Full text of "Methodische Anleitung für den Unterricht im Zeichnen : zum Gebrauch in Elementarschulen und höheren Bildungsanstalten ; auch zum Gelbstunterricht in den Anfangsgründen des perspektivischen Zeichnens"

See other formats

$OJet1>0i>lfd)e  Anleitung 

Untmiä)t  im  Stifyntn, 

j  um  3  e6rau<6 
in 

€(emcnfarf(^u(cn  unb  Jjofteten  QMl&un^anjWten; 
petfpeFtifcifdjen  SeicfjnenS. 

(Sntroorfen 

t>  Ott 

3ei$nenle&ro  am  flönfßl.  Semtnat;  für  6tabtfef)ulm  In  23erlm. 

9te6|i- entern  Sonwte  von  Dr.  $.  21.  m  JDtejlevweg. 

2«  i  t  12  ÄttPfertafeltt. 

35  etl  in,  1833. 

3m  Berlage  bei  SBUfjelm  ©dMppel. 


SB  o  r  to  o  t  t 


<Oo  wenig  e$  nodjig  ober  rä^faro  itf,  einer 
^erfon  bei  iljrem  ©nfrtä  in  eine  fremde  Gefell* 
fcf)aft,  in  ber  fte  fo  geraume  Seit  fcerwetfen  will, 
ba§  /cbeö  ©iieb  berfeiben  (te  notljwenbtg.  fett* 
nett  fernen  mufj,  einen  gmpfeljumgsbrief  mit^ 
geben;  eben  fo  wenig  bebarf  eö  bei  ber  €rfcf)et* 
nung  einer  neuen  ©djrift  einer  empfe&lenben  S3e* 
»orworiung  bei  ollen  benen,  welche  ft$  burd)  baö 
Sefen  berfeiben  ein  eignet  Urijjetl  su  btfben  ge* 
formen  unb  bajtt  befolgt  (tnb.  3Bte  man  leiebr 


ir 


einem  «Jttenfcfyen  burd)  grfljeilung  eineö  iijn  fef>r 
empfeljlenben  @c!)reiben£  —  ba$  ja  in  bei*  SXegel 
t)ie  (Wartung  Anbetet  fcon  if>m  ^oc^  $u  Rannen 
pflegt  —  fcftaben  fann,  fo  werben  aucf)  burcfy  bie 
lobpreifenbe  ©nfüfjrung  einet  neuen  (gcfyrift  in 
ba$  literarifdje  ^ublifum  burd)  einen  3lnbem 
leicfyt  bie  Sefer  beranlajft,  nun  ganj  Slufjerorbenf' 
liebes  jtt  erwarten,  m$  für  eine  unbefangene, 
öcre^fe  Prüfung  unb  Äirbigung  ber  ©cfyrtft 
nicfyf  immer  fcon  Ijeilfamen  folgen  begleitet  ijt 
SEßenn  e£  baljer  jebem  $9)enfcf)en  billig  felbjt  über* 
laffen  bleibt,  fiel)  burcfy  Cfyarafter  unb  betragen 
$u  empfehlen,  fo  mögen  aucfy  ©griffen  ftd^  burdj 
ftd)  felbjt,  b.  Ij.  burd?  ifyre  ©ebiegenljeit  unb 
£roecftnd§igfeü,  bie  23al)rt  brechen,  liefern 
©runbfa^e  in  biefem  Slugenblide  fcfynurffracfs  $u* 
miber  ju  Ijanbeln,  fann,  nadjbem  icf>  tljn  au^ge* 
fprocfyen,  meine  2lbjtcf)t  mcf)t  fein.  SSielmebr 
toerbe  icf)  iljm  ganj  getreu  bleiben ,  tnbem  icf)  e£ 


v 


Der  wrltecjenben  ©chriff  felbjf  überlafie,  jtch 
greunbe  itnt>  @kner  in  erwerben,  €in$  aber 
barf  icf>  beifügen.  SDic  geichenfunjt  tft  eine 
prafttfche  gertigfett.  Srie  Theorie  ber  Reichen* 
Fünft  muj  ftch  in  ber  Slnwenbung  bewähren,  muf? 
hier  ihre  Ovichfigfett  unb  gwecfmclfigFett  barthun. 
©ne  Anleitung  jum  geichenunferrtcht  siebt  be* 
^reiflicher  ^Öeife  nur  Regeln,  Q5orfchriffen  für 
bie  —  Slnwenbung,  S)ie  rechte  Prüfung  gefchteljt 
alfo  bura)  biefe,  bie  tywß,.  9?un  wollte  ich 
fagen,  ba§  ber  Unterricht,  ben  ber  #err  93er* 
faffer  nach  ben  in  ber  twrliegenben  (Schrift  auf* 
geseilten  ©runbfd^en  in  bem  ^tejt'aen  ©eminar 
unb  in  ber  ©emtnar^nabenfchule  erteilt,  fehr 
erfreuliche  fruchte  frclgt  ©iefe 
rung  wirb  ben  £efer  Vielleicht  Veranlagen,  ber 
©c^rift  einige  5lufmerffamfeit  jujuwenben.  SDMjr 
wirb  baburch  nicht  beabftchfigt;  am  allerwenig* 
(len  aber,  ben  Svefultaten  einer  grünblichen 


