten  des  u,  und  die  Ab- 
bildungen ihrer  Berührungspunkte  mit  dem  Parallelkreise  sind  auch 
die  Berührungspunkte  jener  Tangenten  mit  w.  Sei  von  einem  Parallel- 
kreise E^^  (auf  a)  der  Mittelpunkt,  E  ein  Punkt  auf  m,  so  ziehe 
man  an  m  in  j&  die  Tangente,  schneide  sie  mit  a  in  G,  der  Spitze 


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XII,  673.    Perspektive. 


635 


jenes  umschriebenen  Kegels^  und  mit  h  in  H]  der  Schnitt  des  Kegels 
mit  der  Horizontiilebene  ist  dann  ein  Kreis,  welcher  den  Schnitt- 
punkt M  von  a  mit  h  zum  Mittelpunkte  hat  und  durch  H  geht. 
An  diesen  Kreis  zieht  man  aus  dem  Auge  0;  oder  an  seine  Um- 
legung,  den  aus  3f  durch  fT  gelegten  Kreis ,  aus  dem  umgeklappten 
Auge  Aq  die  beiden  Tangenten,  schneidet  sie  mit  h  in  zwei  Punk- 
ten, wie  eT",,  dpren  Verbindungslinien  mit  6r,  so  GJi,  Tangenten 
des  Umrisses  sind.    Die  BerOhrungspunkte  der  aus  Äq  an  den  Kreis 

Fig.  234. 


MH  gezogenen  Tangenten  liegen  auf  dem  über  MAq  als  Durch- 
messer beschriebenen  Kreise,  und  die  Sehne  der  Berührungspunkt«, 
welche  JL  AM  steht,  schneidet  h  in  K^,  welcher  Punkt  sich  aus 
der  Spitze  G  des  Kegels  auf  EqE  in  K  projicirt.  Der  Fluchtpunkt 
jener  durch  K^  gehenden  Sehne  der  Berührungspunkte  und  ihrer 
Projektion  auf  die  Ebene  des  Kreises  E^E  ist  N  auf  Ä,  wenn 
MAqN  *=  90^]  daher  bestimmt  NK  auf  jenen  beiden  Tangenten 
des  Umrisses  deren  Berührungspunkte,  so  J  auf  OJ^,  —  Um  den 
Kreis  MH  möglichst  auszunutzen,  ziehe  man  aus  ^noch  eine  zweite 
Tangente  an  dieselbe  Meridianhälfte  m,  und  aus  dem  zweiten  End- 


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636    XII,  673—574.  Axonoinetr.  u.  schiefe  Projektion,  Perspektive  kr.  Flächen. 

piiükte  des  Dorchmessers  von  MH  ebenfalls  zwei  Tangenten,  be- 
stimme deren  Berührungspunkte,  und  führe  die  Konstruktion  für  die 
Parallelkreise  der  Berührungspunkte  aus^  so  1,  1, 1, 1;  2,  2, . .  •  Aus 
einem  Kreise  MA  erhält  man  daher  acht  Punkte  des  u  nebst  den 
Tangenten  in  dieselben,  zu  denen  man  nach  günstiger  Wahl  desJ? 
nur  noch  die  ausgezeichneten  Punkte  des  u  zuzufügen  braucht.  Ge- 
langen G  und  H  nahe  zu  M  oder  in  M^  so  wird  dip  Konstruktion 
ungenau  bezw.  unbestimmt;  man  ersetzt  dann  den  Kreis  MH  durch 
einen  passend  größeren,  ermittelt  an  ihm  durch  Parallele  die  Rich- 
tung des  Strahles  OKy  und  erreicht  dadurch  dieselbe  Genauigkeit, 
wie  bei  den  anderen  Punkten. 

674,  Ausgezeichnete  Funkte  des  Umrisses  u.  1)  Legt  man  den 
ParalldJcreis  in  die  Horiz(mtä)enej  so  fallen  die  Kreise  E^E  und 
MH  in  einander,  H  kommt  in  m,  die  beiden  an  diesen  Kreis  aus 
Aq  gezogenen  Tangenten  bestimmen  in  h  zwei  Umrißpunkte,  in 
denen  die  Umrißtangenten  nach  der  Spitze  des  umschriebenen 
Kegels  laufen. 

2)  Für  den  kleinsten  oder  KehlkreiSj  dessen  Mittelpunkt  Fq  ist, 
föUt  G  auf  a  ins  Unendliche,  der  umschriebene  Kegel  wird  zu  einem 
CyUnder,  K  fällt  in  2^^  und  die  ümrißtangenten,  so  in  F,  wer- 
den g  a. 

3)  Die  Umrißpunkte  des  Hauptmeridianes  m  sind  die  Berührungs- 
punkte der  aus  J.  an  m  gezogenen  Tangenten,  so  P,  und  die  Tan- 
genten berühren  in  diesen  Punkten  auch  den  Umriß.  Die  Berüh- 
ruugsebenen  der  F  gehen  nämlich  dann  durch  das  Auge  0.  Da  die 
Meridianebene  Oa  Symmetrieebene  der  wahren  Umrißlinie  ist,  so 
kann  man  leicht  zu  P  den  symmetrischen  Punkt  F'  angeben.  Der 
Symmetriestrahl  PP'  steht  JL  Oa  und  hat  daher  seinen  Fluchtpunkt 
in  j^;  der  Halbmesser  PqP'  hat  den  seinigen  in  X,  der  Mitte  zwi- 
schen M  (oder  a)  und  N.  Denn  die  Halbmesser  PqP  und  PqP'  bil- 
den gleiche  Winkel  mit  denjenigen  PqM]  also  müssen  die  räumlich 
und  dann  im  umgeklappten  Grundriß  mit  ihnen  Parallele  h  «=  MX 
und  A^X  gleiche  Winkel  mit  MAq  bilden,  oder  X  muß  auf  der 
durch  die  Mitte  von  MA^  und  J_  MA^  gezogenen  Geraden,  d.  i.  in 
der  Mitte  yon  MN  liegen.  Die  Tangente  an  m  in  P'  geht  durch  den 
Schnittpunkt  von  AP  mit  a. 

4)  Die  Punkte  auf  den  letzten  Parallelkreisen,  dem  höchsten 
und  tiefsten,  erhält  man,  wenn  man  den  Kreis  MH  durch  A^  gehen 
läßt,  wobei  aus  A^  nur  noch  eine  Tangente  an  denselben  gelegt 
werden  kann,  welche  die  h  in  N  trifft.  Dieser  Kreis  schneidet  die  h 
in  zwei  Punkten,  so  in  T;  aus  T  zieht  man  die  Tangenten  an  m, 
deren  eine  die  m  in  L^  berühre  und  die  a  in  L  schneide;  es  rückt 


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Xn,  574—576.    Perspektive.  637 

daher  G  in  L,  J^  und  K^  rücken  in  N  zusammen,  die  Tangente 
GJi  des  Umrisses  rückt  in  LN,  aber  in  diese  Linie  rücken  auch 
GK^K  und  KN,  so  daß  der  Berührungspunkt  des  Umrisses  unbe- 
stimmt bleibt  Derselbe  ergibt  sich  aber  als  der  Punkt  L  der  a, 
wenn  man  beachtet,  daß  der  Berührungshalbmesser  des  durch  L^ 
gehenden  Parallelkreises  ||  MAq  ist,  daher  M  zum  Fluchtpunkte  hat, 
daß  er  also  auf  a  liegt  —  Zu  demselben  Ergebnisse  gelangt  man, 
wenn  man  beachtet,  daß  die  gesuchten  Punkte,  so  X,  die  Berüh- 
rungspunkte der  in  der  Ebene  Oa  aus  0  an  den' Meridian  gelegten 
Tangenten  und  ihre  Abbildungen  die  Schnitte  dieser  Tangenten  mit 
a  sind.  Man  erhält  diese  Punkte  durch  Umlegen  der  Ebene  Oa  in 
P,  wobei  0  nach  T  gelangt,  durch  Ziehen  der  Tangenten  aus  T  an 
den  Hauptmeridian  tny  und  durch  Schneiden  derselben  mit  a,  so 
in  L.  Die  Tangente  des  Umrisses  ist  aber  J_  Oa  und  hat  daher  N 
zum  Fluchtpunkte. 

