CCTRAEPE ENTER EEE à \brhstattettsdialtiont:s- cit ssufadtivbendes 7 7 + L
p a entr es e pndte pr # pe Rod apé + bel D
dre sr tee. mo cotmmestitiot dattes 4
en ts pe ST LOS TL Cr 7 den D
-. pme érqett et D me “ Sn PE LT ge A Be ee rer notren
et eee DE -p- Den De Gta pe GE EE scope et Shen GE ga + de LR LAS I re de PAROLES ” 2 ” réagi 4 ee à TE RIRE ED Rte, A D nn po
pe, PR nn ms nd an et a Esene _. — #9 à V4 + otslpmenime dalle ve Loch. te. mes et sm PRE NOTES EE bdd qu pape ht
2 ct M hr © gg me PORT EE Re A et EP et ge +
EE mer rater tt rent rt-ants Le mt À 0 de ppt @-ue Ga th dre ap EE ne dde pts 7 Pr ug 4 Ée 2DT E 74-4 27 G Phone ge pets ne en tata rs
6 ne OS w. +. “ + dun GNT EE me hd ot VO A Rte, other et papa Grimel Y niet ni PR ER ne mem me Anal
SR SSL TC PRET ETES == == | |
nr te mie Seront tr ba he LC DA SERRE ER tent eg go Se oh org ar Atpng
mien géante ra récre bete vraie GTR EE he te m7 RE re ou ET EN rte he EL OR à ed D Re er mn rer ere pe ten etrés : sn Ra ne nn
CC
721%)
Bounvv 1959
HARVARD UNIVERSITY
Fe ra
t 1
a
©
LIBRARY
OF THE
MUSEUM OF COMPARATIVE ZOOLOGY
/C7
Lt a 4
WA
+
n
LRPLARY
“e
2 \
DÉPOTS : <
PARIS, BERLIN , Ge
“chez Herwanx, libraire, chez Frixpcinper u. Sohn
rue de la Sorbonne , 6. Karlstrasse, 11.
:
à
PA ICT
Sa
MY
&
rh
Leg
No T4
da
N
DUR |
LE
(
L]
_
Pi
; DES SCIENCES
MÉMOIRES
DE LA
SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES
DE LIÈGE
Nec temere, nec timide.
TROISIÈME SÉRIE
TOME X
DEÉPOTS :
LONDRES, PARIS, BERLIN ,
chez Wirriams et Noneate, chez Herman, libraire, chez Frispcänper u. Sohn,
Henrietta Str., 14. rue de la Sorbonne, 6. Karistrasse, 11.
BRUXELLES
HAYEZ, IMPRIMEUR DE L'ACADÉMIE ROYALE DE BELGIQUE
Rue de Louvain, 112
1914
2.
. Observation sur le problème de la division d’un hémisphère
10.
TABLE
MÉMOIRES CONTENUS DANS LE TOME X.
. Étude optique des cristaux de duleine et de saccharine en
vue de leur recherche dans la bière, par ARTHUR ABRAHAN.
Sur certains groupes de trois cercles coaxiaux, par J. NEUBERG.
en deux parties équivalentes par un plan parallèle à sa base,
par G. CESARO.
. Développements asymptotiques dans les équations différen-
tielles linéaires à paramètre variable (errata et addenda), par
Pauz NoaïLLon.
. Sur les équicentres de deux systèmes de n points, par
J. NEUSERG.
Sur les carrés panmagiques, par EbouARD BARBETTE.
. Carré magique du 16% ordre à symétrie complète, par
EpouArD BARBETTE.
. Sur la compensation des angles d’un quadrilatère, par
M. KRAÏTCHIK.
Les actions pondéromotrices des corps électrisés, par
S. PIENKOWSKI.
Coup d'œil sur les méthodes employées pour déterminer la
rigidité du globe, par HENRY JANKE.
LISTE
DES
MEMBRES DE LA SOCIÉTÉ
QUIN 1914).
PMLUrTE à Ù :
Président, MM. J. Neurerc.
Vice- Président, H. Micueers.
Secrétaire général, Cu LE PAIGE,
Trésorier-Bibliothecaire, J. Famon.
Membres effectifs.
1878 LE Pace, C., administrateur inspecteur de l’université,
membre de l’Académie royale de Belgique.
1879 JorissEN, A., professeur à l’université, membre de l’Aca-
démie royale de Belgique.
1880 Neusere, J., professeur émérite à l’université, membre
de l'Académie royale de Belgique.
1884 Deruyrs, J., professeur à l’université, membre de l'Aca-
démie royale de Belgique.
1884
1885
1887
[890
1897
1898
1900
1902
1906
1909
1912
ETvmn:)
Uracus, P., docteur en sciences, répétiteur émérite à
l'université.
Gravis, AÀ., professeur à l’université, membre de l’Aca-
démie royale de Belgique.
Lonesr, M., professeur à l’université, membre de lAca-
démie royale de Belgique.
De H&gen, P., professeur à l’université, membre de
l’Académie royale de Belgique.
Beaurain, J., docteur en seiences, ingénieur en chef
au corps des mines.
Cesäro, G., professeur à l’université, membre de l’Aca-
démie royale de Belgique.
MicueeLs, H., docteur en sciences, professeur à l’Athénée
royal de Liège.
Hugerr, H., professeur à l’université, ingénieur en chef
au corps des mines.
Lonay, H., docteur en sciences, chargé de cours à l'École
spéciale de commerce annexée à l’université.
$
DEnazu, M., docteur en sciences, chargé de cours
à l'université.
FarRon, J., docteur en sciences, chargé de cours
à l'université.
ABRAHAM, À., docteur en sciences, répétiteur à l’université.
GoB, A., professeur de mathématiques à l'Athénée royal
de Liége.
JANNE, H., docteur en sciences, répétiteur à l’université.
Daumas, D., docteur en ‘sciences, chargé de cours à
l'université.
Membres correspondants.
I. — Sciences physiques et mathématiques.
1867 Barnarp, président de l'École des mines, à New-York.
1871 Masrers, MaxweLz T., membre de la Société royale,
à Londres.
1875 Dargoux, G., membre de l’Institut, à Paris.
1875 Mawsiow, P., professeur émérite à l’université de Gand,
membre de l’Académie royale de Belgique.
DEWALQUE, Fr., professeur à l’université de Louvain.
1876 Bazrour, Th. G. H., membre de la Société royale, à
Londres.
1377 TissanDiER, Gaston, rédacteur du journal la Nature,
à Paris.
1879 CzusEr, professeur, à Prague.
1881 SÉBERT, à Paris.
ANGor, À., directeur du bureau central météorologique de
France, à Paris.
Quincke, professeur à l’université d'Heidelberg.
LAISANT , C.-A., à Paris.
1883 Mirrac-LerrLer, G., professeur à l’université de Stock-
holm.
1885
1885
1887
1888
1898
1902
190%
1905
1909
1912
(x)
Gouès TeixEIRA, F., directeur de l’Académie polytech-
nique de Porto.
Scaur, Fréd., professeur à l’université de Dorpat.
PICQUET, répéuteur à l'École polytechnique, à Paris.
VANËGEK, J. S., professeur, à Jicin (Bohème).
Guccra, professeur à l'université de Palerme.
Paazzow, directeur de l'École technique de Berlin.
OcacxE (Maurice D’), professeur à l'Ecole des ponts et
chaussées, à Paris.
KorTEWEG, D.-J., professeur à l'université d'Amsterdam.
Lampe, Em., directeur du Jahrbuch über die Fortschritte
der Mathematik, professeur à Berlin.
Maraias, Em., professeur à l’université de Toulouse.
BrocarD, H., ancien officier du génie, à Bar-le-Duc.
VersLuys, W.-A., docteur en sciences, professeur à l'École
polytechnique de Delft.
Lerca, Math., professeur à l’université de Brünn.
SCHÔNFLIESS, professeur à l'université de Kœnigsberg.
Meyer, Franz, professeur à l’université de Kænigsberg.
W. KaPrrTeyn, professeur à l’université d'Utrecht.
Trauge, professeur, à Charlottenbourg.
HATON DE La GOUPILLIÈRE, membre de l’Institut, à Paris.
DicksTEIN, S., professeur à Varsovie,
Lesow, E., professeur agrégé de l’université, à Paris.
Mau er, E., docteur ès sciences mathématiques, à Bourg-
la-Reine.
PicarD, E., membre de l'Institut, à Paris
(x)
1912 Pamncevé, P., membre de l'Institut, à Paris.
DE LA VALLée Poussin, Ch., professeur à l’université
de Louvain, membre de l’Académie royale de
Belgique.
Demouuix, À., professeur à l’université de Gand, membre
de l'Académie royale de Belgique.
1914 Servais, CI. professeur à l’université de Gand.
II. — Sciences naturelles.
1854 Drouër, H., naturaliste, à Dijon.
1864 THomson, J., membre de la Société entomologique de
France, à Paris.
1866 RopriGuez, directeur du Musée zoologique de Guaté-
mala.
1867 GosseLer, J., professeur à la faculté des sciences de Lille.
RaDoszkoFFski, président de la Société entomologique
de Saint-Pétersbourg.
1870 Mazaise, C., professeur émérite à l’Institut agronomique
de Gembloux.
1871 CaPELLINI (commandeur G.), professeur de géologie à
l’université de Bologne, recteur de l’université.
1875 DE Carvazno (Pedro Alphonso), docteur en médecine,
directeur de l'Hôpital de la Miséricorde, à Rio
de Janeiro.
Moreno, F. P., paléontologiste, à Buenos-Ayres.
ARESCHOUG, professeur à l'université de Lund.
1874 WaLDEyer, professeur à l’université de Berlin.
1875
1876
1877
1878
1879
1881
1885
1884
1898
1904
( xn )
Ray-LankEsTER, directeur du Britisch Museum (Natural
history).
PackarD, professeur à l’université de Salem.
Bazrour, |. B., professeur de botanique à l’université,
à Oxford.
Mac LacHLan, Rob., membre de la Société entomologique,
à Londres.
HerrwiG, R., professeur à l'université de Munich.
BronGniarT, Charles, à Paris.
WerrerBy, professeur à l’université de Cincinnati.
Bozivar, L, professeur, à Madrid.
RiTSEMA, conservateur au Musée royal d'histoire naturelle,
à Leyde.
TaramELLI (commandeur), professeur à l’université de
Pavie, recteur de l’université.
GESTRO, D' R., conservateur au Musée d'histoire naturelle
de Gênes.
Sazvapori (comte Th.), professeur à l’université de Turin.
Huzz, Edward, directeur du Geological Survey d'Irlande.
TRINCHESE, professeur à l’université de Naples.
BERTRAND, C.-E., professeur de botanique à la Faculté des
sciences de Lille.
BLANCHARD, Raphaël, professeur à la faculté de médecine,
à Paris.
Barrois, C., professeur à l’université de Lille, membre
de l'Institut.
BouLe, Marcellin, professeur au Museum, à Paris.
OEnLerT, D., conservateur du Musée de Laval (Mayenne).
( xt )
1904 Porrtis, A., professeur à l'université de Rome.
von KOENEN, A., professeur à l’université de Gœttingen.
DE LorioL, P., géologue, à Fontenex.
GRAND'Eury, F., ingénieur, à Saint-Etienne, correspon-
dant de l'Institut.
DE ROUVILLE, P., doyen honoraire, à Montpellier.
LISTE
DES
SOCIÊTÉS SAVANTES, REVUES, ET.
AVEC LESQUELLES
LA SOCIÈTÉ DES SCIENCES DE LIÈGE
échange ses publications.
+
BELGIQUE.
Bruxelles. Académie royale des sciences, des lettres et des
beaux-arts de Belgique.
Observatoire royal.
Société entomologique de Belgique.
Société malacologique de Belgique.
Société royale belge de géographie.
Musée royal d'histoire naturelle.
Société royale belge de botanique.
Société belge de microscopie.
Liége. — Société géologique.
Association des élèves des Écoles spéciales.
Mons. Sociélé des sciences, des lettres et des beaux-arts du
Hainaut.
Gand. — Mathesis, directeurs : MM. P. Mansion et J. NEUBERG.
ALLEMAGNE.
Berlin. — ÆXônigliche Akademie der Wissenschaften.
Deutsche geologische Gesellschaft.
Entomologischer Verein.
Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, directeur :
M. Laure (Kurfürstenstr., 159).
Deutsche entomologische Gesellschaft.
( 2vr.)
Bonn. — Vaturhistorischer Verein der preussischen Rheinlande
und Westphalens.
Breslau. — Schlesische Gesellschaft für vaterländische Cultur.
Colmar. — Socièlé d'histoire naturelle.
Erlangen. — Physikalisch-medicinische Societät.
Franefort. — Senckenbergische naturwissenschaftliche Gesell-
schaft.
Vaturforschende Gesellschaft.
Oberhessische Gesellschaft für Natur- und Heilkunde
Fribourg.
Giessen.
Gôrlitz. — Vaturforschende Gesellschaft.
Oberlausitzische Gesellschaft der Wissenschaften.
Gôttingue. — Xünigliche Gesellschaft der Wissenschaften und
Georg-August-Universiutät.
Halle. — Vaturforschende Gesellschuft.
Kaïserliche Leopoldinisch-Carolinische deutsche Akademie
der Naturforscher.
Kiel. — Vaturwissenschaftlicher Verein.
Kônigsherg. Kôünigliche physikalisch-ükonomische Gesell-
scha/t.
Landshut.
Botanischer Verein.
Naturforschende Gesellschaft.
Magdebourg. — Museum für Natlur und Heimatkunde
Metz.
Munich. — Xünigliche bayerische Akudemie der Wissenschaften.
Künigliche Sternwarte.
Leipzig.
Académie des lettres, sciences, arts et agriculture.
Munster. — West/älischer Provincial-Verein für Wissenscha/ften
und Kunst.
Offenbach. — Offenbacher Verein für Naturkunde.
Stuttgart. Verein für vaterländische Naturkunde in Wür-
temberg.
Wiesbaden. — Vassauischer Verein für Naturkunde.
Wurzbourg. — Physikalisch-medicinische Gesellschaft inWürz-
burg.
Zwickau. — Verein für Naturkunde.
( xvn )
AUTRICHE-HONGRIE.
Agram. — Académie Sudo-Sluve des sciences.
Cracovie. — Académie des sciences.
Hermannstadt. — Siebenbürgischer Verein für Naturwissen-
schaften.
Innspruck. — Vaturwissenschaftlich-medicinischer Verein.
Prague. — Xôüniglich bühmische Gesellschaft der Wissenschaften.
Kaiserlich-Künigliche Sternwarte.
Ceske Akademie Cisare Frantiska Josepha.
Vienne. — ÂXaiserliche Akademie der Wissenschaften.
Kaiserlich-Künigliche zoologisch-botanische Gesellschaft.
Kaiserlich-Künigliche geologische Reichsanstalt.
Monatshefte für Mathematik und Physik, rédacteurs :
MM. Escaerica et VWIRTINGER.
DANEMARK.
Copenhague. — 7idskrift for Mathematik : D' Juez et Fouo-
BERG (Romersgade, 9).
Académie royule des sciences.
ESPAGNE.
Madrid. — Real Academia de Ciencias.
FRANCE.
Agen. — Société d'agriculture, sciences et arts.
Béziers. — Société d'étude des sciences naturelles.
Bordeaux. — Académie des sciences, belles-lettres et arts.
Société linnéenne.
Société des sciences physiques et naturelles.
Caen. —— Société linnéenne de Normandie.
Cherbourg. — Société des sciences naturelles.
Dijon. — Académie des sciences.
{ xvin)
Lille. — Société des sciences, de l’agriculture et des arts.
Université.
Lyon. — Académie des sciences, des belles-lettres et des
arts (Palais des Arts),
Société d'agriculture.
Société linnéenne.
Universite.
Faculté des Sciences.
Marseille.
Montpellier. — Académie des sciences et lettres.
Société des sciences (ancienne Société des sciences natu-
relles de Strasbourg).
Wantes. — Société des sciences naturelles de l’Ouest de la France.
Naney.
Paris. — Sociélé philomatique.
Muséum d'histoire naturelle.
Sociélé mathématique de France.
Ecole polytechnique.
L'intermédiaire des mathématiciens, M. LaisaxT (quai des
Augustins, 5). |
oucn. — Société des amis des sciences nalurelles.
Académie des sciences.
Toulouse. Académie des sciences.
Faculté des Sciences.
Troyes. — Société académique de l’Aube.
GRANDE-BRETAGNE ET IRLANDE
Cambridge. — Philosophical Society.
Dublin. — Royal Irish Academy.
Royal Society.
Édimbourg. — Geological Society.
Mathematical Society.
Glasgow. — Vairral history Society.
Philosophical Society.
Geological Society.
Londres.
Linnean Society.
Royal Society.
Manchester. — Litlerary and philosophical Society.
E'MIX: à)
ITALIE.
Bologne. — 4ccademia delle Scienze (classe des sciences physiques
et mathématiques).
Accademia delle Scienze (classe des sciences morales).
‘atane. — Accademia gioenia di Scienze naturali.
Florence. — /nstitul supérieur.
Gênes. — Reule Universila.
Modène. Societa dei naturalisti.
Milan, — fieale istituto lombardo di Scienze e Lettere.
Societa lombarda di Scienze mediche e biologiche.
Naples. — Societa Reale.
Palerme. — Societa di Scienze naturali ed economiche, Regia
Universiti.
Circolo matematico.
Pise. — Societa di scienze naturali.
Nuovo Cimento, rédacteurs : MM. Feuicr, BATELLI et VOLTERRA.
Portici., — Reule scuola superiore die agricultura.
Rome. — Reale Accademia dei Lincei.
Accademia pontificia de” Nuovi Lincei.
R. Comitato geologico d'Italia.
Société italienne pour l'avancement des Sciences.
Turin. — Reale Academia delle Scienze.
LUXEMBOURG.
Luxembourg. — Znstitut royal Grand-Ducal, section des sciences
naturelles et mathématiques.
Société des naturalistes luxembourgeots.
NÉERLANDE.
Aumsterdam. — Xoninklijke Academie van wetenschappen.
Société mathématique.
Delft. — Académie technique.
Harlem, — Société hollandaise des sciences.
Musée Teyler.
Rotterdam. — Bataafsch Genootschap der proefondervindelijke
wijsbegeerte.
( XX }
NORWÈGE.
Bergen. — Museum.
Christiania. Kongelige Frederiks Universitet.
Videnskabs Selskabst.
Gôteborg. — Xongl. Vetenskaps och Vitterhetssamhälle.
Stavanger. — Museum.
K. Norske Videnskabers Selskabs.
Throndhjem.
PORTUG Ai.
Lisbonne. — Académie des sciences.
Porto. — Académie polytechnique, directeur : M. Gomès TeixEtRA
«
RUSSIE.
Helsingfors. — Société des sciences de Finlande.
Kazan. — Société physico-mathématique.
Kharkoff.
Kischinewv. — Société des naturalistes de Bessarubie.
Sociélé mathématique.
Juriew. — Universile.
Moscou. — Société impériale des naturalistes.
Saint-Pétershourg. — Académie impériale des sciences.
Archives des sciences biologiques.
Société d'archéologie et de numismatique.
Société entomologique.
Varsovie, — Wiadomosci matematyczne.
SUÈDE.
Stockholm. — Académie royale des Sciences.
Entomologiska [üreningen, 94, Drottninggatan.
Acta mathematica, rédacteur : M. MiTraG-LerFLer.
Upsal. — Société royale des Sciences.
{ XXI )
SUISSE.
Berne. — Vatur/crschende Gesellschaft.
Société helvétique des sciences naturelles.
Genève. — L'enseignement mathématique, directeurs : MM. Feur
et LAISANT.
Neuchâtel. — Société des sciences naturelles.
Zurich. — Vaturforschende Gesellschaft.
AMÉRIQUE.
ÉTATS-UNIS.
Arbor (Mich). — University of Michigan (Library)
Austin.
Texas Academy of sciences.
Baltimore. — American Journal of mathematics. Johns Hopkins
University.)
Berkeley (Col.) — University of California (Press).
Boston. — American Academy of arts and sciences.
Society of natural History.
Cambridge (Mass). — Museum of comparative Zoology.
Chicago. — Field Museum of natural history.
Cincinnati (0.) — American association for the advancement
of sciences.
Cold Spring Harbor (N.Y.). — Carnegie Institution (station
{or experimentale evolution ; directeur : M C. B. Davenport).
Colorado. — Colorado College (bureau des publications),
Des Moines (lowa). — Geological Survey.
Lawrence (Kan).
Lincoln (Neb.). — University of Nebraska.
Madison. — Wisconsin Academy of sciences, letters and arts.
Geological Survey.
The Kansas University.
New-Haven. — Connecticut Academy of arts and sciences.
( XXI )
New-York. — Academy of sciences.
Museum of natural history.
American Mathematical Society.
Philadelphie. — Academy of natural sciences.
American philosophical Society.
Wagner free Institute of sciences.
Portland. — Vatural History Society.
Rochester. — Academy of sciences.
Saint-Louis (Mo). — Botanical Garden.
Salem. — Essex Institute.
San-Franeisco. — Cali/ornian Academy of sciences.
Urbana (11l.). — University of Illinois library.
Washington. — Smithsonian Institution.
Bureau of ethnology.
CANADA.
Halifax. — Vova Scotian Institute of natural Science.
Ottawa. — Geological Survey of Canada.
Toronto. — Canadian Institute.
CHILI.
Santiago. — Société scientifique du Chili.
MEXIQUE.
Merida. — Observatoire.
Mexico. — Société Antonio Alzate. |,
Observatoire météorologique central.
Tacubaya. Observatoire national.
RÉPUBLIQUE ARGENTINE.
Buenos-Ayres. — Universidad.
CXXUIT
URUGUAY.
Montevideo. — Museo «le historia natural.
ASIE.
. INDES ANGLAISES.
Calcutta. — Asiatic Society of Bengal.
INDES HOLLANDAISES.
Batavia. — Æoninklijke naluurkundige vereeniging in Neder-
landsch Indië.
Koninklijke magnétisch en météorologisch Observatorium.
SIBÉRIE.
Irkutsk. Ostsibirische Abtheilung der K. Russischen geogru-
phischen Gesellschaft.
AUSTRALIE.
Adelaïde. — Royal Society of South Australia.
Hobart-Town, — Tusmania society of natural sciences,
Melbourne. — Observatoire.
Sydney. — Australian Association [or adrancement of science
Linnean Society.
Royal Society of New South Wales.
ÉTUDE OPTIQUE
RISAUX DE DULINE ET DE SACUARI\E
DE LEUR RECHERCHE DANS LA BIÈRE
Arthur ABRAHAM
ÉPÉTITEUR A L'UNIVERSITÉ DE LIÉ
ÉTUDE OPTIQUE
DES
CRISTAUX DE DULCINE ET DE MACCIIARINI
EN VUE
DE LEUR RECHERCHE DANS LA BIÈRE
|. — Dulcine.
La duleine se présente en petits cristaux blancs lamellaires
qui, examinés au microscope, se montrent sous deux aspects
différents : en petites lamelles rectangulaires ou en aiguilles
assez allongées et aplaties.
PREMIER TYPE. — Sous la forme de minces lamelles rectan-
gulaires, ces cristaux peuvent atteindre 3 à 4 centièmes de
millimètre de large sur 6 à 8 de long; ils montrent, en lumière
parallèle et nicols croisés, une teinte de polarisation basse,
qui, dans la plupart des cas, par superposition du mica quart
d'onde, monte au jaune de premier ordre ou descend à la
compensation.
Les axes de l’ellipse de section sont dirigés suivant les côtés
du rectangle et la superposition du mica quart d'onde indique
que l'allongement est positif.
(4)
En lumière convergente, on voit les deux branches hyper-
boliques (sans lemniscates) caractéristiques des biaxes, branches
qui montrent le plan des axes optiques perpendiculaire à la
direction d’allongement.
BIRÉFRINGENCE. — 1" lamelle : R — 16,5; e — 2,1, X — 8,3
2e ]amelle : R = 18,6; e — 2,2, X —8
3° lamelle : R — 15,6; e — 2,1, X — 7,4
En raison des difficultés que l’on éprouve à déterminer
avec exactitude des épaisseurs aussi faibles par la double mise
au point, on peut évaluer la biréfringence de ces lamelles très
approximativement à 8.
De ces différentes considérations, on peut donner à ces
lamelles l’orientation optique représentée par la figure 1 ci-
contre et les définir comme suit :
Lamelles rectangulaires blanches, optiquement orthorhombiques,
teinte de polarisation basse, allongement positif, plan des axes
optiques perpendiculaire à la direction d'allongement, biréfrin-
gence 8.
(9)
SECOND TyrE. — Cette seconde espèce de cristaux de dulcine
se présente en aiguilles aplaties, formées par la superposition
de minces lamelles soudées par leur plan d’aplatissement. Les
extrémités en sont toujours brisées, ce qui ne permel pas
d’assigner une dimension précise à la longueur des aiguilles.
La largeur ne dépasse que rarement 10 à 12 centièmes de
millimètre.
Vues sur la tranche, ces aiguilles sont striées longitudinale-
ment; ces stries sont les traces des plans de jonction des
_ lamelles. Dans cette position, aucune détermination optique
n’est possible.
Vues à plat, les aiguilles sont striées transversalement; ces
stries, différentes des précédentes, sont les traces suivant
lesquelles plusieurs plages d’une même lame se soudent.
Examinées en lumière parallèle et entre nicols croisés, on
remarque dans ces lamelles une teinte de polarisation sensi-
blement supérieure à celle du type 4. Ce fait provient, comme
nous le verrons tantôt, de ce que les lamelles sont plus épaisses.
Cette teinte de polarisation n’est pas uniforme dans une
même aiguille; de plus, les différentes plages d’une même
aiguille sont différemment orientées, car elles ne s’éteignent
pas toutes en même temps entre nicols croisés. Ce sont les
limites de ces différentes plages qui constituent les stries
transversales signalées ci-dessus.
En rapportant à la direction d’allongement des aiguilles
l’angle sous lequel l'extinction des différentes plages se produit,
on trouve que cet angle est de 30° dans un sens pour certaines
plages, et 50° dans le sens opposé pour les autres.
Cette disposition constitue un groupement maclé dont la
figure 2 donne une idée. Ainsi les plages numérotées 3 et 5
s’éteignent alternativement sous un angle de 30° avec la direc-
ion d’allongement de l'aiguille. On remarque aussi que
certaines plages, telles que 4, ne s’éteignent jamais entre
nicols croisés. Ce fait est dû au chevauchement des deux plages
3 et 5 l’une sur l’autre dans toute l'étendue de la plage 4. Ce
fait, qui dans ce cas n’intéresse que la plage 4, c’est-à-dire une
*
( 6)
partie de l'aiguille, se présente parfois sur toute l'étendue
d'une même aiguille.
Par superposition du mica quart d'onde, on trouve que l’axe
qui est à 50° de la direction d'allongement est négatif.
En lumière convergente, on n’aperçoit, dans la plupart des
cas, que deux branches hyperboliques, qui placent le plan des
axes optiques suivant la direction négative des plages. Le plan
des lamelles est donc, comme dans le type 1, perpendiculaire
: Ur
à la bissectrice - .
c
Parmi les nombreuses aiguilles que j'ai examinées, je n’en
ai rencontré que quelques-unes d’épaisseur et de surface suffi-
santes qui montraient très nettement la figure complète des
biaxes : lemniscates et branches hyperboliques. J'en ai profité
pour répéter la détermination optique que J'ai trouvée absolu-
ment conforme à ce qui précède. J'ai, de plus, déterminé très
nettement au moyen du biseau de quartz le signe positif du
cristal.
BIRÉFRINGENCE. — {re lamelle : R — 58,82; e— 7, X—8,3
2me]amelle : R — 47,15; e — 5,8, X — 8,1
4% lamelle : R — 39,4; e — 4,6, X —8,5
Le second type des cristaux de duleine représenté par la
figure 2 peut se définir comme suit :
Aiguilles aplaties, striées transversalement, blanches, & teinte
de polarisation légèrement supérieure à celle du type 1, formées
AU
de plages maclées s’éteignant à 50° de la direction d'allongement.
C’est suivant cette direction d'extinction que se trouve le petit axe
de l'ellipse de section et le plan des axes optiques. Cristaux positifs,
biréfringence 8.
INTERPRÉTATION DES DEUX TYPES DE CRISTAUX DE DULCINE. —
Les deux types de cristaux que nous venons d'examiner et qui
paraissent si dissemblables ne sont en réalité qu’un même
cristal : simple dans le premier cas, il est maclé dans le second.
Ils ont même biréfrmgence et même surface d’aplatissement
perpendiculaire à —.
C
Dans le second cas, les plages à extinction oblique se
LL
4 '
DOTE
MAT
|
(l
l
l
1
|
Ûl
i
Û
|
i
l
Ù
l
1
[l
2 )
maclent suivant la loi de Malard. En effet, supposons une telle
macle constituée de six éléments (fig. 3). Les axes de l’ellipse
eæ Ld l 4 o LA 1
de section sont représentés dans chaque élément par— et Tel
a
dirigés suivant les diagonales du losange de la face p d’un
prisme orthorhombique de 120°.
En supposant qu’une lamelle vienne à se développer dans
(8)
un tel système, parallèlement aux faces m et de telle sorte
qu'elle se limite à la partie représentée par le pointillé de la
figure 5, c'est-à-dire aux éléments 3 et 4, nous aurons réalisé
la macle telle quelle se présente dans le second type de duleine.
II. — Saccharine.
La saccharine affecte la forme de petits cristaux blancs,
trapus, le plus souvent à contours irréguliers; 1ls mesurent
environ deux dixièmes de millimètre de côté et montrent
parfois une tendance à s’allonger suivant une direction qui
n'est pas toujours la même; cet allongement n’est d’ailleurs
jamais très accentué : il atteint parfois le double de la largeur.
Ce qu'il y a de commun à tous ces cristaux, C’est qu'ils
présentent une face d’aplatissement assez marquée qui est
toujours la même. C’est au travers de cette face seule qu'ont
été faites les recherches optiques que nous allons exposer.
En lumière parallèle et nicols croisés, la teinte de polarisa-
ion est presque nulle.
En lumière convergente, on aperçoit excentriquement une
branche hyperbolique avec cercles concentriques : un seul axe
optique d’un cristal biaxe perce donc excentriquement le
champ du microscope. Il en résulte donc que la face d’aplatis-
sement est presque perpendiculaire à un axe optique et que sa
teinte basse de polarisation indiquée ci-dessus est due à ce que
la section est presque circulaire.
Quoique la plupart des cristaux se présentent, comme il
vient d’être dit, avec des contours assez irréguliers, on en
trouve cependant qui sont bien formés et qui permettent une
détermination plus complète.
Un premier type, représenté par da figure 1, permet de
mesurer au microscope les angles de 120° et de 150° tels qu'ils
sont renseignés sur la figure.
Il pourrait caractériser la forme orthorhombique pmhtg1 par
(9)
suite de la valeur des angles indiqués ci-dessus et parce que
les extinctions en lumière parallèle se font suivant les diago-
nales du losange mm.
Seulement la figure d’interférence que donne la lumière
convergente étant excentrique, la face p n’est pas perpendicu-
laire à un axe d’élasticité. On est donc forcé de ranger Île
cristal dans le système clinorhombique : lorsqu’en tournant la
platine du microscope, on amène en lumière convergente la
branche hyperbolique en coïncidence avec la section prinei-
pale du polariseur, l'axe optique perçant vers le spectateur, on
remarque que la face d’aplatissement p est perpendiculaire au
plan des axes optiques qui est g!.
Nous adopterons cette notation et cette orientation optique,
car elle permet de préciser l'orientation d’autres eristaux qui
paraissent très différents de celui que nous venons de voir et
qui ne s’en distinguent que par une autre direction l’allon-
gement.
Ainsi le cristal représenté figure 2 présente un allonge-
(10 )
ment latéral avec un développement irrégulier de certaines
faces. |
F2
Le cristal figure 3 présente un allongement latéral avec un
égal développement des faces de même espèce.
_. #
dy «
d L /
1 150”
Æ du
A “ 120°
Lo. J.-
Quant au cristal figure 4, il ne montre aucune tendance à
l’allongement.
Le moyen pratique d'orienter ces cristaux est donc de placer
(11)
le plan des axes optiques suivant la section principale du
polariseur, ce que l’on obtient en faisant coincider en lumière
convergente la branche hyperbolique avec cette section, la
figure excentrique se trouvant vers le spectateur. |
C’est cette disposition que nous avons adoptée dans les
différents exemples figurés.
*x
*xk *
RECHERCHE DE LA DULCINE ET DE LA SACCHARINE DANS LA BIÈRE.
— Le procédé d'extraction employé actuellement donne en fin
de compte un résidu éthéré dans lequel on identifie la saccha-
rine et la duleine par coloration. |
Malheureusement cette coloration ne se manifeste pas
toujours, surtout pour la duleine, avec la netteté désirable.
L'emploi des propriétés optiques qui viennent d'être
décrites obvie à cet inconvénient et permet d'identifier avec
certitude la duleine et la saccharine.
Pour arriver à un bon résultat, il est toutefois indispensable
d'obtenir un résidu éthéré bien cristallisé ; dans ce but, la solu-
tion éthérée devra être évaporée très lentement de façon que
(12)
la cristallisation se fasse dans de bonnes conditions. Une
évaporalion trop rapide donne un résidu granuleux où l’on
n’aperçoit pas de cristaux.
L'identification eristallographique a donné de très bons
résultats en opérant sur des échantillons obtenus par lappli-
cation des méthodes d'extraction actuellement employées dans
les laboratoires. I] reste toutefois à établir d’une façon défini-
tive, au point de vue pratique, les conditions les plus favorables
dans lesquelles le résidu doit être obtenu. Il en est de même
pour la dulcine.
Les résultats de ces recherches pratiques feront l'objet d’une
prochaine communication.
SUR
CERTAINS GROUPES
TROIS CERCLES COAXIAUX
J. NEUBERG
E à; FE "Si ‘2 A 4 —
CT CAE
. …
SUR
CERTAINS GROUPES
DE
TROIS CERCLES COAXIAUX (‘)
1. Je me propose de traiter le problème suivant :
Étant donnés, dans un même plan, deux triangles A1AoA;=T,
el P,P,P; = T,, on décrit les trois cercles U,, Us, U; qui passent
respectivement par un sommet P,, Po, Ps de T, et ont pour centre
le point de rencontre S;,So,S> du côté correspondant de T, avec
une transversale s. Quand ces trois cercles ont-ils deux points
communs N, N' ou sont-ils coaxiaux?
Soient : M,, Mo, M; les milieux des côtés de T,,; H,, H, H;
les pieds des hauteurs de T,; L,, Lo, L; les projections de
l'orthocentre H sur les côtés du triangle H,H,H;; enfin,
B;, Bo, B; les sommets du triangle qui a pour côtés les paral-
lèles aux côtés de T, menées par les sommets opposés.
Plusieurs cas particuliers du problème énoncé ci-dessus sont
déjà connus.
a. Le cas de P,P,P; = B,B,B; se ramène à une proposi-
tion classique. En effet, les points de rencontre B;, B;, B, des
droites B,S1, BoSo, B;S; avec BoB;, B;:B1, B1Ba étant colli-
(*) Les Anglais appellent cercles coaxiaux (de même axe radical) des
cercles appartenant à un même faisceau.
(4)
néaires, les cercles U,, Us, U; ont pour diamètres les diago-
nales B,B;, B2B9, B,B; d'un quadrilatère complet; on sait
que ces cercles sont coaxiaux.
b. J'ai traité le cas de P,P,P; = A,A9A; dans mon
Mémoire sur le tétraèdre (*) et dans deux articles sur la parabole
de Kiepert qui ont paru dans les Annales de la Société scienti-
fique de Bruxelles, 1. XXXIV, et dans les Mitteilungen der natur-
forschenden Gesellschaft in Bern (1910); ce dernier recueil (1908;
renferme aussi un article de M. Schenker (**} sur la même
question.
c. Le cas de P,P$P; = MMM; m'a été communiqué der-
nièrement par M. Degel, professeur à Bayreuth.
d, M. Schenker a proposé, dans l’Archiv für Math. und Phys.,
3° série, t. XV, p. 260, le cas de P,P.P;=—L,Lol;, dont
une solution analytique par M. Degel paraîtra prochainement,
Dans les cas a et d, la transversale s peut être quelconque;
dans les cas b et d, elle doit toucher la parabole de Kiepert du
triangle T,.
Une correspondance avec MM. Degel et Schenker m’a amené
à étudier le problème général.
2. Cette question se ramène à celle-ci : Chercher les points N
tels que les médiatrices (**) des droites P,N, PSN, P;N
rencontrent respectivement les droites A9A;, A;A;, AyAo en
trois points collinéaires Si, So, S5.
Pour abréger, posons
AN, AN—=p, AN—Pp:,
Abe nas dela = on Asus Ts
AP, = rer oi = Toy Pete
(*) Mémoires de l'Académie royale de Belgique. 1884, pp. 61-72.
(**) Cet article, avec de nouveaux développements, fait partie de la
dissertation inaugurale Das Dreieck und die Kiepert'sche Parabel, présentée
part M. Schenker, en 1911, à Berne et imprimée en 1912.
#*) La médiatrice d'un segment de droite est la perpendiculaire élevée
au milieu de ce segment.
(5)
Les quantités p4, po, o; sont les coordonnées tripolaires du
point N, T, étant le triangle de référence; elles joueront sou-
vent le rôle de coordonnées courantes.
Soient (x, Y1), (To, Yo), (ts, y), (x, y) les coordonnées car-
tésiennes des points A4, A», A;, N par rapport à deux diamètres
rectangulaires du cercle A,AA; de centre O et de rayon R.
Le passage aux coordonnées cartésiennes se fait par les for-
mules
pi (œ— a + (y — vi}
— (a? + y? — R?) — 222, + yy: — À).
Posons encore
+p—R=U, 2x +yy —R=t;;
les équations U — 0, f; — O représentent respectivement le
cercle A4A,AÀ,; et sa tangente en A;. D'après cela
(1) =U—2, p—U—28, p—=U—28.
3. Soit maintenant
SX + S2Xo + S3X3 = 0
(6)
l'équation de la droite s en coordonnées barycentriques
(X4, Xo, X;) par rapport au triangle T,, de sorte que
—— , = —— y
S3 A3 SoAy S9 S3A2
Projetons les points A9, A;, S, en C, D, E sur la droite P,N;
alors
Se à
Sa Ft ED
le
E étant le milieu du côté P,N des deux triangles A9P,N
et A;P,N, un théorème connu donne
2
AP, — AN —92P,N.EC, AP, — AN — 2P,N.ED.
On déduit de là le rapport EC : ED ; par suite
2 2 2 2 2 2
(2) S2 Po — Tu S3 Tete a Pa — Ts
2 — —= Ce — + — = —— , — = ————.
1 2 2 2 2 2 2
S3 BTE , 053 Pi — Ta S& Pre — T3
Si l’on considère les s comme fixes et les o comme variables,
les équations (2) ont lieu pour un point quelconque de U,, U,
ou U;; ce sont donc les équations de ces cercles.
Introduisons encore les notations
à AE DA 2 Rs na
(3) D Ne — ee 03 — Ty — Ke etc.
Les équations K;, — 0, K;;, — O représentent les cercles
décrits des points A3, A; comme centres et passant par P4.
L'axe radical des cercles K.:, K; (*) a pour équation
(*) Suivant un usage reçu, le même symbole désigne à la fois une ligne
et le premier membre de son équation.
0?)
On à identiquement
di + 4 + 43 = 0,
et par suite les axes radicaux des couples de cercles K K,
K:,K,3, KyKoy Concourent en un même point, si
(4) 1% + 15 + a = Th + 1% + Th
Soient P;, P;, P; les projections des points P;,, P,, P; sur les
droites Ao4;, A5A,, AA; l'égalité (4) se transforme en celle-ci
Done STD Fe DT STE «V7 em ui TL
AP; 14 AP: Qu A; HU AP; He AP: ni A,P;,
qui exprime que les droites P,P;, P,P;, P,P; sont concou-
rantes. Par suite, l'égalité (4) à lieu, si les triangles A,AoA;,
P,P,P; sont orthologiques (*).
Avec les notations (3), les équations (2) des cercles U,, Uo, U;
peuvent s’écrire
Kx K RARE, ÉLrR
0 = — —0, U,——< °—-0
S2 S3 S3 Sy S4 S9
ou encore
2 S3 So S3
2 2 2 2
Ts F5
3 nl 32 42
(6) U IS RELON — — — | — 0,
(*) On a done ce théorème peut-être nouveau : Sotent AiAoA;, PiPeP;
deux triangles tels que les trois perpendiculaires abaissées des sommets de
l'un sur les côtés correspondants de l’autre soient concourantes. Les axes
radicaux des couples de cercles (A4, A1Po) et (A9, A9P4). (A9. A9P3) et (Az, A5Po),
(A5, AsP4) et (A, A4P3) sont concourants. La notation cercle 0, R: désigne le
cercle de centre 0 et de rayon R.
(8)
Pour que ces cercles soient coaxiaux, il faut et il suffit qu'il
existe une relation linéaire entre les premiers membres de
leurs équations. Or, on voit immédiatement que
(7) NN AN VAE
>Jourvu que l’on ait
| q
Ve —T ris T2 Tu T4 —
(8) UE La PA
Si No S3
Par conséquent, si l'égalité (8) est véritiée, les cercles
U;, Us, U; appartiennent à un même faisceau. L’équation du
lieu de leurs points communs N, N'se déduit facilement des
équations (5); on trouve
(9) LEE ce Kay
ou
(10) (eè — 14) (pi — 1%) (Co — 143) — (p3 —— 14) (pi — 1%) (p3 — 733).
L’axe radical des cercles U,, Uo, Ü;, que nous désignerons
par u, à pour équation
U U U
(11) sie
car, après substitution des valeurs (1) de 2, ps, ps, les termes
en U disparaissent. En se rapportant aux égalités (5), on trouve
aussi pour u
(12) SK — Ky) + SK — Kys) + S3( Kyo — K:) — 0
ou
(13) Sa + See + 853 = 0.
Nous examinerons successivement différentes hypothèses.
(9)
4. L'égalité (8) a lieu pour toutes les transversales s du
triangle T,, Si |
(14) = tionlle = lus lu = Ts)
l'égalité (9) devient alors une identité. Par conséquent :
Si les sommets du triangle T, sont situés sur les médiatrices
des côtes correspondants du triangle T,, une transversale quel-
conque rencontre les côtés de T, en trois points tels que les cercles
décrits de ces points comme centres et passant respectivement par
P,, Po, P; sont coaxiaux. En d’autres termes, tout point N du
plan A,AQA; jouit de la propriélé que les médiatrices des droites
P,N, PoN, P;N rencontrent respectivement AoA;, A5A, A1Ao
en trois points collinéaires. |
L'égalité (4) étant vérifiée, l’axeradical u des cercles U,, Us, Us,
représenté par l'équation (15) passe constamment par l'intersection
des axes radicaux 41, qe, q3 des couples Ka,K3, KaWis, KyoN one
Le cas de P,P9P; = LiLoL;, indiqué par M. Schenker,
présente celte particularité que les triangles T,, T, sont homo-
thétiques.
5. Si une seule des égalités (14) à lieu, par exemple r,, — r,
on déduit de (8) et (10) les deux solutions
(15) 4 —=0, p—rk — 0;
(16) { So 3 — 1%) + 8375 — 7à) = 0,
| (ei rs) (ei — 1%) = (e3 — 1%) (p5 — 1%).
La solution (15) donne pour s toutes les droites passant
par A,; alors So = S; = A,, et les cercles U, U; se confon-
dent en un seul de centre A, et passant par les deux points
Po, P;. Ce cercle est le lieu des points correspondants N, N’.
L'axe radical w, qui a pour équation 599 + 5:45 — 0, passe
constamment par le point gog3, qui appartient aussi à la droite
P,P;, puisque q + gs —=ps - p> — (ru — ra).
La solution (16) donne pour s toutes les droites passant par
(10)
le point S; de A9A; qui à pour coordonnées barycentriques
0, Tu— TR Ta —7a.
La seconde des équations (16) est vérifiée par
(17) Pe = Ty Ps —= Ty,
(18) Per Ts hs Te
Les égalités (17) donnent N — P,. Pour obtenir la position
correspondante de s, menons la médiatrice de la droite P,P,
qui coupe AA; en $,, et la médiatrice de la droite P,P; qui
coupe AA en S,; la droite SS; rencontre A9A; au point S;,
et il est facile de voir qu’elle correspond à trois cercles
coaxiaux U,, Uo, Us.
Aux égalités (18) correspondent les points d’intersection
Z, L' des cercles K3, Ks; la médiatrice de la droite ZP, passe
par S;; la transversale s est maintenant A9A; (*). La seconde
des équations (16) se réduit à
pa( ù — 1%) + 02 — Va) = 1 — AT;
le lieu des points N, N’ est donc la circonférence de centre S; et
passant par P,. L’axe radical des cercles Uy, Us, U; passe
encore par un point fixe de la droite qg,, c’est ce qu'on voit en
éliminant s; entre l’équation (13) et la première des équa-
tions (16). Les deux points fixes par lesquels passe l’axe radical
dans les deux solutions (15) et (46) sont évidemment sur une
perpendiculaire à la droite A;S;; ils coincident lorsque les
triangles T,, T, sont orthologiques.
6. Supposons maintenant
Vp = Ty Ta = Ty Tu + lo
(*) Cette interprétation des systèmes d'équations (17) et (18) et de leurs
analogues s’appliquera également aux hypothèses des paragraphes qui vont
suivre.
( 11)
L'équation (8) rendue entière est vérifiée par s1 — O et par
so — 0; donc les transversales cherchées s sont les droites
menées par A, et celles qui passent par A. Le lieu des points
N, N'se compose des cercles ayant respectivement pour centres
les points À,, À, et passant l’un par P,etP;, l’autre par P;et P,.
Les axes radicaux passent par le point commun aux trois
droites go, 43, P,P: ou aux trois droites gs, q1, PoP2.
BAS rTon à
Vie Æ Tags Tu Elo la Æ l'y)
l'équation (8) représente une conique Ÿ inscrite au triangle T, ;
cette courbe est l'enveloppe des droites s auxquelles correspon-
dent trois cercles coaxiaux. Pour abréger, nous appellerons W
le lieu des points N, N’.
On a pour 2 une parabole lorsque les triangles T,, T, sont
orthologiques. En effet, si l’on prend pour s la droite de l’in-
fini, les cercles U,, Us, U; sont remplacés par les droites
(indéfinies) P,P;, P,P:, P:P;; donc ces droites doivent con-
courir en un même point P; ce point fait partie de W. D’ail-
leurs, pour que les coordonnées (1, 1, 4) de la droite de linfini
vérifient l’équation (8), on doit avoir la relation (4) dont la
signification a déjà été indiquée.
Supposons P,P9P; = A1A9A;; alors si 4, &, a; désignent
les longueurs des côtés de T,, on a
Ty = Ta = ds Ta —=Tg =, Ty — Vis —
et les équations (8) et (10) deviennent
Œ— GG G—Ë —
19) a À
“4 S2 S3
(20) (pè— a5) (ps — ai) (pi — 5) = (pi — a) (pi — 45) (p2 — di),
elles représentent respectivement la parabole de Kiepert et une
cubique circulaire. Pour les propriétés de cette cubique, voir
les Mémoires cités au $ 1, b.
(142)
8. Examinons le cas de P4P9P; = MMM; ; alors
1 1 1
PT = OR Re 9 dry Tu —1æ— 9 3°
On trouve pour È la parabole de Kiepert, proposition qui
m'a été signalée par M. Degel. La courbe W a pour équation
(21) Ko K 31 40 ee Ka KW,
ou encore
(eee
L'équation (21) exprime que le produit des puissances d'un
point de W par rapportaux trois cercles décrits des points A1, A9, A;
comme centres el passant respectivement par les points Mo, M>;, M,
est égal au produit de ses puissances par rapport aux trois cercles
décrits des mêmes centres et passant respectivement par M;, M,, M.
L'équation (22) donne immédiatement quelques points de W
et conduit à des propositions très curieuses. Elle admet les
solutions
1 1
(23) PR gr Ps QU
7... 1 1
(24) pp =gu PS
(25) MR
et d’autres analogues. La solution (23) donne les points d’in-
tersection Z, Z' des cercles décrits des points A, A; comme
centres et passant respectivement par M;, M, ; elle correspond
à la position AA; de s. Le centre du lé passant par les
points Z, Z',M, est le point de contact de E avec A9A;. La solu-
(13)
tion (24) indique le point M, ; pour obtenir la position corres-
pondante de s, cherchons les points de rencontre de AoA;,
A;A1, A1 respectivement avec les médiatrices des segments
A4M4, AoM;, A:M,; ces points sont situés sur une tangente à
la parabole de Kiepert. Enfin, la solution (25) montre que le
centre O du cercle A,A,A; est situé sur W; elle correspond à
la tangente à l'infini de la parabole de Kiepert.
L'équation (22) admet l'interprétation suivante : Si l’on porte
sur une droite, à partir d'une méme origine, six abscisses propor-
tionnelles aux quantités
2 Î 2 2 Î 2 2 q
PA» 4 Qi, Pas ñ Q@, P3; ;
leurs extrémités sont trois couples d'une méme involution.
Cette interprétation suggère d’autres formes de la rela-
tion (22), notamment la suivante :
1
1 Phyzé ap
(26) 1 G+-e ap] 0,
; (A
1 Ge mr (EE
de laquelle on pourrait également déduire les points déjà
connus de W et qui en suggère d’autres.
L'équation (26) admet la solution ai94 — Gopo — 4593 qui
correspond aux points d’intersection des trois cercles d’Apol-
lonius de T,, c’est-à-dire aux centres isodynamiques.
La solution
44 FOURS ESS 2
M mx PT PT A
indique le centre du cercle qui coupe aux extrémités de trois
diamètres les trois cercles décrits des points A1, A9, A; comme
1 1 1 a
centres avec les r'aYONS à Gi, 5 do ÿ U5- Ce point, que nous dési-
(14)
gnons par €, est à l'intersection des trois droites représentées
par
| ! 1
2 2 2 2 2 2 2 -
Fe Pan MAT HR
ces droites sont les axes radicaux des couples KK, Kg] Kg,
K;,kK. Pour les déterminer, mettons la première équation
sous la forme
9 1 9 9
PE — p5 — 16 — Q3)
et observons qu’elle donne successivement, V désignant Ja
projection de e sur AoA3,
Em — AN = ? (AH — AH)
1 1
24,45. MV — 2e AA. ME, MN = © MB
Par suite, la droite Ve divisant la droite OH dans le rapport 1 :3
passe au milieu de la distance entre l’orthocentre O du triangle
MMM; et le centre du cercle M,MM;. Il en résulte que e est
le centre du cercle des neuf points du triangle M,M,M;.
Si, dans l’équation (26), on remplace pi, p5, p3 par les
valeurs (1), on la ramène facilement à la forme
1
Au U—2118 a | +2] 1 af af | —0,
les déterminants étant dénotés par leur première ligne.
La courbe W est donc une cubique cireulaire.
Dans le cas actuel, on a
1
U= Kg — Ky — BE ne (a5 — di), …;
(15 )
par conséquent, l'équation (13) de l’axe radical des cercles
U,, LU, U; devient
4 1
LS — 53) (a + n ARE 0:
D'où l’on conelut que cet axe passe constamment par le
point e.
9. Plus généralement, la courbe X est une parabole, lorsque
les points P,, P,, P; sont situés respectivement sur les média-
trices M,0, M0, M;0 des côtés du triangle A,A9A; (*); car la
droite de l'infini considérée comme une position de s donne
pour les cercles U,, Uo, U; ces trois médiatrices et pour N le
point O. D'ailleurs, comme on a
PR ll ES Ty Ty —%,
œ, %, a; étant trois longueurs qu’on peut prendre arbitraire-
ment, l'équation (2) se change en
A — 0 d—a — 0
— — —— ———— ,
Si S2 S3
et représente une parabole touchant les trois côtés de T, et la
droite
Ai. À, .,.X:
a a a
Le lieu des points N, N’ a pour équation
(pi — a)(p5 — af) (p5 — af) — (pi — adf)(pË — a) (05 — À),
(*) Si l’on renverse les rôles des ArA2A;, P1P4P;, on retombe sur le cas
considéré au $ 3.
(16)
ou encore
[1 pra ap
EEE ARE
L'p+o aps
La courbe W passe par le point O et par le point défini par
les égalités
ce dernier point est le centre 7 du cercle qui coupe aux extré-
mités de trois diamètres les trois cercles décrits des points
A,, Ao, A; avec les rayons &,, 4, «3. Ce centre est à l'intersec-
tion des axes radicaux des couples KaK3, Ka1Ky3, KyoKoy COM-
prenant deux des cercles U,, Us, U; qui correspondent à la
transversale s confondue avec un côté du triangle T,. L’axe
radical d’un triple quelconque U,UQU; passe par ”.
10. Pour terminer ces développements, considérons deux
triangles quelconques T, et T,. Les transversales s auxquelles
correspondent trois cereles coaxiaux U,, Us, U; enveloppent
une conique centrée Ÿ, représentée par l’équation (8) que, pour
abréger, nous écrirons ainsi
(27) +R LE 0.
S4 S2
S3
Les points N, N' ont pour lieu géométrique une quartique
circulaire W représentée par l'équation (10), qui, après substi-
tution des valeurs (1), prend la forme
AU? + BU+C—0;
À est une constante différente de zéro, B et C sont des fonc-
tions du second degré de £,, to, ts.
L’axe radical u des cercles U,, Us, U; a pour équation
(28) Sala + Sao + Sas = 0;
(17)
où g — 0, go = 0, g; — 0 sont les équations des axes radicaux
des couples KaK:,, Ka1K3, KyoKo,; Ces axes ne sont pas con-
courants.
On peut déterminer facilement quelques éléments des
courbes X et W. Les côtés du triangle T, sont tangents à la
conique Ÿ. Par exemple, si l’on fait coincider s avec A9A>, on
a So = A3, S3 = A9; les cercles U et Ü;, qui deviennent K,,
et K.., se coupent en deux points Z, Z'; on prendra pour S, le
centre du cercle passant par les trois points Z, Z’, P,, et ce
centre sera le point de contact de A,A; avec Z. On obtient de
celle manière pour W les six points d’intersection des couples
RER, Kio KoK 0:
La courbe W passe par les points P,, Pa, P;. Par exemple,
les médiatrices des droites P,P,, P,P; rencontrent respective-
ment A,4;, A,A, en des points S;, S; et la droite S;S; coupe
A9A; en un point S;; ies points S;, S;, S; sont situés sur une
même langente à ©, et les cercles correspondants U,, Us, U;
ont en commun le point P,.
L’axe radical u du triple U,UQU>; enveloppe une conique
tangente aux trois droites q;, 4», gs. En effet, si l’on considère
41» de, gs Comme des coordonnées ponctuelles par rapport au
triangle g4go4s el 54, So, S3 Comme des coordonnées langen-
tielles par rapport au même triangle, l'équation (24) représente
l'enveloppe de u en coordonnées tangentielles; l’équation
ponctuelle correspondante est
D Von —0
REP STE ——
NO. ur és OU :
RO
+ AE er LL
pb } + ” | “ei
à | 4 Vs: ÿ , (48 E ai) dt 4 ES d LE L
2 Ua D
EU è pi ES L or. F PTE N ‘© ".
& PAR, # CT 4 4 È
; tt " 41 7 ii |
A " FENTE 150 H
\ as 1 4
4 ; ‘ é F2) Lu (12 à UE De. ie
| . 1 * à 0 i {: à. La: À
re trot. e €. 0 1960)
U | E NO.
: LLLE D
‘ cn
: opte
Ÿ ‘ ;. .
à Ju L. 164
ù L
4 d 44 L ‘4
Le P F "
” | ss to Là
(ef Hat
. 1
[|
LL
L
: “4 ;
OBSERVATION
SUR
LR PROBLÈME DE LA DIVISION DEN HÉNISPHÈRE
EN DEUX PARTIES ÉQUIVALENTES
UN PLAN PARALLÈLE À SA BASE
PAR
G. —
D à PL
Professeur de cristallogre me à l’'Un é de Liége
OBSERV ATION
SUR
LE PROBLÈME DE LA DIVISION D'UN HEMINPHERE
EN DEUX PARTIES ÉQUIVALENTES
PAR
UN PLAN PARALLÈLE A SA BASE
Je ne sais si l’on à observé que la division d’un hémisphère
en deux parties équivalentes, par un plan parallèle à sa base,
revient à diviser en trois parties égales l’arc de 30°.
En effet, si x est le segment que le plan inconnu coupe sur
la hauteur de l'hémisphère, à partir du centre, l’équation à
résoudre est
di — 3R2% + R3 — 0,
R étant le rayon de la sphère; or, en posant
x — 2Rsine,
cette équation devient
ou
(#4)
On en déduit :
30 — 30° et @ — 10 (*).
*
* *
Plus généralement : Sectionner une sphère par un plan, de
manière que le segment enlevé soit la ne partie de la
sphère, revient à diviser en trois parties égales l’arc qui à pour
1
SINUS : —— .
n
Effectivement, si æ est la distance du plan inconnu au
centre de la sphère, l'équation à résoudre est
(R — x} (2R + x) — - R3.
Or, si l’on prend encore comme inconnue le rapport de x
au diamètre de la sphère, en posant
x = 2R sin v,
l'équation devient
2
sin 3@ — À — —.
in 39 -
Donc
1 2
— 2kR sin {— arcsin (4 — =).
= n
ou bien
— 2R sin (so — - arcsin =).
; n
Pour n — 4, on retrouve le résultat obtenu dans le para-
graphe précédent.
(*) æ—2R sin 100— 0,3473 R.
(5)
Si l’on considère deux plans parallèles voisins enlevant l’un
la nème partie du volume, l’autre la ne partie de la surface
de la sphère, ces plans ne coïncident que dans les positions
extrêmes : n — 2, plans passant par le centre de la sphère;
n — æ, plans tangents à la sphère. Si l’on fait varier n depuis
2 jusqu’à æ, ces plans, d’abord en coïncidence, se séparent,
et si x et y représentent leurs distances respectives au centre
de la sphère, la distance y — x de ces plans, toujours posi-
tive (*), va d’abord en augmentant, atteint un maximum, puis
décroit de nouveau jusqu’à zéro. Ce maximum se détermine
facilement en conservant la variable auxiliaire © employée
ci-dessus : comme
y = R sin 3e,
on à
y—æ—Rsine({—4sine) (*);
le maximum de cette distance correspond à
sin? L ét”. Siné :
© —= — — ——;
12 ; 31/3
on en déduit
1 9—43
— 7 — 0,1150998 (**).
n 18 fe
(*) Cette valeur est positive, car de
LÉ t E R
on déduit
00 < y < 30°.
(**) Dans cette position, le segment enlevé est donc approximativement
1
9 de la sphère.
(6)
Les valeurs de x et y correspondant à l’écartement maximum
sont
R
Vues, "M
V3
la distance maxima est donc
R
y— x — —— —0,1924501 R.
31/3
On peut observer que la position où les plans enlevant, l’un
le nème du volume, l’autre le n'ème de la surface de la sphère,
se trouvent à la distance maxima, peut être obtenue à l’aide
de la règle et du compas.
DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES
EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE LINEAIREN
PARAMETRE VARIABLE
Paul NOAÏILLON
SCIENCES PHYSIQUES ET MATHÉMAT
ERRATA ET ADDENDA
ERRATA
N. B. — La notation : page 17,095 signifie page 17 à 9,5 centimètres en
dessous de la première ligne imprimée (généralement le numéro de la
page)
Page. Dans le signe : Remplacez :
47,11 — La barre | par une courbe (
20,07 » »
105 »
12 » »
21,015 » »
,02 » »
,025 » »
05 » »
10 » »
151,07 » »
,09 n »
10 » )
179,065 » »
198,065 » »
20,14 EE La première barre | par une
courbe )
et la deuxième barre | par une
courbe (
165 : :
Page. Dans le signe :
76,115 m1 à
84,045 »
198,07 »
Dans l'expression :
A AE DRE PR Lo Pa PURE PU Yn-+4)
MAS UN ee
W(Y Yo... Yr... Yn-11)
Dre UT S CE Pen NE
145,07 HR AS A |
= Wu PER Te
146.05
146,05 | SANT REC |
09 W(Za... Zr... Zn)
W(L: .….. Lr... Zn)
Wa Ve V
LAS RP
W(Vi.. Ve. Vn)
150,04 W, == T, .. j PR ces a
,065 Wa Pas Tu or
Au lieu de :
8,065 Pole ln
18,145 3 + 90
29,03 classe A
39,17 M— ex
38,03 j > J(n)
,065 »
055 non décroissante quand n croît.
39,06 au n° 1.
44,16 CR:
47,06 polygone.
90,072 Â9!
.078 Ag
70,05 capitale.
Remplacez :
les barres || par deux courbes })(
»
»
Barrez ostensiblement :
Y> dans W(Y1Yo... Yr .… Yn44)
au numérateur.
Y, au numérateur et au déno-
minateur de ce premier facteur
entre [ |.
Zy au numérateur et au déno-
minateur de ce premier facteur
entre | |.
L, au numérateur.
V, au numérateur.
1
Lisez :
AE
3 +50
classe À
M — ex°2°-23
j = (n)
»
croissant avec » jusqu’à l’c.
aux n°s 57 et 58.
_——
an 1
polynome.
AUT
A2
radicale.
Page.
70.075
71,078
095
15,05
79,025
87,098
94,04
105,065
145
16
111,085
112,10
113,095
“Et
115,12
117,08
117,075
145
118,045
119,16
17
120,09
196,13
197,057
(9)
Au lieu de :
numéros 70 et suivants.
capitale.
»
les y sont réels et décroissants.
polynome.
(F,D).
P(X).
(d’après le n° .… par sc).
Fa à
donc s°="ù0 + —.
).
B, est de la classe a.
TY:, —00.T;
0, == 0; = 4, — 0%
(après avoir remplacé …
… parce que #y + 00).
puisque l’on n’a pas #1 — 00.
P(x)
ca
premier nombre.
»
Lisez :
numéros 71 et suivants.
radicale.
)
yaYe .… sont des constantes
réelles, de plus en plus petites.
polvgone.
(FD).
TX).
Supprimez toute cette parenthèse.
celarésulte d’ailleurs directement. cela résulte directement.
Supprimez ces mots.
B,est de la classe a.
Y: — 00. dira
PE ACER — 0, —” à
Supprimez toute celte parenthèse.
en multipliant les deux membres
par apart,
c’est-à-dire telle que
W{(Y, Yo) = 00
(A)
»
& — 9 — F1
on à, à cause de (9),
T
To
& — Eg — #1
premier membre.
»)
Page.
128,012
133,105
139,06
105
129
16
155,14
166,095
195
174158
(77,11
(6)
Aù lieu de :
seront encore compris.
Po +0
LES
PRO
1w,
En vertu de (8)
W(V1... Vn +0
Lisez :
seront compris.
Po + 00
En vertu de (8) et (11)
W(Va.. Vn) Æ 00 -
1(x, 3)
ZN
Transportez ce signe après 166,125
» de).
Q:, Q:, .… Qh-1
\ Or, par le n° 49 (avec adden-
dun) cette relation résulte de
y 3
\
f
7 at CSST
Tr —
Y —=T(2) (Gter)
1
Il
2xN
()
»
Q,, Q. … Ont
| NT ART MERE CNRS TE DR
. on obtient enfin |! letde
Ne n
% Ne:
| |
v(x v(a +1)
U(E). 12-20)
Ne
31
34
42
43
47
49
49
60
Page :
95,115
96,045
30,08
30,11
32,06
33,03
33,199
38,105
ADDENDA
Après :
a—f$<tmn
… prises par
rapport à 3.
.… y Sera AUSSI
Ajoutez :
Les trois premières notations sont du n° 2.
La notation & représente, conformément au
n° 6, tout ce qui n’est pas co.
ou a = B + 0U
1 :
Notation du n° 98 : de représente
toute fonction qui tend vers zéro avec -.
T
Notation du no 99.
et où de plus les parties réelles des expo-
sants &« sont toutes inférieures à un même
nombre fixe.
, et ces deux inverses seront asymptotique-
ment égales.
; x 4-3 4
Les deux fonctions inverses f et - seront
(]
asymptotiquement égales, car on a
US : g on D 2 = 0
=—-=(g—-/f}.=.-—=0.3%.3%—
TE. [ ÿ
Parce que J(n) est une fonction croissante,
la relation
Eh
sera équivalente à
J:K) _ J(n)
donc, par (4), elle sera équivalente à la con-
dition
j Z Wn)
du n° 7.
No Page :
62 40,005
63 40,135
64 41,10
18 50,135
136 81,085
185 113 02
192 117,045
Aprés :
pour j > Jo
Et l’on a ainsi
h=n
d’après le
n°07.
radicale +,
(8)
Ajoutez :
et > J n).
, Pour ÿ > jo. (Quant à la condition j Z J(n),
elle est équivalente, d’après l’addendum au
no 60, à n < K. Elle est donc satisfaite,
puisque n — K.)
ainsi que leurs dérivées successives par rap-
port à %.
(Voir relation (9) du n° 88.)
Au n° 87, en posant ® — x%1{, nous avons
obtenu l'identité
» FO—K; Gt) + : H,(4) | (A2is)
où K est une certainé puissance de x. Cette
identité est due aux relations :
D— xt, D2— 22482, .., Dr — gun (Adter)
Or, si l’on remplace les lettres ® et t res-
pectivement par D et à (qui représentent des
opérateurs), les relations (19ter) subsistent
sous la forme
D = x 410, D? — 22%102, .., Dr — grriûr
Donc l'identité (12biS) subsistera sous la
forme (19).
En multipliant les deux membres par #7,
on obtient
Y cs
AUDE 2 TS TER
Ka
et telle que
Y — To -U
où
(5 v,dz
15 + e
Dee NE TE 09 Go
Uo —= Go + xtutetyt00
avec
[a] > nombre positif fixe
(quand % varie dans l'intervalle 3,%o).
Pour réaliser cette dernière condition, on
[No
201
202
25
216
259
256
Page :
195,125
127,018
137,14
137,16
164,025
164,085
Aprés :
= (ŒE®)
ils sont finis
(9)
Ajoutez :
fractionnera éventuellement l'intervalle 1%
et l’on choisira convenablement Ÿ, dans
chaque intervalle partiel. Le théorème du
n° 188, vrai pour chacun de ces intervalles
partiels, sera vrai pour l'intervalle total.
On a aussi
en vertu de l’addendum au n° 199.
en vertu de l’addendum au n° 192.
D'une manière plus précise, nous voulons
dire qu'on pourra trouver un nombre fixe
L'ESNTERR)
tel que l’on ait (pour x, j suffisamment
grands) :
u—=A.M, —X.M,..v,—1.M
Ces solutions formelles seront choisies de
telle sorte que, non seulement
"4
5 — Æ)
l'>
mais encore
| à LE —
TE)
= in)
Pour établir que cela est possible, il suffit
de remplacer l'indice 7 par l'indice 7 dans
le raisonnement des nes 273 à 279 (avec
addendum au n° 279).
Nous disons bien 3 — x et non pas ?—=%4.
, comme en vertu du n° 49 (complété par
addendum) la relation
Ÿ Les
D +00 (9)
jointe à
ji
== (ht) (Gter)
No
279
Page :
171,115
Après :
(AUD
Ajoutez :
entraîne
dE se
— ==
y Y
ou
Re L
PEAR)
y ET
on aura, par (6ter),
| Nr Le
a P(x) (Qter)
RP
m étant la multiplicité de T,, il est possible
de construire un système de » facteurs
secondaires.
/
ip ’ 21
Us Ms ms Mas ST
dont les m génératrices
PO PR NE M
[ur] = 1? +xtit TS
(h= 1,25
soient linéairement et uniformément indé-
pendantes, et telles que les modules des
premiers termes
fé, 181, 14}, [él
restent tous > À quand % parcourt #12
Il suffira, en effet, de prendre
= U — Clg + Cola +. + Crtlm
et, pOur É — 2,3; Me
h
nec.
g étant un nombre fixe = modules de
(0) 50 0 40
A ee
quand # parcourt 24%.
SUR LES ÉQUICENTRES
DE
DEUX SYSTÈMES DE 2 POINTS
J. NEUBERG
PROFESSEUR A L'UNIVERSITÉ DE LIÉGE
SUR LES ÉQUICENTRES
DE
DEUX SYSTÈMES DE # POINTS
Pour abréger le discours, appelons équicentre de deux
systèmes de n points A,A9 .. A,, A;A; ... A, tout point qui est
centre de gravité des mêmes masses 11, Lo, ... Lu, attachées
respectivement aux points A,, A9, .… A, où aux points
AA: À.
La présente note s'occupe des cas de n — 3, 4, 5. Le cas de
n — 5 S’est déjà rencontré dans plusieurs questions de géomé-
trie récente du triangle (*}, mais n’a pas été discuté complète-
ment.
1. Soient A;AoA;, AAA, deux triangles coplanaires. Si
l’on désigne par (x,, y,), (x, y,), (x, y) les coordonnées des
points À,, À, et d’un équicentre M de ces triangles, par rapport
à deux axes quelconques Ox et Oy, on à les égalités
’ Es \' !
Lt, Zu sie Lu Zu
1 — ———
(*) Voir, par exemple, nos mémoires :
Sur les projections et contreprojections d’un triangle fixe... (Mém. cour.
et autres Mém. publiés par | Acad royale de Belgique, t. XUIV, 1890); Sur les
cercles podaires (Bull. del'Acad royale de Belgique, 1910); Sur une transfor-
mation par affinité (Ann. de la Soc. scientifique de Bruxelles, t. XXXVIT,
1912-1913).
(4)
le signe sommatoire s'étendant aux trois indices 4, 2, 3, et la
somme 111 + Mo + 13 élant supposée différente de zéro.
Posons æ, — x, — a,, y, — y, = B,; à, et B, sont les coor-
données de l'extrémité du rayon vecteur ON, parallèle au
vecteur A,A,. Le système des quatre équations (4) à quatre
inconnues x, y, tu : Lo : 13 est équivalent au suivant
Zu — 0, DAC — 0, (2)
DA puy
XL — Su, , LÉ 5 " ‘ (3)
Si les équations (2) sont distinctes, on en tire
% % 3 |(*)
Ha è Me è Us — è ;
&
B, P2 83
donc les masses 4, mo, m3 Sont proportionnelles aux aires des
triangles ON9N;, ON3N;, ONiNo. En d’autres termes, deux
triangles coplanaires A4A,A;, ASASAS ont en général un seul
équicentre M, dont les coordonnées barycentriques par rapport à
l’un ou l’autre de ces triangles sont égales à celles du point O par
rapport au triangle NiNoN;.
La construction suivante de l’équicentre m'a été commu-
niquée par M. Sollertinsky :
Par chaque sommet de l'un des triangles AjAoÂA;, ASASA;
on méne une parallèle au côté opposé; on obtient ainsi leurs
triangles anticomplémentaires B,B2B;, B;B5B:. Soient C4, Co, Cz
les points d’intersection des côtés homologues des triangles donnés,
et D,, Do, D; ceux des côtés homologues des triangles B;,B2B>,
B;B;B;. Les droites CiD,, CoDo, C;D>; passent par l'équicentre.
(*) J'emploie ici une notation usitée «hour indiquer la solution d’un
système de » équations linéaires homogènes à » + 1 inconnues les incon-
nues prises alternativement avec les signes + ou — sont proportionnelles
aux déterminants qu’on déduit de la matrice des coefficients de ces équations
en supprimant la première colonne, ou la deuxième, ete.
ar
Le quadrangle ON,NSN; ne change pas de forme si les
droites A,A;, Ao4:, A;A3 tournent d’un même angle autour des
points A4, A», À; ou sont multipliées par un même nombre.
Il en résulte que dans trois figures directement semblables,
tous les triples de points homologues ont le même centre de
gravité quand on charge ces points de certaines masses
His Has Hs
2. Les équations (2) sont identiques, si
Yi — Vi Ve — V2
2
Vi — di Lo — TX
Ya — Ys
Ts — Le
les droites A,A;, AoA;, A-A, sont alors parallèles, et les points
O, N,, No, N; sont collinéaires.
Le système (1) ne comprend plus que trois équations
distinctes, qu’on peut écrire ainsi :
Zu,(r — 2) = 0, Zu(y — y) = 0, Lu 05
en éliminant x, mo, 5, On obtient l'équation du premier
degré en x et y
veu y, a, | —=0 ()
Par conséquent, si les sommets de deux triangles AjAoA:,
A,ASA, sont situés sur trois parallèles AjA;, AoÂs, A5A:, ces
triangles ont une infinité d'équicentres situés sur une même droite.
Cette droite est l’axe d’homologie de ces triangles; car le point
de rencontre de deux côtés homologues est un équicentre pour
trois masses dont l’une est nulle (**).
(*) Pour abréger, nous n’écrirons que la première ligne d’un déterminant
quand elle suffit pour faire connaitre les autres.
(**) Si les droites AjA,. A34, seules sont parallèles, les triangles ont un
seul équicentre situé à l'intersection des droites A,A9, A,A;; la masse u; — 0.
(6)
8. Si Zu + 0, le centre de gravité M des points A;, Ao, A;
chargés des masses 114, mo, x3 jouit des propriétés suivantes :
Les droites A4M, A9M, A;:M rencontrent les droites A9A3,
A:A1, A,A2 en des points E,, K, E; satisfaisant aux égalités
Ab + 4e AsËs nr AE Le 2. (4)
E,A; He E,A, M3 EsAe Ua”
de plus
E,M LU E,M Lo E, M Les G
BEA JD AOANPSS ApAN SE
Supposons Zu, — 0, et déterminons encore sur les côtés du
triangle A,A2A; les points E,, Es, E; d’après les égalités (4).
Il est facile de voir que les droites A,E,, A9E;, A;E,; sont
parallèles ; nous dirons maintenant que les masses 114, Lo, li
ont un centre de gravité M à l'infini dans la direction de ces
parallèles; d’ailleurs les relations (5) rejettent également le
point M à l'infini.
Le coefficient angulaire de la droite A,E,, dans l’hypothèse
Eu, — 0, a pour expression
Pre T Haÿs
À
Lo + Us F2 PaYa + He + H3ÿ3
Dale + Miss Paula + Loto + Usds?
Le + Hs
on peut donc dire qu'il est égal au rapport . déduit des
égalités (3), abstraction faite de la relation Zu, — 0, ou aussi
que les coordonnées cartésiennes homogènes du point M sont
ZT, DIPULE 0.
Nous admettons que deux triangles A,A°A>, A; AA, ont un
équicentre à l'infini pour des masses 14, 2, 13 dont la somme
est nulle, si les droites A,E,, A;EË; qui divisent les droites
A2A;, A2A; dans le rapport 3 : w sont parallèles entre elles.
AS
En admettant pour un moment que les quantités u4, o, b5
vérifient les trois équations
Zuu—0, Euf, 0, Eu — 0,
et qu’on élimine 1, Lo, 43, On trouve
Has | 0:
donc les extrémités des vecteurs ON,, ON:, ON; équipollents
aux vecteurs A4A;, AoÂ;, A;A, sont maintenant en ligne droite.
Cependant les masses 4, mo, u; ne sont plus proportionnelles
aux aires ONN;, ONN,, ON,No.
On doit avoir maintenant, À désignant le coefficient angu-
laire de la droite A,E, :
à L \' !
; Zu =:
—— a —— ,
à Eee +: !
DTA = Hids
(6)
ou
Zu(ya F7 À) — 0, Zu(y = À) = 0.
En éliminant p4, mo, u; entre ces équations et la relation
Zu, — 0, on obtient
[Y—A0 y—Àx 1) —0. (7)
Donc les triangles proposés admettent deux équicentres à
l'infini; ces points peuvent être réels et distincts ou confondus
ou imaginaires. Les masses uw, do, u; Sont proportionnelles
aux mineurs relatifs à la troisième colonne du déterminant (7).
Pour construire ces équicentres, imprimons au triangle
A;A°A; une translation parallèle qui amène A’ en A,; alors les
droites A,E,, ASE; coïncideront. Or, les droites qui divisent
les droites A,A:, ASA: en parties proportionnelles, enveloppent
la parabole qui touche les quatre droites A2A;, A°A:, Ao4:,
A;43. Par suite la droite A,E, est l’une des tangentes menées
par À, à cette parabole.
(8)
On pourrait remplacer les équations (6) par les suivantes :
Eur, = pla, Etui = PEU,
joindre à celles-ci l'équation y, — 0, puis éliminer 14, 49, u3;
ce qui conduit à l'équation déterminant l’inconnue auxiliaire o,
à Savoir
[Up y—pn 11=0. (8)
Les masses cherchées 11, 49, 3 sont proportionnelles aux
mineurs relatifs à une même colonne du déterminant (8).
4. Si les triangles A,AoA;, AAA; sont situés dans les
deux plans x et +’ qui se coupent suivant la droite d, soient
(x, y,, 2,), (æ,, y, z), (x, y, 2), les coordonnées des points
À,, A; et d’un équicentre M rapportés à trois axes quelconques
Ox, Oy, Oz; nous aurons.
2
Dr AH
\' !
DATA _) =Haiÿa 9
L ed ÿ 4 MY? ( )
fa an we:
er DITES an DITES
“ Zu Zu (l
Posons %; —%, = @,, y} y; 8, )æ, SN NE
seront les coordonnées de l’extrémité du vecteur ON, équi-
pollent au vecteur A,A,.
Des équations (9) on déduit
\' ÿ ÉL'RELZ x er .
(*) Des deux premières des équations (40) on déduit que les masses sont
proportionnelles aux aires des projections des triangles ONSN;, ON;N1, ONINo
sur le plan +0y et par suite aux aires de ces triangles.
bé 94)
par suite, si les équations (10) sont distinetes, on doit avoir
| Pa Yi l—=0,
condition qui exprime que les droites ON,, ON:, ON; sont
dans un même plan ou que les droites A,A;, A9A:, AA, sont
parallèles à un même plan. Si cette condition est remplie, les
deux triangles ont un équicentre unique situé nécessairement
sur la droite d et correspondant encore à des masses qui sont
proportionnelles aux aires des triangles ONSN;, ON;N;,, ON, No.
Si l’on à
me
=
8e |
LA] t©
F IS
les droites ON,, ON, ON; sont situées dans un même plan
passant par l’axe Oz; par suite les droites A,A;, AA, A;A; sont
parallèles à ce même plan, et l’on rentre dans le cas précédent.
Les trois équations (10) sont identiques lorsque les droites
AjA;, Ao4:, A:A, sont parallèles entre elles; les deux triangles
admettent alors une infinité d’équicentres dont le lieu géomé-
trique est la droite d.
Examinons l'hypothèse Eu, — 0. L’équicentre, s’il existe,
est nécessairement à l'infini sur la droite d; par suite les
parallèles à d menées par A, et A; doivent diviser les droites
AoA>, AA; dans un même rapport.
Pour traiter cette hypothèse par le calcul, prenons pour axe
des y la droite d, pour axes des x et des y deux droites
quelconques menées par un point O de d l’une dans le plan x,
l’autredans le plan x’; alors z, — z9 — 33 —0, æ — % — x3 —0.
Lorsque les axes coordonnés sont quelconques, les équations
des droites A4E4, A;E; sont
("104
Le choix particulier des axes les ramène à
on Svp
DAT Euy 0
T'Y.
NS Epayi F DA
Les droites A,E,, ASE: étant parallèles, on doit avoir
2 — D EU (41)
et leurs équations deviennent
Dreose ne SRE
ce qui montre bien que ces droites sont parallèles à d.
En éliminant u,, m, u; entre les équations (11) et Ex, — 0,
on trouve
Cette condition admet l’interprétation suivante : Les trois
plans parallèles à x menés par A’, A;, A; coupent respectivement
< à : ! ve LU :
J
les trois plans parallèles à rx’ menés par A4, A9, A; Suivant
trois droites parallèles qui sont situées dans un même plan.
5. Considérons deux quadrangles coplanaires A,AoA;A;,
A;A4SA.A;. Un équicentre satisfait aux équations (2) et (5), le
signe sommatoire étant étendu aux quatre indices 1, 2, 3, 4.
Si les équations (2) sont distinctes, elles admettent pour les
rapports 14 : mo: us: ua une simple infinité de solutions. En
éliminant u4, vo, us, a entre les équations (2) et les équa-
tions (3) mises sous la forme |
Ep(x — di) —.0, Eu(y — y) = 0,
on trouve
PL Y—Y 4 fi: =0.
Donc, en général, deux quadrangles coplanaires ont une
infinité d'équicentres situés sur une méme droite. Cette droite
contient évidemment les équicentres des quatre couples de
triangles (A4A9A3, A;A:A:), (AoA:A;, ASASA;), etc.
Si les droites A,A, (r — 1, 2, 5, 4) sont parallèles entre
elles, on n’a plus que trois équations distinctes
Zur — dy) = 0, Zuu(y — Yi) = 0, DA = 0,
et tout point (x, y) du plan est un équicentre pour les masses
satisfaisant à ces équations.
6. Passons au cas de deux tétraèdres A,A9A:;4,, AAA: A, ;
les équations (9) et (10) sont maintenant à étendre aux quatre
indices 1, 2, 3, 4. Si les dernières sont distinctes, on en déduit
RTE ST ol
Pa © Mo Ms: Li — Ba A 6, B, : (11)
Yi Y2 Y3 Ya
On en conclut que deux tétraèdres ont, en général, un seul
équicentre M qui a les mêmes coordonnées barycentriques dans
chacun de ces tétraèdres quele point O dans le tétraëdreN,NoN;N;.
Le point M peut se construire comme :1l suit :
Les faces homologues des tétraèdres proposés se coupent suivant
quatre droites fi, fo, [s, [13 les plans menés respectivement par
A, et À, et parallèles aux plans AoA;A;, AGASA; se coupent
suivant une droite g1; soient ÿ», gx, 91 les trois droites analogues
à g1. Alors les plans f191, [o92, (93, [192 passent par M.
Remarquons aussi la proposition suivante :
Etant données sur quatre droites quelconques de l’espace quatre
ponctuelles semblables, il existe, en général, quatre masses Ho
Ho)
(12)
Us, 4 qui, placées en quatre points homologues quelconques de ces
i 5L
ponctuelles, ont toujours le même centre de gravité.
77. Les trois équations (10) se réduisent à deux, si leurs
coeflicients vérifient les relations
pas + qe + sy, =0, (r — 1,92, 3,4). (12)
Elles admettent alors une simple infinité de valeurs des
rapports ty : Lo : 15 : 4. Les égalités (12) expriment que les
points N4, No, N>, N, sont situés dans le plan px + qy + sz = 0
ou que les droites A,A, (r — 1, 2, 3, 4) sont parallèles à un
même plan. La détermination d’un équicentre dépend mainte-
nant de cinq équations
Zu(x — x) = 0, Luu(y — Yi) = 0, Zu,(z — #) = 0,
DNTICA == 0, Zu,6, = 0.
En éliminant u,, 4», u3, u4 On trouve deux équations du
premier degré en x, y, z, à Savoir
|T— 2 Y—Y 2—% | = 0, (13)
[T—u y—Yy 2—ù P,|—=0.
Il'existe donc maintenant une droite d’équicentres. Les quatre
couples de faces correspondantes des deux tétraèdres admettent
chacun en équicentre, et les quatre équicentres sont colli-
néaires.
Voici deux cas particuliers remarquables rentrant dans
l'hypothèse précédente.
Si les droites A,A;, AoÂ;, AA, sont parallèles entre elles,
la droite d’intersection des plans A,A9A;, AAA, est une
ligne d’équicentres pour les triangles A4A9A;, A;ASA: ($ 4);
c'est aussi une ligne d’équicentres pour les deux tétraèdres
AyAoA:A3, AASASA,, la masse 4, étant supposée égale à O.
D'ailleurs, si l’on suppose
UE ES ES . 1 Le . .
Ua Ya Gibo:Ve= ft y
(13)
les équations (10) ont la forme
Du + Modo À Moda + Duo — 0,
Pa + Hate + acts + lus = 0,
Dada + Lo + ss + l'huya = 0
et exigent
ba = 0, puos + Mode + lus = 0.
Supposons les droites A,A; et A,A, parallèles entre elles,
ainsi que les droites A;A; et A,A;, et soient P l'intersection
des droites A,A2 et A:A;, P’ celui des droites A;A, et A;A;.
