Lehrbuch der Thetafunktionen

B. G. Teubners Sammlung von Lehrbüchern
auf dem Gebiete der Mathematischen Wissen-
schaften mit Einschlufs ihrer Anwendungen.

Im Teubnerschen Verlage erscheint unter obigem Titel in
zwangloser Folge eine längere Reihe von zusammenfassenden
Werken über die wichtigsten Abschnitte der Mathematischen
Wissenschaften mit Einschlufs ihrer Anwendungen.
Die anerkennende Beurteilung, welche der Plan, sowie die bis jetzt
erschienenen Aufsätze der Encyklopädie der Mathematischen Wissen-
schaften gefunden haben, die allseitige Zustimmung, welche den von der
Deutschen Mathematiker -Vereinigung veranlafsten und herausgegebenen
eingehenden Referaten über einzelne Abschnitte der Mathematik zu teil
geworden ist, beweisen, wie sehr gerade jetzt, wo man die Resultate der
wissenschaftlichen Arbeit eines Jahrhunderts zu überblicken bemüht ist,
sich das Bedürfnis nach zusammenfassenden Darstellungen geltend macht,
durch welche die mannigfachen Einzelforschungen auf den verschiedenen
Gebieten mathematischen Wissens unter einheitlichen Gesichtspimkten
geordnet imd einem weiteren Kreise zugänglich gemacht werden.

Die erwähnten Aufsätze der Encyklopädie ebenso wie die Referate
in den Jahresberichten der Deutschen Mathematiker -Vereinigung be-
absichtigen in diesem Sinne in knapper, für eine rasche Orientierung
bestimmter Form den gegenwärtigen Inhalt einer Disciplin an gesicherten
Resultaten zu geben, wie auch durch sorgfältige Litteraturangaben die
historische Entwickelung der Methoden darzulegen. Darüber hinaus aber
mufs auf eine eingehende, mit Beweisen versehene Darstellung, wie sie
zum selbständigen, von umfangreichen Quellenstudien unabhängigen Ein-
dringen iu die Disciplin erforderlich ist, auch bei den breiter angelegten
Referaten der Deutschen Mathematiker -Vereinigung, in welcher haupt-
sächlich das historische imd teilweise auch das kritische Element zur
Geltung kommt, verzichtet werden. Eine solche ausführliche Darlegung,
die sich mehr in dem Charakter eines auf geschichtlichen und Kttera-
rischen Studien gegründeten Lehrbuches bewegt und neben den reiu
wissenschaftlichen auch pädagogische Interessen berücksichtigt, erscheint
aber bei der raschen Entwickelung und dem Umfang des zu einem
grofsen Teil nur in Monographien niedergelegten Stoffes durchaus wichtig,
zumal, im Vergleiche z. B. mit Frankreich, bei ims in Deutschland die
mathematische Litteratur an Lehrbüchern über spezielle Gebiete der~
mathematischen Forschung nicht allzu reich ist.

Die Verlagsbuchhandlung B. G. Teubner giebt sich der Hoffnung
hin, dafs sich recht zahlreiche Mathematiker, Physiker und Astronomen,
Geodäten und Techniker, sowohl des In- als des Auslandes, in deren
Forschungsgebieten derartige Arbeiten erwünscht sind, zur Mitarbeiter-

Schaft an dem Untemelimen entschliefsen möchten. Besonders nahe liegt
die Beteiligxmg den Herren Mitarbeitern an der Encyklopädie der Mathe-
matischen Wissenschaften. Die umfangreichen litterarischen imd speziell
fachlichen Studien, welche für die Bearbeitimg von Abschnitten der
Encyklopädie vorzunehmen waren, konnten in dem notwendig eng be-
grenzten Rahmen nicht vollständig niedergelegt werden. Hier aber, bei
den Werken der gegenwärtigen Sammlung, ist die Möglichkeit gegeben,
den Stoff freier zu gestalten und die individuelle Auffassung und Richtung
des einzelnen Bearbeiters in höherem Mafse zur Geltimg zu bringen.
Doch ist, wie gesagt, jede Arbeit, die sich dem Plane der Sammlung
einfügen läfst, im gleichen Mafse willkommen.

Bisher haben die folgenden Gelehrten ihre geschätzte Mitwirkung
zugesagt, während erfreulicherweise stetig neue Anerbieten zur Mitarbeit
an der Sammlung einlaufen,* worüber in meinen „Mitteilungen" fortlaufend
berichtet werden wird (die bereits erschienenen Bände sind mit zwei **,
die unter der Presse befindlichen mit einem * bezeichnet):
**P. Bachmann, niedere Zahlentheorie. (Band X der Sammlung.)

M. Bocher, über die reellen Lösimgeu der gewöhnlichen linearen
Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

G. BolLlna.ann, Versicherungsmathematik.

G. H. Bryan, Lehrbuch der Thermodynamik.

G. Castelnuovo imd F. Enriques, Theorie der algebraischen Flächen.
**E. Czuber, Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung auf Fehler-
ausgleichung, Statistik und Lebensversicherung. (Band IX.)
**L. E. Dickson, Linear Groups with an erposition of the Galois Field

theory. [in englischer Sprache.] (Baud VI.)

F. Dingeldey, Kegelschnitte und Kegelschnittsysteme.

F. Dingeldey, Sammlung von Aufgaben zur Anwendung der Differential-

und Integralrechnung.

G. Eneström (in Verbindung mit andern Gelehrten), Handbuch der

Geschichte der Mathematik.

F. Enriques, Prinzipien der Geometrie.

Ph. Furtwängler, die Mechanik der einfachsten physikalischen Apparate
und Versuchsanordnungen.
**A. Gleichen, Optische Abbildungslehre u. Theorie der optischen
Instrumente, (Band VIII.)
M. Grübler, Lehrbuch der hydraulischen Motoren.
J. Harkness, elliptische Fimktionen.
L. Henneberg, Lehrbuch der graphischen Statik.
K. Heun, die kinetischen Probleme der modernen Maschinenlehre.

G. Jung, Geometrie der Massen.
G. Kohn, rationale Kurven.

**A. Krazer, Handbuch der Lehre von den Thetafunktionen. (Band YIJ-)
H. Lamb, Akustik.
R. V. Lilienthal, Differentialgeometrie.

A. Loewy, Vorlesungen über die Theorie der linearen Substitutionsgruppen.
**G. Loria, spezielle, algebraische und transcendente Kurven der Ebene.
Theorie und Geschichte. (Band V.)
A. E. H. Love, Lehrbuch der Hydrodynamik.
A. E. H. Love, Lehrbuch der Elasticität.
R. Mehxrike, über graphisches Eechnen und über Rechenmaschinen,

sowie über numerisches Rechnen.
"W. Meyerhofer, die mathematischen Grundlagen der Chemie.
**E. Netto, Lehrbuch der Combinatorik. (Band VII.)
W. F. Osgood, allgemeine Funktionentheorie.
E. Ovazza, aus dem Gebiete der Mechanik.
**E. Pascal, Determinanten. Theorie imd Anwendungen. (Band IQ.)
S. Pinelierle, Funktional - Gleichimgen und -Operationen.
Er. Pockels, Krystalloptik.

A. Pringsh.eiin, Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre. (Ele-
mentare Theorie der unendlichen Algorithmen und der analytischen
Funktionen einer komplexen Veränderlichen.) Bd. I. Zahlenlehre.
Bd. n. Funktionenlehi-e. (Band I.)

C. Segre, Vorlesungen über algebraische Geometrie, mit besonderer

Berücksichtigung der mehrdimensionalen Räume.

D. Seliwanoff, Differenzenrechnung.
M. Simon, Elementargeometrie.

P. Stäckel, Lehrbuch der allgemeinen Dynamik.
P. Stäckel, Differentialgeometrie höherer Mannigfaltigkeiten.
O. Staude, Flächen und Flächensysteme zweiter Ordnung.
**0. Stolz imd J. A. Gmeiner, theoretische Arithmetik. (Band IV.)
R. Sturm, Theorie der geometrischen Verwandtschaften.

E. Sturm, die kubische Raumkurve.

H. E. Timerding, Theorie der Streckensysteme und Schrauben.
K. Th. Vahlen, Geschichte des Fundamentalsatzes der Algebra.
K. Th. VaMen, Geschichte des Sturmschen Satzes.
A. Voss, Prinzipien der rationellen Mechanik.
A. Voss, Abbildung uud Abwicklung der knmmien Flächen.
J. G. "Wallentin, Lehrbuch der theoretischen Elektrizität.
**E. V. Weber, Vorlesungen über das Pfaffsche Problem und die Theorie
der partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung. (Band 11.)
*A. G. "Webster, the Dynamics of Particles, of rigid, elastic, and fluid Bodies
being Lectures onMathematical Physics. [in englischer Sprache.] (Band XI.)
A. Wiman, endliche Gruppen linearer Transformationen.
W. "Wirtinger, algebraische Funktionen und ihre Litegrale.
W. Wirtinger, partielle Differentialgleichimgen.
H. G. Zeuthen, die abzählenden Methoden der Geometrie.
S^ Mitteilungen über weitere Bände werden baldigst folgen.
Leipzig, Poststrafse 3. -n /^ m i.

Oktober 1902 B. G. Toubner.

^u • V/' o \

B. G. TEUBNER'S SAMMLUNG VON LEHRBUC]

AUF DEM GEBIETE DER

MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN

MIT EINSCHLUSZ IHRER ANWENDUNGEN.
BAND XII.

LEHRBUCH

DER

THETAFÜNKTIONEN

VON

Dr. ADOLF KRAZER

O. PROFESSOR DER SIATHEMÄTIK AN DEM/TECHNISCHEN HOCHSCHULE
ZU KARLSRUHE.

°#

MT 10 TEXTFIGUREN.

LEIPZIG

DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER.

1903.

ALLE KECHTE, EINSCHLIESZILICH DES ÜBERSBTZUNGSRECHTS , VOKBEH ALTEN.

MEINEM LIEBEN UND VEREHRTEN LEHRER
HERRN

FRIEDRICH PRYM

IN DANKBARER ERINNERUNG
ZUGEEIGNET.

Einleitung.

Unter allen Konzeptionen Jacobis verdient, wenn man die daran
sich knüpfenden Folgen für die weitere Entwicklung der Mathematik
ins Auffe faßt, nach dem klassischen Urteile Dirichlets die erste Stelle
der Gedanke, jene unendlichen Produkte, durch deren Quotienten
Abel die elliptischen Funktionen dargestellt hatte, als selbständige
Transcendenten in die Analysis einzuführen. Als Jacobi diese Pro-
dukte in Reiheuform darstellte, gelangte er zu jenen vier unendlichen
Reihen, welche nach der rein zufälligen Bezeichnung, unter der sie
zuerst bei ihm auftreten, heute als Thetareihen, speziell als einfach
unendliche Thetareihen oder als Thetafunktionen einer Veränderlichen
bekannt sind.

Bei den späteren Darstellungen, welche Jacobi der Theorie der
elliptischen Funktionen in seinen Vorlesungen gab, hat er diese Theta-
reihen als Ausgangspunkt au die Spitze der ganzen Lehre gestellt,
und dieses Verfahren wurde vorbildlich für die Arbeiten von Göpel
und Rosenhain, welche nun ihrerseits ihren Untersuchungen über die
hyperelliptischen Funktionen erster Ordnung die Betrachtung von
doppelt unendlichen Reihen des gleichen Bildungsgesetzes voraus-
schickten; so entstanden die zweifach unendlichen Thetareihen oder
die Thetafunktionen von zwei Veränderlichen.

Daß sich das Bildungsgesetz der Thetareihen ohne weiteres auch
zur Herstellung von ^- fach unendlichen Reihen verwenden läßt, haben
bereits Göpel und Rosenhain bemerkt; es schienen aber diese j9-fach
unendlichen Thetareihen ihnen für die beabsichtigte Theorie der hyper-
elliptischen Funktionen nicht brauchbar, da sie in ihren Modulen
|-^(j9-f 1) Parameter enthalten, die hyperelliptischen Funktionen
vom Geschlecht p aber nur von 2|j — 1 wesentlichen Konstanten ab-
hängen. Erst Weierstraß und Riemann haben, über dieses Bedenken
sich hinwegsetzend, die ^j-fach unendlichen Thetareihen in die Theorie
der hyperelliptischen und Abelschen Funktionen eingeführt und damit
das mächtigste Instrument für diese Lehren geschaffen. Es war aber
dabei wohl im Auge zu behalten, daß die so in der Theorie der hyper-

VI Einleitung.

elliptischen und Abelschen Funktionen auftretenden Thetareihen nicht
die allgemeinen sind, daß vielmehr ihre Modulen gewissen Bedingungen
genügen, vermöge welcher sich die Anzahl der unabhängigen Kon-
stanten im hyperelliptischen Falle auf 2p — 1 , im Abelschen auf
3^ — 3 reduziert.

Welcher Art die Bedingungen für die Modulen der hyperellipti-
schen Thetareihen sind, ist ziemlich früh erkannt worden; sie bestehen
in dem Verschwinden gewisser geraden Funktionen für die Nullwerte
der Argumente. Für die Abelschen Thetafunktionen hat Schottky
die im niedrigsten Falle p = 4 (da noch für p = 3 \ p {p -f 1) =
3^ — 3 ist, die Abelschen Thetafunktionen also allgemeine sind) zwi-
schen den Modulen der Thetareihe bestehende Beziehung in einer
Relation ziemlich hohen Grades zwischen geraden Thetanullwerten
gefunden.

Von diesen speziellen Abelschen und noch spezielleren hyper-
elliptischen Thetafunktionen handeln das neunte und zehnte Kapitel
des vorliegenden Buches. Der Gedanke, eine Übersicht über die
Theorie der Abelschen und hyperelliptischen Funktionen selbst zu
geben, mußte wegen des geringen zur Verfügung stehenden Raumes
von vornherein aufgegeben werden; damit wurde aber die Abgrenzung
des Darzustellenden einigermaßen willkürlich; auch konnte hierbei
für die beiden Kapitel nicht der gleiche Gesichtspunkt festgehalten
werden.

Die allgemeinen Thetafunktionen haben also, um zu ihnen zurück-
zukehren, in der Theorie der Abelschen Funktionen keine Verwendung
gefunden. Wie sie mit dieser Theorie in Verbindung gebracht werden
können, ist erst in der allerjüngsten Zeit erkannt worden. Zu dieser
Erkenntnis hat aber ein andres, davon ganz verschiedenes Problem
geführt.

Gerade umgekehrt nämlich wie die Thetafunktionen für die Ver-
wendung in der Theorie der Abelschen Funktionen zu allgemein
waren, schienen sie zu speziell, weim es sich um die Darstellung be-
liebiger 2^) -fach periodischer Funktionen handelte; denn man sieht

(u, = 1 2 • • • i) \
/ « ' ' i, ) einer
o: = 1, 2, • • ■, 22V

allgemeinen 2j>-fach periodischen Funktion zu der Beschränkung

kommen sollen, daß die nach der Normierung (vgl. dazu pag. 113)

der ersten p Periodensysteme an Stelle der zweiten auftretenden Größen

«,«,<■ c|en \ {P - 1) P Bedingungen a^,,„ = a^,^,. (/i, ^' = 1, 2, • • •, p;

fi < [x') genügen, und der weiteren, daß die aus ihren reellen Teilen

gebildete quadratische Form eine negative ist. Andrerseits aber sind

diese beiden Bedingungen von der Thetareihe unzertrennlich; denn

einmal können in der quadratischen Form des Exponenten überhaupt

nicht mehr als ^ p {^p -f 1) Parameter untergebracht werden, und

Einleitung. VII

weiter kann die Thetareihe ohne die an zweiter Stelle genannte Be-
dingung nicht konvergieren; sie konvergiert dann allerdings absolut
und für alle Werte der Argumente, aber eine andre Konvergenz
gibt es, wie ich gezeigt habe (vgl. dazu pag. 10 u. f.), bei der Theta-
reihe überhaupt nicht.

Nun hat aber im Gegensatze zu dem eben Ausgeführten Riemann
schon 1860 den Satz ausgesprochen, daß jede 2p -fach periodische
Funktion sich durch Thetafanktionen darstellen lasse, und es haben
Picard und Poincare, nachdem vorher Weierstraß eine Reihe von
Sätzen angegeben hatte, welche die Etappen für einen Beweis des
Riemannschen Satzes bilden können, daran anknüpfend tatsäch-
lich diesen Satz bewiesen, indem sie zeigten, daß jeder 2^3 -fach
periodischen Funktion f (v^l • • ■ \v^) mit den 2|;^ Perioden a
fC'— , - 1 • • • , i \ ^ • j^g Klasse algebraischer Funktionen von einem Ge-

Vö:= 1, 2, •■ •, 2p/ '^

schlecht q^p zugeordnet werden kann, in welcher v^,'--,v p
linearunabhängige Integrale erster Gattung sind, deren Periodizitäts-

modulen Q„. r ~~,' ' „ ) an den 2q Querschnitten der zu-

gehörigen Riemannschen Fläche sich linear und ganzzahlig aus den

CO , V ~ ' ' „1 zusammensetzen. Aus den bekannten bilinearen
,«" \a = 1, 2, ■■ •, 2^/

Relationen zwischen den Q folgen jetzt auch bilineare Relationen

zwischen den a und damit ist die Grundlage für einen Beweis des

Riemannschen Satzes gegeben.

Von der Darstellung der allgemeinen 2 j^- fach periodischen Funk-
tionen durch Thetafunktionen handelt das vierte Kapitel. Dabei
glaubte ich mich für den Zweck des vorliegenden Buches auf eine
bloße Skizzierung des Beweises der Weierstraßschen Sätze, in der
Weise wie es Laurent getan hat, beschränken und von einer voll-
ständiffen Durchführung desselben absehen zu sollen. Eine solche hat
inzwischen Poincare in seiner letzten Abhandlung: Sur les fonctions
abeliennes (Acta math. Bd. 26. 1902, pag. 43) gegeben.

Jene Klasse algebraischer Funktionen vom Geschlecht q, welche
in der vorher angegebenen Weise einer beliebigen 2|)-fach periodischen
Funktion, also auch jeder aus Quotienten allgemeiner Thetafunktionen
gebildeten, zugeordnet werden kann, charakterisiert die Eigenschaft,
daß die 2pq Periodizitätsmodulen von p linearunabhängigen ihrer
Integrale erster Gattung sich aus 2p^ Größen linear und ganzzahlig
zusammensetzen lassen, als eine spezielle, diese Integrale selbst aber
als solche, welche durch Transformation auf Integrale von dem
niedrigeren Geschlecht p reduziert werden können.

Die so mit der Theorie der allgemeinen Thetafunktionen ver-
knüpfte Lehre von den reduzierbaren Abelschen Integralen wird im
elften Kapitel des vorliegenden Buches behandelt. Dasselbe schließt

Vin Einleitung.

mit dem interessanten Satze Wirtingers, durch welchen die Beziehung
der allgemeinen Thetafunktionen zu der genannten Klasse reduzier-
barer Abelscher Integrale genauer dahin präzisiert wird, daß es Abelsche
Thetafunktionen vom Geschlecht q gibt, welche nach einer Trans-
formation höheren Grades in Produkte je einer Thetafunktion von p
und einer von q — p Variablen zerfallen, derart, daß die ersteren all-
gemeine Thetafunktionen sind. In dieser Weise ist es gelungen, die
allgemeinen Thetafunktionen in der Theorie der Abelschen Funktionen
unterzubringen, nicht bei den Funktionen vom Geschlecht p, sondern
bei speziellen, reduzierbaren Funktionen eines höheren Geschlechts.

Die zu reduzierbaren Abelschen Integralen gehörigen, also nach
einer Transformation höheren Grades in Produkte von Funktionen
von weniger Veränderlichen zerfallenden Thetafunktionen spielen noch
in anderer Hinsicht eine wichtige Rolle, indem sie stets komplexe
Multiplikationen besitzen, d. h. für sie Transformationen existieren,
bei denen die transformierten Modulen den ursprünglichen gleich sind.
Diese Lehre von der komplexen Multiplikation ist, im wesentlichen
der Darstellung von Frobenius folgend, im sechsten Kapitel behandelt.
Daß dieselbe einer Ergänzimg in der Art bedarf, daß auch die „sin-
gulären" Transformationen im Sinne Humberfs berücksichtigt werden,
ist dort am Schlüsse erwähnt; auch der Zusammenhang mit den
reduzierbaren Integralen bedarf noch der genaueren Ausführung.

In der Theorie der Abelschen Funktionen werden fast ausschließ-
lich die im siebenten Kapitel behandelten Thetafunktionen mit halben
Charakteristiken verwendet, und es spielen, sobald es sich um die
Lösung spezieller Probleme handelt, die zwischen den 2^p derartigen
Funktionen bestehenden Relationen, die Additionstheoreme ihrer Quo-
tienten und jene Gleichungen, welche die ursprünglichen und die
transformierten Thetafunktionen miteinander verknüpfen, eine wichtige
Rolle. Von diesen Beziehimgen sucht das vorliegende Buch eine
möglichst vollständige und einen einheitlichen Gesichtspunkt wahrende
Darstellung zu geben. Nachdem eingehende Untersuchungen in diesem
Gebiete ergeben hatten, daß alle in Frage kommenden Gleichungen
zwischen Thetafunktionen durch direkte Umformung der unendlichen
Reihen gewonnen werden können, mußte dieses Hilfsmittel, als das
elementarste, für deren Ableitung benutzt werden, und da sich weiter
gezeigt hatte, daß diese Umformungen durchaus nicht auf Thetareihen
beschränkt, sondern ohne Änderung auf ganz beliebige unendliche
Reihen anwendbar sind, so schien es wünschenswert, sie auch in
dieser allgemeinen Form darzustellen. Dies ist für die erste der
derartigen Umformungen unendlicher Reihen, welche durch Einführung
neuer Summati onsbuchstaben vermittelst einer linearen Substitutioü
mit rationalen Koeffizienten erhalten wird, im zweiten Kapitel, für
die zweite, nämlich für die durch die Fouriersche Formel bewirkte,

Einleitung. IX

im dritten Kapitel geschehen. Die dadurch gewonnenen Umformungen
einer beliebigen ^-fach unendlichen Reihe (VIII. Satz pag. 60 und
III. Satz pag. 102) liefern sodann, auf Thetareihen angewendet, jene
Thetaformeln ganz allgemeinen Charakters (IX. Satz pag. 67, XIII. Satz
pag. 80 und V. Satz pag. 108), denen alle im späteren Verlaufe not-
wendig werdenden Formeln als spezielle Fälle entnommen werden
können. Hierzu mögen noch folgende Bemerkungen gemacht werden.
Die soeben gewonnenen Thetaformeln sind, wie aus ihrer Ent-
stehung folgt, natürlich für allgemeine Thetafunktionen gültig; sie
sind weiter für Thetafunktionen mit ganz beliebigen Charakteristiken

j aufgestellt. Es wird nun allerdings (pag. 29) gezeigt, daß man

unbeschadet der Allgemeinheit diese Größen g, h als reell voraus-
setzen kann, da jede Thetafunktion mit einer beliebigen komplexen
Charakteristik einer solchen mit einer i-eellen gleich ist; dies schließt
aber nicht aus, daß bei besonderen Untersuchungen die Zulassung
komplexer Charakteristiken vorteilhaft sein kann; für diesen Fall ist
es nicht unwichtig zu bemerken, daß alle Formeln des ersten Teiles
auch dann noch bestehen bleiben, wenn die Größen g, h aufhören
reell zu sein.

Die im zweiten Kapitel dargestellte Umformung einer unendlichen
Reihe war von mir schon früher mitgeteilt worden (vgl. dazu pag. 50);
in § 3 gehe ich aber einen nicht unwesentlichen Schritt über diese
frühere Darstellung hinaus, indem ich zeige, daß ebenso, wie die dar-
gestellte Umformung der unendlichen Reihe selbst nicht auf Theta-
funktionen beschränkt ist, so auch jene Operationen, welche man mit
der gewonnenen Thetaformel vorzunehmen pflegt (vgl. dazu als Bei-
spiel die an die Riemannsche Thetaformel geknüpften Untersuchungen
pag. 309 u. f.), an der allgemeinen, die Umformung einer beliebigen
unendlichen Reihe darstellenden Formel (X) pag. 60 ausgeführt werden
können. Auch aus ihr kann man nämlich ein System von Formeln
ableiten, welche, während auf die linke Seite immer eine andere
unendliche Reihe tritt, auf den rechten Seiten alle die nämlichen
unendlichen Reihen enthalten, und kann aus diesem Systeme von
Formeln durch lineare Verbindung aller oder eines Teiles von ihnen
neue Formeln ableiten, welche alle lineare Gleichungen zwischen den
auf ihren linken Seiten stehenden ursprünglichen und den auf den
rechten Seiten stehenden transformierten Reihen sind, und man kann
insbesondere das erhaltene Formelsystem umkehren, d. h. eine beliebige
der transformierten Reihen, wie sie auf der rechten Seite der Formeln
stehen, durch die ursprünglichen, auf den linken Seiten stehenden
ausdrücken (Formel (85) pag. 64).

Bei der Anwendung der eben genannten allgemeinen Umformung
einer unendlichen Reihe (Formel (X) pag. 60) auf ein Produkt von

X Einleitung.

Thetareilieu in § 6 wird vorausgesetzt, daß die Modulen dieser Theta-
funktionen ganzzahlige Vielfache der Modulen a , einer einzigen
Thetafunktion seien. Für die lineare Substitution, durch welche an

Stelle der bisherigen m^; Summationsbuchstaben m^^^ (^ Z i ' o' ' j

die np neuen Summationsbuchstaben n^ ( Zj'o' ' ) ^i^g^führt

werden, folgt dann, wenn man nur voraussetzt, daß zwischen den
a^, keine lineare Relation mit ganzzahligen Koeffizienten bestehe,
notwendig die Eigenschaft, daß sie in jeder ihrer Gleichungen nur
Größen m und n mit demselben untern Index enthalte, und ich habe
ferner bewiesen (vgl. dazu pag. 84), daß unter der gleichen Annahme
sich aus Substitutionen dieser speziellen Art und den in § 4 an-
gegebenen Umformungen einer einzelnen Thetareihe die allgemeinste
Substitution zusammensetzen läßt, welche überhaupt ein Produkt von
n Thetafunktionen in ein Aggregat solcher Produkte überführt. Beides
trifft nicht mehr zu, wenn die Modulen « ^^, in der angegebenen Weise
spezialisiert, die Thetafunktionen also „singulare" im Sinne Humberts
sind; für solche Funktionen existieren neben den aus den Formeln
des zweiten Kapitels hervorgehenden, für alle Thetafunktionen gültigen
Formeln noch spezielle, darin nicht enthaltene, Avelche den „singu-
lären" Transfoi-mationen (vgl. dazu pag. 130) Humberts entsprechen.
So dürfte es möglich sein, auch von dieser rein formalen Seite her
in die Theorie der singulären Thetafunktionen einzudringen.

Karlsruhe, den 2. Februar 1903.

Inhaltsverzeichnis.

Erster Teil.
Die allgemeinen Thetafunktionen mit beliebigen Charakteristiken.

Erstes Kapitel.
Definition und Haupteigenschaften der Thetafunktionen.

Seite

§ 1. Die einfach iineiidliehe Thetareihe 3

Definition der einfach unendlichen Thetareihe. — Notwendige und
hinreichende Konvergenzbedingung. — Die Thetafunktion d-(u). —
Historisches. — Die Eigenschaften der Funktion &{ti). — Bestimmung
der Funktion durch diese. — Der Wertevei-lauf von &{u). Reduk-
tion auf das Parallelogramm ü^ . — Verschwinden der Funktion
■9'(?(). — Die Funktion ^{ti) eine gerade Funktion.

§ 2, Die j>. fach uuendliche Thetareihe. Ermittliiug einer notwendigen

und hinreichenden Konvergenzhedingung 9

Definition der ^j-fach unendlichen Thetareihe. — Notwendige Kon-
vergenzbedingung. — Nachweis mit Hilfe einer Jacobischen Dar-
stellung einer defijiitiven quadratischen Form, daß diese Konvergenz-
bedingung auch hinreichend ist.

§ 3. Andere Formen für die Konvergenzbedingung 15

Die gefundene Konvergenzbedingung wird durch ^j Ungleichheiten
für die reellen Teile r , der Größen a , ausgedrückt. — Sie wird
weiter als identisch mit der Bedingung nachgewiesen, daß die aus
diesen Größen r , gebildete quadratische Form eine ordinäre nega-
tive ist. — Endgültige Formulierung der Konvergenzbedingung im
Vni. Satze. — Historisches. — Einteilung der Konvergenzbeweise
in zwei Klassen. — Beweise der ersten Klasse von Weierstraß,
Christoffel und Prym; der zweiten Klasse von Riemann und Thomae.

§ 4. Die Funktion ^ (ttj | le^ | 1 1«^ 22

Die Thetafunktion &(ii^ | • • | w ). — Historisches. — Die Eigen-
schaften der Funktion ■8'(Wi j •■ \u). — Bestimmung der Funktion
durch diese. — Der Werteverlauf von &(;u^ | • ■ • | u ). Reduktion auf

das Parallelotop JI^ . — Gemeinsame Nullpunkte von j9 Thetafunk-
tionen.

XII Inhaltsverzeichnis.

Seite
§ 5. Einftthrnug der Charakteristiken. Die Funktion ^ L, {i^} ... 29

Die Periodencharakteristik (,^ ,^) eines Größensystems Cj , ■ ■ ■, c .

— Die Thetafunktion -S- / j^ (^i I ■ • " ! %); ^^^' Zusammenhang mit

der früheren Funktion '9'(Mi j •• • | Up). — DieThetacharakteristik / J^ .

— Abgekürzte Bezeichnungen. — Historisches. Thetafunktionen mit
komplexen Charakteristiken. — Die Eigenschaften der Funktion -ö- , C^)-

— Bestimmung der Funktion durch diese. — Drei Hilfsformeln. —
Nonnalcharakteristiken. Kongruente Charakteristiken. Nicht wesent-
lich verschiedene Thetafunktionen.

§ G. Thetafunktionen höherer Ordnung .36

Verallgemeinerung jener Funktionalgleichung, durch welche d-\ , n{«))
bis auf einen konstanten Faktor bestimmt ist. — Definition der Theta-
funktion n*"'-' Ordnung ©?; K, C^O)a- ' — Darstellung durch gewöhnliche
Thetafunktionen. — Anzahl der linearunabhängigen Funktionen
0« L {ti} mit gegebener Charakteristik. — Historisches. — Null-
punkte einer Thetafunktion i«**"^ Ordnung einer Veränderlichen. —
Gemeinsame Nullpunkte von 2^ Thetafunktionen höherer Ordnung
von p Veränderlichen.

Zweites Kapitel.

Über ein allgemeines Prinzip der Umformung

unendliclier, insbesondere mebrfacli unendlicher Reiben

und dessen Anwendung auf Tbetareiben.

§ 1. Umformung unendlicher Reihen durch Einführung neuer Sumuia-

tionsbuchstaben vermittelst einer linearen Substitution 44

Einführung neuer Summationsbuchstaben durch eine lineare Substitu-
tion mit rationalen Koeffizienten. — Bestimmung der Summation über
die neuen Summationsbuchstaben. — Aufhebung der vorhandenen Be-
schränkung der Summation über die neuen Summationsbuchstaben
durch Einschiebung eines Faktors. — Vorläufiges Endresultat in
Formel (25). — Diskussion des erhaltenen Resultats. — Beisj)iele. —
Historisches.

§ 2. Bestimmung der Anzahl « der Normallösungen eines Systems

linearer Kongruenzen 51

Vorläufiger Ausdruck für die Anzahl s der Normallösungen eines
Systems homogener linearer Kongi'uenzen. — Das konjugierte Kon-
gruenzensystem. — Die durch gegebene lineare Formen darstellbaren
Zahlensysteme. Anzahl t derselben. Zusammenhang zwischen s und t.

— Der spezielle Fall der unimodularen linearen Substitutionen. —
Bilineare Formen. Rang und Elementarteiler einer bilinearen Form
mit ganzzahligen Koeffizienten. Äquivalente Fonnen. Normalform. —
Berechnung der Zahl s.

Inhaltsverzeichnis. XTTT

Seite

§ 3. Folgerimgen aus dem III. Satze; endgültige Gestalt der Formel (25) 57

Bestimmung der Zahl s in einigen speziellen Fällen. — Endgültige
Gestalt des Resultates des § 1. Diskussion der gewonnenen End-
formel (X). — Aufstellung eines Systems linearer Gleichungen
zwischen unendlichen Reihen — Auflösung desselben. Umkehrung
der Formel (X).

§ 4. Anweiidimg der Formel (X) auf eine p-fach unendliche Theta-

reihe 65

Allgemeinste Umformung einer p-fach unendlichen Thetareihe durch
Einführung neuer Summationsbuchstaben vermittelst einer linearen
Substitution mit rationalen Koeffizienten. — Spezielle Formeln. —
Historisches.

§ 5. Beziehungen zwischen Thetafunktionen, deren Modulen sich um

rationale Vielfache von :ii unterscheiden 70

Ändei-ung der Modulen einer Thetafunktion um ganze Vielfache
von 7ci. — Änderung der Modulen einer Thetafunktion um ge-
brochene Vielfache von ni. Vorläufige Formel (108). — Unter-
suchung der hiebei aufgetretenen 2^-fachen Gaußschen Summe G[g]. —
Endgültige Formel (XXIV). — Historisches.

§ 6. Anwendung der Formel (X) auf ein Produkt von Thetareihen . . 77

ümfoi'mung eines Pi-oduktes von n ^j-fach unendlichen Thetareihen,
deren Modulen ganzzahlige Vielfache der Modulen einer einzigen
Thetafunktion sind, durch Einführung neuer Summationsbuchstaben
vermittelst einer linearen Substitution mit rationalen Koeffizienten. —
ümkehrung der gewonnenen Thetaformel. — Über die allgemeinste
derartige Umformung eines Thetaproduktes.

§ 7. Erste Spezialisierung der Formel (XXXII) 84

Die Zahl r hat den Wert Eins. — Hauptformel. — Der spezielle
Fall des Produktes von zwei Thetafunktionen. Schrötersche Theta-
formeln.

§ 8. Zweite Spezialisierung der Formel (XXXII) 90

Die sämtlichen Zahlen p und q haben den Wert Eins. Prymsche
Thetaformel.

Drittes Kapitel.

Ein zweites allgemeines Prinzip der Umformung
unendlicher Reihen und dessen Anwendung auf Thetareihen.

§ 1. Umformung einer einfach unendlichen Reihe vermittelst der

Fourierschen Formel 93

Ableitung der Fourierschen Formel aus der Laurentschen Reihe. —
Anwendung derselben auf das allgemeine Glied einer beliebigen un-
endlichen Reihe; die dadurch bewirkte Umformung der unendlichen
Reihe.

§ 2. Anwendung der Formel (I) auf die einfach unendliche Thetareihe 96

Umformung der einfach unendlichen Thetareihe vermittelst der
Fourierschen Formel. — Der Übergang von reellem zu lateralem
Argument.

XIV Inhaltsverzeichnis.

Seite

§ 3. Ausdehnung der in § 1 angegebenen Umforninng auf mehrfach

unendliche Reihen 99

Die Fouriersche Formel für Funktionen mehrerer Veränderlichen. —
Ihre Anwendung zur Umformung einer beliebigen mehrfach unend-
lichen Reihe.

§ 4. Über eine Eigenschaft der Thetamodnlen a ■ 102

Die mit Thetamodulen a^^^^, als Koeffizienten gebildete quadratische
Form. — Eine Darstellung derselben als Summe von p Quadraten
linearer FoiTuen; daraus folgende Eigenschaft der Thetamodulen a^ . .

§ 5. Anwendung der Formel (IV) auf eine p-tach unendliche Theta-

reihe 105

Umformung der p-fach unendlichen Thetareihe vermittelst der Fourier-
schen Formel. — Anzahl der verschiedenen derartigen Formeln. —
Der besondere Fall q = p.

Viertes Kapitel.

Darstellung allgemeiner 22)-facli periodisclier Funktionen
durch Thetafunktionen.

§ 1. Bildung 22>-fach periodischer Funktionen mit Hilfe von Theta-

funktionen 110

über ■2ß-fach periodische Funktionen von ^; Veränderlichen im all-
gemeinen. — I)efinition unabhängiger, primitiver und äquivalenter
Periodensysteme. — Einteilung des 2p-dimensionalen Raumes in
Parallelotope ; kongruente Raumpunkte, Systeme von Gittei"punkten. —
Möglichkeit einer mehr als 22>fach periodischen Funktion von ^3 Ver-
änderlichen. — Der Quotient zweier zur nämlichen Charakteristik
gehörigen Thetafunktionen n*" Ordnung__ eine 2p-iach. periodische
Funktion; ihre 2p Periodensysteme. — Über die Reduktion der 2p
Periodensysteme einer beliebigen 2 p-tach periodischen Funktion
auf diese.

§ 2. Allgemeine Sätze über 2j>-fach periodische Funktionen .... 114

Die Weierstraßschen und der Riemannsche Satz über 22J-fach perio-
dische Funktionen. — Historisches.

§ 3. Seduktion der Perioden einer allgemeinen 2p-fach periodischen

Funktion auf eine Xormalform 120

Reduktion der nach dem Riemannschen Satze zwischen den Perioden
einer 2 j;-fach periodischen Funktion bestehenden bilinearen Relationen
auf die Normalform durch Übergang zu passend gewählten 2p äqui-
valenten Periodensystemen. — Ergänzung des Beweises des VI. Satzes.
— Nachweis des Nichtverschwindens gewisser aus Perioden ge-
bildeter Detenninanten i:»*''" Grades. — NormaUsierung der Perioden
durch Einführung neuer Variablen. — Nachweis, daß die jetzt in
den zweiten jj Periodensystemen auftretenden Perioden die Eigen-
schaften von Thetamodulen haben. — Schlußbemerkung.

§4. Darstellung der allgemeinen 2p- fach periodischen Funktionen

durch Thetafunktionen 126

Bildung von Funktionen mit den 2p Periodensystemen (XII) mit

Inhaltsverzeichnis. XV

Seite

Hilfe von Thetafunktionen. — Dadurch erbrachter Nachweis, daß
die Bedingungen des Riemannschen Satzes für die Existenz von
2p-fach periodischen Funktionen hinreichen. — Schlußsatz: Alle
2p -fach periodischen Funktionen sind durch Thetafunktionen dar-
stellbar.

Fünftes Kapitel.
Die Transformation der Thetafunktionen.

1. Das Transformatiousprobleui 128

Ableitung der Thetafunktionen aus allgemeineren Funktionen mit
nicht noi-malisierten Perioden. — Notwendige Bedingungen für das
Bestehen einer algebraischen Gleichung zwischen 2jj-fach periodi-
schen Funktionen mit verschiedenen Perioden. — Ordinäre und
singulare Transformationen. — Definition der (ordinären) Trans-
formation der Perioden. — Erste Form der Bedingungsgleichungen
für die Transformationszahlen. — Grad oder Ordnung der Trans-
formation. — Ganzzahlige Transformation; lineare Transformation. —
Charakteristik der Transformation. — Bezeichnungen. — Historisches.

2. Weitere Eigenschaften der Transformatiouszahlen Caß 133

Die Determinante C der Transformationszahlen Cafi und ihre Unter-
determinanten Ya-i- ~ ^^^' Wert von Gl — Beziehungen zwischen
den c und den y. — Zweite Form der Bedingungsgleichungen für
die Transformationszahlen. — Der Wert von ü. — Beziehung
zwischen dem Inhalte des ursprünglichen und des transformierten
Periodenparallelotops.

3. Beziehungen zwischen den Argumenten und Modulen der ur-
sprünglichen und der transformierten Thetafunlitionen 138

Ableitung der Gleichungen zwischen den alten und den neuen Argu-
menten. — Ableitung der Gleichungen zwischen den alten und den
neuen Modulen.

4. Zusammensetzung von Transformationen 142

Definition der aus zwei Transformationen T und T' zusammen-
gesetzten Transformation TT'; ihre Ordnung. — Die Gruppe der
Transformationen. — Die identische Transformation J. — Die in-
verse Transformation T~^. — Zusammensetzung einer gegebenen
Transformation aus mehreren.

5. Zusammensetzung einer ganzzahligen linearen Transformation

aus elementaren 148

Beziehung zwischen dem ursprünglichen und dem transformierten
Periodengitter bei ganzzahliger linearer Transformation. — Die
Gruppe der ganzzahligen linearen Transformationen. — Die Trans-
formationen Ä-\ B-\ Cr;S D-J^ (p, ö = 1, 2, ■ • • , 2)) und ihre
Wirkung bei ^der Zusammensetzung mit einer beliebigen Trans-
formation; dadurch erzielte Reduktion der allgemeinen ganzzahligen
linearen Transformation auf die identische. — Zusammensetzung
einer beliebigen ganzzahligen linearen Transformation aus den
elementaren Aq , Bq, C^a, D^a {q, 6 = 1, 2, ■ ■ ■ , p). — Reduktion
dieser auf p -\- 2 unter ihnen. — Der Fall p = 1; die beiden er-
zeugenden Transformationen A, B. — Der Fall p — 2; die vier
elementaren Transformationen A, B, C, D; ihre Zusammensetzung

XVI Inhaltsverzeichnis.

Seite
aus zwei erzeugenden M, N. — Mindestzahl der erzeugenden Trans-
formationen im Falle 2? > 3.

§ 6. Zurüekführunj; ganzzahli^er uichtlinearer Transforiuatioueii anf

eine endliche Anzahl nicht äquivalenter 156

Definition äquivalenter Transformationen. Einteilung der ganz-
zahligen nichtlinearen Transformationen eines Grades in Klassen.
Eepräsentanten. — Reduktion der allgemeinen ganzzahligen nicht-
linearen Transformation durch Zusammensetzung mit den Trans-
formationen Ä-\ B-\ Cr^\ D-^ (q, a = l, 2, ■ ■ ■, p). - End-
' lichkeit der Klassenanzahl. — Aufstellung von Repräsentanten und
Bestimmung der Klassenanzahl im Falle p = 1 und unter Be-
schränkung auf einen Primzahlgrad für die Fälle p = 2 und 3. —
Historisches.

§ 7. Znsammenhaug der ursprünglichen und der transformierten

Thetafunktiou im Falle gauzzahliger Trausformatiou 164

■9" , (('*))a ^^^ Funktion der transformierten Argumente ti'. — Ein-
führung der Funktion n{u]j; Nachweis, daß diese eine Thetafunk-
tion n^^' Ordnung von den Argumenten u und den Modulen a ist.
— Über die Lösung des Transformationsproblems der Thetafunk-
tionen im Falle ganzzahliger Transfonnation. — Über gewisse lineare
Relationen zwischen Thetafunktionen mit verschiedenen Argumenten
und Modulen.

§ 8. Die ganzzahlige lineare Transformation der Thetafunktionen . . 172

Bestimmung der Transformationskonstanten. — Die Formel für die
ganzzahlige lineare Transformation. — Schlußbemerkung.

§ 9. Der besondere Fall p = l 183

Die Formel für die ganzzahlige lineare Transformation im Falle
p = l. — Darstellung der in der Transformationskonstante auf-
tretenden Summe G{ — -5-I durch Gaußsche Summen cpQi, n) und

ihre Auswertung. — Eigenschaften der Summe G\. — -ß). — Thomae-

sche Methode zur Bestimmung der Transformationskonstante. —
Historisches.

§10. Zurückführuug nichtganzzahliger Transformationen auf ganz-
zahlige. Die Multiplikation und die Division 193

Die supplementäre Transfonnation T^ . — Die Multiplikation M und
die Division M~^. — Zusammensetzung einer nichtganzzahligen
Transformation aus einer Division und einer ganzzahligen Trans-
formation. — Die Fonnel für die Multiplikation und für die Division
der Thetafunktionen.

§11. Krazer-Prymsche Zusammensetzung einer Transformation aus

elementaren 198

Die elementaren linearen Transformationen erster, zweiter und dritter
Art. — Die singulare Lineare Transformation und ihre Zusammen-
setzung aus elementaren. — Zusammensetzung der nichtsingulären
linearen Transformation aus elementaren im Falle z/// =j= 0 — Zurück-
führung des Falles /ijj = 0 auf diesen vermittelst einer elementaren

Inhaltsverzeichnis. XVII

Seite

linearen Transformation dritter Art. — Über die Lösung des Traus-
formationsproblems für eine beliebige lineare Transfoiination. —
Die nichtlinearen elementaren Transformationen N und N~^ und
die Zusammensetzung einer beliebigen nichtlinearen Transformation
aus diesen und einer linearen. — Die ganzzahlige nichtlineare Trans-
formation und die zu ihr gehörige Transformationsformel.

Sechstes Kapitel.
Die komplexe Multiplikation.

§ 1. Die komplexe Miiltiplikatiou der Thetafiiuktionen einer Yer-

änderlichen 208

Die reelle und die komplexe Multiplikation doppeltperiodischer
Funktionen. — Notwendige und hinreichende Bedingung für die
Perioden Wj , co, . — Übergang zu den Thetafunktionen ; prinzipale
Transformation; notwendige und hini'eichende Bedingung für den
Modul rt, für die Transforaiationszahlen a, |i, y, &. — Beispiele. —
Historisches.

§ 2. Einige Sätze aus der Lehre von den bilineareu Formen .... 214

Die Summe und das Produkt zweier Formen. — Die konjugierte
Form A'. — Die reziproke Form A"^: Division zweier Formen. —
Die charakteristische Determinante oder Funktion einer Fonn ^1;
ihre Elementarteiler. — Äquivalente Formen. — Ähnliche Fonnen;
Gleichheit ihrer Elementarteiler. — Die Formen i?, für welche
i?(,' = J2~^; ihre charakteristische Determinante. — Die Formen J.,
für welche A^' = A; definite Formen; Transformation solcher in sich.

§ 3. Die komplexe Multiplikation bei den Thetafunktionen mehrerer

Veränderlichen 220

Die reelle und die komplexe Multiplikation der 2j3-fach periodischen
Funktionen. — Übergang zu den Thetafunktionen; prinzipale Trans-
formation derselben. — Notwendige Bedingung für die charakte-
ristische Funktion | T — sJ\ bei einer prinziimlen Transformation.

§ 4. Nachweis, daß die im IX. Satz angegebene notwendige Bedingung

auch hinreichend ist 225

Einteilung der 2p Wurzeln m^ der Gleichimg \ T — zJ\ = 0 in p
Wurzeln 1. Art und p Wurzeln 2. Art. — Lösungen 1. und 2. Ai-t
der Gleichungen (103). — Eigenschaften der Lösungen 1. Art. —
Eigenschaften der Lösungen 2. Art. — Die einer Wurzel w,^ zuge-
ordnete bilineare Form Z. — Berechnung der Modulen a ^, für die
prinzipale Transformation. Eindeutigkeit und Vieldeutigkeit dieser
Bestimmung. — Sätze über prinzipale Transformationen. — Histo-
risches und Schlußbemerkung.

Krazer, Thetafunktionen.

XVIII Inhaltsverzeichnis.

Zweiter Teil.
Die allgemeinen Thetafnnktioneu mit rationalen Charakteristiken.

Siebentes Kapitel.

Die Thetafunktionen, deren Charakteristiken aus halben Zahlen

gebildet sind. ,^.^^

§ 1. Die Funktionen S-[e]^{u'j) 2,39

Definition und Haupteigenschaften von &[i],(!Uj. — Anzahl der ver-
schiedenen Funktionen; Zusammenhang derselben unter einander. —
Gerade und ungerade Funktionen; Verschwinden von ^[tj^^i^u)).

Erster Abschnitt.

Die Charakteristikentheorie.

§ 2. Periodencharakteristiken 242

System zusammengehöriger Halber der Perioden; seine Per. Char. (s).

— Lineare Transformation der Per. Char. — Uneigentliche und
eigentliche Per. Char. — Summe mehrerer Per. Char. — Unabhängige
Per. Char. — Kombination v^^'' Ordnung gegebener Per. Char. —
Das Symbol | s , 73 ' . — Syzygetische und azygetische Per. Char.

§ 3. Thetacliarakteristiken 247

Lineare Transfonnation der Th. Char. — Gerade und ungerade Th.
Char. — Charakter s]. — Direkter Nachweis, daß bei linearer
Transformation der Charakter ungeändert bleibt. — Bestimmung der
Anzahl der geraden und ungeraden Th. Char. — Summe mehrerer
Th. Char. — Wesentlich unabhängige Th. Char. — Kombination v'*"^
Ordnung gegebener Th. Char. — Wesentliche Kombinationen. —
Das Symbol \ t, r], S ■ — Syzygetische und azygetische Th. Char.

§ 4. Beziehungen zwischen den Periodencharakteristiken und den

Thetacharakteristiken 253

Das verschiedene Verhalten von Per. Char. und Th. Char. bei linearer
Transformation. — Beziehungen zwischen den Symbolen f , rj I für
Per. Char. und i « ', | e, rj, ^ fürTh. Char. — Charakter einer Summe'
mehrerer Th. Char. — Zerlegung einer Per. Char. in zwei Th. Char.

— Drei Arten solcher Zerlegungen; Bestimmung von deren Anzahl.

— Die in einer Gruppe enthaltenen und gepaart enthaltenen Th.
Char. — Bestimmung der in zwei und mehreren Gruppen gemein-
sam enthaltenen Th. Char.

§ 5. Fuudamentalsysteme von Periodencharakteristiken 267

Definition eines F. S. von Per. Char. — Bildungsgesetz und Anzahl
der F. S. __ — Darstellung aller Per. Char. durch die Per. Char. eines
F. S. — Übergang von einem F. S. von Per. Char. zu allen anderen.

— Übergang zu den Th. Char. — Darstellung der 2^^ Th. Char. durch
die 2p -f- 1 Per. Char. eines F. S. — Entscheidung, ob eine so dar-
gestellte Th. Char. gerade oder ungerade ist. — Hauptreihe von
'ip -\- 1 Th. Char., Darstellung der geraden und ungeraden Th. Char.

Inhaltsverzeichnis. XIX

Seite
und der eigentlichen Per. Char. durch die 2|; -f 1 Th. Char. einer
Hauptreihe.

§ 6. Die Gruppe der iiiod. 2 mkongrriienten ganzzahligeu linearen

Transformationen . 276

Definition der Gruppe G der mod. 2 inkongruenten ganzzahligen
linearen Transformationen. — Bestimmung der Ordnung ß von G.

— Andere Definition der Gruppe G. — Die zur Gruppe G holoedrisch
isomorphe Grujipe H von Substitutionen der Per. Char. — 2^^ er-
zeugende Substitutionen der Gruppe H. — Auffassung dieser als
Substitutionen von Th. Char. — Transitivität der Gruppe. — Der
besondere Fall p = 2.

§ 7. Fundamentalsysteme von Thetacharakteristiken 283

Definition eines F. S. von Th. Char. — Zusammenhang zwischen den
F. S. von Per. Char. und den F. S. von Th. Char. — Komplex von
2^^ F. S. von Th. Char. — Anzahl der verschiedenen F. S. von Th.
Char. — Anzahl der ungeraden unter den 2p + 2 Th. Char. eines
F. S. — Darstellung der geraden und der ungeraden Th. Char. durch
die Th. Char. eines F. S. — Darstellung der Per. Char. durch die
Th. Char. eines F. S. — Anzahl der F. S. mit gegebener Zahl unge-
rader Th. Char. — Neue Definition einer Hauptreihe von Th. Char.

F. S. von Th. Char. bei ganzzahliger linearer Transformation. —

Historisches.

§ 8. Gruppen von Periodencharakteristiken 291

Definition einer Gruppe von Per. Char. — Rang, Ordnung und Basis
einer Gruppe. — Syzygetische Untergruppe. — Die mod. einer Gruppe
äquivalenten Per. Char. — Normale Basis einer Gruppe. — Gruppen
von Per. Char. bei ganzzahliger linearer Transformation. — Ad-
jungierte Gruppe. — Konjugierte Gruppe. — Syzygetische Gruppe. .

— Göpelsche Gruppe. Anzahl der verschiedenen Göpelschen Gruppen;
Übergang von einer zu den anderen durch ganzzahlige lineare Trans-
formation.

§ 9. Systeme von Thetacharakteristiken 296

Definition eines Systems von Th. Char. — Zusammenhang mit einer
Gruppe von Per. Char. — Basis eines Systems. — Komplex der kon-
jugierten Systeme. — Adjungierte Systeme. — Bestimmung der An-
zahl der in einem Systeme vorkommenden geraden und ungeraden
Th. Char. — Göpelsche Systeme von Th. Char. Anzahl ihrer ge-
raden und ungeraden Th. Char. — Die zu einer syzygetischen Gruppe
von Per. Char. gehörigen Systeme von lauter geraden und lauter un-
geraden Th. Char. — Übergang von einem System von Th. Char. zu
einem andern durch ganzzahlige lineare Transformation und durch
Addition einer beliebigen Th. Char.

Zweiter Abschnitt.
Die Additionstheoreme der Thetafunktionen.

§ 10. Die Riemannsche Thetaformel

Ableitung der Riemannschen Thetaformel aus der Formel (LVIII)
pag. 91. — Folgerungen aus der Riemannschen Thetaformel. —
Historisches. — Eine Erweiterung der Riemannschen Thetaformel.

b*

305

XX Inhaltsverzeichnis.

Seite

§ 11. Der Fall p = 1 318

Die Riemannsche Thetaformel im Falle p ^ 1. — Die Jacobischen
Thetaformeln. — Die Weierstraßsche Thetaformel. — Zusammenhänge
zwischen der Riemannschen, den Jacobischen und der Weierstraß-
schen Thetaformel. — Historisches. — Verschiedene Ableitungs-
methoden der Riemannschen, Jacobischen und Weierstraßschen Theta-
formeln. — Erweiterung der Weierstraßschen Thetaformel auf Pro-
dukte von mehr als vier Thetafunktionen. — Verallgemeinerung der
Weierstraßschen Thetaformel für p ^ 1. — Eine Folgerung aus
der Riemannschen Thetaformel. — Historisches. — Relationen zwischen
den vier Thetafunktionen. — Additionstheoreme der Thetaquotienten.

— Die Formel ■9'/j := i ■ö'qo 'S'io '^oi ■ — Übergang zu den elliptischen
Funktionen.

§12. Der FaUi> = 2 336

Charakteristikentheorie: Die 10 geraden und die 6 ungeraden Th.
Char. — Darstellung der 15 eigentlichen Per. Char. und der 10 ge-
raden Th. Char. durch die 6 ungeraden Th. Char. — Die ver-
schiedenen Zerlegungen einer eigentlichen Per. Char. in zwei Th.
Char. — F. S. von Per. Char. — Hauptreihen und F. S. von Th. Char.

— Göpelsche und Rosenhainsche Gruppen von Per. Char. und Systeme
von Th. Char. — Thetarelationen: Lineare Relationen zwischen vier
Thetaquadraten. — Darstellung aller Thetaquadrate durch 4 linear-
unabhängige. — Gleichung vierten Grades zwischen diesen. — Ad-
ditionstheoreme der Thetaquotienten. — Historisches. — Tabelle der
Bezeichnungen der 16 Thetafunktionen bei Göpel, Rosenhain, AVeier-
straß. — Vergleichung der Thetarelationen mit den Bedingungs-
gleichungen einer orthogonalen Substitution. — Die Kummersche
Fläche.

§13. Das Additionstheorem der allgemeinen Thetafunktioneii für i>>>3 346

Ableitung desselben aus der Riemannschen Thetaformel. — End-
formel. — Der spezielle Fall p= S. — Historisches.

§14. Weitere Folgernngen aus der Riemannschen Thetaformel .... 351

Ableitung einer Formel zwischen 6 • 2^~^ Thetaprodukten. — End-
formel. — Spezialisierungen.

§16. Thetafunktionen höherer Ordnung mit halben Charakteristiken 357

Gerade und ungerade Thetafunktionen it*"" Ordnung. — Anzahl der
linearunabhängigen solchen Funktionen.

§ 16. Thetarelationen 362

Eigenschaften jeder Thetarelation. — Übergang von einer zu einer
andern durch Vermehrung der Argumente um halbe Periodizitäts-
modulen und durch lineare Transformation. — Algebraische Ab-
hängigkeit der Relationen zwischen den 2^^ Thetaquadraten. —
Lineare Relationen zwischen Thetaquadraten. — Bestimmung von
2^ linearunabhängigen. — Relationen zwischen diesen. — Verall-
gemeinerung der Kummerschen Fläche.

Inhaltsverzeichnis. XXI

Achtes Kapitel.

Die Thetafunktionen, deren Charakteristiken aus r^''^ Zahlen
gebildet sind.

Seite

§ 1. Die Funktionen »[s]^iu} 370

Definition und Haupteigenschaften von '9' [e]^ ((«])■ — Anzahl der ver-
schiedenen Funktionen; Zusammenhang derselben untereinander.

§ 2. Periodeneharakteristiken 372

System zusammengehöriger r*"' der Perioden; seine Per. Char. (i). —
Lineare Transformation der Per. Char. — üneigentliche und eigent-
liche Per. Char. — Summe mehrerer Per. Char. — Unabhängige
Per. Char. — Kombination n'"'' Ordnung gegebener Per. Char. —
Das Symbol \s, r}'.. — Syzygetische und azygetische Per. Char. —
Definition einer Ginippe von Per. Char. — Rang, Ordnung und Basis
einer Gruppe. — Adjungierte Gruppe. — Syzygetische Untergruppe.

— Syzygetische Gruppe. — Göpelsche Gruppe.

§ 3. Thetacharakteristiken 378

Summe mehrerer Th. Char. — Kombination »i*^"" Ordnung gegebener
Th. Char. — Wesentliche Kombinationen. — Wesentlich unabhängige
Th. Char. — Definition eines Systems von Th. Char. — Komplex der
konjugierten Systeme. — Adjungierte Systeme. — Göpelsche Systeme.

§4. Die Verallgemeiuenmg der Riemannschen Thetaformel 379

Ableitung der Verallgemeinerung der Riemannschen Thetaformel aus
der Formel (LVIII) pag. 91. — Folgerungen aus der gewonnenen
Formel. — Historisches.

§ 5. Das Additionstheorem für die Quotienten der Funktionen ^[e]^ ((««)) 387

Ableitung des Additionstheorems der Thetaquotienten aus der Ver-
allgemeinerung der Riemannschen Thetaformel.

§6. Über die zwischen den r^^ Funktionen ^ [€],.((?«)) bestehenden

Relationen 389

Thetapotenzen und vollständige Thetaprodukte. — Ableitung von
Relationen zwischen denselben aus der Verallgemeinerung der Rie-
mannschen Thetafonnel.

§ 7. Der besondere FaU p = 1 , r = 3 390

Charakteristikentheorie. — Die 9 Thetapotenzen und die 12 voll-
ständigen Thetaprodukte. — Darstellung aller Funktionen durch
3 vollständige Thetaprodukte. — Relationen zwischen den Theta-
nuUwerten. — Anwendung auf die Kurven 3. Ordnung.__ — Gleichung
der Kurve bezogen auf ein Wendepunktdreieck. — Übergang von
einem Wendepunktdreieck zu einem anderen. — Die Tetraedersub-
stitutionen. — Darstellung aller Funktionen durch 3 Thetapotenzen.

— Gleichimg der Kurve 3. Ordnung bezogen auf 3 Wendetangenten.

§ 8. Die elliptischen Normalkurven 399

Definition der elliptischen Normalkurven. — Ordnung. — Kollinea-
tionen in sich. — Geometrische Eigenschaften. — Die quadratischen
Relationen zwischen den x...

XXn Inhaltsverzeichnis.

Seite

§ 9. Übergang von den Funktionen 9^ [e]^. {u} zu den Funktionen

^WaW 404

Darstellung der zu r ^ 2 gehörigen vollständigen Thetaprodukte und
Thetapotenzen durch die 2'^' Funktionen '^■[EJaCM]). — Darstellung
von Thetafunktionen r*"'" Ordnung mit beliebiger halber Charakte-
ristik durch die Funktionen '9'[f]2((M|-

§10. Die Transformation der Funktionen ^[cJslw]) 407

Zwei Methoden zur Lösung des Transformationsproblems der Funk-
tionen '9'[f]2 ((^*))- — Das spezielle Transformations- und das spezielle
Teilungsproblem.

Dritter Teil.
Die speziellen Tlietafiinktioneii.

Neuntes Kapitel.

Die Abelsclieii Thetafunktionen.

§ 1. Vorbemerkungen aus der Theorie der Abelsclien Funktionen . . 413

Normalintegrale I., IT. und III. Gattung. — Abelsches Theorem. —
Riemaun- Rochscher Satz. — Funktion I. Gattung. — Punktsystem
I. Gattung. — Vollständiges Punktsystem I. Gattung.__— Restpunkt-
system. — Korresiduale Punktsysteme. — B.ang, Überschuß und
Defekt eines Punktsystems erster Gattung.

§ 2. Die Riemannsche Thetafnuktion 416

Definition der Funktion 9\u(o)^e]) des Punktes o der Riemaun-
schen Fläche 7". — Ihr Verhalten an den Querschnitten. — Be-
dingungen für die Modulen der Abelschen Thetafunktionen.

§ 3. Die Anzahl der Nullpunkte der Riemannschen Thetafunktion . . 419

Bestimmung der Anzahl der Nullpunkte von &{u(o) — e)) vermittelst
eines über die ganze Begrenzung von T' erstreckten Integrals.

§ 4. Zusammenhang zwischen den Parametern «i, , c «nd den

Nullpunkten »?i, •••,»?„ der Riemannschen Thetafunktion .... 421

EnnittluDg der Beziehung zwischen dem Parameter e und der
Summe der Werte des Integrals ti^^ in den jj Nullpunkten von
•9'((m(o) — e)) vermittelst eines über die ganze Begrenzung von T'
erstreckten Integrals. — Ausdehnung der Resultate des letzten und
des gegenwärtigen Paragraphen auf eine Thetafunktion höherer Ord-
nung und auf die gemeinsamen Nullpunkte mehrerer Thetafunktionen.

§ 5. Die Lehre vom identischen Verschwinden der Riemannschen

Thetafunktion 426

Hauptsatz, wonach ^{{^^(Sy) -\-Jc\\ = 0 ist für alle Lagen der

p — 1 Punkte f. — Hinreichende Bedingung für das Auftreten einer
identisch verschwindenden Thetafunktion. — Nachweis, daß die

Inhaltsverzeichnis. XXIII

Seite

gefundene Bedingung auch notwendig ist. — Identisches Verschwinden
der partiellen Derivierten der Thetafnnktion. — Endresultat.

§ 6.* Zuordnung yon Wurzelfunktionen zu den Thetafunktionen . . . 436

Hilfssätze, die Darstellung von Größensystemen durch Integralsummen
betr. — Zuordnung einer in den p Nullpunkten der Thetafunktion 0"
werdenden Funktion ip^ zu jeder der 2'^' Thetafunktionen und zwar
einer in einen Linearfaktor und eine (p- Funktion zerfallenden zu
jeder der ungeraden, einer nichtzerfallenden zu jeder der geraden
Thetafunktionen. — Zuordnung der 'ir^ Wurzelfunktionen "I/t/j,
zu den 2^^ Thetafunktionen ohne Benutzung der Nullpunkte.

§ 7. Das Umkehrproblem ^ 441

Die Lösung des Jacobischen Umkehrproblems.

Zehntes Kapitel.

Die hyperelliptisclieii Thetafunktionen.

§ 1. Beziehungen der Periodizitätsmodulen eines liyperelliptischen
Integrals erster Gattung zu seinen Werten in den Verzweiguugs-

punkten 445

Zugrundelegung eines speziellen Quei'schnittsystems der Riemann-
schen Fläche T' . — Ausdrücke der Periodizitätsmodulen eines Inte-
grals erster Gattung an den Querschnitten durch seine Werte in den
Verzweiguugspunkten. — Werte des Systems der p Riemannschen
Normalintegrale von einem Verzweigungspunkte zu den 2jj_-|- 1
anderen erstreckt. — Auftreten eines F. tS. von Per. Char. — Ände-
rung des Querschnittsystems.

§ 2. Berechnung der Riemannschen Konstanten Jc^^, ■ ■ ■, Icp 449

Neumannsche Methode. — Christoffeische Methode.

§ 3. Das Verschwinden der hyperelliptischen Thetafunktion 454

Anwendung der Sätze des § 5 des neunten Kapitels auf die hyper-
elliptischen Thetafunktionen. — Notwendige und hinreichende Be-
dingung für das identische Verschwinden der hyperelliptischen Theta-
funktionen. — Folgerungen.

§ 4. Die zwischen den Modulen einer hyperelliptischen Thetafunktion
bestehenden Beziehungen. Prymsche Methode zur Bestimmung
der Biemaunschen Konstanten kj^,---,kp 456

Nachweis, daß l\, • ■ ■ , kp ein System korrespondierender Halber der
Periodizitätsmodulen. — Verschwinden gewisser Thetafunktionen
und ihrer Deiivierten für die Nullwerte der Argumente. — Prymsche
Bestimmung der Riemannschen Konstanten \, ■ ■ ■, Icp. — Ver-
schwinden gewisser gerader Funktionen für die Nullwerte der Ar-
gumente als Bedingungen für die Modulen der hyperelliptischen
Thetafunktionen. — Anzahl der gefundenen Bedingungen. — Re-
duktion der 10 im Falle p ^= i gefundenen auf 8. — Historisches.

§ 5. Das Additionstheoreni der hyperelliptischen Thetafunktionen . . 464

Ableitung eines Additionstheorems für die hyperelliptischen Theta-
funktionen aus der Formel (XLII) pag. 309. — Folgerungen.

XXIY Inhaltsverzeichnis.

Elftes Kapitel.

Die reduzierbaren Abelschen Integrale und die
zugehörigen Thetafunktionen.

Seite

§ 1, Reduktion Abelscher Integrale auf elliptische 469

Notwendige und hinreichende Bedingung für die Periodizitätsmodulen
eines auf ein elliptisches Integral reduzierbaren Abelschen Integrals
von beliebigem Geschlecht jj. — Transformation dieser auf eine ein-
fachste Form. — Kanonische Form für die Periodizitätsmodulen eines
reduziei'baren Integrals. — Zerfallen der zugehörigen Thetafunktion.

— Historisches. — Reduktion des hyperelliptischen Integrals 1. Ordg.
auf ein elliptisches durch eine Substitution 2'"", 3""" und 4'*° Grads.
Reduktion binomischer Integrale auf elliptische.

§ 2. Spezielle Diskussion des Falles p = 2 483

Notwendige und hinreichende Bedingung für die Thetaraodulen beim
Vorhandensein eines reduzierbaren Integrals der Klasse. — Existenz
eines zweiten reduzierbaren lutegi'als. — Bedingung für das Auf-
treten unendlich vieler reduzierbarer Integrale. — Verallgemeinerung
dieses Satzes für beliebiges p. — Übergang zu dem algebraischen
Gebilde. — Die Bedingung für die Rosenhainschen Modulen k, l, ^
und die Verzweigungspunkte in den Fällen k = 2 und 4.

§ 3. Reduktion Abelscher Integrale vom Geschlecht q auf solche

niedrigeren Geschlechts p 493

Existenz von p reduzierbaren Integralen, sobald eines vorhanden ist.

— Bedingung für ihre 22) q Periodizitätsmodulen. — Transformation
dieser auf eine einfachste Form. — Kanonische Form für die Perio-
dizitätsmodulen der 2} reduzierbaren Integrale. — Existenz von q — jj
weiteren auf solche vom Geschlecht q — p reduzierbaren Integralen
der Klasse. — Zerfallen der zugehörigen Thetafunktionen. — An-
wendung auf die allgemeinen Thetafunktionen. Der Satz von
Wirtinger.

Autorenregister 502

Sachregister 504

Erster Teil.

Die allgemeinen Thetafunktionen
mit beliebigen Charakteristiken.

Erstes Kapitel.

Definition und Haupteigenseliaften der
Thetafunktionen.

§ 1.

Die einfach unendliche Thetareihe.

Unter einer einfach unendlichen Thetareihe versteht man eine
unendliche Reihe

+ 00

(1) 2^m,

■m= — 00

bei der der Logarithmus des allgemeinen Gliedes eine ganze rationale
Funktion zweiten Grades des Summationsbuchstabens, also:

ist, wo a, b, c vom Summationsbuchstaben unabhängige Größen be-
zeichnen.

Die Untersuchung über die Konvergenz der Thetareihe zerfällt
in zwei Teile. Im ersten Teile wird eine notwendige Bedingung der
Konvergenz ermittelt; im zweiten Teile wird gezeigt, daß die ge-
fundene notwendige Konvergenzbedingung auch hinreichend ist.

Soll eine Reihe (1) konvergieren, und zwar in dem Sinne, daß
sie aus zwei selbständigen konvergenten Reihen:

(3) -^^0 + ^l + ^2 + --- + ^,«+---

und

(4) 1^0 + ^-1 + ^-2 + • • • + ^-m +•••

besteht, so muß:

= 0

(5)

lim^^^ = 0, also auch Iim5^^0_^

TO = » — 7« = CO

sein.

Nun ist aber für die gegebene Thetareihe:

(6)

r, f, p2am' + 2o

I. 1. Die einfacli unendliche Thetareihe.

und es ergibt sich dalier als notwendige Konvergenzbediugung die,
daß der reelle Teil r der Größe a ^ r -\- si einen negativen Wert
besitze.

Diese Bedingung r < 0, ohne welche, wie soeben gezeigt, von
Konvergenz keine Rede sein kann, reicht aber auch dazu hin, daß
die Thetareihe konvergiert, und zwar für alle endlichen Werte der
Größen 1) = v -\- %vi und c = li -\- li, und weiter absolvit, d. h. so, daß
auch ihre Modulreihe:

+ x

(7)

konvergent ist. Der Beweis für diese Behauptung ergibt sich sofort
aus dem Satze:

„Eine Reihe a^ + a^ + «g + " ' " + ^m +
konvergiert, wenn:

(8)

mit positiven Gliedern

lim^^^<l

Tn=X! m

ist"; oder aus dem Satze:

„Eine Reihe «„ + «^ + ttg + • • • + «„, +
konvergiert, wenn:

(9) limy^<l

■m=co

ist", weil für die Modulreihe (7):

mit positiven Gliedern

(10)

^± ("^ + 1) ^r(2/n+l)+2»

"'±m

also, sobald r < 0:

^+m

^rm + 2»

(11)

ist.

lim

TO=oo "■+m

= 0, lim ya_^_.

0

(I)

Das Resultat der angestellten Untersuchung lautet also:
I. Satz: Die einfach unendliche Tlietareihe:

+ 00
7«=i — • X

konvergiert und zwar absolut und für alle endlichen Werte der Größen
b und c, wenn der reelle Teil r der Größe a = r -\- si negativ ist.

Man nehme nun an, daß die Größe a = r -\- si die für die Kon-
vergenz der Thetareihe notwendige und hinreichende Bedingung r<0
erfülle; die Größe h betrachte man als unabhängige komplexe Ver-
änderliche und entsprechend den Wert der Reihe als Funktion dieser
Veränderlichen; die Größe c endlich setze man gleich Null. Die so

Definition. Konvergenz. Eigenschaften. 5

definierte Funktion wird Thetafunktion genannt und, indem statt des
Buchstabens h der Buchstabe ii gewählt wird, mit 0'(h) bezeichnet.
Die Thetafunktion d'iu) ist definiert durch die Gleichung:

(II) O-(tt) =^e«'"' + 2m«.

: CO

die Größe u ist eine unabhämjigc Icomplcxe Veränderliche und ivird das
Argument der Thetafunldion genannt; die Größe a = r -\- si ist an die
Konvergenshedingung r < 0 gehüipft und heißt der Modul der Theta-
funldion.

Die einfach unendliche Thetareihe findet sich zuerst bei Fourier^)
im vierten Kapitel seiner Theorie analytique de la chaleur; in die
Funktionentheorie eingeführt und in ihrer großen Bedeutung füi- diese
erkannt wurde sie von Jacob i.^)

Aus der Definitionsgleichung (II) ergibt sich sofort als erste
Eigenschaft der Thetafunktion:

(12) »{u + 7ii) = #(tO;

die Thetafunktion ist also eine periodische Funktion mit der Periode
7ci. Weiter ist:

(13) >u=-^ ^^

W( = — oo

Beachtet man aber, daß die unendliche Reihe (II) nur eine Umstellung
ihrer Glieder, also keine Änderung ihres Wertes erleidet, wenn man
den Summationsbuchstaben m um 1 vermehrt, daß also auch die am
Ende von (13) stehende Reihe den Wert #(m) besitzt, so ergibt sich
aus (13) als zweite Eigenschaft der Thetafunktion:

(14) d- (^u + a) = e- « - 2 "-9- (tf) .

Durch wiederholte Anwendung der Gleichungen (12) und (14) folgt
für beliebige ganze Zahlen x, A:

1) Fourier, Theorie analytique de la chaleur. Paris 18-22, pag. 333.

2) Jacobi, Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum. 1829.
Ges. Werke Bd. 1. Berlin 1881, pag. 228; insbesondere aber: Jacobi, Theorie
der elliptischen Funktionen, aus den Eigenschaften der Thetareihen abgeleitet.
Nach einer Vorlesung Jacobis in dessen Auftrag ausgearbeitet von Borchardt.
W. S. 1839 — 40, ebenda pag. 497. Wegen des Datums dieser Vorlesung vergl.
Kronecker, Über die Zeit und die Art der Entstehung der Jacobischen Theta-
formeln. Berl. Ber. 1891, pag. 658 und J. für Math. Bd. 108. 1891, pag. 330.

() I. 1. Die einfach unendliche Thetareihe.

(15) ^{u + xa + kni) = e-^'«-2>^"'^(tt),

eine Gleichung, von deren Richtigkeit man sich auch direkt mit Hilfe
der Gleichung:

,.^. am^ -\- 2m(u -\- xa -\- Itii)

(Ib)

= a{m + x)^ + 2{m -\- z)u + 2mX7ti — -/ra — 2xu

überzeugen kann, wenn man beachtet, daß einerseits die unendliche
Reihe (II) den Wert d-{u) behält, wenn man m um x vermehrt,
andererseits e^'"'-'*' für alle ganzen Zahlen m und A den Wert 1 hat.
Endlich folgt aus (II) durch gliedweise Differentiation der unend-
lichen Reihe die dritte Eigenschaft der Thetafunktion:

(17) 8^)^^.:^).

Man hat so den

II, Satz: Die durch die Gleichung (11) definierte Thetafunktion
^{li) genügt der Gleichung:

(III) &(u + xa + KTii) = e-^'"-2>^"'^(M),

in der x, X heliebige ganze Zahlen bezeichnen. Aus dieser Gleichung
gehen, indem man das eine 3Ial A=l uml x = 0, das andere Mal
X = 1 2(«f? A = 0 setzt, die speziellen Gleichungen:

(IV) ^{u + ^i) = ^(u),

(V) #(it-fa) =e-«-2"^(M)

hervor, aus denen man umgekehrt die Gleichung (III) tvieder erzeugen
kann. Die in den Gleichungen (IV) und (V) als Änderungen des
Argumentes u auftretenden Größen ni und a werden die Periodizitäts-
modiden der TJietafunktion genannt. Weiter genügt die Tlietafunktion
der Differentialgleichung :

^ ^ du^ da

Die im 11. Satze niedergelegten Eigenschaften der Funktion d-(ii)
charakterisieren zusammen mit der Bedingung, daß die Funktion
einwertig und im Endlichen nirgendwo unstetig sei, diese Funktion
vollständig. Es gilt nämlich der

III. Satz: Erfüllt eine einivertige und für alle endlichen Werte
von u stetige Funktimi G(ti) der komplexen Veränderlichen u die Glei-
chungen:

(VII) G{u-^ni)^G{u),

(VIII) G{u-\-a) =e-«-2"G(w),

oder, tvas dasselbe, bei beliebigen ganzzahligen Werten von x und A die
Gleichung:

Eigenschaften. Bestimmung durch diese. 7

(IX) G{u + xa + ^Tti) = e-''^-«-2''"G(M),

so Jcann sie sich von der Funktion d-{u) nur um einen von u freien
FaJitor unterscheiden; erfüllt sie außerdem die Differentialgleichung:

^^ du^ da '

so ist dieser Faktor auch von dem Modul a unabhängig.

Beweis: Betrachtet man G{ii) als Funktion der neuen Ver-
änderlichen

(18) z == e^%

so ist sie eine einwertige und für alle von Null verschiedenen end-
lichen Werte von z stetige Funktion dieser Veränderlichen und läßt
sich demgemäß für alle genannten Werte von z in dieselbe nach
positiven und negativen Potenzen von s fortschreitende Reihe ent-
wickeln. Kehrt man sodann zur ursprünglichen Variablen u zurück,
so erhält man die für alle endlichen Werte von u giltige Entwicklung:

-f ^-

(19) ^W = 2A.e''"'S

wobei die ^,„ von ii unabhängige Größen bezeichnen. Führt man
diese Reihe an Stelle von G{u) in die Gleichung (IX) ein, so ver-
wandelt sich die linke wie die rechte Seite derselben in eine nach
den ganzen Potenzen von e^" fortschreitende Reihe, und es ergibt sich,
wenn man berücksichtigt, daß zwei solche Reihen nur dann für alle
Werte von u einander gleich sein können, wenn die Koeffizienten
gleich hoher Potenzen von 6'-" beiderseits dieselben sind, für die Kon-
stanten A die Beziehung:

(20) Au^-y^Afi"-"^""^'^

als notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Funktion
G{ii) der Gleichung (IX) genügt. Setzt man in (20) m = 0 und
hierauf m statt x, so erhält man die Gleichung:

(21) ^,„ = ^oe-«"-,

in welcher m eine beliebige ganze Zahl vertritt, und aus welcher
wieder umgekehrt die Gleichung (20) erhalten werden kann. Führt
man aber diesen Wert an Stelle von .4,„ in die rechte Seite der
Gleichung (19) ein, so erhält man endlich:

(22) G{u) = ^o^e'^'""- + 2'""= A^(^)

und hat damit bewiesen, daß die Funktion G (it), wenn sie den Glei-
chungen (VII) und (VIII) genügt, sich von der Funktion d-(ii) nur
um einen von u unabhängigen Faktor unterscheidet.

I. 1. Die einfach unendliche Thetareihe.

Ersetzt man nun weiter auf der linken und rechten Seite der
Gleichung (X) die Funktion G{;u) aus der Gleichung (22), so erhält
man, weil Ä^ von u unabhängig ist, zunächst:

(23)

d^&iu)

dA>

" du^ da ^ ^ 0

d&iu)

und hieraus sofort unter Berücksichtigung der Gleichung (VI):

dĄ

(24)

da

= 0.

Damit ist aber bewiesen, daß Aq, wenn die Funktion G{u) der Glei-
chung (X) genügt, auch von dem Modul a der Thetafunktion unab-
hängig ist.

Repräsentiert man die Werte der unabhängigen Variablen ii durch
die Punkte einer Ebene, so bestimmen die vier Werte u = 0, a, 7ii,

a -\- ni ein Parallelogramm Uq. Zieht man
ferner durch alle Punkte u ^ xa und
u = X%i, wo y. und X ganze Zahlen be-
zeichnen, Gerade parallel den Seiten dieses
Parallelogrammes, so wird die ganze Ebene
in kongruente Parallelogramme zerschnitten.
Einem jeden Punkte u in einem beliebigen
dieser Parallelogramme entspricht nun ein

ihm „kongruenter" Punkt Uq = u

Fig. 1.

oder kürzer u = u.

in ZZq, und es kann

der Wert der Thetafunktion im Punkte u
mit Hilfe der Formel (III) aus ihrem Werte im Punkte Uq berechnet
werden. In diesem Sinne genügt es, den Werteverlauf der Funktion
Q'{u) in IIq zu untersuchen; insbesondere verschwindet die Theta-
funktion in einem Punkte u dann und nur dann, wenn auch %-{u^ = 0
ist. Es soll hier die Frage beantwortet werden, in wieviel Punkten
von 77(j und in welchen %-{ii) verschwindet.

Die Anzahl der Nullpunkte von %-{ii) in 77(j und die Summe
dieser Nullpunkte werden durch die Integrale:

1 r"^ 1 r

(25)

/7o y/o

geliefert, die in positiver Richtung um 77,, zu erstrecken sind. Nun
ist aber allgemein:

-|- ni 71 i-\-a a 0

(26)

/ f(u) du = I f{u) du -f / f{u) du + I f(u) du -f / f{ii) du

TIq 0 ni ni-\-a a

ni a

Eigenschaften. Nullpunkte.

und da weiter den Gleichungen (IV), (V) zufolge:

d log & {u -\- a) d log & {u)

du du

^ ^ du

dlog&iu)
du

ist, so erhält man:

(28)

J. = ;

und ferner:

71 i n i u

^2 == IJ C^f + (i)fi» -^i I ^^log^(w) + Y j dlog&{ii)

(29) 0 « 0
7ci 1 1 . . .

= Y + « - Y « = Y (^* + «)•

Es verschwindet also die Funktion Q-[u) nur einmal in Uq und zwar
an der Stelle w = ^ (ni + <*). Man hat folglich den

IV. Satz: Die FunJdion O'(h) ivivd 0^ /«> f?ie Werte:
(XI) w = J^ [(2x + 1)« + (2A + l)7ti],

ivo x, X heliehige ganze Zalden hezeichnen.

Beachtet man endlich, daß die unendliche Reihe (JI) nur eine
Umstellung ihrer Glieder also keine Änderung ihres Wertes erleidet,
wenn man m durch — w ersetzt, so erhält man:

(30) ^{ii) = ^{-u)
hat also den

V. Satz: Die FunJdion 9'(;u) ist eine gerade FunJction ihres Argu-
mentes IL

§ 2.

Die i>-fach unendliche Thetareihe. Ermittelung* einer not-
wendigen und hinreichenden Konvergenzbedingung.

Unter einer p-fach unendlichen Thetareihe versteht man eine
p-fach unendliche Reihe, bei welcher der Logarithmus des all-
gemeinen Gliedes eine ganze rationale Funktion zweiten Grades der
2) Summationsbuchstaben ist. Eine solche Funktion kann man, wenn
man die p Summationsbuchstaben mit m^, nio, ■ ■ -, ni^ bezeichnet
und für die Glieder zweiten Grades sich der bei den quadratischen
Formen üblichen Schreibweise bedient, in der Gestalt:

10 I. 2. Die p-fach unendliche Thetareihe.

V p p

(31) 2 ^ %,, ^^,m,u' +^2 ^,u»h. + C («/./<• = '^„V')

darstellen, und es wird daher eine 2? -fach unendliche Thetareihe in
allgemeinster Form durch die Summe:

p p p

(32) ^ g," = i,"'=i

repräsentiert, hei deren Ausführung jede der p Größen m unabhängig
von den anderen die Reihe der ganzen Zahlen von — oo bis + oc
durchläuft.

Eine notwendige Bedingung für die Konvergenz der unendlichen
Reihe (32) ist die, daß das allgemeine Glied derselben gegen Null
konvergiert, wenn irgend welche der p ganzen Zahlen m, einerlei wie
die übrigen sich gleichzeitig bewegen, ihren absoluten Werten nach
über alle Grenzen wachsen. Setzt man daher im allgemeinen Gliede
der Reihe (32) an Stelle von m^, • • •, m^ das eine Mal die Zahlen
w</, • • •, nipj das andere Mal die Zahlen — %', • • •, — tn^, so muß,
wenn die Reihe konvergent sein soll, ein jeder der beiden dadurch
entstehenden Ausdrücke und daher auch ihr Produkt:

(33)

p p

gegen Null konvergieren, wenn irgend welche der 2^ ganzen Zahlen
m' ihren absoluten Werten nach über alle Grenzen wachsen, und man
erhält daraus sofort die folgende notwendige Konvergenzbedingung:

VI. Satz: Bezeichnet man den reellen Teil der Größe a^^. mit
r ,, so ist eine notwendige Bedingimg für die Konvergenz der Tlieta-
reihe die, daß der Ausdruck:

p p

(XII) R {m^ {■•■\mp)=^ ^ r^,,,, m^^ m^,

fi=i ,«'=1

gegen — oo geht, nenn irgend welche der p ganzen Zahlen m ihren
absoluten Werten nach über alle Grenzen ivachsen.

Es soll jetzt weiter gezeigt werden, daß die soeben gefundene
Bedinffuns, ohne welche also von Konvergenz keine Rede sein kann,
dazu hinreicht, daß die Thetareihe konvei-giert, und zwar für alle
endhchen Werte der Größen ?>„ = v„ + ?^"„ ^' ^"^tl c=-Ji-\-li, und
weiter absolut, d. h. so, daß auch ihre Modulreihe:

Definition. Konvergenz.

11

p p p

(34) ^ ^"=i/''=t ." = 1

'"1- ■ -.'»p
konvergent ist.

Bei dieser Untersuchung treten gewisse Verbindungen der Größen
r , auf, welche sich sämtlich als Determinanten von der Form:

(35)

'12

'21

■l,v-l
*'2, V - 1

'la

v-1,1

v-1,2

^, V — 1

.-1, a

qa

darstellen lassen, wobei v, q, 6 Zahlen aus der Reihe 1, 2, ■ • ■, p
bezeichnen, die auch teilweise oder alle einander gleich sein können.
Der Fall v = 1 ist in der Weise aufzufassen, daß alsdann die Deter-
minante r sich auf das einzige Element r„„ reduziert, so daß also
r^^^ mit r^g identisch ist. Infolge der zwischen den Größen r be-
stehenden Relationen r , = r . {^, /[i'= 1, 2, • • -, p) ändert die De-
terminante r ihren Wert nicht, wenn man p und 6 vertaascht: es

qa ' ^ '

ist daher stets r = r .

aq qa

..(' + !) (^y <ip) die zu den Elementen /• , r^^, r,,^, r,j,, gehörigen

Beachtet man dann, daß in der Determi-
nante r*
Unterdeterminanten v*^° Grades, die mit r' , r' , r' , r' bezeichnet

' qa> vv' va> qv

werden sollen, mit den Determinanten r , r , — r , —r identisch

■ rv' qa' qv' va

sind, und bildet die Determinante:

(36)

q V qa

SO erhält man auf Grund eines bekannten Satzes der Determinanten-
theorie, wenn man noch r'^ durch rj^ ersetzt, die im Folgenden
wiederholt zur Anwendunsr kommende Relation:

(37)

,(v)^(v)
vv na

(»■) (y)
r r

V p V a

(v-1) (v + 1)

V— 1,V— 1 0(7

die für jedes v von 1 bis p gilt, wenn man noch im Falle v = 1
unter der dann auf der rechten Seite auftretenden Größe r|j^ die Ein-
heit versteht. Diese Relation ist für die jetzt vorzunehmenden Zer-
legungen der Form R(ni^ \ ' ' ' \ ^^») stets im Auge zu behalten.

Man nehme nun an, daß die Form R(m^ I ■ • • I wi^) ^^^ für die
Konvergenz der Thetareihe oben als notwendig erkannte Bedingung
erfülle, daß also ihr Wert immer gegen — oo gehe, wenn irgend

12 I. 2. Die j9-fach unendliche Thetareihe.

welche der p ganzen Zahlen m ihren absoluten Werten nach über
alle Grenzen wachsen, einerlei wie die übrigen sich gleichzeitig be-
wegen. Dann muß speziell auch:

(38) R(m^\0\--- |0) = r(\)m2

gegen — oo gehen, wenn m^ über alle Grenzen wächst. Dies zieht
aber für r^^ die Bedingung r^^ < 0 nach sich, und man kann
7?(% 1 ••• |m) zunächst in die Form:

R{m^ \-..\m^) = r[\ irn^ + -^ wzg + • • • + -J^ m^ 1

(39) ^ , ,

11 ^( = 2 /i'=2

bringen. Weiter muß aber auch:

(40) R(m, ! ^2 i 0 i . . • I 0) = r;V (m, + -(\^ m,) +

.(1) \2 ,.(2)

UV

11 ' '11

.(1) *'^2

gegen — oo gehen, wenn man w/g unbegrenzt wachsen läßt. Wählt
man jedesmal zu dem betreffenden Werte von m^ den Wert von m^ etwa

'•ff
der Bedingung 0 < m^ -| — ^ m^ < 1 gemäß, so erhält man für den

^11

Koeffizienten von w| auf der rechten Seite der Gleichung (40) die

Bedingung -J^ < 0, und man kann alsdann R(m^\ ■ ■ ■ \m) in die
Form:

i? (;i?i I • • • I m^) = r;V f m^ + ^ Wg + 7^ *% + ••• + "[^ '>^^)
^ 'n 'ii ^11 ^

(41) + ;f^ V''^2 + ;:g '"^3 + • • • + ;^ ^^^

bringen. Weiter muß aber auch:

R {m^ I m^ \ «?3 1 0 I • • • j 0) =

(42) (2)/ .(2) x2 (3)

,22 '23 \ 1 '33

11 ^ ?2 ' '22

gegen — oo gehen, wenn man m^ unbegrenzt wachsen läßt. Wählt

,,.(1) .^(1)

R{}n^ I ^2 1 «?3 1 0 I • • • i 0) = r'i; { m^ + ^ ^»«2 + "7^ w?,

'11 '11

(2) \2 (

23 ... \ ,33 ...2

Konvergenz. 13

man jedesmal zu dem betreffenden Werte von 7u. zunächst den Wert von
w?2 der Bedingung 0 ^ m^ + -^ »^3 < 1 , und alsdann den Wert von

tn^ der Bedingung 0 < ni^ + -^(^ m^ + -^ m^ < 1 gemäß, so erhält

''11 ''11

man für den Koeffizienten von ml auf der rechten Seite der

letzten Gleichung die Bedingung -^ < 0. Fährt man so fort, so

ergibt sich schließlich für E(;wJ • ■ • | w^), immer unter der Voraus-
setzung, daß es die im YI. Satz angegebene zur Konvergenz der Theta-
reihe notwendige Bedingung erfüllt, die Darstellung^):

(43)

>— 2,j9 — 2 ^ >— 1,^ — 1

' p—i,p—\

und mau hat zugleich gesehen, daß die p auf der rechten Seite der
letzten Gleichuncf vor den Klammern stehenden Koeffizienten

(44)

-'!) 15i ^i> — l,i) — 1 'pp

'11' Ji)' ■ ■ ■' r(P-^) ' Jp-i)

'^ll p~2,p—-2 'p—l,p — l

sämtlich negative Werte haben.

Ein jeder der ^ Summanden, aus denen sich die rechte Seite der
Gleichung (43) zusammensetzt, ist das Produkt zweier Faktoren, von
denen der erste eine negative Größe, der zweite das Quadrat einer reellen
Größe ist, und es kann daher keiner dieser Summanden jemals positiv
werden, welche Werte die ganzen Zahlen m auch annehmen mögen. In-
folgedessen kann der Wert von ii(w?J ••• jw^) niemals den Wert des in der
y^"^ Zeile stehenden Summanden überschreiten, und es besteht daher, wenn
man noch zur Vereinfachung die Determinante rf , die mit der Determi-

pp7

1) Jacobi, Über eine elementare Transformation eines in Bezug auf jedes
von zwei Variablen-Systemen linearen und homogenen Ausdrucks. Ges. Werke
Bd. 3. Berlin 1884, pag. 583.

14 I- 2. Die ^;-fach unendliche Thetareihe.

iiante ^± r^i ^33 • • • r der quadratischen Form jR(mi | • • • 1 m^) iden-
tisch ist, mit A, die Determinante r^~", ,, insofern sie die zu dem
Elemente r gehörige Unterdeterminante ]j — 1^^ Grades der Deter-
minante A ist^ mit Q bezeichnet, die Beziehung^):

(45) Rim,\..-\m^)Z~nil, A < 0.

"pp ^pp

Nun besitzt aber bei der Form Rim^ \ • • • \ ni^) keine der Zahlen
m einen Vorzug vor den anderen, und es besteht daher, vorausgesetzt
immer, daß R(tn^ \ ' " \ ^^0 ^® angegebene Bedingung erfüllt, für
jedes V von 1 bis 2) die Beziehung:

(46) R{m,\.-.\m^)Z^nil, A < 0,

wobei ^,.,, die zu dem Elemente r,,,, gehörige Unterdeterminante

p — l**"" Grades der Determinante A = ^ ± r^^ r.^^ ' ' ' '^'pp bezeichnet.
Setzt man hierin an Stelle von v der Reihe nach die Zahlen 1, 2, • • •, p
und addiert die i> so entstandenen Relationen zueinandei", so erhält

man zunächst:

p

(47) pR{nh\ ■■■\n^p)<'2 —

m-

und weiter, indem man linke und rechte Seite dieser letzten Relation
durch p dividiert, gleichzeitig zur Abkür:^ung

(48) ^^ = -h (v=i,2,...,p)

und für R{ni^\ ••• |m ) das setzt, was es bedeutet, die Beziehung:
p p p

(49) ^ 2 ^ ^' i% w^,<- < - ^ ^s. '< ,

1.1 = 1 fi=l r = l

wobei die Ji sämtlich positive reelle Größen bezeichnen.

Auf Grund der zuletzt gewonnenen Beziehung ergibt sich aber
sofort die Konvergenz der gegebenen Modulreihe (34), indem man
diese mit dem Produkte der p einfach unendlichen, für alle endlichen
Werte der v konvergenten Reihen:

+ C0

(50) '^ f.-k^.ml + 2m^v^ (v = l, 2, ■••,?.)

vergleicht.

1) Es ist damit auch die bei Auflösung der Gleichungen (94) benutzte
Tatsache erwiesen, daß die Determinante ^'ih''ii''22 "" '^'pp stets von Null
verschieden ist.

Konvergenz. 15

Damit ist aber bewiesen, daß die im VI. Satz angegebene not-
wendige Konvergenzbedinguug in der Tat auch dazu hinreicht, daß
die Thetareihe konvergiert, und zwar für alle endlichen Werte der
Größen h^^ und c, und weiter absolut, d. h. so, daß auch ihre Modul-
reihe konvergent ist. Das Resultat der angestellten Untersuchung
lautet also:

VII. Satz: Die p-fach unendliclie Tlietareihe:
p p p

-», .,+0. ^ ^«^</<"»/.V + -^V'"^ + '^

(xni) ^ g^=i,«''=i ^'=1

konvergiert und zwar absolut und für alle endlichen Werte der Größen
\i ' ■ 'j ^p ****^ ^» wenn der Wert des mit den reellen Teilen r,,^^, der
Größen a^^^, gebildeten Ausdrucks:

p p
(XIV) R{m^ I • • • I m^) -^ ^ >*,.,,- w«,„ w„,

«=1 u'=l

gegen — oo geht, sobald irgend welche der p ganzen Zahlen m ihren
absoluten Werten nach über alle Grenzen ivachsen, einerlei, wie die
übrigen sich gleichzeitig bewegen.

§ 3.

Andere Formen für die Eonvergenzbedingung-.

Die für 7i(w«^ I " " " I '''«) gefundene, zur Konvergenz der p-ia.ch un-
endlichen Thetareihe notwendige und hinreichende Bedingung kann
durch ein System von Bedingungen, welche sich ausschließlich auf die
Koeffizienten r . der Form 7t (w?^ | ••■\m) beziehen, ersetzt werden.
Erfüllt nämlich die Form B,{in^\ ••■ | m ) die angegebene Bedingung,
so bestehen immer, wie früher gezeigt wurde, die p Ungleichheiten:

(61) r'^' < 0 -^ < 0 ■ ■ ■ ^ — < 0

'ii >— i,p— 1

Es gilt aber auch das Umgekehrte. Genügen nämlich die Koef-
fizienten r irgend einer Form R(mi \ ••• \ nip) diesen p Ungleichheiten,
so läßt sich diese zunächst immer in der Form (43) zerlegen. Bei
dieser Zerlegung ist aber die Determinante der p auf der rechten
Seite vorkommenden, in Klammern eingeschlossenen homogenen
linearen Funktionen der Zahlen ?%, • • •, w^ von Null verschieden
(sie hat, wie unmittelbar zu sehen, den Wert Eins), und es ent-
sprechen daher endlichen Werten dieser Funktionen immer auch end-
liche Werte der ganzen Zahlen m. Wachsen daher irgend welche

16 I. 3. Andere Formen für die Konvergenzbedingung.

der p ganzen Zahlen 7n, einerlei, wie die übrigen sich gleichzeitig
bewegen, ihren absoluten Werten nach über alle Grenzen, so muß
wenigstens eine der genannten Funktionen ihrem absoluten Werte
nach über alle Grenzen wachsen, und der Wert von it(wi|---'m)
geht dann gegen — oo, da die vor den Quadraten dieser Funktionen
stehenden Koeffizienten (44) sämtlich negativ sind. Jede Form
Ii{in^\ ■■■ 'tn), deren Koeffizienten r den ^; Ungleichheiten (51) ge-
nügen, erfüllt daher immer auch die oben angegebene zur Konvergenz
der p-fach unendlicJien Thetareilie notwendige und hinreiche'nde Be-
dingung, und es kann daher diese Bedingung durch das System der
p Bedingungen (51) oder, was dasselbe, durch das System der p Be-
dingungen:

(52) (-l)">i'2>0 (v=i,2,...,p)

ersetzt iverden.

Der gefundenen Konvergenzbedinguno; soll endlich noch eine
andere Form gegeben werden. Zu dem Ende betrachte man die mit
Hilfe der Koeffizienten r der Form B{in^ \ " ' \ ^O gebildete quadra-
tische Form:

p p

(53) -R (^1 I • • • I S) = 2 ^ ^V,«' ^,a-^,"''

bei der die x unabhängige reelle' Veränderliche bezeichnen sollen.
Diese Form läßt sich dann, wenn B {m^ I • • • 1 "^^p) die im VIT. Satz an-
gegebene Bedingung erfüllt oder, was dasselbe, wenn die Koeffizienten
r den p Ungleichheiten (51) oder (52) genügen, in derselben Weise
zerlegen, wie vorher i?(% | • • • ! m^); man braucht in der Gleichung
(43), die eine identische ist, und also gilt, was auch die Buchstaben
m bedeuten, nur die Buchstaben m durch die Buchstaben x zu er-
setzen. Diese Zerlegung zeigt dann, daß die Form B(x^\ • • • j rr ) eine
negative quadratische Form ist, oder, was dasselbe sagt, stets einen
negativen Wert hat, wenn nicht gleichzeitig x^ = 0, x^ = 0, • •■, Xp = 0
ist. Da nämlich die p bei der Zerlegung aufti-etenden Koeffizienten
(44) sämtlich negativ sind, so kann die Form einen positiven Wert
überhaupt nicht, den Wert Null aber nur dann annehmen, wenn die
p in den Klammern stehenden homogenen linearen Formen der x
gleichzeitig verschwinden. Dies letztere aber ist, da die Determinante
derselben, wie vorher erwähnt, von Null verschieden ist, nur dann
möglich, wenn alle Größen x gleichzeitig verschwinden. Bezeichnet
umgekehrt B{x^\ • • • [ a; ) eine negative quadratische Form, so kann
man dieselbe in der nämlichen Weise zerlegen, wie es früher mit der
Form B(pi^\ ■•• | m^) geschehen ist; man braucht dazu nur der Reihe
nach die Formen B{x^\0\ ■• ■ \0), B{x^\ x^\0\ • ■ • ' 0), ■ ■ • zu betrachten
und festzuhalten, daß eine jede dieser Formen, sobald nicht die samt-

Konvergenzbedingung. Historisches: 17

liehen darin vorkommenden Größen x Null sind, negativ sein muß.
Bei dieser Zerlegung ergeben sich dann für die Koeffizienten (44)
wieder die vorher aufgestellten Ungleichheiten (51), und es erfüllt
daher die zu jR (xj • • • { x^ gehörige Form R (tn^ | • • * | wi^) stets die
vorher angegebene zur Konvergenz der p-fach unendlichen Tlieiareihe
noticendiye und hinreichende Bedingung. Diese Bedingung kann daher
auch durch die Bedingung, daß -R (^i | • • • \Xp) eine negative quadratische
Form sei, ersetzt iverden.

Das Endresultat der ganzen bisherigen Untersuchung läßt sich
nun endlich wie folgt aussprechen:

VIII. Satz: Die p-fach unendliche Thetareihe:

„ r ^ ^ a,, ,,'m,, m,,< + 2 ^ b,,rn,,-\-c

(XV) V e"='''-' ''='

"'1, ■ • , »'jO

Jconvergiert und zwar absolut und für alle endlichen Werte der Größen
\y ' ' 'i ^p ^''^^^ ^7 wenn die mit den reellen Teilen r , der Größen a .
gebildete quadratische Form:

(XVI) ^ ^r^^cV,-

eine negative Form ist. Biese Bedingung ist dann aber auch nur dann
erfüllt, ivenn die Koeffizienten r , den p Ungleichheiten:

(XVII) (-1)V;^]>0, (v=i.v..,,)
genügen.

Die in den beiden letzten Paragraphen mitgeteilte Untersuchung über
die Konvergenz der p-isich. unendlichen Thetareihe wurde von Herrn Prym
und niir im Jahre 1885 angestellt.-^) Der Grundgedanke des Beweises,
auf Grund einer Zerlegung der Fonn B (m^ | • • • | '^%) von der Gestalt (43)
zu einer Ungleichung von der Form (49) zu gelangen, findet sich zuerst
wohl bei Briot;") die vorliegende Gestalt habe ich dem Konvergenz-
beweise in meiner Abhandlung: Über die Convergenz der Thetareihe^)
gegeben. Bei derselben tritt schärfer, als es bis dahin betont worden war,
zu Tage, daß, sobald man die Bedingung stellt, es solle das allgemeine
Glied der Thetareihe gegen Null konvergieren, wenn irgend welche der
Summationsbuchstaben ihren absoluten Werten nach über alle Grenzen
wachsen, dieses Verlangen allein schon zu jener Eigenschaft der Form (XVI)
führt, welche nun ihrerseits die absolute Konvergenz der Reihe für alle
endlichen Werte der Größen h und c nach sich zieht.

1) Krazer und Prym, Neue Grundlagen einer Theorie der allgemeinen
Thetafimktionen ; herausg. von Krazer. Leipzig 1892, pag. 3.

2) Briot, Theorie des fonctions Abeliennes. Paris 1879, pag. 115.

3) Krazer, Über die Convergenz der Thetareihe. Math. Ann. Bd. 49.
1897, pag. 400.

Krazer, Thetafunktionen. 2

18 I. 3. Andere Formen für die Konvergenzbedingung.

Der erste Teil der Konvergenzuntersuchung, welcher den Nachweis
enthält, daß das Negativsein der Form R(Xi\ • • • | x) eine zur Konvergenz
der Thetareihe notwendige Bedingung bildet, ist wenig bearbeitet worden.
Dem Verfasser sind nur jene Beweise bekannt, welche Weierstraß und
Christoffel hiefüi' in ihren Vorlesungen über die Theorie der hyperellip-
tischen und Abelschen Funktionen gegeben haben; dieselben lassen sich
kurz so darstellen:

Gäbe es reelle Größen a;, für welche li^x^^l • • • \x ) >0 ist, so
gäbe es auch rationale und daher auch ganze Zahlen, für welche dies
stattfindet. Wäre dann aber B (i'U^ \ ••• \ ^w ) > 0, so würde R {Tcm^ \ ' " \ ^^'^p)
mit /.; über alle Grenzen wachsen. Zur Konvergenz der Thetareihe ist
also jedenfalls notwendig, daß R{x.^\ • • ■ \ xj für kein reelles Wei-tesystem
der X positiv ist; dann sind aber nur zwei Fälle möglich, entweder ist die
Form R(x^\ • • • \ xS) , wie bewiesen werden soll , eine ordinäre negative
Form, oder sie ist singulär, in der Weise, daß sie, in Quadrate linearer
Formen zerlegt, als Summe von q^ 1 <^ P-, negativen Quadraten erscheint.
Daß aber auch bei letzterer Annahme die Reihe nicht konvergieren kann,
zeigt man, indem man Glieder der Reihe nachweist, welche dem absoluten
Werte nach größer sind, als eine vorgegebene Größe, während mindestens
einer der Summationsbuchstaben m eine beliebig große positive ganze Zahl
übersteigt.

Der zweite Teil der Konvergenz Untersuchung, welcher den Nachweis
enthält , daß das Negativsein der Fonn jR (d:^ ' • • • j a; ) eine zur absoluten
Konvergenz der Thetareihe füi- alle endlichen & und c hinreichende Be-
dingung ist, hat dagegen vielfache Bearbeitung gefunden. Die zahlreichen
Beweise lassen sich in zwei Klassen einteilen; die Beweise der ersten
Klasse erbringen, ebenso wie der oben mitgeteilte, den gewünschten Nach-
weis dadurch, daß sie die Modulreihe (34) der j;-fach unendlichen Theta-
reihe mit dem Produkte von p einfach unendlichen Reihen vergleichen,
die Beweise der zweiten Klasse dagegen dadui-ch, daß sie die Modulreihe
(34) durch gruppenweises Zusammenfassen ihrer Glieder mit einer einzigen
einfach unendlichen Reihe vergleichen.

Beweise der ersten Klasse.

Von Weierstraß^) rührt der folgende Beweis her: Geht die Form

p

It{x■^^\ • • • \x^ durch eine orthogonale Substitution in — ^^wl über,

1 = 1
und wird mit k die kleinste der p positiven Größen \^ • • •, J: bezeichnet,
so ist für alle reellen Werte der x:

p

(54) RM---\^,)^-J^2yl
,=1

1) Weierstraß, Vorlesungen über die Theorie der hyperelliptischen Funk-
tionen. W. S. 1881 — 82; siehe Stahl, Theorie der Abelschen Funktionen.
Leipzig 1896, pag. 204. Weniger einfach i^t ein auf derselben Grundlage
ruhender Beweis des Herrn Thomas: Sammlung von Formeln, welche bei An-
wendung der elliptischen und Rosenhainschen Funktionen gebraucht werden.
Halle 1876, pag. 22.

Konvergenzbeweise von Weierstraß u. A. 19

n n

oder, da wegen der Orthogonalität der Substitution ^y\ = ^x\ ist, auch :

1/=1 v = l

p
(55) R{x,\---\x^)^~h^xl.

Auf Grund dieser Ungleichung ergibt sich aber die Konvergenz der Modul-
reihe (34) sofort, indem man diese mit dem Produkte der p einfach un-
endlichen konvergenten Reihen:

+ 00
»1^ = — 00

vergleicht.

Christoffel ^) hat die Ungleichung (55) auf folgende Weise ab-
geleitet. Man bezeichne mit — k den größten Wert, den die Form

-^(^1 1 ■■■ I ^p) ^^^" ^^^^ J^"6 Wertsysteme x^^ • • •, x annimmt, für welche

p
^xl = 1 ist. Für ein beliebiges Wertesystem x^, • • • , a; für welches

p
Sxl = s^ sei, ist dann ü {x^l ■ • • | icj < — ks^, woraus sofort, indem man

s^ durch ^xl ersetzt, die Ungleichung (55) folgt.

v = l

Noch einfacher kann man, wie Herr Prym in einer Vorlesung an-
gegeben hat, zu der Ungleichung (55) durch die Überlegung gelangen,
daß die Form B{xj^\ • • • | ^j,) , wenn sie eine negative ist (was stets und
nur unter den p Bedingungen (51) der Fall ist) eine solche bleibt, wenn
man allgemein r^^, dui-ch r^^, -f- S^^^.k ersetzt, wobei ö^^^, = 1 oder 0 ist,
je nachdem fi = jtt' ist oder nicht, und Tc eine hinreichend kleine positive
Größe bezeichnet; es ist dann für alle reellen Werte der x:
p p

,«=1 fi'=i
oder

P

(58) ^(^J---k,)<-^2^;.

v = l

In die erste Klasse gehören femer der nur für p = 2 angegebene
Beweis von Rosenhain^), als dessen Verallgemeinerung mein obiger an-
gesehen werden kann, insofern er für p == 2 mit ihm identisch wird, und
ein Beweis des Herrn v. Dalwigk^).

1) Christoffel, Die Convergenz der Jacobischen ■S'-Reihe mit den Moduln
Riemanns. Züricher Vierteljahrsschr. Bd. 41. 1896, pag. 3.

2) Rosenhain, Memoire sur les fonctions de deux variables et ä quatre
periodes qui sont les inverses des integrales ultra -elliptiques de la premiere
classe. Mem. pres. par div. sav. ä l'acad. des sc. de l'inst. nat. de France. Sc.
math. et phys. t. 11. 1851, pag. 388; auch deutsch in Ostwalds Klassikern der
exakten Wissenschaften Nr. 65.

3) V. Dalwigk, Beiträge zur Theorie der Thetafunktionen von ^ Variablen.
Nova Acta Leop. Bd. 57. 1892, pag. 282.

2*

20 I- 3- Andere Formen für die Konvergenzbedingung.

Beweise der zweiten Klasse.

Der Eiemannsche Beweis^) benutzt einen Hilfssatz, der in der
Fassung des Heirn Hurwitz") folgendermaßen lautet: „Es sei h eine
endliche Größe, x eine Vai-iable, die nur die Werte, welche gleich oder größer
als h sind, annehmen soll. Sind nun f(x) und g (x) zwei Funktionen,
die beständig positiv sind und von denen die erste mit wachsendem x
abnimmt, die zweite (bis ins Unendliche) zunimmt, und ist die Anzahl
der Glieder einer Reihe mit positiven Gliedern, die gleich oder größer als
f (x) sind , gleich oder kleiner als g (x) , so konvergiert die Reihe , wenn

00

das Integral f(x)g'(x)dx konvergiert." Um die Konvergenz der Modul-

b

reihe (34) auf Grund dieses Hilfssatzes zu beweisen, bringe man das all-
gemeine Glied derselben, indem man p reelle Größen t durch die Glei-
chungen :

p

(59) ^ = ^^/.'V t"=i.2, ..y)

,«'=1
bestimmt, in die Form:

p p p

/(=i ,(('=1 ."=1

/< = 1 ,u'=l ," = 1 ,«'=1

und lege der Konvergenzuntersuchung die von (34) nur um einen Faktor
verschiedene Reihe:

p p

- 00 . • + 00 2 ^ V /"' ^'"'. + V^ ('","' + 'f^' *

(61) ^ ^-U^^^

7« j , • , m„

zu Grunde. Durch die Gleichung

(62) -22'..Vy-''''

vdrd, wenn die x die rechtwinkligen Koordinaten eines Raumes von
p Dimensionen sind, eine geschlossene, sich nirgends ins Unendliche er-
streckende Mannigfaltigkeit von p) — 1 Dimensionen 31 f^ definiert, diirch
welche der ganze Raum von ^J Dimensionen in zwei Teile geteilt wird,
einen inneren, filr dessen Punkte die linke Seite der Gleichung (62) -< 7;^
ist, und einen äußeren, für den dieselbe >■ h^ ist. Das Volumen des
Innenraimies wird durch das Integral:

1) Riemann, Convergenz der p-fach unendlichen Theta-Reihe. 1861-
Ges. math. Werke. Leipzig 1876, pag. 452.

2) Hurwitz, Über Riemanns Convergenzkriterium. Math. Ann. Bd. 44.
1894, pag. 83.

Konvergenzbeweis von Riemann. 21

(63) Jh^ j j ■ ■ ■ / f?^if^^2 '" ^%

geliefert, wenn dessen Grenzen aus der Gleichung (62) bestimmt werden.
Die Anzahl aller „Gitterpimkte" x^ = m^ -\- t^, • • • , ^« = '"p + ^, (wobei
die m ganze Zahlen, die t die oben eingefühi-ten Größen bezeichnen),
welche im Innern oder auf der Begrenzung von Mj^ liegen, möge mit Zj^
bezeichnet werden. Dieselben sind die Eckpunkte einer Anzahl von Pa-
rallelotopen, von denen jedes den Inhalt 1 hat, und die ganz innerhalb von
Mf^ liegen. Für die Anzahl Z'^^ dieser Parallelotope gilt dann, da jedes
Parallelotop 2^ Eckpunkte hat, den Z^] im Inneren von Mj^ liegenden
Parallelotopen aber ein Teil ihrer Eckpunkte gemeinsam ist, die Ungleichung:

(64) Z,<'2PZl.

Nun stellt aber Zj^ zugleich den Gesamtinhalt dieser ganz innerhalb M,^
gelegenen Parallelotopen dar und ist daher <C Jj^\ also ist a fortiori:

(65) Z, < 2r>J,
und da, wie der Integralausdruck (63) zeigt:

(66) /, = hPJ,
ist, so hat man endlich : ^)

(67) _ Z,<{2hyj,.

Aus dieser Ungleichung ergibt sich aber sofort die Konvergenz der Reihe
(61) unter Anwendung des obigen Hilfssatzes, indem man:

(68) f{x) = e-^-, g{x) = {2xyj,
setzt.

Nachdem die Ungleichung (67) gewonnen ist, kann man die Konver-
genz der Eeibe (61) auch ohne Benutzung des Riemannschen Hilfssatzes
folgendermaßen beweisen. Man denke sich die Mannigfaltigkeiten
i)/i, J/25 ' ' 'i ^^,0 ' ' ' konstruiert und fasse die Glieder der Reihe (61)
gruppenweise zusammen, indem man in die n^^ Gruppe jene Glieder auf-
nimmt, füi- welche die Gitterpunkte x-^^ = m^ -\- f^] • ■ •, x == m -\- t
zwischen ^„_i und 3f"„, die Begrenzung des letzteren inbegriffen, liegen;
es ist dann die Anzahl dieser Glieder Z^ — ^n-i ^^*^ ^^^' Beti'ag jedes
einzelnen Gliedes <Ce~^"~^^^ Da aber

(69) Z^-Z^-,<Zn<{'^^yj,

ist, so ergibt sich sofort die Konvergenz der Reihe (61), indem man diese
mit der einfach unendlichen konvergenten Reihe:

OD

(70) ^w^c-(''-i)^-
vergleicht. ")

1) Riemann benutzt statt der Ungleichung (67) weniger einfach die Grenz-
gleichung lim {ZjJi~P) = J^.

h = x>

2) Dieser Gedanke ist von Herrn Thomae: Konvergenz der Tbetareihen.
Z. für Math. Bd. 25. 1880, pag. 43 und: Über eine spezielle Klasse Abel scher
Functionen vom Geschlecht 3. Halle 1879, pag. 29 zu Konvergenzbeweisen der
zweifach und dreifach unendlichen Thetareihen verwendet worden, doch sind
beide Beweise nicht fehlerfrei.

22 I- 4. Die Funktion & {u^ | Wg | ■ ■ ■ i Up).

Von ähnlichen Gesichtspunkten gehen die gleichfalls in die zweite
Klasse gehörigen Konvergenzbeweise der Herren v. Dalwigk^) und
Jordan^) aus.

§4.

Die Punktion d- {ii^ | Wg | • • • | tt^) .

Von den ^p{p + 1) Größen a , nehme man an, daß sie die im
VIII. Satz angegebene für die Konvergenz der Thetareihe notwendige
und hinreichende Bedingung erfüllen, nämlich daß die avis ihren
reellen Teilen r , gebildete quadratische Form

p p

eine negative sei; die Größen b betrachte man als unabhängige kom-
plexe Veränderliche und entsprechend den Wert der Reihe als Funktion
dieser Veränderlichen; die Größe e endlich setze man gleich Null.
Die so definierte Funktion wird Thetafunktion genannt und, indem
statt des Buchstabens h der Buchstabe u gewählt wird, mit
^ (% i ^^2 1 ■ " i ^O bezeichnet.

Die Thetafmiktion % {u^ I ^2 1 • • • i «*p) ist definiert durch die Gleichung:

p p p

I ^ ^ <^i, 1,'ni, , 7/1,1 -\-2 ^m,,u,,
00 , • • , -|- 00 ,^j .^j f'H fi n I ^^J /( fi

die p Größen u^, U2,---,u sind unahhängige Ttomplexe Veränderliche
und werden die Argumente der TJwtafunktion genannt; die iveiter vor-
kommenden -\ p {p + 1) Größen a^^, = a^,^ {(i, /i' = l,2,---,p) sind
an die im VIII. Satz angegebene Konvergenzbedingung geknüpft und
heißen die Modiden der TJietafunktion.

Die zweifach unendlichen Thetareihen haben ziemlich gleichzeitig
Göpel^) und Kosenhain^) aufgestellt und der Theorie der hyperellip-
tischen Funktionen erster Ordnung zu Grunde gelegt. Füi* beliebiges jj
wurden die Thetareihen von Weierstraß^) und Riemann^) aufgestellt,

1) V. Dalwigk, Beiträge zur Theorie etc. pag. 230.

2) Jordan, Cours d'analyse de l'Ecole polytechnique. Bd. 2. Paris 1894,
pag. 613.

3) Göpel, Theoriae transcendentium Abelianarum primi ordinis adumbratio
levis. J. für Math. Id. 35. 1847, pag. 277; auch deutsch in Ostwalds Klassikern
der exakten Wissenschaften Nr. 67.

4) Rosenhain, Memoire sur les fonctions etc. pag. 387.

5) Weierstraß, Beitrag zur Theorie der Abelschen Integrale. 1849. Math.
Werke Bd. 1. Berlin 1894, pag. 131.

6) Riemann, Theorie der Abelschen Funktionen 1857. Ges. math. Werke.
Leipzig 1876, pag. 120.

Definition. Eigenschaften. 23

doch war die Möglichkeit der Verallgemeinerung der zweifach unendlichen
Reihen auf beliebiges x) schon von Rosenhain ^) und Göpel ^) bemerkt
worden.

IX. Satz: Die durch die Gleichung (XVIII) definierte Tlietafmiktion
-O- (wi I Mg I • • • I Wp ) genügt der Gleichung:

(XIX)

p p \

h + ^ ^<'«i,.' + Ai^ri I • • • I u^ +^ x^,a^^, + l^Tti )

,u'=l fl'=l J

p p p

in der 'n^, ■ • ■, Zp, ^i,---,^p beliebige ganze Zahlen bezeichnen. Aus
dieser Gleichung gehen, indem man das eine Mal A, = 1, die übrigen
p — 1 Zahlen l und die p Zahlen y, gleich Null setzt, das andere Mal
;c,, = 1, die übrigen jJ — 1 Zahlen x und die p Zahlen X gleich Null
setzt, die speziellen Gleichungen

(XX) d- (ui \ ■•■\u^-\- zi\ ■■■ \Uj,) = ■» («1 1 • • • I ^v I • • • I ^p)f

(XXI) d- («<i + «1 , 1 • • • I Wp + «p.,) = ^{i*i\--'\up) e-''r^--"r,

(v=l,2,--,p)

hervor, aus denen man umgehehrt die Gleichung (XIX) wieder erzeugen
hann. In den 2p Gleichungen, ivelche aus den Formeln (XX), (XXI)
für v= 1, 2, •••, p hervorgehen, treten auf den linhen Seiten die
2p Größensysteme:

711, 0, • • •, 0 Cf-ii, «21, • • •, Clp.^

(XXII) ' ^^' "' ' '^l^' ^22? • ■ ■? ^P2

u, u, • • ■, m (f'ipj ^2Pf ' ' ■? '^pp

als Systeme gleichzeitiger Änderungen der Variablen u^, u^, ■ • •, Up auf.
Biese 2 p Systeme von je p Größen werden die 2p Systeme zusammen-
gehöriger Periodizitätsmodulcn der ThetnftinMion genannt. Äußer den
Gleichungen (XX), (XXI) genügt die Thefafunldion den ^p{p+V)
Differentialgleieh ungen :

V V V l'

bei denen n = 4 ist, tvenn v = v\ dagegen n = 2, wenn v > v.

1) Rosenhain, Auszug mehrerer Schreiben des Dr. Rosenhain an Herrn
Prof. Jacobi über die hyperelliptischen Transcenclenten. 1. Brief d. d. 3. IX.
1844. J. für Math. Bd. 40. 1850, pag. 327.

2) Göpel^ Theoriae transc. etc. pag. 280. Anm.

24 I- ^- Die Funktion ■9- («^ i ^2 i " ' ' i '*/') •

Beweis: Um die Riciitigkeit der Gleichung (XIX) zu zeigen, lasse
man in der Gleichung (XVIII), indem man unter x^, ■ ■ -, x^,
h) ■ ■ ■; K ganze Zahlen versteht, die Größen u^, • • •, u^ in die
Größen:

p p

(72) % + 2 x^. a, ^. + Ai ;r i, • • • , «^ + ^ y^f,a^„ + Ip^i

H'—X n'=l

übergehen; es geht dann der Exponent des allgemeinen Gliedes der
auf der rechten Seite stehenden unendlichen Reihe in

p p p / p \

P P P

(73) =22 %/'' (^^ + ">) (^^^"' + ^') + 2 ^ (^M + ^^) ^

i« = l |U'=1 y" = l

y p y p

über und man erhält zunächst, da für alle Werte der ganzen Zahlen

m und X:

p

(74) e "=' = 1
ist, die Gleichung:

p p p

(75) =e''=^^-i ''=^
p p p

2"

X

Beachtet mau nun, daß der Wert der in der letzten Zeile stehenden
Reihe sich nicht ändert, wenn man die Summationsbuchstaben w um
beliebige ganze Zahlen ändert, und läßt demzufolge für ii = 1,2,- ■•,p
m in m„ — X übergehen, so geht die genannte Reihe in die ursprüng-
liche die Funktion ■O- (u^ \ • •■ \ m^) definierende Reihe (XA'III) über, und
man erhält so für diese Funktion die zu beweisende Gleichung (XIX).
— Die Richtigkeit der Differentialgleichungen (XXIII) ergibt sich,

Eigenschaften. Bestimmung durch diese. 25

wenn man die verlangten Differentiationen an der die Thetafimktion
darstellenden Reihe gliedweise ausführt.

Die im IX. Satz niedergelegten Eigenschaften der Funktion
d- (hj^ I • • • \u) charakterisieren zusammen mit der Bedingung, daß die
Funktion einwertig und im Endlichen nirgendwo unstetig sei, diese
Funktion vollständig. Es gilt nämlich der

X. Satz: Erfüllt eine eimvertige und für alle endlichen u stetige
Funktion G^ (% | • • • ] w^) der komplexen Veränderlichen u.^,---,Up die
2p Gleichungen:

(XXIV) G{u,\...\u^. + ^i\...\u;)=GM.-: |t*,| ••• |w,),

(XXV) G {u, + «, J • • • ' Uj, + a^,,) = G (% \---\u^) e—rv-'^-r^

oder, ivas dasselbe sagt, hei heliehigen ganzzahligcn Werten der x, l die
Gleichung:

/ p p ■

^ ( "i + ^ ^''^'i,"' + Aj nr* I • • • I w^ + ^^^,%^, + ^p ni

(XXVI) ^ ''='

\ / p p p

-^ "="*■=' '=' c?(»j...|,g,

SO kann sie sich von der Funktion %■ {ii^ | • • • ' «*p) *^^*" ***^* einen von den
u unabhängigen Faktor unterscheiden; erfüllt sie außerdem die Ip (p + 1)
Differentialgleichungen :

^^^™) du du = '' Va ' ^'' "='' '' ■ ■ '^)

V V vv'

bei denen n = 4 ist, wenn v' = v; dagegen n = 2, ivenn v' > v, so ist
dieser Faktor auch von den Modulen a unabhängig.

Beiveis: Auf Grund der Gleichung (XXIV) ist die Funktion
G {ii^ ! • • • h<^) für alle endlichen Werte der u darstellbar durch die-
selbe nach positiven und negativen Potenzen der Größen e^"i, •••, e^^p
fortschreitende Reihe von der Form:

p

(76) GM-"\n;)= ^ Ä„.^...,„^e'-' ,

wobei die A von den u unabhängige Größen bedeuten.^) Führt man
diese Reihe an Stelle von G (i/j \ ■■■\Up) in die Gleichung (XXVI)
ein, so verwandelt sich die linke wie die rechte Seite derselben in
eine nach den ganzen Potenzen von e^"i, • • •, e^'^p fortschreitende

1) Vgl. Stahl, Th. d. Abelschen Funktionen, jjag. 199.

26 I- 4. Die Funktion & {u-^lu^l ■ ■ ■ | Up) .

Reihe, uud es ergibt sich, wenn man berücksichtigt, daß zwei solche
Reihen nur dann für alle Werte der ii einander gleich sein können,
wenn die Koeffizienten gleich hoher Potenzen der Größen e^"i, • • •, e^"p
beiderseits dieselben sind, für die Konstanten A die Beziehung:

p p

( < 0 -^m^JrX^ ■ ■ ■ mp-\-/.p = -^m^ • • ■ m^ (>

als notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Funktion
(r(%j •••!?«) der Gleichung (XXVI) genügt. Setzt man in (77)
m^ = • • • = m = 0 und ersetzt hierauf den Buchstaben x durch den
Buchstaben m, so erhält man die Gleichung:

(78) A.,...„ =A...o<!'="'='

P

in welcher die m beliebige ganze Zahlen vertreten, und aus welcher
wieder umgekehrt die Gleichung (77) erhalten werden kann. Führt
mau aber diesen Wert an Stelle von Ä,n^ . . . m in die rechte Seite der
Gleichung (76) ein, so erhält man:

p p p

(79) GM---\u^) = Ao...o ^ <^='''^'

oder endlich, indem man ^o- o kürzer mit A bezeichnet:

(80) G(u,\-..\u;) = A.^(u,\-.-\Up).

Damit ist bewiesen, daß die Funktion G^(% | • • • | m ), wenn sie den
Gleichungen (XXIV) und (XXV) genügt, sich von der Funktion
-9- (% I • • • j M ) nur um einen von den Argumenten u der Thetafunktion
unabhängigen Faktor unterscheidet.

Ersetzt man nun weiter auf der linken und rechten Seite der
Gleichung (XXVII) die Funktion G{u^\ • • • u) aus der Gleichung (80),
so erhält man, weil A von den u unabhängig ist, zunächst:

d^d-(u, I • • • I u„) p) 4 c^ (w, I • • • I wj

(81) A y' !>' ^ n ^ »{u,\ ■■• u) + nA ^-^ ^

^ -^ dti du ra ^ ^ ' \ p- ' ^ ^

r v' ■ j »' IV

und hieraus sofort unter Berücksichtigung der Gleichungen (XXIII):

(82) ^ = 0

VI'

Damit ist aber bewiesen, daß der Faktor A, wenn die Funktion
^ ('*i I ■ ■ ■ I ^^js) ^^n Gleichungen (XXVII) genügt, auch von den Mo-
dulen a der Thetafunktion unabhängig ist.

Eigenschaften. Nullpunkte. 27

Interpretiert man die reellen und imaginären Teile der Variablen
%j ■ ' ■; "p ^^^ rechtwinklige Punktkoordinaten in einem Räume von
2 p Dimensionen, so entspricht einem Größengebiete ^)
p p

(83) «i=^^V^i^ + ^i^^ •■•' % = ^^t^%ß + h'^^^

,U = 1 I« ^ 1

bei dem die Ä", Z die Werte

(84) ^,.^^V<^M + 1^ ^^^,.<.^. + 1, (.=vv .P)
wo die (j, h gegebene Konstanten sind, stetig durchlaufen, ein Parallelo-
top des Raumes. Läßt man ferner an Stelle der g, h alle möglichen
Systeme von 2j) ganzen Zahlen treten, so erhält man den ganzen
Raum in solche untereinander kongruente Parallelotope eingeteilt.
Nennt man das dem Wertesysteme 0^ = • • • = 9p = \ = ■ " =''*«= 0
entsprechende Parallelotop ITq, so entspricht einem jeden Punkte u^, • • •, u
in einem beliebigen dieser Parallelotope ein ihm „kongruenter" Punkt
u['^\ • • -, u^p^ in TIq, für welchen bei ganzzahligen x, A:

p p

(85) ^(l - t^f ) = ^ ic^^ a, ^, + Aj ;t i, • • • , Up - •<) = ^ x^^ a^^, + A^:t i

/( = 1 /( = 1

oder kürzer:

(86) Wi=m(ö), ^ ttp = <'

ist, und es kann der Wert der Thetafunktion im Punkte w^, • • •, ii
mit Hilfe der Formel (XIX) aus ihrem Werte im Punkte n f), • • •, -w^
berechnet werden. In diesem Sinne genügt es, den Werteverlauf der
der Funktion d-(ii^\ ••• \Up) in IIq zu untersuchen; insbesondere ver-
schwindet die Thetafunktion in einem Punkte ?<i, • • •, ii dann und
nur dann, wenn auch 9- (h|^' 1 • • • | wjf^O =" ^ i^^- ^^ ^^^^ ^i®^ ^i® Frage
nach der Anzahl jener Punkte in /7o beantwortet werden, welche
p Gleichungen:

d- {u, - e^i 1 • • • I Wp - e^p) = 0

(87) • ■ •

^ («*i - e^i I • • • ! «p - Cpp) = 0

genügen, in denen die e gegebene Konstanten bezeichnen, die natürlich
so gewählt seien, daß nicht aus dem Bestehen einer dieser p Glei-
chungen das Bestehen einer der übrigen folgt, d. h. so, daß keine
zwei der p Größensysteme e^^^, • • •, e^^^ (ju- = 1, 2, • • •, p) einander
kongruent sind.

Zunächst kann man die gestellte Frage für eine spezielle Art
von Thetafunktionen beantworten. Haben nämlich alle Thetamodulen
a^^,, bei denen fi>^' ist, den Wert Null, so zerfällt 0'(miJ ••• | w^)

1) Man vergleiche dazu den Anfang des folgenden Paragraphen und des
§ 1 des lY. Kapitels.

28 1-4. Die Funktion Q- (mj | «2 I ' ' ' I ^p) •

in das Produkt von ^9 Thetafunktionen je einer Veränderlichen, von
denen die fi^ als Argument u^^ und als Modul a^,^ besitzt. Das Glei-
chungensystem (87) aber hat dann nach dem IV. Satz p\ Lösungen,
welche durch die Kongruenzen:

% ^ ^ai + Y (^* + «11); «2 = «^2 + i (Jt« + »22^ • • ■,

geliefert werden, wenn man darin an Stelle Ton aß--Q der Reihe
nach die j)\ Permutationen der Zahlen 1, 2, • • •, p setzt.

Dieses Resultat gilt auch für allgemeine Thetafunktionen. Nach
Kronecker^) wird nämlich für p Gleichungen:

(89) /;(^ir--k,) = o, •••,/;,(.,;■. .:^^) = o

zwischen p komplexen Veränderlichen:

(90) 2i=x^-\- y^i, •■ ■, Zj, = Xj, + Vpi

die Anzahl der innerhalb einer geschlossenen Mannigfaltigkeit:

(91) F{x,\---\x^\y,\---\y,)-0

gelegenen Wurzeln z^, • • •, z^ durch ein über dieselbe erstrecktes
Integral geliefert. Läßt mau jetzt die Koeffizienten der Funktionen
/"i, • • •, /' sich stetig ändern, so kann sich auch der Wert des ge-
nannten Integrals nur stetig ändern; bleibt also, da er seiner Natur
nach immer ganzzahlig sein muß, ungeändert. Daraus schließt man,
daß die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems (87) für alle
Werte der Thetamodulen a,,^^- die gleiche ist; also stets p\ beträgt.
XI. Satz: Die p Gleichungen:

d- («1 - eil I «2 - 612 1 • • • : ^^ - ßi^) = ö;
(XXVIII) ^ ^^^^ ~ ^'^ "' - ^22 ! • • • I w^ - e^p) = 0,

^ («1 - Cpi I ^2 - e^2 1 • • • i ^p - ^p^ = Ö
haben p! inkongruente Lösungen hei gegebenen Werten der Konstanten e.

Der XL Satz rührt von Poincare^) her. Für die Summe der j;! Lö-
sungen (88) erhält man, da ^2^1 stets eine ganze Zahl ist:

p p

(92) 2u, = ip-iy.^c^„ ■■■, ^% = {p--^y-^<^,p\

f.i=\ ,«=1

auch diese Kongmenzen bleiben, wie Poincare^) gezeigt hat, für allgemeine
Thetafunktionen richtig.

1) Kronecker, Über Systeme von Functionen melirer Variabein. Berl.
Ber. 1869, pag. 159.

2) Poincare, Sur les fonctions abeliennes. C. R. Bd. 92. 1881, pag. 9.58
und: Sur les fonctions 0. Bull. S. M. F. Bd. 11. 1883, pag. 129.

3) Poincare, Sur les fonctions abeliennes. Am. J. Bd. 8. 1886, pag. 289.

Einführung der Charakteristiken. 29

§5.
Einführung der Charakteristiken. Die Funktion ^K |((m)).

Aus den oben angeschriebenen 2 p Systemen korrespondierender
Periodizitätsmodulen (XXII) der Thetafunktion läßt sich mit Hilfe
reeller Größen (/^, ' ' '> 9pj ^h> ' ' '■> ^'o ^^^ jedes beliebige System von
p Größen q, • • •, c^ immer und nur auf eine Weise in der Form:
p p

(93) Ci =^ ^„«i„ + h,ni, ■ • ■, Cp^^g^^a^^^ + h^^i

linear zusammensetzen. Bezeichnet man nämlich den reellen Teil von
«j,^, wie schon früher mit *\,,,, den lateralen mit s^ J, den reellen
Teil von c,, mit l\,, den lateralen mit l^/l und trennt alsdann in den
Gleichungen (93) die reellen und lateralen Teile, so erhält man die
zwei Systeme von je p in Bezug auf die Größen (/, h linearen Glei-
chungen :

p p

(94) 2^.-^'hu = ^1' • • •' 2^f'^p." = h'

p p

von denen das erste, weil die Determinante 'S^ r,,no • ■ ■ r , wie in
§ 2 gezeigt wurde, stets von Null verschieden ist, die 2^ Größen g ein-
deutig bestimmt, und hierauf das zweite, nachdem man darin an Stelle
der g die gefundenen Werte eingesetzt hat, die zugehörigen Werte

der h liefert. Der Komplex r^ ^^j der 2p so bestimmten reellen

Größen g, h soll die PeriodencJiarakteristik des Größensystems q , • • • , c
genannt werden.

In die zu Anfang des § 2 aufgestellte p-fach unendliche Theta-
reihe (32) führe man jetzt an Stelle der Größen 6^, • • •, & die Größen
^^1 + Ci, • • •, Up + Cp ein, indem man unter u^, • • •, u^ unabhängige
komplexe Veränderliche, unter q, • • •, c^ willkürliche komplexe Kon-
stanten versteht. Bringt man dann das Konstantensystem c^, • • •, c
in der soeben angegebenen Weise mit Hilfe reeller Größen f/, h in
die Gestalt (93) und setzt gleichzeitig an Stelle der im allgemeinen
Gliede der Thetareihe noch vorkommenden Größe c den Ausdruck:

p p p

(96) ^ = 22 %f^''^f^'^^^' + '^2j9u {% + \^i),

so wird der Exponent (31) des allgemeinen Gliedes von (32):

30 I- 5. Einführung der Charakteristiken. Die Funktion ■9' f {{u} .
p p p

;U = 1 ,«'=1 ,«=1

P P P / P \

/( = 1 ,«'=1 ." = 1

und es entsteht eine neue einwertige und für alle endlichen u stetige
Funktion der komplexen Veränderlichen u^, ■ ■ •, u^, die gleichfalls

TJietafunUion genannt und mit -9- K^ ^p\ (Mi ! • • • , u^) bezeichnet
werden soll.

Die Tlietafunktion ^f T?^ ! f^l ("i I * ' ' h*p) ^^^ definiert durch die
Gleichung:

(XXIX) p p p

Diese Funktion ist ihrer Entstehung gemäß mit der unter (XVIII) ein-
geführten Funktion ^(ui\ •■■ \u) verknüpft durch die Gleichung :

(XXX) = ^ ( Wi + 2^^^''ku + h^i\---\% + 2^/^.- + ^'p""' )

p p p

U = 1 1, = 1

X e

und geht, werni die Größen g, h sämtlich den Wert Null annehmen,
in dieselbe über, d. h. es ist:

(XXXI) ^[o:::o]K!•••'^)=^Kl•••l^)•

Der Komplex \j^ ^p\ der 2p beliebigen reellen Größen g^, ■ • ■, gp,

\, •••, hp heißt die Charakteristik der Thetafunktion; g^, •■■, g^ heißen
die oberen, \, ■ ■ ■, h^ die unteren Elemente der Charakteristik.

Definition. Eigenschaften. 31

Die Charakteristik k^ ^p soll, wenn dadurch kein Mißver-
ständnis zu befürchten ist, zur Abkürzung mit ^ L und entsprechend
soll die Charakteristik f" ?^ ~ M mit [~ y , die Charakteristik
[l "l] mit [^], die Charakteristik [q'.' .' .' q^] mit [^^ endlich
die Charakteristik mit bezeichnet werden. Die Charak-

teristik r? tf' "f^tS'^n soll die Summe, die Charakteristik
[f Z r' h''- }/] ^'® Differenz der Charakteristiken [^] und [^,']
genannt werden ; zur Abkürzung soll die erstere mit ) , r L ^^^

letztere mit \^ y bezeichnet werden. In den Fällen, wo die Argu-
mente der Thetafunktion sich nur durch untere Indices unterscheiden,
möge es erlaubt sein, hinter dem Fuuktionszeichen nur den allgemeinen
Ausdruck für die Argumente mit Weglassung des Index in doppelten

Klammern zu schreiben, also ^\j\ ((m)) statt ■^ K (m J • • • j w^,) ; im

Anschlüsse daran möge dann das Größensystem %!•••] u^ einfacher
mit (u) und ein System «<i + c^ j • • • | m^ -f- c^ mit (ii + c) oder, wenn

(f^ 11 ^^^ Periodencharakteristik des Größensystems q, • • •, r^ ist,

mit (u -[- I ^ 1 ) bezeichnet werden. Das Vorhandensein der Modulen a
in der die Thetafunktion darstellenden Reihe soll nur dann und zwar
in der Form -O" f ((«t))a ^^i ^^i' Bezeichnung der Funktion zum Aus-
druck gebracht werden, wenn gleichzeitig Funktionen mit verschie-
denen Modulsystemen betrachtet werden.

Die Fimktionen &\ , ((«)), deren Charakteristiken demente ^, // belie-
bige reelle Größen sind, wurden von Herrn Prym^) in der zweiten der
fünf unter dem Titel: Untersuchimgen über die Riemannsche Thetaformel
und die Riemannsche Charakteristikentheorie vereinigten Abhandlungen
zuerst aufgestellt. Nur in der Bezeichnung von ihnen verschieden sind
die Weierstraßschen Funktionen @ {ii^ ••• u \ ft, v), welche Herr
Schottky^) im Anfange seines Abrisses einer Theorie der Abelschen
Funktionen von drei VariabeLn einführt.

1) Prym, Untersuchungen über die Riemannsche Thetaformel und die
Riemannsche Charakteristikentheorie. Leipzig 1882, pag. 25.

2) Schottky, Abriß einer Theorie der Abelschen Funktionen von di-ei
Variabein. Leipzig 1880, pag. 1.

32 I. 5. Einführung der Charakteriatiken. Die Funktion ■& ^ ((w) .

Aus der am Anfange dieses Artikels angestellten Untersuchung erhellt

zugleich, daß man keine allgemeineren Funktionen 'ö' , i[iij) erzielt, wenn

man für die Charakteristikenelemente </, h auch komplexe Werte zuläßt. •'^)
Da übrigens im ganzen ersten Teile davon kein Gebrauch gemacht wird,
daß die Größen ^, Ji reell sind, so bleiben die dort abgeleiteten Fonneln
auch dann richtig, wenn man diesen Größen irgend welche komplexe
Werte erteilt.

XII. Satz: Die durch die Gleichung (XXIX) definierte Theta-
funktion -^ f ([u} genügt der Gleichung :

*K]((«+{n))

(XXXII) p p p p

in der x^, • • •, x , X^, • • ■, X^ heliebige ganze Zahlen bezeichnen. Aus
dieser Gleichung gehen, indem man das eine 3Ial X^ = 1, die übrigen
2) — 1 Zahlen X und die p Zahlen x gleich Nidl setzt, das andere Mal
X,, = 1 , die übrigen p — 1 Zahlen x und die p Zahlen X gleich Null
setzt, die speziellen Gleichungen:

(xxxni)

9p ni

'K](%|---|wJ---|^)e

(v = l,2, • ,?)

(XXXIV)

hervor, aus denen man umgekehrt die Gleichung (XXXII) tvieder er-
zeugen kann. Außerdem genügt die Funktion Q'\ ^ ((w)) den ^p {p -\-^)
Differentialgleichungen :

(XXXV) . -^^ ==n-^ , (v,.'=i,2,-..,p)

^ ^ du du , da , '

V V vv

hei denen w = 4 ist, ivenn v = v; dagegen n = 2, wenn v ^ v.

Beiveis: Um die Richtigkeit der Gleichung (XXXII) zu zeigen,
lasse man in der Gleichung (XXIX), indem man unter x^, • • •, x^,

1) Wie Craig, On Theta-functiona with complex cbaracteristics. Am. J.
Bd. 6. 1884, pag. 337.

Eigenschaften. 33

hf • ■ ■> ^p ganze Zahlen verstellt, die Größen v^, ■ • •, u in die
Größen :

p p

(98) H, + ^yc^,a,^, + X,7ti, ■ ■ ■, u^ + ^^,,%^, + IpTti

fi'=i ,(('=1

übergehen; es geht dann der Exponent des allgemeinen Gliedes der
auf der rechten Seite stehenden unendlichen Reihe in:

p p

2 2 ^/'."' (''^," + •^,") ('^^'' + ^,"')

p / p \

,"=1 \ ,i''=i /

(99) ^ ^

= Zj 2j ^*",«' ("*," + ^,« + ^') (^'^y + ^/'' + ^'')

p p

+ 2 2 (m, + ^, + X J (h,, + /.„ ^0 + 2 ^ w^A,, %i

p p p p

-22 %."'Vf'' -^2 Vf +^2 (^,'' '^," ~ ""f ^') "^^

über, und man erhält zunächst, da für alle Werte der ganzen Zahlen
m und A

p

(100) e"=' =1

ist, die Gleichung:

p p p p

(101) i) p p

'"1. ■■,'";,

Beachtet man nun, daß der Wert der in der letzten Zeile stehenden
Reihe sich nicht ändert, wenn man die Summationsbuchstaben m um
beliebige ganze Zahlen ändert, und läßt demzufolge für ^ = 1, 2, • • •, ^
m^^ in ni^^ — x^^ übergehen, so geht die genannte Reihe in die ursj)rüng-

liche, die Funktion -O-rnfM)) definierende Reihe (XXIX) über, und

man erhält so für diese Funktion die zu beweisende Gleichung (XXXII).
— Die Richtigkeit der Differentialgleichungen (XXXV) ergibt sich,

Krazor, Thetafunktionen. 3

34 I- 5- Einführung der Charakteristiken. Die Funktion ■9' K ((«)) ■

wenn man die verlangten Differentiationen an der die Thetafunktion
darstellenden Reihe gliedweise ausführt.

Die im XII. Satz niedergelegten Eigenschaften der Funktion

'O'K |((m)) charakterisieren zusammen mit der Bedingung, daß die

Funktion einwertig und im Endlichen nirgendwo unstetig sei, diese
Funktion vollständig. Es gilt nämlich der

XIII. Satz: Erfüllt eine einwertige und für alle endlichen u stetige
Fmiktion Glii]) der Txomplexen Veränderlichen u^, • ■ ■, u^ die 2p Glei-
chungen :

(XXXVI) G{u, I . . . I M, + ;r^- 1 • • • , ^g = G{u, | • • • | wj • . • | u^te'^r-',

(XXXVII) G{u,-i-a,,\'--\u^ + a^^) = G^(m, | .•• :w^)e-vv-2".-2^,-,

(v = 1, 2, ■ ■ ■ , ;>)

oder, ivas dasselbe sagt, hei beliebigen ganzzahligen x, X die Gleichung:

«((«+{1)))

(XXXVIII) p p p p

= e /'=w<=i ,«=1 M=i G^l^l^

so liann sie sich von der Funktion ^\j\ ((w)) nur um einen von den u

unabhängigen Faktor unterscheiden; e) füllt sie außerdem die ^p(ji -\- 1)
Differentialgleichungen :

(XXXIX) |!^.„^), ,„..■=., v.„,

., ., O '^

bei denen n = 4 ist, tvenn v' = v; dagegen w = 2, ivenn v'^ v, so ist
dieser Faktor auch von den Modulen a unabhängig.

Der Beweis kann wie der des X. Satzes durchgeführt werden,
nachdem man durch die Gleichung (107) des nächsten Paragi-aphen aus
der Funktion (t((w)) eine Hilfsfunktion -fff?«)) abgeleitet hat.

Es sollen jetzt noch einige Formeln aufgestellt werden, die bei
Untersuchungen über Thetafunktiouen häufig als Hilfsformeln zur
Anwendung kommen.

XIV. Satz: Bezeichnen g^, • • •, g^, \', • • •, h^ irgend welche
reelle Konstanten, x^, • • -, jc^, X^, • • •, X^ irgend welche ganze Zahlen,
so gelten die Formeln:

(XL) *K]((« + I?:i))

P P P

Eigenschaften. Hilfsformeln. 35

p

(XLi) ^ß+3w=^K]w^''='

(XLii) ^ß](-^'i; ••• !- V = ^'>[ZgKI ••• i^p).

In Bezug auf die Ableitung dieser Formeln mag das Folgende
bemerkt werden. Die Richtigkeit der Formel (XL) wird am ein-
fachsten erkannt, wenn man die beiden in ihr vorkommenden Theta-
funktionen durch die ihnen entsprechenden unendlichen Reihen ersetzt;
ohne Mühe kann man dann das allgemeine Glied der an Stelle der
linken Seite getretenen Reihe in das allgemeine Glied der an Stelle
der rechten Seite getretenen überführen.^) Um die Formel (XLI) zu

erhalten, braucht man nur '^ f (('< + j )) das eine Mal auf Grund

der Formel (XL) durch -ö- k 1] N ((m)), das andere Mal auf Grund der

Formel (XXXII) durch ^\j\ ([u} auszudrücken und die beiden so er-
haltenen Ausdrücke einander gleich zu setzen. Um endlich die
Formel (XLII) zu erhalten, beachte man, daß der Wert der die

Funktion ^\j\ ((m)) definierenden Reihe sich nicht ändert, wenn man

im allgemeinen Gliede derselben einige der Zahlen 7n oder auch alle
mit Minuszeichen versieht. Ersetzt man aber w^, • • •, m durch
— w«i, • • •, — iHp, so ergibt sich zunächst die Gleichung:

(102) ^ß](%|•••i^g = ^[Ig(-^*J•••|-^g,

und aus dieser dann, wenn man das System (u) durch (— u) ersetzt, die
Formel (XLII). Aus (XLII) folgt insbesondere für ^^i = • • • = 5L =- /ii = • • •
= hp = 0 die Gleichung:

(103) ^(-^*il---l-^) = ^KI---!^),

welche zeigt, daß die Funktion 0'(m^| •••!%) eine gerade Funktion
ihres Argumentensystemes («t) ist.^) Ersetzt man im allgemeinen
Gliede der Reihe (XVIII) nur einen Teil der Summationsbuchstaben,
etwa indem man mit q eine Zahl <p versteht, w^, • • •, m durch

1) Eine Ableitung der Formel (XL) gibt Cayley, On a theorem relating
to the multiple Thetafunctions. Math. Ann. Bd. 17. 1880, pag. 115.

2) Wann eine Funktion -^^ f ((«), bei der nicht alle Zahlen g, h den

Wert Null haben, eine gerade oder ungerade Funktion des Argumentensystems
(ti) ist, wird erst im siebenten Kapitel erörtert.

3*

36 I. 6. Thetafunktionen höherer Ordnung.

— Oiii, •■■, — m,^, läßt dagegen die übrigen, w^ + i, • • •, w^, un-
geändert, so erhält man die Gleichung:

(104) -^(-«li •••I-wJw^+il ••• \uX = ^M-'-\%\%+A •'• \%\,

bei der die Modulen &^^,,, durch die Gleichungen:

(105) K, = a^,, K,^ = -a,^., \,. = a^,^. i^:;,Z)l,-,'l,^...,,)

bestimmt sind.

Eine Charakteristik, deren Elemente den Bedingungen 0<^^<1,
0 ^ /i^ < 1 {v=\,'2, •■•,p) genügen, soll eine Normalcharakteristik

genannt werden. Zwei Charakteristiken ^ und K , sollen kongruent

genannt werden, wenn ihre entsprechenden Elemente sich nur um
ganze Zahlen unterscheiden. Nennt man dann zwei Funktionen

-9' K ((w)) und ^\j> Hu} nicht ivesentlich verschieden, wenn sie sich

nur um einen konstanten Faktor untei'scheiden, so sind die Charakte-
ristiken zweier nicht wesentlich verschiedener Funktionen, wie die
Formeln (XXIII), (XXXIV) zeigen, notwendig einander kongruent
und umgekehrt sind, wie die Formel (XLI) zeigt, die zu zwei kon-
gruenten Charakteristiken gehörigen Thetafunktionen nicht wesentlich
verschieden.

§6.

Thetafunktionen höherer Ordnung.

Es soll die allgemeinste einwertige und für endliclie Werte der
Argumente stetige Funktion G{u^\--- j u^ der komplexen Veränderlichen
^i> ' ' ') % gefunden werden, die für alle Werte der u und hei he-
liehigen ganzzahligen Werten der Größen '^i, • • ■, ^p, ^i, • ■ •, ^p ^ß^'
Gleichung:

(106) '^((" + 1"!))

p p p p

— " ^ ^ a„ „. z„ z„. - 2 n ^ y.,^ u„ + 2 ^ {?-„ S,< " "fi *,«) « '

in der n eine gegebene positive ganze Zahl, die g, h gegebene Kon-
stanten bezeichnen, genügt.

Versteht man unter G{u]) eine der gestellten Bedingung ge-
nügende Funktion und setzt dann:

p

(107) mWi^e ■"=^ Giu)),

Einführung. 37

SO ist IT([ii} ebenfalls eine einwertige und für endliche u stetige
Funktion der komplexen Veränderlichen u^, • • -, u^, die bei beliebigen
ganzen Zahlen x, X der Gleichung:

(108) ^(("+1:11

p p p p / p

= e ^ = '^'=' ^' = ^ '' = ^ ^•"'=^ xiiu))

genügt. Setzt man in dieser Gleichung A,, = 1, die übrigen p — 1
Zahlen A und die /j Zahlen x gleich Null, so geht daraus die Glei-
chung:
(109) E Cii, \--'\u^.-{-7ti\---\Up) = H(ii^\--'\uJ---\Up)

hervor, aus welcher folgt, daß die Funktion -ff ((w)) für alle endlichen Werte
der u darstellbar ist durch dieselbe nach positiven und negativen Potenzen
der Größen e "^, • • -, e "^' fortschreitenden Reihe von der Form:

p

(110) Hiu}= V Ä

^1 ""'"1 ■ ■ ■ '"p^

i"=i

p

wobei die Ä von den u unabhängige Größen bedeuten. Führt man
diese Reihe an Stelle von II{{u^ in die Gleichung (108) ein, so ver-
wandelt sich sowohl die linke wie die rechte Seite derselben in eine
nach den ganzen Potenzen von e "^, • • •, e "^' fortschreitende Reihe,
und es ergibt sich, wenn man berücksichtigt, daß zwei solche Reihen
nur dann für alle Werte der n einander gleich sein können, wenn
die Koeffizienten gleich hoher Potenzen der Größen e "\ • • •, e "p
beiderseits dieselben sind, für die Konstanten Ä die Beziehung:

A

■^iny +n/.i ■ ■ ■ mp + nxp

(111) P P P P P

« ^ ^ «;« M' '^^ ''.«' + ^ ^ 2 "Z' /"' "-" ^ V +"*/«') + 2 ^ ^,« ''^i "■ '

als notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Funktion
B.\u)] der Gleichung (108) genügt. Ersetzt man noch in der letzten
Formel die Buchstaben m durch die Buchstaben v und die Buch-
staben % durch die Buchstaben m', so erhält man die Formel:

A <

in^ w + 1 -^ • •• lUp n + Vp
(11^) p p P P P

j /ii = l,u'=l' /n = l^i' = l n = l

'1 '/j

in welcher die m' und v beliebige ganze Zahlen vertreten.

I. 6. Thetafunktionen höherer Ordnung.

Man nehme nun die aus den Gleichungen (107) und (HO) sich

ergebende Gleichung:

p

2 ^K,+9,,)V

(113)

GW.

• X , • ■ , -f- 00

rii-i , ■ ■ ,ni^

und denke sich darin die ganzen Zahlen %, • • •, w^ in die Form:

(114) >% == tn^'n + Vj, • • •, m^ = m^n + v^

gebracht, wobei v-^, ■■■, v^ die kleinsten positiven Reste von m^, ■ ■ ■, m^
inbezug auf den Modul n bezeichnen sollen, die 7n also ganze Zahlen
sind. Es nimmt dann allgemein m alle ganzzahligen Werte von — oo
bis -\- oo und zwar jeden nur einmal an, wenn man für v^^ der
Reihe nach die Zahlen 0, 1, • • •, w — 1 setzt und dabei jedesmal
m ' die Reihe der ganzen Zahlen von — oo bis + oo durchlaufen
läßt. Auf diese Weise erhält man zunächst:

0,3, ■,/i-l -x^^4-a= 2 " ^ V"/'' + ^^V^) >

(115) Giu))=^

y, m/n + ri

^i=\

mi ,• ,111,

Führt man hier auf der rechten Seite an Stelle von ^^'„,,„ „, %4.,.
den vorher aufgestellten Ausdruck (112) ein, setzt zur Abkürzung:

p p , p

(116)C„,^.,-4,.-,/ """■="

und beachtet, daß (7 , von den Summationsbuchstaben m' voll-

' '1 ■ ■ ■ V

ständig unabhängig ist und demnach vor die betreffenden Summen-
zeichen gestellt werden kann, so erhält man weiter:

0,1, ■, w — 1

(117) .'ir:>

ii'->.{.v+'4^')('";'+'-4^)+.'i(";+'4^)'".+v''''

n=i

und schließlich, indem man berücksichtigt, daß die zweite 2>-fach un-
endliche Summe eine Thetafunktion mit den Argumenten nu , den

'^ + ^'

Modulen na , und der Charakteristik

(118)

G(H

0, 1, ■■,« — 1

a,

h

ist:

[nu]

Einführung. Definition.

39

Eine jede der nP auf der rechten Seite der letzten Gleichung
vorkommenden Thetafunktionen ist, wie aus der Gleichung (XXXII)
folgt, eine partikuläre Lösung der für die Funktion G^((w)) aufgestellten
Bedingungsgleichung (106), und es stellt daher der für G([u]) ge-
fundene Ausdruck die gewünschte allgemeinste Lösung dar, wenn man
unter den C willkürliche Konstanten versteht

'9 + ^

Berücksichtigt man

noch, daß die n^^ Funktionen ■O-

((wm))„^, wie ein Blick auf die

sie darstellenden Reihen zeigt, linearunabhängig sind, so folgt weiter,
daß man die Anzahl ti^ der im allgemeinsten Ausdruck für G([u]j vor-
kommenden willkürlichen Konstanten C niemals durch eine Umformung
des Ausdrucks auf eine geringere reduzieren kann.

Eine einwertige und für endliche u stetige Funktion der kom-
plexen Veränderlichen u^, • • •, u , welche für alle Werte der u der
Gleichung (106) genügt, wird eine Thetafunktion n}^^ Ordnung mit

der Charakteristik k genannt und mit 0„ f ((?<)) bezeichnet.

Thetafmiktion «**''" Ordnung mit der Charakteristik , heißt jede

einwertige und für alle endlichen u stetige Funktion 0„k |((it)) der

komplexen Veränderlichen u^, • • •, w^, welche für alle Werte der u den
2p Gleichungen:

(XLÜI) e„[(\(u,\.-.\u^-^ni\...\u^) = Q„ g] W e''^''' ,
CXLIV) 0„ g](^l, + a, J • . • ; ^^, + a,.) = 0„ g]((4 e-""-" ^""^

{v = l,2,--,p)

oder, ivas dasselbe sagt, hei heliehigen ganzmhligen x, k der Gleichung:
(XLY) Ö.ß]((« + {n))

P P P P

- " ^ ^y^' X/ii V — 2 » ^ ;<^< «^j -J- 2 ^ i?.^ 0^ — y.^ A^J n i

= 0„[g((4e ''=^'"'=^
genügt.

Spezielle solche Funktionen 0„ ? ((m)) sind z. B., wenn unter den
(), 6 beliebige ganze Zahlen verstanden werden, die Funktionen:

(119) %

'y + Q'

I»*4«a. ^

9

7t+ G

^ + el

<>*L>

^n

n

7t-f ff

n

»^

w«

Aus dem oben gefundenen Resultate (118) ergeben sich die folgenden
fundamentalen Sätze:

40 I. 6- Thetafunktionen höherer Ordnung.

XV. Satz: Die allgemeinste Thetafmiktion »i*" Ordnung mit der
Charakter istili k wird durch die Gleichung :

''■1 ■■ ''■p

'9 + ^'

[nu]

' "'P

0, 1, ■ ■,« — 1

(XLvr) e,g]((4= 2

dargestellt, wenn man unter den C.^^....^ von den Variahlcn m^,
iinahhängige, im übrigen aber vollständig ivillkürlich wählbare Großen
versteht.

XVI. Satz: Es gibt unendlich viele ThetafunTitionen w**' Ordnung

mit gegebener Giarakteristih k ; sie lassen sich aber edle durch nP

Ihiearunabhängige unter ihnen, z. B. durch die nP Funktiotien

(XLVII)

-9-

i^ii^ha

(yi,-,y.j,=o,i,-,n — i)

linear und homogen mit Koeffizienten, welche die Variablen u nicht
enthcdten, zusammensetzen.

XVn. Satz: Zivischen tiP -\- 1 TJietafunhtionen m**"" Ordnung mit
der nämlichen Charakteristik , findet stets eine homogene lineare Re-
lation statt, deren Koeffizienten von den Variablen u frei siml

Thetafunktionen höherer Ordnung wm-den zuerst von Her mit e^)
eingefühi-t. Die obige Darstellung der allgemeinen Funktion ©„ f ([u]j

durch die n^ speziellen d-

'9-\-^'

0,1,

1)

ist von HeiTn Prym^) angegeben worden. Auf anderem Wege gelangte
Hen- Schottky^) zu einer Darstellung der Funktion ©„^ ((w)) durch die

nP speziellen Ftmktionen Q'

9

li-\-X

'i ^p

0, 1,

n — 1 ).

1) Hermite, Sur la theorie de la transformation des fonctions Abeliennes.
0 R. Bd. 40. 1855, pag. 366 und Extraits de deux lettres de Charles Hei-mite
ä C. G. J. Jacobi. 2. Brief d. d. August 1844. Jacobis ges. Werke Bd. 2.
Berlin 1882, pag. 96.

2) Prym, Unters, ü. d. Riemannsche Thetaf. etc., pag. 28; vergl. dazu
Hermite, a. a. 0. C. R. Bd. 40, pag. 428 und Jacobis Ges. Werke Bd. 2, pag. 102
und Thomae, Die allgemeine Transformation der G- Funktionen mit beliebig
vielen Variabein. Inaug.-Diss. Göttingen 1864, pag. 7.

3) Schottky, Abr. e. Th. d. Abelschen Funkt, etc., pag. 5; vergl. dazu
Hermite, Übersicht der Theorie der elliptischen Funktionen; deutsch von
Natani. Berlin 1863, pag. 26.

Anzahl der linearunabhängigen Funktion 0,,. 41

Aus der Darstellung (XL VI) folgt unter Anwendung der Formel
(XL) für beliebige reelle Größen g', h':

0,1, ••,» — ! n^ _|_ »,^'_|_ x'

(120) 0„ß]((«+(f:ii=e. 2' f^.-../

H,

n
h-\-nh'

(nu).

wo zur Abkürzung:

p p p

(121) ^ = - n^ ^a,,^,g^^g;, - 2 ^ y^^(nu^^ + h^^%i + tir^ti)

,«=1 |(('=i ."=1

gesetzt ist. Man sieht daraus, daß mau wie bei den gewöhnlichen
Thetafunktionen so auch bei den Thetafunktionen höherer Ordnung

die Funktionen mit beliebiger Charakteristik k durch die Funktionen

mit der Charakteristik \ ausdrücken kann. Dies gestattet bei der

jetzt folgenden Untersuchung sich auf Thetafunktionen n^^^ Ordnung

mit der Charakteristik L welche kurz mit 0„((m)) bezeichnet werden,

zu beschränken.