5)  Die  Spitzen.  Der  scheinbare  Umriß  (nicht  der  wahre)  besitzt 
vier  Spitzen,  die  bei  senkrechter  Projektion  in  den  Nummern  181  f. 
und  506  auf  verschiedene  Weisen  gefunden  wurden.  Wir  wollen 
aber  hier  das  einfachere  auf  Spitzen  beliebiger  Kurven  anwendbare 
Verfahren  der  Nn  501  benutzen.  Seien  nahe  bei  einer  der  Spitzen 
(rechts  unten)  als  zugehörig  zu  den  Punkten  1,  2,  3  der  a  als  Mittel- 
punkten von  Parallelkreisen  die  Punkte  1\  2',  3'  des  Umrisses  mit 
dessen  Tangenten  gefunden  (die  aber,  um  Verwirrung  zu  vermeiden, 
in  der  Figur  nicht  eingetragen  wurden), -so  kann  der  Umriß  an- 
genähert gezeichnet  imd  der  Abstand  jedes  Punktes  von  dem  anderen 
Eurvenzweige  als  Fehler  angesehen  und  von  1;  2,  3  auf  Senkrechten 
zu  a  aufgetragen  werden;  die  Verbindungskurve  der  Endpunkte  bildet 
die  in  der  Figur  gezeichnete  Fehlerkurve ,  deren  Schnitt  mit  a  (nahe 
bei  Pq)  den  Mittelpunkt  des  Parallelkreises  angibt,  auf  welchem  die 
fragliche  Spitze  liegt  —  Durch  die  vier  Spitzen  wird  der  Umriß 
in  zwei  Zweige' von  physischer  und  in  zwei  von  nur  mathematischer 
Bedeutung  geteilt  In  der  Figur  berühren  die  letzteren  Kurven- 
zweige den  Hauptmeridian  in  Punkten  wie  P.  Die  Bilder  der  Grenz- 
kreise  der  (cylindrischen)  Beife  sind  in  bekannter  Weise  vermittelst 
ihrer  Axen  gezeichnet. 

575.  Die  Allbildung  des  Fußgestelles  erscheint  vereerrtj  weil  die 
Distanz  der  Deutlichkeit  der  Konstruktionen  halber  ungewöhnlich 
klein  gewählt  wurde.  Stellt  man  das  Auge  in  diesem  kleinen  Ab- 
stände auf,  so  ist  der  Eindruck  befriedigend.  Auch^  sind  die  seit- 
liehen  Ausladungen  in  der  Abbildung  wegen  der  seitlichen  Stellung 
des  Auges  ungleich  stark.  Herr  de  la  Goumerie  gibt  in  seiner  vorhin 
angeführten  Linienperspektive  an,   daß  die  Maler  derartige  Körper 


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638    XII,  575—676.  Axonometr.  u.  schiefe  Projektion,  Perspektive  kr.  Flächen. 

symmetrisch  zu  ihrer  Axe  abbilden,  wie  wenn  der  Augenpunkt  in 
in  dieser  Axe  läge,  und  billigt  dieses  Verfahren,  weil  dadurch  die 
Verzerrung  bei  der  Bewegung  des  Auges  vor  dem  Bilde  vermieden 
werde.  Wenn  der  Verfasser  diesen  Grund  bei  der  Kugelabbildung 
anerkannte  (570),  so  kann  er  es  hier  nicht,  weil  hier  leicht  ein 
Widerspruch  eintritt  mit  den  benachbarten  Abbildungen  anderer 
Körper,  z.  B.  einer  quadratischen  Platte,  auf  welcher  etwa  das  Fuß- 
gestell aufsteht,  und  weil  sich  bei  solchen  Körpern  die  einseitige 
oder  die  symmetrische  Abbildung  deutlich  ausprägt  und  der  Wider- 
spruch deswegen  hervorspringt,  in  viel  höherem  Grade  als  bei  der 
Kugel.  Bei  Photographien,  die  stets  in  dieser  Beziehung  richtig 
sind,  empfindet  Niemand  eine  Störung. 

576.     Zur  Schattenbestimmung  nehme  man  8  und  S'  bezw.  als 
Fluchtpunkte  der  Lichtstrahlen  und  ihrer  Grundrisse  an,   wodurch 

AS  die  Richtung  der  Aufrisse  (auf  P)  und  ÄqS\  sowie  -^  y>  <^ß 

Richtung  der  umgelegten  Grundrisse  der  Lichtstrahlen  bezeichnen. 
Die  Punkte  der  Eigenschattengrenee  s  der  F  auf  einem  Parallelkreise 
EqE  bestimmt  man  mittelst  des  umschriebenen  Kegels,  indem  man 
durch  dessen  Spitze  G  einen  Lichtstrahl,  und  durch  diesen  die  bei- 
den Berührungsebenen  an  den  Kegel  legt  und  ihre  Berührungs- 
erzeugenden ermittelt;  deren  Schnittpunkte  mit  dem  Parallelkreise 
sind  dann  Punkte  der  s.  Zur  Ausführung  schneide  man  den  Kegel 
und  den  durch  seine  Spitze  G  gelegten  Lichtstrahl  mit  der  Horizont- 
ebene bezw.  in  dem  schon  gezeichneten  Kreise  MH  und  in  dem  Punkte 
Q\GQ''  II  AS  bis  <2"  auf  A,  MQ'  B  A^S\  Q''Q'±  A),  denke  aus  Q' 
an  den  Kreis  MH  die  beiden  Tangenten  gelegt  und  bestimme  ihre 
Berührungssehne  als  die  Polare  i72JB2  ^^^  Q'  (Anlegen  nach  einer 
Tangente  Q'Ui,  Bezeichnen  von  U^  durch  MU^JLQ'Uif  Ziehen  von 
C/2B2 -L  ö'-^)?  schneide  t/gJBg  ^^^  A  in  JSg,  projicire  die  beiden 
Berührungspunkte  aus  Aq  auf  A,  und  ziehe  nach  den  Projektionen 
Gerade  aus  G,  wie  GU,  so  sind  dies  die  Perspektiven  der  Berüh- 
rungserzeugenden des  Kegels;  sodann  projicire  man  den  Punkt  £, 
aus  G  auf  EqE  nach  JB,  so  ist  JB^'  die  Perspektive  der  Projektion 
der  Sehne  f^giJg  aus  G  auf  die  Ebenen  des  Parallelkreises,   wenn 

N'  der  Fluchtpunkt  dieser  Sehne  (auf  A,  A^N'  ||  ~^  ^  B  ^2^  oder 
J_  -=5  j  ^  und  die  Schnittpunkte  der  K  N'  mit  jenen  Berührungs- 
erzeugenden, jso  U,  sind  zwei  Punkte  der  Eigenschattengrenze.  — 
In  gleicher  Weise  werden  die  Punkte  auf  jenen  schon  benutzten 
drei  anschließenden  Parallelkreisen  gefunden,  wovon  aber  die  Zeich- 
nung nicht  angegeben  ist. 