g3röf«n0  t»orstiöteifcn.  %Btt  ein  tmterric&tltd&eö 
SCßerf  geliefert  ju  fyaoen  meint,  txtö  einen  gort? 
fcfyrttt  i>eö  gad)e$  einleiten  fann,  fdjeuf  t>tc  ^tü* 
fung  ni$t,  fonbem  ttfinfät  fte.  SOtft  i>em  #erm 
Q}erfaffer  woUfe  t$  barum  i>cp  nocf)  befont>er$ 
auffordern, 

Berlin,  im  3uü  1833- 


$1  S)veflerweg. 


3  «  M  t  t. 

©eff<?. 

SQDXhmxfawm  .   i 

i^rfte  (Stufe. 

Elemente  fce$  linear  ^3^nen^;  wrtwtt&en  mit  &et? 

govmenlefjre    13 

©ort  6em  fünfte  *   16 

gjott  t>er  Sittie  *   17 

3Rtd)ttW3  t)er  ßtttten   18 

Sage  -ber  Eirtiett  gegen  einander    20 

£&eilitrtö  6et  Sintert   21 

©eteintgtmg  t)etr  ßiniett   22 

JBott  im  astofcte  i   23 

©roge  ut  mnfä   24 

Sage  6er  SBtafel   26 

a)  mtUnwinUt  .   26 

h)  @d)ettcfo)tnfa    27 

(äJegenwfofel  ;   27 

d)  SBetyfelwnM   28 


vni  3fnf>alt. 

©eite. 


gtguren  .  ♦  .  ,   29 

A.  Sie  geraMtm'gen  gtguren   29 

Soge  ter  Seiten  unb  SBinfel  gegen  einanber  ....  30 

Sitten  ber  gtguren  ,  ,  .  .  31 

£(jettung  ber  gtguren   34 

Das  3eicf)nen  ber  gtguren   34 

SufammenjieBungen  ber  gtguren  35 

B.  Sie  frummlinigen  gtguren  ......   37 

2Xer  ÄreiS   .  .  .  .  .  ,  37 

£age  unb  £mrcf)fcf)ttitt$puttfte  ber  greife   37 

£)a$  Scidjnett  ber  SogenjlMe  unb  ber  barauS  ge* 

btlbcten  gtguren  ........   39 

Sie  33ilbumj  ber  jpalbfreife  unb  ber  Steife   40 

feilen  ber  S5ogen  unb  greife  jur  ßerjiel* 

lung  ber  93ieledfe  .   41 

SufammenfteKung  frummlintger  gtguren   42 

(Srflärtmg  ber  ß&rper   43 

£)ie  fenfreefetc  ttierfeitige  ©dule   45 

gweite  (Stufe. 

(demente  t>e£  perfpeftfoifcfyen  SeicfynenS  unb  btt 

©cfyatttrwtg  .......   46 

£>a£  Betonen  ber  gerablintgen  Äorper   46 

9     SaS  3eid)nen  ber  frummlinigen  Äorper   90  „ 

©ritte  ©tttfe. 

$uggefüfjrfe£  Stitfywn  ton  Äorpem  wtb  3}afur* 


Vierte  ©tttfe. 


 130 

©ic  5(nfanö^runi)e  ber  ^erfpefttoe. 

 133 

ijt  für  ben  £ef)rgang  ber  jroctfm  Stufe  t>ergeffen  Horben,  anjumerfen: 
baf5  beim  Unterricht  weniger  5Hnber,  ober  für  ben  ©$6£unterrtd)t,  bnf« 
felbe  an  Heineren  Körpern  unb  üerijältnigmäfugeren  2luffieUung$brettd)ett 
vorgenommen  werben  femn,  u»a*  bort  für  bie  QtufjleUungen  im  ©rogert 
angegeben  tft. 


A&k  Sftothwenbtgfeif,  in  welche  tcfy  mid)  fcerfefct  fefje, 
ben  t>on  mir  jur  trff  effung  beg  3tid)nm>Untm\d)tß  t>or* 
bereiteten  Septem  einen  Seitfaben  ja  jwecfmdßtger  Slnwen* 
bung  be£  Erlernten  für  ben  Unterricht  in  SSolföfchulen 
an  bie  Jf>anb  $u  geben,  »eranfafjfe  bie  Jjperau^gabe  biefeS 
?5&d)Uinäf  bejfen  3tt?ec£  e£  fein  fotf,  bem  Sebrer  einen  ein* 
fachen  unb  für  alte  gdfte  anmenbbaren  Seegang  barju* 
bieten,  nad)  welchem  er  bie  3)arffellungöfraff  ber  ©chüler, 
einem  natürlichen  (gutwtcfeluugegauge  gemdf,  wecfen  un& 
ausüben  fonne. 

