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Full text of "Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste"

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in  2010  with  funding  from 

Boston  Public  Library 


http://www.archive.org/details/lesmthodesnouv001poin 


LES  MÉTHODES  NOUVELLES 


MÉCANIQUE  CÉLESTE 


H.   POINCARÉ, 

MEMBRE    DE    L'INSTITUT, 
PROFESSEUR     A     LA     FACULTÉ     DES     SCIENCES 


TOME  I. 

Solutions  périodiques.  —  Non-existence  des  intégrales  uniformes. 
Solutions  asymptotîques. 


PARIS, 

GAUTHIER  «VILLAR  S  ET  FILS,  IMPRIMEURS-LIBRAIRES 

DU     BUREAU     DES     LONGITUDES,     DE     L'ÉCOLE     POLYTECHNIQUE, 
"Quai  des  Grands-Augustins,  55. 

1892 


LES  MÉTHODES  NOUVELLES 


MÉCANIQUE  CÉLESTE. 


l62g3         PARIS.     —    IMPRIMERIE    GAUTHI  ER- VI LLA R S    ET     FILS, 
Quai  des  Grands-Augustins,  55. 


LES  MÉTHODES  NOUVELLES 


MÉCANIQUE  CÉLESTE 


H.   POINCARE, 

MEMBRE    1>E    LINSTITUT, 
PROFESSEUR     A     LA      FACULTÉ     DES     SCIENCES 


TOME  I. 

Solutions  périodiques.  —  Non-existence  des  intégrales  uniformes. 
Solutions  asymptotiques. 


PARIS, 

GAUTHIER  -V1LLARS  ET  FILS,   IMPRIMEURS-LIBRAIRES 

DU     BUREAU     DES     LONGITUDES,     DE     L'ÉCOLE     POLYTECHNIQUE, 
Quai  des  Grands-Augustins,  55. 

1892 

(Tous  droits  réservés.) 


(/•/ 


LES  MÉTHODES  NOUVELLES 


MÉCANIQUE  CÉLESTE. 


TOME    I. 


INTRODUCTION. 

Le  Problème  des  trois  corps  a  une  telle  importance  pour  l'Astro- 
nomie, et  il  est  en  même  temps  si  difficile,  que  tous  les  efforts  des 
géomètres  ont  été  depuis  longtemps  dirigés  de  ce  côté.  Une  inté- 
gration complète  et  rigoureuse  étant  manifestement  impossible, 
c'est  aux  procédés  d'approximation  que  l'on  a  dû  faire  appel.  Les 
méthodes  employées  d'abord  ont  consisté  à  chercher  des  dévelop- 
pements procédant  suivant  les  puissances  des  masses.  Au  commen- 
cement de  ce  siècle,  les  conquêtes  de  Lagrange  et  de  Laplace  et, 
plus  récemment,  les  calculs  de  Le  Verrier,  ont  amené  ces  méthodes 
à  un  tel  degré  de  perfection  qu'elles  ont  pu  suffire  largement  jus- 
qu'ici aux  besoins  de  la  pratique.  Je  puis  ajouter  qu'elles  y  suffiront 
encore  longtemps,  malgré  quelques  divergences  de  détails  ;  il  est 
certain  néanmoins  qu'elles  n'y  suffiront  pas  toujours,  un  peu  de 
réflexion  le  fait  très  aisément  comprendre. 

Le  but  final  de  la  Mécanique  céleste  est  de  résoudre  cette 
grande  question  de  savoir  si  la  loi  de  Newton  explique  à  elle  seule 
tous  les  phénomènes  astronomiques;  le  seul  moyen  d'y  parvenir 
est  de  faire  des  observations  aussi  précises  que  possible  et  de  les 
comparer  ensuite  aux  résultats  du  calcul.  Ce  calcul  ne  peut  être 
qu'approximatif  et  il  ne  servirait  à  rien,  d'ailleurs,  de  calculer  plus 
de  décimales  que  les  observations  n'en  peuvent  faire  connaître.  Il 
est  donc  inutile  de  demander  au  calcul  plus  de  précision  qu'aux 
observations;  mais  on  ne  doit  pas  non  plus  lui  en  demander  moins. 
H.  P.  —  I.  i 


2  INTRODUCTION. 

Aussi  l'approximation  dont  nous  pouvons  nous  contenter  aujour- 
d'hui sera-t-elle  insuffisante  dans  quelques  siècles.  Et,  en  effet,  en 
admettant  même,  ce  qui  est  très  improbable,  que  les  instruments 
de  mesure  ne  se  perfectionnent  plus,  l'accumulation  seule  des  ob- 
servations pendant  plusieurs  siècles  nous  fera  connaître  avec  pins 
de  précision  les  coefficients  des  diverses  inégalités. 

Cette  époque,  où  l'on  sera  obligé  de  renoncer  aux  méthodes  an- 
ciennes, est  sans  doute  encore  très  éloignée;  mais  le  théoricien  est 
obligé  de  la  devancer,  puisque  son  œuvre  doit  précéder,  et  sou- 
vent d'un  grand  nombre  d'années,  celle  du  calculateur  numérique. 

Il  ne  faudrait  pas  croire  que,  pour  obtenir  les  éphémérides  avec 
une  grande  précision  pendant  un  grand  nombre  d'années,  il  suffira 
de  calculer  un  plus  grand  nombre  de  termes  dans  les  développe- 
ments auxquels  conduisent  les  méthodes  anciennes. 

Ces  méthodes,  qui  consistent  à  développer  les  coordonnées  des 
astres  suivant  les  puissances  des  masses,,  ont  en  effet  un  caractère 
commun  oui  s'oppose  à  leur  emploi  pour  le  calcul  des  éphémérides 
à  longue  échéance.  Les  séries  obtenues  contiennent  des  termes  dits 
séculaires,  où  le  temps  sort  des  signes  sinus  et  cosinus,  et  il  en 
résulte  que  leur  convergence  pourrait  devenir  douteuse  si  l'on  don- 
nait à  ce  temps  t  une  grande  valeur. 

La  présence  de  ces  termes  séculaires  ne  tient  pas  à  la  nature  du 
problème,  mais  seulement  à  la  méthode  employée.  Il  est  facile  de 
se  rendre  compte,  en  effet,  que  si  la  véritable  expression  d'une 
coordonnée  contient  un  terme  en 

sin  amt , 

a  étant  une  constante  et  m  l'une  des  masses,  on  trouvera,  quand 
on  voudra  développer  suivant  les  puissances  de  m,  des  termes  sé- 
culaires 

a3  m3  ts 

amt t. \-  .  .  . , 

() 

et  la  présence  de  ces  termes  donnerait  une  idée  très  fausse  de  la  vé- 
ritable forme  de  la  fonction  étudiée. 

C'est  là  un  point  dont  tous  les  astronomes  ont  depuis  longtemps 
le  sentiment,  et  les  fondateurs  de  la  Mécanique  céleste  eux-mêmes, 
dans  toutes  les  circonstances  où  ils  ont  voulu  obtenir  des  formules 
applicables  à  longue  échéance,  comme  par  exemple  dans  le  calcul 


,  INTRODUCTION.  î 

des  inégalités  séculaires,  ont  dû  opérer  d'une  autre  manière  et  re- 
noncer à  développer  simplement  suivant  les  puissances  des  masses. 
L'étude  des  inégalités  séculaires  parle  moyen  d'un  système  d'équa- 
tions différentielles  linéaires  à  coefficients  constants  peut  donc  être 
regardée  comme  se  rattachant  plutôt  aux  méthodes  nouvelles  qu'aux 
méthodes  anciennes. 

Aussi  tous  les  efforts  des  géomètres,  dans  la  seconde  partie  de  ce 
siècle,  ont-ils  eu  pour  but  principal  de  faire  disparaître  les  termes 
séculaires.  La  première  tentative  sérieuse  qui  ait  été  faite  dans  ce 
sens  est  celle  de  Delaunay,  dont  la  méthode  est  encore  appelée 
sans  doute  à  rendre  bien  des  services. 

Nous  citerons  ensuite  les  recherches  de  M.  Hill  sur  la  théorie  de 
la  Lune  (American  Journal  of  Mathematics,  t.  I;  Acta  mathe- 
matica,  t.  VIIJ).  Dans  cette  œuvre,  malheureusement  inachevée, 
il  est  permis  d'apercevoir  le  germe  de  la  plupart  des  progrès  que  la 
Science  a  faits  depuis. 

Mais  le  savant  qui  a  rendu  à  cette  branche  de  l'Astronomie  les 
services  les  plus  éminents  est  sans  contredit  M.  Gyldén.  Son  œuvre 
touche  à  toutes  les  parties  de  la  Mécanique  céleste,  et  il  utilise 
avec  habileté  toutes  les  ressources  de  l'Analyse  moderne.  M.  Gyldén 
est  parvenu  à  faire  disparaître  entièrement  de  ses  développements 
tous  les  termes  séculaires  qui  avaient  tant  gêné  ses  devanciers. 

D'autre  part,  M.  Lindstedt  a  proposé  une  autre  méthode  beau- 
coup plus  simple  que  celle  de  M.  Gyldén,  mais  d'une  portée 
moindre,  puisqu'elle  cesse  d'être  applicable  quand  on  se  trouve 
en  présence  de  ces  termes,  que  M.  Gyldén  appelle  critiques. 

Grâce  aux  efforts  de  ces  savants,  la  difficulté  provenant  des 
termes  séculaires  peut  être  regardée  comme  définitivement  vaincue 
et  les  procédés  nouveaux  suffiront  probablement  pendant  fort  long- 
temps encore  aux  besoins  de  la  pratique. 

Tout  n'est  pas  fait  cependant.  La  plupart  de  ces  développements 
ne  sont  pas  convergents  au  sens  que  les  géomètres  donnent  à  ce 
mot.  Sans  doute,  cela  importe  peu  pour  le  moment,  puisque  l'on 
est  assuré  que  le  calcul  des  premiers  termes  donne  une  approxima- 
tion très  satisfaisante  ;  mais  il  n'en  est  pas  moins  vrai  que  ces  séries 
ne  sont  pas  susceptibles  de  donner  une  approximation  indéfinie.  Il 
viendra  donc  aussi  un  moment  où  elles  deviendront  insuffisantes. 
D'ailleurs,   certaines   conséquences    théoriques  que   l'on   pourrait 


4  INTRODUCTION. 

être  tenté  de  tirer  de  la  forme  de  ces  séries  ne  sont  pas  légitimes  à 
cause  de  leur  divergence.  C'est  ainsi  qu'elles  ne  peuvent  servir  à 
résoudre  la  question  de  la  stabilité  du  système  solaire. 

La  discussion  de  la  convergence  de  ces  développements  doit 
attirer  l'attention  des  géomètres,  d'abord  pour  les  raisons  que  je 
viens  d'exposer  et  en  outre  pour  la  suivante  :  le  but  de  la  Mécanique 
céleste  n'est  pas  atteint  quand  on  a  calculé  des  éphémérides  plus 
ou  moins  approchées  sans  pouvoir  se  rendre  compte  du  degré 
d'approximation  obtenu.  Si  l'on  constate,  en  effet,  une  divergence 
entre  ces  éphémérides  et  les  observations,  il  faut  que  l'on  puisse 
reconnaître  si  la  loi  de  Newton  est  en  défaut  ou  si  tout  peut  s'ex- 
pliquer par  l'imperfection  de  la  théorie.  11  importe  donc  de  déter- 
miner une  limite  supérieure  de  l'erreur  commise,  ce  dont  on  ne 
s'est  peut-être  pas  assez  préoccupé  jusqu'ici.  Or  les  méthodes  qui 
permettent  de  discuter  les  convergences  nous  donnent  en  même 
temps  cette  limite  supérieure,  ce  qui  en  accroît  beaucoup  l'im- 
portance et  l'utilité.  On  ne  devra  donc  pas  s'étonner  de  la  place 
que  je  leur  accorderai  dans  cet  Ouvrage,  bien  que  je  n'en  aie  peut- 
être  pas  tiré  tout  le  parti  qu'il  eût  convenu. 

Je  me  suis  moi-même  occupé  de  ces  questions  et  j'y  ai  consacré 
un  Mémoire  qui  a  paru  dans  le  tome  XIII  des  Acta  mathematica  ; 
je  m'y  suis  surtout  efforcé  de  mettre  en  évidence  les  rares  résultats 
relatifs  au  Problème  des  trois  Corps,  qui  peuvent  être  établis  avec- 
la  rigueur  absolue  qu'exigent  les  Mathématiques.  C'est  cette  rigueur 
qui  seule  donne  quelque  prix  à  mes  théorèmes  sur  les  solutions 
périodiques,  asymptotiques  et  doublement  asymptotiques.  On 
pourra  y  trouver,  en  effet,  un  terrain  solide  sur  lequel  on  pourra 
s'appuyer  avec  confiance,  et  ce  sera  là  un  avantage  précieux  dans 
toutes  les  recherches,  même  dans  celles  où  l'on  ne  sera  pas  astreint 
à  la  même  rigueur. 

Il  m'a  semblé,  d'autre  part,  que  mes  résultats  me  permettaient 
de  réunir  dans  une  sorte  de  synthèse  la  plupart  des  méthodes  nou- 
velles récemment  proposées,  et  c'est  ce  qui  m'a  déterminé  à  entre- 
prendre le  présent  Ouvrage. 

Dans  ce  premier  Volume,  j'ai  dû  me  borner  à  l'étude  des  solu- 
tions périodiques  du  premier  genre,  à  la  démonstration  de  la  non- 
existence  des  intégrales  uniformes,  ainsi  qu'à  l'exposition  et  à  la 
discussion  des  méthodes  de  M.  Lindstedt. 


INTRODUCTION  5 

Je  consacrerai  les  Volumes  suivants  à  la  discussion  des  méthodes 
de  M.  Gyldén,  à  la  théorie  des  invariants  intégraux,  à  la  question 
de  la  stabilité,  à  l'étude  des  solutions  périodiques  du  second  genre, 
des  solutions  asymptotiques  et  doublement  asymptotiques,  et  enfin 
aux  résultats  que  je  pourrais  obtenir  d'ici  à  leur  publication. 

En  outre,  je  serai  forcé,  sans  aucun  doute,  de  revenir,  dans  les 
Volumes  suivants,  sur  les  matières  traitées  dans  le  Tome  Ier.  La 
logique  en  souffrira  un  peu,  il  est  vrai,  mais  il  est  impossible  de 
faire  autrement  dans  une  branche  de  la  Science  qui  est  en  voie  de 
formation  et  où  les  progrès  sont  incessants.  Je  m'en  excuse  donc 
d'avance. 

Une  dernière  remarque  :  on  a  l'habitude  de  mettre  les  résultats 
sous  la  forme  la  plus  convenable  au  calcul  des  éphémérides  en 
exprimant  les  coordonnées  en  fonctions  explicites  du  temps.  Cette 
façon  de  procéder  présente  évidemment  de  grands  avantages,  et  je 
m'y  suis  conformé  le  plus  souvent  que  j'ai  pu;  cependant,  je  ne 
l'ai  pas  fait  toujours  et  j'ai  mis  fréquemment  les  résultats  sous 
forme  d'intégrales,  c'est-à-dire  sous  forme  de  relations  implicites 
entre  les  coordonnées  seules  ou  entre  les  coordonnées  et  le  temps. 
On  peut  se  servir  d'abord  de  ces  relations  pour  vérifier  les  for- 
mules qui  donnent  explicitement  les  coordonnées.  Mais  ce  n'est 
pas  tout;  le  véritable  but  de.  la  Mécanique  céleste  n'est  pas  de 
calculer  les  éphémérides,  car  on  pourrait  se  contenter  alors  d'une 
prévision  à  brève  échéance,  mais  de  reconnaître  si  la  loi  de  Newton 
est  suffisante  pour  expliquer  tous  les  phénomènes.  A  ce  point  de 
vue,  les  relations  implicites  dont  je  viens  de  parler  peuvent  rendre 
les  mêmes  services  que  les  formules  explicites;  il  suffit,  en  effet, 
d'y  substituer  les  valeurs  observées  des  coordonnées  et  de  vérifier 
si  elles  sont  satisfaites. 


GENERALITES    ET    METHODE    DE    JACOBI. 


CHAPITRE   I. 

GÉNÉRALITÉS    ET    MÉTHODE   DE    JACOBI. 


Généralités. 

1.  Avant  d'aborder  mon  sujet  principal,  je  suis  obligé  [d'entrer 
dans  certains  détails  préliminaires  et  de  rappeler  succinctement  les 
principes  fondamentaux  des  Vorlesungen  ùber  Dynamik  de  Jacob i 
et  la  théorie  de  Cauchy,  relative  à  l'intégration  des  équations  diffé- 
rentielles par  les  séries.  Je  vais  donc  consacrer  ce  premier  Chapitre 
à  l'exposition  de  la  méthode  de  Jacobi,  en  me  contentant  le  plus 
souvent  d'énoncer  des  résultats  dont  la  démonstration  est  bien  con- 
nue. 

Donnons  d'abord  quelques  explications  au  sujet  des  notations  et 
des  dénominations  qui  seront  employées  dans  tout  ce  Mémoire. 

Les  équations  différentielles  auxquelles  nous  aurons  affaire  seront 
de  la  forme  suivante 

dxx  _  dx2  _  v  dx„ 

(I)  -dJ~Xu       Ht  -x*>       •••'       -dT  =  Xn> 

X,,  X2, .  .  . ,  X„  étant  des  fonctions  analytiques  et  uniformes  des 
n  variables  xl:  x2,  .  .  . ,  xn.  Quant  à  la  variable  indépendante  t,  que 
nous  considérerons  comme  représentant  le  temps,  nous  supposerons 
le  plus  souvent  qu'elle  n'entre  pas  explicitement  dans  les  fonc- 
tions X. 

Le  système  (i)  peut  être  considéré  comme  [d'ordre  n,  puisqu'il 
équivaut  à  une  équation  différentielle  unique  d'ordre  n\  mais,  si  les 
fonctions  X  sont  indépendantes  de  t,  cet  ordre  peut  être  abaissé 
d'une  unité.  Il  suffit  pour  cela  d'éliminer  le  temps  et  d'écrire  les 
équations  (i)  sous  la  forme 

dxi  dx<i  _  dxn 

Xj       x2  x„ 


CHAPITRE    I. 


Afin  d'éviter  toute  confusion,  nous  fixerons,  ainsi  qu'il  suit,  le 
sens  des  mots  solution  et  intégrale. 

Si  les  équations  (i)  sont  satisfaites  quand  on  fait 

(2)  xl=yi(t),         x.2=o%(t),         ...,         xn=oH(l), 

nous  dirons  que  les  équations  (2)  définissent  une  solution  particu- 
lière des  équations  (1). 

Si  une  certaine  fonction  de  xu  #2, .  .  . ,  x„, 

F (xu  xi,  . . .,  se„), 

demeure  constante  en  vertu  des  équations  (1),  nous  dirons  que  cette 
fonction  F  est  une  intégrale  particulière  du  système  (1). 

Il  est  clair  que  la  connaissance  d'une  intégrale  permet  [d'abaisser 
d'une  unité  l'ordre  du  système. 

Dans  les  problèmes  de  Dynamique,  les  équations  (1)  se  présen- 
tent sous  une  forme  plus  particulière,  connue  sous  le  nom  de  forme 
hamiltonienne  ou  canonique. 

Les  variables  se  répartissent  en  deux  séries;  nous  désignerons 
habituellement  par 

les  variables  de  la  première  série  et  par 

y.u  y*    ••■>  yP 

celles  de  la  seconde  série,  et  les  équations  différentielles  s'écriront 

dxi        d¥  dyi  dF  .  . 

w      ■dï  =  dji>    -&=-&*    (•=*.».  ■••>/»>. 

F  étant  une  fonction  uniforme  des  ip  variables  x  et  y. 

Ces  équations  admettent  une  intégrale  particulière  qui  est  la  fonc- 
tion F  elle-même  et  qui  est  connuesous  le  nomd'  intégrale  des forces 
vives. 

On  dit  que  xu  y,,  x2:  y2,  •  -  ■ ,  xp,  yP  forment  p  paires  de  va- 
riables conjuguées. 

Nous  dirons,  à  l'exemple  des  Anglais,  que  le  système  (3)  com- 
porte/? degrés  de  liberté.  Ce  système  est  d'ordre  2/?;  mais  la  con- 
naissance de  l'intégrale  des  forces  vives  permet  d'abaisser  cet  ordre 
d'une  unité;  le  temps  n'entrant  pas  explicitement  dans  les  seconds 


GÉNÉRALITÉS    ET    MÉTHODE    DE    JACOBI.  9 

membres  des  équations  (3),  nous  pourrons,  par  l'élimination  du 
temps,  comme  nous  l'avons  dit  plus  haut,  abaisser  encore  l'ordre 
d'une  unité,  de  sorte  que  finalement  un  système  qui  comporte/?  de- 
grés de  liberté  peut  toujours  être  ramené  à  l'ordre  ip  —  2. 

On  sait,  par  exemple,  que  s'il  n'y  a  qu'un  seul  degré  de  liberté, 
le  système  peut  être  ramené  à  l'ordre  o,  c'est-à-dire  intégré  complè- 
tement. 

Exemples  d'équations  canoniques. 

2.  Le  cas  le  plus  simple  des  équations  de  la  Dynamique  est  celui 
où  l'on  étudie  le  mouvement  de  q  points  matériels  libres  dans  l'es- 
pace. Soient  /??!  la  massejdu premier  de  ces  points,  xK ,  x2,  xs  ses  coor- 
données cartésiennes;  soient  de  même  m2  la  masse  du  second  de  ces 
points,  xk,  x5,  xG  ses  coordonnées,  et  ainsi  de  suite;  soient  enfin  mq 
la  masse  du  qieme  point,  x3q_2,  ^3?_i  et  xiq  ses  coordonnées. 

Projetons  la  quantité  de  mouvement  du  point  mt  sur  les  trois  axes  : 
soient y\,y2,yz  les  trois  projections  ;  soient  de  mêmejr4,  y5,  yG  les 
projections  de  la  quantité  de  mouvement  du  point  m2,  etc.;  soient 
enfin,  jK3?-a>  J"3?-i;  y%q  les  projections  de  la  quantité  de  mouve- 
ment du  point  mq. 

Soient  Fl3  F2,  F3  les  composantes  de  la  force  qui  agit  sur  mK; 
soient  F4,  F5,  F6  les  composantes  de  la  force  qui  agit  sur  m»,  etc.; 
soient  enfin  F3?_2,  F3y_1?  F3q  les  composantes  de  la  force  qui  agit 
sur  rriq. 

Nous  supposerons  que  les  composantes  F  ne  dépendent  que  des 
3q  coordonnées  #.  S'il  y  a  conservation  de  l'énergie,  il  existera  une 
fonction  V  des  coordonnées  x,  dite  /onction  des  forces  et  telle  que 

clxi 
La  demi-force  vive  T  aura  pour  expression 

T     „rî  +rl  +.ri  ,  y\  +yî  +7'  ,       ,  ylg-i  -t-jiy-i  +  jiy 

2ffl|  2  m2  2  mq 

et  l'équation  des  forces  vives  pourra  s'écrire 

T  —  V  =  const. 


lO  CHAPITRE    I. 

Si  je  pose 

T  —  V  =  F(a-i,  072,  ...,  x-3q;  yu  y2,  ...,j3(7), 

les  équations  du  mouvement  s'écriront 

,  s  dxt        dY  dyt  d¥  ,  .  „     s 

<[)  -dl  =  djr         -dF^-d*;         (.  =  i,a....,3f). 

Ainsi  les  équations  du  mouvement  de  q  points  matériels  libres 
comportent  Zq  degrés  de  liberté,  toutes  les  fois  que  les  forces  ne 
dépendent  que  des  positions  de  ces  points  dans  l'espace,  et  qu'il  y 
a  conservation  de  l'énergie.  En  particulier,  le  Problème  des  trois 
Corps  comportera  9  degrés  de  liberté.  Nous  verrons  dans  la  suite 
que  ce  nombre  peut  être  considérablement  abaissé. 

Si  nos  q  points  matériels  se  meuvent  tous  dans  un  même  plan,  la 
position  de  chacun  de  ces  points  sera  définie  non  plus  par  trois  coor- 
données, mais  par  deux  seulement.  Le  nombre  des  degrés  de  liberté 
sera  par  conséquent  réduit  à  iq. 

Ainsi,  lorsque  les  orbites  des  trois  corps  seront  planes  et  situées 
toutes  trois  dans  un  même  plan,  le  Problème  des  trois  Corps  (que 
nous  appellerons  alors  Problème  des  trois  Corps  dans  le  plan)  ne 
comportera  plus  que  6  degrés  de  liberté  seulement. 

Le  cas  où  il  n'y  a  qu'un  degré  de  liberté  étant  immédiatement  in- 
tégrable,  nous  nous  attacherons  surtout  au  cas  qui  se  présente 
immédiatement  après,  c'est-à-dire  au  cas  où  il  n'y  a  que  2  degrés 
de  liberté.  La  plupart  des  résultats  qui  suivront  ne  s'appliqueront 
qu'à  ce  cas  relativement  simple. 

Dans  beaucoup  de  problèmes  mécaniques,  le  nombre  des  degrés 
de  liberté  peut  en  effet  être  réduit  à  2.  C'est  ce  qui  arrive,  par 
exemple,  quand  on  étudie  le  mouvement  d'un  point  matériel  libre 
dans  un  plan  ou,  plus  généralement,  le  mouvement  d'un  point  ma- 
tériel assujetti  à  rester  sur  une  surface,  toutes  les  fois  que  la  force 
ne  dépend  que  de  la  position  de  ce  point.  Nous  citerons  entre  au- 
tres le  problème  célèbre  du  corps  mobile  attiré  par  deux  centres 
fixes,  lorsque  la  vitesse  initiale  du  point  mobile  est  dans  le  plan  des 
trois  corps. 

Mais  il  est  un  cas  un  peu  plus  compliqué  et  dont  l'importance  est 
plus  grande  pour  ce  qui  va  suivre. 

Soient  dans  un  plan  deux  axes  rectangulaires  mobiles  Oç  et  Oi\ 


GENERALITES    ET    METHODE    DE    JA.COBI.  II 

animés  d'un  mouvement  de  rotation  uniforme  autour  de  l'origine 
O.  Soit  n  la  vitesse  angulaire  de  ce  mouvement  de  rotation.  SoitP 
un  point  mobile  se  mouvant  dans  ce  même  plan,  dont  les  coordon- 
nées, par  rapport  à  ces  deux  axes,  s'appelleront  £  et  7),  et  dont  la 
masse  sera  prise  pour  unité. 

Soit  V  la  fonction  des  forces  dépendant  seulement  de  \  et  de  t\, 
de  telle  façon  que  les  projections  sur  Oç  et  Or\  de  la  force  qui  agit 

!         •      t.      •  ■  dV       d\ 

sur  le  point  P  soient  respectivement  —r=  et  ~j—  • 

Les  équations  du  mouvement  relatif  du  point  P  par  rapport  aux 
axes  mobiles  0<;  et  0'r\  s'écriront 

dV         ,, 

(a) 

(wr\  ac        «v  , 

dt*  dt        drx  " 

d'où  l'on  déduit  l'intégrale  suivante,  dite  de  Jacobi, 

ï[(I),-(S)1-v-t^^=«»«- 

qui  n'est  autre  chose  que  l'intégrale  des  forces  vives  dans  le  mou- 
vement relatif. 

Je  dis  que  ces  équations  peuvent  être  ramenées  à  la  forme  cano- 
nique, le  nombre  des  degrés  de  liberté  étant  égal  à  i. 
Posons,  en  effet, 

Ç  =  a?i,   •      7]  =  a?2? 
di  dr\  y 

F=  ^(jKi-t-/^2)2-+-  I  (jk2—  7i^i)9-  —  V—  ^-  (a?»  ■+■  x\), 
les  équations  (2)  deviendront 


dxy 
~dï 

_  dF 

dx%        dF 
dt         dy^ 

dyi  _ 
dt 

dF 
dx\ 

dy%             dF 
dt             dx<i 

C.     Q.     F.    D. 

Un  des  cas  particuliers  du  Problème  des  trois  Corps  rentre  dans 
la  question  que  nous  venons  de  traiter. 

Supposons  que  l'une  des  trois  masses  soit  infiniment  petite,  de 
telle  sorte  que  le  mouvement  des  deux  autres  masses  n'étant  pas 


12  C  H  A  P I T  R  E    I . 

troublé  reste  képlérien.  Tel  serait,  par  exemple,  le  cas  du  mouve- 
ment d'une  petite  planète  en  présence  de  Jupiter  et  du  Soleil. 

Imaginons  que  l'excentricité  des  orbites  des  deux  grandes  masses 
soit  nulle,  de  telle  façon  que  ces  deux  masses  décrivent  d'un  mou- 
vement uniforme  deux  circonférences  concentriques  autour  du  centre 
de  gravité  commun  supposé  fixe. 

Supposons  enfin  que,  l'inclinaison  des  orbites  étant  nulle,  la  pe- 
tite masse  se  meuve  constamment  dans  le  plan  de  ces  deux  circon- 
férences. 

Le  centre  de  gravité  du  système,  qui  est  le  centre  commun  des 
deux  circonférences,  peut  toujours  être  supposé  fixe  :  nous  le  pren- 
drons pour  origine;  par  cette  origine  nous  ferons  passer  deux  axes 
mobiles  O  £  et  Ot\  :  l'axe  O  £  sera  la  droite  qui  joint  les  deux  grandes 
masses;  l'axe  Or\  sera  perpendiculaire  à  0£. 

On  voit  : 

i°  Que  ces  deux  axes  sont  animés  d'un  mouvement  de  rotation 
uniforme  ; 

2°  Que  les  deux  grandes  masses  sont  fixes  par  rapport  aux  axes 
mobiles. 

Nous  avons  donc  à  étudier  le  mouvement  relatif  d'un  point  mo- 
bile, par  rapport  à  deux  axes  mobiles,  sous  l'attraction  de  deux  cen- 
tres, fixes  par  rapporta  ces  axes.  Nous  retombons  donc  sur  la  ques- 
tion que  nous  venons  de  traiter. 

Ainsi,  dans  ce  cas  particulier,  les  équations  du  Problème  des  trois 
Corps  peuvent  être  ramenées  à  la  forme  canonique  avec  deux  degrés 
de  liberté  seulement. 

Passons  maintenant  à  une  équation  que  l'on  rencontre  souvent 
dans  la  théorie  des  perturbations  et  dont  M.  Gyldén  fait  un  usage 
fréquent. 

Soit 

(3)  *£  =/(.,«). 

Cette  équation  peut  aussi  être  ramenée  à  la  forme  canonique. 
En  effet,  f(x,  t)  peut  toujours  être  regardée  comme  la  dérivée 
par  rapport  à  x  d'une  certaine  fonction  ©(#,  t),  de  telle  sorte  que 

J  ~  dx' 


GÉNÉRALITÉS    ET    MÉTHODE    DE    JACOBI.  l3 

Si  maintenant  nous  posons 

dx 

r? 

l'équation  (3)  pourra  être  remplacée  par  les  équations  canoniques 
(3)  du  numéro  précédent  avec  2  degrés  de  liberté  seulement. 

c.  Q.  F.  D. 

Je  citerai  encore  un  dernier  exemple.  Considérons  un  corps 
solide  pesant,  suspendu  à  un  point  fixe,  et  étudions  les  oscillations 
de  ce  corps.  Pour  définir  complètement  la  position  de  ce  corps,  il 
faut  se  donner  trois  conditions  ;  il  faut  connaître  en  effet  les  trois 
angles  d'Euler  formés  par  un  système  d'axes  invariablement  liés  au 
corps  avec  un  système  d'axes  fixes. 

Le  problème  comportera  donc  3  degrés  de  liberté;  mais  nous 
verrons  plus  loin  que  ce  nombre  peut  être  réduit  à  2. 

J'en  ai  dit  assez  pour  faire  voir  combien  de  problèmes  méca- 
niques se  ramènent  à  l'intégration  d'un  système  canonique  com- 
portant 2  degrés  de  liberté  et  pour  faire  comprendre  l'importance 
de  ces  systèmes;  il  est  donc  inutile  de  multiplier  davantage  les 
exemples. 

Premier  théorème  de  Jacobi. 

3.  Jacobi  a  montré  que  l'intégration  des  équations  canoniques 

dxt  _  d¥  dyi  _        d¥ 

dt        dyi'  dt  dxt 

se  ramène  à  l'intégration  d'une  équation  aux  dérivées  partielles 

(2)  F(a?i,3f,,  ...  ,  xp;yuy%,  ...  ,yp)  =  hu 

où  hK  est  une  constante  arbitraire  et  où.yt,  y-2,  . . . ,  yp  sont  suppo- 
sées représenter  les  dérivées  partielles  de  la  fonction  inconnue. 
Soit,  en  effet, 

S(xh  x2,  . .  .  ,  xp\  hu  lu,  ...  ,  hp) 
une  solution  de  l'équation  (2)  contenant,   outre  la  constante  Iif, 


l4  CHAPITRE    I. 

p  —  i  constantes  d'intégration 

de  telle  façon  que  l'on  ait,  quels  que  soient  les  h 

dS      dS  dS 


F(  xhx2,  ...  ,  xp;  —  ,  -j—,  •  ■  •  ,  -j—  )  =  hl. 
\  dxi     dx2  dxpJ 

Jacobi  a  démontré  que  l'intégrale  générale  des  équations  (  î  ) 
peut  s'écrire 

dx~ryi    (t=I'2'  •••'/))' 

(3)  {  -jj-  =  h't        (i=  2,  3,   . ..  ,  p), 

dS  ,, 

dh[=t  +  h^ 

Les  ip  constantes  d'intégration  sont  alors 

hi,     Ju_,     . .  .  ,     hp, 

Il  j  ,        '2  j  }        ■  •  •    )       hp  • 

Un  autre  théorème  dont  nous  aurons  à  faire  usage  est  celui  de 
Poisson. 

Soient  U  et  V  deux  fonctions  quelconques  des  x  et  des  y.  Con- 
venons d'écrire 

L     '  Zà.  \  dxt  dyt        dyi  dxt 

Soient  maintenant  F1  et  F2  deux  intégrales  des  équations  (i). 
On  voit  immédiatement  qu'on  exprimera  que  F,  est  une  inté- 
grale des  équations  (i)  en  écrivant 

[F,F1]=o; 

F2  étant  aussi  une  intégrale,  on  aura  également 

[F,F,]  =  o. 

Poisson  a  démontré  que  l'expression  [Ft,  F2]  est  également  une 
intégrale  des  équations  (i).  C'est  ainsi  que,  dans  le  problème  des 
n  corps,  si  l'on  suppose  que  F<  et  F2  soient  les  premiers  membres 


GÉNÉRALITÉS    ET    METHODE   DE    JACOBI.  1.5 

de  la  première  et  de  la  seconde  équation  des  aires,  [F,,F2]  sera 
le  premier  membre  de  la  troisième  équation  des  aires. 

Deuxième  théorème  de  Jacobi;  changements  de  variables. 

•4.  Nous  ne  conserverons  pas  d'ordinaire  comme  variables  indé- 
pendantes les  coordonnées  rectangulaires,  et  les  composantes  des 
quantités  de  mouvement.  Nous  en  choisirons  de  mieux  appropriées 
à  notre  objet,  en  nous  efforçant  toutefois  de  conserver  aux  équa- 
tions la  forme  canonique. 

Voyons  donc  comment  on  peut  changer  de  variables  sans  altérer 
la  forme  canonique  des  équations  (i). 

Soit 

S(ri>72)  •  •  • , yP ;  hu  h2,  ... ,  h,,) 

une  fonction  quelconque  des  p  variables  y  et  des/?  variables  nou- 
velles h. 

Posons  maintenant 

.  dS  , ,        dS 

U)  Xi=dyV  hi  =  d%- 

Les  équations  (4)  seront  regardées  comme  définissant  les  rela- 
tions qui  lient  les  variables  anciennes 

yu   yu    ■■■ ,  yq 
aux  variables  nouvelles 

h\ ,       h-2  ,        .  .  .  ,        llq  , 
II  y  ,       /I2,        •  •  •  ?       "  q  • 

Jacobi  a  démontré  que,  si  l'on  fait  ce  changement  de  variables, 
les  équations  resteront  canoniques,  et  cela  quelle  que  soit  la 
fonction  S. 

Changements  de  variables  remarquables. 

5.  Sauf  un  cas  exceptionnel,  tous  les  changements  de  variables 
qui  n'altèrent  pas  la  forme  canonique  peuvent  être  déduits  du  pro- 


iG  CHAPITRE    I. 

cédé   du   n°   4.    Il   est   cependant  des  cas  où  il  est  plus  simple 
d'opérer  autrement.  Nous  en  allons  donner  deux  exemples. 
Supposons  que  l'on  ait  les  équations  canoniques 

dxi  _  dF  dn  _        dF 

^  dt        dyt'  dt  dxi 

et  que  l'on  fasse  le  changement  de  variables  suivant 


xt—  auixl  4-  a2./a?2  -+-  . . .  -+-  ctnjxn, 


Comment  doit-on  choisir  les  constantes  a  et  (3  pour  que  les  équa- 
tions restent  canoniques  quand  on  prend  comme  variables  nouvelles 
les  x\  et  les  jK;. 

Si  nous  désignons   par 

oxi,     ox2,     ...,     ùxn;     Byi}     oj2,     ••-,     °J« 

des  accroissements  virtuels  des  x  et  desjK,  que  nous  multipliions 
les  équations  (i)  respectivement  par  Sj7  et  —  ùxi,  et  que  nous  ajou- 
tions, il  viendra 

(  dxt  s  dyt  s,    \        ? 

Pour  que  les  équations  restent  canoniques  après  la  substitu- 
tion (2),  il  faut  donc  et  il  suffît  que  l'on  ait  identiquement 

c»     2(£*<-&Si2(£,w-g'*« 

Comme  les  ete;  dépendent  seulement  des  efo;-,  les  8y;  des  oyh  les 
«^/  des  tf^-,  les  ùxt  des  8^,  on  devra  avoir  identiquement 

(  4  )  2  ^j-  07/  =  S  efe?i  oj-; ,         S  dyt  lxt  =  S  c?ji  ox'i . 

Les  relations  (2)  étant  linéaires,  les  dxi  sont  liés  aux  dx],  et 
les  0.2?;  aux  Sx]  par  les  mêmes  relations  qui  lient  les  27  aux  x\.  De 
même  pour  les  dyt,  oyh  yh  dy'h  oy'h  y\. 

Les  relations  (4)  subsisteront  donc  quand  on  y  remplacera  dxi 
et  oxi  par  Xi,  et  <fj7  et  ôj/7  par  jv,  dx\  et  8^-  par  x],  etc.  On  devra 
donc  avoir 

(5)  Zxiyi  =  ^x'iy'i. 


GÉNÉRALITÉS    ET    MÉTHODE    DE    JACOBI.  17 

La  réciproque  est  vraie  et  la  relation  (o)  entraîne  les  relations 

(3)  et  (4). 

Ainsi  la  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  que  les  équa- 
tions restent  canoniques,  c'est  que  l'on  ait  identiquement 

S  xt  yt  =  ^x'ty'i. 

Quelle  est  maintenant  la  condition  pour  que  ces  équations  res- 
tent canoniques  et  qu'en  même  temps  on  ait 

V-k.i  =  h:i  ? 

Je  dirai  qu'un  changement  linéaire  de  variables,  tel  que  (2),  est 
orthogonal,  si  l'on  a  identiquement 

1.x?  =  Xx'f, 
c'est-à-dire  si  l'on  a 


2 


2  =  rt 


a/U"  =  I   '  Zj  aki*h.i=  O. 


Cette  dénomination  se  justifie  d'elle-même,  puisque,  dans  le  cas 
où  le  nombre  des  variables  est  2  ou  3,  et  où  l'on  peut  regarder  les 
x  ou  les  x  comme  les  coordonnées  d'un  point  dans  le  plan  ou 
dans  l'espace,  une  pareille  substitution  n'est  autre  chose  qu'un 
changement  rectangulaire  de  coordonnées. 

Cela  posé,  si  Von  fait  subir  aux  x  et  aux  y  une  même  substi- 
tution orthogonale,  on  aura 

z(^+7/)2-:s(^+7;.)2, 
d'où 

"Lxtyt  =  Vx'iy't. 

Les  équations  resteront  donc  canoniques. 

6.  Les  équations  resteront  encore  canoniques  si  l'on  fait  un 
changement  de  variables  portant  seulement  sur  xs  et  sur  ru  par 
exemple,  et  si  l'on  pose 

&i  =  «p  (a?'i ,  y\  ) ,        yi  =  4»  0* '1  <  7 1  )  : 
II.  P.  -  I.  2 


1 8  C  H  A  P I T  R  E    I . 

et  que  l'on  prenne  pour  variables  nouvelles  x\  et y\,  au  lieu  de  X\ 
et  de yK  ;  ces  équations  resteront  canoniques,  dis-je,  pourvu  que  le 
déterminant  fonctionnel,  ou  jacobien,  de  xK  etyt  par  rapport  à  x\ 
et  y\  soit  égal  à  i. 
Ainsi,  si  l'on  pose 


xx 


=  y/2pcosw,        jKi  =  \/2  p  sin < 


la  forme  canonique  des  équations  ne  sera  pas  altérée  et  les  va- 
riables p  et  w  seront  conjuguées  comme  l'étaient  xK  etyt. 

7.  Nous  avons  défini  plus  haut  le  changement  de  variables 

d S   _  dS  _  , , 

fyi=Xi1         dht~    u 

qui  n'altère  pas  la  forme  canonique  des  équations,  quand  S  est  une 
fonction  quelconque  des  yt  et  des  A/. 

Cette  forme  n'est  pas  altérée  non  plus  si  l'on  permute  les  xi  avec 
les  yt  et  si  l'on  change  en  même  temps  F  en  —  F. 

Si  donc  S  est  une  fonction  quelconque  de 

X\  ,      X% ,       .  .  .  ;       X p  ,       II  y  ,       h  2  ,        .  .  .  ,       Il  p 

et  si  l'on  pose 

d  S  j ,  _  dS 

yi=dx'i\         ^-dht1 

la  forme  canonique  des  équations  ne  sera  pas  altérée  quand  on 
prendra  pour  variables  nouvelles  les  ht  et  les  h'i}  et  qu'on  changera 
en  même  temps  F  en  ■ —  F. 

Elle  ne  sera  pas  altérée  non  plus  si  l'on  change 

y\,   y*,    •■•■>  yn   et    F 

en 

^/i,     ^y%,     •••:     "^y,i     et     À  F, 

\  étant  une  constante  quelconque. 

Considérons  donc  encore  une  fonction  S  des  Xi  et  des  ///,  et 

posons 

dS  ,       dS 

x^-^-'      hi=  dhS 


GÉNÉRALITÉS    ET    MÉTHODE    DE    JACOBI.  l^ 

la  forme  canonique  ne  sera  pas  altérée,  si  l'on  prend  pour  va- 
riables nouvelles  les  hi  et  les  h],  et  qu'on  change  en  même  temps 
F  en  —  AF. 

Mouvement  képlérien. 

8.  Appliquons  les  principes  qui  précèdent  au  mouvement  ké- 
plérien. 

Dans  tout  ce  qui  va  suivre,  nous  supposerons  toujours  que  les 
unités  aient  été  choisies  de  telle  sorte  que  l'attraction  des  deux 
unités  de  masse  à  l'unité  de  distance  soit  égale  à  l'unité  de  force  ou, 
en  d'autres  termes,  que  la  constante  de  Gauss  soit  égale  à  i . 

Considérons  donc  le  mouvement  d'une  masse  mobile  sous  l'ac- 
tion d'une  masse  fixe  située  à  l'origine  des  coordonnées  et  égale 
à  M.  Soient  x{,  £C2,  x%  les  coordonnées  de  la  masse  mobile,  et  jk<> 
y i-,  yz  les  composantes  de  la  vitesse;  si  nous  posons 

u      /î+71+73  _  »M 


y  OC  J      I      OC  ^      1      Ou  q 

les  équations  du  mouvement  s'écrivent 

dxt  _  d¥  dyi  _        d¥ 

dt        dj/  dt  dxi 

D'après  le  n°  3,  l'intégration  de  ces  équations  est  ramenée  à  celle 
de  l'équation  aux  dérivées  partielles 

■  /rfsy    /  ds  y    i  d§  y im        __ 

\dxij         \dx%]         \dx-zj        y/^2  _[_  xi  _|_  xï 

où  h  est  une  constante  arbitraire.  Posons 

Xi  =  r  sinw  coso,         x2  =  r  sinu»  sincp,         a?3  = /' cosw; 
l'équation  deviendra 


\  dr  /         r2  \  doj  /         r2  sin"2  co  \  <a?cp , 
On  peut  satisfaire  à  cette  équation  en  introduisant  deux  cori- 


20  CHAPITRE    1. 

stantes  arbitraires  G  et  0,  et  en  faisant 

f=8/SÎ,  (")'+**=&*, 

dm  \  ata  I  sin2  o> 

(3)  {      T  N        ' 

'dS\*      G2M  2M 

drj  r*  r 

La  fonction  S  ainsi  définie  dépendra  de  /',  co,  <p,  G,  0,  h  ou,  ce 
qui  revient  au  même,  de  xf,  x2,  X3,  G,  0,  h,  et  la  solution  géné- 
rale des  équations  (1)  s'écrira 

<:/S  ,  <r/S  dS  dS 

ri=  dx7         ^t='dii'       s  =  dG'       J  =  dé' 

h',  g  et  9  étant    trois    nouvelles   constantes  arbitraires.   Si  nous 
posons 

nous  pourrons  écrire 

dS       dS  dh       , , ,        .  M  ... 

dL-dhdL  =  ^  +  ^û  =  nih-+-t)  =  L 

Les  constantes  d'intégration  sont  alors  au  nombre  de  six,  à  savoir 
L,     G,     0,     h',     g,     6. 

Il  est  aisé  d'apercevoir  la  signification  de  ces  constantes  et  de  les 
exprimer  en  fonctions  de  celles  qui  sont  habituellement  employées. 
Si  «,  e  et  i  désignent  le  grand  axe,  l'excentricité  et  l'inclinaison,  on  ;i 

L  =  \Ja,         G  =  \J  a{\ — e-),        0  =  Gcosî. 

D'autre  part,  9  est  la  longitude  du  nœud,  g  +  Q  celle  du  péri- 
hélie, n  est  le  moyen  mouvement  et  l  n'est  autre  chose  que  l'ano- 
malie moyenne. 

Si  la  masse  mobile,  au  lieu  d'être  soumise  à  l'attraction  de  la 
masse  -M,  était  soumise  à  d'autres  forces,  nous  pourrions  néan- 
moins construire  la  fonction  S  et  définir  ensuite  six  variables  nou- 
velles 

(  L,    G,     0, 
K  (  h    g,    0, 


GÉNÉRALITÉS    ET    MÉTHODE    DE    JACOBI.  21 

en  fonction  des  xt  et  des  yi  par  les  équations 

dS  dS  dS  dS 

^  ^=^-'  dh  =  />  dG=g*         dë  =  %> 

seulement  L,  G,  0,  g  et  9  ne  seraient  plus  des  constantes. 

Nous  pouvons  nous  servir  alors  des  six  variables  (4)  pour  définir 
la  position  et  la  vitesse  de  la  masse  mobile.  Nous  donnerons  à  ces 
variables  (4)  le  nom  de  variables  képlériennes.  Il  importe  de 
remarquer  que  la  définition  de  ces  variables  képlériennes  dépend 
de  l'origine  à  laquelle  la  masse  mobile  est  rapportée  et  de  la  valeur 
choisie  pour  M. 

Si  la  masse  mobile  est  une  planète  qui  est  soumise  à  l'action 
prépondérante  de  la  masse  M  et  à  diverses  forces  perturbatrices,  on 
voit  que  ces  variables  képlériennes  ne  sont  autre  chose  que  ce  que 
les  astronomes  appellent  les  éléments  oscillateurs  de  cette  planète. 

Dans  le  cas  particulier  où  l'orbite  du  corps  mK  est  plane,  on  peut 
prendre,  comme  variables  nouvelles, 

L  =  \/a,         G  =  \/a(i  —  e~) 

avec  l'anomalie  moyenne  /  et  la  longitude  du  périhélie  g.  Les  va- 
riables képlériennes  ne  sont  plus  alors  qu'au  nombre  de  4- 

Il  importe  de  faire  quelques  remarques  au  sujet  de  l'emploi 
de  ces  variables  képlériennes  :  remarquons  d'abord  que  les  variables 

anciennes 

xu     x2,     xs;    yu    j2,    j3 

et  la  situation  du  corps  mt  ne  changent  pas  quand  on  augmente  /, 
g  ou  9  de  2  7ï,  sans  toucher  aux  autres  variables.  Ces  variables  an- 
ciennes sont  donc  des  fonctions  périodiques  de  /,  g  et  9. 
En  second  lieu,  on  doit  toujours  avoir 

L2iG2|02. 

Enfin,  si  G  =  ±  0,  les  variables  anciennes  et  la  situation  du 
corps  mK  ne  dépendent  plus  de  9;  et,  si  L  =  ±  G,  elles  ne  dépen- 
dent plus  de  g. 


CHAPITRE    I . 


Cas  particulier  du  Problème  des  trois  Corps. 

9.  Revenons  au  cas  particulier  du  Problème  des  trois  Corps  dont 
il  a  été  question  plus  haut. 

Deux  masses  égales,  la  première  à  i  —  pi,  la  seconde  à  p.,  dé- 
crivent deux  circonférences  concentriques  autour  de  leur  centre  de 
gravité  commun  supposé  fixe.  La  distance  constante  de  ces  deux 
masses  est  prise  pour  unité  de  longueur,  de  telle  façon  que  les 
rayons  des  deux  circonférences  soient  respectivement  pi  et  i  —  p., 
que  le  moyen  mouvement  soit  égal  à  l'unité. 

Supposons  maintenant  que  dans  le  plan  de  ces  deux  circonfé- 
rences se  meuve  une  troisième  masse,  infiniment  petite  et  attirée 
par  les  deux  premières. 

Nous  prendrons  pour  origine  O  le  centre  commun  des  deux 
circonférences,  et  nous  pourrons  rapporter  la  position  de  la  troi- 
sième masse,  soit  à  deux  axes  rectangulaires  fixes  Oa^  et  Ox2, 
soit  à  deux  axes  mobiles  Oç  et  Otj  définis  comme  au  n°  2.  Le 
moyen  mouvement  des  deux  premières  masses  étant  égal  à  i,  nous 
pouvons  supposer  que  l'angle  de  Oq  et  de  Ox{  (c'est-à-dire  la  lon- 
gitude de  la  masse  pi)  est  égal  à  t. 

Comme  la  constante  de  Gauss  est  supposée  égale  à  i,  la  fonction 
des  forces  se  réduit  à 

ml\L       mY(ï  —  j-0 

v  = -i-   ■ ■> 

7*1  ''2 

en  appelant  m,  la  masse  infiniment  petite  du  troisième  corps,  /'|  la 
distance  des  deux  corps  mK ,  pi,  et  /'2  la  distance  du  corps  m ,  au  corps 
de  masse  i  —  pi,  de  telle  façon  que 

r\  —  7)2  +  (£  -+-  [J.  —  i)2=  [x-i — (i  —  \x)  sint]2-+-  [&i  —  (i  —  \x)  cos/]2, 
r|  =  Tj 2 -+- (|  -+-  [Ji)'2=  [^2+  [Jt.  sin  Z]2  -i-  [a?i -4-  \x  cos^]2. 

L'équation  des  forces  vives  s'écrit  alors 

-2-±-  -h  -^ V  =  const. 

Convenons  d'appeler  —  mjR  le  premier  membre  de  cette  équa- 


GÉNÉRALITÉS    ET    MÉTHODE    DE    JACOBI.  20 

tion,  R  sera  une  fonction  de  x{,  x2,  de  j,,  jr2  et  de  t7  et  les  équa- 


rf(m,R) 


lions  du  mouvement  s'écriront 

dxi            d(miR) 

dx2 

dt                 dyi 

"dt 

dyi            d(mlR) 

dyj. 

dt                  dxi 

dt 

dyi 

d{mxR) 
dx2 

Remplaçons  les  variables  x{,  j,,  x2,  y '2  par  leurs  valeurs  en 
fonctions  des  variables  képlériennes  L,  G,  /,  g,  ainsi  qu'il  a  été  dit 
dans  le  numéro  précédent.  R  deviendra  une  fonction  de  L,  G,  /,  g 
et  t,  et  les  équations  du  mouvement  s'écriront 


«r/L        dR 

dl 

dR 

~dt  —   dl  ' 

dt 

dh 

dG_  dR 

dt        dg 

dg 

~di 

dR 

~  dG 

Ces  équations  seraient  déjà  de  la  forme  canonique  si  R  ne  dé- 
pendait que  des  quatre  variables  képlériennes,  mais  R  est  aussi 
fonction  de  t;  il  faut  donc  transformer  ces  équations,  de  façon  que 
le  temps  n'y  entre  plus  explicitement.  Pour  cela,  voyons  comment 
R  dépend  de  t. 

On  voit  aisément  que  R  peut  être  regardée  comme  une  fonction 
de  L,  G,  l  et  g  —  t.  Si,  en  effet,  on  augmente  g  et  t  d'une  même 
quantité,  sans  toucher  aux  autres  variables,  on  ne  change  ni  £,  ni  7), 
ni  r(,  ni  r2,  nijK^  -\-ylj  ni  Par  conséquent  R. 

Il  résulte  de  là  que 


Si  alors  nous  posons 


dR       dR  _ 

dt        dg 

x\ 

—  L,        x\  =  G, 

y\ 

=  l>      y'î  =  g—h 

F'=R  +  G, 

F' ne  dépendra  plus  que  de  x\,  x'.2,  y\  ety[2,  et  les  équations  du 
mouvement,  qui  s'écriront 


(I)                *Li 

w                                       dt 

d¥' 

~  ~dy'i 

dy't  _ 

dt 

d¥' 

dx\ 

seront  canoniques. 

24  CHAPITRE    I. 

C'est  sous  cette  forme  que  nous  écrirons  ordinairement  les  équa- 
tions de  ce  problème. 

Lorsque  la  masse  p.  est  supposée  nulle,  la  masse  i  —  <j.  devient 

égale  à  i  et  est  ramenée  à  l'origine;  r2  se  réduit  à  \jx'\  +  x\:\&  fonc- 
tion des  forces  V  se  réduit  à  — -  >  et  l'on  trouve 

'•2 

ia       a.L-        ixf 
et 

F  =   -L;  +  x\  . 

Quand  ijl  n'est  pas  nul,  on  voit  immédiatement  que  F'  peut  se 
développer  suivant  les  puissances  croissantes  de  p.,  ce  qui  nous 
permet  d'écrire 

F'=F0+(xF1-+-  .... 
On  voit  que 

F0=  — m  -t-  a-, 

2Xi- 

est  indépendant  de  y\  et  dejKo- 

De  plus,  Ft  dépendra  à  la  fois  des  quatre  variables;  mais  celte 
fonction  sera  périodique  par  rapport  ky\  et y2,  et  elle  ne  changera 
pas  quand  l'une  de  ces  deux  variables  augmentera  de  2tï. 

Observons  enfin  que,  si  x\  =  -Jr  x'2,  l'excentricité  est  nulle  et  le 
mouvement  direct,   et  que  F,   ne    dépend  plus  alors  que  de   x\, 

x'-2  ety\  +y2- 

,    Au  contraire,   si  œ'{  =  —  x'2,  l'excentricité   est   nulle,    mais   le 
mouvement  rétrograde,   et  F(   ne  dépend  plus  que  de  x\,  x'2  et 

y  \    y-v 

Emploi  des  variables  képlériennes. 

10.  Soient  x^x2 ,  x3  les  coordonnées  rectangulaires  d'un  point-, 
yi,  y ti  y  s  les  composantes  de  sa  vitesse  ;  m  sa  masse.  Soit  Vm  la 
fonction  des  forces,  de  sorte  que  les  composantes  de  la  force  appli- 
quée au  point  soient 

dX  dX  dX 

ni  - — ,      m  -y—  ;     m  -. — 
dxi  dx%  dxs 


GÉNÉRALITÉS    ET    METHODE    DE    JACOBI.  25 

Si  nous  posons 

les  équations  du  mouvement  du  point  prendront  la  forme  canonique 

dxt  _  dF  dyt  _        dF 

dt        dyi  dt  dxi 

Nous  avons  défini  au  n°  8  une  certaine  fonction 

S(#i,  #2)  ^3,  G,  0,  L). 

Nous  avons  vu  que,  si  l'on  fait  le  changement  de  variables  défini 
par  les  équations 

dS  dS   _  dS  _  .  dS  _  , 

~dx~i=yu         d&~g'         de  ~    '  dL  ~    ' 

les  variables  nouvelles  ne  sont  autre  chose  que  les  variables  képlé- 
riennes  que  nous  venons  de  définir. 

En  vertu  du  théorème  du  n°  7,  les  équations  conserveront  la 
forme  canonique  et  s'écriront 


dL  _ 
dt  ~ 

dF 
'  "dl' 

dG 

~di  ~ 

dF 
dg7 

d@ 
~di 

dF 
a». 

dl 

dt  ~ 

d¥ 
dL' 

dg_  _ 
dt 

dF 
dG' 

dft 
dt  ~ 

dF 
d& 

11  peut  arriver  que,  la  force  restant  constammment  dans  le  plan 
des  x{x%,  il  en  soit  de  même  du  point  mobile. 
Dans  ce  cas  on  aura  constamment 

G  =  0, 

et  la  fonction  F  dépendra  seulement  de  G,  L,  l  et  de  la  longitude 
du  périhélie  g  +  9  =  vs  ;  on  aura 

dF  _dF       clF 
dg        dû         djn 

Nous  poserons,  pour  conserver  la  symétrie, 

G  =  0  =  n, 


26  CHAPITRE    I. 


le  nombre  des  variables  képlériennes  sera  réduit  de  six.  à  quatre,  à 
savoir  II,  L,  rn  et  /,  et  les  équations  deviennent 


dh 

dF 

dU            dF 

dt  " 

dl  ' 

dt             dm 

dl 

dF 

dm            dF 

dt  ~ 

IV 

dt  ~        dU 

Cas  général  du  Problème  des  trois  Corps. 

11.  Venons  au  cas  général  du  Problème  des  trois  Corps:  soient 
ABC  le  triangle  formé  par  les  trois  corps;  a,  b,  c  les  côtés  de  ce 
triangle;  ms,  m%,  ms  les  masses  des  trois  corps. 

La  fonction  des  forces  s'écrit  alors 

m2m3        m^m!        m^m^ 
abc 

Nous  appellerons  la  fonction  des  forces  Vjx,  ]x  désignant  une  con- 
stante quelconque  que  nous  nous  réservons  de  déterminer  plus 
complètement  dans  la  suite. 

Je  supposerai  que  le  centre  de  gravité  du  système  des  trois  corps 
est  fixe  et  j'appellerai  D  le  centre  de  gravité  du  système  des  deux 
corps  A  et  B. 

Je  considérerai  deux  systèmes  d'axes  mobiles  : 

Le  premier  système,  toujours  parallèle  aux  axes  fixes,  aura  son 
origine  en  A. 

Le  second  système,  également  parallèle  aux  axes  fixes,  aura  son 
origine  en  D. 

J'appellerai  X\,  x2,  x%  les  coordonnées  du  point  B  par  rapport 
aux  premiers  axes  mobiles  ;  œ,n  x5  etœG  les  coordonnées  du  point  C 
par  rapport  au  second  système  d'axes  mobiles. 

La  force  vive  totale  aura  alors  pour  expression 

m^nii     I dx\        dx\        dx\  \         (nij  -I-  m^)  m3   I dx\        dx\        dx\  \ 
mx  -+-  m%  \~dt*  +  dl*  +  ~d&  )  +  ?nY  -+-  m2  -+-  m3  \dl*  +  dF  +  ~dt*  ) 

[voir  Tisserand,  Mécanique  céleste,  Chap.  IV). 


GENERALITES    ET    METHODE    DE    JACOBI. 

Si  alors  nous  posons 


Pf*  = 

771, 

m  2 

t 

P>  = 

m\  -+-  7?i2  - 

)™3 

Ml- 

H  m2 

+-/W3 

F 

T 

-V  = 

r?  +7l  - 

»P 

-r!  + 

ri 

+rl 

yi  = 

n.   dx1 
'    P      dt 

7 

J2  = 

„  dx<> 

? 

73  = 

=  p^3 

-v, 


les  équations  prendront  la  forme  canonique 

dxt        d¥  dyt  _        d¥ 

dt        dyt  dt  dxt 

Reprenons  la  fonction 

S(a?l5  x2,  x3;  L,  G,  0), 

définie  par  les  équations  (4)  du  n°  8. 
Construisons-la  d'abord  en  faisant 

M  —  77li  -t-  771*  • 

Posons  ensuite 

dS        .  dS  dS        „ 

<I}  2L=i'         2G=*         ^0=°- 

Construisons  ensuite  cette  même  fonction  S  en  faisant 

M  =  m1-\-  77i%-+-  m3: 
appelons 

S'(a?4,  x$,  x6;  L',  G',  0') 

la  fonction  ainsi  construite  et  posons 

<»>     ■        §■  =  l'< 

Soit  ensuite 


Les  dérivées  de  S  par  rapport  à  L,  G,  ©,  L',  G',  ©'seront  respec- 
tivement (3/,  $g,  (30;  (37',  [â'g-',  £'©'. 


rfS' 

rfG'  _  ^  ' 

rfS' 
d0' 

s  =  ps  +  p's\ 

28  CHAPITRE    I. 

Si  nous  posons  de  plus 

(3)  "=25' 

les  équations  (i),  (2)  et  (3)  définiront  les  douze  variables  an- 
ciennes .2?  et  y  en  fonctions  de  douze  variables  nouvelles,  que  je  ré- 
partirai en  deux  séries  de  la  manière  suivante: 


(4) 


PL,    pc,    pe,    p'L',    p'G',    p'0\ 


Le  théorème  des  nos  4  et  7  montre  alors  que  la  forme  canonique 
des  équations  n'est  pas  altérée. 

Il  est  aisé  de  se  rendre  compte  de  la  signification  de  ces  varia- 
bles nouvelles. 

Tout  se  passe  comme  si  deux  masses,  égales  respectivement  à  (3u 
et  à  (3' [/.,  avaient  pour  coordonnées  par  rapport  à  des  axes  fixes,  la 
première  X\,  x-2,  x3:  la  seconde  x/t,  xs,  x6  et  comme  si  ces  deux 
masses  fictives  étaient  soumises  à  des  forces  admettant  la  fonction 
des  forces  Vu. 

Si  alors,  à  un  instant  quelconque,  les  forces  appliquées  à  la  pre- 
mière masse  fictive  venaient  à  disparaître,  et  qu'elles  soient  rempla- 
cées par  l'attraction  d'une  masse  m{  +  ra2  placée  à  l'origine,  cette 
masse  se  mouvrait  suivant  les  lois  de  Kepler  et  les  éléments  de  ce 
mouvement  képlérien  seraient  L,  G,  0,  /,  g  et  9. 

De  même,  si  la  seconde  masse  fictive  n'était  plus  soumise  qu'à 
l'attraction  d'une  masse  fixe  tnt  -j-  m2  -H  m3  placée  à  l'origine,  les 
éléments  du  mouvement  képlérien  qu'elle  prendrait  alors  seraient 
L/,  G',  0',  ï,  g'  et  9'. 

Observons  que  F  ne  dépend  pas  seulement  des  variables  (4), 
mais  de  mi}  m2,  m3  et  de  u. 

En  général,  m%  etm3  seront  très  petits,  de  sorte  qu'on  pourra  poser 

m±  =  a2  (-«.,         m3  =  a3  \±, 

en  regardant  u  comme  petit,  et  conservant  le  plus  souvent  à  a2,  a3, 
(3  et  (3'  des  valeurs  finies  ;  F,  qui  pourra  alors  être  regardé  comme 
une  fonction  des  variables  (4)  de  jii{,  a2,  a3  et  de  u,  pourra  alors 
avec  avantage  être  développé  suivant  des  puissances  croissantes  de  u 

F  =  F0+F,lh-.... 


GÉNÉRALITÉS    ET    MÉTHODE    DE    JACOBI.  29 

Si  l'on  fait  ^.  =  o,  il  vient 

OC 

et 

^3  p'3  a3  g3 


F  =  F„  = 


2(PL)2  ^  2(fL')3  2(pL)2  ^  2(j3'L')2' 


F  ne  dépend  plus  alors  d'aucune  des  variables  de  la  seconde  série 
/,  g,  9,  l',  g',  9';  j'ajouterai  que,  quel  que  soit  [a,  F  est  une  fonc- 
tion périodique  de  période  27c  par  rapport  à  ces  variables  de  la  se- 
conde série. 

Disons  quelques  mots  de  certains  cas  particuliers.  Si  les  trois 
corps  restent  constamment  dans  le  plan  des  x{ ,  x2  ,  on  aura  G  =  8, 
G' =  6'  et  F  ne  dépendra  que  de  g  -+-  9  et  g' -h  9',  de  sorte  qu'on 
n'aura  plus  que  quatre  couples  de  variables  conjuguées 

pL,    pG  =  pe  =  pn,    p'L',    p'G'=  p'e'=  p'n', 

ainsi  qu'il  a  été  dit  au  n°  10. 

12.  Reprenons  la  notation  du  n°  11  et  les  équations  de  ce  nu- 
méro. Je  vais  mettre  ces  équations  sous  une  forme  nouvelle  qui  me 
sera  utile  dans  la  suite. 

Considérons  d'abord  le  cas  particulier  où  les  inclinaisons  sont 
nulles  et  où  les  trois  corps  se  meuvent  dans  un  même  plan. 

Posons 


11  vient 


pL=A, 
P'L'=  A', 


p  n  =  a  —  h, 

l  -+-  to  =  X, 

7TF    = 

—  K 

p'n'=  a'  — H', 

r+Tn'  =  y, 

Bï'  = 

—  h'. 

dk 

dF 

dF 

dF  dh 

dF 

dF 

dt 

rf(PL) 

d(pn)  " 

dX  dt 

~  rf(pn)  ~ 

dU 

dk       d¥ 

dF 

dH        dF 

dF       dF 

dt         dl 

~  dl' 

dt  ~   dl 

dxs        dh 

On  voit  ainsi  que  les  nouvelles  variables  A,  H,  A',  H',  À,  h,  //, 
h'  sont  encore  conjuguées  et  par  conséquent  que  le  changement  de 
variables  (1)  n'altère  pas  la  forme  canonique  des  équations. 


ûO  CHAPITRE    I. 

Venons  maintenant  au  cas  général  et  reprenons  les  notations  du 
n°  11. 
Posons 

pL=A,        pg=a—  n,       pe=A  —  H  —  z, 

,  p'L'=A',         P'G'=A'—  H',         P'e'=A'—  H'—  Z', 
j  1  =  1 -h  ^+6,  h=  —  g  —  Q,  Ç=  —  6, 

[  X' =/'+£-' h- 8',         A'  =  —  £-'  —  8',         Ç'  =  —  8'. 

On  vérifierait,  comme  ci-dessus,  que  ce  changement  de  variables 
(2)  n'altère  pas  la  forme  canonique  des  équations. 

Cette  forme  canonique  ne  sera  pas  altérée  non  plus,  d'après  la 
remarque  du  n°  6,  si  nous  faisons 

\AH  cos/j  =  £,  /îH  s'mh  =  rn 

.  /2H'  cos h' =  £',         V'^H'sin A'=  r/, 

i/ô/Z   cos  Ç  =  /?,         \AZ  sinÇ  =  <7, 


yAZ'  cos  £'  =  //,         y^Z' 


sinÇ  =  g 


Les  équations  restent  canoniques  et  les  deux  séries  de  variables 
conjuguées  sont  les  suivantes  : 

,,,  (A,     A',     \,     Ç',    p,    p\ 

(   A,     X  ,     7],    7]  ,     g,     g  . 

Voici  quel  avantage  peut  avoir  le  choix  des  variables  (4)- 
La  fonction  F,  exprimée  à  l'aide  de  ces  variables,  est  dévelop- 
pabletant  suivant  les  puissances  de  £,  £',  rj,  •/)',  /?,  //,  çr,  ^'  que  sui- 
vant les  cosinus  et  sinus  des  multiples  deX  et  de  V,  les  coefficients 
dépendant  d'ailleurs  d'une  manière  quelconque  de  A  et  de  A'. 
En  effet,  d'après  les  définitions  des  variables  précédentes,  on  a 

H  =  a(i—  v/i  —  e1-),         Z  =  pG(i  — cosi); 

on  déduit  de  là  : 

i°  Que  H  est  développable  suivant  les  puissances  de  e2,  le  pre- 
mier terme  du  développement  étant  un  terme  en  e-  ; 

20  Que  e-  est  développable  suivant  les  puissances  de  H,  le  pre- 
mier terme  étant  en  H; 

3U  Que  — r  est  développable  suivant  les  puissances  de  H; 


GÉNÉRALITÉS    ET    MÉTHODE    DE    J.VCOBI.  3l 

4°  Que  de  même  i2  est  développable  suivant  les  puissances  de 


z  z 

PG  —  A- H* 

5°  Que  —  est  développable  suivant  les  puissances  de ^  et 

par  conséquent  suivant  les  jouissances  de  Z  et  de  H. 
Or  on  a 

e  e  cos /?  /a        esinh\/i  i     _  icosÇy/'-2  _  isinÇyA 

y/H  ~  \  'q  y/z  ~         p  q 

Donc  ecos/ï,  esin/i,  zcosÇ,  î'sinÇ  sont  développables  suivant 
les  puissances  de  £,  7],  p  et  ^;  de  même  e'cosh',  e'sin/j',  ï'cosÇ', 
i'sinÇ'  sont  développables  suivant  les  puissances  de  Ç',  V'/>'  et  5r- 

Mais  la  forme  du  développement  de  la  fonction  perturbatrice  est 
bien  connue. 

Elle  est  développable  suivant  les  puissances  croissantes  des  ex- 
centricités et  des  inclinaisons  et  suivant  les  cosinus  des  multiples 
de  X,  à',  h,  h',  Ç  et  Ç',  et  un  terme  quelconque  du  développement 
est  de  la  forme  suivante  (Tisserand,  Mécanique  céleste,  t.  I, 
p.  3o7) 

N eV* e' V-i iV* i'V-e  cos(miA  -+-  m2X'-j-  m3h  +  m4A'+  m5Ç  -+-  /?is?'), 

les  p.;  étant  des  entiers  positifs  ou  nuls  et  les  mt  des  entiers  quel- 
conques. On  a  d'ailleurs 

[i.j-=  [  m;  |-f-  un  nombre  pair 
et,  d'autre  part, 

m\ ~  m<>  =  m3H-  n%it-\-  m$ -+-  »?fi. 

On  peut  conclure  de  là  que  la  fonction  perturbatrice  est  déve- 
loppable suivant  les  puissances  de 

e  cos  h  ,     e  sin/i ,     i  cosÇ  ,     i  sinÇ  , 
e'cosh',     e's'mh',     i'cosÇ,     i'sin'Ç, 

et,  par  conséquent,  suivant  les  puissances  de 

(5)  É,     S',     v),     ï)',    /?,    /?',     7,     y.'. 


32  CHAPITRE    I. 

Je  puis  observer  de  plus  que  le  développement  de 

ecosh       es'mh        icosZ,        t'sinÇ 

— v —  5     ?      5     ■ }      •  •  • 

ne  contient  que  des  puissances  paires  des  variables  (5);  j'en  con- 
clurai que  le  développement  de  F  sera  de  la  forme  suivante 

(6)  V  N^ïjVa^'ii^'^h^yn^'Ve    _     (miX  +  m^X'), 

N  étant  un  coefficient  qui  dépend  seulement  de  A  et  A'. 

Les  nombres  [j.;,  V;  sont  des  entiers  positifs  ou  nuls,  dont  la  somme 

P-3  +  V3  4-  P-4  +  V4  -i-  [_l5  -h  V5  -f-  [_l6  -+-  V6 

est  égale  à  |  mt  +  m2  |  +  un  nombre  pair  positif  ou  nul. 

J'ai  laissé  subsister  dans  l'expression  (6)  le  double  signe  cos  ou 
sin  ;  on  doit  prendre  le  cosinus  q\iand  la  somme 

V3  -+-  V4 .  -+-  Vg  -t-  V6 

est  paire,  et  le  sinus  dans  le  cas  contraire. 

Il  résulte  de  là  que  la  fonction  F  ne  change  pas  quand  on  change 
à  la  fois  le  signe  des  X,  des  tj  et  des  q;  et  qu'elle  ne  change  pas  non 
plus  quand  on  change  \  et  V  en  "k  +  tî  et  V -\-  tt,  et  qu'en  même 
temps  l'on  change  les  signes  des  £,  des  tj,  des  p  et  des  q. 

La  fonction  F  jouit  d'une  autre  propriété  sur  laquelle  il  est 
nécessaire  d'attirer  l'attention  ;  elle  ne  change  pas  quand  on  change 
à  la  fois  le  signe  de/>,  q,  p'  et  q'. 

Problème  général  de  la  Dynamique. 

13.  Nous  sommes  donc  conduit  à  nous  proposer  le  problème 
suivant  : 

Etudier  les  équations  canoniques 

dxt  _  d¥  dyi  _        d¥ 

dt        dyi  '  dt  dxt 

en  supposant  que  la  fonction  F  peut  se  développer  suivant  les 
puissances  d'un  paramètre  très  petit  y*  de  la  manière  suivante  : 

F=F0  +  txF1  +  [ji2F2+  ..., 


GÉNÉRALITÉS    ET    MÉTHODE    DE    JACOBl.  33 

en  supposant  de  plus  que  F0  ne  dépend  que  des  x  et  est  indépen- 
dant des  y\  et  que  F,,  F2,  . . .  sont  des  fonctions  périodiques  de 
période  2'tï  par  rapport  aux  y. 


Réduction  des  équations  canoniques. 

14.  Nous  avons  vu  que  l'intégration  des  équations  (i)  du  numéro 
précédent  peut  se  ramener  à  l'intégration  d'une  équation  aux  déri- 
vées partielles 

„  /  dS      dS  dS  \ 

^      F^^.->^s;'^  -••>^;  =  const- 

Imaginons  que  l'on  connaisse  une  intégrale  des  équations  (i)  et 
que  cette  intégrale  s'écrive 

Fi(xlfxt,  ...  ,  xp;  yi,y±,  ■  ■  ■  ,  yP)  =  const.; 

cela  veut  dire  que  l'on  aura  identiquement 

(3)  [F,F1]=o. 

Je  me  propose  de  démontrer  que  la  connaissance  de  cette 
intégrale  permet  d'abaisser  d'une  unité  le  nombre  des  degrés  de 
liberté. 

En  effet,  l'équation  (3)  signifie  qu'il  existe  une  infinité  de  fonc- 
tions S  satisfaisant  à  la  fois  à  l'équation  (2)  et  à  l'équation 

dS      dS  dS  \ 

,,  — — ,  — — ,    •  •  •  ,  -j—  I  =  const. 

Cela  posé,  entre  les  équations  (2)  et  (4)  éliminons  -3 — ,  il 
viendra 

.  _ .  ,   /  dS      dS  dS  \ 

(5)  ^  [xhXz,    ...,   Xp)   -y—,    -j—,     •  •  •  ;     -y-    )    =0. 

\  CLOC<£       CLOC%  (XX  n  I 

Dans  l'équation  (5),  -=—  n'entre  pas  ;   rien  n'empêche  alors  de 

regarder  xK  non  plus  comme  variable,  mais  comme  un  paramètre 
arbitraire;  l'équation  (5)  devient  alors  une  équation  aux  dérivées 
partielles  à  p  —  1  variables  indépendantes  seulement. 

H.  P.  —  I.  3 


34  CHAPITRE    I. 

Le  problème  se  ramène  ainsi  à  l'intégration  des  équations 

dx-L        d<&  dyi  d<$> 

— =--  =  -=—  )  -~  = j—  (i  =  2.  3 o  ), 

qui  sont  des  équations  canoniques  ne  comportant  plus  que  p  —  i 
degrés  de  liberté. 

Ainsi,  si,  en  général,  on  connaît  une  intégrale  d'un  système 
d'équations  différentielles,  on  pourra  abaisser  l'ordre  du  système 
d'une  unité;  mais,  si  ce  système  est  canonique,  on  pourra  en  abais- 
ser l'ordre  de  deux  unités. 

Prenons  pour  exemple  le  problème  du  mouvement  d'un  corps 
pesant  suspendu  à  un  point  fixe  ;  nous  avons  vu  que  ce  problème 
comporte  3  degrés  de  liberté;  mais  on  connaît  une  intégrale 
qui  est  celle  des  aires  ;  le  nombre  des  degrés  de  liberté  peut  donc 
être  abaissé  à  i. 

Ou'arrive-t-il  maintenant  lorsqu'on  connaît,  non  plus  une  seule, 

mais  q  intégrales  des  équations  (i)? 

Soient 

Fi,     F,,     ...,     Fq 

ces  q  intégrales,  de  sorte  que 

[F,F1]  =  [FlF,]  =  ...=[FJF,]=o. 

Peut-on,  à  l'aide  de  ces  intégrales,  abaisser  de  q  unités  le  nombre 
des  degrés  de  liberté  ?  Cela  n'aura  pas  lieu  en  général  ;  il  faut  pour 
cela  que  les  q  -h  i  équations  aux  dérivées  partielles 

(6)  F  =  const.,  Fj  =  const.,  F2  =  const.,  ...,  ¥q  —  const. 
soient  compatibles;  ce  qui  exige  les  conditions 

(7)  [F/,F*]=o        (i,k=  1,2,   ....  q). 

Si  les  conditions  (7)  sont  remplies,  on  éliminera  entre  les  équa- 
tions (6) 

dS_        dS_  dS_ 

dxi        dx2  dxq 

et  l'on  arrivera  à  une  équation  aux  dérivées  partielles  <ï>  =  o,  où 
ces  q   dérivées  n'entreront  plus   et   que  l'on    pourra    considérer 


GÉNÉRALITÉS    ET    MÉTHODE    DE    JACOBI.  35 

comme  dépendant  seulement  des  p  —  q  variables  indépendantes 
tandis  que  les  q  premières  variables 

seront  regardées  comme  des  paramètres  arbitraires. 

On  sera  ainsi  conduit  à  un  système  réduit  d'équations  cano- 
niques ne  comportant  plus  que  p  —  q  degrés  de  liberté. 

Reprenons,  par  exemple,  le  Problème  des  trois  Corps  en  con- 
servant les  notations  du  commencement  du  n°  2.  Nous  avons  vu 
que  le  nombre  des  degrés  de  liberté  est  égal  à  9. 

Mais  nous  avons  les  trois  premières  intégrales  du  mouvement 
du  centre  de  gravité  qui  peuvent  s'écrire 

j   Ft  =y1-+-yk'->ry1  =  const., 
(8)  J  F2  =  JK2-+-J5-+-JK8  =  const., 

(   F3  =  yz  h- jkc  -f- y9  =  const. 

Il  est  aisé  de  vérifier  que 

[F2,F3]  =  [F3,F1]  =  [F1,F2]  =  o. 

Le  nombre  des  degrés  de  liberté  peut  donc  être  abaissé  à  6. 

Si  l'on  se  borne  au  cas  du  Problème  des  trois  Corps  dans  le 
plan,  le  nombre  primitif  des  degrés  de  liberté  n'est  plus  que  de  6. 
Mais  il  n'y  a  plus  que  deux  analogues  à  8.  Après  la  réduction,  il 
y  aura  donc  seulement  4  degrés  de  liberté. 

Imaginons  maintenant  que  l'on  connaisse,  outre  les  q  inté- 
grales Ff,  F2,  .  .  .  ,  F^,  une  autre  intégrale  Fq+i  ;  pourra-t-on  en 
déduire  une  intégrale  du  système  réduit?  Cette  question  peut 
s'énoncer  autrement. 

On  connaît  une  équation  aux  dérivées  partielles 

F?+1  =  const. 
compatible  avec  l'équation 

F  =  const.; 


36  CHAPITRE    I. 

sera-t-elle  encore  compatible  avec  le  système 

(6)  F  =  const.,         Fj  =  const.,         ...,         Fq  =  const.? 

On  voit  tout  de  suite  que  la  condition  nécessaire  et  suffisante 
pour  qu'il  en  soit  ainsi,  c'est  que  Ton  ait 

[F,  Fq+1]  =  [F2,  ¥q+1]  =  ...  =  [Fq,  Fq+1]  =  o. 

Revenons,  par  exemple,  au  Problème  des  trois  Corps  et  consi- 
dérons les  trois  intégrales  des  aires 

/   F4  =  x-2 yz  —  x3jç>  -+-a?3j6  —  oc6ys  -f-^gjKg  —  x^y&  =  const., 

(9)        j    F3  =  ^3JKl— ^lJK3-+-^6j4— ^4jB+^9jK7  —  ^7  79   =   COnSt., 

(  F6  =  a?ijK2  —  ^271  -+-3747-5  —  075j4  -r-a;7jK8  —  ■Z'sJ-  =  const. 

Il  est  aisé  de  vérifier  que  l'on  a 

[Fj/F*]  =  o,  [F2,  F4]  =  +  F„         [F„  F*]  =  -  F,  , 

[Fl5  F,]  =-  F„         [F2,  FB]  =  o,  [F3.  F5]  =  -+-  F,, 

[F„  F6]  =  +  F2,         [Fj,  F6]  =  -  Flf         [F3,  F,]  =  o. 

On  ne  diminue  pas  la  généralité  du  problème  en  supposant 
que  le  centre  de  gravité  est  fixe,  c'est-à-dire  que  les  constantes 
qui  entrent  dans  les  derniers  membres  des  équations  (8)  sont 
toutes  trois  nulles. 

On  aura  alors 

Ft  =  F2  =  F3  =  o 
et,  par  conséquent, 

[F,-,  F/,]  =0         (*-=  1,  9.,  3;  £-4,5,6), 

ce  qui  montre  que  les  intégrales  des  aires  sont  encore  des  inté- 
grales du  système  réduit. 

Pour  terminer,  je  vais  chercher  à  réduire  autant  que  possible 
le  nombre  des  degrés  de  liberté  dans  le  Problème  des  trois  Corps, 
en  tenant  compte  à  la  fois  des  intégrales  du  centre  de  gravité  et 
de  celles  des  aires. 

Dans  le  cas  particulier  où  les  trois  corps  se  meuvent  dans  un 
plan,  nous  avons  vu  que  le  nombre  des  degrés  de  liberté  pouvait 
être  ramené  à  4>  en  tenant  compte  des  équations  (8).  Le  problème 


GÉNÉRALITÉS    ET    MÉTHODE    DE    JACOBI.  37 

ainsi  réduit  comporte  encore  une  intégrale  qui  est  celle  des  aires, 
ce  qui  permet  de  réduire  à  3  le  nombre  des  degrés  de  liberté. 
Dans  le  cas  général,  il  est  aisé  de  voir  que  l'on  a 

[F4,  F5]  =  F6,         [F„  F6]  =  F4,         [F.,  F4]  =  F5. 

Les  trois  crochets  n'étant  pas  nuls,  la  connaissance  des  trois  inté- 
grales des  aires  ne  permet  pas  de  réduire  de  3  le  nombre  des  degrés 
de  liberté. 

Mais  il  est  aisé  de  voir  que  toutes  les  fois  qu'un  système  cano- 
nique admettra  trois  intégrales 

F4,     F8,     F6, 

il  sera  toujours  possible  de  trouver  deux  combinaisons  de  ces 
intégrales 

?(F*,  F5)F6), 
<KF4,  F5,  F6), 
telles  que 

[?,+]  -°- 

ce  qui  permettra  de  réduire  de  deux  unités  le  nombre  des  degrés 
de  liberté. 

Dans  le  cas  qui  nous  occupe,  ces  combinaisons  s'aperçoivent 
immédiatement;  il  suffira  de  prendre  F4  et 

cp  =  F£+Fl  +  F§. 
On  aura  alors  identiquement 

Il  n'y  aura  plus  ainsi,  toute  réduction  faite,  que  4  degrés  de 
liberté. 

Si  l'on  se  rappelle  qu'un  système  canonique  comportant/?  degrés 
de  liberté  peut  être  ramené  à  l'ordre  ip  —  2,  on  devra  conclure 
que  le  Problème  des  trois  Corps  dans  le  cas  général  comporte  4  de- 
grés de  liberté  et  peut  être  ramené  au  sixième  ordre. 

Dans  le  cas  du  mouvement  plan,  il  comporte  3  degrés  de  liberté 
et  peut  être  ramené  au  quatrième  ordre. 

Dans  le  cas  particulier  du  n°  9,  il  comporte  2  degrés  de  liberté, 
et  peut  être  ramené  au  second  ordre. 


38  CHAPITRE    I. 


Réduction  du  Problème  des  trois  Corps. 

15.   Il  s'agit  de  faire  effectivement  cette  réduction. 

Envisageons  d'abord  le  cas  où  les  trois  corps  se  meuvent  dans 
un  même  plan.  Nous  avons  vu  que  le  nombre  des  degrés  de  liberté 
pouvait  alors  être  réduit  à  3.  Cherchons  à  opérer  effectivement 
cette  réduction. 

Nous  avons  vu  que  les  équations  du  mouvement  pouvaient 
s'écrire 


dL            dF 

dll 

dF 

dL' 

dF 

dÏÏ 

dF 

dl  "        fdî' 

dt 

fidm7 

dt 

$'dl'' 

dt 

[i'dm' 

dl            dF 
dt  ~        $dL' 

dm 
~di  ~ 

dF 

~  pn' 

dl' 

~dt  ~ 

dF 
pdL'' 

dm' 
~dt=~ 

dF 

On  a  d'ailleurs 

dF        dF 


d'où  l'intégrale  des  aires 


dm    '    dm'  ' 


pn+  p'n'  =  c. 


G  étant  une  constante. 
Posons 

pn  =  H,         P'n'=C  —  H,        m  —  m'  =  h, 

d'où  (si  l'on  remplace  II  et  II'  par  leurs  valeurs  en  fonction  de  C 
et  de  H) 

dF  _    _dF_  dF  dF  _  dF  _    _  dF 

(l'  ~M  ~  fidll  ~~  p^îf'  dh~  d^~~~  ~dm'J 

et  les  équations  du  mouvement  deviendront 


«*(PI0 

dF 

rf(P'L') 

dF 

dH 

d¥ 

dt 

dV 

dt 

dl1' 

dt 

dh 

dl 

dF 

dl' 

dF 

dh 

dF 

dt  ~ 

rf(PL)' 

dt  ~ 

rf(P'L')' 

dt 

du 

11  n'y  a  plus  que  3    degrés  de  liberté. 


GÉNÉRALITÉS    ET    MÉTHODE    DE    JACOBI.  09 

16.   Passons  au  cas  général  où  le  nombre  des  degrés  de  liberté 
doit  être  réduit  à  4-  Les  équations  s'écrivent  alors 


en, 

dF 

dG  _ 

d¥ 

dQ            dF 

dt  ~ 

$dV 

dt  — 

Ws' 

dt  ~       p^b 

dh' 

dF 

dG' 

dF 

dQ'            dF 

~dt~ 

$'dl'' 

dt 

$d'g" 

~dt   ~      pW 

dl  _ 

d¥ 

dg  __ 

dF 

d%             dF 

dt  ~ 

~  JdV 

dt 

~'pG' 

dt~~  Jd® 

dl' 

dF 

dg' 

dF 

dW             dF 

dl  ~ 

$'dL'' 

dt  ~ 

fi'dG'' 

dt  ~        '$'d& 

On  a  d'ailleurs  les  trois  intégrales  des  aires  qui,  si  l'on  prend 
comme  premier  plan  de  coordonnées  le  plan  du  maximum  des 
aires,  s'écrivent 

p0^p'0'=C,         8  =  6', 
p(G2  —  02)  =  p#a(G'«  —  0'2)- 
On  a  d'ailleurs 

^f  ;  ^f  _ 

~d~%~^  dV  ~°' 

ce  qui  montre  que  F  ne  dépend  de  9  et  de  8'  que  par  leur  diffé- 
rence 8  —  0';  mais,  comme  cette  différence  est  nulle,  en  vertu  des 
intégrales  des  aires,  F  peut  être  regardée  comme  ne  dépendant 
plus  ni  de  8  ni  de  8'. 


On  trouve  également 


-6', 


dQ        dW 

dt        dt 

d'où 

(a) 

dF           dF 
Wd&  ~~  fd&'  ' 

Posons  maintenant 

(  G  =  r, 

G'  =  r' , 

(.3)                         d'où 

(     p0+p'0': 

=  c,       p2r*  —  p'2r'2  =  G(p0- 

-P'e') 

et 

G       B'-T2 
(4)       Pe=^  +  Lr. 

p,,r,t                  G      rr,2 

2G    '           ^°  -   2    '      2G 

p-2r2 

■i  G 

4o  CHAPITRE     I. 

d'où 

CJ]L  -  dF  dG  ^  dF  de  ^  dF  d& 
dT   ~  dG  df  "^  dû  dT  +  rfë7  dT 
ou 

«?f  _  ^f      dF  pr      dF  p«r 

rfr  -  rfG  +  5ë   G"  ""  d&  p'G 
ou  enfin,  en  vertu  de  l'équation  (2), 


et  de 


La  constante  des  aires  C  peut  être  regardée  comme  une  donnée 
de  la  question. 

Si  donc  dans  F  on  remplace  G,  G',  @  et  Sr  par  leurs  valeurs  (3) 
et  (4),  F  ne  dépend  plus  que  de  L,  L/,  /,  l r,  g,  g\  T  et  T',  et  les 
équations  du  mouvement  peuvent  s'écrire 


dF 

dF 

dT 

~  dG 

dF 

dF 

dT' 

~  dG' 

dh 

dF 

dT 

dF 

dV 

dF 

dT' 

dF 

dt 

JdV 

dt 

îdg9 

dt 

$'dV'* 

dt 

Vdg' 

dl 

dF 

dg 

dF 

dl' 

dF 

dg' 

dF 

dt 

ÇdC 

dt 

~  pr' 

dt 

P'dL" 

dt 

p'dT' 

et  il  n'y  a  plus  que  4  degrés  de  liberté. 

Forme  de  la  fonction  perturbatrice. 

17.  Tl  importe  de  voir  quelle  est  la  forme  de  la  fonction  F 
quand  on  adopte  les  variables  des  deux  numéros  précédents. 

Supposons  d'abord  que  l'on  prenne  les  variables  du  n°  15  et 
que  les  trois  corps  se  meuvent  dans  un  même  plan;  la  fonction  F 
ne  dépendant  que  des  distances  des  trois  corps  sera  développable 
suivant  les  cosinus  et  les  sinus  des  multiples  de  / —  V  +  h',  les 
coefficients  de  ce  développement  seront  eux-mêmes  développables 
suivant  les  puissances  croissantes  de 

ecos/,     esin/,     e'eos/',     e'sin/', 
en  désignant  par  e  et  e'  les  excentricités;  enfin  les  coefficients  de 


GÉNÉRALITÉS    ET    MÉTHODE    DE    JACOBI.  4* 

ces  nouveaux  développements  seront  eux-mêmes  des  fonctions  uni- 
formes de  L  et  de  L'. 

Je  poserai,  pour  abréger, 

pL  =  A,        p'L'  =  A'; 
il  vient  alors,  d'après  la  définition  de  H, 

e  =--  I  v/Â^^Hâ ,         e'=  T>  A'2-  (H^G)2. 

Ajoutons  que  F  ne  change  pas  quand  l:  V  et  h  changent  de 
signe;  par  conséquent,  si  l'on  développe  F  suivant  les  cosinus  et 
les  sinus  des  multiples  de  ces  trois  variables,  le  développement  ne 
pourra  contenir  que  des  cosinus. 

On  aura  donc  finalement 

E  1 

F  =  2A(A2  —  H2)2  [a'2  — (H  — C)2]2  cos(mx  l  -+-  m%V  -+-  mz  h), 

p  et  q  sont  des  entiers  positifs,  m{1  m%  et  m3  des  entiers  quel- 
conques, A  est  un  coefficient  qui  ne  dépend  que  de  A  et  de  A'.  De 
plus  |  m3  —  m{  \  est  au  plus  égal  à  p  et  n'en  peut  différer  que  d'un 
nombre  pair;  de  même,  |  m3  +  m2 1  est  au  plus  égal  à  q  et  n'en 
peut  différer  que  d'un  nombre  pair. 

Un  pareil  développement  est  valable  quand  A  —  H  et  A'  — ■  (  G  —  H  ) 
sont  suffisamment  petits;  on  voit  que  pour 

A  =  H 

tous  les  termes  s'annulent,  sauf  ceux  pour  lesquels  m3  =  m{. 
De  même,  si  l'on  a 

A'  =  G  -  H  , 

tous  les  termes  s'annulent,  sauf  ceux  pour  lesquels  rns  =  —  m2. 
m  Par  conséquent,  si  l'on  a  à  la  fois 

A  =  H,         A'  =  C  —  H  , 

tous  les  termes  s'annuleront,  sauf  ceux  pour  lesquels 

ms  =  m\  =  —  ?«2  j 

de  sorte  que  F  devient  une  fonction  de  l  —  l'  -f-  h. 


42  CHAPITRE    I. 

Si,  dans  un  des  termes  du  développement  de  F,  on  fait 
A  ==  —  H ,        A'  =  H  —  G  , 
ce  terme  s'annulera  encore,  à  moins  que 

m3  =  Tïly  =  —  ?n.2 . 

On  pourrait  être  tenté  de  conclure  que,  pour 

A  =  —  H ,         A'  =  H  -  G , 

F  est  encore  une  fonction  de  /  — ■  /'  +  h;  il  n'en  est  rien,  car  le 
développement  n'est  valable  que  pour  les  petites  valeurs  de  A  —  H 
et  A'  —  C  -4-  H.  Un  raisonnement  analogue  à  celui  qui  précède 
prouve,  au  contraire,  que  pour  A  =  —  H,  A'  =  H  — -G,  F  est  fonc- 
tion de  /  — V  — -  h  et  non  pas  de  l  — V  ~f-  h . 

Dans  le  cas  où  la  valeur  de  À — -H  est  extrêmement  petite,  il 
peut  être  avantageux  de  faire  un  changement  de  variables  parti- 
culier. 

On  a  identiquement 

Al^-Hh  =  A(J-hA)  —  h(A  —  H); 

la  forme  canonique,  en  vertu  du  n°  5,  n'est  donc  pas  altérée  quand 
on  remplace  les  variables 

A,     A',     H, 
l,     /',      h 
par  les  suivantes 

A,     A',     A  — H, 

l  -h  h,     V  ,     —  h  . 
Posons  maintenant 

l-+-h  =  l*,         v/2(A  —  H)cos/i=£*,         —  v/a(A  —  H  )sinA  =  ■/)*; 

en  vertu  du  n°6  la  forme  canonique  des  équations  subsiste,  quand 
on  prend  pour  variables 

A,     A',     $*, 

à*,   r,  ri*. 

On  a  l'avantage  que  la  fonction  F,  qui  reste  périodique  en  À* 
et  en  /',  est  développable  suivant  les  puissances  de  \*  et  v\*  quand 
ces  deux  variables  sont  assez  petites. 


GÉNÉRALITÉS    ET    METHODE    DE    JACOBI.  _|3 

18.   Prenons  maintenant  les  variables  du  n°  16,  c'est-à-dire 
pL  =  A,         p'L'=A',         pr  =  H,         pT'=H'. 

i,  r,  g,  g'- 


Les  variables  H  et  H'  sont  manifestement  assujetties  à  certaines 
H  =A/i  — e», 


inégalités;  on  a 


d'où 

(i)  A2>H2. 

De  même 

(2)  A'2>H2. 

On  a,  d'autre  part,  en  vertu  de  l'équation  des  aires, 
H  cos  i  -4-  H'  cos  ï  —  C,         H  sin  i  -+-  H'  sin  i  =  o , 

C  étant  la  constante  des  aires  qui  doit  être  regardée  comme  une 
des  données  de  la  question.  On  en  déduit  les  inégalités 

(  |H|+|H'.|>|G|, 

i  |H|-!H'[<|C|. 

Voyons  maintenant  comment  la  fonction  F  dépend  de  nos 
variables. 

Pour  les  valeurs  de  H  voisines  de  A,  la  fonction  F  n'est  plus 
holomorphe  par  rapport  à  H-,  elle  n'est  plus  développable  suivant 
les  puissances  entières  de  A  —  H,   mais  suivant  celles  de  y/A  —  H. 

On  peut  alors  employer  avec  avantage  les  variables  suivantes. 
Posons 

l  -\-  g  =  \*  ,         /2(A  —  H)cos£-=£*,         y/'2(A  —  H)  sin^- =  y)*  , 

les  équations  conserveront  la  forme  canonique,  si  l'on  prend  comme 
variables  indépendantes 

A,     A',     £*,     H', 

^*,     l',     1*,     g'\ 

de  plus,  la  fonction  F  sera  alors  développable  suivant  les  puissances 
entières  de  ç*  et  de  r\*. 


44  CHAPITRE    I. 

On  opérerait  d'une  manière  analogue  si  l'on  avait  à  envisager 
des  valeurs  de  H'  très  voisines  de  A'. 

Qu'arrivera-t-il  maintenant  si  les  valeurs  de  H  et  de  H'  sont 
très  voisines  des  limites  que  leur  assignent  les  inégalités  (3),  c'est- 
à-dire  si  les  inclinaisons  sont  petites  ou  nulles? 

Supposons,  par  exemple,  que  H  -h  H'  =  C. 

Nous  avons  vu,  au  n°  12,  que  F  est  développable  suivant  les 
puissances  croissantes  des  variables  £,  £',  "/),  V,  PiP'i  cJicï  de  ces 
paragraphes;  c'est-à-dire  suivant  les  puissances  croissantes  de 

v/pL  — p"G~    ^fh'^J'W,     )/$G=JF,     /p'G'-p'e', 

si  les  inclinaisons  sont  nulles;  on  a 

G  =  e,       G'  =  e', 

et  les  deux  derniers  radicaux  s'annulent,  mais  il  n'en  est  pas  de 
même  des  deux  premiers  ;  la  fonction  F  est  alors  holomorphe  en 
G,  G',  v/pG—  pe ,  V'?G'-P'0'. 

Mais  nous  avons  vu  au  n°  12  que  F  ne  change  pas  quand/»,/?', 
q,  q'  changent  de  signe  à  la  fois,  ou,  ce  qui  revient  au  même,  quand 
les  deux  radicaux  yj3G —  [36  et  \Jfi'G' — [i'S'  changent  de  signe 
à  la  fois. 

Donc,  pour  les  valeurs  très  petites  ou  nulles  des  inclinaisons,  F 
est  holomorphe  par  rapport  à  G  et  à  G'  d'une  part,  et  par  rapport 

à  ^(pG— pe)(pG'— p'0')  d'autre  part. 
Mais  nous  avons 


■„(<:+ 3!^), 


H  _,      H'  i    /„       H«  — H'*' 


d'où 

v/(PG-P0)(P'G'-(3'0')  =  ±  JliU-Cf-lPïTïïïr-Cy-Ml 


ou 


H  +  H'-C     ,-r- 


v/(PG-pe)(p'G'-P'e')=  -^—  v/(H-G-H')(H'-G-H). 

•  Ces  égalités  montrent  que 

G,     G',     y/(p"-p0)(P.'G'-P'0') 


GEXKR  ALITES    ET    METHODE    DE    JACOBI.  45 

et,  par  conséquent,  F  restent  holomorphes  en  H  et  en  H'  pour 
H  -t-  H'  =  C. 

Relations  invariantes. 
19.   Nous  avons  considéré  au  n°  1,  à  l'égard  du  système 

/     \  dXi  Y 

d'une  part  ses  solutions,  d'autre  part  ses  intégrales.  Mais  il  nous 
reste  à  parler  de  certaines  équations  qui  se  rapportent  à  ce  sys- 
tème et  qui  peuvent  être  regardées  comme  tenant  pour  ainsi  dire 
le  milieu  entre  les  solutions  et  les  intégrales.  Je  vais  définir  ces 
équations  que  j'appellerai  relations  invariantes. 

Soit  o  une  fonction  quelconque  de  xSl  x2l  -  .  . ,  xn\  on  aura 

do         do  do  do 

dt        dxj  ^  dx%  "  dxn 

Considérons  maintenant  un  système  d'équations 


(2) 


<?lOl,  x%,   .  .  -,  xn)  =  o, 
ÇaOt,  x2, xn)  =  o, 

i 

Op(Xi,  x2,   .  ..,  xn)=  o, 


et  supposons  que  ces  équations  entraînent  comme  conséquence  les 
suivantes 


dot  dot  dot         _     _ 

dx\  dx%  dxn 


on  en  conclura  que 


doi 

—y-    =   O. 

dt 


Par  conséquent,  si  les  équations  (2)  sont  satisfaites  pour  une 
valeur  quelconque  de  t,  elles  le  seront  pour  toutes  les  valeurs 
de  t;  c'est  pourquoi  nous  appellerons  le  système  (2)  système  de  re- 
lations invariantes,  et  l'on  conçoit  quelle  importance  peut  avoir 
la  connaissance  d'un  semblable  système. 


46  CHAPITRE    I. 

Supposons   maintenant  que  le  système  soit  canonique  et  reve- 
nons au  système  (i)  du  n°  7  et  à  l'équation 

/  dS     dS  dS  \ 

(3)  F^,^,...,^;^-^,  -...,  g-^const., 

qui  y  est  corrélative. 

La  connaissance  d'une  solution  particulière  de  cette  équation 
(3)  nous  fournira  un  système  de  relations  invariantes. 

Soit,  en  effet,  S  cette  solution  ;  considérons  le  système 

dS  dS  dS 

^       yi=d^>     ^=d^,:     •••■'     r^d^-/ 

je  dis  que  ce  sera  un  système  de  relations  invariantes  par  rapport 
aux  équations  canoniques  (i). 

On  trouve,  en  effet,  en  différentiant  l'équation  (3), 

dF         dF       d*S  d¥      d*S  dF       d*S 

(5)      xr.  +  x: 


dxi        dyx  dx^dxi        dy2  dx2dxi  '    dyp  dxpdxi 

Posons 

dS 

de  manière  à  ramener  le  système  (4)  à  la  forme  (2), 

(2)  cp1  =  tp2  =  .  ..=  Op=0, 

il  viendra 

d®i  ,  . ... ,  N  dot  d'2  S 


d<?i  dvi  ,.,,,,  doi 


dyi         '  dyk  dxk        dxtdxic' 

d'où 


do 
~dt 


pi  _  -^   dvi  dyk       ^    do;  _  ^1  /  dot    dF  __  d^i  dF  \ 
't   ~~  <Zd  dyk    dt        Âd  dxic       £d  \dxk  dyk        dyk  dm/c/' 


ce  qui  montre  que  les  équations  (5)  se  réduisent  à 


d®; 


INTÉGRATION    PAR    LES    SÉRIES.  47 

Or  c'est  là  précisément,  d'après  ce  que  nous  venons  de  voir,  la 
condition  pour  que  le  système  (4)  soit  un  système  de  relations  in- 
variantes. 

J'ajouterai  que,  dans  le  cas  où  il  n'y  a  que  deux  degrés  de  li- 
berté, tout  système  de  deux  relations  invariantes  peut  être  obtenu 
de  cette  manière. 


CHAPITRE    II. 


CHAPITRE  II. 


INTEGRATION   PAR   LES   SERIES. 


Définitions  et  lemmes  divers. 

20.  La  méthode  de  Cauchy,  pour  démontrer  l'existence  de  l'in- 
tégrale des  équations  différentielles,  a  été  appliquéepar  d'autres  géo- 
mètres à  la  démonstration  d'un  grand  nombre  de  théorèmes.  Comme 
cette  méthode  et  ces  théorèmes  nous  seront  utiles  dans  la  suite,  je 
suis  forcé  d'y  consacrer  un  Chapitre  préliminaire.  Pour  cette  ex- 
position, je  ferai  usage  d'une  notation  que  j'ai  déjà  introduite 
dans  un  autre  Mémoire  et  qui  m'évitera  des  longueurs  et  des  re- 
dites. 

Soient  o{x1  y)  et  <\(x,  y)  deux  séries  développées  suivant  les 
puissances  croissantes  de  x  et  dey;  supposons  que  chacun  des  coef- 
ficients de  la  série  <l  soit  réel  et  positif  et  plus  grand  en  valeur  ab- 
solue que  le  coefficient  correspondant  de  la  série  cp  :  nous  écrirons 
alors 

ou,  s'il  est  nécessaire  de  mettre  en  évidence  les  variables  par  rap- 
port auxquelles  se  fait  le  développement, 

cp<t|;         (arg.a?,  y). 

On  voit  sans  peine  que,  si  cp(x,  y)  est  une  série  qui  converge 
pour  certaines  valeurs  de  x  et  dey  (représentant,  par  conséquent, 
une  fonction  de  x  et  de  y,  holomorphepour  x  —y  —  o),  on  pourra 
toujours  trouver  deux  nombres  réels  et  positifs  M  et  a,  tels  que 

M                              M 
o  (  oc    y  )  '^  — ■ ■  <^Z * 


INTÉGRATION    PAR    LES    SERIES.  4g 

Dans  le  cas  où  la  fonction  cp  s'annule  pour  x  =y  =  o,  on  peut 


écrire 

Mcx(x  -t-  y) 


o  << 


i  —  a(x-hy) 

Ma(.r  -+-  y)  [i  —  oc(x  -\-y)] 
1  —  a(x-+-y) 

Supposons  que  cp,  outre  les  arguments  x  et  y,  par  rapport  aux- 
quels on  la  suppose  développée,  dépende  en  outre  d'une  autre  va- 
riable t  :  les  nombres  M  et  a  seront  des  fonctions  généralement 
continues  de  t;  si  ces  deux  nombres  ne  s'annulent  pour  aucune  des 
valeurs  de  t  envisagées,  on  pourra  leur  assigner  une  limite  infé- 
rieure ;  on  pourra  donc  donner  à  M  et  a  des  valeurs  constantes  assez 
grandes  pour  que  les  inégalités  précédentes  subsistent. 