Indem man die Untersuchung mit dem Falle p = 1 beginnt,
handelt es sich in Analogie mit der am Ende des § 1 angestellten
Untersuchung um die Nullpunkte einer Funktion 0„(h). Die Anzahl
der Nullpunkte der Funktion Q„{u) im Parallelogramme Uq und die
Summe dieser Nullpunkte werden durch die Integrale
+ +

(122) J, = ^l-fdlogQ„(u), J. = ^^J^'^^'logÖ.W

n ho

geliefert. Infolge der Gleichungen (XLIII) und (XLIV) erhält man
aber für diese Integrale ohne Mühe die Werte:

(123) J, = n, J, = -|(.Ti + a)

und hat damit das Resultat, daß jede Funktion 0„(m) in n Punkten
des Parallelogramms ITq verschwindet, und daß die Summe dieser

n Punkte -^ (^i -\- «) beträgt; so verschwindet z. B. die Funktion

^■(7111)^^ in den n Punkten:

(124) u = -^a'] ^^^>- iX=o,i,---,n-i)

Für den Fall j? > 1 wird in Verallgemeinerung der am Ende
des § 4 angestellten Untersuchung nach den im Parallelotop 77q ge-
legenen Lösungen eines Gleichungensystems:

42 I- 6- Thetafunktionen höherer Ordnung.

©w, (^1 - ^11 «2 - «12 i • • • i % - ^ip) = 0>

(125) ®"^ *^"^ ~ ^2^ «2 - «22 ' • • • I «*;, - «2p) = ^'
0.^(^<1 - «^1 : «2 - «p2 i • • • 1 Wp - ^pp) = 0

gefragt. Um die Anzahl die.ser Lösungen zu bestimmen, denke man
sich die Thetafunktionen höherer Ordnung sämtlich auf Grund der
Formel (XL VI) durch gewöhnliche Thetafimktionen dargestellt. Die
Anzahl der Lösungen des entstehenden Gleichungensystems bleibt dann,
nach dem in § 4 Bemerkten ungeändert, wenn man die in den Dar-
stellungen (XL VI) auftretenden Größen C stetig ändert. Indem
man aber jedesmal alle Größen C bis auf die erste Null werden läßt,
erhält man das Resultat, daß die Anzahl der Lösungen des Glei-
chungensystems (125) die gleiche ist, wie die Anzahl der Lösungen
des spezielleren Gleichangensystems:

^(«iMi - WiCii «iMg - ^«1612 ! • • • j WiMp - n^e^X^a = 0,

(126) '^'^"äWl - »»2«21 I W2W2 - »«2«22 ! • • • i ^h% - *^2«2j,ka = 0;

Um die Anzahl dieser Lösungen zu bestimmen, lasse man aber alle
Thetamodulen «„,,,, bei denen ^^fi' ist, NuU werden. Es zerfällt
dann jede der ^; Thetafunktionen in das Produkt von }) Thetafunk-
tionen je einer Veränderhchen und das Gleichungen System (126) hat
den Gleichungen (124) entsprechend die n^n^ • • • n • p\ Lösungen:

Wl-«al + f + ^^^^ ^*2 = «.2 + -f + -t^^^ •••,

p

wobei an Stelle von aß ■ •• q der Reihe nach die p ! Permutationen
der Zahlen 1, 2, • ■ -, p zu setzen sind, und X^ für ^ = 1,2, • ■ -, p die
Zahlen 0, 1, • • •, n^^— 1 durchläuft. Man hat so den

XVIII. Satz: Die p Gleichungen:

^n, (^1 - «11 I «2 - «12 I • • • h*p - «Ip) = 0,

(XTiVTTT) "» ^^'"^ ~ «21 I ^2 ~ «22 r ■ ■ I **p ~ «2 p) = '-'>

\{^X - «pl I «'2 - «p2 I • • • h*p - «pp) = 0,

hei denen 0„ {[u\ 0^ ((m)), • • •, 0„ ((m)) beliebige ThetafunJctionen von den
Ordnungen n^, n^, • • ■, n bezeichnen, die e aber gegebene Konstanten
sind, haben

Gleichzeitiges Verschwinden von p Funktionen 0. 43

(IL) N = n^n^ •■■ n^- p\

inkongruente Lösungen.

Der Satz XVin ist zuerst von Herrn Poincare^) angegeben und
auf die obige Art bewiesen worden; auf anderem Wego ist zu diesem
Satze Herr Wirtinger ^) gelangt. Für die Summe der iV Lösungen (127)
ergibt sich:

^ u, = n^n^ ■ ■ ■ np{p - 1)! ^

(128)

p

^ Up = Wi «2 • ■ • ^^piP - 1) ! ^ Cf.p-,

/u = l

Herr Wirtinger zeigt, daß diese Kongruenzen auch für das allgemeine
Gleichungensystem (XLVHI) giltig sind.

Die Frage nach geraden und ungeraden Thetafunktionen höherer
Ordnung wird im siebenten Kapitel erörtert.

1) Poincarö, Sur les fonctions 0. Bull. S. M. F. Bd. 11. 1883, pag. 129.

2) Wirtinger, Zur Theorie der allgemeinen Thetafunktionen. Wiener
Anz. Bd. 32. 1895, pag. 58; und: Zur Theorie der 2 w- fach periodischen Funk-
tionen. (2. Abhandlung). Monatsh. f. Math. Bd. 7. 1896, pag. 1.

Zweites Kapitel.

Über ein allgemeines Prinzip der Umformung
unendlicher, insbesondere mehrfach unendlicher
Reihen und dessen Anwendung auf Thetareihen.

§ !•

Umformung unendlicher Reihen

durch Einführung neuer Summationsbuchstaben

vermittelst einer linearen Substitution.

Es sei gegeben eine 5 -fach unendliche absolut konvergente Reihe
(1) F= 2 f{^n,\...\m^),

deren allgemeines Glied f{m-^^ \"'\ ^O ^^ übrigen eine beliebige
Funktion der Summationsbuchstaben m^, • • -, m^ und anderer Größen,
Variablen und Konstanten, sein möge, und bei der die Summation so
auszuführen ist, daß jede der q Größen m unabhängig von den
anderen die Reihe der ganzen Zahlen von — 00 bis + <^ durchläuft.
In dieser g-fach unendlichen Reihe führe man jetzt an Stelle
der bisherigen Summationsbuchstaben ?n^, • • •, m neue w^, • • -, n
ein mit Hilfe einer linearen Substitution von der Gestalt:

(^< = l,2,..-,9)

bei der r eine positive ganze Zahl, die a ganze Zahlen mit nicht
verschwindender Determinante sind. Man erhält dann, wenn man
den Ausdruck, in den das allgemeine Glied /"(»Wj • • • | ^^r) durch Ein-
führung der Größen n übergeht, mit g(nj^\ ■■■ «J bezeichnet, also:

(3) f{'>h I • • • I *"j) = 0 (% I • • • I ^\)

setzt:

Einführung neuer SummationaLuchstabeu. 45

(4) ^ = 2//K!---|^),

und es ist die Frage, auf die alles ankommt, ivie Jtier über die n
summiert iverden muß. Diese Frage ist vorerst folgendermaßen zu
beantworten. Bezeichnet man die Determinante der q^ Zahlen a ^^
mit A und die Adiunkte von a„„ in dieser Determinante mit a , so
folgt aus den Gleichungen (2) durch Auflösung nach den n als Un-
bekannten

(5) W„ = ^ ^ % ,. ^u » (. = 1, 2, . . . , ,)

und es muß die auf der rechten Seite von (4) angedeutete Summation
nach den n in der Weise ausgeführt werden, daß man an Stelle des
Systems der q Summationsbuchstaben «^, • • •, n ein jedes der Werte-
systeme und jedes einmal setzt, welche sich aus den Gleichungen (5)
ergeben, wenn man darin an Stelle des Systems der q Buchstaben
m^, • • •, m eine jede der Variationen mit Wiederholung zur g***" Klasse
aus den überhaupt existierenden ganzen Zahlen als Elementen
treten läßt.

Zur direkten Bestimmung dieser Wertesysteme, von denen man
jedenfalls sagen kann, daß keine zwei unter ihnen miteinander über-
einstimmen, muß das System der durch die Gleichungen (5) als
Funktionen der ganzen Zahlen m definierten Größen n genau unter-
sucht werden. Zu dem Ende bezeichne man mit q^^ den kleinsten
positiven Rest der Zahl m nach dem Modul A und setze:

(6) ni^^ = nif, A + Q^^. (,u = 1, 2, . . . , s)

Führt man diese Ausdrücke in die Gleichungen (5) ein, so zerfällt
jede Größe w,, in einen ganzzahligen Teil n^' und einen Bruch, in
der Form:

,((=1

Die n sind ganze Zahlen von besonderer Art; anstatt auf ihre Aus-
drücke in den m' einzugehen, bemerke mau, daß für die n' jedenfalls
nur solche ganze Zahlen auftreten, welche nach Einführung der ihnen
entsprechenden Ausdrücke (7) in die Gleichungen (2) für die m
ganze Zahlen liefern. Setzt man aber aus (7) in (2) ein, so folgt:

g
(8) r m^^ = ^ a„ ,, nj + r q^^, (^ = i, 2, • • • , ?)

v = l

und man erhält daher für die ganzen Zahlen n' die Bedingung, daß:

46 n. 1. Umf. unendl. Reihen d. Einf. neuer Summatlonsbuchstaben etc.

g
(9) ^ a^^^n^' = 0 (mod. r) (^=i,2,.-,j)

»-=1

sei. Sind diese Bedingungen erfüllt, dann entsprechen den zu solchen
n gemäß den Gleichungen (7) gehörigen Größen n in der Tat ganze
Zahlen m. Man bilde nun die Summe:

0, 1, --(V — 1— ao,-.,-j-oo ^ _

(10) 2 2' .K<+i' •••!<+!)'

bei der zur Abkürzung:

9

(11) Qv = '^'2%v9^c (v = l,2,.--,9)

gesetzt ist, und bei der, indem V den absoluten Wert von A be-
zeichnet, über jedes q frei von 0 bis V — 1 summiert wird, für das
System der q Summationsbuchstaben n aber nur jene aus ganzen
Zahlen gebildeten Variationen mit Wiederholung zur r/°^ Klasse zu
treten haben, welche in ihren Elementen den Kongruenzen (9) ge-
nügen: dann enthält diese Summe nach dem soeben Bemerkten alle
Glieder der Summe (4) und keine anderen Glieder; und es fragt sich
nur noch, ob sie auch jedes Glied der Summe (4) nur einmal, oder
ob sie es mehrere Male enthält, oder, was auf dasselbe hinauskommt,
ob alle Glieder der Summe (10) von einander verschieden, oder ob sie
teilweise einander gleich sind. Um diese Frage zu entscheiden, greife
man ein bestimmtes Glied der Summe (10) heraus; es ist bestimmt
durch gewisse den Kongruenzen (9) genügende ganze Zahlen n und
gewisse positive ganze Zahlen q' aus der Reihe 0, 1, • • •, V — 1. Soll
ein anderes Glied, charakterisiert durch andere Zahlen «" und q", ihm
gleich sein, so ist dazu notwendig und hinreichend, daß für
v=l, 2, •••, 2:

g 9

(12) n; + ^ 2 «,, , q;, = K' + ^ ^ ccu V 9.«

,<( = 1 11=1

sei; dann muß aber jedenfalls:

9_

(13) r^«„„(^;-^;:) = 0 (mod. V) (v=i.2....,8)

sein; ist umgekehrt diese Bedingung erfüllt und setzt man:

g g

(14) ^2%-9f'^ == »'2«/,» P'.' + ^f>v ir = l,^,--,9)

,(( = 1 /< = 1

so braucht man nur

Bestimmung der neuen Summation. 47

(15) V'='^' + ^v (''=1.2, ■•■,9)

zu nehmen, dann sind in der Tat die beiden Glieder der Summe
einander gleich. So oft also die Kongruenzen:

(16) r^ a^^^x^^ = 0 (mod. V) (v=i,2,..-,q)

durch Zahlen x aus der Reihe 0, 1, • ■ •, V — 1 befriedigt werden
können, so oft kehrt jedes Glied der Summe (10) bei weiterem Fort-
gange der Summation wieder. Heißt man daher diese Anzahl ö', so
ist die Summe (10) das ö'- fache der Summe (4), und man hat:

(17) F-j. ^ ,2', i/(<+|-|--l< +

In dieser Gleichung bedeutet also ö' die Anzahl der Lösungen — um
anzugeben, daß es sich dabei nur um jene Lösungen handelt, die aus
Zahlen der Reihe 0, 1, • • •, V — 1 gebildet sind, sei genauer gesagt
Normallösungen — des Kongruenzensystems (16), über jedes q ist
frei zu summieren von 0 bis V — 1, über die n von — oo bis + oo,
jedoch dürfen hier nur jene Zahlensysteme genommen werden, welche
die Kongruenzen (9) erfüllen. Von dieser Beschränkung der Sum-
mation kann man sich aber leicht auf folgende Weise befreien.

Multipliziert man das allgemeine Glied der Summe in (17) mit
einem Faktor, der den Wert 1 hat, wenn die n solche ganze Zahlen
sind, die den Kongruenzen (9) genügen, dagegen den Wert 0, wenn
die Zahlen n diesen Kongruenzen nicht genügen, so wird durch Ein-
schiebung dieses Faktors 0, der in seiner Wirksamkeit mit dem
Dirichletschen diskontinuierlichen Faktor der Integralrechnung zu
vergleichen ist, zunächst der Wert der Summe (17) nicht geändei't;
nachdem er aber eingeschoben ist, darf jetzt die Beschränkung der
Summation nach den m' einfach weggelassen werden, und man darf
schreiben:

(18) F'^°''2~'~2*'-I-<>{>H + l\-\n, + i),

WO jetzt über jedes q frei von 0 bis V — 1 und über jedes n frei
von — oo bis + oo summiert wird. Es handelt sich jetzt nur noch
um die Bildung eines solchen Faktors ^. Beachtet man aber, daß
die Größe:

(19) ^, =2^e "-'

48 n. 1. Umf. unendl. Reihen d. Einf. neuer Summationsbuchstaben etc.
den Wert r besitzt, wenn die Zahlen n die Kongruenz:

(20)

2%-^--^ (mod. r)

erfüllen, dagegen de» Wert 0, wenn sie dies nicht tun, so sieht man
sofort, daß:

2 7t i -^1 -^7

0 =

qpj qpj • • • qp,

// ^

/, = 1 ,.=1

(21)

ein Faktor der vorher verlangten Art ist. Setzt man diesen
Ausdruck an Stelle von 0 in (18) ein und vertauscht noch unter
der Voraussetzung der absoluten Konvergenz der neuen unendlichen
Reihen die Summationsordnung, so erhält man die Gleichung:

(22) ''^'^

0,1, ••, V— 1 0,1, •,r — 1

2

2 7t i •'^ ■'^

2 ^

n_ , ■ ■ ,71-

/.t=l v = l

p(«, + |-|-|», + f)|,

welche die gewünschte Umformung der gegebenen unendlichen Reihe
darstellt, und der man schließlich, weil

i'=i

(23) ^.a,.,,Q,. = r/^Q,. (^,=1,2,. .,5)

und infolgedessen für alle ganzzahligen q und 6

2 7t i -^ -^ Qv

(24) e ''=^"=1 =1

ist, die für die Anwendungen bequemere Form:

r'i a' F

(26)

2 2 2 ^ "" H«' + f

0, 1, •, V — 1 0, 1, •■,>•— 1

ö. , • ■ 1 f«

■ M ,••,-)- 00

n^ , • ■ ■,n„

geben kann, bei der noch zur Abkürzung

(26)
gesetzt ist.

2

(^^tv^^i = ^

+¥)

(i. = l,2,-,s)

Vorläufiges Endresultat. Diskussion. Beispiele. 49

Bei Betrachtung der gewonnenen Endformel wird mau zunächst
das Resultat bemerken, daß die gegebene unendliche Reihe in eine
Summe mehrerer unendlicher Reihen übergeführt wurde- bei genauerer
Betrachtung des Ganges der Untersuchung erkennt man sodann, daß
dieses Resultat einmal durch gruppenweises Zusammenfassen der
Glieder der gegebenen Reihe zu Teilreihen, dann aber weiter durch
Einschieben von Gruppen neuer Glieder, die zusammen den Wert
Null haben, erreicht wurde. Aus dem letzteren Umstände erkennt
man auch, daß auf die am Schlüsse eingeführte Bedingung der abso-
luten Konvergenz der neuen unendlichen Reihen nicht verzichtet
werden kann, da sie nicht eine Folge der absoluten Konvergenz der
ursprünglichen Reihe ist.

Obwohl die Umformung (25) ihre wahre Bedeutung erst für
mehrfach unendliche Reihen erlangt, so ist sie doch auch auf ein-
fach unendliche Reihen anwendbar, und es liefern hier die beiden
einfachsten Substitutionen m = qn und rm = n zwei Umformungen
einer einfach unendlichen Reihe, bei denen die beiden oben genannten
Prozesse des gruppenweisen Zusammenfassens der Glieder der ge-
gegebenen Reihe zu Teilreihen und des Einschiebens von Gruppen
neuer Glieder mit der Summe Null getrennt auftreten, und daher be-
sonders klar erkennbar sind. Es entspricht nämlich der Substitution

(27) m = qn
die Umformung:

-im +f(q) +f{2q) +...]

+ [/•(!) ^'/'C^Z+l) +/'(2g+l) + ...]

(28) +[/-(2) +^(g + 2) +/-(2g + 2) + ...]

+ [^(^ -1) + f{2q - 1) +/"(3g -!) + •• -V),

während der Substitution

(29) rm = n

die Umformung:

1) Dabei sind, ebenso wie beim zweiten Beispiele, die den negativen Werten
des Summationsbuchstaben n entsprechenden Glieder der Übersichtlichkeit wegen
unberücksichtigt gelassen.

Krazer, Thetafunktionen. 4

50 n. 1. Umf. unendl. Reihen d. Einf. neuer Summatiousbuchstabeu etc.

+ [/-(0)+ rf[^)+ .Y(|) + ---]
(30) +[/-(0)+ rY(f)+ tY(|-) + ---]

+ [/-(O) + T'- Y(i) + r'- Y(I-) + ■ • •])

entspricht, bei der zur Abkürzung t = e ^ gesetzt ist.

■ Der Gedanke, eine mehrfacli unendliche Reihe, bei der jeder Summa-
tionsbuchstabe die ganzen Zahlen von — 00 his + <50 durchläuft, dadurch
umzufoi-men , daß man an Stelle der Summationsbuchstaben vermittelst
einer linearen Substitution neue einführt, findet sich zuerst in den Arbeiten
von Eisenstein^); doch wird hier nui- der spezielle Fall r = 1 behandelt,
d. h. die Bedingung gesetzt, daß die Koeffizienten der Substitution ganze
Zahlen seien. Die Einführung neuer Summationsbuchstaben vennittelst
einer Substitution mit rationalen Koeffizienten, verbunden mit der Ein-
schiebung eines Faktors, der die nach geschehener Transformation ein-
getretene Beschränkung der Summation aufzuheben gestattet, würde zuerst
von Herrn Prym ~) zur Herleitung der Riemannscben Thetafonnel, hierauf
von ihm und mir^) zur* Gewinnung allgemeinerer Thetaformeln, und end-
lich von mir'*) in der obigen Gestalt zur Umformung einer ganz beliebigen
unendlichen Reihe angewandt. Mit der Umformung unendlicber Reihen
durch Einführung neuer Summationsbucbstaben vermittelst einer linearen
Substitution beschäftigt sich auch eine Abhandlung des Herrn Huebner^),
deren Resultate im Falle einfach unendlicher Reihen mit den hier an-
gegebenen übereinstimmen.

1) Eisenstein, Beiträge zur Theorie der elliptischen Funktionen. Mathem.
Abh. Berlin 1847, pag. 233, 250 und 290.

2) Prym, Ein neuer Beweis für die Riemannsche Thetaformel Acta math.
Bd. 3. 1883, pag. 200.

3) Prym, Ableitung einer allgemeinen Thetaformel. Acta math. Bd. 3.
1883, pag. 216 undKrazer und Prym, Neue Grundlagen etc., pag. 16 und 70.

4) Krazer, Über allgemeine Thetaformeln. Math. Ann. Bd. 52. 1899,
pag. 369.

5) Hu ebner, Über die Umformung unendlicher Reihen und Produkte mit
Beziehung auf die Theorie der elliptischen Funktionen. Progr. Königsberg 1891.

Die Anzahl s d. Norüiallösungen e. Systems linearer Kongruenzen. 51

§ 2.

Bestimmung der Anzahl .s der Normallösungen eines Systems
linearer Kongruenzen.

Die in der Formel (25) auftretende Größe a' bezeiclinet die An-
zahl der Normallösungen des Kongruenzensystems (16). Es soll in
diesem Paragraphen gezeigt werden, wie man in jedem Falle den
Wert dieser Zahl ö' bestimmen kann.

Es seien mit «„vl^H/«' jPQ^ beliebige ganze Zahlen, mit

r eine positive ganze Zahl bezeichnet; jedes System von q ganzen
Zahlen aj^, X2, • • •, x , welches gleichzeitig den p Kongruenzen:

(31) ^ a^^^x,. = 0 (mod. r) (//=i,2,---,p)

r = l

genügt, heißt eine Lösung dieses Kongruenzensystems; Norniall'ösungen
aber sollen unter diesen unbegrenzt vielen Lösungen diejenigen genannt
werden, welche ausschließlich von Zahlen aus der Reihe 0, 1, •••,r — 1
gebildet sind. Die Anzahl s dieser Normallösungen ist dann jedenfalls
eine endliche und zwar ist s < »•^. Es handelt sich um die Bestim-
mung dieser Zahl s.

Zunächst kann man ohne Mühe für die Zahl s einen analytischen
Ausdruck anschreiben. Genügen nämlich die Zahlen x^, x^, • • •, x^^
der Kongruenz:

(32) ^«„,,a;„ = 0 (mod. r),

r = l

WO 11' irgend eine Zahl aus der Reihe 1, 2, • • •, p bezeichne, so be-
sitzt der Ausdruck:

(33) /;„.Ki---i^,)=/:„ = V

r-1 -^1 ^«'<'vM^«

den Wert r: ffenücren dacreffen die Zahlen x der angeschriebenen Kon-
gruenz nicht, so besitzt f,^, den Wert 0. Daraus folgt soflM't, daß

der Ausdruck:

p q

(34) FM..-\x^ =

r

Z 711 •^ ■^TT

0, 1, ■• , r — 1 ~~P~ ^ ^ "," v^rVu

y\

ff f ^ Ojlj-jjT — 1 r .^^ ^d

1^1 "i LP ^ 1_ "^l p ,< = lr = l

r^' ^

für jedes Zahlensystem x^, x-j, • ■ •, x^, das eine Lösung des Kon-

4*

52 n. 2. Bestimm, d. Anzahl s d. Kormallösungen eines Systems linearer Kongr.

gi-uenzensystems (31) ist, den Wert 1, für jedes andere den Wert 0
hat, und daß daher die Summe:

0,], ■ ■ ,r — l

(35) 2^(^il'-l^.)

den Wert s besitzt.

I. Satz: Die Anzalil s der NormaUösungen des Kongruenzen-
systems:

(I) 2 a^, yX^ = 0 (mod. r) (.« = i, 2, • ■ ■ , p)

r = l

ivird durch den Ausdruck

(H) -^ 2

0, 1, ,r— l^V^^ ^^^ "fir^fVit

,, = 1 ,.= 1

geliefert.

Mit Hilfe des unter (II) für s angegebenen Ausdrucks läßt sich
nun sofort ein weiterer Satz beweisen. Nennt man nämlich die An-
zahl der Normallösungen des zu (31) konjugierten Kongruenzensystems

p

(36) ^ a^^^Xf, = 0 (mod.?-) (v=i, 2, ■•,<?)

s', so ist nach (II):

„ . ? P

(37) «' = ^ 2; ^ •='"='

und es ergibt sich daraus, nachdem man für |Lt = 1, 2, • • •, jj und
r = 1, 2, • • •, g «;,,' = y^^, 2/,'= ^, gesetzt hat, sofort durch Verglei-
chung mit (II) die Beziehung:

(38) i^s'=rPs.

II. Satz: Bezeiclmet man mit s die Anzahl der Normallösungen
des -Kongruenzensystems (I), 7mt s' die des konjugierten Kongruenzen-
systems:

p

(III) ^ a^, ,, x/, = 0 (mod. r) (.=1, 2, . - • 9)

Vorlauf. Ausdruck für die Zahl s. Das konjugierte Kongruenzensyst. 53

60 ist:

(IV)

r' _ r'^
s s'

Die in der Gleichung (IV) stehenden Quotienten sind ganze
Zahlen, es ist nämlich für ein Kongruenzensystem (I) die Zahl s stets
ein Teiler von r*. Um dies einzusehen, ordne man die sämtlichen
r' aus den Zahlen 0, 1, • • •, r— 1 möglichen Zahlensysteme
x\, i\, • • ', X folgendermaßen in Gruppen, wobei zur Abkürzung ein
Zahlensystem x^, Xo, • • •, x symbolisch mit X. bezeichnet und ver-
schiedene solche Zahlensysteme durch obere Indizes unterschieden
werden mögen. Man betrachte die p Linearformen :

'y

(39) ^„=^a„,^,; (,.=1,2,...,;,)

v = l

läßt man darin an Stelle von x^, x^, • • •, x zunächst die 6^ Normal-
lösungen des Kongruenzensystems (I) treten, so wird:

(40) Ä^ = 0, Ä^ = 0, •••, ^^ = 0(mod. r);

diese s Zahlensysteme X seien mit:

(41) X(i), X("), • • •, XW

bezeichnet. Entweder sind damit alle r* Zahlensysteme X erschöpft,
d. h. es ist s = t"^, dann ist der aufgestellte Satz bewiesen; oder es
ist s < t^, dann gibt es außer diesen s Zahlensystemen X noch andere;
ein beliebiges solches sei X' == {x^, x^, ■ ■ ■, x/). Setzt man jetzt in
den j> Linearformen (39) x^ = x^', x^ = x^', ■ ■ ■, ^,y = ^Z, so werden
dieselben jedenfalls nicht alle ^0 (mod. r); es möge

(42) Ä^EEg,', Ä, = (j,', •••, A^ = g; {mod.r)

werden. Die nämlichen Zahlen r/^', g^', • • •, g/j treten dann immer
wieder auf, wenn man in den 2; Formen (39) an Stelle von x^ , x^, -■ • x^
jene s Zahlensysteme einführt, welche aus dem Systeme X' durch
Addition der Systeme X^^^, X^^^ • • •, X^*) abgeleitet werden (wobei die
auftretenden Zahlen x' -\- x auf ihre kleinsten positiven Reste nach
dem Modul r zu reduzieren sind). Die so entstandenen s Zahlen-
systeme seien mit:

(43) X(^+i), X^+2)^ •••, X^')

bezeichnet; sie sind alle voneinander und von den Zahlensystemen (41)
verschieden, zugleich sind es die sämtlichen Zahlensysteme, welche
die Kongruenzen (42) erfüllen. Entweder sind nun mit diesen zwei
Reihen alle t-^ Zahlensysteme erschöpft, in welchem Falle 2s =^ r^,
also der Satz bewiesen ist, oder es gibt noch andere Zahlensysteme X,
die in diesen zwei Reihen nicht vorkommen.

54 n. 2. Bestimm, d. Anztihl .s d. Normallösungen eines Systems linearer Kongr.

So fortschreitend kann man die sämtlichen r'^ Zahlensysteme X
in Reihen von je s anordnen in der Form:

XW X(2), ..., XW;

X(*+l), X(' + 2)^ •••, X(2');

(44)

J^(<-1.«+1) X(<-l-» + 2)^ . . .^ X(''

wobei ts = r2 ist, und man erkennt daraus, daß die Anzahl s der Normal-
lösungen des Kongruenzensysteyns (I) stets ein Teiler von r^ ist. Die
s in einer Horizontah-eihe stehenden Zahlensysteme sind dadurch
charakterisiert, daß sie die p Linearformen (39) den nämlichen Zahlen
Oij //2 7 ■ • ■; 0 kongruent machen, und es sind zugleich die sämtlichen
Zahlensysteme, die dies tun.

Aus (44) schließt man weiter sofort, daß ein System nicht homo-
gener linearer Kongruenzen:

1

(45) ^a,,^,x^=g,^ {mod. r) (,«=1,2,...,,,)
1=1

entiveder s Normallösungen hat oder Jceine. Heißt man aber Zahlen
9i) 92} ' ' '} 9 y ^^^ welche dieses Kongrneuzensystem Lösungen hat,
durch die Formen (39) darstellbar, so ist die Anzahl der darstellbaren

Zahlensysteme t = — , und die Formel (IV) sagt einfach aus, daß

durch p Formen (39) und durch die q dazu Jconjugierten:

p

(46) Ä; = ^a,^„x; (.=1,2,....,)

,(( = 1

stets gleich viele Zahlensysteme darstellbar sind.

Ein Fall kann sofort erledigt werden. Ist nämlich 2) = q und
die Determinante ^+ a^^ «22 ' " <^,jrj = :t ^) so ist jedes Zahlensystem
9i7 92} ' ') 9q durch die Formen (39) darstellbar; es ist also in diesem
Falle für jeden Wert des Moduls r:

(47) t=^r\ s=l.

Von diesem Satze sei die folgende Anwendung gemacht. Läßt
man in dem Gleichungensysteme:

(48) ^, a„ ,, a;,, = a;; c« = 1, 2, • • , ?)

für welches die Determinante ^± «n «22 '" ^qq den Wert + 1 hat,
an Stelle des Systems der Größen x-^, x^, • • •, x^^ der Reihe nach
die sämtlichen Variationen mit Wiederholung der Elemente 0, 1, • • •, r— 1

I

Darstellbare Zahlensyst. Unimodulare lineare Sul)stitutionen. 55

zur (/*"" Klasse treten und denkt sich jedesmal die entstehenden
Größen a\', x^, ■ • •, x' auf ihre kleinsten positiven Reste nach dem
Modul r reduziert, so treten nach dem soeben Bemerkten an Stelle
des Systems der </ Größen x^ , x.^, •■■, x' diese nämlichen Variationen
nur in anderer Reihenfolge. Mit anderen Worten: wenn die Größen
^i> -^2? ' ■ ■' ^q unabhängig voneinander die Reihe der ganzen Zahlen
0, 1, • • •, r — 1 durchlaufen, so tun dies, mod. r betrachtet, auch die
Zahlen x^, x^', ■ • ■, x'. Führt man daher in dem unter (II) an-
geschriebenen Ausdrucke für s an Stelle der Summationsbuchstaben
X, y neue x', y' vermittelst unimodularer linearer Substitutionen:

1 p

(49) x^ ^^}i^,^x; y„ =2 Z.-^,,, y,^

(v=l,2, •••,7) (,« = 1,2, •••,;;)

(wobei also ^± h^^ Ji^^ • • • \^ = ± 1 , ^± ^>n Ki ' * ' ^V = i 1 ist)
ein, so hat man auch über jeden dieser neuen Summationsbuchstaben
unabhängig von den anderen von 0 bis r — 1 zu summieren und er-
hält so, wenn man zur Abkürzung:

(50) 2'2'''V,.."«.''" = ^.. (n',;t...;:)

setzt, für s den neuen Ausdruck:

0, 1, ■_,/• — 1 "V" ^ .^ *(?" *°^S?

(51) » = ^ 2" -= '^'°^' '

2/;,- ,y;

bei welchem man nun zum Zwecke der Berechnung von s über die
ganzen Zahlen /t und li innerhalb der Bedingungen:

(52) ^± //,,/^22 . .. 7,^^ = + 1, 2± \xK'-\p = ± 1

frei verfügen darf.

Der auf der rechten Seite der Gleichung (II) im Exponenten

stehende Ausdruck:

p 1

(ö3) A=^^a^^/x^.y^^

wird eine hilineare Form genannt. Verschwinden für die Matrix
ihrer ganzzahligen Koeffizienten «,,,, alle Determinanten l -f 1**"^ (und
höheren) Grades, aber nicht alle Determinanten Z'*'^ Grades, so heißt
l der Bang der Form Ä. Man bilde, indem man unter A eine der
Zahlen 1, 2, • • •, l versteht, alle Determinanten A*®"^ Grades und
heiße cZ^ den größten gemeinsamen Teiler derselben-, die Quo-

56 n. 2. Bestimm, d. Anzahl s d. Normallösungen eines Systems linearer Kongr.

d

tienten e, = -~^ , wobei im Falle A = 1 unter (L die Einheit zu ver-

stehen ist, sind dann gleichfalls ganze Zahlen und heißen die Ele-
mentarteiler der Fonn A. Geht dann die Form Ä durch unimodulare
lineare Substitutionen (49) in die Form:

p q

(54) B = ^^Kn<y.:

o = l 0 = 1

über, wobei die Koeffizienten h^^ durch die Gleichungen (50) definiert
sind, so ist jede Determinante k'^^ Grades der 6 eine homogene lineare
Funktion der Determinanten A'®" Grades der a und daher auch durch
ä) teilbar; fZ; ist aber zugleich der größte gemeinsame Teiler aller
Determinanten A'^"^ Grades der &, da auch die Form J5 durch uni-
modulare lineare Substitutionen in die Form A übergeführt werden
kann, also auch jede Determinante A**^" Grades der a eine homogene
lineare Funktion der Determinanten \^^ Grades der & ist. Nennt
man daher zwei Formen wie A und J5 äquivalent, so sind für äqui-
valente Formen die Zahlen f/; und daher auch die Elementarteiler C;
die gleichen.

Das in der Formel (51) niedergelegte Resultat kann jetzt dahin
ausgesprochen werden, daß in dem Ausdrucke (11) für die Zahl s die
Form A durch jede beliebige dazu äquivalente ersetzt werden darf.
Unter allen zu einer gegebenen Form A äquivalenten Formen gibt
es nun bekanntlich eine ausgezeichnete, die Normalform:

i

(55) ^ = ^e,X}.y?.,

/=i

deren Koeffizienten e^, e^, • • •, e^ die vorher definierten Elementar-
teiler von A sind. Fühi-t man aber diese Normalform E an Stelle
der Form B in (51) ein, so erhält man für s den Ausdruck:

i

(56) . = i ^ . - ,

y[,--,y'p

der jetzt ohne Mühe ausgewertet werden kann.

Zunächst kann die Summation nach den Größen x'^,^, • • •, x'
Viu-i} ■ ■ ■? Pp } ^^ ^^^ ihnen das allgemeine Glied der Summe unab-
hängig ist, sofort ausgeführt werden, und weiter zerfällt dann die
übrig bleibende 2Z-fache Summe in das Produkt von Z Doppelsummen.
Man erhält so für s den Ausdruck:

Bilineare Formen. Normalform. Berechnung von s. 57

''0,1, • ■,/• — !

(57) s = r^-'^]~Jy ^^ c

Man bemerkt nun weiter, daß eine Summe

(58) S,=^^"""'-

nur dann einen von Null verschiedenen Wert und zwar den Wert r
hat, wenn cyX) durch ;• ohne Rest teilbar ist; durchläuft x/ aber die
Zahlen 0, 1, • • •, >• — 1, so kommt dies s^-mal vor, wenn S) den
größten gemeinsamen Teiler von Cy und ;• bezeichnet, nämlich für die

Werte a:/= x— (z = 0, 1, • • •, 6'; — 1); also ist:

0,1, • ,r— 1 tni t , r—\

(59) ^_ ,^-«.^S^^,,.,

und daher endlich:

(60) s = % cSg • • • 6'; • r'''"'.

III. Satz: Die Anzahl s der Normallösungen des Kongruenzen-
systems (1) beträgt s = S1S2 • ;■ Si- r^~^, wenn l der Bang der hilinearen
Form Ä, S; aber für A = 1, 2, • • • , l der größte gemeinsame Teiler von
r und dem X^^"^ Elementarteiler e^ von A ist.

Die Bestimmung der Anzahl der Normallösungen eines Systems
linearer Kongruenzen ist zuerst von Henry St. Smith ■^) und später, aber
unabhängig davon von Herrn Frobenius ") angegeben worden. An diese
Abhandlung des Herrn Frobenius lehnt sich die obige Darstellung in
wesentlichen Punkten an; insbesondere mag auf sie bezüglich der Reduk-
tion der bilinearen Fonn A auf die Normalform E verwiesen werden.

§3.

Folgerungen aus dem III. Satze; endgültige G-estalt der

Formel (25).

Es sollen jetzt aus dem III. Satze einige Resultate abgeleitet
werden, die bei Untersuchungen über Thetafunktionen Verwendung
finden.

1) Smith, On Systems of linear indeterminate equations and congruences.
Phil. Trans. Bd. 151. 1861, pag. 293.

2) Frobenius, Theorie der linearen Formen mit ganzen Coeffizienten.
J. für Math. Bd. 86. 1879, pag. 146.

58 n. 3. Folgerungen aus dem III. Satze; endgültige Gestalt der Formel (25).

Es sei l = p = q und der Modul r ein Vielfaches der Determi-
nante A = ^+ «11 <^22 ■ • ■ ^^-y;- ^^ ^^^ Determinante der Normalform
E den Wert (?i e, • • • c, besitzt, andererseits aber mit der Determi-
nante A der ursprünglichen Form bis aufs Vorzeichen überein-
stimmt, so hat man für den absoluten Wert V dieser Determinante:

(61) V = e,e,...e^.

Ist nun r = ^V, wo (j eine positive ganze Zahl ist, so ist für A = 1, 2, • ■ •, q
s^ = C; und daher s = e^e^- • • e ='^. Man hat also den

IV. Satz: Wenn die Determinante A = ^+ «^ «^2 • • • a^,^ von
Null verschieden ist, so ist die Anzahl der Normall'ösungen des Kon-

gruenzensystems:

1

(V) ^^',«.^.=0 (med. r/V) (^<=i,2,.-,7)
1 = 1

für jede ganze Zahl g stets gleich dem absoluten Werte V der Deter-
minante A.

Ist wieder l ^ p = q, der Modul r aber relativ prim zu A, also
auch wegen (61) relativ prim zu jedem Elementarteiler e-,, so sind
alle Größen s^ und daher auch s = 1. Man hat also den

V. Satz: Wenn die Determinante A = ^+ «ii «,2 ' *• ^V^ ^^^^
Null verschieden ist, so Jiat das Kongrucnzensgstem :

(VI) 2 «„ ^x^ = 0 (mod. r) (/< = 1, 2, ■ • • , 2)

r = l

für jeden Modul r, der relativ prim zu A ist, nur eine einzige Normal-
lösung, nämlich x.^ = 0, Xg = 0, • • •, x^ = 0.

Man betrachte ferner das Kongruenzensystem:
'?
{^2) ^S.^.«^0 (mod.V), (v=i.2,..,,)

,((=1

bei welchem a,^,, die Adjunkte von «^,,, in der Determinante
^ = ^^a^^a^^ ••■ a bezeichne. Bekanntlich ist jede Unterdeter-
minante X^^^ Grades der a dem A'" ^-fachen der zugehörigen Ad-
junkte g — A*®"^ Grades der a gleich; bezeichnet man also mit 8-^ den
größten gemeinsamen Teiler der Determinanten X^^^ Grades der u, so
ist d; = V''-~^f7, _;, und es hat daher für die bilineare Form:

(63) 22%-^-yf^

der A'® Elementarteiler s^ den Wert:

Bestimmung von s in einigen speziellen Fällen. 59

(64) ,, = V *-^ -

dq-X+l ^q-X + 1

Es ist also weiter für das Kongruenzensystem (62) der größte ge-
meinsame Teiler von e^ und dem Modul V £; selbst, und man
hat, da:

(65) 'i'-2---^ = 7T-^^-'^'''

J 2 — 1 1

ist, den

VI. Satz: Wenn die Determinante ^ = ^+ ein 0,22 '" %q ^^**
Null verschieden ist, und mit a^^^ die ÄdjunJde von a^^^ in dieser De-
terminante hczeichnet ivird, so ist die Anzahl 6 der Normallösungcn
des Kongruenzensystems:

(VII) ^a^^^,x^^ = 0 (mod. V) (.-i.s,...,^)

Man betrachte endlich das Kongruenzensystem (16). Nennt mau
bei diesem den größten gemeinsamen Teiler der Determinanten
A'*'' Grades seiner Koeffizienten (3/ und den l^""^ Elementarteiler der
zu ihm gehörigen bilinearen Form £;', so ist:

(66) d/=r^W^-'d, ;, s/ ^ ''^ •

Folglich ist der größte gemeinsame Teiler (?;' von «;' und dem
Modul V:

(67) ^;-'-if^±^,

^S-A + l

wenn, wie früher, mit s^.^ + i der größte gemeinsame Teiler von
e, _;_^]^ und r bezeichnet wird, und man hat, da:

SS , •• • s^ V'^

(68) (?,' 6,'... <= -^^^-t:^ = ''^''~"

ist, den

VII. Satz: Wenn die Determinante äk = y^+a^a^^--- a^

11

von

Null verschieden ist, und mit cc^^^ die ÄdjunJde von a^^ in dieser De-
terminante hezeiclinet ivird, so ist die Anzahl ö' der Normallösungen
des Kotigruenzensystems:

g
(VIII) r 2 a^, ^ ic,^ = 0 (mod. V) (v=i, 2, •• • , ?)

^'=sV'^~^, tvenn mit s die Anzahl der Normallösungen des Kon-
gruenzensijstems (I) bezeichnet ivird.

60 11- 3. Folgerungen aus dem III. Satze; endgültige Gestalt der Formel (25).

Führt man den soeben gefundenen Wert von ö' in die Formel
(25) ein, so erhält man den

VIII. Satz: Die durch die lineare Suhstitution:

g

(IX) rm^^=^^a^^^,n^., 0' = i,2.--.,)

r = l

hei der r eine positive ganze ZaJd, die a^, ,, ganze Zaläcn mit nicJit ver-
schivimJendcr Determinante hczeicJinen, heivirlfe Umformimg einer q-fach
unendlichen Beihe stellt sich dar in der Glciclmng:

rvV^-is^/-(^»J •••!/»,)

(X) '"^' •■''"'/

0, 1,, v_i 0,1, ■,/•-! /—x,, + x~V"^ r'+AV»'

= 2 ^ ( ^ ^ '^' ."(■". + ll-l».+ f)

Dabei ist die FimMion g{n^\ ••• \n^j) durch die Gleichung:

(XI) f(m^\ •"\m^) = g{ni, -.-l«^)
definiert; es ist ferner zur AbMirzung:

(XII) Qv = r^ «,, V P,, , ^v = ^ a,, ,, (?,, (.=1, 2, . . . , ,)

,"=1 ,"=1

gesetzt; es bezeichnet A <??e Determinante ^+ «n «^22 '" %'r ^ //<re»
ahsoluten Wert und a^,,, ^/e ÄdjunJite von «,^,, /» A, ?<wfZ es /s^ endlich
unter s die nach dem III. Satz zu berechnende Anzahl der Normal-
lösungen des Kongruenzensystems :

(XIII) 2«".^v^0 (mod. r)

Bezüglich der gewonnenen Endformel (X) wird man noch Folgen-
des bemerken. Die auf der rechten Seite als Summanden auftretenden
(Vr)'' unendlichen Reihen:

-x,..,+x -iT-^ <^«v+xr^

(69) e[:;;::'V2' ^ "' K%+li-i«,+l)

'J-" n

sind nicht alle voneinander verschieden. Betrachtet man nämlich
unter diesen Reihen zwei, für welche sich die zugehörigen Zahlen-
systeme Q^, ■ ■ ■, Q, um eine Lösung des Kongruenzensystems:

Endgültige Gestalt des Resultates von § 1. Diskussion. 61

9

(70) »•^'c.„.,:r„^0 (mod.V),

(v = l,2,...,7)

die zugehörigen Zahlensysteme 6^, ■ • -, (5^ um eine

Lösung des Kon-

gruenzensy stems :

1
(71) 2%r^,^^ (mod.r)

(v = l,2,--,9)

unterscheiden, sodaß sich also die Größen:

v'^/ A ' ■ ■ ■' A' r ' ■ ' "' r

nur um ganze Zahlen ändern, wenn man von der einen von ihnen
zur anderen übergeht, so besitzen diese zwei Reihen, wie man leicht
sieht, den gleichen Wert. Berücksichtigt man aber, daß die Anzahl
der Normallösungen des Kongruenzensystems (70) nach dem VII. Satz
V'^~^s, die Anzahl der Normallösungen des Kongruenzensystems (71)
nach dem IL Satz s beträgt, so erkennt man, daß die (V;*)* auf der rechten

rpi " ■ ■ p "1

Seite von (X) auftretenden unendlichen Reihen G ^ in (VrY':

y5-i<j2 ^ ____ Cri-uppen von je V''~^s^ untereinander gleichen zerfallen,

und daß man auf der rechten Seite von (X) jede solche Gruppe von
Summanden durch das V'^~'s^- fache eines beliebigen unter ihnen er-

setzen kann. Führt man diese Vereinigung für jede der — j-- Gruppen

aus, so geht die rechte Seite von (X) in das V'?~^s^- fache

einer Summe von — 5- wesentlich verschiedenen unendlichen Reihen

G

Gl ■ ■■ 6,

über. Für alle Operationen an und mit der Formel (X)

wäre es aber, wie schon die jetzt folgende Untersuchung zeigt, durchaus
unzweckmäßig, diese Reduktion sich ausgeführt zu denken.

In der Formel (X) lasse man jetzt an Stelle der Funktion

f{in^ I • • • 1 m ) die allgemeinere:

^3) c "=^ f{,n,+ '^^-\.:\m^+^)

treten, bei der zur Abkürzung:

(,« = 1,2, •••,9)

r=l r=l

gesetzt ist, während die x, A ganze Zahlen bezeichnen. Durch die
Substitution (IX) geht dann der Ausdruck (73) über in:

62 n. 3. Folgerungen aus dem III. Satze; endgültige Gestalt der Formel (25).

2ni y^{n,. + y,.)X^
1=1

(75)

^(t 2 ''' '■^"" + ^"^ \---\t2 ''-■ ^^'" + ""A

\ V=l 1=1 /

= e ' ry(wj + xj ••• JM,^ + z,^)

und die Formel (X) liefert daher znnäclist die Gleichung

(76)

— 30 , ■ • , -|- 00

"'], -,»'2

^' = 1

0, 1, -jV — 1 0, 1, --.r — 1 /— x,-, + oci

«/(«, + ='. + |i---i'\+-,+|)

Beachtet man aber, daß der Wert der hier auf der rechten Seite
stehenden, in besondere Klammern eingeschlossenen <;^-fach unendlichen
Reihe sich nicht ändert, wenn man die Summationsbuchstaben ny,---,n
um beliebige ganze Zahlen ändert, und läßt demzufolge für v=^\,2,- • -^q
n^ in n^. — %^ übergehen, so geht die genannte Reihe, von einem
Exponentialfaktor abgesehen, in die ursprüngliche, die Funktion

r^i ' ' ■ Po~i

G definierende Reihe (69) über, und man erhält, wenn man

L 1 " • ■ ,yJ

noch zur Abkürzung:

(77) F

— oc , ■ • , -j- oc

2 TT/ ^ ( , '^.A,-

m.

+ f)

setzt, aus (76) die Gleichung:

riV'i-'^sF

(78)

0, 1, -jV — 1 0,1, ■ ^r — 1

2 2

G

?1 • • • Py

^ a,.y.,. + -^ ^ o,J.^

In dieser Gleichung bezeichnen J«i, • • •, Jf^, ^i, • • •, ^, beliebige ganze
Zahlen; läßt man die x unabhängig voneinander die Zahlen 0, 1, •••, r — 1,

Aufstellung eines Systems linearer Gleichungen zwischen unendl. Reihen. 63

die A unabhängig voneinander die Zahlen 0, 1, • • •, V— 1 durch-
laufen, so geht aus (78) ein System von (rV)'' Gleichungen hervor,
die auf ihren rechten Seiten alle die nämlichen (^'V)"? Größen

Fqi ■ ■ ■ q ~
G * enthalten. Daß diese (>'V)'/ so entstehenden Gleichungen

nicht alle voneinander verschieden sind, sondern ebenso wie die (rV)'^

Glieder der rechten Seite einer jeden von ihnen in —5- Gruppen von

je V''~^s^ untereinander gleichen zerfallen, wird man zwar bemerken;
man wird sich aber zweckmäßig ebensowenig das System der (rV)'

Gleichungen (78) auf das System der — g- verschieden unter ihnen re-
duziert denken, wie dies früher mit den (rV)' Gliedern der rechten
Seite jeder Gleichung des Systems geschehen ist.

Die Gleichung (78) repräsentiert also ein System von (rV)'
linearen Gleichungen zwischen den (j-V)' Größen F

seits und den (rV)'? Größen G

andererseits.

einer-
Indem mau

diese Gleichungen, sämtlich oder einen passend ausgewählten Teil
von ihnen, linear miteinander verbindet, können aus ihnen Glei-
chungen in großer Zahl abgeleitet werden, von denen jede einen Teil

der Größen F

X, ■

X

9

-^1-

■M

und einen Teil der Größen G

9l ■ ■ • Qq

ent-

hält, und bei denen als Koeffizienten ausschließlich Einheitswurzeln
auftreten. Von der Aufstellung solcher Gleichungen soll aber hier
abgesehen werden, und es möge bezüglich der Behandlung eines
dahin gehörigen speziellen Falles auf § 10 des siebenten Kapitels ver-
wiesen werden. Nur ein Fall soll hier durchgeführt werden; man
kann nämlich insbesondere das System der Gleichungen (78) nach

r^i ' ' ' ?(7~

den G als Unbekannten auflösen oder, wie man sagt, die

Löi ■ ■ ■ CjJ ' ° '

Formel (78) umkehren.

Zu dem Ende verstehe man unter Qj' ,

Q

<i '

• ■ •, (7 ' be-
stimmte ganze Zahlen, multipliziere linke und rechte Seite von (78)
mit:

%7ti

(78)

2 (T,! y^ ^ ^ y ,, ;.^

und summiere hierauf über jedes % von 0 bis r — 1, über jedes X
von 0 bis V — 1. Von den beiden dadurch auf der rechten Seite
auftretenden Summen:

64 II. 3. Folgerungen aus dem JII. Satze; endgültige Gestalt der Formel (25).

(80)

0,1, -.r— 1

2 '

besitzt die erste nur dann einen von Null verschiedenen Wert und
zwar den Wert r^, wenn

(81) a^. = ö,' (mod. r) (v=i, 2, ■ • , »)

ist, die zweite nur dann einen von Null verschiedenen Wert und
zwar den Wert V'^, wenn

(82) Q^. = ^,,' (mod. V) (V = 1, 2, ... , 9)

ist, und da ersteres bei der Summation über die 6 im ganzen s-mal,
letzteres bei der Summation über die q im ganzen V'^~^s-mal auftritt,
und ferner jedesmal, wenn die Kongruenzen (81) und (82) erfüllt

sind G

Q\--- Qn

G

p.

ist, so reduziert sich die rechte Seite

der entstandenen Gleichung auf:
(83) r's-'^'^V^-'sG

Pi ■ ■ ■ Q,,

C,' ■ . . ö '

und man erhält schließlich, wenn man linke und rechte Seite durch
i-'j^'i-'^s dividiert, hierauf die beiden Seiten miteinander vertauscht
und endlich noch die Accente bei den Buchstaben ^, 0 unterdrückt,
die Gleichunsr:

(84)

-2

1, ., V— 1

2ni

A

e

5 ^ . 9 ^

.<( = 1 /( = 1

womit die gewünschte Umkehrung der Formel (78) erreicht ist. Man
wird dazu noch das Folgende bemerken.

Gibt man in (84) allen Zahlen q, 6 den Wert Null und ersetzt

[0 ... Ol ~''^i ■ ■ ■ '*(i~ „

und F j aus (69) und (77) durch die damit be-

zeichneten Reihen, so entsteht die Gleichung:

V?s2i/(Mj---|w^)

(85) «],••, «5

0,l,-.,r — 1 0,1,--,V — 1 /—«,.., + :

1

2

(< = !

'^^i (",.+?)'■;;

/■("'i + ^l-!»»,+ "?

Anwendung auf eine p-fach unendliche Thetareihe. 65

Die Formeln (X) und (85) stehen, wie aus dem Gange der letzten
Untersuchung erhellt, in der Beziehung zueinander, daß jede von
ihnen als die Umkehrung der anderen betrachtet werden kann; sie
können aber auch als nicht wesentlich verschiedene Formeln an-
gesehen werden, wenn man beachtet, daß ebenso wie die Formel (X)
dadurch entstanden ist, daß man in der g-fach unendlichen Reihe (1)
an Stelle der Summationsbuchstaben m neue Summationsbuchstaben
n durch die Substitution (2) einführt, die Formel (85) dadurch er-
halten werden kann, daß man in der auf ihrer linken Seite stehenden
g-fach unendlichen Reihe *

00 , ■ • , -j- CO

(86) 29M---\\)

an Stelle der Summationsbuchstaben n die m als neue Summations-
buchstaben einführt, vermittelst der zu (2) inversen Substitution (5).

§4.

Anwendung der Formel (X) auf eine j^-fach unendliche

Thetareihe.

Die im VIII. Satz angegebene Umformung einer beliebigen un-
endlichen Reihe soll jetzt auf die ^9 -fach unendliche Thetareihe an-
gewendet werden; dabei mögen nur die Koeffizienten der Substitution,
um sie von den Thetamodulen a , zu unterscheiden, mit d be-
zeichnet werden. Es handelt sich also um die Umformung der jo-fach
unendlichen Reihe:

(87)

^

Kl'

— CO , ■ ■ , + X 2 ^ "f^fi' ('"/« + ^f'> *'V' + ^/<') + 2 ^ ("V' + ^/'^ ^"/' + 'V< "^ ')

durch Einführung neuer Summationsbuchstaben n vermittelst der
Substitution:

p

(88) r m^^ = ^ d^^ ^ n^ , o< = i, 2, ■ • ■ , p)

bei der r eine positive ganze Zahl, die d p^ ganze Zahlen mit nicht
verschwindender Determinante A = ^+ f^nd^^ •■• d^^ bezeichnen.
Definiert man Größen g implicite durch die Gleichungen:

(89)

*'(/,u

VT , 9v

v = l

(^ = 1,2,.

■,P)

Krazer, Thetafunktionen.

5

66 n. 4. Anwendung der Formel (X) auf eine ^)-facli unendliche Thetareihe.

oder explicite durch die Gleichungen:

p
(90) 9v = ^^\..9t., (v=i,2,...,p)

in denen d , die Adjunkte von d , in der Determinante A bezeichnet,
so wird unter Anwendung der Gleichungen (88):

p p p p ~ ^

2 2 %/'' K* + ^/') (*'V' + ^,«') ^22 ^vv^K + 5) \ny + x) '

P P — Y

/u = l v = l

wo zur Abkürzung:

p

(v, v' = 1, 2, ■ ■ ■ , p)
/7=l

H = l n'=l

p

(92) 12^..^. = ^..

p

,« = 1
gesetzt ist. Folglich wird aus der hier vorliegenden Funktion:

(93) p p p

durch Einführung der Größen w:

qM--- :»*p)

(''') iiv.(..+|)(v+|)+.i(.,+|)(.4'")

r' = l »-'=1 r=l

= e

und es geht aus der Formel (X) unmittelbar die folgende Gleichung
hervor:

p
0,1, ■■,y — 1 0, 1, ■■,?• — 1 VT ^ ^•'^*'

(95) ?!.■ .?» «^1' '^

• 1' "i^i' 1' ' p

P P / = J_5r\ / 77,_l-=A i*

■ X , • • , -|- CO

2 2 '.-.' ("..+'4^) (•.+"-:^') + '2, (".+'4^) ('..+4^")

f = 1 »■'= 1

«1 > • • . «o

Hauptformel. 67

Die in der letzten Zeile stehende p-^ach unendliche Reihe ist eine
Thetareihe mit den Modulen h^,^,.-^ zur Konvergenz dieser neuen Theta-
reihe bedarf es keiner weiteren Voraussetzungen. Bezeichnet man
nämlich den reellen Teil von a^^^, mit »"„„', den reellen Teil von h^,^,
mit s^j,, , so erhält man wegen (92):

p p p p

(96) 22 ^»' "' 2^" ^«■' =^22 ^ /'' ^f^ ^,"' '

wenn man zur Abkürzung:

p
(97) -f ^f?,o !/,.=- ^,. (^=1,2,...,^)

v = l

setzt, und erkennt daraus sofort, daß die auf der linken Seite von
(96) stehende quadratische Form eine negative ist, sobald es die auf
der rechten Seite stehende ist, daß also die neue Thetareihe mit der
ursprünglichen konvergiert. Führt man aber für diese neue Theta-
reihe die gewohnte Bezeichnung ein, so nimmt die Gleichung (95)
die Gestalt:

p

2fti -^^ _
0, 1, ■■, V — 1 0, 1, ■ ,r - 1 ^ ^ ^v "v

(98)r^V^-^.^g]((4,= 2' 2' '^' ^

2Ät _ _^ ^

A

'A

an, und man hat das folgende Resultat:

IX. Satz: Hängen von den Modulen a^^^, und den Argumenten
u^^ einer gegebenen Thetafunktion die Modulen h^^, und die Argumente
v^ einer neuen ab gemäß den Gleichungen:

p p p

(XIV) b^^, =^T'2 2 ^^^v(^yy%^c', '^v-y2^^^-%'

{v,v- = l,2,---,p)

in denen r eine positive ganze Zahl, die d p^ ganze Zahlen mit nicht-
verschwindender Determinante bezeichnen, so drückt sich die gegebene
Ihetafunktion durch die neuen aus mit Hilfe der Gleichung:

o,i,.-,v — 1 0,1, --.r— 1 "~7Ä"-«^ ^»''^''

(XV) rPV^-i.^ß](«=^ ^ e '=' ^

Qv-'^P ''V'^P

Dabei ist zur Abkürzung gesetzt:

5*

"g + g"

A
h-\-G

68 H. 4. Anwendung der Formel (X) auf eine p-fach unendliche Thetareihe.
p

(XVI)

p

/" = !

P

p

iu=l

(v = l, 2,--.,p)

es hemchnet A die Bcternnnante ^+ ä^xd^^ ••• d^^, V ihren absoluten
Wert und d die Adjanläe von d^^ in A, und es ist endlich unter s
die nach dem III. Satse zu berechnende Anzahl der Normallösungen
des Kongruenzensystems:

p
(XVII) ^ d^^ V ^v = Ö (°io<i- *") c« = 1, 2, . . ■ , p)

r = l

verstanden.

Setzt man in der Formel (XV), indem man unter q eine positive
ganze zu r relativ prime Zahl versteht, d^^ = d^^ == • ■ • = d^^ = q,
alle übrigen Zahlen d , aber der Null gleich, so nimmt dieselbe
nach einfachen Reduktionen die Gestalt:

(99) '>--^ß]W« = !2

0, 1, • -,? — 1 0,1, ••,/• — 1

vle

2ni ^ g^^a^,

an, bei der die Größen v, h jetzt mit den Größen u, a durch die
Gleichungen:

(100)

v^. = — u

V? ^v»' ~ Zä" ^VV'

(v, j''=l,2, •••,p)

verknüpft sind, und aus der weiter, indem man das eine Mal r = 1,
das andere Mal g' = 1 setzt, die folgenden Formeln erhalten werden.

X. Satz: Für beliebige positive ganze Zahlen q und r bestehen die
Gleichungen:

(XVIII)
und:

&

0,1, ••,9 — 1

K](M),- ^

^

0,1, -.r-l

(XIX) ^•^^Hw.= 2' ^ ^+^ CfL

^i'--'"i>

2^

C^wl^a

^ = 1

Die der allgemeinen Substitution (88) entsprechende Thetaformel
(XV) ist von HeiTn Prym und mir^) angegeben worden; bis dahin waren

1) Krazer und Prym, Neue Grundlagen etc., pag. 72.

Spezielle Formeln. Historisclies. 69

nur ganz spezielle Fälle derselben bekannt, welche alle der zuletzt ge-
machten Annahme entsprechen, daß bei der Substitution (88) sämtliche
nicht in der Hauptdiagonale stehenden Koeffizienten d , den Wert Null
haben. Insbesondere sind die Formeln (XVIII) und (XIX) für den Fall
jj = 1 längst bekannt. Schon Jacobi^) hat bemerkt, daß die ^{n)^
darstellende Eeihe, wenn man in ihr die geraden Glieder von den un-
geraden trennt, in zwei Reihen zerfällt, von denen jede für sich eine
Thetafunktion mit dem Argumente 2u und dem Modul 4 a darstellt, und
ist so zu der Formel (XVIII) für j) = 1 und q = 2 gelangt. Schröter^)
hat diese Zerspaltung der Thetareihe in mehrere durch Zusammenfassung
derjenigen Glieder, bei denen die Summationsbuchstaben einander nach
dem Modul q kongruent sind, auf den Fall eines beliebigen q ausgedehnt
und so die Formel (XVIII) für iJ = 1 und beliebiges q erhalten, während
die Formel (XIX) zuerst von Herrn Gordan ^) angegeben wurde. Die
Formeln (X^TII) und (XIX) sind füi' den Fall jj = 1 genau jene Um-
formungen der Thetareihe, welche am Ende des § 1 unter (28) und (30)
für eine beliebige einfach unendliche Reihe angeschi-ieben sind.

Nachdem die Formeln (XVIH) und (XIX) für den Fall p = 1 ge-
funden waren, war es leicht zu ersehen, daß solche Formeln auch für
Thetafunktionen mehi-erer Veränderlichen bestehen; sie wurden zuerst
(unter Beschränkung auf den Fall ^; = 2 und q = 2) von Herrn Königs-
berger^) angegeben, doch hatte schon vorher HeiT Thomae^) die
Formel:

(101) ^W„=5 '" ^ ^

bei der:

(102) v^ = q^u^, , 6,„, = q^ q^, a^^. (v, = i, 2, - • ■ , p)

ist, aufgestellt; eine Formel, welche allgemeiner als die Formel (XVHI)
ist, in die sie für f?! = g'2 = • • • = Ö"« = 2 übergeht, und welche aus der
Formel (XV) erhalten wird, wenn man darin r = 1 und

/. ^^\ , (Ivi wenn u = v,

^ ' ^ U, wenn jit ^ v,

setzt.

1) Jacobi, Theorie der elliptischen Funktionen etc. Ges. Werke Bd. 1.
Berlin 1881, pag. 515.

2) Schröter, De aequationibus modularibus. Inaug.-Diss. Königsberg 1854,
pag. 9; auch: Brioschi, Sur diverses equations analogues aux äquations mo-
dulaires dans la theorie des fonctions elliptiques. C. R Bd. 47. 1858, pag. 337.

3) Gordan, Beziehungen zwischen Theta-Producten. J. für Math. Bd. 66.
1866, pag. 191.

4) Königsberger, Über die Transformation der Abelschen Funktionen
erster Ordnung. J. für Math. Bd. 64. 1865, pag. 33.

5) Thomae, Die allgemeine Transformation etc. Inaug.-Diss. Göttingen
1864, pag. 5.

70 n. 5. Bezieh, zw. Thetaf., deren Mod. sich um rat. Vielf. von «i unterscheiden. ^

§5.

Beziehungen zwischen Thetafunktionen, deren Modulen sich
um rationale Vielfache von rr/ unterscheiden.

Versteht man unter e^^. (fi, /u.' = 1, 2, • • -, 79) p^ ganze Zahlen,
welche den Bedingungen e„„, = e^,,^ iii, ^i,' =1,2, ■ ■ ■, p; fi < ^') ge-
nügen, und leitet aus den Modulen a , einer Thetafunktion Größen
b ^^, ab mit Hilfe der Gleichungen:

(104) a^^, = h^^, - e^,^,?ri, (/.,^' = i,2,. . .,p)

so sind auch die b , die Modulen einer konvergenten Thetareihe,
und es ergibt sich zwischen den Thetafunktionen mit den ursprüng-
lichen Modulen a , und denen mit den neuen Modulen b , auf
Grund der Kongruenzen:

1' p p p

(105) ^ ^ m^ m^. e^ ^, = ^ m], e^^=-^ m^, e^ ^ (mod. 2)

und der daraus folgenden:
p p

2 2 ^M/'' (*"> + ^/u) (^V' + ^M')

(106) ^2^(:m^+g^:)(- \e^^^+^ e^^,g^.

p p p

+ 2^1.^.9^,-2 2 c^.f.■9^.9^.' (mod. 2)

sofort die folgende Beziehung:

XI. Satz: Hängen von den Modulen a^^, einer gegebenen TJieta-
funktion die Modulen b . einer neuen ab gemäß den Gleichungen:

(XX) b^^, = a^^, + e^^.ni, o.,m' = i, 2, ...,,)

in denen die e , ]ß ganze Zahlen bezeichnen, welche den Bedingungen
^nfi' = ^Li'u (f*j f*' = 1? ^7 ■ ■ ■? i^? 1^ < i"^') genügen, so drückt sich die
gegebene Thetafunktion durch die neue aus mit Hilfe der Gleichung:

p p p

(XXI) ^ß]((«L = ^[;!JW.^=''^'='

in der zur Abkürzung:

Thetaf., deren Mod. sich um ganze Vielf. von ni unterscheiden. 71

p

(XXQ) a; = /v + y "^/'Z' ~ 2 ^/'M'^/u' ^"='' '' ■ ■ '^^

gesetzt ist.

Die Beziehungen zwischen Thetafunktionen mit Modulen a ^ ^,
und solchen, deren Modulen h , sich von diesen um gebrochene Viel-
fache von Tti unterscheiden, für welche also:

(107) h^^^, = a^^, + -^%i (^,/.=i,2,...,p)

ist, wo r eine positive ganze Zahl, die e , ganze Zahlen von der
vorher betrachteten Art bezeichnen, können dadurch erhalten werden,
daß man zunächst vermittelst der Formel (XVIII) die gegebene

Funktion ■^ f ((m))^ durch Funktionen mit den Modulen **^»u„. aus-
drückt, hierauf vermittelst der Formel (XXI) zu Funktionen mit den
Modulen r^a^f^^ + *"^^^'^^ übergeht, und sodann endlich vermittelst
der Formel (XIX) diese letzteren Funktionen durch Funktionen mit

e
den gewünschten Modulen 6„„, = a,,,, + -^^:ri darstellt. Auf diese

Weise gelangt man ohne Mühe zu der Gleichung:

(108)

11 jj p

c ■ P

0,l,--,r-l ~ ^ ^f'"u r (j -|

bei der zur Abkürzung:

p p

0,l,.'.,r-l -7 -5" ^V/u'^/'V^'-f ^(V + Y'"V/')?/"'

(109) G^[öi • • • (7j = V e ^=^^'-1 ^=1

Qi'-'^P
und 'i

p
(110) h;, = rh^ + Y^^/«/« -^^/<^<' V {/* = i,2,...,p)

gesetzt ist.

Die in (109) definierte, von den ganzen Zahlen e^^, • • •, 6 ab-
hängige Summe G^[^i ••• 0' ], für die im Folgenden auch das kürzere
Zeichen G^[ö] angewandt wird, gehört zu den Gaußschen Summen;
ihre Eigenschaften sollen hier nur insoweit abgeleitet werden, als
sie für die vorliegende Untersuchung in Betracht kommen.

Da das allgemeine Glied der Summe G^[(?] seinen Wert nicht
ändert, wenn man darin die Größen Qi, • • •, Qp um ganze Vielfache

72 II. 5. Bezieh, zw. Thetaf., deren Mod. sich um rat. Vielf. von tt ? unterscheiden.

von r ändert, so erleidet die Summe nur eine Umstellung ihrer

Glieder und folglich keine Änderung ihres Wertes, wenn man in

ihrem allgemeinen Gliede die Größen q um irgend welche ganze

Zahlen änderb. Es besteht daher für beliebige ganze Zahlen ~q^, •"t^p

die Gleichung:

p V p

-T 2 2 '^'."'^^ V'''"- f 2 {''^^+\'''^^^) ^/^ ^'

(111) G\_6,.-.6^-\ = e ''=^-'=^

p p p . p p

Unterwirft man nun die ganzen Zahlen q den ]) Bedingungen:

p

(112) '^e^^,Q^ = 0 (mod. r), (^' = i.2,- ,i.)

so reduziert sich die in der letzten Zeile stehende Summe auf die
ursprüngliche Summe G^[(?], und es gilt daher für je p ganze
Zahlen q, welche den Kongruenzen (112) genügen, die Gleichung:
p p p

(113) G[6] = e ^='^^'-' "=^ G[6l

Aus dieser Gleichung ergibt sich, daß G[g] immer verschwindet,
wenn die auf der rechten Seite stehenden Exponentialgröße auch
nur für eine Lösung ^i, • • •, ^^ des Kongruenzensystems (112) einen
von Eins verschiedenen Wert hat. Bezeichnet man daher die Anzahl
der Normallösungen dieses Kongruenzensystems mit s und die
s Lösungen selbst mit q^I\ • • •, q^^ (i = 1, 2, • • •, s), so muß ein
Zahlensystem 6^, • • •, <?^, für welches G[6] nicht verschwindet, die s
Kongruenzen:

(114) 12" 2" ^...■p'v;+ 2" (<',.+ !""..) p"-o («"'^■'■)

^=1 ,'('=1 /'=i

erfüllen.

Nun zeigt aber die Gleichung (108), daß es jedenfalls ein
Zahlensystem cr^, • • •, 6^ gibt, für welches (t[(?] nicht verschwindet,
und welches daher nach dem soeben Bewiesenen eine Lösung des
Kongruenzensystems (114) ist, und es kann dann mit Hilfe dieser einen
Lösung GT^, • • •, ei die allgemeinste Lösung von (114j hergestellt werden.
Zu dem Ende nehme man an, daß noch ein zweites Zahlensystem
^1} ' ' '} ^p existiere, welches die sämtlichen Kongruenzen (114) er-
füllt. Ersetzt man dann in (114) die Größen 6 einmal durch die

Unters, der melirf. Gaußschen Summe G [ff]. 73

Größen er, ein anderes Mal durch die Größen 6 und subtrahiert je
zwei entsprechende Kongruenzen der beiden so entstandenen Kon-
gruenzensysteme voneinander, so erhält man die s Kongruenzen:

p

(115) 2'(^^-^.)^;'^0 (mod.r). (. = 1,2,...,,)

Infolge dieser Kongruenzen besitzt dann der Ausdruck:
p p p

(116) e ""==' ^^ 2 ^ ^=M'=i

für jede Lösung Qi, • ■ ■, Qp des Kongruenzensystems (112) den Wert
Eins, während er für jedes davon verschiedene Zahlensystem q^, •••,Q
den Wert Null hat. Läßt man daher in ihm an Stelle des Systems
der p Größen Qi, ■ ■ -, Qp der Reihe nach die sämtlichen Variationen
mit Wiederholung der Elemente 0, 1, • • •, r — 1 zur jj)*^"^ Klasse
treten und bildet die Summe der r^' so entstandenen Größen, so ist
der Wert dieser Summe gleich der Anzahl s der Normallösungen des
Kongruenzensystems (112), und man hat daher die Gleichung:

p / p .

0,1, ...r-l / 0,1, •■,/• — 1 ~^ ^ ("u ~ "u ~ ^ «^/V)^/*\

^l'-r''p \ Ql, 'Qp J

Da die auf der linken Seite dieser Gleichung hinter dem ersten
Summenzeichen stehende, in besondere Klammern eingeschlossene
Summe nur dann einen von Null verschiedenen Wert und zwar den
Wert Eins besitzt, wenn die in ihr vorkommenden Zahlen x. ,-••,;{
SO beschaffen sind, daß für jedes |u, von 1 bis p'.

p

(118) -6^^ -^^c-2 ^f'f^' ^,«' - ^ (^°^- **)

ist, so müssen von den r^ Zahlensystemen, welche bei Ausführung
der äußeren Summation an Stelle des Systems jc^, • • ■, x treten, s die
Kongruenzen (118) erfüllen, und es gibt daher stets ein System
von 2p ganzen Zahlen ^i, ■ ■ ■, x^, A^, • • •, A^, welches die p Glei-
chungen:

p

(119) 6^^ = öT., +^^^,«' V + ''^f. if^=h^.---,P)

erfüllt. Damit ist aber bewiesen, daß ein jedes Zahlensystem 6,
welches die Kongruenzen (114) erfüllt, sich mit Hilfe ganzer Zahlen
X, k durch die oben fixierte Lösung 6 dieses Kongruenzensystems in

74 n. 5. Bezieh, zw. Thetaf., deren Mod. sich um rat. Yielf. von tt? unterscheiden.

der Form (119) ausdrücken läßt. Umgekehrt erfüllt aber auch jedes
Zahlensystem 6, welches in dieser Form darstellbar ist, die sämt-
lichen Kongruenzen fll4), und es stellt daher (119), wenn man unter
den %, A beliebige ganze Zahlen versteht, die allgemeinste Lösung
des Kongruenzensystems (114) dar.

Es soll jetzt schließlich noch bewiesen werden, daß die Summe
G[6] für jedes Zahlensystem ^j, • ■ ■, ö^ von der Form (119j oder,
was dasselbe, für jede Lösung des Kongruenzensystems (114) einen
von Null verschiedenen Wert besitzt. Zu dem Ende führe man die
in (119) definierten Zahlen 6 in die Gleichung (109) ein. Man
erhält dann nach einfacher Umformung:

p p p

(120) ^ l ^ 2 ^ X
X V e '' = ^."'=^ ^=1

Nun ändert aber die Summe G [p] ihren Wert nicht, wenn man
im allgemeinen Gliede die Größen q um irgend welche ganze Zahlen
ändert; infolgedessen hat die in der letzten Zeile der Gleichung (120)
stehende Summe den Wert G \b\ und man gelangt so schließlich zu
der Gleichung:

p p p

(121) G[^,...^J = e ^ = ^"'=^ ' = ' &[^i---y.

Da die auf der rechten Seite dieser Gleichung stehende Größe G\p\
der Voraussetzung gemäß von Null verschieden ist, so besitzt auch
die auf der linken Seite stehende Größe stets einen von Null ver-
schiedenen Wert, einerlei welche ganze Zahlen mit v.^ X bezeichnet
sein mögen. Damit ist aber die aufgestellte Behauptung bewiesen.

Das Resultat der bisherigen Untersuchung läßt sich nun dahin
zusammenfassen, daß diejenigen Systeme ganzer Zahlen 6^, • ■ -, 6 ,
für welche G [p] einen von Null verschiedenen Wert besitzt, identisch
sind mit jenen ganzen Zahlen 6^, • • •, 6 , welche den Kongruenzen
(114) genügen, und daß diese Zahlensysteme 6^, • • •, 6 sämtlich
durch das Gleichungen System:

p

(122) ^=-cr^ + 2e^,,a-V + *'^M (m = i.2,--.;»

,u'=l

geliefert werden, wenn man darin imter er^, • • •, 6 irgend eine
Lösung des Kongruenzensystems (114) versteht, für die a, 1 aber

Unters, der mehrf. Gaußschen Summe G [c].

75

der Reihe nach alle möglichen Systeme von je 2p ganzen Zahlen
setzt.

Man gehe jetzt auf die Gleichung (108) zurück. Von den rP
Koeffizienten 6r[^], welche auf der rechten Seite dieser Formel bei
Ausführung der Summation über die 6 auftreten, sind, wie im
Vorigen bewiesen wurde, nur diejenigen von Null verschieden, bei
denen die zugehörigen ganzen Zahlen 6^, • • ■, 6 sich in die Form
(122) bringen lassen. Man kann daher im allgemeinen Gliede der
avif der rechten Seite von (108) stehenden Summe die Größen 6
durch die Ausdrücke (122) ersetzen, und es geht dann, wenn man
zur Abkürzung:

(123)

p

(i" = l,2,

,P)

setzt, die genannte Summe über in die neue:

(124) 5=2^ G[or, 4-^1

"^p + %] «

/i=i

7'^

%■

h' + ä + n

zu deren Bildung die rechts angedeutete Summation in der Weise
auszuführen ist, daß an Stelle des Systems der 2^j Größen x^, •••, ^p,
A^, • • •, k nur solche Systeme von ganzen Zahlen treten, für welche
die p Größen h^-^-^i, ■ • •, ^p-\- Vp sämtlich in Zahlen aus der Reihe
0, 1, • • •, r — 1 übergehen, und zudem von diesen Zahlensystemen
nur so viele als erforderlich sind, damit jedes im Rahmen dieser
Bedingungen mögliche System in der Tat einmal aber auch nur
einmal auftritt.

Vergleicht man mit dieser Summe S die Summe:

(125) S'^'^G[6, + y^,---6p + rip]e

> 9 {(1 +1 )

r ^^ u ft f.(

^l=l

d-

der:

(126)

%

p

(^=1,2,- -.p)

ist, und zu deren Bildung die rechts angedeutete Summe so auszu-
führen ist, daß an Stelle des Systems der p Größen Xj^, • • •, y,^ der
Reihe nach die sämtlichen r^ Variationen mit Wiederholung der
Elemente 0, 1, • • •, r — 1 zur p^^^ Klasse treten, so erkennt man
leicht, daß die Summe 5" das s- fache der Summe S ist, wenn s wie
früher die Anzahl der Normallösungen des Kongruenzensystems (112)

76 n. 5. Bezieh, zw. Thetaf., deren Mod. sich um rat. Vielf. von tti unterscheiden.

bezeichnet, da die r^ Glieder der Summe S' in — Gruppen von je s

untereinander gleichen Gliedern zerfallen, jeder solchen Gruppe von
s Gliedern aber stets ein aber auch nur ein ihnen gleiches Glied von
S entspricht.

Auf Grund dessen kann man in der Formel (108) das 6 -fache
der auf der rechten Seite stehenden Summe durch die Summe >S' er-
setzen, und man erhält dann, wenn man noch die in der Summe S'
vorkommende Größe G[h -\- r[\ mit Hilfe von (121 j durch die Größe
G\p\ ausdrückt, das folgende Endresultat:

XII. Satz: Hängen von den Modulen a^^,^, einer gegebenen TJieta-
funMion die Modulen h , einer neuen ab gemäß den Gleichungen:

(XXm) b^^, = a^,^, + "^^i, (,«,.'=1.2,. ..,p)

in denen r eine positive ganze Zahl, die e , p^ ganze Zahlen be-
zeichnen, welclie den Bedingungen e^ , = e^, (/i, fi' = 1 , 2, • • •, |;; /t < |u.')
genügen, so drücM sich die gegebene TJietafmiktion durch die neuen
aus mit Hilfe der Gleichung:

p p p

(XXIV) p p 2^/i\ 9^

^~T u^=l n'^l ,u=l ' j"=l

-^ '

h'-\-8-\-ri

w

Dabei ist zur Abkürzung gesetzt:

p p

(XXY) A; = rh^ + Y ^«./. - ^ e^.'^'M' ' Vi. = 2 e^^' ^' *,

es bezeichnet weiter s die Anzahl der Normcdlösungen des Kongru^nzen-

systems:

p

(XXVI) ^^/',u'V-^ (mod. r); (. = 1,2,. ...p)

.'=1

unter h^, • • •, h^ ist irgend eine Lösung des Kongruenzensystems:

(XXVII) 1 2" 2" «„,.«.!:'?;;!+ 2" (*. + 4 '■^..)e;:=o ("»d..-),

,M= 1 fl'=l ," =1

((• = 1,2, .-.,«)

Endformel. 77

m verstellen, in dem gf , ■ • ■, y^'^ (i =1, 2, ■ ■ -, s) die sämtlichen
Normallösungen von (XXVI) hezeichtien; endlich ist:

0,1,

1-^2 ^V,'<'?,"«'/'"''-f ^(«^+Y''V/')?,«'"

(XXVni) G[_6] = ^ e '='"'=' '-'

Die auf der rechten Seite von (XXIV) bei Ausführung der Sum-
mation auftretenden r^ Summanden können in — Gruppen geordnet

werden, indem man zu einer Gruppe jedesmal diejenigen Summanden,
immer s an der Zahl zusammenfaßt, für welche sich die p Größen
7}^, ■ • •, rj nur um ganze Vielfache von r ändern, wenn man von
einem dieser s Summanden zu einem anderen von ihnen übergeht.
Die s in einer Gruppe vorkommenden Summanden besitzen dann den-
selben Wert, und man kann daher in obiger Summe jede solche Gruppe
von Summanden durch das s-fache eines beliebigen Summanden er-

setzen. Führt man diese Vereinigung für jede der — Gruppen aus,
so geht die in Rede stehende Summe in das s-fache einer Summe

r-P

von — wesentlich verschiedenen, d. h. nicht aufeinander reduzierbaren

s

Summanden über.

Die Formel (XXI) wurde von Herrn Prym und mir^), die Formel
(XXR") von mir^) angegeben; der erste Versuch Thetafunktionen , deren
Modulen sich um gebrochene Vielfache von Tii unterscheiden, miteinander
in Beziehung zu setzen, findet sich bei Henoch. ^)

§ 6.
Anwendung der Pormel (X) auf ein Produkt von Thetareihen.

Gegeben sei ein Produkt von n ^>fach unendlichen Thetareihen:

(127) ^ [^j;j] ((t*(^))),a, & \^^ ((.*(^))),.2, • • • # [j3 (M)«... ,

deren Modulen a^f^. ganzzahlige Vielfache der Modulen a^^^, einer
einzigen Thetafunktion seien, sodaß also:

1) Krazer und Prym, Neue Grundlagen etc. pag. 72.

2) Krazer, Über ein spezielles Problem der Transformation der Theta-
funktionen. J. für Math. Bd. 111. 1893, pag. 64.

3) Henoch, De Abelianarum functionum periodis. Inaug.-Diss. Berlin 1867,
pag. 17.

78 n. 6. Anwendung der Formel CS.) auf ein Produkt von Thetareihen.

ist, wo die p^'-'^ positive ganze Zahlen bezeichnen. Die np -fsich unend-
liche, das Produkt (127 J darstellende Reihe:

-. +. -. +. i i"„'i'"'«"+»;r')(»?'+«')

(129) 2 ■■- 2 e'"""' ' *""'

}

bei der für ^i = \, 2, • • -, p> das System der n Summationsbuchstaben
m , ■••, m abgekürzt mit \ni,l bezeichnet ist, und das dem be-

— oc , ■ • , -f- ao

stimmten Index [i entsprechende Zeichen ^ andeuten soll, daß

nach jedem der n Summationsbuchstaben wr , • • •, ni von — oo bis
+ oü zu summieren ist, soll jetzt dadurch umgeformt werden, daß
man der Reihe nach für ^=1,2, •••,|9an Stelle der Summations-
buchstaben m , • • •, m neue Summationsbuchstaben n , • • •, n
einführt mit Hilfe der Substitution:

(130) r»<^'-2^o<'°'n|:>. ipiX::'!^

0=1
Definiert man dann Größen g implicite durch die Gleichungen:

(131) rg<f-±o^'^^ e:;:t::;:)

ff=i
oder explicite durch die Gleichungen:

n
o = l

in denen A den Wert der Determinante ^+ 6^'^^ d'^^^ • • • 6'"'^^ und y^?''^
die Adjunkte von d^'^'> in dieser Determinante bezeichnet, so wird:

p=i

o = l a'=l \ p=l /

(133)

-2k

' + 'i)T 2 "''"¥;' + ''':'")■

a—1 0=1

Einführung der neuen Summationsbuchstaben. 79

Legt man daher, damit die entstehende w^-fach unendliche Reihe in
Produkte von n Reihen, von denen jede ^-fach unendlich ist, zerfalle,
den Zahlen c^?") die Bedingungen:

(134) JL V^(?)c(?-)c(?''') = f/' "^^""^ '^,^^' Ka'=1.2,...,«)

V y r^^^ 0 wenn 6-^6,

7^°K wenn 6' = ö,
auf und setzt zur Abkürzung:

(135) ^i; «'*"'■<'-<' (;=::«;:■■;;)

und

(136) 2^''"'^^-^'^ C^m::::;:)

so wird:

(137)

= 1 0 = 1

^ = 1 a==l

{/',/t' = l. 2, ••■,P)

Folglich wird aus der hier vorliegenden Funktion:

(138) /K'l •■•!<')

_ W=l^'=l Q=l ^ = 1^ = 1

durch Einführung der Größen n:

(139) i/K^|---|»^r)

^K"Sr^+fX"?^+?)+^i iGr+?)Gr+?-)

u = l iii'=l a=l j(t = la = l

und es geht aus der Formel (X), wenn man statt der dortigen Sum-
mationsbuchstaben Q, 6 die Buchstaben a, ß schreibt, unmittelbar die
folgende Gleichung hervor:

80 II- 6- Anwendung der Formel (X) auf ein Produkt von Thetareihen.

,(!)"

(r"^"-'sy^\^^^^^jiu(')ln>---d-

i^^'"\<n>

(140)

_l7^ y ^ (a) („,
0,1,-,V — 1 0,1, ,r — 1 rA ^ ^ ^ /' '^ f

a=l <( = 1

e '

-2 2

=(«),%('')

"V ff=i^ = i/('=i

(7 = 1 /(=1

Die in der letzten Zeile stehende Reihe ist dabei eine «2) -fach
unendliche, bei der über jeden der np Summationsbuchstaben

*% ( ~ ' ' ' ) unabhängig von den übrigen von — oo bis -|- oo

zu summieren ist; dieselbe zerfäUt aber, wie man unmittelbar sieht,
in das Produkt von n je p-fach unendlichen Reihen und diese ^9 -fach
unendlichen Reihen sind Thetareihen mit den Modulen:

(141)

/ a = l,2, • ..nX
\/<, /<'=!, 2, • -.p/

deren Konvergenz, weil die g(") positive Größen sind (die man un-
beschadet der Allgemeinheit als ganze Zahlen annehmen kann) keine
weiteren Voraussetzungen verlangt. Unter Anwendung der gebräuch-
lichen Bezeichnung wird daher die Gleichung (140) zu der Formel:

(»•"V"-^s)P'0-

■,(")'

K^i----^L;(«)J(W).-

n p

2ni ^ ^^„)-(a)

0,1, ■•,V — 1 0,1, -.r — 1 rA ^ ^ ^" ' i"

a=l|« = l

[a]

m

iU2) =2' 2 '

A

hW + ßW

A

t_ r -1

((,(")

und man hat das Endresultat:

XIII. Satz: Bezeichnen p^'^\ • • •, p^"\ (/^\ • • ■, c/"^ 2n positive
ganze Zahlen von der Beschaffenheit, daß für die mit ihnen als Koef-
fizienten gebildeten quadratischen Formen:

(XXIX)

V

B^ 2j p^^^ ^^^^ Q = ^ Q.^"^ y^"^^

2

Endformel.

81

eine lineare Substitution:

(XXX)

rx

■?) = ^^ c^Q")y("),

(0 = 1,2, •••,»)

hei der r eine positive ganze Zahl, die c'-''"'> n^ ganze Zahlen mit nicht
verschwindender Determinante bezeichnen, existiert, ivelche die Form P
in die Form Q überfühi, deren Koeffizienten also den Gleichungen:

("^ wenn (?'= <3,

■^ (a,o' = l,2,-,n)

wenn 6

(XXXI) ~yjp($)c^Q^)c^?''') = ^ '

r ■^^ 0, wenn o s^ a ,

genügen, so besteht zwischen einem Produkte von n Thetafiinkiionen mit
den Modiden a^^\ = p^°^ a,,,. ( ^,~ ' ' ') und Produkten von je

n ThetafunMionen mit den Modulen b^"\ = q'"^ a,,,.. ( '^,~ '' ' )
die Gleichung:

ir''V"-^sy»\^'!^iu^^\n>---&\^]^^^^^^

Wl

n p
2ni ^ >n=(ö)-(a)

a = l .« = 1

_i^ ^ ^ (a)-(n
0, 1, ■, V — 1 0, l,_,r— 1 rA ^ ^ ^ft ' fi

(XXXII) =2 2'

d-

rpW + sW-1

rp(") + s(")

A

- r -

^^'^ia. •

d-

A

- r

:(^(%»'-

JBa dieser Formel sind die Argumente v mit den Argumenten u ver-
hiüx^ft durch die Gleichungen:

(xxxni) ,,(..„ 2" o'""<'; Ci;:'::::;;)

0=1
es ist ferner zur Abkürzung gesetzt:

(XXXIV) 5;:' = .■2'/^'"»:;', Äif-J"«""';.^", c;:,';';.::;:)

(j=i (j=i

?<?o&ei y(? '^) fZie Adjunkte von c^? ''^ m der Determinante A =^± c^^^c^^^) • • • c^"")
bezeichnet; es ist ebenso:

(XXXV) 5';'-'-2'»''''"'«;f' ?^=2'^°'(^f' {:=i:v:::;;)

(j=i (j=i

0, 1, • , V — 1

und es deutet das Zeichen ^ an, daß über jede der np Größen

Krazer, Thetafunktionen. 6

82 n. 6. Anwendung der Formol (X) auf ein Produkt von Thetareihen.

^u \—i9 ' ) '^^^^^^^^^9^9 '^^^^ f^<^*^ übrigen von 0 his V — 1, das

0,l,-,r—l

Zeichen ^ , daß über jede der np Größen ß'f r ~ .\' ' )

von 0 his r — 1 zu summieren ist; es hezeicJmet endlieJi s die nach dem
III. Satz zu hercchnende ÄnzaJd der Normallösungen des Kongruenzen-
systems:

(XXXVI)

^c'^oo)^{o)^Q (mod. r).

($. = 1,2, •••,«)

Durch Umkehrung der Formel (XXXII) kann mau auch ein
Thetaprodukt mit den Modulen h"^\^, und den Argumenten v" durch
Thetaprodukte mit den Modulen a^ . und den Argumenten ^r' aus-
drücken. Diese Umkehrung wird durch die Foi-mel (85) geliefert,
wenn man darin die Funktionen f und g durch ihre Ausdrücke aus
(138) und (139) ersetzt. Man erhält dann zunächst:

(V" sy ^

A

- r -I

(143)

0, 1, • -.r — 1 0, 1

2

A

i_ }• _j

(MV-

^

r

C^^^^i'

^

/*« +

r

^)

A -

((^^"^i-,

wobei zur Abkürzung gesetzt ist:

(144) x,<^'=i;c<'°'.::', c''^-'2r"°'^V; (■=;;';::;;;)

CT=1 ff=l

und hieraus, indem man:

(145) ■ f^ = AJc^"\ U^^^rP, ('^=;'!'''1

^ ' '^Z* i" ' /< ,« ' V' = l)2,- •■,i'/

also:

(146) ^(^> = - >" c^^'^^A-^''^ = 5^:^, //^^ = -^ y.^^'^H^"^ = '^^

^ >' ^/t 7- ^^ fi r ' ," A .^J ' f A

a=l a=l

/o = 1, 2, . . . , «\

V'( = l, 2, ■ ■,;>/

setzt, sofort die gewünschte Formel in der Gestalt:

Umkehrung der Formel (XXXII).

83

(V" sy # ['^|;j] ((.(^))v. • • • ^ ['^] iv^%^.

(147)

0,1, ••,?•— 1 0,1,- ,v — l rA ^ ^ ."■ ,"

2

^

-ä;^(^) + x(^H

rw+r

(1)

U^'\<V

&

r

(M)a<--

Zu den vorstehenden Formeln wird man noch das Folgende he-
merken. Aus den Gleichungen (XXXI) folgt, indem man mit t eine
der Zahlen 1, 2, • • •, n bezeichnet, linke und rechte Seite mit y^'"')
multipliziert und hierauf nach ö' von 1 bis n summiert:

(148)

_^p(r)^.(r«)_^(„)^(ra).

(r, 0 = 1, 2, •••,«)

es sind also die Adjunkten y^''"^ in der Determinante A mit deren
Elementen c^-"' durch die Gleichungen:

(149)

A «(? )

r^ q(o)

(Q,a=l,2, ■■,„)

verknüpft. Infolge dieser Beziehungen kann man die oben mit g
imd r bezeichneten Größen auch in der Form:

.(?)

r.(^")

(loO) g'^^ == -^ 2j 1' ^ y;.' V =^ >.-7::vt/

rq'^

(Q, a = l,2, ■ ■ ■, n\

darstellen; das Gleiche gilt natürlich für die Größen a und X\ End-
lich ergibt sich aber aus (149), indem man die Determinante der ir
Größen y^?"^ bildet, die Gleichung:

(151)

pWp(.^) . . . pi")

Die Foi-mel (XXXII) ist zuerst von Herrn Prym und mir^) auf-
gestellt und als die Fundamentalformel für die Theorie der Thetafunk-
tionen mit rationalen Charakteristiken bezeichnet worden.

Die in diesem Paragraphen gelöste Aufgabe, die das Thetaprodukt

(127) mit den Modulen a^'^\ ^ /^'^ a, , , ( ^,^ !'!'"'") darstellende
wjj-fach unendliche Reihe vermittelst der Substitution (130) unizu-

1) Kvazer und Prym, Neue Grundlagen etc., pag. 20.

6*

84 II. 7. Erste Spezialisierung der Formel (XXXII).

formen, ist ein spezieller Fall der allgemeineren Aufgabe, zu der ein
Produkt von w Thetafunktionen mit beliebigen Modulen a ' , darstellenden
wp-fach unendlichen Reihe in allgemeinster Weise eine Substitution:

o = l » = 1

mit rationalen Koeffizienten so zu bestimmen, daß die nach Ausführung
der Substitution auftretende I2jj-fach unendKche Reihe ein Aggregat von
Produkten von n Thetafunktionen mit je ]) Veränderlichen v?ird. Bezüg-
lich dieser allgemeinsten Aufgabe habe ich^) Folgendes bewiesen.

Soll zu einem Thetaprodukte mit den Modulen a ' , ( , / „' ' )

überhaupt eine Substitution der verlangten Art existieren, welche nicht
in das Produkt von n auf die n einzelnen Thetafunktionen sich beziehen-
den Substitutionen von der in § 3 betrachteten Art zerfällt, so müssen die
Modulen der n Thetafunktionen in gewissen Beziehungen zueinander
stehen, und zwar ergibt sich (wenn man nur annimmt, daß die Modulen
der einzelnen Thetafunktionen nicht singulare sind, d. h. daß zwischen
ihnen keine linearen Relationen mit ganzzahligen Koeffizienten bestehen;
in welchem Falle außer den hier betrachteten allgemein gültigen Sub-
stitutionen noch gewisse singulare Substitutionen existieren können), daß
zu den n gegebenen Thetafunktionen mit den Modulen a '■' , und den n
nach geschehener Substitution auftretenden Thetafunktionen mit den Mo-
dulen 1) , 2n Substitutionen von der in 8 3 betrachteten Art so be-
stimmt werden können, daß diese Funktionen sämtlich in Aggregate
von Thetafunktionen übergehen, deren Modulen ganzzahlige Vielfache der
Modulen einer einzigen Thetafunktion sind. Daraus schließt man aber,
daß sich die allgemeinste Substitution (152) immer aus Substitutionen von
der in § 3 betrachteten Art, welche sich auf die einzelnen Thetafunk-
tionen beziehen (Substitutionen E), und einer Substitution von der in
diesem Paragraphen betrachteten Art (Substitution D) zusammensetzen läßt
in der Form E^DE^.

§ 7.
Erste Spezialisierung der Formel (XXXII).

Zwei spezielle Fälle der gewonnenen Endformel (XXXII) ver-
dienen besonders hervorgehoben zu werden; der erste ist der, daß
die positive ganze Zahl r, der zweite der, daß die sämtlichen Zahlen
p, q den Wert Eins besitzen.

Ist >• ^ 1 , so ergibt sich aus dem XIII. Satze sofort der

1) Krazer, Über allg. Thetafo. Math. Ann. Bd. 52. 1899, pag. 369.

Die Zahl r hat den Wert 1. Hauptformel.

85

XIV. Satz: Bezeichnen iP\ ■•-, P^"\ (l^^\ • • •, 2^"' 2»i positive
ganze Zahlen von der Beschaffenheit, daß für die mit ihnen als Koef-
fizienten gebildeten quadratischen Formen:

(XXXVII) p=2 ^^^^ *^"^' ' ^^2 'j^"^ y^'

eine lineare SubstittUion:

(XXXVIII)

x(Q) = ^ e^^''h/"\

(o = l, 2, ■■■,?!)

hei der die 6" "^ n^ ganze Zahlen mit nicht verschtvindender Determinante
bezeichnen, existiert, ivelche die Form P in die Form Q üherführt, deren
Koeffizienten also den Gleichungen:

■,(<j)

(XXXIX) y'y.),;'?'»*-)»«' ^^"" " -"' „„„■=,,,■.,.)

^ ^ ^ ^ 0, wenn 6 ^a,

genügen, so besteht zwischen einem ProdiiJcte von n Thetafunktionen mit
den Modulen a,^ , = tr^ a,,,. ( ^, ^Z"' ' ) und Produlden von je

n Thetafunldionen mit den Modulen b ,=^Q a.,,. ( ,~ ^' J ' ]
' f'^'■ ^ ''•" \fi, (i =1,2, ■ ■■,2)/

die Gleichung:

(XL)

^{n-i)P JQ-

0, 1, ■ , V — 1

A

[v^'%v-^

A

i^'"%-,

während umgeTiehrt:

V"p%-

U'%v-^

V"y
j(")j

'M"%n,

0, 1, ,V-1 A ^ ^ hi hi.

(XLI) = V e ?=!/'=!

^

((^^^^i<:

&

ist. Bei diesen Formeln sind die Argumente v mit den Argumenten u
verknüpft durch die Gleichungen:

(XLn)

„(o)

=^

(o a) (o)

C" u^ :

/a = l,2, ■• -.nX

gß II. 7. Erste Spezialisierung der Formel (XXXII).

.es ist ferner für die Formel (XL) zur Ahldirzimy gesetzt:

n n

(XLIII) 9\-2j^ 'J^^ ^=Z'^ ^' 1 = 1.2, •,/>)

ivobei y(<? ") c??e ÄdjunJäe von c^? ") m ^er Determinante A =^+ c^^^^c'^^^ • • • c^" "^
bezeichnet: es ist ebenso:

n

(XLIV) <-Z/?^ % 1 = 1.2, -.J

c=i

0, 1, ■, V — 1

und es deutet das Zeichen ^ an, daß über jede der np Größen

[a]

(?) I P — ' . ■ ■ . »n iinahliänriiff von den anderen von 0 bis V — 1 ^^w
summieren ist. Für die Formel (XLI) ist zur Abhürzung gesetzt:

(XLV) ° = 1 ' '' = ' ' /o = l,2,...,n\

a = l
0,1, ■, V — 1

und es deutet das Zeichen ^ an, daß über jede der np Größen

^(") ("""'' ' ) imabJiänaiq von den anderen von 0 bis V — 1 zu
summieren ist. Infolge der Beziehungen:

„(?)

■(XL VI) /'-' '') = A ^-^j C(? "^ (o, a = 1, 2, . . . , n)

lann man den Größen g und r auch die Gestalt:

(XLvii) C"4i^^''"^'"'<'' r""=v^'i;3^'c

(o, 0 = 1, 2, , «\

' ,u = l,2,--,p)

geben. Das Gleiche gilt von den Größen 7c und r. Endlich besteht
zwischen den Zahlen p, q und der Determinante A die Beziehung:

M) o(2) . . . A»)

Schrötersche Formeln. 87

Die Formel (XL) ist zuerst von Herrn Krause^) mitgeteilt und von
ihm „Additionstheorem zwischen Thetafunktionen mit verschiedenen Mo-
dulen" genannt worden. Viel früher ist die umgekehrte Formel (XLI)
durch Herrn Gordan") bekannt geworden.

Aus den Formeln (XL) und (XLI) sollen noch jene auf Pro-
dukte von nur zwei Thetafunktionen bezüglichen Formeln abgeleitet
werden, welche zuerst Schröter angegeben hat. Zu dem Ende
setze man:

(153) 2>(i) = m, p^^) = n

und weiter, indem man unter s und t positive ganze Zahlen versteht,
welche untereinander relativ prim sind und von denen die erstere
auch mit n, die letztere mit m keinen Teiler gemein hat:

(154) o(ii) = nt, c(^2) _ s^ ^(21) _ _ ,^j^,^ ^.(22) _ i

Es wird dann:

(155) 'J^^^ ^ ^^*'* ^'''^'^ ~^ ^^ ^^)' ^^'^^ ^ '''*^^ '^ ''^^^'
Es ist weiter:

-(1) 4. (1) (2)

a\ = taj — sa ,

\^^^) -(2 (1) I , (2)

bei der Summation über die a hat jeder der 2p Summationsbuch-
staben a^ , a'J (^ = 1, 2, • • •, ^>) unabhängig von den anderen die
Reihe der ganzen Zahlen von 0 bis A — 1 , oder eine Reihe von A
zu diesen nach dem Modul A kongruenten Zahlen zu durchlaufen.
Man darf daher, da der Voraussetzung nach t relativ prim zu A ist:

(157) <^,f = ^/^M (f. = i,2,-..,p)

setzen und über die ß von 0 bis A — 1 summieren. Durch die Sub-
stitution (157) wird aber, wenn man zur Abkürzung:

(158) . «|;)-s/3 =£„ (. = 1,2,....,)

1) Krause, Über Fouriersche Entwicklungen im Gebiete der Thetafunc-
tionen zweier Veränderlichen. Math. Ann. ßd. 27. 1886, pag. 424. Etwas
früher wurde die Formel (XL) für den Fall einfach unendlicher Thetareihen und
unter der speziellen Annahme p'i' = . • • = p'"^ = 1 von Herrn Krause in
seiner Abhandlung: Zur Transformation der elliptischen Functionen. Lpz. Ber.
Bd. 38. 1886, pag. 39 mitgeteilt. Das ,, zweite Additionstheorem" des Herrn
Krause (a. a. 0. Math. Ann. Bd. 27. 1886, pag. 425) entsteht aus der Formel
(XXXII) für r = 2.

2) Gordan, Bez. zw. Theta-Prod. J. für Math. Bd. 66. 1866, pag. 189.
Später als die Herren Krause und Gordan hat die Formeln (XL) und (XLI)
Herr Mertens, über eine Verallgemeinerung der Schröterschen Multiplications-
formeln für Thetareihen. Progr. Köln 1889, angegeben.

88

II. 7. Erste Sijezialisierung der Fonnel (XXXU).

setzt:

(159)

ä^'^ = ts.., «Jf^ = ms5^, + A/3^,

(^ = 1, 2, ■ ,/>)

und es geht das auf der rechten Seite von (XL) als allgemeines
Glied der Summe auftretende Thetaprodukt in

rp^^^ -\- mss'

(160)

»

■t'^ + ts-

A

A

[.(2))),

V2'

Über. Beachtet man dann noch, daß nunmehr a ^' und ß^^ nur noch
in der Verbindung e^^ auftreten, «^ aber jeder der Zahlen 0, 1, •• •, A — 1
und zwar jeder A-mal kongruent wird nach dem Modul A, wenn
u^^ und ß unabhäno-iLC von einander die Reihe dieser Zahlen durch-
laufen, so erkennt man, daß man in der aus (XL) hervorgehenden
Formel die Summation auf der rechten Seite so ausführen kann, daß
man über jede der p Größen € von 0 bis A — 1 summiert, wenn
man nur gleichzeitig die linke Seite durch A^ dividiert.

In derselben Weise wird, wenn man A^ durch tJ.J ersetzt:

(161)

wo zur Abkürzung
(162)

/LI Ifl'

(2)

= — sr/' + AA

(2)

l(l)

(2)

(fi = l,2,--,p)

(^ = 1,2, •••,p)

gesetzt ist, und es geht das allgemeine Glied der auf der rechten
Seite von (XLI) stehenden Summe in

p

(163)

#

((^t(^)ia. &

r Ä'(') -1

A -

im

j2>e

/" = !

über. Beachtet man dann wiederum, daß J^^ und l^"^^ nur noch in
der Verbindung ?/„' auftreten, ?/,/ aber jeder der Zahlen 0, 1, •••, A — 1
und zwar A-mal kongruent wird nach dem Modul A, wenn A^^ und A^^
unabhängig von einander die Reihe dieser Zahlen durchlaufen, so er-
kennt man, daß man in der aus (XLI) hervorgehenden Formel die
Summation auf der rechten Seite so ausführen kann, daß man über
jede der p Größen tj,/ von 0 bis A — 1 summiert, wenn man nur
gleichzeitig die linke Seite durch A^' dividiert.
Man erhält so schließlich das Resultat:

XV. Satz: Ber Substitution:

(IL)

{ft=^i,2,--,p)

Schrötersche Formeln.

89

hei der m und n zivei beliebige positive ganze Zahlen, s und t aber
sivei positive ganze Zahlen bezeichnen, ivelche zueinander relativ pnm
sind, und von denen die erstere mit n, die letztere mit m Iceinen Teiler
gemeinsam hat, entspriclit die Theto formet:

(L)

&

0, 1, ••, A — 1

,{iy

A

,(2)-

A

IJ6<2. ,

während umgekehrt:

(LI)

0, 1, , A — 1

= V #

v^'y)\>v»

[V^'%2.

A J

lum

,«2)6

2ni "^ k^^^ )] '
<" = !

ist. Bei diesen Formeln sind die Argumente u und v verhlüpft durch
die Gleichungen:

v''^ =
(LH)

(2)

j (1) (2)

ntu — msu ',
su^'^ + tu''\

H ' fl }

fl fl
fl fl

(2)

msv\'
ntv^'^

(/' =

1, 2, , P)

es ist ferner:

(LIII)

a^^\ = ma„„. ,

(2)

a , = na,,,,,,
fifi ^</« '

(/',/

weiter setzen sich die Größen g, h. Je, r aus den Größen g, h, k, l
zusammen vermittelst der Gleichungen:

(LIV)

k^'

5'"= '!>':- <>.

ntU'^-msh^\
fl fl '

9f~ms,': + ntgf,

fl ' fl y

fl ' fl >

«i« + «.p,

fl ^ fl J

-<'+<;

(/( = 1, 2, ■••,;))

endlich ist id)erall zur Abkürzung:
(LV) /«s2 4- nt^

gesetzt.

90 II. 8. Zweite Spezialisierung der Formel (XXXII).

Die Formel (L) wurde von Schröter zuerst^) für den speziellen
Fall s — f = 1 und später^) in der vorliegenden allgemeineren Form mit-
geteilt; noch etwas allgemeiner ist die gleichfalls aus (XL) ohne Mühe
ableitbare, von Hoppe "^J mitgeteilte Formel, welche der Substitution:

(1) /-T (1) 7 (2)

(164) ^. I , J M (/, = i,'V •,/')

(2) 7 (1) I r 7 (2)

fi '^ /' ' ' n
entspricht, in der a, &, • • •, li ganze Zahlen bezeichnen.

§ 8.
Zweite Spezialisierung der Formel (XXXII).

Als zweiter spezieller Fall der Formel (XXXII) soll jener aus-
geführt werden, in welchem alle Zahlen p, <i den Wert Eins be-
sitzen, die Koeffizienten der zugiamde liegenden Substitution also den
Relationen:

/-,nr\ '^ / ^ / 'S *'^> wenn 6'=^ 6,

^i 0, wenn 6 ^6,

genügen. Aus (149) folgt dann:

(166) yiQ") ^ —^ c^Q") ^ (o,a=l,2,...,n)

und es wird daher

/CT = 1, 2, ■ , n\

V( = 1, 2, ■ • - , p/

r

Auf Gfrund von (151) besitzt weiter die Determinante A den Wert:
(168) A = + r-,

und es ist daher über jeden der np Summationsbuchstabeu a von 0
bis r" — 1 zu summieren. Beachtet man aber, daß das allgemeine

1) Schröter, De aequat. med. Inaug.-Diss Königsberg 1854.

2) Schröter, Über die Entwicklung der Potenzen der elliptischen Trans-
cendenten %■ und die Theilung dieser Fimctionen. Hab. - Schrift. Breslau 1855.
Für ^ >> 1 finden sich solche Formeln zuerst bei Königsberger, Über die
Transformation etc. J. f. Math. Bd. 64. 1865, pag. 24.

3) Hoppe, Verallgemeinerung einer Relation der Jacobischen Functionen.
Arch. für Math. Bd. 70. 1884, pag. 403. Die von Herrn Huebner, Über die
Umformung etc., Progr. Königsberg 1891, angegebenen Formeln (I) — (VI)
pag. 37 u. f. entstehen aus solchen Formeln in Verbindung mit Formeln (XIX).

Die Zahlen p und q haben den Wert Eins.

91

Glied der auf der rechten Seite von (XXXII) stehenden Summe
für zwei Werte von er , welche einander nach dem Modul r kon-
gruent sind, den gleichen Wert besitzt, so erkennt man, daß die eben
genannte Summe das /•("~^)''^^- fache jener Summe ist, welche man aus
ihrem allgemeinen Gliede erhält, wenn man über die np Summations-

buchstaben a^'-^^ \ ~ -,' "^ ' ) nur von 0 bis r—1 summiert. Mau

^i \a= 1,2, ■■ -^p/
erhält so den

XVI. Satz: Sind die Variablen v^"^ 1 ~ / „' ' ) i^i-it den

i« \ii=l,2,--,p/

Variablen uf \ ~^\' ' ) verknüpft durch die Gleichungen:

(LVI)

rv ' = > c^ ' if ,

Q=l

\fi = l,2,- ,p)

in denen r eine positive ganze Zald, die c ganze Zahlen bezeichnen,
welche den Eelationen:

(LVII)

^Ao
P = i

ir..^ f^^'^ * . wenn 6 = ö.

0, wenn ö'^ (?,

(<T, a' = l,2, ■ •■, ?0

genügen, so besteht zwischen einem ProduJde von n Thetafunktionen mit
den Argumenten uf und Prodidden von je n Thetafunktionen mit den
Argumenten v und den nämlichen Modulen die Gleichung:

(LVIII)

0,1, ,»•— 1

{r"sy'd-

t-J^)

(1)-1

r

((«W))...#

/,(")1

(1)]

d-

r -1
Dabei ist zur Abkürzung gesetzt:

;,('0 _^ ß{n

ni^n

_2ni y y-{n)-{o)
a ^ 1 ^( = 1

(LIX)

n

-w 'ST^ (?") (")
?=1

e = i

^,.„2' .'-'<';

/ff = l, 2, ■ -^reX
1^=1,2, ^p/

die Summation ist über jede der 2np Größen a^f, ß'^f (^_ ■,' «' ' }
von 0 bis r — 1 zu erstrecken, und es bezeichnet s die nach dem

92 II. 8. Zweite Spezialisierung der Formel (XXXII).

III. Satz zu hcrechnende Anzahl der Normallösungen des Kongruensen-
systems:

n

(LX) ^ 6'i ") x^") = 0 (mod. r).- (? = i, 2, • ■ • , «>

0=1

Die Formel (LVIII) wurde von Herrn Prym ^) auf dem hier an-
gegebenen direkten Wege der Umformung des links stehenden Theta-
produktes durch Einführung neuer Summationsbuchstaben abgeleitet, nach-
dem sie von ihm schon früher^) unter der Beschränkung c''-^"^ = c'^"^^
((>, (T = 1, 2, ■ • •, w; 9 <C ö) dui-ch funktionentheoretische Betrachtungen war
gewonnen worden.

1) Prym, Ableitung e. allg. Thetaf. Acta math. Bd. 3. 1883, pag. 216.

2) Prym, Unters, ü. d. Riemann'sche Thetaf. etc. II. Verallgemeinerung
der Riemann'schen Thetaformel.

Drittes Kapitel.

Ein zweites allgeiueines Prinzip der Umformnng
unendlicher Reihen und dessen Anwendung auf

Thetareihen.

§ 1-

Umformung einer einfach unendlichen Reihe vermittelst der
Pourierschen Formel.

Die Funktion F (z) der komplexen Veränderlichen z sei ein-
wertig und stetig in dem ringförmigen Gebiete T, welches zwischen
den mit den Radien e+^ und e"^ um den Nullpunkt beschriebenen
Kreisen gelegen ist, wo p eine gegebene positive Größe bezeichne; dann
gilt für jeden Punkt z in diesem Ringgebiete T die Laurentsche
Entwicklung:

wo die Integration in positivem Sinne zu erstrecken ist über eine
beliebige den Nullpunkt umkreisende, ganz im Ringgebiete T gelegene
geschlossene Kurve C, etwa den Einheitskreis. In der Formel (1) führe
man jetzt an Stelle der Variable z eine neue Variable x ein mit Hilfe
der Gleichung:

(2) z = e2x«,-_
Setzt man dann:

(3) F{z)=^0{x),

so wird aus (1):

(4) ^{x)==^ r^(|)e2«(-§)«'f/^,

+ 00 "^ 2

n= — oo

94 III. 1- Umf. einer einfach unendl. Reihe vcrmitt. der Fourierschen Formel.

WO die Integration auf der reellen Zahleuachse von — }j bis + i ei*-
streckt wird.

Dem Ringgebiete T in der ^-Ebene entspricht in der rr-Ebene
ein Streifen S, längs der reellen Zahlenacbse sich erstreckend und

von den zu dieser parallelen Geraden durch die Punkte x = + -f~. be-

grenzt. Damit die Funktion F(z) im Ringgebiete T einwertig sei,
muß die Funktion 0{x) im Streifen S periodisch sein mit der
Periode 1. Besitzt die Funktion 0(^x) diese Eigenschaft nicht, so
kann die Formel (4) gleichwohl zu ihrer Darstellung dienen, aber
nur innerhalb jenes Rechteckes B, das durch die zur lateralen Zahlen-
achse parallelen Geraden durch die Punkte x = + ^ ^^^ dem Streifen S
ausgeschnitten wird. Damit ferner die Funktion F(z) im Ringgebiete
T stetig sei, muß 0(jt') stetig sein im Streifen S beziehlich im Recht-
ecke B. Handelt es sich, wie im Folgenden, nur um die Darstellung
von 0(x) für reelle Werte von x, so kann, indem man die Zahl p
hinreichend klein wählt, der Streifen S beliebig schmal gemacht
werden. Da aber jene Funktionen, auf welche in den nachstehenden
Untersuchungen die Formel (4) angewendet wird, den Bedingungen
der Einwertigkeit und Stetigkeit in der ganzen a;-Ebene genügen, so
braucht darauf nicht eingegangen zu werden; es wird vielmehr der
bequemen Ausdrucksweise wegen vorausgesetzt, daß die auftretenden
Funktionen allenthalben einwertig und stetig seien.

Eine andere Ableitung der Formel (4) aus der gewöhnlichen Fourier-
schen Formel habe ich ^) früher gegeben.

Nun sei gegeben eine unendliche Reihe:

+ 00

(5) F=^am),

m= — X

deren allgemeines Glied /'()») die Eigenschaft besitze, daß f{m + x)
eme einwertige und stetige Funktion von x ist. Es gilt dann nach
(4) für jedes reelle x, das der Ungleichung — ^ < o: < + -5- genügt,
die Gleichung:

(6) f{m + x) =2] 1 /"("^ + i)e^"^^-^^"'dl,

2

woraus speziell für x = 0:

1) Krazer, Die Transformation der Thetafunctionen einer Veränderlichen.
(Erste Abhandlung). Math. Ann. Bd. 43. 1893, pag. 429.

Die Fouriersche Foiinel; ihre Anw. auf das allg. Glied d. Reihe. 95

+ x

a) f{m) =^ J f{m + |)c-2"^-V7|

?i = CO

folgt. Führt man diesen Ausdruck an Stelle von f{ni) in die Glei-
chung (5) ein, so erhält man:

(ß) ^ = 2 2 Jfhn + l)e-'--^"'d%.

m= — »w^ — » y

Die gewünschte Umformuug der unendlichen Reihe (5) wird jetzt
dadurch erhalten, daß man auf der rechten Seite von (8) die beiden
Summationen miteinander vertauscht und hierauf die Summation nach
m ausführt. Man erhält so zunächst:

-|- 00 + oo

n= — » m^ — » i

(9) F=^ 2 j f{m + i)c-'--^^un

und hieraus, da:

77!= QO j

• 2 +00

(10)

7« ^ — cc i

ist, die Gleichung:

(11) -^ = ^ j f{^)e-'^'^^'"di,

W = — CO _^

welches die gewünschte Umformung der gegebenen unendlichen Reihe
darstellt.

Was die soeben vorgenommene Umstellung der Summationen
betrifft, so darf dieselbe, da es sich um unendliche Reihen handelt,
nicht ohne weiteres vorgenommen werden; es muß vielmehr nach-
gewiesen werden, daß die rechte Seite von (8) durch die Ausführung
dieser Operation keine Wertänderung erleidet. Es läßt sich nun ein

9G ni. 2. Anwendung der Formel (I) auf die einfach unendliche Thetareihe.

sehr allgemeiner Fall angeben, in welchem eine solche Wertänderung
jedenfalls nicht eintritt. Definiert nämlich die Reihe:

(12) F{x)=^f(imi-x)

gleichfalls eine einwertige und stetige Funktion von x, so kann auch
auf diese Funktion die Formel (4) angewendet werden und man er-
hält zunächst-

(13) F{x) = 2 J F{l^)e'-^-^)^'dl;

hieraus aber, wenn man a; = 0 setzt und gleichzeitig bei der Reihe
i^(|) die Integration gliedweise ausführt, die Gleichung (9).

Man hätte diesen Weg zur Gewinnung der Endformel (11) von
vornherein einschlagen können; daß es oben nicht geschehen ist, hat
seinen Grund darin, daß dabei das eigentliche Wesen der Um-
gestaltung der unendlichen Reihe, nämlich die Umformung des all-
gemeinen Gliedes der Reihe verwischt wird.

I. Satz: Besitzt das allgemeine Glied f(ni) einer unendlichen Beihe

-l-x

die Eigenschaft, daß f\m + x) und ^f{ni -f x) eimvertige und stetige

m = — X

Funliionen von x darstellen, so gilt die Fminel:

(I) 2 /"(*") ^2 1 f^^^ ^~ '"""" ^^^-

m = — X ?j = — x_jj

Der Gedanke, eine beliebige unendliche Reihe vermittelst der Fouriex--
sebeu Formel umzugestalten, findet sich zuerst bei Poisson. ^)

§ 2.

Anwendung der Formel (I) auf die einfach unendliche

Thetareihe.

Setzt man in der Formel (Ij:

n4) f(x) = ea(x + gf + 2(x + g){u + hni)

SO geht die auf der linken Seite stehende unendliche Reihe in
^K (m)^ über, und man erhält so hierfür den Ausdruck:

1) Poisson, Memoire sur le calcul numerique des integrales definies.
Nouv. Bull. Soc. Philom. de Paris 1826, pag. 161 und Mem. de Tacad. d. sc.
de rinst. de France. Annee 1823. Bd. 6. 1827, pag. 571.

Umform. ders. vermittelst der Fourierscheu Formel. 97

n = — ao

bei dem jetzt noch die Integration nach oc auszuführen ist.

Um dies Ziel zu erreichen, definiere man Größen h und v durch
die Gleichungen:

(16) & = — , V = ~M

und bringe den Exponenten auf der rechten Seite von (15) in die
Form :

(17) a(x + gf + 2(x + g) (u + hni) - 2nx7ti

=.a[x + g + ''^^^-''^'^)'-^^2gh^i + h{n-liy+2{ji~h){v+gni).

Die Ausführung der auf der rechten Seite von (15) stehenden Inte-
gration reduziert sich dann auf die Ausvs^ertung des Integrals:

a\x-\-g-\ ^ — /

e^ '' ' dx-,

00

beachtet man aber, daß die Formel:

(19) J^(^+')'dx=^Y^

+

besteht, bei der ]c und l von der Integrationsvariable x unabhänsfise
Größen bezeichnen, deren erste der Bedingung zu genügen hat, daß
ihr reeller Teil negativ ist, während der Wert der zweiten beliebig
gewählt werden darf, und bei der die auf der rechten Seite stehende
Wurzel so auszuziehen ist, daß ihr reeller Teil positiv wird, so kann
man auf Grund derselben das Integral (18) auswerten und erhält:

(20) 'T-V'^-

+

Führt man diesen Wert in die Gleichung (15) ein, nachdem man in
derselben den Exponenten durch den unter (17) aufgestellten Aus-
druck ersetzt hat, so geht aus der Gleichung (15) die Gleichung:

M- . -|-CO

(21) -^ r^l (w)^ = T/h^ e" ^ "^ ^ ''' S^^(n-hy + Hn-h){v + g;ti)

I n = — oo

hervor und man hat, wenn man die auf der rechten Seite stehende
unendliche Reihe durch die ihr entsprechende Thetafunktion er-
setzt, den

Krazer, Thetafunktionen. 7

98 ni. 2. Anwendung der Formel (I) auf die einfach unendliche Thetareihe.

II. Satz: Hängen von dem Modul a und dem Argumente u einer
gegebenen Thetafmiktion der Modul h und das Argument v einer neuen
ah gemäß den Gleichungen:

SO sind diese Thetafunktionen miteinander verlcnüjift durch die Glei-
chung :

(III) *g](„)„=-|/^. ' »r/]H,

+

hei der die auf der rechten Seite stellende Wurzel so auszuziehen ist,
daß ihr reeller Teil positiv wird.

Die Formel (III) war schon Gauß ^) bekannt; die ersten Veröffent-
lichungen finden sich bei Cauchy^), Poisson^), Jacobi^) und Abel^).
Daß man zur Gewinnung der Formel (III) statt der Foxirierschen Formel
den Cauchyschen Residuensatz benutzen kann, ist natürlich und findet sich
von Herrn Landsberg ^) ausgeführt. Andere Methoden der Ableitung der
Formel (HI) haben die Herren Gordan ^) iind Rausenberger ^) angegeben.

Man pflegt die Formel (IH), indem man sich den Modul a und das
Argument u der gegebenen Thetafunktion als reelle Größen denkt, den
Übergang von einer Thetafunktion mit reellem Ai-gument zu einer solchen
mit imaginärem zu heißen.

1) Gauß, Nachlaß: Zur Theorie der transcendenten Functionen gehörig.
Werke Bd. 3. Göttingen 1876, pag. 436. Der Herausgeber will diese Blätter
von 1808 datieren, doch glaubt Enneper (Elliptische Functionen. Theorie und
Ge.schichte. 2. Aufl. von F. Müller. Halle 1890, pag. 135) sie schon an das Ende
des 18. Jahrhunderts setzen zu sollen.

2) Cauchy, Sur une loi de reciprocite qui e'xiste entre certaines fonctions.
Nouv. BuU. Soc. Philom. de Paris 1817, pag. 121; und: Sur les fonctions re-
ciproques. Exerc. de Math. Seconde annee. Paris 1827, pag. 141; vergl. auch
Lebesgue, Note sur une formule de M. Cauchy. J. de Math. Bd. 5. 1840,
pag. 186.

3) Poisson, Suite du memoire sur les integi'ales definies et sur la somma-
tion des series: Sommation des series de quantites periodiques. .1. de l'Ec. pol.
Bd. 12. 1823, pag. 404.

4) Jacobi, Notices sur les fonctions elliptiques. 1828. Ges. Werke Bd. 1.
Berlin 1881, pag. 249; vergl. auch Rosenhain, Memoire sur les fonctions etc.
pag. 396.

6) Abel, Note sur quelques formules elliptiques. 1829. Oeuvres compl.
Bd. 1. 2. Aufl. Christiania 1881, pag. 477.

6) Landsberg, Zur Theorie der Gaußschen Summen und der linearen
Transformation der Thetafunctionen. J. für Math. Bd. 111. 1893, pag. 234.

7) Gordan, Über die Transformation der 0 Funktionen. Hab. -Schrift.
Gießen 1863.

8) Rausenberger, Beitrag zur linearen Transformation der elliptischen
Functionen. J. für Math. Bd. 91. 1881, pag. 335.

Die Fouriersche Formel für Funkt, mehrerer Veränd. 99

§ 3.

Ausdehnung der in § 1 ang-egebenen Umformung auf
mehrfach unendliche Reihen.

Die Formel (4) ist ein spezieller Fall einer allgemeinen, auf
eine Funktion von mehreren Veränderlichen bezüglichen Formel, die
jetzt mit ihrer Hilfe abgeleitet werden soll.

Man bezeichne mit ^{Xi\ •• • \x^) eine einwertige und stetige
Funktion der q komplexen Veränderlichen x^, • • •, x und setze für
x= 1, 2, • •■, ^- 1:

(22) g^xK-'-^^JC^^+x)

+- +-

= J d^i • • -J ^^x ^(^1 I • • • I ^J ^x+i I 0 I ■ • • I 0)e ^=1

^n^x^ni

1 1

indem man unter w^, • • •, n^ irgend welche ganze Zahlen versteht.
Die Formel (4) für den speziellen Wert a; = 0 auf die Funktion 95^
angewendet liefert die Gleichung:

.. -^

(23) (p^ K • • • »«xl (0) = ^ j dx, ^1 95, [«1 • • • w J {x^_ ^1) <

"x+l^x+l^

"x + l = — "_ J^
2

Beachtet man aber, daß das auf der rechten Seite dieser Gleichunor
stehende Integral, wenn man darin cp.^ durch den Ausdruck (22) er-
setzt, mit ^J^f + i [»^1 • •• W;, + i](0) identisch wird, so kann man der
Gleichung (23) auch die Gestalt:

(24) 9,,K ■■•%} (0) = 2 9x+i bh • • • ^^x + i] (0)

«x + l = -=^

geben, und es gilt diese Formel zunächst für x = 1, 2, • • •, g — 2;
aber auch für %^ q— 1, wenn man (p \n^ ••• wJ (0) durch die Glei-
chung:

+ 1 +1 9

clx^---j dx^^{x^\---\x^e

c=\

definiert, während für x = 0 der auf der rechten Seite stehende Aus-
druck gemäß der Formel (4) die Größe 0 (0 | • • • | 0) darstellt. Man

100 III. 3. Ausdehnung der in § 1 angegebenen Umf. auf mehrf. unendl. Reiben.

erhält daher durch wiederholte Anwendung der Formel (24) das
System von Gleichungen:

+ 00

7!l= 30

-|- SO "f" *

(26) =2' 2i'9'2K»*2](0)

n,= — 00 n, = — 00

+ » +<

=2 •••2i'^vK---^Kö)

-X n,,^= — 00

und gelangt auf diese Weise zu der Formel:

(27) 0(O|...|O)

+ - +-

+^ +» T^ p

=2! ■■•2 j f^^i--j f^^(^ii---i^.)

n, = — oon„ = — X j j

welche die gewünschte Verallgemeinerung der Formel (4) ist.

Die Formel (27) soll jetzt zur Umformung einer gegebenen
mehrfach unendlichen Reihe:

•00, ■ ■ ,-|- CO

(28) F=^fim,\...\m^)

benutzt werden. Zu dem Ende verstehe man unter q eine der Zahlen
1, 2, • • •, 2^ und setze in (27)

(29) 0(xi\---\x^)= f{m, + x,\---\ m^ + x^ \ m^^^ \---\ m^) ;
man erhält dann daraas:

(30) fim,\...\mp)

— ao,--,-j-oo'' ■^ _

= ^ j dx^"- I dx/(^m^ + x^\■^■\m^-\-x^\m^_^,^\■■■\mp)e

und weiter, indem man diesen Ausdruck in (28) einführt:

ümf. einer mehrf. unendl. Reihe vermitt. der Fourierschen Formel. 101

(31) F=^ ^ jdx,...

+ 1 9

Die gewünschte Umformung der Reihe (28) wird jetzt dadurch
erhalten, daß man auf der rechten Seite der Gleichung (31) die an
letzter Stelle stehende, auf die Größen n^, ■ ■ ■, «, bezügliche Sum-
mation mit der auf die Größen m^, • ■ ■, w bezüglichen den Platz
wechseln läßt imd hierauf diese letztere ausführt. Man erhält so
zunächst:

»1. -."9 '"2 + 1. .'"p "'l.-.'"3 1

+ - ?

2 „ "^^ .

/— 2 ^^ n^x^nt
äxj{m^ + -^1 1 • • • I wi,^ + x^ I >Wj+i I • • • I Wp)e '=i

und hieraus durch wiederholte Anwendung von (10) die Gleichung:

— cc,-., + x — x,.., + oc +^

(33) i^ = 2 2 /r/^,...

»l.-."5 ™j+l.-."'p — x

?

+ « —2 ^ n^x^ni

t = l
C

•••J f^/"(-^l|---kJ»^ + l' ••• |W^J'

welche die gewünschte Umformung der gegebenen unendlichen Reihe
darstellt.

Was die oben vorgenommene Umstellung der Summationen be-
trifft, so wird man in Übereinstimmung mit dem in § 1 Bemerkten
das Folgende angeben. Definiert die Reihe:

— oc , • ■ , -f- X

(34) F{x^\--'\x^)=^^f{m^ + x^\---\m^ + x^\m^^^\---\mp)

«1,- ■ ,mp

gleichfalls eine einwertige und stetige Funktion der Veränderlichen

102

in. 4. über eine Eigenschaft der Thetamodulen ci , .

•, X , auf welche die Formel (27) angewendet werden darf, so

erhält man:

00 , • • , -)-'

+4-

+1

(35) i^(0|.-.10) = ^ Jdx,---fdx^F{x,\.--\x^)e * = i * '

«1. .«, _i^

2

Diese Formel geht aber, sobald man bei der Reihe F{xi\ ••• \x^ die
Integration gliedweise ausführt, in die Formel (32) über. Man hat
daher den

III. Satz; Besitzt das allgemeine Glied /"(»Wi | • • • | w*p) einer ge-
gebenen p-fach unendlichen Reihe die Eigenschaft, daß f{m^ + ^ii ■'•

CO , • • , -|- 00

\n\ + x^\m^^^\ ••• |Wp) und 2 f{mi+x^\-"\m^+x^\m^^^\---\m^,

»«1 , ■ ■ . '"p
wo q eine der Zahlen 1, 2, • ■ •, p bezeichnet, einwertige und stetige
FunMionen von x^, • ■ ■, x^ darstellen, so gilt die Formel:

— co,--, + a)
mi,-,m

^%)

(IV) =2" 2"

"1. >", '«2+1

-t-oo

/ dx^ • • •

'p 00

+ 00

■jdxj(x,\---\x^\m^^^\-'- \mp)e

•2 ^n^x.ni

§4.
Über eine Eigenschaft der Thetamodulen (i^^--

Im folgenden Paragraphen wird von einer Eigenschaft der Theta-
modulen a , Gebrauch gemacht, welche unmittelbar aus der Kon-
vergenzbedingung für die Thetareihe abgeleitet werden kann.

Zu dem Ende bezeichne man in gleicher Weise, wie es pag. 11
in Bezug auf die Größen r geschehen ist, mit aj^ die Determi-
nante:

a-i 1 a-io ■ ■ * cti .. 1 a^

(36)

QG

*1, l' - 1
2, l'-l

-1,1 "'v-1,2

'v-1, v-1 "V-1,(J

a

Ci v-1

qa

Die mit den Thetamod. als KoefiF. gebildete quadrat. Form.

103

wobei V, Q, 6 Zahlen aus der Reihe 1, 2, • - •, p bezeichnen, die auch
teilweise oder alle einander gleich sein können, und der Fall v = 1
in der Weise aufzufassen ist, daß alsdann die Determinante a^'^ sich
auf das einzige Element a„„ reduziert, sodaß also a mit a „ iden-
tisch ist. Zwischen den Determinanten a'^^ besteht dann wie zwischen
den Determinanten r'^ die im folgenden zur Anwendung kommende
Relation:

(37)

tv na

(v) (v) (»■— 1) (" + 1)

v^ vflT r — 1, J — 1 no /

die für jedes v von 1 bis ^ — 1 gilt, wenn man noch im Falle v = l

unter ft^^ die Einheit versteht. Diese Relation ist für die folgende

Untersuchung stets im Auge zu behalten. Man bezeichne endlich

noch den reellen Teil irgend einer Größe z mit Sa[z\, den lateralen

mit ß[4

Der Konvergenzbedingung für die Thetareihe zufolge muß für

reelle Werte der x, die nicht sämtlich Null sind, der reelle Teil der

Form:

p p

^ ^ ^/«/«'^/tv

(38) A{x^\---\x;)^

stets einen negativen Wert besitzen. Setzt man jetzt zunächst x^ = 1,
a^g = 0, • • •, ä;^ == 0, so nimmt A{x^\- • ■\x^ den Wert ct^^ an, und

es muß daher 91 \^\\\ <^ ^ ^^i°- ^^ infolgedessen ct^^ =(=0 ist, so
kann man A zunächst in die Form:

(39)

A{x,\...\x;) = ctl[^

(1) / . ^ .

+

a'v2

/( = 2 /('=2

1'

"S.! (2)

> a , x,x,.

bringen. Bezeichnet man jetzt zur Abkürzung die Größe 9t

rJi)

Wj, die Größe 2

-4V-I

mit

mit v^ i und setzt ^^ = — Mj , a?2 = 1, a;3 = 0,

0, so nimmt A den Wert:

(40)

- a'^;vl +

XI)
*11

an, und es muß daher 9t

r«(2)-

22

_a

< 0 sein, da nur dann der reelle Teil

der Größe (40) einen negativen Wert haben kann. Da aber in-

104

III. 4. Über eine Eigenschaft der Thetamodulen a

Hfl •

ttcta

(2)

folgedessen -^ 4= 0 ist, so kann mau A weiter in die Form :

^ (^1 1 • • • I S) = ö^n ( ^1 + TT) ^2 + ■jr)^3 +

(41)

+ rn l ^2 + r9\ ''^a |- ■ ■ ■ "T

j(l) V'z

*22

a;..,

1 p p
''22 ;;J^3 f^3

Bezeichnet man jetzt zur Abkürzung die Größe ^

7(2)1

*23

La:,

mit 2<2> die

Größe 2

mit Vo?', weiter die Größe 9^

L«22J

und die Größe £

X2 = u^, 3/3=1, x^ = yjj

(i)-l

13

(i)
11-'

mit u^

„(1) „(1)

"12 . "13

li) "2 "1 (1)

mit ^2'/ und setzt alsdann a;j = — Mg',
^ = 0, so nimmt Ä den Wert:

(42)

(1) /2 "22 2 , ^^

~ ^11 ^2 ~ _(r) ^2 + _(2)
«1 1 1*00

an und es muß daher 'Si

r «(3)1
33

Lct'J

< 0 sein, da nur dann der reelle Teil

der Größe (42) einen negativen Wert haben kann. Fährt man so
fort, so ergibt sich schließlich für Ä(Xi\--'\Xp) die Zerlegung:

Ä{x,\---\x^) = aiVU + "j'^^^, + ••• + ~M^^p-i + y^^J

(43)

fl(2^ / a(2) a^^)

a

11

(1) \'"2

a;

a.

i^) P
22

+

„(i^-i) / a(^-^) \

"js — 2,i)— 2 ^ "■p — l,p — l '

»

+

,(P-1)

W^

und man hat zugleich erkannt, daß die reellen Teile der ip auf der
rechten Seite von (43) vor den Klammern stehenden Koeffizienten:

Anw. der Formel (IV) auf eine p-fach unendl. Thetareihe. 105

„(2) Jp-1) Jj>)

(1) "22 '^p — \,p—l "'pp

,(1)' ' >-2) ' o(P-l)

*11 "p — 2,p—2 "p — l,p — 1

"ll "p — 2,p—'2 ^\

sämtlich negative Werte haben. Man hat so den

IV. Satz: Bezeichnet man für v = 1, 2, • • •, p mit a/^^ die De-
terminante:

SO besitzen die reellen Teile der p Größen:

(VI) «^^^ ^^-^

n' ,,(1)' ' «(J"-i)

sämtlich negative Werte und es folgt insbesondere daraus, daß die p De-
terminanten a selbst sämtlich von Null verschieden sind.

§ 5.

Anwendung der Formel (IV) auf eine ^)-fach unendliche

Thetareihe.

Setzt man in der Formel (IV):

p p p

(45) /■(^i|---|^,) = ^"=^'"'=^

so geht die auf der linken Seite stehende ^-fach unendliche Reihe in
die Thetafunktion -ö-Klfitla über, und man erhält für diese den
Ausdruck:

— 00 , ■ ■ , -f- X— (»,--,4-x +«' +«>

(46) ^ß]((«L = 2' ^ jdx,...fdx^e^,
bei dem zur Abkürzung:

9 q q p

e = l f'=l 8 = 1 i; = j-|-i

(47) + 2j 2 Sn- (*^. + 9r) (^,' + 9,) + 2^ (x, + ^J K + K^i)

' 1 '?'=2 + l f==l

P q

+ 2^(m^+^,^)(w^ + /^,^;r^) -'i'^n^x^Tii

'! = ? + l «=X

106 ni. 5. Anwendung der Fonnel (IV; auf eine p-isich unendl. Thetareihe.

gesetzt ist, und bei dem jetzt noch die auf die Größen x^, ■ • •, x,
bezüglichen Integrationen auszuführen sind.

Um dies Ziel zu erreichen, definiere man Größen h, v, c durch
die Gleichungen:

'?;«.,.

(48)

qq 99 0 = 1

{f,t'=l,2, ■■■,2) (e = l,2, ■■•,2; r, = q + l,q + 2,--,p)

"52 d = l d'=l
(>?. '/'=? + !, 2 + 2, -.P)

dv "dd' %'

^^ = >) 2^ "d'i ''^ ' ^ = ^s -- ^ ^ 2" «

"92 d = l "29 d = l d'=l

(s = l,2, •■,9) ('! = ?+l,? + 2, • ,p)

9 r p

C. = ^. + ^ ^*d + 2 (^, + fi',) «rf^ - K - ^d)^*

d = l

'? = 9+l

(s = 1, 2, • . , 9)

-,(?) '

4'? = ^ ± "11 ^22 •

*99>

in denen a die stets von Null verschiedene Determinante;

11

(49)

CT, (s, £'= 1, 2, • • •, g) aber die Adjunkte von a^^. in dieser Deter-
minante bezeichnet, und bringe W in die Form:

q q q q

■qf

M. U.

6 = 1 f'=l '^JS f=l *— 1

9 9 9

(50) +2^gXni+^^h^, {n^ - A J {n, - \)
f=i «=i *'=i

9 p p p

f = l >! = 9 + l '7 = 9 + 1 ti'=q+l

9 P

+ 2^{n-h:){v^^g,7ti) + 2^(m,+ 5',)(^+ ^^0-

'? = 9 + l

Die Ausführung der auf der rechten Seite von (46) stehenden Inte-
grationen reduziert sich dann auf die Auswertung des Integrals:

(51)

+ 00 -fx ^ ^a,,.(^, + o,)(^,. + v)

■=Jdx,--J

dx^e'^^'-^

Umfonn. ders. vermittelst der Fourierschen Formel. 107

Den hier auf der rechten Seite im Exponenten stehenden Ausdruck kann
man aber auf Grund von (43), wenn man mit k^, k^, • • •, k die in
ihren reellen Teilen negativen Größen:

(1)' ' ? „(9-1)

U "j — 1, 2 — 1

mit l^, l^, • • -, l die Ausdrücke:

k = Ci + -J^ (^2 + ^2) + • • • 4- ^%^ (^,_ 1 + c,^_ 1) + -^ {x^ + c,),
"11 ^11 "11

i(^^ «(^) a(^)

12 / I \ I I ifS — 1 / I \ I 1 9

^2 = ^2 + -^1) (^3 + C3) + • • • + ^^ (^, + C,),

'*22 ^*22

(53)

g— 1.9

-1)
}— 1, 3—1

i,_, = <;,,_, + ,,Li)'" (^, + <:,),

', -^

bezeichnet, in der Form:

9 <i q

(54) 2' 2 «^ ^' (^^ + ^^) (^^' + ^^') = ^ '^> (^^ + ^^)'

als Summe von Quadraten linearer Funktionen der x darstellen und
erhält dann mit Hilfe der Formel (19) für das Integral (51) den Wert:

(55) J^y^y^...y^^f^.

Führt man diesen Wert in die Gleichung (46) ein, nachdem man
dort den Exponenten W durch den unter (50) dafür aufgestellten
Ausdruck ersetzt hat, bezeichnet die Summationsbuchstaben m, 4.1, • • •, w
nunmehr durch w^ + i, • • •, w^ und definiert Größen g', h' durch die
Gleichungen :

(56) 9,'--K, K = g^, 9,' = 9,, K =^ K

(f = l,2, ■••,9) {l=q + l,q + 2,--,p)

so geht aus der Gleichung (46) die neue:

99 9

p p p

hervor und man hat den

108 ni. 5. Anwondung der Formel (IV) auf eine p-fach unendl. Thetareihe.

V. Satz: Hängen von den Modulen a^^, und den Argumenten u
einer gegebenen nietafunktion die Modulen b , und die Argumente v
einer neuen ab gemäß den Gleichungen:

a]'' • O"

g

"qq "'qq 6 = 1

(f, t' = l, 2, • ■•,2) (f = l,2, •••,9; >/ = ? + l, 9 + 2, •■ -.p)

(VII) b

11
9 '/ 9

^^ = ^)2'''^''^' ^ = ^ - i 2 ^«?]'«<5.%'^

"'qq d = l "qq 6 = 1 6'=1

(6 = 1,2,. -,9) ('? = 9+l,9 + 2, ■ -.p)

in denen a die Determinante ^ + a^^a^^ '" %q} "Ie' (^?^'=1?^>"">2)
aber die AdjunJde von a^^, in dieser Determinante bezeichnet, so sind
diese ThetafunMionen miteinander verknüpft durch die Gleichung:

9

-ü+2 ^9,h^ni

(VIII) »g]((4„=|/^% •=' *ß;]w.,

in welcher:

(I^) (/.'--K K-9e, 9,,' =(/,,, V=^;

(f = l,2, •■■,9) ('/ = *+!, 2 + 2, •■■,;')

ist, in welcher ferner zur ÄbMirzung:

"qq 1 = 1 t'=\

gesetzt ist, und in welcher endlich zur Bestimmung des VorzeieJwns der
auf der rechten Seite stehenden Wurzel die Gleichung:

^^) V^-firV^-

■Vi^

zu dienen hat, bei der:

(XII) Jc, = a^l, Ä-, = ^, ..., Jc^

"n

99

«9-1,2-1

ist und jede der q auf der rechten Seite stehenden Wurzeln so aus-
gezogen iverden muß, daß ihr reeller Teil positiv ivird.

Die Formel flV) ist insofern einer Verallgemeinerung fähig, als
die q Größen x^, • • -, x , nach denen auf der rechten Seite integriert

Endformel. Anzahl der verschiedenen Formeln. Der Fall q = p. 109

wird, durch irgend q andere unter den p Größen x^, • • -, x ersetzt

werden können, sodaß die Formel (IV) r\ verschiedene Formeln

repräsentiert; und da weiter für q jede der Zahlen 1, 2, • ■ •, p ge-
nommen werden kann, so schließt die Formel (IV) im ganzen

(58) 0 + (^ + . .. + (.). 2.-1

verschiedene Formeln in sich. Das gleiche gilt von der Thetaformel
(VIII), in welcher einmal an Stelle von q jede der Zahlen 1, 2, •••,^
gesetzt werden kann, und dann bei gegebenem q die Indices a und £
statt der Zahlen 1, 2, • • •, <? irgend q der Zahlen 1, 2, • • •, p-^ vi, rf
jedesmal die p — q übrigen durchlaufen können. Die eine dem Werte
q= p entsprechende Formel ist von besonderer Wichtigkeit und soll
daher hier zum Schlüsse aufgestellt werden.

VI. Satz: Hängen von den Modulen a^ , und den Argumenten u^
eine}' gegebenen TJietafunJdion die Modulen b , und die Argumente v
einer neuen ab gemäß den Gleichungen:

p

a „ =

1 = 1

in denen A^ die Determinante ^ + a^^^a^^ '" %p ****^ ^uu' ^^^ ^^~
junkte von a^ , in dieser Determinante bezeichnet, so sind diese Theta-
funktionen miteinander verknüpft durch die Gleichung:

p

(XIV) »g]H._y(:^% "^'"-'""'""^r/jiWL

in ivelcher zur Abkürzung :

p p

1 V V

gesetzt ist, und in welcher bezüglich der Bestimmung des Vorzeichens
der auf der rechten Seite stellenden Wurzel das vorher bei dem V. Satz
Bemerkte gilt.

Die Formel (VIIIj wurde für p = 2 von Rosenhain ^j, für be-
liebiges p von Meißel^) zuerst angegeben.

1) Rosenhain, Memoire sur les fonctions etc., pag. 394.

2) Meißel, Beitrag zur Theorie der w-fach unendlichen ©-Reihen. J. für
Math. Bd. 48. 1854, pag. .S24; vergl. auch Enneper, Über einige Sätze aus
der Theorie der ■9'- Functionen. Z. für Math. Bd. 12. 1867, pag. 79.

Viertes Kapitel.

Darstellung allgemeiner 2jt7-facli periodischer
Fiinli^tionen durch Tlietafunktionen.

§ 1-

Bildung' 27>-fach periodischer Funktionen mit Hilfe von
Thetafunktionen.

Ist eine Funktion f{i\\---\v) der komplexen Veränderlichen
^'i7 ■ ■ ■; ^« ^o beschaffen, daß für bestimmte Systeme konstanter
Größen a^, ■ ■ -, a^^ bei allen Werten der Variablen v die Gleichung:

(1) f{t\ + a>,\...\v^ + a>^)=fM...\v^)

besteht, so nennt man sie eine periodische, die Größen co^, ■ • ■, 03^
aber ein System zusammengehöriger oder simultaner Perioden von ihr.
Sind dann g)^^, • ■ -, a (u = 1, 2, • ■ -, Je) irgend A' solcher Perioden-

k Je

Systeme, m^ ganze Zahlen, so ist auch ^m^^a^^, • • •, ^m^a^^ ein

Periodensystem. Zu ^+1 Periodensystemen coj „,•••, a^^ (« = l,2,---,^+l)
kann man, wenn Q^2p ist, immer reelle Zahlen /i^ finden, welche
gleichzeitig die p Gleichungen:

befriedigen. Ist dies nicht bei jeder Wahl der () + 1 Periodensysteme
"ia> ■ ■ ■? %a ("= 1; 2, •••,(> 4- 1) schon für q < 2p möglich, so
heißt die Funktion eine 2 2)- fach periodische'^ 2p Periodensysteme
cji„, • • •, (Op^ (a = 1, 2, • • •, 2p), für welche die Gleichungen (2),
wenn man darin (> = 2p — 1 setzt, nur durch die Werte
ftj = • • • = ILigp = ö befriedigt werden können, heißen dann von ein-
ander tmabhängig, und aus ihnen läßt sich jedes Periodensystem
(Ol, ■ ■ -, 03 der Funktion fi[v]) in der Form:

über 22J-fach period. Funkt, von p Veränderl. im allgem. Hl

u=l a=l

zusammensetzen. Ist die Funktion /"((?;)) eine einwertige oder endlich
vielwertige analytische Funktion, welche sich nicht als Funktion von
weniger denn p linearen Verbindungen der v darstellen läßt, und kann
dieselbe infolgedessen kein System unendlich kleiner Perioden haben, so
sind die /t^ rationale Zahlen, und es können die 2p Periodensysteme
a)i„, • • •, ojp^ (a = 1, 2, • • •, 2p) so ausgewählt werden, daß die /li„
ganze Zahlen sind; solche 2p Periodensysteme heißen dann primitive.
2p Periodensysteme to^^, • • •, a^^ (a = 1, 2, • • •, 2p) und 2p andere
Oj^, • • •, a' (a = 1, 2, • ■ •, 22)), welche aus ihnen vermittelst einer
unimodularen linearen Substitution in der Form:

2p Jp

wobei die ni^^ 4^9^ ganze Zahlen von der Determinante + 1 be-
zeichnen, abgeleitet sind, heißen äquivalent. Sind dann a)^^, • ■ •, a^^
(a = 1, 2, • • •, 2p) 2p primitive Periodensysteme der Funktion /"((w)),
so sind es auch die 2p Periodensysteme «/„, •••, oj^^ (a= 1,2, ■••,2p).
Interpretiert man die reellen und imaginären Teile der Variablen
V-^^, • • ■, V als rechtwinklige Punktkoordinaten in einem Räume von
2p Dimensionen, so entspricht einem Größengebiete:

2 p 2 p

(5) ^L«la; ■■■, ^"^a^pa,

a=\ a=l

bei dem die | stetig die Werte ^^ ^ |„ < ^^ + 1 (a = 1, 2, • • •, 2p)
durchlaufen, wo die g^ gegebene Konstanten sind, ein Parallelotop TI
des Raumes. Läßt man an Stelle des Systems der 2p Größen g^
alle möglichen Systeme von ganzen Zahlen treten, so erhält man den
ganzen Raum in solche untereinander kongruente Parallelotope ein-
geteilt, die alle als Wiederholung eines von ihnen z. B. des den
Werten g^ = ^2 "=■■"=" ^2« = ^ entsprechenden Parallelotops 11^ an-
gesehen werden können. Solche Punkte des Raumes, welche dabei
dem nämlichen Punkte in 77^ entsprechen, heißen Iwngruent nach den
gegebenen Periodensystemen, ihre Gesamtheit ein System von Gitter-
punkten oder ein Gitter -.^ insbesondere bilden also die Eckpunkte aller
Periodenparallelotope ein Gitter. Kennt man den Verlauf der Funk-
tion /"((v)) im Parallelotope TIq, so ist er im ganzen unendlichen
Räume bekannt, da die Funktionswerte in kongruenten Punkten ein-
ander gleich sind. Es ist eine unmittelbare Folge der Unabhängig-
keit der Periodensysteme to^^, • • •, ca^^ (a = 1, 2, • • •, 2p), daß die
aus den reellen und imaginären Teilen der o gebildete Determinante

112 IV. 1. Bildung allgem. 2p-fach period. Funktionen durch Thetafunktionen .

2^teii (j}i-ades nicht verschwindet; ihr absoluter Wert ist gleich dem
Inhalte eines Periodenparallelotops.

Zum Vorstehenden vergl. Weierstraß ^). Daß eine einwertige ana-
lytische Funktion von j) Veränderlichen nicht mehr als 2jj unabhängige
Periodensysteme haben kann, ohne unendlich kleine zu haben, haben schon
früher zuerst Jacobi^) für p = 1, dann allgemein Hermite^j und
Riemann*) bewiesen; daß bei einer unendüch vielwertigen analytischen
Funktion einer Variable dagegen mehr als zwei unabhängige Perioden
auftreten können, hat Casorati^) angegeben.

Aus den Gleichungen (XLIII) und (XLIV) pag. 39 folgt nun
sofort der

I. Satz: Bezeichnen ©^.^'Tf ((?<)) ^"^''^ ^«^1^ W ^W^i^ ^^^ ^^^ ^ß*"

nämlichen Charakteristik ^ gehörige Thetafunktionen n^'' Ordnung, so

genügt der Quotient:

(I) «w=--^

den Gleichungen:

(11) Q(ui\ ■■■ \u^ + 7ti\ ■'■ \Up) = Q{u^\ •■• \u,\ ••• \Up),

(EI) ^K + «iJ---|^*, + v) -QM'-'\%y. <^=^-' '^^

ist also eine 2p- fach periodische Funktion der p Veränderlichen u^f-"}%>

1) Weierstraß, Neuer Beweis eines Hauptsatzes der Theorie der perio-
dischen Functionen von mehreren Veränderlichen. 1876. Math. Werke Bd. 2.
Berlin 1895, pag. 55.

2) Jacobi, De functionibus duarum variabilium quadrupliciter peiiodicis,
quibus theoria transcendentium Abelianarum innititur. 1835. Ges. Werke Bd. 2.
Berlin 1882, pag. 23; auch deutsch in Ostwalds Klassikern der exakten Wissen-
schaften Nr. 64.

3) Extraits de lettres de M. Ch. Hermite ä M. Jacobi sur diflferents ob-
jets de la theorie des nombres. Quatrieme lettre. J. für Math. Bd. 40. 1850,
pag. 261.

4) Riemann, Beweis des Satzes, daß eine einwertige mehr als 2 »«-fach
periodische Function von n Veränderlichen unmöglich ist. 1859. Ges. math.
Werke. Leipzig 1876, pag. 276.

5) Casorati, Sur les fonctions ä periodes multiples. C. R. Bd. 57. 1863,
pag. 1018 und Bd. 58. 1864, pag. 127 und 204; La periodicitä multipla nelle
funzioni di una sola variabile. R. Ist. Lomb. Rend. (2) Bd. 16. 1883, pag. 815;
dazu: Sopra il teorema di Jacobi risguardante la periodicitä e sopra V illegitti-
mitä di una parte delle conseguenze che ne furono dedotte. R. Ist. Lomb. Rend. (2)
Bd. 15. 1882, pag. 623 und: Funzioni analitiche di una sola variabile con nu-
mero qualsivoglia di periodi. R. Ist. Lomb. Rend. (2) Bd. 18. 1885, pag. 879;
femer: Les fonctions d'une seule variable ä un nombre quelconque de periodes.
Milano 1885 auch Acta math. Bd. 8. 1886, pag. 345. Vergl. dazu auch Webers
Anmerkungen zu Jacobi in Ostwalds Klass. der ex. Wiss. Nr. 64, pag. 37.

Der Quotient zweier Thetaf. n'" Ord. mit dens. Charakt. 113

welche die 2p Systeme zusammengehöriger Periodicitätsmodulen der
TJietafunJction:

7ti\ 0 I ••• 10
(IV)

"ll ! "'21 I ■ ■ ■ I "'pl>

0 I 3r/ ! •• • 0, «^2 ^^22 I ■ ■• ! ^

'p2f

0 I 0 \---\ni,
als Periodensysteme hat.

Hp ^Hp

Diese Perioden und damit die in der angegebeneu Weise ge-
bildeten 2^- fach periodischen Funktionen tragen einen speziellen
Charakter zur Schau; denn soll eine 2^)- fach periodische Funktion
/"((?;)) mit 2^j Periodensystemen:

(6)

^;92' ^1, p + 2 1 '^2,/) + 2 I ■ ■ ■ I ^p, p+2;

'\p\'^^p\ \^pp-: "^l,2p l"^2,2p 1""?, 2i>>

Co 9 «, ■ ■ ■ ^^

durch Einführung passend gewählter neuen Variablen ^l^, • • •, u in
eine mit den 2p Periodensystemen (IV) periodische Funktion
übergeführt werden können, so muß zunächst die Determinante
^ + «11 «22 • • • o einen von Null verschiedenen Wert g> haben.
Setzt man dann:

V

(7) %i tJ„ = 2 tö^, ,^ H,^ (,.- = 1, 2, . . . , ^)

oder, was dasselbe:

wo 0 „ die Adiunkte von a, „ in der Determinante a bezeichnet,
so entspricht für v = 1, 2, • • •, p der Änderung der Variablen

^1 ^2 ' ■ ■ ■ i ^p ^^^ ^^^ Periodensystem «ly | «2»' I ' ' ' ! "pv *^^^® Änderung
der Variablen ii^ \ • • • 1 w^ | • • • | «< um das System 0 | • • • | itt i | • • • ! 0.
Jetzt entspricht aber weiter für v = 1, 2, • • •, |) der Änderung der
Variablen ^'^ | ^2! " " ' ! '^p ^™^ ^^^ Periodensystem 03^ p + v I ^2 p + v I ' ' '
\^p,p'^v ^i^ Änderung der Variablen Wi j Mg | • • • | w^ um das System

p . p . p

Tit X7 I m "^ I \ Tti X7 j

— ^ /,a«.,p + v — -^,^2««,P + v ••• — -2 ^p«^<,p + ., 'ind es

müssen daher, wenn diese Größen Modulen «i^ i ^2v I ' ' ' ! ^pv einer
Thetafunktion sein sollen, einmal den Gleichungen a^^ = a
(p, ö = 1, 2, • • •, m (><<?) entsprechend die ^-(^ — l)p Bezieliungen:

Krazer, Tbetafunktiouen. 8

114 IV. 2. Allgemeine Sätze über 22)- fach periodische Funktionen.
p p

(ff) / 0 03 , = / 0 CO , (o, rt = l, 2, • •,»: o<a)

oder die damit äquivalenten:
p

(10) ^(«.o"/.,p + p -"/.-. ".,p + P = 0 (-,^.=1,2, ••,i';x<;.)

bestehen j und dann muß weitei* noch entsprechend der Konvergenz-
bedingung der Thetareihe die Bedingung erfüllt sein, daß die mit den
reellen Teilen r,,^ der Größen:

p

(11) %"= I"^^?^^^P + a (e,a=l,2,...,p)

P P

als Koeffizienten gebildete quadratische Form ^ ^^oa^o^a ß"^^ ^^ß"
gative ist. ^~ "~

Soll also eine mit den 2p Periodensystemen (6) periodische
Funktion durch Thetafunktionen darstellbar sein, so müssen diese
Perioden die im Vorigen genannten Bedingungen erfüllen, und man
wird daher zunächst vermuten, daß es allgemeinere 2^3 -fach perio-
dische Funktionen als diejenigen gibt, welche durch Thetafunktionen
ausgedrückt werden können. Es wird sich zeigen, daß dieses trotzdem
nicht der Fall ist.

§2.
Allgemeine Sätze über 279 -fach periodische Funktionen.

Für einwertige 2p-in.Q\i periodische Funktionen f{p^ •••■,v\
welche sich nicht als Funktionen von weniger denn p linearen Ver-
bindungen ihrer Variablen darstellen lassen, und welche im Endlichen
keine wesentliche singulare Stelle besitzen, gilt eine Reihe von Sätzen,
die im Nachstehenden abgeleitet werden sollen.

Wenn die Funktion / ((v)) sich nicht als Funktion von weniger
denn p linearen Verbindungen ihi-er Variablen darstellen läßt, so be-
steht zwischen ihren Derivierten:

(12) /•;h = ^^ (.=vv--,.)

keine identische Relation von der Form:

(13) J'c,„/:,;w=o,

bei der die c von den Variablen v unabhängige Größen bezeichnen,

Die Weierstraßschen Sätze über 2j;-fach period. Funkt.

115

die nicht alle den Wert Null besitzen; und es gibt daher jedenfalls
p Wertesysteme (v(i)), {v^^)), •••, {v^))^ für welche die Determinante:

f^m) fAm) ■ ■ ■ f;{m)

(14)

von Null verschieden ist. Setzt man dann für /t = 1, 2, • • •, ^, indem
man v„ beliebig annimmt:

v^'^ = v^ - e^'K

(2) (2)

V = v„ — e ',

(15)

und

(16) f{{v-eW)) = fWlvl f{v-e(^))) = r)ivl ••., fiv-e^^^f^^v)),

so erhält man das Resultat, daß die Determinante:

(17)

dvi

di\

dvp

', Vp verschwindet,

(,« = 1,2,- ■■,p)

jedenfalls nicht für alle Werte der Variablen v^ ,
da sie der Voraussetzung nach für

(18) z;„ = v^'' + e^'' = v^'^ + e^'^ =
nicht Null ist; und man hat so den

II. Satz: 3Ian Icann einer jeden einwertigen 2p- fach. periodischen
Funktion f^{v} von p komplexen Veränderlichen v^, ■■-, v , ivelche sich
nicht als Funktion von weniger denn p linearen Verhindungen der v
darstellen läßt, und von uelcher man iveiter schon jetzt voraussetze,
daß sie im Endlichen keine wesentliche singulare Stelle besitze, auf
mannigfache Weisen p — 1 andere ebensolche und mit den nämlichen
Periodensystemen periodische Funktionen f^iv}, ■ ■ -, fpif^)) so adjungieren,
daß die FunUimialdeterminante '^^ + |^ |^ • • • |^ nicht für alle
Werte der v verschwindet.