35a  ein  großer  2f>ett  ber  Sefjrer  biefem  Steige  be£ 
Unterrichte  nur  eine  fefjr  befchrdnfte  %ät  mbmm  fann, 
fo  fyat  für  fte  ba3  5ftad)lefen,  dergleichen  unb  burd)  bie 
2lnwenbmtg  prüfen  alles?  bejfen,  wag  n>tr  in  größeren 
SBerfen  hierüber  ©ufeö  befreit,  wof)l  oft  feine  ©djwiertg* 
feit,  unb  ich  fyofit  einem  fd)on  fühlbar  geworbenen  SBebürf* 
mfie  ju  begegnen,  wenn  ich  fyiw  fcerfuche,  eine  gebrdngfe 
SufammenjMmtg  begjentgen  $u  geben,  wag  ftd)  mir  bei 
aufmerffamem  £efen  ber  bejlen,  btefen  ©egenjlanb  behau* 
belnben  ©griffen,  bei  eigenem  Sftachbenfen  unb  ^tnju 
gekommener  Erfahrung  <dß  ba£  unumgdnglid)  3}otbwen* 
bigjfe  bei  ber  ©ache  bargejteKt  ha*/  in&em  ich  mit  einer 

l 


—     2  — 


grünblichen  Belehrung  über  ba$  ©njehw  boch  aud>  einen 
flaren  Ucberbltcf  be$  ©attjen  gewahren  mochte,  wag  ju 
einem  erfolgreichen  Seegang  für  ben  3etchnen4Jnterricht 
überhaupt  erforberlid)  tf?,  bamit  fo  btefe$  5Öerfchen  für 
Sehrer  unb  ©chüler  gleich  nützlich  »erben 'möge. 

35ag  SRaturjetchnen,  weldjeg  in  ber  neueren  Seit  £err 
qjrofeffbr  ©chmtb  in  feinen  2imx>eifungen  ^ierju  erjt 
recht  allgemein  jugduglid)  gemacht  fyat,  i\t  für  ben  ©d)ul> 
Unterricht  ber  einjig  erfolgreiche  Sßeg;  unb  ber  Sefjrer  foll 
ftd>  in  biefem  55ücf)lein  in  ber  Äürje  5Äat&$  erholen  fbn* 
nen,  wie  er  bie  ©cfyüler  feiner  klaffe  fletö  auf  bie  anre* 
genbjte  unb  forbernbjfe  SBeife  ju  befestigen  vermag,  in* 
bem  id)  bei  meinen  Angaben  hterju  befonberä  auf  bie  fo 
häufig  vorhanbenen  tmgünjltgen  SBerhälftuffe  Stücfftcht  ge* 
nommen  habe,  bie  gewöhnlich  au£  ber  ju  großen  2Ut$af>l  ber 
©chüler,  fo  wie  au$  ju  großer  23erfd)iebenf)eit  ihrer  gähtgfei* 
ten  unb  au£  erfdjwereubeu  SofateBerhälfmffen  hervorgehen. 

g$  giebt  gewiß  fo  manchen  Server,  ber  von  bem  auf* 
richtigen  SBuufche  befeelt  ifl,  einen  verbefferten  Lehrgang 
für  biefen  Stveig  be£  Unterricht  in  feiner  ÄlaflTe  einjufüfj* 
reu,  unb  e$  boch  nicht  erreichen  faun,  weil  er  bie  nötige 
Seit  ober  @elegenf>eit  nicht  fmbet,  ftch  erjl  felbjl  fo  in  bie 
©ad)e  hinein  ju  arbeiten,  baß  er  ftch  ber  Einführung  'eine* 
grunblicheren  Lehrgänge^  für  feine  klaffe  ju  untergehen 
wagen  bürfte.  Taucher  machte  bamit  auch  Wohl  wtrflid) 
einen  Stufang,  faf>e  fiel)  aber,  theiB  burd)  obgenanufe 
©djwierigfeiten,  tlmtö  burch  maugelnbe  ©elbmittel  ©et* 
ten£  ber  ©chüler  jur  2lnfd)affuttg  ber  geforberfeu  Lehrmittel, 
ober  and)  burch  bie  Ueberjeugung,  ba£  ©an^e  nicht  mit 
Erfolg  burdjführen  ju  formen,  balb  veranlaßt,  alleg  wie* 
ber  aufzugeben  unb  ju  Um  alten  ©chleppgaug  ber  58or* 
legebldtter  jurücf  ju  fehreu.  Vgur  fold)e  will  ich  fwr  bei 


—     3  — 


ben  erflen  (gmricfytungen  für  ba$  Watuwitfynm  anfange«, 
unb  fte  ba&et,  gleicfyfam  fcon  ©funbe  ja  ©tunbe,  fo  lange 
begleiten,  bi$  fte  bie  @ad>e  in  i^ret  klaffe  mit  Erfolg  in 
©ang  gebracht  Ijaben. 