Comme on à
as PAPAS, P'A,:P'A, — P'A.:P'A,
tout point de la droite PP’ est un équicentre. Les équa-
tions (10) se réduisent maintenant à ya; + uo%o — 0,
U505 + ya = 0.
Les équations (10) se réduisent à une seule si les droites
A,A, (r — 1, 2, 5, 4) sont parallèles entre elles. Alors tout
point du plan représenté par l'équation (13) est un équicentre
des deux tétraèdres.
8. Pour trouver le centre de gravité M des masses u,, mo,
U5, 1, placées en A,, A9, A;, À,, on peut chercher les centres
de gravité F,, Fo, F3, F, des triples (1, LL. Li) (us. 4 ui) Fos
les droites A,E, (r — 1, 2, 3, 4) concourent en M, et l’on à
PR An. Zu. Si Zu — 0, les droites A,F, sont
parallèles et l’on dit que M est à l'infini dans la direction de
ces parallèles.
Les paramètres directeurs de la droite A,F, sont propor-
tionnels aux quantités
Te Lots À ads nc LE Boÿs EF page
Mo + Ms + ba TT
A 4
( #4 )
si l’on remplace 2 + u3 + 44 par — 4, on est conduit à
prendre pour ces paramètres
SL j"
buts EtuYÿy Due
Deux tétraèdres A;A9A3:4,, AjASASAY sont dits avoir un
équicentre à l'infini, si les droites A,F,, A;F° qui joignent les
sommets A, A; aux centres de gravité F,, F; des mêmes
masses po, 45, 144 attachées respectivement en Ao, A5, À; ou
en À;, A;, À, sont parallèles entre elles.
L'existence d’un tel équicentre dépend des quatre équations
Lu — p Et, buy = 2 pus, Lu = purs, Zu, =0, (14)
° étant une inconnue qui est racine de l’équation
| di — pr L'ÉÉES oYi n—9% | —=0. (15)
Le problème suivant conduit à la même équation cubique (15) :
Trouver un plan qui partage les quatre droites A,A', AoA,
A:A;:, A,A; dans un même rapport. |
Imprimons au tétraèdre A;ASASA' une translation parallèle
qui amène A; en À, ; alors les droites A,F4, A;F; coincideront.
Or, si G;, G; sont les centres de gravité des mêmes masses
vo, Vs, v4 altachées respectivement en A, À;, À, ou en
A;, A:, À,, les droites A,G4, A;G; sont des éléments homo-
logues de deux gerbes collinéaires dont A,E, est un rayon
double. La question est ainsi ramenée à une question connue.
9. Pour terminer, considérons deux systèmes de cinq points.
La recherche d’un équicentre dépend des six équations
Hdi DUR DUT
== —— — ET EE ;; Sr 16
Zu, DTA Eu, (IS)
qui renferment sept inconnues æ, y, z, pu © Ho : Us © lg © Pise
Si les équations (17) sont distinctes, elles donnent pour les
(15 )
rapports des masses une simple infinité d’équicentres situés
sur la droite qui a pour équations
Et I rl Em 0, (18)
RTE qi 2 2% 0x y, | = 0.
Les équations (17) se réduisent à deux, si leurs coefficients
vérifient une même relation
PEU, —0 2(r—1,2,... 5)
Les droites A,4, sont alors parallèles à un même plan et les
deux systèmes de points [A,|, [A;] admettent un plan d’équi-
centres représenté par l’équation (18). Ce plan contient néces-
sairement les droites lieux des équicentres des cinq couples de
tétraèdres (AyAoÂA:A;, ASASAGA), AoÂsA As, ASASAGAS),
Les équations (17) se réduisent à une seule, si les droites
A,A, sont parallèles entre elles; alors un point quelconque
de l’espace est équicentre pour des masses convenablement
choisies.
Dans ce qui précède, nous avons considéré les cas princi-
paux. Mais on peut encore envisager des hypothèses particu-
lières, par exemple celles où deux, trois ou quatre seulement
des cinq droites A,A; sont parallèles entre elles ou celle de
deux droites parallèles à une direction et deux autres parallèles
à une autre direction, etc.
SUR
CARRES PANAIAGIQUEN
PAR
EpouaArp BARBETTE
DOCTEUR EN SCIENCES PHYSIQUES ET MATHÉMATIQUES,
PROFESSEUR A L'ÉCOLE INDUSTRIELLE DE LIÉGE,
DIRECTEUR DES ÉTUDES A L'INSTITUT FRANCKEN.
SUR
LES CARRÉS PANMAGIQUES
On donne actuellement le nom de carrés panmagiques aux
carrés magiques dont la direction horizontale, la direction ver-
ticale et les deux directions diagonales sont magiques. |
Le Proft Édouard Lucas les avait qualifiés de diaboliques, on
ne sait trop pourquoi; ces carrés avaient été entrevus, avant
Lucas, par de La Hire, Euler et Sauveur. |
De l’étude que nous avons faite sur les carrés magiques (*),
il résulte qu'un carré du m° ordre sera panmagique si la
somme des premiers indices, comme celle des seconds, de
cliäcune des lignes horizontales, de chacune des lignes verti-
cales, de chacune des lignes parallèles aux deux directions
diagonales et de chacune des diagonales elles-mêmes du carré
m(m + {)
symbolique générateur, égale (1 + 2+3 +... +m) où ———
(*) A consulter : Les carrés magiques du m° ordre. Supplément : Les
piles merveilleuses, par E. BARBETTE. Vol. in-8° de vu-244 et 16 pages, avec
3 planches, dont l’une en couleurs. Friæ : fr. 1.50, chez l’auteur, 18, rue
D’Archis, Liége.
(#)
1
A. — Carrés panmagiques d'ordre 2" = 4n et de symétrie 1
Les carrés panmagiques d'ordre 2* et de symétrie 1 sont
ceux que nous déduisons de carrés symboliques renfermant
®k ofliciers de 2} régiments distincts et 27 grades différents, —
l'élément s, de ces carrés symboliques représentant un officier
de régiment s et de grade {, — chacune des lignes horizon-
tales, comme chacune des lignes verticales de tels carrés, con-
tenant 2 officiers de régiments distincts et de grades diffé-
rents.
: À LE
Les carrés panmagiques d'ordre 2x et de symétrie 7 sont les
plus difficiles à construire; voici l’une des lois qui régissent
les carrés symboliques générateurs :
PREMIÈRE LIGNE HORIZONTALE DU CARRÉ SYMBOLIQUE.
Premiers indices :
À; 3n; 3n —1; 2; 3; 3n—V%; 3n —3; 4; «….; n—3; 2n +4;
2n+H3sn—2;n—1,2n+I;, nm +l;n;
3n +1; 2n; 2n —1,; 3n +2; 3n +3; 2n —V; 2n —3; 5n +4;
…; An — 3; n +4n+S; 4än —2; An—1; n +2; n +1; 4n.
Seconds indices :
1; 8n—1; 3; 3n—3; …; n—3; 2n +3; n—1; In +1;
3n + 1;,2n—1;3n+3,2n—3;...;4n —3;:n+3; 4n—1;n +1;
n;, 2 +2; n— 2; 2n +4; +; 4; 3n — 9; 2; 3n;
4n; n +2; 4än—2; n +4; ..; 3n +4; 2n —2; 3n +9; In.
PREMIÈRE DIAGONALE.
Premiers indices :
1 fois —. _—— In fois —_ _— n fois —__
4: 4; 45: ds Ans-dns Anis Ans ASP
(5)
Seconds indices :
1, 4n,2;4n — 1:3;4n—2;..;n —3; 3n +4; n —9; 3n + 3:
n—1; 3n +2; n; 3n + Î;
An; 1: An—1; 2; An —2; 3; 3n +4; n—3; 3n +3:
n—2; 3n+2;, n—1; 3n +1; n.
AUTRES LIGNES HORIZONTALES. — Les autres lignes horizon-
tales se déduisent facilement de la première, par symétrie, les
indices de la première diagonale servant de points de repère.
En opérant ainsi, la somme tant des premiers indices que
des seconds de chacune des lignes horizontales, de chacune des
lignes verticales, de chacune des lignes parallèles aux deux
directions diagonales et de chacune des diagonales elles-mêmes,
égale la constante magique 2n (4n + 1), et la condition de
panmagie est satisfaite.
La loi énoncée n’est pas applicable au carré du 4 ordre et
de symétrie 7; Mais un tel carré se détermine facilement.
Si, dans le carré symbolique obtenu, on remplace l'élément
s, par À, + a,, la somme des nombres de chacune des horizon-
tales et de chacune des verticales est constante, et il est facile
d'écrire les relations qui doivent exister entre les nombres A
et a pour rendre le carré panmagique.
Si, de plus, on y prend
D ANT A; — Snr, : A — (4än —1)4nr
el
U—=0; Œœ—a+rT; 03—=0+Èr;....…. :Anm—=a4+(in— tjr,
on forme un carré panmagique renfermant les termes suivants,
en progression arithmétique :
a; a+r; a+ 2r; a+ 37; +... s a+ (AG — 1)r;
enfin si, dans ce dernier carré, on fait a — 1 et r — 1, on
obtient un carré panmagique des 16n°? ou 2°* premiers nombres.
Observation. — Du panmagique obtenu en suivant la règle
énoncée, on en déduit facilement d’autres en changeant dans
(6)
les premiers indices 4 en h et 4n en 4n — h + 1, et récipro-
quement, — ou encore en changeant dans les seconds indices
l'un quelconque d’entre eux À en 4n — h + 1, et réciproque-
ment, — ou enfin, dans tous les carrés obtenus, en changeant
les premiers indices en seconds, et réciproquement.
Nous nous contenterons, dans chacun de nos exemples, de
donner le carré symbolique type, puis le carré littéral à termes
en progression arithmétique et le carré NL: qui s’en
déduisent; dans le carré littéral, le symbole ©, se lira a + pr.
pr
Propriétés. — 11 est possible de grouper les éléments d’un
carré symbolique de façon à découvrir, par voie d’addition des
indices qui interviennent dans les groupements, les propriétés
du panmagique qui s’en déduit. Par exemple, considérons le
carré symbolique, dont nous venons d'indiquer la construction,
partagé en deux parties égales par une horizontale : la somme
des premiers et des seconds indices de chacune des demi-
colonnes ainsi formées étant constante, la somme des nombres
intervenant dans les demi-colonnes correspondantes du carré
littéral et du carré numérique (pour n > À) sera la même pour
chacune d'elles.
Pour n = 1, pas n’est besoin de double vue pour découvrir
les propriétés du carré numérique par voie d’addition des
indices des éléments groupés du carré symbolique.
CARRÉS PANMAGIQUES DU #° ORDRE ET DE SYMÉTRIE T°
Carré symbolique.
EF)
Carré littéral. Carré numérique.
a a a
14 GT VA 9
Le 4 a a a
F2 PF : + /07
a. a a a
97? PA à 15t | $t
«a [ea a le +
4e | St + JT
"= LA 1
CARRÉS PANMAGIQUES DU 8° ORDRE ET DE SYMÉTRIE L :
Carré symbolique.
(8)
Carré litteral.
BE re, 6: a 127 lt "1-02
see Le 7e de
Carré numérique.
CEprppT
een
DOUDOU
CICIPIPTICI CIE
(97)
ES
CARRÉS PANMAGIQUES DU 16° ORDRE ET DE SYMÉTRIE — :
=
Carré symbolique.
SE
Le
&
%
he
x
EN
N
ns
LS
Ds
APP APIEACE
DPARPAAUAP
CAPI AEAEA A7
ANNE
PE Sue
S
È
SS
on
PAAAPP AAA AAA CRE
DAAATAA2AC2AAET/A
13,101 99 | 4 | 4 Vo) | sol 6 Free 61 | V0
Vs | 615 V610) de | V4] 3e (a) 9 (4 | es] el 2
AAGPPAPIZ2AZEAAPA AU
Fe 662 | 610 ra 4e V8) 24 | 4919 lol rl Ver
PAPACICACAEA CA CAP A PACA A PA CAT VA
LS
(10)
Carre litteral.
a a a
M tx] 24% ser sarl use eut
a u & [24 u a 2
1814 152 232 |xsal ss CA A rie 18 gré et lot senkes
a a a a |
HAE FER /87?| 1432 ns use 1512 ei > 2 /20t jé evct|238t| 84
a a a [7 Le
dti |yer| or 44 |584 ye8e A PL Si HIT 3 ve ne 2 El F7
A Le a [21 Las a
; loot|/44t|/1#+|848% ee re egér Rues 3 x Fa FES na 2
a [2 Le)
gogti 201t|//5t de 15 Er re pupe F- un /ot BR ua pe D A
a a
1gg4a |22J32l/0/2 | grè SX Fat FR 28 4% + el + je
A Ca
at |/06? set red js sein «4 nu? LE Fa 194 ER PA 44 ét
a AU es EX Ra FA FA 2312 | PERS A RS
a a
ur PS 43% |\/,51|/57 2 Re En si je r he ne Au ES
[ES
{26% 8% + de F4 ue Pan 2/42 | 33% sa 13/4 É 133 nn ss F:
F3 7 in on 2 Av MPAEMRE pe +. 154 La LE 18
ZHÉTICIE MAP Ga jé
2244 Pr cé
M
CC
Carré numérique.
1 Vrerfues laser [ae |ves | su selree Le [ecelese| 26 127 je
neuve | 24 fanfare] | £0 |100 [7 leor au] [er Leus | es cz
pue[aé[ a Juolres fe |4c Lure or lewlaslurlar elusler
3 Vu ar er fes Vues lasu lus Jen [re [ro lecclesol ce | 9e ler
eslvor far fousless | |ar fesse Vas |wel € | 50 140 144 | ve)
peslerelere|ué|ze lerélaso] sé Var] 4] lorlusles Las lez
200000020000
222990294090 0070
20 000202020000
ass bffue Le [offre las LerprLe
0000000000 200
| CO0TRNaonTer
4 49 | 65 | 65 |257 |207 | 117 J 1444
nd mer Let
AC ON AE 00) TAC
Beer er epleu(es vason[efuepeeeferpelede
AQ
ss
B. — Carrés panmagiques impairs.
Les carrés panmagiques impairs sont ceux que nous dédui-
sons de carrés symboliques renfermant (2n + 1)? officiers de
(2n + 1) régiments distincts et de (2n + 1) grades différents,
chacune des lignes horizontales, comme chacune des lignes
verticales de tels carrés, contenant (2n + 1) officiers de régi-
ments distincts et de grades différents.
Sauf pour les carrés de côté 5t, le tableau
renferme les .premiers indices d'une solution symbolique du
(2n + 1)° ordre, la suite &, æo &s ++. Lo +, représentant la série
des nombres 1, 2, 5, ..., 2n + 1 écrits dans un ordre arbi-
traire. Le carré symbolique s’en déduira par superposition des
bandes horizontales ou verticales de rangs complémentaires,
c'est-à-dire de rangs z et 2n — z + 2.
Dans le carré ainsi formé, non seulement chacune des lignes
horizontales, comme chacune des lignes verticales, renfermera
(2n + 1) officiers de régiments distincts et de grades différents,
mais les directions diagonales posséderont la même propriété.
Si l'on y remplace l'élément s, par A, + a,, la somme des
nombres de chacune des lignes parallèles à la direction hori-
(HS)
zontale, à la direction verticale et aux deux directions diago-
nales, sera constante et le carré sera panmagique sans aucune
condition.
Si l’on y prend
A—0; A,—(2n+1l)r; A3—2{2n+1l)r; «5 Au —2n(9n+1}r,
ET aa 2r, |: -:.; a, —a—+ nr,
on formera un carré panmagique renfermant les termes suivants,
en progression arithmétique :
4 ; a+r: a+2r; a+3r; -..... , a + Anin + A}r;
enfin si, dans ce dernier carré, on fait a — 1 et r — 1, on
obtiendra un carré panmagique des (2n + 1}? premiers nom-
bres.
La loi que nous venons de donner n’est pas applicable aux
carrés de côté 2n + 1 — 56, car les éléments contenus dans
les parallèles à la seconde diagonale du tableau (4) sont alors
les suivants :
Ti 4 d'; DO bar 80 das ai. 2;
Lo d; Lg 0 os 7 ar 4 41,
L3 6 Lo °° Lys Lys Lx ; Q)
dy nn nu "sr x do du ;
DinnTirs, Diig * * Leg Lis Lis .
Mais en choisissant les æ de façon que la somme des élé-
1
ments de chacune des lignes de la suite (2) égale le _ de
(St +1)
2
encore un carré panmagique; ce résultat sera facilement atteint
en idenutiant les x de cette suite avec les nombres d’un carré
magique du {° ordre.
Il n'existe pas de carré panmagique du 5° ordre.
H+2+5+...+31t), c'est-à-dire , on obtiendra
(9
CARRÉS PANMAGIQUES DU 3° ORDRE.
Carré symbolique.
EAEACAENEA
AAA
CAPTER
EAEEZ
PP
Carré liuteral. Carré numerique.
ca a a &ä
LECTU] frere
a
AE DOUCE
a
a 7 1%
Ha
JPJET ET
CARRÉS PANMAGIQUES DU 7° ORDRE.
Carré symbolique.
BAD
AAPBATE
GAPA2UrEZ
AAUBBAEE
AAA
Carré littéral.
lines D à MAR avt à]
AAARARE
a a a ex s- Ce x ËE
ERAAABR
a a LS a ES a
BARRE
a L3 [23 LA æm a a
AAA
LA) am a a An
FARSAEAE
Le LS [1 nu L,3 a
FARBEAEE
ARABE
Sr | Æraltsr|sar | reel 3578
Carré numérique.
IEEE]
15 | J4 46| 3 | 28
false fre
opetepetz Le
DE
i #/|/0|2e2
CTalfete
CARRÉS PANMAGIQUES DU 9% ORDRE.
Carré symbolique.
BABA
GEAPIAPEAEEZ
AAA AE
DATA
AAA
AAAAGZAEAEZ
Hold |salreltel 18) 7el#
APAAEEAEEA 2
( 16 )
Carré littéral. Carré numérique.
ox EX sA gr nés ARE 39
OGC F
free belote
s || sale J4|53|4371|20
lle el z efsr)ze ls [50
PAAPARAER ce
EE) | GAP EME EE,
Le carré du 9,° ordre en (A, a), qui se déduit du carré
symbolique en remplaçant l'élément s, par A, + a; n’est
panmagique que si les nombres A et a satisfont aux conditions :
(42 + À; + À:) — J(À3 + À4 + À) — J(A4 + À; + A9)
= A, + A, + A; +. + A,
el
(de + A6 + dr) = 3(43 + A4 + 8) = 8 (4 + ds + d9)
= dy + 4 + 43 + ++ + 9.
C. — Carrés panmagiques d'ordre 2*+'.n
|
et de symétrie 5 (Eh
n
1
2n
sont ceux que nous déduisons de carrés symboliques conte-
nant 4!*1.n? officiers de 2**1,n régiments distincts et de
2:*1,n grades différents, chacune des lignes horizontales de
tels carrés renfermant 24+1.n officiers de 2 régiments distincts
et de grades différents, chacune des lignes verticales renfer-
Les carrés panmagiques d’ordre 2#*1,.n et de symétrie
(17)
mant 2*1,n officiers de 2 grades différents et de régiments
distincts.
9Kk
Ces carrés répondent à une symétrie roro
1" HYPOTHÈSE : k = 1.
Carré symbolique d'ordre An et de symétrie EE
/n Ai NET A TS APN SN
e és 4h. on-1 tnt] 4n| 2|4n-4 4|4n-4 6
07/27 4-1 gn1|\2 |41|2 1-1 |£ 4
4n- snr1 | 4 J | 4%4- 5 | #r- 2n-/
7 DE 4-2 | 3 sa: ? id # Fe J
4-3 ss 2n+ /n 4n-2 4-4,
Ter 4N-3 = 4-3 #3 4 MTS #3 4 e
| ” 4h- 4h- sht4 :s 4n- AL 4h-
4-4 H-4\5 |4H-4 5 |4-4 pt re S LR 57 La | :
44-/ é #H- 2n-{| ên+/ 4n-£ 4h- /
14 A F5 4h-S| 6 sd feat
À 4n- ,#- tnt1| 2n S 4n-J 4n-
DEEE [omperepeee | ae
l n- 4n-3 2n-1| îhe 4-2 4h- ns
| ya à en! RS ons 2n+1 | 2h LS 2n cut 2n 1$. en ans! | En
4H- 4n- 1He1) on "- 4H: n- n-/| 1n#1
SAAB CHÉRRM RM ENT TE
4n-i 4n-J #n-, 2n-/| 2ne/ n-L 4n-4 ne
254 yn-! | 2 La me 4h-1 APR Rs Le an-!
A 4 | 4n- 2e 4n1- IEP TR 2 2H+1/
5H 4 4-2 4n-2 4-2 rl A See
É: 7 H 2n-/ SA 11 4n- 4n- A !
4-3 | 4 4-3 4-5 4-3 H-3 | 4 Lo A
2 | 4h-2 4 LA 6 ni 2n 4n-J\ 5 A !| înr
#4 S ak 5 |#-415 4h-4| 5 re 4n-4\ 5 |4H4-4 fe
| “n-1 4n-J € 4n- 2n-A 2n+ on-2 4 | #n-4 2ns2 Le
doi né sis a 4n-5|\ 6 |4n-S y 4H-S 4n-S
= fi “: 4n- 4n-3 4h- en 2n+/
it 2] |5 ce 2h-1 |?2n°1 éh12 (2-1 |2 £nr2 |?n- ; nr! Fa ên12 . ent2 |\2H-/
#k-/ 4h-J |. an-/| int 4n 4n-2 n- 2nr2| en
ges F 2 in . 2 en 2h41 Ent | 2H = en |£h+/
4h-2 4n tnsZ In ÿ 4n- “E 5h] S | n- 2H-1| 2n+1
(AS
Chacune des lignes parallèles aux deux directions diagonales ,
de ce carré renferme 4n officiers de grades différents et de
régiments distincts.
Si l'on y remplace l'élément s, par A, + a,, le carré devient
panmagique pourvu que les nombres À et a satisfassent aux
conditions :
L'A+ a)
A, + A ne A + Ant a À; + VE = A, + Ages TT —— a
el
Z{A— a)
+ din = 0 + Ann = + Une = UT ns" ie à
Si l’on y prend
À,—10; À,—=änr; “ A —8nr: … À, — (4n — 1)4nr
et
U=a;, A=a+r; a =a+r: ce; an = a+ (En — 4),
on obtient un carré panmagique renfermant les termes sui-
vants, en progression arithmétique :
a; a+r; a+ Dr; ; a + (16n? — fr.
Enfin si, dans ce dernier carré, on fait a — À et r = 1, on
trouve un carré panmagique des 16n? premiers nombres.
Propriétés. — La somme, tant des premiers indices que des
seconds, d’un compartiment de 4 cases placé en n’importe quel
point du réseau formé par le carré symbolique, étant une
constante (8n — 2), la somme des nombres d’une grille de
4 cases placée n’importe où dans le carré panmagique, est aussi
: HAS ,
constante et égale à nn pour le carré en (A, a), à
4a + 2(16n? — 1)r pour le carré en (a, r), à 2(16n? + 1) pour
te ÉÉ
( 19 )
. je carré numérique. Il s'ensuit que la somme des nombres,
. composant chacun des quatre compartiments de 4n? cases
LE . «
“du carré panmagique, est la même.
- La somme des indices des lignes verticales de rang impair
- des compartiments À et B du carré symbolique, ainsi que
. des lignes verticales de rang pair des compartiments C et D,
… étant constante, la somme des nombres des lignes verticales
… correspondantes du carré panmagique l’est aussi; il en est
“ de même des lignes verticales de rang pair des comparti-
ments A et B, ainsi que des lignes verticales de rang impair
… des compartiments C et D. La somme des indices des lignes
… horizontales de rang impair des compartiments À et C du
_ carré symbolique, ainsi que des lignes horizontales de rang
pair des compartiments B et D, étant constante, la somme des
nombres des lignes horizontales correspondantes du carré
… panmagique l’est aussi; il en va de même des lignes horizon-
. tales de rang pair des compartiments A et C, ainsi que des
_ lignes horizontales de rang impair des compartiments B et D,
Enfin, la somme des deux constantes, verticales ou horizon-
…. tales, égale Z(A + a).
por regie” là
Fè-nt
aate de lrt 4
NA S. (he
Observation. — En additionnant les indices des éléments
_ groupés qui entrent dans la composition d’un carré symbo-
. Jique, on découvre les propriétés du panmagique correspon-
- dant; nous nous bornerons ici à celles que nous avons données,
—. mais il existe encore d’autres relations que le lecteur trouvera
. facilement en opérant ainsi que nous l’avons indiqué. On
_ découvre de même les propriétés des panmagiques dont nous
| D on plus loin.
( 20 )
n 1
CARRÉS PANMAGIQUES DU 4° ORDRE ET DE SYMÉTRIE à
Carré symbolique.
Carre littéral.
a a Le]
RAR
a a a LA
AAA
a a a a |
AREAE
7 a a CES
SABRE
: 1
CARRÉS PANMAGIQUES DU 8° ORDRE ET DE SYMÉTRIE Tv?
Carré symbolique.
SSSSSQS
SSSS NS SS
Bu D SI ÈS EE
a
SSSSRENS
(21)
Carré litteral. Carré numérique (*).
BALE LADA) Erlels lee lsele leo)
Eee A) flottes
eee ele) Toletetetelselee
Belette) [éofsejrelreluslelusles
ae Le Eelrlelstelelele
Basse LA) Lelwlelels else)
Biel LA LALAT Lelelestereel lee
ALL) Cheb: ble LA
; k 1
CARRÉS PANMAGIQUES DU 12° ORDRE ET DE SYMÉTRIE 5°
Carré symbolique.
APATPATAAZPAZ
D ere bhe
PET ANA
PAPA AA EArZ2IZ C1
AAA PA EPA
PARACEUA CELA PUR PUALE 24
CAP DA EPA PAPA
able tee,
PPAPCPPAPATE
PANAAAG2AA A
(*) Ge carré se rencontre dans les travaux de M B. Free de Toulouse,
in s'est occupé tout particulièrement des carrés panmagiques à grilles, de
module 8 (de symétrie >)
(22)
Carré littéral.
« CES a _ PA <a a FA a <a
2742 Hot] 47 |/38? 12/3312] 97 |1357| ÿ? |/Yx
ET « «a j a «a ET «a LS < a «
Hal ss |agsl 154 |'e7 2 F2 eor| 222 222) sat} sel a+
Ca mn EP] m em a LES - … “« a «
Put 8x 86: | 6t| 282] #2: 391|/092|1 33% | 71/4] J/2 1/34
LS Le <« a a ET « ES _ a a «
. JXr|/osal 39e log: 4/2 se: | 20e | 98+| #44 |/o0:|vt4
HE
a [2 a a . A 5 < ES « Pr FE
232 |/ern | 7e |/232| 9e vesel 127 |/402| /4a | /28:| /6+| 1262:
a m 7 e ES «a C2 LS LS _ « FA
1882\ 34% | not] 32%] /122| 307 //92t| 251|//72| 272 | /S1]| €.
PPS ERP ER Pa
Carré numérique.
AE TU
A A 2 CE
GE Ca A A
etape flo teeqetes
20000000 ORE
alelefelefe pre lepr|e
2 2 EE CEE LA CA
DUDUBS Un.
eee
090004002070
Er bebrelerelert tent ertetor
D © ©
# (23)
2 HYPOTHÈSE : k — 2.
Carré symbolique d'ordre 8n et de symétrie de
&k- Éa 7 8-1 ee ?
"1 #8 8h-3, #H- LE ” LE
| sh 5 mn TE ne dut æ
dh-£ ë, pra DL A Fa se Di
#) É. d-3| J = 2 Hs 7 A 1 es 2
à = 6 | #n- LE FAN H-J £8n- Fa
Le TA #H-J Us ds LE ct LL PAR] 8H-3\4 |8n-t …_
1 _e 4) 4n- #H- 4 | &n-£ 6 | &n- & | 4n-6
4 4 x FE Pr 3 ane ee
L: | sn nrj Ps ge re A
6 . us _. mr A gs ee? ri de
d 2 | 4-1 LE en Re 4»- a
hi 7 |} ee F5 te re nc
#n- &n- £n- FA 5 7 Fe
= Arr He 4 "7 a |
gr 4 dn-J Se #n-} ps Er, " TR
Le _ an sr &n-1 4h 72
: E: 4 Le &n-2 4h-4 £h-
3 ‘fl 8h-/ 4x-/ {n #x-/
“4 Sr 6 A: _ 4x-J 4H-
à4ù ee dpi 4n-J| 4 - gn-2 S UE Fa
_£n Fe ae & | 8n- £H-i 4u-J FES Fa
Le LA 5 " 8-3 727 4 _. 7
nn 4 8x- Lé sn 4-1 #4- #h-
| PR da rer re er m2 sh-S "+ = 415 ne
r48 &n #n-} . Te éh- 6 | 4n-6
‘4 ms — 1 Ts 1723 + 4 #H- ra 4
. d #4 jf Us #x- 4n-3 #x- » TE
7 "1 da pee Sn a E 6| 7
4|4 se én-/ FAT
LA Pr) re re éxZ F
id = ES pe Fa | Pr 4
En particulier, on trouve pour n — 1 et pour n — 2, les
panmagiques suivants :
: Ë |
CARRÉS PANMAGIQUES DU 8° GRDRE ET DE SYMÉTRIE — «
2
Carré symbolique.
Carré littéral.
€ a a a a « æ
BAR
a a ES « « cuENe a
SRAABAAE
Ca a a a & a a a
ARBRE
a « a a a a «x a
BABBEBAEAE
LS a m a æ | a
RABAAREAE
… a a a PA ES — cm
AFABRAARE
a = a a a a « a
GRAABARE
ps m pr ES a a a =
&
“
"ne
GA APE
CAE AAA
GABA
AMAACUEAr
CEA CA CA EEREA
Carré numérique.
CEE
eee
apafepefalelerts
Etepelefupepefe
Bbtetetels le
GORGUNE
Fe [rsbepree te pres
Prtotefreelele
CT
(25 )
ES
CARRÉS PANMAGIQUES DU 16° ORDRE ET DE SYMÉTRIE —-
Le
Carré symbolique.
RECETTES
PA EACAD CAP D CA PA CA A A A AL
ep deEee Lee
PAPAPANE PAPE ZE
2PDADP BE ADR ER
PAPA AAA APP ACPLE
D cbbeerreer
PA CATA PAPA CAP PA PAPA PA TA ER
AAA CA AAA A AA AA AA EP
Bale pa epepeefs Late pee. pas Le
DO PA 2 PA PA 2 AA A A Ce
PPDDPDAP ARR DATE
ete eee Pole peepuje vejrprle
A A AE A AA PA AA A A EP
nr cebrerebtt
PAZ AAC AC AA D AP AC
A
Carré numérique.
CEE TEETERET EE
Palette foule toute fret foto pete tt
Prfeaefelutertele People felete
eleleebole tele leleteepeleprefe
eretretaetoelepetefpeeete
PA 2 A CC
D PP EE
pafeterte fee fente fore frfeefen er
Eefeie tefefes ete fe
Eafeteetefed spi
Epettepepee tartes Fe
etaletetepelelelelrleelerlrefrfee
eee tetrtdetaleteteteletelr
41|uS|/55|/01|/37
PRE Pen EC 2
Re
<
CE
a
Ÿ
NS
é
La
S
js
te
a
re
"©
es
(8
E
ha
S
=
+
DS
&
SG
ha
Q
K
&
ER
Sn
N
ha
N
fo
$
I
S
LU
ré] ve arol cela l ac [raclée leo ee ete ee
ME en re PR re
1e
K° HYPOTHÈSE.
_ Carré "Hnperque d'ordre 2k*1n et de symétrie £
Posons, pour plus de facilité dans la notation, 2*1.n — m;
| nous allons indiquer la composition du carré des premiers
= indices c’est-à-dire du carré donnant la manière dont il faut
| disposer les régiments POBr obtenir une solution panmagique :
ES: PREMIÈRE VERTICALE.
7. -
_ Amd; à :Mm—3; 5 :M—D; 6e Rd de
M : 2 2
2 m2, £! ;m—4; 6 :;.…. 5 + à
_ PREMIÈRE HORIZONTALE.
Période :
M 2 Ml; 3; me 2: 4: m—3; …; 2421,
D | m—9" 442, 2%. m—2%1+1,.
DEUXIÈME HORIZONTALE.
| Période :
; DRE Am 93. m — 2-14 1:
ml; 2; m; 1;
$ Qt. mit 2; Ji 1,
_ La-suite de ces indices est celle des indices de la première
ie les éléments de cette ligne pris 4 à 4 étant écrits
en sens contraire.
AUTRES VERTICALES. — Les autres lignes verticales, dont on
connaît deux éléments, se déduisent facilement de la première,
_ par symétrie.
Le carré des seconds indices, c’est-à-dire le carré donnant
h manière de disposer les grades, est l'inverse du carré des
( 28 )
premiers indices : en d’autres termes, les lignes horizontale
de l’un sont les verticales de même rang de l’autre.
Par exemple, si nous prenons k == 3 et n — 1, nous obte-
nons le carré suivant :
Carré symbolique d'ordre 16 et de symétrie =
APArRAPAEPAP EAP
PAPAPACTEAP7A227E
EPAB2AZAEZ 2722 AC
DOPAGE CAAPTPEEZAr
GPAP2AA2A22PAA0C2rA
CPP AE AA EPA A FA
PCOCAPAC AAA BA
DREACA PA A ACAEA PACA AAA AE
GBABASEP2ACAT AZI
PAUAZ2E2TA27A7A2EZ
ZA AAAET7Ar AAA
Re nana ne
PAEAUATA LA TA EATA UP EAP CTP AZ
CAAAPAA2ACA2AAAL
GAAP2PPABTA7ATAZE
CAEA PA A CA CAEAL2 AAA CA AAA
Ce carré donne naissance à un panmagique numérique des
256 premiers nombres qu’il est facile de former en remplaçant
le symbole s, par (s — 1) 16 + £ et à un panmagique littéral
(en progression arithmétique) en remplaçant ce même symbole
par a +[(s —-1)16+{(t—1)]r..
LS IRIX
Observation. — Puisqu’il est impossible de disposer en
carré m2 — | (2n + 1)22{° officiers de m régiments différents et
È
:
3
(29)
de m grades distincts de manière que, sur chaque colonne
horizontale et sur chaque colonne verticale, il y ait :
1° m officiers de chaque grade et de chaque régiment,
SLA = 14 et n = 1,
2 2P groupes identiques de (2n + 1)2*—? officiers de grades
ou de régiments différents, ss k=pZ>1 et n >1,
nous en concluons qu'il est aussi impossible de former les
carrés panmagiques correspondants.
Il existe aussi des carrés panmagiques dissymétriques, c’est-
à-dire ne répondant pas au problème des 56 officiers d’'Eulér,
problème que nous avons généralisé; voici, pour terminer, un
exemple de carré panmagique symétriquement dissymétrique,
dont chaque ligne horizontale, ainsi que chaque ligne verticale,
renferme 16 officiers de 8 régiments différents et de 8 grades
distincts :
Carré symbolique.
GPA CAT
CPAVA AAA
13
PAP A2 PAPA
APP AP PE ZE
ln taf Re AU le Pre
AP PAP AAC AE
AU PAPAPADEAAUPrA
APP A0 EN 202
ANA CIRE
AAC POP AT
PCA PAPA AAA
| 1/04! #5) Snlée Vol 35) 41] al ro Ge En |E2| dy 09
PAPE PP PE
GAP APEB CAT BEA
( 30)
Carré numérique.
see enfer eteete fupote
aofefo etape fetoprpe
l 244
Perdfrrfropeponrepre(er far
feel tete tete etes
eee Pace jee
Htrlotepeste
epoper
Later fr tete
ele feteprte
2e
18 we
raererfrafre
pertes fouprnfes
eee breprefotesfecpederteelreerten
eee CE
PE A EE PA SES EC
Ce dernier carré renferme, entre autres propriétés, 128 com-
partiments de 4 cases tels que la somme des nombres qui
composent chacun d’eux est constante et égale à 514.
Des conditions de magie horizontale et de magie verticale
d’un carré magique d'ordre pair, 1l résulte que la somme des
nombres de chacun des quartiers opposés A et D du carré est
la même, ainsi que la somme des nombres des quartiers
opposés B et C. Nous avons rencontré des carrés panmagiques
symétriques d'ordre pair dont les quartiers A, B, C et D
étaient tous égaux; observons, pour terminer, qu'il ne peut
exister de tels carrés panmagiques dissymétriques d’ordre
2(2n + 1) pour n Z 1, car la somme des nombres
e
“ae
LAN
#0
‘e
Los
DS 5 C0 ER.
SSI
% | »
AE
NS
IS
%
»
+
d
le
S
W&
&
+
À
ÿ,
œ
Ÿ
CN
es
S
M
S
STE
$
à
ES
nn
VW
s
à. 7
+
#4
»“
S
-
Le
|
ss
&
x
Ny
ve
be”
Nu
+"
<
a
à
LA
à
“
x
$,
S
S
de
Ce
Q
ARTE
«
AT
NE
NN NS x LEA a
RRREERER
CG
Q
Na
$
“
re
=
a"
œ
fe
NS
&
no
Le
La
“Q
mn
Pe
+
%
le
LS
LPS
Lee
Si
NS Fo)
CE AAC pes S
SÉNAE
N
a
à"
SRÈEELS
% | © à
Ao
+
à. *
*Q
“
ha
Lu
IG E
PE
La)
1£8#
“ x
5
Q
GIE
GE
À
TS
e*
Q
S
N
»S
LL]
\
à PR RO , 42n + 17,
qui interviendraient dans ces carrés, n’est pas divisible par 4.
rés panmagiques dont les termes sont en progression
ométrique; on déduit les propriétés des panmagiques géo-
ICation.
Liége, mars 1913.
ALAtAL
L 4 ea « L
re L L
Je « F Le a.
er.
og
LI
cn: LL L
ni =.
F Si
An
ae
Er
LS re
L)
2
dd à,
24
D
4
i
Li
À
*
Ou
er
FRMAUT M
v sp DE + — n 3
# » = re >
; 4 er |
D S "
«% Es
û Pu … :
et FE af PA D > d L
ë a à |
ne …
re
dé
RS
He :
ps
£ à
\RRE MAGIQUE DU 16° ORDRE
SYMÉTRIE COMPLÈTE
PAR
M. ÉDOUARD BARBETTE
V2
CARRE MAGIQUE DU 16 ORDRE
LA
SYMÉTRIE COMPLÉÈTE
+ s » Lo
PÉPPABPEE ÉÉBBRE LS
: a z ea
CA 5 & CA ec LES
D Æ 2 =
< | < SX X
| en”
a | S
DS
Pi
£
Ce carré donne une solution du problème des 36 officiers
d'Euler étendu à 162 officiers, A,a, représentant un officier de
: chacune des lignes horizontales,
t r et de grade s
£
régimen
(4)
comme chacune des lignes verticales, renferme 16 officiers de
régiments différents et de grades différents; les deux diago-
nales possèdent en plus la même propriété.
Si l’on y remplace l'élément A,a, par (A, + a,), la somme
des éléments de chacune des bandes horizontales, de chacune
des bandes verticales et de chacune des deux diagonales est
constante. Si, de plus, on y fait
A,= 05 À, — "16 AS ON ERREUR
et
Œ—=d; Da +r,; G—0Q+Ûr; ...: 043 — A PAST,
on obtient un carré magique renfermant les termes suivants,
en progression arithmétique :
a; a+r; a +Ÿr; a +3r; ...; a + 255r:
enfin si, dans ce dernier carré, on prend a = 1 etr — 1, on
obtient un carré magique des 256 premiers nombres de con-
stante 2056.
Ajoutons, pour terminer, que le carré donné est géome-
trique : le produit des éléments de chacune des lignes hori-
zontales, de chacune des lignes verticales et de chacune des
deux diagonales est constant. Si l’on y fait
À, = 1; A 765 À, 78: À, =
UŒ— A; A —=Q0T; A—Q; . .; A = UF,
on obtient un carré magique géométrique, dont les termes
sont en progression géométrique et dont la constante est
a1672040
Le problème général, pour m? éléments, se trouve traité
dans l’ouvrage que je viens de faire paraître sous le titre :
Les carrés magiques du m° ordre:
SUR
LA GOMPENSATION DES ANGLE
QUADRILATERE
M. KRAIÏITCHIK
Le 4
(EL + PY
DE
AIT *:
ET :
TVR N
“, jar
E
dE A 02° TIRE
n4 dE Ov Le
ho MT The D CRE
# À : eh »
u, $ '
PR te
KR Pete
ES s s
* 1 sd
LE
À
C
Le 0 CAR 2 T7
LA COMPENSATION DES ANGLES
D'UN QUADRILATÈRE
_ Désignons par a, la valeur observée de l'angle à (à — 4, 2, 3,
(4
On aura les relations suivantes entre les valeurs exactes des
angles a, :
ds + di + & + 43 = 180",
dy + 43 + di + a; = 180", (1)
ds + Q5 + d6 + à = 180",
a + 3 + 45 + à = 180",
sin 4, sin @ Sin @, Sin 4, — Sin 4, sin 4, sin 4, sin @g (*). (2)
En général, les valeurs observées a, … des angles ne satisfont
pas aux relations (1). Soient C;, Co, C;, C; les erreurs de
fermeture des quatre triangles DAB, ABC, BCD, CDA, et y, la
correction de la valeur de a,, en vue de satisfaire aux rela-
tions (1), c’est-à-dire
CG = 43 + + @ + 43 —180° où y + Yi + Ye + V5 = —C
Ce = 9 + 03 + di + as — 180 » y + Ya + Yi + Y = —C, (3)
CG = 4, + 0 + de + 47 —180° » y + Y + Ye + Y—= —Cs
C,= 4, + à, + d3 + 4 —180 » y; + y + Ys + Y = —0C
Les équations (3) ne forment que trois équations distinctes,
car les erreurs de fermeture ne sont pas indépendantes
(C1 + Cs = Co + Cu). |
Cependant, on ne peut pas prendre cinq valeurs de y; arbi-
traires pour en déduire les trois autres, car les différents
déterminants du 3° ordre qu’on peut déduire du tableau
1:11 0007061
0 LAIT 0700
DOME TED
1 0 070 0 2204
sont nuls
(*) Pour démontrer cette relation, on écrit les proportions connues et on
les multiplie membre à membre :
DC DA DA AB AB BC BC CD
= _—
E Te , = = à 5 = + =
SIN 44 SIN Œg SIN 43 SIN g SINn Gy Sin Go SIN 7 SIN y
La relation (2) tient implicitement compte de la grandeur des côtés du
quadrilatère. C’est pourquoi elle est dite « relation due aux côtés ».
(5)
1° fl serait logique de supposer que y; est une fonction
_ linéaire de deux valeurs de C se rapportant aux deux triangles
qui renferment cet angle, c’est-à-dire de poser
D 1 — kC, na IC, Y—=kG+IC, y= kG+IC, = kC + lC,
N: p=iC+IC Y:— kCi+ ls, y — CG +IC, yes = kC + C4
En substituant ces valeurs dans ys + Ya + Ye + Ys = — Cu,
on aura
KG + C + ©) + H2C, de LIT Cr
ou
(EE (20, EC + C) = — 0
ou, puisque
ÉOEULC,
(& + 1) (80 + GC) = — CG;
de même les autres équations donneront
(k + 1) (3C, ns C) = — Cy
(k rt Î) (8C; +E C)) FN Cs,
(k + 1) (80 + C) = — C,
système, en général, incompatible.
2 On peut admettre que chaque correction y, est une fonc-
tion linéaire de deux erreurs de fermeture de deux triangles
dont l’un contient l’angle en question, et l’autre est formé par
les trois sommets restants. Ainsi
nm kC, + IC, W— kCe + ÎCs Ys— kC, + IC, Ya — KG + IC,
3 : Fous kC 4 IC, Ye —= kC, 2 IC; = kCs + Co = EC, + Ce.
(6)
Le système (3) devient
k(3C4 si C:) + l(3C; 4 C;) ET C,,
k(3C, F C) Se KBC, nu C:) TT C,
|
—+-
k(3C; + C,) l3C, + C3) et Et
k(3C, + C:) l(3C, - C) ü DEA CG.
En ajoutant la première et la troisième (ou la 2 et la 4°),
on obtient
4k + A = —1.
- En les retranchant, on aura
— 2 + A — —1,
d’où
FR D
—3 1
Ainsi on peut adopter
By, — —3C+Cs Sy = — 30 + Cy 8ÿs = — 30 +C,
Sy: Hs NT 3C:; do C,
8y:—= — 30 + C&, Sy — — 30 + GC, Sy; = —3G FC,
dpi -BCJE) &
(4)
Les angles corrigés a; = a, + y; sont tels que les nouvelles
erreurs de fermeture sont nulles, les relations (1) étant vérifiées.
En général, la relation (2) n’est pas vérifiée. On peut l'écrire :
lg sin a; + lg sin a; + lg sin a; + lg sin «
— Îg sin a; + lg sin a; + ‘lg sin a; + lg sin ai.
Soit
D — Zg sin a;,_, — Ëlg sin a;, (1 =4 264
(0 )
et À, les différences tabulaires de {g sin a; par 4/! (i = 1, 2,5,
4, 5, 6, 7, 8). Soit encore
SA?
ee pe
Les corrections
2 Aÿ (5)
=:|
_ appliquées aux angles a; auront pour effet de rendre D — 0,
comme l'exige (2).
D’après (5), la correction z;, (en secondes) est positive (ou
négative) pour tous les angles de rang pair (ou impair) et
négative (ou positive) pour tous les angles de rang impair
(ou pair) suivant que D est positif ou négatif.
Cependant, dans le cas d’un angle a; compris entre 90° et
180°, le signe de z,; doit être changé, car le sin décroit quand
l’angle croît entre 90 et 180°.
Après avoir corrigé les angles a; de la quantité z,, on constate
que la relation (2) est vérifiée, mais (1) n'existe plus. Les deux
corrections agissent sur a, au détriment l’une de l’autre.
Cependant les erreurs de fermeture diminuent, donc les nou-
velles valeurs sont plus rapprochées des valeurs exactes.
Comme dans la méthode des approximations successives, on
répète sur les nouvelles valeurs a; + z, le même calcul pour
en déduire des nouvelles valeurs encore plus rapprochées, les
erreurs de fermeture et les D — Zg sin a,;,, — Ëlg sin a,, dimi-
nuant continuellement.
En pratique, deux applications de cette méthode donnent des
valeurs assez rapprochées des valeurs exactes pour pouvoir les
remplacer. |
(+8: )
EXEMPLE NUMÉRIQUE :
Compenser à moins de 0”1 les angles
a — 11°10'01/8, as — 141804",
a; — 16°59'0412, as — 17°05'00/'4,
a; — 103°44/16"2, a: — 10538390
a = 4438196, as — 48206276.
On trouve
Ci = —< 1008 UC ASS
Gé 26, CE HE,
C+Cs=—128 — -128= GI,
On dispose le calcul de la manière ci-contre (voir tableau, *
p. 9).
Dans la deuxième colonne sont inscrites les valeurs obser-
vées. Dans la troisième, les corrections telles qu’elles résul-
tent des formules (4); dans la colonne suivante, les valeurs
corrigées des angles. On n’a recopié que les secondes. On a
relevé la somme de ces colonnes en vue de vérification. La
différence de 02 provient de ce qu’on a négligé dans les cor-
rections les décimales donnant les centièmes d’une seconde.
Dans la colonne suivante, on a inscrit les log sin des angles
corrigés dans deux colonnes pour les angles de rang pair et
impair. On trouve D — 1026 (dix-millionièmes).
Puis on trouve ZA? — 28194, q = 27.8.
Les corrections pour les côtés sont inscrites dans l’avant-
dernière colonne.
On répète la même opération avec les valeurs corrigées (voir
lableau, p. 10).
Les nouvelles erreurs de fermeture sont :
GC, 2546n6 C, = + 0",
GÉRÉE HRSEET
(9)
8116090087 Lu0 +
OuYEISEGOT | Gui0 +
YA0GYOoLY GG +
EuO/8VoYF Ou6 —
F4008So7Y 810 +
G10GYYoEOT | Gu0 +
AT AC Guo +
GuSGI6007F GG
9109
“99811109
say Inod
D UOT199J10")
Y6Y8G
TG" LSE
10°98
SG 097
9L 5589
TG SYY
10 95
V9LY
9S"69ETT
S'LG — GOT : 767 SG —
9GOF — 0LS9 — 961 — A
0ZS97S9 96SLYS9
b
6'8T L6OSFLS "6
VAL 0LSL86 "6
S 89 LYLG6L9Y"6
9°c8 GSSLGGE "6
TG OLLT6YS "6
F$ YCO6L86 6
069 9S66S97 "6
9°90T 9F70L8& 6
uv] utS 61 uIs 67
©Gu10 —
F,66
YATE
6196
6u1L0
61G
Lu0G
Li0Y
Yu66
‘99811109
IN9[8A
Ouot +
Guy
Guy
Gu6
Qu
Luy
Guy
C9
LATE
‘U0199110")
8404 — 009€
91LG,90c87
LuG686060T
Yu00SOcLY
LuVO/8VoYY
9161:8G0YY
Gu9V,FFoEOF
GY016G09T
8:10/0F° TT
*29A19540
IN9[PA
"a[SUY
(10)
610 + 609€
0690087
Guy6/860€0Y
9,66#Y00LY
FEY08VYY
GuTGi8GeYY
0,FGiÿYo€0T
F6 V6Go97
Gu$S,600FF
“29511109
INATEA
0,0
0,0
00
0 +
0,0
0,0
010
O0 +
"S9109
sat Inod
UOID9I10")
LEE 09 > 1669. (
LE69
7S69
9TI8
OOLS
6666
CSGL
E8LT
6006
GGI9
&600
us #7
0,0
10€
SUYE
946$
O1Y0
6,1
OuVG
V6
8,66
‘99811109
IN9EA
GO +
£u0 +
E407 7?
GO +
£a
Gi0 —
0 +
FO —
Ga0: +
*U0129110")
GO — °09€
8116890087
9uYEISE0EOT
Yu6GYOoLY
64Y0,8ToYT
15618G0YY
G10GiYYo60T
Gui6Vi6Sc9T
GuSC60oTT
*99A49540
INA[LA
4)
Pour les log sin, on n’a besoin que des quatre derniers chiffres,
car les angles sont peu modifiés pour affecter les premiers
chiffres. On n’a pas besoin de recopier les deux colonnes
intitulées Ag sin/1''et 4, car ces colonnes ne sont pas modifiées.
Les valeurs définitives sont inscrites dans la dernière
colonne.
L'erreur de fermeture ne dépasse plus tr:
On trouve
bc, — CE OT.
Ces valeurs peuvent être admises pour les valeurs exactes
à 071 près.
REMARQUE.
Toutes les formules restent applicables à un quadrilatère
concave, sauf quelques changements de signe dans (1) et (3),
pourvu qu'on numérote les angles comme ei-contre.
A
LES
ACTIONS PONDEROMOTRICES
DES
CORPS ÉLECTRISES
PAR LE
D' S. PIENKOWSKI
Mémoire couronné par l’Académie royale de Belgique
dans la séance du 17 décembre 1912
LES
. ACTIONS PONDÉROMOTRICES
DES CORPS ÉLECTRISÉS
PREMIÈRE PARTIE
CHAPITRE PREMIER
Recherches qualitatives.
$ 1. — Toutes les recherches historiques confirment que la
première observation d’un phénomène électrique fut celle
de l'attraction des corps légers par l’ambre frotté; le fait a
été constaté par Thalès, de Milet, l’un des sept sages de la
Grèce (640-548 av. J.-C.). Ce phénomène est resté absolument
isolé pendant plusieurs siècles et on l’a attribué exclusivement
à l’ambre jaune comme étant sa propriété particulière.
Quelques centaines d'années plus tard, cette propriété a été
aussi observée pour le lynkurion par Théophraste (né à Érèse
571-286 av. J.-C.); toutefois on ne peut préciser quel était le
minéral désigné par le nom lynkurion. Théophraste dit, de plus,
que le lynkurion attire non seulement la paille et les brins
de bois, mais encore les morceaux de cuivre et de fer.
(=)
Dans les écrits de Pline, notamment dans son histoire
naturelle, on retrouve que le minéral carbuneulus possède la
propriété d'attirer les corps légers après avoir être frotté.
Pline à remarqué que la même propriété apparaît lorsque le
minéral est simplement chauffé au soleil. On ignore aussi quel
est le minéral désigné par Pline par le nom de carbunculus;
il est pourtant probable qu'il s’agit de la tourmaline (*).
$2. — Un progrès n'est réalisé que seulement au XVI: siècle
à la suite des recherches de William Gilbert (**, qui prouva que
la propriété d'attirer les corps après le frottement appartient
à une classe très étendue de substances, parmi lesquelles il
mentionne (***) le verre, la cire, le soufre, la colophane, le sel
marin et de multiples pierres précieuses. Il à montré, de plus,
que le frottement est nécessaire pour faire apparaître l’attrac-
tion et que certains corps ne sont pas capables d’être électrisés,
notamment les métaux qui ne s’électrisent pas par le frotte-
ment.
Versé dans l’étude du magnétisme, 1l appliqua la même
méthode à l'étude de l'attraction électrique. Il fixa une tige
de trois à quatre pouces de longueur sur une pointe, ce qui
permit à la tige d’osciller librement ainsi qu’une aiguille
aimantée. En approchant les corps frottés, il constatait la
déviation de la tige. De cette façon, 1l a pu constater que
tous les métaux, le bois, les pierres, etc., subissent l’attraction
électrique. Pour l'étude des liquides, 1l suspendait une gout-
telette à un corps sec et, en approchant le corps frotté, il
observait que la gouttelette sphérique prenait la forme d’un
cône, dont le sommet était dirigé vers le corps électrisé. Dès
lors 1l classa tous les liquides parmi les corps qui sont attirés
par un corps électrisé. Au contraire, les corps incandescents,
(*) J, GC. POGGENDORFF, Geschichte der Physik, p. 34.
(**) Gilbert ou Gilberd, né à Colchester (1540-1603).
(kk*) GIULIELMI GILBERTI, De Magnete, Magneticisque corporibus, et de
magno magnete tellure. London, 1600.
de.
(5)
les gaz, les flammes ne seraient pas, d’après Gilbert, influencés.
Il à remarqué pourtant qu'une fumée épaisse est sensiblement
attirée (*).
. En comparant les actions magnétiques et électriques, il
constata que l'attraction électrique était promptement détruite
par l’interposition d'écrans, tandis que l'attraction magnétique
n’était pas influencée.
Il est étonnant que Gilbert, travaillant avec l’électricité de
deux signes du verre (+) et du soufre (—), n’ait pas remarqué
la force répulsive, mais cela s'explique par le fait qu'il sou-
mettait toujours un corps non électrisé à l’action d’un corps
électrisé ; c'était donc l’action des charges induites qui se mani-
festait dans tous les cas. |
Gilbert expliquait les phénomènes observés par la présence
d'une sorte d’atmosphère matérielle entourant les corps
électrisés, qui serait libérée par le frottement. Pour lui, la
matière ne pouvait pas agir là où elle n’existait, et puisque
un corps électrisé attire les corps qui l’environnent, il doit
être entouré d’une atmosphère matérielle (**). Le phénomène
d'attraction lui apparaissait analogue à celui de l'attraction des
corps par la terre, et il assignait à l’air le rôle de fluide, dont
le mouvement serait la cause de l’attraction dans ce dernier cas.
Ces idées ont été soutenues aussi par d’autres contempo-
rains de Gilbert, notamment par Nicolas Cobeo, Sir Kevelen
Digby, Robert Boyle et d’autres. Certains écrivains d'époque
imaginaient la présence d’eflluves formant des tourbillons
autour des corps électrisés.
Les recherches de Gilbert furent reprises par Nicolas
Cabeo (***), qui a ajouté les noms de quelques corps capables
(*) Joan CarL FiscHer, Geschichte der Physik, p. 239, Bd. II, Gôttingen,
1802.
(**) E. T. WHITHAKER, À history of the theories of aether and electricity.
Dublin, 1910, p. 30. |
- (**) Philosophia magnetica, inqua magnetis natura penitus explicatur… ;
autore NiCOLAO CABEO FERRARIENSI, Societ. Jesu, Coloniae, apud Joannem
Kinckium anno MDDXXXIV. :
(6)
d’être électrisés par frottement à la série étudiée par Gilbert :
c’est le cas, par exemple, pour la cire blanche et le gypse.
Cette liste a été encore allongée par Robert Boyle (1627-
1691), qui montra, de plus, que l’action attractive ne dépendait
pas de l'air, car en plaçant l’ambre dans un vase d’où il
extrayait l'air, il observait les mêmes effets.
On suppose (*) que Cabeo fut le premier qui ait observé une
répulsion des corps légers après qu'ils étaient d’abord attirés.
Pourtant Poggendorff affirme (**) que ni Cabeo ni les physi-
ciens florentins, étudiant après lui les phénomènes électriques,
ne parlèrent que de l'attraction.
La répulsion, sûrement constatée comme due à une électri-
sation, à été reconnue par Otto von Guericke (***), qui avait
produit des quantités plus considérables d'électricité au
moyen d'un globe en soufre tournant autour d’un axe.
D'autre part, Hawksbee, quoiqu'il disposàt aussi de charges
assez grandes et de signes différents, produites par le frotte-
ment avec la main sur des sphères tournantes de susbstances
différentes, n’a pas observé la répulsion, quoiqu'il ait été
un observateur remarquable, ainsi que le montrent ses tra-
vaux (”).
C'est seulement après la mort de Hawksbee (1713), que la
science électrique s'enrichit par les recherches de Stephan
Gray (1756) et, au point de vue des forces pondéro-
motrices, 1l est à noter l’observation que l’action électrique
s'exerce à travers le vide, ce qui avait été déjà constaté par une
autre expérience par Boyle, et qu’elle n’est pas empêchée par
un aimant.
(*) E. WITHAKER, À history of the theories of aether and electricity,
p. 31. « … Nicolo Cabeo an Italian Jesuit who was perhaps the first to
observe that electrified bodies repet as well as attract. »
(**) J. C. POGGENDORFF, Geschichte der Physik, p. 832.
(***) OTTONIS DE GUERICKE, Experimenta nova (ut vocantur) magdeburgia.
Amsterdam, 1672.
(iv) HAWKSBEE, Physico-mechanical experiments. London, 1709.
“gi
Dans l’entretemps apparaît l'ouvrage de ’s Gravesande (*),
où cet auteur attribue les phénomènes électriques à des vibra-
üons produites par le frottement dans un fluide qu’il suppose
inséparable des corps électrisables. Le verre contiendrait à
l'intérieur et autour de sa surface, d’après ’s Gravesande, une
certaine atmosphère qui, par le frottement, est mise en vibra-
ion : ce qui est la cause de l'attraction et de la répulsion des
corps électrisés. Le frottement dérange l’état d'équilibre des
particules, qui, à cause de leur élasticité, entrent en vibration
et communiquent leur mouvement au fluide environnant.
Dans la suite, on en revient à imaginer des mouvements
tourbillonnaires de ce fluide. Citons comme défenseur ardent
de cette idée Jean-Théophile Desaguliers. 11 y a plus. On voit
les tourbillons qui ne constituent plus une supposition, mais
une réalité accessible à nos sens (**). On en trouve facilement
la preuve dans le fait qu’en approchant un corps électrisé du
visage, on éprouve la même sensation que si l’on avait ren-
contré un fil d’araignée.
$ 3. — Les recherches de Stephan Gray avaient attiré l’atten-
tion de ses contemporains sur les phénomènes électriques, et ce
sont surtout les travaux de Charles-François du Fay (1698-
1739) qui firent alors progresser la science électrique. A la suite
de ses recherches (***), 1l formula clairement et envisagea dans
toute leur généralité les lois qualitatives des actions électri-
_ques. C’est le même auteur qui a établi le premier l'attraction
des corps chargés d'électricité de deux noms et ce fait lui a
permis d'établir la distinction de deux espèces d'électricité.
Il énonça clairement qu'un corps électrisé attire tous les
corps qui ne le sont pas, mais lorsque ces derniers touchent le
(*) WILHELM JACOB S'GRAVESANDE, Physices elementa mathematica expe-
rimentis confirmata. Leyden, 1720.
(**) Histoire de l’Académie royale des sciences. Paris, 1733, p. 6.
(***) Mémoires de l'Académie des sciences. Paris, 1733, pp. 23, 73, 233,
457; 1734, pp. 341, 503; 1737, p.86. — Phil. Trans., 1734, XXXVIIT, p. 258.
(1:94
corps électrisé, l'électricité se répand sur les deux corps et
ils se repoussent, Du Fay attribuait les actions mécaniques à la
présence des tourbillons d'un fluide subtil qui se trouve dans
l’espace entourant le corps électrisé. Une feuille d’or
rapprochée vers un tube en verre électrisé serait enveloppée par
ces tourbillons et ainsi attirée, mais au moment du contact
elle acquerrait elle-même des propriétés électriques et s’entou-
rerait de ses propres tourbillons. Deux systèmes de tourbillons
tendant tous les deux à s'étendre se repousseraient et, puisque
l’électrisation du tube est plus forte, ce serait la feuille d’or qui
serait repoussée. Il était donc certain pour du Fay qu’un corps
électrisé par contact avec un autre est repoussé par ce dernier,
mais il alla plus loin et il s’est demandé s’il serait également
repoussé par un autre corps électrisé (*) et si deux corps de
diverses natures étant électrisés ne diffèrent que par l'intensité
de leur électrisation. Pour résoudre ce problème, 1l avait
chargé la feuille d’or par contact avec un tube de verre élec-
trisé et en rapprochant un morceau de copal préalablement
frotté, il avait constaté que la feuille d’or, au lieu d’être
repoussée, était attirée. En poursuivant ces recherches, 1l con-
stata que lorsque la feuille d’or est électrisée par contact avec
le verre frotté, elle était attirée par toutes les substances rési-
neuses électrisées et qu’elle était repoussée par ces dernières
lorsqu'elle était attirée par le verre. Il y à donc, conelut-1l,
deux électricités de natures différentes, et les corps possédant
l’électricité de même nature se repoussent, tandis que ceux
possédant l'électricité de nature différente s’attirent. Pour les
distinguer, 1l leur avait donné les noms d'électricité vitreuse et
résineuse.
Cette distinction nette de deux espèces d'électricité et
l'énoncé clair des lois générales de leurs actions mutuelles
firent époque dans la science électrique.
Plus tard, Jean-Théophile Desaguliers (1683-1744) continua
(*) Mémoires de l’Académie, 1733, p. 464.
(98)
les recherches expérimentales (*) et montra, d’une façon
ingénieuse, l'attraction subie par l’eau en faisant dévier la
veine liquide par rapprochement d'un tube de verre électrisé.
Dans la première moitié du XVII siècle, l'abbé Jean-
Antoine Nollet publia divers mémoires sur les phénomènes
électriques et leur à donné l'explication qui était en vogue
dans son temps, bien qu’elle fût de beaucoup inférieure à celle
de du Fay. Nollet supposait que les phénomènes électriques
sont dus au mouvement d’un fluide très subtil, toujours pré-
sent dans tous les corps (**). Le frottement aurait pour effet de
faire écouler le fluide à travers les pores du corps; le fluide
retournerait dans le corps par un autre courant. En plaçant un
corps léger soit dans l’un, soit dans l’autre de ces courants,
on observerait l'attraction ou la répulsion. Ces idées ne pou-
vaient pas résister à l’épreuve de l'expérience, et bientôt les
travaux de Benjamin Franklin (1706-1790) en montrèrent
l'impossibilité.
La théorie d’un seul fluide, dont les premières idées ont été
émises par William Watson (1715-1787), qui attribuait les
actions électriques (***) à la présence d’un « éther électrique »,
a été d’une façon indépendante développée par Franklin, qui
n'avait pas eu connaissance des travaux de Watson. Franklin
admettait que les particules du fluide électrique se repoussent,
mais qu’elles sont attirées fortement par la matière. L’électricité
vitreuse étant due au surplus de fluide et résineuse à un
manque de celui-ci, l'attraction des corps chargés de deux élec-
tricités différentes et la répulsion de ceux chargés d'électricité
vitreuse devenait compréhensible. Mais l'expérience montra que
les corps possédant la charge résineuse se repoussent aussi. Ce
fait restait inexplicable en s’en tenant aux deux propriétés assi-
gnées au fluide électrique. Puisque l'action entre les corps
(*) DESAGULIERS, À curse of experimental philosophy, 2 vol. in-4.
London, 1734.
(**) NoLLET, Recherches, 1749, p. 245.
CE) Phil. Trans., 1146, p. 118.
(10)
électrisés se manifestait également lorsque ces corps ne se
touchaient pas, le fluide en question devait former une
« atmosphère électrique » (*) entourant les corps et qui se
maintenait dans leur voisinage par l’action attractive de la
matière. Il remarque (**) que l’air n’a pas d'influence et n’est
pas lui-même influencé par le fluide électrique, car le courant
d'air sec ne l’enlevait pas et ne dérangeait en rien les actions
attractives et répulsives.
Étant amené, par l'étude de la bouteille de Leyde, à consi-
dérer le verre comme impénétrable pour le fluide électrique,
il lui était impossible de se rendre compte du fait que l’attrac-
tion électrique n’élait pas détruite par interposition d’une
plaque en verre entre les corps agissants. Il fut done conduit à
supposer (***) que la surface voisine du corps électrisé était
excitée directement et qu’elle était à son tour capable d’exercer
une influence sur l’autre surface à travers le verre, et que
c'était à l’action de cette dernière qu’on devait l'attraction
observée.
On voit clairement dans la pensée de Franklin, qu'il ne
songait pas à l’action à distance. Au contraire, 1l imaginait
que le fluide électrique se répandait en une « atmosphère »,
pour produire un effort mécanique qui ne pouvait se mani-
fester que là où elle existait.
Dans le cas de l’action à travers le verre, 1l imaginait
l’induction de charge sur deux surfaces, tant l’action directe
4
à distance était étrangère à son esprit. Mais l’idée de la
possibilité d’une telle action à travers un milieu qui était
considéré comme impénétrable au fluide et l’hypothèse d’une
action répulsive entre les particules de fluide, amenaient
implicitement la conception d’une action à distance qui com-
mença à se développer après Franklin.
La supposition de Franklin que le verre est impénétrable
*) New Experiments, 1750, $15.
(**) Letter, NIL, 1751.
(***) New Experiments, 1750, $ 34.
CA)
au fluide électrique a été généralisée par François Ulrich
Théodore Aepinus (1724-1802) et son collaborateur Johann
Carl Wilcke (1732-1796) à tous les corps non conducteurs.
Son adoption même pour l'air a été faite à la suite de la
production du condensateur plan avec la couche d’air à la
place du verre. Comme conséquence logique on dut alors
admettre que l'atmosphère électrique de Franklin entourant
les corps électrisés n'existait pas, car le fluide ne pénétrait pas
dans l’air.
D'autre part, l’expérience de Stephan Gray montrant que la
charge d’un parallélipipède plein et d’une boîte de même
forme et de mêmes dimensions, était la même, avait conduit
Aepinus à l’idée précise que le fluide ne se trouve qu’à la sur-
face des conducteurs et exerce une action directe à distance.
Ce passage des idées de Franklin à celles d’Aepinus est très
intéressant au point de vue du développement de la théorie.
On voit comment une simple hypothèse de Franklin concer-
nant l’impénétrabilité du verre dans une bouteille de Leyde,
a conduit fatalement à l’idée de la nécessité d’une action à
distance.
Aepinus, supposant avec Franklin que les particules d’élec-
tricité vitreuse se repoussent mutuellement et sont attirées par
la matière, avait admis encore pour rendre compte de la répul-
sion des charges résineuses, que les particules de la matière se
repoussent. La force s’exerçant entre deux corps était donc
toujours la résultante des actions du fluide électrique de deux
corps, de l’action de ceux-ce1 sur la matière et enfin de l’action
mutuelle des particules matérielles.
Dans ses recherches, il s’aperçut que les forces attractive et
répulsive varient ayee la distance entre les corps électrisés, et
il supposait qu'elles diminuaient à mesure que la distance
augmente, mais 1l n’avait pas pu déterminer la loi de cette
variation.
(12)
CHAPITRE IE
Établissement de la loi élémentaire.
S 4 — Comme je l'ai mentionné plus haut, Aepinus
s'occupait de la loi de variation de la force en fonction de la
distance entre les corps électrisés, mais n'avait donné aucune
indication quantitative.
Déjà en 1760, Daniel Bernouilli supposait (*) que l'attraction
électrique varie en raison inverse des carrés des distances,
mais l'indication plus précise en fut donnée par Joseph Pristley
(1733-1804).
Pristley étant un ami de Franklin, avait fait, à sa demande,
l'expérience qui est maintenant considérée comme la preuve
la plus certaine de l'exactitude de Ja loi de Coulomb. Franklin
fit savoir à Pristley que l’expérience lui avait montré qu’une
balle en liège, placée à l’intérieur d'un vase métallique élec-
trisé, n’est nullement influencée par la charge de celui-ei, et lui
demanda de répéter cette expérience en lui laissant la liberté
de la rendre publique.
Le 21 décembre 1766, Pristley électrisa (**) un vase métal-
lique placé sur un support en bois desséché, et il observa qu’une
couple de balles de sureau suspendues à l'extrémité d’un
bâton de verre étaient, à l’extérieur du vase, fortement attirées,
tandis qu’elles restaient non influencées quand elles étaient
plongées à l’intérieur du vase. Poursuivant l’expérience, 1l
chercha si l'électricité se trouvait à l’intérieur du vase. Il con-
stata qu’au fond du vase il n’y en a pas, mais qu’en s’appro-
chant vers le bord, les charges étaient de plus en plus grandes.
Ces expériences démontrèrent done qu’à l’intérieur d’un conduc-
(+) Socin, Acta Helvetica, IV, p. 214.
(**) J. PRISTLEY, The history and present state of electricity with original
experiments. London, 1767, p. 731.
(13)
teur il n’y à pas de champ et que la surface intérieure ne porte
pas de charges. Pristley se rendait parfaitement compte de
l'importance de cette expérience et il écrivait (*) : « May we
not infer from this experiments, that the attraction of electri-
city is subject to the same laws with that of gravitation, and is
therefore according to the squares of the distances; since it is
easily demonstrated, that were the earth in the form of a
schell, a body in the inside of it would not be attracted to an
side more than another ».
Cette conclusion de Pristley est passée pourtant inaperçue et
la loi énoncée n'avait pas été aperçue.
Treize ans plus tard, Sir John Robinson a cherché à la
déterminer par l'expérience directe et 1] a trouvé que la force
agissante varie en raison inverse de la 2,06" puissance de la
distance (**). Je ne connais pas la méthode qu'il a employée.
Henry Cavendish (1731-1810), dans un remarquable
mémoire (***) qui date de 1771, étant favorable à l’idée de
l'inverse du carré des distances, ne la spécifia pas et supposa
que la force est inversement proportionnelle à une puissance
plus petite que la 3°, de la distance, en remarquant toutefois
que les phénomènes se passent comme si la loi était celle de
l'inverse du carré.
Il redémontra, avec beaucoup plus de précision que ne l'avait
fait Pristley, que l’intérieur d’un conducteur est dépourvu de
charge et 11 fournit ainsi une preuve importante de la loi de
l'inverse du carré des distances. Mais ce travail n’a été retrouvé
qu'après sa mort par W. Thomson et publié seulement (1v) en
1879 par les soins de J.-C. Maxwell.
Ces idées sur la loi quantitative des actions électriques ont
(*) J. PRISTLEY, The history and present state of electricity with original
experiments. London, 1767, p. 732.
(**) E.-T. WHITHAKER, À history of the theories of aether and electricity.
Dublin, 1910, p. 51.
(#*) H. CAvVENDISH, 'Attempt io explain some of the principal pheno-
mena. (PHIL. TRANS., LXI, p. 584, 1771.)
(iv) The electrical researches of the Hon. Henry Cavendish.
(46)
été très peu connues du temps de leur découverte, et c’est à
peine si elles ont exercé une influence quelconque sur le
développement de la science. Leurs auteurs ne leur ont pas
donné non plus la forme d’une loi générale et certaine, régis-
sant l'attraction et la répulsion électriques, mais leur ont
donné plutôt la forme d’une hypothèse, qui semblait être
confirmée par certaines expériences.
La gloire d’avoir établi les lois quantitatives sous une
forme précise et générale appartient à Charles-Augustin Cou-
lomb (1736-1806). Ce savant, en effet, a réellement découvert
ces lois et 1! ne les a pas seulement vérifiées, comme le veut
Whithaker (*), car il n'avait eu connaissance n1 des travaux de
Robinson ni de ceux de Pristley ni de ceux de Cavendish.
$ 5. — LES EXPÉRIENCES DE COULOMB.
C’est grâce à l’instrument si précieux pour la mesure des
forces très faibles que représente sa balance de torsion, que
Coulomb à pu aborder la détermination directe des lois des
actions électriques.
La balance de torsion est trop connue pour qu’il soit néces-
saire d’en donner ici la description et la théorie; rappelons-en
cependant le principe.
(*) E.-T. WHITHAKER, loc. cit., p. d6.
ur" Ï
(15)
Soit b une balle tixe et a celle fixée à l’extrémité de
l’aiguille ac suspendue à un fil très fin en o.
Les deux sphères a et b étant d’abord en contact, on les
électrise et, par suite, a est repoussé avec une force F, dont le
moment doit être équilibré par le moment de torsion du fil.
Soit $ l’angle total de torsion et « celui de deux directions ob
et oa, dans la position d'équilibre. Le moment M du couple de
torsion est proportionnel à l'angle & :
mr
Ce moment équilibre le moment de la force électrique F et
à l’état d'équilibre on a donc
CB — fl = Fl cos ©
en appelant { la distance du fil jusqu’au centre de la sphère.
Supposons maintenant que l’on torde le fil et soit £' le nouvel
angle total de torsion. La boule a va se rapprocher de b, de
façon que l’angle «’ sera déterminé par
[
2
AI = KE!
cp! = Flcos —.
“à
De ces deux relations on tire
a!
S —
ARR
=D —+ (1)
terres
2
Par la mesure des angles «, ’, 6, 6’, on peut déterminer le
rapport des forces et, connaissant la distance de deux boules
dans le premier et le deuxième cas, établir la loi de variation
de F avec la distance r.
La balance dont se servait Coulomb ayantun fil de torsion très
(46)
fin et d'une longueur de 75°"8 était excessivement sensible : à un
degré de torsion correspondait la force 0,00041 gr. em. seu—2.
La cage avait la forme d’un cylindre en verre de 32:48 de
diamètre et de même hauteur. Les sphères agissantes étaient
de 0°45-0°"68 de diamètre. Au moyen de cet instrument, il
effectua probablement de multiples mesures, mais n’en a
publié qu'une. Voici quelles sont les données qu’il nous a
laissées :
Je présenterai seulement ici, écrit-il (*), quelques essais qui sont faciles
à répéter et qui mettront tout de suite sous les yeux la loi de la répulsion.
Premier essai. — Ayant électrisé les deux balles avec la tête d’épingle,
l'index du micromètre répondant à 0, la balle a de l’aiguille s’est éloignée
de la balle b de 36o.
Deuxième essai. — Ayant tordu le fil de suspension au moyen du bouton o
du micromètre du 126°, les deux balles se sont rapprochées et arrêtées à
180 de distance l’une de l’autre.
Troisième essai. — Ayant tordu le fil de suspension de 567, les deux
balles se sont rapprochées à 85°.
Ce sont les seules données qui ont été publiées par Coulomb
concernant les forces répulsives. On s'assure facilement que
les forces sont sensiblement inversement proportionnelles aux
carrés des distances des deux balles, ce qui à conduit Coulomb à
énoncer cette loi précise (**) : « La force répulsive de deux petits
globes électrisés de la même nature d'électricité, est en raison
inverse du carré de Ja distance du centre des deux globes ».
Pour déterminer la loi d'attraction, Coulomb n’a pas pu se
servir de la balance de torsion, car les halles s’attirant arrivent
toujours à être ramenées au contact. C’est la méthode des
oscillations du pendule horizontal qui fut mise en œuvre.
Une grande sphère de 32 centimètres de diamètre avait été
posée sur quatre pieds en verre, et, à une certaine distance,
(*) CouLomB, Premier mémoire sur l'électricité et le magnétisme. (Hisr.
DE L'ACAD. ROY. DES SCIENCES, 1785, p. 572.)
(+) :Loc..cit., p.572
ENT à
GER)
Coulomb suspendait à un fil de cocon une aiguille de gomme-
laque, dont l'extrémité la plus proche de la grande sphère était
munie d'un petit disque en papier doré, de 1°"8-2:"2 de dia-
mètre, qui était chargé négativement par influence, tandis que
la grande sphère recevait des charges positives. Coulomb
déterminait, pour différentes valeurs de la distance du disque à
la sphère, les durées d’oscillation de l'aiguille, qui était amenée
hors de la position d'équilibre par rotation autour de son axe
et était attirée par la sphère. D’après les lois connues d’oscilla-
üon d’un pendule, les durées d’une oscillation étant inverse-
ment proportionnelles à la racine carrée de la force agissante,
on a donc pour deux distances différentes :
+ F'
TE! F
Et si la loi des attractions électrostatiques est celle des
inverses du carré, on devait avoir
Lo
AN 0
Voici les données de Coulomb (*) :
Premier essai. — La plaque {, placée à 3 pouces (8m19) de distance de la
surface du globe, ou à 9 pouces (24x36) de son centre,
a donné 15 oscillations en 20 secondes.
Deuxième essai. — La plaque /, éloignée de 18 pouces (48em73) du centre du
globe, on a eu 15 oscillations en #1 secondes (**).
Troisième essai. — La plaque /, éloignée de 24 pouces (64cm97) du centre du
globe, on a eu 15 oscillations en 60 secondes.
(*) CouLoms, Second mémoire sur l'électricité et le magnétisme. (HIST. DE
L'ACAD. ROY. DES SCIENCES, 1785, p. 983.)
(**) Dans le tableau original il est indiqué 49/, mais la discussion qui
suit ces mesures montre que c’est 41” qui est le temps vrai.
2
(18)
En comparant les données ainsi obtenues à celles fournies
par la loi de la raison inverse du carré des distances, Coulomb
dressa le tableau suivant (*) :
Premier essai. — Distance du centre : 9 pouces, 1à oscillations en
20 secondes.
Deuxième essai. — Distance du centre : 18 pouces, 15 oscillations en
M secondes.
Troisième essai. — Distance du centre : 24 pouces, 15 oscillations en
60 secondes.
Les distances sont ici comme les nombres . . . 3 6 8
Les temps d'un même nombre d’oscillations . . 20 41 60 secondes.
Par la théorie, ils auraient dû être. . . . . . 90 40 54 »
Les mesures durant quatre minutes, 1l était nécessaire de
tenir compte de la déperdition qui, mesurée le jour même par
Coulomb, était d’une valeur telle qu’en une minute l’action
totale diminuait de . En introduisant cette correction, Cou-
lomb obtint le chiffre théorique pour la dernière expérience,
57 secondes au lieu de 54 secondes, ce qui ne diffère que de
5 °/ de la valeur expérimentale.
En se basant sur ces nombres, Coulomb écrit : « ... Ainsi
nous pouvons en conclure que l'attraction réciproque du fluide
électrique appelé positif, sur le fluide électrique nommé
ordinairement négatif, est en raison inverse du carré des
distances. »
Ce sont là toutes les données qui ont été publiées par
Coulomb.
Il est vraiment difficile de comprendre par suite de quel état
d'esprit, heureux pour la science, une loi aussi fondamentale,
établie sur ces quelques mesures, ait inspiré aux théoriciens
une telle confiance qu’ils n’ont pas hésité à la prendre pour
base de leurs belles recherches, ce qui fait que l’électrostatique
théorique était déjà bien développée avant d’avoir reçu des
(#) Loc. cit , p. 584.
“tél tit délit) ES te en D ne ot à
ét. ls HO rm Ed de SD Sd in As à on él à mé L Al |
LE
démonstrations plus rigoureuses. Cela est d’autant plus éton-
nant que ces mesures présentent une difficulté énorme.
Prenons, par exemple, les données concernant les actions
répulsives publiées par Coulomb.
L’angle de l'écart des balles à : 360, 18, 8030.
L’angle de torsion du fil $ : 360, 1440, 5760.
Le moment du couple de torsion étant proportionnel à
l’angle B, les forces sont dans le rapport 36 : 144 : 576.
La loi de la raison inverse du carré des distances donne
el |
Sin —
p.
F r'\?2 è
r-(©)- a
sin 9
et en égalant à (1) on obüent
B 3 œ Br si se CA
SIN — IS — — sin — — — CONSI
9 °9 9 59
Dans les expériences de Coulomb, cette constante a pour
valeurs
3,614 3,008 3,169.
Ces différences se comprennent pourtant si l’on tient compte
des erreurs inévitables. Les observations durant deux minutes,
la charge dans les deuxième et troisième mesure était un peu plus
faible par la perte d'électricité. Coulomb avait déterminé la
déperdition le jour des expériences et il avait trouvé que, sous
une torsion de 50°, l’aiguille parcourait un degré en trois
minutes, Ce qui nous explique déjà en grande partie l'écart.
De plus, les sphères ayant les dimensions finies, leur
influence mutuelle changeait la distribution uniforme, et les
distances des points d'application des résultantes étaient plus
éloignées que les centres des sphères. Cette augmentation de
(20)
distance est plus sensible à de petites qu'à de grandes
distances. Cependant, dans les expériences de Coulomb, la
distance entre les sphères a été toujours suffisamment grande,
comparativement à leurs dimensions, pour que cette erreur soit
absolument négligeable.
Les balles électrisées n'étant qu’à 4 centimètres de la paroi de
la cage en verre, leurs champs étaient nécessairement perturbés,
et celte perturbation différait pour des positions différentes de
deux balles. La tige de l'aiguille maintenant la balle produisait
aussi une perturbation qui tendait à diminuer l'écart de
deux balles, car le point d'application de la résultante était
déplacé vers le centre de la cage.
L'erreur de lecture de l'angle d'écart de deux balles peut
conduire à des écarts notables, dont le sens ne peut être
prévu.
Cet examen rapide montre que les causes d’erreur sont
- multiples et que le résultat peut être, facilement, tout à fait
erroné. C’est grâce à son talent d’expérimentateur que Cou-
lomb a pu mettre l'expérience dans des conditions telles que
les erreurs n’ont pas couvert la vraie loi des actions élec-
lriques. :
Nous verrons tantôt comment plusieurs physiciens, entre-
prenant les mêmes études, ont été conduits à des résultats
tout à fait divergents.
$ G. — RECHERCHES DE SIMON, PARROT, YELIN,
MAYER, EGEN.
Le résultat que Coulomb avait pu obtenir grâce à l’extrême
sensibilité de sa balance de torsion, dont il savait se servir avec
une maëstria remarquable, ne fut pas d'emblée admis univer-
sellement. C'était surtout en Allemagne que les physiciens
conservaient une attitude réservée (*). Certains d’entre eux
(*) P. N. EGEN, Pogg. Ann. d. Phys. u. Chemie, Bd V, 1895, p. 199.
PAST d'hiss
(21)
reprirent les mesures de Coulomb avec la balance de torsion,
d’autres cherchèrent des méthodes nouvelles.
Les mesures de Simon (*) furent effectuées dans de bonnes
conditions expérimentales et laissent facilement rechercher les
erreurs probables. Simon avait mesuré la répulsion de deux
sphères, dont l’une avait été maintenue fixe au moyen d’une
tige isolante graduée pouvant glisser le long d’un support
muni de divisions; l’autre sphère avait été fixée à l’extrémité
du fléau d’une balance permettant d'évaluer 0,2 gr. em. sec—?.
Les deux sphères avaient été placées de façon que leurs
centres soient sur la même verticale; la force répulsive avait
été équilibrée par des poids connus. Des résultats qu’il avait
obtenus, l’auteur conclut que les forces répulsives varient en
raison inverse de la 4"° puissance de la distance.
Or, Egen à montré (**) que les données de Simon ne font
que confirmer la loi de Coulomb et que la fausse conclusion de
Simon provient de ce que ce physicien a pris dans ses calculs,
non pas les distances entre les centres des sphères, mais les
distances entre leurs surfaces.