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XII,  677—678.    Perspektive.  639 

677.  Ausgezeidmete  Funkte  der  EigenschaUengrenze  s:  1)  Für 
die  Punkte  auf  dem  Parallelkreise  der  Horizontebene  vereinfacht  sich 
die  Konstruktion  um  etwas.  2)  Für  den  Kehlkreis  F^F^  fällt  6 
ins  Unendliche,  B^  fällt  in  Jf ,  R  in  F^,  und  F^  ist  einer  der  Punkte 
der  s.  3)  Die  Punkte  der  s  auf  dem  Hauptmeridiane  m  sind  die 
Berührungspunkte  der  an  m\\  AS  gezogenen  Tangenten,  so  V.  Da 
die  Ebene  des  Lichtstrahlenmeridianes  Symmetrieebene  der  Schatten- 
grenze ist,  so  kann  man  leicht,  wie  vorhin  zu  P,  so  den  zu  V  sym- 
metrischen Punkt  V  angeben.  Der  Symmetriestrahl  VV  steht 
nämlich  senkrecht  auf  jener  Symmetrieebene,  deren  Fluchtlinie  SS' 
ist,  hat  daher  seinen  Fluchtpimkt  in  N''^  der  Halbmesser  VqV  hat 
den  seinigen  in  X\  der  Mitte  zwischen  S'  und  N\  Denn  die  Halb- 
messer Vf^V,  VqV  bilden  gleiche  Winkel  mit  VqS']  also  müssen  die 
räumlich  und  dann  im  umgeklappten  Grundriß  mit  ihnen  Parallelen 
h^S'X'  und  AqX'  gleiche  Winkel  mit  S'A^^  bilden,  oder  X'  muß 
auf  der  durch  die  Mitte  von  S'A^  und  J_  S'Aq  gezogenen  Geraden, 
d.  i.  in  der  Mitte  von  S'N'  liegen. 

4)  Die  Abbildungen  der  höchsten  und  tiefsten  Punkte  der  Eigen- 
schattengrenze liegen  auf  dem  Lichtstrahlenmeridiane,  dessen  Ebene 
11  OSS'  ist.  Legt  man  beide  Ebenen  in  P  um,  so  gelangt  jener 
Meridian  in  m,  0  in  einen  zu  S'  gehörigen  Teilungspunkt  T  auf  h 
(fif' J'b=  fif'Ji^).  Zieht  man  nun  an  m  die  beiden  mit  T'S  paral- 
lelen Tangenten,  bestimmt  ihre  Berührungspunkte,  so  W^y  die  Mittel- 
punkte von  deren  Parallelkreisen,  soTF|),  und  dreht  zurück,  so  gelangt 
FoTTjj  in  WoS\  dabei  TT,  in  W,  wenn  im  Räume  W^W^  W^W^, 
also  W  auf  W^T  liegt.     Die  Tangente  an  s  in  TT  geht  durch  N\ 

5)  Die  Punkte  der  s  auf  dem  Umrisse  u  sind  die.  Berührungs- 
punkte der  aus  S  an  u  gezogenen  Tangenten.  Dieselben  könnten 
durch  eine  Fehlerkurve  genauer  ermittelt  werden;  doch  genügt  eine 
Bestimmung  durch  Schätzung. 

578.  Die  Schlagschatten  auf  die  Bodenfläche  P,,  welche  die 
Grundlinie  g  zur  Spur  hat,  findet  man  für  die  vorkommenden  Kreise 
wieder  als  die  Abbildungen  von  Kreisen,  von  denen  man  einen  mit 
g  parallelen  Halbdurchmesser  mittelst  zweier  Lichtstrahlen  bestimmt, 
indem  man  aus  ihm  die  Axen  der  Schattenellipsen  ermittelt  (551). 

Für  die  Schlagschattengrenise  s^  der  Fläche  F  oder  der  s  bestimmt 
man  den  Schatten  U^  eines  allgemeinen  Punktes  U  und. des  zweiten 
mit  U  auf  demselben  Parallelkreise  und  auf  der  Geraden  UBN' 
liegenden  Punktes,  indem  man  diese  Gerade  mittelst  B  in  U^^BqN' 
auf  Pj  projicirt;  Ui  ist  dann  der  Schnittpunkt  von  US  und  UqS\ 
Von  s  konstruirt  man  hauptsächlich  die  Schatten  der  höchsten  und 
tiefsten  Punkte,  so  TTj  von  TT;    dieselben  liegen  auf  MqS\  und  die 


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640    Xn,  678—579.  Axonometr.  u.  schiefe  Projektion,  Perspektive  kr.  Flächen. 

Tangenten  in  denselben  laufen  nach  If]  die  Schatten  der  Pnnkte 
des  Eehlkreises,  so  F^  von  F^]  die  Tangenten  in  denselben  laufen 
nach  S']  und  die  Spitzen  auf  den  Strahlen,  welche  aus  S  berührend 
an  s  gelegt  werden;  zu  ihrer  Ermittelung  bestimme  man  den  zu- 
gehörigen, dem  Rq  entsprechenden  Punkt,  durch  Einschaltung  zwi- 
schen die  benachbarten  Punkte.  Damit  kann  man  s^  genügend 
zeichnen,  wenn  man  beachtet,  daß  sich  zwei  Verbindungslinien 
zweier  Schattenspitzen  in  8',  zwei  in  N",  imd  zwei  auf  M^S' 
schneiden;  und  daß  zweimal  zwei  Tangenten  der  ^^  in  Spitzen  sich 
in  MqS'  treffen. 

Den  SiMagschatten  k^  des  oberen  Crrenzhreises  k  der  "F  in  "F  be- 
stimmt man  hauptsächlich  durch  die  Abbildung  C^  des  höchsten 
Punktes  und  durch  die  Grenzpunkte  auf  s.  Ersterer  liegt  in  dem 
Lichtstrahlenmeridiane  {fOSS')  und  wird  wieder  durch  dessen 
Drehung  in  P  erhalten.  Man  zieht  daher  den  Strahl  CC2  ^  TS  hiB 
C2  auf  m,  dann  CjCo  J_a  bis  C^  auf  a,  so  schneiden  sich  C^S' 
und  CgT'  in  C3;  die  Tangente  in  C^  läuft  nach  N'.  Die  Greng- 
pwnkte  auf  s,  so  F3,  werden  aus  den  Schnittpunkten  der  Schatten 
s^  und  k^  von  s  und  k  auf  P^,  so  aus  Zj,  durch  rückwärts  (aus  S) 
gezogene  Lichtstrahlen  bestimmt;  ihre  Verbindungslinie  muß  durch 
N'  laufen.  Allgemeine  Punkte  könnte  man  auf  irgend  einem  Parallel- 
kreise als  Schnitt  desselben  mit  dem  Schatten  des  oberen  Grenz- 
kreises auf  seine  Ebene  erhalten;  man  verfährt  dabei,  wie  bei  den 
Kreisen  im  Horizonte,  nach  dem  Grund-  und  Aufriß  verfahren,  so 
daß  man  keiner  Hilfsellipsen  bedarf. 