Sffiünfd^nöwertJ)  erfd)emt  eS  freilief?,  baß  jeber  @d)ü* 
ler  bie  erforberlidjen  einfachen  Sftaturforper  felbfi  beft^en 
unb  foldje  in  ber  ©cfyule  t>or  ftd>  f)aben  mochte,  um 
ftcfy  fo  bie  flufeuwetö  forffcfyreitenben  2Utfgaben  im  gun* 
jftgffen  ®tfxd)tßpm\U  aufhellen  unb  bamtt  fänm  $rdf* 
ten  gemäß  fortfcfyreiten  $u  fonnen,  of)ne  Hwd)  ba£  fd)nel* 
lere  ober  langfamere  gortfcfyretten  Ruberer  ubereilf^  ober 
aufgebalten  ju  werben,  ©a  aber  bie  €rfal)rung  jeigf,  wie 
unmöglich  bieg  oft  in  größeren  ©cfyulflajfen,  fowof)l  beö 
mangelnben  3iaumeg,  aß  auefy  fo  vieler  anberer  J^inberniffe 
unb  (Störungen  wegen  tff,  bie  tefy  nicfyt  erjt  augfüfjrltcfy 
aufjagen  tottl,  ba  fte  Seber,  ber  ftcf>  hierin  fcerfucfyf  J>af, 
gewiß  retcfyltd)  gefunben  f)aben  wirb;  fo  Witt id)  f)ier  gleid)  ju 
bem  allgemein  anwenbbaren  @ang  be3  Sufammenjeid)* 
nenS  einer  ganjen  ©cfyüler  *  Slbtfjetlung  nad)  '  1 
ben  in  größerem  S9?aßj!ab  angefertigten  unb 
für  alle  bequem  ftcfytbar  aufgehellten  ein* 
fad)en9Hturforpem  übergeben,  unb  tefy  fjojfe,  fjierju 
einen  augfüfjrlicfyen  Sefjrgang  angeben  ju  fonnen,  ber  ftd) 
bem  £ef>rer  in  ber  (£rfaf)rung  gewiß  immer  alß  allgemein 
anwenbbar  unb  jwecfmdßig  bewahren  wirb. 

Mint  große  @d)Wterigfett  fiubet  ftd)  aber  bei  biefer 
Untemd)t$wetfe  oft  barm,  baß  man  bie  @d)uler  nicfyt 
nad)  ifjren  gortfcfyritfen  im  Sonett  in  getrennte  klaffen 
orbueu  fann,  fonbern  baß  oft  bie  fcerfcfyiebenffen  (Stufen  be$ 
3eid)nen4tnterrid)tg  neben  einanber  betrieben  werben  müf* 
fen;  unb  eö  ift  l)ier  feine  leichte  Aufgabe  für  ben  Sefjrer, 
immer  für  bie  tterfdjiebeneu  Ärdfte  aud)  bie  fraftgemdße 