Parrot et von Yelin ont observé les oscillations d’un pendule
vertical ou horizontal, se mouvant entre deux pôles d’une
pile de Zamboni. Les changements de la distance entre les deux
pôles font varier le temps d’oscillation. C’est de l’étude de
celle-ci qu’ils voulurent urer la loi des actions électriques. On
le voit, les conditions d'expérience étaient bien complexes,
alors que ces auteurs ont envisagé le problème d’une façon
trop simpliste, et leur théorie est fautive. Quoique les résultats
de Parrot se rapprochaient très bien de la loi de Coulomb et
bien que la même concordance ait été observée par lui en
employant la balance de torsion, il conclut néanmoins qu’on
doit se servir de la loi de Simon, c’est-à-dire de l'inverse de
la 4" puissance des distances.
(*) Gilbert, Ann. d. Phys., Bd XXVIIT, p. 277.
(**) Pogg. Ann. d. Phys. u. Chemie, 1825, Bd V, p. 288.
(22)
Moins satisfaisants sont les résultats de von Yelin, qui trouve
une loi fort complexe. Le calcul plus exact (*) indiqué par
Brandes, appliqué aux données de von Yelin, donne des
résultats aussi bien différents de la 4° que de la 2° puissance.
Des recherches très soigneuses ont été exécutées par
Mayer (**}, qui a pris des précautions minutieuses et a déve-
loppé des caleuls fort intéressants concernant ses expé-
riences. Tout le travail paraît être à l'abri de la critique;
seules les hypothèses admises dans les calculs sont fautives.
Mayer avait employé un instrument de mesure très simple, con-
sistant en un électroscope dont une feuille est fixe et l’autre
mobile. Les dimensions de l’ensemble étaient appropriées con-
venablement à ce genre de mesures. Par le calcul, Mayer
avait cherché comment devrait varier l’angle de la feuille fixe
avec la feuille mobile pour des charges différentes dans l’hypo-
thèse de la loi de l'inverse de la 1'° et de la 2° puissance des
distances. Par un hasard dû à une coincidence vraiment éton-
nante, il trouva les valeurs suivantes, que je cite à titre de
curiosité :
RE
Les angles
calculés
Observés.
d’après la loi d’après la loi
du carré. de la {re puissance.
64,6 05,8 99,9
47,3 39,0 34,6
34,5 215 20,2
95,1 19,6 11,8
(*) EGEN, loc. cit., p. 219.
(**) Comm. Soc. Reg. scient. Gott. rec. class. math., t. V.
(23)
La conclusion ne paraissait pas douteuse pour lui, que c’est
la loi de l'inverse de la 1"° puissance qui est la vraie.
Cet étrange résultat s'explique si l’on tient compte de ce que
Mayer avait admis la distribution uniforme d'électricité sur les
feuilles de son instrument.
En se basant sur les résultats de Simon, de Parrot, de Mayer
et de ses propres mesures, Kaemtz trouva (*) également que la
force répulsive varie en raison inverse de la 1,2% puissance des
distances.
Au contraire, les mesures soigneuses d’Egen (**), qui avait
repris la méthode de Simon en la perfectionnant de façon à
obtenir la plus grande sensibilité, lui ont donné pour l’expo-
sant de la puissance 1.93 en moyenne, ce qui est très voisin
de la loi de Coulomb, qu'Egen considère comme la loi réelle.
$ 7. — RECHERCHES DE Harris, RiEss ET Marié Davy.
W. Snow Harris à effectué une série très étendue de me-
sures concernant les forces pondéromotrices des conducteurs
électrisés, mais ses expériences furent faites dans des conditions
si mauvaises et si complexes qu'il est impossible de déga-
ger une loi exacte, même en appliquant les raisonnements
exacts. Jamais l'isolement des conducteurs dans l’espace n’était
suffisant, et tout au voisinage de ceux-ci, se trouvaient des
parties métalliques des instruments, ce qui, évidemment, chan-
geait complètement les résultats. Il est étrange qu'il n'ait pas
perfectionné ses appareils à ce point de vue, car 1l se rendait
parfaitement compte de l'influence néfaste des parties métal-
liques voisines (***). Il est donc inutile de décrire ces recherches
et Je ne citerai que les résultats qu'il a cru établir :
1° La force attractive s’exerçant entre un conducteur élec-
(*) KAEMTZ, Dissertatio de legibus repulsionum electricanum mathematicis.
Halle, 1893.
(**) P. N. EGEN, Pogg. Ann. d. Phys. u. Chemie, Bd V, 1895, p. 294.
(#*) W. Snow Harris, On some elementary laws of electricity. (Pix.
TRans., 1834, p. 221.)
Lrisé et un conducteur influencé non isolé n’est pas influencée
par la forme des parties ne se trouvant pas en face des deux
conducteurs.
2 La force est directement proportionnelle au nombre des
points agissants et inversement proportionnelle au carré de la
distance.
3° La force attractive entre les disques circulaires inégaux
n’est pas plus grande que celle s’exerçant entre deux disques
dont chacun a les dimensions du plus petit disque.
4 La force attractive entre un simple anneau et un disque
cireulaire n’est pas plus grande que celle s’exerçant entre
deux mêmes anneaux.
5° La force s’exerçant entre une sphère et un segment sphé-
rique de même courbure n’est pas plus grande que celle s’exer-
çant entre les deux mêmes segments sphériques égaux au
segment donné.
La loi de la raison inverse du carré de la distance est con-
statée par Harris dans le cas de l’action des disques ou d’un
disque et d’un anneau circulaire; au contraire, pour les sphères
ou des conducteurs d’autres formes, la loi est plus compliquée.
Dans la deuxième série de ses recherches (*), Harris avait
employé une balance de torsion très sensible, mais malheureu-
sement les parties métalliques y abondaïent aussi. En exami-
nant la force s’exerçant entre deux disques chargés, l’auteur
arrivait aux résultats suivants :
{° Les disques étant chargés d’une même quantité d'électricité,
la force varie en fonction inverse du carré de la distance. Mais
lorsque les charges ne sont pas égales, cette loi cesse d’être
vraie. Pour de petites distances, notamment, la force est inver-
sement proportionnelle à la distance, et dans d’autres cas la loi
devient irrégulière (*).
(*) W. Snow Harris, Inquiries concerning the elementary laws of electri-
city, second series. (PHiL. TRANS., 1836, pp. 117-452.)
(**) Ceci concorde très bien avec la loi de Coulomb. Voir V. SCHAFFERS.
La loi de Coulomb. (REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES, avril 1907, $ 4.)
y 4 Le de
(195 )
æ A :
2° Les écarts de la loi R apparaissent surtout lorsque Îles
forces sont faibles, lorsque l'inégalité des charges est plus
grande et la distance plus petite.
3° Les charges des corps qui se repoussent ne sont pas tou-
jours proportionnelles aux forces.
L'auteur remarquait que, quoique ces lois paraissent anor-
males et non sausfaisantes, il se peut qu’elles se trouvent en
accord complet avec les lois générales des actions électriques, et
il supposait que c’est le phénomène de l'influence électrique
qui complique les faits. Les données numériques de ses
mémoires montrent effectivement de grandes variations et, à
cause de cette complexité, l’auteur concluait que les forces
mesurées dépendent de l'instrument dont on se sert. Harris se
donna beaucoup de peine pour trouver une loi générale, mais
il n'a pu y arriver par suite de la mise en expérience trop
défectueuse. De plus, dans ses raisonnements, il ne tint pas
suffisamment compte de la distribution de l'électricité, de
laquelle pourtant tout dépendait.
W. Thomson, en examinant (*) le travail de Harris, trouva que,
qualitativement, on pouvait se rendre compte de ses résultats,
mais que l’analyse quantitative était impossible. Certains cas
pourtant concordent bien avec la loi de Coulomb.
Des expériences mettant bien nettement en évidence la loi
de Coulomb furent celles de Riess (**), dont les résultats, obte-
nus avec la balance de torsion, sont les suivants (voir tableau,
page 26).
La concordance est très bonne.
Pour les distances plus grandes, Riess a employé la balance
ordinaire indiquée par Egen. Les balles avaient été ramenées
au contact avant l’électrisation, après laquelle on les éloignait
jusqu’à ce que le fléau de la balance ait pris la position hori-
(*) W. THOMSON, On the mathematical theory of electricity in equilibrum.
(Reprint of PAP. OF ELECTR. AND MAGN., London, 1879, pp. 15-37.
(**) PETER THeopui Riss, Die Lehre von der Reibrungselektricität,
Berlin, 1853.
Mesures de Riess.
Oo
L’angle de torsio Les angles de répulsion
: angle de torsion
du fil.
observés. calculés.
Oo 420 : 490
700 98° 97044
4100 930 93049
zontale. En ajoutant des poids déterminés sur un côté du fléau,
l’équilibre avait pu être atteint à d’autres distances. En partant
d’une mesure, on pouvait calculer les forces correspondantes aux
autres distances dans l'hypothèse de la loi de Coulomb et com-
parer les valeurs ainsi obtenues avec celles données directe-
ment par l’expérience. Je citerai ici quelques-uns de ses résul-
tats où pour les mêmes charges les forces avaient été mesurées
à deux distances différentes et d’après la deuxième mesure sont
calculées les forces correspondantes à la première, d’après la
loi de Coulomb. La distance est celle mesurée entre les centres
des balles et est exprimée en _ de pouce (00135).
L’inspection du tableau suivant (page 27) montre qu’effecti-
vement lés forces entrant en jeu ohéissent à la loi de Coulomb.
Les écarts constatés doivent être attribués à l'influence
mutuelle des deux balles ainsi qu'aux erreurs d'expérience.
En ce qui concerne l'attraction, Riess ne cite pas ses mesures
el il relate seulement les expériences de Coulomb.
En 1830, Marié Davy (*) a effectué de nouvelles recherches
sur la question, mais avec des instruments plus perfectionnés,
(*) Mémoires de l’Académie de Montpellier, Section des Sciences, t. IT,
p. 190.
(27)
Mesures d'Egen.
R—ELELELELELELELEULELELELELECCELELELELELELEEL
Les forces
Distance des centres.
observées. éaliléeé
sur la
fre mesure. | 2e mesure. | re mesure. | 2e mesure. | 1"° Mesure.
276 211 0,9 13 0,76
263 204 0,7 4,4 0,84
256 189 4,2 1,8 0,98
263 290 1,8 Ra 1,89
267 201 2,8 5,8 3,29
207 193 2,5 1,1 9,01
243 156 2,6 6,3 2,60
313 173 2,6 7,3 9,93
298 *:: 175 2,6 8,3 9,86
312 151 2,6 10,7 2,51
251 163 2,1 6,6 2,78
dans des conditions bien déterminées et en faisant varier les
distances dans des limites assez étendues. Comme instrument
de mesure, il se servait soit d’une balance de Lorsion, soit d’une
balance ordinaire. De ses mesures, faites très soigneusement,
il croit pouvoir conclure que, dans la répulsion de deux sphères,
la loi de la raison inverse du carré des distances se vérifie
d'une façon approximative à partir d’une distance cinq à neuf
fois plus grande que le rayon des sphères; pour des distances
plus petites, l'expérience s’en écarte notablement.
Il a également expérimenté avec des disques métalliques.
« Ne pouvant point admettre la loi du carré des distances
dans la répulsion des corps conducteurs électrisés... », dit-il
(98)
dans son mémoire. Mais ici il à eu tort, car il n’a pas tenu
suflisamment compte de la distribution sur les sphères. La
théorie ne donne point la loi de la raison inverse du carré des
distances comme une loi intégrale, mais seulement comme
une loi ponctuelle. Chaque expérience porte sur les corps
chargés de dimensions finies, et, par suite, la loi de variation
avec la distance sera différente pour chacun des corps consi-
dérés. Les données de Marié Davy confirment la loi de Coulomb
si l’on tient compte de la distribution, comme l’a montré
Mascart.
Pour l’étude de la loi d'attraction, Davy s’est servi de Ja
balance ordinaire, et 11 conclut que « l’attraction d’un conduc-
teur mis en communication avec le sol par un corps électrisé
s'éloigne de lois de l’inverse des carrés de distances plus
même que la répulsion des corps électrisés de la même
manière; enfin, qu'elle s'éloigne en sens inverse ». lei aussi
les mêmes remarques s'appliquent que celles vues plus haut,
et bien que ces expériences ne soient pas à l'abri des critiques,
leurs résultats ne font que confirmer la loi de Coulomb.
Toutes ces mesures plus ou moins concordantes se rappor-
tent à des valeurs relatives qui ne sont comparables que pour
des mesures obtenues pour une charge donnée; car les procé-
dés de charges ont toujours été très mal déterminés et on ne
pouvait s'attendre à charger les conducteurs plusieurs fois au
même potentiel.
S 8. — DÉMONSTRATION INDIRECTE DE LA LOI ÉLÉMENTAIRE.
Par cet aperçu de travaux expérimentaux que je viens de
résumer, on peut se rendre compte des difficultés que présente
l'étude expérimentale des actions pondéromotrices des corps
chargés. Et même si ces recherches donnaient les résultats
concordants, elles ne seraient point suffisamment sûres pour
être considérées comme la démonstration indéniable d’une loi
fondamentale. Mais, heureusement pour la science électrique,
Coulomb lui-même et plusieurs autres physiciens étudiant
ed Pt a dt
(29)
l'électrostatique adoptèrent ces mesures et, les ayant prises
pour bases, ils purent édifier toute cette élégante théorie de
l'électrostatique qui constituent, comme le dit Duhem (*),
«… un ensemble des notions abstraites et des propositions
générales, formulées dans un langage clair et précis de la
géométrie et de l'algèbre, reliées entre elles par les règles
d’une sévère logique ».
Si l’on applique actuellement la loi de Coulomb avec toute
confiance aux phénomènes électriques, ce n’est pas à cause des
démonstrations expérimentales, car celles-e1 n’ont jamais été
suffisamment précises, mais parce que les démonstrations indi-
rectes excluent toute autre loi.
La première de ces preuves, qui est en même temps consi-
dérée comme la plus probante, est celle de l’absence de champ
à l’intérieur des conducteurs chargés, ce qui avait été remarqué
premièrement par Franklin et ensuite vérifié et publié par
Pristley, qui a fait voir, de plus, qu'à l’intérieur il n’y a pas de
charge. Mais ce fait ne fut établi de façon sûre que par la
célèbre expérience de Cavendisch, dans laquelle ce savant
voyait la conséquence nécessaire de la loi de Coulomb. Ensuite,
la même expérience a été reprise par Maxwell qui a constaté,
avec une précision de A que l'intérieur d’un conducteur
est dépourvu de charge et qui démontre (**) aussi que le fait de
la distribution exclusivement superficielle est incompatible avec
toute autre loi que celle de Coulomb. Une démonstration
rigoureuse manquait pourtant, et c'est seulement Laplace (***)
qui l’a établie et Bertrand l’a simplifiée. La méthode consistait
à calculer la force s’exerçant en un point intérieur de la sphère
par toute la charge superticielle, et le résultat montre que cette
force ne peut être nulle que pour la loi de Coulomb. Cette
(*) P. Dune, La théorie physique, p. 109.
(F#) J. GC. MAxWELL, Traité d'électricité et de magnétisme, t. I, pp. 87 et
suiv.
(P6+) LAPLACE, Mécanique céleste, t. EX, p. 2.
( 30 )
démonstration, si élégante au point de vue mathématique, a le
défaut de supposer qu'à l’intérieur des conducteurs le champ
existe, mais que la force totale est nulle par le fait qu’en
chaque point les forces sont égales et de sens contraire. Or,
c'est une hypothèse arbitraire sur laquelle d’ailleurs nous
reviendrons plus loin.
Mais avant les démonstrations de Laplace- Bertrand, les
physiciens avaient développé les premières théories électriques,
dont les débuts ont illustré les brillantes recherches de Poisson,
de Gauss, de Green, de Claussius et de tant d’autres qui ont
fondé ainsi la théorie de l’action à distance.
(31)
CHAPITRE HI.
Théorie de l’action à distance.
$ 9. — SIMPLE APPLICATION DE LA LOI DE COULOMB.
Cette théorie a régné jusqu'à l'époque de Faraday. A l'heure
actuelle, son domaine est limité aux actions pondéromotrices
s’exerçant entre les charges en équilibre et placées dans le vide.
Elle se base sur les propositions suivantes : La force pondéro-
motrice n’a de signification que lorsqu'on à en présence
deux corps électrisés; elle ne dépend que de la distance
entre deux corps et nullement de la nature physique du milieu
qui les sépare, et elle se manifeste instantanément à toute
distance. La loi quantitative qui régit toute la théorie et qui
est supposée applicable dans tous les cas est celle de Coulomb,
et elle dit que la force pondéromotrice s’exerçant entre deux
charges ponctuelles est directement proportionnelle au produit
des charges et inversement proportionnelle au carré des
distances, c’est-à-dire que
I
BEC air
v?
En prenant pour l'unité de quantité d'électricité lunité
C. G. S. électrostatique, c’est-à-dire celle qui agit sur une
quantité égale placée à 1 centimètre de distance avec la force
d’une dyne, la constante C — 1, et l’on a
de!
Re (2)
r°
en supposant que la répulsion est comptée positivement et
l’attraction négativement.
(32)
Si sur une charge e agissent plusieurs autres e,, €o .… €4,
la force totale est la résultante des forces partielles exercées
par chacune des charges e, séparément. Si, au lieu d’un certain
nombre de charges distinctes, on a une distribution continue,
on divise la charge totale en parties élémentaires auxquelles
on applique la loi de Coulomb. Soient, par exemple, deux
systèmes électrisés S; et S,, dont l’action réciproque est à
déterminer. Définissons les densités. cubiques + et superfi-
cielles & par
de de
PT FSU
dt dS
di et dS étant respectivement le volume et l’aire élémentaire
possédant la charge de. Soient e,5, les densités cubique et
superficielle au point æ;y,3, du système $,; et 1959 ceux du
système So au point Zoÿo2o (*); l'application directe de la loi
de Coulomb donne immédiatement pour la composante X, sur
l’axe des x de l’action s’exerçant entre deux systèmes :
fifi | —* — d)pip2de dydz dr >dy2 le
[a — D) + (y ee Y2) 4e (& GE AE
TPE IE GE 2) + (ya Lu y2Ÿ ns (2 A 2,) |?
où l'intégration par rapport à æ1y1z1 est étendue à toutes les
charges solides ou superficielles du système S, et celle par
rapport à ZoYo79 à Celles du système S:. D'une façon analogue,
on obtient les deux autres composantes de la résultante.
(*) IL est évident qu'au point æ:y14, il y a ou une charge cubique de
densité p, ou une charge superficielle de densité 5; æ, y, » veut dire seule-
ment que le point appartient au système Si.
(33)
F L'étude de ces forces est pourtant grandement facilitée par
+ 5 de la fonction potentielle, dont je ne donne ici que
e qui est strictement nécessaire pour l'étude des forces pon-
É di léromotrices.
‘ 6}
“€ /
. & 10. — La FONCTION POTENTIELLE DES CHARGES DISCONTINUES.
_ Soit F la force pondéromotrice des composantes XYZ
_s’exerçant entre deux charges e et e', placées aux points À
. et À! de coordonnées xyz et x'y'z', et soit r la distance AA’;
#4 ayant la direction AA’, on a
AL
| X—Fcos(rx) Y — F cos (ry) Z = F cos (rs),
Eu z — | Rd 3 —x!
cos (7) a cos (ry) = 19 cos (r 3) es
r r r
donc
b æ — x! AD 2 Pa LS N ds
= F = 00 ——— Y — ee! —@p! 1: —.
0e 7 r3 T3
_ Or, en remarquant que
Sn
D 0.0 —--:0
on obtient
E. ! ;
| ox \r oy \Tr 2% \T
Done, les composantes XYZ de la force s’exerçant sur la
5
Éd «
(34)
charge e — 1 sont égales aux dérivées partielles changées de
signe d’une certaine fonction
!
== (3)
;
Une telle fonction est appelée la fonction potentielle de
la charge e. Son existence peut être démontrée d’une manière
rigoureuse.
Si la force s'exerce sur la charge e, ses composantes sont
déterminées par les formules (3) que l’on peut écrire
X — — 8, (=) ALES ré (+) p.22 2 (+) (3)
0XÆ\r oO \T TT kr
et l’on voit que, dans ce cas, les composantes XYZ sont égales
aux dérivées partielles changées du signe d’une fonction
qui porte le nom de potentiel.
On généralise facilement ces notions aux plusieurs char-
ges 6169 .… €, placées aux points %1Y1%1 ... ÆyUnzns AONt les
distances à la charge e placé au point xyz sont riro .:.r,.
On a, en effet,
= Var) +(u—yÿ +?
el
0 0 €; 1=0 A 6;
ù — —— = — 7 = — e == = jh,
D oy & D or a
i=n in
DM Se
VS = —e) (=
el og Ti
(1302)
ou, en posant
LEE (4)
on obtient
expression analogue à (3),
La fonction V déterminée par (4) est la fonction potentielle
du système e, …. e,.
$ 11. — La FONCTION POTENTIELLE DES CHARGES CONTINUES,
Supposons les charges réparties d’une façon continue
dans un ou plusieurs volumes v, ... v,, et soit o, la densité
cubique correspondante, déterminée en chaque point x,y,z,
d’un volume v,. La fonction potentielle de ce volume est déter-
minée par
FR > ||| | e,dæ;dy;d%; (5)
ue, V@— mi) + y — y} + — 2}
l'intégration étant étendue à tout le volume v, et la sommation
a tous les n volumes.
S1 la charge est répartie d’une façon continue sur une ou
plusieurs surfaces S avec une densité superficielle 5, la fonction
potentielle de ce système sera
i=n AS;
V — Î| a (6)
2 7 VC — a) + QG — y + (6 — 2}
l’intégration étant étendue à toute la surface S,; et la somma-
tion a toutes les surfaces S, …. S,.
(36)
En supposant les charges réparties d’une façon continue sur
de certaines lignes L, ..… L, avec une densité linéaire n,
définie par
dl étant un élément de la ligne chargée L,, on aura la fonction
potentielle correspondante
es ‘ nid
mn
|: ‘, (x Gi GRR
l'intégration étant étendue à toute la ligne L, et la sommation
à toutes les lignes L, .… L,..
Si, en même temps, on à des charges donnant les fonctions
potentielles V,Vs .… V,, la fonction potentielle de tout le
système est donnée par
in
V= DV. (8)
1—1
Ainsi donc, dans tous les cas, la fonction potentielle est par-
failement déterminée par les formules, soit (3'), soit (4),
soit (5), soit (6), soit (7), soit enfin plusieurs d’entre elles et la
formule (8).
S 12. — L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DE LA FONCTION
POTENTIELLE,
Partant de (5), on peut établir facilement l’équation ditié-
rentielle de la fonction potentielle. Mais limitons-nous au cas
d’un seul volume chargé, la généralisation se faisant très faci-
lement.
De (5) on a
oV (x — æ)dtp V pdt pdi(x — æ,Ÿ
EC
EE: r à
2° Draé 7°
LA
He db.
( 3T )
de même
9°V Ve +3 1e di
22V Le +3 [ES — A},
et en ajoutant on obtient
SV SV aV
peur : — — 0, 9
D of a D @)
l’équation différentielle de la fonction potentielle qui est
connue sous le nom de l’équation de Laplace et qui s’écrit
simplement
AV = 0. (9")
L'équation de Laplace doit être vérifiée par chaque fonction
potentielle aux points extérieurs aux charges.
Si le point potentié P se trouve à l’intérieur de la masse
agissante, divisons le volume total v en deux parties, dont
l’une v, est une sphère de rayon R entourant le point considéré
et v la partie restante de v. La portion de AV provenant de v
est nulle, puisque le point est extérieur à vo.
Soit r la distance du point P au centre de la sphère v,; on
trouve alors facilement
et ensuite
a Aro oV, 4to V, Aro
= he —- a EE bé
FT 5) 9y 5: “ 02 M
V, Es V, + NV MS Aro
ua 1132100 1) 08
AV, — — Amp.
(884)
Pour les points intérieurs aux masses agissantes, on a donc
AV = — Amp, (10)
ce qui est l’équation de Poisson.
Cette équation permet de déterminer la distribution fi
masses si l’on connaît la fonction potentielle.
SN 42. — La COMPOSANTE DE LA FORCE DANS UNE
DIRECTION DONNÉE.
Les différentes formes de la fonction potentielle que nous
avons données permettent de déterminer sa valeur en chaque
point xyz de l’espace. Les surfaces ayant pour l’équation
V(æye) = C"
sont appelées surfaces équipotentielles, et leurs trajectoires
orthoganales, les lignes de force.
À l’état d'équilibre sur un conducteur où on suppose que
sur les charges n’agissent que les forces électriques, leur
résultante doit être nulle, donc
V 2V V
Ra AS AE (14)
oæ oy 2%
par suite,
ce qui entraine en vertu de (10)
p = 0;
c’est-à-dire que l’intérieur d’un conducteur en équihbre est
dépourvu de charge.
(39)
Les relations (41) ont lieu en n'importe quel point du con-
ducteur, donc en tous ses points on à
VC
c’est-à-dire que dans un conducteur en équilibre électrique, la
fonction potentielle a la même valeur en tous ses points. Par
suite, sa surface est une surface équipotentielle.
Avant d’aller plus loin, établissons une propriété remar-
quable de la fonction potentielle, très souvent utilisée dans les
études des forces pondéromotrices. [Imaginons que, sous
action de la force F, une charge unitaire est déplacée de ds ;
le travail effectué dT est
AT = Fds cos (Fds)
ou, en appelant «By les angles de F et ÀAuy ceux de ds avec les
axes coordonnées, on à
AT — Fds(cos a cos À + cos $ cos a + cos y cos y)
— Xda + Ydy + Zdz.
or,
V V oV
es 0% | ACER SERRE I
4 0y 02
donc
21 #08 av oV
dT = —| — dx + — di — d3.) = — dN. 19
(= n. A ae ) (12)
Le travail élémentaire est donc mesuré par la chute élémen-
taire de la fonction potentielle. Par intégration depuis le point
de départ A jusqu’à point d'arrivée B, on obtient
VE NL
c'est-à-dire que le travail effectué par la force électrique se
( 40 )
mesure par la différence des valeurs de la fonction potentielle ou
de potentiel si la charge déplacée n’est pas unitaire.
Soit F, la composante de la force électrique dans une direc-
tion /; une charge unitaire étant déplacée dans cette direction
de dl aura absorbé un travail F,d! qui, en vertu de (12), est
F;dl = — N,
d'où
2V
FE, = — —
! dl Sie
Décomposons la résultante des forces électriques en un
point donné de l’espace suivant la normale extérieure n, à la
surface équipotentielle passant par ce point et suivant deux
directions {4 là situées dans le plan tangent à ladite surface.
En vertu de (13), ces composantes seront
Or, /, et W étant situées dans le plan tangent,
2V 0 2V
dl, dl,
et nous voyons que la résultante est toujours normale à la sur-
face équipotentielle, c’est-à-dire tangente à la ligne de force
passant par ce point. De cette dernière propriété dérive le
nom de ligne de force.
S 13. — LE THÉORÈME DE Gauss.
Soit S une surface géométrique fermée qui contient à l’inté-
rieur un certain nombre de charges e4 62... e,, el soit F, la
force électrique au point P de la surface provenant de la
charge e,, sa composante normale est F;,.
2 ra ( 41 )
[ ic: des produits F,,4S est appelée flux de force d
raversant l'élément de surface dS, c’est-à-dire
=:
EM A =
ni db = Ÿ F,dS
2—À
TT (/
1=1
S
Has - cos a AS = ed;
> im im 0 im
à eut = Ÿ (ed, = Y'ei | dt = 4m Ye (12)
! = i—1 D et i—1
| , S S -
- C'est le théorème de Gauss, disant que le flux total traver-
_ sant une surface fermée est égale à 4x fois la charge totale
comprise à l’intérieur de la surface.
(42)
N 44. — La FORCE AU VOISINAGE DE LA SURFACE CHARGÉE.
Soient So la surface d’un conducteur chargé, de densité
superficielle s, N, et N, ses normales
extérieure et intérieure. Limitons sur
S, une aire dS, le long du contour de
laquelle les lignes de force forment les
génératrices d’un cylindre très court, que
nous limiterons par deux bases menées
parallèlement à dS,. L'application du
théorème de Gauss (14) à ce cylindre
nous donne |
oV oV
Ge = &) dS, = 4rodS,.
FiG. 3.
Or, la base de la normale N, se trouve à l’intérieur du con-
ducteur, où on a V = c’ et par conséquent
2V
INT
et ensuite
ca — 4. (15)
oN,
La formule (15) définit la force électrique en un point
infiniment voisin de la surface chargée.
Je reviendrai dans la deuxième partie sur la force s’exerçant
sur la surface chargée elle-même.
$ 15. — L'ÉNERGIE D'UN SYSTÈME ÉLECTRIQUE.
A. Un système électrisé, étant capable d'effectuer un travail,
possède de l’énergie qui, puisqu'elle dépend des positions mu-
tuelles des corps électrisés, est une énergie potentielle et elle
est égale au travail total que peut effectuer le système.
( 43 )
En vertu de la formule (12) ($ 12), le travail dépensé pour
apporter une quantité d'électricité ôe depuis le point où le po-
tentiel est nul jusqu’au point où le potentiel est V sera
dT — Voôe ;
ce travail se retrouve dans l'accroissement correspondant de
l'énergie du système. |
Cela étant, supposons tout d’abord le système dépourvu de
toute charge et au potentiel O, et chargeons simultanément les
différentes parties du système de la n°"° partie de leur charge
finale; en conséquence, leurs potentiels ne seront que les
ne parties de leurs potentiels définitifs.
À un moment donné, les potentiels seront respectivement :
nV,,nVo...,nV,,; si, alors, on apporte les charges e;dn.. e,,dn,
1! faudra dépenser le travail
| i=m
A RES Πn V;e;dn,
i—1
et pour leur donner la charge totale, on devra varier n de O à 1,
et, par suite, le travail total dépensé sera
DM ( Â im
Eire ndn = à Ÿ Vies
2
Ce travail se retrouve totalement dans l’énergie W du sys-
tème, donc
4 1=Mm
= - }> Vie; (16)
4 1=4
B. Dans la suite, nous aurons besoin d’une autre forme de
l’expression de l’énergie électrique qu’il est bon d'établir ici.
Soient P et Q deux fonctions continues, ainsi que leurs pre-
mières dérivées dans le domaine déterminé v de l’espace
limité par une surface S. Le théorème de Green donne alors
28290 5P 30 5P 50
T Des : A ne. +
(ÊS+ Dors .)orfeort (rs dS — 0.
( 44)
Appliquons ce théorème au cas d’une fonction potentielle
er ter
On aura
. aV\2 2V\? oV
\ (ÈS +(2 + (afro fie (17)
Supposons que la fonction V est une fonction potentielle des
charges réparties dans les domaines finis avec une densité
cubique p et avec une densité superficielle co.
Les dérivées de la fonction potentielle subissent des discon-
unuités sur les surfaces chargées et, par suite, l'intégrale
superficielle doit être divisée en deux et l'intégration effectuée
de deux côtés de la surface de Tor be dS' un
w
élément de cette surface et PRE
les valeurs de A de deux
oN, F
côtés de la surface, alors
F4 19 2V oV
# ue à ds. 18
RÉEL UNICRE ag
Or,
oV 2V
— + — — — Aro,
ON; 2;
par suite (18) peut s’écrire
de | v= dS — ir | Vous! (19)
L'intégrale de volume de (17) peut s’écrire, d’après l’équa-
tion de Poisson (10, S 12),
E | VAVE— 4m | put (20)
sd gatts) bn
(4)
D’après (19) et (20), la formule (17) prend alors la forme
ACDC Ca «ff free
D’après la formule (16), on voit que la partie droite de (21)
est 8x fois l'énergie du système, c’est-à-dire que
Le 1 eV 2 av 2 oV 1 .
À =; | (ace OI G2)
0V oV 3V
ou, en se rappelant que — —» ——: —— sont les compo-
OX SV 07%
santes de la force électrique F, on obtient
1
D — Fdu 22!
&r (22)
$S 16. — DÉTERMINATION DE LA FORCE PONDÉROMOTRICE
EN PARTANT DE L'ÉNERGIE DU SYSTÈME.
Considérons un corps À, appartenant au système, effectuant
sous l’action de la résultante des forces pondéromotrices un
déplacement dx, et soit F, la composante de la résultante F
suivant la direction x. Le travail positif effectué par le système
est égal à la diminution de son énergie potentielle, c’est-
à-dire à
F,dx = — dW,
d’où
F be 9
des ra 5x d ( 3)
Imaginons que le corps mobile A peut tourner et soit ç
l’angle qui mesure la rotation à partir d’une position initiale
( 46)
quelconque. W est aussi une fonction de ®. Soit M le moment
d'un couple auquel est soumis A de la part des autres corps du
système, la rotation de d absorbe un travail Mde qui est pris
aux dépens de l’énergie W du système, c’est-à-dire
Mde = — dW,
d’où
w
MATE, (24)
2p
Les formules 23 et 24 nous donnent les expressions remar-
quables de forces pondéromotrices et qui sont déterminées dès
que l’on connaît W.
Un système électrique placé dans des conditions déterminées
tend à prendre une certaine configuration d'équilibre. Suppo-
sons qu’une configuration quelconque subisse un changement
infiniment petit sous l’influence des forces pondéromotrices du
système, la variation correspondante de l’énergie est négative
et elle a pour valeur, d’après la formule (16, $ 15),
OR i=m
1
dW—== 3 2 Vide, + = D edVs. (25)
Pour simplifier la question, envisageons deux cas séparé-
ment :
a) Les charges des conducteurs sont invariables.
Alors
de; —= 0
t (25) devient
iW=; 2 dv
Or dW étant négatif, il en doit être de même de dV, c’est-
à-dire : un système donné tend à effectuer, sous l’action des
CAT
forces électriques intérieures, des mouvements qui diminuent
les potentiels.
Le système tend à réduire son énergie au minimum pour
autant que les conditions le permettent.
b) Les potentiels sont maintenus constants.
Pour maintenir les potentiels des corps A. constants,
relions-les à des sources B d'électricité de capacités considé-
rables. Le travail effectué sera pris aux dépens des énergies
de À et de B, c’est-à-dire que
AT = — (aW, + dW3). (26)
‘Or,
W, — ; NE
et pour W,, en remarquant que
É — CVs
c, étant la capacité de B,, on peut écrire
I
Wi=, )à Vic,
À |
auW, — e D Vde (27) AW = D cVaV. (28)
Le principe de conservation de l'électricité donne
Yde+ Y cdV — 0
A B
ou puisque À et B sont au même potentiel
Ÿ Vde + Ÿ eVaV — 0. (29)
À B
( 48 )
Alors les formules (27), (28) et (29) donnent
… HR RE
d'A RAT d ete (30)
et (26) devient, par conséquent,
1
AT = + dW, = — 9 AW.
On voit donc que le travail des forces électriques est main-
tenant égale à l’accroissement de l’énergie du système A. La
formule (30) montre de plus que ce travail est effectué aux
dépens de l’énergie des sources B qui en perdent une quantité
double; une moitié sert à produire le travail, l’autre à accroître
l'énergie du système À qui tend vers un maximum de l'énergie
pour autant que les conditions le permettent (*).
S 17. — DÉMONSTRATION INDIRECTE DE LA LOI DE COULOMB
EN PARTANT DE LA FONCTION POTENTIELLE.
Nous avons vus plus haut que la démonstration de Laplace-
Bertrand n’est pas à l’abri de toute critique, car elle admet
qu’à l’intérieur d’un conducteur les forces agissent réellement
mais s’équilibrent toujours et donnent la résultante nulle. Une
démonstration plus parfaite est celle donnée par Graetz (*). Ce
physicien se base sur le fait que la fonction potentielle d’une
sphère est indépendante de son rayon, ce qui n’est possible que
lorsqu'elle est de la forme
b
a + —;
»
(*) Une démonstration excessivement simple de cette propriété remar-
quable est donnée dans Drude-Künig Physik des Aethers, Stuttgart, 1949;
p. 412; elle est basée sur la considération des tubes de force.
(**) Handbuch d. Physik de Winkelmann, t. IV, p. 23.
(49)
d’où la conclusion que, seule, la loi de Coulomb est possible.
Pourtant, dans cette démonstration, la fonction potentielle
est calculée comme si toutes les charges se trouvaient dans un
milieu homogène. On néglige done ainsi la nature physique
de conducteur. La valeur de la fonction potentielle au point P
A B .
Fic. 4.
est donnée par
Vs | ch(r)ds,
l’intégration étant étendue sur toute la sphère, en supposant
que le milieu est homogène. Or, s’il s’agit, par exemple, de la
charge placée en A, la distance r se compose de deux parties :
l’une AB se trouve dans le métal et l’autre BP dans l’air. Le
milieu n’est donc pas homogène et, par suite, la démonstration
de Graetz n’est pas absolument satisfaisante (*).
(*) Voir également : V. SCHAFFERS, La loi de Coulomb, Bruxelles, 1907,
p. 28.
( 50 )
CHAPITRE IV.
Théorie du champ électrique.
S 18. — [INFLUENCE DE LA NATURE DU MILIEU SÉPARANT
LES CORPS ÉLECTRISÉS.
La simple théorie de l’action à distance ne pouvait être
jugée suffisante qu’en présence de connaissances très limitées
sur les phénomènes électriques. Déjà von Muschenbroek, Wilke,
Cuthbersan et Cavendisch avaient observé que la nature des
corps isolants influe sur les phénomènes électriques, mais c’est
seulement Faraday (* qui, par des recherches méthodiques, a pu
mettre en évidence les propriétés sr importantes des isolateurs,
et qu'il avait dénommé propriétés diélectriques, les substances
elles-mêmes corps diélectriques. |
Faraday, écrit Helmholhz (**, appartenait à cette classe de
physiciens qui n’ont pas cru à l’existence des forces agissantes
à distance, sans apporter aucune modification aux milieux à
travers lesquelles elles agissent. L’admission de cette concep-
tion est contraire à l'esprit humain. Cependant, les brillants
résultats obtenus en mécanique céleste par l’admission de la
loi de Newton conduisaient les physiciens à construire la phy-
sique suivant le même modèle. L'esprit de Faraday ne se plait
pas pourtant à cette forme de pensée et il commença une série
de recherches ayant pour but d'étudier l'influence du milieu
séparant les diverses parties d’un système électrique. Immé-
diatement, il à pu reconnaître que la force répulsive ou attrac-
tive entre les corps électrisés est considérablement changée
(*) M. FaRADaAY, Experimental researches, XI, XII, XIII, XIV.
(**) H. von HELMHOLHZ, Vorlesungen über die elektromagnetische Theorie
des Lichts, Leipzig, 1897, p. 10.
és he ce à
RE
ES)
par l'introduction d’un isolant entre les corps agissants. Il en
conclut que l’isolateur lui-même doit subir dans les champs
certaines modifications afin de pouvoir corroborer au change-
ment observé.
D’autre part, l’étude des corps faiblement para- ou diama-
gnétique lui montra que le champ magnétique exerce une
influence sur la matière en y produisant certaines modifica-
tions. Les phénomènes magnétiques trouvaient leur explication
par l’hypothèse des petits aimants moléculaires s’orientant
sous l’action de forces magnétiques extérieures. Faraday
élendit cette idée aux phénomènes électriques, en supposant
que, dans les diélectriques, il se produit un phénomène
analogue et, notamment, que les charges électriques d’une
molécule neutre se séparent sous l’action du champ extérieur
et, ne pouvant pas quitter la molécule, s’assemblent en deux
points différents pour former ainsi deux pôles électriques. La
droite joignant les deux pôles, appelée l'axe de la molécule,
est évidemment dirigée suivant la direction de la force produi-
sant la polarisation, et cela aura lieu pour toutes les molécules
qui vont se ranger ainsi dans la direction des lignes de force.
Pic: D:
Le long d’une rangée, chaque pôle positif d'une molécule se
trouvera en face d’un pôle négatif de la molécule voisine et
leurs attractions se manifesteront comme une tension le long
de la ligne de force, qui se transmet de proche en proche
jusqu'aux surfaces des conducteurs produisant le champ et qui
seront par suite soumis à une force attractive. Les molécules
polarisées de deux rangées voisines auront leurs pôles de
même signe les plus proches, ce qui aura pour effet d'amener
une répulsion entre les deux rangées consécutives. Une ligne
de force n’est plus une ligne géométrique, la trajectoire
orthogonale des surfaces équipotentielles, elle a une significa-
ion physique. Elle représente un état, caractérisé par une
tension le long des lignes et une répulsion dans la direction
perpendiculaire entre les diverses lignes. C’est au moyen de
ce mécanisme que Faraday explique les attractions et les répul-
sions électrique et magnétique. La première idée de la polari-
sation avait déjà été émise par Wilke (*.
Cette image que je viens d’esquisser n’était chez Faraday
que qualitative et, par suite, 1l n’était pas possible d'affirmer
si la grandeur de ces forces moléculaires peut être suffisante
pour rendre compte des forces mesurées. Les recherches de
Faraday ont fourni la preuve suffisante de l'existence d’un
effet de polarisation, mais elles n’ont pas démontré qu'il n’y a
pas, en outre, une action à distance. En effet, les actions
électriques ayant lieu dans le vide, pour en rendre compte par
le même mécanisme, il aurait fallu de nouvelles hypothèses
concernant la nature d’un milieu qui serait dépourvu de
matière, mais pouvant être polarisé; de plus, on se demande
comment agissent les deux pôles voisins de deux molécules
polarisées? L'hypothèse de l’action à distance n’est donc pas
totalement écartée dans la théorie de la polarisation.
S 19. — THÉORIE DE LA POLARISATION DIÉLECTRIQUE DANS UN MILIEU
HOMOGÈNE ET ISOTROPE.
La théorie de la polarisation a été traitée par Poisson,
Mossotti, Clausius, Helmholtz et plusieurs autres physiciens,
dont les résultats généraux sont les mêmes, mais pour lesquels
le mécanisme de la polarisation est un peu différent.
(*) WiLkE, Abh. d. K. Schwed. Akad., 1758, pp. 241, 265.
( 53 )
Clausius admet (‘) qu'un diélectrique est parsemé de parti-
cules conductrices qui, sous l’action du champ extérieur,
* acquièrent leur polarité comme dans le phénomène de l’in-
fluence électrique. Helmholtz suppose (**) que les particules,
disons les molécules, d’un diélectrique sont toujours bipolaires,
mais que leurs axes ont toutes les directions dans l’espace et
s’orientent seulement sous l’action d’un champ extérieur. Dans
la théorie des électrons, on admet que les électrons de chaque
molécule soient déplacés de leur position d'équilibre habituelle
par les forces du champ extérieur et ainsi apparaissent les
pôles de la molécule. Quel que soit d’ailleurs le mécanisme,
on arrive toujours à un dipôle.
Soit un dipôle dont les charges sont + q et — q et les
coordonnées respectives æyz, x'y'z'. La valeur de la fonction
potentielle v’ en un point distant de r du pôle — gq et de r’
du pôle + q est
Mais
j à
13
|
——
|
—
2 | -
a
+-
|
en se limitant aux termes du 4% ordre vu les dimensions
de la molécule. On a donc
1 l 1
o— dE =
= 7 | de
\ 0& oy 02 é
mais, en posant
qdx = à qdy = 8 qd —"Y,
*) R. CLausius, Mechanische Wärmetheorie, 2, 64 (2. Aufl.), 1879.
(+) H.-v. HELMHOLHZ, Journal de Crelle, 79, p. 57, 1870.
on peut écrire
comme l'expression de la fonction potentielle d’un dipôle.
Supposons que les grandeurs caractéristiques &, $, y sont
les composantes d’un secteur dont la valeur algébrique est
M=Væe +84
et que la direction déterminée par les angles {mn est
cos = © cos m = Ÿ cos n = À
Ce vecteur est appelé le moment électrique de la molécule
et sa direction est son axe électrique. Soit d{ la distance de
deux pôles, on a alors
dx dy dx
.=M— = M — M
M EL a dl
et, par suite,
Re .
VDM rdæ ‘rdy r dr |. PR
7 ls di “y dd = 41008
La molécule considérée, de volume d', fait partie d’un
diélectrique de volume déterminé, dont le moment par unité
de volume nous désignons par À y, de sorte que
a — Àdt PAT Ÿ —=YdE
3 chatte <td 0 de den
|
(55 )
Par suite, la fonction potentielle de tout le diélectrique
polarisé sera donnée par
ce, + Fe
re drdydz. (31)
où r est la distance entre le point potentié et le volume
dxdydz et dont l'intégration est étendue à tout le volume
du diélectrique.
Remarquons que l'introduction d’un vecteur (Av) est né-
cessaire, car « 5 y sont bien déterminés pour une molécule,
mais dans les espaces intermoléculaires elles sont nulles et,
par suite, l’intégration dans tout le volume du diélectrique
rencontre des difficultés analytiques parce que les fonctions à
intégrer sont discontinues dans l’espace d'intégration et que
pour l’effectuer 1l serait nécessaire de connaître toutes les
discontinuités et subdiviser convenablement les intégrales, ce
qui présente des difficultés insurmontables.
Supposons maintenant que les corps électrisés créent un
champ dont la fonction potentielle est V et dont l'intensité à
pour composantes
Sous l’action du champ, le diélectrique se polarise et donne
la fonction potentielle V’ ainsi que l’intensité correspondante
provenant de la polarisation
En admettant que le moment électrique soit proportionnel
( 56 )
à la force électrique s’exerçant au point considéré et que k
soit le coeflicient de proportionnalité, on a
. 2V oV' ONF EN
NEpeR TROT = LT TETE
Am (5 + 0) OUR CHERS
ou, en désignant par ®, le potentiel total,
P = V + V' (32)
on à
: ad 9 9® -
À = — k —— = — ——— = — »
OX F k y * à 0% (33)
ce qui, étant substitué dans la formule (30, $ 19), donne
1 1
O —
2 (D
— — } -[fC ——— He PSE + — : cs dxdydz. (84)
0% SN OY OY 02 0%
Par transformation, au moyen de la formule de Green, on
obtient
NS 1 5D
von a [[ (2 dupe +8 | [SE as. (35)
La deuxième intégrale de (35) se rapporte à la surface qui,
en général, est une surface de discontinuité. On la remplace
donc, comme d’habitude, par
9® 0D\1
k — WU 0S,
l Î ee N) :
comme on l’a vu plus haut ($ 45 B), et alors (35) s'écrit
es [| ee dudyds + | (+ e. DE (36)
(97)
. La formule (36) nous montre que la fonction potentielle d’un
diélectrique polarisé est équivalente à la fonction potentielle
d’une charge solide de densité cubique p/
91 ou 0Y
er Lo LL
F ee dy 02% (7)
et d’une charge superficielle de densité superficielle o/
0P ,
En TS à — — L(Fx, + FX.) (38)
qui ne sont que les densités apparentes.
En même temps, le diélectrique peut posséder la charge
vraie de densité cubique & et superficielle < dont la fonction
potentielle sera donnée par
[| , dxdydz + Î| - ds
et, dans ce cas, V’ deviendra
TE Le — ë + : + æ.). dxdydz
+ [ft —KP + Fous. (39)
On voit que (39) est équivalente à la fonction potentielle des
charges distribuées d’une façon continue de densité cubique p,
À Ou 9y 10
= p— (++ À) (40)
et de densité superficielle 5,
So — 5 —H(Fx, + Fx,). (41)
( 58 )
Les densités 5559 sont appelées les densités de l’électricité
libre, celles 27 de l'électricité vraie, et celles p'5’ de l’électri-
cité apparente.
On voit que c’est l'électricité hbre qui détermine la fonction
potentielle dans un diélectrique de la même façon que le ferait
l'électricité vraie dans le vide, et qu’ainsi tous les résultats de
la théorie de l’action à distance peuvent être utilisés.
Déterminons encore les densités vraies p et 5.
L'équation de Poisson donne
1
et, d’après (40), on obtient
AUS ES + 4x) LH) OU | (49)
4 0% y 0%
D'une façon analogue, les conditions à la surface donnent
1 f/3D 09
= +R) (43)
AT oN, © 2
Si, de plus, nous appelons p, et ps les polarisations des
deux côtês de la surface, on a, en vertu de (33),
UT = kF,, Pe —= KEY,
et alors de (41) et (43) on tire
1
s— Le LFx, + 47pi) + (Ex + 472) (44)
Les formules (43) et (44) déterminent les densités vraies.
La constante k que nous introduisons à partir des formules
(53) est une constante caractéristique de chaque milieu diélec-
trique et qui est appelée la susceptibilité électrique du diélec-
20 ae GR:
(59)
trique (*). On peut trouver facilement la signification physique
de la constante k en cherchant le moment électrique d’une
sphère diélectrique dans un champ uniforme. Le calcul montre
que k est numériquement égal au moment électrique d’une
sphère de l’unité de rayon polarisé dans un champ dont l’in-
tensité est égale à l’unité.
Supposons maintenant que les limites de diélectrique sont
les surfaces conductrices et que le diélectrique ne possède pas
de charge vraie. L’équation de Poisson jointe à la formule (37)
donne
AV! — —_ 4rkAD (45)
Or,
V+V'— ©;
de plus, en vertu de l'équation de Laplace, on à en tous les
points du diélectrique
AN 6
il s'ensuit que
AV! — Ad,
et (45). donne alors
AVI— 0, AD—0
et l'expression (35) de la fonction potentielle devient
ani | à sys, (46)
l'intégration étant étendue à toute la surface du diélectrique.
(*) Dans les ouvrages allemands on l'appelle Dielektrixirungs+ahl.
( 60 )
Or, actuellement, nous supposons cette surface formée par
un certain nombre de surfaces conductrices A, .… AÀ,,, donc
D étant une fonction continue vérifiant l'équation AP — 0,
peut être transformé, par application du théorème de Green (*)
RAS P
et représenté par les valeurs de ® et . sur la surface
à (|
© —
1 r 1 4 5
D = -— ist ]] =S,
| 2N 4 Ne
À.
ce qui, dans notre cas, deviendra
{
© —
14 5 2 D
1 2N A à oN;
Les surfaces étant supposées conductrices on a toujours
®, = É
RRIES
D'après (49), la formule (48) devient
m ae” | 24
—_ kr — les As
4rD » | y (50)
A
(*) L. GRAETz, Handbuch d. Physik de Winkelmann, Bd IV, pp. 19 et 82.
et d’iei
RP
PAL
(61)
qui, étant comparée à (47), donne
VE 4rkD.
D'autre part, d’après (32),
M—= dv",
donc
V = DA + 4rk) = KD. (51)
La nouvelle constante K est appelée la constante diélectrique
ou le pouvoir inducteur spécifique de diélectrique; elle est
reliée à la susceptibilité électrique Æ par la relation importante
K — 1 + 4xk (52)
(51) donne, pour le potentiel total ®, dans un milieu homo-
gène et isotrope de constante diélectrique K
D =; D9
. (55)
S1 nous plongeons donc un système électrique donné en un
milieu de constante diélectrique K, les valeurs de la fonction
potentielle à chaque point de l’espace ne seront que les K° par-
tes de leurs valeurs primitives.
S 20. — LES FORCES PONDÉROMOTRICES DANS UN MILIEU
HOMOGÈNE ET ISOTROPE.
Les composantes de la force en un point étant égales aux
valeurs des dérivées partielles changées de signe de la fonction
potentielle, on obtient immédiatement de (53)
4 9V À 5V À 9V
X— —- —, Y— — -—, ZL— — - —, 54
K 5x K oy K 93 C5)
c'est-à-dire, elles ne sont que la K®° partie de la force qui se
serait exercée dans le vide.
On voit immédiatement que l'expression numérique de la
loi de Coulomb sera également modifiée, comme d’ailleurs un
simple calcul le démontre. Soient deux charges ponctuelles
e etes, placées à la distance r et plongées dans un milieu de
constante diélectrique K. Leur énergie sera donnée par
l’expression |
(
W — 9 LeP + e,D, |,
ce qui, en vertu de (53), peut s’écrire
l
W=— SK [eV + eV, |;
d'autre part,
V —_— A, V, == _
r r
donc
1e: 4e e;
W=— + —|— —
ne F # Kr
et, par suite,
2W AA
+ —<.
ar Kr?
(55)
c’est-à-dire que la force s’exerçant entre deux charges ponc-
tuelles est directement proportionnelle au produit des charges,
inversement proportionnelle au carré de la distance et inverse-
ment proportionnelle à la constante diélectrique du milieu
séparant deux charges. Les expériences confirmant les formules
(54) et (55), on voit donc qu’au point de vue des forces pondé-
romotrices la théorie de la polarisation rend parfaitement
compte de l'influence des milieux diélectriques.
( 63 )
S21. — RECHERCHES EXPÉRIMENTALES BASÉES SUR LES FORMULES
(54) et (55) POUR LA DÉTERMINATION DES CONSTANTES DIÉLEC-
TRIQUES.
Plusieurs physiciens se sont servis des propriétés indiquées
au $20 pour déterminer la constante diélectrique K des diffé-
rents diélectriques, par la mesure des forces pondéromotrices
s'exerçant soit entre les conducteurs chargés, soit sur un
diélectrique placé dans le champ. La dernière question ne ren-
trant pas dans notre sujet, occupons-nous seulement de la
première.
1. Méthode de Lefèvre (*). — Cette méthode est basée sur la
détermination de l’action mutuelle de deux plateaux électrisés
distants de d et entre lesquels se trouve une couche de diélec-
trique à étudier d'épaisseur h. Lorsqu'on établit entre le pla-
teau la différence de potentiel », le calcul élémentaire montre
que chaque unité de surface sera attirée avec une force
2
Sa — hi + r) (58)
où K est la constante diélectrique du diélectrique étudié.
Celui-ci étant enlevé, on aura
F —
d'où
F, h\°?
(a—n+ )
(*) J. LEFEVRE, Comptes rendus 113, p. 688, 1891 ; 114, p. 834, 1892.
(64)
la formule qui permet de déterminer K par la mesure de F et
de Fo.
Cet auteur à aussi employé la mesure de l’action mutuelle
de deux sphères chargées entre lesquelles 1! avait interposé une
couche de diélectrique, les forces ayant été mesurées par la
balance de torsion.
Les valeurs de constante K ainsi obtenues par Lefèvre con-
cordent bien avec celles obtenues par la méthode plus parfaite
des oscillations hertziennes.
2. Méthode de Ziloff (*). — Elle est basée sur la formule (54).
Ziloff à construit un électromètre à cadrans, de type très
simple, se composant d’un vase cylindrique en verre sur la
paroi intérieure duquel sont collées quatre bandes d’étain
reliées métalliquement en croix. L’aiguille est formée de
lames de platine parallèles aux génératrices du vase cylin-
drique, et qui, reliées par un fil rigide, sont suspendues à un
fil de torsion. L'une des paires des bandes d’étain est reliée
à la terre, tandis que l’autre paire est reliée au pôle d’une
batterie, dont l’autre pôle est mis à la terre.
On mesure tout d’abord la force F, s’exerçant entre l’aiguille
et les cadrans dans l’air, et, ensuite, on remplit tout l’électro-
mètre avec le liquide à étudier, ce qui fait varier la force; soit
F sa nouvelle valeur. Le rapport de ces deux forces fournit
immédiatement la valeur de la constante K.
Fo
F
Cette méthode donnant de très bons résultats avait été beau-
coup utilisée dans la suite et elle a subi certaines modifications
ne changeant pourtant en rien ses traits généraux. Les données
numériques obtenues se trouvent dans les travaux de Tomas-
(*) D. SiLOrFF, Pogg. Ann., 156, p. 389, 1875.
<4
: dite tes RATE
t 63 )
zewski (*)}, Cohn et Arons (*), Gouy (**), Heerwagen ("),
Franke ("), Tereschin (), Rosa (), Landolt et John ("1
Smale, (*), Perot (*).
La méthode n’est évidemment applicable qu'aux liquides.
En se servant de courants alternatifs, on a pu déterminer les
constantes diélectriques des électrolytes. Ces mesures impor-
tantes ont montré que la constante K croît en général avec la
quantité de sel dissous, mais aucune loi n’a pu cependant être
établie.
Cohn (*’), par exemple, a montré que lorsque la conducti-
bilité de l’électrolyte s’est accrue de 7,4.10 719 à 455.101, la
constante diélectrique n’est augmentée que de 7 °/..
Smale a étudié également l'influence des solutions des sels
dans l’eau sur la constante diélectrique et, ainsi, il trouve
notamment que pour une teneur de 0.01 de la solution nor-
male la constante diélectrique s'élevait, par rapport à celle de
l’eau pure, de 11.3 °} pour KCI, 12.6 °/, pour HCI, 8.6 °/, pour
CuSO,, etc.
Ces résultats indiquent que la force électrique s’exerçant
entre deux charges plongées dans un électrolyte — en suppo-
sant qu’on a empêché leur décharge — est d'autant plus faible
que la conductibilité de l'électrolyte est plus élevée. Mais nous
ne savons pas jusqu’à quelles limites cet accroissement de la
constante K se produirait.
Les expériencés de Drude ("), par exemple, montrent que la
(*) FE. TomaAsrEwsx1, Wied. Ann., 33, p. 33, 1888.
(+) E. Con und L. Arons, Wied. Ann., 33, p. 24, 1888.
(+) M. Gouy, Comptes rendus, 106, pp. 540 et 930, 1888.
(IV) F. HEERWAGEN, Wied. Ann., 36, p. 7192, 1889.
(Y) A. FRANKE, Wied. Ann., 50, p. 163, 1893.
(V1) S. TERESCHIN, Wied. Ann., 36, p. 792, 1889.
(Vu) E. Rosa, Phil. Mag. (5), 31, p. 188, 1891.
(ur) H. LaNDozT und H. Joux, Zts. f. phys. Chem. 10, p. 282, 1892.
(x) F. J. SMALE, Wied. Ann., 51, p. 215, 1896; 60, p. 627, 1897.
(*) A. PEror, Journal de Physique (2), 10, p. 149, 1891.
(1) E. Cox, Wied. Ann., 45, p. 375, 1892.
(20) P. DruDE, Wied. Ann., 59, p. 61, 1896.
©
( 66 )
variation de K n'est pas toujours la même; sa méthode des
oscillations électriques ne donne pas toujours le même résul-
tat que celui obtenu par la méthode statique, ce qui s'explique
d'ailleurs par la dispersion électrique.
5. — Méthode de Quincke (*). — C'est une modification de
la méthode de Lefèvre. Quincke à mesuré l'attraction mutuelle
des plateaux d’un condensateur horizontal plan, qui est plongé
dans le liquide à étudier. Le plateau inférieur est immobile, le
plateau supérieur est suspendu au fléau de la balance par
l'intermédiaire de laquelle 1! est mis à la terre; le plateau
inférieur est chargé au potentiel V. En désignant par d la
distance entre les plateaux et S leur surface, on a
KSV?
Sr
ie
formule qui s'obtient de (56) et qui permet de calculer K.
Les valeurs de K ainsi obtenues ont été comparées à celles
fournies par des méthodes différentes et les résultats étaient
assez concordants.
S 22. — THÉORIE DE LA POLARISATION ET LES FORCES PONDÉRO-
MOTRICES DANS LES MILIEUX DÉFORMABLES ET A K VARIABLE.
Dans les formules (35), nous avons posé que les compo-
santes du moment électrique sont proportionnelles aux com-
posantes correspondantes de la force électrique. C'était une
supposilion, et un examen plus complet montre que ce n’est
là qu’une première approximation.
L'énergie d’un système électrique contenant des régions de
(*) G. QuincxE, Wied. Ann., 19, p.795, 1883.
RD de Ld … din dt à
CO)
l’espace chargées de densité cubique b et des surfaces chargées
de densité superficielle « est donnée par
_- ; || [1 “odædydz ie || VodS, (57)
ou encore, en vertu de la formule [(22), $ 15 B|,
{ TE ANNEGLr ON \? OV A
dde il | (£) ". er sf So De)
En soustrayant (58) de (57) multiplié par 2, on obtient
wv (({ y | =) 2V\° oV\?2 due
…LAIONOMOIRS
Se | | VsdS. Si
Si notre système est plongé dans un diélectrique, cette
expression n'est plus exacte, car on doit tenir compte de
l'énergie potentielle des dipoles. Soit ®, la valeur de la
fonction potentielle (totale) au point occupé par le pole q, et
® celle au point occupé par le pole — q, alors l'énergie de ce
dipole est
Ï 24 2
q®, — g® — q e x ie ra —- Es ta)
en se limitant aux termes de premier ordre.
En étendant la notion du moment au volume unitaire,
comme nous l'avons vu au $ 19, on obtient l'énergie de tout
diélectrique par rapport au système
UT 24 ad 2
| û Hu + y — à Jdrdydz.
ox y
( 68 )
Remarquons que à, u, » entrent 101 à Uitre formel et ne sont
pas définis par les relations (55).
En outre, le diélectrique lui-même, ayant subi des modifica-
tions, possède une certaine énergie propre qui est, évidemment,
une fonction de la polarisation p. Soit f(p) cette fonction.
L'énergie totale du système sera donc donnée par
W — = | | | he + ut) + in
he : PEN
1 ab 2 D 2 tt fe
Le (Se) FA eo ” (Æ Hi dxdydz + | | Pou.
OT ox oy 07 =)
N’étudiant que le phénomène électrostatique, nous devons
envisager un état d'équilibre correspondant, par conséquent,
à l'énergie potentielle minimum. Done, pour toutes les varia-
üons de À, x, y on devra avoir (*)
(60)
3W — 0. (61)
En considérant :, « et ® comme constantes, on à
STÉ of d à of d
w= [|| | 32 (D + Se) + Bu ( T+iT
ef a (62)
: ©] ap :
+ Ôy e + — + re) dx dydz ;
5h, du, dy étant indépendantes, (61) exige
D EE) ap 2D. ‘of dp:" 02 | SN (63
PRET" dd Sr LI du 9% Un op dx )
Or,
2 ad 2
RUE SD PAIE 22
(*) H. vox HELMHOLTZ, Vorlesungen über Elektrodynamik und Theorie des
Magnetismus, Leipzig, 1907.
PRET bi 14 Ch dé re
‘ dé.
L
‘
#1
_(69)
sont les composantes de la force électrique, donc les for-
mules (63) donnent la relation entre cette force et la polarisa-
tion et elles permettent de déterminer la première, si la
fonction f(p) est connue. Mais la fonction f(p) n’est pas connue
exactement, les expériences montrent que pour de petites
valeurs de p elle est proportionnelle à p?, mais pour des
valeurs plus grandes elle croit plus vite et elle atteint enfin
une limite qu’elle ne dépasse pas, même pour des champs très
forts. L’étude expérimentale de la question présente plusieurs
difficultés, car les diélectriques, même les plus parfaits dont on
dispose, sont toujours un peu conducteurs, et, par conséquent,
pour des champs plus élevés, les phénomènes se compliquent
considérablement ; la formation de la charge résiduelle apporte
aussi une sérieuse perturbation.
En supposant que, dans un certain intervalle, on a effective-
1
ment une proportionnalité à p? et soit —
DE le coefficient de
proportionnalité, on obtient
!
fo) = Le (65)
et, ensuite, en vertu de (63)
en p dp |
l'ARN CRT EACEE
Mais
Las ÀS + u? + V2
donc
l +
p — À, et ap. = x,
Pa dÀ bp
par suite, (65) devient
X —
À
OL von + XX (66)
(70)
et d’une façon analogue
ER à v = KZ. (66)
On reconnait facilement les formules (33). L'hypothèse uti-
lisée ici consiste à admettre que l'énergie propre du diélec-
trique polarisé est proportionnelle au carré de la polarisation.
Si, pourtant, on dépasse les limites entre lesquelles la for-
mule (64) est vraie, les composantes de la force, en un point
de diélectrique, seront données par
OURS RE CP
2pp pp ile
qui peuvent donner des valeurs plus ou moins différentes de
celles obtenues par la simple hypothèse (66). L'étude de la
marche de la polarisation présente un grand intérêt même pour
les forces pondéromotrices. Celte étude et celle des phéno-
mènes de la charge résiduelle, qui s’y rattache immédiatement,
ont été faites par plusieurs physiciens : citons ici les travaux
de Wüllner (*}, Gaugain (*), Hopkinson (**), Giese ("),
Bouty (‘), Bedell et Kinsley (1), Wilson (") et Naceari ("".
Les formules ci-dessus se rapportaient à un diélectrique par-
fait où la polarisation est indépendante du temps, c’est-à-dire
s'établissant instantanément; de plus sa conductibilité était
supposée nulle. Dans les diélectriques tels que ceux dont nous
disposons, les choses se compliquent, et la polarisation, après
(*) A. WüLLNER, Pogg. Ann., 153, p. 29, 1874. Wied. Ann.. 1, p. 247, 1871 ;
32,:p.. 19, 1881,
(+) À. GAUGAIN, Ann. Chim. Phys. (4), 2, p. 313, 1864,
(F**) J. Hopxnson, Phil. Trans , 167, p. 599, 1877.
(v) W. GIEsE, Wied. Ann., 9, p. 161, 1880.
(”) E. Boury, Comptes rendus, 110, p. 1326, 1890 ; Ann. Chim. Phys. (6), 27, .
p. 02, 1892.
(1) F, BEDELL and C. KiNsLEY, Phys. Review, 9, p. 170, 1894.
("11) J. Hopxinson and E. Wizson, Phil. Trans., 189, p. 109, 1893.
(vnr) A, Naccari, Nuov. Cim. (4), 11, p. 50, 1900.
(71)
avoir acquis presque instantanément une certaine valeur, con-
tinue à croître après l'établissement du champ, pendant un
intervalle de temps considérable, de sorte que la constante
diélectrique K paraît avoir des valeurs dépendantes de la durée
de l’action du champ. Elle s'approche asymptotiquement vers
une certaine valeur finale qui paraît être indépendante du
champ. Cela paraît résulter des recherches de Thornton (*).
Cependant, les travaux faits très soigneusement par Quincke (**)
semblent montrer que la constante diélectrique obtenue par
l'emploi des champs élevés est toujours plus petite que celle
obtenue avec les champs faibles. A ce sujet, il convient de
mentionner également le travail intéressant de Hooz {***,
Mais la question est toujours ouverte.
Remarquons pourtant qu'il est peu probable que, pour les
champs suffisamment forts, la polarisation eroisse linéairement
avec le champ jusqu’au potentiel disruptif. La proportionnalité
existant dans de larges limites cesserait peut-être d’exister
pour des valeurs du champ s'approchant de celles correspon-
dantes à la décharge disruptive.
Pour étudier la marche de la polarisation dans le temps,
Waüllner approchait une plaquette conductrice électrisée reliée
à un électromètre et placée au-dessus d’un diélectrique solide
ou liquide, jusqu’à une distance de 0°"293 de sa surface. Par
le fait du rapprochement, la capacité de la plaque augmentait
el, par suite, son potentiel initial V, diminuait jusqu'à une cer-
taine valeur V. Pour l’eau, V acquiert instantanément une
valeur finale ne variant plus; au contraire, chez le sulfure de
carbone (CS?), la variation dans le temps est considérable; ainsi
7
quarante secondes après le rapprochement, le rapport - avait
0
la valeur 0.828 ; ce n’est qu’au bout de quatre-vingts minutes
|
És Le 2 3 L ; A
qu'il descendait jusqu’à CRD 0.405; le pétrole a donné, après
(*) W. M THORNTON Phil. Mag., 19, pp. 390-407, 1910.
(+) G QuincrE, Wied. Ann., 19, p. 705, 1883.
(*%#) M. v. Hooz, Elektrotechn. Zts., 2, pp. 170, 187-213, 1901.
(72)
V
vingt secondes nt 0.855, après quatre-vingts minutes
V # ET 2 | em : Y
7 0.597; pour l’ébonite, le décroissement variait de V,
— 0.501 jusqu'à 0.559.
On voit que la proportionnalité supposée ne s’établit que
bien lentement. Par conséquent, les simples formules (54, $ 20)
ne sont vraies que pour cet état d'équilibre définitif, à moins
de supposer K différent à chaque instant, ce qui ne serait
pourtant qu'un artifice fait pour maintenir la généralité des
formules ne répondant pas à la notion théorique de la con-
stante K. En réalité, ce sont probablement des faits parasites,
dus à ce que le diélectrique est imparfait, qui font que les
phénomènes se passent comme si K était variable.
Pour chaque instant de cet état initial et au delà des limites
de proportionnalité entre la polarisation et le champ, ce sont
les formules (67) qui déterminent les valeurs de trois compo-
santes de la polarisation, et, par suite, l'expression de la fonc-
tion potentielle et de ses dérivées servant à déterminer les
composantes de la force pondéromotrice seront aussi plus
complexes.
Cela étant, cherchons les expressions générales des compo-
santes de la force en un point du diélectrique.
Admettons l’expression (60) de l’énergie et, par application
du principe de la conservation de l'énergie, cherchons les
composantes de la force.
La formule (60), d'après la relation
f(p) = . CRE er 2
devient
W — ill de LC + 4h) TE ( El
dxdydz + | Ps4S,
>- +
si a disnia dtls
at 2 0)
ou, en remplaçant, pour simplifier, les charges superficielles
par les charges à densité cubique très élevée, et en remar-
quant que
K = 1 + 4x,
on obtient
(68)
AR ONDES
TC OX oy 0% \
Soient dx, dy, dz les composantes d’un déplacement virtuel
au point æyz qui sera, après ce déplacement, occupé par Île
point matériel, dont les coordonnées étaient x — Ôx, y — Ôy,
z — Ôz. Ce déplacement aura pour effet de faire varier K au
point æyz de la quantité
k oK , 2K, oK
IK — RE ES h F2 =” , .# Û
ON — é 0x + : Oy + à ds) (69)
De plus, le déplacement en question est accompagné, en
général, d’une déformation : ce qui entraînera la variation ’/K
de K au même point matériel. Cette question de l’influence de
la déformation sur la constante diélectrique a donné lieu à
plusieurs travaux expérimentaux dont les résultats sont cepen-
dant divergents. Ercolini (*}, dans plusieurs expériences, con-
Stata une augmentalion de la constante K du verre soumis à la
traction; Corbino (**), au contraire, trouva une diminution.
Plusieurs physiciens ont effectué des bonnes mesures, mais
tandis que les uns (***) trouvaient une variation négative, c’est-
àa-dire une diminution de K avec la traction, les autres (”), au
(*) G. ERco1INt, Acc. dei Lincei (5), 7, I, pp. 179, 183, 1898; Nuov. Cim.
(4), 8, p. 306, 1898.
(**) 0. M. CorgiNo, Rend. Acc. dei Lincei (5), 8, IX, p. 238, 1899.
(%) 0. M. CorgiNo, Nuov Cm. (4), 8, p. 240, 1896; (4). 114, p. 136, 1900;
0. M. Corgino et F. Cannizzo, Nuov. Cum. (4, 8, p. 311, 1898; M. PANICHI,
. Nuov. Cim. (4,8, p. 89, 1898; P. SaceRDoTE Comptes rendus, 199, 282, 1899.
. (IN) P. DEssau, Rend. Acc. dei Lincei (5), 3, I, p. 488, 1894; ERCOLINI,
Rend. Acc. dei Lincei (5). 7, IL, pp. 172, 183, 1898.
(Re)
contraire, observaient une variation positive, c’est-à-dire une
augmentation, et d’autres (*), enfin, ne trouvaient pas
d'influence. Tout récemment, M. Schiller (*) a effectué des
mesures très soignées sur la variation de la constante diélec-
trique du caoutchouc avec une tension exercée perpendiculai-
rement aux lignes de force du champ. Il en résulte que K
diminue avec la traction et qu’elle passe notamment de 3,67
à 5,51 lors d’une dilatation de 30 °/,.
Quoique la nature de toutes ces variations soit presque
inconnue, 1l est certain qu’elles existent, ce qui légitime
l'introduction du terme ©'"'K.
La déformation étant limitée à une dilatation, la varia-
uon à'K peut être supposée proportionnelle à la dilatation
_ odv 2 ; SUN +
spécifique Fr" de volume élémentaire dv, c’est-à-dire que
È èdv\ [oûx oùy 908
GR Die} 6} Es = h 70
(a) EyYr ay +5) to
en désignant par — 0 le coefficient de proportionnalité. En
général, la variation de K sera donc donnée par
OK —0K+OK— te 07 ER OY RE E
3 ox 9 0%
D'une façon analogue, le déplacement considéré plus haut
fera varier la densité d'électricité vraie & de ÿ'o,
s ÉE 6 1 ee
TS TE ET LE mt
\od op d
(72)
) L. T. More, Phil. Mag. (5), 50, p. 198, 1900; {6), 2, p. 527, 1901; :
P. SACERDOTE, Journ. de Ph. (31, 10, p. 200.
#) L. SCHILLER, Diss. Leipzig. (ANN D. Pays., 35, p. 931, 1911.)
PORT T T DD
( 75)
et la déformation qui l’accompagne de ©'5. Mais iei le principe
de la conservation de l'électricité nous permet de déterminer
plus exactement ü"'o.
En effet, d’après ce principe, on a
edv — const., (73)
en remarquant que, dans un diélectrique, la charge ne peut
pas quitter la molécule. De (75) on tre
dv
Il 4: PEN POP RE | SAME
Ô''(odu) — dud''p + Didv = dv (Be © æ)
mais, on en a vu dans (70)
OAV 9JÔT 90 oùz
PET et da
par suite,
en tenant compte de (73).
La variation totale Ôs sera donc donnée par
on fo, 0,67 qu
ch y 22
Soit maintenant X, Y, Z les composantes de la force pondé-
romotrice s’exerçant au point æ, y, z dans un volume élémen-
taire dædydz et qui, pendant le déplacement Ôx, dy, dz, pro-
duira le travail
ou en considérant tous les déplacements dans le volume total
du diélectrique, le principe de la conservation de l’énergie
donnera
BW + | | | ôr + Yôy + Zôc)dædyds — 0. (15)
(76)
Caleulons maintenant 3W en partant de la formule (68), où
on suppose constant.
3)? ad er e 2
SW — | | | da Les -|- ———. | dædyds,
chi oY
ou, en substituant les valeurs de à ôs et oK données par les for-
mules (74) et (71),
Cr a(pôx) 1 PL NE 9)? 9°?
ÔW — CT CENDRES EE =. LE
| | ( œ 8 LE à (2 7 (SE
oK | QÙZ | a(o00 l a® “ 2% ?
Ë SU + TE ae | + e À
Lox ox | | y 8x |\e ey /
/aB\21 FXK sùy o(pèz) 1
EEE ô nds va 2
A s ce UE x US É )
9®\? 3d\21 PK aù
+ GARGIEETE
oy 0% © 0%
ce qui, après transformation, devient
Mere | 5 1 3K F/ad\? 92
ÈW — SN PRE 25
11] | à | 5x # ST 0% ES is El
PT 15 2DY /ab\ ab ||
EC CO
03, 87 0% | chi 27 02
É 2P 1 EL AIDE 2? ad?
DR OMC)
OY ÔT y dx ay 22
dædydz,
nu D fab |
Lee
SV 3® 12K[/2B\ ob ay
8 hé mers e +(2)+ (©)
L° 23 8x 9z | \ox ay 22
\
2®\? ad? ad?
NÉE RAT ur:
pH oy OZ
la >)
AT
: (T6)
Sn né
(7)
en introduisant (76) dans (75), et remarquant que (75) doit
être vérifiée pour toutes les valeurs de 5x, y, èz, on obtient
nr ONCE
TP 5x S8roxl\5x ay 22
+ 9° 9D\? oD\?| |
550 A ME Fe a
TR () i «4 a ER |
- 2 1 5K | /oB\? 2? FLAC
_ STORE)
oy ST O1) ox ay \ 07
Î \ 9P\2 LUE 92
Pa} A Qu CAE SNMP
T8 | ()+ er: É3iR
nn CHE)
io ST 92 OX Oy 0
ORCH
ÔT | cp oy 27 |
Sous celle forme, on voit immédiatement les raisons phy-
siques de l'existence de diverses parties de chaque composante.
Ces expressions nous montrent que, même au point où la
densité d'électricité vraie est nulle, les forces électriques agis-
sent, et que tout point où la constante K est variable se com-
porte comme portant une charge. La simple loi de Coulomb
est loin de pouvoir rendre compte de ces expressions com-
plexes.
(77)
( 78 )
CHAPITRE V.
La théorie Faraday-Maxwell.
S 25. — LES FORCES PONDÉROMOTRICES COMME RÉSULTAT
DE LA TENSION DE L'ÉTHER.
Bien que la théorie de la polarisation des diélectriques rende
compte de l'influence de ces derniers sur les phénomènes
électriques et que ses conséquences se vérifient pour un cer-
tain nombre de faits, elle n’est pourtant pas satisfaisante, car
elle n’embrasse pas tous les phénomènes et qu’à la base gise
l’idée de l’action à distance. Il est vrai que ce n’est plus la
transmission instantanée à toute distance, car la polarisation
se propage d'une couche polarisée à une autre qui ne l’est pas
encore avec une vitesse finie, celle de la lumière; mais cette
action d’une couche polarisée sur sa voisine se fait, dans la
théorie de la polarisation, par l’action directe à distance qui se
manifeste même aussi chez le diélectrique totalement polarisé
dans l’action mutuelle des pôles appartenant soit à une même
rangée de molécules, soit à des rangées différentes. Au fond
donc, au point de vue du mécanisme des actions électriques,
la théorie de la polarisation n’a fait qu’échanger l’acuon
directe à grande distance par l’action directe à petite distance
séparant les pôles des molécules polarisées.
Pour Faraday, la polarisation fournissait une image maté-
rielle de lignes de force, et sur leurs deux propriétés fonda-
mentales il s'exprime nettement de la façon suivante (*). « On
peut concevoir la force directe d’induction comme s’exerçant
suivant les lignes comprises et limitées par deux surfaces con-
ductrices électrisées et accompagnées d’une force latérale ou
(*) M. Farapay, Experimentals Researches, XI (1297)
(79)
transversale, dont l'effet revient à écarter ou à repousser les
lignes représentatives. » Un mécanisme qui permet de se
rendre compte de ces propriétés essentielles est indiqué par la
polarisation des molécules du diélectrique en imaginant la
séparation des charges en deux pôles de signes contraires. Et
Faraday ajoute que : « ou bien encore la force d'attraction
qui agit entre les molécules du diélectrique dans le sens de
induction est accompagnée d’une force répulsive ou diver-
gente dans la direction transversale ».
IL est incontestable que dans les diélectriques, le champ
électrique produit les phénomènes de nature polaire, mais
cette polarité peut être conçue aussi comme Île résultat des
autres mécanismes. Maxwell, notamment, comprend la pola-
risation d’une manière plus générale. « On peut dire,
écrit-1l (*)}, qu'un élément d'un corps est polarisé quand il
acquiert des propriétés égales et contraires sur deux faces
opposées. » Étant donné les propriétés des lignes de force
indiquées par Faraday, Maxwell suppose ces tensions et ces
pressions comme des réalités dans le milieu sous la forme de
déformations mécaniques. « Si nous examinons alors l’état
mécanique du milieu dans l'hypothèse que l’action mécanique
observée entre les corps électrisés s'exerce au travers et par
l'intermédiaire d’un milieu, comme dans les exemples famil-
liers où un corps agit sur un autre par l’intermédiaire d’une
corde tendue ou d’une tige comprimée, nous trouvons que le
milieu doit être dans un état de déformation mécanique (**). »
Et Maxwell créa la théorie de continuité par excellence, où la
polarisation est, pour ainsi dire, un effet secondaire produit
sous l’action de l’état caractéristique d’un milieu, d’un éther
élastique et incompressible qui remplit tout espace libre de
matière. Imaginons un corps conducteur que nous allons
charger à un moment donné; la charge aura pour effet de pro-
(*) J. G. MaxwELL, Traité d'électricité et de magnétisme, vol. 1, p. 69.
C*) J. C. MaAxWELL, loc. cit., vol. I, p. 67.
( 80 )
duire dans la couche immédiatement voisine de la surface du
conducteur un état particulier dont la nature d'ailleurs n’est
pas bien connue; cet état va se transmettre d’une couche à
l’autre avec la vitesse de la lumière jusqu’à la limite du
champ. En supposant que la déformation en question est une
déformation élastique, c’est-à-dire dont les lois obéissent à la
théorie de l’élasticité, on peut trouver quels doivent être les
efforts pour rendre compte des actions des corps électrisés.
Considérons un milieu élastique de constante diélectrique K
comme siège d’un champ électrique dont la fonction potentielle
est V. Désignons, de plus, par p,, p,, p., les efforts s’exerçant
sur les aires unitaires perpendiculaires à l’axe des x, des y et
des z respectivement, leurs composantes seront notées par
Pa ( Pyx | Dzæ
Pæx À Pay Py S Puy lz Pzy
Pas | Dyz PDzz-
Ces neuf éléments suffisent toujours pour déterminer lPeffort
s’exerçant sur un élément de surface orienté d’une manière
quelconque.
D'après la théorie de l’élasticité,
Pay = Vyx Paz — Pzx Pyz = Pzy
et les composantes P,, P,, P. de l’effort s'exerçant en un point
donné seront
Le; == =
+ dre,
0% oy oz
Pay OPyy OPzy ES
pt RE SE 18
THEUVDE ‘1 y 22 ed
OPxz OPyz OPzz
et ps Ph CRE RE
0Z oy op<
Si l’on veut donc que les. actions pondéromotrices du champ
a ad ti LISE é *
(#1)
électrique soient expliquées par des déformations élastiques
de milieu, on doit déterminer les six quantités
Vaœsx Puy» Dz2» Pyz> Dzx» Pay»
de façon que les composantes de la force électrique soient P,,
P,, P,. Or, la fonction potentielle du champ étant ici V et la
densité cubique un point donné :, on a
ox ©Pyo zx {6 aV
9x 0ÿ 0% Er
don bn 0Pz A 2
Pay Puy | 9 a (T8)
ZT oy 07 oy
FA oy 0% OZ
Pour déterminer ces six inconnues, nous n’avons que trois
équations. Par conséquent, le problème est indéterminé et
admet une infinité de solutions.
Maxwell à choisi les suivantes :
K aV\? JUS oV\2|
els) Gi) Gi)
K aV\? aV\? 9V\2
00e (
(O0
87 02 O4 0y
K aV av
Pyz — Pzy — Fa a 22 ,
K 9V oV.
Dzx —= Pxz — Te 2% ox’
K 2V 5V
Day = l’yx 4 E y «
On s'assure facilement que le système (79) satisfait à (78).
s 6
En effet,
0Πaa? y 0x0 0% 0407
OPyx K J'Y OST .)
e V OV &V aV —.)
ay An \ox 0 ‘| oy oo
El : ee AV _3V at
2% 4nr \9x 92° 0% 070%
ce qui, substitué dans la première équation (78), donne
OV CON, NO K oV Fe
dt, Von oh x FR
D'autre part, d’après léquation de Poisson, on a
et, par suite, la première équation (78) se ramène à une iden-
tité. D'une façon analogue, on s’assure que les deux dernières
équations (78) sont également satisfaites.
Pour voir la disposition des efforts, prenons la direction de
la force électrique pour l’axe des x qui, avec deux autres axes
des y et des z, forme un système trirectangle. Dans ce système
d’axe, on à
A
LE,
0x
V V
oV. 0 ON
y 07
et les équations (79) donnent alors
{2
-ek
RE VU = Pit EC
Paxx Se > Puy Pz Sr (80)
Dys = Vzy = Pos = Pre = Voy = Pyx = 0.
Ces relations montrent que, le long de la ligne de force, l’effort
se traduit par une tension, dans des directions perpendi-
à sa
( 83 )
culaires, par des compressions dont les valeurs sont pourtant
les mêmes.
Il paraît donc que les formules (79) résolvent la question,
mais il n’en est pas ainsi. Dans un milieu élastique, auquel les
équations de la théorie d’élasticité sont applicables, les efforts
résultant de petits déplacements sont des fonctions. linéaires
des composantes de la déformation qui, dans ce cas, représente
le déplacement électrique de Maxwell, 1l en résulte que les
efforts devraient dépendre linéairement des charges, ce qui est
contredit par l’expérience. En doublant les charges, les forces
seront quadruplées.