Setzt man nun weiter, indem man mit fi{{v)], f^iv)), ■ --, f {{v}
2p -fach periodische Funktionen von der im IL Satz angegebenen
Art, mit 5^, s^,---, s^ aber gegebene Größen bezeichnet, zwischen den
p Unbekannten Vi,---,Vp die p Gleichungen:

(19) Aiv)) = s,, fM-^s,, ..., /,H = v

8*

116 IV. 2. Allgemeine Sätze über 2^-facli periodische Funktionen.

SO wird die Anzahl der innerhalb des Parallelotops U^ gelegenen
Wurzeln dieses Gleichungensystems durch ein über die Begrenzung
von TIq erstrecktes Integral geliefert.^) Läßt man dann die Größen
^17 ^27 ■■■; ^p ^^^^ stetig ändern, so kann sich der Wert des genannten
Integrals, wenn man von gewissen singulären Wertesystemen der s ab-
sieht, nur stetig ändern; bleibt also, da er seiner Natur nach immer
ganzzahlig sein muß, im allgemeinen ungeändert. Man erhält auf
diese Weise den

III. Satz : Setzt man zwischen den p Variablen v^, •■■, v^ und
p Parametern s^, •••, s^ die p Gleichungen:

(V) fÄ^)) = s„ fAv))-=s„ ..., f,iv)) = s^,

in denen fi^v]), f2([v]), •••, fp{v]) mit den nämlichen ^p Periodensystemen
2p -fach periodische Funktionen von der im II. Satz angegebenen Art
bezeichnen, so entsprecJien jedem Wertesgsteme der Größen s^, s^, •••, s^
im allgemeinen, d. h. ivenn man von gewissen singulären Wertesystemen
absieht, nur eine endliche Anzahl m nach den Periodensystemen inkon-
gruenter Lösungen v^, ■ ■ ■, v , und es ist diese Anzahl die gleiche für alle
Glicht singulären WeHesysteme s^, ■■•, s^.

Bezeichnet man nun mit (r^^^), (v^^^), •••, (v^'")) die m zu einem
Wertesysteme s^,---, s gehörigen Wertesysteme (v) und mit /l + if*'))
eine p -\- 1*® 2p- fach periodische Funktion von der im IL Satz an-
gegebenen Art, unter deren Periodensystemen sich alle Periodensysteme
der Funktionen fii[v}, ■•■, fp([v]) finden, so ist jede symmetrische Funktion

^^^ /p+i((^^^^)); fp + ii'^^^^h ■■■} fp + i{'^^"'^)) eine einwertige und daher
rationale Funktion der Größen s^ = /"^ ((v )),•••, s = /Lfv)). Daraus
ergibt sich aber der

IV. Satz: Ist fp^iiv]) eine p -\- 1*^ 2p- fach periodisclie Funktion
von der im II. Satz angegebenen Art, unter deren Periodensystemen sich
alle Periodensysteme der Funktionen fi{v]), •••, fp([v} finden, so besteht
ztvischen fp^-^^v^ und fiiv]), •••, fp{v]) eine irreducible algebraische
Gleichung, deren Grad in Bezug auf fp+i(;v]) m oder ein Teiler
von m ist.

Dazu wird man bemerken, daß eine Erniedrigung des Grades
dieser Gleichung unter m dann aber auch nur dann eintritt, wenn
die m Werte ^^^ ((i-W)), • ■ -, fp+^iv^"'^)), welche die Funktion fp^M
für ein Wertesystem s^, ■•■, s^ annimmt, stets d. h. für alle Werte-
systeme der s teilweise einander gleich sind, oder mit anderen Worten,
wenn die m Zweige der Funktion /p^if-^)) nicht alle von einander
verschieden sind, sondern gi-uppenweise zusammenfallen, was stets

1) Vergl. dazu pag. 28.

Die Weierstraßschen Sätze über 2jp-fach periocl. Funkt. 117

eintritt, wenn die Funktion fp^iiv]) Periodensysteme besitzt, deren
Vielfache erst Periodensysteme der Funktionen f\ ((v)), • • •, /l((v)) sind.

Sind die in Zweige der Funktion /„_^j ((v)) alle von einander ver-
schieden, so wird durch die Angabe der Werte .9^, • • •, s und eines
Zweiges von f^ ^ ^ {v} das Wertesystem (y) und damit der Wert jeder
weiteren mit den gegebenen Periodensystemen periodischen Funktion
eindeutig bestimmt. Daraus folgt aber der

V. Satz: Hat die Funktion fp+i([v]) speziell die Eigenschaft, daß
sie mit /i ((v)), •••, /],((v)) durch eine irredueihle Gleichung m*®" und nicht
niedrigeren Grades zusammenhängt, oder, ivas dasselbe, daß sie für die
m nicht kongruenten Lösungen ivenigstens eines mit nicht singulären
Werten s^, • • -, s^ gebildeten Gleichungensystems (V) m verschiedene
Werte annimmt, so läßt sich jede weitere mit den gegebenen Perioden-
systemen 2p- fach periodische Funltion von der im II. Satz angegebenen
Art rational durch die Funktionen f^ ((v)), • • •, fpi^}, fp+iiv} ausdrücken.

Es seien nun fi^v]}, ••■, fpiv}, fp + iivjj p -\- 1 mit den nämlichen
2p Periodensystemen 2^j-fach periodische Funktionen von der im
letzten Satze bezeichneten Art, so daß also diese 2^+1 Funktionen
durch eine algebraische Gleichung,

(20) F{f\,...,fp,fp^,) = 0

mit einander verknüpft sind, jede weitere mit denselben Perioden-
systemen periodische Funktion aber rational durch sie darstellbar ist.
Dann sind auch die in den Differentialgleichungen:

(21)

df =^J^dv,^---^l^dv^,

äfr, = ^ dv. -\- ■ • • -\- 7=r^ dv„,

'P ^^1 ^ CV P'

^f.

vorkommenden partiellen Derivierten tH- und folglich auch die

Koeffizienten P in dem aus (21) durch Auflösung folgenden
Gleichungensysteme:

dv, = F,,df,-Y--- + P,pdfp,

(22)

äVp = Fp,df,-^-.- + Fp^dfp,

rational durch /ifv)), • • •? /„ + ifi')) darstellbar.

Die p Größen v.^^, ■ ■ •, v sind bisher p unabhängige Veränderliche,
deren Veränderlichkeit man sich aber infolge der Periodizität der
Funktionen /"i((t')), •••, fpiv}, fp + iiv} auf das Parallelotop 77 ^ be-

118 IV. 2. Allgemeine Sätze über 2p -fach periodische Funktionen.

schränkt denke. Aus dieser Mannigfaltigkeit p^'^^ Stufe greife man
nun eine in ihr liegende Mannigfaltigkeit 1'^"" Stufe heraus, indem man:

(23) /■xW = 9>,(0, fÄ^)) = ^S), •■; W^-^ß)

setzt, unter q^^it), ^^Jf),---, <Pp{i) irgend welche rationale Funktionen
einer neuen Veränderlichen t verstanden;^) f ^^ ist dann mit t durch
eine aus (20) hervorgehende algebraische Gleichung:

(24) G{t,f^^,) = 0

verknüpft; i\, •••, v aber vsind auf Grund der Gleichungen (22) In-
tegrale in der durch (24) bestimmten Klasse algebraischer Funktionen
und zwar infolge ihrer Endlichkeit Integrale 1. Gattung; auch, da
die Funktionen (pi(tj, ■■-, (Ppify ganz beliebige sind, linear unabhängig.
Das algebraische Gebilde (24) ist, da es in i\, ■■■, v p linear
unabhängige Integrale 1. Gattung besitzt, von einem Geschlechte q^p-
Man denke sich die zugehörige Riemannsche Fläche durch 2q Quer-
schnitte in eine einfach zusammenhängende verwandelt und mit Q„^

(^ ~ ' ' „I den Periodizitätsmodul von v„ am e^^^ Querschnitte
\f = 1, 2, • • •, 25/ ■"

bezeichnet; zwischen den 2q2) Größen Q,,^ bestehen dann die ^ {p—^)p

Relationen:

g

(25) 2^^.,«.,V + C- - ^..V + C'^vJ = 0, i,,r=l,2,...,p;,<r)

während für die Periodizitätsmodulen

(26) Q, = H,+ /Z, (.=i,2,..*,2j)
irgend einer linearen Verbindung der v:

0=1
ist.

Die Q,^^ sind Integrale auf geschlossenen Wegen in der Fläche (24);
da diesen auch geschlossene Wege in der ursprünglichen Mannigfaltig-
keit 77^" Stufe (20) entsprechen, so sind die Q ganzzahlige lineare Ver-
bindungen der Perioden von /i((v)), • • •, /pfv]),/^^i((f)). Xennt man also die
2p Periodensysteme dieser Funktionen »j^, • • •, co (a = 1, 2, • • •, 2j>),
so ist:

(28) ö,,.=2''".«-"«. (:=;;t;'ü

«=i

1) Man könnte auch nach dem Vorgange des Herra Wirtinger (Zur
Theorie der 2n-fach periodischen Functionen. 1. Abhandlung. Monatsh. f.
Math. Bd. 6. 1895, pag. 69) eine Mannigfaltigkeit l*'"' Stufe dadurch definieren,
daß man p — 1 der p Funktionen f\ (v}, ■ ■■■, fp (v)} gegebenen Konstanten
gleich setzt.

Der Riemannsche Satz über 2p- fach period. Funkt. 119

wo die m ganze Zahlen bezeichnen. Aus den Relationen (25) folgen
jetzt, wenn man:

g

(29) 2 (%a»^^-?,. - '% + ^,a^Q^) = ^«.* («W* = 1.2.-,2;>)

setzt, die ^ (i) — l)iJ Relationen:

(30) 2 2'^"^^'^^'"'^"^'^^' (,,,v = l,2,...,pw«<.)
a = l ,^ = 1

während sich aus (27) für die korrespondierenden Änderungen

(31) «« = ^«+'"^« (« = 1,2,..., 2;,)

irgend einer linearen Verbindung der v die Ungleichung:

2p 2p

(32) ^^^.V^?J..>0

a = l ^-^ = 1

ergibt.

Die Größen c^^^ sind ihrer Definition (29) zufolge ganze Zahlen,
für welche c„„ = 0 und c^^^ + c^„ = 0 ist für «, /3 = 1, 2, • • •, 2^?. Es
wird im folgenden Paragraphen weiter bewiesen werden, daß ihre
Determinante ^± c,, c^^- ■ ■ c.,^, ^p »^^ets einen von Null verschiedenen
Wert besitzt; indem man dieses Resultat schon vorwegnimmt, erhält
man den

VI. Satz: Sind co,^, ■ • ■, co^, (a = 1, 2, • • •, 2p) die 2p Periodeti-
systeme einer 2p- fach periodischen FunUion von der im IL Satz be-
zeichneten Art, so bestehen zwischen diesen 2p^ Größen a^^ stets
-\{p— l)p Beziehungen von der Form:

tp tp

(VI) 22^'.,.«,<a"V = 0, (,<,. = 1.2,...,p;,.<v
a = l 1^ = 1

in denen die 4p^ Größen c„^ ganze Zahlen bezeichnen, so beschaffen,
daß c„„ = 0, c„^ + c^„ = 0 und die Determinante ^ ± q^ c^^--- Cg^ gp
von Nidl verschieden ist. Sind ferner:

(VII) 03, = 7J„+iL (a = l,2,...,2;»

die horrespondierenden Änderungen irgend einer linearen Verbindung
der Variablen, so ist:

jp jp

(VIII) ^^Ca,.^.S,.>^-
a=l /i = l

120 IV. 3. Reduktion der Perioden einer al]g. 2j>fach period. Punktion etc.

Die Sätze II — V ilüiren von Weierstraß ^), der Satz VI von
Riemann her, der, wie aus einer Mitteilung von Hermite^) bekannt ist,
schon im Jahre 1860 iiü Besitze dieses Satzes war; übrigens hat auch
Weierstraß, wie aus seiner eigenen Äußerung^) und aus einer Abhand-
lung des Herrn Hurwitz*) zu ersehen ist, den Satz gekannt. Beweise
für den Satz sind von beiden Autoren nicht bekannt geworden. Den
obigen Beweis haben die Herren Poincare und Picard^) veröffentlicht;
ein anderer Beweis ergibt sich aus den Arbeiten des Herrn Appell'') in
Verbindung mit Untersuchungen des Herrn Frobenius^). Eine zu-
sammenfassende Darstellung der obigen Sätze hat Herr Laurent^) ge-
geben; in neuerer Zeit wurden die Sätze eingehend erörtert und mit
neuen Beweisen versehen von Herrn Wirtinger. ^)

§ 3.

Reduktion der Perioden einer allgemeinen
2i>-fach periodischen Funktion auf eine Normalform.

Führt man an Stelle der Perioden a durch eine unimodulare
lineare Substitution:

2p
y = l

in der also die 7i^ A^p^ ganze Zahlen von der Determinante + 1 be-

1) Weierstraß, Untersuchungen über die 2 r - fach periodischen Punctionen
von r Veränderlichen. 1880. Math. Werke Bd. 2. Berlin 1895, pag. 125.

2) Herrn ite, Übersicht der Theorie etc. pag. 24.

3) a. a. 0. pag. 133.

4) Hurwitz, Über die Perioden solcher eindeutiger, 2 «-fach periodischer
Functionen, welche im Endlichen überall den Charakter rationaler Functionen
besitzen und reell sind für reelle Werte ihrer n Argumente. J. für Math. Bd. 94.
1883, pag. 8.

5) Poincare et Picard, Sur un thöoreme de Riemann relatif aux fonc-
tions de n variables independantes admettant 2n systemes de periodes. C. R.
Bd. 97. 1883, pag. 1284; auch Poincare, Sur les fonctions abeliennes. C. R.
Bd. 124. 1897, pag. 1407. Picard, Sur les fonctions uniformes quadruplement
periodiques de deux variables. C. R. Bd. 124. 1897, pag. 1490, und Poincare,
Sur les proprietes du potentiel et sur les fonctions abeliennes. Acta math.
Bd. 22. 1899, pag. 89.

G) Appell, Sur les fonctions elliptiques. C. R. Bd. 110. 1890, pag. 32;
Sur les fonctions de deux variables ä plusieurs paires de periodes. C. R. Bd. 110.
1890, pag. 181; Sur les fonctions periodiques de deux variables C. R. Bd. 111.
1890, pag. 636 und J. de Math. (4) Bd. 7. 1891, pag. 157.

7) Frobenius, Üljer die Grundlagen der Theorie der Jacobischen Func-
tionen. J. für Math. Bd. 97. 1884, pag. 16 und 188.

8) Laurent, Traite d'Analyse. Bd. 4. Paris 1889, pag. 434.

9) Wirtinger, Zur Tb. d. 2«-fach per. Funkt. 1. Abb. Monatsh. f Math.
Bd. 6. 1895, pag. 69.

Normalform für die bilinearen Relationen (VI). 121

zeichnen, andere damit äquivalente Perioden a' ein, so kann man,
wie Herr Frobenius^) zeigt, die ganzen Zahlen n^^^ so bestimmen,
daß die auf der linken Seite der Gleichung (VI) stehende bilineare
Form in die Normalform übergeht, d. h. daß:

^p ^p p

(34) ^ 2 c„_^ w.,„ «,.,^ = ^ e?. («;/ «.', p + y. - ^i',p + ^ ''^'/.)

wird, wo die e die Elementarteiler der Determinante ^+ c^^ P22 ' " " ^2p,2p
bezeichnen, also positive ganze Zahlen sind, von denen jede durch die
vorhergehende teilbar ist, und bei der Annahme, daß die 4p^ Zahlen
c^^ keinen gemeinsamen Teiler besitzen, die erste e^ den Wert 1 be-
sitzt. Für diese neuen Perioden co' bestehen dann den Gleichungen
(VI) entsprechend die ^(p — l)l) Beziehungen:
p

(35) ^ Cx (".:/. ".',;, + /. - «;,;, + /«.'/) - ö, (/,,.=l,2,...,/>;,,^..)

während den Ungleichungen (VIII) entsprechend für die korrespon-
dierenden Änderungen

(36) a3;=7?;+fe,; («=1,2,. .,2/,)

irgend einer linearen Verbindung der v:

p

(37) > C; (r?/ e;+;. - Vp + X^D > 0

ist. Man hat so den

VII. Satz: Man kann die 2p Periodensysteme w^^, • • •, co^^

(« = 1, 2, • • •, 2p) einer 2p- fach periodischen Funktion von der im

II. Satz bezeichneten Art stets so auswählen, daß die nach dem VI. Satz

zwischen ihnen bestehenden ^(j>— l)p Beziehungen die spezielle Form:

p

(IX) 2 (^Ä^/uZf'^.p + Z- ^f.,p + X^v;) = ^ {,,,r=^l,2,---,p;,.<v)
X = l

annehmen, wo die e positive ganze Zahlen sind, von denen jede durch
die vorhergehende teilbar ist. Sind dann tveiter:

(X) ^a = Va + iL (a = l,2,...,2p)

die korrespondierenden Änderungen irgend einer linearen Verbindung

der Variablen, so ist:
p

(XI) 2e;.(^;.e^ + A->?^ + ;.Ü>0.

1) Frobenius, Theorie der lin. Formen etc. J. für Math. Bd. 86. 1879,
pag. 165.

122 IV. 3. Reduktion der Perioden einer allg. 2^>fach period. Funktion etc.

Man kann nunmehr den Beweis für die im VI. Satz ausge-
sprochene Behauptung erbringen, daß die Determinante ^±CiiC22---C2p gp
von Null verschieden ist. Hätte nämlich diese Determinante den
Wert Null, so wären für eine gewisse Zahl p <^p'.

m v+i = v+2 = --- = e, = o,

und wenn man dann eine lineare Verbindung der Variablen so be-
stimmen würde, daß:
(39) o\ = co^ = • ■ • = cjp. = 0

wird, so würde für diese der auf der linken Seite von (XI) stehende
Ausdruck verschwinden. Da dieses aber nach dem letzten Satze un-
möglich ist, so ist auch die gemachte Annahme, daß ^+ q^ C'22 " " ' ^2p, 2p^^
ist, unstatthaft.

Nun ergibt sich weiter, daß für die dem VII. Satz entsprechend
ausgewählten Perioden die Determinante ^ ± od^ «22 * ■ ■ o^^ einen
von Null verschiedenen Wert besitzt. Wäre nämlich diese Determi-
nante Null, so würde es Größen l^, Ic,, •■•, l^ geben, die nicht alle
Null sind und welche gleichzeitig die p Gleichungen:

p

(r = l, 2, •••,?)

(40) >?„G3..., = 0

erfüllen. Die aus den Variablen i\, ■■■, v^^ gebildete lineare Form
(41)

p
(( = 1

würde sich dann aber gar nicht ändern, wenn das System v.^^ ■ • ■ v^
um eines der 7) Periodensysteme «i^ ••• c)^,. (^=1; 2, •■•, i')
geändert wird; von den 2}) den Periodensystemen oo^^^--- co^^
(« = 1, 2, • • •, 22)) entsprechenden korrespondierenden Änderungen

(42)

p

(a = l, 2, ■ -,2^)

von V besäßen sohin die ersten p sämtlich den Wert Null, was mit
Rücksicht auf die Ungleichung (XI) unmöglich ist.

Ebenso kann man zeigen, daß auch die Determinante
^± K>i,p + i«i,p + 2 • • f''p,2i) ^^^^^ Null sein kann, und allgemeiner,
daß jede aus der Matrix:

o.

(43)

'p2

'i.,2p "^2, 2p

>.2p

Einfiihmng neuer Variablen. 123

entnommene Determinante /)*^'' Grades ^ + w, , co« , • • • f-^n , von
Null verschieden ist, sobald keine zwei der Indizes s^, s.^,---, f^
einander nach dem Modul p kongruent sind.

Ist aber die Determinante ^ + ca^^ «22 • • ■ «^p + 0, so kann man
an Stelle der Variablen v neue Variable u einführen mit Hilfe der

Gleichungen:

p

(44) ^iv^=^e,,(o^,„u^, (/.=!. 2,...,/,)

('=1

und es entspricht dann für k = 1^ 2, ■■ , p der Änderung der Größen
^1 ^'2 , ■ ■ ■ ^'p ^™ ^^^ Periodensystem to^^ Wg ;.'••• | w^z die Änderung
der Größen Wi ! • • ■ «^ | • • • | u um das System 0 | • • • | — ) • • • | 0; der

Änderung der Größen ^»1 1 Vg | ••• j v^, um das Periodensystem a3i^p^^'a>2_p + ^|
"■\^pp + x ^i^ Änderung der Größen "1 1 Wg j •• • | 'Wp um ein System

^lA ^2;.

o ., bei dem die Größen «,,; durch die Gleichungen:

p
(45) 7t i «„_ ,, + ;.= ^ e, «^, , «, /. (^^ ,<' = 1. -2, ■■ • , ;>)

bestimmt sind. Bezeichnet man nun den Wert der Determinante

^4- w^jL "22 ■■■ ^pp ^^ ^} ^^^ Adjunkte von w , in dieser Determi-
nante mit 0 ., so folgen aus den letzten Gleichungen durch Auflösung
nach den « ; als Unbekannten die Gleichungen:

p

(46) '',^ = ir2 %,P^^.%,- (^^=i>v-..)

Für diese Größen a ergeben sich aber die folgenden Beziehungen.
Multipliziert man die aus (IX) folgende Gleichung:

p p

(47) 2 e;. ca„;. «,. ^^^ =^ e^ co,., co^,^^^-,,
;. = i ;.=i

die für jedes a und v von 1 bis ^ gilt, links und rechts mit 0 o^^,
indem man unter q, 6 irgend zwei Zahlen aus der Reihe 1, 2, •• •, p
versteht, und summiert hierauf nach ju. und v von 1 bis p, so erhält
man die Gleichung:

p p

(48) ^ e„ «,, p ^,^ 0,, „ = ^ e„ o„_ ^ ^ „ 0^, „

und, indem man noch linke und rechte Seite mit multipliziert,

die Gleichung:

124 IV. 3. Reduktion der Perioden einer allg. 2^-fach period. Funktion etc.

p p

(49) ^2'"',.+.^-= i;2

^ '">',P + oOf.^

und erkennt daraus, daß die Größen a den ^{p— \)p Gleichungen:

(50) a^^ = a^^ {o,o=i,2,--,p;o<o)

genügen.

Versteht man weiter unter x^, • ■ ■, x irgend welche reelle Größen
und bildet aus den Variablen ?i^, •••, u die lineare Form

* -«A

(51) u = ^x^u^,,

so sind die 2jj den Periodensystemen co^^, ■••, o (u = 1, 2, •••, 2p)
entsprechenden Änderungen co^ dieser Variable ii durch die Gleichungen:

p

(52) (o^ = ^x,, «p + ;. =2«^;.^^ (^ = i.2,-,p)

bestimmt, und es nimmt die Ungleichung (XI), da aus (52) sich für
die reellen und lateralen Teile der Größen oj die Werte:

p
^/.= 0, %^-,-^r^,x^,

(53) '' = ' (>'. = l,2,. ..,;,)

ergeben, wenn wie früher '^,,/ = >'„; + s„;i gesetzt wird, die Form:

p p

(54) ^^r^^,x^^x,<0

an, welche, da sie für beliebige reelle Werte der x gilt, zeigt, daß
die mit den reellen Teilen der Größen a aLs Koeffizienten gebildete
quadratische Form eine negative ist. Man hat also das folgende
Endresultat:

VIII. Satz: Ist f(v]) eine einwertige 2p- fach periodische Funktion
der p komplexen Veränderlichen v^, •■■, v^ von der im II. Satz be-
zeichneten Art, so kann man dieselbe durch Einführung passend ge-
ivählter neuen Variablen u^, •••, u vermittelst einer linearen Substitution
in eine FnnJction F([u]) dieser neuen Variablen überführen, welche die
2p Periodensysteme:

Nachw. , daß die a ^ die Eigensch. von Thetamod. haben. 125

TT t,

0 : •

•10,

«u 1 ^'21 1 •

• 1 %X ,

0

■ni 1
p ■

..|0,

«12 1 «22 1 •

■ \%2,

0

0|.

1 Tti

«lj«2j •

• %P^

(XII)

besitzt, hei denen die e positive ganze Zaiüen bezeichnen, von denen
e^ = l und für A = 1, 2, • •■, p — 1 e^^^ durch e^ teilbar ist, die a
aber Größen sind, welche den ^{p— l)p Gleichungen:

(XIII) a^.,„ = a^,,- (;<,,„'=i.2,...,p; /.<„')

genügen und tveiter die Eigenschaft besitzen, daß die mit ihren reellen
Teilen r,,,, als Koeffizienten gebildete quadratische Form:

p p

(XIV) ^2^:,'^,^y

fl=^l ,u'=l

eine negative Form ist^).

Man wird hier noch bemerken, daß die Periodensysteme (XII)
auch als ein spezieller Fall der dem VII. Satze zu Grunde liegenden
Periodensysteme (o^^, ■■■, co^^ {a=l,2, ■■■, 2p) angesehen werden
können, und daß dementsprechend die Bedingungen (XIII), (XIV)
nichts anderes sind als die Bedingungen (IX), (XI) angewendet auf
die vorliegenden speziellen Periodensysteme. Weiter liefert aber die
oben angegebene Eigenschaft der Periodensysteme co, wonach die aus
ihnen gebildete Determinante ^ + «i, p + iCJ2, js + 2 ' ' " ^ij,2j9 + ^ ist,
für die Thetamodulen a^^^, die Eigenschaft, daß ihre Determinante

^ + «1^ «22 ■ ■ «i)p s^^^s ^^^ ^^^^ verschieden ist, und endlich ent-
spricht der allgemeineren Eigenschaft der co, daß jede Determinante
y^'' Grades ^+cji_, ra^,^ ■• «p, ^ ^e^ Matrix (43), bei der keine
zwei der Indizes s^^s^, ■ ■■, e einander nach dem Modul ^> kongruent
sind, nicht Null ist, bei den Thetamodulen a^^ die Eigenschaft, daß
jede aus den nämlichen Horizontal- und Vertikalreihen gebildete
Unterdeterminante beliebigen Grades der Determinante ^+ «n «22 '■ ^pp
einen von Null verschiedenen Wert besitzt^).

1) Wirtinger, Zur Th. d. 2 w- fach per. Funkt. 1. Abb. Monatsh. f.
Math. Bd. 6. 1895, pag. 95.

2) Vergl. dazu den IV. Satz pag. 105.

12G IV. 4. Darst. der allg. 2jj-fach period. Funktionen durch Thetafunktionen

§4.

Darstellung der allgemeinen 27>-fach periodischen
Funktionen durch Thetafunktionen.

Funktionen mit den Periodensystemen (XJl) kann man mit Hilfe
von Thetafunktionen bilden. Um dazu zu gelangen, stellen wir uns
die Aufgabe, die allgemeinste einwertige und für endliche Werte der
Ai-gumente stetige Funktion G([u]) der komplexen Veränderlichen Mj , ■ •, w^
zu finden, welche für alle Werte der u den 2}) Gleichungen:

(55)

V

••|M„|---'tge2^v-',

(56)

(v=l,2,--,p)

■ \u) e-^«,v-2""v-2A»«'

genügt, in denen n eine gegebene positive ganze Zahl, die g, h will-
kürlich gegebene Konstanten bezeichnen. Versteht man unter G ((w))
eine der gestellten Bedingung genügende Funktion, so ist für diese:

(v = l,2, -.p)

und diese Gleichungen zusammen mit den Gleichungen (56) charak-
terisieren die Funktion G([nfj als eine Thetafunktion »i*®"" Ordnung mit

der Charakteristik , • Als solche ist sie nach dem XV. Satz pag. 40

in der Form:

0,h-,n-l r-eg-\-Q-

(58) ^W=2^,,...o^^|^

darstellbar, wo die A von den ii freie Größen bezeichnen, und es
handelt sich jetzt noch darum, diese Konstanten A,^ ... ^^ in allge-
meinster Weise so zu bestimmen, daß die Funktion G([u]) den
Gleichungen (55) genügt. Aus diesen Gleichungen ergibt sich aber
zunächst die Bedingung, daß die Zahl n durch jede der ^j Zahlen
ßj, ^27 • • •; 6« ohne Rest teilbar sein muß. Ist diese Bedingung erfüllt,
so wird:

(59) •G^K|---I«v+^1---|^)

[nu

0,1, ,n — l

A,. , d-

p

^ Vi

und es folgen daher weiter, da die auf der rechten Seite vorkommenden
Thetafunktionen linear unabhängig sind, aus der Gleichung (55) die
Bedingungen :

Alle 22)- fach period. Funkt, durch Thetaf. darstellb.

127

den Wert Null

(60) A o -A n e " ,

aus denen sich ergibt, daß alle iene Größen Ä,

besitzen, bei denen nicht für v= 1,2, ■ ■■,^ die Zahl 9, durch e^
ohne Rest teilbar ist. Man erhält so aus der Gleichung (58), wenn
man noch in neuer Bezeichnung:

(61)
auch

A

e^y.i

C.

(62)

</i;

= %

setzt, für die Funktion G^((«)) den Ausdruck:

(63) ÖW = ^---^C..... ^

w?*

Eine jede der (Ixq^ ■ ■ ■ <lp auf der rechten Seite von (63) vor-
kommenden Thetafunktionen ist eine partikuläre Lösung der für die
Funktion (^((vt)) aufgestellten Bedingungsgleichungen (55), (56), und
es stellt daher der für G^((tt)) gefundene Ausdruck die gewünschte
allgemeinste Lösung dar, wenn man unter den C willkürliche Kon-
stanten versteht.

Durch Verfügung über die in der letzten Gleichung auftretenden
willkürlichen Konstanten C kann man beliebig viele verschiedene
Funktionen (^((«t)) bilden. Bezeichnet man dann irgend zwei der-
selben mit G^l((^<)) und G^iu}, so ist ihr Quotient

G, IM

(64)

^((4 =

G, (u)

eine mit den 2^9 Periodensystemen (XII) periodische Funktion der im
IL Satz charakterisierten Art.

Damit ist zugleich bewiesen, daß die im VI. Satz angegebenen
notwendigen Bedingungen für die Perioden einer 2j9-fach periodischen
Funktion der bezeichneten Art auch hinreichende sind, indem die
Bildung von Funktionen mit vorgeschriebenen, diesen Bedingungen
genügenden Perioden nunmehr mit Hilfe von Thetafunktionen durch-
geführt ist.

Nimmt man endlich den V. Satz zu Hilfe, wonach jede 2^ -fach
periodische Funktion der bezeichneten Art durch p -\- 1 passend aus-
gewählte mit denselben Perioden periodische Funktionen rational aus-
gedrückt werden kann, so erhält man das Endresultat:

IX. Satz: Alle 2p- fach periodischen Funktionen von der im
II. Satz bezeichneten Art lassen sich rational durch TJietafunMionen
ausdrücken.

Fünftes Kapitel.
Die Transformation der Tlietatimktionen.

§ 1-

Das Transformatiousproblem.

Der Quotient zweier zur nämlichen Charakteristik gehöriger
Thetafunktionen höherer Ordnung ist, wie im I. Satz pag. 112 ange-
geben wurde, eine mit den dort angeschriebenen 2}) Periodensystemen
(IV) 2^ -fach periodische Funktion. Da diese 2p Periodensysteme
aus den 2p Periodensystemen (XII) pag. 125 für ei=e^ = '-- = ep = l
hervorgehen, so kann man den genannten Thetaquotienten nach den
Untersuchungen des letzten Kapitels aus einer 2j9-fach periodischen
Funktion f([v]} abgeleitet denken, deren 2p Periodensysteme ra^^, •••, co^„
(cc = 1, 2, • • •, 2p) den Bedingungen (IX), (XI) für die speziellen
Werte e^ = e^ = • • • = 6^= 1 genügen. Es ist für die Darstellung
der Transformationstheorie zweckmäßig, von diesen allgemeineren
Funktionen und nicht von den Thetafimktionen auszugehen.

Man lege also den folgenden Untersuchungen 2^ -fach periodische
Funktionen f([vj zugrunde, deren 2jj Periodensysteme:

(Ij

^lp\^2p\ '" l^pp) "l,2i> 1^2, 2p \'"\^p,2p}

den ^(p — 1)}) Bedingungen:

p

(2) 2(ö.,o«v,p + o-ö«,p + ^«,o)=0 («,v = l,2, ..,p;«<r)

genügen, während für die korrespondierenden Änderungen

(3) (^u = Vu + ^ta {a = l,2,-,2p)

irgend einer linearen Verbindung der v:

Ableitung der Thetaf. aus allgemeineren Funktionen. 129

P

(4) 2(v^^p + Q-Vp + oto)>^

0 = 1

ist. Die Argumente Uy, ■■■, n der zur Darstellung dieser Funktionen
dienenden Thetafunktionen werden dann implizite durch die Glei-
chungen:

(,« = 1,2,-

■,P)

oder explizite durch die damit äquivalenten:

p

(0=1,2, •

■,P)

in denen a den stets von Null verschiedenen Wert der Determinante
^ + ^11 0322 ■ • Cpp ^""^^ ^un ^16 ZU C3^, ^ gehörige Adjunkte in
dieser Determinante bezeichnet, geliefert, während die Modulen a
(p, (? = 1, 2, • • • , p) der Thetafunktionen implizite durch die Glei-
chungen:

p

0) ^i(^u,p + o=2 (^,uo%a (f.,a=l,2,..;p)

oder explizite durch die damit äquivalenten:

p

(8) ^?^ = ^'^^(^'^,",P+a (Q,a=l,2,-.;p)

bestimmt werden.

Soll nun eine 2p -fach periodische Funktion von den Perioden
w^„, für welche die Bedingungen (2) und (4j erfüllt seien, mit
2p -fach periodischen Funktionen von anderen Perioden oo^u, welche
den ^(p — l)p Gleichungen:
p

(9) ^ (coJo«.'p + o — COÜ,p+o03^o) = 0 (,u,v = l,2, ■■•,p; ,u<r)
o = l

genügen, während für die korrespondierenden Änderungen

(10) ««'=^/a'+«C (« = 1,2,..., 2p)

der oben zur Definition der 03^ eingeführten linearen Verbindung

der v:

p

(11) ^ iVo ^p + ? — '»?/+? Q > 0
?=i

ist, dui'ch eine algebraische Gleichung verknüpft sein, sodaß zu einem
Wertesysteme der letzteren Funktionen nur eine endliche Anzahl von

Krazer, Thetafunktionen. 9

130 V. 1. Das Transformationsproblem.

Werten der ersterea gehört, so müssen die Perioden a' homogene
lineare Funktionen der « mit rationalen Koeffizienten, also:

2 p

(12) «;« =^c„,a,,, («itv -iü

sein. Durch diese Gleichungen gehen dann die Relationen (9) in bi-
lineare Relationen zwischen den co über:

2p 2p p

(13) 222(/'p.S + (^,^-^i<'+(^,*^<^*)^,"*"..- = 0-

» (,",'' = 1.2, ■ -.p; //<>■)

Setzt man daher voraus, daß zwischen den Perioden w nur die Glei-
chungen (2), sonst aber keine Relationen bestehen^), so ergeben sich
für die rationalen Zahlen c^^ die pi2p — 1) Relationen:

(\A^ 'Vr — ^ = ^^' ^^^" £' = p^-s,

K^V ^^ypQ^'^p+a,^- ^?> + ?,.^?.J 0, wenn a"^li + s,

(«,*' = !, 2, ••■,2p; f <0

in denen n eine nicht näher bestimmte rationale Zahl bezeichnet, die
aber, wie sofort gezeigt werden soll, einen positiven Wei*t be-
sitzen muß.

Da nämlich die Großen co^' mit den Größen 63^ ihrer Definition
nach gleichfalls durch die Relationen:

2p

(15) tD;=2c„,CJ, (a = l,2,^.,2p)

f = 1

verknüpft sind, aus diesen aber durch Trennung der reellen und late-
ralen Teile die Gleichungen:

2 p 2 p

(16) Vj^^Ca.Ve, ^ä-^f^uX (« = 1,2,. ..,2p)

hervorgehen, so wird zunächst:

1) Für singulare 2p-facli periodische Funktionen, deren Perioden außer
den Bedingungen (2)— (4) noch besonderen Relationen unterworfen sind, kann
den Gleichungen (13) durch Zahlen c^^ Genüge geschehen, welche nicht die
Gleichungen (14) erfüllen. Für solche Funktionen sind also außer den bei allen
2|?-fach periodischen Funktionen existierenden „ordinären" Transfonnationen
noch besondere „singulare" vorhanden; vergl. dazu Humbert, Sur les fonc-
tions abeliennes singuüeres. (Deuxieme memoire). J. de Math. (5) Bd. 6. 1900,
pag. 279; auch: Sur la transformation des fonctions abeliennes. C. R. Bd. 126.
1898, pag. 814; Sur les transformations singulieres des fonctions abeliennes.
C. R. Bd. 126. 1898, pag. 882 und: Sur la transformation des fonctions abeliennes.
C. R. Bd. 129. 1899, pag. 955.

Erste Form der Bedingungsgl. für die Transformationszahlen.

2p 2p

131

imd daher weiter auf Grund der Gleichungen (14)
p p

(18) 2 (jl'o tp+Q- ^Ip+qQ = '*2 {\ Ip + Q - % + Q %)■

Beachtet man aber, daß für die Größen % % die Ungleichung (4), für

die Größen ?;', %' die Ungleichung (11) besteht, so erkennt man

aus der Gleichung (18), daß die Zahl n einen positiven Wert be-
sitzen muß.

Der JJhergang von Terioden o^,« (^ Z i' o' ' i ) '^** neuen Perioden
coua i~.'l' c ), tvelclie sich aus ihnen zusammensetzen durch

' \o: = 1, 2, ■ • •, 2/>/ '

lineare Gleichungen von der Form:

2p

(I) '^.ü a = ^ ^a,^fte> (ä = 1,' 2, ■ •' 2 j»)

f = 1

in denen die c^^ 4jp^ rationale Zahlen hezeichnen, welche den p{2p—l)
Relationen :

p
(11) 2(^e.^p+p,.'

3, t ^Q t'J

n, wenn s' =p -\- £,

(t, e' = 1, 2, • • ■, 2/;; f < «')

genügen, heißt eine Transformation der Perioden; die in den Glei-
chungen (II) auftretemle positive rationale Zahl n der Grad oder die
Ordnung der Transformation. Sind die Transformationssahlen c^^
ganze Zahlen, so ivird die Transformation eine ganzzahlige, ist die
Ordnung n = 1, eine lineare genannt.

Das Transformationsproblem ist vollständig bestimmt, sobald die
4^^ rationalen Zahlen c^^ gegeben sind. Man denke sich dieselben
in ein quadratisches Schema von der Form:

(19)

T =

^1.^ + 1

' ' \ 2p

S,iB + l

■ ■ ^p, 2p

^2p, 1 ■

" ^P + '^,P
■ ■ ^2p, p

^p^l,p^\
^2p,p + l

■ • ^p^-l,2p

■ ' ^2p, 2p

gebracht. Dieses System von 4^)^ Zahlen soll die Charakteristik der
Transformation, die vier Räume, in denen die Größen c , c _^^,
fp + „,„ c^+^,,p + r {\^^v=\,2, ■■■,'p) beziehlich stehen, der erste,

9*

132

Y. 1. Das Transformationsproblem.

zweite^ dritte, vierte Quadrant der Charakteristik, und die in einem
'Quadranten stehenden Zahlen die Elemente des Quadranten genannt
werden. Wenn kein Mißverständnis zu befürchten ist, soll die
Charakteristik T zur Abkürzung mit:

(20)

T

%r

^il, p+v

c

bezeichnet werden, indem man in jeden Quadranten das v^^ Element
seiner ^^^^ Horizontalreihe setzt. Besitzen alle außerhalb der Haupt-
diagonale eines Quadi-anten stehenden Elemente den Wert Null, die
in der Hauptdiagonale stehenden Elemente aber den nämlichen Wert
tVj so soll dies dadurch angezeigt werden, daß man:

w -O

(21)

0 ■••tv

in den betreffenden Quadranten setzt; dabei ist der Fall w = 0 nicht
ausgeschlossen; in diesem Falle soU jedoch auch die kürzere Be-
zeichnuugs weise, daß man in die Mitte des betreffenden Quadranten
eine Null setzt, erlaubt sein. Endlich soll es gestattet sein, die zur
Charakteristik T gehörige Transformation kurz als die Transforma-
tion T zu bezeichnen.

Nachdem im Falle p ^ 1 das Transfonnationsproblem schon in den
die Theorie der elliptischen Funktionen begründenden Arbeiten von
Jacobi und AbeP) behandelt worden war, wurde es für p = 2 von
Hermite^), für beliebiges jp von Thomae^), Clebsch und Gordan*)
und Weber ^) aufgestellt.

1) Vergl. Enneper, Elliptische Funet. etc. 2. Aufl., pag. 281.

2) Hermite, Sur la th. de la transf. etc. C. R. Bd. 40. 1855, pag. 249;
siehe auch: Königsberger, Über die Transfonnation etc. J. für Math. Bd. 64.
1865, pag. 17 und Bd. 65. 1866, pag. 335 und: Über die Transformation des
zweiten Grades für die AbeFschen Functionen erster Ordnung. J. für Math. Bd. 67.
1867, pag. 58; eine Reproduction der Hermite'schen Abhandlung bei Cayley,
On the transfonnation of the double Theta-functions. Quart. J. Bd. 21. 1886,
pag. 142; vergl. ferner: Laguerre, Sur le calcul des systemes lineaires. Extrait
d'une lettre adressee ä M. Hermite. J. de TEc. pol. Bd. 25. 1867, pag. 215.

3) Thomae, Die allgemeine Transformation etc. Inaug -Diss. Göttingen
1864, und: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Functionen. J. für Math. Bd. 75.
1873, pag. 224.

4) Clebsch und Gordan, Theorie der Abel'schen Functionen. Lpz. 1866.

5) Weber, Über die unendlich vielen Formen der -S'-Function. J. für
Math. Bd. 74. 1872, pag. 57 \md: Über die Transformationstheorie der Theta-

* Functionen, ins Besondere derer von drei Veränderlichen. Ann. di Mat. (2)
Bd. 9. 1879, pag. 126. Zu den Untersuchungen der jetzt folgenden Artikel

Determinante C der Trausformationszahlen c

aß

133

§ 2.

Weitere Eigenschaften der Transformationszahlen e^^.

Man bilde aus den 4j/^ Größen c^^ (a, ß = 1, 2, ■ ■ ■, 2p) die
beiden Determinanten:

(22) C =

'2 p, 1

^li>

PP

•'l.P + l

''P.P + l

''i' + l,^

2i>,i)

> + l,?) + l

-2^,^ + 1

(23) C' =

^i) + l,p + l ■ " ■, ^JB + l,2p ^p + 1,1

0,^ + 1

^l,p + l ■■■ ^1, 2p

^■2p, 2jB ^2p, 1

^Ä^J + l

''i',2i,

"11

^i>l

-1,2 p

> + 1.2p

■^2^, 2p

''i' + l.P

beachte, daß C und C denselben Wert besitzen, und bezeichne diesen
gemeinsamen Wert gleichfalls mit C. Zur Bestimmung dieses Wertes
C bilde man nun das Produkt der beiden Determinanten C und C
in der Weise, daß man die Vertikalreihen von C mit den Vertikal-
reihen von C komponiert; die dadurch entstehende Determinante
besitzt, da infolge der Relationen (II) alle Elemente der Haupt-
diagonale den Wert n, alle übrigen Elemente den Wert 0 haben,
den Wert j^^-P; es ist daher C^ = n^^ und folglich:

(24) C = snP,

wobei £^ = 1 ist; es wird noch in diesem Paragraphen gezeigt werden,
daß £ nur den Wert -f 1 besitzen kann.

Die zu den Elementen c^^ gehörigen Unterdeterminanten
2p — P*^"^ Grades der Determinante G sollen mit y^o bezeichnet
werden. Diese Unterdeterminanten y^^ stehen zu den Elementen c^^
der Determinante C in einfachen Beziehungen, die jetzt ermittelt
werden sollen. Zu dem Ende beachte man, daß infolge der bekannten
Relationen, welche zwischen den Elementen einer Determinante und
ihren Adjunkten bestehen, hier die Gleichungen:

vergl. noch Frobenius, Über die principale Transformation der Thetafunc-
tionen mehrerer Variabein. J. für Math. Bd. 95. 1883, pag. 264.

134 V. 2. Weitere Eigenschaften der Transformationszahlen c^^.

p

(26) 2(S + /',v/m> + C^ + ,,,p + v?^,<',p + v) = ^;

r=l 0', i"' = l, 2, ••■,p)

P

(27) 2^ (c^, , Yp + ,«■, V + c^,, p + V rp + M', P + v) = 0'

r = l

K'^^J ^ \^p+ft,vyp + ,u;r 'T~ ^p + ,u,p + ryp + f,',p + r) — Q wenii u'^w

stattfinden. Addiert man nun, indem man unter v' eine beliebige der
Zahlen 1, 2, ■■•,2^ versteht, die Gleichungen (25) und (26) einmal,
nachdem man die erste derselben mit c ^„^^^,,., die zweite mit
— c _^^^,, multipliziei-t hat, ein anderes Mal, nachdem man die erste
derselben mit — c +,, ,,,, die zweite mit c^, ,,, multipliziert hat; addiert
ferner die Gleichungen (27) und (28) einmal, nachdem man die erste
derselben mit c _,_„ .^,,., die zweite mit — c„ _^,. multipliziert hat,
ein anderes Mal, nachdem man die erste derselben mit — c +,,,,,, die
zweite mit c,^ ,,, multipliziert hat, und summiert dann bei jeder der
vier auf diese Weise entstandenen Gleichungen, während man den
Index fi' festhält, in Bezug auf den Index (i von 1 bis p, so ent-
stehen vier Gleichungen, die sich unter Beachtung der Relationen (II)
sofort auf die Gleichungen:

^iyp + fc',v'--Cc^c',p + r', ^np + ,u;p + v'=C(^^.-V,

iu',v'=l,2,--,p)

reduzieren. Ersetzt man darin noch C durch den oben dafür ge-
fundenen Wert (24) und die Indizes /«.', v', die zwei beliebige Zahlen
aus der Reihe 1, 2, ■ ■ ■, 2) bezeichnen, durch ^i, v, so erhält man die Be-
ziehungen zwischen den Elementen der Determinante C und ihren
Adjunkten in der Form:

(30)

yp+f,,. = - £^^''c,,P+r, yp+^.,p+. = ^»"'^

'p + /ii,v}

iu,r = l,2,--,p)

Führt man die für die ünterdeterminanten y soeben gefundenen
Ausdrücke in die Gleichungen (25) — (28) ein, so erhält man vier
Relationen, die nach Art der Relationen (11) in die eine Gleichimg:

{^^\ ^C — ^ — ^^ ^®^^ s' = p-\-e,

(c, «' = 1, 2, ■ ■•, 2p; t<t')

zusammengefaßt werden können.

Unterdeterminanten der Determinante C.

135

Die Relationen (31) sind eine Folge der Relationen (II), da zu
ihrer Ableitung nur die Existenz dieser letzteren vorausgesetzt wurde.
Mau kann aber auch rückwärts von den Relationen (31) aus wieder
zu den Relationen (II) gelangen. Um dies einzusehen, setze man in
den Gleichungen (31) für q, (? = 1, 2, • • •, p: c^a = Cp + „^p + Qj
^Q,p + a ^^^ ^o,p + (>) (^p + (j,a ^^^ ^p + <',Q} ^p + ^, p + o ^^^^ ^<jq] QieseiDen genen
dann in Gleichungen (II') über, die sich von den Gleichungen (II)
nur durch die Accentuierung der Buchstaben c unterscheiden, und
aus denen daher sofort Gleichungen (31') abgeleitet werden können,
welche sich von den Gleichungen (31) ebenfalls nur durch die Ac-
centuierung der Buchstaben c unterscheiden. Ersetzt man aber in
den so erhaltenen Gleichungen (31') die Größen c' durch ^as, was
sie bedeuten, setzt also allgemein: cäo = Cp + o^p + „, c,;' ;j + „ = — Co^p + a,
Cp + a,Q = — Cp + Q,(7, Cp + a,p-\-o = c^,„, SO erhält man die Gleichungen (11).
Damit ist bewiesen, daß ein jedes der beiden Gleichungensysteme (II)
und (31) als eine Folge des anderen angesehen werden kann, und
daß es daher einerlei ist, ob man den Arr Größen c . von Anfang
an die Bedingungen (II) oder die Bedingungen (31) auferlegt. —
Aber auch die Gleichungen (30) können zur Charakterisierung der
Transformationszahlen c^^^ dienen, da sie nicht nur eine Folge der
Relationen (II) sind, sondern auch umgekehrt diese, ebenso wie
im Vorigen die Relationen (31), unter ihrer Anwendung aus
jenen Gleichungen abgeleitet werden können, welche stets zwischen
den Elementen der Determinante C und ihren Adjunkten be-
stehen.

Um endlich zu beweisen, daß die in der Gleichung (24) und den
Gleichungen (30) auftretende zweite Einheitswurzel a stets den Wert
-f 1 besitzt, beachte man zunächst, daß:

(32)

"ii •*■ %i ^i,;> + i ••• ^i,2p

^ip '" ^'^PP ^P^P + ^ " ' ^P>-P

0 --'O

'pi

Ip

ist, wenn mit a, wie schon früher, der Wert der Determinante
^+ «11 Oo9 •••«„„, mit 03 ' der Wert der Determinante ^+ o) ' a? ' • • • C3 '

^^ — ^^ -■' pp' ^^ — 11 z'z pp

bezeichnet wird. Subtrahiert man in dieser Determinante für v = 1, 2, • • ;p
von den Elementen der v^^^ Vertikalreihe die mit «,, »,^i, •••, «,2«
multiplizierten Elemente der p + 1*®°, • • •, ^p"^^^ Vertikalreihe, so er-
hält man unter Beachtung der Gleichungen (I):

136 V. 2. Weitere Eigenschaften der Transformationszahlen c^^ .

(33)

^^pu^lu "' ^ ^p/ii ^pu ^p,p + l ' ' ' ^p,2p

^ ^h,u ^i,p + ,« ■ ■ ■ ~^ ^hfi "p,p + iii ^11 ■ ■ ■ "ip

^^" pil l,j9 + /t ^i" ^,(/ Pt P "T 1^ P'^ PP

wo alle ^ummationen nach, ^i von 1 bis p zu erstrecken sind. Die
anf der rechten Seite dieser Gleichung stehende Determinante ist
aber, wie sofort ersichtlich, das Produkt der zwei Determinanten:

(34)

ca,

'ip

0---0

-pi

copp O.-.O

0 1

0 •••0 0--1

^ip

"l.p+1

-'1,2p

'py

■ ^p

^,P

+ 1

■■^,

2p

-^h

p+1

■ -«1,

2p

«11

■CO,

P

P,P + ^

''p,2p "^pl

und da die erste derselben den Wert a besitzt, so hat die zweite auf
Grund der Gleichung (33) den Wert co '. Multipliziert man aber diese
Determinante mit der unter (23) angeschriebenen Determinante C,
welche, wie dort bemerkt wurde, den Wert c = sW' besitzt, und zwar
so, daß man die Horizontalreihen der einen Determinante mit den
HorizontaLreihen der anderen komponiert, so erhält man unter Be-
rücksichtigung der Relationen (31):

(35)

an^ a

0 0

0

0

• n 0 ••

■-<,2P <1'-

•0

-<.+l-'

••«;

Die auf der rechten Seite dieser Gleichung stehende Determinante
besitzt aber, wie unmittelbar ersichtlich ist, den Wert tiPco', und es
hat daher die Größe £, da oj' von Null verschieden ist, den Wert + 1-
Die Resultate dieses Paragraphen können folgendermaßen zu-
sammengefaßt werden:

Andere Formen der Bedingungsgl. für die Transformationszalilen. 137

I. Satz : Die 4:p^ Transformationszalilen c^.^ genügen den p {2p — 1)
Gleichungen:

>A n, wenn s' = p -\- s ,

(f, t' = l,2,--,p; ( < f')

Diese Relationen (III) sind den Relationen (11) äquivalent, da nicht
nur sie aus diesen, sondern auch timgekehrt diese aus ihnen abgeleitet
werden Mnnen.

Bezeichnet man ferner mit G die Determinante:

(IV)

c =

4p

4,p + l

1.2p

^pl " ' ^pp ^P,P + i- " ' ^P, 2p

^P + 1, 1 ■ * ■ ^'p + i,p ^p + i,p + i ' ' ' ^p + i,2p

C-y,

p, 1 *-2p,p ^^2^,^ + 1 ^:.'p, 2p

SO ist:

(V) C = n^

MW(^ zivischen den Elementen c„^ f?er Determinante C und ihren Ad-

junliten y^^ bestehen die Beziehungen:

(VI)

i/Lir

/ p + ,((, V

= — nP

^p + /n,p + v}

/ /<,p + l

= - nP

-1 ,

p+/','''

-1

)-i

>,p + r> yp + ,i',P + f '* "/"'

{,„,.■=1,2, •■ •,;^)

^Mc/i (?«e5e Relationen charakterisieren die Transformationszahlen c^^
vollständig, da aus ihnen gleichfalls die Relationen (11) und (III) folgen.

Die Bildung von Systemen von je 4p^ Zahlen c^^, welche den Be-
dingungen (11), (in) genügen, lehrt HeiT Frobenius^).

Zerlegt man die Grrößen C3^„ in ihre reellen und lateralen Teile
in der Form:

(a = 1 2 • • • p \
«=i',2',...,'2p;

so stellt die aus den Größen rj, l gebildete Determinante 2p^'''' Grades
n, wie pag. 112 bemerkt wurde, den Inhalt des den Perioden a^^
zukommenden Periodenparallelotops dar. Setzt man in derselben Weise:

SO ist auf Grund der Gleichungen (I):

1) Frobenius, Zur Theorie der Transformation der Thetafunctionen.
J. für Math. Bd. 89. 1880, pag. 40.

138 V. 3. Beziehungen zwischen den Variablen und Modulen etc.

2/) 2jB

(^^) %( a ^ j^ ^« e "^.a « ' ^,« a ^ .^ ^a « b^ « ? \a = l' 2,' ■ • • ' 2/)/

und es ist daher die aus den Größen ti und t,' gebildete Determi-
nante 77' dem Produkte der Determinante G und der Determinante
7T gleich, also:

(39) n'=npn.

II. Satz: Ist die Trcmsformatmi (l), durch ivelche die Perioden a
mit den Perioden co zusammenhängen, vom n^^^ Grade, so ist der In-
halt des den Perioden co' zukommenden Periodenparallelotops das n^ -fache
des den Perioden a entsprechenden; hei linearer Transformation wird
also der Inhalt des Periodenparallelotops nicht geändert.

§ 3.

Beziehungen zwischen den Argumenten und Modulen der
ursprünglichen und der transformierten Thetafunktionen.

Führt man in der pag. 129 angegebenen Weise zu den Perioden co

Thetafunktionen -«^ / ((«))« ^i^; indem man deren Argumente u und

Modulen a implizite durch die Gleichungen (5) und (7) oder explizite
durch die Gleichungen (6) und (8) definiert, und führt ebenso zu den

Perioden co^,'« Thetafunktionen ^\j\ ((«'])„' ein, indem man deren Argu-
mente u' und Modulen a' implizite durch die Gleichungen:

p

(40) yciv^^=^ C0f^,r,u'^, (h=i,2,---,p)

p

(41) :liG)l,,p+a=^ 03f,na[,a, {^i,o=l,2, ■ ■ ■ , p)

() = 1

oder explizite durch die damit äquivalenten:

p

(42) ^Q^-'^S^f'a'^f^' (Q=i,2,-.-,p)

p

(43) a'^a = ^ ^ 0/',(,C3'u,p + a (Q, 0 = 1,2, ■■■, p)

,u = l

definiert, in denen «' den Wert der Determinante J^± co'n oU ••• (^'pp
und für jedes ^ und v von 1 bis 2^ ^.«i die Adjunkte von o^', ,. in
dieser Determinante bezeichnet, so erwächst die Aufgabe, jene Be-
ziehungen abzuleiten, welche sich ans den obigen Gleichungen

Gleich, zwischen den alten und den neuen Variablen. 139

zwischen den Argumenten u und Modulen a der iirsprünglicJien Theta-
funktionen einerseits und den Argumenten ii und Modulen a der
transformierten Thetafunktionen andererseits ergeben.
Aus den Gleichungen (6) und (40) folgt zunächst:

p / p \

(44) ^*e = i2 (^«"^ö«J?.4. (Q=i,2r-,P)

a=l \;( = 1 /

Nun ist aber:

2p p

(45) CJ,,: ^=^C^^(0^^^^2j (^" .■ «,« V + Ca, p + V «,„, p + v)

f=l 1=1

(j.i,a = l,2,- ,p)

und daher:

y

(46) ^»Aö,„^

=2^

)=i

'o ,. ( Z!l ",« '■ ^," j + ^'', P+ •■ ( 2 «^', i> + V ^/< Q )

(p,a = l,2,--,p)

Von den beiden auf der rechten Seite dieser Gleichung auftretenden
in besonderen Klammern eingeschlossenen Summen besitzt die an
erster Stelle stehende nur dann einen von Null verschiedenen Wert
und zwar den Wert o, wenn v = q ist, die an zweiter Stelle stehende

Summe hat nach (8) den Wert —.«„„, und es wird daher:

p

(4'^) ^««a Ö^.o = ^i^Qo, (p.a = l,2,...,p)

/( = 1

wenn man zur Abkürzung

p

(48) ^pa = Ca5^'^'+^C^,;, + v«^v {Q,a=l,2,---,p)

v = l

setzt. Aus (44) erhält man aber jetzt die Beziehungen zwischen den
Argumenten der ursprünglichen und der transformierten Theta-
funktionen in der Gestalt:

(49) 7tiu^=^Ä^^Ua.

(Q = l,2,--,p)

Läßt man in der Gleichung (I) an Stelle der ca die 2p Systeme

korrespondierender Periodizitätsmodulen der Funktionen 'O'Klf?*))^

treten, so gehen die Größen o^,',, (fi, v = l,2,---,p) in die durch die
Gleichungen (48) definierten Größen Ä^^^. über. Es erscheinen also

140 V- 3. Beziehungen zwischen den Variablen und Modulen etc.

die Ä^^, als spezielle Fälle der o^^ und man schließt daraus, weil die
Determinante ^ + ca/i 022 • • • copp von Null verschieden ist, daß auch
die Determinante ^± Ä^^ A^^ • ■ ■ Ä^^ einen von Null verschiedenen
Wert besitzt. Bezeichnet man aber denselben mit A. und die

A

Adjunkte von yl in dieser Determinante mit Ä^^, so folgt aus den
Gleichungen (49) durch Auflösung nach den u als Unbekannten:

p

(50) K = ^2^oo

U^. (a=l, 2, ■••,/))

Multiplizieifc man ferner linke und rechte Seite der Gleichung (47)
mit aar und summiert über 6 von 1 bis ^), so erhält man bei gleich-
zeitiger Vertauschung der beiden Seiten der Gleichung zunächst:

p p / i> \

^^^^ ^i^ ^o(7«<t'v =^ ( ^ aiioaör 1 Of,,^, ('■,0=1,2, ••.,;»)

(7 = 1 ^ = 1 \a=l /

und hieraus wegen (41):

p p

(^^) ni^^U"^^^' ^ ^^'.^"/'.^ + v0^e- (v,p = l,2,-.,^)

0 = 1 ,u = l

Nun ist aber nach (I):

tp p

^2 S+ ., * ""^ =2 (S+1, /- ^,«>- + ^P + y,P + ?. «,",P + /)
£=1 ;.=i

{f,,v = l,2,--,p)

p

X. ^,u,p+vO,uo

^p+V,?. I ^ ^fC?. ^/ilQ I + ^p+V,p + /. I ^ ^f<,P + >- ^,"?
(r, ;5 = 1, 2, •■•,;:))

Von den beiden auf der rechten Seite dieser Gleichung auftretenden
in besondere Klammern eingeschlossenen Summen besitzt die an erster
Stelle stehende nur dann einen von Null verschiedenen Wert und
zwar den Wert co, wenn k = q ist, die an zweiter Stelle stehende

Summe hat nach (8) den Wert —-ci^^, und es wird daher:

p

(55) ^<;>+v ^? = ^i ^or, (.,0 = 1,2,...,;,)

wenn man zar Abkürzuuff

(53)

<P+.

und

daher:

(54)

p r

Gleich, zwischen den alten und den neuen Modulen. 141

P

;. = i

setzt. Aus (52) erhält man aber jetzt die Beziehungen zwischen den

Modulen der ursprünglichen und der transformierten Thetafunktionen

in der Gestalt:

p

(57) TtiB^^.^'^A^^a', iQ,v=i,2,...,p)

oder, nach den aä^ als Unbekannten aufgelöst, in der Form:

p

(58) «;,. = ^2^,aS,r- ^o,. = l,2,...,,)

^ (1 = 1

m. Satz: Ztvischen den Argumenten u und Modtden a der ur-
sprünglichen Theiafunldionen einerseits und den Argumenten u' und
Modulen a der transformierten TJietafunJctionen andererseits bestehen
folgende Beziehungen: Seist man zur Ahhürmng:

p

(VII) A^ , = c, „ % i -\-^ c,,^^.^_ a„ ^ ,

y. = l

{u,v = l,2, ■■■,p)
P

(VIII) B^,, = C^+.,,.^'' +^C^ + ,,p + x %y.,

x — l

SO sind die Argumente u mit den Argumenten u' durch die Gleichungen:

p
(IX) % = ^-^A-<, (/«=i.v-,P)

v = l

oder:

p

(X) <=^^^,r%\ (v = l,V-,P)

die Modiden a mit den Modiäen a durch die Gleichungen:

p

(XI) 5« = ^■2'^/..%' ('«='.V-..)

v = l

oder:

p

(XII) «;, = f^^^.v^,, (v,e=i,v-,.)

verknüpft. In diesen Gleichungen ist mit A^ der stets von Null ver-
schiedene Wert der Determinante ^+ A^^A^^ ••• A^^ und mit Ä^^^ die
Adjunkte von A in dieser Determinante bezeichnet.

142 V. 4: Zusammensetzung von Transformationen. '

§ 4.
Zusammensetzung von Transformationen.

Wendet man auf die mittelst der Transformation T:

von der Ordnung «z eingeführten Perioden w' eine neue Trans-
formation T':

2p

von der Ordnungszahl n an, so definieren die aus den Gleichungen
(59) und (60) durch Elimination der Größen co' entstehenden
Gleichungen :

2p

(61) "/'« =^f'«>^'r; (ai!;2;^^:;2p)

in denen zur Abkürzung

2p
{^^) Cäy =^ Ci^ C^y (a, y = l, 2, ■ • • , 2p)

gesetzt ist, eine dritte Transformation T" .

Im Hinblick auf die Gleichungen (61) folgt schon aus der Natur
der Zahlen c" als Transformationszahlen, daß sie Relationen von der
Form (II) und (III) genügen; man kann dies aber auch mit Hilfe
der Gleichungen (62) nachweisen, indem man die Zahlen c" durch
ihre Ausdrücke in den c und c ersetzt und beachtet, daß die Zahlen c
die Relationen (II), (III) erfüllen, die Zahlen c aber Relationen (11'),
(Iir), welche aus (II), (III) dadurch hervorgehen, daß man die Buch-
staben c durch (' und gleichzeitig n durch n ersetzt. So findet man

zunächst:

p

V/ " " _ " "\

(63) ?=i

2p 2p p
= ^^ ^j ^j {C(jaCp + Q,ji — Cp^q^aC^ßjCuiCßi' ^
(f, s'=l, 2, ■■•, 2p)

hieraus aber wegen der Relationen (H'):
p p

("4) ^ {c^fCp + ^^f' — Cp + ^^tC^i') = n ^ V^ae^p + a,i' ~ ^p + ü,i^ae-)
Q=i ff=i

(£,£'= 1,2, •■•,2p)

Die aus T imd T' zi;sammenges. Transf. T"; ihre Ordnung. 143

und sodann wegen der Relationen (II):

p

f^p. -^ . „ „ _ .. „. _ ww', wenn £' = 2) + £,

^ ^ -^ ^ "• '^ ^' z' v. s / Q^ wenn £ <i> + f,

(e, t'=l,2, ■ ■■ ,'ip; s<t')

und erkennt dadurch zugleich, daß die Ordnung n" der Trans-
formation T" mit den Ordnungen n und n der Transformationen T
und T' durch die Gleichung:

(QQ) n" = nn

zusammenhängt.

Denkt man sich die Gleichungen (VII) — (XII) für die Trans-
formationen T, T' und T" angeschrieben, so ergeben sich aus den
so erhaltenen 18 Gleichungen u. a. auf leicht ersichtliche Weise die
bemerkenswerten Beziehungen:

p
(67) ni A'üv =^2j ^f ? ^ e'^' >

p

(,u,r = l,2, •••,JJ)

(u,r=l,2,--,p)

(68) 7ii B^\. =2_, Äf^^B^y ,

und hieraus ferner die Gleichungen:

' p

(69) Au, =^ (C,,'j Au r> + Cr, p + (f 5„ J ,

P

\ ' '-' j -^5,« V = ^^ y'p + V, (> Af, 0 -f- Cp^y,p^(, Jju ö) .

Die Transformation T", deren Transformationszalilen c" aus den
Transformationssalüen c und c der Transformationen T und T' sich
gemäß der Gleichungen:

2p
(Xni) Cäy =^ Cj^ Cßy («,y = l,2, .. , 2p)

1^ = 1

zusammensetzen, ivird die aus den Transformationen T und T' zu-
sammengesetzte Transformation genannt. Die Beziehung zivischen den
drei Transformationen T, T', T" wird symholisch durch die Gleichung:

(XIV) T" = TT'

fixiert. Die Ordnung n' der zusammengesetzten Transformation ist
gleich dem ProdiiMe der Ordnungen n und n der einzelnen Trans
formationen.

Der Tatsache, daß aus zwei Transfoi*mationen durch Zusammen-
setzung wieder eine Transformation hervorgeht, wird Ausdruck ge-

144

V. 4. ZusammensetzuDcr von Transfbruiationen.

geben, indem man sagt, daß die Transformationen eine Gruppe
bilden. Man kann nun auf die angegebene Weise aus mehreren
Transformationen T^, T^, • • •, T^, nachdem man dieselben in eine be-
stimmte Reihenfolge gebracht hat, durch Zusammensetzung eine neue
Transformation erzeugen, welche die aus den Transformationen T^,
Tg, • ■ •, T„j zusammengesetzte Transformation genannt und mit T^ Tg • • • T^
bezeichnet werde. Die Ordnung der zusammengesetzten Transformation
ist gleich dem Produkte der Ordnungen der einzelnen Transformationen.
Bei der Zusammensetzung der Transformationen gilt das Assoziations-
gesetz, d. h. man erhält dasselbe Resultat, ob man die Transformationen
der Reihe nach zusammensetzt, oder ob man dieselben zuerst gruppen-
weise vereinigt und dann die den einzelnen Gruppen entsprechenden
Transformationen in der durch die Gruppen bestimmten Reihenfolge
zusammensetzt. Dagegen gilt bei der Zusammensetzung von Trans-
formationen das Kommutationsgesetz nicht: es ist im allgemeinen die
Transformation T^ T^ von der Transformation T^ T^ verschieden.

Unter allen Transformationen gibt es eine ausgezeichnete, bei der:

(71) «;« = «,„« Cii'.'.'-.lp)

ist; dieselbe soll die identische Transformation genannt und mit J
bezeichnet werden: sie entsteht, wenn man:

setzt; es ist daher:

(73)

Cau= 1;

Ca, = 0

(a,;* = l,2,..,2i>; a^ß)

J =

1 • • • 0

. . .

0

0 ■ • • 1

1 • . • 0

0

0 • • . 1

die Ordnung dieser Transformation ist, wie unmittelbar ersichtlich, 1.
Setzt man die Transformation J auf eine der beiden möglichen Weisen
mit einer beliebigen Transformation T zusammen, so entsteht die Trans-
formation T wieder; d. h. es ist:

(74) JT=T, TJ=T.

Zu einer gegebenen Transformation T kann man immer eine und
nur eine Transformation T' finden, sodaß:

(75) TT = J

ist. Um dies zu beweisen, hat man unter Beibehaltung der oben an-
gewandten Bezeichnung zu gegebeneu Zahlen c^^^ die Zahlen f„'^ so

Die identische Transf. J; die inverse Transf. J~V 145

zu bestimmen, daß die früher mit T" bezeichnete Transformation die
identische wird. Dies liefert zur Bestimmung der c^^i die Gleichungen:

/r;n\ "^ / 1, wenn y = a,

^^ ^^ 0, wenn y < «,

aus denen, wenn man wie früher die Unterdeterminanten 2p — V^"" Grades
der Determinante ^ + q^ C22 ... Cgp 2^ mit y^^ bezeichnet und be-
achtet, daß diese Determinante selbst den Wert n^ hat:

folgt, und es ist daher mit Rücksicht auf die Gleichungen (VI)

c = ' - ' 1

(78)

^■"*' ~ n ^p+y,P+.uf (^f<,p + y = — -^r.p + a;

1 , 1

Cp+u,r — — -Cp + y,^,, Ci< + ,</,p + v = -C,,. .

Die so für die c gefundenen Werte erfüllen die Gleichungen (IF),
(III'), wenn man darin n = ~ setzt. Man hat also den

IV. Satz: Zu jeder Transformation T gibt es eine und nur eine
andere T"^, ivelche durch die Gleichung:

(XV) TT-' = J,

in der J die identische Transformation lezeichnet, vollständig bestimmt
ist. Ist T von der Ordnung n, so ist T'^ von der Ordnung - und
ihre Transformationszahlen c sind durch die Gleichungen:

1 . . 1

(fi,v=l,2,- ,p)

/jYjx •"* n^P + '^'P+h' ^iu,p + v— n^^^'P + l^'

_ _ 1 1

p + u,v n P + ^'.u' ^P + ft,P + v ^^ ':^^vin^

bestimmt. Die Transformation T-^ tvird die zur Transformation T
inverse Transformation genannt.

Daß auch umgekehrt T-^T=J, also auch T die inverse Trans-
formation von T-i ist, leuchtet ein. Führt die Transformation T
von den Perioden a zu den Perioden co', so führt die inverse Trans-
formation T-i umgekehrt, auf die Perioden co' angewandt, zu den
Perioden a zurück. Dementsprechend liefert das System der Glei-
chungen ( VII) — (XII), wenn man es für die inverse Transformation T' ^
aufstellt, die nachfolgenden Gleichungen, in denen der bequemeren
Vergleichung mit den ursprünglichen wegen allenthalben die Buch-
staben ^ und V mit einander vertauscht sind. Setzt man:

Krazer, Thetafunktionen,

10

146 V- ■*• Zusammensetzung von Transformationen.

(79)

n'^r.

p

(80)

'^^Vf,

P
= - Cp + v,^^^ ■^^(^y.i.Ky.,

(/<,v=l,2,

so ist:

(81)

p

u = 1

{»' = 1,2,

oder:

(82)

%-^^%.<'

^•^t^^

(." = 1,2,

und:

(83)

('■,? = 1,2,

oder :

H — 1

■,p)

,p)

■,p)

■,p)

wo Ajj den Wert der Determinante ^ + ^t^SIgo ••• 5t und 2(,,,^ die
Adjunkte von %^ in dieser Determinante bezeichnet, und es ist nun
mit Rücksicht auf das vorher Bemerkte der durch die Gleichungen
(81) und (82) ausgedrückte Zusammenhang zwischen den Variablen u
und u genau derselbe wie der durch die Gleichungen (IX) und (X)
bestimmte, oder mit anderen Worten, die Gleichungen (81) sind mit
den Gleichungen (X), die Gleichungen (82) mit den Gleichungen (IX)
identisch; ebenso ist der durch die Gleichungen (83) und (84) ver-
mittelte Zusammenhang zwischen den Modulen a und a genau der
gleiche wie der zwischen diesen Größen durch die Gleichungen (XI)
und (XII) definierte, oder mit anderen Worten, die Gleichungen (83)
sind mit den Gleichungen (XI) identisch, während die Gleichungen (84)
in derselben Weise die Auflösung dieser Gleichungen nach den Mo-
dulen a darstellen, wie es die Gleichungen (XTT) nach den Modulen a
tun. Von der Richtigkeit dieser Behauptungen kann man sich auch
direkt überzeugen, insbesondere aber mit Hilfe der aus (67) für
T' = T~^, T" = J folgenden Gleichungen:

P

/Dc\ '^ Ä ai i'^^y, wenn a = v,

(85) y Ä % ^^ / ' --. {,«,1=1,2,- ^p)
^ ^ -^ "e^" 0, wenn ^^v,

aus denen:

(86) 5t =^'J , Ä =^-^ß% Kr=i,2,..,,)

folgt. Man wird noch bemerken, daß die Gleichungen (68), je nach-

Zusammens. einer Transf. aus mehreren. 147

dem man die Trausformationen T, T\ T" mit den Transformationen
T,T~^^J oder mit den Transformationen T~^,T,J identisch werden
läßt^ in die Gleichungen:

p

(87) ^^^^^^>v = ^'«,.v (,«,r=l,2,...,p)

oder:

p

(88) ^ 2t,, ^B^^, = 7Ci «; ^ (,-., r = 1, 2, . ■ . , p)

p = l

übergehen, die auf Grund der Gleichungen (86) mit den Gleichungen (84)
und (XII) übereinstimmen.

Eine beliebige Transformation T kann man immer aus m Trans-
formationen, von denen w — 1, etwa T^, ■ ■ ■, T^^_^, T^^_^_^, ■ ■ •, T^ will-
kürlich angenommen werden können, während die m*® T^ durch diese
und die Transformation T eindeutig bestimmt ist, zusammensetzen in
der Form:

(89) ^=^i---^.-i^u^„ + . •••^«-

Setzt man nämlich, indem man die zu den gegebenen Transfor-
mationen ^1, • • •, ^„_i, ^„ + 1, • ■ ■, ^,„ inversen Transformationen mit
T~\ ■■■, T~^,, T~^^, ■ ■ ., T~' bezeichnet:

(90) T = T~^ ■• T~^TT~' ■■■ T~^

^ ■' /U jLl — l 1 )/( u + 1

und führt das so bestimmte T,, in die Gleichung (89) ein, so wird
dieselbe richtig. Umgekehrt folgt aus der obigen Gleichung, sobald
man sie als bestehend voraussetzt, für T,, immer der aufgestellte Aus-
druck. Die Transformation T^^ ist also eindeutig bestimmt, sobald die
Transformation T und die Transformationen T^,--, T^_^,T +i, • ■ •, ^„,
gegeben sind, und ihre Ordnung «,, setzt sich aus der Ordnung n der
Transformation T und den Ordnungen ^?i, • • •, »*^_i,*^^ + i, • • •^»^„j der
Transformationen ^i, • • •, ^,(_i, ^„ + i; • • •, T„, zusammen vermittelst der
Gleichung :

(91) n^. - .. . : -■

•■«-1 "</ + i

Das hier entwickelte Prinzip der Zusammensetzung einer Trans-
formation T aus mehreren ist für die Transformationstheorie als ein
fundamentales anzusehen; durch Anwendung desselben kann man
nämlich, wie in den folgenden Artikeln ausgeführt wird, das allge-
meine Transformationsproblem auf gewisse einfache zurückführen.

10*

148 V. 5. Zusammens. einer ganzzahl. linearen Transf. aus elementaren.

§5.

Zusammensetzung einer ganzzahligen linearen
Transformation aus elementaren.

Ist eine Transformation T eine ganzzahlige lineare, so ist es,
wie der Satz IV zeigt, auch die inverse T'^. Da ferner in diesem
Falle jede ganzzahlige lineare Verbindung der « auch eine ganz-
zahlige lineare Verbindung der a' ist und umgekehrt, so ist jeder
Gitterpunkt im Periodengitter der w auch ein Gitterpunkt im Perioden-
gitter der a und umgekehrt. Die Periodengitter der co und tu' haben
also für jede ganzzahlige lineare Transformation die nämlichen Gitter-
punkte. Daß die Periodenparallelotope dann in beiden Fällen den
nämlichen Inhalt haben, leuchtet ein.

Die ganzzahligen linearen Transformationen bilden für sich eine
Gruppe; denn setzt man irgend zwei ganzzahlige lineare Transfor-
mationen zu einer neuen Transformation zusammen, so ist diese wieder
eine ganzzahlige lineare. Mit Rücksicht darauf kann man die Frage
aufwerfen, ob eine endliche Anzahl ganzzahliger linearer Transfor-
mationen L^jL.2, • • •, L^^ gefunden werden kann, aus denen sich jede
beliebige ganzzahlige lineare Transformation L zusammensetzen läßt
in der Form:

(92) L = L"^ L"^ ■■■ L""' if 1 ■■■L\^Ll^--- V^ ,

^ / 12 m \ 12 m '

wobei die «, /3, •••, q positive ganze Zahlen, die Null nicht aus-
geschlossen, bezeichnen. Aus der Gleichung (92) ergibt sich sofort:

(93) LL-^'- ■ • ■ l;'^-'l:''' ■ ■ ■ l;^' l""'" ■ ■ • l:"''l;"' = j,

^ / m 2 1 Im 2 1 '

und man kann daher die Frage auch so stellen, ob es eine endliche Anzahl
ganzzahliger linearer Transfonnationen L~ , L^ , ••■, L~ gibt, ver-
mittelst deren sich eine beliebige ganzzahlige lineare Transformation L
in der Form (93) auf die identische Transformation J reduzieren läßt.
Um diese Frage zu entscheiden, definiere man die folgenden
speziellen gauzzahligen linearen Transformationen, indem man unter
Q,6 irgend zwei Zahlen aus der Reihe 1,2, •■■,p versteht.

1. Die Transformation Ä~ , bei der:

(94) c„„ = 1 für a = 1, 2, • ■ •, 22> und c^^^^^ = - 1

ist, während alle übrigen Trausformationszahlen c den Wert Null
besitzen.

2. Die Transformation B~ , bei der:

Die Transformationen Ä-\ B-\ Cj^\ D'^. 149

(95) c^,,, = tp + ,„,p + ,„=l für ii^l,2,--,Q-\,Q + \,--,p und

ist, während alle übrigen Transformationszahlen c den Wert Null
besitzen.

3. Die Transformation C~ , bei der:

Q a '

(96) c„„=l für cc=l,2,--,2p und c^„- - 1, c^^„_p^^ = + 1

ist, während alle übrigen Transformationszahlen c den Wert Null
besitzen.

4- Die Transformation D" , bei der:

(97) c^„. = ^p + ,,,p + ,« = l für

ft=l,2, •••, p — 1, {3+1, •••,<5— 1, (?+!,•• •,/) und

ist, während alle übrigen Transformationszahlen c den Wert Null
besitzen.

Setzt man eine Transformation T mit der Transformation Ä~

n

zur Transformation TA~ zusammen, so unterscheidet sich diese von
der Transformation T dadurch, daß die Elemente der p*®° Horizontal-
reihe von T durch neue ersetzt sind, welche aus den ursprünglichen
durch Subtraktion der entsprechenden Elemente der p -\- p*®° Horizontal-
reihe hervorgehen, sodaß also für a = 1 , 2, • • -, 2|) c durch
<^^a-Cp + Q,a ersetzt ist.

Setzt man eine Transfonnatiou T mit der Transformation B~

-1 . . . ^'

zur Transformation TB zusammen, so unterscheidet sich diese von

der Transformation T dadurch, daß die Elemente der p**"" Horizontal-
reihe von T mit den Elementen der p -\- q!^^ vertauscht sind, nach-
dem man zuvor die letzteren sämtlich mit — 1 multipliziert hat, sodaß
also für a= 1, 2, ••■, 2p c^^^ durch -c^ + p,« und c^^^^^ durch c^^^
ersetzt ist.

Setzt man eine Transformation T mit der Transformation C~
zur Transformation TC zusammen, so unterscheidet sich diese von
der Transformation T dadurch, daß die Elemente der q^^^ Horizontal-
reihe von T durch neue ersetzt sind, welche aus den ursprünglichen
durch Subtraktion der entsprechenden Elemente der 0*^° Horizontal-
reihe, gleichzeitig aber die Elemente der p -\- ö**^" Horizontalreihe
von T durch neue ersetzt sind, Avelche aus den ursprünglichen durch
Addition der entsprechenden Elemente der p + Q^^^ Horizontalreihe
hervorgehen, sodaß also für a = 1,2, • • ■ , 2p c,^^ durch c ^^ — Cq„ und
Cp + a, a clurch f^ ^ ^^ ^ + c^ ^ ^_ ^ crsetzt ist.

150 V. 5. Zusammens. einer ganzzahl. linearen Transf. aus elementaren.

Setzt man endlich eine Transformation T mit der Transfor-
mation D~ zur Transformation TD~ zusammen, so unterscheidet

na {in '

sich diese von der Transformation T dadurch, daß die Elemente der
pten Uorizontalreihe von T mit den entsprechenden Elementen der
<?'®° und gleichzeitig die Elemente der p -\- q^^^ Horizontalreihe von T
mit denen der j? + (J*"*^ vertauscht sind, sodaß also für « = 1, 2, • • •, 2p
c^„ mit c und c^^.„, „ mit c^ + o, „ den Platz gewechselt hat.

Auch mag für das Folgende bemerkt werden, daß durch noch-
malige Zusammensetzung der Transformation TIj~ mit der Trans-
formation B~ eine Transformation TB~' erhalten wird, welche sich

Q Q

von T nur dadurch unterscheidet, daß die sämtlichen Elemente der
Q^^'^ und p + Q^'^^ Horizontalreihe von T mit — 1 multipliziert sind,
sodaß also iüv a = 1,2, •• ■, 2p c^^ durch — c,^^ und c^j^^^^ durch
-c^ + o,a ersetzt ist.

Ist nun eine ganzzahlige lineare Transformation L gegeben, so
fasse man zunächst nur die Elemente c^^ Cgi " ' ^pi\^p + \,i ^p + 2,1 " ' ^2p, 1
der ersten Vertikalreihe ins Auge. Durch Zusammensetzung der

Transformation L mit passend gewählten Transformationen ä~ , B~
(() = 1, 2, • • •, ^) kann man aus L zuerst eine neue Transformation
ableiten, bei der ("p + i,! = ^^ + 2,1 = * " ' = ^2jj, 1 = ^ i^^7 ^^^ hierauf
aus dieser durch Zusammensetzung mit Transformationen C~^
(^Q^ ß = 1^2, ■ • -,2^) eine weitere, bei der auch p—1 der p Zahlen
%j^2ij ■■■' ^pi gleich Null sind, und nur die p>^^ einen von Null ver-
schiedenen Wert hat. Falls dieser Wert negativ ist, kann man ihn
durch Zusammensetzung der jetzigen Transformation mit einer Trans-
formation B~ positiv machen, und endlich kann man ihn durch
Zusammensetzung mit einer Transformation D~ an die erste Stelle
bringen, sodaß schließlich fgi = ^31 = " * * = ^^p, 1 = ^ ^^^ ^11 ^ ^ i^^-
Indem man nun die erste nnd p) -\- 1'® Horizontalreihe aus dem
Spiele läßt und die übrigen Elemente • c^^ Cgg • • • Cp2 ' ^p+2,2 ^jj + 3,2 ' ' ' ^2jj,2
der zweiten Vertikalreihe ins Auge faßt, kann man in der gleichen
Weise wie vorher durch Zusammensetzung der gewonnenen Trans-
formation mit Transformationen A~ , B~ {q = 2, 3, ■ • -jP) zunächst
eine neue Transformation ableiten, bei der c +2,2 ^ S + 3,2 ^ ■■" ^ ^'2^,2 ^ ^
ist, und sodann aus dieser durch Zusammensetzung mit Transformationen

C~ , B~ , I)~ (o, (7 = 2, 3, • • •, «) eine weitere, bei der auch noch
^32 = c^ = • • • = c^2 = ö ist, während c^g > 0 ist.

So fortfahrend erkennt man, daß man aus der Transformation L
durch Zusammensetzung mit passend gewählten Transformationen
Ä~^ , B~^ , C~^ , D~^ (o, 6 = 1,2, • • •, p) eine neue Transformation:

Reduktion einer Transf. L durch die Transf. ^-\ jB^V Cr}, D-\ 151

(98)

L' =

^11 ^'l2

'■'ip

0 ^22 •

••'■2p

^,".P + v

0 0

' ' 'pp

0 S^l.2-

■ ■ 'p+i,p

0 0

'p+^,p

^p + ft,p+v

0 0

■■ 0

ableiten kann, bei der für q, 6 = 1, 2, •••,^> alle Elemente c , bei
denen () > ^, und alle Elemente c^ + „, „, bei denen q^ö ist, den
Wert Null besitzen. Von den übrigen Elementen haben die posi-
tiven Elemente q^, 0^2, •■, c^^ sämtlich den Wert Eins, da nach (V)
bei einer linearen Transformation die Determinante C der 4:p^ Zahlen
c^^ den Wert Eins besitzt, für die Transformation L' aber sich diese
Determinante auf c^j Cjo- • ■ c^p -^i ^p + i,p+i ' ' ' ^2p,2p reduziert. Sobald
aber nachgewiesen ist, daß die Größen q^, ^g, • • •, c von Null ver-
schieden sind, ergeben die aus (II) folgenden Relationen:

(99)

X (C C , — C , C) = 0, iu, v = l,2, ■■■, p; iKv)

indem man darin zuerst ^==1, sodann /tt = 2, • • •, endlich ^=p
setzt, daß in der Transformation L' auch diejenigen Zahlen c ^^^ ^,
bei denen p < ö ist, sämtlich den Wert Null besitzen, daß also die
Transformation L' die einfachere Gestalt:

(100)

L'

Ol -■■ c,p
0 0 ••• 1

'fh p + "

0

S'+/'.P+»'

hat.

Durch Zusammensetzung mit passend gewählten Transforma-
tionen G~^ ((), ff = 1, 2, • • •, p) kann man nun weiter aus der Trans-
formation L' eine neue:

152 V. 5. Zusammens. einer ganzzahl. linearen Transf. aus elementaren.

(101)

L" =

1 0 • • • 0
0 1 ••• 0

0 0 ••• 1

^Z*. P + •

0

s + ;"• p + 1*

ableiten, bei der auch alle Elemente c , bei denen p < (? ist, den
Wert Null besitzen, und schließt dann mit Hilfe der aus (II) folgen-
den Relationen:

p
(102) ^(c

c c

Q/il ^p-ltQ,p + V P + Q

. 1, wenn ^ = v,

wenn |Lt <; v,

(,t/, f=l, 2,

sofort, daß alle Elemente c^^,,^^^,, bei denen ^^v ist, den Wert
Null, die Elemente c ^„ .^_^^ aber sämtlich den Wert 1 besitzen, die
Transformation L" also die einfachere Form:

(103)

L" =

1 •■• 0

^fi, p + v

0 ■•• 1

1 ■•• 0

0

0 • • 1

hat.

Aus der Transformation L" kann man aber endlich durch Zu-

R

(q = 1,2,..;p)

bei der auch alle Elemente c^,,p + v ^^^

sammensetzung mit Transformationen Ä

eine Transformation ableiten^

Wert Null besitzen, welche also die identische ist

Damit ist bewiesen, daß jede ganzzahlige lineare Transformation
L durch Zusammensetzung mit Transformationen von der Form
Ä-\ Sr\ C-;, D-; ((,, ^ = 1,' 2, . • ., i9) in der durch die Gleichung
(93) dargestellten Art auf die identische Transformation J reduziert
werden kann, und man schließt daraus in der dort angegebenen Weise
weiter, daß daher umgekehrt jede ganzzahlige lineare Transformation
sich aus den Transformationen Ä^^, B^, C^^, D^^ (q, 6 = 1, 2, • ■ ■, }'>)
zusammensetzen läßt.

Die elementaren Transf. A^^, B^, C^^, D . 153

V. Satz: Jede ganz2ahlige lineare Transformation L läßt sich
aus den -\-p{'^P+^) „elementaren" linearen Transformationen Ä„
iQ=l,2,--;p), B^(q = 1,2,---,p), C^, (q,6^1,2,- ■,p-Q^öl
D^g (q, 6 = 1, 2, ■••, p] () < ö) msammensetsen; dabei ist:

1. für die Transformation A :

(XVII) c„„ = 1 für a=\,2,---,2p und c^^^^^ = 1,
während alle übrigen Transformationszahlen c den Wert Null besitzen;

2. für die Transformation B^:

c,„c = Cp+„,;, + ,, = 1 /■'» ii = \,2,--,Q-\,Q^\,--,p

(XVIII) 7 =j-ic =—1

während alle übrigen Trnnsformationszahlen c den Wert Null besitzen;

3. für die Transformation C„„;

(XIX) c„„=l für cc=\,2,---,2p, und c„^= 1, c^^,^^^^ = - 1,
während alle übrigen Transformationszahlen c den Wert Null besitzen;

4. für die Transformation D :

C„^, = Cp + „,, + ,, = l/MrfA = l,2,---,p-l, ()+l,---,(5-l, 6 + 1, ■■;P

(XX) ' ■^^'^'^

während alle übrigen Transformationszahlen c den Wert Nidl besitzen.

Die auf diese Weise gewonnenen ■^^(Bjj+l) erzeugenden Trans-
formationen können ohne Mühe auf eine geringere Anzahl reduziert
werden. Mit Hilfe der 2(2?— l)i) Transformationen D,^^ kann man
nämlich alle Transformationen Ä , B , 0,^^ auf je eine einzige unter
ihnen reduzieren, da, wie eine einfache Üoerlegung zeigt:

(105) 5^ = A,^iA,, (?=2,v-.,.)

(106) C,„ = A,AaC^12A.Ao io,o=l,2,...,p.,,>,a)

ist, und man hat daher, da endlich noch die -}(p—'i-)p Transforma-
tionen D selbst auf Grund der Formel:

(107) i),. = A,,+iD,^.x,,+2---A-i,.A-2,a-i---i>,,,+i

(o, (7 = 1, 2, • ■ ,p\ Q< a)

auf die p — 1 Transformationen B^^j Asj "'7 A-i p ^^^^^ ihnen re-
duziert werden können, schließlich als erzeugende Transformationen
die folgenden p + 2:

(108) Ä„ B„ C,„ B,„B,„ ■■; B^_,^^.

VI. Satz: Jede ganzzahlige lineare Transformation L läßt sich
aus den p -\- 2 elementaren linearen Transformationen:

154 V. 5. Zusammens. einer ganzzabl. linearen Transf. aus elementaren.

(XXI) Ä„ B„ C,„ A2, A3, • • ; A-1.P

zusammensetzen.

Im speziellen Falle ^; = 1 fallen die Transformationen C und D weg.

VII. Satz : Im Falle p = 1 läßt sich jede ganzzalüige lineare
Transforynation aus den nvei elementaren:

(XXII)

Ä

1

1

0

1

B =

0

1

- 1

0

als erzeugenden zusammensetzen.

Im Falle p = 2 reduzieren sich die Transformationen D auf die
einzige Z)^2-

VIII. Satz: Im Falle p = 2 lüfd sich jede ganzzahlige lineare
Transformation aus den vier elementaren:

A==

(XXIII)

1 0
0 1

1 0
0 0

0

1 0
0 1

5 =

0 0

1 ()

0 1

0 0

-1 0

0 0

0 0

0 1

(7 =

1 1

0 1

0

0

1 0

-1 1

D =

0 1

1 0

0

0

0 1

1 0

als erzeugenden zusammensetzen.

Mit der Reduktion der erzeugenden Transformation auf diese vier
hat man im Falle p = 2 nicht die Mindestzahl der erzeugenden
Transformationen erreicht; denn man kann die vier Transformationen
A, B, C, D aus den zwei:

(109) 31

0

-1

0

0

-1

1 0

0

-1

0 1

-1

0

N-

0

-1

1 0

-1

0

1 1

-1

0

1 0

0

-1

0 0

in der Form:

Ä = 3PN^, B = (IPN^MJSI)^,

C = {3PNy{MN^3iy(N3Py, D = M^,

zusammensetzen.

(110)

Mindestzabl der erzeugenden Transformationen. 155

Im Falle p^^ kann man die p + 2 erzeugenden Transforma-
tionen des VI. Satzes auf folgende Weise auf weniger reduzieren.

Man bilde aus den ^j — 1 Transformationen D^,; -^23; '") ^p-i p
durch Zusammensetzung die Transformation:

(111)

-^ — -^12 -^23 ■

■0,

-l,p5

in für

diese Transformation

:

^12

= ^23 ==...=

S-i

P

S.1

=

1

^p + l,p + 2 "^ ^p + -2,p + 3 = • • • =

'2p-

1,2p =

^2p,p

+ 1

=

1

(112)

während alle übrigen Transformationszahlen c den Wert Null be-
sitzen, und es entsteht durch Zusammensetzung einer Transformation
T mit der Transformation E eine Transformation TE, welche sich
von T dadurch unterscheidet, daß die jj ersten und ebenso die p
letzten Horizontalreihen zyklisch vertauscht sind. Man erkennt nun
leicht, daß:

(113) B^,^^^,^E^-^D,,&-^^^

ist, und kann mit Hilfe dieser Gleichung in dem Systeme der jj + 2
erzeugenden Transformationen Ä^, B^, C^^, B^^, D^s? ' • '; B^^^^, aus
denen sich nach dem VI. Satz jede beliebige ganzzahlige lineare
Transformation zusammensetzen läßt, die p — 1 letzten Transforma-
tionen Di2j -^23; ■ ■ "j -^p-i,p ^^^^ ^61* ei'sten unter ihnen B^^ i^nd
der Transformation E zusammensetzen. Man erhält so zunächst das
Resultat, daß im Falle p^'d sich jede ganzzahlige lineare Transfor-
mation aus den fünf:

(114) A„ B„ C,„ B,,, E

als erzeugenden zusammensetzen läßt, aus diesem aber, wenn man
beachtet, daß die vier Transformationen Ä^, B^, C-^^, B^^ sich in der
oben angegebenen Weise auf zwei M, N reduzieren lassen, sofort das
weitere, daß im Falle p^o sich jede gauzzahlige lineare Transfor-
mation aus den drei:

(115) 31, N, E

als erzeugenden zusammensetzen läßt; dabei hat mau sich die oben
angeschriebenen, auf den Fall p = 2 bezüglichen Transformationen
31, N durch Hinzunahme der identischen Gleichungen:

(11*^) <v = «,...; ^i.,p+.-'^M,p+^ t-it'':'^

auf den Fall p> 2 erweitert zu denken.

Die Zusammensetzung der ganzzahligen linearen Transformationen
aus einfachen ist zuerst von Kronecker angegeben worden. Die von

156 V. 6. Zurückfübning ganzzahliger nichtlinearer Transformationen etc.

Kronecker ^) unter I. 1, 2 und IL 1 angeführten erzeugenden Trans-
formationen stimmen mit den obigen Transformationen B^^ A^, D^j.
überein, während Kronecker als letzte erzeugende Transformation B^^ C\,^ J?^
wählt. — Die Transfonnation E und damit die Reduktion der p -\- 2 er-
zeugenden Transformationen im Falle j^ ^ 3 auf 5 ist von mir^) ange-
geben worden, während die Zusammensetzung der vier Transformationen
Ä^, jBj, (7^21 -^12 ^^ Falle p = 2 aus den zwei J/, i\^ Herr Burkhardt^)
gezeigt hat.

§ 6-

Ziirückführung ganzzahliger nichtlinearer Transformationen
auf eine endliche Anzahl nicht äquivalenter.

Bezeichnet T eine ganzzahlige nichtlineare Transformation, bei
der also die Transformationszahlen c^^^ ganze Zahlen, die Ordnung n
aber > 1 ist, so nennt man jede Transformation T', welche aus T
durch Zusammensetzung mit einer ganzzahligen linearen Transfor-
mation L in der Form T' = TL hervorgeht, zu T äquivalent^ und
von der Gesamtheit der zu einer gegebenen Transformation T äqui-
valenten Transformationen sagt man, daß sie zu einer Klasse gehören.
Es zerfallen auf diese Weise alle ganzzahligen Transformationen eines
gegebenen Grades in Klassen, derart, daß alle Transformationen einer
Klasse und nur diese einander äquivalent sind, und man bezeichnet
in jeder Klasse eine möglichst einfache Transfonnation als den Re-
präsentanten der Klasse.

Zum Nachweise, daß die Anzahl der nicht äquivalenten Klassen von
Transformationen eines gegebenen Grades eine endliche sei, sowie zur
Aufstellung der Repräsentanten und zur Bestimmung der Klassenzahl
bedient man sich wieder der im letzten Paragraphen durchgeführten
Reduktion einer gegebenen Transformation T vermittelst der speziellen
ganzzahligen linearen Transformationen A" , B~ , 6'~ , D~^ und

1) Kronecker, Über bilineare Formen. Berl. Ber. 1866, pag. 597, auch
J. für Math. Bd. 68. 1868, pag. 273; vergl. auch Clebsch und Gordan, Th. d.
Abelschen Functionen, pag. 304; Thomae, Einige Sätze aus der Analysis
Situs Riemann'scher Flächen. Z. für Math. Bd. 12. 1867, pag. 361; Jordan,
Traite des substitutions et des equations algebriques. Paris 1870, pag. 174;
Thomae, Beitr. zur Theorie etc. J. für Math. Bd. 75. 1873, pag. 224; Weber,
Über die Transformationsth. etc. Ann. di Mat. (2) Bd. 9. 1879, pag. 126.

2) Krazer, Über die Zusammensetzung ganzzahliger linearer Substitutionen
von der Determinante Eins aus einer geringsten Anzahl funfl amentaler Substitu-
tionen. Ann. di Mat. (2) Bd. 12. 1884, pag. 283.

3) Burkhardt, Zur Theorie der Jacobi'schen Gleichungen 40. Grades,
welche bei der Transformation 3. Ordnung der Thetafunctionen von zwei Ver-
änderlichen auftreten. Gott. Nachr. 1890, pag. 376.

Äquivalente Transformationen. Klassen. Repräsentanten.

157

stellt hier die Frage, auf welche einfachste Form eine ganzzahlige
nichtlineare Transformation T durch Zusammensetzung mit den Trans-
formationen A~ , B~ , CT' , D~ reduziert werden kann.

Zunächst bleibt das im vorigen Paragraphen bewiesene Resultat
bestehen, wonach man aus einer Transformation T, wenn sie über-
haupt nur ganzzahlig ist, durch Zusammensetzung mit passend ge-
wählten Transformationen A~ , B" , C~ , D~ (p, ö = 1, 2, • • •, «)
eine neue Transformation:

(117)

r=

C,o

0 c.

0 0

-ip

>.p+''

p + !Li,p + v

ableiten kann, bei der für q, 6 = 1, 2, ■ ■ ■, p alle Elemente c , für
welche p > (J ist, und die sämtlichen Elemente c ^^ ^ den Wert Null
haben, die Elemente q^, c^^, ■ • ■, c aber positiv sind.

Da aber nunmehr die Elemente q^, c^g, • • •, c im allgemeinen
nicht wie früher den Wert 1 besitzen, so kann man durch weitere
Zusammensetzung mit passend gewählten Transformationen C~ nicht
mehr alle Elemente c , bei denen q<Cö ist, zu Null machen, sondern
nur die Elemente q^, c^^, • • •, c„_j ^ für 6 = 2, 3, •••,p auf ihre
kleinsten positiven Reste nach dem Modul c,,^, reduzieren. Für die
Transformation T' kann man also annehmen, daß für 6= 1, 2, ■■■,p
Cgg positiv ist, die Zahlen c^^, c.,^, • • •, Cg_i ^ aber Null oder positiv
und kleiner als c^^ sind.

Auf Grund der aus (U) folgenden Gleichungen:

(118) 2('

^",u ^p + (i,p+v

. n, wenn v = fi,
^P+Q,f.^^,P + v) = Q^ wenn v^^i,

{fi,v = l,2,--,p)

die wegen des Verschwindens der Größen c ^ ,^ und jener Größen
c , für welche p > ft ist, sich auf die Gleichungen:

(119)

2'

wenn v

Qf^ P + <^,P + r Q^ ^pjjjj V^^,

U,,v = l,2,

158 V. 6. Zurückfübrung ganzzahliger nichtlinearer Transformationen etc.

reduzieren, kann man aus den Zahlen c (q ^ ^) die sämtlichen
Zahlen c _^_^^ _^„ berechnen und findet, indem man der Reihe nach
/i == 1, 2, • • •, p setzt, insbesondere, daß alle jene Größen c^^^^^^^,
bei denen q <i G ist, den Wert Null besitzen, und weiter, daß für

(120)

n

P + Q,P + Q c

ist. Die Transformation T' hat also die Form:

(121)

r=

Cll Cj2

• 'ip

0 C22 • •

• ^2p

^f,P + ^

0 0 ••

• 'PP

Cp+i,p + i 0

■■ 0

0

^p + 2,p + l ^p + 2,p + 2

• • 0

^2p,p + l ^2p,p + 2

■ ■ ^2p,2p

wobei für die Werte der im ersten Quadranten stehenden Elemente c^^
(q ^ 6) das oben Bemerkte gilt, die Werte der im vierten Quadranten
stehenden Elemente c ^„.p + a (p ^ ^) ^^^i' durch diese Werte eindeutig
bestimmt sind.

In der Transformation T' kann man nun endlich durch passende
Zusammensetzung mit Transformationen A~ , IT f C^ diejenigen
Elemente c^„_,_„7 bei denen 9<ö ist, auf ihre kleinsten positiven
Reste nach dem Modul c ^^ _^_g reduzieren. Dabei bedient man sich
zweckmäßig der durch die Gleichung:

(122) r-^ = JBT' (T' B-'

definierten Transfonnation r~ . Für diese Transformation ist:

(123) c„,= l für a = l,2,^ ••,2i; und c^,^^,

und es entsteht aus einer beliebigen Transformation T, wenn man
sie mit der Transformation F" zusammensetzt, eine Transformation
TF^ , welche sich von der Transformation T dadurch unterscheidet,
daß die Elemente der p*®° Horizontah-eihe durch neue ersetzt sind,
welche aus den ursprünglichen durch Subtraktion der entsprechenden
Elemente der p + 6^^^ Horizontalreihe von T hervorgehen, und gleich-
zeitig die Elemente der e*^"^ Horizontah-eihe durch neue ersetzt sind,
welche aus den ursprünglichen durch Subtraktion der entsprechenden
Elemente der j^ + ?*^° Horizontah-eihe von T hervorgehen. Indem

c = — 1

Red. einer nichtlin. Transf. T durcb die Transf. A

^(J ' ^0(7

n:

159

man nun zunächst nur die Elemente Ci, 2« ^^2 2« ' ' " ^c 2p I 0 0 • • • 0 c
der letzten Vertikalreihe ins Auge faßt, kann man durch Anwendung

•2p, 2p

der Transformationen A , B
Anwendung: der Transformationen

die Zahl c^gp und sodann durch

-.— 1

2,p}

', r , die Zahlen
p — 1> i'

^i,2pf ^2,2p) ■ ■ ■> ^p-i,2p ^^^ i^i'ß kleinsten positiven Reste nach dem
Modul Cg^ 2p reduzieren. Indem mau sodann die ^^ iind 2p^^ Hori-
zontalreihe aus dem Spiele läßt und die übrigen Elemente c^ ^p-u
^2,2p-iy ■ ■ -j Cp-i,2p-i • 1 0 0 • • • C2^_i 2_p_i • der 2p - 1'^" Vertikalreihe
ins Auge faßt, kann man in der gleichen Weise wie vorher durch
Anwendung von Transformationen A~ , ST" , r~ ^ die Elemente c, « 1 ,

o Q ' ^ ' QO \.,ip—i.7

auf ihre kleinsten positiven Reste nach dem
j reduzieren. So fortfahrend erkennt man, daß man

Co

,2p-l>

Modul c.

^p-l,2p-

2p— 1, 2p-

für die Transformation T' bezüglich der Elemente des dritten
Quadranten annehmen darf, daß für (? = 1, 2, • • •, ^; alle Elemente
'^Q,p + a> für welche () < ö ist. Null oder positiv und kleiner als
Cp + „,p + a siJid.

Die noch übrigen Elemente c +^ des zweiten Quadranten, bei
denen p > (5 ist, sind dann auf Grund der aus (11) folgenden Glei
chungen:

(124)

p
-^ t \^(j,p + ft^p+i>,p + >

Q = l

(", >■ = 1, 2,

(c.,

^p + Q,P+fl ^Q,p+v) ^

■ , p; ,u < v)

eindeutig bestimmt.

Man hat also das Endresultat:

IX. Satz: Jede ganzzahlige nichtlineare Transfcn-mation T kann
durch Zusammensetzung mit ganzzahligen linearen Transfm'mationen
auf eine Transformation:

(XXIV) T =

^11 ^12 ■ ■

•^ip

0 C02 • •

• ^'2^

^fhP + v

0 0-.

^pp

^p+l,p+l ^

■■()

0

^p + 2,p + l ^p + 2,p + 2 '

••0

^2p,p + l ^2p,p + 2

■ ^2p,2p

reduziert werden, hei welcher:

1. die ^(j) — \)p Elemente c,^^, {^, v = \, 2, • •■, p-^ ^ > v), die
pr Elemente Cp^.«,,, (/[*, v = 1, 2, ■■■, p) mid die ^{p — l)p Elemente

, P] ^ <iv) den Wert Null hesitzen;

S+,«,p+v (^^ ^ = 1; 2,

160 V. 6. Zurückführung ganzzahliger nichtlinearer Transformationen etc.

2. die 2p Elemente c^„ {et, = 1, 2, •■•, 2j)) von Null verschieden,
positiv und Teiler von n sind, derart daß:

(XXV) c^,Cp^^,p+,-n (/. = !, 2,... .p)

ist;

3. für V = 1, 2, ■■ -, p die Elemente q^, c^^, ■ • •, fj,_i_,, Nidl oder
positiv und kleiner als e^.^, und die Elemente c^p_^_^., c^^p^y, ■■■, (^y,p+v
Null oder positiv und Meiner als c^^^^^^^ sind;

4. die Werte der noch übrigen (jp — l)p Elemente c^,,j,+v, c^+^,j,+^
(}i, V = 1, 2, ■ • ■, p'f fi > v) aber durch die Werte der vorher genannten
eindeutig bestimmt sind.

Da die Anzahl der überhaupt möglichen verschiedenen Trans-
formationen T' infolge der soeben angegebenen, für ihre Transfor-
mationszahlen c bestehenden Bedingungen eine endliche ist, so ist
mit dem IX. Satze zugleich bewiesen der

X. Satz: Die Klassenmizahl der nicht äquivalenten ganzzahligen
Transformationen T eines gegebenen Grades n ist eine endliche.

Die Bestimmung der Klassenanzahl und die Aufstellung dei* Re-
präsentanten ist bis jetzt nur für die einfachsten Fälle geschehen.

Im Falle ^ = 1 ergibt sich aus dem IX. Satze, daß jede ganz-
zahlige Transformation vom Grade n einer Transformation von der
speziellen Form:

(125) T'

Wl

a

0

n^

äquivalent ist, bei der jede der beiden Zahlen n^, n^ positiv und
n^n^ = n ist, a aber eine Zahl aus der Reihe 0, 1, ■••, n^ — 1 be-
zeichnet. Da es nun so viele Klassen äquivalenter Transforma-
tionen T gibt, als die Transformation T' verschiedene mögliche
Formen annehmen kann, so ist die Klassenanzahl gleich der Summe
der Teiler von n (die Zahlen 1 und n eingerechnet), da an Stelle
von Wg jeder Teiler von w treten kann, für jeden Wert von «g aber
die Zahl a gerade n^ verschiedene Werte annimmt. Diese Teiler-
summe beträgt aber^), wenn

(126) n==a''h^cy ■■■

ist, wo a, b, c,-- verschiedene Primzahlen bedeuten:

1) Lejeune-Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie, herausg. von
Dedekind. 2. Aufl. Braunschw. 1871, pag. 17.

BQassenanz. und Repräsent, in den Fällen p = 1 und jj = 2.

161

(127)

K =

,«+1

1 6'

i^ + i

.r + i

— 1

a— 1

6—1

Im Falle eines Primzahlgrades n ist also speziell K = n -\- 1.

Im Falle p = 2 ergibt sieh sich aus dem IX. Satz, daß jede
ganzzahlige lineare Transformation T vom Grade n einer Transfor-
mation von der speziellen Form:

(128)

I'

^11 ^12

^13

^U

0 C22

^23

^24

0

^33

0

^43

<^44

äquivalent ist, bei welcher:

''ii ^33 ^^ ^22 ^44 "^ ^^}
(129) 0 < Ci2 < C22, 0 < ^3 < C33, 0 < Ci4, C24 < c^,

Coo

^9 9 ^1 J. ^1 9 ^9

^^Q

ist. Setzt man nun voraus, daß der Grad n eine Primzahl ist, so er-
hält man hieraus ohne Mühe als Repräsentanten der nicht äqui-
valenten Klassen ganzzahliger Transformationen die folgenden:

R,=

(130)

n 0
0 n

0

0

1 0
0 1

Ha =

n 0
0 1

0 0
0 a,

0

1 0
0 n

Hb

1 a

ß

0

0 n

0

0

0

n

0

— cc

1

1 0
0 1

a ß
ß 7

0

n 0

0 n

wo a, ß, y die Werte 0, 1.
als Klassenanzahl:

R,

1 annehmen können, und daher

(131)

K=l+n + n^ + n^={l-^ n) (1 + n^).

Im Falle p = 3 ergibt sich aus dem IX. Satz, daß jede ganz-
zahlige Transformation vom Grade n einer Transformation:

Krazer, Thetafunktionen.

11

162 V. 6. Zurückführung ganzzahliger nichtlinearer Transformationen etc.

(132)

T' =

Cn

^12

^13

Cu

«15

«16

0

^22

^23

^24

«25

«26

0

0

^33

^^34

«35

«36

C4»

0

0

0

C54

«55

0

^64

«65

«66

äquivalent ist, bei der:

(133)

«11 «44 "^ «22 «55 ^ «33 «66 ^^ **?

^ ^ «12 ^ «22? ^ ^ «18> «23 "^ «33>

^ ^ «14 ^ «447 ^ ^ «157 «25 ^ «55; ^ = «167 «267 «36 ^ «66 7

Cr,. =

Co 9

Cfi/i —

Ccc —

Cdj

^44 ^16 "T ^64 ^26 I ^64 ^S

Cor;

''66 ''26 I '-es ''S

^9,1

'-44 ''15 ~r '^54 '-26 I ''64 ''S5 ''84 ''6

ist. Setzt man nun wieder voraus, daß der Grad n eine Primzahl
ist, so erhält man hieraus ohne Mühe als Repräsentanten der nicht
äquivalenten Klassen ganzzahliger Transformationen die folgenden:

R,=

n 0 0

0 n 0

0

0 0 n

1 0 0

0

0 1 0

0 0 1

(134)

JRo =

n 0 0

0

0 0

0 1a

0

ß 0

0 0 w

0

0 0

1

0 0

0

0

n 0

0

-« 1

-R3 =

n 0 0

0 0 0

0 n 0

0 0 0

0 0 1

0 0a

1 0 0

0

0 1 0

0 0 w

^4

laß

y 0 0

0 n 0

0 0 0

0 0 n

0 0 0

n 0 0

0

-a 1 0

-/3 0 1

Klassenanz. und Repräsent, im Falle jj = 3.

163

^5 =

(134)

R^ =

n 0 0

0 0 0

0 1 0

0 a /3

0 0 1

0 ß y

1 0 0

0

0 n 0

0 0 }i

B.

1 a 0

ß

0 y

0 n 0

0

0 0

0 0 1

y

0 d

n

0 0

0

— a

1 0

0

0 ti

1 0 a

r

d 0

0 1 ß

d

s 0

0 0 n

0

0 0

n

0 0

0

0

n 0

— «

-ß 1

jRo ^

1 0 0

a ß y

0 1 0

ß d s

0 0 1

Y « t

n 0 0

0

0 w 0

0 0m

wobei a, ß, • ■ -, ^ die Werte 0, 1, •••,«— 1 annehmen können, und
daher sofort als Klassenanzahl:

(135) K=l-\-n + n^-^ 2n^ + w^ + 1^•' + n^ = (1 + n) (1 + n^) (1 + n%

Auf die obige Reduktion der ganzzahligen Transformationen eines
beliebigen Grades n auf eine endliche Anzahl nicht äquivalenter Trans-
formationen T' hat zuerst Kronecker ^) hingewiesen. Zu den speziellen
oben angegebenen, die Fälle p^l, 2, 3 betreffenden Resultaten vergl.
Königsberger ^), Hermite^) und Weber^). Im Falle ^ = 2 ist die
Frage nach der Klassenanzahl für einen beliebigen Grad n von Dorn^)
beantwortet worden. — Daß man eine ganzzahlige nichtlineare Trans-
formation T dui'ch Zwischensetzen zwischen zwei lineare Transformationen
in der Form T' = jLj TL^ auf noch weniger und noch einfachere Formen
T' reduzieren kann, haben für j? = 2 Hermite^) und für j:> = 3 Weber')

1) Kronecker, Über bilineare Formen. Berl. Ber. 1866, pag. 611, auch
J. für Math. Bd. 68. 1868, pag. 284.

2) Königsberger, Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Funk-
tionen. Bd. 2. Leipzig 1874, pag. 47.

3) Hermite, Sur la th. de la transf. etc. C. R. Bd. 40. 1855, pag. 253.

4) Weber, Über die Transformationsth. etc. Ann. di Mat. (2) Bd. 9.
1879, pag. 139.

5) Dorn, Die Form und Zahl der Repräsentanten nicht äquivalenter Klassen
der Transformationen der ultraelliptischen Functionen für beliebige Trans-
formationsgrade. Math. Ann. Bd. 7. 1874, pag. 481; vergl. dazu Krause, Sur
la transformation des fonctions hyperelliptiques de premier ordre. Acta math.
Bd. 3. 1883, pag. 161 und: Die Transformation der hjperelliptischen Funktionen
erster Ordnung. Leipzig 1886, pag. 84.

6) Hermite, Sur la th. de la transf. etc. C. R. Bd. 40. 1855, pag. 254.

7) Weber, Über die Transformationsth. etc. Ann. di Mat. (2) Bd. 9.
1879, pag. 136.

11*

164 V. 7. Zusammenliang der ursprüngl. und der transform. Thetafunktion etc.

untersucht; man erkennt insbesondere leicht, daß man in den (unter Vor-
aussetzung eines Primzahlgrades) für die Fälle j; = 2 und 3 oben an-
geschriebenen Eepräsentanten durch Vorsetzen von passend gewählten

Transformationen A , B . C die sämtlichen außerhalb der Haupt-
^ ' ^ ' (»ff ^

diagonale stehenden Elemente gleich Null machen und sodann alle so er-
haltenen Transformationen mit Hilfe von Transformationen 1) auf eine
einzige unter ihnen reduzieren kann.

§ 7.

Zusammenhang der ursprünglichen und der transformierten
Thetafunktion im Falle ganzzahliger Transformation.

Mau setze voraus, daß die Transformationszatilen c^^(a,ß = 1,2, ■■■,2p)
ganze Zahlen seien, und betrachte unter dieser Annahme die ursprüng-
liche Thetafunktion -ö" K ([u}^ als Funktion der neuen Variablen u,
setze also:

(136) ^UW. = 9'(K)).

Da dem Übergänge von u^' \ ■•• \ uj \ ■■■ \ u' in Uj' \ ••• \ uj -\- 7ti\ - •■ \ u^
infolge der Gleichungen (IX) der Übergang von Wj | • • • | m in
% -f J-i,, I • • • I Mp + ^^,,, dem Übergange von %' | • • • | u^' in
%' + ^1,. I ■■' I ^o' + ^',. infolge der Gleichungen (IX) und (XI) aber
der Übergang von u^] • • • | u in u^ -\- B^^,\ ■ ■ ■ lu^-h -B^,, entspricht,
und da weiter gemäß der Gleichung (XXXII) pag. 32:

^ß](^l + ^lv|--- \% + ^pJ)

p p p p

— ^ ^''v,p + /u'^r,p+n'an/i,- — ^ ^\p + l-< "" + ^ ^^'^Vfi9iu — <=v,p + fi^,u)^'

»ß]((«))<= "="■■='

(137) *[^J(«i + B>J--l«, + B,,)

P P P

^llliMe

^=1

ist, so erhält man, wenn man noch die Gleichungen (YII) und (VIII)
berücksichtigt und zur Abkürzung

Einführung der Funktion n{u}. 165

p

(138) {>=i, 2, •■•,?)

p

setzt, für 9)((«0) ^i® Funktionalgieichimgen:

9?« I ••• I < -\-ni\-\ Up) = 9)Me ^==' ,

9'(><i' + ci;, I • • • I V + ^P'') = <P(K))^ ''^^

Nun genügt aber der Ausdruck:

p p p

~^ ^ ^ ^ ^P + .u'^f'Q' "qY

(140) H^t)) = e ^=i?'=i.«=i

den Relationen:

p ^ p p

(141) ^(^'i'+<J •••!< + <».)

p p p ^ p p p

~^ 2 ^ ^ %p+^t^^'Q"'(>^■''Q'^~ 7^ 2 ^ ^ ''?,p+,«^/'C'"? V^

,11 /\\ p = l(0'=l«^l « = 1 p'^= 1/1=1

(r = l,2, -^p)

und man erkennt daraus, indem man diesen Gleichungen auf Grund
der Relationen (IX) und (XI) die Gestalt:

p

^<=y,p + /u('^HV + ^"lu)

(r = l,2,--,p)

(142) ^ p p

ni 2 ^%P+^c^^cy■(<'Qv + ^^'Q)

ip{ih + <J • • • 1 < + %.) = H^l e "^' "^'

gibt und in der zweiten Gleichung (139) die Größen B^^ und ti^
durch ihre Ausdrücke aus (XI) and (IX) ersetzt, daß das Produkt
der beiden Funktionen 90 ((w')) und ^((m')):

p p p

(143) 77(K)) = ^g]((4,e ^=-^'=^^=^

166 V. 7. Zusammenliang der ursprüngl. und der transform. Thetafunktion etc.
den Relationen:

(144) 77 (w/ j • • • I ^C -\- ni\ ■ ■■ lu^') = n{u)e''""' ,

= J7Me '^'='"=^

(v=l, 2, ■••,/))

genügt. Nun ist aber auf Grimd der Relationen (UI):

■^ . mii, wenn p = v,

(145) ^ (^;, + r,p + ^^/*P - %P + H^t'^) ^ 0, wenn o ^ v,

(v, p= 1,2, ■• • ,p)

und man hat daher endlich:

a46) Ji«!-i< + ''ii-i»,') = .^(W«"'"', ,^^,^^,_^__^,

A

n(:ih + <. I • • • h*p + %v) = ^((^* )) ^

Damit ist aber bewiesen, daß die Funktion n{{ii]) eine Thetafunktion
^ter Ordnung von den Argumenten u\, den Modulen a'^^, und der

Charakteristik

'^1

^ ist, und man hat den

h I

XI. Satz: Die Funktion:

(XXVI) /7((^0) = ^ß]Wa^^

P p p p p

(xxvn) p p p

= A~ ^ ^ ^' <^V,15 + ^-^,«'V^// *^,«'>

^ ^, = 1 l,'=l 1 = 1
is^ eme TJietafmiküon w**' Ordnung von den Argumenten u'^^ , den

, deren Elemente dtirch die

Modulen a ' , und einer Charakteristik

Gleichungen :

p

(xxvni) "^^ (v=i,2,...,p)

p

'K "" ^ \~ ^p + v,fi9/u + ^p+v,p-^fi'''n ~r T^^ + v.u^p + r.p+u,'

bestimmt sind.

über die Lös. des TransfoiTaationsprobl. der Thetaf.

167

Auf Grrund dieses Satzes kann man, wie im folgenden näher aus-
geführt werden soll, die Funktion n([u'} durch Thetafuuktionen mit den
Argumenten ii und den Modulen a darstellen und erhält dann, indem
man diesen Ausdruck in (XXVI) einführt und die entstehende Glei-
chung nach &] j \([u}a auflöst, die Lösung des Transformationsproblems
der Thetafunktionen, nämlich die Darstellung der ursprünglichen
Funktion '9'k ((u))„ durch transformierte Thetafunktionen -ö" LM ((«'))«' •

Die erwähnte Darstellung von 77 ((m')) durch Thetafunktionen
d-l mi]ja- ^^^^' kann in der Weise bewerkstelligt werden, daß man
zunächst nach Formel (XL VI) pag. 40 die Funktion 77 ((w')) homogen

((m %'))„„, ausdrückt in

und linear durch die n^ Funktionen -9'
der Form:

(147)

0,1,- ,n— 1

d-

n

l^^lna'y

und hierauf von den Thetafunktionen mit den Argumenten mi
und den Modulen na zu Thetafunktionen mit den Argumenten u'
und den Modulen a übergeht. Die Lösung des Transformations-
problems verlangt also dann zweierlei; einmal die von den Argu-
menten der Thetafunktionen unabhängigen Koeffizienten C.^ ., in
der Gleichung (147) zu bestimmen, sodann aber weiter Thetafunk-
tionen mit w- fachen Argumenten und Modulen durch solche mit ein-
fachen darzustellen.

Die erste Aufgabe kann auf folgende Weise gelöst werden.^)

1) Die Ausdrücke für die Koeffizienten C.. .^ enthalten natürlich auch

die Charakteristikenelemente ^, Ä. Die Ermittlung der Abhängigkeit der
0 von diesen kann von der übrigen Bestimmung der Größen C getrennt und
dadurch erledigt werden, daß man in der Gleichung (147) zuerst alle Zahlen g
und Ä gleich Null setzt und hierauf, indem man das Argumentensystem in) in

|tt -j- I f I ) übergehen läßt, vermittelst der Formeln (XXX) pag. 30 und (XL) jjag. 34
wieder links die Funktion •9' ^ ((«*)„, rechts die Funktionen %

L /t J

einführt. Man erhält auf diese Weise:

(148)

^xp{g,h)ni

■"■1

wo ip{g^ h) den später unter (XXXIV) angeschriebenen Ausdruck bezeichnet,
C'3., .^ aber nunmehr von den Charakteristikenelementen o, h unabhängig ist.

168 V. 7. Zusammenhang der ursprüngl. und der transform. Thetafunktion etc.

Zuerst wird mit Hilfe der Differentialgleichungen (XXXV) pag. 32
die Abhängigkeit der Größen C.^ . . ., von den Thetamodulen be-
stimmt; es ergibt sich, daß:

(149) C. ^

H

)/ä: ^-

ist, wo numuehr die C auch von den Thetamodulen unabhängige
Größen sind. Die Bestimmung dieser Größen erfolgt sodann dadurch,
daß für die Thetamodulen a , solche spezielle Wei'te eingeführt

werden, welche nach passenden Umformungen der Funktion ^\i\ ((w))a

eine Vergleichung der Koeffizienten gleich hoher Potenzen der Größen
e^"i, ••-, e^'^p auf der linken und rechten Seite von (147) gestatten.
Auf diese Weise hat Herr Thomae^) eine vollständige Bestimmung
der Größen C.^ ^ erreicht. Allerdings sind die erhaltenen Aus-
drücke nicht auf die einfachste Form gebracht, und insbesondere
hätte sich bei genauer Untersuchung ergeben, daß im allgemeinen
nicht alle Größen C, , von Null verschieden sind. Diesen beiden
Anforderungen genügt jene Bestimmung der C.^ . . . y. y welche später
und auf einem anderen Wege von Herrn Frym und mir durchgeführt
wurde, und über welche am Ende dieses Kapitels berichtet wird.

Was nun weiter die Darstellung von Thetafunktionen mit w-fachen
Argumenten und Modulen durch solche mit einfachen angeht, so
überzeugt man sich zunächst von der Möglichkeit einer solchen Dar-
stellung durch die folgende Überlegung. Die Funktion:

(150)

/'W = ^

^

VgW

ist auf Grund der Gleichungen (XXXIII), (XXXIV) pag. 32 eine
Thetafunktion w*" Ordnung mit einer Charakteristik K - L deren Ele-
mente durch die Gleichungen:
(151)

-.(1)

.,(«)

(1)

'(«)

■,p)

bestimmt sind, und als solche nach der Formel (XL VI) pag. 40 dar-
stellbar in der Form:

(152) ^

#

0,1, -,71 — 1

2'K

?1>

^1-Qp

»

'9 + 9

n
h'

{[nu]

wo die K„ von den Argumenten u unabhängige Größen be-

zeichnen. Vermehrt man in dieser Gleichung für /it = 1, 2, • • •, |j
jede der n Größen h^^\ •••, //" um — <? , unter 6 eine ganze Zahl

1) Thomae, Die allg. Transform. etc. Inaug.-Diss. Göttingen 18(54, pag. 14.

über die Lös. des Transformationsprobl. der Thetaf.

169

verstanden, multipliziert hierauf, indem man mit tt^, •••, t^ irgend
welche Zahlen aus der Reihe 0, 1, •■•, n— 1 bezeichnet, linke und

p

'int

rechte Seite mit e

0 bis n — 1, so erhält man:

und summiert über (?^,

6„ von

0,1,

2

d-

(153)

"i>

-,(1)

ä(^) +

-a-

0, 1, ■ .n — i
Ci ' ■ • ' i'ü

(>

^

.9

+ G"]

wtt

0,1,

2

1 = 1

"!>

Nun besitzt aber die auf der rechten Seite stehende in besondere
Klammern eingeschlossene Summe nur dami einen von Null ver-
schiedenen Wert und zwar den Wert ti'', wenn ^^ = t^, • ■ •, q^^t^
(mod. n) ist; es reduziert sich daher die Summe nach den q auf das
einzige, den Werten Qi = ti, ■•■, Qp="'^p entsprechende' Glied, und
man erhält, wenn man noch linke und rechte Seite vertauscht und q
statt T schreibt, die Gleichung^):

~g + e"
h'

(154)

w^K

?i

i^u))na

-2

,n — 1 p

»1-

•,(1)

ä(^) +

w

^

^

(n)

;i(") +

^=1

Durch diese Gleichung ist die gestellte Aufgabe, eine Thetafunktion
mit w- fachen Argumenten und Modulen durch solche mit einfachen
auszudrücken, gelöst, sobald es noch gelingt, die von den Variablen u
unabhängige Größe K, „ zu bestimmen.

& & Ql ■ ■■ Qp

Diese Größe kann aber zunächst durch Vergleichung der Koef-
fizienten gleich hoher Potenzen der Größen e^"i, • • •, e^"p auf der
linken und rechten Seite der Gleichung (154) in der Form einer
(ti — l)p-fach unendlichen Reihe erhalten und diese dann durch Ein-
führung neuer Summationsbuchstaben durch die Nullwerte von Theta-
funktionen, deren Modulen ganze Vielfache der a ^^, sind, ausgedrückt
werden.^) Führt man dieses Verfahren durch, so erkennt man, daß

1) Für p ^ 1 finden sich die Formeln (152), (154) schon bei Rosenhain,
Memoire sur les fonctions etc., pag. 400.

2) Vergl. Krazer und Prym, Neue Grundlagen etc., pag. 125 u. 31; ins-
besondere aber: Krazer, Die Transformation etc. (Erste Abhandlung.) Math.
Ann. Bd. 43. 1893, pag. 444.

170 V. 7. Zusammenhang der ursprüngl. und der transform. Thetafunktion etc.

die Quelle für die Gleichungen (152) und (154) im XIII. Satz
pag. 80 zu suchen ist, und es ist nicht schwer, aus den dortigen
Formeln die allgemeinste Darstellung einer Thetafunktion mit
«-fachen Argumenten und Modulen durch solche mit einfachen
abzuleiten.

Soll nämlich die Funktion d'\ , ((»««*))„« durch Funktionen -O'L ((m))«

ausgedrückt werden, so wähle man für die im XIII. Satze vor-
kommende positive ganze Zahl n eine Zahl n ^n und setze:

(155) ^'■'^ = . . . = i/") = t, , m("+^) = . . . = ,/«') = 0,

{fx = l,2,--,p)

und

(156) a^^>, = ... = (j("),= « (,«,,«' = 1,2,. ..,p)

d. h. p(^) = . . - = pi") = 1 ^ sodaß von den n auf der linken Seite der
Formel (XXXII) vorkommenden Thetafunktionen n die Argumente u
und die Modulen «,,„-, die n — n übrigen aber die Argumente 0 be-
sitzen, während ihre Modulen irgend welche Vielfache der a , sind.
Hierauf verfüge man im Rahmen der Bedingungen (XXXI) über die
ganzen Zahlen c'-^"^ und die positive ganze Zahl r so, daß:

(157) /) = ... = y("'-^) = 0, /'^ = WM„ (,«=i,2,...,,)
und

(158) t«'==^^^.'. (.,.'=1,2,...,.)

d. h. q^'^"> = n wird, sodaß von den n auf der rechten Seite von
(XXXII) zu einem Produkte vereinigten Thetafunktionen n — 1 die
Argumente 0, die «'*" aber die Argumente nu^^ und die Modulen
na ^, besitzt, während die Modulen der ersteren wieder irgend welche
Vielfache der a , sind. Die Formel (XXXII) stellt dann ein Pro-
dukt von n Thetafunktionen mit den Argumenten u und den Mo-
dulen a ^^, homogen und linear durch Thetafunktionen mit den Argu-
menten nu^^ und den Modulen ««,,„. dar mit Koeffizienten, welche
sich aus Nullwerten von Thetafunktionen rational zusammensetzen, deren
Modulen Vielfache der Modulen a . sind. Die Umkehrung der Formel

(XXXII) drückt also eine Funktion -^if |((ww))«a homogen und linear

durch Produkte von je n Funktionen ^\ A ((m))„ dar und löst die oben

gestellte Aufgabe.

Drückt man in der Formel (147) die Funktion %^

L h

[nu

auf die angegebene Weise durch Funktionen &\ , ((«i'))«' ^^^; ^° ®^"

über die Lös. des Transformationsprobl. der Thetaf.

171

scheint durch diese Formel das Transformationsproblem der Theta-
funktionen für die allgemeine ganzzahlige Transformation gelöst.
Diese Lösung ist aber insofern noch unvollständig, als in ihr die
Koeffizienten aus Nullwerten solcher Thetafunktionen zusammengesetzt
sind, welche im allgemeinen nicht die Modulen a/^-, sondern ganze
Vielfache dieser als Modulen haben. Zur vollständigen Lösung des
Transformationsproblems bleibt also noch übrig, alle diese Thetanull-
werte durch die Nullwerte von Thetafunktionen mit den einfachen
Modulen a^'^,- auszudrücken, wozu die nötigen Formeln wiederum aus
dem XIII. Satz pag. 80 zu schöpfen sind^).

Man wird endlich zum Schlüsse dieses Paragraphen noch folgende
Bemerkungen machen.

Statt der nP Funktionen d^

h J

(HU

... kann man sich ebenso

gut der nP Funktionen -9-

h-{- X

((w'))«' ^^ Hilfsfunktionen bedienen.

Man kann von jenen stets zu diesen übergehen mit Hilfe der aus
der Formel (XIX) pag, 68 folgenden Formel:

p

(159) ^iP%

-gf + x-

[nu

0, l,_,?i— 1

r 9 -]

A

h-{-X

L n — '

Ist ferner das Transformationsproblem der Thetafunktionen für zwei
Transfoi-mationen T^, T^ gelöst, sodaß für jede derselben die ursprüng-
liche Thetafunktion durch die transformierten ausgedrückt ist, so er-
hält man aus diesen beiden Formeln durch Zusammensetzung sofort
die Lösung des Transformationsproblems für die zusammengesetzte
Transformation T^ T^ . Von dieser Zusammensetzung von Trans-
formationsformelii wurde von Herrn Prym und mir, wie in § 11
ausführlicher erörtert wird, ein weitgehender Gebrauch gemacht; für
die in diesem Paragi-aphen vorliegende Aufgabe schließt mau daraus,
da einerseits nach den Untersuchungen des § 6 alle ganzzahligen
Transformationen eines gegebenen Grades aus einer endlichen Anzahl
unter ihnen, den Repräsentanten der einzelnen Klassen äquivalenter
Transformationen durch Zusammensetzung mit einer ganzzahligen
linearen Transformation erhalten werden können, und andererseits in

1) Vergl. dazu Möller, Zur Transformation der Thetafunctionen. Inaug.-Diss.
Rostock 1877; Krause, Zur Transfonnation der Thetafunctionen. Leipz. Ber.
Bd. 45. 1893, pag. 99, 349, 523 u. 805, Bd. 48. 1896, pag. 291; und: Theorie der
doppeltperiodischen Functionen einer veränderlichen Größe. Bd. 2. Leipzig
1897. 1. Abschnitt.

172 V. 8. Die ganzzahlige lineare Transformation der Thetafimktionen.

dem jetzt folgenden Paragraphen das Transformationsproblem für die
ganzzahlige lineare Transformation vollständig gelöst ist, daß man
die einer beliebigen ganzzahligen Transformation n^^^ Grades ent-
sprechende Transformationsformel aus der dem zugehörigen Repräsen-
tanten entsprechenden Foraiel und der Formel für die ganzzahlige
lineare Transformation zusammensetzen kann, und daß man sich also
hinsichtlich der Herstellung der Transformationsformeln für die nicht-
linearen gauzzahligen Transformationen auf die Repräsentanten be-
schränken kann.

Nach dem XI. Satz ist endlich '9' f ((m))^, von einem Exponential-

faktor abgesehen, eine Thetafunktion n^'^^ Ordnung von den Argumenten

. . 9
■u, den Modulen a und der Charakteristik a . Betrachtet man nun

iiP -{- 1 verschiedene und nicht äquivalente Transformationen T,,
(v = 1, 2, •••, ^«^-}- 1) desselben Grades, etwa ebensoviele Repräsen-

tauten nicht äquivalenter Klassen, so haben die Größen u, a, (j, h
für die verschiedenen Transformationen T,, verschiedene Werte. Da
man aber in jedem Falle die Größen u, a, g, li durch die Größen

A '^

li, a\ g, h ausdrücken kann, so kann man zu jeder Transformation
T^ Größen u = ?((*'), a = «('', g = g^''\ h = U''^ so bestimmen, daß die

A '^

Größen h', a, g, h stets die nämlichen vorgegebenen Werte erhalten.
Die so gebildeten n^ -f 1 Funktionen &■ ^, , ((^^''^la^') sind dann sämt-
lich Thetafunktionen w*^'' Ordnung von denselben Argumenten u' und Mo-

9
dulen a und der gleichen Charakteristik a und es besteht folglich

zwischen ihnen nach dem XVII. Satz pag. 40 eine lineare Relation^).

§ 8.
Die gauzzahlige lineare Transformation der Thetafunktionen.

Im Falle der linearen Transformation sagt der XL Satz aus, daß
die Funktion /7 ((«')) ^me Thetafunktion erster Ordnung mit den Argu-

ist, sich

menten u^,, den Modulen a^^- und der Charakteristik

9

1) Solche Relationen für den Fall p = 2 boi Wiltheiß, Zur Theorie der
Transformation hyperelliptischer Functionen zweier Argumente. J. für Math.
Bd. 96. 1884, pag. 17.

Bestimmung der Transformationskonstanten C. 173

g
also von der Funktion %• \

unterscheidet. Man hat also

(m'L. nur um einen konstanten Faktor

p p p

(160) ^ß]W.^ v = l.= l,u=X _^^

und es handelt sich nur noch um die Bestimmung der von den Argu-
menten der Thetafunktion unabhängigen Größe C.

Ersetzt man in der Gleichung (160) die Thetafunktionen durch
die ihnen entsprechenden unendlichen Reihen und drückt dabei gleich-
zeitig links die Größen u mit Hilfe der Gleichungen (IX) durch die
Größen «' aus, so erhält man zunächst:

p p ^ / 1 ^ \

-00, ..,+00 2 ^«^</,'("v+^/')("V'+''/''^+^.^('V+^,"M^ ^-■</.v«v+'v'^')

"^ ^=1^=1 ^ = 1 \ r = l /

^^ p p p

"^ ütTÄ ^ .ii^ ^^ij <^r,p + ^(^/tv'"rV

(161) " = 1 "' = 1 ^ = 1
P P P

— «,■•, + 00 2 ^arv'(»»'+?v)(«.'+V) + 2^(nv + ;A)(«.' + '','«0

In dieser Gleichung führe man zur Vereinfachung statt der Größen
u Größen x ein mit Hilfe der Gleichungen:

(162) uj=x^7ii, (v=i,2,---,p)

p ^

multipliziere links und rechts mit e *"" und integriere sodann

nach jeder der Größen x-^^, ■•■, x^ von 0 bis 1. Man erhält dann,
wenn man beachtet, daß

/o« ^ *■ Ij wenn w„ = 0,

0, wenn n < 0,

ist, die Gleichung:

i/ = l t''=l ■y=l

(164) ^ Jdx^--- fdx^e'^^Ce

wobei zur Abkürzung

174 V. 8. Die ganzzahlige lineare Transformation der Thetafunktionen.
p p

iu = l /u.'==l

p / p \

(165) + 2 ^ (m^, + ^„) ^ ^., „ ^, + K ^i

P P P P

1=1 r'=l ^=1 v = l

gesetzt ist.

Nun setze man voraus, daß die Determinante

der j?^ Transformationszahlen des zweiten Quadranten von Null ver-
schieden sei, und führe auf der linken Seite von (164) an Stelle der
bisherigen Summationsbuchstabeu m neue n und q ein mit Hilfe der
Gleichungen:

p

(16-^) *'V = ^^v,:P + /'*^v+ P^- (,«=l,2,-..,p)

1=1

Wenn man an Stelle der n und q ganze Zahlen treten läßt, so liefern
diese immer auch für die ))i ganzzahlige Werte, und man kann auf
solche Weise auch alle überhaupt existierenden Systeme von jj ganzen
Zahlen m^, • • •, m erzeugen ; man braucht nur etwa für lu, = 1, 2, • • •, ^j
an Stelle von o den kleinsten positiven Rest der Zahl m^^ nach dem
Modul A// zu setzen und, wenn:

(168) w?,, = A^,r, + 9,. C«=i,2,--,P)

ist, die Zahlen «^ aus den Gleichungen:

p

(169) 2^n^ + .«*^ = ^//^ if=h^,-,p)

v = l

zu bestimmen, also:

p

(170) »*v=^n,p + /.^ (r = l,2,...,p)

,11 = 1

zu setzen, wo y^, p^.,^) die Adjunkte von c, ^_,^ in der Determinante
A^^ bezeichnet. Daraus erkennt man zugleich, daß mau die q auf
die Werte 0, 1, •••, V^^ — 1 beschränken kann, wo V^^ den absoluten
Wert von A^^ bezeichnet, und es fragt sich uun, wie oft jedes System
von p ganzen Zahlen m.^^ , ■ ■ ■, nip auftritt, wenn man die n alle Zahlen
von — oo bis + oo , die q alle Zahlen von 0 bis V^^ — 1 durch-
laufen läßt. Zwei Zahlensysteme n, q das eine, n, q' das andere
liefern aber das gleiche System von Zahlen »?, wenn:

1) Es wird kaum stören, daß hier mit y andere Größen wie in § 2 be-
zeichnet werden.

Bestimmung der Transformationskonstanten C. 175

p

(171) 2 c,,^+, «-«..) + (?.«'-(>,«) = 0, (/'=i,2,. ,p)

v = l

also

(172) <- M, = ^^Yr,p+(. {q^ - Qfl) ('■=i.2,---.P)

ist; es müssen also die Differenzen Qu — q'^i das Kongruenzensystem:

p

(173) ^ r,,,^^^, ((>^ - ^;) ^ 0 (mod. VJ (v=i,2,..,p)

befriedigen. Sind umgekehrt die^ Kongruenzen erfüllt, und ist:

p

<" = !

so liefern die Zahlen n^, •••, w • p^, •••, q und w/=Wi + ^j, •••,
Wp' = w^ + t,; Qi7 ■ • ■, Qp, wenn man sie in die Gleichungen (167)
einsetzt, die nämlichen Werte für die Zahlen m^, ■■-, m . Da
nun die Anzahl der Normallösungen des Kongruenzensystems (173)
nach dem VI. Satz pap. 59 V^~ beträgt, so wird jedes System
von p ganzen Zahlen V^~ -mal geliefert, wenn man die n von — oo
bis + oo, die q von 0 bis V^^ — 1 gehen läßt, und es wird aus (164)
die Gleichung:

0,1, V^/-l _„,.., + 00 1 1

^ 2 J ^^^i---J ^^^p'

(l'ö) P P ^ ^ ^ A A

^ ^ <^vv' 9v ?j.' + 2 ^ 9v K ^ i

T7^ — 1 rir 1=1 1— 1 »'=1

wo:

p p / p \ / p

n=i iu'=i \v=i / \y=i

p / p \ / p

(176) + 2^ ^c,,p+^«. + Q, +9,M ^^,.'^,.' + /V^*

jU = l \i=l / \r'=l

P P P P

v = l »'=1 /i = l r = l

ist.

Man betrachte nun die in (176) definierte Größe 'F als Funk-
tion der 2) Größen x^, • • • , x und der p Zahlen n^, • • • , n und be-

176 V. 8. Die ganzzahlige lineare Transformation der Thetafunktionen.

zeichne sie entsprechend mit ^ (iCj • • • x^ln^^ '" %) oder kürzer mit
Wi[x I n}. Man erhält dann durch einfache Rechnungen zunächst:

W{{x\n))= W{{x-\-n\0))
p p p / p \

v = l v'=l /n = l \ ,"'=1 /

p p

(177) ~222[ ^,- -2'^;p^.u'%,' (?M + 9,u)n.

v = l ix = \ \ /ii'=l /

P P P

+ '^22 ^r,p + ,uK^K^'i + 2^J„»^,:r^•,

r=l iu = l 1=1

hieraus weiter, indem man für die vorkommenden Größen Ä ihre
Ausdrücke (VII) und für g^, seinen Ausdruck (XXYIII) setzt:

p p p

(178) "=' "-' ''='
p p p p

1=1 ^ = 1 r = l /i=l

und endlich, da infolge der Relationen (III):

p p p

i'=l /(=1

/J j* P P

^22 ^v, ^ c,,^+,„ nl = ^ ^ c^.^ c,^^^„ n, (mod. 2)

»- = 1 j'=l /(=!

(179)

r = l |U = 1 j' = l |U^1

ist:

(180) e^((«l«)) = e'^((^+'*!0))_

Man kann daher auf die linke Seite von (175) für v = 1, 2, ■ ■ ■, i)
die Gleichung:

(181) ^ / /"K + ^J dx^= 2 /^v^^) ^^^^ = / ^(^V) ^^^.

»r = — « 0 '»v = -^n,. — «

anwenden und erhält:

p p p

7P — 1 r^ »' = 1 J''=l r = l

(182) ^ Jdx,-..Jdx^e'^o^W'-'Ci

wo zur Abkürzunsr:

Bestimmung der Transformationskonstanten C. 177

p p

,"=1 ,"—1
p / p

(183) + 2 2 (p^, + ^ J ^ ^^,„ ^, + Ä^, ;r ^

p p p 1

v = i l'=l ^( = 1

gesetzt ist, und wo jetzt noch die auf die Größen x^, •••,x bezüg-
lichen Integrationen auszuführen sind.

Um dieses Ziel zu erreichen, definiere man Größen c^,---,c
durch die Gleichungen:

(v = l,2,--,p)

(184) 0^ = 2"-^' («-'.+ V) - ^ 2* ^.>^.«
,"'=1 " L ^ (j=i

und bringe Wq unter Beachtung der Beziehungen:

p p

(^ioO) p p p

ATt^ J'np + M^v'^ ;^^^ ^ ^v/x'yv,p + /u9n~' '^lii

' C"=l,2,- -,?)

p p

' 2Arr'^ -^ yv,p + H^V,U'^V,p+n'

in die Form:

p p p

r = l r'=l /, = 1
P P P

ÄT7ÄT .<^ ^^ .^ y^yp+iu ^fiv9r9v'
(186) ^^ ^ "=1 ^'=1 /'=!

j^ 1' i^

- h, 2 2 2''^^^yr,p+^^'(^^cQ,^--9f.ff/.')^i

p p p

+ X7r 2 2 2 yr,P + ^^rf.'Cr,p + ^'iQfc+ 9^.)^i-

Die Ausführung der auf der rechten Seite von (182) stehenden Inte-
grationen reduziert sich dann auf die Auswertung des Integrals:

p p p

r (' ^ ^ ^

(187) J^\dx^---\ dx^e-^ '=1 ''='

Krazer, Thetafunktionen. 12

178 V. 8 Die ganzzahlige lineare Transformation der Thetafunktionen.

Die hier auf der rechten Seite im Exponenten als Koeffizienten

auftretenden Größen

p

(188) K-=^^r,p^^.\.' ir,r'=l,2,...,p)

besitzen die Eigenschaften von Thetamodulen. Zunächst ist, wie
mau leicht sieht, &,,,,- = ^y^ (^' ^ ^"^> ^; "'}P^ v < i/) und weiter
ist auch die aus ihren reellen Teilen

_p p

(189) «..- =^^^Cr,p + ^C,,, ^^^'%^'; Kv'=l,2,...,p)

wo r , den reellen Teil von a . bezeichnet, gebildete quadratische

p p
Form ^ ^Sjv- 2/^^,. , da sie aus der negativen quadratischen Form

V=:l v'=l
P P

^ ^ r^^,x^x^, durch die reelle Substitution:

p

(190) ^^ = ^C.,;, + M^r (M = h2,-,P)

1=1

hervorgeht, selbst eine negative. Bezeichnet man also unter Adoption
der pag. 107 eingeführten Bezeichnungsweise mit k^, k^, • • ■, k^ die
in ihren reellen Teilen negativen Größen:

7,(2) ft(p)

n qn Je — h^^^ h — ^^ ... k — ^^

''ii >— 1, p— 1

und mit l^, l^, • • •, L_i, L die Ausdrücke:

jd) ft(i) j)W

k =q + J(^, + c,) + ... + ^^U^p-i+Vi) + 7T^(^P+S)'

Ojj Ojj »11

^2 = ^2 + 7(2) (^3 + ^3) H i~ T(2)" (^i) + ^p)f

p—l,p

(192) . . .

^P-i = Cp_i + ,(p_i)' i^p^Cph
"p-hP-i

h ^ ^P'

so kann man den genannten Exponenten in der Form:

(193) 222 '.p^.Kv (^. + o (^.' + ^.0 = ^ \ {% + y^

r = l »■'=1 /( = 1 P^^l

als Summe von j) Quadraten linearer Funktionen der x darstellen

Bestimmung der Transformationskonstanten C. 179

und erhält mit Hilfe der Formel (19) pag. 97, wemi man beachtet,
daß auf Grund von (188)

ist, für das Integral (187) den Wert:

Führt man diesen Wert in die Gleichung (182) ein, nachdem man
dort den Exponenten Wq durch den unter (186) dafür aufgestellten
Ausdruck ersetzt hat, so erhält man:

V p p p p p

(i8«)yi^> "•"^"'■^"^'

'II'-'A

P P P P P P

2"

p p I p \ p

Nun ist aber auf Grund von (XII):
p

(197) <,-- ^^^y,,p+,. ^,„v' = ^^^,<vKv + If r,,^+,.).

und da

II 0 = 1 ,«'=1 \ x = l /

also wegen (II)

7? 4-

A

7? -I- —

p p / ^ \

(lyyj ^ ~K7r ^ ^ ^•■,p+,«'\ ^?,"S+?,p+/''^^ + ^ ^p4-^,p+;t<'''V>i'+'^^V^ I

-''' 0 = 1 ^'=1 \ x = l /

p p

L.JJ .^J ^J '^f,P + l^i-P + Q,P + .uiuQ

''■' ^=1 ,(('=1

ist, so erhält man, indem man diesen Ausdruck in (197) einführt:
(200) a',__^ Vy ^ J ,^^yy ^ ,c ^, ^ ..

^ ^ »■'' Ar, A,.^J /Vyp + iw'^iiiv' ^ X ) /r,p + ,t< p + »',p + ,<(

-'^ -^^ = 1 II fi'=l

12 =

180 V. 8. Die ganzzahlige lineare Transformation der Thetafunktionen.

Der Exponent auf der rechten Seite von (196) wird also:
p p p p

II v = \ r'=l ,u=l v = l

A '^

Ersetzt man hier die Größen g, h durch ihre Ausdrücke (XXVUI),
so erhält man unter Benutzung der Relationen (II) daraus leicht den

neuen Ausdruck:

p p p

I' iu = l ,«'=1 »" = 1
P P P

•'■' U = l fi'=l v = l

p p p

Xi ^^ ^j \^vi.i^p-\-v,n'9fx9u- ^^p + v,/ii^v,p + n-9iu"'iu'

+ ^v, p + ^i<^p + r,p+^i- '^lU '^fi
P P P

"l~ X , X , X I ^p + v,ix^p-<rV,p-itfi\Pvn'9n' ~ <^v,7) + M '>V^*

(U:=l n'=\ J=l
p p p

"• 4A,,.<^ .<i^ ,^ J'v,p + /i^p+.',p + ^,^ ^VQ^y,p + Q_^

^v'(,'^v',p + ^'^*

p I>

"■ 2 ,^ .^ ^vQ^v,p->rQ ^ ^p + r,Q'^p + v,p + Q''^'''
v = l p = l ?'=^

und endlich, indem man diesen in die Gleichung (196) einführt, für

C den Wert:

p p p

yp-i r A„A, +''.,p+^/^p+v,p+M'V*,«')'''

p p y

— ^ ^ 2'^P+r,ti''p-[-v,p-\-i^'^'=yfi'9^ — <^.',p + /t '*,«')'»'■

(203) xe /'=i^'=i'=i

p p p p p

~TI7t 2 2 2 ^v,p+^^'p+^■^,p+l■' 2'-'q'''^p+9 2'^'^"'^'^P+(i'"'

~ 2 -i^ -i^ ^.■(('■v,p + ^ ^ '^p + v,q"^p-\-v,p + o'^'

Man hat daher den

XII. Satz: Bei der ganzzaJäigen linearen Transformation hängt
die ursimmgliche Tlietafunktion mit der transformierten zusammen durch
die Gleichimg:

Formel für die ganzzahl. lin. Transf. bei belieb, p. 181

(XXIX) ^ß]W. = ^«-^^[!](KL-

Dabei sind die Größen U, g, h durch die Gleichungen (XXVII) und
(XXVIII) definiert, C aber ist eine von den Argumenten der Theta-
fiinJition unabhängige Größe, der man unter der Voraussetzung, daß die
Determinante

(XXX) ^// =-*^ ± ^l,p + l ^2,p + 2 ■ ■ ■ ^i>, 2p

einen von Null verschiedenen Wert besitzt, die Form:

(XXXI) C = -^ V^r-?- G-e^'''- e"^^^' *) ''^

geben Tiann, wobei mit V^^ der absolute Wert von A^^ bezeichnet ist,
wobei ferner, ivähretid Yy^p^/^ die Ädjunkte von c,,,p+^ m« der Determi-
nante Aj^ bezeichnet, zur ÄbJcürzung:

(XXXII) G^=y e /. = M=i''=i

o^^ o P P P

+ 17, ^ ^ ^ Wp + ,u<=v,u"^r,p + fi'(.',u^'
^^ fl = lfl'=lV=l

und:

p p p p

P P P

(xxxni) //,.=! ,'=i,,=i o=i ^'=1

p p

P + V, Q' ^p + V, JJ + Q'

gesetzt ist, wobei ferner ilj(g, h) den Ausdruck:

p p p

(xxxiv) '^' '^' '^' +^,,p+,s+..+.'^.V)

/> y J'

X I X > X I ^p + v,/j.^p + v,p + /ii\Pvn'9fi' ^v,p + j.i' '^/,i')

|U = 1 |U'=1 1' = 1

bezeichnet, und wobei endlich zur Bestimmung des Vorzeichens der auf
der rechten Seite stehenden Wurzel die Gleichung:

(xxxY) yg!.-^/:^^y-...y=^

Jieranzuziehen ist, in der:

'' -" + ' + ■ +

182 V. 8. Die ganzzahlige lineare Transformation der Thetafunktionen.
7.. _ hW Z- _ _??. P — PP

p

(XXXVI)

^=1

ist, 'Während jede der p auf der rechten Seite stehenden Wurzeln so
auszuziehen ist, daß ihr reeller Teil positiv ivird.

Der Fall p = 1 wird im nächsten Paragraphen gesondert besprochen;
für i? > 1 ist die Formel (XXIX) zuerst von Herrn Gordan ^) und sodann
von Clebsch und Gordan ^) angegeben worden; die Bestimmung der
Konstanten C ist aber hier nur so weit durchgeführt, als dieselbe von den
Thetamodulen abhängt, während für die Bestimmung des dann noch übrig
bleibenden numerischen Faktors auf die Zerlegung der gegebenen Trans-
formation in einfache nach dem V. Satz verwiesen Avird. Die im Vorigen
mitgeteilte vollständige Bestimmung der Transformationskonstanten hat
zuerst Herr Weber ^) angegeben.

Bezüglich der Eigenschaften und der Wertbestimmung der einen Teil
der Konstanten C bildenden mehrfachen „Gaußschen Summe" G (XXXII)
mag auf die beiden Abhandlungen der Hen-en Weber ^) und Jordan^)
verwiesen werden, in deren letzterer insbesondere gezeigt wird, daß man
jede solche ^- fache Gaußsche Summe durch Einfühning neuer Summa-
tionsbuchstaben in das Produkt von p einfachen Gaußschen Summen, wie
sie im folgenden Paragraphen auftreten, zerfallen kann.

Bei der obigen Darstellung der Konstanten C wurde vorausgesetzt,
daß die Determinante A„ (XXX) von Null verschieden ist. HeiT Web er ^)
hat gezeigt, daß sich im Falle A^^ = 0 die Konstante C durch eine
Gaußsche Summe von weniger Variablen ausdrücken läßt, deren Anzahl g
gleich dem Range von A^^ ist; es steht dies in Übereinstimmung mit dem
von Herrn Prym^) und mir gefundenen Resultate, daß eine solche Trans-
formation sich stets in der Form T = S' T^^^vn S" darstellen läßt. Es

1) Gordan, Sur la transformation des fonctions abeliennes. C. R. Bd. 60.
1865, pag. 925.

2) Clebsch und Gordan, Th. d. Abel'schen Functionen, pag. 213; vergl.
auch Thomae, Beitr. zur Theorie etc. J. für Math. Bd. 75. 1873, pag. 224.

3) Weber, Über die unendl. vielen Formen etc. J. für Math. Bd. 74.
1872, pag. 57; auch: Zahlentheoretische Untersuchungen aus dem Gebiete der
elliptischen Functionen. § 13. Gott. Nachr. 1893, pag. 251; für den speziellen
Fall p = 2 dazu Mischpeter, Promotionsschrift über die Transfoimation der
Thetafunction mit zwei Variablen. Inaug.-Diss. Rostock 1874.

4) Weber, Über die mehrfachen Gaußschen Summen. J. für Math. Bd. 74.
1872, pag. 14.

5) Jordan, Sur les sommes de Gauß ä plusieurs variables. C. R. Bd. 73.
187J, pag. 1316.

6) Krazer und Prym, Neue Grundlagen etc., pag. 94.

Formel für die ganzzahl. lin. Transf. im Falle p = 1.

183

mag genügen hier auf diese Punkte kurz hingewiesen zu haben; in einem
späteren Paragraphen (§ 11) wird gezeigt werden, wie sich der Fall
A^^ = 0 stets auf den Fall A^^ =(= 0 reduzieren läßt.

§ 9.

Der besondere Fall p = 1.

Im besonderen Falle /) = 1 liefert der XII. Satz, wenn man der
einfacheren Schreibweise wegen die Transformationszahlen q^, c^^,
C21, C.22 mit a, ß, y, d bezeichnet, den

XIII. Satz: Für die ganzzahlige lineare Transformation:

ß
(XXXVII) T =

hei ivelcher die ganzen Zahlen a, ß, y, d der Bedingung:
(XXXVm) ad-ßy=l

genügen, hängt die ursprüngliche Thetafmiktion mit der transformierten
zusammen durch die Gleichung:

(XXXIX) ^ g] {u\ = ]/=f G{-fle:P-^. e'^(^. *)-• e" ^ ^

Dabei ist:

+

A = ani + ßa, JB = yni -\- da,

B

UJ

c^o.-.

U = —U
A

a = -j-^i,

(XL)

g = ug — ßh + haß, h

yg + öh + ^yö,

<^(-f)=

^Tj — — Q^Tii + aQ^t

0=0

(p = ~la'ßd-\-^aßyd,
tig, h) = ayg' - 2ßygh + ßdh' - aydg + ßydh,

und es ist die auf der rechten Seite stellende Wurzel so auszuzieJien,
daß ihr reeller Teil positiv wird.

Dabei ist /3 > 0 vorausgesetzt; der Fall ß = 0, cc = d = -{- 1 er-
ledigt sich sehr leicht, da in diesem Falle

(204) J. = jri, B = a -'r yni, u=u, a = a -\- yni

ist, und folglich die ursprüngliche Thetafunktion mit der transfor-

184

V. 9. Der besondere Fall p^ 1.

mierten gemäß der Formel (XXI) pag. 70 zusammenhängt durch die
Gleichung:

(205)

bei der

(206)

^ß]«=^K'](^).'e''^^— >'^--,

h'=Jl-^ ^y — yg

— u

~ß

-Y

-d

- 1

0

0

- 1

ist. Die Fälle ^ < 0 und ^ = 0, a = d = — 1 können aber auf die
soeben betrachteten beiden Fälle zurückgeführt werden, indem man
die Transformation T aus der Transformation:

(207)

und der Transformation:

(208)

für welche

(209) A = — %i, B = — a, u' = — u, a = a,

also gemäß der Formel (XLII) pag. 35:

(210) *[aw.=*[z^]('0«-

ist, zusammensetzt.

Nach dem VII. Satz läßt sich im Falle j5 = 1 jede ganz-
zahlige lineare Transformation aus den zwei elementaren A, B
(XXII) als erzeugenden zusammensetzen. Die der ersteren, A, ent-
sprechende Transformationsformel geht aus (205) für y = 1 hervor;
die der letzteren, B, erhält man aus (XXXIX) für a = d = 0, /3 = 1,
7 = — 1 in der Gestalt:

(211) »ß]M.=i^¥^^''"'^"''*r;']Ä

und erkennt deren Übereinstimmung mit der Formel (III) pag. 98.
Die Summe G l— ~\ läßt sich durch Gaußsche Summen ^) :

1) Über die von Gauß in seiner Abhandlung: Summatio quarumdam serierum
singularium. 1811. Werke Bd. 2. Göttingen 1876, pag. 9 eingeführten Summen vergl.
Bachmann, Zahlentheorie 2. Bd. Leipzig 1894, pag. 146; zu der jetzt folgenden

Wertbestimmung der Summen qp(Ä, w)und G' / 3- 1 vergl. noch: Königsberger,

Vorl. ü. d. Th. der elliptischen Functionen. Bd. 2, pag. 60 u. f., David, Sur la trans-

Auswertung der Gaußschen Summe G. 185

71—1

2h7ti.

Q^

(212) <p{h,7t)=^e-

ausdrücken. Es ist nämlich:

1. wenn a gerade, also ß ungerade ist:

(213) <^{~j)-'2'>'^'""-'p{-Y'^)'

2. wenn a ungerade und ß ungerade ist:

(214) G(-^)^§\^"'- = ^(£^«,^),

3. wenn a ungerade und ß gerade ist:

(215) G{-j)-2j' ' ^ "^ ■'" =^cp(-a,2ß)e^
Nun ist aber für ungerades n:

+

für gerades n = 2^n' und ungerades h im Falle x > 1:

(217) (3p(/i, «)= (^)e' y^M,

während im Falle x = 1 cpQi, n) den Wert Null besitzt; und es er
gibt sich daher:

1. wenn a gerade und ß ungerade ist:

2 i _^(^-l)V

(216) 9.(/.,l^) = (A)e«'^" "'^V^,

(218) ^(-f) = V^>^' >^?>

2. wenn a ungerade und ß ungerade ist:

(219) e(_«)_(i(t^))eT'^-''y^,

3. wenn a ungerade und ß gerade, ß = 2^ß' ist:

(220) G (--) = (^) ;Tl«W*»-^<f->-W-H.)>.(.>-.)(' + .)l ^

formation des fonctions 0. J. de Math. (3) Bd. 6. 1880, pag. 187, und Hermite,
Sur quelques formules relatives ä la transformation des fonctions elliptiques,
J. de Math. (2) Bd. 3. 1858, pag. 26; auch C. R. Bd. 46. 1858, pag. 171.