1* 


Stufga6e  ju  ftetten,  bamit  bie  fähigeren  ©d^üler  nicht  jurücf* 
gehalten,  bie  fd)Wdd)eren  dagegen  uid)t  übereilt  werben.  3cfy 
werbe  baber  juerjl  bie  ©tufeu,  wie  fte  in  einem  guten  Betch* 
nendtnferricht  auf  einander  folgen  muffen,  cinjeln  burd)< 
geben?  wobei  ich  ha  upt  fach  lieh  beut  von  ©uem  Spofytn 
^königlichen  5Jf mtflertum  vorgefchnebenen  „S  e  fj  r  p  l  a  n  f u  t 
fcen  3etcfynen*Unte*nd)t  in  ben  ©tjtnnafien  un& 
()  Heren  Bürgerfchulen^  gefolgt  bin;  unb  bann  will 
id)  bie  2lrt  ju  jeigen  fud)en,  tx>tc  ftcfy  btefelben  bei  gemixten 
©chülem  am  bej?en  vereinigen  unb  neben  einanber  betreib 
ben  laffen:  unb  wenn  man  in  anbeten  £ef)rbnchcrn  oft 
recht  fdjon  befchriebeu  finbef,  wie  e$  beim  3eidjnemUnter* 
richte  in  ber  ©chule  fein  foll,  fo  will  td)  $ter  befom 
ber£  barjufleüen  fucheu,  n>ie  e£  unter  beu  in  ben  ©djulen 
größtenteils  obwaltenbeu  Umjrdnben  bei  bemfelben  fein 
tmtif  unb  e3  würbe  mir  bie  größte  greube  gewahren, 
burch  bieg  Büchlein  etwaS  baju  beitragen  ju  fonnen,  baß 
einerfeitS  bie  früher  gebräuchliche,  ^>6c!)fE  unzweckmäßige 
Slrt  ber  Betreibung  btefeS  UnferridjtgjweigeS,  bie  leiber 
nod)  in  fo  vielen  ©cfyulen  ftatt  fmbet,  immer  mehr  ver* 
brdngf  werbe,  unb  baß  anbererfeitö  bierburd)  bie  ßtnfüb* 
rung  eineS  verbefferten  SebrgaugeS  für  ben  geichnendluter; 
rieht  befonberö  für  foldje  £ef)rer  Erleichterung  finbe,  welche 
biefen  Unterricht  nicht  jum  augfchlteßltchen  $ad)  machen 
fonuen,  bamit  fo  in  einem  ©taaf,  unb  bcfonberS  in  einer 
<S>tabtf  wie  bie  unfrige,  wo  fo  viel  für  baS  Slufblübeu 
ber  fünfte  getrau  wirb,  unb  ftd)  bem  Sluge  fo  marn 
d)er  .ftunfgenuß  barbietet,  aud)  immer  mehr  Empfang* 
lid)feit  bafür  im  $ubltfum  baburcl)  verbreitet  werbe,  baß 
bie  (Krauwad)fenbe  3ugenb  burd)  eine  grünbliche  Sorbit 
bung  in  beu  &tanb  gefegt  wirb,  Äuujiwerfe  mit  geläutertem 
©efd)tnatf  anjufchauen  unb  ju  würbtgeu.  3d)  hoffe  ba6ef, 


—     5  — 

tag  3eber,  ber  einiget  3ttferejfe  an  ber  ©acfye  nimmt,  bei 
aufmerffamen  Sefen  btefeö  85üd)lein£  bte  Uefrerjsuguug 
gewinnen  n>tr&  2 
baß  baS  gauje  Sftatnrjetdjnen,  bei*  Jj)auptfad)e  nad),  nur 
tarin  teffc^f,  baß  bem  ©eruier  eine  red)t  faßliche  unb 
immer  gfetd)  anmnihau  ^erfpeftwe  gelehrt  werbe,  in* 
bem  er  babet  in  bem  freien  ©ebvaud)  be£  9lugeö  unb 
ber  Jpanb  geübt  wirb,  fo,  baß  bei  ifjm  ©kennen  unb 
SDarjWlen  gleichen  ©cfyritt  Ijalfenb,  in  flufenweifem  gort* 
fd)reiten  erft  Dorn  Sfafa^tt  jum  3ufammengefe£teu  unb 
bann  Dom  3ltd)figen  jum  ©cfybnen  übergebe. 
5D?an  wirb  ftd)  babei  leicht  überzeugen,  baß  nur  auf  folgern 
©runbe  etwa£  33raucfybare3  erbaut  werben  fbnne,  baß 
and)  bie  fcou  mir  ^ierju  angegebenen  Littel  ben  babet 
berüchtigten  Umjldnben  angemefen  unb  tfcrem  3w*c8 
entfprecfyenb  ju  nennen  ftnb.. 

©elbjl  für  btejenigeu  jungen  Senfe,  bte  auS  Neigung 
ober  um  tf)re£  fünftigen  Söemfß  Witten  bie  frefflicfyen 
Littel  benu^en  Wolfen,  bie  tfjnen  ber  Unterricht  in  ben 
mit  ber  ÄontgL  2lfabemte  fcerbunbenen  3eid)ttenfd)ulen 
barbiefet,  wirb  eine  folc^e  Vorbereitung  in  ben  früheren 
©djuljafjren  fw<#  nü|licfy  fein,  inbem  fte  baburd)  befä* 
t>igf  werben,  bort  mit  um  fo  größerem  Erfolge  fortfd)rei* 
fen  ju  fonnett. 

Um  aber  bie  in  ben  £ef>rgang  ber  ^mitm  ©fufe  ein* 
geflochtenen  perfpeftfotjtyen  Regeln  für  angefjenbe  3rid}* 
ner,  bie  hierüber  eine  beutlidje  Belehrung  wünfdjen,  red)f 
jugdnglid)  ju  machen,  f>abe  icf>  f)infen  nocfy  einen  jufanv 
menijangenben  Ueberblid  biefer  perfpcffwifcfyen  Jj>auptregeln 
in  ben  „2lnfang$grünben  ber  <perfpeftfoe"  beigefügt,  unb 
fjojfe,  baß  auf  biefe  allen  t>eifänblid)e  ©runblage  fjin, 
Seber,  ber  ein  weitereg  ©tubium  hierin  beabftcfyttgf,  ftcty 


bann  um  fo  leichter  tri  umfajfenbere  SBerfe  wirb  Mitteilt 
atUitcn  founen. 