Maxwell lui-même se rendait parfaitement compte que cette
théorie n’est pas parfaite. « Il faut se souvenir, dit-il (*}, que
nous n'avons fait qu’un seul pas dans la théorie des actions
transmises à distance. Nous avons supposé que ce milieu est
dans un état de tension, mais nous n'avons en aucune façon
rendu compte de cette tension, ni expliqué comment elle se
maintient... Je n’ai pas réussi à faire le second pas, à
rendre compte, par des considérations mécaniques, de ces
tensions du diélectrique. »
L'analyse approfondie qu'en ont fail Poincaré (*) et
Duhem (***) a fait voir en effet de notables incohérences dans
cette théorie.
Le système (79) n’est qu'un, d’une infinité d’autres solutions
possibles, de sorte que les efforts ainsi déterminés contiennent
une large part d’arbitraire. Drude (*) a remarqué qu’on ne
peut déterminer de tension sur une surface dS que lorsqu'on
connaît la variation de l’énergie potentielle provoquée par un
déplacement de chaque élément dS. Or, cette variation n’est
connue que lorsque dS possède une charge. Tous les calculs
(+) J. C. MAxWELL, Traité, t. I, p. 174.
(**) H. PoINcaRÉ, Électricité et optique.
(tt*) P. DuHEM, Leçons sur électricité et magnétisme, t. Il; LIENARD, La
lumière électrique, t. LIL, pp. 7, 67. 1894.
@Y) O0. DRuDE-KÔNIG, Physik des Aethers, Stuttgart, 1919, p. 109.
( 84 )
des expressions de tensions et de pressions à l’intérieur de
l’éther présentent donc un problème indéterminé.
Quelles que soient d’ailleurs les expressions de ces ten-
sions, elles sont avant tout des forces dans le sens méca-
nique que l’on peut toujours concevoir dans un diélectrique
matériel. L’éther ou l’espace vide n’est pas un milieu matériel,
et les tensions de Maxwell doivent également y exister, comme
dans les diélectriques matériels si elles doivent représenter
l’état du champ électrique. On devrait donc chercher à con-
struire un milieu ayant les propriétés de l’éther au moyen de
propriétés de la matière. Mais alors on se buterait à des difi-
cultés insurmontables, car dans un milieu solide élastique :1l
est impossible de combiner les déformations de telle sorte
qu'elles donnentun ensemble de tensions équivalent à celui de
Maxwell. |
K 24. — PASSAGE DE LA THÉORIE DE LA POLARISATION AUX TENSIONS
DE MAxWELL.
Les équations (77), comme l’a montré Helmholtz, permet-
tent aussi, après quelques transformations, d'exprimer les com-
posantes de forces pondéromotrices par les tensions de
Maxwell.
La formule (42) $ 19
4 9% 0y 0%
A FR 4m) (NH 4m) (2 Fm)
4x h
d’après les relations connues
À = EX, TN à y —18
K — 1 + 4xk,
devient
At NE (he
je E > ” A(KY) ee
2 oy 9%
(85)
Introduisons cette expression dans la première équation (71),
on à
cu 1 9K =) 2)? ee 2
for 8x ee dE QE az
il 2 2 24 2 2 2
HARAS Éil fe.
CRC MOII
1 9 22 2 2% 5% à
LES MER PIÈCES 2 DR PARES Se
FA ee. il ch s Le
et la première équation (77) deviendra
SALE ©] Le K (EE) a. es $
ST oy
AU 24 LUE
tot [Ge)+ G)+ CG)
DRCCIMARCE
ay LE 0æ 0y 92 LEE 22 9%
ce € | K (Se) É )- UD
|
oy | 8x | \0y 2% £a :
1 9d\? ad? >D\
VISE 34
o [Ko cha à GR hi 2P
AT oy 9%
| HÉREM)
(0) C1
2 + +i 2B 0]
| AT 9% 9T y
At 0% 0y
Li dideniel.onét int dt ESS
—
(82)
( 86 )
On voit facilement, en comparant (82) et (78!), que (82) peut
se mettre sous la forme (78') si on pose
Ve he A CL
=
De
K D\? 3%? 2
PERTE be HT sal EE ce (35)
8T | \ oz 2æ y
1 ad? 2? 3 1
ÉTÉ + es
UE Re ee
K 2 50
} = RE
Pyz = Pzy Er OU 92
K 5% op
as === og LS RE
lzx — Poz ee A
K 5% 2P
Pay — Dyx . Er U
Les forces pondéromotrices, dont les valeurs ont été établies
par la théorie de la polarisation, peuvent, par conséquent,
s'interpréter au moyen de tensions élastiques dont les compo-
santes sont données par (83) et qui concordent avec les solu-
tions admises par Maxwell (sauf cependant le terme avec 8). Si
on fait un choix convenable des axes, les résultats de ces for-
mules indiquent bien la tension le long de lignes de force et
la pression dans les directions perpendiculaires.
Supposons d’ailleurs que la constante diélectrique K n'est
FU PURES CN
( 87 )
pas influencée par la déformation provoquée par le champ,
c’est-à-dire posons
CRT
On voit que le système (83) est identique à (79).
Si on tient compte de la variation de la constante diélec-
trique, aux tensions et compressions analysées plus haut
s'ajoute soit une pression, soit une tension uniforme de valeur
mi
Sr .
$ 25. — DÉMONSTRATIONS INDIRECTES DE LA LOI DE (OULOMB
D'APRÈS CETTE THÉORIE.
1. Dans l’étude du champ au moyen de tubes de force, Ber-
trand (*) a démontré très simplement que la loi d'attraction en
raison inverse du carré de la distance, lorsque la force est
dirigée vers le point attiré, est la seule qui permette l'emploi
de tubes de force.
Supposons que le corps attirant se réduise à un point.
L'attraction étant proportionnelle à une fonction f (r) de la
distance, les lignes de forces seront des droites partant du
point attirant. Si l’on prend pour une surface initiale, sur
laquelle on les distribue, une sphère ayant ce point pour
centre, le nombre de lignes de forces partant d’un élément do
de cette sphère sera proportionnel à dw, puisque sur une sur-
face sphérique l’intensité est constante. A une distance r du
centre d'action, la surface r’dw sera traversée par le nombre
de lignes de forces qui traverse du ; si N est de ce nombre, l'in-
e 4 Ca ’ N , .
tensité sera représentée par Mo et, par conséquent, inverse-
ment proportionnelle au carré de la distance.
(*) J. BERTRAND, Leçons sur la théorie mathématique de l'électricité,
Paris, 1890.
( 88 )
2. M. Bragg a donné une démonstration complète de la loi
de la raison inverse du carré de la distance en se basant sur
l’idée du déplacement élastique de l’éther dans le champ. Cet
éther, étant supposé. incompressible et isotrope, doit obéir
nécessairement à la loi de Coulomb. Au moment de la charge
d’une sphère, par exemple, la déformation, sous la forme d’un
déplacement élastique vers l'extérieur, se propage autour de la
sphère. L’éther est donc repoussé symétriquement dans toutes
les directions et les surfaces de niveau sont elles-mêmes des
surfaces sphériques. Or, dans l'hypothèse de l’incompressibilité
de fluide, la quantité totale de fluide déplacé à travers n’im-
porte qu’elle surface sphérique est la même, et puisque ces
surfaces croissent avec le carré du rayon, les déplacements
correspondants dans la direction du rayon sont en raison
inverse de ce dernier. Comme, d'autre part, les forces élastiques
sont proportionnelles au déplacement, on voit que la force
varie également en raison inverse du carré de la distance.
On constate que ce raisonnement n’envisage que Île champ
d’un seul corps électrisé et, strictement parlant, qu’il ne donne
pas encore la loi de l’action mutuelle de deux charges, car
l'introduction de la deuxième charge va changer complètement
la distribution des déplacements considérés ici. Notre simple
raisonnement ne s'applique donc plus. On peut pourtant géné-
raliser et étendre la même méthode, soit par application du
principe de la superposition des états électriques, soit par le
calcul direct comme l’a fait M. Bragg (*) et que Schaffers (*)
a un peu simplifié.
Tout autour d’un point portant la charge Q, l’éther sera
repoussé uniformément dans tous les sens, et le déplacement
suivant le rayon à une distance r de la sphère sera donné
RE R UC s
par 5 à Cause de l’incompressibilité de l’éther. On suppose
%) W. H. BRrAGG, Phil. Mag., 34, p. 18, 1899. |
(+) V. SCHAFFERS, Revue des questions scientifiques, avril 4907. ou « La
loi de Coulomb », p. 39.
(89)
ici que le volume total déplacé se mesure par Q. En appelant
E la force élastique correspondante au déplacement égal à
PR? E ’ ne , La \ .
l'unité, _. représentera la force élastique à la distance r. A
cette force s'ajoutent les efforts de toutes les couches extérieures
à celle du rayon r, et la force totale ou la pression en ce point
sera donnée par la somme des produits du déplacement nor-
mal par la force élastique correspondante, considérée le long
d’un rayon de la sphère depuis r jusqu’à l’infini. Le caleul fait,
E
on trouve que la dite pression a pour valeur
4 Tr
On sait que l'énergie d’un milieu élastique en un point
duquel s'exerce une force f est donné (*) par
ave x.
W=; | ai
En un point, l’énergie est donc proportionnelle à la force
élastique multipliée par le volume correspondant. Il suit de là
qu’à la distance r d’un point chargé de Q l'énergie sera donnée
1 E ; so 4
= 2 À étant une constante; c’est aussi l’énergie à la
surface d’une sphère conductrice chargée de rayons r. Soient
deux sphères S, et S, de rayons r, et r, et de charges Q, et Qo:
la sphère S, possède à sa surface une énergie propre A = En
A TCT
mais, de plus, elle se trouve à la distance c de la sphère So
dont la charge produit également une déformation au point
occupé par S,. En supposant que le rayon r soil tellement
petit que la force élastique est sensiblement constante sur la
longueur r, on aura, pour l’énergie élastique totale à la surface
de S4,
1EQZ2 BB EQ,Q,
W = A-
2 Arr d “Antec
2
(*) Voir, par exemple, RIEMAN- WEBER, Die partiellen Difterential gleishun-
gen der mathematischen Physik, Bd I, p. 156, Braunschweig, 4910.
(90)
B étant une constante. En faisant varier la distance c de de, on
aura
BEQ,Q;,
= — lc.
adW Se «le
Or, cette variation de l'énergie est égale au travail de la
force s’exerçant sur S,, soit F cette force; on a alors
B é
Fde — dW = — E0,Q, de,
STC?
d'où
pi a 2%
2
qui est l'expression de la loi de Coulomb.
: ES
CHAPITRE VI.
$ 26. — THÉORIES MÉCANIQUES.
Ramener les phénomènes électriques tellement complexes à
de simples phénomènes de mouvement, voilà le problème que
se sont posés les créateurs des théories mécaniques. Le pro-
blème se ramène à imaginer un ensemble mécanique, disons
un mécanisme qui, tout en obéissant aux lois fondamentales
de la mécanique, donne, en même temps, l'interprétation de
phénomènes électriques connus. Certaines des théories visent
seulement une partie des phénomènes ne tenant nullement
compte des autres parties de la science électrique comme par
exemple les théories traitant les propriétés de substances
ferromagnétiques, certains phénomènes électrooptiques, etc.
Cette limitation du domaine doit être envisagée comme faite
seulement à titre provisoire, mais ces théories, n’embrassant
pas les faits fondamentaux, ne peuvent être envisagées comme
théories mécaniques de l'électricité. Malgré les multiples essais,
nous ne sommes cependant que bien peu avancés dans la voie
de l'explication mécanique. Toutes les théories mécaniques
qui ont été émises sont absolument insuffisantes.
Dans tous les domaines électromagnétiques entrent en jeu
deux énergies : 1° l’énergie électrique; 2 l'énergie magné-
tique qui s'expriment en fonctions des vecteurs électrique et
magnétique. D'une façon analogue, dans un mécanisme entrent
également deux énergies : 4° l’énergie cinétique T ; 2° l’éner-
gle potentielle U.
Pour pouvoir construire un mécanisme rendant compte des
phénomènes électromagnétiques, il n’est guère possible d’ima-
giner plus de six espèces de mécanismes différents : 1° toutes
deux énergies sont potentielles; 2 l’une est totalement ciné-
tique, l’autre totalement potentielle; 3° toutes deux sont ciné-
( 92 ) .
tiques; 4° l’une est partiellement cinétique, l’autre totalement
potentielle; 5° toutes deux sont partiellement cinétique, par-
tiellement potentielle ; 6° l’une est partiellement l’autre totale-
ment cinétique.
Les plus plausibles paraissaient les théories de la deuxième
espèce sur lesquelles les premières recherches sont dues à
Lord Kelvin, et les diverses modifications ont été développées
ensuite par Sommérfeld, Boltzman et Ebert qui ont épuisés
tous les cas possibles. L'énergie cinétique d’un élément d’un
milieu continu à pour expression soit
Ô
adT — 9 v?dti
ou bien
B
aT — = dt
21
où à désigne la densité, v la vitesse de translation, w la vi-
tesse augulaire de l’éther, Ôt un volume élémentaire. D'autre
part, les expressions de l’energie électrique et magnétique
sont
K ER
1 TRE et di — HE,
ST ST
K étant la constante diélectrique et x la perméabilité magné-
tique du milieu, E et H les intensités respectives des champs
électrique et magnétique.
Les plus simples des hypothèses sont donc à poser
4rè Ar
soit E— v (1) soit HE v (2)
K le
s J4rB 4rB
soit Le W (3) soit = ve w (4).
| F
PO TT TT
Adi ie
(93)
La théorie correspondante à l’hypothèse (1) a été développée
par Lord Kelvin, celle correspondant à (2) par Sommerfeld,
celle correspondant à (3) par Boltzman et enfin (4) a été
utilisée par Ebert.
La discussion de ces différentes théories sort du cadre de ce
travail et je renvoie le lecteur à l'ouvrage de H. Witte (*) dis-
cutant en détails cette question. La discussion fait voir
qu'aucune de ces théories n’est suffisante à réfrésenter les
phénomènes électriques.
Quant aux théories appartenant aux cinq espèces restantes,
elles ont été toutes développées, mais elles se sont montrées
encore moins satisfaisantes. Comme l'avait montré Witte, il.
n’est pas possible de construire une théorie mécanique d’élec-
tricité en se basant sur la mécanique de l’éther continue.
Dans le dernier temps, 1l commence à se développer des
théories n’admettant plus la continuité dans le champ élec-
trique et magnétique. Une conception régit ces théories, c’est
celle de l’existence réelle de lignes de force constituant le
champ. Citons les théories de De Heen, de J.-J. Thomson et
de Lénard, dont les différences sont cependant assez marquées.
De Heen admet que les deux énergies électrique et magnétique
sont toutes deux cinétiques et que toutes deux s'expriment en
fonction de la vitesse angulaire de mouvement tourbillonnant
de l’éther.
Lénard pense autrement. Il suppose également que les deux
énergies sont cinétiques, mais que l'énergie électrique s’ex-
prime par une fonction de la vitesse angulaire, tandis que
l'énergie magnétique s'exprime par une fonction de la vitesse
de translation de l’éther.
Ces théories n’étant qu’en voie de formation, il n’est pas
possible de se prononcer à l'heure actuelle sur leur importance
pour l’avenir. Sous leur forme actuelle, elles possèdent un
(*) H. Wire, Ueber der gegenewärtigen Stand der Frage nach einer me-
Chanischen Erklärung der elektrischen Erscheinungen, Berlin, 1906.
(94)
grave défaut que le vecteur électrique est, dans ces théories,
axial, tandis que les faits montrent que c’est le vecteur magné-
lique qui est axial, tandis que le vecteur électrique est polaire.
En résumé, dans l’état actuel de la science, nous ne possé-
dons aucune théorie mécanique permettant d'expliquer quanti-
tativement les phénomènes électriques et, en particulier, les
forces pondéromotrices du champ électrique.
&
CHAPITRE VIT.
S 27. — Forces PONDÉROMOTRICES ÉLECTROSTATIQUES
DANS UN CHAMP MAGNÉTIQUE VARIABLE.
+
4
,
6
#
,
\
4
Les découvertes d’Oersted et d'Ampère ont fait voir qu'il
existe une relation étroite entre les perturbations électriques
sous la forme de courant et le magnétisme.
Les travaux de Faraday, de Weber, de Rieman et de Clau-
sius n’ont fait qu'accentuer de plus en plus lexistence des
relations étroites entre les phénomènes électriques et magné-
tiques. Mais c’est Maxwell qui a su résoudre complètement ce
problème important en établissant les équations reliant les
composantes des champs électrique et magnétique pour les
corps en repos. Pour notre but, 1l ne nous intéresse qu’au
second système de ses équations et notamment
L, M, N étant les composantes de l’intensité du champ magné-
uque H; X, Y, Z étant les composantes de l'intensité du
champ électrique E; x la perméabilité magnétique du milieu;
c la vitesse de la lumière.
On voit, d’après ces équations, que lorsque le champ magné-
tique varie, 11 prend naissance au champ électrique dont le
e ge À , 0H
curl de l’intensité est proportionnel à = ae
(*) E entrant dans ce système est mesuré dans le système électrostatique
d'unité.
( %6)
Donc une charge électrique placée dans un champ magné-
tique variable sera soumise à l’action d’une force d’origine
électrique. |
Indépendamment, Lippman, à la suite des expériences de
Rowland, démontre (*)}, en envisageant la réversibilité des
phénomènes observés, que le champ magnétique variable doit
exercer une action pondéromotrice sur une charge statique. En
effet, le raisonnement simple le fait voir.
Les expériences de Rowland et de ses continuateurs ont
démontré qu’une aiguille aimantée placée au voisinage d’une
charge en mouvement est soumise à l’action d’une force pon-
déromotrice qui tend à la dévier. Or, dans ce phénomène, il
ne s’agit évidemment que de mouvement relatif de la charge
par rapport au pôle magnétique et, par suite, le phénomène
ne changera pas si c’est le pôle magnétique qui sera animé
d’un mouvement par rapport à la charge. 11 s'ensuit donc que
le mouvement d’un pôle magnétique doit engendrer un champ
électrique capable d’agir sur une charge statique.
Les premières recherches expérimentales sont dues à
0. Lodge (**) qui, guidé par la théorie de Maxwell et les expé-
riences de Rowland, avait cherché à mettre en évidence la
force en question. Voici le principe du dispositif qu'il avait
employé.
Un anneau en fil de fer formait le noyau d’un électroaimant,
dont l’enroulement à simple couche était divisé en deux
moitiés réunies d’un côté par un interrupteur, tandis que de
l’autre les fils étaient mis aux bornes d’une batterie d’accumu-
lateurs dont le milieu était relié au sol.
Au centre de l'anneau était suspendu, dans une cage en
verre, une aiguille en gomme laque, portant à ses extrémités
(*) G LippMAN, Action du magnétisme en mouvement sur l'électricité
statique. (COMPTES RENDUS, p. 151, 1879.)
(**) 0. LopGE, On an electrostatic field produced by varying magnetic
induction. (PriL. MA6, (5), 27, p. 469, 1889.)
EL
deux petits cylindres conducteurs chargés d'électricité de noms
contraires.
Le point très délicat de l’expérience était de régler l'aiguille
de telle façon que l'effet électrostatique dû au champ élec-
trique du courant magnétisant soit négligeable, ce qui n’était
réalisé qu'approximativement dans les expériences de Lodge.
Eu fermant le courant synchroniquement avec les oscillations
propres de l'aiguille, cet auteur est parvenu à obtenir des
déviations appréciables.., «le fil du spot lumineux oscillait de
2 à 3 millimètres quand on faisait fonctionner le commutateur
synchroniquement avec les oscillations de l’aiguille ». On voit
que de telles déviations pourraient être également produites
par la variation du potentiel de l’enroulement, vu que le
réglage de l'aiguille n’était pas parfait,
Le résultat est donc douteux.
La méthode analogue a été appliquée ensuite par
F.-£. Wolf (*) qui a produit le champ variable en lançant dans
l'enroulement d’un puissant électroaimant un courant variable.
Mais les difficultés expérimentales considérables n’ont pas
permis de mettre en évidence l’action cherchée. Dans la suite,
le même auteur a employé une autre méthode (**) (les
recherches non publiées) dont le principe consiste à charger
aiguille destinée à déceler la force électrique synchronique-
ment avec la variation du champ magnétique, mais, dans son
dispositif, le changement de phase et les effets parasites ont
masqué l’action cherchée et il n’a pas pu obtenir aucun résul-
{at bien net.
En 4897, V. Cremieu {***) a repris l'étude de la question,
&) EF. E. Wor, Berechnung und Versuch zum Nachweis der ponderomoto-
rischen Wirkung von verürderlichen magnetischen Feldern auf elektro-
statisch geladene Kôrper. ({NAUG. Diss., Greifswald, 1899.)
(**) K. Henricx, Nachweïs der elektrostatisch ponderomotorischen Wirkung
der Induktion. ({NAUG. Diss., Marburg, 1910, p. 10.)
(#*) V. CREMIEU, Recherches expérimentales sur l’électrodynamique des
corps en mouvement. (THÈSE, Paris, 1901.)
1
(98)
mais les résultats ont été nettement négatifs. Dans son dispo-
sitif, un disque circulaire, fixé à une monture en verre, était
suspendu par un fil métallique qui, longeant le cadre en verre,
communiquait avec le disque. Le cadre entourait un électro-
aimant à circuit magnétique fermé et dans le champ duquel se
trouvait le disque. Pour l'expérience, on chargeait le disque et
en même temps on lançait le courant dans l’électroaimant; on
renversait ensuite alternativement le courant magnétisant et la
charge du disque. En calculant le couple moteur qui devrait
se manifester el en mesurant le couple antagoniste de la
torsion du fil de suspension, Cremieu a caleulé les déviations
qui devraient avoir lieu. Ainsi dans les dispositifs différents, on
devrait observer les déviations de 45, 14, 94 millimètres de
l’échelle, tandis qu’en réalité les expériences ont donné
toujours la déviation nulle.
Wilson (*) a objecté que les déviations ne doivent pas effec-
tivement avoir lieu, car au moment du renversement de la
charge dans le fil communiquant avec le disque et longeant le
cadre qui entourait l’électroaimant, parcourait un courant
subissant une action de la part du champ magnétique. Cette
action était d’ailleurs de signe contraire à celle qui devait
s'exercer sur le disque chargé. Bien que dans les expériences
de Cremieu le cireuit magnétique était fermé, mais, néanmoins,
le champ magnélique n’était pas probablement tout à fait
concentré dans le noyau, et l’action, dont parlait Wilson,
pourrait exister effectivement.
Les recherches furent reprises sous une autre forme par
Righi (**) qui a placé une aiguille chargée en papier dans le
champ d’un électroaimant, et pour la préserver du monvement
de l’air et du champ électrique du courant magnétisant, 1l l’a
placée dans une boîte en zinc, ce qui écarte certains effets
parasites, mais insuffisamment cependant, car aucun résultat
certain n'a pu être tiré par Righi de ses recherches.
(*) H. A. Wizson, Phil. Mag., t. IL, pp. 144-150, 4901.
(**) RiGHI, Phys. Zts, 3, p. 454, 1901-1902.
+
(99 )
Plus significatifs sont les résultats d’un travail de Henrich (*).
Voici le principe de la méthode suggérée par le Prof’
Richartz : une tige diélectrique étant placée dans un champ
électrique constant, se polarise et tend à se placer parallèle-
ment aux lignes de force du champ. Si on suspend done une
tige en verre, par exemple, dans un champ magnétique
variable, le champ électrique produit pendant l'état variable
va polariser le verre, et la tige sera, par suite, soumise :
l’action d’un couple tendant à la ramener dans la direction des
lignes de force du champ électrique polarisant. Si Fa variation
du champ magnétique change de signe, le champ électrique
changera également de signe et il en sera de même de la pola-
risation, par conséquent le couple agissant sera de même sens.
Si on remplace la tige diélectrique par une tige métallique, le
champ électrique créé agira sur des charges induites par lui-
même et la tige tendra également à se placer dans la direction
de lignes de force du champ électrique.
Le champ a été produit par deux anneaux à noyau en fer
doux et a double enroulement spécial pour que les actions
électrostatiques de deux enroulements s’entre détruisent. Cet
électroaimant à été alimenté par un courant alternatif de
60 périodes, de 65 volts et 6,5 ampères. Dans ces conditions,
la tige en tôle d’alluminium de 2 centimètres de longueur et
de 04 de largeur suspendue à un fil de quartz (le tout se
trouvant dans le vide) à donné des déviations facilement obser-
vables. Le courant continu de 65 volts et 6,5 ampères était
sans influence. Les tiges de colophane ont donné les mêmes
résultats. L'auteur conclut que le champ électrique engendré
par un champ” magnétique variable fait tourner une aiguille
diélectrique dans la direction des lignes de force de la même
façon que le ferait un champ électrostatique et que cela
peut s'expliquer seulement par hypothèse que le champ en
polarisant la tige met en évidence les charges libres à ses
(*) K. HENRICH, Loc. cit.
(100 )
extrémités et qu'il agit sur celles-ci comme le ferait un champ
électrostatique ordinaire.
La bonne concordance quantitative entre la théorie et l’expé-
rience se trouve réalisée dans les recherches de Kuehne (*), qui
n’a pas eu connaissance du travail de Henrich et même peut-
être qu’il l’a précédé.
Kuehne à construit un condensateur plane formé par vingt
couples d’anneaux circulaires dont une vingtaine avaient été
fixés sur le noyau en fer d’un électroaimant, comme sur axe. La
deuxième vingtaine avait été rendue solidaire avec un cadre en
bois suspendu à un fil en bronze permettant les déviations du
cadre autour de l’axe de noyau de l’électroaimant.
Les plateaux mobiles avaient été chargés, par intermédiaire,
de fil de bronze, par le secondaire d’un transformateur, dont
le primaire avait été monté en parallèle avec le circuit magné-
tisant. La différence de potentiel qui chargeait le condensateur
| était ainsi décalée à peu près de : par rapport au flux magné-
tique. Ce dernier, étant variable, engendre, conformément aux
équations de Maxwell, un champ électrique dont les lignes de
force entourent le noyau de transformateur el sont parallèles
aux plans des disques du condensateur. Sous l’action de ce
champ, le cadre portant les disques dévie d’un certain angle
dont la mesure permet de calculer l'intensité du champ qui la
provoqué.
Les déviations observées par Kuehne variaient de 05 à
10 centimètres de l'échelle et les valeurs du champ ainsi
mesurées ne diffèrent que de quelques pour cent des valeurs
théoriques. -
Ainsi donc la théorie à été pleinement confirmée par l’expé-
rence.
(*) J, M. Kuzsaxe, Phys. Rev., 29, pp. 558-559, 1909. Phil. Mag, (6), 19,
pp. 461-476, 1910. Le Radium, T, p. 320, 1910.
CAO)
CHAPITRE VIIT
S 28. — CHAMP ÉLECTROSTATIQUE DES COURANTS.
Chaque partie d’un conducteur parcouru par un courant est
à un certain potentiel et, par suite, l’isolant qui l'entoure est
le siège d’un champ électrique.
La distribution des potentiels à l’intérieur et à la surface de
conducteur est parfaitement déterminée par la loi d'Ohm.
Cette loi ne fournit cependant aucune indication sur la distri-
bution de potentiels dans le champ qui entoure le conducteur.
Le problème électrostatique est le suivant (*) :
« Étant donné, par les lois d’Ohm, la distribution perma-
nente des potentiels à la surface des conducteurs parcourus par
les courants, et les potentiels ou les charges des conducteurs
isolés, trouver le champ électrique dans l’isolant homogène
qui les entoure et, par conséquent, la distribution des densités
superficielles sur tous les conducteurs. »
Le cas général est celui où on a en présence plusieurs cir-
cuits parcourus par des courants et des corps chargés statique-
ment. Si on fixe l’attention sur un circuit, tous les autres cir-
cuits peuvent être considérés comme les conducteurs chargés à
potentiel variable le long du conducteur, et le problème énoncé
peut être partagé en deux problèmes partiels :
1° Le cireuit considéré est parcouru par un courant, tandis
que les autres conducteurs ont leurs potentiels nuls ;
2° Le cireuit est au potentiel nul et les autres conducteurs
sont aux potentiels connus.
Le deuxième problème est celui de la distribution d’électri-
(*) M. BRILLOUIN, Propagation de l'électricité, p. 447, Paris, 1904.
( 102 )
cité sur un système de conducteurs en équilibre, problème
purement électrostatique.
Le premier problème peut être résolu si on connaît la fonc-
tion de Green, relative à la configuration donnée des condue-
teurs. El faut remarquer que, même pour ces cas, la discussion
et les calculs sont peu abordables.
Si le premier problème est résolu, on n’a qu’à ajouter aux
densités superficielles déterminées les densités des charges
induites calculées dans le deuxième problème pour avoir la dis-
tribution complète.
Cependant la résolution de la première et de la deuxième
question est très difficile et la fonction potentielle du champ
électrostatique des courants n’est connue que pour quelques
cas seulement.
Le champ électrique d’un fil cylindrique parcouru par un
courant constant et éloigné de tout autre conducteur est indé-
terminé (*), et on ne peut rien dire sur la forme de surfaces
équipotentielles. C’est seulement lorsque le fil est entouré
d’une enveloppe concentrique au potentiel nul que l’on peut
déterminer le champ.
Dans ce cas, sur le fil de rayon R on à
'ÉERRE 7
et sur la surface de l’enveloppe de rayon R’
DE. -
Dans l’espace intermédiaire
|
|
|
SV o2V >2V
+ + ——=0.
o21? OV? 02?
‘*) M. BRILLOUIN, loc. cit., p.149.
os mt de à Se. ÉD RSS hé sd -
7 © x. Drouin loc. cit, pp. 151-158. Champ électrostatique permanent
+ variable d'une obine parcourue par un courant électrique. (ANN. CHIM.
DEUXIÈME PARTIE
CHAPITRE PREMIER
Étude des actions de sphères électrisées.
INTRODUCTION.
Dans la première partie, nous avons vu que la théorie de la
polarisation basée sur la théorie de l’action à distance et celle
de Faraday-Maxwell sont équivalentes au point de vue mathé-
matique et que toutes deux expliquent les lois fondamentales.
Cette concordance existe-t-elle sur tous les points? Évidem-
ment non. Si à l’heure actuelle il ne paraît pas y avoir de
divergence, c’est seulement à cause d’une connaissance insuffi-
sante des phénomènes et cela ne préjuge en rien sur l'avenir.
L'analyse approfondie faite par C. Neumann (* des deux types
de théories lui a montré qu’il y à des discordances dans les lois
différentielles, notamment en ce qui concerne les couches de
passage du diélectrique (**); mais, en cherchant des lois imté-
grales, il a trouvé une concordance (***. Cet auteur ajoute
(*) C. NEUMANN, Uber die Maxwell-Hertzsche Theorie. (Aëx. D. K. SACnS,
GESELL. D. Wiss. MATH.-PHYs. KL., XXVII, pp. 213-348, 1901.)
(+) Loë.cit., 19/p.7995. |
(#+) C. NEUMANN, Abh. d. k. Sächs, Gesell. d. Wiss. Math.-Phys. K1.,
pp. 793-860, 1902.
(105 )
qu’il lui est impossible de tirer une conelusion définitive :
« .… car les recherches expérimentales qui, seules ici, peuvent
être décisives, sont, dans l’électrostatique et dans la distribution
du magnétisme, à mon avis, trop incertaines ».
Effectivement, les recherches faites dans ce domaine, pré-
sentant des difficultés considérables, ne donnent pas assez de
- certitude et de plus elles fournissent seulement des valeurs
relatives; c’est ce qui à forcé les physiciens, nous l'avons vu, à
chercher à établir la loi élémentaire en partant de certains faits
plus accessibles à l’expérience. C’est ainsi que la loi de Cou-
lomb, comme loi ponctuelle, a été hors du moindre doute.
Nous pouvons être sûr que quelles que soient les idées que l’on
se fera sur la nature des phénomènes électriques, cette loi
subsistera tant que l’on ne voudra l’extrapoler trop. Mais la
confiance n’est point aussi grande en ce qui concerne ses applt-
cations. Chaque loi physique n’est vraie que dans certaines
conditions bien déterminées pour chacune d'elles. Une lot élé-
mentaire étant vraie peut ne pas être applicable dans sa plus
simple expression dans certains cas. Supposons, par exemple,
deux charges ponctuelles placées même dans le vide et étant
toutes deux en repos par rapport à la terre ; à ces deux charges
la loi paraît être applicable en toute rigueur. Il n’en est cepen-
dant rien. Les théories modernes montrent que deux charges
se mouvant par rapport à l’éther, qui est le siège de son champ,
n obéissent plus à la simple loi de Coulomb et que leurs actions
mutuelles dépendent de leur orientation par rapport au mou-
vement de la terre et à la vitesse de cette dernière.
Une des applications douteuses de la loi élémentaire est
celle qui se rapporte aux charges réparties sur les conduc-
teurs. En effet, 1l semble bien étonnant qu’une loi aussi
variable avec les conditions qu'est la loi des actions électriques
reste rigoureusement vraie dans les conducteurs dont les pro-
priétés électriques les différencient aussi profondément des
corps diélectriques. A ce point de vue même, l’analogie avec
les phénomènes magnétiques, si souvent invoquée, parle plu-
tôt contre cette application. Les lignes de forces magnétiques
(106 )
existent, en effet, à l’intérieur des aimants comme on peut s’en
persuader en creusant une cavité dans le métal et en y plaçant
une aiguille aimantée, mais rien de pareil ne-s'observera dans
l'électrostatique; à l'intérieur d’un conducteur chargé, il n'ya
pas de force. L'hypothèse done de lapplicabilité de la loi est
toute singulière, mais elle est maintenue, car les expériences
ne la contredisent pas. Or, cette applicabilité de la loi (seule-
ment au point de vue mathématique) peut être soumise à
l'épreuve de l'expérience par les mesures directes des valeurs
absolues des forces dont les expressions sont données par la
théorie, et c’est, dans ce but, que j'ai entrepris des mesures,
en valeurs absolues, des forces répulsives et attractives, s’exer-
çant entre des sphères de grand diamètre et que je résume ici.
PRINCIPE DE LA MÉTHODE.
Le principe de la méthode suivie dans ces mesures est très
simple : des sphères de dimensions connues sont placées dans
de bonnes conditions d'isolement et, à une distance bien déter-
minée, on les charge d'électricité de même signe ou de signes
contraires à des potentiels connus et on mesure la force s’exer-
çant entre elles. 1
Bien que le principe soit simple, l'exécution de ces recher-
ches m'a demandé de longues études préparatoires, et c’est
seulement au bout de quatre ans que j'ai pu obtenir des résul-
tats définitifs.
Examinons successivement les différentes parties de l’instal-
lation complète.
[. Les sphères. — C’est la seule forme de conducteurs que
j'ai employée dans les mesures définitives, car les caleuls de la
distribution, déjà très longs pour le cas des sphères, deviennent
presque inabordables pour d’autres formes de conducteurs.
Les sphères employées ont été construites en tôles de laiton
d'épaisseur telle qu’elles ne pouvaient peser plus de 200 à
250 grammes. Les sphères de 15 et 20 centimètres de dia-
( 107 )
mètre devaient être construites en aluminium, pour conserver
un faible poids, ce qui était nécessaire pour l’une au moins
des sphères de chaque couple étudié, car, étant suspendue au
plateau de la balance, elle ne devait pas l’alourdir trop, afin de
lui garder sa sensibilité. La fabrication des sphères présentait
de grandes difficultés techniques, mais nous sommes parvenus
néanmoins à obtenir des sphères dont les dimensions et la
sphéricité étaient exactes à O‘"O1 près, comme j'ai pu m’en
assurer par des mesures au moyen d'un sphéromètre de pré-
cision.
Il. Les conditions d'isolement. — Ces conditions étaient de
grande importance, car tout le caleul suppose des sphères iso-
lées dans l’espace. Chaque corps se trouvant au voisinage des
corps électrisés déforme le champ, et l’action mesurée ne
peut, par conséquent, être en concordance avec les valeurs
fournies par le calcul. Toutes les expériences faites jusqu’à
présent au sujet de vérification directe de la loi de Coulomb
avaient été faites dans des cages dont les dimensions dépas-
saient rarement 50 centimètres. Me proposant de rechercher
la valeur absolue de la force s’exerçant entre les conducteurs
chargés et non seulement la loi de la variation de cette force,
je fus bientôt obligé de renoncer à l'emploi des cages de
pareilles dimensions. Je ne donnerai pas les résultats que J'ai
oblenus avec des cages cubiques et cylindriques, dont les
dimensions allaient jusqu'à 2°50, car ils furent loin d’être
satisfaisants, les perturbations subies étant toujours trop consi-
dérables. Je suis arrivé enfin à faire une cage de toute la salle
d’un laboratoire, dont la hauteur était de 4"50 et la surface de
1613 X 6°85. Au début, la balance servant à mesurer les
forces avait été placée sur un support suspendu au plafond de
ce laboratoire, et cela dans le but de l’éloigner des conducteurs
électrisés et de la soustraire aux trépidations. L’expérimenta-
teur effectuant la mesure était également placé sur un pont
suspendu à la voûte du plafond. Ainsi il restait un espace libre
de 3 mètres de hauteur. Pour voir si, dans ces conditions, on
( 108 )
est à l’abri de perturbations sensibles, j'ai effectué quelques
mesures en maintenant deux sphères de rayons r; — 2°"5 et
ro — 7°"5 à la même distance, mais en plaçant le centre de
la grande sphère r4 à des distances L différentes du parquet
du laboratoire. Les résultats ont été bien nets :
Distances L . 65 cm 95 cm 165 cm 190 cm
Forces . . . 0s'0058 08r0045 08r0060 080061
La force apparente croît à mesure que l’on se rapproche du
plafond, ce qui se comprend. C’est l’action des charges in-
duites sur le plafond qui se manifestait. Il en résulte que ce
dispositif était encore insuffisant pour le but poursuivi.
Pour augmenter davantage l’espace disponible, on a enlevé
ensuite le pont, et la balance a été placée dans une salle de
l'étage supérieur. Seul le fil auquel était attachée la sphère
descendait au rez-de-chaussée par une ouverture pratiquée
dans le plafond. Ainsi done les sphères se trouvaient dans la
cage, dont la plus petite dimension mesurait 450. Toute
cette salle avait été bien dégagée et les autres parties de l’instal-
lation s’y trouvant avaient été éloignées d’au moins 4 mètres
des sphères étudiées.
J'ai tenu à voir si, dans ces conditions, l'influence du pla-
fond et du parquet était encore sensible et, dans ce but, j'ai
repris la même couple de sphères que plus haut placées à la
même distance des centres et à des distances L différentes.
Voici les chiffres obtenus :
L — 190 cm 150 em 190 em 240 cn: 268 cm
EF — 080050 080052 050053 080056 050058 ;
et pour une autre distance des centres (12:"5) :
L — 105 cm 237 cm
F — 00073 080077
REST |
( 109 )
On remarque encore une faible action attractive des charges
induites, toutefois cette action est minime, car dans le cas cité,
le plus défavorable, elle n'était que 050008 pour une varia-
tion de L de 163 centimètres, ce qui, évidemment, n’arrivail
jamais dans les mesures.
Mais on peut objecter que ces chiffres indiquent seulement
la faible variation de la force parasite, alors qu’elle-même
pourtant peut ne pas être négligeable. Il n’en est pas ainsi,
comme J'ai pu m'en assurer en comparant les valeurs de la
force parasite calculée à celle donnée par la mesure directe.
A cause des grandes distances existantes entre les sphères et
le plafond, je puis supposer que les charges des sphères sont
concentrées en leurs centres, et Je puis rechercher l'influence
du plafond considéré comme une surface plane conductrice et
_indéfinie. Si une charge q se trouve à la distance d de plan en
question, elle induit sur ce dernier une couche d'électricité de
signe contraire, dont l’action est identique à celle d’une charge
— q placée à la distance d de lautre côté du plan; — g est
appelée l'image électrique de la charge gq.
1. Soient deux sphères A, et A2 possédant des charges
di» do; Soient d leur distance et ° —-Qz
| la distance entre A et le plan P. de À
D mésurce est celle s'exer- | P———x——
çant sur À,. En l’absence du plan U SA a:
P, l’action de deux sphères est don- v o A; a
née par Fi. 6.
p — 4.
d?
Si on introduit le plan P, chacune des deux charges va
induire uve couche sur le plan, dont les actions seront iden-
tiques aux actions des deux images — q4 et — q», et, par suite,
la force répulsive apparente sera
EVE EVE qi
F' = — a — a
d FA (1 — du? h (21 — d?
(110)
La présence du plan P a augmenté la force de.
qiQe qé -
CUS re. AU PEER t-
4(— 4 | @—d}
que l’on peut toujours calculer et introduire comme terme
correctif dans les valeurs obtenues par la mesure directe. C'est
d’ailleurs ce que j'ai fait dans tous les cas où cette correction
n'était pas absolument négligeable.
Pour s'assurer que la formule correspond aux fcrces exis-
tantes réellement, j'ai eu soin de faire quelques mesures avec
une seule sphère placée dans l’espace à différentes distances du
plafond ; les valeurs trouvées ont été comparées aux valeurs
théoriques.
Voici quelques données :
F calculé — 0&00032 0:r00011 030006
F observé — 05'0004 050002 080005
La concordance est satisfaisante vu la difficulté des mesures
et la petitesse de la force. Il est à remarquer que la distance
entre la sphère la plus proche du plafond et ce dernier dépas-
sait rarement 180 centimètres.
2. Supposons maintenant que À, et A, portent les charges
de signes contraires, gi et — go. La force attractive en l'absence
du plan P est
= — di .
trie
La présence du plan P fait apparaître les images — g1 et q
de A, et A», de sorte que la force totale deviendra
pr. 32448 Use: rates
® A(—dÿ (2—uÿ
(CAF)
d’où
gs es re sb Malais
4(l — dR QI — a? = a?
suivant que KE’ — F est positif ou négatif la force mesurée doit
être augmentée où diminuée de F7 —-F.
Pour donner une idée de la valeur de cette correction, je
_ cite quelques exemples numériques :
Pour deux sphères de même rayon (r = 7m5), chargées au
potentiel de + 8000 volts,
d — 61ÿ l — 224 cm. FE! — F — 0210001
d = 49cm L — 294 cm. Et — EF — 0600008.
Pour deux sphères de même rayon (r — 10 centimètres),
- chargées au potentiel de + 8000 volts,
d = 5) cm. PE 252 cm. FE! — F — 0500009.
On voit donc que, même pour les sphères de grand rayon et
distantes d’un demi-mètre, la correction est négligeable.
Cela n’a pas toujours lieu pour les forces répulsives pour
lesquelles 1l faut bien tenir compte de l’influence du plafond.
Ainsi, par exemple, pour deux sphères de même rayon (r — 7°"5)
chargés au potentiel + 8000 volts,
d— 615 l— 224 cm. FE! — F = 0800070
d — 45 cm. l = 255 cm. F'— F — 000045.
Par ces quelques exemples, on voit que la perturbation
apportée par les ce les plus voisins de nos sphères doit être
bien faible et qu’on peut les considérer comme se trouvant
dans les conditions exigées par la théorie.
En même temps, ceci nous montre qu’il m'était inutile
d'employer la méthode de Lord Kelvin des images successives
(112)
sur deux plans entre lesquels se trouvaient les sphères, qui,
il est vrai, donne des résultats plus exacts, mais dont la
valeur de la correction s'exprime par la somme de trois séries,
toutes très lentement convergentes et, par suite, ne se prêtant
pas à des calculs numériques.
SUSPENSION DES SPHÈRES.
Les fils de suspension étaient des fils de soie imprégnés
d’ozokérite et dont le diamètre était de 0°"05. Dans certains
cas, où la sphère était trop lourde, on augmentait le nombre
de ces fils. La sphère inférieure maintenue fixe a élé suspendue
sur deux crochets A et B, munis de glissières permettant le
F1G. 7.
déplacement dans une direction perpendiculaire au plan de la
figure. De plus, les fils se terminaient par des vis f permettant
un déplacement équivalent à l'allongement du fil. La sphère a
pu être reliée aux fils par deux procédés différents :
a) Au milieu da fil ASB, sur une longueur d'environ 60 à
80 centimètres, le fil a été dédoublé comme l'indique le cro-
quis. Deux fils étant écartés, on les a fixés à la partie inférieure
de la sphère en les collant au moyen d’ozokérite qui adhère
bien au métal. De cette façon, il n’est pas besoin de faire un
bain dé — =
CAIN
trou dans la sphère comme cela à lieu dans la suspension
ci-dessous (b).
b) Le fil ASB passe, comme l'indique le trait pointillé, par
deux ouvertures € et d de 0°"05 à O1 de diamètre faites
dans la sphère. Cette suspension s’est montrée plus pratique.
Cette sphère inférieure était toujours choisie assez lourde,
de façon que l’action du fil au moyen
duquel on l'avait chargée (voir plus loin)
ne puisse produire des osetllations.
Le poids de la sphère supérieure, qui
était suspendue à la balance, devrait être:
nécessairement faible, mais alors chaque
rapprochement de fil servant pour la charge
l’écartait de sa position d'équilibre et pro-
duirait ainsi un mouvement oscillatoire, et
la mesure étail par suile rendue impos-
sible. [1 était donc nécessaire de l’immo-
biliser au moins dans un plan. Ceci a été
atteint au moyen du dispositif suivant. Au
plateau P de la balance avait été fixé un
cadre rigide c en tube d'aluminium. Aux
extrémités du tube b de ce cadre étaient
attachées deux vis f, soutenant des fils de
soie servant à maintenir la sphère. Le tube b
pouvait reposer sur deux supports a ré-
glables au moyen des vis et fixés à l’extré-
mité d’un levier pouvant tourner autour de
l’axe o et dont l’autre bras pouvait être
arrêté par un arrêt à vis d. En agissant sur
le bras 0e, on pouvait soulever le tube b,
et, avec lui, la sphère, d’une fraction de millimètre et la main-
tenir fixe dans cette position. Ce dispositif a done permis de
maintenir la sphère immobile pendant le mouvement du fil de
charge, mais aussitôt que la sphère était chargée et le fil éloi-
gné, on abaissait le levier dans la position c’b' et la sphère était
alors librement suspendue à la balance. Ainsi, toute oscillation
est devenue impossible.
8
( 114)
ACTION DU CHAMP SUR LES FILS DE SUSPENSION.
La première précaution à prendre était celle de garantir la
pureté du diélectrique imprégnant les fils de soie et la propreté
des fils, car les plus minimes impuretés produisent des pertur-
bations importantes. Ainsi, dans certains cas, la force répul-
sive de deux sphères chargées d'électricité de même signe a été
dépassée par une force attractive bien nette, qui à disparu dès
qu’on à échangé les fils de suspension. Pour nos mesures, les
fils ont été renouvelés chaque semaine.
Ces fils imprégnés d'ozokérite constituent les corps diélec-
triques sur lesquels le champ exerce une action tendant à les
rapprocher vers les points où le champ est le plus intense.
Recherchons l'importance de cette force perturbatrice.
Les composantes F,, F,, F,, de la force pondéromotrice F
agissant sur l’unité de volume d’un diélectrique, sont données
par les formules générales (*)
NA TR
F ;
(530 2y 2%
B B B:
Ft SRG PA MER (4)
SAS Vo
TE Gta te
où A, C, dans le champ d'intensité E et dans le cas d’an
diélectrique homogène, de constante diélectrique K, sont don-
nées par
K K
del —E IE BE —E— EE]
K
C,=—[H—E—#] (2)
K K K
=(,= — {€ 29 x = 3 y Mg 5 x == Cr ?
BC EE GA EE, A,=B=.-10E,
dans le système C.G.S. d'unités électrostatiques.
(*) Pockels Encykl. d. Math. Wiss.. Bd V, 2, p. 394.
(115)
Supposons, pour plus de simplicité, que nos fils se trouvent
dans le champ d’une sphère, ces formules prennent alors une
forme plus explicite. Soit R le rayon de la sphère chargée au
potentiel V, et x, y, z les coordonnées d’un point de l’espace par
rapport aux axes dont l’origine coïncide avec le centre de la
sphère, et soit
Pate EU EX.
Alors
æ y z
pe NR— BEN Ps TR
d’où
K L—ÿ — 2° K ÿ — & — À
AÀ,, — — V'R? > ; By, V'R? Te »
C, Xe) X V2R2 x? y” — a
8T 6
BC Red, oc — a, — À pt?
DU 76? PRES 1e = à
K xy
De Dr
D'après ces relations, le calcul simple donne
VAE = V2R2 Ë “ee 2 — (22? — y? — |
TT r°
in vie | 2 4 L yet | (3)
AT
3K
, = — V? “4 9 Dy2 _ #2 alé
F à R Ë = Ce œ 2]
Pour le cas de nos expériences, considérons un fil suivant
l'axe des z, et auquel est suspendue la sphère chargée; suppo-
sons qu'il a la forme cylindrique de rayon p et soit ! sa lon-
(16)
gueur et K sa constante électrique. A cause de la symétrie,
F, —0,F, — 0.11 nous suflira donc de calculer seulement F,.
Nous supposons 1e1 que c’est le champ de la sphère même qui
exerce la force pondéromotrice en question, et ainsi la valeur
calculée sera nécessairement plus grande qu'elle n’était en
réalité. Par suite de la petitesse de p, on peut considérer F
comme constante dans toute une section du fil perpendiculaire
à l’axe des z, et alors on a
À S (4)
? 2 C 5K 2\V2R2 z 3 922 2 2
Nr op es LE R aus RE no dz.
R KR
Dans notre cas, on peut poser
D SUD,
donc |
et ensuite
3k 1/1 4 KV /1 1
LL — V212-2 RER M RE A DT © ss
BA | È JL 16% u n G)
kR
À
et puisqu'on avait, dans les expériences, deux fils de suspen-
sion, la force Lotale sera
I SPP re (6)
Ti ST R°/:
Le signe — indique qu’il y à une attraction. Remarquons
que le passage de (5) à (6) renforce encore l'expression théo-
rique de F,s, car deux fils ont été en réalité écartés et placés
done dans un champ plus faible.
Prenons ce cas de nos mesures où
Cha OcxOT5, L —=19200€n, R = 5 co.
|
|
|
ciné dit dé
(LEFT)
La constante K du fil de soie imprégné d’ozokérite ne m'est
pas connue et j'admets qu'elle est égale à 2. Pour ces dimen-
sions, on voit qu’on peut négliger R£ devant { et la formule (0)
devient
F 9K V?2°
EE
ee qui réduit en nombre, pour V — 8000 volts, donne
F, — — 0800002.
Cette perturbation est donc tout à fait négligeable.
RÉGLAGE DES SPHÈRES.
Deux sphères étant suspendues, comme je viens de le dire,
il faut les placer à une distance bien connue et de façon que
leurs centres soient sur la même verticale. Ponr satisfaire à
celte dernière condition, on a placé deux cathétomètres soi-
gneusement réglés, distants des sphères de 4 à 5 mètres, de
façon que les lignes de visées forment un angle droit, ce
qui à permis de ramener toujours le centre de la sphère infé-
rieure sur la droite d’intersection de deux plans verticaux,
déterminés par le centre de la sphère supérieure et les axes des
deux cathétomètres dont la verticalité était certaine. Pour la
mesure de la distance, je me suis servi d’un cathétomètre de
précision muni d'un tambour micrométrique donnant facile-
ment 1/200 millimètres. Cet instrument avait été placé sur un
socle en maçonnerie. La visée se faisait en ramenant le fil
horizontal du réticule de la lunette à être tangent au bord de
la sphère. Ce procédé n’a pas permis d’uliliser toute la préei-
sion du cathétomètre, et les distances ont été déterminées à
O01 — 002 près. Il est à remarquer que les fils de soie
nouvellement préparés ne conservent pas une longueur con-
stante. Avant de faire les mesures, les fils ont été tendus en y
(118)
suspendant des poids pendant quarante-huit heures, et alors
seulement ils ont été employés pour les suspensions. Par pré-
caution, après chaque mesure, la distance a été revéritiée et,
dans les rares cas où la variation a été observée, je prenais une
moyenne.
PROCÉDÉ DE CHARGE,
Pour pouvoir comparer les valeurs des forces observées avec
celles données par la théorie, 1l est nécessaire de connaître
exactement la charge fournie aux sphères ou leurs potentiels.
C'est ce dernier que J'ai mesuré.
Le procédé de charge et l'évaluation du potentiel des sphères
constituent la partie la plus délicate de ces recherches et
demandent le plus de soins. Pour obtenir la source d’électri-
cité de deux signes à potentiel assez élevé (8000 à 10000 volts)
et maintenu constant pendant quelques heures, un dispositif a
été appliqué, dont le schéma est indiqué par la figure 9.
| Li dede © À
Chaque pôle d’une machine de Wimshurst à 4 plateaux, mue
par un moteur électrique, communique avec les armatures inté-
rieures de 8 jarres reliées en parallèle, d’une capacité totale de
407* microfarads; les armatures extérieures sont mises à la terre.
Chacune de ces batteries est reliée avec une plaque P, munie
En the vs
+
1 $
449 )
de 56 pointes en platine, devant laquelle est placée une autre
plaque métallique mise à la terre; la distance entre les pointes
et la plaque peut être modifiée par degrés insensibles au moyen
d’une petite crémaillère. En faisant varier cette distance, on
agit de même sur la décharge par pointes, et, avec un peu
d'habitude, lors de la marche uniforme de la machine, on peut
obtenir un potentiel constant à 20 volts près sur 10000 volts.
Pour les pointes, il est nécessaire d'employer du platine, car
les autres métaux s’oxydent facilement, de sorte qu'après quel-
ques heures les pointes ne fonctionnent plus régulièrement.
Le potentiel a été mesuré au moyen de deux électromètres
de Lord Kelvin à cadran verticaux; la lecture se faisait d’après
les indications d’un index se déplaçant devant une échelle
graduée; j'ai placé sur une partie de cette dernière une bande
de miroir, et ainsi on pouvait observer avec beaucoup plus de
précision et apprécier notamment 20 volts sur 10000 volts.
Cette précision n’est pourtant que relative; on peut l’admettre
pour une division donnée de l’électromètre sans toutefois affir-
mer que celte indication correspond au voltage effectif avec
autant de précision, car l’étalonnage ne donnera que 1,5 —
2 °,, de précision.
Chaque fil reliant les condensateurs avec l’électromètre pos-
sède une bifurcation communiquant avec des supports D, Do
parfaitement isolés au moyen d’ébonite et de paraffine.
Tout le cireuit était fait de fil de cuivre isolé par du caout-
chouc, paraffine, et renfermé dans des tubes en verre. A chaque
support D était attaché un boudin en acier à spires d’un rayon
ê
D
F1. 40.
de 8 centimètres, dont l’autre extrémité avait été fixée à l’extré-
mité a du fil ad (fig. 40), que nous appellerons le fil de charge
et qui est placé dans l’axe d’un tube en verre b, tube rempli de
( 120 )
parafline et recouvert extérieurement de feuilles d’étain c.
Lorsqu'on veut charger la sphère, on prend le tube rigide
entourant le fil de charge et on relie ainsi la surface extérieure
du tube de verre avec la terre; en tendant le boudin, on
approche le pendule à la sphère que l’on touche avec le
cylindre d du pendule. Ce dernier est un cylindre en sureau
métallisé à sa surface et suspendu dans l’anneau K, de façon
qu'il reste toujours perpendiculaire au fil a. Le contact de la
sphère avec le pendule l’a relie avec les condensateurs et son
potentiel est alors celui qui est indiqué par l’électromètre cor-
respondant. Le petit cylindre d étant suspendu librement
donne un léger choc à la sphère qui n’est point par là influen-
cée à cause de la faible masse du pendule.
EVALUATION DE POTENTIEL EFFECTIF DE LA SPHÈRE
AU MOMENT DE LA MESURE DE LA FORCE.
Nous avons vu comment on charge la sphère. Si on éloigne
le fil de charge après le contact, la sphère reste chargée, mais
son potentiel n’est plus celui indiqué par l’électromètre. Au
moment du détachement du pendule d, la sphère possède une
certaine charge au potentiel de l’électromètre, mais lorsqu'on
éloigne le fil, il y a diminution de la capacité de la sphère et
l'induction de la charge de signe contraire par le fait du mou-
vement du fil chargé.
L'influence du mouvement du fil de charge sur le potentiel
de la sphère est élucidée par la question suivante : Étant
donné deux conducteurs, la sphêre A isolée et possédant une
charge constante et le fil de charge — appelons-le B — main-
tenu à un potentiel constant, quelle est la variation que subira
le potentiel de À si on déplace B? Dans nos expériences, B se
subdivise en deux parties : 1° B, — le pendule chargé et 2 Ba
— la tige couverte d’étain et reliée constamment à la terre.
L'influence du mouvement de B, se voit facilement. Consi-
dérons deux états : a) À et B, sont très rapprochés; b) A et Be
re
*
(2)
sont séparés par une grande distance. Dans l’état a), l'énergie
du système est
;| | À
W, — ÿ JaVa Je 9 JeNe = 9 Ga Va,
car
Dans l’état b),
AE A,
W, — 5 qaVas
donc la variation d’énergie est
Â
Wa — Wo = à Ga(Va — Vi).
Or, lorsque B est tout près de A, cette dernière induit une
charge de signe contraire à celle qu’elle porte elle-même, donc il
existe entre À et B, une force attractive et, lors du déplacement
de B, les forces électriques effectuent un travail négatif — T
qui est égal à la variation de l'énergie du système, c’est-à-dire
r 1 ÿ & /
—T— 9 GaCVa Fe i)
d’où
à > ve
c'est-à-dire que, par le fait de l'éloignement de la tige mis à la
terre, le potentiel de la sphère croît.
Pour voir l'influence du mouvement de B,, appliquons le
théorème de Gauss (*) donnant la relation
DIET AE
(*) Gauss Werke, Bd V. « Ueber die im umgekehrten Verhältniss des
Quadraten der Entfernung wirksamen Kräfte », $ 19, p. 211.
(12%)
où gY.sont les charges et les potentiels dans un certain état,
et g'V' dans un autre état d’un système électrique invariable.
Comme premier état, prenons celui où la sphère A est au
voisinage de B, et, dans ces conditions, soient s sa densité
superficielle et V le potentiel, avec les mêmes données 5,V
pour B. Le deuxième état sera défini par 5’ V’ sur la sphère et
5, — 0 sur B,. Le théorème de Gauss donne
e 2
Vo'dS — ( V'olS + | V'o,dS,.
À B
L 4
A
Les surfaces A et B étant conductrices, on à
\ | s'dS — V! | sdS = V' : ds.
À A B |
Si on suppose À isolé pendant tout le temps, on a de plus
| s'AS — | sdS — Q,
Le rt
el, par suile,
QACV — V') = V' | sAS,.
Dans le cas qui nous intéresse, les charges de A et de B ont
été de même signe, donc
Q4
il s'ensuit que
VIEN
Passons maintenant à un troisième état où B, est transporté
|
|
|
|
4
(423 )
hors du champ.{Pendant ce passage, la force s’exerçant entre A
et B, est nulle, car os, — O0, mais on sait que
eW
== 5r ,
donc
2W Ep
or
et, par suite,
WEc
Or, dans notre cas,
V!
Me ( sus, (7)
par conséquent, la relation (7) entraînera nécessairement
Nr
Lors de cette deuxième modification de passage du deuxième
état au troisième, le potentiel ne change pas.
Le passage du premier état au troisième correspond précisé-
ment au mouvement de fil B, dans mes expériences et il a, comme
nous le voyons, pour effet de diminuer le potentiel de la sphère.
Nous avons vu que l'éloignement du tube mis à la terre qui
entoure le fil de charge à pour effet d'augmenter le potentiel; les
deux causes perturbatrices agissent donc dans un sens contraire.
Et c’est la raison pour laquelle le fil de charge a été con-
struit de la façon indiquée plus haut. Dans mes expériences, la
parue du fil de charge sortant du tube protecteur n'était que
très petite, et cela dans le but de diminuer autant que pos-
sible son influence et aussi la chute du potentiel qui en résulte.
(12%)
Au contraire, le tube protecteur était comparativement gros et
long et il protégeait parfaitement la sphère contre l'influence
du fil qui s’y trouvait, comme le ferait un cylindre de Faraday,
et, de plus, l'effet dù à son propre éloignement était toujours
plus grand que celui du pendule restant libre, c’est-à-dire que
l'éloignement du fil de charge de la sphère à été toujours
accompagné d’une augmentation de potentiel de cette dernière,
ainsi que J'ai pu m'en assurer pendant toute la durée du
travail.
Une dernière remarque au sujet des considérations que je
viens d'énoncer. Dans le troisième état que nous avons
envisagé, B, ne porte pas de charge, tandis que dans les expé-
riences, 1l reste chargé au potentiel V.
Pour ne pas négliger ce petit détail, remarquons que lorsque
B, est théoriquement éloigné à linfini, si nous le chargeons au
potentiel V, on voit que cette charge ramenant le cycle théo-
rique à celui ayant lieu dans les expériences ne change en rien
le potentiel de la sphère A.
Les corrections à introduire à cause des perturbations du
potentiel que nous venons d'analyser seront données plus loin.
MESURE DES FORCES.
Pour mesurer la force qui s’exerçait entre deux sphères élec-
trisées, je me suis servi d'une balance de précision de sensi-
bilité de O80001 près. Le mouvement de l'aiguille était
observé au moyen d’une lunette permettant de suivre les plus
petits déplacements. Aïnsi que j'en ai fait la remarque plus
haut, la balance était placée à l'étage surmontant le laboratoire
des mesures. Afin d'éviter le mouvement de l’air dans l’ouver-
ture entre la salle d’en bas et celle d’en haut, la balance était
entourée de cloisons formant une petite chambre mesurant
280 X 200 X 180 centimètres, qui étail tapissée Intérieurc-
ment et qui communiquait avec la salle inférieure par une
ouverture de 280 x 68 centimètres. Dans certains cas, cette
précaution n’était pas encore suffisante et il était nécessaire de
Ré NT ETS
CE NET EN RE ER PEN. ON A RTS RER CT Re: L'E QUT 1 QE Le « VAR
(195)
Lerre M : la machine de Wimshurst.
A et B : les deux batteries de
condensateurs.
TM E, et E> : les électromètres.
À.
no Ë : ; :
_ K, et Ke : les cathétomètres de
B réglage.
(| 8
| FE : la chambre de la balance.
|
|
683
|
|
ch U Ü4 |
E, l
| |
(l
Û |
324 |
! |
PEDE
L |
O ; v v Ha
|
|
(l
| .
|
|
600
(
|
|
|
i
l
l
|
OK, *
Fic. 11.
(1% )
placer dans la chambre de la balance un poêle à gaz permettant
de maintenir une température plus élevée d'environ 5 à 10 de-
grés, l'air étant alors moins dense dans la chambre; sa circula-
lion vers le has était ainsi écartée.
La disposition relative de plusieurs parties de l'installation
est montrée par la figure 14, où sont indiquées également les
dimensions générales.
MÉTHODE ET CORRECTIONS DES MESURES.
Comme je viens de le montrer, la mesure de la distance
entre les sphères se faisait aisément, l’inflaence de fils de sus-
pension élait négligeable, l'influence des objets environnants,
dont le plus proche était le plafond, était aussi très minime
(sauf les cas extrêmes). Voyons maintenant comment on a
_ évalué le potentiel correspondant au moment de la mesure de
la force. Nous avons vu que l'éloignement du fil chargé avait
pour effet de diminuer le potentiel de la sphère, l'éloignement
du cylindre de Faraday qui l’entourait provoquait, au contraire,
son augmentation. De plus, il s'ajoute encore une 3" pertur-
bation, entraînée, notamment, par la diminution du potentiel
par décharge lente, due à la présence des ions dans l’air. Pour
mesurer ces diverses perturbations, J'ai procédé de la façon
suivante :
Imaginons d’abord deux sphères de même rayon, mises en
présence et électrisées toutes deux par des charges de mêmes
signes ou de signes contraires. À cause de la symétrie, les per-
turbations pour les sphères seront les mêmes et on peut, par
suite, limiter les mesures à une sphère.
Au-dessous de la sphère inférieure, et à une distance d’envi-
ron 400 centimètres, était placé un électromètre de Lord Kelvin,
dont les cadrans étaient reliés avec un fil de cuivre s’engageant
à l’intérieur d’une tige rigide en diélectrine à l’extrémité
supérieure de laquelle il plonge dans du mereure, dont quel-
ques gouttes remplissent et par leur convexité surpassent les
bords d’une petite excavation pratiquée dans la tige en diélec-
à:
trine et destinée à ce mercure. L’électromètre muni de ce
ART ER
(127 )
conducteur était placé sur un pied très stable, pouvant être
déplacé dans le sens vertical d’une façon uniforme par l’action
d’une vis et on pouvait ramener ainsi ie ménisque convexe du
mercure en contact avec la sphère sans que la position mutuelle
des sphères soit changée. L’électromètre indiquait alors tous
les changements du potentiel se produisant dans le système.
Soient c la capacité de l’électromètre comptée jusqu’au niveau
du mercure dans la tige, dont j'ai parlé tantôt, S la capacité
de la sphère placé à une distance déterminée de l’autre sphère,
S! la capacité de la sphère en présence de la tige de charge,
N le potentiel indiqué par l’électromètre relié aux armatures
des condensateurs.
Lorsque les sphères sont en contact avec les fils de charge,
l’électromètre relié avec la sphère inférieure indique le poten-
tiel V; au moment où l’on éloigne les fils de charge, le poten-
tiel change brusquement et prend la valeur V’ qui sera déter
minée par l'équation
V(S' + ©) — q = V{S + 0), (8)
en désignant par q la valeur équivalente à la perte de charge
produite par l’éloignement de la partie du fil appelé plus haut B,.
La relation (8) suppose que la capacité du système — sphère
plus électromètre —est égale à la somme des capacité de la sphère
etdel’électromètre prises séparément; ceci n’est vrai qu’approxi-
mativement, maisne s’écarte pastrop, dansnotre cas, de la réalité.
En divisant ces deux parties de (8) par S, on à
> MN q US C
Supposons maintenant que l’on éloigne l’électromètre et que
les sphères soient isolées, on aura, en répétant la même opé-
ration,
ENS 0)
( 198 )
en désignant par V’! le potentiel de la sphère immédiatement
après l'éloignement du fil de charge. Les dimensions de la
partie du fil de charge extérieure au cylindre de protection
ne mesurant que 4 centimètres environ; de plus, le fil étant
de faible diamètre, le champ correspondant créé n’est sensible
qu'à une petite distance, et, par suite, si le fil est en contact
avec la sphère, l’action directe de son champ sur le fil reliant
la sphère avec l’électromètre est absolument négligeable, ce
qui à été vérifié expérimentalement de la façon suivante :
L'électromètre restant en place, on a écarté les sphères et on
a approché les deux fils de charge dans leur position répon-
dant au cas où l’on charge deux sphères. En touchant la surface
convexe du mercure au moyen d’un des fils, on ramène l’élec-
tromètre au potentiel de la batterie des condensateurs. En éloi-
gnant ensuite les fils de charge, on voit l’aiguille de l’électro-
mètre reculer un peu pour descendre ensuite lentement, à
cause d’une déperdiion par les ions de l'air. Cette expérience
montre que, même dans les cas les plus désavantageux, la
partie de la quantité qg provenant de l’action directe sur l’élec-
tromètre est négligeable, ce qui nous amène à poser
el, dans ces conditions, (9) et (10) fournissent
| Rene RE
VI = VE OPEN (41)
La formule (11) nous donne le potentiel V/’ immédiatement
après l'éloignement du fil de charge; or, la mesure ne peut se
faire qu’un certain temps : après, et, pendant ce temps, le poten-
tiel V'’ baisse encore par le fait de la décharge lente par les ions
de l'air. Soit A,V la chute du potentiel de la sphère dans les
conditions de la mesure et pendant le temps !, le potentiel
correspondant effectivement à la mesure de la force est alors
donné par
VE NS ANNE NE su =) AM (12)
sb
(129 )
C’est cette valeur V, que j'appelle le potentiel effectif.
Toutefois, pour pouvoir calculer V, d’après (12), il faut con-
naître V’ A,Vet
D C ee
Détermination du rapport s — Les deux sphères étant pla-
cées à une distance déterminée, on installe en dessous l’électro-
mètre de telle façon que le ménisque convexe du mercure soit
distant de 1 centimètre environ de la sphère inférieure. Pour
diminuer la déperdition, dont on a d’ailleurs toujours tenu
compte, on remplit la chambre de fumée du tabac pour alour-
dir les jons et diminuer leur mobilité (*) ; de plus, on opère à
des potentiels inférieurs à 5000 volts, où la sensibilité de l’élec-
tromètre est double. Le régime habituel de marche de la ma-
chine étant établi, on relie l’électromètre avec les condensa-
teurs et on le laisse ainsi pendant dix minutes, afin de polariser
complètement les parties diélectriques de l'instrument. Après
avoir enlevé les connexions avec les condensateurs, un obser-
vateur installé en face de l’électromètre et muni d’un chrono-
mètre battant le 1/5 de seconde suit le mouvement de l’aiguille,
tandis que son aide fait monter tout l’électromètre au moyen
d’une vis. Tant que le ménisque de mercure ne touche pas la
sphère, l'aiguille descend à peine, mais,au moment du contact,
la charge se répand sur la sphère et le potentiel tombe brus-
quement. Au même moment, l'observateur déclanche son chro-
nomètre. Les oscillations de l'aiguille provoquées par le chan-
gement brusque du potentiel sont arrêtées et, lorsque l’équilibre
est atteint, l’observateur fait la lecture au chronomètre. Soient
NV, l'indication de l’électromètre au moment de la chute et Vo
après le temps t, indiqué par le chronomètre et séparant deux
lectures. Pendant ce temps !, l’électromètre est en connexion
métallique avec la sphère et perd sa charge d’une façon conti-
nue par les ions de l’air. Soit A,V la chute occasionnée de ce
(*) H. SCHERING, Der Elster Geitelsche Zerstreuungsapparat und. (DISsER-
TATION GÔTTINGEN), 1906, p. 29.
9
( 130)
chef. De plus, tenant compte de ce que les capacités de lélec-
tromètre pour les deux potentiels sont C, et C, on a la rela-
uion
VC = NE, APE) (13)
Toutefois, C; diffère peu de C et nous pouvons admettre
que, dans un petit intervalle, elles sont égales à la moyenne
C — 4-6 et, ainsi, on obtient, de (15),
C V, L'AY
RE TeE2A L ET (14)
lire 6
La valeur g Ainsi obtenue, se rapporte seulement à une di-
vision déterminée de l’électromètre.
On abaisse ensuite l’électromètre pour rompre le contact
avec la sphère et on décharge cette dernière. Ainsi, on se
trouve de nouveau dans les conditions d’avant la première
mesure, mais le potentiel de l’électromètre est plus bas. On
répète les mêmes opérations et observations, ce qui fournit une
C SE
nouvelle valeur de & correspondant à une autre division de
l’électromètre.
On parcourt ainsi l'échelle tout entière de l’électromètre en
déterminant des valeurs de S° des positions différentes de
l'aiguille et en maintenant $S invariable, c’est-à-dire un couple
de sphères déterminées, placées à une distance fixe. La même
série d'observations est répétée plusieurs fois et les chiffres
: DAS our
obtenus servent à tracer une courbe de rapports ç © fonction
des divisions de l’électromètre. Cette courbe est nécessaire, car
: C
les mesures directes donnent les valeurs de 5 Se rapportant à
des divisions différentes de l’échelle de l’électromètre et, de
plus, elles nivellent légèrement les erreurs expérimentales.
|
Elles fournissent, enfin, la valeur de — pour n’importe quelle
S
division de l’électromètre et pour un S donné.
PO TT
(131)
On change alors la distance entre les deux sphères, ce qui
fait varier S, et on répète la même série d'observations fournis-
C
sant une nouvelle courbe du rapport S
Ayant obtenu 6 ou 7 telles courbes correspondant à 6 oa
7 distances différentes des sphères, on mesure, sur chacune
C She »4
d'elles, la valeur de g Pour la déviation de l'échelle correspon-
dant au potentiel auquel on charge les sphères pour la mesure
des forces. Ces valeurs sont portées sur une nouvelle courbe où
on donne en abscisses les distances entre les sphères et en
CG,
ordonnées les valeurs ci-dessus de rc C'est seulement cette
dernière courbe qui fournit directement la valeur de rapport
D: .
g qui doit être portée dans la formule (12).
_Ll nous reste à indiquer le procédé de mesurerde À, V À, Vet V’,
Supposons l’électromètre amené en contact avec la sphère et
chargé à un potentiel un peu plus élevé à celui auquel on tra-
vaille habituellement. La déperdition lente sur tout le système
se manifeste par la descente continue de l'aiguille de l’éleetro-
mètre, dont le mouvement est suivi par un observateur muni
. d'un chronomètre et qui note les indications de l’électromètre
- dans des espaces réguliers de temps. Le tableau ainsi obtenu
permet de calculer la chute du potentiel AV causée par des
déperditions dans le système comprenant l’électromètre et la
sphère pendant le temps donné :. Supposons maintenant l’élec-
tromètre pris 1solément et effectuons les mêmes mesures. Ces
observations permettent de calculer la chute du potentiel A;V
sur l’électromètre seul pendant le même temps £.
Or, la perte totale du système composé de l’électromètre et
de la sphère est égale à la somme des pertes partielles subies
par l'électromètre et la sphère pris isolément, donc A,V sera
déterminé par l'équation
AVC + S) = AVS + AVC,
d'où
C
AV = (AV — AV) + AV. (15)
(132)
Quant à V',il n’est pas donné directement par la lecture,
car celte dernière ne peut se faire qu’un certain temps après
l'éloignement du fil de charge et, pendant ce temps, le poten-
tiel diminue un peu. Si on fait la lecture :**: après l’éloigne-
ment, la déperdition provoque la chute AV, et, par suite, la
lecture donne le potentiel V, qui permet de déterminer V' par
la relation
Ÿr pa AY (16)
La formule (12) devient ainsi
: C
Ve Vo + S (Vo V + AN) + AV — AV, (17)
où toutes les valeurs sont mesurables expérimentalement.
C À à :
Les valeurs de V et & Sont toujours invariables, mais A,V,
A, V et, par suite, V, varient d’un jour à l’autre et doivent être
déterminées le jour où l’on mesure la force.
La marche d’une série d'expériences est donc la suivante :
Ayant choisi un couple de sphères de même rayon, on déter-
mine la courbe des valeurs de £ en fonction des distances
entre leurs centres. Les fils de suspension étant préalablement
bien tendus, on règle la position ainsi que la distance entre
deux sphères. Cela étant, on place l’électromètre au-dessous
des sphères et, par les observations décrites ci-dessus, on déter-
mine V,, AoV, A;V, qui ne sont vraies que pour la distance
donnée et pour ce jour seulement. On écarte ensuite l’électro-
mètre et on mesure la force s’exerçant entre les sphères.
L’observateur mesurant les forces, muni d’un chronomètre
battant le 1/5 de seconde, immobilise la sphère suspendue à la
balance, comme je l’ai indiqué plus haut. Son aide, vetllant
sur la constance de voltage, rapproche, à un moment donné,
les fils de charge et, par contact, charge les sphères. Au moment
de l'éloignement des fils de charge, l'observateur placé devant
SLA à
( 133 )
la balance déclanche le chronomètre et ensuite rend la liberté
à la sphère, mais ne décale la balance que huit secondes plus
tard. La visée de l’aiguille de la balance au moyen de la lunette
permet de s'assurer en quatre ou cinq secondes si la force,
d’origine électrique, est équilibrée par les poids placés d'avance
sur le plateau de la balance, et, conformément à l'indication,
on ajoute ou on soustrait un poids. On charge de nouveau et
on observe de nouveau l'aiguille. En répétant un certain
nombre de fois la même opération, en chargeant chaque fois
de la même façon, on arrive à trouver deux valeurs a et b, telles
que la force cherchée f soit comprise entre elles, c’est-à-dire que
dl,
mais
b— a < 0,0005 gr.,
on prend alors pour la valeur de la force la moyenne
_b+a
MENT
li
Dix au moins et, dans les cas plus difficiles, jusqu’à cinquante
valeurs ainsi obtenues de f sont prises pour calculer la moyenne
d’une série. Après chaque série, les sphères étant déchargées,
on équilibre de nouveau la balance et soit f’ le poids corres-
pondant. Alors, la force, d’origine électrique, est donnée par
la différence
Une série de mesures étant terminée, on change la distance
entre les sphères, on reprend la mesure de V,, AV, A;V,deK
et ainsi de suite.
Il est à remarquer que pendant la durée du travail la salle a
toujours été fermée, car chaque fois que la porte était ouverte
(134)
et que l'air nouveau s’introduisait, A, V et A;V étaient modi-
liées, ce qui à d’ailleurs été également remarqué par Sche-
ring (*) dans ses recherches.
Comme on le voit, la méthode de travail était très pénible,
mais elle permettait de tenir compte quantitativement de toutes
les perturbations.
CHUTE DE POTENTIEL LE LONG DU CIRCUIT.
Le cireuit de l’électromètre au fil de charge ayant environ
7 mètres de longueur, on peut se demander si le potentiel à
l'extrémité du fil est bien celui indiqué par l’électromètre. Or,
en chargeant le deuxième électromètre par contact avee le fil
de charge, j'ai pu m'assurer que, si cette chute existait, elle
était inférieure à 20 volts.
DONNÉES THÉORIQUES.
Je ne traiterai pas ici le problème général des deux sphères,
mais Je donnerai cependant les formules dont Je me suis servi
dans les calculs. Parmi les multiples formules données par
différents auteurs, 1l a fallu choisir celles qui sont le plus faci-
lement évaluables en chiffres, et J'ai été même amené à
employer des formules différentes pour les différentes distances.
J'ai profité également des tables fournies par Russel et Lord
Kelvin, qui m'ont donné, dans certains cas, les valeurs des
coefficients.
Tout récemment, A. Russel (*) a indiqué une solution très
simple pour l’action mécanique de deux sphères placées à une
petite distance l’une de l’autre. L'auteur part de l'expression
de l’énergie de deux sphères et, en développant un théorème
(FFÉGCE CIE:
(**) ALEXANDER RUSSEL, The coefficients of capacity and the mutual attrac-
tion or repulsion of two electrified spherical conductors when close HpeRr.
(Proc. Roy. Soc. Lonpon (A), 82, pp. 524531, 1909.)
(135)
mathématique étudié pour la première fois par Schiômilch (*),
il obtient une grande simplification dans l'expression de cette
énergie. Ses formules sont assez facilement évaluables en
chiffres pour le cas où les sphères sont très rapprochées. Soit
W l'énergie électrique du système de deux sphères de rayons
a et b, dont les potentiels sont respectivement v, et vo, on sait
que
12 FILS Li Ft
W — 9 kuvi + 9 K0s + Kyovive,
Où kyy yo ao Sont les coeflicients de capacité. Si on désigne
par x la plus petite distance entre les sphères et par c la dis-
tance entre leurs centres,
T—=C—a—b;
on aura, pour la valeur de la force F, l'expression
2W ( Ska
2 Ok =)
Pot
|
0: pit 5
a C > x
Si W augmente avec x, c'est-à-dire lorsque les charges sont
des signes contraires, F est négative, c’est-à-dire que la force
est attractive, et si F est positive, la force est répulsive.
Pour le cas de sphères égales et les distances x petites devant
2 a, les formules de Russel donnent
Oku bein PE W?
D ue Vs
49w* + 96 1w° n. 161290° + He
86400 20321980 ‘ 2322432000 | 161864220672 |
| dk ky C À [l u?
CERN
704 310) 1270 D 11010 | l
(18)
10800 635040 18144000 316141056
(*) Zeitschr. f. Math. und Phys., 27, p. 673, 1886.
er.
en déterminant À, w, Kyy, Kyo, par les formules suivantes :
a? À À \
= ax + nr W — 2.| © + À + = | \
À LR & 4Jo!
Rae ps |2,6560572 — lo — 114 — 345600
961w$ 161290 261121 w1°
7 1921927680 148579456000 el ce
À 10
— kg — cl 2103628 — yo +2 se ne
3109 1270 Slot
T 5810240 * 14518200 is
Dans son mémoire, BI donne un petit tableau des
valeurs de 2 es et de 2
2-07 OX
Ces formules ne ee: pourtant servir que pour des dis-
tances très petites, pour des distances plus grandes il est
nécessaire d'employer la formule donnée par Lord Kelvin (*,
en application de sa belle méthode des images électriques,
combinée avec celle des influences successives de Murphy. Le
problème de la distribution ne nous intéressant pas directe-
ment, J'indiquerai seulement la voie suivie et le résultat
obtenu. Soient $, et S, les deux sphères, a et b leurs rayons.
La méthode de Murphy consiste à déterminer une série de
couches successives de la manière suivante : On met sur la
sphère S, une couche capable de donner un potentiel 4, couche
uniforme dont la masse sera désignée par a. Cette couche agit
à l'extérieur comme si elle était concentrée au centre A de Ja
sphère S,. On la fixe et on détermine la couche induite sur la
surface de la seconde sphère S, non isolée, ce qui revient à
déterminer l’image A’ par rapport à S, d’une masse + a en A.
On fixe ensuite la couche équivalente à A’ et on détermine son
*) W. THouson, Reprint of papers, $ 158.
(137)
influence sur la sphère S, non isolée, c’est-à-dire la nouvelle
image A// de A’, et ainsi de suite. On répète la même opéra-
tion, en commençant par la sphère $,, et on muluplie par des
coeflicients convenables toutes les masses ainsi déterminées.
Chacune des masses et des densités pouvant être calculée exac-
tement, on en déduit la loi de distribution finale. La distribu-
lion étant connue, on trouve l’action réciproque de deux
sphères en cherchant l'expression de l'énergie du système, dont
la dérivée par rapport à c donne la valeur de la force. En pro-
cédant ainsi, Lord Kelvin a trouvé
_ CHOSES
=, He b,. P, PEN : 5
Del 4
He +at)l
avec la notation
1 c — b? 2 — a? — b?
RE ù "—
1 er En le
Qi QE Qu 0,0, ) Gi
C _ @—a@—b? C2 — a? — b?
4 Te So == Fe 49 Sy ab Sn ES D 1
Les formules résolvant la question sont toutefois d’un emploi
très pénible.
Pour le cas de sphères égales,
et F prend la forme
F — 2Buyv, — Avi + v), (22)
E étant positif pour la répulsion et négatif pour l'attraction.
(138)
Les constantes À et B peuvent être calculées au moyen de
formules indiquées plus haut et dont un certain nombre sont
données dans une table de Lord Kelvin (*) pour la valeur de =
allant jusqu'à 2.
Pour les distances plus grandes et les sphères de même
rayon, on peut se contenter dela formule approchée de
Mascart (**), qui a simplifié la formule de Lord Kelvin en
admettant que les images successives provenant de l’induction
mutuelle de deux sphères soient concentrées aux points conju-
gués du centre de chaque sphère par rapport à l’autre. Soient
deux sphères S, et Ss de même rayon a, chargées aux poten-
tiels v, et w, et dont la distance des centres c — da.
a
d
un point À situé sur la ligne des centres de S, et S, et à une
La charge initiale de S, à son image de charge — - w en
2
distance — du centre de S,. L'image de la charge de S, de
a | | a?
charge — g V1 est en un point B à la distance — du centre de
S2. L'image de A, d’après l'hypothèse de Mascart, sera en B et
a
| Fm à
La n°" image en A aura la charge
aura une charge + dy.
Er?
AC
et la n°" image en B aura la charge
ad®—? ‘
= 1)" (d es Diver Ve
pour n pair, l'inverse aura lieu pour n impair.
Faisant la somme de toutes ces images, on peut considérer
(+) W. Thomson, Reprint of papers, $ 142.
(**) MascarT, Sur l’action réciproque de deux sphères électrisées. (JouRN.
DE PH., 1884, p. 165.)
(139 )
l’action réciproque de deux sphères comme la résultante des
actions s’exerçant entre leurs charges propres concentrées aux
centres et leurs images respectives. On obtient ainsi
24
5 i+u— Vie =)
M Ed (dd 1 (23)
+ vv[ (2 — 1P + dE] — (0? + Te — 1) { (& — LR
(d — 2} (d2 — Es ŒP
Dans nos expériences, on avait toujours soit 0, — va = V;
SOIT La = — Vy = — V.