21.  Le  calcul  des  inégalités  définies  dans  le  numéro  précédent 
repose  sur  les  principes  suivants,  que  je  me  borne  à  énoncer  sans 
démonstration,  à  cause  de  leur  évidence: 

i°  Si  la  série  <|»  converge,  il  en  sera  de  même  de  la  série  ca  toutes 
les  fois  qu'on  aura 

cp  •<  ty. 

2"  On  peut  additionner  un  nombre  quelconque  d'inégalités  de 
même  sens 

c?i<<W>        ?2<<h,        •■•)        (?«<4'«- 

3°  Si  l'on  a  un  nombre  infini  d'inégalités  de  même  sens, 
?o<^o;         <?i,<<K         •••>         ?«<^«,     ...     adinf.  (arg.'x,  y), 
on  pourra  écrire,  en  introduisant  un  argument  nouveau, 

ç0  -t-  Xcp,  -f-  X2cp2-r . .  .<  ^oH-X^i-f-  X2^2-t--  •  •     Ol'g-  xi  y,  X). 
4°  On  peut  multiplier  deux  inégalités  de  même  sens. 
5°  Si  l'on  a 

cpO,,  x, ,  xn)  <  '}(>i,  #2,  •  •  -,  #«)        (arg>  #i,  #2,  •  •  • ,  #») 

et,  d'autre  part, 

Mx,y)<^{x,y),        Mx,y)<^(x,y), 


fn(x,j)<(in(x,y)         (arg.  x,y), 
H.  P.  —  I. 


CHAPITRE    II. 


on  pourra,  dans  l'inégalité  (i),  à  la  place  de  xi:xz,  — x,n  sub- 
stituer dans  le  premier  membre  /,,  f»,  . .  . ,  fn  et  dans  le  second 
membre  9,,  9o,.  . . ,  B„.  On  pourra  donc  écrire 

v[.f\(x,y),Mx,y),...Jn(x,y)}<b[bl(sx,y),  8j(ar,  y)  .  .  .  ,6„(.r,jK)] 

(arg.  x,y), 

6°  Il  est  permis  de  différentiel'  l'inégalité 

(0  <?(#,  y)<  &(*,  y)        (arg.  ^,  jk), 

par  rapport  à  l'un  des  deux  arguments  x  et  y. 

r-°  Il  est  permis  d'intégrer  une  inégalité;  mais  cela  peut  s'en- 
tendre de  deux  manières;  on  peut  d'abord  intégrer  l'inégalité  (i) 
par  rapport  à  l'un  des  deux  arguments  x  et  y,  en  prenant  o  comme 
Limite  inférieure  d'intégration. 

On  trouve  alors 


/      o(x,y)  dx  <^  f      <\i(x,y)  dx. 


Il  va  sans  dire  que,  dans  le  calcul  des  intégrales,  y  doit  momen- 
tanément être  regardée  comme  une  constante. 

8°  Mais  il  peut  arriver  également  que  les  fonctions  ©  et  ty  dépen- 
dent non  seulement  des  deux  arguments  x  et  y,  mais  d'une  autre 
variable  £,  sans  qu'on  la  regarde  comme  développée  suivant  les 
puissances  de  cette  variable. 

Supposons  que  l'inégalité  (i)  soit  vraie  pour  toutes  les  valeurs 
de  t  comprises  entre  t0  et  tK  ;  on  pourra  intégrer  cette  inégalité  par 
rapport  à  £,  en  regardant  x  et  y  comme  des  constantes,  et  écrire 

/  o(x,  y,  t)  dt  •<  /  <\)(x,  y,  t)  dt         (arg  x,  y) , 

pourvu,  bien  entendu,  que  les  limites  d'intégration  soient  comprises 
entre  t0  et  tt. 

22.    Considérons  une  fonction 

o(x,  y  ), 

développée  suivant  les  puissances  de  x  et  dey.  Il  arrivera  souvent 
que  x  et  y  dépendront  d'un  certain  paramètre  pi  et  qu'on  pourra 


INTÉGRATION    PAR    LES    SÉRIES.  5l 

les  développer  suivant  les  puissances  de  ce  paramètre.   Ecrivons 
donc 

l  x  =  x0  -+-  n<V[  -+-  (j.2 a?2  -+-•■•  ; 


(0 


Supposons  que,  dans  la  fonction  cp,  on  substitue  à  la  place  de  x 
et  de  y  leurs  développements  (i);  alors  cp  deviendra  une  fonction 
de  pi,  de  <r0,  #l5  .  .  . ,  xp,  .  .  .  adinf. ;  et  de  y0l  ytl .  .  .,  y^, ...  ad 
inf. ;  de  plus  elle  pourra  être  développée  suivant  les  puissances  de 
u,  de  sorte  qu'on  aura 

Cp  =  O0  -+-  [JLOj  -i-  [J.2  Cp2  -H  •  •  •  • 

On  voit  aisément  que  co0  ne  dépend  que  de  ^0  et  jv"0;  fi  de  #07 
j0,^,  ety,,...;  et,  en  général,  yp  de  #0,  xi:...,  xp;  J0,J),-,  J> 
Supposons  maintenant  que  l'on  ait 

cp  (x,  y)  <  «J»  O,  y  (arg.  a?,j). 

Dans  cl»  substituons,  à  la  place  de  #  et  de  y,  leurs  développements 
(i),  de  sorte  que  l'on  ait 

<\l  =  tl0  H-  [JUll!  -r-  [Jt.2  'J>2  -r-  •  ■  ■  • 

On  voit  aisément  qu'il  vient 

cpo<^o,         (arg.  xQ,  j0), 
<?i<<W,         (arg.  2?o,,7o;  a?i,.ri), 


?p<^>        O'S-  #0,  #1,  •••,  •*>;  JKo,  71,  ..-,  pP). 

On  s'en  rend  compte  en  appliquant  le  cinquième  principe  du 
numéro  précédent,  ce  qui  montre  que 

?  <  ^     (arg.  \x,  x0,  xu  ...  ad  inf.;  y0,  yu  ...  ad  inf.). 

Nous  conviendrons  d'écrire,  pour  abréger,  ®p(xi,  yi),  au  lieu  de 

<çp(x0,  x^  .  .  . ,  xp\  y0,  yt, .  .  . ,  yp). 


Théorème  de  Cauchy. 

23.   Le  théorème  de  Cauchy  se  trouve  aujourd'hui  dans  tous  les 
Traités  classiques;  aussi  me  bornerais-je  à  l'énoncer  sans  démon- 


52  CHAPITRE    II. 

stration  si  je  ne  me  proposais  de  le  compléter  en  quelques  points. 
Considérons  les  équations  différentielles 

/  \     dx       ft .  .  dy  dz 

(i)    a-=e(*,r,*^).       5f  =?(».**,  n),       â=^j,^}' 

Je  suppose  que  les  fonctions  cp  et  d»  sont  développées  suivant  les 
puissances  croissantes  de  la  variable  indépendante  x,  des  deux 
fonctions  inconnues  y  et  z  et  d'un  paramètre  arbitraire  a. 

En  supposant  que  la  variable  indépendante  t  n'entre  pas  dans 
les  seconds  membres  des  équations  (i),  je  ne  diminue  pas  la  géné- 
ralité, car  un  système  d'ordre  /?,  où  la  variable  indépendante  entre 
explicitement,  peut  toujours  être  remplacé 'par  un  système  d'ordre 
n  -h  i  où  cette  variable  indépendante  n'entre  pas. 

Soient,  en  effet,  par  exemple, 

dx 

il  est  manifeste  que  ces  deux  équations  peuvent  être  remplacées 
par  les  trois  suivantes 

dx 

~di  =?(*..**). 

dz 

dï=I- 

Je  me  propose  de  démontrer  qu'il  existe  trois  séries  convergentes 
développées  suivant  les  puissances  de  t,  de  jj.,  de  x0,  Jo,  ^o-,  c[ui  sa- 
tisfont aux  équations  (i),  quand  on  les  y  substitue  à  la  place  de  x, 
dey  et  de  z,  et  qui  se  réduisent  respectivement  à  x0,  ky0  et  kz0 
pour  t  =  o. 

Ainsi,  au  lieu  de  développer  seulement,  comme  le  faisait  Gauchy, 
par  rapport  à  la  variable  indépendante  x,  je  développe  en  outre  par 
rapport  au  paramètre  fx  et  par  rapport  aux  valeurs  initiales  x0,  y0, 
z0.  Mais  je  dois  auparavant  démontrer  deux  nouveaux  lemmes. 


INTÉGRATION    PAR    LES    SÉRIES.  53 


24.   Soient 

(0 

/  dx 
-  =  o(x,y,t,l,). 

deux  équations  différentielles,  où  cp  et  <];  sont  des  séries  ordonnées, 
suivant  les  puissances  des  fonctions  inconnues  x  et  y,  de  la  va- 
riable t  et  d'un  paramètre  arbitraire  u.. 

Il  est  aisé  de  vérifier  qu'il  existe  deux  séries 

(2)  f(t,{±),      fx(t,ll), 

ordonnées  selon  les  puissances  de  t  et  de  [x,  s'annulant  avec  £,  et 
qui,  substituées  dans  les  équations  (i)  à  la  place  de  x  et  de  y, 
d'après  les  règles  ordinaires  du  calcul,  satisfont  formellement  à 
ces  équations. 

En  cherchant  à  déterminer  les  coefficients  de  ces  séries  /  et  fK 
par  la  méthode  des  coefficients  indéterminés,  on  trouve  qu'un  coef- 
ficient quelconque  de  /  (ou  de  f{  )  est  un  polynôme  entier  à  coef- 
ficients positifs  par  rapport  aux  divers  coefficients  de  cp  et  de  d». 

Considérons  donc  d'autres  équations  de  même  forme  que  (i) 


(i  bis) 


-£  =  <?'(*,  y,  t,  i-O, 
c-£  =V(x,y,t,  n), 


et  qui  soient  telles  que 

?<?',         ù<V        (arg.x,y,t,ii); 
si  les  séries 

(2  bis)  f(t,{x),  f(t,\x) 

sont  ordonnées  suivant  les  puissances  de  t  et  de  p,  s'annulent 
avec  t  et  satisfont  formellement  aux  équations  (i  bis)  quand  on  les 
substitue  à  la  place  de  x  et  de  y,  il  est  permis  de  conclure  que 

25.   Reprenons  les  équations  (i)  du  numéro  précédent;  suppo- 
sons que  cp  et  ty  soient  développables  suivant  les  puissances  de  x, 


5\  CHAPITRE    II. 

y  et  [j.  pour  toutes  les  valeurs  de  t  comprises  entre  oet/i  (ft>  o) 
[nous  conviendrons  de  ne  considérer  que  les  valeurs  de  t  com- 
prises entre  ces  deux  limites].  Je  ne  suppose  pas  d'ailleurs  que 
o  et  à  soient  développables  suivant  les  puissances  de  t. 
Il  existera  alors  des  séries 

/('»f*)i    /i(*>tO 

qui  seront  ordonnées  suivant  les  puissances  de  u.  (le  coefficient 
d'une  puissance  quelconque  de  [jl  étant  une  fonction  de  t,  qui  peut 
ne  pas  être  développable  suivant  les  puissances  de  ?),  qui  s'annu- 
leront et  qui  satisferont  formellement  aux  équations  (i). 

Comment  peut-on  déterminer  les  coefficients  des  deux  séries  / 

et/,? 

Soient xm  le  coefficient  de  y™  dans  /,  elym  celui  de  p.171  dans/. 
On  trouve  alors,  pour  déterminer  xm  et  ym,  les  équations  sui- 
vantes 

dxQ  ,  _,       s  dy-Q         . 

-jf   =  o(x0,yo,t0,o),  -^    =ty(x0,y0,  t,o), 

dx{  do  do  v  dyi         d<\>  d<\> 


efe,„         do  cfo  rf^m         ety  <afy 

XOT  et  Ym  étant  développées  suivant  les  puissances  de 

#i>    JKi;    «2,    72;     •••;    a?/«-i»    JK/«-i, 

et  dépendant,  d'autre  part,  de  #<,,  y0  et  de  f. 

D  ailleurs,  dans  —,  -j^-,   ~~  ■>  -r-  -,  x,  y  et  u.  doivent  être  rem- 

placés  par  x0,  y0  et  o. 

Soient  maintenant  des  équations 

~dl  —t'^y**'  P)' 

(1  bis)  j 

telles  que 

tp  •<  o' ,         <\i  ■<  <]/         (arg.a.-,  7  et  j*,  mais  non  arg.  £). 


INTEGRATION    PAR    LES    SERIES. 


55 


Soient 


f'(t,  (X)   =  x'0  -h  \ix\  -h  p.2^'2 


les  séries  ordonnées  suivant  les  puissances  de  jj.  et  s'annulant  avec  t, 
qui  satisfont  formellement  aux  équations  (i  bis). 
Il  viendra 


-jf   =?  (*o>7o>'>°)> 


~57 


X'„ 


d<?'     ,  dy'      , 

dp-0Xm  +  dyQy"' 

A.  l'origine  des  temps,  on  aura 


X0  =  O, 


et  d'ailleurs 

(a) 

d'où 

(3) 


dXa 


dt 


I  ¥  I  <  ?'» 


<^if 


-^  =  fK,/o>M), 


Jo  =7o  =  o 

I M  <  >K; 


Y' 


dyo 
dt 


dy'o 

dt 


x'o  et  y' 01  Poar  ^es  petites  valeurs  positives  de  £,   sont  donc  posi- 
tifs et  plus  grands  en  valeur  absolue  que  x0  et  y0. 
J'écris  donc 


(4) 


^oK^'o,         I/o 


7c 


Les  égalités  (4)  ne  pourraient  cesser  d'être  satisfaites  sans  que 
les  inégalités  (3)  cessassent  les  premières  de  l'être.  Mais  il  ne  pourra 
en  être  ainsi;  car  les  inégalités  (4),  jointes  aux  inégalités  (2),  en- 
traînent les  inégalités  (3)  comme  conséquences.  Donc  les  inéga- 
lités (4)  subsisteront  toutes  les  fois  que 

;o<  t<tt. 
Je  suppose  qu'on  ait  démontré  de  même  que 


(5) 


|  Xi  |  <  x\. 

Ijil  <y\-. 


'.y*i 


\Ym-l  !  <y'm-i, 


56  CHAPITRE    II. 

et  je  me  propose  de  démontrer  que 

I  xm  I   ^C  X m,  I  ym  |     ^  y  m- 

En  effet,  on  conclut  des  inégalités  (5)  que 


!  do 


CtOCcï  CL30  (\ 


do'  I  do 

\dy0 


< 


do' 


dty 
dy* 


dty  I       cty 
dx0  |       dx'0 


!  Xm  I  <C  X,„,         |  Y,„  |  <C  Y/n. 
Nous  devons  donc  conclure  que  les  inégalités 

I  x m  I   ■-•»  3* m,  |  y m  I  <C  JK/n 

entraînent  les  suivantes  : 


clxUl 
dt 


dxm 

dt 


dym 

dt 


< 


dy'm 

dt 


Un  raisonnement  tout  semblable  à  celui  qui  précède  montrerait 
ensuite  que  l'on  a 

|  ocm  ]  <  x'm,         |  ym  !  <  y'm         pour     o  <  t  <  fc. 

Ces  inégalités  peuvent  d'ailleurs  s'écrire 

/</'>        /i</i         (arg.fi,  mais  non  arg.  *). 

26.   Reprenons  les  équations  (i)  du  n°  23. 


(i)  £t  =  ft(x,y,z,  k-)» 


?0,.7,-s>  I-1-). 


^3 

<3^ 


=  ù(oc,y,  z,  \x) 


Ces  équations  sont  satisfaites  formellement  par  certaines  séries 


(3) 


x  =f1(t,x0,y0,z0,  [j.), 

!  y  =f-2(,t,xo,yo,z<>,  i-O, 

[  z  =fs(t,  x0,y0,z0,  \x), 


développées  suivant  les  puissances  croissantes  de  £,  x{),  y0,  z-0  u, 
et  se  réduisant  respectivement  à  x0,  y0  et  z0  pour  t-=  o. 

Pour  démontrer  la  convergence  de   ces  séries,   comparons-les 
aux  séries  obtenues  en  partant  d'équations  différentes. 


INTÉGRATION    PAR    LES    SÉRIES.  5j 

On  peut  toujours  trouver  trois  nombres  réels  positifs  M,  a  et  (3, 
tels  qu'en  posant 

M 

on  ait 


e<6' 

>  (arg 

l 

cp<cp' 

fr8.r,*, 

fi). 

ty<¥ 

) 

Envisageons 

les 

équations 

/  dx 
~di  = 

:0', 

bis  ) 

]  dy  _ 
1   ^ 

i  5F  ~ 

qui  peuvent  aussi  s  écrire 

,  ,  .  .  dx        dy        dz  M 

(  j  bis  )  — —  =  -y-  =  — -  =  q — r-; ; rr 

dt        dt        dt        (i  — P[x)  [i  —  a(a?-i-jK -+-*)]• 

On  peut  satisfaire  à  ces  équations  par  des  séries  analogues  aux 
séries  (3),  ordonnées  comme  elles  suivant  les  puissances  de  t,  x0, 
y0,  z0  et  u,  et  se  réduisant  comme  elles  à  x0,  y0  et  z0  pour  t  =  o. 

Les  principes  du  n°  24  montrent  que  les  séries  (3)  converge- 
ront toutes  les  fois  que  les  séries  (3  bis)  convergeront  elles- 
mêmes. 

Or  les  équations  (2  bis)  s'intègrent  aisément,  et  l'on  trouve  que 
les  équations  (3  bis),  qui  en  sont  les  intégrales,  peuvent  s'écrire 

x  =  x0  -+-  -î-  (  S  —  /S2  —  ht) , 
o  a 

r=ro+3^(S-\/S^X*), 

*  =  zo  +  ~(S  ~  \/^^lû)  , 

où  nous  avons  posé,  pour  abréger, 

6  a  M 


S  =  1  —  cc(x0  +jKo-+-^o),        '1 


I-PfX 


58  CHAPITRE    II. 

Ces  séries,  développées  suivant  les  puissances  de  [a,  t,£c0,y0,  s0j 
convergent  pourvu  que 

lui»     l*h     I  xo  I  .     1 7o  I  )     I  -o  I 

soient  assez  petits. 

Il  en  sera  donc  de  même  des  séries  (3). 

c.    Q.    F.    D. 

Extension  du  théorème  de  Cauchy. 

27.  Les  considérations  développées  au  nu  26  montrent  la  possi- 
bilité de  développer  les  solutions  d'une  équation  différentielle, 
suivant  les  puissances  d'un  paramètre  arbitraire  pi;  mais  seulement 
pour  les  valeurs  de  la  variable  indépendante  t  dont  le  module 
est  assez  petit.  Nous  allons  cherclier  maintenant  à  nous  affranchir 
de  cette  restriction. 

Considérons  les  équations  suivantes 

cl  ce  cl  V" 

Je  suppose  donc  de  nouveau  que  la  variable  t  entre  explicite- 
ment dans  les  équations. 

Soient 

ar  =  6(f,  jx),        y  =  ta(t,ii) 

celle  des  solutions  des  équations  (î)  qui  est  telle  que  les  valeurs 
initiales  de  x  et  de  y,  pour  t  —  o,  soient  nulles. 

Je  suppose  que,  pour  toutes  les  valeurs  de  t  comprises  entre  o 
et  t0j  les  deux  fonctions  ©  et  à  puissent  se  développer  suivant  les 

puissances  de 

\x,     x  —  0(£,  o),        y  —  to(£,  o) 

(les  coefficients  des  développements  étant  des  fonctions  d'ailleurs 
quelconques  de  t). 

Cette  condition  peut  s'énoncer  d'une  autre  manière  :  lorsque 
pour  un  certain  système  de  valeurs  de  x,  y,  t  et  p.,  l'une  des  fonc- 
tions cp  et  <j;  cesse  d'être  holomorphe ,  on  dit  que  ce  système  de 
valeurs  correspond  à  un  point  singulier  des  équations  (i).  Par  con- 
séquent, nous  pouvons  énoncer  la  condition  qui  précède  en  disant, 


INTÉGRATION    PAR    LES    SÉRIES.  09 

dans  un  langage  assez  incorrect,  mais   commode,  que  la  solution 
particulière 

(ji  =  o,         x  =  %(t,o),        y  =  oi(t,o) 

ne  va  passer  par  aucun  point  singulier. 

Je  dis  que,  si  cette  condition  est  remplie,  9(ï,  u),  w(£,  [a)  pour- 
ront, pour  toutes  les  valeurs  de  t  comprises  entre  o  et  t0,  être 
développées  suivant  des  puissances  de  u.  (je  dis  de  jj.  et  non  pas  de 
t  et  de  pt),  pourvu  que  |  jjl  |  soit  assez  petit. 

J'observe  d'abord  que  l'on  peut,  sans  restreindre  la  généralité, 
supposer  que  les  fonctions  cp  et  <b  s'annulent  identiquement  quand 

on  y  fait 

x  =  y  =  [jl  =  o 

ou,  ce  qui  revient  au  même,  que  l'on  a  identiquement 

Q(t,  o)  =  to(t,  o)  =  o. 

Si,   en  effet,    cela   n'était   pas,   on  changerait   de   variables  en 

posant 

x'  =  x  —  0(*,o),         y  =y  —  <x>(t,o) 

et  l'on  serait  ramené  au  cas  que  nous  venons  d'énoncer;  car  les 
équations  transformées  admettraient  comme  solution,  pour  p.  =  o, 

x'  =  o,      y  =  o. 

Faisons  donc  cette  hypothèse  ;  les  fonctions  cp  et  fy  seront  déve- 
loppables  suivant  les  puissances  de  x,  y  et  y.;  mais  je  ne  les  sup- 
pose pas  développées  suivant  les  puissances  de  t. 

Nous  pourrons  trouver  des  séries  (3)  développées  suivant  les 
puissances  de  pi.  et  qui,  substituées  à  la  place  de  x  et  de  y,  satis- 
feront formellement  aux  équations  (i).  De  plus,  ces  séries  s'annu- 
leront pour 

t  =  o. 

Pour  démontrer  la  convergence  de  ces  séries,  formons  des  équa- 
tions analogues  aux  équations  (2  bis)  du  n°  26. 

Les  fonctions  cp  et  cj>  sont  développables  suivant  les  puissances 
de  x,  y  et  a,  pourvu  que 

0  <  t  <  t0 . 


6o  CHAPITRE    II. 

Quand  t  variera  de  o  à  t0 ,  les  rayons  de  convergence  de  ces 
développements  varieront  également;  mais  on  pourra  leur  assigner 
une  limite  inférieure.  On  pourra  donc,  d'après  le  n°  20,  trouver 
deux  nombres  positifs  M  et  a,  tels  que,  pour  toutes  les  valeurs  de  t 
comprises  entre  o  et  t0,  on  ait 


en  posant 


cp<cp',         <\><V         (arg.a?,j,  fi) 

.,_  M(x  -1-  y  -+■  fi)  [i  -+-  a(  x  -4-  y  -f-  fi)] 
i  —  a(x -^ y -t- p) 


Formons  alors  les  équations 

7  •  s  dx         .  dy 

Nous  pouvons  satisfaire  à  ces  équations  par  des  séries  (3  bis) 
de  même  forme  que  les  séries  (3),  et  qui  satisfont  formellement  à 
ces  équations. 

D'après  le  n°  25,  les  séries  (3)  convergeront  pourvu  que  les 
séries  (3  bis)  convergent. 

Or,  si  nous  posons 

x  -+-  y  ■+-  f*  =  s> 

nos  équations  donnent 

S  —  fi 

— y  —     2 


et 


ou 

iMdt  = 


dS  _  aMS(S-t-i) 
dt  _        i  — S 

dS         2<fS 


S         S  +  i 


d'où,  puisque  S  =  y.  pour  t  =  o. 


2M*  =  L  /tf  S      ,  ~  L  ; fX— 


On  vérifiera  sans  peine  que  S  et,  par  conséquent,  xety  peuvent 
se  développer  suivant  les  puissances  de  p.  et  que  le  développement 
converge  pour  toutes  les  valeurs  de  t  pourvu  que  J  y.  |  soit  suffîsam- 


INTÉGRATION    PAR    LES    SÉRIES.  6l 

ment  petit;  on  peut  en  conclure  que  les  séries  (3  bis)  et  les  séries 
(3)  convergent.  c.  q.  f.  d. 


Applications  au  Problème  des  trois  Corps. 

28.  Les  résultats  du  numéro  précédent  subsistent  évidemment 
quand,  au  lieu  d'un  seul  paramètre  arbitraire  p.,  on  en  a  plusieurs. 
Voici  l'usage  que  nous  allons  faire  de  ce  résultat  :  nous  n'avons, 
dans  le  n°  27,  envisagé  que  la  solution  particulière  pour  laquelle 
les  valeurs  initiales  de  x  et  dey  sont  nulles. 

Supposons  que  nous  considérions  la  solution  particulière  pour 
laquelle  ces  valeurs  initiales  sont  x0  el  y0,  et  que  nous  nous  pro- 
posions de  développer  cette  solution  suivant  les  puissances  de  #0, 
y  a  et  p.. 

Mais  nous  pouvons  encore  aller  plus  loin  :  reprenons  les 
équations  (i)  du  numéro  précédent,  et  envisageons  la  solution 
particulière  telle  que 

x=^x0,     y  =  j0 

pour  £=  o;  cherchons  ensuite  à  développer  les  valeurs  de  x  et  de 
y  pour  l  =  tQ  4-  t  suivant  les  puissances  de  #0,  jk0,  p.  et  t. 
Posons  ensuite 

x  =  x-i-x0,        7=7+70,         t  =  t  — - — , 


les  équations  (i)  deviendront 

dx  tn  (  ,  t0  -+-  -       \ 

■     ——  <];  (x  -+■  a?0,  7  -+- Jo,  «  — —  ;  p 


JNous  pourrons  y  regarder  .#',  y'  et  if'  comme  les  variables  et  p., 
t,  ^05^0  comme  quatre  paramètres  arbitraires. 

La   solution  particulière  que    nous  envisageons    est  telle  que , 
pour  t  =  o,  on  a 

x  =  x0,        7=7o 
et,  par  conséquent, 

x'  —y'  =  o. 


Ga  CHAPITRE    II. 

Nous  avons,  d'ailleurs,  à  calculer  les  valeurs  de  x'  et  dey'  pour 
t  =  t0  -+-  t,  c'est-à-dire  pour  i'  =  ^0. 

Nous  retombons  donc  sur  le  cas  étudié  au  numéro  précédent,  et 
nous  voyons  que  x  et  y  sont  développables  suivant  les  puissances 
de  x0:  y0,  t  et  a,  pourvu  que  les  modules  de  ces  quantités  soient 
assez  petits.  Il  y  a  à  cela  une  seule  condition,  c'est  que  la  solution 
particulière,  pour  laquelle  les  valeurs  initiales  de  x  et  de  y  sont 
nulles,  et  dans  laquelle  on  suppose  de  plus  [x  =  o,  ne  passe  par 
aucun  point  singulier. 

Appliquons  cela  aux  équations  du  n°  13 

dxt  _  r/F  dyt  _    _  dF 

dt         dyi  dt  dxt 

où 

F  =  F0-+-  jjlFj  -+-  fx2F2  -+-  ... 

et  où  F0  ne  dépend  pas  desjK- 

F  sera  une  fonction  des  x  et  des  y  qui  ne  cessera  d'être  holo- 
morphe  qu'en  certains  points  singuliers.  Il  pourra  se  faire  que,  si 
l'on  donne  aux  x  les  valeurs  suivantes 


la  fonction  F  reste  holomorphe  pour  toutes  les  valeurs  des  y. 
Imaginons  alors  que  l'on  se  propose  le  problème  suivant  : 
Envisageant  la   solution  particulière,    telle    que,    pour    t  =  o, 

on  ait 

XX  =  X\  -+-   Ci ,  X%  =  X%  -U   g,,  .  •  •  ,  Xp  =  37°  -r-   \p  , 

y\—y\-r  rn,      y*  —  .r»  -i- 1»>       ■■•>      Yp  =yP  +  r\i>  > 

et  considérant  en  particulier  les  valeurs  des  variables  pour 

t  =   t0  -h  T, 

développer  ces  valeurs  suivant  les  puissances  de  ^,  de  t,  des  ç  et 
des  7j . 

Ce  développement  sera  possible;  en  effet,  si  l'on  fait  à  la  fois 

[J-  =  x  =  \i  =  ru  =  o, 

la  solution  particulière  envisagée  se  réduit  à 

xt=  oc\ ,       yi=nit-hy°i 


INTÉGRATION    PAR    LES    SÉRIES.  63 

(  où  ni  est  la  valeur  de  —  ->—  pour  x/{  =  x'}i  ],  et,  d'après  ce  que 

nous  venons  de  supposer,  cette  solution  ne  passe  par  aucun  point 
singulier. 

Voyons  ce  qui  arrive  dans  le  cas  particulier  du  Problème  des 
trois  Corps.  La  fonction  F  ne  peut  cesser  d'être  holomorphe  que  si 
deux  des  trois  corps  viennent  à  se  choquer.  La  solution  particu- 
lière que  nous  considérons  représente,  dans  le  cas  de  \x  =  o,  l'en- 
semble de  deux  ellipses  képlériennes  décrites  par  les  deux  petites 
niasses  sous  l'attraction  d'une  masse  égale  à  i  placée  à  l'origine. 
Pour  qu'un  choc  puisse  se  produire  ,  il  faudrait  que  ces  deux 
ellipses  se  coupassent;  or  c'est  ce  qui  n'arrive  jamais  dans  les  ap- 
plications astronomiques. 

Nous  arrivons  donc  à  cette  conclusion  : 

Dans  le  Problème  des  trois  Corps,  nous  définirons  la  situation 
du  système  parles  douze  variables  définies  au  n°  11. 

On  se  donne  les  valeurs  x\  ~  £/,  y\  +  7)°  de  ces  variables  pour 
t  =  o,  et  l'on  demande  quelles  seront  les  valeurs  de  ces  mêmes 
variables  à  l'époque  tQ  -\-  t. 

Nous  venons  de  voir  cpie  ces  valeurs  sont  développables  suivant 
les  puissances  des  masses,  des  S,  des  7]  et  de  t. 

Il  n'y  a  qu'un  cas  d'exception,  qui  est  le  suivant  :  supposons  que, 
pour  £  =  o,  les  valeurs  initiales  des  variables  soient  x\  et  y*-,  et 
que,  les  masses  étant  supposées  nulles,  le  mouvement  se  continue 
ensuite  d'après  les  lois  de  Kepler,  si,  dans  ces  conditions,  un 
choc  se  produisait  avant  l'époque  i0,  ce  que  nous  venons  de  dire 
ne  serait  plus  vrai. 

On  pourrait  calculer  de  la  sorte  une  limite  inférieure  du  temps 
pendant  lequel  il  est  permis  de  développer  les  coordonnées  des 
planètes  suivant  les  puissances  des  masses;  mais  la  limite  ainsi 
obtenue  serait  beaucoup  trop  éloignée  de  la  limite  précise  pour 
que  ce  calcul  présentât  de  l'intérêt. 


Emploi  des  séries  trigonométriques. 

29.  Les  séries  de  puissances  ne  sont  pas  les  seules  qui  puissent 
servir  à  l'intégration  des  équations  différentielles  ;  on  se  sert 
également  des  séries  trigonométriques.  Je  veux  en  dire  ici  quel- 


64  CHAPITRE    II. 

ques  mots   avant   d'aborder  les  équations  aux  dérivées  partielles. 
On  sait  qu'une  fonction  de  x  périodique  et  de  période  au  peut 
se  développer  en  une  série  de  la  forme  suivante 

F  (x)  =  A0  +  A[  cos.r  -+-  A2  cos  ix  -+-  . .  .  -+-  A„  cos  nx  ---... 
-+-  Bt  sin  x  -+-  B2  sin  ix  -+-...  -h  B/4  sin  nx  -+-  .  . .  . 

J'ai  montré  dans  le  Bulletin  astronomique  (novembre  1886) 
que,  si  la  fonction  f(x)  est  finie  et  continue,  ainsi  que  ses  p  —  2 
premières  dérivées,  et  si  sa  (/>  —  i)ieme  dérivée  est  finie,  mais  peut 
devenir  discontinue  en  un  nombre  limité  de  points,  on  peut 
trouver  un  nombre  positif  K,  tel  que  l'on  ait,  quelque  grand  que 
soit  71, 

|nPA„|<K,         \nPBn\<K. 

Si  /(x)  est  une  fonction  analytique,  elle  sera  finie  et  continue 
ainsi  que  toutes  ses  dérivées.  On  pourra  donc  trouver  un  nombre 
K,  tel  que 

|n*A„|<K,  |n«B„|<K. 

Il  résulte  de  là  que  la  série 

[  A0  |  -H  |  Ai  |  -+-  j  A2  [  -t-, .  .  .  -H  |  An  I  -+- . .  . 
-+-  !  Bi  I  +  I  B2  |  -+- . . .  +  J  B„  |  +  . . . 

converge  et,  par  conséquent,  que  la  série  (1)  est  absolument  et 
uniformément  convergente. 

Gela  posé,  considérons  un  système  d'équations  différentielles 
linéaires 

/  dxi 

dx* 

—-f    =  ©2,1^1  -t-?2,2^2"+-  •..  +  92,/J^rt, 

(  1  )  (    dt         '  ,  ' 


<pn,l#l-l-«P«,2#S-+-  ■  ••-*- ?«,»#«■ 


<fr 


Les  /i2  coefficients  co/^  sont  des  fonctions  de  t  périodiques  et  de 
période  27t. 


INTEGRATION    PAR    LES    SERIES. 


65 


Les  équations  (2)  ne  changent  donc  pas  quand  on  change  t  en 
t  -b  27v.  Cela  posé,  soient 


(3) 


Xy  =  4*1,1  (t),  a?S  =  4*1,2  (<0< 

a?1  =  4*2,1  (*)>         «2=  4*2,2  (Oi 


\  #1=  4*«,i(0>         #2  =  4*«,2(*)> 


#«  =  4*i,»(0.j 

#*.=  4'2,»(iO>' 

•  ■  •  ■ ) 

0O,i=  tyn,n(t) 


n  solutions,  linéairement  indépendantes,  des  équations  (2). 

Les  équations  ne  changent  pas  quand  on  change  t  en  l  -f-  27:, 
et  les  n  solutions  deviendront 


X\  =  4*1,1  (î-t-  21t), 
27j  =  4*2,1  (£  -4-  21t), 

#1  =  ^«,1(^+270), 


&n=  tyï,n{t  -t-  21t), 

#«  =  4«,«(f  ■+■  27r)- 


Elles  devront  donc  être  des  combinaisons  linéaires  des  n  solu- 
tions (3),  de  sorte  qu'on  aura 


(4) 


4*i,i  {t ■+-  ait)  =  AM  4*i,i(0  -+-  A.1,2  4*2,1(0  -+-•••-+-  ki,ntyn,i(t), 

4*2,1  (f  "+-  21t)  =  A2>1  4*1,1  C*)  +  A2,2  tî,l(0  -+-  •  •  •  -+"  A2,„  tyn,l(t), 


4*«,l(^H-  21t)  =  AB)i  ^1,1  («)  -h  A„>2  4*2,1  (*) 


+  A,[i4„ii(«), 


les  A  étant  des  coefficients  constants. 

On  aura  d'ailleurs  de  même  (avec  les  mêmes  coefficients) 

4l,<!  (i-f-21t)  =  AM  4*1,2  (t)  -4- AI)S  4*2,2  (t)  -+-...  -+-  A1<n  4^,2  (0, 


Gela  posé,  formons  l'équation  en  S 


(5) 


Aj^i  —  S         A1;2 
A,  1  À, , —  S 


A 


1,» 


A»,i 


A«,2  •  ■  •        ^-«,«  ^ 


Soit  S,  l'une  des  racines  de  cette  équation.  D'après  la  théorie 
des  substitutions  linéaires,  il  existera  toujours  n  coefficients  con- 
stants 

Bi,     B2,     . .  . ,     B« , 
H.  P.  —  I.  5 


66  CHAPITRE    II. 

tels  que  si  l'on  pose 

Bi,i(0  =  Bj^i.UO  -4-  B2^2)1(0  -+- . . .  h-  B„^/Iit(0, 

et  de  même 

6M(0  =  Bnl»i,/(«)  ■+■  B^i(l)  -+-...  +  Bntyn>i(t), 
on  ait 

8M(*-i-  2ir)  =  s1e1)1(«) 

et  de  même 

6i,f(*H-aTc)=  S^i^C*). 
•     Posons 

Si  =  e2"^, 
il  viendra 

e-«i(*+2it)eI}1(i  -h  2-rr)  =  Ste-^i^e-^i'Oi^fî)  =  e-«iï61>1(«). 

Cette  équation  exprime  que 

e-<M0M(O 

est  une  fonction  périodique  que  nous  pourrons  développer  en  une 
série  trigonométrique 

AM(n. 

Si  les  fonctions  périodiques  cpi;/((?)  sont  analytiques,  il  en  sera 

de  même  des    solutions   des    équations   différentielles  (2)    et   de 

"kA  t(t).  La  série  ~k^{(t)  sera  donc  absolument  et  uniformément 

convergente. 

De  même 

e-"i*6M(iO 

sera  une  fonction  périodique  que  l'on  pourra  représenter  par  une 
série  trigonométrique 

MO- 

Nous  avons  donc  une  solution  particulière  des   équations  (2) 
qui  s'écrit 

(6)      a?!=  e«ifXi,i(0,       a?«  — ca«'Xi',«(0>       ■••>       &»=  e^i.nCO- 

A  chaque  racine  de  l'équation  (5)  correspond  une  solution  de 
la  forme  (6). 


INTÉGRATION    PAR    LES    SÉRIES.  67 

Si  l'équation  (5)  a  toutes  ses  racines  distinctes,  nous  aurons 
n  solutions  de  cette  forme  linéairement  indépendantes,  et  la  solution 
générale  s'écrira 


(7) 


xx  =  Cieai'Xlll(OH-C1eai*XSjl(*)+  ■••  -t-G„eB»*XBjl  (*), 
xt  =  Gi'e«i«X1)2  (0  -+.  G,e«i*Xj,,  (*)+  . . .  -4-  GBc«»*Xll|,(*), 

a?„=  Gie«t*  Xi>B(*)+  G>eai'X,|Ji(f)  -+- . . .  -+-  G„e«»*Xn)„(«). 


Les  C  sont  des  constantes  d'intégration,  les  a  sont  des  constantes 
et  les  X  sont  des  séries  trigonométriques  absolument  et  uniformé- 
ment convergentes. 

Vojons  maintenant  ce  qui  arrive  quand  l'équation  (5)  a  une  ra- 
cine double,  par  exemple    quand  a,  =  a2.   Reprenons  la  formule 

(7),  faisons-j 

C3  =  C4=  -. .  =  Gn  =  o, 

et  faisons-y  tendre  a2  vers  ol1.  Il  vient 

xx  =  e<M  [Ci X1?1  («)  -+-  C2 e(«2-«i" X2,i  (01 

ou,  en  posant 

Ci  =  Ci  —  C2, 

a2  —  «i 
il  viendra 


xt=  e<M    G'1Xiil(t)  +  G'J 


,  e(«=-«i^x2)i(?)  —  X!,i(«; 


a2  —  «i 
11  est  clair  que  la  différence 

x2,i(0  — Xi,i(0 

s'annulera  pour  a2=  a,.  Nous  pourrons  donc  poser 

Xi,i(0  =  W(0'-+-(«2—  «i)X'(0- 
Tl  vient  ainsi 

wx  =  e«i*  Te;  Xm-h  C,  X1;1  e'a2~a''~I  -+-  C'2  X'(*)e(a*-a«"l , 

Cï2  —  (X\ 

et  à  la  limite  (pour  a2=  a,), 

£P1==  C1e«ifXJ,i+  G',e«i*[*Xi,i+  limX'(ï)]. 


68  CHAPITRE    II. 

On  verrait  que  la  limite  ^'(t)  pour  a2  =  a,  est  encore  une  série 
trigonométrique  absolument  et  uniformément  convergente. 

Ainsi  l'effet  de  la  présence  d'une  racine  double  dans  l'équation 
(5)  a  été  d'introduire  dans  la  solution  des  termes  de  la  forme  sui- 
vante 

)>(*)  étant  une  série  trigonométrique. 

On  verrait  sans  [peine  qu'une  racine  triple  introduirait  des 
termes  de  la  forme 

et  ainsi  de  suite. 

Je  n'insiste  pas  sur  tous  ces  points  de  détail.  Ces  résultats  sont 
bien  connus  par  les  travaux  de  MM.  Floquet,  Callandreau,  Bruns, 
Slieltjes,  et,  si  j'ai  donné  ici  la  démonstration  in  extenso  pour  le 
cas  général,  c'est  que  son  extrême  simplicité  me  permettait  de  le 
faire  en  quelques  mots. 

Fonctions  implicites. 

30.  Si  l'on  a  n  -\- p  quantités  y,,  y2,  ■  ■  • ,  )rn  ]  %m  %<2.^  •  •  •  ■>  xp 
entre  lesquelles  ont  lieu  n  relations 

[  /lCKl,  J2,    •■■,  yn\   Xl,   X2,    ■  ■  .",    Xp)  =  O, 

.  ,  \fî(yi,y<i,  ■••, yn\  xu  x%,  ...,  xp)  =  o, 

j 

I  fn(yi,yi,  ••-,  yn\  xu  x%,  ...,  xp)  =  o, 

si  les  f  sont  développables  suivant  les  puissances  des  x  et  des  y  et 
s'annulent  avec  ces  n -\~  p  variables  ; 

Si  enfin  le  déterminant  fonctionnel  des /par  rapport  auxy  n'est 
pas  nul  quand  les  x  et  les  y  s'annulent  à  la  fois; 

On  pourra  tirer  des  équations  (7)  les  n  inconnues  y  sous  la  forme 
des  séries  développées  suivant  les  puissances  de  xf,  x2-,  ■  .  • ,  xn. 

Considérons,  en  effet,  xK  comme  la  seule  variable  indépendante, 
r2,  #3,  -  •  • ,  xn  comme  des  paramètres  arbitraires  :  nous  pourrons 
remplacer  les  équations  (7)  par  les  n  équations  différentielles 


i  =  1,  2,...,n). 


dfi   dyy         dfi  dy« 

dfi  dyn 

H  dfi 

dyi  dxi    '    dy2  dx\ 

dyn  dxi 

dx\ 

INTÉGRATION    PAR    LES    SÉRIES.  69 

jNous  sommes  ainsi  ramenés  au  cas  dont  nous  venons  de  nous 
occuper. 

En  particulier,  si.f(y-,  x{1  x2,  .  ■  -,  xn)  est  une  fonction  dévelop- 
pable  suivant  les  puissances  de  y  et  des  x,  si  pour 


y  =  xi  =  X%  ■■ 

on  a 


df  > 

dy< 


et  si  y  est  défini  par  l'égalité 

=  o, 
y  sera  développable  suivant  les  puissances  des  x. 

31.  Ce  résultat  peut  s'énoncer  d'une  autre  manière;  considé- 
rons en  effet  une  équation  algébrique  quelconque 

f(x)  =  0. 

Si,  pour  une  certaine  valeur  x0  de  x,  f  (x)  s'annule  sans  que  sa 
dérivée  s'annule,  on  dit  que  x0  est  une  racine  simple  de  l'équation; 
c'est  au  contraire  une  racine  multiple  d'ordre  n  si  f  s'annule,  ainsi 
que  ses  n  — i  premières  dérivées. 

De  même,  si  l'on  a  un  système  quelconque  d'équations  algébri- 
ques, trois  par  exemple,  à  savoir 

fi(x,y,  z)  =  o, 
f2(x,y,  z)  =  o, 
fs(x,y,  *)  =  o, 


on  dit  que 


y  =yo, 


est  une  solution  simple  de  ce  système  si  pour  ces  valeurs/^  fzifi-, 
s'annulent  sans  que  leur  jacobien  ou  déterminant  fonctionnel  s'an- 
nule. 

On  peut  conserver  la  même  dénomination  quand  /,,  f2  et/3,  au 
lieu  d'être  des  polynômes  entiers  en  #,  y,  z,  sont  des  fonctions 
holomorphes  en  x,  y,  z. 

Le  résultat  du  numéro  précédent  peut  alors  s'énoncer  comme  il 


70  CHAPITRE    II. 

suit  :  si  Ton  a  p  équations  (où  les  inconnues  sonty,,y2,  -  •  ■  -,7 p) 

fi(yu y*,  ■■■-, yP;  %i,  x-i-,  ...,  a?«)  =  o, 
f-iiyu y%,  •  •  • ,  jjt>;  «ij  2*2,  ■  •  -,  a?»)  =  o, 


fpiyuyzi  •■■-,  yP;  xuxi,  ...,«»)  =  o, 

dont  les  premiers  membres  sont  holomorphes,  si,  pour 

a?j  =  x-i  =  .  . .  =  xn  =  o, 

le  système  de  valeurs 

yi=y2  =  ---  =  yP=o 

est  une  solution  simple  des  équations,  les  y  peuvent  se  dévelop- 
per suivant  les  puissances  croissantes  des  x.  Si  donc  on  donne  aux 
x  des  valeurs  suffisamment  petites,  nos  équations  admettront 
encore  une  solution  réelle. 

Points  singuliers  algébriques. 

32.    Considérons  une  équation 

(i)  f(y,  a?)  =  o, 

et  supposons  que,  pour 

x=y  =  o, 

f  s'annule  ainsi  que  ses  m  —  i  premières  dérivées  par  rapport  ky. 
Alors,  pour  x  =  o,  la  valeur  o  de  y  est  une  solution  d'ordre  m  de 
l'équation. 

On  démontre  qu'il  existe  m  développements  convergents  de  y 
suivant  les  puissances  positives  et  fractionnaires  de  x,  s'annulant 
avec  x  et  satisfaisant  à  l'équation  (voir  les  travaux  classiques  de 
M.  Puiseux  sur  les  équations  algébriques). 

Mais  ces  m  développements  convergents  se  répartissent  en 
groupes  de  la  manière  suivante. 

Soit 

il  'i 

(2)  y  =  a.\XIJ  -+-  a2xp  -K  .  .-+-  aaxp  H-.  .  . 

un  de  ces  développements,  et  soit  X  une  racine  picnxe  de  l'unité. 


INTEGRATION  PAR  LES  SERIES.  71 

Le  développement 

JL  1.  Q: 

y  =  «ilccP-h  a%l^xP  -h.  .  .-+-  a.n\nxP  -\-.  .  . 

satisfera  également  à  l'équation  (i).  On  pourra  donc  déduire  du 
développement  (2)  p —  1  autres  développements  qui  formeront 
avec  lui  un  groupe  ;  je  dirai  que  ce  groupe  est  d'ordre  p. 

La  somme  des  ordres  de  tous  les  groupes  est  manifestement  égale 
à  m. 

Supposons  qu'il  y  ait  qp  groupes  d'ordre/?,  la  somme  de  leurs 
ordres  sera  qpp,  et  l'on  aura 

qi-h  2<72-f--  .  --r-pqp  -4-.  .  .=  m. 

Les  coefficients  des  pqp  développements  appartenant  à  des 
groupes  d'ordre  p  seront  donnés  par  des  équations  algébriques 
d'ordre  pqP- 

Si  pqp  est  impair,  ces  équations  auront  au  moins  une  racine 
réelle  et  un  des  développements  au  moins  aura  ses  coefficients 
réels  ;  comme  de  plus  p  est  impair,  si  pqp  est  impair,  la  valeur 
correspondante  de  y  sera  encore  réelle. 

Mais,  si  m  est  impair,  l'une  au  moins  des  quantités  pqp  est  im- 
paire; l'une  au  moins  des  valeurs  dey  doit  donc  être  réelle. 

Si  donc  m  est  impair,  l'équation  (1)  admettra  encore  au  moins 
une  solution  réelle  pour  les  petites  valeurs  de  x. 

J'ajouterai  que  les  nombres  de  solutions  réelles  pour  les  petites 
valeurs  négatives  de  x  sont  tous  deux  de  même  parité  que  m;  j'en- 
tends parler  des  solutions  réelles  qui  s'annulent  avec  x. 

Élimination. 

33.   Considérons  maintenant  une  équation 

(I)  /(j,  XU  X2,    ...,  Xn)  =  O 

etimaginons  que,  quand  y  et  les  x  s'annulent,/"  s'annule  ainsi  que 
ses  m —  1  premières  dérivées  par  rapport  àjK,  sans  que  la  dérivée 
mieme  s'annule. 

Au  début  de  ma  Thèse  inaugurale  sur  les  fonctions  définies  par 
les  équations  aux  dérivées  partielles  (Paris,  Gauthier- Villars,  1879), 


CHAPITRE    II. 


j'ai  démontré  qu'une  pareille  équation  peut  être  transformée  en 
une  autre  de  la  forme  suivante 

Cp(jK,  XU  X-2,    ...,  xn)  =o, 

où  o  est  un  polynôme  de  degré  m  en  y,  où  le  coefficient  de  y'" 
est  égal  à  i,  et  où  les  autres  coefficients  sont  holomorphes  par 
rapport  aux  x. 

Si  l'on  suppose  m  =  i,  cette  équation  x  se  réduit  à 

y  —  fonction  holomorphe  des  x  =  o, 

et  l'on  retombe  sur  le  théorème  du  n°  3 

J'ai  démontré  également  dans  cette  même  Thèse  (lemme  IV, 
p.   i4)  que: 

Si  (pl5  <52,  .  .  . ,  <fp  sonty^  fonctions  holomorphes  en  Z\,  <s2,  •  -  • , 
zp\  xK,  Xo-,  •  -  -,  JCp\  si  ces  fonctions  s'annulent  quand  on  annule 
tous  les  z  et  tous  les  x  ;  si  les  équations 

spi  =  <p2  =  ..'.==  <pp  =0 

restent  distinctes  quand  on  annule  tous  les  x;  si  enfin  on  définit 
les  z  en  fonction  des  x  par  les  équations 

Ci)  cpi=  cp2  =  ..  .=  Çp  =  0, 

les  p  fonctions  ainsi  définies  sont  algébroïdes;  ce  qui  veut  dire, 
dans  le  langage  de  la  Thèse  citée,  que  les  équations  (2)  peuvent  être 
remplacées  par  p  autres  équations 

tl/j  =  o,  ^2=0,  •••!  typ  =  O 

de  même  forme,  mais  dont  les  premiers  membres  sont  des  poly- 
nômes entiers  par  rapport  aux  z. 

Cela  posé,  soient  deux  équations  simultanées 


3) 


ù{x,y,  z)  =  o, 


définissant  y  et  z  en  fonction  de  x;  je  suppose  que  les  premiers 
membres  soient  holomorphes  en  #,  y  et  z  et  s'annulent  avec  ces 
trois  variables. 

De  deux  choses  l'une,  ou  bien,  quand  on  annulera  #,  les  deux 


INTÉGRATION    PAR     LES    SÉRIES.  ~3 

équations  resteront  distinctes  ;  on  pourra  alors,  d'après  ce  que  nous 
venons  dé  voir,   remplacer  ces    deux  équations  par  deux  autres 

équivalentes 

©1(07,7,  z)=  o, 

dont  les  premiers  membres  seront  des  polynômes  entiers  en  y  et 
z\  on  peut  alors,  entre  ces  deux  équations  devenues  algébriques, 
par  rapport  aux  deux  inconnues  y  et  s,  éliminer  z,  par  exemple,  et 
arriver  à  une  équation  unique 

F 0,7)  --=0, 

ou  bien,  quand  on  annulera  x,  les  deux  équations  (3)  cesseront 
d'être  distinctes 

Mais  alors  deux  cas  pourront  se  présenter. 

Ou  bien  on  pourra  trouver  un  nombre  a,  tel  que  les  équa- 
tions (3)  restent  distinctes  quand  on  fera  x  =  ay. 

Alors,  si  nous  posons  x' =  x  —  oy,  les  équations  restent  dis- 
tinctes pour  x'=  o  et  l'on  retombe  sur  le  cas  précédent;  on  peut 
éliminera  entre  les  deux  équations  (3)  et  les  réduire  à  une  équation 
unique  entre  x'  et  y  ou,  ce  qui  revient  au  même,  entre  x  et  y. 

Ou  bien  on  ne  pourra  pas  trouver  un  pareil  nombre  a;  mais  cela 
ne  peut  arriver  que  si  les  équations  (3)  ne  sont  pas  distinctes; 
sauf  ce  cas  exceptionnel,  l'élimination  sera  donc  toujours  possible. 

Plus  généralement,  soient 

(  «Pi  (*i,  ■*«>••  ■.,  zP\x)  =  0, 
)  <pj(*i,*j,  ...,zp\x)  =  o, 

'  I 

I    «PpC-Slj-SSj  -  •  -,zP',  x)  =  0 

p  équations  dont  les  premiers  membres  soient  holomorph.es  et  qui 
définissent  les  s  en  fonctions  de  x\  si  ces  équations  sont  distinctes, 
on  pourra  toujours  éliminer  z2,  £3,  .  .  -,  zp  entre  ces  p  équations 
et  les  ramener  à  une  équation  unique  de  même  forme 

(5)  F(a;,  *,)  =  <>. 

Je  suppose  que  les  équations  (4)  soient  encore  distinctes  pour 
x  =  o  et,  par  conséquent,  que  F  ne  soit  pas  divisible  par  x. 


74  CHAPITRE    II. 

Je  suppose  que  cp , ,  cp2,  . . .,  fj>p  s'annulent  avec  les  z  et  avec  #,  de 
sorte  que 

(6)  zi  =  z2  =  . .  .  =  zp  =  o 

est  une  solution  du  système  (4)  pour  x  =  o,  et  que  ,s,  =  o  est  une 
solution  de  l'équation  (5). 

Si  z-i  =  o  est  une  solution  d'ordre  m  de  l'équation  (5),  je  dirai 
également  que  la  solution  (6)  est  une  solution  d'ordre  m  du  sys- 
tème (4)- 

Si  la  solution  est  d'ordre  impair,  nous  pourrons  affirmer  que  l'é- 
quation (5)  et,  par  conséquent,  le  système  (4)  admettent  encore  des 
solutions  réelles  pour  les  petites  valeurs  de  x. 

Théorème  sur  les  maxima. 

34-.  Soit  F(^| ,  z.2i  •  •  -  -  Sp)  une  fonction  quelconque  holomorphe 
par  rapport  aux  z  ;  on  sait  qu'on  trouvera  tous  les  maxima  de  cette 
fonction  en  résolvant  le  système 

d¥        d¥  d¥ 

ii)  —=_=...=  -—=  o; 

azi        dz%  azp 

mais  on  sait  également  que  toutes  les  solutions  de  ce  système  ne 
correspondent  j>as  à  des  maxima. 

Je  dis  qu'une  condition  nécessaire,  mais  non  suffisante  bien  en- 
tendu, pour  qu'une  solution  puisse  correspondre  à  un  maximum 
de  F,  c'est  que  cette  solution  soit  d'ordre  impair. 

La  chose  est  évidente  si  l'on  n'a  qu'une  seule  variable  zt  et  une 
seule  équation 

dF  __ 
dzi 

On  sait,  en  effet,  qu'il  ne  peut  y  avoir  de  maximum  si  la  pre- 
mière dérivée  de  F  qui  ne  s'annule  pas  n'est  pas  d'ordre  pair. 

Etendons  le  même  résultat  au  cas  général  et,  pour  fixer  les  idées, 
considérons  le  cas  de  deux  variables  seulement  Z\  et  z2-  Regardons 
zt  et  z2  comme  les  coordonnées  d'un  point  dans  un  plan  ;  nous 
pouvons  toujours  supposer  que  l'on  ait  pris  pour  origine  le  point 


INTÉGRATION    PAR    LES    SÉRIES.  j5 

qui  correspond  au  maximum,  de  façon  que  ce  maximum  ait  lieu  pour 


On  pourra  alors  décrire  autour  de  l'origine  une  courbe  fermée  G 
très  petite,  et  telle  qu'en  tous  ces  points  on  ait 

F(z1,zi)<F(o,o). 

Mais  il  y  a  plus  :  nous  pouvons  supposer  que  cette  courbe  ait 

pour  équation 

F(^,^)  =  F(o,o)-X», 

À  étant  une  constante  très  petite,  et  qu'à  l'intérieur  de  cette  courbe 

fermée  G  on  ait 

F(z1,z2)>F(o,o)  —  X«; 

par  conséquent,  quand  on  franchira  la  courbe  G  en  allant  de  l'exté- 
rieur à  l'intérieur,  F  ira  en  augmentant. 
Ce  qu'il  s'agit  d'établir,  c'est  que 


est  une  solution  d'ordre  impair  du  système 

dF  _  dF  _ 

CCZi  clz% 

mais  cela  revient  à  dire  ce  qui  suit  :  soit 

F('*i,*>,  [-0 

une  fonction  de  zh  et  de  £2  qui  se  réduise  à  F(-s<,  z%)  pour  pi=  o. 
Le  système 

dF        dF 

(I)  7F7  =  d7=0 

CC<&1  CIZ% 

a,  pour  [/.  =  o,  une  solution  multiple  qui  est 

mais  on  peut  toujours  choisir  la  fonction  F(^l5  s2,  pi)  [qui  ne  nous 
est  donnée  que  pour  ]x  =  o,  et  qui  reste  arbitraire  pour  les  autres 
valeurs  de  [x],  de  telle  façon  que,  pour  les  valeurs  de  [/.  différentes 


76  CHAPITRE    II. 

de  zéro,  ce  même  système  n'ait  plus  que  des  solutions  simples.  Eh 
bien,  ce  qu'il  s'agit  d'établir,  c'est  que,  si  u.  est  assez  petit,  il  y  a, 
dans  l'intérieur  de  la  courbe  C,  un  nombre  impair  de  ces  solutions 
simples. 

Dans  mon  Mémoire  Sur  les  courbes  définies  par  les  équa- 
tions différentielles  [IVe  Partie,  Chap.  XVIII  (Journal de  Liou- 
ville,  4e  série,  t.  II,  p.  177)].  j'ai  eu  l'occasion  d'étudier  la  distri- 
bution de  points  singuliers  d'un  système  d'équations  différentielles 
et  de  définir  pour  cela  l'indice  kroneckérien  d'une  courbe  fermée 
ou  d'une  surface  fermée  par  rapport  à  ce  système  d'équations  dif- 
férentielles. 

Le  système  que  nous  aurons  à  considérer  ici  est  le  suivant 


O) 


dz\  dze>_ 

I  d¥  .   ==  Td¥ 
\dzi)         \dz2 


et,  plus  généralement, 

dzi  dz^  dzn 


d¥\         {dF\       "'       /  dF 
dzij         \  dz*  )  \  dzn. 

Les  points  singuliers  du  système  (2)  seront  les  solutions  du  sys- 
tème (1). 

Nous  aurons  à  calculer  l'indice  kroneckérien  de  la  courbe  fer- 
mée C  par  rapport  au  système  (2).  On  peut  vérifier  qu'il  est  égal 
à  1  pour  p.  =  o,  et  l'on  en  conclura  qu'il  sera  encore  égal  à  1  poul- 
ies petites  valeurs  de  u,  puisqu'il  ne  peut  varier  que  si  une  des  so- 
lutions du  système  (1)  vient  à  franchir  cette  courbe  C. 

Le  nombre  des  points  singuliers  positifs  du  système  (2),  situés 
à  l'intérieur  de  G,  est  donc  égal  au  nombre  des  points  singuliers 
négatifs  plus  un. 

Le  nombre  total  des  points  singuliers,  c'est-à-dire  le  nombre 
total  des  solutions  du  système  (1)  supposées  simples,  situées  à  l'in- 
térieur de  C,  est  donc  impair.  c.  q.  f.  d. 

Ce  raisonnement  s'applique  sans  changement  au  cas  où  il  y  a 
plus  de  deux  variables. 


INTEGRATION    PAR     LES    SERIES.  77 


Nouvelles  définitions. 


35.  Je  ne  parlerai  pas  pour  le  moment,  afin  de  pas  trop  allonger 
ces  préliminaires,  de  l'application  des  méthodes  de  Cauchy  aux 
équations  aux  dérivées  partielles,  bien  que  je  me  réserve  de  revenir 
plus  tard  sur  cette  question. 

Je  terminerai  ce  Chapitre  en  donnant  une  nouvelle  extension 
à  la  notation  <^  du  n°  20. 

Soient  o(#,  y,  £),  'h(x,  y,  t)  deux  séries  ordonnées  suivant  les 
puissances  croissantes  de  x  et  de  y,  de  telle  façon  que  les  coeffi- 
cients soient  des  fonctions  périodiques  de  £,  développées  suivant 
le  sinus  ou  le  cosinus  des  multiples  de  t  ou,  ce  qui  revient  an 
même,  suivant  les  puissances  positives  et  négatives  de  eu. 

Considérons  donc  le  développement  de  o  et  de  <b  suivant  les 
puissances  de  x,  y  et  elt;  si  chaque  coefficient  de  d/  est  réel,  positif 
et  plus  grand  en  valeur  absolue  que  le  coefficient  correspondant 
de  co,  nous  écrirons 

c?<^         (arg.  x,  y,  e±lt). 

Si  la  série  'h  est  convergente  pour 

#  =  |#o  |,      y  =  !  jko  |,       t  —  o, 

la  série  cp  convergera  pour 

x  =  ctq,        y  =yo,         t  =  quantité  réelle  quelconque. 

J'ajoute  qu'il  suffit  que  la  série  <b  converge  quand  t  =  o  pour 
qu'elle  converge  quel  que  soit  t. 

Si  la  série  cp(#,  y-,  t)  converge  et  si  elle  représente  une  fonction 
analytique,  il  résulte  de  ce  que  nous  avons  vu  au  numéro  précédent 
que  la  convergence  est  absolue  et  uniforme. 

On  peut  donc  trouver  une  constante  a  réelle  et  positive  et  une 
fonction  M  de  £,  périodiques  et  de  période  27c,  qui  soient  telles  : 

1  °  Que  le  développement  de  M,  suivant  les  puissances  positives 
et  négatives  de  eie,  ait  tous  ses  coefficients  réels  et  positifs; 

20  Que  l'on  ait 

o<  ; (arg. a?,  y,  e±lt). 

'         1  —  a(op-i-y)  J 


78  CHAPITRE    II. 

On  aura  donc  a  fortiori,  quel  que  soit  /, 

/            Mo 
9<  7 (arg.  ce,  Y), 

M0  étant  la  valeur  de  M  pour  t  =  o. 
En  effet,  soit 

cp  =  Y>kxmynePu\ 
il  viendra 

•jï  =  —  I,ApïxmynePit. 

Cette  série  devra  converger,  par  hypothèse,  pour  toutes  les  va- 
leurs réelles  de  t  et  pour  les  valeurs  de  x  et  y  qui  sont  intérieures 
au  cercle  de  convergence.  Supposons,  par  exemple,  que  la  conver- 
gence ait  lieu  pour 

1 
x  =  y  =  -• 
J        a 

Les  termes  de  la  série  devront  être  limités  en  valeur  absolue,   de 
sorte  qu'on  pourra  écrire,  en  appelant  K  une  constante  positive, 

r,f>i-+-n 

IAK-p-K. 

Si  nous  posons 

il  viendra 

M  M 


?<7 w T< 


(1  —  aa?)(i — aj)        1  —  a(a?-+-i^) 


SOLUTIONS    PERIODIQUES.  79 

CHAPITRE  III. 

SOLUTIONS    PÉRIODIQUES. 


36.    Soit 

dxt       v 

(1)  —r-  =Xi  (1  =  1,2,      .  .  . ,     n) 

un  système  d'équations  différentielles,  où  les  X  sont  des  fonctions 
uniformes  données  de  xi:  x2,   .  .  .  ,  xn. 
Soit  maintenant 

(2)  3?i  =  <pi(0,  #2=?a(0,  •••,  Xn  =  <fn(t); 

une  solution  particulière  de  ce  système.  Imaginons  qu'à  l'époque  T 
les  n  variables  xt  reprennent  leurs  valeurs  initiales,  de  telle  façon 
que  l'on  ait 

?;(°)  =  ?/(T)- 

11  est  clair  qu'à  cette  époque  T  on  se  retrouvera  identiquement 
dans  les  mêmes  conditions  qu'à  l'époque  o  et,  par  conséquent, 
qu'on  aura,  quel  que  soit  £, 

cf/(0  =  c?/(i  +  T). 

En  d'autres  termes,  les  fonctions  cp;  seront  des  fonctions  pério- 
diques de  t. 

On  dit  alors  que  la  solution  (2)  est  une  solution  périodique 
des  équations  (1). 

Supposons  maintenant  que  les  fonctions  X,  dépendent  non  seu- 
lement des  a?;,  mais  du  temps  t.  J'imagine,  de  plus,  que  les  X/ 
soient  des  fonctions  périodiques  de  t  et  que  la  période  soit  égale 
à  T.  Alors,  si  les  fonctions  <pt-  sont  telles  que 

cp;(o)  =  Ç/(T), 


8o  CHAPITRE     III. 

on  pourra  encore  en  conclure  que 

et  la  solution  (2)  sera  encore  périodique. 

Voici  un  autre  cas  un  peu  plus  compliqué.  Supposons  de  nou- 
veau que  les  fonctions  X;  ne  dépendent  plus  que  des  x  ,  mais 
qu'elles  soient  des  fonctions  périodiques  des  p  premières  x,  à  sa- 
voir de  xKl  Xo,  . . .  ,  xp,  de  telle  sorte  que  les  X;  ne  changent  pas 
quand  on  change  xt  en  x{  -+-  27c,  ou  bien  x2  en  x2  -+-  2Tr,  . . .  , 
ou  bien  xp  en  xp  -f- 1~ . 

Imaginons  maintenant  que  l'on  ait 

ÇllT)  =  cp1(0)-4-2A-17T,      «?g(T)  =  cp2(o)  ^ilur. op(T)  =  <?p(o)-hikj,T., 

'/;+i(T)  =  cp7J+1(o),  cpp+2(TJ  =  cpp4.2(o),  ■•-.      o„(T)  =  <p»(o). 

/fi,  k2,  •  •  ■  ,  kp  étant  des  entiers. 

A  l'époque  T,  les  p  premières  variables  x  auront  augmenté  d'un 
multiple  de  2tî,  les  11 — p  dernières  n'auront  pas  changé;  les  X; 
n'auront  donc  pas  changé,  et  l'on  se  retrouvera  dans  les  mêmes 
conditions  qu'à  l'époque  o.  On  aura  donc 

o;(l  +  T)  =  Oi(  t)  -+■  2/qtî         (i  =  1 ,  2,   . . . ,  p 
®i(t-+-T)  =  Qi(£)  (i  —  p  4-  1 ,  p  -+■  2 ,    ...,«). 

Nous  conviendrons  encore  de  dire  que  la  solution  (2)  est  une 
solution  périodique. 

Enfin  il  peut  arriver  qu'un  changement  convenable  de  variables 
fasse  apparaître  des  solutions  périodiques  qu'on  ne  rencontrait  pas 
irivec  les  variables  anciennes. 

Reprenons,  par  exemple,  les  équations  (2)  du  n°  2 

d>-\  dr,  clY 

de2  dt  d\ 

d*T,  d\  dV 

dP-  dt  dt)  ' 

Il  s'agit,  on  se  le  rappelle,  du  mouvement  d'un  point  rapporté  ù 
deux  axes  mobiles  Oç  et  Ot)  et  soumis  à  une  force  dont  les  con- 

n  dV       dV 

posantes  suivant  ces  deux  axes  sont  -y  et -7— 

Dans  beaucoup   d'applications,  V  ne  dépend  que  de  \  et  de  75 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  Si 

et  les  équations  admettent  des  solutions  particulières  telles,  que 
£  et  7)  soient  des  fonctions  périodiques  de  t,  la  période  étant 
égale  à  T. 

Si  l'on  avait  rapporté  le  point  à  des  axes  fixes  Ox  et  Oy,  on 

aurait  eu 

x  =  \  cos?it  — ■  Y)  sin/i£, 

y  =  \  sin  ni  -+-  Y)  cos  nt , 

et  x  et  y  n'auraient  pas  été  des  fonctions  périodiques  de  t,  à  moins 

que  T  ne  soit  commensurable  avec  — 
1  n 

On  fait  donc  apparaître  une  solution  périodique  en  passant  des 
axes  fixes  aux  axes  mobiles. 

Le  problème  que  nous  allons  traiter  ici  est  le  suivant  : 

Supposons  que,  dans  les  équations  (i),  les  fonctions  X^  dépen- 
dent d'un  certain  paramètre  [j.  ;  supposons  que  dans  le  cas  de 
jj.  =  o  on  ait  pu  intégrer  les  équations,  et  qu'on  ait  reconnu  ainsi 
l'existence  d'un  certain  nombre  de  solutions  périodiques.  Dans 
quelles  conditions  aura-t-on  le  droit  d'en  conclure  que  les  équa- 
tions comportent  encore  des  solutions  périodiques  pour  les  petites 
valeurs  de  ut.  ? 

Prenons  pour  exemple  le  Problème  des  trois  corps  :  nous  sommes 
convenus  plus  haut  (n°  11)  d'appeler  a2[^  et  a3p.  les  masses  des 
deux  plus  petits  corps,  u.  étant  très  petit,  a2  et  a3  finis.  Pour  pi  =  o, 
le  problème  est  intégrable,  chacun  des  deux  petits  corps  décrivant 
autour  du  troisième  une  ellipse  keplérienne;  il  est  aisé  de  voir  alors 
qu'il  existe  une  infinité  de  solutions  périodiques.  Nous  verrons 
plus  loin  qu'il  est  permis  d'en  conclure  que  le  Problème  des  trois 
corps  comporte  encore  une  infinité  de  solutions  périodiques,  pourvu 
que  [x  soit  suffisamment  petit. 

Il  semble  d'abord  que  ce  fait  ne  puisse  être  d'aucun  intérêt  pour 
la  pratique.  En  effet,  il  y  a  une  probabilité  nulle  pour  que  les 
conditions  initiales  du  mouvement  soient  précisément  celles  qui 
correspondent  à  une  solution  périodique.  Mais  il  peut  arriver 
qu'elles  en  diffèrent  très  peu,  et  cela  a  lieu  justement  dans  les  cas 
où  les  méthodes  anciennes  ne  sont  plus  applicables.  On  peut  alors 
avec  avantage  prendre  la  solution  périodique  comme  première  ap- 
proximation, comme  orbite  intermédiaire ,  pour  employer  le  lan- 
gage de  M.  Gyldén. 

H.  P.  -  I.  6 


82  CHAPITRE    III. 

Il  y  a  même  plus  :  voici  un  fait  que  je  n'ai  pu  démontrer  rigou- 
reusement, mais  qui  me  parait  pourtant  très  vraisemblable. 

Étant  données  des  équations  de  la  forme  définie  dans  le  n°  13 
et  une  solution  particulière  quelconque  de  ces  équations,  on  peut 
toujours  trouver  une  solution  périodique  (dont  la  période  peut,  il 
est  vrai,  être  très  longue),  telle  que  la  différence  entre  les  deux  so- 
lutions soit  aussi  petite  qu'on  le  veut,  pendant  un  temps  aussi 
long  qu'on  le  veut.  D'ailleurs  ,  ce  qui  nous  rend  ces  solutions 
périodiques  si  précieuses,  c'est  qu'elles  sont,  pour  ainsi  dire,  la 
seule  brèche  par  où  nous  puissions  essayer  de  pénétrer  dans  une 
place  jusqu'ici  réputée  inabordable. 

37.  Reprenons  les  équations 

CtuU  i  -%r  /    *  \ 

(i)  _-  =  \t        (i=  î,  2,  ...,  n), 

en  supposant  que  les  Xj  soient  des  fonctions  des  n  inconnues 
X\,  #2î  ■  •  •  i  xni  du  temps  t,  et  d'un  paramètre  arbitraire  p.. 

Supposons,  de  plus,  que  ces  fonctions  soient  périodiques  par 
rapport  à  t  et  que  la  période  soit  2  7T. 

Imaginons  que,  pour  p.  =  o,  ces  équations  admettent  une  solu- 
tion périodique  de  période  2-ïî 

xt  =  <p/(Oj 

de  telle  sorte  que 

Cherchons  si  les  équations  (i)  admettront  encore  une  solution 
périodique  de  période  air  quand  \t.  ne  sera  plus  nul,  mais  très 
petit. 

Considérons  maintenant  une  solution  quelconque. 

Soit  9i(o)  H-  (3;  la  valeur  de  xi  pour  t  —  o  ;  soit  9^(0)  +  [3/  -+-  <!),■ 
la  valeur  de  Xi  pour  t  =  27:. 

Les  <]>/  seront,  d'après  le  théorème  du  n°  27,  des  fonctions 
holomorphes  de  \k  et  des  (3;,  et  ces  fonctions  s'annuleront  pour 

H-  =  Pi  =  P2  =  •••  =P»  =  o. 

Pour  écrire  que  la  solution  est  périodique,  il  faut  écrire  les 
équations 

(r)  tyi  =  <J;2  =   ...  =  ^„  =  o. 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  83 

Si  le  déterminant  fonctionnel  ou  jacobien  des  <I>,  par  rapport  aux 
[3,  n'est  pas  nul  pour  fx  =  (3;  =  o,  le  théorème  du  n°  30  nous  ap- 
prend que  l'on  peut  résoudre  ces  n  équations  par  rapport  aux  (3  et 
que  l'on  trouve 

9/([x)  étant  développable  suivant  les  puissances  de  jx  et  s'annulant 

avec  tx. 

i 

On  doit  en  conclure  que,  pour  les  valeurs  de  ix  suffisamment 
petites,  les  équations  différentielles  admettent  encore  une  solution 
périodique. 

Cela  est  vrai  si  le  jacobien  des  <!;  n'est  pas  nul  ou,  en  d'autres 
termes,  si  pour  p.  =  o  les  équations  (  i)  admettent  le  système 

pt  =  p2  --  ...  =  pa  =  o 

comme  solution  simple. 

Qu'arrivera-t-il  maintenant  si  cette  solution  est  multiple  ? 

Supposons  qu'elle  soit  multiple  d'ordre  m.  Soient  mK  le  nombre 
des  solutions  du  système  (i)  pour  les  petites  valeurs  positives  de 
jx,  et  m2  le  nombre  des  solutions  de  ce  même  système  pour  les 
petites  valeurs  négatives  de  jx;  j'entends  parler  des  solutions  qui 
sont  telles,  que  [3,,  (32,  . . .  ,  fin  tendent  vers  o  avec  pu 

D'après  ce  que  nous  avons  vu  aux  nos  32  et  33,  les  trois  nom- 
bres m,  mK  et  J7i2  sont  de  même  parité.  Si  donc  m  est  impair,  on 
sera  assuré  qu'il  existe  encore  des  solutions  périodiques  pour  les 
petites  valeurs  de  u.  tant  positives  que  négatives. 

Si  mK  n'est  pas  égal  à  m2,  la  différence  ne  peut  être  qu'un 
nombre  pair  ;  il  peut  donc  arriver  que,  quand  on  fait  croître  u.  d'une 
façon  continue,  un  certain  nombre  de  solutions  périodiques  dis- 
paraissent au  moment  où  p.  change  de  signe  (ou  plus  générale- 
ment, puisque  rien  ne  distingue  la  valeur  p.  —  o  des  autres  valeurs 
de  pi,  au  moment  où  [x  passera  par  une  valeur  quelconque  jx0)  ; 
mais  ce  nombre  doit  toujours  être  pair. 

Une  solution  périodique  ne  peut  donc  disparaître  qu'après  s'être 
confondue  avec  une  autre  solution  périodique. 

En  d'autres  termes,  les  solutions  périodiques  disparaissent 
par  couples  ci  la  façon  des  racines  réelles  des  équations  algé- 
briques. 


84  CHAPITRE    III. 

D'après  le  n'J  33,  on  peut  éliminer  entre  les  équations  (i),  les 
n  —  i  variables  [i{ ,  (32,  [33,  ..-,  (3«_i ,  et  obtenir  une  équation 
unique 

(■i)  *({JJ1,ti)  =  o 

dont  le  premier  membre  est  holomorphe  en  [in  et  ^  et  s'annule 
avec  ces  variables. 

Si  l'on  regarde  un  instant  fin  et  [x  comme  les  coordonnées  d'un 
point  dans  un  plan,  cette  équation  représente  une  courbe  passant 
par  l'origine;  à  chacun  des  points  de  cette  courbe  correspond  une 
solution  périodique. 

On  pourra  donc  se  rendre  compte  de  toutes  les  circonstances 
qui  peuvent  se  présenter  en  étudiant  la  forme  de  cette  courbe  dans 
le  voisinage  de  l'origine. 

Un  cas  particulier  intéressant  est  celui  où,  pour  u.  =  o  ,  les 
équations  différentielles  admettent  une  infinité  de  solutions  pé- 
riodiques. 

Soit 

a?i  =  ®i(t,  h),         cc2  =  <?z(t,  h) ,  ...,  xn  =  on(t,  h) 

un  système  de  solutions  périodiques,  contenant  une  constante 
arbitraire  h.  Quelle  que  soit  cette  constante,  les  fonctions  ce;  sont 
périodiques  de  période  27c  par  rapport  à  £,  et  elles  satisfont  aux 
équations  différentielles  quand  on  les  y  substitue  à  la  place  des  #., 
et  qu'on  fait  ij.  =  o. 

Dans  ce  cas,  pour  |a  =  o,  les  équations  (i)  ne  sont  plus  dis- 
tinctes, et  l'équation  (2)  doit  se  réduire  à  une  identité. 

Alors  la  fonction  <É>  doit  contenir  ]x  en  facteur  et  se  réduire  à 
u.<I>i,  de  telle  façon  que  la  courbe  (2)  se  décompose  en  une  droite 
f/.  z=z  o  et  une  autre  courbe  <t>i,  =  o. 

A  chaque  point  de  cette  courbe  <£,  =  o  correspond  une  solu- 
tion périodique,  de  sorte  que  l'étude  de  cette  courbe  nous  fera 
connaître  les  diverses  circonstances  qui  pourront  se  présenter. 

Mais  cette  courbe  <ï>,  =  o  ne  passe  pas  toujours  par  l'origine. 

Nous  devons  donc  avant  tout  disposer  de  la  constante  arbi- 
traire h  de  façon  que  cette  courbe  passe  par  l'origine. 

Un  autre  cas  particulier  qui  me  semble  digne  d'intérêt  est  le  sni- 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  85 

vant  :  Supposons  qu'on  ait  reconnu  par  un  moyen  quelconque  que 
la  courbe  <ï>  =  o  présente  une  branche  B  passant  par  l'origine.  A 
chacun  des  points  de  cette  branche  correspondra  une  solution  pé- 
riodique. Imaginons  de  plus  que  l'on  sache  d'une  manière  quel- 
conque que  la  branche  B  n'est  pas  tangente  à  la  droite  fj.  =  o  ;  sup- 
posons enfin  que  le  déterminant  fonctionnel  des  ty  par  rapport  aux 
[3  soit  nul.  On  en  conclura  que 

d<5>  _ 

et,  comme  la  branche  B  par  hypothèse  n'est  pas  tangente  à  la  droite 

jji  =  o,  on  devra  avoir 

d$>  _ 

d[i 

Cela  montre  que  la  courbe  <É>  =  o  présente  à  l'origine  un  point 
multiple;  par  conséquent  une  ou  plusieurs  branches  de  courbe 
autres  que  B  vont  passer  par  l'origine.  Sauf  des  cas  exception- 
nels sur  lesquels  nous  aurons  à  revenir  plus  tard,  une  au  moins 
de  ces  branches  est  réelle. 

Il  existera  donc,  en  dehors  des  solutions  périodiques  correspon- 
dant à  la  branche  B,  un  autre  système  de  solutions  périodiques,  et 
les  solutions  des  deux  systèmes  se  confondront  en  une  seule  pour 
|jl  =  o.  Voici  une  circonstance  où  ce  cas  se  présentera. 

Nous  avons  appelé  plus  haut 

<Pf(o)  +  P* 
la  valeur  de  xi  pour  t  —  o  et 

la  valeur  de  Xi  pour  t  =  11t. 
•  Appelons  de  même 

«P/CoJ-hPh-M 

la  valeur  de  xi  pour  t  =  2À"tc,  k  étant  entier. 

Je  suppose  que,  pour  ]x  =  ft{  =  (32  =  •  •  •  =  Pn=  °>  le  détermi- 
nant fonctionnel  des  ty  par  rapport  aux  (3,  que  j'appelle  A,  ne  s'an- 
nule pas,  tandis  que  le  déterminant  fonctionnel  des  <]/  par  rapport 
aux  (3,  que  j'appelle  A',  s'annule.  _., 


8(î  CHAPITRE    III. 

De  ce  que  A  ne  s'annule  pas,  on  peut  conclure  qu'il  existe  une 
solution  périodique,  de  période  21c,  qui  se  réduit  à 

Xl=  Oi(t) 

pour  [j.  =  o.  Si  nous  construisons  la  courbe 

<p  =  o 

correspondant  aux  solutions  périodiques  ainsi  définies,  cette  courbe 
passera  par  l'origine,  et  sa  tangente  ne  sera  pas  la  droite  u=:o, 
puisque  A  n'est  pas  nul. 

Mais  une  solution  de  période  2tï  peut  aussi  être  regardée  égale- 
ment comme  une  solution  périodique  de  période  2kiz. 

Cherchons  donc  les  solutions  périodiques  de  période  2  kiz.  Pour 
cela,  nous  aurons  à  résoudre  les  équations 

fi  =  "Ki  =  •  ■  ■  =  4»fl  =  °- 

En  éliminant  entre  ces  équations  (3.,,  (32j  •  •  • ,  (3n_i,  nous  obtien- 
drons une  équation  unique 

*'(P»>  i-O  =  °> 

qui,  d'après  nos  conventions,  représentera  une  courbe  passant  par 
l'origine. 

Nous  devons  retrouver  nos  solutions  de  période  au;  donc  la 
courbe  <ï>  =  o  sera  une  des  branches  de  la  courbe  <ï>'=  o  (O'  sera 
donc  divisible  par  <ï>),  et  cette  branche  ne  touchera  pas  la  droite 
pi  =  o. 

De  plus,  comme  A'  est  nul,  on  aura 

d<S>'  _ 

Donc  l'origine  est  un  point  multiple  de  la  courbe  <£>' =  o.  Il  existe 
donc  des  solutions  de  période  2À"7i,  distinctes  de  la  solution  de  pé- 
riode 2  7i  et  se  confondant  avec  elle  pour  [jl  =  o. 

Il  y  a  quelques  cas  d'exception  sur  lesquels  nous  reviendrons 
dans  la  suite. 

J'ai  encore  à  parler  du  cas  où  les  équations  (1)  du  n°  36  admet- 
tent une  intégrale 

F(a?i,  a?2)  •  •■•  %ni  t)  =  const., 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  87 

dont  le  premier  membre  (que  j'écrirai,   pour  abréger,  F[,£;,  t~\) 
est  fonction  périodique  de  t  de  période  iiz. 
Je  dis  que  dans  ce  cas  les  équations 

(1)  (L1==  iL2  =  . .  .=  il„  =  0. 

ne  seront  pas  distinctes  en  général. 
En  effet,  on  aura  identiquement 

(2)  F[cp;(o)-f-|3,;  o]  =  F[cp;(o)-t-(B; +  <];/;  2tt]=  Ffcp^o)  -H  fy-f-  «J»/;  o]. 
Considérons  donc  l'équation 

(3)  F[?J-(o)-t-^+^,  oj  —  F[o,-(o)-4-P/,  o]  =  o. 

Le  premier  membre  est  développable  suivant  les  puissances  des 
'}/,  des  fit  et  de  u;  de  plus  il  s'annule  quand  les  tyi  s'annulent. 
Supposons  que  l'on  n'ait  pas 

dF_  _ 

pour  xt=  'fi(o),  \k=  o. 

La  dérivée  du  premier  membre  de  (3)  par  rapport  à  tyn  ne  s'an- 
nulera pas  pour 

<W=o,         P*-=o,         [1  =  0. 

Donc,  en  vertu  du  théorème  du  n°  30,  nous  pourrons  tirer  de 
l'équation  (3) 

<K=  °(<W>  "l'a,  •••,  tyn-i;  pi,  p2,  ••  -,  p«,  {*), 

8  étant  une  série  développée  suivant  les  puissances  de  i|^,  <L2,  .  .  . , 
(lrt_f  ;  Pi ,  [32,  .  .  . ,  prt  et  u.  et  s'annulant  quand  on  a  à  la  fois 

({/!=  (J/2  =  ...=  <|/„_!  =  o. 

La  nième  des  équations  (i)  est  donc  une  conséquence  des  n  —  i 
premières. 
Si  l'on  avait 

dF_  _  d¥  > 

dxn         '  dxi  <- 

pour  Xi=  'f/(o),  ce  serait  la  première  des  équations  (i)  qui  serait 
une  conséquence  des  n  —  i  dernières. 


88  CHAPITRE    III. 

Dans  tous  les  cas  les  équations  (i)  ne  seraient  pas  distinctes. 
Il  n'y  aurait  d'exception  que  si  Von  avait  à  la  fois 


dF_    _  dF__  dF  _ 

dxx        dx2  dxn 


pour  xt=  'fi(o),  \j.  =  o. 

On  supprimera  donc  l'une  des  équations  (1),  par  exemple 

tyn  =  O, 

(si  j —  <°  ) '  et  l'on  résoudra  par  rapport  aux  fi  le  système 


dxn 

<W  =  <b  =  •  •  •  =  .^«-t  —  °  j 

auquel  on  adjoindra  une  nième  équation  choisie  arbitrairement,  par 

exemple 

p£-  —  const.  arbitraire        ou         F  —  G 

(C  étant  une  constante  donnée). 

Pour  chaque  valeur  de  [x  il  y  a  donc  une  infinité  de  solutions  pé- 
riodiques de  période  2  7t;  si  toutefois  on  regarde  la  constante  C  (à 
laquelle  est  égalée  F)  comme  une  donnée  de  la  question  il  n'y  en  a 
plus  qu'une  en  général. 

Si,  au  lieu  d'une  intégrale  uniforme,  nous  en  avions  deux 

F  (a?j,  a?2,  .  •  • ,  xn,  t)  =  const., 
F1(a?1,  a?2,  . .  .,  xn,  t)  =  const., 

les  deux  dernières  équations  (i)  seraient  une  conséquence  des  n  —  i 
premières,  pourvu  que  le  jacobien 

dF_     dFx  dF     dF, 

&0C  fi    Ct  Ou  n — \  Cl OC fi — \    CLOGji 

ne  soit  pas  nul  pour  %i=  <p,(o),  [a  =  o. 

On  pourrait  alors  supprimer  ces  deux  dernières  équations 

<K-i  =  <K=  o, 

el  les  remplacer  par  deux  autres  équations  choisies  arbitrairement. 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  89 


Cas  où  le  temps  n'entre  pas  explicitement  dans  les  équations. 

38.  Dans  ce  qui  précède,  nous  avons  supposé  que  les  fonctions 
X,,  X2,  .  .  • ,  Xn,  qui  entrent  dans  les  équations  différentielles  (■), 
dépendent  du  temps  t.  Les  résultats  seraient  modifiés  si  le  temps  t 
n'entre  pas  dans  ces  équations. 

11  j  a  d'abord  entre  les  deux  cas  une  différence  qu'il  est  impos- 
sible de  ne  pas  apercevoir.  Nous  avions  supposé  dans  ce  qui  pré- 
cède que  les  X^  étaient  des  fonctions  périodiques  du  temps  et  que 
la  période  était  2—;  il  en  résultait  que,  si  les  équations  admettaient 
une  solution  périodique,  la  période  de  cette  solution  devait  être 
égale  à  iiz  ou  à  un  multiple  de  2tc.  Si,  au  contraire,  les  X;  sont 
indépendants  de  t,  la  période  d'une  solution  périodique  peut  être 
quelconque. 

En  second  lieu,  si  les  équations  (i)  admettent  une  solution  pé- 
riodique (et  si  les  X  ne  dépendent  pas  de  t),  elles  en  admettent 
une  infinité. 

Si,  en  effet, 

est  une  solution  périodique  des  équations  (i),  il  en  sera  de  même, 
quelle  que  soit  la  constante  A,  de 

dsl=  <pi(*-f-  A),        x%  =  cpi(f  -j-  A),         ...,        os,i—  v,i(t  -h     )• 

Ainsi  le  cas  sur  lequel  nous  nous  sommes  étendus  d'abord  et  dans 
lequel,  pour  \t-=  o,  les  équations  (1)  admettent  une  solution  pério- 
dique et  une  seule,  ne  peut  se  présenter  si  les  X  ne  dépendent  pas 
de  t. 

Plaçons-nous  donc  dans  le  cas  où  le  temps  t  n'entre  pas  explici- 
tement dans  les  équations  (i)  et  supposons  que  pour  y.=  o  ces 
équations  admettent  une  solution  périodique  de  période  T 

(4)  x1=o1(t),        a?2=<p2(i0,         •:•)        #«=?»(*)• 

Soit  <p/(o)  -+-  fit  la  valeur  de  xi  pour  t  =  o  ;  soit  <p«(o)  +  (3;  +  <j>* 
la  valeur  de  Xi  pour  t  =  T  -f-  t. 

Les  fa  seront  des  fonctions  holomorphes  de  p.,  de  (3(,  (32,  -  •  -, 
S„  et  de  t  s'annulant  avec  ces  variables. 


90  CHAPITRE    III. 

Nous  avons  donc  à  résoudre  par  rapport  aux  n  -\-  i  inconnues 

Pi,  Pi,   •  ••,  P«,  t 


les  n  équations 

(5) 


^1  =  ^2  =  -  ••=  <Wî=°- 


Nous  avons  une  inconnue  de  trop  ;  nous  pouvons  donc  poser  ar- 
bitrairement, par  exemple, 

P«  =  o. 

Nous  tirerons  ensuite  des  équations  (5),  (3.,,  (32,  . . .,  (3W_,  et  t  en 
fonctions  holomorphes  de  [x  s'annulant  avec  y..  Gela  est  possible,  à 
moins  que  le  déterminant 


dp. 

dû, 

dp. 

dp„_l 

du 

dt^2 
dp. 

dû2 
^2 

df2 
dp„_. 

dz 

d<^« 
dp, 

dij>» 

dp, 

dtyn 
dP„_, 

d^rl 

di 

ne  soit  nul  pour  [a  =  <p«  =  t  =  o. 

Si  ce  déterminant  était  nul,  au  lieu  de  poser  arbitrairement 
[i/2  =  o,  on  poserait,  par  exemple,  (3/=  o,  et  la  méthode  ne  serait  en 
défaut  que  si  tous  les  déterminants  contenus  dans  la  matrice 


dp,  dp2 

d'|i2  d<L2 

dj^  d% 

d<\>„  d\ht 

dp,  dp2 


d^,  dd>i 

dp„  dx 

d'|i2  dtl*2 

dp„  dx 

d<K  ^W* 

dp„  de 


étaient  nuls  à  la  fois.  (Il  est  à  remarquer  que  le  déterminant  ob- 
tenu en  supprimant  la  dernière  colonne  de  cette  matrice  est  toujours 
nul  pour  pt.  =  fli  =  x  =  o.) 

Gomme  en  général  tous  ces  déterminants  ne  seront  pas  nuls  à  la 
fois,  les  équations  (i)  admettront,  pour  les  petites  valeurs  de  u.,  une 
solution  périodique  de  période  T  -+-  -z. 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  (J  ' 

Appelons 

At,     A2,      ....     A„,     A„+i 

les  déterminants  contenus  dans  cette  matrice  ;  A;  sera  le  détermi- 
nant obtenu  en  y  supprimant  la  ïième  colonne. 

La  solution  périodique,  qui  nous  a  servi  de  point  de  départ  et 
qui  appartient  aux  équations  (i)  pour  p.  =  o,  s'écrivait,  on  se  le 
rappelle, 

Je  désigne  par  cp-(ï)  la  dérivée  de  cette  fonction  cp;(*)  et  voici  ce 
que  je  me  propose  de  démontrer  : 

Si  cpi,(o)  n'est  Pas  nul5  Ie  déterminant  A„  ne  peut  s'annuler  sans 
que  tous  les  déterminants 

Aj,     A2,      ....     A„,     An+1 

s'annulent  à  la  fois. 

En  effet,  supposons  que  tous  ces  déterminants  ne  soient  pas 
nuls  à  la  fois  et  que  A„  soit  nul,  je  dis  que  ®'n(o)  sera  nul. 

Les  équations  différentielles  ne  contenant  pas  le  temps  explici- 
tement, admettront  encore  pour  \x  =  o  la  solution  périodique 

a>i=  ?/(*-+-  -h), 

quelle  que  soit  la  constante  h. 
Si  donc  on  fait 

t  =  o,        [*  =  o,        p»=  tp,-(A)  —  <p*(o), 

les  <l  s'annuleront,  quelle  que  soit  h. 

Cela  aura  lieu  encore  si  h  est  infiniment  petit,  ce  qui  donne  les 
relations 

(i  =  i,  2, . . .,  n). 

Ces  relations  (66)  montrent  d'abord  que  A„+1  est  nul. 
De  plus,  il  ne  pourra  pas  y  avoir  entre  les  quantités 


()2  CHAPITRE:  UI. 

d'autres  relations  linéaires  de  la  même  forme,  c'est-à-dire  de  la 
forme 

,    s  »     àAfi        .     d<\ii  clbi        .  dût 

(i  =  i,  2, ..-;,  n). 

Sans  cela,  en  effet,  tous  les  déterminants  A;  s'annuleraient  à 
la  fois. 

Nous  avons  supposé  que  Art  est  mil.  Or  ce  déterminant  n'est 
autre  chose  que  le  déterminant  fonctionnel  de  <!;,,  ^2,  ■  •  -,  tyn  et  (3„ 
par  rapport  à  (3(,  (32,  •  •  -,  [3/?  et  t.  Dire  que  ce  déterminant  est  nul, 
c'est  donc  dire  que  l'on  a  entre  les  dérivées  des  ty  des  relations  de 
la  forme  (2)  et  que  l'on  a  de  plus 


d$n  ^_  .    d%  d$n  d$n 

api  ap2  «p«  dx 


c'est-à-dire 

A„  =  o. 

Or  il  ne  peut  y  avoir  d'autres  relations  de  la  forme  (2)  que 
les  relations  (1).  On  a  donc 

A»=<p'„(o) 
et,  par  conséquent, 

<p'B(o)  =  0. 

Si  donc  ©Â(o)  n'est  pas  nul  (et  l'on  peut  toujours  le  supposer; 
car,  s'il  n'en  était  pas  ainsi,  un  changement  de  variables  approprié 
suffirait  pour  nous  ramener  à  ce  cas),  il  est  inutile  d'envisager  tous 
les  déterminants  At-  :  la  considération  de  Ln  suffit. 

Si  A„  n'est  pas  nul,  on  résoudra  par  rapport  aux  [3  les  équations 

(3)  4»i  =  +»  =  -  -  -  =?  *h»-— "  P».f=  o- 

Il  semble  d'abord  que  l'introduction  arbitraire  de  l'équation 
[3W  =  o  diminue  la  généralité  et  qu'on  ne  peut  trouver  ainsi  que  les 
solutions  périodiques,  qui  sont  telles  que  [3/2  soit  nul  pour  t  =  o. 
Mais  on  trouvera  les  autres  en  changeant  t  en  l  -+-  /i,  h  étant  une 
constante  quelconque. 

Si,  au  contraire,   Art  est  nul,  on  éliminera  (32,  j33 '{3H  et  1 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  93 

entre  les  équations  (3),  et  l'on  obtiendra  une  équation  unique 

analogue  à  l'équation  de  même  forme  du  numéro  précédent. 

Cette  équation  pourra  être  regardée  comme  représentant  une 
courbe  passant  par  l'origine,  et  l'étude  de  cette  courbe  fera  con- 
naître toutes  les  circonstances  qui  pourront  se  présenter. 

Nous  rencontrerons  d'ailleurs  absolument  les  mêmes  particula- 
rités que  dans  le  numéro  précédent. 

Par  exemple,  les  solutions  périodiques,  quand  on  fera  varier  jj. 
d'une  manière  continue,  ne  pourront  disparaître  que  par  couples, 
à  la  façon  des  racines  des  équations  algébriques. 

Il  pourra  aussi  arriver  que,  si  l'on  fait  u.  =  o  et  fln  =  o,  il  existe 
une  infinité  de  solutions  périodiques.  Alors  <ï>  est  divisible  par  u., 
et  l'on  peut  écrire 

de  telle  façon  que  la  courbe  <ï>  =  o  se  décompose  en  deux,  la  droite 
p.  =  o  et  la  courbe  <ï>,  —  o.  On  aura,  dans  ce  cas,  avantage  à  rem- 
placer l'équation 

<p  =  o 
par  l'équation 

«ï>i  =  o. 

Il  arrivera  même  que  quelques-unes  des  fonctions  d/,-  soient  divi- 
sibles par  ul  ;  de  telle  façon  que,  par  exemple, 

Vn  ty'ïi  ^'3  étant  des  fonctions  holomorphes  de  p,  des  (3  et  de  1. 

On  aura  alors  avantage  à  remplacer  les  équations  (3)  par  les 
suivantes  : 

P«  =  O,  ij/j  =  <L;  =  «J/'a  =  o,  4/4  =  <\>s  =  .  .  .  =  tyn  =  O. 

Nous  en  verrons  des  exemples  dans  la  suite. 
Si  l'on  suppose  qu'il  existe  une  intégrale 

F(#i,  x.2,  . . .,  x,i)  =■  const., 

les  équations  (3)  ne  sont  plus  distinctes  et  on  les  remplacera  avec 
avantage  par  les  suivantes 

P„  =  O,  F  =  C  -h  XfA,  ^2  ==  ^3  =  .  .  .  =  tyn  =  O, 


g_j  C II  A.  P I T  RIS    1 1 1. 

OÙ 

G  =  F[cpi(o),  <ps(o),  ... ,911(0)], 

pendant  que  "X  est  une  constante  quelconque. 

On  pourra  aussi  remplacer  les  équations  (3)  par  les  suivantes  : 

P«=o,         t  =  o,         d;2  =  ^a=.  ..  =  <J^  =  o; 

d'où  cette  conséquence  importante  :  dans  le  cas  général,  il  n'y  a 
pas,  pour  les  petites  valeurs  de  p.,  de  solution  périodique  ayant 
même  période  T  que  pour  jx  =  o  5  au  contraire,  s'il  existe  une  inté- 
grale F  =  const.,  on  pourra  trouver,  pourvu  que  [x  soit  assez  petit, 
une  solution  périodique  ayant  précisément  pour  période  T. 
En  effet,  si  l'on  n'a  pas 

d¥  _ 
dxi 
pour 

Xi—  c?;(o), 

les  équations 

^2  =  &3  =  •  ■  •  =  <K  =  O 

entraînent  <!>,  =  o. 

Voici  une  autre  circonstance  que  nous  avons  rencontrée  dans  le 
numéro  précédent  et  que  nous  retrouverons  ici. 

Soient  (3;  la  valeur  de  xt  pour  t  =  o,  (3/ H-  il;  la  valeur  de  Xi  pour 
t  =  T  -[-  t,  et  fli-\-  <|4  la  valeur  de  xt  pour  t  =  kT  -j-  t,  k  étant  un 
entier. 

Imaginons  que  le  déterminant  fonctionnel  des  <bi  par  rapport  à 
(ji,  (32,  . . .,  ^«_i,  t  ne  soit  pas  nul,  mais  que  le  déterminant  fonc- 
tionnel des  <!>';  soit  nul. 

Eliminons  j32,  (33,  . . .,  j3„  et  t  entre  les  équations 

<W=o,         p«  =  o; 

nous  obtiendrons  l'équation  unique 

*(Pt,  (i)  =  o, 

que   nous   regarderons    comme   représentant    une    courbe  ;    cette 
courbe  a  un  point  simple  à  l'origine. 

Eliminons  maintenant  (32,  (33,  . . .,  {3„  et  x  entre  les  équations 

«H  =  o,         p«  =  o, 


SOLUTIONS     PÉRIODIQUES.  95 

il  viendra 

On  verrait,  comme  au  numéro  précédent,  que  <£'  est  divisible 
par  <É>.  La  courbe  <£>  —  o  peut  donc  être  regardée  comme  une  des 
branches  de  la  courbe  $'=0;  comme  le  déterminant  fonctionnel 
des  <l)'t  est  nul,  on  doit  avoir 

d<V  _ 

Donc,  ou  bien  la  courbe  <I>'=o  a  plusieurs  branches  passant 
par  l'origine,   ou  bien  la  tangente  doit  être  la  droite  ja  =  o. 

Mais  nous  connaissons  déjà  l'une  des  branches  de  la  courbe 
$'  =  o,  savoir  <E>  =  o,  et  nous  savons  que  la  tangente  à  cette 
branche  n'est  pas  la  droite  p.  =  o.  Donc  la  courbe  $'=oa  d'autres 
branches  passant  par  l'origine. 

Ce  qui  veut  dire  que  les  équations  différentielles  admettent  des 
solutions  périodiques  dont  la  période  est  peu  différente  de  AT,  qui 
sont  distinctes  des  solutions  périodiques  de  période  T  pour  les 
petites  valeurs  de  p.,  mais  qui  se  confondent  avec  elles  pour  p,  =  o. 

Application  au  Problème  des  trois  corps. 

39.  Le  Problème  des  trois  corps  admet-il  des  solutions  pério- 
diques ? 

Reprenons  les  notations  du  n°  11  et  désignons  les  trois  masses 
par  mi:  a2  p.  et  a3  p.  Si  l'on  fait  p.  =  o,  c'est-à-dire  si  les  deux 
petites  masses  sont  regardées  comme  nulles,  la  grande  masse  sera 
fixe  et  chacune  des  deux  petites  décrira  autour  de  la  grande  une 
ellipse  képlérienne. 

il  est  clair  alors  que,  si  les  moyens  mouvements  de  ces  deux 
petites  masses  sont  commensurables  entre  eux,  au  bout  d'un  cer- 
tain temps,  tout  le  système  se  retrouvera  dans  sa  situation  initiale 
et,  par  conséquent,  la  solution  sera  périodique. 

Ce  n'est  pas  tout  :  au  lieu  de  rapporter  les  trois  masses  à  des 
axes  fixes  (ou  à  des  axes  mobiles  qui  restent  constamment  paral- 
lèles aux  axes  fixes,  comme  dans  le  n°  11),  on  peut  les  rapporter 
à  des  axes  mobiles  animés  d'un  mouvement  de  rotation  uniforme. 


96  C II A  P  I  T  H  E    III . 

Il  peut  se  faire  alors  que  les  coordonnées  des  trois  masses,  par 
rapport  aux  axes  fixes,  ne  soient  pas  des  fonctions  périodiques  du 
temps,  tandis  que  les  coordonnées  par  rapport  aux  axes  mobiles 
seront,  au  contraire,  des  fonctions  périodiques  du  temps  (cf.  n°  36.  ) 

Supposons  maintenant  que  y.  =  o  ;  les  deux  petites  masses  dé- 
criront des  ellipses  képlériennes  ;  supposons  que  ces  deux  ellipses 
soient  dans  un  même  plan,  dans  le  plan  des  X\  x2,  par  exemple,  et 
que  leur  excentricité  soit  nulle.  Le  mouvement  des  deux  petites 
masses  sera  alors  circulaire  et  uniforme  ;  soient  n  et  n'  les  moyens 
mouvements  de  ces  deux  masses  (n'  ^>  n). 

Supposons  que  l'origine  du  temps  ait  été  choisie  au  moment 
d'une  conjonction  de  telle  sorte  que  la  longitude  initiale  des  deux 
masses  soit  nulle. 

Au  bout  du  temps    /       ;  ces  longitudes  seront  devenues  res- 

pectivement 

1T.ll  ITzri 

—, et        — 


et  leur  différence  sera  égale  à  2tï. 

Les  deux  masses  se  retrouvant  en  conjonction,  les  trois  corps 
seront  de  nouveau  dans  la  même  situation  relative.  Tout  le  système 

aura  seulement  tourné  d'un  angle  égal  à  — r 


n  —  n 

Si  donc  l'on  rapporte  le  système  à  des  axes  mobiles  tournant 
d'un  mouvement  uniforme  avec  une  vitesse  angulaire  égale  à  n1 
les  coordonnées  des  trois  corps  par  rapport  à  ces  axes  mobiles 

seront  des  fonctions  périodiques  du  temps  de  période  — — —  • 

A  ce  point  de  vue,  et  d'après  ce  que  nous  avons  dit  à  la  fin  du 
n°  36,  cette  solution  pourra  encore  être  regardée  comme  pério- 
dique. 

Ainsi  dans  le  cas-limite  où  p.  —  o,  le  problème  des  trois  corps 
admet  des  solutions  périodiques.  Avons-nous  le  droit  d'en  con- 
clure qu'il  en  admettra  encore  pour  les  petites  valeurs  de  p.?  C'est 
ce  que  les  principes  des  nos  37  et  38  vont  nous  permettre  de 
décider. 

La  première  solution  périodique  qui  ait  été  signalée  pour  le  cas 
où  \x  [>  o  est  celle  qu'a  découverte  Lagrange  et  où  les  trois  corps 
décrivent  des  ellipses  képlériennes  semblables,  pendant  que  leurs 


SOLUTIONS     PÉRIODIQUES.  97 

distances  mutuelles  restent  dans  un  rapport  constant  (Cf.  Laplace, 
Mécanique  céleste,  Livre  X,  Chapitre  VI).  Ce  cas  est  trop 
bien  étudié  pour  que  nous  ayons  à  y  revenir. 

M.  Hill,  dans  ses  très  remarquables  recherches  sur  la  théorie 
de  la  Lune  {American  Journal  of  Mathematics ,  T.  I),  en  a 
étudié  une  autre,  dont  l'importance  est  beaucoup  plus  grande  au 
point  de  vue  pratique. 