Der  Schlagschatten  s^  der  "F  oder  der  s  in  die  F  beginnt  an  den 
beiden  unteren  Greuzpunkten  der  $,  in  denen  ihre  Tangenten  nach 
S  laufen,  und  endet  auf  dem  unteren  Grenzkreise  der  P.  Die  er- 
steren  Punkte  sind  schon  genügend  bestimmt,  die  letzteren  werden 
durch  die  rückwärts  gezogenen  Lichtstrahlen  aus  den  Schnittpunkten 
der  S|  mit  dem  Schlagschatten  jenes  Kreises  auf  P|  ermittelt.  Die 
Tangenten  des  Schlagschattens  in  den  erstereu  Punkten  laufen  nach 
Sy  die  in  den  letzteren  nach  denselben  Fluchtpunkten  auf  Ä,  wie 
die  Tangenten  der  s^  in  jenen  Schnittpunkten.  Allgemeine  Punkte, 
wenn  sie  notwendig  sein  sollten,  kann  man  aus  dem  elliptischen 
Schatten  eines  zwischenliegenden  Parallelkreises  auf  P^  und  aus  des- 
sen Schnitt  mit  s^  durch  rückwärts  gezogene  Lichtstrahlen  ermitteln. 

579.  Die  Perspektive  des  menschlichen  Blicks.  Wenn  der  Blick 
der  Abbildung  eines  Gesichtes,  insbesondere  eines  Portraits,  bei 
einem  gewissen  Standpunkte  des  Beschauers  auf  diesen  gerichtet 
scheint,  so  scheint  er  auch  bei  jedem  anderen  Standpunkte  dessel- 
ben auf  ihn  gerichtet.     Diese  Beobachtung  kann  überraschen,  weil 


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XII,  679-680.    Perspektive.  641 

eB  befremdend  erscheint,  daß  der  Blick  des  Portraits  gleichzeitig  nach 
allen  Richtungen  gekehrt  ist,  und  sie  veranlaßt  leicht  die  Meinung, 
es  bedürfe  eines  besonderen  Kunststücks  des  Malers,  um  diese  Wirkung 
hervorzubringen.  Dies  ist  aber  durchaus  nicht  der  Fall;  vielmehr 
ist  es  unmöglich;  zu  bewirken,  daß  der  Blick  nur  dann  auf  den 
Beschauer  gerichtet  ist,  wenn  dieser  an  einer  bestimmten  Stelle  steht. 

Die  Erscheinung  beruht  nämlich  darauf,  daß  bei  der  Anfertigung 
des  Bildes  eine  gewisse  Stellung  des  Auges  gegen  den  Gegenstand 
angenommen  wird,  und  daß  das  fertige  Bild  in  dem  Beschauer^ 
welchen  Ort  er  auch  einnehmen  mag,  die  Vorstellung  dieser  Augen- 
stellung hervorruft,  so  daß  bei  der  Bewegung  des  Beschauers  vor 
dem  Bilde  die  Stellung  des  Gegenstandes  gegen  das  Auge  unver- 
ändert bleibt,  diejenige  gegen  den  Raum  sich  daher  notwendiger 
Weise .  ändert.  So  zeigt  die  Abbildung  des  Inneren  einer  Pfeiler- 
halle (I,  538)  die  beiderseitigen  Innenflächen,  wie  sie  nur  einem  im 
Inneren  der  Halle  stehenden  Beobachter  gleichzeitig  sichtbar  sein 
können.  Stellt  man  sich  nun  gerade  vor  das  Bild,  so  scheint  sich 
die  Halle  gerade  nach  vorn  zu  erstrecken  und  uns  in  ihrem  Inneren 
aufzunehmen;  stellt  man  sich  rechts  oder  links,  so  scheint  sich  die 
Halle  nach  rechts  oder  links  zu  erstrecken,  weil  wir  nur  bei  dieser 
räumlichen  Erstreckung  jedesmal  in  ihrem  Inneren  stehen  können 
(vergl.  I,  562).  Im  Mittelalter  wurde  häufig  der  Tod  so  abgebildet, 
daß  er  den  Pfeil  gleichzeitig  auf  jeden  der  Beschauer  abschießen  zu 
wollen  schien,  der  Pfeil  schien  nach  dem  Auge  oder  nach  der  Brust, 
und  zwar  in  wechselnder  Tiefe,  gerichtet,  je  nachdem  von  ihm  nur 
die  Spitze  oder  eine  stark  verkürzte  Oberaufsicht  des  Schaftes  ge- 
malt war.  Schauerlich  muß  der  Eindruck  des  Bildes  eines  belgi- 
schen Malers  sein,  das  in  starker  Verkürzung  eine  Leiche  auf  dem 
Secirtische  zeigt,  deren  starr  geöffnete  Augen  man  zwischen  ihren 
Fußspitzen  erblickt,  und  die  sich  bei  der  Bewegung  des  Beschauers 
um  ihren  Kopf  zu  drehen,  bei  einem  Sprunge  desselben  sich  aber 
herumzuwerfen  scheint. 

580,  Betrachten  wir  nun  unter  diesen  Gesichtspunkten  die 
scheinbare  Richtung  des  menschlichen  Blickes*).  Die  wirkliche  Sdi- 
richtungy  d.  i.  die  Sehrichtung  eines  wirklichen  Auges,  ist  die  Rich- 
tung des  deutlichen  Sehens  und  verbindet  den  optischen  Mittelpunkt 
des  Auges  mit  der  Netzhautgrube;  außerhalb  des  Augapfels  steht 
sie  in  der  Mitte  der  Pupille  senkrecht  auf  der  Oberfläche  der  Horn- 

*)  Es  sind  hier  wesentlich  die  Ergebnisse  der  interessanten  Untersuchungen 
benutzt,  welche  Wollaston  in  seiner  Abhandlung  veröffentlicht  hat:  On  the 
apparent  direction  of  eyes  in  a  portrait  (Philosophical  transactions  of  the  royal 
Boeiety  of  London,  1824,  S.  247). 