Dans le premier cas, la formule générale ci- He devient
1 A (& —1Y
D V2 EE ———————— |, (9
ï | d2 @—=D@+A— 1) | (2 + d—1p )
C’est la formule pour la répulsion.
Dans le deuxième cas, on obtient
LU 24 (d — 1} :
eve a |, (0:
‘ | La ere en os
Dans le travail de Mascart, qui doune la formule (24), celle-ei
. contient des fautes d'impression, et c’est pour cela qu’elle diffère
de (24). Cette dernière n’est applicable que pour des distances
telles que d > 4, mais à partir de cette valeur ses résultats sont
suffisamment exacts. Ainsi, par exemple, pour d = 4%,
V = 8000 volts, la formule (24) donne la valeur F, — 050273,
tandis que la formule exacte de Lord Kelvin donne
F, — 0,027284.
Et même, pour faciliter les calculs on peut se borner à quel-
ques termes d’un développement en série
ve ù
es (il — —— — 2
D lie — _ Del. (26)
( 140 )
: «#4 16 si ÿ à
En limitant la série au terme 7” 91 obtient F; — 0,027277,
valeur qui ne diffère que 0,025 °/, de la valeur exacte.
La formule (25), pour les forces attractives, ne peut être
employée pour d — 4, car, pour cette valeur, elle donne un
écart allant jusqu'à 4,7 °, de la valeur exacte. Elle n’est appli-
cable avec une précision suffisante qu’à parür de d — 6.
Ainsi donc, il est plus commode d'employer pour de petites
distances les formules de Russel, pour des distances plus
grandes jusqu’à d — 4 celle de Lord Kelvin. Pour des distances
plus grandes encore la formule de Mascart est suffisamment
exacte.
RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX.
Ï. — Action répulsive.
1. Deux sphères de même rayon (r, = r, — 10 centimètres). —
Pour montrer le chemin suivi, je donne également les déter-
NE C
minations du rapport => dont la connaissance est nécessaire
pour l’évaluation du potentiel effectif. Les résultats de mesures
effectuées de la façon indiquée plus haut sont inscrits dans le
tableau I. Rappelons que x désigne la distance entre les deux
points les plus rapprochés de deux sphères, D, la division de
l’électromètre qui correspond à la capacité C de ce dernier (voir
formule 14).
Ces chiffres ont servi à tracer les courbes des variations du
rapport =: en fonction de la position de l'aiguille de l’électro-
mètre et qui sont représentées par les figures 12, 13, 14.
J’ai toujours travaillé avec le potentiel de 8000 volts, ce qui
correspond à la division 40 de l’électromètre. Dans les courbes
\ G *“
a, b, c, d,e, on relève les valeurs de S correspondant à la
division 40, et on les porte sur un diagramme représenté:par
la figure 15 ; sur l’axe des abscisses sont portées les distances x
et sur l’axe des ordonnées les valeurs correspondantes du rapport
€ que j'ai rassemblées dans le tableau IT. (Voir p. 142.)
TABLEAU I.
———— ——————————————
x — 0,46 JO L00t æ — 17,64 = 98,01
49,3 | 3,86 | 43,0 | 4,33 | 41,6 | 4,22 | 44,5 | 4,44 | 45,5 | 5,49
20,9 | 3,74 | 29 6 | 3,71 | 30,9 | 4,46 | 33,3 | 4,19 | 36,0 | 5,04
29,92 | 3,46 | 16,7 | 3,47 | 37,0 | 4,44 | 94,9 | 4,39 | 28,9 | 4,53
43,0 | 4,93 | 44,2 | 4,89 | 27,9 | 4,51 | 18,6 | 4,40 | 21,5 | 4,51
44,6 | 4,14 | 33,0 | 3,90 | 20,8 | 4,02 | 44,3 | 4,53 | 449 | 5,35
33,5 | 4,02 | 24,0 | 3,72 | 41,0 | 4,62 | 33,2 | 4,4 | 35,3 | 5,01
949 | 3,18 | 17,6 | 3,69 | 30,6 | 4,21 | 95,0 | 4,50 | 27,7 | 4,62
48,2 | 3,74 | 36,4 | 4,11 | 22,5 | 4,00 | 18,8 | 4,33 | 924,0 | 4,39
32,5 | 3,56 | 26,9 | 4,06 | 43,2 | 4,19 | 44,3 | 4,64 | 45,1 | 5,2
93,6 | 3,74 | 19,6 | 3,86 | 32,8 | 4,12 | 33,6 | 4,44 | 35,3 | 4,90
47,14 | 3,48 | 42,1 | 4,93 | 24,1 | 3,96 | 25,4 | 4,39 | 20,0 | 4,40
43,5 | 3,93 | 31,2 | 4,02 | 17,5 | 3,19 | 19,0 | 4,95 | — —
34,7-|"3,67 | 22,5 | 3,92 | 492,9 | 4,06 | 45,0 | 4,50 | — —
9 100 46,5113.53 | 31,8 | 4,17 | 33,9 | 4,34}. — —
Courbe a Courbe b Courbe € Courbe d Courbe e
fig. 12 fig. 15 fig. 12 fig. 14 fig. 43
(141)
(14)
La distence X
1
QD} = &
a 2 a
=}
[eà (en)
e 29 +
= "
— Y Y
— c'e e
LA Y# (ex
QO y #
+4
bd A mr =e00ce Lee th dr
# s
(ae) +
2 2 la 1
Ë ER A x. “ _
è Fr @ (= 20
è y = (SEE =
S S
Ê £
Ë \ =
ÿ X æ: ——
Ÿ à
l = oe
S Se
a © a 2
$ < css
à à x =
S = 8 = L=
S 2 [==
Lo $ D D] LS
5 D en. Sd
È 7/0dde1 97 3 240dde1 27
Q I
Fig. 15
( 143 )
La courbe g correspond à la division 40 de lélectromètre et
h à la division 30. Comme on le constate, la différence est
marquée dans toute échelle des x.
C
La courbe g donne les valeurs de g POur chaque valeur de x,
et ce sont ces valeurs qui sont introduites dans la formule (47)
pour calculer le potentiel effectif. Ce potentiel est différent
pour chaque série de mesures, les différences d’ailleurs ne sont
pas grandes. Si on le connaît, on ramène chaque fois la force
mesurée à celle qu’elle devait être si le potentiel était de
8000 volts; ce qui s'obtient facilement en la multipliant par
80002
y, car les forces sont proportionnelles aux carrés des
€
potentiels. Seules ces valeurs ramenées à 8000 volts sont com-
parables.
Les résultats obtenus sont fournis par le tableau HT.
TABLEAU lIIl.
Distance Force F gr.
e à Écart
centres. observée. calculée. ‘Jo.
Centimètres. | Gentimètres.
20.0 0 . 0,0530 0,0335 Eo
24,0 4,0 0,0483 0,0477 + 1,2
96,0 6,0 0,0436 0,0448 _ 2,6
28.0 8,0 0,0492 0,0420 Pol
30,0 10,0. 0,039! 0,0392 — 0,2
34,0 14,0 0,0327 0,0339 — 3,5
38,0 18,0 0,0290 0,0293 — 1,0
44,0 24.0 0,024 0,0237 HAT
50,0 30,0 0,0196 0,0195 0,5
60,0 40,0 0,0146 0,014 + 0,6
( 144 )
Chacune des données indiquées représente une moyenne de
4 à 6 séries séparées de mesures faites à diverses reprises.
J'indique en même temps la valeur théorique de la force
pour chacune, ainsi que l'écart de la valeur expérimentale de
la valeur théorique en pourcentage.
Ces valeurs sont portées sur la figure 16, où b représente la
LA mm
Fe Ra oi
Force répulsive en milligr
à n
LS] S
+
ee à
LE ©
5: 10 75 2o 25 E7 25 40 cn:
La distance X
Fic. 16.
courbe théorique. Les points marqués par de petits cercles sont
ceux obtenus par mesure. On le voit, la courbe expérimentale
se confond complètement avec la courbe théorique. L’inspec-
tion du tableau II montre quel haut degré de précision et de
concordance on à pu obtenir. On ne pouvait espérer une pré-
cision plus grande que 4 °/,; or, le tableau TIF montre qu’on
est allé beaucoup plus loin. A des distances plus grandes, je
n'ai pu effectuer de mesure, car l'influence du plafond, quoique
distant encore de 190 centimètres, troublait encore trop le
champ. De plus, les corrections calculées n'étaient pas assez
cerlaines.
2. Deux sphères de méme rayon (r, — r, — 7°"5). — Toutes
les mesures ont été faites de la même façon que pour le cas
précédent.
(145 )
Voici tout d’abord le tableau (IV) indiquant les mesures
; D & C
obtenues dans la détermination du rapport S'
TABLEAU IV.
x —1:"02 x —= 4cn(8 x — 6136 x = 1469 a — 28cm95
nl ©
De
Ya Ee2
G
“1,
NS
D,
18,4 | 4,10 | 20,0 | 5,50 | 19,8 | 5,30 | 20,4 | 6,31 | 21,2 | 7,08
199. | 4411 | 21,9 | 5,65 | 20,1 | 5,20 | 19,4 | 6,50 | 23,9 | 6,96
90,1 | 4,99 | 905 | 5,41 | 94,7 | 5,48 | 49,6 | 6,50 | 96,7 | 7,06
24,3 | 4,43 | 24,4 | 5,60 | 24,6 | 5,59 | 19,8 | 6,65 | 98,8 | 7,01
5,8 | 4,12 | 25,9 | 5,18 | 96,8 | 5,78 | 29,4 | 6,71 | 34,7 | 7,04
31,3 | 4,95 | 96,6 | 5,55 | 29,8 | 5,60 | 29,8 | 6,98 | 33,8 | 7.20
34,4 | 4,40 | 981 | 5,46 | 30,3 | 5,89 | 32,3 | 6,6 | 37,2 | 7,06
40,2 | 4,30 | 30,1 | 5,76 | 36,2 | 6,00 | 36.6 | 7,00 | 37,6 | 7,25
41,9 | 4,48 | 32,0 | 5.62 | 38,9 | 6.18 | 37,4 | 6,86 | 40,1 | 7,20
39,0 | 4,50 | 39,0 | 6,00 | 41,8 | 6,20 | 39,9 | 7,95 | 40,7 | 7,21
| — | 430 | 6,00 | 449! 6,20 | 43,3 | 7,24 | 42,0 | 7,37
a 69610! 45,5 | 69% — | — | — | —
Courbe a Courbe b Courbe € Courbe d Courbe e
fig. 17 fig. 17 tig. 18 fig. 18 fig. 17
Les courbes des figures 17 et 18 ont été construites au
moyen de ces données.
: avec les
S
i différentes positions de l'aiguille pour une distance donnée
… entre les sphères.
Elles montrent chacune la variation du rapport
10
LE,
40 45 50
35
Fig 17
Fig 18
30
4
D
ÿ
ê
S
ÿ
Ÿ
à
v
“
«a
©
M]
C
.
S
xd
>
=
Q
20
20
Divrsions de l'electromètre
o
15
= S ©
4 + Le] D =
© o © Fa > 2/0dde. 297
+ vi oi a
£ 220dd#s 27
LA
6.0
5,0
30
25
10 15
F
1
K2
Divisions de l'el/ectrométre
Le ant V7
2 +
‘
(141)
Les valeurs de < correspondant aux divisions 40 et 50 de
l’électromètre, relevées sur les courbes a, b, c, d, e, ont servi
+=: C :
pour tracer les courbes des variations de S avec la distance x
entre les sphères et qui sont représentées par la figure 19. La
courbe g correspond à la division 40, la courbe h à la division
50 de l’électromètre.
En se servant de la courbe g pour évaluer le potentiel effectif
et en introduisant toutes les autres corrections mentionnées
plus haut, les résultats des mesures des forces ramenées au
potentiel de 8000 volts sont résumées par le tableau V.
TABLEAU V.
Distance Force F er.
des Ga de
centres c. observée. calculée. oo.
Centimètres, Centimètres,.
15,0 0 0,0322 0.0535 —_9,4
15,75 0,75 0,0518 0,0521 — 0,6
18,0 3,0 0,0472 00479 Pa
19,5 4,5 0,034 0,0448 — 9,0
91,0 6,0 0,0415 0,0420 — 19
94,0 9,0 0,0367 0,0365 + 0,5
98,5 13,5 0,0290 0,0293 — 1,0
33.0 18,0 0,0243 0,0237 + 0,8
39,0 24,0 0,0184 0,0184 0,0
45,0 30,0 0,0156 0,0160 49,5
54,0 39,0 0,0105 0,0107 re
Ces valeurs sont portées sur la figure 16, et les points sont
marqués par de petits triangles À qui se logent le long de la
courbe a qui est la courbe théorique. Ici, done, la courbe expé-
rimentale se confond également avec la courbe théorique.
(148 )
Il. — Action attractive.
1. Deux sphères de méme rayon (r, — r, — 10 centimètres). —
Les données auxiliaires ont déjà été déterminées plus haut
pour l'étude des actions répulsives. On s’est servi done de la
: C
courbe g (fig. 15) pour rechercher la valeur du rapport +. Les
<-
autres données servant à calculer les corrections étaient déter-
minées pour chaque cas séparément.
Je rappelle que les deux sphères étaient chargées en
même temps par contact avec les fils de charges reliés chacun
à une batterie de condensateurs dont les armatures étaient main-
tenues à des potentiels + 8000 et 0 volts, — 8000 et 0 volts.
Toutes les corrections étant rapportées et les résultats rame-
nés à la force correspondant à 8000 volts, nous obtenons le
tableau VI.
TABLEAU VI.
Distance Force F gr. SE
des x =
centres €. observée. calculée. ‘le.
Centimètres. | Centimètres.
22,0 2,0 1,924 1,5823 — 3,0
23,0 3,0 1,0002 1,0038 — 0,3
25,0 9,0 0,214 __0,5915 — 1,7
28,0 8,0 0,2992 0,3078 — 9,7
30,0 10,0 0,2309 0,2302 + 0,3
33,0 13,0 0,1610 0,1617 — 0,4
31,0 17,0 0,1117 0,1108 + 0,8
40,0 20,0 0,0993 0,0917 —+ 0,6
45,0 25,0 0,0640 0,0624 + 9,9
90,0 30,0 0,0486 0,0471 + 2,3
De sent EL ni Éd. à Lite
(149 )
Pan. À -
valeurs sont portées sur la figure 20, où les points cor-
(150 )
2, Deux sphères de même rayon (r, — r, — 4 centimètres). —
4 Oh tient 5
La détermination du rapport Ç à LÉ faite comme plus haut; Je
crois inutile de donner toutes les mesures et je noterai seule-
C : AT? :
ment les valeurs du rapport S correspondant à la division 40
Le}
Le rapporë “&
C3
La distance X
Fié.-21;
de l’électromètre et à différentes distances qui ont servi pour
tracer la courbe de la figure 21, indiquant les valeurs du
C :
rapport © pour toutes les distances x.
Ces valeurs sont données dans le tableau VIT.
TABLEAU VII.
un]
—_
a
(EE)
—
=>
(@ »]
=
CL
—1
140 | 444 | 148
Les résultats des mesures de forces, corrigées et ramenées
aux valeurs correspondant aux potentiels + 8000 volts et
_— 8000 volts, sont résumées dans le tableau VIT.
(151)
TABLEAU VIII.
Distance Force F gr. Foot
des CN ai0
centres €. observée. calculée. Jo.
Centimètres. Centimètres,
10,0 2,0 0,5780 0,5565 + 3,8
19,0 4,0 0,2302 0,2300 + 0,08
14,0 6,0 0,1348 0,1324 + 1,81
18,0 10,0 0,0607 0,0624 — 9,7
99,0 14,0 0 0358 0,0368 MCE
28,0 20,0 0,0206 0,0204 + 0,9
38,0 30,0 0,0107 0,0101 —
Ces valeurs sont portées sur la figure 20, où les points
correspondants se placent le long de la courbe b qui est la
courbe théorique. La courbe expérimentale se confond égale-
ment avec la courbe théorique. L’inspection du tableau VIIT
montre pourtant que la précision ici n’est plus aussi grande que
dans les cas précédents, mais cela se comprend facilement. Les
sphères étant maintenant de faible diamètre, toutes les pertur-
bations sont beaucoup plus sensibles, et leur détermination
exacte beaucoup plus difficile. L'accord est cependant encore
remarquable.
FORCES ATTRACTIVES ET RÉPULSIVES ENTRE SPHÈRES
DE RAYONS DIFFÉRENTS.
Cette étude était encore beaucoup plus pénible, car aussi
bien les perturbations initiales que la déperdition continue
devaient être mesurées pour chacune des deux sphères; toutes
les données auxiliaires, dont la détermination a été décrite plus
haut, étaient ici en nombre double, et, par suite, l’étude d’une
couple de sphères demandent un temps excessivement long.
0 di
LT AE
LA
’
(152)
Quoi qu'il en soit, ce travail étant fait, j'ai obtenu également
la même concordance remarquable entre la mesure directe et
les données théoriques que dans le cas de l’action des sphères
de même rayon.
CONCLUSIONS.
Les résultats des mesures indiquées dans ce travail montrent
que les valeurs absolues des forces pondéromotrices s’exerçant
entre les charges réparties sur des conducteurs différents sont,
dans les limites de précision de nos expériences, celles indi-
quées par les caleuls théoriques basés sur l'application de la
loi de Coulomb à toutes les charges présentes.
En même temps, une concordance remarquable entre les
données théoriques et expérimentales montre l'exactitude de la
méthode qui a été appliquée.
A la question posée dans l'introduction, l'expérience répond
affirmativement, c’est-à-dire que la résultante de forces pondé-
romotrices est égale à celle que l’on obtient en appliquant la loi
élémentaire à toutes les charges réparties sur deux conducteurs.
Quant à conclure de là que l’hypothèse même dont on est
parti est également vraie, c’est-à-dire que les charges agissent
effectivement suivant les lignes droites qui les joint à travers
le milieu métallique, la question ne me parait pas possible. :
L'expérience nous donne toujours la valeur d’une certaine
intégrale qui peut être obtenue de plusieurs autres fonctions.
Imaginons un conducteur isolé dans l’espace et chargé.
Toutes les théories s'accordent à dire que la surface du condue-
teur est soumis à l’action d’une force dirigée vers l'extérieur.
Mais, d’après la simple théorie de l’action à distance, où on
suppose la loi de Coulomb applicable aux charges réparties sur
un même conducteur, cette force provient de la répulsion de
toutes les charges réparties sur le conducteur, et, d’après la
théorie du champ, elle est due à la tension des lignes de forces,
ou peut-être à leurs pressions transversales. C’est à essayer
d’éclaireir cette question que je consacrerai le chapitre suivant.
>
4
ES
#
LS
%
+
ar,
=
(183 )
CHAPITRE I.
Études sur la tension électrostatique.
Dans le premier mémoire écrit sur la théorie mathématique
de l'électricité statique, et qui est dû à Poisson (*), ce savant a
établi qu'en un point du conducteur chargé s'exerce, en vertu
des forces agissant suivant la loi de Coulomb, une pression
dirigée suivaut la normale extérieure à la surface et dont la
grandeur (**) est
F — 970?
en désignant par s la densité électrique superficielle. C’est
cette force F qu'on appelle pression ou tension électrostatique.
La preuve expérimentale de l’existence de cette pression man-
quait alors, et c’est seulement en 1831 que l'abbé Fontana (***)
observa l’augmentalion de volume d’un condensateur pendant
sa charge et a montré que le fait prévu par le savant géomètre
existait effectivement.
Telle était, du moins, l'interprétation de Volta.
Mais cette observation fut oubliée et le fait fut redécouvert
par Volpicelli (”), qui, en plaçant la boule d’un thermoscope
de Rumford, couvert de métal à sa surface, dans le champ élec-
trique, vit l'index se déplacer vers la boule induite. Mais 1l
(*) Poisson, Mémoire sur la distribution de l'électricité à la surface des
corps conducteurs. (MËÊM. DES SAVANTS ÉTRANGERS, Paris, 1821.)
(**) On sous-entend dans tout ce qui suit que le diélectrique entourant le
conducteur est l'air.
(***) Lettere inedite di Alessandro Volto, Pesaro, 1831, p. 30.
() VozpicELLr, Sur l'induction électrostatique. (ARCH. DE SC. EXACT. ET
NAT., 1856, vol. XXXIL.)
attribua le déplacement à une variation de température et non
à l’action pondéromotrice du champ.
Dix ans plus tard, l'expérience de Govi (*) a de nouveau
mis en évidence l’action en question.
Toutes ces observations, quoique montrant l'existence d’une
action, n'ont rien donné ni sur sa nature ni sur sa grandeur.
Les premières recherches méthodiques sont dues à Duter (**).
Ce physicien a démontré que le volume de l’armature intérieure
d’une bouteille de Levde augmente pendant la charge. Cette
dilatation étant supposée produite par l’action de la tension
électrostatique, le simple calcul montre que la variation de
volume doit être directement proportionnelle au carré de la
différence de potentiel entre deux armatures et inversement
proportionnelle au carré de l'épaisseur de la lame isolante. Les
recherches de Duter n’ont vérifié que partiellement la théorie.
Il à trouvé que la variation du volume est directement propor-
tionnelle au carré de la différence du potentiel, mais inverse-
ment proportionnelle à la 4" puissance de l’épaisseur de la lame
isolante. Des résultats analogues ont été obtenus par Righi (**),
qui a mesuré l’allongement d'un condensateur cylindrique.
Les recherches ultérieures de Quincke (”) ont mis en doute
les résultats de Duter et de Righi, car il semble en résulter que
la variation de volume est inversement proportionnelle au carré
de l’épaisseur de la couche isolante. Tout récemment, la ques-
tion fut reprise par Wüllner et Wien (‘), qui ont déliniuive-
ment montré que la variation de volume des condensateurs est
plus petite que ne l’exige la simple théorie de la tension élec-
trostatique.
Mais au fond, ces expériences et même beaucoup d’autres
sur celte question ne se rapportent pas au simple phénomène
(*) Govi, Nuov. Cim., 1866, t. XXI, p. 18.
(**) DüTER, Sur la dilatation électrique des condensateurs pendant la charge.
(Compte rendu, 1879, t. LXXXVIIT, p. 1260.)
(#*) Riçxi, Compte rendu, 1879, p. 1962. (Journ. d. Ph., XI.)
(V) QuincxE, Wied. Ann., 10, p. 161, 1880.
() WüLLner und Wien, Ann. d. Ph., p. 1217, 1902.
( 155 )
de la tension électrostatique, mais à un phénomène très com-
plexe de déformation des diélectriques placés dans un champ
électrique, question qui à été beaucoup étudiée théoriquement
et expérimentalement, mais qui ne nous intéresse qu'indirec-
tement.
Par contre, l’étude des forces et des déformations subies par
un conducteur isolé, en vertu de son électrisation, a été aban-
donnée et n’a fait l’objet que d’un nombre très restreint de
travaux exclusivement théoriques. La question présente cepen-
dant une grande importance au point de vue théorique.
Dans la suite, nous aurons à comparer les valeurs théoriques
des forces à celles obtenues par l’expérience; rappelons donc
brièvement les différentes méthodes dont on se sert pour établir
l'expression de la tension électrostatique.
D'une manière générale, on peut distinguer trois sortes de
méthodes :
Dans la première, on considère l’action mutuelle des charges
suivant [a loi de Coulomb; dans la seconde, ce sont les forces
du champ extérieur produites par le conducteur qui agissent
sur les charges réparties sur la surface de celui-ci ; dans la troi-
sième, on ne fait aucune hypothèse sur la nature de la cause
de l’action, mais on suppose le système obéissant aux lois de
la thermodynamique. Certains auteurs emploient la combinai-
son de deux de ces méthodes.
C'est la première méthode qui se trouve exposée dans la
plupart des traités. En supposant que deux charges placées en
deux points quelconques de la surface du conducteur agissent
suivant la loi de Coulomb, nous pouvons former l'intégrale
exprimant l’action des charges, réparties sur toute la surface,
sur la charge placée en un point déterminé de cette dernière.
La valeur, ainsi obtenue, de la tension s’exerçant sur l’unité
de surface, où la densité superficielle est s, est
Comme on le remarque, cette force est ici de nature répul-
( 156 )
sive. Cette méthode a subi des critiques aussi bien au point de
vue physique qu'au point de vue mathématique. On sait, en
effet, que la loi de Coulomb est applicable aux cas où, entre les
deux corps chargés, 1! n’y à que l’éther. Or, dans le cas consi-
déré ici, les charges se portant sur la surface extérieure du
conducteur, l’espace séparant deux charges quelconques est
occupé par le métal. On applique aussi la loi, qui n’est établie
que pour les diélectriques, aux cas de corps conducteurs; ce
qui est « une hypothèse assez singulière », d’après l RE
juste de Chwolson (*).
Jusqu'à maintenant, cette hypothèse n’a cependant pas été
contredite par l’expérience. Au point de vue mathématique, la
démonstration, sous la forme que lut à donnée, par exemple,
Duhem (**), est absolument à l'abri de toute critique.
Dans la deuxième méthode indiquée par Maxwell (Er la
surface du conducteur est envisagée comme étant plongée dans
le champ, dont l'intensité sur la surface elle-même a une valeur
déterminée. Les lignes de force du champ étant perpendieu-
laires à la surface équipotentielle du conducteur, exercent une
tension vers l'extérieur. La valeur physique de la tension est
ici opposée à celle indiquée par la première méthode. Au lieu
d'une répulsion, on considère 1ei une traction vers l'extérieur.
Puisque les lignes de force doivent se terminer nécessairement
quelque part, le conducteur, dit « isolé », n’est que celui qui
est fort éloigné de tous les autres, et cette tension est donc
équivalente à l'attraction des conducteurs voisins chargés par
influence.
Si, pourtant, nous supposons un conducteur placé, par
exemple, dans les espaces interstellaires, cette attraction devrait
disparaitre; néanmoins le calcul montre que la force sera tou-
(*) 0. CHWOLSON, Traité de physique, vol. IV, fase. 4, p. 42.
(**) P. Duneu, Leçons sur l'électricité et le magnétisme, A891, vols E,
pp. 71-98.
(##) J. CG. MAxXWELL, Traité d'électricité et de magnétisme, vol. I, pp. 100,
163, 176.
D de on dé
( 157 )
jours la même. Nous reviendrons plus loin sur ce point.
H. Pellat (*) a traité la question de la manière suivante : Il
considère une couche électrique d'épaisseur finie. Puisque, à
l'intérieur du conducteur, l'intensité du champ est nulle, et
qu'immédiatement à l'extérieur elle acquiert une valeur finie,
il est nécessaire d'admettre qu'elle varie dans l’épaisseur de la
couche. La résultante de l’action de ce champ intérieur au con-
ducteur est précisément la force de la tension électrostatique.
L'expression de cette tension est
F — 92x02.
Dans la troisième méthode, on fait parcourir au conduc-
teur, ou à un système de conducteurs, une suite de modifica-
tions qui obéissent aux lois de la thermodynamique et, de là,
on déduit l'existence et la grandeur de la tension. On doit à
C.-A. Mebius (**) une démonstration élégante de l’expression
de la tension d’après cette méthode.
Ce physicien fait subir au conducteur les modifications sui-
vantes :
4° Une charge au potentiel V; 2 un échauffement de dt°;
3° une décharge; 4° un refroidissement à la température primi-
tive. En appliquant la loi de la conservation de l'énergie, cet
auteur montre la nécessité d'admettre l'existence d’une pres-
sion provenant de l’électrisation du conducteur, dont la valeur
esl
p=2Rc
C’est aussi en faisant subir à un condensateur plan deux
transformations isothermiques et réversibles (1° charge et
écartement des armatures; 2° écartement des armatures et
charge) que Pellat parvient à établir la valeur de la tension
(*) PELLAT, Cours d'électricité, vol, I, p. 67.
(**) C. À. MeBius, Wied. Ann., 61, pp. 638-640, 1897.
(158 )
électrostatique, dont l'existence et la nature physique ont été
expliquées comme Je viens de l'indiquer.
Comme on le voit, les physiciens, en suivant des voies très
différentes, arrivent à la même formule finale, qui, ainsi, paraît
être inébranlable. Mais, en 1888, P. Duhem (*) a publié un
mémoire remarquable où, par une analyse profonde, il parvint
à établir une expression de la tension électrostatique différente
de celle qui est généralement admise. Ne pouvant analyser ici
cet important travail, résumons-en seulement les résultats. Le
savant physicien, en suivant la voie de Helmholtz, introduit de
nouvelles forces, non encore envisagées par d’autres physi-
ciens, et, notamment, l’action de la matière du conducteur sur
l'électricité qu'il contient. La force qu'exerce une particule
matérielle de masse m sur une charge q distante de r peut
s'exprimer, d'après Helmholtz (**), par
F — mqf(r).
La forme de la fonction f(r) ne dépend que de la nature et
de l’état de la masse m. Ces actions ne peuvent s'exercer qu’à
des distances très faibles de r ; dès qu’elles dépassent une cer-
taine quantité pu, très petite, F devient égal à zéro. Duhem a
démontré (***), en admettant que la loi de Coulomb soit appli-
cable aux charges réparties sur un conducteur, que le potentiel
thermodynamique interne d’un système a alors pour expression :
F —E(T — TS) + W + Y00,
en désignant par F l'énergie interne que posséderait le sys-
tème si on ramenait à l’état neutre chacun des corps qui le
constituent et en laissant à chacun d’eux sa densité et son état
(*) P. DuHEM, Ann. scientifiques de l'École normale supérieure, vol. V,
pp. 97-146.
(**) H, v. HELMHOLTZ, Ueber die Enhaltung der Kraft, p. 41.
(t#*) P. Dune, Le potentiel thermodynamique et ses applications, 1886,
pp. 191-209.
physique ou chimique invariables, en appelant S l’entropie que
posséderait le système dans les mêmes conditions, W l'énergie
électrique du système, et © une quantité qui dépend unique-
ment de la nature du système et qui est définie par
2
9" | F(r)dm.
C4
L'intégration s'étendant à toutes les masses matérielles
élémentaires comprises dans la sphère, dont le centre se trouve
au point considéré à l’intérieur du conducteur et dont le rayon
est u, F(r) étant définie par
TO = je
dr
Le signe 2 désigne la sommation étendue à toutes les charges
électriques du système. Si le système subit une modification
isothermique virtuelle, on aura
Bt SR ÊT,
en désignant par ÔT le travail non compensé et par ÔT le tra-
vail des forces extérieures. Les conditions d'équilibre seront
données par
ÔT — 0 ou ÔF — OT.
En supposant que la dite modification est une simple dila-
tation, l’auteur développe la dernière formule et aboutit, entre
autres, à ce résultat remarquable que : « l’électrisation d’un
fluide à pour effet d'exercer aux divers points de sa surface
libre une traction ayant pour valeur
FL es mr fr (27)
M étant le poids du conducteur, v le volume spécifique, Q la
charge ».
(460 )
Les deux derniers termes dépendent de 6, donc de la nature
du corps électrisé; le premier n’en dépend pas, c’est l’an-
cienne expression de la tension électrostatique.
La formule (27) est établie pour les conducteurs liquides,
mais comme Île remarque l’auteur lui-même : « il n’y a aucune
raison pour que celte expression change dans le cas d’un con-
ducteur solide ».
Dans cette théorie, comme dans celles de Pellat et d’autres,
on admet l'existence de l'électricité dans une couche superfi-
cielle intérieure au conducteur. Nous n’avons pas d’indica-
tions exactes sur la distribution de charges dans la couche. On
doit à M. Foeppl (*) un mémoire sur la théorie de cette distri-
bution. IT part de l'hypothèse que le fluide électrique à l’inté-
rieur du conducteur n’est pas seulement soumis à l’action des
forces agissant suivant la loi de Coulomb, mais aussi à l’action
des forces élastiques. Par le fait de l’augmentation de la den-
sité cubique du fluide de b, à p', 1l se développe une pression
élastique
p = Cp" — po),
c étant une constante.
En se basant sur cette hypothèse, on arrive à ce résultat que
la densité o, en un point intérieur de la couche, distant de à
de la surface, est déterminée par la relation
o C Pa
5 Le RERO AA
NA J ?
où o, est la densité sur la surface libre et e, la densité du fluide
à l’état neutre.
La théorie électronique des métaux, de laquelle 11 faut
attendre plus de détails sur cette question, ne donne à l'heure
actuelle aucune indication.
(*) ForpPz, Wied. Ann., 29, p. 591, 1886.
mm fai ns nd à
( 161 )
Dans les diverses théories mécaniques proposées, on ne se
préoccupait presque pas de la force de tension électrostatique
qu’on croyait pouvoir ramener à la loi de Coulomb. P. De Heen,
en développant ses considérations sur la nature physique du
champ électrostatique, admet l'existence de lignes de force dis-
tinctes dans le champ sous la forme de tourbiilons éthérés. Il
le suppose en un état d’agitation continuelle, analogue au
mouvement d’agitation des molécules gazeuses, et 1} attribue la
force de tension électrostatique à leurs actions mutuelles. La
surface du conducteur étant la surface de départ des tourbillons,
tous les efforts auxquels elles sont soumises se transmettent
jusqu’au conducteur et se traduisent par des forces mécaniques
appliquées au conducteur, L’agitation des tourbillons étant de
faible amplitude, les forces provenant de leurs actions mutuelles
se réduisent sensiblement aux composantes perpendiculaires à
son axe, et, par suile, la force mécanique à laquelle est sou-
mis le conducteur se réduit presque exclusivement à la compo-
sante tangentielle à la surface.
Dans toutes les théories du cham; électrique qui admettent
l'existence réelle des lignes de forces, sous quelque forme que ce
soit, on peut donner la même interprétation à la force de ten-
sion électrostatique sur un conducteur isolé. Cette force peut
provenir soit d’une tension de lignes, soit de leurs actions
mutuelles les unes sur les autres. C’est P. De Heen qui, le
premier, a émis celle idée.
Ainsi, nous sommes en présence de quatre résultats théo-
riques différents :
1° D'après la théorie généralement admise, la tension élec-
trostatique est une force s’exerçant normalement sur la surface
du conducteur chargé et dont la grandeur est
(*) P. De Heex. Bull. de l’Acad. roy. de Belgique (Classe des sciences),
1909, pp. 1226-1242.
11
( 162)
2 La théorie de Duhem, qui considère aussi la tension
comme une force normale à la surface, mais ayant pour expres-
sion
pi: on EL SR
AN M 5%
3° La théorie de Foeppl, qui introduit, sauf les forces agis-
sant suivant la loi de Coulomb, des forces d’origine élastique ;
4 La théorie de De Heen, qui attribue les phénomènes dus
à la tension à l’action mutuelle des lignes de forces et non
point à leur tension longitudinale.
L'expérience seule pourra établir lequel de ces résultats
correspond à la réalité des choses.
Il est facile de s'assurer, par la dilatation qu’éprouvent les.
bulles de savon au moment de leur électrisation, de l’existence
des forces de tension électrostatique. Mais c’est là un phéno-
mène purement qualitatif et, sur ee point, toutes les théories
sont d'accord. Les recherches quantitatives, elles, n’ont pas été
faites jusque maintenant. Le conducteur électrisé étant soumis
aux forces de tension subit certaines déformations, mais les
forces étant très faibles, les déformations correspondantes ne
se prêlent guère aux mesures. Il en résulte que la mesure des.
forces elles-mêmes s’imposait.
PRINCIPE DE LA MÉTHODE.
Considérons une surface conductrice fermée S ayant en
chaque point des rayons de courbures finis. Supposons-la char-
gée d’une densité superficielle s, son niveau potentiel ayant la
valeur V. Limitons sur la surface S une partie S’ (fig. 22) au
moyen d’une courbe continue fermée /. Imaginons, de plus, que le
diélectrique environnant soit homogène et isotrope autour deS,
et soit K sa constante diélectrique. Chaque élément dS' de la
surface S' est soumis à la force de tension électrostatique
AU 7SVNE
D —— | dS',
£ 8TK = k
( 163 )
Désignons par {mn les cosinus directeurs de la normale et
par a y ceux d’une droite u, sur laquelle nous projetons dF ;
on aura alors
DONS
j. dE = — | — 245!
pro). d SK (5) (la + mf + nyÿdS
et la projection de la résultante de ces forces, s’exerçant sur la
surface S’, dans la direction u, est
pe | | Ye + ny}dS';
$ — pro). Fer. (SR) Ce + m8 +) :
S/
l'intégration étant étendue à tous les éléments de la surface S.
C’est la force F qui a été mesurée.
/
Hic: 99
DISPOSITIF EXPÉRIMENTAL.
_ L'ensemble des appareils servant pour ces mesures a été
celui décrit dans le chapitre premier, mais avec de petites
modifications suivant le genre de mesures.
Les surfaces employées ont été réalisées en tôle de laiton.
Elles ont été découpées en deux ou plusieurs parties par des
plans perpendiculaires à leurs axes de révolution. Les surfaces
de juxtaposition devaient être très soigneusement travaillées
pour permettre une juxtaposition parfaite des parties, sans tou-
(164)
tefois que l’adhérence puisse se manifester. Leurs dimensions
ont été vérifiées à OO! près.
Supposons le conducteur divisé, par exemple, en deux par-
ties. L'une d’elles est maintenue fixe par une tige a en verre,
k d'un diamètre de 04 et d’une hauteur de
F 150 centimètres, qui est encastrée en bas
_g dans un croisillon b en bois muni de vis de
rappel f également en bois, et qui est sur-
monté en haut par un cylindre de 10 à
15 centimètres de longueur et 1 à 15
de diamètre en ozokérite, auquel est fixée,
par l’ozokérite même, la partie inférieure
du conducteur étudié. Pour donner plus de
stabilité à la partie supérieure de la tige,
elle était maintenue fixe par quatre fils c
(en soie paraffinée), tendus par des vis. Le
tout était posé sur un pied en bois non,
représenté sur la figure.
L'autre partie du conducteur avait été
suspendue par trois fils e de soie paraffinée
et munis de petites vis g, à un crochet h.
Ce dernier était suspendu au plateau de la
balance par l’intermédiaire d’un fil de soie
muni d’une vis K. Les vis g et K, de O2
de diamètre, servaient pour le réglage de la
partie suspendue. Au moyen des vis g, on
peut faire varier l’inclinaison de la partie »
suspendue par rapport à la partie fixe; la
vis K donne le déplacement d'ensemble. La distance des vis g
à la surface étudiée étail en moyenne de 150 centimètres. La
distance de la surface conductrice au support en bois et au
parquet du laboratoire était respectivement de 150 cenu-
mètres et de 230 centimètres.
Le conducteur, étant ainsi éloigné de toutes les autres sur-
faces conductrices, peut être considéré pratiquement et avec
toute sûreté comme « isolé dans l’espace ».
Les méthodes de charge, de mesure du potentiel et des forces
( 165 )
ont été les mêmes que dans le cas des actions des sphères.
Quelques modifications d'ordre technique vont cependant être
indiquées.
EVALUATION DU POTENTIEL EFFECTIF.
Nous avons déjà vu dans le chapitre précédent que cette
détermination demande le plus de soin. L'emploi de l’électro-
mètre de Kelvin ne donnait pas, dans le cas actuel, des résul-
tats suffisamment exacts, surtout à cause de sa grande capacité
en comparaison de celle des conducteurs étudiés. Il était néces-
saire d'employer un électromètre de capacité plus faible et
donnant une plus grande précision. Dans ce but, j'ai construit
un appareil du type de l’électromètre d'Ebert. Dans une cage
en verre, recouverle intérieurement de feuilles d’étain, sont
placés verticalement deux disques en laiton entre lesquels on
peut créer un champ électrique uniforme. Au milieu de ce
champ est suspendu, sur un bifilaire, un ellipsoide de révolu-
tion, construit en aluminium, qui est mani d’un miroir et d’un
amortisseur d’oscillations. L’ellipsoide et un des disques sont
mis à la terre, tandis que l’autre disque est relié au conducteur
dont le potentiel doit être déterminé. L’ellipsoide étant réglé
par un procédé optique de façon que son axe soit dirigé à 45°
des lignes de force du champ, on établit le champ sous l’action
duquel l’ellipsoïde tournera d’un certain angle autour de l’axe
du bifilaire. Pour mesurer cet angle, on projette l’image du fil
d’une lampe à incandescence sur le miroir, et le mouvement de
ce dernier déplace le faisceau de lumière réfléchie tombant
sur une échelle en verre mat, placée à une certaine distance
(200 centimètres dans nos expériences). L’étalonnage se fait
Soit par comparaison avec les indications de l’électromètre de
Kelvin, soit par la décharge d’une capacité connue à travers un
galvanomètre balistique.
Au moyen de cet instrument, qui montrait une division par
8 volts pour un voltage voisin de 8000 volts, j'ai mesuré les
corrections nécessaires à l'évaluation du potentiel effectif. Le
procédé de mesure de € de À,V A,V..., ainsi que le calcul
( 466 )
correspondant étaient identiques à ceux décrits dans le chapitre
Li RES |
précédent. Dans les mesures de $ qui fournit une donnée
importante pour les mesures, J'ai tenu à m'assurer que les
valeurs mesurées sont exactes en les comparant à celles don-
nées par le calcul théorique. Je donnerai plus loin ces chiffres.
Disons ici que la concordance est très bonne.
Il nous reste à examiner les défauts possibles de la méthode
et leur influence sur les résultats.
INFLUENCE DU SUPPORT.
On pouvait objecter que le conducteur étant au voisinage et
même au contact du diélectrique du support, tout le champ est
déformé, puisque les lignes de force sont plus concentrées vers
le bas et que, par suite, la force mesurée ne correspond pas à
celle qui aurait été obtenue dans le cas d’une sphère entourée
d’un diélectrique homogène.
Pour m'assurer que cette influence n’est pas considérable et
ne peut, par suite, changer les résultats, j'ai utilisé les résul-
tats obtenus dans l’action des sphères à distance. Un couple
de sphères, de rayon r, = r, = 7°"5, étant suspendues à une
distance connue, j'ai mesuré la force répulsive s’exerçant entre
elles; j’ai obtenu ainsi
F = 020550.
Alors, sans rien changer dans la disposition des deux
sphères, j'ai placé au-dessous de la sphère inférieure et en
contact avec elle le support employé dans les mesures actuelles
et décrit tantôt. Deux séries de mesures effectuées dans ces
conditions ont donné
F, = 0,0545, F, — 0,0554,
soit en moyenne 0,0549, valeur identique à celle obtenue sans
l'emploi du support.
(467)
Ainsi donc, 1l se trouve démontré que cette modification du
champ, existant sûrement, ne produit pas un effet sensible sur
les forces observées. De plus, au cours des expériences, en
employant les tiges en ozokérite de diamètres variables, je n’ai
constaté aucune Influence appréciable.
INFLUENCE DES FILS DE SUSPENSION.
L'action pondéromotrice sur le diélectrique des fils peut se
calculer de la même façon que je l’ai fait dans le chapitre pré-
cédent. Les formules générales (3) peuvent s'appliquer ici.
Supposons, pour plus de simplicité, que les fils e soient per-
pendiculaires au plan de séparation des deux parties du con-
ducteur.
De plus, supposons-les de forme eylindrique, de rayon p, de
longueur !, et soit K leur constante diélectrique. Prenons le
plan de séparation des deux parties pour le plan des xy, et une
perpendiculaire passant par le centre de la section circulaire
de conducteur, pour l'axe des z. 11 nous suffira seulement de
calculer F,.
Vu la petitesse de o, on peut considérer F comme constant
dans toute une section de fil, faite perpendiculairement à son
axe, et alors la force totale s’exerçant sur un fil est donnée par
| 3Kk | z
Be — rp° | de ra pV?R? | É + = Cr es 2] dz.
L 4
O0
Intégrons séparément les deux parties
rite tel 4 1
Si TEE) 75 (Rp)
Res Fes a? — y?)dz }- ik 2(22 — R?)
the | J G@+RY ”
(0)
(0)
( 168 )
en prenant dans l'intégration par partie
d
u — 22° — R?, dv — HO RUE ,
(22 + R?)'
on obtient
E D 1h
FE — K 2VR2 LRO MELUN À
46 R{ (ie + R?ÿ
L'action totale sur trois fils de suspension est, par consé-
quent,
5 | 3P— RP?
Fi — = KwWn ue
‘ Im + ml
Cette force, dirigée vers les points où le champ est le plus
intense, à pour effet de diminuer la force répulsive des deux
parties du conducteur.
Dans mes expériences
| = 150 cm, p = 00015;
en prenant, en outre, la constante diélectrique K = 2, on
trouve, pour la sphère de rayon r — 10 centimètres, chargée
au potentiel de 8000 volts,
F — 0s'000029.
Cette perturbation est donc absolument négligeable.
Le calcul suppose pourtant que le
champ n'est influencé en rien par la
présence des fils; je me suis assuré
qu'il en était ainsi.
En supposant que cette perturbation
ig soit sensible, elle serait nécessairement
; changée par le changement de position
Fig. 24. desfils de suspension. J’avais fait varier
les points d’attache des fils sur la
demi-sphère supérieure en les collant à des diverses distances
curvilignes à à partir de la ligne de séparation des deux parties,
et pour chaque position j'avais fait une série de mesures. Les
édite de: à ji mé. à fem À. sit
(169)
résultats pour une sphère de rayon r — 10 centimètres, ont
été les suivants :
O7
— 4cm 9cm3 43em7 15cm7,
FE — 0,0795, 0,0795, 0,0799, 0,0790 ;
ces nombres démontrent que ces fils de suspension ne pro-
duisent pas de perturbations sensibles.
Si, de plus, nous tenons compte de ce que la méthode d’éva-
luation du potentiel effectif s’est montrée exacte dans les
mesures de l’action des sphères à distance, et que la chute du
potentiel le long de notre circuit est négligeable, on voit que
les conditions expérimentales sont bien appropriées pour être
comparables aux conditions théoriques.
ETUDE DE L'ACTION DE DEMI-SPHÈRES.
Considérons une sphère de rayon R divisée en deux parties
S, et So par un plan P, la coupant suivant
un petit cercle de rayon r. Supposons-la
chargée au potentiel V, et calceulons la
force répulsive des deux parties.
Sur un élément ds, de la surface S, agit
une force normale à ds, et dont la grandeur
est
Fig. 25.
Cette force, projetée sur une droite perpendiculaire au
plan P, donne
où, en remarquant que ds, eos « est la projection de ds, sur le
plan P, dont l'élément est ds', il vient
1 (av 2 [aN\°
F — — CLERE
dd) Ro 8 \9R /,
CF}
Mais
si
V =? et e ) = — a
co Ro
par suite
V2 7?
RE Se
8 R
Dans le cas particulier, où S, est une demi-sphère, on a
F — —, (28)
c'est-à-dire que la force répulsive s’exerçant entre deux demi-
sphères est indépendante du rayon de la sphère.
Pour vérifier la formule (28), j'ai employé une série de
sphères en tôle de laiton. Les deux demi-sphères, étant super-
posées, formaient un seul conducteur sur lequel la ligne de
séparalion ne se marquait que par une rale très fine. Une
moitié était fixée sur le support décrit plus haut et l’autre était
suspendue au plateau de la balance.
Les valeurs des rapports RE obtenues pour différentes sphères,
ont été les suivantes :
Si l’on calcule pour S la valeur de C, en supposant S donnée
par le rayon de la sphère, on devrait avoir pour C une valeur
constante. Avec les chiffres ci-dessus, on obtient
C = 27,0 26,5 26,5 25,9,
nombres qui sont bien concordants, étant donné que la suppo-
sition faite dans les calculs, notamment que la capacité du
DL 27
6 F4
système électromètre plus sphère est égale à la somme des capa-
cités de ces deux corps pris séparément, n’est pas rigoureuse-
ment vraie.
Seule la valeur de C du rapport pour la sphère r — 10 centi-
mètres s’en écarte plus. En se rapportant à la formule (17),
déterminant le potentiel effectif, on voit que si le rapport =
est trouvé plus faible qu’il n’est en réalité, le potentiel V, cal-
culé sera plus petit que celui que la sphère possède réellement,
car dans nos expériences on avail toujours
\ FE à
Il s'ensuit donc que le potentiel effecuf calculé est V,, tandis
qu’il est réellement V',, et l’on a
NS
En réduisant la mesure correspondante au potentiel de
8000 volts, on obtient pour F,
80002
E=F( ):
V,
tandis qu’on doit avoir pour Fo
d'où
en PP
c'est-à-dire que l'erreur en question a pour effet d'augmenter
la force. Il en résulte que nos valeurs trouvées ne peuvent être
que trop grandes.
J'ai tenu à m’assurer par une autre voie encore que les résul-
tats obtenus sont exacts, et en même temps à comparer les
valeurs ci-dessus avec celles obtenues au moyen de l’électro-
(14430
mètre de Kelvin. Soit c, la capacité de ce dernier et © celle
de l’électromètre bifilaire employé dans ces dernières expé-
riences. Chargeons l’électromètre de Kelvin à un potentiel v
et, à un moment donné, relions-le par l'intermédiaire d’un fil
de diamètre d et de longueur !, avec l’électromètre bifilaire; le
potentiel v' commun aux deux électromètres sera donné par
l'équation
vG=v | a+ +
po (29)
-
le terme désignant la capacité du fil de jonction (*).
ge —
m
De (29), on obtent
À A em l
PALIN PER UDENE 30
v 2, (30)
Ÿ de
C,
Mais on connait la valeur de < et, par suile, on peut avec (30)
calculer co si l’on mesure v et v’.
De cette façon, J'ai obtenu
2 — DO
Une concordance aussi grande obtenue par voie aussi
détournée prouve l’exactitude de la méthode de travail.
Passons maintenant aux résultats des mesures des forces.
Pour chaque sphère, J'ai effectué plusieurs séries de mesures
dont chacune se composait d'environ 50 mesures sûres, répé-
tées à diverses reprises. Les résultats sont rassemblés dans le
tableau IX.
(*) K. R. Jonxson, Ofv. Svensch. Vet. Akad. Kôrh. 59, pp. 53-56, 1902,
Beiblätt, 27, p. 67, 1903.
non
(173)
TABLEAU IX.
Rayon Force en gr. pour V — 8,000 volts. ji
de la
sphère. À | 2 3 | 4 5) | 6 || Moyenne. | Théorique. ‘le
c!m
410,00 | 0,0791 | 0,0778 | 0,0795 | 0,0790 | 0,0792 | 0,0795 || 0,0790 | 0,0906 | 12,8
7,50 | 0,0771 | 0,0791 | 0,0766 | 0,0750 | 0,0770 | 0,0782 || 0,0771 | 0,0906 | 14,9
4,50 | 0,0721 |0,0739 | 0,0752 | 0,0744 | 0,0732 | 0,0734 || 0,0747 | 0,006 [ 47,5
3,50 | 0,0726 | 0,0692 | 0 0717 | 0,0701 | 0,0691 | 0,0705 || 0,0705 | 0,0906 | 29,1
9,95 1 0,0624 | 0,0615 | 0,0620 | 0,0619 | — — |10,0619 | 0,0906 | 31,6
Les chiffres indiqués ont servi pour la construction de la
courbe représentée par la figure 26; sur l’axe des abscisses
courbe theorigue
rillier
AE
4
Force reépu/sive en
N
S
3 4 C1 6 7 & 9 70 C
7 2
Rayons des Sphères en cm.
Fic. 26.
(174 )
sont portés les rayons des sphères; sur l’axe des ordonnées, les
forces. En même temps, on y verra tracée la courbe théorique.
L'inspection du tableau IX montre la très grande concordance
des valeurs des différentes séries, si l’on tient compte des diffi-
cultés des mesures et de ce que tous ces chiffres ont été obte-
nus à diverses reprises et, dans beaucoup de cas, avec certaines
modifications dans la technique des expériences.
Ainsi, par exemple, en ce qui concerne la sphère de rayon
de 10 centimètres, les séries 1, 2, 3 ont été obtenues en juin
et en octobre 19114, en employant pour l'évaluation du poten-
tiel effectif l’électromètre de Kelvin avec trois procédés de
charges différents. Les séries 4, 5, 6 sont fournies par les
mesures du mois d'avril 1912, avec l’électromètre bifilaire et
diverses modifications dans la tige de charge et le support de
la partie inférieure. Des remarques analogues se rapportent aux
autres cas, et cependant, malgré les variations multiples des
détails expérimentaux, la force mesurée conservait sa valeur
A propos de la plus petite sphère de rayon r = 2°"925, je dois
faire une restriction, parce que la détermination du potentiel
effecuf a été ici très difficile et que les chiffres correspondants
ne sont pas aussi Cerlains que pour les autres sphères. En tout
cas, il est peu probable que la force exacte soit plus grande
que celle donnée 1e1.
La courbe représentative (fig. 26) montre que la force dimi-
nue avec le rayon de la sphère et que les différences constatées
ne peuvent s'expliquer par des erreurs expérimentales ou par
des conditions ne correspondant pas à celles exigées par la
théorie.
La courbe expérimentale se rapproche de la courbe théorique
à mesure que le rayon de la sphère augmente, et 1l se peut que
la valeur indiquée par la théorie ne corresponde qu’au cas limite.
Si l’on compare ces données à celles que J'ai obtenues
dans des recherches antérieures (*) sur la même question, on
(+) S. Prenxowskt, Bull. de l'Acal. roy. de Belgique (Classe des sciences),
1910, pp. 435-511.
LA
hr
£ F
( 175 )
remarque que l'allure de la courbe est la même, mais que,
cependant, les valeurs absolues diffèrent, car ces recherches ont
eu pour but de tracer le tableau général et non pas des mesures
précises.
Ces résultats expérimentaux nous montrent que |la théorie
classique de la tension électrostatique n’est pas suffisante pour
expliquer les phénomènes.
Voyons si la théorie de Duhem rend suffisamment compte
des faits. Plus haut, j'ai rappelé l'expression de la tension
donnée par Duhem. En l’appliquant au cas d’une sphère, on
obtient
où d est la densité de conducteur. On voit que, d’après cette
théorie, le terme - ne constitue qu'une partie de l'expression
de la force totale; à cette partie s'ajoute une deuxième, dont
la valeur est proportionnelle au rayon de la sphère et dépend,
en outre, de la nature du conducteur; la troisième partie
dépend de sa nature, mais non de la dimension de la sphère.
De plus, la formule montre que la force F varie linéairement
avec le rayon de la sphère, ce qui se rapproche beaucoup plus
de la réalité que les résultats calculés d’après la théorie don-
nant F — 2xo°. Mais bien que plus parfaite, la théorie de
Duhem est encore insuffisante pour rendre compte des phéno-
mènes observés.
Voyons maintenant si la théorie de Foeppl n’explique pas
mieux les faits. Cet auteur admet l'existence de pressions élas-
tiques qui dépendent des coordonnées du point, et la pression
s'exerçant sur un élément de surface est indépendante de
l'orientation de celui-ci. Si, en un point à l’intérieur de la
couche électrique, la densité d'électricité libre est o, la pres-
sion développée est, en désignant par c une constante,
C2
D — ch-
Pour appliquer cette théorie à nos expériences, il faut donc
(176)
tenir compte de deux actions : celle des forces agissant sui-
vant la loi de Coulomb et la pression élastique.
Caleulons d'abord la première, en supposant que la distribu-
on de l'électricité dans la couche soit donnée par la formule
de Foeppl, citée plus haut. Dans ce calcul, je suivrai la méthode
de Pellat. |
La loi de Coulomb donne l'expression de la force agissante
sur l'unité de charge placée en un point infiniment voisin de la
surface électrisée
| TT.
Considérons une surface conductrice dont les rayons de
courbure soient grands par rapport à l'épaisseur de la couche
électrique. En un point de cetie surface, menons le plan
tangent que nous prenons pour le plan des xy; l'axe des z
positifs est dirigé vers l’intérieur de la surface. Soit, de plus,
| l'épaisseur de la couche électrique. Dans le plan tangent, tra-
çons une courbe fermée €, entourant une aire S très petite, et
Z
Fic. 27.
sur celte courbe élevons un cylindre droit. L’aire de la surface
découpée par le cylindre sera, à des quantités d'ordre supé-
rieur près, égale à S. Deux plans, z — 24 et z — 3, — dz vont
découper dans le cylindre une tranche B M D E. Alors l'unité
de charge placée au point N, dans cette tranche, sera soumise
à l’action d’une force
où g est la charge du volume B KT M.
PRES ET EN
d: h
RES PES. 7 . n."
ù ) «| + # … ne 2 -
abs PAST "
) dE AE dl
ED AE k
2 Ha jt x
: a
h LE
ESS
D «am
A
la formule de Foeppl, la densité p à la distance z
est
Es
abrégé,
É
À —
40
e, la force f'est
M ur [a = == =£
LE Fr Sp °dz — 4rpa\ (e F6 ‘)
n° 2% l ? à , :
on, sur toute l’électricité de la tranche BMDE,
| ME LE L
dF — 4rpéASe * (e À —e i} dé;
Fe
ei
force totale s’exerçant sur S est
#4 Of _2n Ita
sas | # mg. * Ja = — 2mpaas (1 — € à).
12 ,
renant S — 1, et développant en série,
. “4 e à l 7 L2 1 9
|| LATIN ;
| Leu 14 Cours is = = )
—
ne conservant que les termes du second degré en !,
ee k F a — 2rpil.
*
Exprimons F en fonction de la densité superficielle & définie
dq
S — —,
ds
42
(178 )
la quantité d'électricité renfermée dans un pe à droit de
section ds est
1 3 u
dq = ds | ose" FUME (i é À)
ca
0
l 1 l : D.
mu TORCY nr |
d’où
à re P I(2A — 1)
qi Pa 5 5)- — Pa 2A x
et
ax 2Ac
Fa TRES
Introduisant celte valeur de p, dans l'expression de F, on
obtient
l
On voit qu'en négligeant dans cette expression 5 a devant
l'unité, on obtiendrait la valeur 27c?.
Évaluons maintenant la valeur de la pression élastique qui
s'ajoute à F. La différence de pression entre deux points infi-
niment voisins dans la couche est
Pass:
lp = id ;
dp e ‘dx
et la pression sur la surface S,
se
n
0
n= |" JS Re — i),
l
(4179 )
en développant en série et négligeant les termes de degré
supérieur à 2,
ci(2A - — m2
US où
ET (2noE + 6 VAncoo ;:
TNT
Le Signe moins indique que celte force est dirigée vers
’extérieur de la surface.
… En appliquant cette formule au cas de la répulsion de deux
demi-sphères chargées au potentiel V, on obtient
\E 1
LR LT
8 Gi 5 9
C
. Cette formule montre que la théorie de Foeppl prévoit des
variations de F avec R, mais cette loi de variation est linéaire
et, par suite, la théorie est insuffisante quoique dans le résultat
général s’approchant plus de la réalité.
… Si l’on envisage que la répulsion de deux demi-sphères est
provoquée par les efforts entre les lignes de force, c'est-à-dire
comme la force tangentielle à la surface du conducteur, les
résultats ci-dessus se comprennent, sans que l’on puisse toute-
fois affirmer qu’il en est ainsi, car aucune loi numérique n’est
donnée.
ou faut remarquer qu'au point de vue mécanique cette force
12
CR
A
( 180 )
dirigée perpendiculairement à la direction des lignes de force,
telle qu’elle est conçue par de Heen, n’a qu'une analogie éloi-
agnée avec les pressions transversales de Maxwell.
ÉTUDE DE L'ACTION SUR LES ZONES SPHÉRIQUES.
C’est cette étude qui semble militer plus en faveur de l’action
tangentielle. |
Le problème de la distribution de l'électricité sur une calotte
sphérique conductrice et infiniment mince a été résolu, pour
la première fois, par lord Kelvin (*), par l'application de sa
méthode des images électriques.
Ultérieurement, quelques mathé-
maliciens ont donné des formes dif-
férentes à la démonstration, mais
c'est la forme de lord Kelvin qui
nous est la plus commode. La con-
naissance de cette distribution nous
permet de calculer la projection sur
une direction donnée de ia résul-
tante de l’action de la tension élec-
C trostatique sur une partie de la
Fig. 28. calotte, c’est-à-dire sur une zone
sphérique.
Soit une calotte sphérique conductrice infiniment mince
D CB (fig. 28), détachée d’une sphère de rayon R. En désignant
par r la distance CP et par a la distance CB, la densité élec-
trique superficielle s en un point P de la face extérieure de la
calotte électrisée au potentiel V est donnée par
A FÉlm) PNéle
FC —= —— —— | — arc ang œ
. 4T2R 7 F a — 7? 4TR
(*) W. THomson, Reprint of papers on electr. and magn., p. 178.
(181)
: É dre | V ARS 5 : AR2 a ;
- Q — mp Jar rarc tang pers Ee :
RP AR CET RE
En exprimant a et r en coordonnées sphériques, on a
ÿ f
a —2R cos n— 2h 00s à
suite
4, 0,
7 AE a
CA ——
| (cos? d COS Ù - cos? % — COS? k 31
9 2 2 2
: y
AR
= . 0 TUE É
É v 2 sin 5 | sn | 7
— À ——_—_—_— a rC ANG ———— 32)
E (cos % — COS? ) (os :! — COS? )
ds — R? sin deb,
si la densité superficielle est 5, la tension électrostatique
rçant sur l'élément ds est
( 182)
Remarquons que la calotte porte la charge aussi sur sa face
interne, et, par suite, sur un élément ds de cette dernière
s'exerce aussi une tension normale à la surface, c’est-à-dire
dirigée vers le centre de la sphère, et la valeur de sa projection
sur l’axe des z est
df; = — rR?s" sin 26dedb,
et la somme de ces deux composantes sera
dE = rR{0? — 5/2?) sin 26dedû
où, en substituant les valeurs de 5 5,
Sc
; * - SIn 9
RAR F4 G\1
(eos — — COS? 2)
7
sin
— arc {ang sin 204040.
( 2 ÿ, 2 )
COS COS
9 a) |]
La valeur de F pour une zone déterminée par les angles 6,
et 0, est
06 27 j 6,
PEJEE sin —
= 2
— AGT { 1 + SA LE ÿ q ï
Sri 2 _ |?
" (cos > + ;)
. 6, |
nt
— arc {ang — sin 20dedû
( 183 )
À Ge Be 27 0 2+
2 ve | sin à =
F: Ts sin mes LÉ SEURE sin 26dedb
D: # É, CE COS s)
J D fi 0 “A
C2 8)
È à y: FAR _
8 En. arc sf ET sin 26dodÔ.
Te CET ‘
_ La première intégrale s'obtient immédiatement :
j ]
eo 2T
se = /
Te = || sin 20d:d0 — ge (0, + 9,) sin (0, — 0,). (34)
#
A. 1
De 27 4,
sin à sk
sr eee qu sin 20406
(=: COS? — — COS? )
2
V2 cr ms sin 26048
"" 2 2 ee
(oo À 008 a)
| 174
e qui peut s’écrire :
V2 6, (#2 sin 8 cos Gd4
= sin = | ——
he ï
V2 2 a (cos 0, — cos 8)
(184)
arbitraire € aussi pelite que l’on veut, on peut lui faire corres-
pondre une quantité positive n telle que l’on ait
| (ie sin 0 cos 040
<epour|h}|et |! <n.
|. V/cos 4, — cos !
| Pa —R
Dans le cas considéré ici, on a toujours
et, dans ces conditions, la quantité
sin 0
1
(cos 0, — cos 0}
ne change pas de signe; par suite, en appliquant le théorème
de la moyenne, on a
“hs sin 8 cos 8d8 Ph sin Bd
(in sind eos ht ge fe sintdi
,
1
in (cos 8, — cos 0} Sn (cos, — cos 0*
ÿ' étant compris entre 0, —h et 0, — h.
L'intégration donne,
"ah sin 0 cos
RE
l
fan (cos 8, — cos 0}
5 1
= 2 cos f'[{cos 0, — cos (8, — h,)} — (cos 8, — cos (8, - 2)? |.
Jen )
Appelons e' la plus grande des quantités,
4 4
2 “ =
(cos 5, — cos (4, — h,) et (cos 0, — cos (0, — h) }, (35)
on peut donc écrire
#Qi—h: : (
| Liepbare, ne < 4 |cosd'|e<e, (36)
1
| ñn (cos 3, — cos ÿ}
RÉ nd te
PT Dent el re à :
(18)
e>4|cos' le,
b- Pour les formules (35), quand e est donné, on peut toujours
se trouve vérifié le fait que l'intégrale L à un sens.
Pour trouver sa valeur, intégrons par parties, en prenant
u = cos À in is D
(cos 1, — cos 0}
ce qui donne
| gr =
J, = V'sin = Æ [cos (cos 6, — Cds 6ÿ] :
CE 1
+ | (cos 0, — cos 4} sin 048
la
LPS
à
et, ensuile, après les simplifications
9)
0,7. 4 +0 0, —4,\1
Be; V2 sin — (sin : ës HN ) (cos 0, + 9 cos 4). (37)
Passons à l'intégration de I; :
Le
LA 2T b,
Be | E= — arctang Fr crane sin 20de dû
(eos . — cos? 5)
_ arctang sin 0 cos 0 «6.
.
ta (cos 1, — cos 0}
( 186 )
Posons
PA
A= 2 sin B — cos b,
et intégrons par parties, en posant
\
u — arctang — dy = sin Ô cos 8 db,
(B — cos 0Ÿ
cela donne
v? 1 A le
l, — É | in à cos’ÿ arctang |
| : (B— cos0Ÿ],
Te (38)
AE cos? 0416 <
Le
Æ
ü (B LL AË -L cos 0) (B— cos ff |
Désignant la dernière intégrale de (38) par |’, et effectuant
le changement de variable 0 en Ÿ défini, par
Â
sind — É cos 4, (39)
on obtient
5 2
Shin AB° sin” Ldb
ie res so
: B "3
2 et Ê étant exprimés par
LDEN ; .… [cos B\S
a — arc Sin fr D arc
Bb B
( A8T)
_ L'intégrale J'; peut s’écrire
#
à
4 |
y
TS \ 3 4
“# AB? 3B + 24°. 1
1 EL = — , | D opm # + 3 cos Ÿ sin Ÿ
+3 :
B + A°
LEA sn
|
B À pau
8 ro
et en intégrant
ll 1 3
4 '
h. 3B + 24° A B°
7 LB: — ) cos Ÿ — PT: cos? d
y (40)
(B + A°Ÿ B? 8
DAS CN arctang de cos Ÿ €
La formule (59) donne
B — cos
M (5 cos >
..
ce qui, étant introduit dans (40), fournit
14 (3B + 24) À
? 2 AE Dés PDT, 2
L: 3 | n (B — cos 0) T (B — cos 6)
Re. 4
me (B:+ A°} — ços 875
Le _— 50 A ) arctang res) ip,
+4 2 À Ga
1% Par suite, 1; devient
D |
De V° d À B 2)A :
=— | 3 cos’0 arctang DATE PUS GB 24°) (B— cos6}
(B — cos 0)
1-92
A 8 (BL A°} dé 5
— — (B — cos LRU) arctang cB ns .
4% | A CA
( 188 )
Remplaçons A et B par leur valeur et introduisops les limites;
après simplifications, il vient :
= #4)
9 V2 sin —
[ Lis 2 ; 2
L— ra er cos” 0, arctang MER ES
ù (cos 1, — cos 0,
Fat . |
+ - sin — (cos 0, — cos 1, (2 cos 0, + cos 8, + 6) (41)
62" "2
À
1 cos 8, —cos®} :
— —arctang ee FRA |
92 sin a
En portant les valeurs (34) (37) et (41) dans la formule (35),
nous obtenons :
72
V
= F sin (8, + 4,) sin (4
ee L
16 ) (sin f, —|- 4, Jens 6, +} (cos 6, — 9 COS 0,)
5,)
act eh
He 9 5
19 cos À arctans =
: É € 6, ) 6, re () 1
(sin PL es - ) (42)
RE 0, + 0 DE
3 (sin = * sin — À ( cos 0, + cos, + 6)
2
Beer UN ME
sit ( D ) sin Eh
2 — ————————— — COS |
+ 2 arctang j
sin —
9
=
Telle est la valeur théorique de la projection sur l'axe des z
de la résultante de la tension électrique s’exerçant sur une zone
sphérique déterminée par les angles 0, et 1, dont les plans des
bases sont perpendiculaires à l'axe de z et électrisée à un
CE TE NI: ag, à
( 189 )
5 Y. La formule (42) est applicable au cas d’une demi-
| | sphère Il suffit de poser
tr
Lee
|
=
57
|
à
_ et l'on obtient
… c’est-à-dire la valeur trouvée directement plus haut.
-_ Appliquons la formule (42) à un cas particulier où le plan
… de la base inférieure de la zone passe par le centre de la sphère;
= alors do — 5 (42), ce qui donne
: eh !
D LL — e (1 — x) cos? 0, + LE sin = cos” 0,(7 cos 0, — 3)
3 | : (48
+: cos? 0, .
+ 2 arctang 6
V2 sin -
ÉTUDE EXPÉRIMENTALE.
Pour l'étude de l’action sur les zones, j'ai employé une sphère
de rayon r — 10 centimètres, construite en aluminium et dont
une moitié se composait de quatre zones de 25 de hauteur
_ chacune. Celles-ci étaient ajustées de façon que, superposées,
. elles formaient une demi-sphère entière. Ces quatre zones asso-
ciées à une demi-sphère, faite d’une pièce, constituaient une
. sphère complète. Les surfaces de séparation avaient été parti-
culièrement soignées afin que la superposition se fasse exacte-
. ment. Il est à remarquer que les zones ont été découpées dans
( 1490 )
deux demi-sphères fabriquées séparément dans le but de main-
tenir les dimensions exactes ; dans les zones découpées simple-
ment dans une demi-sphère, 1l manquerait toujours, en hau-
teur, la largeur de la fente nécessaire
pour sectionner.
Pour évaluer le potentiel effectif, j'ai
procédé de la même façon que dans les
mesures précédentes.
En indiquant les zones, comme Île
montre le croquis ci-contre (fig. 29), j'ai
obtenu pour les valeurs du rapport c
Fig. 99.
S désignant maintenant la capacité de la
demi-sphère plus un certain nombre des zones, les chiffres
suivant(s :
TABLEAU X.
ADDED IEP APE LA D EE NE EE IEP EDR EP EIRE CE OCR ACIER CRE EE NI I CE SE
I, U, HE.
Demi-sphère plus les zones. | L'ILE
1,99 2.00 9,19 9,99
|
J'ai cru nécessaire d’avoir 1e1 également la preuve que les
valeurs ainsi obtenues correspondaient à la réalité.
Dans ce but, j'ai cherché la valeur théorique de la capacité
d’une calotte sphérique, en partant de la formule de la distri-
bution.
Les formules (31) et (32) donnent les densités sur les faces
extérieure et intérieure de la calotte. La charge d’une aire élé-
mentaire sur une calotte sphérique découpée dans la sphère de
rayon R est
dQ = (5 + s')ds = (s + s')R? sin Gd0de,
Me = té 2
| V
= arctang — "| + 0) R'sin Üdedt =
sin — sin 4
Et mue | “8 CONTE
ei — — COS 5)
T \
+7 =
— À arctang ———— sin 040 }.
| G, NE
i 2 gs . \2
. (eos 9 —(C0S :)
ii" = g Sin ]
he == es et 1 d8 — — 9 sin 4,
(es — — COS? )
| sin —
À —= arctang CE) sin (a
COS* — — COS —
O4 2 ra 2
A )
V9 sin F
— { a |) :
arciang RÉ TREN sin 4:10,
Un
(44)
( 492-)
que l’on intègre par parties, en posant
= Ut
V9 sin =
—_— ——-, dv — sin 648,
(cos D, — cos À) AE
u — arclang
et notant, pour plus de simplicité,
SE an
A=V2sin — Dec
on à
ÈS | — cos } arctang a
LB — cos 814
VE sin 0 cos dû
2 (A2 + B cos 0)|/B — cos à
La dernière intégrale se résout en posant
cos Ü — B sin’,
et, après simplification, on obtient
0
LL = 0, + = (cos 8, — 1) + sin 4,
tO|
En introduisant les valeurs de 1, et I dans la formule (44),
on à
AUTEUR
Q=— [7 + sin 6, — 6],
d’où il résulte que la capacité S est donnée par
R
S— — (x + sin 0, — 6,). (45)
La représentation graphique de (45) est fournie sur la
( E93 )
+ figure 50, où, en abscisses, sont portées les valeurs des angles
_ 6, et en ordonnées, les capacités en centimètres données
_ par (45).
En profitant du tableau X, j'ai calculé les valeurs de capacité
des ealottes, d’après les données expérimentales qui sont don-
êtres
im
cenk.
e en
Ca pacit
20 40 60 #80
J00 120 140 160 180
Les angles-0, en degrés
Fic. 30.
+
… nées dans le tableau XI, et en même temps j'ai inscrit les capa-
._ cités théoriques. |
_ Ces valeurs sont portées aussi sur la figure 30, où les points
_ correspondants (o) se placent sur la courbe théorique.
| 13
(19%)
TABLEAU XI.
Demi-sphère plus les zones.
Système.
LIL EU,AV À DU, | IH. L.
Anpies 0} APE (Ù 41024857 | 60000! | 75031/20!
théoriques." = 10,0 9,605 9,494 8,883
Capacité
expérimentale . . 10,0 9,9 9,4 5,9
Cette concordance remarquable prouve encore une fois
l'exactitude de la méthode expérimentale employée.
Les résultats de mesure des forces répulsives sont résumés
dans le tableau XII.
TABLEAU XII.
Système Force répulsive en grammes.
repoussé,
Zones. dre sér.| 2e sér. | 3e sér. | 4e sér. | 5e sér. | 6" sér. | Moyeune.
|
I, L, IX, 1V. | 0,0791 | 0,0790 | 0,0778 | 0 0795 | 0,0792 | 0,0793 | 0,0790
1,11 li, | 0,0832 | 0,089 | 0,0822 | 0,0830 | 0,0821 | 0,0830 | 0 0830
1, Il 0,0910 | 0,0886 | 0,0888 | 0,0922 | 0,0879 | 0,6914 | 0,0900
L. 0,0209 | 0,0909 | 0,0917 | 0,0908 | 0.0936 | — | 0,0916
\
La figure 31 représente les courbes relatives à ce cas. La
courbe À est la courbe théorique dont l'équation est donnée,
par équation (43). La courbe B est celle qui est tracée d’après
quelques points obtenus par l’expérience. Toutes les deux cor-
respondent à un potentiel de 8000 volts de la calotte. La courbe
oh
MM ts © à de —
_ 160
re
NS TNRER
PENSE
2.488 NI
“nas
“ste
Li
À
Sn
|
: 12 ‘
NN ESsitR
BTE
10 30 — #40 MOUUCEN 70 80 \
Les angles 6,
FIG: 91.
( 196 )
expérimentale montre que la force varie peu lorsque la hauteur
de la zone diminue. Il est difficile pourtant de préciser l'allure
de la courbe expérimentale, mais il est certain que pour
—
LA
6, — 5: F — 0. Mais il ne serait possible de dire comment
elle se comporte au delà de 0, — 75°31'20"”, ce qui corres-
pond à la dernière zone employée dans nos expériences, qu’en
faisant des mesures avec des zones encore plus étroites, mais
cela est à peine réalisable, car les difficultés aussi bien d’exécu-
tion de telles zones que de mesures de la force sont alors con-
sidérables. Il est cependant probable qu’elle ait la forme que
j'ai indiquée sur Ja figure.
L'écart entre les courbes théorique et expérimentale est trop
considérable et la méthode de mesure trop soignée pour qu'on
puisse aftribuer ce désaccord aux erreurs expérimentales.
Mais 1l se peut, tout simplement, que la formule générale de
tension ne soit pas applicable aux conducteurs ouverts et que,
dans ce cas, il faille considérer directement les charges comme
formant une couche de densité & + 5, et os’ + 5’,, dont les
éléments obéissent à la loi de Coulomb. Voyons si cette hypo-
thèse ne rend pas compte des résultats observés.
Soient cô et #4! l’azimut et la colatitude des points situés
respectivement sur la ealotte fixe et sur la zone suspendue, cette
dernière étant déterminée par les deux angles ÿ, et D; soient,
de plus, 55, et s'o/, les densités électriques superficielles sur
les faces extérieure et intérieure de la calotte de la zone. Chaque
élément de surface doit être considéré comme possédant Îa
densité 5 + 5,. Les charges d’une aire élémentaire de la calotte
et de la zone seront alors
RS + 5,)sin 6dedÿ et Rs" + 5;) sin d'do'dh'.
La composante suivant l’axe des z de leur action mutuelle
est
’ Ro + 5) (5! + 5) sin 4 sin #' (cos 0! — cos Ü)dode'didh"
= ————
3
21/2141 — cos Ô cos #' — sin 8 sin 4! cos (g! — &)?
ee
(497 )
et la composante de la résultante
BTS ie s,)s+5,)sin8 sin 8'(cos0'—cosÜ)dodc' ie 46)
92
fe” (0 Ô — cos 4! cos 6 — sin Î sin 8 cos (v! Are
En remplaçant les os par leurs expressions données par
Kelvin, on obtient une valeur indépendante du rayon de la
sphère et une fonction des limites de l'intégration 0, et 49. Il
est inutile de développer de longs calculs, car le simple raison-
nement montre que f de (46) donne des valeurs s’écartant plus
encore que F de (43) des données expérimentales. En effet, pour
T re Li
6, = 0, 0 — 5 nous obtenons évidemment la valeur =:
le point initial de (46) coïncide avec le point imitial de (45). I
en est de même pour le point final quand 8, — 5 09 = 5 Mais,
pour toutes les valeurs intermédiaires, les charges de la face
intérieure donnent les termes négatifs pour (43) et positifs
pour (46). Il s’ensuit que toutes les valeurs de (46) seront plus
grandes que celles de (43).
Dans les théories modernes, où l’on considère que le champ
est constitué par des tubes de force, la notion du conducteur
absolument isolé n’est plus admise, car les tubes de force par-
tant du conducteur doivent nécessairement se terminer sur une
autre surface électrisée, plus ou moins éloignée. Si la distance
entre les éléments correspondants des tubes partant d’un con-
ducteur est très grande, celui-e1 est dit isolé. En se plaçant à
ce point de vue, les tubes de forces partant de notre zone
trouvent des éléments correspondants sur les objets voisins, et
la torce mesurée n’est que l’attraction de ces derniers. Mais, sui-
vant celte idée, la force doit être sensiblement proportionnelle
au carré de la charge, ce qui n’est pas le cas. D'ailleurs les
mesures de la force répulsive entre les cylindres que j'ai obte-
nues montrent que cette hypothèse n’est pas applicable à nos
expériences.
( 198 )
ZONES COUVERTES.
Imaginons maintenant que l’on couvre la base supérieure de
la zone par une surface plane conductrice; le conducteur sera
alors fermé et possédera une surface plane chargée où la force
s’y exerçant sera mesurable totalement, et il semblerait donc
que la force répulsive doive ainsi augmenter. Or, l'expérience
montre le contraire. En mesurant les forces correspondantes à
ce cas, J'ai obtenu les valeurs suivantes :
TABLEAU XIII.
Force répulsive en grammes.
Partie
repoussée. {re sér. | 2e sér. | 3e sér. | 4e sér. | 3e sér. | 6e sér. [Moyenne.
Li on 0,0832 | 0,0829 | 0,0822 | 0,0830 | 0,0821 | 0,0830 | 0,0830
, 11, I }
couv. | 0,0705 | 0,0713 | 0.,0709 | 0,0709 — — 0 0709
| ouv. 0,0910 | 0.0886 | 0,0888 | 0,0922 | 0,0879 | 0,0914 | 0,0900
" loouv. | 0,084 | 0,c818 | 0,0827 | 0,0832 | 0 0830 | — | 0,0830
ouv. | 0,0909 | 0,0909 | 0,0917 | 0,0908 | 0,0936 | — | 0,0916
%
couv. | 0,0823 | 0,0855 | 0,0809 | 0,0814 | 0,0809 | — | 0,0822
|
Les valeurs obtenues avec les zones couvertes sont toutes
inférieures à celles fournies par les zones ouvertes (*). Les
points représentatifs correspondants sont portés sur la courbe C,
figure 31.
Tous ces faits, incompatibles avec la théorie, donnant pour
la tension électrostatique l’expression 2r0?2, peuvent se conce-
)
(*) Il est sous-entendu que toutes les corrections ont été déterminées iei
séparément, n’empruntant rien des données précédentes.
|
|
1
|
nee er
(1997)
voir aisément en admettant l'hypothèse de l’action tangentielle.
D'après cette hypothèse, la force s'exerce perpendiculaire-
ment et le long du plan passant par la courbe de sépara-
tion des deux parties. Et lorsque la hauteur de la zone diminue,
la base restant la même, la résultante devrait rester aussi la
même si des faits nouveaux ne s’y ajoutent pas. Mais à mesure
de la diminution de la zone, 1l peut se former à l’intérieur un
champ d'intensité d’abord très faible. Par conséquent, au com-
mencement, la force doit à peine légèrement augmenter. Ce
champ intérieur croît de plus en plus, à mesure que langle 8,
augmente el, ainsi, à la force agissante sur la face extérieure
s'ajoute celle agissant sur la face extérieure, d’où augmentation
de la force. C’est effectivement ce que montre la courbe expé-
rimentale. En couvrant les zones, on détruit le champ intérieur
et, par suite, la force diminue, mais elle ne retombe pas sur la
valeur correspondant à la
répulsion de demi-sphères,
car la configuration du
champ est différente.
On peut se rendrecompte cf
de l'existence de ces forces VIRE
tangentielles, non seule-
ment en imaginant des (21
mouvements de lignes de
force, ainsi que le fait P.
De Heen, mais encore en
se basant sur la considéra-
ion de tubes de force ou
de tension, tels que ceux
conçus par Faraday et la Fi. 32.
plupart des physiciens mo-
dernes. Les tubes de tension se terminent à la surface du
conducteur sur laquelle ils possèdent une mobilité parfaite. A
. l'état d'équilibre, la direction de la tension le long des tubes
à la surface du conducteur doit être, par conséquent, perpen-
diculaire à cette dernière. Mais à côté de cette tension longi-
( 200 )
tudinale, il existe des pressions transversales qui, à l’état
statique des charges, s’'équilibrent mutuellement.
Imaginons qu’une partie S’ de la surface conductrice, où se
terminent un certain nombre de tubes de tension, puisse se
détacher. Les pressions telles que p p, seront alors équilibrées
par les actions antagonistes des autres tubes de tension distri-
bués sur la partie restante du conducteur. Mais les pressions
telles que p' p;, si elles ne sont pas égales et de sens opposé,
vont donner une résultante qui tendra à entrainer la partie S’
dans sa direction. Ne perdons pourtant pas de vue que ce n’est
qu'une image.
ÉTUDE DES CYLINDRES.
J'ai déja mentionné qu'on pourrait peut-être chercher
l'explication de nos résultats dans l'attraction des charges
induites sur le plafond, car les tubes de force partant de con-
ducteur étudié doivent nécessairement aboutir quelque part. Si
on remarque que la distance du conducteur au plafond était de
250 centimètres, on rejeitera celte objection. Néanmoins, J'ai
cherché à résoudre la question expérimentalement de la façon
suivante : Imaginons un cylindre condueteur sectionné par des
plans perpendiculaires à l’axe en plusieurs parties à des diffé-
rentes distances x de l'extrémité du cylindre. Les dites parties
étant superposées forment un cylindre que lon chargera; de
chaque section émanent un certain nombre de tubes de force
dont les autres extrémités se fixeront au plafond. Si c'est la
tension de ces tubes qui se manifeste dans nos mesures, la force
répulsive de deux parties du cylindre va varier sensiblement
avec la longueur de la partie repoussée, car le nombre de tubes
de force entrant en jeu est variable. Au contraire, si ce sont les
pressions transversales qui interviennent, la force doit rester
sensiblement constante, quelle que soit la partie du cylindre
repoussée, à part de petits écarts causés par la non-uniformité
de la distribution le long d’un cylindre de longueur finie.
Dans nos expériences, le cylindre était formé d’une suite
SOS D LS EL à à
( 201)
d’anneaux en laiton de même diamètre, qui, par juxtaposition,
ont formé un cylindre de longueur constante qui pouvait être
divisé en deux parties à des distances x différentes. Les anneaux
étant superposés, les lignes de séparation étaient à peine
visibles. Une partie du cylindre était maintenue fixe au moyen
d’un support en paraffine; l’autre, suspendue au plateau de la
balance, permettait de mesurer la force répulsive. Jai expéri-
45 m/ar.