J'ai  repris  la  question  dans  le  Bulletin  astronomique  (T.  I, 
p.  65)  et  j'ai  été  conduit  à  distinguer  trois  sortes  de  solutions 
périodiques  :  pour  celles  de  la  première  sorte,  les  inclinaisons 
sont  nulles  et  les  excentricités  très  petites  ;  pour  celles  de  la 
deuxième  sorte,  les  inclinaisons  sont  nulles  et  les  excentricités 
finies  ;  enfin,  pour  celles  de  la  troisième  sorte,  les  inclinaisons  ne 
sont  plus  nulles. 

Pour  les  unes  comme  pour  les  autres,  les  distances  mutuelles 
des  trois  Corps  sont  des  fonctions  périodiques  du  temps  ;  au  bout 
d'une  période,  les  trois  Corps  se  retrouvent  donc  dans  la  même 
situation  relative,  tout  le  système  ayant  seulement  tourné  d'un 
certain  angle.  Il  faut  donc,  pour  que  les  coordonnées  des  trois 
Corps  soient  des  fonctions  périodiques  du  temps,  qu'on  les  rap- 
porte à  un  système  d'axes  mobiles  animés  d'un  mouvement  de 
rotation  uniforme. 

La  vitesse  de  ce  mouvement  de  rotation  est  finie  pour  les  solu- 
tions de  la  première  sorte  et  très  petite  pour  celles  des  deux  der- 
nières sortes. 

Solutions  de  la  première  sorte. 

40.  Je  vais  reproduire  ici  ce  que  j'ai  exposé  au  sujet  de  ces 
trois  sortes  de  solutions.  Je  commencerai  par  celles  de  la  première 
sorte,  qui  contiennent,  comme  cas  particulier,  celle  de  M.  Hill. 

Reprenons  les  notations  du  n°  11.  Soient  A,  B,  C  les  trois 
masses,  que  je  supposerai  rester  constamment  dans  un  même  plan. 
Soit  D  le  centre  de  gravité  de  A  et  de  B.  Soient  xK  et  x2  les  coor- 
données de  B  par  rapport  à  des  axes  parallèles  aux  axes  fixes 
ayant  leur  origine  en  A  ;  soient  x3  et  x!t  les  coordonnées  de  C  par 
rapport  à  des  axes  parallèles  aux  axes  fixes  et  ayant  leur  origine 
en  D. 

H.  P.  —  I.  7 


Ç)8  CHAPITRE    III. 

Adoptons  les  variables  du  n°  12,  c'est-à-dire  les  variables 

A,     A\     ë,     I',    />,    p'> 
*>      *',     1,     l'j     tf,     ?'• 

Ici,  le  mouvement  se  passant  dans  un  plan,  on  aura 

P  =P  =9  =  q'  =  o. 

Les  distances  mutuelles  des  trois  Corps  et  les  dérivées  de  ces 
distances  par  rapport  au  temps  sont  des  fonctions  de 

(  A,     A',     %  cosX —  TjsinX,     \  sinX  -+-  t\  cosX, 
(  £'cosX' — 7)'sinX',     £'  sinX'  -+-  i\  cosX' 

et  de  X'  —  X. 

Pour  que  la  solution  soit  périodique,  il  faut  donc  qu'au  bout 
d'une  période  les  variables  (i)  reprennent  leurs  valeurs  primitives 
et  que  X' — X  augmente  d'un  multiple  de  stt;  dans  l'espèce,  X' —  X 
augmentera  de  2tt. 

Si  l'on  fait  [jl  =  o,  le  mouvement  est  képlérien;  supposons,  de 
plus,  que  les  valeurs  initiales  de  X,  X',  ç,  ~t\:  £',  v\'  soient  nulles;  alors 
le  mouvement  sera  circulaire  et  uniforme. 

Si  les  valeurs  initiales  A0  et  A'0  de  A  et  de  A'  sont  choisies  de 
telle  sorte  que  les  moyens  mouvements  soient  n  et  n' ',   la  solution 

sera  périodique  de  période  — 

Ne  supposons  plus  maintenant  que  [x  soit  nul,  et  considérons 
une  solution  quelconque;  nous  pourrons  choisir  l'origine  du  temps 
au  moment  d'une  conjonction  et  prendre  pour  origine  des  longi- 
tudes la  longitude  de  cette  conjonction. 

Les  valeurs  initiales  de  X  et  de  X'  seront  nulles. 

Soient  A0  H-  (3(,  A'0  +  (32  les  valeurs  initiales  de  A  et  de  A'. 

Soient  £0,  •/)„,  £'0,  ï]'o  les  valeurs  initiales  de  £,  t\  et  £',  t/. 

Ce  seront  aussi  les  valeurs  initiales  des  quatre  dernières  va- 
riables (i). 

Soit  maintenant  2  7t  -f-  d/0  la  valeur  de  X'  —  X  au  bout  de  la  période 


Soit,  au  bout  de  cette  même  période, 

Ao-l-Pi  +  <pi,      A'0  -+-  p2  +  tyi 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  99 

les  valeurs  de  À  et  A',  et 

ç"o-+-<h,    qo  +  <K,    io  -*-  4*»  »    rio  -t-  4^6 

les  valeurs  des  quatre  dernières  variables  (i). 

Pour  que  la  solution  soit  périodique,  il  faut  que 

'\>0  =  <W  =   *h  =  ^3  =   <H   =    ^5   =  ^6   =  O. 

Ces  équations  ne  sont  pas  distinctes  ;  les  équations  différen- 
tielles du  mouvement  admettent  en  effet  deux  intégrales  :  celle 
des  forces  vives  et  celle  des  aires.  Le  jacobien  de  ces  deux  inté- 
grales par  rapport  à  A  et  A'  n'est  pas  nul  pour 

;j.  =  0,        g=7]-=Ê'  =  1)'=0. 

Les  équations  fy{  =  ^2  =  o  sont  donc  une  conséquence  des 
cinq  autres. 

Nous  avons  donc  à  résoudre  le  système 

(■2)  4^0  =  {h  =  <K  —  ^5  =  ^6  =  o, 

auquel  nous  adjoindrons  l'équation  des  forces  vives  F  =  C,  où  noas 
regarderons  la  constante  C  comme  une  donnée  de  la  question. 

Il  faut  donc  que  nous  considérions  le  déterminant  fonctionnel 
des  premiers  membres  de  ces  six  équations  par  rapport  aux  six 
variables 

Pi,         P2l        S0)        ^O;        ç'o  ,        r/o 

et  que  nous   démontrions    que   ce   déterminant  ne  s'annule   pas 
pour 

l1  =  Pi  =  Pî  =  Ço  =  *ïo  =  c'o  =  Vo  =  °- 


Or,  pour  [x  =  o,  on  a 


F  =  Fn  = 


ï .       ,        ï 


Y  et  y'  étant  des  constantes  dépendant  des  masses, 

*-^K-Êr--('*Êr]' 

<h  =  £o(cosX0  —  1)  —  7)0sinX0 ,     <K  =  £osinX0  -+-  7}0(cosX0  —  1) , 
h  =  S'o  (cosX'u  — ij  —  T)'0  sinX'0  ,     66  =  £'„  sinX'0  -+-  7)'o(cosX'0  —  1), 


I00  CHAPITRE    III. 

OÙ 

271-tt    /         3i\-3           -,,         an'î 
X0  =  — M  +  f-        »  *o  =  — 

A0  et  Xô  désignent  donc  les  valeurs  des  deux  longitudes  à  la  fin  de 
la  période,  de  telle  façon  que 

2  71  4-  '%  =  X'„  X0. 

On  voit  ainsi  que,  pour  ]x  =  o,  F  et  d»0  dépendent  seulement  de 
(3,  et  p2;  fys  et  <hA  de  (3l5  £0  et  r10  5  J;5  et  <|;6  de  [32,  £0  et  t\0. 

Notre  déterminant  fonctionnel  est  donc  le  produit  de  trois  autres  : 

i°  Celui  de  F0  et  <l0  par  rapport  à  fit  et  (32  ; 

20  Celui  de  ^3  et  <p4  Par  rapport  à  £0  et  y\0; 

3°   Celui  de  ^5  et  à6  par  rapport  à  %'0  et  r,'0. 

Le  premier  de  ces  trois  déterminants  ne  s'annule  que  pour 
A0  =  —  A'0,  n  =  —  n' '5  cela  n'a  d'ailleurs  pas  d'importance,  parce 
que,  s'il  s'annule,  au  lieu  d'adjoindre  au  système  (2)  l'équation  des 
forces  vives,  on  y  adjoindra  toute  autre  équation  arbitrairement 
choisie  entre  (3,  et  (32  ;  quoi  qu'il  en  soit,  le  cas  de  n  =  —  n' 
présentant  des  difficultés  de  diverse  nature  et  n'ayant  pas  d'impor- 
tance au  point  de  vue  des  applications,  nous  le  laisserons  de  côté. 

20  Le  second  déterminant  se  réduit  à 

(1  —  cosX0)2  -+-  sin2X0. 

Il  ne  peut  donc  s'annuler  que  si  X0  est  multiple  de  2  t. 
Pour 

Pi  =  ps  =  £0  =  ^0  =  jj'o  =  "10  =  °> 

on  a 

«  Q.fl'TZ 

Xo  =  —, • 

71  Il 

Notre  déterminant  ne  s'annulera  donc  que  si  n  est  multiple 
de  n' —  n. 

3°  De  même  le  troisième  déterminant  ne  s'annulera  que  si  /i', 
et  par  conséquent  n,  est  multiple  de  n' —  n. 

En  conséquence  : 

Pour  toutes  les  valeurs  de  la  constante  des  forces  vives  C,  qui 
est  égaie  à 

7Z  V       3  /  n'  \  3       /3 

Il    ^(7)    Y    > 


SOLUTIONS    PERIODIQUES. 


et  pour  les  petites  valeurs  de  pi,  le  problème  des  trois  Corps  admet- 
tra une  solution  périodique  de  la  première  sorte  dont  la  période 


2TT 

sera  — ; — 


Il  n'y  aura  d'exception  que  si  n  est  multiple  de  n' —  n  ou  si 
n  =  —  n' . 

Il  y  a  une  quadruple  infinité  de  solutions  périodiques  de  la 
première  sorte  ;  nous  pouvons  en  effet,  si  pi  est  assez  petit,  choisir 
arbitrairement  : 

i°  La  période  — — - —  =  T; 

1  "o  —  «0 

2°  La  constante  C  ; 

3°  Le  moment  de  la  conjonction,  que  nous  avions  pris  dans  le 
calcul  précédent  pour  origine  du  temps  ; 

4°  La  longitude  de  la  conjonction,  que  nous  avions  prise  pour 
origine  des  longitudes,  de  sorte  que  nous  avons,  pour  chaque 
valeur  de  pi,  co4  solutions  périodiques. 

On  peut  retrouver  ces  solutions  de  la  manière  suivante  : 

Supposons  qu'à  l'origine  des  temps  on  ait 

X  =  X'  =  T;  =  7]'  =  o  ; 

les  trois  Corps  seront  en  conjonction  et  leurs  vitesses  seront  per- 
pendiculaires à  la  droite  qui  les  joint;  cette  droite  sera  d'ailleurs 
l'axe  Kx{  qui  se  confondra  à  cet  instant  avec  l'axe  D<r3.  Il  résulte 
immédiatement  de  cette  symétrie  de  la  position  des  trois  corps  à 
l'instant  O  les  conséquences  suivantes  : 

Les  valeurs  des  rayons  vecteurs,  à  l'instant  t  et  à  l'instant  —  t, 
seront  les  mêmes;  les  valeurs  des  longitudes  à  l'instant  J  et  à 
l'instant  —  t  seront  égales  et  de  signe  contraire. 

Nous  dirons  alors  qu'à  l'époque  o  les  trois  corps  se  trouvent 
en  conjonction  symétrique. 

Nous  avons  supposé  qu'il  y  a  conjonction  symétrique  au  temps  o 
et  qu'à  ce  moment  la  longitude  commune  des  trois  corps  est 
nulle;  nous  avons  ainsi  déterminé  quatre  des  éléments  oscillateurs 
X,  X',  7)  et  t/;  il  nous  en  reste  encore  quatre  qui  sont  arbitraires,  à 

T 

savoir,  A,  A',  £  et  £'.  Nous  en  disposerons  de  façon  qu'à  l'instant  — 

il  y  ait  de  nouveau  conjonction  symétrique  et  que  la  longitude 


CHAPITRE    III. 


commune  des  trois  Corps  soit—; — —  ou  plus  exactement  que  l'on 
ait  (en  appelant  v  et  v'  les  longitudes  vraies) 


n'  — 


Il  ne  s'agit  donc  pas,  à  proprement  parler,  d'une  conjonction 
symétrique,  mais  d'une  opposition  symétrique. 

Pour  qu'il  y  ait  conjonction  (ou  opposition)  symétrique,  il 
faut,  comme  nous  venons  de  le  voir,  quatre  conditions;  nous  au- 
rons donc  quatre  équations  pour  déterminer  nos  quatre  éléments 
restés  arbitraires.  Ces  quatre  équations  pourront  être  résolues  si 
le  déterminant  fonctionnel  correspondant,  n'est  pas  nul  ;  or  il  ne 
l'est  pas  en  général  :  c'est  ce  qu'on  verrait  par  un  calcul  facile, 
tout  semblable  à  celui  qui  précède  et  qu'il  est  inutile  de  repro- 
duire ici. 

Ainsi  les  rayons  vecteurs  ont  même  valeur  à  l'époque  t  et  à 
l'époque  —  t;  même  valeur  encore  à  l'époque  t  et  à  l'époque  T —  t 

(puisqu'il  y    a   encore   conjonction    symétrique    à   l'époque—)- 

Quant  à  la  différence  des  longitudes,  ses  valeurs  aux  époques  t 
et  —  t  (ou  bien  encore  aux  époques  t  etT —  t)  sont  égales  et  de 
signe  contraire.  Donc  les  distances  mutuelles  des  trois  corps  sont 
des  fonctions  périodiques  dont  la  période  est  T.  Ces  solutions, 
qui  présentent  alternativement  des  conjonctions  et  des  opposi- 
tions symétriques  sont  donc  des  solutions  périodiques. 

On  pourrait  croire  que  les  solutions  périodiques  ainsi  définies 
sont  moins  générales  que  celles  dont  nous  avions  d'abord  démon- 
tré l'existence.  Il  n'en  est  rien;  il  y  en  a  aussi  une  quadruple  in- 
finité; car  nous  pouvons  choisir  arbitrairement  l'époque  de  la 
conjonction  et  de  l'opposition,  et  la  longitude  des  trois  corps  au 
moment  de  cette  conjonction  et  de  cette  opposition;  il  reste  donc 
quatre  arbitraires  :  ce  qui  montre  que  toutes  les  solutions  de  la 
première  sorte  rentrent  dans  cette  même  catégorie.  Si  l'on  choisit 
convenablement  l'époque  o,  il  y  a,  pour  toutes  les  solutions  de 
la  première  sorte,  conjonction  symétrique  au  début  de  chaque 
période  et  opposition  symétrique  au  milieu  de  chaque  période. 

On  peut  encore  s'en  rendre  compte  de  la  façon  suivante  : 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  103 

Il  est  toujours  permis  de  supposer  que  l'origine  des  temps  ait 
été  choisie  de  telle  sorte  que  les  valeurs  initiales  de  À  et  de  V 
soient  nulles.  Il  suffît  pour  cela  de  prendre  pour  origine  des 
temps  l'époque  d'une  conjonction  et  pour  origine  des  longitudes 
la  longitude  de  cette  conjonction. 

D'autre  part,  les  équations  du  problème  des  trois  corps  pré- 
sentent une  symétrie  telle  qu'elles  ne  changent  pas  quand  on 
change  t  en  —  £,  ou  bien  quand  on  change  simultanément  X  en 
—  À  et  X'  en  —  V. 

Si  donc  il  y  a  solution  périodique  quand  les  valeurs  initiales 
des  variables  A,  A',  X,  V ,  £,  tj,  £',  r/  seront  A0  +  (3|,  A'0  +  (32,  o, 
o,  ç0>  ticm  i'0>  Tlu>  il  y  aura  encore  solution  périodique  quand  ces 
valeurs  initiales  seront 

A0  +  Pi,     A'0  +  p2,     o,     o,     £„,     —  7]0,     t'o—rii- 

Les  équations  (3)  ne  changent  donc  pas  quand  on  y  change  tj0 
et  Vo  en  —  *lo  et  —  ti'0. 

Or  ces  équations  (3)  ne  comportent  qu'une  seule  solution;  on 
devra  donc  avoir 

V  =  Vo  =  °> 

ce  qui  veut  dire  qu'à  l'origine  des  temps  il  y  a  conjonction  sy- 
métrique, c.    Q.    F;   D. 

Les  oc4  solutions  périodiques  de  la  première  sorte  sont  liées  les 
unes  aux  autres  par  des  relations  simples.  On  peut  passer  de  l'une 
à  l'autre  :  i°  en  changeant  l'origine  des  temps;  2°  en  changeant 
l'origine  des  longitudes  ;  3°  en  changeant  simultanément  les  unités 
de  longueur  et  de  temps  de  façon  que  l'unité  de  longueur    soit 

2 

multipliée  par  k3  quand  celle  de  temps  est  multipliée  par  k.  Tous 
ces  changements  n'altèrent  pas  la  forme  des  équations  et,  par 
conséquent,  ne  peuvent  que  changer  les  solutions  périodiques  les 
unes  dans  les  autres.  Il  n'y  a  donc  en  réalité  qu'une  simple  infi- 
nité de  solutions  périodiques  réellement  distinctes;  chacune  de 
ces  solutions  réellement  distinctes  est  caractérisée  par  le  rapport 

—. — - — i  ou,  ce  crui  revient  au  même,  par  la  différence  entre  la 
n'0  —  n0  i  1 

longitude  d'une  conjonction  symétrique  et  celle  de  l'opposition 

qui  la  suit. 


104  CHAPITRE    HT. 


Recherches  de  M.  Hill  sur  la  Lune. 

41.  Il  y  a  un  cas  particulier  où  les  solutions  de  la  première 
sorte  se  simplifient  :  c'est  celui  où  l'une  des  masses,  la  masse  m» 
par  exemple,  est  infiniment  petite.  Le  mouvement  de  C  par  rap- 
port à  A  restant  alors  képlérien,  il  ne  peut  y  avoir  de  conjonction 
symétrique  que  quand  G  passe  au  périhélie  ou  à  l'aphélie,  à 
moins  que  le  mouvement  de  C  ne  soit  circulaire.  Mais  la  longi- 
tude d'une  conjonction  symétrique  devrait  donc  différer  de  la 
longitude  de  l'opposition  symétrique  qui  la  suit  immédiatement 
d'un  angle  qui  devrait  être  un  multiple  de  tî.   Or  il  n'en  sera  pas 

.     ,         .  n'0 

ainsi,  a  moins  crue  — ; — - —  ne  soit  entier,  cas  crue  nous  avons  pre- 

^       n'0  —  n0  *  * 

cisément  exclu.   Nous   devons  donc  conclure  que  le  mouvement 
de  C  est  circulaire. 

La  simplicité  est  plus  grande  encore  si  l'on  suppose  que  la 
masse  de  C  est  beaucoup  plus  grande  que  celle  de  A  et  que  la  dis- 
tance de  AG  est  très  grande  (ce  qui  est  le  cas  dans  la  théorie  de 
la  Lune).  Si  nous  supposons  AG  infiniment  grand  et  la  masse  de 
G  infiniment  grande,  de  façon  que  la  vitesse  angulaire  de  C  sur 
son  orbite  reste  finie;  si,  en  même  temps,  on  rapporte  la  masse 
B  à  deux  axes  mobiles,  à  savoir  à  un  axe  A£  coïncidant  avec  AC 
et  à  un  axe  Ar,  perpendiculaire  au  premier,  les  équations  du  mou- 
vement deviendront,  comme  M.  Hill  l'a  démontré, 

/   dï\  drt         (  {x  \ 

\dë-2n-dt  +  [rs-3n*)t==0 
J    d2r,  d\         u 

{    df-  dt        r3    ' 

n  désigne  la  vitesse  angulaire  de  C. 

Les  solutions  périodiques  de  la  première  sorte  subsistent  en- 
core dans  ce  cas  et  ce  sont  celles  dont  M.  Hill  a  reconnu  le  pre- 
mier l'existence,  ainsi  que  je  l'ai  dit  plus  haut. 

Elles  comportent  des  conjonctions  et  des  oppositions  symé- 
triques qui  ne  peuvent  avoir  lieu  que  sur  l'axe  des  \.  Mais  elles 
comportent  encore  d'autres  situations  remarquables  que  l'on 
pourrait  appeler  des  quadratures  symétriques;  dans  ces  situations 


SOLUTIONS    PERIODIQUES.  105 

l'angle  BAC  est  droit  et  la  vitesse  du  point  B  par  rapport  au 
point  A  est  perpendiculaire  à  BA. 

En  effet,  les  équations  comportent  une  symétrie  telle  qu'elles 
ne  changent  pas  quand  on  change  \  en  —  £;  les  solutions  pério- 
diques ne  doivent  donc  pas  changer  non  plus  quand  on  change  £ 
en  —  £;  si  donc  on  envisage  la  trajectoire  relative  du  point  B  par 
rapport  au  système  des  axes  mobiles  A£  et  Ayi,  cette  trajectoire 
estime  courbe  fermée  (puisque  la  solution  est  périodique)  qui  est 
symétrique  à  la  fois  par  rapport  à  A£  et  par  rapport  à  Atj. 

Si,  au  contraire,  tout  en  supposant  le  mouvement  de  C  circu- 
laire et  en  prenant  pour  axe  des  £  la  droite  AC,  on  n'avait  pas 
supposé  la  distance  AC  infinie  (si,  en  d'autres  termes,  on  avait, 
en  faisant  la  théorie  de  la  Lune,  tenu  compte  de  la  parallaxe  du 
Soleil  en  continuant  de  négliger  l'inclinaison  des  orbites  et  l'ex- 
centricité du  Soleil),  cette  trajectoire  relative  aurait  encore  été 
une  courbe  fermée  symétrique  par  rapport  à  l'axe  des  £,  mais  elle 
n'aurait  plus  été  symétrique  par  rapport  à  l'axe  des  r\. 

Les  équations  (i)  admettent  une  intégrale  qui  s'écrit 

L(*\l  +  l(%\'-!t -*#*  =  & 

■2  \dt  ]         i\dtj         i        i 

M.  Hill  a  étudié  comment  varient  les  solutions  de  la  première 
sorte  quand  on  fait  augmenter  C  ;  il  a  reconnu  que  la  trajectoire 
relative  est  une  courbe  fermée  symétrique  dont  la  forme  rappelle 
grossièrement  celle  d'une  ellipse  dont  le  grand  axe  serait  l'axe 
des  r\.  Quand  C  est  très  petite,  cette  sorte  d'ellipse  diffère  très 
peu  d'un  cercle  et  son  excentricité  augmente  rapidement  avec  C. 
Pour  les  grandes  valeurs  de  C,  la  courbe  commence  à  différer 
beaucoup  d'une  ellipse,  mais  le  rapport  du  grand  axe  au  petit 
continue  à  croître  avec  C-,  enfin,  pour  une  certaine  valeur  de  C, 
que  j'appellerai  C0,  la  courbe  présente  deux  points  de  rebrousse- 
ment  situés  sur  l'axe  des  t\.  C'est  ce  que  M.  Hill  appelle  l'orbite 
de  la  «  Moon  of  maximum  lunation  ».  Son  calcul,  fondé,  tanlôt 
sur  l'emploi  des  séries,  tantôt  sur  l'emploi  des  quadratures  méca- 
niques, est  beaucoup  trop  long  pour  trouver  place  ici  ;  je  dirai 
seulement  que  M.  Hill  a  construit  exactement  la  courbe  point  par 
point  pour  diverses  valeurs  de  C,  et  en  particulier  pour  C  =  C0. 


iofi  CHAPITRE    III. 

Il  ne  peut  donc  y  avoir  aucune  espèce  de  doute  au  sujet  de  l'exac- 
titude de  ses  résultats. 

Il  est  aisé  de  se  rendre  compte  de  la  signification  de  ces  points 
de  rebroussement.  Je  suppose  qu'à  un  instant  quelconque  la  vi- 
tesse relative  de  la  masse  Bpar  rapport  aux  axes  mobiles  devienne 
nulle,  de  façon  qu'on  ait  à  la  fois 

d\        cl-t) 

dl  ~  ~dt  "~  °' 

il  est  clair  que  la  trajectoire  relative  présentera  un  point  de  re- 
broussement. C'est  ce  qui  arrive  pour  la  «  Moon  of  maximum  lu- 
nation  »  de  M.  Hill. 

M.  Hill  s'exprime  ensuite  comme  il  suit  : 

_«  The  Moon  ofthe  last  Une  (c'est-à-dire  the  Moon  of  maximum 
lunalion)  is,  of  the  class  of  satellites  consideredin  this  Chapter, 
that  which,  having  the  longest  lunation,  is  still  cible  to  appear 
at  ail  angles  with  the  Sun  and  then  undergo  ail  possible 
phases.  Whether  this  class  of  satellites  is  properlj  to  be  pro- 
longed  beyond  this  Moon,  can  onlj  be  decided  by  further  employ- 
ment  of  mechanical  quadratures.  But  it  is  at  least  certain  that  the 
orbits,  if  they  do  exist,  do  not  intersect  the  Une  of  quadra- 
tures and  that  the  Moons  describing  them  would  make  oscillations 
to  and  for,  never  departing  as  much  as  900  from  the  points  of  con- 
junction  or  of  opposition.   » 

Ce  n'est  là,  de  la  part  de  l'auteur,  qu'une  simple  intuition  ne. 
reposant  sur  aucun  calcul  ou  raisonnement.  De  simples  considéra- 
tions de  continuité  analytique  me  permettent  d'affirmer  que  cette 
intuition  l'a  trompé. 

On  peut  d'abord  se  demander  si  les  solutions  de  la  première 
sorte  existent  encore  pour  C  >  C0,  ou,  en  d'autres  termes,  si  la 
classe  de  satellites  étudiée  par  M.  Hill  peut  être  prolongée  au  delà 
de  la  Lune  de  lunaison  maximum.  Supposons,  à  cet  effet,  qu'à 
l'origine  des  temps  la  masse  B  (c'est-à-dire  la  Lune)  soit  en  qua- 
drature (sur  l'axe  des  tj),  et  que  sa  vitesse  relative  par  rapport  aux 

axes  mobiles  soit  perpendiculaire  à  l'axe  des  7). 

d\ 

J'appelle  £0>  £0>  r'o>  V0  ^es  valeurs  initiales  de  l,  -r  =  ;',  '/]   et 

— -  =  rf.  Dans  le  cas  de  la  Lune  de  lunaison  maximum  de  M.  Hill, 


SOLUTIONS    PERIODIQUES.  107 

011  a 

£(>    =     £<)     ~    TI0     =    °! 

et  j'appelle  7)°  la  valeur  correspondante  de  t\0. 

Au  bout  d'un  temps  T,  égal  au  quart  d'une  période,  cette  Lune 
se  trouvera  en  conjonction  symétrique,  et  l'on  aura 

7)  =  o,         (■'=  o. 

Considérons  maintenant  une  autre  solution  particulière  de  nos 
équations  différentielles,  et  soient 

O.       Ê'0,       7)0,       O 

les  valeurs  initiales  de 

de  telle  façon  qu'à  l'origine  des  temps  on  soit  en  quadrature  symé- 
trique. 

Considérons  les  valeurs  de  y\  et  de  £'  au  bout  du  temps  T  +  t; 
et  soient 

5'  =  /«(T-*-'ci  5o».1o)- 

/,  et /o  seront  développables  suivant  les  puissances  de  t,  de  £'0  et 
de  Tj0  —  t,°,  et  s'annuleront  pour 

*  =  Ê'o  =  Oi       '■/)„=  rjg. 
Si  l'on  a 

(a)  /i=/i  =  o, 

on  sera,  au  bout  du  temps  T  +  t,  en  conjonction  symétrique,  et 
la  solution  sera  périodique  de  période  4T  +  4~- 

On  peut  tirer  des  équations  (2)  t  et  7]0  en  fonctions  de  £'0,  et  x 
et  7)0  seront  développables  suivant  les  puissances  de  £0. 

Il  n'y  aurait  d'exception  en  vertu  du  n°  30  que  si  le  détermi- 
nant fonctionnel  de/,  et/2  par  rapport  à  t  et  r\0  s'annulait  préci- 
sément pour 

T  =  ^'0  =  O,  T)0=  *]()■ 

11  est  extrêmement  invraisemblable  qu'il  en  soit  ainsi;  quelques 
doutes  pourraient  cependant  encore  subsister,  si  les  quadratures 
mécaniques  de  M.  Hill  ne  prouvaient  nettement  le  contraire.  Voici, 


I08  CHAPITRE    III. 

en  effet,  comment  M.  Hill  a  procédé  pour  déterminer  -/)°  ;  il  a  cal- 
culé, pour  différentes  valeurs  de  T  et  de  rl0,  les  fonctions 

/l(T,  O,7]o),      /2(T,0,  7]0), 

et  il  a  déterminé  ensuite  par  interpolation  les  valeurs  de  T  et 
de  7]0,  pour  lesquelles  ces  deux  fonctions  s'annulent.  Si  le  déter- 
minant fonctionnel  de  ft  et  de  f2  s'annulait  précisément  pour  ces 
valeurs,  l'interpolation  serait  devenue  impossible  par  les  procédés 
ordinaires.  Nous  devons  donc  conclure  que  la  classe  de  satellites 
découverte  par  M.  Hill  peut  être  prolongée  au  delà  de  la  Lune  de 
lunaison  maximum. 

Que  devient  donc,  au  delà  de  cette  Lune,  la  forme  de  l'orbite? 
Les  valeurs  de  £  et  de  7]  dépendent  du  temps  t  et  du  paramètre  £'0, 
puisque  l'autre  valeur  initiale  7)0  est  donnée  en  fonction  de  £'„  par 
les  équations  (2). 

Si  £0  et  t  sont  assez  petits,  £  et  tj  sont  développables  suivant  les 
puissances  de  ces  deux  variables.  De  plus,  par  raison  de  symétrie, 
ç  ne  contiendra  que  des  puissances  impaires  de  t,  et  7)  ne  contien- 
dra que  des  puissances  paires  de  t.  Nous  aurons  donc 

Ï  =  R«+K,.+ IL  «.+„., 

£l0'l)  étant  la  valeur  initiale  de  la  dérivée  7ildtne  de  £. 

Si  £'0  et  t  sont  assez  petits,  je  puis,  sans  erreur  sensible,  ré- 
duire %  à  ses  deux  premiers  termes;  de  plus,  £"  est  développable 
suivant  les  puissances  croissantes  de  £'0  ;  mais,  comme  £'0  est  très 
petit,  je  puis  réduire  £™  à  la  valeur  que  prend  cette  quantité  pour 
i'0  =0.  Or,  pour  i'0  =  o,  on  a 

>m  _  — 1\J-H 

il  vient  donc 

(3)  t  =  P't—      [xn    t* 

{)  Ç~'°         3(tjJ)» 

Pour  les  Lunes  considérées  par  M.  Hill  et  dont  la  lunaison  est 
moindre  que  celle  de  la  Lune  de  lunaison  maximum,  £'0  est  néga- 
tif, les  deux  termes  du  second  membre  de  (3)  sont  de  même 
signe,  et  £  ne  peut  s'annuler  pour  des  valeurs  très  petites  de  £,  si 
ce  n'est  pour  t  =  o. 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  JO9 

Au  contraire,  pour  les  satellites  nouveaux  dont  il  s'agit  et  que 
l'on  rencontre  après  la  Lune  de  lunaison  maximum,  £'0  est  positif 
et  £  s'annule  pour 


t  =  0, 


Il  y  a  donc  trois  valeurs  de  t  très  petites  pour  lesquelles  £  s'an- 
nule, c'est-à-dire  trois  quadratures  à  des  époques  très  rapprochées. 

La  trajectoire  relative  pour  G  >>  C0  présente  donc  la  forme  re- 
présentée par  la  figure  ci-contre. 


Fi« 


Dans  le  cours  d'une  période,  la  masse  B  se  trouve  six  fois  en 
quadrature,  car  sa  trajectoire  relative  coupe  l'axe  des  r\  en  deux 
points  doubles  et  en  deux  points  simples. 

Ainsi  M.  Hill  se  trompe  en  supposant  que  cette  sorte  de  satel- 
lites ne  seraient  jamais  en  quadrature;  il  y  aurait,  au  contraire, 
trois  quadratures  entre  deux  syzygies  consécutives. 

Ce  n'est  pas-  qu'il  n'existe  des  solutions  périodiques  pour  les- 
quelles la  masse  B  ne  peut  jamais  être  en  quadrature  :  nous  les 
étudierons  plus  loin,  au  n°  52  ;  mais  ces  solutions  ne  sont  pas  la 
continuation  analytique  de  celles  dont  M.  Hill  a  fait  si  magistrale- 
ment l'étude  dans  \  American  Journal. 

Les  mêmes  résultats  sont  encore  vrais  quand  on  ne  néglige  pas 
la  parallaxe  du  Soleil,  sauf  que  la  symétrie  par  rapport  à  l'axe 
des  tj  disparaît. 


Application  au  problème  général  de  la  Dynamique. 

42.  Nous  allons  maintenant,  avant  d'aborder  l'étude  des  solu- 
tions périodiques  de  la  deuxième  et  de  la  troisième  sorte,  étudier 


I  lO  CHAPITRE     III. 

d'une  façon  plus  générale  les  solutions  périodiques  des  équations 
de  la  Dynamique. 

Reprenons  les  équations  du  n°  13, 

dxj  _  dF  dyt  _        d¥ 

dt         dy^  dt  dxt 

et  les  hypothèses  de  ce  numéro.  La  fonction  F  est  développée  sui- 
vant les  puissances  d'un  paramètre  très  petit  pi,  de  sorte  que 

F  =  F0  +  [aFjH-  [ji2  F2 -l- . . .  ; 

F  est  fonction  périodique  des  y,  F0  est  fonction  des  x  seulement. 
Je  supposerai,  pour  fixer  les  idées,  qu'il  n'y  a  que  3  degrés  de 
liberté.  Il  est  aisé  d'intégrer  ces  équations  quand  \x  =  o  et  que 
F  =  F0. 

En  effet,  F0  ne  dépendant  pas  des  y,  ces  équations  se  rédui- 
sent à 

dxt  _  dyt  d¥0  _ 

dt  dt  dxt 

Les  xL  et  par  conséquent  les  ni  sont  donc  des  constantes. 

Ainsi,  les  équations  (i)  admettent  pour  solution,  quand  \j.  =  o, 

X\  ^=  ^1,  ^2=  #2î  <^3 —-  ^3) 

JKi  =  «i  t  -+-  Wi,  J2  =  «2^-H^2,  J%  —.  n>3  t  ■+-  5J3, 

les  a  et  les  ms  étant  des  constantes  d'intégration,  et  les  n  des  fonc- 
tions des  a. 

Il  est  clair  que,  si 

«iT,     n2T,     n3T 

sont  multiples  de  2tc,  cette  solution  est  périodique  de  période  T. 
Supposons  maintenant  que   pi.  cesse  d'être  nul,   et  imaginons 
que,  dans  une  certaine  solution,  les  valeurs  des  x  et  des  y  pour 
t  =  o  soient  respectivement 

xl  =  al  -+-  f^,        ^2=a2-f-j32,        .r3=  «3 -t- (33, 

71  =  ^!-}-^,  JK2=nJ2+P5,  J3=TO3-1-P6. 

Supposons  que,  dans  cette  même  solution,  les  valeurs  des  x  et 


SOLUTIONS    PERIODIQUES.  III 

des  y  pour  /  —  T  soient 

a?t  =  ai  h- Pi     -4-^1, 

X2—  a2+  P-2         +  ^2) 

a?3=«3H-P3      -t-  ^3, 

Ji  =  **!-+-  Wi  T  -+-  p4  -+-  i}/4, 

J2  ==  S72 +■  7l2  T  +  [33+4/3, 
73=  W2-+-  W2T  +  P6+  A6. 

La  condition  pour  que  cette  solution  soit  périodique  de  période  T, 
c'est  que  l'on  ait 

(12)  tyi=  tp2=  ^3=  ^4=  <H=  ^6  =  O. 

Les  six  équations  (12)  ne  sout  pas  distinctes.  En  effet,  comme 
,  F  =  const.  est  une  intégrale  des  équations  (1),  et  que  d'ailleurs  F 
est  périodique  par  rapport  aux  y,  on  a 

FO/-+-  p/,  mi  -+-  P^+s)  =  F(a,-H-  p/  +  t^,  wt^  riil  -+-  P/+s+  <W+s) 
=  F(at--+-  pt-+  ty,  nrz-+  p/+8  -+■  ^,-+3). 

Il  nous  suffira  donc  de  satisfaire  à  cinq  des  équations  (12).  Je  sup- 
poserai, de  plus, 

cji  =  p4=  O. 

Il  suffit,  pour  cela,  de  choisir  l'origine  du  temps  de  telle  sorte 
quejKi  s°it  nul  pour  t  =  o. 

Il  est  aisé  de  voir  que  les  tyi  et  les  'J>i+3  sont  des  fonctions  holo- 
morphes  de  p.  et  des  [3,  s'annulant  quand  toutes  ces  variables  s'an- 
nulent. 

Il  s'agit  donc  de  démontrer  que  l'on  peut  tirer  des  cinq  der- 
nières équations  (12)  les  (3;  en  fonctions  de  [ju 

Remarquons  que,  quand  jx  est  nul,  on  a  identiquement 

<W  =  ^2=  ^3=  0. 

Par  conséquent,  <!;,,  i^2  et  <j/3,  développés  suivant  les  puissances 
de  [x  et  des  (3,  contiennent  jji  en  facteur.  Nous  supprimerons  ce 
facteur  u.,  et  nous  écrirons  par  conséquent  les  cinq  équations  (12) 
que  nous  avons  à  résoudre  sous  la  forme 


112  CHAPITRE    III. 

Pour  p.  =  o,  on  connaît  la  solution  générale  des  équations  (1)5 
on  trouve  donc  aisément 

<K  =  -    TTQ-  Fo(«1+  Pl,-«2+  P23  «3+  P3), 

^5  =  — T^rF0(«i+p1,a2+p2,a3-+-  Pa), 
^6  =  —  T^ô-FoCat-h  pu  «2 -+-  P2J  «3+  pa). 

°p3 

Le  déterminant  fonctionnel  de  <j>4,  ^  et  416  Par  raPPort  *  p^,  ^2  et 
(33  est  donc  égal,  au  facteur  près  —  T3,  au  hessîen  de  F0  par  rap- 
port aux  x. 

Je  me  propose  maintenant  d  exprimer  — ,  —  et  —  en  Jonctions 
11  r  P     P         P 

de  (34,  (35  et  (36,  en  supposant  p.  =  o  et  en  même  temps 

Pl=p2=p3=0. 

Or  on  trouve 

d  fxj—  at\  _  d¥j  d¥j,         %d¥j 

dt  \       \J-      J  ~  dyt        [X  dyi        {X    dyt 
d'où 

i>i        rTdFl   .  fTdF,   .  ,. 

—  =  /      —, —  dt  -+-  u.  S      -j—  dt-h. . .  (1  =  1,2,5), 

P     J0     dji  J0    dn 

ou,  pour  pv  =  o, 


(3  li=  /     -j±dt. 

u      .  L    .  dn 


Puisque  nous  supposons  p.  =  o  et  en  même  temps 


i,=    p2-p3=0, 


et  si  l'on  se  rappelle  que  ts,=  (34  =  o,  nous  devons,  dans  le  se- 
cond membre  de  l'équation  (3),  remplacer  xi}  x2,  x3:  y{,  y2,  y~a 
respectivement  par 

«!,       «2,       a%,       llit,       Tl%  t  -+-  7JT2  -f-  ps,       ll3t  -+-  TS3-+-  p6- 

Alors  -r-^  devient  une  fonction  périodique  de  /. 
Nous  pouvons  écrire 

Fi  =  SA  sin(/?z171-l-  m2y^-+-  m3y3  +  h), 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  Il3 

mi,  m2,  ms  étant  des  entiers  positifs,  pendant  que  A  et  h  sont  des 
fonctions  des  x  indépendantes  des  y. 
11  vient  alors 

o       ^  *    •  dFt       _  ,  dFt 

F1  =  SAsinw,  -=—  =  S  A.  m,  cosw  =  -5— -, 

dyi  dvsi 

où  l'on  a  posé,  pour  abréger, 

w  =  t{mviix-\-  m%n%-\-  m3n3)  -fc-  h  -t-  m2(Tu2+  (35)  4-  >»3(tît3-h  (36); 

F<  devient  ainsi  une  fonction  périodique  de  £  de  période  T;  c'est 
également  une  fonction  périodique  de  période  2tï  par  rapport  à 
w2-f-  (âB  et  à  w3+  (36. 

Je  désignerai  par  [F4]  la  valeur  moyenne  de  la  fonction  pério- 
dique F,,  de  telle  façon  que 


T 

[Fi]=  ^    f    Ficft  =  SAsinw, 


le  signe  S  signifiant  que  la  sommation  doit  être  étendue  à  tous  les 
termes  tels  que 

rtix  n\  -+-  m%  n2  -+-  m3  n3  =  o. 
Il  vient  alors 

^  _Td[Fx]  _d_  /M=T.rf»[Fi] 


dusi   '  d$/c+3  \  [J.  /  dx^i  dxn/c 

On  en  conclut  : 

i°  Qu'il  est  toujours  possible  de  choisir  rn2  et  tn3  de  telle  façon 
que  les  équations 


ïî  _  ï!  _  0 


soient  satisfaites  pour  (35  =  (36  =  o. 

En  effet,  la  fonction  [F,],  qui  est  finie,  est  périodique  en  ra2  et 
en  ro3  :  elle  admet  donc  un  maximum  et  un  minimum;  on  aura, 
pour  ce  maximum  ou  ce  minimum, 

d[Ft]  =  d[Fx]  = 
dus  %  dv53 

et,  par  conséquent, 

'h  —  'h  =  o 

C.  Q.  F.  D. 

H.  P.  -  T.  8 


Il,  CHAPITRE    III. 

2°  Que  le  déterminant  fonctionnel  de  —  et  ^-3 ,  par  rapport  à  B5 
et  jâ6,  est  égal  à  T-  multiplié  par  le  hessien  de  [Fj]  par  rapport  à 

77J2   et  à  T7J3. 

11  résulte  de  là  que  l'on  peut  choisir  les  constantes  ttj2  et  sj3  de 
façon  à  satisfaire  aux  équations  (i3).  Il  reste,  pour  établir  l'exis- 
tence des  solutions  périodiques,  à  faire  voir  que  le  déterminant 
fonctionnel  de  ces  équations,  c'est-à-dire 


'{%>£■  ♦*,».,»■) 


d(P„P„P„Ps,P6)     ' 

n'est  pas  nul. 

Or,  pour  {x  =  o,  ^4,  tys  et  <bG  ne  dépendent  que  de  (3,,  (32,  (33  et 
non  de  [}s  et  de  (36.  Ce  déterminant  fonctionnel  est  donc  le  pro- 
duit de  deux  autres 

d  ($*,$*) 

^  '  !  et     ^*'  ^5'  ^^ 


d(Ps,  p6)  «?(?!,  38,p3) 

Or  nous  venons  de  calculer  ces  deux  déterminants  fonction- 
nels, et  nous  avons  vu  qu'ils  sont  égaux,  à  un  facteur  constant 
près,  l'un  au  hessien  de  [F,]  par  rapport  à  m2  et  à  7tj3,  l'autre  au 
hessien  de  F0  par  rapport  aux  x. 

Donc,  si  aucun  de  ces  deux  hessiens  n'est  nul,  les  équa- 
tions (i)  admettront  des  solutions  périodiques  pour  les  petites 
valeurs  de  p.. 

Nous  allons  maintenant  chercher  à  déterminer,  non  plus  seule- 
ment les  solutions  périodiques  de  période  T,  mais  les  solutions  de 
période  peu  différente  de  T.  Nous  avons  pris  pourpoint  de  départ 
les  trois  nombres  «(,  n2,  n^;  nous  aurions  pu  tout  aussi  bien 
choisir  trois  autres  nombres,  n\,  ri2,  n's,  pourvu  qu'ils  soient 
commensurables  entre  eux,  et  nous  serions  arrivés  à  une  solution 
périodique  dont  la  période  T7  aurait  été  le  plus  petit  commun  mul- 

.    .      ,     27:     27t     ait 
uple  de  —f)  —,-■>  — - • 

J  ni      71 2      n  3 

Si  nous  prenons  en  particulier 

n\  =  ?ii(i  +  t),         n'2  =  n2(H-  e),         iù  =  x3(i  ■+■  s), 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  Il5 

es  trois  nombres  n\,  n'2,  n'3  seront  commensurables  entre  eux, 
puisqu'ils  sont  proportionnels  aux  nombres  nt,  n2  et  n3. 

Ils  nous  conduiront  donc  à  une  solution  périodique  de  période 

T 

T  +  x  =  — —  , 

1+  £ 

de  telle  façon  que  nous  aurons 

(14)  Xi=tfi(t,  p.,  s),        ^/=<pi(*>ftO» 

les  <fi  et  les  <p^  étant  des  fonctions  développables  suivant  les  puis- 
sances de  [jl  et  de  e,  et  périodiques  en  i,  mais  de  façon  que  la  pé- 
riode dépende  de  s. 

Si  dans  F  nous  remplaçons  les  Xi  et  les  jy*  parleurs  valeurs  (i4)t 
F  doit  devenir  une  constante  indépendante  du  temps  [puisque 
F  =  const.  est  une  des  intégrales  des  équations  (i)].  Mais  cette 
constante,  qui  est  dite  constante  des  forces  vives,  dépendra  de  p. 
et  de  e,  et  pourra  être  développée  suivant  les  puissances  croissantes 
de  ces  variables. 

Si  la  constante  des  forces  vives  B  est  une  donnée  de  la  ques- 
tion, l'équation 

F({*,e.)  =  B 

peut  être  regardée  comme  une  relation  qui  lie  e  à  jx.  Si  donc  nous 
nous  donnons  arbitrairement  B,  il  existera  toujours  une  solution 
périodique,  quelle  que  soit  la  valeur  choisie  pour  cette  constante; 
mais  la  période  dépendra  de  e  et  par  conséquent  de  p.. 

Un  cas  plus  particulier  que  celui  que  nous  venons  de  traiter  en 
détail  est  celui  où  il  n'y  a  que  2  degrés  de  liberté.  F  ne  dépend 
alors  que  de  quatre  variables,  xt,  yt,  x-i,  y2->  et  la  fonction  [F4] 
ne  dépend  plus  que  d'une  seule  variable  nr2.  Les  relations  (6)  se 
réduisent  alors  à 

et  le  hessien  de  [F4]  se  réduit  à     ,   \  >  d'où  cette  conclusion  : 

A  chacune  des  racines  simples  de  l'équation  (i5)  correspond 
une  solution  périodique  des  équations  (1),  qui  existe  pour  toutes 
les  valeurs  de  u.  suffisamment  petites. 


Il6  CHAPITRE    III. 

Je  pourrais  même  ajouter  qu'il  en  est  encore  de  même  pour  cha- 
cune des  racines  d'ordre  impair. 

L'existence  des  solutions  périodiques  une  fois  démontrée,  il 
reste  à  faire  voir  que  ces  solutions  peuvent  se  développer  suivant 
les  puissances  de  [/.  et  s'écrire 

xt=  6/>0(0  -+-  pO/.tCO  +  V-*§i.i(  <)+.-.         (s'  =  i,  2,  . ..,«), 

6/  o(t),  §i^(t),  . .  . ,  étant  des  fonctions  périodiques  de  £  dévelop- 
pables  selon  les  sinus  et  cosinus  des  multiples  de 

ITZt 


T+T 

D'après  le  théorème  du  n°  28,  nous  aurons 

X£  =  Ei[t—  tu  fx,  x\  —  cpi(o),  x\  —  cp2(o).    ...,  x%  —  cp„(o)], 

si  #J,  #",  .  . . ,  #°  sont  les  valeurs  initiales  de  #, ,  #2,  •  ■  •  -,  %n  pour 
£  =  o. 

Hj  sera  développable  suivant  les  puissances  de 

t  —  tu     p    et    a?°  — y/(o), 

si  a  est  assez  petit  et  si  t  est  assez  voisin  de  tK  et  x\  de  'f  ;(o). 
Nous  prendrons 

De  plus,  nous  prendrons 

a??  — ?*(o)  =  P*. 

Nous  choisirons  les  (3;  et  t  de  façon  à  obtenir  une  solution  pé- 
riodique, c'est-à-dirè  de  façon  à  satisfaire  aux  équations  (9).  Nous 
venons  de  voir  que,  si  %  et  les  j3t-  satisfont  à  ces  équations  (9),  on 
pourra  développer  t,  (3<,  (32,  •  •  • ,  (3«  suivant  les  puissances  crois- 
santes de  [x,  et  que  t  et  les  (3/  s'annuleront  avec  a. 

On  aura  donc 

K/  étant  une  fonction  développée  suivant  les  puissances  de  a.. 


SOLUTIONS    PERIODIQUES.  117 

Kj  ne  dépend  pas  seulement  de  [/.,  il  dépend  encore  de  t{  ;  nous 
écrirons  donc 

en  rappelant  toutefois  que  K;  est  développé  suivant  les  puissances 
de  u.,  niais  non  pas  suivant  celles  de  tK . 

Cela  posé,  quand  on  augmente  tt  de  T,  on  augmente  t  de 
T  -+-  t,  et,  comme  on  s'est  arrangé  de  manière  à  avoir  une  solution 
périodique  de  période  T  +  t,  xi  ne  doit  pas  changer;  on  a  donc 

(10)  K*(*i+T,  (jL)  =  K,(f1,  fi), 

K;  étant  développable  suivant  les  puissances  de  U ,  on  peut 
écrire 

K|(«i,  {*)  =  8i-,o  -+-  8/,i  H1  +  eA2 1^2  ■+■  •  •  •  > 

9/  o,  ^;1 ,  8^2,  .  .  . ,  ne  dépendant  que  de  tK .  L'identité  (10)  montre 
alors  que  0,-^  ne  change  pas  quand  on  change  f,  en  «(  +  T.  Donc 
9/  *  est  une  fonction  périodique  et  peut  se  développer  suivant  les 
sinus  et  les  cosinus  des  multiples  de 

1  TU  t\  ITZt 

"T~  =  f+"x' 

C.  Q.  F,  D. 

Cas  où  le  hessien  est  nul. 

43.  Il  peut  y  avoir  difficulté  dans  le  cas  où  le  hessien  de  F0 
est  nul. 

Voici  comment  il  est  permis,  dans  un  assez  grand  nombre  de 
cas,  de  tourner  la  difficulté. 

Supposons  que  le  hessien  de  F„  par  rapport  aux  variables  x  soit 
nul,  mais  que  l'on  puisse  trouver  une  fonction  de  F0,  que  l'on  ap- 
pellera <p  (F0)  et  dont  le  hessien  ne  soit  pas  nul. 

Nous  allons  transformer  les  équations  (i)  de  la  manière  sui- 
vante . 

Ces  équations  admettent  l'intégrale  des  forces  vives  qui  s'écrit 

F  =  G. 
Soit  cp'  la  dérivée  de  la  fonction  cp,  on  aura  pour  F  =  C 

?'(F)=cp'(C), 


il8  CHAPITRE    III. 

eto'(C)seraune  constante  qui  pourra  être  regardée  comme  connue, 
si  l'on  suppose  que  les  conditions  initiales  du  mouvement  soient 
données  et  permettent  par  conséquent  de  calculer  la  constante  C. 
Les  équations  (i)  peuvent  alors  s'écrire 

dxt  _  rf[y(F)]  dyt  rf[?(F)] 

dt        o'(G)dy£'  dt  o'(C)  dxi' 

Elles  conservent  la  même  forme,  mais  la  fonction  F0  est  remplacée 
par  cp(F0)  dont  le  hessien  n'est  pas  nul. 

Prenons,  par  exemple,  le  cas  particulier  du  problème  des  trois 
Corps  étudiés  au  n°  6,  celui  où  l'une  des  masses  est  nulle  et  où  les 
deux  autres  se  meuvent  circulairement. 

Dans  ce  cas,  nous  avons  trouvé 


'0 

on  a  donc 


F0  =  — à  -+-  oc*  ; 

d*F0  d*F0 


dx\         dx%  dx\ 
Notre  hessien  est  donc  identiquement  nul;  mais,  si  nous  prenons 

le  hessien  de  <p (F0)  est  égal  à 

_6 

et  est  différent  de  o. 

Ainsi  tout  ce  qui  précède  est  applicable  à  ce  cas  particulier  du 
problème  des  trois  Corps  qui  possède  des  solutions  périodiques 
pour  les  petites  valeurs  de  pu 

Considérons  au  contraire  le  cas  général  du  problème  des  trois 
Corps  traité  au  n°  11. 

Nous  avons  trouvé  que  ce  problème  pouvait  être  ramené  à  la 
forme  canonique,  les  deux  séries  de  variables  étant 

pL,    pG,    pe,    p'L',    P'G',    p-e\ 

l,        g,        »,         l\         S\        6'. 
La  fonction  F  peut  se  développer  suivant  les  puissances  de  u. 

F  =  F0  +  F,  (x  +  F2  jjl2  _h  . . .  , 


SOLUTIONS    PERIODIQUES.  Iig 

et  l'on  a 


u       2(pL)*       2(P'L')2 

Si,  pour  reprendre  les  notations  employées  dans  ce  Chapitre, 
nous  désignons  les  deux  séries  de  variables  conjuguées  par 


Xi  ,       X=i ,       X3,       Xi, ,       J75 ,       ,r6 , 

^1:      72,      ^3,      74,      75,      76, 

de  telle  sorte  que 

#x  =  pL,         x4  =  P'L', 

il  viendra 

1X\           1X\ 

le  hessien  de  F0  sera  manifestement  nul. 

Si  nous  considérons  une  fonction  quelconque  cp(F0),  cette  fonc- 
tion ne  dépendra  encore  que  de  xK  et  de  xk  et  son  hessien  sera 
encore  nul.  L'artifice  que  nous  avons  employé  plus  haut  n'est  donc 
plus  applicable  et  les  raisonnements  du  présent  numéro  ne  suffisent 
plus  pour  établir  l'existence  des  solutions  périodiques. 

C'est  là  l'origine  des  difficultés  que  nous  chercherons  à  vaincre 
dans  les  noS  46  à  48. 

Ces  difficultés  proviennent  encore,  comme  on  vient  de  le  voir, 
de  ce  que  F0  ne  dépend  que  de  xx  et  de  xA  ;  c'est-à-dire  de  ce 

que  l'on  a 

dFo  _  dF0  _  dFo  _  d¥0  _ 
dx%  '      dx3        dx$        dx6 

ou  encore,  si  u.  =  o, 

ctyj  _  dys  _  cfys  _  dye  _ 
dt  dt  dt         dt 

Ces  équations  signifient  que  dans  le  mouvement  képlérien  les 
périhélies  et  les  nœuds  sont  fixes. 

Or,  avec  toute  autre  loi  d'attraction  que  celle  de  Newton,  les 
périhélies  et  les  nœuds  ne  seraient  plus  fixes. 

Donc,  avec  une  loi  différente  de  la  loi  newtonienne,  on  ne  ren- 
contrerait plus,  dans  la  recherche  des  solutions  périodiques  du 
problème  des  trois  Corps,  la  difficulté  que  je  viens  de  signaler  et  à 
laquelle  seront  consacrés  plus  loin  les  noS  46  à  48. 


CHAPITRE    III. 


Calcul  direct  des  séries. 


44.  Nous  venons  de  démontrer  que  les  équations  (i)  du  n°  43 
admettent  des  solutions  périodiques,  et  que  ces  solutions  peuvent 
être  développées  suivant  les  puissances  de  ;j.. 

Cherchons  maintenant  à  former  effectivement  ces  développe- 
ments, dont  nous  avons  ainsi  démontré  d'avance  l'existence  et  la 
convergence. 

Je  commence  par  observer  qu'on  peut,  dans  le  calcul  de  ces 
développements,  introduire  une  importante  modification.  Nous 
avons  introduit  plus  haut  trois  nombres  : 

ni}     n2,     «3, 
tels  que 

«iT,     n2T,     n3T 

soient  multiples  de  2ic,  et  par  conséquent  commensurables  entre 
eux.  Ces  trois  nombres  caractérisent  la  solution  périodique  en- 
visagée. 

Je  dis  que  l'on  peut  toujours,  quand  on  étudie  une  solution 
périodique  particulière,  supposer  que 


Supposons,  en  effet,  qu'il  n'en  soit  pas  ainsi.  Nous  changerons 
de  variables  en  posant 

y\  =  «1/1  +  a2y'i  -+-  «3/3 , 

7s  =  Y1/1  +  Y2/2  +  Ys/s  : 

Les  équations  (avec  les  nouvelles  variables  x'  et  y')  conserve- 
ront la  forme  canonique. 

Si,  de  plus,  les  a,  les  (3,  les  y  sont  entiers  et  que  leur  détermi- 
nant soit  égal  à  1,  la  fonction  F,  périodique  par  rapport  aux  y, 
sera  également  périodique  par  rapport  auxj)/-'. 

Si  nous  appelons  n\,  n[},  n'3  ce  que  deviennent  les  trois  nom- 
bres caractéristiques  /i(,  n2  et  /?3  après  le  changement  de  variables, 


x\ 

= 

OC] 

Xi 

■+- 

h 

x% 

-+- 

Yi 

2"3 

X 2 

= 

«î 

,Xi 

+ 

h 

;  CC% 

-H 

Ys 

\XS 

x% 

= 

«3 

Xi  -+- 

h 

X% 

+ 

Y3 

x% 

SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  121 

ces  trois  nombres  nous  seront  donnés  par  les  équations 

m  =  o^  ?i\  -+-  a2  rt'2  -+-  a3  n'A  , 

n3  =  Yi  «i  -H  Ya n'2  -+-  y  s  «s  ; 

comme  ii\,  ft2  et  n3  sont  commensurables  entre  eux,  on  peut  évi- 
demment choisir  les  entiers  a,  (3  et  y  de  telle  sorte  que 


Il  est  donc  toujours  permis  de  supposer 

n<i  =  «3  =  o  ; 

c'est  ce  que  nous  ferons  désormais. 

Nous  allons  donc  chercher  à  satisfaire  aux   équations   (i)  en 

faisant 

1xx=  x\  -\-  \xx\ 
x%  =  x\  -+-  \xx\ 
^3  =  ^0  +  {XX\ 

f  yt  =y%  -t- w»- 
\  j3=j°3  +  v-y\ 


(2) 


•  \x*x\  -+ 
[j.2a7|  -+■ 
H«a7j  -h 

\^y\  + 
n27i  + 
F2rl  ■+ 


les  xf  et  les  yk  étant  des  fonctions  périodiques  du  temps  de  pé- 
riode T.  Les  x\  sont  des  constantes  telles  que 

—  ¥ç>(x\,xl,xl)  =  —  nt,         «2=n3  =  o, 
dXi 

et  l'on  a  d'autre  part 
d'où 


y°i  =ntt  + 


72=^2,  73=^3, 

to,,  w2  et  cj3  étant  des  constantes  que  nous  nous  réservons  de  dé- 
terminer plus  complètement  dans  la  suite. 

L'origine  du  temps  restant  arbitraire,  nous  pourrons  la  choisir 
de  telle  façon  que  yh  —  o  quel  que  soit  [x  pour  t  =  o.  Il  en  résulte 
que  y\ ,  y\ ,  y\ ,  • . .  seront  nuls  à  la  fois  pour  t  =  o  et  que 
T3t  =  o. 

Dans  F,  à  la  place  des  x  et  des  y,  substituons  leurs  valeurs  (2), 


122  CHAPITRE    III. 

puis  développons  F  suivant  les  puissances  croissantes  de  u,  ainsi 
qu'il  a  été  dit  au  n°  22.  Il  viendra 

F  =  <S>0  -+-  n*i  h-  H2*2  -+- 
et  l'on  aura 

&0  =  F0(x<>,x°,x%). 

11  viendra  ensuite  (si  l'on  se  souvient  que  -r-|  =  —  ni   et  que 

z?2  =  nz  =  o) 

(3)  *1  =  F1(a?01,^,^,7Ï,y§,703)-n1^î. 

Plus  généralement,  on  aura 

i.       ~  ;.  d¥n  .  dF0  ,  d¥Q 

*A.  =  6A.  -  ni*î  =  0A  H-  x\  -^  -+■  0$  ^  +  a?f  ^, 

et  0A  dépendra  seulement 

des  x\ ,         des  x\,         ...         et        des  a?f-1 , 
desjK?)        des^J,         ...         et        des  y*-1. 

Par  rapport  auxjj^,  elle  est  périodique  de  période  27c. 
Cela  posé,  les  équations  différentielles  peuvent  s'écrire,  en  éga- 
lant les  puissances  de  même  nom  de  [jl, 


dx\  _  dx%  _  dx%  _  ^  dy\  _  n  dy%  _  n  dy% 

dt  dt  dt 

On  trouve  ensuite 


—  o,         -^  =  «ii        -^rr  =  ni,        -~  =  n3. 
dt  dt  dt  '  dt  "  dt  "'  dt 


dx\        d¥t 
U)                      dt    ~  dy\' 

dt 

d¥r 

~  dy\y 

dx\        «r/Ft 
~dJ~"dy\ 

et 

(5)            M=_f^, 

dy\  _ 

dt 

d<S>i 
'       dx\' 

dy\  _      d$>x 
dt    '         dx\ 

et  plus  généralement 

(4') 

dx'f 
dt 

d$k 

dy\ 

et 

(^±ï-        d**  -       d@*       xk     dîFo     -  x«     d*F°     -  x"     ^Fo 

K     '    dt   '         dxï  dx\  1  dx\dx\  2  dx\dx\  '  dx\dx\ 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  1^3 

Intégrons  d'abord  les  équations  (4)-  Dans  Ft  nous  remplacerons 
v°{,  j°2,  y\  par  leurs  valeurs 

jilt,     cr2,     nr3. 

Alors  les  seconds  membres  des  équations  (4)  sont  des  fonctions 
périodiques  de  t  de  période  T;  ces  seconds  membres  peuvent 
donc  être  développés  en  séries  procédant  suivant  les  sinus  et  les 

cosinus  des  multiples  de  -„-•  Pour  que  les  valeurs  de  x\ ,  x\  et  x\ 

tirées  des  équations  (4)  soient  des  fonctions  périodiques  de  t,  il 
faut  et  il  suffît  que  ces  séries  ne  contiennent  pas  de  termes  tout 
connus. 

Je  puis  écrire,  en  effet, 

F,  =  2  A  sin(miyï  +  m%y\  -h  msy%  -+-  h), 

où  m,,  m2,  ms  sont  des  entiers  positifs  ou  négatifs  et  où  A  et  h 
sont  des  fonctions  de  x°n  x\,  x\.  J'écrirai,  pour  abréger, 

Ft=  SAsinw, 
en  posant 

co  =  m1y1  -+-  m-2yl  ■+-  mzy%  -f-  h. 

Je  trouverai  alors 

d$i       ^  »  d¥x       _,  .  d¥i  , 

-y— f  =  SA/n,cosw,        -r—. t  =  SAm2cosw,        -t— . r  =  S  A  m3  cos  w 

</>?  rf^o  dy% 

et 

w  =  £ Mj  «i  -+-  /\  +  771%  nr2  +  «^3  T33 . 

Parmi  les  termes  de  ces  séries,  je  distinguerai  ceux  pour  lesquels 

77ty  =  O 

et  qui  sont  indépendants  de  t. 

Ft  étant  une  fonction  périodique  de  £,  j'appellerai  [F,]  la  valeur 
moyenne  de  cette  fonction  et  j'aurai 

[F^  =  SA  sinco,         {7711  =  0,  w  =  /t  +  m2nr2-{-  m^xs-i), 

la  sommation  représentée  par  le  signe  S  s'étendant  à  tous  les 


124  CHAPITRE    III. 

termes  de  F,,  pour  lesquels  le  coefficient  de  t  esl  nul.  Nous  aurons 

alors 

d\F,]  c?[Fi]        c. 

— -. — ~  =  ijA/n-iCosto,         — -. — -  =  bA/n3cosw. 

Si  donc  on  a 

C17J5-2  UVJ3 

il  viendra,  puisque  d'ailleurs  mK  est  nul, 

(7)  SÀ/Wxcosaj  =  o,         SA  /n2  cosw  =  o,         SAm3  cosœ  =  o. 

Si  donc  les  relations  (6)  sont  satisfaites,  les  séries  SA/zz/cosio  ne 
contiendront  pas  de  terme  tout  connu,  et  les  équations  (4)  nous 
donneront 

Ajsiruo  j_^  Am2_sinw 


«1  ^bs^         7?lj  /Zj 

A/?2S  sinw 


i=2 


niiiiY 


Ci, 


C{,  C2  et  C3  étant  trois  nouvelles  constantes  d'intégration. 

Il  me  reste  à  démontrer  que  l'on  peut  choisir  les  constantes  ts* 
et  hj3  de  façon  à  satisfaire  aux  relations  (6).  La  fonction  [F,]  est  une 
fonction  périodique  de  rn2  et  de  to3  qui  ne  change  pas  quand  l'une 
de  ces  deux  variables  augmente  de  2tc.  De  plus  elle  est  finie;  elle 
aura  donc  au  moins  un  maximum  et  un  minimum.  Il  y  a  donc  au 
moins  deux  manières  de  choisir  trr2  et  tn3  de  façon  à  satisfaire  aux 
relations  (6). 

Je  pourrais  même  ajouter  qu'il  y  en  a  au  moins  quatre,  sans 
pouvoir  toutefois  affirmer  qu'il  en  est  encore  de  même  quand  le 
nombre  de  degrés  de  liberté  est  supérieur  à  3. 

Je  vais  maintenant  chercher  à  déterminer,  à  l'aide  des  équa- 
tions (5),  les  trois  fonctions^;  et  les  trois  constantes  Gt-. 

Nous  pouvons  regarder  comme  connus  les  x\  et  les  y^  les  x\ 
sont  connus  également  aux  constantes  près  G,- .  Je  puis  donc  écrire 
les  équations  (5)  sous  la  forme  suivante, 

\%\        dy*  =h-    c    ^2F°      c?    ^8F°      c   ^2Fn 

1  '  dt  1  dx\dxï    '    2  dx%dx\    '    3  dx\dx\* 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  125 

où  les  H;  représentent  des  fonctions  entièrement  connues  déve- 
loppées en  séries  suivant  les  sinus  et  cosinus  des  multiples  de  -Ff-- 

Les  coefficients  de  C],  G!,  et  C3  sont  des  constantes  que  l'on  peut 
regarder  comme  connues. 

Pour  que  la  valeur  àey\  tirée  de  cette  équation  soit  une  fonction 
périodique  de  t,  il  faut  et  il  suffit  que  dans  le  second  membre  le 
terme  tout  connu  soit  nul.  Si  donc  H"  désigne  le  terme  tout  connu 
de  la  série  trigonomé trique  H,,  je  devrai  avoir 

<9)  C}  -£^  +  C\  -£^-0  +  GJ  £^-Q  =  H?. 

Les  trois  équations  linéaires  (9)  déterminent  les  trois  constantes 

cî,cjetcj. 

Il  n'y  aurait  d'exception  que  si  le  déterminant  de  ces  trois  équa- 
tions était  nul;  c'est-à-dire  si  le  hessien  de  F0  par  rapport  à  x", 
a-?,  et  x\  était  nul;  nous  exclurons  ce  cas. 

Les  équations  (8)  me  donneront  donc 

dy\ 


*-XS* 


ou 

yX=r\\  +  k\,      yl  =  y\\  +  k\,      yl^-ni  +  ki, 

les  tl-  étant  des  fonctions  périodiques  de  t  entièrement  connues  et 
les  k\  étant  trois  nouvelles  constantes  d'intégration.  Il  résulte 
d'ailleurs  des  équations  que  je  viens  d'écrire  que  f\\  =  'i\l  =  ,*i3=o 
pour  £  =  o. 

Venons  maintenant  aux  équations  (4')  en  y  faisant  k  =  i  et 
i  =  i,  2,  3  et  cherchons  à  déterminer,  à  l'aide  des  trois  équations 
ainsi  obtenues,  les  trois  fonctions  x\  et  les  trois  constantes  k\. 

Il  est  aisé  de  voir  que  nous  avons 

où  û2  dépend  seulement  des  x\ ,  des  y\  et  des  x\  et  où  l'ou  a, 
comme  plus  haut, 

— -  =  SA/n/cosw. 

dy\ 


I26  CHAPITRE    III. 

Les  équations  (4')  s'écrivent  alors 


dy\       Z*Jk  dy\dy\ 


dxf  _  dO.?,     |   ^       i      o?'2F] 
~~dt 


(io)  — —  =  H}  —  /ilSA/njm/sinto  —  k\  S  Am2»îjSina)  —  k\  S  A/^m/siruo,. 

H'  étant  une  fonction  périodique  de  Z,  que  l'on  peut  regarder 
comme  entièrement  connue.  Pour  que  l'on  puisse  tirer  de  cette 
équation  x\  sous  la  forme  d'une  fonction  périodique,  il  faut  et  il 
suffit  que  les  seconds  membres  des  équations  (io),  développés  en 
séries  trigonométriques,  ne  possèdent  pas  de  termes  tout  connus. 
Nous  devons  donc  disposer  des  quantités  k\  de  manière  à  annuler 
ces  termes  tout  connus.  Nous  serions  ainsi  conduits  à  trois  équa- 
tions linéaires  entre  les  trois  quantités  k\\  mais,  comme  le  déter- 
minant de  ces  trois  équations  est  nul,  il  y  aune  petite  difficulté  et 
je  suis  forcé  d'entrer  dans  quelques  détails. 

Comme  nous  avons  supposé  plus  haut  que  j>']=o  pour  l  =  or 

nous  aurons 

k\=o; 

nous  n'aurons  plus  alors  que  deux  inconnues  k!2  et  k{3  et  trois 
équations  à  satisfaire;  mais  ces  trois  équations  ne  sont  pas  dis- 
tinctes, comme  nous  allons  le  voir. 

Appelons,  en  effet,  EJe  terme  tout  connu  de  Hj,  ces  trois  équa- 
tions s'écriront  (si  l'on  se  rappelle  que  le  signe  de  sommation  x 
se  rapporte  aux  termes  tels  que  ni\  =  o) 

Ei  =  o, 
■  E2  =  k\  SkA/n|  sinio       -+-  k\  Vu  Amsm.2  sin  w, 

E3  =  k\  xAm2/?i3sin  w  -+-  k\  x  km\  sin  w  ; 
les  deux  dernières  des  équations  (i  i)  pourront  aussi  s'écrire 

F   -JM  ^F'l        ,    /-■    ^™ 
dT^i  dw2  dm  3 

•    E        Ai    d»[Fi]     ,   /f1  <P[Ft] 

2  dm*  dm*  3      dm  l 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  \i~ 

De  ces  deux  équations,  on  peut  tirer  k\  et  £3,  à  moins  que  le  hes- 
siende  [F4],  par  rapport  àcr2  etw3,  ne  soit  nul.  Si  l'on  donne  aux  k] 
les  valeurs  ainsi  obtenues,  les  deux  dernières  équations  (10)  nous 
donneront  x\  et  x\  sous  la  forme  suivante 

'  *-!  =  £!  +  ci,      xl  =  ti  +  ci, 

les  !•?  étant  des  fonctions  périodiques  de  t  entièrement  connues  et 
les  C?  étant  de  nouvelles  constantes  d'intégration. 

Pour  trouver  x\  nous  pouvons,  au  lieu  d'employer  la  première 
des  équations  (10),  nous  servir  des  considérations  suivantes  : 

Les  équations  (1)  admettent  une  intégrale 

F  =  B, 

B  étant  une  constante  d'intégration  que  je  supp  oserai  développée 
suivant  les  puissances  de  fi.  en  écrivant 

B  =  B0+fjiB1-H{Ji»B,  +  ..    , 

de  sorte  que  l'on  a 

<ï>0  =  B0,        «P^Bi,        *2=B,, 

B0,  B,,  B2,  .  •  •  étant  autant  de  constantes  différentes. 
Le  premier  membre  de  l'équation 

$2  =  B2 

dépend  des  x\,  desjK°,  des  x\ ,  des y\,  de  x\  et  de  x\,  qui  sont  des 
fonctions  connues  de  £,  et  de  x\  que  nous  n'avons  pas  encore  cal- 
culée. De  cette  équation,  nous  pourrons  donc  tirera^  sous  la  forme 
suivante 

&  sera  une  fonction  périodique  de  t  entièrement  déterminée  etC^ 
est  une  constante  qui  dépend  de  B2,  de  C22  et  de  C|. 

Nous  pouvons  conclure  de  là  que  la  première  des  équations  (11) 
doit  être  satisfaite  et  par  conséquent  que  ces  trois  équations  (11) 
ne  sont  pas  distinctes. 

Prenons  maintenant  les  équations  (5')  et  faisons-y  k  =  2;  nous 
obtiendrons  trois  équations  qui  nous  permettront  de  déterminer 


128  CHAPITRE    III. 

les  constantes  CJ,  C^  et  C?  et  d'où  l'on  tirera  en  outre  les  y?  sous 
la  forme 

yl  =  il-hkl,       ^5  =  7,3  +  *»,       yl  =  -il  +  kl 

les  y  étant  des  fonctions  périodiques  de  t  entièrement  connues  et 
les  k  étant  trois  nouvelles  constantes  d'intégration. 

Reprenons  ensuite  les  équations  (4')  en  y  faisant  k  =  3  ;  si  nous 
supposons  £,  =  o,  nous  pourrons  tirer  des  trois  équations  ains 
obtenues,  d'abord  les  deux  constantes  k\  et  k\,  puis  les  x\  sous 
forme 

les  £  étant  des  fonctions  périodiques  connues  de  t  et  les  Cf  étant 
trois  nouvelles  constantes  d'intégration. 

Et  ainsi  de  suite. 

Voilà  un  procédé  pour  trouver  des  séries  ordonnées  suivant  les 
puissances  de  ja,  périodiques  de  période  T  par  rapport  au  temps 
et  satisfaisant  aux  équations  (i).  Ce  procédé  ne  serait  en  défaut 
que  si  le  lies  sien  de  F0  par  rapport  aux  x®  était  nul  ou  si  le 
hessien  de  [F^par  rapport  à  ra2  et  ot3  était  nul. 


Démonstration  directe  de  la  convergence. 

45.  Il  pourrait  être  utile  de  connaître  une  démonstration  directe 
de  la  convergence  des  séries  que  nous  venons  de  former  et  dont 
nous  avions  préalablement  démontré,  dans  le  n°  28,  l'existence  et 
la  convergence.  Je  donnerai  d'abord  cette  démonstration  directe 
dans  un  cas  particulier. 

Soit 

(0  ^J  +  ^/O^j) 

une  équation  différentielle;  nous  avons  vu  au  n°  2  que  cette  équa- 
tion (considérée  par  M.  Gyldén,  puis  par  M.  Lindstedt  dans  leurs 
recherches  sur  la  Mécanique  céleste)  peut  être  regardée  comme  un 
cas  particulier  des  équations  de  la  Dynamique  avec  2  degrés  de 
liberté  seulement. 

Je  supposerai  qnef(x,y)  peut  être  développé  suivant  les  puis- 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  I  2.9 

sances  croissantes  dey,  et  que  l'on  a 

foiff>f-2i  •  ■  ■  étant  des  fonctions  de  x  que  je  supposerai  périodi- 
ques et  de  période  iiz.  Je  supposerai  de  plus  que  la  valeur  moyenne 
de/0  est  nulle, 

[/o]=o. 

Cela  posé,  je  vais  chercher  à  développer  y  suivant  les  puissances 
de  p.,  de  telle  sorte  que 

y  =  yi  ij-  +72  {J---+-.. . +r«  ^ + . . . . 

En  substituant  cette  valeur  de  y  dans  co,  il  vient 

<?  =  <?o  -+-  !J-'f  1  -+-  ■  •  •  "+-  [-«■"?«  -+-  -  •  • , 
et  les  équations  différentielles  deviendront 

d-.Yo  d~yi  d-y%  d2yn 

-d^=°>     ~d^  =  ^     -^-^ti.      •  ■•>     -asr  .=  ?-!' 

Nous  voulons  que  j-,,  7*2»  •  •  •  soient  des  fonctions  périodiques 
de  5?.  Cela  sera  possible,  pourvu  que  les  valeurs  moyennes  des 
seconds  membres  soient  nulles,  c'est-à-dire  que  l'on  ait 

[?o]  =  Oi         [?i]  =  o,         ...,         [cp„]  =  0. 
La  première  condition  est  remplie  d'elle-même,  car  on  a 
î?o=/o,         |>o]  =  [fol  =  0. 
D'autre  part,  il  vient 

9„  ne  dépendant  que  dey,,  y2,  . .  . ,  yn-\- 
Soit  [jK/z]  la  valeur  moyenne  de yn,  et  posons 

y,i=  rin-^[yn], 

de  telle  façon  que  v\n  soit  une  fonction  périodique  de  x,  dont  la 
valeur  moyenne  soit  nulle. 

H.P.-I.  Q 


l3o  CHAPITRE    III. 

Cela  posé,  imaginons  que  nous  ayons  déterminé  par  un  calcul 
préalable 


(2) 


et,  par  conséquent  aussi,  jKn  J)^?          ,  JK«_i,  et  que  nous  nous  pro- 
posions de  calculer  r\n+i  et  [j«]. 
La  relation  [©„]  =  o  peut  s'écrire 

[e„]-h[/^w]  +  [/1][7»]  =  o. 

Dans  cette  équation  [Brt]  et  [/"ri/a]  peuvent  être  regardés  comme 
connus,   puisque    les   quantités  (2)  sont  connues;    [f\]  est  une 
constante  donnée  ;  on  peut  donc  en  tirer  [./«]■ 
On  a  ensuite 

d2fn+i         d2rin+l 


dx2  dx'2 


Si  je  pose 


il  viendra 


on  =  %  Amcosm«  -i-\  Bm  sin/nar, 


'1»+i  — 


=  —  >  cosmx  —  >  — -  sin . 

^d   m2  Jmad   m'2 


Les  Tj,  les  [y]  et  les  jk  peuvent  donc  se  calculer  de  la  sorte  par 
récurrence. 

Il  résulte  de  là  que,  si  <j>  est  une  fonction  périodique  de  x,  telle 
que  l'on  ait,  en  reprenant  la  notation  du  n°  20,  complétée  au  n°  35, 

<?n<ty,        (arge***), 
on  aura  a  fortiori 

rlll+1^<b,        (arge*'*). 

Nous  écrirons  dans  ce  qui  va  suivre 

G  =  f—fo  —f\y  =fiy-i  -H/373  -+-  •  •  •  • 

de  telle  sorte  que 

u.(  0  j,  H-  [J.272  -4-  [J.3JK3  -L  •  •  •  )  =  02  p.2  -+-  63  M-3  H-  •  •  •  -+-  ^n  :-»-"  -»- 


SOLUTIONS    PERIODIQUES. 


I3l 


Cela  posé,  soit/'  une  fonction  de  x  et  dey  de  même  forme  que/', 
c'est-à-dire  telle  que 

/'  =  /o  -h/'i  y  +/'272  -+-  ■  •  •  i 

/'„,  f'\,  fl,  .  .  .  étant  des  fonctions  périodiques  de  x,  et  supposons 
de  plus  que  l'on  ait 

/</'(argj,  e^). 

Si  nous  posons  ensuite 

/'  (  wi  ■+■  ii2/2  -+-  i^js  -+- . . .  )  =  o'»  -+-  {a<p',  -+- . . .  +  ja"  <?;,  + . . . , 

il  viendra 

Nous  poserons  également 

v=f-f'o-Ay, 

G'(  Wi  -H  ^2j2  -H  H3J3  +.-.)=  62  F  ■+■■  63  H3  +■  ■  •  •+  VnV-n  +■  ■  •  • 

d'où 


6»<0». 


Nous  écrirons  enfin 


T 

[7H 


-x. 


Soient  maintenant  y',  ■/]'  et  z  trois  fonctions  inconnues  liées  par 
la  relation 

et  développées  suivant  les  puissances  de  [x,  de  sorte  que 

y'=  v-y\  -i-^s/s  ■+-•••' 

l'=  Fl'i  -H  t*" 'ï*  H- -  •  - 1 

Définissons  ces  fonctions  par  les  équations  suivantes 

(3) 

on  trouvera  tout  d'abord 


V=  p/'to  '1'-+--) 

.s  =  X/i  r/-+-  X6'(a?,  ï)'-(-^); 


rii  =  ?o 


l32  CHAPITRE    III. 

et  comme  on  a,  d'autre  part, 

d*rn 


on  en  conclura 
On  trouve  ensuite 
et,  d'autre  part, 

d'où 

Il  vient  ensuite 
et,  d'autre  part, 

d'où 

puis 

et,  d'autre  part, 


dx*  ~  ?0' 
1i<Vi(arge*te). 


[ji]=  jjO  Ui'rnl 


Ji</i- 


r/2  =  tt,',(^,  /,) 


Vi  9  ■<  Ti  o  î 


^2=  ^/iV2-+-^'2(^7i) 


d'où 

0S]<*1,       72<j'2, 

et  ainsi  de  suite;  la  loi  est  manifeste,  on  aura 

et 

7<j'    (a«'g^)  e*'J>). 
Si  donc  la  série 

f  =  V-ï\  ■+■  f**/«  +  P'/s  +  •  •  • 
converge,  la  série 

(4)  y  =  v-x  -+■  p*n  -+-  •  •  ■ 

convergera  a  fortiori.  Il  me  reste  donc  à  établir  que  la  série  y' 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  l33 

converge  j  ou,  ce  qui  revient  au  même,  que  les  équations  (3)  peuvent 
être  résolues  par  rapport  à  7/  et  à  z. 

Or  le  déterminant  fonctionnel  relatif  à  ces  équations  (3)  peut 
s'écrire 

OÇt,'—  \xf\  z—lf\r'—W) 

et  sa  valeur  pour  V==  ;  =  ;j.  =  o  est  égale  à  1 .  Il  n'est  donc  pas 
nul  et,  par  conséquent,  d'après  le  théorème  du  n°  30,  les  équations 
(3)  peuvent  être  résolues. 

Donc  la  série  (4)  converge.  c.  q.  f.  d. 

Les  équations  traitées  dans  ce  numéro  sont  un  cas  particulier 
de  celles  qui  ont  fait  l'objet  du  numéro  précédent.  Une  démon- 
stration directe  tout,  à  fait  analogue  pourrait  être  donnée  dans  le 
cas  général.  Nous  y  reviendrons  plus  loin. 


Examen  d'un  important  cas  d'exception. 

46.  D'après  ce  que  nous  venons  de  voir,  les  principes  du  n°  42 
se  trouvent  en  défaut  quand  le  hessien  de  F0  par  rapport  aux  x 
est  nul. 

Examinons  donc  le  cas  où  ce  hessien  est  nul,  et  plus  particu- 
lièrement le  cas  où  F0  est  indépendant  de  quelques-unes  des 
variables  x. 

Je  supposerai,  pour  fixer  les  idées,  qu'il  y  a  quatre  degrés  de 
liberté,  que  deux  des  variables  x {  et  x2  entrent  dans  F0,  que  les 
deux  autres  xs  et  xk  n'y  entrent  pas,  et  enfin  que  le  hessien  de  F„ 

par  rapport  à  xx  et  à  x2  n'est  pas  nul  (le  hessien  par  rapport  à  xKl 

x-2i  oc-i  et  x 4  est  nul  puisque  -3— -  =  -3— -  =  o  j.  Pour  jx  =  o,  la  solu- 
tion générale  des  équations  différentielles  s'écrit 


(0 


les  x\  et  les  nsi  étant  des  constantes. 


X-2  =  %\, 

X3  —  X%,            Xi  — 

x 

0      v,   —  „0  / 

y%  =■  n\t- 

+-TO-2,  J'3  =  TSS, 

yw  =  ™k, 

dF0 

dx\  ' 

dFn 

ni  =  n\  =  0, 

1 34  CHAPITRE     III. 

Si  x°t  et  x0o  ont  été  choisis  de  telle  sorte  que  n\T  et  /?°T  soient 
multiples  de  271,  la  solution  sera  périodique  de  période  T,  et  cela 
quelles  que  soient  les  valeurs  initiales  x\,  x\,  rn,,  ttjo,  ra3  tlm,t. 

Considérons  maintenant  une  solution  quelconque  pour  une 
valeur  quelconque  de  ^  et  soient 

(2)  xt=  x\  -t-  3/;        yt  =  me  H-  8$ 

les  valeurs  initiales  des  x-L  et  des  yi  pour  t  =  o.  Soient 

Xi  =  x\  +  3,-  +  *{i,        yi  =  ni  T  h-  3',  +  «!>;■  +  ts; 

les  valeurs  des  Xi  et  des  yi  pour  £  =  T. 

Pour  que  la  solution  soit  périodique,  il  faut  et  il  suffit  que 
l'on  ait 


(    il,,  =  <L,  =  il3  =  ik 
(3) 


/.  =  ib'_  =  -V..  =  d/. 


Je  remarquerai  : 

i°  Que  je  puis  toujours  choisir  l'origine  du  temps  de  telle  façon 
que  la  valeur  initiale  de  y^  soit  nulle,  aussi  bien  pour  la  solution 
périodique  (1)  que  pour  la  solution  qui  correspond  aux  valeurs 
initiales  (2).  On  aura  donc 

^i=  Pi  =  o; 

20  Que  F  —  G  est  une  intégrale  de  nos  équations  différentielles 

et  que  -, —  n'est  pas  nul  (  -j—  est  égal  à  «,].  Les  équations  (3)  ne 

sont  donc  pas  distinctes  et  je  puis  supprimer  la  première  d'entre 
elles, 

4*i =  °> 

3°  Que  pour  ]x  =  o,  on  a  identiquement 

^2  =  'h  =  4*  =  'V-i  —  ^'4  =  °  ; 

que  par  conséquent  ^2,  <bA,  <]/,,  J/„,  <]/.,,  <j/,  sont  divisibles  par  jjl. 
Je  puis  donc  remplacer  le  système  (3)  par  le  suivant  : 

(4)  fezife  =  **=*;  =  *;=  ft  =  4*  =0. 

ix  <x  {x  '  •*  ix  [X 


SOLUTIONS    PÉRIOD[QUES.  i35 


Je  me  propose  : 
i°  De  déterminer 

x\,     x\,     7n2,     m3     et     wi,. 

(x®  et  x\  sont  déjà  supposés  déterminés  et  ttt,  est  supposé  nul), 
de  façon  que  les  équations  (4)  soient  satisfaites  pour 

H-  =  o,         P/  =  o,         PÎ  =  o; 

2°  De  rechercher  si  le  déterminant  fonctionnel  des  premiers 
membres  du  système  (4)  est  nul,  ou,  en  d'autres  termes,  si  pour 
p.  =  o  la  solution 

P*  =  o,         pi  —  o 

est  une  solution  simple  de  ce  système,  ou  pour  le  moins  une  solu- 
tion d'ordre  impair. 

Pour  cela,  il  faut  que  nous  recherchions  ce  que  deviennent  les 
équations  (4)  pour  p.  =  o. 
Nous  avons 

"  dF 
h     & 


r1,         r  '  r/F   , 

/      dx=>  =    I      —, —  <lt 

.L  ./„      dy. 


d¥0 
ou,  puisque  —7 —  =c, 

l         1       dy2 


I-1       J0      dJi  \       V-      / 

ou,  pour  pi  = 

=  0, 

(5) 

±=  frpdl: 

pour  p.  —  o,  on  a 

œt  =  x\  +  p,-,        yt  =  ni t^-me+  P;-, 

«i  = ! S ^-" — ! >  «3  =  'U  =  0. 

Substituons  ces  valeurs  des  x,  el.  des  y  t- dans  le  second  membre  de 
l'équation  (5). 

Si  nous  faisons  de  plus  (3,  =  (32  =  o,  n,  et  n2  se  réduisent  à  /i" 


l3G  CHAPITRE    III. 

et  /i°,  et  la  fonclion  Fj  devient  une  fonction  périodique  de  t  de 
période  T;  c'est,  en  outre,  une  fonction  de  to2+(32,  ^3+^, 
TOi  _j_  j^  qui  est  périodique  et  de  période  2tt;  enfin  elle  dépend 
encore  de  .r"  +  p3  et  x\  -f-  (34.  Nous  pouvons  écrire 

Fj  =  2 A  cos(»i1jki -+-  '«2 J2  +  rn3ys  -+-  mkyk  -r-  A), 

//?,,  w2,  ^3  et  m/(  étant  des  entiers,  A  et  k  des  fonctions  des  Xi. 
En  effet,  la  fonction  F4  est  par  hypothèse  périodique  de  période 
2  7T  par  rapport  aux/,-. 

Après  la  substitution,  il  vient 

Fj=  SAcos(<z*-+-  P) 
où 

a  =  mj/ij-i-  m2n5>     P  =  £  h-  m2(ra2-l-  P'2)  +  /w3(ro3-+-  [33  )+  m4(sT4  -h  (3't). 

Parmi  les  termes  du  développement  de  F,,  je  distingue  ceux 

pour  lesquels  a  est  nul  et  j'appelle  R  l'ensemble  de  ces  termes,  de 

telle  sorte  que 

R=  SAcosp, 

la  sommation  étant  étendue  à  tous  les  termes  pour  lesquels  on  a 

m\n\-T-  m%n\  =  o. 

La  fonction  F,  est  une  fonction  périodique  du  temps  de  période  T 
et  R  n'est  autre  chose  que  la  valeur  moyenne  de  cette  fonction, 
de  telle  sorte  que  l'on  a 

TR=  f    Fidt, 
ou,  en  diflérentiant  par  rapport  à  gj2, 


mais  on  a 


T 

dR 

dm* 

f 

•-  0 

r/F, 
dm-2 

dt; 

d¥{ 

d¥{ 

dy 

JFi 

dvy% 

dy* 

dm 

2 

dyi 

L'équation  (5)  devient  donc 

<!/,        dR 


T; 

dm-. 


S  0  I,  U  T  I  0  X  S     P  É  R  I  0  D  1  Q  U  E  S .  1  37 

on  trouverait  de  même 

On  trouve,  par  un  calcul  tout  pareil, 

iJ-  \J-  J0    (lxi  J0    dx*  V     y-     / 

ou,  pour  a  =  o, 


et  de  même 


T  dK 

dxl 


D'autre  part,  il  vient 


dV 


»?T +  +'*=-/     £r' 


ou,  pour  u.  =  o, 


On  trouve  de  même 

,1/2=(„2_„o)T. 

Nous  voulons  d'abord  que  pour 

(*— o,  P/  =  o,  ?/  =  <> 

le  système  (4)  soit  satisfait.  Or,  si  l'on  a  (3,  =  (32  =  o,  /?,  et  /?2  se 
réduisent  à  n\  et  «",  <j/,  et  >l[2  se  réduisent  à  o  ;  de  sorte  que  deux 
des  équations  (4)  sont  satisfaites  d'elles-mêmes.  Le  système  (4) 
se  réduit  simplement  à 

dR         d\\        rfR    _  rfR    _  dR  _ 

dx\        dx\        dm  ^        dm3        dm^ 

Ainsi,  dans  la  fonction  R,  annulons  les  (3/  et  les  (3^.;  considérons 
ensuite  R  comme  fonction  de  x\,  x\,  717.,,  rns,  m/(  ;  si  cette  fonction 
admet  un  maximum  ou  un  minimum  et  qu'on  donne  aux  variables 


73 


'h 

V» 

<l/4 

—  ? 

5 

f* 

1 38  CHAPITRE    III. 

x\  et  xsi  les  valeurs  qui  correspondent  à  ce  maximum  ou  à  ce  mini- 
mum, on  satisfera  aux  équations  (6). 

Cette  solution  du  système  (6)  nous  conduit-elle  à  des  solutions 
périodiques  existant  encore  pour  les  petites  valeurs  de  [J-? 

Il  suffît  pour  cela  que  le  déterminant  fonctionnel  des  équations 
(4)  ne  s'annule  pas  pour 

H-  =  p<  =  pi  =  °- 

Or  d/(  et  <j>2  ne  dépendent  (quand  on  fait.  \x  =  o)  que  de  (3,  et  (32, 
car  F0  et  ses  deux  diviseurs  —  nx  et  —  n2  ne  sont  fonctions  que 
de  x°t-\-  fit  et  £•"+  |32. 

Ce  déterminant  fonctionnel  est  donc  le  produit  de  deux  autres. 

i°  De  celui  de  <b\  et  <!/2  par  rapport  à  [3,  et  (32  (mais  ce  n'est  autre 
chose  que  le  hessien  de  F0  par  rapport  à  xK  et  x2,  que  nous  sup- 
posons différent  de  o). 

2°  De  celui  de 

(7) 

par  rapport  à 

Ps,  p*.  pî»  p;,  pi- 

Or  les  quantités  (7)  sont  des  fonctions  de 

x\-±$3,     fl?J-Hp4,     nr2+P'2,     Tff,H-P'„     w4+p'4. 

La  dérivée  de  l'une  quelconque  des  quantités  (7)  par  rapport  à 
$i  ou  à  [3j-  est  égale  à  sa  dérivée  par  rapport  à  xf  ou  à  ny'j. 

Le  déterminant  cherché  est  donc  le  déterminant  fonctionnel  des 
quantités  (7)  par  rapport  à 

(8)  x%,     x\,     nr2,     nr3,     73t4. 

Mais  nous  devons  calculer  les  valeurs  de  ce  déterminant  pour 

Mais,  quand  pi,  (3;  et  (3;.  s'annulent,  les  quantités  (7)  se  réduisent 
aux  premiers  membres  des  équations  (6). 

Notre  déterminant  n'est  donc  autre  chose  que  le  hessien  de  R 
par  rapport  aux  variables  (8). 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  I09 

■Si  ce  hessien  n'est  pas  nul,  nos  équations  différentielles  admet- 
tront encore  des  solutions  périodiques  pour  les  petites  valeurs  de  \x. 

Ce  résultat  peut  encore  s'énoncer  autrement. 

11  existera  des  solutions  périodiques  pour  les  petites  valeurs  de 
a,  pourvu  que  les  équations  (6)  admettent  une  solution  simple. 
Mais  il  y  a  plus,  il  existera  encore  des  solutions  périodiques  pourvu 
que  les  équations  (6)  admettent  une  solution  d'ordre  impair. 

Mais,  d'après  le  n°  34,  à  un  maximum  de  la  fonction  R  corres- 
pondra toujours  une  solution  d'ordre  impair  des  équations  (6). 

Donc,  si  la  fonction  R  admet  un  maximum  ou  un  minimum,  nos 
équations  différentielles  admettront  des  solutions  périodiques  pour 
les  petites  valeurs  de  jj.. 

Solution  de  la  deuxième  sorte. 

•47.  Appliquons  ce  qui  précède  au  problème  des  trois  Corps,  en 
supposant  d'abord  que  ces  trois  Corps  se  meuvent  dans  un  même 
plan,  et  occupons-nous  de  déterminer  les  solutions  périodiques  de 
la  deuxième  sorte. 

Adoptons  les  variables  du  n"  15,  c'est-à-dire  les  variables 

PL  =  A,         P'L'=A',         H. 

r.  h. 

Une  solution  sera  périodique  si  au  bout  d'une  période  A,  A'  et 
H  ont  repris  leurs  valeurs  primitives,  et  si  /,  /'  et  h  ont  augmenté 
d'un  multiple  de  2  7t. 

La  fonction  F  est  égale  à 

F0-h  |jlF,h-  u2F2  +  .  .  ., 

et  F0  ne  dépend  que  de  À  et  de  A'. 

Si  donc  on  suppose  u  =  o  et  qu'on  appelle 

A-oj     A0,     H0, 
'o}       'cm       'io 

les  valeurs  initiales  de  nos  six  variables,  quatre  de  ces  six  variables, 
À,  A',  H  et  h  seront  des  constantes  et  l'on  aura 

A  =  A0,         A'=  A'  II  =  II(),         h  =  //„• 


140  chapitr  n:   Tir. 

Si,  de  plus,  on  pose 

r/F(,  ,  dF0 

n  = j-r-,         n •= ,    .  > 

<r/A0  t/A0 

on  aura 

l  =  ni  -+-  Z0 j         l'  =  n'  t  -±- 1'0 . 

Donc,  pour  p.  =  o,  si  A0  et  A'0  ont  été  choisis  de  telle  sorte  que 
nT  et  n'T  soient  multiples  de  271,  la  solution  sera  périodique  de 
période  21:,  quelles  que  soient  d'ailleurs  les  constantes  H0,  l0,  l'aJh\- 

\  oici  la  question  que  nous  posons  : 

Est-il  possible  de  choisir  les  constantes  H0,  /0,  l0  et  h0  de  telle 
sorte  que,  pour  les  petites  valeurs  de  pi,  les  équations  du  mouvement 
admettent  une  solution  périodique  de  période  T  et  qui  soit  telle 
que  les  valeurs  initiales  des  six  variables  soient  respectivement 

Ao+pi,    A'0  +  p„     H0+p3, 

les  Pi  étant  des  fonctions  de  pi  s 'annulant  avec  pi. 

Pour  résoudre  cette  question,  il  suffît  d'appliquer  les  principes 
du  numéro  précédent. 

F,  étant  périodique  en  /,  /'  et  A,  nous  pouvons  écrire 

Fj  =  2  A  cos(ml  I  -+-  m2l'  -h  ?n3h  -+-  k), 

A  et  k  étant  des  fonctions  de  A,  A'  et  H. 
Remplaçons  dans  F,  les  six  variables 


A, 

A',     H, 

l, 

V,      h 

A0, 

K , 

H0, 

to-h  nt. 

l0  +  n't, 

ho, 

par 

il  viendra 

Fi  =  SAcos(ct/  ■+-  (3), 
OÙ 

«  =  iny  n  •+-  m<>  n',         fi  =  k  -t-  nii  /0  -+-  /n2 1'0  -+•  m3  h0. 

F,  est  une  fonction  périodique  de  t;  soit  R  la  valeur  moyenne  de 
cette  fonction,  de  sorte  que 

R  -:  X  Vco$3, 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  1 4  1 

la  sommation  étant  étendue  à  tous  les  termes,  tels  que 

a  =  o,  ou         nii  n  -H  m^n'  =  o. 

D'après  les  principes  du  numéro  précédent,  on  trouvera  les  valeurs 
cherchées  de  H0,  l0,  l'0  et  h0  en  résolvant  le  système 

dR         dR  _  dR  _  dR  _ 
dR0        dl0        dl'0        dh0 

Nous  pouvons  toujours  supposer  que  l'origine  du   temps  ait  été 
choisie  de  telle  sorte  que  l0  =  o. 

D'autre  part,  d'après  la  définition  de  la  fonction  R,  on  a 

dR         ,  dR 
dt0  dl0 

On  peut  donc  remplacer  le  système  précédent  par  le  système  plus 
simple 

dR        dR  _  dR  _ 

\";  dli0         dl'0         dhç 

Il  pourrait  arriver  que  toutes  les  solutions  du  système  (i)  ne 
conviennent  pas;  mais  il  y  a  des  solutions  qui  conviendront  cer- 
tainement :  ce  sont  celles  dont  l'ordre  de  multiplicité  est  impair,  et 
en  particulier  celles  qui  correspondent  à  un  maximum  ou  à  un 
minimum  véritable  de  R. 

Pour  établir  l'existence  des  solutions  de  la  deuxième  sorte,  il  me 
suffit  donc  de  montrer  que  la  fonction  R  a  un  maximum. 

Or  cette  fonction  R  est  essentiellement  finie;  de  plus  elle  est 
périodique  en  l'0  et  h0  :  elle  dépend  encore  de  H0  ;  j'ajouterai 
qu'elle  est  développable  suivant  les  puissances  de 


(2)  y/Ag  — H02         et         v/A'o2-(H0— Cj2, 

C  étant  la  constante  des  aires. 

La  fonction  R  ne  sera  donc  réelle  que  si  l'on  a 

(3)  Hg<A02,         (H0-C)2<A05, 

et  H0  devra  toujours  être  compris  entre  ces  deux  limites.  Je  puis 


l42  CHAPITRE    III. 

toujours  choisir  une  variable  <p,  telle  que  H0  et  les  deux  radicaux  (2) 
soient  des  fonctions  doublement  périodiques  de  cp. 

Ainsi  R  est  une  fonction  uniforme,  périodique  et  finie,  de  trois 
variables  seulement  (puisque  A0,  A'0  et  C  sont  considérés  comme 
données,  et  que  l0  =  o),  à  savoir  de  £'0,  h0  et  o. 

Cette  fonction  admet  donc  au  moins  un  maximum  et  un  mini- 
mum, de  sorte  qu'il  y  a  toujours  au  moins  deux  solutions  pério- 
diques de  la  deuxième  sorte. 

On  sait  que  le  développement  de  la  fonction  perturbatrice  F, 
ne  contient  que  des  cosinus,  de  sorte  que  la  quantité  que  nous 
venons  d'appeler  À"  est  toujours  nulle. 

Si  donc  on  fait 

fo  —  l'o  =  h0  —  0, 
on  aura 

dR  _   dR  _ 
dl'0        dh0 

il  restera  à  satisfaire  à  l'équation 

dR 

ou,  ce  qui  revient  au  même,  à 

dR  _ 

T 

Cela  sera  toujours  possible,  car  R  est  une  fonction  périodique 
de  ce  qui  doit  avoir  au  moins  un  maximum  et  un  minimum. 

Il  existe  donc  toujours  au  moins  deux  solutions  de  la  deuxième 
sorte,  pour  lesquelles 

lo  =  l'a  =  h0  =0. 

Si  u  =  0,  les  valeurs  initiales  de  /,  /'  et  h  sont  donc  nulles,  ce 
qui  revient  à  dire  qu'il  y  a  conjonction  symétrique. 

Par  un  raisonnement  tout  pareil  à  celui  du  n"  4-0  (p.  102)  on 
en  conclurait  qu'il  y  a  encore  conjonction  symétrique  pour  les 
petites  valeurs  de  p.,  et  que,  si  au  début  de  la  période  on  a  conjonc- 
tion symétrique,  il  en  est  encore  de  même  au  milieu  de  la  période. 

Parmi  les  solutions  périodiques  de  la  deuxième  sorte,  il  y  en  a 
donc  toujours  qui  admettent  des  conjonctions  (ou  oppositions) 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  1^3 

symétriques  au  commencement  et  au  milieu  de  chaque  période. 

Une  difficulté  pourrait  toutefois  se  présenter  et  je  suis  obligé 
d'en  dire  quelques  mots. 

La  fonction  R  dépend  de  l'0,  h0,  H0,  puisque  nous  considérons 
A0  et  A'0  comme  donnés  et  que  nous  choisissons  /0  nul. 

La  fonction  R  est  périodique  en  l'0  et  en  h0  ;  de  plus,  la  troisième 
variable  H0  est  soumise  à  certaines  inégalités,  par  exemple  à  la  sui- 
vante 

A0>H0. 

Nous  en  avons  conclu  que  la  fonction  R  admet  toujours  un  maxi- 
mum et  un  minimum. 

Mais  on  peut  se  demander  ce  qui  arriverait  si  ce  maximum  était 
précisément  atteint  quand  H0  atteint  une  des  limites  qui  lui  sont 
assignées  par  les  inégalités  (3). 

Les  conclusions  du  n°  46  seraient-elles  encore  applicables? 

On   pourrait  en  douter,  car,  si  R  atteint  son  maximum  pour 

H0  =  A0  par  exemple,  la  dérivée -777-  n'est  pas  nulle,  elle  est  au 
contraire  infinie. 

Il  est  vrai  que,  pour  le  problème  des  trois  Corps,  on  pourrait 
vérifier  sans  peine  que  le  maximum  de  R  n'a  pas  lieu  pour  cette 
valeur  de  H0;  mais,  comme  ce  cas  pourrait  se  présenter  avec  d'autres 
forces  perturbatrices  que  celles  que  l'on  envisage  dans  le  problème 
des  trois  Corps,  il  n'est  pas  sans  intérêt  de  l'examiner  de  plus  près. 

Supposons,  par  exemple,  que  l'on  considère  les  valeurs  de  H0  très 
voisines  de  A0,  nous  pourrons  adopter  les  variables  du  n°  17,  c'est- 
à-dire  les  variables 

A,     A',      £*, 


Appelons  alors 


Ao+Pi,     A'0+(32,      §;-J-p„ 


les  valeurs  initiales  de  ces  six  variables  et  cherchons  si  l'on  peut 
choisir  ces  valeurs  initiales  de  telle  façon  que  la  solution  soit  pério- 
dique, les  (3;  seront  des  fonctions  de  jjl  qui  devront  s'annuler 
avec  [J.. 


l44  CHAPITRE    III. 

Pour  cela,  nous  l'avons  vu,  il  suffit  de  choisir 

''  o  >     Ç  o      e^     *î  o  j 

de  telle  façon  que  R  soit  maximum  ou  minimum;  nous  savons 
d'autre  part  que  A0  et  A'0  doivent  être  regardés  comme  des  données 
et  que  l'on  peut  toujours  supposer  que  l'0  est  nul.  Si  R  atteint  son 
maximum  pour  A0  =  H0,  avec  les  nouvelles  variables,  ce  maximum 
sera  atteint  pour 

Éo  =7lo=Q- 

Mais  cette  fois  il  n'y  a  plus  de  difficulté,  parce  que  R  est  une  fonc- 
tion holomorphe  de  £*  et  de  -r\*  développable  suivant  les  puissances 
de  ces  variables,  tandis  que  la  difficulté  provenait  avec  les  anciennes 
variables  de  ce  que  R  cesse  d'être  une  fonction  holomorphe  de  H0 
pour  A0  =  H0  et  est  développable,  non  pas  suivant  les  puissances 
entières  de  A0  =  H0,  mais  suivant  celles  de  \/AQ  —  H0. 