Wiener,  Lehrbuch  der  daritellenden  Oeomelrie.    II.  41 


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642    XII,  580—581.  Axonometr.  n.  schiefe  Projektion,  Perspektive  kr.  Flächen. 

haut^  was  man  daran  erkennt,  daß  man  in  dem  Auge  eines  Anderen, 
das  unser  Auge  anschaut,  das  Spiegelbild  des  eigenen  Gesichtes 
yerkleinert,  wie  durch  einen  konvexen  Spiegel,  in  der  Mitte  der 
Pupille  erblickt,  oder  auch  mittelst  eines  Spiegels  im  eigenen  Auge 
(durch  eine  dreifache  Spiegelung).  Daraus  ergibt  sich  als  zunächst 
liegendes  Unterscheidungszeichen  dafür,  ob  die  Sehrichtung  oder 
der  Blick  eines  Auges  gegen  den  Beschauer  gerichtet  ist  oder  nichts 
daß  im  ersteren  Falle  die  Regenbogenhaut  oder  Iris  hreisförmig,  im 
zweiten  elliptisch  erscheint,  und  daß  der  Blick  um  so  starker  abge- 
wendet erscheint,  je  großer  die  Abweichung  der  Ellipse  vom  Kreise 
ist.  Dieses  Kennzeichen  bietet  aber  zunächst  nicht  die  Genauigkeit, 
die  man  bei  der  Beurteilung  der  Richtung  des  Blickes  in  Wirklich- 
keit erreicht  Denn  nach  Versuchen  des  Verfassers  kann  man  ziem- 
lich sicher  unterscheiden,  ob  der  Blick  eines  in  80  cm  Abstand 
befindlichen  fremden  Gesichtes  auf  die  Nasenwurzel,  auf  das  eine 
oder  das  andere  Auge,  oder  auf  die  eine  oder  die  andere  Schläfe 
gerichtet  ist.  Da  nun  der  Abstand  der  letzteren  von  eiander  14  cm 
beträgt,  so  könnte  man  Drehungen  von  {{ 14)  :  80  «=  0,044  =  2^** 
noch  ziemlich  sicher  unterscheiden,  während  durch  eine  solche 
Drehung  der  scheinbare  Kreis  der  Iris  zu  einer  scheinbaren  Ellipse 
wird,  deren  Axen  sich  wie  1 :  cos  2^^  «=  1000  :  999  verhalten,  so 
daß  man  die  Abweichung  vom  Kreise  entfernt  nicht  erkennen  kann, 
da  dies  schon  bei  der  Ellipse  der  Fig.  232  einige  Aufmerksamkeit 
erfordert,  bei  welcher  jenes  Verhältniß  »=  20 :  19  ist,  und  welcher 
eine  Drehung  von  18^  entsprechen  würde.  Sodann  aber,  wenn  uns 
ein  Portrait  mit  kreisförmiger  Iris  anzublicken  scheint,  wenn  wir 
uns  gerade  davor  stellen,  scheint  es  uns  auch  dann  noch  anzu- 
blicken, wenn  wir  uns  stark  seitwärts  stellen,  die  Iris  also  stark 
elliptisch  erscheint.  Und  endlich  ist  leicht  zu  beobachten,  z.  B.  bei 
den  beiden  Figuren  235  und  236,  daß  es  auch  möglich  ist,  daß  ein 
Portrait  mit  kreisförmiger  Iris  seitwärts  zu  blicken  scheint 

681,  Wir  wollen  Gesichtsnonnale  die  Gerade  nennen,  welche 
von  der  Nasenwurzel  aus  senkrecht  zur  G^sichtsebene  gezogen  wird, 
und  als  Gesichtsebene  diejenige  Ebene  bezeichnen,  welche  die  Stime 
und  die  Oberlippe  unmittelbar  unter  der  Nase  berührt  und  gleich- 
weit von  beiden  Augäpfeln  entfernt  ist.  Dann  kann  man  sagen, 
daß  die  Richtung  des  Blickes  eines  Gesichtes  gegen  den  Beschauer  txm 
der  Stellung  der  Sehrichtung  dieses  Gesichtes  gegen  die  Gesichtsnormale 
und  von  der  Stellung  der  Gesichtsnormale  gegen  die  Richtung  nach  den 
Augen  des  Beschauers  abhängt.  Der  erstere  Umstand  ist  von  der 
Stellung  des  Augapfels  in  der  Augenhöhle  bedingt,  und  diese  er- 
kennt man  an  der  Verteilung  des  zwischen  der'  Iris  und  den  Augen- 


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XII,  681— 682.    Perspektive.  643 

lidem  sichtbaren  Weiß.  Erscheint  rechts  und  links  nahezu  gleich 
viel  Weiß,  so  erkennt  man,  daß  der  Blick  gerade  vorwärts  gerichtet 
ist;  erscheint  zugleich  bei  natürlich  geöffiieten  Augenlidern  unten 
etwas  mehr  Weiß,  wie  oben,  so  erkennt  man,  daß  die  Sehrichtung 
in  der  Gesichtsnormale  liegt.  Je  mehr  das  Verhältniß  des  Weiß 
an  den  angegebenen  Stellen  von  den  bezeichneten  Verhältnissen  ab- 
weicht, um  so  mehr  weicht  die  Sehrichtung  nach  der  einen  oder 
der  anderen  Seite  von  der  Gesichtsnormale  ab.  —  Andererseits 
erkennt  man  die  gegen  das  Auge  des  Beschauenden  gekehrte  Rich- 
tung der  Gesichtsnormale  daran,  daß  die  beiden  Wangen  und  Schlä- 
fen gleich  ausgedehnt  und  die  Augen  in  der  Höhe  der  oberen  Ohr- 
ränder erscheinen,  daß  der  obere  Kopfumriß  sich  auf  der  vorderen 
Eopfhälfte  zeigt,  und  daß  die  Nasenspitze,  die  Oberlippe  und  das 
Kinn  den  Hals  in  geringem  Grade  decken.  Abweichungen  von  diesen 
Erscheinungen  bringen  entsprechende  Abweichungen  in  der  Vor- 
stellung der  Richtung  der  Gesichtsnormale  hervor.  —  Die  Stellung 
der  Sehrichtung  gegen  die  Gesichtsnormale  und  der  Gesichtsnormale 
gegen  die  Augen  des  Beobachters  bestimmen  zusammen  die  Seh- 
richtung des  Gesiebtes  gegen  den  Beobachter,  oder  die  scheinbare 
Richtung  seines  Blickes.  Da  nun  bei  ^einem  Portrait  die  Verhältnisse 
der  Ausdehnungen  des  sichtbaren  Weiß  an  den  verschiedenen  Stellen 
des  Augapfels  und  die  der  Gesichtsteile  sich  nicht  ändern,  wenn 
der  Beobachter  seinen  Standpunkt  ändert,  so  ändert  sich  dabei  auch 
die  Richtung  des  Blickes  gegen  den  Beschauer  nicht 

582.  Wenn  man  aber  den  einen  der  beiden  Umstände  ändert, 
den  andern  aber  ungeändert  läßt,  so  ändert  sich  die  scheinbare  Rieh- 
tung  des  Blickes.  Bleibt  die  Ansicht  des  Gesichtes  ungeändert,  be- 
wegt sich  aber  die  Iris  zwischen  den  Augenlidern,  so  ändert  sich 
auch  die  Richtung  des  Blickes  gegen  die  Gesichtsnormale  und  gegen 
den  Beschauer,  und  dies  wird  als  selbstverständlich  angenommen. 
Überraschend  wirkt  es  aber,  daß,  wenn  man  die  Ansicht  des  Auges 
ungeändert  läßt,  diejenige  des  übrigen  Gesichtes  aber  ändert,  jedoch  . 
nicht  mehr,  als  einer  Drehung  von  20  bis  30^  entspricht,  sich  die 
scheinbare  Richtung  des  Blickes  ändert.  Es  ist  aber  ganz  erklär- 
lich, da  zwar  die  Stellung  der  Sehrichtung  gegen  die  Gesichtsnor- 
male ungeändert  bleibt,  die  Stellung  der  Gesichtsnormale  und  mit 
ihr  der  Sehrichtung  gegen  d^i  Beschauer  sich  aber  ändert.  So 
scheint  das  Portrait  der  Figur  235'^)  uns  anzuschauen;  auf  seiner  lin-  Fig.  235. 
ken  Seite  des  Augapfels  ist  weniger  Weiß  sichtbar,  die  Sehrichtung 


*)  Diese  und  die  folgende  Figur  sind  solchen  der  angeführten  Abhandlung 
▼on  Wonaston  nachgebildet. 