30 dass Prr
25 75 mm
S0
Le cylindre d - 30 mm. L, = 50 mm.
FIG. 93.
menté avec deux cylindres dont le diamètre d, — 150 milli-
mètres et do — 60 millimètres et de L, — 150 millimètres et
Lo = 270 millimètres de longueur. Les résultats des mesures
sont représentés par la figure 33. Sur l’axe des abscisses sont
portées les distances x de la section considérée à l’extrémité
du cylindre; sur l’axe des ordonnées, les forces observées,
Chaque courbe représente donc la variation de la force répul-
sive en fonction de la distance x à un potentiel donné.
Je ne donne pas les chiffres, car ils n’ont qu’une valeur
relative.
(202)
Pour le plus grand cylindre, j'ai obtenu un résultat absolu-
ment analogue. Les courbes montrent que la variation de la
force est à peine sensible. à
La réponse à la question posée plus haut est bien nette : ce
ne sont pas les tensions longitudinales des lignes de force qui
se manifestent dans les actions observées.
DISQUES CIRCULAIRES.
On peut se rendre compte de toutes les expériences
résumées ci-dessus, sans toutefois les expliquer quanti-
tativement, en admettant que les forces actives sont ici
les pressions transversales. Mais, alors, si l’on considère un
disque isolé dont une partie pour-
rait se détacher, on ne doit con-
stater aucune force, semblerait-il.
Or, l'expérience démontre le con-
traire.
Recherchons d’abord la résul-
tante de l’action de la tension élec-
trostatique S’exerçant sur un disque
Fic. 34. cireulaire de rayon r découpé dans
un autre, concentrique et de rayon R
plus grand. La densité, en un point d'un disque infiniment
mince, chargé au potentiel V, est donnée par (*)
V
2 V/ANME
G
AB étant une corde quelconque passant par le point M. En
appelant o et 8 les coordonnées polaires d’un point du disque,
la force de tension s’exerçant sur une aire élémentaire est
\2 ededh
€ 9?
28 R? — 0°
(*) C. MaAxWELL, Traité d'électricité et de magnétisme, t. 1. p. 332.
vs.
4
… ds CAS A R
( 203 )
et l’action totale sur le disque central
V2 fr (” edodi F2 ( =) ,
SES © = — — log | À — — |. (47
il | VIN 1e 07 +2 0 R2 (AT)
0 (0
Cette formule montre que la force dépend seulement du
rapport des rayons r et R et non de leurs valeurs absolues,
c'est-à-dire que, dans de systèmes semblables, la force est
indépendante des dimensions linéaires du système.
Le cas théorique est irréalisable : on ne peut expérimenter
qu'avec des disques d'épaisseur finie qui, toutefois, peut être
très faible par rapport au rayon du disque. Pour pouvoir mesu-
rer la force, 1l est nécessaire d'employer un dispositif tel
qu'une des faces seulement du disque étudié porte une charge.
Pour se rendre compte de la valeur de la force, j'ai employé le
dispositif suivant :
Pans un disque circulaire AB (fig. 35), on a pratiqué une
ouverture conique ab, où l’on à placé une pièce D, ayant la
A EC z D b B
LLLLL LL LX dl LL d'L LL 1 TA L LIL L LL LL LL LL LL A
LD LL LL db dd dl LL LL 2 2717017771 177 TT TT TT 177777] ? 7??? 7777 LIT TT LL LL 122 TT 2L0A
7 "4
Fic:-95:
forme de deux troncs de cône superposés et dont la partie plus
large, ayant seulement une hauteur de 0""2, s’appuyait contre
les parois de l'ouverture. Cette pièce D étant mise en place, les
deux surfaces du disque AB et du disque D formaient un seul
plan, sur lequel la circonférence de séparation était à peine
visible et semblait une raie très fine. Le disque AB a été super-
posé sur un autre A'B/ par l'intermédiaire de petites cales métal-
liques C de 0""1 d'épaisseur. La surface latérale a été fermée
par une bande métallique. Ainsi le système total ne formait
qu'un seul conducteur de la forme d’un disque de 2 millimètres
d'épaisseur, dont une partie D, portant la charge d’un côté
( 204 )
seulement, pouvait se détacher. Le disque central D a été sus-
pendu au plateau de la balance et la partie restante à été main-
tenue fixe par la tige en parafline.
Les mesures sont très difficiles à effectuer ici, et même en
s'entourant de toutes les précautions possibles, on ne peut pas
obtenir de résultats convenables. Mais j'ai pu me rendre
compte que la force mesurée s’approchait assez bien de sa
valeur théorique si l’on lient compte de ce que les conditions
expérimentales ont été assez éloignées des conditions exigées
par la théorie. J’ai pu même véritier la propriété remarquable
indiquée par la formule (47) et voir que, dans les systèmes
semblables, la force est la même. Tout cela évidemment n’a pu
être fait que grossièrement.
P. De Heen explique (*) ce cas par l’inclinaison des lignes
de force sur le plan du disque : ce qui à lieu évidemment.
À cause de cette inclinaison, il y a une composante dirigée
perpendiculatrement au plan du disque, mais son origine est
toujours l’action perpendiculaire aux lignes de force. L'idée de
l’agitation des lignes, c’est-à-dire des tourbillons, soutenue par
P. De Heen, présente des difficultés. Au fond, dans ce cas, le
champ n’est plus électrostatique, 11 ÿ a un champ électroma-
gnétique variable, car, en chaque point de l’espace, la force
électrique varie constamment; les lois d’un tel champ seront
toutes différentes de celles du champ électrostatique. Ce champ
doit de plus rayonner de l'énergie. P. De Heen admet toutefois
que cette perte d'énergie est extrêmement petite.
CONCLUSIONS.
Les désaccords observés entre la théorie et l'expérience ne
peuvent pas être attribués à des défauts de la méthode expéri-
mentale, puisque celle-ei a fourni de multiples preuves d’exac-
(*) Bull. de l'Acad. roy. de Belgique (lasse des sciences), 1910, p. 431.
APR
( 205 )
titude dans les études de l’action à distance, où la concordance
entre la théorie et l'expérience est tout à fait remarquable.
Par conséquent, nous devons forcément conclure que la
théorie classique de la tension électrostatique est insuffisante.
Si nous analysons la nature physique des forces auxquelles
peut être soumis un élément de surface d’un conducteur élec-
trisé, on peut formuler trois hypothèses :
4° La charge de l'élément considéré est repoussée par toutes
les autres, réparties sur la surface, qui agissent suivant la loi de
Coulomb, comme si elles étaient isolées. C’est le point consi-
déré dans la théorie de l’action à distance.
Autrement la question sera résolue par les théories du
champ. La charge de l'élément considéré étant susceptible de
produire des déformations dans l’éther et ces dernières étant
capables d'exercer une force mécanique sur la charge de la
matière chargée, c’est une action de l'extérieur du conducteur
qui s’exercera sur l’élément de surface en question. Mais les
efforts produits par les lignes de force (ou tubes de tension si
l’on veut) peuvent être dus soit à leurs tensions longitudinales,
soit à leurs pressions transversales : les premières se mani-
festent dans l’attraction des corps chargés; les secondes, dans
leurs répulsions (*).
2° Il est done possible que la tension électrostatique soit
due à la tension le long des lignes de force.
3° Ou qu’elle soit due à leurs pressions transversales.
Examinons successivement ces trois possibilités.
On sait que la simple loi de Coulomb est parfaitement appli-
cable aux cas des charges placées dans le vide et, par suite de
Pintroduction de la constante diélectrique, dans un milieu
homogène et isotrope, dont la constante diélectrique est une
quantité bien déterminée et connue. Si le milieu séparant les
deux charges n’est pas homogène ou s’il est anisotrope,
(*) Il est évidemment indifférent quelle est la nature mécanique de ces
pressions.
(206 )
l'expression de la force pondéromotrice se complique de plus
en plus. Considérons pourtant les charges réparties sur un
conducteur et qui seront donc toujours séparées l’une de l’autre
par un milieu métallique. Quelle sera la force agissant entre
les charges dans ce cas? On admet qu'elle est indiquée par la
plus simple forme de la loi de Coulomb. On l’admet parce que
les faits cadrent avec cette hypothèse et, comme preuve, on
considère, comme fait expérimentalement établi, qu’à l’inté-
rieur d’un conducteur il n’y à pas de champ. Cette expérience
ne me paraît cependant pas nt probante ni décisive. En effet,
un point peut être en équilibre soit quand agissent sur lui deux
forces égales et de sens opposé, soit lorsqu'il n’est soumis à
aucune force. De même en un point de l’espace, on peut avoir
l'obscurité soit par interférence des ondes, soit parce qu’elles
n’y arrivent pas. Et c’est avec raison que Barnett (*) insiste
sur le fait que de l'expérience de Cavendish ne résulte
pas nécessairement la loi de Coulomb. Supposons une
sphère métallique infiniment mince dont l’intérieur pourrait
être rempli de n'importe quel diélectrique. Si les charges
agissent à travers les conducteurs, on devrait constater une
variation de la force répulsive des deux hémisphères lorsqu'on
change la nature du diélectrique remplissant la sphère. Mais,
pourtant, en se basant sur le fait de la non-existence de champ
à l’intérieur et sur la formule F — 2r5?, on peut assurer que
la force ne sera point influencée par le changement en ques-
tion.
J'avais fait cette expérience toute superflue et dont le résul-
Lat n’était pas à douter; la force répulsive de ses deux hémi-
sphères n’est changée en rien si on remplace l'air par de la
parafline à l’intérieur de la sphère. |
Mais il y à un autre argument en faveur de l’hypothèse en
question. Elle dérive des lois de la distribution, dont les résul-
tats ont été vérifiés à maintes reprises. Ces recherches de
(*) S.-J, BARNETT, Phys. Review, 78, pp. 175-177, 1902.
DORE TT, OT
il E
e
]
( 207)
- Coulomb (*}, de Riess (**}, de Mathiesen (**) et d'autres sont
trop connues pour les décrire ici. Au cours même du présent
travail, j'ai calculé la capacité de la calotte sphérique en par-
tant de la formule de la distribution, et les résultats sont par-
faitement concordants avec l’expérience. La solution fournie
par la théorie de l’action à distance peut être sûrement obte-
nue par l'application de méthodes différentes. Ce problème
revient également à trouver la distribution des extrémités des
tubes de force possédant une mobilité parfaite sur la surface
conductrice et entre lesquels s’exercent des actions détermi-
nées. L'étude de cette question n’est pas suffisamment avancée
pour permettre de démontrer que les lois obtenues sont les
mêmes, mais tout porte à croire que le problème sera résolu
en ce sens.
H. Pellat (*) donne comme la meilleure preuve de l’exacti-
tude de l'expression F — 27°, pour la force de tension élec-
trostatique, le fait expérimental de la détermination du rapport
v de l’unité électromagnétique à l'unité électrostatique de quan-
tité d'électricité, où les résultats obtenus par des méthodes
différentes ont donné la valeur. Mais remarquons que, dans
toutes les méthodes où l’on à mis en jeu les forces d’origine
électrostatique, par exemple, dans celle de W. Thomson ("), de
Mac Kichan (1), de Maxwell ("), ces forces s’exerçaient entre
deux disques chargés de l’électromètre de W. Thomson, où la
charge totale, entrant en jeu, se porte sur les côtés des disques
restant en face. On à done un système de conducteurs même
fort rapprochés, dont les charges agissantes ne sont séparées
que par l'air, ce qui diffère essentiellement de nos conditions
(*) Bior, Traité de pnysique, ?, pp. 273-277; CouLomB, Mém. de l’Acad.
de Paris, p. 447, 1787.
(**) D.-F. Ress, Reibungselektricität, 1, p. 156.
(**) L. MATHIESEN, Fortschr. der Phys., p. 423, 1861.
(Y) H. PeLLar, Bull. de la Soc. philomatique, t. V, p. 35, 1880.
(*) J.-C. MaxWELL, Traité, elc., t. Il, p. 479, Paris, 1885.
(1) M. KicHAN, Phil. trans., p. 409, 1873.
Qu) J.-C. Max WELL, loc. ci, t. IL, p. 473.
( 208 )
expérimentales. La même remarque s'applique au travail de :
K. Waitz (*), qui a mesuré le potentiel par la dilatation d’une
bulle de savon constituant l’armature interne d’un condensa-
teur sphérique. L'intéressant travail de O. Dôrge (**) est, dans
sa partie expérimentale se rapportant aux bulies électrisées,
purement qualitatif.
Au point de vue théorique, c’est seulement dans la démon-
stration de Mebius (***) que l'hypothèse n’entre pas, semble-t-il,
et malgré cela on arrive à la même valeur de la force de tension.
Mais il est facile de voir que sa solution n’est pas unique. Ce
physicien fait subir au conducteur les quatre modifications
suivantes : 1° la charge, 2° l’échauffement, 3° la décharge,
% le refroidissement, mais, lors de la dilatation dans la modi-
fication 2, on ne tient compte que du travail mécanique fpdv
et on néglige le travail des forces électriques. Au fond,
M. Mebius émet l'hypothèse que la pression du milieu environ-
nant le conducteur sur ce dernier n’est pas la même dans l’état
électrisé et dans l’état non électrisé. Cela admis, il applique le
principe de la conservation de l’énergie et 1l obtient la valeur
de cette différence de pression. 11 suffit de rappeler ici le tra-
vail de V. Schaffers (Ÿ) qui montre qu’une telle hypothèse
n’est pas conforme à l’expérience. Elle est donc illégitime. Et
supposant, à titre d’hypothèse également gratuite, que, sur la
surface d’une sphère conductrice isolée, 1l existe une tension
tangentielle analogue à la tension superficielle capillaire et en
faisant parcourir à la sphère le même cycle; désignant de plus
par M la charge communiquée à la sphère dans la modification 4,
par R le rayon de la sphère, par dQ la quantité de chaleur
fournie dans la modification 2, par dv l'accroissement de
volume dans la même modification, par à le coefficient de dila-
tabilité linéaire du métal de la sphère, par f la tension par
(+) K. Warrz, Wied. Ann., 37, pp. 330-337, 1884.
(*#) 0. DôRrGE, Ann. de phys., 1, pp. 1-16, 1990.
c++) C -H. Megius, Wied. Ann., 61, pp. 638-640, 1897.
(av) V. ScHarrers, Ann. de la Soc. scient. de Bruxelles, 29, 2e parte.
( 209 )
unité de longueur, on trouve, par un calcul facile, que le prin-
cipe de la conservation de l'énergie appliqué à ce cycle donne
2
— dQ + pdv = 0,
M?
Lo LL Grade 2 2
oRG Lou)
d’où f aurait la valeur
V?
Lx 167R
et, en l’appliquant au cas de la répulsion de deux hémisphères,
on obtient
V?
F——,
8
valeur identique à celle obtenue par la considération des pres-
sions normales. Évidemment cela veut dire seulement qu’il
n'est point nécessaire de supposer que la pression sur la sur-
face d’un conducteur à l’état électrisé est différente de celle
qu'il subit à l’état non électrisé et que la solution donnée
par A. Mebius n’est pas unique.
En supposant même l’applicabilité de la loi élémentaire aux
milieux de conductibilité aussi élevée que celle des métaux, il
serait nécessaire de connaître leur constante diélectrique. Or,
sauf quelques indications très vagues, cette constante est, pour
ainsi dire, absolument inconnue. Nous avons vu plus haut, à
propos de l’emploi des forces podéromotrices pour la détermi-
nation des constantes diélectriques dans les électrolytes, que
cette dernière croît avec la conductibilité. Ainsi, par exemple,
la force répulsive de deux charges dans une solution 0,0s nor-
1 Un.
mal de KCI ne serait que gà partie de celle qui s’exercerait dans
le vide. Quelle serait cette force dans un milieu métallique ?
Nous n’en savons rien.
Il résulte de toutes ces considérations que la première hypo-
thèse doit être écartée.
14
( 20 )
L'expérience faite avec les cylindres suffit pour écarter aussi .
la deuxième.
Il ne reste donc que la troisième hypothèse, qui attribue les
phénomènes de tension électrostatique aux pressions transver-
sales des lignes de force. Elle peut rendre compte effectivement
de tous les faits observés, même de l’action sur une partie d’un
disque plan, si l’on suppose que la force entre les lignes ne
s'exerce pas seulement au voisinage immédiat de la surface,
mais encore le long de toute la ligne.
Mais évidemment, ce n’est qu'une image que l’on peut
employer comme à titre d'hypothèse de travail. Vu l’état actuel
de la théorie de l’éther et des théories mécaniques en général,
il faut la considérer comme provisoire.
art À
re
de
ERRATA ;
En 7 i=n 3
v=-#2(" CE (#)
i=1 9Y \ri .
En i=n
L— —e È Ke “) RD TEE ps)
i—4 d% Vi/
mL 92 2Y moL 92 y
COX y 0% COt y d%
m 9M 0X 2Z ps OM 2X ey/
c0x 9% 0x c AN dr 9x
um ON OY 5X mu ON 9Y ax
COX 0% 4 C A 2% 4
H
DURE: = egrl E FLE à — Curl E
| c dt
95, dernière ligne
2H 2H
en EL:
ns les D billèus qui détermine le Sie électrique, c’est-à-dire que
( dernier est caractérisé par un vecteur polaire.
y
x
UCA
; 17
ab 4
&.
sir:
TABLE DES MATIÈRES
PREMIÈRE PARTIE
CHAPITRE PREMIER. — Recherches qualitatives
CHAPITRE II. — Établissement de la loi élémentaire.
Les recherches précédant celles de Coulomb
Les expériences de Coulomb $
Recherches de Simon, Parrot, Yelin, Mayer, Egen.
Recherches de Harris, Riess et Marié-Davy .
Démonstration indirecte de la loi élémentaire .
CHAPITRE IIL. — Théorie de l’action à distance.
Simple application de la loi de Coulomb.
La fonction potentielle des charges discontinues
La fonction potentielle des charges continues
L’équation différentielle de la fonction potentielle .
La composante de la force dans une direction donnée.
Le théorème de Gauss . Ut ‘
La force au voisinage de la surface chargée.
L'énergie d’un système électrique.
Détermination de la force pondéromotrice en partant de l’éner-
gie du système. tn D Ch de nd
Démonstration indirecte de la loi de Coulomb en partant de la
fonction potentielle
CHAPITRE IV. — Théorie du champ électrique.
Influence de la nature du milieu séparant les corps électrisés
Théorie de la polarisation diélectrique dans un milieu homogène
etisotrope .
48
J0
D2
(214 )
Les forces pondéromotrices dans un milieu homogène et iso-
trope.
Recherches expérimentales basées sur les formules (54) et (55)
pour la détermination des constantes diélectriques .
1. Méthode de Lefèvre
2. Méthode de Ziloff .
3. Méthode de Quinecke LEE, EPP
Théorie de la polarisation et les forces pondéromotrices dans les
milieux déformables et à K variable
CHAPITRE V. — La théorie Faraday-Maxwell.
Les forces pondéromotrices comme résultat de la tension de
l'éther TO EN ER hu
Passage de la théorie de la polarisation aux tensions de Maxwell.
Démonstrations indirectes de la loi de Coulomb d’après cette
théorie .
CHAPITRE VI.
Théoriés métanIquEs + 7, JS RUES
CHAPITRE VII.
Forces pondéromotrices électrostatiques dans un champ magné-
tique variable .
CHAPITRE VIIL.
Champ électrostatique des courants 2% 4 1.000
DEUXIÈME PARTIE
CHAPITRE PREMIER. — Étude des actions de sphères électrisées.
INTRODUCTION . Pr à
Principe de la méthode de mesures .
Les Sphères employées! 1101 GONE PINS
Les conditions d'isolement :°. CC
SUSPENSION TES SPhÈFESS M OO
Action du champ sur les fils de suspension .
Réglage des sphères. EE |
Procédé de charge, a 2 sun ent
Évaluation du potentiel effectif de la sphère au moment de la
mesure de la force. .: , CO
Mesure des forces.
401
104
106
106
107
112
114
117
118
1920
124
SL
(25 )
Méthode et corrections des mesures . . . «+ . .. . . 1%
ne dupoientellelons/du cire . : : . -. .”. . 434
A OI ne à . . : , .. 434
Résultats expérimentaux :
AO OREGON US à ©, , à . ,-., 44
RONA IAGEe 0 De OU. Lo oO © = , 448
Forces attractives et répulsives entre sphères de rayons diffé-
Eu te … AS
0 0... 45
CHAPITRE IL. — Études sur la tension électrostatique.
0 CO E *, : . à; 453
+rmeipe de la méthode des mesures à - :., . . .. . ,. 46
Bbisposithexpérimental. . .-.-. . . . 6. 20
Évaluation du DR DONC De 2. .... ... 4165
RO de ne © + +: . 465
D JARIS de sUSpEnsIOn 0. . . . . , . . (67
Étude de l’action de demi-sphères . . . . . . . . . 169
Étude de l’action sur les zones sphériques . . . . . . . 180
UT) … . . . . . +. 189
D, 7 + , 498
ee Un. . . . . . . 900
D D 0 à 0: ..,. 209
LE . | . . . . 904
4
Im
kis N'
ox
*” Fs
CRT
(1
‘
FSU à
i
0
‘
ER
ho
A
LUOUE
dé
à
A y à En sc —
y De Dee ee :
Re l- 18 1!
( 1e |
1er L EE 6 23
L'ARTEPES
d
4
LR
+:
COUP D'ŒIL
SUR LES
[ÉTHODES EMPLOYÉES
POUR DÉTERMINER
LA RIGIDITÉ DU GLOBE
dE "a | À PAR
Ko) OS"
Henry JANNE
Docteur en sciences physiques et mathématiques,
Ingénieur civil des Mines, Ingénieur électricien,
Répétit ur à l’Université de Liége,
Membre de la Société royale des sciences de Liége,
de la Société scientifique de Bruxelles, etc.
COUP FICÉSE:
_ MÉTHODES EMPLOYÉES
LA RIGIDITÉ DU GLOBE”
INTRODUCTION
. L'hypothèse d'un globe terrestre sphérique, homogène et
pa rfaitement rigide est insoutenable (?).
N Tout d’abord les mesures géodésiques montrent que la Terre
affecte, très sensiblement, la forme d’un ellipsoide de révolu-
tion aplati dont l'axe mineur coïncide avec la position moyenne
de son axe de rotation et dont l’aplatissement est environ
de de 1/27.
… D'autre part, la densité moyenne de la Terre, prise dans
no Cet Article a un caractère purement encyclopédique et nullement ana-
lytique. Aussi en avons-nous exclu toute recherche mathématique un peu
e omplète. Nous nous proposons d’ailleurs de revenir plus tard sur les
4 ories analytiques de l'équilibre et du mouvement oscillatoire d’une
sphère élastique.
@ Cf. notre Rapport présenté à la Société scientifique de Bruxelles sur le
émoire de M. E. PASQUIER intitulé : Sur les variations de la latitude et les
déviations de la verticale. (Ann. Soc. Sc. Bruxelles, 36e année, 2e fasc.,
janvi er 1919; Comptes rendus des séances, pp. 111-114.)
É 4
LS
son ensemble, est à peu près de 5,55 grammes-masse par
centimètre cübe et vaut ainsi presque le double de la densité
moyenne des roches superficielles (environ 2,67), déterminée
par mesure directe. On ne peut, dès lors, admettre que le
globe soit homogène.
En troisième lieu, les diverses substances minérales (métaux,
cristaux, roches, etc.) que l’on «x, dans les laboratoires,
soumises à expérience, ont toutes présenté un certain degré
de compressibilité et de plasticité (visqueuse ou élastique). II
serait donc souverainement 1rrationnel de supposer que les
matières composant le globe offrent, dans leur ensemble, une
incompressibilité et une rigidité parfaites.
D'ailleurs certaines considérations cosmogoniques, certains
phénomènes d'ordre géologique ou astronomique paraissent
demander qu'au moins une partie de l’intérieur du globe soit
susceptible de se déformer.
Si maintenant, pour ces diverses raisons, on imagine que la
Terre ait une constitution quelconque, autre que celle d’un
solide parfaitement rigide et incompressible, on doit immé-
diatement conclure que cette Terre doit céder, au moins dans
une certaine mesure, aux réactions centrifuges qu’évoque sa
rotation et aux forces attractives qui émanent de la Lune, du
Soleil et des planètes, comme le font les océans qui recouvrent
sa surface. Ces déformations propres du globe (marées
terrestres) peuvent s’évaluer, comme l'a montré Lord Kelvin,
par la mesure précise de la réduction qu’elles font subir aux
marées océaniques apparentes. C'est un premier moyen — le
plus direct — de déterminer le degré de plasticité du globe,
mais non pas le seul, ni même le plus aisé.
Un fil à plomb, ou encore un pendule horizontal, placé en
un lieu géographique, doit, en vertu même de la déformation
de la masse attractive de la Terre et du changement de posi-
tion, relative à cette Terre, des astres perturbateurs, subir une
déviation propre, en même temps que Île plan tangent au
sphéroïde terrestre, au lieu considéré (qui est le plan de réfé-
rence pour les déplacements du pendule), doit éprouver un
T2 7x à.
(D)
changement d'orientation. Pour ce double motif, le fil à
plomb doit, vis-à-vis de ce plan, changer de position; et
* comme sa direction définit la verticale du lieu, on dit qu'il se
produit une déviation de la verticale. La mesure de la déviation
de la verticale constitue un deuxième moyen de déterminer le
degré de plasticité du globe.
Enfin, comme la Terre n'est plus supposée parfaitement
rigide et que, de plus, on constate journellement qu’il se
produit des déplacements relatifs à sa surface et des change-
ments dans la répartition des masses à la partie supérieure de
son écorce (d'ordre volcanique, glaciaire, hydrologique,
météorologique, etc.), on ne peul plus logiquement appliquer
au globe les lois du mouvement d’un corps solide autour d’un
point fixe, et on doit recourir à la théorie du mouvement de
rotation d'un corps variable (5). Les circonstances de son
mouvement deviennent beaucoup plus complexes; en particu-
lier son axe instantané de rotation (#), en éprouvant des
variations de direction régies par une loi moins simple,
engendre un cône à directrice entortillée, même si les hypo-
thèses que l’on fait sur sa constitution sont élémentaires.
Les pôles instantanés de rotation, c’est-à-dire les intersec-
tions de l’axe instantané avec la surface du globe, doivent
donc décrire des courbes presque inextricables. Il nous reste
à dire quel est le phénomène qui permet de déterminer ces
trajectoires complexes et le mouvement des pôles sur ces
trajectoires, et par là-même de donner des indications sur le
degré de rigidité du globe.
La colatitude géographique d’un lieu est l'angle que fait la
verticale du lieu avec l’axe instantané de rotation de la Terre.
Comme nous venons de le dire, la verticale, outre un
(5) Voyez, par exemple, notre Travail : Sur la variation des latitudes
(Mém. Soc. roy. Sc. de Liége, [3], t. VIIT, 1909, 3e partie.)
(#) On peut encore parler d’ «axe instantané de rotation » lorsque le corps
n'est plus rigide, grâce à une convention. (H. JANNE, Mém. cité à la note 3,
3e partie.)
(6)
déplacement apparent dû au changement d'orientation du plan
de référence, subit encore une déviation propre due aux varia-
tions de forme ou de position des différents astres et évidem-
ment aussi aux variations des réactions centrifuges causées par
le déplacement de l'axe de rotation. En vertu même de ce
dernier déplacement et de la déviation de la verticale, l’angle
que font ces deux droites doit varier, c’est-à-dire qu’il doit se
produire une variation de latitude géographique, variation que
l’on peut déceler par des observations astronomiques faites
avec soin. D'où l’on déduit un troisième moyen de déterminer
expérimentalement la plasticité de la Terre.
Une quatrième méthode repose sur la théorie de la propaga-
tion des ondes sismiques. Il est bien clair que la vitesse et
d’autres caractéristiques du mode de propagation des ondes
d'ébranlement (qui constituent les tremblements de terre ou
leurs frissons précurseurs), déterminées avec précision, permet-
tront d'obtenir des indications précieuses sur la constitution
élastique de l'écorce terrestre.
|
di datent dpi host cites dl on ht on nt vu dopé à Le dé CE US, NS dd SSL dde
(91p)
Ces quatre méthodes reposent elles-mêmes sur la théorie
de l’équilibre et du mouvement vibratoire d’une sphère
élastique.
Les premiers qui se soient préoccupés de l'équilibre d’une
sphère élastique, soumise à des forces quelconques s’exerçant
à sa surface, paraissent être G. Lamé (5) et H. Résal (6); ces
auteurs supposaient la sphère homogène, incompressible et
isotrope, et n'avaient pas égard aux forces « de volume » pou-
vant s'exercer sur les différents points de la sphère.
Indépendamment de ces auteurs, Lord Kelvin, reprenant la
théorie des harmoniques sphériques, déja employée du reste
par ceux-e1 et P.-S. de Laplace, a donné, en 18653, une étude
beaucoup plus complète et susceptible de féconds développe-
ments (7), étude qui a été, depuis lors, reproduite dans divers
Ouvrages du même auteur (8). Kelvin étudie l'équilibre
élastique d’une couche sphérique homogène, isotrope et incom-
pressible, dont les déplacements ou les tensions aux sphères-
limites sont données et dont les molécules sont soumises à des
(5) Mémoire sur l'équilibre d’élasticité des enveloppes sphériques (Journal
de Mathématiques pures et appliquées [Liouville], t. XIX, 1854, pp. 51-87);
Leçons sur les coordonnées curvilignes, Paris, 1859, 17e, 18° et 19% leçons.
(6) Sur les équations de l’élasticité et leurs applications à l'équilibre d'une
croûte planétaire, Paris, 1855. Traité élémentaire de mécanique céleste, Paris,
1865. ,
C£. aussi [. TODHUNTER et K. PEARSON, History of Elasticity, Londres,
1893, 4, $ 561, p. 385; H. BURKHARDT, Entwickelungen nach osxillierenden
Funktionen, Leipzig, 1901-1908, $ 93, p. 1034.
(7) Dynamical Problems regarding Elastic Spheroidal Shells and Spheroids
of Incompressible Liquid (Philosophical Transactions of the Royal Society,
Londres, t. CLIIT, 2e partie, 1863, art. 28, pp. 583-616.) |
(8) W. Tuomson et P.-G. Tair, Treatise on Natural Philosophy, Cambridge,
… «II, 4sédit., 4903. 55 735-737, pp. 284-997, et SS 834-849, pp. 497-439; Mathe-
matical and Physical Papers, Cambridge, t. IT, 1890, pp. 351 et suiv.
(54
forces extérieures « de volume » admettant un potentiel W :
ce dernier satisfaisant d’ailleurs à V?2W = 0 en tout point de
la masse; il en déduit, comme cas particulier, la théorie de
l'équilibre élastique de la sphère. Il montre aussi que, pour
arriver à la solution, il y a avantage à employer les coordonnées
cartésiennes rectangulaires æ, y, 3; ses prédécesseurs avaient
fait usage de coordonnées polaires.
G. H. Darwin (?) à montré comment le procédé synthétique
qu'emploie Kelvin pour combiner les effets de l'attraction
mutuelle des molécules, avec ceux de la cohésion élastique,
peut être remplacé avantageusement par une méthode analy-
que. Il s’est demandé aussi si l’on ne pourrait appliquer la
théorie de Kelvin aux sphéroïdes visqueux et élastico-visqueux
incompressibles; cette dernière étude a été reprise depuis lors
par H. Lamb (10). Trois ans plus tard, Darwin à publié une
belle étude de l’application à la Terre de la théorie de l’équi-
libre élastique concernant les tensions qui doivent régner en
son intérieur (11).
Dans son mémoire de 1863, Kelvin à donné aussi quelques
indications sur les vibrations d’une sphère liquide (12).
(#) On the bodily Tides of viscous and semi-elastic Spheroiïds.. (Phil.
Trans., Londres, t. CLXX, lre partie, 1879, art. 4er, pp. 1-35); Note on a
previous Paper (Proceedings of the Royal Society, Londres, t. XXXVIT,
1885, pp. 322-398). Quant au premier point, voyez spécialement le Mémoire
cité en premier lieu, $ 2, p. 5; Natural Philosophy, t. I, 4e édit. (revue par
DARWIN), Cambridge, 1903, art. 840”, pp. 437-439 : C. CHREE, The equations of
an isotropie solid in polar and cylindrical coordinates (Transactions of
the Philosophical Society, Cambridge, t. XIV, 1889, pp: 250-369), spécia-
lement section IV, pp. 278-286; et surtout A. E. H. Love, The mathematical
Theory of Elasticity, Cambridge, 2e édit., 1906, chap. XI, art. 481, p. 950.
(40) On the Oscillations of a viscous Spheroïd (Proceedings of the Mathe-
matical Society, Londres, t. XIII, 1881, pp. 51-66.) Au sujet de la dénomi-
nation « élastico-visqueux », cf. J. G. BuTcHER, On Viscous Fluids in Motion
(Jbidem, t. VIT, 1876, pp. 103-135.)
(11) On the Stresses caused in the Interior of the Earth by the Weight of
Continents and Mountains (Phil. Trans., Londres, t. CLXXIII, 4re partie,
1882, pp. 187-230.) |
(42) Mémoire cité à la note 7, 6 55-58, pp. 608-610.
RS à sé à
4
C8)
Avant lui, G. Lamé (15), reprenant après S.-D. Poisson (14)
et G. Stokes (15) le problème de la vibration d’un milieu élas-
tique homogène et isotrope (16), avait appliqué sa solution à la
sphère; toutefois il commettait une erreur, qui a été signalée
depuis lors par H. Lamb (17).
A. Clebsch (#), L. Henneberg (!), P. Järisch (20), C. Chree (2)
ont aussi étudié les oscillations élastiques d’une sphère 1iso-
trope et ont apporté, à leur théorie, des contributions impor-
tantes. C’est Järisch et £Lamb qui ont donné la classification
générale des oscillations normales.
Lord Rayleigh s’est demandé si, dans un milieu élastique,
homogène et isotrope, limité par une surface, 1l ne se pro-
page pas des ondes n'affectant pratiquement que les régions
voisines de la surface et a ainsi découvert les ondes super-
ficielles qui portent son nom (??).
(23) Leçons sur la théorie mathématique de l’élasticité des corps solides,
Paris, re édit., 1859, 11° leçon.
(4) Mémoires de L’Ac. des Sc., Paris, t. VIIL, 4829; t. X, 1831. Voir aussi
G. GREEN, Trans. Phil. Soc., Cambridge, t. VII, 1839, pp. 121 et suiv,;
Papers, pp. 293 et suiv.
(15) On the dynamical Theory of diffraction (Trans. Phil. Soc., Cam-
bridge, t. IX, 1849, pp. 1 et suiv.; Math. and Physical Papers, t. II, pp. 243
et suiv.
(4) Voyez aussi G. WERTHEIM, Mémoire sur la propagation du mouvement
dans les corps solides et liquides (Comptes rendus Ac. Sc., Paris, t. XXIX,
1849, pp. 697-760; Ann. Chimie et Phys., (3), t. XI, 4851, pp. 19-36).
(47) On the Vibration of an elastic Sphere (Proceed. Math. Soc., Londres,
DC XIIL, 1882, pp. 189-212), spécialement p. 195. Voyez aussi, du même
PATES pie ‘44
auteur, On the Vibrations of a spherical Shell (Jbidem, t. XIV, 4882, pp 50-56).
(8) Ueber die Reflexion an einer Kugelfläche (Journal für die reine und
angewandite Mathematik [Crelle], t. LXI. 1863, pp. 195-262); Theorie der
Elastizität fester Kôrper, Leipzig, 1862. $ 20. Voyez aussi A. WANGERIN,
Ueber das Gleichgewicht elastischer Rotationskôrper, Berlin, 1873.
(1) Ueber die elastische Schwingungen einer isotropen Kugel (Annali di
Matematica, [2]. t. IX, 1819, pp. 173 et suiv.).
(2; Ueber die elastische Schwingungen einer isotropen Kugel (Journal f.
dr. and a. Math. [Crelle], t. LXXXViII, 1880, pp. 131-145); Allgemeine
Integration der Elasticitätsgleichungen.… (1bidem, t. CIV, 1889, pp. 177-210).
(21) Mémoire cité à la note 9, chap. VII.
(2) On Waves propagated along the plane Surface of an elastie Solid.
(10)
T. J. VA. Bromwich (#5) à recherché l'influence que peut
avoir la self-attraction des molécules d’un milieu élastique
incompressible sur son mode de vibrations; et tout récemment
A. E. HE. Love (24) a complété son étude en l'affranchissant de
l'hypothèse de l'incompressibilité. K. Zôppritz (25), E. Wie-
chert (°6), . Lamb (27) et C. G. Knott (8) ont entretemps
publié des Travaux pleins de valeur sur la propagation des
ondes dans un milieu élastique limité.
Mais revenons un peu en arrière. C. Chree (??) a publié une
série d’études de premier ordre relatives à nos deux problèmes,
études qui servent souvent aujourd'hui de point de départ pour
les recherches analytiques. A. E. H. Love à écrit aussi des
Mémoires fort importants dont les premiers (50) s’attachent à
(Proc. Math. Soc., Londres, t. XVII, 1885, pp 4-11; Papers. 1. If, pp. 4H
et suiv.) Voyez aussi A. E. H Love, Ouvrage cité à la note 9, chap. XHI, $ 244,
pp. 295-297; M. P. Rupzxr, Physik der Erde, Leipzig, 1911, chap. V, $3,
pp. 151-158
(%) On the Influence of Gravity on elastie Waves. (Proc. Math. Soc.,
Londres, t. XXX, 1898, pp 98-120.) |
(21) Some Problems of Geodynamics, Cambridge, 4911, chap.X, pp 126-143.
() Constitution of the Interior of the Earth (Quarterly Journal of the
Geological Society, Londres, t. LXII, 1906, pp. 456- +18) et avec WIECHERT
l'Article de la note suivante.
(25) Ueber Erdbebenwellen (Nachrichten der K. Gesellschaft der Wiss.,
Gôttingen, {Sc. math.-phys.], 4907, pp. 415-549); etc.
7: On Warve-propagation in two dimensions “Proc. Math. Soc. Londres.
t. XXXV, 1902, pp. 141 et suiv.); The Propagation of Tremors... (Phil.
Trans. Roy. Soc. Londres, A. t. CCIIT, 1904, pp. 1-42.)
(28) The Physics of Earthquake Phenomena, Oxford, 1908, et divers
Articles parmi lesquels : EÉarthquakes and Earthquake Sounds... (Trans.
Seismol. Soc. of Japan, t. XI, 1888, pp. 115-136; Philos. Mag., Londres,
juillet 4899); Seismic radiations. ‘Proc. Roy. Soc., Edimbourg, t. XXVIHI,
3e partie, 4908, n° 19, pp. 217-230), etc.
(2) Transactions of the Philosophical Society, Cambridge, t. XIV, pp. 250,
467; t. XV, pp. 1, 439, 318, 339; t. XNI, pp. 14, 133; t. XVII, p. 2; Quar-
terly Journal of Mathematics, Londres, t. XXI, 1886, p. 193; t. XXIII, 1588,
p. 41; Philosophical Magazine, Londres, (5), t. XXII, 1891, pp. 233, 342.
Voyez aussi K. PEARSON, Quarterly Journal of Mathematics, Londres,
t. XVI, 1879, pp. 75 et suiv.
(5) On Sir W. Thomson’s estimate... (Trans. Phil. Soc., Cambridge,
à LU LE Wet
E - y
LE
<
*
à à lié ds t'a
' r r
:
î
À sn het bn dont dE thés bi, dc tie MERE
(SE)
compléter la solution que Kelvin a donnée du problème de
léquilibre élastique, en étudiant notamment les elets d’un
certain degré de compressibilité.
G. H. Darwin semble être le premier qui ait recherché (51)
l'influence, sur les résultats de Kelvin, de l’hétérogénéité ;
mais la loi des densités qu'il admet paraît un peu artificielle.
G. Herglotz à donné une magnifique extension (%?) de la
théorie de Kelvin en supposant que la sphère est incompres-
sible et à une densité variant suivant la loi de Roche, puis
suivant celle de Wiechert. Avant lui, S. S. Hough (55) et
M. P. Rudzki (54) avaient déjà fait diverses applications de
la théorie de Kelvin.
W. Schweydar (55), en partant des équations en coor-
données polaires données par Chree, à réussi aussi à en
faire un beureux usage.
J. H. Jeans (56) à étudié la stabilité de l'équilibre d’une
t. XV, 1890, pp. 107-118) et aussi (Proc. Math. Soc., Londres, t. XIX, 1888,
pp. 470 et suiv.). Ces Mémoires ont été corrigés et complétés par l’auteur
dans son Elasticity, chap. XI.
(51) Note on Thomson’s theory of the Tides of an elastic Sphere (Messen-
ger of Mathematics, Londres, t. VIIT, 1879, pp. 23-26; Scientific Papers,
t. IL pp. 33 et suiv.).
(2) Ueber die Elastizität der Erde bei Berücksichtigung ihrer variablen
Diehte (Zeitschrift für Mathemathk und Physik |Scazômicx], t. LI, 1905,
pp. 275-299).
(35) The Rotation of an elastic Spheroïd (Phil. Tr ans. Roy. Soc., Londres,
—…. A, 1. CLXXXVIT, 1896, art. 8, pp. 319-344).
(54) Teorya fizyeznego stanu kuli ziemskiej (Rozxprawy Wydziatu mate-
Mnatyczno-prryrodnicxnego Akademii Umiegetnosci, Cracovie, t. XXXVII,
pp. 225-490); Theorie des physischen Zustandes der Erdkugel (Bull. intern.
Ac. Sc., Cracovie, 1899, no 31, pp. 283-311), et autres Mémoires dans le
même volume.
(5 Ein Beitrag zur Bestimmung des Starrheitskoeflizienten der Erde
(Beiträge zur Geophysik [GERLANr |, t. IX, 4907, pp. 41-77). Voyez aussi ses
récents Travaux cités à la note 41.
(36) The Stability of a Spherical Nebula (Phil. Trans. Roy. Soc.. Londres,
A, t. CXCIX, 4901, pp. 1 et suiv.); On the Vibrations and Stability of a Gravi-
tating Planet (Ibidem, t. CCI, 1903, pp. 157-184).
(12)
nébuleuse sphérique, puis d'une planète sphérique élastique,
en considérant les effets dus à la self-attraction des molécules.
Lord Rayleigh (57) a discuté et corrigé certains points du
second Mémoire de Jeans et, en particulier, a montré lim-
portance de la considération de la « tension initiale »;
A. E. H. Love, s'inspirant des remarques de Rayleigh, a traité
magistralement le problème de la stabilité de gravitation (58).
Dans un Mémoire postérieur (5°), il a démontré aussi que la
restriction de Herglotz, quant à l’incompressibilité, peut
être levée; et, dans son dernier Ouvrage (#0), il a donné les
résultats de ses recherches, aussi profondes qu’originales, sur
les problèmes de l'équilibre et du mouvement d’une sphère
élastique. Tout récemment, W. Schweydar (#) a publié un
Travail important où il étudie principalement l'influence que
peut avoir une mince couche de magma fluide, située sous une
écorce peu épaisse, sur les déformations de cette écorce et sur
les déviations du pendule ; il examine aussi l’influence que les
mers peuvent avoir sur la période de libre précession, pour-
(57) On the dilaiational Stability of the Earth (Proc. Roy. Soc., Londres, A,
t. LXXVII, 4906, pp. 486-499).
(58) The gravitational Stability of the Earth (Phil. Trans. Roy. Soc.
Londres, A, t. CCVITI, 1998, pp. 171-241). Pour une analyse de ce Mémoire
et des deux précédents, on peut consulter le Rapport de E. H. Huzss cité
plus bas, à Ja note 417. Voyez aussi la dissertation de A. BRILL mentionnée
à la note 44.
(®) The Yielding of the Earth to disturbing Forces (Proc. Roy. Soc., Lon-
dres, A, t. LXXXII, 1909, ne 551, pp. 73-88; extrait paru dans Monthly
Notices of the Roy. Astron. Sic., Londres, t. LXIX, 1909, ne 6, pp. 476-479).
Voyez aussi J. LArMoR, The Relation of the Earth’s free Precessionnal Nuta-
tion to its Resistance against tidal Deformation (Proc. Ray. Soc., Londres,
A, t. LXXXII, 4909, no 551, pp. 89-96; Monthly Notices Roy. Astron. Soc., |
Londres, t. LXIX, 1909, n° 6, pp. 480-486).
(#) Ouvrage cité à la note 24.
(#) Untersuchungen über die Gezeiten der festen Erde und die hypo-
thetische Magmaschicht (Verü/ffentlichung des Küniglich Preussischen Geodäü-
tischen Institutes, Potsdam, 1919, nouvelle série. n° 54). Voir aussi un second
Mémoire du même auteur, paru tout récemment : Harmonische Analyse der
Lotstôrungen durch Sonne und Mond (/bidem, 1914, nouvelle série, n° 59).
ne s
e <
LE “
(15 )
suivant ainsi les recherches de Rudzki (42), Herglotz (#5) et
Brill (44). |
T. Shida (#5) a publié aussi un Travail important relatif à ces
problèmes ardus.
Nous avons à dessein exclu de notre résumé toute allusion
aux Travaux qui résolvent ces problèmes par la « méthode des
singularités » (46) au lieu de la « méthode des séries harmo-
niques » (47).
Pour ce qui concerne le problème de l’équilibre de la sphère
élastique, on consultera avec fruit l’excellent Traité de
A. E. H. Love, The Mathematical Theory of Elasticity, Cam-
bridge, 2° éd., 1906, ch. XI, et l’Encyklopädie der mathema-
tischen Wissenschaften, 1. IV, art. 25 (O0. Tedone et A. Timpe,
Spezielle Ausführungen zur Statik elastischer Kôrper), spéciale-
(2) Mémoire cité à la note 34.
(45) Mémoire cité à la note 39.
(#) À. BRiLz, Ueber die Elastizität der Erde, Gôttingen (dissertation). 1908.
(#5) T. Smipa, On the elasticity of the Earth and the Earth’s crust (Memoirs
of the College of Science and Engineering, Kyoto Imperial University. Kyoto,
novembre 1919, t. IV, n° 1).
(45, Cf. Love, Elasticity, Introduction, p. 15.
(#) Voici une liste que donne l’Encyklopädie der mathematischen Wissen-
— schaften pour les Travaux employant la méthode des singularités :
V. CERRUTTI, Assoc. fr. Avanc. des Sc. (Comptes rendus), 14 session,
Je partie, 1885, p. 68; Rendiconti d. Accad. d. Lincei, Rome, (4), t. I, 1,
1886, pp. 461, 586; t. V, 2, 1889, p. 489; Mem. d. Accad. d. Lincei, Rome, (4),
t VIT, 4894, p. 9%; 11 Nuovo Cimento, Pise, (3), t. XXXIHIT, 1893, pp. 97, 145,
209, 259.
C. SOMIGLIANA, Ann. Sc. Norm., Pise, t. IV, 1887, p. 101.
R. MARCOLONGO, Rendiconti d. Accad. d. Lincei, Rome, (4), t. V, 2, 1889,
p.349; (5), t. I, 1, 1899, p. 335; Ann. di Mat.. (2), t. XXII, 1895, p. 111.
G. LauRICELLA, Ann. Sc. Norm., Pise, t. VIE, 4895, p. 81 ; Ann. di Mat., (3),
t. VI, 1904, p. 289.
E. ALMANSI, Mem. Accad. Rend. d. Sc., Turin, (2), t. XLVII, 1897, p. 103;
Ann. di Mat., (5), t. 11, 1898, p. 34.
E. et K. CossERaT, Comptes rendus Acad. Sc., Paris, t. CXXVI, 1898,
mp. 1089; t. CXXXII, 1901, p. 326.
J. H. MicHeLz, Messenger of Mathematics, Lordres, (2), t. XXX, 1900, p. 16.
J. HapamARD, Ann. Éc. Norm., Paris, t. XVIIT, 4901, p. 343.
O. TEDONE, Ann. di Mat., (3), t. VIIL, 1909, p. 147; Rendiconti di Cire.
—… mat., Palerme, t. XVII, 1903, p. 241.
( 14)
ment n'* 3-4, pp. 135-145 ; el pour le problème des vibrations, |
Love, Elasticity, ch. XIT, et Encyk. d. m. Wiss., t. IV, art. 29
(H. Lamb, Schwingungen elastischer Systeme ..), Spécialement
n° 8, pp. 501-510, et aussi H. Lamb, {lydrodynamics, Cam-
bridge, 3° éd., 1906.
Disons pour terminer que le dernier Travail de Love (cité
à la note 24) expose admirablement les derniers progrès que les
géomètres modernes ont faits dans la résolution de ces pro-
blèmes difficiles.
ET
Nous admettrons, pour les théories qui vont suivre,
que la Terre est sphérique (##) et de densité moyenne
5,55 grammes-masse par centimètre cube (4); la plupart des
(#) Pour ce qui concerne la détermination de l’aplatissement du globe,
an moyen de la mesure d’arcs de méridien, de l'étude des variations de la
gravité, des phénomènes de précession et de nutation luni-solaires, des
inégalités du mouvement de la Lune, etc., on peut consulter, par exemple :
AiRY, Encycl. Metropol., Londres, 1830; The Figure of the Earth, Londres,
1830.
BessEL, Abhandlungen, t. WI; Astr. Nachr., Kiel, t. XIV, 1837,
I. Bruns, Die Figur der Erde, Berlin, 1878.
CLARKE, Geodesy, Oxford, 1880.
E. Hi, Lunar Inequalilies due to the Ellipticity of the Earth, Washing-
ton, 1884.
K, R. HELMERT, Die mathematischen und physikalischen Theorien des
hôüheren Geodäsie, Leipzig, t. II, 1884.
Harkxess, The Solar Parallax and its related Constants (Washington
Observ. for 1885, App. 3, pp. 138 et suiv.)
F. TisseraND, Traité de Mécanique céleste, Paris, t. H, 1891, chap. XX et
XXL.
F. R HELMERT, Die Grôsse der Erde (Sitxungsberichte der Kg. Ak. d.
Wiss., Berlin. 4906, pp. 525 et suiv.).
H. BucanoLz, Das mechanische Potential…, Leipzig, t. I, 1908.
M. P. Rupzxi, Physik der Erde, Leipzig, 1911, chap. I, $ 7, pp. %5et
suiv., etc., etc.
(4) Pour ce qui se rapporte aux mesures du coefficient d'attraction et de
la densité moyenne de la Terre, mentionnons :
H. Cavexbisn, Experiments to determine the Density of the Earth (Phil. :
PE PET CNRS PE NP te a dé ét es mi) ni
(15)
auteurs (50) ont jugé qu’on peut admettre ici le principe de la
. superposition des petites déformations et que, en conséquence,
_ on peut ajouter aux variations d'ellipticité dues aux forces
_ perturbatrices une ellipticité permanente; Love a examiné,
récemment, les choses de plus près (51).
Par mesure directe, nous ne pouvons connaitre que la den-
… sité des roches voisines de la surface du globe et de quelques
_ laves. Rosenbusch indique (5?)
4 Tuf volcanique . 1,40 Lave de trachyte 92,63 || Schiste argileux. 2,81
Roches calcaires Granit . . . 9,68 | Lave de basalte 9,99
_ etsiliceuses . 92,10 k
Syénite + . . 2,04 —
É en unités C.G.S. D’après la Table dressée par Damour, dans
3 l'Annuaire du Bureau des longitudes pour 1910, page 355 :
Calcaire grossier. 1,94 à 2,06 || Porphyre. 2,61 à 2,94 || Marbres calcaires 2,65 à 2,47
Jrès des Vosges . 2,19 à 2,95 | Syénite . 2,63 à 2,75 || Schiste . . . 2,64 à 2,90
vpse. . . . 247à99%0 Granit . 263à9,75|Trachyte. . . 970 à 9,80
rès quartzeux . 2,55 à 2,65 | Quartzite. 2,65 — | Dolomie . . . 9,82 à 9,85
" #2 +2 Baëalle ©. . 2164310
Trans. Roy. Soc., Londres, 1798, II, pp. 469-596); traduction française par
N. M. CHompré (Journ. de l'École polyt., Paris, 1815, t. XVII, pp. 263 320).
A. Cornu et J.-B. BALLE, Méthode pour déterminer la densité de la Terre
(Comptes rendus Acad. Sc., Paris, 1. LXXVE, 4873, pp. 954-958, ett. LXXX VI,
1818, pp. 699-702).
…. J. EH. PoynriNG, On a method... and its Employment to determine the
mean Density of the Earth (Proc. Roy. Soc., Londres, t. XXVIII, 1878
pp. 2-35); Bull. astr., Paris t. Il, 1884, p. 260.
— PH. von JoLLy, Annalen der Physik und Chemie (WiEDEMANN\, nouv. série,
1V, 1879, p. 119, et t. XIV, 1881, p. 331;
Enfin les Travaux de BOUGNER, MASKELINE, HUTTON, CARLINI, REICH, BAILY,
-AIRY, JAMES, CLARKE, MENDENHALL, VON STERNECK, KONIG, RICHARZ, KRIGAR-
MENZEL, WuisiNG, LASKA, Boys. etc. résumés dans les synthèses :
J. H. PoynTinG, On a Determination of the mean Density of the Earth
(Phil Trans. Roy. Soc., Londres, A, t. CLXXXUH, 4894, pp. 565-656) et
Dev. Boys, La constante de la gravitation (Revue des sciences pures et
appliquées, Paris, t. VII, 1897, pp. 46-59).
D (9) Cf. les mé Morte cités de KELVIN, DARWIN, Houcn, Rupzxt, etc.
ne Ouvrage cité à la note 24, chap. VI, pp. 75-88.
EU) ie par Rupzxt, Ouvrage mentionné à la note 22, chap. IV, $ 4, p. 99.
( 16 )
E. Roche prend 2,384 comme densité moyenne des roches
superlicielles (5); mais Harkness imdique (4) 2,67 pour la
densité « continentale » et 2,40 pour la densité moyenne de
la croûte, à 10 milles anglais de profondeur.
En comparant ces chiffres à la densité moyenne 5,55 de la
Terre, prise dans son ensemble, nous sommes amenés
à conclure qu'on ne peut considérer la Terre comme homo-
gène, et que les parties du globe voisines du centre doivent
être composées de substances très denses, de densités com-
parables à celles des métaux.
D'autre part, les expériences de Tresca (5%), de Saint-
Venant (56), de Wertheim (57), de Kohlrausch (58), de Macleod
et Clarke (5°), de Voigt (60), d’Amagat (51), de Searle (62), de
Gray (65), de Nagaoka (64, de Kusakabe (55), d’Adams et
Coker (66), etc., ont montré que les constantes élastiques à,
des diverses substances minérales ont toutes des valeurs finies,
ayant pour ordre de grandeur 1011 ou 1012 dynes par centi-
mètre carré.
Notre but est précisément d'exposer le principe des méthodes
qui permettent, indirectement, de déterminer les constantes
élastiques de ces substances in situ, et non de faire cette déter-
(55) Mém. Acad. Sc., Montpellier, 1848; Comptes rendus Acad. Sc., Paris,
t. XXXIX, 1854.
(#4) Mémoire cité à la note 48; et Snuthsonian Physical Tables, t. LVIH,
n° À, 1910, table 89, p. 108.
(55) Mém Suav. étr., Paris, t. XVIII.
(55) Comptes rendus Acad. Sc., Paris, t. XVII, 1843, et t. XIX, 1844.
(57) Ann Chim. Phys.,13),t. XII, 1844, et Pogg. Ann., t. LXXVIII, 1849.
(58) Pogg. Ann., t. CXLI, 1871.
(59) Cité par KELVIN (art. Elasticity dans Encycl. Brit., $ 65).
(60) Wied. Ann., t. XLVIIL, 1893.
(81) Comptes rendus Acad. Sc., Paris, t CVIIL, 1899.
(62) Phil. Mag., Londres, (5), t. XLIX, 1900.
(65, Proc. Roy. Soc., Londres, t. LAVII, 4900.
(64) Public. Earthquake Inv. Comm., Tokyo, 1900, n° 4.
(65) Jbidem, 1900, no 922.
(86) Publ. Carnegie Inst., 1906, n° 46.
EMA
CE dE
mination directement, en extrayant du sol quelques échantil-
A
lons et en soumettant ces derniers à des expériences de
_ laboratoire, telles que les essais de traction, compression,
flexion, etc.
_ Adams et Coker donnent les résultats suivants de mesures
faites sur des échantillons de diverses substances (67) ; en les
_ supposant homogènes et isotropes, leurs constantes X, sont
4 | FR 1
reliées au module de Young E et à l'inverse m — - du rapport
À de Poisson s par (68)
4 1 Em Es
. (n+D(m—2 A+s(A—2%)
#4 Em E
4 F Xm+t A1+o)
5
_ et le module de compressibilité est donné par
k Em E
Mn —2)..,3(1— 20)
| Adams et Coker ont mesuré directement E et m et ont
_ calculé o, k, et un certain module de glissement; nous-même
_ avons calculé X et p.
| E À D. ki
SUBSTANCES. en 4011 (} en 4011 en 4011 en 1041
, dynes dynes dynes dynes
par Cm?. par cm», par cm?, par cm?*,
. “2 Es HE ral rer (e
M ODIDrSÉé … « . . . 19,37 0,2500 9,631 7,566 14,680
RS : . . . 10,34 0,2500 4,014 4,014 6,897
… Marbre noir de Belgique. 7,24 0,2780 3,548 2,833 5,736
Marbre de Carrare . . 5,04 0,9744 9,644 9,174 4,090
_ Calcaire de Montréal. . D, 009622 9.560 … 9.555 4,950
Granite de Baveno. . 4,71 0,2528. . 1,993 1,880 3.179
Syénite néphéline. . . 6,29: . 0,2560 . 2,627... 9,504 : 4,929
_ Diabase de Sudbury . . 9.49 0,2840 4,858 3,695 7,329
Mons d'Ohio. . . . . 1,58 : 0,2909 0,847 0,613 1,250
0 . |. . Re OT ET. 2450 ,:: 59 050 4,439
(67) Article cité à la note 66, p. 69.
(68) Cf. Love, Elasticity, chap. LT, art, 70, &, p. 101.
19
(18)
Il est clair que ces exemples ne sont donnés que pour
montrer l’ordre de grandeur de la compressibilité et de la
rigidité des roches : ces substances ne peuvent, en aucune
façon, être considérées comme isotropes (5°).
Quelque modifiées que puissent être les propriétés élastiques
lorsque ces substances font parte du globe (70), on ne peut
cependant imaginer que ces substances possèdent alors une
rigidité et une incompressibilité parfaites (4 = œ, k = œ).
IEE.
x
Comme nous l’avons fait observer dans l’Introduction, des
géologues, géophysiciens, hydrodynamistes, astronomes, etc.,
ont exposé tour à tour les raisons pour lesquelles, d’après eux,
la Terre devrait être, au moins en partie, suseeptible de se
déformer (71), Nous ne pouvons absolument pas entrer ici dans
le détail de leurs discussions ; nous nous bornerons seulement
à renvoyer le lecteur à quelques-uns de leurs Travaux. |
(9) Voyez aussi Smithsonian Physical Tables, t. LVIIL, n° 4, tables 47-59,
pp. 74-76; J. D. EveRETT, Fluctuations of the C. G. S. Units, Londres, 1891:
AMAGAT, Journal de Physique, (2), t. VIIT, 1889; etc.
(70) CF. Rupzki, Ouvrage cité à la note 29, ch. V, $ 4, p. 461.
(71) Voyez, par exemple, W. Hopxins, Researches in physical Geology
(Phil. Trans. Roy. Soc., Londres, 1839, pp. 381-4924; 1840, pp. 193-208;
1842, pp. 43-55); H. HENNESsSY, Phil. Trans. Roy. Soc., Londres, 1851;
Lord KELviN, On the Rigidity of the Earth (Phil. Trans. Roy. Soc:, Londres,
t. CLIHT, 1863, pp. 573-582); DELAUNAY, Comptes rendus Ac. Sc., Paris,
t. LXVIS, 1868, pp. 65-70; H. FAYE, Ibidem, passim; F. FoLIE, Bull. Ac.
roy. Belg., Bruxelles, passim; R. RADAU, Bull. astr., Paris, passim; BELL,
Giorn. 1. R. I1st. Lombard., nouv. série, t. X, 1851; E. Ronkar, Sur l'in-
fluence du frottement … et Sur l'entrainement mutuel de l'écorce et du noyau
terrestre, Bruxelles, 1888 et 1889; À. Rirrer, Wied. Ann., 1876, etc., etc.,
résumés dans : F.-R. HELMERT, Ouvrage et tome cités à la note 48;
P. ScHWAHN, Ueber Aenderungen der Lage.…, Berlin, 1887 ; F. TisSERAND,
Ouvrage et tome cités à la note 48 ; M.-P. Rupzxt, Ouvrages cités aux notes 22
et 34; H. JANNE, Mémoire cité à la note 3, 2e partie, $ 1; etc.
Voyez aussi CH. CONTEJEAN, Éléments de Géologie et de Paléontologie,
Paris, 1874; A. DE LAPPARENT, Traité de Géologie, Paris, 3° éd, 1893;
E. HauG, Traité de Géologie, Paris, 1907, ete.
Adele ie ss nt à Mn à tin
4%)
d'A ETEE
. Première méthode : Détermination de la rigidité du globe
au moyen de la mesure des marées océaniques appa-
rentes.
Si l’on suppose done, pour toutes ces raisons, que la Terre
ait une constitution quelconque, autre que celle d’un solide
parfaitement rigide et incompressible (soit celle d’un fluide
parfait, soit celle d’un fluide visqueux, soit celle d’un solide
élastique, soit celle d’un corps composé de parties solides,
liquides et même gazeuses, etc.), on doit immédiatement con-
. clure que cette Terre doit céder, au moins dans une certaine
mesure, aux réactions centrifuges qu'évoque sa rotation (7?) et
aux forces attractives qui émanent de la Lune, du Soleil et
des planètes (75), comme le font les océans qui recouvrent sa
_ surface (7). |
Ces déformations propres du globe, qu'on nomme marées
terrestres par opposition aux marées proprement dites que l’on
appelle dès lors marées océaniques, peuvent s’évaluer, comme
(2) Puisque la Terre tourne vis-à-vis d’axes fixés au « solide stellaire »,
« par rapport auxquels les principes fondamentaux de la Dynamique sont
— vrais, au moins d’une manière très approchée [ef. E. PAsQuiER, La Terre
—… tourne-t-elle? (Revue de l'Univ. de Bruxelles, mars 1904), p. 17 et H. JANNE,
… Les nouvelles expériences relatives à la démonstration mécanique de la
rotation de la Terre (Revue des questions scientifiques, Louvain, t. XXIV,
{er fasc., juillet 1913), ST, pp. 9-13].
… (5) L'influence des planètes est absolument négligeable vis-à-vis de
_ J'action luni-solaire.
(#) Pour ce qui concerne le problème des marées, consultez M. Lévy,
— Théorie des marées, Paris, 1898; Pu. Harr, Des marées (Encycl. Léauté,
- n° 1198); Théorie élémentaire des marées (Ann. Bur. Longit., Paris, pour
— 1904, notice B, pp. 1-53 et pour 1908, notice A, pp. 1-74), ete., et surtout
G.-H. Darwin et S.-S. Houcx, Bewegung der Hydrosphäre (Encyklopädie
der mathematischen Wissenschaften, Leipzig, t. VI, 1re partie, B, art. 6,
1908); H. Poincaré, Traité de Mécanique céleste, Paris, t. I, 1910;
…G-H: DARWIN, article « Tide » dans Encycl. Brit., Londres, 11e éd.,
DA910-1911.
l'a fait remarquer Lord Kelvin (5), par la réduction qu’elles
font subir aux marées océaniques.
IL est clair que si la Terre était parfaitement fluide ou plutôt
aussi fluide que les mers, en l’absence de points fixes de
repère on ne pourrait observer trace de marée : le pêcheur, en
pleine mer, ignore la marée (T6).
Au contraire, si le globe était absolument rigide, les marées
océaniques, du moins les ondes lentes peu troublées par
l'inertie ou la viscosité des eaux, offriraient, en moyenne,
une amplitude égale à celle qu'indique la théorie élémentaire
de ces marées (77).
En fait, les mouvements des mers, par rapport aux rivages,
sont perceptibles; mais l'amplitude en est moindre que celle
calculée pour un globe rigide.
C’est une preuve que le globe cède aussi, dans une certaine
mesure, aux forces qui produisent les marées océaniques ; et le
rapport des deux nombres en fournit une mesure.
Lord Kelvin a indiqué les résultats suivants, devenus désor-
mais classiques (7$).
En supposant que la Terre fût sphérique (de rayon égal à
son rayon moyen), homogène (de densité égale à sa densité
(5) Mém. cité à la note 71, spécialement pp. 575-578.
(78) Comme Articles de vulgarisation, consultez CH. LALLEMAND, Mouve-
ments et déformations de la croûte terrestre (Ann. Bur. Longit., Paris, pour
1909, notice B); Les marées de l'écorce et l’élasticité du globe terrestre
(Ibidem, pour 1910, notice B) ; L’élasticité du globe terrestre et les marées
de l'écorce (Bull. astr., Paris, t. XXIX, 1911, pp 369-388); G.-H. DARWIN,
The Rigidity of the Earth (Rivista di Scienxza : Scientia, Bologne, 3° année,
t. V, 1909, pp. 230-240).
(77) Voyez les Ouvrages cités à la note 74. Comme excellent article de vulga-
risation, relatif aux trois premières méthodes, signalons aussi E. PASQUIER,
Sur les variations de la latitude et les déviations de la verticale (Ann. Soc.
Sc., Bruxelles, 36° année, 4er fasc., octobre 1911).
(8) Natural Philosophy, t. I, art. 849-843, pp. 439-440; Mathematical
and Physical Papers, t. I, art. 45; Popular Lectures….., t. II, p. 238;
Mémoire eité à la note 71, p. 974. Voyez aussi LALLEMAND, Article de 1910
cité à la note 76, pp. 4et 59, etc.
(2)
moyenne), isotrope et incompressible, les marées océaniques
à longues périodes seraient déjà réduites aux ?/; de leur ampli-
tude théorique, si on attribuait au globe la rigidité très consi-
mérablérde acier (x — "7,7 X 10°), et aux ?};, si on lui
attribuait la rigidité trois fois moindre du verre (u —2,4 x1011).
Il à montré (7°), en se basant sur quelques mesures de marées
lunaires à longues périodes, que la hauteur de ces marées
n’alteint environ que les 7/,, de sa valeur théorique, et a conclu
que la rigidité du globe, pris dans son ensemble (tidal effective
rigidilty), n’est pas inférieure, avec les hypothèses prémention-
nées, à celle de l'acier. Mais le nombre d'observations qu'il
employait ne suffisait pas pour obtenir une conclusion certaine
relativement au degré de rigidité « effective » de la Terre,
puisque, comme on sait, des phénomènes météorologiques
he sont pas sans influence sur les marées à longues périodes.
La conclusion de Kelvin est à peu près confirmée, — au
moins pour l’ordre de grandeur, — par les observations nom-
breuses et précises, de divers genres, qu’on a faites récemment.
Mais si, 1] y à cinquante ans, elle semblait rigoureusement
déduite, elle doit être considérée à l'heure actuelle plutôt
comme le pressentiment d’une intuition géniale que comme le
résultat d’une véritable démonstration (50).
Au fond la théorie de Kelvin repose sur les quatre hypo-
thèses simplificatrices suivantes. Elle admet : 1° que les
marées terrestres suivent une loi d'équilibre, c’est-à-dire que,
dans leur calcul, on ne doit pas tenir compte de l’inertie;
2° qu'il en est de même pour les marées océaniques; 3° que la
Terre peut être traitée comme un corps homogène et 4° qu’elle
peut être traitée comme un corps Incompressible (81).
(9) Natural Philosophy, t. 1, art. 843-848, pp. 440-460, spécialement
art. 848, p. 459 et G.-H. DARWIN, À numerical Estimate of the Rigidity of the
Earth (Report of the 524 Meeting of the British Assoc. f. Adv. of Sc.,
Southampton, août 1882, A, n° 7, pp. 472-474), spécialement p. 474.
Cf. Keuvin, Mém. cité à la note 71, $$ 17-20, pp. 577-578.
(80) G.-H. DARWIN, Article cité à la note 76, spécialement p. 231.
(M) LOvE, Ouvrage cité à la note 24, ch. IV, $ 55, p. 50.
(22)
1° D'une manière générale, nous pouvons admettre que la
théorie de l'équilibre élastique est applicable aux marées
terrestres, quel que soit le degré de rigidité du globe; car la
période de l'oscillation naturelle d’une sphère fluide de mêmes
dimensions et de même masse que la Terre est d'environ
4 heure 54 minutes (8?) ; et si les substances composant le
globe ont la rigidité de l’acter et que leur ensemble puisse êtré
considéré comme homogène et incompressible, cette période
est d'environ 1 heure 6 minutes (85). Or, ces périodes sont très
courtes relativement à une période quelconque de marée; et il
est très improbable que quelque constitution admissible de la
Terre, autre que l’homogénéité isolrope, puisse exiger une
période considérablement plus longue. Malgré cela, Love s’est
donné la peine d'élaborer une théorie dynamique des marées
terrestres (84) et a montré notamment l'insignifiance de l'effet
gyroscopique dû à la rotation (5).
Un doute peut cependant subsister quant au point de savoir
si Oui ou non, on peut appliquer la « théorie d'équilibre » à un
globe composé d’un noyau sphérique et d’une écorce solide
séparés par une couche mince constituée par un magma fluide
plus ou moins visqueux, tel que celui proposé par E. Wie-
chert ($6) et admis par W. Schwevydar (87); mais Love à com-
battu énergiquement ($$) une telle hypothèse, en se basant sur
(8) Mémoire de KELvIN cité à la note 7, $ 58, p. 610 et celui cité à la
note 71, $ 3, p. 073.
(85) Premier Mémoire de Lam cité à la note 17, $ 48, p. 212. Cf. H. PoIn-
CARÉ, Ouvrage et tome cités à la note 74, ome partie, chap. XVIL, $ 265,
p. 445.
(84) Ouvrage cité à la note 24, ch. V, pp. 58-74.
(85) Voyez plus bas la note 144.
(86) CF. Ueber die Massenverteilung im Innern der Érde NÉ Eh En der
K. Gesellschaft der Wissenschaften, Gôüttingen, Math.-naturw. KI., 1897,
3e fase., pp. 221 et suiv.). |
(87) Cf. Mémoire cité à la note 35, ch. IV, p.77.
(88) Cf. Mémoire cité à la note 39, $ 20, p. 88; Ouvrage cité à la note 24,
ch. IV, 895, p. 51 et surtout $ 63, p. 96.
1
.
1
(23)
les observations de O. Hecker (5°), dont nous parlerons plus
bas, et en montrant l'invraisemblance-de ses conséquences.
20 Avant de discuter la légitimité de la deuxième hypothèse
simplificatrice, disons que G.-H. Darwin a notablement
augmenté la collection des données d'observations relatives
aux marées dans les dernières éditions du Treatise on Natural
Philosophy (%); mais c’est incontestablement Schweydar (?1)
qui à réuni le plus de matériaux.
Lord Kelvin avait proposé (*) de soumettre à l'observation
la marée lunaire de quinzaine; d’après lui, c'était, avec la
marée mensuelle, celle qu’il convenait d'employer pour déter-
miner la rigidité de la Terre; les ondes lentes étaient moins
affectées par l’inertie et les effets de celles-ci devaient
d’ailleurs être partiellement amortis par les îles et les conti-
nents formant obstacle au mouvement. [Il se basait, pour cela,
sur un argument de P.-S. de Laplace (3). Celui-ci avait déve-
loppé des considérations tendant à prouver que les marées à
longues périodes, telles que la marée de quinzaine, devaient,
en conséquence du frottement des fluides, obéir assez exacte-
ment à la théorie d'équilibre. Il admettait, de plus, que cette
théorie ne devait pas subir de modification, au cas où les mers
ne recouvriraient pas entièrement le globe; mais, quant à ce
dernier point, Kelvin ne partageait pas son avis. Airy et
(85) Beobachtungen am Horizontalpendeln .…. (Verüffentlichungen des Kgl.
Preusz. Geodät. Instit., Berlin, nouvelle série, 1907, n° 39, et 1911, no 49).
(90) Cambridge, t. LL, 4e éd., 1903, $ 848, e, pp. 453-460. Voyez aussi pre-
mier Mémoire de Darwin cité à la note 9, Appendice, pp. 31 -35, et Articles
du même auteur cités à la note 76, pp. 239-933 et à la note 79, pp. 472-474.
(%1) Mémoire cité à la note 35, ch. II, pp. 67-74.
… (2) Mémoire cité à la note 62, $ 16, p. 577. Comparez G.-B AirY, Tides and
Waves (Encycl. Metropol., Londres, $$ 45, 54, 539, etc ); Philos Magaxine,
Londres, (4), t. L, 4875, pp. 277 et suiv.; W. FErReL, U. S Survey…., 1873;
Philos Mag., Londres, (5), t. 1, 876, pp. 482 et suiv. ; Astron. Journ. Boston,
t. IX, 1889, pp. 41 et suiv., et t. X, 1890, pp. 121 et suiv.; Smithson. Misc.
Collection, n° 843, ete.
(5) Mécanique céleste, Paris, livres IV et XIII; QEuvres complètes, t. II.
On sait que l'argument de Laplace relatif au frottement n'est valable que
(2%)
Ferrel (4) avaient contesté la légitimité de la conclusion de
Laplace relative à la théorie d'équilibre; Kelvin et Darwin
l'ont d’abord défendue (%). Mais, un peu plus tard, Darwin
s'est mis à douter de la rigueur du raisonnement par lequel
Laplace croyait avoir prouvé que les marées à longues périodes
devaient obéir approximativement à la loi d'équilibre. En
étudiant le problème des marées lentes au point de vue « dyna-
mique », sur un globe entièrement recouvert par les eaux, il
a trouvé (%) qu'elles pouvaient différer considérablement en
hauteur de celles qui obéiraient à la théorie statique. Ceci
semblait donc laisser planer un doute sur la conclusion
d’après laqueile la Terre devait être aussi rigide que l'acier,
tout en confirmant l’idée que le degré de rigidité de la Terre,
dans son ensemble, devait être très élevé (°7).
Mais, plus tard, Lord Rayleigh a fait voir (8) que les
pour l’onde de marée qui a pour période 18 ans ?/; :Saros). Cf. POINCARÉ,
Ouvrage et tome cités à la note 74, {re partie, chap. VIII, pp. 182-204;
S.-S. Houcx, Proceedings of the Mathematical Society, Londres, t. XXVIII,
décembre 1896; Phil. Trans , A, t. CLXXXIX, 1897, pp. 139 et suiv.; et
t. CXCI, 1898, pp. 201 et suiv. ; Article cité à la note 74, nes 19-13, pp. 17-21.
(%4, Cf. Memoires cités à la note 92. |
(5) C£. KELVIN, Philos. Mag. Londres, (4), t. L, 1875. pp. 227, 279, 388;
DarwIN, art. Tide dans la 9e éd. (t. XXIIT, 1880) de l’Encycl. Britannica,
Londres, p. 360.
(95) La présence des continents oblige déjà à modifier les résultats de la
théorie statique. Cf. KeLviN, Nat. Phil., 1. IL. $848, c, pp. 447-451 ; PoINCARÉ,
Journal de math. pures et appl. (Liouvizee), (5), t. 1, 4896, pp. 7 et suiv. ;
Ouvrage et tome cités à la note 74, passim ; LÉVY, Ouvrage cité à la note 74,
chap. I, K 10-11, pp. 1316 ; BrizLz, Mémoire cité à la note 44, $ 7, pp. 42-43;
Darwix et HouGx, Article cité à la note 74, n° 6, pp. 12-13; DARWIN, On the
Correction to the Equilibrium Theory of Tides for the Continents (Proc. Roy.
Soc., Londres, t. XL, 1886, pp. 303-315) (en collab.avec H. H. TURNER);
Scientific Papers, t. 1, pp. 361 et suiv. Voyez aussi Harris, Manual of Tides,
2e partie, Londres, 1897.
(97) La théorie dynamique de DARWwIN était basée sur l'hypothèse que le
déplacement de l’océan n’est fonction que de la latituce, ou, en d’autres
termes, que les marées pouvaient être calculées comme s’il n'existait pas
des continents formant obstacle aux ondes de marée.
(8) Note on the Theory of the Fortnightly Tide (Philos. Magazine,
Londres, (6), t. V, 1903, pp. 136-141).
St 7 TTL ANLRT IP SPORT EUR
Lo
CPE TER PR TP UNMENT ar
|
|
È
|
|
L
|
È
|
(25 )
barrières solides que constituent, pour les mers, les bandes
continentales, que Darwin avait négligé de considérer dans son
étude, devaient avoir pour effet d'empêcher la formation de
certains courants se produisant suivant les parallèles et ayant
pour conséquence d'amener l'écart signalé par Darwin entre la
théorie dynamique et ia théorie statique. Il parait dès lors qu'on
peut admettre, avec une approximation suffisante pour la
détermination en question, que la marée de quinzaine obéit à
la loi de l’équilibre (°%).
3° Le fait que la Terre ne peut, en réalité, être homogène,
provoque la question : Comment, dans quel sens et de com-
bien une hétérogénéité bien déterminée obligera-t-elle à modi-
fier les conclusions de la théorie de l'équilibre élastique d’un
globe homogène?
Cette question a été résolue, pour la première fois, par
Darwin (100), qui adoptait, pour la répartition des densités à
l’intérieur du globe, une loi plus ou moins plausible et qui
concluait que, avec une telle loi (suivant laquelle d’ailleurs la
densité augmentait de la surface vers le centre), la Terre devait,
dans son ensemble, céder un peu moins (environ 5 °/,) aux
forces perturbatrices que si elle était homogène ; 1! conservait
toujours l'hypothèse de l’isotropie en chaque point, celle de
l « homogénéité élastique » d'un point à un autre et celle de
l'incompressibilité.
La question à été, depuis, reprise par Herglotz (101), qui l’a
(%) Pour tout ce qui concerne cette question, consultez, outre les Ouvrages
renseignés à la note 74 (spécialement celui de H. POINCARÉ, 1re partie,
chap. VII, pp. 162-204 et 5° partie, chap. XVIH, pp. 431-450), l'excellent
Artücle de G.-H. DaRwIN et S.-S. HouGx cité à la note 74 et une Note de
E. Ficuor, Sur la production des marées statiques. (Comptes rendus Ac. Sc.
Paris, t. CLV, janvier 1913, pp. 211-213).
(10) Mémoire cité à la note 31. Cette diminution de 3 c/, concerne le self-
potentiel du globe déformé.
(1) Mémoire cité à la note 32. Il semble bien que HERGLoO"Z fait une confu-
sion concernant les coefficients h, k dont il sera question plus loin). Comparez
note 264. — On peut aussi considérer Rupzkr comme un prédécesseur de
HErRGLoOrz [cf. A. Brizz, Mémoire cité à la note 44, Introduction, pp. 2-8].
(26)
traitée magistralement dans une analyse profonde; il admet-
lait, pour loi des densités, celle de Roche (1°2), et il a conclu
nd
que la réduction de 5 ‘,, indiquée par Darwin, devait être
portée, dans ces conditions et avec la rigidité de l'acier, à
20 °.. On peut cependant lui reprocher (105) d’avoir supposé
la substance absolument incompressible, ce qui d’abord est
contraire aux faits et de plus enlève une grande part de vrai-
semblance à la loi de Roche.
Depuis Darwin, Schweydar à réuni (104) une énorme quantité
de mesures de marées océaniques lunaires et à réduit les obser-
vations de ces marées lunaires à longues périodes (mensuelle
et de quinzaine) d’un grand nombre de ports répartis sur la sur-
face du globe tout entière, pour 194 années d'observation. Il a
essayé de concilier les résultats de ces mesures avec la théorie
de Wiechert relative à la constitution de globe (13) et y est
bien parvenu. Il à trouvé que les marées atteignent une hauteur
comprise entre les 0,60 et les 0,62 de leur hauteur théorique,
alors que Darwin avait indiqué auparavant 0,67. Mais, de l'avis
même de ce dernier (106), le poids à attribuer aux conclusions
de Schweydar est, naturellement, beaucoup plus élevé que
celui qu’on peut attribuer à celles de Darwin lui-même, con-
clusions qui se basent sur des données d'observations beaucoup
moins nombreuses. | |
Les résultats un peu exagérés que Schwevdar à obtenus,
relativement à la rigidité respective du noyau et de l'écorce
terrestres, l'ont amené à croire que l’anomalie pouvait être
expliquée par l'existence d’une couche plus ou moins fluide,
intermédiaire entre le noyau et l’écorce; mais, comme nous
1) Mémoire cité à la note 93.
(105) Cf. H. JANNE, Extension de la Théorie de Laplace due à Herglotz
(Ann. Soc. Sc., Bruxelles, 37e année, 4er fasc., janvier 1943, pp. 118-152);
et le Rapport que P. DuHEM a présenté sur ce Travail (1bidem, Gomptes
rendus des séances, pp. 65-66).
(194) Mémoire cité à la note 35, chap. IL.
(1%) Mémoire cité à la note 86.
(106) Cf, Article cité à la note 76, pp. 233-234.
£ sat
Le di be Dés De. mA 11 à .
OP PETITE
(27)
l'avons dit ci-dessus (107), cette hypothèse ne peut supporter
un examen approfondi.
4 On peut également faire une recherche analogue sur l’in-
fluence que peut avoir, sur les conclusions générales, un
certain degré de compressibilité. Kelvin, Darwin, Hough,
Rudzki, Herglotz, Schweydar, Brill (108) ont tous supposé
qu'on pouvait considérer les substances composant le globe
comme incompressibles; ils se plaçaient dans cette hypothèse
non seulement parce que cette dernière rendait le problème
plus abordable à Flanalyse (10%), mais encore parce qu’une
remarque, un peu concise et assez hâtive de Kelvin (110) sem-
blait leur donner raison; et que d’ailleurs, si l’on écartait cette
hypothèse, on pouvait se demander à juste titre si, aux parties
centrales du globe (où doivent régner des pressions énormes),
les limites d’élasticité ne sont pas dépassées et si, dès lors, on
était encore en droit de leur appliquer la loi de Hooke, sur
laquelle sont basées les équations ordinaires de la théorie de
l’élastieité (111).
Mais Love, après avoir partagé, pendant quelque temps,
leur opinion relativement à l'insignifiance de linfluence
que pouvait avoir, sur la hauteur des marées, un certain
degré de compressibilité (112), à eu des doutes (115), à fini par
(107) Cf. IV, 4e, notes 88 et 89: H. PoincakÉ, Note sur la XVIe Conférence
de l'Association géodésique internationale (Ann. Bur. Longit., Paris,
F pour 1911, pp. 11-12); E. PAsQuIER, Mémoire cité à la note 77, chap. IE, $ 5,
p. 82. Il est juste de dire que, dans un de ses derniers Mémoires (premier
…— Mémoire cité à la note M, chap. III, pp. 15-31, spécialement p. 31),
— Schweydar a démontré la non-légitimité d’une pareille hypothèse.
(108) Mémuires cités aux notes 7, 8, 9, 31, 33, 34, 32, 35, 44. Voyez cepen-
dant Darwin, Mémoire cité à la note 11, $ 10, pp. 215-218.
(109) Cf. Love, Mémoire cité à la note 39, $ 15, p. 83.
(0) Natural Philosophy, t. 1, art. 837-838, pp. 434-435.
(14) Cf. Encykl. d. m. Wiss., Art. cité à la note 99, n° 37, pp. 61-62 ; Love,
Ouvrage cité à la note 9, chap. XI, art. 181, pp. 248-250, et aussi chap. HI,
art. 75, pp. 107-109 ; JANNE, Mémoire cité à la note 103, art. IV, pp. 126-127.
- (22) Premier Mémoire cité à la note 30, Introduction, pp. 107-108 et $$ 9-19,
. pp. 115-118.
(#5) Mémoire cité à la note 39, $ 14, p. 89 (troisième note).
(2%)
la prendre en considération (114) et a prouvé (115) que la com-
pressibilité tend à augmenter la valeur du rapport de Pampli-
tude de la marée effective à celle de la marée théorique.