Les  résultats  du  présent  numéro  subsisteraient  donc  alors  même 
que  la  fonction  R  atteindrait  son  maximum  pour  A0  =  H0,  ou  plus 
généralement  quand  H0  atteint  l'une  des  limites  qui  lui  sont  assi- 
gnées par  les  inégalités  (■>). 


Solution  de  la  troisième  sorte. 

48.  Cherchons  maintenant  à  déterminer  les  solutions  pério- 
diques de  la  troisième  sorte,  c'est-à-dire  celles  pour  lesquelles 
les  inclinaisons  ne  sont  pas  nulles. 

Adoptons  les  variables  du  n°  16,  c'est-à-dire 

pL  =  A,       p'i/=A',       pr  =  il,       p'r=H'3 

1  J  «-   )  Ô  )  S    • 

Supposons  d'abord  p.  =  o  et  soient 

A0,     A'0,     II0,     II 0, 

les  valeurs  initiales  de  ces  huit  variables.  Si  A0  et  A'0  sont  choisis 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  [45 

de  telle  sorte  que 

dA0  oJA'0 

soient  multiples  de.  27c,  la  solution  sera  périodique,  quelles  que 
soient  les  six.  constantes 

"o,     H0,     /0,     i0,     gç,     g-Q. 

Peut-on  choisir  ces  six  constantes  de  telle  façon  que,  pour  les 
petites  valeurs  de  p.,  les  équations  du  problème  des  trois  Corps 
admettent  une  solution  périodique  de  période  T,  qui  soit  telle  que 
les  valeurs  initiales  des  huit  variables  soient  des  fonctions  de  u. 
qui  se  réduisent  à 

A0,     A'0,     H0,     H'0, 

/  /'  tr  o-' 

<u>       'o'       ou'       oo- 

pour  [j.  =  o. 

Nous  opérerons  comme  dans  le  numéro  précédent.  Nous  sup- 
poserons d'abord  que  l'origine  du  temps  ait  été  choisie  de  telle 
sorte  que  /0  =  o. 

Ensuite  nous  formerons,  comme  dans  le  numéro  précédent,  les 
fonctions  Ft  et  R. 

D'après  les  résultats  des  deux  numéros  précédents,  nous  devons 
déterminer  les  cinq  constantes  H0,  H'0,  l'0,  g0  et  g'0  de  façon  à 
rendre  R  maximum  ou  minimum. 

A  chaque  maximum  ou  à  chaque  minimum  de  R  correspondra 
une  solution  périodique. 

R  considéré  comme  fonction  de  /'0,  g0  et  g'0  est  une  fonction 
périodique  de  période  2  7t.  D'autre  part,  H0  et  H'0  sont  assujettis  à 
certaines  inégalités  (3)  que  j'écrirai,  comme  au  n°  J8, 

(        |A0|>|Ho|,     |A'0|>[H'0|, 
(3) 

|   |H0[-|H'0|<C<|H0|  +  |H'0|. 

Les  deux  variables  H0  et  H'0  ne  peuvent  donc  varier  que  dans 
un  champ  limité. 

La  fonction  R  admettra  donc  forcément  un  maximum  et  un 
minimum  auxquels  devront  correspondre  des  solutions  pério- 
diques. 

II.  P.  -  I.  io 


146  CHAPITRE    III. 

Une  difficulté  peut  néanmoins  se  présenter,  comme  dans  le 
numéro  précédent.  Ne  peut-il  pas  se  faire  que  la  fonction  R  atteigne 
son  maximum  au  moment  où  les  variables  H0  et  H'0  atteignent  les 
limites  qui  leur  sont  assignées  par  les  inégalités  (3)?  Qu'arrive- 
t-il  alors? 

Supposons  d'abord  que  le  maximum  soit  atteint  pour 

H0  =  A„. 
Nous  adopterons  alors  les  variables  du  n°  18,  c'est-à-dire 


A.     A',     £*,     H', 

x*,    r, 


■5        1 
■r   * 


Nous  poserons,  en  conséquence, 

l*=l0-h  g0,         ij£=  /2(A0—  H0)cos^0,         '',o  =  V^Oo— H0)sin£-0. 
Nous  verrons  alors  que  R  atteint  son  maximum  pour 

?o  =  r/o  =  °> 

et,  comme  Rest  développable  suivant  les  puissances  de  £*  et  r,*,  la 
difficulté  sera  levée. 

Si  donc  le  maximum  est  atteint  pour  H0=  A0,  il  n'en  sera  pas 
moins  vrai  qu'une  solution  périodique  correspondra  à  ce  maxi- 
mum; il  en  sera  encore  de  même  pour  la  même  raison  si  le  maxi- 
mum est  atteint  pour  H0=:  A'0. 

Il  reste  à  examiner  le  cas  où  le  maximum  serait  atteint  pour  des 
valeurs  de  H0  et  H'0,  satisfaisant  à  la  condition 

C  =  ±H0±H'0; 

mais  ce  cas  est  celui  où  les  inclinaisons  sont  nulles;  si  donc  le 
maximum  est  atteint  pour  de  pareilles  valeurs  de  H0  et  H'0,  on 
retombe  sur  le  cas  des  solutions  de  la  deuxième  sorte  étudié  dans 
le  numéro  précédent.  A  un  pareil  maximum  correspond  donc 
encore  une  solution  périodique. 

En  résumé,  nous  avons  démontré  que  la  fonction  R  admet  tou- 
jours au  moins  un  maximum  et  un  minimum  et  qu'à  chacun  de 
ces  maxima  et  de  ces  minima  correspond  une  solution  périodique; 
une  difficulté  subsiste  encore  cependant. 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  ]  47 

Les  solutions  de  la  troisième  sorte  que  nous  étudions  ici  com- 
prennent, comme  cas  particulier,  les  solutions  de  la  deuxième 
sorte  dont  nous  avons  démontré  plus  haut  l'existence. 

On  peut  se  demander  s'il  en  existe  d'autres;  c'est  ce  qu'un 
examen  plus  approfondi  va  nous  apprendre.  Nous  verrons  que  la 
fonction  R  a  d'autres  maxima  et  minima  que  ceux  qui  se  produi- 
sent quand  les  inclinaisons  sont  nulles,  et  par  conséquent  qu'il 
existe  des  solutions  de  la  troisième  sorte  distinctes  de  celles  de  la 
deuxième  sorte. 

A  cet  effet,  examinons  de  plus  près  la  forme  de  la  fonction  R. 
Nous  avons  à  satisfaire,  d'une  part,  aux  relations 

,,.  dR        dR        dR 

dl0         dga        dg-0 

d'autre  part,  aux  relations 

dR         dR   _ 
dH0        f/H0 

Je  dis  qu'on  satisfera  aux  conditions  (4)  en  faisant 

'0  =  £u=  ft'o  —  o> 

de  sorte  qu'on  n'aura  plus  qu'à  satisfaire  aux  équations  (5),  c'est- 
à-dire  à  rechercher  les  maxima  et  minima  de  R  considérée  comme 
fonction  de  H0  et  H'0  seulement. 

J'observe,  en  effet,  que  R  est  de  la  forme  suivante  (si  l'on  sup- 
pose, comme  nous  le  faisons,  /'0  =  o,  B  =  9'), 

R=  SAcos(yi/'o  +  Y2^o-+-Y3^'o)) 

A  dépendant  de  A0,  A'0,  H0,  H'0. 
Si  donc  on  suppose 


on  aura  à  la  fois 


IL  =  Sn  = 


<m_  _  <m_  _  dR  _ 


Imaginons  que  l'on  change  de  variables  en  prenant  pour  variables 
nouvelles  les  excentricités  e  et  e',  et  les  inclinaisons  i  et  i',  c'est- 


ï48  CHAPITRE    III. 

à-dire  en  posant 

~  =  G0=  Us/i  —  e'2,         G'(,  =  L'0  /i  —  e'2  =  -gr  ? 
0O  =  G0  cos  i,  0'o  =  G'0  cos  j', 

de  telle  sorte  que  l'une  des  équations  des  aires  devienne 
(6)  ^L0  y/i  —  e2  sin  i  -+-  B'L'0  /i  —  e'2  sm  t'  =  o, 

et  l'autre 


(7)  (3  L0  v/i  —  <?2  cos  &  +  P'L'0  v^1  —  e  2  cosi'=  c. 

Il  s'agit  maintenant  de  chercher  les  maxima  de  R  considérée 
comme  fonction  de  e,  e\  i  et  i',  ces  quatre  variables  étant  suppo- 
sées liées  entre  elles  par  les  équations  des  aires  (6)  et  (7).  Nous 
pouvons  donc  écrire  les  équations  auxquelles  nous  serons  conduits 
et  qui,  jointes  à  (7),  doivent  déterminer  e,  e',  i  et  i'  sous  la  forme 
suivante  (où  k  désigne  une  quantité  auxiliaire)  : 

dR  ecosi 

—  =  k  B  L0  — 1 

de  y/i  — e2 

-4  =  &BL0sin  y7!  —  e2, 

i  dR  _  e'cosi' 

T—,    —  A  p    L(,    — - 


1  ^p  

I    -r^  =  & 6' L'0  sin. i'/i—  e'2. 

Est-il  possible  de  satisfaire  à  ces  équations?  Pour  nous  en  rendre 
compte  voyons  quelle  est  la  forme  de  la  fonction  R.  J'observe 
d'abord  que  cette  fonction  ne  dépend  de  jet  de  i' que  parleur  dif- 
férence i —  i7,  de  telle  sorte  que  l'on  a 

dR        dR  _ 
di         di' 

Ensuite  R  se  présentera,  sous  la  forme  d'une  série  développée 
suivant  les  puissances  croissantes  de  e,  e',  i  et  i',  de  telle  sorte  que 
le  terme  général  du  développement  sera  de  la  forme  suivante  (à  un 
coefficient  près,  ne  dépendant  que  de  L0  et  L'0)  : 

e'^e'y-ii'j.,  l'y-,  003(7, 10  -h  7.,  /'„  -+-  *(3g0  +  Y*^'o)- 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  l49 

De  plus  on  devra  avoir,  ainsi  que  je  l'ai  dit  plus  haut, 

'i  Y i  -4-  rc'y2  =  o 
et,  d'autre  part, 

]  Yi  -^  Y  2 1  <  ^  -+-  a2  H-  a3  H-  a4, 

«l>lïi-t-ï»|l  «2>|Y2-+-Y*|- 

Je  dis  que  les  termes  de  R,  pour  lesquels  y,  et  y2  ne  seront  pas 

nuls  à  la  fois,  seront  du  troisième  degré  au  moins  par  rapport  aux 

excentricités  et  aux  inclinaisons,  à  moins  que  n  ne  soit  multiple 

!     n  —  ;?' 
de 


En  effet,  soient  deux  nombres  entiers  y,  et  y2  qui  peuvent  être 
positifs  ou  négatifs,  mais  qui  ne  sont  pas  nuls  à  la  fois  et  qui  satis- 
font aux  égalités 

n  Yi  -+-  n'  y2  =  o,         |  Yi  -+-  Y2 1  =  °>  1  ou  1. 

Si  nous  posons 

Y'i-*-Y2—  £>  E  =  O±I0U±2, 

il  viendra 

n'  n 

Ti=£^— -,         Ys=Er— —• 


Je  vois  d'abord  que  s  ne  peut  être  nul,  sans  quoLy<  et  y2  seraient 
nuls  à  la  fois.  Comme,  d'autre  part,  y,  et  y2  doivent  être  entiers, 

et  que  s  est  égal  à  ±  1   ou  à   ±2,   le  nombre  — — — ;  devrait  être 
entier,  ce  qui  veut  dire  que  n  devrait  être  multiple  de  — C'est 


ce  que  nous  ne  supposerons  pas. 

Donc,  pour  calculer  R  jusqu'aux  termes  du  deuxième  ordre  inclu- 
sivement, il  suffit  de  faire,  dans  F, ,  y,  =  y2  =  o,  c'est-à-dire  de  ne 
conserver  dans  F,  que  les  termes  dits  séculaires. 

Or  le  calcul  de  ces  termes  a  été  fait  depuis  longtemps  par  les 
fondateurs  de  la  Mécanique  céleste.  Je  me  bornerai  donc  à  ren- 
voyer par  exemple  à  la  Mécanique  céleste  de  M.  Tisserand  (t.  I, 
p.  4o6).  On  trouve  alors 

R  =  |A«»+  £B<"[e2-He'2  —  (t  —  i"f-\  —  $BMee'cos(gr0—  tfo)+û- 
Les  coefficients  A(0),  B(l)  et  B(2)  qui  ne  dépendent  que  de  L„  et 


CHAPITRE    III. 


L'0  sont  définis  dans  l'Ouvrage  cité  de  M.  Tisserand  et  Q  désigne 
un  ensemble  de  termes  du  troisième  degré  au  moins  par  rapport  à 
e,  e',  i  et  i'. 

La  question  est  donc  de  rendre  cette  fonction  R  maximum  ou 
minimum  en  supposant  que  e,  e' ,  i  et  i'  sont  liés  par  la  relation 

(7)  (3L0  /1  —  e2  cos? -+-  (3'L'0  \/ 1  —  e'2  cosi'  =  G. 

Les  équations  (8)  peuvent  alors  s'écrire  (en  supposant,  comme 
plus  haut,  /'„  =  gQ  =  §'0  =  <>)> 


(9) 


{BMe  —  |Bi«-e'+D|1  =  *(PLoe  +  D,), 

{B»)(iV  0  +  D3  =  A-(PL0i -f-  D4), 


iL0  y/i  —  e2  sini-H  P'L'0  \/i  —  e'2  sin  i'=  o, 

lBt«e'-iBf«)e  +  D7  =  A(P'L'0e'+DB), 


les  D;  désignant  un  ensemble  de  termes  du  second  degré  au  moins 
par  rapport  à  e,  e',  i  et  i'. 

Quant  à  l'équation  (7),  elle  s'écrira 

(10)  [3L0(e2  +  £»)  +  P'L'0  (e'2  +  f«)  +  D9  =  p», 

p2  désignant  une  constante  positive  égale  à 

2pL0  +  2p'L'0  —  2C 

et  D9  désignant  un  ensemble  de  termes  du  troisième  degré  au 
moins  par  rapport  à  e,  e',  i  et  i'. 

Des  équations  (9)  et  (10)  on  peut  tirer  e,  e',  i  et  i'  en  séries  déve- 
loppées suivant  les  puissances  croissantes  de  p,  et  cela  de  six  ma- 
nières différentes. 

Posons,  en  effet, 

e  =  Ep,         e'=e'p,         i  ==  tp,         i'  =  t'p; 

substituons  dans  les  équations  (9),  que  nous  diviserons  par  p,  et 
dans  les  équations  (10),  que  nous  diviserons  par  p2.  Les  deux 
membres  de  ces  équations  seront  alors  développés  suivant  les  puis- 
sances croissantes  de  k,  s,  s',  1,  1/  et  p. 

J'ajouterai  même  que  les  deux  membres  de  ces  équations  pour- 
ront être  développés  suivant  les  puissances  de  p,  z  —  su,  z' —  s'0J 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  l5l 

'.  —  •.,),  t/  —  t'0,  k  —  k0  (si  ces  quantités  sont  assez  petites  en  valeur 
absolue),  quelles  que  soient  les  constantes  e0,  e'0,  t0,  t'0,  k0. 
Pour  p  =  o,  ces  équations  se  réduisent  à 


(■O 


iBW6-£B<«e'=*pL0e, 
l-Bd's'—  {B^e  =k$'L'0s', 
iB»)(l'-i)=ApL0ii 

(pL0t  -r-  P'L'0 1'=  o. 
pLo(B>  +  .i»)H-p'L'0Xs'»-M'i)=i. 


Les  équations  (i  i)  comportent  six  solutions,  à  savoir 


k  = 


■4         UL0       P'L' 


£    =  O,  l   = 


J'L'„ 


(12) 


,  _            r  -0 

/î  =  H-v/pp'L0L'0(pL0+p'L'0j, 

1  -       A      J 

A-  =  =4  B<i 

-4-4 

,      -PU 

(fr^m)'     £  =  £'=0'     t  = 

A=-v/pp'LoLo.(pL0  +  p'L'o), 

k=       ku 

i  =  i'  =  o,         e  =       s„         e'=       B'n 

k  =  —ku 

l  =  i'  =  0,            £  =  —  Si,            s'  =  —  £',  , 

k  =      k,, 

i  =  t'  =  o,         e=       £2,         e'=       e'2, 

k  =      k2, 

i  =  i'  =  o,         £  =  —£,,         e'=  —  e'«. 

P'L'o 


Chacune  de  ces  sixsolutions  est  simple,  d'oùnous  pouvons  conclure, 
d'après  ce  que  nous  avons  vu  au  n°  30,  que  l'on  peut  de  six  manières 
différentes  développer  e,  s',  '.  et  >,',  et  par  conséquent  e,  e',  i  et  ?', 
suivant  les  puissances  croissantes  de  p. 
Nous  pourrons  donc  écrire 

(i3)       e=/lix(p),         e'  =  /j,x(p),         »=/b,x(p),         *'  =  /u(P)> 

J'indice  )*.  pourra  prendre  les  valeurs  i,  2,  3,  4?  5  et  6;  on  prendra 
X=i,  quand  on  prendra  pour  point  de  départ  la  première  des 
solutions  (12);  on  prendra  X  =  2  quand  on  choisira  pour  point  de 
départ  la  seconde  des  solutions  (12)  et  ainsi  de  suite. 

Des  six  développements  (i3),  les  quatre  derniers  doivent  être 
rejetés,  car  ils  donnent 


l52  CHAPITRE    III. 

et  les  solutions  périodiques  auxquelles  ils  conduiraient  ne  différe- 
raient pas  des  solutions  de  la  seconde  sorte  étudiées  au  numéro 
précédent.  Mais  les  deux  premiers  peuvent  être  conservés  et  con- 
duisent à  des  solutions  périodiques  nouvelles  pour  lesquelles  les 
inclinaisons  ne  sont  pas  nulles,  et  que  l'on  peut  appeler  solutions 
de  la  troisième  sorte. 

Les  deux  développements  ne  conduisent  pas  d'ailleurs  à  deux 
solutions  périodiques  réellement  distinctes. 

Nous  avons  étudié  plus  spécialement  les  solutions  pour  lesquelles 

on  a 

lo  =  go  =  ff'o  ; 

ces  équations  expriment  qu'il  y  a  conjonction  symétrique  au  début 
de  la  période  dans  le  cas  de  p.  —  o. 

Un  raisonnement,  tout  semblable  à  celui  du  n°  -40,  montrerait 
que,  pour  toutes  les  valeurs  de  u.,  il  y  a  encore  conjonction  symé- 
trique au  début  et  au  milieu  de  chaque  période. 

Gela  ne  veut  pas  dire  qu'il  n'existe  pas  également  des  solutions 
périodiques  de  la  troisième  sorte  pour  lesquelles  il  n'y  ait  pas  de 
conjonction  symétrique;  il  pourrait  se  faire,  en  effet,  que  la  fonc- 
tion R  admît  d'autres  maximaou  minima  que  ceux  qui  correspon- 
dent au  cas  de  l'0=  g0  —  g'0  =  o.  Il  y  aurait  donc  lieu  de  revenir 
sur  cette  question. 

Applications  des  solutions  périodiques. 

49.  Il  est,  comme  nous  l'avons  dit,  infiniment  peu  probable  que, 
dans  aucune  application  pratique,  les  conditions  initiales  du  mou- 
vement se  trouvent  être  précisément  celles  qui  correspondent  à  une 
solution  périodique.  Il  semble  donc  que  les  considérations  expo- 
sées dans  ce  Chapitre  doivent  nécessairement  rester  stériles.  Il  n'en 
est  rien;  elles  ont  déjà  été  utiles  à  l'Astronomie  et  je  ne  doute  pas 
que  les  astronomes  n'y  aient  souvent  recours  à  l'avenir. 

Je  montrerai  dans  le  Chapitre  suivant  comment  on  peut  prendre 
une  solution  périodique  comme  point  de  départ  d'une  série  d'ap- 
proximations successives,  et  étudier  ainsi  les  solutions  qui  en  dif- 
fèrent fort  peu.  L'utilité  des  solutions  périodiques  paraîtra  alors 
évidente. 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  l53 

Mais  je  veux,  pour  le  moment,  me  placer  à  un  point  de  vue  un 
peu  différent. 

Supposons  que,  dans  le  mouvement  d'un  astre  quelconque,  il  se 
présente  une  inégalité  très  considérable.  Il  pourra  se  faire  que  le 
mouvement  véritable  de  cet  astre  diffère  fort  peu  de  celui  d'un  astre 
idéal  dont  l'orbite  correspondrait  à  une  solution  périodique. 

Il  arrivera  alors  assez  souvent  que  l'inégalité  considérable  dont 
nous  venons  de  parler  aura  sensiblement  le  même  coefficient  pour 
l'astre  réel  et  pour  cet  astre  idéal;  mais  ce  coefficient  pourra  se 
calculer  beaucoup  plus  facilement  pour  l'astre  idéal  dont  le  mouve- 
ment est  plus  simple  et  l'orbite  périodique. 

C'est  à  M.  Hill  que  nous  devons  la  première  application  de  ce 
principe.  Dans  sa  théorie  de  la  Lune,  il  remplace  ce  satellite  dans 
une  première  approximation  par  une  Lune  idéale,  dont  l'orbite 
est  périodique.  Le  mouvement  de  cette  Lune  idéale  est  alors  celui 
qui  a  été  décrit  au  n"  41,  où  nous  avons  parlé  de  ce  cas  particulier 
des  solutions  périodiques  de  la  première  sorte,  dont  nous  devons 
la  connaissance  à  M.  Hill. 

Il  arrive  alors  que  le  mouvement  de  cette  Lune  idéale,  comme 
celui  de  la  Lune  réelle,  est  affecté  d'une  inégalité  considérable  bien 
connue  sous  le  nom  de  variation;  le  coefficient  est  à  peu  près  le 
même  pour  les  deux  Lunes.  M.  Hill  calcule  sa  valeur  pour  sa  Lune 
idéale  avec  un  grand  nombre  de  décimales.  Il  faudrait,  pour  passer 
au  cas  de  la  nature,  corriger  le  coefficient  ainsi  obtenu  en  tenant 
compte  des  excentricités,  de  l'inclinaison  et  de  la  parallaxe.  C'est 
ce  que  M.  Hill  eût  sans  cloute  fait  s'il  avait  achevé  la  publication 
de  son  admirable  Mémoire. 

Voici  un  autre  cas  qui  se  présentera  souvent  et  sur  lequel  je 
désirerais  attirer  l'attention.  Nous  avons  vu  plus  haut  que  les  solu- 
tions périodiques  de  la  première  sorte  cessent  d'exister  quand  le 
rapport  des  moyens  mouvements  n  et  n'  est  égal  à 

n        j  —  i 

-,  =  ■     •  —  ' 
11  J 

j  étant  un  entier;  c'est-à-dire  quand  — -- —  est  égal  à  un  entier  /. 

1  n  —  n  ° 

Mais  si  le  rapport-; >  sans  être  entier,  est  très  voisin  d'un 

r  r         11  —  a 

entier,  la  solution  périodique  existe  et  elle  présente  alors  une  iné- 


1 54  CHAPITI1E     III. 

ealité  très  considérable.  Si  les  conditions  initiales  véritables  du 
mouvement  diffèrent  peu  de  celles  qui  correspondent  à  une  sem- 
blable solution  périodique,  cette  grande  inégalité  existera  encore 
et  le  coefficient  en  sera  sensiblement  le  même-,  on  pourra  donc, 
avec  avantage,  en  calculer  la  valeur  par  la  considération  des  solu- 
tions périodiques. 

C'est  ce  qu'a  fait  M.  Tisserand  {Bulletin  astronomique,  t.  I1J, 
p.  425)  dans  l'étude  du  mouvement  d'Hypérion  (satellite  de 
Saturne).  Le  rapport  du  moyen  mouvement  de  ce  satellite  à  celui 
de  Titan  est  en  effet  très  voisin  de  f . 

Les  mêmes  considérations  sont  applicables  à  celles  des  petites 
planètes  dont  le  moyen  mouvement  est  à  peu  près  double  de  celui 
de  Jupiter,  et  qui  ont  été  l'objet  d'un  remarquable  travail  de 
M.  Harzer,  et  à  la  planète  Hilda,  dont  le  moyen  mouvement  est  à 
peu  près  égal  à  |  fois  celui  de  Jupiter. 

M.  Tisserand  signale,  en  outre,  dans  le  travail  que  nous  citons, 
le  cas  d'Uranus  et  de  Neptune  où  le  rapport  des  mouvements  est 
voisin  de  |.  Dans  tous  ces  cas,  il  existe  une  inégalité  importante 
et  l'étude  de  cette  inégalité  peut  être  facilitée  par  la  considération 
des  solutions  périodiques  de  la  première  sorte. 

Au  contraire,  les  solutions  périodiques  de  la  deuxième  et  de  la 
troisième  sorte  n'ont  pas  encore  reçu  d'applications  pratiques  ; 
tout  indique  cependant  qu'elles  en  auront  un  jour,  et  c'est  ce  qui 
arriverait  si  les  prévisions  de  Gauss  au  sujet  de  Pallas  venaient  à 
se  confirmer. 

Satellites  de  Jupiter. 

50.  Mais  l'exemple  le  plus  frappant  nous  est  fourni  par  Laplace 
lui-même  et  par  son  admirable  théorie  des  satellites  de  Jupiter. 

Il  existe,  en  effet,  de  véritables  solutions  périodiques  de  la  pre- 
mière sorte  quand,  au  lieu  de  trois  corps,  on  en  considère  quatre 
ou  un  plus  grand  nombre.  Considérons,  en  effet,  un  corps  central 
de  grande  masse  et  trois  autres  petits  corps  de  masse  nulle  circu- 
lant autour  du  premier  conformément  aux  lois  de  Kepler.  Imagi- 
nons que  les  excentricités  et  les  inclinaisons  soient  nulles,  de  telle 
façon  que  les  mouvements  soient  circulaires.  Supposons  qu'il  y 
ail,  entre  les  trois  movens  mouvements  n,  n'  et  n" ,  une  relation 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  I  55 

Linéaire  à. coefficients  entiers 

a n  -+-  °j/i'+  y  »"  =  o, 

a,  [3  et  y  étant  trois  entiers,  premiers  entre  eux,  tels  que 

a  ■+-  p  -+-  y  =o, 

on  pourra  trouver  alors  trois  entiers  X,  )/  et  )/'  tels  que 

aX  -+-  pX'-r-  yX"  —  o 
et  on  aura 

/!=ÀA  +  B,         n'  =  X'A .+  B,         n"  =  X"A  -+-  13, 

A  et  B  étant  des  quantités  quelconques. 

Au  bout  d'un  temps  T,  les  longitudes  des  trois  corps  auront 
augmenté  de 

XAT  +  BT,     X'AT-hBT,     X"AT  +  BT, 

et  les  différences  de  longitude  du  second  et  du  troisième  satellite 
avec  le  premier  auront  augmenté  de 

(X  — X')AT,     (X-X")AT. 

Si  donc  on  choisit  T  de  telle  sorte  que  AT  soit  multiple  de  2-, 
les  angles  formés  par  les  rayons  vecteurs  menés  du  corps  central 
aux  trois  satellites  auront  repris  leur  valeur  primitive.  Ainsi  la 
solution  considérée  pour  m  =  o  est  périodique  de  période  T. 

Le  problème  comportera-t-il  encore  une  solution  périodique  de 
période  T  quand  on  tiendra  compte  des  actions  mutuelles  des  trois 
petits  corps,  et  que  leur  mouvement  ne  sera  plus  képlérien,  ou 
en  d'autres  termes  quand  on  donnera  au  paramètre  [i.  non  plus  la 
valeur  O,  mais  une  valeur  très  petite? 

Une  analyse  toute  semblable  à  celle  du  n°  40  prouve  qu'il  en 
est  effectivement  ainsi;  il  y  a  une  solution  périodique  de  période  T 
analogue  aux  solutions  de  la  première  sorte  et  où  les  orbites  sont 
presque  circulaires.  Les  trois  petits  corps  sont,  tant  au  début 
qu'au  milieu  de  chaque  période,  en  conjonction  ou  en  opposition 
symétrique. 


IJl)  CHAPITRE     III.  . 

Laplace  a  démontré  que  les  orbites  de  trois  des  satellites  de 
Jupiter  diffèrent  très  peu  de  celles  qu'ils  suivraient  dans  une 
pareille  solution  périodique,  et  les  positions  de  ces  trois  petits 
corps  oscillent  constamment  autour  des  positions  qu'ils  auraient 
dans  cette  solution  périodique. 


Solutions  périodiques  dans  le  voisinage  d'une  position  d'équilibre. 

51.  Les  solutions  périodiques  dont  il  a  été  question  jusqu'ici 
ne  sont  pas  les  seules  dont  il  soit  possible  de  démontrer  l'existence. 
Ainsi  le  problème  des  trois  Corps  comporte  des  solutions  pério- 
diques de  la  nature  suivante  :  les  deux  petits  corps  décrivent  autour 
du  grand  des  orbites  très  peu  différentes  de  deux  ellipses  képlé- 
riennes  E  et  E';  à  un  certain  moment,  ces  deux  petits  corps  pas- 
sent très  près  l'un  de  l'autre  et  exercent  l'un  sur  l'autre  des  pertur- 
bations considérables;  puis  ils  s'éloignent  de  nouveau  et  décrivent 
alors  des  orbites  qui  se  rapprochent  beaucoup  de  deux  nouvelles 
ellipses  képlériennes  E(  et  E', ,  très  différentes  de  E  et  de  E'.  Les 
deux  petits  corps  s'écartent  très  peu  des  ellipses  E,  et  E',  jusqu'à 
ce  qu'ils  se  trouvent  encore  une  fois  très  près  l'un  de  l'autre. 
Ainsile  mouvement  est  presque  képlérien,  sauf  à  certains  moments 
où  la  distance  des  deux  corps  devient  très  petite  et  où  il  se  produit 
des  perturbations  très  considérables,  mais  de  très  courte  durée. 
Il  peut  aiTiver  que  ces  sortes  de  collisions  se  reproduisent  pério- 
diquement et  de  telle  sorte  qu'au  bout  d'un  certain  temps  les  deux 
corps  se  retrouvent  sur  les  ellipses  E  et  E'.  La  solution  est  alors 
périodique.  Je  reviendrai  plus  tard  sur  cette  sorte  de  solutions 
périodiques  qui  diffèrent  complètement  de  celles  que  nous  avons 
étudiées  dans  ce  Chapitre. 

Je  réserverai  également  à  un  autre  volume  les  solutions  pério- 
diques que  j'ai  appelées  du  second  genre  et  que  j'ai  définies  dans 
mon  Mémoire  du  t.  XIII  des  Acta  mathematica,  mais  dont 
l'étude  ne  peut  précéder  celle  des  invariants  intégraux. 

Il  est  toutefois  une  catégorie  de  solutions  périodiques  dont  la 
théorie  se  rattache  à  celle  des  solutions  du  second  genre,  mais 
dont  je  veux  cependant  dire  quelques  mots  ici,  quitte  à  y  revenir 
avec  plus  de  détails  en  temps  et  lieu. 


SOLUTIONS    PERIODIQUES. 


157 


Soit 


(0 


dt 


dx2 


X2, 


dxn 
dt 


=  X, 


an  système  d'équations  différentielles.  Je  suppose  que  les  X/ sont 
dévéloppables  suivant  les  puissances  croissantes  de  x{,  x2,  •  •  • ,  x„ 
et  d'un  paramètre  pu 

Je  suppose  de  plus  que  pour 

X\  =  a?2  ^=  . .  •  =  •#«  =  o 

on  ait  à  la  fois  (et  quel  que  soit  u) 

Xt  —  X2  =  . .  .  =  X„  =  o. 

Alors  le  système  (i)  admettra  comme  solution  particulière 

Tl  =  0,  Xv  =  O,  ...,  Xn,  =  O, 

et  comme  les  valeurs  de  x{,  x2-,  •-.,  #«  sont  constantes,  cette 
solution  pourra  être  regardée  comme  une  solution  périodique  de 
période  quelconque. 

Je  me  propose  d'étudier  les  solutions  périodiques  qui  en  dif- 
fèrent fort  peu. 

Soient  [3,,  J32,  .  ■  .,  fin  les  valeurs  initiales  de  xt,  x-2,  .  .  .,  x/n 
soient  '|,  +  (3,,  <b2  -h  (32,  •  •  •  -,  '\n  +  $n  les  valeurs  de  ces  mêmes 
variables  pour  t  =  T. 

On  peut  développer  J>,,  <L25  •  •  •  •>  ^«>  suivant  les  puissances  de 
Pi,  Pa,  •  •  -,  P«  et  p.. 

Considérons  l'équation  suivante  en  S 


rfx,     -s       rfX, 

tfX.  rfX, 


rfX/t 
dxx 


dx=> 


rf*Xa 


dx» 


dX, 

doc, 


—  S 


où  l'on  suppose  qu'on  ait  fait 

p.  =  .n  =  ;r2  =  •  •  ■  =  #«  =  o. 


I  58  CHAPITRE    III. 

Si  cette  équation  n'a  pas  de  racine  multiple,  j'appellerai  S,  ,'S2, 

S«  ses  n  racines. 

On  vérifie  alors  que  le  déterminant  fonctionnel  des  <b  par  rap- 
port  aux  (3,  quand  on  y  fait 

JJL  =  [},=  f$2  =  ...=  P„  =  o, 
devient  égal  à 

A  =  (eS1T_I)(eSîT  _i)...  (eS„T_1)i 

Pour  que  la  solution  considérée  soit  périodique  de  période  T,  il 
faut  et  il  suffit  que  l'on  ait 

(■>)  ^i  =  'h  =  ■  •  ■=  tyn  =  °- 

Ce  système  comporte  une  solution  qui  est  évidente  et  qui  est  la 
suivante  : 

(3)  ^=pa  =  ...=  p„  =  o. 

Cela  ne  nous  apprend  rien  de  nouveau,  puisque  nous  savons  déjà 
que  xt  =  x2  =  •  ■  •  =  xn  =  o  peut  être  regardée  comme  une  solu- 
tion périodique  des  équations  (i).  En  dehors  de  cette  solution 
périodique  évidente,  ces  équations  en  admettent-elles  d'autres  qui 
en  soient  distinctes  tout  en  en  différant  très  peu?  En  d'autres 
termes,  les  équations  (2)  peuvent-elles  être  satisfaites  quand  on  y 
substitue  à  la  place  des  (3  des  fonctions  de  j.,  qui  sans  être  iden- 
tiquement nulles,  s'annulent  pour  u.  =  o? 

Si  le  déterminant  A  n'est  pas  nul,  la  solution  (3)  est  pour  u.  =  o 
une  solution  simple  du  système  (2);  donc,  en  dehors  de  la  solu- 
tion (3),  le  système  (2)  ne  pourra  être  satisfait  par  des  fonctions  [3 
s'annulant  avec  jj.. 

Si,  au  contraire,  le  déterminant  A  s'annule,  on  pourra  trouver 
d'une  ou  de  plusieurs  manières  des  séries  convergentes  ordonnées 
suivant  les  puissances  fractionnaires  de  [J.,  s'annulant  avec  cette 
variable  et  qui,  substituées  à  la  place  des  [3;,  satisfont  aux  équa- 
tions (2).  Les  séries  ainsi  définies  ont-elles  leurs  coefficients  réels? 
C'est  ce  qu'une  discussion  spéciale,  sur  laquelle  je  reviendrai 
quand  je  traiterai  des  solutions  périodiques  du  second  genre, 
pourrait  seule  nous  apprendre;  si  ces  séries  ont  leurs  coefficients 
réels,  elles  définissent  une  catégorie  nouvelle  de  solutions  pério- 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  1 5g 

diques  qui  existent  pour  les  petites  valeurs  de  [Ji  et  pour  lesquelles 
x{,  x-2,  ...  et  xn  ne  prennent  jamais  que  de  très  petites  valeurs. 
Pour  que  A  s'annule,  il  faut  et  il  suffit  que  l'un  de  ses  facteurs 
s'annule,  c'est-à-dire  que  l'on  ait 

e8iT  =  lj 

S;  étant  une  des  racines  de  l'équation  en  S.  Pour  que  cela  soit 
possible,  il  faut  que  S;  soit  imaginaire;  l'équation  en  S  admettra 
alors  la  racine  imaginaire  conjuguée  S  y  et  on  aura  encore 


ce  qui  montre  que  deux  des  facteurs  de  A  s'annuleront  à  la  fois. 


Lunes  sans  quadrature. 
o*2.   Comme  application,  reprenons  les  équations  de  M.  Hill 

Cl)  •  A*  =  £* -4-  ÏJ». 

I  d'2  71  (/c,  LUT] 

— r  -h2«-r-h£v=o 
dP-  dt        r3 

Ces  équations  sont  satisfaites  si  l'on  fait 


'    3«* 

On  voit  que  ç  et  y\  sont  alors  des  constantes;  les  équations  (2) 
peuvent  être  regardées  comme  définissant  une  solution  périodique 
des  équations  (1). 

Il  est  aisé  d'apercevoir  la  signification  astronomique  de  cette 
solution.  L'équation  71  =  0  signifie  que  la  Lune  est  constamment 
en  conjonction  ou  en  opposition,  et  la  seconde  des  équations  (2). 
signifie  que  la  distance  de  la  Lune  à  la  Terre  est  constante.  Cette 
solution  périodique  n'est  donc  autre  chose  que  celle  qu'a  définie 
Laplace  dans  sa  Mécanique  céleste,  Livre  VI,  Chapitre  X. 

Mais  nous  nous  proposons  de  déterminer  les  solutions  pério- 
diques qui  en  diffèrent  fort  peu,  en  appliquant  les  principes  du 
numéro  précédent. 


l6o  CHAPITRE     III. 

Pour  cela  commençons  par  supposer  que  l'unité  de  longueur  ait 
été  choisie  de  telle  sorte  que 

o—  =  i,         lJ-  =  3«2. 

et  que  l'unité  de  temps  ait  été  choisie  de  telle  sorte  que 

n  =  i  -+-  a, 

a  étant  un  paramètre  très  petit. 

Si  nous  posons  £  =  i  -4-  x,  le  système  (i)  peut  être  remplacé  par 
le  suivant,  qui  est  analogue  au  système  (i)  du  numéro  précédent. 

dx  ,         dx'  .,  .    ,  ,    „ .  >„,  x/  i  \ 

—  =.r'  -^-  =        a(n-a)r,  +  o(i -I- a)20 -+- i)  (  ~;  —  '  )' 

Si  nous  formons  ensuite  l'équation  en  S  du  numéro  précédent  il 
vient 

S4 —  i  S2  —  27  —  o. 

Cette  équation  admet  deux  racines  réelles  et  deux  racines  imagi- 
naires 

Si  =       / — 1  y /a8  —  1, 


S2  =  —  /—  1  V  /'-*8 
Si  alors  nous  prenons 


VVÏS 


il  vient 


Le  déterminant  A  du  numéro  précédent  est  donc  nul. 

On  peut  donc  former  des  séries  ordonnées  suivant  les  puissances 
fractionnaires  de  u,  (ici  ces  séries  seraient  ordonnées  suivant  les 
puissances  entières  de  y/ p.)  et  qui,  substituées  à  la  place  des  (3,,  satis- 
font aux  équations  (2)  du  numéro  précédent.  On  vérifierait  (et  j'y 
reviendrai  plus  loin)  que  les  coefficients  de  ces  séries  sont  réels. 

Les  équations  (1)  de  M.  Hill  admettent  donc  des  solutions  périb- 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES.  iGl 

diques  peu  différentes  de  Ja  solution  (2).  Dans  ces  solutions,  ri 
reste  très  petit  et  la  Lune,  par  conséquent,  est  toujours  presque  en 
opposition  (ou  en  conjonction).  M.  Hill  a  donc  eu  raison  d'annoncer 
qu'on  peut  imaginer  une  classe  de  satellites  qui  ne  pourront  jamais 
être  en  quadrature;  seulement  le  procédé  par  lequel  il  avait  cru 
pouvoir  arriver  à  un  résultat,  qu'il  avait  pour  ainsi  dire  deviné, 
n'était  en  aucune  façon  capable  de  l'y  conduire  ;  car  cette  classe  de 
satellites  n'est  pas,  comme  il  l'avait  cru,  la  continuation  analytique 
de  celle  qu'il  avait  étudiée  d'abord  d'une  façon  si  approfondie  et 
si  brillante. 

J'ajouterai  que,  dans  cette  catégorie  de  solutions  périodiques, 
la  Lune  se  trouve  en  opposition  symétrique  au  commencement  et 
au  milieu  de  chaque  période. 


H.  P.  —  1. 


CHAPITRE  IV. 

EXPOSANTS  CARACTÉRISTIQUES. 


Équations  aux  variations. 

53.  H  y  a  peu  de  chances  pour  que,  clans  aucune  application,  les 
conditions  initiales  du  mouvement  soient  exactement  celles  qui 
correspondent  à  une  solution  périodique;  mais  il  peut  arriver 
qu'elles  en  diffèrent  fort  peu.  Si  alors  on  considère  les  coordonnées 
des  trois  corps  dans  leur  mouvement  véritable,  et,  d'autre  part, 
les  coordonnées  qu'auraient  ces  trois  mêmes  corps  dans  la  solution 
périodique,  la  différence  reste  très  petite  au  moins  pendant  un 
certain  temps  et  l'on  peut,  dans  une  première  approximation, 
négliger  le  carré  de  cette  différence. 

Soit 

clxi       ,r  .  . 

(i)  —  =  X/         U  =  i,  2,  ...,  n) 

un  système  d'équations  différentielles  où  les  X;  sont  des  fonctions 
données  de  #,,  x2,  •  •  • ,  xn- 
Soit 

(ibis)  ^i  =  rfi(0,         X2  =  <?z(t),         ■•■-,         ■x,l=o,l(t) 

une  solution  quelconque  de  ces  équations  que  nous  appellerons 
solution  génératrice. 
Soit 

(i  ter)     a?i=*<pi(£)4-£i3         &*.=  «aC*)-*-  jjs>  •  ••>         #«  =  ?«(0  + s» 

une  solution  peu  différente  de  la  première. 

Si  l'on  néglige  les  carrés  des  ç,  on  pourra  écrire 

,    x         d\i        dXi  t        dXt  t  d\(  v  ,  .  . 

M         dt  =  d^  Çl+  dœ,  ^■■•^  dTn  ^        (t=  ''  2'  ■-  ,l)- 


EXPOSANTS   CARACTÉRISTIQUES.  [63 

Les  équations  (2)  seront  ce  que  nous  appellerons  les  équations 
aux  variations  des  équations  (1).  On  conçoit  qu'on  paisse  dans 
une  première  approximation  se  servir  de  ces  équations  aux  varia- 
tions pour  déterminer  les  ç. 

Ce  qui  précède  suffît  pour  faire  comprendre  l'importance  de 
ces  équations  aux  variations.  Nous  allons  donc  en  faire  une  étude 
détaillée,  en  insistant  surtout  sur  les  équations  aux  variations  des 
équations  de  la  Dynamique. 

54.  Reprenons  les  équations  (1)  du  numéro  précédent  et  les 
équations  (2)  qui  en  sont  les  équations  aux  variations. 

Quand  on  connaît  une  solution  des  équations  (1)  contenant  un 
certain  nombre  de  constantes  arbitraires,  on  peut  en  déduire  des 
solutions  particulières  des  équations  (2). 

Supposons,  en  effet,  que  les  équations  (1)  soient  satisfaites  quand 
on  y  fait 

x\  =  <pi(*5  hx,  K,  •  ••>  hp), 
,  Xî  =  o%(t,  hu  lu, hp), 

"  I • 

l  xn  =  <[>»(*>  hu  h2,  .  .  .,  hp). 

Je  suppose  que  la  solution  génératrice  s'obtienne  en  faisant  dans 
ces  équations  (3) 

h\  =  h%  = .  . .  =  hp  =  o, 

où  A|,  h2,  .  .  . ,  hp  sont/?  constantes  arbitraires. 

Il  est  clair  que  les  équations  (2)  admettront  les  p  solutions  par- 
ticulières 

t  _  dyi  _  <r/'f,  don 

U~thx'  ^-dhC  •'*'         U=dhi' 

do  y  do. 2  don 

dlu  dlu  dlu 


do\  ^         do<z  dotl 


dh„  "       dhn  l       dh, 


[l  faut,  bien  entendu,  que  dans  ces  dérivées  -j~-  on  fasse  après 


j  64  CHAPITRE    IV. 

la  diflférentialion 

hi=  h2=.  .  .=  hp  =o. 

Supposons  maintenant  que  l'on  connaisse  une  intégrale  des  équa- 
tions (i),  et  soit 

F(a"i,  x2,  . . .,  x„)=  const. 

cette  intégrale. 

On  aura,  pour  la  solution  (i  bis), 

F[?1(0,  o2(t),  ...,  o,l(t)]  =  c, 

et,  pour  la  solution  (i  ter), 

F'[«pi(0-»-5i.  <p«(0  +  Ss.  •••>  ?»(0  +  5n]=  c'> 

c  et  d  étant  deux  constantes  numériques. 

Si  nous  supposons  que  les  \  soient  très  petits,  il  en  sera  de 
même  de  c' —  c  et,  si  l'on  néglige  les  carrés  de  ces  quantités,  il 
vient 

W  ^^+^^+--î-S-Ç-  =  C~C  =  C0I,8t" 

Dans  les  dérivées  partielles  -= —  il  faut,  bien  entendu,  faire  après 
la  diflerentiation 

#l=<?l.(Oi  &i  =  <fi(t)  ...,  Xn  =  <?n(t). 

L'équation  (4)  nous  donne  alors  une  intégrale  des  équations  (2); 
il  importe  d'observer  que  cette  intégrale  contiendra  en  général  le 
temps  explicitement. 

Ainsi,  si  l'on  connaît  une  intégrale  des  équations  (1),  on  peut  en 
déduire  une  intégrale  des  équations  (2). 


Application  à  la  théorie  de  la  Lune. 

5o.  J'ai  parlé  plus  haut,  au  n°  53,  des  applications  possibles  des 
équations  aux  variations  et  de  leur  utilité  pour  l'Astronomie.  Un 


EXPOSANTS    CARACTÉRISTIQUES.  (65 

exemple  frappant  nous  en  est  fourni  par  l'admirable  théorie  de  la 
Lune,  de  M.  Hill. 

J'ai  dit  au  n°  41  comment  ce  savant  astronome,  après  avoir 
formé  les  équations  du  mouvement  de  la  Lune,  étudie  en  détail 
une  solution  particulière  de  ces  équations  qui  [diffère  assez  peu  de 
la  solution  correspondant  aux  véritables  conditions  initiales  du 
mouvement.  Cette  solution  est  périodique  et  de  celles  que  j'ai 
désignées  dans  le  Chapitre  précédent  sous  le  nom  de  solutions  de 
la  première  sorte. 

S'en  tenir  à  cette  solution,  cela  revient  à  négliger  à  la  fois  non 
seulement  la  parallaxe  et  l'excentricité  du  Soleil,  mais  les  inclinai- 
sons des  orbites  et  l'excentricité  de  la  Lune. 

Néanmoins  cette  première  approximation  nous  fait  connaître 
assez  exactement,  ainsi  que  je  l'ai  dit  au  n°  49,  le  coefficient  de 
l'une  des  plus  importantes  inégalités  de  la  Lune  connue  sous  le 
nom  de  variation. 

Soient  maintenant 

xl=ol(t),         ,r2=c22(£),         xz  =  cpo(C)  =  o 

les  coordonnées  de  la  Lune  dans  cette  solution  particulière  pério- 
dique. 
Soient 

xt=  «p/(*)+Ç/ 

les  véritables  coordonnées  de  la  Lune. 

Dans  une  deuxième  approximation,  M.  Hill  néglige  les  carrés 
des  £  et  il  arrive  ainsi  à  un  s}rstème  d'équations  différentielles 
linéaires.  En  d'autres  termes,  il  forme  les  équations  aux  variations 
en  prenant  pour  solution  génératrice  la  solution  périodique  qu'il 
avait  d'abord  étudiée. 

Néanmoins  cette  seconde  approximation  lui  donne  quelques- 
uns  des  éléments  les  plus  importants  du  mouvement  delà  Lune,  à 
savoir  le  mouvement  du  périgée,  celui  du  nœud  et  le  coefficient 
de  Vévection. 

A  la  vérité,  les  résultats  ne  sont  publiés  qu'en  ce  qui  concerne 
le  mouvement  du  périgée  [Cambridge  U.  S.  A.,  1877,  et  Acla 
mathematica,  t.  VIII),  mais  le  chiffre  obtenu  est  extrêmement 
satisfaisant. 


166  CHAPITRE    IV. 

Équations  aux  variations  de  la  Dynamique. 
06.   Soit  F  une  fonction  d'une  double  série  de  variables 

yu   72,    •  -,    yn 
et  du  temps  t. 

Supposons  que  l'on  ait  les  équations  différentielles 

dxi  _  d¥  dyt  _     _  d¥ 

^  ~dt   ~~  dy~i  ~dt   ~        dx~i' 

Considérons  deux  solutions  infiniment  voisines  de  ces  équations  : 

xu     x2,     ...,     xn,    yu    y-i,     ...,     Yn, 
qui  servira  de  solution  génératrice  et 
a?i-î-  |i,     #2 +£2,     ••-,     a?n-+-?n,    7i+ï)i,    72+^12,     •••,    7«-+-Ti«; 

les  |  et  les  ^  étant  assez  petits  pour  qu'on  puisse  négliger  leurs 
carrés. 

Les  £  et   les  7]  satisferont  alors   aux  équations   différentielles 
linéaires 

(£^=    y    *f   t.  ,  y    diF  r. 

1    ^  jLàiidyidxk    l     ^àkdytdyk   '  ' 

(  ~d7  ~"  ~~ ZàklIxTàlc',-  J;~ Zàkdxidyk  f,k' 

qui  sont  les  équations  aux  variations  des  équations  (1). 

Soit  £j-,  r^-  une  autre  solution  de  ces  équations  linéaires,  de  sorte 
que 


(a') 


[    d&  =      y       rf*F  y       d*F 

j    rff  £àkdyidxk-      Zdkdyidyl,k'' 

\  c^ii  -  _V      d2F     V  —  V      rf2F       » 
l    dt  £àkdxj,dxk    e     ^dkdxtdyk 

Multiplions  les  équations  (2)  et  (2')  respectivement  par  7^.,  —  ç'f-. 


EXPOSANTS     CARACTERISTIQUES.  167 

i\i,  %[  et  faisons  la  somme  de  toutes  ces  équations,  il  viendra 


U  dt 


1  ^lii  _     d%1 
1  dt     r"'  dt 

d*F 


-1 


v/2/,(br//^^ 


Xi  'dt  , 

,      r/2F  „  „,      d*Y 

1*1*  ,, ,„.,  -+-  \k\i 


y2 


,,       d'~F 
dyi  dxk 


1*1* 


1  dytcfyk 
d*F 

dy£  dyk 


■+-E/&- 


tf*F 


d.X(  dxk 


1*;/ 


5  il'* 


<5fo?;  Û?JK* 
_#F_ 


OU 


d 


^7rt[r''^~^r"']  =  0 


ou  enfin 

(  3  )  l'i  5i  —  5 '1 1i  +  1 2  5s  —  52  I2 


1»5*  —  5»1«  =  const. 


Voilà  une  relation  qui  lie  entre  elles  deux  solutions  quelconques 
des  équations  linéaires  (2). 

11  est  aisé  de  trouver  d'autres  relations  analogues. 

Considérons  quatre  solutions  des  équations  (2) 


Çi>        Çï»        Ci»        Ci: 
11!       In       1i;       1t 


Considérons  ensuite  la  somme  des  déterminants 


h  51  53  57 

1»  il  i2  i? 

5/.-  5  à-  51  5  a 

1*  1*  1*  1* 


où  les  indices  î  et  A'  varient  depuis  1  jusqu'à  /i.  On  vérifierait  sans 
peine  que  cette  somme  est  encore  une  constante. 

Plus  généralement,  si  l'on  forme  à  l'aide  de  ip  solutions  des 
équations  (2)  la  somme  de  déterminants 

2airta  ...flp|ç«1ï]a1Ça2'lflrt2  •  •  •  Ç/i^TQrtp  | 

(au  a%,  . ..,  ap  =  1,  1,  . . .,  n), 

cette  somme  sera  une  constante. 

En  particulier,  le  déterminant  formé  par  les  valeurs  des  111 
quantités  £  et  r\  dans  in  solutions  des  équations  (2)  sera  une 
constante. 

Ces  considérations  permettent  de  trouver  une  solution  des  équa- 


l(58  CHAPITRE     IV. 

tions  (2)  quand  on  en  connaît  une  intégrale  et  réciproquement. 
Supposons,  en  effet,  que 

h  =  <*i,      v  =  Pj 

soit  une  solution  particulière  des  équations  (2)  et  désignons  par  £, 
et  i\i  une  solution  quelconque  de  ces  mêmes  équations.  On  devra 
avoir 

s  (£*■?»•  —  1/a«)  =  const., 

ce  qui  sera  une  intégrale  des  équations  (2). 
Réciproquement,  soit 

SA^+SB^=  const. 

une  intégrale  des  équations  (2),  on  devra  avoir 

2dki         yp  dBt  V   A   /  V       d2F      >   _V       d2F         \ 

i   clt   ^'"Zài  dt    T[i^Zài    tyZlkdyidxk^   '  ZàkdytdyiJ^) 

~2,  B/  (2*  ~ckcUk  ^  ^Ïàk-d^dy-k  T'*)  =  °' 
d'où  en  identifiant 


dAj  =      y       d'-F     A   _^y       ^F     R 

c/£  Jmdkdyicdxi  ^^kdxkdxi      " 

«ft    "        2dkdykdyt     k~* '  2dkdxkdyt     *' 

ce  qui  montre  que 

\i  —  B,,         7]/=  —  A/ 

est  une  solution  particulière  des  équations  (2). 
Si  maintenant 

4>(37,  jKj'j  0  =  const. 

est  une  intégrale  des  équations  (1), 

sera  une  intégrale  des  équations  (2),  et  par  conséquent 


d<P  d<P 

dyi  u~        dxi 


Ci  —  ~j77> 


sera  une  solution  particulière  de  ces  équations. 


EXPOSANTS    CARACTÉRISTIQUES.  169 

Si<ï>  =1  const.,  &\  =  consl.  sont  deux  intégrales  des  équations  (i), 

on  aura 

"ri  /  d<P  <-/*!        d<i>  d^i  \  _ 
jnmà  \  dxi   dyt        djt  dxt  I 

C'est  le  théorème  de  Poisson. 

Considérons  le  cas  particulier  où  les  x  désignent  les  coordonnées 
rectangulaires  de  n  points  dans  l'espace;  nous  les  désignerons  par 
la  notation  à  double  indice 

X[i,       X^f,       X^i, 

le  premier  indice  se  rapportant  aux  trois  axes  rectangulaires  de 
coordonnées  et  le  second  indice  aux  n  points  matériels.  Soit  mi 
la  masse  du  ilime  point  matériel.  On  aura  alors 

dlxi-;         dV 
dt1  dx/ct 

V  étant  la  fonction  des  forces. 

On  aura  alors  pour  l'équation  des  forces  vives 


Posons  ensuite 


Jki  =  mi 


dxki 
dt 


d'où 

(3) 

F=yzk 

—  v  = 

-  const. 

et 

(O 

dx/ci         d¥ 
dt         dyid 

dyki 
dt 

d¥ 

dx/ci 

Soit 

(4)  Xki  =  ?Ai(  0,        ïki  =  m.ty'ki(  0 

une  solution  de  ces  équations  (i'),  une  autre  solution  sera 

Xki  =  <?ki (t-r-h),        y ki  =  mi o'/ci (t-i-  h), 
h  étant  une  constante  quelconque. 


170  CHAPITRE    IV. 

En  regardant  11  comme  infiniment  petit,  on  obtiendra  une  solu- 
tion des  équations  (2')  qui  correspondent  à  (Y)  comme  les  équa- 
tions (2)  correspondent  à  (1) 

%ki  —  h cp},/ (t)—  h  - — - ,         7] /,.,-  =  hnxi <s>'ki (£)■== h  - — ■ , 
m  i  cix/ci 

h  désignant  un  facteur  constant  très  petit  que  l'on  peut  supprimer 
quand  on  ne  considère  que  les  équations  linéaires  (2'). 
Connaissant  une  solution 

-  ■-  -  — 

m  '  dx 

de  ces  équations,  on  peut  déduire  une  intégrale 
7  —  —7  -t-  \  =  const. 

Amà    111  Âad  (IX 

Mais  cette  même  intégrale  s'obtient  très  aisément  en  difFérentiant 
l'équation  des  forces  vives  (3). 

Si  les  points  matériels  sont  soustraits  à  toute  action  extérieure, 
on  peut  déduire  de  la  solution  (4)  une  autre  solution 

K\i  =  ÇiKO-i-  h  -+-  kt,        yu  —  mi(o:lt(t)-+-  mtk, 
SPii  =  Ç21  (  t),  7ii  =  mi  ?  2 i (  t )> 

X-u  =  <p3«(0i  ysi  =  mi(?'èï(t  )) 

h  et  k  étant  des  constantes  quelconques.  En  regardant  ces  con- 
stantes comme  infiniment  petites,  on  obtient  deux  solutions  des 
équations  (2') 

Ile  =  I,  %îi  =  Ê3/=  T\U  —  12/'  =  '13/  =  0, 

Çlz'  =  t,  \ïi  —  Ç3/'  =  '12/  =  '13/  =  0,  '1 1,'  =  /«/. 

On  obtient  ainsi  deux  intégrales  de  (2') 

2/7)!/  =  const., 
2tj,/<  —  2m/£-1j=  const. 
On  peut  obtenir  ces  intégrales  en  difFérentiant  les  équations  du 


EXPOSANTS    CARACTÉRISTIQUES.  171 

mouvement  du  centre  de  gravité 

2m,ru-  =  fEjKij-r-  const., 

SjKu"  =  const. 

Si  l'on  fait  tourner  la  solution  (4)  d'un  angle  to  autour  de  l'axe 
des  z,  on  obtient  une  autre  solution 

Tu 

x\i  =  Çl;  COSCO  —  G-,;  Sin  OJ, =   2),  ,-  COS'U  —  O  ,  ,•  SI  11  IX), 

771  î 

Yli  <  t 

m.  il  T- 

<r rr    ■  ?3'    —  m' 

xZi —  fil,  —  V3î- 

77%i 

En  regardant  to  comme  infiniment  petit,  on  trouve  comme  solu- 
tion de  (2') 

Çii  —  —  x-2ii  Ti\i  =  — y  lit 

\%i  =         xli>  ri2i  =        JKim 

Sst=         O,  7)3i  =        O, 

d'où  l'intégrale  de  (2') 

2*-(a?iîïï2/—  Jizb*  —  a?2/ïiij+72t-?i/)  =  const., 

que  l'on  pouvait  obtenir  aussi  en  différentiant  l'intégrale  des  aires 

de(i/) 

S(a?i/^2z  —  xiiy\i)  =  const. 

Supposons  maintenant  que  la  fonction   V  soit  homogène  et  de 
degré  —  1  par  rapport  aux  ce,  ce  qui  est  le  cas  de  la  nature. 

Les  équations  (1')  ne  changeront  pas  quand  on  multipliera  t 
par  X3,  les  x  par  \2  et  les  y  par  X-' ,  ~k  étant  une  constante  quel- 
conque. De  la  solution  (4)  on  déduira  donc  la  solution  suivante  : 

xki  =  X*  «p*/  (  Ys  )  '  JAz  =  ^_1  m'  <P**  (  yj 

Si  l'on  regarde  X  comme  très  voisin  de  l'unité,  on  obtiendra 
comme  solution  des  équations  (2') 

hi=  i®ki—  3ttf'&î,        v,;  =  —  htitp'/ci  —  Smity'/ci 
ou 

(5)  Ui=  ixkl-Zt  g,         ij„  =  -j,,--  3*  ^— , 


172 


CHAPITRE    IV. 


d'où  l'intégrale  suivante  des  équations  (a'),  laquelle,  à  la  différence 
de  celles  que  nous  avons  envisagées  jusqu'ici,  ne  peut  être  obtenue 
en  différentiant  une  intégrale  connue  des  équations  (V) 


2  (  1  xki  v]  /ci  -+-  y  m  %kt  )  =  3 1 


"y/j^-^fcYUconst. 


Application  de  la  théorie  des  substitutions  linéaires. 

57.  Avant  d'aller  plus  loin,  je  suis  obligé  de  rappeler  quelques- 
unes  des  propriétés  des  transformations  linéaires  qui  nous  seront 
utiles  dans  la  suite. 

Soit 


(1) 


une  substitution  linéaire  qui  lie  les  variables  [3  aux  variables  y.  Le 
déterminant  de  cette  substitution  est 


Ti 

= 

a 

0 
1  pi 

-+- 

Ct-2 

h 

+ 

«3 

Pi. 

Ï2 

= 

b 

pi 

+ 

b? 

P2 

+ 

63 

P., 

73 

= 

c, 

Pi 

-f- 

C-2 

P2 

-+- 

Ci 

Pa 

«i     «2     «3 

A  = 

61      b%     b3 

, 

et  l'équation 

Cl       c2      c3 

«1  —  S 

«2                    «3 

(«) 

61 

£>2  —  S              63 

Cl 

C,  •       c3  — 

3 

est  ce  qu'on  appelle  l'équation  en  S  de  la  substitution  (1),  Si  l'on 
fait  subir  aux  (3  et  aux  y  une  même  substitution  linéaire,  c'est- 
à-dire  si  l'on  pose 

Pf=  ^/,lpl+>^-,2P2  +  ^/,3p3, 
Yi  =  */,l  Tl  "+"  ^/,2T2  ■+-  ^/,3T3i 

les  \  étant  des  constantes;  les  y'  et  les  (3'  seront  liés  entre  eux  par 
des  relations  linéaires  de  même  forme  que  (1),  et  l'on  aura 


(3) 


ï'i  =  *iPl-H«ïPl+««P3» 

ï«  =  *iPi  +  &'»Pi-+-*sP»i 
Ï3=  c'i  P'i  +  C2  P»-Hc',  P'3; 


EXPOSANTS     CARACTERISTIQUES. 


173 


La  substitution  linéaire  (3)  s'appellera  alors  la  transformée  de  la 
substitution  (i). 

La  théorie  des  substitutions  linéaires  nous  apprend  : 

i°  Que  la  nouvelle  équation  en  S 


a\  —  S 


«2  «3 

6'2-S         b', 

c,         c'  —  S 


ne  diffère  pas  de  l'ancienne  équation  eu  S  (2)', 

20  Que  si  le  déterminant  A  est  nul  ainsi  que  tous  ses  mineurs 
jusqu'aux  mineurs  de  l'ordre/?  inclusivement,  il  en  sera  de  même 

du  déterminant 

a\     «',     a'a 

A'  —      b\      b'.2      b's 
c\      c'.1      c'3 

Les  mineurs  d'ordre  p  de  A'  sont,  en  effet,  des  combinaisons 
linéaires  des  mineurs  d'ordre  p  de  A; 

3°  Que  l'on  peut  choisir  les  \  de  façon  à  ramener  la  substitu- 
tion (2)  à  une  forme  aussi  simple  que  possible,  àhe  forme  cano- 
nique. Voici  en  quoi  consiste  cette  forme  : 

Si  l'équation  en  S  a  toutes  ses  racines  simples,  on  peut  annuler 
à  la  fois  «!,,  rt'3,  b\,  63,  c',,  c.,. 

Si  l'équation  en  S  a  une  racine  double,  on  peut  annuler  à  la 
fois  a\,  a'3,  6'3,  b\,  c\  ;  on  a  alors  b'2  =  c'3. 

Si  l'équation  en  S  a  une  racine  triple,  on  peut  s'annuler  à  la 
fois  a'.>,  a's  et  b'3  ;  on  a  alors  a\  =  b'.,  =  c.A. 

Dans  tous  les  cas,  on  peut  toujours  supposer  que  les  \  ont  été 
choisis,  de  telle  sorte  que 


a.  =  a, 


b'.,  =  o. 


Si  l'équation  en  S  a  une  racine  nulle,  A  est  nul  et  réciproquement. 
Supposons  maintenant  que  A  ait  tous  ses  mineurs  du  premier 
ordre  nuls;  alors  il  en  sera  de  même  de  A'.  Mais,  comme 

a'.z  =  a'A  =  b'A  =  0, 

il  y  a  trois  des  mineurs  de  A'  qui  se  réduisent  à 

a\  b'.,,     b'2 c'3,     a\  c\  ; 


1 74  CHAPITRE    IV. 

ils  ne  peuvent  s'annuler  que  si  deux  des  trois  quantités  a\ ,  b[,  et 
c'.j  sont  nulles. 

Mais  ces  trois  quantités  sont  les  trois  racines  de  l'équation  en  S. 
Donc,  si  les  mineurs  de  à  sont  tous  nuls,  l'équation  en  S  a  deux 
racines  nulles. 

La  réciproque  n'est  pas  vraie. 

En  effet,  l'équation  en  S 


—  S 

o 

o 

o 

—  S 

0 

o 

i 

—  S 

a  deux  racines  nulles  et  tous  ses  mineurs  ne  sont  pas  nuls. 

Nous  avons  supposé,  pour  fixer  les  idées,  que  nous  avions  affaire 
à  une  substitution  linéaire  portant  sur  trois  variables  seulement; 
mais  le  même  raisonnement  s'applique,  quel  que  soit  le  nombre 
des  variables. 

Si  le  déterminant  cV une  substitution  linéaire  est  nul,  ainsi 
que  tous  ses  mineurs  du  premier,  du  second,  etc.,  du  (p  —  fVèn,e 
ordre;  l'équation  en  S  aura  p  racines  nulles. 

08.   Soient,  comme  dans  le  Chapitre  précédent, 
dxi 


dt 


=  X, 


(i 


1,2,     .  .  .  ,    il  ) 


un  système  d'équations  différentielles.  Soit 

une  solution  périodique  de  ces  équations  de  période  T. 

Soit,  dans  une  solution  voisine  de  cette  solution  périodique, 
'fi(o)  +  fii  la  valeur  de  xi  pour  t  =  o,  et  rf/(o)  +  [3;-+-  -};  la  valeur 
de  Xi  pour  t  =  T  +  t. 

Envisageons  le  déterminant  fonctionnel  des  <h  par  rapport  aux  [3 


dt/i 

d'b. 

d^n 

dfi 

dfo 

d$n 

dtyt 

dfr 

dtyn 
d$n 

dtyn 
d$n 

EXPOSANTS    CARACTÉRISTIQUES.  175 

On  peut  le  regarder  comme  le  tableau  des  coefficients  d'une  substi- 
tution linéaire  T. 

Si  l'on  fait  subir  aux  x  un  changement  linéaire  de  variables,  les 
3  et  les  h  subiront  ce  même  changement  linéaire,  et  la  substi- 
tution linéaire  T  se  changera  dans  la  substitution  transformée  au 
sens  du  numéro  précédent. 

Nous  pourrons  donc  choisir  le  changement  linéaire  de  variables 
subi  par  les  x,  les  (3  et  les  à  de  façon  à  simplifier  autant  que  pos- 
sible le  tableau  des  coefficients  de  T,  ainsi  qu'il  a  été  expliqué 
plus  haut.  Nous  pouvons  donc  toujours  supposer  que  l'on  a  fait 
un  changement  linéaire  de  variables  tel  que 

f% 
(0  uér =0 

«P* 

toutes  les  fois  que  i  <<  k. 

Dans  ce  cas  les  racines  de  l'équation  en  S  relative  à  la  substi- 
tution T  sont 

dtyi       d<\>2  dtyn 

df^     df2'     '■'     dfn' 

On  peut  d'ailleurs  choisir  le  changement  de  variables  que  subissent 
les  x,  les  [i  et  les  tli  de  façon  que  ces  racines  de  l'équation  en  S  se 
présentent  dans  tel  ordre  que  l'on  veut.  Si,  par  exemple,  l'équation 
en  S  a  deux  racines  nulles,  on  peut  choisir  ce  changement  de 
variables  de  telle  façon  que, 

d\n-\   _  dtyn   _ 
d"pVl   ~   d$n   ~  °" 

C  •    1 J   i  •  C  )  )  •  >  \  \      «T  1 

Si  l  équation  en  S  n  a  qu  une  racine  égale  a  -j*-»  on  pourra  encore 

choisir  le  changement  de  variables,  de  telle  sorte  que  l'on  ait  en 
outre 

dfyv  _  d<l>î  _         _  d'b„  _ 

Supposons  donc  que  l'équation  en  S  ait  une  racine  nulle  et  une 
seule;  nous  pourrons  d'après  ce  qui  précède  supposer  que  cette 

racine  nulle  est  -=-!—>  de  sorte  que 
«Pi 

d'bi  _ 
dfi~0' 


1^6  CHAPITRE     IV. 

et  choisir  en  même  temps  le  changement  de  variables,  de  façon  à 
satisfaire  aux  conditions  (i)  et  (2). 

Si  donc  l'équation  en  S  a  une  racine  nulle  et  une  seule,  il  est 
toujours  permis  de  supposer  que 


o, 


db, 

'  '  ~  d$n 

d'bi 

dû* 

~d$l~" 

d'b„ 

Définition  des  exposants  caractéristiques. 
59.   Soit 

(1)  ^  =  X,        (»  =  i,a>...,n) 

un  système  d'équations  différentielles  où  X(,  X2,  .  •  • ,  X/2  seront 
des  fonctions  données  de  x] ,  x2,  •  -  • ,  ocn.  Nous  pourrons  supposer, 
ou  bien  que  le  temps  t  n'entre  pas  explicitement  dans  ces  fonc- 
tions X,-,  ou  au  contraire  que  ces  fonctions  X;  dépendent  non 
seulement  de  xt,  x2,  ■  •  • ,  xn,  mais  encore  du  temps  t;  mais  dans 
ce  dernier  cas  les  X;  devront  être  des  fonctions  périodiques  de  t. 
Imaginons  que  ces  équations  (1)  admettent  une  solution  pério- 
dique 

Xi  —  <fi(t). 

Prenons  cette  solution  comme  solution  génératrice  et  formons 
les  équations  aux  variations  [voir  n°  53)  des  équations  (1),  en 
posant 

et  négligeant  les  carrés  des  £. 

Ces  équations  aux  variations  s'écriront 

(2)  <%L  =  ^t  +^it  +  ...+  £**£$„. 

^    '  dt        dxi  dx%    2      "         dxa 


Ces  équations  sont  linéaires  par  rapport  aux  £,  et  leurs  coefficients 

rfX/ 

dock 


'  -  [quand  on  y  a   remplacé  Xi  par   'f/(/)]  sont   des  fonctions 


EXPOSANTS     CARACTÉRISTIQUES.  177 

périodiques  de  t.  Nous  avons  donc  à  intégrer  des  équations 
linéaires  à  coefficients  périodiques. 

On  a  vu  au  n°  29  quelle  est  en  général  la  forme  des  intégrales 
de  ces  équations;  on  obtient  n  intégrales  particulières  de  la  forme 
suivante 

les  a  étant  des  constantes  et  les  S^  des  fonctions  périodiques  de  t 
de  même  période  que  les  ®î{t). 

Les  constantes  a  s'appellent  les  exposants  caractéristiques  de 
la  solution  périodique. 

Si  a  est  purement  imaginaire  de  façon  que  son  carré  soit  négatif, 
le  module  de  eat  est  constant  et  égal  à  i.  Si  au  contraire  a  est  réel, 
ou  si  a  est  complexe  de  telle  façon  que  son  carré  ne  soit  pas  réel, 
le  module  eaf  tend  vers  l'infini  pour  i=+œou  pour  t=  — oo. 
Si  donc  tous  les  a  ont  leurs  carrés  réels  et  négatifs,  les  quantités 
£,,  £2>  •  -  -y  i«  resteront  finies;  je  dirai  alors  que  la  solution  pério- 
dique Xi  =  ^i(l)  est  stable;  dans  le  cas  contraire,  je  dirai  que 
cette  solution  est  instable. 

Un  cas  particulier  intéressant  est  celui  où  deux  ou  plusieurs 
des  exposants  caractéristiques  a  sont  égaux  entre  eux.  Dans  ce 
cas  les  intégrales  des  équations  (2)  ne  peuvent  plus  se  mettre  sous 
la  forme  (3).  Si,  par  exemple, 

ai  =  <z2, 

les  équations  (2)  admettraient  deux  intégrales  particulières  qui 
s'écriraient 

ei 

S/=tea.'SMH-e*1*S/),, 

les  S;j(  et  les  S,j2  étant  des  fonctions  périodiques  de  t  (voir  n°  29  ). 
Si  trois  des  exposants  caractéristiques  étaient  égaux  entre  eux, 
on  verrait  apparaître,  non  seulement  t,  mais  encore  t2  en  dehors 
des  signes  trigonométriques  et  exponentiels. 

H.  P.  —  1.  12 


1^8  CHAPITRE    IV. 


Équation  qui  définit  ces  exposants. 

60.  Reprenons  les  équations  (i)  du  numéro  précédent;  consi- 
dérons une  solution  quelconque 

SoitTla  période  delà  solution  périodique  génératrice  Xi=.^i(t); 
soit  <pj(o)  -I-  $i  la  valeur  de  xL  pour  t  =  o,  et  <pi(T)  H-  [3,  +  <|/,-  la 
valeur  de  3?;  pour  £  =  T. 

Comme  les  ta  s'annulent  avec  les  [3t-  et  sont  développables  suivant 
les  puissances  croissantes  des  (3;,  nous  pouvons  écrire,  par  la  for- 
mule de  Taylor, 

Si  la  solution  considérée  diffère  assez  peu  de  la  solution  périodique 
pour  qu'on  puisse  négliger  les  carrés  des  £,  on  pourra  également 
négliger  les  carrés  des  (i  et  il  restera 

dhi  0         d>bi  d<bi  Q  N 

*i=sdfch+  df**%  WJH       (*  =  '>».■■■>»)■ 

Considérons  une  des  solutions  particulières  des  équations  aux 
variations  (2),  nous  aurons  pour  t  =  o 

f*=fc 
et  pour  £  =  T 

Parmi  ces  solutions  particulières,  nous  avons  vu  au  n°  59  qu'il 
y  en  a  «  qui  sont  d'une  forme  remarquable  :  ce  sont  les  solu- 
tions (3);  soit 

l'une  de  ces  solutions  (3),  ou,  en  supprimant  l'indice  A1  pour  abréger 
l'écriture, 

^=e*'S*(*)- 


EXPOSANTS    CARACTÉRISTIQUES.  179 

Les  fonctions  S,-(£)  sont  des  fonctions  périodiques  de   t,   de 
période  T  ;  on  a  donc,  pour  t  =  o, 

P/=S;(0) 

et,  pour  t  =  T, 

ou,  en  remplaçant  ti/j  par  sa  valeur, 


i,(eaT-i)  = 


^    P2  +  ----+-  ^   P«  0=1,    2,    ...,»). 


En  éliminant  (B,,  (32,  .  .  . ,  (3/z  entre  ces  /i  équations,  il  vient 


2% 


dh 


d<\>,i 
d^ 


d'où  la  règle  suivante 


—  **T 


dp* 


d'1/i 
dtyz 

Wn. 


-+- 1  — eaT 


Pour  obtenir  les  exposants  caractéristiques  a,  on  forme  le  déter- 
minant fonctionnel  des  <];  par  rapport  aux  (3;  on  forme  l'équation 
en  S  correspondante  :  les  racines  de  cette  équation  sont  égales  à 
eaT  —  i . 

Dans  les  dérivées  partielles  -Jp-  il  va  sans  dire  qu'il  faut,  après 

les  différent]' ations,  annuler  tous  les  (3,-. 


Cas  où  le  temps  n'entre  pas  explicitement. 

61.  Quand  le  temps  t  n'entre  pas  explicitement  dans  les  équa- 
tions (i)  du  n°  59,  l'un  au  moins  des  exposants  caractéristiques  est 
nul.  Soit,  en  effet, 

la  solution  génératrice;  si  l'on  fait 

OSi—  <?i(t->r  h), 


i8o 


CHAPITRE    IV. 


h  étant  une  constante  quelconque,  on  aura  encore  une  solution  des 
équations  (i);  alors,  d'après  le  n°  oi,  on  aura  une  solution  des 
équations  au*  variations,  en  faisant 


(4) 


dot 
dti 


do,- 
~cli 


Mais,  'Oi  étant  une  fonction  périodique  de  t,  il  en  sera  de  même  de 

, ,  •    ,    dot 
sa  dérivée  ——• 
dt 

La  solution  (4)  est  bien  de  la  forme  (3)  (c'est-à-dire  égale  à  une 
exponentielle  multipliée  par  une  fonction  périodique  det).  Seule- 
ment ici  l'exponentielle  se  réduit  à  l'unité  et  l'exposant  caracté- 
ristique est  égal  à  o.  c.  q.  f.  d. 

D'ailleurs  nous  avons  vu  déjà  au  Chapitre  précédent  que,  dans 
ce  cas,  le  déterminant  fonctionnel  des  <l  par  rapport  aux  (3  est  nul. 


Nouvel  énoncé  du  théorème  des  nos  37  et  38. 

62.  Nous  avons,  dans  le  n°  37,  envisagé  d'abord  le  cas  où  les 
équations  (i)  dépendent  du  temps  t  et  d'un  paramètre  a,  et 
admettent  pour  pi  =  o  une  solution  périodique  et  une  seule.  Nous 
avons  vu  que,  si  le  déterminant  fonctionnel 

_  <?(&i,  4^  •••  ,_'M  < 
A-  d.(Pi,.p„  ...,  p«)->0' 

les  équations  admettront  encore  une  solution  périodique  pour  les 
petites  valeurs  de  jj.. 

Ce  déterminant  peut  s'écrire 


A  = 


dh 

dfc 

d^ 
d$n 

d^i 

rf<h 

dift 

dfi 

rfpt 

d$n 

dtyn 
rfpi 

dtyn 

d<\>tl 
d$n 

EXPOSANTS     CARACTÉRISTIQUES.  I  8  1 

Or  les  exposants  caractéristiques  a  sont  donnés  par  l'équation 


5ëT 

dp2 

d82  ^ 

dB„ 

d<K 
rfB2 

dd;„ 
«B„ 

Dire  que  A  est  nul,  c'est  donc  dire  que  l'un  des  exposants  carac- 
téristiques est  nul  ;  de  sorte  que  nous  pouvons  énoncer  ainsi  le  pre- 
mier des  théorèmes  démontrés  au  paragraphe  précédent  : 

Si  les  équations  (i)  qui  dépendent  d 'un paramètre  jj.  admet- 
tent pour  [x  =o  une  solution  périodique  dont  aucun  des  expo- 
sants caractéristiques  ne  soit  nul,  elles  admettront  encore  une 
solution  périodique  pour  les  petites  valeurs  de  p.. 

63.  On  peut  arriver  à  un  résultat  analogue  quand  on  suppose, 
comme  au  n°  38,  que  le  temps  n'entre  pas  explicitement  dans  les 
équations  différentielles. 

Nous  avons  vu  au  n°  38  que  la  condition  suffisante  pour  qu'il  y 
ait  encore  des  solutions  périodiques  pour  les  petites  valeurs  de  p., 
c'est  que  pour  jji  =  o  tous  les  déterminants  contenus  dans  la  matrice 

afyi  <fyi 

dfj,  rfps 

d<\i%  dfyi 

dfi  ~d% 

d<\in     dbji 
dpi      dp  2 

ne  soient  pas  nuls  à  la  fois. 

Cela  posé,  considérons  l'équation  en  S  : 

d$ 


d]n 

d<lii 

d<Pa 

dx 

d<p,l 

dh 
dz 

d\„ 
dp  n 

dtyn 
d~, 

''  -S 

i 

dfyt 

dh 

#1 
dPn 

d<\>2 
dp, 

dh 

dp,              • 

dfyn 

dtyn 

dpz 

d<\>n         „ 
•*      dfn~ 

l8'2  CHAPITRE    IV. 

Ses  racines  sont,  comme  nous  l'avons  vu  au  n°  60,  égales  à  eaT  —  i , 
T  étant  la  période  et  a  un  exposant  caractéristique.  Le  temps 
n'entrant  pas  explicitement  dans  les  équations,  un  de  ces  expo- 
sants doit  être  nul  d'après  ce  que  nous  avons  vu  au  n°  61. 

L'équation  en  S  a  donc  au  moins  une  racine  nulle;  je  dis  que 
si  elle  11!  en  a  qu'une,  il  y  aura  encore  des  solutions  périodiques 
pour  les  petites  valeurs  de  p.. 

En  effet,  d'après  ce  que  nous  avons  vu  au  n°  58,  il  est  toujours 
permis  de  supposer  que 


o, 


dt/x 

dtyi        dtyi , 

dtyi 

dfa 

"  rfp,  -  43  ~  ' 

'  ~  d$n 

d^ 

c/^a        dfys 

dtyn 

dpi 

~  dft  ~  dfx  ~~  ' 

'~    4i 

Le  premier  membre  de  l'équation  en  S  s'écrit 


d'b, 
djl~ 

dty% 

dfc 

dtyî 

d$n 

d<\>3 

dh     o 

d<\>3 

d$n 

d<\>n 
d^ 

dtyn 

dh 

d^n 
d$n 

Si  donc  l'équation  en  S  n'a  qu'une  racine  nulle,  le  déterminant 
fonctionnel  ô  de  du,  d3,  .  .  . ,  <hn  par  rapport  à  (32,  (33,  .  .  . ,  ftn  ne  sera 
pas  nul. 

Alors  le  déterminant  obtenu  en  supprimant  dans  la  matrice  la 
première  colonne  se  réduit  à 

s*. 

dx 

Je  dis  qu'il  n'est  pas  nul;  en  effet,  —0  ne  peut  s'annuler  pour  la 
raison  suivante  : 

On  ne  peut  pas  avoir  à  la  fois 

ofyi  _  dtyi  _        _  d<\ia  _ 
dx  dx        '  '  '        dx 

S'il  en    était  ainsi,,  cela  voudrait  dire  que,  si  l'on  considère  la 


EXPOSANTS    CARACTÉRISTIQUES.  l83 

solution  périodique 

qui  correspond  à  jjl  =  o  et  qui  nous  sert  de  point  de  départ,  on  a 
pour  £  =  T  (et  par  conséquent  encore  pour  toutes  les  valeurs  de  t) 

dxx        dx2  _         _  dxn  _ 

~dt  '"  ar  dt  ~  ' 

de  sorte  que  <p»(i),  'fz(t)}  •  ■•,  ~>n(t)  seraient  des  constantes,  ce 
que  nous  ne  supposerons  pas. 
D'autre  part,  je  dis  que 

dt  dz  dz 

Nous  avons,  en  effet,  comme  on  l'a  vu  plus  haut,  page  91 

dtyi  dtyt       dtyi  e%  dtyn  d^t  _  _    . 

~dz~df1^   dz    dfa+--'+  dz    d$a~  ^-1,2,  ...,n;. 

Or  -~  =0;  nous  avons  donc  une  série  d'équations  linéaires 

-dTdf2^--^-dVd?;l=0     (*  =  m,. ..,*), 

et,  comme  le  déterminant  de  ces  équations  (c'est-à-dire  S)  n'est  pas 

nul,  il  vient 

dtyi       d<\/3  _  d<l/n  

dz  dz  dz 

Comme  nous  avons  exclu  le  cas  où  ®t(t),  <p2(£),  .  .  .,  ®n(t)  sont 

des  constantes,  cas  qui  sera  examiné  à  part,  au  n°  68,  nous  en 

concluons  que 

dh>t 
dz 


<0.  C  Q.  F.  D. 


Ainsi,  si  les  équations  différentielles  ne  contiennent  pas  le  temps 
explicitement,  si  elles  admettent  une  solution  périodique  pour 
p.  =  o,  l'un  des  exposants  caractéristiques  de  cette  solution  sera 
toujours  nul;  si,  de  plus,  aucun  autre  de  ces  exposants  n'est  nul,  il 
y  aura  encore  une  solution  périodique  pour  les  petites  valeurs  de  [i.. 


I  84  CHAPITRE    IV. 


Cas  où  les  équations  admettent  des  intégrales  uniformes. 
64.    Supposons  que  les  équations 
(i)  -S  =X/        (i  =  i,  2,  ...,  n), 

où  les  Xj  sont  des  fonctions  uniformes  de  #| ,  #2>  •  •  •  »  #/z  et  de  £, 
périodiques  de  période  2  7t  par  rapport  à  £,  admettent  une  solution 
périodique  de  période  2-, 

#1=  <?l(*)j  ^2  =  <?2(0>  ■■■»  #B=  ?»(*)» 

de  telle  sorte  que  0/(2-)=  'f/(o)  est  une  intégrale  indépendante  du 

temps 

F(œl,  ir2,  . . .,  xn)=  const., 

uniforme  par  rapport  à  .r, ,  #2,  .  .  - ,  #72.  Je  dis  qu'un  des  exposants 
caractéristiques  est  nul,  sauf  dans  un  cas  exceptionnel  dont  je  par- 
lerai plus  loin. 

Définissons,  en  effet,  les  quantités  <L  et  (3  comme  au  n°  37,  et 
envisageons  le  déterminant  fonctionnel  des  -i  par  rapport  aux  [3. 
Je  dis  que  ce  déterminant  est  nul. 

En  effet,  on  a  identiquement 

F[<p*(o)+P/4-«W)  =  F[<pi(b)+p,], 
en  écrivant,  pour  abréger,  F(j?/)  au  lieu  de 
FOj,  se2,  . . .,  xa). 
En  différentiant  cette  identité  par  rapport  à  (3/,  on  trouve 

d¥  dtyx        d¥   dù2  d¥    dtyn  _ 

dxi  d$i    '    dxz  d$i  '  ~n  dxn   d$t 

rl  r  t  dF      dF  dF  , 

Il  faut,  dans  -y—,  — — ,  •  •  • ,  -. — ,  remplacer  x^  x2,  •  •  • ,  xn  par 

?i(°)>  f2(o),  ...,  <^(o). 

Nous   pouvons   faire   dans  les   équations  (a)/=i,   2,   .  ..,  n; 


EXPOSANTS    CARACTÉRISTIQUES.  l85 

nous  avons  donc  n  équations  linéaires  par  rapport  aux  n  quantités 

d¥_       d¥_  ■  d¥ 

dxi       dx2  dxn 

Alors  de  deux  choses  l'une  :  ou  bien  le  déterminant  de  ces  équa- 
tions (2),  c'est-à-dire  le  déterminant  fonctionnel  des  <jj  par  rapport 
aux  (3,  sera  nul,  et  alors,  d'après  ce  que  nous  avons  vu  au  n°  62,  l'un 
des  exposants  caractéristiques  sera  nul.  • 

Ou  bien  on  aura  à  la  fois 

d¥  _  d¥  d¥   _ 

dxi        dx^  dxn 

Ces  équations  devront  être  satisfaites  pour 

Xi=a1(i-,),         x.2  =  u2(-2-),  ...,         a?«  =  Çrt(2it) 

ou,  ce  qui  revient  au  même,  pour 

xl=ol(o),         rr,  =  cp2(o) x/l  =  oll(o). 

Mais  l'origine  du  temps  est  restée  entièrement  arbitraire  ;  nous 
devons  donc  conclure  que  les  équations  (3)  seront  satisfaites,  quel 
que  soit  t,  pour 

#l=?l(0,  3"2=<f2(0>  ■•■>  #»=?»(*)• 

On  peut  d'ailleurs  s'en  rendre  compte  de  la  manière  suivante  : 

Supposons  que  lés  équations  (3)  soient  satisfaites  pour  un  sys- 
tème de  valeurs  de  x,,  x2,  ■  •  • ,  xn,  je  dis  qu'elles  le  seront  encore 
pour  un  système  infiniment  voisin  x{-{-dx\,  Xo-hdxo,  ..., 
xn  -+-  dx/tJ  pourvu  que  l'on  ait,  conformément  aux  équations  diffé- 
rentielles, 

dxx  _  dx2  _        _  dxn 
Xj        X2  xw 

En  d'autres  termes,  je  dis  que  les  équations  (3)  entraînent  les 
suivantes, 

d*¥     __  d*F     _  tf»F     _ 

Xi  -I — -, =— •>  X2  -f- .  . .  -t-  j -, —  X„  =  o 


dx(  dx\  dxi  dx=i  dxt  dx 

(i  =  i,a,  ...,  n) 


l86  CHAPITRE    IV. 

En  effet,  on  a  identiquement  (puisque  F  est  une  intégrale  des 
équations  différentielles) 

d¥  _         d¥  _  d¥  _ 

-7—  X!+  -y—  X2 -(-... -4-  -j —  X„  =  o. 
<:«?!  dxi  dxn 

En  différentiant  cette  identité  par  rapport  à  x;,  il  vient 
y"/    rfaF     x         rfF  rfXA 

*  =  1 

ou,  en  vertu  des  équations  (3), 

Vi       e?*F      „ 


ikdxi  dxk 


C.  Q.   F.  D. 


Ainsi,  si  les  équations  différentielles  admettent  une  intégrale 
uniforme,  l'un  des  exposants  caractéristiques  d'une  solution  pério- 
dique quelconque  sera  nul,  à  moins  que  toutes  les  dérivées  par- 
tielles de  l'intégrale  ne  s'annulent  en  tous  les  points  de  cette  solu- 
tion périodique.  Cette  dernière  circonstance  ne  pourra  se  présenter 
q  u  'excep  tionnellemen  t . 

60.  Supposons  encore  que  les  équations  différentielles  (1)  con- 
tiennent le  temps  explicitement  et  soient,  par  rapport  à  cette 
variable,  des  fonctions  périodiques  de  période  27c. 

Je  dis  que  si  les  équations  différentielles  admettent  deux  inté- 
grales uniformes,  F  et  F(,  deux  des  exposants  caractéristiques 
seront  nuls. 

On  trouvera,  en  effet,  comme  dans  le  numéro  précédent, 


(2) 


_ç^F   dfo    t     d¥^  d^  _   d¥_  d^,  _ 

dxt  d^        dx%   d$t       •  ■  ■  '    ciXn   ti^.         ' 

dFx  dtyj        rfFi  dty2  dFi  dtyn 


=  o 


dx\   dfif        dx%   dfii    '  dxn   d$t 

(1  =  1,2,  . . .,  n) 
|>i  =  Ç>i(o),     O72  =  cp2(o),     ...,     xn  =  <p«(o)]. 
Nous  pouvons  en  conclure  que,  non  seulement  le  déterminant  fonc- 


EXPOSANTS    CARACTÉRISTIQUES.  1 87 

tionnel  des  à  par  rapport  aux  (3  est  nul,  mais  qu'il  en  est  de  même 
de  tous  ses  mineurs  du  premier  ordre,  à  moins  que  l'on  n'ait  à  la 
fois 


(3) 


dF 


dF 

dx% 

~dF7 
dx<> 


dF 
~d~F~[ 

CL  30  h 


Mais,  d'après  le  n°  57,  cela  ne  peut  avoir  lieu  que  si  l'équation 
en  S,  formée  à  l'aide  du  déterminant  fonctionnel  des  <\>:  a  deux 
racines  nulles,  c'est-à-dire  (puisque  ces  racines  sont  égales  à 
eaT —  i)  s'il  y  a  deux  exposants  caractéristiques  nuls. 

Si  donc  il  y  a  deux  intégrales  uniformes,  il  y  aura  deux  expo- 
sants caractéristiques  nuls,  à  moins  que  les  équations  (3)  ne  soient 
satisfaites  en  tous  les  points  de  la  solution  périodique,  ce  qui  évi- 
demment ne  peut  arriver  qu'exceptionnellement. 

On  démontrerait  de  même  que  s'il  y  a  p  intégrales  uniformes, 
F(,  F2,  ..  .,  ¥p,  p  des  exposants  caractéristiques  seront  nuls  à 
moins  que  tous  les  déterminants  contenus  clans  la  matrice 


dFt 

dFi 

rfF, 

dxl 

dx% 

CtJO h 

dF, 

dF, 

dF,_ 

dxx 

dx% 

ClX '  n 

dFp 

dFp 

dFR 

dxi 

dx* 

dxn 

ne  s'annulent  en  tous  les  points  de  la  solution  périodique  consi- 
dérée. 


66.  Imaginons  maintenant  que  le  temps  n'entre  pas  explicite- 
ment dans  nos  équations  différentielles  et,  de  plus,  que  ces  équations 
admettent  une  intégrale  uniforme 

F(a,1,  x.2,  .  . . ,  xn)  =  const., 

indépendante  du  temps  t. 

Je  dis  que  deux  exposants  caractéristiques  seront  nuls. 

Nous  avons  vu  d'abord  qu'un  de  ces  exposants  est  toujours  nul 


CHAPITRE    IV 


quand  le  temps  n'entre  pas  explicitement.  Si  de  plus  il  y  a  une  inté- 
grale F,  on  aura,  comme  au  n°  64, 

F[?z(o)+'p/-t-<l//]  =  F[<p*(o)-Hp,]l 

et,  en  différentiant  cette  relation  par  rapport  à  jât-  et  à  t,  il  viendra 


dF   dtyi 
dx\   dfit 

— \- 

dF  dA(% 
dx2   dfit 

(  J  =  i ,  a,  •  • 

dF 

dxn 
.,  n), 

db„ 

dF  d^t 
dx\    dx 

-+- 

dF  d'b, 

CLoC%     Cl'Z 

dF 

(XX  fi 

d'\n 
~dï=0 

On  en  conclura  ou  bien  que  l'on  a  à  la  fois 


dF 

dXy 


dF 

dx-i 


dF 


pour  tous  les  points  de  la  solution  périodique,  ou  bien  que  tous 
les  déterminants  contenus  dans  la  matrice 


d<${  [  d<li  ! 

dft  d% 

d^i  dit') 

dj[  df2 

dtyn  Cttjn 

d$l  d$. 


d'bi  d'bi 

d$n  dx 

db,  d^ 

d$n  dx 

d<\>„  (fyn 

d$a  dx 


sont  nuls  à  la  fois. 

Or  nous  avons  vu,  au  n°  63,  que  cela  ne  peut  avoir  lieu  que  si 
deux  exposants  caractéristiques  s'annulent. 

67.  Je  me  propose  maintenant  d'établir  ce  qui  suit  : 
Supposons  encore  que  le  temps  n'entre  pas  explicitement  dans 
nos  équations  différentielles;  supposons  que  ces  équations 
admettent  p  intégrales  analytiques  et  uniformes  et  où  le  temps 
n'entre  pas  non  plus  explicitement.  Soient  Fl7  F2,  ..  .,  Fp  ces 
p  intégrales. 

Alors,  ou  bien  p  +  i  exposants  caractéristiques  seront  nuls,  ou 


EXPOSANTS    CARACTERISTIQUES. 

bien  tous  les  déterminants  contenus  dans  la  matrice 


d¥t 

dxk 


(i  =  i  ,-2,  . .  .,p;     k 


,  n) 


seront  nuls  pour  tous  les  points  de  la  solution  périodique  généra- 
trice. 

Supposons,  en  effet,  pour  fixer  les  idées, 

n  =  4,        p  =  2. 

Nous  aurons  alors  les  équations  suivantes 

d¥x  dbx    |    d¥x  rfj,,        rfF,  rf<],,        rfF,  c%  _ 


c/^-j    <r/{3j    '    dx2   d$t        dxz    d$t        dxk    d$£ 
c/F,  oftlj        JF2  r%       dVj  dfy9    /  dF2  cty4  _ 
dxx   d$t        dx%   d$i        dx3   dft;  "^  ~dxk  cïfit 


d¥x  dtyt  d¥x  dtyi  d¥i  dtys  d¥x  d<b± 
dxi  dx  dx-2  dx  dx3  dx  dx^  dx 
d¥%  d<bt        dF,  d<\>2       d¥t  d<\>3       d¥2  <% 


(1=1,2,3,4), 


dxi    dx 


dx=,_    dx         dx-i    dx         dx\    dx 


De  ces  équations  il  est  permis  de  conclure  : 

Ou  bien  que  tous  les  déterminants  contenus  dans  la  matrice 


d¥x  d¥x  «?F,  dFx 

dxx  dx%  dxs  dx\ 

d¥j  dF_2  dFj  d¥j. 

dxx  dx-2  dxA  dxi> 


sont  nuls  à  la  fois;  ou  bien  que  tous  les  déterminants  contenus 
dans  la  matrice 

d<\ix  d<\ix  dfyi  d'bi  d'bx 

dj[  dfc  dft  dfa  ~dz~ 

d'l-2  d<b*  dli  d<ii2  di>2 

~d%  djz  df3  ~d%  ~dk 

dh-i  d'\>3  dtyz  dli-t  d<b3 

d$l  djl '  djl  d\%  ~ch 

d'il!,  dtyi  dtyb  rf<K  dtyi 

dtl  d%  d%  djl  ~dz 


(0 


VI 


sont  nuls  à  la  fois,  ainsi  que  leurs  mineurs  du  premier  ordre. 


igo  CHAPITRE     IV. 

D'après  ce  que  nous  avons  vu  au  n°  58,  nous  pouvons  toujours 
supposer  que 

df,=° 
pour 

i<k. 

D'autre  part,  tous  les  mineurs  du  déterminant  obtenu  en  sup- 
primant la  dernière  colonne  de  la  matrice  (i)  devant  être  nuls, 
l'équation  en  S  correspondante  aura  deux  racines  nulles  :  je  puis 

donc  supposer 

dû*  _  dùk  _ 
d%  ~  ~djl  ~  °" 

Je  me  propose  de  démontrer  que  l'équation  en  S  a  une  troisième 
racine  nulle  et,  par  conséquent,  que  l'on  a 

ou 

df2~°- 

En  effet,  d'après  la  définition  même  des  <];/,  on  a  <J^  =  o,  si 
l'on  fait 

P*=  ^k{h)~  ça-(o), 

Il  étant  une  constante  quelconque;  d'où  en  différentiant  par  rap- 
port à  h  et  faisant  ensuite  h  =  o, 


Mais 


donc  on  a 


dty  dtyi       dty  dtys       d<\>£  d<\i3       dfyt  dfyk  .  ... 

ap!    cfa         dp,    dz         dp3    d-z        d$k    dx  ' 


En  faisant  /,'  =  i ,  il  vient 


dtyi  dtyi 
dfl  Ih   =  °' 


EXPOSANTS    CARACTERISTIQUES.  îgi 

d'où 

dtyj  _ 

oa 

«T 

Dans  Je  premier  cas,  le  théorème  est  démontré;  dans  le  second 
cas,  écrivons  l'équation  (2)  en  faisant  i  =  1  ;  il  vient 


dfy}  d^_ 
dif,  ~dk 
d'où 


r  2 


rfiU 


OU 


^=°- 


Dans  le  premier  cas,  le  théorème  est  démontré;  dans  le  second 

cas,  on  a 

d<\i1        d'il  2 


dx  di 


d'où  l'on  peut  conclure  (  puisque  nous  excluons  le  cas  où  tous  les 
-—  sont  nuls  à  la  fois  j  que  — ^  et  — ~  ne  sont  pas  nuls  tous  deux. 

Formons  les  mineurs  que  l'on  obtient  en  supprimant  dans  la  ma- 
trice (1)  les  troisième  et  quatrième  colonnes  et  la  troisième  ligne 
(ou  bien  les  troisième  et  quatrième  colonnes  et  la  quatrième  ligne). 
Ces  deux  mineurs  devront  être  nuls,  ce  qui  donne 

atyi  d<\>2  dfy3  _  dfyx  di>2  d<^k  _ 
dfii  d$%    dz         d$i  d$2    dz  ' 

d'où  cette  conclusion  (  puisque  —0  et  -—■  ne  sont  pas  nuis  tous 
deux  j  que  l'on  a 

^i=o 


ou 


d^ 


C   Q.   F.   D. 


192  CHAPITRE    IV. 

68.  Nous  avons  exclu  dans  les  numéros  précédents  le  cas  où 

?l(o,  «p«(0,  •■■'.  ?«(0 
sonl  des  constantes,  c'est-à-dire  le  cas  où  l'on  a  à  la  fois 

dty\  d<\>2  _         _  d<b„  _ 

dx  dz  dx 

Si  l'on  suppose  toujours  que  le  temps  n'entre  pas  explicitement 
dans  les  équations  différentielles,  on  a  encore  les  équations 

<%  d&x    _    db,  djjj    _         _  r%  dtyn  _ 
dfii    d-z   ~'~  dfa    dz  d$n    dx 

Mais  ces  équations  n'entraînent  plus,  comme  conséquence,  que  le 
déterminant  fonctionnel  des  b  par  rapport  au  (3  est  nul,  ni  que 
l'un  des  exposants  caractéristiques  est  toujours  nul. 

Si  les  équations  différentielles  admettent/?  intégrales,  on  pourra 
donc  seulement  en  conclure  qu'il  j  a  au  moins  p  exposants  carac- 
téristiques nuls  (et  non  plus  p  -\-  i)  comme  dans  le  cas  où  le 
temps  entre  explicitement  dans  les  équations. 

Cas  des  équations  de  la  Dynamique. 

69.  Passons  maintenant  aux  équations  de  la  Dynamique 

dri        d¥  dvi  d¥ 

i)  — =-  =  -=—  3         —r-  = î—         (i  =  i,  2,  ...  n). 

'  dt         dji  dt  dxi         v 

où  je  suppose  que  le  temps  n'entre  pas  explicitement.  Elles  admet- 
tront l'intégrale  des  forces  vives 

F  =  const. 

Supposons  que  les  équations  (î)  admettent  une  solution  pério- 
dique de  période  i~ 

xi=Vi(t),         yi=<\>i(t), 

et  formons  les  équations  aux  variations  en  posant 
xi  =  'fi(t)  -F-  \h        yt  =  <J//(# )  h-  ïj/. 


EXPOSANTS    CARACTÉRISTIQUES.  193 

Nous  avons  vu  au  n°  06  que  si  £,,  f\i  et  ^,  -^  sont  deux  solu- 
tions particulières  quelconques  des  équations  aux  variations,  on  a 


Zii^'i—  &?)*)  =  const. 


Je  dis  qu'il  en  résulte  que  les  exposants  caractéristiques  sont  deux 
à  deux  égaux  et  de  signe  contraire. 

Soient  en  effet  £?  et  ~r\f  les  valeurs  initiales  de  £t-  et  de  v\i  pour 
t  =  o  dans  une  des  solutions  des  équations  aux  variations;  soient 
£]  et  '/\j  les  valeurs  correspondantes  de  \t  et  de  v^-pour  t  =  iiz.  Il 
est  clair  que  les  £'  et  les  7]t-  seront  des  fonctions  linéaires  des  £? 
et  des  7)?,  de  telle  sorte  que  la  substitution  T  qui  change  £°  et  yj0 
en  £J  et  •/}!  sera  une  substitution  linéaire. 

Soit 

«11  «12  ...         «1,2« 

«21  «22  •  •  •         ^2  2/i 

a2«,l      aïn,%       ■  ■  ■       a2,n2/ 

le  tableau  des  coefficients  de  cette  substitution  linéaire. 
Fermons  l'équation  en  \ 


Cl  [  1  —  A  Cl  1 2 

«9  1  «99  —  X 


4,2/i 


a2/l,l  &2n,2  •  ■  ■        (12/1,2/1 ' 

Les  in  racines  de  cette  équation  seront  ce  qu'on  appelle  les  %n 
multiplicateurs  de  la  substitution  linéaire  T.  Mais  cette  substitu- 
tion linéaire  T  ne  peut  pas  être  quelconque  :  il  faut  qu'elle  n'altère 
pas  la  forme  bilinéaire 

Pour  cela,  l'équation  en  X  doit  être  réciproque.  En  effet,  la 
théorie  des  substitutions  linéaires  nous  apprend  que,  si  une  substi- 
tution linéaire  n'altère  pas  une  forme  quadratique,  son  équation 
en  S  doit  être  réciproque.  Si  donc  on  pose 


À  =  e20«S 


II.  P.  -  I. 


ig4  CHAPITRE     IV. 

les  quantités  a  devront  être  deux  à  deux  égales  et  de  signe  con- 
traire, c.  Q.  F.  D. 
Nous  reviendrons  sur  ce  point  au  n°  70. 

70.  Les  équations  (i)  du  numéro  précédent  admettent  toujours 
l'intégrale  dite  des  forces  vives 

F  =  const. 

Je  suppose  qu'elles  admettent,  en  outre,  p  intégrales  uniformes 

F!  =  const.,         F2=  const.,         ...,         Fp  =  const. 

Je  suppose,  de  plus,  que  les  crochets  deux  à  deux  de  ces  intégrales 
soient  nuls,  c'est-à-dire  que 

[F,-,  F/,]  =  o        (i,  k,  =  ij2,  ...,p). 

On  sait  d'ailleurs  que,  pour  une  intégrale  quelconque  F/,  on  a 

[F,  F/]  =  o. 

Je  me  propose  de  démontrer  que,  dans  ce  cas,  ou  bien  tous  les 
déterminants  fonctionnels  de  F,  F4,  F2,  . .  . ,  F^,  par  rapport  à 
p  +  i  quelconques  des  variables  xi  et  yi,  sont  nuls  à  la  fois  en 
tous  les  points  de  la  solution  périodique;  ou  bien  ip  +  i  expo- 
sants caractéristiques  sont  nuls. 

En  effet,  reprenons  les  équations  (2)  du  n°  56,  c'est-à-dire  les 
équations  aux  variations  des  équations  (1).  Soit 

une  solution  particulière  de  ces  équations  (2);  appelons  S  cette 
solution;  soit  ^,  r^  une  autre  solution  de  ces  mêmes  équations; 
appelons  S'  cette  solution. 
Nous  savons  qu'on  a 

s(Êf)'f— &1i)=  const. 