33orf>er  möge  e$  mir  aber  noch  erlaubt  fein,  ^ier 
einige  SBorfe  über  ben  SeichuemUntemdjt  überhaupt  hmju 
ju  fügen,  um  einen  furjen  Ueberblid;  ber  ©runbfd^e  ju 
geben,  t>on  welchen  ich  bei  SbtaxbtitunQ  btefeS  SBerfchenS 
ausgegangen  bin. 

©enn  früher  off  mit  3led)t  barüber  geflagt  korben 
iß,  baß  ber  SeichnemUnterricht  auf  eine  fo  gar  unfrucfyf* 
6are  SBeife  betrieben  würbe,  fo  war  im  Slllgemeinen  wol;l 
ber  ©runb  biefeS  Uebeljtanbeö  barin  ju  fuchen,  baß  e£ 
bei  ben  Sehrem  fytxH  an  bem  flaren  33ewußtfein  etncS 
befftmmfen  %kk$  biefeö  Unterrichts  für  bie  @d)ule  man* 
gelte,  tljeilS  baß  in  2tnwenbung  ber  rechten  Littel  jur 
Erreichung  eineS  folgen  Steteö  gefegt  würbe. 

ES  wirb  f)ier  fcor  aßen  Singen  ein  gewiffeS  Siel 
tiefet  Unterrichts  für  bie  ©cfyule  feft  ju  ffetlen  fein,  baS 
fcei  ben  fcerfd)iebenften  Slnforberungen  berfelben  fowohl 
für  ^o^ere  unb  Elementarschulen,  als  bei  Snaben  unb 
SDfdbcheu  ftetS  gültig  bkibtf  fo  baß  man  felbft  bemjenigen, 
ber  ftd)  bie  bilbenbe  Äunff  jum  auSfchlteßltd^en  gach  wdh* 
len  wollte,  feinen  belferen  Anfang  baju  nacfyweifen  fomtfe, 
unb  ein  folcheS  %id  beS  Unterrichte  würbe  ftch  vielleicht 
baljin  auSfprechen  lajfeu: 
baß  ber  ©cfyüler  jeben  ©egenffanb  auS  ber  Umgebung, 
eS  feien  ©erdthfehaften,  $?obel,  baS  Simmer  felbfo  eitu 
jelne  @tbäubt  ober  ganje  2lnftd)ten  ic.  perfpeftioifd) 
richtig  aufzeichnen  unb  nach  ©chatten  unb  Sicht  fcer* 
beutlichen  fonne,  mbem  er  ftd)  habet  atteS  auf  ben 
©runbriß  unb  baß  wahre  SKaßverhaltniß  ber  (Segen* 
ftdnbe  jurücf  führt,  bamit  er  fo  burd)  feine  3eid)ttung 
Ruberen  einen  beutlichen  begriff  beS  ©argcjieQten  ju 


—     7  — 


geben  vermag,  fo  wie  er  ftcfy  aud)  fcl6ff  auö  bergleicfyen 
Seidjnungen  Ruberer  leicht  ju  fcerffdnbigen  wijfen  muß. 
Um  aber  btefeö  3^1  erreichen,  wirb  e$  not()ig  femf 
baß  ber  ©djüler  juerfl  bie  einfachen  Äorper  in  ber 
Statur  ridjtig  fe&en  tmb  aäffaffeu  lerne,  ebe  er  ju  ben  ju* 
fammengefe^tereu  gormeu  übergebt,  bamit  er  ftd;  t>on  *>orn 
herein  gewogne,  baß  in  ber  Stator  rdumltd)  naefy  etnan* 
ber  golgenbe  auf  ber  gldd;e  btß  $apter£  fo  neben  unb 
über  ein  an  ber  barjujMen,  wie  e£  xxnß,  ber  <£onjfruf* 
tion  beö  Singet  gemäß,  auf  einer  gldd)e  erbeuten  fann, 
bamit  er  fo  jfetö  mit  ben  umgrdnjenben  Linien  ber  §ld* 
cfyen  aud)  ben  richtigen  25egriff  ber  räumlichen  2lu3befj* 
nung  ber  ©egenffdnbe  unb  3wifd)enrdume  flar  fcerbtnbe, 
wa£  benn  nicfytö  anberg  ift,  al£  eine  praftifcfye  sper* 
fp  efti&e,  auf  welche  allein  atteö  Staturjeidjnen  baftrt 
fein  famt. 