Entretemps Jeans (116) et Rayleigh (117) ont émis des opinions
très intéressantes sur l'influence que pouvait avoir la compres-
sibilité sur la stabilité de l'équilibre élastique d’un globe dont
les molécules sont douées d'attraction ; le premier a fait notam-
ment remarquer qu’une disposition sphérique et concentrique
des couches d’égales densité, dans le globe, cesse d’être stable
dès que le degré de compressibilité de la substance dépasse
une certaine valeur (118); le second a montré l'importance de
la considération de la « tension initiale » due à la self-
attraction (11).
On peut résumer qualitativement les conclusions de Love
relatives à l'hétérogénéité et à Ja compressibilité en disant (120) :
une évaluation de la rigidité du globe, faite avec l'hypothèse de
l’homogénéité, est trop grande, tandis que celle faite avec
l'hypothèse de l’incompressibilité est trop petite (121).
Voyons ce que peuvent nous donner les mesures de marées.
Admettons que le globe soit primitivement sphérique, de
rayon a, composé de couches sphériques concentriques, indé-
finiment minces, qui en sont les surfaces d’égale densité o;
(14) Ouvrage cité à la note 24, chap. VIT; voyez aussi Mémoire cité à la
note 38.
(45) Ibidem, art. 127, p. 110.
(6) Second Mémoire cité à la note 36.
(47) Mémoire cité à la note 37.
(48) Second Mémoire cité à la note 36, $ 34, pp. 178-179.
(43%) Mémoire cité à la note 37, pp. 486-489. Comparez LOvE, Mémoire cité
à la no‘e 36, K 1-3, pp. 171-176; Ouvrage cité à la note 9, chap. IL, art. 75,
pp. 4107-10), et chap. XI, art. 481, pp. 248-250; Ouvrage cité à la note 24,
chap IL, art. 16-19, pp. 12-14, et chap. VII, art. 102-103, pp. 89-90.
(12) Ouvrage cité à la note 24, art. 127, p. 110.
(124) Une bonne analyse des Travaux cités a paru dans le « Report of the
Council to the 19% Annual General Meeting » (Monthly Notices Roy. Astr.
Soc., Londres, t. LXX, n° 4, février 1910); spécialement l'Article Geodyna-
mics and the Figure of the Earth (pp. 382-388) par E.-H. His.
LE Lo F#r ;
(29)
el, d’une façon plus générale, que le globe possède la symétrie
sphérique, c'est-à-dire que les constantes physiques soient les
mêmes en tout point de chaque couche élémentaire.
Prenons trois axes rectangulaires Ox, Oy, Oz ayant leur ori-
gine au centre de figure O du globe.
En un point M (x, y, z), la densité est seulement fonction
de r, par hypothèse,
nt (1)
1
où r — (x? + y? + x?) est la distance radiale OM. On admet
souvent, pour simplifier l'analyse, 4° que la constitution de
la substance est la même en tous les points relativement à la
résistance élastique qu'elle offre aux déformations [homo-
généité élastique (122)]; 2 qu’en chaque point, cette con-
stitution est la même dans toutes les directions (isotropie)
bien que ces hypothèses ne soient vraisemblablement pas
admissibles, grâce à la différence qui peut exister entre Îles
densités en deux points distincts (123). Mais ceci n’est nulle-
ment indispensable pour ce qui suit.
Nous supposerons d’ailleurs qu’une « théorie d'équilibre »
soit applicable au globe.
Désignons par u, v, w les composantes du déplacement MM’
du point M (x, y, z) suivant les trois axes rectangulaires. Alors
Si g — ux + vy + wz, la composante radiale du déplacement
MM’ est
U—r 4, (2)
et la dilatation cubique
: ou Ov oW
À — div (u, 0, w) = — + — + —.
où y | 0%
(3)
(22) Que nous nommons ailleurs symétrie. [ CF. Mémoire cité à la note 108,
art. Il, p. 124, note 2.] Cette appellation a été critiquée par P. Duxem. Voyez
encore $ VII.
(#5) On fait ces hypothèses pour pouvoir « avancer ». [Cf. LOVE, Ouvrage
cité à la note 24, chap. VIT; spécialement art. 106, p. 92.]
F
F4
( 30 )
La densité en M (x, y, z), après une déformation du globe
due à l’ensemble des déplacements des points, est (124)
p=p—U pa. (4)
Supposons que les forces « de volume », qui agissent sur
les diverses masses élémentaires constituant le globe, en pro-
duisant la déformation de ce dernier, admettent un poten-
tiel W, satisfaisant à l'équation 9? W — 0 en tout point pour
lequel O0 < r < a : y? représente l'opérateur laplacien
o* o æ
div. grad = — + — + —.
$ où Of 0%
D'après un théorème connu (1%), W est développable en
série d’harmoniques sphériques solides W, de degrés n réels,
entiers et positifs
W—>wW,. (5)
Quelle que soit la loi que l’on adopte pour la constitution
du globe, pourvu que les hypothèses prémentionnées soient
respectées ; les grandeurs U et A seront exprimables par des
séries telles que
( U— EH, (r). W,, | (6)
| A = (r).W, (D
où W, est l’harmonique solide du degré n figurant dans (5) et
(12) C£. Love, Mémoire cité à la note 39, $ 3, p. 79 [form. (4)]; Jeans,
Second Mémoire cité à la note 36, $ 6, p. 160; RAYLEIGH, Mémoire cité à la
note 37, p. 490; Love, Mémoire jcité à la note 38, $ 3, p. 175 (form. [7}) et
surtout Ouvrage cité à la note 24, art. 106, p. 91.
(25) Voyez, par exemple, KELVIN, Mémoire cité à la note 7, $ 7, pp. 984-585 ;
Natural Philosophy, t. I, chap. I, App. B, h, pp. 181-182; H. POINCARÉ,
Théorie du potentiel newtonien, Paris, 1899, art. 93-96, pp. 204-211, etc.
(31)
H, (r), f, (r) sont des fonctions de r seulement, convenablement
D choisies .
D'autre part, d’après (4), si V désigne la valeur en M du
potentiel attractif du globe avant la déformation, le potentiel
» attractif V’ du globe après la déformation sera la somme :
_ A°de V; > du ÉESA dû à une distribution de volume, de
densité cubique — Ü Es = oN, Uans la région ÔO < r < 4;
3° du potentiel dû à UE Misribution superficielle, de densité
[bU|;—, sur la sphère r — a (127). Ainsi le potentiel V' différera
_ de V par des termes qui seront les produits des harmoniques
4 solides W, par des fonctions K, de r :
YO ER) W. (S)
Dans les cas les plus importants au point de vue de la
théorie des marées (réaction centrifuge, attraction émanant
d’un astre éloigné, etc.), la série ZW, se réduit à un seul
terme [harmonique solide zonale du second degré].
Par exemple, négligeons la rotation et ne considérons que
- l'effet attractif dû à la Lune. Alors le potentiel de la force qui
- produit les marées est, en M (128),
M 3 1
WW = W, — Es 1° (3 cos*0 — :) (9)
où 4 est l’angle que fait OM avec la droite qui joint le centre O
de la Terre au centre L de la Lune, R la distance OL, M la
(1%) Cf. Love, Ouvrage cité à la note 24, chap. IV, art. 59, pp. 52-54;
… Mémoire cité à la note 39, $ 4, pp. 75-76.
(127) IBinem et JEANS, Second Mémoire cité à la note 36, $ 6, p. 160 (y
compris la note de cette page).
- (4%) Imipem et Natural Philosophy, t. AI, art. 834, p. 432; Article de
“lEncykl. d. m. Wiss. cité à la note 99, B, n°9; etc.
t 02)
masse de la Lune et f la constante d'attraction. Les séries (6),
(7) se réduisent aussi à un seul terme, et nous écrivons
ji a sul |
—= (tr) ré (10)
W, :
a fr Gi
où g, constante qui n'est introduite que pour faciliter les
comparaisons, désigne l'intensité de l'attraction du globe non
déformé en un point de sa surface.
Si nous supposons, pour un instant, que le globe soit
recouvert d’une masse fluide d'épaisseur infiniment petite
(dont on puisse négliger l’inertie, l'attraction par le globe et la
self-attraction de ses parties, etc.), et que, au contraire, le globe
lui-même soit parfaitement rigide, la hauteur de la marée
fluide sera (12?)
W; ”
He pour r — 4, (12)
q
ce qui est le déplacement radial donné par (10) pour r — a et
H (a) — 1. Posons h = H (a); h mesure alors le rapport de la
marée du globe élastique à la hauteur d'équilibre, et l’équation
de la surface extérieure est, après la déformation,
W:
r=a+h or (13)
où W, est la valeur de W, pour r — a.
(42%) Cf. Article de l’'Encykl. d. m. Wiss. cité à la note 90, B, n° 3,
pp. 9-10; Lévy, Ouvrage cité à la note 74, chap. I, n° 3, pp. 3-5; etc. Pour les
corrections dues à la self-attraction, à l’existence des continents, consultez
le même article de l'Encyklopädie, nos 5-9. Voyez aussi les Ouvrages et
Mémoires cités à la note 96.
( 33 )
D’après (8), V’ aura pour valeur, dans le cas particulier con-
sidéré,
V'=V + K(r). W, (14)
ce qui devient, en un point de la surface r — a,
V'(a) = V(a) + K(a). W,. (45)
On trouve, après quelques calculs (150), en désignant K (a)
par k,
k = K(a) —° È fe | . Cr, H(r)] — 76. f(x) ? dr, (16)
A
où p, désigne la densité moyenne du globe.
| Alors le potentiel du globe déformé sera, en un point de la
- sphère r — a,
+ V'(a) = V(a) + KW, : (AT)
… on peut dire que À et Æ mesurent respectivement la hauteur
de la marée du globe et la variation du self-potentiel, et on
peut appeler h le coefficient de hauteur et k le coefficient de
potentiel. Il est clair que h et Æ sont des nombres abstraits.
Cherchons maintenant quel est, en fonction de h et k, le
coeflicient de réduction de la marée d’un océan (doué des pro-
priétés idéales énoncées plus haut), infiniment mince, répandu
à la surface du globe élastique : la surface libre de cet océan
sera une surface équipotentielle, dont l’équation sera
fl 4 + VE VA 7 ve De
? (18)
| (150) Voyez, par exemple, HERGLOTZz, Mémoire cité à la note 32, chap. I,
—……p. 219, form. (10); Love, Mémoire cité à la note 39, $ 3, p. 76, form. (6);
— SHibA, Mémoire cité à la note 45, Introduction, K 4, pp. 14-15.
: 3
( 34 )
tandis que l'équation de la surface externe du noyau sera
L A
—a+h _ (13)
La hauteur, comptée suivant la direction radiale, de la marée
océanique apparente sera
W
Lerer=ei he (49)
Comparant à (12), nous obtenons
Le ESS (20)
D’après ce que nous avons dit plus haut (151), les mesures
les plus précises des marées océaniques, lunaires, à longues
périodes, ont donné
Nu à { 1bl Es
H — 2 rès sensiblemen
en sorte que nous avons
2
ALE—hRh— 3 (21)
d’où
h — k — À (A)
141$
Cette valeur expérimentale est indépendante de toute hypo-
thèse particulière sur la constitution du globe, autre que les
postulats mentionnés.
Nous verrons plus loin ce qu'une telle valeur peut nous
apprendre relativement aux constantes élastiques du globe.
(131) C£. W. ScHWEYDAR, Mémoire cité à la note 35, chap. IT ; A.-E.-H. LOvE,
Mémoire et extrait cités à la note 39; Ouvrage cité à la note 24, chap. IV,
art. 99, pp. 53-04; E. H. HizLs, Rapport cité à la note 111 ; Fes A.
deux derniers Aie cités à la note 76.
(35)
V.
Deuxième méthode : Détermination de la rigidité du globe
au moyen de la mesure des déviations de la verticale.
Comme nous l’avons dit dans l’Introduction, un fil à plomb
placé en un lieu géographique doit, en vertu même de la
déformation élastique, sous l’action des forces perturbatrices,
de la masse attractive de la Terre et du changement de posi-
tion, relative à cette Terre, des astres perturbateurs (principa-
lement Lune et Soleil), subir une déviation propre, vis-à-vis
d’axes tournant avec la Terre; en même temps que le plan
tangent au sphéroïde terrestre, au lieu considéré (qui est le
plan de référence pour les déplacements du fil à plomb), doit
éprouver un changement d’orientation (152).
Pour ce double motif, le fil a plomb doit, vis-à-vis de ce
plan, changer de position; et comme sa direction définit la
verticale du lieu, on dit qu’il se produit une déviation de la
verticale. La mesure de la déviation de la verticale constitue
un deuxième moyen de déterminer la rigidité du globe.
Disons de suite que des actions étrangères à la déformation
élastique globale, telles que celle des protubérances des marées
océaniques peuvent aussi produire des déviations de la verti-
cale (155) : ainsi dans l'exemple cité, le flux, arrivant à un
(12) Cf. F. KLEIN et A. SOMMERFELD, Ueber die Theorie des Kreisels,
Leipzig, 3e fasc., 1903, chap. VII, B, $ 7, pp. 705-706; M. Srarrer, Le
mouvement de rotation de la Terre d’après MM. Klein et Sommerfeld (Ann.
Observat., Bordeaux, t. XIV, 1919, chap. V, $ 9, d, p. 50); H. JANNE, Mémoire
cité à la note 3, 2e partie, $ 4, pp. 115-116 ; etc.
(155) C£. A. D'ABBADIE, Ann. Soc. Sc., Bruxelles, t. V, 2e fasc., 1881, pp. 37 et
Suiv. ; G.-H. DARWIN, Rep. 52th Meet. Brit. Assoc. f. Adv. of Sc., Southampton,
1882, pp. 95-106 et 106-109; Phil. Mag., Londres, (5), t. XIV, 1889, et
t. XXIX, 1897; KELvIN, Natural Philosophy, t. IL, art. 818, pp. 389-391 :
F. Omori, Publ. Earthquake Invest. Comm., Tokyo, 1905, n° 21, pp. 5 et
suiv.; Bull. Intern. Earthq. Invest. Comm., 1907, pp. 167 et suiv.;
E. PASCHWITZ, Beiträge zur Geophysik (GERLAND), t. Il, 1895, pp. 339 et
Suiv. ; CH. LALLEMAND, Premier Article cité à la note 67, p. 30; 0. HeckeRr,
(36)
port où est installé un fil à plomb, exerce une attraction sur
ce dernier, en même temps qu'il cause un affaissement, local
el temporaire, de l’écorce terrestre.
On à aussi à se garder, au moins si l’on se sert de pendules
rigides, d’une influence thermique diurne, due au rayonnement
solaire, qui masque, lorsqu'on n’a pas soin de l’éliminer par
des moyens judicieux, celle, beaucoup plus faible, due à
l'attraction du Soleil (154); de plus, les courants d’air, l’humi-
dité qui gonfle le sol, les mouvements des fondations et des
piliers qui soutiennent l'appareil ou son plan de repère peuvent
fausser les résultats (155),
Dès 1852 on s’est préoccupé de la mesure des déviations de
la verticale ; mais les conclusions des recherches ont été plutôt
négalives, à cause de la petitesse de ces déviations, tant qu’on
s'est servi du fil à plomb et jusqu'au moment auquel von
Rebeur-Paschwitz à inventé, ou plutôt remis au Jour, le pendule
horizontal, qui permet d’amplifier presque indéfiniment ces
déviations (156).
Mémoires cités à la note 89; E. MAZELLE, Mitteilungen der Erdbebenkom-
mission der Akad. der Wiss., Vienne, t. XIX, 1900; W. SCHWEYDAR,
Mémoires cités à la note 1 ; Comptes rendus des séances de la XVIIe Confé-
rence de l’ Assoc. géodés.intern., 4er vol., Berlin, 1943, p. 53; Skip, Mémoire
cité à la note 45.
(454) C£. R. EnLerr, Beiträge zur Geophysixk (GERLAND), t. ILE, 1896, pp. 431
et suiv.; G. H. DARWIN, Article cité à la note 76, p. 235; CH. LALLEMAND,
Premier Article cité à la note 76, p. 18; etc.
(155) Voyez les études de HENRY, ELLIS, FÔRSTER, etc. sur ce sujet.[Cf.F. Tis-
SERAND, Ouvrage et tome cités à la note 48, chap. XXX, $ 222, p. 547.]
(156) Voici quelques Travaux relatifs aux déviations de la verticale :
J. GRUITHUISEN, Neue Analekten, Münich, 1839, t. I, 1re partie ; L. HENGLER,
Poiytechn. Journal (DINGLER), Stutigart, 1832, t. XLIII, pp. 81 et suiv.,
C.-A.-F. PETERS, Bull. Ac. Sc., Saint-Pétersbourg, t. IT, 1844; Astr. Nachr.,
Kiel, 1845, n° 507 ; A. PERROT, Comples rendus Ac. Sc., Paris, t. LV, 1862,
pp. 798 et suiv.; F. ZôLLNER, Ann. Phys. Chem., t. CL, 1873, pp. 134, 134,
140 ; Verh. d. Sächs. Gesell. d. Wiss., Leipzig, t. XXI, 1869, p. 281; t. XXII,
1871, p. 479; t. XXIV, 1879, p. 183; A. SaraRik, Bôhm. Gesell., 1872;
Ann. Phys. Chem.; t. CL, 1873, p. 150; A. D'ABBADIE, Assoc. fr..... , Bor-
deaux, 14872; Mémoire cité à la note 133; G. et H. DARWIN, Rep. Brit. Assoc.
Adyv. Sc., 1881, p. 93 ; 1882, pp. 95 et 106; G.-H. DARwIN, Scientific Papers,
t. 1, p. 389; C. Wozr, Comptes rendus Ac. Sc., Paris, t. XCVII, 1883;
F3
|
CON}.
Après lui, Ehlert, Kortazzi et surtout Schweydar, Hecker,
Meissner, Orloff et Shida (157) ont obtenu, au moyen du pen-
dule horizontal, des résultats excessivement importants.
W. Schweydar a fait la réduction des observations de Pasch-
witz et d'Eblert à Strasbourg, de Kortazzi à Nicolajew et de ses
propres observations à Heidelberg (158); ses résultats (159) indi-
quaient que les déviations de la verticale sont, en amplitude,
environ les deux tiers de ce qu’elles seraient sur un globe rigide
et confirmaient la conclusion tirée de la mesure des hauteurs des
marées, puisque, comme nous le verrons plus loin, le coefficient
de réduction des déviations de la verticale est le même que
celui des marées.
Finalement, entre les mains habiles de O0. Hecker (140), le
GAILLOT, Bull. astr., Paris, t. 1, 1883, pp. 90, 113, 217; BOUQUET DE LA
GRYE, Comptes rendus Ac. Sc., Paris, t. XCIX, 1884; J.-G. HAGEN, Astr.
Nachr., Kiel, t. CVIL, 1884, n° 2568; voN REBEUR-PASCHWITZ, Beiträge zur
Geophysik (GERLAND), t. II, 1895, pp. 16, 211, 332; Rep. Brit. Assoc. Ad. Sc.,
1893, pp. 309 et suiv.; Astr. Nachr., Kiel, 1889, n° 2874 ; Bull. astr., Paris,
t. IV, 1887, p. 54, et t. VI, 1889, p. 183; Astr. Nachr., Kiel, 1900, nos 3001-
3002; R. EnLerT, Mémoire cité à la note 134; J.-T. KoRTAZZI, Investia
Russk. Astr. Obshchestva, t. IV, 1895, p. 24, et t. V, 1896, p. 301 ; F. Omort,
Rapports cités à la note 133; W. ScHWweypar, Betträge sur Geoph., t. VII,
1905, et Mémoire cité à la note 35; O0. HECKER, Mémoires cités à la note 89;
W. ScHWEYDAR, Geographische Mitteilungen (PETERMANN), août 1911,
pp. 74-75; OrLorF, Astr. Nachr., Kiel, 1910, n° 4446; Bull. Ac. Sc., Saint-
Pétersbourg, 1910, pp. 775 et suiv.; M. Had, Comptes rendus de la
XVIIe Conf. Ass. aéodés. intern., Berlin, 1913, Annexe A. Xb; G.-H. DARWIN,
Article cité à la note 77, pp. 234-239; CH. LALLEMAND, Premier Article cité à
la note 76; E. PASQUIER, Mémoire cité à la note 77, p. 10 et 74-78; K. Tis-
SERAND, Ouvrage et tome cités à la note 48, pp. 544-547; A. E. H. Love,
Mémoire cité à la note 39; E. I. Hizzs, Rapport cité à la note 121 ; etc. ; les
six derniers Mémoires mentionnés donnent d'excellentes analyses des Tra-
vaux précédents. Voyez aussi l’Article de l’Encykl. d. math. Wiss., cité à la
note 90, n° 21, et surtout W. SCHWEYDAR, Mémoires cités aux notes 138, 35
et #1; T. Sxipa, Mémoire cité à la note 4.
(157) Vovez leurs Mémoires cités à la note précédente.
(158) W. Scnweypar, Untersuchung der Oszillationen der Lotlinie...
[Beiträge zur Geophysik (GEerLAND), t. VIT, 1905.]
(159) Mémoire cité à la note 35, chap. IT.
(10) Mémoires cités à la note 89, Voyez aussi DARWIN, Article cité à la
note 76; LALLEMAND, Articles cités à la note 76; etc.
( 38 )
problème a reçu une solution analogue, mais plus complète,
méritant peut-être encore plus de confiance et dont l'exactitude
ne semble pas prêter au doute; la réduction de ses observa-
tions indique encore qu’en fait les déviations du pendule sont
à peu près les deux tiers de ce qu'elles seraient sur une terre
rigide. La courbe traduisant ces déviations a deux boucles;
elle montre, chose très curieuse, que le rapport de réduction
n’est pas le même dans les directions N.-S. et E.-W. : il
est plus faible dans le sens du méridien (c’est-à-dire que la
réduction est plus forte dans ce sens) que dans le sens perpen-
diculaire et que les déviations, dans ces sens respectifs, sont,
entre elles, en moyenne, dans le rapport de 4 à 6 (141).
Au reste, les déviations sont toujours très sensiblement en
coincidence de phase avec les forces perturbatrices : ceci
semble montrer d’une façon décisive qu'il est légitime d’appli-
quer in fine la théorie d'équilibre et que, en conséquence,
l'existence d’une couche plastique, inférieure à l’écorce, est
très improbable. Lallemand à cru voir dans l’anomalie du
rapport de réduction des amplitudes (#2) une preuve de la
conformation tétraédrique du globe.
Pour Darwin (!#5), cela résulterait d'une différence entre les
propriétés élastiques de l'écorce dans ces deux directions, et
cette différence elle-même pourrait, du moins en partie,
trouver sa cause dans un phénomène de « rigidité gyrosco-
pique »; il a rappelé à cette occasion les intéressantes
recherches de Kelvin sur les coefficients d’élasticité des corps
(1#) ORLOFF trouve un rapport plus faible.
(1) Premier Article cité à la note 76, p. 34. Relativement au point précé-
dent, 1l semble cependant, d’après les dernières recherches de Schweydar
[Premier Mémoire cité à la note 4, Introduction, p.14 et ch. I, pp. 12 et 15;
Comptes rendus de la XVIIe Conf. Ass. géodés. intern., 1er vol., Berlin, 1943,
p. 53], qu’il soit nécessaire de tenir compte des différences de phase. Enfin,
relativement à l’existence peu probable d’une couche plastique intermé-
diaire (entre l'écorce et le noyau rigides), voyez encore SHipA, Mémoire cité
à la note 45, re partie, S7, p. 114.
(45) Comptes rendus des séances de la XVIe Conférence de l'Association
géodésique internationale, 1er vol., Berlin, 1910, pp. 36-37.
( 39)
en rotation. Mais il a déclaré lui-même qu'il ne savait si ce
* phénomène pourrait rendre compte, quantitativement, de la
différence, relativement grande, que l’on observe entre les
constantes élastiques de l’écorce, suivant les deux directions
perpendiculaires. Depuis lors, Love (14) à étudié analytique-
ment les conséquences de cette hypothèse et a conclu que l’effet
de la rotation est de produire effectivement un aplatissement
de la couche des déviations dans le sens observé, mais que la
force relative additionnelle, qui cause cet aplatissement, est,
pour un globe d’acier, d’un ordre de grandeur beaucoup trop
petit pour qu’on puisse constater expérimentalement ses effets.
Darwin (145) à remarqué de plus que l’une des deux boucles
de la courbe est déplacée vers l’est et l’autre vers l’ouest.
Hecker (146) a pensé que cela pouvait encore être dû à une
différence d’élasticité entre les directions rayonnant du lieu
considéré, et Darwin a fait remarquer que cette explication est
probablement valable pour Potsdam, lieu des observations de
Hecker, qui n’est pas très éloigné du bord occidental du
grand continent Europe-Asie. Hecker (147) et Darwin (148) ont
aussi tenté une explication analogue de la première anomalie.
Schweydar (141) a critiqué d’ailleurs ce genre d'explications,
basées sur l'influence de certaines circonstances locales; :l
attribue (150) plutôt l’aplatissement de la courbe à une flexion
de la croûte produite par les protubérances des marées océa-
niques.
(14) Cf. Ouvrage cité à la note 24, chap. V, spécialement art. 81, p. 74, et
aussi chap. IV, art. 64, pp. 56-57.
(1) Article cité à la note 76, p. 238.
(146) Cité par DaRWIN dans l'Article mentionné à la note précédente.
(17) Cité par Love, Ouvrage indiqué à la note 24, chap. IV, art. 64, p. 97.
(48) Article cité à la note 76, p. 237. |
(14) Ueber die Deformation des Erdkôrpers [Geographische Mitteilungen
(PETERMANN), Gotha, 57e année, août 1911, pp. 74-795]; spécialement p. 75,
%e colonne, et Untersuchungen... (Mémoire cité à la note 41), chap. IV,
pp. 32-36.
(150) Untersuchungen... (Mémoire cité à la note M), chap. F, p. 12, Sur
une influence secondaire des marées océaniques, voyez encore SHIDA,
Mémoire cité à la noie 45, 1re partie, $$ 7-8, pp. 92-117.
( 40 )
Reprenant les considérations analytiques précédentes, dues
à Love, nous allons voir que la déformation élastique du
globe sous l'influence des forces perturbatrices réduit les
déviations de la verticale (telles qu’elles se produiraient sur un
globe parfaitement rigide) dans le même rapport Eee
que celui dans lequel elle réduisait la hauteur des marées océa-
niques (151), au moins si nous admettons que les déviations,
très petites, du pendule sont proportionnelles aux forces qui les
produisent.
Négligeons encore la réaction centrifuge due à la rotation
de la Terre et l’action attractive du Soleil.
Si nous nous servons d’un pendule horizontal, l’écart entre
la position instantanée el la moyenne d'équilibre est propor-
tionnel à la composante, suivant une normale à l'axe de
l'instrument, de la résultante des forces perturbatrices.
Puisque les forces perturbatrices, agissant en un lieu géo-
graphique M, sont toutes dirigées dans le plan MOL contenant
le lieu M, le centre OÔ de la Terre et le centre L de la Lune et
que nous supposons que l'axe vertical du pendule reste cons-
tamment normal, en M, à la surface du globe, la composante
en question sera évidemment celle mesurée suivant la tangente,
en M, au méridien elliptique du globe compris dans le plan MOL.
Il nous suffit donc, pour notre objet, de déterminer cette
composante.
Les trois forces perturbatrices dont nous devons déterminer
la composante suivant la tangente au méridien sont : 4° la
force attractive de la Lune, de potentiel W, ; 2° la force attrac-
tive additionnelle due à la déformation de la Terre (sous
l'influence de la Lune), de potentiel & W, ; 5° la force attrac-
tive de la Terre, supposée non déformée, de potentiel V (152).
(451) Cf. Love, Mémoire cité à la note 39, $ 4, pp. 76-77 ; Ouvrage cité à la
note 24, art. 69, p. 59; SipA, lbidem, {re partie, $ 7, pp. 92-93.
(2) La composante tangentielle de cette troisième force, n'étant plus
nulle dès que le globe s’est déformé, doit entrer dans l'expression de la
résultante tangentielle qui produit la déviation du pendule.
+ AT UPS
(M9
Les composantes tangentielles de la première et de la deu-
xième force sont respectivement
1 5W, k 9
— et
a 94 a
et dirigées dans le sens des À décroissants pour 0 < 4 < à . Pour
trouver la composante tangentielle de la troisième en fonction
de Wo, nous devons tenir compte de la déviation propre de la
tangente due à la déformation élastique du globe et de ses
méridiens. L’équation de la surface du globe déformé étant
un |
on trouve aisément (lt) que le carré de son aplatissement e est
donné par
3fh
> LR (29)
gi
où les notations sont les mêmes que plus haut. L’angle à que
fait la normale au sphéroïde elliptique (sphère déformée) avec le
prolongement extérieur du rayon vecteur OM, compté dans le
sens des 6 croissants, est donné avec une approximation sufli-
sante par
sin Ô — —
AA in RE auideosd 1203)
Li
7 = sin 0 cos 0 —
di €" SIN ÿ COS
(155) Il nous suffit, pour une approximation du premier ordre, de calculer
les composantes des deux premières forces suivant la tangente du globe
non déformé.
(154) Il suflit pour cela de comparer l'équation (13), où Wa a la valeur
déduite de (9), à l'équation
7 |
T=—=@ É +5 (cos) |
de l'ellipsoïde de révolution de rayon moyen a et d'aplatissement e,
(42)
ce qui peut s'écrire, d’après la valeur de W, tirée de (9),
Sin Ô = — - - ——. (24)
sera alors
(25)
composante qui est dirigée, pour 0 < 0 < .. dans le sens des
ÿ croissants.
La force qui produit la déviation du pendule est donc
_1+k—h2W,
ER a 28
F' (26)
dans le sens des 8 décroissants, pour 0 < 8 < 7
Si le globe était parfaitement rigide, on aurait 4 — k — 0
et
FR | (7
Si l’on admet que les déviations du pendule sont propor-
tionnelles aux forces qui les produisent, on obtiendra, en
désignant ces déviations par D’ et D :
D! EE O 1+k—h
ZE ————————————— } 28
D F 1 (8)
, =
ce qui est bien le coefficient (20) de réduction des marées.
Il est bien clair d’ailleurs que les coefficients À et k sont les
mêmes pour l’action combinée de la Lune et du Soleil que
pour celle de la Lune seule.
MORE TS
(4)
Les expériences de Schweydar, Hecker, Meissner, Orloff et
Shida ont montré qu'ici encore
D' ,
gp — 3 cnviron,
ce qui donne de nouveau
P.
1+h—h = (29)
d’où
EP ee B
h—k 3 (B)
résultat identique à (A) (15). Ainsi nous n’obtenons pas de
nouvelle relation unissant k et k. Pour avoir une donnée qui
nous permette d'obtenir À et k séparément, il nous faut recourir
à une troisième méthode.
VI.
Troisième méthode : Détermination de la rigidité du globe
au moyen de la mesure des variations de la latitude.
On sait (156) que si la Terre était un corps de révolution,
aplati suivant son axe de symétrie, parfaitement rigide, son
mouvement « naturel » se composerait d’un mouvement de
rotation uniforme autour d’un axe instantané de rotation et
(5) Il semble cependant, d’après les récentes recherches de Schweydar
sur les ondes diurnes lunaire, luni-solaire et solaire 0, K, et P fcf. Premier
Mémoire eité à la note 4, Introd., p. 3 et chap. VIT, p.152; second Mémoire
cité à la même note, chap. IT, p. 72; Comptes rendus de la XVIIe Conf. Assoc.
géodés. intern., A vol., Berlin, 1943, p. 53], que la valeur de 1 + k — h soit
plus proche de 5 que de 3 Shida pense qu'il convient, pour certaines
raisons, de modifier le même coefficient de Hecker de 3 à 2’ _. trouve
lui-même, par des observations directes, une valeur proche de g) après
comparaison, il se décide pour 0,78 [Mémoire cité à la note 45, {re partie,
$ 8, B, pp. 114-116].
(56) Comparez ce que nous avons dit à la note 72.
(44)
d'un mouvement conique de balancement de ce dernier axe.
Celui-ci, dans son mouvement vis-à-vis d’axes absolus (157),
engendrerait, avec un mouvement angulaire uniforme, un cône
droit à base circulaire, et vis-à-vis du globe lui-méme engen-
drerait aussi, avec un mouvement uniforme, un cône droit à base
circulaire ayant l’axe mineur (c’est-à-dire l’axe de révolution)
du globe pour axe de symétrie. L'intersection de l’axe instan-
tané de rotation avec l’ellipsoide d'inertie du globe donne ce
qu'on nomme les pôles instantanés 1. D’après ce que nous
venons de dire, l’un quelconque I de ces pôles, par exemple
celui qui se trouve dans l'hémisphère boréal, décrirait autour
de l'extrémité C, de l’axe de révolution (nommée aussi pôle
d'inertie) une circonférence d’un mouvement angulaire uni-
forme. On peut montrer facilement (158) que, comme le globe
de révolution est aplati, le mouvement de [ autour de C, est
direct, c’est-à-dire de même sens que le mouvement diurne de
A:-16 See
ox jours sidé-
raux, À et C désignant les moments d'inertie équatorial et
polaire du globe. |
On sait d’ailleurs que l’action luni-solaire produit non seu-
lement un balancement, vis-à-vis des axes absolus, de l’axe du
couple résultant des quantités de mouvement et par conséquent
aussi un mouvement absolu assez complexe de l’axe polaire
d'inertie OC (1%), mais encore introduit des oscillations
rotation de la Terre, et que la période est de
(#7) Voyez les Traités classiques de mécanique, par exemple P. APPELL,
Traité de mécanique rationnelle, Paris, t. IT, 2 édit., 1904, chap. XX, no 390,
pp. 164-166; F. TiIsSERAND, Ouvrage et tome cités à la note 48, chap. XXIX,
no 211, pp. 494-496 ; F. KLEIN et A. SOMMERFELD, Ouvrage cité à la note 132,
4er fase., 1897, chap. II, $ 2, pp. 146-154; et aussi H. JANNE, Mémoire cité
à Ja note 3, Introduction.
(158) Cf. JANNE, lbidem, spécialement pp. 19-95.
(159) C£., par exemple, J.-A. SERRET, Ann. Observ., Paris, t. V; Mémotres
Inst., Paris, t. XXXV; Porxsor, Add. Connaiss. Temps, Paris, pour 1858 ;
F. TISSERAND, Ouvrage et tome cités à la note 48, chap. XXII-XXVIT, pp. 371-
443; ete., et surtout F. KLEIN et A. SOMMERFELD, Ouvrage cité à la note 132,
3° fase., chap. VIE, pp. 633-672.
PP
(45)
- « forcées » (160) dans le mouvement du pôle L autour de C,;
ces dernières sont assez faibles et nous en ferons totalement
abstraction (161). La théorie de la précession et nutation luni-
solaires nous permet d’ailleurs d'obtenir, par des observations,
la valeur du rapport a qui vaut (162) environ 505.
Ainsi donc, si la Terre était parfaitement rigide et animée
d’un mouvement de rotation naturelle, son pôle instantané de
rotation I décrirait, autour de son pôle d'inertie C,, une circon-
férence avec un mouvement angulaire uniforme et direct : il
accomplirait une révolution complète en un laps de 505 jours,
soit dix mois environ. Celte période est nommée période eulé-
rienne, parce que c’est le célèbre géomètre bâlois L. Euler qui
a signalé le premier (165) la possibilité de son existence.
Cela rappelé, considérons un lieu géographique M de la
surface du globe. La colatitude géographique de ce lieu est,
par définition, l'angle que fait la verticale du lieu avec laxe
instantané OI. Nous avons vu, au $ V, que la verticale du
lieu subit des déviations; supposons qu'ici elle soit inva-
riable (164), Le mouvement de OI dans le globe doit causer une
variation périodique de l’angle en question, donc une variation
de la latitude. On peut montrer (165) que cette variation à la
(160) CF. F. TISSERAND, Ouvrage et tome cités à la note 48, pp. 420 et 496.
(161) Voyez cependant R. Rapau, Bull. astron., Paris, t. VII, 1890, p. 359;
H. JANNE, Mémoire cité à la note 3, pp. 49-50.
(16) Cf. TH. von Opporzer, Lehrbuch der Bahnbestimmung, t. 1; trad.
française de E. PASQUIER, Paris, 1886, chap. V, 1, i, p. 182.
(165) L. EULER, Mecaanica sive motus scientia, Saint-Pétersbourg, 1736,
3e partie, chap. XVI, $$ 839 et suiv. ; Du mouvement de rotation des corps
solides autour d’un axe variable (Mém. Ac., Berlin, 1758, pp. 154-193);
Theoria motus corporum..., Greifswald, 1765, chap. XII, $ 711, 717-739.
(154) La variation de latitude causée par le déplacement propre de la
verticale est inférieure à 0,01, tandis que celle due au mouvement de l’axe
de rotation atteint 0,3. [Cf. E. PAsquiER, Mémoire cité à la note 77, p. 67.]
(165) Cf., par exemple, E. FERGOLA, Vierteljahrschrift der Astr. Gesell.
Leipzig, 1876, pp. 94-103 ; F.-R. HELMERT, Ouvrage et tome cités à la note 48,
p. 393 : G.-H. DARWIN, Bull. Ac. Belgique [C1. des sc.], 1903, n° 1, pp. 147
et suiv.; C. LE PAIGE, Ibidem, pp. 17 et suiv.; etc.
( 46)
même période que le mouvement du pôle I. Ainsi, si la Terre
était parfaitement rigide, les fluctuations de la latitude d’un
lieu devraient présenter un caractère périodique de 305 jours.
Les astronomes ont essayé de déceler cette période dans les
latitudes (166). Soupçonnée par Bessel, Brioschi, Pond (467),
Airy (168), la variation de la latitude d’un lieu à été franchement
\
reconnue par C.-A.-F. Peters (16%) en 1844. Tour à tour,
M. Nyrén (170), J. C. Maxwell (171), S. Newcombh (172),
A. Gaillot (175), Y. Villarceau (174), Downing (15), E. Fer-
gola (176), A. Nobile (177), L. de Ball (178), F. Folie (17°) se
sont livrés à l'étude de ce phénomène. I! semble que ce soit
les observations de A. Nobile et de F. Küstner (150) et plus
encore celles de Th. Albrecht (181) et Marcuse (152) qui
(166) Pour l’analyse de leurs Travaux, voyez F. TISSERAND, Ouvrage et
tomes cités à la note 48, chap. XXX, $ 209, pp. 489-495 ; F. TISSERAND et
R. Rapau, Bulletin astronomique, Paris, passim ; H. JANNE, Mémoire cité à la
note 3, 1re partie, $ 1, pp. 26-42; CH. LALLEMAND, 2 art. cité à la note 76,
pp. 5-9; E. PASQUIER, Mémoire cité à la note 77, chap. I, $ 1-9, pp. 11-31; etc.
(167) Cités par F. TISSERAND, Ouvrage et tome cités à la note 48, chap. XXX,
$ 209, p. 490. J
(168) Memotrs of the Astron. Society, t. XXXII.
(169) Bull. Ac. Sc., Saint-Pétersbourg, 1844 ; Astr. Nachr., t. XXII, 1844,
n° 512; Mém. Observ., Saint-Pétersboursg, t. I, 1853.
(170) Bull. Ac. Sc., Saint-Pétersbourg, t. XIX, 1871, et t. XXI, 1873.
(4) Transactions Roy. Soc., Édimbourg, t. XXXII, 1857.
(172) Cité par KELvIN, Rep. Brit. Assoc. Adv. Sc., Londres, 1876; ete.
(175) Comptes rendus, Paris,novembre 1878 ; Ann. Observ., Paris, t. VII, 1862.
(174) Ann. Observ., Paris, t. VIII, 1862.
(45) Monthly Notices Roy. Astr. Soc., Londres, 1880, t. XL.
(176) Determinazione della latitudine del R. Osserv., Capodimonte, 1872.
(177) Ibidem, 1883, 1885 et 1888.
(178) Cf. Bull. astr., Paris, t. V, décembre 1888.
(179) Mém. Ac. Belgique, Bruxelles, t. XLV, 1884; Bull. Ac. Belgique,
Bruxelles, passim.
(180) Neue Methode zur Bestimmung der Aberrationsconstante..., Berlin,
1888.
(14) Resultate der Beobachtungsreihen betreffend die Veränderlichkeit der
Polhôühen, 1890. Voyez aussi Bull. astr., t. VII; Astr. Nachr., t. CXXVW.
(&) Resultate der fortgesetzten Berliner Beobachtungsreihen betrefjend die
Veränderlichkeit der Polhôühen, 1890.
( #h)
aient forcé l'attention en montrant d’une facon irrécusable
la périodicité de la fluctuation. Toutefois, c’est seulement en
1890 que l’astronome américain S. C. Chandler (185), après
avoir procédé à l’analyse harmonique des mouvements du
pôle I, a reconnu que ce pôle ne possède pas un mouvement
circulaire d’une périodicité de 305 jours, mais bien un mou-
vement plus complexe, épicycloïdal, se composant d’un mou-
vement circulaire uniforme d’une périodicité de 427 jours
environ, soit à peu près quatorze mois, autour d'une position
moyenne Î,; et d’un mouvement elliptique de ce dernier pôle
moyen L,, autour du point fixe C,, d’une périodicité de 565 jours,
soit environ douze mois ; quelques irrégularrtés périodiques se
montraient aussi. Depuis lors, Chandler à continué ses études
pour affermir et compléter ses conclusions (14), et d’autres
astronomes lui ont prêté main-forte; parmi ces derniers, nous
citerons F. Gonnessiat (1%), Th. Albrecht (156), H.-G. et
E.-F. van de Sande Bakhuyzen (187), L. Courvoisier (158),
A. Pannekoek (1%), F. Harzer (1%), R. Schumann (1?1),
E. Grossmann (1%), B. Wanach (1%5), H. Kimura (1%), Hira-
yama (1%), Bonsdorff (1%). En 1894, au Congrès d’Innsbrück,
(185) Astronomical Journal, Boston, t. XI, 1891, nos 248-949,
(181) Astronomical Journal, Boston, t. XI et suivants, passim.
(185) Bull. astr., Paris, t. XV, 1898; Comptes rendus Ac. Sc., Paris, t. CVI,
1888; t. CXXIV, 1897, et t. CXXVI, 1898.
(48) Bericht über den Stand der Erforschung der Breitenvariationen,
Berlin, 1896 et années suivantes ; Astr. Nachr., Kiel, 1898, no 3532; 1899,
n° 3633; etc.
(487) Bull. Ac. Sc., Amsterdam, 4898 et 1900; Arch. néerl., Harlem, (2),
t. II, 4899 ; Astr. Nachr., Kiel, 1904, no 3937; etc.
(188) Astr. Nachr., Kiel, 1904 et 1905, nos 3990, 3991, 4019, 4031.
(189) Jbidem, 1905, nos 4008, 4024.
(190) Jbidem, 1905, n° 4098.
(194) Jbidem, 1903, no 3877 ; 1907, nos 4149, 4143.
(12) Jbidem, 1907, n° 4159; Bull. astr., Paris, t. XXIX et t. XXVI.
(195) Astr. Nachr., Kiel, 1907, n° 4167.
1%) Jbidem, nos 3783, 3932, 3981, 4040, 4041, etc.; Astr. Journal, Boston,
passim.
(15) Astr. Nachr., Kiel, n° 4281.
(2%) Mitteilungen Nikolai-Hauptsternwarte, Poulkova, t. III, ne 33.
( 48 )
on à émis un vœu en faveur de la création d’un Service inter-
national, chargé de l'observation systématique des variations
de latitude. Ce Service à été créé peu après et a commencé à
fonctionner en 1899 (197).
Les résultats obtenus par le Service international des lati-
tudes, dirigé avec tant de compétence par Th. Albrecht,
confirment les conclusions de Chandler. Les observations de
H. Kimura ont cependant montré que dans l'expression de la
variation de la latitude intervient un terme annuel 3 qui
semble indépendant de la position du pôle; plusieurs hypo-
thèses ont été proposées pour expliquer l’origine de ce
terme (1%), mais nous ne les examinerons pas ici.
La différence entre la conclusion de la théorie eulérienne et
les résultats des observations de Chandler provient évidemment
de ce que la première part d’une hypothèse trop simple : elle
suppose que la Terre est parfaitement rigide et elle fait abstrac-
tion de l'influence des phénomènes perturbateurs d'ordre géolo-
gique, météorologique, etc., qui peuvent se produire en son
intérieur ou à sa surface. |
Si l’on suppose que la Terre est, au moins en partie, douée
de plasticité, le problème de sa rotation devient beaucoup plus
(497) Pour les détails concernant ce Service, voyez le Rapport annuel
publié par TH. ALBRECHT sur les Travaux exécutés par lui, Resultate des
internationalen Breitendienstes, et les Analyses publiées par le Bull. astr.,
t. XIII, XVI, XVIII, XX, XXII, etc.; et surtout E. PASQUIER, Mémoire cité
à la note 77, chap. I, K 4.
(198) R. SCHUMANN, Astr. Nachr., Kiel, no 3877; W. DE SITTER, lbidem,
n° 3981 ; L. COURVOISIER, deux premiers Articles cités à la note 188; A. PANNE-
KOEK, Astr. Nachr., Kiel, nos 4008, 4012, 4024, 4031; P. HARZER, lbidem,
n° 4098 ; Boccarpi, Comptes rendus, Paris, 1909 ; Bull. astr., Paris, 1900 ;
BonxspoRFF, Article cité à la note 196 ; HiRAYAMA, Article cité à la note 195;
H.-G. VAN DE SANDE BAKHUYZEN, Astr. Nachr., Kiel, n° 3937 ; H. POINCARÉ,
Article cité à la note 107, p. 7; H. JANNE, Mémoire cité à la note 3, Appen-
dice, pp. 237-240; F. E. Ross, Astr. Nachr., Kiel, n° 4593; SRINZO SHINJO,
Ueber die physikalische Bedeutung des +-Gliedes in der Polhôhenschwan-
kung (Memoirs of the College of Science and Engineering, Kyoto Imperial
University, Kyoto, t. IV, n° 2, décembre 1942); etc.
( 49 )
complexe, et les équations classiques, dites d’ « Euler », ne
suflisent plus pour déterminer les lois du mouvement. De plus,
si l’on admet même que la Terre est solide dans toutes ses par-
ües, elle ne peut cependant posséder qu'une rigidité relative et
doit donc se déformer sous l’action de sa propre rotation et de
la vertu attractive des autres astres : cette déformation est très
complexe et réagit sur le mouvement. Si, au contraire, on
suppose un noyau fluide, ou au moins une couche visqueuse,
- on devra tenir compte du frottement des parties fluides entre
elles et de ces dernières sur les parties solides, ete. (199). Nous
allons revenir de suite sur l'étude de la déformation élastique
du globe; mais, auparavant, disons un mot des phénomènes
+. perturbateurs auxquels nous venons de faire allusion.
Les changements géologiques que nous invoquons pour
expliquer certains accidents de la eroûte terrestre, ou que nous
voyons actuellement s’opérer sous nos yeux, ont eu ou ont
encore une répercussion snr la rotation de la Terre. A cette
catégorie de phénomènes appartiennent les éruptions voleani-
ques, les tremblements de terre, le soulèvement ou l’abaisse-
ment séculaire de certaines contrées (200), la formation de nou-
- veaux continents ou de nouvelles montagnes, etc.
(19) Consultez, à ce sujet, HopkiNS, HENNESSY, DELAUNAY, KELVIN, FAYE,
Foie, BeLLi, Ronkar, etc., Mémoires cités à la note 71, et surtout les Analvses,
citées à la même note, de TISSERAND, HELMERT, RUDZKkI, JANNE, etc. De
plus, voyez H. Gy1.DÉN, Bull. Ac. Sc., Saint-Pétersbourg, t. IV, 1870; Nova
Acta Soc. Reg , Upsala, (3), t. VITE, 1871; Astr. Nachr., Kiel, 1878, n° 2926 ;
Bull. Ac. Sc., Stockholm, 1878, n° 7, et 1879, n° 3; G.-H. DARWIN, Pull.
Trans. Roy.Soc., Londres,1877,t. CLX VIT et premier Mémoire cité à la note 9;
AiRy, Nature, Londres, t. XVIII, 1878; S. OPrPENHEIM, Stézungsberichte
d'K. Ak. d. Wiss., Vienne, t. XCI, 185 ; Astr. Nachr., Kiel, 1885, n° 2701;
S S. HouGx, Phil. Trans. Roy. Soc., Londres, A, 1895, t. CLXXXVI;
J.-V. ScHIAPARELLI, 11 Nuovo Cimento, (3), t. XXX, 1891; Ta. SLuDSkY, Bull.
Soc. Impér. Natur., Moscou, 1895, n° 2, et 1896, no 1; Bull. astr., Paris,
… t. XVII, juin 1900; J. Larmor, Proc. Phil. Soc., Cambridge, t. IX, mai 1896.
On trouvera des indications plus complètes dans notre Mémoire eité à la note 3.
20) Cf. P. ScHWA4N, Mémoire cité à la note 71, & 8-9; G.-H. DARWIN, Phil.
Trans. R. S., Londres, 1877, t. CLXVII, $K 4; J.-V. SCHIAPARELLI, Mémoire
cité à la note 199. art. 2 et 3; L. Picarr, Ann. Observ., Bordeaux, t. VIT, 1897,
4
( DO )
Nous devons également tenir compte de l'existence des
océans : les protubérances qu'ils forment sous l’action com-
binée de l'attraction du Soleil, de la Lune et des réactions
centrifuges (201), le frottement des marées sur la surface du
globe (2°?) influent, eux aussi, sur la rotation de ce dernier. Les
courants marins, même s'ils ne changent guère la répartition
des masses à la surface du globe, introduisent dans les équa-
tions différentielles du problème des quantités de mouvement
relatif et modifient de ce chef les circonstances du mouvement
de la Terre (265). |
Nous en dirons autant des perturbations atmosphériques,
qui, cependant, peuvent peut-être produire, en outre, des
inégalités plus sensibles dans la répartition des masses (?04).
$ 45; S. HAUGHTON, Proc. Roy. Soc., Londres, 1878; E. Iliz, Proc. Roy.
Soc., Cambridge, t. IT, 1868 ; Hayrorp et BALDWIN, Movements in the Cali--
fornia, Earthquake, GoAsT AND GEOD. SURVEY, 1906-1907, App. 3, p. 97; etc.
Sur l'influence exercée ou subie par les tremblements de terre, voyez parti-
culièrement, J. MILNE, Brit. Assoc. Reports, 1896-1919, et F. ne MoNTEssus
DE BALLORE, Variations des latitudes et tremblements de terre, COMPTES
RENDUS AC. Sc., Paris, t. CXLVIT, 1903, pp. 665 et suiv. ; T. Sipa, Mémoire
cité à la note 45, 5e partie, pp. 265-276.
(201) CF. F. TISSERAND, Ouvrage et tome cités à la note 48, pp. 535-536 ;
R. Rapau, Bull. astr., Paris, t. VIL, septembre 1890; Comptes rendus
Ac. Sc., Paris, t. CI, octobre 4890; F -R. HELMERT, Ouvrage et tome cités
à la note 48, chap. V; Astr. Nachr., Kiel, 1891, n° 3014.
(202) E. J. SToxE, Monthly Notices Roy. Astr. Soc., Londres, mars 1867;
H. GYLDÉN, Mémoires cités à la note 199; F. KLEIN et A. SOMMERFELD, Ouvrage
cité à la note 132, 3° fase., pp. 726 et suiv.; H.JANNE, Ouvrage cité à la note 3,
pp. 231-237; et surtout G.-H. DarwiN, Phil. Trans. Roy. Soc., Londres, t. C,
1879, 1880, 1882 ; Scientific Papers, t. 11; The Tiles, Londres, 1898; art. Tide
dans ENCYCL. BRITANNICA, 11° édit.; Encyk. d. in. Wiss., t. VI, 1, B, art. 1,
hitt. E; etc.
(205) Voyez surtout V. VoLTERRA, Aéti d. R. Acc. d. Sc., Turin, 18%;
Annali di Matematica, 1895 et 1896; Rend. d. R. Acc. dei Lincei, Rome,
septembre 1895; Astr. Nachr., Kiel, 1895, nos 3291-3999; Acta Mathematica,
t. XXII, 1898; F. KLEIN et A. SOMMERFELD, Ouvrage cité à la note 132, 3e fasc.,
p. 715; J. Lamp, Astr. Nachr., Kiel, 1894, n° 3014; etc.
(204) R. SpirALER, Denkschrifiten d. K. Ak. d. Wiss., Vienne, t. LXIV,
4897; Geogr. Mitteilungen (PETERMANN), Gotha, 1901, no 137; Sitzungs-
berichte d. K. Ak. d. Wiss., Vienne, IT A, t. CXIV, 1905; L. GRABOWSKI,
Ibidem, Vienne, IT A, t. CVII, 1898; etc.
FE.
Ta PP Pr?
( 51 )
La fonte des glaces polaires (205), le déplacement, la forma-
lion ou la disparition des glaciers sont encore autant de causes
capables d'amener des perturbations dans le mouvement du
globe.
Le ruissellement des fleuves, l’arrachement et la désagréga-
lion des roches ou des terrains déjà formés, le dépôt des allu-
vions aux embouchures des cours d’eau (06), le desséchement
de lacs ou de mers intérieures (207), l’action dissolvante des eaux
de ruissellement (2%), etc., peuvent aussi apporter des fluctua-
tions dans ce mouvement.
Enfin, comme causes extérieures, on à même songé à invo-
quer un couple d'origine magnétique, en rapport avec les
taches du Soleil (20) et aussi les chutes de météorites qui
introduisent de nouvelles masses dans l'écorce du globe.
Nous n’avons pas l'intention de citer iei tous les phénomènes
perturbateurs de ce genre (?10) : ce que nous venons de dire
suffit pour faire comprendre combien est complexe le problème
de la rotation de la Terre.
(2%) KELviN, Report Brit. Assoc. f. Adv. of Sc., Londres, 1876; A. WAYERS,
Trans. Litt. and Phil. Soc, Manchester, t. IV, 1877; F.-R. DELMERT,
Ouvrage et tome cités à la note 48, chap. V; etc.
(206) A. DE LAPPARENT, Ouvrage cité à la note 71; La destinée de la terre
ferme, Paris, 1904; J. Murray, Scottish Geographical Magazine, 1887-1889 ;
A. WaTers, Trans. Litt. and Phil. Soc., Manchester, t. VI, 1879 ; TWISDEN,
1bidem, t. V, 1878; Quarterly Journal Geol. Soc., Londres, 1878; L. MORGAN,
Geol. Magazine, Londres, 1878; P. ScHWAN, Mémoire cité à la note 71,
S7;etc.
(207) A. Waters, Mémoire cité à la note 206; K. ZüpPRITZ, Geographisches
Jahrbuch, Gotha, t. VII, 4890; etc.
(208) J. Murray, Mémoire cité à la note 206; T. MELLARD READE, American
Journal of Science, (3), t. XIL; Addr. Soc. Geol., Liverpool, 1895;
A. L. Ewinc, American Journal of Science (3), t. XXIX ; etc.
(20) J. Hazm, Astr. Nachr., Kiel, nos 3619, 3649 ; W. THACKERAY, lbidem,
. ne 3635: etc.
(210) Pour l’ensemble de ces phénomènes, voyez surtout G.-H. DARWIN,
Influence of geological changes on the Earth’s axis of rotation (Phil. Trans-
- Roy. Soc., Londres, t. CLXVII, 1877); S. HauGaTon. Notes on physical
- Geology (Proc. Roy. Soc., Londres, t. XXVI, 1878); F. TISSERAND, Ouvrage
et tome cités à la note 48; F.-R. HELMERT, Ouvrage et tome cités à la note 48;
- P. ScHwauN, Mémoire £ité à la note 71.
( 52)
On montre facilement (211) que le mouvement circulaire
uniforme du pôle de rotation T autour de sa position moyenne 1,
peut voir la période de dix mois de son mouvement se changer
en période de quatorze mois (période chandlérienne) si l'on fait
entrer en ligne de compte l'élasticité de la Terre; que le mou-
vement elliptique, de période annuelle, de 1, autour du point
fixe Cy peut être causé par des phénomènes perturbateurs tels
que ceux que nous venons de considérer, spécialement les
déplacements atmosphériques (212), si l’on observe que lin-
fluence de ces derniers peut être notablement amplifiée par
une sorte de « résonance » (215) qui se produit grâce à la
faible différence qui existe entre les périodes de douze et de
quatorze mois; et qu'enfin les oscillations irrégulières peuvent
trouver aussi leur explication dans des phénomènes perturba-
teurs non périodiques.
Il est clair que, dans ce Travail, nous ne nous préoccuperons
que du premier point, savoir l'influence de l’élasticité du globe
sur la durée de la période de libre précession; et, inversement,
des renseignements que peut nous donner sur l’élastieité du
globe la période des variations des latitudes nouvellement
découverte par Chandler. s
C'est S. Newcomb (14) qui, en s'appuyant sur les résultats
classiques obtenus par Kelvin relativement à la rotation des
sphères élastiques, à le premier signalé l’élasticité du globe
comme cause capable d’amplifier la période eulérienne de dix
mois. Sa conclusion étaitque, pour que cette période devint celle
de Chandler, la Terre devait céder un peu moins aux réactions
centrifuges dues à sa rotation que si elle possédait la rigidité de
l'acier. Ses considérations étaient basées sur un raisonnement
(211) Pour les détails, consultez notre Mémoire cité à la note 3.
(2?) Voyez les Mémoires cités à la note 204, et notre Mémoire cité à la
note 3, pp. 192-194 et 218-991.
(25) A laquelle correspond la multiplication de Rapau. [Cf. Rapau et
HELMERT, Mémoires cités à la note 201.)
(24) On the Dynamics of the Earth’s rotation with respect to the periodic
Variation of Latitude (Monthly Notices Roy. Astr. Soc., Londres, t. LIL,
n° », mars 1899, pp. 336 et suiv.)
( 93 )
cinématique un peu simpliste ; de plus elles étaient légèrement
erronées en ce qu’il ajoutait à une certaine ellipticité primitive,
une ellipticité supplémentaire, au lieu de l’en retrancher,
comme cela doit être (215).
S. S. Hough (216) à repris l'étude de la rotation d’une sphère
élastique, homogène, isotrope el incompressible, lui a donné
une forme plus mathématique et à corrigé l’erreur de Newcomb.
Il a démontré le théorème suivant qui Joue un rôle capital dans
la théorie de la libre précession : La période de libre précession
d'une sphère élastique, homogène, isotrope et incompressible est
égale à celle d'une seconde sphère identique, mais parfaitement
rigide, dont la forme serait celle que prendrait la première si
la rotation venait à cesser (217) : théorème que plus tard,
J. Farmor à montré être vrai pour un globe hétérogène et
compressible (215). Toutefois le procédé de Hough était exposé
à une grave objection (21%), que G. Herglotz a d’ailleurs for-
mulée dans un Travail postérieur (220), Hough admettait pour
période de libre précession du globe non déformé T — 305 jours,
donc supposait implicitement qu’il n’était pas homogène (221);
(25) Cf. S. S. Houcx, Mémoire cité à la note 33, pp. 341-342, et notre
Mémoire cité à la note 3, pp. 113-114.
(216) Mémoire cité à la note 33.
(217) CE. Tbidem, $8; F. KLEIN et A. SOMMERFELD, Ouvrage cité à la note 132,
3e fasc., chap. VIII, B, $ 7, 4e problème, pp. 698-709, et aussi chap. VIL, $ 8,
. p.607; H.JANNE, Mémoire cité à la note 3, 2 partie, $ 3, pp. 75-80; M. STAPFER,
Mémoire cité à la note 139, 2e partie, ch. If, $3, pp. 36-37.
(218) Cf. Mémoire cité à la note 39; Proc. Roy. Soc., Londres, p. 482, et
Monthly Notices Roy. Astr. Soc., Londres, p. 91. Voyez aussi J. LARMOR et
E. M. Iizzs, The irregular Movements of the Earth’s axis of Rotation
(Monthly Notices Roy. Astr. Soc., Londres, t. LXVIT, n° 4, 1906, pp. 22-34),
spécialement p. 24; et Bull. astr., Paris, t. XXVII, juillet 1910, p. 276.
Comparez nos considérations élémentaires sur le même sujet (Mémoire cité
à la note 3, 2e partie, $ 3, pp. 19-86).
(219) Cf. F. KLEIN et A. SOMMERFELD, Ouvrage cité à la note 132, 3e fasc.,
pp. 701-702; H. JANNE, Mémoire cité à la note 3, pp. 110-111.
(22) Mémoire cité à la note 32, p. 276.
(21) Sans quoi, il aurait dû prendre T — 9232 jours. [Voyez les Traités de
mécanique céleste.]
(54)
mais pour calculer le facteur d'augmentation, il se plaçait dans
l'hypothèse de l’homogénéité; cect eût été vraiment une
inconséquence, si Hough ne l'avait proposé uniquement comme
expédient.
G. Herglotz (22?) à vivement ceriliqué cette manière de faire.
Dans ses recherches personnelles, 1l a supposé le globe incom-
pressible et a admis, pour la répartition des densités, la loi de
Roche, puis celle de Wiechert, et a trouvé respectivement pour le
4
facteur d'augmentation 73 1,975 et 1,590, alors que Hough
avail indiqué 1,475. |
M. P. Rudzki (225) à donné un commentaire explicite des
Travaux de ses devanciers et a, le premier, traité en détail
l'influence que pouvait avoir, sur leurs conclusions, la présence
d’un océan répandu sur la surface du globe, point qui n'avait
été qu'effleuré par d'autres auteurs mais qui a été repris, depuis
lors, par Brill (24), W. Schweydar (2) s’est tout d’abord borné à
enregistrer les résultats obtenus par Herglotz. Mais A. E. H. Love
est parvenu à obtenir la formule de Herglotz, que nous allons
établir tout à l'heure,sans avoir recoursà l'hypothèse (de lhomo-
généité n1 à celle) de l’incompressibilité (226) ; il admet seule-
ment qu'une théorie d'équilibre est applicable et que les
surfaces d’égale densité, à l’intérieur du globe, sont mainte-
nues sous la forme elliptique (stratification concentrique).
D'ailleurs J. Larmor à montré que ce dernier postulat n’est
(2?) Mémoire cité à la note 32.
(5) Mémoire cité à la note 34; pour le dernier point, spécialement chap.V,
pp. 339-308. Comparez note 276.
(221) CE. S. Newcoms, Article cité à la note 214; R. S. WooDWaRp, Astrono-
mical Journal, Boston, t. XV, 1896, no 349, pp. 61-72; H. PoiNCARÉ,
Article cité à la note 77, p. 12; E. Pasquier, Mémoire cité à la note 107,
p. 83; H. JANNE, Mémoire cité à la note 3, pp. 116-117; J. LarmoR, On the
free Eulerian Precession (Proc. Phil. Soc., Cambridge, t. IX, mai 1896);
A. BRiLz, Mémoire cité à la note 44.
(2%) Mémoire eité à la note 35, chap. IV, pp. 70-77.
(2%) Mémoire cité à la note 39, $ 8, form. (15) de la p. 80. Voyez aussi
T. SHibA, Mémoire cité à la note 45, Introduction, $ 4, p 15.
Liber
À mr gt dus à
ibmré
|
-
{7
même plus nécessaire (227); toutefois nous l’admettrons encore
pour nous rapprocher de ce qui précède.
Love a en même temps indiqué, en une élégante synthèse
que nous reproduisons ici, la manière la plus convenable d’en-
visager l’ensemble des trois premières méthodes dont il est
question dans ce Travail.
Ch. Lallemand (8) et E. Pasquier (??*) ont donné aussi
d'excellents résumés des résultats obtenus par leur devanciers.
Enfin Love vient de publier, dans un Ouvrage récent (50),
les conclusions de ses belles recherches sur les principaux pro-
blèmes de la Géodynamique. |
Indiquons sucemmetement comment la période observée (dans
les latitudes et par conséquent) dans les mouvements du pôle
instantané | peut nous renseigner sur le degré d’élasticité du
globe; nous suivons, dans cet exposé, comme nous venons de
le dire, la méthode de A. E. H. Love (251).
Supposons que le corps de la Terre soit de révolution et
aplati et soit animé initialement de la rotation uniforme w
autour de son axe de révolution; cette rotation uniforme pro-
duit déjà une déformation statique élastique, si l’on prend
pour état « non déformé » de référence celui qui s’établirait si
le globe n'avait pas de rotation vis-à-vis des axes absolus. Pre-
nons de nouveau l’origine des axes au centre de figure O de la
Terre, Oz dirigé suivant l’axe de révolution, de rotation et
principal d'inertie OC, ; prenons Ox, Oy quelconques, mais à
angle droit, dans le plan équatorial : ces axes sont aussi prin-
cipaux d'inertie. Imaginons que par suite d’une perturbation
quelconque l’axe de rotation OI cesse de coincider avec Oz, mais
(227) Cf. J. Larmor, Mémoire cité à la note 39; Proc. Roy. Soc., Londres,
p. 94; Monthly Notices Roy. Astr. Soc., Londres, pp. 484-485. Voyez aussi
E. H. Hizzs, Rapport cité à la note 121, p. 387.
(223) Articles cités à la note 76.
(2%) Mémoire cité à la note 77.
(230) Ouvrage cité à la rote 24.
(251) Mémoire cité à la note 39, $ 8-9, pp. 78-80, et aussi Ouvrage cité à la
note 24, chap. IV, art. 60, p. 54; Shida emploie comme nous le procédé
analytique de Love (Mémoire cité à la note 45, Introduction, $ 4, pp. 14 15).
(56 )
ne s’en écarte que d’un angle très petit, que nous considérons
comme « petit du premier ordre »; soient {, m, 4 les cosinus
directeurs (aux termes du second ordre près) de la nouvelle posi-
tion de OT vis-à-vis des axes Ox, Oy, Oz; la rotation w est d’ail-
leurs supposée rester la même (en module). Dans ce cas, si Pon
considère le mouvement de rotation naturelle du sphéroïde ter-
restre, les seules forces qui produisent la déformation élastique
du globe proprement dite sont des forces relatives centrifuges
(résultant de la suppression des réactions centrifuges due à la
rolalon w autour de Oz et de l'introduction de celles dues à la
rotation w autour de la nouvelle position de Of) dérivant du
potentiel
W= W, = — o(lx + my}, (30)
harmonique sphérique solide du second degré (252).
Nous avons encore
| U = H(r). … (81)
W,
A =}; (32)
Le déplacement (u, v, w) d'un point M du sphéroiïde doit se
superposer au déplacement (compté à partur de la position
d'équilibre relatif, pour une rotation nulle) dû à la rotation w
autour de Oz. Or il est facile de voir que si, avant la déforma-
tion proprement dite, les moments et produits d'inertie, par
rapport à Ox, Oy, Oz, du globe sont respectivement.
SE À, C,
(252) Love, Ibidem ; HouG, Mémoire cité à la note 33, K 8, p. 34 ; Rupzxi,
Mémoire eité à la note 34, chap. IV, p. 299: Her GLoTz, Mémoire cité à la
note 32, chap. IV, p. 290; BriLz, Mémoire cité à la note 44, chap. I, $ 5,
pp. 29-30. S. NEWCOMB avait négligé de considérer l'effet dû à la dispo-
sition des premières réactions centrifuges, et c’est ce qui l’a conduit à une
méprise concernant les ellipticités [C£. note 215 et Houcx, lbidem/].
(37)
après la déformation due à la déviation de Of, ces moments
et produits d'inertie sont, aux termes du second ordre près (255),
A, À, C,
D, E, 0
où D, E ont les valeurs suivantes :
8 \
D — — 1 rmi, (33)
8
E — — Fe ril, (34)
avec
2 pa l : ;
= - { p _- LS H(r)] — 7%.f(r) : dr. (35)
0
Posons encore
CR À
| == l 2 + (? e)dr, (36)
0
et
Se (37)
y — L |
e désignant l’aplatissement dû à la rotation w autour de Oz.
Alors comme (254)
CARPE, (38)
(2)
(25) Cf. HERGLOTZ, LOVE, Jbidem. BRILL, en supposant le globe incom-
pressible (et successivement homogène, puis composé suivant l'hypothèse
de WiecHERT) et recouvert partiellement (à peu près comme l’indique KELVIN)
d'océans, on arrive à trouver que, contrairement aux formules (39), (40)
ci-après, les coefficients de m et /, dans les expressions de D, E, ne sont
pas les mêmes, mais légèrement différents. Le cercle chandlérien se
transforme alors en une ellipse de faible excentricité. [A. BRiLz, Mémoire
cité à la note 44, chap. II, K 9, pp. 63-67.]
(254) Cf., par exemple, F. TISSERANb, Ouvrage et tome cités à la note 48,
p. 206; H. Bucaozz, Ouvrage et tome cités à la note 48, p. 282 ; etc.
(58)
il vient, par (53), (54), (37),
| D + VC Ant, (39).
PRESENT T HER (10)
Dès lors, les composantes du vecteur «impulsion » sont, si
p — low, {4 — mo, © sont les composantes de w, |
9x = Ap + vlw(C — A), | (41)
Gy — Ag + vmow(C — A), : (42)
= Co, / | (45)
et les deux premières équations différentielles du mouve- |
ment (255)
QUES
—— z Vo 0,
di SA UE TUy
dg, ue, 0
= 1x — PQ: = Ù,
dt ÿ.: Pg
deviennent
d \
_ + wE(l — v)qg = 0,
si | (44)
. — WE — v)p = 0,
où
C — A
2 45
e < (45)
Les équations (44) nous montrent que le mouvement de f
est encore circulaire et uniforme, mais que sa période est
Ir
Fausse (46)
we WE(1 — v)
(5%) Voyez F. KLEIN et A. SOMMERFELD, Ouvrage cité à la note 139, 4er fase.,
p. 140; H. JANNE, Mémoire cité à la note 3, p. 195; etc.
| période eulérienne d’un globe parfaitement rigide (y
Le rapport des périodes de libre précession est
È T' 1
PDP 1;
à Nous en déduisons
;
E- y —= À ue T' 2
à 2
#1 pd
0e 9
É ( 2q
— ,
? 5 ca |
il
9 Pa
4 + 846 aw?
Ph
?
nd nous déduisons de nouveau de (49)
(EX)
— 0).
(7).
(48)
(49)
(50)
(51)
Telle est la formule que Herglotz a donnée le premier et que
Love, puis Larmor ont généralisée.
3. H. PraTr, The Figure of the Earth, 1865, p. 19; etc.
Cette formule nous montre que le phénomène des varia-
L. (236) Cf., par exemple, F. TISSERAND, Ouvrage el tome cités à la note 48,
p. 206; G. HERGLOTZ, Mémoire cité à la note 32, chap. IV, p. 293;
( 60 )
tions des latitudes nous permet de déterminer Æ séparément ;
. alors (20) ou (28) nous fournira h.
Pour la Terre, nous avons, en unités C. G.S.,
dr au? |
— 6,51 X 10°, ] —= 981, = ?) — = ———
MS TE “BG g 989
Si de plus nous prenons T — 505 jours sidéraux,
1 : : ;
TE aplatissement réel de la Terre donné
par les mesures géodésiques, nous trouvons, par (52),
T' — 427 jours et e —
4
k — Tr environ. (C)
En comparant (C) avec
1
h— k— 3 environ, (A ou B)
nous trouvons
‘) =
h2= ; environ. (AC) (57)
VIT.
Avant d'aborder l'étude de la quatrième méthode, 11 faut au
préalable montrer ce que peuvent nous renseigner les valeurs
(A ou B), (C), (AC) relativement à la rigidité du globe. Comme
on à pu le remarquer, les raisonnements sur lesquels est basé
l'établissement des formules (20), (28) et (52), bien qu'exigeant
la légitimité de l'application au globe d’une théorie d'équilibre
en couches concentriques stratifiées, ne présupposent nulle-
(257) Nous désignerons dorénavant par le symbole (MNP...) une valeur
déduite de la comparaison des formules (M), (N), (P), .... — Sur l'existence
d'une différence entre le coeflicient & qui intervient dans la deuxième
méthode et celui qui joue un rôle dans la troisième méthode, voyez SHipA, .
Mémoire cité à la note 45, 6e partie et remarque terminale, pp. 277-286.
.. Sévol nads. à dé. és dd 5 ch
fu: ne is Son Sd dd Sd D ss
dt an id à lc rc à bé. ss ar du Ch dé dé Se D "E
(61 )
ment que l’on ait adopté telle ou telle hypothèse particulière
concernant l’hétérogénéité, l’anisotropie ou la DOS
de la substance qui le compose.
Mais il est clair que, pour pouvoir parler ici de « rigidité »
ou de « compressibilité » du globe ou de l’une de ses parties,
force nous est de faire quelque supposition particulière concer-
nant ces propriétés physiques et respectant le postulat fonda-
mental.
Nous dirons qu’un corps est homogène, sans plus, quand la
densité cubique de la substance est la même en tous les points.
Par opposition, nous dirons qu'un corps possède l’homogé-
néilé élastique (258) quand la résistance élastique qu'offre sa
substance aux déformations est la même en tous ses points;
analyliquement, les trente-six coeflicients des six éléments
€» €9, €, Yi Ya, Y5s de la déformation, dans les expressions
des six tensions de Cauchy N,, No, N>, Ts, To, T; sont alors
des constantes pour tous les points, c’est-à-dire sont indépen-
dants des coordonnées de ces points (25°). Lorsque, de plus,
la constitution élastique est, en chaque point, la même pour
toutes les directions émanant de ce point, nous dirons que la
substance composant le corps est isotrope; dans ce cas, les
trente-six coefficients constants du cas plus général précédent,
qui se réduisent déjà à vingt el une constantes par la considé-
rauon du principe de la conservation de l'énergie (240), peuvent
toutes s'exprimer, dans ce €as particulier, en fonction de deux
constantes seulement (2#1); nous prendrons, pour ces dernières,
les constantes élastiques À, w de Lamé (°°),
(258) Cf. note 1929.
(2%) Voyez, par exemple, P. APPELL, Mécanique rationnelle, Paris, t. III,
dre édit, 1903, chap. XXX VII, art. 798, p. 907 ; A. E. H. Love, Elasticity,
Cambridge, 2e édit., 1906, chap. IE, art. 66, p. 97; etc.
(25) CF. G. GR&EN, Trans. Phil. Soc., Cambridge, t. VIT, 1839; KELVIN,
Nat. Phil, 1. II, art. 673, pp. 213-216; Love, lbidem et Introduction,
Hp Pr; etc.
(24) Cf. Love, Ibidem, art. 68, pp. 99-100; Apprii, Ibidem, art. 799,
pp- 907-511 ; etc.
(22) G. LAMÉ, Leçons sur la théorie mathématique de l'élasticité des corps
solides, Paris, 4re édit., 1857.
(62)
Lorsque la substance sera à la fois homogène quant à la
densité et quant à l'élasticité, et isotrope, nous dirons qu’elle
possède une homogénéité parfaite.
Une substance « parfaitement homogène » peut d’ailleurs
être compressible ou incompressible, aussi bien qu’une substance
hétérogène et anisotrope.
Enfin, un corps peut se composer de plusieurs parties,
homogènes séparément et de dimensions finies.
Ces définitions précisées, nous pouvons considérer suecessi-
vement les trois hypothèses suivantes, qui comptent parmi les
plus importantes de celles proposées pour le globe :
Homogénéité parfaite (25) ;
2. Homogénéité élastique et isotropie; répartition des den-
sités suivant la loi de Roche ;
3. Hypothèse de Wiechert ; homogénéité parfaite du noyau
et de l'écorce, séparément.
1. Homogénéité parfaite. — Données : rayon moyen du globe
— a — 6,37 X 10$ centimètres ; densité — densité moyenne
— p — 5,53 grammes-masse par centimètre cube; g — 981
centimètres par (seconde)?.
Inconnues : sk$ LL.
En admettant que h et k sont les données expérimentales,
on a, d’après Love (2##), la solution du problème en résolvant,
par rapport à À et w, les deux équations
ES" ils
Q
€
a
[au]
SJ
ne
|
né 1e
e
LT,
Fe
!
QUE
en
PS
S)
TE
S
É
p "+
— —
| see (53)
Pr UE 1, 60 + 2x) à
| PRES À + 2u | \/: à: A
(25) Il est clair, d'après ce que nous avons dit au $ Il, que cette hypo-
thèse simpliste n’est proposée que dans le but d'obtenir des renseignements
généraux sur l’ordre de grandeur de la rigidité de la Terre.
(24) Ouvrage cité à la note 24, chap. VIL- VIII, pp. 89-110.
PT
ann ct Ad dl au ot DUR : “6 ds
A ds dns
|
|
|
|
( 63)
où + et 8 sont eux-mêmes solutions des deux équations trans-
cendantes
1
2 6 a — ape AcQe— SA + 22 —Ee B;y2 ue 3 B;y1— h, |
6) oser, rar
| ») (54)
AV AE + G—1—hk,
dans lesquelles on a employé les abréviations suivantes
aa COS A — Sin a
1 LES ERREUR
a?
|
l
(3 — aa?) sin aa — 3xa cos «a
Te ue
Ba cosh Ba — sinh ba
NE RANCE An
(3 + Pa?) sinh Ba — 36a cosh Ba
Ga”
et où A», Bo, C sont solutions des trois équations
at | me site u+ + +) k
a RAS 25 AA B?a? 15
À + (+ + a)+T a |
9 2 FX CS
2
2} 3002 —f?) LES
0
B, { (382 + o?)(a2 — B2)(105%: — 2y1) — (38? —« Rays}, Ê
/
(56
D À, Ja +- Ge? B, 3? . (e LS
bg ouhpvtou pl
Mais il est clair que de telles équations sont, pratiquement,
irrésolubles directement : on doit nécessairement procéder par
tätonnements.
4) PREMIERS TATONNEMENTS. — On suppose la substance
incompressible k, — À — æ ; il reste à déterminer p. Il est
(64)
facile de montrer (2) que, si x reste fini, mais que > tende
vers zéro, « et Ê tendent tous deux vers zéro, et £ tend vers
l'unité; que d a tend vers — à Lo (aa) vers _ 41 (Ba)
1 ;
vers 3, 42 (Ba) vers 5 ; et qu'enfin À tend vers
5 5
9 pile
h 5 NUE 37
pr ttenlé pa one (7)
2 goa
ce qui est précisément le résultat mdiqué par lord Kelvin (26).
On conclut aussi de (54) que
3
kb = h, (b8)
ce qu'on peut déduire encore de (16), en faisant p — »,,
Fr) = 0.
Nous voyons immédiatement que la relation (58) est incom-
patible avec le système (A), (C) des valeurs données par l’obser-
valion. |
Estimation I. — On peut se servir de (A) et de (58) pour
déterminer h et k. On obtient
=, re (A, 58)
ce qui contredit
RE 3
(235) Love, 1bidem, art. 193, p. 108. Pour une comparaison analogue à la
nôtre, voyez SHiDA, Memoire eité à la note #5, Introduction, $ 4, pp. 16-20.
(236) Natural Philosophy, t. IL, art. 840, pp. 436-437; voyez aussi LOVE,
Elasticity, chap. XI, art. 184, p. 254; SxivA, Ibidem, n° 4, p. 16; etc.
( 65 )
A ” Si cependant on calcule 4. par (A, 58) et (57), on obtient
D) 4 4
. ms — 19 Pa 5 * 3,5 X 102—7,6 X 104 dynes par cm?. (A,58,57)
—
28,
= C’est le résultat de lord Kelvin (247) : la rigidité obtenue est
_ à peu près celle, 7,7 x 4011, qu’il adoptait pour l'acier.
FE
Estimation 11. — On peut combiner (C) et (58). On a alors
h
RNA LERERS (C, 58)
ce qui contredit d’ailleurs
hi: CAPE se By À —
… puis, pour la rigidité, on obtient, par (57),
# ag
æ co = gp 100 x 10%, (C, 38, 7)
Q
87 . . #
_ rigidité plus de deux fois aussi grande que la précédente (245).
Estimation III. — On peut aussi — cela semblera peut-être
| encore plus arbitraire — partir de h — : (AC); on a alors,
_ par (58),
À 9
F k — — (AC, 58),
4 25
_ et, par (57),
«|
U = 3 gea — 11,7 X 1041. (AC, 57)
Ë . (47) Natural Philosophy, t. 1, art. 837-840, pp. 434-437; Sin, lbidem,
Duel, p. 46.
_ (2%) Smipa, Ibidem, n° 2, p. 16.
( 66 )
Estimation 1V. — Remarquons que ‘es deux dernières
valeurs de x ont été obtenues au moyen de 4 — Fe (C). Cette
valeur à elle-même été trouvée, en employant (52) et en y
faisant “— — _ T = 505 Jours, T' — 427 jours, e — TE
On peut se demander s’il est parfaitement légitime de choisir
ces nombres ; en effet, on sait que, pour un globe homogène,
l'aplatissement e est égal à l’excentricité e (24) et que la
période de libre précession est donnée par T — = jours (250) ;
si l’on suppose le globe homogène, il semble que l’on doive
prendre T — = — 252 jours (#51) au lieu de T — 505 jours ;
alors (52) donne # — 0,685 (C'), puis (58) fournit h — 1,142
(C’, 58); et enfin (57) donne
ee Jon CDN (C', 58, 57)
4088 É | ps
Estimation V. — Hough (%?) à conservé T — 305 jours,
Mais à pris e — _ On trouve, si l’on accepte cette pe
un peu hybride, au moyen de (52), & — 0,4226 (C/’), e
par (58), k — 0,704 (C/’’, 58); enfin, par (57),
x 49
LL — me goa — 9,4 x 104. (C!', 58, 57)
On voit que les chiffres diffèrent beaucoup d’une estimation
à l’autre (255).
(24) C£., par exemple, HerGLoTrz, Mémoire cité à la note 32, p. 295.
(250) Voyez notre Mémoire eité à la note 3, 2 partie, K 3, p. 80.
(251) C£., par exemple, HERGLOTZ, Mémoire eité à la note 32, p. 295 ; SHipA,
Mémoire cité à la note 45, Introduction, n° 2, p. 17.
(252) Cf. Mémoire cité à la note 33, $ 7, pp. 337-339. Le chiffre que nous
obtenons est assez différent de celui 8,19 X 101 que HouGx adopte pour
l'acier; Sxiba, Ibidem, n° 2, pp. 16-17.
(255) A. BRILL trouve, dans l hypothèse de l’homogénéité, en tenant compte
de l'influence des océans,
pe 9,812 1081:
Voyez plus bas (note 286).
( 67 )
B) SECONDS TATONNEMENTS. — On ne suppose plus la
substance incompressible. A cause de la difficulté de lesti-
- mation, Love se borne (254) à l’étude de deux cas simples et il
É procède d’ailleurs à cette recherche en suivant une méthode
inverse. |
| Estimation VI. — 11 fait une hypothèse qui simplifie nota-
—. _ blement les caleuls et qui consiste à prendre aa — 3, Ba — 2 (59),
ce qui lui donne |
DR Hé ci
9, 53
46 (5 )
et = "u— 19,15.X 104,
e 55 F o X 10
et il cherche les valeurs de h et k correspondantes. Il trouve
h = 0,932,
| (59,53, 55, 56, 54)
k=0,543;: |
ce qui donne h — k — 0,419. Ces valeurs contredisent (A),
(C), (AC).
Il faut observer que les valeurs de & et À (59, 55) ne sont
. pas absolument arbitraires : & correspond à peu près à la rigi-
. dité de l’acier ; de plus, le rapport - est compris entre 1 et 2,
ce qui arrive pour presque toules les substances que l’on
connaît. | |
Love calcule aussi les valeurs de h et k qui résulteraient de
. l'hypothèse d’une même rigidité u = 7,16 x 1011, combinée à
celle de l’incompressibilité } — æ, et obtient ainsi
h—0,889; ;
k — 0,503,
(25) Ouvrage cité à la note 24, chap. VIE, art, 495 et 196, pp. 108-110.
( 68 )
et en conclut que l'hypothèse de la compressibilité augmente
d'environ 10 °, la valeur de h, tandis que celle de k n’est
accrue, de ce chef, que d’une quantité insignifiante.