186 V. 9. Der besondere Fall p = 1.

Zu den Formeln (218) und (219) wird man bemerken. Da ß
ungerade ist, so ist:

(221) (I) -

e **

und man kann daher die Gleichungen (218) und (219), indem man

ihre rechten Seiten mit l-äj e ^ multipliziert, in die gemeinsame

Form:

(222) e(_:^) = (— )r^''^-"l^

bringen. Man kann aber im Falle, daß ß ungerade ist, die Summe
G (— -ö") auch noch auf andere Weise auf eine Gaußsche Summe re-
duzieren. Bestimmt man nämlich zwei ganze Zahlen m, n so, daß:

(223) a = mß-8n
ist, so wird

(224) e (- f ) = S ^^ "■ " - »> (4", « = (';>^ ""'vß ■

Die Formel (220) dagegen kann man, da

(225) ,Tt-W-+"-' = ,±T_l±i

+
ist, je nachdem ccß' -\- 1^0 oder 2 (mod. 4), also stets:

(226) ^-^i^-i^ß'+m^i + i-if

1/2
+
ist, in die Gestalt:

bringen, und es ist dabei:

ni , „

/oooN — (a^-i)(>i + i) e« , wenn A gerade,

(228) e^ = ^ ,1

^ ^ 1 , wenn A ungerade.

Die Summe G{—^i besitzt ähnliche Eigenschaften, wie die

Gaußsche Summe (p(h, n)] von ihnen sollen hier einige angegeben
werden, welche für die lineare Transformation der Thetafunktionen
eine Rolle spielen.

Eigenschaften der Gaußschen Summe G.

187

Es ist:

(229) G(;)e(-f)=§§e7'''-"""-'^-°"\

^ ' Q = 0 (T=0

Führt man hier an Stelle von q einen neuen Summationsbuchstaben
T ein mit Hilfe der Gleichung:

(230) p = ö + r,
so erhält man zunächst:

(231) e(~)G(-^-) = g.?''"-""(S/V°

Nun besitzt aber die an letzter Stelle stehende, in besondere Klammern
eingeschlossene Summe nur dann einen von Null verschiedenen Wert
und zwar den Wert ß, wenn kt ^ 0 (mod. ß) ist; es fallen daher in
der Summe nach r, da a relativ prim zu ß ist, alle Summanden weg
mit Ausnahme des ersten, dem Werte t = 0 entsprechenden, und man
erhält 1):

(232) G{^)G{-^) = ß.

Zur Herleitung einer weiteren Eigenschaft der Summe G l — ^)

soll das Prinzip der Zusammensetzung der Transformationen benutzt
werden, in der Weise, daß mau die Transformation T aus zwei Trans-
formationen 1\ und Tg zusammensetzt in der Form T = T^T.^ und
die der Transformation T entsprechende Thetaformel (XXXIX) mit
jener vergleicht, welche durch Zusammensetzung der den beiden Trans-
formationen T^ und Tg entsprechenden Formeln entsteht.
Ist:

(233)

0

1

, T,=

ß

— a

-1

0

ö

-y

so erhält man auf diese Weise zunächst:

+ + +

Die beiden auf der rechten Seite stehenden Wurzeln können zu einer
einzigen vereinigt werden. Sind nämlich a -\- hi und c -\- di kom-

1) Der Gleichung (232) entspricht für die Summe qp (h, n) jene Formel von
Gauß (a. a. 0. Art. 55), wonach:

(235) cpQi^ n) q>{ — h, n) = n, 2n oder 0

ist, je nachdem n ungerade, = 0 oder = 2 (mod. 4) ist.

188 V. 9. Der besondere Fall p = 1.

plexe Zahlen mit positiven reellen Teilen, und bezeichnet man allgemein

mit Yx + yi jenen Wurzelwert der komplexen Zahl x + yi, für welchen

+
der reelle Teil positiv ist, so ist stets:

(236) yöTbi Yc + di = Yif^ + &*) (^ + di)-,

+ + +

denn ist:

(237) ]/« + 6* = a + ßi, Y(^ + di = y + di,

+ +

wo also oj > 0, y > 0, so ist, wie sich durch Quadrieren dieser Glei-
chungen zeigt, a^>/3^, y^^d^, also u^y^^ß^Ö^ und folglich «y>/3d;
es ist also das Produkt:

(238) Yö^+^i y^ + di = {ay - ßö) -\- {ad -^ ßy) i

+ +

eine komplexe Zahl mit positivem reellem Teile, womit die Gleichung
(236) bewiesen ist. Nun zeigen aber die Gleichungen:

— Tta^

(239)

a aÄn

aa^t

iuA iccAA^ -^^o

in denen allgemein Zq den zu s konjugiert komplexen Wert bezeichnet,
daß die beiden auf der rechten Seite von (234) unter den Wurzel-
zeichen stehenden Größen in der Tat komplexe Zahlen mit positiven
reellen Teilen sind, und es ist daher:

w V^Vj^-

7C

laÄ

-f- + +

Setzt man diesen Wert in (234) ein, erteilt hierauf dem Modul a
den speziellen Wert:

(241) a = -^-j7ti

und löst die entstehende Gleichung nach G( — ^| auf, so erhält man^):

+

1) Der Gleichung (242) entspricht bei den Gaußschen Summen qp(Ä, n) jene
Reziprozitätsbeziehung, welche Kronecker (Über den vierten Gaußschen Beweis
des Reziprozitätsgesetzes für die quadratischen Reste. Berl. Ber. 1880, pag. 686;
vergl. auch: Über die Dirichletsche Methode der Wertbestimmung der Gaußschen

Eigenschaften der Gaußschen Summe G.

189

-?

-8

a

ß

0

1

- 1

0

Ist dagegen
(243) Ti

so erhält man zunächst:

+ + +

und hieraus auf die gleiche Weise wie oben:

(245)

G

i-j)

dl"

+

«(-i)

Die im vorigen Paragraphen für beliebiges 2> durchgeführte Bestim-
mung der Konstante C durch Integration wurde für j> = 1 zuerst von
Hermite ^) angegeben. Eine andere Methode der Bestimmung der Kon-

Reihen. Hamb. Mitth. Bd. 2. 1890, pag. 32) gefunden und in der eleganten
Form:

(246)

(V9)

G

(7)

= 1

dargestellt hat, bei der q eine rationale rein imaginäre Zahl, \Yq) jenen Wurzel-
wert, dessen reeller Teil positiv ist, und Gy — | die Summe:

•2fi — l Xi
(247)

''(7)-42'

bezeichnet. Die Gleichungen (242) und (245) stellen, wie schon ihre ähnliche
Form vermuten läßt, nicht zwei wesentlich verschiedene Eigenschaften der
Summe G dar. Ersetzt man in der Gleichung (242) 0; durch 8 , so kann man
durch Einführung neuer Summationsbuchstaben vermittelst der Gleichungen

(» = äff beziehlich q := ya die Summen G ( -^\ und <? (-^) in die Summen

Gi —\ und Gy ^| überführen und so aus der Gleichung (242) die Glei-
chung (245) ableiten. — Endlich wird man noch bemerken, daß man die Glei-
chuug (242) auch direkt, ohne Zuhilfenahme der Transformation der Theta-
funktionen gewiimen kann, indem man die Formel (4) pag. 93 auf die Funktion:

(248)

anwendet.

1) Hermite, Sur quelques fonnules etc. J. de Math. (2) Bd. 3. 1858,
pag. 26; vergl. auch Fuhrmann, Transformation der ©-Functionen. Progr.
Königsberg 1864; Königsberger, Vorl. ü. d. Th. der elliptischen Functionen.

190

V. 9. Der besondere Fall p = 1,

stante 0, welche von Herrn Thomae^) herrührt, besteht darin, daß man
den lateralen Teil des Thetamoduls a einem rationalen Vielfachen von ni
gleichsetzt und hierauf den reellen Teil Null werden läßt.
Nach Formel (XVIII) pag. 68 ist nämlich:

(249)

^(0)

g-l

(0).

('• + ^-)

Ist m gerade, so setze man g = w; man erhält dann auf Grund der
Formeln (XXI) pag. 70 und (XLI) pag. 35:

(250)

^(0)

+ 111.
— n

n — \ r

-2\

,1=0 LO

o^ — ni

und weiter, indem man auf die Thetafunktion der rechten Seite die
Formel (211) anwendet:

w — 1

(251)

Da nun:

(252)

ist, so folgt aus (251)

(253) lim{]/-^'^(0)

(0)^/ «

-0-

lim ^

Q_

r = 0

_w_

(0)

r +

Ist m ungerade, so setze man g = 2w; man erhält dann auf dieselbe

Weise:

2 n 1

(254) lim^(y^^(OX^ ™„,) = ^2^ / ^"' = ^,»(», 2«),

+

e=o

Mit Hilfe dieser Gleichungen kann nun die Bestimmung der Trans-
formationskonstante folgendermaßen bewerkstelligt werden. Man schi-eibe
die Formel für die ganzzahlige lineare Transformation, indem man g = li = 0
setzt und den von dem Thetamodul a abhängigen Teil der Transforma-
tionskonstante sich mit Hilfe der Differentialgleichungen (XXIH) pag. 23
bestimmt denkt, in der Form :

Bd. 2, pag. 53; David, Sur la transformation etc. J. de Math. (3) Bd. 6. 1880,
pag. 187; Landsberg, Zur Theorie der Gaußschen Summen etc. J. für Math.
Bd. 111. 1893, pag. 234.

1) Thomae, Abriß einer Theorie der complexen Functionen und der
Thetafunctionen einer Veränderlichen. 2. Aufl. Halle 1873, pag. 187; vergl.
dazu Hager, Über die lineare Transformatien der Thetafunctionen. Inaug. -Diss.
Göttingen 1877.

Thomaesche Bestimmung der Transformationskonstante.

191

(255)

und setze darin:

(256)

Da hierdurch:

(257)

»("X-c.y^e ''' »\l;i]i"X

+

M = 0, a = r

A = ßr, B = 8r

m.

M = 0, a = -^ — h s-Tti

wird, so nimmt die Formel (255), wenn man sie noch links und rechts

ff* , S

mit 1/ — ^ multipliziert, die Gestalt:

+

(268) "|/,_^^(o)_«,,-c..i4J;a(o)^

+ ^ p

an und liefert, indem man r = 0 werden läßt, für Cq die Werte:

1. wenn a gerade und |3 ungerade ist:

(259) Co = 9'(-|,^);

2. wenn a. ungerade und ß gerade ist:

(260) C, = ^cp{-a,2ß).

Diese Resultate stimmen aber mit den früheren, wonach gemäß (XXXIX):

(261) C, = G(-^)e ' '

und gemäß (213) und (215):

(p { — , j3j , wenn a gerade ,

(262)

a

i-j)

ttßni

\(p{ — a, 2j3)e^ ' , wenn ß gerade,

ist, wie man leicht sieht, überein.

Sind ß und ß beide ungerade, so kann die Fonnel (255) nicht zur
Bestimmimg der Konstanten Cq in der eben angegebenen Weise dienen,
da dann die auf der rechten Seite von (258) stehende Thetafunktion
nicht mehr gegen einen festen Grenzwert konvergiert, wenn r = 0 wird.
Man wii'd dann die gegebene Transformation der Gleichung:

(263)

a

ß

=

— y

-6

0

1

7

6

a

ß

— 1

0

192 V. 9. Der besondere Fall p = l.

entsprechend aus den zwei Transformationen (243) zusammensetzen, deren
erster die Formel:

(264) .(«)„ = n,y^ ^""^^ß:;]!-"?)-^»,

entspricht, bei der nach dem soeben Bewiesenen:

qp I r- , <J), wenn y gerade,

(265) !)„= ^V 2 ' /' ^ ^

^-9)( — y, 2d), wenn y ungerade,

ist, während die der zweiten entsprechende Formel die Formel (211) ist.
Vergleicht man die auf solche Weise durch Zusammensetzung entstehende
Formel mit der Formel (255), so erhält man zur Bestimmung von Cq
die Gleichung:

(266; '^oI/tT = ^o

^A 0 F 5-B r Ai

+ + +

und aus dieser, indem man für- « wieder den Wert (241) einsetzt:

1

(267) C„=|/l.'"^''""i)„.

+

Daß dieser Wert mit dem unter (261) angegebenen übereinstimmt, ist
unter Zuziehung der Gleichung (245) leicht zu sehen.

Schon Jacobi^) war im Besitze von Methoden zur Bestimmung der
Konstanten der linearen Transformation; er führt an, daß ein doppelter
Gang der Untersuchung zu dieser Bestimmung führe, entweder mittelst
einer Kettenbruchentwicklung oder mittelst der Gaußschen Summen. Ob der
letztere Weg mit dem eben angegebenen Thomaeschen sich deckt, läßt
sich aus der kurzen Angabe Jacobis und bei dem Mangel weiterer Nach-
richten nicht ersehen. Das Verfahren der Kettenbruchentwicklung hat
Herr Gordan ^) aufgenommen, aber erst HeiT Landsberg ^) bis zur voll-
ständigen Bestimmung der Konstanten durchgeführt. Herr Gordan führt
dagegen, nachdem er die Kettenbruchentwicklung nm* zur Ermittlung der
Gestalt (255) der Transformationsgleichung benutzt hat, die Konstanten-
bestimmung in einer eigentümlichen Weise durch, deren wahre Bedeutung
erst später (§ 11) aufgedeckt werden wird. Er drückt nämlich in der
Transformationsgleichung (255) links die Thetafunktion mit dem Modul a
durch Thetafunktionen mit dem Modul j3^a und hierauf diese durch solche

1) Jacobi, Über die Differentialgleichung, welcher die Reihen 1 + 2? + 2^*
+ 238 -f etc., 2f/g + 2|/^ 4- 2|/^5 -f etc. Genüge leisten. 1847. Ges. Werke
Bd. 2. Berlin 1882, pag. 171,

2) Gordan, Über die Transformation etc. Hab. - Schrift. Gießen 1863;
vergl. auch Enneper, EUiptische Funct. etc. Halle 1876, pag. 348 u. f. 2. Aufl.
Halle 1890, pag. 409 u. f.

3) Landsberg, Zur Theorie der Gaußschen Summen etc. J. für Math.
Bd. 111. 1893, pag. 234.

Historisches.

193

mit dem Modul Ꭰaus (Formeln (XVIII) pag. 68 und (XXI) pag. 70),
rechts dagegen die Thetafunktion mit dem Modul a dm-ch Thetafunk-

, S n^

tionen mit dem Modul a w'Jti= -5— r und hierauf diese durch solche

/3 M

mit dem Modul ßA (Formeln (XXIV) pag. 76 und (IH) pag. 98), und er-
hält nun Cq durch Vergleichimg der linken und rechten Seite.

Ein ähnlicher Gedanke ist von Besch^) verfolgt worden, welcher
die Bestimmung der Konstante dm-ch Einführung solcher spezieller
Modulwerte versucht, für welche sich der ursprüngliche und der trans-
formierte Modul nur um ganze Vielfache von Tti unterscheiden.

Soll nur das Quadrat der Transformationskonstante bestinimt werden,
so kann dies sehr leicht geschehen, indem man die lineare Transforma-
tion T auf die linke und rechte Seite der Gleichung^):

(268) ^,;(0) = i^oo(O) ^01 (0) ^io(O)

anwendet^).

Endlich seien die beiden Arbeiten von Cayley^) erwähnt, in deren
erster er im Anschlüsse an eine frühere^) Darstellung der Thetafunk-
tionen durch unendliche Produkte eine Ableitung der Formel für die
lineare Transformation gibt, ohne aber auf die Bestimmung der Konstanten
einzugehen, während er in der zweiten eine Verifikation der Transforma-
tionsformel durch Zusanxmensetzung der den beiden Transformationen

a

ß

Y

ö

(269)

entsprechenden Formeln durchführt.

- S

=

- 1

0

0

— 1

§10.

Zurückführuug nichtganzzahliger Transformationen auf
ganzzahlige. Die Multiplikation und die Division.

Zu jeder ganzzahligen Transformation T von der Ordnung n gibt
es immer eine andere ganzzahlige Transformation T^, welche durch
die Gleichung:
(270) TTi = M,

1) Besch, Bestimmung der bei der linearen Umformung der ©-Function
auftretenden Transformationsconstanten. Progr. Königsberg 1877.

2) Siehe Kap. VII, § 11.

3) Thomas, Die Constante der linearen Transformation der Thetafunc-
tionen. Gott. Nachr. 1883, pag. 194 und Enneper, Bemerkungen über Theta-
fuDctionen V. Gott. Nachr. 1883, pag. 277.

4) Cayley, On the linear transformation of the Theta-Functions. Hess.
Bd. 13. 1884, pag. 54 und: A verification in regard to the linear transformation
of the Theta-Functions. Quart. J. Bd. 21. 1886, pag. 77.

5) Cayley, Memoire sur les fonctions doublement periodiques. J. de
Math. Bd. 10. 1845, pag. 385.

Krazer, Thetafunktionen. 13

194 ^- 10. Zurückf. nichtganzz. Transformationen auf ganzzahlige.

in der M die Transformation:

(271) ";„ = ,^«^„ (:=;:S::.;y

von der Ordnung w^ bezeichnet, vollständig bestimmt ist. Die Trans-
formation 1\ ist gleichfalls wie T von der Ordnung n und ihre
Transformationszahlen c^^^ sind durch die Gleichungen:

(1) _ (1)

(272) (,^ __ (1) _ (^'^=1.2,-,.-)

bestimmt. Die Transformation 2\ wird die zur Transformation T
supplementäre genannt; man sieht, daß auch umgekehrt T^T = M also
auch T die zu T^ supplementäre Transformation ist. Im Falle n = 1
wird die Transformation M zur identischen J, die supplementäre T^
zur inversen T~^.

Die Transformation M heißt die Multiplikation, die zu ihr in-

verse Transformation M~^ von der Ordnung , ist die nichtganzzahlige

Transformation:

(2'^^) <« = n "^f^-' (aZlil:.:,lp)

welche die Division genannt wird. Mittelst der Division kann man
nun jede nichtganzzahlige Transformation T auf eine ganzzahlige zu-
rückführen. Bringt man nämlich die Koeffizienten c^^ von T auf
gemeinsamen Nenner t, setzt also:

(274) ^a,,-^-f, (a„:^ = l,2,....2p)

WO t eine positive ganze Zahl, die d^^ ganze Zahlen sind, so kann
man die Transformation T:

2p ,

(27^) C'^"=^-r'^^^ (« = 1,2,. ..,2^

s = l

aus den beiden Transformationen:

2p

(276) <a = |o3^a? cA=^^a.ö^<'. («=!', 2', •■■iL)

f = l

zusammensetzen, von denen die erste eine Division (von der Ordnung tj),

die zweite aber eine ganzzahlige Transformation (von der Ordnung
t^n) ist.

Für die Multiplikation (271) ist:

(277)

Die Multiplikation der Thetafunktionen.

nni, wenn ^ = v, ^ _
^'-^0, wenn ^^v, ^/'" " *'^/""

195

und es sind daher die Argumente und Modulen der transformierten
Thetafunktion durch die Gleichungen:

(278)

w„ = ^ w,, ,

/'^

(,«,^<'=1,2,- ■■,!))

bestimmt. Soll die ursprüngliche Thetafunktion -^-k ((m))^ durch die
transformierten -9- ((w'))^. ausgedrückt werden, so hat man nach § 7
zunächst '9' f ((w)ja als eine Thetafunktion w-*" Ordnung mit den Ar-
gumenten uj.^, den Modulen a/,^,' und der Charakteristik ^ homogen

und linear durch die n'^P Funktionen d'

"«HL?"

nh

((n^i*'))„2„, auszudrücken.

Diese Darstellung wird aber durch die Formel (XVIII) pag. 68 in
der Gestalt:

(279)

^ß]w

0,1, •■,?! — 1

'g + ^'

n
nh

[n'u

geleistet. Man hat nun weiter die auf der rechten Seite stehenden
Thetafunktionen mit Hilfe der Formel (154) durch solche mit den
Argumenten u'^^ und den Modulen «/,,<' auszudrücken. Zu dem Ende
ersetze man in dieser Formel w durch n^, u durch ti und a durch «'-,
verstehe sodann für ^ = 1, 2, ■ ■ , 2^ unter g^ , • • , ^|" ^; h , •■, h
Größen, für welche:

r(l)

^(«'')

(1)

:(»=)

(280) 9';:'+--- + t; ' = ng^^, h]:> + • • . -f r ' = nh^^ (.=1, 2,

■,p)

ist, und setze:
(281)

(VI _lr) , u

g = g + — —

;(")

(v)

sodaß die durch die Gleichungen (151) definierten Größen g\ h' die
Werte:

(282)

9l. = n(9^c + %) - ?,«; K

nh.

(ju = l,2,--,p)

annehmen. Die auf der linken Seite von (154) stehende Thetafunk-
tion wird dann mit der auf der rechten Seite von (279) stehenden
identisch und man erhält, indem man diese letztere durch den aus
(154) dafür abgeleiteten Ausdruck ersetzt, die Gleichung:

13*

196 V. 10. Zurückf. nicMganzz. Transformationen auf ganzzahlige

0,1, ,n — 1 0,1, ,n2 — 1

(283)

n n

6

27t

d-

n w*
a

[u L,e

/i=i

w

Durcli diese Gleichung ist die gestellte Aufgabe, die Funktion
'^ßlW« durch Funktionen ■9'rn((w')L auszudrücken, bereits gelöst.
Man kann derselben aber leicht eine elegantere Form geben. Zu
dem Ende verstehe man unter ^i, •••, ^p", cr^, •••, er^ irgend welche
ganze Zahlen, setze in (283):

(284)

P^ = - Qf. + >*V'

(/. = 1, 2, •••,?)

multipliziere linke und rechte Seite mit e ^~^ und summiere

über die x von 0 bis n — 1. Man erhält dann, wenn man gleich-
zeitig rechts den Summationsbuchstaben x^ um r^ vermehrt, was nur
eine Umstellung der Summanden der rechten Seite bedeutet, zunächst
die Gleichung:

2ni -yri o
''O,!,-,« — 1 -^ ^ "m ^yu\

0, 1, ••,ra — 1 0,1,- -jn^—i

=^ 2-

(285)

^

wL-e

2 rt t x^ , , ,

'0,1, -.n—i — :;r ^ (f'/u — o/ui^/A

Nun besitzt aber die in der letzten Zeile stehende Summe nur dann
einen von Null verschiedenen Wert und zwar den Wert ?^^, wenn

Multiplikation und Division der Thetafunktionen.

197

<?^ = öT^^ • • -, 6=0 (mod. n) ist, und es fallen daher aus der rechten
Seite von (285) alle jene Glieder heraus, bei denen nicht:

(286) a^^ = öT^, + n A^^ 1^=1,2, ■■■,p)

ist, wo A^^ eine ganze Zahl bezeichnet. Auf diese Weise entsteht aus
(285) die Gleichung:

(287)

^^^.-.v^ß]W»

0,1, •■,»!— 1

ü'' + 4 + -

-ö-

g{n^) + -^ + A

Ä(«') + 4 + -

■

bei der zur Abkürzung:

(288)

M.

0, 1, • ■, «

2 rt j ■'t-i ,

//=i

•^nrj — ^j

■'>

gesetzt ist, und bei der die q, h willkürliche ganze Zahlen, die g, h
beliebige den Gleichungen (280) genügende Größen bezeichnen.

Vermindert man in der Formel (287) für fi = l, 2, •••,^ jede der

Größen ä , • • •, ö^"''^ um -~ , jede der Größen h , • ■ -.h um -^ , mul-
tipliziert hierauf linke und rechte Seite der Gleichung mit

e '' und summiert über die q, 0 von 0 bis n~l, so

erhält mau, da die dabei auf der rechten Seite auftretende Summe:

(289)

2 TT (■ -^ „

0,l,-,n — 1 -^ ^ (.Vfi^/it — f'iu>'iu)

C°1>-'(°J9

nur für das eine Wertesystem x^ = • • • = x = A^ = • • • = A^ = 0 einen
von Null verschiedenen Wert und zwar den Wert n^^ besitzt, wenn
man schließlich noch q statt q, 6 statt 6 schreibt, die Gleichung:

198 V. 11. Krazer-Prymscbe Zusammens. einer Transf. aus elementaren.

il^'^

<&

^(''')J\VrJ)^

(290)

0,1,- ,« — 1

#

/i-

Die Formeln (287) und (290) sind die Lösungen des Multipli-
kations- und des Divisionsproblems der Thetafunktionen ; über die Be-
rechnung der in den Konstanten M vorkommenden Größen K muß
auf das in § 7 Gesagte verwiesen werden.

§ 11.

Erazer - Frymsche Zusammensetzung einer Transformation

aus elementaren.

Herr Prym und ich^) haben eine andere, von der in den § 5, 6
und 10 auseinandergesetzten durchaus verschiedene Zusammensetzung
einer gegebenen Transformation T aus einfachen angegeben, bei
welcher nicht mehr die ganzzahlige, sondern die lineare Transforma-
tion in den Mittelpunkt der Untersuchung tritt.

Zu dem Ende werden zunächst drei Arten elementarer linearer
Transformationen eingeführt. Eine elementare lineare Transformation
erster Art 2^ ist definiert durch eine Charakteristik von der Form:

(291)

Si =

^.v

0

0

^^v

wo die p^ Größen c^,,, (/i,, v = 1, 2, ■ • , p) rationale Zahlen mit nicht
verschwindender Determinante und die c„, die durch den Wert dieser
Determinante geteilten Adjunkten der c sind. Da für diese Trans-
formation:

(292)

(f,,v = l,2,--,p)

also auf Grund der Gleichungen (IX) — (XII):

(293)

v=2^r-^^%> «,'v- =^ ^C,^C,.^,a^^^, {.,v' = l,2,...,p)

^i=\

1-1 = 1 |U'^ 1

1) Krazer und Prym, Neue Grundlagen etc. 11. Teil. Abweichend von
dem Folgenden wird dort als zweite elementare lineare Transformation jene
speziellere Transformation S^ eingeführt, bei welcher die Größen c , ^, ganze
Zahlen sind.

Die element. lin. Transf. erster, zweiter und dritter Art.

199

ist, so erkennt man durch Vergleichung mit dem IX. Satz pag. 67,
daß der Zusammenhang der ursprünglichen und der transformierten
Thetafunktion für die Transformation S^ durch die dortige Gleichung
(XV) bestimmt wird.

Eine elementare lineare Transformation zweiter Art ßg ist definiert
durch eine Charakteristik von der Form:

(294)

1 • • • 0

0

2^ =

0 • • • 1

1 • • • 0

^P + f^,y

0 • . • 1

wo die p'^ Größen Cp_^ , (ji, v= 1, 2, •••, p) rationale Zahlen sind,
welche den Bedingungen c^^^,^ „ = c^^,. ,, {^, v = \,2,--, p', fi < v)
genügen. Da für diese Transformation:

(295)

X.=

7t i, wenn ^i = v,
0, wenn ju. > v,

^,uv-ttfcr + Cp + ^,,^i,

{H,v = l,2,--,p)

also auf Grund der Gleichungen (IX) — (XII):

(296)

% == u^ , a,,V = ^vv-\- Cp+v,v'^''

(r, v'=l,2,--,p)

ist, so erkennt man durch Vergleichung mit dem XII. Satz pag. 76,
daß der Zusammenhang der ursprünglichen und der transformierten
Thetafunktion für die Transformation £2 durch die dortige Gleichung
(XXIV) bestimmt wird.

Eine elementare lineare Transformation dritter Art £3 ist endlich
durch die folgende Verfügung über die Transformationszahlen c^^ de-
finiert. Bezeichnen x, X, •••, q irgend q {q<^p) der p Zahlen
1, 2, • • •, p>] ^', ^', • • ■, g' die 2? — 3' übrigen, so ist für Sg:

(297)

>,p + /t + ^y ^p + n,/.'-

1 für ^ = X, X, ■ • •, Q,

S,^. = + 1, c^ + ^,,p+^ = + 1 für ft = x', A', • • -, ö',

wahrend alle übrigen Transformationszahlen c den Wert Null be-
sitzen. Durch Vergleichung mit (XVIII) sieht man, daß diese Trans-
formation £3 mit der Transformation B.^B;^ •• B identisch ist. Da
ferner für diese Transformation, wenn man der bequemeren Schreib-
weise wegen für x, X, ■■-, q die Zahlen 1, 2, •••, q, für x, A', • • •, (?'
die Zahlen g+1, q-\-2, ■•■,p wählt:

200 ^- 11- Krazer-Prymsche Zusammens. einer Transf. aus elementaren.

(298)

also ^) :

(299)

. j. — m, wenn (Ji = £,

''*^^''^' '"^0, wenn fi^s,

ni, wenn ^ = 'r}, j^

^"1^0, wenn ^i^rj, f"i = %i'

A. = (;r^r"^'<^

6 = 1

{jtif ' \^f wenn ??'= t?,

Ä =0 A ,= ^ ■' 11^

''' ' " 0, wenn rj'^rj,

/«,t' = l,2,- =,3 \

W ^' = 5 + 1, 2 + 2, ■ • -.W

und folglich auf Grund der Gleichungen (IX) — (XII):

, Tti "^ (5) , 1 >yT "^ (5)

"qq d = l %q d = l d'= 1

(f = l,2,--, J) ('? = S+l,? + 2, •-,?)

(300) <.=^«:e, <,=^5«?>.„

«99 %q 6 = 1

(f,.' = l, 2, •■•,s) (€ = 1,2, ■•■,9; .; = 9 + l, 9 + 2, ■■■,/))

1 9

_ J^ V V .(^)

"'qq 6 = 1 d'=l

«--' = «""' --mZj ^ «rf'd'«<J,«<f-,"

(>?, '7' = 9+l, 9 + 2, -^i))

ist, so erkennt man durch Vergleichung mit dem V. Satz pag. 108,
daß der Zusammenhang der ursprünglichen und der transformierten
Thetafunktion für die Transformation 2^ durch die dortige Gleichung
(VIII) bestimmt wird.

Aus Transformationen dieser drei Arten läßt sich nun jede be-
liebige lineare Transformation L zusammensetzen.

Nennt man eine lineare Transformation eine singulare, wenn
die sämtlichen p^ Elemente c +^, (ß, v = 1, 2, ■ • ■, p) des zweiten
Quadranten den Wert Null haben, so kann man zunächst eine
solche, wenn man beachtet, daß dann stets die Determinante
^+ c^i C22 • • • Cpp der p" Elemente c^^ (fi, v = 1, '2, ■ ■ -, p) des ersten
Quadranten von Null verschieden ist, und wenn man die durch den
Wert dieser Determinante geteilte Adjunkte von c mit c be-
zeichnet, in die Form:

J) Wegen der Bedeutung von a^^^ und or^'^l vergl. pag. 106.

Zusammensetzung einer belieb, lin. Transf. aus elementaren.

201

(301)

S^

^A^v

0

S + /',v

^.u V

bringen und der Gleichung:

(302) S

%^

0

0

sv

1 • . 0
0 ••• 1

0

p

1 ••• 0
0 ••• 1

entsprechend, aus einer elementaren linearen Transformation erster
und einer solchen zweiter Art zusammensetzen.

Handelt es sich weiter um die Zusammensetzung einer nicht
singulären linearen Transformation L, aus elementaren, so betrachte
man zuerst den Fall, daß die Determinante der ^^ Elemente c ^j,
{jXy V = 1, 2, • • •, /?) des zweiten Quadranten von Null verschieden ist.
Bezeichnet man dann die durch den Wert dieser Determinante ge-
teilte Adiunkte von c„ „ , „ mit c„ „ , „, so kann man die Trans-
formation L zunächst in der Form:

(303)

^/',^ + '

0

^..

^^',i'+''

1 ••• 0

0

0 •■• 1

_1 . ..

0

0

0 ...

-1

1 ■•• 0

0

0 • • • 1

1 ••• 0

f^,.v

....

0 ••• 1

wobei zur Abkürzung:

(304) c

p

y^f ^p + iu,p + a ^y,p + a

(f,,v = l,2,--,p)

gesetzt ist, aus einer singulären linearen Transformation, der zum
speziellen Werte q=p gehörigen elementaren linearen Transformation
dritter Art und einer elementaren linearen Transformation zweiter Art,
und daher auf Grund der Gleichung (302) weiter in der Form;

202 V. 11. Krazer-Prymsche Zusammens. einer Transf. aus elementaren.

(305)

^fhp+^

0

0

*^^.p+>

1 ••• 0

0

0 ••• 1

p

1 ..- 0

0 ••• 1

1 ••• 0

0

0 ••• 1

_1 ...

0

0

0 ...

-1

1 .•• 0

0

0 ••• 1

1

... 0

p

^ ^p + lu,p + a^r,p + o

a = l

0

... 1

aus lauter elementai-en linearen Transformationen zusammensetzen^).
Der Fall, daß die Determinante der ^^^ Zahlen c„^^^^ (fi, i/= 1,2, •.•,|?)
verschwindet, wird am einfachsten auf den Fall, wo diese Determi-
nante von Null verschieden ist, folgendermaßen zurückgefühi-t. Für
die Matrix:

(306)

6i 1 C-,

^21 ^22

l,2i»

-2,2p

^pX ^p2

^p,2p

1) Für die ganzzahlige lineare Transformation im Falle p = 1 lautet diese
Zusammensetzung :

(307)

Ci

ß

=

1

T

0

1

0

0

1

1

0

7

S

0

ß

aß

1

— 1

0

s

ß

1

und es entspricht den vier auf der rechten Seite stehenden Transformationen
der sukzessive Übergang von dem ursprünglichen Thetamodul a zu den Modulen

ß-a, ßA, 3--T , -— • -1 — —ni = a', in Übereinstimmung mit dem von Herrn
pA ß A ß

Gordan (vergl. pag. 192) eingeschlagenen Verfahren der Konstantenbestim-

muug.

Zusammensetzunff einer belieb, lin. Transf. aus elementaren

203

nenne man Hauptdeterminanten jene 2p Determinanten j9*™ Grades

(308)

'^1 a n i'i

^2a ^2(i

ia ^p,i

bei denen keine zwei der Indizes a, ß, ■ ■ ■, e einander kongruent
nach dem Modul p sind. Man kann nun leicht beweisen, daß nicht
alle 2p Hauptdeterminanten verschwinden können; denn wären alle
Hauptdeterminanten Null, so wäre es auch die Determinante:

(309)

^21 "^1 ~T~ ^2,p + l Vi ^22^2 > ^2, p + 2 1^2

^Ip^p ~l~ ^l,2p?/p
^2p^p 1 ^2,2 pVp

Sl ^1 ' ^P,P + ^ y^ ^i»2 -^2 1 ^p, p + 2 Ü/2 ■ ■ ■ ^pp-^p "T ^pjipVp

für jeden Wert der Größen x und y. Nun besitzt aber nach dem
in § 3 Bemerkten die Determinante A ^ = ^ + A.^^ ^22 ' * ' ^pp ^^^
dort unter (VH) definierten Größen A^^^, stets einen von Null ver-
schiedenen Wert. Nimmt man den möglichen speziellen Fall, wo alle
Thetamodulen tt,^ , = 0 sind, sobald ^ > ^' ist, so wird die Determi-
nante (309) für die Werte:
(310) ^,, - ni, y^ = a^,^ (/.=i. 2, . . . ,p)

mit der Determinante A^4 identisch, besitzt also für diese Werte der
Größen x, y jedenfalls einen von Null verschiedenen Wert. Damit
ist aber bewiesen, daß von den 2p Hauptdeterminanten der Matrix
(306) jedenfalls eine von Null verschieden ist.

Beachtet man nun, daß durch Zusammensetzung irgend einer
Transformation T mit der Transformation Sg eine Transformation
SgT entsteht, welche sich von T dadurch unterscheidet, daß die Ele-
mente der x*®^ Vertikalreihe von T mit denen der p -\- x^^^, die Ele-

mente der A*®'' Vertikalreihe mit denen der p -f A*

die Elemente

der Q^^'^ Vertikalreihe mit denen der p + q^^^ vertauscht sind, nach-
dem man zuvor jedesmal die an letzter Stelle genannten sämtlich
mit — 1 multipliziert hat, so erkennt man, daß sich zu jeder linearen
Transformation L eine Transformation Sg so bestimmen läßt, daß in
der Transformation L' = 2^L die Determinante der p^ Zalen c^'p+v
(u, V = 1, 2, ■■ ■, p) von Null verschieden ist. Dann kann man aber
diese Transformation L' und damit auch die Transformation
L = Q~ i' = Sg L' nach dem Obigen aus elementaren linearen Trans-
formationen zusammensetzen.

204 ^- 11- Krazer-Prymsche Zusammens. einer Transf. aus elementaren.

Damit ist bewiesen, daß jede lineare Transfonnation L aus ele
mentaren linearen Transformationen der oben bezeichneten drei Arten
zusammengesetzt werden kann; beachtet man dann noch, daß nach
dem oben Bemerkten für jede elementare lineare Transformation
das Transformationsproblem der Thetafunktionen durch Formeln des
zweiten und dritten Kapitels gelöst ist, so erkennt mau zugleich, daß
man auf dem angegebenen Wege zur vollständigen Lösung des Trans-
formationsproblems der Thetafunktionen für jede lineare, ganzzahlige
oder nichtganzzahlige Transformation gelangt. Herr Prym und ich
haben a. a. 0. im sechsten Abschnitte des zweiten Teiles auf diese
Weise die Formel für die allgemeinste lineare Transformation her-
gestellt.

Eine zu einer beliebigen Ordnung w = — gehörige nichtlineare

Transformation T kann endlich aus den zwei speziellen nichtlinearen
Transformationen:

(311) P =

n, ■■- 0

0

0 . • • Ml

1 •■• 0

0

0 ••• 1

, Q =

i...o

0

0 . . . i

«2

1 ■•• 0

0

0 ... 1

von den Ordnungen n^ und — und der linearen Transformation:

«2

1

Hl 9^

L =

(^oiz;

'^2 ^p + .u, y

p+,ihp+^

in der Form:

(313)

T =

QLP

zusammengesetzt werden, und es treten daher zu den elementaren
linearen Transformationen S^, ßg? ~3 ^^^^ ^^^ elementare nichtlineare
Transformationen die Transformation:

Zusammensetzung einer nicMlinearen Transformation.

205

(314)

N =

?i ■■■ 0

0

0 ■■■ n

1 •• 0

0

0 ••• 1

von der Ordnung n und die zu ihr inverse:

(315)

N-

A...0

n

0

o...i

n

1 ••• 0

0

0 ••■ 1

von der Ordnung ~ hinzu. Da für die Transformation N:

(316)

also:

(317) <-^, <„. = ^ h.'-,v.„)

. HTCi, wenn u = v, -r.

*" 0, wenn fi > v, ^ ^

ist, so erkennt man, daß der Zusammenhang zwischen den ursprüng-
lichen und transformierten Thetafunktionen für die Transformationen
N und N~^ durch die Formeln (154) und (152) bestimmt wird.
Die ganzmhlige Transformation w*®' Ordnung:

(318)

bei der die c^^ (a, /3 = 1, 2, • ••, 2p) also jetzt ganze Zahlen be-
zeichnen, ist nach dem Obigen in der Form:

^ixv

^ti,P + r

^p+f',r

n

206 V. 11. Krazer-Prymsche Zusammens. einer Transf. aus elementaren.

(319) T =

^/^v

^f',P + ^

n

n

^P + !■',■>'

^p + ,">p + ''

w ■ . • 0

0

0 ■•■ n

1 ■• 0

0

0 ••• 1

aus einer linearen Transformation:

(320)

n

n

^P + IU,V

c

p + H,p+v

und der Transformation N (314), die zu ihr gehörige Thetaformel
also aus den zur Transformation L und zur Transformation N ge-
hörigen zusammenzusetzen. Es entspricht diese Zusammensetzung
durchaus dem im § 7 Bemerkten; die Formel für die Kneare Trans-
formation L ist nämlich keine andere als die Formel (147), die
Formel für die Transformation N aber ist, wie schon oben bemerkt,
identisch mit der Formel (154). Unter Beschränkung auf den Fall
p = 1 habe ich^) die Herstellung der Formel für die allgemeine
ganzzahlige nichtlineare Transformation auf diese Weise vollständig
durchgeführt. Man wird nur dazu bemerken, daß man entsprechend
dem pag. 170 Bemerkten bezüglich der Darstellung der dort in der
Formel N^ pag. 485 auftretenden Konstanten C durch Thetafunk-
tionen einen weiten Spielraum hat und nicht an den angeschriebenen
speziellen Ausdruck gebunden ist. Für beliebiges p ist auf die Arbeit
von Herrn Prym und mir^) zu verweisen; dort wird im sechsten
Abschnitt des zweiten Teiles die zur allgemeinsten linearen Trans-
formation gehörige Thetaformel, Formel (i) pag. 118, durch Zusammen-
setzung dieser Transformation aus elementaren linearen Transforma-
tionen gewonnen. Um daraus die der hier vorliegenden linearen Trans-
formation (o20) entsprechende Thetaformel zu erhalten, hat man in
der eben genannten Formel r ^ n und s = 1 zu setzen, wodurch sich

1) Krazer, Die Transformation der Thetafunctionen einer Veränderlichen.
Zweite Abhandlung. Math. Ann. Bd. 43. 1893, pag. 457.

2) Krazer und Prym, Neue Grundlagen etc.

Zusammens. einer ganzzahligen nichtlin. Transformation. 207

wesentliche Vereinfachungen insbesondere durch den Wegfall der
Summe ^[t] ergeben. Setzt man dann die so gewonnene Formel mit
der der Transformation N entsprechenden Formel (154) zusammen,
so erhält man die in Rede stehende Formel für die ganzzahlige nicht-
lineare Transformation (318), wie sie von Herrn Prym und mir
a. a. 0. pag. 131, Formel {Aj), angegeben ist.

Später habe ich^) eine andere Methode für die Herstellung der
Formel für die nichtlineare Transformation angegeben, die zu ein-
facheren Ausdrücken für die Konstanten zu führen scheint.

1) Krazer, Die quadratische Transformation der Thetafunctionen. Math.
Ann. Bd. 46. 1895, pag. 442.

¥

Sechste.? Kapitel.
Die komplexe Multiplikation.

§1.

Die komplexe Multiplikation
der Thetafuuktioneu einer Veränderlichen.

Es sei f{v) eine einwertige, mit den Perioden a^, a.^ doppelt-
periodische Funktion der komplexen Veränderlichen v, die zudem im
Endlichen keine wesentlich singulare Stelle besitze. Nach dem
IV. Satz pag. 116 ist dann die Funktion f{niv), wo m eine Konstante
bezeichnet, mit f{v) durch eine algebraische Gleichung verknüpft,
sobald die Periodensysteme der Funktion f{v) sämtlich auch Perioden-
systeme der Funktion f(inv) sind, d. h. sobald es ganze Zahlen
^} ß} Y} ^ gibt, für welche die Gleichungen:

m 03^ = CC G9j + /3 «2 J

(1)

bestehen. Aus diesen Gleichungen folgt aber durch Elimination
von m:

(2) ßal -{- {a — d) a^^G}^ ^ ycof = 0.
Ist nun diese Gleichung identisch erfüllt, d. h. ist

(3) ^ = 0, a = d, y = 0,

so ergibt sich aus (1) auch

(4) m = a = d-^

es ist also m eine ganze Zahl, und es liegt die gewöhnliche Mul-
tiplikation vor; ist dagegen die Gleichung (2) nicht identisch erfüllt,
so liefert sie für das Periodenverhältnis:

(5) r = ^
die quadratische Gleichung:

Reelle u. komplexe Multiplikation doppeltper. Funktionen. 209

(6) ßr^-\-{a-d)r-y = 0,

für T selbst also:

•^V ^— 2ß 2ß '

wenn

(8) ad-ßy = n

gesetzt wird. Da t nicht reell sein darf, so muß:

(9) {a + d)2 - 4w < 0

sein, woraus für n insbesondere folgt, daß es positiv sein muß; und wenn
die Reihenfolge von a^ und Og so gewählt wird, daß der imaginäre
Teil von r positiv ist, so hat man in der Gleichung (7) die Wurzel

als + i]/4w — (a + ^f auszuziehen, je nachdem ß positiv oder negativ

+
ist. Aus der ersten Gleichung (1) folgt aber jetzt, indem man linke

und rechte Seite durch «^ dividiert:

(10) m = a -\- ßt = —- — — ;

es ist also m eine komplexe Größe, deren Modul ]/w beträgt. Deshalb
nennt man die zwischen f (v) und f (mv) bestehende Beziehung
komplexe Multiplikation.

Damit eine komplexe Multiplikation stattfinde, ist also notwendig,
daß das Periodenverhältnis t einer quadratischen Gleichung:

(11) Ax^ + Br+C=0

mit ganzzahligen Koeffizienten Ä, B, C genüge, für welche zudem
die Größe:

(12) i) = 4^(7-52

einen positiven Wert besitzt. Diese Bedingung ist aber auch hin-
reichend und man erhält die zugehörigen Zahlen a, ß, y, d, n auf
die allgemeinste Weise, indem man:

(13) ß=pÄ, a-ö=pB, y = -pC

setzt, wo p eine ganze Zahl ist. Setzt man dann noch:

(14) a + ö = q,
so wird:

(15) n = \{q^- p'B') -\-p'ÄC=l {<f + p^B)
und:

(16) .--^+;Vg, « = i+|V5.

Kraz er, Thetafunktionen. 14

210 ^- 1- Die komplexe Multiplikation der Thetaf. einer Veränderlichen.

Die eingeführten ganzen Zahlen p, q sind dabei nur an die Bedingung
geknüpft, daß

(17) q-{-pB = 0 (mod. 2)

ist, damit sich für a und d ganze Zahlen ergeben. Ist also B ge-
rade, so muß auch q gerade sein, während p beliebig bleibt; ist B
ungerade, so müssen p und q entweder beide gerade oder beide un-
gerade sein. Man kann, da mit B auch Z) gleichzeitig gerade und
ungerade ist, auch sagen, daß für D ^ 0 (mod. 2) auch g = 0 (mod. 2),
für Z) = 1 (mod. 2) dagegen q^p (mod. 2) sein muß. Man hat
also das Resultat:

I. Satz: Die Gleichungen:

(I) wcj^ = a»! + ßa^, wc?2 = y^i + ^«,
sind hei ganzzahligem m durch die Annahme:

(II) a = d = m, /3 =- y = 0

für beliebige Werte der Perioden ta^, Og ^^ erfüllen (reelle Midtipli-
Jcation). Danehen existieren für singulare Werte der Perioden o noch
hei komplexen Werten von m Lösungen (komplexe Midtipliliation) ;
dazu ist nottvendig und hinreicJiend , dafJ die Perioden to^, «g eine)'
homogenen quadratischen Gleichung:

(in) Aal + Bco^co^ + Cojä = 0

mit ganzzahligen Koeffizienten A, B, C genügen, für welche zudem

(IV) D^4.AC-B^

positiv ist. Das Periodenverhältnis r = (»2 : «i sowie der Multiplikator
m sind dann komplexe Zahlen von der Form r -\- ^ ]/s , wo r und s
rationale ZaMen sind.

Geht man jetzt zu der Thetafunktion ^(tt)^ über, deren Argu-
ment u und Modul a durch die Gleichungen:

/^ o\ VTci (O^Ttt

(18) U = , a = -^ = tTTl

bestimmt sind, so sagt die aus (1) folgende Gleichung:

(19) a= ' . ' m

aus, daß in dem vorliegenden Falle für die Transformation:

a ß

(20)

der ursprüngliche Thetamodul a und der transformierte a einander

IJbergang zu den Tbetaf. Prinzipale Transformation ders.

211

gleich sind; um dies auszudrücken, möge die Transformation T eine
prinzipale genannt werden. Der Inhalt des I. Satzes läßt sich dann
dahin aussprechen, daß prinzipale Transformationen und zwar für alle
Thetafunktionen, mit beliebigen Modulen, die Transformationen:

(21)

sind, wo m eine beliebige ganze Zahl bezeichnet. Eine solche Trans-
formation ist, wenn m eine positive ganze Zahl ist, eine Multiplikation
M der Thetafunktion; im Falle, daß m eine negative ganze Zahl
— n ist, setzt sie sich gemäß der Gleichung:

m

0

0

m

— n

0

=

n

0

-r

0

0

~n

0

n

0

-1

I

{22)

aus einer Multiplikation und der Transformation:

(23) ^(_,,)^ = ^(,,)^

zusammen. Daneben gibt es dann noch für Thetafunktionen mit
singulären Modulen prinzipale Transformationen im eigentlichen Sinne,
welche der komplexen Multiplikation der doppeltperiodischen Funk-
tionen entsprechen, und bezüglich welcher der Satz gilt:

n. Satz: Soll für die ThetafunTxtion ^{ii)^ eine prinzipale Trans-
formation im eigentlichen Sinne existieren, so ist dazu notivendig und
hinreichend, daß die Größe:

(V)

X =

einer quadratischen Gleichung:

(VI) Ax^ + Bx + C = 0

mit ganszahUigen Koeffizienten A, B, C genüge, für welche zudem

(VII) D = 4AC-B'^

positiv ist. Zu dieser Tlietafunlition mit dem Modul:

(vni)

a =

B + i^D

2A

ni

existieren dann unendlich viele prinzipale Transformationen, deren
Transfarmationszahlen a, ß, y, d und Grad n durch die Gleichungen:

u^^{q+pB), ß=pA, r=^-pC, d = i(q-pB),

n = i{q'+p'D)

14*

(IX)

212 VI. 1. Die komplexe Multiplikation der Thetaf. einer Veränderlichen.

bestimmt sind, ivo p, q beliebige ganze Zahlen bezeichnen, welcJie nur
der Bedingung unterworfen sind, daß a und d sich als ganze Zahlen
ergeben.

Umgekehrt existiert zu einer Transformation w*®" Grades:

sobald sie der Bedingung:

(XI) (a 4- äf - 4w < 0

genügt, stets eine ThetafunMion ^{u)^, für ivelche diese Transformation
eine prinzipale ist; der Modul a dieser ThetafunMion ist durch die
Gleichung:

(XU)

a

ß

y

d

— {a — d)±i y4w — (a + *)«

2ß

ni

eindeutig bestimmt, wobei die Wurzel positiv oder negativ auszuziehen
ist, je nachdem ß positiv oder negativ ist.

So ist insbesondere die lineare Transformation:

(24)

eine prinzipale für die Thetafunktion mit dem Modul a = — :r; ferner
sind die linearen Transformationen:

0

1

-1

0

0

1

7

1

1

-1

1

-1

0

(25)

prinzipale für Thetafunktionen mit den Modulen a = — —- ti + y'

Mit Rücksicht auf die jetzt folgenden Untersuchungen über die
prinzipale Transformation der Thetafunktionen von beliebig vielen
Variablen wird man noch bemerken, daß der Wert (10) des Mul-
tiplikators 7n = a -\- ßr die eine Wurzel der Gleichung:

(26)

a — m ß
y ö — m

= 0

ist, deren andere Wurzel durch den dazu konjugierten komplexen
Wert geliefert wird, und daß die soeben unter (XI) ausgesprochene

Beispiele. Historisches. 213

charakteristische Eigenschaft der prinzipalen Transformation damit
zusammenfällt, daß diese Gleichung nur für komplexe Werte von m,
deren Modul Yn beträgt, erfüllt sei.

Die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen findet sich
bereits bei Abel und Jacobi. Abel stellte im J. für Math. Bd. 2.
1827, pag. 286^) den Satz zum Beweise

„Theoreme. Si l'equation differentielle separee

adx dy

V« + /Jrc + y x* + 8x^ + bx* ~ Vcc-\-ßy-{- yy* + 8y* + ey* '

oü K, j3, y, d, £, a sont des quantites reelles, est algebriquement inte-
grable, il faut necessairement que la quantite a soit un nombre rationnel."

Hierzu bemerkte Jacobi^): „II existe un nombre infini d'echelles de
modules poui- lesquelles a peut aussi avoir la fox*me a -\- h y — 1 ■ • •
Cette nouvelle methode pour la multiplication est encore remarquable,
parcequ'elle a lieu dans les cas, oü. la transformation rentre dans la
multiplication, c"est-a-dire oü le module transtbrme devient egal a celui
d'oü Ton est parti."

Unterdessen hatte aber schon Abel*) die Theoreme ausgesprochen:
Theoreme I. En supposant a reel, et l'equation integrable alge-
briquement, il faut necessairement que a soit un nombre rationnel.

Theoreme II. En supposant a imaginaire, et l'equation integrable
algebriquement, il faut necessaii'ement que a soit de la forme m + ]/ — 1 • yn ,
oü m et n sont des nombres rationnels. Dans ce cas la quantite jtt*)
n'est pas arbitraire; il faut qu'elle satisfasse a une equation qui a une
infinite de racines reelles et imaginaires. Chaque valeur de ft satisfait
a la question."

Seitdem ist die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen
der Gegenstand zahlreicher Untersuchungen geworden. Da diese aber
ausschließlich zahlentheoretischer Natur sind, indem sie die merkwürdigen
Gesetze untersuchen, welche die als singulare Modulen auftretenden alge-
braischen Zahlen beherrschen, fallen sie außerhalb der Grenzen, welche
für diese Darstellung gesteckt sind^).

1) Abel, Theoremes et problemes. Ouevres compl. Bd. 1. 2. Aufl.
Christiania 1881, pag. 618.

2) Jacobi, Notices sur les fonctions elliptiques. 1828. Ges. Werke Bd. 1.
Berlin 1881, pag. 254.

3) Abel, Recherches sur les fonctions elliptiques. 1828. Oeuvres compl.
Bd. 1. 2. Aufl. Christiania 1881, pag. 377.

4) Die Wurzel ist hier in der Form "{/(l — x^) (1 -(- fta;*) vorausgesezt.

5) Vergl. dazu Weber, Elliptische Functionen und algebraische Zahlen.
Braunschweig 1891, pag. 327.

214 VI. 2. Einige Sätze aus der Lehre von den bilinearen Formen.

§2.
Einige Sätze aus der Lehre von den bilinearen Formen.

Ein System von w^ Größen: ,

^wl> ^>i2' ■ ■ ■? ^tin}

die in w Horizontalreihen und n Vertikalreihen angeordnet sind, faßt
man bequem in dem Bilde der hilmearen Form:

n n

(28) ^=2^«..^.^v

,<, = ! r = l

zusammen; dabei kann für beides, Größensystem und bilineare Form,
dasselbe Zeichen A dienen, wie man im folgenden tatsächlich unter
diesem Zeichen fast immer ebenso gut das eine wie das andere ver-
stehen kann. Eine Gleichung:

(29) A^B

zwischen zwei Formen (oder Größensystemen) A und B ersetzt die
n^ Gleichungen:

(30) «,.. = &^V (^,.=1.2,..,.)

Unter der Summe:

(31) C = A^B

zweier Formen versteht man jene Form, deren Koeffizienten durch die
Gleichungen :

(32) c^^^, = a^^^.^h^^^ (,,,v=i,2,...,n)

bestimmt sind. Bezeichnet r irgend eine Größe, so wird mit:

(33) C=rA
die Form mit den Koeffizienten:

(34) c,,, = ra^,^ (^,v=i,2,...,n)

bezeichnet. Unter dem Produkte:

(35) C = AB

zweier Formen versteht man jene Form, deren Koeffizienten durch
die Gleichungen:

I

I

Summe u. Prod. zweier Formen; konjugierte u. reziproke Form. 215

n

(36) <^^v = 2 ^y-^y-- ^>,r=i,2,...,n)

x = l

bestimmt sind. Unter J versteht man speziell die Form:

n

(37) J-S'^.y.'

deren Koeffizienten also die Werte:

/QQN • 1^ wenn ft = v,

(38) Vv=A ^ (^,v = l,2,...,n)

'0, wenn ft > v,
besitzen. Man nennt zu Ä Tionjugiert die Form:

n n

,U=1 1=1

Sind dann A', B', C die zvl A, B, C konjugierten Formen und be-
steht zwischen A, B, C die Gleichung (35), so ist:

(40) C'=B'A'.

Man nennt unter der Voraussetzung, daß die Determinante

('il) 1^1 =^±«ll«22 •••«„„

der Form A nicht Null ist, zu A reziprok die Form:

n n

(42) ^^-' - 2 2 ^^.''.y^'

ft = J v=l

wo a^^ die durch den Wert der Determinante | A [ geteilte Adjunkte
von a^ in dieser Determinante bezeichnet; es ist dann:

(43) AA-' = A-'A==J.

Mit Hilfe der reziproken Form kann jetzt auch die Division der
Formen ausgeführt werden. Aus (35) folgt nämlich:

(44) A^CB-"^
und:

(45) B = A-W;
weiter ergibt sich:

(46) C-'==B-^A-K

Sind die Koeffizienten einer Form A Funktionen eines Parameters r,

so ist ^ eine Form mit den Koeffizienten -^J^- Es ist dann:
ör Cr

(47) l-^iAB)-ytB+Af

216 VI. 2. Einige Sätze aus der Lehi-e von den bilinearen Formen.

cJ

und speziell, da ^ = 0 i

st:

(48)

^^^-) = |^^- + ^^^=0;

dr

dr

daraus ergibt sich aber die für den Beweis der Sätze IV und V
nötige Relation:

(49)

Die Determinante:

dA-

dr

er

(50)

A - rJ\ =

fli, — r a

12
«22 - ^

heißt die duirakteristische Determhiante oder die charalderistisclie Func-
tion der Form A. Sie ist eine ganze rationale Funktion n*®"" Grades
von r, die gleich Null gesetzt die charakteristische Gleichung:

(51) |^-rJl = 0

der Form A liefert. Es sei a eine m-fache Wurzel dieser Gleichung,
also \A — rJ durch (r — a)™ teilbar. Haben dann alle Unterdeter-
minanten n — V^^ Grades von \A — rJ\ den Faktor (r — a)"^, alle
Unterdeterminanten n — 2^^^ Grades den Faktor (r — a)"% • • •, so
nennt man die Größen:

(52) (r - a)\ {r — aj^ • ■ ■, (r - a)

'n-2

{r-ay"-\

wo:

m«

ni^

m.

n-l} ^n-\

e„ 1 = m^

(53) e = m — m^ , e^ = m^^

ist, Elementarteiler der charaMeristisclien Funktion \A — rJ\. Die
Reihe der Exponenten der Elementai-teiler genügt den Bedin-
gungen i):

(54) e^ei^---^e„_2^e„_i.

Zu jeder Wurzel der charakteristischen Gleichung gehört auf diese
Weise eine Reihe von Elementarteilern; die Reihe -der unter (52)
angeschriebenen wird man zum Unterschiede von anderen Reihen die
Reihe der zur Wurzel r = a gehörigen Elementarteiler nennen.

1) Einen Beweis dieses Satzes hat Herr Frobenius: Über die Elementar-
teiler der Determinanten. Berl. Ber. 1894, pag. 31 gegeben; derselbe ist re-
produziert bei Muth, Theorie und Anwendung der Elementarteiler. Leipzig
1899, pag. 6u. f. , wo sich auch weitere Literatm'angaben über den Satz finden.

Charakteristische Funkt.; Elementarteiler; äquival. u. ähnl. Formen. 217

Eine Form B heißt einer Form A äquivalent, wenn zwei Formen
P, Q mit nicht verschwindenden Determinanten existieren, welche die
Gleichung:

(55) B^PAQ

erfüllen. Indem man hier P, Q nicht als bilineare Formen auffaßt,
sondern die Substitutionen P', Q:

n 71

(56) ^^ = 2p>c^.^■J, 2/v = ^^v;.y/; (,.-,. ■=1,2,..,.)

betrachtet, vermittelst welcher in der Form A an Stelle der bisherigen
Variablen x, y neue x'y y' eingeführt werden, kann man den Inhalt
der Gleichung (55) dahin aussprechen, daß die Form A durch
die Substitutionen P', Q in die Form B übergehe. Aus der Glei-
chung (55) folgt auch:

(57) A^P-'BQ-';

es ist also auch die Form A der Form B äquivalent. Ist speziell
Q==P-\ also:

(58) B=PAP-\ A = P-'BP,

so heißen die Formen A und B ähnlich. Es ist dann auch für be-
liebiges r:

(59) B - rJ= P{A - rJ)P-\ A-rJ= P'Hß - rJ)P.

Daraus folgt aber, daß jede Unterdeterminante v^^ Grades der De-
terminante \A — rj\ eine homogene lineare Funktion der Unter-
determinanten v^^^ Grades der Determinante \B — rJ\ ist und um-
gekehrt, daß also der größte gemeinsame Teiler der Unterdetermi-
nanten v^^ Grades von \A — rj\ mit dem größten gemeinsamen
Teiler der Unterdeterminanten v^^^ Grades von \B — rJ\ zusammen-
fällt, und hieraus, daß die charakteristischen Funktionen \A — rJ\
und B — rJ\ die gleichen Elementarteiler besitzen.

III. Satz: Sind die Formen A und B ähnlich, so stimmen ihre
charakteristischen FunMionen (p(r) = \A — rj\ und ^{r) = \B — rj\
in den Elementarteilern iiberein.

Jene Form, welche aus A hervorgeht, wenn man jeden Koef-
fizienten durch den konjugirten komplexen Wert ersetzt, soll mit A^
bezeichnet werden-, ebenso soll, wenn m irgend eine Größe bezeichnet,
Mq oder m° die dazu konjugierte komplexe Größe bezeichnen; ist m
reell, so ist m^ = m.

Unter den Substitutionen spielen jene, P, eine wichtige Rolle,
für welche Pq' = P~ \ also

(60) B^B = J

218 VI- 2. Einige Sätze aus der Lehre von den bilinearen Formen.

ist. Für den Fall, daß B reelle Koeffizienten hat, ist B^ = B', also die
Substitution B eine orthogonale. Für Formen B gelten nun ebenso
wie für die speziellen reellen orthogonalen Formen die beiden Sätze ^):

IV. Satz: Die Wurzeln der cliaraMeristiscIien Gleichung
\B — rJ\ = Q einer Form B, welche der Bedingung B^'B = J genügt,
haben alle den Modul 1.

V. Satz: Die charakteristische Funktion \B — rJ\ einer Form B,
ivelche der Bedingung B^Pi = J genügt, liat lauter lineare Elementar-
teiler.

Im folgenden treten bilineare Formen:

n n

auf, bei denen je zwei Koeffizienten a . und a, konjugierte kom-
plexe Größen und die Koeffizienten a reell sind. Setzt man für
die X und y solche Werte, daß x und y konjugierte komplexe
Größen sind, so ist der Wert von A reell. Eine solche Form genügt
den Bedingungen:

(62) A. = ^'; A'=^

und ist durch jede dieser beiden Gleichungen charakterisiert. Führt
man an Stelle der bisherigen Variablen x, y neue x',' y' ein mit
Hilfe der Substitutionen:

n n

(63) ^/.=2i>Jx<^ yr = ^Pv;.y)., (/',v=i,2,...,«)

z=i ;.=i

wo p^ , die zu ^,, , konjugierte komplexe Größe bezeichnet, so geht
aus der Form A eine Form:

(64) B = P^AP

derselben Art wie A hervor, bei welcher also wiederum h^-^ und 6;^
konjugierte komplexe Größen, die h.^.^ reelle Größen sind.

Jede Form A kann so auf unendlich viele Weisen in die
Normalform :

(65) N==^x.^y.^-^x^_y,

y. = l l = q + l

1) Der Beweis der Sätze IV und V wird für die hier vorliegenden Formen
R genau in derselben Weise geführt, wie für die reellen orthogonalen Formen;
diesen aber siehe bei Frobenius, Über lineare Substitutionen und bilineare
Formen. J. für Math. Bd. 84. 1878, pag. 51 und 53; vergl. auch Muth, Theorie
und Anw. d. Elementart., pag. 175; femer Löwy, Über bilineare Formen mit
konjugiert imaginären Variablen. Hab.- Schrift. Freiburg 1898 und ISTova Acta
Leop. Bd. 71. 1898, pag. 377.

Formen A, für welche Aq = A; Normalform; definite Formen. 219

transformiert werden. Wie dies aber auch ausgeführt wird, immer
haben die Zahlen q und r dieselben Werte. Man nennt r den Rang,
q den Trägheitsindex der Form Ä. Da aus

(66) PoÄP = N

durch Übergang zu den konjugierten komplexen Formen:

(67) P'APo = N

folgt, so sind Ä und Äq auf die nämliche Normalform reduzierbar,
besitzen also gleichen Rang und gleichen Trägheitsindex; daraus folgt
insbesondere, daß, wenn die Koeffizienten a = 0, die Koeffizienten
a^y = — a^„ aber rein imaginär sind und infolgedessen Äq = — Ä ist,
r eine gerade Zahl und q = ^r sein muß.

Eine Form A, die für konjugierte komplexe Werte der Variablen
X., und «„ nicht verschwindet, ohne daß die Veränderlichen sämtlich
Null sind, heißt eine definite Form und zwar eine positive, wenn sie
beständig positiv, eine negative, wenn sie beständig negativ ist.
Damit eine Form definit sei, ist notwendig und hinreichend, daß
r = n und entweder, wenn die Form positiv sein soll, q = n, oder
wenn sie negativ sein soll, ^ = 0 sei. Sie läßt sich also dann stets
in eine der beiden Normalformen:

n

(68) ±J=±^x^y^^

transformieren und es läßt sich daher auch umgekehrt eine Form P
mit nicht verschwindender Determinante finden, welche die Gleichung:

(69) P,'JP = P,'P=±Ä

erfüllt. Ist dann S eine Substitution, welche zusammen mit der kon-
jugierten komplexen Sq die Form Ä in sich transformiert, für welche
also:

(70)

S^'ÄS = A

ist, so ist:

(71)

S,'P,PS=±Ä = P,'P

und daher:

(72)

p;-'s,'p,'psp-' = j.

Setzt man

also:

(73)

PSP-' = R,

so wird:

(74)

PoS,P^^ = R„ P^-^S,'P,'=R,'

und die Gleichung (72) sagt aus, daß:

220 VI. 3. Die kompl. Multiplikation bei den Thetaf. mehrerer Veränderl.

(75) R^'R = J

ist. Nach (73) sind aber die Formen R und S ähnlich und es haben
daher ihre charakteristischen Funktionen alle Elementarteiler gemein-
sam. Infolgedessen gelten die Sätze IV und V auch für die Form S
und man hat den Satz bewiesen:

VI. Satz: Wenn eine Substitution S zusammen mit der konjugierten
komplexen Sq eine definite Form Ä, in tvelcher a , und a^ für jedes
li und V konjugierte komplexe Werte besitzen, in sich selbst transformiert,
sodaß:

(XIII) S^AS=A

ist, so verschwindet ihre charakteristische Funktion \S — rJ\ nur für
solche Werte von r, deren Modul 1 ist, und besitzt ferner lauter
lineare Elementarteiler.

Der Inhalt dieses Paragraphen rührt von HeiTn Frobenius^) her

§ 3.

Die komplexe Multiplikation bei den Thetafuuktioneu
mehrerer Veränderlichen.

Mit /"((v)) sei eine 2^-fach periodische Funktion von der pag. 128
betrachteten Art bezeichnet, deren 2p Periodensysteme a^^, ■■■, co^^
{a=l,2, ■••, 2p) also den dort angegebenen Bedingungen (2)— (4)
genügen, wobei man sogleich noch für das folgende bemerke, daß
die Ungleichung (4) auch, indem man die zu den o^ konjugierten
komplexen Größen:

(76) ^-ria-'^^a (« = 1,2,. ...2,)

einführt, in der Form:

p

('?'?) i^{^,<^,-^p^A^)>^

?=i

geschrieben werden kann. Sollen nun die 2p Periodensysteme
^lay • • •> ^pa (« = 1; 2, • • •, 2p) der Funktion f{v-^ I • • • I ^^) sämtlich
auch Periodensysteme der Funktion f{m^'v^\---\mpV^ sein, wo
Konstanten bezeichnen, in welchem Falle dann nach

nh, ■•■, ^%

dem IV. Satz pag. 116 die Funktion f {{mv)) mit der Funktion
/"((t;)) und p — 1 anderen mit denselben Periodensystemen periodischen

1) Frobenius, Über lineare Substitutionen etc. J. für Math. Bd. 84. 1878,
pag. 1; und: Über die prinzipale Transformation etc. J. für Math. Bd. 95. 1883,
pag. 264.

Reelle und komplexe Multipl. 2j»)-fach period. Funktionen. 221

Funktionen durch eine algebraische Gleichung verknüpft ist, so
müssen ganze Zahlen c^ß (a, ß = 1, 2, ■ • -, 2p) existieren, für welche
die 2p^ Gleichungen:

2p
0^) *^V "/.a = ^ (^aß ^,uß (aZ\]i,..:,2p)

bestehen.

Die Gleichungen (78) sind entweder identisch erfüllt, indem

% = mg = • • • = m = m,

(79)

^11 ^22 ■ ■ ■ ^2p, 2 p *'*;

I

und für jedes von a verschiedene ß:

(80) C^ß = ^ {a,ß = i,2,-.,2p;a^ji)

ist, in welchem Falle die gewöhnliche Multiplikation vorliegt; oder
sie sind nicht identisch erfüllt; dann gelten sie nur für gewisse sin-
gulare Werte der w, und in diesem Falle soll die Beziehung zwischen
der Funktion f^mvjj und der Funktion /'((i;)) wieder komplexe Mul-
tiplikation genannt werden.

Durch die Gleichungen (78) wird eine Transformation der
Perioden a im Sinne der im vorigen Kapitel entwickelten Trans-
formationstheorie definiert, für welche die transformierten Perioden
die Werte:

besitzen. Daraus ergibt sich einmal, daß die in den Gleichungen (78)
auftretenden ganzen Zahlen c^^ die unter (II) pag. 131 und unter
(III) pag. 137 angegebenen Bedingungen erfüllen müssen; weiter aber
ergeben sich aus (81) bei jeder Transformation der hier vorliegenden

Art für
junkten

die Determinante C3 =
o'^^y wenn man

-5'±«i'i«2'2---

^PP

und

deren

Ad-

(82)

m^m^ •

• . nip = M

setzt,

die

Werte:

(83)

co' =

= Mo,

M

(f

, v = l, 2,

...,p)

und

aus

diesen sofort die

Gleichungen:

(84)

p
^=1

^'f^,P + o

p

-.1,2, ■■.,p)

tP + fJ

= %ol

diese aber sagen aus, daß für die hier vorliegenden Transformationen
(78) die transformierten Thetamodulen den ursprünglichen gleich
sind, daß diese Transformationen also in der Bezeichnung des ersten
Paragraphen prinzipale sind.

222 ^- 3. Die kompl. Multiplikation bei den Thetaf. mehrerer Veränderl.

In diesem Paragraphen soll nun noch eine notwendige Be-
dingung für die Koeffizienten c^ß der Gleichungen (78) abgeleitet
werden, d. h. eine Bedingung, die immer erfüllt ist, wenn den Glei-
chungen (78) überhaupt durch Perioden co genügt wird, oder mit
anderen Worten, wenn überhaupt Thetafunktionen existieren, für
welche die vorliegende Transformation eine prinzipale ist.

Sind die transformierten Modulen den ursprünglichen gleich, so
ergeben sich aus (XI) pag. 141 die Gleichungen:

p

o = l

und hieraus durch Übergang zu den konjugierten komplexen Größen:

p

(86) W = — — . "Vj.« a^ . (a,v=i,2,..,p)

Aus den Gleichungen (85) und (86) aber folgt zunächst:

^(^-^.--4-v-Bu.)

(87) r=i {^,,^i■=\,i,■ ^p)

p p

v = l ^ = 1

und, indem man für den zweiten Teil der auf der rechten Seite
stehenden Summe die Summationsbuchstaben v und q miteinander
vertauscht:

(88) ^ {Äu^^-r - ^;> B^j = -^22 ^.'< V ^^ («"^ + «^.)

r = l r = l o = l

P P

r = l t'=l

wenn wie immer t\,^, den reellen Teil von a^^, bezeichnet. Nun ist

aber andererseits:

p

(89)

'-/UV ^vfi •^' ~r X/ '^v,p + y."'iuy.}
y. = l

P
.UV -^c + v.u^^ I X I ^'n + v.D + x^uy.}

(,fi,v = l,i,--,p)

x = l

P

Kv- - Cvu ^i + y^, c..„ + .ö?,

P

(fi,v = l,2,--,p)

MV~ ^p + v,,u^^ + ^^ ^p + v,p + y.^ny.)

Notwend. Bedingung für die komplexe Multiplikation. 223

also:

P p

x=l »=1
p p

(90) + ^ ^ (Cv,uCp + v,p + x - Cp + ,,,„C,, p + J <..^%i

X = l V = l

p f p

z=l x'=l v = l

und man erhält durch Yergleichung von (88) und (90):
p p

(91) 2 -S^^.-^'v^v- = n^'r,,'- K,u- = i,V-,P)

v = l r'=l

Das in dieser Gleichung niedergelegte Resultat kann man folgender-
maßen aussprechen.

vn. Satz: Ist die Transformation T für die Thetafunktionen mit
den Modulen a^^. eine prinzipale, so geM die hilineare Form:

p p
(XIV) i? = ^^^v'^vy.-,

v=l v'=l

hei tvelclier r^.^. den reellen Teil von a^.^. bezeichnet, durch die Sub-
stitution S:

und die dazu Twnjugierte komplexe Sq:

p

(XVI) X. ^^^l'"^.

in sich selbst über; es ist also:

(XVII) S^'RS = R.

Beachtet man nun, daß die Form jR infolge der Konvergenz-
bedingung für die Thetareihe eine definite ist, so ergibt sich aus dem
VI. Satz weiter, daß die charakteristische Funktion von S lauter
lineare Elementarteiler besitzt und nur für Werte von r verschwindet,

deren Modul 1 ist. Indem man r = —=r setzt, erhält man das Resultat:

yn

224 VI. 3. Die kompl. Multiplikation bei den Thetaf. mehrerer Veränderl.

Vm. Satz: Für jede prinzipale Transformation T besitzt die
mr hilinearen Form:

(XVIII) ^-^^^^.■■'.y,

/ti = l r=l

gehörige cliardkteristische Funktion \A — zJ\, und daher auch die dazu
konjugierte komplexe Funktion \ä^ — zJ\ lauter lineare Elementarteiler und
sie verschwinden beide nur für solche Werte von z, deren Modiä Yn beträgt.

Bezeichnet mau nun mit \F\ die Determinante :

(92)

so ist:

(93) \F\

F\ =

m

0 a,

*ip

m

TCl

0

>1

ip

m

0 .

0 a,

m a,

pp

Hp

0

m

7ti a^i
0 <,

"ip

pp

0 ■ ' • —7ci all '

= {2niyp

«ip -«1

— a.

\p

4^

7tl

a

a^

a^

pp '^pi "pp

0 ni • • • 0

jci 0

7ft

tp

' pl ' pp

und sohin ] P \ von Null verschieden. Durch P wird also eine Form
mit nicht verschwindender Determinante definiert. Bezeichnet man
ferner mit T die Form:

2p 2p

(94)

und mit 5t die Form:

T-2^

(95)

^=^i2 2 (^f^^' ^.« ^v + ^' V ^p+-" ^?+")'

so besteht, wie sich unmittelbar durch Ausrechnen mittelst der Glei-
chung (36) ergibt, die Gleichung:

Kotwend. Bedingung für die komplexe Multiplikation. 225

(96) PT=%P
oder:

(97) T=P-'%P.

Die Formen T und 5( sind daher ähnlich und es stimmen deshalb
ihre charakteristischen Funktionen:

(98) (p{s) = \T-2j\
und

(99) ^ (^) = 1 ${ - ^ Jj = I ^ - ^/l 1 ^0 - 2J\

in den Elementarteilern überein. Daraus ergibt sich der

IX. Satz: Wenn eine Transformation T für irgend eine TJieta-
fmiktion eine prinzipale ist, so zerfällt ihre charaJderistische Determi-
nante \T — zJ\ in lauter lineare Elementarteiler und verschwindet
nur für solche Werte von z, deren Modid gleich der Qiiadrattvurzel aus
dem Transformationsgrade n ist.

Hat also die Gleichung \T — zJ\ = 0 reelle Wurzeln, so können
diese nur + ]/w sein. Komplexe Wurzeln können ferner, da die Koef-
fizienten der Gleichung reell sind, nur paarweise auftreten, sodaß die
Wurzeln eines Paares konjugierte komplexe Größen sind; zwei solche
Wurzeln haben dann, da jede den Modul ]/w besitzt, das Produkt w;

ist also die eine von ihnen m, so ist die andere nin = — Das Pro-

dukt aller ^p Wurzeln der Gleichung beträgt \T\ = -\- iiP\ es kann
daher — ]/« nur in gerader Anzahl als Wurzel auftreten; dann aber
ebenso + ]/>«, und wenn die Gleichung nur einfache Wurzeln hat,
ist sicher keine reell. Im Falle n = 1 haben die Wurzeln alle den
Modul 1, und da die Gleichung ganzzahlige Koeffizienten hat, so ist
in diesem Falle jede Wurzel nach einem Satze von Kronecker ^)
eine Einheitswurzel.

§4.

Nachweis, daß die im IX. Satz augegebeue notwendige
Bedingung auch hinreichend ist.

Es soll jetzt gezeigt werden, daß die im IX. Satz angegebene
notwendige Bedingung für eine prinzipale Transformation auch hin-
reichend ist, d. h. daß es zu einer Transformation T, sobald sie die

1) Kronecker, Zwei Sätze über Gleichungen mit ganzzahligen Koef-
fizienten. J. für Math. Bd. 53. 1857, pag. 173. Der Kroneckersche Satz lautet:

„Wenn die Wurzeln einer ganzzuldigen Gleichung, in icelcher der erste Koef-
fizient Eins ist, alle imaginär und ihre analytischen Modtiln sämtlich gleich
Eins sind, so müssen dieselben stets Wurzeln der Einheit sein."

Krazer, Thetafuaktionen. 15

226 VI. 4. Nachw., daß die im IX. Satz angegebene notw. Beding, auch hinr. ist.

im IX. Satz angegebene Bedingung erfüllt^ immer auch Thetafuuktionen
gibt, für welche sie eine prinzipale ist, und zugleich soll gezeigt
werden, wie die Modulen dieser Thetafunktionen berechnet werden
können.

Zuvor muß aber zur Orientierung folgendes vorausgeschickt werden.
Die 2p Wurzeln z^, z^, • • ■, z^^ der Gleichung:

(100) 1T-^J| = 0

bestehen nach dem Vorigen aus den p Wurzeln der Gleichung:

(101) \A-zJ\=^^

und den 'p Wurzeln der dazu konjugirten komplexen Gleichung:

(102) |^"-^J|=0. .

Die ersteren sollen die Wurzeln erster Art von (100), die letzteren
die Wurzeln zweiter Art genannt werden. Sind z^, z^, • • •, z^ die
p Wurzeln erster Art, so sind z\, z\, • • •, 0° die p Wurzeln zweiter
Art, und es ist stets z z\ = n.

Für eine prinzipale Transformation T bestehen nun gemäß den
Gleichungen (78) für jeden Wert des Index q die 2p Gleichungen:

(103) ^=1 (^ = 1,2,.

^ {^p + fi,v^Qv + (^p + f,,p + r^(},p + J — '^^^Q^Q,p + n)
v = l

und man schließt daraus zunächst, daß für den Wert des Multipli-
kators m nur die 2p Wurzeln der Gleichung (100) in Betracht
kommen; es ist also insbesondere der Modul von m gleich ]/w und
tn^m^ = n. Aus den Gleichungen (103) folgt daher durch Auflösung
auf Grund der Gleichungen (11) pag. 131:
p

(104) '' = 1 (v=l,2,-.-,p)

p

und hieraus ergibt sich, wenn man unter den Ä, B die in (VII),
(VIII) pag. 141 definierten Größen versteht:

p p

(105) 2 (A^c<^o,p + ,u - Br^.<^Q^.) = ^w^K,p + ,.^* -^"o^«vx)-
// = 1 x = l

(.=1,2, ■•■,p)

Wurzeln 1. u. 2. Art von (100); Lösungen 1. u. 2. Art von (103). 227

Ist aber die vorgelegte Transformation T für die Thetafunktionen
mit den Modulen a^^^ eine prinzipale, so ist wegen (85) aucli:

p

(106) =^\A-u^,,,^,-h^A:(^.,^,, » ("=M.-..)

^-=1 \ x = l

p / p

und es folgt, wenn man

p

(107) ae,p + v^^-2«(,.«vx = ^(,v (r = l,2....,p)

x = l

setzt, durch Vergleichung von (105) und (106):

p

/' = !

Ist nun m^ eine s- fache Wurzel der Gleichung (100), so ver-
schwinden für das Gleichungensystem (103), da alle Elementarteiler
von \T—0J\ lineare sind, alle IJnterdeterminanten 2p — V^^,
2p — 2'«°, . • •, 2p — s+ 1*^"* Grades; die Gleichungen (103) sind
also s-fach unbestimmt und haben s linearunabhängige Lösungen.
Solche s linearunabhängige Lösungen seien mit ca^^, • • •, co .^
(() = 1, 2, • • •, s) bezeichnet; ihnen entsprechen auf Grund von (107)
s Wertesysteme v^, •••, i\p ((> = 1, 2, •••, s), welche alle die p Glei-
chungen (108) befriedigen. Nun sei m^ eine g'-fache Wurzel von
(101) und eine r = s — g-fache Wurzel von (102); m^ ist dann um-
gekehrt eine 5-fache Wurzel von (102) und eine r-fache Wurzel von
(101). Die Gleichungen (108) besitzen also nur r linearunabhängige
Lösungen; es müssen folglich zwischen den s Wertesystemen v^, ■ • •, v
{q = 1, 2, ■ ' ■, s) s — r = q Relationen bestehen, und man kann die
s Lösungen ra^, •••, o^ g (q = 1, 2, •••, s) der Gleichungen (103) so
wählen, daß für q von ihnen die zugehörigen Größensysteme v^, • • •, v
Null werden, also für sie die Gleichungen:

(109) "„„.^'■=2' ".■."- ('=;;v:::^)

y. = l

bestehen. Einer Wurzel m von (100) welche g*- fache Wurzel von
(101) ist, kommen also q linearunabhängige Lösungen der Gleichungen
(103) zu, welche die Gleichungen (109) befriedigen und welche die

15*

228 VI. 4. Nachw., daß die im IX. Satz angegebene notw. Beding, auch hinr. ist.

q zu m gehörigen Lösungen erster Art der Gleichungen (103) ge-
nannt werden mögen.

Indem man an Stelle von m der Reihe nach die sämtlichen
Wurzeln erster Art von (100) treten läßt, erhält man p Lösungen
erster Art der Gleichungen (103), die mit co ■^, • ■ -, co^^p (p = l?2, •• -,2^)
bezeichnet seien und von denen jede die ]) Gleichungen (109) erfüllt.
Für irgend zwei derselben, 03 j, •••, «„ 2p ^^^ ^'^® ^^^ ^»i?

die andere ist daher:

p

P P

(110) ^22 ("C> ^oy. (Ky. - "^x "av «»J

v = l y. = l

} ^^a,2p

P p

v=l x = l

= 0,

während für jede lineare Verbindung

p

(111) «a=^^V"^"

o = l

(a = l, 2, ■••,2p)

derselben aus den Gleichungen:

p

% + v^i= 2 ^y^^y>
(112) ''■=-'

(v = l,2,--,p)

P
1/ — 1

X X

sich:

p p p

^«^(ö.«5 + v- «^ + v"°)=-22("
r=l v=l x = l

.«>L

+

CD^Ö>,J

P P

(113) --22'''

v = l x = l

«^(«?.

+

«xv)

J'=l x = l

ergibt.

Ebenso wie den p Wurzeln erster Art tn der Gleichung (100)
2) Lösungen erster Art co i, •••, tOo,2p (? = Ij ^> '"} P) ^^^ Glei-
chungen (103) entsprechen, so gehören zu den p Wurzeln m^ zweiter
Art von (100) p Lösungen co^i, • • •, «^ gp (p = 1; 2, • • •, _p) der Glei-
chungen (103), welche 'die Lösungen zweiter Art dieser Gleichungen

Eigenschaften der Lösungen 1. u. 2. Art von (103). 229

genannt werden sollen; und da die p Wurzeln zweiter Art in', von
(100) den 2^ Wurzeln erster Art konjugiert komplex sind, sodaß
in' = ni'^ ist, so werden auch die eben definierten Lösungen zweiter
Art 09,'^, •••, «^ 2« ^6r Gleichungen (103) durch die konjugierten kom-
plexen Werte der p Lösungen erster Art g}^^, ■ ■ ■, co^^^p geliefert,
sodaß also:

ist. Daraus ergibt sich aber sofort, daß jede von ihnen den j9 Glei-
chungen

p

(115) -(^ip + .^^=-2 (^'t^y.al, (.■ = !, 2,..., p)

y. = l

genügt, und hieraus wiederum, daß zwischen irgend zwei Lösungen
zweiter Art der Gleichungen (103), w'^, • • •, w' ^ die eine und
^ni7 '"■) "(7 2p ^^^ andere, die Relation:

p

(116) ^(«('v«a,p + v-"o,p + v«0j =0
v = l

besteht, gleichgültig ob sie zu gleichen oder verschiedenen Wurzeln
zweiter Art der Gleichung (100) gehören, während für jede lineare
Verbindung

p

(117) < = ^K^'^a (« = 1.2,..., 2p)

0 = 1
von ihnen:

p

(118) *^Ko3;<v,-«^,,o.:o)<o

r = l

ist. i

Die allgemeinste Lösung Q^, •••, Q, der Gleichungen (103) bei
gegebenem m setzt sich aus den q dazu gehörigen Lösungen erster
Art co„i, • • -, CO 2p (c = 1? 2, • • •, g) und den r Lösungen zweiter Art
^Qij ■■■; ^\>,2p (? = I7 ^' ■ ■ ■? *") zusammen in der Form:

(119) Q^=Q„ + a9;, (a = l,2,...,2p)

wo zur Abkürzung:

q r

(120) "a = 2^p«e«' ^-^Vq'^Qa icc=.l,2,...,2p)

gesetzt ist. Es ist infolgedessen:

230 VI. 4. Nachw., daß die im IX. Satz angegebene notw. Beding, auch hinr. ist.

1=1
p p

(121) =^(«„«;+„ - 0.^^,, CO«) + ^ («>;«,,- 1.;^,«:«)

1=1 v=l

p p

V=l 1=1

Nun ist aber, weil w^, •••, &>,„ eine Lö.sung erster Art der Glei-
chungen (103) ist, Wj, •••, col eine Lösung zweiter Art, und weil
"i; ■■■? ^2D ^^^^ Lösung zweiter Art ist, co^^, ••-, cOg" eine Lösung
erster Art. Daraus folgt aber, daß die an den beiden letzten Stellen
stellenden Summen infolge der Relationen (110) und (116) den Wert
Null haben. Setzt man dann weiter den nach (113) stets positiven

Ausdruck :

p

(122) i^(a,co;^,-c.^^.,«?) = X,

r = l

den nach (118) stets negativen Ausdruck:
p

(123) i 2 («: co;i „ - co; , „ «:«) = - Y,

»=1
so wird:

(124J i^{^..^l^. - ß,+.ß?) = X-Y.

v = l

Nun ist aber auf Grund der Gleichungen (120):

(125) X = 2i Z ',o^, K, Y-- Z Z 'h'oVo fa :

0=lff=l p = lfT^l

WO zur Abkürzung für (), (? = 1, 2, • • •, g bez. r\

p

(126) '=1

p

1=1

gesetzt ist, und man hat so, wenn man beachtet, daß X, Y positive
Formen vom Range q bez. r sind, der s-fachen Wurzel m von (100),
welche eine g-fache Wurzel von (101) ist, durch die Gleichung (124)
eine Form vom Range s und dem Trägheitsindes q zugewiesen.
Diese Form hängt von den zur Darstellung der allgemeinen Lösung

Die. jeder Wurzel von (100) zugeordnete bilineare Form Z. 231

Q^, •••, Qg^ gewählten q Lösungen erster Art w^i, •••, w,^ 2 p ((> = 1? 2, • ••,(?)
und ;• Lösungen zweiter Art w^j, •••, a' g (() = 1, 2, • • •, r) ab; läßt
man an deren Stelle ii'gend s andere linearunabliängige Lösungen von
(103) öj^i, •••, rä 2p (? = 1; 2, •••, 8) treten, so tritt an Stelle von
'K — Y eine andere Form :

(» = 1 (T=l

wo:

p

(128) e^„ = ^•^(«,„<p + ,. - «o,p + v«a,.) (0,^ = 1,2,...,,)

> =1

ist, die aber, da die w sich linear durch die ca und to' und umgekehrt
ausdrücken, mit X — F äquivalent ist und daher nicht nur den
gleichen Rang 5, sondern auch den gleichen Trägheitsindex g hat.

Nach diesen Vorbereitungen kann man nun zeigen, daß im Falle
des Erfülltseins der im IX. Satz angegebenen Bedingung stets Theta-
funktionen existieren, für welche die vorgelegte Transformation eine
prinzipale ist, und kann zugleich angeben, wie die Modulen dieser
Thetafunktionen berechnet werden.

Man löse die Gleichung (100) auf; ist «?^, eine s-fache Wurzel,
so bestimme man s zu ihr gehörige linearunabhängige Lösungen
'^oi; "■' ^» ip (P = 1? 2> ■ ■■> ^) ^^'^" Gleichungen (103) und bilde mit
ihnen auf' Grund der Gleichungen (128) die bilineare Form (127).
Bringt man dann diese durch eine lineare Substitution und die zu
ihr konjugierte komplexe in die Nonnalform:

(129) Z=^x,xl-^x^^,x%,, i,+r=sj

y. = \ ). = !

SO treten an Stelle der Lösungen w^^^, •••, (^^^^p ^ Lösungen o^^, •••, «o^gi»?
von denen irgend zwei durch die Gleichung:

p

(130) ^Kv<p + v - «o,i> + "«-) = ^ (^a = l,2,..,,; o^a)
v = l

miteinander verknüpft sind, während für jede einzelne:
p

(131) i^{^o.<,p^.-^,,p^.<.)-±^ (0 = 1,2,....,)

v = l

ist, je nachdem () = 1,2, •■•, g oder () = g+l,g + 2, ■■•, s ist;
man nenne die ersten q Lösungen die zu m^ gehörigen Lösungen
erster Art, die letzten r die Lösungen zweiter Art. Ist m^^ reell, so
ist q = r = '^-s; ist dagegen m komplex, so ist auch m^ 5-fache

232 VI. 4. Nachw., daß die im IX. Satz angegebene notw. Beding, auch hinr. ist.

Wurzel der Gleichung (100) und die zu den vorigen s Größensjstemen
cOgi, ■ ■ ■, oj^2p konjugierten komplexen o^I^, •■;«", 2p bilden jetzt
s linearunabhängige Lösungen der mit dem Werte m^ an Stelle von
m^ gebildeten Gleichungen (103), von denen die q ersten von der
zweiten Art, die r letzten von der ersten Art sind.

Führt man dies für alle Wurzeln von (100) durch, so erhält
man im ganzen, neben ebensovielen Lösungen zweiter Art, p Lösungen
erster Art, die mit co,^^, ■•■, 03 ^p {q = 1> 2, ■■•, p) bezeichnet seien.
Beachtet man nun, daß aus (78) die Gleichung:

p

^Q »>^a ^ ("e V «a, p + r - "o, p + V «a v)
v = l

2 p 2 p p

(1 32) ^222 *^^--* ^P + •■. y ~ ^" Y ^P + V, .9) «o ,^ f^a y

,^ = 1 y = l 1=1

P

folgt, so erkennt man, daß:

p

(133) 2(«ovO'a,p4-v-"(.,p + v«av)=0
» = 1

ist, sobald die Lösungen üo^^, •••, co^^^p und o^j, •••, oia^2p nicht zu
zwei Wurzeln ni.^ und m^ gehören, die zueinander konjugiert komplex
sind, und für welche infolgedessen m^m„ = n ist. Ist aber m^ = w^,
so ist jede zu m^ gehörige Lösung erster Art w^^, •• •, 03^ ^ einer zu
m^ gehörigen Lösung zweiter Art konjugiert komplex und die Glei-
chung (133) ist wegen (130) erfüllt. Es gilt also (133) für irgend
zwei der p Lösungen erster Art.

Da weiter, wenn (a^^, ■••, co^^p ^^^^ ^^ ^'^a gehörige Lösung von
(103) ist, stets »aij ■ ■ ■> ^ff,2p ®i°® ^^ ^'^ff gehörige Lösung dieser
Gleichungen bildet, so ist nach (132):

p

(134) 2(«,.«^,p+.. - co^,p^.<) = 0,
1=1

sobald nicht tn^ = m„ ist; ist aber m^ = m , so ist diese Relation
wegen (130) erfüllt. Es gilt also (134) gleichfalls für irgend zwei
der p Lösungen erster Art von (103), und da für jede einzelne:

p

(135) ^2^(«ov<p + v - 0'^,p + v"?,) = 1

1 = 1
ist, so folgt für jede lineare Verbindung

Berechnung der Modulen a für die prinzipale Transf. 233

P

(136) CO,, =^Ä-„W„„ (« = 1,2,. ..,2p)

derselben:

(137) i^{o,,col,, - co^.^col) = ^\Ji, > 0.

v=l p=l

Durch die Bedingungen (133) und (137) sind aber die 2p Größen-
systeme 03^^, •••, cOp^ (a = 1, 2, •••, 2p) als die 2^; Periodensysteme
einer 22?-fach periodischen Funktion charakterisiert, und es werden
die Modulen a^^^ der ihnen zugeordneten Thetafunktionen durch die
Gleichungen :

p

(138) öo,p+v^«=^«ox«v>. (?,v = l,2,...,p)

x = l

bestimmt. Es ist nun endlich noch zu zeigen, daß in bezug auf
Thetafunktionen mit diesen Modulen die vorliegende Transformation
eine prinzipale ist. Nun nehmen aber die Gleichungen (103), wenn
man ihre linken und rechten Seiten mit 7t i multipliziert und hierauf
die Gleichungen (138) anwendet, die Gestalt:

p / p

«.,.. 1«^, =^m^co^^7ti.

(139) -' ) -' ^

nn "'/ua }

oder:

p

2a

a = l
(/*,? = ! 2, •••,p)

^«(,v = *^C^«o,u^^

(140) * ^ (,«, 0 = 1, 2, ...,p)

p p

^^ru «ev = ^^h ^ (^na %o

an, und durch deren Verbindung folgen die weiteren Gleichungen:

(141) ^ U,„ - 1 ^A,.„a^J o,„„ = 0, (..0=1,2, ...,p)

V=l \ ö=l /

welche endlich infolge des Nichtverschwindens der Determinante
^ ± C3ii C322 ■ • ■ ^pp die Gleichungen:

(142) ^>7< = i-^Ji'A.^. (.,-i,v-,P)

ff=i

234 VI. 4. Nachw., daß die im IX. Satz angegebene notw. Beding, auch hinr. ist.

nach sich ziehen. Vergleicht man aber diese mit den Gleichungen
(XI) pag. 141, so erkennt man, daß für die vorgelegte Transforma-
tion in der Tat die transformierten Thetamodulen ö^,,, den ursprüng-
lichen a gleich sind.

Man wird dazu noch bemerken, daß die Wahl der j) der Berech-
nung der Thetamodulen a , zu gründe liegenden Lösungen erster
Art der Gleichungen (103) auf unendlich viele Weisen möglich ist,
da die bilineare Form Z durch unendlich viele verschiedene lineare
Substitutionen in die Normalform (129) transformiert werden kann;
in dem Falle aber, wo die den verschiedenen Wurzeln m^ von (100)
entsprechenden bilinearen Formen Z sämtlich definite sind, wo also
die einer Wurzel m zugehörigen Lösungen von (103) stets entweder
alle von der ersten Art oder alle von der zweiten Art sind, liefern
die Gleichungen (138) bei einer anderen Auswahl der Lösungen
CO ., ••■, 03^ 3 , da die neuen p Lösungen erster Art immer lineare
Verbindungen der früheren sind, für die Thetamodulen a , wieder
die gleichen Werte; in diesem Falle existiert also nur eine einzige
Thetafunktion, für welche die vorliegende Transformation eine prinzi-
pale ist-, sind dagegen die Formen Z teilweise oder alle indefinit, so
gibt es unbegrenzt viele solche Funktionen.

Aus der definierenden Eigenschaft der prinzipalen Transformation
als einer solchen, bei welcher die transformierten Thetamodulen den
ursprünglichen gleich sind, folgen sofort die folgenden Sätze.

Alle Transformationen, welche für ein gegebenes System von
Thetamodulen prinzipale sind, bilden eine Gruppe.

Ist eine Transformation T hinsichtlich eines Systems von Theta-
modulen eine prinzipale, so ist es auch die durch die Gleichungen
(272) pag. 194 definierte dazu supplementäre T^. Durch Zusammen-
halten dieser Gleichungen mit den Gleichungen (104) erkennt man
dabei, daß die Multiplikatoren bei der supplementären Transformation T^
die konjugierten komplexen Werte von denen der Multiplikatoren m
der Transformation T besitzen.

Geht durch die lineare Transformation L das System der Theta-
modulen fl^,,, für welches die Transformation T eine prinzipale ist,
in das System der Thetamodulen h , über, so ist die Transformation:

(143) T'=L-'TL

eine prinzipale für die Thetafunktionen mit den Modulen h^^.. Aus
der Gleichung:

(144) r - zJ^ L-\T-zJ)L

folgt dabei, daß die charakteristischen Funktionen \T — zJ\ und
\T' — zJ\ in ihren Elementarteilem übereinstimmen, daß also die
Multiplikatoren für die prinzipalen Transformationen T und T' die
nämlichen sind.

Schlußbemerkungen. Historisches. 235

Die prinzipale Transformation der Thetafunktionen beliebig vieler
Variablen ist zuerst von Kronecker^) und sodann von Herrn Weber ^)
bearbeitet worden; beide Autoren beschränken sich aber auf den Fall, daß
die charakteristische Gleichung \T — zJ\ =0 lauter verschiedene Wurzeln
hat, und auch hier ist ihnen die im IX. Satze angegebene Bedingung für
die prinzipale Transformation noch unbekannt; sie bemerken vielmehr nur,
daß, wie Beispiele zeigen, nicht immer Thetafunktionen existieren, für
welche die gegebene Transformation eine prinzipale ist. Bezüglich des
Falles, daß die charakteristische Gleichung mehrfache Wurzeln besitzt,
beschränken sie sich auf die Bemerkung, daß die Thetamodulen in diesem
Falle teilweise unbestimmt bleiben. Die im Voiigen mitgeteilte Behand-
lung der prinzipalen Transformation rührt von Herrn Frobenius^) her.

Wiltheiß^) hat speziell die pjinzipalen Transformationen erster und
zweiter Ordnung der Thetafunktionen zweier Veränderlichen in der Rich-
tung bearbeitet, daß er die Bedingungen für die sechs Verzweigungs-
punkte des zu gründe liegenden algebraischen Gebildes aufsuchte, welche
bestehen müssen, damit für die zugehörigen Thetafunktionen eine prinzipale
Transformation existiere; doch ist nur der Fall der linearen Transforma-
tion vollständig dui-chgeführt. Dabei hat sich insbesondere ergeben, daß
eine prinzipale Transformation der Thetafunktion in allen jenen Fällen
existiert, in denen die zugehörigen hyperelliptischen Integrale auf ellip-
tische reduzierbar sind, oder, was dasselbe, die vorliegende Thetafunktion
zweier Variablen nach einer Transformation in das Produkt zweier Theta-
funktionen von je einer Veränderlichen zerfällt").

Die Richtigkeit dieses Satzes und zugleich des allgemeineren, daß
für jede Thetafunktion von p Veränderlichen, welche nach einer Trans-
formation durch das Verschwinden gewisser seiner Modulen in ein Pro-
dukt von Thetafunktionen von weniger Veränderlichen zerfällt, stets eine
prinzipale Transformation existiert''), läßt sich leicht folgendermaßen einsehen.

Für jede Thetafunktion ist die Transformation %■ ((m))^ = 0' (( — m))„
eine prinzipale. Zerfällt nun eine Thetafunktion in ein Produkt mehrerer.

1) Kronecker, Über bilineare Formen. Berl. Ber. 186G, pag. 597; auch
J. für Math. Bd. 68. 1868, pag. 273. Etwas früher hatte schon Herr Königs-
b erger in seinen Untersuchungen „Über die Transformation der Abel'schen
Functionen erster Ordnung" (J. für Math. Bd. 65. 1866, pag. 335) auf die kom-
plexe Multiplikation dieser Funktionen hingewiesen.

2) Weber, Über die Transformationsth. etc. Ann. di Mat. (2) Bd. 9. 1879,
pag. 126.

3) Frobenius, Über die principale Transformation etc. J. für Math.
Bd. 95. 1883, pag. 264.

4) Wiltheiß, Bestimmung Abel'scher Functionen mit zwei Argumenten,
bei denen complexe Multiplicationen stattfinden. Hab. - Schrift. Halle 1881;
vergl. damit die Resultate bei Bolza, Über Binärformen sechster Ordnung mit
linearen Substitutionen in sich. Math. Ann. Bd. 30. 1887, pag. 546 und: On
binary sextics with linear transformations into themselves. Am. J. Bd. 10.
1888, pag. 47.

5) Vergl. dazu das letzte Kapitel dieses Buches.

6) Wiltheiß, Über Thetafunctionen , die nach einer Transformation in
ein Product von Thetafunctionen zerfallen. Math. Ann. Bd. 26. 1886, pag. 127.

236 VI. 4. Nachw., daß die im IX. Satz angegebene notw. Beding, auch hini-. ist-

so kann man diese Transformation auch nur auf einen Teil der Faktoren
anwenden. Jede so definierte Transformation H ist dann eine prinzipale
auch für die gegebene Thetafunktion. Zerfallende Thetafunktionen be-
sitzen also stets prinzipale Transformationen, die von den Transforaiationen
Q'^iijjct = "^((i^la verschieden sind. Zerfällt Q'^u^^ erst nach einer Trans-
formation r, so ist die Transformation THT~^ für sie eine prinzipale.
Die Untersuchungen des § 3 haben davon ihren Ausgangspunkt ge-
nommen, daß jeder komplexen Multiplikation einer 2p -fach periodischen
Funktion eine Transformation ihrer Perioden zu gründe liegt, und haben
aus diesem Umstände geschlossen, daß die Koeffizienten c^^ der Glei-
chungen (78) den für Transformationszahlen geltenden Relationen (II),
(ni) des fünften Kapitels genügen müssen., Nun wurde aber im Anfange
des fünften Kapitels bemerkt, daß die genannten Relationen nur dann
notwendige Bedingungen der Transformation sind, wenn die vorliegenden
22?-fach periodischen Funktionen allgemeine sind, ihre Perioden co also
keinen speziellen Bedingungen unterworfen werden, daß dagegen im
letzteren Falle recht wohl Transformationen existieren können, deren Trans-
formationszahlen die Relationen (11), (III) nicht erfüllen. Nennt man
solche Transformationen singulare und im Gegensatze dazu die anderen
ordinäre, so wii'd man den Gegenstand der in den § 3 und 4 durch-
geführten Untersuchung genauer so bezeichnen müssen, daß jene komplexen
Multiplikationen der 2jJ-fach periodischen Funktionen aufgesucht worden
seien, welche ordinäre Transformationen ihrer Perioden sind, und es ergibt
sich zugleich als weitere noch ungelöste Aufgabe die, zu untersuchen, ob
und unter welchen Bedingungen sich komplexe Multiplikationen auch
unter den singulären Transformationen der Perioden vorfinden können.
Herr Humbert ^) hat zuerst auf diesen Punkt hingewiesen und zugleich
im Falle jj = 2 die zuletzt gestellte Aufgabe gelöst. HeiT Humbert
nennt singulare Abelsche Funktionen von zwei Veränderlichen solche, für
welche die zugeordneten Thetamodulen durch eine Relation von der Form:

(145) «Zi n r + ^2 %i ^* + ?3 «12 ^ ^ + Qi «22 ^ «' + (Zs («11 «22 — «12) = ^

miteinander verknüpft sind, bei der die q ganze Zahlen bezeichnen. Er
zeigt einmal, daß alle Abelschen Funktionen zweier Veränderlichen, welche
überhaupt eine komplexe Multiplikation zulassen, in diesem Sinne sin-
gulare sind, sodann weiter, daß alle singulären Abelschen Funktionen nun
ihrerseits singulare Transformationen besitzen und daß unter diesen sin-
gulären Transformationen auch komplexe Multiplikationen vorkommen.

1) Humbert, Sur la multiplication complexe des fonctions abeliennes. CR.
Bd. 127. 1898, pag. 857 und: Sur les fonctions abeliennes singulieres (Deuxieme
memoire). J. de Math. (5) Bd. 6. 1900, pag. 279; auch Painleve, Sur les sur-
faces qui admettent un groupe infini discontinu de transformations birationelles.
C. R. Bd. 126, 1898, pag. 512.

Zweiter Teil.

Die allgemeinen Tlietafunktionen
mit rationalen Charakteristiken.

Siebentes Kapitel.

Die Thetafunktioiieii, deren Clicarakteristikeii
aus halben Zahlen gebildet sind.

§1.

Die Funktionen 'd-[s]2{u}.

Unter den im ersten Kapitel definierten Funktionen '^ f ((«<))
spielen diejenigen die wichtigste Rolle, bei denen die Charaktevistiken-
elemente g^, ••■■,9p} \, ••■, ^'p rationale Zahlen mit dem gemeinsamen
Nenner 2 sind, also:

(1) 9, = ^, \-^ (. = i.V-,.)
ist. In diesem Falle sei die Charakteristik mit

(2) V^\ = ?\ ''•'" '^1

oder, wenn ausschließlich solche Charakteristiken in der Untersuchung
auftreten, auch unter Fortlassung des Nenners 2 mit

(3) w=[:r4;;;:ii.

die zugehörige Thetafunktion mit & \e\ ((«*)) oder %• [b\ ((«*)) bezeichnet.
Für diese Funktionen liefern dann die Formeln (XXIX) — (XLII)
pag. 30 u. f. die folgenden Gleichungen:

Die Uietafunktion ^[^izit^]) ist definiert durch die Gleichung:

-.,-,+. i i'«..'('".+^i)(-.'+¥)+^i(-.+T)(v+^-)

(I) &b]M=^ e'='^'-'

sie ist mit der FunJction ^i[u]j verTinüpft durch die Gleichung:

240 Vn. 1. Die Funktionen ^[s]iiu]

^=1 n=l J

(H)

p p t t . p i ,' \

xe

d. Ji. sie geht abgesehen von einem Exponentialfaldor aus der Funktion
^((m)) Jiervor, wenn man deren Ärgwnentetisystem (w) um das System:

(III) {s],-2Y^u. + Y'''\---\2Y%.+ h'

zusammengeliöriger Halber der Feriodizitätsmodulen mit der Perioden-
charakteristik (5)2 vermehrt. So entspricht der Thetacharaktcristik [e].^
also die Periodencharakteristik (s)^, wenn man 'S" [«]2 ((?<)) relativ gegen
die Funktion ^(;u} betrachtet.

Die durch die Gleichimg (I) definierte Thetafunktion ^[£]([u} ge-
nügt der Gleichung:

&[aUu-\-{2^},))

(lY) p p p p

-HM^))e ''^^■""^ '=' '=^'

in ivelcher {2x]^ jenes System zusammengehöriger Ganzer der Perio-
dizitätsmodulen bezeichnet, welches aus (III) für e^ = 2%^, €'^ = 2x'^
(fi = 1, 2, •■•,p) hervorgeht. Aus dieser Gleichung folgen, indem t)ian
das eine 3Ial x^! = 1, die übrigen p — 1 Zahlen x und die p Zahlen
x gleich Null setzt, das andere Mal >£,. = 1 , die übrigen p — 1 Zahlen
y, und die p Zahlen X gleich Null setzt, die speziellen Gleichungen:

(V) ^ {e\ {u^\...\u^Jr^i\---\ %) = (- iy^K^\ W).
^(VI) ^{_e\ {u, + a, J . . . I w^ + a^,,) = (- ly^^is], {u} e-v.-^«.

(v=l,2, •••,p)

hervor, aus denen man die Gleichung (IV) wieder erzeugen kann.
Endlich genügt die Funktion ■8"[f]((w)) den Gleichungen:

(Vn) 4, ^ ,;,,„- ^ / .; + ^; \

/'=!

p

.=1

p

(vni) #[. + 24W = (-i)

(IX) # [.], ((- 4 = ^ L- ^]2 ((^)) = (- !)■"=' ^ b\ ((4-

Definition und Haupteigenschaften derselben. 241

Die Formel (VIII) sagt aus, daß zwei Funktionen ^[e^i^''} ^^^^
'&• [t^J^ ((«)), für welche die Charakteristikenelemente £i, ■ ■ •, £p, h) ' " '; V
und rj^, "-, 7]^, 7j/, ■■■,% c^en 2}) Kongruenzen:

(4) 6u = V.'< , «'< ^ V'fi (mod. 2) (/< = i, 2, • • • , p)
genügen, nur um einen Faktor + 1 voneinander verschieden sind, und
man schließt daraus, daß es im ganzen überhaupt nur 2^^ wesentlich
verschiedene Funktionen ^'[fJäf«)) gibt, als welche man diejenigen
wählen wird, bei denen die Zahlen e, s nur die Werte 0, 1 besitzen.

Die Formel (YII) zeigt weiter, daß man von jeder dieser 2"^
Funktionen zu jeder anderen von ihnen abgesehen von einem Ex-
ponentialfaktor gelangen kann, indem man ihr Argumentensystem (m)
um ein passend gewähltes System zusammengehöriger Halber der
Periodizitätsmodulen vermehrt. Dadurch erscheinen die 2'P Funk-
tionen '^■[«JoC'O) untereinander als gleichberechtigt und insbesondere
die Ausnahmestellung, welche von vornherein ■O- [0] ((w)) = d^ i[u} hatte,
aufgehoben.

Die Formel (IX) zeigt, daß die Funktion &[£\iu} eine gerade
oder ungerade Funktion ihrer Argumente ist, je nachdem der Ausdruck:

p

(5) ^ £,„ e'a

/< = i

^ 0 oder = 1 (mod. 2) ist; man nennt daher auch eine Theta-
charakteristik [fjg gerade oder ungerade, je nachdem der Ausdruck (5)
^ 0 oder ^ 1 (mod. 2) ist. Beachtet man danu noch, daß eine Theta-
funktion '9'[f]2((?f]) mit einer ungeraden Thetacharakteristik [tjg als
eine ungerade Funktion ihrer Argumente für die Nullwerte derselben
verschwindet, so erkennt man mit Hilfe von (VII), daß eine Funktion
■^[^IsC^O/ verschwindet, sobald für das Argumentensystem (11) ein
System zusammengehöriger Halber der Periodizitätsmodulen mit einer
solchen Periodencharakteristik (y]\ gesetzt wird, für welche die Theta-
charakteristik [s -\- y]]o ungerade wird.

Die Einführung der 2^-P Funktionen -9' [fjg ((^^)) reicht bis in die An-
fänge der Theorie der Thetafunktionen überhaupt zurück. Schon Jacobi^)
hat in seinen Vorlesungen über elliptische Funktionen die vier Funktionen
des Falles p = 1 angegeben, ebenso finden sich die sechzehn Funktionen
des Falles p = 2 schon bei Göpel^) und Rosenhain^) und die 2^-p
Funktionen für beliebiges j) bei Weierstraß *).

1) Jacobi, Theorie der elliptischen Funktionen etc. Ges. Werke Bd. 1.
Berlin 1881 , pag. 497.

2) Göpel, Theoriae transc. etc. J. für Math. Bd. 35. 1847, pag. 277.

3) Rosenhain, Memoire sur les fonctions etc. Mem. jires. Bd. 11. 1851,
pag. 386.

4) Weierstraß, Beitrag zur Theorie etc. Math. Werke Bd. 1. Berlin 1894,
pag. 131.

Krazer, Thetafunktionen. 16

242 VII. 2. Periodeucharakteristiken.

Erster Abschnitt.

Die Charakteristikentheorie.

§ 2.

Periodeucharakteristiken.

Man gehe jetzt auf den Anfang des fünften Kapitels zurück und
bezeichne wie dort mit co^^, ■■■, co^^ (a= 1, 2, ■■■, 2p) die 2p einer
Thetafunktion zu gründe liegenden Periodensysteme. Sind dann
£j, •••? ^2© ganze Zahlen, so nennt man ein Größensystem von der
Form:

2 p 2p

a=l a=l

ein System zusammengelwriger Halber der Perioden a, den Komplex
der 2p Zahlen fi,---, ^20 ^^^^ ^^® JPeriodoicharakteristik (Per. Char.)
{e) des Systems (6).

Hängen Perioden g3„„ und cj^a ( _ / 9' 9 ) zusammen durch

eine ganzzahlige lineare Transformation:

2p
C'^) «/. a = ^ ^'«,5 "., ,* ? \a=l'i---\ 2p)

wobei also die c^ ^ ganze Zahlen sind, welche den p {2p — 1) Be-
dingungen :

W ^l^caC;, + o„* S + o,"^e<^^ 0, wenn ^^2) + a,

K ,'? = l, 2, • • •,2p; a<ii)

oder den damit äquivalenten:

m y(c c -c c w^' "^^'"^ /5=i^+«,

^^^ ^^V^«aV,P + '^ ^..p + aV«^^ 0, wenn /3^i> + a,

K^-J^l. 2, ■ ■■,2p; «</?)

genügen,
(10)

so

ist:

2p 2p
fl = l a = l

C" = 1, 2, •

■■,P)

wenn :

(11)

•

2p
a = l

(,•? = !, 2, • ■

,2p)

Lineare Tiansformation der Per. Char. 243

gesetzt wird. Man sagt dann, daß die Per. Char. (s) änrcli die Trans-
formation (7) in die Per. Char. (1) übergehe. Bezeichnen weiter (f)
und (jj) irgend zwei Per. Char., («) und (i^) die daraus durch die
nämliche ganzzahlige lineare Transformation (7) hervorgehenden,
so ist:

P JP 2/; p

(12) ^ (^aVp + o-^p + oVa) = 222 (^aaC^i,p + o- ^a, p + a ^ J «a ^^V
a = l « = 1 ,•? = ! 0 = 1 ,

und daher auf Grund der Gleichungen (9):
p p

(13) 2 ^^"''h + o-^p + oVa) = ^(^^<^p + ,«-^i. + ^<^/<);

es bleibt sah in der Wert des ÄusdrucJcs:

p

(l^l) 2(^,«''?i-+,«-^i>+,«'^,«)

/. = !

bei jeder ganzsalüigcn linearen Transformation ungeändcrt.

Zwei Systeme (6), bei denen die Charakteristikenelemente fi,'--,f2p
und r]^, •••, ri.2 den 2p Kongruenzen:

(15) ^a = '^a (mod. 2) (a = l, 2, ••.,2p)

genügen, sind einander nach den Perioden co kongruent; zwei solche
Per. Char. (e) und (ij) werden in diesem ganzen Abschnitte als nicht
verschieden angesehen. Es gibt dann im ganzen nur 2^p verschiedene
Per. Char. (e), als welche man diejenigen wählt, die entstehen, wenn
man an Stelle des Systems der 2p Elemente e^, •••, f«« alle 2^^ Varia-
tionen mit Wiederholung zur 2p*®'' Klasse der Zahlen 0, 1 setzt.
Eine solche Per. Char. sei in der Folge, indem man f^, tg, ■••, £^ statt
^p + i> ^p + 2> • • •; ^2^, und £/, £./, •••,£/ statt e^, e^, ■- ■, s^, schreibt, mit:

(16) «=(:;•:;■::::■)

bezeichnet. Die Elemente f„, «/< (fi = 1, 2, • • •, p) der Per. Char.
(f), in welche die Per. Char. (e) durch die Transformation (7) über-
geht, sind dann, wie sich durch Auflösung der Gleichungen (11) mit
Hilfe von (9) ergibt, bestimmt durch die Kongruenzen:
p
^^c = 2 (''^»' ^*' + ^,,P+v<) ("lod. 2),

P

K = 2 ^^p+^',v'v + (^p+,,p + v O (mod. 2).

v = l

Unter den 2^p Per. Char. nimmt die Per. Char. (0), bei der
= £'=0 ist, den 2^^— 1 andern gegenüber

16*

244 VII- 2. Periodencliarakteristikeii.

eine Ausualimestellimg ein, da sie und nur sie bei jeder Transforma-
tion (7) in sich übergeht. Man teilt daher die 2^^ Per. Char. in
zwei Klassen; die eine Klasse besteht aus der einzigen Per. Char. (0),
welche die uneigentliche Per. Char. genannt wird, die andere aus den
2--P — 1 übrigen Per. Char., welche die eigentlichen Per. Char. ge-
nannt werden.

Unter der Summe:

(18) (ö)==(£>i^•■)

mehrerer Per. Char. («), (tj), (^), • • • wird jene Per. Char. verstanden,
deren Elemente durch die 2p Kongruenzen:

(19) .,-., + ,„ + 5, + -(mod.2), ^_^_^^ ^^^
^ ^ < = «;< + i?,ü + ^/l + • • • (mod. 2)

bestimmt sind. Man nennt gegebene Per. Char. (f), {y}), • • • unab-
hängig, wenn nicht die Summe irgend einer Anzahl derselben der un-
eigentlichen Per. Char. (0) gleich ist; man nennt ferner eine Summe
von V unter gegebenen Per. Char. (f^), (f^), ■ • • eine Kombination

v^^^ Ordnung dieser Per. Char. und bezeichnet sie mit \^e).

Für das Symbol:

p

^ (',u v/< - f/< '/,«)

(20) [,,^I = (_1)«=^

bestehen die folgenden Gleichungen:

\s,e' = + l, l£,0: = -}-l, ;0,£j = -fl,

\ h h • ■ ■ ^r, Vin-2 ■ ' ■ Vs\ = ^ h> Vl\ ■ \ h, Vi] ■ ■ • \ h, Vs\

l«r; 'Jll • l^r; ^2l ••• \^r, Vs\-

Zwei Per. Char. (e) und (ij) heißen syzijgetisch oder azijgetisch,
je nachdem ' f , i; ! = -f 1 oder = — 1 ist.

I. Satz: Die uneigentliche Per. Char. (0) ist zu jeder der 2^p
Per. CJiar. syzygetisch; jede eigentliche Per. CJmr. (e) dagegen ist zu
2^^-^ der Per. Char. syzygetisch, zu den 2^p~'^ anderen azygetisch.

Zum Beweise dieses Satzes lasse man in dem Ausdrucke | £, ■»/ 1,
während man die Per. Char. (f) festhält, (7;) die Reihe der 2"^ Per.
Char. durchlaufen. Die entstehende Summe:

(22) 2\''n\-nl(2(~ 1)'" '■' ) ( 2 (- 1)'" "" ) }

Uneigentl. u. eigeutl. Per. Cliar. Symbol [f, jj|. Sjzjg. u. azyg. Per. Char. 245

hat, wie der auf der rechten Seite stehende Ausdruck zeigt, dann
und nur dann einen von Null verschiedenen Wert und zwar den
Wert 2^-P, wenn gleichzeitig fi = • • • = f« = fi' = • • • = f ' = 0 ist.
Daraus schließt man aber, da der Ausdruck ] f , '»J | nur entweder -f 1
oder — 1 sein kann, daß derselbe, wenn die Per. Char. («) die un-
eigentliche (0) ist, 2^^-inal den Wert +1, in jedem anderen Falle
dagegen 2-^~^-mal den Wert +1 und 2^^~^-mal den Wert —1 an-
genommen hat, womit der Satz bewiesen ist.

Das Resultat des I. Satzes kann man auch so aussprechen:

IL Satz: Die Gleichung [s, x\== -\- 1 hat, tvenn die Per. Char.
(e) die imeigenüiche (0) ist, 2^p; in jedem anderen Falle 2^^~*
Lösungen und hestimmt die zu {e) syzi/gctischen Per. Char. Die Glei-
chung I £, a; I = — 1 hat, tvcnn die Per. Char. (f) die imeigentliche (0)
ist, keine; in jedem anderen Falle 2'P~^ Lösungen und bestimmt die
zu (e) azijgetischen Per. Char.

Die durch den 11, Satz beantwortete Frage ist ein spezieller
Fall der allgemeineren nach der Anzahl s jener Per. Char. (pc), welche
den r Gleichungen:

(23) \,,,x\ = {-rf\ \E,,x\ = {~lt, ■■', \e,,x\ = {-lt

genügen, wo die ö willkürlich gegebene ganze Zahlen, {s^, (fg), •••; (e^)
aber r unabhängige Per. Char. bezeichnen.
Setzt man für ^ = 1, 2, •••, r:

(24) (0 = 0%''^'"^0,

SO handelt es sich um die Bestimmung der Anzahl s der aus Zahlen
0, 1 gebildeten Lösungen .r^, •••, x^^, x^, •••, x^ der r Kongruenzen:

p

(25) ^ (f „ ^ % - <, ^ X;) = d^ (mod. 2) . (o = 1, 2, . . . , r)

<" = !

Zunächst kann man nun ohne Mühe für die Zahl s einen analytischen
Ausdruck anschreiben. Genügen nämlich die Zahlen x, x der Kon-
gruenz :

p

(26) 2 ^',,% - h,^,) ^ ^o (mod. 2), .

so besitzt der Ausdruck:

(p
l+(-l>"=^

den Wert 1; genügen dagegen die Zahlen x, x der Kongruenz (26)

246 VII. 2. Pevioclencharaliteristiken.

nicht, so besitzt f^{x) den Wert 0. Daraus folgt sofort, daß der

Ausdruck:

p

r / -^ 'V Q^n ^nQ '/u' "r" o \

(28) F{x)^f, (x) . . . /•^(^) = 1 JY h + (- 1/=^ \

für jedes Zahlensystem x, x, das eine Lösung des Kongruenzensystems
(25) ist, den Wert 1, für jedes andere den Wert 0 hat, und daß
daher die über alle 2^p Per. Char. (x) erstreckte Summe:

(29) ^J^(^)

(■r)

den Wert s angibt. Man hat also für die Anzahl s der Lösungen
des Kongruenzensystems (25) den Ausdruck:

p

(.r) l(,. = l \ / )

Führt man nun auf der rechten Seite die Multiplikation aus, so wird
das erste Glied der Summe:

(31) ^1 = 2^

{X)

irgend ein anderes Glied aber:

( P 1

0 [f<==l )

(32) (^)

wo ^ über einen Teil oder alle Werte 1, 2, •••, r zu erstrecken ist.

ij
Sind' aber die Per. Char. (f^), (fj), •••, (O? ^^^ vorausgesetzt, unab-
hängig, so ist keine Summe von irgend welchen unter ihnen der
Char. (0) gleich, und es sind daher die 2p Zahlen ^ e^o, •••, 2 ^po7

2hn7 '"■) 2^'po niemals gleichzeitig =0 (mod. 2). Daraus folgt

aber, daß mindestens einer der Faktoren des auf der rechten Seite
von (32) stehenden Produkts und daher das Produkt selbst den Wert
Null hat. Man erhält daher aus (30), da sich die rechts stehende
Summe auf das erste Glied (31) reduziert:

Thetacharakteristiken. Lineare Transformation derselben. 247

(33) s = ~2^^^2^P-'-

und hat den

III. Satz: Unter den 2^p Per. Char. sind stets 2^^-'' in vor-
geschriehener Weise sysygetisch und asygetiseh zu r gegebenen unab-
Imngigen Per. Char.

§ 3.

Thetacharakteristiken.

Führt man an Stelle der der Thetafunktion O- [£]((<*)) zu gründe
liegenden Perioden o, aus denen sich die Argumente u und die Mo-
dulen a in der pag. 129 angegebenen Weise berechnen, durch eine
ganzzahlige lineare Transformation (7) neue Perioden co ein, und
heißt die Argumente und Modulen der neuen zu den o' gehörigen
Thetafunktionen n' und a, so sind die Größen n und a mit den
Größen n und a in der pag. 141 angegebenen Art miteinander ver-
knüpft, die zugehörigen Thetafunktionen aber selbst nach dem XII. Satz
pag. 180 durch eine Gleichung von der Form:

(34) ^M((4a = ^ß-^^[^J(KL,

wobei bezüglich der Bedeutung von C und U auf das dort An-
gegebene verwiesen werden mag, die Elemente £^,, «/j der Th. Char.
[f] aber sich aus den Elementen e^,, s'^ der Th. Char. [f] berechnen
mit Hilfe der Gleichungen:

p

(35) *=' (,, = i,2,...,p)

p

v = l

Man sagt dann, 'daß die Th. Char. [f] durch die Transformation (7)
in die Th. Char. [s] übergehe.

Die Gleichung (34) zeigt, daß die transformierte Th. Char. [c]
immer gleichzeitig mit der ursprünglichen [e] gerade und ungerade
ist, daß also durch eine ganzzahlige lineare Transformation stets eine
gerade Th. Char. wieder in eine gerade, eine ungerade Th. Char.
wieder in eine ungerade übergeht.

Von der Richtigkeit der Kongruenz:

p p

(36) ^ e^, «; = ^ £„ £^ (mod. 2)

248 Vn. 3. Thetacharakteristiken.

kann man sich auch wie folgt direkt überzeugen. Es ist zunächst:

X / ^,u ^H ^ ^, X, ^^ l ^iiiv^p + ft,v' ^v^v- ~ ^iu,pi-v^p + ,ti,p + V ^v^v'

V^V "1 \Pfiy^p + /ii,v'^p + /it,p + v' ^p + fi,v^,ur'^/i,,p + v-)^v

' V ^ti,p + r ^p + /ii,i' ^p+u,p + v' ' ^'p + ,u,p + v^/iiv' ^fi,p + v')^v
I \^/iir ^p + fi,p + v' ' ^p + fi,v^f(,p + v')^v'^t' I C«v C^,,p + v ^p + f),y' ^p + fi,p + v'}}

WO die Summen ^, ^, ^ wie stets im folgenden von 1 bis p zu

t' »■ '■'
erstrecken sind. Beachtet man nun, daß für ganze Zahlen Oi,u->
welche den Bedingungen:

(38) 0,, = 0,,>
genügen, die Kongruenz:

(39) ^^0,,--^^y,, (mod.2)

besteht, und daß für jede ganze Zahl g:

(40) ff^g (mod. 2)

ist, so erkennt man sofort auf Grand der Gleichungen (9) die
Bichtigkeit der Kongruenzen mod. 2:

X I / I \Pnv^p-^ii(,v'^p + ft,p-\-v' ^p + u,v^,uv'^iu,p + v')
fl v'

und:

y^i y^i \ ^^l,p-\-v^p■\-^t,v^^p-\-n,p-^v' I ^p + fi,p + v^juv' ^/it,p + v')

Aus diesen Kongruenzen folgen aber auf Grund der Gleichungen (8)
die weiteren:

Lineare Transformation der Tb. Cbar. 249

/ I X I \^fi r ^p + fi, v' ^p + /ii,P + »■' ^p + fi, V ^/i v' ^n, p + iV

^ y — ^ { .^ ^f V ^p + /(, .' ) _^ \P,u'r ^p + ,«', p + v' ~ ^i) + ,«', V ^/(',i) + v)

y' ^ j.1 ' IX

und:

M »■'

(44) = ^^ i-^ ^/'li' + v Sj + /'.;' + •■' ) .^ ('^/(■>'^;) + /(',i) + v~ ^^ + ^(',v'^^',p + v)

Da nun ferner auf Grund der Gleichungen (8) und der Kongruenzen
(39) und (40) die Kongruenzen:

und:

(■*") ^ ^^ ^^ ^/',P + >S+,".P + »"^>^»' — ^^ j^ ^/(,p + V^p+^/,J9 + f ^V

bestehen, so erkennt man, daß der von den drei ersten Zeilen her-
rührende Beitrag zur rechten Seite der Gleichung (37) der Zahl 0
kongruent ist nach dem Modul 2. Auf Grund der Gleichungen (8)
ist ferner:

V v' fl V

Endlich ist auf Grund der Gleichungen (9) und der Kongruenzen (39):

y^i y^' ■^< ^fiv^f(,p + v^p + fi,v-^p + iu,p + v'

(48) =^ 2j (jiLj ^Mv^f'\p + v)(^ ^P + M',v'^P + f>,P + r')

fl fl' ^ V ■^ \ v' /

V y' ^ ,« ^ ^ fi /

und daher auf Grund der Gleichungen (8) weiter:

.^_J j^ ^^ l-i-V^fi,p-\-v^p-\-fi,v'^p-^fi,p-irv''^^^j X / ^p-\-fi',v^fi',p+v

(49) ^ ^ ^' V ß'

+ ^ j^ \^ ^P^t^,v^fi,p + v'\\j^ ^p + ,u',v'^fi',p + v]-

250 VII. 3. Thetacharakteristiken.

Nun ist aber infolge der Kongruenzen (39) und (40) für beliebige
ganze Zahlen li^,^,, :

(50) 2 2 ^'.v ^'v. ^ 2 ^*- = 2 ^^v-,

V v' V V

daher ist:

(51) ■ '■ "^^^ "■
und es folgt aus (49) endlich:

/( 1- )■'

womit der gewünschte Nachweis erbracht ist.

Da, wie im § 1 bemerkt ist, zwei Funktionen 0- [£]((?<]) und 'S" [■»?] ((m)),
deren Charakteristikenelemente f^, •••, £ , i(, •••, £ ' und ly^, ■••, -»y ,
'Hxi '"■) */p' ^®^ -2^ Kongruenzen (4) genügen, auf Grund der Formel
(VIII) sich nur um einen Faktor + 1 unterscheiden, so sollen für
die Untersuchungen dieses Abschnitts zwei solche Th. Char \b\ und
[>/] als nicht verschieden angesehen werden. Es gibt dann im ganzen
nur 2^^ verschiedene Th. Char. [f], als welche man diejenigen wählt,
die entstehen, wenn man an Stelle des Systems der 2^? Elemente
£, f' alle 2^^ Variationen mit Wiederholung zur 2^j**° Klasse der
Zahlen 0, 1 setzt. Man teilt die 2^^ Th. Char. in zwei Klassen-, die
eine Klasse besteht aus den g geraden, die andere aus den u un-
geraden Th. Char. Es handelt sich darum, diese Anzahlen g und u
zu bestimmen.

Erste Methode: Bezeichnet man mit ^, ^, /, abgekürzt
. rt^l • . . . 161^2 ■■■^p-iJ

mit \ sj>\ irgend eine p — 1- reihige Th. Char. und verschafft derselben

durch Anhängen von qj /., .? . jedesmal eine ]f^ Vertikalreihe, so
entstehen zunächst die vier verschiedenen ^- reihigen Th. Char.:

(^3) [:■:]. ß-;]. c-a- k-:]-

Setzt man dann in diesen Gleichungen für , der Reihe nach alle

22p- 2 2) — 1 -reihigen Th. Char., so erhält man die sämtlichen
^-reihigen Th. Char., die dadurch zugleich in vier, den vier an-
geschriebenen Typen entsprechende Gruppen eingeteilt erscheinen,
von denen jede 2-^~^ Th. Char. mit gemeinsamer jj*" Vertikalreihe
enthält. Berücksichtigt man dann, daß jede Th. Char. vom Typus

Gerade und ungerade Tb. Cbar. Bestimmung ihrer Anzahl. 251

1, 2, 3 gerade oder ungerade ist, je nachdem die Th. Char. \ s.A,

ans der sie entstanden, gerade oder ungerade ist; daß dagegen jede

r Ä ~i
Th. Char. vom Typus 4 bei ungerader Th. Char. , gerade, bei

gerader Th. Char. .J ungerade ist, so erkennt man sofort, daß von

den vier Gruppen, in welche die 2"^' zur Zahl p gehörigen Th. Char.
eingeteilt wurden, die drei ersten aus je i/„_i geraden und u i
ungeraden Th. Char. bestehen, während die vierte Gruppe u i ge-
rade und g ^^ ungerade Th. Char. enthält. Man hat daher die
, Beziehungen:

(54) ^^ ^ ^^"'^ "^ "^"" ^' ^ "^ ^ ^^^^"' "^ "^~''^'

»p-^i^p-i+fjp-i, f/p-% = '^iffp-i-%-i),

aus denen durch Übergang von p zu p — 1, p ~ 2, • • •, 3, 2 und
unter Berücksichtigung von //^ = 3, tt^ == 1 die Gleichungen:

^""^^ g^-u^ = 2P, «^ = 2^-^(2/' -1)

folgen.

Zweite Methode: Da jede Th. Char. [e] entweder gerade oder
ungerade ist, so ist:

(56) 9p + «p = 2'".

Da weiter der Ausdruck:

p

(57) Uj = (-1).-^ ,

den man den Giardkter der Th. Char. [f] nennt, für jede gerade
Th. Char. den Wert -f 1, für jede ungerade den Wert — 1 hat,
so ist:

(58) 9p-u,-^2>\s\,

wo die Summe über alle 2'^p Th. Char. {b\ zu erstrecken ist. Aus
dieser Gleichung folgt aber, wenn man für ' e j seinen Ausdruck aus
(57) einsetzt, sofort weiter:

(59) 9p-up = Yl{^{-iy^^'^^

und da jede der p hier als Faktoren auftretenden Summen, wie die
direkte Ausrechnung ergibt, den Wert 2 besitzt, so ist:

m 0p-np = 2P,

womit wiederum die Gleichungen (55) gewonnen sind.

252 ^"^n. 3. Thetacharaktoristiken.

Man hat also den

IV. Satz: Von den 2^p Th. Char. sind (j^ = 2p'^ {2p + 1) gerade,
II p .^2P-^ (2^—1) ungerade.

Ordnet man die 2^p Th. Char. [s] in ein quadratisches Schema
derart, daß für die 2p in einer Horizontalreihe stehenden Th. Char.
die Zahlen e^, s.^, •■•, s , für die 2^ in einer Vertikalreihe stehenden
Th. Char. die Zahlen f^', e^, ' ' '} V ^^® nämlichen Werte haben, so
stehen in jener Horizontalreihe, für welche f ^ = f g == ' ' ' = ^o = ^ ist,
2p gerade, in jeder der 2^—1 übrigen Horizontalreihen aber 2^~^
gerade und 2p ~^ ungerade Th. Char. Die Richtigkeit dieser Be-
hauptung ergibt sich daraus, daß für eine jede Horizontalreihe, wenn
man mit g die Anzahl ihrer geraden, mit u die Anzahl ihrer un-
geraden Th. Char. bezeichnet:

(61) 9-u-2\''^=n(2(-^y''^)

ist. Ist nun s^ = s^ = ■■• = („== 0, so hat jede der ji hier als
Faktoren auftretenden Summen den Wert 2, das Produkt selbst also
den Wert 2^; in jedem anderen Falle ist dagegen mindestens eine
der }) Summen und daher auch ihr Produkt Null; es ist daher für
jene Horizontalreihe, für welche s^ = e^ = • • ■ ^ £ = 0 ist:

(62) 9-u = 2P,
für jede andere

(63) g — u = 0,
imd da stets

(64) 9 + 11 = 2P
ist, so ergibt sich im ersten Falle:

(65)

im zweiten Falle:

9 = 2'>

u =

= 0,

(66)

9

= 2P-',

u =

= 9P-1

wie zu beweisen war^).
Unter der Summe:

(67)

W =

Nr

••]

mehrerer Th. Char. [«], [?j], [^], • • • wird in diesem Abschnitte jene
Th. Char. verstanden, deren Elemente durch die 2}) Kongruenzen:

1) Auf diesem Wege hat Borel, Sur les caracteristiques des fonctions 0.
Bull. S. M. F. Bd. 26. 1898, pag. 89, die Anzahlen g^ und u^ berechnet.

Symbol [f, ?], ^]. Syzyg. u. azyg. Tb. Char. Bezieh, zw. Per. Cliar. u. Tb. Cbar. 253
.,,, ^,-^. + ^. + e, + --- (niod.2),

^ ^ <?; = «; + v', + e;< + • • • (mod. 2)

bestimmt sind. Man nennt gegebene Th. Char. [s], [rj\, ■■■ tvesentUch
undbltängig , wenn uicbt die Summe einer geraden Anzahl derselben
der Th. Char. [0] gleich ist; man nennt ferner eine Summe von v
unter gegebenen Th. Char. [fj, [fg], • • • eine Komhination f*^"" Ord-

V

niing und bezeichnet sie mit [^f]; die Kombinationen ungerader
Ordnung nennt man die ivesenttichen Komhinationen der gegebenen
Th. Char.

Drei Th. Char. [s], [t]], [^] heißen syzygetisch oder azygetisch, je
nachdem der Ausdruck:

(69) \8,ri,t,\^\B\-U\-\l\-\sril\

= + 1 oder = — 1 ist, je nachdem also von den vier Th. Char. [e\
\ri\, [^], [fr?^] eine gerade oder eine ungerade Anzahl gerade (oder
ungerade) ist oder, wie man auch sagen kann, je nachdem der Theta-
quotient:

eine gerade oder ungerade Funktion seiner Argumente ist.

§4.

Beziehungen zwischen den Feriodencharakteristiken
und den Thetacharakteristiken.

Das verschiedene Verhalten der Per. Char. und der Th. Char.
bei ganzzahliger linearer Transformation zeigt sich vor allem darin,
daß die Per. Char. (o) stets in sich übergeht, daß also symbolisch
geschrieben (ö) = (o) ist, während die Th. Char. [o] bei der Trans-
formation (7) in die Th. Char. [o] übergeht, deren Elemente o^,, oä
durch die Kongruenzen:

(71) K^^c^.

p

V,

v^/Li,p + v) ,« — X / '-'p + fi,v'^p + ii<,p + v

r = l

bestimmt sind. Für eine beliebige Per. Char. (f) und die aus den-
selben Zahlen gebildete Th. Char. [s] erhält man die Elemente £^(, f/^
der transformierten Th. Char. [f] aus den Elementen i„, t/^ der
transformierten Per. Char. (i), indem man zu diesen die Größen o^<, o^
addiert; es ist also symbolisch geschrieben [f] = [fo]. Gehen weiter
die Per. Char. (f), (tj), ■ ■ ■ durch eine Transformation in die Per. Char.

254 ^I- 4:. Beziehungen zwischen den Per. Char. und den Th. Char.

(s), (T]), • • • über, so geht durch diese Transformation die Summe
{sr}---) in die Summe («^ • • •) über; gehen dagegen die Th. Char.
[f], [r]^, ■•• durch eine Transformation in die Th. Char. [e], {tj], •••
über, so geht die Summe [f^;---] einer ungeraden Anzahl von ihnen
in [£■>;•••] über, die Summe [f^---] einer geraden Anzahl dagegen in
[o£')?'--]. Man kann auch sagen, daß die Summe einer geraden An-
zahl von Th. Char. sieh wie eine Per. Char., die Summe einer un-
geraden Anzahl von Th. Char. aber wie eine Th. Char. transformiert.
Beachtet man dann endlich noch, daß im Falle einer geraden Anzahl
von Per. Char. (f >^- • ) = (f^/ • • ) ist, so wii-d man mit Vorteil
Th. Char. als Summen einer ungeraden. Per. Char. als Summen einer
geraden Anzahl gewisser Fundamentalcharakteristiken darstellen, die
dann bei einer Transformation als Th. Char. behandelt werden.

Zwischen den für Per. Char. definierten Symbolen | £, ^ ] und den
für Th. Char. definierten Symbolen | s | bestehen, wenn die auftreten-
den Per. Char. («), (t?), (e), • • • und Th. Char. [f], M, [^], • • • die
nämlichen Elemente haben, die Gleichungen:

.^. \^\-\v\-\^v\ = \£,n\,

\e\-\v\-\t\-\svt\ = \s,v\-\v,^\-\t,s\.

Aus der letzten Gleichung folgt dann, wenn man das Symbol \s, t]]
auch für Th. Char. gelten läßt, insbesondere für das im vorigen
Paragraphen eingeführte Symbol \£, rj, ^\ der neue Ausdruck :

(73) If, .;, ^l = {f, ^|-|7?, ei-le, f[-
Hieraus ergeben sich aber leicht die beiden Gleichungen:

(74) \il,X€,Xri\ = \£,7]\, \£1], £t\=\£, V, V\,

von denen die erste zeigt, daß mit den Per. Char. (e), (yf) immer
gleichzeitig die Th. Char. [x], [xf], [xrß und zwar für jede Th. Char.
[x] syzygetisch und azygetisch sind; die zweite aber, daß mit den
Th. Char. [«], [//], [^] immer gleichzeitig die Per. Char. (f»/), {^t)
syzygetisch und azygetisch sind.

Man bemerkt endlich, daß infolge der Un Veränderlichkeit des
Ausdrucks ] £, ■>? | durch eine beliebige ganzzahlige lineare Transfor-
mation zwei syzygetische Per. Char. stets wieder in zwei syzygetische,
zwei azygetische Per. Char. stets wieder in zwei azygetische über-
gehen. Ebenso gehen infolge der Unveränderlichkeit des Charakters
j £ I durch eine beliebige ganzzahlige lineare Transformation drei
syzygetische Th. Char. immer wieder in drei syzygetische, drei azy-
getische Th. Char. immer wieder in drei azygetische über. Es gehen
aber weiter drei syzygetische oder azygetische Th. Char. auch, wie
aus den Gleichungen (74) folgt, durch Addition einer beliebigen

Per. Char. u. Th. Char. bei lin. Trausf. Char. einer Summe von Th. Char. 255

Th. Char. wieder in drei syzyge tische oder azygetische über, d, h.
es ist:

(75) [xf, X7^, x^l = |f, ->?, t|.

Für die Summe [s^ f g • • • ^„] ^^^ *^ gegebenen Th. Char. [fj,
M; • • -j k] ist:

C^ß) \hh---^n\-Tl\^r\-Tl\^,u,£y\>

WO in dem ersten Produkt v die Werte 1, 2, ■•-, n durchläuft, in
dem zweiten für ^, v alle ^{ii—l)n Kombinationen ohne Wieder-
holung zur zweiten Klasse dieser Zahlen zu treten haben. Für eine
wesentliche Kombination von Th. Char. kann diese Formel in eine
andere Form gebracht werden. Aus:

folgt hier zunächst:

(78) I fo ^1 • • • h,n \=Tl\'r\-Tl{\^0,^(!\-\\.,^a\-\ ^a, ^ 0 I } ,

wo in dem ersten Produkte v von 0 bis 2m geht, in dem zweiten
an Stelle von q, 6 die m(2m — 1) Kombinationen ohne Wiederholung
zur zweiten Klasse der Zahlen. 1, 2, •••, 2w zu setzen sind, sodaß an
Stelle von q und 6 zusammen jede der Zahlen l,2,---,2ni im
ganzen (ßni — l)-mal tritt. Auf Grund der Gleichung (73) erhält
man jetzt:

G9) l^o^l ■■■h,n\='ri\^r\-Tl\^0, \., ^o\-

Sind daher die 2m + 1 Th. Char. [fj,], [«J, • • •, [^2«] ^^^ j^ dreien
syzygetisch, so ist:

(80) \^oh---hj-n\'rU

1=0

sind dagegen die 2m + 1 Th. Char. [fj, [f J^ • • ■, [f2,J zu je dreien
azygetisch, so ist:

(81) \^oh---hj = i-^r-n\'^\-

r = 0

Wenn zwischen drei Th. Char. [f], [x], [X] die Gleichung
[f] = [xX] besteht, so sagt man auch die Per. Char. (s) sei in die
beiden TJi. Char. [jc] und [A] serleghar und schreibt:

(82) (,) = ^^] + [A].

Bezüglich dieser Zerlegungen gelten folgende Sätze:

256 VII. 4. Beziehungen zwischen den Per. Char. und den Th. Char.

V. Satz: Jede eigentliche Per. Char. läßt sich auf 2^-p~^ Weisen
in zwei immer verschiedene Th. Char. zerlegen.

Man kann nämlicli in der Gleichung (82) bei gegebener Per. Char.
(f) immer noch [x] ganz nach Belieben annehmen; dann erst ist der
zweite Summand [A] = [«k] und damit die Zerlegung selbst bestimmt.
Setzt man nun für \x\ der Reihe nach die sämtlichen 2^^ Th. Char.,
so erhält man 2^-^ Zerlegungen der Per. Char. {s), unter denen aber,
da neben einer Zerlegung (f) = [x] + [X] immer auch die damit iden-
tische (f) = [A] + [x] sich findet, jede mögliche Zerlegung zweimal vor-
kommt, sodaß im ganzen nur 2^^"^ verschiedene Zerlegungen von (f)
existieren.

Was die bei dieser Betrachtung ausgeschlossene uneigentliche
Per. Char. (0) betrifit, so läßt sich dieselbe entsprechend der für jede
beliebige Th. Char. [x] geltenden Gleichung :

(83) (0) = \x\ + [x]

auf 2"-'' Weisen in zwei immer gleiche Th. Char. zerlegen.

Die sämtlichen 2^^'~^ Zerlegungen (82j einer eigentlichen Per. Char.
(f) kann man in drei Arten einteilen. Zur ersten Art rechne man
alle diejenigen Zerlegungen, bei denen [x] und [A] beide gerade sind,
ihre Anzahl sei j ; zur zweiten Art alle diejenigen, bei denen [x]
und [A] beide ungerade sind, ihre Anzahl sei ^^j zur dritten Art
endlich diejenigen, bei denen von den beiden Th. Char. [y.], [A] die
eine gerade, die andere ungerade ist; ihre Anzahl sei j^. Die Zahlen
r , "^ i sollen jetzt bestimmt werden; es wird sich dabei zeigen,
daß dieselben von der besonderen Per. Char. (s), auf die sie sich be-
ziehen, unabhängig sind, also für alle 2-^ — 1 eigentlichen Per. Char.
(e) die nämlichen Werte besitzen.

Erste Methode: Setzt man in der Gleichung (82) bei gegebener
Per. Char. (s) für \k] der Reihe nach die g^ geraden Th. Char. und
bestimmt jedesmal [A] aus der Gleichung [A] = [£3f], so erhält man
von den Zerlegungen der Per. Char. (f) jede Zerlegung der ersten
Art zAveimal, jede Zerlegung der dritten Art einmal; setzt man da-
gegen für [x] der Reihe nach die u^ ungeraden Th. Char., so erhält
man auf dieselbe Weise jede Zerlegung der zweiten Art zweimal,
jede Zerlegung der dritten Art einmal. Hieraus ergeben sich die
Beziehungen:

(84) 9, = '2l, + l,, M^ = 25^-fs^.

Man bilde nun aus den Elementen der beiden Th. Char. [x] und [A],
die einer beliebigen Zerlegung (82) der gegebenen Per. Char. (f)
entsprechen, den Ausdruck jx[ • |A| und bezeichne denselben, insofern
als bei gegebener Per. Char. (f) die Th. Char. [A] mit [x] zugleich
bestimmt ist, mit f[%\. Es besitzt dann f\x\ den Wert -f 1, wenn

Zerleg, einer Per. Char. in zwei Th. Cbar. 3 Arten solcher Zerl. 257

die betrachtete Zerlegung von der ersten oder zweiten Art, dagegen
den Wert — 1, wenn dieselbe von der dritten Art ist. Läßt man
daher an Stelle von [k] der Reihe nach die sämtlichen 2-^ Th. Char.
treten und bildet die Summe s der entsprechenden Werte von /"[%],
so ist:

(85) s = 2(f^ + ^^ - 3^),

da jede Zerlegung der Per. Char. (s) zweimal auftritt, wenn [x] in
der Gleichung (82) der Reihe nach alle 2-^' Th. Char. durchläuft.
Berücksichtigt man aber, daß der mit f[x] bezeichnete Ausdruck,
weil [A] = [sji] ist, auf Grund der ersten Gleichung (72) auch in
die Form:

(86) f[K-] = \x\-\sx\ = \a\.\s,x\

gebracht werden kann, und daß, wie beim Beweise des I. Satzes
gezeigt wurde, die über alle 2^^' Th. Char. [x] erstreckte Summe

(87) 2^le,y.\ = 0

ist, wenn wie hier (f) eine der 2'P — 1 eigentlichen Per. Char. be-
zeichnet, so erhält man für s die weitere Gleichung:

(88) s = 2f[x] = \s\-^\e,x\ = 0.

Setzt man die beiden für s gefundenen Werte einander gleich, so ent-
steht die Relation:

(89) l, + \-h-0-

Durch Kombination der Gleichungen (84) und (89) ergibt sich aber:

und hieraus wegen (54) und (55) endlich^):

^ ' t] =u = 2^--(2^-i — 1) ^^ i/p-i^'V-i
Zweite Methode: Der Ausdruck:

(92) 9'M = i(l + ri'^l)(l + ^l^^l),

wo y- = d- = 1 ist, hat nur dann einen von Null verschiedenen Wert
und zwar den Wert 1, wenn

1) Einen direkten Beweis der Gleichungen lp=^ Op—i-, i)j, = «^—i »
l=g _x.-\- u _i hat Moore, On a theorem concerning ^j-rowed characte-
ristics with denomiuator 2. Bull. Am. M. S. (2) Bd. 1. 1895, pag. 262 gegeben.

Krazer, TLetafimktionen. 17

258 VII. 4. Beziehungen zwischen den Per. Char. und den Th. Char.

(93) \^\-y, \sx\ = d

ist, d. h. wenn die Th. Char. [x] und [X] = [sk] eine Zerlegung (.^2)
der Per. Char. (s) in zwei Th. Char. von den vorgeschriebenen
Charakteren y, d bestimmen. Läßt man daher an Stelle von [x] der
Reihe nach die sämtlichen 2'^' Th. Char. treten und bildet die Summe
6 der entsprechenden Werte von ^ [x], so gibt diese Summe die An-
zahl der derartigen Zerlegungen der Per. Char. (e), wobei aber zu
bemerken ist, daß in den Fällen, wo die beiden Th. Char. [x~] und
[X] von gleichem Charakter sind, jede Zerlegung zweimal auftritt,
daß also, wenn y = d = + 1 ist, (? = 2j^, wenn y = d = — 1 ist,
(j = 2t)^, während, wenn y = -\- 1, 0 = — 1 ist, 6 = ip wird. Nun
ist aber:

(3 = ^ cplx] = i^(l + y\7i\ + ö\£z\-^yd\x\\£x)

LA [A

(y^)

und da

(95)

^\^\=2\sx\ = fjp-Up = 2P,

lA VA

VA M

ist, so erhält

man:

(96)

ö = 22i'-2 + (y + 0)2^-2,

^«1).

woraus sich sofort die obigen Werte (91) für j^, Q^,, l^ ergeben.
Man hat also den

VI. Satz: Jede eifjenÜiclte Per. CJiar. läßt sich auf gp_^
= 2^-2(2^-^ + 1) Weisen in zwei gerade, auf ^f^_i = 2^-^(2^-^- 1)
Weisen in zivei ungerade, endlich ««/" <7^_i + «p_i = 2-^-^ Weisen in
eine gerade und eine ungerade Tli. Char. zerlegen.

Dieselben Resultate lassen sich auch wiedergeben durch den

VII. Satz: Addiert man zu den sämtlichen 2^p Th. Char. eine he-
lielige der 2"P — 1 eigentlichen Per. Omr., so gehen dadurch von den
g^ geraden Th. Char. 2(jr^_i = 2^-^(2^-^ + 1) tvieder in gerade, die
übrigen 2^p~^ in ungerade über, ivälirend andererseits von den u^ un-
geraden TJi. Char. 2i<^_i = 2^-^(2^-^ — 1) tvieder in ungerade, die
iihrigen 2^p~^ in geracle übergehen.

Von jetzt ab werden von den Zerlegungen (82) einer gegebenen
eigentlichen Per. Char. (e) nur die in zwei gleichartige Th. Char.,
also die y ^ Zerlegungen in zwei gerade und die Up_i Zerlegungen

Best, der Anz. der 3 Arteu von Zerl. In einer Gruppe enthalt. Th. Char. 259

in zwei ungerade Th. Char. berücksichtigt. Von den darin auftreten-
den 2g _^ geraden und 2i< ^ ungeraden Th. Chai*. sagt man, daß
sie in der Gruppe (je) enthalten, und zwar von zwei Th. Char. wie [x]
und [A], daß sie in der Gruppe (s) gepaart enthalten seien. Es gibt
dann im ganzen 2^^' — 1 verschiedene Gruppen, von denen jede durch
eine der eigentlichen Per. Char. bezeichnet wird. Im folgenden
handelt es sich um die Bestimmung der in zwei und mehreren
Gruppen gemeinsam enthaltenen Th. Char.
Es sei:

(97) (e) = M + [A]

eine Zerlegung der eigentlichen Per. Char. (s) in zwei gleichartige
Th, Char., sodaß also

(98) j ;c I . I A I = + 1

ist. Ist dann (rf) eine andere eigentliche Per. Char., so ist wegen (72):

(99) h;J«| • k^l = |7?, x| • |r/, AI = l^?, x2| = |7?, £[.

Sind also die beiden Per. Char. (f) und (rf) azygetisch, so ist:

(100) \7iic\-\7ß\^-l]

es ist also von den beiden Th. Char. [rja] und [Tjk] die eine gerade,
die andere ungerade; sind dagegen die beiden Th. Char. (s) und (tj)
syzygetisch, so ist:

(101) \i]x\-\iß\ = + l;

es sind also die beiden Th. Char. [t/jc] und [')]X] entweder beide ge-
rade oder beide ungerade.

Für den ersten Fall, wo die beiden Per. Char. (c) und (jj) azy-
getisch sind, seien:

(102) (f) = w + [y (,"=i,v-,.^-i)

die ^^_i Zerlegungen der Per. Char. (s) in zwei gerade Th. Char.;

ist dann die Bezeichnung so gewählt, daß die (/^_^ Th. Char. [rjx^^

sämtlich gerade, die g ^^ Th. Char. [rjk] sämtlich ungerade sind,
so sind:

(103) (i?) = [;c^J + [vrA^,] (,=1,2, ■■■,9^-1)
die sämtlichen Zerlegungen der Per. Char. (rj) und

(104) (S i;) = [A J + [7J X^J (/< = 1, 2, . . . . 9p-t)

die sämtlichen gp_i Zerlegungen der Per. Char. (erf) in zwei gerade
Th. Char. Zum Beweise dieser Behauptung erübrigt es nur noch zu
zeigen, daß keine zwei der Zerlegungen (103) und ebenso keine zwei
der Zerlegungen (104) miteinander übereinstimmen können, d. h. daß

17*

260 VII. 4. Beziehungen zwischen den Per. Cbar. und den Th. Cbar.

weder [rjy-^,] = [xj noch [y]'A^ = [AJ sein kann für irgend ein Zahlen-
paar yi, V. Au.s der ersten dieser Gleichungen aber würde:

(105) hy = KA,x.,] = [.>:..] = [A„],
und ebenso aus der zweiten:

(106) [r^A^J = ["/^A„AJ = [^AJ = [x„]

folgen; zwei Gleichungen, die beide unmöglich sind, da der Voraus-
setzung nach die Th. Char. [^A ] ungerade, [x,,] und [A,,] aber ge-
rade sind.

Aus den Gleichungen (102), (103), (104) ergibt sich aber, wenn
man noch beachtet, daß dieselbe Untersuchung an die u -^ Zer-
legungen der Per. Char. («) in zwei ungerade Th. Char. geknüpft
werden kann, der

VIII. Satz: Sind die beiden Per. Char. (s) und (rj) azygetisch, so
enthalten je zwei der drei Grti^jen (a), (rj), (stj) gp_-i^ gerade und Mp_i
ungerade Tli. Char. gemeinsam, von denen aber heine zwei gepaart auf-
treten; alle drei Gruppen haben leine Th. CJiar. gemeinsam und ent-
halten zusammen dg ^^.verschiedene gerade und 3w ^ verschiedene un-
gerade TJi. Char.

In dem zweiten Falle, wo die beiden Per. Char. (f) und (rj)
syzjgetisch sind, ist für eine beliebige Th. Char. [x] nach (74):

(107) \x\-\£x\-\rjz\-\£riX\=^-}-l

und man schließt daraus, daß mit der Th. Char. [n] jedenfalls noch
eine der drei Th. Char. [fx], [>/x], [sr^a] möglicherweise alle drei
gleichzeitig gerade und ungerade sind. Beschränkt man sich daher
zunächst auf den Fall, daß [x] gerade ist, so folgt aus dem soeben
Gesagten, daß überhaupt jede gerade Th. Char. jedenfalls in einer
der drei Gruppen (s), (t}), {s^j), möglicherweise in allen dreien ent-
halten ist. Da nun alle drei Gruppen Gg ^ gerade Th. Char. ent-
halten, die Anzahl aller verschiedenen geraden Th. Char. aber g^ be-
trägt, so ergibt sich, daß in den drei Gruppen:

(108) ^9,-i-l0, = ^9,-,
gerade Th. Char. dreimal, die übrigen

(109) 5', -4^,-2 = 3. 2-^^-^

geraden Th. Char. nur einmal auftreten, und daß also je zwei der
drei Gruppen 4(/ g gerade Th. Char. gemeinsam enthalten, die dann
alle überdies auch in der dritten Gruppe enthalten sind. Um die
Verteilung dieser den drei Gruppen gemeinsamen geraden Th. Char.
zu untersuchen, nehme man an, daß [x] eine derselben sei; dann er-
geben sich sofort für jede der drei Per. Char. (s), (?;), (si]) zwei Zer-
legungen in zwei gerade Th. Char. von der Form:

Best, der iu mehreren Gruppen gemeinsam enth. Th. Char. 261

(£) = [yi\ + i^^-] = [n%\ + [etitc],

(110) (ri) =M + [^^] =briz\^\_sx\,

(£7?) = [jc]+ [£tj ;«] = [£;«] + [^x],

von denen, wie man sieht, jedes Paar aus den nämlichen vier Th.
Char. nur in anderer Zusammenstellung besteht. Die 4o,_2 den drei
Gruppen (e), ()j), {sri) gemeinsamen geraden Th. Char. ordnen sich
also in g » Systeme von je 4, derart daß die 4 Th. Char. eines solchen
Systems in jeder der drei Gnippen zwei Paare bilden. Das oben ge-
fundene Resultat, daß die beiden Th, Char. [t^jc] und [ijA] = [f^^Jc]
stets von gleichem Charakter sind, wird man jetzt genauer dahin
aussprechen, daß sie gerade sind, wenn [x] (und [A]) zu den in den
drei Gruppen dreifach auftretenden geraden Th. Char. gehört, dagegen
ungerade, wenn [x] (und [A]) in den drei Gruppen nur einfach ent-
halten ist.

Da wiederum für die Zerlegungen in zwei ungerade Th. Char.
die nämliche Untersuchung angestellt werden kann, so hat man den

IX. Satz: Sind die leiden eigentlichen und verschiedenen Per. Char.
(je) und (>/) sijzygetisch , so treten in den drei Gruppen (s), (•>/), (er])
alle geraden und alle migeraden Th. Char. auf, und ztvar kommen von
ihnen 3 -2"^"^ gerade und 3 • 2^^~^ ungerade Th. Char. nur in einer
der drei Gruppen vor, tväJirend die iihrigen 4</^_2 geraden und 4iUp_2
ungeraden Tli. Char. allen drei Gruppen gemeinsam angehören. Biese
^9p-2 gß^'C'^d^i ^6^- 4«'p_2 ungeraden Tli. Char. ordnen sich in gp_^
lez. Up_2 Systeme von je vier derart, daß die vier Th. Char. eines
solchen Systems in jeder der drei Gruppen zivei Paare hilden.

Die in den Sätzen VIII und IX auftretenden Anzahlen der zwei
Gruppen (f) und (rj) geraeinsamen Th. Char. können auch folgender-
maßen bestimmt werden. Der Ausdruck:

(111) 9M = Hi + l'^l)(i±l^'<l)(i±h>^l)

hat nur dann einen von Null verschiedenen Wert, und zwar den
Wert 1, wenn im Falle der oberen Zeichen die drei Th. Char. [x],
[ex], [tix] alle drei ^^ gerade, im Falle der unteren Zeichen die drei
Th. Char. [x], [£x], [t]x] alle drei ungerade sind, d. h. wenn die ge-
rade bez. ungerade Th. Char. [x] den beiden Gruppen (s), (r}) ge-
meinsam angehört. Man erhält daher die Anzahl aller diesen beiden
Gruppen gemeinsamen geraden bez. ungeraden Th. Char., wenn man
an Stelle von [x] der Reihe nach die sämtlichen 2^^ Th. Char. treten
läßt und die Summe der entsprechenden Werte von cp[x] bildet.
Nennt man daher diese Anzahl q), so ist:

(112) 9^ = 1^(1 ±|^:)(i±h^|)(i±lr'c|).