J'appellerai  (S,  S')  le  premier  membre  de  cette  relation. 

Parmi  les  solutions  des  équations  proposées,  nous  avons  vu  au 
n°  59  qu'il  y  en  a  dont  la  forme  est  remarquable.  Pour  les  unes, 
chacune  des  quantités  £/  et  ru-  est  égale  à   une  exponentielle  eat 


EXPOSANTS    CARACTÉRISTIQUES.  195 

multipliée  par  une  foDction  périodique  de  t.  Je  les  appellerai 
solutions  de  première  espèce. 

Pour  d'autres,  chacune  des  quantités  £;  et  r\i  est  égale  à  une 
exponentielle  eaf,  multipliée  par  un  polynôme  entier  en  t  dont  les 
coefficients  sont  des  fonctions  périodiques  de  t.  Je  les  appellerai 
solutions  de  deuxième  espèce. 

Les  équations  (2)  ne  peuvent  admettre  que  in  solutions  linéai- 
rement indépendantes.  Une  solution  quelconque  pourra  donc 
toujours  être  regardée  comme  une  combinaison  linéaire  de  in 
solutions  que  l'on  peut  appeler  fondamentales. 

Si,  sur  1  n  exposants  caractéristiques,  p  sont  distincts,  on  pourra 
choisir  comme  solutions  fondamentales  p  solutions  de  première 
espèce  et  in  — p  solutions  de  seconde  espèce. 

Soient 

Si,        S2,         .  .  .  ,        Sq 

q  solutions  particulières  des  équations  (2)  linéairement  indépen- 
dantes et  désignons  par  S'  une  solution  quelconque. 

Il  ne  peut  y  avoir  plus  de  m  —  q  solutions  S'  linéairement 
indépendantes  qui  satisfassent  aux  conditions 

C3)  (Si,  S')  =  (S2,  S')=...  =  (S„S')  =  o. 

En  effet,  soit 


l 


..-■rk 


la  solution  S*;  conservons  les  lettres  Çf- et  7)2  pour  désigner  la  solu- 
tion S',  alors  les  relations  (3)  nous  donnent  q  relations  linéaires 
entre  les  \i  et  les  r\i]  ces  relations  sont  distinctes  si  les  solutions 
particulières  S,,  S2,  ..-,  Sq  sont  linéairement  indépendantes. 
Elles  pourront  donc  servir  à  abaisser  de  q  unités  l'ordre  des 
équations  différentielles  linéaires  (2).  Après  cet  abaissement,  ces 
équations  ne  conserveront  plus  que  in  —  q  solutions  linéairement 
indépendantes.  c.  q.  f.  d. 

Cela  posé,  supposons  que  S  soit  une  solution  de  première  ou  de 
deuxième  espèce  admettant  comme  exposant  caractéristique  a,  et 
que  S'  soit  une  solution  de  première  ou  de  deuxième  espèce 
admettant  comme  exposant  caractéristique  (3.  Formons  l'expres- 
sion 

(S,  S'). 


ig6  CHAPITRE     IV. 

Cette  expression  est  de  la  forme  suivante  :  une  exponentielle 
e(a.+$)t  multipliée  par  un  polynôme  entier  en  ?dont  les  coefficients 
sont  des  fonctions  périodiques  de  t. 

Mais  cette  expression  doit  se  réduire  à  une  constante.  Il  est 
clair  que  cela  ne  peut  avoir  lieu  que  de  deux  manières  : 

Ou  bien  si  cette  constante  est  nulle; 

Ou  bien  si  a  +  [3  =  o. 

On  peut  en  conclure  que,  s'il  ya^  exposants  caractéristiques 
égaux  à  -h  a,  il  y  en  aura  q  égaux  à  —  a,  ce  qui  confirme  le 
résultat  obtenu  au  n°  69.  Si,  en  effet,  il  y  a  q  exposants  égaux  à 
-+-  a,  il  y  aura  q  solutions  de  première  ou  de  deuxième  espèce 
linéairement  indépendantes  et  admettant  pour  exposant  a. 

Soient  S( ,  S2,  . . . ,  S?  ces  q  solutions. 

Il  ne  pourra  pas  y  avoir  plus  de  in  — q  solutions  S' indépen- 
dantes qui  satisferont  aux  relations 

(St,  S')  =  (S„S')  =  ...  =  (S„  S')  =  o. 

Par  conséquent,  parmi  les  solutions  fondamentales  (qui  sont 
toutes  de  première  ou  de  deuxième  espèce),  il  y  en  aura  q  pour 
lesquelles  l'une  des  constantes  (S/',  S')  au  moins  ne  sera  pas  nulle, 
et,  par  conséquent,  pour  lesquelles  l'exposant  (3  sera  égal  à  —  a. 

71.  Supposons  maintenant  que  les  équations  (i)  admettent  une 
intégrale 

Fi  =  const. 

D'après  ce  que  nous  avons  vu  au  n°  54,  les  équations  (2)  admet- 
tront comme  solution  particulière 

t  _  d¥x  c/F, 

dyt  '  "  dxi 

Appelons  S(  cette  solution,  les  fonctions  -~  et  -~-  (où  on  devra 

CL3C i  £*-/  i 

remplacer  xt  et  yi  par  leurs  valeurs  correspondant  à  la  solution 
périodique  génératrice)  seront  des  fonctions  périodiques  de  /. 
Donc  la  solution  S,  est  de  première  espèce  et  son  exposant  carac- 
téristique est  nul. 


EXPOSANTS    CARACTÉRISTIQUES.  197 

Si  F2  =  const.  est  une  autre  intégrale  et  que  l'on  appelle  S2  la 

solution 

e  _  dF,  dF, 

il  viendra 

(Si,  S2)  =  [FtjF2]. 

Supposons  donc  que  nos  équations  (i)  admettent  p  -h  i  inté- 
grales 

F  =  const.,         Fj  =  const.,         F2  =  const.,         ...,        Fp=  const., 
et  soient 

les  p  -+-  i  solutions  des  équations  (2)  qui  correspondent  à  ces 
p  4-  1  intégrales. 

De  deux  choses  l'une  : 

Ou  bien  ces  p  -f-  1  solutions  seront  indépendantes; 

Ou  bien  tous  les  déterminants  fonctionnels  de  F,  Fd,  F2,  .  .  .  ,Fp 
par  rapport  kp  +  1  variables  choisies  parmi  les  xt  et  les  j';  seront 
nuls  à  la  fois  en  tous  les  points  de  la  solution  périodique. 

Supposons  qu'il  n'en  soit  pas  ainsi  et  que  les  solutions 
S,  S, ,  .  .  . ,  Sjp  soient  indépendantes. 

Nous  aurons  dans  tous  les  cas 

[F,F,]  =  0  (£  =  1,2,    ...,/>), 

d'où 

(S,  S,)  =  o. 

Je  suppose  que  l'on  ait  en  outre 

[F/,  FA.]  =  o        (i,  k=  1,1,  ...,  p). 


On  aura  également 


(S/,  S*)=  o. 


Je  choisirai  pour  les  111  solutions  fondamentales  les  p  +  1 
solutions  S,  S1;  S2,  . .  -,  Sj,  et  in  —  p  —  1  autres  solutions  de 
première  ou  de  deuxième  espèce. 

Parmi  les  solutions  fondamentales,  il  y  en  aura  certainement 

p  +  1  qui  (si  je  les  appelle  S')  ne   satisferont  pas  à  la  fois  aux 

relations 

(S,S')  =  (S1yS')='...  =  (Si„S')  =  o, 


ig8  -        CHAPITRE    IV. 

et  qui,  par  conséquent,  auront  un  exposant  caractéristique  nul. 
Mais  ces p  -+-  i  solutions  ne  se  confondront  pas  avec  les/»  4-  i 
solutions 

S,        Sj,        .  .  .,       Dp. 

Je  dis  qu'on  ne  peut  avoir,  par  exemple, 

S'  =  S*, 
car  on  a,  par  hypothèse, 

(S,  SA.)  =  (Si,S/,)  =  ...  =  (Sp,  S*)=o, 

et,  d'après  la  définition  même  de  S',  S'  ne  jouit  pas  de  cette  pro- 
priété. 

Il  y  a  donc  en  tout  2^  +  2  solutions  fondamentales  dont  l'expo- 
sant est  nul;  il  y  a  donc  au  moins  ip  +  2  exposants  caractéris- 
tiques qui  sont  nuls.  c.  q.  f.  d. 

72.  Supposons  maintenant  qu'il  existe  p  intégrales  (outre 
F  =  const.),  à  savoir 

Fi=const.,         F2  =  const.,         F,,  =  const., 

mais  que  les  crochets  deux  à  deux  de  ces  p  intégrales  ne  soient 
pas  nuls.  Tout  ce  que  nous  pourrons  affirmer  alors,  c'est  que  p  -+-  2 
exposants  caractéristiques  seront  nuls.  Mais  nous  saurons  que 
p  -+-  1  solutions  fondamentales  au  moins  (qui  sont  celles  que  nous 
avons  appelées  S,  St,  S2,  .  .  . ,  Sp)  seront  de  première  espèce  avec 
un  exposant  nul. 

Si  donc  on  venait  à  établir  que  les  équations  (2)  n'admettent 
que  p  solutions  linéairement  indépendantes  qui  soient  de  première 
espèce  avec  un  exposant  nul,  on  serait  certain  que  les  équations  (1) 
ne  comportent  pas/>  +  1  intégrales  (en  y  comprenant  F  =  const.), 
ou  du  moins  que,  si  ces  p  -t-  1  intégrales  existent,  tous  leurs  déter- 
minants fonctionnels  par  rapport  à  /?  -+-  1  des  2?i  variables  x  et  y 
sont  nuls  à  la  fois  en  tous  les  points  de  la  solution  périodique. 

Changements  de  variables. 

73.  Voyons  ce  qui  arrive  des  exposants  caractéristiques  quand 
on  change  de  variables. 


EXPOSANTS    CARACTERISTIQUES.  199 

Soient 

dxt  _ 
dt  ~     l 

nos  équations  différentielles  où  je  supposerai  que  le  temps  n'entre 
pas  explicitement.  Soit 

une  solution  périodique  de  période  T.  Soit 

xt=  9KO  -+-  \h 
d'où  les  équations  aux  variations 

d\t  _  ^  dHi 
Soit 


dt       j^d  dxjc  b  l  ' 


Ê,=  e«'«|i,(«) 

une  solution  de  ces  équations  aux  variations,  tyi  étant  périodique 
en  t. 

Changeons  de  variables  en  remplaçant  le  temps  t  par  une  nou- 
velle variable  t  définie  par  la  relation 

dt  __ 
dx 

<ï>  étant  une  fonction  donnée  de  X\ ,  x2:  . .  . ,  xn  ;  d'où  les  équations 
différentielles 

ex»  $  =  x<*> 

et  les  équations  aux  variations 

<•**>         f=*2ë^x'2S^ 

Les  équations  (i  6w)  admettent  une  solution  périodique 
correspondant  à 

Xi  =  <!>i(t 


200  CHAPITRE    IV. 

et  dont  la  période  est  égale  à 

,T  d 


"=/£ 


On  doit  remplacer  dans  <£,  avant  l'intégration,  xi  par  cp/  (t). 
Pour  résoudre  les  équations  (2  &;s),  nous  tiendrons  compte  de 


la  valeur  de  -y-  et  nous  les  écrirons 
dz 


d^t       v<  d^i  t     ,   v  V  ^^ 


ÇA 


Posons  ensuite 

il  vient 

<r/ru-    ,    v    dX        V1-.   rfXt-  „ 

— j—   -t-  A/  -5-   -t-     >    À  — : —   AI- 

cft  dt        mM     dxk     h 

yr\  dX;  ^^  dXt  „         X;^  d<i>  X./X-«ri  d*  v 

ce  qui  montre  qu'on  peut  satisfaire  aux  équations  (  2  ter)  en  prenant 

1,*=  «*+,(*)         et         *-S=x2^X*  +  2si«0'+*(')- 
On  peut  tirer  de  là 
et 

9  (f)  et  les  §i(t)  étant  périodiques  en  £.  Il  faudra  ensuite  remplacer 
t  par  sa  valeur  tirée  de  l'équation 


On  trouve  ainsi 


J :  =*[?1(0,  ?t(«),  •••,  ?»(0" 


*  =  ijy  ' +'/(•=). 


/(t)  étant  une  fonction  périodique  de  t;  on  a  donc 
al 


EXPOSANTS    CARACTERISTIQUES. 


ce  qui  montre  qu'après  le  changement  de  variables  les  nouveaux 
exposants    caractéristiques    sont    égaux    aux    anciens    multipliés 

T 
par  ^7- 


Développement  des  exposants.  —  Calcul  des  premiers  termes. 

74.   Reprenons  les  équations 
.  .  dxt        d¥  dvt  dF  .  . 

(,)  -dï  =  d7;'     -dt^-^     ('  =  ■»»>  ■■.-.'O 

du  n°  13  avec  les  hypothèses  de  ce  numéro. 
Posons 

„.=  _  dFr 

dxt 
Pour  pi  =  o  les  Xt  sont  des  constantes  et  on  a,  d'autre  part, 

yi=  ntt  -4-to,-, 

les  73;  étant  des  constantes. 

Soient  n\,  ni,  .  .  .,  n°a  des  valeurs  de  ni  telles  que  les  quan- 
tités n"T  soient  multiples  de  au.  Soient  x\  des  valeurs  des  at- 
telles que 

Nous  avons  vu  aux  nos  42  et  44  que  les  équations  (i  )  admettront 
une  solution  périodique  de  période  T,  qui  sera  développable  sui- 
vant les  puissances  de  u,  et  qui  pour  pi  =  ose  réduira  à 

les  to"  étant  certaines  valeurs  particulières  des  constantes  xs;.  Cela 
posé,  envisageons  une  solution  quelconque. 

Soit  #"  +  fi;  la  valeur  initiale  des  xtelr^i  celle  de yi pour  t  =  o. 
Soit  kxi  l'accroissement  que  subit  xi  et  /z"T  +  AjKj  l'accroisse- 
ment que  subit yt  quand  t  passe  de  la  valeur  o  à  la  valeur  T. 

Voici  comment  on  formera  l'équation  qui  donne  les  exposants 
caractéristiques.  On  construira  un  déterminant  dont  les  éléments 
seront  donnés  par  le  Tableau  suivant.  Dans  ce  Tableau,  la  pre- 


•101  CHAPITRE     IV. 

mière  colonne  indique  le  numéro  de  la  ligne,  la  seconde  indique  le 
numéro  de  la  colonne,  et  la  troisième  fait  connaître  l'élément  cor- 
respondant du  déterminant. 

N°  de  la  ligne.  N°  de  la  colonne.  Expression  de  l'élément. 

(i<n)  k  {h<n,k<i) 


(2) 


(i^n)  k  =  i 

ii     (i>o)  k  (k^n) 

(i^n)  k  -+-  n  (k  >  o) 

n     (  i  >  o  )  k  -+-  n  (k  >  o,  k  $  i) 


cl  \xt 

d\xk 
diZi 

cl  AjK/r 
~dJT 

clwi 


i-\-n    0'>o)  A-  +  ;i  =  t  +  «  7       —  S  (l). 

drui 

En  égalant  à  o  le  déterminant  ainsi  formé,  on  a  une  équation 
en  S  dont  les  racines  sont 


a  étant  un  des  exposants  caractéristiques. 

Les  Lxt  et  les  Ajv  sont  développables  suivant  les  puissances 
de  p.,  des  (3/  et  des  us; —  m®.  Il  en  est  de  même  des  quantités 

dLxk       dLxk       d\y/c       dkyu 
dfii   '       clwt  dfit  dusi 

On  doit  y  remplacer  les  [j;  et  les  ra;  par  les  valeurs  qui  corres- 
pondent à  la  solution  périodique  et  qui  sont  développables  suivant 
les  puissances  de  pt,  de  sorte  qu'après  cette  substitution  les  quan- 
tités (3)  seront  développées  selon  les  puissances  de  p.. 
Comme,  d'autre  part,  on  a 

S  =  e«T_iJ 
on  voit  que  notre   déterminant  est  une  fonction  entière  de  a, 

(')  C'est  ainsi,  par  exemple,  que  le  premier  élément  de  la  k'im°  colonne  sera  égal 

•  d  Axk  ..       ,   ,       ... 

a  — j~  pourvu  que  i  S  n,  k  S  n,  k  >  i. 

"Pi 


EXPOSANTS    CARACTERISTIQUES.  *2.00 

développable  d'autre  part  suivant  les  puissances  de  p.  J'appellerai 
cette  fonction  G(a,  p)  et  j'aurai  pour  déterminer  a  en  fonction 
de  p  l'équation 

(4)  G(a>  (A)  =  °- 

Cela  posé,  faisons 

a  =  s  y[x.. 

Divisons  les  n  premières  lignes  du  déterminant,  ainsi  que  les  n 
dernières  colonnes  par  y'p.  Les  éléments  du  déterminant  devien- 
dront, en  les  écrivant  dans  le  même  ordre  que  dans  le  Tableau  (2), 

d\x/t-  d\x£  S         dLxk       dtyk        dLyk  dt^yt  S 

—  '       1 — '       — 7Q — '       ~1= '       — F= — F^  ' 


et  l'équation  (4)  devient 

[A-»G(evfo  !->•)  =  Gi (s, /[-<•)  =  o. 

Cherchons  ce  que  devient  cette  équation  pour  p  =  o  ou,  en  d'autres 

termes,  formons  le  déterminant  G|(î,  o). 

Pour  p.  =  o,  Lxk  est  nul,  et  Aj^  ne  dépend  que  des  (3/.  Donc 

dbx/c    dh.X]c    t  d\v/c  ,...,,  ^         i 

— jjr—,  — —  et  — p—  sont  divisibles  par  u..  Un  a  donc 
dpi        dwi  dvsi  l        l 

..       dLxh         ,.       6?Avyt 

lim  — ■  =  lim  —  =  o         pour  \x  =  o. 


S                eTe^_, 
lim— —  =  lim — —  =  s  1 . 


D'autre  part 

lim 

s/\i  \/\x 

Il  vient  ensuite  (pour  p.  =  o) 


Aj,  =  -   f 


dF0  dF0 

— —  dt  =  —  1  -= — 


Dans  -^— -,  xi  doit  être  remplacé  par  x\  +  ô*.  On  a  donc 
dtyk  =_T    ^2F0    . 


d$i  dxtdx// 


204  CHAPITRE     IV. 

Dans  -j — -T^-on  doit  après  la  différen dation  faire   (j,-=o,   c'est- 

Ct  OC ï  (XX  iç 

à-dire  Xi  =  x®. 

Nous  avons  (toujours  pour  u  =  o) 


qui  montre  d'abord  que 


/7F 
Dans  -j-î  on  doit  remplacer  ^-  par  .r"  +  (3;,  et  y/  par  /ï,-;  +  nyt-,  ce 


Gomme  nous  nous  proposons  de  différentier  b.Xu  par  rapport 
aux  m;,  mais  non  par  rapport  aux  (3;,  nous  pouvons  tout  de  suite 
donner  aux  [34-  leurs  valeurs  définitives  et  faire 

Pj-  =  o,         d'où         re  =   raP. 

Alors  F,  devient  une  fonction  périodique  de  période  T  par  rapport 
à  t  et  de  période  in  par  rapport  aux  73/.  Soit 

[F1]=R 

la  valeur  moyenne  de  F<  considérée  comme  fonction  périodique 
de  t;  il  vient 


d'où 


■A37&  _       c?R 


dLxk  d2  R 


(jl  cfcy;  dusidwk 


Ainsi  les  éléments  du  déterminant  Gt  (s,  o)  seront,  en  les  écrivant 
dans  le  même  ordre  que  dans  le  Tableau  (2), 

cT      T     ^^  T    ^2 ^°  -T 

efe;  dTnk  dxi  dx/c 

Nous  avons  ainsi  une  équation  algébrique  en  s;  en  général,  cette 
équation  aura  deux  racines  nulles  et  toutes  les  autres  seront  dis- 
tinctes et  différentes  de  o.  En  appliquant  le  théorème  du  n°  30, 


EXPOSANTS    CARACTÉRISTIQUES.  205 

nous  verrons  que  l'on  peut  tirer  de  l'équation 

s  (et  par  conséquent  a)  en  série  ordonnée  suivant  les  puissances 
de  y/tu.. 

Nous  sommes  donc  amenés  à  discuter  l'équation 

Gi(e,  o)  =  o. 

Si  nous  changeons  e  en  —  s,  cette  équation  ne  change  pas. 

En  effet,  si  nous  multiplions  les  n  premières  lignes  par  —  i , 
ainsi  que  les  n  dernières  colonnes,  le  déterminant  ne  changera 
pas,  et  tous  les  éléments  du  déterminant  ne  changeront  pas  non 
plus,  à  l'exception  des  éléments  de  la  diagonale  principale  qui 
étaient  égaux  à  — -  sT  et  qui  deviendraient  égaux  à  -h  eT. 

Je  dis  que  l'équation  a  deux  racines  nulles.  Si  en  effet  nous 
faisons  s  =  o,  le  déterminant  devient  égal  au  produit  de  deux 
autres,  à  savoir  : 

i°  Le  hessien  de  —  TF0  par  rapport  aux  X[\ 

i°  Le  hessien  de  TR  par  rapport  aux  ttt/. 

Ce  dernier  hessien  est  nul;  car  on  a,  d'après  la  définition  de  R, 

„      d2R  n      d*R  „      d2R 

n% 


djSidwi  dmidm.y  '-  dmidmH 

Donc  l'équation  est  satisfaite  pour  s=o  et,  comme  ses  racines 
sont  deux  à  deux  égales  et  de  signe  contraire,  elle  doit  avoir  deux 
racines  nulles. 

Pour  qu'il  y  ait  plus  de  deux  racines  nulles,  il  faudrait  que  le 
coefficient  de  e2  dans  Gt  fût  nul.  Or  ce  coefficient  peut  se  calculer 
comme  il  suit  : 

Multiplions  la  première  ligne  de  Gt  par  n®  et  ajoutons-y  la 
seconde  multipliée  par  /z°,  la  troisième  par  n\ ,  .  .  . ,  la  niL'me  par  n®r 
Tous  les  éléments  de  Gj  demeurent  inaltérés,  à  l'exception  de  ceux 
de  la  première  ligne,  qui  deviennent 

-ftJeT,     -w°sT,     -n«sT,     ....,     -<sT,     o,     o,     ...,     o. 

Multiplions  maintenant  la  (n  -+-  i)ieme  colonne  par  n\  et  ajoutons-y 
la(/i  H-  2)iLDie  multipliée  par  n°2,  la  (n  +  3)i6mepar  rc",  ...  ,1a  2/iième 


•2o6  CHAPITRE     IV. 

par  /i^.Tous  les  éléments  restent  inaltérés  sauf  ceux  de  la  (/?  +  i)lL'n 
colonne,  qui  deviennent 


o,    o,     ...,     o,     —  n°sT, 


«.HT, 


nSeT. 


Le  déterminant  G|,  par  cette  double  opération,  a  été  multiplié 
par  (/î°)2-  Divisons-le  maintenant  par  s2,  en  divisant  par  s  la  pre- 
mière ligne  d'une  part  et  la  (n  +  i)ième  colonne  d'autre  part. 

Faisons  ensuite  e  =  oet  nous  aurons  le  coefficient  cherché. 

Le  déterminant  ainsi  obtenu  a  ses  éléments  conformes  au  Tableau 
suivant  : 


Numéro 

Numéro 

Valeur 

de  la  colonne. 

de  la  ligne. 

de  l'élément. 

i    (i  <  n) 

I 

-n?T 

n  -4-  i 

*     (k<n) 

0 

i  -+-  n     (  i  >  i  ) 

k 

(Â>i,  k<n) 

T     ^2R 

i    (i  <  n) 

k 

(7e>i,  k<n) 

o 

i  -h  n     (  i  >  i  ) 

i 

o 

i    (  i  <  n  ) 

k 

-4-ra     (A->o) 

T     ^2F0 
dxi  dx 

n  -f-  i 

k 

4-  rc     (  A"  >  o  ) 

-njT 

i  -+-  n     (  i  >  i  ) 

k 

-hra     (£>o) 

0 

On  voit  que  ce  déterminant  est  égal  au  signe  près  à 

T^HjH,. 
H,  et  Ho  étant  les  deux  déterminants  suivants 


Ht 


dx] 

d^Fp 

dxi  dx* 

d1  F0 

CtX  \  CiX n 


n\ 

d*¥0 

dxx  dx<i 

dxi 


d*F0 

cioc i  clsc  it 

d-¥0 


dx-2  dxa 

d*F0 


—     n-i 


dxi 


et  Ho  étant  le  hessien  de  R  par  rapport  à 


Si  j'observe  que  n®  est  égal,  au  signe  près,  à  -f^j  je  vois  que  l'on 


EXPOSANTS    CARACTÉRISTIQUES.  10J 

ne  change  pas  H,  en  remplaçant  dans  la  première  ligne  et  la  der- 
nière colonne  ni  par  -j^->  Le  déterminant  ainsi  formé  s'appellera 

le  hessien  bordé  de  F0  par  rapport  à  xK ,  x2,  ■  .  - ,  xn. 

Ainsi  l'équation  G,  (s,  o)  =  o  ne  peut  avoir  plus  de  deux  racines 
nulles  et,  par  conséquent,  il  ne  peut  y  avoir  plus  de  deux  expo- 
sants caractéristiques  nuls  que  si  H,  ou  H2  s'annulent. 

Dans  le  cas  particulier  du  problème  des  trois  Corps  que  nous 
avons  traité  au  n°  9,  il  n'y  a  que  2  degrés  de  liberté  et  l'on  a 


Fn  = 


Il  vient 

alors 

dF, 
dxi 

dF0 

dx2 

0 

H,= 

d*F0 
dx'l 

d>F0 

dF» 
dxi 

d*F0 
dx,  dx=, 

d'-F0 
dx?, 

dF0 
dx=,_ 

—  xtà 

1 

0 

3x~^ 

0 

— ■  X 

0 

0 

1 

—  3  x', 


tf*R 


donc  Hi  n'est  pas  nul;  d'autre  part,  on  vérifie  que  H2  =  ~jj— -"  n'est 
pas  nul  non  plus. 

Donc,  dans  ce  cas  particulier  du  problème  des  trois  Corps,  il  y 
a  deux  exposants  caractéristiques  nuls  et  les  deux  autres  sont  dif- 
férents de  o. 


75.  Le  déterminant  GH  peut  être  un  peu  simplifié  par  un  choix 
convenable  des  variables.  Je  dis  qu'on  peut  toujours  supposer 


(0 


71 2  =  71°  =...=  ?l?,  = 


En  effet,  si  cela  n'était  pas,  on  changerait  de  variables  en  prenant 
pour  variables  nouvelles  x\  et  y\  et  en  faisant 


ln,iyni 


les  iy.^k  étant  des  coefficients  constants.  Après  ce  changement 
linéaire  de  variables,  les  équations  conserveront  la  forme  cano- 
nique. 

Après  ce  changement  de  variables,  les  quantités  qui  correspon- 


208  CHAPITRE    IV. 

dront  àn',«",  .  .  . ,  «",  et  que  nous  appellerons  ?i\°,  ?ï.?,  .  .  . ,  rc'n°, 
seront  données  par  les  relations 


car 


«!,£-«? -+-  a2)j7i!{-i-.  .  .-H  a*,/^, 


f/F0  n  rfF0  «?F0       V    dF0  dxk       v<  rfFo 


'    "  c/^7j-  ofo?^  ûfo?£       ^<4/v-  ote*   dx'i       Àaà  dx/c 

Comme  les  nombres  n",  n\,  .  .  .,  n\  sont  commensurables  entre 
eux,  nous  pourrons  toujours  choisir  les  a^  de  telle  façon  : 

i°  Que  les  a^  soient  entiers; 

2°  Que  leur  déterminant  soit  égal  à  i.  Ces  deux  conditions 
sont  nécessaires  pour  que  F  reste  périodique  par  rapport  aux  y' 
comme  ill'é tait  par  rapport  aux y\ 

3°  Que 


Ainsi  nous  pouvons  toujours  supposer  que  les  conditions  (i) 
sont  remplies  et  nous  en  déduisons  les  équations  suivantes 

(2)  -, j—  =o     (i  =  i,  2,  ...,  n). 

76.  Un  cas  particulier  intéressant  est  celui  où  une  ou  plusieurs 
des  variables  Xi  n'entrent  pas  dans  F0.  Supposons,  par  exemple, 
que  F0  ne  dépende  pas  de  xn.  Alors  tous  les  éléments  de  la  nieme 
colonne  (et  ceux  de  la  2rt.ième  ligne)  sont  tous  nuls,  sauf  celui 
d'entre  eux  qui  appartient  à  la  diagonale  principale  et  qui  reste 
égal  à  eT. 

Je  supposerai  de  plus  que  les  variables  aient  été  choisies  de  telle 
sorte  que  les  conditions  (i)  et  (2)  du  numéro  précédent  soient 
remplies.  Il  en  résulte  que  les  éléments  de  la  première  ligne  [et 
ceux  de  la  (/z -}- i)Iume  colonne]  sont  tous  nuls,  à  l'exception  de 
celui  d'entre  eux  qui  appartient  à  la  diagonale  principale  et  qui 
reste  égal  à  —  eT. 

Ainsi  tous  les  éléments  des  lignes  1  et  in  et  tous  ceux  des 
colonnes  n  et  n  -\-  1  sont  divisibles  par  s  (j'ajouterai  que  tout  élé- 
ment qui  appartient  à  la  fois  à  une  de  ces  deux  lignes  et  à  une  de 
ces  deux  colonnes  est  nul  et,  par  conséquent,  divisible  par  e2); 


EXPOSANTS    CARACTÉRTSTIQUES.  209 

il  en  résulte  que  le  déterminant  est  divisible  par  s4  et,  par  consé- 
quent, que  l'équation  G,  =  oa  quatre  racines  nulles. 

Dans  quel  cas  peut-elle  en  avoir  plus  de  quatre? 

Pour  nous  en  rendre  compte,  divisons  les  lignes  i  el  2/1  et  les 
colonnes  n  et  n  -f- 1  par  s,  et  faisons  ensuite  s  =  o.  Dans  quel  cas 
le  déterminant  ainsi  obtenu  et  qui  sera  égal  à 

lim—  pour     s  =  o 

sera-t-il  nul? 

Nous  pouvons  également  diviser  le  déterminant  GH  par  e4 T4, 
en  supprimant  les  lignes  1,  n,  n  -f- 1  et  in  et  les  colonnes  de 
même  numéro.  Si  l'on  fait  ensuite  e  =  o,  on  voit  que  tous  les  élé- 
ments sont  nuls,  sauf  ceux  qui  appartiennent  à  l'une  des  n  —  2 
dernières  colonnes  subsistantes,  et  à  l'une  des  n — ■  2  premières 
lignes,  ou  inversement  à  l'une  des  n  —  2  premières  colonnes  et  à 
une  des  n  —  2  dernières  lignes. 

Ainsi  le  déterminant  est  égal,  à  une  puissance  de  T  près,  au 
produit  de  deux  hessiens,  à  savoir  : 

i°  Le  hessien  de  F0  par  rapport  à  x2-,  #3,   •  •  ■ ,  x n-\  ', 

2°  Et  le  hessien  de  R  par  rapport  à  gt2,  eî3,  ....  rsn_\. 

Si  aucun  de  ces  deux  hessiens  n'est  nul,  l'équation  G|  =  o 
n'aura  pas  plus  de  quatre  racines  nulles  et  il  n'y  aura  certainement 
pas  plus  de  quatre  exposants  caractéristiques  qui  soient  nuls. 

Que  devient  cette  condition  quand  on  suppose  que  les  variables 
sont  quelconques  et  que  les  conditions  (1)  et  (2)  du  numéro  pré- 
cédent ne  sont  pas  remplies? 

Dans  ce  cas,  on  fera  subir  au  déterminant  la  même  transforma- 
tion qu'à  la  fin  du  n°  74;  on  verra  alors,  comme  à  la  fin  de  ce 
numéro,  qu'après  cette  transformation,  les  éléments  delà  première 
ligne  deviennent  égaux  à 

—  n?eT,  —  ngeT,  ...,  —  ft&eT,  0,  o,  ...,  o 
et  ceux  de  la  (n  -h  i)iùme  colonne  à 

o,  o,  ...,  o,  —  n'eT,  —  n?2zT,  ...,  —  <sT. 
Seulement  il  importe  d'observer  ici  que  n°n  est  nul,  puisque 

dxa 

H.  P.  —  I.  i4 


2IO  CHAPITRE    IV. 

Nous  pourrons  diviser  ce  déterminant  par  £/,rP,  en  supprimant 
les  lignes  n  et  in  et  les  colonnes  de  même  numéro,  et  en  divisant 
par  eT  les  éléments  de  la  première  ligne  et  de  la  (n  +  i)Ume  colonne. 

Si  on  fait  ensuite  s  =  o,  on  voit  que  le  déterminant  se  réduit 
au  produit  de  deux  autres,  à  savoir  : 

i°  Le  hessien  bordé  de  F0  par  rapport  à  xu  x2,  . . . ,  ocn-\~ 

2°  Le  hessien  de  R  par  rapport  à  w2,  rn3,  .  .  . ,  ro«_1 . 

Pour  qu'il  y  ait  plus  de  quatre  exposants  caractéristiques  nuls, 
il  faut  (mais  il  ne  suffit  pas)  que  l'un  de  ces  deux  hessiens 
soit  nul. 

Supposons  maintenant  que  F0  non  seulement  ne  contienne 
pas  xn,  mais  encore  ne  contienne  pas  non  plus  xn_n,  en  raison- 
nant de  la  même  manière,  on  arriverait  au  résultat  suivant  : 

L'équation  G,  (s,  o)  a  toujours  six  racines  nulles;  pour  qu'elle 
en  ait  davantage,  il  faut  et  il  suffit  que  le  hessien  bordé  de  F0  par 
rapport  à  xh ,  x2-,  •  •  • ,  xn_2  soit  nul,  ou  bien  que  le  hessien  de  R 
par  rapport  à  tu,,  to.,,  . .  .,  ro„_2  soit  nul.  Celte  condition  est  donc 
nécessaire  (mais  non  suffisante)  pour  qu'il  y  ait  plus  de  six  expo- 
sants caractéristiques  nuls. 

77.  Reprenons  les  hypothèses  faites  au  début  du  n°  76,  à  savoir 
que  F0  ne  dépend  pas  de  xn  et  que  les  conditions  (i)  et  (2)  du 
n°  75  sont  remplies. 

Nous  avons  vu  que  l'équation 

Gi(e,  o)  =  o 

admet  alors  quatre  racines  nulles  et  quatre  seulement,  et  nous  en 
avons  conclu  qu'il  ne  peut  pas  y  avoir  plus  de  quatre  exposants 
nuls.  Il  n'est  pas,  au  contraire,  permis  d'en  conclure  qu'il  y  a  quatre 
exposants  nuls;  cela  prouve  seulement  que,  quand  on  développe 
ces  exposants  suivant  les  puissances  de  sj^.,  le  premier  terme  du 
développement  est  nul  pour  quatre  d'entre  eux. 

Il  nous  reste  à  voir  si  les  termes  suivants  du  développement  sont 
nuls  également. 

Je  sais  que  deux  exposants  sont  nuls  puisque  le  temps  n'entre 
pas  explicitement  dans  les  équations  différentielles  et  que 
F  =  const.  est  une  intégrale.  Je   me   propose    de   rechercher  ce 


EXPOSANTS    CARACTÉRISTIQUES.  211 

qu'il  advient  des  deux  autres  et,  pour  cela,  je  vais  calculer  dans 
leur  développement  le  coefficient  de  pu 
Je  vais  poser 

Cf.  =  7,1-1.,  d'0Ù  £  =   (]  /[Jl, 

je  diviserai  l'équation 

G(oc,  [j.)=  G(ï)[a,  fx)  =  o 

par  une  puissance  convenable  de  \k  et  je  ferai  ensuite  u.  =  o,  et 
j'aurai  une  équation  qui  me  donnera  les  valeurs  de  t\. 

De  ce  que  F0  ne  dépend  pas  de  xn)  nous  pouvons  conclure  que 
les  quantités   que  nous  avons  appelées  nt  et  qui  sont  égales  à 

r-9  ne  dépendent  pas  nou  plus  de  xn  ni  par  conséquent  de  j3„. 

On  aura  donc  nt=  n?,  non  seulement  comme  au  n°  74,  quand 
tous  les  [3  seront  nuls,  mais  alors  même  que  $n  ne  serait  pas  nul, 
pourvu  que  les  autres  (3  le  soient. 

Si  donc  nous  supposons 

nous  aurons  encore 

Gela  nous  permet  de  différentier  cette  identité  par  rapport  à  ftn  et 

d'écrire 

d^x^  _         d2B. 


\t.d$ri  drskd^n 

Calculons  maintenant 


Il  vient 


dtyn     et     rfAyB 


Ly'1  =  ~      dx~dt 


dF0 
ou,  puisque  —, —  =  o,  on  aura  pour  p.  =  o, 

Cl  OC n 


V-  J0     dxn  dpn 


212  CHAPITRE     IV. 

Cette  identité  a  lieu  pourvu  que 

Nous  pouvons  donc  la  différentier  par  rapport  à  gja  ou  à  [3rt,  ce  qui 
donne 

r/Aj/t  _  _  T      fl?2R     ^  <r/AjKra  _  _  T  d*R ^ 

\xdw/c  cl^ndw/i  {J-dfin  d$ft 

En  ce  qui  concerne  les  quantités 

d$k  '       rfP«  ' 

il  nous  suffira  d'observer  qu'elles  sont  divisibles  par  ]x. 

Nous  avons  encore  à  examiner  les  éléments  de  la  première  ligne 
de  notre  déterminant  et  ceux  de  la  (ji  +  i)ieme  colonne. 

Les  éléments  de  la  première  ligne  sont  égaux  à 

dt±X\  T     dbx\      d\xi  dà.Xi      dS-x^      d\xi  dSxx 


dfiy  d$2        d$3  d$n-i       d$n        dm!  dxsn 

Ils  sont  tous  divisibles  par  [/.,  mais  je  dis  que  les  h  -h  i  derniers 

éléments,  c'est-à-dire 

d\xt  d\Xi 

d$n  dm/L- 

sont  divisibles  par  [j.2.  En  effet,  nous  avons  trouvé  pour  [x  =  o 

dLxi  d2R  dAx!  d'-R 

A     — ^r—  5  ; 1 


[j.  d$n  dw\  d$n  (jl  drsk  dw\  dus  h 

Or,  en  vertu  de  la  définition  de  R,  on  a 

„  dR  n  dR  „   dR 


n\  -. 1-  ni  -7 \- ...  -+-  nyt  -7 —  =  o, 


ou,  à  cause  des  relations  (i)  du  n°  75, 

dR  _ 

dmi 

d'où  (en  différentiant  cette  identité) 

di^xi  __  d&Xi   _ 
|j.  dp  „        \x  dm/; 

pOUr  UL=  0.  C   Q.   F.   D. 


EXPOSANTS    CARACTERISTIQUES.  2 

Les  éléments  de  la  (/i+  i)iùme  colonne  s'écrivent 
d\xi       dLx=i  d\xn       d\yl  dt^y^  dhy$ 


tfei  dmi  dwi  dmi  dvsL  efej 

Tous  ces  éléments  sont  divisibles  par  p.;  mais  je  dis  que  les  n 
premiers  et  le  dernier  sont  divisibles  par  pi.2,  ou,  ce  qui  revient  au 
même,  que 

dLxk        dS.yn 


En  effet,  nous  avons  trouvé 


poui 


dLxk  c/2R  d\yn  d'-R 

—   1   — ; ; 5  ; —   =  —   1 


(j.  dxsi  c/uji  dm  h  [x  dmi  dm\  d$,t 

et 

di\  _ 

dmi 

d'où,  par  différen  dation, 

#R  d'-R 


dwidTxSfc       dm ^d fin 


C.  Q.   F.  D. 


Gela  posé,  dans  notre  déterminant  G(yj,  [a,  p.),  je  divise  chaque 
élément  par  T  ;  je  divise  ensuite  : 

La  iie  ligne  par  p.,  les  lignes  2,  3,  4>  . ... ,  /i,  a«  par  v/p. 

La  (/i  -f-  j^ième  co]onne  par  m    }es  colonnes  n,  n  +  a,  n  -+-  3,  .  .  . , 

2  ft  par  y/ pi. 

Le  déterminant  est  finalement  divisé  par  T2wu."+2. 

Je  fais  ensuite  u  =  0. 

J'observe  que  les  éléments  suivants  sont  nuls  : 

Puissance  de  \x  Puissance  de  (J, 

Colonne                             par  laquelle  parlaquelle 

Ligne  à  laquelle                               à  laquelle                              l'élément  l'élément 

appartient  l'élément.                    appartient  l'élément.                était  divisible.  a  été  divisé. 

il  à  n  incl.  et  in  1  à  n  —  1  incl.  p.  y/ p. 

1  11  et  n  -f-a  à  m  incl.  p.2  M- Vf* 

2  à  n  incl.  et  2  ?i  n  +  i  p.2  p.  y/p- 

«  +  ià2ffl — 1  incl.  «  et  n  +  2  à  2ft  incl.  p.  y/pi 


214  CHAPITRE    IV 

et  que  les  éléments  suivants  sont  finis  : 

»  +  iàîn — i  incl.  i  à  ai — i  incl.  puissance  o  puissance  o 

i  i  an —  i  incl.  |jl  \i. 

4  bis)  {     2  à  n  incl.  et  in  n  et  n-4-2  à  in  incl.  \j.  \x 

1  n  -+- 1  [x2  H2 

72  +  1  à  m — 1  incl.  n  -+- 1  [Jt.  [x 

Les  seuls  éléments  qui  sont  finis  appartiennent  donc  aux  lignes 
1  et  n .  +  1  à  2/i  —  1  incl.  et  aux  colonnes  1  à  n  —  1  incl.  et  n  -+- 1 
ou  bien  aux  lignes  1  à  n  incl.  et  in  et  aux  colonnes  n  et  n  -4-  2  à 
2/2  incl. 

Notre  déterminant  devient  donc  égal  au  produit  de  deux  autres 
que  j'appellerai  Dj  et  D2. 

Le  déterminant  Di  s'obtiendra  en  supprimant  les  lignes 

I,       71  +  1,       « -H  2,        ...,       2  71 —  I, 

et  les  colonnes 

I,       1,       3,        .  .  .,       71  —  1,       71-4-  ï. 

Le  déterminant  D2  s'obtiendra  en  supprimant  les  lignes 

2,      3,      4>      •  •  •  >      n7      271, 

et  les  colonnes 

7?,        71  +  2,        71  +  3,         .  .  .,        2  71. 

Voyons  comment  ces  déterminants  dépendront  de  7).  Pour  cela 

je  remarquerai  que 

,.       S 
7]  =  lim  — =         (pour  1-1  =  0) 
jj.  1 

n'entre  que  dans  les  termes  de  la  diagonale  principale;  or  le  déter- 
minant Dt  contient  deux  de  ces  termes,  l'un  appartenant  à  la 
colonne  et  à  la  ligne  n,  l'autre  à  la  colonne  et  à  la  ligne  in. 

Le  déterminant  Do  contient  aussi  deux  de  ces  termes,  l'un  appar- 
tenant à  la  colonne  et  à  la  ligne  1,  l'autre  à  la  colonne  et  à  la 
ligne  n  -+-  1 . 

Il  en  résulte  que  D{  et  D2  sont  des  polynômes  du  deuxième 
degré  en  r\.  Ainsi  notre  équation  en  -/)  se  décompose  en  deux 
équations  du  deuxième  degré, 

Dj  =  o,         D2  =  o. 


EXPOSANTS    CARACTÉRISTIQUES.  2l5 

Examinons  d'abord  l'équation  D,  =  o. 

Pour  former  le  déterminant  D,,  on  peut  appliquer  la  règle  sui- 
vante : 

Écrire  le  hessien  de  R  par  rapport  à 

changer  les  signes  de  la  dernière  ligne,   celle   qui  contient  les 
dérivées  de  -^-;  ajouter  ensuite  —  -r\  aux  deux  éléments  qui  sont 


c?*R 


et  a 


On  obtient  la  même  équation  plus  simplement  (le  premier 
membre  étant  seulement  changé  de  signe)  en  prenant  le  hessien 
de  R,  et  ajoutant  — ■/]  à  l'un  des  deux  éléments  qui  sont  égaux  à 

djs  ' ' do    et  +  7)  à  l'autre.  Ecrivons  l'équation  D,  =  o  en  supposant 

n  =  4  pour  fixer  les  idées  : 


d*R  ^R 

dml         dm 2  dm 3 
d*R  d*R 


cfe2  dm^        dm  | 

d*R  d2R 


dm%d^rt      dm^dm^ 
#R  d*R 


d'-R 

dm-2  dm^ 
d*R 

^2R 

<itsf 
d2R 


dm%dm3     dm^d^      dm^dfa 


d*R 

dm-i  d$k 

d'-R 
dm%  dp;, 
d*R 
dm^  dfi^ 
d>R 


Sous  cette  forme  on  voit  immédiatement  ce  que  d'ailleurs  on 
pouvait  prévoir  :  que  cette  équation  en  i\  a  ses  deux  racines  égales 


et  de  signe  contraire. 


Ces  deux  racines  seront  finies  si  le  hessien  de  R  par  rapport  à 

m%,       TO3,       TO4,         •••)       ^«  —  1 

n'est  pas  nul. 

Elles  seront  différentes  de  o,  si  le  hessien  de  R  par  rapport  à 

TO2j       7^3,       TTJi,        ...,        Wa—i,       mn,        pra 

n'est  pas  nul. 

Quant  à  l'équation  D2=  o,  elle  aura  ses  deux  racines  nulles. 
En  effet,  nous  savons  qu'il  y  a  toujours  deux  exposants  caractéris- 
tiques nuls  et,   par  conséquent,  que  deux  des  valeurs  de  y\  sont 


21 G  CHAPITRE     IV. 

nulles;  or  nous  venons  de  voir  que  les  racines  de  D,  =  o  ne  sont 
pas  nulles  en  général  :  il  faut  donc  admettre  que  ce  sont  les  racine* 
de  Do  =  o  qui  sont  toujours  nulles. 

Gomment  ces  résultats  seraient-ils  modifiés  si  la  condition  (i) 
du  n"  75  n'était  pas  remplie  d'elle-même? 

Dans  ce  cas  on  multiplierait  (comme  nous  l'avons  fait  au  n°  7-4) 
la  première  ligne  par  ;i",  et  on  y  ajouterait  les  2e,  3e,  .  .  . ,  nlcme  li- 
gnes, multipliées  respectivement  par  /i°,  /zjj,  .  .  .,  /?,°  (je  rappelle 
d'ailleurs  que  n„  est  nul);  on  multiplierait  ensuite  la  (/?  +  i)1L'me  co- 
lonne par  n\,  et  on  y  ajouterait  les  n  -\-  2e,  n  4-  3e,  .  .  . ,  i  nil;me  co- 
lonnes, multipliées  respectivement  par  /ijj,  n°3,  ...,  n®r  Après 
cette  transformation,  tous  les  éléments  du  détei^minant  G(7i|A,  p.) 
demeureraient  les  mêmes,  sauf  ceux  de  la  première  ligne  et  de 
la  (n  +  i)lcme  colonne. 

D'ailleurs,  chaque  élément  [aussi  bien  ceux  de  la  première  ligne 
et  de  la  (/i  -f-  i)lcme  colonne  que  les  autres]  est  divisible  par  la  puis- 
sance de  {a  indiquée  dans  la  3e  colonne  des  tableaux  (4)  et  (4  bis). 
Nous  diviserons  ensuite  chaque  élément  par  T  et  par  la  puissance 
de  pi  indiquée  dans  la  4e  colonne  des  mêmes  tableaux. 

Quand  nous  ferons  ensuite  jj.  =  o,  un  certain  nombre  d'éléments 
seront  nuls  et  d'autres  resteront  finis,  et  cela  conformément  aux 
tableaux  (4)  et  (4  bis),  Notre  déterminant  se  trouvera  encore  égal 
au  produit  de  deux  autres  D,  et  D2,  qui  s'obtiendront  comme  plus 
haut. 

Tous  les  éléments  de  ces  deux  déterminants  auront  même 
expression  que  dans  le  cas  précédent,  sauf  ceux  de  la  première  ligne 
et  de  la  (n  -\-  i)lème  colonne.  Or  D4  ne  contient  aucun  élément  de 
cette  ligne  et  de  cette  colonne. 

Donc  D<  a  la  même  expression  que  dans  le  cas  précédent  et  les 
mêmes  conclusions  subsistent. 

Les  valeurs  de  7)  sont  finies  si  le  hessien  de  R  par  rapport  à  m.2, 
w3,  ..  .,  mn_t  n'est  pas  nul,  et  elles  sont  différentes  de  o,  si  le 
hessien  de  R  par  rapport  à  ttj2,  7tt3,  .  .  . ,  to„,  fin  n'est  pas  nul. 

En  résumé,  si  F0  ne  dépend  pas  de  xn,  si  Je  hessien  bordé  de  F0 
par  rapport  à  xK ,  x2,  .  .  . ,  xn_{  n'est  pas  nul,  si  les  hessiens  de  R 
par  rapport  à  gj2,  gt3,  .  .  .,  tb„_u  et  par  rapport  à  to2,  ts3,  .  .  ., 
7n«_t,  w„,  |3„  ne  sont  pas  nuls,  il  n'y  aura  que  deux  exposants 
caractéristiques  nuls. 


EXPOSANTS    CARACTÉRISTIQUES.  >.I7 

Passons  au  cas  où  F0  ne  dépend  ni  de  xn_x  ni  de  xa. 
On  verrait  en  raisonnant  de  la  même  manière  que  : 
Si  le  hessien  bordé  de  F0  par  rapport  à  xK,  x2-,  •  -  • , * xn_-2  n'est 
pas  nul,  si  les  hessiens  de  R  par  rapport  à  m2,  ct3,  .  .  , ,  wft_2  et  par 
rapport  à  ra2,  m3,  .  .  . ,  ra/2_o,  ra«_i,  crw,  fin-\  et  [3rt  ne  sont  pas  nuls, 
il  n'y  aura  que  deux  exposants  nuls. 


Application  au  problème  des  trois  Corps. 

78.  Appliquons  ce  qui  précède  au  problème  des  trois  Corps  ;  nous 
avons  vu  aux  nos  15  et  16  comment  on  peut  réduire  le  nombre  des 
degrés  de  liberté  à  3  dans  le  cas  du  problème  plan  et  à  4  dans  le 
cas  général. 

Ecrivons  donc  les  équations  du  mouvement  sous  la  forme  que 
nous  leur  avons  donnée  dans  ces  nos  15  et  16. 

Les  deux  séries  de  variables  conjuguées  sont  alors 

PL,     P'L',     H, 
/,         V,        h 


dans  le  cas  du  problème  plan,  et 

pL,    p'L',    pr,    p'r, 
i,      ï,      g,     g' 

dans  le  cas  général.  On  a  d'ailleurs 

F0  =  AL-2-+-À'L'-2, 

A  et  A'  étant  des  coefficients  constants. 

On  voit  donc  que  F0  ne  dépend  pas  de  H  dans  le  cas  du  pro- 
blème plan,  ni  de  Y  et  de  V  dans  le  cas  général. 

En  premier  lieu,  le  hessien  bordé  de  F0  par  rapport  à  [3L  et  ,8'L/ 

est  égal  à 

BL-*L'-6-+-  B'L-6L'-*, 

B  et  B'  étant  des  coefficients  constants.  Le  hessien  bordé  n'est  donc 
pas  nul. 

Les  hessiens  de  R  ne  seront  pas  non  plus  nuls  en  général,  ainsi 


2l8  CHAPITRE    IV. 

qu'on  peut  s'en  assurer  sur  des  exemples;  nous  reviendrons  d'ail- 
leurs en  détail  sur  ce  point  au  Chapitre  suivant. 

Donc  les  solutions  périodiques  du  problème  des  trois  Corps  ont 
deux  exposants  caractéristiques  nuls,  mais  elles  n'en  ont  que  deux. 


Calcul  complet  des  exposants  caractéristiques. 

79.   Reprenons  les  équations  (i)  du  n°  74  en  faisant  n  =  3  pour 
fixer  les  idées  : 

,  „  dxi        dF  dyi  dF  .  „ 

'  dt         dyt  dt  dxt         v  '     '     ' 

Supposons    qu'on   ait    trouvé   une    solution    périodique  de  ces 
équations 

et  proposons-nous  de  déterminer  les  exposants  caractéristiques  de 
cette  solution. 

Pour  cela,  nous  poserons 

xt  =  fi(t)-+-  h-,        n  =  «W(0  +  r"'> 

puis  nous  formerons  les  équations  aux  variations  des  équations  (î), 
que  nous  écrirons 

dh  v^       d'-F     ,       ^       d*F 


)dt    -        ^k  dyidXk  ^  ^      _*  dyidyk 

{    dt  Amà/-  dx;  dxje     v      Adk  dx i  dy h    ' 

et  nous  chercherons  à  intégrer  ces  équations  en  faisant 

(3)  h=e«tSi,         ra=e^Th 

Si  et  TV  étant  des  fonctions  périodiques  de  t.  Nous  savons  qu'il 
existe  en  général  six  solutions  particulières  de  cette  forme  [les 
équations  linéaires  (a)  étant  du  sixième  ordre].  Mais  il  importe 
d'observer  que,  dans  le  cas  particulier  qui  nous  occupe,  il  n'y  a 
plus  que  quatre  solutions  particulières  qui  conservent  cette  forme, 
parce  que  deux  des  exposants  caractéristiques  sont  nuls,  et  qu'il  y 


EXPOSANTS    CARACTÉRISTIQUES.  219 

a  par  conséquent  deux  solutions  particulières  d'une  forme  dégéné- 
rescente. 

Cela  posé,  supposons  d'abord  p.  =  o,  alors  F  se  réduit  à  F0  et 
ne  dépend  plus  que  de  x\,  x",  x^. 

Alors  les  équations  (2)  se  réduisent  à 

'  dt  ~  °'         dt  Zàk  dx\  dx\  U" 

Les  coefficients  de  £#  dans  la  seconde  équation  (2')  sont  des  con- 
stantes. 

Nous  prendrons  comme  solutions  des  équations  (2') 

^1  =  ^2  =  ^3  =  0,  *H=7)°,  ?î2=r,o.  ^3  =  ^0, 

rU  i  i\oi  "I3  étant  trois  constantes  d'intégration. 

Cette  solution  n'est  pas  la  plus  générale,  puisqu'elle  ne  contient 
que  trois  constantes  arbitraires,  mais  c'est  la  plus  générale  parmi 
celles  que  l'on  peut  ramener  à  la  forme  (3).  Nous  voyons  ainsi  que, 
pour  p.  =  o,  les  six  exposants  caractéristiques  sont  nuls. 

Ne  supposons  plus  maintenant  que  fj.  soit  nul.  Nous  allons 
maintenant  chercher  à  développer  a,  S;  et  T/,  non  pas  suivant  les 
puissances  croissantes  de  jx,  mais  suivant  les  puissances  de  v/p.  en 
écrivant 

a.    =  a!  s/{x  -+-  a,  \j.  -+-  a3  fjt  y/jj.  -f-  .  .  .  , 

S/  =  S  ■  -i-  S)  y/y  -+-  Sf  [i.  -f-  S?  {jlV(X  -H.  . . , 
T,  =  T?  +  T*  /[I  -+-  T?  [jl  -+-  T?  [x  /jl  -+-... . 

Je  me  propose  d'abord  d'établir  que  ce  développement  est  pos- 
sible. 

Nous  avons  vu  d'abord  au  n°  7-4  que  les  exposants  caractéristi- 
ques a  peuvent  se  développer  selon  les  puissances  croissantes  de  y/ p.. 

Démontrons  maintenant  que  S;  et  T;  peuvent  aussi  se  développer 
suivant  les  puissances  de  v/p-- 

S/  et  T\-  nous  sont  donnés  en  effet  par  les  équations  suivantes  : 

,  y    dt  jiad  dyi  dx/c  Ami  dyi  dyk 

\  ilIi  +  aT.=  _y   d2F   s  +y    ^2f 

\    f/£  ^™i  «fa?j  <a?a?£  ^ai  t/iP/  ^vt. 


220  CHAPITRE     IV. 

Soit  $i  la  valeur  initiale  de  S;  et  (3;  celles  de  Tt-;  les  valeurs  de  S; 
et  de  T,  pour  une  valeur  quelconque  de  t  pourront,  d'après  le  n°  27, 
se  développer  suivant  les  puissances  de  p.,  de  a,  des  (3,  et  des  f^-. 
De  plus,  à  cause  de  la  forme  linéaire  des  équations,  ces  valeurs 
seront  des  fonctions  linéaires  et  homogènes  des  (3f-  et  des  j^-. 

Soit,  pour  employer  des  notations  analogues  à  celles  du  n°  37, 
rpi  +  ai  la  valeur  de  S;  et  ^  +  <J^-  celle  de  T;  pour  t  =  T.  La  con- 
dition pour  que  la  solution  soit  périodique,  c'est  que  l'on  ait 

tyi  =  <$  =  o. 

Les  tyi  et  les  <j^- sont  des  fonctions  linéaires  des  (3;  et  des  [3^;  ces 
équations  sont  donc  linéaires  par  rapport  à  ces  quantités.  En 
général,  ces  équations  n'admettent  d'autre  solution  que 

de  sorte  que  les  équations  (2,;)  n'ont  d'autre  solution  périodique 

que 

Si  =  T/  =  o. 

Mais  nous  savons  que,  si  l'on  choisit  a  de  façon  à  satisfaire  à 
G  (a,  p)  =  o,  les  équations  (i")  admettent  des  solutions  pério- 
diques autres  que  S/=  Tz  =  o.  Par  conséquent,  le  déterminant  des 
équations  linéaires  <j^-=  <j^  =  o  est  nul.  Nous  pourrons  donc  tirer 
de  ces  équations  les  rapports 

h     et    & 
P'i  Pi 

sous  la  forme  de  séries  développées  suivant  les  puissances  de  a  et 
de  p. 

Comme  [3',  reste  arbitraire,  nous  conviendrons  de  prendre 
[j,  =  1  de  telle  sorte  que  la  valeur  initiale  de  T,  soit  égale  à  1. 
Les  (3j  et  les  (3^  sont  alors  développés  suivant  les  puissances  de  a 
et  de  p.;  mais  les  S/ et  les  T^sont,  comme  nous  l'avons  vu,  dévelop- 
pantes suivant  les  puissances  de  a,  de  u.,  des  {3;  et  des  [3;  et,  d'autre 
part,  a  est  développable  suivant  les  puissances  de  y/ p. 

Donc  les  S/  et  les  Tt-  seront  développantes  suivant  les  puissances 
de  y/jx.  c.  q.  f.  n. 


EXPOSANTS    CARACTERISTIQUES.  221 

On  aura  en  particulier 

T,1=T,î-+-Tî/ïÏH-T,ïfjL-4-.... 

Comme,  d'après  notre   hypothèse,    f>\  qui  est   la   valeur   initiale 
de  T,  doit  être  égale  à   i,  quel  que  soit  [x,  on  aura  pour  t  =  o 

T°  =  i,         o=  T»  =  Tf  =  ...=  Tf  =  .... 

Ayant  ainsi  démontré  l'existence  de  nos  sériesT  nous  allons  cher- 
cher à  en  déterminer  les  coefficients. 
Nous  avons 


S?  —  n  T"?  —  •/,? 

°t  —  °>  L  i   —  ru 


et 


(4) 


/  &  =  e*(s,0  +  s,Vn 


dt 


ïj*  =  e»<(  T?  h- TJV£ +  ..-), 


dS?         ,-  dSj 


dt\j 
~cît 


ext 


4- «S? 
dT? 


/i 


-  rfT/ 


Nous  développerons   d'autre  part  les  dérivées  secondes  de  F 
qui  entrent  comme  coefficients  dans  les  équations  (2)  en  écrivant 


(5) 


d*F 

dyt  dxk 
d?Y 

dyi  dyk 
d°-¥ 

dx{  "Sixte 
rf»F 

dxt  dyk 


Ces  développements  ne  contiennent  que  des  puissances  entières 
de  [j.  et  ne  possèdent  pas,  comme  les  développements  (4),  des 
termes  dépendants  de  y/ pi. 


222  CHAPITRE    IV. 

On  observera  que 

(6) 

I    r^m         /-(  ni  r>  ni         -r>  ni  .  m  x\  »t 

Nous  substituons  dans  les  équations  (2)  les  valeurs  (4)  et  (5)  à  la 
place  des  £,  des  7),  de  leurs  dérivées  et  des  dérivées  secondes  de  F. 
Dans  les  expressions  (4)  je  suppose  que  a  soit  développé  suivant 
les  puissances  de  y/fji,  sauf  lorsque  cette  quantité  a  entre  dans  un 
facteur  exponentiel  eat. 

Nous  identifierons  ensuite  en  égalant  les  puissances  semblables 
de  \fâ  et  nous  obtiendrons  ainsi  une  série  d'équations  qui  per- 
mettent de  déterminer  successivement 

r,  ri  ri  S"  S1  TO  Tl 

Je  n'écrirai  que  les  premières  de  ces  équations  obtenues  en 
égalant  successivement  les  termes  tout  connus,  les  termes  en  y/u., 
les  termes  en  lu,  ....  Je  fais  d'ailleurs  disparaître  le  facteur  eat 
qui  se  trouve  partout. 

Égalons  d'abord  les  termes  en  y/p;  il  vient 


(7) 


j  ^2.  +  aiT?  =  S* G?* Si  +  ï*D&Ti. 


Égalons  les  termes  en  p.,  il  vient 
(8) 


(       =S*(A?ASl  +  A?*Sj+BiVTÎ  +  B?AT£)        (1  =  1,2,  3), 

outre  trois  équations  analogues  donnant  les  -tt-- 

Si  l'on  tient  compte  maintenant  des  relations  (6),  les  équations  (7) 
deviennent 

■^-=0,     ^r  +  ^^^A- 

La  première  de  ces  équations  montre  que  S],  Sô  et  S3  sont  des 
constantes.  Quant  à  la  seconde,  elle  montre  que  —~  est  une  con- 


EXPOSANTS    CARACTÉRISTIQUES.  223 

stante;  mais  comme  Tj  doit  être  une  fonction  périodique,  cette 
constante  doit  être  nulle,  de  sorte  qu'on  a 

(9)  «il?  =  G?1Sî.-4-C/'sSÎ-+TG?sSi, 

ce  qui  établit  trois  relations  entre  les  trois  constantes  -i\\,  les  trois 
constantes  S'  et  la  quantité  inconnue  a,. 
De  son  côté,  l'équation  (8)  s'écrira 


dt 


+  aisj  =  SkBh-ni 


Les   B]k   sont  des  fonctions  périodiques    de    t;    développons-les 
d'après  la  formule  de  Fourier  et  soit  6;Ale  terme  tout  connu  de  B'jk. 

Il  viendra 

ai  S*  =  'SLkbik'ru 

ou,  en  tenant  compte  des  équations  (9), 


«?  s]  =  Vmcê,  si  +  cl,  s*  -+-  eu  Si). 


(10) 


En  faisant  dans  cette  équation  (10)  j'=i,  2  et  3,  nous  aurons  trois 
relations  linéaires  et  homogènes  entre  les  trois  constantes  Sj.  Eu 
éliminant  ces  trois  constantes,  nous  aurons  alors  une  équation  du 
troisième  degré  qui  déterminera  a^. 
Si  nous  posons,  pour  abréger, 

l'équation  due  à  cette  élimination  s'écrira 


('i) 


en—  «r 


«31 


612  «13 

«22  a\  «23 

«32  «33  —  af 


Elle  peut  encore  s'écrire 


-  7_! 

0 

O 

C?i 

c». 

C?3 

O 

—  «1 

O 

Gli 

C«2 

CL 

O 

0 

—    «1 

U31 

po 

G0 
^33 

6ll 

ou 

&13 

—  «1 

O 

0 

bu 

&22 

623 

O 

—  ai 

0 

b3l 

&32 

633 

O 

0 

—  a 

'224  C  II  A  P  I  T  K  E     IV. 

La  détermination  de  a,  est  la  seule  partie  du  calcul  qui  présente 
quelque  difficulté. 

Les  équations  analogues  à  (7)  et  à  (8),  formées  en  égalant  dans 

les  équations  (2)  les  coefficients  des  puissances  semblables  de  y/jx, 
permettent  ensuite  de  déterminer  sans  peine  les  a/si  les  S"1  et 
les  T'".  Nous  pouvons  donc  énoncer  le  résultat  suivant  : 

Les  exposants  caractéristiques  a  sont  développables  suivant 
les  puissances  croissantes  de\J^-- 

Concentrant  donc  toute  notre  attention  sur  la  détermination 
de  a,,  nous  allons  étudier  spécialement  l'équation  (11).  Nous 
devons  chercher  d'abord  à  déterminer  les  quantités  Cfk  et  b^. 

On  a  évidemment 

_  rf»F0 

ki  ~        dx\  dx\ 
et 


B^  = 


dy\dy\' 
ou 

Bfk  =  —  2  A  m/ 7?i/,;  sin  co,         (w  =  miy\-\-  m^y\-\-  m^y\-\-h) 

et 

bue  =  —  VA  m;  m  h  sin  w . 

La  sommation  représentée  par  le  signe  %  s'étend  à  tous  les  termes, 

quelles  que  soient  les  valeurs  entières  attribuées  à  m1}  m2  et  m3. 

La  sommation  représentée  par  le  signe  v  s'étend  seulement  aux 

termes  tels  que 

nimi-\-  /2277?2  -l-  n37n3  =  o. 

Sous  le  signe  x  nous  avons  par  conséquent 

OJ  =  /772^2  +  nizmi  ■+"  h. 

Cela  nous  permet  d'écrire 

1  d'2R  ,  ■ 

bu-  =  -; ; —         (  pour  iel/.'  =  2  ou  J). 

ami  dm/c 


EXPOSANTS    CARACTÉRISTIQUES.  225 

Si  un  ou  deux  des  indices  i  et  k  sont  égaux  à  i,  &/#  sera  défini  par 

la  relation 

ni  bix  -f-  n.2  6/2  -i-  >H  b;3  =  o. 

Nous  allons,  à  l'aide  de  cette  dernière  relation,  transformer 
l'équation  (i  i)  de  façon  à  mettre  en  évidence  l'existence  de  deux 
racines  nulles  et  à  réduire  l'équation  au  quatrième  degré. 

Je  trouve  en  effet,  par  une  simple  transformation  de  détermi- 
nant et  en  divisant  par  a^, 


"1 

71 2 

«3 

O 

0 

0 

o 

—  aj 

O 

^22 

623 

0 

0 

o 

—  «! 

b%% 

633 

c 

ul  3 

^"23 

po 

^33 

—  a. 

0 

nt 

ul  2 

G°22 

3  2 

0 

—  «i 

11 

(~>0 

G°21 

PO 
^3  1 

0 

0 

n 

Dans  le  cas  particulier  où  l'on  n'a  plus  que  2  degrés  de  liberté,  cette 
équation  s'écrit 


'h 

1%2 

0 

0 

0 

—  a.x 

0 

ui  2 

Vj  2  2 

—  «i 

ni 

po 

W 1 

Gît 

0 

«1 

d2K 

n\  rA  =  -î — »  ('l?  CU,  —  2/ii?z->G°9 


nlCU). 


L'expression  n'^C^  —  2/1,  re2C,2  -f-  nl^0u  ne  dépend  que  de  x\ 
elx°2  ou,  si  l'on  veut,  de  n,  et  de  n».  Quand  nous  nous  serons  donné 
les  deux  nombres  nK  et  n2,  dont  le  rapport  doit  être  commensu- 
rable,  nous  pourrons  regarder  n\ C^  —  2/1,  /^2 G"^  -h  n2,C°i{  comme 
une  constante  donnée.  Alors  le  signe  de  a'^  dépend  seulement  de 

celui  de  -=— =■• 

ClWT2 

Quand  on  s'est  donné  nt  et  n2,  on  forme  l'équation 

(12) 


dxxSi 


Nous  avons  vu  au  n°  42  qu'à  chaque  racine  de  cette  équation  cor- 
respond une  solution  périodique. 

H.  P.  —  I.  .5 


226  CHAPITRE    IV. 

Considérons  le  cas  général  où  l'équation  (12)  n'a  que  des  racines 
simples;  chacune  de  ces  racines  correspond  alors  à  un  maximum 
ou  à  un  minimum  de  R.  Mais  la  fonction  R,  étant  périodique,  pré- 
sente dans  chaque  période  au  moins  un  maximum  et  un  minimum 
et  précisément  autant  de  maxima  que  de  minima. 

Or  pour  les  valeurs  de  gjo  correspondant  a  un  minimum,  -7— ^  est 

positif;  pour  les  valeurs  correspondant  à  un  maximum,  celte 
dérivée  est  négative. 

Donc  l'équation  (12)  aura  précisément  autant  de  racines  pour 
lesquelles  cette  dérivée  sera  positive  que  de  racines  pour  les- 
quelles cette  dérivée  sera  négative,  et  par  conséquent  autant  de 
racines  pour  lesquelles  oq  sera  positif  que  de  racines  pour  les- 
quelles cr\  sera  négatif. 

Cela  revient  à  dire  qu'il  y  aura  précisément  autant  de  solutions 
périodiques  stables  que  de  solutions  instables,  en  donnant  à  ce 
mot  le  même  sens  que  dans  le  n°  59. 

Ainsi,  à  chaque  système  de  valeurs  de  n{  et  de  n2,  corres- 
pondront au  moins  une  solution  périodique  stable  et  une  solu- 
tion périodique  instable  et  précisément  autant  de  solutions 
stables  que  de  solutions  instables ,  pourvu  que  [x  soit  suffisam- 
ment petit. 

Je  n'examinerai  pas  ici  comment  ces  résultats  s'étendraient  au 
cas  où  l'équation  (12)  aurait  des  racines  multiples. 
Voici  comment  il  faudrait  continuer  le  calcul. 
Imaginons  que  l'on  ait  déterminé  complètement  les  quantités 

au     <z2,      ...,     am 
et  les  fonctions 

SO        c 1  ç  m 

i >      °i  >       • •  •)      °i  > 

ryO  npl  rrim—i 

1  i  j       l  i  1       •  •  •  1       *■  i 

et  que  l'on  connaisse  les  fonctions  S"t+i  et  T"1  à  une  constante 
près.    Supposons    qu'on    se   propose    ensuite   de    calculer   am+1, 
d'achever  la  détermination  des  fonctions  Sf+I  et  T"J  et  de  déter- 
miner ensuite  les  fonctions  S"t+2  et  T"l+l  à  une  constante  près. 
En  égalant  les  puissances  semblables  de  [jl  dans  les  équations  (4), 


EXPOSANTS   CARACTÉRISTIQUES.  227 

on  obtient  des  équations  de  la  forme  suivante,  analogues  aux  équa- 
tions (7)  et  (8), 

—  —4 h^kO!kSf+1  —  ajTf—  a,„+1T°=  quantité  connue 

(i3)  t  (1  =  1,2,3). 

( ^ ,_2AB*ATf— «iSf+1  —  affl+IS'=  quantité  connue  ] 

Les  deux  membres  de  ces  équations  (12)  sont  des  fonctions  pério- 
diques de  t.  Egalons  la  valeur  moyenne  de  ces  deux  membres.  Si 
nous  désignons  par  [U]  la  valeur  moyenne  d'une  fonction  pério- 
dique quelconque  U,  si  nous  observons  que,  si  U  est  périodique, 
on  a 


VdUl 


si  nous  rappelons   que,   T™  étant  connu   à  une  constante   près, 
ï7-[T7]et 

sont  des  quantités  connues,  nous  obtiendrons  les  équations  sui- 
vantes : 

,    „  (  S*C?A.[S2l+1]  — al[Tn-a,«-,-iT?  =  quantité  connue  ) 
(14)  (  \  (1  =  1 ,2, 3). 

(  2/t.6/A-[T/f]  —  ai[Sf+1]  — am+1S/  =  quantité  connue   ) 

Ces  équations  (i4)  vont  nous  servir  à  calculer  v.m+{,  '[T"4]  et 
[S™+l]  et  par  conséquent  à  achever  la  détermination  des  fonctions 
T"'  et  Sjl+]  qui  ne  sont  encore  connues  qu'à  une  constante  près. 
Si  l'on  additionne  les  équations  (i4)  après  les  avoir  respective- 
ment multipliées  par 

Cl  CI  Cl  T-O  TO  TO 

°1)        02i        °3>         Ml         X  2  >        L3> 

on  trouve 

2S S,'  T°  acm+1  =  quantité  connue, 

ce  qui  détermine  a.m+{. 

Si  dans  les  équations  (i4)  on  remplace  a.m+i  par  la  valeur  ainsi 
trouvée,  on  a,  pour  déterminer  les  six  inconnues  [T™]  et  [S™"1"'], 
six  équations  linéaires  dont  cinq  seulement  sont  indépendantes. 

Cela  posé,  on  déterminera  [T™]  par  la  condition  que  [T™]  soit 


228  CHAPITRE    IV. 

nul  pour  t  =  o,  conformément  à  l'hypothèse  faite  plus  haut,  et  les 
cinq  équations  (i4)  restées  indépendantes  permettront  de  calculer 
les  cinq  autres  inconnues. 

dT'n+i 
Les  équations  (i3)  nous  permettront  ensuite  de  calculer — jj- — 

et  — 4 —  et,  par  conséquent,  de  déterminer  les  fonctions  T™4"1  et 
S"'42  à  une  constante  près;  et  ainsi  de  suite. 

Solutions  dégénérescentes. 

80.   Reprenons  les  équations  (i)  du  numéro  précédent 

.  „  dxt        dF  dyi  d¥         ,  . 

M  -d7  =  -dy;'      ~dl^~d^t      ^  =  I'2'3)- 

Nous  avons  supposé  qu'il  existait  une  solution  périodique  de 
période  T 

posant  ensuite 

xi  =  vï  4-  \i,        yi  =  <\>i  -+-  t]i, 

nous  avons  formé  les  équations  aux  variations 


(a) 


/    d\i_  _       yi      rf»P      ,        V— ^— — 

\     dt~       Zà  dyt  dxk  ^+2d  dyL  dyk  T'/o 

[    dt  ^aà  dx{  dxk    l      jicmi  dx  i  dy k    ' l  ' 


Ces  équations,  ayant  en  général  quatre  exposants  caractéristiques 
différents  de  o,  admettront  quatre  solutions  particulières  de  la 
forme 

S,  et  Tj-  étant  périodiques.  Nous  avons  appris  à  former  ces  inté- 
grales. 

Mais  les  équations  (2)  auront,  en  outre,  deux  exposants  caracté- 
ristiques nuls  :  elles  admettront  donc  deux  solutions  particulières 
de  la  forme 


(3) 


%i  —  S/,  7]i  —  T,, 


EXPOSANTS     CARACTERISTIQUES.  229 

S",  T*-,  S*,  TJ  étant  périodiques  de  même  période  que  cpt-,  <L;,  S, 
et  T/. 

Comment  doit-on  s'y  prendre  pour  former  ces  solutions  (3)? 

Nous  avons  vu  au  n"  42  que  les  équations  (i)  admettent  une 
solution  périodique 

(4)  ®i=  <?i(t,  [J-,  s),       y  =  tyt(t,  i-i,  s), 

de  période 


T 

1    -T-    E' 


rui  se  réduit  à 


pour  s  =  o. 

Les  fonctions  cd,  et  <j>;  sont  développables  suivant  les  puissances 
croissantes  de  s. 

Posons  maintenant 

t=—    —  j         d  ou         h.  =  £(n- s). 


Si  nous  substituons  cette  valeur  à  la  place  de  t  dans  les  équa- 
tions (4),  il  viendra 

Xi=  $i(u,   'J.,  e),  jv=  &i(u,  \x,  e). 

Les  fonctions  9,  et  0,  seront  encore  développables  suivant  les 
puissances  de  [a  et  de  s;  mais  elles  seront  périodiques  en  u  et  la 
période  sera  constante  et  égale  à  T;  elles  seront  donc  dévelop- 
pables suivant  les  sinus  et  cosinus  des  multiples  de  — ^—  • 
Si  h  est  une  constante  quelconque 

xi  =  <p/(*-+-  h,  [j.,  e),        yi  =  tyt{t  ■+■  h,  ;-i,  e) 

est  encore  une  solution  des  équations  (t),  puisque  le  temps  n'entre 
pas  explicitement  dans  ces  équations.  Cette  solution  contient  deux 
constantes  arbitraires  h  et  e. 

Le  n°  54  nous  fournit  le  moyen  d'en  déduire  deux  solutions  des 
équations  aux  variations  (2). 


a3o  CHAPITRE     IV. 

Ces  solutions  s'écrivent 

_  dot  _  dtyt 

%i-~dh'      ^-~dh 

et 

>   _  d^i  _  d'hi 

"-"àr      T,i-~dï' 

Après  la  différentiation  il  faut  faire  h  =  s  =  o. 
Or  il  vient 


d'où 


et  pour  s  =  o 


D'autre  part, 


Ot(t,  [X,  £)=  6/[<(i-+-s),  [X,  s], 

^(f,    [X,   6)=e|[ï(l+6),    [X,   E], 


e?©,-         f/cs/  d§i   du        d§i   .  . 

LL    =   l_l    —  I    =   -    (i  -+-  £) 

dh         dt  du    dt         du 

d'bi        dtyi  d&f  du  _  d®i 

~dh  ~~  ~di  ~  ~dû  ~di  ~  ~du  ^       *"' 


dof  __  dftt  ç%  _  dSi 

dh  ~~  du'  dh         du 


dot  _  dbi  du       db±  _  d§i    t  dbi 

dz         du    dt         dz  du  dz 

<%  _  dS{  du    |    d&£  _  dSi  d@j_ 

dz   ~     du    dz  "*     dz  du  dz 


ou,  pour  s  =  o, 


d^j  _     dot        d§j  dtyj  _     dtyj        dQj 

dz  tf*  +   rfs  '  dz   ~      dt  dz  ' 

Les  solutions  cherchées  des  équations  (2)  sont  donc 

et 

Ç/  =  *SÏ+S?J        v=*TÏ+T? 


avec 


b'-^T'         ^-"Â" 


EXPOSANTS    CARACTÉRISTIQUES.  l3î 

Je  dis  que  les  fonctions  S;,  T^,  S*,  T*  sont  périodiques  en  t  de 
période  T.  En  effet,  9;  et  @,  sont  périodiques  de  période  T  en  u; 
cette  période  étant  indépendante  de  s,  les  dérivées 

d$i      dê{      cft£      d®i 
du        du        dz         ch 

seront  également  péi^iodiques  en  u.  Mais,  pour  e  =  o,  u=t;  si 
donc  on  fait  après  la  différen dation  s  =  o,  ces  quatre  dérivées  (5), 

c'est-à-dire  les  quatre  fonctions  S",  T"i:  S*,  TJ  seront  périodiques 
en  t.  c.  q.  f.  d. 

Ces  quatre  fonctions  seront,  comme  9;  et  0t-  dont  elles  sont  les 
dérivées,  développables  suivant  les  puissances  croissantes  et  posi- 
tives de  [jl  (je  rappelle  que  S;  et  T/,  dans  le  numéro  précédent, 
étaient  développables  suivant  les  puissances  non  de  jjl,  mais  de  y/jl) . 
-Pour  [j.  =  o,  cp;  se  réduit  à  une  constante  x]  ;  donc  — j±  =  S]  s'an- 
nule. Donc  S;  est  divisible  par  jji,  de  même  que  dans  le  numéro 
précédent  S;  était  divisible  par  y/j/.. 

Au  contraire  SJ  n'est  pas  divisible  par  p.. 

Dans  un  Mémoire  que  j'ai  publié  dans  les  Acta  mathematica, 
t.  XIII,  p.  107,  je  suis  amené  à  considérer  des  équations  analogues 
aux  équations  (2)  et  deux  solutions  particulières  de  ces  équations 

f    _ ç"  T"' 

%i  —  °i>  'ii  —   v  ii 

^=S?+a*SÏ-,         7),=  T?'-i-a«T';. 

J'appelle  a  un  des  exposants  caractéristiques,  de  telle  sorte  que  a 

est  développable  suivant  les  puissances  impaires  de  y^x,  et  que  u. 
est  lui-même  développable  suivant  les  puissances  de  a2  et  est  divi- 
sible par  a2. 

Je  suppose  que  l'on  remplace  jjl  par  cette  valeur,  de  sorte  que 
toutes  nos  fonctions  se  trouvent  développées  suivant  les  puissances 
de  a.  J'annonce  ensuite  que  S;  et  SJ  sont  divisibles  par  a.  En  effet 
S'^,  comme  nous  venons  de  le  voir,  est  divisible  par  p.  et  [x  par  a2. 

D'autre  part,  nous  avons  manifestement 

S'-'—  %Sf, 


232  CHAPITRE    V. 

puisqu'il  faut  multiplier  par  a  la  solution  que  je  viens  d'étudier 
pour  obtenir  la  solution  considérée  dans  les  Acta  matliematica 

k-  =  s7+«*s';. 

J'ai  cru  devoir  faire  celte  remarque  parce  qu'un  lecteur  inattentif 
aurait  pu  ne  pas  prendre  garde  à  ce  facteur  a  et  croire  à  une  con- 
tradiction entre  le  résultat  énoncé  dans  les  Acta  et  ceux  que  je 
viens  de  démontrer. 


CHAPITRE  V. 

NON-EXISTENCE  DES  INTÉGRALES  UNIFORMES. 


81.  Reprenons  nos  équations  canoniques 

dxt  _   d¥  dyt  _         d¥ 

^  '  dt         dyt  '  dt  dxt  ' 

F  =  F0  +  nFi-l-IJl2F2+---! 

Je  suppose  d'abord  que  F0,  qui  ne  dépend  pas  desj^/,  dépend 
des  n  variables  xt  et  que  son  hessien  par  rapport  à  ces  n  variables 
n'est  pas  nul. 

Je  me  propose  de  démontrer  que,  sauf  dans  certains  cas  excep- 
tionnels que  nous  étudierons  plus  loin,  les  équations  (i)  n'ad- 
mettent pas  d'autre  intégrale  analytique  et  uniforme  que  l'inté- 
grale F  =  const. 

\oici  ce  que  j'entends  par  là  : 

Soit  <ï>  une  fonction  analytique  et  uniforme  des.r,  désuet  de  [>■■, 
qui  doit  de  plus  être  périodique  par  rapport  aux.  y. 

Je  ne  suis  pas  obligé  de  supposer  que  cette  fonction  soit  analy- 
tique et  uniforme  pour  toutes  les  valeurs  des  x,  des  y  et  de  u. . 

Je  suppose  seulement  cette  fonction  analytique  et  uniforme 
pour  toutes  les  valeurs  réelles  desj',  pour  les  valeurs  suffisamment 
petites  de  p.,  et  pour  les  systèmes  de  valeurs  des  x  appartenant  à 
un  certain  domaine  D;  le  domaine  D  peut  d'ailleurs  être  quel- 
conque et  être  aussi  petit  qu'on  le  veut.  Dans  ces  conditions,  la 
fonction  <ï>  est  développable  par  rapport  aux  puissances  de  u.  et  je 
puis  écrire 

*  =  #0  -+-  (J-*i  -+-  p-2  *2  -+-  •  •  •  > 

$0,  <ï»,,  <ï>2,  .  •  .   étant  uniformes  par  rapport  aux  x  et  aux  y  et 
périodiques  par  rapport  ans.  y. 


234  CHAPITRE    V. 

Je  dis  qiï  une  fonction  <ï>  de  cette  forme  ne  peut  pas  être  une 
intégrale  des  équations  (i). 

La  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  qu'une  fonction  <I> 
soit  une  intégrale  s'écrit,  en  reprenant  la  notation  du  n°  3, 

[F,  *]  =  o, 

ou  en  remplaçant  F  et  $  par  leurs  développements 

o  =  [F0,  *„]  +  n([Fi,  *o]  +  [F0,  *i]) 

-+-  ;^-([  F,,  *ol  +  [Fls  *,  ]  +  [F0,  *s])  ■+-  •  •  •  • 

Nous  aurons  donc  séparément  les  équations  suivantes,  dont  je  ferai 
usage  plus  loin, 

(2)  [F0,  <P0]  =  o 
et 

(3)  [F„  *0]+[Fo,  *i]  =  o. 

Je  dis  que  je  puis  toujours  supposer  que  $0  n'est  pas  une  fonction 
deF0. 

En  effet,  supposons  que  l'on  ait 

*o  =  <KF0). 

Je  dis  que  la  fonction  b  sera  une  fonction  uniforme  en  général, 
quand  les  variables  x  resteront  dans  le  domaine  D. 
Nous  avons  en  effet 

F0=  F0(a?!,  x-2,  ...,  xn). 

Nous  pourrons  résoudre  cette  équation  par  rapport  à  xK  et  écrire 

xx  =  6(F0,  xo.,  ...,  xn\ 

et  8  sera  une  fonction  uniforme  à  moins  que  -5—  ne  s'annule  à 

^       dxi 

l'intérieur  du  domaine  D. 

En  remplaçant  xt  par  sa  valeur  8  dans 

X 1 ,  x% ,    . .  .  ,  X,i 


*0    . 


NON-EXISTENCE    DES     INTÉGRALES    UNIFORMES.  P.35 

il  vient 

/#!,  r2,  . .  .,  a?„\  _  ,    /F0,  a?2,  ••■,  ^/A  _ 
0  \7l?72,  ...,yn)  ~~  '    \Ji>X2;  ■■■,7n/' 

O0  est  une  fonction  uniforme  des  x  et  desjK;  si  l'on  y  remplace  xK 
par  la  fonction  uniforme  9,  on  obtiendra  une  fonction  uniforme  <\i 
de  F0,  de  #2,  .  .  ,xn  et  des  y;  mais,  par  hypothèse,  cette  fonction  <]; 
ne  dépend  que  de  F0. 

Donc  4>  =  <l  est  fonction  uniforme  de  F0. 

/VF 

Cela  a  lieu  pourvu  que  -~  ne  s'annule  pas  dans  le  domaine  D  ; 

cela  aura  lieu  également  si  l'une  des  dérivées  -~  ne  s'annule  pas 

dans  le  domaine  D. 

Cela  posé,  si  <ï>  est  une  intégrale  uniforme,  il  en  sera  de  même 

de 

*  —  4>(F). 

<î>  —  <b  (F)  est  développable  suivant  les  puissances  de  \).  et  de  plus 
est  divisible  par  [x,  puisque  <J>0  —  'H^o)  est  nul-  Posons  donc 

*  —  <\>(F)  =  fi.*': 

$'  sera  une  intégrale  analytique  et  uniforme  et  il  viendra 

<!>'  =    <ï>'0  -+-   fJL^j  -+-   [J.2* ',  -+-  ...  , 

En  général,  <b'0  ne  sera  pas  une  fonction  de  F0  ;  si  cela  avait  lieu, 
on  recommencerait  la  même  opération. 

Je  dis  qu'en  recommençant  ainsi  cette  opération,  on  finira  par 
arriver  à  une  intégrale  qui  ne  se  réduira  pas  à  une  fonction  de  F0 
pour  [j.  =o. 

A  moins  toutefois  que  <ï>  ne  soit  une  fonction  de  F,  auquel  cas 
les  deux  intégrales  F  et  <£>  ne  seraient  plus  distinctes. 

En  effet,  soit  J  le  jacobien,  ou  déterminant  fonctionnel  de  <ï>  et 
de  F  par  rapport  à  deux  des  variables  x  et  y.  Je  puis  supposer 
que  ce  jacobien  n'est  pas  identiquement  nul,  puisque,  si  tous  les 
jacobiens  étaient  nuls,  <ï>  serait  fonction  de  F,  ce  que  nous  ne 
supposons  pas. 

J  sera  manifestement  développable  suivant  les  puissances  de  [x. 
De  plus  J  s'annulera  avec  fji,  puisque  <ï>0  est  fonction  de  F0.  J  sera 


236  CHAP[TRE    V. 

donc   divisible  par  une   certaine   puissance   de    [/.,   par   exemple 

par  y.P. 

Soit  maintenant  J'  le  déterminant  fonctionnel  ou  jacobien  de  <I>' 

et  de  F;  on  aura 

J  =  ix  r, 

de  sorte  que  J'  ne  sera  plus  divisible  que  par  y.P~l. 

Ainsi,  après  p  opérations  au  plus,  on  arrivera  à  un  jacobien  qui 
ne  s'annulera  plus  avec  [j.  et  qui  correspondra,  par  conséquent,  à 
une  intégrale  qui  ne  se  réduira  pas  pour  y.  =  o  à  une  fonction 
deF0. 

Par  conséquent,  s'il  existe  une  intégrale  <ï>  analytique  et  uniforme 
et  distincte  de  F,  mais  telle  que  <ï>„  soit  fonction  de  F0,  on  en 
pourra  toujours  trouver  une  autre  de  même  forme  et  qui  ne  se 
réduira  pas  à  une  fonction  de  F0  pour  (u.  =  o. 

Nous  avons  donc  toujours  le  droit  de  supposer  que  4\,  n'est 
pas  fonction  de  F0. 

82.   Je  dis  maintenant  que  <ï>0  ne  peut  dépendre  des  y. 
Si  en  effet  $0  dépend  des  y,  ce  sera  une  fonction  périodique  de 
ces  variables,  de  sorte  que  nous  pourrons  écrire 

<t>u  =  LAe'l/~^"o-i-,-'"2X,+-+"h,yni  =  £AÇ, 

les  mi  étant  des  entiers  positifs  ou  négatifs,  les  A  des  fonctions 
des  Xi  et  la  notation  Ç  représentant  pour  abréger  l'exponentielle 
imaginaire  qui  multiplie  A. 
Cela  posé,  nous  avons 

puisque  F0  ne  dépend  pas  des  y  et  que  les  -j-^-  sont  nuls. 

c'yi 
D'autre  part, 

de  sorte  que  l'équation  (2)  s'écrit 

/ va/        f/F<>    ,  d¥0  ,  d¥0\ 


NON-EXISTENCE    DES    INTÉGRALES    UNIFORMES.  l3j 

et,  comme  ce  doit  être  une  identité,  on  aura,  pour  tous  les  systèmes 
de  valeurs  entières  des  m/, 

Cl  Xi 

de  sorte  qu'on  doit  avoir  identiquement,  ou  bien 
U)  A  =  o, 

ou  bien 

(D)  -mi^=0- 

De  l'identité  (5)  on  déduirait,  par  différentiation, 


i  =  n 


;  =  i 

Or  cela  ne  peut  avoir  lieu  que  de  deux  manières  : 

Ou  bien  si 

nii  =  m2  =  .  .  .  =  nin  =  o, 

ou  bien  si  le  hessien  de  F0  est  nul. 

Or  nous  avons  supposé  au  début  que  le  hessien  n'élait  pas  nul. 

Donc  A  doit  être  identiquement  nul,  sauf  pour  le  terme  où 
tous  les  mi  sont  nuls. 

Cela  revient  à  dire  que  $0  se  réduit  à  un  seul  terme  qui  ne 
dépend  pas  des  y.  c.   q.  f.   d. 

Examinons  maintenant  l'équation  (3).  Comme  F0  et  (î>0  ne 
dépendent  pas  des  y,  cette  équation  peut  s'écrire 

-  o. 


Âmi   dXi     d.Yi  j^aà 


dyt       >nd  dxi   dyt 

D'autre  part,  F,  et  <Ï>|  sont  périodiques  par  rapport  aux  y  et,  par 
conséquent,  développables  suivant  les  exponentielles  de  la  forme 

g  y/—  i{inlyl-¥m.yi+...+m^yll) 

les  mi  étant  des  entiers  positifs  ou  négatifs. 


238  CHAPITRE    V. 

Pour  abréger,  je  désignerai,  comme  plus  haut,  cette  exponen- 
tielle par  Ç  et  j'écrirai 

les  B  et  les  G  étant  des  coefficients  dépendant  des  x  seulement. 
On  aura  alors 

dyt  cfyi 

de  sorte  que  l'équation  (3),  divisée  par  \—  i ,  s'écrira 

Comme  cette  équation  est  une  identité,  nous  devrons  avoir  pour 
tous  les  systèmes  de  valeurs  entières  des  m,- 

(6)  BEmi"d^=Glmi  d7-' 

La  relation  (6)  doit  avoir  lieu  pour  toutes  les  valeurs  des  x. 
Donnons  alors  aux  x  des  valeurs  telles  que 

(7)  Sm'd^=o: 

le  second  membre   de  (6)  s'annule.   Nous   devrons  donc   avoir, 
toutes  les  fois  que  les  x  satisferont  à  l'équation  (7),  ou  bien 

(8)  B  =  o 
ou  bien 

(9)  S™'^=°- 

La  fonction  F,  est  une  des  données  de  la  question  et  il  en  est 
de  même,  par  conséquent,  des  coefficients  B.  Il  est  donc  aisé  de 
reconnaître  si  l'égalité  (7)  entraîne  l'égalité  (8).  En  général,  on 
constatera  qu'il  n'en  est  pas  ainsi  et  on  devra  conclure  que  l'éga- 
lité (9)  est  une  conséquence  nécessaire  de  l'égalité  (7). 


NON-EXISTENCE    DES    INTÉGRALES    UNIFORMES.  239 

Soient  maintenant  /?, ,  p2,   .  .  • ,  pn  un  certain  nombre  d'entiers. 
Imaginons  que  l'on  donne  aux  x  des  valeurs  telles  que 

,     .  d¥0  dF0  d¥0 

(10) 


PldXi  p2dx2  Pndxn 

On  pourra  trouver  une  infinité  de  systèmes  d'entiers  mK ,  m2-, 
mn  tels  que 

m\P\  -+-  m2/>2  +  .  .  .-H  mnpn  =  o. 

Pour  chacun  de  ces  systèmes  d'entiers,  on  devra  avoir 


et,  par  conséquent, 


S  m;  —. ,—  =  0 
dxt 


iffl;  -= —    =  O. 

dxt 


La  comparaison  de  ces  deux  équations  montre  que  l'on  doit  avoir 

<iF0  dFç,  d¥0 

cfa?!  dx-i  dxn 

d<P0  d<£>0  —■■■—    ci^>ù 

dx1  dx-2  dxn 

c'est-à-dire  que  le  jacobien  de  F0  et  de  $0  par  rapport  à  deux  quel- 
conques des  quantités  x  doit  être  nul. 

Cela  doit  avoir  lieu  pour  toutes  les  valeurs  des  x  qui  satisfont 
à  des  relations    de  la  forme    (10),    c'est-à-dire  pour    toutes   les 

valeurs  telles  que  les  -7-^  soient  commensurables  entre  eux.  Dans 

un  domaine  quelconque,  quelque  petit  qu'il  soit,  il  y  a  donc  une 
infinité  de  systèmes  de  valeurs  des  x  pour  lesquels  ce  jacobien 
s'annule,  et,  comme  ce  jacobien  est  une  fonction  continue,  il  doit 
s'annuler  identiquement. 

Dire  que  tous  les  jacobiens  de  F0  et  de  $0  sont  nuls,  c'est  dire 
que  <ï>o  est  fonction  de  F0.  Or  cela  est  contraire  à  l'hypothèse  que 
nous  avons  faite  à  la  fin  du  numéro  précédent. 

Nous  devons  donc  conclure  que  les  équations  (1)  n'admettent 
pas  d'autre  intégrale  uniforme  que  F  =  G.  c.   q.   f.   d. 


240  CHAPITRE    V 


Cas  où  les  B  s'annulent, 

83.  Dans  la  démonstration  qui  précède,  nous  avons  supposé  que 
les  coefficients  B  n'étaient  pas  nuls.  Si  un  ou  plusieurs  de  ces 
coefficients  s'annulaient  (et  surtout  si  une  infinité  d'entre  eux 
s'annulaient),  il  y  aurait  lieu  d'examiner  le  raisonnement  de  plus 
près. 

Pour  rendre  possible  l'énoncé  des  conséquences  auxquelles  je 
vais  être  conduit,  je  serai  forcé  d'introduire  une  terminologie  nou- 
velle. 

A  chaque  système  d'indices  m,,  m2-,  .  .  .,  mn  (où  les  m/  sont 
des  entiers)  correspond  un  coefficient  B.  Je  dirai  que  ce  coefficient 
devient  séculaire  quand  les  x-t  prendront  des  valeurs  telles  que 

(7)  -™<^=°- 

Voici  ce  qui  peut  justifier  cette  dénomination. 

Lorsque,  dans  le  calcul  des  perturbations,  on  suppose  que  le 
rapport  des  moyens  mouvements  soit  commensurable,  quelques- 
uns  des  termes  de  la  fonction  perturbatrice  cessent  d'être  pério- 
diques, et  l'on  peut  dire  alors  qu'ils  deviennent  séculaires;  ce  qui 
se  passe  ici  est  tout  à  fait  analogue. 

Je  dirai  que  deux  systèmes  d'indices  (mif  ?n2,  .  ..,  mn)  et 
(m\,  m'.2,  .  .  . ,  m'n)  appartiennent  à  la  même  classe  lorsqu'on  aura 

m,\        m  ^  m  a 

et  que  deux  coefficients  B  appartiennent  à  la  même  classe  lors- 
qu'ils correspondent  à  deux  systèmes  d'indices  appartenant  à  la 
même  classe. 

Pour  démontrer  le  théorème  du  numéro  précédent,  nous  avons 
supposé  qu'aucun  des  coefficients  B  ne  s'annule  en  devenant  sécu- 
laire. 

Pour  que  le  résultat  soit  vrai,  il  suffit  que,  dans  chacune  des 
classes,  il  y  ait  au  moins  un  des  coefficients  B  qui  ne  s'annule  pas 
en  devenant  séculaire. 


NON-EXISTENCE    DES    INTÉGRALES    UNIFORMES.  2^1 

Supposons  en  efïet  que  le  coefficient  B  qui  correspond  au  sys- 
tème (m{,  m2,  .  ..,  mn)  s'annule,  mais  que  le  coefficient  B'  qui 
correspond  au  système  {m\,  m[2,  .  .  .,  m'n)  ne  s'annule  pas. 

Si  l'on  donne  aux  x  des  valeurs  telles  que 


on  aura  également 


dxt 


v     ,  dF0 


et  par  conséquent 


B  S  nij  -y—  =  o,         B  S  /»,  — —  =  o. 

CLOC  l  CtOC  l 

De  la  première  de  ces  égalités  on  ne  peut  pas  déduire 

v       rf*o 

-  mt  ~r-  =  o 

axi 

parce  que  B  est  nul;  mais,  comme  B'  n'est  pas  nul,  la  seconde  éga- 
lité nous  donne 


et,  par  conséquent, 


v        d<t>Q 
S  nii  -j— 

axi 


Le  reste  du  raisonnement  se  fait  comme  dans  le  numéro  précé- 
dent. 

Avant  d'aller  plus  loin,  considérons  d'abord  le  cas  particulier  où 
il  n'y  a  que  deux  degrés  de  liberté. 

Il  n'y  aura  alors  que  deux  indices  ml  et  m2  et  une  classe  sera 
entièrement  définie  par  le  rapport  de  ces  deux  indices.  Soit  \  un 
nombre  commensurable  quelconque;  soit  G  la  classe  d'indices  où 

— -  =  a.  Je  dirai,  pour  abréger,  que  cette  classe  G  appartient  au 

domaine  D,  ou  est  dans  ce  domaine  si  l'on  peut  donner  aux  xi  un 
système  de  valeurs  appartenant  à  ce  domaine,  et  telles  que 

,   dF0       d¥0 
H.  P.  —  I.  iG 


242  CHAPITRE    V. 

Je  dirai  qu'une  classe  est  singulière  lorsque  tous  les  coefficients 
de  cette  classe  s'annulent  en  devenant  séculaires  et  qu'elle  est  or- 
dinaire dans  le  cas  contraire. 

Je  dis  que  le  théorème  sera  encore  vrai  si  l'on  suppose  que,  dans 
tout  domaine  o  faisant  partie  de  D  on  peut  trouver  une  infinité  de 
classes  ordinaires. 

Soit  en  effet  un  système  quelconque  de  valeurs  de  x,  et  x2,  tel 
que  l'on  ait  en  ce  point 

Supposons  que  \  soit  commensurable  et  que  la  classe  qui  corres- 
pond à  cette  valeur  de  \  soit  ordinaire  ;  le  raisonnement  du  numéro 
précédent  pourra  alors  s'appliquer  à  ce  système  de  valeurs  et  on 
devra  conclure  que,  pour  ces  valeurs  de  x{  et  de  x2,  le  jacobien  de 
F0  et  de  <E>o  par  rapport  à  xK  et  à  x2  s'annule. 

Mais,  par  hypothèse,  il  existe,  dans  tout  domaine  0  si  petit  qu'il 
soit  faisant  partie  de  D,  une  infinité  de  pareils  systèmes  de  valeurs 
de  xK  et  de  x2.  Par  conséquent  notre  jacobien  doit  s'annuler  en 
tous  les  points  de  D  ;  ce  qui  montre  que  <ï>0  est  une  fonction  de  F0. 
On  en  conclurait,  comme  dans  le  numéro  précédent,  qu'il  n'existe 
pas  d'intégrale  uniforme  distincte  de  F. 

Il  n'en  serait  plus  de  même  si  l'on  pouvait  trouver  un  domaine  D 
dont  toutes  les  classes  soient  singulières. 

On  pourrait  se  demander  alors  s'il  ne  peut  pas  exister  une  inté- 
grale qui  reste  uniforme  non  pas  pour  toutes  les  valeurs  des  x, 
mais  quand  ces  variables  ne  sortent  pas  du  domaine  D.  On  verrait, 
en  général,  qu'il  n'en  serait  pas  ainsi  ;  il  suffirait,  pour  s'en  assurer, 
d'envisager  dans  l'équation 

[F,*]  =  o, 

non  plus  seulement  le  terme  indépendant  de  a,  et  le  terme  en  jj., 
mais  le  terme  en  ul2  et  les  termes  suivants. 

Je  n'insiste  pas,  cela  n'a  pas  d'intérêt,  car  je  ne  crois  pas  que, 
dans  aucun  problème  de  Dynamique,  se  posant  naturellement,  il 
arrive  que  toutes  les  classes  d'un  domaine  D  soient  singulières  sans 
que  tous  les  coefficients  B  s'annulent  en  devenant  séculaires. 

Passons  maintenant  au  cas  où  il  y  a  plus  de  2  degrés  de  liberté. 


NON-EXISTENCE    DES    INTÉGRALES    UNIFORMES.  243 

Les  résultats  seront  analogues,  bien  que  l'énoncé  en  soit  plus  com- 
pliqué. 
Soient 

Pu     P2,       •••,      Pn 

n  nombres  entiers  quelconques.  Considérons  tous  les   systèmes 
d'indices  m,,  m2,  .  .  .,  mn  qui  satisfont  à  la  condition 

niipi  -+■  m2£>2-t-.  .  .4-  mnpn  =  o. 

Je  dirai  que  tous  les  coefficients  correspondants  appartiennent  à 
une  même  famille. 

Soient  q  classes  définies  par  les  systèmes  d'indices  suivants 

'«1,1,        '"2,1,         •••,        >"*,1 
7rt1)2,        »72)2,         •  •  .,        >W„;2 


Si  l'on  ne  peut  trouver  q  entiers, 

Cly,       Cli,        .  .  .  ,        Clq, 

tels  que  l'on  ait 

<  =  <7 

\a/»U-.(  =  o        (A- =  1,2,  ...,  n), 

i  =  i 

je  dirai  que  ces  q  classes  sont  indépendantes. 

Je  dirai  qu'une  famille  est  ordinaire  si  l'on  y  peut  trouver  n  —  i 
classes  indépendantes  et  ordinaires,  et  qu'elle  est  singulière  dans 
le  cas  contraire.  Elle  sera  singulière  du  premier  ordre  si  l'on  peut 
y  trouver  n  —  2  classes  indépendantes,  ordinaires  et  singulières  du 
^iùme  or(jre7  sj  l'on  peut  y  trouver  n  —  q  —  1  classes  indépendantes 
et  ordinaires  et  qu'on  n'en  puisse  trouver  davantage. 

Je  dirai  qu'une  famille  définie  par  les  entiers  (/?)?/?2,  .  .  . ,  plt) 
appartient  à  un  domaine  D  s'il  existe  dans  ce  domaine  des  valeurs 
des  x  telles  que 

cWQ  d¥0  dV0 

pidxi       pidx<i  Pn,dxn 

Cela  posé,  je  dis  que,  si  l'on  peut  trouver  dans  tout  domaine  0 


244  CHAPITRE    V. 

faisant  partie  de  D  une  infinité  de  familles  ordinaires,  il  ne  pourra 
exister  aucune  intégrale  uniforme  distincte  de  F. 

Le  raisonnement  du  numéro  précédent  est  en  effet  applicable 
à  tout  sjrstème  de  valeurs  des  x  qui  correspond  à  une  famille 
ordinaire. 

Les  jacobiens  de  F0  et  de  <t>0,  par  rapport  à  deux  quelconques 
des  variables  x,  devraient  donc  s'annuler  une  infinité  de  fois  dans 
tout  domaine  o  faisant  partie  de  D,  ce  qui  ne  peut  arriver  que  s'ils 
sont  identiquement  nuls. 

Je  dis  maintenant  que,  si  l'on  peut  trouver  dans  tout  domaine  o 
faisant  partie  de  D  une  infinité  de  classes  singulières  du  ^r1L'me  ordre, 
le  nombre  des  intégrales  uniformes  distinctes  que  peuvent  com- 
porter les  équations  (i)  est  au  plus  égal  à  q  -\-  i  (en  y  comprenant 
l'intégrale  F). 

Supposons  en  effet  qu'il  y  ail  q  -+-  2  intégrales  distinctes;  soient 

F,      <Ï>1,      <ï>2,       .  ..,      <£>gH-l 

ces  intégrales  et  supposons  que  pour  y.  =  o  elles  se  réduisent  à 

(11)  F0J    *>,    *«,     ...,    *S+i. 