41* 


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644    XII,  682.  Azonometr.  n.  schiefe  Projektion,  Perspektive  krummer  FlSchen. 

ist  daher  nach  links  gekehrt.  Andererseits  ist  seine  rechte  Wange 
stärker  verkürzt;  die  Gesichtsnormale  daher^  ?on  dem  Gesichte  ans 
gesehen y  nach  rechts  von  uns  abgelenkt;  and  da  diese  beiden  Ab- 
lenkungen entgegengesetzten  Sinn  haben^  so  heben  sie  sich  auf, 
wenn  sie  der  Größe  nach  gleich  sind;  und  dies  ist  im  Bilde  der  Fall. 
Ändert  man  aber  durch  das  Deckblatt  der  Figur  das  Bild  des  un- 
teren Gesichtes^  während  die  Augen  dieselben  bleiben,  die  Stime 
aber  ganz  weggelassen  wurde,  so  erscheint  nicht  mehr  die  rechte, 
sondern  die  linke  Wange  stärker  verkürzt,  und  es  ist  die  Gesichts- 
normale, vom  Gesichte  aus  gerechnet,  links  von  uns  abgelenkt; 
beide  Abweichungen  haben  dann  gleichen  Sinn,  addiren  sich,  und 
der  scheinbare  Blick  geht  um  so  mehr  links  an  uns  vorbei  (rechts 
für  den  Beschauer).  Auch  ist  in  der  zweiten  Ansicht  der  Blick 
wegen  geringerer  Überdeckung  an  Nasenspitze  und  Kinn  etwas  mehr 
aufwärts  gerichtet. 
pig.  «36.  Die  Figur  236  zeigt  auch,  wie  der  geistige  Attsdruck  hauptsäch- 

lich durch  den  unteren  Gesichtsteil  und  nur  sehr  wenig  durch  das 
Auge  bestimmt  wird.  Bei  Überdeckung  des  unteren  Teiles  sieht 
man  ein  aufwärt«  gerichtetes  Eindergesicht  mit  aufwärts  gerichte- 
tem Blicke  und  einem  andächtig  schwärmerischen  Ausdrucke;  ohne 
Überdeckung  dagegen  ein  abwärts  gerichtetes  Gesicht  eines  älteren 
Mädchens  mit  auf  uns  gerichtetem  Blicke  und  einem  schelmischen 
und  lauernden  Ausdrucke.  Ohne  daß  sich  die  Augen  änderten,  hat 
sich  ihr  Ausdruck  geändert.  Die  etwas  nach  oben  gewölbte  Form 
der  unteren  Augenlider  ist  beim  ersten  Bilde  nur  eine  scheinbare, 
von  der  nach  oben  gekehrten  Richtung  des  Gesichtes  herrührende, 
beim  zweiten  Bilde  eine  wirkliche  durch  das  Lächeln  bewirkte. 

Eine  solche  Änderung  der  scheinbar«!  Sehrichtung  eines  Por- 
traits,  welches  an  demselben  ohne  Änderung  der  Augen  mit  alleiniger 
Änderung  des  unter  den  Augen  liegenden  Gesichtsteiles  bewirkt 
wird^  führt  Fehler  in  der  Abbildung  der  Augen  mit  sich,  die  ja  für 
jedes  Untergesicht  etwas  anders  erscheinen,  sowie  noch  mehr  Fehler 
in  der  Stirne,  wenn  auch  diese  gezeichnet  ist  und  ungeändert  bleibt 
Was  die  Stirne  betrifft,  so  ist  sie  im  ersten  Bilde  ganz  weggelassen 
und  kann  verdeckt  gedacht  werden;  im  zweiten  Bilde  aber  wurden, 
um  die  Fehler  weniger  merklich  zu  machen,  die  Haare  in  etwas 
unbestimmter  Weise  dargestellt,  ohne  die  Form  des  Kopfes  deutlich 
zu  zeigen.  Damit  aber  auch  an  den  Augen  die  Fehler  nicht  auf- 
fallend werden,  darf  man  nur  eine  geringe  Drehung,  bis  zu  20  oder 
höchstens  30^,  herbeiführen.  Aus  der  Gestalt  des  Auges  allein,  dabei 
weniger  der  Iris,  als  der  Augenlider,  kann  schon  auf  die  scheinbare 
Richtung  des  J31iakes  geschlossen  werden;   aber  diese  Schlüsse  sind 


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XII,  682—584.    Reliefperepektive.  645 

selbst  fär  Eeuneraugen  sehr  unsicher,  wie  ich  mit  Portrait- Photo- 
graphien erprobte ;  deren  Blick  nahezu  auf  den  Beschauer  gerichtet 
war^  und  die  ich  mit  Papier  derart  zudeckte  ^  daß  durch  zwei  Aus- 
schnitte nur  die  Augen  mit  ihren  Lidern  sichtbar  waren.  Ich  bat  dann 
Künstler,  die  Nase  mit  ihrer  seitlichen  Neigung  darunter  zu  zeichnen; 
dabei  kamen  dann  öfter  Irrthümer  vor,  oder  die  Beobachter  wider- 
sprachen sich.  Dagegen  ist  das  aus  der  Gesichtsstellung  herror- 
gehende  Urteil  ein  nicht  schwankendes;  und  das  Bild  des  Gesichtes 
ist  maßgebend  selbst  entgegen  den  Fehlern  in  der  Augenzeichnung, 
die  bei  den  letzten  Figuren  wenigstens  bei  einer  der  beiden  Ansich- 
ten vorhanden  sein  müdsen. 


IV.    Beliefperspektive. 

683.  Die  Reliefperspektive  krummer  Flächen  wollen  wir  nur 
bei  Flächen  zweiten  Grades  betrachten.  In  I,  554  flf.  haben  wir  als 
kollineare  räumliche  Systeme  nur  solche  angesehen,  die  sich  in  per- 
spektiver Lage  befinden  oder  in  dieselbe  gebracht  werden  können; 
und  in  ü,  80  haben  wir  diesen  Begriflf  auf  nicht  Perspektive  Ge- 
bilde erweitert  und  gefunden,  daß  zwei  derart  kollineare  räumliche 
Systeme  im  allgemeinen  nicht  unter  einander,  wohl  aber  mit  ein  und 
demselben  dritten  Systeme,  und  zwar  auf  unendlich  viele  Arten  in 
Perspektive  Lage  gebracht  werden  können.  Zugleich  ergab  sich  (81), 
daß  jede  Fläche  zweiten  Grades,  wenn  sie  nicht  geradlinig  ist,  mit 
einer  Kugel,  wenn  geradlinig,  mit  einem  einschaligen  Umdrehungs- 
hyperboloide kollinear  ist.  Man  kann  sich  leicht  durch  Betrach- 
tungen, wie  die  in  Nr.  80,  überzeugen,  daß  man  zwei  beliebige, 
nicht  geradlinige,  oder  zwei  geradlinige  Flächen  zweiten  Grades  auf 
unendlich  viele  Weisen  in  Perspektive  Lage  bringen  kann,  wenn  man 
nur  die  nach  Nr.  81  anzunehmenden  fünf  bestimmenden  Punkte  nicht 
alle  willkürlich  wählt.  Wir  wollen  uns  im  Folgenden  darauf  be- 
schränken, aus  einer  Kugel  durch  Perspektive  Kollineation  nach 
I,  554  eine  Fläche  zweiten  Grades  abzuleiten. 