©er  ©djuler  foß  beim  Stafurjeicfyuen  gleich  babin 
geführt  werben,  baß  er  fein  fcorliegenbeg  Rapier  al$  baS 
SStlb  einer  jwtfcfyen  tbm  unb  bem  ju  jetcfynenben  (Segen* 
flan&c  fenfrecfyt  aufgehellten  ©la&afel  betrachte,  burefy 
welcfye  bie  bafynttt  liegenben  £)bje£te  gefefjen  werben,  in* 
bem  baö  Sluge  babei  afö  ein  fefff!ef)enber  tyuntt  gebaut 
wirb;  unb  eö  laßt  ftcf>  Ijier&on  ein  jiemlid)  anfd)aulid)er 
begriff  geben,  wenn  man  ben  ©cfyüler  ftd)  fo  t>or  bie 
©cfyeibe  etnetf  genjferö  gellen  laßt,  baß  fein  Sluge  reicfylid) 
fo  tnel  al£  bie  J£>of>e  ber  @d)eibe  betragt,  fcon  berfelbert 
entfernt  tft,  wo  er  bann,  ein  2luge  ju^altenb,  unb  ofjne 
ben  $opf  ju  bewegen,  einfädle  gegenüber  befinblidje  <&t* 
genjtdnbe  mit  woljlgefpigter  weißer  treibe  fo  auf  ber 
©cfyetbe  uad)$etcfynen  famt,  baß  bie  ©rdnjen  biefer  @e# 
genfiänbe  burd)  bie  gezeichneten  Stuten  gebeeft  werben, 
woburefy  ftcfy  ein  fcerfleinerteS  perfpeftfoifcfy  richtiges  föilb 


—     8  ~ 


fcer  £>bjefte  auf  ber  gläd)e  fcarftetten  würbe.  S)enft  matt 
ftd)  nun  aber  an  bte  ©fette  btefer  ©la&afel  ein  Slähm* 
cfyett  aufgeffefff,  ba$  in  gleichen  Entfernungen  t>ott  chtan* 
fcer  mit  fettf*  unb  t^agerec^fen  gaben  überfpanut  wäre, 
unb  man  joge  auf  ba$  fcorliegenbe  Rapier  ein  ähnliche^ 
3}e§  mitteljl  fchwadjer  Sintert;  fo  würbe  man  nun  ba£, 
toaß  ftd)  in  jebem  ber  burch  bie  gaben  gebtlbeten  Üua* 
fcrate  in  ber  Sffafut!  jetgf,  gleichmäßig  in  bie  Üuabrate 
fce£  Sßapterg  ju  zeichnen  haben,  unb  fo  f)iet  ebenfalls  baS 
richtige  perfpeftwtfche  25ilb  ber  Öbjeffe  erhalten  fonnen. 

3)er  ©ebrauch,  beim  3}atur$etd)nen  bie  jurücf'liegen* 
fcen  tyunttt  t>ermiffetjl  eineg  fettf*  ober  wagered)t  in  etnt* 
ger  Entfernung  &or  baS  Stuge  gehaltenen  gabeng  ju  t>tfr^ 
rett,  ift  im  ©runbe  ntd)fg  anberg,  aB  ein  t>or  baS  Singe 
fjingejogene^  3Re§  fenf*  unb  wageredjfer  gaben,  unb  macht 
eine  folche  $Sorrid)fmtg  entbehrlich;  inbem  ber  ©d)üler 
babet  ftd)  nach  unb  nach  fein  S5latt  burch  bie  Silber 
folcher  gaben  überfpanut  benfen  wirb,  welche  ihn  bie  $u> 
rücfltegenben  fünfte  ber  giguren  ^inldttgltd^  befiimmen 
lajfen  werben. 

S)a  aber  aUtß  blo$  mechantfche  Slnwenbett  fold)er 
Jfpülf&nittel  nicht  bett  Stufen  bringt,  ben  e£  haben  fonnfe, 
Wenn  ber  ©chüler  ftd)  ber  Sibftcht  bei  feinem  Verfahren 
bewußt  Ware,  fo  wirb  t$  notfng  fein,  il>n  fo  balb  al$ 
möglich  mit  bem  %mdt  biefeg  SSerfahreuö  befannf  ju 
machen,  ba  man  fonff  oft  finben  wirb,  wie  ©chüler,  bie 
fd)on  Sahre  lang  baß  3Raturjeichnen  Utnchm  haben,  bei 
einer  näheren  Nachfrage  balb  fcerratben,  baß  fte  nod)  feine 
flare  SSorjleHung  fcon  bem  haben,  wag  fte  mechanifch-oft 
jiemlich  richtig  außühtn;  unb  biefer  Langel  fefct  fte  bannr 
befonberg  beim  Sluffajfeu  größerer  2lnftchten,  fehr  in  SSer* 
legenheif,  unb  giebt  auf  ber  Seichnung  ju  großen  SJJiß^ 