Soit  un  système  de  valeurs  des  x  correspondant  à  une  famille 
irrégulière  du  qime  ordre.  Posons 

n  —  q  —  1  —  p- 

Il  existera  dans  cette  famille/?  classes  ordinaires.  Soient 

mi,k,  7»M >  mn,k         (#  =  1,  2,  ...,  p) 

les  systèmes  d'indices  correspondant  à  ces  classes. 
On  aura  pour  les  valeurs  des  x  considérées 

j'=l  i  =  l 

d¥a       V7i  d*'>  =  o 


^  db 0      V 


dxi 


(k  =  1,  1,    .  .  .  p,  h  =  I,  2,    .  .  .,  q  -hl). 

On  en  déduira  que  les  jacobiens  des  q  -+-  2  fonctions  (1  1)  par 
rapport  à  q  -h  2  quelconques  des  x  doivent  s'annuler  pour  les 
valeurs  considérées  des  x. 


NON-EXISTENCE    DUS    INTÉGRALES    UNIFORMES.  l\5 

Et  comme  cela  doit  avoir  lieu  une  infinité  de  fois  dans  chaque 
domaine  8,  on  en  conclura  que  ces  jacobiens  s'annulent  identique- 
ment et  par  conséquent  que  nos  q  +  2  intégrales  ne  peuvent  pas 
être  distinctes. 

Ces  considérations  ne  présentent  pas  d'ailleurs  d'intérêt  pratique 
et  je  ne  les  ai  présentées  ici  que  pour  être  complet  et  rigoureux. 
On  peut  évidemment  construire  artificiellement  des  problèmes  où 
ces  diverses  circonstances  se  rencontreront;  mais,  dans  les  pro- 
blèmes de  Dynamique  qui  se  posent  naturellement,  il  arrivera 
toujours,  ou  bien  que  toutes  les  classes  seront  singulières,  ou  bien 
qu'elles  seront  toutes  ordinaires,  à  l'exception  d'un  nombre  fini 
d'entre  elles. 

Cas  où  le  hessien  est  nul. 

84.  Passons  maintenant  au  cas  où  F0  ne  dépend  pas  de  toutes 
les  variables  X\:  x2,  .  .  . ,  xn. 

Je  supposerai  que  F0  dépend  de  xK  et  x2  seulement  et  que  son 
hessien  par  rapport  à  ces  deux  variables  n'est  pas  nul. 

Pour  bien  marquer  la  différence  entre  ces  deux  variables  xt  elx2 
et  leurs  conjuguées  yK  ety.2  d'une  part,  et  les  autres  variables  x  ely 
d'autre  part,  je  conviendrai  de  désigner 

y%,    74,    ••-,    y  a 


par  la  notation 


~'l  5        ~>2j         •  •  •  )       zll— 2) 
U[,       Ui,        -..,       l'n-2- 


On  observera  d'abord  que  les  conclusions  du  n°  81  subsistent 
et  que,  s'il  existe  une  intégrale  uniforme  <ï>  distincte  de  F,  il  est 
toujours  permis  de  supposer  que  (I>o  n'est  pas  fonction  de  F0. 

Cela  posé,  nous  devons  d'abord  avoir 

__,  d¥0  d$0       dF0  cfào 

[F0,  *o]  =  -, ; 1-  -5 j—  =  o. 

L  J        dxx   dyi        dx2   dy2 

Posons 


246  CHAPITRE    V. 

nous  pouvons  écrire 

S>o=2AÇ 

les  A  étant  des  coefficients  dépendant  de  xu  x2,  des  z  et  des  u. 
Il  vient  alors 


/-ISA?/ 


dF0  r/F0 

/??!    -1 1-  /»2   -ï )  =  O. 

ax\  ax-2 


Cette  relation  doit  être  une  identité,  et,  d'autre  part,  le  hessien 
de  F0  n'étant  pas  nul,  on  ne  peut  avoir  identiquement 

dF0  d¥0 

»ii  —, 1-  m=>  — —  =  o, 

axi  dx2 

à  moins  que  mK  et  m2  ne  soient  nuls  tous  deux. 

On  en  conclurait,  comme  au  n°  82,  que  <ï>o  ne  dépend  ni  de y{, 
ni  de  y2. 

Écrivons  ensuite  l'équation  (3),  nous  aurons 

_  d*o  d¥x  _  d^o  dFi        dFo  d$>x 
dxi   dfx        dx%  dy2        dx\    dyx 
dFo  d&i       ^y  /  dFt  d<5>0        d¥x  dA>0  \  _ 
dx2  dy2      ^^  \  dzt  ,  dut        dut  dz,-  ) 

Posons  encore 

Quand  il  sera  nécessaire  de  mettre  les  indices  en  évidence,  j'écrirai 

Fx  =  SB,,,,,,^''1'!'».^'^^. 
Il  viendra 

ZBt(zm-d*°)  i  ZCl(zm  dF°)   i   ^y(dB  d*°       dB  — ° 

\""     l  dxi]       "       \        L  dxi)       ~  \Àtd\dzi  dut        dut   dzt 


=  o. 


Cette  relation  doit  être  une  identité  :  nous  pouvons  donc  égaler  à  o 
le  coefficient  d'une  quelconque  des  exponentielles  Ç  Nous  donne- 
rons de  plus  aux  x  des  valeurs  telles  que 

dF0  dF0 

(I2)  mi^  +  m2^2=°' 

de  façon  à  faire  disparaître  les  termes  qui  dépendent  de  C. 


NON-EXISTENCE    DES     INTÉGRALES     UNIFORMES.  247 

Il  viendra 

(i3)      —  B    m,- h  m2  - —    +  >     __  _ 

\        aa;i  aa?2  /      ^à  \  dzt   du,         dut   dzt 

Nous  considérons  comme  appartenant  à  une  même  classe  deux 
coefficients  BOTj7Wa  B/H'I)7M'2  tels  que 

m  i  m'*  —  m*i  m\  =  o, 

et  je  dirai,  pour  abréger,  que  le  coefficient  B,„mj  appartient  à  la 
classe  — -•  Il  suit  de  cette  définition  que  le  coefficient  B0î0  appar- 
tient à  la  fois  à  toutes  les  classes. 

D'après  ce  qui  précède,  si  l'on  donne  aux  x  des  valeurs  qui  satis- 
font à  la  relation  (12),  la  relation  (i3)  devra  avoir  lieu  pour  les 

coefficients  B  de  la  classe  — -• 

Soient  alors p  et  q  deux  entiers  premiers  entre  eux,  tels  que 

01}  —  E. 

in2         q 
Posons 

et 

Si  l'on  donne  aux  x  des  valeurs  telles  que 
,  d¥Q  dF0 

on  devra  avoir 

fi3  bis)  H  dDl    {  V  /  ^DX  <**»<>       <^Dx  rf»o  \      Q 

dÇ         âà  \  dzi    dut         dut    dzi  ] 

et  cela  pour  toutes  les  valeurs  entières  de  X,  positives,  négatives 
ou  nulles. 

Cela  ne  peut  avoir  lieu  que  de  deux  manières  : 

i°  Ou  bien  si  l'on  a 

d<P0  d<S>0  ,  ■ 

H  =  o,         -^-=0,        _=0        (I  =  i,  a,  .. .,»-*), 


•2|8  CHAPITRE    V. 

d'où 

dF0  d<t>0  _  £^o  d&o  _ 
dxy    dx2         dx<i    dxi 

On  en  déduirait  par  un  raisonnement  tout  semblable  à  celui  du 
n"  82  que  <Ê0  est  fonction  deF0,  ce  qui  est  contraire  à  l'hypothèse 
faite  au  début. 

■2°  Ou  bien,  si  le  jacobien  de  in  —  3  quelconques  des  fonctions 
Dx  par  rapport  aux  m  —  3  variables  Ç,  5/  et  m  est  nul. 

On  en  conclurait  que,  si  l'on  donne  à  xx  et  à  x2  des  valeurs  con- 
stantes satisfaisant  à  la  condition  (12  bis),  il  en  résulte  une  rela- 
tion entre  in  —  3  quelconques  des  fonctions  D>0  de  telle  sorte  que 
toutes  ces  fonctions  peuvent  s'exprimer  à  l'aide  de  in  —  4  d'entre 
elles. 

On  peut  énoncer  encore  ce  résultat  d'une  autre  manière  : 

Considérons  les  expressions  suivantes 

(•4)  BX/7,)<7BX'p,>>'<7" 

Si  l'on  suppose  que  l'on  donne  à  xs  et  x%  des  valeurs  constantes 
satisfaisant  à  l'équation  (11  bis),  ces  expressions  (i4)  dépendent 
de  in  —  4  variables  seulement,  à  savoir  des  Zt  et  des  ui. 

S'il  existe  une  intégrale  uniforme,  toutes  ces  expressions  sont  des 
fonctions  de  in  —  5  d'entre  elles;  ou,  en  d'autres  termes,  on  peut 
trouver  une  relation  entre  111  —  4  quelconques  d'entre  elles. 

Quelle  est  la  condition  pour  qu'il  existe  trois  intégrales  uni- 
formes distinctes 

F  =  const.,         «P  =  const.,         ^  =  const.? 

Soient  F0,  <ï>0  et  <}0  ce  que  deviennent  ces  trois  intégrales  pour 
[j.  =  o.  On  démontrerait,  comme  plus  haut,  que  l'on  peut  toujours 
supposer  qu'il  n'y  a  aucune  relation  entre  F0,  <ï>o  et  tyo- 

On  trouverait  ensuite,  en  posant 

_H'£  =      —  -f-  c   d^°  , 
*    dx{  dx.2 

que  l'on  a 

„:,,„.,  *  ** +y(£x  *-£**. 

dl        Jmd  \  dzi    du;         du/    dzi 


NON-EXISTENCE    DES    INTÉGRALES    UNIFORMES.  24g 

Ainsi  l'équation  (12  bis)  entraine,  comme  conséquence  néces- 
saire, non  seulement  l'équation  (i3  bis),  mais  l'équation  (i3  ter). 
Par  un  raisonnement  tout  pareil  à  celui  qui  précède,  on  verrait 
que  cela  ne  peut  arriver  que  de  deux  manières  : 

Ou  bien  s'il  y  a  une  relation  entre  F0,  4>0  et  ^0,  ce  qui  est  con- 
traire à  l'hypothèse  que  nous  venons  de  faire  ; 

Ou  bien  si  le  jacobien  de  in —  3  quelconques  des  fonctions  D^ 
est  nul  ainsi  que  tous  ses  mineurs  du  premier  ordre. 

Il  en  résulterait  que,  si  xK  et  x2  satisfont  à  la  condition  (12  bis), 
il  y  a  entre  in  —  3  quelconques  des  T>\  non  pas  une,  mais  deux 
relations. 

En  d'autres  termes,  les  expressions  (i4)  peuvent  se  calculer  à 
l'aide  de  ui  —  6  d'entre  elles. 

Les  expressions  (i4)  qui  dépendent  des  coefficients  du  déve- 
loppement de  la  fonction  F,  sont  des  données  de  la  question  et 
on  pourra  toujours  vérifier  s'il  y  a  entre  m  —  4  de  ces  expres- 
sions une  ou  deux  relations. 

Généralement,  on  constatera  qu'il  n'y  en  a  pas  une  seule  et  on 
en  conclura  qu'il  n'existe  pas  d'intégrale  analytique  et  uniforme 
autre  que  F. 

Qu'arriverait-il  cependant  s'il  n'en  était  pas  ainsi?  Pour  pouvoir 
énoncer  le  résultat  d'une  manière  complète  et  rigoureuse,  je  vais 
me  servir  d'une  terminologie  analogue  à  celle  du  numéro  précé- 
dent. Je  dirai  qu'une  classe  est  ordinaire  s'il  n'y  a  pas  de  relation 
entre  in  —  4  des  expressions  (i4)  formées  avec  les  coefficients  de 
cette  classe,  qu'elle  est  singulière  du  premier  ordre  s'il  y  en  a  une, 
singulière  du  second  ordre  s'il  y  en  a  deux,  etc.  Plus  générale- 
ment, une  classe  sera  singulière  d'ordre  q  s'il  y  a  q  relations  entre 
in  —  3  quelconques  des  quantités  D\. 

Soit  0  un  domaine  quelconque  comprenant  une  infinité  de  sys- 
tèmes de  valeurs  de  xt,  x2  des  z  et  des  u. 

Si  l'on  peut  trouver  dans  le  domaine  0  des  valeurs  de  xK  et  x2 

satisfaisant  à  la  condition  (12  bis),  je  dirai  que  la  classe  —  appar- 
tient à  ce  domaine.  J'ai  dit  des  valeurs  de  x,  et  de  x2  et  non  des 
valeurs  de  xK,  x2  des  z  et  des  u  parce  que  le  premier  membre 
de  (12  bis)  ne  dépend  que  de  xK  et  de  x2. 
Je  pourrai  alors  énoncer  le  résultat  suivant  : 


25o  CHAPITRE    V. 

Je  désignerai  par  D  un  domaine  comprenant  une  infinité  de 
systèmes  de  valeurs  de  #,,  x2  des  s  et  des  u. 

Si,  dans  tout  domaine  o  faisant  partie  de  D,  on  peut  trouver  une 
infinité  de  classes  ordinaires,  on  pourra  être  certain  qu'il  n'existe 
pas  en  dehors  de  F  d'autre  intégrale  qui  soit  analytique  et  uni- 
forme par  rapport  aux  x,  aux  r,  aux  z  et  aux  m,  et  de  plus  pério- 
dique par  rapport  à/,  et  à  y2  et  qui  reste  telle  pour  toutes  les 
valeurs  réelles  de  yK  et  dey2,  pour  les  valeurs  suffisamment  petites 
de  p.,  et  pour  les  valeurs  de  xt,  x2  des  z  et  des  u  qui  appartien- 
nent au  domaine  D. 

Si,  dans  tout  domaine  o  faisant  partie  de  D,  on  peut  trouver 
une  infinité  de  classes  singulières  du  q'l:me  ordre,  il  ne  pourra  pas 
exister  plus  de  q  +  i  intégrales  uniformes  distinctes,  en  y  com- 
prenant F. 

Application  au  problème  des  trois  Corps. 

85.  Je  vais  m'occuper  maintenant  d'appliquer  les  notions  qui 
précèdent  aux  divers  cas  du  problème  des  trois  Corps. 

Commençons  par  le  cas  particulier  défini  au  n°  9.  Dans  ce  cas, 
nous  avons  2  degrés  de  liberté  seulement  et  quatre  variables 

xi  =  L,        Xi  =  G, 

y\  =  h       y-i  =  s  —  t 

(cf.  n°  9);  on  a  d'ailleurs 


2.CCJ 

Le  hessien  de  F0  est  nul,  mais  on  peut,  par  l'artifice  du  n°  43, 
ramener  le  problème  au  cas  où  ce  hessien  n'est  pas  nul. 

Si  donc  il  existait  une  intégrale  uniforme,  il  faudrait  que,  dans 
le  développement  de  F1  (qui  est  la  fonction  perturbatrice  des 
astronomes),  suivant  les  sinus  et  les  cosinus  des  multiples  de  yK 
etjK25 tous  les  coefficients  s'annulent  au  moment  où  ils  deviennent 
séculaires. 

L'examen  du  développement  bien  connu  de  la  fonction  pertur- 
batrice montre  qu'il  n'en  est  pas  ainsi. 


NON-EXISTENCE    DES     INTÉGRALES    UNIFORMES.  "2.5 1 

Nous  devons  donc  conclure  que,  dans  ce  cas  particulier  du  pro- 
blème des  trois  Corps,  il  n'y  a  pas  d'intégrale  uniforme  distincle 
de  F. 

Dans  mon  Mémoire  des  Acta  mathematica  (t.  XIII),  je  me 
suis  servi  pour  établir  le  même  point  de  l'existence  des  solutions 
périodiques  et  du  fait  que  les  exposants  caractéristiques  ne  sont 
pas  nuls.  La  démonstration  que  je  donne  ici  ne  diffère  de  celle  des 
Acta  que  par  la  forme,  mais  elle  se  prête  mieux  à  la  généralisation 
qui  va  suivre. 

Considérons  maintenant  un  cas  un  peu  plus  général  du  problème 
des  trois  Corps,  celui  où  le  mouvement  se  passe  dans  un  plan,  el 
supposons  qu'on  ait  réduit  le  nombre  des  degrés  de  liberté  à  3, 
ainsi  qu'on  l'a  dit  au  n°  15. 

Nous  avons  alors  six  variables  conjuguées,  à  savoir 

pL,    p'L',    pn  =  H, 

/,  /',  Il  =  w  —  m' . 

Supposons  que  l'on  développe  la  fonction  perturbatrice  F,  de 
la  manière  suivante 


les  coefficients  f$m  m.  seront  fonctions  de  (UL,  (3'L/,  H  et  //. 

Soient/?  et  q  deux  entiers  quelconques  premiers  entre  eux; 
formons  les  expressions 

(14)  B^B^         (X,  X'  =  o,  ±1,  ±i.  ...,  ad  inf.). 

Donnons  à  L  et  à  L/  des  valeurs  satisfaisant  à  la  condition 
(12  bis),  c'est-à-dire  telles  que  le  rapport  des  moyens  mouvements 

soit  égal  a  —  — • 
&  P 

Pour  que  le  problème  admît  une  intégrale  uniforme  autre  que 
l'intégrale  des  forces  vives,  il  faudrait  qu'il  y  eût  une  relation  entre 
deux  quelconques  d'entre  elles  (n  =  3,  in  —  4  =  2),  c'est-à-dire 
que  toutes  ces  expressions  (i4)  fussent  des  fonctions  de  B0î0, 
c'est-à-dire  de  la  partie  séculaire  de  la  fonction  perturbatrice.  Or 
l'examen  du  développement  bien  connu  de  cette  fonction  montre 
qu'il  n'en  est  pas  ainsi. 


CHAPITRE     V. 


Nous  devons  donc  conclure  que,  en  dehors  de  l'intégrale  des 
forces  vives,  le  problème  n'admet  pas  d'intégrale  uniforme  de  la 
forme  suivante 

<ï»(L,  V,  II,  /,  /',  h)  =  const. 

périodique  en  /  et  /'. 

Mais  cela  ne  nous  suffit  pas,  il  nous  faut  encore  démontrer  que 
le  problème  n'admet  pas  d'intégrale  de  la  forme  suivante 

<P(  L,  L',  II,  n',  /,  /',  m,  m')=  const., 

où  la  fonction  <t>  dépend  d'une  manière  quelconque  de  ra  et  de  rs' 
au  lieu  de  dépendre  seulement  de  la  différence  m  —  m'. 

Pour  cela  il  faut  prendre  le  problème  avec  4  degrés  de  liberté, 
ainsi  que  nous  l'avons  fait  au  n°  16. 

Nous  aurons  alors  huit  variables  conjuguées 

PL,    p'L',    pn,    p'n', 

/,  l',        m,        m'. 

Les  coefficients  BOTi  ,„a  et  les  expressions  (i4)  dépendent  alors 
de  L,  L',  II,  II',  m  et  m'.  Quand  on  aura  donné  à  L  et  à  L'  des 
valeurs  constantes  telles  que  le  rapport  des  moyens  mouvements 

soit  égal  à  — -,  les  expressions  (i4)  ne  dépendront  plus  que  des 
P 

quatre  variables  II,  II',  m  et  m'. 

Pour  qu'il  y  ait  une  intégrale  uniforme  autre  que  celle  des  forces 
vives,  il  faut  que  l'on  ait  une  relation  entre  quatre  quelconques 
(2ft  —  4  =  4>  n  =  4)  des  expressions  (i4)j  c'est  ce  qui  arrive 
puisque  toutes  ces  expressions  sont  fonctions  seulement  des  trois 
variables  II,  II'  et  to  —  m'. 

Rien  ne  s'oppose  donc  à  ce  qu'il  existe  une  intégrale  autre  que 
celle  des  forces  vives,  et  il  en  existe  une  en  effet,  à  savoir  l'inté- 
grale des  aires. 

Pour  qu'il  y  eût  deux  intégrales,  il  faudrait  qu'il  y  eût  une  rela- 
tion entre  trois  quelconques  de  ces  expressions;  c'est-à-dire  que 
toutes  ces  expressions  dépendissent  seulement  de  deux  d'entre 
elles.  11  n'en  est  pas  ainsi. 

Donc,  en  dehors  de  l'intégrale  des  forces  vives  et  de  celle  des 
aires,  le  problème  n'admet  pas  d'autre  intégrale  uniforme. 


NON-EXISTENCE    DES     INTÉGRALES    UNIFORMES.  253 

Passons  enfin  au  cas  le  plus  général  du  problème  des  trois  Corps, 
et  posons  le  problème  comme  au  n°  11,  c'est-à-dire  avec  6  degrés 
de  liberté  et  avec  les  douze  variables  : 

PL,    pG,    pe,    p'L',    p'G',    p'e'. 
i,      g,      g,      r,       g',      e\ 

Les  expressions  (i  4),  après  qu'on  a  donné  à  L  et  à  U  des  valeurs 
constantes  convenables  choisies  comme  plus  haut,  dépendent 
encore  des  huit  variables  G,  G',  6,  0',  g,  g',  9,  Q'. 

Pour  qu'il  y  eût  q  intégrales  uniformes  distinctes  de  F,  il  fau- 
drait qu'il  y  eût  une  relation  entre  in  —  «3  —  ^  =  9  —  <7  quelcon- 
ques des  expressions  (i4)- 

Il  est  aisé  de  vérifier  que  ces  expressions  dépendent  seulement 
de  cinq  variables,  à  savoir  de 

G,     G',     g,     g' 

et  de  l'angle  des  plans  des  deux  orbites  osculatrices. 

11  y  a  donc  une  relation  entre  6  =  9  —  3  quelconques  des 
expressions  (i4)- 

Rien  ne  s'oppose  donc  à  l'existence  de  trois  intégrales  nouvelles 
et  elles  existent  effectivement  :  ce  sont  les  intégrales  des  aires. 
Mais  il  n'y  a  pas  de  relation  entre  5  =  9  —  4  quelconques  des 
expressions  (i4)- 

Donc,  le  problème  des  trois  Corps  n'admet  pas  d'autre  inté- 
grale uniforme  que  celles  des  forces  vives  et  des  aires. 

Je  me  suis  borné,  pour  ne  pas  interrompre  le  raisonnement,  à 
affirmer  qu'il  n'existe  pas  de  relations  entre  les  expressions  (i4)j 
je  reviendrai  plus  loin  sur  cette  question. 

On  sait  que  M.  Bruns  a  démontré  (Acta  mathemalica,  t.  II) 
que  le  problème  des  trois  Corps  n'admet  pas  de  nouvelle  intégrale 
algébrique,  en  dehors  des  intégrales  déjà  connues. 

Le  théorème  qui  précède  est  plus  général  en  un  sens  que  celui 
de  M.  Bruns,  puisque  je  démontre  non  seulement  qu'il  n'existe 
pas  d'intégrale  algébrique,  mais  qu'il  n'existe  même  pas  d'inté- 
grale transcendante  uniforme,  et  non  seulement  qu'une  intégrale 
ne  peut  pas  être  uniforme  pour  toutes  les  valeurs  des  variables, 
mais  qu'elle  ne  peut  même  pas  demeurer  uniforme  dans  un 
domaine  restreint  défini  plus  haut. 


254  CHAPITRE     V. 

Mais,  en  un  autre  sens,  le  théorème  de  M.  Bruns  est  plus  général 
que  le  mien  ;  j'établis  seulement,  en  effet,  qu'il  ne  peut  pas  exister 
d'intégrale  algébrique  pour  toutes  les  valeurs  suffisamment  petites 
des  masses;  et  M.  Bruns  démontre  qu'il  n'en  existe  pour  aucun 
système  de  valeurs  des  masses. 


Problèmes   de  Dynamique  où  il  existe  une  intégrale  uniforme. 

86.  Il  y  a  des  problèmes  où  l'on  connaît  l'existence  d'une  inté- 
grale uniforme  et  où  l'on  peut  se  proposer  de  vérifier  que  les  con- 
ditions énoncées  dans  les  numéros  qui  précèdent  sont  effective- 
ment remplies. 

Prenons  comme  exemple  le  problème  du  mouvement  d'un  point 
mobile  M,  attiré  par  deux  centres  fixes  A  et  B. 

Je  supposerai,  pour  simplifier,  que  le  mouvement  se  passe  dans 
un  plan;  je  supposerai  de  plus  que  la  masse  de  A  est  grande, 
tandis  que  celle  de  B  est  égale  à  une  quantité  très  petite  u.,  de 
telle  façon  que  l'on  puisse  regarder  l'attraction  de  B  comme  une 
force  perturbatrice. 

Nous  définirons  alors  la  situation  du  point  M  par  les  éléments 
oscillateurs  de  son  orbite  autour  de  A  et  nous  désignerons  ces 
éléments  par  les  lettres  L,  II,  /et  m,  comme  au  n°  10.  Nous  aurons 
alors 

F  =  i  +  Mir     d'où     Fo=i'     Fi==mb; 

F,  pourra  se  développer  sous  la  forme  suivante 

F1=SB„ey=ï'»'. 

Les  coefficients  Bm  dépendent  alors  de  L,  II  et  m,  et,  pour  qu'il 
existe  une  intégrale,  il  faut  qu'il  y  ait  une  relation  entre  deux 
quelconques  des  coefficients  d'une  même  classe  (ft  =  i,  in —  2  =  2; 
je  dis  in  —  2,  au  lieu  de  in  —  4>  parce  que  F0  dépend,  non  plus 
de  deux  variables  xK  et  x2  comme  aux  n(jS  .84  et  85,  mais  d'une 
seule  variable)  quand  on  donne  à  L  une  valeur  satisfaisant  à  la 
relation  (1 1  bis). 

Mais  ici   tous  les  coefficients  Bm  (qui  n'ont  plus   qu'un   seul 


NON-EXISTENCE    DUS    INTÉGRALES    UNIFORMES.  255 

indice)  appartiennent  à  une  même  classe  et  une  relation  (12  bis) 
s'écrit  simplement 

ou  L  =  do.  Il  ne  pourrait  donc  y  avoir  de  difficulté  que  pour  les 
valeurs  infinies  de  L.  Si  donc  nous  reprenons  le  langage  abrégé 
des  numéros  précédents,  et  si  l'on  appelle  D  un  domaine  quel- 
conque formé  par  une  infinité  de  systèmes  de  valeurs  deL,  Iletra, 
mais  tel  que,  pour  tous  ces  systèmes,  la  valeur  de  L  soit  finie,  la 
classe  dont  font  partie  tous  ces  coefficients  B  n'appartiendra  pas 
au  domaine  D;  rien  ne  s'opposera  donc  à  l'existence  d'une  inté- 
grale qui  reste  uniforme  dans  ce  domaine  D. 

Passons  à  un  autre  problème;  celui  du  mouvement  d'un  corps 
pesant  autour  d'un  point  fixe. 

Ce  problème  a  été  intégré  dans  trois  cas  particuliers  différents 
par  Euler,  par  Lagrange  et  par  Mme  de  Kowalevski  (cf.  Acta  matke- 
matica,  12).  Je  crois  savoir  que  Mme  de  Kowalevski  a  découvert 
encore  de  nouveaux  cas  d'intégrabilité. 

On  peut  donc  se  demander  si,  dans  ce  problème,  les  considéra- 
tions exposées  dans  ce  Chapitre  s'opposent  à  l'existence  d'une 
intégrale  uniforme  autre  que  celles  des  forces  vives  et  des  aires. 

Je  supposerai  que  le  produit  du  poids  du  corps  par  la  distance 
du  centre  de  gravité  au  point  de  suspension  est  très  petite,  de  telle 
façon  que  l'on  puisse  écrire  les  équations  du  problème  sous  la  forme 

dxj  _   dF  dyt  _         d¥ 

dt         dyt  dt  dxt 

F  =  F„+[xF1. 

Les  xi  et  les  yi  forment  trois  couples  de  variables  conjuguées; 
F  désigne  l'énergie  totale  du  système;  F0  est  sa  demi-force  \ùve; 
u.  est  une  quantité  très  petite  et  piF,  représente  le  produit  du  poids 
du  corps  par  la  distance  du  centre  de  gravité  à  un  plan  horizontal 
passant  par  le  point  de  suspension. 

Dans  le  cas  où  jji  est  nul  (c'est-à-dire  où  le  centre  de  gravité 
coïncide  avec  le  point  de  suspension),  le  mouvement  du  corps 
solide  se  réduit  à  un  mouvement  à  la  Poinsot.  Comme  nous  sup- 
posons p.  très  petit,  c'est  ce  mouvement  à  la  Poinsot  qui  va  nous 


256  CHAPITRE     V. 

servir  de  première  approximation,  à  la  façon  du  mouvement  képlé- 
rien  dans  l'étude  du  problème  des  trois  Corps  par  les  approxima- 
tions successives. 

Je  dois,  avant  d'aller  plus  loin,  définir  deux  quantités  n  et  n', 
que  j'appellerai  les  deux  moyens  mouvements  et  qui  joueront  un 
rôle  important  dans  ce  qui  va  suivre.  Dans  le  mouvement  à  la 
Poinsot,  l'ellipsoïde  d'inertie  roule  sur  un  plan  fixe:  soit  P  le  pied 
de  la  perpendiculaire  abaissée  du  point  de  suspension  sur  ce  plan 
fixe  et  Q  le  point  de  contact.  Ce  point  de  contact  appartient  à 
une  courbe  fixe  par  rapport  à  l'ellipsoïde  et  appelée  polhodie.  Au 
bout  d'un  certain  temps  T,  le  même  point  de  la  polhodie  reviendra 
en  Q'  en  contact  avec  le  plan  fixe.  Soit  a  l'angle  QPQ'.  Nous 
poserons 

1TZ  ,  Cf. 

«  =    -7JT  '  ,l    =    X 

et  n  et  n'  seront  les  deux  moyens  mouvements. 

Cela  posé,  les  équations  du  mouvement  à  la  Poinsot  pourront 
s'écrire  de  la  manière  suivante. 

Soient  x,y  et  z  les  coordonnées  d'un  point  quelconque  du  corps 
solide  en  prenant  l'origine  des  coordonnées  au  point  de  suspension 
et  l'axe  des  z  vertical. 

Posons 

l  =  nt  -+-  g,         /'  =  n'i  -+-  s', 

s  et  e'  étant  deux  constantes  d'intégration. 

Soient  £,  7j  et  ^  trois  fonctions  de  n:  n'  et  /,  périodiques  de 
période  2/-  en  l  (ces  fonctions,  comme  on  le  sait,  dépendent  des 
fonctions  elliptiques);  soient  9  et  o  deux,  nouvelles  constantes 
d'intégration  5  on  aura 

x  =  cos6(ç  cosl' —  7)  sin/')  —  sin  G  coscp  (£  sin/'-t-  rt  cosl')  -h  ty  sinô  sincp, 
y  —  sinô  (\\  cosl'  —  tj  sin/')-}-  cos6  coscp  (ç  sin/'-r-T]  cosl')  —  ty  cos^  sin  9, 

z  =  sincp(£  sin  V  -\-  rt  cos  l')  -+-  ty  coscp. 

Si  l'on  suppose  que  le  point  (#,  y,  z)  est  le  centre  de  gravité 
du  corps  solide,  F,  se  réduit  à  un  facteur  constant  près  à  z,  de 
sorte  que  nous  pourrons  écrire 

F1  =  ïB,llAe*~i<'»<+n  +  vB/iiMeJ—(m/)_hIiBm__ies/—i{/ll/-r)^ 
les  coefficients  B  dépendant  seulement  de  /?,  de  n'  et  de  çp. 


NON-EXISTENCE    DES    INTÉGRALES    UNIFORMES.  207 

Lorsqu'on  donnera  à  n  et  à  «'des  valeurs  constantes  satisfaisant 
à  la  condition  (12  bis),  les  B  ne  dépendront  plus  que  de  <p,  de 
sorte  qu'il  y  aura  une  relation  entre  deux  quelconques  d'entre  eux. 

Les  D\  ne  dépendront  que  de  z>  et  de  Ç  en  posant,  comme  dans 
les  numéros  précédents, 

Il  y  aura  donc  une  relation  entre  in  —  3  =  3  quelconques  des  Dx. 
Toute  classe  sera  donc  singulière  du  premier  ordre. 

Rien  ne  s'oppose  donc  à  l'existence  d'une  intégrale  uniforme 
distincte  de  celle  des  forces  vives  et  nous  savons,  en  effet,  qu'il  en 
existe  une,  à  savoir  celle  des  aires. 

Mais  la  question  est  de  savoir  s'il  peut  en  exister  une  troisième. 

A  cet  effet,  cherchons  quelles  sont  les  classes  qui  sont  singu- 
lières du  deuxième  ordre.  Il  faut  pour  cela  et  il  suffît  qu'il  y  ait 
entre  trois  quelconques  des  Dx  deux  relations  et,  par  conséquent, 
que  tous  les  Dx  soient  fonctions  d'un  seul  d'entre  eux.  Nous  serons 
ainsi  conduits  à  distinguer  plusieurs  sortes  de  classes  : 

i°  La  classe  \  qui  contient  tous  les  coefficients  Bw0.  Celle-ci 
est  singulière  du  deuxième  ordre.  On  a  en  effet 

B,«.o  =  Cw.ocoscp, 

G,H.o  ne  dépendant  que  de  11  et  de  n!  et  devant,  par  conséquent, 
être  regardé  comme  une  constante,  puisqu'on  a  supposé  qu'où 
donnait  à  n  et  à  n'  des  valeurs  constantes.  On  a  alors 

Dx=  Gx.ocostp^. 

Pour  que  les  Dx  soient  fonctions  d'un  seul  d'entre  eux,  il  faut  que 
tous  les  Cx.o  s'annulent,  à  l'exception  d'un  seul  d'entre  eux,  ou 
(pie  la  fonction  <b  se  réduise  à  une  exponentielle 


Mais,  pour  satisfaire  à  la  condition  (12  bis),  il  faut  donner  à  n  la 
valeur  o;  quel  est  donc  le  mouvement  à  la  Poinsot  pour  lequel 
n  =  o?  Un  peu  d'attention  montre  que  c'est  celui  qui  correspond 
à  la  rotation  uniforme  autour  de  l'un  des  axes  d'inertie.  Dans  un 
pareil  mouvement,  la  fonction  >l  est  une  constante  indépendante 
H.  P.  —  1.  i7 


2^8  CHAPITRE    V. 

de  /.  Cela  prouve  que  tous  les  Cx.o  sont  nuls  pour  ces  valeurs  par- 
ticulières de  n  et  de  n',  à  l'exception  de  C0.0. 

La  classe  est  donc  singulière  du  deuxième  ordre. 

2°  Les  classes  de  la  forme  —  qui  ne  contiennent  que  trois  coef- 
ficients 

Ces  classes  ne  peuvent  être  singulières  du  deuxième  ordre  que  si 

B/n.l  =  "—m.—l  —  ° 

ou,  ce  qui  revient  au  même,  si  dans  le  développement  de  £  -t-  ir, 
et  de  \  —  I7i,  suivant  les  puissances  positives  et  négatives  de  etl,  il 
n'y  a  pas  de  termes  en  e+mil  (en  supposant  £  et  r\  réels). 

Cela  n'arrivera  pas,  en  général,  quand  l'ellipsoïde  d'inertie  ne 
sera  pas  de  révolution;  mais,  si  cet  ellipsoïde  est  de  révolution,  on 

aura 

ç  =  A  cosl  -t-  B  sin  l  -+■  G,         t]  =  A'cosZ  -+-  B'sin  /  -t-  G', 

A,  B,  C,  A',  B',  C  étant  des  constantes.  Il  en  résulte  que  l'on  aura 

B/k.i  =  —  B-,,,.-!  =  o, 

à  moins  que  m  =  î ,  o  ou  —  i . 

Toutes  les  classes  —  seront  alors  singulières  du  deuxième  ordre, 

à  l'exception  des  classes  -,  -  et • 

1  iii 

3°  Toutes  les  autres  classes  se  réduisant  au  seul  coefficient  B0.0 

seront  singulières  du  deuxième  ordre. 

En  résumé,  si  l'ellipsoïde  est  de  révolution,  toutes  les  classes 

sont  singulières  du  deuxième  ordre,  à  l'exception  des  classes  -,  - 

et=I. 
i 

Rien  ne  s'oppose  donc  à  ce  qu'il  existe  une  troisième  intégrale 
uniforme  et  même  à  ce  qu'elle  soit  algébrique,  pourvu  que  le  jaco- 
bien  des  trois  intégrales  s'annule  quand  on  fait  ;z'=  o  ou  n' ==.  dz  n. 
(Celte  dernière  condition  n'est  pas  nécessaire  dans  le  cas  de 
Lagrange,  c'est-à-dire  si  le  point  de  suspension  est  sur  l'axe  de 
révolution,  parce  qu'alors  £  et  tj  se  réduisent  à  des  constantes.) 

Si,  au  contraire,  l'ellipsoïde  n'est  pas  de  révolution,  il  y  a  une 


NON-EXISTENCE    DES    INTÉGRALES    UNIFORMES.  25ç) 

infinité,  de  classes  qui  ne  sont  pas  singulières  du  deuxième  ordre, 
à  savoir  des  classes  —  ;  mais  envisageons  un  domaine  D  compre- 
nant une  infinité  de  systèmes  de  valeurs  de  /*,  n' ,  ©  et  9  et  suppo- 
sons que,  pour  aucun  de  ces  systèmes,  n'  ne  soit  multiple  de  n  ; 

aucune  des  classes  —  n'appartiendra  à  ce  domaine.  Rien  ne  s'op- 
pose donc  encore  à  ce  qu'il  existe  une  troisième  intégrale  uniforme, 
pourvu  que  le  jacobien  des  trois  intégrales  s'annule  dès  que  n'  est 
multiple  de  n  ;  d'où  il  résulte  que  cette  troisième  intégrale  ne  peut, 
en  général,  être  algébrique. 

Les  conditions  énoncées  dans  ce  Chapitre  étant  nécessaires, 
mais  non  suffisantes,  rien  ne  prouve  que  cette  troisième  intégrale 
existe;  il  convient,  avant  de  se  prononcer,  d'attendre  la  publication 
complète  des  résultats  de  Mme  de  Kowalevski  ('). 

Intégrales  non  holomorphes  en  \i. 

87.  Jusqu'ici  nous  avons  supposé  que  notre  intégrale  uniforme  <E> 
était  développabie  suivant  les  puissances  entières  de  [t..  ïl  est  facile 
d'étendre  le  résultat  au  cas  où  l'on  renoncerait  à  cette  hypothèse. 

Supposons,  par  exemple,  que  <ï>  soit  développabie  suivant  les 
puissances  entières  de  y/ pi;  nous  pourrons  écrire 

<i>  =  <f'-t-  \f~[x  <ï>", 

<ï>'  et  <ï>"  étant  développables  suivant  les  puissances  entières  de  u. 
Si  <I>  est  une  intégrale,  on  devra  avoir  identiquement 

[F,  *]  =  [F,  cp'j  +  v/^F,  *']=o. 

Comme  [F,  <ï>']  et  [F,  <ï>"]  sont  développables  suivant  les  puissances 
entières  de  u,  on  devra  avoir  séparément 

[F,*']  =  [Fj*"].  =  o. 


(')  Depuis  que  ces  lignes  ont  été  écrites,  le  monde  savant  a  eu  à  déplorer  la 
mort  prématurée  de  Mn,e  de  Kowalevski.  Les  notes  qu'on  a  retrouvées  chez  elle 
sont  mallieureusemont  insuffisantes  pour  permettre  de  reconstituer  ses  démon- 
strations et  ses  calculs. 


260  CHAPITRE    V. 

Donc  <ï>'  et  4>"  doivent  être  toutes  deux  des  intégrales. 

Si  donc  on  a  démontré  qu'il  ne  peut  pas  exister  d'intégrale 
uniforme  développable  suivant  les  puissances  entières  de  [*,  on 
aura  démontré  qu'il  ne  peut  pas  exister  non  plus  d'intégrale  uni- 
forme développable  suivant  les  puissances  entières  de  \Jp. 

Plus  généralement,  soient 

(ï)  Oxdo,    e2o),    ...,    6,(1*) 

p  fonctions  quelconques  de  ;j.. 

Supposons  que  $  soit  de  la  forme 

/  *  =      A0.19i(^)H-A1.1i*61(i*)H-A2.1i*261((*)  +  ... 
■  )  +A0.262(i*)-t-A1.2i*62(i*)+... 

[  -+-  A0.,6,(  t*)  -+-  A,.,  i*6, (  i*)  -+-..., 

les  A  étant  des  fonctions  des  x  et  des  y  indépendantes  de  jj.. 

Nous  pouvons  toujours  supposer  qu'il  n'y  a  pas  entre  les  p 
fonctions  (i)  de  relations  de  la  forme 

(3)  ç161-+-«p2|62  +  -  •  --H<P/>6,  =  o, 

cd,,  C22,  .  .  .,  op  étant  développables  suivant  les  puissances  de  [a. 
S'il  en  était  ainsi  en  effet,  l'une  des  fonctions  cp,,  cp2,  .  .  . ,  cp^,  ne 
contiendra  pas  \k  en  facteur;  car,  si  toutes  ces  fonctions  conte- 
naient pi  en  facteur,  le  premier  membre  de  (3)  serait  divisible 
par  u  et  l'on  effectuerait  la  division. 

Supposons,  par  exemple,  que  o,  ne  s'annule  pas  avec  [j.  ;  on 
pourra  résoudre  l'équation  (3)  par  rapport  à  9,  et  on  aura 

o1  =  -2ïe,-2ie,-...-2£eP. 

^j  ^>  •••  seront  développables  suivant  les  puissances  de  u,  et  si 

<?i    ffi 

l'on  remplace  G,  par  cette  valeur  dans  l'expression  (2),  on  aura 

réduit  d'une  unité  le  nombre  des  fonctions  (1). 

Supposons  donc  que  ces  fonctions  ne  soient  pas  liées  par  une 
relation  de  la  forme  (3). 

Nous  pourrons  écrire 

«p  =  «p^-f-  <p262  +  .  .  .-h  *»6/;, 


NON-EXISTENCE    DES     INTÉGRALES    UNIFORMES.  2ÔI 

4>(,  <ï>o,  .  .  .,  $}p  élant  développables  suivant  les  puissances  de  p.. 
Si  $  est  une  intégrale,  on  aura 

(4)  [F,  *]  =  61[F,  *,]-+- 6,  [F,  *2]+...+  e/){F!  *p]  =  o. 
Je  dis  qu'on  aura  séparément 

(5)  [F,  *!]•=  [F,  *,]=...=  [F,  *,]  =  <>. 

Car,  s'il  n'en  était  pas  ainsi,  comme  les  quantités  [F,  <&/] 
(i=i,  i,  .••,/?)  sont  développables  suivant  les  puissances  de  [x, 
la  relation  (4)  serait  de  la  forme  (3),  ce  qui  est  contraire  à  l'hypo- 
thèse que  nous  venons  de  faire. 

Donc  les  relations  (5)  out  lieu. 

Donc  <&{,  <ï>o,  .  .  . ,  <bp  sont  des  intégrales. 

Si  donc  on  a  démontré  qu'il  ne  peut  pas  y  avoir  d'intégrale  uni- 
forme développable  suivant  les  puissances  de  jjl,  on  aura  démontré 
qu'il  n'y  a  pas  non  plus  d'intégrale  uniforme  de  la  forme  (2). 

J'ajouterai  que  le  raisonnement  s'applique  quand  les  fonc- 
tions (1)  sont  en  nombre  infini. 


Discussion  des  expressions  (14  ). 

88.  Je  reviens  sur  le  sujet  que  j'avais  réservé  plus  haut,  à 
savoir  sur  la  démonstration  de  ce  fait  qu'il  n'existe  pas  de  relation 
entre  in  —  l\  quelconques  des  expressions  (i4)  dans  le  cas  du 
problème  des  trois  Corps. 

Nous  avons,  pour  définir  les  expressions  (14)5  supposé  que  la 
fonction  perturbatrice  F,  avait  été  développée  sous  la  forme  sui- 
vante 

les  coefficients  B„v„,  étant  des  fonctions  des  autres  variables 

L,        L',        II,       II' ,       775,       T7l' 

ou 

L,     L',     G,     G',     g,     g',     6,     0',     6,     6'. 

Ce  n'est   pas  sous   cette   forme   qu'on   développe   d'ordinaire   la 
fonction  perturbatrice  dans  les  traités  de  Mécanique  céleste. 


2&2  CHAPITRE    V. 

On  prend  comme  variables  : 

Les  grands  axes,  les  excentricités,  les  inclinaisons,  les  longi- 
tudes moyennes  et  les  longitudes  des  périhélies  et  des  nœuds. 
Mais  il  est  aisé  de  voir  que  cela  revient  au  même. 
Si  nous  posons 

il  viendra 

\2)  il  —   -JWi|mît'  i        o  i         o 

Le  facteur  exponentiel  ne  dépend  que  des  longitudes  moyennes 

Z  +  3--H0,    r+ff'-^v 

et  le  facteur  C„2i,„a  ne  dépend  que  des  autres  vai-iables,  grands 
axes,  excentricités,  inclinaisons,  longitudes  des  périhélies  et  des 
nœuds.  Nous  retomberons  donc  ainsi  sur  le  développement  habi- 
tuel de  la  fonction  perturbatrice. 

Les  expressions  (i-i)  peuvent  alors  s'écrire 

Pour  qu'il  y  ait  une  intégrale  uniforme,  il  faut  donc  qu'il  y  ait 
une  relation  entre  in  —  4  quelconques  (n  =  4  dans  le  plan, 
n  =  6  dans  l'espace)  des  expressions 

(.4  bis)      G^.^G^.v7     (X>  X'  =  o,  dz  i,  ±  a,  ±  3,  •  .  . ,  ad  inf.) 

formées  à  l'aide  des  coefficients  du  développement  (2). 

Ainsi,  pour  appliquer  les  principes  du  présent  Chapitre,  il  n'est 
pas  nécessaire  d'effectuer  un  nouveau  développement  de  la  fonc- 
tion perturbatrice  à  l'aide  de  nouvelles  variables,  tel  que  serait  le 
développement (1).  On  peut  se  servir  du  développement  déjà  usité 
par  les  astronomes,  c'est-à-dire  du  développement  (2). 

Les  coefficients  Cmi„H  sont  développables  suivant  les  puissances 
croissantes  des  excentricités  et  des  inclinaisons.  Considérons  donc 
le  développement  de  l'un  de  ces  coefficients  suivant  les  puissances 
des  excentricités  et  des  inclinaisons.  On  sait  (cf.  n°  12)  que 
tous  les  termes  de  ce  développement  seront  de  degré  )/??,  + m2| 


NON-EXISTENCE    DES    INTÉGRALES    UNIFORMES.  263 

au  moins  par  rapport   à  ces   quantités  et,  si  leur  degré  diffère 
de  \mt  +  m2|,  la  différence  est  un  nombre  pair. 
Nous  pourrons  donc  écrire 

n         po         ,    pi         ,  <rP         i 

Qra  m,  représentant  l'ensemble  des  termes  du  développement  qui 

sont  de  degré 

|  m  i  -+-  m%  |  -+-  ip 

par  rapport  aux  excentricités  et  aux  inclinaisons. 

Nous  dirons  que  G^  ma  est  le  terme  principal  de  C,„i7„,  et  que 
les  autres  termes  en  sont  les  termes  secondaires. 

Il  y  aura  exception  pour  le  coefficient  C0o5  on  a,  dans  ce  cas, 

Gqo  =  C00-f-C0()-t-.... 

C"0  ne  dépend  que  des  grands  axes;  si  ces  grands  axes  sont 
regardés  momentanément  comme  des  constantes,  ainsi  que  nous 
l'avons  fait  dans  les  numéros  précédents  [c'est,  en  effet,  en  suppo- 
sant les  grands  axes  constants  que  l'existence  d'une  intégrale  uni- 
forme entraîne  celle  d'une  relation  entre  in  —  4  expressions  (i4)]  ; 
si  donc  les  grands  axes  sont  des  constantes,  C°00  sera  aussi  une 
constante  qui  ne  jouera  aucun  rôle  dans  le  calcul. 

C'est  donc  Cl00  qui  est  du  second  degré  par  rapport  aux  excen- 
tricités et  aux  inclinaisons  que  nous  conviendrons  d'appeler  le 
terme  principal  de  C00. 

Si  alors  nous  remplaçons  le  développement  (2)  par  le  suivant 

nous  dirons  que  nous  avons  écrit  le  développement  de  la  fonction 
perturbatrice  F,  réduite  à  ses  termes  principaux. 

Cela  posé,  quelle  est  la  condition  pour  qu'il  y  ait  une  relation 
entre  in  —  4  quelconques  des  expressions 

(i4)  C^Cv*v7    (l,  V  =  o,  ±i,±a,  ...). 

Formons  un  tableau  composé  d'une  infinité  de  lignes  formées 
comme  il  suit  : 

Les  différentes  lignes  correspondront  aux  diverses  valeurs  en- 
tières de  l'indice  "k,  positives,  négatives  ou  nulles. 


204  CHAPITRE     V. 

Le  premier  élément  de  la  ligne  d'indice  ~k  sera 

les  autres  seront  les  dérivées  de  Gip.iq  par  rapport  aux  diverses 
variables 

e,     e',     tz,     m',     i,     i',     G,     G', 

c'est-à-dire  par  rapport  aux  excentricités,  aux  longitudes  des  péri- 
hélies, aux  inclinaisons  et  aux  longitudes  des  nœuds. 

Eli  bien,  la  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  que  l'on  ait 
une  relation  entre  in  —  4  =  8  (n  =  6  dans  l'espace)  des  expres- 
sions (i4)>  c'est  que  tous  les  déterminants  formés  en  prenant  dans 
ce  tableau  neuf  lignes  quelconques  soient  nuls. 

Inutile  d'ajouter  que,  dans  les  cas  plus  simples,  par  exemple 
lorsque  les  trois  Corps  se  meuvent  dans  un  plan,  le  nombre  des 
colonnes  et  des  lignes  de  ces  déterminants  est  plus  petit  que  9. 

Nous  avons  vu  que  tous  les  termes  du  développement  de  CWi,„, 
sont  de  degré  |  m{  -h  m2  [  au  moins.  Donc,  parmi  les  éléments  de  la 
ligne  d'indice  X  (que  je  suppose  développés  suivant  les  puissances 
des  excentricités  et  des  inclinaisons),  le  premier  "kCip.\q  commence 
par  des  termes  de  degré 

\lp  +  \q\. 

II  en  est  de  même  des  dérivées  de  C\p,iq  par  rapport  aux  m  et 
aux  9,  tandis  que  les  dérivées  de  C\p,iq  par  rapport  aux  e  et  aux  i 
commenceront  par  des  termes  de  degré 

|  \p  -+-  lq  |  —  1 . 

Pour  la  ligne  d'indice  o,  le  premier  terme  se  réduit  à  o  ;  les  déve- 
loppements de  dérivées  de  C0o  par  rapport  aux  nr  et  aux  9  commen- 
ceront par  des  termes  du  second  degré,  et  ceux  des  dérivées  de  G0o 
par  rapport  aux  e  et  aux  i  commenceront  par  des  termes  du  pre- 
mier degré. 

Nos  déterminants  sont  à  leur  tour  susceptibles  d'être  développés 
suivant  les  puissances  des  e  et  des  i.  Si  un  déterminant  A  est  formé 
par  les  lignes  d'indices 

Âlj        ^2,        ^3;         ■'■  •  j        A9, 


NON-EXISTENCE    DES    INTÉGRALES    UNIFORMES.  265 

tous  les  termes  de  son  développement  seront  alors  au  moins  de 

I  p  +  g  I    (  I  *  1 1  + 1*2 1  -+-  •  •  •  ■+- 1  *  s  I  -+- 1 1 9  i  )  -  4  • 


degré 


Je  pose  cette  quantité  égale  à  a. 

Il  y  a  exception  dans  le  cas  où)^  =  o  ;  tous  les  termes  sont  alors 
au  moins  de  degré 

\p  +  q\   (|Xi|  +  |'X2h-..:-HM)-2. 

Je  poserai  encore  cette  quantité  égale  à  a. 

Le  déterminant  A  devant  être  identiquement  nul,  l'ensemble  des 
termes  de  degré  a  devra  aussi  être  identiquement  nul.  Or  on  ob- 
tiendra ces  termes  de  degré  a,  en  remplaçant  dans  le  déterminant 
A  chacun  des  coefficients  Cip.iq  par  son  terme  principal  Cv^  (ou 
CJ  0  si  1  =  o). 

Le  déterminant  A0  ainsi  obtenu  devra  donc  être  identiquement 
nul;  or  que  signifie  cette  condition 

A0  =  o? 

Formons  les  expressions 

(i4  bis)  (G{plf/)'~'(Cf,p:/,q)^    {l,  X'=±i,  ±2,  ...), 

obtenues  en  remplaçant,  dans  les  expressions  (i4)?  chacun  des  coef- 
ficients C  par  son  terme  principal. 

Si,  dans  l'expression  (i4)>  nous  faisons  \  ==o,  cette  expression 
se  réduit  à 

Co.oj 

dont  le  terme  principal  est  CJ0. 

Nous  adjoindrons  au  tableau  des  expressions  (i4  bis)  l'expres- 
sion Cy0  qui  est  un  polynôme  entier  du  second  degré  par  rapport 
aux  e  et  aux  i. 

Eh  bien,  la  condition  A0  =  o  signifie  qu'il  y  a  une  relation  entre 
huit  quelconques  des  expressions  (i4  bis)  contenues  dans  le  tableau 
ainsi  complété. 

Ainsi,  pour  qu'il  y  ait  une  intégrale  uniforme,  il  faut  qu'il  y  ait 
une  relation  entre  huit  quelconques  de  ces  expressions  (i4  bis). 


'266  CHAPITRE    V. 

Les  coefficients  C  étaient  des  séries  infinies,  et  les  expressions 
(i4)  se  présentaient  sous  la  forme  du  quotient  de  deux  pareilles 
séries. 

Au  contraire,  les  expressions  (i4  bis)  sont  rationnelles  par  rap- 
port aux  e,  aux  i,  aux  sinus  et  cosinus  des  ra  et  des  0. 

La  vérification  est  donc  facilitée  par  la  substitution  aux  coeffi- 
cients de  leurs  termes  principaux. 

Elle  devient  même  aisée  pour  les  petites  valeurs  des  deux  entiers 
p  et  q. 

Quand  on  a  constaté  ainsi  que  les  déterminants  correspondant 
aux  petites  valeurs  des  entiers  jp  et  q  ne  sont  pas  nuls,  il  devient 
difficile  de  conserver  l'illusion  que  les  déterminants  correspondant 
aux  grandes  valeurs  des  mêmes  entiers  puissent  s'annuler  et  per- 
mettre ainsi  l'existence  d'une  intégrale  uniforme. 

Un  doute  pourrait  néanmoins  encore  subsister. 

On  pourrait  supposer,  quelque  invraisemblable  que  cela  puisse 
paraître,  que,  parmi  les  classes  (pour  parler  le  langage  du  n°81),  il 
y  en  a  un  nombre  fini  qui  sont  ordinaires  et  que  ce  sont  précisé- 
ment celles  sur  lesquelles  la  vérification  a  porté;  mais  qu'il  y  en  a 
une  infinité  qui  sont  singulières. 

Pour  lever  complètement  ce  dernier  doute,  il  faudrait  avoir  une 
expression  générale  des  fonctions  (i4)  ou  (i4  bis)  pour  toutes  les 
valeurs  des  entiers  ).,  V ,  p  et  q  et  cette  expression  ne  pourrait  être 
qu'extrêmement  compliquée. 

Heureusement  M.  Flamme,  dans  une  Thèse  récente  (  '  ),  a  donné 
l'expression  approchée  des  termes  de  rang  élevé  dans  le  dévelop- 
pement de  la  fonction  perturbatrice  et  cette  expression  approchée, 
beaucoup  plus  simple  que  l'expression  complète,  peut  suffire  pour 
notre  objet. 

Toutefois,  la  forme  que  lui  a  donnée  M.  Flamme  n'est  pas  la 
plus  convenable  pour  le  problème  qui  nous  occupe;  nous  serons 
obligé  de  compléter  ses  résultats  et  de  les  transformer  considéra- 
blement. 

Je  reviendrai  donc  sur  ce  sujet  dans  le  prochain  Chapitre,  après 
avoir  traité  du  calcul  approché  des  divers  termes  de  la  fonction 
perturbatrice,  car,  bien  que  les  considérations  précédentes  soient 

(')  Paris,  Gauthier-Villars,  1887. 


NON-EXISTENCE    DES    INTÉGRALES    UNIFORMES.  267 

de  nature  à  convaincre  les  plus  sceptiques,   elles  ne   constituent 
pas  cependant  une  démonstration  mathématique  rigoureuse. 

89.   Une  dernière  remarque  peut   faciliter  dans   une    certaine 
mesure  la  vérification. 

Pv.eprenons  la  relation  (i3)  du  n°  84  qui  s'écrit 

—  B;„,  ,„.,    m,  — i-  m-,  -j—  )  -+-   >     rJ— " ■ — — '— -=  =o. 

■\         dx,  dx=i]       A4        dzi       dut  dut       dz;  ) 

En  faisant  dans  cette  relation  mK  =\p,  m2  =  \q,  j'obtiendrai 

une  relation  particulière   que  j'appellerai   (i3  bis);  en  y  faisant 
mi  =  Vp,  m2  =  V q,  j'obtiendrai  une  autre  relation  particulière 
que  j'appellerai  (i  3  ter). 
Soit  ensuite 

Mx.v=  ^ipi^ï'p.):,/; 

Mx.X'  sera  Tune  des  expressions  (i4)  c[ul  ont  joué  un  si  grand  rôle 
dans  les  numéros  précédents. 

Multiplions  (i3  bis)  et  (i3  1er)  respectivement  par 

X'  -X 

et 


et  ajoutons;  il  viendra 

rflogMx.X'  rf*o        tHogMx.X'  d®o 


2 


o, 


dz,  diii  dut         dzi 

ou,  en  adoptant  la  notation  des  crochets  de  Jacobi, 

[logMx.X',  *o]  =  o, 
ou  bien 

[Mx.v,  *o]  =  o. 

Si   donc  M  et  M'  sont  deux  expressions  (i4)  appartenant  à  la 
même  classe,  on  devra  avoir 

[AI,  *0]  =  [M',  *0]  =  o, 

ou,  en  vertu  du  théorème  de  Poisson, 

[[M,  M'],  *0]  =  o, 


268    CHAPITRE    V.     —    NON-EXISTENCE    DES    INTÉGRALES    UNIFORMES. 

d'où  l'on  peut  conclure  que  [M,  M']  est  une  fonction  de  in  — ■  \ 
des  expressions  (i4)- 

Il  ne  faut  pas  oublier  que  les  crochets  doivent  être  calculés  en 
considérante)  ete2  (c'est-à-dire  dans  le  cas  du  problème  des  trois 
Corps,  (3L  et  fi'L')  comme  des  constantes. 


CHAPITRE  Vf. 


DÉVELOPPEMENT  APPROCHE  DE  LA  FONCTION  PERTURBATRICE. 


Énoncé  du  problème. 

90.  J'ai  dit  que  M.  Flamme  avait  donné  une  remarquable  expres- 
sion approchée  des  termes  de  rang  élevé  de  la  fonction  perturba- 
trice. Il  y  est  parvenu  en  appliquant  à  ce  problème  la  méthode  de 
M.  Darboux  qui  permet  de  trouver  les  coefficients  de  rang  élevé 
dans  la  série  de  Fourier  ou  dans  celle  de  Taylor,  quand  on  connaît 
les  propriétés  analytiques  de  la  fonction  représentée  par  ces  séries. 

Mais  la  méthode  de  M.  Darboux  n'est  applicable  qu'aux  fonc- 
tions d'une  seule  variable,  tandis  que  la  fonction  perturbatrice 
doit  être  développée  suivant  les  sinus  et  cosinus  des  multiples  des 
deux  anomalies  moyennes.  Voici  donc  quel  est  le  détour  employé 
par  M.  Flamme  :  il  obtient  d'abord,  par  les  procédés  ordinaires, 
un  premier  développement  de  la  fonction  perturbatrice  dont  les 
termes  sont  de  la  forme 

\  Q0Cg/((Be+Y«)       0'a'g/(pv+Y'«') 

o  rayon  vecteur  de  la  première  planète,  v  anomalie  vraie,  u  ano- 
malie excentrique;  p',  v'  et  u!  quantités  analogues  pour  la  seconde 
planète. 

Alors  les  deux  facteurs 

3ag/(|3p-i-Y")  et  p'a'g/tp'c'+Y'"') 

ne  dépendent  plus  que  d'une  seule  variable,  à  savoir  :  le  premier 
de  l'anomalie  moyenne  Ç  de  la  première  planète,  le  second  de 
l'autre  anomalie  moyenne  "Q .  M.  Flamme  applique  à  chacun  de  ces 
deux  facteurs  la  méthode  de  M.  Darboux. 

Cet  artifice  ne  saurait  nous  suffire  pour  notre  objet;  il  nous  faut, 
au  contraire,  appliquer  directement  à  la  fonction  perturbatrice  la 


CHAPITRE     VI. 


méthode  de  M.  Darboux  et  pour  cela  étendre  cette  méthode  au  cas 
des  fonctions  de  deux  variables. 

91.  La  fonction  qu'il  s'agit  de  développer  est  celle  que  nous 
avons  appelée  F(  et  dont  je  vais  rappeler  l'expression  en  reprenant 
les  notations  du  n°  11. 

On  a  alors 

y\  -*-  y\  -+-  y\      y\-s<~y\-i~y\      m*mx      /??  ^  /?? ,      7??,»?., 


F  = 


fiBG  ;j.AC  pAB 


La  fonction  F  ainsi  définie  dépend  des  variables  (4)  du  n°  11 
de  m,\ ,  m2,  m3  et  de  jx.  Si  nous  supposons  que  mt ,  m2  et  m^  soient 
des  fonctions  données  du  paramètre  p.  et  soient  développables  sui- 
vant les  puissances  croissantes  de  ce  paramètre,  F  ne  dépendra 
plus  que  des  variables  (4)  et  de  pi,  et  sera  développable  suivant  les 
puissances  croissantes  de  p.. 

Cela  peut  se  faire  d'une  infinité  de  manières;  nous  supposerons, 
par  exemple,  que  m( ,  [3  et  [3'sont  des  constantes  indépendantes  de  p.. 

Les  variables  (4)  sont  les  variables  képleriennes  relatives  à  deux 
orbites  osculatrices  définies  dans  le  n°  11.  Le  rayon  vecteur  dans 
la  première  orbite  osculatrice  est  AB,  dans  la  seconde  orbite  le 
rayon  vecteur  est  CD.  L'angle  de  ces  deux  rayons  vecteurs  (qui 
n'est  autre  chose  que  la  différence  des  deux  longitudes  vraies  dans 
les  deux  orbites  osculatrices,  si  ces  deux  orbites  sont  dans  un 
même  plan)  est  l'angle  BDC  que  j'appellerai  simplement  D. 

Les  quantités  (y]  +  y\  -\-y\),  (y\  +fl  -\- y\)  et  AB  dépendent 
seulement  des  variables  (4)  et  non  de  p..  Au  contraire,  a2,  a3,  AG 
et  BC  dépendent  non  seulement  des  variables  (4)  mais  encore  de  p.. 

Nous  pouvons  donc  nous  proposer  de  développer  a2,  a3,  j-~  et  r— 
suivant  les  puissances  de  p..  Nous  trouvons  ainsi 

a2  =  6  -+-    — \-  des  termes  divisibles  par  p2, 


I 

a-!  =  a  -h  — i-  des  terme 

i 

BC 

t 
ÂG 

/AB2  -+-  CD2  —  2  AB .  CD  cos  D 

i          Ba  ABcosD 

=  FT7 rfTi h  des  ten 

CD        m  y        CD2 

des  termes  divisibles  par  p., 
des  termes  divisibles  par  p.2. 


DÉVELOPPEMETT  DE  LA  FONCTION  PERTURBATRICE.      9.7 1 

Si  l'on  pose  alors 

F  =  F0  +  [jlF1  +  ..., 
il  vient 

y\-+-y\-+-yl    ,   y\  -+-yl -f  y\       B'3m,       82m, 
r«  —  ^ -1 7t, 


F1  =  --^ 


CD  AB  ' 

83'  33'AB'cosD 


AB        CD        /aBs-hGD*  —  2AB.GD.c0sD  GD2 

Envisageons  successivement  les  divers   termes  de   l-a   fonction 
perturbatrice  F { . 

Tout  d'abord  Le  premier  terme 

Il        _  Ë2 
_  AB  ~       "7 

ne  dépend  que  de  l'anomalie  moyenne  /  et  nullement  de  l'anomalie 
moyenne  l'\  il  ne  pourra  donc  donner  dans  le  développement  des 
termes  en 


s'm(ml  -+-  ni')         ou         cos  ml  -+-  «/'), 


Ou«^o. 

De  même  le  second  terme 


CD  _  —  ~7 

ne  pourra  donner  dans  le  développement  final  des  termes  en 

sin(ml  -+-  ni')        ou         cos  (ml  -h  ni'), 
où  m^o. 

Nous  pourrons  donc  en  général  laisser  de  côté  ces  deux  premiers 
termes. 

Le  dernier  terme 

BB'ABcosD 
GD~2 

peut  se  mettre  sous  une  autre  forme.  Si  je  désigne  par  i  l'inclinai- 
son des  orbites  et  par  v  et  v'  les  longitudes  vraies  comptées  à  par- 
tir du  nœud,  on  a 


cosD  =  cosp  cosp'-+-  cosi sine  sin  v', 


1~1  CHAPITRE     VI. 

d'où 

ABcosD  cost>'  .         si  ni/ 

GD2 —  =(ABcosp)  -^^-  +cosj(ABsiiip)  -^-. 

La  méthode  de  M.  Flamme  est  directement  applicable  aux  quatre 
facteurs 

eosi/  .  sini/ 

ABcosp,     -7TfT7?     ABsinp,     -  ^—  • 

11  reste  donc  à  développer  le  troisième  terme 


F? 


y/AB2  +  CD*— 2AB.GD.c0sD 


qui  est  connu  sous  le  nom  de  partie  principale  de  la  fonction 
perturbatrice.  C'est  du  développement  de  cette  partie  principale 
que  nous  allons  maintenant  nous  occuper. 


Digression  sur  une  propriété  de  la  fonction  perturbatrice. 

92.  On  pourrait  être  tenté  d'éviter  la  nécessité  de  développer  la 
partie  principale  de  la  fonction  perturbatrice  en  employant  l'artifice 
suivant  : 

Nous  avons  trouvé 

B2        S'2  BSVcosw 

Fl  =  _  P_  -  JL-  +  33'F?  -+-  PP     °        , 

en  désignant  par  /•  et  r'  les  deux  rayons  vecteurs  et  par  to  l'angle 
de  ces  deux  rayons  vecteurs. 

Pour  arriver  à  ce  résultat,  nous  avons  pris,  comme  dans  le  n°  11 , 
pour  orbites  osculatrices  l'orbite  de  B  par  rapport  à  A  et  celle  de  C 
par  rapport  à  D,  centre  de  gravité  de  A  et  de  B. 

Mais  il  est  clair  qu'on  aurait  pu  également  choisir  comme  orbites 
osculatrices  celle  de  C  par  rapport  à  A  et  celle  de  B  par  rapport 
à  E,  centre  de  gravité  de  A  et  de  C. 

Gela  revient  à  permuter  les  deux  planètes  B  et  C;  on  aurait  donc 
trouvé  ainsi,  comme  nouvelle  fonction  perturbatrice, 

S2        S'2  33Vcosu> 


DÉVELOPPEMENT  DE  LA  FONCTION  PERTURBATRICE.      273 

d'où 

,  OQ, /r'cosw        7'cosw 

*i  —  Fi=  P? 


S'il  existe  une  intégrale 


<ï>  =  const., 


on  pourra  l'écrire,  en  prenant  pour  variables  les  éléments  oscilla- 
teurs des  deux  premières  orbites  [variables  (4)  du  n°  11],  et  l'on 

aura  ainsi 

<p0  -i-  [j.*]  4- . .  '.  =  const. 

On  pourra  l'écrire  également  en  prenant  pour  variables  les  élé- 
ments oscillateurs  des  deux  nouvelles  orbites  (orbites  de  G  par 
rapport  à  A  et  de  B  par  rapport  à  E);  on  aura  alors 

<p„  -+-  [j.*!  -4- . . .  =  const. 

<ï>y  sera  formé  avec  les  éléments  des  deux  nouvelles  orbites  comme 
<i>0  avec  les  éléments  correspondants  des  deux  anciennes,  mais  <!>', 
ne  sera  pas  formé  comme  (I>,. 

On  devra  avoir  alors,  ainsi  que  nous  l'avons  vu  au  n°  81, 

[*o,  F.]-[*i,  F0J=b, 
et  de  même 

[f'o.F'J  +  t*'!»  Fo]  =  o; 

comme  &'0  est  formée  comme  <fcu,  je  puis  supprimer  l'accent  et 
écrire 

[*»„,  F'J-HÎ*;,  F0]  =  o, 
d'où 

(i)  [*o,  F't- F,] -i- [*',-*„  F0]  =  o. 

Nous  avons  vu  que,  s'il  existe  une  intégrale  uniforme  et  si,  après 
avoir  développé  F,,  on  forme  les  expressions  (i4)  du  n9  84,  il  doit 
y  avoir  entre  ces  expressions  un  certain  nombre  de  relations. 

Mais,  en  raisonnant  sur  l'équation  (i)  comme  nous  l'avons  fait 
sur  l'équation  (3)  du  n"  81,  on  arriverait  à  un  résultat  analogue. 
Développons  F,  —  F,  et  formons  à  l'aide  de  ce  développement  les 
expressions  (i 4)  ;  s'il  existe  une  intégrale  uniforme,  il  devra  j  avoir 
entre  ces  expressions  un  certain  nombre  de  relations. 
H.  P.  -  I.  18 


•274  CHAPITRE     VI. 

Si  donc  on  pouvait  établir  que  ces  relations  n'existent  pas,  on 
aurait  démontré  qu'il  ne  peut  exister  non  plus  d'intégrale  uniforme. 
Comme  le  développement  de  F',  —  Ft  est  incomparablement  plus 
facile  que  celui  de  F,,  il  semble  que  ce  procédé  doit  simplifier 
beaucoup  notre  tâche. 

Mais  il  est  tellement  artificiel,  qu'a  priori  on  conçoit  des  doutes 
sur  son  efficacité  et  qu'on  se  demande  s'il  n'est  pas  illusoire.  Il 
l'est  en  effet,  car  les  expressions  (i4)  formées  à  l'aide  de  F't  —  F, 
sont  nulles  ou  indéterminées. 

Supposons  que  l'on  développe  F',  —  ¥{  sous  la  forme  suivante 

Les  coefficients  B//Zi,„,  seront  fonctions  de  _3L,  [j'L'  et  des  autres 
éléments  osculateurs  (/et  V  exceptés).  Donnons  à  L  et  à  L'  des 

valeurs  telles  que 

m  [  n  -+-  nuii  =  o 

(en  appelant  n  et  /i'  les  moyens  mouvements). 

Je  dis  que,  pour  ces  valeurs  de  L  et  de  L/,  le  coefficient  B„v„_. 
s'annulera. 

Pour  cela  je  vais  me  servir  du  lemme  suivant. 

Soit 

(2)  xi,  x2,  ...,  xn\   juy-2,  •••,  y,i 

un  système  de  variables  conjuguées  deux  à  deux;  soit 

(3)  x\,  a?',,  ...,  x'n;     y\ ,  y'2,  .  .  .,  y'a 

un  autre  système  de  variables  conjuguées.  Supposons  que  ces  deux 
systèmes  soient  liés  par  des  relations  telles  que  l'on  puisse  passer 
de  l'un  à  l'autre  sans  altérer  la  forme  canonique  des  équations.  On 
devra  avoir  alors,  d'après  le  n°  o, 

(  4  )  2  (  dxt  oyi  —  dyt  lxt  )  =  S  (  dx\  ly\  —  dy\  lx\). 

Supposons  que  les  x'£  et  les  y-t  dépendent  d'un  certain  para- 
mètre [j.  et  soient  développables  par  rapport  aux  puissances  de  ;j.  ; 
que,  pour  pi  =  o,  x't  ely';  se  réduisent  à  xi  et  à yi. 


(5) 


DÉVELOPPEMENT    DE    LA    FONCTION    PERTURBATRICE.  lyb 

On  aura  alors 

l    X  i  =  Xi  —r-  ]X  Ç  ;  -i-  .  .  .  , 

\  y'i  =  yi+  [J-r,;-^..., 


les  ç£-  et  les  %•  étant  des  fonctions  des  Xi  et  des  yi. 
Alors  l'expression 

s  (  Xi  dyt  —  "1  i  dxt)=  dS 

sera  une  différentielle  exacte.  C'est  là  une  conséquence  nécessaire 
de  l'identité  (4),  qui  entraîne  évidemment  la  suivante 

S  ( d\t  lyi  —  dyi  l\t  -4-  dxi or, t  —  dr{ t  lxt )  =  o. 

Considérons  maintenant  les  équations  canoniques 

dxt  _  dF  dyt  dF 

dt         dyt  dt  dxt 


F  =  Fo(>£,  yi)->r  [J- Fj  (xh  yt) 


Changeons  de  variables  et  prenons  les  variables  (3)  comme  nou- 
velles variables,  il  viendra 

F  =  F'0  (x'h  y'i)+  lxF'l  (x'u  /,)  +  .... 

Si  nous  remplaçons   les  x\  et  les  y\  par  leurs  valeurs  (5),  il 
viendra 

Fi,V,,/,)=F;(a-,,7,.)+^(g?,+  ^,,) 

-+-  des  termes  divisibles  par  [jl2, 
F'l{x'i,  y'i)  =  Fj  (xi,  yt)  -+-  des  termes  divisibles  par  \x, 

d'où,  en  identifiant  les  deux  développements, 

Fo(a?«i  yt)~  F'0(^i,yi), 

Si  l'on  observe  que  F0(ûci,  yt)  =  F'0  (#;,  yt)  et  que 
_  dS  dS 

on  pourra  écrire 

(G)  Fi-F'^tFo,  S]. 


•276  CHAPITRE    VI. 

Supposons  que  F0  ne  dépende  que  de  deux  variables  x,  et  x2 
et  que  F,,  F2  soient  périodiques  de  période  1-  par  rapport  kjrt  et 
y2.  C'est  ce  qui  arrive  dans  tous  les  problèmes  que  nous  avons 
traités  jusqu'ici. 

Supposons  de  même  que  S  soit  périodique  en  y{  ely2  et  soit 

S  =  lAe^1'".^"1^', 

A  dépendant  de  xh,  x2,  .  .  .,  xn;  y3:  y,n  •  • .,  Jn- 

Supposons  qu'on  veuille  développer  F\ ,  et  F,  —  F',  sous  la  même 
forme,  et  soit 

.    Fi  —  Fi  =  S  B  eV^T(/w1r1+/;i2r2'. 

L'équation  (6)  montre  que 

Si  donc  on  donne  à  xK  et  à  x%  des  valeurs  telles  que 

dF0  dF» 

on  aura  également 

B  =0. 

Appliquons  ce  résultat  au  cas  qui  nous  occupe. 
Soient 


(7) 


pL,     pG,     p©,     P'L',     P'G',     p'0'; 
1,      g,      e,       l'y       g',        e' 


les  variables  (4)  du  n°  11  relatives  aux  deux  orbites  osculatrices 
anciennes  B,  par  rapport  à  A,  C  par  rapport  à  D. 
Soient 

j  PiL„    PiC,    PiQi,    p;Li,    pi  g;,    p;e;; 
I    ii,       et,      e„       z'n       *;,       g; 

les  variables  (4)  du  n°  11  relatives  aux  deux  nouvelles  orbites 
(B  par  rapport  à  E,  C  par  rapport  à  A). 

Ces  variables  (8)  pourront  remplacer  les  variables  (7)  sans  que 
la  forme  canonique  des  équations  soit  altérée;  elles  dépendront 
des  variables  (7)  et  de  ;j. ;  elles  seront  développables  suivant  les 


DEVELOPPEMENT    DE    LA    FONCTION    PERTURBATRICE.  277 

puissances  de  jji;  elles  se  réduiront  aux  variables  (^)  pour  u  =  o. 

Nous  nous  trouverons  donc 'dans  les  conditions  où  Je  résultat 

précédent  est  applicable  et  nous  devons  conclure  que,  si  l'on  pose 

F'  F,  —  v  R  pJ^\{'riil  +  m\l) 

BWl„,.,  s'annule  pour 

dF0  dF0 

mi  -=—  -+-  m2  — —  =  o. 

ct'JC  \  ctx '2 

Ce  résultat  peut  se  vérifier  directement  sans  difficulté.  Reportons- 
nous  en  effet  aux  expressions  données  par  M.  Tisserand  dans  sa 
Mécanique  céleste  (t.  I,  p.  3 12). 

Le  résultat  qu'il  s'agit  de  vérifier,  traduit  dans  les  notations  de 
M.  Tisserand,  peut  s'énoncer  ainsi  (je  rappelle  que  M.  Tisserand 
désigne  par  <r  le  cosinus  de  l'angle  des  deux  rayons  vecteurs). 

Si  l'on  pose 


-  2B„.B-e»--iW+<'», 


B„)7;<  s'annule  pour 


n 

a'2 


et,  en  effet,  en  se  reportant  aux  expressions  de  la  page  que  je  viens 
de  citer,  on  trouve 


.   n  a         na    . 

0,1.11'  =     -, r—j     t., 

na  l        11  a1 


G  dépendant  seulement  des  excentricités,  des  inclinaisons,  des 
longitudes  des  périhélies  et  des  nœuds  ;  cette  expression  s'annulera 
donc  pour 


et  par  conséquent  pour 


c.  q.  f.  n. 


278  CHAPITRE     VI. 

J'ai  cru  néanmoins  devoir  rattacher  ce  théorème  à  une  théorie 
plus  générale  qui  permettra  peut-être  de  découvrir  d'antres  pro- 
positions analogues. 


Principes  de  la  méthode  de  M.  Darboux. 

93.  Après  cette  digression,  je  reviens  à  mon  sujet  principal.  11 
convient  d'abord  de  rappeler  les  résultats  de  M.  Darboux,  qui 
doivent  nous  servir  de  point  de  départ. 

i°  Soit  une  série 

o(x)=Zanx», 

admettant  pour  rayon  de  convergence  /'. 
On  aura,  quand  n  croîtra  indéfiniment 

[imanpn  =  0     si  p<  r, 
lima/2  p"  =  ce     si  p  >  /*. 

20  Imaginons  maintenant  que  la  fonction 

o(x)  =  Za,iX" 

demeure  finie  sur  la  circonférence  de  rayon  r  ainsi  que  ses  p  pre- 
mières dérivées;  le  produit  nP+i  anrn  ne  croîtra  pas  au  delà  de 
toute  limite  quand  n  augmente. 
3°  Si  l'on  a 

o(x)  =  (1  —  %x)k  =  I,anx", 

on  aura  approximativement 

nl-kan 


(0  a,i  = 


!■(-*) 


je  veux  dire  que  le  rapport  des  deux  membres  de  l'égalité  (1)  tendra 
vers  1 ,  quand  n  croîtra  indéfiniment. 

4"  Supposons  maintenant  que  la  fonction  co(#)  ait  sur  la  circon- 
férence de  rayon  r  deux  points  singuliers  x  =  a  et  x  =  [i;  que 
dans  le  voisinage  du  point  x  =  a  nous  ayons 

o(x)  =  A,  ^1  -  ^)Y'+  A2  (1  -  ^  jÏ2  +  .  .  .H-  A/,^1  -  ^y  ''  4-  <J/(a?) 


DÉVELOPPEMENT    DE    LA    FONCTION    PERTURBATRICE.  279 

et  dans  le  voisinage  du  point  (3 

l(x)  =  Bl(i^-ç)     +B2^-p-j     +...+  B,^i-pj     +  *i(*), 

4*(^)  et  <L|  (#)  restant  finis  ainsi  que  leurs/»  premières  dérivées.  11 
viendra  alors,  pour  n  ==  oc, 


limn/J+1/'" 


„  .     n1-T.          i  _  _,    n1-0'         i        1 

an  —  ZAi —SB/ — —        — —     =o, 


d'où  l'on  déduit  la  valeur  approximative  de  aw. 
5°  Si  l'on  a 

<p(a?)  =  log(i  —  x), 
on  aura 


cp(o?)  =  log(i  —  a?)(i  —  o?)/i', 
nous  aurons  approximativement 

—  rt '-^'logre 

Cette  dernière  formule  n'est  applicable  que  si  k  n'est  pas  entier 
positif;  dans  ce  cas,  on  aurait 


(_!)*+!*! 


6°  Soit 


71  (n  —  i)  —  (  n  —  k  ) 


u(x)  =  I.anx"  -t-  Za-nx-"  ; 


une  série  contenant  des  puissances  positives  et  négatives  est  con- 
vergente pourvu  que 

| x\  <  R     \x |  >  /'. 

Soient  a  et  [3,  deux  points  singuliers  de  la  fonction  ®(x)  situés 
sur  la  circonférence  \x\  =  R;  soient  y  et  S  deux  points  singuliers 
de  <p(#)  sur  la  circonférence  |#j=  /'•  Supposons  que  <£>(#)  n'ait 
pas  d'autre  point  singulier  sur  ces  deux  circonférences. 

Soient 

^{x)=^bax",         <\>l(x)=  2cnxn 


280  CHAPITRE     VI. 

deux  séries  convergentes  pour 

|ar.|<R. 
Soient 

deux  séries  convergentes  pour 

\x\>r. 

Si  les  différences  çp  —  -i,  ©  —  <bt ,  <p  —  d/2,  3  —  -ji3  sont  finies  ainsi 
que  leurs  /?  premières  dérivées,  la  première  dans  le  voisinage  du 
point  x  =  a,  la  seconde  dans  le  domaine  du  point  x  =  [3,  la  troi- 
sième dans  celui  du  point  x  =  y,  la  quatrième  quand  x  est  voisin 
de  o,  on  aura 


lim  HP+1  R"  (  an  —  6rt  —  cn  )  =  o 
iim  HP+1  /—"  (  a_„  —  6_„  —  c_„  )  =  o 


(pour  w  —  oc). 


Les  valeurs  approximatives  des  coefficients  an  dépendent  donc 
uniquement  des  singularités  que  présente  la  fonction  ®(x)  sur  les 
circonférences  qui  limitent  la  convergence. 


Extension  aux  fonctions  de  plusieurs  variables. 

9i.  Appliquons  ces  principes  au  cas  qui  nous  occupe. 
Il  s'agit  de  développer  une  certaine  fonction  F^  des  deux  ano- 
malies moyennes  /  et  V  sous  la  forme  suivante 

170  —  VA  pV^Ï(m.l+mJ')  • 

On  a  donc 

'  /       ¥\e-^-nm,i+wj')cildr. 

o       *•  o 

Il  s'agit  de  trouver  une  valeur  approchée  du  coefficient  A,„w, 
quand,  le  rapport  — -  étant  donné  et  fini,  les  deux  nombres  m,  et 
m2  sont  très  grands  ou  plus  généralement  quand  on  a 

mi  =  an  -t-  b,         m<2  =  cn  -t-  cl, 


DÉVELOPPEMENT  DE  LA  FONCTION  PERTURBATRICE.      28 1 

a,  6,  c,  d  étant  des  entiers  finis  et  n  un  entier  très  grand;  a  et  c 
sont  premiers  entre  eux. 

Si  je  dis  alors  qu'on  a  approximativement 

A„v„,  =  o(n),         (mi  =  an  -t-  b,  m.,  =  en  -+-  d), 

cette  égalité  signifiera  que  le  rapport 

-A  111,711* 

®{n) 

tend  vers  l'unité  quand  n  croît  indéfiniment  et  que  «,  b^  c,  d  res- 
tent finis. 

Le  problème  à  résoudre  étant  ainsi  défini,  j'emploierai  les  nota- 
tions suivantes. 

Posons 

1 
e^^l=te}        e}/=ïi'=i-ajScf 

il  viendra 

m, 
17  0  —  VA  .  fin,c—m„a  t  c 

Si  nous  posons  alors,  pour  abréger, 

_d 

il  viendra 


en  faisant,  pour  abréger, 

a  =  niyC  —  m% a  -1-  ad  —  bc  —  1 . 
Soit  maintenant 

l'intégrale  étant  prise  par  rapport  à  t  le  long  de  la  circonférence 
I  1 1  =  1 .  Nous  aurons 


1  7?Za  — rf         ,•» 


Toutes  les  intégrales  sont  nulles,  sauf  celles  pour  lesquelles 
a.=  —  1  et  qui  sont  égales  à  2  lit. 


282  CHAPITRE    VI. 

Si  a  =  —  i ,  on  aura 

m.  —  cl 

Mi  =  ct7i  -{-  o,         m*  =  en  -h  a, =  /?. 

c 

11  vient  alors 

Si  donc  on  développe  ®(z)  sous  la  forme 

$(*)=So^+2fl-si-»l 

le   coefficient  AOTi,„,  ne  sera  autre  chose  que  a«  si  /«  ,  =  an  +  6, 
m2  =  c/?  -j-  <:/. 

Nous  sommes  donc  conduit  à  chercher  l'expression  approchée 
de  aH  pour  n  très  grand  et  par  conséquent  à  étudier  les  singularités 
de  la  fonction  ®(z). 

95.  La  fonction  Q{z)  est  définie  comme  une  intégrale  prise  par 
rapport  à  t  le  long  de  la  circonférence  \t\  =  i .  On  peut  remplacer 
cette  circonférence  par  un  contour  C  quelconque,  à  une  condition 
toutefois. 

Regardons  un  instant  z  comme  une  constante  et  F  (s,  t)  comme 
une  fonction  de  t.  Cette  fonction  admettra  un  certain  nombre  de 
points  singuliers. 

Il  faut  qu'entre  la  circonférence  \i\  =  i  et  le  contour  C  il  n'y  ait 
aucun  de  ces  points  singuliers. 

Faisons  maintenant  varier  z  d'une  manière  continue;  ces  points 
singuliers  se  déplaceront  d'une  manière  continue.  Si,  en  même 
temps,  on  déforme  le  contour  C  d'une  façon  continue,  et  de  telle 
sorte  qu'il  ne  passe  jamais  par  aucun  point  singulier,  la  fonction 
®(z)  restera  holomorphe. 

La  fonction  &(z)  ne  peut  donc  cesser  d'être  continue  que  s'il 
devient  impossible  de  déformer  le  contour  C  de  façon  qu'il  ne  passe 
pas  par  un  point  singulier.  Voici  comment  cela  peut  arriver;  ima- 
ginons que,  pour  une  certaine  valeur  de  z,  nous  ayons  deux  points 
singuliers  a  et  [3,  l'un  extérieur,  l'autre  intérieur  au  contour  C.  Si, 
en  faisant  varier  z  d'une  manière  continue,  l'un  d'eux,  a  par 
exemple,  vient  sur  le  contour  C,  nous  pourrons  déformer  C,  en 
le  faisant  fuir  pour  ainsi  dire  devant  ce  point  singulier  mobile,  de 


DÉVELOPPEMENT  DE  LA  FONCTION  PERTURBATRICE.      283 

façon  que  ce  point  a  ne  puisse  jamais  atteindre  ce  contour.  Ainsi  a 
restera  toujours  extérieur  à  C  et  [3  intérieur  à  G.  Mais  supposons 
maintenant  que  a  et  fi  se  rapprochent  indéfiniment  l'un  de  l'autre; 
le  contour  C,  pris  pour  ainsi  dire  entre  deux  feux,  ne  pourra  plus 
fuir  devant  ces  deux  points  mobiles  et  la  fonction  <&(z)  ne  sera  plus 
holomorphe. 

Par  conséquent,  pour  obtenir  tous  les  points  singuliers  de  <£(,;), 
il  suffit  d'exprimer  que  deux  des  points  singuliers  de  F  (s,  t)  con- 
sidérés comme  fonction  de  t  se  confondent  en  un  seul. 

La  série 

sera  convergente  dans  une  région  limitée  par  deux  circonférences 

ces  deux  circonférences  iront  passer  par  un  ou  plusieurs  des  points 
singuliers  que  je  viens  de  définir. 

Mais,  si  l'on  veut  savoir  quels  sont  ceux  de  ces  points  singuliers 
qui  sont  sur  ces  circonférences  et  qui  définissent  par  conséquent 
les  limites  de  convergence  de  notre  série,  une  discussion  plus  appro- 
fondie est  nécessaire. 

Tous  les  points  singuliers  ne  conviennent  pas,  en  effet,  à  la  ques- 
tion, et  cela  pour  plusieurs  raisons. 

En  premier  lieu,  la  fonction  F  (s,  t)  n'est  pas  uniforme;  si  deux 
points  singuliers  a  et  fi  de  cette  fonction  F  considérée  comme  fonc- 
tion de  t  viennent  à  se  confondre  pour  une  certaine  valeur  de  z: 
il  faut,  pour  que  cette  valeur  soit  un  véritable  point  singulier 
de  <&(z)  que  a  et  fi  appartiennent  à  une  même  détermination  de  F 
et  de  plus  que  cette  détermination  soit  encore  la  même  que  celle 
qui  figure  dans  l'intégrale 


F  du 


laquelle  prise  le  long  de  C  définit  la  fonction  <ï>. 

11  faut,  en  outre,  qu'avant  de  se  confondre  en  un  seul,  ces  deux 
points  a  et  fi  ne  soient  pas  d'un  même  côté  du  contour  C. 

Soit  H  un  chemin  tracé  dans  le  plan  des  z  et  allant  d'un  point 
z0  de  module  i  à  des  points  singuliers  Z\  définis  plus  haut.  Suppo- 


'284  CHAPITRE    VI. 

sons  qu'on  suive  ce  chemin  de  z0  en  %\  et  qu'on  étudie  les  varia- 
tions de  $(.-)  en  prenant  pour  valeur  initiale 

Bien  que  la  fonction  &(z)  puisse  ne  pas  être  et  ne  soit  pas  en 
général  uniforme,  la  détermination  particulière  de  *&{z)  que  nous 
avons  en  vue  est  ainsi  entièrement  définie,  puisque  nous  nous  don- 
nons la  valeur  initiale  et  le  chemin  parcouru. 

Il  s'agit  alors  de  savoir  si  le  point  zt  est  bien  un  point  singulier 
pour  cette  détermination  particulière  de  &(z). 

La  fonction  F(,z,  t)  n'étant  pas  uniforme,  il  faut  faire  varier  t 
non  pas  sur  un  plan,  mais  sur  une  surface  de  Riemann  S  possédant 
autant  de  feuillets  que  la  fonction  F  possède  de  déterminations  (ce 
nombre  peut  être  infini). 

Quand  z  variera  en  suivant  le  chemin  H,  les  points  singuliers  se 
déplaceront  et  la  surface  de  Riemann  S  se  déformera. 

C'est  sur  cette  surface  de  Riemann  qu'il  faut  supposer  le  con- 
tour C  tracé. 

Ce  contour  se  réduira  pour  z  =  z0  au  cercle  \t\  =  i  tracé  sur 
un  des  feuillets  de  S;  quand  la  surface  S  se  déformera,  on  devra 
déformer  également  le  contour  C,  de  telle  sorte  qu'il  ne  s'y  trouve 
jamais  de  point  singulier.  Une  discussion  spéciale,  souvent  déli- 
cate, fera  voir  alors  si,  pour  une  valeur  de  z  très  voisine  de  z{,  les 
deux  points  singuliers  de  F(s',  t)  qui  se  confondent  pour  z  =  zt 
sont  de  part  et  d'autre  du  contour  C,  ce  qui  est  la  condition  néces- 
saire et  suffisante  pour  que  le  point  z  =  z{  soit  un  point  singulier 
pour  la  détermination  particulière  de  <&(z)  que  nous  envisageons. 

Comment  reconnaître  maintenant  si  le  point  z^  se  trouve  sur  une 
des  circonférences 

|*|  =  R,         \z\  =  r 

qui  limitent  la  convergence  de  la  série, 


et  si,  par  conséquent,  il  est  un  de  ceux  dont  dépend  la  valeur  appro- 
chée que  nous  cherchons? 

Traçons  le  chemin  H  allant  du  point  ^0  de  module  i  au  point  z{ 
de  façon  que  le  module  de  z  varie  constamment  dans  le  même  sens. 


DÉVELOPPEMENT    DE    LA     FONCTION     PERTURBATRICE.  285 

Si  le  point  zt  appartient  à  l'une  de  nos  deux  circonférences,  il  devra 
être  un  point  singulier  pour  la  détermination  de  <&(z)  définie  par 
le  chemin  H  et  on  le  reconnaîtra  parle  moyen  que  je  viens  d'expli- 
quer. 

Si  un  point  zt  satisfait  à  cette  condition,  je  dirai  que  ce  point 
singulier  est  admissible. 

Gela  posé,  parmi  tous  les  points  singuliers  admissibles  de  module 
plus  grand  que  i ,  ceux-là  seront  sur  la  circonférence  [ ^  j  =  J\  dont 
le  module  sera  le  plus  petit. 

De  même,  parmi  tous  les  points  singuliers  admissibles  de  module 
plus  petit  que  i,  ceux-là  seront  sur  la  circonférence  \z\  =  r  dont 
le  module  sera  le  plus  grand. 

J'ajouterai,  en  terminant,  que  la  fonction  $>(z)  possède  plusieurs 
déterminations  qui  s'échangent  en  Ire  elles,  soit  cpiand  deux  des 
déterminations  de  F(^,  t)  s'échangent  entre  elles,  soit  quand  deux 
des  points  singuliers  de  F (3,  t)  tournent  autour  l'un  de  l'autre. 

Je  vais  d'abord  chercher  à  déterminer  les  points  singuliers 
de  $(5);  je  déterminerai  ensuite  par  une  discussion  spéciale  quels 
sont  ceux  qui  conviennent  à  la  question. 


Recherche  des  points  singuliers. 

96.  Bornons-nous  au  cas  où  le  mouvement  se  passe  dans  un 
plan. 

Soient  a  et  u'  les  anomalies  excentriques,  sin®  et  sinco'  les 
excentricités,  L2  et  L'2  les  grands  axes,  tjs  et  nr'  les  longitudes  des 
périhélies. 

On  aura 

l  =  u  —  sin  m  sin  u,         V  ==  u  —  sin  6' sin  u' . 

Les  coordonnées  de  la  première  planète,  par  rapport  au  grand  axe 
de  son  ellipse  et  à  une  perpendiculaire  menée  par  le  foyer,  seront 

L2(cosit  —  sincp)     et     L2  cos©  sinw  : 

ce  seront  donc  les  parties  réelle  et  imaginaire  de  £L2.  Si  l'on  pose 

\  =  cosw  —  sin  o  -1-  J —  1  coso  sin  u. 


286  CHAPITRE     VI. 

Si  l'on  pose  de  même 

7j  =  cosu' —  sincp'-j-  s/ —  i  cos  ©'sin  u', 

les  coordonnées  de  la  deuxième  planète,   rapportée  aux   mêmes 
axes  que  la  première,  seront  les  parties  réelle  et  imaginaire  de 


Soit 


soit 


endi 


h  viendra 


r1L'2<?v/-l<cJ'-^,. 

ço  =  cosu  —  sin©  —  y/ —  i  coso  sin  u, 
Y)0  =  cosu'  —  sin  o' —  \J —  i  coso' sin  u' , 

30  =  L^L-^e-^^1^'-^', 

L*FJ 


/(Ê-P*)XU—  Po-no) 


Les  points  singuliers  de  F  (s,  £)  sont  les  mêmes  que  ceux  de  F"  ; 
car  F (5,  £)  ne  diffère  de  F°  que  par  une  puissance  de  t  et  le  point 
£  =  o,  qui,  d'ailleurs,  n'interviendra  pas  dans  la  discussion,  est 
déjà  un  point  singulier  de  F". 

Les  points  singuliers  de  F°  seront  ceux  pour  lesquels  u  et  u', 
et  par  conséquent?,  rn  Ço,'Aio>  cesseront  d'être  fonctions  uniformes 
de  /  et  de  /'  et,  par  conséquent,  de  z  et  de  t;  et,  en  outre,  ceux 
pour  lesquels 

\   =   St)  OU  Ço=   307]0. 

Je  vais  poser 


d'où 


x  =  e'u,        y  =  e" 


cos  u  —  -  (  a?  h I  ,  cos  zi'  =  -l/H 


2   V  7 


•2  \  a? 


t  sin  i<  —  -  l  x  —  —  I  j         t  sin  it  =  -  I  y 


y 


Nous  en  déduirons 


,  sin©  /  i  \  ,       smo   /  i 

L  =  u ~     X >  L    =  U  —   r-      Y 

■il    \  x  il     \  y 


DEVELOPPEMENT     DE    LA     FONCTION    PERTURBATRICE.  287 

et 

sinjp  /  i_    \  sincp'  /  1       \ 

e'1  =  xe  2    \-v      /,  e'r  =  ye~ 2\r~v. 
Nous  aurons  ensuite 

il  \_    sinffl  11        \ 

£  =  <?<'  =  x1  e  2c'  '•*'     ',  z  =  eici'tca=ycxaeUi, 


en  posant,  pour  abréger, 


ffsino  /  1  \        c  sino   /  1 


Nous  aurons,  d'autre  part, 


1  /            i  \         .              eoso   /            1 
X  H —  sino  H L      ^7  . 


I  \  .         ,  COSO    /  I 

Les  points  singuliers  de  F  (s,  t)  nous  sont  donnés  par 

dl 

■-=—  =  i  —  sino  cos«  =  o, 

au 

dl'  .      , 

—r—,  =  1  —  sin  o  cos  u  =  0  ; 

du 

H   =  6   -  p  r(    =  o, 

"0  =  ;o  —  pOr/0  =  o. 

Nous  pouvons  transcrire  ces  équations  en  nous  servant  des 
variables  x  et  y\  elles  deviennent  alors  algébriques;  les  deux  pre- 
mières s'écrivent,  en  effet, 

(1)  ix  —  sino  {x1  ■+-  1)  =  o, 

(a)  iy  —  sino'(j2-M)  =  o, 

et  les  deux  dernières,  en  chassant  les  dénominateurs, 

\  v [{x~  -h  1) —  ix  sino  —  coso(a?2  —  i  )] 

1        =P  ^[(J72-^1)—  2.xsino'-i-'cos©'(7*  — 1)], 

[  j[(«2  +  i)  —  a  x  sincp  -4-  cos  ®(x2  —  j)] 

(        =  Po^[(jK2-+-  1)—  2j  sincp'—  coscs'(j2  —  1  ) J . 


288  CHAPITRE    VI. 

Pour  trouver  les  points  singuliers  de  $(-),  il  suffit  d'exprimer 
que  deux  des  points  singuliers  de  F(z-,  t)  se  confondent.  Mais  cela 
peut  arriver  de  deux  manières  : 

Ou  bien  un  point  singulier  défini  par  l'une  des  quatre  équa- 
tions -=-=0,  -7— -,  =0,  H  =  o,  H0  ==  o  va  se  confondre  avec  un 
du  du 

point  singulier  défini  par  une  autre  de  ces  quatre  équations  :  nous 
obtiendrons  ainsi  les  points  singuliers  de  première  espèce  de  ^(■s)  ; 

Ou  bien  deux  des  points  singuliers  définis  par  une  de  ces  quatre 
équations  se  confondront  en  un  seul  :  nous  obtiendrons  ainsi  les 
points  singuliers  de  deuxième  espèce  de  Q(z-). 

Pour  avoir  les  points  de  première  espèce,  il  suffit  de  combiner 
deux  à  deux  les  quatre  équations  (1),  (2),  (3),  (4).  On  voit  que 
ces  points  ne  dépendent  en  aucune  façon  des  entiers  a  et  c. 

Pour  avoir  les  points  de  deuxième  espèce,  voici  comment  il  faut 
faite  : 

Soit /(s,  t)  =  o  une  des  quatre  équations  (1),  (2),  (3),  (4);  pour 
exprimer  que  deux  des  points  singuliers  définis  par  cette  équation 
se  confondent,  il  me  suffit  d'écrire 

df 
S  =  °>        1û=° 

Si  nous  changeons  de  variables  en  exprimant  z  et  t  et,  par  consé- 
quent, /en  fonctions  de  /  et  de  /',  il  vient 

df       —il     df  dp 

dt  t     \     dl  dl' 

„,  .'       df 

de  sorte  que  1  équation  -j-  =  o  peut  être  remplacée  par 


df  df 

c-dl-adr=° 


ou  bien  encore 


c  df  a  df 

1  —  sin  cp  cos  u  du        1  —  sin  cp'  cos  u'  du' 

Les  premiers  membres  des  équations  (1)  et  (2)  ne  dépendent 
que  de  u  ou  bien  que  de  u'  :  nous  pouvons  les  laisser  de  côté;  mais 


DÉVELOPPEMENT     DE     LA    FONCTION    PERTURBATRICE.  289 

nous  avons  des  points  singuliers  qui  nous  seront  donnés  par  les 
deux  équations 


„  dU 

H=o,        ^=0 

ou  encore  par  les  deux  équations 

„  dB0 

Ho  =  °'         -dt-=°- 
Nous  avons 

H  =  cosa  —  sino  -4-  i  cosco  s'mu  —  jB(cosa' —  sincp'-f-  i  cos  cp'sinw'). 

L'équation  —r-  =0  peut  donc  être  remplacée  par  la  suivante  : 

c( — sinK -i- 1  coscp  cosm)        a|3( — sinii'-f-  î  coscp'cosw')  _ 
1  —  sincpcosw  1  —  sinç'cosii' 

ou 

c[cosca(^-4-i)  +  (a72  — 1)]    |    ap[coso,(^2-+-i)-h(j2  — 1)]  _q 
237  —  sin  <x>(^?2  -f-  j)  2jK  — sincp'(j'2-!-i) 

De  même  l'équation  — ~  =0  peut  être  remplacée  par  la  sui- 
vante 

c[—  coscp(3-2^-i)  +  (a?2  —  1)]    |    aPo[—  coscp'(,72^-i)H-(y2  —  0]  _  Q 
2^7—  sincp02-4-i)  27  —  sincf'(j2H-i) 

Les  points  singuliers  de  deuxième  espèce  sont  donc  donnés  par 
les  équations  (3)  et  (5)  ou  bien  par  les  équations  (4)  et  (6);  à 
l'inverse  de  ceux  de  première  espèce,  ils  dépendent  donc  du  rap- 
port des  entiers  a  et  c. 

Tous  les  points  singuliers  de  $(3)  sont  donc  donnés  par  des 
équations  algébriques. 

Ces  équations  algébriques  se  simplifient  quand  on  suppose 
tp'=o.  Il  est  permis  alors  de  supposer  xs'=xs  et  par  conséquent 

L'équation  (i)ne  change  pas,  l'équation  (2)  se  réduit  ky  =  o  et 
il  n'y  a  plus  à  en  tenir  compte,  les  équations  (3)  et  (4)  deviennent 

(3)  (#2-i-0  —  ix  sincp  -i-  coscpO2  —  1)    =  i$xy, 

(4)  y[(&-  +  1)-  23?  sin  o  —  coscpO2  —  1)]  =  2$X. 

H.  P.  —  I.  19 


290  CHAPITRE    VI. 

Les  équations  (5)  et  (6)  deviennent 

C  rCOSC2(.772  -1-  l)  -1-  (  X- 01  „ 

(5)  — ! = 7-5 : A-+a$y  =  o, 

ix — sincp(a?2  -r-  i) 

c[—  coso(x^-+-i)-+-(x'1 — i)]        a(3     _ 
nx  —  sin  o(x2  -r- 1)  y 

La  combinaison  des  équations  (3)  et  (5)  donne 

2c[cOSCp(a"2H-  l)-f-  (x*1  —  i)] 


ix  —  sino(a72  -+-  i) 

a[(x-  -+-  i)- —  ix  sino  -+-  coscpfa?2  —  i)] 


o, 


et  celle  des  équations  (4)  et  (6)  donne 

ic\ —  coso  {x%  -4-  i)-!-  (a?2  —  i)] 


23?  —  sincs  (a?2  -t-  i) 
«[(a?2-1-  i)  —  2  3?  sincp  —  coscp  (a?2  —  i)] 


Les  équations  (7)  et  (8)  nous  donnent  les  valeurs  de  x  corres- 
pondant aux  points  de  la  deuxième  espèce;  l'équation  (1)  nous 
donne  les  valeurs  de  x  correspondant  à  certains  points  de  pre- 
mière espèce.  Il  nous  reste  à  parler  des  points  de  première  espèce 
définis  par  les  équations  (3)  et  (4),  puisque  l'équation  (2)  devient 
illusoire. 

Les  équations  (3)  et  (4)  s'écrivent 

%  —  P'I  =  £0—  Po*)o  =0. 
Si  elles  sont  satisfaites  à  la  fois,  on  aura 

ÉÊo=PPoT)o=P». 
Or 

Éjcj0  =  (1  —  sincp  cosw)2. 

Il  reste  donc 

1  —  sin  es  cos  u  =  ±  8, 

de  sorte  que  les  valeurs  de  x  correspondant  à  cette  sorte  de  points 
singuliers  seront  données  par  les  deux  équations 

(9)  ix  —  sino(a?2M-i)=       i$x, 

(10)  ix  —  sincp(a?2  —  1)  =  — i$x. 


DÉVELOPPEMENT  DE  LA  FONCTION  PERTURBATRICE.      29 1 

Les  valeurs  de  x  qui  correspondent  aux  points  singuliers  nous 
seront  données  par  les  cinq  équations  (1),  (y),  (8),  (9)  et  (10). 
Observons  que  les  équations  (1),  (9)  et  (10)  sont  réciproques  et 
que  les  équations  (7)  et  (8)  se  changent  l'une  dans  l'autre  quand 

on  change  x  en  —  •  Si  x  est  un  point  singulier,  il  en  sera  donc  de 

même  de  -•  C'est  ce  qu'il  était  aisé  de  prévoir. 