262 VII. 4. Beziehungen zwischen den Per. Char. und den Th. Char.

Nun ist aber:

{l±\x\){l±\sx\){l±\r}H\)

(113) + \x\ \r]jt\ + |£x| l-f^x] + \x\ \ex\ \rjx

-\-\vUv,^\-^\^\\v\\^v,^\±\£,v\\^v^\

also da:

2l = 2^^

(114) ^\H\=^\syc\=^\rix\=^\er^yc\ = 2P,

\.y.] M [><] [>^]

^ I f; »« 1 = ^ !^^ '^ ' = ^ ! «^; ^ I = ^

[z] [X] [z]

ist:

(115) (p = 2P-'[2P±(3-^\e,r]\)l

Daraus folgt aber, wenn wie bei dem VII. Satz | £, ly j = — 1 ist:

(116) (p = 2^-2(2^-1 ± 1) = ^^-"
wenn dagegen wie bei dem VIII. Satz \ s, rj \ = -\- 1 ist:

(117) <p = 2p-^{2p-^-±1) = IIp-'-'

In derselben Weise lassen sich nun auch die Anzahlen der irgend
drei Gruppen (e), (rf), (^) gemeinsamen Th. Char. bestimmen, indem
man den Ausdruck:

(118) t^M = /,(1 ±\K,)il ± |£k!) (1 ±\rix\) (1 ±1^x0

bildet und berücksichtigt, daß dieser nur dann einen von Null ver-
schiedenen Wert und zwar den Wert 1 hat, wenn bei den oberen
Zeichen die vier Th. Char. [x], [sx], \_rjX~\, [^x] alle vier gerade, bei
den unteren Zeichen die vier Th. Char. [x~\, [ex], [r^x], [i,x] alle vier
UDgerade sind, und daß man also die Anzahl der den drei Gruppen
(f), {rf), (^) gemeinsamen geraden bez. ungeraden Th. Char. erhält,
wenn man an Stelle von [x] der Reihe nach die sämtlichen 2-^ Th.
Char. treten läßt und die Summe der entsprechenden Werte von tp [x]
bildet. Heißt man daher diese Anzahl xp, so ist:

(119) t = ^i'[x]==^,2(l±:x:)(l±:ex\)(l±\r^x\)(l±\tx\\
woraus man in der gleichen Weise wie oben bei cp:

Best, der in mehreren Gruppen gemeinsam enth. Tb. Char. 263

M
erhält.

Ist nun zunächst:

(121) (0 = (sv),

so besitzt die am Ende der letzten Formel stehende Summe den
Wert 2-^ und da dann ferner:

. . \^\-\v\-\t\-\£\-\n\-\^n\ = \^,v\,

^ ^ \e,t\ = \v,t\ = \e,V,t\-\e,v\

ist, so erhält mau:

(123) t^ = (l + l5,)?|)2^--'(2^--±l),

also, wenn \ s, rj \ = — 1 ist, in Übereinstimmung mit dem VII. Satz:

(124) ^ = 0,

wenn dagegen | £, ij | = + 1 ist, in Uberstimmung mit dem VIII Satz:

(125) i^ = 2P-'{2P-'' ± 1) = ^^^-''

Ist (^) nicht (sif) gleich, so besitzt die am Ende der Formel
(120) stehende Summe den Wert 0 und man erhält:

(126) t = 2P-'[2P ±(4^\e,rj\ + \e,t\ + \7},t\ + \e,V,t\)l

Sind nun zunächst die drei Per. Char. («), (rj), (^ zu je zweien
azygetisch, d. h. ist:

(127) |f,T?| = :.,ei = |7?,a = -i

und daher auch

(128) \e,rj,t\=--l,
so ergibt sich:

(129) xp = 22p-4;

es haben also in diesem Falle die drei Gruppen (f), (t;), (g) 2^^~* ge-
rade und 2^^~* ungerade Th. Char. gemeinsam, die, wie aus dem
VIII. Satz folgt, in allen drei Gruppen ungepaart enthalten sind.
Man hat daher den

X. Satz: Sind die drei Per. Char. (&), (ji), (^) m je zweien azy-
getisch und ist nicht (^) = (srj), so haben die drei Gruppen («), (yi), (^)
22/>-4 gerade und 2^^~* ungerade Th. CJiar. gemeinsam, tvelche in jeder
der drei Gruppen ungepaart auftreten.

264 ^^11. 4. Beziehungen zwischen den Per. Char. und den Th. Char.

Sind weiter die beiden Per. Char. (t) und (ij) azygetisch, die
Per. Char. (^) aber zu beiden syzygetisch, d. h. ist:

(130) \s,rj\=-l, \e,^\ = \r},t, = + l
und daher

(131) \s,rj,t\ = -l,
so ergibt sich:

(132) 1^ = 2^-2(2^-2+ 1) = ^^^-2'

es haben also in diesem Falle die drei Gruppen (e), (t^), (0 2^^_2
gerade und 2ii 2 ungerade Th. Char. gemeinsam, welche in (f) und
(rf) ungepaart, in (0 dagegen gepaart enthalten sind. Man hat
daher den

XI. Satz: Sind die beiden Per. Char. (s) und (r/) azygetisch, (^)
aber zu beiden syzyyetisch, so haben die drei Gruppen (e), (tj), (^)
2g _2 gerade und 2u ^ ungerade Th. Char. gemeinsam, welche in den
Gruppen (f) und (rf) ungepaart enthalten sind, in der Gruppe (5) da-
gegen gp_2 bez. Up_2 Paare bilden.

Sind weiter die beiden Per. Char. (f) und (?j) syzygetisch, die
Per. Char. (2;) aber zu beiden azygetisch, d. h. ist:

(153) \£,ri\ = -\-l, \E,t,-, = ,r^,t,=-\

und daher

(134) |£,r?,ei = +l,
so ergibt sich:

(135) i> = 2^-2(2^-2 ± 1) = \^p-^[

es haben also auch in diesem Falle die drei Gruppen (f), (ji), (^)
2g --2 gerade und 2u ^ ungerade Th. Char. gemeinsam, welche aber
jetzt in allen drei Gruppen ungepaart enthalten sind. Sind nämlich:

(0 = W + [«^ J = [«^^.«1 + bi^fA , / ^ 9p-.\

^ ^ (7?) = [xj + [7?zJ = [67,-;^,] + [^^,J '" ''■'■■'".-2/

die 2g 2 l^^z. 2Up_2 ^^n beiden Gruppen (f), (fj) gemeinsamen Paare
gerader bez. ungerader Th. Char., so enthält die Gruppe (^) außer
anderen den Gruppen (f) und (7^) fremden die folgenden 2^^_2 bez.
2u 2 Paare gerader bez. ungerader Th. Char.:

(137) (0 = [Xj + [^Xj = [57?XJ + [.TJ^XJ (,, = 1,2,.., ^^-2)

und es sind also [x,J, [ctjxJ (|u, = 1, 2, • • •) die den drei Gruppen
(f), (ri), [l] gemeinsamen Th. Char. Man hat daher den

Best, der in mehreren Gruppen gemeinsam enth. Tli. Cliar. 265

XII. Satz: Shul die beiden Per. Char. (s) und {rj) syzijgetisch,
(^) aber zu beiden azygetisch, so haben die drei Gruppen (e), (rf), (£;)
2g _2 gerade und 2m^_2 ungerade TJi. CJiar. gemeinsam, ivelclie in
allen drei Grujypen ungepaart enthalten sind, zu ziveien aber in der
Weise zusammengehören, daß immer zivei zusammengehörige Th. Char.
in der Gruppe (erf) gepaaii enthalten sind.

Sind endlicli die drei Per. Char. (f), (rj), (^) zu je zweien syzy-
getisch, d. h. ist:

(138) l,,^l = ]^,g| = l,;,ei = + l

und daher auch

(139) \e,r],t\ = + l,
so ergibt sich:

(140) t}^ = 2^-1(2^-3 ± 1) = /P-''

es haben also in diesem Falle die drei Gruppen {e), (rf), (^) 8^^_3
gerade und 8((^_3 ungerade Th. Char. gemeinsam, welche sich in //p_3
bez.» i< 3 Systeme von je 8 derart ordnen, daß die 8 Th. Char.
eines solchen Systems in jeder der drei Gruppen vier Paare bilden
von der Form:

(0 = [%^ + [f ^,J = h^,j + [f^^,]

(141) (7^) = [;.J + hxj = [t%] + [^^toc,]
(0 = [^,] + [e^J = [s^,] + [tex^.]

XIII. Satz: Sind die drei Per. Char. (e), (rj) und (t) ^^^ ß
ziveien syzygetisch, und ist nicht (^) = (srj), so haben die drei Gruppen
(^)> (v)y (0 ^9p-3 9ß>'ci''^ß und ^Up_^ ungerade TJi. Char. gemeinsam,
ivelche in Systeme von je 8 in der Weise sich ordnen, daß die 8 Th.
CJiar. eines solchen Systems in jeder der drei Gruppen vier Paare bilden.

Periodencharakteristiken sind zuerst von Herrn Prym ^) und zwar
zur Darstellung jener Systeme korrespondierender Halber der Perioden
eingeführt worden, in welche das System der 2^ Riemannschen Normal-
integrale übergeht, wenn man für die Integralgrenzen Verzweigungspunkte
wählt. Sie werden von Herrn Prym „Gruppen Charakteristiken" genannt,
insofern als jede von ihnen die ganze Gruppe kongruenter Charakteristiken
vertritt. Ebenda finden sich auch die Thetacharakteristiken.

1) Prym, Zur Theorie der Functionen in einer zweiblättrigen Fläche.
Züricher N. Denkschr. Bd. 22. 1867, pag. 11.

266 VII. 4. Beziehungen zwischen den Per. Char. und den Th. Char.

Per. Char. sind auch die von Herrn Nöther ^) im Anschlüsse an
Riemann^) und Herrn Weber ^) eingeführten Gnqjpenchardlderislilien^
wobei dieses Wort in dem Sinne gebraucht ist, daß diejenigen Paare ge-
rader und ungerader Th. Char. (von Herrn Nöther „eigentliche" Char.
genannt), welche dieselbe Summe haben, zu einer „Gnippe" gerechnet und
diese Summe selbst als die „Gruppencharakteristik" bezeichnet wird.

Die Unterscheidung der Per. Char. von den Th. Char. ist später
verwischt woi'den. Schon bei Web er ^) ist die Verschiedenheit der Be-
zeichnung aufgehoben worden und vollends bei Schottky^), Frobenius^),
Stahl ^) und Prym'^) hat jede Unterscheidung zwischen Per. Char. und
Th. Char. aufgehört. Später hat HeiT Nöther ^) wieder auf die Not-
wendigkeit der Untei'seheidung zwischen den beiden Arten von Charakte-
ristiken hingewiesen, die, wie er auseinandersetzt, zweierlei Arten der
Zuordnung von halben Perioden zu Systemen reiner Berührungskurven
oder Wurzelformen entsprechen, nämlich der 2^-p Th. Char. zu den Wurzel-
lormen ungerader Dimension und der 2'^ Per. Char. zu den Wurzel-
formen gerader Dimension^). Hier hat HeiT Nöther auch zum ersten
Male gezeigt, wie das verschiedenartige Verhalten der beiden Arten von
Charakteristiken gegenüber einer ganzzahligen linearen Transformation
der Perioden die Unterscheidung derselben klar bedinge.

1) Nöther, Über die Thetafunctionen von vier Argumenten. Erlanger Ber.
Heft 10. 1878, pag. 87; Zur Theorie der Thetafunctionen von vier Argumenten.
Math. Ann. Bd. 14. 1879, pag. 248; Über die Theta-Charakteristiken. Erl. Ber.
Heft 11. 1879, pag. 198; Zur Theorie der Thetafunctionen von beliebig vielen
Argumenten. Math. Ann. Bd. 16. 1880, pag. 270.

2) Riemann, Zur Theorie der Abel'schen Functionen für den Fall ^ = 3.
(Nachlass). Ges. math. Werke. Leipzig 1876, pag. 4.56.

3) Weber, Theorie der Abel'schen Functionen vom Geschlecht 3. BerKn 1876.

4) Schottky, Abr. e. Th. d. Aberschen Funct. etc.

5) Frobenius, Über das Additionstheorem der Thetafunctionen mehrerftr
Variabein. J. für Math. Bd. 89. 1880, pag. 185; und: Über Gruppen von Theta-
charakteristiken. J. für Math. Bd. 96. 1884, pag. 81.

6) Stahl, Das Additionstheorem der -ö-- Functionen mit p Argumenten.
J. für Math. Bd. 88. 1880, pag. 117; und: Beweis eines Satzes von Riemann
über ^-Charakteristiken. J. für Math. Bd. 88. 1880, pag. 273.

7) Prym, Unters, ü. d. Riemann'sche Thetaf. etc.

8) Nöther, Zum Umkehrjjroblem in der Theorie der Abel'schen Func-
tionen. Math. Ann. Bd. 28. 1887, pag. 354; auch Schottky, Zur Theorie der
Abel'schen Functionen von vier Yariabeln. J. für Math. Bd. 102. 1888, pag. 304;
und Frobenius, Über die Jacobi'schen Functionen dreier Yariabeln. J. für
Math. Bd. 105. 1889, pag. 35 haben sich später dieser Unterscheidung von
Per. Char. und Th. Char. angeschlossen.

9) Ebenso bei Klein, Zur Theorie der AbeFschen Functionen. Math. Ann.
Bd. 36. 1890, pag. 1 (auch schon vorher bei Burckhardt, Grundzüge einer
allgemeinen Systematik der hyperelliptischen Functionen I. Ordnung. Nach
Vorlesungen von F. Klein. Math. Ann. Bd. 35. 1890, pag. 198), der sie als
Primcharakteristiken (Th. Char.) und Elementarcharakteristiken (Per. Char.)
unterscheidet.

Historisches. Fundamentalsysteme von Per. Cliar. 267

§ 5.
Pundamentalsysteme von Periodencharakteristiken.

Ein Fundamentalsystem von Feriodencharalderistiken (F. S. von
Per. Chat:) werden 2^) + 1 Per. Cliar. (oj), (a^), ■■■, («gp + i) genannt,
die zu je zweien azyfjctisch sind, für icelche also die p{2i)-\- 1) Glei-
chungen i flr.„, «,,!=—! {^,v = 1, 2, •■■, 2^) -\- 1] fi < v) hesteJien.

Aus die-ser Definition ergibt sich folgendermaßen das allgemeine
Bildunofsgesetz sowie die Bestimmung der Anzahl der F. S. von
Per. Char. Um ein F. S. von Per. Char. zu bilden, nehme man für
(öj eine beliebige der 2^p — 1 eigentlichen Per. Char. (die uneigent-
liche Per. Char. (0) i.st auszuschließen, da sie zu jeder anderen Per.
Char. syzygetisch ist). Für («2) nehme man sodann irgend eine der
2"^"^ Lösungen der Gleichung:

(142) \a,,x\=-l.

Die folgende Per. Char. (03) hat den beiden Gleichungen:

(143) 1«!, rr|=— 1, {a^, x\ = — 1

zu genügen. Diese Gleichungen haben 2-^~^ Lösungen, unter denen
sich auch die Per. Char. (a^a^y) befindet. Würde man aber diese für
(flg) wählen, so könnte keine vierte Per. Char. (aj gefunden werden,
welche zu den drei Per. Char. («J, (a^), («3) = (cii^a^) azygetisch ist,
da aus ^ a^, x \ = a.2, x \ = — 1 notwendig | a^a^, ic j = + 1 folgt.
An Stelle von (a^) kann also nur eine der 2^p~^— 1 von («lög) ver-
schiedenen Lösungen der Gleichungen (143) gesetzt werden. So hat
man fortzufahren. Sind 2A— 1 Per. Char. (aj, (a^), •••, (ö'2;._i) er-
mittelt, die zu je zweien azygetisch sind, iind von denen (0^2 /.-i) nicht
der Summe der übrigen gleich ist, so wähle man für («3;.) irgend
eine der 2^^~^^+^ Lösungen der 2A — 1 Gleichungen:

(144) a,^, x] = — 1. (<, = i,2, ...,2;.-i)

Eine solche Per. Char. ist dann stets von den 2A — 1 Per. Char. (a^),
(«2), •••, («2;.-i) unabhängig, denn die Summe einer ungeraden An-
zahl dieser Per. Char. ist zu jeder in dieser Summe vorkommenden,
die Summe einer gei'aden Anzahl unter ihnen zu jeder in dieser
Summe nicht vorkommenden der Per. Char. (a^), (»2); ' ' '? (^2;.-i)
syzygetisch. Ist so («2;) ermittelt, so hat an Stelle von («2/. + 1) ^^^^
Lösung der 2X Gleichungen:

(145) \a^, x\ = — 1 (,/. = !, 2, ■■•,2;.)

zu treten. Unter den 2^^~^^- Lösungen dieser Gleichungen befindet
sich stets die Summe (^'1^2 ■■'%/.) 5 diese darf aber nicht als («2/ + 1)
gewählt werden, weil sonst die hierauf zu lösenden 2A + 1 Gleichungen:

268 ^"11- 5. Fundamentalsysteme von Periodencharakteristiken.

(146) |a^,, a;[ = -l (,« = i, 2, ••.,2;. + i)

keine Lösung hätten, da aus den 2A ersten unter ihnen notwendig
j ft^«2 ■'■ ^2;.) ^1 = + 1 folgt. An Stelle von («2;.+!) kann also nur
eine der 2^^~^'' — 1 von («102 • • • «2;.) verschiedenen Lösungen der
Gleichungen (145) gesetzt werden; diese sind aber wiederum alle von
den Per. Char. (a^), (a^), ••■, {a^-^ unabhängig. Hat man so endlich
2^ — 2 Per. Char. (a^), {a^, ■•■, («2^9-2) ermittelt, die zu je zweien
azygetisch sind, so hat für («2^,-1) irgend eine der 2- — 1 von
{cLiCi^ ■ •■ tt^p-'i) verschiedenen Lösungen der 2p — 2 Gleichungen:

(147) \a^, x\ = — 1 (,« = 1,2, ■■•,2p -2)

zu treten, hierauf für (rt^^,) eine beliebige der 2 Lösungen der Glei-
chungen:

(148) \a^, x\ = — 1 {M = i,2,--,2p-i)

und endlich für (a^p^j) als die einzige Lösung der 2p Gleichungen:

(149) \a^^, x\ = ~ 1 (^,=i,2,--,2p)

die Per. Char. («2^9 + 1) = (%'^2 "■ %p)- ^^^^ diesem Bildungsgesetze

für die 2p -\- 1 Per. Char. eines F. S. ergibt sich einmal als Anzahl

der verschiedenen F. S. (wenn man die nur durch die Reihenfolge

der Per. Char. unterschiedenen F. S. als identisch betrachtet):

(^2'P _ 1) 2-P- ' I2--P- - - 1) 2^-P- ' • ■ • (2^ - 1) 2

(150) (^i' + i)'

_ (2^^-l)(2^^-^-l)-.-(2^-l) 2^.

{2p + 1) !

und weiter als Eigenschaft der Per. Char. eines F. S., daß stets die
Summe aller 2^+1, niemals aber die Summe von weniger unter
ihnen der uneigentlichen Per. Char. (0) gleich ist.

XIV. Satz: Die Anzalil der verschiedenen F. S. von Per. Cliar.
heträgt:

^^^ ^ - (2i) + 1) !

XV. Satz: Die Summe aller 2p + 1 Per. Char. ei-nes F. S. aber
nicht die Summe von tceniger unier ihnen ist der uneigentlichen Per.
Char. (0) gleich.

Bildet man nun aus den 2p -\- \ Per. Char. eines F. S. alle
Kombinationen zur 0'^'', l*^"", 2*^"^, •••, 2p -\- l*®"" Ordnung, so sind von
den entstehenden

(i5i)i+f"+') + f +')+■■■ •fg^+;)= (1+1)''-- 2='-

Per. Char. je zwei solche und nur zwei solche einander gleich, welche

Anz. der F. S. von Per. Cliar. Überg. von einem F. S. zu einem and. 269

zusammen alle 2p + 1 Per. Char. des F. S. enthalten. Man erhält
also auf die angegebene Weise alle 2-p überhaupt existierenden Per.
Char. und zwar jede zweimal und kann insbesondere, für die eigent-
lichen Per. Char. den Satz aus.sprecheu :

XVI. Satz: Jede der 2^^ — 1 eigentlichen Per. Char. läßt sich
immer und zwar auf ztvei Weisen durch die 2p -\- 1 Per. Char eines
F. S. darstellen. Die beiden Darstellungen enthalten zusammen alle
2p + 1 Per. Char. des F. S. und zivar jede nur einmal; die eine ent-
hält also stets eine gerade, die andere eine ungerade Anzahl von
Per. CJiar.

Übergang von einem F. S. von Per. Char. zu einem anderen.

XVII. Satz: Aus einan F. S. von Per. Char. (aj, (a^), ■••, (a^p+i)
geht immer icieder ein F. S. von Per. Char. hervor, ivenn man irgend
eine gerade Anzahl seiner Per. Char. (a^), (a^), •••, {a^-^' durch die
Per. Cliar. (sa^), (sa2), •■ ■, (sa2f) ersetzt, wo s == (a^ «g ' ' ' ^2x) *^^- -^1/«)^
kann auf diese Weise von einem F. S. zu jedem beliebigen anderen ge-
langen.

Die Richtigkeit des ersten Teiles dieses Satzes leuchtet unmittel-
bar ein, da die Per. Char. (saj), (sa^), ■••, (sag;) sowohl zu je zweien
untereinander als auch zu jeder der Per. Char. («a/. + i); '■■; (^2« + i)
azygetisch sind. Um weiter zu zeigen, daß man auf die angegebene
Weise von einem F. S. zu jedem beliebigen anderen übergehen kann,
sei (hj), (b.2), •■■, (&2p + i) irgend ein zweites F. S. von Per. Char.
Dasselbe möge mit dem ursprünglichen die Per. Char. (b^) = (%), • • •,
{b^) = (aj gemeinsam haben. Ist dann x = 2}), so ist infolge der
Gleichung {a,a,- ■ ■a.,^^,) = (b,b.y ■■b,^^^) = (()) auch ib,^^,)=^(a,p^,)
und es sind die beiden F. S. identisch. Ist dagegen x < 2p, so nehme
man eine beliebige der weiteren Per. Char. des zweiten F. S. (&;,+i)
und drücke sie als Summe einer ungeraden Anzahl von Per. Char.
(a) des ersten F. S. aus. Diese Per. Char. sind dann, da (by_^_^) zu
(^1) = (^i)j ■ • •; (^z) "= (^J azygetisch ist, sämtlich von (aj, (a^), • • •, (a.J
verschieden, ohne aber, in dem Falle wo x gerade ist, die Summe
aller von (aj, (a^), • • •, (aj verschiedenen Per. Char. des ersten F. S.
zu sein, da sonst (b.^^j) = (a^ a^- •• aj = (^1 ^2 ' ' " ^J wäre, was un-
möglich ist. Ist also (&^ + i) = (a;,^.i«;,4.2 ••• «z + 2/-i)j so ist x + 2/1—1
< 2^j + 1 und es gibt mindestens noch eine weitere unter den Per.
Char. des ersten F. S. («^^.2;.). Ersetzt man aber dann die gerade
Anzahl unter den Per. Char. des ersten F. S. {(ly.^-d) ifly.-^^,' • •)
(^z + 2;.) (iurch die Per. Char. (sa^^i), (sa.^^^, • • •, (sa^^g;.)? "^^
(5) = («;,4.i«;, + 2 ■■■ ^'^z + 2/.) is^5 ^^ erhält man ein neues F. S., welches
außer den Per. Char. (a^) = (/^J, • • •, (a j = (&^) noch die Per. Char.

270

VII. 5. Fundamentalsysteme von Periodencliarakteristiken.

(^^y. + 2?) = (^;^ + i) ^^ ^^^ zweiten F. S. gemeinsam hat, mit ihm also
mindestens % -\- 1 gemeinsame Per. Char. besitzt. So fortfahrend kann
man schließlich zu einem F. S. gelangen, welches mit dem F. S. (h^),
(^2)} '"> (^20 + 1) ^P P^^- Char. gemeinsam hat, also mit ihm iden-
tisch ist.

Es ist nicht uninteressant zu bemerken, daß man das im letzten
Satze angegebene Verfahren, irgend eine gerade Anzahl 2A von Per.
Char. eines gegebenen F. S. (a^), («2); •••, («2;.) durch die Per, Char.
(sa^), (««2); ■ • •? (^%/) 2^ ersetzen, wo (s) = (a^ «2 " " ' '^2;.) i^^j durch-
führen kann, indem man es wiederholt auf nur vier dieser Per. Char.
anwendet. Um die Richtigkeit dieser Behauptung einzusehen, teile
man die 2A Per. Char. (a^), (a.2), •••, («2/) in irgend welcher Reihen-
folge in A Paare und kombiniere diese A Paare auf die ^(A — 1)A
möglichen Weisen zu zweien. Wendet man dann das genannte Ver-
fahren der Reihe nach auf die sämtlichen J- (A — 1) A so gebildeten
Systeme von je vier Per. Char. an, so gehen in der Tat die 2A Per.
Char. (aj, (ci.^), •••, («2;); je nachdem A gerade oder ungerade ist, in
die Per. Char. (sa^) (sa^), •■■, (sa^x) oder in die Per. Char. (sci^), (^^i)?
(saj, • • •, (sa2x), (5^2/1-1) über, wo (s) = (a^^a^ ••• «2;.) ist.

XVIII. Satz : Durch eine ganzzahlige lineare Transformation geht
aus einem F. S. von Per. Char. immer nieder ein F. S. von Per. Char.
hervor. Man Icann auf diese Weise von einem F. S. zu jedem beliebigen
arideren gelangen.

Die Richtigkeit des ersten Teiles dieses Satzes leuchtet unmittel-
bar ein, da durch jede ganzzahlige lineare Transformation zwei azj-
getische Per. Char. stets wieder in zwei azygetische übergehen. Um
weiter zu zeigen, daß man auf diese Weise von einem F. S. von
zu jedem beliebigen anderen gelangen kann, genügt es zu
daß man ein willkürlich gegebenes F. S. von Per. Char.
, («Qp + i) durch ganzzahlige lineare Transformation in ein

Per. Char
beweisen,

spezielles z. B. das F. S.

(^i) = (ioo...oj' (^2) = (ooo...o)'
., . /i 0 0 • • • 0\ ,, . /l 1 0 • • • 0\

(152)

1 0) '

überführen kann. Um sich aber von der Richtigkeit dieser Be-

Übergang von einem F. S. von Per. Cbar. zu einem anderen. 271

hauptung zu überzeugen, fasse man die im V. Satz pag. 153 de-
finierten speziellen ganzzahligen linearen Transformationen Ä , B ,
C^^g, D^g (q, (j = 1, 2, ••■,|>) ins Auge und beachte, daß durch die
Transformation Ä^ eine Per. Char. (s) in jene Per. Char. (jj) über-
geht, für welche:

(153) ^^^'q + ',' ■

ist, daß ferner durch die Transformation B eine Per. Char. (s) in
jene Per. Char. (i;) übergeht, für welche:

(154) ^^^ = V V^^?

ist, daß weiter durch die Transformation C eine Per. Char. (e) in
jene Per. Char. (rj) übergeht, für welche:

ist, daß endlich durch die Transformation I) eine Per. Char. (f) in
jene Per. Char. (tj) übergeht, für welche:

(156) Vo = ^o, Va = £(;, V-^«'' '?a'=V

ist, während jedesmal alle nicht genannten Größen t], r( den ent-
sprechenden Größen £, a gleich sind. Man erkennt nun leicht, daß
man durch passende Anwendung solcher spezieller Transformationen
zunächst die erste Per. Char. {a^ des gegebenen F. S. in die spezielle
Per. Char. (?>J überführen kann, indem man zuerst durch Transfor-
mationen J.^, B^ ((0 = 1, 2, ••■, j)) die sämtlichen Elemente der
oberen Horizontalreihe, und hierauf durch Transformationen C ,
D^p (^, ö = 1, 2, ■••■,'p) alle Elemente der unteren Horizontalreihe
mit Ausnahme des ersten auf Null reduziert. Während dieser Trans-
formationen ist die zweite Per. Char. («g) des gegebenen F. S. in eine
Per. Char. («g') übergegangen, bei welcher, da sie zur Per. Char {h^
azygetisch ist, das erste Element der oberen Horizontalreihe den
Wert 1 hat, und welche, ohne daß durch die dabei anzuwendenden
Transformationen die Per. Char. {h^) geändert wird, in die Per. Char.
(&2) übergeführt werden kann, indem man zuerst unter Beiseitelassung
der ersten Vertikalreihe durch Transformationen Ä,B (() = 2, 3, •••,^)
die Elemente £^, £3, •••, £^ und durch Transformationen C , i) „
(q, 6 = 2, 3, •■-, X>) die Elemente fg', • • •, f^/, hierauf durch die Trans-
formation B^ Ä[' B^ das Element e^' und endlich durch die Transfor-
mation B^C^-^B^ das Element fg' auf Null reduziert. Jede andere Per.
Char. (a^J (fi =3, 4, • • •, 2^) -f 1) des gegebenen F. S. ist nach diesen
Transformationen in eine Per. Char. (a/,) übergegangen, bei welcher, da
sie zu (pi) azygetisch ist, das erste Element der oberen, und da sie zu
(^2) azygetisch ist, auch das erste Element der unteren Vertikalreihe
den Wert 1 hat. Indem man nun die erste Vertikalreihe ganz aus

272 VII. 5. Fundamentalsysteme von Perioden Charakteristiken.

dem Spiele läßt, kann man mit den p — 1 letzten Vertikalreilien wie
vorher verfahren und die Per. Char. (a^') und (a^'), in welche die
Per. Char. (a^) und («J des gegebenen F. S. durch die bisherigen
Transformationen übergegangen sind, in die speziellen Per. Char. (h^)
und (&J überführen. So fortfahrend gelingt es schließlich, die 2j)
Per. Char. (aj, (a^), ■■■, (Ogp) des gegebenen F. S. in die Per. Char.
(&j), (ig), •••, (h ) zu transformieren, wodurch dann wegen des
XV. Satzes auch («20 + 1) = (^2j5 + i) """i^d.

Übergang zu den Thetacharakteristiken.

y

Bezeichnet man mit ( ^a) die Summe von irgend v verschiedenen
unter den 2})+ 1 Per. Char. (a^), (Og), •••, (*2p + i) eines F. S., so
sind, wie im Vorigen gezeigt worden ist, in den Formen:

(157) (0), {2a), (Ja), ■ • •, (Ja)

alle 2^P Per. Char. und zwar jede nur einmal enthalten; das Gleiche
gilt daher auch von den Formen:

(158) (k), (x+^a), (x+^a), • • •, (x+^a),

wo (x) irgend eine' Per. Char. und (x + ^a) die Summe der Per.

V

Char. (x) und (^g) bezeichnet. Man fasse nun die Charakteristiken
des F. S. als Th. Char. [a^], [(l^], •••, [a2„4.i] auf, suche unter ihnen
die ungeraden heraus und bilde deren Summe [«]. Indem man dann
diese Charakteristik an Stelle von (x) in (158) treten läßt, erhält
man die sämtlichen 2-^ Th. Char. dargestellt in den Formen:

(159) [n], U+^a], [n+^a], ■ - •, [n+^a].

V

Es soll jetzt der Charakter einer Th. Char. von der Form [n + ^a]
bestimmt werden, wo v irgend eine Zahl aus der Reihe 0, 1, ■ • •, 2^; + 1
bezeichnet; dabei wird sich zeigen, daß dieser Charakter von der be-

sondereu Auswahl der v Th. Char. [a], aus denen die Summe [^a|
besteht, unabhängig ist, also für alle /"^ ' j Th. Char. von der Form

V

[n + ^a] derselbe ist. Man bezeichne die Anzahl aller ungeraden
Th. Char. [a] mit s und weiter mit Jo die Anzahl jener imgeradeu

Überg. zu den Th. Char. Darstelkmg dieser durch die Per. Char. eines F. S. 273

V

Th. Char. [a], welche in [^a] vorkommen; es besteht dann die
i'

Th. Char. [n + ^a] aus s — h ungeraden und v — h geraden Th. Char.
[a], und es ist daher auf Grund der Formel (76) ihr Charakter be-
stimmt durch die Gleichung:

|n + ^tt| = (-l)

(160) , + !.(, + ,.) {.-fr- 1)

= (-1) "

Daraus erkennt man einmal, daß dieser Charakter in der Tat nur

von der Anzahl v aller Th. Char. in [^a], nicht aber von der An-
zahl h der unter ihnen vorkommenden ungeraden abhängt, daß also

stets die zu gleichem v gehörigen Th. Char. [n + ^o] auch gleichen
Charakter haben; weiter aber erkennt man, daß dieser Charakter in
den entgegengesetzten übergeht, wenn die Zahl v sich um 2 ändert,

daß also Th. Char. von der Form [n + ^a] und Th. Char. von der

1+2

Form [n -{- ^a] stets ungleichen Charakters, Th. Char. von der Form

r V ± 4

[n + ^a] ^iiid Th. Char. von der Form [n + ^ci\ dagegen stets
gleichen Charakters sind. Beachtet man dann noch, daß jede Th.

p+i
Char. von der Form [n -f ^a] infolge des XV. Satzes auch in die

p
Form [n -f ^a] gebracht werden kann, die Th. Char. von den Formen

p p + i

[n + ^o] und [n + ^a] also jedenfalls gleichen Charakters sind, so
erhält man schließlich die sämtlichen 2^p Th. Char. angeordnet in
zwei Reihen:

p — iQ p — 4 f) — 3

(■\a-\\ ((?=o,i,2,-)

und weiß bestimmt, daß die eine Horizontalreihe die g^ geraden Th.
Char. und jede nur einmal, die andere die n^ ungeraden Th. Char.
und jede nur einmal enthält. Um zu entscheiden, welche Reihe die
geraden und welche die ungeraden Th. Char. enthält, wird man die
Anzahl der in jeder Reihe stehenden Th. Char. bestimmen; die eine
Reihe muß ^^, die andere u Th. Char. enthalten, und die erstere stellt
dann die geraden, die letztere die ungeraden Th. Char. dar.

^ — 4(j p — 4o — 3

Um nun die Anzahl der in den Formen [n -\- ^a\ und [n + ^a]
(^ = 0, 1, 2, • • •) enthaltenen Th. Char. zu bestimmen, gehe man von
der Gleichung:

Krazer, Thetafunktionen. 18

274 Vn. 5. Fundamentalsysteme von Periodencharakteristiken.

(162) (1 + xf^^'-^ (^^'^ ^) x^'

v = 0

aus. Setzt man darin an Stelle von x der Reihe nach die Werte
+ 1, — 1, -\- i, — i, multipliziert die vier so entstandenen Gleichungen
bez. mit (+ 1/', (— 1/, (— iy, (+ iy und addiert sie zueinander, so
erhält man, da

(163) (1 + i)2p = (+ 2iy'
ist:

(164) 22^+1 + 2^^ + » =^ [1 + (- 1)''+^][1 + (- l)Pi^+^] f ^^ ^) .

Nun besitzt aber der Ausdruck

(165) [1 + (- 1)"+^] [1 + (- 1)^*"+^]

für V ^^p (mod. 4) den Wert 4, für v = p — 1, p — 2 oder _2J — 3
(mod. 4) dagegen den Wert Null; es fallen also auf der rechten Seite
der letzten Gleichung alle jene Glieder heraus, bei denen nicht v ^ p
(mod. 4) ist, und man erhält daher aus ihr, wenn man noch linke
und rechte Seite durch 4 dividiert, die Gleichung:

Diese Gleichung zeigt aber, daß die Anzahl der in der ersten Hori-
zontalreihe von (161) stehenden Th. Char. g^ ist, daß also die Th.
Char. von den Formen:

p — 4^ p — io — 3

(167) [n-h^a], [n -^ ^ a] (0=0,1,2,..-)

die g geraden, und folglich die in der zweiten Horizontalreihe
stehenden Th. Char. von den Formen:

p — iQ — 2 p — 4(j — 1

(168) [n+^a], [n -}- ^ a] (^=0,1,2,...)
die tip ungeraden Th. Char. sind. Man hat also den

XIX. Satz: Sind (a^), («2), ••, («2^ + 1) ^^^'^ 2p + 1 Per. Char.
eines F. S. und heseiclinet man mit \n\ die Summe der unter den

Darst. der geraden u. unger. Th. Cbar. durch die Per. Char. eines F. S. 275

2}) -{- 1 Th. Char. [aj, [a^], •■•, [«2^+3] vorJconunmdm ungeraden Th.
Char., so u'erdeii von den Formen:

p — in p — 4o — 3

(XI) [n+^a], [n+^a] (0=0,1,2....)

die sämÜiclien g^ geraden Th. Char. und jede nur einmal; von den
Formen:

P 4^ 2 P 4:Q 1

(XII) [11 -^^a], [n-^^a] (0=0,1,2,..)

die sämtlichen u ungeraden TJi. Cliar. tind jede nur einmal geliefert;
oder unter Anwendung des XV. Satzes in etwas anderer Fassung:

XX. Satz: Sind (a^), (0,), •••, («2p+i) ^'^ 2^+ 1 Per. Char. eines
F. S. und bezeichnet man mit [n] die Summe der unter den 2p -\- 1
Hl. Char. \a^, [«2]» •••■, [«^2^+1] vorkommenden ungeraden Th. Char., so
werden von den Formen:

p + 4^

(XIII) [n+^a] (0=0,1,2,-..)

und ebenso von den Formen:

p + l + 4o

(XIV) [n + 2 a] (? = 0, 1, 2, . . .)

die sätntlichoi g geraden TJi. Char. und jede nur einmal; von den
Formen:

p + 2±io

(XV) [n+^a] (0 = 0,1,2,...)
und ehetiso von den Formen:

(XVI) " [n+ya] (^ = 0,1,2,...)

die sämtlichen u ungeraden Th. CJiar. und jede mir einmal geliefert.

1
Die 2 2) + 1 Th. Char. von der Form [n + ^«] sind nach den
letzten Sätzen alle von demselben Charakter und zwar gerade, wenn
^ = 0 oder 1 (mod. 4), ungerade, wenn 2^ ^ 2 oder 3 (mod. 4) ist.
Man sagt von ihnen, daß sie eine Hauptreilie von Th. Char. bilden;
ihre Kombinationen 3*®"^, 5*^"", V^^, ■ • • Ordnung sind jedesmal eben-
falls unter sich von gleichem Charakter und zwar die Kombinationen
5ter^ gter^ . . . Ordnung von demselben, die Kombinationen 3*®', T*^"", • • •
Ordnung von entgegengesetztem Charakter wie die Th. Char. der
Hauptreihe selbst. Auf diese Weise erhält man den

18*

276 VII- 6- Die Gruppe der mod. 2 inkongr. ganzzahl. lin. Transformationen.

XXI. Satz: Sind (aj, («2), •••, («2p+i) '^^^ ^p-h 1 P^^- Cliar.
eines F. S. und bezeichnet man mit [n] die Summe der unter den
2})+ 1 Tli. CJiar. [a^], [%], •••, [«2^+1] vorkommenden ungeraden Tic.
Char., so sagt man von den 2p -\- 1 Th. CJiar.

(XVII) Uh] = [na^], Uh'j^ina.l •■•, [/«g^+i] = [««2^+1],

daß sie eine Hauptreihe von Tli. CJiar. bilden, und man erhält, je
nacMem p^Q,\ (mod. 4) oder ^ = 2, 3 (mod. 4) ist, von den Formen:

404-1

(xvm) [2M (p=o,i,2,...)

die sämtlichen geraden oder ungeraden Th. Char. und jede nur einmal,
von den Formen:

40 + 3

(XIX) [^h] (?=o,i,2,...)

die sämtlichen ungeraden oder geraden Th. Char. und jede nur einmal
geliefert, während die Kombinationen gerader Ordnung:

2x

(XX) {2h) (x=i,2,...,p)

der Charakteristiken der Hauptreihe die sämtlichen 2^^ — 1 eigentlicJien
Per. Char. und sivar jede nu/r einmal liefern.

§ 6.

Die Gruppe der mod. 2 iukougrueuteu gauzzahlig'eu linearen

Transformationen.

Da zwei ganzzahlige lineare Transformationen T, T', deren Trans -
formationszahlen c„,y bez. c'a^ (a, ß = l, 2, ■ ■ ■, 2p) den 4^)^ Kon-
gruenzen :

(169) Caß = c'aß (mod. 2)

genügen, eine gegebene Per. Char. (f) stets in die nämliche Per. Char.
(f) überführen, so sollen dieselben hier als nicht verschieden angesehen
werden. Die unendliche Gruppe der ganzzahligen linearen Trans-
formationen reduziert sich dann auf eine endliche, welche die Crruppe
G der mod. 2 inkongruenten ganszaliligen linearen Transformationen
genamit wird. Es soll zunächst der Grad Q dieser Gruppe bestimmt
werden.

Da nach dem XVIII. Satz durch eine ganzzahlige lineare Trans-
formation ein F. S. von Per. Char. immer wieder in ein F. S. von
Per. Char. übergeht, und da man auf diese Weise ein gegebenes F. S.
in jedes beliebige andere, entweder von anderen Per. Char. gebildete,

Bestimmung der Ordnung dieser Gruppe G. 211

oder auch von denselben Per. Char. nur in anderer Reihenfolge, über-
führen kann, so ergibt sich, das der Grad Q der Gruppe G, d. h. die
Anzahl der mod. 2 inkongruenten ganzzahligen linearen Transforma-
tionen mit der Anzahl der verschiedenen F. S. von Per. Char. über-
einstimmt (wobei aber zwei F. S., die sich nur durch die Reihenfolge
der Per. Char. unterscheiden, als verschieden zu zählen sind), sobald
nachgewiesen ist, daß nur durch die identische Transformation aber
durch keine andere ein F. S. in sich, auch der Reihenfolge der Per.
Char. nach, übergehen kann. Von der Richtigkeit dieser letzten Be-
hauptung überzeugt man sich aber folgendermaßen. Sobald durch
eine Transformation T ein F. S. in sich übergeht, auch der Reihen-
folge seiner Per. Char. nach, wird durch diese Transformation T ge-
mäß dem XVI. Satz überhaupt jede der 2^p Per. Char. in sich über-
geführt, also speziell auch jene 2 p, bei denen immer nur ein Element
den Wert 1 besitzt, während alle 2p — 1 anderen den Wert 0 haben;
aus den Formeln (17) ergibt sich aber dann sofort, daß:

(170) Cai=^ ^o («,,* = 1,2,..., 2/,)

' 1, wenn « = p,

ist, d. h. daß die Transformation T die identische ist. Man hat
also den

XXII. Satz: Der Grad Q der Gruppe G der mod. 2 inkongruenten
linearen Transformationen heträgt:

(XXI) Q = (2p+iy.N^ {2'^p- l)(22/'-2_ 1) ... (22- 1) . 2p\

Aus den 4p^ Transforraationszahlen c\^^ einer ganzzahligen linearen
Transformation entstehen, indem man sie durch ihre kleinsten posi-
tiven Reste nach dem Modul 2 ersetzt, 4p^ Zahlen

*11' ■ * ■' ^i,p} ^l,p + U ■ ■ ■> *l,2/)>

(171)

"pD

£,

^p + l,l} ' ' '} ^pi-l,pf ^p + l,p + l} ' ' '} ^p + l,2pf

^2p,l> ' ' ') ^2p,py ^2p,p + lJ ' ' ') '^•2p,2pJ

welche sämtlich den Wert 0 oder 1 besitzen und welche den
pi^p— 1) Kongruenzen mod. 2:

(172) TiV f -P P ) = ^' "^^'^ ß=P + ^,

^,-^''P + ^"' ^ + ?>« ?^^^""0, wenn /3§2? + «,

(a, ,'? = !, 2, ■•, 2p; a < ^i)

genügen. Um nachzuweisen, daß auch umgekehrt zu jedem solchen

<^^^"^) l«a>^.^l= , 1 ^,,,, .>

278 VII. 6. Die Gruppe der mod. 2 inkongr. ganzzahl. lin. Transformationen.

Systeme von 4p^ Zahlen f^^ eine ganzzahlige lineare Transformation
T existiert, deren Transformationszahlen c^^ mit ihnen durch die
Ap^ Kongruenzen:

(173) c^^ = £„^ (mod. 2) {a,,i = i,2,--,2p)

verknüpft sind, hat man noch zu zeigen, daß die Anzahl der ver-
schiedenen den Kongraenzen (172) genügenden Zahlensysteme a^^
gleich ist der Anzahl Q der mod. 2 inkongruenten ganzzahligen
linearen Transformationen. Um diesen Nachweis zu erbringen, fasse
man die 2p Zahlen e^^, •••, £^„, £^+i,„, •••, fg^^« einer Vertikalreihe
des quadratischen Schemas (171) als Elemente einer Per. Char. (e^)
auf. Die p(ßp—l) Kongruenzen (172) sagen dann aus, daß die
2p so definierten Per. Char. (fj, (fg), •••, (fgp) die PC^P— 1) Grlei-
chungen :

— 1, wenn /3 =2) + u,
-f 1, wenn /J ^^j -f a,

{u, -1 = 1,2, ■■■ ,2p\ u< ^)

befriedigen, und es kann jetzt die Anzahl der möglichen Zahlen-
systeme £^^ dadurch bestimmt werden, daß mau mit Hilfe des
III. Satzes die Anzahl der verschiedenen Systeme von 2p Per. Char.
(fj), (fg); •••, (f2j:,) ei'mittelt, welche den Bedingungen (174) genügen.
Um aber in allgemeinster Weise ein System von 2p Per. Char.
(^i); iß-2)y '"7 (^2«) ^^^ bilden, welches die Bedingungen (174) erfüllt,
nehme man für (f^) eine beliebige der 2-^ — 1 eigentlichen Per.
Char. und hierauf für (fp + i) irgend eine der 2^^~^ Lösungen der
Gleichung:

(175) 1^1, ^,^il = -l.

Die Per. Char. («g) hat ferner die beiden Gleichungen:

(l'^ß) \h,h\ = +^, : «;,+!> -'2 1 = + 1

zu befriedigen; diesen Gleichungen genügen 2^^~-— 1 eigentliche
Per. Char., von denen eine beliebige an Stelle von (h.-^ gesetzt werden
kann, worauf dann an Stelle von (£„ + 2) eine beliebige der 2'^p~^
Lösungen der Gleichungen:

(1'^'^) l«i,S + 2l = + l^ k2;«p + 2: = - 1; ! «p + i; «p + 2 i = + 1
ZU treten hat. So kann man fortfahren und erkennt, daß die Anzahl
der verschiedenen den Bedingungen (174) genügenden Systeme von
Per. Char. (t^), (gg), •••, (fgj oder, was dasselbe ist, die Anzahl der
verschiedenen aus Zahlen 0, 1 gebildeten, die Kongruenzen (172) er-
füllenden Systeme von Ap^ Zahlen s.^^ in der Tat

(178) {2'-p - 1) 2^p-^ {2^P- 2 - 1) 22^- 3 • ■ • (2^ - 1) 2 = Q

ist. Damit ist aber auch der Nachweis erbracht, daß zu jedem

Andere Deßnition der Gruppe G. 279

solchen Zahlensysteme s^^ eine ganzzahlige lineare Transformation T
in dem obigen Sinne gehört, und man hat den Satz bewiesen:

XXIII. Satz: Die Gesamtheit der mod. 2 inlongruenten gans-
zaJüigen Unearen Transformationen Icami auch definiert iverden als die
Gesamtheit aller jener Gleichimgensysteme:

■2 p

(XXII) «;„ =^\„,c.,.^„ (:i;;2;.:.;y

/* = !

deren Koeffizienten e^^ ausschließlich die Werte 0, 1 besitzen und den
|> (2p — 1) Kongruenzen:
p
^. ^ — ^' wenn ß = p -\- cc ,

(u, ,-f = l, -2, • ••, 2p; a <fi)

genügen.

Aus dem Systeme der 2^p — 1 eigentlichen Per. Char. geht durch
eine ganzzahlige lineare Transformation T wieder das System der
2^^ — 1 eigentlichen Per. Char. nur in anderer Reihenfolge hervor,
aber so, daß. wenn (s^) und (s^) syzygetisch oder azygetisch sind,
dann auch die an ihre Stelle tretenden Per. Char. (fj, (i^) syzyge-
tisch oder azygetisch sind. Es entspricht also jeder ganzzahligen
linearen Transformation T eine Substitution S der Per. Char., bei
welcher zwei syzygetische Per. Char. wieder in zwei syzygetische,
zwei azygetische Per. Char. wieder in zwei azygetische übergehen.
Dieser Satz gilt auch umgekehrt. Ist nämlich S eine Charakteristiken-
substitution der bezeichneten Art, so gibt es immer auch eine ganz-
zahlige lineare Transformation T, welche die nämliche Permutation
der 2-^' — 1 eigentlichen Per. Char. verursacht. Von der Richtigkeit
dieser Behauptung überzeugt man sich folgendermaßen. Man nehme
aus den 2^-p— 1 eigentlichen Per. Char. (e) 2p + 1 {e^), (fo), •• •, {hp + i)
heraus, welche ein F. S. von Per. Char. bilden; die ihnen vermöge
der Substitution S entsprechenden 2p -\- 1 Per. Char. {jq^, (tjg), ■ • •, C^^ + i)
bilden dann, da auch sie zu je zweien azygetisch sind, gleichfalls ein
F. S. und es gibt daher nach dem XVIII. Satz auch eine ganzzahlige
lineare Transformation T, welche die Per. Char. {s^, •••, (f 2^5 + 1) i^
die Per. Char. {i].^, •■■, (^2^ + 1) überführt. Ist nun (fj eine beliebige
weitere der Per. Char. (f), so ist dieselbe unter allen nicht zum F. S.
gehörigen Per. Char. (e) eindeutig bestimmt durch ihr syzygetisches
und azygetisches Verhalten zu den 2p + 1 Per. Char. des F. S., da
nach dem XV. Satz die 2p -\- 1 Gleichungen:

(179) i^„^,^ =(-r/^ \,„e^\ = {-lt, ■■; i hp,„ ^,\-i-rp'^'
2p unabhängige repräsentieren, durch 2p unabhängige derartige Glei-

280 VII- 6- Die Gruppe der uiod. 2 inkongr. ganzzabl. lin. Transformationen.

chungen aber nach dem III. Satz eine Per. Char. eindeutig bestimmt
ist. Bezeichnet man nun mit (?jj jene Per. Char., in welche (c )
vermöge der Substitution S übergeht, so genügt dieselbe der Vor-
aussetzung über die Substitutionen S zufolge der 2p-\-l Gleichungen:

(180) \vi,\:M-rf\ !%,^,i = (-ift •••, \v2,^.,vr: = {-rf'^'^'

und ist wiederum durch diese eindeutig bestimmt; daraus folgt aber,
daß auch die Transformation T die Per. Char. (cj nur in die Per.
Char. (t]^^) und keine andere überführen kann, da auch hier die Glei-
chungen (180) bestehen müssen. Man hat so den folgenden Satz
bewiesen :

XXIV. Satz: Die Gruppe G der mod. 2 hikongruenten ganzzahligen
linearen Transformationen T ist holoedrisch isomorph zu der Gruppe H
jener Substitutionen S der Per. Char., durch ivelche je zwei syzygetische
Per. CJiar. wieder in zivei syzygetische, je zivei azygetische Per. Cliar.
wieder in zivei azygetische über gehen.

Man definiere jetzt weiter eine Gruppe H' von Substitutionen
S' der Per. Char., indem man 2^^ erzeugende Substitutionen S(f) durch
die Forderung definiert, daß S{f) eine Per. Char. (?;) ungeändert lasse,
wenn (>/) zu («) syzygetisch ist, dagegen {ri) in (^eri) überführe, wenn
(-»;) zu (f) azygetisch ist. Jede Substitution S(f), mit Ausnahme der
identischen ä^Ö), läßt dann 2^^~^ der Per. Char. ungeändert, während
sie die 2-p~^ übrigen paarweise miteinander vertauscht. Es soll nach-
gewiesen werden, daß diese Gruppe H', wie sie durch die 2^-p Sub-
stitutionen S(i) als erzeugenden Substitutionen definiert ist, mit der
Gruppe H identisch ist. Zunächst ist ohne Mühe zu sehen, daß
durch eine Substitution *S'(f) zwei syzygetische Per. Char. (tj), (^)
wieder in zwei syzygetische, zwei azygetische Per. Char. wieder in
zwei azygetische übergehen, und daß daher auch jedes F. S. von Per.
Char. wieder in ein F. S. von Per. Char. übergeht. Daraus folgt aber
bereits, daß die Gruppe H' nur entweder ein Teiler von H oder die
Gruppe H selbst ist. Um das letztere zu beweisen, hat man nur
noch zu zeigen, daß es in der Gruppe H' stets eine Substitution S'
gibt, welche ein beliebig gegebenes F. S. (a^), («g), •••, (f'^p + i) i^ ^i^
willkürlich gegebenes zweites (6^), (b^, •••, (&2j5+i) überführt. Zu
dem Ende ist zunächst zu zeigen, daß die Gruppe H' hinsichtlich
der 2^^ — 1 eigentlichen Per. Char. transitiv ist, d. h. daß es möglich
ist, eine beliebige eigentliche Per. Char. (c) vermittelst einer Sub-
stitution S' in eine beliebige andere (ji) überzuführen. Sind aber
(f) und [tj) azygetisch, so wird diese Überführung durch die Sub-
stitution 8(fn) geleistet, weil dann auch {srj) zu (f) azygetisch ist,
also (f) in (cT^e) = (^) überfühi-t. Sind («) und (rj) syzygetisch, so
bestimme man eine dritte Per. Char. (^), welche sowohl zu (f) als

Die zu G boloedr. isom. Gruppe H von Per. Char.- Substitutionen. 281

zu {->]) azygetisch ist; durch die nacheinander auszuführenden Sub-
stitutionen /^('fc^, Ä('^:) wird dann die Überführung von {e) in (tj) be-
wirkt, da durch die erste (e) in (^), durch die zweite (^) in (?;)
übergeht. Man nehme jetzt die erste Per. Char. (aj des gegebenen
F. S. und bestimme, was nach dem soeben Bewiesenen stets möglich
ist, eine Substitution 5/ der Gruppe H' derart, daß durch sie (%) in
(6^) übergeht. Die zweite Charakteristik (cfg) des gegebenen F. S. gehe
durch S-l in die Per. Char. {a^) über; ist dann (a^) zu (h^ azyge-
tisch, so bedarf es nur der weiteren Anwendung der Substitution
S[a^b^), liin die Per. Char. (a^) in (h^) überzuführen, während durch
diese Substitution die Per. Char. (&J ungeändert bleibt. Ist dagegen
(«2') zu (6.2) syzygetisch, so bestimme man eine Per. Char. (f), welche
zu den drei Per. Char. (ftj, {a^), (b.^ azygetisch ist; durch die nach-
einander auszuführenden Substitutionen Sl^a^), S(fb^) geht dann (a.2')
in (h^) über, während beide Male (6J ungeändert bleibt. In dieser
Weise hat man fortzufahren; ist nämlich eine Substitution S/^ be-
stimmt, welche die Per. Char. (aj, («2), •••, (a^J in die Per. Char.
(&j), (h^), •••, {h ) überführt, und geht durch diese Substitution die
folgende Per. Char. (a„^i) des gegebenen F. S. in die Per. Char,
(a^ + i) über, so führt, wenn (rt« + i) zu (&« + i) azygetisch ist, die
weitere Substitution 'SV, ; ^ j 6,, ^ j) die Per. Char. (a/, + i) in (&^, + i) über,
während sie, da («; + i&^ + i) zu (h^), (h), ■ • -, (h^^) syzygetisch ist,
diese Per. Char. sämtlich ungeändert läßt. Ist dagegen (fv' + i) zu
i^i + i) syzygetisch, so bestimme man eine Per. Char. (e), welche zu
(&i), (&2), •••, Q>iii), K^ + i) und {h/u + i) azygetisch ist, und wende nach-
einander die beiden Substitutionen S{ea' ^i), ^{ib ^{) an. Ist endlich
auf diese Weise eine Substitution Sip-i bestimmt, welche die Per.
Char. («i), («2), •••, («2p-i) in ^^^ Per. Char. (b^), (h^), ■■•, (\p_x)
überführt, so kann durch diese Substitution die Per. Char. (a^p), da
die neue Per. Char. zu jeder der 2p— 1 Per. Char. {\), (b^), • ■ •, (b^p^i)
azygetisch ist, nur in (b^^) oder in (&2^ + i) übergehen. Im ersten
Falle führt die Substitution S-2p-i auch (chp + i) in (b-2p + i) über und
daher das gegebene F. S. in das neue; im zweiten Falle wird diese
Überführung durch die Substitution Sip = S2p-iS{b2pb2p + i) bewerk-
stelligt. Damit ist aber bewiesen, daß es in der Gruppe H' stets
eine Substitution S' gibt, welche ein beliebig gegebenes F. S. von
Per. Char. in ein willkürlich gegebenes zweites überführt, und daraus
folgt, wie oben erwähnt, daß die Gruppe H' mit der im letzten
Satze genannten Gruppe H identisch ist.

Die Gruppe H' kann auch als eine Gruppe von Substitutionen
von Th. Char. aufgefaßt werden, indem man die Substitution S{t)
als jene Substitution von Th. Char. definiert, welche eine gerade
Th. Char. [x] mit [sx\ vertauscht, wenn auch [fx] gerade ist, dagegen

282 V]I. 6. Die Gruppe der mod. 2 inkongr. ganzzahl. lin. Transformationen.

die gerade Th. Char. [n] ungeändert läßt, wenn [6k] ungerade ist;
und ebenso eine ungerade Th. Char. [x] mit [ex] vertauscht, wenn
auch [ex] ungerade, dagegen ungeändert läßt, wenn [tx] gerade, sodaß
also durch die Substitution *S'(t) alle in der Gruppe (f) vorkommenden
Paare gerader imd ungerader Th. Char. miteinander vertauscht werden,
während alle in der Gruppe (f) nicht vorkommenden Th. Char. un-
geändert bleiben. Auf Grund der Sätze VIII und IX erkennt man
dann, daß durch die Substitution S{'f) eine Gruppe (->/) in die Gruppe
(erj) übergeführt wird, wenn die Per. Char. (e) und (rj) azygetisch
sind, während die Gruppe (rf) ungeändert bleibt, wenn die Per. Char.
(f) und (rj) syzygetisch sind, daß also die Substitution S(i) in der Tat
mit der vorher so bezeichneten identisch ist.

Die Gruppe H' ist als Snbstitutionsgruppe aller 2-^' Th. Char.
natürlich intransitiv, da die geraden Th. Char. unter sich und die
ungeraden unter sich permutiert werden; faßt man aber die geraden
Th. Char. oder die ungeraden Th. Char. allein ins Auge, so ist die
Gruppe H' für beide Fälle transitiv, da eine beliebige gerade oder
ungerade Th. Char. [k] mit der beliebigen geraden oder ungeraden
Th. Char. [A] durch die Substitution S(x/.) vertauscht wird. Hinsicht-
lich der ungeraden Th. Char. ist die Gruppe H' zweimal transitiv,
d. h. jene Untergruppe J' von H', welche eine beliebige ungerade
Th. Char. [x] ungeändert läßt, ist hinsichtlich der u^ — 1 anderen
wieder transitiv. Von der Richtigkeit dieser Behauptung kann man
sich folgendermaßen überzeugen. Wäre die Gruppe J' intransitiv,
so würde es unter den von [x] verschiedenen ungeraden Th. Char. eine
Anzahl von weniger als I-k = 2'^p~^ — 2^'^ geben, welche bei allen
Substitutionen der Gruppe J' unter sich permutiert werden. Es sei
eine dieser Th. Char. mit [A] bezeichnet; wird dann eine ungerade
Th. Char. [fi] so bestimmt, daß die Th. Char. [xX[i] gerade ist, so
gehört die Substitution *S'(;.„) zur Gruppe J', da sie die Th. Char. [x]
ungeändert läßt, während sie [A] in [ju.] überfühi-t. Nun gibt es aber
nach dem VII. Satz 2-p-- solcher ungerader Th. Char. [^], für welche
bei gegebenen Th. Char. [x], [A] die Th. Char. [xAju,] gerade ist, und
da 2^^~-> ^u ist, so ist die gemachte Annahme, wonach es weniger
als 4-M„ ungerade Th. Char. gebe, welche bei den Substitutionen der
Gruppe J' unter sich permutiert werden, unstatthaft. Damit ist aber
bewiesen, daß die Gruppe H' hinsichtlich der ungeraden Th. Char.
zweimal transitiv ist.

Besondere Erwähnung verdient der Fall j^ = 2. In diesem Falle
läßt sich nach dem VI. Satz jede der 15 eigentlichen Per. Char. nur
auf eine Weise als Summe zweier ungerader Th. Char. darstellen,
und da für p = 2 die Anzahl der ungeraden Th. Char. 6 beträgt,
so sind diese Summen von je zweien die 15 überhaupt existie-
renden Kombinationen ohne Wiederholung zur zweiten Klasse der 6

F. S. vou Tb. Char. Zusammenhang mit den F. S. von Per. Char. 283

ungeraden Th. Char., die 15 Substitutionen S(^) also die 15 Traus-
positionen der 6 ungeraden Th. Char. Damit ist aber die Gruppe H'
als holoedrisch isomorph mit der Gruppe der 720 Vertauschungen
von 6 Elementen nachgewiesen; in Übereinstimmung damit gibt in
diesem Falle der XXII. Satz für Q den Wert 15 • 3 • 16 = 720. Man
weiß, daß diese Gruppe die Gruppe der 360 geraden Permutationen
von 6 Elementen als Normalteiler enthält; daß für den Fall j) > 2
die Gruppe G eine einfache ist, hat C. Jordan^) bewiesen.

§ 7.
Fundamentalsysteme von Thetacharakteristiken.

Ein Fimdamcntalsystem von ThetacharaJcteristiken (F.S. von Th. Char.)
iverden 2p + 2 Th. Char. [«(,'], [«/], • • •, [«2'p+i] //e««««^, die zu je
dreien azygetisch sind, für ivclchc also die Gleichungen \ a{, a^/, «,,' | = — 1
bestehen, sobald k, ,u, v irgend drei verschiedene der Zahlen 0, 1, • • •,
2p -\- 1 bezeichnen.

Addiert man eine der 2p -\- 2 Charakteristiken eines F. S. von
Th. Char., etwa die Charakteristik [«q'] zu den 22^+1 übrigen und
faßt die entstehenden 2^) -f 1 Charakteristiken als Per. Char.

(181) K) = «rti'), («2) = («o'0» •••; («2p + l) = ««'2/- + l)

auf, so besteht zwischen je zwei derselben die Beziehung:

(182) I a^„ «„ i = ! «o'V; «o'< = - 1.

es bilden also die 2p -\- 1 Per. Char. («J, {a^, ••■, («2^ + 1) ein F. S.
von Per. Char. Umgekehrt gehen aus jedem F. S. von Per. Char.
(aj, («2), •••, ("20 + 1)7 iudem man zu ihnen eine willkürliche Charak-
teristik [ff^] addiert, die entstehenden 2p -f 1 Charakteristiken als
Th. Char. auffaßt und die Th. Char. [a^'] als 2p + 2"^ hinzunimmt,
die 2p -\- 2 Charakteristiken

(183) [«„'], K'] = K«i], [<] = K'«2]7 •••7 Ki. + i] = K'«2^ + i]
eines F. S. von Th. Char. hervor.

XXV. Satz: AddieH man eine der 2p -f 2 CharaMeristiken eines
F. S. von Th. CJiar. zu den 2^9+1 übrigen und faßt die 2p -\- 1 ent-
stehenden Charakteristil-en als Per. Char. auf, so bilden dieselben ein
F. S. von Per. Char. — Addiert man umgekehrt zu den 2p -f 1 Charak-
teristiken eines F. 8. von Per. Char. und der uneigentlichen Per. Char.

1) Jordan, Traite des substitutions etc. Paris 1870, pag. 178; schon
früher: Sur les equations de la division des fonctions abeliennes. Math. Ann.
Bd. 1. 1869, pag. 583.

j?84 VII. 7. Fundamentalsysteme von Thetacharakteristiken.

(0) eine willläirliclie CJiaraIctenstiJc und faßt die 2p -{- 2 entstehenden
Charahteristiken als TJi. Char. auf, so bilden dieselben ein F. S. von
Tk Qiar.

Da die Summe der 2p -f 1 Per. Char. eines F. S., aber nicht die
Summe von weniger unter ihnen der uuei gentlichen Per. Char. (0)
gleich ist, so ergibt sich, daß die Summe der 2p -\- 2 Th. Char. eines
F. S., aber nicht die Summe einer geringeren geraden Anzahl unter
ihnen der Th. Char. [0] gleich ist. Beachtet man dagegen, daß die
Th. Char. [«„'] sich stets als Summe einer ungeraden Anzahl 2v -\- 1
der Charakteristiken (a^), («g); '••> (ö^2p + i) ^^^ dann noch ein zweites
Mal als Summe der 22) — 2 v übrigen darstellen läßt, daß also:

2i'+l 2 p — 2 r

(184) K] = [J'«] = [2'«]

ist, so ergibt sich sofort, indem man zu den drei Seiten dieser Glei-
chung die Th. Char. [a^'] addiert:

2v + l 2p— 2v4-l

(185) [0] = [2a'] = [2a'],

sodaß also zweimal die Summe einer ungeraden Anzahl von den Th.
Char. eines F. S. der Th. Char. [0] gleich ist; die beiden Summen
enthalten zusammen alle 2p -\- 2 Th. Char. des F. S.

XXVI. Satz: JDie Summe der 2p -f 2 Th. Cliar. eines F. S. ist
[0]; dagegen sind iveniger unter ihnen tvesentlich unabhängig.

Mit dem XXV. Satz ist zugleich ein Mittel an die Hand ge-
geben, wie man alle verschiedenen F. S. von Th. Char. bilden kann,
da man früher gelernt hat, alle verschiedenen F. S. von Per. Char.
zu bilden, und zwar entstehen dabei aus einem F. S. von Per. Char.
2^P F. S. von Th. Char., welche dann auch untereinander in dem Zu-
sammenhange stehen, daß alle aus einem unter ihnen hervorgehen,
wenn man zu seinen 2p) -f 2 Th. Char. der Reihe nach die 2^p Th.
Char. addiert. Von solchen 2^p F. S. von Th. Char. sagt man, daß
sie einen Komplex bilden. Man zeigt leicht, daß keine zwei F. S.
eines Komplexes einander gleich sein können, da aus [xa^'] = [%'],
woraus dann auch [j^a/] = [«oJ folgen würde, und [xa^'] = [«3'],
woraus dann auch [xa^'] = [ctg] folgen würde, sich sofort [ao'^1'^2'^3']
= [0] ergeben würde, was nach dem XXVI. Satz ausgeschlossen ist.
Dagegen tritt das nämliche F. S. von Th. Char. in 2jj + 2 verschie-
denen Komplexen auf, wie man erkennt, wenn man beachtet, daß
man aus ihm 2p -\- 2 verschiedene F. S. von Per. Char. ableiten kann,
wenn man der Reihe nach seine 2p -\- 2 Charakteristiken zu den
jedesmal 2p -{- 1 übrigen addiert. Daraus ergibt sich, daß die An-

Eigenschaften und Anzahl der F. S. von Th. Char. 285

zahl N' der verschiedenen F. S. von Th. Char. mit der Anzahl N
der verschiedenen F. S. von Per. Char. durch die Gleichung:

(186) ^'=^

zusammenhängt, daß also:

ist.

XXVII. Satz: Die Anzahl der verschiedenen F. S. von Tli. Char.
beträgt:
(TKIY) N' = 2^P (2^-^-i)(2'-^~ -1) ■■■(2 -1) ,

y^s^js^y ) ly ^ (2p + 2)!

Da nach dem XXVI. Satz die Summe aller 2p + 2 Th. Char.
eines F. S., aber nicht die Summe einer geringeren geraden Anzahl
von ihnen der Th. Char. [0] gleich ist, so folgt, daß man jede der
2^P Th. Char. und zwar jede zweimal erhält, wenn man die sämt-
lichen 2^^ + ^ wesentlichen Kombinationen der 2p -i- 2 Th. Char. eines
F. S. bildet. Für irgend eine wesentliche Kombination der 2p -\- 2

2m 4-1

Th. Char. eines F. S. [ ^a'u] ist aber nach Formel (81):
/i=i '

2m+l 27,1 + 1

(188) |^«'| = (-l)'"]7l«/^l

/< = ! iu = l

und es stellt daher der Ausdruck

(189) i-, { (1 + i 1 < I) (1 + ^ I %' I) • • • (1 + i I <,+! I)

- (1 - « 1 «o' I) (1 - i I a/ 1) • • • (1 - ^ I <^+i 1) }

die doppelte Summe aller Charaktere der 2^p Th. Char. dar, besitzt
also den Wert 2p + \ Sind aber von den 2p-\-2 Th. Char. des
F. S. s ungerade, 2p -\- 2 — s gerade, so erhält man hieraus:

(190) 2p+'==^.[{i-iy{i + iyp+'-'-{i + iy{i-iyp^'-']
= -. • 2' ■ {2iy+ i-*[i - (- iy+-^-q

oder:

(191) 2==i^-^[l-(-l)^ + '-*]. ■

Aus dieser Gleichung ergibt sich aber, daß s = |; (mod. 4) sein muß.
Man hat also den

286 "^il. 7. Funclamentalsysteme von Thetacharakteristiken.

XXVni. Satz: In jedem F. S. von TJi. Clinr. genügt die An-
zald s der ungeraden Th. CJtar. der Kongruenz s^x) (mod. 4).

Bezeichnet mau daher mit [%'] die Summe der ungeraden unter
den 2p -\- 2 Th. Char. eines F. S., so ist eine Th. Char. von der

rii

Form \n' -\- ^a] eine wesentliche Kombination der Th. Char. des
F. S., wenn m ^^p -{- 1 (mod. 2) ist, und es werden daher von den
Formen:

(192) k + Ja] [^-''-X-^.,)

nach dem vorher Bemerkten die sämtlichen 2'^p Th. Char. und zwar
jede zweimal geliefert. Für eine solche Th. Char. wird aber nach
Formel (81), wenn von den p -\- 2v -\- 1 Th. Char. der Summe

p-{-%v-\-l p + 2r + l

[ ^a] % ungerade sind und für die Th. Char. \)i -\- ^a\ daher die

Anzahl der ungeraden ihrer Th. Char. 6> — x, die Anzahl aller aber

p -\- 2v -\- \ -\- s — 2% beträgt, der Charakter bestimmt durch die
Gleichung:

P + 2V + 1 y-(-2r + »-2x

(193) |«' + ^a': = (-l) ^ =(-1)^

und man hat daher sofort den

XXIX. Satz: Bdden [«„'], [a/], •••, [«g'^+i] eiw F. S. von TJi.
Char. und ist [)^'] die Summe der ungeraden TJi. CJiar. unter ihnen, so
läßt sich jede heliebige TJi. Char. immer und zivar auf zwei Weisen
darstellen in der Form:

p±2v+\

(XXV) [£] - [n +2a], ('=0, 1, 2, ■ • •)

und es ist eine in dieser Form gegebene TJi. Char. gerade oder ungerade,
je nachdem v gerade oder ungerade ist, d. h. es iverden von den Formen:

(XXVI) [n+2a] (0=0,1,2,...)

die sämtlichen g^ geraden Th. Cliar. und zwar jede zweimal; von den
Formen:

p + 40 + 3

(XXVII) k + ^a'] (0=0,1.2,...)

die sämtlichen u^ ungeraden Th. CJtar. und zivar jede ziveimal geliefert.

Man kann noch bemerken, daß zwischen der Summe [w] der un-
geraden unter den 2p + 1 Per. Char. eines F. S. (rtj, {a.^, •••, («2^3+1)

Darst. der ger. u. ung. Th. Char. u. der Per. Char. durch die Th. Cbar. eines F. S. 287

und der Summe [ii] der ungeraden unter den 2}) + 2 Th. Char.
eines daraus abgeleiteten F. S. [%'], [«i'] = [öto'ö^i]; ■"? [«2p+i]^[^*o'^2p + i]
stets die Beziehung [n'] = [w + i> + 1 «o'l hesteht, deren Richtigkeit
man folgendermaßen dartut. Man kann [oq] stets in die Form

u

Wo]'=b'^~^^(^] bringen, wo fi eine der Zahlen 0, l,---,p be-
zeichnet; sei [«o'] ^ [^^^1 ^ ■ ■ ■ ^/J? dann sind die fi Charakteristiken
Ißi']} [ttg'], ••■, [a,/] untereinander von demselben Charakter, und
ebenso sind die 2p -\- 1 — ^ Charakteristiken [a,',^i], [a,',-j_2], • • •,
[aäp+i] untereinander von dem nämlichen Charakter und von ent-
gegengesetztem wie die vorher genannten (i Charakteristiken, und da
[cIq] im Falle |ti=^)-fl (mod. 2) von gleichem, im Falle ^^p
(mod. 2) von entgegengesetztem Charakter wie die Charakteristiken

[a/], [«2'], • • •, [(^m'], auch [«i'rto' • • • a^,'] = [n -\- ^i — 1 a^l ist, so er-
gibt sich in jedem Falle als Summe der Charakteristiken gleichen
Charakters unter den 2p-\-2 Th. Char. [%'], [di], ■■■, [«2^ + 1]? ^^^
oben behauptet, [n] = [n -^ p -{- 1 Uq].

Bildet man aus den 2p -\- 2 Th. Char. eines F. S. alle Kombina-
tionen gerader Ordnung, so erhält man sämtliche 2^p Per. Cliar. und

2^ + 2

zwar jede zweimal; in den Formen (0) = (Sa) die uneigentliche

2j'

Per. Char. (0), in den Formen {^a) {v = 1, 2, ■ ■ ■, p) die 2'-p - 1
eigentlichen.

In der gleichen Weise sind in den Formen:

p±2r

(194) (n' 4- ^ a) (»'=0, i, 2, • ■ )

die sämtlichen 2'^ Per. Char. und zwar jede zweimal enthalten, und
endlich liefern die Formen:

^ + 4o

(195) {n' + ^a) (^=o,i,2,.)

die sämtlichen 2^p Per. Char. und zwar jede nur einmal, da hier

p + 4 0 p + 4 ff

niemals zwei Summen ( 'S a) und {Sa) zusammen alle 2p -f 2 Th.
Char. des F. S. und zwar jede nur einmal enthalten können, also
keine zwei solche Per. Char. einander gleich sind. Bezeichnet man
nun mit {p) eine Per. Char. von der Form:

(196) {P) = {n+2c>f),

wo [i^p (mod. 4) ist, so ist eine Th. Char. [i/«^]; wo % eine der
Zahlen 0, 1, 2, •••, 2p -\- 1 bezeichnet, ungerade oder gerade, je nach-

288 VII. 7. Fundamentalsysteme von Thetacharakteristiken.

dem die Charakteristik (ai,) unter den Charakteristiken der Summe

(2a) vorkommt oder nicht; von den 2p -\- 2 Th. Char.

(197) b'«o'], b'<], •••, Lp'«2p + i]

sind also genau fi ungerade, und man schließt daraus, da es zu ge-

(2« -|- 2\
) verschiedene Per. Char. (jp') gibt, daß in

dem Komplexe der 2^^ F. S.

(198) [xtto'], [;«<], •••, [xao'p + i]

(2ij -(- 2\
I F. S. vorkommen, welche ^i ungerade Th. Char. enthalten.

Indem man dann wieder F. S., welche sich nur durch die Reihenfolge
der Th. Char. unterscheiden, als nicht verschieden ansieht, wird die
Anzahl jener F. S. von Th. Char., welche eine gegebene Anzahl
^^p (mod. 4) ungerader Th. Char. enthalten, durch den Satz be-
stimmt:

XXX. Satz: Ist i^^p (mod. 4), so (jibt es:

(XXVIII) jv; - ''''~'»'p;+~,'l,)/''~'' 2"

F. S. von Th. Cliar., ivelche genau (i ungerade Th. CJiar. enthalten.

Speziell kann man, wenn p gerade ist, die Per. Char. (y) immer
und nur auf eine Weise so wählen, daß die 2p -\- 2 Th. Char. des
F. S. (197) alle gerade oder alle ungerade sind, je nachdem p = 0
oder 2 (mod. 4) ist, und falls p ungerade ist, die Per. Char. i^p') auf
2p -\- 2 Weisen so wählen, daß von den 2 p -\- 2 Th. Char. des F. S.
(197) 2p -\- 1 gerade oder ungerade sind, je nachdem p^l oder 3
(mod. 4) ist. Man erkennt, daß man auf diese Weise wieder zu den
in dem XXI. Satz definierten 2p -\- 1 Th. Char. einer Hauptreihe ge-
langt ist, und zugleich, daß die Th. Char. einer Haiiptreihe auch
definiert werden können als 2p + 1 Th. Char., welche von gleichem
Charakter und zu je dreien azygetisch sind. —

Da durch eine ganzzahlige lineare Transformation drei azygetische
Th. Char. wieder in drei azygetische übergehen, so geht bei jeder
ganzzahligen linearen Transformation aus einem F. S. von Th. Char.
wieder ein F. S. von Th. Char. hervor. Da aber weiter durch eine
ganzzahlige lineare Transformation eine gerade Th. Char. immer
wieder in eine gerade, eine ungerade Th. Char. immer wieder in eine
ungerade übergeht, so bleibt bei jeder ganzzahligen linearen Trans-
formation die Anzahl s der unter den 2p -\- 2 Th. Char. eines F. S.
vorkommenden ungeraden erhalten. Es gehen also nur solche F. S.
von Th. Char. ineinander über, welche die gleiche Anzahl von uu-

F. S. von Th. Char. bei ganzzabl. lin. Transf. Historisches. 289

geraden Th. Char. aufweisen. Betrachtet man aber zwei F. S. von
Th. Char. auch dann als verschieden, wenn sie sich nur durch die
Reihenfolge ihrer Th. Char. unterscheiden, so wird die Anzahl der
verschiedenen F. S. mit s ungeraden Th. Char.

(199) (2^/'- l)(22i'-2- 1)...(22- 1).2^'-Q

gleich der Anzahl der mod. 2 inkongruenten ganzzahligen linearen
Transformationen und man hat daher den

XXXI. Satz: Durch eine ganzzahlige lineare Transformation geht
aus einem F. S. von Th. Char. immer wieder ein F. S. von Th. Char.
hervor, und zwar eines mit der gleichen Anzahl ungerader TJi. Char.
Man l;ann auf diese Weise von einem F. S. von Th. Chor, mit s un-
geraden TJi. Char. zu jedem anderen derartigen gelangen.

Das Verfahren von Weierstraß ^), die Indizes aller 2^p Thetafunk-
tionen durch Komposition von 2p -\- 1 ausgezeichneten zu bilden, ist das
früheste Beispiel für ein F. S. von Per. Char.

Ausdrücklich treten die F. S. von Per. Char. zuerst bei Pryra^) auf;
sie sind hier charakterisiert durch die Eigenschaft, daß es zu den 2}) + 1
Per. Char. eines F. S. immer eine, zunächst noch unbekannte Th. Char. [«]

gibt, welche zu ihnen in der Beziehung steht, daß eine Th. Char. [« + ^ «J
gerade ist, wenn ft ^ 0 oder 1 (mod. 4), ungerade, wenn (i^2 oder 3
(mod. 4) ist. Sodann wird gezeigt, daß die Th. Char. \n] gleich ist der
Summe der unter den 2j> + 1 Charakteristiken [a] vorkommenden un-
geraden. Prym knüpft an eine bestimmte Zerschneidung der Kiemann-
sehen Fläche im hypereDiptischen Falle an, und wenn er auch bemerkt,
daß die Eesultate hiervon insofern unabhängig sind, als die Zerschneidung
mannigfach modifizierbar ist, also verschiedene F. S. erhalten werden
können, so hat er doch eine Substitutionstheorie im Galoisschen Sinne,
also die Frage nach den invarianten Eigenschaften der F. S. bei ganz-
zahliger linearer Transformation und nach der Anzahl der überhaupt
existierenden verschiedenen F. S. nicht im Auge. Zu einer solchen Theorie
eignete sich auch der hyperelliptische Fall mit seinen vielen Besonder-
heiten nicht als Ausgangspunkt. In der Tat wurde die Eigenschaft, daß
die 2p -\- 1 Per. Char. eines F. S. paarweise azygetisch sind, erst von

1) Königsberger, Über die Transformation etc. J. für Math. Bd. 64.
1865, pag. 17 und: Schottky, Abr. e. Th. d. Abel'schen Funct. etc.; vergl.
auch: Cayley, Algorithm for the characteristics of the triple -S'-functions.
J. für Math. Bd. 87. 1879, pag. 165 und: Borchardt, Zusatz zm- obigen Ab-
handlung (Algorithm for the characteristics of the triple ^-functions von Cayley)
J. für Math. Bd. 87. 1879, pag. 169.

2) Prym, Zur Theorie der Functionen etc. Züricher N. Denkschr. Bd. 22.
1867, pag. 11.

Krazer, Thetafunktionen. 19

290 VII. 7. Fundamentalsysteme von Thetacharakteristiken.

StahP) angegeben. Später hat Pryra ^) seine Untersuchungen über die
F. S. von Per. Char. wieder aufgenommen und auch die F. S. von Th.
Char. definiert; aber diese erscheinen ihm nur als eine Verallgemeinerung
der F. S. von Per. Char.

Die Begriffe der Galoisschen Theorie hat C. Jordan^) in die Charak-
teristikentheorie eingeführt. Sein „groupe abelien", vrie er in den Art.
217 — 223 definiert ist, ist die Gruppe G der mod. 2 inkongruenten ganz-
zahligen linearen Transfonnationen , während die in den Art. 230 — 239
gegebene „zweite Definition" dieser Gnippe sieh mit der Definition der
Gruppe H jener Substitutionen von Per. Char. deckt, welche den Wert
des Ausdrucks [ £, '»? j ungeändert lassen, und endlich der in den Art. 318
— 335 behandelte „groupe de Steiner" mit der oben definierten Gruppe
H' von Substitutionen von Th. Char. übereinstimmt. — In den Art. 321
— 325 finden sich jene Sätze über die mehreren Gruppen gemeinsamen
Th. Char., welche oben als Satz VIII — XIII angeführt sind.

Weber ^) definiert seine vollständigen Systeme ungerader Th. Char.
[ßiln [/^2]i ' ' 'i [1^7] primär durch die Eigenschaft, daß eine gerade Th.
Char. [j;] existiere, welche zu ihnen in der Beziehung steht, daß die
21 Th. Char. [pß^,ß,] ungerade sind. Die Summe der 7 Th. Char. [ß]
ist dann der geraden Th. Char. [p] gleich, und die 35 Summen [/3;j3,jj3,,]
von je drei verschiedenen der Th. Char. [ß] liefern die übrigen geraden
Th. Char. Erst in zweiter Linie bemerkt Weber, daß die vollständigen
Systeme ungerader Th. Char. auch durch die Eigenschaft definiert werden
können, daß die Th. Char. [/3;l3 |3,,] sämtlich gerade sind. Durch diese
Eigenschaft sind aber die 7 Th. Char. [ß] als die Th. Char. einer Haupt-
reihe charakterisiert, da sie gleichen Charakters und auf Grund der Glei-
chung I ß,, (3^,, ^J = I ^. I . I ß^^ ! . \ß^ . I ß,ßj,. I = - 1 zu je dreien azy-
getisch sind. — Addiert man zu ihnen die Th. Char. \j)] und faßt die 7
entstehenden Charakteristiken als Per. Char. (pßi)^ {pß2)i ' ' '■> (pßi) ^^^^
so bilden dieselben ein F. S. von Per. Char. — Später hat Weber ^)
noch gezeigt, daß ein vollständiges System ungerader Th. Char. durch
eine ganzzahlige lineare Transformation in ein ebensolches System über-
geht, und daß man auf diesem Wege aus einem vollständigen Systeme alle
ableiten kann.

Die Untersuchungen von Nöther ^) knüpfen an die Jordansche

1) Stahl, Beweis eines Satzes von Riemann etc. J. für Math. Bd. 88.
1880, pag. 273; auch: Das Additionstheorem etc. J. für Math. Bd. 88. 1880,
pag. 117 und: Th. d. Abefschen Functionen. Lpz 1896.

2) Prym, Unters, ü. d. Riemann'sche Thetaf. etc.

3) Jordan, Traite des substitutions etc. Paris 1870; auch: Sur les
caracteristiques des fonctions 0. C. R. Bd. 88. 1879, pag. 1020 und 1068;
und : Memoire sur les caracteristiques des fonctions 0. J. de l'Ec. polyt. Bd. 28.
1879, pag. 35.

4) Weber , Theorie der Abel'schen Functionen vom Geschlecht 3. Berlin 1876.

5) AVeber, Über die Transformationsth. etc. Ann. di Mat. (2) Bd. 9. 1879,
pag. 120.

6) Nöther, Über die Thetaf. von vier Arg. Erlangen Ber. Heft 10. 1878,

Historisclies. Gruppen von Per. Cbar. 291

Theorie des „groupe de Steiner" an. Das Prinzip der üntersucliung be-
steht darin, die von niedrigeren Zahlenwerten p her bekannten Resultate
auf ein höheres 2^ ^^^ Hilfe des Satzes zu übertragen, daß die in zwei
azygetischen Gruppen (g), (tj) gemeinsam enthaltenen ß* _i geraden und
u i ungeraden jp-reihigen Th. Char. und die 2^p~'^ — 1 zu (e) und (tj)
syzygetischen eigentlichen jj- reihigen Per. Char. untei*einander in genau
denselben Beziehungen stehen wie die überhaupt existierenden f7„_i ge-
raden und i( i ungeraden j) — 1- reihigen Th. Char. und die 2"^'~^ — 1
2) — 1- reihigen eigentlichen Per. Char. Zur Bildung der Charakteristiken-
Systeme und zwar sowohl der F. S. von Per. Char. als der (von Nöther
„ausgezeichnete Systeme von 2p + 1 Charakteristiken" genannten) Haupt-
reihen von Th Char. dienen Systeme von 2p Per. Char. (r^), {f^^)^ • • •,
(r ), (5 ), welche durch die Bedingungen:

(200) |/v, s,\ =-1, |r,, r,\ = j r„ 5, 1 = | .„ s,\ = + 1

(/,i- = l,2, ■■■,p; !^k)

definiert sind.

Die von Frobenius^) eingeführten „Fundamentalsysteme von Charak-
teristiken" sind mit den obigen F. S. von Th. Char. identisch. In vielen
Teilen konnte sich die obige Darstellung an Frobenius anschließen, ins-
besondere rührt von ihm der Gedanke her, die Sätze über die Lösungen
linearer Kongnienzen für die in der Charakteristikentheorie auftretenden
Abzahlungen zu verweilten.

Eingehende historisch -kritische Erörterungen über die Entwicklung
der Charakteristikentheorie finden sich im IX. Abschnitte des Berichtes
über die Entwicklung der Theorie der algebraischen Funktionen von
Brill und Nöther-).

§8.

G-ruppeu von Feriodencharakteristikeu.

Alle Kombinattonen von r unabhängigen Per. Char. (f^), (fg), • • •,
(f^) bilden nehst der uneigentlichen Per. Char. (0) eine Gruj^pe E von
2'" verschiedenen Per. Char. Die Zahl r heißt der Rang, die Zahl 2'"
die Ordnung der Gruppe E, die r Per. Char (sj), (£3), ••■, (f^) oder
irgend andere r unabhängige Per. Char. von E die Basis der Gruppe E.

pag. 87; Zur Theorie der Thetaf. von vier Arg. Math. Ann. Bd. 14. 1879,
pag. 248; Über die Theta-Charakt. Erlangen Ber. Heft 11. 1879, pag. 198;
Zur Theorie der Thetaf. von beliebig vielen Arg. Math. Ann. Bd. 16. 1880,
pag. 270; Zum Umkehrproblem etc. Math. Ann. Bd. 28. 1887, pag. 354.

1) Frobenius, Über das Additionstheorem etc. J. für Math. Bd. 89. 1880,
pag. 185.

2) Brill und Nöther, Die Entwicklung der Theorie der algebraischen
Functionen in älterer und neuerer Zeit. Jahresber. d. D. Math.-Ver. Bd. 3.
1894, pag. 107.

19*

292 VII. 8. Gruppen von Periodencharakteristiken.

Die sämtlichen 2^^ Per. Char. überhaupt bilden eine Gruppe
vom Range 2p ; es befinden sieh also unter ihnen 2p unabhängige.
Als Basis der Gruppe können hier zweckmäßig jene 2p Per. Char.
gewählt werden, bei denen immer nur ein Element den Wert 1 hat,
während jedesmal die 2}) — 1 anderen den Wert Null besitzen. Daß
diese 2p Per. Char. unabhängig sind, erkennt man unmittelbar und
ebenso, in welcher Weise sich eine beliebige Per. Char. (e) aus ihnen
zusammensetzen läßt.

Um die gegenseitigen Beziehungen der Per. Char. einer Gruppe
E zu erforschen, untersuche man, ob es in E außer (0) noch andere
Per. Char. (a) gibt, die zu allen Per. Char. (f) der Gruppe E syzy-
getisch sind; dazu ist notwendig und hinreichend, daß sie es zu den
r Basischarakteristiken sind. Sind (a^), («g) zwei solche Per. Char.,
so ist auch {a^a^) eine; demnach bilden die Per. Char. (a) selbst
wieder eine Gruppe Ä, die man die syzijyetische Untergruppe von E
nennt; ihr Rang sei w; zwischen je zwei ihrer Per. Char. besteht die
Beziehung | a^, aj = + 1.

Zwei Per. Char. (f ) und (f^,) von E heißen mod. A äquivalent:

(201) (.^) ^ {s,) (mod. A),

wenn ihre Summe (f„£,,) zur Gruppe A gehört. Sind dann (tj), (f,),
(jl^j (%) ^"ißi" Per., Char. von E und ist:

(202) {h)^{h), M^iv^) (mod.^),
so ist:

(203) Ui, %i = |£2, %l-

Ist nun m < r, so gibt es in E mindestens zwei zueinander azy-
getische Per. Char. {ßi), (ßo)- Ist dann (a) irgend eine Per. Char.
von A, so ist {ocß^ß^} sowohl zu (/3j) als zu {ß^) azygetisch. Man
untersuche, ob es in E eine Per. Char. (ß^) gibt, die zu (ßj) und [ß^)
azygetisch ist, ohne (ß^ß^) äquivalent mod. A zu sein. Existiert eine
solche, so untersuche man weiter, ob es eine Per. Char. (/3J gibt, die
zu (ßi), {ß^} und (ß^) azygetisch ist; ferner eine Per. Char. (ß^), die
™ (^i), (/Sg), (ßs) und (ß^) azygetisch ist, ohne (ßiß^ßsßi) äquivalent
mod. A zu sein. Setzt man dieses Verfahren so lange als möglich
fort, so erhält man w Per. Char. (ßi), {ß^, • • ■, {ß„) der Gruppe E
mit den Eigenschaften: 1. je zwei derselben sind azygetisch; 2. keine
Summe (/3i /Sg ••• ß^y + i) (v = 1, 2, • • •) ist in A enthalten; 3. es
gibt in E keine zu (ß^), (ß^), • ■ • und (/3„) azygetische Per. Char.,
außer der Summe {ßiß2 • • ■ ßn)) wenn n gerade ist. Man zeigt nun

i

leicht, daß keine Kombination (7) = {^ ß) der Per. Char. (/3) in A

K

Syzyget. Untergruppe. Normale Basis einer Gruppe. 293

enthalten sein kann. Es sei zunächst i<Cri] ist dann (/3J unter den

i

i Per. Char. der Summe [^ ß) enthalten, (/3;) dagegen nicht, so ist:

(204) |^,,y! = (-l)'-S \ß,,y\ = {~iy, \ßj,,y\ = -l

also (y) nicht zu Ä gehörig. Ist dagegen i == n, so ist (y), wenn n
ungerade ist, infolge der Eigenschaft 2 der Per. Char. (/3), wenn n
gerade ist, infolge der für jedes x geltenden Gleichung:

(205) |^^,y| = (--l)"-i = _l

nicht in A enthalten.

Nun kann man weiter zeigen, daß m unabhängige Per. Char. (a)
und die n Per. Char. (/3) zusammen eine volle Basis von E ausmachen,
d. h. daß es in E keine Per. Char. gibt, die sich nicht aus den Per.
Char. (a) und (ß) zusammensetzen läßt. Wir nehmen an, es existiere
eine solche Per. Char. (y) und es sei für sie etwa:

(206) !y,AI = --- = iy,^J = + i, \Y,ß,^A---\y,ßn\-~h

dann genügen die Per. Char.

(207) (d) = {ß,ß, . . . ß^j), (s) = (/3„^, • . • ß^y)

für jedes v von 1 bis n den Gleichungen:

(208) id,ß^\ = (-iy±\ \s,ß,.\ = {-iy-^'.

Es müssen aber auf Grund der Eigenschaft 3 der Per. Char. (ß) die
beiden Zahlen (i + 1 und n — ^ gerade und also:

(209) \ö,ß^,\ = ^\, ,£,/3j = + l (v = i,v.,.)

sein, d. h. man kann jede nicht zu den (a) vmd (/3) gehörige
Per. Char. (y) der Basis von E durch Hinzunahme von Per. Char.
{ß) so abändern, daß sie den n Gleichungen:

(210) |y,^J = +l (v = l,2,...,n)

genügt. Weiter folgt aber, wenn die beiden Zahlen j* + 1 und n — ^
gerade sind, daß n ungerade ist, und die Per. Char. {ß^ ß^ ' " ßn) würde
jetzt nicht nur zu allen Per. Char. (a) und auf Grund der Gleichungen
(210) zu allen Per. Char. (y), sondern auch zu jeder einzelnen Per.
Char. (/3) syzygetisch sein, also zur Gruppe Ä gehören, was infolge
der Eigenschaft 2 der Per. Char. (/3) ausgeschlossen ist. Damit ist
aber die Unstatthaftigkeit der Annahme, daß es von den (a) und (/3)
unabhängige Per. Char. der Gruppe E gäbe, nachgewiesen. Zugleich
erkennt man, daß n gerade sein muß, da sonst {ßiß^ • • ■ ß^ zu
allen Per. Char. der Basis von E syzygetisch wäre, was, wie soeben

294 VII. 8. Gruppen von Pcriodencharakteristiken.

erwähnt, niclit stattfindet. Ersetzt man daher noch n durch 2«, so
kann man den Satz aussprechen:

XXXII. Satz: Jede Gruppe E van 2*" Per. Char. hat eine Basis
vmi der Form:

(XXIX) K); • • •, (O. (/5l), • • •, {kn\ (». + 2n = .)

deren Per. CJiar. den Gleichmige^i:

(XXX) |«„c.,| = +l, l«,,/3,:=+l, ^,,/3.>-l

/z, ;. = 1, ->,••, /«; y.<}.\
\u, J=l, 2, • • •, 2«; ,« < )/

genügen. Eine solche Basis ivird eine normale genannt.

Da die Per. Char. (a), (/3) unabhängig sind, so haben die m-\-2n
Gleichungen :

(211) |a„^i = + i, 1^,,^; = + ! C=J:S::::L)

22p-wt-2« Lösungen; zu ihnen gehören die 2"' Per. Char. (a); es ist
also jedenfalls:

(212) 2p — m — 2n ^m, m + n < P-

Ist E die Gruppe aller 2-^' Per. Char., so ist m = 0, n =i>", es gibt
also 22) unabhängige Per. Char., die zu je zweien azygetisch sind;
solche bilden zusammen mit ihrer Summe ein F. S. von Per. Char.
Da die Per Char. (a), (ß) unabhängig sind, so kann man weiter
eine Per. Char. (ß^n + i) finden, welche den Gleichungen:

(213) \a„x\=-l, ß.,a: =+1, ß^^,x =-1, ^X'^'^')

genügt; dann befriedigt die Per. Char. («i/?2« + i) = '^/^2«+2) dieselben
Gleichungen; es sind auch die Per. Char. (/32„^i) und (/Sg^^g) ä2;yge-
tisch, und die m -\- 2n + 1 Per. Char. («,), •••, (aj, (ß^), •••, (^gn + g)
sind unabhängig. Denn bestünde zwischen ihnen eine Relation, so
könnten in dieser infolge der Unabhängigkeit der Per. Char. (u), (ß)
weder beide Per. Char. {ß2n+i) ^^^ iß2n+2) felileii, noch wegen
(ß2n + i ß-iti +2) ^ (y-i) ^eide vorkommen; enthielte sie aber eine dieser
beiden Per. Char., so wäre diese im Gegensatze zu den Gleichungen

(213) zu (ay) syzygetisch. In derselben Weise kann man (a^) in die
Summe («2) = (/^2« + 3/^2«+4) zweier azyge tischer Per. Char. (/Jg^+s)
und (ßin + i) zerlegen, welche den Gleichungen:

(214) \a„x\ = -l, \a„x\ = +l, \ß^,x =-1 (^Zlt. [':'':„)

genügen, und es sind die m -\- 2n -\- 2 Per. Char. («3), ■ • •, («,J,
{ßi)} "■; ißzn+i) unabhängig. Indem man so fortfährt, erhält man den

Adjung. u. konjug. Gruppe. Syzyget. Gruppe. Göpelsche Gruppe. 295

XXXIII. Satz: Jede Gruppe E von Per. Char. hat eine Basis
von der Form:

(XXXI) ißi), ■■-, {ß2n)> {ß2n+lß2n + 2h ''': (^2m +2 m-1 P2 « + 2 m)?

wo (ß^), •■•, {ß2n + 2>J unabhängige Per. Char. sind, von denen je ztvei
azygetisch sind.

Durch lineare Transformation der Perioden geht aus einer Gruppe
von Per. Char. immer wieder eine Gruppe von Per. Char. hervor;
dabei bleibt nicht nur der Rang /• der Gruppe selbst, sondern auch
der Rang m ihrer syzygetischen Untergruppe ungeändert. Aus dem
XXXIII. Satze folgt aber zusammen mit dem XVIII. Satze, daß man
auch umgekehrt durch lineare Transformation von jeder Gruppe zu
jeder anderen von gleichem Range und gleichem Range der syzyge-
tischen Untergruppe gelangen kann.

Zu den 2'" Per. Char. einer Gruppe E vom Range r gibt es
stets 2^P~'' Per. Char., welche zu allen Per. Char. von E syzygetisch
sind, sie sind, wenn (f^), (e^, •■•, (e^) eine Basis von E sind, die
Lösungen der r unabhängigen Gleichungen:

(215) \e^,x\ = -\- 1, ' 82,x\ = -\- 1, ■■-, ;£^, ^| = +1

und bilden selbst wieder eine Gruppe Z vom Range 2p — r, die man
die zu E adjungierte Gruppe nennt; es ist dann auch E die zu Z
adjungierte Gruppe. Die Gruppen E und Z haben die syzygetische
Untergruppe gemeinsam und es ist diese zugleich ihr größter gemein-
samer Teiler.

Konjugiert zu einer Gruppe E vom Range r nennt man weiter
eine solche Gruppe H vom Range 2j) — r, deren Basischarakteristiken
iVi)} (Vi)^'") iV2p-r) zusammen mit den Basischarakteristiken («J,
(£2), •••, (f^) von E 2p unabhängige Per. Char. bilden. Die kon-
jugierte Gruppe H ist im Gegensatze zur adjiyigierten Z durch die
Angabe von E nicht eindeutig bestimmt, da jede ihrer Basischarak-
teristiken durch eine beliebige ihr mod. E äquivalente ersetzt werden
kann.

Sind je zwei Per. Char. einer Gruppe syzygetisch, wozu not-
wendig und hinreichend ist, daß es je zwei Per. Char. ihrer Basis
sind, so heißt die Gruppe selbst syzygetisch. Der Rang einer syzy-
getischen Gruppe kann auf Grund der Relationen (212) nicht größer
als p sein. Eine syzygetische Gruppe vom Range p heißt eine
Göpelsche Gruppe.

Um die Basis einer Göpelschen Gruppe zu bestimmen, wähle
man (aj beliebig unter den 2^p — 1 eigentlichen Per. Char. aus;
nehme sodann für {a^ eine der 2^^~^— 2 = 2(2^^~^— 1) von (0)
und (ßj) verschiedenen Lösungen der Gleichung:

(216) \a„x\ = + l;

296 VII. 9. Systeme von Thetacharakteristiken.

ferner für («3) eine der 2'^-' - 4. = 2\2'-p-' -1) von (0), («J, (u^),
(o^ag) verschiedenen Lösungen der Gleichungen:

(217) \cc^,x\ = + l, \a2,x\ = + l

und fahre so fort. Sind x Basischarakteristiken (a^), (a^), •■■, («J
gefunden, so ist für die x + 1'' eine der 22^-^-2'= = 2^^(22^- ^^^ - 1)
von diesen unabhängigen Lösungen der Gleichungen:

(218) \cc^,x\ = -}- 1, \u^,x\ = + 1, ••■, \a.^,x\ = +l
zu setzen. Die auf solche Weise erhaltenen:

(219) {2'P - 1) (22^-2 _ 1) ... (22 - 1) 2^^"'^"
verschiedenen Basen Göpelscher Gnippen liefern aber nur

(220) (2^"-i)(2^^"'-i)---(2'-l) _ ^2P + 1) (2^- 1 + 1) . . . (2 + 1)

verschiedene Göpelsche Gruppen selbst, da in einer gegebenen Gruppe
vom Range p die erste Basischarakteristik auf 2^ — 1, die zweite auf
2P-2 = 2{2P-^- 1), •• •, die ^t+l*« auf 2^- 2^^ = 2^(2^-^- 1), • • •
Weisen gewählt werden kann.

Durch lineare Transformation der Perioden geht aus einer Göpel-
schen Gruppe immer wieder eine Göpelsche Gruppe hei-vor-, man kann
auf diese Weise von jeder Göpelschen Gruppe zu jeder anderen und
zwar jedesmal durch

C221) (•2'-P-i)(2'^"'-i)---(2'-i)2^^_/2^-l)(2^-^-l)---(2-l)-2^'
^ ^ (2^ + i)(2^-' + i)--- (2 + 1) V yv / V y

verschiedene lineare Transformationen gelangen. ♦

Für jede Göpelsche Gruppe von Per. Char. ist die adjungierte
Gruppe mit der urspr^inglichen identisch.

§ 9-
Systeme von Thetacharakteristiken.

Addiert man m den sämÜicJien Per. Char. einer Gruppe E eine
leliehigc TJi. Char. [n] und faßt die entstehenden 2'' CJiaraJcteristiken
als Th. Giar. auf, so sagt man von ihnen, daß sie ein System von 2"
Th. Char. Ulden. Man kann die 2'' Th. Char. eines Systems auch als
die wesentlichen Kombinationen von r + 1 wesentlich unabhängigen
seiner Th. Char. definieren. Sind nämlich (f^), (f,), •••, (O die Basis-
charakteristiken der Gruppe E, so sind die 2'' Th. Char. des Systems
[x], [/.fj, [^^^2]? [^^1^2]» ■•* <^i® wesentlichen Kombinationen der r+1
Th. Char. [x], [;tfj, •••, [xfj-, diese /• + 1 Basischarakteristiken des

Definition. Komplex von konjug. Syst. Adjung. Syst. 297

Systems sind aber wesentlich unabhängig, da die Summe einer ge-
raden Anzahl von ihnen sich stets auf eine Kombination der (s)
reduziert.

Aus einer Gruppe E vom Range r erhält man auf die angegebene
Weise 2^^-'' verschiedene Systeme von Th. Char., vt^elche zusammen
alle 2^P überhaupt existierenden Th. Char. und jede nur einmal ent-
halten; man sagt von ihnen, daß sie einen KomiÄex bilden. Man er-
hält die 2^^"'" Systeme des Komplexes und jedes nur einmal, wenn
man an Stelle von [x] der Reihe nach die 22^"'' Per. Char. einer zu
E konjugierten Gnippe H treten läßt; man nennt daher auch die
2^P~'' Systeme eines Komplexes zueinander l:onju(jkrt.

Adjungicrt sollen zwei Systeme von Th. Char. heißen, wenn jene
zwei Gruppen von Per. Char. es sind, aus denen sie abgeleitet wurden.

Die 2'' Per. Char. einer jeden Gnippe E von Per. Char. können
nach dem im vorigen Paragraphen Bemerkten als die Lösungen der
2p — r unabhängigen Gleichungen:

(222) \l„x\ = + \, 'a^,x\ = + l, ■■-, U-2p-r,^' = + l

definiert werden, in denen (tj), (^2); •'■> {Up-r) Basischarakteristiken
der zu E adjungierten Gruppe Z sind. Die 2' Lösungen der all-
oremeineren Gleichuncren :

(223) \t„x\ = {-\i\ |e2,^l = (-l/% •••, U2,-.,^H(-l/^^^-^

in denen die ö vorgegebene Zahlen 0, 1 seien, bilden ein System K
von 2" Th. Char., welches, da man sie durch Addition einer beliebigen
seiner Th. Char. zu den 2'' Per. Char. der Gruppe E erhält, dem zu
dieser Gruppe gehörigen Komplexe entnommen ist, und es entsprechen
den 2^^"'" konjugierten Systemen dieses Komplexes genau die 2^p~''
Variationen mit Wiederholung zur 2 p — r^^"" Klasse der Elemente
0, 1, die an Stelle von d^, d^, •••, d^p_^ treten können, sodaß also
die Zahlen d^, d^, ■■■, ^^p-r willkürlich gewählt werden können, durch
ihre Angabe aber das System K eindeutig bestimmt ist.

Es soll jetzt die Anzahl der unter den 2'' Th. Char. eines Systems
K vorkommenden geraden und ungeraden Th. Char. ermittelt werden.
Bezeichnet man die erstere mit ^, die letztere mit u, so ist:

(224) 9 + u = 2'-, g-u==^\8\,

wenn man die letzte Summe über alle 2'' Th. Char. des Systems er-
streckt. Es sei nun (k^), • • •, («J, (ß^), ■■■, (/^gj eine normale Basis
der dem Systeme K zu gründe liegenden Gruppe von Per. Char.
Jede Th. Char. des Systems K hat die Form:

(225) M = [» + i«-i-i/3], (!::;i;:;:;r.)

298 VIT. 9. Systeme von Thetacharakteristiken.

and es ist dann:

(226) \£\ = \x+2<^+^ß\ = \2c^\-\2cc,x+:^ß\-\ic + ;^ß\

Z 7. r

also:

(227) »-«=(2'ii«i-!i<',0(2'>+i''').

;.
wo in der ersten Summe an Stelle von ( ^ cc) alle 2'" Kombinationen

der Per. Char. («), in der zweiten an Stelle von (^ß) alle 2''^" Kom-
binationen der Per. Char. (ß) zu treten haben. Nun ist aber:

(228) 2i^«|-|^«,xi = 77(l + '«,>,,x)

?. = !

m

= Ua + \x\-\xa,),
/. = i

und es hat daher die Summe nur dann einen von Null verschiedenen
AVert und zwar den Wert 2"\ wenn die Th. Char. [xa^], [xa^], • ■ •,
[x«,J sämtlich denselben Charakter wie [x] besitzen. Bezeichnet man
also mit Ö eine Größe, die Eins ist, wenn die Gleichungen

(229) .

x\ = ■ xa^ \ = ; xa^ i = • • ■ = 1 ^Cir,

bestehen, dagegen Null, wenn diese Gleichungen nicht bestehen, so ist:
(230) ^ : ^ ß ! • I ^ «, jc j = d • 2-.

Die 2^" Th. Char. [x -\- _^ ß] sind die wesentlichen Kombinationen der
2 m -(- 1 wesentlich unabhängigen und zu je dreien azygetischen
Th. Char.

(231) [ßo] = [^], ißn-[^ßi\, ■■■, [ß:.r^-v^'ß,n\,

und es ist daher mit Rücksicht auf Formel (81):

(232) ^u+yß =~^a+i\ß^'){i+i\ßn--'i}+i\ß2n')

-(i-i;/5o')(i-ii^/ )•••(!-/ /3;„)].

Sind also von den 2n -\- 1 Th. Char. (231) s ungerade, so ist:

Anzahl der in einem Systeme vork. ger. und uugei-. Th. Cbar. 299

(233) ^^4-J'/3! = ^^[(l-i)^(l + ^T''^'-^-(l + «*>'(l-0'''^'-1

= i^. . 2^ . (20-1(1 + 0 - (-l)"-^! - 0]

= + 2%
je nachdem n — s ^ 0, 1 oder = 2, 3 (mod. 4) ist, oder:

(234) 2'l''+i''l = (-l)*"'"'""""""2"'
und daher endlich:

(235) ^-« = ö(-l)^^"-^-^^^"-^^2"'^".
Man hat daher vorläufig:

(236) r^ = 2"—'[2" + d(-l)*"'— "'-"],
„ = 2™ + «-'[2"-d(-l)*""'"'""""].

Anwendung auf die Göpelschen Systeme: Die aus einer Göpel-
scheu Gruppe von Per. Cliar. abyeleiteten Systeme von Th. Chat, werden
Göpelsche Systeme genannt. Die 2^ Hl Char. eines Göpelschen Systems
können auch als die tvesentlichcn Komhinationen von p -\- 1 wesentlich
unahhängigen, zu je dreien syzrjgetischen Th. Char. definiert iverden.

Für ein Göpelsches System ist

(237) m = p, n = 0, s = 0,
also :

(238) ^ = 2^-1(1 + ^); u==2P-'{l-d).
Sind daher die p -j- 1 Basischarakteristikeu :

(239) [<] = [x], [a/J = [xa^], ■ • ■, [a/l = [x^g

alle von demselben Charakter, so ist g = 2'', u = 0; es sind also
auch die Basischarakteristiken immer gerade, niemals ungerade. Sind
dagegen nicht alle Basischarakteristiken gerade, so ist g = 2^'~^,
u = 2^'~^j und da nach Formel (80) die wesentlichen Kombinationen
von syzygeti sehen geraden Th. Char. alle auch gerade sind, so kann
man die Basis des Göpelschen Systems in diesem Falle so wählen,
daß p ihrer Th. Char. gerade sind und nur die p -f 1*", etwa [cc^]
ungerade ist, und es sind dann die 2^~^ geraden Th. Char. des
Systems die wesentlichen Kombinationen der p geraden Basischarakte-
ristiken, während die 2^-^ ungeraden Th. Char. des Systems alle die
ungerade Basischarakteristik [«q'] enthalten und daher die wesent-
lichen Kombinationen der p Th. Char. [«q'], [a^ «/ a^'], [a^ «/ c^g'], • • •,
[a^'a^'a^'] sind. Es bilden also sowohl die 2^~^ geraden, als auch die

300 VII. 9. Systeme von Thetacharakteristiken.

2^~^ ungeraden Th. Char. eines Göpelschen Systems für sich ein
System von Th. Char.; für das erstere ist g = 2P~^, u = 0, für das
letztere g =- 0, u = 2^"^ Die ;) Gleichungen:

(240) \a„x\ ==(-!)'% !a„^| = (-l)^ • • •, a^,x\ = (-lfp,

wobei die d vorgegebene Zahlen 0, 1 seien, haben 2^ Lösungen;

diese werden aus einer unter ihnen erhalten, indem man zu ihr die

;.

2p Per. Char. der Göpelschen Gruppe (^ a) addiert, sind also die

i.

2p Th. Char. eines Göpelschen Systems des zur Gruppe (Sa) ge-
hörigen Komplexes, und es entsprechen den 2p Systemen des Kom-
plexes die 2p Variationen mit Wiederholung zur ^)*®° Klasse der Ele-
mente 0, 1, die an Stelle von dj, • • •, d^ treten können. Verlangt
man speziell:

(241) a^,x\ = \a^\, \u^,x\ = \a^\, ■■■, Up,^| = lap',
so ist:

(242) I a^x I = I ßrgic I == • • • = 1 u^^x | = | rc ! ;

dadurch ist also das in jedem Komplexe vorkommende einzige System
charakterisiert, das aus lauter geraden Th. Char. besteht.

XXXIV. Satz: In jedem Komplexe von 2P GöpelscJien Systemen
gibt es eines, das aus 2p geraden Th. Char. besteht; jedes der 2^—1
anderen Systeme enthält 2p ~^ gerade und 2p ~^ ungerade Th. Char.

Man kehre nun zum allgemeinen Falle zurück. Sei r^m-\-2n
und [j'ol [Yi\j ■ ■ ■? [7,] ii'gend eine Basis des Systems K. Bezeichnet
man dann mit f die Anzahl der Lösungen der Gleichungen:

(243) |ro^l = l7oh l7i^l = !ril, •■•, \Yr^\-\Yr\,
so ist

(244) r=^^[(i + |7oilro^I)(i + lril'nO---(i + :y.!b.^;)L

wo [f] alle 2^P Th. Char. durchläuft. Führt man auf der rechten
Seite die Multiplikation aus, so wird das erste Glied der Summe:

(245) 2 1 = ^'■''
irgend ein anderes Glied aber von der Form:

(246) ^|yJ-iy,6l.|jvMn^l---=^|^i-K,y^!-!H-i^,n|---

[0

Anzahl der in einem Systeme vork. ger. und unger. Th. Char. 301

wenn q die Anzahl der hier vorkommenden Th. Char. [y] bezeichnet.
Ist Q gerade, so ist diese Summe Null, ist q ungerade, so ist sie:

(247) ^'s\-\8,Y^y^---\=^\Y^,Y,---\\sy^y,---\ = \y,y,---\-2P,

und es ist daher:

(248) /•=^[2^^ + 2^2':>'.?'.---G'

wo die letzte Summe über alle wesentlichen Kombinationen der Th.
Char. [y], d. h. über alle Th. Char. des Systems K zu erstrecken ist.
Wegen (235) hat man daher endlich:

(249) /■= -^, [2^^ + 2Pd{- l)^^"~*~'^^''~'^2'" + "]

l.(n — i—l)[n—s)

Für d = 1, m -\- n = p ergibt sich:

-l-(n — s — l){n — <)-,

(250) /■=2'«-^[l + (-l)^ ]

und man schließt daraus, da f jedenfalls nicht Null ist, weil eine
Lösung \x] = [0] der Gleichungen (243) stets vorhanden ist, daß in
diesem Falle (n — s — 1) (n — s) = 0 (mod. 4), also (/ — u = 2^ ist.

XXXV. Satz: Aus den 2'" Per. Char. einer Gruppe mit der nor-
malen Basis:

(xxxni) («J, •••, (O, iß,),--;(ß.n) (ZXITpI

sei dwrch Addition der Th. Char. [x"| ein System von Th. CJiar. ab-
geleitet. Bezeichnet man datin mit g die Anzahl der geraden, mit u
die Anzahl der ungeraden unter den 2'' Th. Char. des Systems, so ist:

(XXXIV) g^2"' + ''-'[2"-\-d(-iy], u = 2"^+"-''[2"-d(-iy],
ivo zur Abkürzung 6 = ^ (w — s — l){n — s) gesetzt ist; also:

(XXXV) g-u = d{- iy2"'^\

Dabei bezeichnet ö eine Größe, die 1 oder 0 ist, je nachdem die m -\- 1
Th. Char. [x], [xaj, • ••, [xa^] alle von demselben Charakter sind oder
nicht, s aber die Anzahl der ungeraden unter den 2n -\- 1 Th. CJiar.
[x], [x/3J, •••, [x/SaJ. Im Falle m -{- n = p uml d=l ist zudem
6 immer gerade, also g — u = 2^, sodaß der gröfite Wert, den g — u
erreicht, 2^ ist, der kleinste aber —2p~^ beträgt.

Daß diese äußersten Werte von g — u wirklich erreicht werden,
zeigen ein Göpelsches System von 2^ geraden Th. Char. und das

302 ^'11. 9. Systeme von Thetacbarakteristiken.

System der 2^~^ ungeraden Th. Char. in einem nicht aus lauter ge-
raden Th. Char. bestehenden Göpelschen Systeme.

In einem besonderen Falle soll die Frage nach der Anzahl der
geraden und ungeraden Th. Char. eines Systems weiter verfolgt
werden. Es sei Ä eine syzygetische Gruppe von Per. Char. vom
Range m mit den Basischarakteristiken (ui), {a^, •■■, («,J. Die m
Gleichungen:

(251) \a.„x\ = {-\f\ \a„x\ = {-\t, ' ' ', cc^,x\ = {-!)'"'

bestimmen dann die 2^^~™ Th. Char. eines Systems und liefern, wenn
man für die d auf alle möglichen Weisen die Werte 0, 1 setzt, die
2'" Systeme eines Komplexes. Von diesen Systemen ist jenes, L, aus-
gezeichnet, dessen Th. Char. [A] speziell durch die Gleichungen:

(252) \cCi,^\ = \cii\, |«2;^.=i«2!; '■■, l«m?'^i = :«ml

bestimmt sind. Es ist nämlich dann nicht nvir infolge der letzten
Gleichungen

(253) \X\ = \Xa,\ = \la^\ = --- = \Xa^\

sondern, da die Per. Char. (a^), (a^), ••■, {a^J paarweise syzygetisch
sind, für jede Per. Char. (a) der Gruppe Ä:

(254) I a, A i = i a I also | A« | = | A | ,

d. h. aber, es sind je 2'" Th. Char. des Systems L, welche einander
mod. A äquivalent sind, von gleichem Charakter. Solche 2'" Th.
Char. bilden aber selbst ein System K von Th. Char. vom Range w
aus dem zur Gruppe Ä gehörigen Komplexe. Es zerfällt also,
wenn man

(255) p — m = q

setzt, das System L in 2-* Systeme K^, K^, ••■ vom Range m derart,
daß stets die 2'" Th. Char. eines solchen Systems gleichen Charakter
besitzen. Nennt man nun ein System K gerade oder ungerade, je
nachdem seine 2™ Th. Char. gerade oder ungerade sind, und g die
Anzahl der gei-aden, k die Anzahl der ungeraden unter den Systemen
K, aus denen L besteht, so ist:

(256) g + n-^r-^, 0-u = ^^\k\,

wenn diese Summe über alle Th. Char. [A] des Systems L erstreckt
wird. Nun ist aber auf Grund der Gleichungen (252):

WO nunmehr die Summe über alle 2"'^^ überhaupt existierenden Th.

Die zu einer syzyg. Gruppe von Per. Char. geh. Systeme von Th. Cbar. 303

Char. ausgedehnt wird. Führt man auf der rechten Seite dieser Glei-
chung die Multiplikation aus, so liefert irgend ein Glied des Pro-
duktes die Summe:

(258) ^\a;_,s\\a;^\■■■\a^,s\\a^\\s\=^\cc;^■■■a^,£\
[*] [f]

_ V

!«,l

^ ,«,••• a^f 1 = 2^

und es besitzt daher die ganze Summe, da die Anzahl der Glieder
des Produkts 2'" beträgt, den Wert 2^ + '", und endlich ist:

(259) g-u = 2?.

Aus den angegebenen Werten von g + if' nnd g — u ergibt sich aber:

(260) (7 = 2«- 1 (2? + 1) = /7^, ?t = 2'?- ^ (2? - 1) = u^ .

Die 2^* Systeme K vom Range 7)i, in welche nach obigem das System
L zerfällt, verhalten sich also hinsichtlich der Anzahlen der geraden
und ungeraden unter ihnen genau wie die 2"'? g-reihigen Th. Char.
Das gefundene Resultat kann man aber, indem man von dem
Systeme L ganz absieht, folgendermaßen aussprechen:

XXXVI. Satz: Ist A eine sysygetische Gruppe von Per. Char.
vom Range m, so gibt es unter den 2^^~'" aus ihm durch Addition
einer Th. Char. [x] hervorgeliendcn Systemen von je 2'" Th. Char. 2-'^
{q = p — m) , deren 2'" Th. CJiar. sämtlich von demselben CharaJder
sind, und zwar g^ = 2''~^(25+ 1) Systeme, die aus lauter geraden und
u^ == 2'?~^(2'^ — 1) Systeme, die aus lauter ungeraden Th. Char. bestehen.

Diese 2^* Systeme von je 2'" Th. Char. gleichen Charakters seien
mit K^, K^, ■■■ bezeichnet. Sind dann K^ mit den Th. Char. [x^a],
K^ mit den Th. Char. [jCg«] und K^ mit den Th. Char. [%«], wo
jedesmal an Stelle von (a) die 2'" Per. Char. der Gruppe A zu treten
haben, irgend drei unter ihnen, so ist K^ mit den Th. Char. [xj^x^Jc^cc]
ein viertes, da alle Systeme K zusammen selbst ein System L bilden,
also jede wesentliche Kombination irgend welcher ihrer Th. Char.
wieder in ihnen enthalten sein muß. Sind ferner [x^l, [x^], [x^] syzy-
getisch oder azygetisch, so sind es auf Grund der Gleichung (69)
auch irgend drei andere aus K^, K^, K.^ beziehlich genommene Th.
Char., und man kann also die Begriffe „syzygetisch" und „azygetisch"
auf die Systeme K selbst anwenden. Jetzt kann man weiter aus den
2^2 Systemen auf mannigfache Art 2q -\- 2 zu je dreien azygetische
herausgreifen, diese bilden dann ein „Fundamentalsystem" in dem
Sinne, wie 2q -\- 2 zu je dreien azygetische g- reihige Th. Char.,
indem man aus ihnen in der gleichen Weise jedes der übrigen
Systeme zusammensetzen kann und auch in der gleichen Weise wie
dort von einer Schar von Formen die sämtlichen geraden Systeme,

304 VIT. 9. Systeme von Thetacharakteristiken.

von einer zweiten die sämtliclien ungeraden Systeme geliefert erhält.
Oder man kann auch „Hauptreihen" von 2q -{- 1 Systemen K bilden,
welche von gleichem Charakter und zu je dreien azygetisch sind;
ihi-e wesentlichen Kombinationen liefern die sämtlichen Systeme K
und zwar die Kombinationen 5*" 9*", ■ • • Ordnung jene, welche von
gleichem, die Korabinationen 3*" 7**''', • • • Ordnung jene, welche von
entgegengesetztem Charakter sind, wie die Systeme der Hauptreihe.

Durch lineare Transformation geht ein System von Th. Char.
immer wieder in ein System von Th. Char. über; sind dabei [a^],
[^2]? ' ' ') [^m + il *'^ + 1 Basischarakteristiken des ursprünglichen Systems,
so sind es die m -f 1 daraus durch die vorliegende lineare Transfor-
mation hervorgehenden Th. Char. [u^], [a^], •••, [«„j^.i] für das neue.
Da bei diesem Übergänge eines Systems von Th. Char. in ein anderes
eine gerade Th. Char. immer wieder in eine gerade, eine ungerade
Th. Char. immer wieder in eine ungerade übergeht, weiter aber drei
syzygetische Th. Char. immer wieder in drei syzygetische, drei azy-
getische Th. Char. immer wieder in drei azygetische übergehen, so
können nur solche Systeme von Th. Char. durch lineare Transforma-
tion ineinander übergeführt werden, bei denen jeder geraden Th.
Char. des einen auch eine gerade Th. Char. des anderen; drei syzyge-
tischen bez. azygetischen Th. Char. des einen auch drei syzygetische
bez. azygetische Th. Char. des anderen entsprechen. Insbesondere
geht durch lineare Transformation ein Göpelsches System von Th.
Char. immer wieder in ein Göpelsches System von Th. Char über,
und speziell eines aus lauter geraden Th. Char. bestehendes immer
wieder in ein solches. Dieser Übergang kann noch genauer angegeben
werden.

Ist nämlich K jenes einzige System in dem zu einer Göpelschen
Gruppe A von Per. Char. gehörigen Komplexe, welches aus 2^ geraden
Th. Char. besteht, und geht die Göpelsche Gruppe Ä durch die vor-
liegende lineare Transformation in die Göpelsche Gruppe B über, so
geht das genannte System K in jenes einzige System L in dem zur
Gruppe B gehörigen Komplexe über, welches aus lauter geraden
Th. Char. besteht. Da man nun weiter durch lineare Transformation
von jeder Göpelschen Gruppe Ä zu jeder anderen B gelangen kann,
so kann man auch durch lineare Transformation von jedem aus 2p
geraden Th. Char. bestehenden Göpelschen Systeme K zu jedem
anderen derartigen L übergehen.

Ein System von Th. Char. geht weiter durch Addition einer be-
liebigen Th. Char. zu seinen sämtlichen Th. Char. wieder in ein
System von Th. Char. über; von den auf diese Weise aus einem
Systeme ableitbaren Systemen sagte man oben, daß sie einen Kom-
plex bilden. Nimmt man dieses Resultat mit dem vorher aus-
gesprochenen zusammen, so erhält man den

Die Riemannsche Thetaformel. 305

XXXVII. Satz: Durch die beiden Prozesse der linearen Trans-
formation und der Addition einer heliebigen Th. Char. zu den sämt-
lichen Hl. CJiar. eines Sijstems geht ein System von TJi. Char. immer
wieder in ein System von TJi. CJiar. über. Man hann insbesondere auf
diese Weise von jedem Göpelschen Systeme zu jedem anderen gelangen.

Der Inhalt der beiden letzten Paragraphen rührt von Frobenius^) her;
vgl. dazu auch Schottky^).

Zweiter Abschnitt.

Die Additioustheoreme der Thetafuuktionen.

§10.

Die Riemannsche Thetaformel.

Man gehe auf den XVI. Satz pag. 91 zurück, setze darin n = 4
und lasse an Stelle des Systems der 16 Zahlen c^?") (q, g = \, 2, 3, 4)
das spezielle den Gleichungen (LVII) für den Wert

(261) r = 2
genügende Zahlensystem :

+ 1, +1, +1, +1,

(262) + ^' + ^' ^ -^' ~^'
+ 1, -1, +1, -1,

+ 1, -1, -1. +1

treten. Setzt man dann femer, indem man unter den vi, r( , q, q', 6, ö'
ganze Zahlen versteht:

9^'^ = ^i% + Q,^ + 6^:), g^^^ = 4-(^^ + qJ,

C=i(<, + ?,: + <), //:^=i(< + (>;),

1) Frobenius, Über Gruppen von Thetachar. J. für Math. Bd. 96. 1884,
pag. 81 und schon früher: Über das Additionstheorem etc. J. f. Math. Bd. 89.
1880, pag. 185.

2) Schottky, Zur Theorie der Abel'schen Funct. etc. .J. für Math. Bd. 102.
1888, pag. 304.

Krazer, Thetafunktionen. 20

306 VII. 10. Die Riemannsche Thetaformel.

SO wird:

(264) ^!'' = 2^." + ^/' + *'.'" ^r = ^M' ^r = ^' €' = ^^

und das auf der rechten Seite von (LVIII) stehende Thetaprodukt
geht, wenn man noch zur Abkürzung

(265) «;;> + „<f + .» + „;;. = ,„, (,<;> + ^;> + ^<». + ^.« _ ,;

(,»( = 1,2, ■•■,;/)

setzt und beachtet, daß dann:

(266) '"' " '" " '^''■■■' "" "'■ ^' '"' ^ '" " '^'''' + ""'^'

^!f - < - 2(^r + O' W - K - ^€ + o

wird, unter Anwendung der Formel (Vlü) über in:

(267) (- 1)"='

^Is + ^+a] ((t-(^))) &[£ + Q-] iv^'^)) &[s + 6] ((t;(3))) ^ [£] ((^W)) .

Da nun weiter die auf der rechten Seite der Gleichung (LVIII) hinter
dem Thetaprodukte stehende Exponentialgröße gleich

(268) (- 1)^='

wird, so erhält man aus der Formel (LVIII) zunächst die Formel:

(16 sy»[r}^Qi-ö] {uW} &[ri + Q] {{u^')} ^ [tj + a] {{u^')} & [rj] {u^')))
p

0 1 ^ f^*M + V + V^ ''u + *''" + ?^< + V) 'P

(269) =^(-1)"=^

[ß], [,^]

^ [6 + ^ + ö] ((i;(i)| ^ [£ + ()] ((t'(2))) ^ [£ + ö] iv^'^)) & [£] ((#))).

In dieser Gleichung bezeichnet s die Anzahl der Normallösungen
des Kongruenzensystems:

Die Riemannsche Thetaformel. 307

xW + a;(2) + a;(3) + icW = 0 (mod. 2),

(270) ^^'^ + ^^'^ ~ '^^'^ ~ ^'^'^ = ^ (°^°^- ^)'
a;(i) _ a;(2) _^ ^(3) _ ^(4) ^ 0 (mod. 2),

a;(i) _ a;(2) _ a;(ä) + a;W = 0 (mod. 2).

Diese vier Kongruenzen sind aber erfüllt, sobald die erste von ihnen
besteht, und da diese 8 Normallösungen, nämlich

x(i), x(% x^% x^'^ = 0, 0, 0, 0; 0, 0, 1, 1; 0, 1, 0, 1-

(271) 0, 1, 1, 0; 1, 0, 0, 1; 1, 0, 1, 0;

1, 1, 0, 0; 1, 1, 1, 1
besitzt, so ist

(272) s = 8.

Auf der rechten Seite von (269) ist endlich die Summation in der
Weise auszuführen, daß für (i=l,2,--,p an Stelle des Systems
der 4 Größen cc^ , a\^, a;^\ cc^ und ebenso an Stelle des Systems der
4 Größen /3 , ßj, ß^ , ßj, unabhängig von einander, die 16 Varia-
tionen mit Wiederholung zur 4'®" Klasse der Elemente 0, 1 treten.
Berücksichtigt man aber, daß dabei die Größe £^, bez. £/,[ achtmal
der Zahl 0 und achtmal der Zahl 1 nach dem Modul 2 kongruent
wird, und daß das allgemeine Glied der auf der rechten Seite von
(269) stehenden Summe seinen Wert nicht ändert, wenn man eine
Zahl f^j oder «J durch eine ihr nach dem Modul 2 kongruente er-
setzt, so erkennt man, daß diese Summe das 8^^ -fache jener Summe
ist, die aus ihrem allgemeinen Gliede hervorgeht, wenn man jede
Größe £„ bez. sä einmal den Wert 0 und einmal den Wert 1 an-
nehmen läßt, also an Stelle von [s] der Reihe nach die 2^^ Th. Char.
setzt. Indem man noch linke und rechte Seite durch 8^^' teilt und
die von den Summationsbuchstaben £, s unabhängigen Teile der Ex-
ponentialgröße auf die linke Seite der Gleichung stellt, erhält man
das folgende Endresultat:

XXXVIII. Satz: Riemannsche Thetaformel. Sind die Variablen

^ ( "-.'!'' ] fnit den Variablen h^''M ^ ~ ' ' ' ) verknüpft
durch die Gleichungen:

U U ' U ' II ' u '

(XXXVI)

oder:

^<■

("

'

/'

fi

/'

2,;f

=

<'

+

<

—

(3)

U^

—

(4)
U

2«'"

=

—

«'''

A«

+

(3)

—

(4)
U

2^.(^)

=

<'

—

(2)
U
1.1

—

IC

+

iu = l,2,--,p)

20'

308 VII. 10. Die Riemannsche Thetafoniiel.

O (1) (1) I (2) I (3) , (4)

(XXXVII) ." " •«

O (3) (1) (2) , I

zu ■ = V — V -{- V

und setzt man.

O (4) (1) (2)

ZU ' = V — V
fl fl fl

P

3) (4)

(,.< = 1,2, -.p)

^(Qfi + Ou)''u

# [6 + ^ + ö] ivW)) ^ [£ + ^] ((i;(2))) ^ [f + 0] ((t-(3))) ^ [a] {{v^%

(xxxvm) p

so bestehen zivischen den Größen x und y die Gleichungen:

(XXXIX) ^y,r, = 2\^,nWv

[*]

hei denen, wie im ersten Abschnitte zur Abkürzung:

p

(XL) |.,^| = (_l)^=^

gesetzt, die Summation über alle 2^^ Tli. Char. [s] auszudehnen ist und
[rj] eine beliebige TJi. Char., {q), (ö) aber beliebige Per. Char. bezeichnen.

Man wird dazu bemerken, daß die Gleichungen (XXXIX) in
sich übergehen, wenn man die Charakteristiken [s], [t]], (q), (&) durch
ihnen kongruente ersetzt, vorausgesetzt nur, daß diese Ersetzung
jedesmal überall geschieht, wo diese Charakteristiken vorkommen;
dagegen ist es nicht gestattet, die Charakteristik einer einzelnen
Thetafunktion etwa [s -\- q -\- o] durch eine ihr kongruente z. B. im
Falle (a) = (q) durch [s] zu ersetzen. Solche Reduktionen dürfen
stets nur unter Benutzung der Formel (VIII) vorgenommen werden.

Denkt man sich in der Gleichung (XXXTX) die Per. Char. (q),
(ö) festgehalten und läßt an Stelle von [rj] der Reihe nach die 2^^
Th. Char. treten, so entsteht daraus ein System S von 2^^ Glei-
chungen, welche alle auf ihren rechten Seiten die nämlichen 2^p
Größen x^^^ haben; aus den 2^^ Gleichungen dieses Systems S sollen
im Folgenden durch lineare Verbindung neue Gleichungen zwischen
den Größen x und y abgeleitet werden.

Zu dem Ende verstehe man unter (a^), (a^), •••, (a„j) irgend m

Folgerungen aus der Riemannschen Thetaformel. 309

unabhängige Per. Char., bilde zu ihnen als Basis die zugehörige
Gruppe Ä von r = 2'" Per. Char. (a^), (a^), •••, (a^_i) und lasse in
der Gleichung (XXXIX) an Stelle von [r]] der Reihe nach die r
Th. Char. [?;aj, [rjf^il, "7 [V<^r-i] treten, indem man unter [?/] wieder
eine beliebige Th. Char. versteht. Diese r Gleichungen multipliziere
man, indem man mit [^] ebenfalls eine beliebige Th. Char. bezeichnet,
mit \^, Oq\ \^, ciil, •• •, \l,c('r-i\ und addiere sie zu einander. Man
erhält dann zunächst die Gleichung:

/•— 1 /r— 1

(273) 2^ 2 I e, aj y =^\e,^]\ x,,, l^' ^ ^^' «?

(. = 0 ^ [f] \? = o

In dieser Gleichung besitzt die am Ende stehende Summe

r— 1

(274) ^\el,a,, =ll{l + \El,a^\)
(< = 0 ,« = 1

nur dann einen von NuU verschiedenen Wert und zwar den Wert
2'", wenn die Per. Char. {e^ zu den m Basischarakteristiken («J, •••,
{a^ und daher zu allen r Per. Char. der Gruppe A syzygetisch ist;
solcher Per. Char. gibt es, wie pag. 295 angegeben wurde, im ganzen
s = 2^^-'" und sie bilden die zu A adjungierte Gruppe JB von
Per. Char. (h^, (b^, ■■■, (&,_i), deren Basischarakteristiken {ß^, (ß^),
• ■•, (ß^p^m) 2p — w unabhängige Lösungen der m Gleichungen:

(275) \a^,x\ = +l, \a,,x\ = ^l, ■■■, j «,„, a; ! = + 1

sind. In der auf der rechten Seite von (273) stehenden Summe
bleiben also nur jene s Glieder stehen, für welche [e] eine der
5- Th. Char. [^6J, [£;&J, •■•, [t?',_i] ist, und man erhält, wenn man
noch linke und rechte Seite durch 2'" dividiert, das Resultat:

XXXIX. Satz: Shul {%), {aj, ■■-, (a^.J die r = 2'" Per. CJiar.
einer heliehigen Gruppe A vom Bange m, Q)q), (b^), ■■•, (&,_i) aber die
s = 2^^~"* Per. Char. der zu A adjungierten Gruppe B, und bezeichnen
[rf\ und [^] irgend zivei Th. Char., so besteht zivischen den unter (XXXVIII)
definierten Größen x, y die Gleichung:

r—l « — 1

(XLI) 2^— ^ ' ^, a, I y^^^, = ( e, >? | ^ I >?, & J ^tf*„] >

aus der insbesondere für m = p „die halbe Umkehrung der Riemann-
schen TJietaformel" :

2^-1 2"-!

(XLII) 2\t,%\ y,,., = \t:V\2\ ^' ^o I ^[^a,]

Q=0 ^ 0 = 0

hervorgeht.

310 VII. 10. Die Riemannsche Thetaformel.

Setzt man in der Gleichung (XLI) m = 2p, so erhält man, wenn
man noch linke und rechte Seite der Gleichung, nachdem man sie
mit 2>' multipliziert hat, miteinander vertauscht:

(276) 2^^f,^ = ^7?, ^1 ?/[„],

[-7]

WO [?j] alle 2^^ Th. Char. durchläuft. Diese Gleichung zeigt, wenn
man sie mit der Gleichung (XXXIX) vergleicht, daß die Größen x
mit den Größen y ebenso zusammenhängen, wie umgekehrt die y mit
den x-^ was stattfinden muß, da nach den Gleichungen (XXXVI) und
(XXXVII) die nämliche Eigenschaft den Variablen u und v zukommt.
In der Gleichung (XLI) kann man sowohl für [?j] wie für [^]
eine jede der 2'^ Th. Char. setzen; es entstehen aber auf diese Weise
ün ganzen nur 2^p verschiedene Gleichungen, die folgendermaßen an-
geordnet werden können. Bezeichnet man mit («q'), (%'), •••, (fl/_i)
die s = 2^P~'^ Per. Char. einer zu Ä konjugierten Gruppe Ä', und
ebenso mit {1)^), (b^'), •••, (V- i) ^^^ r = 2"" Per. Char. einer zu B
konjugierten Gruppe B', so erhält man sämtliche 2^^ Th. Char. und
zwar jede nur einmal, sowohl wenn man in der Summe [i^ «>%'],
als auch wenn man in der Summe l^h^hj], während man unter [rj~\,
[l] zwei willkürlich wählbare Th. Char. versteht, die Zahl x die
Werte 0, 1, •••,>•— 1 und unabhängig davon die Zahl A die Werte
0, 1, •••, s — 1 annehmen läßt. Berücksichtigt man nun, daß sowohl
beim Übergange von [rf\ in [rja.^^ wie auch beim Übergänge von [^]
in [t,h^] die Formel (XLIj wieder in sich selbst übergeht, so erkennt
man, daß einerseits [rj] = [rja.^a^'] dieselbe Formel wie M = [17 «/],
andererseits [Q == [t h-, 6^'] dieselbe Formel wie [^] = [i h.J] liefert, und
daß man daher sämtliche in (XLI) enthaltene spezielle Gleichungen
gewinnt, wenn man an Stelle von [i^] der Reihe nach die s Th. Char.
des Systems [">? «o']? [ */ ^i']? ' " " ' [^ ^/- 1 1 ^^^ unabhängig davon an
Stelle von [^] der Reihe nach die r Th. Char. des Systems [th^'],
Üh'l ••■, [tK-i] ^^reten läßt. Das System S' dieser rs = 2^p Glei-
chungen kann man, wenn man noch der Einfachheit wegen [i7] = [?] = [0]
setzt, durch die Formel:

r— 1 s — l

(277) 2^— ^ I &;, a^ \ y^^r^^, = | a,', h.J I ^ i «,', h„ | x^,^,^.

/. = o,i,....,-i\

\k = 0,l, ■ ■ ,ä — l/

fixieren.

Die 2^" Gleichungen (277) des Systems S' können in s = 22^"»
Gruppen von je r = 2'" Gleichungen eingeteilt werden, indem man
zu einer Gruppe alle diejenigen Gleichungen zusammenfaßt, für welche

Folgerungen aus der Riemannschen Thetaformel. 311

X denselben Wert besitzt, und die sich daher nur durch verschiedene
Werte von x unterscheiden. In einer solchen Gruppe treten dann
auf der linken Seite jeder Gleichung immer dieselben 2"* Größen y
auf, jedesmal mit anderen Vorzeichen versehen, während irgend
zwei rechte Seiten dieser Gleichimgen niemals eine Größe x sfemein-
sam haben und die rechten Seiten zusammengenommen demnach die
sämtlichen 2^p Größen x und jede nur einmal enthalten. Aus jeder
solchen Gruppe kann man dann durch passende Verbindung der ihr
angehörigen Gleichungen rückwärts diejenigen 2"* Gleichungen (XXXIX)
des Systems S erhalten, deren linke Seiten, abgesehen von dem Faktor
2^, von den auf den linken Seiten der Gleichungen der Gruppe vor-
kommenden Größen y gebildet werden, und die auch ausschließlich
bei der Herstellung der Gleichungen der Gruppe auf Grund der
Foi-mel (XXXIX) in Beti-acht kommen. Entsprechend kann das
ganze System S' der Gleichungen (277) das ursprüngliche System S
der Gleichungen (XXXIX), aus dem es abgeleitet wurde, in jeder
Richtung ersetzen, insofern als man durch passende Verbindung der
2^^ Gleichungen (277) von S' rückwärts wieder die 2-^ Gleichungen
(XXXIX) von S erhalten kann. Das System S der Gleichungen
(XXXIX) selbst kann als ein spezielles, dem Werte m = 0 ent-
sprechendes System S' angesehen werden.

Wie aus der durchgeführten Untersuchung hervorgeht, ist das
System S' der Gleichungen (277) vollständig bestimmt, sobald die
Gruppe der r Per. Char. («„), (aj), •••, {ci,.-i) gegeben ist, und um-
gekehrt. Daraus folgt, daß die Anzahl aller möglichen Systeme S'
mit der Anzahl aller möglichen Gruppen von Per. Char. übereinstimmt.

Läßt man in der Formel (XLII) an Stelle der Gruppe Ä eine
Göpelsche Gruppe von 2^ Per. Char. treten, so fällt die Gruppe B
mit der Gruppe Ä zusammen und man erhält, wenn man noch
K] = iv] setzt, die Formel:

2^-1 2^-1

(278) \2 \V, ^r I yi,;a,.] = ^ I ^; «v I ^[, a,] !

r=0 1=0

aus dieser Formel sollen zwei weitere Resultate abgeleitet werden.

Man lasse einmal in den die Größen x, y definierenden Glei-
chungen (XXXVni) an Stelle der Th. Char. [s] und [iy] die Th. Char.
[■j^aj und gleichzeitig an Stelle der Per. Char, (p), (e) die Per. Char.
(a^), (aj treten, indem man mit [?/J eine beliebige Th. Char., mit
V, Q und 6 irgend drei Zahlen aus der Reihe 0, 1, ■••, 2^— 1 be-
zeichnet. Setzt man dann noch für zwei beliebige Per. Char. (e) und
(jj) zur Abkürzung:

(279) ^^.^,-; = (0(^)',

312 Vir. 10. Die Riemannsche Thetaformel.

also:

p . p

(280) (-1)"^' =(_1)WW^ e "=' =(±»F(''^
so wird:

2/[....] = (- 0^"'^^ '''''■ (- 1)^"^^ '""'' h«. I 3/l;.. V ^hs] ,

wenn man:

(281)

r

(282) ^^'""^"'^^ ^ ^^"''^^''"^+''^''^[>?«., + a, + aJM)^[^a, + a^KM),

und entsprechend:

(283) ^^'"^^■'^^^ ^ i^'''^^^""' + ''^^'^[^«. + «, + «.]((t*^^)))^h«. + «;j(OT),

setzt, und man wird dabei bemerken, daß diese Größen Xi,ja^a,i,
yitja.a] bez. X[^a 1, ^[>/'a,,] infolge des zum Thetaprodukte beigefügten
Faktors ungeändert bleiben, wenn man die Th. Char. [tj«,, + a ] bez.
[t^aj, überall wo sie auftritt, durch eine ihr kongruente ersetzt.
Führt man aber die Größen x', x", y', y" in die Gleichung (278) ein
und multipliziert ihre linke und rechte Seite mit r" ^? • (—1)^"?)^''^ |iyj,
so erhält man, da nach (72)

(284) \%<\-\no^r\-\ri\ = \0'A
ist, die Gleichung:

2^-1

r = 0

(285)

1=0

Nun wähle man für die ^ Basischarakteristiken {a^, (a^), •■•, (a^
der Göpelschen Gruppe A die Größen ")/| a^ nach Belieben so, daß

(286) (ykT)'=kJ («=i,2,-.P)

ist, was auf 2^ Weisen geschehen kann, und definiere eine Größe
yVtt^a^^ci)^-^\ durch die Gleichung:

(287) Y:^^;c^;^.=^{-ir^'"-^-"^---''-^'-^-^'^^

Folgerungen aus der Riemannschen Thetafonnel. 313

setze auch |/| 0 | = + 1. Es ist dann für irgend zwei Per. Char. («,,),
(« ) der Göpelschen Gruppe

(288) yr^7^=(-iy"''^'''^vw'/r^T k?=o,i,...,2''-i)

also:

(289) 1/^= (- lp'^'^''iVMfV\'a::%\. ir,,=o,i,-y-i)

Multipliziert man daher linke und rechte Seite der Gleichung (285)
mit yjftpl, so erhält man:

^ V\(^r\ V\ «r «e 1 y{ia,. a^] ^[-;a,,]

r = 0

(290)

=^yk..n/i«.

*^l •^[»!«,-ao] •^['/«i]

und hieraus, indem man über q von 0 bis 2^—1 summiert und be-
achtet, daß dabei für jeden Wert des Index v die Per. Char. («,, a^) den
sämtlichen Per. Char. (aj der Göpelschen Gruppe und jeder einmal
kongruent wird, endlich die Gleichung:

(291) ^/'=« ^ '^o

'2^-1 \ /2^-l

oder:

(292) 2^ VKJ «/[,>>-"

V=o___

.'2

2^-1 . \

v=0 '

Diese Gleichung repräsentiert, da man die vorkommenden Wurzel-
werte, wie oben erwähnt, auf 2^ Weisen wählen kann, 2^' verschiedene
Gleichungen. Addiert man dieselben zusammen, so erhält man, da
nur y\ 0 I jedesmal den nämlichen Wert -f 1 hat, jede andere Wurzel
aber jeden ihrer beiden möglichen, durch das Vorzeichen unterschie-
denen Werte gleich oft annimmt:

2' — 1

(293) 2^2/^;3=g^^<'

314 ^'^11- 10- Die Riemanusche Thetaformel.

wo der Summationsbuchstabe S sich auf die 2^ Systeme verschiedener
Vorzeicben bezieht, welche man den Wurzeln erteilen kann. Führt
man jetzt noch für |[t = 1, 2, • • •, j^j an Stelle der Variablen v^J^, v^'^\
V \ V neue Variablen m„, v„, a„, b„ ein, indem man

(294) <^ = ^l„ + h^, v'^ = M, - h^„ v'l' = a^, + v^, <> = - (a,^ - i; J
setzt, wodurch

(295) ^/;^) = «,, + ^>,, ..f =^«^-^^, ^f) = a^ + 6^, ,,;f)=_ (a^_?,^j

wird, so erhält man schließlich die folgende Endformel:
21' ^ri + a,-\iu 4- v} ^[7?J{(w - v}

( ^ y I «. I ^■^"''^ ^""^ ' ^ [tj «„ + «„] C« + vi & In «„] C« - ^]

(296) =87^?^

2^-1 \

r = 0

(2^ — 1
^ VW^i'''<'^ ^''^^' Hr}% + «J((w + &)) ^[^%]((w - &))

Da die linke Seite der Gleichung (292) von den Argumenten a und
& unabhängig ist, so darf man diesen Größen in verschiedenen Gliedern
der auf der rechten Seite von (296) stehenden Summe S auch ver-
schiedene Werte beilegen.

Eine weitere bemerkenswerte Formel erhält man aus (278) auf
folgendem Wege. Man setze für ^ = 1, 2, ■ - •, p:

(297) t-;:' = f„ + u^^, <) = ^„ - u^, vf = v^ + w^^, vf =v^- w^'^
es wird dann:

(298) ^^ = f, + ^„ ^ xl^:' = K- V,,, uf = li,^ + w^, u'^=u^-w^,

und wenn man Größen i, l), g durch die Gleichungen:

p

2 (Qu + °ij) 'm

%, = (- 1/='

^[£ + () 4- ^1 ((^ + V} ^[e-\- q] (t - V} &[£ + 6] (W + U)) »[S] (W - U)) ,
P
2 (?^< + V^ */^

S[.] =(-!)'='
^[f + 9 + ö] ((^ + w)) ^ [£ + ^] ((i - %')) ^[« + (?] ((m + 4 ^[e] {u - v))

Folgerungen aus der Riemannschen Thetaformel. 315

definiert, so ist einmal mit Rücksicht auf (XXXVIII)

(300) l[s] = ^[.], ^[.] = l«l?/[a];

während andererseits die Größen j, ^, § die Eigenschaft besitzen,
durch zyklische Vertauschung der Variablen u^^, v , tv ineinander
überzugehen. Es folgen daher aus (278) sofort die drei Gleichungen:

(301)

^ 1 V, «> 1

•\^%\%a,l

2^-1

2^-1

^ 1 V, «,< 1

\l%\ hia^.}

2"-!

/<=0

2^-1

^ 1 V, % 1

•l^^UhV

2^-1

und durch deren Addition die Gleichung:

2^-1

(302) 2 ! ^, a^, i . (1 - I rja^ [) (i" ,,„^^j + 1;,^,^^^ + 5^^,^^) = 0.

Wählt man daher die Th. Char. [r]] so, daß von den 2^ Th. Char.
des Göpelschen Systems [>/«„] (|li = 0, 1, • • •, 2^ — 1) 2^~^ gerade
und 2^~^ ungerade sind, so fallen aus der linken Seite von (302)
die den ersteren entsprechenden 2^~^ Glieder heraus und man erhält
ein Resultat, das man mit Rücksicht auf den XXXVI. Satz auch so
aussprechen kann.

Sind (üq), (aj, • • •? (^j_i) die g' = 2^~^ Per. Char. einer syzyge-
tischen Gruppe vom Range p—1, und ist [-»^aQ], [^«xl; '"y [v^g-i\
das zugehörige aus lauter ungeraden Th. Char. bestehende System
von Th. Char., so besteht zwischen den in (299) definierten Größen
J, t), i die Gleichung:

2-1

(303) 2 I ri, a.^ | (j^^^^^ + %,a,^ + l^^a,d = ^•

Der Fall x) =\ wird im folgenden Paragraphen gesondert besprochen.
•Im Falle p = 2 sind die Formeln (XXXIX), (XLI) und (XLII) schon
von Rosenhain ^) angegeben worden, dessen Untersuchung über die

1) Rosenhain, Memoire sur les fonctions etc. Möm. pres. Bd. 11. 1851,
pag. 361.

316 VII. 10. Die Riemannsche Thetaformel.

hyperelliptischen Funktionen erster Ordnung sie als Grundlage dienen.
Für beliebiges p wurde die Formel (XXXIX) zuerst flSTO) von Henry
St. Smith ^) angegeben; hierauf (1880) hat Herr Frobenius^) die
Formel (XLH) bewiesen und aus ihr die Formel (XXXIX) abgeleitet;
sodann (1882) veröffentlichte Hen* Prym^) seine drei Beweise der
Formel (XXXIX); er gab dieser Formel, da sie ihm von Riemann
(1865) mitgeteilt worden war, den Namen „Riemannsche Thetaformel"
und zeigte, daß sie der passendste Ausgangspunkt sei für alle Unter-
suchungen, welche die Herstellung von Thetaforaieln aus dem Kreise der
Additionstheoreme betreflPen; seinen Untersuchungen*) sind die obigen Aus-
führungen über die Formel (XLI) entnommen. Die Formeln (296) und
(303) rühren von Herrn Frobenius^) her; Beziehungen zwischen den
Nullwerten der Thetafunktionen hat aus den Formeln (278) und (291)
Herr Hutchinson®) abgeleitet.

Caspary') hat zuerst darauf hingewiesen, daß den Formeln
(XXXIX), (XLI), (XLH) analoge Formeln auch für Produkte von je
6 Thetafunktionen bestehen, und allgemeiner ergibt sich aus den Unter-
suchungen von Herrn Prym und mir^). daß die Riemannsche Thetaformel
in nachstehender Weise auf Produkte einer beliebigen geraden Anzahl von
Thetafunktionen ausgedehnt werden kann.

Man gehe auf den XVI. Satz pag. 91 zurück, setze darin, indem
man unter m eine beliebige ganze Zahl versteht, n = 2m und lasse
an Stelle des Systems der 4m° Zahlen 6^°'^ (q, 6 = 1, 2, ■ • -, 2m) das
spezielle den Gleichungen (LVII) für den Wert /• = 2 genügende
Zahlensystem:

1) Smith, Note on the formula for the multiplication of four Theta-
Functions. London M. S. Proc. Bd. 10. 1879, pag. 91.

2) Frobenius, über das Additionstheorem etc. J. für Math. Bd. 89. 1880,
pag. 185.

3) Prym, Unters, ü. d. Riemann'scbe Thetaf. etc. I. Leipzig 1882; Kurze
Ableitung der Riemann'schen Thetaformel. J. für Math. Bd. 93. 1882, pag. 124;
Ein neuer Beweis für die Riemann'sche Thetaformel. Acta math. Bd. 3. 1883,
pag. 201.

4) Prym, Unters, ü. d. Riemann'sche Thetaf. V.

5) Frobenius, Über das Additionstheorem etc. J. für Math. Bd. 89. 1880,
pag. 185 und: Über Gruppen von Thetachar. J. für Math. Bd. 96. 1884,
pag. 96; auch: Caspary, Über das Additionstheorem der Thetafimctionen
mehrerer Argumente. .1. für Math. Bd. 97. 1884, pag. 165.

6) Hutchinson, On certain relations among the Thetaconstants. Amer.
M. S. Trans. Bd. 1. 1900, pag. 391.

7) Caspary, Über die Verwendung algebraischer Identitäten zur Auf-
stellung von Relationen für Thetafunctionen einer Variabein. Math. Ann. Bd. 28.
1887, pag. 493; auch: Sur les theoremes d'addition des fonctions theta. C. R.
Bd. 104. 1887, pag. 1255.

8) Erazer und Prym, Neue Grundlagen etc. Leipzig 1892, pag. 51.

Eine Erweiterung der Riemannschen Thetaformel.

317

(304)

+ +
+ +

+ -
- +

+ -
-+

+ +
+ +

+ -
- +

+ +
+ +

+ -

- +

+ +

treten, bei welchem der Übersichtlichkeit wegen + statt + 1, — statt
— 1 gesetzt ist und alle leeren Stellen mit Nullen auszufüllen sind.
Setzt man dann noch in der Formel (LVIII) alle Größen g und h
Null; setzt ferner, indem man unter den iv und t unabhängige Ver-
änderliche versteht:

(305)

(2») ()

wodurch

(306)

(•2r — 1) (v) 1 Ay+l)

(2v) (v)

4^)

/v = l, 2, • -.mX

,(v+l) /r = l,2, • -.nA
V \u = l,2,--,p)

wird, wenn man unter den dabei für v = in auftretenden Größen
r"'"^ die Größen t versteht: setzt weiter:

(307)
wodurch

(308)

(2»— 1) , (2i) {v)

fl ' fl fl >

^(2.-1) rßv) _ Av) /v = l,2,--,m\

Pf, "T Pf. — ^fi } \,u = l,-2,--,p)

-(2V-1) _ ^(..) ^ ^(. + 1)

- 2 V

a

fl ft ' fl

■^(2» — 1) '(v) .

3 = s -\- e

i^fi fi '

/i=l,2, • -.wA
\fi = l,2, ,p)

2ff

'('■)

(r + 1)

ru fl fl ' f^i

fl
j(2v + 2)

wird, wenn man unter den dabei für v = m auftretenden Größen

fl ' f, f fj.

, f"' + '^ die Größen e^'\ s^'\ a^'\ f^ versteht,

' "fl fl ' fl ' fJL ' " fl '

und beachtet, daß bei Ausführung der auf der rechten Seite stehen-
den Summation an Stelle jeder der )n Charakteristiken [f^^^], [f^^'], • • •,
[«('")] der Reihe nach alle 2'^^ verschiedenen Charakteristiken treten

318 VII. 11. Der Fall p = 1.

und zwar jede 2^^- mal, so erhält man, da s als die Anzahl der
Normallösungen der Kongruenzen:

(309) a;(i) + ä;(2) = a;(3) + a;W = . . . = x^^rn-i) _^ ^{2m) ^^^^ 2)

den Wert 2™ + ^ besitzt, wenn man schließlich noch linke und rechte
Seite durch 22'»^ teilt, aus (LVIII) die Formel:

(310) = ^ ^[£(1) + £(2)] ((w(l) + mi . . .

ZU der man übrigens bemerken muß, daß man eine beliebige der
m rechts auszuführenden Summationen z. B. die auf [6*"'^] bezügliche
unter gleichzeitiger Division der linken Seite durch 2^p unterdrücken
kann; eine Vereinfachung, die nur wegen der dann eintretenden
Störung der Symmetrie in der Formel (310) nicht ausgeführt ist.

§11.
Der Fall j) = 1.

Im Falle p = 1 gibt es vier verschiedene Thetafunktionen, deren
Charakteristiken aus halben Zahlen gebildet sind, nämlich:

(311) ^\^^]iu), ^[J](«), ^\[]itt), &\^;\{uy,

dieselben seien im folgenden der Bequemlichkeit wegen mit:
(312) &^{u), &,,{u), &,,(u), ^,,{u)

bezeichnet; die drei ersten sind gerade, die letzte ist eine ungerade
Funktion des Argumentes u.

Die vier Jacobischen') Funktionen &(x), '^i(^)? "^2(^)5 ^si^) hängen
mit den Funktionen (312) zusammen wie folgt:

1) Jacobi, Theorie der elliptischen Functionen etc. Ges. Werke Bd. 1.
Berlin 1881, pag. 497.

Die Riemannsche Thetaformel im Falle ^j = 1. 319

Im besonderen Falle ^) = 1 folgt aus dem XXXVIII. Satze das
Resultat:

XL. Satz: Sind die Variablen «t^, u^, u^, u^ mit den Variablen
v^j ^2' ^3? ^4 verknüpft durch die Gleichungen:

2% = Vi + ^2 + ^'Z + ^47

(XLIII) ^'^^Z = ^1 + h - H - ^4;

2^3 = t;^ - Vg + ^3 - ^4,

w»M^ setzt man:

(XLIV) ^[£ + P + ö] K) «•[£ + 9] (^2) ^[^ + ^] K) ^ W (^4),

^[£ -f ? + <?] K) ^[« + q] K) ^[« + &] (%) ^[«] K);

SO sind die Größen x und y verknüpft dwrch das mit (XLIII) gleich-
gebaide System von Gleichungen:

(XLV) y^^ = ^00 + ^10 ~ ^'01 ~ ^U7

^2/01 ^^ '^00 "^10 "I ''"Ol '^11?

-^^/u ^ -^00 -^lo '^oi ' -^n ■

Da man in (XLIV) für (q) und ebenso für (<j) jede der vier
Per. Char. [ ) , ( ) , ( ) , ( ) setzen kann, so repräsentiert das Formel-
system (XLV) im ganzen 16 verschiedene.

Betrachtet man das Gleichungensystem (XLV) genauer, so be-
merkt man, daß der Index 00 eine Ausnahmestellung hat, insofern
als die Größe Xqq aber auch nur sie in allen vier Gleichungen
positives Zeichen hat, und entsprechend in der Gleichung y^^ und
nur in ihr alle Glieder der rechten Seite positiv sind. Die Indizes
10, Ol, 11 dagegen erscheinen untereinander als vollständig gleich-
berechtigt, indem die drei Größen x^q, x^^, x^^ in der ersten Glei-
chung dasselbe Vorzeichen haben, in jeder der übrigen Gleichungen
aber immer jene dieser drei Größen positiv ist, deren Index mit dem
Index der links stehenden Größe y übereinstimmt, während die zwei
anderen stets negativ sind. Bezeichnet man also den Index 00 kürzer
mit 0, die Indizes 10, Ol, 11 aber in irgend welcher Reihenfolge
mit X, A, ft, so kann man die Gleichungen (XLV) auch in der
Form:

320 Vn. 11. Der Fall ;? = 1.

^Va "^ ^0 ~r "^z I ^/. + x^ij
(314) ^yy.-^Q-Vx.^-X;-x^,

^y?. ^ ^0 ~ ^z + ^/ ~ ^,«>

2?/^ = o^o - a;^ - rT;. + x^

schreiben, wobei schon die Angabe der zwei ersten Gleichungen ge-
nügen würde, da x wie eben erwähnt jeden der drei Indizes 10,
Ol, 11 vertreten kann, während dann jedesmal die beiden anderen
mit A und ^ bezeichnet sind.

Die vier Gleichungen (314) kann man auf 12 Weisen paarweise
durch Addition und Subtraktion verbinden. Indem man aber berück-
sichtigt, daß Xj A, fi die Indizes 10, Ol, 11 in irgend welcher Reihen-
folge vertreten können, kann man das System der so entstehenden
12 halben Umkehrungen der Gleichungen (314) durch die vier unter
ihnen:

^0 + ?/z = ^0 + ^z; V). + y^ = ^0 - ^y.,

(31o)

?/o - Vy. = ^/ + «/. ^ V). - ^^ = ^?. - ^/<

repräsentieren, aus denen die genannten 12 Gleichungen hervorgehen,
wenn man für z, X, fi der Reihe nach die drei zyklischen Permuta-
tionen von 10, Ol, 11 setzt.