Estimation VII. — Love procède d’une façon identique en Ç
prenant œ«a — 5,5, fa — 3,1, (60), ce qui lui donne
u — 6,955 x 104
2041 (60, 53)
et Er Le 1,303 X 104
puis
h — 1,044,
k — 0,595, (60, 53, 55, 56, 54)
el Oh —k— 0,521,
ce qui est encore en contradiction avec (A), (C), (AC). Avec la
même rigidité LL et une incompressibilité parfaite, 1l trouve
h — 0,855,
| k — 0,513.
L'augmentation de h, due à la compressibilité, va Jusque
20 ©, ; celle de k reste peu sensible.
Conclusion de l'examen de la première hypothèse (homogénéité
parfaite). — Ces calculs et ces considérations ne doivent pas
faire douter de la conclusion générale à laquelle lord Kelvin
était parvenu, à savoir que la Terre, dans son ensemble, doit
être très rigide et d’une rigidité comparable à celle de l’acier.
Toutefois, il semble illusoire de vouloir chercher une déter-
mination numérique précise, car les tàtonnements sont très
pénibles et d’ailleurs l'hypothèse admise contredit ouvertement
les faits. Suivant Love (255), la valeur de Kelvin, soit une
(#5) Mémoire cité à la note 39, art. 19, p. 81, 2% note. Il s’agit ici, bien
entendu, d’une opinion basée sur la comparaison des résultats des trois
premières méthodes seulement.
(69)
rigidité comprise entre 7 x 1011 et 8 x 1011 dynes par centi-
mètre carré, semble plus probable, pour la « Earth’s tidal
effective rigidity », que la valeur de Hough, qui est voisine de
9rx 4011.
2. Homogénéité élastique et isotropie; répartition des densités suivant
la loi de Roche. — Données : rayon moyen du globe = a
— 6,57 X 10$ centimètres; g — 981 centimètres par (seconde)2.
Loi de Roche :
RES 1 —_ 0,764 (7) (61)
Où po — densité centrale — 10,1 grammes-masse par centi-
mètre cube et, par conséquent, densité superficielle 0, — 2,384
grammes-masse par centimètre cube.
Inconnues : À, u. |
Herglotz, qui s’est placé dans cette hypothèse, a admis, vu
la difficulté du sujet, que la substance est incompressible :
À — œ. Dès lors, il ne reste plus qu’à déterminer u. La solu-
tion que Herglotz a donnée (256) du problème de la défor-
mation élastique ne permet pas de déterminer directement u au
moyen de X, comme cela était possible, par (57), dans la
(256) Mémoire cité à la note 39%, chap. H-HE, pp. 283-289. Antérieurement
DARWIN avait recherché l'influence de l’hétérogénéité, en admeitant que les
ellipticités des couches concentriques d'égale densité fussent reliées à celle
de la surface extérieure par la même loi que dans le cas de l’homogénéité
et en admettant aussi que la loi des densités fût celle de LAPLACE
[Cf. Mémoire eité à la note 31]; il avait obtenu, dans ces conditions, pour k
les 0,972 de la valeur k, de k dans le cas d'un globe identique, mais
homogène, isotrope et incompressible (voyez Première hypothèse), ayant
pour densité pm — 9,9; la loi de LAPLACE ou de LEGENDRE qu'il admettait
était
ni D
1 —
— =. #7 4 a =— 6 - .
— pie RE” ivec Ps AIR — 2,6 et 0 — 14%);
r désignait le rayon moyen de la couche d'égale densité.
(70)
solution de Kelvin; mais il à suivi le procédé inverse en se
donnant 4 el en caleulant h ou k.
Les recherches de Herglotz comprennent trois points
1° détermination de À, pour un x donné, dans le cas en
question, au moyen de la déformation élastique ; 2° déter-
mination de k, pour un x donné, dans la même hypothèse, au
moyen de la variation des latitudes ; 3° un problème identique
au 2, mais avec la loi discontinue des densités de Wiechert,
à la place de celle de Roche : problème qui sera traité succinc-
tement plus loin.
Nous ne nous occupons maintenant que du 4° et du 2°.
1° Détermination de h. — Il trouve qu'avec l’hypothèse de
l’homogénéité élastique, de l’isotropie, de la loi de Roche et
une rigidité uniforme égale à celle de l’acier, qu’il prend égale
à u = 7,65 X 1011, on doit obtenir
195,4
4 898,4
hy — 0,807 h, (62)
h, étant la valeur de h pour un globe identique, mais homo-
gène de densité o — 5,5, el incompressible (voyez Première
hypothèse) (257). Dans l'estimation 1, nous avons ‘trouvé, pour
un globe possédant l’homogénéité parfaite et l’incompressi-
bilité absolue, avec une rigidité très voisine de la précédente,
soit m — 7,6 x 1011,
6]
ho = =? | À, 58
nr: (A, 58)
en nous basant sur la donnée expérimentale provenant de la
(257) Il semble que HERGLOTZ se soit mépris, en confondant la variation
‘de h avec celle de k. D’après lui (Mémoire cité à la note 32, ch. III, p 289),
0,807 doit remplacer le chiffre de 0,972 (voyez note 256) de DARWIN; or
0,972 se rapporte à k, tandis que 0,807 correspond à À.
LR be dé
ES EE
PURE OR OR NT
LL. sk, LA
L
J
k
:
À
(TH)
mesure des marées océaniques ou des déviations de la verticale.
Alors, combinant cette valeur de À, avec (62), nous avons :
h= = (A, 58, 62)
pour le globe de Herglotz.
2 Détermination de k. —- Comme nous l'avons dit ci-dessus,
la formule (52) est due, au fond, à Herglotz. En l’appliquant à
l'hypothèse actuelle, c’est-à-dire celle dans laquelle le globe
possède l’homogénéité élastique, l’isotropie, l'incompressibilité
et des densités variant suivant la loi (614) de Roche, après avoir
Lil 608,8
pris, avec Herglotz, D Rr (65), on trouve, avec e = 5
au»? 1
Mio 980?
k — 0,346. (52, 63)
Comparant les valeurs de h et k, on à
h — k — 0,321,
ce qui est voisin de À — k — = (A ou B), d’où nous sommes
partis pour trouver la valeur de k. Ce résultat est done relati-
vement satisfaisant; mais la période T/ — 481 jours n’est pas
la période chandlérienne.
9. Loi des densités de Wiechert; homogénéité parfaite : 4) du globe tout
entier, 5) du noyau et de l'écorce, séparément.
_ Données : rayon du noyau sphérique — rayon de la surface
interne de l’écorce — b — 0,78a; rayon de la surface externe
de l'écorce — a — 6,57 x 108 centimètres; g — 981 centi-
mètres par (seconde)?, à la surface externe de l’écorce; densités :
noyau, 9, — 8,206 grammes-masse par centimètre cube; écorce,
Pe = 5,2 grammes-masse par centimètre cube.
Inconnues : à) À, x du globe; $) },, u, du noyau et À,, y, de
l'écorce.
(124
Herglotz, Brill, Schweydar et Love, qui ont traité ces cas,
ont supposé, pour simplifier, que la substance composant le
noyau et celle composant l'écorce sont toutes deux incom-
pressibles, c'est-à-dire que, dans à, À — et, dans 8,
À, = À$ = %. Dès lors, il n’y a plus pour eux qu’une
inconnue, x, dans le premier cas et deux inconnues, u, et a,
dans le second. Adoptons cette hypothèse simplificatrice.
x) Cas des rigidités égales nu, — u, =. — Schweydar trouve,
pour h, la valeur (258)
Re 0,00939 + 0,4099m
0,00481 + 0,2712m + m2
Re
age
ù (64)
avec m
En prenant encore la rigidité de l'acier = 7,65 X 10f1 et
les valeurs ci-dessus de a, g, o,, 1l trouve
— 0,805ho, (65)
valeur qui se rapproche beaucoup de celle, (62), que Herglotz
a obtenue, avec la loi des densités de Roche. Il faut remarquer
que la forme de l’expression (64) permet de trouver facile-
ment x, lorsqu'on s’est donné préalablement k : l’équation à
résoudre n’est, en effet, que du second degré.
Herglotz à obtenu d’ailleurs, avec l'hypothèse de Wie-
chert, la valeur (25%), à très peu près équivalente à (64),
1,089 47,5m (5)
0,558 + 31,4m + 116m° À
a 3 se
Si l’on se donne à — : (AC), comme il résulte des observa-
(#8) Mémoire cité à la note 35, chap. I, p. 57, form. (20).
(2%) Mémoire cité à la note 32, chap. V, p. 298, form. (15).
PS
(78 )
tions des marées, des déviations de la verticale et des varia-
tions des latitudes, on obtient, pour m, l’équation
m? — 0,4123m — 0,01084 — 0
dont la racine positive est m — 0,437 ; à celte racine corres-
pond
u = 8,11 x 104, (AC, 64)
ce qui contraste violemment avec les valeurs
um — 6,1 X 104, (260)
ui — 0,0 X 10%, | (66)
u— 0,5 X'10#,
indiquées par Schweydar comme résultant des mesures respec-
tives de la marée océanique lunaire bimensuelle, de la marée
océanique lunaire mensuelle et des déviations de la verti-
cale (261), Love trouve aussi (262)
u = 6,3 X 104 (67)
pour valeur de la rigidité déduite des observations au pendule.
En ce qui concerne k, Herglotz trouve (265) une formule qui
revient au fond à
2ge 1 + 49,2m
k — es 66
(CE ) 1+56,39m + 208,4m° (ee)
4 $ a aw? 1 1
Avec k — 5 (C), c'est-à-dire pour = gg € = 5j
(260) Mémoire cité à la note 35, chap. IL, p. 74; SHipa, Mémoire cité à la
note 45, Introduction, n° 3, p. 18.
(61) C£. Ibidem, chap. Il, p. 61, form. (10).
(2) Mémoire cité à la note 39, $ 13, p. 82. Les calculs ne sont pas exposés
en détail.
(255) Mémoire cité à la note 32, chap. V, p. 298, form. (17).
(74 )
T = 505 jours, T' — 427 jours, on trouve, en résolvant cette
équation par rapport à m, puis en déduisant de la solution
la valeur de u,
Le THOSE UE
d'après Herglotz (264), ou (C,68)
u — 11,52 x 10,
d’après Love (265).
Le contraste complet qui existe entre les valeurs (66) ou (67)
déduites des mesures des déviations de la verticale et les
valeurs (C, 68) obtenues au moyen des mesures des variations
de la latitude, montre, d’après Love (266), que l’hypothèse
d’ane rigidité identique, pour le noyau et pour l’écorce, est
absolument inadmissible. Aussi Schweydar, Brill et Love en
sont-ils arrivés à considérer l'hypothèse suivante.
6) Cas des rigidités différentes nu, = u.. — Ce cas comporte
la détermination de deux inconnues u, et nu.
Herglotz a donné la formule suivante (267), d’où nous avons
déjà tiré (68) :
1 h + PR ARC
(69)
|
ë n+è—E pas
où h, est le coeflicient analogue à À se rapportant à la
surface du noyau; h', h,; désignent les valeurs de À et h, pour
u, — u, — 0. Voici comment Schweydar utilise cette formule
(264) Jbidem, p. 299: Sxina, Mémoire cité à la note 45, Introduction, n° 3,
p.47.
(25) Mémoire cité à la note 39, K 13. p. 82; Smipa, Ibidem.
(266) Jbidem.
(257) Mémoire cité à la note 32, chap. V. p. 298, form. (16); cf. SCHWEY-
DAR, Mémoire cité à la note 35, chap. IV, p. 76, form. (1); Bizz, Mémoire
cité à la note 44, Introduction, p. 6. BriLL considère en outre l’influence
des océans : aussi le numérateur de sa formule, analogue à :69), contient
ce EU et mn
(ASS
et d’autres pour déterminer u, et , (268). Il ne passe pas par
. la détermination de !a valeur de k, analogue à (68), que l’on
. déduirait facilement de la comparaison de (52) et de (69); mais
_ il emploie les formules suivantes.
Tout d’abord, il fait observer que À et h; peuvent s'exprimer
au moyen de u,, x, au moyen des équations (26°)
x h 8 + hf, = à, |
70
R£' Sa laBs Sr. ù’, (
où les coeflicients ont pour valeurs, en fonction de € ns (74),
n
TT CT
B — M + 0,3869c + 1,0764e + 0,7892 + 0,0633,
; |
| H— 0,40616 + 1,0203€ + 0,6390c,
B— 0,4766@ + 1,1742& + 0,7083c — 0,0199,
= M:+ 0,5430c + 1,3926c2 + 0,8988c, ke
à — A1,M870+ 3,7419% + 2,3299c+ 0,0998, |
S — 1,54676 + 3,9394c + 2,502, |
An
avec M — — (0,0274c + 0,2333c2 + 0,4678c + 0,2693).
YPe à
Remarquant ensuite que
Des -E OL — 9,162, (13)
Pe
. comme on le déduit de (70) et (72), où l’on a eu soin de poser
D 10), et de ? = 0,78, 0, — 8,206, o, = 3,2, et adoptant,
. 60 ; es ; /
il un terme en plus, soit L" —, ps étant la densité de l’eau des océans et h!! se
rapportant à la surface libre de ceux-ci. Schweydar fait de même dans un Tra-
vail plus récent [Premier Mémoire cité à la note A chap. VIII, p.34, form. (31].
(268) Mémoire cité à la note 35, chap. IV, pp. 75-76.
(26) Jbidem, chap. I, p. 57, form. (19) et (19 a).
(20) Car dans (70) et (72), on posera p — pe avant de les annuler toutes
deux, puisque la formule (69) de HERGLOTZz est établie pour Um — be.
- L'application ultérieure de cette dernière formule pour un >< pe semble être
- un défaut du procédé de SCHWEYDAR.
( 16 )
avec Schweydar, la valeur de T’ que Kimura à proposée
en 1905 (au lieu de T’ — 427 jours), soit T' — 4534 jours, nous
oblenons, par (69),
h + 0,579h, — 0,820. (74)
Cette relation est done basée uniquement sur la mesure de
la période (de Kimura) des variations de latitude.
Pour obtenir une seconde équation, Schweydar a recours,
comme nous l’avons fait nous-même, à la théorie des marées
élastiques et des déviations de la verticale (271) et obtient
0,656 — 0,199, — 0,339 (75)
En résolvant le système (74), (75), 1l a
h — 0,622, h; =: 0,348; SONT)
ces valeurs introduites dans (70), où les coefficients ont les
expressions (72) avec c £ 1, permettent, par la résolution d’une
équation du troisième degré qui à une seule racine réelle
positive, de trouver
c — 0,042,
nr 17
tandis que M—0,235. | (D)
De là il déduit, pour les coefficients de rigidité de l'écorce
el du noyau (272),
e— 0,9 x 104, |
à (18)
ln — 20,2 108)
Brill (275) prend pour x la valeur
u, = 1,13 x 10
(24) C£ Ibidem, chap. IX, p. 61, form. (10) et chap. IV, p. 76, form. (2).
(22) 1bidem, pp. 76-77; Sniva, Mémoire cité à la note 45, Introduction.
n° 3, p. 18.
(275) Br, Mémoire cité à la note 44.
sa C0 NE
(71)
correspondant à la vitesse de propagation trouvée par Wie-
chert (274) pour les ondes sismiques B de distorsion dans
l'écorce, et en déduit, par la considération de la période de
Kimura, la rigidité du noyau :
un = 14,48 x 10.
Love (275), en refaisant les calculs de Schweydar et en prenant
des données légèrement différentes, a obtenu
de — 0,86 x 104, .
ee DEC 104. +
Schwevdar trouve, avec raison, les valeurs (78) invrai-
semblables. D’après lui, elles permettent de conclure qu’il doit
exister, en dessous de l'écorce, une couche plastique recouvrant
un noyau très rigide; les déformations relativement fortes que
cette couche pourrait subir sous l’action de la Lune et du
Soleil auraient leur répercussion sur celles de l'écorce et
augmenteraient ainsi les marées de celte dernière.
Love, comme nous l'avons déjà dit ci-dessus, à soumis cette
hypothèse au calcul (276). Il suppose qu’une théorie d'équilibre
est applicable à la couche intermédiaire (277), que le noyau est
parfaitement rigide (x, — œæ), que la couche à la même
densité que l'écorce. et est très mince. Il trouve dans ce cas,
pour la rigidité de l'écorce,
u, — 35 x 104, (80)
| GO
en partant de k — : (AC) : cela lui semble inadmissible.
©
(24) Mémoire cité à la note 26. Voyez le ch. VII et la note 289.
(25) Mémoire cité à la note 39, $ 13, p. 82. Ici non plus les opérations ne
sont pas détaillées. Voyez aussi SHIDA, 1bidem.
(276) Love, 1bidem, $$ 14-90, pp. 82-88.
(27) CE. Ibidem, $ 1, p. 74, note ajoutée, et Ouvrage cité à la note 24,
chap. IV, art. 55, p. 90. et surtout art. 63, p. 56; enfin Sxipa, fbidem, p. 19.
(78)
Il fait remarquer que l'influence de la couche plastique,
imaginée par Schweydar, est telle que, pour rendre compte
des faits observés, une écorce ayant une épaisseur notable, soit
1,400 kilomètres, devrait posséder une rigidité cinq fois supé-
rieure à celle de l'acier ! Et si on lui supposait seulement une
épaisseur de 64% kilomètres, sa rigidité devrait devenir
soixante-six fois aussi grande que cette dernière rigidité !
I] admet cependant qu'une couche plastique peut recouvrir
certaines parties du noyau, mais seulement par plages isolées.
Mais tout récemment Schweydar (278) a étudié de plus près
les conditions d'existence d’une telle couche de magma fluide
et tiré d’autres conclusions.
Ces dernières sont que, sous l’écorce, il ne peut exister une
couche fluide, composée, par exemple, de métaux fondus, de
quelque épaisseur.
Il nous reste à dire un mot de l'influence des mers.
S. Newcomb (27%) à pensé que le quart de la différence
existant entre la période eulérienne et la période chandlérienne
pourrait être attribué à l'influence des océans, qui recouvrent
environ Îles trois quarts de la surface du globe.
R. S. Woodward (280) est allé jusqu’à dire que l’écart tout
entier peut être attribué à cette influence.
Comme nous l'avons dit ci-dessus, c’est M. P. Rudzki qui à,
le premier, traité celte question d’une manière un peu appro-
fondie (281).
I se place dans l'hypothèse de Hough, c'est-à-dire celle,
étudiée ici en premier lieu, où le globe est « parfaitement
homogène » et incompressible ; cependant, 1l prend une
(278) Premier Mémoire cité à la note 41, chap. II-III, pp. 15-32; spécia-
lement p. 31.
(279) Mémoire cité à la note 214, p. 337.
(280) Mémoire cité à la note 224; cité par HouGx, Mémoire mentionné à la
note 33, p. 343. :
(28) Mémoire et extrait cités à la note 34; respectivement chap. V,
pp. 335-368 et 283-311. Voyez aussi la dissertation de BriLL citée à la
note 44, chap. IT, $$ 6-8, pp. 30-60.
PAR
CTP CT EN 117
(79)
densité moyenne généralement inférieure à celle (5,53) que
nous avons admise ci-dessus, dans l’expression du potentiel
des réactions centrifuges, parce que, selon une indication de
Newcomb (2%?) que lui-même adopte (55), ces réactions étant
surtout importantes pour les régions voisines de la surface et
étant proportionnelles à la densité, l'effet de ces réactions, que
l’on calculerait en prenant p,, — 5,5, serait exagéré. Newcomb
avait choisi pour cette densité moyenne 0, qu'il appelait
« effective density », les 0,6 de la densité de l'acier, soit
environ 4,48 grammes-masse par centimètre cube ; Rudzki fait
diverses hypothèses ; il prend successivement pe = 2,2; 3; 4;
4,5; 5,5, valeurs qui sont comprises entre la valeur de la
densité superficielle 5, — 2,2 que Rudzki choisit et celle de la
densité moyenne proprement dite 0, — 5,5. Il faut remarquer
en outre que, seconde exception à l'hypothèse de l’homo-
généité, Rudzki fait figurer, dans l’expression des variations
du self-potentiel attractif du globe, dues aux déformations,
non p, Où p,, mais bien la densité superficielle 6, — 2,2,
puisque les élévations ou les abaissements qui se produisent,
par rapport à la surface sphérique, sont composés de la
substance formant la matière de sa surface (?84). Moyennant
ces deux remarques relatives à la densité du globe et l'adoption
de la densité o' — 1 pour les eaux de l’océan, qui est supposé
couvrir tout le globe, Rudzki trouve les rigidités suivantes (285) :
‘ pour p, = 2,2, mu — ÿ,67 X 101 dynes par cm?,
» D'EL « » 8,19 » ,
» 4, ES » SAUCE)
» 4,5, » 20,36 » F
» D,D, » 26,91 » Mr
(28) Mémoire cité à la note 214, p. 339. j
(25) Mémoire cité à la note 34, chap. V, p. 336; extrait cité à la note 34,
pp. 287-288.
(281) Jbidem, respectivement aux pp. 335-340 et 2953.
(2%) Jbidem, respectivement aux pp. 366 et 311; Sxipa, Mémoire cité à la
note 45, Introduction, no 9, p. 17.
( 80 )
tandis que lorsqu'il néglige l'influence des océans et qu'il
prend pour densité effective b, — 2, = 5,5, il trouve, pour la
rigidité du globe, |
u — 12,50 X 104, environ. (82)
D'après lui, une densité effective, pour être admissible, doit
être voisine de 4 : si l’on prend p, — 4, on trouve une rigidité
plus de deux fois aussi grande que celle de l'acier.
Plus récemment A. Brill, dans une intéressante disserta-
tion (56), a repris l'étude détaillée de l'influence des mers sur
la valeur du coefficient de rigidité x du globe (hypothèse de
l'homogénéité) ou de son noyau (hypothèse de Wiechert).
Il admet, à très peu près, la répartition des mers indiquée par
Lord Kelvin (?$7) et trouve que, si l’on veut que la nouvelle
période de libre précession atteigne 436,6 jours, comme
l’a indiqué H. Kimura (255), au lieu de 305,2 jours, on doit
adopter les rigidités suivantes :
1° Homogénéité. — x — 9,81 x 1011 dynes par centimètre
Carré ;
2° Jlypothèse de Wiechert. — Avec la valeur u, — 7,13 X 10H
dynes par centimètre carré que l’on déduit, pour la rigidité de
l'écorce, de la vitesse de propagation (5,25 kilomètres par
seconde) des ondes sismiques de distorsion [indiquée par
E. Wiechert et K. Zôppritz (?289)], u, = 14,48 X 1011 dynes par
centimètre carré.
(286) Citée à la note 44.
(287) Cf. Natural Philosophy, t. II, 1903, $ 848, p. 449; M. LÉvy, Théorie
des marées, Paris, 1898. 1re partie, chap. 1, pp. 14-15; A. E. H, Love,
Mémoire cité à la note 38, K 57-61, pp. 996-939 : A. BriLL, Mémoire cité à la
note 44, chap. IL, $ 7, pp. 51-52; etc.
(288) Astr. Nachrichten, Kiel, t. CLXVI, 1904, ne 3981.
(28) Mémoire cité à la note 26; A. BriLr., Mémoire cité à la note #4, Intro-
duction, p. 4. et chap. II, $ 8, pp. 59-60; Sipa, Mémoire cité à la note 45,
Introduction, pp. 19-20. Voyez le chap. VIIT et la note 274.
|
|
(81)
Dans les deux cas, le cercle chandlérien se transforme en
une ellipse de faible excentricité.
Enfin, il y a deux ans, W. Schweydar (2%) à examiné la
même question et obtenu comme moyennes de valeurs corres-
pondant à diverses hypothèses :
| ue — 6,8 X 10“ dynes par cm.
lp, — 149,7 x 104 :
VI:
Quatrième méthode : Détermination de la rigidité du
globe au moyen de la mesure des vitesses de propa-
gation des ondes sismiques.
Il convient d’abord de décrire brièvement les phénomènes
sismiques (291).
Il existe des contrées, telles que le Japon, le Chili, où les
tremblements de terre sont des phénomènes presque journa-
(20) Untersuchungen... (Premier Mémoire cité à la note A), chap. VIII,
pp. 93-07, spécialement p. 56.
(2%) Pour ce qui concerne la Sismologie,on peut consulter, entre autres :
F. DE MoNTESSuSs DE BALLORE, Les tremblements de terre (Géographie
séismologique, Paris, 1906); La science séismologique, Paris, 1907; etc.
J. MILNE, Seismology, Londres, 1898; Reports of the Seismological Committee
of the British Assoc. for the Adv. of Sc., passim, depuis 1898 jusque 1945;
Quarterly Journal of the Geological Society, Londres, t. XXXIX, 1883; etc.
E. Rupozpa, Beiträge zur Geophysik (GERLAND), t. VI, 1903. R. D. OLbHaM,
Mem. Geol. Survey Ind., t. XXIX, 1899. A. Scaminr, Wellenbewegung und
Erdbeben... (Jahresheft des Vereins für Vaterländ. Naturk. in Würtemberg,
t. XLIX, 1888). H. BENNDORF, Witteilungen der Erdbebencommission der Ak.
d. Wiss., Vienne, t. XXIX, 4905, ett. XXXI, 1906. B. BeRLoTY, Études, 1906.
GRABLOWITZ, Boll. della Soc. Sismol. Italiana, passim. R. SriATEssr, Boll.
d. Soc. Meteorolog. Ltal., (3), t. XXV. AGAMENNONE, Boll. d. Soc. Sismol.
[tal., t. IV, 1898. A. Cancanr, Ann. d. Uffic. Cant. Meteor. et Geodyn.
Italiano, (2), t. XV, 1894; Atti d. R. Acc. Lincei, Rome, t. I, 1904; Boll.
6
(82)
liers; d’autres où ils sont relativement rares; d’autres enfin où
ils ne se sont jamais fait sentir.
Dans un Ouvrage (°°?) de vaste érudition, F. de Montessus
de Ballore à étudié, par l'examen de 171434 tremblements de
\
terre enregistrés un peu partout, la répartition à la surface du
globe des centres d’ébranlements sismiques ; il a distingué les
contrées séismiques, les contrées pénéséismiques et les contrées
aséismiques.
Lorsqu'un tremblement de terre se produit en un lieu, non
seulement le sol, en cet endroit, peut éprouver des chocs
violents el par suite être animé de mouvements de grande
d. Soc. Sismol. Ital., t. 11, 1896. Laska, Mitleilungen, t. XXII, XXIX,
R. KÔVESLIGETHY, Math. naturw. Berichte aus Ungarn, Budapest, 1897
et 1905; Seismonomia, Modène; Mathematikai Értesitü, t. XXIX, 1906.
SCHLÜTER, Beiträge æur Geophysik (GERLAND), t. V, 1903; G.-B. Rizzo,
Memor. d. R. Acc. d. Sc., Turin, (;, t. LVII, 1906. Like, Wôchentliche
Erdbebenberichte des Geogr. Institutes, Gôttingen, 1907, n° 8. Articles
innombrables de J. MINE, C. G. Knotr, H. NAGAOKA, IMAMURA, EF. Omoni,
T. SHipa, S. HiROTA, ... dans les Transactions of Seismological Society of
Japan, Seismological Journal of Japan, Publications of the Earthquake
Investigation Committee, Bull. Imp. Earthq. Invest. Comim., Tokyo, passim.
Articles de J. MiLNE, RocksTROH, T. SHiDa, .... dans Nature, Londres,
passim; du prince GALITZIN dans le Bull. Ac. Impér. Sc., Saint-Péters-
bourg, passim, etc. Observations de F. AKERBLOM, C-F. KOLDERUP, G. AN-
GENHEISTER, O. EPPENSTE'N, F. ETZoLD, R. ScHüTr, O0. HECKER, etc., etc.
Spécialement GC. G. KNorr, Travaux cités à la note 98 et Scottish Geogr.
Magazine, t. XV, 1899. O. Fisner, Proceed. Phil. Soc., Cambridge, t. XII,
4904; M.-P. Rupzkt, Beiträge zur Geophysik (GERLAND), t. IH-IV, 1898-1900;
Mémoire cité à la note 34, chap. VI; Bull. Ac. Sc., Cracovie, octobre 1914
et janvier 1919, ctc.; Traité cité à la note 22, chap. V; etc. CH. JORDAN,
Revue gén. sc, Paris, t. XVIIL, 1907. A. E. H. Love, Ouvrage cité à la note 24,
chap. X et XI. E. WiecHeRT et K. Züpprirz, Mémoire cité à la note 26.
L. GEIGER et B. GUIENBERG, Mémoire cité à la note 377. Et comme syn-
thèse d'observations: R.-D. OLpHaM, Phil. Trans. Roy. Soc., Londres, A,
t. CXCIV, 1900. Cu. Jorpax, Article cité. KnorrT, Rupzki, LOVE, Traités cités.
WiecHERT et Züpprr1z, Mémoires cités. GALITZIN, Vorlesungen über Seismo-
metrie, Leipzig, 1914, etc. Enfin, les considérations très intéressantes et
pleines de bon sens que H. BouAssE émet au sujet de l'application de la
Théorie de la propagation des ondes (dans un milieu homogène et isotrope)
à l'étude des tremblements de terre [Cours de Physique, Paris, t. I, 2% éd.,
1913, ch. IE, $$ 86-93, pp. 99-108].
(22) Premier Ouvrage cité à la note 291.
(85 )
amplitude, mais encore le sol des pays situés dans un rayon de
plusieurs milliers de kilomètres, subit des vibrations que l’on
nomme vibrations ou secousses sismiques : autrement dit, un trem-
blement de terre n’est jamais local, au sens rigoureux du mot.
On a imaginé des appareils nommés sismographes (2%), qui
enregistrent graphiquement les secousses, faibles ou fortes, du
sol d’un lieu, en traçant des sismogrammes.
La comparaison des sismogrammes, tracés en divers endroits,
et des époques précises où 1ls ont été enregistrés permet de
reconnaître, dans une secousse transmise au loin (félésisme),
tout d’abord que cette secousse ne se propage pas instan-
tanément, mais qu'elle est transmise, de proche en proche,
d’un endroit à l’autre avec une vitesse finie; et ensuite que ses
différents aspects (phases) ne sont pas les mêmes simultané-
ment en tous les endroits. Cela montre que la secousse se
transmet d’ane manière analogue à celle dont se propage une
onde d’ébranlement dans un milieu élastique. Voilà pourquoi
on parle d'ondes sismiques. |
Enfin la durée de l’ébranlement en un endroit augmente
avec la distance de cet endroit à la source de l'ébranlement,
en est ainsi fonction. Il en résulte que la source émet, dans un
temps limité (qui est généralement très court), des ondes qui
se propagent avec des vitesses différentes, el peut-être aussi
suivant des chemins différents, et qui parviennent ainsi succes-
sivement, et avec des retards croissants, aux divers lieux
d'observation.
Lorsqu'un tremblement de terre, causé par un ébranlement
4
;
|
(2%) Quant à la théorie de ces appareils, voyez E. WiecHerRT, Theorie der
automatischen Seismographen. (Abhandlungen d. Kgl. Gesellschaft d. Wiss.,
Gôttingen, nouvelle série, t. IL.) Pour la classification générale des sismo-
graphes, consultez R. EHLERT, Zusammenstellung... der wichtigsten
Seismometer {Beiträge zur Geophysik (GERLAND), t. IL, 4897, pp. 350-475],
et aussi E.-M.-S. NAVARRO-NEUMANN, S. J., Aperçu des instruments les plus
usités en sismologie (Bull. Soc. belge d’astron., Bruxelles, 14° année, 1909,
nos 7-8, pp. 295-326.) Quant à l'exactitude de leurs tracés, cf. H, ARNOL»,
Die Erdbewegung... [Beiträge zur (Geophysik (GERLAND), t. IX, 1907,
pp. 269-317.]
( 84)
ayant son origine à grande distance, va se propager et pro-
duire ses effets en un lieu, on remarque que le sol du lieu en
reçoit d’abord comme le pressentiment : il est agité de frissons
avant-coureurs qui durent généralement jusqu’à ce que l’ébran-
lement principal se fasse sentir.
Dans le cours de ces frissons, on distingue généralement
deux . go encore que, très souvent, la seconde ne soit guère
discernable de la première : la distinction entre les deux
phases semble provenir surtout de la théorie analytique qu'on
veut leur appliquer (224).
On croit avoir reconnu que les mouvements vibratoires de
la première phase ont des périodes plus courtes que ceux de
la seconde et peut-être aussi des amplitudes un peu infé-
rieures (2%). La vitesse de propagation des ondes de la pre-
mière phase est évidemment supérieure à celle des ondes de
la seconde; voie quelques chiffres (vitesses en kilomètres
par seconde) :
Vitesse de propagation Vitesse de propagation
des ondes. des ondes.
SISMOLOGUES. 1re phase. 2€ phase. SISMOLOGUES. 1re phase. 2e phase.
Cancani (2%) . D 9,5 Oldham (2%) . 14,5 8,8
Jordan (291). « 19, — Knott (50) , , 412,2 1
Wiechert (2%) . 7 3,9 Love (54) . . 10 )
(24) Cf. M.-P. Rupzki, Ouvrage cité à la note 22, chap. V, $ 5, p. 168.
Voyez plus loin.
(2%) Ibidem et CH. JoRDAN, La propagation des ondes sismiques (Revue
générale des sciences pures et appliquées, Paris, t. XVIII, 1907, n° 43,
pp. 931-544, et no 44, pp. 571-578), spécialement p. 544. Voyez aussi KNoTT,
Ouvrage cité à la note 28, pp. 200 et 250, et Bouasse, Ouvrage et tome cités
à la note 291. ch. II, K 88, p. 102.
(2%) Mémoire mentionné à la note 291; cf. R. D. OLpHam, Article men-
tionné à la note 299, p. 136.
(297) Article cité à la note 295, p. 544.
(28) Mémoire cité à la note 26, pp. 939 et 469.
(2%) On the Propagation of Earthquake Motion to great Distances (Phil.
Trans. Roy. Soc., Londres, A, t. CXCIV,1900, pp.135-174), spécialement p. 1
(500) Ouvrage cité à la note 98, p. 251.
(54) Ouvrage cité à la note 24, chap. XI, art. 193, p. 176, et Mémoire cité
à la note 38, $ 40, p. 244.
PPPPRRE = ?
( 8 )
S. Kusakabe (502) à donné les résultats suivants :
ROCHES. ire phase. 2e phase.
Mnohes Nrimitives LC... : | +91, à 0492 2,70 à 4,40
Dr Daléozoiques” : :. : 2,10 à 5,68 4,03 à 4,33
DD ÉPLIAITES de +. de — 0,43 à 1,80
DPMIOSOZOIQUueES ts" 5,1"! 2,09 à 5,30 —
» éruptives quaternaires. . — 0,97 à 1,76
Pour que ces chiffres aient un sens, il est indispensable
d'adopter l’hypothèse de tel ou tel chemin de propagation ;
dans les chiffres précités, on a généralement adopté l'hypothèse
d’une propagation presque rectiligne au travers du globe, tout
d’abord parce que ces mesures semblent montrer que la
distance parcourue n’est proportionnelle au temps que dans
celte hypothèse, ensuite parce qu’il y a, comme nous allons le
voir, une raison analytique, plus ou moins plausible, pour qu’il
en soit ainsi.
Après les frissons précurseurs, qui se succèdent sans discon-
ünuité, arrivent les ondes de l’ébranlement principal, du
tremblement de terre proprement dit, qui ont évidemment
une amplitude beaucoup plus grande et une vitesse de propa-
gation moindre que celles des frissons précurseurs. Läska,
Stiatessi, Rizzo indiquent 5,98 kilomètres par seconde pour
celte vitesse; [mamura, 4,5; Wiechert, 3,5; Love, de 5
à 3,5 (505).
Cet ébranlement présente aussi plusieurs phases. La pre-
mière est caractérisée par des amplitudes moyennes et des
périodes relativement longues; de plus, les mouvements hori-
(52) Kinetic Measurement of the Modulus... (Journal of the College
of Science, Tokyo, t, XX, n° 10); Rigidity of Rocks and Hysteresis Function
(1bidem, n° 6).
(55) Mémoires cités à la note 291. Il est bon de comparer ces chiffres aux
résultats des expériences de Fouqué et LÉvy, de H.-L. ABBor, de J. MINE,
de MALLET : ces expériences se rapportaient à l'étude de la propagation
d'ondes élastiques causées par des explosions « artificielles ». Voyez
FouQuÉ et Lévy. Mission d’Andalousie... (Mém. Ac. Sc., Paris, (2), t. XXX,
4889, pp. 57-77); M.-P. Rupzxi, Mémoire cité à la note 34, chap. VI, pp. 368-
388); etc. e
( 86 )
zontaux du sol, pendant cette phase, ont des composantes
transversales (c’est-à-dire normales à la direction de propaga-
tion) considérables, vis-à-vis des composantes longitudinales :
c'est ce qu'on peut appeler une prépondérance du mouvement
transversal. La deuxième phase présente aussi une telle pré-
pondérance, mais semble avoir des périodes plus courtes. La
troisième se distingue nettement des deux premières, car le
mouvement longitudinal y prédomine, les périodes sont encore
plus courtes que celles de la deuxième et d’ailleurs diminuent
graduellement (50%), Après l’ébranlement principal vient la
«queue » du tremblement de terre, phase dans laquelle les oscil-
lations diminuent petit à petit en amplitude, mais perdurent
sénéralement longtemps : en un mot, l’amortissement est lent.
Après un fort tremblement de terre, on remarque ordinaire-
ment plusieurs «chocs en retour», plus faibles, naturellement,
que l’ébranlement direct, et qui vont graduellement en s’affai-
_blissant et se faisant plus rares; leur durée peut d’ailleurs être
assez longue (5%) (aftershocks des Anglais). Parfois on remar-
que, en un endroit, une série de petites oscillations qui ne
peuvent en aucune façon être baptisées du nom de « tremble-
ments de terre » proprement dit; on peut les appeler tremble-
(504) Cf. Knorr, Rupzkt, LOVE, Traités cités respectivement aux notes 98,
22, 94, spécialement celui de Knorr, chap. XI, p. 200, et aussi BOUASSE,
Ouvrage et tome cités à la note 291, ch. ILE, $$ 88, p. 102. On peut se former
une juste idée des circonstances du phénomène des tremblements de terre
en consultant les dix-sept Rapports du Seisinological Committee of the British
Association for the Advancement of Science : Liverpool, 14896, pp. 180-229 ;
Toronto, 1897, pp. 129-206; Bristol, 1898, pp. 179-276; Douvres, 1899,
pp. 161-938 ; Bradford, 1900, pp. 59-120; Glascow, 1901, pp. 40-54; Belfast,
‘1902, pp. 59-75; Southport, 1903, pp. 77-85; Cambridge, 1904, pp. M-51 ;
Afrique du Sud, 1905, pp. 83-94; York, 1906, pp. 92-103; Leicester, 1907,
pp. 83-93; Dublin, 190$, pp. 60-112; Winnipeg, 1909, pp. 48-65 ; Sheffield,
4910, pp. 41-71 ; Portemouth, 1911, pp. 30-67; Dundee, 1919, pp. 69-103. On
peut également avoir un aperçu des Travaux des précurseurs de la Sismo-
logie er consultant les Comptes rendus de la même British Association, des
années 1844, 1849, 1843, 1844, 1847, 1850, 1851, 1859, 1854, 1858, 4861, etc.
(5%) Cf. E. Opponr, Quelques constantes séismiques (Verüfjentlichung des
Intern. Seismol. Zentralbureaus, Strasbourg, 1907.)
4 + slt ati ASS D
( 87)
ments en essaim. Enfin il peut arriver qu'une vibration faible
puisse déclancher de grandes forces, provenant de tensions
internes arrivées à un haut degré et en état d'équilibre instable :
un télésisme de faible intensité peut alors être cause d’un trem-
blement de terre beaucoup plus important ; on peut appeler ce
dernier genre de tremblement tremblement de relais, comme le
font les auteurs allemands (506) (Relaisbeben). Les tremblements
de terre consistent non seulement en des mouvements horizon-
taux du sol, mais encore en des mouvements verticaux, qui
sont généralement enregistrés par des appareils spéciaux (507).
F. de Montessus de Ballore ne trouve (5%), dans la série
innombrable de tremblements de terre qui ont succédé au
terrible bouleversement de la Calabre en 1783, que vingt-deux
cas où l’œil humain à pu apercevoir nettement ce mouvement
du sol; au tremblement de terre de l’Assam en juin 1897, les
ondulations du sol avaient un mètre d'amplitude!
Cette description faite, examinons quelles sont les explica-
tions théoriques que l'on a proposées pour les mouvements
sismiques.
S. D. Poisson a montré (50°) qu’un millieu illimité élastique,
homogène et isotrope peut transmeltre deux espèces d'ondes
planes possédant des vitesses de propagation différentes; et
qu'à une distance suffisamment grande de la source de l’ébran-
lement, le mouvement vibratoire de l’onde la plus rapide est
longitudinal, c'est-à-dire que le déplacement des éléments se
fait parallèlement à la direction de la propagation, tandis que
celui transmis par l’onde la plus lente est transversal, c’est-à-
dire normal à cette direction.
(506) CF. Rupzxi, Traité cité à la note 22, chap. V, $ 8, p. 184.
(507) C£, par exemple, E.-M.-S. NAvARRO-NEUMANN, S. J,, Article eité à la
note 293, K IL, pp 323-326.
(508) Cf, La science séismologique, Paris, 1007, p. 436.
(59) Mémoire sur la propagation du mouvement dans les milieux
élastiques. (Mém. Ac. Sc., Paris, t. X, 1831); cf. H. BURKHARDT, Ouvrage
cité à la note 6, t. I, $ 64, pp. 607-619, spécialement p. 610.
( 88 )
Environ vingt ans plus tard, G. G. Stokes (510) à prouvé que
l'onde rapide est une onde de dilatation irrotationnelle, tandis
que la seconde est une onde, dite «de distorsion » (suivant
l'expression anglaise), ne produisant pas de changement de
volume, mais étant caractérisée par la rotation des éléments
en chaque point du milieu. Les vitesses des deux ondes sont
respectivement
k +9
EL sm p= \/: (83)
e e
où o est la densité uniforme et À, 1 les deux constantes élasti-
ques de Lamé du milieu « parfaitement » homogène.
Stokes à aussi fait voir que, si la distance séparant le lieu
considéré de la région originaire est suffisamment grande, les
deux ondes sont complètement séparées.
Pendant un certain temps, savoir les quelques années suivant
la date d'invention des sismographes et de découverte des fris-
sons avant-coureurs, les sismologues ont cru que l’onde
À (511) produisait ces frissons et que l’onde B amenait l’ébran-
lement principal; mais cette opinion à été bientôt abandonnée.
On va en voir de suite la raison. La théorie de Stokes concernant
les ondes de dilatation et de distorsion ne tient pas compte de
l'influence d’une surface-frontière limitant le milieu. G. Lamé
pensait (512) qu’une telle surface ne changerait pas la nature
des ondes venant la rencontrer, mais en cela il se trompait (513).
Lorsque les ondes atteignent la surface, elle s’y réfléchissent,
(510) Mémoire cité à la note 15. Cf. G. WERTHEIM, Mémoire cité à la
note 16.
(51) Nous disons, par ellipse, onde A pour onde de dilatation de vitesse
de propagation A, etc. L'idée en question semble être venue de A. CANCANI
et avoir été tout d'abord défendue par KNorTT et MILNE, au contraire com-
battue par AGAMENNONE. Voyez à la note 291 les Travaux de ces auteurs.
(512) Ouvrage cité à la note 13, 14° leçon.
(515) Cf. H. Lang, Premier Mémoire cité à la note 17, p. 195.
titi at x
etre TRS IR
“oi SR a
"LA Mi A à æ .
(89 )
comme pourraient le faire des ondes sonores, lumineuses ou
électro-magnétiques; mais le phénomène est complexe, car, en
général, l’onde A donne naissance, par réflexion, à des ondes
d'espèce A et d'espèce B, et il en est de même pour l'onde B.
On peut dès lors essayer de se représenter l’état de vibration
d’un corps limité, tel que le globe, en superposant ces ondes
les unes aux autres. Mais il est très difficile, sans employer
l’outil de l’analyse, de suivre toutes les phases du mouvement
vibratoire auquel une telle superposition, et combinaison,
peut donner lieu et de se rendre un compte exact des diffé-
rentes circonstances de ce mouvement. Une découverte,
faite il y a environ vingt-neuf ans, a complètement changé la
théorie des mouvements sismiques. Lord Rayÿleigh (514) à
montré qu'une vibration de dilatation sans rotation et une
vibration de distorsion sans dilatation peuvent être telles
qu'aucune des deux ne pénètrent profondément sous la surface-
frontière d’un corps limité possédant l'homogénéité parfaite,
et que celte surface resle sans tension. Dans son étude il
néglige l'influence de la pesanteur et suppose que la surface
est un plan indéfini. De telles ondes superficielles sont planes;
elles sont à présent nommées ondes de Rayleigh.
Si nous supposons que la surface-limite soit un plan hori-
zontal, les vibrations de ces ondes ont une composante hori-
zontale longitudinale et une composante verticale. La compo-
sante horizontale est plus faible que la verticale; le rapport de
ces deux composantes est exprimé par (515)
(2
\: —
RE — (84)
(514) Mémoire cité à la note 29, ainsi que les autres références don-
nées dans la même note.
(515) Voyez, par exemple, Rupzxi, Ouvrage cité à la note 22, chap. V, $ 3,
( 920)
où B est la vitesse (83) et C la vitesse de propagation des ondes
en question Cette dernière vitesse est indépendante de la lon-
sueur d'onde et vaut
| C—0,9554 8, pour À — œ,(incompressibilité), |
aidies (85) .
et } C—0,9194B, pour À — u,(hypothèse de Poissox), |
valeurs auxquelles correspondent respectivement
| s — 0,5437, |
(86)
| s—0,6812. |
Dans son Mémoire, Lord Rayleigh émettait l’opinion que des
ondes du type en question pouvaient peut-être jouer un rôle
important dans le phénomène des tremblements de terre :
« It is not improbable (hat the surface waves here investigated
play an important part in earthquakes... » (516). Puisque ces
ondes ne peuvent pénétrer profondément sous la surface-
limite (517), elles ne se répandent, pratiquement, que suivant
deux dimensions et acquièrent ainsi, vis-à-vis d’autres ondes
se propageant suivant trois dimensions, une prépondérance
qui augmente constamment avec le chemin parcouru (518).
L'opinion de Rayleigh sur l'importance des ondes supertfi-
cielles dans l’explication des phénomènes sismiques n’a pas
été tout d’abord bien accueillie par les sismologues : on lui
objectait principalement que les sismogrammes enregistrés ne
p. 154, form. (261. Pour ce qui concerne l’ensemble de la théorie des ondes
de RAYLEIGH, voyez, outre les Mémoires et Ouvrages mentionnés à la
note 314, E. WiecHERT, Mémoire cité à la note 26, $ 14, pp. 461-466; etc.
(36) Mémoire cité à la note 29, p. 11.
(37) Lorsqu'on parle d'ondes superficielles, on ne veut pas entendre que
ces ondes n’affectent. rigoureusement parlant, que la surface-limite même,
mais, comme les phrases précédentes l’ont fait prévoir, que leurs amplitudes
décroissent rapidement avec la profondeur. Cf. Rupzxt, Traité eité à la
note 22, chap. V, $ 3, p. 155.
(515) Rupzxi, 1bidem.
(91)
montraient pas une prépondérance des mouvements verticaux
de l'écorce vis-à-vis de ses mouvements horizontaux, comme
cela devait être, d’après (86).
R. D. Oldham a essayé (51%) de paralléliser les recherches
analytiques et les observations. D'après lui, les frissons avant-
coureurs présentent deux phases bien distinctes, et ces phases
sont reçues, aux diverses stations d'observation, à des époques
qui correspondent au passage, à travers le globe, d'ondes sphé-
riques se propageant avec des vitesses pratiquement constantes,
mais différentes l’une de l’autre. Il a done proposé d'identifier
la première et la seconde phase des frissons précurseurs res-
pectivement avec les ondes de dilatation A et les ondes de
distorsion B de Stokes. Au contraire, il regarde l’ébranle-
ment principal comme un choc propagé par les ondes super-
ficielles de Rayleigh (5*0),
L'idée que la première et la seconde phase des frissons
avant-coureurs correspondent à l’arrivée des ondes A et B de
Stokes à été bien accueillie par les sismologues (521). Mais
l'identification des vibrations de l’ébranlement principal avec
les ondes de Rayleigh à été combattue : on a objecté qu’en fait
on ne conslale pas de prédominance de mouvements verti-
caux, dans les oscillations du sol, et que, de plus, la théorie
de Rayleigh ne rend pas compte des mouvements horizontaux
(51) Mémoire cité à la note 299. Voyez encore BouassE, Ouvrage et tome
cités à la note 291, ch. HE, $ 91, pp. 105-106.
(520) OLbHAM, Jbidem, pp. 173-174, conclusions 6 et 8. OLDHAM constatait
certaines variations dans les vitesses, mais nous n’en parlerons pas ici.
(54) Comme un fluide parfait ne peut transmettre des ondes de distorsion,
plusieurs sismologues ont cru, en admettant cette explication, pouvoir
établir que la Terre est solide jusqu’à une très grande profondeur, si pas
entièrement. O. FISHER a combattu cette manière de voir. R. D. OLDHAM
croit qu’à une pression de plusieurs millions d’atmosphères les substances
liquides naturelles ne pourraient plus être regardées, même approxima-
ivement, comme des fluides parfaits et qu’en conséquence elles devien-
draient capables de transmettre des ondes de distorsion (Cf. OLDHaM,
Mémoire cité à la note 95, et renseigné là-même, par inadvertance, comme
étant écrit par K. ZôPPRITz.)
(92)
normaux à la direction de propagation qui, au contraire, se
manifestent nettement.
Les sismologues japonais pensent que l’ébranlement prin-
cipal n’a rien à voir avec les ondes superficielles; toutefois
l'explication que F. Omori (52?) veut donner de la propagation
de cel ébranlement n’est pas heureuse, est même très criti-
quable (5%5). Mais le fait que les ondes de l’ébranlement prin-
cipal semblent, à partir d’une distance de 1000 à 2000 kilo-
mètres de l’épicentre (524), avoir une vitesse supertlicielle
pratiquement constante, aussi bien dans les ondes directes que
dans celles de réflexion (car ces ondes semblent, au moins quand
l’ébranlement est fort, subir une sorte de réflexion aux anti-
podes de l’épicentre), plaide fort en faveur de lhypothèse que,
en réalité, ces ondes se propagent le long de la surface. Ajou-
tons encore que le fait de la « réflexion » dont il vient d'être
question et qui donne un choc en retour montre que la perte
d'énergie que subissent ces ondes dans leur propagation est
relativement faible : cette propriété semble mieux être en
rapport avec la théorie des ondes superficielles qu'avec celle
d'ondes analogues aux ondes de Stokes (525).
La propagation d’un ébranlement partant d’une région de
dimensions finies d’un corps parfaitement homogène et limité
par un plan indéfini a été étudiée très complètement par
H. Lamb (526), L’ébranlement perçu en un point distant de la
région originaire commence brusquement à l'instant où les
(82) The Great Indian Earthquake of 1905 (Public. Earthquake Investiy.
Comm . Tokyo, 1907, n° 93); spécialement p. 273.
(3%) Cf. Rupzkt, Ouvrage cité à la note 29, ‘chap. V, $ 8, p. 157, et $ »,
p. 164.
(4) Point de la surface du globe où les premiers symptômes d’un trem-
blement de terre se manifestent.
(65) Cf. Rupzki, Ibidem, p.156. Pour ce qui concerne la grandeur de la
perte d'énergie, consultez G. ANGENHEISTER, Bestimmung der Fortpflanzungs-
geschwindigkeit und Absorption von Erdbebenwellen, . . (Nachr. d. Kgl.
Ges. d. Wiss., Gôttingen, 1906, pp. 110-120.)
(525) Deux Mémoires cités à la note 27.
a d Te dd taie de
(93 )
ondes A de Stokes y parviennent; la surface se soulève, puis
s’affaisse graduellement sans oscillation. Lorsque les ondes B
arrivent au point considéré, une légère secousse à lieu ; mais
lorsque les ondes superficielles C de Rayleigh surviennent, la
secousse est beaucoup plus forte : après quoi le mouvement
diminue graduellement, et cet affaiblissement se prolonge —
en théorie — indéfiniment. La théorie de Lamb rend très
bien compte de certaines particularités que l’on observe dans
les sismogrammes, savoir les deux phases de frissons avant-
coureurs et celle de l’ébrantement principal ; elle rend compte
également de l’effacement graduel du mouvement que l’on
remarque dans la « queue ». Mais elle, non plus, n’explique
l'existence des mouvements horizontaux, normaux à la direc-
tion de propagation, qui se manifestent non seulement dans
l’ébranlement principal, mais encore dans la seconde phase
des frissons précurseurs. Cette dernière particularité peut s’ex-
pliquer, si l’on imagine que l’ébranlement initial soit d’une
nature un peu spéciale (527); mais la difficulté subsiste pour
l’'ébranlement principal : en effet, dans un corps homogène et
isotrope, il ne peut se produire des ondes transversales qui,
pratiquement, soient limitées aux régions superficielles.
Lamb (58), puis Love (52°) ont tenté une explication; celle de
ce dernier est particulièrement intéressante et repose sur la
considération de l'influence que peut avoir une écorce d’une
autre constitution que le noyau. Avant lui, E. Wiechert (530)
et C.-G. Knott (551) avaient proposé une explication du même
genre.
Au fond, ils expliquent ces mouvements transversaux par
des réflexions et réfractions successives aux surfaces limitant
(27) Cf. Love, Ouvrage cité à la note 24, chap. XI, $ 162, p. 147.
(528) Second Mémoire cité à la note 27.
(5%) Ouvrage cité à la note 24, chap. XI, art. 182-193, pp. 165-177, et
Introduction, p. xxv.
(55) Mémoire cité à la note %6, K 5, p. 499 et surtout $ 16, p. 470.
(51) Traité cité à La note 98, chap. XII, p. 257.
(94)
l'écorce et celles séparant les couches sphériques d’égale den-
sité dont cette écorce hétérogène serait composée. Mais rien
n'empêche, dans leurs théories, que les ondes en question ne
pénètrent profondément dans le noyau (57?).
Maintenant on doit se demander quelle est la raison pour
laquelle on n’observe pour ainsi dire jamais un repos complet
entre les diverses phases des vibrations sismiques. On peut
donner, du phénomène de la continuité des ébranlements,
plusieurs explications (555).
Tout d’abord on peut supposer que, dans les périodes d’in-
terruplion qui, théoriquement, doivent séparer les diverses
phases, parviennent en retard certaines ondes de phases anté-
rieures, qui ont subi une série de réflexions ou de réfractions
sur les surfaces de délimitation.
On peut admettre aussi que les ondes sismiques subissent
une dispersion quelque peu analogue à la dispersion lumi-
neuse (554), mais non identique. D’après F. Omori (55), les
ondes se mouvraient, à diverses profondeurs, parallèlement à la
surface et n’y parviendraient que successsivement : cette
atteinte d’une surface à laquelle les ondes devraient rester
parallèles implique une vraie contradiction (556). Enfin, une
quatrième explication consiste à attribuer la continuité de
l’ébranlement à des oscillations « propres » de l’appareil
qui a tracé le sismogramme, ce qui peut facilement être
constaté et ne correspond d’ailleurs à aucun mouvement réel
du sol, et surtout à des oscillations « propres » des couches de
l'écorce terrestres sur lesquelles repose le sol du lieu consi-
déré. Dans les sismogrammes enregistrés en un même lieu, on
constate souvent la prédominance d’une période : il est permis
(5%) Pour les relations qui unissent ces théories à l'hypothèse d’une
couche plastique inférieure à l'écorce, cf. E. WiEcHERT, Mémoire cité à la
note 26, $ 15, p. 468.
(555) Cf. Rupzki, Ouvrage cité à la note 22, chap. V, $ 5, pp. 163-167.
(554) Voyez à ce sujet, RuDzxi, Ibidem, pp. 164-165, et BouASSE, Ouvrage
et tome eités à la note 294, ch. IL, $ 90, pp. 104-105.
(55) Mémoire cité à la note 322.
(556) Cf. note 393,
(95)
de penser que les oscillations possédant cette période sont
dues à des vibrations « propres » des couches avoisinantes,
déclanchées par les ondes sismiques proprement dites. C’est
à Wiechert (337) qu'est due cette remarque; toutefois la
conclusion qu'il en üre (55%) relativement à l'épaisseur de
l'écorce terrestre semble bien devoir être rejetée (33°). Knott a
montré (540), après Omori, que les sismogrammes qui ont servi
à enregistrer, à Tokyo, les tremblements de terre du Japon mon-
trent toujours une prépondérance des vibrations ayant la période
4,6 secondes dans les frissons précurseurs aussi bien que dans
les petites puisations habituelles des périodes de calme relatif
qui parviennent à Tokyo : d’après lui, cette période de
4,6 secondes serait la période naturelle de vibration de la
plaine où Tokyo est assise. Omori (51) distingue, pour un
endroit déterminé, plusieurs périodes suivant presque toutes
la loi de décroissance harmonique.
La « queue » des tremblements de terre peut aussi être
expliquée au mojen d’oscillations naturelles du sol, s’'amor-
tissant peu à peu; cependant on remarque parfois, dans Îa
« queue », certains renforcements temporaires de l'amplitude,
ce qui ne permel donc pas à celte explication de rendre
compte de la totalité du phénomène.
L'existence d’une écorce ayant des propriétés différentes de
celles du noyau a pour conséquence que les frissons avant-
coureurs ne peuvent se propager rigoureusement en ligne
droite à l’intérieur du globe, mais, en subissant des réfractions
en passant d'un milieu dans un autre, doivent dévier ; a for-
tiori, si l'écorce et le noyau ne sont pas, séparément, parfaite-
ment homogènes, la propagation rectiligne des ondes de
Stokes est-elle rendue impossible. L'étude des réflexions et
réfractions de ces dernières ondes est très complexe; nous ne
(557) Mémoire cité à la note 26, K 15, pp. 466-469.
(558) [BIDEM, p. 468.
(55%) Cf. Rupzxi, Ouvrage cité à la note 22, chap. V, $ 5, p. 166.
(55) Ouvrage cité à la note 98.
(54) Mémoire cité à la note 322, p. 211, et Rupzki, lbidem, pp. 166-167.
(96 )
pouvons pas entrer 1ei dans les nombreux développements
qu'elle comporte. Nous nous bornons à renvoyer le lecteur au
beau Mémoire de E. Wiechert et K. Züppritz plusieurs fois
cité (32), ainsi qu'aux Travaux classiques de Benndorf, Milne,
Kôvesligethy, Zôppritz, Rudzki, Oldham, Knott, Kusakabe,
Galitzin, etc., mentionnés également ci-dessus (343).
L'affirmation que les vibrations A, B, C ont une vitesse de
propagalion indépendante de leur longueur d’onde et sont
absolument indépendantes entre elles repose sur l'hypothèse
faite sur la constitution du milieu (homogénéité parfaite) et, au
moins pour ce qui concerne les vibrations de Stokes, sur
l'hypothèse simplificatrice de l’absence de surface-limite. De
plus, dans leur théorie, on n'a pas tenu compte de l’existence
possible d'une tension initiale, ni de l'influence que pouvait
avoir la self-attraetion des molécules du milieu sur leur jeu
oscillatoire, etc.
Nous venons de dire que nous ne pouvons étudier en détail
la théorie des réflexions et réfractions des diverses ondes; en
effet, une telle étude nous mènerait beaucoup trop loin. Quant
à l'influence de la self-attraction sur le jeu des oscillations, c’est,
avons-nous dit ei-dessus (544), T, J. l'A. Bromwich qui l’a con-
sidérée le premier (3), mais son étude est incomplète, car il
suppose la substance vibrante Incompressible. Lord Rayleigh a
montré (346) l’importance que doit avoir l'existence d’une
tension initiale considérable, telle que celle qui résulterait des
(88) Cf. note 26. Voyez aussi E. WiECHERT, Die Erdbebenforschung, ihre
Hilfsmittel und ïhre Resultate für die Geophysik (Vortrag von der
T9ten Naturforscherversammlung zu Dresden) [Physikalische Zeitschrift,
1908, t. IX, n° 1.]
(55) C£ note 291. Voyez aussi l'hypothèse de la couche de vitesse maxima
proposée par H. NAGAoKA, Elastie Constants of Rocks... (Public. Earthquake
Investig. Comm., Tokyo, 1900, n° 4). Pour la variation de la vitesse de pro-
pagation avec la profondeur, voyez encore T. Sxipa, Mémoire cité à la
note 45, ch. IV, pp. 225-248, spécialement n°5 8-9, pp. 243-248.
(5#) Voyez note 93.
(55) Mémoire cité à la note 93.
(55) Voyez notes 37 et 119.
PR
nt 0
vi Lee ;
à E
(97)
forces newtoniennes s’exerçant sur chacune des molécules
composant un globe, doué d'attraction, de dimensions compa-
rables à celles de la Terre. C’est A.-E.-H. Love qui, s’inspi-
rant des Travaux de ces deux physiciens et de Jeans (47), à su
donner, le premier, une théorie vraiment satisfaisante de la
vibration d'un globe parfaitement homogène et compres-
sible (3458).
Le premier résultat que Love obtient est celui-ci : les ondes B
se propagent de la même façon que dans un globe où n’existe-
rait pas d'attraction, tandis que le mode de transmission des
ondes A est changé. D'ailleurs, des ondes À de dilatation ne
peuvent être, dans ce cas, purement irrotationnelles. De plus,
leur vitesse de propagation n’est plus constante, mais dépend
en partie de la consüitution physique du globe au lieu atteint
et en partie de la longueur d'onde, les ondes de longueur faible
se propageant plus rapidement que celles de grande longueur ;
ce qui indique qu’il se produit une « dispersion » (54). Love
trouve aussi que la vitesse de propagation des ondes C de Ray-
leigh n’est que peu affectée par la gravitation, mais doit eroitre,
lentement il est vrai, avec la longueur d'onde (350),
La principale objection qu'on élève contre l’assimila-
tion des ondes d’ébranlement principal d’un tremblement
de terre avec les ondes superficielles C réside danis ce que les
oscillations horizontales du sol que l’on observe sont principa-
lement transversales (351) : on sait, en effet, que, dans un corps
homogène, les ondes C ont une composante horizontale longi-
tudinale, et aucune autre espèce d’ondes que celle-là ne peut se
(547) Voyez notes 36 et 116.
(548) Cf. Mémoire cité à la note 38, et Ouvrage cité à la note 24,
chap. X-XI.
(5) Ouvrage cité à la note 24, chap. XI, art. 165-170, pp. 149-154.
CF. Mémoire cité à la note 38, SN 41-43, pp. 215-216.
(550) Jbidem, chap. XL, art. 171-175, pp. 194-160.
(51) Voyez note 329. Le mot « horizontales » veut dire (composantes)
dans le plan tangent à la surface-limite. Cf. WiecHEeRT et ZôPpriTz, Mémoire
cité à la note 26, K 16, pp. 470-473.
—1
\ 8 )
borner à n’affecter que les régions superticielles. Pour tourner
la dificulté, Love admet l'existence d’une écorce mince ayant
des propriétés physiques différentes de celles du noyau, et
découvre ainsi qu'il peut se produire, dans un corps présen-
(ant une telle hétérogénéité, des ondes superficielles transver-
sales (552). Love cherche aussi ce que deviennent, dans une
telle hypothèse, les ondes de Rayleigh proprement dites (353)
et obtient ainsi des résultats très intéressants que nous ne
pouvons rapporter en détail. Venons maintenant à la détermi-
nation qui nous intéresse, savoir celle de la rigidité du globe.
I est clair que, vu les complications effroyables qu'une
constitution du globe telle que celle que nous avons admise
ci-dessus, dans l’exposé des trois premières méthodes (savoir
une distribution en couches concentriques d’égale densité)
doivent apporter dans la théorie de la propagation des ondes
élastiques, nous serons obligés de nous borner à considérer le
olobe comme « parfaitement » homogène et compressible et
d'admettre que toutes les ondes, dont on à mesuré la vitesse de
propagation, sont « directes » et non pas des ondes réfléchies
ou réfractées. Nous admettrons encore que les ondes des deux
phases des frissons avant-coureurs se propagent en ligne
droite au travers du globe respectivement avec les vitesses
constantes A, B des ondes de Stokes (554), et que les ondes de
l’ébranlement principal se propagent le long de la surface avec
la vitesse constante C des ondes superficielles de Rayleigh.
Il est clair que les résultats que nous obliendrons n'auront
aucune valeur quantitative; mais ils pourront cependant nous
555) Quvrage cité à la note 24, chap. XI, art. 182-193, pp. 165-177.
554) Pour l'influence de la température, de la pression, etc. sur la vitesse
de propagation des ondes, consultez (outre les Traités mentionnés de
Knorr, RUDZKI, LOVE) M.-P. Rupzxi, Ô rochodzenia sie drgän... (Rosprawy
Wydziatu mat.-przyr. Akademii Umicjetnosci, Cracovie, 1896, t. XXXIII); tra-
duction allemande : Ueber die scheinbare Geschwindigkeit der Verbreitung
des Erdheben [Besträge zur Geophysik (GERLAND), t. IIf, 1898, pp. 485-518 ;
voyez aussi même périodique, t. IV, 4900.]
en OT
D Le
«
ones alt
: Lime RER
(99)
renseigner sur l’ordre de grandeur de la rigidité « dynamique »
du globe, pour autant que les assimilations faites ci-dessus
soient admissibles.
Relativement à la légitimité de ces assimilations, nous signa-
lerons l'opinion de l’éminent sismologüe C.-G Knott (355) :
« The existence of three distinct types of earthquake radiations
is now generally admitted, the most energetic part known as
the large waves or principal portion being almost certainly
transmitted through the comparatively thin heterogeneous
laver which forms the so-called erust of the Earth. The first
and second phases of the preliminary tremors must be regarded
as essentally elastie vibrations transmitted from the earth-
quake focus along brachistochronie paths to all parts of the
Earth’s surface. My own opinion is that these paths are concave
outward but nearly rectilinear in their deeper portions so that
in most cases they do not deviate far from lines of chords ».
Pour Wiechert (356), l'assimilation des ondes d’ébranlement
principal avec les ondes de Rayleigh ne doit être faite qu'avec
certaines précautions; d’ailleurs Knott pense de même (#57),
Ce dernier trouve (358) pour la vitesse des ondes A de dilata-
tion, au travers du globe, 12,2 kilomètres par seconde, en
admettant que ces ondes produisent la première phase des fris-
sons précurseurs; de plus il obtient & — 1,74 pour rapport des
vitesses À, B des ondes de Stokes. Cela lui donne B — 7 kilo-
mètres par seconde pour la vitesse de propagation des ondes
amenant la seconde phase des frissons avant-coureurs. Alors,
par (85), |
= (1,74) — 3 environ,
À + 2u
FF
d'où À — y très sensiblement (relation de Navier et Poisson).
(55) Ouvrage cité à la note 28, chap. XII, p. 240.
(555) Mémoire cité à la note 26, $ 16, pp. 471-473.
(57) Ouvrage cité à la note 28, chap. XI, pp. 256-257.
(58) Ouvrage cité à la note 28, chap. XII, p. 251,
( 100 )
ch: :0ù
V he ri 19,2 km/sec.
k |
A—=u— 32,1 X 101 dynes par cm, : (87)
On tire de
la valeur
si l’on admet pb — 6,47 grammes-masse par centimètre cube :
ce dernier chiffre est obtenu en supposant une densité moyenne
du globe entier de 5,55, ce dernier possédant cependant une
écorce de densité 5 et d’une épaisseur valant le dixième du
rayon: 9 est alors la densité moyenne du noyau au travers
duquel la propagation des frissons précurseurs se fait en
majeure partie (5%). La rigidité que l’on obtent par ce
procédé dynamique est énorme, €ar elle est quatre fois environ
aussi grande que la valeur la plus probable que nous avons
trouvée ci-dessus.
Comme nous l'avons dit plus haut (560), Brill emploie
simultanément la troisième et la quatrième méthode pour
déterminer les rigidités de l’écorce et du noyau d’un globe
composé suivant l'hypothèse de Wiechert. Les recherches de
Wiechert et de Zôppritz (56!) montrent que la: vitesse de
propagation des ondes B croît uniformément de 4 kilomètres-
seconde à 6,75 kilomètres par seconde de la surface du globe
jusqu’à 1500 kilomètres de profondeur, puis reste constante
et égale à 6,75 kilomètres par seconde de 1500 à 4000 kilo-
mètres de profondeur; quant à la vitesse au delà de cette
dernière profondeur, on ne connaît rien de certain. Brill (562)
prend pour vitesse moyenne dans l'écorce B — 5,25 kilomètres
(5%) Il ne s’agit donc pas ici d’une homogénéité « parfaite » du globe
enter. Cf. Rupzxt, Ouvrage cité à la note 22, chap. V, $ 6, p. 173.
(560) Cf. note 286.
(54) Mémoire cité à la note 26. Voyez aussi l'important Article de E. Wie-
CHERT cité à la note 342, et le Mémoire de T. SipA cité à la note 45, ch. IV,
n° 8, p. 243. Le globe de BriL (incompressible) ne peut transmettre d'ondes
de dilatation. A 7° es
(582) Mémoire cité à la note 44, chap. IL, $ 8, pp. 59-60.
|
|
( TON )
par seconde et pour densité p, — 3,2 grammes-masse par cen-
timètre cube et en déduit, par une formule qui nous parait
imexacte, u, — 7,15 X 101 dynes par centimètre carré. En
introduisant alors cette dernière valeur dans les formules rela-
tives à l'allongement de la période eulérienne (troisième
méthode ci-dessus), 11 trouve a, — 14,48 X 1011, Il est à remar-
quer que si u, varie de 5,9 x 10f1 à 14,4 x 1011, u, ne varie
que de 14,25 X 10! à 14,75 X AO!1.
Love prend comme résultats d'observation (36%)
A — 10 km/sec., B — 5 km/sec., C — 3 km/sec.,
et ajoute : « The identification of the three sets of distur-
bances with the three sets of waves which are theoretically
known seems to be inevitable, and the discrepancy between
the ratio of velocities of equivoluminal (B) and superficial (C)
waves and the ratio of velocities of the second set of tremors
and the main shock (#64) may be explained by the supposition
that, while the velocity of transmission of these tremors
depends upon the mean rigidity of the Earth as a whole, the
velocity of transmission of the main shock depends upon the
average rigidity of surface rock ».
Il obtient d’abord, par (85),
UE 2u G)
—— —— — 4,
U D
i
d'où À=2p; puisu— (5 X 105) 5,5 — 15,75 X 1011, et
À = 27,5 X 1011 (88). Tandis que pour la rigidité de l'écorce
il part de
0,9 ve = 3 x 10
one
(365) Mémoire cité à la note 38, $ 40, pp. 214-215. KNorr a donné, comme
résultats des premières mesures de Mine : A — 9,17; B — 6,25; C—3
[Cf. Ouvrage cité à la note 98, ch. XII, p. 226]. Ces dernières valeurs sont
aussi à peu près celles qu'adopte BouassEe [Ouvrage et tome cités à la
note 291, ch. II, & 90, pp. 103-104].
(554) Ce rapport - — 0,6 est très différent du coefficient théorique, qui est
À
voisin de 0,9 [cf. nos formules (85;1.
( 109 )
et obtient
9,9
u, =(3 X 1. — = 9,5 x 1011:
us, = (9 X 10°) boat X (89)
’
quant à À,, il ne le détermine pas.
[Il remarque lui-même que, pour obtenir ces valeurs, 1! n’a
pas tenu compte de la « tension initiale » et de la gravitation,
circonstances auxquelles nous avons déjà fait allusion plus
haut (365), et 1l montre que, lorsqu'on y a égard, la loi théo-
rique de l'indépendance de la vitesse de propagation et de la
longueur d'onde (et de la position du lieu d'observation) est en
défaut; d'où il résulte que notre procédé, pour déterminer y,
est trop simpliste. Comme nous l'avons dit ci-dessus (366),
Love a étudié d’une manière beaucoup plus détaillée les cir-
constances de la propagation des ondes, dans un Ouvrage paru
récemment.
Après avoir remarqué que l'influence quantitative de la
gravité sur les ondes de Rayleigh proprement dites est très
faible, il fait voir que si l’on néglige la difficulté provenant
des mouvements superficiels transversaux, que l’on admette
l’homogénéité parfaite du globe (567) et qu’on substitue dans
la formule précédente
Lee :
0,9 \/: — 3 x 16,
[o)
la valeur b, — 2,8 de la densité moyenne des roches super-
ficielles, on obtient
de = 2,8 X 10# (90)
pour rigidité moyenne de ces roches : ce qui n’est pas très
565
565) Cf. notes 345 et 346.
566) Cf. notes 348-353.
)
- if 4 Vathatas dt ds tinel
( 403 )
éloigné des chiffres d'Adams et Coker pour les marbres (368)
de la surface.
Avec l'hypothèse d'une écorce distinete du noyau, supposé
sphérique, il peut se produire des ondes superficielles trans-
versales (36%), et ces ondes semblent avoir encore plus de
parenté avec les ondes d’ébranlement principal que les ondes
de Rayleigh proprement dites. En faisant l'assimilation en
question, on pourrait en déduire une nouvelle valeur de la
rigidité x, de l'écorce.
Dans un exemple numérique particulier (370), Love trouve
que la valeur de la vitesse C’ des ondes superficielles transver-
sales n'est supérieure à celle C des ondes de Rayleigh que de
1°,; comme dans le caleul précédent, nous n’avons fait figu-
rer, dans le coefficient de Ve que les dixièmes d’unité et
avons ainsi négligé les centièmes, nous obtenons la même
valeur approchée (90) de 1, en adoptant la conclusion de Love,
donnée dans un cas particulier (un peu différent il est vrai).
Ces derniers calculs sont parfaitement grossiers et con-
duisent à des résultats assez différents de ceux trouvés par les
trois premières méthodes. Il semble, d'une façon générale, que
celle quatrième période donne une plus grande valeur, pour la
rigidité du globe, que les premières (371).
Relatant les ingénieuses expériences directes que S. Kusa-
kabe a faites pour déceler la différence qui existe entre les
valeurs statiques et dynamiques des coellicients élastiques de
certaines substances, C. G. Knott dit (372), après avoir men-
tionné les chiffres d’Adams et Coker (375) : « In all these cases
(568) Cf. note 66.
(36) Cf. notes 351 et 352.
(30) Ouvrage cité à la note 24, chap. XI, $ 187, pp. 171-172. On suppose,
entre autres, que les densités du noyau et de l'écorce sont les mêmes, tandis
que les rigidités sont dans le rapport = sp 319, elc.
(54) Cf. Article de l’Encykl. d. Re Wiss. cité à la note 74, n° 37,
p- 69.
(572) Ouvrage cité à la note 98, chap. IX, pp. 165-166.
(375) Cf. note 66.
( 404 )
il is the static modulus which 1s being mesured; but in the
propagation of elastie disturbances through the material it is
the kinetie modulus which comes into play. In the cases of
metal wires, the kinetic and static values of à particular modu-
lus differ slightiv; and, according to Kusakabe’s ingenious :
experiments, the difference between the kinetic and static
values of the flexural rigidity in rocks is in many cases of
considerable magnitude... » Puis, après avoir décrit la méthode
du physicien japonais : « Bearing in mind the imperfect
elastieity of rock as evidenced by the vielding during appli-
cation of stress, we should expect the static modulus to be less
than the kinetic modulus, since in the latter case the strains
are smaller and there is no opportunity for the time lag to
declare 1tself, This was what Kusakabe found to be generally
the case; but there were à good many instances in which the
kinelic modulus was the smaller. This is probably to be
referred to the different condition of the material in the two
experiments... » Il semble donc que nous avons eu quelque
raison de distinguer le module « dynamique » de rigidité des
roches du module « statique ». Toutefois le même sismo-
logue C. G. Knott veut trouver (374) un accord satisfaisant entre
les deux coellicients de rigidité, statique et dynamique, déduits
respectivement des considérations de Hough (375) sur les varia-
tions des latitudes pour un globe élastique incompressible et
des mesures (376) de la vitesse des ondes de distorsion qu'il
détermine lui-même, en employant les corrections de Benn-
dorf.
Il obtient, par la valeur (C/, 58,57) de l'estimation V précé-
dente,
JA x 100
B — * XP" 448 Late
PRE TENTE
(54) Ouvrage cité à la note 98, chap. XIII, pp. 266-267.
(575) C£. notes 33, 216, 252.
(575) Ouvrage cité à la note 98, chap. XII, pp. 246-249, et Proceed. Roy.
Soc., Édimbourg, 1908.
|
( 105 )
ce qui ne diffère que peu de la valeur 5,45 kilomètres par seconde
qu'il déduit des mesures directes de la vitesse, comptée suivant
la surface, des ondes de distorsion ; d’ailleurs il à soin de dire:
« It may be assumed that the parts of the Earth which have
most effect in producing this change of period are those furthest
away from the axis of rotation that is, in the superficial equa-
torial regions ». D'autre part 11 fait observer que les valeurs
maxima obtenues par Kasakabe (en faisant des mesures directes
sur la rigidité des roches superficielles) 5,22 X 1011 (serpentine
des terrains archéens, densité : 2,71) et 4,9 X 4011 (pyroxénite
des terrains paléozoïques, densité : 2,9) et donnent par consé-
quent B — 4,4 et 4,53 kilomètres par seconde respectivement,
ce qui concorde assez’ bien avec les résultats précédents. Mais il
faut remarquer que, pour obtenir ces dernières valeurs, il à
posé o — 2,71 ou 2,9 au lieu de ob — 5,55, comme il avait fait
tout d’abord : ce qui peut sembler un peu arbitraire. I finit
par dire : « The agreement 1s certainly remarkable, although
it must be remembered that Hough’s calculation cannot apply
Without reservation to the Earth, the material of which is to an
appreciable extent compressible ».
Tout récemment L. Geiger et B. Gutenberg (377) ont trouvé,
d’après la mesure de la vitesse de propagation des ondes B de
distorsion, que, si l’on admet avec Wiechert une densité de.
8,2 à une profondeur de 2500 kilomètres, la rigidité du globe
doit y atteindre 36 X 1011 dynes par centimètre carré. Cette
valeur énorme conduit W. Schwevdar (?78) à conclure que l’on
(57) Konstitution des Erdinnern, erschlossen aus des Intensität longitudi-
naler und transversaler Erdbebenwellen | Physikalische Zeitschrift, Leipzig,
4949, t. XIII]
(58) Premier Mémoire cité à la note 41, chap. VII, pp. 96-57. Ceci est
directement contraire à ce que J. Mix disait en 1903 [Reports of the
British Assoc. f. Adv. of Sc., Southport, 1903, p. 84] : « … The high values
0f 40,5 to 12 km. per second suggest a high rigidity for the world, whilst the
approximate uniformity of speed within its core indicate approximate uni-
formity in those properties which determine the rate at which it transmits
vibrations. Unless it is assumed that as we descend in the earth elasticity
and density increase in the same ratio, to which hypothesis there are objec-
(106)
ne peut supposer le noyau de la Terre homogène, comme on le
fait dans l'hypothèse de Wiechert,.
Voilà les résultats qu'il nous à paru intéressant de rassem-
bler. On trouvera sans doute que nous ne sommes pas assez
calégoriques en tirant nos conclusions et surtout que nous ne
donnons pas d'appréciation suffisamment nette sur les valeurs
définitives proposées par les divers auteurs pour la rigidité du
globe. Mais le problème est hérissé de difficultés : en particulier,
l’étude de la propagation des ondes sismiques dans un elobe
hétérogène est d'une complication effroyable, surtout lorsque
l’hétérogénéité est combinée à une anisotropie quelconque (37°).
Nous nous proposons d’ailleurs de publier le plus tôt possible
une étude analytique approfondie du problème des déforma-
ions et des vibrations d’une sphère élastique, en mettant à
profit les remarquables Travaux de V. Volterra relatifs aux
phénomènes héréditaires (350).
Liége, juin 1914.
tions, the inference is that the nucleus of the world has a density more
nearly uniform than is generally assumed... » Voyez aussi les intéressantes
remarques de T. Saipa à ce sujet (Mémoire cité à la note 45, Introduction,
pp. 18-19).
(59) Pour l’étude de l’anisotropie, on peut consulter avec fruit les belles
études de Rupzki et du prince GALITZIN (Mémoires cités à la note 294).
Enfin il est bon de remarquer que, pour que le globe puisse avoir une
figure d'équilibre stable, il est nécessaire que la rigidité soit supérieure à
une certaine limite [voyez les Travaux de LOVE, JEANS, RAYLEIGH cités aux
notes 38, 36, 37] : ceci peut encore donner des indications.
(580) V. VoLTERRA, Leçons sur les équations intégrales et les équations
intégro-différentielles, Paris, 1915; Leçons sur les fonctions de lignes, Paris,
1943 spécialement ch. VI et VIII), et les Mémoires auxquels il renvoie dans
ces Ouvrages (renseignements complétant ceux donnés à la note 47). Au
chapitre IX (p. 150) de ce dernier Ouvrage il dit : « .… Cette question de
la sphère élastique soumise à des tensions données dans le cas hérédi-
taire se rencontre dans l'étude de la rotation de la Terre. Il est évident,
en effet, que si l’on veut tenir compte de l’élastieité de la Terre, il est 2mpos-
sible de négliger les phénomènes d’hérédité.…. »
EP
Pages.
10
10
12
153
14
46
47
4T
48
48
49
Notes.
101
136
178
191
196
198
ERRATA ET ADDENDA
Lignes.
[2
4
dernière
©
3
dernière
5
dernière
11
Au lieu de :
K. Züppritz
et avec WIECHERT
note 417
a.
1906.
note 252
et 41.
1888.
4145.
t. ER n° 95.
BONNSDORFF
etc:
sur l'étude
Lire’:
R. D. Oldham.
et K. ZôPppRrirz, avec E. WIE-
CHERT,
note 121
241. Voyez aussi les indica-
tions de la note 380.
1906; J. HapamaRD, Leçons
professées au Collège de
France sur la propagation
des ondes et les équations de
l'Hydrodynamique, Paris,
1903.
note 257
et A; et Beobachtung der
Aenderung der Intensität
der Schwerkraft durch den
Mond (Sitxungsberichte d.
Kgl. Preuss.Akad.d.Wiss.,
Berlin, 1914, nos XIV-XV,
pp. 454-465).
1888; et Astr. Nachr., Kiel,
t. CIX, pp. A-45.
4143; et Denkschriften d. K.
Akad. d. Wiss., Vienne,
1943, t. LXXXIX.
t. 1, 4907, n° 43 et t. LIL, 1910,
no 33; enfin Bull. Astr.,
Paris, 1911, p. 48.
BONSDORFF.
F. Biske, Astr. Nachr., Kiel,
1907, no 4182; HiRayAMA,
Ibidem, 1907, n° 4207; etc.
à l'étude.
lis ir SA nd ssh
TABLE DES MATIÈRES
nn nt Lo, or,
S I. — Aperçu sur l’historique du problème de la sphère élastique.
A ER CHERE. LL. DS SO LS OS à
D 1 -MAIQuE générale.) |. us . 0,
$ IV. — 11e méthode : Détermination de la rigidité du globe au moyen
de la mesure des marées océaniques apparentes . .
$ V. — 2% méthode : Détermination de la rigidité du globe au moyen
de la mesure des déviations de la verticale.
S VI. -— 3e méthode : Détermination de la rigidité du globe au moyen
de la mesure des variations de la latitude .
$ VIT. — Combinaison des trois premières méthodes.
S VIIE. — 4° méthode : Détermination de la rigidité du globe au moyen
de la mesure des vitesses de propagation des ondes
sismiques. — Conclusion . . .
ÉRRATA ET ADDENDA: . . . . .
TABLE DES MATIÈRES . +.
—— 00 "Ne —
107
109
de
L FA ET
PET en ï
na
no
st
é
pee ape v Hétet di tt nd st. 0" nds dé ls nn
nn, un ner von Gi tes tags. dj pédestre pr
2 - hr à Æ
ne me mme pe 6 © ne ms à pee CRE TE
Pags
Live Music Archive
Librivox Free Audio
Metropolitan Museum
Cleveland Museum of Art
Internet Arcade
Console Living Room
Books to Borrow
Open Library
TV News
Understanding 9/11