Si  l'on  fait  o  —  o,  nos  équations  se  réduisent  à  x  =  o;  donc, 
quand  cp  tend  vers  o,  les  racines  des  équations  (1),  (7)  et  (8)  ten- 
dent vers  o  ou  vers  l'infini. 

Si  l'on  pose 

o 

les  équations  (3),  (4),  (5),  (6),  (n)  et  (8)  deviennent 

(3) 

(4)  .._P0-*»)* 

(5) 
(6) 

(7) 


{x  —  x)% 

PCl-t-T»)*' 


(8) 


y  =  "7 

1  —  xx  y2 

1 

c(x  -+-  x) 

I XX 

+  apy 

=  0, 

c(i  -+-  XX 

)        «3 

■   H L 

y 

=  0, 

X  X 

I 

x-hx) 

XX 

a(x  —  1 

(i-k-c*.; 

■■)- 

)X 

:(I 

H-  XX) 

a  (  1  —  x. 

t)- 

X  X  (l-Jr-X'2)X 

L'équation  (1)  nous  donne  d'autre  part  comme  solution 


1 

x  =  - 


Lorsque  cp  et  t  sont  très  petits,  nous  avons  vu  que  les  valeurs 
de  x  sont  très  petites,  ou  très  grandes,  et,  comme  les  équations  ne 

changent  pas  quand  on  change  x  en  -y  nous  devons  conclure  qu'il 

y  en  a  précisément  autant  de  très  petites  que  de  très  grandes. 


292  CHAPITRE    VI. 

Nos  équations  et  les  valeurs  correspondantes  de  x  se  simplifient 
un  peu  quand,  supposant  cp  très  petit,  on  néglige  le  carré  de  cette 
quantité. 

Les  équations  (i),  (9)  et  (10)  nous  donnent  alors  respectivement 
pour  x  trois  valeurs  très  petites,  qui  sont  approximativement 

cp  O  T  C3  I 

(11)  x  =  -, 


2  2     I  —  P  '2     1+  (i 

et  trois  valeurs  très  grandes,  qui  sont  approximativement 

2  2(1  —  P)  2(I-H(3) 


(1 1  bis) 


CD  cp  cp 


L'équation  (7)  nous  donne  deux  valeurs  très  petites,  définies 
approximativement  par  l'équation 

(12)  4^2(«  -+-  c)-î-  zxo(c  —  2«)  -h  acp2  =  o, 

et  une  valeur  très  grande;  qui  est  approximativement 

2  a  -+-  c 
(i3  bis)  x  = 

v  '  cp       a 

L'équation  (8)  nous  donne  deux  valeurs  très  grandes,  définiespar 

(11  bis)  4(a  -h  c)-h  237cp(c  —  2a) -+-  ax-u-  —  o, 

et  une  très  petite,  qui  s'écrit 

o       a 
(i3)  x  =  -  ■ 


Il  est  aisé  de  vérifier  que  les  équations  (12)  et  (12  bis)  ont  leurs 

racines  réelles  quand  -  <C  o.  Si  donc  c  et  a  sont  de  signe  contraire 

etquecp  soit  assez  petit,  les  équations  (7)  et  (8)  auront  leurs  racines 
réelles. 

Les  valeurs  de  x  correspondant  aux  divers  points  singuliers  étant 
ainsi  définies,  il  reste  à  déterminer  les  valeurs  de  y  et  de  z. 

J'observe  d'abord  que,  si  l'on  a  un  point  singulier  correspondant 

à  certaines  valeurs  de  x,  dey  et  de  z,  les  valeurs  inverses  -,  -,  - 

x    y    z 

correspondront  à  un  autre  point  singulier,  que  j'appellerai  le  réel- 


DÉVELOPPEMENT    DE    LA.    FONCTION    PERTURBATRICE.  293 

proque  du  premier.  On  constate,  en  effet,  que  notre  système 
d'équations  ne  change  pas  quand  on  change  x,  y,  z  en  — ,  —  et- , 
et  cela  était  d'ailleurs  aisé  à  prévoir. 

Les  valeurs  de  x  et  de  y  seront  définies  par  les  couples  d'équa- 
tions suivants  : 

(0,(3);    (0,(4);    (7),  (3);    (8),  (4);   (9),  (3)  ou  (4);   (10),  (3)  ou  (4). 

Ces  équations  nous  montrent  que,  si  çp  est  très  petit  et  peut  être 
regardé  comme  un  infiniment  petit  du  premier  ordre,  y  est  très 
petit  si  x  est  très  petit  et  très  grand  si  x  est  très  grand. 
Nous  avons,  d'autre  part, 

"  sin?  f\__    \ 

z  =  yc  xa  e    2     \,r       ' . 

Si  cp  est  infiniment  petit  du  premier  ordre,   x  est  infiniment 
petit  (ou  infiniment  grand)  du  même  ordre  ;  il  en  est  de  même  dey; 

,,  a  si  no  /  i  \  .  n    . 

1  exposant L  ( x\  est  alors  fini;  par  conséquent  z  est  un 

infiniment  petit  (ou  infiniment  grand)  d'ordre  a  -\-  c. 

Je  distinguerai  parmi  les  points  singuliers  celui  qui  est  défini 
par  x  =  t  [solution  de  l'équation  (1)]  et  par  l'équation  (3). 

Pour  ce  point,  en  effet,  y  et  z  sont  nuls. 

De  même,  pour  le  point  défini  par  x  =  -  [autre  solution  de  (1)] 

et  par  l'équation  (4),  et  qui  est  le  réciproque  du  premier,  les  va- 
leurs dey  et  de  z  sont  infinies. 

Nous  n'aurons  donc  pas  à  nous  occuper  de  ces  deux  points  sin- 
guliers dans  la  discussion  qui  va  suivre. 


Discussion. 

97.   Voici  la  question  qu'il  me  reste  à  résoudre. 

J'ai  en  tout  1 4  points  singuliers,  7  qui  correspondent  à  des  valeurs 
très  petites  de  x  et  de  y,  7  qui  correspondent  à  des  valeurs  très 
grandes  de  x  et  de  y. 

A  un  autre  point  de  vue,  7  de  ces  points  correspondent  à  des 
valeurs  très  petites  de  z,  et  7  à  des  valeurs  très  grandes  de  z.  Il 


2g4  CHAPITRE    VI. 

s'agit  de  savoir  quel  est,  parmi  les  7  premiers,  celui  pour  lequel  le 
module  de,s  est  le  plus  grand  (cela  nous  apprendra  en  même  temps, 
puisque  les  valeurs  de  z  sont  réciproques  deux  à  deux  comme  le 
sont  celles  de  x  et  dey,  quel  est,  parmi  les  7  derniers,  celui  pour 
lequel  le  module  de  z  est  le  plus  petit). 

Si  les  points    singuliers    correspondants    sont   admissibles,    ce 
seront  eux  qui  définiront  les  circonférences 


nous  avons  ici  R  =  - 


Pour  ne  pas  prolonger  la  discussion  par  l'examen  d'un  trop  grand 
nombre  de  cas  différents,  je  vais  faire  quelques  hypothèses  parti- 
culières. Je  supposerai 

0>i. 


Je  supposerai  également  que  le  rapport  -  est  voisin  du  rapport  des 

moyens  mouvements  changé  de  signe,  c'est-à-dire  que  l'on  a  à 
peu  près  (en  désignant  par  n  et  n'  ces  moyens  mouvements) 


Les  termes  les  plus  intéressants  sont,  en  effet,  ceux  qui  corres- 
pondent à  de  petits  diviseurs. 
On  a  alors  à  peu  près 

C  â 

1  =  -(?)*, 

a 

ce  qui  montre  que  c  et  a  sont  de  signe  contraire  ;  je  supposerai  par 
exemple  c  positif  et  a  négatif;  comme  (3  est  plus  grand  que  i,c-\-a 
sera  positif. 

Grâce  à  ces  hypothèses,  toutes  les  valeurs  de  x  sont  réelles. 
Cela  rend  possible  une  représentation  géométrique  simple  qui 
permettra  de  suivre  plus  facilement  la  discussion. 

Dans  la  figure  ci-contre,  nous  représentons  chaque  point  singu- 
lier par  un  point  du  plan  dont  les  coordonnées  rectangulaires 
sont  x  et  y. 

J'ai  fait  deux  figures  {fig- 1  etfig.  2)>  la  première  représentant 
le  quadrant  du  plan  compris  entre  l'axe  des  x  positifs   et   celui 


DÉVELOPPEMENT    DE    LA    FONCTION    PERTURBATRICE.  2g5 

des  y  positifs  ;  et  la  seconde  représentant  le  quadrant   compris 
entre  l'axe  des  x  négatifs  et  l'axe  desj  négatifs. 


Fie.  i. 


y  i9        s 


Fis.  2. 


Les  droites  AS  et  A' S'  ont  respectivement  pour  équation 


Les  deux  branches  de  courbe  C'B'DBP  et  QFAE'R'  ont  pour 
équation 

(a?  —  -zY- 


y 


P(i4-t*)*' 


296  CHAPITRE    VI. 

c'est-à-dire  l'équation  (3);  les  deux  branches  de  courbe 

B'D'BCOREL     et     R'F'Q' 
ont  pour  équation 

(3(i-4-t2)a7 


(4)  y  = 


(1  —  xx)% 


Les  divers  points  singuliers  sont  représentés  sur  la  ligure  par  les 
points  suivants 

A Équations  (1)  et  (3)  {x  =  t), 

B (9),  (3)  et  (4)  [2e  éq.  (11)], 

G (8)et(4)[(i3)], 

D (7)  et  (3)  [(12)  racine  négative)], 

E (i)et(4)(a?  =  T), 

F (7)  et  (3)  [(12)  racine  positive], 

R O),  (3)  et  (4)  [3e  éq.  (11)]; 

et  par  les  points  A',  B',  C,  D',  E',  F'  et  R',  respectivement  réci- 
proques des  premiers. 

Il  est  aisé  de  vérifier  que,  si  cp  est  assez  petit,  ces  points  sont 
bien  disposés  dans  l'ordre  de  la  ligure,  c'est-à-dire  que  les  abscisses 
des  points 

G'B'D'DBGFREE'R'F' 

vont  en  croissant. 

Comparons  les  valeurs  de  z  correspondant  à  ces  divers  points. 
On  voit  d'abord  que,  pour  les  points  de  la  fig.   (1)  (où  x^>o, 

y  >>  o),  z  est  réel  positif  et  que,  pour  les  points  de  \&Jig.  (2)  (où 

1 
x  <^o,  y  <o),  l'argument  de  z  est  égal  à  (c  -h  «2)71,  celui  de  zc  égal 

à(  H )tî.  Reste  à  voir  comment  varie  le  module  de  z.  Si  l'on 

suit  l'une  des  courbes  (3)  ou  (4),  les  maxima  et  minima  de  \z\ 
correspondent  aux  points  de  contact  de  ces  courbes  (3)  et  (4)  avec 
les  courbes 

z=ycxae     'l     \x       )  —  const., 

c'est-à-dire  aux  points  C,  D,  F,  A  pour  la  courbe  (3),  et  aux  points 
D',  C,  F'  pour  la  courbe  (4)- 


DÉVELOPPEMENT    DE     LA.    FONCTION    PERTURBATRICE.  297 

Voici  comment  varie  |  z  |  : 

i°  Quand  on  suit  la  courbe  (3) 

En  O' |,s|=o  En  0 | -s ]  =  o 

De  0'  en  C croît  De  Q  en  F croît 

En  G' max.  En  F max. 

De  G'  en  D décroît  De  F  en  A décroît 

En  D min.  En  A |*|=o 

De  D  en  P croît  De  A  en  0" croît 

En  P |*J=œ  En  0'' |*I  =  *> 

2°  Quand  on  suit  la  courbe  (4) 

En  P' |*|=o  En  O 1*1=0 

De  P'  en  D' croît  De  O  en  L  ou  en  A' croît 

En  D' max.  En  A' |.s]  =  a> 

De  D' en  G décroît  De  A' en  F' décroît 

En  G min.  En  F' min. 

De  G  en  O' croît  De  F'  en  Q' croît 

En  O \z\  =  oo         En  Q' \z\  =  oo 

On  en  conclut  que  le  z  du  point  B  est  plus  grand  que  celui  du 
point  C,  et  celui  du  point  E  que  celui  du  point  R. 

De  même,  le  z  du  point  D  est  plus  petit  que  celui  du  point  B,  et 
le  z  de  R  est  plus  petit  que  celui  de  F. 

Nous  avons  vu  que,  la  fonction  F(z,  t)  n'étant  pas  uniforme,  il 
fallait  tracer  les  contours  d'intégration  sur  la  surface  de  Riemann 
correspondante  dont  le  nombre  des  feuillets  est  infini.  Pour  éviter 
la  considération  de  cette  surface  de  Riemann,  on  peut  changer  de 
variables.  Observons,  en  effet,  que  le  carré  de  F"  est  fonction  uni- 
forme de  x  et  dey  et,  par  conséquent,  que  le  carré  de  F  (5,  t)  est 
1  1 

fonction  uniforme  de  xc  et  de  zc. 

1 

Si  donc  nous  convenons  de  donner  à  zc  une  valeur  déterminée 

et  que  nous  considérions  momentanément  comme  constante,  à  un 

1 
point  du  plan  des  xc  correspondront  seulement  deux  valeurs  de 

F(,g,  t)  égales  et  de   signe   contraire.  Nous  pourrons  alors  avec 

1 

avantage  tracer  nos  contours  d'intégration  sur  le  plan  des  xc. 

1 

Donnons  d'abord  à  zc  une  valeur  initiale  £0  dont  le  module  soit 


298  CHAPITRE     VI. 

égal  à  1.  Nous  sommes  convenus,  en  définissant  $(-s),  que  le  con- 
tour d'intégration  le  long  duquel  doit  être  prise  l'intégrale 


*(*)=yF(*,  t)dt 


doit  se  réduire  au  cercle  \t\  =  1  pour  les  valeurs  de z  de  module  1. 
1 
Pour  zc  =  Ç0,  nous  devrons  donc  prendre  pour  contour  dans  le 

1  1    î  1 

plan  des  t  le  cercle  \t\  =  1  et  dans  le  plan  des  xc  le  cercle  \x  \  =  1 . 

Voici  donc  la  règle  pour  reconnaître  si  un  point  singulier  de  $(5) 

1  1 

est  admissible,  Soit  a;  la  valeur  de  xc  et  Çj  la  valeur  de  zc  qui  cor- 
respondent à  ce  point  singulier.  Nous  supposerons,  par  exemple, 
que  le  module  de  G  est  plus  petit  que  1  ;  aussi  bien  savons-nous 

que,  parmi  les  points  singuliers  de  &(z),  la  moitié  ont  leur  module 

1 
plus  petit  que  1 .  Nous  allons  faire  varier  zc  de  la  manière  suivante  : 
son  argument  devra  rester  constant  et  constamment  égal  à  celui 
de  Z,i  et  son  module  ira  en  croissant  de  |^|  à  1.  En  d'autres  termes, 

-  ...  .  '  li 

le  poin  t  zc  décrira  un  segment  de  droite  A  limité  aux  points  L,i  et  j~  • 

Isa'  I 
1 

Pour  chacune  des  valeurs  dezc,  F(s,  £),  considérée  comme  fonc- 

1 

tion  de  xc,  présente  un  certain  nombre  de  points  singuliers;  pour 

1 

zc  —  "Ci,  deux  de  ces  points  singuliers  se  confondent  en  un  seul  et 

1 

avec  a/.  Quand  zc  décrit  la  droite  A,  ces  deux  points  singuliers 

1 

varient  d'une  manière  continue  et  parfaitement  définie.  Quand  zc 

t'- 
atteint la  valeur  finale  -ry-^  il  peut  arriver  ou  bien  que  les  positions 

I  Ci  I 

finales  de  ces  deux  points  singuliers  sont  toutes  deux  intérieures, 

1    1 
ou  toutes  deux  extérieures  au  cercle  \xc  =  1,  et  alors  le  point  con- 
sidéré est  inadmissible,  ou  bien  que  ces  positions  finales  sont  l'une 
extérieure  et  l'autre  intérieure  à  ce  cercle  et  alors  le  point  consi- 
déré est  admissible. 

La  fonction  F(z,  t)  est  multipliée  par  une  racine  clcme  de  l'unité 
î 
quand  xc  est  multiplié  par  une  racine  cieme  de  l'unité.  Supposons 


DEVELOPPEMENT    DE    LA    FONCTION    PERTURBATRICE.  299 

I 

donc  que,  pour  une  valeur  donnée  de  zc,  le  point 

1 

xc  —  y 

soit  un   point  singulier  de  F(.s,   t)  considérée   comme  fonction 

1 
de  xc .  Il  en  sera  de  même  des  points 

1  2/7T  1  4(71:  1  2(c— 1)rtr 

xc  =  y e  '•'  ,         xc  =  y e  c  ,         •  •  • ,         xc  =  ye      c 

Nous  avons  vu  que  les  valeurs  de  x  qui  correspondent  aux  points 

singuliers  de  ^(.s)  sont  toutes  réelles,  et  ont  par  conséquent  pour 

1 
argument  o  ou  tî.  Les  valeurs  correspondantes  de  xc  auront  donc 

pour  argument  — ,  k  étant  entier.  Soit  donc  a;  une  de  ces  valeurs, 

je  pourrai  écrire 

ai—  a'te  c  , 

a!t  ayant  pour  argument  o  ou  —  et  k  étant  entier. 

Si  ai  correspond  à  un  point  singulier  de  3>(-s)  [c'est-à-dire  à 
deux  points  singuliers  de  F(^,  t)  confondus],  il  en  sera  de  même 
de  a;.. 

Je  dis  que  la  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  que  le  point  as- 
soit admissible,  c'est  que  le  point  a.';  le  soit. 

1 

En  effet,  appliquons  la  règle  :  quand  le  pointa  décrira  la  droite  A, 
les  deux  points  singuliers,  primitivement  confondus  en  a,,  auront 
pour  positions  finales  y  et  y';  de  même  les  deux  points  singuliers 
primitivement  confondus  en  rx.i  auront  pour  positions  finales 

2fa'7I  %kiiz 

ye      c      et    y'6      c  • 

Il  suffit  évidemment,  pour  démontrer  le  théorème  énoncé,  d'ob- 
server que 

lïl=lïc       rl>  lï'l  =  lï'e       °    I- 

Il  suffira  donc  d'examiner  les  points  singuliers  qui  correspondent 


JOO  CHAPITRE     VI. 

1 

à  des  valeurs  réelles  et  positives  de  xc,  c'est-à-dire  aux  points  F, 

E,  R  et  A  de  la  figure,  et  les  points  singuliers  qui  correspondent 

i 
à  la  valeur  —  de  l'argument  de  xc,  c'est-à-dire  aux  points  D,  B  et  C 

de  la  figure. 

Le  point  E  est  inadmissible;  en  elïet,  la  valeur  correspondante 

de  a.i  est 

i 

1 
quand  le  point  zc  décrira  la  droite  A,  les  deux  points  singuliers 

primitivement  confondus  en  a;  resteront  réels.  A  chacun  d'eux 
correspondra  une  valeur  de  x  et  une  de  y,  et  par  conséquent  un 
point  représentatif  sur  notre  figure. 

L'un  de  ces  points  représentatifs  décrira  alors  la  droite  ES  et 

l'autre  la  courbe  EL. 

i 
L'un  des  points  singuliers  restera  donc  fixe  et  égal  à  xc  et  aura 

par  conséquent  son  module  toujours  plus  petit  que  i. 

i 
La  valeur  initiale  "Qi  de  zc  est  réelle  et  positive  :  la  droite  A  sera 

r. 
donc  une  portion  de  l'axe  des  quantités  réelles  et  la  valeur  finale  tt— 

sera  égale  à  i . 

Le  second  point  singulier  (qui  correspond  au  point  représentatif 
qui  a  suivi  la  courbe  EL)  a  une  valeur  réelle  et  positive  que  j'ap- 
pelle y;  il  s'agit  de  savoir  si  y  est  plus  petit  ou  plus  grand  que  î . 

Lorsque  ce  point  représentatif  décrira  la  courbe  EL  depuis  E 
jusqu'en  L,  le  module  de  z  ira  en  croissant  depuis  une  certaine 
valeur  très  petite  jusqu'à  l'infini;  il  passera  donc  une  fois  et  une 
seule  par  la  valeur  x.  Il  s'agit  de  montrer  que  la  valeur  corres- 
pondante y2  de  x  est  plus  petite  que  i.  Pour  cela,  il  suffit  de  faire 
voir  que,  quand  l'abscisse  x  de  ce  point  représentatif  atteint  la 
valeur  i,  \z\  est  plus  grand  que  i. 

Or  on  trouve  que,  pour  x  =  i, 

«Binç/1_    \ 

z—ycxae    "2    Kjc      /  =jc. 
Il  reste  donc  à  démontrer  que  jk  >>  i. 


DÉVELOPPEMENT    DE    LA    FONCTION    PERTURBATRICE.  :5oi 

Or  il  est  clair  que 

Donc  y  ■<  i . 

Donc  le  point  E  est  inadmissible.  c.  o.  f.  n. 

Le  point  F  est  inadmissible  ;  ici  encore  la  droite  A  sera  une 
portion  de  l'axe  des  quantités  réelles  puisque  Ç;  sera  réel.  Les 
points  singuliers  primitivement  confondus  en  a/  ne  resteront  pas 
réels,    mais    ils    resteront   imaginaires    conjugués;    ils    ont   donc 


même  module;  il  est  donc  impossible  que  quand  zc  atteindra  sa 

r. 
valeur  finale  jy--  =  i,  l'un  de  ces  points  soit  plus  grand  que  i  et 

l'autre  plus  petit  que  i  en  valeur  absolue. 

c.   Q.  F.   D. 

i 

Il  nous  sera  cependant  utile  de  savoir  si,  quand  zc  atteint  sa 

valeur  finale  i,  le  module  commun  de  ces  deux  points  singuliers 

est  plus  grand  ou  plus  petit  que  i.  Comme  il  est  primitivement 

plus  petit  que  i ,  il  ne  pourrait  cesser  de  l'être  qu'en  passant  par 

la  valeur  i.  Il  faudrait  donc  que,  pour  une  valeur  de  x  imaginaire 

i 
et  de  module  i,  zc  eût  une  valeur  réelle  et  positive. 

Construisons  donc  dans  le  plan  des  x  les  lignes  d'égal  argument 
de  la  fonction 

-3=7777 v^-^,-xae  J- 

Ces  lignes  sont  représentées  sur  ]ajig.  3  au  moins  dans  la  partie 
du  plan  qui  seule  nous  intéresse  et  qui  avoisine  le  point  O. 

Les  points  remarquables  sont  le  point  x  =  0,  correspondant  au 
point  O  de  la.Jig.  1,  le  point  x  =  x  correspondant  au  point  A  et 
deux  points  qui  correspondent  aux  points  D  et  F.  Ces  points 
sont  d'ailleurs  désignés  sur  lajig-.  3  par  les  mêmes  lettres. 

Parmi  les  lignes  d'égal  argument,  les  unes  regardées  comme 
remarquables  sont  représentées  en  trait  plein.  Ce  sont  l'axe  des 
quantités  réelles  d'une  part  et,  d'autre  part,  des  lignes  allant  du 
point  O  au  point  F  et  du  point  A  au  point  D. 

Les  autres  lignes  d'égal  argument  aboutissant  soit  au  point  A, 


302  CHAPITRE    VI. 

soit  au  point  O,  soit  à  l'un  el  à  l'autre,  sont  représentées  en  trait 

pointillé. 

i 

Quand  le  point  zc  décrira  la  droite  A,  le  point  x  décrira    la 
courbe  en  trait  plein  FO  de  notre  fi  g.  3. 


Fi  g.  3. 


On  voit  donc  que  le  module  de  x  restera  toujours  très  petit  et 
que  l'on  aura 

IyI<i- 


Le  pointR  est  inadmissible;  en  effet,  quand  le  point  zc  décrira 
la  droite  A,  les  deux  points  singuliers  primitivement  confondus 
resteront  d'abord  réels;  les  deux  points  représentatifs  décriront 
les  deux  branches  de  courbe  RE  etRF;  quand  le  premier  de  ces 
points  atteindra  le  point  E,  le  point  singulier  correspondant  se 
confondra  avec  un  autre;  les  deux  points  ainsi  confondus  se  sépa- 
reront ensuite  et  les  points  représentatifs  correspondants  décriront 

les  courbes  EL  et  ES;  nous  avons  vu,  en  parlant  du  point  E,  que 

i 
les  valeurs  finales  de  xc  sont  réelles  et  plus  petites  que  i. 


DEVELOPPEMENT    DE    LA    FONCTION    PERTURBATRICE.  ÔOÔ 

De  même,  quand  le  second  point  représentatif  atteindra  F,  le 
point  singulier  correspondant  se  confondra  avec  un  autre,  s'en 
séparera  ensuite;  les  valeurs  finales,  comme  nous  l'avons  vu  en 
parlant  du  point  F,  sont  imaginaires  conjuguées  et  de  module  plus 
petit  que  i . 

Nous  avons  donc  ici  non  plus  i,  mais  4  valeurs  finales;  et  elles 
sont  toutes  quatre  plus  petites  que  i  en  valeur  absolue. 

c.  q.  f.  n. 

Le  pointa  est  inadmissible.  Les  deux  points  singuliers  primi- 
tivement confondus  se  séparent,  mais  les  valeurs  correspondantes 
de  x  restent  réelles.  Les  deux  points  représentatifs  décrivent  les 
branches  de  courbe  BP  et  BD'.  Pour  le  premier,  qui  décrit  BP,  la 
valeur  absolue  de  x  va  en  diminuant;  elle  reste  donc  plus  petite 
que  i;  considérons  le  second  qui  décrit  BD',  il  me  reste  à  démon- 
trer que,  bien  que  la  valeur  absolue  de  x  aille  en  augmentant,  elle 
reste  plus  petite  que  i ,  tant  que  le  module  de  z  est  lui-même  infé- 
rieur à  i . 

Pour  cela,  il  faut  faire  voir  que,  pour  .2?  =  —  1,  \z\  ^>  1;  or,  pour 

M  =  ]jIc- 

Or 

B  (1  -j-  T2  ) 

I  y\  =  ^r r—  >  1         (si  t  est  assez  petit). 

XJ  '  (1+  t)2  v  VI 

C.    Q.    E.    D. 

Le  point  C  est  inadmissible.  Les  deux  points  singuliers  primi- 
tivement confondus  se  séparent,  x  demeurant  réel;  le  premier 
point  représentatif  décrit  CO,  le  second  CB.  Pour  le  premier, 
|^|  va  constamment  en  diminuant  :  sa  valeur  finale  est  donc  plus 
petite  que  1.  Examinons  le  second  point  singulier  qui  correspond 
au  point  représentatif  qui  décrit  GB.  Quand  il  est  arrivé  en  B,  il  se 
confond  avec  un  autre  point  singulier,  et  s'en  sépare  de  nouveau; 
les  deux  points  représentatifs  décriront  les  deux  courbes  BP  et 
BD';  d'après  ce  que  nous  venons  de  voir,  les  valeurs  finales  de  \x\ 
sont  plus  petites  que  1 .  Ainsi  nous  avons,  non  pas  deux,  mais  trois 
valeurs  finales,  toutes  trois  plus  petites  que  1. 

c.    Q.    F.    D. 

Le  point  D  est  admissible.  Les  deux  valeurs  de  x  demeurent 


3o.{  CHAPITRE     VI. 

réelles,  le  premier  point  représentatif  décrit  DB;  arrivée  en  B,  la 
courbe  représentative  se  bifurque  en  BP  et  en  BD',  et  les  valeurs 
finales  de  x  sont  plus  petites  que  i,  ainsi  que  nous  venons  de  le 
voir. 

Le  second  point  représentatif  décrit  DB';  je  dis  que  la  valeur 
finale  de  \x\  est  plus  grande  que  i.  Pour  cela,  il  faut  faire  voir  que, 
pour  ^  =  <i,ona  \z  |  <^  i  ;  or,  pour  x  =  —  i 

(i  -4-  t)2 
MHjh         \y\=  B(i-ht»)  <!         (six  est  assez  petit). 

De  nos  trois  valeurs  absolues  finales,  deux  sont  plus  petites,  une 
plus  grande  que  i.  Donc  le  point  est  admissible. 

c.    Q.    F.    D. 

En  résumé,  des  six  points  BCDEFR,  le  point  D  est  seul  admis- 
sible. 

De  même  des  six  points  réciproques  B'C'D'E'F'R',  le  point  D' 
est  seul  admissible. 

Si  donc  l'une  des  excentricités  est  assez  petite,  l'autre  nulle, 
l'inclinaison  des  orbites  nulle,  le  grand  axe  de  l'orbite  circulaire 

plus  grand  que  celui  de  l'orbite  elliptique;  si  le  rapport  ■ dif- 
fère peu  de  celui  des  moyens  mouvements,  ce  sont  les  points  D  et 
D'  qui  déterminent  les  rayons  de  convergence  r  et  R  =  -• 

Pour  faciliter  l'intelligence  de  cette  discussion,  j'ai  construit 
une  quatrième  figure  où  j'ai  représenté  la  variation  des  points 
singuliers  en  prenant  pour  abscisse  x,  si  x  est  réel,  et  \x\:  si  x  est 
imaginaire,  et  pour  ordonnée  \z\.  Je  n'ai  représenté  toutefois  que 
ceux  des  points  singuliers  qui  jouent  un  rôle  dans  la  discussion. 

Les  droites  tracées  en  trait  mixte sont  les  deux  axes 

de  coordonnées  x  =  o  et  \z\  =  o,  et  les  droites  x  =  -+- 1,  \z\  =  i. 

Les  courbes  en  trait  plein  représentent  la  variation  des  points 
singuliers  réels,  et  les  courbes  en  trait  pointillé  celle  des  points 
singuliers  imaginaires.  D'après  les  conventions  faites  plus  haut, 
chacun  des  points  de  ces  courbes  pointillées  représentent  deux 
points  singuliers  imaginaires  conjugués. 

Les  divers  points  remarquables  sont  désignés  par  les  mêmes 
lettres    que   les   points  correspondants  des   autres   figures.    Pour 


DÉVELOPPEMENT  DE  .LA  FONCTION  PERTURBATRICE.     3o5 

trouver  les  diverses  valeurs  finales  obtenues  en  partant  d'un  point 
singulier  donné,  il  faut  suivre  les  courbes  pleines  ou  pointillées, 
en  allant  toujours  en  descendant  (puisque  sur  la  figure  l'axe 


Fig.  4- 


des  |^|  positifs  est  dirigé  vers   le  bas)  jusqu'à  la  droite  | 
On  trouve  ainsi  que 

Pour  le  point  D  les  valeurs  finales  sont  yt,  y2  et  y3, 
»  B  »  y2  et  yb, 

"  G  »  y2,  y3  et  Yi, 

»  F  »  y«i 

»  R  »  Yâ,  Ys  et  Y7' 

»  E  »  Ys  et  Y7- 

Je  rappelle  que  y5  représente  deux  valeurs  finales  ima^ 
conjuguées.   On  voit  que,   de  toutes  ces  valeurs  finales, 
sauf  ff ,  sont  plus  petites  que  i  en  valeurs  absolues. 


;maires 
toutes, 


Discussion  dans  le  cas  général. 

98.  Les  limites  qui  me  sont  imposées  ici  ne  me  permettent  pas 
de  répéter  cette  discussion  dans  le  cas  le  plus  général;  mais  je  puis 
indiquer  en  quelques  mots  de  quelle  manière  elle  doit  être  con- 
duite. 

Quand  on  fera  varier  les  éléments  des  orbites,  d'une  manière 
continue,  les  points  singuliers  de  ^(s)  varieront  aussi  d'une  façon 

H.  P.  -  I.  20 


3o6  CHAPITRE    VI. 

continue.  Supposons  que  l'on  fasse  varier  ces  éléments  de  telle 
sorte  que  les  orbites  restent  réelles  et  qu'à  aucun  moment  elles  ne 
se  coupent  en  un  point  réel,  de  telle  sorte  aussi  qu'à  aucun  moment 
deux  points  singuliers  de  $>(z)  ne  viennent  à  se  confondre.  Consi- 
dérons un  point  singulier  de  $(^);  il  va  varier  d'une  façon  con- 
tinue et,  comme  nous  supposons  qu'il  ne  se  confond  jamais  avec 
aucun  autre,  on  pourra  le  suivre  dans  ses  variations  sans  avoir  à 
craindre  aucune  ambiguïté. 

Cela  posé,  je  dis  que,  si  ce  point  est  admissible  à  un  certain  mo- 
ment, il  restera  toujours  admissible  et  inversement,  sauf  dans  un 
cas  sur  lequel  nous  reviendrons. 

En  effet,  dire  que  le  point  singulier  est  admissible,  c'est  dire  que, 
parmi  les  valeurs  finales  de  x  correspondant  à  ce  point,  il  y  en  a 
dont  le  module  est  plus  grand  que  i  et  d'autres  dont  le  module 
est  plus  petit  que  t.  Mais  il  importe  de  préciser  davantage.  En 

effet,   dans  le   cas  particulier   traité  dans  le   numéro  précédent, 

i  i 

F (5,  t)  était  fonction  uniforme  de  zc  et  de  xc,  ce  qui  nous  a  permis 

1 
de  représenter  les  points  singuliers  de  F(js,  t)  sur  le  plan  des  xc. 
Dans  le  cas  général  il  n'en  est  plus  de  même  et  une  représenta- 
tion aussi  simple  n'est  plus  possible.  Il  faut  représenter  les  points 
singuliers  de  F  (s,  t)  (considérée  comme  fonction  de  t)  sur  une 
surface  de  Riemann  particulière  que  j'ai  appelée  plus  haut  S  ;  cette 
surface  peut  être  définie  comme  il  suit  :  nous  avons 

asinÇ/i  \  c  sin  Cf>'  /  1  \ 

(1)  z  =  xae     -      \i-       'Jc&     2       ■■>'        /. 

Si  nous  regardons  z  comme  donné,  cette  équation  définit  une 

relation  entre  x  et  y  à  laquelle  satisfont  une  infinité  de  systèmes 

-  1 

de  valeurs  de  x  et  de  y,  ou  bien  encore  de  xc  et  dey";  chacun  de 

ces  systèmes  de  valeurs  représente  ce  qu'on  peut  appeler  un  point 
analytique.  A  chacun  des  points  de  la  surface  de  Riemann  cor- 
respondra un  de  ces  points  analytiques  et  un  seul,  et  récipro- 
quement. 

Quand  on  fera  varier  z,  cette  surface  de  Riemann  S  va  varier 
aussi,  puisque  alors  les  points  singuliers  de  F(z,  t)  se  déplacent. 
Soit  S0  ce  que  devient  S  quand  z  atteint  une  valeur  de  module  i . 


DÉVELOPPEMENT    DE    LA    FONCTION    PERTURBATRICE.  307 

Sur  la  surface  S0  nous  pourrons  tracer  un  cercle  que  j'appellerai 
C0  et  dont  l'équation  sera 

kl  =  l/l  =.ï. 

(En  effet,  si  l'on  donne  à  x  une  valeur  quelconque  de  module  i, 
on  peut  toujours  choisir  une  valeur  de  y  ayant  également  pour 
module  i ,  de  manière  que  z  ait  telle  valeur  que  l'on  veut  de  mo- 
dule i.) 

Ce  cercle  C0  partage  en  deux  régions  la  surface  de  Riemann  S0. 

J'appellerai  R0  celle  de  ces  deux  régions  qui  contient  les  points 

voisins  de  C0  et  pour  lesquels  \x\  <C  i  et  R'0  l'autre  région. 

i 

Supposons  donc  que  l'on  fasse  suivre  au  point  zc  la  droite  A  du 
numéro  précédent  et  que  l'on  étudie  les  variations  des  points  sin- 
guliers de  F  (s,  l);  quand  on  fait  varier  z,  ces  points  se  déplacent 
sur  la  surface  S  en  même  temps  que  cette  surface  S  varie  elle-même. 
Deux  de  ces  points  d'abord  confondus  en  un  seul  [qui  est  un  point 
singulier  de  (ï)(^)]  se  séparent;  quand  le  module  de  z  atteint  la 
valeur  i  et  que  S  s'est  réduite  à  S0,  ils  atteignent  sur  cette  sur- 
face S0  deux  positions  finales.  (La  discussion  du  numéro  précédent 
nous  a  fait  voir  des  cas  où  l'un  de  ces  points  singuliers  se  séparait 
lui-même  en  deux  autres;  il  y  a  alors  plus  de  deux  positions  finales, 
mais  ce  que  je  vais  dire  reste  applicable.)  Si  toutes  ces  positions 
finales  appartiennent  à  la  même  des  deux  régions  déterminées  sur 
la  surface  S0  par  le  cercle  C0,  le  point  singulier  correspondant 
de  ®(z)  est  inadmissible;  dans  le  cas  contraire,  il  est  admissible. 

On  voit  la  nuance  qui  sépare  cet  énoncé  de  celui  que  j'avais 
d'abord  donné  et  qui  convenait  dans  le  cas  particulier  du  numéro 
précédent.  Les  affixes  de  deux  points  peuvent  être,  l'un  plus  grand, 
l'autre  plus  petit  que  i  en  valeur  absolue,  et  ces  deux  points  peu- 
vent appartenir  néanmoins  à  la  même  des  deux  régions  définies 
plus  haut,  s'ils  ne  font  pas  partie  du  même  feuillet  de  la  surface 
de  Riemann. 

Cela  posé,  je  dis  que,  quand  on  fait  varier  les  éléments  des  deux 
orbites,  un  point  singulier  d'abord  admissible  ne  peut,  en  général, 
devenir  inadmissible  ou  inversement.  En  effet,  considérons  les 
variations  de  la  surface  S0  et  de  ce  que  nous  avons  appelé  les  va- 
leurs finales.  Pour  qu'un  point   singulier  cessât  en   effet  d'être 


3o8  CHAPITRE    VI. 

admissible  ou  le  devînt,  il  faudrait  que  la  valeur  finale  correspon- 
dante franchît  le  cercle  G0,  pour  passer  d'une  des  deux  régions 
dans  l'autre.  Or  quelle  est  la  signification  des  équations  de  ce 

cercle  C0 

M  =  \y\  =i- 

Elles  signifient  que  les  deux  anomalies  excentriques  sont  réelles. 
A  chaque  point  M  de  la  surface  de  Riemann  S,  et  en  particulier  de 
la  surface  S0,  correspond  sur  les  deux  orbites  un  couple  de  points 
P  et  P'  définis  par  les  valeurs  des  anomalies  excentriques,  ou  ce 
qui  revient  au  même  de  x  et  de  y.  Si  le  point  M  est  sur  le  cercle  C0, 
les  points  P  et  P'  sont  réels.  Le  point  M  ne  peut  être  singulier  que 
si  la  distance  PP'  est  nulle,  ou  si  l'un  des  points  P  et  P'  sont  à  une 
distance  nulle  du  Soleil.  Cette  seconde  circonstance  ne  peut  pas 
se  présenter  si  les  points  P  et  P'  sont  réels;  ni  la  première  non 
plus  si,  comme  nous  l'avons  supposé,  les  deux  orbites  ne  se  cou- 
pent en  aucun  point  réel. 

Il  est  donc  impossible  qu'un  point  du  cercle  C0  soit  singulier; 
c'est-à-dire  qu'une  des  valeurs  finales  franchisse  ce  cercle;  c'est- 
à-dire  enfin  qu'un  point  singulier  de  <&(z)  perde  ou  acquière  le 
caractère  d'admissibilité. 

Il  est  cependant  un  cas  dont  il  me  reste  à  parler  et  où  ce  raison- 
nement se  trouverait  en  défaut.  Je  suppose  que  l'on  fasse  suivre 

i 
au  point  zc  la  droite  A  et  que  l'on  étudie  les  variations  correspon- 
dantes des  points  singuliers  de  F (z,  t).  Au  commencement,  deux 
de  ces  points  sont  confondus  entre  eux  et  se  confondent  par  con- 
séquent avec  un  point  singulier  A  de  $(5);  ils  se  séparent  ensuite  : 
soit  a  l'un  d'eux-,  il  peut  arriver  (et  nous  en  avons  vu  des  exemples 
au  numéro  précédent)  que,  pour  une  certaine  valeur  de  z,  le  point  a 
vienne  à  se  confondre  avec  un  autre  point  singulier  de  F  (g,  t) 
(généralement  différent  de  celui  avec  lequel  il  se  confondait 
d'abord)  et,  par  conséquent,  avec  un  point  singulier  B  de  *&(z).  Il 
s'en  sépare  ensuite,  de  sorte  que  le  point  singulier  A  admet  non 
pas  deux,  mais  trois  valeurs  finales. 

Je  dirai  dans  ce  cas,  pour  abréger  le  langage,  que  le  point  B  est 
subordonné  au  point  A;  il  faut,  pour  qu'il  en  soit  ainsi,  que  le  z  du 
point  B  ait  même  argument  et  module  plus  rapproché  de  1  que 
le  z  du  point  A. 


DÉVELOPPEMENT  DE  LA  FONCTION  PERTURBATRICE.      3og 

Soient  alors  A  et  B  deux  points  singuliers  de  &(z)  et  supposons 
que  leurs  z  aient  d'abord  des  arguments  différents.  Faisons  varier 
d'une  manière  continue  les  éléments  des  deux  orbites  et,  par  con- 
séquent, les  points  A  et  B;  si,  à  un  certain  moment  le  point  B  devient 
subordonné  au  point  A,  il  peut  arriver  qu'à  ce  moment,  par  excep- 
tion à  la  règle  générale  formulée  plus  haut,  le  point  A  devienne 
admissible  ou  cesse  de  l'être. 

Voyons  comment  cette  circonstance  pourra  se  présenter.  Obser- 
vons d'abord  que  les  valeurs  de  x  qui  correspondent  aux  points 
singuliers  de  <&(z)  nous  sont  fournies  par  un  certain  nombre 
d'équations  algébriques.  Si  les  deux  points  A  et  B  sont  ainsi  définis 
par  une  seule  et  même  équation  irréductible,  je  dirai  qu'ils  sont 
de  même  nature,  et,  dans  le  cas  contraire,  qu'ils  sont  de  nature 
différente.  On  verrait  sans  peine  que,  si  les  points  A  et  B  sont  de 
nature  différente,  le  point  B  peut  devenir  subordonné  à  A,  sans 
que  ce  point  A  puisse  perdre  ou  acquérir  le  caractère  d'admissi- 
bilité. 

Je  suppose  maintenant  que  les  points  A  et  B  soient  de  même 
nature.  Si  le  point  Best  inadmissible,  il  peut  encore  devenir  subor- 
donné à  A  sans  que  ce  dernier  point  devienne  admissible  ou  cesse 
de  l'être.  Si,  au  contraire,  le  point  B  est  admissible,  il  arrivera  en 
général,  au  moment  où  B  deviendra  subordonné  à  A,  que  A  cessera 
d'être  admissible  s'il  l'était,  et  le  deviendra  s'il  ne  l'était  pas.  Le 
point  B  conserve  d'ailleurs  toujours  son  caractère  d'admissibilité 
ou  d'inadmissibilité. 

Les  considérations  qui  précèdentnous  fournissent  donc  le  moyen, 
en  faisant  varier  les  éléments  des  orbites  d'une  manière  continue, 
et  en  suivant  les  variations  des  points  singuliers,  de  reconnaître 
quels  sont  ceux  qui  sont  admissibles,  soit  que  l'on  s'astreigne  à 
faire  varier  les  éléments  de  façon  que  deux  points  singuliers  n'aient 
à  aucun  moment  un  z  de  même  argument,  afin  d'éviter  la  discussion 
nécessaire  pour  savoir  s'ils  sont  réellement  subordonnés  l'un  à 
l'autre,  soit  que  l'on  ne  s'y  astreigne  pas  en  se  résignant  à  faire 
cette  discussion. 

On  peut  faire  varier,  non  seulement  les  éléments  des  orbites, 

mais  le  rapport  -  en  oubliant  un  instant  qu'il  doit  être  commen- 
surable,  ce  que  nous  n'avons  supposé  que  dans  un  but  très  parti- 


3lO  CHAPITRE     VI. 

culier  qui  ne  se  rattache  en  aucune  façon  à  la  discussion  de  l'admis- 
sibilité des  points  singuliers.   Ce  rapport  -  doit  toutefois,   pour 

que  ce  que  nous  venons  de  dire  reste  applicable,  rester  réel  et  ne 
passer  ni  par  o  ni  par  l'infini. 

Il  suffit  donc,  pour  pouvoir  appliquer  les  considérations  précé- 
dentes, de  connaître  quels  sont  les  points  admissibles  pour  cer- 
taines valeurs  des  éléments.  Ce  que  j'ai  dit  dans  le  numéro  précé- 
dent sur  un  cas  particulier  semble  donc  pouvoir  nous  suffire; 
mais,  dans  ce  cas  particulier,  certains  points  singuliers  se  réduisent 
à  o  ou  à  l'infini  et  je  les  ai  laissés  de  côté  dans  la  discussion. 

C'est  pour  cette  raison  que  j'ai  encore  quelques  mots  à  ajouter. 

Supposons  d'abord  que,  les  deux  excentricités  étant  finies,  l'in- 
clinaison reste  nulle.  Soit 


tang-  =  t,         tang-  =  %  . 

Les  points  singuliers  de  F(z,  t)  seront  alors  définis  par  les  équa- 
tions suivantes 


y(x  —  xY-        _      (y  —  x'y- 
(3)  — -l-=$x^- —h 


(i-u)2        _       (i  —  <y)5 

(4)  rK——ih  =  Vo*\^Ji) 


Les  courbes  (3)  et  (4)  sont  du  troisième  ordre;  pour  qu'elles 
soient  réelles,  il  faut  et  il  suffit  que  les  grands  axes  des  deux 
orbites  coïncident,  c'est-à-dire  que  la  différence  ro  —  m'  soit  égale 

à  O  OU  à  7T. 

Supposons  es  =  gj',  la  courbe  (3)  présentera  un  point  double 

x  =  i,         j/-  =  t': 

Si  t7  est  très  petit,  la  courbe  présentera  trois  branches  :  la  pre- 
mière que  j'appellerai  y<  et  qui  différera  peu  de  la  branche  B'DBP 
de  hijîg.  i  ;  la  seconde  que  j'appellerai  y2  ira  passer  par  l'origine 
et  par  le  point  double.  Elle  sera  d'abord  asymptote  à  l'axe  des  x 


DÉVELOPPEMENT  DE  LA  FONCTION  PERTURBATRICE.     3ll 

négatifs,  s'écartera  très  peu  de  cet  axe;  après  avoir  passé  par  le 
point  double,  elle  différera  peu  de  la  branche  AO'  de  la  fi  g.  i  ; 
la  troisième  que  j'appellerai  y3  est  asymptote  à  l'axe  desy  et  diffère 
d'abord  très  peu  de  la  branche  CRA  de  l&Jig.  i  ;  elle  va  ensuite 
passer  par  le  point  double  et  s'écarte  ensuite  très  peu  de  l'axe 
des  x  auquel  elle  est  asymptote.  Je  dirai  désormais  que  deux  points 
sont  réciproques,  quand  on  passe  de  l'un  à  l'autre  en  changeant 

x  en  -,  y  en  —  ,  z  en  -  et  \J —  i  en  — ■  \J- —  i.  Les  deux  courbes  (3) 

x  y  z 

et  (4)  sont  alors  réciproques  l'une  de  l'autre.  Si  m  =  vs'  et  par  con- 
séquent que  nos  courbes  soient  réelles,  cette  définition  ne  diffé- 
rera pas  de  celle  du  numéro  précédent. 

Nous  avons  comme  points  singuliers  : 

i°  Les  intersections  des  courbes  (3)  et  (4)  différant  très  peu  des 
points  B,  B',  R,  R'  de  la  fig.  i  et  que  je  puis  toujours  désigner 
par  les  mêmes  lettres.  Nous  avons  vu  qu'ils  sont  inadmissibles. 

2°  Les  intersections  de  x  =  t  et  de  la  courbe  (4),  de  x  =  -  et 

de  la  courbe  (3)  différant  très  peu  des  points  E  et  E'  de  lajig.  i; 
ils  sont  aussi  inadmissibles. 

3°  Trois  points  situés  sur  la  courbe  (3)  et  différant  très  peu  des 
points  D,  F  et  G'  de  \ajig.  i;  le  premier  seul  est  admissible. 

4°  Trois  points  réciproques  des  premiers  situés  sur  la  courbe  (4)  ; 
celui  qui  diffère  peu  de  D'  est  seul  admissible. 

5°  Un  point  défini  par  les  équations  (3)  et  (5)  situé  sur  la 
branche  y2  et  se  réduisant  à  y  —  o,  x  ==  —  x,  poui"c'=  o.  Ce  point, 
dont  il  n'a  pas  été  question  dans  le  numéro  précédent,  exige 
une  discussion  spéciale.  Cette  discussion  prouverait  que  ce  point 

que  j'appellerai  T  est  admissible;  les  deux  points  singuliers  de 

i 
F(s,  t),  d'abord  confondus  avec  lui,  se  séparent  quand  zc  décrit 
la  droite  A  et  sont  d'abord  imaginaires  conjugués,  puis  ils  se  réu- 
nissent de  nouveau  en  un  seul  point  qui  correspond  au  point  D 
et  se  séparent  encore  pour  redevenir  réels.  On  voit  que  les  valeurs 
finales  de  T  sont  les  mêmes  que  celles  de  D;  donc  T  est  admissible 
comme  D. 

6°  Un  point  T',  réciproque  de  T,  et  par  conséquent  admissible 
comme  lui. 

7°  Le  point  double  x  =  x,  y  =  t',  que  j'appellerai  U  ;  par  ce 


3l2  CHAPITRE    VI. 

point  passent  deux  des  branches  de  la  courbe  (3)  et  les  deux  droites 
x  —  T)  y  —  x  .  A  ce  point  correspondent  quatre  valeurs  finales  ;  car, 

i 
quand  zc  décrit  la  droite  A,  quatre  points  singuliers  de  F  (s,  t), 
d'abord  confondus  en  un  seul,  se  séparent  de  façon  que  les  quatre 
points  représentatifs  décrivent  respectivement  les  deux  branches 
de  (3)  et  les  deux  droites  x  =  x,  y  =  x';  parmi  ces  valeurs  finales, 
trois  sont  plus  petites  que  i  en  valeur  absolue  ou  plus  exactement 
appartiennent  à  la  région  R0  de  la  surface  de  Riemann  S0.  La 
quatrième  valeur  finale,  celle  qui  correspond  à  la  branche  de 
courbe  y2  appartient  à  l'autre  région.  Le  point  est  donc  admis- 
sible. 

8°  Le  point  U'  réciproque  de  U,  c'est-à-dire  le  point  double 
de  (4),  sera  admissible  pour  la  même  raison. 

9°  Il  reste  encore  les  points  d'intersection  de  la  droite,  y  =  x' 
avec  la  courbe  (4)  que  j'appelle  V  et  W  et  ceux  de  la  droite 

y  =  -  avec  la  courbe  (3)  que  j'appelle  V  et  W,  auxquels  j'adjoin- 
drai les  deux  points  réciproques  l'un  de  l'autre 

=  x,    y=^j      et      ix  =  \>  y  = 

que  j'appellerai  X  et  X'.  Le  point  X  est  inadmissible  et  les  deux 
valeurs  finales   correspondant   respectivement   aux  deux   droites 

x  =  x  et  y  =  -  appartiennent  à  la  région  R0. 

Passons   au  point  V  [c'est   celle   des    intersections   de  y  =  x' 

i 
avec  (4)  qui  est  très  près  de  l'origine]  :  quand  le  point  zc  décrit  A, 
les  deux  points  représentatifs  correspondant  aux  deux  points  sin- 
guliers qui  se  séparent  suivent  :  le  premier  la  courbe  (4)  jusqu'au 
point  R  et  le  second  la  droite  y  =  x'  jusqu'en  U.  Les  points  R  et  U 
sont  donc  subordonnés  à  V  et  V  admet,  comme  valeurs  finales, 
l'ensemble  des  valeurs  finales  de  R  et  de  U.  Toutes  celles  de  R 
appartiennent  à  R0;  celles  de  U  qui  est  admissible  appartiennent 
aux  deux  régions.  Donc  le  point  V  est  admissible;  mais  il  cesse 
de  l'être  dès  que  la  différence  m  —  w',  au  lieu  d'être  nulle,  devient 
très  petite.  Dans  ce  cas,  en  effet,  R  etU  cessent  d'être  subordonnés 
à  V,  et  les  seules  valeurs  finales  que  conserve  V  sont,  d'une  part, 


DÉVELOPPEMENT  DE  LA  FONCTION  PERTURBATRICE.      3 1 3 

une  valeur  finale  peu  différente  d'une  de  celles  de  R,  et  une  autre 
peu  différente  d'une  de  celles  de  U  (celle  qui  correspond  ky  =  t') 
et  qui,  toutes  deux,  appartiennent  à  R0. 

Enfin  W  est  inadmissible     c'est  celle  des  intersections  de  (3) 

avec  y  =  -  >  qui  est  voisine  de  l'axe  des  y    .  En  effet,  à  ce  point  son  t 

subordonnées  F  et  X  dont  les  valeurs  finales  appartiennent  à  Ro. 

En  résumé,  si  l'inclinaison  est  nulle,  la  différence  vô  —  ns' 
très  petite,  l'excentricité  y  petite,  l excentricité  a/  très  petite  par 
rapport  à  o,  les  seuls  points  admissibles  seront  D,  T,  U  et  leurs 
réciproques. 

Supposons  maintenant  que  l'inclinaison  n'est  plus  nulle,  mais 
très  petite. 

Si  nous  écrivons  que  la  distance  des  deux  planètes  est  nulle, 
nous  n'obtiendrons  plus,  comme  dans  le  cas  précédent,  deux  équa- 
tions distinctes  (3)  et  (4),  mais  une  équation  unique 

®(.i-,  y)  =  o 

qui,  si  l'on  considère  (comme  dans  la  Jig.  i)  x  el  y  comme  les 
coordonnées  d'un  point  dans  un  plan,  représentera  une  courbe  du 
sixième  ordre. 

Cette  courbe  se  décompose  en  deux  courbes  du  troisième  ordre 
(3)  et  (4)  quand  l'inclinaison  est  nulle;  pour  qu'elle  soit  réelle,  il 
faut  et  il  suffit  que  les  grands  axes  des  orbites  soient  perpendicu- 
laires à  la  ligne  des  nœuds. 

Si  l'inclinaison  est  très  petite,  les  points  singuliers  seront  : 

i°  Des  points  très  peu  différents  de  E,  D,  F,  G,  T,  V,  W,  X  et 
de  leurs  réciproques;  je  les  désignerai  par  les  mêmes  lettres;  il 
est  clair  que  D  et  T  sont  seuls  admissibles  avec  leurs  réciproques. 

2°  Deux  points  B,  et  B2  très  peu  différents  de  B;  deux  points 
Ri  et  R2  très  peu  différents  de  R  et  leurs  réciproques.  Tous  inad- 
missibles. 

3°  Neuf  points  peu  différents  de  U,  à  savoir  x  =  t,  jk=-t';  deux 
intersections  de  x  =  t  avec  0  =  o,  deux  de  y  =  i'  avec  0  =  o, 
quatre  points  de  0  =  o.  Une  discussion  spéciale  serait  néces- 
saire. 

Avant  ainsi  reconnu  quels  sont  les  points  admissibles,  il  reste- 


3l4  CHAPITRE    VI. 

rait,  pour  voir  celui  qu'il  convient  de  conserver,  à  voir  quel  est 
celui  qui  correspond  à  la  valeur  de  \z\  la  plus  voisine  de  i. 

Si  V excentricité  qui  correspond  au  plus  grand  des  deux 
grands  axes  et  V inclinaison  sont  petites  par  rapport  à  Vautre 
excentricité,  si  la  différence  m  —  rs' est  petite,  le  point  qui  nous 
convient  est  le  point  D. 

Forcé  de  me  borner,  j'arrête  là  cette  discussion  que  je  n'ai  fait 
qu'ébaucher.  Mais  il  me  semble  que  l'importance  du  sujet  peut 
tenter  plus  d'un  chercheur;  il  devrait  donner,  outre  cette  discus- 
sion, une  méthode  pratique  et  rapide  de  résolution  des  équations 
algébriques  auxquelles  on  est  conduit  en  tenant  compte  de  la  peti- 
tesse de  certaines  quantités,  et  de  ce  fait  qu'on  peut  se  contenter  le 
plus  souvent  d'une  médiocre  approximation.  Sa  tâche  serait  d'ail- 
leurs grandement  facilitée  par  une  étude  analytique  complète  de  la 
fonction  Q{z)  et  de  ses  différentes  déterminations. 

Application  de  la  méthode  de  M.  Darboux. 

99.  Supposons  maintenant  que  l'on  ait  déterminé  par  la  discus- 
sion qui  précède  le  point  singulier  de  $(z)  qui  convient  à  la 
question,  que  l'on  sache,  par  conséquent,  quelles  sont  les  deux 
circonférences 

\z\  =  r.         \z\  =  K=l 

qui  limitent  le  domaine  où  <&(z)  est  développable  par  la  série  de 
Laurent  et  quels  sont  les  points  singuliers  situés  sur  cette  circon- 
férence. En  général,  il  n'y  en  aura  qu'un  seul  sur  chacune  d'elles. 

Soit  donc  z0  le  point  singulier  qui  se  trouve  sur  la  circonfé- 
rence \z\  =  r. 

Soient  x0,  y0  et  t0  les  valeurs  correspondantes  de  x,y  et  t.  On 
voit  aisément  que  x0  etjKo  sont  parfaitement  déterminés  par  les 
équations  algébriques  que  nous  avons  discutées  plus  haut  ;  au  con- 
traire, 

1     sincp  /  i ^  \ 

t0-=x]e  2C  V*«      V 
n'est  pas  entièrement  déterminé,  mais  est  susceptible  de  c  valeurs 


DÉVELOPPEMENT  DE  LA  FONCTION  PERTURBATRICE.      3 1 5 

que  j'appellerai 

t0,    Jt0,    /**„,     ....    7e-1 t0, 

f  étant  une  racine  cieme  primitive  de  l'unité. 

Appliquons  au  développement  de  &(z)  la  méthode  de  M.  Dar- 
boux.  Pour  cela,  il  nous  est  nécessaire  de  savoir  comment  cette 
fonction  se  comporte  dans  le  voisinage  du  point  singulier  z  =  z0. 

Lorsque  z  est  très  voisin  de  z0,  la  fonction  F  (s,  t)  admet  deux 
points  sing-uliers  tK  et  t2  très  voisins  de  t0,  elle  admettra  également 
c  —  i  autres  couples  de  points  singuliers 

jtiptjh,     /**i  et/»*,,     ...,     /«-it!  et';Wf„ 

très  voisins  respectivement  de 

jto,    j*hi     ...,    /c-Uo. 

Le  contour  d'intégration  C  le  long-  duquel  devra  se  calculer 
L'intégrale 


*(*)  =  —  /  F(<s,  t)dt 


ii- 


devra  passer  entre  les  points  tK  elt.>  et  de  même  entre  les  points/^ 
etyVo,  •  •  •  •  On  pourra,  d'ailleurs,  supposer  que  ce  contour  présente 
la  symétrie  suivante  :  il  sera  formé  de  c  arcs  C0,  Ci,  .  .,  Ct_i, 
et  l'on  passera  de  l'arc  C0  à  l'arc  C*  en  changeant  t  en  tjk,  comme 

l'intégrale  prise  le  long  des  c  arcs  C0,  C| ,  .  .  . ,  Cc_1  sera  la  même, 
et  l'on  aura 


*(-)=-%    fF{z,t)dt. 
2  ''  a  Je. 


L'arc  C0  qui  est  notre  nouveau  chemin  d'intégration  passera 
alors  seulement  entre  les  points  singuliers  t0  et  tt  ;  d'ailleurs, 
décomposons  l'arc  G0  en  trois  arcs  partiels  C^,  C'^  et  C'^' ;  j'appel- 
lerai a  et  (3  les  extrémités  de  l'arc  C0,  (3  et  y  celles  de  G'Q,  y  et  S 
celles  de  C'„.  Je  supposerai  que  c'est  C^  qui  passe  entre  t{  et  t2  et 
que,  quand  z  tend  vers  z0,  aucun  des  quatre  points  a,  [3,  y?  o  ne 
tende  vers  t0,  de  telle  sorte  que  ces  quatre  points  soient  à  une 
distance  finie  de  tt  et  de  t2. 


3 1 6  CHAPITRE    VI. 

Notre  intégrale  prise  le  long  de  C0  est  la  somme  de  trois  antres, 
prises  respectivement  le  long  de  G„,  de  G'^  et  de  G™.  La  première 
et  la  troisième  restent  des  fonctions  holomorphes  de  z  dans  le  voi- 
sinage du  point  z  =  z0,  puisque  les  points  tK  et  t.±  sont  à  une  dis- 
tance finie  des  arcs  C'0  et  C™.  C'est  donc  la  seconde  intégrale  seu- 
lement, prise  le  long  de  C'^,  qui  admet  z0  comme  point  singulier; 
c'est  donc  l'étude  de  cette  seconde  intégrale  qui  nous  fera  con- 
naître l'allure  de  la  fonction  ®(z)  dans  le  voisinage  de  z  =  z0. 

Voyons  donc  comment  se  comporte  la  fonction  F(^,  t)  dans  le 
voisinage  de  z  =  z0,  t=  t0.  Cela  dépend,  bien  entendu,  de  la  nature 
du  point  singulier  considéré.  J'examinerai  d'abord  l'hypothèse  où 
ce  point  est  l'un  de  ceux  que  nous  avons  désignés  par  D,  F,  T,  C 
et  par  les  mêmes  lettres  accentuées,  ou  bien  encore,  dans  le  cas  où 
l'inclinaison  n'est  pas  nulle,  l'un  de  ceux  que  nous  avons  désignés 
par  B4,  B2,  R|,  R2  ou  de  leurs  réciproques.  C'est  là  l'hypothèse  la 
plus  importante,  car  nous  avons  vu  que,  si  l'inclinaison  et  l'une 
des  excentricités  sont  très  petites,  c'est  le  point  D  qui  nous  con- 
vient. 

Dans  cette  hypothèse  [F(.g)]~2  est  développable  suivant  les 
puissances  croissantes  de  z  —  z0  et  de  f  —  ^o- 

J'ai  donc 

F  (*■,*)  = 


en  désignant  par  fy(z,  t)  une  série  développée  suivant  les  puis- 
sances croissantes  de  z  et  de  t. 

Je  supposerai  que  z  est  assez  voisin  de  zQ,  et  que  les  points  que 
je  viens  d'appeler  [3  et  y  (extrémités  de  C"0)  sont  assez  voisins  de  (0 
(bien  que  leur  distance  à  ce  point  t0  ait  été  supposée  finie)  pour 
que  la  série  i]>  converge  pour  t  =  (3  et  pour  t  =  y. 

Quelle  sera  maintenant  la  forme  de  cette  série  à.  En  premier 
lieu,  pour 

t  =   to,  Z  =  Zq, 

on  devra  avoir 

chb 

Si  donc,  dans  <j>,  on  fait  z  =  z0,  le  premier  terme  du  développe- 
ment de  'h  sera  un  terme  en  (z  —  £0)2-  H  suit  de  là  et  d'un  théorème 


DÉVELOPPEMENT  DE  LA  FONCTION  PERTURBATRICE.      3 17 

de  M.  Weierstrass,  que  l'on  a  identiquement 

<1'  =  [(*-A),4-*]<W, 

où  tjj|  est  une  série  développée  suivant  les  puissances  de  z —  z0, 
et  t  —  t0  et  ne  s 'annulant  pas  pour  z  =  z0,  t  =  t0  ;  où  h  et  k  sont 
deux  séries  ordonnées  suivant  les  puissances  de  z  —  z0  et  se  dédui- 
sant respectivement  à  t0  et  à  o  pour  z  =  z0  (Weierstrass,  Ab- 
handlungen  aus  der  Funclionenlehre,  Berlin,  Springer,  1886, 
p.  107  et  suiv.  ;  voir  aussi  Poincaré,  Thèse  inaugurale,  Paris, 
Gauthier-Villars,  1879). 
Nous  pouvons  poser  alors 

— =  =  0,        d'où        F(z,  t) 


8  étant  développabie  suivant  les  puissances  croissantes  de  z  —  z0 
et  t  —  t0. 

Passons  à  une  seconde  hypothèse  qui  sera  celle  où,  l'inclinaison 
étant  nulle,  le  point  singulier  z0  sera  l'un  des  points  B,  R,  B'  ou 
R'.  On  verrait  alors  que  ¥(z,  t)  est  encore  de  la  même  forme;  il  y 
a  cependant  une  différence.  Dans  la  première  hypothèse,  k  est 
divisible  par  z  —  s0,  mais  non  par  (z  —  -o)2  5  dans  la  seconde,  k  est 
divisible  par  (z  —  zQ). 

Les  dernières  hypothèses  qu'il  nous  reste  à  examiner  sont  celles 

où  l'on  a  soit  i0  =  tou-;  soit y0  =  -'  ou  -,-  Dans  ce  cas,  il  peut 

être  utile  de  faire  un  changement  de  variable. 
Supposons  d'abord 

Xç=.x     ou     -,         /o<",     7o<-,' 

Nous  prendrons  alors  pour  variables  nouvelles,  non  plus  t  et  z, 
mais  x  et  z;  dans  le  voisinage  du  point  singulier  considéré,  y  est 
développabie  suivant  les  puissances  croissantes  de  t  —  t0  et  z  —  z0 
et,  par  conséquent,  suivant  celles  de  x  —  x0  et  z  —  z0.  [F"]-2  est 
également  développabie  suivant  les  puissances  de  z — z0  et  de 

Si  donc  nous  posons 
(1)  ^  =  [tF(z,t)]-*, 


3l8  CHAPITRE    VI. 

'}  sera  développable  suivant  les  puissances  de  x  —  x0  et  z  —  £0,  et 


nous  aurons 


.   ^ .  ,      r    dx     (x  —  t)(i  —  zx)      r 

■îitz<&{z)=   / — r =   /  H(~,  x)dx. 

La  fonction  H(,s,  x)  sous  le  signe  /  ne  présente  de  point  singu- 
lier que  si  ib  =  o. 

Pour  que  &(z)  présente  un  point  singulier,  il  faut  que  deux  des 
points  singuliers  de  H (z,  x)  viennent  à  se  confondre.  Or  cela  n'aura 
lieu  que  si  l'on  a  à  la  fois 

dû 

<b  =  -—  =  o. 
'        dx 

L'équation  >l  =  o  correspond  aux  courbes  (3)  et  (4)  du  numéro 
précédent  (ou  à  la  courbe  du  sixième  degré  qui  les  remplace  quand 

l'inclinaison  n'est  pas  nulle).  Les  équations  <b  —  ^-  =  o  corres- 
pondent aux  points  singuliers  étudiés  dans  les  deux  premières 
hypothèses. 

D'où  cette  conséquence,  le  point  E  et  son  réciproque  ne  sont 
pour  la  fonction  <&(z)  que  des  points  singuliers  apparents,  et  l'on 
n'aura  jamais  à  s'en  occuper. 

Supposons  maintenant 

Xo<t,     2m)<->         JKo  =  -     ou     T. 

Nous  prendrons  alors  pour  variables  nouvelles  y  et  z  ;  nous  trou- 
verons, en  conservant  à  ^  la  signification  que  lui  donne  l'équa- 
tion (i), 


lÏTZ<b{z) 


f 


—  dy   (  y  —  "O  ( x  -—  x'y) 


ayï  s/ty  H-  t  2 

Nous  en  conclurions  que  les  points  définis  par  les  équations 

yo  =   -,       OU       T  ;  lil  =0 

(et  pour  lesquels  on  n'a  pas  en  même  temps  -'  =oj,  c'est-à-dire 


DÉVELOPPEMENT  DE  LA  FONCTION  PERTURBATRICE.      3li) 

les  points  V,  W  et.leurs  réciproques,  ne  sont  pour  la  fonction  $(;) 
que  des  points  singuliers  apparents. 
Dans  le  cas  où  l'on  a  à  la  fois 


i  ,  i 

x0='z     ou     -i        y  o  =  ^      ou     — 


le  choix  du  changement  de  variables,  qui  peut  d'ailleurs  se  faire 
d'une  infinité  de  manières,  est  plus  délicat.  Voici  comment  on  peut 
faire  ce  choix. 
Nous  avons 

asinjp/l__    v  chlny/i        \ 

z  —  xae    %     \x      '  yce    2     'y    J/J 


a  sincp  /  i  \  c.  sincp'  /  i  \ 

?£  e    2     v  *ô  ~  x°) yc  e    2     Vr^V . 


Posons 


o  sincp'  /i       \  e  sin  y'  /  i  \ 

Alors  ^  sera  développable  suivant  les  puissances  de  £,  et  y  suivant 
celles  de  v)  ;  on  aura  x  =  #0  pour  £  =  o,  et  y  =  y0  pour  rj  =  o. 
D'autre  part,  il  viendra 


d'où 


En  général,  F(.s,  t)  et  t  seront  des  fonctions  développables  suivant 
les  puissances  de  £  et  de  '/]  [il  y  aurait  exception  toutefois  dans  le 
cas  où  l'inclinaison  serait  nulle  et  où  l'on  aurait 

ou  bien 

T  I 

ce  point  x  =  t,  7  =  t',  que  nous  avons  appelé  U,  appartient  en 


320  CHAPITRE    VI. 

effet  comme  point  double  à  la  courbe  (3);  ce  cas  mériterait  une 
discussion  spéciale]. 

On  a  donc,  en  prenant  pour  variables  indépendantes  z  et  ç, 

o(z,  ç)  étant  développable  suivant  les  puissances  de  ç,  de  z  —  ^0 
et  de  \J z  —  s0  —  Z'2,  ce  qui  nous  permet  d'écrire 


*(z)=y,«Pldi-H  ç 


\Jz  —  z0—^ 


co4  et  ca2  étant  développables  suivant  les  puissances  de  ç  et  de  z  —  z0. 
La  première  intégrale  est  une  fonction  holomorphe  de  z  dans 
le  voisinage  du  point  z  =  z0  ;  quant  à  la  seconde,  elle  est  tout  à 
fait  de  la  même  forme  que  l'intégrale 


/ 


Odt 


s/yt  —  hyï-^k 


que  nous  avons  été  conduits  à  envisager  dans  les  deux  premières 
hypothèses.  Nous  devons  donc  conclure  que  les  points 


i 

,r0  =  -z     ou     -,        Jo  =  ~      ou 


sont  pour  la  fonction  $>(z)  des  points  singuliers  véritables  et  non 
pas  seulement  apparents. 

On  peut  être  étonné,  au  premier  abord,  de  la  différence  entre  les 
points  singuliers  tels  que  E,  V,  W,  etc.,  qui  ne  sont  qu'apparents, 
et  les  points  tels  que  x  =  t,  y  =  "',  ou  tels  que  D,  etc.,  qui  sont 
de  véritables  points  singuliers. 

L'origine  en  semble  pourtant  tout  à  fait  la  même  ;  on  obtient  ces 
points  en  écrivant  que  deux  des  points  singuliers  t{  et  t2  de  la 
fonction  F (,3,  t)  viennent  à  se  confondre.  Mais  examinons  la  chose 
d'un  peu  plus  près.  Donnons  à  z  une  valeur  très  voisine  de^0,  de 
façon  que  les  deux  points  tu  et  t>  soient  très  peu  différents  l'un  de 
l'autre,  et  étudions  l'allure  de  la  fonction  F(z,  t)  dans  le  voisinage 
de  ces  deux  points.  La  différence  entre  les  deux  cas  est  alors  très 
grande. 


DEVELOPPEMENT    DE    LA    FONCTION    PERTURBATRICE.  321 

Premier  cas.  —  lue  point  z0  est  un  point  tel  que  D  ou  que 
x  =  t,  y=x';  c'est-à-dire  un  point  singulier  véritable  de  <&(z). 

Alors  deux  valeurs  de  F(z,  l)  s'échangent  entre  elles  quand  on 
tourne  autour  du  point  ti:  et  ces  deux  mêmes  valeurs  s'échangent 
encore  entre  elles  quand  on  tourne  autour  du  point  t2.  Si  l'on 
construit  une  courbe  en  prenant  t  pour  abscisse  et  F(z,  t)  pour 
ordonnée,  cette  courbe  variera  naturellement  quand  on  fera  varier 
z,  et  pour  z  =  z0  elle  aura  un  point  double. 

Second  cas.  —  Le  point  z0  est  un  point  tel  que  E,  c'est-à-dire 
un  point  singulier  apparent  de  $>{z). 

Alors  quatre  valeurs  de  F(.s,  t)  s'échangent  quand  on  tourne 
autour  de  tK  et  t2,  à  savoir  la  première  avec  la  deuxième,  la  troi- 
sième avec  la  quatrième  quand  on  tourne  autour  de  £,,  la  deuxième 
avec  la  troisième  quand  on  tourne  autour  de  t2. 

Construisons  donc  la  surface  de  Riemann  relative  à  la  fonc- 
tion F(^,  t),  c'est-à-dire  une  surface  de  Riemann  ayant  autant  de 
feuillets  que  cette  fonction  F(z,  t)  a  de  déterminations.  Dans  le 
premier  cas,  l'ordre  de  connexion  de  cette  surface  s'abaissera  de 
deux  unités  quand  z  deviendra  égal  à  z0  ;  dans  le  second  cas,  il 
demeurera  le  même.  C'est  là  la  véritable  raison  de  la  différence 
entre  les  deux  cas. 

Cette  circonstance  que  certains  points  singuliers  ne  sont  qu'ap- 
parents est  susceptible,  si  on  l'applique  convenablement,  de  sim- 
plifier considérablement  la  discussion  des  deux  numéros  précé- 
dents. 

100.   Rien  n'est  plus  aisé  maintenant  que  de  connaître  l'allure 
de  la  fonction  &(z)  dans  le  voisinage  du  point  z  =  z0. 
Nous  avons  en  effet 

T  /    \       ^  /    -,  l       r  6  dt 


Q-l7Z  J   ^.t  —  hy  +  k 

$i{z)  restant  holomorphe  pour  z  =  z0  et  l'intégrale  étant  prise 
le  long  de  C'„. 

Comme  0  est  développable  suivant  les  puissances  de  t — 10  et 
z  —  z0,  el  h  suivant  celles  de  z  —  z0,  nous  pouvons  écrire 

0  =  00  -+-  61  (  t  —  h)  +  02(i  -  hf  +. . .+  6„(  *  —  h)"  -K . . , 

H.  P.  -I.  21 


322  CHAPITRE    VI. 

de  sorte  qu'en  posant 

(t—  hy  dt 


T  C     {t- 

J  At 


h)*±k 
il  vient 


D'autre  part, 

.               /-''            cfr                  .      y  —  /l  +V(-Y  —  A-)»  -+-  * 
-2*-J0=   /  =  log- =• 

Nous  en  conclurons   (en  observant  que  le  chemin  d'intégration 
passe  entre  tA  =  h  +  y/*  et  t,  =  h  —  \J~k)  que 

2lTrJ0  =  A0O)-+-  log(^  —  -S0)> 

^o(s)  étant  holomorphe  pour  z  —  zQ. 

Dans  le  cas  où  £  serait  divisible  par  (z  —  z0)-,  il  faudrait  dire 
2  log(;  —  So)  (deuxième  hypothèse  du  numéro  précédent)  et  non 
[og(z-Zo). 

Il  vient  ensuite 

.  /"T      (t-h)dt  .  '.  ' 

aiiïJi^    /  •  =  fonction  holomorphe  de  s, 

ni  n-\-  k(/i —  i)J«— 2=  fonction  holomorphe  de  z. 

Donc  Jn  reste  holomorphe  en  z  si  ft  est  impair.  Si  maintenant  n 
est  pair  et  que  nous  posions 

(n  —  i)(n  —  3). . .  i 
n  (  n  —  2  ) ...  i 
on  aura 

n 

VLiTzin  =  A„(-s)-+-(—  kfan\og(z  —  z0), 

~kn(z)  étant  holomorphe  en  z. 
11  vient  donc  finalement 


71=0 

<ï>o  restant  holomorphe  en  i  pour.z  ==  z0. 


DÉVELOPPEMENT  DE  LA  FONCTION  PERTURBATRICE.      323 

Je  puis  écrire  encore 

*(*)=  <ï>2  0)-+-<ï>3  0)logO  —  zQ), 

4>2  et  $3  restant  holomorphes  pour  z  —  z0. 

Nous  avons 

#(.z)  =  I,Aari+biCn+dzn. 

Si  donc 

et  si 

(s  -  z0)à  Iog(,s  —  *0)  =  2Y»,A*"> 

on  aura  approximativement  pour  w  très  grand 

Aan+b,cn+d  ==  °oY«,0  "+"  °1  Y»,l  -H.  .  .-r-  »p*(ii,y 

En  général,  on  pourra  se  contenter  de  prendre  le  premier  terme 

a  _  Vo    —  T 

°oYrt,o —   — —  7» 

'         2  i  71  n  z  q 

f)0  0  étant  la  valeur  de  90  pour  z  =  z0,  ou  bien  encore  celle  de  0 
pour  z  —z0,  t=t0. 

Or,  si  j'appelle  A  le  carré  de  la  distance  des  deux  planètes;  on  a, 


F(3,0  = 
Donc 


•  rf2  A 

à  la  condition,  bien  entendu,  qu'on  fasse  t  =  t0,  z  =  z0  dans  — —  • 

Ce  que  je  viens  de  dire  s'applique  à  la  première  et  à  la  deuxième 
hypothèse  du  numéro  précédent.  Si  l'on  supposait 

1  ,  l 

Xq  =  x     ou     -,         r0  =  t'     ou     — .  j 

T  T 

une  méthode  analogue  serait  applicable  puisque  nous  avons,  dans 
ce  cas,  ramené  <J>(s)  à  une  intégrale 


0 

fad—bc—l  g     c 

)/{t  —  h)*-r 

■  /,-             /a 

oM  =  I  ««*-*"- 

,      --^2A 

/ 


cp2«?jj 


324  CHAPITRE    VI. 

qui  est  de  même  forme  que 


/ 


e  fit 


^(t  —  hyz-hk 


Le  coefficient  A7„i?,u  que  nous  venons  de  calculer  est  celui  qui 
entre  dans  le  développement  de  la  partie  principale  F°  de  la 
fonction  perturbatrice.  Nous  avons  posé  en  effet 

Il  conviendrait  maintenant  de  tenir  compte  de  la  partie  complé- 
mentaire F,  — F"  de  la  fonction  perturbatrice.  Posons  donc 

puis 

_d 
F'(4f,   t)=  Fit^-àe-ls     <', 

2MT*'(*)=  j¥'(z,  t)dt. 

Si  l'on  suppose  mK  =  an  H-  6,  m2  =  en  -+-  d,  B/MiOTa  sera  le  coef- 
ficient de  zn  dans  $'(z)  de  même  que  A„7ma  était  le  coefficient  de  z" 
dans  ®(z). 

La  fonction  F'(s,  t)  —  F(r,  t)  n'a  d'autres  points  singuliers  que 
ceux  des  droites 

a?  =  t,         x=  ___>         J  =  ^',         JK  =  ^' 

La  fonction  ^'(-s) —  ^(5)  n'aura  donc  que  4  points  singuliers,  à 
savoir 

i  r  r 

3?  =  T      ou      -j  y  —  %       OU      -:  • 

T  T 

Il  en  résulte  que,  si  le  point  singulier  qui  convient  à  la  question 
n'est  pas  un  de  ces  quatre  points,  c'est-à-dire  dans  les  deux  pre- 
mières hypothèses  du  n°  99  (ce  qui  est  le  cas  le  plus  ordinaire), 
la  différence  BOTi^o  —  A„2i„2î  sera  négligeable  par  rapport  à  AWi,„;, 
et  la  valeur  approchée  de  BMimi  sera  la  même  que  celle  de  Amim,. 
Si,  au  contraire,  le  point  singulier  z0  qui  convient  à  la  question 


DÉVELOPPEMENT    DE    LA    FONCTION    PERTURBATRICE.  325 

est  l'un  de  ces  quatre  points,  il  faudra  tenir  compte  de  la  diffé- 
rence Bm  ma — ATOi„Za,  ce  qui  ne  présente  d'ailleurs  pas  de  diffi- 
culté. 

Application  à  l'Astronomie. 

101.  Le  plus  souvent  on  pourra  se  contenter  d'une  approxima- 
tion assez  grossière;  et,  en  effet,  ce  qu'on  se  propose,  c'est  de 
reconnaître  si  certains  termes,  dont  l'ordre  est  très  élevé,  mais  qui, 
par  suite  de  la  presque  commensurabilité  des  moyens  mouvements, 
sont  affectés  de  diviseurs  très  petits,  si  ces  termes,  dis-je,  sont  ou 
ne  sont  pas  négligeables.  Le  plus  souvent  ils  le  seront,  et  il  suffira 
de  se  faire  une  idée  de  leur  ordre  de  grandeur. 

Je  prendrai  comme  exemple  la  célèbre  inégalité  de  Pallas.  Pour 
l'étudier  il  faut  faire  le  calcul  en  prenant 

a  =  i,         b  =  i,         c  =  — i,         d  =  o,         n  =  8, 

d'où 

mt  —  17,         m2  =  —  8. 

Il  semble  qu'on  pourrait  tenter  de  retrouver  par  cette  voie  le  résul- 
tat de  Le  Verrier. 


Application  à  la  démonstration  de  la  non-existence 
des  intégrales  uniformes. 

102.  Mais  ce  n'est  pas  là  le  but  principal  que  je  me  suis  proposé 
en  entreprenant  ce  travail.  C'est,  on  se  le  rappelle,  de  combler  la 
lacune  que  j'ai  signalée  à  la  fin  du  Chapitre  précédent  dans  la 
démonstration  de  la  non-existence  des  intégrales  uniformes. 

Dans  le  n°  85,  j'ai  établi  en  effet  ce  qui  suit.  Soit 

Bmim,  dépend  à  la  fois  des  deux  grands  axes,  des  deux  excentri- 
cités, de  l'inclinaison  des  orbites,  des  longitudes  des  deux  péri- 
hélies (comptées  à  partir  du  nœud),  c'est-à-dire  de  sept  variables. 

Soit 

m.\  =  an,         m*  =  en, 


3a6  CHAPITRE    VI. 

a,  c  et  n  étant  des  entiers,  a  et  c  premiers  entre  eux  et  de  signe 
contraire.  Donnons  aux  deux  grands  axes  des  valeurs  déterminées 
choisies  de  telle  sorte  que  le  rapport  des  moyens  mouvements  soit 

égala — ■  — •    Les  coefficients   B,„  m,   ne   dépendront   plus  que    de 

cinq  variables.  Posons,  comme  dans  le  Chapitre  précédent, 


D/2  dépendra  de  six  variables  qui  sont  les  deux  excentricités,  les 
longitudes  de  périhélies,  l'inclinaison  et  Ç. 

Eh  bien,  s'il  existait  une  intégrale  uniforme,  il  y  aurait  une 
relation  entre  six  quelconques  des  quantités  T>n  et  les  diverses 
quantités 

D_„,     ...,     D_!,    D0,    D,,     D„     ...,    D„,     ... 

pourraient  s 'exprimer  en  fonctions  de  cinq  variables  seulement 
et  non  de  six. 


Or,  nous  avons 


et,  par  conséquent, 


*'(*)  =  2B« 


S'(*Ç)  =  SDft(S«. 


S'il  y  avait  donc  une  intégrale  uniforme,  les  coefficients  du  déve- 
loppement de  <ï>'(^^)  ne  dépendraient  que  de  cinq  paramètres. 

En  appliquant  les  règles  des  numéros  précédents,  on  trouverait 
que  l'on  a  approximativement  pour  n  très  grand 

D„  =  (AW54  +  £  +  ^ +...). 

On  verrait  alors  sans  peine  que,  si  les  Dn  s'expriment  à  l'aide  de 
cinq  variables  seulement,  il  doit  en  être  de  même  de 

■ — 5     Ej,     E2,     . . . , 

et,   par  conséquent,  que  les  E;  dépendent  seulement  de  quatre 
variables.  On  reconnaîtrait  ensuite  qu'il  n'en  est  pas  ainsi. 


DÉVELOPPEMENT    DE    LA    FONCTION    PERTURBATRICE.  327 

C'était  là  mon  premier  dessein;  mais  il  est  plus  simple  d'opérer 
autrement. 

Les  points  singuliers  de  $'(^^)  ne  dépendent  évidemment  que 
des  coefficients  Dn  :  ils  ne  devraient  donc  dépendre  que  de  cinq 
variables  seulement. 

Soient 

zu    zï->     ■  ■  ■  -,    z6 

six  des  points  singuliers  de  ^'(.s),  les  points  singuliers  correspon- 
dants de  $'(;Q  seront 

et  ils  dépendront  de  Ç  et  de  nos  cinq  autres  variables,  excentricités, 
inclinaison,  longitudes  des  périhélies,  que  j'appellerai  pour  un 
instant 

S'il  y  avait  une  intégrale  uniforme,  ils  ne  devraient  dépendre  que 
de  cinq  variables  et  le  déterminant  fonctionnel 


•C  ç 


<?(Ç,  ai,  «2,  •  •  -,  «s) 


devrait  être  nul. 

Mais  ce  déterminant  est  égal  à 


'Ç      o(a;i,  a2,  ..  .,  a5) 
Or  5  n'est  pas  nul,  ni  Ç  infini  ;  on  devrait  donc  avoir 


à(a1,  a.2,   .  .  .,a5) 


En  d'autres  termes,  les  rapports  deux  à  deux  des  points  singuliers 
de  $>'(z)  ne  devraient  dépendre  que  de  quatre  variables  que  j'ap- 
pellerai [Bt,  (32,  (33,  (34.  Or  ces  points  singuliers  sontde  deux  sortes. 


128  CHAPITRE     VI. 

Nous  avons  d'abord  ceux  qui  nous  sont  donnés  par  les  équations 


i  ,  i 

ou     -■>        y  =  x      ou     — 


z=xae    2     \*       'yce     2      \r      >\ 

je  les  appelle  s,,  z2,  z3  et  S/,. 

On  voit  tout  de  suite  que  zu  z2,  z%  et  z,t  ne  dépendent  que  des 
deux  excentricités,  c'est-à-dire  de  t  et  de  t';  que 

Le  rapport  —  ne  dépendrait  que  de  nos  quatre  variables  (3,,   (32,- 

f33,  {3/,  ;  or  ce  rapport  est  égal  à  z'2r  Donc  ^|  et  de  même  s2,  s3,  z4 
ne  dépendraient  que  des  quatre  variables  [3;. 

Il  en  serait  donc  ainsi  de-r  et  de  t'  qui  sont  manifestement  fonc- 
tions de  zK  et  de  z2- 

Passons  aux  points  singuliers  de  la  seconde  sorte,  qui  nous  sont 
fournis  par  les  équations 

d\ 

A=0'        dt=°- 

Quand,  dans  ces  équations,  on  prend  comme  variables  x  ely,  elles 
deviennent  algébriques.  L'équation  A  =  0  définit  alors,  comme  nous 
l'avons  vu,  une  courbe  du  sixième  degré  qui,  pour  une  inclinaison 
nulle,  se  décompose  en  deux  courbes  (3)  et  (4)  du  troisième  degré; 

de  l'équation  —r-  =  o  combinée  avec  A  =  o,  on  peut,  si  l'inclinaison 

est  nulle,  en  déduire  deux  autres  qui  sont  les  équations  (5)  et  (6) 
du  n°  96. 

Soit  z0  une  des  racines  des  équations 

(I>  *=dï=°> 


les  rapports  —3  —  et,  par  conséquent,  z0  ne  dépendraient  que  des 

quatre  variables  (3;. 

Si  donc  z0,  s'0,  z"0  sont  trois  racines  des  équations  (1),  s0,  z'u,  z"0. 


DEVELOPPEMENT  DE  LA  FONCTION  PERTURBATRICE.      3-20, 

t  et  t'  dépendraient  seulement  de  ces  quatre  variables,  de  sorte  que 
le  déterminant  fonctionnel 

d{ctu  a2,  a3,  a4,  as) 

est  nul.  Supposons  par  exemple  que  a,  et  a2  soient  les  deux 
excentricités;  t  dépendra  seulement  de  a,  et  -'  de  a2,  de  sorte  que 
ce  déterminant  fonctionnel  est  égal  à 

d-    ch'   d(zQ,  z'0,  z'é) 
doL\  da.%     d(j,  w,  m' ) 

puisque  les  trois  dernières  variables  sont  l'inclinaison  i  et  les  lon- 
gitudes des  périhélies  m  et  m'. 
On  devrait  donc  avoir 

d(i,  vj,  tjj' ) 

ce  qui  voudrait  dire  que  les  racines  de  l'équation  (i)  (quand  on 
regarde  les  deux  excentricités  et,  par  conséquent,  t  et  t'  comme 
des  constantes)  ne  dépendraient  plus  que  de  deux  variables. 
Il  me  reste  à  démontrer  qu'il  n'en  est  pas  ainsi. 

103.  Commençons  par  le  cas  où  l'inclinaison  est  nulle.  Dans  ce 
cas,  les  racines  des  équations  (i)  ne  dépendent  que  des  grands 
axes,  des  excentricités  et  de  la  différence  ttt  —  ro'.  Si,  comme  nous 
venons  de  le  faire,  nous  regardons  les  grands  axes  et  les  excentri- 
cités comme  des  constantes,  ces  racines  ne  dépendront  plus  que 
de  la  différence  in  —  m'. 

En  se  rappelant  ce  que  nous  avons  dit  au  n°  85  et  en  raisonnant 
comme  nous  venons  de  le  faire  dans  le  numéro  précédent,  on  ver- 
rait que  pour  que  le  problème  des  trois  Corps  dans  le  plan  admît 
une  intégrale  uniforme  (autre  que  celles  des  forces  vives  et  des 
aires),  il  faudrait  que  ces  racines  ne  dépendissent  pas  de  tn —  m' 
et  qu'elles  demeurassent  constantes  quand  les  grands  axes  et 
les  excentricités  demeurent  eux-mêmes  constants  et  l'inclinaison 
nulle. 

Or  il  est  clair  qu'il  n'en  est  pas  ainsi,  car  z0  est  réel  quand  to  —  rzf 
est  nul  et  imaginaire,  en  général,  dans  le  cas  contraire. 


330  CHAPITRE    VI. 

Revenons  maintenant  au  cas  où  l'inclinaison  n'est  pas  nulle. 
Énumérons  les  points  singuliers  donnés  par  les  équations 

(i)  A  =  o,         ^=o. 

Pour  cela,  supposons  l'inclinaison  très  petite,  nous  verrons,  en 
nous  reportant  à  ce  qui  a  été  dit  au  n°  98,  qu'il  existe  : 

i°  Huit  points  singuliers  très  peu  différents  de  D,  C,  F,  T  et  de 
leurs  réciproques; 

2°  Huit  points  singuliers  dont  deux  diffèrent  très  peu  de  B, 
deux  autres  très  peu  de  R  et  deux  autres  très  peu  de  chacun  de 
leurs  réciproques; 

3°  Quatre  points  très  peu  différents  de  U  (x  =  x,  y  =  t')  ;  et  en 

effet,  quand  l'inclinaison  est  nulle,  les  deux  courbes  A  =  o,  —j-  =  o 
ont  un  point  double  en  U; 

4°  Quatre  points  très  peu  différents  de\J' (x  =  -■<  y  =  - 

En  tout  24 points  singuliers. 

On  peut  arriver  au  même  résultat  d'une  autre  manière. 

On  voit  que 

x^-y"-  A  =  P 

est  un  polynôme  entier  du  sixième  ordre  en  x  et  y;  de  sorte  que 

l'équation 

P  =0 

est  celle  d'une  courbe  du  sixième  ordre  qui  se  décompose  en  deux 
autres  (3)  et  (4),  quand  l'inclinaison  est  nulle. 

D'autre  part,  l'équation  -j-=o  peut  être  remplacée  par  la  sui- 
vante 

dP  d? 

Q  =  C^(I+T2)(_r_T')(I_x'7)____aJ2(I_1_T'2)(.T_T)(]_Tir)  =0. 

Cette  équation  Q  =  o  est  celle  d'une  courbe  du  neuvième  ordre, 
et  les  points  singuliers  seront  les  intersections  de  ces  deux  courbes, 
moins  celles  qui  sont  rejetées  à  l'origine  ou  à  l'infini. 

La  courbe   P  =  o  admet  l'origine  comme  point  double  et  les 
axes  comme  asymptotes  doubles;  la  courbe  Q  =  o  admet  l'origine 


DÉVELOPPEMENT    DE    L\    FONCTION     PERTURBATRICE.  33l 

comme  point  triple  et  les  deux  axes  comme  asymptotes  triples. 
Mais  il  y  a  plus.  On  peut  remarquer  que  P  est  la  somme  de  trois 
carrés,  de  sorte  que  je  puis  écrire 

P  =  Uf-t-U|  +  U|  =SU2, 
avec 

U  =  Aa.-2./-!-  Bxy*-i-  Cxy  -h  Dx-+-  Ey. 

D'autre  part,  on  peut  poser 

V  =  x  -7 U  =  A  a?2  y  —  Ey, 

d'où 

d? 
x~  =aSVU-+-P. 

dx 

Il  vient  donc,  en  tenant  compte  de  P  —  o, 

Q  =  îc^r(n-T2)(.r-T')(i-x»S(A.r2-E)U 
—  iaxy{\  +T'«)(ar  —  t)(i  —  -zx^ïiy1  —  D)U, 

de  sorte  qu'en  supprimant  le  facteur  lûcy  le  système 

P  =  Q  =  o 

peut  être  remplacé  par  le  suivant 

P=o, 

R=c(i-4-x»)(7  —  t')(i  — T»S(Aay«— E)U 

-fl(i  +  ^)(x-T)([-;T)S(Bj2-D)U  =o. 

La  courbe  R  =  o  n'est  plus  que  du  septième  ordre  ;  elle  n'a  plus 
à  l'origine  qu'un  point  simple.  Elle  admet  comme  asymptotes  les 
deux  axes,  deux  droites  autres  que  l'axe  des  x  et  parallèles  à  cet 
axe,  deux  droites  autres  que  l'axe  des  y  et  parallèles  à  cet  axe,  une 
droite  non  parallèle  aux  axes. 

Les  deux  courbes  R  =  o,  P  =  o  ont  en  tout  l\i  intersections. 
Parmi  ces  intersections  il  y  en  a  deux  à  l'origine.  Voyons  combien 
il  y  en  a  à  l'infini  dans  la  direction  de  l'axe  des  x. 

La  courbe  R  a  trois  asymptotes  parallèles  à  l'axe  des  x  parmi 
lesquelles  cet  axe  lui-même;  la  courbe  P  admet  cet  axe  comme 
asymptote  double;  en  général,  cela  ferait  sept  points  d'intersection. 
En  général,  en  effet,  s'il  y  a  une  asymptote  double,  c'est  qu'il  y  a  un 


33'2  CHAPITRE    VI. 

«  point  de  rebrousseraient  à  l'infini  ».  Il  n'en  est  pas  ainsi  pour  la 
courbe  P,  mais  elle  présente  deux  branches  de  courbes  distinctes 
se  touchant  à  l'infini,  ce  qui  donne  non  pas  sept,  mais  huit  points 
d'intersection. 

Nous  avons  donc  à  l'infini  huit  points  dans  la  direction  de  l'axe 
des  x,  et  huit  dans  celle  de  l'axe  des  y. 

Il  reste  donc 

42  —  2  —  8  —  8  =  24"  points  singuliers. 

Cela  posé,  est-il  possible  que  les  z  de  ces  24  points  singuliers 
ne  dépendent  que  de  deux  variables?  Appelons  y,  et  y2  ces  deux 
variables.  Nous  pouvons  en  choisir  une  troisième  y3  de  façon 
que  i,  m  et  m'  soient  des  fonctions  de  y,,  y2,  y».  Alors,  quand  on 
ferait  varier  y3,  les  deux  autres  variables  yi  et  y2  demeurant 
constantes,  les  z  ne  devraient  pas  varier. 

On  a  par  hypothèse 

d\ 
A  =  o,         — -  =  o. 
dt 

En  différentiant  la  première  de  ces  deux  équations,  on  trouve 

d\    .         d\    ,  d\     . 

—r-  dt  -f-  -,-  dz  -+-  -=—  rfv3  =  o. 

dt  dz  dys 

d\ 
Or  -y-  =0  et  d'autre  part  dz  devrait  être  nul  puisque  z  ne 

devrait  pas  varier.  Il  resterait  donc 

d\ 

Voyons  ce  que  signifie  cette  équation.  Si  l'on  fait  varier  y3,  la 
courbe  A  =  o  (ou  ce  qui  revient  au  même  la  courbe  P  =  o)  varie \ 
considérons  la  courbe 

A  -+-  -j—  d-(3  =  o, 

infiniment  peu  différente  de  P  =  o  et  que  j'appellerai  la  courbe  P'. 
L'équation  (2)  signifierait  que  cette  courbe  P'  devrait  passer  par 
les  24  points  singuliers. 


DEVELOPPEMENT  DE  LA  FONCTION  PERTURBATRICE.      333 

Or  ces  deux,  courbes  P  et  P'  sont  du  sixième  ordre  ;  elles  ne  peu- 
vent donc,  sans  se  confondre,  admettre  plus  de  36  points  d'inter- 
section. 

Elles  en  ont  quatre  à  l'origine  où  elles  ont  toutes  deux  un  point 
double. 

Elles  admettent  l'axe  des  x  comme  asymptote  double,  ce  qui 
fait  (en  tenant  compte  de  la  remarque  faite  plus  haut  au  sujet  de 
la  nature  de  cette  asymptote  double)  huit  intersections  à  l'infini 
dans  la  direction  de  l'axe  des  x.  Il  y  en  aurait  de  même  huit  dans 
la  direction  de  l'axe  des  y. 

Gela  ferait  en  tout 

24  -+-  4  •+-  8  -+-  8  =  44  intersections. 
Les  deux  courbes  devraient  donc  se  confondre. 

Ainsi,  quand  on  ferait  varier  y3,  la  courbe  P  —  o  ne  devrait 
pas  varier. 

Interprétons  ce  résultat. 

Considérons  les  deux  ellipses  décrites  par  les  deux  planètes.  Ces 
deux  ellipses  seront  invariables  de  grandeur  et  de  forme  puisque 
nous  sommes  convenus  de  regarder  les  grands  axes  et  les  excen- 
tricités comme  des  constantes;  mais,  quand  on  fera  varier  i,  m 
et  n/,  ces  deux  ellipses  se  déplaceront  l'une  par  rapport  à  l'autre. 
Je  puis  supposer  que  l'une  des  ellipses  E  est  fixe,  et  l'autre  E; 
mobile. 

Dire  que  la  courbe  P  =  o  ne  change  pas  quand  y1  et  y2  restent 
constants,  c'est  dire  que  l'on  peut  trouver  une  loi  du  mouvement 
de  E',  telle  que  si,  à  un  instant  quelconque,  un  point  M'  de  E'  est 
à  une  distance  nulle  d'un  point  M  de  E  (inutile  de  rappeler  que 
ces  deux  points  étant  imaginaires  peuvent  être  à  une  distance  nulle 
sans  coïncider),  la  distance  de  ces  deux  points  restera  constam- 
ment nulle. 

Soit  M'0  la  position  du  point  M'  à  un  instant  quelconque.  Il  y  a 
sur  E  quatre  points  :  M,,  M2,  M3,  M4  qui  sont  à  une  distance  nulle 
de  M„  ;  ces  quatre  points  ne  peuvent  être  en  ligne  droite.  Le  point 
M'  devrait  donc  rester  sur  quatre  sphères  de  rayon  nul  ayant  leurs 
centres  en  Ml3  M2,  M3,  M4  ;  mais,  comme  ces  centres  ne  sont  pas 


334      CHAPITRE    VI.    —    DÉVELOPPEMENT    DE    LA    FONCTION,    ETC. 

en  ligne  droite,  ces  quatre  sphères  ne  peuvent  avoir  que  deux 
points  communs  à  distance  finie.  Il  est  donc  impossible  que  le 
point  M'  se  meuve  en  restant  sur  ces  quatre  sphères. 

La  non-existence  des  intégrales  uniformes  se  trouve  ainsi  rigou- 
reusement démontrée. 


SOLUTIONS    ASYMPTOTIQUES.  335 


CHAPITRE  VII. 

SOLUTIONS  ASYMPTOTIQUES. 


104.    Soient 

(i)  -~  =  Xi        (1  =  1,  2,  ...,  n) 

n  équations  différentielles  simultanées.  Les  X  sont  des  fonctions 
des  x  et  de  t. 

Par  rapport  aux  x,  elles  peuvent  être  développées  en  séries  de 
puissances. 

Par  rapport  à  t,  elles  sont  périodiques  de  période  iiz. 

Soit 

une  solution  particulière  périodique  de  ces  équations.  Les  x®  seront 
des  fonctions  de  t  périodiques  de  période  iiz.  Posons 


Il  viendra 

Les  E  seront  des  fonctions  des  £  et  de  £,  périodiques  par  rapport 
à  t  et  développées  suivant  les  puissances  des  £;  mais  il  n'y  aura 
plus  de  termes  indépendants  des  ç. 

Si  les  £  sont  très  petits  et  qu'on  néglige  leurs  carrés,  les  équa- 
tions se  réduisent  à 

<%t'_  dX^  y  _^  dXi  _    d\± 

{)  dt        dx\  CA  '    dx\Ki  dx%  Kn' 

qui  sont  les  équations  aux  variations  des  équations  (i). 


336  CHAPITRE    VII. 

Elles  sont  linéaires  et  à  coefficients  périodiques.  On  connaît  la 
forme  de  leur  solution  générale,  on  trouve 

|i  =  Àje^^n  -1-  A2e^'o21  -+-. .  .4-  A^e0^©,^, 
£2  =  Aieai*<pi2  -+-  A2<?^Mo22  -+-. .  .4-  A„e^cp„2, 


ç,t  =  A,e*.  fç>i«4-  A2ex*'cp2„-i-.  .  .-f-  A„  e'^t  o  lul  ; 

les  A  sont  des  constantes  d'intégration,  les  a  des  constantes  fixes 
qu'on  appelle  exposants  caractéristiques,  les  cp  des  fonctions 
périodiques  de  t. 

Si  alors  nous  posons 

Ç 1   =  7/1  <?11  -+-  "12  °21  •+-...+  f\ n  Çlrt , 
?2   =  r(  1  '-?  1 2  "+"  7l2'f22  -+-...+  '/)«Ç32/ij 


Çrt  —  "Il  ?1«  "+"  r/2  92«  +••••+■  1)n  ®llll; 

les  équations  (2)  deviendront 

(2)  -^  -H,, 

où  les  H/  sont  des  fonctions  de  t  et  des  7)  de  même  forme  que  les  H. 
Nous  pourrons  d'ailleurs  écrire 

(2")  ^  =  H/1  +  H?+...4-H?  +  ...; 

Hf  représente  l'ensemble  des  termes  de  H/  qui   sont  de  degré  /> 
par  rapport  aux  r\ . 

Quant  aux  équations  (3),  elles  deviennent 

<»'>  ^  =  HJ  =  ,„. 

Cherchons  maintenant  la  forme  des  solutions  générales  des 
équations  (2)  et  (2'). 

Je  dis  que  nous  devrons  trouver  : 

rki=  fonction  développée  suivant  les  puissances  de  A(ea'f, 
A2ea-',  .  .  .,  Anea«*  dont  les  coefficients  sont  des  fonctions  pério- 
diques de  t. 


SOLUTIONS    ASYMPTOTIQUES.  337 

Nous  pouvons  écrire  alors 

(4')  -r,i=-rn  -+-.1? +...-+- 7]?+..., 

7)f  représentant  l'ensemble  des  termes  de  t\i  qui  sont  de  degré/? 
par  rapport  aux  A. 

Nous  remplacerons  les  r\i  par  leurs  valeurs  dans  H?  et  nous 
trouverons 

Hf  =  Hf 'p  -+-  Hf'p+1  -+-...+  H?'*  +  ..., 

Hf'?  désignant  l'ensemble  des   termes  qui   sont  de  degré  q  par 
rapport  aux  A.. 

Nous  trouverons  alors 

"■'^ï  „   ^  2  ri  2 , 2  "  "1  '  „   _  3  H  2  > 3  _l  H :i  ' 3 


Ces  équations  permettront  de  calculer  successivement  par  récur- 
rence 

2              S                                <7 
T)i,        TU,         ...,        Y)/,         

En  effet, K  q  ne  dépend  que  des  V>  "12>  •  •  •  ■>  'f\H~K  •  Si  nous  suppo- 
sons que  ces  quantités  aient  été  préalablement  calculées,  nous 
pourrons  écrire  K?  sous  la  forme  suivante 

K,=  SA?1A5,...AS"e««.P.+«!.P»+-+«»P»»^, 

les  (3  étant  des  entiers  positifs  dont  la  somme  est  q  et  ty  une  fonc- 
tion périodique. 

On  peut  écrire  encore 

G  étant  un  coefficient  généralement  imaginaire  et  y  un  entier 
positif  ou  négatif.  Nous  écrirons,  pour  abréger, 

A^1  a|3  .  .  .  A?/1  =  A?,         a,  Pi+  a2  [32  +.  ..-ra,p„  =  £a|3, 

H.   P.    -  I.  22 


338  CHAPITRE    VII. 

et  il  viendra 

dt  ' 

Or  on  peut  satisfaire  à  cette  équation  en  faisant 


^1     CA?e' 


y  y  —  i-f-2a(3 
Il  y  aurait  exception  dans  le  cas  où  l'on  aurait 

Y  y  —  i  -r-  ^«(3  —  et,-  =  o, 

auquel  cas  il  s'introduirait  dans  les  formules  des  termes  en  t. 
Nous  réserverons  ce  cas,  qui  ne  se  présente  pas  en  général. 