XLI. Satz: Jaeobische Tlxetaformeln. Bezeiclinet man den Index
00 kürzer mit 0, die Indizes 10, Ol, 11 in irgend welcher Reihenfolge
mit K, A, [i, so folgen aus (XLV) durch halbe Umkehrung die Glei-
chungen:

.^^ ^^^. ?/o + ^z = ^0 + ^y.y y?. -^y^ = ^o- ^y.>

(äLVIJ

yo - yy = ^?. -^ ^f., ?//.-?/,,, = ^/-^,. •

Führt man jetzt weiter an Stelle der v und u neue Variablen
ein, indem man:

(316) i\ = t -\- u, v^ = t — u, v^ = V -\- IV, v^ = V — w
setzt, so wird:

(317) U^ = t -\- V, U^= t — V, Mg = M -f ZV, u^ = u — w.
Definiert man daher weiter Größen i,^^., rj^^. durch die Gleichungen:

I,,, = (-iy?+'^)*'+''+^'

^[£ + 9 + (3]{t + u) ^[s + Q'](t- h) ^[e + g']{v-\- w) d-[s](v - w),

(318) 7?„. = (-l)(? + '^)*' + * + *'

^[S + Q -\- 6]{t -j- V) &[£ + q] (t - V) ^[£+6] (U- -f U) & [f] (iV - m),

so sind die Größen | und rj, da:

(319) l, = {-iy^^'x,,, ^.. = (-l)^ + '' + ">..

Die Jacobischen Thetafonueln. 321

ist, auf Gruud der Gleichungen (XLV) miteinander verknüpft durch
die Gleichungen:

^VoO ^ ?00 "~ felO toi I feil?

('320) 2^10 = ~ ^00 + ^10 ~ ^01 + ^111

•^ '?oi "^ ?oo ~ ?io ~r ^01 I §11 5
'^''?ii "^ feoo ~ '10 5oi ~~ 5ii-

Betrachtet man dieses Gleichungensystem genauer, so bemerkt man, daß
der Index 11 eine Ausnahmestellung einnimmt, insofern als die Größe
1^^ aber nur sie in den drei ersten Gleichungen positives Vorzeichen
hat, und weiter in der Gleichung für r^^^ aber nur in ihr alle Glieder
der rechten Seite negativ sind. Die Indizes 00, 10, Ol dagegen er-
scheinen als untereinander gleichberechtigt, indem die drei Größen
ioo? ^10' ^01 ^^ ^^^' letzten Gleichung dasselbe Vorzeichen haben, in
jeder der drei übrigen Gleichungen aber immer jene dieser drei
Größen positiv ist, deren Index mit dem Index der links stehenden
Größe y] übereinstimmt, während die zwei anderen Größen | stets
negativ sind. Bezeichnet man also den Index 11 kürzer mit 1, die
Indizes 00, 10, Ol aber in irgend welcher Reihenfolge mit a, ß, y,
so kann man die obigen vier Gleichungen auch in der für das
Folgende wichtigen Form:

2% = - ll - L - I.* - ly,

(321) ^^c.= ^1 + L- ^ii - %>

"^V^i = ll - la + 1^^ - ly,

^^Vy = li - L - ^,i + ^r

schreiben, wobei schon die Angabe der zwei ersten Gleichungen ge-
nügen würde, da a wie eben bemerkt jeden der Indizes 00, 10, Ol
vertreten kann, während dann jedesmal die beiden anderen mit ß, y
bezeichnet werden.

Die Gleichungen (321) besitzen nicht mehr die ausgezeichnete
Eigenschaft des Systems (314), daß das durch Auflösung entstehende
Gleichungensystem dem ursprünglichen gleichgebaut ist, es ergeben
sich vielmehr aus den Gleichungen (321) durch Auflösung nach den ^
die Gleichungen:

2^1 = - % + -^a + ^.* + Vy,

(322) ^L=-Vi+Va-V^i- Vy,
2|^ =-Vi-Va + V^i- %>

Die Größen ^ und rj stehen, wie ihre Definitionsgleichungen (318)
zeigen, in dem Zusammenhange miteinander, daß t]^^, aus 1^^, durch

Krazer, Thetafunktionen. 21

322 VII. 11. Der Fall p = 1.

zyklische Vertauschung der drei Größen ti, v, iv hervorgeht. Daraus
folgt sofort, daß, wenn man aus den Größen iq^^, durch nochmalige
zyklische Vertauschung von u, v, tu die Größen

(323) e... = (-iy^^ + "^*' + ' + ''

%[e + Q^- 6\{t + «') -^[f + ()] (t-iv) ^[f + ^](h + v) ^[f](H- v)

ableitet, diese Größen ^ mit den Größen r/ durch dieselben Glei-
chungen verknüpft sind, wie die Größen ?j mit den Größen ^. Be-
achtet man dann endlich noch, daß durch nochmalige zyklische Ver-
tauschung von M, V, tv die Größen t, in die ursprünglichen Größen t,
übergehen, so erkennt man, daß auch die Größen | mit den Größen
t, durch eben dieselben Gleichungen verknüpft sind. Man hat daher,
wenn man die Gleichungen passend zusammenstellt, die folgende
Tabelle:

-ix-ia- ti - ^y = 2|i = - % + 7/„ -I- ri^^ + 7]y,

^1 + L - ti - ty = 2^^ = - Tji + 7j„ - rj^^ - rj^,
ti-L+ ti -ty = 2|^ ^ - r,^ - ri^ + rj^ - rj^,
ti-L- ti + ty = ^^y--r,i-r]^- ri^ + riy,

-k-la- ^,* - ty = 2r?i = - ^1 -f ^a + t^i + ty,

(324) l, + l^-i, _ 1^ = 27?„= - ti + L - ti - ty,

?i ~ 5« + b^j — ly = ^ij^j = — 5i — c;„ -f ?^ — gj,,

^1 - ^a - ^,:? + ^j, = 2>?j, = - ^1 - tcc- ti + &y,

-Vi-na-'n-i-ny — ^ti = - li +!«+ I^* + Ij,,
^i-na^ v^i - ^y = 2^_^ == - ii - 1„ + 1,? - Ij,,

Vl-Va-Vii-^Vy-^ty =-^1 -L - l,f + iy;

aus deren Gleichungen durch passende Verbindung die den Glei-
chungen (XL VI) entsprechenden Gleichungen:

-t^-ty = k-^L=-Vl+ Va,

(325) - ^1 - t„ = li - I« = V,i + ^/y,

tl-t^- 1^ + 1.^ = - -»^l - Va,
t;i ~ ty = b^i ~ by = 't]^i — Vy)

hervorgehen.

Aus den Gleichungen (324) oder (325) aber folgen endlich die
nachstehenden besonders einfachen Gleichungen, von denen jede je
eine Größe ^, ?/, i, enthält.

Die Weierstraßsche Thetaformel. 323

XLII. Satz: Weierstraßsche Thetaformel. Setzt man:

^[f +() + G\{t+U) ^[6 + Q\{t-u) ^Is + 6']{v-\-IV)&[e\{v-Iv),

(xlvii)t?„. = (- iy?+'^)«'+«+''

?t[s-\-Q + 6']{t-\-lv)&l£-^Q]{t-w)&[s-\-6]{u + v)&[£\{u-v),

und hezeichnet den Index 11 Idirzer mit 1, die Indizes 00, 10, Ol in
irgend welcher Reihenfolge mit a, ß, y, so bestehen zwischen den Großen
^, ri, t, die folgenden Gleichungen:

^1 + ^1 + ^1 = 0,

(XLviu,) ^, - ^^ + e, = 0, .?, - e„ + L = 0, ?: - L + ^„ = 0,

L + \i + ^, = 0,

von denen die drei in der zweiten Zeile stehenden Gleichungen je drei,
die letzte Gleiclning aber sechs verschiedene Gleichungen umfaßt.

Bei der obigen Darstellung erscheinen die Formeln (XLV) als
die ursprünglichen, die Formeln (XLVI) und (XL VIII) als aus ihnen
abgeleitet. Man kann aber, wie man leicht sieht, ebensogut von den
Formeln (XLVI) oder (XL VIII) ausgehen und aus ihnen jedesmal die
beiden anderen Formelsysteme ableiten. Die mannigfachen Zusammen-
hänge zwischen den Formeln (XLV), (XLVI) und (XLVIII) ergeben
sich mit Hilfe der Tabelle (324) in der Gestalt von identischen Glei-
chungen zwischen den Größen ^, ?;, t Unter den zahlreichen der-
artigen Beziehungen mögen die folgenden als Beispiele angegeben
werden.

Die Ableitung der ersten Formel (XLVIII) aus den Formeln
(XLV) wird durch die identische Gleichung:

(326) i(2^i + ^i + e« + e, + y

dargestellt^), während die identischen Gleichungen:

1) Scheibner, Über die Producte von drei und vier Thetafunctionen.
J. für Math. Bd. 102. 1888, pag. 258.

21*

(328)

324 VII. 11. Der Fall p = 1.

die Ableitung der vier ersten Formeln (XLVIII) aus den Formeln
(XL VI) repräsentieren^). Andererseits wird die Ableitung der Formeln
(XLVI) aus den Formeln (XLVIII) durch die Identitäten 2):

(il + Vl + ti) - (^1 - I« + Va) = il + L + Vl- Va^
ik -Va-\- Ü + (^1 -L+ L) = ^1 + la + 1?i - Va,
(k - ^,i + V + (^1 - ly + Vy) = ^,i -^y- V^i + Vy,
iL + ^^i + Vy) - iL +^y + Vß) = i^ - Ij, - Vß + Vy,

die Ableitung der Formeln (XLV) aus ihnen durch die Identitäten:

(ii+^i+^i)+ai-^/«+ü-(i,+^,,+ü-ai-i,+v

(329) -n,-hVi-r,,-V,,-Vy,

(L+ Vß 4- y +ik -Va+ ü + (^1 -L+ L) - (ii - Vy + y

dargestellt. Endlich wird mau noch die zwischen den Formeln
(XLVIII) bestehenden Identitäten^):

(330) (^^-r}^^Q + {Vi-L-i-U + (t,-L + Vu)-ii + Vi + tr

beachten.

Wirft man zum Schlüsse einen Rückblick auf die Gleichungen
(XLV), (XLVI) und (XLVIII), so erkennt man, daß die letzten von
den beiden ersten dadurch wesentlich verschieden sind, daß in diesen

die Funktion 'O- (w), in ihnen aber die Funktion d-\ \(u) die be-
vorzugte Stelle unter den vier Thetafunktionen einnimmt. Diese
Verschiedenheit bringt es mit sich, daß zur einfachsten Darstellung
der Gleichungen nicht durchweg dieselben Größen benutzt werden
können; durch die Einführung der Größen |, rj, t, ist, wie die Tabelle
(324) zeigt, die elegante Form der Gleichungen (XLV) und (XLVI)
verloren gegangen.

1) Enneper, Bemerkungen über Thetafunctionen. I. Gott. Nachr. 1883,
pag. 175; Meyer, Die Ableitung der Weierstraß'schen «x-Relation aus einer
der Jacobi'schen ^-Relationen. Tagebl. d. 58. Naturf. -Vers. Straßburg 1885,
l^ag. 354; Caspary, Über das Additionstheorem etc. .1. für Math. Bd. 97. 1884,
pag. 168.

2) Schellbach, Die Lehre von den elliptischen Integralen und den Theta-
Functionen. Berlin 1864, pag. 103; David, Sur les relations algebriques des
fonctions 0. Mem. Toulouse (8) Bd. 6. 2. sem. 1884, pag. 81; Briot et
Bouquet, Theorie des fonctions elliptiques. 2. Aufl. Paris 1875, pag. 497;
Kronecker, Bemerkungen über die Jacobischen Thetaformeln. J. für Math.
Bd. 102. 1888, pag. 269.

3) Caspary, Über das Additionstheorem etc. J. für Math. Bd. 97. 1884,
pag. 169.

Bez. zw. den Riem., Jacob, und Weierstr. Thetaf. — Historisches. 325

Die Gleichungen (XLVI) wurden von Jacobi im Herbste 1835 ge-
funden, wurden von ihm zuerst in seiner Vorlesung vom W. - S. 1835/36
mitgeteilt^) und später in seiner Vorlesung vom W. -S. 1839/40 wieder-
holt^). Sie finden sich auch in einem Briefe Jacobis an Her mite
vom 6. Vni, 1845 erwähnt^); veröffentlicht wurden diese Formeln zuerst
von Rosenhain'*). Die Gleichungen (XLV) sind gleichfalls von Jacobi^)
angegeben und von Rosenhain *") veröffentlicht worden. — Die erste
Gleichung (XLVRI) wurde von Weierstr aß in seinen Vorlesungen 1862
mitgeteilt, wo sie auf Grund der Beziehung:

(331) pu — pv =

unmittelbar aus der Identität:

C(it -|- V) 6(U — V)

(332) (<^Jtc - pi(,){pui - p«3) + (pu - pw2)(i^«3 - F%)

+ ipu-pus)(pu,-pn,) = 0

heiworging'^). Veröffentlicht wurde die Formel zuerst von Schellbach^),
der sie aus einer Formel Richelots ableitet. Weierstraß ^) hat be-
merkt und Delisle^^) weiter ausgeführt, daß durch diese Gleichung die
Funktion an bis auf einen Faktor von der Form c« + '"'^ bestimmt ist, wo
a und h willkürlich bleibende Konstanten bezeichnen. — Das volle System
der 16 Gleichimgen (XLVIII) hat zuerst Study ^^) aufgestellt, dessen ein-
gehenden Untersuchungen über die hier vorliegenden Formeln auch die
Tabelle (324) entnommen ist.

1) Kronecker, Über die Zeit und die Art der Entstehung etc. Berl.
Ber. 1891, pag. 653 und J. für Math. Bd. 108. 1891 pag. 325.

2) Jacobi, Theorie der elliptischen Functionen etc. Ges. Werke Bd. 1.
Berlin 1881, pag. 507.

3) Jacobi, Extrait de deux lettres de Charles Hermite ä C. G. J. Jacobi
et iVime lettre de Jacobi adressee ä Hermite. Ges. Werke Bd. 2. Berlin 1882,
pag. 116.

4) Rosenhain, Memoire sur les fonctions etc. Mem. pres. Bd. 11. 1851,
pag. 371.

5) Jacobi, Theorie der elliptischen Functionen etc. Ges. Werke Bd. 1.
Berlin 1881, pag. 534.

6) Rosenhain, Memoire sur les fonctions eto Me'm. pres. Bd. 11. 1851,
pag, 375.

7) Weierstr aß, Zur Theorie der Jacobischen Functionen von mehreren
Veränderlichen. Berl. Ber. 1882, pag. 505; Schwarz, Formeln und Lehrsätze
zum Gebrauche der elliptischen Functionen. Nach Vorlesungen und Aufzeich-
nungen des Herrn K. Weierstraß. Göttingen 1881, pag. 47.

8) Schellbach, Die Lehre von den elliptischen Int. etc. pag. 103.

9) Weierstraß, Zur Theorie der Jacobischen Fun ct. etc. Berl. Ber. 1882,
pag. 505.

10) Delisle, Bestimmung der allgemeinsten der Functionalgleichung der
c- Function genügenden Function. Math. Ann. Bd. 30. 1887, pag. 91.

11) Study, Sphärische Trigonometrie, orthogonale Substitutionen und
elliptische Functionen. Leipz. Abb. Bd. 20. 1893, pag. 195.

326 ^T- 11- Der Fall 2^ = 1.

Es mögen hier weiter ein paar Worte Platz finden über die ver-
schiedenen Methoden, welche zur Gewinnung der in Rede stehenden Theta-
formeln angewendet werden können. In erster Linie verdienen jene
Methoden genannt zu werden, bei welchen die Formeln durch direkte
Umformung der ihre linken Seiten darstellenden unendlichen Reihen ge-
Avonnen werden. Solche Methoden haben für die Formeln (XLVI) Jacobi^J
selbst, für die Formeln (XLV) Henry St. Smith ^), für die Formeln
(XL VIII) Halphen^) angegeben. — An zweiter Stelle mögen jene Be-
weismethoden genannt werden, bei welchen die in den Formeln auftreten-
den Thetaprodukte von der Form &[q](x -\- y) &[q](x — y) mittelst der
aus der Formel (L) pag. 89 folgenden Formel ^J:

1
(333) ^ \l](x -f y\ 9 m(x -y\ = ^ (- 1)^^' 0[;] (2 x),^ 0 [^ + ']{2y\^

t = 0

durch Thetafunktionen mit dem doppelten Modul ausgedrückt vmd dadurch
die Fonneln selbst in identische Gleichungen zwischen diesen Thetafunk-
tionen übergeführt werden; so von Caspary^) und besonders übersicht-
lich von Kronecker ®). In ähnlicher "Weise haben Study ^) und Kleiber®)
die Thetaprodukte &[q}(x -]- y) d'[Q](x — y) vermittelst der Jacobischen

1) Jacobi, Theorie der elliptischen Functionen etc. Ges. Werke Bd. 1. Berlin
1881, pag. 503; vergl. auch Enneper, Elliptische Functionen. Theorie und Ge-
schichte. Halle 1876, pag. 95. 2. Aufl. Halle 1890, pag. 135; Bock, Kombina-
torische Ableitung einiger Eigenschaften der 0- Functionen. Hamb. Mitth. Bd. 2.
1890, pag. 74 und für ^j > 1 Lipps, Über Thetareihen und ihren Zusammenhang
mit den Doppelintegralen. Leipz. Ber. Bd. 44. 1892, pag. 346 und 369 u. f.

2) Smith, On a formula for the multiplication of four Theta-Functions.
London M. S. Proc. Bd. 1. 1866, Nr. 8; für p > 1 außer Smith, Note on the
formula etc. London M. S. Proc. Bd. 10. 1879, pag. 91 besonders Prym, Ein
neuer Beweis etc. Acta math. Bd. 3. 1883, pag. 201.

3) Halphen, Traite des fonctions elliptiques et de leurs applications.
Bd. 1. Paris 1886, pag. 244.

4) Bezüglich der Ableitung dieser Formel siehe § 16 dieses Kapitels.

5) Caspary, über die Verwendung algebraischer Ident. etc. Math. Ann.
Bd. 28. 1887, pag. 493 und: Sur une methode elementaire pour obtenir le
theoreme fondamental de Jacobi, relatif aux fonctions theta d'un seul argu-
ment. C. R. Bd. 104. 1887, pag. 1094; für p = 2 vor Caspary, Über einen
einfachen Beweis der Rosenhain'schen Fundamentalformeln. Math. Ann. Bd. 30.
1887, pag. 571 schon Enneper, Über einige Sätze aus der Theorie der O'-Func-
tionen. Z. für Math. .Bd. 12. 1867, pag. 85; für beliebiges p: Caspary, Über
das Addidionstheorem etc. J. für Math. Bd. 97. 1884, pag. 165; auch: Sur les
theoremes d'addition des fonctions theta. C. R. Bd. 104. 1887, p. 1255.

6) Kronecker, Bemerkungen über die Jacobi'schen Thetaf. etc. J. für
Math. Bd. 102. 1888, pag. 269.

7) Study, On the Addition Theorems of Jacobi and Weierstraß. Am.
J. Bd. 16. 1894, pag. 156.

8) Kleiber, Ableitung eines Systems von Formeln für die elliptischen
Functionen und ihr Zusammenhang mit der sphärischen Trigonometrie. Progr.
Königsberg 1880 und 1881.

Versch. Ableitungsmeth. d. Riem., Jacob, u. Weierstr. Thetaf. 327

Additionstlieoreme ^) dui-ch Funktionen '9'[£](a;), ^[i\(;!f) ausgedrückt und
dadurch die in Rede stehenden Formeln in identische Gleichungen zwischen
diesen letzteren Funktionen übergeführt; man wird jedoch dazu bemerken,
daß meist umgekehrt die hier vorliegenden Formeln die Grimdlage für
die Gewinnung der Additionstheoreme bilden. — Die Bestimmung der
Thetafunktion durch ihre Periodizitätseigenschaften (XIII. Satz pag. 34)
benutzt (bei beliebigem p) Prym ^) zum Beweise der Fonnel (XLV),
den Hermiteschen XVII. Satz pag. 40 (gleichfalls bei beliebigem p) zum
Beweise der Formel (XL VI) Frobenius^), zum Beweise der Formel
(XL VIII) Briot et Bouquet^) und nach ihnen Gutzmer^), den
Residuensatz zum Beweise der Formel (XLVIII) Kapteyn®) und nach
ihm Craig^), den Satz von der Konstanz einer überall stetigen
Funktion Kronecker*) und Baker ^), eine eigentümliche Zerspaltung
periodischer Funktionen Prym ^^) und eine von Richelot ^^) und Dumas ^^)
angegebene Partialbruchzerlegung eines durch unendliche Produkte dar-
gestellten Thetaquotienten Schellbach ^^). Endlich möge noch auf eine
von Baker ^^) angegebene geometrische Deutung der Formeln hingewiesen
werden.

Daß die Formeln (XLVIII) in ähnlicher Weise, wie es am Schlüsse
des § 10 mit der Riemannschen Thetaformel geschehen ist, auf Produkte
von mehr als vier Thetafunktionen ausgedehnt werden können, hat
schon Schellbach ^^) angegeben. Diese erweiterten Fonneln hat sodann

1) Jacobi, Theorie der elliptischen Functionen etc. Ges. Werke Bd. 1.
Berlin 1881, pag. 510 Formelsystem C.

2) Prym, Kurze Ableitung etc. J. für Math. Bd. 93. 1882, pag. 124.

3) Frobenius, Über das Additionstheorem etc. J. für Math. Bd. 89.
1880, pag. 185.

4) Briot et Bouquet, Theorie des fonctions eil. Paris 1875, pag. 485.

5) Gutzmer, Bemerkung über die Jacobische Thetaformel. J. für Math.
Bd. 110. 1892, pag. 177.

6) Kapteyn, Nouvelle methode pour demontrer la formule fondamentale
des fonctions 0. Darb. Bull. (2) Bd. 15. 1891, pag. 125.

7) Craig, A fundamental theorem of the ©-Functions. J. Hopkins Univ.
Circ. Bd. 11. 1892, pag. 42.

8) Kronecker, Bemerkungen über die Jacobischen Thetaf. etc. J. für
Math. Bd. 102. 1888, pag. 269.

9) Baker, On a geometrical proof of Jacobi's -S'-formula. Math. Ann,
Bd. 43. 1893, pag. 593.

10) Prym, Untersuchungen über die Riemann'sche Thetaf. Lpz. 1882. I.

11) Richelot, Über eine merkwürdige Formel in der Theorie der ellip-
tischen Transcendenten, und eine Ableitung des Fundamentaltheorems. J. für
Math. Bd. 50. 1855, pag. 41.

12) Dumas, Über die Bewegung des Raumpendels mit Rücksicht auf die
Rotation der Erde. J. für Math. Bd. 50. 1855, pag. 52.

13) Schellbach, Die Lehre von den elliptischen Int. etc. pag. 103.

14) Baker, On a geometrical proof etc. Math. Ann. Bd. 43. 1893,
pag. 593.

15) Schellbach, Die Lehre von den elliptischen Int. etc. pag. 103.

328 ^11- 11- Der Fall p = 1.

Enneper^) durch wiederholte Anwendung der ursprünglichen Formeln
bewiesen und in neuerer Zeit in ganz einfacher Weise durch Anwendung
des ßesiduensatzes Kapteyn") und Morley^). Betrachtet man nämlich
die Funktion:

r^^A\ ffA - »1 (^ - yi ) ^1 (^ - 2/2) • • • '»l (^ - Vn)

^ööi) J\Z) - ^^(^_^^)^^(^_^^) . . . &^^z-x„) '

wo %^ die ungerade Thetafunktion bezeichnet, und setzt
(335) a^i + a^2 H 1" a^« = ^i + 2/2 H ^ Vn

voraus, so ist die Funktion f{z) doppeltperiodisch und wird oo^ in den
n Punkten aJ^, x^-, •••, x^. Setzt man die Summe der Residuen Null,
so hat man sofort:

^QQfi^ 'V ^1 (^v — yi) • • • -^1 (^v - yy) • • • -^1 c^.- — Vn) _ 0

(ddb j ^^&^{x,-x,)--. 1 • • • &, {X, -x„) '''

eine Foi*mel, die für « = 3 die Weierstraßsche ist.

Da die Formel (303) für i^ = 1 in die Weierstraßsche übergeht, so
kann sie als die Verallgemeinerung derselben für beliebiges p angesehen
werden. Eine andere Ausdehnung seiner Formel auf den Fall p > 1 hat
Weierstraß'*) selbst in d^r Form:

(337) ^^u('>^-\-u^'^))^u^''^-u^'yi---&{{ti^'-^+u^'- + '^])&iu^'-^-u^'- + '^} = 0

angegeben, wo r = 2^ ist, -9' eine ungerade Thetafunktion bezeichnet, und
über jene 1 • 3 • 5 • • • r -f 1 Produkte von je r + 2 Thetafunktionen zu
summieren ist, die aus dem angeschriebenen hervorgehen, wenn man
zuerst die Indizes 1, 2, 3, • • •, r + 1, hierauf die Indizes 3, 4, • • •, r + 1, • • •
zyklisch vertauscht. Nachdem Caspary^) einen Beweis dieser Formel
angegeben hatte, der sich auf die Einführung der Thetafunktionen mit
doppelten Moduln stützt, haben Frobenius^) und Caspary^) einfachere
Beweise mitgeteilt, zugleich aber gezeigt, daß die Formel (337) für jedes

1) Enneper, Bemerkungen über Thetafunctionen. I. Gott. Nachr. 1883,
pag. 175.

2) Kapteyn, NouveUe methode etc. Darb. Bull. (2) Bd. 15. 1891,
pag. 125.

3) Morley, On a generalization of Weierstraß's equation with three terms.
Bull. Am. M. S. (2) Bd. 2. 1895, pag. 21.

4) Weierstraß, Zur Theorie der Jacobischen Funct. etc. Berl. Ber. 1882,
pag. 505.

5) Caspary, Ableitung des Weierstraßscben Fundamentaltheorems für
die Sigmafunction mehrerer Argumente aus den Kroneckerschen Relationen
für Subdeterminanten symmetrischer Systeme. J. für Math. Bd. 96. 1884,
pag. 182.

6) Frobenius, Über Thetafunctionen mehrerer Variabein. J. für Math.
Bd. 96. 1884, pag. 100.

7) Caspary, Zur Theorie der Thetafunctionen mehrerer Argumente. J. für
Math. Bd. 96. 1884, pag. 324.

Verallg. cl. Weierstr. Thetaf. — Folger. aus der Riem. Thetaf. 329

r > 2P besteht. Eine praktische Verwertbarkeit, wie die Eiemannsche
Thetaformel, besitzt die Formel (337) nicht; die rasch wachsende Glieder-
anzahl zusammen mit der zunehmenden Anzahl der in einem Produkte
vereinigten Thetafunktionen macht die Anwendung über p ^ 2 hinaus
unmöglich.

Setzt man in den Gleichungen (XLIII), indem man unter m, v, w
unabhänmcre Veränderliche versteht:

(338) v^ = u -^ V + IV j i\ = u, i\ = V, f 4 = — IV,
so werden:

(339) «1 = II -\- V, «2 = u -\- IC, «3 = y + iv, ii^ = 0;

es verschwindet infolgedessen von den durch (XLIV) definierten
Größen y die Größe j/h und die letzte Gleichung (XLV) geht in

(340) .Tqo - ^10 - % + x-ji = 0
über, wo jetzt die Größen x durch die Gleichung:

(341) ic„, = (-l )(* + «? + ")*'

^[f + 9 + (?](H + V + tv) &[€ + q](u) ^[£ + <?](V) &[b](w)

definiert sind. Die Formel (340) umfaßt 16 verschiedene Gleichungen,
die aus ihr hervorgehen, wenn man an Stelle einer jeden der beiden
in (341) vorkommenden Per. Char. (p), ((?) der Reihe nach die vier
verschiedenen Charakteristiken setzt.

Für den speziellen Fall (q) = ((>) = (O) wurde die Formel (340)
schon von Legendre-^) angegeben; später hat sie Gudermann^) und
nach ihm Schröter^) aus den Additionstheoremen der Thetafunktion ab-
geleitet; einen anderen Beweis mit Hilfe der Integrale zweiter Gattung
hat Hermite*) gegeben. In obiger Weise als spezieller Fall der Riemann-
schen Thetaformel wurde die Formel von Henry St. Smith ^) und
Schröter^) gewonnen. Cayley^) leitet sie als speziellen Fall einer

1) Legendre, Traite des fonetions elliptiqucs et des integrales euleriennes.
Bd. 3. Paris 1828, pag. 196.

2) Gudermann, Theorie der Modular- Functionen und der Modular-Inte-
grale. J. für Math. Bd. 18. 1838, pag. 167.

3) Schröter, Beiträge zur Theorie der elliptischen Funktionen. Acta
math. Bd. 5. 1884, pag. 205.

4) Hermite, Sur une relation donnee par M. Cayley, dans la theorie des
fonetions elliptiques. Extrait d'une lettre adressee ä M. Mittag-Leflfler. Acta
math. Bd. 1. 1882, pag. 368; vergl. dazu M. da Silva, Sur trois formales de
la theorie des fonetions elliptiques. Darb. Bull. (2) Bd. 10. 1886, pag. 78.

5) Smith, Note on the formula etc. London M. S. Proe. Bd. 10. 1879,
pag. 96.

6) Schröter, Beiträge zur Theorie etc. Acta math. Bd. 5. 1884, pag. 205.

7) Cayley, A theorem in Elliptic Functions. London M. S. Proe. Bd. 10.
1879, pag. 43.

330 VII. 11. Der Fall j) = 1.

allgemeineren von Glaisher^) angegebenen Formel ab; daß aber diese
keine andere als die Riemannsche Thetaformel ist, zeigt M. da Silva ^).
Das System der 16 Gleichungen (340) ist von Forsyth^) angegeben
worden.

Setzt man in den 16 Forsythschen Gleichungen w = 0, so gehen
daraus 16 Formeln hervor, welche Jacobi*) angegeben hat und für
welche Beweise von Schellbach ^), Björling^j und Broch^) mitgeteilt
worden sind; einzelne dieser Gleichungen auch bei Guetzlaff^) und
Henry St. Smith ^); daß man von den Jacobischen Gleichungen
wieder zu den ursprünglichen Forsythschen zurückkehren kann, zeigt
Albeggiani ^^).

An dieser Stelle möge auch auf jene Gleichungen hingewiesen
werden, welche zwischen Produkten von 6 Thetafunktionen mit den
Argumenten m, v — iv^ v, iv — w, w, u — v bestehen und welche, nach-
dem einzelne von ihnen schon Jacobi^^), Gudermann^^) und
Schellbach ^^) angegeben hatten, in größerer Zahl von Glaisher^*)

1) Glaisher, Sur quelques equations identiques dans la theorie des fonc-
tions elliptiques. Assoc. fran^. C. R. de la O""^ sess. (Reims) 1880, pag. 223.

2) M. da Silva, Sur une question de la theorie des fonctions ellip-
tiques. Bull. BruxeUes (3) Bd. 10. 1885, pag. 79 und: Sobre una formula
relativa ä la theoria das fun96es ellipticas. Teixeira J. Bd. 5. 1883; vergl. dazu
Mansion, Rapport sur une question de la theorie des fonctions elliptiques.
Bull. Bruxelles (3) Bd. 9. 1885, pag. 324; auch Caspary, Über die Verwen-
dung etc. Math. Ann. Bd. 28. 1887, pag. 493.

3) Forsyth, Note on Prof. Cayley's „formula in elliptic fonctions". Mess.
Bd. 14. 1885, pag. 23; dazu Cayley, On a formula in eUiptic functions. Mess.
Bd. 14. 1885, pag. 21.

4) Jacobi, Sur la rotation d'un corps. Extrait d'une lettre adressee ä Tac.
des sc. de Paris. 1849. Ges. Werke Bd. 2. Berlin 1882, pag. 325.

5) Schellbach, Die Lehre von den elliptischen Int. etc. pag. 103.

6) Björling, Om additions formlema för de elliptiska funktionema.
öf\'ersigt af k. Vet.-Ak. Förh. Stockholm Bd. 23. 1866, pag. 81 und: Note sur
les formules d'addition des fonctions elliptiques. Arch. für Math. Bd. 47. 1867,
pag. 399.

7) Broch, Sur les formules d'addition des fonctions elliptiques de
M. C. G. J. Jacobi dans son „Memoire sur la rotation d'un corps". C. R. Bd. 59.
1864, pag. 999.

8) Guetzlaff, Aquatio modularis pro transformatione functionum ellip-
ticarum septimi ordinis. J. für Math. Bd. 12. 1834, pag. 173.

9) Smith, Not3 on the formula etc. London M. S. Proc. Bd. 10. 1879,
pag. 97.

10) Albeggiani, Intorno ad alcune formole nella teorica delle funzioni
ellittiche. Rend. Palermo Bd. 1. 1887, pag. 350.

11) Jacobi, Formulae novae in theoria transcendentium ellipticarum fun-
damentales. 1835. Ges. Werke Bd. 1. Berlin 1881. pag. 333.

12) Gudermann, Theorie der Modular.-Funct. etc. J. für Math. Bd. 18.
1838, pag. 167.

13) Schellbach, Die Lehre von den ellipt. Int. etc. pag. 101.

14) Glaisher, On certain formulae in Elliptic Functions. Quart. J. Bd. 19.
1883, pag. 22. On some elliptic function and trigonometrical theorems. Mess.

Relationen zwischen den vier Thetafunktionen. 331

aufgestellt worden sind. Diese Gleichungen haben ihre gemeinsame Quelle
in jener Formel, welche aus (336) für n = 4 hervorgeht.

Zum Schlüsse dieses Paragraphen sollen aus den Formeln (XLV)
jene speziellen Gleichungen abgeleitet werden, welche den Übergang
zu den elliptischen Funktionen vermitteln^).

Setzt man in (XLIII) indem man unter ii eine unabhängige
Variable versteht:

(342) i\ = u, i'g = li, Vg = 0, v^ = 0,
so wird auch:

(343) Ml = u, »2 = ^h "3 = 0; "4 = ö>
und daher, wenn man noch ((?) = (0) setzt:

(344) x^, = y,, = (- ly^'r^i, + q]{h) ^^H(0).
Führt man aber diese Werte in die Gleichung:

ein und läßt an Stelle von (q) der Reihe nach die Charakteristiken
(j, (\, (\, {] treten, setzt auch zur Abkürzung:

(346) ^oo(0) = ^oo, '^io(0) = ^io, ^oi(0) = ^oi,
so erhält man die vier Gleichungen:

(347) ^00 ^^i(") = K ^L(«) + ^^1 ^^0 W,

deren letzte für u = 0 die Relation:

(348) ^0 = ^0 + ^^1

liefert. Von den vier Gleichungen (347) sind die beiden letzten eine
Folge der beiden ersten; diese aber kann man, indem man ihre linke
und rechte Seite durch ^lo^lii^i) bez. '^oo'^oiW dividiert in die Form:

Bd. 10. 1881, pag. 92. On a method of deriving formulae in EUiptic Functions.
Cambridge Proc. Bd. 4. 1883, pag. 186 und: Formulae in elliptic functions.
Brit. Assoc. Rep. 1879, pag. 269; vergl. dazu Wilkinson, An elliptic function
identity. Mess. Bd. 10. 1881, pag. 65 und: Sterba, Über eine Jacobische
Gleichung. J. für Math. Bd. 122. 1900, pag. 198.

1) Bezüglich dieses Überganges selbst siehe Jacobi, Theorie der ellip-
tischen Functionen etc. Ges. Werke Bd. 1. Berlin 1881, pag. 497; auch:
Brioschi, Lezioni sulla teorica delle funzioni Jacobiane ad un solo argomento.
Giom. di Mat. Bd. 2. 1864, pag. 8, .33 u. 129.

332 VII. 11. Der Fall p = 1.

(349) ^10 ^oi(«) ^lo ^li(^)'

bringen.

Setzt man ferner in (XLIII), indem man unter ii und v zwei un-
abhängige Veränderliche versteht:

(350) Vj^ = v^ = u, t'3 = v^ = V,
so wird:

(351) u^ = u -\- V, u^ = u — V, u^ = 0, u^ = 0,
und daher:

a;, ,, = (-!)(? + '')*'

(352) ^[£ + ^ + (?] („) ^[c + p] (^/) ^[£ + ö] (t;) ^[f] (?;),
y^^, = (_!)(? + ^K

^[£ + p + ö](m + «0 ^[« + ()](w - ^^) ^[£ + <jj(0) «^[«KO).

Führt man diese Werte in die Gleichung:

(353) 2/oo + Vn = -^00 + '^11

ein, indem man gleichzeitig {q) = ( j, (ö) = ( j setzt, so erhält man
die Gleichung:

. ^00 ^10 ^01 {u - v) ^11 {u + !;)

führt man dagegen die Werte (352) in die Gleichung:

(3oo) ^oj ~ !/ii = -^01 ~ ^11

ein, setzt gleichzeitig (9) = (0) und läßt an Stelle von (<?) der Reihe

nach die Charakteristiken ( j, [ j und L) treten, so erhält man die

Gleichungen :

^01 ^lo-ö-oiO* - v) ^10 0* + v) =

(356) ^01 ^00 ^01 ('^ - v) ^00 (»* + ^') =

^oo(w) 0-01 (m) ^oo(^) ^01 (^) - ^iM ^11 (^) ^io(«)^ii(^),

^2^ ^0. (^* - ^) ^01 ('* + ^) = ^^i(«*) ^^1(^0 - K(p) ^IM-

Dividiert man die Gleichung (354) und die beiden ersten Gleichungen
(356) durch die letzte, so erhält man die Additionstheoreme der
Thetaquotienten :

(357)

7

Additionstheoreme der Thetaquotienten. 333

^o_(m) «-i^) _ »00 (tt) »11 («) »ooil) '»ii (^)
»j^ »io(« + ^) _ »oi(«) ^01 W ^oi(") ^01 W -^01 W '^oi(^')
»Ol ^01 («+^) ^_»llW ^11 (^)

»:00_C^ ^00 (^) _ ^10 (M) '^iii«) ^10 W ^11 l^)

»00 »ooC» + ^) _ »oiW ^01 W -»oiW -^oiW ^01 W ^01 (^) .
^01 -^01 (« + ^') ^ »nju) »ii>)

«•0l(«) ^01 (^)

Differentiiert man endlich die Gleichung (354) links und rechts
nach V und setzt hierauf v = 0, so entsteht, da die Funktionen

/QKOX d&oM <^»io(^) ^•»01 C'-')

als die Derivierten gerader Funktionen für v = 0 verschwinden, wenn
man für jede Charakteristik

(369) _11_ = *;,(„)

setzt und den Wert, den diese Funktion für u = 0 annimmt, kurz
mit -O-fV bezeichnet:

^oo^io(^i'i(^*)^oi(w) - '^u(«)'^o'i("))
*^ ^ =^oi^n'^oo(w)'9'ioW-

Differentiiert mau diese Gleichung endlich zweimal nach n und setzt
hierauf u = 0, so erhält man, wenn man

(361) ^»^ -*"■(«)' ^(if^ = *•••«

setzt und die Werte, welche diese Funktionen für u = 0 annehmen,
mit d-'f'i' , -O-f'f' bez. bezeichnet, die Gleichung:

(3G2) ^00 ^10 (^n ^01 - '^u ^oi) = ^01 ^n (^öo ^lo + ^oo ^to)

oder durch 'ö'oo'^io^oi "^ii ^"^^^ ^^^ rechts dividierend:
(363) li^-|? + l^ +

»11 ^^ ;^o^ _|_ ;^ I ^01

^U "^00 "^10 '^01

Da nun aber gemäß der Gleichung (VI) pag. 6:

a*» ,(ii) 2»..'(wL '

ist, so kann man der Gleichung (363) auch die Gestalt:

334 VII. 11. Der Fall p = 1.

.o^.x c\og&n g log ^00 1 g log ^10 I g log ^01

y^^^) da ~ da ^ da ^ ca

geben und schließt dann daraus, daß

(366) ^n = (^ ^00 "^10 ^01

ist, wo c eine auch vom Thetamodul a unabhängige Größe bezeichnet,
für welche sich durch Entwicklung der linken und rechten Seite
nach Potenzen von e"* und Vergleichung der Anfangsglieder der Wert
c = i ergibt, sodaß schließlich:

(367) '^n = ^'^00^10^01
ist.

Die Formeln (347), (348), (349), (3 57), (367) sind zuerst von
Jacobi ^) angegeben worden.

Der obige Beweis der Formel (367), der nach Frobenius^) von
Weierstraß herrührt, wurde zuerst von Königs berger ^) mitgeteilt.
Einen direkten Beweis der Formel (365) durch Umformung der un-
endlichen Reihen hat Lipschitz'*) angegeben, während Thomae^) die
Foi'mel (367) auf direktem Wege aus den Produktentwicklungen der
Thetafunktionen herleitet. Jacobi^) hat die Formel (367) bewiesen,
indem er zeigt, daß der Ausdruck:

^ ' '^oo'9"io'9"oi

seinen Wert nicht ändert, wenn man den Thetamodul a durch 4a, 16a, •••
ersetzt; einen ähnlichen Gedanken verwendet zum Beweise der Formel
(367) Schellbach '^). Andere Beweise siehe noch bei Frobenius*)
und Bockhorn ^); Relationen zwischen den Nullwerten der Thetafunktionen
und ihren höheren Deri vierten bei Pascal ^'^).

1) Jacobi, Theorie der elliptischen Functionen etc. Ges. Werke Bd. 1.
Berlin 1881, pag. 511, 513 u. 517.

2) Frobenius, Über die constanten Factoreu der Thetareihen. J. für
Math. Bd. 98. 1885, pag. 245.

3) Königsberger, Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Func-
tionen. Bd. 1. Lpz. 1874, pag. 380.

4) Lipschitz, Deduction arithmetique d'une relation due ä Jacobi. Extraih
d'une lettre adressee ä M. Hermite. Acta math. Bd. 7. 1885, pag. 95.

5) Thomae, Abriß einer Theorie der complexen Functionen und der
Thetafunctionen einer Veränderlichen. 2** Aufl. Halle 1873, pag. 154.

6) Jacobi, Theorie der elliptischen Functionen etc. Ges. Werke Bd. 1.
Berlin 1881, pag. 516.

7) Schellbach, Die Lehre von den elliptischen Int. etc. pag. 48.

8) Frobenius, Über die constanten Fact. etc. J. für Math. Bd. 98. 1885,
pag. 247.

9) Bockhorn, Beziehungen zwischen Thetafunctionen mit verschiedenen
Jacobi'schen Modulen. Progr. Solingen 1891.

10) Pascal, Sopra due relazioni rimarchevoli fra i valori delle derivate delle
funzioni ^ ellittiche per argomento zero. Ann. di Mat. (2) Bd. 24. 1896, pag. 23.

Die Formel 'S"/! = » 'ö'oo '^'oi '^lo ■ ~ Überg. zu den ellipt. Funktionen. 335
Setzt man nun:

(369) w^ = y^> |^ = V^>

sodaß wegen (348)

(370) ;c2 + x'-^ = 1

ist, und ferner:

so liefern die Gleichungen (349) zwischen diesen drei Funktionen

die Beziehungen:

(372) g%it) = 1 - Pill), h\tc) = 1 - x^r(:u),

die Gleichungen (357) aber für sie die Additionstheoreme:

(373) ,(« + .) - ^"'>^':>r,(';^(r;;i(tr'*'"' ■

n[u-\-v)- i_^Y'(«)/'*(v)

Differentiiert man diese Gleichungen links und rechts nach v und
setzt hierauf v = 0, so erhält man daraus die Gleichungen:

/•'(^0= f'(0)g{u)h{u),

(374) 9'{u) = -r{0)f(u)h{u),

Nun ist aber nach (371) und (367):

(375) ^'(0) = -|^ = -.-^^„;

setzt man daher endlich:

(376) f{u) = ^

also

(377) g (h) =^yi-g\ h {u) = ]/l - x^ ^%
und

(378) -id-l^-u^tv,

so wird aus der ersten Gleichung (374):

(379) l^^, = Yr^^yT^'^'

336 VII. 12. Der Fall p = 2.

also:

(380)

womit der Übergang zu den elliptischen Integralen hergestellt ist.

§ 12.

Der Fall p = 2.

Im Falle p = 2 gibt es Iß verschiedene Thetafunktionen, deren
Charakteristiken aus halben Zahlen gebildet sind; von denselben sind
die 10 mit den Charakteristiken:

.3gJ^ Lo oj' Lo oj' Lo oj' Lo oj' Li oj'

^ ^ ro in ro Oi ri Oi ro Oi ri n

Li oJ' Lo ij' Lo ij' Li iJ' Li iJ

gerade, die 6 mit den Charakteristiken

(382) [; a. [1 \], [: ;]. G ;], [; »], [: ;]

ungerade. Bezeichnet man die 6 ungeraden Charakteristiken (382)
in irgend welcher Reihenfolge mit [oj^], [032], •■•, [«gl» so stellen die
15 Kombinationen zu zweien:

(383) («,, 03,,) (u, V = 1, 2, • • ■ , 6 ; ^ < ,)

die 15 eigentlichen Per. Char. dar, und da weiter die Summe aller
6 ungeraden Charakteristiken

(384) K] + K] + -.. + K] = [0]

ist, also die Summe von vier unter ihnen nicht Null sein kann, da
es die Summe von zweien nicht ist, so stellen die 20 Kombinationen
zu dreien:

(385) ["z'^/"/,] (x,/.,.« = l,2, ••■,6; z<;.<^)

die 10 geraden Th. Char. und zwar jede zweimal dar, und es ist
dabei stets:

(386) [g9^ a. o J = [a^ co^ oj J ,

wenn v, q, 6 die 3 von x, A, ^ verschiedenen Zahlen aus der Reihe
1, 2, • • •, 6 sind.

Charakteristikentheorie. 337

Durch die Gleichungen:

(387) = t"i "3 "el + ["2 "3 Wß] = ["J + [«2]

= [cOi CO2 0)3] + [cDg] = [03i «2 Ö4] + [04]

= [«1 «2 «5] + [«5] = [«1 «2 «el + [«g]

werden die Zerlegungen der eigentlichen Per. Char. (o^ a^) in zwei
gerade, in zwei ungerade und in eine gerade und eine ungerade Th.
Char. dargestellt.

Von den 1 5 Per. Char. (383) sind zwei (w^ W;) und (a^ cjj
syzygetisch oder azygetisch, je nachdem die Zahlen x, A, ^, v alle
vier voneinander vei'schieden sind oder nicht; es ist («i a.^) und
((O3 wj der Typus eines Paares syzygetischer, [co^ a^) und (w^ (O3)
der Typus eines Paares azygetischer Per. Char. Infolgedessen sind
die 5 Per. Char.

(388) («i036), («gOJe), (033 »e); («»^«e).- (»5 "e)

zu je zweien azygetisch und bilden daher ein F. S. von Per. Char.
Für dasselbe ist [wg] die Summe seiner ungeraden Charakteristiken
und

(389) K], K], [C03], [öj, M

bilden eine Hauptreihe. Läßt man an Stelle von [cjg] der Reihe
nach die 0 ungeraden Th. Char. treten, so erhält man aus (388) die
6 im Falle p = 2 existierenden verschiedenen F. S. von Per. Char.
Sechs Th. Char. von der Form:

(390) [xojj, [jtwg], [jcwg], [xGjJ, [xojä], [xög],

wo [x] eine beliebige Charakteristik bezeichnet, bilden ein F. S. von
Th. Char. Läßt man an Stelle von [x] der Reihe nach alle 16 Charak-
teristiken treten, so erhält man die 16 im Falle jr^ = 2 existierenden
verschiedenen F. S. von Th. Char.; von denselben besteht das für M = [0]
aus (390) hervorgehende aus 6 ungeraden Th. Char., während jedes
der 15 übrigen 2 ungerade und 4 gerade Th. Char. enthält. Irgend
zwei der 16 F. S. von Th. Char. haben stets zwei und nur zwei
Th. Char. gemeinsam.

Sind (a) und (ß) irgend zwei der 15 eigentlichen Per. Char., so
bilden die vier Per. Char. (0), (a), (ß), (aß) eine Gruppe von Per. Char.,
und die vier daraus durch Addition einer beliebigen Charakteristik
entstehenden Th. Char. [x], [xa], [x/3], [xuß] ein System von Th. Char.
Sind die beiden Per. Char. (cc) und (ß) syzygetisch, so sind Gruppe
und System Göpelsche; sind die beiden Per. Char. (a) und (/3) azy-
getisch, so mögen sie Rosenhainsche heißen. Der allgemeine Typus
einer Göpelschen Gruppe ist:

Krazer, Thetafunktionen. 22

338 VIT. 12. Der Fall p = 2.

(391) (0), (co^co^), (CD3MJ, (wgODg);
der eines Göpelschen Systems:

(392) [x], [xa^co^], [jctOs^J; ['''«ö«g]
oder auch:

(393) [xojcjg], [na^a^], [xcOiO^], [xojgwj-

Die Anzahl der verschiedenen Göpelschen Gruppen beträgt 15, die

der Göpelschen Systeme 60; von diesen bestehen 15 aus 4 geraden,

die übrigen 45 aus 2 geraden und 2 ungeraden Th. Char. Der all-
gemeine Typus einer Rosenhainschen Gruppe ist:

(394) (0), («1O2), (»loa), (ögöa);
der eines Rosenhainschen Systems:

(395) [x], [xw^Og], L'^'^i'^sl? L^f'J« c^aJ
oder auch:

(396) [^ß'l]; [^^tOg], [fög], [xCO^COoCOo].

Die Anzahl der verschiedenen Rosenhainschen Gruppen beträgt 20;
die der Rosenhainschen Systeme 80; von diesen bestehen 20 aus
1 geraden und 3 ungeraden, die übrigen 60 aus 3 geraden und 1 un-
geraden Th. Char.

Läßt man nun im XXXIX. Satze an Stelle der Gruppe Ä die
Rosenhainsche Gruppe (0), («^ ca^), (co^ oj^), (co^ CO3) treten, so tritt an
Stelle der adjungierten Gruppe B die gleichfalls Rosenhainsche Gruppe
(0), (cj^cjj), (04 Wß)? (%) "e) ^^^^ ^^® Gleichung (XLII) geht, wenn
man noch

(397) W = [«o], m = [^«j

setzt, wo [oq] die Charakteristik

(398) [cJq] = [Wi »2 Wg] = [«4 «5 Og],

[jc] aber eine beliebige Charakteristik bezeichnet, nach leichten Um-
formungen in die Gleichung:

(399) ' '^^ ^° ' ^^^""^ "^ ' ^""^ ^' ^^^"'^ + I ^«0; »2 1 Pico,] + I «»o; Ö3 1 2^[t«,]

Über, aus der durch Vertauschung von [oj], [cj,], [023] mit [oj, [%];
[tOg] die weitere:

(400) ' '^^ *^" ' ^^^""^ +\^^o, <^A Viw,] + 1 5^ Co, 05 1 ?/[^^] -f I xöo, «6 1 ^f^^]

= ^[xo,.,] + ! G>0, ^1 I ^[xa,,] + 1 ^0, «2 1 ^[x«üd + 1 «0> »3 I ^[xa„]

folgt.

Thetarelationen. 339

In den Gleichungen (399), (400) bezeiclinen die x und y die in
(XXXVIII) definierten Ausdrücke. Setzt man darin, entsprechend dem
vorliegenden speziellen Werte jJ = 2, indem man unter ?t^,, v^, w^
(ju. = 1, 2) G unabhängige Veränderliche versteht:

(401) t;;:^=^v+^+-^V' <^=^' <^=^' <^=-«^,

(," = 1, 2)

SO werden:

(402) <^ = M« + i',, ^*;f = «^ + ^<^,; <' = ^ + ^., <' = 0

und es verschwinden infolgedessen die zu den ungeraden Charakte-
ristiken gehörigen Größen y^^^^, ^^^^p •••, y^^^-^\ die linken Seiten der
beiden Gleichungen (399), (400) werden daher einander gleich, und
man erhält durch Gleichsetzen der rechten ohne Mühe zwischen den
Größen x allein die Beziehung:

6

(403) ^\y..A=^Wi^ ^^Wy.'^.V
wo jetzt die Größen x durch die Gleichungen:

^(^,M + c^, + ö^,) *;;

(404) :r^^^ = (-l)"=^

definiert sind. In der Gleichung (403) bezeichnet | eine beliebige
der Zahlen 1, 2, •••, 6; es geht aber aus ihr, wie schon ihre Ent-
stehung; zeifft, immer dieselbe Gleichung hervor, welche dieser Zahlen
man an Stelle von | setzt, und es wurde die obige Schreibweise nur
deshalb gewählt, weil durch Vereinigung des die linke Seite bildenden
Gliedes 2^-^^^., mit dem auf der rechten Seite vorkommenden Gliede
^[Ktui] diö einheitliche Bezeichnung gestört würde; dagegen gehen aus
(403) 16 verschiedene Gleichungen hervor, wenn man an Stelle von
[x] der Reihe nach die 16 Charakteristiken treten läßt.

Aus den obigen Formeln ergeben sich nun die zwischen den
16 Thetafunktionen bestehenden Relationen und die Additionstheoreme
ihrer Quotienten.

Setzt man in dem Ausdrucke (404):

(405) ^/t = 0> «^^t = ö> (,« = i.2)

so verschwinden infolge letzterer Annahme die zu ungeradem [«] ge-
hörigen Größen x^^^, und es muß daher in der Gleichung (403),
damit nicht linke und rechte Seite gleichzeitig verschwinden, [x]
von [0] verschieden gewählt werden. Setzt man dementsprechend

22*

340 Vn. 12. Der Fall p = 2.

(406) [x] = [oJr, Wg] == [co^ oJo Wg 03 J,

so besitzen die den Werten .^ = 5 und 6 entsprechenden Glieder der
rechts stehenden Summe den Wert Null und man erhält, wenn man
zugleich ((j) = (0) setzt, | auf die Werte 1, 2, 3, 4 beschränkt und
die unter (279), (280) eingeführte Bezeichnungsweise anwendet:

2 • (- l)U^)K)>2[;ecjJ((0)) ^2[5f pcjjl^l

(407) ^

7 = 1

[Z] = [CO, («2 «O, 0)4]

Diese Formel repräsentiert, da an Stelle von [x] jede von [0] ver-
schiedene, au Stelle von (q) jede beliebige Charakteristik gesetzt
werden darf, im ganzen 240 verschiedene Kelationen und zeigt, daß
zwischen irgend 4 Thetaquadraten, deren Charakteristiken einem der
16 F. S. von Th. Char. entnommen sind, eine lineare Relation be-
steht. Mit Hilfe dieser Relationen kann man durch 4 linearunab-
hängige Thetaquadrate jedes b^^ linear ausdrücken (XLVIII. Satz); für
solche vier linearunabhängige Thetaquadrate können insbesondere vier
Thetaquadrate gewählt werden, deren Charakteristiken ein Rosenhain-
sches oder Göpelsches System von Th. Char. bilden ; in beiden Fällen ist
es leicht, aus den obigen 240 Relationen jene 12 abzuleiten, welche
durch die gewählten 4 Thetaquadrate die 12 übrigen ausdrücken^).
Vier linearunabhängige Thetaquadrate sind selbst durch eine
Gleichung vierten Grades miteinander verknüpft. Um diese aus den
obigen Formeln abzuleiten, setze mau in x,^. wie vorher

V,_ = 0, IV,, = 0, (j" = l, 2)

(408) n r 1

und weiter, indem man unter (^) eine beliebige Charakteristik versteht:

(409) (q) = {fi a, cje) , (ö) - (w, co,) ;

es erhalten dann in der auf der rechten Seite von (403) stehenden
Summe die drei den Werten i = 4, 5 und 6 entsprechenden Glieder
den Wert Null und diese Formel geht nach einfachen Umformuncren
in die Gleichung:
3

(410) ^ (— !)(■" ""j "^^ "'») K)'

^Ka6«i]((0KK«6"i]ll0))^[^"J((M))^[^«,CÖ5£D,]((M)) = 0

über. Diese Formel repräsentiert im ganzen 120 verschiedene Rela-

1) Wegen der Ausführung mag auf meine Arbeit: Theorie der zweifach
unendlichen Thetareihen auf Grund der Riemann'schen Thetaformel. Lpz. 1882,
pag. 42 und 53 verwiesen werden.

Thetarelationen. 341

tionen; man erhält dieselben aus ihr, wenn man die beiden Charak-
teristiken [öj, [cog] auf die 15 möglichen Weisen aus den 6 un-
geraden Charakteristiken auswählt und jedesmal dazu an Stelle von
jit solche 8 Charakteristiken treten läßt, von denen keine zwei die
Summe [«4O5] haben. Die 120 Gleichungen (410) sind dadurch
zugleich in 15 Gruppen von je 8 geteilt, derai-t daß die 8 Glei-
chungen einer Gruppe nur Thetaprodukte '9'[f]((w)) "^[^IW) ™i^ ^^^
nämlichen Charakteristikensumme [ra^ Wg] enthalten. Solcher Produkte
sind es aber im ganzen 8, von denen 4 gerade und 4 ungerade Funk-
tionen des Argumentensystemes (u) sind, und die Gleichungen (410)
zeigen, daß sowohl zwischen 3 geraden, wie zwischen 3 ungeraden
unter ihnen stets eine lineare Relation besteht (vgl. Satz XL VI).

Aus jeder der 120 Gleichungen (410) erhält man nun, wenn
man aus ihr durch zweimaliges Quadi'ieren eine Relation vierten
Grades zwischen den Quadraten der G in ihr vorkommenden Theta-
funktionen ableitet und hierauf alle diese Thetaqnadrate durch die
nämlichen 4 linearunabhängigen ausdrückt, eine Gleichung vierten
Grades zwischen diesen. Für vier Rosenhainsche Thetaqnadrate ist
diese Relation vierten Grades zuerst von mir^) aufgestellt worden.
Handelt es sich dagegen um die Gewinnung der zwischen vier Göpel-
schen Thetaquadraten bestehenden Relation, so wird man bemerken,
daß die vier Charakteristiken von zwei der 3 in derselben Gleichunsr

(410) vorkommenden Thetaprodukte stets ein Göpelsches System
von Tb. Char. bilden, und daß man dabei*, wenn man nach einmaligem
Quadrieren die beiden anderen Thetaqnadrate ebenfalls durch diese
4 Göpelschen ausdrückt, zu einer Gleichung zwischen diesen 4 Göpel-
schen Thetafunktionen gelangt, welche vom vierten Grade ist in
Bezug auf die vier Thetafunktionen aber außer ihren Quadraten auch
ilir Produkt enthält; diese Gleichung ist schon von GöpeP) an-
gegeben worden und unter dem Namen der Göpelschen biquadratischen
Relation bekannt. Durch nochmaliges Quadrieren liefert sie die oben
genannte Relation vierten Grades zwischen vier Göpelschen Theta-
quadraten.

Setzt man jetzt endlich in den Gleichungen (XXXVIII), indem
man unter u^^, v^ (^ = 1, 2) 4 unabhängige Variable versteht:

(411) <" = <' = «„ <' = <' = .„ <. = .,«>
so wird:

1) Krazer, Theorie der zweif. unendl. Thetar. etc. Lpz. 1882, pag. 44.
Formel (IV).

2) Göpel, Theoriae transc. etc. J für Math. Bd. 35. 1847, pag. 292.
Formel (33).

342 "^^11- 12- Der Fall i> = 2.

(412) t.;^> = zv + ^, 1^'^ = %-%, «;? = 0, t/^^0

(/< = 1, 2)

und daher:

(413)

-^[^ + 9 + ^]((« + ^)) H^ + (>](0* - 4 ^[« + <?]((0)) ^W((0)}-

Führt man diese Werte in die Gleichung (400) ein, indem man
gleichzeitig

(414) (?) = («o); (<?) = («o«)

setzt, wo («) eine beliebige gerade Charakteristik bezeichnet, so er-
hält man die Gleichung:

3

(415) =2'(-iy'""'"^^^'"'^'

1 = 0

-^ [X ßJo OJ.] ((l*)) -9' [^ (O COi] ((m)) «^ [X GJ.] {{V} &[xC3q(X) 03 .] ((?;)),

in welcher also [x] eine beliebige Charakteristik, [«], [mq] zwei ge-
rade Charakteristiken und [w^], [cog], [oj^] drei ungerade Charak-
teristiken von der Summe [cOq] sind. Indem man zwei solche Glei-
chungen durcheinander dividiert, erhält man Additionstheoreme für
die Thetaquotienten.

Die 1 6 Thetafunktionen des Falles }) = 2 wurden von G ö p e 1 ^) und
Rosenhain ^) eingeführt; deren Bezeichnungsweisen, sowie eine von
Königsberger ^) mitgeteilte, häufig angewandte Weierstraßsche sind
aus nachstehender Tabelle ersichtlich:

1) Göpel, Theoriae transc. etc. J. für Math. Bd. 35. 1847, pag. 279.

2) Rosenhain, Memoire sur les fonctions etc. Mem. pres. Bd. 11. 1851,
pag. 409.

3) Königsberger, Über die Transformations etc. J. für Math. Bd. 64.
1865, pag. 17.

Additionsth. der Thetaquot. — Historisches. — Bezeichnungen. 343

Göpel

p

(u, m')

p'

[u, u)

p"

(m, m')

P'"

[u, u)

-Q

{u, u)

Q'

[u, u)

-Q"{

>, «')

Q"\

[u, u)

-E (

ti, u)

-R'{

u, u')

R"{

u, w')

ir"{

U, tl)

-S (

u, u)

-S' (

u, u)

-S"{

u, u)

S"'{

n, ii)

Rosenhain

Weierstraß

9)03 (v, lü)
9)33 (i',w)

9'2o('S ^<')
i 9)13(1', ir)

9)23 (?-, w)

9'02 (^» «^')

9)32 (i', ^r)

— (Pn(,v,w)

^5 («'■l»*'2
- ^1 («'1 . ^2

-'^02(^'H^2

-^04(^'n«'2

-^24(^15^!

^23^^ i-i

Krazer

-[;o](M)

^1 . . \{[U]

Ko]'

4:;]«»))

4; ;](('.))

4o .](W
»[JJ](W

-KJ]'

dabei berechnen sich die Ai-gumente iij^, u^ und die Modulen a^i, a^gj 0^22*

1. aus den Göpelschen Ai-gumenten u^ u' und den von ihm eingeführten
Größen /•, K, i, r', K\ U mit Hilfe der Gleichungen:

Wj = 2{rEu -\- r'K'u'), u^ = 2(rLu + r'L'u'),
(416) aii = 4(rZ2 + /Z'^), a,^ = 4.(rEL + r'^'i'),

344 VII. 12. Der Fall p = 2.

2. aus den Rosenhainschen Argumenten f, w und den von ihm ein-
geführten Größen j), q, Ä mit Hilfe der Gleichungen:

M. = V, u^ = IC,

3. aus den Weierstraßschen Argumenten t\, rg und den von ihm
eingeführten Größen Tjj^, x-^^, r^^ niit Hilfe der Gleichungen:

(418) . - 2 '

^11 ^ '^11^' 5 '^12 ^^ ^12 ■''''5 ^''2 ^^ '^22^'*

Eine übersichtliche Gruppierung der zwischen den 16 Thetafunk-
tionen bestehenden Relationen wurde zuerst von Borchardt') versucht,
konnte aber erst mit Erfolg duix-hgeführt werden, nachdem Herr Weber ^)
durch Ausbildung einer Charakteristikentheorie die Möglichkeit geschaffen
hatte, die vorhandenen Thetarelationen in allgemeinen Typen zusammen-
zufassen. Formelsammlungen u. a. bei Thomae^), Cayley^), Forsyth^),
und Krause^). Die Ableitung aller Beziehungen zwischen den 16 Theta-
funktionen aus der einen Ginindformel (403) ^\'urde von mir^) angegeben.
Endlich ist der eigentümliche Zusammenbang der Thetarelationen des
Falles j> = 2 mit den zwischen den Koeffizienten einer orthogonalen Sub-
stitution . bestehenden Gleichungen zu erwähnen, auf den zuerst Hen"
Weber*) und später Caspary^) aufmerksam gemacht haben.

Setzt man nämlich hinsichtlich zweier Charakteristiken \i\ und
\ri\ zur Abkürzung:

1) Borchardt, Über die Darstellung der Kummerschen Fläche vierter
Ordnung mit sechzehn Knotenpunkten durch die Göpelsche biquadratische Re-
lation zwischen vier Thetafunctionen mit zwei Variabein. J. für Math. Bd. 83.
1877, pag. 234.

2) Weber, Über die Kummersche Fläche vierter Ordnung mit sechzehn
Knotenpunkten und ihre Beziehung zu den Thetafunctionen von zwei Veränder-
lichen. J. für Math. Bd. 84. 1878, pag. 332 und: Anwendung der Thetafunc-
tionen zweier Veränderlichen auf die Theorie der Bewegung eines festen
Köqiers in einer Flüssigkeit. Math. Ann. Bd. 14. 1879, pag. 173.

3) Thomae, Sammlung von Formeln etc. Halle 1876.

4) Cayley, A memoir on the single and double Theta-functions. Phil.
Trans. Bd. 171. 1880, pag. 897.

5) Forsyth, Memoir on the Theta-functions, particulary those of two
variables. Phil. Trans. Bd. 173. 1882, pag. 783.

6) Krause, Die Transformation etc. Lpz. 1886.

7) Krazer, Theorie der zweif. unendl. Thetar. etc. Lpz. 1882.

8) Weber, Anwendung der Thetaf. etc. Math. Ann. Bd. 14. 1879,
pag. 173; auch: Borchardt, Sur le choix des modules dans les integrales
hyperelliptiques. C. R. Bd. 88. 1879, pag. 834.

9) Caspary, Zur Theorie der Thetafunctionen mit zwei Argumenten.
J. für Math. Bd. 94. 1883, pag. 74-, auch: Sur les systemes orthogonaux formes
par les fonctions theta. C. R.«Bd. 104. 1887, pag. 490.

Thetarelationen und orthogonale Substitutionen. 345

2
7t i

(419) e ^=' -V\e,ri\,

2

und setzt ferner, indem man unter [;t] eine beliebige Charakteristik
versteht und mit A eine der Zahlen 1, 2, 3, mit q eine der Zahlen
4, 5, 6 bezeichnet:

(420) =0.((^*I4.

und weiter, wenn fi eine zweite der Zahlen 1, 2, 3 ist:

1421) ^[«, w^, «^1 ((»)) ^[xo9, 03, «;i H = 0>i,.^((^ I 4,

(_i)MK"'.'",)>[a,^ 05,033] ((4 ^[X 03^032 «3] ((4 = 0i23((w!4;

so bestehen zwischen den 16 Größen:

Cll = ®123((wKi Cl2=-04 ((«14 ^13=05 (("14 Cu=06 ((^ 1 4

(422) ^21 = ®1 ((«14 ^22 = ^234(1« 14 C23 = ®235((m|4 C24=0236((«14

^31 = 02 ((«14 ^32 = ®134((«I4 ^33 = ®135((«14 ^34 = ©isg ((w | ü)),

<^41 = 03 ((«14 C42 = 0ioJ(w|4 C43=0125((«I4 ^44 = ©126 ((« 14

auf Grund der Gleichungen (407), (410) die Relationen:

ch + cl + cl + c|, = c,

V^'^^^ 0-,; = l,2,3,4; J<^-)

^li^Ü ~1" ^2i^2i + ^3t^3j + ^4t^4i ^ ^>
^n ^jl + ^t2 ^^2 + ^t3 <^i8 + ^t4 ^j4 "= ^>

WO c in allen acht Fällen den nämlichen Wert besitzt, und es bilden
infolgedessen die neun Quotienten:

(424)

0.S4COI4

0235 ((0 14

&^,s(0\v))'

©123 ((014'

01S4((O|^))

©135 (0|«))

®i,siO\v}'

0i.s([O|4'

0124^(01^)

01.5 CO 14

0»6CO|4
0i3e((o|4

0mCOl4'

0126 ((0 14

0123 ((o!4' 0i2sCo|4' 0123 CO i 4
die Koeffizienten einer orthogonalen Substitution.

346 VII. 13. Das Addition stheorem der allgemeinen Thetafunktionen für p'^S

Faßt man endlich vier linearunabhängige Thetaquadrate als homo-
gene Punktkoordinaten des Raumes auf und betrachtet sodann ihre
beiden Argumente n^, lu als bewegliche Parameter, so wird dadurch
eine Fläche definiert, deren Gleichung die oben erwähnte zwischen
den vier Thetaquadraten bestehende Gleichung vierten Grades ist.
Diese Fläche ist mit jener Fläche vierter Ordnung identisch, welche
Kummer^) als Brennfläche einer Strahlenkongruenz zweiter Ordnung
und zweiter Klasse eingeführt hat und welche deshalb unter dem
Namen der Kummerschen Fläche bekannt ist^).

§ 13.

Das Additioustheorem der allgemeinen Thetafunktionen

für p>3.

Nachdem die Fälle p = 1 und p = 2 in den beiden vorher-
gehenden Paragraphen gesondert behandelt worden sind, soll für das
folgende p ^ 3 vorausgesetzt werden.

Unter dieser Voraussetzung bezeichne man die 2p + 2 Th. Char.
eines F. S. mit

(425) KIM, ■••,[«7], M, [M---, [/5,-3], [7i], M, •••, [7,-3]
und bilde aus den Charakteristiken [/3] und {y\ die Per. Char.

(426) (A,) = (^i7i), {h)-{ß,r,), '■; {h-.)-{ß,-,7,-z)-

1) Kummer, Über die Flächen vierten Grades mit sechzehn singulären
Punkten. Berl. Ber. 1864, pag. 246; Über die Strahlensysteme, deren Brennflächen
Flächen vierten Grades mit sechzehn singulären Punkten sind. Berl. Ber. 1864,
pag. 495 und: Über die algebraischen Strahlensysteme, insbesondere die der ersten
und zweiten Ordnung. Berl. Abh. 1866, pag. 1.

2) Nachdem schon früher Herr Klein (Über gewisse in der Liniengeo-
metrie auftretende Differentialgleichungen. Math. Ann. Bd. 5. 1872, pag. 278)
auf die Möglichkeit einer Verknüpfung der Kummerschen Fläche mit den
hyperelliptischen Integralen erster Ordnung hingewiesen hatte, haben gleich-
zeitig Cayley (On the double 0-functions in connexion with a 16 -nodal
quartic surface. J. für Math. Bd. 83. 1877, pag. 210) und Borchardt (Über
die Darstellung der Kummer sehen Fläche etc. J. für Math. Bd. 83. 1877,
pag. 234) und etwas später Herr Weber (Über die Kummersche Fläche etc.
J. für Math. Bd. 84. 1878, pag. 332) die Darstellung der Kummerschen Fläche
durch die Thetafunktionen zweier Veränderlichen angegeben. Eine eingehende
Behandlung auf dieser Grundlage hat die Kummersche Fläche sodann durch
Herrn Reichardt (Über die Darstellung der Kummerschen Fläche durch
hyperelliptische Functionen. Nova Acta Leop. Bd. 50. 1887, pag. 373) gefunden
Wegen weiterer Literaturangaben sei auf Brill und Nöther (Die Entwickig.
der Theorie etc. Jahi-esber. d. D. Math.-Ver. Bd. 3. 1894, pag. 473) unter
(34) verwiesen, wozu noch Schleiermacher (Über Thetafunctionen mit zwei
Variabein und die zugehörige Kummer'sche Fläche. Math. Ann. Bd. 50. 1898,
pag. 183) kommt.

Ableitung desselben aus der Riemannschen Thetaformel. 347

Diese jj — 3 Per. Char. sind dann auf Grund des XXVI. Satzes linear-
unabhängig und können daher einer Gruppe L von 2^^"^ Per. Char.
Qq)> (h)j ■••; Qr-i)' r = 2P-^, als Basischarakteristiken dienen. Man
gehe jetzt auf die Gleichung (XLI) zurück, setze darin m=^9 — 3
und lasse an Stelle der Gruppe Ä die soeben definierte Gruppe L
treten. Da, wie sich mit Hilfe des XXV. Satzes leicht zeigen läßt,
diese Gruppe eine syzygetische ist und weiter auch für irgend zwei
der acht Charakteristiken [«] die Gleichungen:

(427) «,^ß,„Aj = + l, |«„«,, A2| = + l, ••-, |«^,«„ A^_3|-+l

bestehen, so ist die zu Ä adjungierte Gruppe B jene Gruppe L' von
2^ + 3 Per. Char. (/;), (//), • • • , {i;_ ^),s = 2p + % welche die p + 3 Per. Char.

K- 2] = [«1 «2]; [^v'- iJ = [«1 «3]. • • •; [^p + 3\ = [«1 «7]

als Basischarakteristiken hat. Setzt man dann zugleich, indem man
unter [gj] eine willkürliche Charakteristik, unter [Je] die Charakteristik:

(429) Uc] = [nß,ß,---ß,.s]

versteht, bei der [n] die Summe der ungeraden Charakteristiken des
F. S. (425) bezeichnet:

(430) w = [««j, m-m,

so erhält man aus der Gleichung (XLI), wenn man noch den rechts
auftretenden Faktor 1 1; a a^ \ auf die linke Seite schafft, hierauf linke
und rechte Seite der Gleichung miteinander vertauscht, und endlich,
was nach dem pag. 310 Bemerkten erlaubt ist, x statt y und y
statt X schreibt, die Gleichung:

■^— 1 r—l

(431) 2 I «S' ^o ' y[ki'„} = 8^1 h «S K I ^[co«„y •

In dieser Gleichung lasse man jetzt an Stelle von ^ der Reihe
nach die Werte 0, 1, ••■, 7 treten und addiere die acht so entstehen-
den Gleichungen zueinander; man erhält dann, wenn man noch

(432) i aa„, V I = 1 "«0; CM «0 S' ^ I
setzt und die Summation passend anordnet, zunächst:

2 i " «0; V 1 ( 2 I «0 ««; C I ) Vnr^-^

(433) "=0 V"^'^ ^

: r—X

Um den Wert der auf der linken Seite vorkommenden Summe:

348 Vn. 13. Das Additionstheorem der allgemeinen Thetafunktionen für p'^S.

7

(434) « = 2l«üV h'\

,u=0

ZU bestimmen, berücksichtige man, daß man jede der s Per. Char.
(r) und zwar jede nur einmal erhält, wenn man in den vier Formen:

(435) (y, (?^«,,«,,J, (h>^v,^v,^n<^y)' (^(.«n«,.,«.,«,,«v,^J

die Zahl q der Reihe nach die Werte 0, 1, •••, r— 1 annehmen läßt
und in den so entstandenen Formen dann noch an Stelle von v^v^,
v^v^v^v^, ViV^v^v^v^Vg alle Kombinationen ohne Wiederholung der
Elemente 0, 1, •••, 7 zur zweiten, vierten, sechsten Klasse setzt.

Ist aber (IJ) = (l), so erhält man, da [ ccqCc^^, Z,/ = + 1 für jeden
Wert von (i ist:

(436) a = S-

ist ferner (l^') = {l^a,. a,, ), so erhält man, da (cc^a^^, cc,. «,. ) sechsmal
den Wert + 1, zweimal den Wert — 1 annimmt, wenn ju. die Werte
0, 1, • • •, 7 durchläuft:

(437) a = 4;

ist weiter (?^') = (/„«,. «,. c,, «,. ), so erhält man, da (a^cc^, a, «,, a, a^, )
viermal den Wert + 1, viermal den Wert — 1 annimmt, wenn fi die
Werte 0, 1, • • •, 7 durchläuft:

(438) a = 0;

ist endlich (l^') = (L oc,.^cc^,^a,^cc^,^cc^.^c(^,), so erhält man, da
(a^a , a a a a a,. a ) zweimal den Wert + 1, sechsmal den Wert

\ U f-l/ y\ i'2 »3 ^4 *5 »6' ------

— 1 annimmt, wenn ft die Werte 0, 1, •••, 7 durchläuft:

(439) ß = -4.

Zerlegt man daher entsprechend den vier in Bezug auf die Per. Char.
(r) unterschiedenen Fällen (435) die linke Seite von (433) in vier
Teile und führt in jedem dieser Teile an Stelle der eingeklammerten
Summe den dafür unter (436) bis (439) gefundenen Wert ein, so
erhält man die Gleichung:

r — 1

r — 1

r — 1

-4 2^ 2" I "^0, ^e'^./-- «,, I 2/[i-.„... .. a,.j

7 r — 1

(440)

Endformel. 349

wobei die iu der zweiten und dritten Zeile vorkommenden Summa-
tionen ^, ^ in der Weise auszuführen sind, daß an Stelle Yon

1 1 ''2 'l • • ''6

Vi i/gj ^1 ''2 ^3 ^4 ^5 ^6 ^^^ Kombinationen ohne Wiederholung der Ele-
mente 1, 2, •••;, 7 zur zweiten bez. sechsten Klasse treten.

Die Gleichung (440) ist ebenso wie die Gleichung (XLI), aus der
sie abgeleitet wurde, richtig, sobald man unter den x, y die Aus-
drücke (XXXVin) versteht, in denen die v unabhängige Veränderliche
bezeichnen, von denen die u gemäß den Gleichungen (XXXVII) ab-
hängen. Setzt man jetzt voraus, daß u\f = 0 ist für ft = 1, 2, • • -,11, so ver-
schwinden alle Größen y^ ,, für welche die Th. Char. [?;] ungerade ist,
und man erhält, da nach dem XXIX. Satze alle Charakteristiken von
der Form [Z:ZJ gerade, alle Charakteristiken von den Formen [^^^«..^«.J
und {kloCCy «,. •••«,] ungerade sind, aus (440), wenn man noch linke
und rechte Seite durch 8 teilt, die gewünschte Endgleichung:

r — 1 7 r— 1

(441) 2 I « «0 ; h^ ' 2/[* u = ^^\ ^'> " S ^e 1 ^'[co «^ u '

XLIII. Satz: Es seien

(IL) [aj, [aj, • . •, [«,], [/3J, • • •, [ßp.^], [yj; ' • •, [Tp-s]

die 2]) -f 2 Th. Char. eines F. S., [n] die Summe dei' ungeraden unter
ihnen und

(L) W = Wi---/3,_3];

es seien ferner (Iq), {Ij), •••, (/^_i) die >- = 2^~^ Per. Char. jener Gruppe,
welche sich auf den p — 3 BasischaraMeristiJien {ß^yi), •••, ißp-zYp-s)
aufhaut; es sei endlich [«] eine beliebige Th. Char. Bezeichnet man
dann mit x^^^, y.^ die Ausdrüclie:

V
%, = (- 1)" = '

^[£ + () + (?]((« + 1; + «;)) ^[£ + (>]((»)) ^[^ + ^W)) ^ WC- H
(LI)

-^h + 9 + ö]((m -I- v)) d'lri + Q\{n + tv)) ^\ri + 6^{v + w} ^[nWl
so sind diese Größen miteinander verTinüpft durch die Gleichungen:

r— 1 7 /■— 1

0 = 0 ^ .u = 0 o = U ' "

350 VII. 13. Das Additionstheorem der allgemeinen Thetafiinktioneu für p^ 3.

Der Fall |7 = 3 verdient als Grenzfall besondere Beachtung. In
diesem Falle bestellt das Fundamentalsystem (IL) nur aus den acht
Charakteristiken [ci^J, [«J, •••, [a^], die Charakteristiken [/3] und [y]
fallen weg, die Charakteristik \k\ wn-d zur Summe [w] der ungeraden
unter den acht Charakteristiken [a\ und die Gruppe der Per. Char.
(l) reduziert sich auf die Charakteristik (0). Die Formel (LH)
nimmt infolgedessen die einfache Form au:

7

(442) ?/[„ j = ^ I n, CO «^, I x^^ ^^-^ .

Sollen mit Hilfe der Formel (LH) Additionstheoreme der Theta-
quotienten hergestellt werden, so setze man in (LI) («<^) = (— ■2^);
wodurch:

p

2 (?,H + '^,«) ^'.

X,

[*]

(-1)"=^

(443)

^b + Q + <?](W ^[^ + (>] W n.^ + ^IH^M«

p

^[^ + ? + ö]((w + 4 ^[v + ?]((^* - 4 Hv + <?]((o)) ^ w((o))

wn-d. Vermehrt man sodann die Per. Char. (q) der Reihe nach um
die r = 2P~^ Per. Char. (Iq), (1^), •••, (Ir-i), so entstehen aus (LH)
r Gleichungen, deren linke Seite lineare Funktionen der nämlichen
r Thetaprodukte d- [k /„ + q + ö] (( h + v)) d- [k 1^^ + q] ([u - v)) (ji = 0, 1, • • -, r - 1 )
sind, und welche nach jedem einzelnen dieser Produkte aufgelöst
werden können. Durch Division zweier solcher Gleichungen, von
denen die eine die Funktion '9•[£]((^( + w)), die andere die Funktion
'^M((^* + ^)) enthält, während daneben in beiden Gleichungen die
nämliche Funktion ^[_t'\iu — v]j auftritt, erhält man ein Additions-

theorem für den Thetaquotienten

^WW

Nachdem die auf den Fall p = 3 bezügliche Formel (442) schon
vorher von Herrn Weber ^) mitgeteilt worden war, wurde die allgemeine
Formel (LH) ziemlich gleichzeitig von den Herren Stahl ^), Nöther ^)

1) "Weber, Theorie der Aberschen Functionen vom Geschleclit 3. Berlin
1876, pag. 35.

2) Stahl, Das Additionstheorem etc. J. für Math. Bd. 88. 1880, pag. 117.

3) Nöther, Zur Theorie der Thetafunctionen von beliebig vielen Argu-
menten. Math. Ann. Bd. 16. 1880, pag. 270; dazu auch: Über die allgemeinen
Thetafunctionen. Erlangen Ber. Heft 12. 1880, pag. 1.

Weitere Folgerungen aus der Riemannsclien Tlietaibrmel. 351

und Frobenius^) angegeben; die obige Ableitung ist von Herrn Prym")
veröffentlicht worden.

§ 14.

Weitere Folgferuugen aus der Riemauuschen Thetaformel.

Sind infolge der Annahme (»W) = (0) von den in (XXXVIII) de-
finierten Größen yr^ jene w = 2^~^(2^— 1) Null, für welche die
Charakteristik [i]] ungerade ist, so ergeben sich aus (XXXIX)
zwischen den 2^^ Größen

p

^ (Qu + Cfi) *A

(444) :r^,==(-l)"=^

n Gleichungen, welche, wenn man die ungeraden Charakteristiken in
irgend welcher Reihenfolge mit [u^], •••, [mJ bezeichnet, die Form:

(445) ^|w„ e\x^^^ = 0 (*=i, 2, ••-,/.)

haben.

Die Gleichung (445) bleibt richtig, wenn man auf ihrer linken
Seite in dem hinter dem Summenzeichen stehenden Ausdrucke die
Charakteristik [s] allenthalben um eine beliebige Charakteristik [w]
vermehrt, da hierdurch nur eine Umstellung der Glieder der Summe
verursacht wird. Entfernt man aber dann den allen Gliedern gemein-
samen Faktor \ii^, a\ durch Division, so erhält man die Gleichung:

(446) 2i«.;^|^[a,.] = 0, (r = l,2,...,n)

in der also für cj eine beliebige Charakteristik gesetzt werden darf.
Bezeichnet man nun weiter die m = 2^~^(2^+l) geraden
Charakteristiken in irgend welcher Reihenfolge mit [^J, • • •, [^,J und
trennt die linke Seite von (446) in zwei Teile:

m n

SO ist nach (446):

(448) ^i.,. + C^t«^] = 0. (.=i,v,n)

1) Frobenius, Über das Additionstheorem etc J. für Math. Bd. 89. 1880,
pag. 185.

2) Prym, Untersuchungen über die Riemann'sche Thetaf. etc. Lpz. 1882,
pag. 96.

352 VII. 14. Weitere Folgerungen aus der Rieniannschen Thetaformel.

Multipliziert man jetzt linke und rechte Seite der 6^^^ Gleichung

(448) mit j Ug, u^ j und summiert nach 6 von 1 bis n, so erhält man
zunächst : *

n n

(449) 2 1 u,, u, I G,^^^ -^2\u,,u,\ l\^^, = 0

a=l ü = l

und es ist dahei wegen (447):

n in / n \

(450) ''=1 ''=1 ^''=1 ^

" " / " \

]

Da nun weiter:

! «a; Wr5'^ I = I «.t I * I i'r9^ I " 1 U„U,g^ \ = | «,, ^f^ | • 1 U„U^9^ \,
\Ua,U^U^.\=\uJ-\u^U^\-\u„U^U^\ = -\u^,U,\-\u„U^U^\

und ferner nach dem VII. Satz:

n

(452) °=i

« |22^---2^-i(2^-i-l) = 2^-i, wenn i/^t,

^^ I "ö w, M, I = I _ 2/>- 1 (2P - 1), wenn v = r,

n

0 = 1

n

a=l

es nehmen daher die beiden Gleichungen (450) die Form:

n

a = l

m

(454) = 2^-1 2"!^'- ^."1 ^t..j = 2^-^G^KP

o = l
n

a = l

SO ist:

(453)

,M^, w,, I 2p~^, wenn v'>t,
IL u,.\ = '

I u /

a=ri

r-vi 1 2^-i(2i'-l)^ wenn v = t;

Ableitung einer Formel zwischen 6-2^ ' Thetaprodukten. 353

an, und man erhält, wenn man diese Ausdrücke in (449) einfülirt
und linke und rechte Seite der entstehenden Gleichung durch 2^~^
teilt:

(455) G^[.,]-^K] = -2'^['"«.r

Durch Verbindung dieser Gleichung mit der Gleichung (448) aber
gelangt mau endlich, wenn man gleichzeitig G^^ ^ und U^^ j durch
ihre Ausdrücke aus (447) ersetzt, zu den Gleichungen:

m

(456) 2^-'^[a,.,] = -^h*.. ^,J ^[c-M (r=i.2.--.«)
und:

n

(457) 2^-'^[..,] =^lWr, ^K\^i.u,y (*=i.V-,«)

Die Gleichungen (456) sind die Auflösungen des ursprünglichen
Gleichungensystems (446) nach den Größen x^^^^ ^ als Unbekannten.
Sie zeigen, daß durch diese Gleichungen keinerlei Beziehungen
zwischen den m Größen x^^^ ^ ((^ = 1, 2, •••, m) geschaffen werden,
diese Größen vielmehr in ihnen die Rolle unabhängiger Veränderlichen
übernehmen können. Anders verhält es sich mit den Größen x^^^^ y
Zwischen ihnen bestehen die Gleichungen (457), die natürlich nicht
unabhängig voneinander sind, sondern auf weniger voneinander un-
abhängige Gleichungen reduziert werden können. Aus diesen Glei-
chungen soll jetzt eine Formel abgeleitet werden, welche als die
Fundamentalformel für die Theorie der Thetarelationen anzusehen ist,
insofern als sie die sämtlichen derartigen Gleichungen als spezielle
Fälle umfaßt.

Dabei wird ^; > 1 vorausgesetzt. Der Fall p = 1 erledigt sich
mit der Bemerkung, daß hier die Anzahl n der Gleichungen (446),
(456) und (457) je 1 beträgt, die Gleichung (456) mit der Gleichung
(446) zusammenfällt und, wenn man sich der im § 11 eingeführten
Bezeichnung bedient, die Relation (340) liefert, die Gleichung (457)
aber sich auf die identische Gleichung x^^^^-^ = x^^^^^^ reduziert. Ist
aber j? > 1, so bezeichne man die 2}) + 2 Th. Char. eines F. S. mit

(458) [aj, [«J, • • •, [«5], [ß,], ■ • -, [ßp_,], IYi], ■ ■ ■, bp-2]
und bilde aus den Charakteristiken [/3j und [y] die Per. Char.

(459) (A,) = (Ayi), (^2) = (/^ars), • • •; iK-^) = %-^Yp-,)-

Diese p — 2 Per. Char. sind dann auf Grund des XXVI. Satzes linear-
unabhängig und können daher einer Gruppe L von 2^~^ Per. Char.

Krazer, Thetafunktionen. 23

354 VII. 14. Weitere Folgerungen aus der Riemannschen Thetaformel.

Qo)' ih)j '"} Gr-i); »' = 2^'""; als Basischarakteristiken dienen. Be-
zeiclinet man dann weiter mit \n\ die Summe der ungeraden unter
den 2^) + 2 Th. Char. (458) und mit [/.] die Th. Char.

(460) m = Vnß,ß,...ß^^_,\

so sind nacli dem XXIX. Satz die Th. Char. von den Formen
[Äa,, ZJ und [kcc^^cc,.^- ■ ■ Uyja\ ungerade, die Th. Char. von der Form
\k u^ u^ «,, lÄ gerade. Nach diesen Vorbereitungen gehe man auf die
Gleichungen (457) zurück, setze darin an Stelle der ungeraden
Th. Char. [^^J die Charakteristik {Ica^l^, multipliziere linke und
rechte Seite der entstehenden Gleichung mit |A«o> ^ö 1 ^^^ summiere
nach 6 von 0 bis r — 1. Man erhält dann:

r— 1

(461) "=0

n / r— 1 \

1 = 1 \(; = 0 /

Die hier auf der rechten Seite auftretende Summe

r — 1 p — 2

(462) ^\lca, u,., lA=-Yl{l + \ha, u,, A„ |)

besitzt nur dann einen von Null verschiedenen Wert und zwar den
Wert 2^~-, wenn die Charakteristik (/i«o?(,,) den /) — 2 Gleichungen

(463) 1^,AJ = +1, \x,X,\ = +\, ■■; \x,l^_,\==-\-l

genügt. Diese p — 2 Gleichungen haben aber als Lösungen die 2^ + ^
Charakteristiken der zur Gruppe L adjungierten Gruppe L', welche
erhalten werden, wenn man in den drei Formen

(464) (y, (a„«,,y, («„•••«,y

die Zahl q der Reihe nach die Werte 0, 1, • • •, r — 1 annehmen läßt
und jedesmal an Stelle von v-^^v^, v^v^v^v^ alle Kombinationen ohne
Wiederholung zur zweiten bez. vierten Klasse der Elemente 1, 2, ■••, 5
setzt. Beachtet man aber, daß die Charakteristik (/.• otq ?/,.) niemals
mit einer Charakteristik (tt„a,. L) übereinstimmen kann, da in diesem
Falle [2f,,] von der Form [/i'«o^ii"vjU ^^^^ gerade wäre, imd daß
weiter eine Charakteristik [u,^ = [k u^ a^,^ ■ • ■ a,,^ ? ] immer auch in die
Form [kcc^ ZJ gebracht werden kann, wenn man unter v-^ die von
den Zahlen v^, v^, v^, v^ verschiedene Zahl aus der Reihe 1,2, •••,5,
unter (l^ die ebenfalls zur Gruppe L gehörige Charakteristik
(Ai ^2 •• • A^_2L) versteht, so erkennt man, daß jene ungeraden
Charakteristiken [?(,,], für welche die Summe (462) nicht verschwindet,

Eudformel. — Spezialisierungen. 355

sämtlich und jede nur einmal erhalten werden, wenn man in [^cc l^]
fi die Reihe der Zahlen 0, 1, •••, 5 und q die Reihe der Zahlen
0, 1, •••, r— 1 durchlaufen läßt. Denkt man sich aber auf der
rechten Seite von (461) von den n den Werten v = 1, 2, ■ ■ ■, n ent-
sprechenden Gliedern alle unterdrückt, bei welchen die eingeklammerte
Summe den Wert Null besitzt, und setzt bei jedem der 6 • 2^~^ übrig
bleibenden an Stelle der in ihm vorkommenden Charakteristik [wj
die ihr gleiche in der Form [ka^J^] enthaltene, an Stelle der ein-
geklammerten Summe den ihr bei jedem dieser Glieder zukommenden
Wert 2^~^, so erhält man schließlich, wenn man noch linke und
rechte Seite der neu entstandenen Gleichung durch 2^~^ dividiert
und auf der linken Seite nach Einschiebung des Faktors [ka^, ä;«,,]
== -f 1 den Buchstaben 6 durch den Buchstaben q ersetzt, die ge-
wünschte Formel in der Gestalt:

r — 1 5 r — 1

(465) 2 ^\ku^,kaj^\ ^[,,t.«„,j =2 2^ ^'""^^ ''' '^." ^'^ ? ^t'"*««'.] •

0 = 0 ^ /(=0 (j = 0 ' ^

XLIV. Satz: Es seien
(LIII) Kl, Kl, . . ., [«,], [/3J, . . ., [/3^_3], [yj, . . ., [y^_,-\

die 2 2) + 2 Th. Cliar. eines F. S., [n] die Summe der ungeraden unter
ihnen und

(LIV) [k] = [nß,--.ß^_.^-

es seien ferner (l^, (ZJ, • ■ •, (?^_]) die r = 2P-- Per. Char. jener Gruppe,
welche sich auf den p — 2 Basischarakteristiken (ßiyi), ■■•, {ßp-^Yp-i)
aufhaut; es sei endlich [co\ eine heliehige Th. Char. Bezeichnet man
dann mit oc^^^ den Ausdruck:

p

(LV) :r^^^ = (-l)''=^

^ [£ + () + ö] ((« + V + tu} &[£ + q] ((m)) ^ [£ -f (?] {{v} ^ [a] ((- wl
so sind diese Größen miteinander verknüpft durch die Gleichungen:

r—l 5 r—1

(LVI) 2^\k «0, k «0 1 ! ^'[^.„„i^j =^ ^\kcc^,k a^ l^ \ x^^, , ^ .

Im Grenzfalle p = 2 geht die Formel (LVI) in die Formel (403)
über.

Durch Spezialisierung der Argumente der Thetafunktionen in
dem Ausdrucke (LV) können aus (L\^) speziellere Formeln ab-
geleitet werden. Von diesen Spezialisierungen seien die folgenden
erwähnt :

23*

356 Vn. 14. Weitere Folgerungen aus der Riemannschen Thetafonnel.

1. Setzt man (w) = (0), so wird:

p

(466) ^^, = (-1)" = '

2. Setzt man dagegen {w) = (—v), so wird:

p

(467) ^^,3 = (-l)''=^

^[£ + 9 + ö] W #[£ + 9]((^0) ^[^ + ö] W ^[£] W-

3. Setzt man hierin (v) = {u), so wird:

(468) ^,, = (-1)"=^

2" (?/" + ''/"^ */^

_ /_ 1V'

"^[^ + (> + ^] W ^[^ + c]((«)) ^[« + <?] W -^WIW)-

4. Setzt man dagegen in (467) {v) = (0), so wird:

(469) ;r.,=(-l)"=^

2 ^Qfi + <^/.) *A

..) - (- 1)'

»b + » + «]((«! »b + e]((«)) *[£ + «]{(0)) » WfO)).

5. Setzt man hierin endlich (««) = (0), so wird:

(470) ^■^, = (-1)''=^

^[s + Q + am) &[s + qWI H^ + ^]((0)) ^W((0)).

Für alle diese Größen x^^-^ gilt die Gleichung (LVI) und liefert die
mannigfachsten Beziehungen zwischen den allgemeinen Thetafunktionen
beliebig vieler Variablen.

Der Inhalt des gegenwärtigen Paragraphen inilirt von Prym^) her; im
speziellen Falle 2? = 2 war die Formel (LVI) schon früher von mir") angegeben
und gezeigt worden, daß die sämtUchen Beziehungen zwischen den 16 Theta-
funktionen zweier Veränderlichen aus ihr abgeleitet werden können. Über
die Aufstellung von Thetarelationen im Falle eines beliebigen^:) vergl. Nöther^).

1) Prym, Untersuchungen über die Riemann'sche Thetaf. etc. Leipzig
1882, pag. 99 u. f.

2) Krazer, Theorie der zweif. unendl. Thetar. etc. Leipzig 1882.

3) Nöther, Zur Theorie der Thetafunct. etc. Math. Ann. Bd. 16. 1880,
pag. 270.

Thetaf. höherer Ordnung mit lialben Charakteristiken. 357

§ 15.

Thetafuuktioneu
höherer Ordnung mit halben Charakteristiken.

Eine Thetafunktion n**"" Ordnung mit der Charakteristik k ist

nach pag. 39 dadurch charakterisiert, daß sie für beliebige ganze
Zahlen x, A der Gleichung:

-»ß]((« +(!)))

(471) p p p p

genügt. Ersetzt man in dieser Gleichung für ^ == 1, 2 , • •, p die
Größen u , x , k^^ durch — u , — J«^, ~ ^^> so folgt aus ihr die
weitere:

P P P P

-0.g]((-«))e "-"•■-'

Soll also die Thetafunktion w*" Ordnung 0„ u '((«*)) eine gerade oder

ungerade Funktion ihrer Argumente u sein, sodaß für beliebige
Werte der u

(473) 0„ß]((-^*)) = (>0.ß]((4,

also auch

ist, wo () = + 1 ist, so erhält man, indem man die beiden Glei-
chungen (471) und (472) durcheinander dividiert

p

(475) 6''=' =1.

Aus dieser Gleichung folgt aber, da sie füi* beliebige ganze Zahlen
X, A gilt, indem man unter v eine der Zahlen 1, 2, ■■•,p versteht
und das eine Mal A,, = 1, die übrigen i)—l Zahlen A und die p Zahlen
X gleich Null setzt, das andere Mal x^, = 1, die übrigen ^j — 1 Zahlen
X und die p Zahlen A gleich Null setzt, daß die Größen 4^,, bez. 4h^
gerade Zahlen, die Größen g^, //,, also halbe Zahlen sein müssen.

358 VII. 15. Thetafunktionen höherer Ordnung mit halben Charakteristiken.

XLV. Satz: Soll eine ThetafunJction n^^ Ordnung 0„K |((m)) eine
gerade oder ungerade Funktion ihrer Argumente u sein, so muß die
Charakteristih , aus halben Zahlen als Elementen bestehen.

Man nehme jetzt an, daß

(476) g^, = ^ £u , hf, = i- £;, • (/, = 1, 2, • . . , ;,)
sei, wo die e, e ganze Zahlen sind, und bezeichne die Funktion
0„r^l((w)) mit 0„[£]2W N^c^ <^6m XV. Satz pag. 40 läßt sich dann
die Funktion 0„[f]2((w)) darstellen in der Form:

£4-2(7 -|

U, 1, • • , 7* A

(477) @JaUu))=^ ^a. „ ^

0, 1, ■ -.n — 1

Ol, ■ ,<

"1

2n

i^^))na,

WO die C von den Argumenten u unabhängig sind. Indem man in
dieser Gleichung ti^ durch — u^^ ersetzt und die Gleichungen (XLII)
und (XLI) pag. 35 anwendet, erhält man:

(478)

0.W2((-4

0, 1, ■ ,7i — 1

d-

f 4-2t-|
2 h

[nu]

und hat daher auf Grund der Gleichung (473) die Beziehung:

(479)

0,1, ■ ,w— 1

d-

ps + 2g-\
2n
s'

0, 1, • ■, w — 1

#

2«

1 <.

((wM))„^e ""'

Auf der linken und rechten Seite der Gleichung (479) treten bei
Ausführung der Summation die nämlichen nP Thetafunktionen auf
Tind es zieht diese Gleichung infolge der Linearunabhängigkeit dieser
Funktionen n^ Beziehungen zwischen den Konstanten C nach sich.
Sind nämlich die p Zahlen t^, •••, r mit den j> Zahlen 6^,
verknüpft durch die Kongruenzen:

(480) ,^ + 2^^^-(.^ + 2r^) (mod. 2w)

oder

(481)

^^P

(,« = 1,2, ■••./.)

ö;. + T« + «^ ^ 0 (mod. n),

(/u = l,2,- ,i>)

Anzahl dei- lineaiunabh. geraden und unger. Funktionen. 359

SO muß

1 ^

(482) e ^-' a...,=9C„

sein.

Die Formel (482) repräsentiert iP' Gleich imgen, welche aus ihr
hervorgehen, indem man jede der Zahlen 6 die Reihe der Werte
0, 1, •••, n— 1 durchlaufen läßt und jedesmal die zugehörige Zahl
t aus der Kongruenz (481) bestimmt. Diese n'' so entstehenden
Gleichungen zerfallen in zwei verschiedene Klassen.

Sind die beiden Zahlensysteme 6^, ■■•, 6^^ und t^, ■••, t^ von-
einander verschieden, so liefert die Formel (482) eine Gleichung
zwischen den beiden zugehörigen Größen C, auf Grund deren
sich jede dieser beiden Größen durch die andere ausdrücken läßt.
Sind dagegen die beiden Zahlensysteme 6^, ■■■, 6^ und t^, •••, t^
einander gleich, so tritt in der Gleichung (482) links und rechts die
nämliche Größe C auf und es folgt für dieselbe, wenn nicht

(483) e "=' =p

ist, der Wert Null, während im Falle des Bestehens dieser Beziehung
die Gleichung (482) identisch erfüllt ist, also keine Bedingung für
die betreifende Größe C nach sich zieht.

Ist n gerade und sind alle p Zahlen «^ = ••• = £= 0, so sind
nach (481) jene 2^ Zahlensysteme 6^, •••, 6^, für welche

(484) (7„ ^ ^nyc^^ (/< = i, 2, • • • , ;,)

ist, wo X 0 oder 1 ist, den zugehörigen Zahlensystemen Tj, •••, x
gleich; die ihnen entsprechenden 2^ Gleichungen (482) gehören also
zur zweiten Klasse und von den 2^ zugehörigen Größen 6\

i-ny.i ■ ■ ■ ^-ny.

sind alle gleich Null, für welche nicht '^ '^

p

(485) (- 1)"=^ = Q

ist. Ist nun f^' =••• = £' = 0, so ist diese Gleichung im Falle
p = -f 1 für jedes, im Falle ^ = — 1 für kein Zahlensystem
jfj,---, X erfüllt-, im ersten Falle bleiben also die genannten 2^
Größen C willkürlich, im zweiten Falle ergibt sich für jede der-
selben der Wert Null. Sind dagegen nicht alle p Zahlen f^' = • • •
= 6^' = 0, so ist die Gleichung (485) nach dem pag. 252 Bemerkten
sowohl für p = + 1 als auch für p = — 1 für 2^~^ Zahlensysteme
^i;''j^;3 erfüllt, für die 2^~^ anderen nicht; es bleiben also in

360 VII. 15. Thetafunktionen höherer Ordnung mit halben Charakteristiken.

jedem Falle 2^~^ der vorher genannten Größen C willkürlich,
während sich die übrigen 2^"^ auf Null reduzieren. Da nun endlich
in allen Fällen die i^ — 2^ anderen Gleichungen (482), für welche
die Zahlen 6^, ••■, 6 nicht die Werte (484) haben, zur ersten Klasse
gehören, die ihnen zugehörigen n^ — 2p Größen C sich also auf
^(nP — 2P) reduzieren, so erhält man schließlich, im Falle daß n ge-
rade und f^ = •••==£= 0 ist, als Anzahl N der willkürlich bleibenden

Konstanten C_ „ :

"1 ■ ■■ "p

1. wenn alle Zahlen s^' = - ■ • ^ s^ = 0 sind und p = + 1 ist:

(486) iV = 2^ + ^ (nP - 2^) = -^ (>^p -f 2^) ;

2. wenn alle Zahlen f/= ••■ = £^'= 0 sind und q = - 1 ist:

(487) N=^{nP-2py,

3. wenn nicht alle Zahlen £/=••• = f^'= 0 sind, für 9 = ± 1:

(488) N=2P-'' + ^{iiP- 2P) = I nP.

Ist n gerade und sind nicht alle /) Zahlen f^ = • • • = f^ = 0, so ist
niemals ein Zahlensystem ö^, ■■ ■, 6^ dem zugehörigen Systeme r^, • • •, t^
gleich, die nP Gleichungen (482) gehören sohin aUe zur ersten Klasse
und es reduzieren sich die iip Konstanten C gerade so wie im letzt-
genannten Falle auf ^-m^.

Ist n ungerade, so ist (?,, = t^, wenn, im Falle daß s = 0 ist,

(7,^ = r == Ö, im Falle daß f ^ = 1 ist, (?^, = t„ = — — ist. Von den

nP Gleichungen (482) ist also stets nur eine einzige zur zweiten

Klasse gehörig, und da für die soeben angegebenen zugehörigen
Werte der Zahlen 6, r, a

(489) £^, -f 2r^ = W£^^ tu = i,2,. -.p)

ist, also die zugehörige Gleichung (483) die Form:

p

(490) (- 1)''=^ = Q

annimmt, so ist die betreffende Größe C gleich Null, wenn für
() = 4- 1 die Charakteristik [e] ungerade, für 9 = — 1 die Charakte-
ristik [s] gerade ist, während jedesmal im anderen Falle die Größe C
willkürlich bleibt. Es beträgt im Falle, daß n ungerade ist, also die
Anzahl N der willkürlich bleibenden Konstanten (7 „ :

1. bei gerader Charakteristik [«] und p = + 1 und bei imgerader
Charakteristik [s] und q = — 1:

(491) jv=!L_J4.i = ^_a

Anzahl der Hnearunabli. geraden und unger. Funktionen. 361

2. bei gerader Charakteristik [e] und q = — 1 und bei ungerader
Charakteristik [s] und ^ = -f 1:

(492) N = ^-^-

XL VI. Satz: Ist n gerade, so gibt es zur CJiarakteristik [0]
9 = i ('*'' + 2^) linearuiidbhängige gerade und
u = ^ {nP — 2p) linearunahhängige ungerade
ThetafunJctionen Ji*"' Ordnung, während für jede andere CJiaraMerisUJc [e]
g = l nP linearunabhängige gerade und
ü = ^nP linearimabhängige ungerade

solche Funhtionen existieren. Ist n ungerade, so gibt es zu gerader
CharalderistiTi [s]

g = \{}iP +1) linearunabhängige gerade und

Vi = \ {nP — 1) linearunabhängige ungerade,

dagegen zu ungerader CharaMeristiJc [e]

Q = ^(ii/' — 1) linearunabhängige gerade und
u = ^ («^ + 1) linearunabhängige ungerade

TJietafunlitionen w*®' Ordnung.

Eine gerade beziehlich ungerade Thetafunktion n'®' Ordnung
mit der Charakteristik [ß\ läßt sich also aus g beziehlich u linear-
unabhängigen solchen Funktionen, wobei g und u die im XLVI. Satz
angegebenen Werte besitzen, linear zusammensetzen mit Hilfe von
Koeffizienten, die von den Variablen u unabhängig sind.

Eine beliebige Thetafunktion w*®"" Ordnung mit der Charakteristik
[e\ aber kann auf Grund der Gleichung:

in die Summe einer geraden und einer ungeraden solchen Funktion
zerlegt und daher gleichfalls aus den vorher genannten g + U = w''
linearunabhängigen geraden und ungeraden zur Charakteristik {e\ ge-
hörigen Thetafunktionen w*" Ordnung zusammengesetzt werden.

Für den Fall p = \ findet sich der XLVI. Satz bei Königsberger ^),
für den Fall p = 2 teilweise schon bei Her mite"), vollständig bei

1) Königsberger, Die Transformation, die Multiplication und die Modular-
gleichungen der elliptischen Functionen. Lpz. 1868, pag. 44.

2) Hermite, Sur la theorie de la transf. etc. C. R. Bd. 40. 1855, pag. 427;
dazu Cayley, Ou the transformation etc. Quart. J. Bd. 21. 1886, pag. 142.

362 Vir. 16. Thetarelationen.

Weber ^), für beliebiges p wurde er zuerst von Schottky ^) ange-
geben.

Die Bildung von g bez. u linearunabbängigen geraden bez. ungeraden
Tbetafunktionen w*®' Ordnung mit gegebener Charakteristik [f] aus den
2'^^ Funktionen ■9' [£]((?*)) siehe für i> = 1 bei Weber ^), für p = 2 bei
Hermite'^) und Krause^).

§ 16.
Thetarelationen.

Thetarelationen nennt man die algebraischen, für beliebige Werte
der Argumente n geltenden Gleichungen zwischen den 2^p Funktionen
^ [£]((«)). Beachtet man nun, daß ein Produkt ^[fjf«))^ [f 2] (w)) ••• "^[^JW
von n Thetafunktionen mit Charakteristiken [sj, [fg], • • •, [«„], die
auch teilweise oder alle einander gleich sein können, eine Theta-
fimktion n^^^ Ordnung mit der Charakteristik [f^ f 2 ' " ' ^nl i^^? daß aber
lineare Relationen, wie aus dem Verhalten der Funktionen ©„[£]((«))
bei Änderung der Variablen um korrespondierende Ganze der Perio-
dizitätsmodulen gemäß der Gleichungen (XLIII) und (XLIV) pag. 39 folgt,
nur zwischen Thetafunktionen gleicher Ordnung und gleicher Charak-
teristik bestehen können, so wird man bezüglich der allgemeinen
Form der Thetarelationen bemerken, daß sie homogen in Bezug auf
die Funktionen -^^ [£]((«)) sind und zudem so beschaffen, daß für jedes
Glied der Relation die Charakteristikensumme die gleiche ist.

Thetarelationen gehen aus den Formeln des § 14 in der dort
angegebenen Weise in großer Anzahl hervor. Handelt es sich darum,
die so gewonnenen Formeln in übersichtlicher Weise anzuordnen, so
wird man bemerken, daß durch zwei Prozesse, nämlich der Ver-
mehrung der Argumente um korrespondierende Halbe der Periodizitäts-
modulen und der linearen Transformation aus jeder Thetarelation
neue abgeleitet werden können. Zur Ausführung des ersten Pro-
zesses ersetzt man unter Beachtung, daß die vorliegende Relation für
alle Werte der Argumente u gilt, das System (ii) durch das System
(w-f (^jg), wobei {xjg ein System korrespondierender Halber der
Periodizitätsmodulen bezeichnet, drückt sodann mit Hilfe der Formel (VII)

1) Weber, Anwendung der Thetaf. etc. Math Ann. Bd. 14. 1879,
pag. 173.

2) Schottky, Abr. e. Th. d. Aberschen Funct. etc. Lpz. 1880, pag. 9.

3) Weber, Elliptische Functionen etc. Braunschweig 1891, pag. 54.

4) Hermite, Sur la theorie de la transf. etc. C. R. Bd. 40. 1855,
pag. 485.

5) Krause, Die Transformation etc. Lpz. 1886, pag. 57.

EigeascLafton. — Anordnung. — Algebr. Abhängigkeit. 363

alle Thetafunktioueu mit den Argumenten (m+ {>£}2) durch solche
mit den Argumenten (h) aus und entfernt endlich die dabei auf-
getretenen Exponentialfaktoren, soweit sie allen Gliedern der Theta-
relation gemeinsam sind, durch Division. Der zweite Prozeß wird
in der Weise ausgeführt, daß man unter Zugrundelegung einer ganz-
zahligen linearen Traneformation T jede in der vorliegenden Relation
auftretende Thetafunktion mit Hilfe der Formel (34) durch die
Funktion •^[flC'^'))«' ausdrückt. Schreibt man dann in der so ent-
standenen Thetaformel, in der jetzt nur noch Thetafunktionen mit
den Argumenten u' und den Modulen a vorkommen und die für be-
liebige Werte dieser Argumente und Modulen gilt, wieder u statt u'
und a statt a und entfernt die bei Anwendung der Formel (34)
aufgetretenen Faktoren, soweit sie allen Gliedern der Thetarelation
gemeinsam sind, durch Division, so erhält man eine neue Theta-
relation, von der man sagt, daß sie aus der ursprünglichen durch die
lineare Transformation T abgeleitet sei. So kann man durch die
beiden beschriebenen Prozesse aus jeder gegebenen Thetarelation neue,
in diesem Sinne zu ihr gehörige ableiten, welche dann zusammen
mit ihr ein Formelsystem bilden; die in der ersten Abteilung dieses
Kapitels entwickelte Charakteristikentheorie ermöglicht es, die sämt-
lichen in einem solchen Formelsystem vorkommenden Thetarelationen
in einer einzigen allgemeinen Formel zusammenzufassen.

Es erhebt sich nun die weitere, davon verschiedene Frage nach
der gegenseitigen algebraischen Abhängigkeit der Thetarelationen
voneinander-, die Frage nämlich, wieviele und welche von den ge-
wonnenen Thetaformeln die wesentlichen sind, durch deren rationale
Verbindung sich alle anderen als ihre notwendigen Folgerungen er-
geben. Während diese Frage in den niedrigsten Fällen p = 1 und
p = 2 sich verhältnismäßig einfach erledigt, hat ihre Beantwortung
bei größerem j) erhebliche Schwierigkeiten. Soweit sie die zwischen
den Thetaquadraten -9^^ [£]((»)) bestehenden Beziehungen betrifft, hat
sie durch die Untersuchungen des Herrn Wirtinger ^) eine ab-
schließende Behandlung erfahren, über welche im folgenden berichtet
werden soll.

Jedes Thetaquadrat '0--[f ]((»)) ist eine gerade Thetafunktion zweiter
Ordnung mit der Charakteristik [0], und da es nach dem XL VI. Satze
linearunabhängige solche Funktionen nur 2p gibt, so hat mau die
beiden Sätze:

XL VII. Sata : Ztvischen irgend 2^ -f 1 Thetaquadraten besteht
eine lineare Relation.

1) Wirtinger, Untersuchungen über Thetafunctionen. Leipzig 1895,
pag. 22.

364 VII. 10. Thetarelationen.

XL VIII. Satz: Durch 2'' Thetaquadrate, die lüiearunabhängig sind,
läßt sich jedes weitere linear ausdrücJcen.

Damit ist man auf die Aufgabe geführt, 2^ linearunabhängige
Thetaquadrate anzugeben. Zu dem Ende gehe man auf die Formeln
(L) und (LI) pag. 89 zurück und setze darin:

(494) m = n = s = t = 1,
wodurch

(495) A = 2
und

(496) a^'\ = a^'\ = a.^,, h^'\ = h^'\ = 2 a ^. i^,f,'=i,2,-..,p)

\ J fifi' fi/ii' Mf^ ' /"," /<M ''i"

wird; setze ferner:

(497) wjf = u^^^ = u^ (^ = 1, 2, . . . , p)

und, indem man unter q^, q'^,, 6^ (fi = 1, 2, •••,p) ganze Zahlen
versteht:

(/t = 1, 2, ■ ■ • , i))

es wird dann:

(499) 5;;'=,,„ f^=o, ;.;:>= 0, ä;:'=,„

{,u=l,2,--,p)

und die Formeln (L) und (LI) liefern unter Anwendung von (VIII)

die Gleichungen:

p

(500) *« [;,] w, = 2" (- 1)"°' """*[" I '](»« * [o]«2»)).. .

Da nun, solange die Thetamodulen nicht besonderen Bedingungen

unterworfen werden, die 2^ Größen O'^HfOlg^ (s^, ■■■, f^ = 0, 1) alle ^

von NuU verschieden sind, kann man für den allgemeinen Fall ^'
durch die Gleichungen (501) die 2p linearunabhängigen Funktionen .■;

Bestimmung von 2^ linearunabh. Thetaquadraten. 365

^[o]C242a (^n •••, ^p = 0, 1) durch die 2^ Thetaquadrate ^'[^]iuh
iVi'} ■•■> V=0; 1) linear ausdrücken und schließt dann daraus, daß
auch diese 2^ Funktionen linearunabhängig sind. Es wird sich im
zehnten Kapitel zeigen, daß bei speziellen Modulwerten tatsächlich
gerade Thetafunktionen für die Nullwerte der Argumente verschwinden;

in solchen Fällen, wo eine oder mehrere der Größen -O- . ((0))., ^

Null sind, hört die Gültigkeit des vorher gemachten Schlusses auf.
Die 2^ Charakteristiken der im Vorigen als linearunabhängig
nachgewiesenen Thetaquadrate bilden ein Göpelsches System von
Th. Char.^). Beachtet man nun, daß man nach dem XXXVII. Satze
durch lineare Transformation und Vermehrunor der Argumente um
korrespondierende Halbe der Periodizitätsmodulen von jedem Göpel-
schen Systeme von Th. Char. zu jedem anderen übergehen kann, so
erkennt man, daß die Eigenschaft der Linearunabhängigkeit irgend
2'' Thetaquadraten zukommt, deren Charakteristiken ein Göpelsches
System bilden. Man hat also den

IL. Satz: 2^ Tlietaquadrate, deren Charakteristiken ein Göpelsches
System bilden, sind linearunahhängig.

Mit den Göpelschen Systemen sind die Systeme von 2^ lineaninab-
hängigen Thetaquadraten durchaus nicht erschöpft. Herr Frobenius^)
hat ohne Beweis angegeben, daß 2^ Thetaquadrate, deren Charakteristiken
überhaupt ein System von Th. Char. bilden, linearunabhängig sind. Im
Falle p = 2 kann tatsächlich jedes Thetaquadrat, wie. in § 12 angegeben
wurde, sowohl durch vier solcbe, deren Charakteristiken ein Göpelsches, wie
auch durch vier solche, deren Charakteristiken ein Rosenhainsches System
bilden, linear dargestellt werden; überhaupt gibt es im Falle p = 2, wie

(1 fi\
j = 1820 möglichen Kombinationen von

vier Thetaquadraten nur 240 von vier linearabhängigen.

Bezüglich eines Systems von 2p linearunabhängigen Theta-
quadraten besteht nun weiter der folgende

L. Satz: Zivischen 2^ linearimdbhängigen Thetaquadraten bestehen
keine quadratischen Relationen.

Von der Richtigkeit dieses Satzes überzeugt man sich wie folgt.
Aus der Formel (L) pag. 89 folgt, wenn man ebenso wie oben:

1) Andere spezielle Göpelsche Systeme von 2^ linearunabhängigen Theta-
quadraten gibt Herr Wirtinger (Über eine Verallgemeinerung der Theorie der
Kummer'schen Fläche und ihrer Beziehungen zu den Thetafunctionen zweier
Variableu. Monatsh. f. Math. Bd. 1. 1890, pag. 113) an.

2) Frobenius, Über Thetafunctionen mehrerer Variablen. J. für Math.
Bd. 96. 1884, pag. 106.

366 VII. 16. Thetarelationen.

m = n = s == t = 1 ,

aber weiter:

(503) «J!^ = 0, wf = 2M^ iu = i,2,---,p)
setzt, wodurch

(504) t;J^'^ = ü^'^ = 2 w^ C" = 1, 2, ■ ■ ■ , p)
wird, die Formel:

(505)

«1 . . *p

Mittelst dieser Formel können die 2^~^(2^+ 1) geraden Funktionen
^■[£'\ii2i{}^ — unter der Annahme, daß nicht infolge besonderer Be-
dingungen für die Thetamodulen a eine oder mehrere der Größen
'^[^]((^))a verschwinden — als homogene Funktionen zweiten Grades
der 2p Funktionen '^rQ]((2«)}2a (fj, • • •, «^ = 0,1) und daher weiter
mit Hilfe der Formel (501) als homogene Funktion zweiten Grades
der 2p Thetaquadrate ^-[^,]((M|a (Vi, -^ Vp = ^h ^) oder irgend 2^
anderer linearunabhängiger ausgedrückt werden. Da nun einerseits
zu 2p Thetaquadraten im ganzen nur 2/'~^(2^-f 1) verschiedene Pro-
dukte zweiten Grades existieren, und andererseits die auf den linken
Seiten der Gleichungen (505) auftretenden ebensovielen geraden
Funktionen ^[£']i2ii\a linearunabhängig sind^), so sind es auch die

genannten Produkte zweiten Grades der 2p Thetaquadrate d-^\ , ((w))a

iVij " } % "^ ^1 1) oder irgend 2P anderer linearunabhängiger. Damit
ist aber der letzte Satz bewiesen.

Zwischen 2p linearunabhängigen Thetaquadraten existieren also
nicht nur keine linearen sondern auch keine quadratischen Relationen.
Im Falle 'p = 2 existieren zwischen ihnen auch keine Relationen
dritten Grades; aber für 1)^-2 müssen solche vorhanden sein, da
man aus 2p Thetaquadraten \ 2p {2p + 1) (2^ + 2) Produkte dritten

1) Daß zwischen den 2^''' Thetafunktionen ■9'[f]([M]ia überhaupt keine linearen
Relationen bestehen können, folgt schon, in Übereinstimmung mit der am An-
fange dieses Paragraphen gemachten Bemerkung, aus ihrem verschiedenen Ver-
halten bei Änderung der Variablen um korrespondierende Ganze der Periodizitäts-
modulen; einen ausführlichen Beweis dafür gibt Herr Prym (Untersuchungen
über die Riemann'sche Thetaf. etc. Lpz. 1882, pag. 32).

Relationen zwischen 2^' linearnnabb. Tbetaquadraten. 367

Grades herstellen kann, diese alle gerade Thetafunktionen dritter
Ordnung mit der Charakteristik [0] sind und derartiger Funktionen
im ganzen nur ^ (6^ + 2^) = 2^ ~ ^ (3^ + 1) linearunabhängige existieren.
Relationen vierten Grades zwischen 2^ linearunabhängigen Tbeta-
quadraten gibt es dagegen, in Übereinstimmung mit dem in § 12 Be-
merkten, schon im Falle p = 2, da die Anzahl der möglichen Produkte
vierten Grades .^ 2^ (2^ + 1) (2^ + 2) {2p + 3) auch für p = 2 größer ist
als die Anzahl -^ (8^ -f 2^) der linearunabhängigen Thetafunktionen
vierter Ordnung mit der Charakteristik [0].

Mit den Relationen dritten und vierten Grades sind aber die
wesentlichen Beziehungen, welche zwischen 2^ linearunabhängigen
Tbetaquadraten bestehen, erschöpft. Herr Wirtinger hat nämlich
bewiesen, daß jede Relation höheren Grades zwischen diesen Funk-
tionen eine notwendige Folge der genannten Relationen dritten und
vierten Grades ist, in der Art, daß ihre linke Seite sich rational aus
den linken Seiten der letzteren zusammensetzt.

Zum Beweise dieses Satzes bemerke man das folgende. Jede
Relation 2^*"° Grades zwischen 2^ linearunabhängigen Tbetaquadraten,
und ebenso jede Relation 2n — 1*'''' Grades zwischen ihnen, nachdem
man sie mit einem beliebigen unter ihnen multipliziert hat, ist eine
Relation n^^°- Grades zwischen den quadratischen Verbindungen der
2p linearunabhängigen Thetaquadrate und als solche nach Obigem in
eine Relation w*®" Grades zwischen den geraden Thetafunktionen des
Argumentensystems (2h) überführbar. Den Beweis, daß alle Rela-
tionen höheren als des vierten Grades zwischen 2^ linearunabhängigen
Tbetaquadraten eine rationale Folge der Relationen dritten und
vierten Grades zwischen diesen Funktionen sind, ist also erbracht, wenn
man zeigt, daß alle Relationen zwischen den geraden Thetafunktionen
eine rationale Folge der Relationen zweiten Grades zwischen diesen
Funktionen sind.

Der Beweis für die Richtigkeit dieser letzten Behauptung wird
aber von Herrn Wirtinger in der folgenden Weise erbracht. Es
wird zunächst angenommen, daß die Thetafunktionen spezielle, in
elliptische zerfallende seien, d. h. daß alle Modulen a,^,,, für welche
([t > v ist. Null sind. Unter Annahme dieser speziellen Modulen wird
eine bestimmte Normalform für die Relationen zwischen den geraden
Thetafunktionen hergestellt und sodann mit deren Hilfe gezeigt, daß
alle Relationen eine notwendige Folge derjenigen zweiten Grades sind.
Endlich wird dann dieses Resultat auf Thetafunktionen mit beliebigen
Modulen ausgedehnt. Bezüglich der näheren Ausführung dieses Be-
weises muß mit Rücksicht auf seinen großen Umfang auf die Ab-
handlung des Herrn Wirtinger ^) verwiesen werden.

1) Wirtinger, Unters, über Tbetaf. Lpz. 1895, § 18—20.

368 VII. 16. Thetarelationen.

Betraclitet man 2^ linearunabhängige Thetaquadrate als homogene
Punktkoordinateu eines Raumes von 2^—1 Dimensionen und denkt
sich sodann den Argumenten u^, ■••, v^ alle möglichen Werte erteilt,
so entsteht ein Gebilde von ^9 Dimensionen M^ in diesem Räume.
Dabei entspricht jedem Wertesysteme u^, ■ ■ •, u^ ein und nur ein
Punkt des Gebildes M^, jedoch umgekehrt einem Punkte von 31^
unendlich viele Wertesysteme u^, ■ • •, h^; ist eines von ihnen u^, ■ ■ ■, ii^,
so sind alle in der Form (±m'+ {x}) enthalten, wo {x] ein be-
liebiges System korrespondierender Ganzer der Periodizitätsmodulen
bezeichnet.

Das Gebilde M ist ein algebraisches und wird durch die zwischen
den 2^ Thetaquadraten bestehenden Relationen dritten und vierten
Grades vollständig definiert; man bedarf dazu 2^ — i) — 1 solcher
voneinander unabhängiger Gleichungen.

Um die Ordnung von M zu ermitteln, hat man die Anzahl der
Punkte zu bestimmen, welche sie mit p linearen Gebilden von i^ — 1
Dimensionen :

cn n^m) + c,,n^,Yi^^} + • • • + q. ^'[^.] w = 0,

(506) c,,^'[e,]l:u)) + c^.'^'ie.WJ) + ••• + c,^r-[e,]iu} = 0, ^^.^^

gemeinsam hat. Solche p Gleichungen besitzen aber, da die auf
ihren linken Seiten stehenden Ausdrücke Thetafunktionen zweiter
Ordnung sind, nach dem XVIII. Satze pag. 42 2^-^^! nach den Perio-
dizitätsmodulen inkongruente gemeinsame Lösungen w^, •••, «j, und
diese liefei-n, da zwei Lö.sungen (u) und (— u) derselbe Punkt von
M entspricht, 2^'"^-^j! verschiedene Punkte von il/^: die Ordnung
von Mp beträgt also 2^"^-^;!.

Das Gebilde M ist im speziellen Falle p = 2 . eine Kummersche
Fläche (vergl. § 12); auf die Verallgemeinerung der Kummerschen Fläche
für den Fall ^^ > 2 hat zuerst Herr Klein in emer Vorlesung vom W.-S.
1886/87 ^) hingewiesen und es hat dann Herr Wirtinger vorerst füi-
den speziellen Fall 2) = S^) und später für beliebiges p ^) gezeigt, daß
eine Reihe der bekannten geometrischen Eigenschaften der Kummerschen
Fläche sich bei den Gebilden 31 für ^> 2 wieder finden; Herr Wirtinger
zeigt nämlich:

1) Siehe bei Reicliardt, Über die Darstellung der Kummer'schen Fläche
etc. Nova acta Leop. Bd. 50. 1887, pag. 482.

2) Wirtinger, Über das Analogen der Kummerschen Fläche für ^^ = 3.
Gott. Nachr. 1889, pag. 474.

3) Wirtinger, Über eine Verallgemeinerung der Theorie der Kummer-
schen Fläche etc. Monatsh. f. Math. Bd. 1. 1890, pag. 113.

Verallgemeinerung der Kummerschen Fläelie. ■ 369

1. Den 2^^ Systemen korrespondierender Halber der Periodizitäts-
modulen entsprechen 2^^ singulare Punkte von Jf^; sie sind 2^~^- fache
Punkte und zugleich die einzigen singulären Punkte von M^.

2. Setzt man ein beliebiges Thetaquadrat gleich Null, so wird da-
durch aus M eine Mannigfaltigkeit von p—\ Dimensionen herausgegriffen,
deren Ordnung 2P~'-p\ ist und die doppelt gezählt der vollständige
Schnitt von M mit einer linearen Mannigfaltigkeit B^p_2 ist. Setzt man
also zur Abkürzung 2^ — 1 = iV, 2^"^ • ];! = m und nimmt die Ordnungs-
zahl in die Bezeichnung der Mannigfaltigkeit als oberen Index auf, so

besitzt M'p 2^^ längs einer M^-i berührende B^—i-

3. Die 2^^ unter 1. genannten singulären Punkte bilden mit den
2'^P unter 2. genannten singulären Bn—\ eine Konfiguration derart, daß
je 2P-^ (2P — 1) der Punkte auf einer der B^-i liegen, und je 2^" ^ (2^ — l)
der i?iv— 1 durch einen der Punkte gehen.

4. Die M geht durch 2'P Kollineationen , die eine Gruppe bilden,
in sich über.

5. Die M geht durch 2^p Korrelationen in sich über; davon sind
2P-i(2P— 1) Nullsysteme und 2^-^(2^+ l) Polarsysteme.

6. Die 2-P unter 4. genannten Kollineationen bilden mit den 2^p
unter 5. genannten Koi-relationen derart eine Gruppe, daß die Punkte
und i?A'_i des Raumes von iV Dimensionen zu Konfigurationen (ß^^)^p—'i-(9P_-,)
zusammengeordnet werden.

Krazer, Tbetafunktionen. 24

Achtes Kapitel.

Die Thetafunktioneii, deren Charakteristiken
aus r^^^ Zahlen gebildet sind.

§1.

Die Punktionen ^[s\([u}.

Im folgenden werden Thetafunktionen betrachtet, deren Charak-
teristikenelemente g^j ••■,9p, \, ••■, hp beliebige rationale Zahlen sind,
die man sich auf gemeinsamen Nenner r gebracht denke, sodaß:

ist, wo die £, e' ganze Zahlen bezeichnen. In diesem Falle sei die
Charakteristik unter Anfügung des Nenners r als Index an die
Charakteristikenklammer mit

(2) w^=C'?:::3

oder, wenn ausschließlich Charakteristiken mit dem nämlichen Nenner
in der Untersuchung auftreten, auch unter Fortlassung des Index r mit

(3) «-[:;-:■:■.::•]'

die zugehörige Thetafunktion mit '9"[f]^((w)) oder '^ [£]((«<)) bezeichnet.
Für diese Funktionen liefern dann die Formeln (XXIX) — (XLII)
pag. 30 u. f. die folgenden Gleichungen.

Die Tlietafunktion '9'[£]r((w)) ist definiert durch die Gleichung:

— cc,--,+ x

(I) %[s\iu}=^ e^=^"'=^
™i > ■ ■ 1 '"p

sie ist mit der FimMion -ö-fw)) verhiüpft durch die Gleichung:

Definition und Haupteigenschaften derselben. 371

f V , p .

H^IM = ^ «1 +^y «1,« + y^^'l ••• ;«^ + S'y^i'/' + y ^^
(II)

_u = l ,u'= 1 /u = 1

fZ. h, sie geht abgeselien von einem Exponentialfaktor aus der Funktion
^•((m)) hervor, tvenn man deren Argumentensystem {u) um das System

(III) {M. = 2^«l, + y^^-|---|j^^«.,u+^^^-

zusammengehöriger r^^^ der Periodizitätsmodulen mit der Per. Cliar. (e)^
vermehrt. So entspricht der Th. Char. [s]^ also die Per. CJiar. (s)^,
wenn man '9'[f]r((w)) relativ gegen die Funliion -9" ((?<)) hetrachtet.

Die durch die Gleichung (I) definierte Thetafunldion ^\/\riu^ ge-
nügt der Gleichung:

^[£],((M+{r/}J

(IV) P_^ P P 2 f

&[sU^))e

,U=l,tj' = l /" = 1 1" = !

}

in ivelcher [ry.] ^ jenes System zusammengehöriger Ganzer der Perio-
dizitätsmodulen bezeichnet, icelches aus (III) für s = ry. , e'^ = rx'^^
(u = 1, 2, ■••, p) hervorgeht. Aus dieser Gleichung folgen, indem man
das eine Mal y-l = 1 , die übrigen p — 1 Zahlen x und die p Zahlen
y, gleich Null setzt, das andere Mal y.^ = 1, die übrigen p — 1 Zahlen
X und die p Zahlen x gleich Null setzt, die speziellen Gleichungen:

(V) & [sl iii, \...\u,-\-7ii\---\u^) = &{_e\ H e

(VI) ^ie\{u, + a,,\..-\u^ + a,„) = ^\_s\M e' "'--""'- -^ ,,

(.=1,2, -^p)

aus denen man die Gleichung (IV) wieder erzeugen Jcann.
Endlich genügt die Fmiktion '9' [f];. ((w)) den Gleichungen:

= &[s + nliu))e ^'='''='

„ . p

2 71 1 -^ ^,

(Vni) &[, + rt]M = &[sUu)) e " •"=^ ■ ',

24*

372

VIIT. 2. Periodencharakteristiken.

Lr — f j • • • r — «pj^^"^ ^^

Die Formel (VIII) sagt aus, daß zwei Funktionen '9'[£]^((«)) und
^MrW); ^^^ welche die Charakteristikenelemente ^i, • • ', ^p, ^i, • • ■, iJ
und 7}i, ■•-, tjp, 7}i, ■■■, ri^ den 2p Kongruenzen:

(4) f „ = %, , f /, = -»^^ (mod. >-) (,« =1, 2, • • , p)

genügen, nur um einen Faktor, der eine r*® Einheitswurzel ist, von-
einander verschieden sind, und man schließt daraus, daß es im ganzen
überhaupt nur r'^P wesentlich verschiedene Funktionen "^[«l^f«)) giht^
als welche man diejenigen wählen kann, bei denen die Zahlen £, t
nur die Werte 0, 1, •• -, r— 1 besitzen.

Die Formel (VII) zeigt weiter, daß man von jeder dieser r'^
Funktionen zu jeder anderen von ihnen abgesehen von einem Ex-
ponentialfaktor gelangen kann, indem man ihr Argumentensystem (u)
um ein passend gewähltes System zusammengehöriger r*^^ der
Periodizitätsmodulen vermehrt. Dadurch erscheinen die r^^ Funk-
tionen '9'L^J;. ((«*)) untereinander als gleichberechtigt und insbesondere
die Ausnahmestellung, welche von vornherein '0'[0]^(fi()) = -O^fw)) hatte,
aufgehoben.

Die Formel (IX) zeigt, daß die im vorigen Kapitel betrachteten
Funktionen ^\ß\iu}j, deren Charakteristiken aus halben Zahlen ge-
bildet sind, die einzigen Thetafunktionen sind, welche gerade oder
ungerade Funktionen ihrer Argumente sind. Ist r gerade, so kommen
sie unter den r^P Funktionen ■9-[£]^((?()) vor, die r^P — 2'^p übrigen
Funktionen, und ebenso im Falle eines ungeraden r die r-P — 1 von
'&'[0]((?^)) verschiedenen Funktionen '^•[cj^f«)) gehen gemäß der Formel
fix) abgesehen von einem Exponentialfaktor paarweise ineinander
über, wenn man das Argumentensystem (w) in (— w) verwandelt.

§ 2.
Periodencharakteristikeu.

Sind (o-^^, ••■, cOp^ (a = 1, 2, •••, 2p) die 2p einer Thetafunktion
im Sinne des fünften Kapitels zu gründe liegenden Periodensysteme
und fj, •••, s^p ganze Zahlen, so nennt man ein Größensystem von
der Form:

(5)

2p
ß = l

Lineare Transformation der Per. Char. 373

ein System zusammengehöriger r*®' der Perioden «, den Komplex der
22? Zahlen £i, ■ ■ •, £2p ^^^^ ^^® Periodemharakteristik (Per. Cha/r.) (i)^
oder, wenn nur Per. Char. mit demselben Nenner r betrachtet werden,
(f) des Systems (5).

Führt man an Stelle der Perioden cj neue Perioden a' ein ver-
mittelst einer ganzzahligen linearen Transformation:

2p

wobei also die c^^ ganze Zahlen sind, welche den Bedingungen (8),
(9) pag. 242 genügen, so ist:

2 p 2p

[i = l a = l

0) 2 ^ß<^f.!i=2'^a^,ca, (A* = l,2,...,p)

wenn :

2p
(8) «y=^C,_,£„ (^=1,2,. ..,2p)

gesetzt wird. Man sagt dann, daß die Per. CJiar. («) durch die Trans-
formation (6) in die Per. Char. («) übergehe. Bezeichnen weiter (f)
und (rj) irgend zwei Per. Char., (i) und (tj) die daraus durch die
nämliche ganzzahlige lineare Transformation (6) hervorgehenden,
so ist auf Grund der Gleichungen (8) und unter Beachtung der
zwischen den c bestehenden Relationen:

p 2p 2p p

{"^J ^ \^aVp + a~^p + aVa)'^ ^ ^ ^ \^aa^ji,p + a ~ ^a,p + a^lia) ^aV^
a = l a=l ß—l o = l

P
^ ^^ \^fl''lp + /il ~ ^p + /xVfi)'^

es bleibt sohin der Wert des Ausdrucks:

p

/. = !

hei jeder ganzzahligen Ivmaren Transformation ungeändert.

Zwei Systeme (5), bei denen die Charakteristikenelemente «i, ••', fjp
und rj^, •••, 7^2^ den 2p Kongruenzen:

(11) ^a — Va (mod. r) (« = 1, 2, •• .,2p)

genügen, sind einander nach den Perioden a kongruent; zwei solche
Per. Char. (s) und (yj) werden in diesem Paragraphen als nicht ver-
schieden angesehen. Es gibt dann im ganzen nur r^P verschiedene
Per. Chai'. (f), als welche mau diejenigen wählen kann, die entstehen,

374 Ylll. 2. Periodencharakteristiken.

wenn man an Stelle des Systems der 2j) Elemente s^, •■•, s^^ alle r-P
Variationen mit Wiederholung zur 2^/®° Klasse der Zahlen 0, 1, • • •, r — 1
setzt. Eine solche Per. Char. sei in der Folge, indem man e^, e^, ■ ■-, s^
statt £^^1, £^^2? • ■ •; hp ^^^ h, h^ ' ' •? V ^^^^* hjhr • ; ^p schreibt, mit:

bezeichnet. Unter den r-^ Per. Char. nimmt die Per. Char. (0), bei
der «1 = • • • = £p = fi' = • • • = f„' = 0 ist, den r^^ — 1 andern gegen-
über eine Ausnahmestellung ein, da sie und nur sie bei jeder Trans-
formation (6) in sich übergeht. Man teilt daher die r^^ Per. Char.
in zwei Klassen; die eine besteht aus der einzigen Per. Char. (0),
welche die uneigentliche Per. Char. genannt wird, die andere aus
den r^P — 1 übrigen Per. Char., welche die eigentlichen Per. Char.
genannt werden.

Unter der Summe:

(13) {6)^ierit---)

mehrerer Per. Char. («), (rj), (^), • • • wird jene Per. Char. verstanden,
deren Elemente durch die Kongruenzen:

(14) ^-^. + ^. + ^.+ ---(°iod.r), (,=,,....,)
^ ^ <. ^ f « + v'u + ^/' H (mod. r)

bestimmt sind; dabei können die Per. Char. («), (tj), (^), • • • auch alle
oder teilweise einander gleich sein und es soll eine Summe von g
gleichen Per. Char. (e) mit (a*) bezeichnet werden.

Man nennt gegebene eigentliche Per. Char. (f^), (s^), • • •, (f,,,)
von der uneigentlichen Per. Char. (0) unabhängig oder schlechtweg
unabhängig, wenn die Gleichung:

(15) i4'4'---^'rr)-(o),

in der die g ganze Zahlen bezeichnen, nur durch g^^g^ ^ • • • ^ ^^^^0
(mod. r) befriedigt werden kann; man nennt femer eine aus gegebenen

Per. Char. {a^, (fg), • • •, {^jr) zusammengesetzte Per. Char. (ff «2' ' ' " ^11"');
bei der die g positive ganze Zahlen oder Null sind, eine Kombination
w*®'' Ordnung dieser Per. Char., wenn g-i_-\-g^-\ VQm^'''^ ^^^7 ^^^ ^^~

n

zeichnet sie mit ( ^e).
Für das Symbol:

^ ('fi n'f, - i'fj, if,)

(16) \s,v\-e ''-

bestehen die folgenden Gleichungen:

Uneigentl. u. eigentl. Per. Chai-. Symbol | f, tj j . Syzyg. u. azyg. Per. Char. 375

|5,£l = +l, |f,Oi = +l, 10,£l=+l,

I«; ^1 • 1'^; «1 = + 1'

(1'^) •\^2,ni\-\^2yV2\---\^2,Vn\

■ I ^m; Vi I ' \^m} ^2] '" l^tn} Vn\}

Zwei Per. Char. (/) und (?;) heißen syzygetiscli, wenn | £, tj | == + 1
i.st, anderenfalls azygeüsch.

Es soll die Anzahl s jener Per. Char. (.r) bestimmt werden,
welche den q Gleichungen:

(18) \£^^x\ = e'- \ \s^,x\ = e'- ^ , • ■ -, \£, x\ = e

2ni

genügen^ wo die d willkürlich gegebene ganze Zahlen, (f^), (f^), • • •, (s„)
aber q unabhängige Per. Char. bezeichnen.
Setzt man für x = 1, 2, •••, q:

(19) (o=0';":::H'

SO handelt es sich um die Bestimmung der Anzahl s der aus Zahlen
0, 1, • • •, r — 1 gebildeten Lösungen x^, ••-, x^, x^, • • ■, x^ der q Kon-
gruenzen:

p

(20) ^ (£,, , xl, - s;, , x^,) = d, (mod. r) . (. = 1,2,...,,)

Zunächst kann man nun ohne Mühe für die Zahl 6" einen analytischen
Ausdruck anschreiben. Genügen nämlich die Zahlen x, x der Kon-
gruenz :

v

(21) ^(«,«.<, -<,,.^^) = ^x (mod. r),
M=i

wo V. irgend eine der Zahlen 1, 2, •••, q bezeichnet, so besitzt der
Ausdruck :

(22) fy.ix)-T^^ ^'^"

den Wert 1; genügen dagegen die Zahlen x, x der Kongruenz (21)
nicht, so besitzt fyix) den Wert 0. Daraus folgt sofort, daß der
Ausdruck:

376 Ylll. 2. Periodencharakteristiken.

Fix) = f,ix)...f^(x)

o,i,..,r-i -T"-2 i -^ (v>*V-'/^'^V)-'^x ^e>.

für jedes Zahlensystem x, x, das eine Lösung des Kongruenzensystems
(20) ist, den Wert 1, für jedes andere den Wert 0 hat, und daß
daher die über alle r^P Per. Char. (x) erstreckte Summe:

(24) ^F(x)

den Wert s angibt. Man hat also für die Anzahl s der Lösungen
des Kongruenzensystems (20) den Ausdruck:

o,i,..,r-i -r2\ ^(v''m~*/^'«V~^x [px
w Pi. .??

^ 0,1, -.r-l -^^<^x?x 0,1, ,r-l ^^ ( ^Vx?x)^;-( ^*;x?x)v
1^ -^ g x = l / "V e /U = lL\x=l / \x=l / .

r

?j I ■ • ) ? j l ^1 > ■ . ^p

Nun besitzt aber die am Schlüsse der letzten Zeile stehende in be-
sondere Klammern eingeschlossene Summe nur dann einen von Null
verschiedenen Wert und zwar den Wert r^^, wenn die Zahlen Qi, • , Q
den 2p Kongruenzen:

g
2^,.y9>.^^ (mod. r),

(26) '==1

9

^<x«>x = 0 (mod. r)

genügen. Sind aber die q Per. Char. (fj), (s^), •••, (f ) wie voraus-
gesetzt unabhängig, so werden diese Kongruenzen, während die Zahlen
Qi7 " '} Qq unabhängig voneinander die Reihe der Werte 0, 1, • • •, r — 1
durchlaufen , nur von dem einen Zahlensysteme Qi = ■ • = Qg = 0 er-
füllt, und man erhält daher aus (25):

(27) s = —r^P = r^P-^

und hat den

Gruppen von Per. Char. 377

I. Satz: Unter den r^^ Per. Qiar. (x) gibt es stets r^P-i, welche
den q Gleichungen:

(X) \s„x\ = e~\ \s„x\ = e~\ ■■■, |£^,a;| = e~*

genügen, ivo die ö ivillhürlich gegebene ganze Zahlen, {b^, (e^), •■■, (e)
aber q unabhängige Per. Char. bezeichnen. Insbesondere gibt es also
stets r'^P-i Per. Char., welche zu q gegebenen unabhängigen Per. Cliar.
syzygetisch sind.

Man wird bemerken, daß die obige Definition der Unabhängig-
keit von Per. Char. (f^), (fg), •••, (f„,) in dem Falle, wo r keine Prim-
zahl ist, schon für jede einzelne Per. Char. (f) eine Bedingung nach
sich zieht. Da nämlich die Gleichung

(28) {s^) = (0)

nur durch ^r = 0 (mod. r) soll befriedigt werden können, so dürfen
die 2p Charakteristikenelemente von (f) nicht mit r einen Faktor ge-
meinsam haben; es ist diese Bedingung gleichbedeutend damit, daß die r
Per. Char. (0), (f), (f^), •••, (f''"^) alle voneinander verschieden sind.
Tatsächlich gilt der I. Satz bei nicht primzahligem r nur für solche

Per. Char. (0,.(a • ' ', (^,)-

Alle Kombinationen von q unabhängigen Per. CJiar. (f^), (s^), • • •, (f )
bilden nebst der uneigentlichen Per. Char. (0) eine Gruppe E von r^
verschiedenen Per. Char. Die Zahl q heißt der Rang, die Zahl r^ die
Ordnung der Gruppe E, die q Per. Char. (tj), {e^, ■■-, (f^) oder irgend
andere q unabhängige Per. Char. von E die Basis der Gruppe E.

Die sämtlichen r-'' Per. Char. übei'haupt bilden eine Gruppe vom
Range 2p'., es befinden sich also unter ihnen 2p unabhängige. Als
Basis der Gruppe können hier zweckmäßig jene 2p Per. Char. ge-
wählt werden, bei denen immer nur ein Element den Wert 1 hat,
während jedesmal die 2p — 1 anderen den Wert Null besitzen. Daß
diese 2p Per. Char. unabhängig sind, erkennt man unmittelbar, und
ebenso, in welcher Weise sich eine beliebige Per. Char. (s) aus ihnen
zusammensetzen läßt.

Man bemerkt noch, daß die Gruppe E mit den Basischarakte-
ristiken (f^), (fo), •••, (fj nicht geändert wird, wenn man als Basis-
charakteristiken die Per. Char. (f^'), {/^)j ' ' 'j (^^*) wählt, wo die g
irgend welche zu r relativ prime positive ganze Zahlen also, wenn
r eine Primzahl ist, beliebige ganze Zahlen sind.

Nach dem I. Satze gibt es zu q unabhängigen Per. Char.
(*i)> (^2)7 "'■) i^q) s^ß^s r^p-'j Per. Char., welche zu ihnen syzygetisch
sind; diese r^P-i Per. Char. sind dann syzygetisch zu allen r'^ Per. Char.
jener Gruppe E vom Range q, welche die Per. Char. (s^), (fg), • • •, (s^)
als Basischarakteristiken besitzt, und sie bilden selbst eine Gruppe H

378 Vni. 3. Thetacharakteristiken.

von Per. Char. vom Range 2p — q, die man zur Gruppe E adjungiert
nennt. Es ist dann auch E zu H adjungiert.

Um die gegenseitigen Beziehungen der Per. Char. einer Gruppe
E zu erforschen, untersuche man, ob es in E außer der uneigent-
lichen Per. Char. (0) noch andere Per. Char. (a) gibt, die zu allen
Per. Char. der Gruppe E syzygetisch sind; dazu ist notwendig und
hinreichend, daß sie es zu den q Basischarakteristiken sind. Sind
(ß^), («2) ^^®i solche Per. Char., so ist auch {cc^' a^^) eine; demnach
bilden die Per. Char. (a) selbst wieder eine Gruppe Ä, die man die
syzygetisclie Untergruppe A von E nennt; zwischen je zwei ihrer
Per. Char. besteht die Beziehung 1 a^^, «,, = + 1. Die Per. Char. von
A gehören immer auch der zu E adjungierten Gruppe H an.

Sind je zwei Per. Char. einer Gruppe E syzygetisch, wozu not-
wendig und hinreichend ist, daß es je zwei Per. Char. ihrer Basis
sind, so heißt die Gruppe selbst syzygetisch. Der Rang q einer syzy-
getischen Gruppe kann nicht größer als p sein; denn da sie ganz in
der adjungierten Gruppe H vom Range 2p — q enthalten ist, so muß
q<^2p — q also q<^p sein. Eine syzygetische Gruppe vom Range
p heißt eine Göpelsche Gruppe. Eine Göpelsche Gruppe ist mit ihrer
adjungierten Gruppe identisch.

§ 3.

Thetacharakteristikeu.

Betrachtet man zwei Th. Char. [«] und [?/], deren Elemente £, f'
und ri, rf den 2p Kongruenzen:

(29) £,< = 7?^, , £,,', = ->;,', (mod. r)

genügen, als nicht verschieden, so gibt es im ganzen nur t^p ver-
schiedene Th. Char. [f], als welche man diejenigen wählen kann, die
entstehen, wenn man an Stelle des Systems des 2p Elemente b, e
alle r^P Variationen mit Wiederholung zur 2^/*^ Klasse der Zahlen
0, 1, • ■ •, r — 1 setzt.
Unter der Summe:

(30) [(J] = [£7^^•■]

mehrerer Th. Char. [f], [tj], [^], ■ ■ • wird in diesem Paragraphen jene
Th. Char. verstanden, deren Elemente durch die Kongruenzen:

C31) 1^ -" //* ^ V ^ '^ J^ (^ = 1,2, •■•,i))

<< = el + 7;; + ^; + • • • (mod. r)

bestimmt sind; dabei können die Th. Char. [«], [->;], [^], ••• auch alle
oder teilweise einander gleich sein und es soll die Summe von g

Systeme von Thetacbarakteristiken. 379

gleichen Th. Char. [s] mit [f^] bezeichnet werden. Man nennt ferner
eine aus gegebenen Th. Char. [fj, [e^], ••-, [«J zusammengesetzte
Th. Char. [ff 4' ' ' ' CL )?ei der die g positive ganze Zahlen oder
Null sind, eine Kombination w*" Ordnung dieser Th. Char., wenn

n

9i-\- 9-2-^ ■•■ + 9m = 't'^ ist, und bezeichnet sie auch mit [2^\ Jene

n

Kombinationen [^s], bei denen die Ordnungszahl w=l (med. r) ist,
heißen die iv esc ni Liehen Kombinationen der gegebenen Th. Char., und
ivesentticli unabhängig werden Th. Char. [tj, [f^], •••, [«„J genannt,
wenn keine aus ihnen gebildete Kombination \_s[' ff • • • f;'^"'], bei der

9x+ 9i-\ Vg,n^^ (mod. r) ist, der Th. Char. [0] gleich ist, ohne

daß jede einzelne der m Zahlen g^, g^, ■-■, g^ = 0 (mod. r) ist.

Addiert man zu den sämtlichen Per. Char. einer Gruppe E eine
beliebige Th. Char. [x] und faßt die entstehenden r? Charakteristiken
als Th. Char. auf, so sagt man von ihnen, daß sie ein System von
Th. Char. bilden, und nennt q den Rang des Systems. Läßt man an
Stelle von [x] der Reihe nach die 2}^ — q Per. Char. einer Gruppe Z
vom Range 2p — q treten, deren Basischarakteristiken zusammen mit
den q Basischarakteristiken von E 2p unabhängige Per. Char. bilden,
so erhält man auf die angegebene Weise aus einer Gruppe (0), (f),
{r]), ■ • ■ von r? Per. Char. im ganzen r^P ~ « verschiedene Systeme von
Th. Char. \%\, \xb\ [x?;], •••, welche zusammen alle r^-'' überhaupt
existierenden Th. Char. und jede nur einmal enthalten; von solchen
y'^'P-i Systemen sagt man, daß sie einen Komplex bilden. Eine Gruppe
Z der vorher bezeichneten Art heißt zur Gruppe E Tionjugiert, und
entsprechend nennt man auch die r'^P-'i Systeme eines Komplexes
einander konjugiert.

Die y? Th. Char. eines Systems vom Range q können auch als
die wesentlichen Kombinationen von q 4- 1 wesentlich unabhänsfiffen
unter ihnen definiert werden; solche g + 1 Th. Char. eines Systems
sollen in diesem Sinne eine Basis desselben genannt werden.

Adjimgiert werden zwei Systeme von Th. Char. genannt, wenn
die beiden Gruppen von Per. Char. es sind, aus denen sie abgeleitet
wurden. Endlich soll jedes aus einer Göpelschen Gruppe von
Per. Char. abgeleitete System von Th. Char. ein Göpelsches Sijstem
genannt werden.

§4.

Die Verallgemeinerung der Riemanuschen Thetaformel.

Man gehe auf den XVI. Satz pag. 91 zurück, setze darin n = 2r
und lasse an Stelle des Systems der 4 r^ Zahlen c(?°) {q, (? = 1^ 2, • • •, 2r)
das spezielle den Gleichungen (LVII) genügende Zahlensystem:

380 Vni. 4. Die Verallgemeinerung der Riemannschen Thetaformel.

C(") =l-r, C(12) _l^ ...^ C(l,2r) _ l^

.g^N C(21) =1, C(22) =l-r, ■■; C(2.2'-) =1,

treten. Setzt man dann ferner, indem man unter den -jj, t]' beliebige
ganze Zahlen, unter den q, q' ganze Zahlen versteht, welche den 2p
Bedingungen :

(33) ,»' + ,<^' + ... + , ;-' = „„, ,f + ,« + ... + ,^-) = .,;,

C<i = 1, 2, • ■ , /))

genügen, in denen die s, s' ganze Zahlen bezeichnen:

(34) <>-i(,^ + ,i"'), ;,<«._ i(,; + p;<"), (-'.v; .-)

SO wird:

(35) st' - ^ + ',. - ^r- C=<+<-C' C=M:;:r)

und das auf der rechten Seite von (LVIII) stehende Thetaprodukt
geht, wenn man noch zur Abkürzung

(36) „«> + „« + ... + „;f"_^^, ^»> + ;5-) + .^. + ^«" = ^;

setzt und beachtet, daß dann:

(37) ä^^^^Ä -ra^"\ f^ = Ä - rß^"^ ("^\'Y''':)

\ J fi fi fi } r^i n Tfi \fi=l,2,- ,p I

wird, unter Anwendung der Formel (VlII) über in:

^[^ + 7J + S-pW]((t•W))^[^ + 7^ + S-()(2)]((^;(2)))...^[^ + ^ + S-p^

p 2r p

2 TT t -^-t , , , , , , ' , 2 rt j X? K? (ff) ^(ö)

(38) --r-^(^ + V + V^ + -7-^ ^^-'l.^^M

Da nun weiter die auf der rechten Seite der Gleichung (LVIII) hinter
dem Thetaprodukte stehende Exponentialgröße gleich

(39) e "=' a=i^=i

wird, so erhält man aus der Formel (LVIII) zunächst die Formel:

(40) (r^-sf %\yi + Q^^'^W''} • • • -^h + q^^''>W''>}

0, 1, -.r— 1

= ^^lA + ri-\-s- Q^'W^)) •■■^[Ä+ri + s- p(2'-)]((,,(2r)D
[«], [,fl

xe

Die Verallgemeinerung der Riemannschen Tlietaformel. 381

In dieser Gleichung bezeichnet s die Anzahl der Normallösungen
des Eongruenzensystems:

(1 - r) x(^^ + a;(2) + • • • + x^^'') = 0 (mod. r),

(41) ^^'^ + (1 - »-) x^'^ + • • • + ^^'"^ - 0 (mod. r),

xW + a;(2) + . . . .^ (1 _ ^) a;(2'-) = 0 (mod. r) .

Diese 2r Kongruenzen sind aber erfüllt, sobald die erste von ihnen
besteht oder, was auf dasselbe hinauskommt, sobald

(42) a;(^) + rr^^) + • • • + a;(-'-) = 0 (mod. r)

ist und diese Kongruenz besitzt r^'-^ Normallösungen; man erhält
dieselben, wenn man in den Gleichungen:

(43) xw = |„ ^^''-h> ■■; x^'-'^ = ^,r-u ^^'^^-kr

an Stelle des Systems der 2r—l Zahlen Ij, h,^, ■••, ^^r-i ^^^ Reihe
nach die sämtlichen Variationen mit Wiederholung zur 2r— 1*®° Klasse
der Elemente 0, 1, •••, r— 1 treten läßt und jedesmal dann für Ig^
jene einzige Zahl aus der Reihe 0, 1, •••, r— 1 setzt, welche der
Kongruenz

(44) |^^^_^^_^^ |^^_^ (mod.r)

genügt. Es ist also s = r'^''~^.

Auf der rechten Seite von (40) ist endlich die Summation in der
Weise auszuführen, daß für fi = 1, 2, • • •, 2? an Stelle des Systems
der 2V Größen a^^\ a:^\ ■••, a^^''^ und ebenso an Stelle des Systems der
2 r Größen ß^^\ ß^^\ •••, ß^^''\ unabhängig voneinander, die r^'' Varia-
tionen mit Wiederholung zur 2r*®° Klasse der Elemente 0, 1, • ■ •, r — 1
treten. Berücksichtigt man aber, daß hierbei die Größe Ä^, bez.
A; r^'-'^-nml der Zahl 0, r^'-^-mal der Zahl !,•••, r^'-'^-mal der
Zahl r — 1 kongruent wird nach dem Modul r, und daß das all-
gemeine Glied der auf der rechten Seite von (40) stehenden Summe
seinen Wert nicht ändert, wenn man eine Zahl Ä^i oder Ä^[ durch
eine ihr nach dem Modul r kongruente ersetzt, so erkennt man,
daß diese Summe das r^'"^- fache jener Summe ist, die aus ihrem
allgemeinen Gliede hervorgeht, wenn man jede Größe Ä^ bez. ^^
einmal der Zahl 0, einmal der Zahl !,•••, einmal der Zahl r—1
nach dem Modal r kongruent setzt. Dies erreicht man aber u. a.,
wenn man

(45) Af, = £/_, — Tj/u , A'f, = £l — ril (fi = i,2,---,p)

setzt und hierauf jede der 2p Zahlen £, s' unabhängig von den
anderen die Reihe der Zahlen 0, 1, •••, r—1 durchlaufen läßt. Divi-

382 VIII. 4. Die Verallgemeinerurig der Riemannschen Thetaformel.

diert man noch linke und rechte Seite der Gleichung durch ^(^'"-i)^/'^
stellt die von den Summationsbuchstaben e, e' freien Teile der Ex-
ponentialgTÖße auf die linke Seite und führt an Stelle der bisherigen
Variablen u, v neue iv, t ein, indem man unter den tv unabhängige
Veränderliche, unter den t dagegen Veränderliche versteht, welche
den 2 2) Bedingungen:

(46) ^;;v... + ^;-) = o, f^+... + f'^=.o («=1,2,...,.)

genügen, und:

(47) <> = ,.« + c\ «r " - Hf + ^" (.:=:;'::■;;)

setzt, wodurch:

(48) v^"^ = tv'''-t^''\ v'^+'^ = iv''^-r' C'^''''''':)

V / fi n /ii ' n /u ju. \u = 1, 2, • • ■ , p/

wird, so erhält man schließlich das Endresultat:

II. Satz: Bezeichnen w , w (ft = 1, 2, •■•, p) 2p unabhängige

Veränderliche, t^^'\ f'''^ T ~ /«' ' I 2rp Veränderliche, ivelche die
' ^i y ^i Vfi= 1, 2, •••,2'/ ^

2p Gleichungen:

(XI) ^(-)+... + ^;;^) = o, tf' + ...^tl^^ = o (,,=i.v..)

erfüllen, und setzt man, indem man unter den q, q ganze Zahlen ver-
steht, welche den 2p Bedingungen:

(XII) ,<" +,«+...+ c = «, - c + c +-+C'- «;

Cu = l,2, ■■•,i))

genügen, in denen die s, s' ganze Zahlen bezeichnen:

^[*] = -^[f + s - ^(1)]((m;(2) _ ^11))) . . . ^[£ + s _ Qir)]lw^^) - ^i-)))

^ [£ + S - 9^'" + ')J ((«f(^) - i(21))) . . . ^ [£ + s _ ^(2-)] ((m.-(1) - ^2r)))

2ä!