584,  Äufg,  Äiis  einer  Kugel  E  durch  Perspektive  räumliche  Kol- 
lineation eine  Fläche  zweiten  Grades  P  abzuleiten,  und  ihre  Kreis- 
schnitte und  Axen  zu  hestimmen*). 

Aufl.    Sei  U  das  räumliche  System  der  E,  £'  das  der  F.   Eine  Fig.  237. 
durch  das  Auge  0  und  den  Mittelpunkt  C  der  E  senkrecht  zur  Kol- 


*)  Die  folgeude  Auflösung  wurde  von  Morstadt  gegeben  in  seinem  Auf- 
satze: Über  die  räumliche  Projection  (Reliefperspective)  und  namentlicb  die- 
jenige der  Kugel  (SchlOmilchs  Zeitschr.  f.  Math.  u.  Phys.,  B.  12,  1867,  S.  826). 


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646    XII,  584.  Axonometr.  n.  schiefe  Projektion,  Perspektive  krammer  Flächen. 

lineatiousebene  S  gelegte  Ebene  F  ist  eine  Symmetrieebene  von  0, 
K  und  S,  daher  auch  Ton  F,  d.  i.  eine  Hanptebene  der  F.  Man 
benutze  P  als  Projektionsebene  für  die  Figur;  auf  ihr  steht  auch 
die  mit  S  parallele  Gegenebene  B  des  Systemes  2J  senkrecht,  welche 
der  unendlich  fernen  Ebene  B'  des  2J'  entspricht.  Die  Kugel  K  wird 
durch  ihren  (größten)  Spurkreis  k,  die  Ebenen  S  und  B  werden  durch 
ihre  Spuren  s  und  r  in  P  dargestellt.  Man  bestimme  den  Pol  M  von 
B  zu  E;  d.  i.  auch  den  Pol  von  r  zu  Je.    Der  Punkt  M'  im  Systeme 


Fig. 

237. 

s 

sE'                                » 

R 

r 

\  ,■*'         "' 

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H'j  welcher  dem  M  entspricht,  ist  der  Pol  der  unendlich  fernen 
Ebene  B'  zu  F,  oder  der  Mittelpunkt  der  F  und  ihres  in  P  liegen- 
den, dem  k  entsprechenden  Hauptschnittes  V.  M!  liegt  auf  OM 
und  wird  gefunden,  wenn  man  durch  M  irgend  eine  Gerade,  etwa 
die  Senkrechte  zu  S,  legt,  und  mit  S  und  B  bezw.  in  jF\  und  F^ 
schneidet;  dann  ist  die  |  OF^  durch  F^  gezogene  F^M  die  Abbil- 
dung der  MF^F^  und  triflft  die  0-M  in  M!. 

Es  ist  zweckmäßig,  zunächst  äiß  Stellungen  der  Ebenen  der  bei- 
den Schaaren  paralleler  Kreisschnitte  der  V  za  bestimmen.  Die  erste 
Stellung  ist  die  der  EoUineationsebene  S,  weil  die  mit  S  parallelen 
Kreise  der  Kugel  K  sich  als  mit  S  parallele  Kreise  der  F  abbilden. 


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XII,  684—686.    Reliefperspektive.  647 

Die  mit  s  parallele  Halbsehue  MD  des  Je  bildet  sich  als  der  mit  s 
parallele  Halbdurchmesser  M'D'  des  Je'  und  der  F  ab,  und  dieser 
ist  als  Halbmesser  eines  Diametralkreises  gleich  der  halben  mitt- 
leren Axe  der  F,  welche  auf  der  Hauptebene  P  senkrecht  steht, 
weil  auf  dieser  Hauptebene  die  Ebene  des  Ejreisschnittes  senkrecht 
steht  (124).  Da  MEF^  in  Bezug  auf  Je  (und  K)  konjugirt  zu  MD 
ist,  so  ist  es  auch  M'E'F^  zu  M'D\  oder  E'  ist  ein  NäbelpunJU  der 
P  (534).  Durch  die  zwei  konjugirten  Halbdurchmesser  MD\  ME' 
ist  Je'  bestimmt,  und  es  könnten  aus  ihnen  die  Axen  des  Je',  das 
sind  auch  die  kleine  und  große  Axe  der  P,  und  daraus  die  zweite 
Diametralkreisebene  ermittelt  werden.  Doch  ergibt  sich  alles  dies 
auch  leicht  unmittelbar  aus  K. 

585.  Die  unendlich  ferne  Gerade  g'  (in  B'),  in  welcher  sich 
die  Ebenen  einer  Ereisschaar  der  F  schneiden,  enthält  eine  Involu- 
tion Ton  Punkten,  welche  in  Bezug  auf  diese  Kreise  konjugirt  sind, 
also  aus  jedem  Punkte  von  endlichem  Abstände,  so  aus  0,  durch 
eine  Rechtwinkelinvolution  projicirt  wird.  Die  entsprechende  Gerade 
g  im  Systeme  £  enthält  eine  Involution  konjugirter  Punkte  in  Bezug 
auf  K,  und  wird,  weil  mit  g'  perspektiv,  aus  0  durch  dieselbe  Recht- 
winkelinvolution projicirt.  Der  Mittelpunkt  U  der  Involution  auf  g 
ist  der  Fußpunkt  der  aus  dem  Eugelmittelpunkte  C  auf  g  gefällten 
Senkrechten  und  wird  bei  der  Rechtwinkelinvolution  aus  0  eben- 
falls durch  eine  Senkrechte  zu  g  projicirt;  daher  muß  ^J_  Ebene 
UOC  oder  gl.  OC  stehen.  Nun  gibt  es  aber  zwei  auf  00  senk- 
rechte Ebenen,  in  welchen  jede  Gerade  eine  g  ist,  und  außer  diesen 
Ebenen  gibt  es  keine  g.  Die  eine  dieser  Ebenen  ist  die  unendlicJi 
ferne  B',  weil  jede  g  in  B'  eine  Involution  in  Bezug  auf  K  enthält, 
die  aus  0  und  dann  auch  aus  0  durch  eine  Rechtwinkelinvolution 
projicirt  wird.  —  Die  zweite  Ebene  B'  ist  mit  der  Polarebene  E 
von  0  zu  E  parallel,  daher  _L  0(7,  und  liegt  in  der  Mitte  zwischen 
0  und  E.  Denn  in  Bezug  auf  0  und  E  als  Mittelpunkt  und  Ebene  der 
Kollineation  ist  K  mit  sich  selbst  in  involutorischer  EoUineation  (73), 
und  hierbei  entspricht  der  unendlich  fernen  B'  jene  Ebene  E',  so 
daß  die  Involution  auf  jeder  g  der  B'  und  diejenige  der  entsprechen- 
den g  der  E',  welche  also  ebenfalls  durch  konjugirte  Punkte  in  Be- 
zug auf  E  gebildet  wird,  beide  aus  0  durch  dieselbe  Rechtwinkel- 
involution projicirt  werden. 