Convergence  des  séries. 

105.  Nous  devons  maintenant  traiter  la  question  de  la  conver- 
gence de  ces  séries.  La  seule  difficulté  provient  d'ailleurs,  comme 
on  va  le  voir,  des  diviseurs 

(5)  T/^ï+S«p  — a,. 

Remplaçons  les  équations  (2')  par  les  suivantes 

(2")  «,*=sA*e«.*-+-H?-^H?+...+  Hf +  .-...  ' 

Définissons  H?.  On  voit  sans  peine  que  H^  est  de  la  forme  suivante 

H?  =  2C7]?17)Sf...7)£neY^rï. 

C  est  une  constante  quelconque,  les  (3  sont  des  entiers  positifs 
dont  la  somme  est  /?,  y  est  un  entier  positif  ou  négatif.  Nous 
prendrons  alors 

tlj-    —  Z,|0|T)1Y)2...rira. 

Les  séries  ainsi  obtenues  seront  convergentes  pourvu  que  les 
séries  trigonométriques  qui  définissent  les  fonctions  périodiques 
dont  dépendent  les  H  convergent  absolument  et  uniformément; 


SOLUTIONS    ASYMPTOTIQUES.  33g 

or  cela  aura  toujours  lieu  parce  que  ces  fonctions  périodiques 
sont  analytiques.  Quant  à  s,  c'est  une  constante  positive. 

On  peut  tirer  des  équations  (2")  les  7)  sous  la  forme  suivante 

(4")  7j/ =  2M£-8Af'_A|\..A|S<:Sa!3); 

Plusieurs  termes  pourront  d'ailleurs  correspondre  aux  mêmes 
exposants  (3,  et  0  est  un  entier  positif.  Si  l'on  compare  avec  les 
séries  tirées  de  (2')  qui  s'écrivent 

A^2      A^  _ 

voici  ce  qu'on  observe  :  i°  M  est  réel  positif  et  plus  grand  que  |N|. 
20  II  désigne  le  produit  des  diviseurs  (5)  dont  le  nombre  est  au 
plus  égal  à  0. 

Si  donc  la  série  (4")  converge  et  si  aucun  des  diviseurs  (5)  n'est 
plus  petit  que  e,  la  série  (4')  convergera  également.  Voici  donc 
comment  on  peut  énoncer  la  condition  de  convergence. 

La  série  converge  si  l'expression 


sT- 


1+  lafci  —  «,■ 


ne  peut  pas  devenir  plus  petite  que  toute  quantité  donnée  s  pour 
des  valeurs  entières  et  positives  des  (3  et  entières  (positives  ou 
négatives)  de  y;  c'est-à-dire  si  aucun  des  deux  polygones  convexes 
qui  enveloppe,  le  premier  les  a  et  +  y — 1,  le  second  les  a  et 
—  \J — 1,  ne  contient  l'origine;  ou  si  toutes  les  quantités  a  ont 
leurs  parties  réelles  de  même  signe  et  si  aucune  d'elles  n'a  sa 
partie  réelle  nulle. 

Que  ferons-nous  alors  s'il  n'en  est  pas  ainsi? 

Supposons,  par  exemple,  que  k  des  quantités  a  aient  leur  partie 
réelle  positive,  et  que  n — k  aient  leur  partie  réelle  négative  ou 
nulle.  Il  arrivera  alors  que  la  série  (4')  restera  convergente  si  on 
y  annule  les  constantes  A  qui  correspondent  à  un  a  dont  la  partie 
réelle  est  négative  ou  nulle,  de  sorte  que  ces  séries  ne  nous  donne- 
ront plus  la  solution  générale  des  équations  proposées,  mais  une 
solution  contenant  seulement  k  constantes  arbitraires.  Cette  solu- 
tion est  représentée  par  une  série  (4')  développée  suivant  les  puis- 


34o  CHAPITRE    VII. 

sances  de 

Aie»!*,     A2ea^,      ...,     Ake^t; 

comme,  par  hypothèse,  les  parties  réelles  de 

<*!,     a2,      ayt 

sont  positives,  les  exponentielles 

ex>S     ea^,     ...,     e«jt* 

tendent  vers  o  quand  t  tend  vers- — -co.  Il  en  est  donc  de  même  des 
quantités  ru-,  ce  qui  veut  dire  que,  quand  t  tend  vers  ■ — oc,  la  solu- 
tion représentée  par  la  série  (4;)  se  rapproche  asymptotiquement 
de  la  solution  périodique  considérée.  Nous  l'appellerons  pour  cette 
raison  solution  asympto tique. 

Nous  obtiendrons  un  second  système  de  solutions  asymptotiques 
en  annulant  dans  la  série  (4')  tous  les  coefficients  A  qui  corres- 
pondent à  des  exposants  a  dont  la  partie  réelle  soit  positive  ou 
nulle.  Cette  série  est  alors  développée  suivant  les  puissances  de 

les  exposants  a,,  a',,  .  .  . ,  a'A  ayant  leur  partie  réelle  négative.  Si 
alors  on  fait  tendre  t  vers  +  co,  la  solution  correspondante  se 
rapprochera  asymptotiquement  de  la  solution  périodique  consi- 
dérée. 

Si  l'on  suppose  que  les  équations  données  rentrent  dans  les 
équations  de  la  Dynamique,  nous  avons  vu  que  n  est  pair  et  que 
les  a  sont  deux  à  deux  égaux  et  de  signe  contraire. 

Alors,  si  k  d'entre  eux  ont  leur  partie  réelle  positive,  k  auront 
leur  partie  réelle  négative  et  n  —  2  A"  auront  leur  partie  réelle  nulle. 
En  prenant  d'abord  les  a  qui  ont  leur  partie  réelle  positive,  on 
obtiendra  une  solution  particulière  contenant  k  constantes  arbi- 
traires; on  en  obtiendra  une  seconde  en  prenant  les  a  qui  ont 
leur  partie  réelle  négative. 

Dans  le  cas  où  aucun  des  a  n'a  sa  partie  réelle  nulle  et,  en  par- 
ticulier, si  tous  les  a  sont  réels,  on  a  d'ailleurs 


k=-> 

1 


SOLUTIONS    ASYHPTOTIQUES.  34 1 

106.  Supposons  que  dans  les  équations  (i)  les  X  dépendent 
d'un  paramètre  jji  et  que  les  fonctions  X  soient  développables  sui- 
vant les  puissances  de  ce  paramètre. 

Imaginons  que,  pour  [x  =  o,  les  exposants  caractéristiques  a 
soient  tous  distincts  de  telle  façon  que  ces  exposants,  étant  définis 
par  une  équation  G(a,  p.)  =  o  [analogue  à  celle  du  n°  74,  mais 
telle  que  l'équation  G(a,  o)  =  o  ait  toutes  ses  racines  distinctes] 
soient  eux-mêmes  développables  suivant  les  puissances  de  u.  en 
vertu  des  nos  30  et  31. 

Supposons  enfin  que  l'on  ait,  ainsi  que  nous  venons  de  le  dire, 
annulé  toutes  les  constantes  A  qui  correspondent  à  un  a  dont  la 
partie  réelle  est  négative  ou  nulle. 

Les  séries  (4')  qni  définissent  les  quantités  r\i  dépendent  alors 
de  a.  Je  me  propose  d'établir  que  ces  séries  peuvent  être  dévelop- 
pées, non  seulement  suivant  les  puissances  des  A;ea^,  mais  encore 
suivant  les  puissances  de  [*. 

Considérons  l'inverse  de  l'un  des  diviseurs  (5) 

Je  dis  que  cette  expression  peut  être  développée  suivant  les  puis- 
sances de  [x. 

Soient  aH,  a2,  .  .  . ,  <*#  les  k  exposants  caractéristiques  dont  la 
partie  réelle  est  positive  pour  fj.  =  o  et  pour  les  petites  valeurs 
de  [j.  et  que  nous  sommes  convenus  de  conserver.  Chacun  d'eux 
est  développable  suivant  les  puissances  de  [x.  Soit  a"  la  valeur  de  a; 
pour  [j.  =  o  ;  nous  pourrons  prendre  p.0  assez  petit  pour  que  a;  dif- 
fère aussi  peu  que  nous  voudrons  de  a"  quand  |  pij  •<  p0.  Soit  alors  h 
une  quantité  positive  plus  petite  que  la  plus  petite  des  parties 
réelles  des  k  quantités  a",  ,a°,  .  .  . ,  a£  ;  nous  pourrons  prendre  p.0 
assez  petit  pour  que,  quand  ||x|  <<  fj.0,  les  k  exposants  a,,  à2,  .  .  ., 
ah  aient  leur  partie  réelle  plus  grande  que  h. 

La  partie  réelle  de  y  y/ — ■  i  +  2a(3  ■ —  a*  sera  alors  plus  grande  que 
h  (si  (3;  >  o),  de  sorte  qu'on  aura 

(6)  IyV^-HS»?  — «/|.>'*- 

Ainsi,  si  |p. |  <<  [x07  la  fonction 


342  CHAPITRE    VII. 

reste  uniforme,  continue,  finie  et  plus  petite  en  valeur  absolue 

que^. 

Nous  en  conclurons  d'après  un  théorème  bien  connu  que  cette 
fonction  est  développable  suivant  les  puissances  de  p.  et  que  les 
coefficients  du  développement  sont  plus  petits  en  valeur  absolue 
que  ceux  du  développement  de 


Il  est  à  remarquer  que  les  nombres  h  et  p.0  sont  indépendants  des 
entiers  (3  et  y. 

Il  y  aurait  exception  dans  le  cas  où  [6;  serait  nul.  La  partie  réelle 
du  diviseur  (5)  pourrait  alors  être  plus  petite  que  h  et  même  être 
négative.  Elle  est  égale,  en  effet,  à  la  partie  réelle  de  2af3  qui  est 
positive,  moins  la  partie  réelle  de  a;  qui  est  également  positive  et 
qui  peut  être  plus  grande  que  celle  de  Sajâ,  si  [3/  est  nul. 

Supposons  que  la  partie  réelle  de  a,  reste  plus  petite  qu'un  cer- 
tain nombre  h2  tant  que  |  p. |  <<  p.0.  Alors,  si 

(7)  *!ȣ  +  . 

la  partie  réelle  de  (5)  est  certainement  plus  grande  que  h 5  il  ne 
peut  donc  y  avoir  de  difficulté  que  pour  ceux  des  diviseurs  (5), 
pour  lesquels  l'inégalité  (7)  n'a  pas  lieu. 

Supposons  maintenant  que  la  partie  imaginaire  des  quantités  a( , 
a2,  •  • ,  a/f  reste  constamment  plus  petite  en  valeur  absolue  qu'un 
certain  nombre  positif  h2,  si  l'on  a  alors 

(8)  |T|'>A,sp  +  A, 

la  partie  imaginaire  de  (5)  et,  par  conséquent,  son  module  seront 
encore  plus  grands  que  h;  de  telle  sorte  qu'il  ne  peut  y  avoir  de 
difficulté  que  pour  ceux  des  diviseurs  (5)  pour  lesquels  aucune 
des  inégalités  (7)  et  (8)  n'a  lieu.  Mais  ces  diviseurs  qui  ne  satis- 
font à  aucune  de  ces  inégalités  sont  en  nombre  fini. 

D'après  une  hypothèse  que  nous  avons  faite  plus  haut,  aucun 
d'eux  ne  s'annule  pour  les  valeurs  de  jji  que  nous  considérons; 


SOLUTIONS    ASYMPTOTIQUES.  343 

nous  pouvons  donc  prendre  h  et  u.0  assez  petits  pour  que  la  valeur 
absolue  de  l'un  quelconque  d'entre  eux  reste  plus  grande  que  h 
quand  |p.|  reste  plus  petit  que  p.0. 

Alors  l'inverse  d'un  diviseur  (5)  quelconque  est  développable 
suivant  les  puissances  de  p.,  et  les  coefficients  du  développement 
sont  plus  petits  en  valeur  absolue  que  ceux  de 


_  Ji 
Nous  avons  écrit  plus  haut 

D'après  nos  hypothèses,  C  peut  être  développé  suivant  les  puis- 
sances de  p.  de  telle  sorte  que  je  puis  poser 

G  =  SE,.',         H?  =  SEy  vjfSf2 . . .  rtel^-K 
Reprenons  maintenant  les  équations  (2"),  en  y  faisant 

H?=2|E|^7)S|s...7i!S 

Les  seconds  membres  des  équations  (2")  seront  alors  des  séries 
convergentes  ordonnées  selon  les  puissances  de  p.,  de  7](,  yj2 ?  •  •  •  > 

f\n- 

On  en  tirera  les  r\i  sous  la  forme  des  séries  (4ff)>  convergentes 
et  ordonnées  suivant  les  puissances  de  p.,  A,  eaif,  A2ecl'-t,  ..., 
Ake«i<c. 

Des  équations  (2'),  nous  tirerions  d'autre  part  les  t\i  sous  la 
forme  des  séries  (4')  ordonnées  suivant  les  puissances  de  p.,  A4  eaif, 
A2ea*f,  ..  .,  A*ea*',  W-',  e~^~{.  Chacun  des  termes  de  (4')  est 
plus  petit  en  valeur  absolue  que  le  terme  correspondant  de  (4"), 
et  comme  les  séries  (4")  convergent,  il  en  sera  de  même  des 
séries  (4')- 


344  CHAPITRE    VII. 

Solutions  asymptotiques  des  équations  de  la  Dynamique, 

107.   Reprenons  les  équations  (i)  du  n°  13 
dxi        dF  dyt  d¥ 

«         -dï^dj;'     ■*'=-&,     <l  =  I'a'  ■•■'rt)' 

et  les  hypothèses  faites  à  leur  sujet  dans  ce  numéro. 

Nous  avons  vu  dans  le  n°  42  que  ces  équations  admettent  des 
solutions  périodiques  et  nous  pouvons  en  conclure  que,  pourvu 
que  l'un  des  exposants  caractéristiques  a  correspondants  soit  réel, 
ces  équations  admettront  aussi  des  solutions  asymptotiques. 

A  la  fin  du  numéro  précédent,  nous  avons  envisagé  le  cas  où, 
dans  les  équations  (i)  du  n°  104,  les  seconds  membres  X,  sont 
développables  suivant  les  puissances  de  u.,  mais  où  les  exposants 
caractéristiques  restent  distincts  les  uns  des  autres  pour  u  ==  o. 

Dans  le  cas  des  équations  qui  vont  maintenant  nous  occuper, 
c'est-à-dire  des  équations  (i)  du  n°  13,  les  seconds  membres  sont 
encore  développables  selon  les  puissances  de  u;  mais  tous  les 
exposants  caractéristiques  sont  nuls  pour  u  =  o.- 

Il  en  résulte  un  grand  nombre  de  différences  importantes. 

En  premier  lieu,  les  exposants  caractéristiques  a  ne  sont  pas 
développables  suivant  les  puissances  de  u,,  mais  suivant  celles 
de  y/pï(cf.  n°  74).  De  même  les  fonctions  que  j'ai  appelées  o/^ 
au  début  du  n°  104  (et  qui,  dans  le  cas  particulier  des  équations 
de  la  Dynamique  qui  nous  occupe  ici,  ne  sont  autres  que  les  fonc- 
tions Si  et  Tj  du  n°  79),  sont  développables,  non  suivant  les  puis- 
sances de  a,  mais  suivant  les  puissances  de  y/ p.. 

Alors,  dans  les  équations  (2')  du  n°  104 

dru 

~dl  -  H" 

le  second  membre  H,  est  développé  suivant  les  puissances  des  7), 
e'*1,  e~t^~i  et  de  y/j  (et  non  pas  de  a). 

On  en  tirera  les  ru-  sous  la  forme  des  séries  obtenues  au  n°  104 

A.,    A,     ■  ■  ■  A/t        ,(vap        ,,_!, 

1  U 

et  N  et  fi  seront  développés  suivant  les  puissances  de  y/a. 


SOLUTIONS    ASYMPTOTIQUIÎS.  345 

•  Un  certain  nombre  de  questions  se  posent  alors  naturellement  : 
i°  Nous  savons  que  N  et  II  sont  développables  suivant  les  puis- 

sances  de  y/ p.;  en  est-il  de  même  du  quotient  — ? 

2°  S'il  en  est  ainsi,  il  existe  des  séries  ordonnées  suivant  les 
puissances  de  y/ p.,  des  A/ea*f,  de  eV^1  et  de  e~l^~K  qui  satisfont 
formellement  aux  équations  proposées;  ces  séries  sont-elles  con- 
vergentes? 

3°  Si  elles  ne  sont  pas  convergentes,  quel  parti  peut-on  en  tirer 
pour  le  calcul  des  solutions  asymptotiques? 


Développement  de  ces  solutions  selon  les  puissances  de  \/\±. 

N 
108.   Je  me  propose  de  démontrer  que  l'on  peut  développer  — 

suivant  les  puissances  de  y/ p.  et  que,  par  conséquent,  il  existe  des 
séries  ordonnées  suivant  les  puissances  de  y/ p.,  des  A;ea^,  de  eV^1 
et  de  e~tsl~'K  qui  satisfont  formellement  aux  équations  (i).  On 
pourrait  en  douter;  en  effet,  II  est  le  produit  d'un  certain  nombre 
de  diviseurs  (5)  du  n°  101.  Tous  ces  diviseurs  sont  développables 
suivant  les  puissances  de  y/ p.;  mais  quelques-uns  d'entre  eux,  ceux 
pour  lesquels  y  est  nul,  s'annulent  avec  y/p..  Il  peut  donc  arriver 
que  II  s'annule  avec  p.  et  contienne  en  facteur  une  certaine  puis- 
sance de  y/ p..  Si  alors  N  ne  contenait  pas  cette  même  puissance  en 
facteur,  le  quotient  —  se  développerait  encore  selon  les  puissances 

croissantes  de  y/ p.,  mais  le  développement  commencerait  par  des 

puissances  négatives. 

N 
Je  dis  qu'il  n'en  est  pas  ainsi  et  que  le  développement  de  —  ne 

contient  que  des  puissances  positives  de  y/ p.. 

Voyons  par  quel  mécanisme  ces  puissances  négatives  de  y/ p.  dis- 
paraissent. Posons 

kieW  =  wt 

et  considérons  lesxet  lesy  comme  des  fonctions  des  variables  tel  w. 

Il  importe,  avant  d'aller  plus  loin,  de  faire  la  remarque  suivante  : 

parmi  les  in  exposants  caractéristiques  a,  deux  sont  nuls  et  les 


346  CHAPITRE     VIT. 

autres  sont  deux  à  deux  égaux  et  de  signe  contraire.  Nous  ne  con- 
serverons que  n  —  i  au  plus  de  ces  exposants,  en  convenant  de 
regarder  comme  nuls  les  coefficients  A,-  et  les  variables  wi  qui  cor- 
respondent aux  n  -\-  i  exposants  rejetés.  Nous  ne  conserverons 
que  ceux  de  ces  exposants  dont  la  partie  réelle  est  positive. 
Cela  posé,  les  équations  (i)  deviennent 

.    .  dxt       _  dxi  dF 

(2)  —rr—^k^k^k-j =        -j— , 

dt  dw/c  clyi 

(3)  —  +  SAa* w*  ^-  =  '  —  —  • 

dt  "  dw/c  dxt 

Cherchons,  en  partant  de  ces  équations,  à  développer  les  Xi  et 
les  yl —  iiit  suivant  les  puissances  croissantes  de  \J]x  et  des  w  de 
telle  façon  que  les  coefficients  soient  des  fonctions  périodiques  de  t. 
Nous  pouvons  écrire 

p 
ol/c  =  a}c  \/[J.  -+-  a%  [JL  -I- .  .  .  =  Sa£  jjl2  , 

car  nous  avons  vu  au  n°  74  comment  on  peut  développer  les  expo- 
sants caractéristiques  suivant  les  puissances  de  y/'u.. 
Écrivons,  d'autre  part, 

p 

xt  =  x\  -+■  x\  \f\i  -1-  .  . .  =  2  x^  [i'2 , 

p 

les  xf  et  \es  y?  étant  des  fonctions  de  t  et  des  w,  périodiques  par 

rapport  à  t  et  développables  suivant  les  puissances  des  w. 

Si,  dans  les  équations  (2)  et  (3),  nous  substituons  ces  valeurs  à 

la  place  de  a*,  des  Xi  et  des  yi,  les  deux  membres  de  ces  équations 

seront  développés  suivant  les  puissances  de  \J pu 

Egalons  dans  les  deux  membres  des  équations  (2)  les  coefficients 
p+j 
de  p..2  ,  et  dans  les  deux  membres  des  équations  (3)  les  coeffi- 

p_ 
cients  de  ja2,  nous  obtiendrons  les  équations  suivantes 

CiX  i  .  cl  Xi 

(4)  < 
dt        '  ^ka,cWk    dw,c   ~     l     £dkdx\dx\ 


SOLUTIONS    ASVMPTOTIQUES.  347 

où  Zf  et  T^  ne  dépendent  que  de 

,Ajl    1  ■*■  l    1  •    •    •   !  J'I  J 

0  1  P— 2 

/;>    7/,     •■■■>    ri      - 


Convenons,  comme  nous  l'avons  fait  plus  haut,  de  représenter 
par  [U]  la  valeur  moyenne  de  U,  si  U  est  une  fonction  périodique 
de  t. 

Des  équations  (4),  nous  pourrons  alors  déduire  les  suivantes 

v      i        d[xf]  rrjP,      X1    [     <-/2F!        p^l'' 

(5)  {  _  J      " 

v       1  d\.y'i     *]         rTPl       V         d2F()      r.,/>i 

-/r^'"*  —7- —  =  LTn — 2j  /  »  /  »»  t^*J- 

Supposons  maintenant  qu'un  calcul  préalable  nous  ait  fait  con- 
naître 

Jl  1        Jll  •  •   ■  1        JL  1        II  \J  l  J' 

Les  équations  (5)  vont  nous  permettre  de  calculer  [xf]  et  [j'f  '] 
et  par  conséquent  xf  etyf-1.  Les  équations  (4)  nous  permettront 
ensuite  de  déterminer 

xf+*-[*T»]     et    7?- [7?], 

de  sorte  que  ce  procédé  nous  fournira  par  récurrence  tous  les 
coefficients  des  développements  de  xi  et  dey/. 

La  seule  difficulté  est  la  détermination  de  [#f]  et  [yf_l]  par  les 
équations  (5). 

Les  fonctions  [x?~]  et  [yf '"']  sont  développées  suivant  les  puis- 
sances croissantes  des  w>,  et  nous  allons  calculer  les  divers  termes 
de  ces  développements  en  commençant  par  les  termes  du  degré 
le  moins  élevé. 

Pour  cela  nous  allons  reprendre  les  notations  du  n°  79,  c'est- 
à-dire  que  nous  allons  poser 


_     d'-F0     _  Q0  f    d'Y, 

dx\dx\         lk  YdyldxW 

(pour  les  valeurs  nulles  des  w). 


bu 


348  CHAPITRE    VII. 

Si  alors  nous  appelons  £/  et  tj/  les  coefficients  de 


dans  [%f]  et  [yf  '],  nous  aurons  pour  déterminer  ces  coefficients 
les  équations  suivantes 


(6) 


Dans  ces  équations  (6),  X;  et  p.e-  sont  des  quantités  connues,  parce 
qu'elles  ne  dépendent  que  de 


.y0         o4  <r?-l         -r?  \rp\ 

A  n//J_2      -i/P-1      r-i/P-i 


7»,   y},    ...,   rr\   yri-[yr1} 

ou  des  ternies  de  [%f]  et  [,xf_f]  dont  le  degré  par  rapport  aux  w 

est  plus  petit  que 

m i  +  ;n2  -H- .  .  . -I-  7nn—i. 

De  plus,  nous  avons  posé,  pour  abréger, 

S  =  m^al  -I-  m2a|  -H.  . .-+-  mra_la^_1 . 

Nous  avons  donc  pour  le  calcul  des  coefficients  ^etv^un  système 
d'équations  linéaires.  Il  ne  pourrait  y  avoir  de  difficulté  que  si  le 
déterminant  de  ces  équations  était  nul;  or  ce  déterminant  est  égala 

S»[S»-(aî)*][S»-(aJ)»]...[S»--(ai_1)»]. 
Il  ne  pourrait  s'annuler  que  pour 

S=o,         S  =  ±etJ, 
c'est-à-dire  pour 

my  -+-  m%  -t-,  . . -f-  mn—i  =  o     ou     i. 

On  ne  pourrait  donc  rencontrer  de  difficulté  que  dans  le  calcul 
des  termes  du  degré  o  ou  i  par  rapport  aux  w. 

Mais  nous  n'avons  pas  à  revenir  sur  le  calcul  de  ces  termes;  en 
effet,  nous  avons  appris  à  calculer  les  termes  indépendants  des  w 
dans  le  n°  44  et  les  coefficients  de 

wu     w2,     ...,     W„_i 
dans  le  n°  79. 


SOLUTIONS    ASYMPTOTIQUES.  34q 

Les  termes  indépendants  des  w  ne  sont  en  effet  autre  chose  que 
les  séries  (2)  du  n°  44  et  les  coefficients  de 


ne  sont  autre  chose  que  les  séries  S£-  et  Tt-  du  n°  79. 

Il  me  reste  à  dire  un  mot  des  premières  approximations. 

Nous  donnerons  aux  x®  des  valeurs  constantes  qui  ne  sont  autres 
que  celles  que  nous  avons  désignées  ainsi  au  n°  44. 

Nous  aurons  alors  les  équations  suivantes  : 


(7) 


dyl  dx\  dyh    ,    v      1         dy\  yr\       d*F0        1 

dt  dt  dt  k       dwk  Aàkdx\dx\     u' 

dxf  y         dx\        r/Fj 

~dt    '  "  ^k<X/i  Wk  d^Jc  =  djf  ' 


DansF0  qui  ne  dépend  que  des  Xi,  ces  quantités  doivent  être  rem- 
placées para??.  DansFj  les  #;  sont  remplacés  par  ocf  et  les  jk,  par  nit. 
F1  devient  alors  une  fonction  périodique  de  t  dont  la  période  est  T. 
Nous  désignerons  par  <L  la  valeur  moyenne  de  cette  fonction  pério- 
dique F,  ;  <b  est  alors  une  fonction  périodique  et  de  période  211 
par  rapport  aux  y\. 

Les  deux  premières  équations  (7)  montrent  que  les y\  et  les  x\ 
ne  dépendent  que  des  w.  En  égalant  dans  les  deux  dernières  équa- 
tions (7)  les  valeurs  moyennes  des  deux  membres,  il  vient 

v„i  ir>,  dyj  _  v  ro     1 

(8) 

i   v    1         dxf         dty 

I  dwk        dy\ 

Ces  équations  (8)  doivent  servir  à  déterminer  les  jv^  et  les  x\  en 
fonctions  des  w.  Peut-on  satisfaire  à  ces  équations  en  substituant 
à  la  place  des  y?  et  des  x\  des  séries  développées  suivant  les  puis- 
sances de  w? 

Pour  nous  en  rendre  compte  envisageons  les  équations  diffé- 
rentielles suivantes 

(  ty±  _  vCo    1 
dt  -z,t,«*a?*» 

(9)  ' 

dxj         di> 
~dT  ~~dy~î' 


CHAPITRE     VII. 


Ces  équations  différentielles  où  les  fonctions  inconnues  sont  iesjy? 
et  les  x\  admettront  une  solution  périodique 

tbï  étant  la  quantité  désignée  ainsi  au  n°  44. 

Les  exposants  caractéristiques  relatifs  à  cette  solution  périodique 
sont  précisément  les  quantités  a{k.  Parmi  ces  quantités  nous  sommes 
convenus  de  ne  conserver  que  celles  dont  la  partie  réelle  est  posi- 
tive. Les  équations  (9)  admettent  un  système  de  solutions  asympto- 
tiques  et  il  est  aisé  de  voir  que  ces  solutions  se  présentent  sous  la 
forme  de  séries  développées  suivant  les  puissances  des  w.  Ces  séries 
satisferont  alors  aux  équations  (8).  Ces  équations  peuvent  donc 
être  résolues. 

Les  x\  et  les  y\  étant  ainsi  déterminés,  le  reste  du  calcul  ne 
présente  plus,  comme  nous  l'avons  vu,  aucune  difficulté.  Il  existe 
donc  des  séries  ordonnées  suivant  les  puissances  de  \Jy.,  des  w  et 

de  e±ts/~^  et  qui  satisfont  formellement  aux  équations  (1). 

N 
Cela  prouve  que  le  développement  de  —  ne  débute  jamais  par 

une  puissance  négative  de  y/ \k.  L'analyse  des  nos  HO  et  111  nous 
en  fournira  une  nouvelle  démonstration. 


Divergence  des  séries  du  n°  108. 

109.   Malheureusement   les   séries  ainsi  obtenues  ne    sont  pas 

convergentes. 

Soit  en  effet 

i 

Si  y  n'est  pas  nul,  cette  expression  est  développable  suivant  les 
puissances  de  y/ u,;  mais  le  rayon  de  convergence  de  la  série  ainsi 
obtenue  tend  vers  o  quand  ~  tend  vers  o. 

Si  donc  on  développe  les  diverses  quantités  —  suivant  les  puis- 
sances de  sj [f-,  on  pourra  toujours,  parmi  ces  quantités,  en  trouver 


SOLUTIONS    ASVMPTOTIQUES.  35l 

une  infinité  pour  lesquelles  le  rayon  de  convergence  du  dévelop- 
pement est  aussi  petit  qu'on  lèvent. 

On  pourrait  encore  espérer,  quelque  invraisemblable  que  cela 
puisse  paraître,  qu'il  n'en  est  pas  de  même  pour  les  développements 

N  . 

des  diverses  quantités  — ;  mais  la  démonstration   que  j'ai  donnée 

dans  le  tome  XIII  des  Acta  maihematica  (p.  222)  et  sur  laquelle 
je  reviendrai  dans  la  suite  montre  qn'il  n'est  pas  ainsi  en  général  ; 
il  faut  donc  renoncer  à  ce  faible  espoir  et  conclure  que  les  séries 
que  nous  venons  de  former  sont  divergentes. 

Mais,  quoiqu'elles  soient  divergentes,  ne  peut-on  en  tirer 
quelque  parti? 

Considérons  d'abord  la  série  suivante  qui  est  plus  simple  que 
celles  que  nous  avons  en  vue 


À  - — 

jmmin  I -H  II  [X 


Cette  série  converge  uniformément  quand  p.  reste  positif  et  que  w 
reste  plus  petit  en  valeur  absolue  qu'un  nombre  positif  w0  plus 
petit  que  1,  mais  d'ailleurs  quelconque.  De  même  la  série 


1     dP~F(w,  }j.)  _     ,    "V     nP-lwn 


\p  d\iP  ^d{i^-n[x)P 

converge  uniformément. 

Si  maintenant  l'on  cherche  à  développer  F(pp,  p.)   suivant  les 
puissances  de  pi,  la  série  à  laquelle  on  est  conduit 

(10  )  Livn(—  n)P\xP 

ne  converge  pas.  Si,  dans  cette  série,  on  néglige  tous  les  termes  où 
l'exposant  de  p.  est  supérieur  à/?,  on  obtient  une  certaine  fonction 

Il  est  aisé  de  voir  que  l'expression 

F(  w.  u.)  —  <&p(  w,  fj.) 

tend  vers  o  quand  m  tend  vers  o  par  valeurs  positives,  de  sorte  que 
la  série  (10)  représente  asymptotiquement  la  fonction  F(w,  p.)  pour 


352  CHAPITRE    VII. 

les  petites  valeurs  de  u.,  de  la  même  manière  que  la  série  de  Stir- 
ling  représente  asymptotiquement  la  fonction  eulérienne  potir  les 
grandes  valeurs  de  x. 

Je  me  propose  d'établir,  dans  les  numéros  suivants,  que  les  séries 
divergentes  que  nous  avons  appris  à  former  dans  le  n°  108  sont 
tout  à  fait  analogues  à  la  série  (10). 

Considérons  en  effet  l'une  des  séries 

(10')        ^n  «'?1«'f2...w|leY^zï=F(v/ÎÂ,  «»i,  w,  ...,  wk,  t); 

les  raisonnements  du  n°  105  ont  montré  que  ces  séries  sont  uni- 
formément convergentes  pourvu  que  les  w  restent  inférieurs  en 
valeur  absolue  à  certaines  limites  et  que  y/f/.  reste  réel. 

Si  l'on  développe  —  suivant  les  puissances  de  y/ p.,  les  séries  (io') 
sont  divergentes,  ainsi  que  nous  l'avons  dit.  Supposons  que  l'on 
néglige  dans  le  développement  les  termes  où  l'exposant  de  y/[x  est 
supérieur  à/?,  on  obtiendra  une  certaine  fonction 

*/XvV>    WU    <v2,    •  ••,    Wk,    t) 

qui  sera  développable  suivant  les  puissances  des  w,  de  e±lv~*  et 

qui  sera  un  polynôme  de  degré  p  en  sj\>-- 
On  verra  plus  loin  que  l'expression 

F-<ï>„ 


tend  vers  o  quand  p  tend  vers  o  par  valeurs  positives,  et  cela 
quelque  grand  que  soit/?. 

En  effet,  si  l'on  désigne  par  H^,  l'ensemble  des  termes  du  déve- 

loppement  de  —  ?  où  l'exposant  de  y/jA  est  au  plus  égal  kp:  on  a 

et  je  montrerai  que  la  série  du  second  membre  est  uniformément 
convergente  et  que  tous  les  termes  tendent  vers  o  quand  p.  tend 
vers  o. 


dxi               dxt 

_  d¥ 

dyt              dy,- 

d¥ 

dt                dw 

~  dyt"1 

dt               dw 

dxi 

SOLUTIONS    AS  YMPTO  TIQUES.  353 

On  peut  donc  dire  que  les  séries  que  nous  avons  obtenues  dans 
le  n°  108  représentent  les  solutions  asymptotiques  pour  les  petites 
valeurs  de  y.  de  la  même  manière  que  la  série  de  Stirling  repré- 
sente les  fonctions  eulériennes. 


Démonstration  nouvelle  de  la  proposition  du  n°  108. 

110.  Pour  démontrer  ce  fait,  je  vais  faire  subir  aux  équations 
une  transformation  qui  me  fournira  en  même  temps  une  nouvelle 
démonstration  du  théorème  qui  a  fait  l'objet  du  n°  108.  Supposons 
2  degrés  de  liberté  seulement  pour  fixer  les  idées;  alors  nous  ne 
conserverons  plus  qu'une  seule  des  quantités  w  et  nous  pourrons 
écrire  nos  équations  sous  la  forme  suivante 

(1  =  1,2) 

en  supprimant  les  indices  de  â  et  de  w  devenus  inutiles. 

Nous  savons  que  a  est  développable  suivant  les  puissances  im- 
paires de  \'y~  et,  par  conséquent,  a2  suivant  les  puissances  de  u,; 
inversement  p.  est  développable  suivant  les  puissances  de  a2  ;  nous 
pouvons  remplacer  [x  par  ce  développement,  de  sorte  que  F  sera 
développée  suivant  les  puissances  de  a2.  Pour  a  =  o,  F  se  réduit 
à  F0  qui  ne  dépend  que  de  xK  et  de  x2. 

Soit 

la  solution  périodique  qui  nous  sert  de  point  de  départ.  Posons, 
comme  au  n°  79, 

nos  équations  deviendront 

/     s  d\t  d\t        _  dr,,-  dt\i 

(il)  -j-H-w-r^û?,  -j-+aw-r=H/, 

dt  dw  dt  dw 

S/  et  H/  sont  développés  suivant  les  puissances  des  £/,  des  r\i  et 
de  a2;  et  les  coefficients  sont  des  fonctions  périodiques  de  t. 

tï  d¥  M      ,  ,  , 

Four  a  =  o,  -y—  et  par  conséquent  ût-  s  annulent;  donc  ai  est 

H.  P.  —  I.  23 


354  CHAPITRE    VII. 

divisible  par  a2  el  je  puis  poser 

a2Xj  représentant  l'ensemble  des  termes  du  premier  degré  par 
rapport  aux  \  et  aux  7),  et  a2 X';- représentant  l'ensemble  des  termes 
de  degré  supérieur. 

De  même,  quand  a  est  nul,  y-  et  par  conséquent  H;  ne  dépen- 
dent plus  que  des  \i  et  non  des  ru-. 

Je  puis  donc  poser 

Hi=Y/-HYi-Ka*-Q,+  a»QS, 

Y;4-a2Q,;  représentant  l'ensemble  des  termes  du  premier  degré 
par  rapport  aux  £  et  r,,  pendant  que  Y^-j-  a2Q,-  représentent  l'en- 
semble des  termes  de  degré  supérieur  au  premier.  Je  suppose  en 
outre  que  Y/  et  Y't  ne  dépendent  que  de  E,  et  de  £2- 
Posons 

Yj  deviendra  divisible  par  a  et  Y',-  par  a2,  de  sorte  que  je  pourrai 

poser 

Yf-t-a*Q£-=aZ,,         Yi-Ha*Qi  =  a»Zi 

et  que  nos  équations  deviendront 

(  dli  dL- 

\    ai  atv 


Considérons  les  équations 
(i3) 


dt    -aX/' 


Ces  équations  sont  linéaires  par  rapport  aux  inconnues  Ç;  et  -#v 
Elles  ne  diffèrent  pas  des  équations  (2)  du  n°  79,  sinon  parce  que 
ç,  et  i;2  y  sont  remplacés  par  aÇt  et  aÇ2.  D'après  ce  que  nous  avons 
vu  aux  n0S  69  et  74,  l'équation  qui  définit  les  exposants  caracté- 


SOLUTIONS    ASYMPTOTIQUES.  355 

ristiques  admet  quatre  racines,  l'une  égale  à  -+-  a,  l'autre  à  —  a  ec 
les  deux  autres  à  o. 

A  la  première  racine,  c'est-à-dire  à  la  racine  -+-  a,  correspondra 
une  solution  des  équations  (2)  du  n°  79,  que  nous  avons  appris  à 
former  dans  ce  numéro  et  que  nous  avons  écrite  ainsi 

Je  rappelle  que  S"  est  nul  et,  par  conséquent,  que  S/  est  divisible 
par  a. 

A  la  seconde  racine  —  a  correspondra  de  même  une  autre  solu- 
tion des  équations  (2)  et  nous  l'écrirons 

£/=e-«Si,         7j/=e-«Ti-. 

Enfin  aux  deux  racines  o,  correspondront  (cf.  n°  80)  deux  solutions 
des  équations  (2)  que  nous  écrirons 

%i  =  S'/  -+-  a  t S/,         7)j  =  T"  -+-  a.t T"i . 

T'-,  T,,  T™,  S],  S;,  SJ  sont  des  fonctions  périodiques  de  t,  comme 
S;  et  T\. 

D'après  ce  que  nous  avons  vu  aux  nos  79  et  80,  S',,  S"£  et  $'■  =  aS* 
seront  comme  S/  divisibles  par  a. 
Posons  alors 

1  <i  =  Si  Oi  -+-  s;  e,  +  s';  e3  -+-  s";  64, 
\  aç»  ==  s,  ej-t-  si  e-s -h  s;  e, -+-  sj  e4> 

1     ï)1=T181-+-T'ie1+T;ea--i-T*84, 
r(2=  T261-+-T'2e2-+-T"^83  +  T™et. 

Les  fonctions  9,-  ainsi  définies  joueront  un  rôle  analogue  à  celui  des 
fonctions  7\i  du  n°  105.  Les  équations  (12)  deviennent  alors 

(    <^l  rf°l  fi  n  d{)ï  d^  fi 

\    dt  dw  dt  dw 

(i4)       < 

f       -t \-  <xw  -ï—  =a04  +  c<63,         — = hacc  — —  =  a  ©4. 

\         dt  dw  dt  dt 

©!,  02,  ©3  et  ©4  sont  des  fonctions  développées  suivant  les  puis- 
sances de  9,,  Bo,  93,  9.4  et  a,  dont  tous  les  termes  sont  du  deuxième 


35(i 


CHAPITRE    VII. 


degré  au  moins  par  rapport  aux  9,  et  dont  les  coefficients  sont  des 
fonctions  périodiques  de  t.  De  plus,  les  Q  doivent  être  des  fonc- 
tions périodiques  de  t  et  les  termes  du  premier  degré  en  w  dans  9t . 
Q2,  63  et  64  doivent  se  réduire  à  w,  o,  o  et  o. 

Ces  équations  (i4)  sont  analogues  aux  équations  (2')  du  n°  105. 

On  trouve  en  effet 


aX't  =  GjS;  ^-Q,S'i 

-e3s^-i-04s;'', 

aZJ  =  6,^+6,^ 

+  e3T';  +  04T'i', 

ce  qui  nous  donne  quatre  équations  d'où  l'on  peut  tirer  les  quatre 
fonctions  @,  puisque  les  S,  les  T,  les  X'  et  les  11  sont  des  fonctions 
connues.  Je  dis  qu'on  trouvera 

&i=  U^iX;  +  Ui)2X'2  -+-  U/;3Z',  -+-  U,-)4Z2, 

les  U  étant  des  fonctions  périodiques  de  t  développables  suivant 
les  puissances  croissantes  et  positives  de  a.  Il  suffit  en  effet,  pour 
cela,  que  le  déterminant 


A  = 


Si 


es; 


s2   -  s;    i  s:    -  S','  | 


T, 
T, 


t; 
t; 


T. 


ne  soit  pas  divisible  par  a,  c'est-à-dire  ne  s'annule  pas  pour  a  =  o. 

Pour  a  =  o,  —  se  réduit  à  la  quantité  que  nous  avons  appelée  S* 

au  n°  79  et  T;  à  T",  et  ces  quantités  satisfont  aux  équations  (9) 
et  (10)  de  ce  n°  79. 

Ici  nous  développons  non  suivant  les  puissances  de  y/jx,  mais 
suivant  celles  de  a,  de  sorte  que  la  quantité  que  nous  avions 
appelée  a,  dans  le  n°  79  est  égale  à  1.  Les  équations  (9)  du  n°  79 
vont  donc  s'écrire 

lJ;1  £>\  Uij,  02 


g. 

—  =  6a  Ti 
a 


6/2  T2, 


et  elles  devront  être  satisfaites  pour  a  —  o. 


SOLUTIONS    ASYMPTOTIQUES.  357 

En  ce  qui  concerne  la  seconde   solution,    l'exposant  est  égal 
—  a  et,   par  conséquent,   v.K    est  égal  à  —  i,   de  sorte    que   ces 


émiations  deviennent 


n  0    c  /  p  0    c  ' 


è/iTi^^T; 


ce  qui  permet  de  supposer 

t;  =  t>,      si-=  —  s,. 

g". 
S]  étant  divisible  par  a2,  —  s'annule  pour  a  =  o.  En  même  temps, 

pour  a  =  o,  on  a 

1 1  ~  Hi  ~        dxt 


Pour  a.  =  o,  TJ  =  aT*  s'annule  et  on  a 

cm 


on  trouve 


îii  —  C/j  bj  -+-  Gj2  S2. 


Nous  pouvons  conclure  de  là  que  le  déterminant  A  se  réduit  pour 

a  =  o  à 

_1  __L 

a  a. 

h.  _sl 

a  a 
On  trouve  d'ailleurs 


A  =  2 


Tl        »! 

T,     n. 


s. 

S? 

T, 

"i 

a 

Cf. 

i  r<> 
1  uii 

L.12 

T2 

n2 

S, 

a 

S2' 
a 

1     u2 1 

l_i22 

Le  déterminant  des  C°A,  qui  n'est  autre  chose  que  Je  hessien  de  F0, 
ne  s'annule  pas  en  général,  de  sorte  que  A  ne  peut  s'annuler  que  si 
l'on  a 

Ti  _  T, . 


358  CHAPITRE    VII. 

mais,  si  l'on  observe  que 

nibn-+-  n2bi2  =  o, 


on  en  déduirait 


_  Sa  _ 
a 


ce  qui  ne  peul  avoir  lieu. 

Le  déterminant  A  n'est  donc  pas  nul.  On  peut  encore  l'établir 
de  la  manière  suivante.  Considérons  les  équations  suivantes 

~~^J    —   Wl  Si  ■+"  W2  ?2- 

Ce  sont  des   équations    linéaires    à    coefficients   constants.   Elles 
admettent  quatre  solutions  linéairement  indépendantes,  à  savoir 


h 

=  et  —, 

-0;=  efT;; 

h 

oc 

7j<=«-'Ti; 

h 

a 

rxi//  . 

U 

s™ 

=  —  -ht 

—  ? 

ïj^Tf  +  iT? 

S- 
Il  va  sans  dire  que,  dans  les  Tj  et  les  — %  il  faut  faire  a  =  o,  de  telle 

sorte  que  ces  quantités  se  réduisent  à  des  constantes. 

Ces  quatre  solutions  étant  linéairement  indépendantes,  leur 
déterminant  pour  t  =  o  ne  doit  pas  s'annuler;  or  ce  déterminant 
est  précisément  A.  Donc  A  n'est  pas  nul. 

c.  Q.  F.  D. 

On  voit  ainsi  que  les  fonctions  ©;  jouissent  bien  des  propriétés 
énoncées. 

111.   L'analyse  précédente  s'étend  immédiatement  au  cas  où  il 
y  a  plus  de  2  degrés  de  liberté. 
Si  nous  posons 

\i  =  /£&> 


SOLUTIONS    ASYMPTOTIQUES.  359 

les  équations  pourront  s'écrire  comme  dans  le  numéro  précédent 

>    (  i  =  I }   2 ,    .  .  .  ,    71  ) . 

Les  fonctions  Xj,  X'/5  Z(-  et  Z^  jouissent  des  mêmes  propriétés  que 
dans  le  numéro  précédent,  c'est-à-dire  qu'elles  sont  développables 
suivant  les  puissances  des  tj,-,  des  Ç;  et  de  y  a.,  et  pério'diques  par 
rapport  à  t.  De  plus,  Xj  et  Z;  sont  linéaires  par  rapport  aux  ■/),-  et 
aux  Ç,-  et  Xj-  et  Z^  ne  contiennent  que  des  termes  du  second  degré 
au  moins  par  rapport  à  ces  variables. 
Considérons  ensuite  les  équations 

elles  admettront  in  —  2  solutions  linéairement  indépendantes  cor- 
respondant aux  m  —  2  exposants  caractéristiques  qui  ne  sont  pas 
nuls;  ces  solutions  pourront  s'écrire 

\/[>- &  =  \i  =  e%kt S/*,  1/  =  ca*' S/*  (A  =  1 ,  2,  .  .  • ,  2/1  —  2) ; 

elles  admettront  en  outre  deux  solutions  dégénérescentes  définies 
au  n°  80  et  que  j'écrirai 

V  p  Ç/  =  Si',2»— ij         ^ji  ===  Ti,2«— 1 
et 

Les  fonctions  S/,*  et  T/^  (A1  =  1,  1,  .  .  . ,  m)  sont  périodiques  en  i. 
De  plus  Sik  est  divisible  par  y/ {à. 
Nous  pouvons  alors  poser 

k  =  1n  k  =  In 


vV Ki  =  _Z,  S/A 8*>  ï]  1  =  V  T'* 


S6û  CHAPITRE     VII. 

et  alors  nous  trouverons  les  équations 


(14  bu)  -^ 

,       V                        ^'                      fi 

-1-  Sa/,  wk a; 6/  =  v 

aw]c 

(i  =  i,  2,  ,  . . ,  in  —  i). 


/[i.02«. 

Les  fonctions  0#  sont  définies  par  les  o.n  équations  du  premier 


x;.=2 


—  0 

A-  =  1  v  ' 


/fxZ',.=  ST;y,0/,. 

Le  déterminant  de   ces  in  équations,  c'est-à-dire  le   détermi- 

nant  A  formé  avec  les  -j=  et  les  T/a,  ne  s'annule  pas  pour  y.  =  °- 

V/;j. 

On  le  démontrerait  comme  dans  le  numéro  précédent;  la  seconde 
démonstration  en  particulier  peut  être  appliquée  sans  changement 
au  cas  qui  nous  occupe. 

Nous  en  conclurons  que  les  fonctions  0^  sont  périodiques  par 
rapport  à  ?,  et  développables  suivant  les  puissances  croissantes  et 
positives  des  0;  et  de  y  pu 

Cela  posé,  il  est  facile  de  démontrer  la  proposition  du  n°  108. 

Supposons  en  effet  que/)  des  exposants  caractéristiques  a,, 
a2,  .  .  . ,  <Xp  aient  leur  partie  réelle  positive  et  cherchons  à  satisfaire 
aux  équations  (i4  bis)  en  remplaçant  les  6/  par  des  séries  dévelop- 
pées suivant  les  puissances  de  wi:  w2-,  •  .  • ,  Wp.  Soit  donc 

Qi=-Z[i,  j3„  pt,  ...,  pp,Y]eY^«M\..«#'. 

fi,,  jj2,  .  .  .,  fip  sont  des  entiers  positifs,  y  un  entier  positif  ou 
négatif  et  les  coefficients  [i,  (3, ,  (32,  .  .  . ,  (3^,  y],  que  j'écrirai  aussi 
pour  abréger  [/,',  [ii^,  y],  sont  des  constantes  qu'il  s'agit  de  déter- 
miner. 

Si  nous  substituons  ces  valeurs  des  Q;  dans  les  0/,  il  viendra 


SOLUTIONS    ASYMPTOTIQUJÏS.  36l 

les  coefficients  (i,  [itl  [32,  .  .  . ,  fip,  y)  ou  (z,  8a,  y)  seront  des  con- 
stantes qui  dépendront,  suivant  une  certaine  loi,  des  coefficients 
indéterminés  [z,  8a,  y].  Je  dis  que  les  [z,  8/f,  y]  et,  par  conséquent, 
les  (?',  8a,  y)  sont  développables  suivant  les  puissances  croissantes 
de  y/ [A  et  que  le  développement  ne  contient  pas  de  puissance 
négative. 

En  effet,  les  équations  (i/\.  bis)  nous  donnent 


[i-,P*îY]  =  (».  P*»Y) 


/ï 


v  v/—  H-  Sa/,p/f 
pour  i  =  t  ,  2 ,  .  .  . ,  i  n  —  2  e  t 

[an,  pt>  T]  =  (an,  ,3,,  y)       ,_/" 

Y  ^  —  '  -+-  Sa*  p* 

[2/î  —  i,  pA>  y]-  }[a/i,  3a,  y]  —  (an  —  i,  p*,  Y)i 


/ï 


y  v/—  n-  S«aPa 


Ces  formules  permettent  de  calculer  par  récurrence  les  coefficients 
[z,  8a,  y].  Si,  en  effet,  nous  convenons  de  dire  que  le  coefficient 
[z,  (3/r,  v]  de  même  que  (z,  8a,  y)  est  de  degré 


il  est  aisé  de  voir  que  la  quantité  (i,  [3a,  y)  ne  dépend  que  des 
coefficients  [z,  [3a,  y]  t/e  degré  moindre,  qui  peuvent  être  sup- 
posés connus  par  un  calcul  préalable. 

De  même  on  peut  démonfrer  par  récurrence  la  proposition 
énoncée.  En  effet,  je  dis  qu'elle  est  vraie  de  [z',  3*,  y]  si  elle  est 
vraie  des  coefficients  de  degré  moindre;  car,  s'il  en  est  ainsi,  elle 
sera  vraie  de(z,  8a,  y)  qui  dépend  seulement  de  ces  coefficients 
de  degré  moindre.  11  reste  donc  à  démontrer  que  la  fraction 


Y  y/—  I-+-  SocaPa—  rM 


est  développable  suivant  les  puissances  positives  de  y/ pi.  Or,  cela 
est  évident;  car,  si  y  n'est  pas  nul,  le  dénominateur  n'est  pas  divi- 
sible par  y/ pi.  Si  y  est  nul  le  dénominateur  est  divisible  par  y/ pi, 
mais  non  par  pi;  mais  il  en  est  de  même  du  numérateur. 

La  proposition  du  n°108  est  donc  ainsi  démontrée  de  nouveau. 


362  CHAPITRE     VII. 

Transformation  des  équations. 

112.  Revenons  au  cas  où  il  n'y  a  que  2  degrés  de  liberté  et 
reprenons  les  équations  (i4)  du  n"  110. 

Soit  <ï>  une  fonction  qui,  de  même  que  0,,  02,  ©3  et  04,  soit 
développée  suivant  les  puissances  de  9,,  92,  Q35  Q4,  de  a,  W_l 
et  e't^~i  et  qui  soit  telle  que  chacun  de  ses  coefficients  soit  réel, 
positif  et  plus  grand  en  valeur  absolue  que  le  coefficient  du  terme 
correspondant  dans  0|,  02,  03  et  0/(  ;  tous  les  termes  de  <ï>  seront 
d'ailleurs,  comme  ceux  des  0/,  du  second  degré  au  moins  par  rap- 
port aux  9. 

Obsei^vons  que  le  nombre 

n  \J —  1 

(où  n  est  entier  positif,  négatif  ou  nul,  et  où  p  est  entier  positif  et 
au  moins  égal  à  1)  est  toujours  plus  grand  en  valeur  absolue  que  1 , 
quels  que  soient  d'ailleurs  n,  p  et  a.  Or  les  nombres  qui  joueront 
le  rôle  des  diviseurs  (5)  du  n°  105  divisés  par  a  sont  précisément 
de  cette  forme. 

Formons  alors  les  équations 

(,5)  8t  =«»-*-*,         ô.2  =  *,         O3=04~<ï>,         0<t  =  *, 

qui  sont  analogues  aux  équations  (2")  du  n°  105. 

Des  équations  (i/\n  on  peut  tirer  les  9  sous  la  forme  de  séries 
ordonnées  suivant  les  puissances  de  w  et  de  e— c^~*  et  qui  sont  ana- 
logues aux  séries  (4')  du  n°  104.  Des  équations  (10),  on  peut  tirer 
les  9  sous  la  forme  de  séries  ordonnées  suivant  les  puissances  des 
mêmes  variables  et  analogues  aux  séries  (4';)  du  n°  105.  Chacun  des 
termes  de  ces  dernières  séries  est  positif  et  plus  grand  en  valeur 
absolue  que  le  terme  correspondant  des  premières  séries  (  '  )  ;  si  donc 
elles  convergent,  il  en  est  de  même  des  séries  tirées  des  équa- 
tions (i4)- 


(')    Voir  plus  loin  la  démonstration  donnée  en  détail  dans  un  cas  analogue  se 
rapportant  aux  équations  (21)  et  (21  bis). 


SOLUTIONS    ASYMPTOTIQUES.  363 

Or  il  est  aisé  de  voir  que  l'on  peut  trouver  un  nombre  iv0  indé- 
pendant de  a,  tel  que,  si  |«-'|<C  w0,  les  séries  tirées  de  (i5)  con- 
vergent. 

Il  en  résulte  que  les  séries  ordonnées  suivant  les  puissances 
de  w  et  tirées  de  (i4)  convergent  uniformément  quelque  petit  que 
soit  u,  ainsi  que  je  l'ai  annoncé  plus  haut.  Ce  raisonnement  est 
en  tout  point  semblable  à  celui  du  n°  105;  la  fonction  a<ï>  joue  le 
rôle  de  Kj  -h  H?  h-  . . .  et  a  celui  de  s,  car  tous  les  diviseurs  (5) 
sont  de  la  forme  n  y  —  i  -+-  a/?,  et  par  conséquent  plus  grands  que  a 
en  valeur  absolue. 

Nous  possédons  maintenant  les  9  sous  la  forme  de  séries  ordon- 
nées suivant  les  puissances  de  w  et  de  e~c^~i  ;  les  coefficients  sont 
des  fonctions  connues  de  a.  Si  l'on  développe  chacun  de  ces  coef- 
ficients suivant  les  puissances  de  a,  on  obtiendra  les  9  développés 
suivant  les  puissances  de  a.  Les  séries  ainsi  obtenues  sont  diver- 
gentes, comme  nous  l'avons  vu  plus  haut;  soient  néanmoins 

(16)  6,-  -  8?-t-  a8j  +  a»8?  +  . .  .-H  a/>8£  4-. . . 

ces  séries. 
Posons 

HI=e1  +  6i,         H2  =  02-62,         H,  =  6,4-84,         H4  =  0i. 

Posons 

(17)  0/=  8?  4-018*4-  a*6?H-..  . 4-  a*» 8 f  -t-  a? u{ 

en  égalant  9/  aux/»  4- 1  premiers  termes  de  la  série  (16)  plus  un 
terme  complémentaire  v.p m/. 

Si  dans  H;  on  remplace  les  9;  par  leurs  développements  (17),  les 
H;  peuvent  se  développer  suivant  les  puissances  de  a  et  on  peut 
écrire 

H,-  =  Q°c  4-  «6  '  -H  aç«  0?  -+-...  +  a^-i  0?_1  4-  olP  U/, 

les  ©*  étant  indépendants  de  a  pendant  que  U;  est  développable 
suivant  les  puissances  de  a. 


364  CHAPITRE     VII 

On  aura  alors  les  équations 

I  d%? 

08)         { 


*l+..2»=ej. 


dt  '  dt  dw 


dt  dw         "  dt  dt  l 


et  ensuite 


du;  du,-  d§? 


•  dt  dw  dw 

Voici  quelle  est  la  forme  de  la  fonction  U/;  les  quantités  8*  peu- 
vent être  regardées  comme  des  fonctions  connues  de  t  et  de  w, 
définies  par  les  équations  (18)  et  par  l'équation  (20)  que  j'écrirai 
plus  loin,  pendant  que  les  uL  restent  les  fonctions  inconnues. 
Alors  U*  est  une  fonction  développée  suivant  les  puissances  de  w, 
de  e-^-1,  de  a  et  des  ut.  De  plus,  tout  terme  du  qlème  degré  par 
rapport  aux  ut  est  au  moins  du  degré  p(q  —  1)  par  rapport  à  a. 
En  effet,  les  H;  et  par  conséquent  les  a^U^sont  développables  sui- 
vant les  puissances  des  9;  et,  par  conséquent,  des  a*Q*et  des  ctPui. 
Tout  terme  du  qlème  degré  par  rapport  aux  m  sera  donc  divisible 
par  ct.Pl  dans  oc^U;  et  par  o.p{1~{)  dans  U;. 

Soit  U;  ce  que  devient  Uj  quand  on  annule  a  et  les  Ui,  on  aura 

(20)  C^-=[Un- 


^9? 


Je  puis  ensuite,  en  posant 

Di=U/ 
puis 

Vj  =  u;  —  Ui ,      v2  =  u;  -4-  u2,      v3  =  u',  —  uk,      v4  =  u; , 

mettre  les  équations  (19)  sous  Ja  forme 

I    du\  du*  xr  du*  dut,  Tr 

\    dt  dw  '  dt  dw 

(21)  ^ 

f/M'i  tf?«3  Tr  <iW4  <^M4  Tr 

— j-  -h  a  w  -= a zt4  =  a  V3,         —7-  -t-  a  w  -3—  =  a  V4. 


SOLUTIONS    ASYMPTOTIQUES.  365 

On    voit    alors    que    les    V;    ne    contiennent  que   des   termes  du 
deuxième  degré  au  moins  par  rapport  à  w  et  aux  m. 

En  effet,  les  9;  sont  divisibles  par  w  et  se  réduisent  à  w  ou  à  o 
quand  on  y  supprime  les  termes  de  degré  supérieur  au  premier 
en  w.  Il  en  résulte  d'abord  que  Qf  est  divisible  par  w~.  D'autre 
part,  le  second  membre  de  l'équation  (17)  ne  contiendra  que  des 
termes  du  premier  degré  au  moins  par  rapport  à  w  et  U[.  Donc  0, 
ne  contient  que  des  ternies  du  deuxième  degré  par  rapport  à  w  et 
aux  m.  Il  en  résulte  que  les  seuls  termes  du  premier  degré  qui 
peuvent  subsister  dans  U(,  LU,  U3  et  U4  se  réduisent  respective- 
ment à  iif,  —  M2,  u5  et  o. 

D'ailleurs  w  -~~  est  divisible  par  w-  ;  donc  les  Vt-  ne  contiennent 

que  des  termes  du  deuxième  degré  au  moins.  c.  q.  f.  d. 

Des  équations  (21)  on  peut  tirer  les  ut  sous  la  forme  de  séries 
développées  suivant  les  puissances  de  w  et  de  e-*v-< .  En  appliquant 
à  ces  équations  le  même  raisonnement  qu'aux  équations  (î 4),  je 
vais  démontrer  que  ces  séries  convergent  quand  \w\  <w0  et  que 
la  convergence  reste  uniforme  quelque  petit  que  soit  a. 

Tl  1  a  1  ,     ■  •  ,  dlli      d%  h '.; 

11  en  sera  de  même  pour  les  séries  qui  représentent -,—->  —. — -, 

1  x  x  dw     dw1 

Il  résultera  de  là  qu'on  peut  assigner  une  limite  supérieure  indé- 
pendante de  a,  à  ut,  à  -j-±,  —r^i  •  •  •  >  pourvu  que  \w\  <«V 

Je  montrerai  ensuite  plus  loin,  aux  nos  116  et  117,  que  cela  a 
encore  lieu  pour  toutes  les  valeurs  positives  de  w. 

Soit  en  effet  $  une  fonction  développée  suivant  les  puissances  de 
a,  des  m,  de  w  et  de  e-^-1  et  telle  que  l'on  ait  (pour  i  =  1,  2,  3,  4) 

V;  <C  <t>(arg.  \i\,  «2,  u3,  w4,  a,  w,  e±(-^~l). 

Soit  <£'  ce  que  devient  <E>  quand  on  y  remplace  «t,  w2,  w3,  il* 
par  u\,  u'2,  u'3,  u'k. 

Envisageons  les  équations  suivantes 

(iibis)     u\  =  w  -4-  4>',         u'%  =  <t>',         u'à  =  u\  -t-  <£',         u'k  =  <ï>', 

analogues  aux  équations  (i5).  Il  est  clair  que  ces  équations  admet- 
tront une  solution  telle  que  u\,  u'21  u'3,  u'k  soient  développables 
suivant  les  puissances  de  w,  de  a  et  de  e±tsl~*  et  s'annulent  avec  w. 


366  CHAPITRE     VII. 

Ces  séries  u\,  u'.,,  u'z,  uk  seront  convergentes  pourvu  que  \w\ 
ne  dépasse  pas  une  certaine  limite  que  j'appellerai  tv0.  Comparons 
maintenant  les  équations  (21)  et  les  fonctions  ut,  u2,  u3,  uA  qui  y 
satisfont,  avec  les  équations  (21  bis)  elles  fonctions  u\,  u'%,  u's,  u,t 
qui  y  satisfont. 

Je  me  propose  d'établir  que 

«;<  z*j-(arg.  w,  e±tyJ^). 

[Je  fais  remarquer  que  a  ne  figure  pas  parmi  les  arguments 
par  rapport  auxquels  est  prise  cette  inégalité.) 

En  effet,  soit  u"  et  u"  l'ensemble  des  termes  de  m;  et  de  u\  qui 
sont  de  degré  n:  au  plus  en  w,  supposons  que  l'on  ait  établi  que 


Je  vais  faire  voir  que 

J'aurai  alors  établi  par  récurrence  l'inégalité  à  démontrer. 

Si  l'on  substitue  dans  V;  et  dans  <ï>'  à  la  place  des  ut  et  des  u\ 
les  développements  de  ces  quantités  suivant  les  puissances  de  w 
et  de  e~^~\  ces  fonctions  V;  et  <E>'  deviendront  elles-mêmes  déve- 
loppables  suivant  les  puissances  de  w  et  de  e-fv/_). 

Désignons  encore  par  V"  et  $'"  l'ensemble  des  termes  de  degré  n 
au  plus  en  w. 

Si  alors  u'-^u",  on  aura  aussi 


Soit  alors 
un  terme  de  $'«+<  et 


A.iWn+iePt'/-i 
le  terme  correspondant  de  Vf41 ,  on  aura 

|A;|<A. 

Soient  alors 

Bnvn+let,t^i     et     B'iWn+1  ePi^f-i 

les  termes  correspondants  de  ui  et  de  u't . 


SOLUTIONS    ASYMPTOTIQUES. 

Les  équations  (21)  et  (21  bis)  nous  donnent  alors 


3C7 


B,= 


At 


p  s/—  ' 


B, 


A, 


p  s/— 


B4  = 


P  v  — ' 


B, 


B,  -+-  A, 


P 


s/'- 


Coi 


b;  =  b;  =  B't  =  a,      b;  =  bi+a. 

p  v/—1 


d'où 

et  par  récurrence 


>i; 


B/|<b;-, 


ur\<ut 


Comme  cette  inégalité  est  prise  par  rapport  aux  arguments  «> 
et  e^~'\  elle  peut  être  différentiée  tant  par  rapport  à  w  que  par 
rapport  à  t,  de  sorte  que  l'on  a 

dut     ^  rlu'j  du,     _  du'i  d- u,-        d2  u) 

dt      *   dt  '         dw     "  dw  dw%         dw% 

Soit  u'f  la  valeur  de  u\  pour  t  =  05  si  ut<^.  u'i}  on  aura  pour  les 

valeurs  positives  de  w 

|  m  |  <  u'i° . 

Mais  u'/*  est  développable  suivant  les  puissances  de  a  :  on  peut 
donc  lui  assigner  une  limite  supérieure  indépendante  de  a  pour  les 
petites  valeurs  de  a  puisqu'il  tend  vers  une  limite  finie  quand  a 
tend  vers  o. 

Il  en  est  de  même,  en  vertu  des  inégalités  que  nous  venons 
d'établir  de  \ui\. 

On  démontrerait  de  même  qu'il  en  est  encore  ainsi  des  dérivées 


du;  I        |  du,- 


dt 


d\ 


d2  II; 
dw* 


C.  Q.   F.  D. 


368  CHAPITRE     VII. 

Réduction  à  la  forme  canonique. 

113.   Observons  que  les  équations  (i4)  et  de  même  les  équa- 
tions (21)  peuvent  se  mettre  sous  la  forme  canonique. 
En  effet,  si  nous  posons,  comme  au  début  du  n°  110, 

Xi=  <pK0 -+-!;*>      yi  =  ^i{t)-^-'riu 

les  équations  canoniques  du  mouvement 


dxt        d¥ 

dyt  _ 

d¥ 

dt         dyi 

dt 

dxi 

deviendront 

diA  _  d¥* 

dr\i  __ 

d¥* 

dt         dr.  t 

dt 

'dit 

F*  étant  défini  de  la  manière  suivante. 

Quand,  dans  F,  on  remplace  Xi  et  yi  par  rf/-+-  ç/et  ^-L-\-  •/]/,  cette 

fonction  F  peut  se  développer  suivant  les  puissances  des  ç  et  des  r,, 

les  coefficients  étant  des  fonctions  périodiques  de  t.  Soit  alors  F' 

l'ensemble  des  termes  de  degré  o  et  1  par  rapport  aux  \  et  aux  t\  ; 

nous  poserons 

F*  =F  — F'. 

Si  nous  désignons  par  ôç;  et  o't\i  des  accroissements  virtuels 
quelconques  de  \i  et  de  t\i  et  par  oF*  l'accroissement  correspon- 
dant de  F*,  ces  équations  peuvent  s'écrire 

-  (  d\i  07)  i  —  dt\i  llj )  =  8F*  dt. 

Que  devient  cette  équation  quand  on  prend  pour  variables 
nouvelles  les  9/? 

Adoptant  une  notation  analogue  à  celle  du  n°  70  ,  nous  poserons 

eu,  u')  =  2(S/t;—  sit,) 

et  nous  définirons  de  même  (U,  U"),  (U',  U"),  ....  Le  n°  70. nous 
apprend  que  toutes  ces  quantités  sont  nulles,  à  l'exception  de 
(U,  U')  et(U",  Uw)  qui  sont  des  constantes.  Ces  constantes  doivent 


SOLUTIONS    ASYMPTOÏXQUES.  36g 

être  divisibles  par  a;  mais  elles  peuvent  être  d'ailleurs  quel- 
conques, puisque  S,,  T\-,  S;,  T'z-,  ...  ne  sont  déterminés  qu'à  un 
facteur  constant  près.  Nous  pourrons  donc  poser 

(U,-U')=eU*,  U"')  =  cc. 

Si  Ton  observe  que,  d'autre  part, 

d\i  =  0, dst -+- o2 ds't -4- 03  rfs; -+- 04 ds'-  -+-  S/ 1/0!  +  s; û?os h- s"ûJô3 -+-  s™ do4 

0?;   =   S;  80!  -f-  S'j  Q02  -+•  S}  O03   -+-  S'/  864,  .... 

On  conclura  que 

a(^0!  66,  —  c/02  80!-h  ^63  80,,.  _  fl?64  o03 )  =  (oF*  -4-  §Q)dt, 

8ù  désignant  une  expression  homogène  et  linéaire  tant  par  rapport 
aux  9/  que  par  rapport  aux  oQ,;  les  coefficients  de  cette  fonction 
bilinéaire  sont  d'ailleurs  des  fonctions  périodiques  de  t. 

Je  dis  que  80  est  une  différentielle  exacte  et,  en  effet,  les  équa- 
tions (i4)  nous  donnent 

<*(rf8,  o02  —  d().2  80!  -h  d%z  o04  —  d04  o03)  =  à«(  oG  -+-  oG')dt 

où  3G  est  la  différentielle  exacte  d'une  fonction 

G  =  010,-f-M 
et  où 

3G'  =  0!  O02  —  02  O0J  -+-  03  O04  —  04  O03. 

Je  dis  que  ôF*  -+-  où  =  a2(ôG  -h  oG;)  est  une  différentielle 
exacte;  il  suffit,  pour  s'en  convaincre,  d'observer  que,  dans  cette 
expression,  les  termes  du  premier  degré  par  rapport  aux  0;  se 
réduisant  à  SG  sont  une  différentielle  exacte  et  qu'il  doit  en  être 
de  même  de  ceux  dont  le  degré  est  supérieiir  à  i ,  puisque  oF*  est 
une  différentielle  exacte  et  que  où  ne  contient  que  des  termes  du 
premier  degré. 

Nous  pouvons  donc  poser 

oF*-ho£>  =  a2o<ï>, 
où 

*  =  G+  -", 

a2 

H.  P.  -  I.  24 


370  CHAPITRE    VII. 

F''  désignant  l'ensemble  des  ternies  de  F  qui  sont  de  degré  supé- 
rieur au  deuxième  par  rapport  aux  £;  et  aux  r,/. 
Nous  po avons  donc  écrire 

d6,  _      rf*  db,  _  d4> 

~dt~*Wi  dt  a  dùx  ' 

Si  nous  nous  rappelons  que  les  6  dépendent  de  t,  non  pas  seule- 
ment directement,  mais  encore  par  l'intermédiaire  de  w,  nous 
écrirons  ces  équations  sous  la  forme 

«r/ô,  dbi  d<5>  A?6,  d&,  d<S> 

('  1 4  bis )     —, l-aw  ~1—  =  a.  —  - ,         —=-  H-  a  cp  -=—  =  —  a  ~^- , 

4        ;      dt  dw  dô2  rf/  rfw  «61 

auxquelles  il  faudrait  adjoindre  deux  équations  analogues  que  l'on 
déduirait  des  premières  en  changeant  9,  et  (L  en  93  et,  04. 

Ce  sont  là  les  équations  (i4)  mises  sous  la  forme  canonique. 

Il  s'agit  d'en  faire  autant  pour  les  équations  (21). 

Si,  dans  $,  on  remplace  les  9/ par  leurs  valeurs  (17),  cette  fonc- 
tion devient  développable  suivant  les  puissances  croissantes  de  a 
et  des  m\  si  ensuite  nous  désignons  par  v.-P<t>'  l'ensemble  des 
termes  du  degré  ip  au  moins  par  rapport  à  a,  nos  équations 
deviennent 

du }  diii  d<ï>'  du,  du*.  d<$>' 

(21  bis)    —, h  a  w  —j—  =  a  - — ,  — —  4-  a  w  —j—  =  —  a  — — 

'     dt  dw  du»  dt  dw  dut 

avec  deux  autres  équations  analogues. 

Ce  sont  là  les  équations  (21)  ramenées  à  la  forme  canonique. 


Forme  des  fonctions  V,. 
114.    Considérons  la  fonction 

et  remplaçons-j  Xi  par 

(22)  xfA-ax}  -+-  cc^x1-h...-^-xP+iu;^+l-h  a/>+<(\-, 

et  y,-  par 

( 22  bis )  m  t  -t- yj  -h  v.y\  -+-  a"- y]  -+-...-+-  aPyf  -+-  xt>  v,. 


SOLUTIONS    AS  Y  M  PTOTIQUES.  371 


Les  lettres 

(23) 


1  5  P-M 

U    l    1  **■•  l    J  "    '    "    )  U    l  1 

y!,  yl,    •••>   jf 


ont  la  même  signification  que  dans  le  n°  108.  La  seule  différence 
est  que  nous  n'avons  ici  que  2  degrés  de  liberté  et  que  le  para- 
mètre par  rapport  auquel  nous  développons  et  qui  joue  le  rôle 
de  p.  est  ici  égal  à  a-;  les  quantités  (23)  sont  donc  des  fonctions 
connues  de  v  et  de  w.  Quant  à  o>P+i  e;  et  clPv'^  ce  sont  des  termes 
complémentaires  quelconques.  Je  me  propose  de  rechercher  à 
quelle  condition  F  est  développable  suivant  les  puissances  de  a, 
des  vt  et  des  v't. 

Posons  pour  abréger 

axj  -+-  a2  xf  -T-.  .  .  -+-  aP+l  xp+1  -+-  OLP+lvt  =  x\, 
ccyj  -+-  aïy\  -»-...+  aPjrf         -4-  aP+i  v\  =  y\. 

La  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  que 

F  (a:?  -t-  x'u  riit-^yl  -j-y'i) 

soit  développable  suivant  les  puissances  croissantes  des  x't  et 
des  y\  et,  par  conséquent,  suivant  celles  de  a,  des  vi  et  des  (/•, 
sera  évidemment  que  le  point 

xt=x\,        yt=ntt+-y\ 

ne  soit  pas  un  point  singulier  pour  F. 

Or  x\  et  ni  sont  des  constantes;  \e%  y\  sont  des  fonctions  de  w 
définies  par  les  équations  (8)  du  n°  108.  Mais  il  arrivera,  dans  la 
plupart  des  applications,  que,  si  l'on  donne  à  x\  et  à  ni  les  valeurs 
constantes  qui  correspondent  à  une  solution  périodique,  F  restera 
holomorphe  quelles  que  soient  les  valeurs  réelles  attribuées  auxy". 

Prenons,  par  exemple,  le  problème  du  n°  9  et  supposons  que 
.r,  — L,  x2  =  G  définissent  la  forme  de  l'ellipse  décrite  par  la 
masse  infiniment  petite,  pendant  que  yK  =  l,  y2  =  g —  t  définis- 
sent la  position  du  périhélie  de  cette  ellipse  et  celle  de  la  masse 
sur  son  orbite. 

Pour  que  F  cessât  d'être  holomorphe,  il  faudrait  que  cette 
masse  infiniment  petite  rencontrât  une  des  deux  autres  masses; 


3J2  CHAP1TUE     VII. 

or,  si  l'ellipse  ne  coupe  pas  la  circonférence  décrite  par  la  seconde 
masse,  comme  il  arrivera  dans  presque  toutes  les  applications, 
cette  rencontre  ne  pourra  jamais  se  produire  quelles  que  soient 
les  valeurs  réelles  attribuées  à  /  et  à  g  —  t. 

Il  en  sera  encore  de  même  si  nous  prenons  un  plus  grand 
nombre  de  degrés  de  liberté  et  si  nous  étudions  le  Problème  des 
trois  Corps  dans  toute  sa  généralité. 

Alors  les  variables  x-t  définissent  la  forme  des  ellipses  et  l'incli- 
naison mutuelle  de  leurs  plans,  les  variables  yi  définissent  la  posi- 
tion des  nœuds,  des  périhélies  et  des  masses  elles-mêmes.  Il  arri- 
vera alors,  dans  la  plupart  des  cas,  que,  si  l'on  donne  aux  variables 
Xi  les  valeurs  x\  qui  correspondent  à  une  solution  périodique  et 
à  l'hypothèse  limite  jj.  =  o,  ces  deux  ellipses  ne  pourront  se  couper 
de  quelque  manière  qu'on  les  tourne  dans  leur  plan.  La  fonction  F 
ne  pourra  donc  cesser  d'être  holomorphe  quelles  que  soient  les 
valeurs  réelles  attribuées  auxjK;. 

Nous  sommes  ainsi  conduit  à  supposer  que,  pour  Xi=  x°,  F  est 
holomorphe  pour  toutes  les  valeurs  réelles  des  y;.  Les  cas  où  cela 
n'aurait  pas  lieu  n'ont  pas  d'importance  au  point  de  vue  des  appli- 
cations. C'est  d'ailleurs  l'hypothèse  que  nous  avons  toujours  faite 
jusqu'ici. 

Si  alors  on  remplace  dans  F  les  xL  et  les  yt  par  les  expres- 
sions (22),  F  peut  se  développer  suivant  les  puissances  de  a,  de  Vi 
et  de  Pj-,  et  ce  développement,  dont  les  coefficients  sont  des  fonc- 
tions de  t  et  de  w,  reste  convergent  pour  toutes  les  valeurs  de  t  et 
de  w.  Les  rayons  de  convergence  tant  par  rapport  à  a  qu'aux  p,- 
et  aux  v't  sont  des  fonctions  continues  de  t  et  de  w  qui  ne  s'annu- 
lent pour  aucune  valeur  réelle  de  ces  variables. 

Si  l'on  observe  que  les  Xi,  les  Q;,  les  il;,  les  £,-,  les  Vi,  . .  .  sont 
liés  entre  eux  par  les  relations 

Xi  =  <pz-(*)  -+-  a.Q,  yt  =  tyi(t)  -+-  -fil- 
et par  les  relations  (i3  bis),  (17)  et  (22),  on  conclura  que  F  et, 
par  conséquent,  <î>'  sont  développables  suivant  les  puissances  de 
y.  et  des  ut,  que  les  coefficients  du  développement  et  les  rayons  de 
convergence  sont  des  fonctions  continues  de  t  et  de  w  et  que  ces 
rayons  de  convergence  ne  s'annulent  pour  aucune  valeur  réelle 
de  t  et  de  w. 


SOLUTIONS    ASYMPTOTIQUES.  373 

De  ce  fait,  et  de  ce  que  nous  savons  déjà  au  sujet  des  fonc- 
tions V;  (qui  ne  sont  autre  chose  que  les  dérivées  de  <E>'),  nous 
pouvons  conclure  ce  qui  suit  : 

On  peut  trouver  deux  nombres  réels  et  positifs  M  et  (3,  indé- 
pendants de  t  et  de  w  assez  grands  pour  que  l'on  ait  (en  posant, 
pour  abréger,  s  =  uK  -f-  u2  -+-  u%  +  Ur>) 

MaPs2 

V;<M«'2  +  M(W+  ô Q—^~  (arga>  UU   «2,  «3,  Uk), 

i  —  pa  —  pa/J  s 

pour  toutes  les  valeurs  réelles  de  t  et  pour  toutes  les  valeurs  de  w 
comprises  entre  o  et  une  limite  supérieure  quelconque  W.  Cela 
aura  lieu  quelque  grand  que  soit  W;  mais  les  nombres  M  et  (3 
devront  être  choisis  d'autant  plus  grands  que  W  sera  lui-même 
plus  grand. 

Lemme  fondamental. 

115.   Etablissons  maintenant  le  lemme  suivant  : 
Soient  <p(#,  t,  w).,  <?'(x,  t,  w)  deux  fonctions  de  x,  t  et  w  qui 
soient  développables  suivant  les  puissances  de  x  et  telles  que  l'on 
ait  pour  toutes  les  valeurs  de  t  et  de  w  que  l'on  a  à  considérer 

<q  <<  cp'        (argx). 
Considérons  les  deux  équations  suivantes 

.  .  dx  dx 

K  '  dt  dw        ' v        '      ' 

et 

.     ,  .  N  dx'  dx'         ,,    , 

(i  bis)  — , h  a.w  — —  —  o  (x  ,  t,  w). 

dt  dw        '  ' 

Considérons  une  solution  particulière  de  chacune  de  ces  deux 
équations,  choisie  de  telle  sorte  que,  pour  w  =  wa  (iv0  étant  une 
valeur  positive  quelconque  de  tv),  on  ait 

\x\  <C  x'. 


374  CHAPITRE    VII. 

Je  dis  que,  pour  toutes  les  valeurs  de  w  plus  grandes  que  tv0,  on 
aura  encore 

(2)  •    \x\  <  x'. 

Changeons  de  variables  en  posant 

1 , 
t  =  -  logtp  -+•  T. 
a 

On  aura  alors,  en  représentant  par  des  à  ronds  les  dérivées  par- 
tielles prises  par  rapport  aux  vai^iables  t.  et  w 

dx         dx  1     dx 

dw        dw        a.  w    dt 


Nos  équations  deviendront  donc 


dx 


dx' 


a  w  -. —  =  cp ,  a  w  - —  =  cd  , 

dw        '  '  dw        '  ' 

si  pour  un  certain  système  de  valeurs  des  variables 


l'inégalité  (2)  est  satisfaite;  on  aura  également 


dx 
dw 


< 


dx' 
dw  ' 


de  sorte  que  l'inégalité  (2)  sera  encore  satisfaite  pour 

w  =  w\-\-  dw,  T  =  Xi, 


puisque  l'on  aura 

et,  par  conséquent, 

dx 


\x\  <x' 


dx 

dw 


(h 


dx     . 
-■ —  dw 
dw 


x  -+-     —  dw 
dw 


<    # 


dx 

dw 


dw 


dx     , 
-.—  dw. 
dw 


Il  suffit  donc  qu'elle  le  soit  encore  quand  on  a 

W  =  Wq,  T  =  Ti 


SOLUTIONS    ASYMPTOTIQUES.  375 

pour  qu'elle  le  soit  quand  on  a 

Mais  nous  avons  supposé  qu'elles  le  sont,  quel  que  soit  t  et,  par 
conséquent  t,  pour  w  =  w0  ;  elles  le  seront  donc  encore,  quel  que 
soit  t  et,  par  conséquent  t,  pour  w  >  «V  c-  Q-  F-  D- 

On  démontrerait  absolument  de  la  même  manière  un  lemme  un 
peu  plus  général  : 

Soient  cp,,  o2,  .  .  .,  cprt,  cp', ,  cp',,  .  .  .,  ®'n  des  fonctions  de  a?,, 
x-2,  .  .  .,  irn,  £  et  (*>,  développables  suivant  les  puissances  des  x  et 
telles  que  l'on  ait  pour  toutes  les  valeurs  considérées  de  t  et  de  w 

cp1<œ'1,     cp2<cp'2,      ...,     o„<cp;i         (arga?!,  a?2,  .. .,  xn). 

Envisageons  les  équations 

dxi  dxi 

(  3  )  —j-  +SW  -j—  =  'f/(a?i,  a?2,  •  •  • ,  xn,  t,  w) 

et 

cl  £  *  £/«£*  ■ 

(36iS)  ~d~t~^a'W~dw=  ^'^1'  ,2''2'  ••"  a"/"  *'  "°        (1  =  1,2,...,  »■). 
Supposons  que  l'on  ait,  quel  que  soit  /  pour  w  =  ir0, 


c<?/«  aw/*#  /f'e«  quel  que  soit  t  pour  w  >  <v0. 

Faisons  maintenant  des  hypothèses  plus  particulières  au  sujet 
des  fonctions  cp;  et  o't. 

Supposons  : 

i°  Que  ces  fonctions  sont  périodiques  par  rapport  à  t  et  de 
période  2  7i; 

à0  Que  pour  les  petites  valeurs  de  w,  elles  sont  développables 
suivant  les  puissances  croissantes  de  w  ;  cela  peut  d'ailleurs  ne  pas 
avoir  lieu  pour  toutes  les  valeurs  considérées  de  w  :  il  suffit  qu'il 
en  soit  ainsi  pour  les  petites  valeurs  de  cette  variable; 

3°   Que  ces  fonctions  sont  développables  suivant  les  puissances 


376  CHAPITRE    VII. 

entières  du  paramètre  a  et  sont  divisibles  par  a  :  on  doit  d'ailleurs 
avoir 

<?i<  ?'/        (arga?i,  a?2,'  . . .,  a?/i,  a); 

4°  Que  si  l'on  appelle  cp"  et  cp^°  ce  que  deviennent  co,-et  cp^- quand 
on  y  annule  tous  les  .2*,  ces  quantités  3"  et  co^0  sont  divisibles  parw2. 

Si  toutes  ces  livpothèses  sont  réalisées,  les  théories  des  numéros 
précédents  nous  font  savoir  qu'il  existe  des  solutions  particulières 
des  équations  (3)  et  (3  bis)  de  la  forme  suivante 


(4) 


xi  =  A/i2  <ï'2  4-  A/)3  w'6 

x't—  A'/;,  (v2-h  A',-;3(p3 


les  A,-jH  et  les  Kt  n  étant  des  fonctions  de  t  et  de  a,  périodiques 
par  rapport  à  t  et  développables  suivant  les  puissances  croissantes 
de  a. 

Les  équations  (3)  [ou  (3  bis)  qui  sont  de  même  forme]  peuvent 
en  effet  se  ramener  à  la  forme  des  équations  (2)  du  n°  104. 

Reprenons,  en  effet,  ces  équations  (2)  du  n°  104,  elles  s'écrivent 

oi  " 

les  E;,  étant  développables  suivant  les  puissances  des  \i  et  d'un 
paramètre  très  petit,  sont  de  plus  des  fonctions  de  t  '.  elles  s'an- 
nulent avec  les  £,-. 

Les  \t  dépendent  de  t  non  seulement  directement,  mais  par  l'in- 
termédiaire des  exponentielles 

Aye^t,     A2.ea»',      ...,     k„e*»t. 

Ici  nous  supposons  que  tous  les  coefficients  A{,  A2,  .  .  .,  A/2  sont 
nuls  à  l'exception  de  l'un  d'entre  eux;  nous  n'aurons  donc  à  nous 
occuper  que  d'une  seule  exponentielle  w  =  Aeaf.  Les  ^dépendront 
alors  de  t  d'abord  directement,  puis  par  l'intermédiaire  de  w.  Si 
donc  nous  représentons  les  dérivées  partielles  par  des  d  et  les 
dérivées  totales  par  des  d,  il  viendra 

dit       d\t  d\t 

-r-  =  -f-  -f-  a  w  ~r~  1 
at         al  dw 


SOLUTIONS    ASYMl'TOTIQUES.  077 

et  nos  équations  deviendront 

,n  d\t  dit       _, 

(5)  -l_atv  =ia/. 

a£  dw 

La  seule  différence  de  forme  entre  les  équations  (3)  et  les  équa- 
tions (5),  c'est  alors  que  les  seconds  membres  des  équations  (3) 
dépendent  de  w  et  ne  s'annulent  pas  pour 

X\  =  372  =  •  -  •  =  3T«  =  o. 

Mais  il  est  aisé  de  faire  disparaître  cette  différence  de  forme.  Il 
suffit  pour  cela  d'adjoindre  aux  équations  (3)  l'équation  suivante 

O^/j+l  UX  n-\-  i 

dt  dw 

qui  admet  pour  solution  xn+K  =  w,  et  de  remplacer  w  par  xn+{ 
dans  les  fonctions  ©;.  Alors  ces  fonctions  ®t  ne  contiennent  plus  w 
et  s'annulent  pour 

xi  =  x2  =  . .   =  a?,n_i  =  o. 

Nous  pouvons  donc  appliquer  aux  équations  (3)  et  (3  bis)  les 
résultats  du  n°  104-  et  conclure  que  ces  équations  admettent  des 
solutions  de  la  forme  (4)- 

Le  calcul  des  coefficients  Aj  2,  Az-)3,  ...  se  fait  très  facilement 
par  récurrence  en  appliquant  les  procédés  du  n°  104. 

Supposons  donc  que  l'on  trouve  ainsi 

|A.*lS|<  a.;-j2 

et  cela  quel  que  soit  t. 
Nous  en  conclurons  que 


lim 


— -   <  lim —         (pour  w  =  o) 

W'z\  (V2 


et,  par  conséquent,  qu'on  peut  trouver  une  valeur  w0  de  w  assez 
petite  pour  que  l'on  ait 

pour  toutes  les  valeurs  réelles  de  t  et  pour  toutes  les  valeurs  de  w 
plus  petites  que  w0  et  plus  grandes  que  o. 


378  CHAPITRE     VII. 

On  aura  alors,  en  vertu  du  lemme  démontré  plus  haut, 

|  OCi  I  <  x'i 

pour  toutes  les  valeurs  réelles  de  t  et  pour  toutes  les  valeurs  posi- 
tives de  w. 

Analogie  des  séries  du  n°  108  avec  celle  de  Stirling. 

116.  Appliquons  le  lemme  précédent  aux  équations  (21)  que 
nous  écrirons 

du;  dlli  rT, 

D'après  ce  que  nous  avons  vu  à  la  fin  du  n°  114,  nous  pouvons 
trouver  deux  nombres  positifs  M  et  S  tels  que,  pour  toutes  les 
valeurs  réelles  de  t  et  pour  toutes  les  valeurs  de  w  comprises  entre 
o  et  W  (et  cela  restera  vrai  quelque  grand  que  soit  W),  on  ait 

MaP  s- 

U^fc+M^  +  Mw-i n â (arg«>  "ij  u2,  u%,  «*)> 

1  —  pa  — ■  fiy./J  s 

S  =  Ui  -+-  K2  -H  «3  -t-  «4. 

Quant  à  l'indice  k  de  Uk,  il  est  égal  à  i  pour  i  =  1  ou  2  et  à  4  pour 
î  =  a  ou  3.  Posons  alors 

M  aP  s2 
mz-  +  Mh'2+M(W 0 71 =  <ï>(iv,  if1}  a2,  a3,  i*4) 

1  -+-  pa  —  paPs 

et  comparons  aux  équations  (21)  les  équations 

,   ■    s  dll'i  du'; 

Parmi  les  solutions  particulières  des  équations  (21)  et  (21  bis), 
nous  choisirons  celles  qui  sont  divisibles  par  w~  (ce  sont  bien 
celles-là  que  nous  avons  appelées  plus  haut  ui). 

Il  est  clair  que  nous  pourrons  toujours  prendre  M  assez  grand 

pour  que 

I,.      Ui  I  ^  ,•      u) 
I  li  m —   <  lim  — ;  • 


SOLUTIONS    ASYMPTOT  IQUES.  379 

Nous  en  conclurons  alors  que 


pour 

o  <  w  <  W . 

Cherchons  maintenant  à  intégrer  les  équations  (21  bis).  J'observe 
d'abord  que,  <D  ne  dépendant  pas  de  t,  les  ut  n'en  dépendront  pas 
non  plus  et  qu'on  aura 

,        s' 

U,  =  lt9  —  U*  =  Ul  =    —  5 

1  -         d  *        4 

*'        s'       tvt     .       iu   '  MaPs'* 


dw         4  1  — p<y  — paA'*2 

Celte  dernière  équation  admet  une  intégrale 

s' '  -■=  cp(  w,  a) 

développable  suivant  les  puissances  de  w  et  de  a,  et  divisible 
par  w2;  quand  a  tend  vers  o,  s'  tend  manifestement  vers  l'intégrale 
de  l'équation 

dw         4 

Cette  équation  linéaire  s'intègre  très  aisément,  on  trouve 

1  f>  w  3 

lims'  =  M  w'*eMw  t      e-Mww'*dw         (pour  a  =  0). 

De  cette  formule,  je  ne  veux  retenir  qu'une  chose,  c'est  que,  si 

o  <  w  <  W, 

s',  et,  par  conséquent,  ux,  u2,  u3  et  uA  tendent  vers  une  limite  finie 
quand  a  tend  vers  o. 

Il  résulte  de  là  que  la  série 

0?  -+-a8j  +  «2  02  +  _ 

représente  la  fonction  9/  asymptotiquement  (c'est-à-dire  à  la  façon 
de  la  série  de  Stirlijng)  ou,  en  d'autres  termes,  que  l'expression 

6,. __ e?  - ae*  _ gae?_ ...— qp-ier1 


38o  CHAPITRE    VII. 

tend  vers  o  avec  a.  En  effet,  cette  expression  est  égale  à 

et  nous  venons  de  voir  que  9f  +  m  reste  fini  quand  a  tend  vers  o. 


dut 

dw 


117.   Mais  ce  n'est  pas  tout;  je  dis  que  -~  reste  fini  quand 
tend  vers  o. 

Nous  avons  en  effet 


d  / dut 
dt  \  dw 


d   / dut\  dui\  v^    d\J;  diik  d\Jf 

rf£  a«i.   atv  ace 


dw  \  dw  J  \  dw 


j— -  et  -j— î  sont  des  fonctions  de  £,  de  cv,de  a  et  des  «z-;  mais,  d'après 
aujc       dw  7  '  '       i 

ce  que  nous   venons  de  voir,  nous  pouvons  assigner  aux  m  des 

limites   supérieures;  nous   pourrons   donc  en  assigner  également 

dU'i  dU'j    o  i  h         • 

aux  — —  et  aux  -=—•  supposons,  par  exemple,  que  1  on  ait 


du/c 


dU'j  I 
du/c 


A, 


^~\<B     (Poutw<W), 

dw 


,  dut 


A  et  B  étant  deux  nombres  positifs. 

D'autre  part,  nous  savons  qu'on  peut  assigner  une  limite  à    . 

pour  w  =  wK ,   si  w,    est  inférieur  à  la  quantité  que  nous  avons 
appelée  w0  à  la  fin  du  n°  112. 

Supposons,  par  exemple,  que  l'on  ait 


du; 


dw 


u0     pour  w  =  w>i, 


u'0  étant  un  nombre  positif.  Soit  ensuite  u'  une  fonction  définie 
comme  il  suit 

du'  du' 

dt  dw  v 


pour 


W  =  W\. 


On  aura  manifestement 


dut 

dw 


SOLUTIONS    ASYMPTOTIQUES.  38l 

Or  on  voit  sans  peine  que  u'  ne  dépend  que  de  w  et  satisfait  à 
l'équation 

du'         ,  „ 

w  ~j-  =  i*'(4A  -+-  W)-i-B. 
dw  '  ' 

Donc  u'  est  fini;  donc  -^  reste  finie  quand  a  tend  verso.  Donc  on 
dw  * 

a  asymptotiq aement  (en  entendant  ce  mot  au  même  sens  que  plus 

haut) 

dht  =  rfB?    i      ^6?    i     ,  dBf 

dw        dw   "^      dw    ~r~       dw 

On  démontrerait  de  même  que  l'on  a  asymptotiquement 

dQj  _  rfe?         ^6?         2  r/0? 

<r/?   ~~    ^  ~dt  ~dt 

d^L       #6,°  rfse/  d^Qf 

-y~^  =     ,    „    -1-  «  — ; — r  -f-  a2  — ; h .  . .'. 

aw2         aip2  «iv2  <r/w>2 

Voici  donc  la  conclusion  finale  à  laquelle  nous  parvenons  : 
Les  séries 

x°i  -+-  /^a?*  -+-  fia??  h-  . . . ,     re,-  f  +  j?  -+-  /wi  H-  f*r!  -+-•■■ 

définies  dans  ce  paragraphe  sont  divergentes,  mais  elles  jouissent 
de  la  même  propriété  que  la  série  de  Stirling,  de  telle  sorte  que 
l'on  a  asymptotiquement 

&i  =  ar?H-  y]XXï-\-  [xxf  -+■..., 

fi  =n;t  —yï  -+-  Jpy\  -+.  ixyf  H-  .  .  . . 

De  plus,  si  D  est  un  signe  quelconque  de  différentiation,  c'est-à-dire 
si  l'on  pose 

Df=_         dM^-^kf 

dt^o  dw^1  dw^-  . .  .  dw)* 

on  aura  encore  asymptotiquement 

V)xt  =  Da?°  -+-  y/fj.  Dxj  -+-  jj.  Dxf  -+-..., 

En  ce  qui  concerne  l'étude  des  séries  analogues  à  celles  de  Stirlikg, 


382  CHAPITRE    VII.    —    SOLUTIONS    ASYMPTOTIQUES. 

je  renverrai  au  §  1  d'un  Mémoire  que  j'ai  publié  dans  les  Acta 
mathematica  (t.  VIII,  p.  290). 

Il  est  clair  d'ailleurs  que  les  mêmes  raisonnements  subsisteraient 
quand  on  aurait  plus  de  2  degrés  de  liberté  et,  par  conséquent 
n  —  1  variables  w,,  w2,  .  .  . ,  w„_,  au  lieu  d'une  seule. 


FIN    DU    TOME     PREMIER. 


TABLE  DES  MATIERES 

DU  TOME  PREMIER. 


Pages. 


Introduction 


CHAPITRE  I. 

GÉNÉRALITÉS   ET   MÉTHODE    DE   JACOBI. 

Généralités 7 

Exemples  d'équations  canoniques 9 

Premier  théorème  de  Jacobi ' ° 

Deuxième  théorème  de  Jacobi  ;  changements  de  variables i5 

Changements  de  variables  remarquables io 

Mouvement  képlérien l9 

Cas  particulier  du  Problème  des  trois  Corps 22 

Emploi  des  variables  képlériennes 24 

Cas  général  du  Px-oblème  des  trois  Corps 26 

Problème  général  de  la  Dynamique 32 

Réduction  des  équations  canoniques 3.3 

Réduction  du  Problème  des  trois  Corps 38 

Forme  de  la  fonction  perturbatrice 4° 

Relations  invariantes -P 


CHAPITRE  II. 

INTÉGRATION   PAR   LES    SÉRIES. 

Définitions  et  lemmes  divers 4^ 

Théorème  de  Cauchy 5i 

Extension  du  théorème  de  Cauchy 58 

Applications  au  Problème  des  trois  Corps 61 

Emploi  des  séries  trigonométriques ^3 

Fonctions  implicites 68 

Points  singuliers  algébriques 7° 

Élimination 71 

Théorème  sur  les  maxima 74 

Nouvelles  définitions 77 


384  TABLE    DES    MATIÈRES. 

CHAPITRE  III. 

SOLUTIONS    PÉRIODIQUES. 

Pages. 

Solutions  périodiques 79 

Cas  où  le  temps  n'entre  pas  explicitement  clans  les  équations 89 

Application  au  Problème  des  trois  Corps çp 

Solutions  de  la  première  sorte 97 

Recherches  de  M.  Hill  sur  la  Lune io4 

Application  au  problème  général  de  la  Dynamique 109 

Cas  où  le  hessien  est  nul 117 

Calcul  direct  des  séries 1 20 

Démonstration  directe  de  la  convergence 128 

Examen  d'un  important  cas  d'exception i33 

Solution  de  la  deuxième  sorte i.3g 

Solution  de  la  troisième  sorte 1 44 

Applications  des  solutions  périodiques i5a 

Satellites  de  Jupiter i54 

Solutions  périodiques  dans  le  voisinage  d'une  position  d'équilibre i56 

CHAPITRE  IV. 

EXPOSANTS     CARACTÉRISTIQUES. 

Équations  aux  variations 162 

Application  à  la  théorie  de  la  Lune 164 

Équations  aux  variations  de  la  Dynamique 166 

Application  de  la  théorie  des  substitutions  linéaires 172 

Définition  des  exposants  caractéristiques 17^ 

Équation  qui  définit  ces  exposants 17S 

Cas  où  le  temps  n'entre  pas  explicitement 179 

Nouvel  énoncé  du  théorème  des  n0B  37  et  38 180 

Cas  où  les  équations  admettent  des  intégrales  uniformes 184 

Cas  des  équations  de  la  Dynamique 192 

Changements  de  variables 198 

Développement  des  exposants.  —  Calcul  des  premiers  termes 201 

Application  au  Problème  des  trois  Corps 217 

Calcul  complet  des  exposants  caractéristiques 218 

Solutions  dégénérescentes 228 


CHAPITRE  V. 

NON-EXISTENCE    DES    INTÉGRALES    UNIFORMES. 

Non-existence  des  intégrales  uniformes a33 

Cas  où  les  B  s'annulent 2/|0 

Cas  où  le  hessien  est  nul 245 


TABLE    DES    MATIÈRES.  385 

Pages 

Application  au  Problème  des  trois  Corps 25o 

Problèmes  de  Dynamique  où  il  existe  une  intégrale  uniforme a54 

Intégrales  non  holomorphes-  en  \i 239 

Discussion  des  expressions  (  i4  ) •. 2^x 


CHAPITRE  VI. 

DÉVELOPPEMENT  APPROCHÉ  DE  LA  FONCTION  PERTURBATRICE. 

Énoncé  du  problème .•  •  ■  •  2^9 

Digression  sur  une  propriété  de  la  fonction  perturbatrice 272 

Principes  de  la  méthode  de  M.  Darboux 278 

Extension  aux  fonctions  de  plusieurs  variables 280 

Recherche  des  points  singuliers 285 

Discussion • 293 

Discussion  dans  le  cas  général 3o5 

Application  de  la  méthode  de  M.  Darboux 3 14 

Application  à  l'Astronomie 325 

Application  à  la  démonstration  de  la  non-existence  des  intégrales  uniformes.  .325 

CHAPITRE  VII. 

SOLUTIONS   ASYMPTOTIQUES. 

Solutions  asymptotiques 335 

Convergence  des  séries 338 

Solutions  asymptotiques  des  équations  de  la  Dynamique 344 

Développement  de  ces  solutions  selon  les  puissances  de  y/jl 345 

Divergence  des  séries  du  n°  108 35o 

Démonstration  nouvelle  de  la  proposition  du  n°  108 353 

Transformation  des  équations 362 

Réduction  à  la  forme  canonique < 368 

Forme  des  fonctions  V; 3^0 

Lemme  fondamental 373 

Analogie  des  séries  du  n°  108  avec  celle  de  Stirling 378 


FIN    DE    LA   TABLE   DES    MATIERES    DU   TOME    PREMIER. 


16293         Paris.  -  Imprimerie  GAUTHIERVILLARS  ET  FILS,  quai  des  GranUs-AutfusIins, 

H.  P.  —  I.  25 


LIBRAIRIE  GAUÏHIER-VILLARS  ET  FILS, 

QUAI   DES  GRANDS-ATJGUSTINS.    55,    A   PARTS. 


CASPARI,  Ingénieur  hydrographe  de  la  Marine.  —  Cours  d'Astronomie 
pratique.  Application  à  la  GéograpJiiç  et  à  la  Navigation.  2  beaux 
volumes  grand  in-8.  (Ouvrage  couronné  par  l'Académie  des  Sciences.) 
On  vend  séparément  : 

Fe  Partie  :  Coordonnées  vraies  et  apparentes.  Théorie  des  instruments, 
avec  figures  dans  le  texte;  1888. 9  fr. 

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figures  dans  le  texte  et  un  planisphère  céleste;  1887 7  fr; 

La  Commission,  qui,  d'après  les  ordres  de  M.  le  Ministre  de  la  Marine,  a 
élaboré  ce  Recueil  de  t}rpes  de  Calculs,  s'est  attachée  à  en  rendre  la  lecture 
facile  aux  marins  n'ayant  pas  suivi  les  cours  de  l'Ecole.  Les  types  sont,  en 
-  effet,  précédés  de  toutes  les  explications  théoriques  qu'ils  comportent,  et  l'Ou- 
vrage peut  être  considéré  comme  le  vade-mecum  des  officiers  des  montres. 

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matique ;  188 1. 12  fr.  ôo  c. 

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RESAL  (H.),  Membre  de  l'Institut,  Professeur  à  l'Ecole  Polytechnique -et  à 
l'École -supérieure  des  Mines.  —  Traité  de  Mécanique  céleste.  2e  édition. 
Un  beau  volume  in-4  ;  1 884 25  fr, 

TISSERAND  (F.),  Membre- de  l'Institut  et  du  Bureau  des  Longitudes.  — 
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Tome  I  :  Perturbations  des  planètes  d'après,  la  méthode  des  con- 
stantes arbitraires  ;  1889 .  . ... 25  fr. 

Tome  II  :  Théorie  de  la  figure  des  corps  célestes  et  de  leur  mouve- 
ment de  rotation;  1891 , 28  fr . 

Tome  III  :  Perturbations  des  planètes  d'après  la  méthode  de  Hanscn. 
Théorie  de  la  Lune (  Sous  presse.) 

».  Le  Tome  IL  qui  a  paru  récemment,  traite  de  deux  sujets  principaux  :  la  figure 
des  corps  célestes  et  leur  mouvement  de  rotation.  L'Auteur  a  exposé  complète- 
ment les  travaux  classiques,de  Clairaut  et  de  Laplace,  et  a  fait  une  étude  détaillée 
de  tous  les  travaux  les  plus  récents.  Le  lecteur  sera  ainsi  mis  au  courant  des  der- 
niers progrès  de  la  théorie.  Pour  les  mouvements  de  rotation,  on  a  adopté  la 
méthode  de  la  variation  des  constantes  arbitraires  qui  permet  d'embrasser  dans 
une  même  analyse  les  deux  problèmes  principaux  de  la  Mécanique  céleste  et  d'é- 
tablir entre  eux  des  analogies  intéressantes. 

Le  Tome  III  est  sous  presse,  et  l'année  1892  verra  se  terminer  ce  grand  travail, 
qui,  suivant  l'expression  d'un  illustre  savant,  est  «  un  monument  élevé  à  la 
Mécanique  céleste  ». 

WOLF  (G.),  Membre  de  l'Institut,  Astronome  de  l'Observatoire.  —  Les 
hypothèses  cosmogoniques.  Examen  des  théories  scientifiques  mo- 
dernes sur  l'origine  des  mondes,  suivi  de  la  traduction  de  la  Théorie  du 
Ciel  de  Kant.  In-8  ;  1886 6  fr.  5o  c. 


16293       Pari*.  -  Imprimerie  GAUTHIER-VIU.AUS   ET   KItS,   gttàî  ries  Grands-AuRiistins, 


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