(XIII) ><e ^=^ •€

i" = l „ i"=l

}

^[ri + ()('■+ ^)]((W.'(2) -I- ^(21)| . . . ^[^ + p(2'-)]((«6-(2) + ^2r)|

xe

2 rt t -^ 2 TT t -"^

— r ^ vv — r-i^ vv

so sind die Größen x und y miteinander verTinüpft durch die Glei-
chungen :

Endformel. Folgerungen aus derselben. 383

'[.];

bei denen zur Ahkürzung:

-7- 2l ^*« ''" ~ *.« v^
(XV) i^,^i = e "='

gesetzt ist, die Summation über alle r^^ TJi. CJiar. [s] auszudehnen ist und
[7]} eine beliebige TJi. Char., (q^^^), (^^^'); •••, ((>^''"^) (^ber 2r Per. CJiar.
bezeichnen, welche den Bedingungen (XII) genügen.

BezügUch der hier auftretenden Charakteristiken gilt das zum
XXXVm. Satz pag. 308 Bemerkte.

Denkt man sich in der Gleichung (XIV) die Per. Char. (()^^^), • • •,
(p^^'')) festgehalten und läßt an Stelle von [r;J der Reihe nach die r^^
Th. Char. treten, so entsteht daraus ein System S von r^P Glei-
chungen, welche alle auf ihren rechten Seiten die nämlichen r'^^
Größen Xr^^ haben; aus den r^^ Gleichungen dieses Systems S sollen
im folgenden durch lineare Verbindung neue Gleichungen abgeleitet
werden.

Zu dem Ende verstehe man unter (a^), (a^, ••■, (ft;,J irgend tn
unabhängige Per. Char., bilde zu ihnen als Basis die zugehörige
Gruppe Ä von s = r'"- Per. Char. («(,), (a^), ■••, (a^_i) und lasse in
der Gleichung (XIV) an Stelle von [rf] der Reihe nach die s
Th. Char. [rja^^], [rja^], ■•■, [rja^^.^] treten, indem man unter [i]] wieder
eine beliebige Th. Char. versteht. Diese s Gleichungen multipliziere
man, indem man mit [i;] ebenfalls eine beliebige Th. Char. bezeichnet,
mit j «0, ^ , |a^, ^\, •••, |a,_i, ^1 beziehlich und addiere sie zueinander.
Man erhält dann zunächst die Gleichung:

^ — 1 / s — l

'Vi. H. = Vi. .1. / V

(49) rP2j l«a,e|!/[,.,3=^ \^,v\^iA2j I^^^«l-I«a, e

a = 0 [s] \o = 0

In dieser Gleichung besitzt die am Ende stehende, in besondere
Klammern eingeschlossene Summe

2 7f t ^

(50) 2'l^-fe<'.:=17 2"^ """

nur dann einen von NuU verschiedenen Wert und zwar den Wert
r"', wenn die Per. Char. (f — t) zu den m Basischarakteristiken (a^), (ccg),
•••, (a^) und daher zu allen s Per. Char. der Gruppe A syzygetisch ist;
solcher Per. Char. gibt es aber, wie in § 2 bewiesen wurde, im ganzen
t = r-P~"' und sie bilden die zu A adjungierte Gruppe B von t = r-P~'^

384 VIII. 4. Die Verallgemeinerung der Riemannschen Thetaformel.

Per. Char. (60), (h^), ■■-, (fe<_i), deren Basischarakteristiken (ßj), (ß^),
'"} (i^2 -m) ^2? — >« unabhängige Lösungen der m Gleichungen:

(51) \a^,x\ = -\-l, |«2;«l = +l; •••; I «7«. ^ I = + 1

sind. In der auf der rechten Seite von (49) stehenden Summe bleiben
also nur jene t Glieder stehen, für welche [s] eine der t Th. Char. [tl>o\,
\^h^], ■■■, [^&^_i] ist, und mau erhält, wenn man noch linke und
rechte Seite durch r'" dividiert, das Resultat:

III. Satz: Sind («„), (aj, • • •, («,_i) die s = r'" Per. Char.
einer hdiehigen Gruppe A vom Bange m, (h^), (J\), ••-, (&^_i) die
t = y2j9-m p^^ Char. der dazu adjungierten Gruppe B und liezeichnen
[r?] und [^] irgend zwei Th. Char., so besteht zwischen den unter (XIII)
definierten Größen x, y die Gleichung:

s—l t—l

(XVI) r^-'" 2 I a,, ^ 1 2/f^„^j -\t,v\2\^r,v\ ^[jy ,

a—Q r = 0

aus der insbesondere für m = p die halbe Unikehrung der Formel (XIV) :

(XVII) ^ 1 «a, ^ I 2/[,.,] =\^,V\2\^r,V\ ^[CM

ww^ speziell fü/r eine Göpelsche Gruppe A die Gleichung:

(XVm) ^\%,l\y,,a,,= \l,ri\^\ «a, n I ^[Ca„]

oder in anderer Fassung:

IV. Satz : Sind [i?o], [^1], ■■■,bl.-i\ s = r", und [^], [^;J, • • •, [e,_i],
^ = ^i'-'», ^^g^ adjungierte Systeme von TJi. Char., so ist:

»—1 i—i

(XIX) r^— 2 I 7?,, ^0 I ^[,a] = Uo; ^0 I 2 i e„ % 1 ^ar] •

In der Gleichung (XVI) kann man sowohl für [rf] wie für [|]
eine jede der r^^ Th. Char. setzen; es entstehen aber auf diese Weise
im ganzen nur r^P verschiedene Gleichungen, die man sämtlich und
jede nur einmal enthält, wenn man mit («oO' (^i)» '"■; (*/-i) ^^®
t = ^^p-m pgj. Q}iar. einer zu A konjugierten Gruppe A', und ebenso
mit (&o'), (&i'), •••, (&,'_i) die s = r"* Per. Char. einer zu B kon-
jugierten Gruppe B' bezeichnet und sodann an Stelle von [7;] der
Reihe nach die t Th. Char. eines Systems [i^Wq]? iv^il} '"^ [^^/-il

Folgerungen. — Historisches. 385

und an Stelle von [^] der Reihe nach die s Th. Char. eines Systems
[tWl[tWl---,[t^:-i] ftzt, wo [tj-], [Ö beliebige Th. Char. be-
zeichnen. Das System S' dieser r^P Gleichungen kann man, wenn
man noch der Einfachheit wegen [^] = [t] = [0] setzt, durch die Formel:

.9 — 1 t—1

(52) rP-^^ 1 a„ &; | ij^,^,^^ = | &;, < | ^ | K, a; I x^,'^,^^

a=0 r=0

/x = 0, 1, • ,Ä — 1\

V=o, 1, •••,<— 1/
fixieren.

Die r^^P Gleichungen (52) des Systems S' können in ^ = y^i^-m
Gruppen von je s = r"' Gleichungen eingeteilt werden, indem mau
zu einer Gruppe alle diejenigen Gleichungen zusammenfaßt, für welche
X denselben Wert besitzt und die sich daher nur durch verschiedene
Werte von x unterscheiden. In einer solchen Gruppe treten dann
auf der linken Seite jeder Gleichung immer dieselben r"* Größen y
auf, während irgend zwei rechte Seiten dieser Gleichungen niemals
eine Größe x gemeinsam haben und die rechten Seiten zusammen-
genommen demnach die sämtlichen >"^ Größen x und jede nur
einmal enthalten. Aus jeder solchen Gruppe kann man dann durch
passende Verbindung der ihr angehörigen Gleichungen rückwärts
diejenigen r'" Gleichungen (XIV) des Systems B erhalten, deren
linke Seiten, abgesehen von dem Faktor r^, von den auf den linken
Seiten der Gleichungen der Gruppe vorkommenden Größen y gebildet
werden und die auch ausschließlich bei der Herstellung der Glei-
chungen (52) der Gruppe auf Grund der Formel (XIV) in Betracht
kommen. Entsprechend kann das ganze System B' der Gleichungen
(52) das ursprüngliche System S der Gleichungen (XIV), aus dem
es abgeleitet wurde, in jeder Beziehung ersetzen, insofern als man
durch passende Verbindung der r^^ Gleichungen von B' rückwärts
wieder die r^^ Gleichungen (XIV) des Systems S erhalten kann. Das
System S der Gleichungen (XIV) kann selbst als ein spezielles, dem
Werte m = 0 entsprechendes System S>' angesehen werden.

Wie aus der durchgeführten Untersuchung hervorgeht, ist das
System S' der Gleichungen (52) vollständig bestimmt, sobald die
Gruppe der s = r'"' Per. Char. (a^), (aj, •••, («^_i) gegeben ist, und
umgekehrt. Daraus folgt, daß die Anzahl aller möglichen Systeme
Ä' mit der Anzahl aller möglichen Gruppen von Per. Char. überein-
stimmt.

Thetafunktionen , deren Charakteristiken ans gebrochenen Zahlen mit
einem Nenner r > 2 bestehen, habe zuerst ich^) füi* den speziellen Fall

1) Krazer, Über Thetafunctionen , deren Charakteristiken aus Dritteln
ganzer Zahlen gebildet sind. Hab. - Schrift. Würzburg 1883 und Math. Ann.
Bd. 22. 1883, pag. 416; vergl. auch § 7 dieses Kapitels.

Krazer, Thetafunktionen. 25

386 VIII. 4. Die Verallgemeinerung der Riemannsclien Thetaformel.

r = 3 und jj ^ 1 eingeführt; ich habe für diese Funktionen die Formel
(XIV) aufgestellt und auf Grund derselben die zwischen ihnen bestehenden
Beziehungen ermittelt. Meine Untez'suchungen haben später durch HeiTn
Schleicher^) eine Fortsetzung gefunden, indem derselbe ihnen das Ad-
ditionstheorem und das Umkehrproblem der aus den genannten Funk-
tionen gebildeten Quotienten hinzufügte.

Daß sich die nämlichen Untersuchungen für jene Thetafunktionen
einer Veränderlichen, bei denen der gemeinsame Nenner r der Charakte-
ristikenelemente 5 oder überhaupt eine ungerade Zahl ist, anstellen lassen
ohne wesentlich neue Hilfsmittel zu erfordern, war einzusehen; diese
Untersuchungen hat für den Fall r = 5 Herr Sievert^j durchgeführt.

Nun lag andererseits auch der Gedanke nahe, die in meiner Habi-
litationsschrift angestellten Untersuchungen auf Thetafunktionen mehrerer
Veränderlichen auszudehnen, umsomelii- als die zur Gnindlage dienende
Formel sich ohne weiteres für beliebiges x) aufstellen ließ. Die Durch-
führung dahin gehender Untersuchungen erforderte zimächst eine Charak-
teristikentheorie; die Lösung dieser Aufgabe hat Herr v. BraunmühP)
unternommen. . Zu diesen Untersuchungen ist das folgende zu bemerken.

Der Begi'iff des Charakters

„ . P

(53) |f| = e '"-'

und die Einteilung der v^p Th. Char. in Klassen, je nachdem

(54) 1^1 = 1, e~, e~, •••, e ^^

ist, dürfte verfehlt sein, da einmal die Einführung des geraden und un-

1) Schleicher, Darstellung und Umkehrung von Thetaquotienten , deren
Charakteristiken aus Dritteln ganzer Zahlen gebildet sind. Inaug. -Diss. Würz-
burg und Progr. Bayreuth 1890; dazu auch: Sievert, Beiträge zur Behandlung
des Umkehrproblems von Thetafunctionen, deren Charakteristiken aus Dritteln
ganzer Zahlen bestehen. Nürnberg 1893.

2) Sievert, Über Thetafunctionen, deren Charakteristiken aus Fünfteln
ganzer Zahlen bestehen. Progr. Nürnberg 1891 und Bayreuth 1895.

3) V. Braunmühl, Note über j;- reihige Charakteristiken, die aus Dritteln
ganzer Zahlen gebildet sind, und das Additionstheorem der zugehörigen Theta-
functionen. Erlanger Sitzb. Heft 18. 1886, pag. 37; Untersuchungen über p- reihige
Charakteristiken, die aus Dritteln ganzer Zahlen gebildet sind, und die Ad-
ditionstheoreme der zugehörigen Thetafunctionen. München Abb. II. Cl. Bd. 16.
1888, pag. 325; Über die Göpelsche Gruppe p- reihiger Thetecharakteristiken,
die aus Dritteln ganzer Zahlen gebildet sind, und die Fimdamentalrelationen
der zugehörigen Thetafunctionen. Math. Ann. Bd. 32. 1888, pag. 513; Über
Gruppen von jj- reihigen Charakteristiken, die aus «*^^ ganzer Zahlen gebildet
sind, und die Relationen zugehöriger Thetafunctionen w**"" Ordnung. Math. Ann.
Bd. 37. 1890, pag. 61.

Das Additionstheorem für die Thetaquotienten. 387

geraden Charakters einer Th. Char. mit halben Zahlen als Elementen
doch vorzüglich deshalb wichtig ist, weil die zugehörige Thetafunktion
dann eine gerade bez. ungerade Funktion ihrer Argumente ist, in letzterem
Falle also insbesondere für die Nullwerte der Argumente verschwindet.
Dann aber ist der Charakter e j einer Th. Char. mit halben Zahlen als
Elementen eine füi- die lineare Transformation invariante, also eine wesent-
liche Eigenschaft der Th. Char.; auch dieser Umstand fällt für die Theta-
funktionen '9'[£]^((*f)), bei denen r > 2 ist, weg. Dazu kommt noch, daß,
wie Herr v. Braunmühl übersehen hat, alle dahingehörigen Abzahlungen,
insbesondere die Bestimmung der Anzahlen der Th. Char. von gegebenem
Charakter nur für den Fall, wo r eine Primzahl ist, gelten. Schon der
grundlegende VII. Satz pag. 66 ^) ist nur für diesen Fall richtig. So
wird sich die Charakteristikentheorie bis jetzt wesentlich auf den Be-
giiff der Gnippen von Per. Char. und Systemen von Th. Char. beschränken
müssen, und hier nur die syzygetischen Gruppen bez. Systeme hervorheben.
Die Schaffung von F. S. von Per. Char. oder Th. Char. dürfte dagegen
ebenfalls verfehlt sein, da die den F. S. bei den Charakteristiken mit
halben Zahlen als Elementen zukommenden wichtigen Eigenschaften keine
Ausdehnung auf den Fall r > 2 gestatten.

Ist die Charakteristikentheorie geschaffen, so wird weiter die Formel
(XIV) als Gnmdlage der Untersuchungen über die Additionstheoreme und
über die zwischen den r^^ Funktionen bestehenden Beziehungen zu dienen
haben. Diese Formel wurde als Verallgemeinening der von mir meiner
Habilitationsschi-ift zu gründe gelegten Formel von Herrn Prym und
mir-) aufgestellt.

§ 5.

Das Additionstheorem für die Quotienten
der Funktionen ^[€]^((m)).

Die im vorhergehenden Paragraphen gewonnenen Formeln haben
für die Thetafunktionen 'S' [£],.((«)) die nämliche Bedeutung wie die
Riemannsche Thetaformel und ihre Folgerungen für die Funktionen
'^W2W)5 ^^® liefern durch passende Spezialisierung der in ihnen
vorkommenden Variablen und Charakteristiken einmal die Additions-
theoreme für die Quotienten der Funktionen '^'[fj^.fw)) und sodann die
zwischen den r^^ Funktionen bestehenden Relationen.

Um die Additionstheoreme zu erhalten, setze man im IL Satze
für (1=1, 2, -^p:

1) V. Braunmühl, Über Grup^jen von p- reihigen Charakt. etc. Math.
Ann. Bd. 37. 1890, pag. 66.

2) Krazer und Prym, Über die Verallgemeinerung der Riemann'schen
Thetaformel. Acta math. Bd. 3. 1883, pag. 240.

25*

388 VIII. 5. Das Additionstheorem für die Quotienten der Funktionen ^[t]r{u}.

fl ' fl fl fl '

(55) ^^ =0, .?; =0,

> fl fl ' ^ fl fl ' ' > fl fl '

'(1) '(1) '(2) '(2) ,{ir) '(2/-)

"fl fl ' "fl fl ' ' "/« ." '

indem man unter den a, a ganze Zahlen versteht, welche den '2p
Bedingungen :

(56) " fl ^ -^ fl ifi = i,%-.,p)
'(1) I '(2) , , '(2/-) n

," ," /"

genügen. Man erhält dann:

(57) r^ I

^[a(')i((^ + .)) ^W'M^ - v)) ^W%m . . . Hui%iO))

&W^^%iO)) ^[«('•+^a((0)) . . . ^K'-^].((0))

y p[5-aWM-^P[.-«(^)i((4^[^-«'^)L((0))...^[a-«WL((0)) '

2 ?r 8 XT»

• <?

Indem man sodann aus dieser Formel eine zweite ableitet, bei
der an Stelle der a andere Zahlen ß treten, welche denselben Be-
dingungen genügen wie die a und für welche zudem

(58) ^,!f = «ir (,«=i.2.--.p)

ist, und die beiden Gleichungen durcheinander dividiert, erhält man

den Quotienten ,,- rational ausgredrückt durch die Quo-

tienten — ^,, ' und — -f,, ^ ' , und es treten als Koeffizienten

dabei außer Einheitswurzeln die Nullwerte dieser Quotienten auf.

Diese Additionstheoreme sind von den Herren Schleicher^) und
Sievert^) füi- die speziellen Fälle i> = 1, r = 3 und ^j = 1, r = 5 auf-
gestellt und zur Lösung des ümkehrproblems der Thetaquo tienten ver-
wendet worden.

1) Schleicher, Darstellung und Umkebrung von Thetaquot. etc. Inaug.-Diss.
"Würzburg und Progr. Bayi-euth 1890.

2) Sievert, Beiträge zur Beb. des Umkehrpr. etc. Nürnberg 1893 und:
Über Thetafunctionen etc. Progr. Nürnberg 1891 und Bayreuth 1895.

Thetarelationen. 389

§ 6.

Über die zwischen den z'"^' Funktionen ^[ej^fw))
bestehenden Relationen.

Ebenso wie sich die Untersuchungen über die Relationen zwischen
den 2^^ Funktionen '9'[f]2 ((?*)) im allgemeinen auf die Relationen
zwischen den Quadraten dieser Funktionen als den Thetafunktionen
zweiter Ordnung mit der Charakteristik [0] beschränken, so werden
sich auch die Untersuchungen über die zwischen den r'^^ Funktionen
'9-[£]^((i«)) bestehenden Relationen auf jene Verbindungen dieser Funk-
tionen beschränken, welche Thetafunktionen r**"" Ordnung mit der
Charakteristik [0] sind; dies sind aber außer den r^^^ Potenzen der
Funktionen ■9-[£]^((?t)) auch alle Produkte von solchen r unter ihnen,
deren Charakteristikensumme gleich [0] ist; die ersteren sollen kurz
„die TJietapotenzen'^ die letzteren „die vollständigen TJietapvduJde"
genannt werden. Da im allgemeinen weder die einen noch die
anderen gerade oder ungerade Funktionen des Argumentensystems
(u) sind, so gelten die beiden folgenden Sätze:

V. Satz: Zivi sehen r^ -f 1 Tlietapotenzen und vollständigen Theta-
produkten existiert stets eine homogene lineare Belation.

VI. Satz: Durch r^ linearunabhängige Tlietapotenzen oder voll-
ständige Tlietaprodukte läßt sich jede weitere dieser Funktionen homogen
und linear ausdrücken.

Zur Gewinnung dieser Relationen dienen gleichfalls die Formeln
des vorletzten Paragi-aphen. Setzt man nämlich, indem man unter
Mj, •••, u unabhängige Veränderliche versteht:

u}^^ = 0, y}^^ = u ,
setzt ferner:

und legt, während (x) eine ganz beliebige Per. Char. bezeichnet, den
Per. Char. (^(i)), •••, (pW), (ö«), •••, (ö«) die Bedingungen:

(61) (^(1) ^(2) . . . ^W) = (0), (<5(i) ö(2) . . . öW) = (0)

auf, sodaß

(62) (s) = (jc)

wird, so werden die Ausdrücke (XIII) zu:

390 "VIII. 7. Der besondere Fall ^9 = 1, r = 3.

^['^ i^[x + £ - (,(^)] w . . . #[x + f - (>w]((i*); ^ ■ '

und die Formeln (XIV) und (XVI) — (XIX) gehen in lineare Re-
lationen zwischen vollständigen Thetaprodukten bez. Thetapotenzen
über, aus denen nunmehr durch bloße lineare Verbindung jene Glei-
chungen entstehen, vermittelst welcher alle die genannten Funktionen
durch 7-P passend gewählte unter ihnen linear und homogen aus-
gedrückt werden können.

Vergl. dazu für jp = 1 bei mir, Schleicher und Sievert a. a. 0.,
für _?) > 1 bei v. Braunmühl a. a. 0. Es ist jedoch zu bemerken, daß
bei spezielleren Untersuchungen in dieser Richtung, was v. Braunmühl
übersehen hat, der Fall eines geraden r von dem eines ungeraden ge-
trennt werden muß; in welcher Weise diese beiden Fälle verschieden zu
behandeln sind, habe ich^) in einer Abhandlung gezeigt, in der die Frage
nach den Bedingungen der Linearunabhängigkeit von r^ vollständigen
Thetaprodukten erörtert wird.

Betrachtet man dann die gewählten r^ linearunabhängigen Funk-
tionen als homogene Punktkoordinaten im Räume von r^ — 1 Dimen-
sionen, die Argumente u^, ■■■, u^ aber als bewegliche Parameter, so
wird dadurch ein algebraisches Gebilde von p Dimensionen in diesem
Räume definiert, und es handelt sich noch um die weitere Aufgabe
solche fP — p — 1 Relationen zwischen den r^ linearunabhängigen
vollständigen Thetaprodukten oder Thetapotenzen aufzusuchen, welche
dieses Gebilde vollständig definieren.

§ 7.

Der besondere Fall i> = 1 , r = 3.

Die neun verschiedenen Thetafunktionen des Falles 2? = 1 , r = 3
gehen aus

(64) ^ls\{u)^_

ten. Acta

V) Krazer, Über lineare Relationen zwischen Thetaproducte
math. Bd. 17. 1893, pag. 281.

Die 9 Thetapotenzen und die 12 vollständigen Thetaprodukte. 391

hervor, wenn man e und a der Reihe nach die Werte 0, 1,-1 an-
nehmen läßt. Ist (a) eine beliebige der 8 eigentlichen Per. Char.
und (/3) eine zweite davon unabhängige, so kann man die 8 eigent-
lichen Per. Char in der Form^):

(65) {a), (-«), iß), iß-^a), (ß-a), (- ß\ (-/3-fa), (-ß-a)

darstellen. Es gibt vier Gruppen von Per. Char. vom Range 1:

(0), (a), (-«);

(0), iß), (-^);

(6^) (0), (/3 + a), i-ß-a)-

(0), (ß-a), (-ß^a)-

und entsprechend vier Komplexe von je drei Systemen von Th. Char.:

[0], [a], [-«]; [0], Ißl [-/3];

m, [^ + «1, [/5-«]; kl, [« + /3|, [c^-^];
[- ß], [-ß + «]. [~ß- «]; [- ^l [- ^ + ß], [- « - ßh

(67)

[0], Iß + ccl l-ß-a]', [0], [ß-cc], [-ß + a]-

[a], [ß-a], [-/?]; [a], [ß], [- /3 - «];

[-«]. [^], [-/3 + «]; [-«], [/5 + ^L [-ßl

Neben den 9 Thetapotenzen '9'^[«](^*) existieren also 12 vollständige
Thetaprodukte d'[x\(u) d-\x-\- ri\{ii) d'[x — rf\(ti)'^ diese 21 Funktionen
sind Thetafunktionen dritter Ordnung mit der Charakteristik [0]; im
folgenden sollen durch die drei unter ihnen:

& [0] (u) ^ [a] (u) &[-a] (ii) ; -9- [/3] (m) 'S- [/3 + a] (u) &[ß-u\ (u) ;

(68) ^[-_ ^j(^^^>) ^[-_ ß ^ ^j(^,^) ^[-_ ^ _ ^](^^)

die 18 übrigen linear ausgedrückt werden.
Zu dem Ende setze man zur Abkürzung:

(69) .-"=1^1, .^"'-"=|.,,|,

ferner:

^[jc]{u) ^[x + A](^t) ^[x - A](m) • I X I = -^ { j(, A } (i^,

d'^[x](u)-\x\ = ^^x}{uy,
auch :

1) Die hier angewandte von den Festsetzungen der §§ 2 und 3 abweichende
Bezeichnungsweise bedarf keiner Erläuterung.

392 VIII. 7. Der besondere Fall jj = 1, >• = 3.

(71) ^{x, A}(0) = ^{x, A}, ^^x](0) = &^z}.

Setzt man dann nocli in (63):

((,(^)) = (0), ((>(^)) = («), (« = (-«),
((Ta)) = (0), ((J(^)) = (/3), (0(^)) = (-/3),

(72)

so wird:

(73)

% = i^j ^l^{^, ß}^{;« + i?, ß){u),
und die aus (XVIII) folgende Gleichung:

liefert nach einfachen Rechnungen die Formel:

i^{0, u] + ^{ß, a] + ^{- ß, a]'\%\'A, ß]{u)
C^ö) =^{0, ß]\_^{^, u]{u) + |x, /3| ^{x + ^, «}(w)

+ i^, x; ^[K-ß,a]{u)\.

Vermittelst dieser Formel erhält man zunächst, indem man der Reihe
nach (x) = (0), (a), {—cc) setzt, durch die drei vorgelegten Theta-
produkte :

(76) ^{0,a}{u), 9{ß,u}{u), ^{-ß,a]{u)
die drei Thetaprodukte:

(77) ^'Aß}(n), ^{u,ß\{ii), ^\-u,ß\(ii)

und, indem man dann in diesen Formeln an Stelle von (ß) zuerst
(ß + a) und sodann (ß — a) treten läßt, auch die 6 ührigen voll-
ständigen Thetaprodukte:

&{0,ß + a](u), &{a,ß+a}{ti), ^[- a, ß + a}(u),

^ ^ ^{0, ß-a}{u), ^{tt, ß-a}(u), ^[-u, ß-a}{u)

linear ausgedrückt.

Setzt man dagegen in (63):

(p(l)) = (^(^")) = (p(3)) = (0),

(79) (0^^O = (O), (^^^)) = («), (^(^)) = f-a),

W = (0),
so wird:

und die aus (XVIII) folgende Gleichung:

Darstellung aller Funkt, durch 3 vollst. Thetaprodukte. 393

liefert die Formel:

(82) = \t,rj\ d'{t, a] [&^t}iu) + \oc, t + v\ ^'{^ + ^](^t)

Vermittelst dieser Formel kann man aber, indem man an Stelle von
(rf) der Reihe nach die Charakteristiken (0), (ß) und {— ß) treten
läßt und die drei so entstandenen Gleichungen zueinander addiert,
'9'^ { ^ } (u) also, indem man an Stelle von [^] der Reihe nach die 9 ver-
schiedenen Th. Char. setzt, die 9 Thetapotenzen linear durch die drei
vorgelegten Thetaprodukte (76) ausdrücken.

Damit ist die Aufgabe gelöst, durch die drei Thetaprodukte (76)
die neun übrigen vollständigen Thetaprodukte und die neun Theta-
potenzen linear darzustellen. Bevor die zwischen den Funktionen
(76) selbst bestehende Gleichung abgeleitet werden kann, ist es nötig,
die Nullwerte der neun Thetafuaktionen und die Relationen zwischen
ihnen zu untersuchen.

Man wird dabei zunächst anmerken, daß von den neun Werten
#'[£](0) acht infolge der aus (IX) folgenden Beziehung

(83) ^[-5](0) = ^[£](0)

paarweise einander gleich sind, und daß infolgedessen auch

(84) ^3{-5} = ^3{5}, ^{~e,r,} = ^[s,ri]
ist. Betrachtet man nun zimächst die vier Quotienten:

(85) ^' >{o, «}' ^2 ^(0,^1'

_ ^{a, ß-j-a] __ &{a, ß—a)

^3 ~ «-{0,13 + «} ' ^-^ ~ ^ { 0, ß — a } '

so liefert die Formel (75), wenn man in ihr (%) = (u) und u = Q
setzt, zwischen q und Cg die Gleichung:

(86) (l+2ci)c2=l-q

oder:

1 — c.

(87)

1 + 2Ci '

und da q, wenn man (/3) durch (/3 + a) bez. {ß — a) ersetzt, in
\cc, jS I Cj bez. 1/3, «Ic^, Cg aber in Cg bez. c^ übergeht, so ist weiter,
wenn man zur Abkürzung

'In i

(o8j \a, ß\ = e ^ = X

setzt:

394 VIII. 7. Der besondere Fall i> = 1 , r = 3.

also:

(90) ^^^cs^^^^rrSf'

Die aus den Nullwerten der Thetapotenzen gebildeten Quotienten
lassen sich auf Grund der Gleichungen:

^3|o} — ^i4^4? ^3|o| —444

mit Hilfe von (89) und (90) gleichfalls durch die eine Größe q
ausdrücken.

Alle im folgenden auftretenden Relationen zwischen Thetanull-
werten werden durch Einführung des einen Parameters q identisch
erfüllt.

Man betrachte jetzt die drei Thetaprodukte (76) als homogene
Punktkoordinaten in der Ebene, setze also:

(92) x^ = %\^,a\{iC), x^ = %[^,a]{ii), x^=- ^\- ^, a\{u).

Indem man u als beweglichen Parameter betrachtet, wird durch diese
Gleichungen eine ebene Kurve definiert, und es handelt sich darum
ihre Gleichung aufzustellen. Drückt man aber mit Hilfe der Formel
(82) in der oben angegebenen Weise die drei Thetapotenzen -O-^ { 0 } (w),
%'^\u\{iC) und ■9'^ { — «}(?<) durch x^, x^, x^ aus und multiphziert die
di'ei so entstandenen Gleichungen miteinander, so erhält man nach
einfachen Rechnungen zwischen x-^^, x^, x^ die Gleichung:

(93) x\ -\- xl -{- x\ -{- 6a Xj^ x^ x^ = 0,

wobei:

(^A.\ ./ = _ i- ^M0} + 2^M^} _ _ l + 2cf

ist.

Damit ist bewiesen, daß die vorher genannte ebene Kurve eine
allgemeine Kurve dritter Ordnung ohne Doppelpunkt ist^). Eine
solche Kurve besitzt 9 Wendepunkte, die zu je dreien auf 12 Ge-
raden, den Wendepunktlinien, liegen; diese 12 Wendepunktlinien kann
man in 4 Gruppen zu je 3 so anordnen, daß die 3 Linien einer
Gruppe zusammen alle 9 Wendepunkte enthalten; von solchen 3 Wende-
punktlinien sagt man, daß sie ein Wendepunktdreieck bilden, und auf
ein solches Wendepunktdreieck als Koordinatendreieck bezogen hat

1) Clebsch, Vorlesungen über Geometrie; bearb. von Lindemann. Bd. 1.
Lpz. 1876, pag. 497.

Anw. auf die Kurven 3. Ordn. — Die C« bezogen auf ein Wendepunktdreieck. 395

die Kurve eine Gleichung von der Form (93). Dabei berechnet sich
die Konstante a aus den Invarianten S und T der allgemeinen Form
dritten Grades vermittelst der Gleichung 12. Grades:

(QP,\ ^ - 384a^(a^-l)=' ,

y'^) r (8a« + 20a''-l)«'

die 9 Wendepunkte aber haben die Koordinaten:

/y* • /Y» • /y»

0 : 1 :-l, 0:1

(96) - r2
1

1,
0,

-1
1

0

^,

0:

1 :

-T^

h

— r :

0:

1,

0,

1:

-1 :

0,

wo r in Übereinstimmung mit Früherem eine primitive dritte Ein-
heitswurzel bezeichnet.

Würde man in (92) an Stelle der Charakteristik (ß) die Charak-
teristik (/3 -f a) bez. [ß — cc) setzen, so würden x^, x^ in %x^, tx^ bez.
r^ojg, T^^3 übergehen, also auch a in ta bez. t^a. Es entspricht
diesem Umstände die Eigenschaft der Gleichung (95) in sich über-
zugehen, wenn man a durch ra oder t^a ersetzt.

Dem Übergänge von einem Wendepunktdreieck als Koordinaten-
dreieck zu einem anderen entspricht der Übergang von x^, x^, x^ zu
drei anderen vollständigen Thetaprodukten:

(97) ;r/=^{0, /3}(«), x,'=^{a,ß]{u), x^ = ^{- a, ß]{u),

deren Charakteristiken einen Komplex von 3 Systemen von Th. Char.
bilden, vermittelst der aus (75) durch Vertauschung von (a) und (/3)
folgenden Gleichungen:

X-^ = IC (a^j -\- ^2 "I "^z ) 7

(98) x^=^h {x^ -]- r x^' -\- t^x^),

tC [OO-t ~f* T OOa ~t~ t OCn j y

wo:

(99)

k =

«• { 0, « }

ist. Die Gleichung dritten Grades (93) geht dabei über in:

(100) x^'^ -f x^^ + x^'^ + GaXi'x^x^' = 0,
wobei

(101) <»'=/ff„

ist, und es entspricht wiederum diesem Übergange die Eigenschaft

396 VIII. 7. Der besondere Fall p=l, r = 3.

der Gleichung (95) unffsändert zu bleiben, wenn man a durch — ^^^^

l-f2a
ersetzt.

Wählt man den beiden noch übrigen Wendepunktdreiecken ent-
sprechend

x^'=&{-a, ß^a] (u)
oder

x;=&{(),ß-a}(u), x,'=&{a,ß-a](u),

^ '^ x,'=&{-u,ß-a\(n),

so tritt an Stelle von a die Größe , , ^ bez. —-v-^ l- •

1 -f- 2ra 1 -f 2T*a

Die beiden Substitutionen S a = xa mit der Periode 3 und T
^ I - mit der Periode 2 geben Anlaß zu der Gruppe von 12

a =

Substitutionen

1,

s,

S^,

T,

ST,

S'T,

TS,

STS,

S'TS,

TS\

STS\

S'TS\

(104)

welche alle die Gleichung (95) in sich überführen.

Als Substitutionen der 8 eigentlichen Per. Char. (65) betrachtet
ersetzt S die Per. Char. (a), (ß) durch (cc), (ß + a), T dagegen durch
(ß), (a); als Koordinatentransformationen betrachtet liefern endlich
die drei in einer Horizontalreihe von (104) stehenden Substitutionen
das nämliche Wendepunktdreieck als Koordinatendreieck, während
den vier verschiedenen Horizontalreihen die vier verschiedenen Wende-
punktdreiecke entsprechen.

Die Gruppe der 12 Substitutionen (104) ist holoedrisch isomorph
mit der Gruppe der Drehungen eines i*egulären Tetraeders in sich,
und es werden daher die Substitutionen (104) von Herrn Klein ^)
die Tetraedersubstitutionen, die durch die Gleichung (95) definierte
Größe a die Tetraederirrationalität genannt.

Noch wird man aus dem Vorigen schließen, daß die 12 Wende-
punktlinien im ursprünglichen Koordinatensystem die Gleichungen:

1) Vergl. Klein, Über die Transformation der elliptisclien Functionen
und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades. Math. Ann. Bd. 14. 1879,
pag. 111; Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen
vom fünften Grade. Lpz. 1884 und: Vorlesungen über die Theorie der ellip-
tischen Modulfunctionen, ausgearb. von Fricke. Bd. 1. Lpz. 1890.

Darst. aller Funkt, durch 3 Thetapot. — Die Cg bez. auf 3 Wendetang. 397

jUa W« tA/-* (~ V Xq |~ T i/o y

x^ = 0, ^1 + T^a?2 + T a^g = 0,

(105)

rr^ + T a^^ + T a-g = 0, x^^ + T^^^g + T^a-g = 0,

a^j + a"2 + T^a'g = 0, x^ + t x.^ -\- a-g = 0

haben; dieselben sind hier so angeordnet, daß je 3 untereinander
stehende Wendepunktlinien immer ein Wendepunktdreieck bilden.

Legt man als Fundamentalfunktionen, durch welche alle anderen
Thetapotenzen und vollständigen Thetaprodukte linear ausgedrückt
werden sollen, die drei Thetapotenzen:

(106) y, = ^^0}{ii), y,-d-'{a}{u), y, = ^^-a}(u)

zu gründe, so geschieht der Übergang von den früheren Fundamental-
funktionen (76) zu den jetzigen durch die aus (82) für (^) = (0),
(^^) = (0), (/3), (— /3) folgenden Gleichungen:

(107) X^ = Ä-2 (^1 + T ?/o + T'-f/g),

wo:

, 10«^ z. _ ^{Q^^} z- _ ^{0^"^) _ _ 2ak

(^IUö; /'i - ^3|0) + 2^='.;^ ' ''2- ^3|o}_^3|^j - ^«/^i

ist. Dadurch geht aber die Gleichung (93) in die Gleichung:

(109) {y, + y, + ^g)^ + 6 6 2/i ?/2 2/3 = 0

über, bei der:

mm h - _ 3^"' _ _ ^ (&^0}^2&^a)Y_ _ j^

ist, und welche, wie unmittelbar ersichtlich, aus der ersten Gleichung
(107) folgt, wenn man deren linke und rechte Seite zur dritten Potenz
erhebt.

Da für ^1 = 0 nunmehr i/g = — 2/2 dreifache Wurzel der Glei-
chung ist, so ist die Linie y^ = 0 Wendetangente im Wendepunkte
2/1 • 2/2 • 2/3 = ^ • 1 • ~ 1 5 ebenso ist 2/2 = ^ Wendetangente in y^ : y^ : y^
= — 1:0:1, ^g = 0 in y^ : y^ : y^ = 1 : — 1 : 0. Das Koordinaten-
dreieck besteht also jetzt aus drei Wendetangenten und zwar jenen
drei, welche die Kurve in den auf der Wendepunktlinie

398 Vm. 7. Der besondere Fall p = l, r = 3.

(111) ^1 + 2/2 + Vz = 0
oder

(112) x,^0

liegenden Wendepunkten herrühren.

Solcher Koordinatensysteme gibt es zu den 12 Wendepunkt-
liuien (105j gehörig 12 verschiedene. Da der Übergang von einer
Wendepunktlinie zu einer in derselben Vertikalreihe stehenden
durch Änderung von u um Periodendrittel bewirkt wird, so bleibt
bei diesem Übergänge die Konstante h in der Gleichung (109) un-
geändert. Beim Übergange von einer Vertikalreihe von (105) zu
einer anderen dagegen ändert sich h^ und zwar geht beim Übergange
von der ersten Vertikalreihe zur zweiten:

/11Q\ . l — a , , . 4(1 — a)^

(llö) a in , I , , also /> m —- — ^j, — m—i)

zur dritten:

.. . , . 1 — xa , , . 4(1 — rdf
(114) a in — — — — , also b in —- ). f— r^-«;

zur vierten:

/iic:\ • 1 — T-a , , . 4(1— T-a)^

über.

Die vorstehenden Resultate wird man schließlich wie folgt zu-
sammenfassen :

VII. Satz: SetM man die drei homogenen Funktkoordinaten der

Ebene:

(XX) x^ = &{Q, u\{u), x,^^[ß,a\{u), x^ = ^{- ß, a\{u)

und betrachtet u als beweglichen Parameter, so wird durch diese Glei-
chungen eine allgemeine Kurve dritter Ordnung ohne Doppelpunkt de-
finiert; sie ist bezogen auf ein Wendepunktdreiech als Koordinaten-
dreieck und hat die Gleichung:

(XXI) a\ -^ x\ -\- xl -\- 6a x^ x.^ x^ = 0,
im:

1 ^3joj_|_2^3|£,j

(XXII; a= 2 ^»^'{^l + T^-^IjS-l-aj + T*^';^

ist. Die 12 Gleichungen:

(XXIIH) ^{;{, ij}(w) = 0

stellen die 12 Wendepunktlinien, die 9 Gleichungen:

(XXIV) %'^{e]{u) = 0

Endresultat. — Die ellipt. Normalkurven. 399

die 9 Wendetangenten dar; von den 12 Wendepiinktlinien enthalten
3 alle 9 Wendepunkte, bilden also ein Wendepunktdreiech , wenn die
drei hei ihren Gleichungen auftretenden Systeme von TJi. Cliar. einem
und demselben Komplexe angehören; von den 9 Wendetangenten Jmben
3 ihre Berührungspunkte auf der nämlichen Wendepunktlinie, wenn
ihre 3 Charakteristiken ein System von Tli. Char. bilden. Wählt man
3 solche Wendetangenten als Koordinatendreieck, setzt also:

(XXV) y, = &^^]{H), y, = d-^K + a]{ii), y, ^ d-'{K~ a}iiu),
so lautet die Gleichung der Kurve:

(XXVI) {y, + y, + y,y + G b y, y, y, = 0,
ivo:

(ÄÄVii) ö = - -- \^ q-^ö:^^^ ) - - r^Tg-^s

ist").

§ 8.

Die elliptischen Normalkurven.

Mit @(^)(m), ©(-)(«(), •••, 0('')(m) seien r linearunabhängige Theta-
funktionen r*""" Ordnung mit der Charakteristik [0], etwa vollständige
Produkte von r Funktionen -9" [f ];.((?*)) oder r'* Potenzen solcher Funk-
tionen bezeichnet. Versteht man dann unter x^, x<^, ■ ■ •, x^ homogene
Punktkoordinaten eines r— 1-dimensionalen Raumes und setzt:

(116) iC. = 0W(W), (/ = l,2,...,r)

SO wird durch diese Gleichungen, sobald man u als beweglichen
Parameter betrachtet, eine Kurve in diesem Räume definiert, welche
eine elliptische Normalkurve genannt wird. Indem u ein einzelnes
Periodenparallelogramm überstreicht, durchläuft der Punkt (116) die
Kurve vollständig.

Man wird dazu bemerken, daß keine allgemeineren Kurven erhalten
werden, wenn man unter @^'^^{u), •■■, @('■)(^t) Thetafunktionen r*®"" Ord-

1) Zu diesem Paragraphen vergl.: Bianchi, Über die Normalformen
dritter und fünfter Stufe des elliptischen Integrals erster Gattung. Math.
Ann. Bd. 17. 1880, pag. 234. Krazer, Über Thetafunctionen , deren Charak-
teristiken etc. Hab. -Schrift. Würzburg 1883 und Math. Ann. Bd. 22. 1883,
pag. 416. Klein, Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunc-
tionen ausgearb. von Fricke. Bd. 2. Lpz. 1892, pag. 290.

400 VIII. 8. Die elliptischen Normalkurven.

nung mit einer beliebigen Charakteristik ^ versteht, da es nur der
Einführung eines neuen Parameters:

(117) u = u + ^-^

bedarf, um wieder zu Thetafuuktionen mit der Charakteristik [0]
überzugehen (vergl. Formel (120) pag. 41).

Jede homogene ganze rationale Funktion m*^^ Grades der x- ist
eine Thetafunktion wr*" Ordnung mit der Charakteristik [Oj und
verschwindet als solche im Periodenparallelogramm an mr Stellen
«1, 11^, •••, u„^j., für welche wie pag. 41 bewiesen:

(118) Ml + «2 + \- «mr = T" (« + ^V

ist. Für m = 1 heißt dies, daß jede lineare Verbindung der x^ auf
der Kurve r-mal Null wird, die Kurve also von der »•**" Ordnung
ist. Wir heißen sie daher von jetzt an die elliptische Normalkurve
yter Ordnung.
Sind:

(119) 2/i=®^'K^*) (1 = 1,2, ..,r)

r andere linearunabhängige Thetafunktionen r*" Ordnung mit der
Charakteristik [0], so definieren diese Gleichungen, wenn man
Z/u ?/27 ■ ■ ■? 2/r "bieder als homogene Punktkoordinaten des r — 1-di-
mensionalen Raumes, u als beweglichen Parameter ansieht, gleichfalls
eine elliptische Normalkurve r**"" Ordnung. Da nun die y. nach
dem VI. Satz pag. 389 durch die x^ homogen und linear darstellbar
sind, so ist die Kurve (119) zur Kurve (116) kollinear verwandt; für
die projektive Auffassung gibt es daher nur eine einzige Normalkurve
yter Ordnung.

Die 2r^ Substitutionen:

(120) m'= + m + — ^^^ ,

wo X, l' zwei Zahlen aus der Reihe 0, 1, •••, r— 1 bezeichnen, sind
Transformationen der elliptischen Normalkurve »•*" Ordnung in sich;
da aber gemäß den Formeln (VII) pag. 371 und (IX) pag. 372 die
Größen:

(121) iP,'= 0W(m') = 0f')(± U + ^" +/''''), (/=1,2,- -.r)

nachdem man sie von einem allen gemeinsamen Faktor befreit hat,
als Funktionen von u betrachtet, wieder Thetafunktionen r^^^ Ord-
nung mit der Charakteristik [0] und als solche homogen und linear
durch die ursprünglichen x^ darstellbar sind, so sind die 2r- Trans-

Eigensch. d. ellipt. Normalkurven. — Quadrat. Relat. zw. den x. 401

formationen (120) der elliptischen Normalkurve r*" Ordnung in sich
KoUJneationen, und man hat damit bewiesen, daß die elliptische
Normalkurve r**"^ Ordnung 2r^ Kollineationen in sich besitzt, welche
durch die Gleichungen (120) dargestellt werden.

Man projiziere jetzt die elliptische Normalkurve r*®' Ordnung
aus einem ihrer Punkte in einen durch diesen Punkt hindurchgehenden
linearen Raum ii^_2 von r — 2 Dimensionen. Der Einfachheit halber
setze man voraus, daß der Punkt a;i = 0, rrg = 0, • • •, x^_^ = 0 auf
der Kurve liege, und wähle diesen Punkt als Projektionszentrum, als
Projektionsbasis aber den durch die Gleichung x^. = 0 definierten
-R^_2. Die in Rede stehende Projektion wird dann analytisch durch
die Weglassung der r*®" Variable x^ und Deutung der r — 1 übrigen
als homogene Punktkoordiuaten in 12^-2 ausgeführt. Entspricht nun

dem Projektionszentrum der Wert w == Uq -j ^^ — ^ go gehen iCj, x^,

•••, ^r-i? wenn man sie alle durch ^{ii — u^ dividiert, in Theta-
funktionen r — l*^'" Ordnung mit der nämlichen Charakteristik über,
die also in Il^_^ eine elliptische Noi*malkurve r — 1*" Ordnung de-
finieren. Durch Projektion der elliptischen Normalkurve r*" Ordnung
von einem ihrer Punkte aus erhält man also eine elliptische Normal-
kurve r — V^'^ Ordnung, So fortfahrend erhält man schließlich als
r — 4*" Projektion eine elliptische Norraalkurve 4*^' Ordnung im
Räume von 3 Dimensionen und endlich als r — 3*" Projektion eine
ebene elliptische Normalkurve 3*®'' Ordnung. Diese ist aber wie im
vorigen Paragraphen gezeigt eine allgemeine ebene Kurve 3'®"^ Ord-
nung ohne Doppelpunkt, und da diese keine vielfachen Punkte und
mehrfach zu zählenden Kurvenzweige besitzt, so ergibt sich das Re-
sultat, daß auch die elliptische Normalkurve r*^' Ordnung weder viel-
fache Punkte noch mehrfach zu zählende Kurvenzüge enthält.

Aus den r Größen x^ kann man ^r{r -\- 1) Kombinationen mit
Wiederholung zur zweiten Klasse bilden; jede solche ist eine Theta-
funktion 2r*" Ordnung mit der Charakteristik [0], und da es deren
nur 2r linearunabhängige gibt, so müssen — wenn wir für das
folgende r > 3 voraussetzen, da der Fall r = 3 im vorigen Para-
graphen vollständig erledigt ist — zwischen den r Größen x^
^r{r -f 1) — 2r = ^^r{r —- 3) linearunabhängige homogene Relationen
zweiten Grades existieren. Jede dieser Relationen stellt eine Fläche
zweiten Grades im Räume Rr-i ^^^ ^^^ ^^^ jeder dieser Flächen
zweiten Grades liegt die elliptische Normalkurve. Man kann nun
wiederum durch die Methode des Projizierens den Beweis erbringen,
daß diese -|-r(r — 3) Flächen zweiten Grades die elliptische Normal-
kurve rein zum Ausschnitt bringen d. h. außer ihr kein Gebilde ge-
meinsam haben, sobald man berücksichtigt, daß dies im niedrigsten
Falle r = 4 zutrifft, in welchem die elliptische Normalkurve von- der

Krazer, Thetafunktionen. 26

402

Vni. 8. Die elliptischen Normalkurven.

vierten Ordnung und als Durchschnitt zweier Flächen zweiter Ord-
nung von der 1. Spezies ist^).

Die ^r(r — 3) Flächen zweiter Ordnung geben nämlich Anlaß
zu einem 4^r(r — 3) — 1-fach unendlichen linearen System von Flächen
zweiter Ordnung, in welchem sich ein ^(r^ — 5r + 2)-fach unendliches
lineares System von Kegeln mit einem gegebenen Punkte der Normal-
kurve als gemeinsamer Spitze befindet. Wählt man diesen als Pro-
jektion szentrum, so liefern die eben genannten Kegel als Projektion
in einen JR^_2 ein System von ^^ (r — 1) (r — 4) linearunabhängigen
Flächen zweiter Ordnung, und die von diesen ausgeschnittene Kurve
ist die vollständige Projektion der Durchschnittskurve jener ^r(r — 3)
Flächen zweiter Ordnung im R^-if ^^^ denen wir ausgegangen
sind. Würde also diese nicht nur aus der elliptischen Normalkurve
yter Ordnung bestehen, sondern noch einem davon verschiedenen
Kurvenzug, so müßte auch in der Projektion sich außer einer ellip-
tischen Normalkurve r — 1*^' Ordnung noch ein anderer Kurvenzug
vorfinden; da dies aber für r = 4 nicht der Fall ist, so auch all-
gemein nicht ^).

Gemäß der für beliebiges r geltenden leicht zu verifizierenden Formel:

ff

h

(122) ^HW„^

r

U),---&

ff

r — 1

{it), = c&

rh-{

ff
r — 1

(''Aa7

in der c von der Variable u und den Charakteristikenelementen ^, h un-
abhängig ist, sind die r Thetaprodukte

(123)

^<.=4o]w4I]w-4.--.]W' '"-»^

, 1, ■ -.r— 1)

wenn r ungerade ist, r linearunabhängige Thetafrmktionen r^^^ Ordnung
mit der Charakteristik [0] , aus denen also jedes andere vollständige

1) Clebsch, Über diejenigen Curven, deren Coordinaten sich als ellip-
tische Functionen eines Parameters darstellen lassen. J. für Math. Bd. 64.
1865, pag. 210. Killing, Der Flächenbüschel zweiter Ordnung. Inaug.-Diss.
Berlin 1872. Harnack, Über die Darstellung der Raumcurve vierter Ordnung
erster Species und ihres Secautensystems durch doppeltperiodische Functionen.
Math. Ann. Bd. 12. 1877, pag. 47. Lange, Die sechzehn Wendeberührungs-
punkte der Raumcurve vierter Ordnung erster Species. Inaug. - Diss. Leipzig 1882.

2) Zum vorstehenden Paragraphen vergl.: Klein, Über unendlich viele
Normalformen des elliptischen Integrals erster Gattung. Math. Ann. Bd. 17.
1880, pag. 133 und München Sitzb. Bd. 10. 1880, pag. 533; Zur Theorie der
elliptischen Functionen w*«"" Stufe. Leipz. Ber. Bd. 36. 1884, pag. 61; Über die
elliptischen Normalcurven der JV"*^" Ordnung und zugehörige Modulfunctionen
der N^"" Stufe. Leipz. Abh. Bd. 13. 1885, pag. 337; Vorlesungen über die Th.
d. eil. Modulf. etc. Bd. 2. Lpz. 1892, pag. 236.

Die quadrat. Relationen zwischen den x. 403

Thetaprodukt und jede Thetapotenz linear zusammengesetzt werden kann.
Die im Falle r > 3 zwischen den Größen x^ bestehenden ^r(r — 3)
quadratischen Relationen, welche, wie im Vorigen gezeigt wurde, die Be-
ziehungen zwischen den x vollständig bestimmen, ergeben sich aus der
Weierstraßschen Thetaformel (XL VIII) pag. 323. Setzt man nämlich darin:

(124)

z , a, a-\-7ti z , a^ a-\-ni

2 r 4 ' 2 r 4 '

Z , do a-\-ni z , a, a 4- ni

«; = - + -?« V- , «^' = ^ + :rc^ -

2 ' r 4 ' 2 ' r 4 '

und schreibt sodann ru statt z^ auch ra statt a, so erhält man:

(125) +0, 4"' I "']/».)„ *["'r'X(«),.

wo die c von m unabhängig sind, und hieraus auf Grund von (122):

Um zu beweisen, daß in dieser Formel tatsächlich ^r(j' — 3) linearunab-
hängige Relationen enthalten sind, beachte man zunächst, daß für jedes
der drei Glieder von (126) die Indexsurnme der beiden Größen x die
gleiche ist, ferner, daß es zu jeder gegebenen Indexsumme s = 0, 1, •••,?• — 1

r 4- 1 .

gerade — r — verschiedene Produkte von je zwei Größen x gibt, und end-
lich, daß venuittelst der Fonnel (126) durch zwei unter diesen die

r — 3

" — übrigen ausgedrückt werden können. Auf diese Weise erhält man

r — 3

für jeden Wert von s — — — , für die r verschiedenen Wei'te von s also

zusammen ^r(r — 3) Relationen, welche zudem ihrer Natur nach linear-
unabhängig sind.

Im Falle r = 5 sind die Formeln (126) zuerst von Hen'n Bianchi ^) und
später in ähnlicher Weise von Halphen^) abgeleitet worden; auf anderem
Wege gelangt dazu Herr Sievert^). Für beliebiges ungerades r hat
sie Herr Klein*) angegeben; daß man sie auf r — 2 unabhängige muß

1) Bianchi, Über die Normalformen etc. Math. Ann. Bd. 17. 1880,
pag. 234.

2) Halphen, Memoire sur la reduction des equations differentielles
lineaires aux formes integrables. Mem. pres. p. div. sav. ä l'acad. des sc. de
France. Sc. math. et jjhys. (2) Bd. 28. 1884, pag. 1.

3) Sievert, Über Thetafunctionen etc.. Progr. Bayreuth 1895.

4) Klein, Über gewisse Teilwerte der 0-Punction. Math. Ann. Bd. 17.
1880, pag. 565.

26*

404 Vni. 9. Übergang von den Funkt. &[e]J,u} zu den Funkt, ^[f]^!«).

reduzieren köanen ist klar, die Reduktion selbst ist aber bis jetzt nur
im Falle r = 5 von Herrn Bianchi und Halphen a. a. 0. ausgeführt
worden.

Bezüglich der Übertragung der vorstehenden Resultate auf den Fall
eines geraden r vergl. außer den oben genannten speziellen Unter-
suchungen des Falles r = 4 die Arbeit des Herrn Hurwitz ^).

HeiT Witting^) hat die Formulierungen des Herrn Klein auf den
Fall ^9=2 übertragen, dabei aber das hier vorliegende Problem der Zu-
sammensetzung von r^ linearunabhängigen Thetafunktionen r^^^ Ordnung
mit der Charakteristik [0] aus den r^^ Funktionen '9'[f]^((w)) und der
Untersuchung der zwischen diesen Grundfunktionen bestehenden r^ — p — 1
algebraischen Relationen nicht berührt.

§9.

Übergang' von den Funktionen ^[e]r((M))
zu den Funktionen ^[b]^{u]j.

Man verstehe unter

n27^ r^") r^*^^ ••• c^°^- c*'^ c^'^ ••• c^'^- • • •• c^'^ c^"^ ••• c^"^

r -f- 1 Systeme von je ^j Konstanten, die zunächst gar keiner Be-
dingung unterworfen seien. Definiert man dann Größen s durch die
Gleichungen:

(128) ^,«..=.») + .;;)+... + c<'> a:;;i,;::;)

und setzt in der Formel (310) pag. 318, nachdem man in ihr m
durch r ersetzt hat:

(129) 2«;f = «, + .^", 2*;f = -«, + s;r", (,!:;;t:::;)

so geht dieselbe in die Formel:

1) Hurwitz, Über endliche Gruppen linearer Substitutionen, welche in
der Theorie der elliptischen Transcendenten auftreten. Math. Ann. Bd. 27.
1886, pag. 183; dazu Klein, Vorlesungen über die Th. d. eil. Modulf. Bd. 2.
Lpz. 1892, pag. 257.

2) Witting, Über eine der Hesse'schen Configuration der ebenen Curve
dritter Ordnung analoge Configuration im Räume, auf welche die Transforma-
tionstheorie der hyperelliptischen Functionen (j) = 2) führt. Inaug.-Diss.
Göttingen 1887 und: Über Jacobi'sche Functionen k'" Ordnung zweier Variabler.
Math. Ann. Bd. 29. 1887, pag. 157; dazu: Burkhardt, Untersuchungen aus
dem Gebiete der hyperelliptischen Modulfunctionen. Zweiter Theil. Math.
Ann. Bd. 38. 1891, pag. 161.

Darst. von vollst. Thetapr. u. Thetapot. durch die Funkt. -9' [fjg ((«])• 405
2ir^^)p ^((s(l) _ c(l))) #((6-(2) - c(2))) • ■ • ^((sM - CW))

(130) ^[^^'-^) + ^('-)L((5^'-^)))^[^^'-^ + ^^^^].((M^))

über.

Setzt man daher jetzt voraus, daß die p Konstanten d^^ des ersten
Systems von (127) nach wie vor vollständig willkürlich seien, die
rp übrigen Konstanten c dagegen den p Bedingungen:

(131) c;;^ + c;f + --- + c;:^ = o (.=i.v..,p)

genügen, sodaß

(132) «^ = «1!^ (,< = i,2,...,p)

wird, so erhält man mittelst der Formel (130) jedes Thetaprodukt
von der Form:

(133) ^|m + ü(i))j &{ii + c(2))) • . . ^{u + d%

bei dem die c die Bedingungen (131) erfüllen, durch die 2^^ Funk-
tionen '9"[£]2((w)) ausgedrückt. Führt man dann in der gewonnenen
Formel für die Größensysteme (127) korrespondierende r*®^ der Perio-
dizitätsmodulen mit den Per. Char. (j«^"')^, (>c'^Or> " 'j (j^^''^)r ®^^? welche
der Relation (131) entsprechend der Bedingung

(134) (x(i) x(2) . . . xW) = (0)

zu genügen haben, und wendet auf die linke und rechte Seite von
(130) die Formel (II) pag. 371 an, so erhält man das vollständige
Thetaprodukt

(135) H^^^ih)) H^^'Uu} ■ ■ ■ ^[xW], W
und endlich, indem man hierin

(136) (aW) = (x(2)) = . . . = (xC-- 1)) = (x)

setzt, die Thetapotenz

(137) ^'•[^liu])

als homogene ganze rationale Funktion r*®"^ Grades der 2^^ Funk-
tionen '9'[£]2((w)) dargestellt; dabei setzen sich die Koeffizienten rational
zusammen aus 2r*®° Einheitswurzeln und Thetanull werten, und zwar

406 "^ni. 9. Übergang von den Funkt. &[i]riu} zu den Funkt. &[e]iiu}.

im Falle eines geraden r den Null werten der r'^P Funktionen ■9'[«]^((w)),
im Falle eines ungeraden r den Nullwerten der (2ryp Funktionen

Beachtet man dann noch, daß man aus r^ linearunabhängigen
Funktionen von der Art (133), (135) oder (137) jede beliebige Theta-
funktion r*®' Ordnung mit der Charakteristik [0] zusammensetzen
kann, so erhält man endlich das Resultat, daß mit Hilfe der Formel
(130) jede Thetafunktion r^^^ Ordnung mit der Charakteristik [0] als
homogene ganze rationale Funktion r*"" Grades der 2^p Funktionen
■^[^JaW dargestellt werden kann.

Eine Verallgemein eining der Formel (130), welche den Übergang
von den r^P Funktionen '9-[f]^((M)) zu den s^p zu irgend einem anderen
Nenner s der Charakteristikenelemente gehörigen Funktionen 'ö'Cf],!^)),
imd entsprechend die Darstellung jeder Thetafunktion r*^"^ Ordnung mit
der Charakteristik [0] als homogene Funktion r^^^ Grades der s^p Funk-
tionen '&'[£],((«)) vermittelt, siehe bei Herrn Prym und mir^).

Das vorher ausgesprochene Resultat ist einer für das folgende

wichtigen Verallgemeinerung fähig. Auf der rechten Seite der Formel

(130) treten nämlich nicht nur dann ausschließlich die 2^p Funktionen

^[£]2((m)) auf, wenn die Bedingiingen (131), (132) erfüllt sind, sondern

/s^ — Ä
immer, wonn nur das Größensystem I ~ j = (c'^^^ -\- c^^'> -\ \- c^''')

ein System korrespondierender Halber der Periodizitätsmodulen ist.

Mittelst der Formel (130) läßt sich daher auch jedes solche Theta-

produkt von der Form (133) ausschließlich durch die 2^p Funktionen

■^[^LW ausdrücken, für welches

p

(138) c'^^ + <^ + • • • + <^ = i 2 %' %,■ + i % ^i

(^( = 1, 2, ■ • • , p)

ist, wo die tj, tj' irgend welche ganze Zahlen bezeichnen. Führt man
dann wiederum an Stelle der Größensysteme c korrespondierende r**^
der Periodizitätsmodulen mit den Per. Char. (x("))^, (jc^^^r? " * > (^^''^)r ®i°>
welche den Gleichungen (138) entsprechend nunmehr der Bedingung:

(139) (x(i) x(2) . . . xM), = {ri\

zu genügen haben, so erhält man ein Thetaprodukt (135), bei dem
die Per. Char. (x)^ der Bedingung (139) genügen, durch die Funk-
tionen '0'[£]2((w)) ausgedrückt und schließt weiter wie oben, daß über-
haupt jede Thetafunktion r**"" Ordnung mit einer Charakteristik \ri\,
deren Elemente halbe Zahlen sind, sich mit Hilfe der vorstehenden
Formeln als homogene ganze rationale Funktion r*®° Grades der 2^^
Funktionen 'ö'[£]2 ((?<)) darstellen läßt.

1) Krazer und Prym, Neue Grundlagen etc. Lpz. 1892, pag. 56.

Ganzz. Transf. höherer Ord. der Funkt ■9'[f]s,C'*))- E^^s^e Methode. 407

§ 10.
Die Transformation der Funktionen d-lsj^lu}.

Die Bedeutimg der Formeln des vorigen Paragraphen liegt in
ihren Beziehungen zum Transformationsproblem der Funktionen
^[^^Maf ^^^ Probleme nämlich eine Funktion ^Is^lti}^, nicht
schlechthin durch Thetafunktionen mit den transformierten Argu-
menten u und den transformierten Modulen a, sondern speziell durch
die 2^P Funktionen ^[£\lu'}a' auszudrücken. Nur für die ganzzahlige
lineare Transformation geben die früheren Formeln die Lösung dieses
Problems (vergl. Formel (XXIX) pag. 181). Im folgenden soll die
ganzzahlige Transformation höherer Ordnung der Funktionen '9'[«]2((w))a
behandelt werden.

Als Ausgangspunkt hat der XL Satz pag. 166 zu dienen, wonach
die Funktion:

(140) n{{u)) = ^[8Uu\e^

eine Thetafunktion w*®'' Ordnung mit den Argumenten u^', den Mo-
dulen a^^, und der Charakteristik [fjg ist, deren Elemente durch die

Gleichungen :

p

H = l (r = l,2,- ,p)

(141)

p

y^i \ ^p + y,fi ^H ' ^p + v,p + itt ^u 1 ^p + v,fi ^p + r,p + /u)

bestimmt sind. Nun ist aber gerade im vorigen Paragraphen be-
wiesen worden, daß jede solche Thetafunktion höherer Ordnung mit
einer Charakteristik, deren Elemente halbe Zahlen sind, ausschließlich
durch die 2^^ Funktionen '^[f]2((w'))a' ausgedrückt werden kann, und
es ist daher durch die dort angegebenen Formeln das Transforma-
tionsproblem der Funktionen ^[e^iu}^ im angegebenen Sinne gelöst.
Bei der Aufstellung der Transformationsformel wird man an jene
Formeln anknüpfen, welche im fünften Kapitel (pag. 167 u. f.) angegeben
wurden und welche nl(u'} linear darstellen durch w** Potenzen oder
w-gliedrige Produkte von Thetafunktionen mit den Argumenten u',
den Modulen a und Charakteristiken, die im vorliegenden Falle, wo
die g, h halbe Zahlen sind, aus 2n^^^ ganzer Zahlen als Elementen
bestehen, und es erübrigt nur noch eben diese Potenzen oder Pro-
dukte von Thetafunktionen mit Hilfe der Formel (130) durch die
2'^p Funktionen ^\_£\{i<'')]a' auszudrücken. Dabei treten, wie oben er-
wähnt, in den konstantan Koeffizienten die Nullwerte von Theta-
funktionen auf, deren Charakteristiken w*^^ bez. 2w*®^ ganzer Zahlen
sind. Die Lösung des Transformationsproblems würde als eine voll-
ständige erst dann zu bezeichnen sein, wenn es gelänge, diese Größen

408 "VIII. 10. Die Transformation der Funktionen &[s\iu}.

und ebenso die bei der Darstellung der Funktionen ^i(nu\^, durch
die Funktionen d'lii}^, auftretenden Konstanten K (pag. 168) aus-
schließlich durch die Nullwerte der 2^~^(2p+ 1) geraden Funktionen
d-[e\{(ii}^, auszudrücken; dies ist aber bis jetzt nur im Falle der
quadratischen Transformation erreicht worden^).

Will man nicht auf die Formeln des fünften Kapitels zurück-
gehen, so kann man zur Aufstellung der Transformationsformeln der
Funktionen ^{e^Ma ^^^ direkterem Wege verfahren wie folgt.

Da die Funktion 11 ([u'}, je nachdem die Charakteristik [«] ge-
rade oder ungerade ist, eine gerade oder ungerade Funktion des
Argumentensystems (u) ist, so läßt sie sich nach dem in § 15 des
vorigen Kapitels Bemerkten aus g bez. u, wo g und u die im
LXVI. Satz angegebenen Werte besitzen, linearunabhängigen geraden
bez. ungeraden Thetafunktionen w*®' Ordnung mit der Charakteristik
[f], zusammensetzen mit Hilfe von Koeffizienten, welche von den
Variablen u unabhängig sind. Die Lösung des Transformations-
problems der Funktionen O'le^lu}^ kann man also auch in der Weise
erreichen, daß man einmal (vgl. pag. 362) aus den 2^^ Funktionen
'^[^^(('^'L' 9 ^^^- " linearunabhängige gerade bez. ungerade Theta-
funktionen w**' Ordnung mit gegebener Charakteristik [s\, ®1 [^IzC^'));
&^^\s]2iu'}, ■•' zusammensetzt und sodann in dem linearen Ausdrucke:

(142) c, ®'^[sUu)) + c, 0f [aLlK)) + • • •

die von den Variablen u unabhängigen Koeffizienten c^, C2, ••• so
bestimmt, daß derselbe der vorgelegten Funktion 77 ((w')) gleich wird.
Bezüglich der Bestimmung dieser Konstanten c kann man zwei
verschiedene Methoden anwenden. Bei der ersten Darstellung werden
die c ausgedrückt durch die Teil werte der Funktionen ^[s^l^Oa' ) ^- ^•
durch jene Werte, welche diese Funktionen für rationale Vielfache
der Periodizitätsmodulen annehmen; bei der zweiten Darstellung
werden die c ausgedrückt durch die Nullwerte der ursprünglichen
Thetafunktionen ^[e\iti}a ^^^ ^^^ transformierten '9"[f]2((w'L'- ^

1) Für j)= 1: Königsberger, Die Transformation etc. Lpz. 1868, § 19; für
p = 2: Königsberger, Über die Transf. des zweiten Grades etc. J. f. Math.
Bd. 67. 1867, pag. 58; auch: Pringsheim, Zur Transformation zweiten Grades der
hypert'lliptischen Functionen erster Ordnung. Math. Ann. Bd. 9. 1876, pag. 445;
Rohn, Betrachtungen über die Kummer'sche Fläche und ihren Zusammenhang
mit den hyi^erelliptischen Functionen p = 2. Inaug.-Diss. München 1878 und:
Transformation der hyperelliptischen Functionen p = 2 und ihre Bedeutung für
die Kummer'sche Fläche. Math. Ann. Bd. 15. 1879, pag. 315 und Hab.-Schiift
Leipzig 1879; Um- p = 3: Weber, Über die Transfonnationstheorie etc. Ann. di
Hat. (2) Bd. 9. 1879, §7; für beliebiges 2> : Krazer, Die quadratische Transfor-
mation der Thetafunctionen. Math. Ann. Bd. 46. 1895, pag. 442 und Baker,
Abel's theorem and the allied theory including the theory of the Theta-func-
tions. Cambridge 1897, § 364. 365 und 370.

Ganzz. Transf. höherer Ord. der Funkt. &[8]^iu)). Zweite Methode. 409

beiden Fällen ist das Transformationsproblem nur unvollständig ge-
löst; im ersten Falle erübrigt es noch die Teil werte der Funktionen
"^[^LIKL' durch dieNullwerte dieser Funktionen auszudrücken (spezielles
Teilungsproblem); im zweiten Falle die Null werte der Funktionen
^[e]2iu}a durch die Null werte der Funktionen ^•[fjgfw'))^, auszudrücken
(spezielles Transformationsproblem) ^).

1) Vergl. dazu: Brioschi, Sur la theorie de la transf ormation des fonc-
tions abeliennes. Extrait d'une lettre adressee ä M. Hermite. C. R. Bd. 47.
1858, pag. 310; Sulla trasformazione delle funzioni iperellittiche del primo or-
dine. Roma Acc. Line. Rend. (4) Bd. 1. 1885, pag. 315; Le equazioni modnlari
nella trasformazione del terzo ordine delle funzioni iperellittiche a due variabili.
Roma Acc. Line. Rend. (4) Bd. 1. 1885, pag. 769. Königsberger, Die Trans-
formation etc. Lpz. 1868; Ueber die Transformation dritten Grades und die zu-
gehörigen Modulargleichungen der AbeUschen Functionen erster Ordnung. J. für
Math. Bd. 67. 1867, pag. 97; Die Modulargleichungen der hyperelliptischen
Functionen erster Ordnung für die Transformation dritten Grades. Math. Ann.
Bd. 1. 1869, pag. 161. Krause, Über die Transformation fünften Grades der
hyperellif»tischen Functionen erster Ordnung. Math. Ann. Bd 16. 1880, pag. 83;
Die Modulargleichungen der hyperelliptischen Functionen erster Ordnung für
die Transformation dritten Grades. Math. Ann. Bd. 19. 1882, pag. 103; Über
die Modulargleichungen der hyperelliptischen Functionen erster Ordnung.
Math. Ann. Bd. 19. 1882, pag. 423 und 489; Die Modulargleichungen der
hyperelliptischen Functionen erster Ordnung für die Transformation fünften
Grades. Math. Ann. Bd. 20. 1882, pag. 226; Sur la transformation des fonc-
tions elliptiques. Acta math. Bd. 3. 1883, pag. 93; Sur la transformation
des fonctions hyperelliptiques de premier ordre. Acta math. Bd. 3. 1883,
pag. 153; Zur Transformation der Thetafunctionen einer Veränderlichen. Math.
Ann. Bd. 25. 1885, pag. 319; Zur Transformation der Thetafunctionen zweier
Veränderlichen. Math. Ann. Bd. 25. 1885, pag. 323; Die Transformation
der hyperelliptischen Functionen erster Ordnung. Lpz. 1886, § 36 — 41;
Theorie der doppeltperiodischen Functionen einer veränderlichen Größe. Bd. 1.
Lpz. 1895, § 59 — 63, § 75. Müller, Zur Transformation der Thetafunctionen.
Arch. für Math. (2) Bd. 1. 1884, pag. 161. Rohde, Zur Transformation der
Thetafunctionen. Arch. für Math. (2) Bd. 3. 1886, pag. 138. Weber, Über die
Transformationstheorie etc. Ann. di Mat. (2) Bd. 9. 1879, pag. 126; Elliptische
Functionen und algebraische Zahlen. Braunschweig 1891. — Die späteren Ar-
beiten des Herrn Krause (Über Thetafunctionen, deren Charakteristiken ge-
brochene Zahlen sind. Math. Ann. Bd. 26. 1886, pag. 569; Zur Transformation
der elliptischen Functionen. Leipz. Ber. Bd. 38. 1886, pag. 39; Über Fourier-
sche Entwicklungen im Gebiete der Thetafunctionen zweier Veränderlichen.
Math. Ann. Bd. 27. 1886, pag. 419; Die Transformation etc. Lpz. 1886, § 46 u. f.;
Zur Transformation der Thetafunctionen. Leipz. Ber. Bd. 45. 1893, pag. 99, 349,
523, 805 und Bd. 48. 1896, pag. 291 ; Theorie der doppeltperiodischen Functionen
etc. Bd. 1. Lpz. 1895, 4. Abschnitt und Bd. 2. 1897, 1. Abschnitt; Über die
Transformationstheorie der elliptischen Functionen. Jahresber. d. D. Math.-Ver.
Bd. 4. 1897, pag. 121; dazu auch: Möller, Zur Transfonnation der Theta-
functionen. Inaug.-Diss. Rostock 1887 und Voß, Theorie der Thetafunctionen
einer Veränderlichen, deren Charakteristiken sich aus gebrochenen Zahlen zu-
sammensetzen lassen. Inaug.-Diss. Rostock 1886 und Arch. für Math. (2) Bd. 4.
1886, pag. 385) bewegen sich in der im Anfange dieses Paragraphen geschilderten
Richtung.

Dritter Teil.
Die speziellen Thetafunktionen.

Neuntes Kapitel.
Die Abelschen Thetafunktioneii.

§ 1-

Vorbemerkungen aus der Theorie der Abelschen Funktionen.

Mit der unabhängigen komplexen Veränderlichen z sei eine
zweite Variable s durch eine irreduzible algebraische Gleichung

n m

(1) F(s|^) = 0

vom Geschlecht p verknüpft. In der dadurch definierten Klasse
gibt es dann jj linearunabhängige Integrale I. Gattung

(2)

n — 2 m-
{S I Z)

{s\z)

dz\

jede der hier auftretenden Funktionen 95(5!^) wird 0^ in den

d^{'m — l)in—l)—p Doppelpunkten

von (1) und außerdem noch in m(n — 2)

-{- n (m — 2) — 2 d = 2p — 2 weiteren

Punkten. Die zur Klasse gehörige

w- blättrige Riemannsche Fläche T mit

2(j) -\- n — 1) Verzweigungspunkten sei

durch ^ Querschnittpaare %, 6^; a^, b^]

•••5 a , h und p von einem Punkte 0

ausgehenden Hilfslinien q, Cg, •••, c^

in die einfach zusammenhängende

Fläche T verwandelt. Es seien w, ,

Mo

M,

die p Normalintegrale

Fig. 2.

I. Gattung, welche dadurch charakterisiert sind, daß

1, wenn ^ = v,

(3)

längs a^
längs h^
längs c^

,ni.

K = ^*« + ^,

Hv)

wenn fi^v,

■,p)

u^ = %

414 IX. 1. Vorbemerkungen aus der Theorie der Abelschen Funktionen,
ist; ihre Integranden mögen u^', %', •••, u' heißen, sodaß

(4) **v = rf7 (v=i,2,...,p)

ist. Mit ti^e) sei weiter das im Punkte s mit dem Gewichte 1
oo* werdende Normalintegral II. Gattung bezeichnet, für das

längs a,,: t{E) = t{s),

(5) längst^: t{B) = t{s) — 2u^{t), (v = i,2,..,p)

+ -

längs c^: t{£) = t{s)

ist, und endlich sei w{£y\E^ das in e^ mit dem Gewichte + 1, in s^
mit dem Gewichte — 1 logarithmisch unendlich werdende Normal-
integi*al III. Gattung, bei dem

+
längs a^'. w {e^ \e^) = w (f^ \s^),

(6) längs &^: IV (f^ | s^) = ic (f, | e^) + 2[uXh) - ««,(«2)],
längs c^: iv {s^ \ s^) = tv (s^ \ s^)

ist, wozu hier noch Periodizitätsmodulen ± 27t i an den von 00 nach
£j und £2 führenden Linien folgen.

Sind d\, d^, ■•■, d^ die 0^, £^, £^, ■••, a^ die oo^ Punkte irgend
einer Funktion f{s\z) der Klasse, so sind diese Punkte, wie sich un-
mittelbar aus der Darstellung von \o^f{s\z) durch Normalintegrale
lU. Gattung ergibt, durch p Gleichungen von der Form:

bei denen die x, A ganze Zahlen bezeichnen, oder, wie in der Folge
dafür abgekürzt geschrieben werden soll, durch die p Kongruenzen:

(8) 2%(0-^w,(^J (.=M.-,P)

x = l y. = l

verknüpft (Abelsches Theorem), und weiter ergibt sich aus der Dar-
stellung von f(s \ z) durch Normalintegrale II. Gattung, daß die Ge-
wichte g-i, g.2, •■•,gq der oo^ Punkte von f{s\z) den j) Gleichungen:

(9) ^ g^ m; (f J = 0 (,« = 1, 2, . . . , p)

genügen (Riemann-Rochscher Satz); das Gleiche gilt von den Null-
punkten d.

Normalintegrale. Abelsches Theorem. Riemann - Rochscher Satz. 415

Soll nun die Funktion f(s \ z) sich als Quotient zweier Inte-
granden I. Gattung darstellen lassen, so müssen Größen q, c^, ■■-, c^
so bestimmt werden können, daß die q Gleichungen:

(10)

p

(x = l,2, ■ ,5)

bestehen. Aus den beiden Gleich ungensystemen (9) und (10) folgt
aber, daß der Rang der Matrix:

kleiner sein muß als die kleinere der beiden Zahlen p und q. Be-
zeichnet man diesen Rang mit r, so hat man die beiden Resultate:

1. Die p Gleichungen (9) sind nicht unabhängig voneinander«,
p — r von ihnen sind eine Folge der r anderen; es bleiben also q — r
der Größen g willkürlich, die r anderen sind dadurch bestimmt; es
gibt folglich q — r 1 in earu nabhänge Funktionen /"(s | z), welche in den
q gegebenen Punkten «i, «2; ""•? *? '^^ werden; aus ihnen setzt sich
die allgemeinste derartige Funktion vermittelst q — r -\- 1 homogen
und linear auftretender willkürlicher Konstanten x,,, x^, •••, 3fj_^ zu-
sammen in der Form:

(12) f{s\z) = ;Co + kJ,{s\z) + ^,fM^) + ••• + ^,-rf,-M^)-

2. Die q Gleichungen (10) sind nicht unabhängig voneinander;
q — r von ihnen sind eine Folge der r anderen; es bleiben also p — r
der Größen c willkürlich, die r anderen sind dadurch bestimmt; es
gibt folglich p — r linearunabhängige Integranden I. Gattung u,
welche in den q gegebenen Punkten £i, £27 " '7 ^q ^^ werden; aus
ihnen setzt sich der allgemeinste derartige Integrand vermittelst p — r
homogen und linear auftretender willkürlicher Konstanten /Ij,^,,
zusammen in der Form:

'^P-

(13)

Aim'(1) + A2w'(2)+... + A^

Eine Funktion /'(s | z) der Klasse, die sich als Quotient zweier
Integranden I. Gattung oder was dasselbe zweier ^-Funktionen dar-
stellen läßt, heißt eine FunMion I. Gattung und ihre q Nullpunkte
di,--,d und ebenso ihre q Undlichkeitspunkte f^, •••, £^ Punkt-
systeme I. Gattung. Zähler und Nenner von f{s\z) verschwinden
noch in den q'=2p — 2 — q nämlichen weiteren Punkten y^, ■•■, y^, ,
die sowohl das Punktsystem d^, • • •, d als das Punktsystem f^, • • •, e^

416 IX. 2. Die Riemannsche Thetafunktion.

zu einem vollständigen Punktsystem I. Gattung von 2p — 2 Punkten
ergänzen und daher ein dazu gehöriges RestpunMsysteyn genannt
werden; die Punktsysteme 8^, • • ■, ö und f^, •••, e aber heißen
Tiorresidual und die Kongruenzen (8) erscheinen als die notwendigen
und hinreichenden Bedingungen für zwei korresiduale Punktsysteme.

Aus (12) folgt, daß man der in e^, •••, £^ oo^ werdenden Funk-
tion f{s\z) q — r ihrer 0^ Punkte willkürlich vorschreiben kann;
dadurch ist dann sie und damit auch das System ihrer r weiteren
0^ Punkte im allgemeinen eindeutig bestimmt. Nennt man daher r
den Many des Punktsystems fj, •••, s^, so hat man das Resultat, daß
für das zu einem Punktsystem f^, •••, s^ vom Range r korresiduale
Punktsystem d^, ■ • •, 8 q — r seiner Punkte willkürlich gewählt
werden können; diese Zahl nennt man den Überschuß des Punkt-
systems £j, •••, £ . Berücksichtigt man nun, daß man die gleichen
Schlüsse alle unter Vertauschung der Punktsysteme ^i, •••, f, und
dl, ■■■, d machen kann, so schließt man rückwärts, daß r auch der
Rang des Punktsystems d^, • • •, d^ ist, also weiter, daß korresiduale
Punktsysteme stets von gleichem Range sind.

Bezüglich des zu den Punktsystemen d^, •••, d^ und e^, ••■, s^
gehörigen Restpunktsystems /i, •••, y,. aber zeigt die Gleichung (13),
daß p — r — 1 seiner Punkte willkürlich gewählt werden können,
und man schließt daraus, daß sein Rang r' = q — {p — r — 1)
= p — q -\- r — 1 ist. Man nennt die Zahl jt; — r — 1 den Defekt des
Punktsystems s^, •••, f und es sagen dann die Gleichungen:

(14) q — r' = p — r — 1, q — r=p — r — 1

aus, daß der Überschuß eines Punktsystems dem Defekt seines Rest-
punktsystems gleich ist^).

§ 2.

Die Riemannsche Thetafunktion.

Die Periodizitätsmodulen «,, ,^, {(i, ft'= 1, 2, • • •, p) der Normal-
integrale I. Gattung Ml, •••, Up au den Querschnitten &i, •••, &^ ge-
nügen den ^(j[>— l)p> Gleichungen:

(15) . %/.c' = %'fc (,<,/<' = !, 2,. •..i>;,«<,0

1) Zum Inhalte dieses Paragraphen vergl. Christoffel, Über die cano-
nische Form der Riemann'schen Integrale erster Gattung (Ann. di Mat. (2) Bd. 9.
1879, pag. 240) und Rost, Theorie der Riemann'schen Thetafunction (Hab.-Schrift
Würzburg 1901. I. Abschnitt); aus letzterer Abhandlung mögen insbesondere
jene, übrigens leicht ersichtlichen Änderungen entnommen werden, welche die
obigen Gleichungen im Falle mehrfacher Null- und Unendlichkeitspunkte der
Funktion f(s \ z) zu erfahren haben.

Eigensch. der Riemannschen Thetaf. — Abelsche Thetafunktionen. 417

und es ist weiter die aus ihren reellen Teilen r ^^, als Koeffizienten
gebildete quadratische Form

P V

eine negative. Infolgedessen kann man mit diesen Größen a , als
Modulen eine Thetareihe bilden, und wenn man dann als deren Argu-
mente die Normalintegrale I. Gattung u^, •••, Up vermindert um Kon-
stanten ^1, •••, ^p, welche die Parameter der Thetafunktion heißen,
einführt und den Reihenwert als Funktion der gemeinsamen oberen
Grenze o der Integrale u ansieht, erhält man die Riemannsche Theta-
funktion:

p p

=,-,+» 2 ^ "/<,<<"",« "',«'+'^^'v^"

/*v>

■'',.)

(17) ^((M(ö)-ei)= V ^"=i."'=i f^=^

mit den Eigenschaften, daß

längs a^: -O-^ = #•",

(18) längst^: ^+ = ^- ■ e-''yy-'^"v- ^^) , (v=i,2, ..j«)
längs c^: 0''^ = %•' .

Die algebraischen Funktionen einer Klasse hängen (im Falle
p > 1) von ?fp — 3 wesentlichen, durch eindeutige Transformation
nicht zerstörbaren Größen, den Klassenmodulen, ab^). Vergleicht man
diese Anzahl mit der Anzahl ^p{p -{- 1) der soeben als Modulen in
die Thetareihe eingeführten Größen «„,,., so ergibt sich, daß die
letzteren, sobald jp > 3 ist, nicht voneinander unabhängig sind, daß
vielmehr zwischen ihnen

(19) -\p{p + 1) - (3i^ - 3) = i {p - 2) (p - 3)

Relationen bestehen. Die in diesem Paragraphen definierten Theta-
funktionen sind also spezielle in dem Sinne, daß ihre \p(j)+l) Mo-
dulen a,^,^, nicht, wie in den vorangehenden Kapiteln durchweg an-
genommen wurde, einzig und allein der oben angegebenen Konvergenz-
bedingung genügen, sondern noch weitere, bei den allgemeinen
Thetafunktionen nicht bestehende, ^ {jß — 2) {p — 3) Bedingungen
erfüllen; derartige Thetafunktionen sollen als Abelsche Thetafunktionen
bezeichnet werden.

Welcher Art die zwischen den -^p(p + l) Modulen einer Abelschen
Thetafunktion bestehenden Relationen sind, ist bis jetzt nur im niedrigsten

1) Riemann, Th. d. Abelschen Functionen. Ges. math. Werke. Lpz. 1876,
pag. 113 und Stahl, Th. d. Abelschen Functionen. Lpz. 1896, pag. 167.

Krazer, Thetafunktionen. 27

418 IX. 2. Die Eiemannsche Thetafunktion.

Falle j^ = 4 bekannt. Die eine Relation, welche hier für die 10 Modulen
der Thetareihe notwendig und hinreichend ist, damit diese eine Abelsche
wird, hat Herr Schottky^) wie folgt aufgefunden.

Der Quotient zweier ungeraden Thetafunktionen ^^ und &^ wird,

wenn man an Stelle der Argumente n^^ Integrale f dti^^ einführt, eine
symmetrische und zerfallende Funktion

(90) ^ = ^^{^)^^{ß)

der beiden Grenzen a und ß. Nun gibt es in der Theorie der allgemeinen
Thetafunktionen ein System homogener quadratischer Gleichungen, welches
nur ungerade Thetafunktionen enthält. Diesem dadurch zu genügen, daß
man für jede vorkommende ungerade Thetafunktion einen Ausdruck von der
Form 0.^{ci) 0.^{ß) setzt, ist nur dann möglich, wenn zwischen den Null-
werten der geraden Thetafunktionen eine gewisse im allgemeinen Falle
nicht bestehende Gleichung angenommen ward. Nach dem XXXVI. Satze
pag. 303 gibt es nämlich im Falle p = A: in dem zu einer syzygetischen
Gruppe vom Range 3 gehörigen Komplexe von 32 Systemen von Th. Char.
immer 3 Systeme, die aus 8 geraden Th. Char. gebildet sind. Bezeichnet
man mit JRj, iJg, H^ die 3 zugehörigen Produkte von je 8 geraden
Thetafunktionen, mit r^, >•,, r^ aber die Werte, Avelche diese Produkte
für die Nulhverte der Argumente annehmen, so hat auch für allgemeine
Thetafunktionen der Ausdruck:

(21) J- = r^ + i + rl - 2r,r, - 2r,r, - 2r,r,

für jede syzygetische Gruppe, von der man ausgehen mag, den nämlichen
Wert. Das Verschwinden dieser Invariante, also die Gleichung:

(22) rl + 4 + rl-2 r, r, -2r,r,-2 r, r, = 0,
oder eine Gleichung von der Form:

(23) yv, + yr, + 1/,"^ = 0

ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die vorliegenden
Thetafunktionen Abelsche sind.

Auch Herr Poincare*) hat die im Falle jj = 4 zwischen den Mo-
dulen einer Abelschen Thetafunktion bestehende Relation, aber nui*
unter der Annahme, daß jene Modulen o ,, für welche fi^ v ist, ihrem
Betrage nach sehr klein sind, ermittelt. Bei Abelschen Thetafunktionen
zieht nämlich die Gleichung 'S' ((?<)) = 0 nach sich, daß sich die Argumente
Mj, • • •, t« als Summen von je p) — 1 Integralen darstellen lassen (vergl. § 5).

1) Schottky, Zur Theorie der Abelschen Functionen von vier Variabein.
J. für Math. Bd. 102. 1888, pag. 304.

2) Poincare, Remarques diverses sur les fonctions abeliennes. J. de Math.
(5) Bd. 1. 1895, pag. 221; dazu auch: Sur les surfaces de translation et les
fonctions abeliennes. Bull. S. M. F. Bd. 29. 1901, pag. 61.

Die Anzahl der Nullpunkte der Riemannschen Thetafunktion. 419

Die Annahme, daß die Thetafunktion verschwindet, sobald für ihre Argu-
mente Ausdrücke dieser Form eingeführt werden, liefert aber, wenn die
Modulen a,^ ^ (ft ^ v) ihrem absoluten Beti'age nach sehr klein sind , im
Falle p = 4: die Beziehung:

(24) |/ai3 «14 «23 «24 + y^U «12 «34 «32 + y«12 «13 «42 «43 = ^ .

Aus der Gleichung (22) schließt man noch, daß, wenn bei Abelschen
Funktionen vom Geschlecht 4 zwei gerade Thetafunktionen für die Null-
werte der Argumente verschwinden, dann noch eine dritte verschwindet,
wodurch der Fall als der hyperelliptische charakterisiert ist^).

§3.
Die Anzahl der Nullpunkte der Riemannschen Thetafunktion.

Es wird sich später zeigen, daß für gewisse Werte der Para-
meter e die Riemannsche Thetafunktion identisch verschwindet, d. h.
daß Q'(ti(o) — e)) = 0 ist für jede beliebige Lage der gemeinsamen
oberen Grenze o der Integrale w^, ■■•,11^. Dies ist aber jedenfalls
nicht für alle Werte der Parameter e der Fall, denn sonst müßte
&([v]) für alle Werte der Größen v verschwinden und folglich müßten
in seiner Entwicklung nach ganzen Potenzen von e^^, ■■■, e^^ sämt-
liche Koeffizienten Null sein, was nicht der Fall ist. Es sei
e^, • • ■, fp ein Parametersystem, für welches '9'((m(ö) — e)) nicht
identisch verschwindet.

Da die « allenthalben endlich sind, so wird '9"((w(o) — e)) nirgendwo
in T' unendlich und es liefert daher das über die ganze Begrenzung
von T' erstreckte Integral:

+

(25) -^ Anog-O-

T'

die Anzahl der einfachen Nullpunkte der Thetafunktion. Zu dem
Integrale :

+

(26) Cd log ^

7"

liefert aber, da jeder Querschnitt und jede Hilfslinie zweimal in ent-

1) Vergl. Weber, Über gewisse in der Theorie der Abelschen Functionen
auftretende Ausnahmefälle. Math. Ann. Bd. 13. 1878, pag. 35.

27*

420 IX. 3. Die Anzahl der Nullpunkte dei- Riemannschen Thetafunktion.

gegengesetztei- Richtung durchlaufen wird, weder ein Querschnitt a^
noch eine Hilfslinie c^ einen Beitrag, da längs jeder solchen Linie
'&•+ = Q'-j also auch d log ■9-"'" = d log d-~ ist. Es wird also das Integral
(25) ausschließlich von den Beiträgen der Querschnitte h^ gebildet.
Von einem Querschnitte h^ rührt aber der Beitrag her:

(27)

ß 6 +

/ f/log ^ + / d log # = / (d log »- - d log &+),

wo das letzte Integral in positiver Richtung längs des Querschnittes

h^ d. h. vom negativen Ufer von a^
zum positiven zu erstrecken ist; es
ist aber nach (18) längs h^:

(28) d log »+=d log »- - 2du^,

yig. 3. wobei an letzter Stelle die Marke

— weggelassen ist, da für die Inte-
granden uj die Querschnitte keine Unstetigkeitslinien sind. Folg-
lich ist:

(29 j l{d log#- - d log -9+) = 2 / du^.

Es ist aber:

(30)

+

Jdu, = u —

wenn u^ den Wert von u^ auf dem positiven, u^ den Wert auf dem
negativen Ufer von a^ bezeichnet. Längs a^ ist aber nach (3):

(31)

■u — u

%i\

folglich besitzt das Integral (30) den Wert ni, das Integral (29) den
Wert 27ti und das Integi-al (26) den Wert 27ci-p, also endlich das
Integral (25) den Wert p und man hat den Satz bewiesen:

I. Satz: Verschwindet die Päemamische TJietafimMion d-{u{o) — e}
nicht identisch, d. h. infolge der besonderen Werte der Parameter e^, ■ ■; e^
für jede Lage der gemeinsamen oberen Grenze o der Integrale «<i, •••, m^,
so verschwindet sie nur in p Punkten der Fläche T' ; dieselben seien
mit r}^, rj^, •••, rj bezeichnet.

Zusammenh. zw. den Param. u. den Nullp. der Riemannschen Thetaf. 421

§ 4.

Zusammenhang zwischen den Parametern e^, e.^, • • • , e^

und den Nullpunkten 7^^, i]^, , tj^ der Riemannschen

Thetafunktion.

Das über die ganze Begrenzung von T' erstreckte Integral:

+

(32) . J-^Ju^d log»

T'

liefert die Summe der Residuen der Funktion u^^ — -— — in der ganzen

Fläche T' und besitzt daher, da u nirgendwo, — ~- aber nur in

den Punkten tj^, ■■•, tj^ unendlich wird und zwar mit den Residuen
1, den Wert:

(33) J^ = ^w,(^J.

v = l

Andererseits kann man das Integral (32) auswerten, indem man
es über die einzelnen Stücke der Begrenzung von T' erstreckt-, dabei
können die Hilfslinien c,, weggelassen werden, da sie ersichtlich keinen
Beitrag zum Integrale liefern. Von einem Querschnitte a^ rührt der
Beitrag her:

y

(34)

+ +

J (uj^ d log d-'^ - u~ d log %-~) = d^^Tii I d log &,

wobei an letzter Stelle die Marke + oder — weggelassen ist, da
längs «,, 0^+ = -9-" also auch rZ log ■9'+ = rZ log ■9-" ist. Nun ist aber:

+

(35) / dlog& = log '9-+ — log ^- ,

wenn logO'+ den Wert von log -9- auf dem positiven, logO-" auf dem
negativen Ufer von h^, bezeichnet. Längs h^ ist aber:

(36) log^+ = log^- - a,, - 2(«; - O - 2Ql7ti,

422 IX- 4:. Zusammenbang zwischen den Parametern ^i, e«, •• •, e etc.

wo (),,' eine uns unbekannte aber bestimmte ganze Zahl bezeichnet.
Folglich hat das Integi-al (34) den Wert:

(37) - ^,,,7t^(a,, + 2w„(«) - 2e, + 2(,>i)

und der Beitrag aller Querschnitte a^, a.^, ■■■, a^ zum Integrale (32)
beträgt:

(38) - i- a^^ - {u~{a) - e^) - (>; ni .

Die Werte von u in den Punkten u und /3 sind einander nicht
gleich; sie unterscheiden sich vielmehr um %i und es müßte also bei
Wahl des Punktes (i die Zahl ()^ um 1 vermindert werden.
Von einem Querschnitte &,, rührt der Beitrag her:

u^ d log ^ + / u^ d log -^ = / (m^ d log ^" - i*^ f7 log #^) .

a •/ 6,,

Längs 6,, ist aber nach (3) und (28):

(40) n\ d log #"*■ = ?r fZ log d-~ -2u' du^ + a ^,d log #^ ,

und es besitzt daher das Integral (39) den Wert:
+ +

(41) 2ju-dii,. - %,Jd\og^^.

Es ist aber:

(42) / d log »+ = log &- - log ^+ ,

wenn log 0" den Wert von log -0- in dem auf dem negativen Ufer
von a, gelegenen Punkte Ö, log O-"*" diesen Wert in dem auf dem
positiven Ufer gelegenen Punkte y bezeichnet, also, da längs a^.
-9-+ = ^- ist:

+

(43) j d\og^+ = 2Q^.7ti,

wo Q^ eine uns nicht bekannte ganze Zahl ist. Indem man diesen
Wert in (41) einführt, erhält man dafür:

+

(44) 2 / u~ d%. -2Q^a^^,7C i

Zusammenh. zw. den Param. u. den Nullp. der Riemannschen Thetaf. 423
und daher als Beitrag der Querschnitte \,h^, ■ --fh zum Integrale (32):

(^^) n^i2 I %'^''^-2^^%^^

Aus (38) und (45) erhält man aber für das Integral (32) den Wert:

Von den Integralen der an vierter Stelle stehenden Summe kann man
endlich das dem Werte v = ^ entsprechende auswerten. Es ist nämlich:

+

(47) J \du^^ = i[w^(/3) - w'(«)] = nii^^{(^) + ^ii^if.

Führt man diesen Wert in die Gleichung (46) ein, so wird endlich:

+ ni Z J % '^'K - I ^ ^*' + ^ Q. %

r = l ^^ \ r = l

Setzt man nun endlich die beiden Werte (33) und (48) von J ein-
ander gleich, so erhält man:

p

(49) ^=1

und hat das Resultat:

II. Satz: Die Parameter e^, e^, •■■, e^ und die Nidlpunkte rj^, rJ2,
• • • , 7] einer nicJit identisch verscinvindenden Riemannschen Thetafunktion
hängen miteinander zusammen durch die Gleichungen:

p f ^ \

^1) ^/< ^ 2 ^'" ( '^v) + ^v + ( q'" "^^+2^-%.], 0' = 1. 2. ■ ■ . p^

in denen \, Ag, •••, k^ die von den Parametern und Nullpunkten un-
abhängigen Riemannschen Konstanten:

424 IX. 4. Zusammenhang zwischen den Parametern e^,e^, ' ' 'i^v ^^^-

1 " ' r -

bezeichnen, die ganzen Zahlen q, q' aber dadurch bestimmt sind, daß
längs a^: log ^+ = log ^- - 2 (>,, 7t i,
längs . b^ : log #+ = log &-- a^.^-2 {u- - e J - 2 qJ % i

ist ^).

Die Resultate der letzten Paragraphen lassen sich unmittelbar auf
Thetafunktionen höherer Ordnung übertragen. Definiert man nämlich eine
Riemannsche Thetafunktion n^^ Ordnung ©„ (("(ö) — e)) durch die Be-
dingungen, daß für V = 1, 2, • • •, p

längs «,,: 0+ = 0-,

(50) längst,.: 0+ = 0- e-"«vr-2''(«r-«v)^

längs c„: 0+ = 0-

ist, so gelten für diese Funktion die genau auf die obige Weise erweis-
baren Sätze:

m. Satz: Verschwindet die Thetafuriktion w**"" Ordnung @J(u(o) — e])
nicht identisch, d. h. infolge der besonderen Werte der Parameter e^, •••,e
für jede Lage der oberen Grenze o, so verschuindet sie nur für np Punkte
der Fläche T' ; dieselben seien mit t^^, ri,^, •-•, r/^ bezeichnet.

IV. Satz: Die Parameter e^, ••, e^ und die Nullpunkte r]^, ••, rj„
einer nicht identisch verschivindenden Eiemannschen Thetafunktion w**'' Ord-
nung 0„((m(o) — e)) hängen miteinander zusammen durch die Gleichumgen:

(IV)

^p / p \

in denen k^^, ■••, k die von den Parametern und Nidlpunkten unabhängigen
Konstanten (TL) bezeichnen, die Zahlen q, q' aber durch die Angaben, daß

längs fl,,: log 0+ = log 0- - 2Q^jti,

längs fc,,: log 0+ = log 0;;" — wa,,, — 2n(u~ — e,,) — 2Qjni

sei, bestimmt sind.

1) Zum Inhalte der drei letzten Paragraphen vergl. Riemann, Th. d.
Abelschen Functionen. Ges. math. Werke. Lpz. 1876, pag. 125; ausführlicher bei
Neumann, Vorlesungen über Riemann's Theorie der Abel'schen Integrale.
2. Aufl. Lpz. 1884, pag. 322. Für den Fall p = 2 und unter Annahme einer
ganz bestimmten Zerschneidung der Fläche bestimmt die in den Gleichungen
(IH) auftretenden ganzen Zahlen p, q Herr Thomae, Über ultraelliptische
Integrale. Leipz. Ber. Bd. 52. 1900, pag. 105.

Verallgemeinerung der Resultate von § 3 und 4. 425

Man kann aber die Resultate dieser Paragraphen noch nach einer
anderen Seite hin verallgemeinern. Anstatt nämlich nach den Wurzeln
einer einzigen Gleichung &([u(o) — e)) = 0 oder 0„((?*(o) — ej) = 0 zu fragen,
kann man die Frage nach den gemeinsamen Wurzeln mehrerer solcher
Gleichungen stellen. Die allgemeinste derartige Fragestellung rährt von
Herrn Wirtinger ^) her und hat zu dem folgenden Satz geführt.

V. Satz: Die s Gleichungen:

s — l

K i^<o„)-e<^^^] =0,
K ((^^<0-e^ =0,

a = l
s — \

(VI) 0„^ ((^^<0-H) =0,

a=l

s

s

a = l

haben, ivenn die Parameter e so gewählt sind, daß keine der Theta funkt ionen
identisch versch windet :

(Vn) N = n,n, ■ ■ ■ n^ ^^—^-^{s -r)(p-s + r -h 1)

Lösungen

(Vm) Ol, 02, • • •, 0^=riU' %v^ • • •> ns,v (v = l,2,...,^)

und es ist für jit = 1, 2, • • •, j?;

iV

v=l

s(p
= ~n, nc-- n.

J^{(^-'-)(i"+--+<')-(^-.+.+i)«+"+...+<')}

1"2 '-.(^_s^i)

WO die k von den e und rj unabhängig sind.

1) Wirtinger, Zur Theorie der 2>i-fach periodischen Functionen. 2. Ab-
handlung. Monatsh. f. Math. Bd. 7. 1896, pag. 1; vergl. auch: Zur Theorie der
allgemeinen Thetafunctionen. Wien. Anz. Bd. 32. 1895, pag. 58 und Poincarö,
Remarques diverses etc. J. de Math. (5) Bd. 1. 1895, pag. 221.

426 IX. 5. Die Lehre von dem ident. Verschw. der Riemannschen Thetafunktion.

§ 5.

Die Lehre von dem identischen Verschwinden
der Riemannschen Thetafunktion.

Bezeichnen «i, ^2? '■; ^» V Punkte, welche kein Punktsystem
I. Gattung bilden, für welche also die Determinante:

(51)

einen von Null verschiedenen Wert besitzt und zu welchen kein kor-
residuales Punktsystem existiert, sodaß den p Kongruenzen:

(52)

x = l z = l

(/. = !, 2,--,i))

durch kein von e^, ■■■, s^ verschiedenes Punktsystem d^, ■■■, dp ge-
nügt werden kann, so verschwindet.

p
(53) ^i^<o)-^u{^J-k))

x=l

für 0 = «1, «27 ■•■> ^p'i denn entweder ist die Funktion (53) identisch
Null, dann also auch in den 2^ Punkten 8^, •••, c^,, oder sie ver-
schwindet nur in |j Punkten tj^, •••, rj^, und dann ist für diese nach

dem n. Satze:

p p

(54) 2.%(^.) + /•■,, ==^w^(»?.) + ^•^; (M=h2,- ,p)

aus diesen Kongruenzen aber folgt unter der gemachten Voraussetzung
nach dem soeben Bemerkten, daß das Punktsystem rj^, •••, ^^ mit
dem Punktsystem f^ , • • • , s^ identisch ist.

Läßt man also o mit £ zusammenfallen, so erhält man:

p
p-t

(55)

»

x = \

Diese Gleichung ist bis jetzt nur unter der Voraussetzung bewiesen,
daß f^, ••-, f ^j zusammen mit e^ kein Punktsystem I. Gattung bilden;
es soll nun gezeigt werden, daß sie für jede beliebige Lage der p—1
Punkte £i, •••, £^_i gilt.

Zunächst kann man, da der geraachten Voraussetzung gemäß
die Determinante (51) einen von Null verschiedenen Wert besitzt, in

Hauptsatz. — Hinreichende Bed. für das ident. Verschwinden. 427

der Fläche T' p die Punkte e^, •••, e^ beziehlich einschließende Ge-
biete 6rj, •••, G so abgrenzen, daß diese Determinante von Null ver-
schieden bleibt, solange die Punkte f^, • • •, f^ nicht aus den Gebieten
^1) '"y ^p heraustreten; dann gilt aber auch die Gleichung (55) für
jedes den Gebieten G^, •••, Gp_-^ angehörige Punktsystem ^i,---, f^_i-
Beachtet man nun noch, daß der auf der linken Seite von (55)
stehende Ausdruck eine stetige Funktion der |j— 1 Punkte fj, •••, £^_i
darstellt, und daß eine solche Funktion, wenn sie für jedes einem
System von noch so kleinen Gebieten G^, • ■ -, G^^^ angehörige
Punktsystem fi, •••, «„„i den Wert Null besitzt, allenthalben Null
ist, so hat man den gewünschten Nachweis erbracht und ist damit
zu dem Satze gelangt:

VI. Satz: Die Gleichung:
p-i

(X) ^((^„(g + /,)) = 0

(/ilt für jede beliebige Lage der p— 1 PunJde e^, •••, fp_i-

Mit Hilfe des VI. Satzes kann man nun sofort weiter zeigen, daß

p
(56) &{u{o)-^uis,)-Jc

y. = \

identisch verschwindet, sobald die Punkte 6^, • • •, e ein Piuiktsystem

I. Gattung bilden. Nach dem VI. Satz verschwindet nämlich die

Funktion (56), wie auch die Punkte £j, •••, e beschaffen sein mögen,

für 0 = Eyy ■ ■ ■, £ . Bilden nun a^, • • •, e^ ein Punktsystem I. Gattung,

so existiert dazu ein korresiduales Punktsystem ö\, • • •, ö^, für

welches also:

p p

(57) 2%i^.2l^2%(^y) i." = h2,--,p)

y. = l y. = \

ist; dann unterscheidet sich aber die Funktion (56) von der Funktion

p
(58) ^{u{o)-^u{d.:)-h)

y.=l

nur um einen Faktor, verschwindet also auch in den Punkten d^, • • •, ö ,
weil die letztere es nach dem VI. Satze thut, und muß daher iden-
tisch verschwinden, da sie sonst nicht mehr als p Nullpunkte haben
könnte. Damit ist der Satz bewiesen:

VII. Satz : Bilden f ^ , • • • , s^ ein Punktsystem I. Gattung, so ver-
sclnvindet die Funliion

428 IX. 5. Die Lehre von dem ident. Verschw. derRiemannschenThetafunktion.

P

(XI) ^((<ö)-2ko-4

identisch, d. h. für alle Lar/en des Pimldes o,

und es ist der oben vorgesehene Fall, daß eine Riemannsclie Theta-
funktion für gewisse Werte der Parameter \, ■■■, e^ identisch ver-
schwinden könne, als wirklich vorkommend nachgewiesen.

Nachdem im Vorigen bewiesen wurde, daß die Funktion (XI)
identisch verschwindet, sobald e^, •••, «^ ein Punktsystem I. Gattung
bilden, soll jetzt gezeigt werden, daß dieser Satz auch umgekehrt gilt,
oder mit anderen Worten, daß eine Funktion (XI), bei der £j, • • •, s^
kein Punktsystem I. Gattung bilden, niemals identisch sondern nur
in den p Punkten s^, •••, s^ verschwindet.

Um den Gang dieses Beweises nicht unterbrechen zu müssen,
soll eine Hilfsuntersuchung vorausgeschickt werden.

Hat -O'fc)) für ein Argumentensystem q, •••, c^ einen von Null
verschiedenen Wert, so lassen sich infolge der Stetigkeit der Theta-
funktion stets p die Punkte c^, • ■ •, c^ umschließende Gebiete G^, ■•• G^
so abgrenzen, daß #((c)) von Null verschieden bleibt, solange die
Punkte Cj, •••, Cp nicht aus den Gebieten G^, ■■■, G^ heraustreten.
Bezeichnet man dann mit di,---,dp ein weiteres, ganz beliebiges
Größensystem, so kann -ö-fc + f^) nicht für alle den Gebieten G^, •••, G^
angehörigen Wertesysteme q, •••, c verschwinden, da es sonst allent-
halben Null wäre; es gibt also jedenfalls ein den Gebieten G^,--, G^
angehöriges Wertesystem c^, •••, c^, für welches auch -d-fc-f 6?)) H= 0
ist. Man hat also den Hilfssatz:

Vin, Satz : Zu einem beliebigen Wertesysteme d^, • • • , d^ existiert
stets ein der Bedingimg 0-fc)) =H 0 genügendes Wertesystem q,---, c^
von der Beschaffenheit, daß auch ■0-((c -f d]) =H 0 ist.

Mittelst dieses Hilfssatzes läßt sich nun weiter noch zeigen, daß

der Ausdruck:

(59)

(7 = 0

p—i

a = l

<^a) -

ej),

welche Werte die

Parameter e^, •

••; Cp

auch haben

mögen.

nicht für

alle Lagen der 2})

— 1 Punkte Oq

= 0,

Ol, ■■■,

Vi'

fl, ■••;

Vi

ver-

schwinden kann.

Zum Beweise

bilde man mit den

gegeb

enen

Größen

e,, ••

•'^P

und p—1 willkürlich gewählten Punkten «i, ••, £^_i das Größen-
system:

p-i

(60) d^ = - ^ w,XO - e, - A, (M=i,v- ,;»

Nachw. , daß die gef. Bedingung auch notw. ist. — Hilfssatz. 429

und denke sich dazu ein Größensystem c^, •••, c^ so bestimmt, daß
gleichzeitig &(c)) + 0 und &{{c + d)) =t= 0 ist. Die Funktion ^{{u{o) — c))
verschwindet dann nicht identisch, da sie von Null verschieden ist,
sobald 0 mit der gemeinsamen unteren Grenze der Integrale u^, •••, u
zusammenfällt, sie hat also p Nullpunkte t]^, •••, r] und für diese ist:

p

(61) <^f.=2%iVy) + ^r^ (,u = l,2,--,^0

dann folgt aber:

(62) c, + (lu^-2%{v>:)-2%^'o) - e,„ c« = i,2....,^)

und es ist damit ein System von 2^—1 Punkten o = rj^, o^ = ri2f
•••, 0 j = Vp7 ^1? ■■■; ^o-i nachgewiesen, für welches der Ausdruck
(59) nicht verschwindet.

Nunmehr kann auf den Beweis des Satzes eingegangen werden,
daß immer, wenn eine Funktion (XI) identisch verschwindet, die
Punkte £j, •••, s ein Punktsystem I. Gattung bilden.

Um den allgemeinsten Fall zu setzen, nehme man an, daß

(63) Huio)-e))

identisch, d. h. für jede Lage des Punktes o verschwinde, auch daß

1

0 = 0

2 2

(64) ^i2uM-2u(s„)~e)),

»i2<''o)-2'*^'o)-e]

für alle Lagen der jeweilig vorkommenden Punkte o, s verschwinden,
dagegen

s s

(65) ^((^<O-^KO-0)

nicht mehr für jede Lage der 2s + 1 Punkte o, o^, •■•, o^, f^, ••■, s^
Null sei; wenn nicht früher, tritt' dies, wie vorher gezeigt, jedenfalls
für s = p — 1 ein.

Sind nun o^, •••, o^, s^, •••, s^ einem solchen Systeme von 2s-\-l
Punkten entnommen, so verschwindet (65) als Funktion von o be-
trachtet nicht identisch, also nur in p Punkten, von denen s die

430 IX. 5. Die Lehre von dem ident. Verschw. der Riemannschen Tlietafunktion.

Punkte £j, •••, £^ sind, während die jj — s übrigen f^^i, •••, f^^ durch
die Kongruenzen:

(66) -2%M + ^,^2%(-'r) + \ C« = M,.

,p)

r=«+l

eindeutig bestimmt sind.

Aus (66) aber folgt nun weiter, daß sich das Konstantensystem
Cj, ■•, e in der Form:

■^ p

darstellen läßt, und es können dabei, wie aus dem Gange der Unter-
suchung erhellt, die s Punkte o^, •••, o^ beliebig angenommen werden,
wenn nur zu ihnen s+ 1 weitere Punkte o, s^, •••, s^ existieren, so
daß der Ausdruck (65) für die 2s-\-l Punkte o, o^, • • •, o^, ^u • • •; ^,
nicht verschwindet.

Diese Beschränkung in der Wahl der s Punkte o^, •••, o, ist aber
überflüssig, d. h. unter den über die Funktion &([u(o) — e)) gemachten
Voraussetzungen lassen sich auch dann zu den s Punkten o^, •••, o^
p~s Punkte £^,^1, •••, £„ so bestimmen, daß die Kongi-uenzen (67)
bestehen, wenn die Funktion (65) für jedes diese .s Punkte o^, •••,(),
enthaltende System von 2s -\- 1 Punkten o, o^, • • •, o^, s^, •••, £, ver-
schwindet.

Wird nämlich mit o^, •••, o^ ein solches System von s Punkten
bezeichnet, dann gibt es jedenfalls eine Zahl t von der Beschaffen-
heit, daß

s + l s-j-t

(68) ^([Z<'o)-2j<'o)-e

nicht mehr für alle Lagen der 2s + 2^ -f 1 Punkte o, o^, •••, 0,^^,
£j, •••, £^^, verschwindet; wenn keine kleinere Zahl t es tut, so ge-
nügt jedenfalls t = s dieser Bedingung, wie man sofort erkemit, wenn
man die s Punkte £^, •••, £^ mit den s Punkten o^, •■-, o^ zusammen-
fallen läßt. Nun sei für t die kleinste derartige Zahl gesetzt und
es seien mit o^, •••, o^^^, ^i, ••-,£,+< 2s -f 2^ Punkte bezeichnet,
welche mit einem passend gewählten weiteren Punkte o ein System
von 2s -f 2^ + 1 Punkten bilden, für welches (68) nicht verschwindet.
Als Funktion von o betrachtet verschwindet dann (68) nicht identisch,
also nur in p Punkten, von denen s -\- t die Punkte £i, ■ • •, f^^^ sind,
während die p ~ s — t übrigen £^^^^i, • • •, s durch die Kongruenzen:

s-\-t p

(69) -2«,„(0 + e,. ^^^(O + A> {.« = 1,2, ••-,..)

u = l t=s-\-t-\-l

Nachw. , daß die gef. Bedingung notwendig ist. 431

eindeutig bestimmt sind. Aus (69) folgt aber:

s + t p

(70) e^^^ U^XOo) + 2 %{^r) + K, (," = 1>2,-..,.)

womit nachgewiesen ist, daß sich die Parameter e^, ■■•, e^ auch in
diesem Falle in der Form (67) darstellen lassen, nur mit dem Unter-
schiede, daß nunmehr durch die beliebig angenommenen Punkte
^i> ■■■; ^i ^i® ][) — 8 übrigen Punkte, hier die Punkte o^^i, • • •, o^^^,

f.-u/^i, •••, f,., nicht mehr eindeutig bestimmt sind.

»' + S + 17 y p? o

Man hat also den

IX. Satz: Verschwindet der Ausdruck:

(XII) ^((^H(o-2^(o-4'

(7 = 0 a = l

solange r <C s ist, für alle Lagen der 2r -f 1 Funlde o^o^,---,o^,
h) '"} ^r} ^iclit mehr aber, ivenn r = s ist, so lassen sich die Para-
7neter e^, •••, e in der Form:

p
(XIII) e^,^^u,{ri-;) + h^, Lu=i,2,--,p)

x = l

darstellen und es können dahei s der Punkte rj^, •••, 7]^ ivillkürlich ge-
ivählt tverden ; die p — s ührigen sind dadurch im allgemeinen ein-
deutig bestimmt

Dies ist aber das Kriterium der Punktsysteme I. Gattung vom
Range p — s und man kann daher den Satz auch so aussprechen:

X. Satz : Verschwindet der Ausdruck (XII), solange r <C s ist, für
alle Lagen der 2r -f 1 Punkte o, o^, ••-, o^, s^, •••, s^, nicht mehr
aber, wenn r = s ist, so lassen sich die Parameter Cy, ■■■, e^ (auf un-
endlich viele Weisen) in die Form (XIII) bringen und es bilden dabei
die p Punkte ri^, •■-, t] ein Punktsystem I. Gattung vom Bange p — s.

Damit ist der gewünschte Nachweis erbracht; denn der X. Satz
enthält in sich den folgenden:

XI. Satz: Verschwindet d'lu^o) — e} identisch, so lassen sich die
Parameter e^, ■■•, e auf unendlich viele Weisen in die Form (XIII)
bringen, und es bilden dabei die p Punkte rj^, •••, rj^ ein Punktsystem
I. Gattung,

welches die verlangte Umkehrung des VII. Satzes ist.

Aber der X. Satz sagt mehr aus, er gibt einen genaueren Ein-
blick in das identische Verschwinden der Riemannschen Thetafunktion
und liefert insbesondere durch Umkehrung den

432 IX. 5. Die Lehre von dem iclent. Verschw. der Riemannsclien Thetafonktion.

XII. Satz: Bilden iq^, • • -, ri^ ein Punldsystem I. Gattung vom
Hange p — s und setzt man dann:

V

(XIV) .,, = 2^W + Ä^,, (.=i.v-.P)

x = l

so verschwindet der Ausdruck:

r r

(XV) ^{^<o:)-^u{,^)-e\,

solange r <C s ist, für alle Lagen der 2r -\- 1 Punkte o,o^,---,o^,
£j, • ■ •, £^, nicht mehr aber, wenn r = s ist.

Nun kann man aber endlich beweisen, daß für eine Funktion
d-(lu{o) — e)), für welche der Ausdruck (XV) solange r <i s, nicht
mehr aber, wenn r = s ist, für alle Lagen der 2r -\- 1 Punkte
0, Oj, •••, 0^, Si, ••-, €j. verschwindet, die sämtlichen partiellen Deri-
vierten der 1**", 2**°, • • •, s — l**"", nicht aber der s*^" Ordnung iden-
tisch, d. h. für alle Lagen von o verschwinden.

Der erste Teil dieses Satzes, daß alle Derivierten von #{(m(o) — e))
bis zur s — 1'®° Ordnung einschließlich unter der gemachten Voraus-
setzung verschwinden, ist sehr leicht zu erbringen. Wird nämlich
für die partiellen Derivierten der Thetafunktion die abgekürzte Be-
zeichnung:

(71) y^H .»w ((„j

angewendet, und ist in b z = t, , s — 6 , so ist:
(72) i-^((i^(op-i»(v-^))

CSi ■■■ Ctr
p p r r

-i-^r 2 ■■■2 < ■ d2<%^-2<'^^-4-<(-'^y-<^'r)-

Ist nun r < s und daher der Ausdruck (XIII), also auch der daraus
durch partielle Differentiation hervorgehende (72) für alle Lagen der
2r -f 1 Punkte o, o^, ■••, o^, e^, ■■■, s^ NuU, so folgt, indem man
Ol = £i, ■• ■, 0^ = £j. setzt, daß die Summe:

^3) ^■■■2^''l--^'M''^ - 4<(o ••• ^;.(o = 0
/< , = 1 fij.= 1

ist für alle Lagen der Punkte s^, •••, e^ und o. Dies zieht aber in-
folge der Linearunabhängigkeit der Integranden ?<j', •••, u^' das Ver-

Ident. Verschw. der partiellen Deriv. der Thetafunktion. 433

schwinden der sämtlichen partiellen Derivierten -^ . _ fw (o) — e)) für
alle Lagen des Punktes o nach sich, womit der gewünschte Nachweis
erbracht ist.

Der Beweis des zweiten Teiles des obigen Satzes, daß unter den
über die Funktion '9'((«*(o) — ej) gemachten Voraussetzungen nicht
alle ihre Derivierten s*®"" Ordnung verschwinden, ist dagegen nicht
ohne Weitläufigkeiten.

Setzt man:

(74) u^{o)-e^^=L\^, (,,=1,2,...,^)

so gibt es der Voraussetzung nach ein System von 2« Punkten
^17 ■■■; ^a? ^1' ■■'; ^«j f^^^" welches bei passend gewähltem o

(16) ^12" "(V -2'<^^ + 4 + ^

ist; dann lassen sich aber s die Punkte s^, •••, s^ umschließende Ge-
biete Gj^, ■■■, G^ so abgrenzen, daß diese Ungleichung bestehen bleibt,
solange die £ nicht aus den Gebieten G heraustreten. Der Ausdruck
auf der linken Seite von (75) kann aber ferner nicht für alle in
G^, •••, G^ liegenden Punktsysteme Oj, •••, o^ Null sein, da er sonst
als stetige Funktion von Oj, • • •, o, im Widerspruche mit (75) für
jede Lage der Punkte o^, ■••, o, mit der Null zusammenfallen müßte,
und es gibt folglich ein diesen Gebieten angehöriges Punktsystem
}'i' ■■■? ?"»? für welches sowohl:

(76) ^ ((^ n (0^) - 2 u(y^) + U)) ^ 0

als auch:

s s

{IT) ^ ((2 u (y^:) - ^ ti {s,) +4 + 0

ist. Nun kann man weiter wegen (77) s die Punkte y^, • • •, y^ um-
schließende Gebiete F^, ■•■, F^ so abgrenzen, daß der in (77) stehende
Ausdruck von Null verschieden bleibt, solange die y nicht aus den
Gebieten F heraustreten, daß also:

s s

(78) ^ ((^«H) -^<^) +4 + 0

0=1 (J = 1

ist für jedes in F^, ■■■, F^ gelegene Punktsystem w^, •••, oj^, und da
der Ausdruck:

s s

(79) # (2 ^<a^^) - ^ n (y,^ + u)) + 0

(J = 1 0 = 1

Krazer, Thetafuuktionen. 28

434 IX. 5. Die Lehre von dem ident. Verschw. der Riemannschen Thetafunktion.

sein kann für alle den Gebieten F^, ••■, F^ angehörigen Punktsysteme
"ij ■■■; "*■; ^^ 6^ sonst allenthalben Null wäre, und es doch für
fijj = 0^, ■■ •, (o^ = 0^ nicht ist, so erkennt man, daß es jedenfalls ein
den Gebieten F^, ■■•, F^ angehöriges Punktsystem w^, •••, co, gibt,
für welches gleichzeitig die beiden Ungleichungen (78) und (79)
bestehen.

Bildet man nun mit einem der Bedingung (77) genügenden
Systeme von 2s Punkten e^, ■■-, £^, y^, ••■, y, den Ausdruck:

s s

(80) -^ '^ ■ e^\

in welchem zur Abkürzung:

s

(81) W = 2{ w ^^(«0 + . . . + w (co:) }

p=i

'(}■< lU ^ *' "^^I

gesetzt ist^), so ist derselbe als Funktion eines jeden der s Punkte
03^, •••, 03^ betrachtet eine Funktion der Klasse, die nirgendwo un-
endlich wird und daher einen konstanten Wert besitzt, der endlich
nach dem vorher Bemerkten von Null verschieden ist.

Damit ist bewiesen, daß für jedes den Gebieten J\, • ■•, F^ an-
gehörige Punktsystem oj^, •••, a^ die Gleichung:

s s

(82) ^^=1 ' ?=i

?=i ('=1

besteht, in der C einen von Null verschiedenen von den a unab-
hängigen Wert bezeichnet.

Es sei nun für q = 1,2,--,s in to^: s^z^, s = s^, in y^: 0 = ^^,
s = 6 . Dividiert man dann linke und rechte Seite von (82) durch
(^1 - Q • • • (^* - Ü und läßt hierauf «^ gegen y^, ■■■, (o^ gegen y^
konvergieren, so erhält man auf der linken Seite die Summe:

(83) 2---2<-.''sm%M)---<sirs),
."i=i ,"«=1

auf der rechten Seite aber einen jedenfalls von Null verschiedenen

1) Um die Integralgrenze in die Bezeichnung aufzunehmen, sind hier die
Unendlichkeitspunkte als Indizes angebracht.

Ident. Verschw. der part. Deriv. der Thetaf. — Endresultat. 435

Grenzwert und hat damit bewiesen, daß von den Deri vierten der
^ten Qi.(j2iung:

m <-...,((f^) = <!.....((<«) -4

mindestens eine von Null verschieden ist.

Man hat auf diese Weise den Satz bewiesen:

XIII. Satz : Bilden rj^, ■• •, t] ein PunJctsystem I. Gattung vom
Bange p — s und setzt man dann:

p
(XVI) e^. = 2%M + K- (.=i,V ..)

so verschwindet die FunMion d'([u(o) — e]) identisch, d. h. für alle Lagen
des Punktes o, samt allen ihren Derivierten der i*^°, 2'^^, •••, s— 1*^"
ahe^' nicht der s*®° Ordnung.

Die Hauptresultate dieses Paragraphen kann man in folgenden
Satz zusammenfassen:

XIV. Satz: Bie FunMion:

(XVII) ^ ((<«)- 2' <^^)- 4

verschwindet:

1. wenn die Punkte rj^, • • • , r/^ kein Punktsystem I. Gattung bilden,
nur in den p Punkten rj^, ■■■, t/^;

2. wenn die Punkte tj^, •••, yj^ ein Punktsystem I. Gattung vom
Bange p — s bilden, identisch d. h. für alle Lagen des Punktes o, und
zwar zusammen mit allen ihren Derivierten jf'®"", ^*", ••■, s—X^'' aber
nicht s*®"^ Ordnung.

Die Lehre vom identischen Verschwinden der Thetafunktion findet
sich zuerst bei Riemann^). Auf die Lücken, welche diese Darstellung
enthielt, hat sodann Herr Neumann ^) hingewiesen, und es ist diesem
auch später^) gelungen, einen einwandfreien Beweis des Hauptsatzes der
Lehre (VI. Satz) zu erbringen. In der letzten Zeit hat Herr Rost^) eine

1) Riemann, Über das Verschwinden der Theta-Functionen. 1865. Ges.
math. Werke. Lpz. 1876, pag. 198.

2) Neumann, Über das Verschwinden der Thetafunctionen. Leipz. Ber.
Bd. 35. 1883, pag. 99.

3) Neumann, Vorlesungen über Riemann's Theorie der Abel'schen Inte-
grale. 2. Aufl. Lpz. 1884, pag. 322.

4) Rost, Theorie der Riemann'schen Thetafunction. Hab. -Schrift. Würz-
burg 1901.

28*

436 IX. 6. Zuordnung von Wurzelfunktionen zu den Thetafunktionen.

vollständige, auf alle möglichen Ausnahmefälle Rücksicht nehmende Dar-
stellung der ganzen Riemannschen Lehre gegeben und die Mängel, welche
früheren Darstellungen von v. Dalwigk^), Stahl ^) und Christoffel ^)
anhaften, eingehend kritisch beleuchtet. Die sorgfältige Darstellung des
Herrn Rost konnte der obigen in wesentlichen Punkten zur Grundlage
dienen.

Christoffel ist in seiner eben genannten Abhandlung aber noch
auf einen anderen Punkt eingegangen. Bilden nämlich t]^, • • •, rj ein
Punktsystem I. Gattung, so kann man mit den obigen Hilfsmitteln keine
Thetafunktion bilden, welche nur in den p Punkten t/j, • • •, n ver-
schwindet. Christoifel zeigt, daß, wenn der Begriff einer Thetafunktion
nicht an ihre Ausdrucksform gebunden wird, sondern an ihre maßgeben-
den Eigenschaften, nämlich ihr Verhalten an den Querschnitten und im
Innern der einfach zusammenhängenden Fläche T', der sie zugeordnet ist,
eine solche Funktion unter allen Umständen, wie auch ihre Nullpunkte
vorgeschrieben werden mögen, existiert, und gibt als Ausdrucksform für
sie in den Fällen, wo die Riemannsche Thetareihe versagt, andere, „Se-
kundärreihen" genannte Formen.

§6.
Zuordnung von Wurzelfunktioneu zu den Thetafunktionen.

Ist -O-Ic)) =t= 0, so verschwindet d-([u{o) — u{s) — cj) als Funktion
von 0 nicht identisch, da es für o == s nicht Null ist, wird also 0^ in
2) Punkten %, •••, r] , welche durch die Kongruenzen:

p
(85) uM + c,u =2*«^(^x) + K (."=i>2,...,p)

x = l

eindeutig bestimmt sind. Man erhält daraus den

XV. Satz: Ist -ö'fc)) + 0, so können die Größen c^j---,Cp in

die Form:

p

(XVIII) c^^- u^is) -^^u^M + /v< ^"=^'^' • ■•''

gebracht iverden, wobei der Punkt s iviUkürlich gewählt tverden kann,
von den Punkten ri^, •••, ri aier keiner mit e zusammenfällt.

1) V. Dalwigk, Beiträge zur Theorie der Thetafunctionen von ^j Variablen.
Nova Acta Leop. Bd. 57. 1892, pag. .221.

2) Stahl, Theorie der AbeFschen Functionen. Lpz. 1896, pag. 224.

3) Christoffel, Vollständige Theorie der Riemann'schen ^-Function.
Math. Ann. Bd. 54. 1901, pag. 347; vergl. dazu auch Landfriedt, Thetafunk-
tionen und hyperelliptische Funktionen. Ljjz. 1902.

Hilfssätze: Darst. vou Größensyst. durch lutegralsummen. 437

Nun seien d^,-'-,d beliebige Größen; nacb dem IX. Satze
existiert dann stets ein Größensystem c^,---, Cp derart, daß gleich-
zeitig 'O'fc)) =j= 0 und d-{c + (^)) 4= 0 sind; dann können aber, wie soeben
bewiesen, die Größen c^, •••, c^ und c^ + ^^^ij •••; Cp-\-dp in die Formen:

p

C^ = - %{^) +2 %(Vy) + J\u ,

(86) ''~^ (,« = 1,2, ■•-.i))

x = l

gebracht werden, und es folgt dann hieraus:

p p

x = l x=l

Man hat damit den

XVI. Satz: Beliebige Größen d^, • • •, d^ kömien stets in die Form:

p p

(XIX) d^ ^2%iQ -^u^Xv.) (.^M,.-..)

z = l x = l

gebracht werden.

Ist nun ^{{c} = 0 und weiter

r r

(88) # ((2 uid^) -^ u{s^) - c)) = 0

0 = 1 () = 1

für alle Lagen der 2r Punkte ^i, • • •, ö^., f^, • • •, s^., solange r < s, nicht
mehr aber, wenn r = s ^), so ist bei passend ausgewählten Punkten

^2, •••; ^s} h, ••■, f.,

s s

(89) & ((h(o) +^<V -2<^') - 4

o = 2 (> = 1

als Funktion von o nicht identisch Null, wird also 0^ in 2' Punkten,
von denen s die Punkte £j, •••, «^ sind, während die p — s übrigen
^s + i} "j "^p durch die Kongruenzen

s P

(90) -^ u^^ (d^) + c„ ^2 M^, (d,) + Z;^,

(1^2 o = s-\-l

eindeutig bestimmt sind. Aus den Kongruenzen (90) folgt sofort der

l) Wenn nicht früher, so tritt dies jedenfalls wegen des XVI. Satzes für
r = p ein.

438 IX. 6. Zuordnung von Wurzelfunktionen zu den Thetafunktionen.

XVII. Satz: Ist ^ilc)) = 0. so können die Größen c^, ■■-, c^ in

die Form:

p-i

(XX) Cu^^u^{d,:) + k^ C"=i,2,.-,P)

y. = i

gebracht werden.

Da man c mit — c^^ vertauschen kann, so existieren dann auch
|) — 1 Punkte £i, •••, £j,_i, derart daß:

P-i

(91) - C^, =2% (O + Ä:^. (^=1,2, ...,p)

y. = l

und daher:

p — 1 p — 1

(92) ^ u^ (d^) +^^v(^.) + ^^ = 0 (.=1,2,.. .,.)

y. = l x = l

ist. Verschwindet nun die Funktion d-{(u(o) — «)) in den p Punkten

«j, • • ■, a , sodaß:

p

(93) %=2%M'^h, (/*=i.2,--.p)

ist, so ergibt sich durch Verbindung mit (92):

p — 1 p — 1 p

(94) - 2a^, ^^uM) +^^rv(0 - 2^^K> (^=i.V-,.)

x = l y. = l y. = l

Nun sei:

(95) 2a^ = 0 (,.,=1,2,. ...p)

d. h. «1, • • •, ö„ ein System korrespondierender Halber der Periodizitäts-
modulen, dessen Per. Char. in der Folge mit (a) bezeichnet sei; die
Kongruenzen (94) liefern dann:

p — 1 p — 1 p

(96) ^^(^J +^^V(0 - '2^%M ^ 0. (.=1.2,...,.)

x = l y. = l /. = 1

Ist die Charakteristik [rt] ungerade, so fällt einer der /) Null-
punkte «j, •••, a^ der Funktion '^■((«(o) — aj), etwa a^, in den gemein-
samen unteren Grenzpunkt a der Integrale ii und die Kongruenzen (96)
reduzieren sich auf:

p — 1 p — 1 p — 1

(/< = 1,2,. •-,/))

(97) ^^*,(^.) +^^(0 - 2^ ^^<(«.) = 0.

Diese Kongruenzen zeigen aber, daß es eine Funktion t der Klasse
gibt, welche oo'^ wird in den 2p — 2 Punkten d^, • • •, ö'^_i, fi, • • •, «p_i

Zuordnung von Funktionen i/»^ zu den 2"^' Th. Char. 439

und 0^ iu den p — 1 Punkten «j, • • •, cc i. Eine solche Funktion ist
der Quotient:

(98) r = ^

zweier ^J-Funktionen, von denen die Nennerfuuktion bis auf einen
Faktor dadurch bestimmt ist, daß sie 0^ wird in den 2p ~ 2 Punkten
^17 ■ ■ '? ^p-i> ^1' ' ' '7 ^p-i: fliese Punkte bilden ein Punktsystem
I. Gattung vom Range p — 1, da j? — 1 von ihnen z. B. d^, ■ ■ ■, d^_i
willkürlich gewählt werden können. Die Funktion cp^ ist von der
Charakteristik [a] unabhängig; den 2^~^(2^— 1) ungeraden Charak-
teristiken entsprechend existieren dazu ebensoviele Zählerfunktionen,
von denen jede 0^ wird in jenen p — 1 Punkten , in denen die zu-
gehörige Funktion d-il^u(o) — a]) außer im Punkte a verschwindet.

Ist die Charakteristik [a] gerade, so fällt keiner der Nullpunkte
^h} "} S ^^^ ^^ zusammen und die Kongruenzen (96) zeigen, daß es
eine Funktion r der Klasse gibt, welche oo^ wird in den 22) — 2
Punkten d^, •••, dp_^, f^, •••, f^_i und <x>^ in a, dagegen 0^ in den
2) Punkten a^, •••, «. Um eine solche Funktion zu bilden, nehme
man zu der in den 22) — 2 Punkten ö^, •••, <Jp_i, «i, •••. fj,_i ver-
schwindenden Funktion qp^ eine in a 0^ werdende lineare Funktion
l^ = a2 -\- hs + c hinzu. Diese letztere wird dann noch 0^ in m -{-n — 2
anderen Punkten ß^, •••, /3,„_,.„_2- Nun bestimme man eine Funktion

7i — 1 m — 1

t/'( s \ 2 ) so, daß sie in den m -f w — 2 Punkten /3i, •••, /3„, + „_2 0^
wird und ihre 2p übrigen Nullpunkte paarweise zusammenfallen.

« — 1 m — 1

Man wird dabei bemerken, daß eine Funktion '4'{ s | z ) mn
= d -\- p -[■ m -\- n — 1 willkürliche Konstanten und m{n — 1)
+ n{)n — 1) = 2d + 2p -\- }n-\-n — 2 Nullpunkte hat. Verschwindet sie
in den d Doppelpunkten von F{s \z) = 0, so bleiben noch 2p-\rm-\-n — 2
Nullpunkte übrig, denen j9 -\- m -\- n — 2 Bedingungen auferlegt wer-
den können. In dem Quotienten

(99) X - ^

«qPo

ist dann der Nenner /^qpQ wieder von der Charakteristik [«] unab-
hängig, während es den 2p~^(2^+1) geraden Charakteristiken ent-
sprechend ebensoviele verschiedene Zählerfunktionen ^ gibt, die alle
0^ werden in den nämlichen m -\- n — 2 Punkten, und von denen
außerdem jede 0^ wird in den p Punkten a^, ••■, «^, in denen die
zugehörige Funktion '9-((w(o) — al) verschwindet.

Multipliziert man noch im ersten Falle Zähler und Nenner von
T mit 1^ und faßt ein Produkt J^(p als eine zerfallende t/^-Funktion
auf, so erhält man bei durchweg gleicher Nennerfunktion den
2^P Charakteristiken [s] ebensoviele verschiedene t^-Funktionen ip^ zu-

440 IX. 6. Zuordnung von Wurzelfunktionen zu den Thetafunktionen.

geordnet, welche alle in den nämlichen m-\-n— 2 Pimkien ßi,'")ß,H + n-2
verschwinden, und von denen jede weiter 0^ wird in jenen p Punkten
oji, •••, cc , in denen die zur Charakteristik [s] gehörige Funktion
'9-[t] ((w(o))) verschwindet.

Betrachtet man jetzt einen Thetaquotienten :

so ist er eine in der Fläche T' einwertige Funktion, die 0^ wird in
den p Nullpunkten a^, •••, a^ von # [*] ((m(o))), oo'^ in den p Null-
punkten «i', •••, Up' von ^[t]]iu(o)]j und die beim Überschreiten der
Querschnitte a,., b^ die Faktoren:

(101) {-iy~'\ i-iy"'' (v=i,2,...,p)

erlangt. Sein Quadrat ist also eine in u^, ■■■, a 0^, in «/, ■••, « ' oo^
werdende Funktion der Klasse und unterscheidet sich daher von der
Funktion ^, rt/» nur um einen konstanten Faktor; man erhält so die
fundamentale Gleichung:

Zur Ausführung der im Vorigen angegebenen Zuordnung der
22p Wurzelfunktionen ]/t/^j zu den 2^^ Thetafunktionen 0'[£]((mJ) muß
man die Nullpunkte der Thetafunktionen kennen. Man kann aber
die Zuordnung der Wurzelfunktionen zu den Thetafunktionen auch
ohne Benutzung der Nullpunkte durchführen, indem man verfährt,
wie folgt:

Man bestimme nach dem Früheren auf rein algebraischem Wege
die 2^-^(2^+1) eigentlichen und die 2^-^(2^ — 1) zerfallenden

n — 1 m — 1

t/'-Funktionen ; die ersteren sind jene Funktionen ^ ( .s | z ), welche in

n m

den d Doppelpunkten von F{s\s) = 0 und den m -\- n — 2 von u ver-
schiedenen Nullpunkten der im Punkte u 0^ werdenden linearen
Funktion l^ = az -\-l)S -\- c verschwinden, während ihre 2p übrigen
Nullpunkte paarweise zusammenfallen; die letzteren sind jene Funktionen

n — 2 m — 2

la^{ s I z ), bei denen q)(s j z) in den d Doppelpunkten von F{s j ^) = 0
verschwindet, während ihre 2^) übrigen Nullpunkte paarweise zusammen-
fallen. Aus den zugehörigen 2^p Wurzelfunktionen |/^ bilde man
2^-P — 1 Quotienten mit gemeinsamem, willkürlich gewähltem Nenner
y^ und ermittle für diese die Faktoren + 1, welche sie an den

Querschnitten a,,, &,, erlangen. Damit ist zu jedem Quotienten —^

bereits die Differenz der Charakteristiken der zu seinen beiden Wurzel-

Das Umkelirproblem. 441

funktionen gehörigen Thetafunktiouen gefunden, und man hat jetzt
nur noch diejenige Charakteristik (?;) zu ermittehi, welche die Eigen-
schaft hat, daß durch ihre Addition zu den 2^^ — 1 gefundenen
Charakteristiken eine gerade Charakteristik entsteht, wenn die
Wurzelfunktion des Zählers im zugehörigen Quotienten eine eigent-
liche, eine ungerade Charakteristik, wenn diese Wurzelfunktion eine
zerfallende ist. Die so bestimmte Charakteristik (jj) ist dann die
zur Wurzelfunktion Yip^ gehörige Charakteristik, während die 2"^ — 1
durch Addition erhaltenen Charakteristiken in der gleichen Reihen-
folge den 2^^ — 1 im Zähler stehenden Wurzelfunktionen angehören.

§ 7.
Das Umkehri^roblem.

Bezeichnet man die p Nullpunkte der Funktion ■9•[£]((^((o))) mit
a'^\ ■ ' ■ , a'''\ die p Nullpunkte der Funktion d-[£]{u{o) — e} mit
7j|^'^, • ••, i^^'^, so ergeben sich aus den Kongruenzen, welche in den
beiden Fällen die Nullpunkte der Thetafunktion mit ihren Parametern
verknüpfen, durch Subtraktion die neuen:

p

(103) e^, ^ 2 [u^Xv':') - «,(«l:^)] • i^=^'^^ • ■ •.^)

v = l

Daraus aber schließt man sofort, daß der Thetaquotient:

(104) Qio)-—-f^ ^^

als Funktion von o:

1. 0^ wird in p Punkten y^, • ■ , tfj,, welche durch die Kon-
gruenzen:

p q

(105) ^ [u^Xy.) - ^(«?^)] + 2 K(^>^) - ^(^'<)] ^ ^>

1=1 y. = l

{H = l,2,--,p)

2. oü^ wird in p Punkten ^i, •••, ^«, welche durch die Kongruenzen:
(106) 2 [11, (^.,) - u,, («;,"')] -f ^ [«^, (o,) - u^ (dj] ^ 0

1=1 >t=i

C« = l,2, • ,p)

442 IX. 7. Das Umkehrproblem.

bestimmt sind. Weiter erlangt Q(o) an den Querschnitten a^,, h^, die
Faktoren :

(107) (-iyv-''v, (-1)^-"'- (v=i,2,.-,p)

setzt man daher mit Rücksicht auf die Symmetrie von Q in Bezug
auf 0, Oj, • • •, 0,^

(108) Q==S,S,-S^R,
wo:

(109) 5, = ]/^ (.=1,2,...,,)

ist, so ist J? gleichfalls eine symmetrische Funktion von o, o^, ■ ■ ■ , o ]
dieselbe ist als Funktion von o betrachtet Funktion der Klasse und
wird:

1. 0^ in den p Punkten a^ , ••■, a , in denen Sq oq' wird, und
in den p Punkten y^, •••, y , in denen Q 0^ wird,

2. oo^ in den p Punkten «^ , ••■, « , in denen Sq 0^ wird, und
in den p Punkten z^, ■ • ■ , z , in denen Q oo^ wird.

Um eine solche Funktion H zu bilden, ohne die unbekannten
Punkte yi, ■ ■ , yp, -^i; "j -^p zu benutzen, verfahre man wie folgt:

Man bestimme eine Funktion r der Klasse, deren Zähler- und
Nennerfunktion von hinreichend hohem Grade sind und beide in den
d Doppelpunkten von F{s''2) = 0 vei'schwinden, so, daß außer ge-
wissen weiteren gemeinsamen Nullpunkten des Zählers und Nenners
der Zähler 0^ wird in den q Punkten d^, ■ • • , ö, und den p Punkten
Kj , •••, ar''\ der Nenner in den q Punkten o^, •■•, o,^; die ^j weiteren
Nullpunkte des Nenners sind dann dadurch bestimmt und auf Grund
der Kongruenzen (106) die p Punkte ^i,--,2p- Bestimmt man
dann in der gleichen Weise eine Funktion t^ der Klasse, welche 0^
wird in den q Punkten d^, • •■, d, und den p Punkten a^\ ■ ■ ■ , a , da-
gegen oo^ in den q Punkten o^, ■■■, o , und daher auf Gnmd der
Kongruenzen (105) in den p weiteren Punkten y^, ■■-, y^, so ist der
Quotient t,, : t^ 0^ in den 2^j Punkten «^ , ■■•, a und y^, -•-, y^,
oo^ in den 2p) Punkten «^ , • • -, a und s^, ■ ■ ■ , z^, unterscheidet sich
also von B, nur um einen von o unabhängigen Faktor, der zunächst
noch von o^, 'jO abhängt, aber auch davon unabhängig wird,
sobald man es so einrichtet, daß die Funktion t : t^ symmetrisch ist
in Bezug auf die q-\-\ Punkte o, o^, • • •, o . Man erhält dann für Q
den Ausdruck:

(110) Q-^^nvÜ^

Lösung des Jacobischen Umkehrproblems. 443

wo Cj, eine von den q -\- 1 Punkten o, o^, ■ ■ ■, o^ unabhängige Größe
bezeichnet, die bestimmt werden kann, indem man diesen Punkten
passend gewählte spezielle Lagen gibt.

Das Jacobisclie Umkehrproblem besteht nun in der Aufgabe, aus
den p Gleichungen:

p

all) ^l^K)-/vW]= f^^ (.=i,v-,P)

v = l

bei gegebenen Integralgrenzen d^, ■ ■ ■ , ö^ und gegebenen Werten
^\y " ' y Up ^^^ Integralgrenzen o^, ■ ■ ■, o^ zu berechnen. Bestimmt
man Größen e^, ■■■, c^ durch die Gleichungen:

p

(112) 2^(^.) + ^\ + K = ^V' (^=i.v -.P)

wobei Ä;i , • • • , Z; die unter f II) angegebenen Riemannschen Konstanten
bezeichnen, so wird:

(113) ^^(^)4-/.-„ = c„ (/^=i,v-.,p)

und die Vergleichung mit den Sätzen der §§ 4 und 5 liefert das
Resultat, daß stets ein aber im allgemeinen auch nur ein Punkt-
system Oj,--,Op existiert, welches den Gleichungen (111) genügt,
nämlich das System der p Nullpunkte jeuer Thetafunktion '9'((m(o) — e))>
welche mit den nach (112) berechneten Größen e^, ■•, e^ als Para-
metern gebildet ist, und in diesem Sinne ist das Jacobische Umkehr-
problem nichts anderes als das Problem der Bestimmung der Null-
punkte einer Thetafunktion mit gegebenen Parametern c^, ■ ■ ■ , tj^.
Zugleich aber erkennt man, daß bei besonderen Werten der Größen
^ij ■■■> ^? wenn nämlich die mit den Parametern (112) gebildete
Thetafunktion identisch verschwindet, das Jacobische Umkehrproblem
unendlich viele Lösungen besitzt, in der Art, daß man dann einen
oder mehrere der Punkte o^ , •■ ■ , o^ willkürlich wählen kann.

Nachdem so bewiesen ist, daß das Jacobische Umkehrproblem,
von Ausnahmefällen abgesehen, eine und nur eine Lösung besitzt, ist
leicht zu sehen, wie die obige Formel (HO) zur Ermittlung dieser
Lösung verwendet werden kann.

Setzt man nämlich in (HO) g=i>, läßt den Punkt o mit dem
gemeinsamen unteren Grenzpunkt der Integrale u zusammenfallen und
erhebt linke und rechte Seite aufs Quadrat, so wird die linke Seite
'9'2[£]((C/')) : '9-^[7j]((?7)) also bekannt, die rechte Seite aber, wenn in o,^
z = z , s = s^^ ist, zu einer rationalen Funktion von ^i, 5^; •■ •; ^p, Sp.
Bildet man daher die Gleichung (HO) für p verschiedene Charakte-

444 IX. 7. Das Umkchrproblcm.

ristiken [s], so erhält man p derartige Gleichungen, welche zusammen
mit den 2) Gleichungen:

(114) i^(s,k,) = 0 (.=1,2,. ..,p)

die 2p Unbekannten z^, Sj,; •••; z , s bestimmen^).

1) Zu den beiden letzten Paragraphen vergl. : Stahl, Über die Behandlung
des Jacobischen Umkehrproblems der Abelschen Integrale. Inaug. -Diss. Berlin
1882 und: Theorie der Abel'schen Tunctionen. Lpz. 1896, pag. 235.

Zehntes Kapitel.

Die hyperelliptischeii Tlietafunktionen.

§ 1.

Beziehungen der Feriodizitätsmodulen

eines hyperelliptischen Integrals I. Gattung

zu seinen Werten in den Verzweigungspunkten.

Die zweiblättrige die Verzweigung der Funktion f

(1)

s=y(2- a) {z - cc,) (^ - «2) • • • (^ - <^2p+i)

darstellende Riemannsche Fläche T sei in der durch die Figur 4 an-
gegebenen Weise durch p Querschnittpaare a^, 6,, und p Hilfslinien
c^ (y = 1, 2j ■ • 'j p) in eine einfach zusammenhängende Fläche T'

Fig. 4.

zerschnitten. Für dieses Querschnittsystem gestalten sich dann die
Formeln, welche die Feriodizitätsmodulen A^, B^ {y == 1, 2, ■ • ■, p)
eines Integrals erster Gattung w mit seinen Werten zwischen den
Verzweigungspunkten verknüpfen, wie folgt. Es ist:

+ «2i' + l z=^

(2)

J.^ = I dw = 2 I dw', (v==i,2,..,-

Fig. 5.

wo das letzte Integral ein direktes, in T erstrecktes, also die Quer-

446 X. 1. Bezieh, der Periodizitätsmod. eines hyperellipt. Integrals I. Gatt. etc.

schnitte überschreitendes ist und dw' den Wert von dw auf der
linken Seite der Linie «gr ^2»' + i ^^ oberen Blatte von T be-
zeichnet. Es ist ebenso:

+ Cj «4 "2»-

(3) B^ = / dw = - 2 / div -2 1 div' 2 1 dw,

(1=1, 2, ■••,/>)

WO die Integrale wie voiher zu verstehen sind und div den Wert

et .; «, «j «j «^^^ a,^.^ ccj^ ; «^^^

Fig. 6.

von dw im oberen Blatte bezeichnet. Aus (2) und (3) folgt:

(4) j dw=\{B^_, - 5„), Jdw'==lÄ^, (.=1,2,. ,;,)

«2»'— 1 "-Iv

wo in der ersten Formel im Falle v = 1 unter Bf^ Null zu ver-
stehen ist. Das Integi-al / dtv' ist mit diesen 2/j Integralen durch

a

die Relation:

«1 a, ^2;j + l

(5) / div' + / f/«'' H h / f/lf' = 0

verknüpft, die sich sofort ergibt, wenn man im oberen Blatte von T

«V «,

Fig.

eine geschlossene Kurve um alle 2p -{- 2 Verzweigningspunkte zieht
und durch diese das Integral w erstreckt. Aus (5) folgt aber:

(6) jdw=-\^A.^_.

Die in (2) bis (6) auftretenden direkten Integrale zwischen den
Verzweigungspunkten lassen sich durch 2j) + 1 andere ausdrücken,
deren Integrationskurven in T' verlaufen, und die sich demnach als
Differenzen der Werte von tv in den Verzweigungspunkten bei be-

Bez. der Periodizitätsmod. zu deu Integralw. in den Verzweigungsp. 447

liebisr wählbarer unterer Grenze darstellen. Wie aus den neben-
stellenden Figuren erhellt, ist nämlich:

/ dtv' = iv{tc^) — IV (a) — ^ A^,

"•2v

(7) J dw ==iv{cc^;)-u-{a^^._^) + B^_^-B^,

«2.-X
«2v+l

^-

/ äiv = «^'Cagv + i) — *^(«2v) + A;

«gf (»- = 1,2, •■■,?))

und man hat daher auf Grund von (4) und (6):

p

(8) w{

Fig. 8.

(v = l,2, •• ,p)

woraus endlich:

•i6"

(9)

(v = l,2, •••,iu)

«<^(«^2p + l)-«K«) = i^p

folgt und damit der

I. Satz: Die Periodmtätsmodulm Ä^, B^ eines Integrals I. Gat-
tung w an den Querschnitten a^, h^ {v = 1, 2, ■■■, p) sind mit den
Werten dieses Integrals in den Verzweigimgspunkten «, c<:i, «2? ' "> ^2p+i
durch die Gleichungen:

p

W{

(I)

y. = v

P

(v = l,-2,-;P)

IV

{a,;)-w{a) = \^A.^ + ^B^„

verhnüpft, in deren erster im Falle v = 1 unter Bq Null zu verstehen ist.
Aus dem I. Satz folgt sofort der

448 X. 1. Bezieh, der Periodizitätsmod. eines hyperellipt. Integrals I. Gatt. etc.

II. Satz^): Führt man in dem Systeme der p Riemannschen Nor-
mal integrale u^, Mg, • • •, i(p an Stelle der untet'en Grenze den Ver-
ziveigungspimld a ein und läßt hierauf an Stelle der oberen Grenze der
Beihe nach die 2p -\- 1 übrigen VerziccigungspmiJde a^, a^, •■•, «2-,^i
treten, so geht dasselbe nacheinander in 22^+1 Systeme korrespon-
dierender Halber der Periodizitätsmodulen über mit den CharaJiteristiken:

, . Ol /0\/>-2 0 0 1 /0\/'-3

M = 0 0 (l) (««^ = 0 0 1 (l)

(«.,._.)=(„) 0 (i) («-'.) = (o) 1 (i)

K-i) = (o)'""' i 1 K) = (o)

(«•2p + l)=(o)

{(i\p-'^ 1

0

Betrachtet man die im IL Satz auftretenden 2p -\- 1 Per. Char.
(a^), («2), •••} (^2p + i) genauer, so erkennt man, daß sie zu je zweien
azygetisch sind, daß sie also nach der pag. 267 gegebenen Definition
ein F. S. von Per. Char. bilden.

Noch sei für später bemerkt, daß die Charakteristiken («j), («3),
"■> (^*2« + i) gei'ade, die Charakteristiken («2), (ct^), • • •, (^-^2^0) ungerade
sind, und daß die Summe der einen wie der anderen:

(10) (») - (1 » ^ ; ; : ;,)

beträgt.

Im XVIII. Satz pag. 270 ist bewiesen worden, daß durch eine
ganzzahlige lineare Transformation der Perioden aus einem F. S. von
Per. Char. immer wieder ein F. S. von Per. Char. hervorgeht, und
daß man auf diese Weise von einem F. S. zu jedem anderen gelangen
kann. Berücksichtigt man nun, daß andererseits jedem Übergänge
von einem Querschnittsystem zu einem anderen eine lineare Trans-
formation der Perioden entspricht und umgekehrt, so erkennt man,
daß einmal die Eigenschaft der Per. Char. (II), ein F. S. von Per. Char.
zu bilden, nicht nur diesen speziellen, bei der oben gewählten Zer-

1) Zu Satz I und II vergl. Prym, Zur Theorie der Functionen etc.
Züricher N. Denkschr. Bd. 22. 1867, pag. 5.

Auftreten eines F. S. von Per. Char. — Änderung des Querschnittsyst. 449

schneidung der Riemannschen Fläclie auftretenden Per. Char. (a) zu-
kommt, sondern bei jeder beliebigen Zerschneidung statt hat, und
weiter, daß bei passender Wahl der Zerschneidung an Stelle dieses
Fundamentalsystems (ci^), («g), •••, (%„4-i) jedes beliebige F. S. von
Per. Char. tritt.

Daß in der Tat jeder Änderung des Querschnittsystems eine ganz-
zahlige lineare Transformation der Perioden entspricht, folgt unmittelbar
daraus, daß die Periodizitätsmodulen eines Integrals die Werte dieses In-
tegrals auf gewissen geschlossenen Wegen sind imd sich infolgedessen sowohl
die neuen Periodizitätsmodulen als homogene lineare Funktionen der alten
mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen, wie auch umgekehrt. Daß aber
auch jeder ganzzahligen linearen Transformation der Perioden eine Ände-
rung des Querschnittssystems entspricht, beweist man, indem man es von
jenen elementaren Transformationen yl , jB , C , D (^, a = 1, 2, • • •, p)
zeigt, aus denen sich nach dem V. Satz pag. 153 jede beliebige ganz-
zahlige lineare Transformation zusammensetzen läßt^).

Daß die in den linearen Ausdrücken der neuen Periodizitätsmodulen
durch die alten und den umgekehi'ten als Koeffizienten auftretenden ganzen
Zahlen in der Tat den Bedingungen pag. 131 und 137 genügen, wird wie dort
aus den zwischen den Periodizitätsmodulen zweier Integrale bestehenden
bilinearen Relationen (2) abgeleitet, wobei sich für die Zahl n infolge
der dortigen Ungleichungen (4) und (ll) ein positiver und wegen der
wechselseitigen ganzzahligen Darstellung der Periodizitätsmodulen der
spezielle Wert 1 ergibt. Daß diese Bedingungen zwischen den Koef-
fizienten aber auch ohne Hilfe der Integrale mit rein geometi'ischen, der
Analysis situs angehörenden Hilfsmitteln bewiesen werden kann, hat in
der jüngsten Zeit Hen- Wellstein ^) gezeigt.

§ 2.

Berechnung der Riemannschen Eonstanten k^, k^, ••-, k^.

Für die im vorigen Paragraphen angegebene Zerschneidung der
Fläche T können die Riemannschen Konstanten:

1 ^' r

vollständig berechnet werden.

1) Vergl. dazu Thema e, Einige Sätze aus der Analysis situs Riemann-
scher Flächen. Z. für Math. Bd. 12. 1867, pag. 361 und: Beitrag zur Theorie
der Abel'schen Functionen. J. für Math. Bd. 75. 1873, pag. 224; auch Stahl,
Theorie der Abel'schen Functionen. Lpz. 1896, pag. 327.

2) Wellstein, Zur Transformation der Querschnitte Riemann'scher Flächen.
Math. Ann. Bd. 52. 1899, pag. 433.

Krazer, Thetafunktionen. 29

450 X. 2. Berechnung der Riemannschen Konstanten Ic^, l"^, • • -, ä;

1. Methode von C. Netimann^).

+
Da längs h^ u~;[ = u+ — a und / dii^ == 7ii ist, so ist:

(12)

+ +

und weiter, wenn man

o

(13) tv{o) =J M,.

du,.

setzt :

(14) J u+du^^J u^Ji

Fig. 9.

= w{y) — tv(d).

Nun sei mit y der mit y „verbundene", d. h. der unter y im zweiten
Blatte liegende Punkt bezeichnet und es seien, was nach der Figur
stets möglich ist, für die Integrale:

(15) w (y) - w («2 ,,) = J u^^ dii^ , iv {y) - iv {a^ J = J u^

du,.

die Integrationswege so gewählt, daß sie Punkt für Punkt über-
einander verlaufen und keiner von ihnen einen Querschnitt trifft. Da
für diesen Fall:

(16) du^o) = - duM
und:

(17) U^{5) - W^X«2v) = - [^(O) - %i<^2v)]

also:

(1^) %iö) = - [u^{o) - 2M.Xa2v)]

ist, so ergibt sich:

/y y

l»f. - '^%{^2,)]diK=J %du,.-2u^X<^^^)J du,.

n9) "2f «2»'

"2r

1) Neumann, Vorlesungen über Riemann's Theorie der Abel'scben Inte-
grale. 2. Aufl. Lpz. 1884, pag. 362.

Methode von C. Neumann. 451

und daher:

(20) w{y) - tv{y) = 2'M^,(^2 J l^M - *«v(«2v)]-
In derselben Weise wird:

(21) tv{d) - 'w{ä) = •2u,X(x,, + i) [«v(^) - «^k>.+i)];
und da nun endlich:

(22) ^^'(y) = iv{d)

ist, so folgt aus (20) und (21) durch Subtraktion:

IV (y) — w (8)
(23)

= 2 11^^ (a, ,) [«,. (><) - it ,(«2 ,)] - 2 w^, {a.^ , + 1 ) L<^ (ö^) - M. («2 V + 1)] •

Nun ist aber nach Formel (8):

wenn wie hier ii^v ist, dagegen:

(25) Wv(«2v+i)-^(«2.) = - y,
und da weiter:

(26) uXy) = w,(d) + 7ti

ist, so folgt endlich durch Einsetzen dieser Werte in (23):

(27) iv{y) - w{d) = ;ti«^,(^2.+i)-

Nun ist aber nach (I):

/oQ\ / \ 1 1 ^^h wenn fi > V,

-"^ -v + i/ - ,uv Q^ wenn ii<v,

und man hat daher nach (12) und (14):
+

und:

(^^) 7^-^ / ^,^^^*v=-2 2 «,.v + i(^-l)^^'-

v = l ^ v = l

V ^ ^t r $ ^e

Setzt man aber diesen Wert in (11) ein, so wird endlich:

p

(31) h^ = ^2%- ~~ ^^'^^- (,«-:,2,...,^)

»'=1

29*

452 X. 2. Berechnung der Riemannschen Konstanten Z;, , /.g , •• , li .

p

2. Methode von E. B. Christoffel ^)
Das Integral 3. Gattung:

(32) ^(''i')=/:±;-s

wird an der Stelle £ = (^, (?) unendlich wie log(^ — ^), in den beiden
unendlich fernen Punkten wie ^ log z und zwischen seinen Perio-
dizifätsmodulen %^, 33 ,, an den Querschnitten a^^, h^^ {fi = l,2, • ■ -jp)
bestehen die Beziehungen:

p
(33) ^^:S3,-2«..o5t, = 2;^^^l^(^). (. = ..2,...)