Außerhalb  der  Ebenen  b',  E'  gibt  es  keine  Gerade  g\  denn 
zieht  man  eine  andere  Gerade  q  ±.00,  legt  durch  sie  und  durch 
0  eine  Ebene,  schneidet  diese  mit  K  in  einem  (reellen  oder  ima- 
ginären) Ereise  c,  dessen  Mittelpunkt  0'  sei,  und  denkt  sich  in 
dieser  Ebene  alle  zu  0C7  (und  00')  senkrechte  Geraden  q  geführt 


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648    XII,  585.  Axonometr.  n.  Bchiefe  Projektion,  Perspektive  knunmer  Flächen. 

und  auf  jeder  die  Involution  konjugirter  Punkte  in  Bezug  auf  c  be- 
stimmt, 80  sind  von  allen  q  nur  diejenigen  eine  g,  deren  Involution 
aus  0  durch  eine  Rechtwinkelin?olution  projicirt  wird,  bei  denen 
also  die  zugeordneten  von  OC  auf  entgegengesetzten  Seiten  gleich 
weit  entferntem  Punkte  auf  den  Geraden  t,  i'  liegen^  die  man  aus 
0  unter  45^  gegen  OC  zieht  Da  nun  die  Gesamtheit  dieser 
Punktepaare  die  ideellen  Schnittpunkte  der  Geraden  q  mit  dem 
Kreise  c  in  Bezug  auf  den  unendlich  fernen  Punkt  Q  der  q  sind 
und  daher  den  zu  c  in  Bezug  auf  Q  konjugirten  Kegelschnitt  c 
bilden  (I,  400  flF.),  d.  i.  eine  gleichseitige  Hyperbel,  deren  Asympto- 
ten mit  OC  Winkel  von  45^  einschließen,  und  da  diese  c  von 
den  t,  i'  in  vier  Punkten  getroflfen  wird,  welche  zu  zwei  symme- 
trisch in  Bezug  auf  OC  liegen,  so  gibt  es  unter  den  q  nur  zwei 
Gerade  g^  nämlich  die  bezeichneten  Symmetriestrahlen,  von  denen 
der  eine  unendlich  fern  (in  B')  liegt,  der  andere  daher  nur  die  in 
der  Ebene  E'  gelegene  g  sein  kann. 

Da  nun  die  Axen  g'  der  EbenenbUschel  der  Kreisschnitte  der  F 
in  der  unendlich  fernen  Ebene  B,'  liegen,  so  liegen  ihre  entspre- 
chenden g  in  der  Gegenebene  B;  sie  sind  also  die  Schnittlinien  der 
B  mit  B''  und  mit  E'  und  bilden  die  Axen  g  der  Ebenenbüschel  der 
Kugelschnitte,  welche  den  Kreisschnitten  der  F  entsprechen.  Es 
sind  dies  die  schon  erhaltene  unendlich  ferne  Gerade  der  B  (und 
der  S)  und  die  auf  der  Zeichenfläche  P  senkrechte  Gerade  g,  welche 
sich  in  dem  Schnittpunkt  re'  =  G  projiciri  Dem  Strahle  GM  und 
seinem  Schnittpunkte  H  mit  k  entsprechen  daher  der  mit  OG  par- 
aUele  Strahl  M'H'  und  sein  Schnittpunkt  H'  mit  Ä',  so  daß  M'H' 
ein  Halbmesser  des  zweiten  Diametralkreises  ist,  wobei  M'H'  «^ 
M'D'.  Dem  zu  MH  in  Bezug  auf  Ä  konjugirten  MJ  (der  Polare 
von  G)  entspricht  die  zu  M'  H'  in  Bezug  auf  h'  konjugirte  M'J\ 
und  bestimmt  einen  weiteren  NabelpunJct  J'  (Jtf V  =  ME'). 

Zieht  man  aus  G  einen  Kreis  durch  0,  und  schneidet  ihn  mit 
r  in  Z  und  JV,  und  mit  h  in  zwei  Punkten,  so  ist  einer  derselben 
der  schon  erhaltene  Punkt  J  und  die  Verbindungslinie  beider  ist 
die  Polare  von  G  zu  äj,  so  daß  die  Tangente  in  J  an  A;  durch  G 
geht.  Denn  die  e  ist  (neben  der  unendlich  fernen  Geraden  r)  die 
Potensslinie  des  Ic  und  des  als  unendlich  kleiner  Kreis  gedachten 
Punktes  0,  d.  i,  ihre  gemeinschaftliche  Sehne,  oder  auch  die  Linie, 
von  deren  Punkten  aus  die  Tangenten  an  h  und  0  gleich  lang  sind. 
Sie  ist  es,  weil  sie  die  Mittelpunkte  der  aus  0  an  A;  gezogenen  (in 
Punkte  der  e  berührenden)  Tangenten  enthält.  Daraus  ergibt  sich 
aber  ebenfalls,  daß  sich  die  Involution  auf  der  5^  (-L  P  durch  G)  in 
Bezug  auf  K  aus  0  durch  eine  Rechtwinkelinvolution  projicirt,  weil 


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XII,  885— 586.    Reliefperspektive.  649 

die  InTolution  konjugirter  Tangenten  der  K  in  J  ebenfalls  recht- 
winklig und  weil  GO  =  GJ  ist. 

586.  Die  HaXbaxen  M  A\  MB'  des  ¥  halbiren  den  Winkel 
D'M'H'  und  seinen  Nebenwinkel,  sind  also  parallel  mit  OL  und 
ON,  weil  diese  Linien  gleiche  Winkel  mit  r  und  mit  06?  bilden- 
sie  entsprechen  den  in  ML  und  MN  liegenden  Sehnenstücken 
MA  und  MB. 

Hierdurch  ist  eine  sehr  einfache  Konstruktion  der  Axen  des  zum 
Kreise  h  central -JcolUnearen  Kegelschnittes  Tc'  gegeben. 

Die  Nichtregelfläche  zweiten  Grades  P  ist  ein  Ellipsoidy  ein 
elliptisches  Paraboloid  oder  ein  zweischaliges  Hyperboloid ^  je  nachdem 
die  Kugel  E  in  der  Gegenebene  B  keinen  reellen  Punkt  oder  einen 
solchen,  oder  eine  reelle  Kurve  enthält,  weil  die  P  die  entsprechen; 
den  Elemente  in  der  unendlich  fernen  Ebene  F'  besitzt 


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Die  Abbildung  ünkg 
ist  Figur  285  (zu  Seite  643), 

die  Abbildung  rechts 
ist  Figur  2SH  (zu  Seite  644). 


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RETURN     CIRCULATION  DEPARTMENT 
TO^i^     202  Main  Library 
LOAN  PERIOD  1 
HOMEUSE 


AU  BOOKS  MAY  K  RECALLEO  AFTEI 7  DAYS 

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MG    SiSßA 


PUE  AS  STAMPED  BELOW 


FEB 1  Q  198S 


fleCElVEDSY 


i»199l 


UNIVERSITY  OF  CALIFORNIA,  BERKELEY 
FORM  NO.  DD6,  60m,  1  /83         BERKELEY,  CA  94720  ^ 


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GENERAL  LIBRARY -U.C.  BERKELEY 


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