Auf Grund derselben ist:

1 2s

(34) «„(^)=*/jii4:-42'%J':-^

y 0=1..

> ^= ''c^

mit der Beschränkung, daß keiner der Integration swege durch e

gehen darf. Will man

---... daher diesen Wert für

ßy +

'\£ einführen, so wird mau

- 4.

u in die Gleichung (11^

ci j j darin zuvor das Integral

+ +

/ u~du^ durch / ii~du^

ersetzen, wo &,,' den In-

tegrationsweg 6,, umgibt, und erhält dann, wenn man:
(36) t - "f

setzt :

4- +

(36) K.-iK.-«)-^,Zf%'''ijAt

»■=1 y O r = \ c, = \ tj,^ ^

r = l 0 = 1 ;, A'

4(5;

1) Christoffel, Vollständige Theorie der Riemann'schen -ö'- Function.
Math. Ann. Bd. 54. 1901, pag. 347.

Methode von E. B. Christoffel. 453

Nun ist aber in der ersten der vier auf der rechten Seite stehenden
Summen:

+

wenn v <. ^i,

wenn v> fi,

da in den ersteren Fällen s von a eingeschlossen wird in den
letzteren nicht; es ist ferner in der zweiten Summe:

+

(38) ff^ßA^^o,

*;

weil z, s als Punkt von a von keinem der Integrationswege &/, • • •,
^/l—i) ^f'i + 17 ■■■> V eingeschlossen wird; es ist ebenso in der dritten
Summe:

(39) jy

und endlich ist in der vierten Summe:

+
/4QN f vAS)dS ^-27ti(p^{s), wenn q = v,

^ ^ J S — z 0, wenn o^v.

K "^ <

Führt man diese Werte in die Gleichung (36) ein, so erhält man:

(41) K=i («„ - -0 - -1 2" / 1 '^5 + ^- 2'-,.J~

.{z) dz

v=\.

oder, da

(42)

und ebenso

(43)

+ +
J s J dz

ist, endlich

wie

vorher:

'v-

(44)

y =. 1

454 X. 3. Das Verschwinder. der hyperelliptischen Thetafunktion.

Eine dritte Methode der Bestimmung der Konstanten /.-, die von
Herrn Prym^) herrührt^ wird in § 4 auseinandergesetzt werden.

Das Verschwinden der hyperelliptischen Thetafunktion.

Nach dem XIV. Satz pag. 435 verschwindet

p

(45) H{<o)-^u{ri,)-]c))

> =1

als Funktion des Punktes o nnx in den j; Punkten »Ji, •••,^/^, solange
diese Punkte kein Punktsystem I. Gattung bilden; in dem Falle da-
gegen, daß diese Punkte ein Punktsystem I. Gattung vom Range
p — s bilden, verschwindet die Funktion (45) samt allen ihren Deri-
vierten der 1*^", 2^^"^, • •• , s — 1*"° aber nicht der 6*'^' Ordnung identisch,
d. h. für alle Lagen des Punktes o. Im hyperelliptischen Falle be-
sitzen nun die Integranden I. Gattung die aUgemeiue Form:

(46) ^==-r'

wo (p{z) eine ganze rationale Funktion von 2 allein von einem Grade
^p — 1 ist; es bilden also p Punkte ^i,---,^^, unter denen keine
zwei verbundenen vorkommen, niemals ein Punktsystem I. Gattung,
während diese Punkte, wenn unter ihnen s Paare verbundener Punkte
vorkommen, nach dem in § 1 des vorigen Kapitels Auseinander-
gesetzten stets ein Punktsystem vom Range p — s bilden. Dies liefert
die beiden Sätze:

III. Satz: Die Funktion:

p

(III) ^{<o)-^^i{ri;)-h))

v = l

verschwindet nur in den p Punkten %,---,^pj solange unter diesen
Jceine zwei verhiindencn Punkte sich befinden.

TV. Satz: Bie Funktion:

p

(IV) »iuio)-2^uirQ-k))

verschwindet identisch, d. h. für alle Lagen des Punktes o, und zwar
samt allen ihren Berivierten der V^^, 2^^^, •••,.§—!**"' aber nicht der

1) Prym, Zur Theorie der Functionen etc. Züricher N. Denkschr. Bd. 22.
1867, pag. 16 u. f.

Notw. u. hinr. Bed. f. d. ident. Verschw. der byperell. Thetaf. — Folgerungen. 455

^teu Ofcinung, wenn unter den p Punkten rj^, ■ ■ • ,7}^ s Paare verbundener
PunMe sich heßiden.

Beachtet man, daß für zwei verbundene Punkte s und £ stets:

(47) w^(f) + W/X^) — Ö (/«=i,2,...,p)

ist, so kann man das Resultat des IV. Satzes auch dahin aussprechen,
daß die Funktion:

(48) ^{<o)-^u{ri;)-l))

r = l

samt allen ihren Derivierten der 1*®", 2*^\---,s— 1*"° aber nicht der
^.ten Ordnung für jede Lage des Punktes o verschwinde, also auch
dahin, daß die Funktion ■0'((v)) samt allen ihren genannten Derivierten
verschwinde, wenn man:

p— 2«

(49) v^^ = u^Xo) -^^(^v) - 'v (^=i.2,--,P)

setzt, bei willkürlicher Wahl des Punktes o. Indem man dann das
eine Mal den mit o verbundenen Punkt mit i?p_ 2,^.1 bezeichnet, das
andere Mal aber 0 mit der gemeinsamen unteren Grenze a der Inte-
grale u zusammenfallen läßt, erhält man endlich das Resultat, daß
die Funktion #((4 samt allen Derivierten der 1*«°, 2*«'^, • • • , s - l*"-^
aber nicht der s*®° Ordnung verschwindet, wenn

i)-2.s4-l

(50) %=^%i:^v) + K (M=i,^, ,P)

oder:

p — 2.1

(51) v^ =^ u^^ (i?„) + Ä;„ (/^ =1, 2, • • ■ , P)

»•=1

gesetzt wird. Dabei ist angenommen, daß keiner der Punkte rj mit a
zusammenfalle und daß unter den Punkten ry kein Paar verbundener
Punkte vorkomme. Nimmt man noch dazu, daß unter dieser Voraus-
setzung d^ (( ^u(rj^) -f Z;)) nach dem III. Satz von Null verschieden ist,

da die Funktion (III) für 0 = ri^, ■ ■ ■ ,r^^ aber nicht für o = a ver-
schwindet, so hat man schließlich den

V. Satz: Die Fmiktimi ^fv)) erholt einen von Null verschiedenen

Wert für:

p

(V) ^=2^(>/v) + ?>; (,"=i.v-,p;

456 X. 4. Die zw. den Modulen einer hyperell. Thetaf. bestehenden Bezieh, etc.

dagegen verschwindet sie und zwar mit allen ihren Derivierten der
1'^", 2*®", • • • . s — 1*"° aber nicht der s**" Ordnung, wenn:

p— 2.1 + 1

(VI) v^^ =^u^Xri^) + k^^ (^< = i.2, ■,/»

»'=1

oder:

p—2s
v = l

gesetzt wird. Dabei ist stets angenommen, daß keiner der Punkte t] mit
der gemeinsamen unteren Grenze a der Integrale u zusammenfalle und
daß unter den Punkten rj kein Paar verbundener Punkte sich befinde.

§4.

Die zwischen den Modulen einer hyperelliptischen Theta-

funktion bestehenden Beziehungen. Frymsche Methode zur

Bestimmung der Biemannschen Konstanten k^, ■•■, k^^.

Aus dem letzten Satze ergeben sich nun unmittelbar jene Eigen-
scbafteUj welche eine Thetafunktion als eine hyperelliptische charak-
terisieren, und zugleich eröffnet sich bei dieser Untersuchung ein
neuer Weg zur Bestimmung der Riemannschen Konstanten k^, ■ • ■,k .
Dabei werden die genannten Größen allerdings nur bis auf korre-
spondierende Ganze der Periodizitätsmodulen bestimmt; es wird aber
andererseits ein Zusammenhang zwischen ihnen und jenem F. S. von
Per. Char. nachgewiesen, welches nach § 1 auftritt, wenn man das
System der p Normalintegrale von einem Verzweigungspunkt zu den
2p -f 1 anderen erstreckt, und da dieser Zusammenhang von der
Wahl der Zerschneidung der Fläche T unabhängig ist, so liefert die
neue Methode die Wertbestimmung der Riemannschen Konstanten
\, .. .,kp für jede beliebige Zerschneidung der Fläche T, sobald für
sie die Charakteristiken des genannten F. S. bekannt sind.

Zuvörderst kann man zeigen, daß k^,'--,k stets ein System
korrespondierender Halber der Periodizitätsmodulen ist. Befinden sich
nämlich unter den p Punkten rj^, • • ■, tj keine zwei verbundenen, so
verschwindet nach dem III. Satz die Funktion

(52) &{{uio)-^u{r],)-k))

1=1

in den p Punkten ^i,---, r] , also die Funktion:

Nachw. daßk\ , ••■,^- ein Syst. korr. Halber der Per. — Verschw. gew. ■9'[f]((0)). 457

(53) &lu(ö)-^uir]J-]:))

und daher aucli, da für zwei verbundene Punkte « und i stets die
Relation (47) besteht, die Funktion:

(54) &{- u{o) +^u{^:) - Je)) = ^{u(o) -^ ^.(^„) + Je

in den p Punkten ^i, • • • , ^„5 dann ist aber nach dem IL Satz pag. 423:
p p

(55) 2 M^, (^ J - Jc^^ =^ u^^ (^,,) + Jc^^ (H = l,2,- , p)

und folglich

(56) 2Ä;^, = 0, (,< = i,2,...,;,)

womit gezeigt ist, daß das System der p Größen Jc^, • • • , Je ein System
korrespondierender Halber der Periodizitätsmodulen ist; dessen Charakte-
ristik soll im folgenden mit (x) bezeichnet werden.

Man gehe nun auf den V. Satz zurück und lasse darin an Stelle
der Punkte ij Verzweigungspunkte der Fläche T treten. Wie in § 1
bewiesen wurde, geht das System der p Normalintegrale u^, •••, u ,
wenn man die Litegrale von einem Verzweigungspunkte zu den '2p-\- 1
anderen erstreckt, in 2^; + 1 Systeme korrespondierender Halber der
Periodizitätsmodulen über, deren Charakteristiken (a^), (a^), •■■, (»2^4.1)
ein F. S. von Per. Char. bilden, und der V. Satz sagt nunmehr aus,
daß die Funktion ■O-fv)) samt allen ihren Derivierten der 1*®°, 2""", •••,
s — V^^ aber nicht der s^^ Ordnung verschwindet, wenn man für (v)
ein System korrespondierender Halber der Periodizitätsmodulen mit
einer Charakteristik von der Form:

p — 2s-\-l p — 2s

(57) (x -{-^ a) oder {x ~\-^a)

setzt, dagegen von Null verschieden ist,- wenn für (v) ein System von
der Charakteristik:

(58) (x+Ja)

gesetzt wird. Indem man aber vermittelst der Formel (II) pag. 240
die Thetafunktionen '9'[£]((r)) einführt, lautet dieses Resultat dahin,
daß die Funktionen:

p — 2s-f-l P — 2«

(59) & [x +^ a] {{v} und &[x+^a] {{v}

samt allen ihren Derivierten der 1**"^, 2'®°, • • • , s — V^'^ aber nicht der
gtea Ordnung für (v) = (0) verschwinden, die Funktionen:

458 X. 4. Die zw. den Modulen einer hyperell. Thetaf. bestehenden Bezieh, etc.

(60) ^U+J'aJH

dagegen für (v) = (0) einen von Null verschiedenen Wert besitzen.
Nun zeigen aber die Gleichungen:

(61) m-(^^^^^, m-^^'^-'^^^f^^,

daß die Deri vierte einer geraden Funktion eine ungerade, die Deri-
vierte einer ungeraden Funktion dagegen eine gerade Funktion ist;
daß also für eine gerade P^unktion die l**', 3*®, • • •, 2w— 1** Derivierte
ungerade, die 2*®, 4*®, ••■,2w*® Derivierte gerade Funktionen sind; für
den Nullwert des Arguments also die Derivierten ungerader Ordnung,
aber im allgemeinen nicht die gerader Ordnung verschwinden; daß
dagegen für eine ungerade Funktion die 1**, 3**, •••, 2w— 1*^ Deri-
vierte gerade, die 2'^, 4*®, • • • , 2m*® Derivierte ungerade Funktionen
sind, also für den Nullwert des Arguments die Derivierten gerader
Ordnung, aber im allgemeinen nicht die ungerader Ordnung ver-
schwinden. Ist also weiter von einer Funktion bekannt, daß sie eine
gerade oder ungerade Funktion ist, und- ist die erste für das Argu-
ment Null nicht verschwindende Derivierte von gerader Ordnung, so
ist die Funktion selbst gerade, ist sie von ungerader Ordnung, so ist
die Funktion selbst ungerade.

Diese Sätze übertragen sich unmittelbar auf die ijartiellen Deri-
vierten der Funktionen mehrerer Argumente und gestatten aus dem
unter (59) angegebenen Resultate sofort den Schluß, daß die Funktionen :

p — im-\-\ p — \m

(62) ^U+^a]H und ^[x-f^a]((4 (m=h^,--)
gerade, die Funktionen:

(63) ^ [>c +^ a] ((4 und %■ {% -\-^ a] {{v} (m = i, 2, • • ■)
ungerade Funktionen sind, während nach (60) auch die Funktion:

(64) '^[^+J'a]((4

eine gerade Funktion ist.

Nun kann mau aber leicht zeigen, daß die Charakteristik [x]
keine andere ist als die pag. 272 eingeführte und dort mit [11] be-
zeichnete Summe aller ungeraden (oder geraden) unter den 2^j + 1
Charakteristiken (oj), (a^), •••, («2p+i)- Zunächst ist [z] jedenfalls in
der Form:

m

(65) M = [^a']

darstellbar, wo die [a] gewisse der 2p -f 1 Charakteristiken (aj,

Prymsche Methode zur Best, der Riemannschen Konstanten k^^, • • , k . 459

(%)>■■■> (^2p + i) sind; addiert man nun zu der linken und rechten
Seite der Gleichung

m

(66) [0] = [k +^a']

eine dieser Charakteristiken [a], so erhält man:

m- — 1 m — 1

(67) [a] = [x -\-^ a] = [x -\-^ a] ;

addiert man dagegen eine der 2p -\- 1 — m anderen Charakteristiken
des F. S., so erhält man:

(68) [a"] = U +^a + «."] = [x -\-^a] .

Daraus folgt aber nach dem unter (62) und (63) Bemerkten, daß alle
Charakteristiken [«'] untereinander von demselben Charakter, und
ebenso alle Charakteristiken [a"] untereinander von demselben Charakter
und von entgegengesetztem wie die Charakteristiken [a] sind, daß
also [x] tatsächlich nach (65) gleich ist der Summe der unter den
2p-\-l Charakteristiken (aj, (o^s)? * ' '; (^2j9 + i) vorkommenden un-
geraden (oder geraden) Charakteristiken.

Damit ist ein Mittel gefunden, für jede beliebige Zerschneidung
der Fläche T die Riemannschen Konstanten A^, •••, kp bis auf korre-
spondierende Ganze der Periodizitätsmodulen zu berechnen, sobald das
dieser Zerschneidung gemäß § 1 entsprechende F. S. von Per. Char.
bekannt ist.

Für die spezielle in § 1 angegebene Zerschneidung ergibt sich,
wie schon unter (10) angegeben, in Übereinstimmung mit dem in
§ 2 erhaltenen Resultate:

(«9) « = (:»::::;,)■

In dem Verschwinden der geraden Funktionen (62) samt ihren
geraden Derivierten bis zur 2m — 2^^^ Ordnung einschließlich und dem
Verschwinden der imgeraden Derivierten der ungeraden Funktionen (63)
bis zur 2m — 1^^ Ordnung einschließlich sehen wir eine Eigenschaft
vor uns, welche den allgemeinen Thetafunktionen nicht zukommt,
vielmehr den zur vorgelegten Fläche J" gehörigen hyperelliptischen
Thetafunktionen eigentümlich ist, und man hat daher als Eigenschaften
der Thetamodulen, welche eine Thetafunktion als hyperelliptische
charakterisieren, die folgenden auszusprechen:

VI. Satz: Erstreckt man die Integrale in der Fläche T' von einem
Verziveigungspiinkte zu den 2p -\- 1 übrigen, so geht das System der
p Normcdintegrcde u^, • • • , u^ in 2p -{- 1 Systeme korrespondierender
Hcdher der Periodizitätsmodulen über, deren Giarakteristiken (aj, («2),
•••, («2p +1) ß^'^ F. S. von Per. CJmr. bilden. Heißt man [n] die Stimme

460 X. 4. Die zw. den Modulen einer hyperell. Thetaf. bestehenden Bezieh, etc.

der ungeraden (oder geraden) unter ihnen, so verschwinden von den der
Fläclie T' zugeordneten Thetafmiktionen für die Nidlwerte der Argumente:

die geraden Funktionen:

p—z p—i

(VIII) d' [n +^ a] H und ^ [n -f-^ a] (v)) ;
die geraden Funldionen:

p—1 p—8

(IX) ^[n+^a]{{v)) und ^[n -{-^ a]{{v))

mit allen ihren 2*®° Derivierten;

die geraden Funktionen:

p—n p — i2

(X) »[n+^a]iv)) und ^[n -\-^a]iv))

mit allen ihren 2^"- und 4**° Derivierten;

die geraden Funktionen:

p — 4w-)-l p — im

(XI) »[n+^a]{{v)) und &[n -\-^a]{{v))
mit allen ihren 2^^'^, 4*^°, •••, 2m — 2*^° Derivierten:

ferner verschwinden für die Nidhverte der Argumente:

die sämtlichen V^^ Derivierten der ungeraden Funktionen:

(XII) »[n+2a]iv)) tmd ^[n-{-^a]{{v)y,

die sämtlichen P^^ und 3*®*^ Derivierten der ungeraden Funktionen:

p — o p — 10

(XIII) »[n+^a]lv)) und ^[n +^ a]{{v))-

die sämtlichen 1*®°, 3*®°, •••, 2m— 1**° Derivierten der ungeraden
Funktionen:

p — 4 nt — 1 p — im — 2

(XIV) ^[»+^«]W und ^U-{-^a]((4;

Dieser Satz liefert speziell:

im Falle j? = 3 die einzige Bedingimg, daß für (v) = (0) die ge-
rade Funktion %• [w] ((v)) verschwindet,

im Falle ^ = 4 die 10 Bedingungen, daß für {v) == (0) die 10

1
geraden Funktionen ^[w]((v)) und xt[n -\- ^ a\{v]} verschwinden;

Die Bedingungen für die Modulen der hyperell. Thetaf. 461

im Falle p = b die 66 Bedingungen, daß für (y) = (0) die 11

1

geraden Funktionen -0- [n -\- ^a\ ((v)) und die 55 geraden Funktionen

2

%^[n -\- ^a] ((v)) verschwinden und als 67*^ Bedingung, daß für {v) = (0)
die ersten partiellen Derivierten der ungeraden Funktion ^[w]((y| ver-
schwinden;

Beachtet man nun, daß die Anzahl der Modulen der allgemeinen
|)-fach unendlichen Thetareihe ^p (j) + 1), die Anzahl der wesentlichen
Konstanten des hyperelliptischen Gebildes vom Geschlecht 2' aber
2p — 1 beträgt, so ergibt sich als Anzahl der zwischen den Modulen
einer hyperelliptischen Thetafunktion bestehenden wesentlich ver-
schiedenen Relationen:

(70) ^p (p + 1; - {2p - 1) = 1. {p - 1) (p - 2);

dies sind im FaUe ^j = 3 1, im Falle p = A .?•, im Falle p = b 6--.
Vergleicht man diese Zahlen mit den obigen, so erkennt man, daß
die in dem VI. Satz angegebenen Bedingungen nicht unabhängig von-
einander sein können, daß sie sich vielmehr, sobald _p > 3 ist, teil-
weise müssen aufeinander reduzieren lassen, die 10 Bedingungen im
Falle p = A auf 3, die 67 Bedingungen im Falle p = b auf 6, • • • .
In welcher Weise diese Reduktion stattfindet, soll im niedrigsten Falle
jp = 4 jetzt gezeigt werden.

Zu dem Ende gehe man auf den XLIII. Satz pag. 349 zurück
und bezeichne die 10 Th. Char. eines F. S. des Falles p = 4 mit

(71) K], kj, ■■-, w.^,[ß^A7\,

mit [w] aber die Summe der ungeraden (oder geraden) unter ihnen.
Nach Formel (LID ist dann:

7

y[nß}+ '\^<^Q, ß?' y^ny]

,u = 0 ^

wenn x^^-^, y^. die dort unter (LI) angeschriebenen Ausdrücke be-
zeichnen. Setzt man in (72) [co] = [n] auch (iv) = (0), wodurch y^, = Xr^-.
wird, so erhält man, da die Charakteristiken [nu ßy] ungerade, die
Größen Xr„ .-. also Null sind:

L""mP/J

7

(73) 5C[ ,] + , na^, ßy \ Xf„. ^ = T | w/3, wa,^ ! a;^„

Nun ist aber:

462 X. 4. Die zw. den Modulen einer hyperell. Thetaf. bestehenden Bezieh, etc.

(74) \nao, ßr\ = \n, ß\ ■ \n, y\ • la^, ß\ ■ {a^, y\ =

- \n, ß\ ■ \n, y\ ■ \ß, y\ = - \nß, ny\-^

man kann daher die Gleichung (73) auch in der Form:

7

(75) x^^,^ = ! nß, ny \ x^„^^ -j- ^ \nß, wa„ | x^^^,

schreiben, und wird das darin enthaltene Resultat nun besser so aus-
sprechen.

Vn. Satz: Sind [a^], [aj, • • •, [ßy] die 10 TJi. Char. eines F. S.
des Falles ^j = 4, so gilt für die Größen:

p

(XV) :r^^^ = (-l)" = ^

^[£ 4- ? + ^]{(h + v)) ^[5 + q\{u)) ^[£ + a-]{v)) &{b\{0))
die Gleichnmi :

9

(XVI) a:^„„^j = ^ I ««0, »?«„ I x^^^^^^ ,

,«=1

wenn [n\ die Summe der ungeraden (oder geraden) unter den 10 Th.
Char. [a] hezeichnet

Geht man nun von dem F. S. von 10 Th. Char. [aj, [%], •• •, [«g],
indem man [ß^] = [0] setzt, zu einem F. S. von 9 Per. Char.
(%); (^2)7 • ■ •; (s) über, so entsteht aus (XVI) die Gleichung:

9

und diese reduziert sich, wenn mau in ihr

(77) («.) = {v) = (0),
auch

(78) {q) = {a^a-^a^a^), (0) = {a^ar^a^a^)

setzt, auf

3

." =1

da alle Th. Char. von der Form [n + ^a] ungerade sind uud infolge-
dessen die Größen x^^^^-^, ^[na,v ' ' '' ^[na,] 'sämtlich verschwinden. Die
Gleichung (79), bei der die x durch die Gleichung:

Reduktion der 10 Bed. des Falles p = 4: auf 3. — Historisches. 463
P

(80) ^^,^ = (-1)"=^

H^ + Q + ^]((0)) ^[f + ^]((0)) ^b + <?]((0)) ^[sWI ,
unter (p) und (ö') die Per, Char. (78) verstanden, definiert sind, zeigt

4

aber, da die Größen ■&■ [n -}- _^ a] {[0]) von Null verschieden sind, daß
das Verschwinden von drei der vier Größen:

(81) Hnm), ^h + «x]((0)), »[n + a,m, ^[n + «311(0)),

etwa der drei ersten, das Verschwinden der vierten nach sich zieht,
und da man an Stelle von («g) jede der 7 von (ci^) und («g) ver-
schiedenen Per. Char. des gegebenen F. S. treten lassen kann, so ist

damit bewiesen, daß in der Tat das Verschwinden der 10 Funktionen
1

& [n] ((^;)) und & [n + ^a] ([v]) für (v) = (0) aus dem Verschwinden von

drei unter ihnen folgt.

Eosenhain^) hat in einem Briefe an Jacobi vom 3. IX. 44 zuerst
auf die Schwierigkeiten hingewiesen, welche der Ausdehnung seiner Theorie
der ultraelliptischen Funktionen erster Ordnung auf beliebiges 2> deshallj
entgegenstehen, weil bei größerem jj die Anzahl der Modulen der Theta-
i-eihe über die Anzahl der wesenthehen Konstanten des hyperelliptischen
Gebildes hinausgeht.

Welcher Art die besonderen Bedingungen sind, denen die Modulen der
hyperelliptischen Thetafunktionen genügen, scheinen Riemann und Weier-
straß ^) sehr fräh erkannt zu haben; die erste Mitteilung derselben geschah
durch Herrn Königsberger ^); in der obigen Form abgeleitet hat sie zuerst
Herr Prym'^). Eine ausführliche Besprechung der Weierstraß - Königs-
bergerschen Resultate findet sich bei Herrn Pringsheim ^); hier ist auch
darauf hingewiesen, daß die im VI. Satz niedergelegten Bedingungen für
die Modulen einer hyperelliptischen Thetafunktion nur als notwendige er-
kannt seien, und der Beweis dafür, daß sie auch hinreichend seien, noch

1) Rosenhain, Auszug mehrerer Schreiben des Dr. Rosenhain an Herrn
Prof. Jacobi über die hyperelliptischen Transcendenten. J. für Math. Bd. 40.
1850, pag. 319; vergl. dazu auch Jacobi, Notiz über A. Göpel. 1847. Ges.
Werke Bd. 2. Berlin 1882, pag. 145 und: Zur Geschichte der elliptischen und
Abel'schen Transcendenten. 1847. Ges. Werke Bd. 2. Berlin 1882, pag. 516-

2) Weierstraß, Zur Theorie der Abel'schen Functionen. 1854. Math.
Werke Bd. 1. Berlin 1894, pag. 143.

3) Königsberger, Über die Transformation der Abel'schen Functionen
erster Ordnung. J. für Math. Bd. 64. 1865, pag. 17

4) Prym, Zur Theorie der Functionen in einer zweiblättrigen Fläche.
Züricher N. Denkschr. Bd. 22. 1867, pag. 16 u. f.

5) Pringsheim, Zur Theorie der hyperelliptiscben Functionen insbeson-
dere derjenigen dritter Ordnung (q = 4). Hab. - Schrift. München 1877 und
Math. Ann. Bd. 12. 1877, pag. 435.

464 X. 5. Das Additionstlieorem der hyperelliptischen Tbetafunktionen.

ausstehe; für den speziellen Fall p = A wird dieser Beweis durch Herrn
Pringsheim erbracht.

Die obige Reduktion der 10 Bedingungen des Falles _^) ^ 4 auf 3
stammt von Hemi Nöther ^), von welchem^) auch die entsprechende Re-
duktion der 67 Bedingungen des Falles p = 5 auf 6 durch den Nachweis
geleistet wird, daß die Annahme:

(82) &[na,]iO)) = &[na,m) = " " ' = ^[^«slCO)) = 0

das Verschwinden der 15 weiteren Größen:

^ ^ ^[na,a,,-\{^)), nnn,a,,-\{0)), •••, «■[»^«lo«ll]((0))

nach sich ziehe; die einzige weitere Annahme '8'[^'''ii]((^)) "^ ^ ^^®^' ^^'

2

dann das Verschwinden aller noch übrigen 45 Funktionen ^{n +^«]((t^))
und das Verschwinden der partiellen Deri vierten der Funktion '9'[w]((t'))
für (y) = (0) bedinge.

Weierstraß^j hat endlich zuerst auf die Tatsache hingewiesen, daß
aus einer hyperelliptischen Thetafunktion zwar durch eine lineare, nicht
aber durch eine Transformation höheren Grades immer wieder eine hyper-
ellip tische Thetafunktion hei'vorgehe.

§ 5.
Das Additioustheorem der hyperelliptischen Thetafuuktioueu.

Man gehe auf den XXXVIII. Satz pag. 307 zurück und nehme
an, daß die in den Definitionsgleichungen (XXXVIII) der Größen
X, y auftretenden Tbetafunktionen spezielle, hyperellipti.sche seien.
Setzt man dann das Argumentensystem (m^^^) = (0), so verschwinden

alle Größen yr^ mit Ausnahme derjenigen ( ) ? deren Charakte-

p
ristiken \i]\ die Form [n -{- ^a] haben. Eine jede dieser Größen y
aber läßt sich, wie jetzt gezeigt werden soll, auf 2^+^ Weisen durch
je 2^ Größen x linear ausdrücken.

Zu dem Ende leite man zunächst aus der Gleichung (XLII)
pag. 309, die man, indem 2p = r gesetzt wird, in der Form:

r — 1

(84) '2\l,\' yina,}-'n,l\^\n> ^

= 0 ^ (>=0

? ' ^&g^

1) Nöther, Zur Theorie der Thetafunctionen von vier Argumenten. Math.
Ann. Bd. 14. 1879, pag. 248.

2) Nöther, Zur Theorie der Thetafunctionen von beliebig vielen Argu-
menten. Math. Ann. Bd. 16. 1880, pag. 270.

3) Königsberger, Über die Erweiterung des Jacobischen Transformations-
prinzips. J. für Math. Bd. 87. 1879, pag. 173.

Ableitung desselben aus der Riemannschen Thetaformel. 465

schreibe, und in der Ä und B irgend zwei adjungierte Gruppen vom
Range p bezeichnen, durch Vertauschung von A und B die weitere:

r — 1 r — 1

(85) ^ t, \ I ?/[,6„] = \v,t^/2\v,%\ ^[U.]

^< = 0 ^ (j = 0 ^

ab; greife nun aus den 2}) + 1 Per. Char. des zur vorgelegten Fläche
T' im Sinne des § 1 gehörigen F. S. von Per. Char. j) beliebige
heraus, die mit (aj, (og), • • •, (a^) bezeichnet seien, und bilde die zu
ihnen als Basischarakteristiken gehörige Gruppe Ä von 2p Per. Char.
Identifiziert man dann in den Formeln (84) und (85) die Gruppe A
mit der soeben gebildeten, so ist an Stelle von B jene Gruppe von
2p Charakteristiken zu setzen, welche auf 2^ linear unabhängige zu
den Per. Char. (aj, (a^), • • •, (cCp) syzygetische Per. Char., etwa:

(86) (ß^) = (ßp + i«2p + l)^ (ßi) = K + 2«2p + l); • • •; (ßp) = (^2^«2p + l)

als Basischarakteristiken aufgebaut werden kann. Setzt man dann
noch, indem man wie immer mit [n] die Summe der ungeraden anter
den 2p + 1 Per. Char. des F. S. bezeichnet, an Stelle von [rj] die Char. :

(87) [tJoJ = [nu,u^ ■■■ Up],

so verschwinden, wie man unmittelbar sieht, auf den linken Seiten
der Gleichungen (84), (85) infolge der oben gemachten Voraus-
setzungen alle Größen 2/[„a ] '^"^ ?/[«6]i ^^^' welche () > 0 ist, und
man erhält so die Gleichungen:

/■— 1

r — 1

zu denen man noch bemerken kann, daß ^r„i, da («j), («2); '■•; (O
aus den 2p ^ 1 Per. Char. des F. S. willkürlich herausgegriffen

j nicht verschwin-
denden Ijrößen y ist.

In den beiden Formeln (88) und (89) kann man für [^] jede
der 2^P Th. Char. setzen; es entstehen aber, wie pag. 310 auseinander-
gesetzt wurde, auf diese Weise aus jeder Formel im Ganzen nur
2p verschiedene Gleichungen; und zwar gewinnt man die in (88) ent-
haltenen Gleichungen, indem man mit (d.^) , {02), • ■ ■ , {ß^ p Per. Char.
bezeichnet, die zusammen mit den Per. Char. {ß^), {ß^, • ■ •, (ßp)
2p linearunabhängige Charakteristiken bilden, etwa:

(90) (dl) = (aiß2p+i); («^2) = («2«2p + i); • • •; W = (S"2p + l);
mit (fZo), (f?i), •■•, (rf^_i) die 2^ Per. Char. der auf ihnen als Basis

Krazer, Tlietafunktionen. 30

466 X. 5. Das Additionstheorem der hyperelüi'tischen Thetafunktionen.

aufgebauten Gruppe, mit [^J aber eine willkürlich bleibende Th.
Char. und dann in (88) an Stelle von [£;] der Reihe nach die
2p Th. Char. [IM^ [i^^il; • • •; [^o<^r-i] treten läßt. Entsprechend
gewinnt man die in (89) enthaltenen 2^ verschiedenen Gleichungen,
indem man mit {y^), iy^), ■■•, (yp) p Per- Char. bezeichnet, die zu-
sammen mit den Per. Char. («j), («2)? " "; (O ^2^ linearunab-
hängige Per. Char. bilden, etwa:

(91) (yj = («^+1), (72) = K+2)' ■ • •' W = ("2J;

mit (Cq), (Cj), • • ■, (c^-i) die 2^ Per. Char. der auf ihnen als
Basis aufgebauten Gruppe, mit fi;^] aber eine willkürlich bleibende
Th. Char. und dann in (89) an Stelle von [^] der Reihe nach die
2p Th. Char. [^0^0] ; [^o^J? '■' [^o^r-il treten läßt. Setzt man dann
schließlich noch [^q\ = [rjo], so erhält man auf die angegebene Weise
aus (88) und (89) die beiden folgenden Systeme von je 2^ Gleichungen:

/• — 1

(92) ^[,„1 = ^ ho , ^/o d, b^ I ^[,„,,,^1 ,

^~° (/. = 0, 1, ,r — 1)

r— 1

(93) 2/[,„] =^1%, Vo(^x%\x^^^c,a^y

Sowohl die rechten Seiten der 2^ Gleichungen (92), wie die rechten
Seiten der 2^ Gleichungen (93) enthalten zusammen die sämtlichen
2'^P Größen x und jede nur einmal, und da durch Addition der
2p Gleichungen eines jeden der beiden Gleichungensysteme die dem
Systeme (XXXIX) pag. 308 angehörige Gleichung:

(94) 2^2/[,„]=2h^,«'^M

[f]

hervorgeht, so repräsentieren dieselben eine merkwürdige Zerspaltung
dieser Gleichung.

Die Verschiedenheit, welche hinsichtlich der Gestalt der Basen
der auf den rechten Seiten von (88) und (89) auftretenden Gruppen Ä
und B herrscht, verschwindet, wenn man statt des F. S. der 2^j -f 1
Per. Char. («j), («2); •■; (^2p + i) ^^^ durch Addition und Hinzunahme
einer beliebigen Th. Char. [u'o] daraus abgeleitetes F. S. von 2p + 2
Th. Char. [cc'o], [t^i], ••, [a2i) + ij einführt. Da nämlich:

(95) (a J = (ßo a'i) , M = («0 cc'i), •■■, (dp) = («0 4)

ist, so wird die Gruppe A von allen Kombinationen gerader Ordnung
der p -\- 1 Charakteristiken [ «o] , [ßi] , • • • , [cc'p] gebildet und das auf
der rechten Seite von (89) stehende System der 2p Charakteristiken
[^a ] (q = 0, 1, • ••, r — 1) geht, wenn man noch die beliebige Charakte-
ristik [^] durch [^a'o] ersetzt, in das System der 2p Th. Char.

Endformel. 467

[^«o] (q = 0,1, ■ ■ ■, r— 1) über, wo [a'o], [ai], • • •, [«r-i] die wesent-
lichen Kombinationen der ^^ + 1 Th. Char. [uq] , [a[] , ■ ■ ■ , [a^] sind.
In derselben Weise besteht die Gruppe B mit der Basis:

(96) (/3J = {u'p + 1 «2? + l) ; ißi) = (4 + 2 «2^ + l) , • ■ • , {ßp) = («2p Cil>p + i)

aus allen Kombinationen gerader Ordnung der p -\- \ Charakteristiken
[a^ + i], [a^ + o], •••, [a2p + i] und es geht das auf der rechten Seite von
(88) stehende System der 2^ Charakteristiken \t,h^ (p = 0, 1, •••, r— 1),
wenn man hier [^«p+i] statt [t] schreibt, in das System der 2^ Th. Char.
[t,K^ {q = 0,1, ■■■,)•— \) über, wo [/>o], \h'i\, ■ ■ ■, [?>'•- 1] die wesent-
lichen Kombinationen der ^^+1 Th. Char. [«;;+i], [«2^+2], ■■•,[«2i)+i] sind.
Da endlich infolge der pag. 287 bewiesenen Beziehung

(97) [n-\ = [n'] + ^+T [«;]
auf den linken Seiten von (88) und (89):

(9B) M = b^' «0' «1' • • • <] = [»*' «i + 1 "^ + 2 • • • «2p + il

wird, so kann man die Resultate dieses Paragraphen in folgenden
Satz zusammenfassen:

VIII. Satz: Manteüedie2p-]-2 Charakteristiken [ao']>[«i']>'">[<^2p+i]
jenes F. S. von Th. Char., welches aus dem im VI. Satz genannten F. S.
von Per. Char. durch Addition und Hinmnahme einer beliebigen Th. Char.
[uq] hervorgeht, in zivei Hälften, [a^'J, [«/], • • •, [a^'] die eine,
Wp+\\, [«i)'-i-2], •■•, [«2p +1] <^^^ andere, nenne [a^], [a/], •••, [a/_i]
die r = 2P Th Char. des Systems mit der Basis [«o']; [«/]? ■•> [« '];
dagegen \b^'\, [6/], •••, [&/-i] die r = 2^ Th. Giar. des Systems ?mt
der Basis [«p'+i], [«p'+2], • •, [«2p + 1], und bezeichne 7nit [n] die
Summe der ungeraden (oder geraden) unter den 2p -f 2 Charakteristiken
[«'], mit [ijq] die Charakteristik:

(XVII) [7]q\ = [n'a^a^' ■ ■ • u^'] = [n'up + iUp + 2 ■ ■ ■ a/p + i];

mit [t] aber eine beliebige Th. CJiar. Bildet man dann aus den zur
vorgelegten Fläche T' zugeordneten hypereTliptischen Thetafunktionen,
während man unter w,,, v^^, «6"„ (,u = 1, 2, • • -, ^9) unabhängige Variable
versteht, die Ausdrücke

p

^ (Qu + ",«) *«

^ [£ + ^ + ö] ((m -\-v + wI&[s + q] ((«.)) &[s + 6] ((t'l # [s] ((- w)) ,
(XVIII)

^bl + 9 + ^^ ((« + vj) ^bi + Q\ ((?« + '(■n ^ bt + ö] {v + w} » [ri\ ((0)),

468 X. 5. Das Additionstheörem der hyperelliptischen Thetafunktionen.
60 bestehen zwischen diesen die Gleichungen:

r — X

(XIX) ?/[,;o] =^1^0,^ Vi %«'']'

(. = 0
r — 1

(XX) ?/[,„] =^I%.SVI%*^]'

Vermittelst dieser Gleichungen Jcann man jede der ( ) f^on Null

verschiedenen Crrößeti y auf 2 • 2^ Weisen durch je 2p Größen x dar-
stellen.

Aus den Formeln (92) und (93) oder (XIX) und (XX) ergeben
sich für {iv) = {—v), indem man zwei Formeln mit der gleichen
Charakteristik [yi + q\ durcheinander dividiert, Additionstheoreme
für die Quotienten hyperelliptischer Thetafunktionen; für (v) = (w) = (0)
dagegen Relationen zwischen diesen Funktionen^).

Die Fonnel (89) stimmt im wesentlichen mit einer von Herrn Königs-
berger ^) mitgeteilten Weierstraßschen Fonnel überein:' die Formeln (92)
und (93) sind von Hei-m Prym^) angegeben worden. Herr Frobenius*)
hat gezeigt, wie man aus den obigen Additionstheoremen jene Relationen
ableiten kann, welche im hyperelliptischen Falle zwischen den Nullwerten
der geraden und der Derivierten der ungeraden Thetafunktionen bestehen
und welche im Falle p == 2 schon von Rosenhain ^), im Falle eines be-
liebigen p zuerst von HeiTu Thomae^) angegeben wurden.

1) Vergl. dazu Pringsheim, Zur Theorie der hyperelliptischen Func-
tionen etc. Hab. - Schrift. München 1877 und Math. Ann. Bd. 12. 1877, pag. 435;
Relationen zwischen hyperelliptischen Thetafunktionen haben aus den alge-
braischen Ausdrücken für die Thetaquotienten Brioschi (La relazione di
Göpel per funzioni iperellittiche - d' ordine qualunque. Ann. di Mat. (2)
Bd. 10. 1882, pag. 161), Brunei (Etüde sur les relations algebriques entre les
fonctions hyperelliptiques de genre 3. Ann. de FEc. norm, super. (2) Bd. 12.
1883, pag. 199) und Craig (On quadruple Thetafunctions. Am. J. Bd. G. 1884,
pag. 14 u. 183) abgeleitet.

2) Königsberger, Über die Transformation etc. J. für Math. Bd. 64.
1865, pag. 17.

3) Prym, Untersuchungen über die Riemann'sche Thetaf. etc. Lpz. 1882,
pag. 94.

4) Frobenius, Über die constanten Factoren der Thetareihen. J. für Math.
Bd. 98. 1885, pag. 244.

5) Rosenhain, Memoire sur les fonctions etc. Mem. pres. Bd. 11. 1^51,
pag. 433; dazu: Weber, Über die Kummer'sche Fläche etc. J. für Math. Bd. 84.
1878, pag. 332; Krause, Ueber einige Differentialbezielnmgen im Gebiete der
Thetafunctionen zweier Veränderlichen (Erste Mitteilung). Math. Ann. Bd. 26.
1886, pag. 1 und: Die Transformation der hyperell. Funkt, etc. Lpz. 1886, pag. 47.

6) Thomae, Beitrag zur Bestimmung von ■9'(0, ü, • ■ -, 0) durch die Klassen-
moduln algebraischer Functionen. J. für Math. Bd. 71. 1870, pag. 201.

Elftes Kapitel.

Die reduzierbareii Abelsclien Integrale
und die zugehörigen Tlietafunlttionen.

§ 1.

Reduktion Abelscher Integrale auf elliptische.

Gegeben sei ein Abelsches Integral erster Gattung^):
(1) u =JF{x^ y)dx,

welches durch die Substitution:

(2) i = ^{x, y), 6 = 1/^(1 - ^) (1 - c' I) = n^, y),

wo 0(x, y) und W{x, y) rationale Funktionen von x und y be-
zeichnen, auf das elliptische Integral:

reduziert werde. Da die 2p Periodizifätsmodulen des Abelschen In-
tegrals (1) geschlossene Integrale in der Riemannschen Fläche {x, y)

1) Man kann das Problem der Reduktion Abelscher Integrale auf ellip-
tische mit Hilfe eines im wesentlichen auf Abel (Precis d'une theoiie des fonc-
tions elliptiques. 1829. Oeuvres compl. Bd. 1. Christiania 1881, pag. 518) zu-
rückgehenden Satzes, den Herr Königsberger (Ueber die Eeduction hyper-
elliptischer Integrale auf elliptische. J. für Math. Bd. 85. 1878, pag. 27.3;
üeber eine Beziehung der complexen Multiplication der elliptischen Integrale
zur Reduction gewisser Klassen Abel'scher Integrale auf elliptische. J. für Math.
Bd. 86. 1879, pag. 317; Über die Reduction Abel'scher Integrale auf elliptische
und hyperelliptiscbe. Math. Ann. Bd. 15. 1879, pag. 174; Ueber die Reduction
Abel'scher Integrale auf niedere Integralformen, speciell auf elliptische Integrale.
J. für Math. Bd. 89. 1880, pag. 89 und: Allgemeine Untersuchungen aus der
Theorie der Differentialgleichungen. Lpz. 1882) wiederholt eingehend erörtert
und bewiesen hat, tatsächlich auf die Integrale erster Gattung beschränken, da
nach diesem Satze immer, wenn unter den Integralen einer Klasse sich solche
finden, die auf elliptische Integrale reduzierbar sind, diese Reduktion auch für
ein Integral erster Gattung der Klasse stattfindet.

470 XI- 1- Reduktion Abelscher Integrale auf elliptische.

sind, ihnen also auch gemäß der Substitution (2) geschlossene Inte-
grale in der Fläche (|, ö) entsprechen, so setzen sich die 2p Perio-
dizitätsmodulen w^ (« = 1, 2, •••, 2p) des Integrals (1) aus deifzwei
Periodizitätsmodulen v^, v^ des Integrals (3) zusammen in der Form:

(4) ö„ = W„i V^ + m„2 V^ , (a = l, 2, • • • , 2/>)

wobei die m ganze Zahlen bezeichnen.

Dieser Satz gilt auch umgekehrt. Setzen sich nämlich die 2p
Periodizitätsmodulen w^ (o; = 1, 2, • • •, 2p) aus zwei Größen v^, v^ zu-
sammen in der Form (4), so ist das zugehörige Abelsche Integral
stets auf ein elliptisches reduzierbar. Zunächst hat man zu zeigen,
daß die beiden Größen v^, i»^, welche in den Gleichungen (4) auf-
treten, stets als Perioden einer doppeltperiodischen Funktion ge-
nommen werden können, wozu notwendig und hinreichend ist, daß,
wenn q^, q^ ihre reellen, 6^i, ö^i ihre lateralen Teile bezeichnen:

(5) Q,0^- Q^Ö^^O

ist. Bezeichnet man aber den reellen Teil von co^ mit t^^, den late-
ralen mit ^^1, so ist nach (4) pag. 129:
p

(6) 2 {% Ip^^c - %+^ y > 0;

und da auf Grund von (4):

also:

p p

ist, so ist in der Tat ^^^2 — q^^i ^^^^ Null verschieden und man
kann die Reihenfolge von v^ und v^ so wählen, daß

(9) Q,6^-Q26i>0

ist, dann ist aber stets auch:
p

(10) ^Kl^^ + ,,,2 - >% + K,l^%2) > Ö.
11 = 1

Ist nun A(it) eine einwertige, mit den Perioden v^, v^ doppelt-
periodische Funktion der komplexen Veränderlichen u, welche im
Endlichen keine wesentlich singulare Stelle besitzt, so wird A(m),
wenn man für u das Abelsche Integral erster Gattung (1) setzt, zu
einer rationalen Funktion ^{x,y) von x und y. Es wird daher weiter:

(■\-t\ d).{u) du d^

^^ ' du dx dx

Bed. für die Per. eines auf ein ellipt. Int. reduz. AbeLschen Int. 471
oder:

(12)

du dx

dx dl{u)
du

Ist nun speziell X{ti) eine Funktion, die im Periodenparallelogramme
nur an zwei Stellen oo^ wird, sodaß:

(13) ^ = Yal^ + &A3 + cA^ + rfA + e

ist, so folgt aus der Gleichung (12):

d^

/i ,x du dx

(14)

dx

]/«$*+ &#'+c$*+(«# + e

und es geht, wenn man die rationale Funktion ^(x, y) als neue
Variable wählt, das Integral u in ein elliptisches Integral erster
Gattung über. ^)

I. Satz: Wird das Ahelsche Integral erster Gattung:

(I) SF{x,y)dx

durch eine Substitution:

(II) l = 0{x,y), }/r(l - I) (1 - c% = W{x, y) ,

wo 0(Xj y) und ^(x, y) rationale Funktionen von x und y sind, auf
das elliptische Integral:

(III) /^

l/|(l-^)(l-c*|)

reduziert, so setzen sich seine 2p Periodizitätsmodulen a^ (a = 1, 2, •••, 2p)
aus den heiden Periodizitätsmodiden v^, Vg dieses letzteren zusammen in
der Form:

(IV) ra^ = W^al^^l + ^a2^2^ (« = 1, 2, ■ • ■ , 2p)

WO die m ganze Zahlen bezeichnen. — Setzen sich umgekehrt die 2p
Periodizitätsmodtden co^ eines Ahelschen Integrals aus zwei Größen v■^^ , v.2
zusammen in der Form (IV), so ist dasselbe stets durch eine Substitution
von der Form (II) auf ein elliptisches Integral reduzierbar.

Man nehme jetzt an, daß die 2p Periodizitätsmodulen a^
(cc = 1, 2, • • ■ , 2p) eines Abelschen Integrals (I) sich aus zwei Größen
v^, v^ zusammensetzen lassen in der Form (IV), wobei man voraus-

1) Appell et Goursat, Theorie des fonctions algebriques et de leurs in-
tegrales. Paris 1895, pag. 368.

472 XI. 1. Reduktion Abelscher Integrale auf elliptische.

setze, daß weder die 2p Zahlen m^^^, noch die 2p Zahlen m^^ einen
gemeinsamen Faktor besitzen, und stelle sich die Aufgabe, das System
der 42? Multiplikatoren:

(15;

mj2, *>^22> ' ' ' ■> *%p,2

durch ganzzahlige lineare Transformation der Perioden oj^ auf eine
möglichst einfache Form zu bringen. Führt man aber an Stelle der
Perioden a neue co' ein mit Hilfe einer ganzzahligen linearen Trans-
formation :

2i>

(16) (D\i ^_^,C^ia(Oa, (/*= 1, 2, ■• • , 2p)

a=l

bei der die c^^ 4p^ ganze Zahlen bezeichnen, welche den pag. 242
angegebenen Relationen genügen, so wird:

(17) a'ß = ni]iivi -\- m'^2V2 , Q*=i,2,--,2p)
wo:

2 p 2 p

(18) m;,i =^c,jn^^ , m'^. =^c^a>W'«2 (/?=i, -',■■•, 2/»

a =1 a=l

ist. Man bemerke nun vorerst. Nach (10) besitzt die dort auf der
linken Seite stehende Summe einen positiven Wert, nennt man den-
selben k, setzt also:

p

// = !

SO ist, da auf Grund der Relationen (8) pag. 242:
p p

ist, auch:

p
(21) ^ {m^ 1 m'p +f,,2 — ni'p + ,„, 1 m\, 2) = k ;

/" = !

es wird also der Wert des Ausdruckes (19) durch lineare Trans-
formation der Perioden co nicht geändert.

Man lasse nun weiter an Stelle der Transformation (16) jene
speziellen ganzzahligen linearen Transformationen treten, aus denen
nach dem V. Satz pag. 153 jede beliebige ganzzahlige lineare Trans-
fonnation zusammengesetzt werden kann, und betrachte das jedesmal
durch die Grleichungen (18) gelieferte System von Zahlen m.

Transf. der Per. eines reduz. Int. auf eine kanonische Form. 473

Der Transformation Ä entspricht ein System von Zahlen tu,
welches aus dem Systeme (15) dadurch hervorgeht, daß man die
Elemente der ^j + p*®'' Vertikalreihe zu denen der q*'^^ addiert.

Der Transformation B entspricht ein System von Zahlen m',
welches aus dem Systeme (15) dadurch hervorgeht, daß man die
Elemente der p'®" Vertikalreihe mit denen der ^j + q^^^ vertauscht,
nachdem man diese letzteren zuvor mit — 1 multipliziert hat.

Der Transformation C entspricht ein System von Zahlen m\
welches aus dem Systeme (15) dadurch hervorgeht, daß man die
Elemente der ö*"" Vertikalreihe zu denen der p'®" addiert und gleich-
zeitig die Elemente der ^9 + q^^^ Vertikalreihe von denen der 2> + ö**^"
subtrahiert.

Der Transformation D^^ entspricht endlich ein System von
Zahlen m', welches aus dem Systeme (15) dadurch hervorgeht, daß
man die Elemente der q^^^ Vertikalreihe mit denen der (?*®" und
gleichzeitig die Elemente der 2^ + Q^^^ Vertikalreihe mit denen der
p + 6^"^ vertauscht.

Indem man nun zunächst nur die Elemente der zweiten Hori-
zontalreihe ins A.ugc faßt, kann man durch passend gewählte Trans-
formationen Ä , B (p = 1, 2, •••, jJ) aus dem Systeme (15) ein neues
ableiten, bei dem m^^ = *^22 = • • • = ni^^ = 0 ist, und hierauf aus
diesem durch Transformationen 0„„ (p, (? = 1, 2, - ■ • , p) ein neues, bei
dem auch p— l der 2) Zahlen ni _^^ 37 ''^'p + 2,2f '"> '^^2p,2 ^^^ Wert
Null besitzen; die p^ dieser Zahlen hat dann wegen (10) einen von
Null verschiedenen Wert und zwar, da ihr absoluter Betrag mit dem
größten gemeinsamen Teiler der 2^; Zahlen m^^, m^^j '"> *^2o 2 über-
einstimmt, den Wert + 1. Diesen Wert kann man endlich, falls er
— 1 ist, durch eine Transformation B^ in + 1 verwandeln und durch
eine Transformation D an die p-f 1'" Stelle bringen, sodaß die
Elemente der zweiten Horizontalreihe schließlich die Werte 0, 0, • • •, 0;
1, 0, •••,0 besitzen, und es hat dann in der ersten Horizontalreihe
auf Grund von (19) m^^ den Wert k, während man w^^i^i, indem
man v^ -\- ni ^^^v^ neuerdings als Größe v^ einführt, gleich Null
machen kann.

Indem man nun die 1** und 2^ + 1*^ Vertikalreihe aus dem Spiele
läßt und die '2p ~ 2 übrigen Elemente *, m^i, fn^i, • • ■ , ni i, *, w +2,1?
^i>+3,i; ■■■? ^%j7,i ^®^ ersten Horizontalreihe ins Auge faßt, kann man
in der gleichen Weise wie vorher zuerst durch passend gewählte
Transformationen Ä , B^ (p = 2, 3, • • • , p) ein neues System ableiten,
bei dem m^^ = m^^ = . . = m ^ = 0, und hierauf aus diesem durch
Transformationen C , D (g, (? = 2, 3, ■ ■ • , p) ein neues, bei dem
auch m^+3_i = • • • = mg^ ^ = 0 ist.

Aus dem Systeme (15) ist auf diese Weise das System:

474 Xr. 1. Reduktion Abelscher Integrale auf elliptische.

^■, 0, 0, •■, 0; 0, m^^,,„ 0, • • • , 0
^ ' 0, 0,0, ..., 0; 1, 0, 0, .-.,0

hervorgegangen, und man wird dabei entsprechend der früheren An-
nahme h und Wi„^2 1 ^^ relativ prim voraussetzen.

Im Falle Tc = \ kann man endlich durch m j^^-^-mdiW^^e Anwen-
dung der Transformation B^B^^C^^B^B^, welche die Subtraktion der
Elemente der 1*^° Vertikalreihe von denen der p + 2*®" und der 2*®"
von denen der p -f- 1*"" bewirkt, das System (22) auf die einfachste
Form:

1, 0, 0,

••,0;
••,0;

0, 0, 0, ..•
l,0, 0, •••

, 0
, 0

bringen, und es ist dann:

(24)

-^x^

«p+l = ^2,

während d?"e 2p — 2 übrigen Größen co den Wert Null besitzen.

Im Falle Z,- > 1 leite man aus (22) zunächst durch die Trans-
formation B^C^^B^^ ein neues System ab, bei dem die Elemente der
ersten Horizontalreihe die Werte:

(25) A-, /.;, 0, • • •, 0; - w^+2,i> ^%+2,i, 0, • • •; 0

besitzen, und hierauf durch Transformationen A^, B^ daraus ein neues,
für welches diese Elemente:

(26) /c, 0, 0, ..., 0; -»w^+2,1, 1, 0, •••, 0

sind, während die Elemente der zweiten Horizontalreihe jedesmal un-
geändert geblieben sind, und bringe so, indem man schließlich noch
die Größe v^ — w +2 ^ v^ neuerdings als Größe v^ einführt, das System
(22) auf die einfachste Form:
. „. ^,0,0, ...,0; 0, 1,0, •■•,0

^ ^ 0, 0, 0, •••,0; 1,0,0, •••, 0,

sodaß:

(28) (o^='kv^, ö^^j = u,, «p+2='^i

ist, während die 2 p — ?> übrigen Größen oj den Wert Null besitzen.
Man hat so den

II. Satz : Setzen sich die 2p Feriodizitätsmodulen 0^ (0:= 1, 2, • • •, 2p)
eines Ahelschen Integrals erster Gattung aus zwei Größen v^, v^ zusammen
in der Form (IV) und setzt man:
p

(V) ^ (Wi„i »«:p+„,2 - f»p + ,,i ^"/.2) = ± ^-^

so kann man dieses Integral stets durch eine lineare Transformation so

Kanon. Form der Per. eines auf ein eil. Int. reduz. Abelschen Int. 475

umformen, daß unter Hinzunahme eines passend gewählten konstanten
Faldors seine Periodizitätsmodulen:

1. im, Falle h = \.

(VI) 00-^ = 7t i, «2 = • •

2. im Falle h> 1:

(VII) a,=^%i

= a, CO

p '

> + i

= a, a

p + 2

^2p

0;

092=--- = 05 =0;

'p+1

> + 2— jt ' ^P + 3

• = f''2p=0

sind, wo a eine liomplexe Größe mit negativem reellen Teile bezeichnet.

Kehrt man nochmals zum Systeme (22) zurück, so erkennt man,
daß man den Fall li > 1 durch die Transformation ¥^^ Ordnung:

(29) w), = CO,,, cjp-i-,. = Ä;«^+^, , (^=1,2,-. -.p)

wenn man nachher die Größen kv^, kv^ neuerdings als Größen v^, v^
einführt, auf den Fall k == 1 zurückführen kann; man erhält so unter
Anwendung des IL Satzes den

III. Satz : Setzen sich die 2 p Periodizitätsmodulen (o^{a=l,2,--, 2 p)
eines Abelschen Integrals erster Gattung aus zwei Größen v ^ , Vg zusammen
in der Form (IV) und ist dabei:

p
(VIII) ^ (m^^i ^%+K,2 - »^+^,1 »w^<2) = ±^^y

so kann man dieses Integral stets durch eine Transformation A;*®"^ Ord-
nung so umformen, daß unter Hinzunahme eines passend gewählten
konstanten Faktors seine Periodizitätsmodulen:

tOi = 711, COo =

= (Op=0; a

'p^l— a, 03^,^2 =••• = Ö2p = 0

(IX)

sind, ivo a eine komplexe Größe mit negativem reellen Teile bezeichnet.

Nimmt man zu dem Integrale mit den Perioden (VI) oder (IX)
bez. mit den Perioden (VII) p — 1 andere Integrale derselben Klasse
hinzu, welche mit ihm ein System von p Riemannschen Normalinte-
gralen bilden, so erhält man für deren Periodizitätsmodulen das fol-
gende Schema:

1. im Falle der Gleichungen (VI) oder (IX):

(30)

71 i, 0, 0,
0 , Tti, 0 ,
0 , 0 , Tli,

, 0
, 0
, 0

a , 0 , 0 ,

U , ^22 7 ^^23 7

J ^^Zp

(«/(i=«i7^)

0, 0, 0, •••, Tti; 0, ttp^, «^3, •••, a^^;

476 XI. 1. Reduktion Abelscher Integrale auf elliptische

2. im Falle der Gleichungen (VII):

7t i, 0 , 0 , • ••, 0; «jTT? Oj""> 0

m

\J , 7tl, U,'--, U5 ^, «22 > ^23 > ■ ■ ■ 7 *2p

(31) 0, 0,;ri, •••, 0; 0, «gg , «33, • • •, «3^ ('^^v = «v^)

0, 0, 0, •••, Tti- 0, a^^, ttj,^, ■•-, a^p.

Indem man nun von den Integralen zu den inversen 2p-iach. perio-
dischen Funktionen übergeht, hat man also das Resultat, daß, wenn

sich unter den Perioden w^„ \u= 1 2 ■■■'2 ) ®^^®^ 2p-fach perio-
dischen Funktion die 2p Perioden eines Periodensystems, etwa a^^
(a = 1, 2, . . ., 2^) aus zwei Größen v^, v^ zusammensetzen in der Form:

(32) Wi„-M„iVi+m„2V2; (0= = 1,2,.., 2p)

dann sich stets aus den Perioden w durch eine Transformation Z;*®'
Ordnung, wo Je durch die Gleichung (VIII) definiert ist, die Perioden
(30), im Falle /l' > 1 aber durch eine lineare Transformation die
Perioden (31) ableiten lassen. Für die zugehörigen Thetafunktionen
aber folgt der:

rv. Satz: Findet sich unter den Äbelschen Integralen einer Klasse
ein solclies, das auf ein elliptisches Integral reduzierbar ist, dessen
Periodizitätsniodulen a^ {a = 1, 2, ■ •-, 2p) sich also aus zwei Größen
t?i, ^2 zusammensetzen in der Form (IV), so zerfallt die zugehörige
Thetafunläion nach einer Transformation /t*^" Ordnung, wo h durch die
Gleichung (VIII) definiert ist, in das Produkt einer TJietafunMion von
einer und einer solchen von i^ — 1 Veränderlichen, und femer gibt es
im Falle A; > 1 unter den unendlich vielen zur Klasse gehörigen, durch
lineare Transfortnation ineinander überführbaren Systemen von Theta-
modiden eines von der Form:

a, j, 0, •••, 0

(X) -J7, «22; «23' •••; ^2p {o^, = a,^)

U , «32 , «-.g , • • •, «3p

U , Op2; 0,pz, • • ■, (f'pp-

Zerfallen der zugeh. Thetaf. — Historisches. 477

Das erste Beispiel eines reduzierbaren AbeJschen Integrals wurde
von Legend re^) angegeben, der zeigte, daß das zum Geschlechte ^> = 2
gehörige hyperelliptische Integral:

dx_

l/a;(l— a;*)(r=^*"ä*)

durch die Substitution:

(34) -^ = 2/

in die Summe zweier elliptischer Integrale:

(35) - ^, f ^y - i f -y

übergeht.

Handelt es sich nur um die Gewinnung solcher hyperelliptischer Inte-
grale, welche auf elliptische reduzierbar sind, so wird man den Weg der
algebraischen Transformation einschlagen, wie ihn Jacobi ") zur Trans-
formation der elliptischen Integrale angewendet hat. Führt man nämlich
in dem elliptischen Integrale erster Gattung:

(36) /^^, a=n(l-^)(l-^^'^)

an Stelle der Variable 'S, eine neue Variable x ein mit Hilfe der Glei-
chung ^) :

(37) ^ = y,

wo f/, Y ganze rationale Funktionen von x ohne gemeinsamen Linear-
faktor sind, so geht das Integral (36) über in:
r (U'V—UV')dx

(^^) J yu- v-{v—u){v—c^u)'

und man hat in diesem Integrale ein hyperelliptisches Integral gewonnen,
das nun umgekehrt durch die Substitution (37) auf das elliptische Integral
(36) reduziert wird. Dabei wird man bemerken, daß die vier Faktoren
des Radikanden paarweise relativ prim sind, da es U und V sind, die
Wurzel sich also nur dadurch vereinfachen kann, daß einer oder mehrere
der vier Faktoren U, F, V — U, V — c^ U quadratische Faktoren ent-
halten, ein solcher Faktor teilt dann immer auch den Zähler.

1) Legendre, Traite des fonetions elliptiques et des int%rales eul^riennes.
3™« suppl. Paris 1832, pag. 334.

2) Jacobi, Pundamenta nova theoriae functionum ellipticarum. 1829.
Ges. Werke Bd. 1. Berlin 1881, pag. 49.

3) Daß die im Anfange dieses Paragraphen betrachtete Substitution (2)
gegenüber der hier vorliegenden (37]) keine wesentliche Verallgemeinerung be-
deutet, zeigt Herr Königsberger (Über die Reduction etc. ,1. für Math. Bd. 85.
1878, pag. 277).

478 XI 1. Reduktion Abelscher Integrale auf elliptische.

Es soll auf den Fall, daß U und V ganze rationale Funktionen
zweiten Grades von x sind, näher eingegangen werden. Man setze:

(39) U-={1 - a){l- ß)x, V^{x- a){x- ß);

es fällt dann einer der Verzweigungspunkte des zu bildenden hyperellip-
tischen Integrals in den Punkt a: = 0, ein zweiter in den Punkt a? = 1 ,
ein dritter in den Punkt a; ^ oo , während zwei andere x = u und x = ß
sind, und es wird, da:

(40) V - U = x^ - {1 -\- aß)x i- aß = (x - l) (rr - aß)
ist:

(41) f'B^-yii-.)(,-j)f , '"•-"'^l; ,^.

«y « tJ \x{x — l)(a;, — a){x — ß){x — aß)(p(x)

wo zur Abkürzung:

(42) <p(x) ={x - a){x-ß)- c2(l - a){l - ß)x

gesetzt ist. Damit nun das entstandene hyperelliptische Integi-al von der
ersten Ordnung werde, bestimme man c^ so, daß g)(x) ein Quadrat wird,
wozu notwendig und hinreichend ist, daß:

(43) (« + ^) + c\l - ß)(l - ß) = +V^,
also :

Es wird dann:

(45) <?(«•) = (^±l/^)'

und die Gleichung (41) nimmt die Gestalt:

(46) f''J = -y(i-.)(i-j)f J;: + '^:^''l, ^

J ° J yx{x — l)(x — a){x — ß){x — ocß)

an. Man hat also das Resultat, daß durch die nämliche Substitution:
(47) ^_0^-ani-ß)x

I

{x — a){x — ß) '
{x — Y^)dx

(48)

'yx{x — l){x — cc){x — (3)(a; — aß)
1 r dl

l-a){l-ß)J |/|(l-i)(l-cf,

Vi

C {x-\- Y^) dx

ya;(a; — l)(.'C — a)ix — ß){x — aß)
di

{l-a){l-ß)J

Y(r-a){l-ß)J y|(l_|)(l-c||)

Historisches. — Red. e. hyperell. Int. 1. Ordn. durch e. Transf. 2. Grades. 479

wird. Die vorstehende Reduktion der beiden hyperelliptischen Integrale
(48), auf elliptische ist schon von Jacobi^) angegeben worden. Man
sieht unmittelbar, daß sie das eingangs angegebene Legendresche Re-
sultat als speziellen Fall (a = — l) enthält. Auch schließt man aus dem
Vorstehenden unter Anwendung der Substitution:

daß bei beliebiger Lage der 6 Verzweigungspunkte a^, a^, •••, »g der
hyperelliptischeu Fläche die notwendige und hinreichende Bedingung für
die Reduzierbarkeit des hyperelliptischen Integrals auf ein elliptisches ver-
mittelst einer Substitution zweiten Grades die ist, daß

/^qn «8 — "i . "'4 — "^1 ^ "& — "i . «6 — ^l

d. h. daß die Doppelverhältnisse [a^ «g "^3 '^4] ^^*^ L'^i ^^2 *^5 ^^el einander
gleich sind. Beachtet man endlich, daß aus den Gleichungen (48), wenn
man die rechts auftretenden elliptischen Integi'ale mit </j, Jg bezeichnet,
für beliebige Werte von k und l:

Ix) dx

J yx(x — l){x — a

(51) t/ y^ (a; — 1) (^ — «) (^ — P) {^ — aß)

folgt, so erkennt man, daß sich jedes zur Irrationalität

(52) Yx {x -l){x- «) {x - ß){x- aß)

gehörige Integral 1. Gattung durch die Substitution (47) auf elliptische
Integrale reduzieren läßt.

So einfach wie bei den Substitutionen zweiten Grades gestaltet sich
aber die Sache im Falle der Substitutionen höheren Grades keineswegs.
Dies zeigt schon der nächste Fall der Substitutionen dritten Grades. Nach-
dem zuerst Hermite^) zwei hyperelliptische Integrale erster Ordnung
angegeben hatte, welche durch Substitutionen dritten Grades auf elliptische
Integrale reduziert werden können, haben Goursat^), Burckhardt*),

1) Jacobi, Anzeige von Legendre, Theorie des fonetions elliptiques. Troi-
sieme Supplement. 1832. Ges. Werke Bd. 1. Berlin 1881, pag. 373; vergl. auch
Kotänyi, Zur Reduction hypereUiptischer Integrale. Wiener Sitzb. Bd. 88.
1883, Abth. IT, pag. 401.

2) Hermite, Sur uu exemple de reduction d integrales ab^liennes aux
fonetions elliptiques. Bruxelles Ann. soc. scient. Bd 1. 1876, pag. 1.

3) Goursat, Sur un cas de reduction des integrales hyperelliptiques du
second genre. C. R. Bd. 100. 1885, pag. 622 und: Sur la reduction des inte-
grales hyperelliptiques. Bull. S. M. F. Bd. 13. 1885, pag. 143.

4) Burkhardt, Untersuchungen aus dem Gebiete der hyperelliptischen
Modulfunctionen. Erster Theil. Math. Ann. Bd. 36. 1890, pag. 371.

480 XI. 1. Reduktion Abelscher Integrale auf elliptische.

Brioschi^) und Bolza^) diese.s Resultat folgendermaßen verallgemeinert
und übersichtlicher gestaltet: Die Integrale:

j r äx

"1

^-./>

(53) J VC«' + « ä; + V) {x^ -f- j9 a;* + g) '

j f* xdx

^ ~~ J V^' + ax+b) {x^ + px* + q) '
wobei :

(54) q = ih-\-A np

ist, gehen durch die Substitutionen:

.X _ x^ -\-ax-\-h j. _ «l+Ji^Mii

^ ^ ^ 3a; — p ' ^ aa;=' — 3&a;*

in die elliptischen Integrale:

(56) J l/flM3a-a)^-27(6+i,x)^ '

/,

l/|[4(2J + 36^)ä + 27 2(l-a|)*]

über. Man bemerkt hier sofort einen fundamentalen Unterschied gegen-
über der Reduktion durch die Substitution zweiten Grades darin, daß die
Substitution, welche das Integral J^ reduziert, nicht dieselbe ist, wie die
zur Reduktion von J^ dienende, und daraus ergibt sich die Unmöglichkeit,
nun wie oben weiter zu schließen, daß sich jedes zur vorliegenden Irra-
tionalität gehörige hyperelliptische Integral auf ein elliptisches bez. auf
die Summe zweier solchen reduzieren läßt. Nun hat sich für den vor-
liegenden Fall der Substitution dritten Grades überhaupt kein drittes
reduzierbares Integral der Klasse auffinden lassen, und die gleiche Er-
scheinung wiederholte sich bei dem von Bolza^) untersuchten Falle der
Substitution vierten Grades; ohne daß allerdings die im Vorigen ausein-
andergesetzte algebraische Methode der Reduktion eine genügende Er-
klärung dieser Erscheinung gegeben hätte; höchstens konnte man durch

1) Brioschi, Sur la reduction de l'integrale hyperelliptique ä l'elliptique
par une transformation du troisieme degre. Ann. de TEc. norm. sup. (3) Bd. 8.
1891, pag. 227.

2) Bolza, Zur Reduction hyperelliptischer Integrale erster Ordnung auf
elliptische mittelst einer Transformation dritten Grades. Math. Ann. Bd. 50.
1898, pag. 314 und: Zur Reduction hyperelliptischer Integrale erster Ordnung
auf elliptische mittelst einer Transformation dritten Grades. Nachtrag. Math.
Ann. Bd. 51. 1899, pag. 478.

3) Bolza, Zur Reduction hyperelliptischer Integrale auf elliptische. Frei-
burg Ber. Bd. 8. 1885, pag. 330; Über die Reduction hyperelliptischer Integrale
erster Ordnung und erster Gattung auf elliptische, insbesondere über die Re-
duction durch eine Transformation vierten Grades. Inaug.-Diss. Göttingen
1886 und: IJber die Reduction hyperelliptischer Integrale erster Ordnung und
erster Gattung auf elliijtische durch eine Transformation vierten Grades. Math.
Ann. Bd. 28. 1887, pag. 447.

Red. d. hyperell. Int. 1. Ordn. durch eine Transf. 3. u. 4. Gr. — Red. binom. Int. 481

KonstanteDzählung feststellen, daß, wenn ein hyperelliptisches Integral
erster Gattung auf ein elliptisches reduzierbar ist, nicht jedes zu derselben
Irrationalität gehörige hyperelliptische Integral erster Gattung ebenfalls
auf ein elliptisches Integral muß zurückgeführt werden können^). Noch
sei bemerkt, daß sich als Bedingung für die Existenz eines zur Irrationa-
lität yR (x) gehörigen durch eine Substitution dritten Grades reduzier-
baren hyperelliptischen Integrals erster Ordnung ergibt, daß die Form
R (x) so in zwei Faktoren :

(57) R{x) = g>{x)^{x),
wo:

(58) (p{x) = {x-a^){x-a,){x-a^), ^(x) = (x — ß,)(x- ß^) {x- ß.;)

ist, zerspaltet werden kann, daß es einen Kegelschnitt gibt, welcher dem
Dreieck a^ a^ «, eingeschrieben und zugleich dem Dreieck ß^ ß^ ß^ um-
geschrieben ist^).

Bei der Reduktion Abelscher Integrale auf elliptische haben sich die
Untersuchungen zuerst auf die binomischen Integrale:

(59) ff{x){VR(x)ydx

beschränkt, wo /"(x) eine rationale, R(x) eine ganze rationale Funktion
von X bezeichnet. Nachdem auch hier schon Legendre^) die ersten Fälle
auf elHptische Integrale reduzierbarer Integrale angegeben hatte, wies
Roth ig'*) daraufhin, daß die hier auftretenden elliptischen Integrale

die ganz speziellen Modulen -^y2+|/3 und ]/^ besitzen. Herr Königs-
berger^) hat den Gnind dieser Erscheinung nachgewiesen. Es sei nämlich:

(60) f(x){VR(x)ydx^'~^.

wo s =|A/(l — 2/)(l ~c^i/) und y und s rationale Funktionen von x und
yR(x) sind. Läßt man dann x einen geschlossenen Weg so durchlaufen,

2/H7ti

daß yR(x) den Faktor e '" annimmt, wo fx der Kongruenz fit=l

(mod. n) genügt, so erlangt die linke Seite den Faktor e " . Nennt man
daher die Endwerthe von y und s beziehlich '^ und a, so ist auch:

1) Königsberger, Über die Reduction etc. J. für. Math, Bd. 85. 1878,
pag. 283.

2) Bolz a, a. a. 0., aber schon vorher Humbert, Sur les surfaces de
Kummer elliptiques. Am. J. Bd. 16. 1894, pag. 221.

3) Legendre, Traite des fonctions elliptiques et des integrales euleriennes.
Bd. 1. Paris 1825, pag. 252.

4) Roth ig, Über einige Gattungen elliptischer Integrale. J. für Math.
Bd. 56. 1859, ^mg. 197.

5) Königsberger, Über eine Beziehung etc. J. für Math. Bd. 86. 1879,
pag. 317.

Krazer, Thetafunktionen. 31

482 XL 1. Reduktion Abelscher Integrale auf elliptische.

(61) V^^'^T

und daraus folgt, da w > 2 ist, daß der Modul des elliptischen Integi-als,
auf welches ein Abelsches Integral der oben bezeichneten Art reduzierbar
ist, ein Modul der komplexen Multiplikation sein muß. Nun ist aber
nach dem I. Satz pag. 210 der Multiplikator der komplexen Multi-
plikation von der Form Ä -j- iyB, wo A und B rationale Zahlen be-
zeichnen, und man schließt daraus, da cos — rational und sin — die

Wurzel aus einer rationalen Zahl sein muß, daß n nur die Werte 3, 4
oder 6 haben kann, und zeigt nun weiter leicht, daß alle elliptischen
Integi-ale, auf welche sich die Abelschen Integrale (59) in den FäUen

n = 3 und w = 6 reduzieren lassen , den Modul -^- F 2 + yS oder einen
aus diesem durch lineare Transformation entstehenden, alle elliptischen
Integrale, auf welche sich die Abelschen Integrale (59) im Falle n = 4
reduzieren lassen, den Modul y-}^ oder einen aus diesem durch lineare
Transformation entstehenden besitzen.

Später hat Herr Königsberger seine Untersuchungen auf die zu
algebraisch auflösbaren^), und sodann auf die zu beliebigen algebraischen
Gleichungen^) gehörigen Abelschen Integrale ausgedehnt.

Die obigen Sätze I — IV liihren von Weierstraß her; die erste kurze
Mitteilung darüber findet sich bei Königsberger ^), eine ausführlichere
bei Kowalewski^); dort ist angegeben, wie man den III. Satz direkt,
ohne Zuhilfenahme des II. Satzes beweisen kann; einen solchen Beweis
gibt auch Biermann^); die obige Beweismethode hat für den IL Satz
Herr Poincare^), für den Fall i> = 2 schon früher Herr Picard')
angegeben.

1) Königsberger, Über die Reduction etc. Math. Ann. Bd. 15. 1879,
pag. 174; auch: Über die Reduction Abelscher Integrale auf elliptische und
hyperelliptische. Gott. Nachr. 1879, pag. 185.

2) Königsberger, Über die Reduction etc. J. für Math. Bd. 89. 1880,
pag. 89.

3) Königsberger, Über die Transformation des zweiten Grades etc. J.
für Math. Bd. 67. 1867, pag. 72.

4) Kowalewski, Über die Reduction einer bestimmten Klasse Abelscher
Integrale 3*^° Ranges auf elliptische Integrale. Acta math. Bd. 4. 1884, pag. 393.

5) Biermann, Zur Reduction Abelscher Integrale auf elliptische. Wiener
Sitzb. Bd. 105. 1896, Abth. IP, pag. 924.

6) Poincare, Sur les fonctions abeliennes. Am. J. Bd. 8. 1886, pag. 289;
schon vorher: Sur la reduction des integrales abeliennes. Bull. S. M. F. Bd. 12.
1884, pag. 124 und: Sur la reduction des integrales abeliennes. C. R. Bd. 102.
1886, pag. 915.

7) Picard, Sur la reduction du nombre des periodes des integrales abe-
liennes et, en particulier, dans le cas des courbes du second genre. Bull. S.
M. F. Bd. 11. 1883, pag. 25 und: Remarque sur la reduction des inte'grales
abeliennes aux integrales elliptiques. Bull. S. M. F. Bd. 12. 1884, pag. 153;
kurze Mitteilungen darüber vorher: Sur une classe d'integrales abeliennes et

Spezielle Diskussion des Falles p = 2. 483

§ 2.
Spezielle Diskussion des Falles p = 2.

Es seien

die Periodizitätsmodulen der beiden Riemannschen Normalintegfrale
iVj, iVg einer Klasse Abelscher Integrale vom Geschlecht 2; existiert
dann in dieser Klasse ein reduzierbares Integral:

(63) J^gN, + hN„

so muß nach dem I. Satz ein Gleichungensystem von der Form:

gjti = Will Vi + *"i2^2>

hni = m2i v^ + w?22 ^2 >

^Trtii + /i«i2 = >W3iVi + W32V2>
ga.2l + /?fl22 = W'41^1 + W'42^^2

bestehen, wo die m ganze Zahlen bezeichnen. Damit solche Gleichungen
durch von NuU verschiedene Größen g, Ji, Uj, v.^ erfüllt sein können,
muß die Determinante:

(65)

0 jii ;«2i *^2
«11 «12 »'31 '><3
«21 «22 »hl »h

= («?3i m^^_ — ^41 JWga) 7ci^ — {m^ m.^^ — tn^^ m^ + w^n »^32 — '>^hi ^12) ^^ «12

+ (^21 ^32 — W?3i W?22) Ä* «22 + (>»4i >»i2 — ?«ii ^^42) ^«' «11
+ (W^ii »«22 — W^21 ^^'12) («11 «22 — etil) = 0

sein; es muß also zwischen den Größen «n, a^^, «22 ^^^^ Gleichung
von der Form:

(66) q^ni- -\- q.j a^^ ^ ? + ^3 «12 ^ ^ + ^h «22 ^ ' + % («n «22 — «12) = 0

bestehen.

Man nehme umgekehrt an, es bestehe zwischen «n, a^^, «22 ^i^®
Gleichung von der Form (66), wo die q ganze Zahlen bezeichnen,

sur certaines equations differentielles. C. R. Bd. 92. 1881, pag. 398; Sur Tinte-
gration algebrique d'une equation analogue a requation d'Euler. C. ß. Bd. 92.
1881, pag. 506; Sur la reduction des integrales abeliennes. C. R. Bd. 93. 1881,
pag. 696; Sur quelques exemples de reduction d'integrales abeliennes aux inte-
grales elliptiques. C. R. Bd. 93. 1881, pag. 1126 und: Sur la reduction des in-
tegrales abeliennes aux integrales elliptiques. C. R. Bd. 94. 1884, pag. 1704.

31*

484 XI. 2. Spezielle Diskussion des Falles p = 2.

und stelle die Frage, ob dies auch dazu hinreichend ist, daß die zu-
gehörige Klasse ein reduzierbares Integral enthalte oder, was dasselbe,
ob zu den Zahlen q ganze Zahlen m so bestimmt werden können, daß:

(67) m^ mi2 - m^ m^ = q^, m^^ m^^ — m^^ m^^ = ^5 ,

(w«ii ««32 - »W31 W12) - (^21 m^ - m^ ^22) = ?3
ist, und ferner die für die m notwendige Bedingung, daß:

(08) (m^i ^32 — mgi W12) + (>W21 »>*42 — *>*41 ***22) = ^^

positiv sei, erfüllt ist.

Aus den Gleichungen (67) folgen sofort die Gleichungen:

(Wu W32 — W31 ^12) »^4l = - (»Wii ^1 + W31 ^2) ,

xggv (%1 >»^32 - »W3I »'^12) »^42 = - (%2 Ö'l + »W32 (/2) ;

(»^11 »^32 - ^31 »«12) W.21 = m^i 9-4 + ^31 ^5 ,

(%1 »*32 - W«31 '^12) »>*22 = W^12 ?4 + »>«32 Ö's ?

nimmt man daher an, daß

(70) mji »»32 — ^31 ^12 H= 0

ist, so ergibt sich:

(71)

»1,1 W32 — JHgi mi

/??, , ?tt»o — »?„, ?«,

Durch diese Gleichungen sind die vier ersten Gleichungen (67) er-
füllt; es sind also die bis auf die Beschränkung (70) noch willkürlieh
gebliebenen Zahlen m^, m^^, »%, m32 jetzt weiter so zu bestimmen,
daß die Gleichungen (67r,) und (68) erfüllt sind.
Aus (71) folgt aber:

(72) m,, w,2 — in,, nh^ = — "^^ ^^ — ,

und es muß daher wegen (675):

(73) (mii m32 - m^^ niy^f — q^ (ni^^ m^^ - m^^ m^^ - {q^ q-^ - q^ q^ = 0
oder:

/^^x '>^hi ^h2 - ^^31 Wh2 = i (^3 ± Y^^ + 4 (qi ^5 - Q2 ad) 7
^21 M42 - on^ W22 = i (- ga ± y^^ + 4 (?i 25 - ^2 «4))

sein. Daraus folgt, daß ^3^ + 4(^-1 ^5 — g'ggj ein Quadrat sein muß
und da die direkte Ausrechnung:

(75) g3' + 4(?ag5-?2'/4) = ^'

Bed. für die Thetamod. bei Exist. eines reduz. Int. in der Klasse. 485

ergibt, so hat man endlich, da wegen (68) nur das positive Zeichen
vor der Wurzel zulässig ist:

(76) ;>«!! W?32 - W<3i W?i2 = -2^ , ^«21 »h2 " ^»41 ^^2 = ~% '

Ist also die Bedingung (75) erfüllt, so verfahre man zur Bestimmung
der zu gegebenen q gehörigen Zahlen m folgendermaßen. Man richte
es so ein, daß q^ positiv ist; dann ist Kö'a + Ä), wo /.; durch (75)
definiert ist, jedenfalls nicht Null. Nun wähle man vier Zahlen

m^j, M12; *^^3i> %2 ^^j *^^^ß %i^^*32 ~~^%i*^^i2 ^ife + ^O ist? ^^^ ^^'
rechne hierzu Zahlen m^i, Wgg, fn^, w^g aus (71), dann sind die
Gleichungen (67) und (68) erfüllt; es besteht daher auch die Glei-
chung (65), und es sind folglich die Gleichungen (64) durch von
Null verschiedene Werte g, h, v^, v^ lösbar. Damit ist aber der
folgende Satz bewiesen ^) :

V. Satz: Damit eine Klasse Ähelscher Integrale vom Geschlecht 2
ein redusierhares Integral enthalte, ist notwendig und hinreichend, daß
ztvischen den Periodizitätsmodiden a^^, a^^, «22 ^^'^^ zugehörigen Rie-
mannschen Normalintegrale eine Gleichung von der Form:

(XI) q^ Tti^ + q.2 cr-n ni -\- qs, «13 JC^ + ^4 ^^22 ^ * + Qö («n «22 — «il) = 0

bestehe, wo die q ganze Zahlen bezeichnen, für ivelclie der Ausdruck:

(™) ?3' + 4(^,g5-g2?J

das Quadrat einer ganzen Zahl ist.

In Verbindung mit dem IV. Satze kann man diesen Satz auch
folgendermaßen aussprechen:

VI. Satz: Sind die Modulen a^^, a^^, «22 ßi^^^>" Thetafunktion
zweier Veränderlichen durch eine Belation von der Form (XI) mit
einander verhiüpft, für welche der Ausdruck (XII) den Wert k^ besitzt,
so können dieselben durch eine lineare Transformatimi in die Modulen

«11; -TT? 0^22 , durch eine Transform,ation ¥" Ordnung aber in die

Modulen an, 0, «22 übergeführt iverden.

Daß es im ersteren Falle nicht nm- eine solche lineare Transforma-
tion gibt, sondern unendlich viele, zeigt B ol z a ^) , wähi'end einen direkten
Beweis für die Existenz der zuletzt genannten Transformation k^^^ Ordnung

1) Vergl. dazu Biermann, Zur Theorie der zu einer binomischen Irratio-
nalität gehörigen Abelschen Integrale. Wiener Sitzb. Bd. 87. 1883, Abth. II,
pag. 980.

2) Bolza, Über die Reduction etc. Inaug.-Diss. Göttingen 1886.

486 XL 2. Spezielle Diskussion des Falles p = 2.

Hanel^) gibt. Humbert ^) untersucht den allgemeineren Fall, in dem die
Modulen ö^^, a-^^i ^h2 ^^^^^ Tbetafunktion zweier Veränderlichen durch eine
Gleichung von der Form (XIj miteinander verknüpft sind, bei der die q
irgend welche ganze Zahlen bezeichnen. Bezüglich einer solchen Gleichung
zeigt er, daß bei linearer Transformation der Ausdi-uck (XII) den näm-
lichen Wert behält, und weiter, daß umgekehrt alle jene Gleichungen, für
welche diese Invariante J denselben Wert hat, durch lineare Transforma-
tion ineinander überführbar sind. Damit ist dann zugleich ein Beweis
des VI. Satzes erbracht, da die Gleichung k a^^ = ni zur Invariante J = k^
gehört, also umgekehrt jede Gleichung (XI), für- welche /d ^= h^ ist, durch
lineare Transformation in sie übex'geführt werden kann.

Von der vorliegenden Art sind auch die von Appell^) untersuchten
Thetafunktionen zweier Veränderlichen, bei welchen die Modulen durch
eine Gleichung von der Fonn r^ a^g = *'2 0^22 "^ 1^^ miteinander verknüpft
sind, und welche in eine Summe von Produkten je zweier Thetafunktionen
einer Veränderlichen zerlegt werden können. Andere Beispiele solcher Zer-
legungen von Thetafunktionen zweier Veränderlichen bei Königsberger^),
wo «11= 2 012 5 ^ßi Doerr^), wo a^^ = a^^-

Appell^) hat später seine Untersuchungen auf Thetafunktionen be-
liebig vieler Variablen ausgedehnt und von diesen solche angegeben, welche
in eine Summe von Produkten je einer Thetafunktion von einer und einer
von p — 1 Veränderlichen zerlegt werden können; zwischen ihren Modulen

p
bestehen p — 1 lineare Relationen von der Fonn ^ r a ; = q^ n i

(A=l, 2,-..,p-l).

Beachtet man ferner, daß nach dem IL Satze die Periodizitäts-
modulen des reduzierbaren Integrals der Klasse bei passend gewählter
Zerschneidnng der Riemannschen Fläche die Werte:

(77) %i, 0; a, y

annehmen, daß aber dem Schema (31) entsprechend die Periodizitäts-

1) Hanel, Reduction hyiierelliptischer Funktionen auf elliptische. Inaug.-
Diss. Breslau 1882.

2) Humbert, Sm- les fonctions abeliennes singulieres (Premier Memoire).
J. de Math. (5) Bd. 5. 1899, pag. 233; vorher: Sur la decomposition des fonc-
tions 0 en facteurs. C. R. Bd. 126. 1898, pag. 394 und: Sur les fonctions abä-
liennes singulieres. C. R. Bd. 126. 1898, pag. 508.

3) Appell, Sur un cas de reduction des fonctions 0 de deux variables ä
des fonctions 0 d'une variable. C. R. Bd. 94. 1882, pag. 421.

4) Königsberger, AUg. Unters, aus der Th. der Differentialgl. Lpz. 1882.

5) Doerr, Beitrag zur Lehre vom identischen Verschwinden der Riemann-
schen Thetafunetion. Inaug.-Diss. Straßburg 1883.

6) Appell, Sur des cas de reduction des fonctions© de plusieurs variables
ä des fonctions 0 d'une moindre nombre de variables. Bull. S. M. F. Bd. 10.
1882, pag. 59,

Existenz eines zweiten reduzierbaren Int. der Klasse. 487

modulen des dazu gehörigen zweiten Riemauuschen Normalintegrals
der Klasse:

(78) 0, :ti- I*, h

sind, so erkennt man, daß auch dieses Integral reduzierbar ist. Man
hat damit den

VII. Satz: Enthalt eine Klasse Ahelsclier Integrale vom GescJilecJit 2
ein reduzierhares Integral, so enthält sie immer auch noch ein zweites.

Zugleich ist gezeigt, daß, wenn von den beiden Riemannschen
Normalintegralen der Klasse das eine reduzierbar ist, es dann immer
auch das zweite ist.

Der VII. Satz rührt von Picard^) her; Beweise dafür haben auch
Appell et Goursat^) und Humbert ^) gegeben. Der von Biermann "^^
gemachte Versuch, aus dem doppelten Vorzeichen in den Gleichungen (74)
auf die Existenz zweier reduzierbarer Integrale zu schließen, ist verfehlt;
eine Änderung des Vorzeichens von Je bedeutet nm* eine Vertauschung der
beiden Größen v^ und V2-

Es erhebt sich jetzt weiter die Frage, ob es mehr als zwei
reduzierbare Integrale in der Klasse geben kann. Jedes weitere
Integral der Klasse läßt sich aus den beiden Normalintegralen N^, N^
in der Form (63) zusammensetzen; seine Periodizitätsmodulen sind
also, wenn (77) und (78) die Periodizitätsmodulen der beiden Normal-
integrale sind:

(79) (x)^=g7ii, co^^hni, a^ = ga -{- h -r- j (>^i = 9 jr ~^ ^^^'

und es ist also zur Reduzierbarkeit dieses Integrals notwendig und
hinreichend, daß sich diese Größen mit Hilfe ganzer Zahlen m aus
zwei Größen v^, v^ zusammensetzen in der Form:

g7ti== %iVi+ m^^v^,

hjti = m^^ t\ + ^22 V2 ,

^ ^ gCf' + h"^ = Wgi Vj + W32 ^2 ,

g"^ -\. hh = m^ Vi -f m^ Vg .

Sind aber diese Gleichungen erfüllt, dann ist jedes Integral von der
Form:

1) Picard, Sur la reduction etc. Bull. S. M. F. Bd. 11. 1882, pag. 47.

2) Appell et Goursat, Theorie des fonctions etc. Paris 1895, pag. 370.

3) Humbert, Sur les fonctions etc. J. de Math. (5) Bd. 5. 1899, pag. 249.

4) Biermann, Zur Theorie der etc. "Wiener Sitzb. Bd. 87. 1883, pag. 983.

488 Xr. 2. Spezielle Diskussion des Falles p = 2.

(81) J'=pgN, + qhN,,

wo p und q irgend welche rationale Zahlen bezeichnen, reduzierbar,
da für seine Periodizitätsmodulen w/, oo^', cog', co^' die Gleichungen:

(82j

»1 =

«2 =

kqrn^^ Vi + kqni22 v^' ,

raj = [kqm^i + (p - q) m^J i;/ + [kqm^^_ + {p — <l) ^2] ^2'
bestehen, wo:

(83) V=|, <=|

ist. Man hat also vorerst den

VIII. Satz : Enthält eine Klasse Ähelscher Intq/rale vom Geschlecht 2
mehr als zivei reduzierhare Integrale, so enthält sie deren unendlich viele.

Weiter folgt aber aus den Gleichungen (80) der Gleichung (66)
entsprechend die Gleichung:

(84) (ö'i + f" ~ fä) ^*^ + 9'2 « ^^ + Qi ^^ ^* + ^5 «^-' = ^ j

wo die q die unter (67) angegebenen Werte haben, und da diese
Gleichung, weil g und h beide der Voraussetzung nach von Null ver-
schieden sind, wie man sich leicht überzeugt, nicht identisch erfüllt
sein kann, so folgt aus ihr:

(^^ + 1-1)--^^« .

(85) h = — ^ ^^f^ Tci .

Diese Gleichung sagt aus, daß der Modul h aus dem Modul a durch
Transformation hervorgeht, und man hat damit das Resultat gefunden,
daß mehr als zwei reduzierbare Integrale der Klasse nur dann vor-
handen sein können, wenn die elliptischen Integrale, auf welche die
beiden Normalintegrale N^, N^ reduzierbar sind, selbst ineinander trans-
formiert werden können.

Diese Bedingung ist aber für das Auftreten unendlich vieler re-
duzierbarer Integrale auch hinreichend. Ist nämlich:

/■oa\ I, y 7ti -\- da

(86) h = - — ■ „ m ,

wo die w, ß, y, d ganze Zahlen bezeichnen, so ist außer den Normal-
integralen N^, N^ ^^^i^ ^^^ Perioden (77), (78) jedes Integral von
der Form:

{_Si) j^^Ni-\-q ZT^N,,

Bed. für die Existenz unendl. vieler reduz. Int. der Klasse. 489

wo 2^ und q irgend welche ganze Zahlen bezeichnen, rednzierbar, da
seine Periodizitätsmodulen, wie man unmittelbar sieht, sich aus den

beiden Größen -r- und ^ mit Hilfe ganzer Zahlen zusammensetzen.

Man hat so den

IX. Satz: Eine Klasse Ahelscher Integrale vom Geschlecht 2 ent-
halte die leiden reduzierbaren Integrale J^, J^. Die notwendige und
hinreichende Bedingung dafür, daß in dieser Klasse ein drittes und
damit nach dem vorigen Satze unendlich viele reduzierhare Integrale
vorkommen, ist die, daß die beiden elliptischen Integrale, auf ivelche
J^ und Jg reduzierbar sind, selbst ineinander transformiert werden können.

Daß in speziellen Fällen nicht nur zwei, sondern unendlich viele
reduzierbare Integrale der Klasse vorhanden sind, gibt schon Picard ^)
an; der IX. Satz rührt von Bolza^) her; vergl. auch Humbert ^).

Poincare hat*) den VIII. Satz auf den Fall eines beliebigen j> fol-
gendermaßen verallgemeinert:

Satz: Ist außer den Integralen J^, J,^, •••, J einer Klasse Ahelscher
Integrale auch ein davon abhängiges Integral J' = ccJ^-\- ßJ2-{- • •• + x/ ,
wo die a, ß, • • •, X Konsfante bezeichnen, auf ein elliptisches Integral reduzier-
bar, so enthält die Klasse unendlich viele reduzierbare Integrale.

Zum Beweise denke man sich die Perioden von J^ durch lineare
Transformation auf die Werte (VII) gebracht und nehme zu J^ p — 1
Integrale iVg, iVg, •••, N hinzu, welche mit ihm ein System von 2^ ^ia-
mannschen Normalintegralen bilden; dann läßt sich das Integral J' in
der Form

(88) j'^c<J, + ß'N,-\-yN,-^--- + 7t' N^^

darstellen und man sieht nun unmittelbar, daß unter der gemachten Vor-
aussetzung der Reduzierbarkeit des Integrals J' auch die unendlich vielen
Integi'ale von der Form:

(89) J"= I ccJ.^ß'N, + y'N, + ... -f :r'J\;

reduzierbar sind, da die Periodizitätsmodulen co'ü von J" zu den Periodi-
zitätsmodulen co' von J' in den Beziehungen:

„ p , „ . „ ,

(Ol = — COi , C02 = CO-2 , • ' ' 1 COp = b}p ;

(90) COp + 1 = Y tOp+i j~- Wo , «^'+2 = Wp+i! + -J7Z-- fo'l,

1) Picard, Sur la reduction etc. Bull. S. M. F. Bd. 11. 1882, pag. 47.

2) Bolza, Über die Keduction etc. Inaug. -Diss. Göttingen 1886.

3) Humbert, Sur les fonctions etc. J. de Math. (5) Bd. 5. 1899, pag. 250.

4) Poincare. Sur les fonctions abeliennes. Am. J. Bd. 8. 1886, pag. 305.

490 XL 2. Spezielle Diskussion des Falles j> = 2.

stehen, sich also mit Hilfe ganzzahliger Koeffizienten aus zwei Größen
zusammensetzen lassen, sobald es die Größen co' tun.

Nach diesem Satze existieren also z. B. für die von Kowalewski ^)
betrachtete Klasse Abelscher Integrale vom Geschlecht 3 nicht nur die
drei dort angegebenen, sondern unendlich viele reduzierbare Integrale, und
weiter enthält eine Klasse Abelscher Integrale vom Geschlecht j> stets
unendlich viele reduzierbare Integrale, sobald sie deren 2^ -\- 1 enthält^).

Nachdem im Vorigen die notwendige und hinreichende Bedingung
für das Auftreten eines reduzierbaren Integrals in einer Klasse Abel-
scher Integrale vom Geschlecht 2 darin nachgewiesen wurde, daß
unter den zugehörigen Thetafunktionen sich eine mit dem Modul

«12 = ~hr befindet, soll nun gezeigt werden, wie man aus dieser Be-
dingung die im Falle der Existenz eines reduzierbaren Integrals
zwischen den Modulen x^, l~, ^^ oder den Verzweigungspunkten
cc^, «2, • • •, ccq des zugehörigen algebraischen Gebildes bestehende Be-
ziehung ableiten kann. Man gehe zu dem Ende von der aus der
Formel (XXI) pag. 70 folgenden Gleichung:

(91) *K;gw,.,o,... = *[„,!i,^ ,,!!,.](«.„.,.., ^''"•"'

aus. Beachtet man, daß die auf der linken Seite stehende Theta-
funktion, da sie in der Form:

(92) *ß;a(W),.,«„„ = »ß;](«,k»ß;](«.-,.

in das Produkt zweier Thetafunktionen einer Veränderlichen zerfällt,
für u^ = «<2 = 0 verschwindet, wenn fJi= 9-2 = \ = ^'2 = i genommen
wird, so erhält man aus der Gleichung (91), indem man noch a^^^=ha,
«22 = /^fc setzt, das Resultat, daß die Thetafunktion :

für die Null werte der Argumente verschwindet. Indem man aber die
Funktion (93) mit Hilfe der Formeln des zweiten Kapitels durch

Thetafunktionen mit den Modulen «, ^, h ausdrückt, erhält man eine

Beziehung zwischen den Nullwerten der letzteren und aus dieser
sofort, indem man die Nullwerte der Thetafunktionen durch die Mo-
dulen x^, )i}, 11^ oder die Verzweigungspunkte u ausdrückt, die ver-
langte Relation.

1) Kowalewski, Über die Reduction etc. Acta math. Bd. 4. 1884,
pag. 393.

2) Poincare, Sur la reduction des integrales abeliennes. C. R. Bd. 99.
1884, pag. 853.

Überg. zum algebr. Gebilde. — Bed. iu den Fällen Ä; == 2 und 4. 491

Zur Erläuterung können die einfachsten Fälle Z; = 2 und k = 4:
dienen. Im Falle A- = 2 benutzt man die aus der Formel (501) pag. 364
für ^^ = ^2=0, 01 = (Tg = 1 , Wi = «2 = 0 folgende Gleiclmng :

(94) "=Q^((0)k = 2(-l)"'^"'*'[:,UW».

aus der nach dem eben Bemerkten zwischen den Thetafunktionen mit
dem Modul:

(95) «12 = "^
sich die Relation:

(96) 2'(-i)"'^"^'G,U"*'»=°

Vi, 1i

ergibt, welche infolge der zwischen den Thetanullwerten in jedem Falle
bestehenden Relationen^) die einfachere:

(ä^) *loJlCo)) = *'GJllo))

nach sich zieht und zwischen den Modulen x^, A^, ft^ die Beziehung:

(98) >^l^l-f^l

zwischen den Verzweigungspunkten a aber die Gleichung:

/99\ «3 — «1 • «4 — «1 ^ «5 — "i • "6 — "l

liefert.

Die Relation (99) stimmt, von der Reihenfolge der Verzweigungspunkte
abgesehen, mit der pag. 479 angegebenen Bedingung (50) überein; ebenso
geht aus (98) durch lineare Transformation die pag. 478 erhaltene Re-
lation x^ k^ = ft^ hervor.

71 i

Auf die hier angegebene Weise von der Bedingung a^g = — aus zu

der für das algebraische Gebilde bestehenden Beziehung zu gelangen, wurde
zuerst, etwas weniger einfach, von Königsberger ^) angegeben, und von
Pringsheim^) des näheren ausgeführt. Den vorliegenden Fall behandelt
auch eine Arbeit von Roch^); ferner hat Schering^) die diesem beson-

1) Hierzu und zu Späterem vergl. etwa Krause, Die Transformation der
hyperelliptischen Functionen erster Ordnung. Lpz. 1886, pag. 36 u. f.

2) Königsberger, Über die Transformation des zweiten Grades etc. J.
für Math. Bd. 67. 1867, pag. 58.

3) Pringsheim, Zur Transformation zweiten Grades der hypereUiptischen
Functionen erster Ordnung. Math. Ann. Bd. 9. 1876, pag. 445.

4) Roch, Über specielle vierfach periodische Functionen. Z. für Math.
Bd. 11. 1866, pag. 463.

5) Schering^ Zur Theorie des Borchardt'schen arithmetisch-geometrischen
Mittels aus vier Elementen. J. für Math. Bd. 85. 1878, pag. 115; dazu auch:
Doerr, Beitrag zur Lehre etc. Inaug.-Diss. Straßburg 1883.

492 XI. 2. Spezielle Diskussion des Falles p = 2.

deren Falle entsprechende Riemannsclie Fläche untersucht und gezeigt,
daß man dieselbe durch Aufeinanderlegen zweier elliptischer Riemannscher
Flächen einhalten kann; endlich hat Cayley^) für den vorliegenden Fall
alle Wurzelfunktionen durch elliptische Funktionen ausgedrückt.

Im Falle Je = 4 benutzt man die aus der Formel (XIX) pag. 68 für
jw = 2 , r = 2 , gi=g2'^2i ^h'^^h^^^i ^i = Wg = 0 hei-vorgehende Formel:

(100) * * [J Ji CO). = 2" (- 1)"' ^ "■ ^ C. "J, coi. ,

aus welcher sich nach dem oben Bemerkten zwischen den Thetafunktionen
mit dem Modul:

(101) «,, = '^

die Relation:

(102) 2'(-ir^"**C,U((°"-«

ergibt, welche hinwieder zwischen den Moduln x^, A^, ft^ die Gleichung:

(103) yx Xj ju,; — yX X^ fx^ = ya Aj jn^ |it; — yX v.^ fi^ fi^

nach sich zieht und sich mittelst der bekannten Formeln, welche die
Modulen x, A, ju, durch die Verzweigungspunkte ausdrücken, auch als Be-
ziehung zwischen den sechs Verzweigungspunkten schreiben läßt.

Bolza") hat die im Falle /^ = 4 zwischen den Modulen oder den
Verzweigungspunkten des algebraischen Gebildes bestehende Relation aus

der Bedingung «j2 "^ "T ^^ einer komplizierteren Form erhalten, da er nicht

die einfache Gleichung (lOO) benutzt; die vorstehende einfachere Form
(103) der Bedingung ist zuerst von Igel ^) angegeben und ihre Überein-
stimmung mit der Bolzaschen nachgewiesen werden; die weiteren von Igel
in den § 4 und § 5 seiner Abhandlung aus der Gleichung (103) ge-
zogenen Schlüsse sind aus leicht ersichtlichem Grunde falsch.

Bezüglich der Aufstellung der beiden reduzierbaren Integrale der
Klasse und der reduzierenden Substitution mag auf Bolza'*) verwiesen
werden, wo sich die beiden obigen speziellen Fälle k ^ 2 und Z: = 4
ausgeführt finden.

Für den Fall i^ > 2 ist bis jetzt nur die Reduktion einer Klasse

1) Cayley, Sur un exemple de reduction d'integrales abeliennes aux
fonctions elliptiques. C R. Bd. 85. 1877, pag. 265, 373, 426 und 472.

2) Bolza, Über die Reduction etc. Inaug.-Diss. Göttingen 1886 und:
Über die Reduction etc. Math. Ann. Bd. 28. 1887, pag. 447.

3) Igel, Über die Parameterdarstellung der Verhältnisse der Thetafunc-
tionen zweier Veränderlichen. Monatsh. f. Math. Bd. 2. 1891, pag. 157.

4) Bolza, Über die Reduction etc. Inaug.-Diss. Göttingen 1886 und:
Über die Reduction etc. Math. Ann. Bd. 28. 1887, pag. 447; auch: Ricard,
Sur la reduction etc. Bull. S. M. F. Bd. 11. 1882, pag. 48.

Red. Abelscher Int. auf solche niedrigeren Geschlechts. 493

Abelscher Integrale vom Geschlecht 3 auf elliptische Integi-ale durch eine
Transformation zweiten Grades untersucht worden ^).

Der Inhalt dieser beiden Paragraphen wurde zum größeren Teile
schon früher von mir veröffentlicht^).

§3.

Reduktion Abelscher Integrale vom Geschlecht r/ auf solche
niedrigeren G-eschlechts y>.

Die beiden Veränderlichen z und s seien durch die irreduzible
algebraische Gleichung:

(104) F{z, s) = 0

vom Geschlecht q, die beiden Veränderlichen i; und 6 durch die ir-
reduzible algebraische Gleichung:

(105) ^(e, <?) = 0

vom Geschlecht li <.([ miteinander verknüpft, und es werde das zur
Klasse (104) gehörige Integral I. Gattung:

(106) Jf{3,s)dz

durch die Substitution:

(107) l = R,{z,s), 6 = B,{z,s),

wo i?i(^, s) und jR^ (^, s) rationale Funktionen von z und s bezeichnen,
auf das zur Klasse (105) gehörige Integral:

(108) f<p{t,^)d^

reduziert.

Man wird dann zunächst bemerken, daß jedes Integral 1. Gattung
der Klasse (105), wenn man darin ^ und a durch die rationalen
Funktionen (107) von z und s ersetzt, in ein zur Klasse (104) ge-
höriges Integral I. Gattung übergeht, daß es also umgekehrt den
p linearunabhängigen Integralen I. Gattung der Klasse (105) ent-
sprechend p linearunabhängige Integrale I. Gattung in der Klasse
(104) gibt, welche durch die nämliche Substitution (107) auf Integrale
von der Klasse (105) reduziert werden. Man hat so den

X. Satz: Findet sich in einer Klasse Abelscher Integrale vom Ge-
schlecht q ein Integral I. Gattimg, ivelches durch eine rationale Suh-

1) Kowalewski, Über die Reduction etc. Acta matb. Bd. 4. 1884,
pag. 393.

2) Krazer, Die Reduzierbarkeit Abelscher Integrale. Straßburg. Fest-
schrift der philos. Facultät zur 46. Philol.- Vers. 1901.

494 XI. 3. Red. Abelscher Integr. vom Gesclil. q auf solche niedr. Geschl. p-

stitution auf ein Integral vom Geschlecht p <.q reduziert wird, so ent-
hält diese Klasse stets p linearimdbhängige derartige Integrale:

(XIII) Jf,{z,s)dz, Jh{B,s)dz, ■.., Jf^{z,s)dz,
welche alle durch die nämliclie Substitution:

(XIV) l = R,{z,s), 6 = R,{z,s)
cmf Integrale der nämlichen Klasse:

(XV) Jcp,{X,a)dl, j\,{^,6)d^, ■■•, fcp^{^,6)dt

reduziert werden.

Da die 2q Periodizitätsmodulen jedes Integrals (XIII) geschlossene
Integrale in der Riemannschen Fläche (^z, s) sind, diesen aber auch
gemäß der Substitution (XIV) geschlossene Integrale in der Fläche
(^, (?) entsprechen, so setzen sich für ^i = 1, 2, ■ ■ ■ , p die 2q Periodi-
zitätsmodulen Q {e = 1,2, ■ • ■ , 2g) des jn*^" Integrals (XIII) aus den
2p Periodizitätsmodulen o (« = 1? 2, •■■ , 2p) des a*®" Integrals (XV)
zusammen in der Form:

wobei die m ganze Zahlen bezeichnen.

Man nehme umgekehrt an, daß sich die 2pq Periodizitätsmodulen

_ ' ' ] von p linearunabhängigen Integralen I. Gattung

einer Klasse Abelscher Integrale vom Geschlecht q aus den 2p'^

Periodizitätsmodulen a)„„ ( '„' '{ ) von p linearunabhängiffen

^« Vor = 1, 2, • • • , 2p/ ^ oo

Integralen I. Gattung einer Klasse Abelscher Integrale vom Ge-
schlecht p zusammensetzen in der Form (109); sind dann /ifw)), •••,

/pW) P ^i^ ^^^ Perioden ca,^^ C^Zi'o' 'f ) 2^-fach periodische

Funktionen der p Variablen u^, •■■ , u ohne wesentlich singulare Stelle
im Endlichen, so werden dieselben, wenn man an Stelle der Argu-
mente Mj, • • • , u die Integralsummen:

(110) n, -^J'äJ, , • • ■ , ^ -2ßjp

einführt, rationale Funktionen der ]j Punkte z^, s^, also algebraische
Funktionen der p Werte x^, und daher auch umgekehrt die Größen x^
algebraische Funktionen von /ifw)), •••, /1((m)).

Exist. von p reduz Int. — Bed. für die Periodizitätsmod. 495

XI. Satz: Sind p Integrale J^, ■■ ■ , J^^ einer Klasse Äbelscher
Integrale vom Geschlecht q auf Integrale vom Geschlecht p reduzierhar,

so setzen sich ihre 2pg Periodizitätsmodulen Q, , (^~ 'J '!? ) aus

■ \f = 1, 2, • • • , 22/

den 2p'^ Periodizitätsmodulen a,,,, r ~/ ' '^^ ) dieser letzteren zu-

^ .«« \a: = 1, 2, •• • , 2p/

sammen in der Form:

ip

(^vi) ö..=2^^«"„«, C:=tt'':Ü

a=l

tüohei die m ganze Zahlen bezeichnen.

Setzen sich umgelcehrt die 2pq PeriodizitätsmodulenQ. r~ ' ' '^^ |
^ -^-^ ^*\f = l,2, •••,22/

von p linear unabhängigen Lttegralen I. Gattung einer Klasse Äbelscher
Integrale vom Geschlecht q aus den 2p^ Periodizitätsmodiden co

(a = 12' •■ ' 2ü) ^^^ ^ Integralen vom Geschlecht p zusammen in der
Form (XVI), so lassen sich diese Integrale auf Integrale vom Ge-
schlecht p reduzieren.

Setzen sich, wie in dem XL Satz angenommen, die 2^^g Periodi-

f = 1' 2 • • • 2 ) ^^^ ^ Integrale J^,-,J^ vom

Geschlecht n aus den 2»^ Periodizitätsmodulen a „ i~' ^ ■ ■ ■ ■> P \

' \tt ^ 1, 2, •• • , 2p/

von p Integralen J^', • • • , J^' vom Geschlecht p zusammen in der
Form (XVI), so ergeben sich, wenn man in die zwischen den Perio-
dizitätsmodulen Q bestehenden ^ {-p — l)p bilinearen Relationen:

(111) ^'ß,,ßv„+, - ^,.„ + ?^v,) = 0 L.,. = l,2,...,p;,<r)

0 = 1

an Stelle der Q die co einführt und berücksichtigt, daß zwischen den
o im allgemeinen nur die ^ {p — l)p Relationen:

p

(112) ^{^ui<^v,p + i-^u,p + i^vd = ^^ C«,r = l,2,...,p;,«<.)
(=1

bestehen, für die ganzen Zahlen m die p) (2p — 1) Bedingungen:

9

V..„ . ^ _ ,„^^^ ,„^^.) ^ «, wenn , = ,+ ,,

(/,i=i, 2, ■■■,2p; i<i)

(113) 2j Ki»^v + ^; - ^^^. + ?,«%y) = 0

;>

•^Z ^' ''^^'^ ''^^'' ^^^ U, wennj^g + i,

wo n eine ganze Zahl bezeichnet, von der jetzt sofort gezeigt werden
soll, daß sie stets positiv ist.

496 XL 3. Red. Abelscher Integr. vom Geschl. g auf solche niedr. Geschl. p.

Bezeichnet man nämlicli mit:

p
(114) ^.=2W'^ (-1.V .2,)

die Periodizitätsmodulen irgend einer linearen Verbindung der Inte-
grale Jy,-,Jp, mit:

p

(115) Wa=^^,.«,<a (« = 1,2.. ..,2^)

die Periodizitätsmodulen der nämlichen linearen Verbindung der Inte-
grale Ji,---,Jp, so bestehen zwischen den reellen und lateralen
Teilen H^, Z^ bez. r]^, l^ der Größen:

(116) Q, = H, + .z,, ^. = ri. + ixl (<;:;;t:.;::)

die Ungleichungen:

'/ p

(117) ^(H.,Z,^,, - H^,,Z^) > 0, ^{nd,^-%^dr) > 0.

^=1 « = 1

Nun ist aber wegen (XVI)

2 p Jp

(118) ^.-^m^aVu, ^.=^^^haL U = 1.2....,28)

a=:l a = l

und daher auf Grund der Relationen (113):

</ p

(119) ^fH.Z,^^,- H^^^Zp = n^ini^^^, - ri^^.Q.

Daraus folgt aber mit Rücksicht auf die Ungleichungen (117), daß n
nur positiv sein kann.

Man stelle sich jetzt die Aufgabe, das System der 4:pq Multipli-

(f = 1 2 • • • 2 o\
— 1^' \ ) ^^^'^^ passende Transformation der

Perioden a^^^ auf eine möglichst einfache Form zu bringen. Dabei
soll der Untersuchung der spezielle Fall ^ = 2, q = b zugrunde ge-
legt werden, aus dem sich sowohl der Gang der Untersuchung als
deren Resultat für den allgemeinen Fall ersehen läßt.
In dem Systeme:

"'ll "^21 "'31 *>^41 ^^61 '>'61 f»U »>«81 »«91 »>^10,1
m^2 W^22 W^32 m^ m-^^ »«e2 »«72 »«82 *«92 »«10,2

(120)

»«13 »«23 »«33 »»^43 »«53 »«63 »>^73 »«83 »»«93 »»'lO,3
W?14 ^24 mg^ m^ Wg^ Wi64 »«74 »«84 »»»94 »»Ho,4

der 40 Zahlen w?.„ fasse man zunächst nur die Elemente der 3**°

Transf. der Per. von j) reduz. Int. auf eine kanonische Form. 497

Horizontalreihe ins Auge. Durch passend gewählte lineare Trans-
formationen der CO kann man, wie in § 1 ausführlich auseinander-
gesetzt ist, aus dem Systeme (120) ein neues ableiten, in welchem
diese 10 Elemente die Werte:

(121) 0 0 0 0 0 Wi 0 0 0 0

besitzen, wo n^ eine positive ganze Zahl bezeichnet, die dem größten
gemeinsamen Faktor der 10 Zahlen m^^ gleich und daher, wie sich
aus (113) ergibt, jedenfalls ein Teiler von n ist. Auf Grund der
Gleichungen (113) ist dann in der ersten Vertikalreihe:

(122) w„ = ^- = n^, >/«i2 = 0, Wi4 = 0.

Nun lasse man die T® und 6*" Vertikalreihe aus dem Spiele und
fasse die 8 übrigen Elemente der 4*®° Horizontalreihe ins Auge. In
der gleichen Weise wie vorher kann man durch passend gewählte
lineare Transformationen ein neues System von Multiplikatoren ab-
leiten, in welchem diese 8 Elemente die Werte:

(123) ^0000*^2 000

besitzen, wo Wo wiederum ein Teiler von n ist, und es ist dann auf
Grund der Gleichungen (113) in der zweiten Vertikalreihe:

(124) W.22 = ^ = >*2'-

Läßt man sodann 1'% 2*®, 6*® und 7*^ Vertikalreihe aus dem
Spiele, so kann man durch lineare Transformationen der C3 in der
ersten Horizontalreihe noch:

(125) ^31 = 0, m^ = 0, ^51 = 0, m^^ = 0, %(, ^ = 0

machen, und endlich, indem man nur noch mit der 4*^°, 5'^°, 9'^" und
j^Qten VertikaLreihe operiert, in der zweiten Horizontalreihe:

(126) ^42 = 0, ^52=0, Wio,2 = 0

machen. An Stelle des Schemas (120) ist auf diese Weise das
folgende speziellere getreten:

(127)

Dieses soll aber noch in der Weise umgeändert werden, daß man
durch Operieren mit der 2'^'' und 3*^'' und gleichzeitigem mit der
7ten ^^^ gten Vertikalreihe das Element

(128) ' ^32=0

Krazer, Thetafunktionen. 32

<

»«21

0

0

0

^hr

m,i

mgi

0

0

0

Wg'

»«32

0

0

mgo

^72

ni^2

m^2

0

0

0

0

0

0

n^

0

0

0

0

0

0

0

0

0

m..

Wo

0

0

0

m,.

0

0

»^82

»»92

0

0

0

0

m..

0

0

498 XI. 3. Red. Abelscher Integr. vom Geschl. q auf solche niedr. Geschl. j).

macht; es treten dabei an Stelle der Zahlen n^' und n^ andere Zahlen,
deren Produkt aber gemäß der Relationen (113) wieder n sein muß,
und weiter tritt an die S**' Stelle der 4**^° Horizontalreihe anstatt der
jetzigen NuU ein von Null verschiedenes Element on^^, sodaß das
Schema (120) nunmehr die Form hat:

(129^ ^ *^*'' 0 0 0 ^62 m,,

^ ^ 0 0 0 0 0 ^63 0

0 0 0 0 0 >/?,4 >»,,.
wobei

(130) »Wli Wgg = >W22 w»74 = w

ist.

Die 16 Elemente der 1**°, 2*«°, 6*«° und 7*«° Vertikalreihe sind
für sich allein zufolge der Relationen (113) die Transformationszahlen
einer zum Falle p = 2 gehörigen Transformation w*®° Grades. Er-
gänzt man nun die ^j = 2 Integrale J^, J^ durch Hinzunahme von
q — p = ^ Integralen J^, J^, Jg der Klasse zu einem System von
q = D linearunabhängigen Integralen erster Gattung, nennt deren

Periodizitätsmodulen Q^A ~ .' J ' .^1 und leitet aus diesen durch
Q'\s = 1, 2, • ••, 10/

die Transformation «*" Ordnung:

(131)Q^3=nQ;3,

^qS =^e8;

^p4 = »*ß?4,

^p9 =^o9;

Q^-^'=nQ^5,

ß(),10=ßp,10,

((1 = 1,2, ■••,.5)

neue Q,'f(^~ '„' V]?) ab, so setzen sich die Größen QuA^ ,\ .«)
aus den Periodizitätsmodulen w^al _ < o q 4.) *^®i' Integrale J/, «^g'

(£ = 1 2 • ■ ■ 10\
_ ' ' ' ), welche

durcü das öcüema:

10 0 0 0 0 0 Wgi 0 0

0 1 0 0 0 0 0 m.. Wo, 0

(132) ^^ ^"

^^ 00 0 00100 00

0 0 0 0 0 0 1 7)1^ 0 0

bestimmt sind, in welchem m^^, rn^^j *'^84 ^^^ ^'^92 ^i^ nämlichen
Zahlen bezeichnen wie im Schema (129), und es können nun endlich

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

Kanon. Form für die Per. von p reduz. Int. 499

aus den Größen Q^a durch lineare Transformation neue abgeleitet
werden, für welche das Schema der Multiplikatoren ttita die Form:

(133)

hat.

Sind die beiden Integrale J^', J^' die Normalintegrale der Klasse,
ist also:

^^21 = ^ ; ^^22 = ^i, <Ö23 = *21 J ^24 = ^22 7

(£==12 \

_ ' 1 auf Grund

des iScüemas {i-üö) die Werte:

ni 0 0 0 0 a„ «,o 0 0 0
(135) '' '^

^ ^ 0 ;ri 0 0 0 »21 «22 0 0 0

und wenn man daher zu den beiden Integralen J^, J^ drei weitere
Integrale der Klasse hinzunimmt, welche mit ihnen ein System von
5 Riemannschen Normalintegralen bilden, so erhält man für deren
Periodizitätsmodulen das Schema:

;r?: 0 0 0 0 a^^ a^g 0 0 0
0 ;t?; 0 0 0 «21 «22 0 0 0

(136) 0 0 Tti 0 0 0 0 «33 «34 «,

35 k>J' — "r^j

0 0 0 ;ti 0 0 0 «43 «44 «45
0 0 0 0 Ä^ 0 0 «,3 «54 a,.

Damit sind aber die folgenden Sätze bewiesen:

XII. Satz: Finden sich unter den Äbelschen Integralen 1. Gattung
einer Klasse vom Geschlecht q p linearuna'bhängige , tvelclm auf Inte-
grale vom Geschlecht p reduzierhar sind, so enthält diese Klasse q—p
iveitere, unter sich und von den früheren linearunahhängige Integrale
1. Gattung, ivelche auf Integrale vom Geschlecht q—p reduzierhar sind.

XIII. Satz: Finden sich unter den Äbelschen Integralen 1. Gattung
eine^' Klasse vom Geschlecht q p linearunahhängige, welche auf Inte-
grale vom Geschlecht p reduzierhar sind, so zerfallt die zur Klasse ge-
hörige TJietafmiktion nach einer Transformation in das Produht einer
Thetafunktion von p und einer solchen von q—p Veränderlichen.

32*

500 XI. 3. Red. Abelscher Integr. vom Geschl. 3 auf solche niedr. Geschl. p.

Man kehre nun zu den Untersuchungen des vierten Kapitels
zurück. Es hat sich dort (pag. 118) ergeben, daß zu jeder 27)-fach
periodischen Funktion /"((i-)) von der im U, Satz (pag. llöj an-
gegebenen Art mit 2p Periodensystemen «ua( _ '"' ] eine

Klasse algebraischer Funktionen (24 ) von einem Geschlecht q^p
zugeordnet werden kann, in welcher t\, ■ ■ -jV p linearunabhängige

Integrale 1. Gattung sind, deren Periodizitätsmodulen ^^ty^'J ^ )

an den 2q Querschnitten der zu (24) gehörigen Riemannschen Fläche

sich linear und ganzzahlig aus den w«a( "..'n' 2 ) zusammen-
setzen.

Wendet man dieses Resultat auf die aus allgemeinen Theta-
funktionen — deren Modulen also nur den Bedingungen der Kon-
vergenz unterworfen sind — gebildeten 2j;-fach periodischen Funk-
tionen an und verbindet es mit dem XIII. Satze, so ergibt sich der

XIV. Satz: Es gibt spezielle Klassen algebraischer FunJctionen
von ei'nem Geschlechte q^p, deren (Ähelsche) Hietafunktionen nach
einer bestimmten Transformation höheren Grades in Produkte je einer
Tlietafmiktion von p und einer von q — p Variablen zerfallen, derart,
daß die ersteren allgemeine TJietafimJctionen sind.

Die im Vorstehenden entwickelte Lehre von der Reduktion Abel-
scher Integrale auf solche niedrigeren Geschlechts ^) verdankt man den
Herren Picard^), Poincare^) und Wirtinger*) und zwar rühren die

1) Spezielle hyperelliptische Integrale, welche sich auf solche niedrigeren
Geschlechts reduzieren lassen, haben Malet /"On the reduction of abelians in-
tegrals, J. für Math. Bd. 76. 1873, pag. 97; Some theorems in the reduction
of hyperelliptic Integrals. R. Irish Acad. Trans. Bd. 25. 1875, pag. 279 und:
On certains defiuite Integrals. R. Irish Acad. Trans. Bd. 28. 1886, pag. 197),
Brioschi (Sur des cas de reduction des fonctions abeUennes aux fonctions
elliptiques. C. R. Bd. 85. 1877, pag. 708) und Goursat (Sur la reduction etc.
Bull. S. M. F. Bd. 13. 1885, pag. 143) angegeben; auch hat Biermann (Zur
Theorie etc. Wien. Sitzb. Bd. 87. 1883, pag. 985) die Bedingungen untersucht,
unter denen sich das hyperelliptische Integral 2. Ordnung auf ein solches
1. Ordnung reduzieren läßt.

2) Picard, a. a. 0. siehe pag. 482.

3) Poincare, a. a. 0. siehe pag. 482 und 490; dazu noch: Sur les fonc-
tions abeliennes. C. R. Bd. 92. 1881, pag. 958.

4) Wirtinger, Untersuchungen über Thetafunktionen. Lpz. 1895. Hier
hat HeiT Wirtinger auch angegeben, daß man die Riemannschen Flächen solcher
algebraischer Funktionen, welche zu reduzierbaren Integralen führen, dadurch
erhalten kann, daß man mehrere unter sich kongruente Riemannsche Flächen
niedrigeren Geschlechts längs Querschnitten miteinander verbindet. Insbesondere
hat er auf diese Weise durch Verschmelzung von zwei kongruenten Riemann-
schen Flächen vom Geschlecht p -\- 1 eine spezielle Klasse algebraischer Funk-
tionen vom Geschlecht 2p -\- 1 geschaffen, deren Thetafunktionen nach einer

Wirtingers Satz über die allgemeinen Thetaf. 501

Sätze XI, Xn und XIII von Picard und Poincare, der X. Satz und der
für die Theorie der Thetafunktionen überaus interessante XIV. Satz von
Wirtinger her, dessen Darstellung auch der obige Beweis der Sätze XII
und XIII folgt.

Transformation zweiten Grades in Produkte von je einer Thetafunktion von j;
und einer von p -[- 1 Variablen zerfallen. Während die letzteren die Abelschen
Thetafunktionen der zu gründe gelegten Klasse algebraischer Funktionen vom
Geschlecht p -j- 1 sind, sind die ersteren allgemeinere, indem sie von 3^; wesent-
lichen Parametern abhängen. Zu Thetafunktionen, die nach einer Transforma-
tion zweiten Grades zerfallen, ist auch Herr Schottky (Über die charakte-
ristischen Gleichungen symmetrischer ebener Flächen uud die zugehörigen
Abel'schen Funktionen. J. für Math. Bd. 106. 1890, pag. 199) gelangt, indem
er jene algebraischen Funktionen untersuchte, welche zu berandeten, symme-
trischen, die Ebene einfach überdeckenden Bereichen gehören. Sind dann r
Paare und a mit sich selbst symmetrische Randlinien vorhanden, so ist die zu-
gehörige Klasse algebraischer Funktionen vom Geschlecht a -j- r, ihre Theta-
funktionen aber zerfallen nach einer quadratischen Transformation in solche
von t und solche von a Variablen, von denen die ersteren Abelsche, die letz-
teren dagegen keine Abelschen sind.

Autorenregister.

Abel 98, 213, 469.

Albeggiani 330.

Appell 120, 471, 486, 487.

Bachmann 184.

Baker 327, 408.

Besch 193.

Bianchi 399, 403.

Biermann 482, 487, 500.

Björling 330.

Bock 326.

Bockhorn 334.

Bolza 235, 480, 481, 485,

489, 492.
Borchardt 289, 344, 346.
Borel 252.
Bouquet 324, 327.
V. Braunmühl 386, 387,

390.
Brill 291, 346.
Brioschi 69, 331, 409, 468,

480, 500.
Briot 17, 324, 327.
Broch 330.
Brunei 468.
Burkhardt 156, 266, 404,

479.

Casorati 112.

Caspary 316, 324, 326, 328,

330, 344.
Cauchy 98.
Cayley 35, 132, 193, 289,

329, 330, 344, 346, 362,

492.
Christoffel 19, 416, 436, 452.

Clebsch 132, 156, 182, 394, Harnack 402.

402.
Craig 32, 327, 468.

V. Dalwigk 19, 22, 436.
David 185, 190, 324.
Delisle 325.
Dirichlet 160.
Doerr 486, 491.
Dorn 163.
Dumas 327.

Eisenstein 50.
Enneper 98, 109, 132, 192,
193, 324, 326, 328.

Forsyth 330, 344.

Fourier 5.

Frobenius 57, 120, 121, 133,
137, 216, 218, 220, 235,
266, 291, 305, 316, 327,
328, 334, 351, 365, 468.

Fuhrmann 189.

Gauß 98, 184, 187.
Glaisher 330, 331.
Göpel 22, 23, 241, 341, 342.
Gordan 69, 87, 98, 132, 156,

182, 192.
Goursat 471, 479, 487, 500.
Gudermann 329, 330.
Guetzlaff 330.
Gutzmer 327.

Hager 190.
Halphen 326, 403.
Hanel 486.

Henoch 77.

Hermite 40, 112, 120, 132,

163, 185, 189, 329, 361,

362, 479.
Hoppe 90.
Huebner 50, 90.
Humbert 130, 236, 481,486,

487, 489.
Hurwitz 20, 120, 404.
Hutchinson 316.

Igel 492.

Jacobi 5, 13, 40, 69, 98,
112, 192, 213, 241, 318,
325, 326, 327, 330, 331,
334, 463, 477, 479.

Jordan 22, 156, 182, 283,
290.

Kapteyn 327, 328.

Killing 402.

Kleiber 326.

Klein 266, 346, 396, 399,
402, 404.

Königsberger 69, 90, 132,
163, 184, 189, 235, 289,
334, 342, 361, 408, 409,
463, 464, 468, 469, 477,
481, 482, 486, 491.

Kotänyi 479.

Kowalewski 482, 490, 493.

Krause 87, 163, 171, 344,
362, 409, 468, 491.

Krazer 17, 50, 68, 77, 83,
84, 94, 156, 169, 182,

Autorenregister.

503

198, 206, 207, 316, 340,
341, 344, 385, 387, 390,
399, 406, 408, 493.

Kronecker 5, 28, 156, 163,
188, 225, 235, 324, 325,
326, 327.

Kummer 346.

Laguerre 132.
Landfriedt 436.
Landsberg 98, 190, 192.
Lange 402.
Laurent 120.
Lebesgue 98.
Legendre 329, 477, 481.
Lipps 326.
Lipschitz 334.
Löwy 218.

Malet 500.
Mansion 330.
Meißel 109.
Hertens 87.
Meyer 324.
Mischpeter 182.
Möller 171, 409.
Moore 257.
Morley 328.
Müller 409.
Mutb 216, 218.

Neumann 424, 435, 450.
Nöther 266, 291, 346, 350,
464.

Painleve 236.

Pascal 334.

Picard 120, 482, 483, 487,
489, 492, 500.

Poincare 28, 43, 120, 418,
425, 482, 489, 490, 500.

Poisson 96, 98.

Pringsheim 408, 463, 468,
491.

Prym 17, 31, 40, 50, 68,
77, 83, 92, 169, 182, 198,
206, 265, 266, 289, 290,
316, 326, 327, 351, 366,
387, 406, 448, 454, 463,
468.

Rausenberger 98.
Reichardt 346, 368.
Richelot 327.
Riemann 20, 23, 112, 256,

417, 424, 435.
Roch 491.
Röthig 481.
Rohde 409.
Rohn 408.
Rosenhain 19, 22, 23, 98,

109, 169, 241, 315, 325,

342, 463, 468.
Rost 416, 435.

Scheibner 323.
Schellbach 324, 325, 327
330, 334.

Schering 491.
Schleicher 386, 388, 390.
Schleiermacher 346.
Schottky 31, 40, 266, 289,

305, 362, 418, 501.
Schröter 69, 90, 329.
Schwarz 325.

Sievert 386, 388, 390, 404.
Silva 329, 330.
Smith 57, 316, 326, 329, 330.
Stahl 18, 25, 266, 290, 350,

417, 436, 444, 449.
Sterba 331.
Study 325, 326.

Thomae 18, 21, 40, 69, 132,
156, 168, 182, 190, 193,
334, 344, 424, 449, 468.

Voß 409.

Weber 132, 166, 163, 182,
213, 235, 266, 290, 344,
346, 350, 362, 408, 409,
419, 468.

Weierstraß 23, 112, 120,
241, 325, 328, 463.

Wellstein 449.

Wilkinson 331.

Wiltheiß 172, 235.

Wirtinger 43, 118, 120, 363,
365, 367, 368, 425, .500.

Witting 404.

Sachregister.

Abelsches Theorem 414.

Abelscbe Thetafunktionen 417; Beding, für ihre Mod. 417.

Additionstheoreme der Thetaquotienten : allgem. mit halben Char. p ^ \ 333,

29 = 2 342, 2)>3 346: allgem. mit ?**' Char. 387; hyperellipt. 464.
Adjungierte Gruppen von Per. Char. 295, 378. — Systeme von Th. Char. 297, 379.
Ähnliche bilineare Formen 217.
Äquivalente bilineare Formen mit ganzz. Koeff. 56; mit bei. Koeff. 217; — Per.

Char. mod. einer Gruppe 292; — Periodensysteme 111; — ganzz. nichtlin.

Transf. 156.
Argument der Thetaf. einer Veränderl. 5; Änderung um Per. 6; — e der Thetaf.

mehr. Ver. 22; Änd. um Syst. zusammengeh. Per. 23, 32; bei Thetaf. höherer

Ordg. 39; Zusammenh. der ursprüngl. und transf. Arg. der Thetaf. bei

Transf. 141.
Azygetische Per. Char. 244, 375; Invar. bei lin. Transf. 254. — Th. Char. 253;

Invar. bei lin. Transf und Add. einer Th. Char. 254; Char. einer Summe

azyg. Th. Char. 255.

Basis einer Gmppe von Per. Char. 291, 377; normale B. 294; — eines Systems
von Th. Char. 296, 379.

Bilineare Formen mit ganzz. KoeflF. 55; Rang 55; Elementart., Äquival., Normalf.
56; — mit bei. Koeff. 214; konjug., rezipr. Form 215; Charakt. Determ. oder
Funkt., Charakt. Gleichg. , Elementart. 216; äxjuival., ähnl. F., die konjug.
kompl. F. Aq, Formen i?, für welche R^'R=^J 217; Formen A, für welche
Ao = Ä, Normalf. 218; definite F. 219; Substit. in sich 220.

Bilineare Relationen zwischen den Per. einer 2p -fach per. F. 119; NonnaK. 121.

Charakter einer Th. Char. 251 ; Invar. bei lin. Transf. 247 ; — einer Summe von

Th. Char. 255.
Charakteristik s. u. Per. Char. und Th. Char.; über Char. mit kompl. Elem. 32;

— einer Transf. 131.
Charakteristische Determ. oder Funkt, einer bilin. F. 216; — Gleichung einer

bilin. F. 216.

Defekt eines Punktsyst. I. G. 416.
Division der Per. 194; — der Thetaf. 198.

Eigentliche Per. Char. 244, 374.

Sachregister. 505

Elementare ganzz. lin. Transf. 153; — lin. Transf. 1. 2. 3. Art (Krazer - Prym)

198; — nichtlin. Transf. (Krazer - Prym) 205.
Elementarteiler der bilin. F. mit ganzz. Koeff. 56; mit bei. KoefF. 216.
Elliptische Funktionen, Überg. von den Thetaf. 335.
Elliptische Normalkurven 399.

Formen s. u. lineare und bilineare.

Fouriersche Formel für Fuckt. einer Ver. 93; mehr. Ver. 99; Anw. zur Umf.
unendl. Reihen 94, 100; spez. Thetar. 96, 105.

Funktion I. Gattung 415.

Fundamentalsystem (F. S.) von Per. Char. 267; Bildungsges. 267; Anz. 268; Darst.
aller Per. Char. durch die Per. Char. eines F. S. 269; Überg. von einem
F. S. zu allen anderen 269; Darst. aller Th. Char. durch die Per. Char. eines
F. S. 272; spez. der ger. und unger. 275; spez. Fall |) = 2 337; Zummenh.
mit den F. S. von Th. Char. 283; Auftreten eines F. S. von Per. Char. im
hyperell. Falle 448; — von Th. Char. 283; Komplex von F. S. 284; Anz.
der F. S. 285; Anz. der unger. Th. Char. in einem F. S. 286; Darst. aller
Th. Char. durch die Th. Char. eines F. S., spez. der ger. und unger. Th. Char.
286; Darst. aller Per. Char. durch die Th. Char. eines F. S. 287; Anz. der
F. S. mit gegeb. Anz. unger. Th. Char 288; Spez. Fall jp = 2 337; lin. Transf.
von F. S. von Th. Char. 289.

Gtanzzahlige Transf. 131.

Gaußsche Summen zur Best, der Transformationskonst. 185; zur Darst. der

Thetaf. an der Grenze der Konverg. 190; — mehrfache 71.
Gerade Th. Char., Anzahl 250; Darst. durch die Th. Char. eines F. S. 286; Best.

der Anz. der in einem Systeme von Th. Char. vorkommenden 297; spez. in

einem Göpelschen Syst. 300 ; Fall p = 2 338 ; die zu einer syzyg. Gruppe

geh. Syst. von lauter ger. Th. Char. 303.
Gerade Thetafunktionen, Verschw. im hyperell. Falle 459.
Gitterpunkte 21, 111, 148.
Göpelsche biquadr. Relation 341; — Gruppe von Per. Char. 295, 378; Fall p = 2

337; — Systeme von Th. Char. 299, 379; Fall p==2 338; Linearunabh. der

Thetaprodukte 365.
Grad der Transf. = Ordn. 131; einer zusammeng. Transf. 143.
Gruppe (f): die in einem Gr. («) enthalt., gepaart enthalt., und in mehreren Gr.

gemeins. enthalt. Th. Char. (Nöthersche Gruppencharakteristik) 259; — Gr.

der mod. 2 inkongr. ganzz. lin. Transf. 276; Ordng. 277; holoedr. isomorph

zu einer Gruppe H von Per. Char. Substit. 279; erzeug. Subst. 280; AufF.

dieser als Subst. von Th. Char. 281; Fall ^ = 2 282; — von Per. Char. 291,

377, 391; Rang, Basis 291, 377; Syzyget. üntergr. 292, 378; Normale Basis

294; lin. Transf. 295; Adjung. Gr. 295, 378; Konjug. Gr. 295, 379; Syzyget.

Gr., Göpelsche Gr. 295, 378; Fall ^j = 2 337; Zusammenh. mit System von

Th. Char. 296, 379.

Hauptreihe von Th. Char. 276, 288, 290; Fall p = 2 337.

Hyperelliptische Thetafunktionen 445; Bed. für ihre Mod. 456; Ident. Ver-
schwinden 454; Additionstheorem 464.

506 Sachregister.

Identische Transformation 144.

Identisches Verschwinden der Riemannschen Thetaf. 426; hinreichende Bed. 427;

Nachw. , daß diese notw. 428; — Verschw, der pari. Deriv. 432; für die

hyperell. Thetaf. 454.
Inverse Transformation 145.

Jacobische Thetaformeln 320; Zusammenh. mit der Riem. und Weierstr. F. 323;
Histor. 325; Verschied. Ableitungsmeth. 326.

Klasse äquivalenter ganzz. nichtlin. Transf. 156; Klassenanzahlbestimmung im

Falle p = l 160; für Primzahlgrad in den Fällen p = 2 161 und p = 3 163.
Kombination v*" Ordg. gegeb. Per. Char. 244, 374; gegeb. Th. Char. wesentl.

Komb. 253, 379.
Komplex von F. S. von Th. Char. 284; — konjug. Systeme von Th. Char. 297, 379.
Komplexe Multiplikation doppeltper. F. 210; 2jp-fach period. F. 221.
Kongruente Charakteristiken 36; — Punkte der Ebene 8; des Raumes von 2p

Dimensionen 27, 111.
Kongruenzen -System lineare homog. 51; nichthomog. 54; konjugiertes System

52; Normallösungen 51; Anzahl 57.
Konjugierte bilin. Form 215; — Gruppe von Per. Char. 295, 379; — System von

Formen 54; Kongruenzen 52; — Systeme von Th. Char. 297, 379.
Konvergenz der einf. unendl. Thetar. 3; der p-fach unendl. 10; die Thetaf. an

der Grenze der Konverg. 190.
Korresiduale Punktsysteme 416.
Kummersche Fläche 346; Verallgem. für p>2 368.
Kurven 3. Ordg., ebene ohne Doppelp., die K. bez. auf 3 Wendepunktlinien 394;

auf 3 Wendetangenten 397.

Lineare Formen mit ganzzahl. Koeff. 54.

Lineare Transformation 131; der Per. Char. 242, 373; der Th. Char. 247; verschied.
Verhalten der Per. Char. und Th. Char. 253; Invar. der Symb. |f, 7j|, |f |,
I £, 7], ^1 254; der F. S. von Per. Char. 270; von Th. Char. 289; der Gruppen
von Per. Char. 295; spez. Göpelsche 296; der Systeme von Th. Char. 304;
Gruppe G der mod. 2 inkongr. lin. Transf. 276; s. auch Zusammensetzung
und Transformation.

Modul der Thetaf. einer Veränderl. 5; Konvergenzb. 5; — en der Thetaf. mehr.
Ver. 22; Quadrat. Form aus ihren reellen Teilen, Konvergenzb. 17; aus den
Modulen selbst 102; Änderung um Ganze 70; um gebrochene Vielfache von
7t i 76; Zusammenh. zwischen nrsprüngl. und transform. im Falle der Transf.
141; Beding, für die Modulen der Abelschen Thetaf. 417; der hyperell.
Thetaf. 456; der singulären Humbertschen Thetafunkt. 486.

Multiplikation der Per. 194; der Thetaf. 197; komplexe der doppeltper. F. 210;
der 2^-facli period. F. 221.

Normalcharakteristiken 36.
Normalkurven elliptische 399.

Normalform einer bilin. F. mit ganzz. KoeflF. 56; — der bilin. Relat. zw. d. Per.
einer 2j9-fach per. F. 121.

Sachregister. 5Q7

Normallösungen eines Systems lin. Kongr. 47, 51.

Nullpunkte der Thetaf. einer Veränd. 9 ; gemeinsame von p Thetaf. mit p Ver.
28; — der Thetaf. «*" Ordg. mit einer Veränd. 41; gemeins. von p Thetaf.
höherer Ordg. mit p Ver. 42; — der Riemannschen Thetafunktion 419; bei
Thetaf. höherer Ordg. 424; — gemeins. mehrer. Thetaf. 425.

Ordinäre Transformation 130 Anm.

Ordnung der Transformation = Grad 131; einer zusammenges. Transf. 143.

Parallelotop 21, 27, 41, 111; Änderung bei Transf. 138.
Parameter der Thetaf. 417; Zusammenh. mit den NuUp. 421.
Periodencharakteristik (Per. Char.) 29, 242, 372; lin. Transf. 242, 373; eigentl.

und uneigentl. Per. Char., unabh. Per. Char., Symbol | f, tj | 244,374;

Syzyget. und azyget. Per. Char. 244, 375; s. f. unter Fundamentalsystem,

Gruppe, Zerlegung.
Periodensysteme unabhängige 110; primitive, äquivalente 111.
Periodizitätsmodulen der Thetaf einer Ver. 6; mehr. Ver. 23; — eines hyperell.

Int. I. G. durch seine Werte in den Verzw. 447; Beding, für die — eines

reduzierbaren Integr. 471, 495.
Periodische Funktionen: Syst. zusammengeh. Per, 2j9-fach period. F., unabh.

110; primitive und äquival. Per., Periodenparallelotop, kongruente Raump.,

Gitterp. 111; mehr als 2p-ia,ch. per. F. 112; Sätze über 2p-fach per. F. 114;

bilin. Relat. zw. d. Per. 119; Red. auf die Normalf. 121; Normalis. d. Per.

durch Einf. neuer Ver. 123; Darst. 2^9 -fach per. F. durch Thetaf. 126.
Primitive Periodensysteme 111.

Prinzipale Transformation der Thetaf. einer Ver. 211; der Thetaf. mehr. Ver. 221.
Punktsystem I. Gattung 415.

Rang einer bilin. F. mit ganzz. Koetf. 55; — einer Gruppe von Per. Char. 291,

377; — eines Punktsyst. I. G. 416.
Reziproke bilineare Form 215.
Reduzierbare Abelsche Integrale 469.
Reihen unendl.: Umform, durch Einf neuer Summationsb. 44; durch die Fourier-

sche F. 94, 100.
Repräsentant einer Klasse äquiv. ganzz. nichtlin. Transf. 156; Aufst. von Repräs.

159; spez. FaU p = l 160; p = 2 161 und p = 3 162 (Primzahlgrad).
Restpunktsystem 416.
Riemannsche Konstanten der Thetaf. 424; Berechn. für den hyperell. F. 450,

452, 456.
Riemannsche Thetaformel 305; Histor. 315; Folger. 308, 351; Erweiter, auf

Prod. bei. vieler Thetaf. 316; Riem. Thetaf. im Falle jp = 1 319; Zus. mit

den Jac. und Weierstr. F. 323; Histor. 325; Verschied. Ableitungsmeth. 326;

Folger. 329; Verallg. für Thetaf mit »■*«• Char. 379; Folger. 383.
Riemannsche Thetafunktion 417; Parameter 417; Nullpunkte 419; Bez. dazw.

421; die Riemannschen Konst. 424; Ausdehn, auf Thetaf. w*" Ordg. und

auf die gemeins. Nullp. mehrerer Thetaf. 424.
Riemann- Rochscher Satz 414.

508 Sachregister.

Rosenhainsche Gruppe von Per. Char. (im Falle p = 2) 337 ; — s System von

Th. Char. 338.

Rosenhainsche Modulen x, l, f/, Bez. zwischen dens. im Falle der Reduzierbark.

491, 492.

Singulare Funktionen (Humbert) 236, 486; — Transf. (Humbert) 130 Anm. ;

— lin. Transf. (Krazer-Prym) 200.

Summationsbuchstaben, Einf. neuer — in unendl. R. 44 ; Anw. auf eine Thetar.

65; auf ein Prod. von Thetar. mit verschied. Mod. 77; mit gleichen Mod.

90; der spez. Fall ganzz. KoefF. 84.
Supplementäre Transformation 194.
Systeme von Th. Char. 296, 379, 391; Zus. mit Gruppe von Per. Char., Basis

296, 379; Komplex konjug. Syst., Adjung. Syst. 297, 379; Anz. der ger.

u. unger. Th. Char. in einem Syst. 297; spez. Fall der Göpelschen Syst. 299;

Fall 2^ = 2 338 ; Rosenhainsches Syst. 338 ; die zu syzyg. Gruppe gehör.

Syst. von Th. Char. gl. Char. 303; Überg. von einem Syst. von Th. Char.

zu einem anderen durch Hn. Transf und Addit. einer Th. Char. 304; spez. Fall

der Göpelschen Syst. 304.
Syzygetische Gruppe von Per. Char. 295, 378; die zu einer — geh. Syst. von

lauter ger. und unger. Th. Char. 303; — Per. Char. 244, 375; Invar. bei

lin. Transf. 254; — Th. Char. 253; Invar. bei lin. Transf und Addit. einer bei.

Th. Char. 254; Char. einer Summe syzyg. Th. Char. 255; — Untergruppe

292, 378.

Thetacharakteristik (Th. Char.) 30, 247, 378; lin. Transf 247; gerade u. unger.
Th. Char. 250; wesentl. unabh. Th. Char., wesentl. Komb, von Th. Char.
253, 379; Symbol |s, 73, J|, Syzyg. und azyg. Th. Char. 253; siehe auch Fun-
damentalsystem, System, Zerlegung.

Thetafunktion einer Veränd., Eigenseh. 5; Best, durch diese 6; Verschwinden 8;

— von p Veränderl., Eigensch. 23; Best, durch diese 25; Verschwinden 27;

— mit Charakteristik 30; Eigensch. 32; Best, durch diese 34; — w*®"^ Ordg.
39; Darst. durch gewöhnl. Thetaf 40; Anz. der linearunabh. 40; Verschwin-
den 41; — mit halben Char. 239; Eigensch. 240; — mit r*«> Char. 370;
Eigensch. 371; überg. zu den Thetaf mit halben Char. 404; — mit Drittel-
char. und einer Veränderl. 390; — höherer Ordg. mit halben Char. 357;
Anz. der linearunabh. ger. und unger. 361; Darst. durch die gewöhnl.
Thetaf. mit halben Char. 406.

Thetareihe, einfach unendl., Konverg. 3; an der Grenze der Konv. 190; p-fach

unendl., Konverg. 10; Umform, durch Einf neuer Summationsb. in eine

Thetar. 65; in ein Prod. von Thetar. mit versch. Mod. 77; mit gl. Mod. einf.

90; der spez. Fall ganzz. Koeff. 84; Umf. durch die Fouriersche Formel der

unendl. Thetar. 96; der jj-fach unendl. 105.
Thetarelationen im Falle p^l 331; im Falle p^2 340; Vergl. mit den Bed.

einer orthog. Substit. 344 ; im Falle i) > 3 355, 362 ; zw. Thetaf. mit r**»

Char. 389; zw. hyperell. Thetaf. 468. ~
Tetraederirrationalität, — Substitutionen 396.
Teilungsproblem spezielles 409.
Transformation der Perioden 128; ordin. und singul. (Humbert) 130 Anm. ; ganz-

zahl., lin., Grad od. Ordg., Charakteristik 131; Transformationszahlen, Bed.

Sachregister. 509

bei ordin. Tr. 131, 137; Determ. u. ünterdeterm. ders. 137; Ander, des
Periodenparallelotops bei Tr. 138; Zusammens. von Tr. 142; identische Tr.
144; inverse Tr. 145; Zus. einer ganzz. lin. Tr. aus den +p(3p-|-l) ele-
mentaren A^, B , C^^, D 153; Red. dieser auf weniger 154; ganzz.
nichtlin. Tr., äquival. Tr., Klasse, Repräsentanten 156; supplem. Tr., Multipl.,
Divis., Zus. einer nichtganzz. aus der Div. u. einer ganzz. 194; Krazer-
Prymsche elementare Tr. 198.

Transformation der Thetafunktionen , Zus. der Arg. u. Mod. d. ursprüngl. u. d.
transf. Thetaf. 141; Zus. der ursprüngl. u. d. transf. Thetaf. für ganzz. Tr.
164; für ganzz. lin. Tr. 172; spez. Fall p = 1 183; — der Thetaf. mit halben
Char. 407; — prinzipale der Thetaf. einer Ver. 211; mehr. Ver. 221.

Transformationskonstante im Falle ganzz. lin. Tr. für belieb, p 181; für p = \ 183.

Transformationsproblem, spezielles 409.

Transformationszahlen, Bed. bei ordin. Tr. 131, 137; ihre Determ. und Unterdet. 137.

Überschuß eines Punktsyst. I. G. 416.

Umkehrijroblem 441.

Unabhängige Periodensysteme 110; — Per. Char. 244, 374; — Th. Char. 253, 379.

Uneigentliche Per. Char. 244, 374.

Ungerade Th. Char., Anz. 250; Darat. durch die Th. Char. eines F. S. 286; Best,
der Anz. der in einem Syst. von Th. Char. vorkomm. 297; spez. Fall der
Göpelschen Syst. 300; Fall j? = 2 338; die zu einer syzyg. Gruppe gehör.
Syst. von lauter unger. Th. Char. 303.

^

Verbundene Punkte der zweiblättrigen Riemannschen Fläche 450.
Vollständige Thetaprodukte 389, 391, 399, 405.
Vollständiges Punktsystem I. G. 416.

Weierstraßsche Thetaformel 323; Zus. mit den Jacob, und Riem. Thetaf. 323;

Histor. 325; Verschied. Ableitungsmeth. 326; Erweiter, auf Prod. von mehr

als 4 Thetaf. 327; Verallgem. für j:» > 1 315, 328.
Wendepunkte, Wendepunktlinien, Wendepunktdreiecke, Wendetangenten einer

Kurve 3. Ordg. 394, 397.
Wesentliche Kombinationen gegeb. Th. Char. 253, 379.
Wesentlich unabhängige Th. Char. 253, 379.
Wurzelfunktionen, Zuordg. zu Thetaf. 436.

Zerfallende Thetafunktionen 27, 42, 476, 499, 500

Zerlegung einer Per. Char. in zwei Th. Char. 255; Anz. der Zerl., Eint, in
3 Arten 256; spez. Fall p = 2 337.

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig.

Theorie der zweifach unendlichen Thetareihen

auf Grund der Riemannschen Thetaformel.

Von Prof. Dr. Adolf Krazer.

[Vn u. 66 S.] gr. 4. 1882. geh. n. J{ 3.60.

Diese Arbeit behandelt den speziellen Fall der zweifach unendlichen Theta-
reihen. Von der Riemannschen Thetaformel ausgehend, wird zunächst das diesem
Falle entsprechende System linearer Gleichungen aufgestellt und eingehend unter-
sucht. Es ergeben sich dabei zwei eigentümliche Systeme von je vier Charakteristiken,
die als Vierersysteme erster und zweiter Art bezeichnet werden, und von denen
später das erste zu den Göpelschen, das zweite zu den Rosenhainschen Formeln
hinüberleitet. Durch Spezialisierung der in dem erwähnten Systeme linearer
Gleichungen vorkommenden Größen wird hierauf die Fundamentalformel für die
ganze Theorie abgeleitet, und es treten dabei zugleich auf natürliche Weise
gewisse Systeme von je sechs Charakteristiken hervor, die als Rosenhainsche
Sechsersysteme bezeichnet werden. Die weitere Untersuchimg liefert dann auf
Grund einer vollständig willkürlichen Anordnung der sechs ungeraden Charakte-
ristiken die sämtlichen in der Fundamentalformel enthaltenen Thetarelationen in
allgemeinster Gestalt. Es zeigt sich bei dieser Behandlung ein vollständiger
Parallelismus zwischen den Untersuchungen von Göpel und Rosenhain, und es
wird so erst eine einheitliche Theorie dieser Thetarelationen, ein Einblick in
ihre Strukturverhältnisse und ihre Abhängigkeit voneinander gewonnen.

Neue Grundlagen
einer Theorie der allgemeinen Thetafunktionen.

Von Prof. Dr. A. Krazer und Prof. Dr. F. Prym.

Kurz zusammengefaßt und herausgegeben von
Prof. Dr. A. Krazer.

[Xn u. 133 S.] gr. 4. 1892. geh. n. Ji. 7.20.

Die vorliegende Arbeit besteht aus 2.wei selbständigen Teilen, von denen
der erste den Titel: „Theorie der Thetafunktionen mit rationalen Charakteristiken",
der zweite den Titel: „Theorie der Transformation der Thetafunktionen" führt.

Den Mittelpunkt des ersten Teiles bildet eine, als „Fundamentalformel der
Theorie der Thetafunktionen mit rationalen Charakteristiken" bezeichnete Theta-
formel von sehr allgemeinem Charakter, zu der die Verfasser gelangten, indem
sie sich die Aufgabe stellten, die allgemeinste Thetaformel aufzufinden, welche
dadurch erhalten werden kann, daß man in der ein Produkt von n Thetafunk-
tionen mit verschiedenen Parametern darstellenden wp-fach unendlichen Reihe
an Stelle der bisherigen Summationsbuchstaben vermittelst einer linearen Sub-
stitution neue Summationsbuchstaben einführt. Diese Formel aufzustellen und aus
derselben eine größere Anzahl für die Theorie und Anwendung wichtiger spezieller
Formeln abzuleiten, bildet den Gegenstand der Untersuchungen des ersten Teiles.

Der zweite Teil enthält die vollständige Lösung des allgemeinen Trans-
formationsproblems der Thetafunktionen. Dieselbe wird dadurch erreicht, daß
man, imter Anwendung des Prinzips der Zerlegung einer Transformation in
mehrere, die Lösung des allgemeinen Transformationsproblems reduziert auf die
Lösung einer geringen Anzahl einfacherer Transformationsprobleme, welche
mittelst direkter Methoden behandelt werden können. Die hierbei zu Grunde
liegende Zerlegung der allgemeinen Transformation wurde aber erst möglich,
nachdem der Begriff der Transformation in der Art erweitert worden war, daß
man für die eine Transformation charakterisierenden 4p^ Zahlen, die bis jetzt
stets als ganze Zahlen vorausgesetzt wurden, auch gebrochene Zahlen zuließ.

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig.

Untersuchungen über Thetafunktionen

Von der philosophischen Fakultät der Universität Göttingen mit dem

Beneke- Preise für 1895 gekrönt und mit Unterstützung der König].

Gesellschaft der Wissenschaften daselbst herausgegeben

von Prof. Dr. Wilhelm Wirtinger.

[Vni u. 125 S.] gr. 4. 1895. geh. n. JC 9.—

Diese Schrift hat zum Gegenstande die genauere Untersuchung der Be-
ziehung der allgemeinen Thetafunktionen zu den algebraischen Funktionen und
ihren Integralen. Sie zerfällt in zwei Teile, von denen der erste den allgemeinen,

voü -^^— '^-^ Parametern abhängigen Thetafunktionen gewidmet ist, während der

zweite eine spezielle Klasse behandelt, welche jedoch von 3p Parametern ab-
hängt und daher allgemeiner ist als die nur von 3p — 3 Parametern abhängige,
von Riemann behandelte Klasse.

Theorie der Riemannschen Thetafunktion.

Von Privatdozent Dr. Georg Rost.

[IV u. 66 S.] gr. 4. 1901. geh. n. A 4.—

Die vorstehende Arbeit bezweckt, die in der Theorie der Riemannschen
Thetafunktion noch vorhandenen, nicht unwesentlichen Lücken auszufüllen.
Zunächst wird im ersten Abschnitte die Theorie der algebraischen, in einer all-
gemeinen Riemannschen Fläche T einwertigen Funktionen so weit entwickelt,
als es für die Theorie der Thetafunktion erforderlich ist. Der Verfasser beschränkt
sich dabei nicht auf die Betrachtung von Funktionen mit nur einfachen Unend-
lichkeitspunkten, er behandelt vielmehr den allgemeinsten Fall und gelangt da-
durch zu Resultaten von unbeschränkter Gültigkeit. Durch Einführung des Be-
griffes „Rang eines Punktsystems" gewinnt die Darstellung der Theorie eine
ungemein übersichtliche Gestalt. Im zweiten Abschnitte wird dann die eigentliche
Theorie der Riemannschen Thetafunktion in abschließender Weise entwickelt.
Auf Grund der Erkenntnis, daß Punktsysteme von speziellem Charakter auftreten
können, geUngt es dem Verfasser, den von Riemann aufgestellten, die Darstellung
von Konstantensystemen durch Summen allenthalben endlicher Integrale be-
treffenden Sätzen eine korrekte Fassung zu geben. Auch wird für die von Rie-
mann aufgestellten Deriviertensätze zum ersten Male ein einwandfreier Beweis
geliefert. In den am Schlüsse der Arbeit befindlichen Anmerkungen werden die
im Haupttexte entwickelten Theorien durch Beispiele erläutert und die Arbeiten
der Vorgänger einer eingehenden Kritik unterzogen.

r.:;i-'j^:_;r- .ijli^i^

QA Krazer, Adolf

3A5 Lehrbuch der

K73 thetafimktionen

Ph^slcai fit
Applied Scu

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