—     9  — 


t>cr^dltmffett  ber  ©egenffdnbe  im  ©anjen  SSeranlaffimg. 
Steife  ftd>  aud)  bei  einer  f'lemeren  Slnjafjl  Don  ©d)ülern, 
Wo  bei4  Server  jebent  eiujelnen  naä)fd)m  tarnt,  oljne  bie 
gleich  baki  gegebenen  perfpeftfoifcfyen  Kegeln  fd)on  etwä£ 
letffeu;  fo  n>tv&  e£  bod)  bei  einer  oft  übervollen  ©d?ul* 
flaffe,  wo  bie  ©d)üler  zugleich  bie  t>erfd)iebenjfen  2lnftd)* 
ten  ber  aufgehellten  $orper  jeidjnen  muffen,  gewiß  unent* 
bef>rltd)  notfng  »erben,  eine  »eifere  2lu$j>ülfe  ju  fachen, 
ba  Ijter  fonjl  bem  Setter  jebe£  Littel  mangeln  würbe,  ftcfy 
ju  überzeugen,  ob  aud)  ba£  an  ber  SBanbfafel  fcon  ihm 
ttorgejeicfynefe  unb  erfldrfe  53ilb  ber  gtgur  Don  jebem 
©chüler  aufgefaßt,  unb  feiner  Stejldff  nad)  richtig  bar* 
gef!eöt  wirb,  worüber  td)  baö  SBeifere  im  Sehrgange  ber 
jweiten  ©tufe  nachliefen  bitte. 

Witt  hiermit  aber  feine£wege£  fagen,  baß  man 
mit  einem  blo3  tJjeoretifcfyen  Vortrag  ber  perfpefffotfehett 
Kegeln  beginnen  muffe,  fonbern  eö  feilen  nur  gleid)  bei 
bem  erfleu  Slufjeicfyuen  ber  wrfurjten  gldd)en  bie  aller* 
nothigffen  Belehrungen  über  fciejenigen  paipdtmfdjax  ©e* 
fege  angeknüpft  werben,  bie  gerabe  bei  bem  fcorliegenben 
galle  befonberö  in  Slnwenbung  fommen,  unb  nur  mit 
bem  gortfehreiten  be£  ©d)üler£  im  Sluffaffen  perfpeftfot* 
fd)er  58erfd)ie6ungeu  wirb  nad)  unb  nad;  immer  baß  ba* 
^in  ©ehortge  hinzugefügt  werben  fonnen,  fo  baß  ber  ©d)ü* 
ler  ftd)  |fet£  be£  ©runbeS  ber  bccbadjtefeu  Srfcfyeinung 
fcollfommen  bewußt  bleibt,  wie  id)  bieg  in  bem  ganjen 
Seegänge  ber  jweifen  ©tufe  auöfübrlid)  angegeben  habe. 

S5ei  tiefem  ttntcradjfggange  ber  imittn  ©tufe  wirb 
aber  notl)weubig  eine  gehörige  SSorbereifung  icß  ©cfyülerg 
auf  ber  erffeu  ©tufe  twauögefefef,  weldje  in  einer  mit 
afjacfybeufen  uerbunbenen  Uebung  für  SMuge  unb  £anb  beß 
Slnfdngerö  beffehen  muß;  unb  ba  jtd)  unter  ber  großen 


—    10  — 


3Raffe  6er  (Scfyuler,  befonber^  beg  jüngeren  Slftert,  immer 
eine  große  Sittel  folcfyer  fmben  wirb,  bereu  Setcfynenfraft 
nod)  viel  ju  unentwicfelt  tjl,  um  in  frag  SRaturjeicfynen 
mit  (Erfolg  eingeleitet  werben  ju  fomten,  bie  aber  bocfy 
in  ben  augefefcten  Setcfynenfhmben  nüglid)  befd)äftigt  wer* 
ben  follen;  fo  wirb  eine  folcfye  §Borfd)uIe  ober  erffe  (Stufe 
be$  Seiten  *Unferrid)tS  gar  nid)t  entbehrt  werben  ib\u 
nen,  unb  nur  f o  gehörig  vorbereitete  (Sdjüler  foll  man 
nun  in  ber  fäätm  (Stufe  mit  allen  2>erfd?iebungen  unb 
Slbjhtfungen  ber  geraben  unb  gebogeneu  einfachen  glasen 
bdmnt  mad?en,  um  fte  bann  auf  ber  bxittm  (Stufe  in 
ba$  vollfommene  2lu£fül)ren  ber  giguren  nacfy  (Schatten 
unb  Sicfyt  einzuführen,  worauf, bann  in  ber  vierten  (Stufe 
ber  Uebergang  au£  bkfm  (Elementar  Hebungen  ju  jeber 
erforberlid;en  Slnwenbung  für  ben  Seicfyner  gemacht  wer* 
ben  foll,  wobei  ftcf>  leicfyt  bartfnm  wirb,  wie  bie  l)ier  an* 
gegebenen  (Elementar*  (Stufen  für  jebe  ^nforberung  ber 
(Schule,  fowof)l  nad)  bem  %w&  berfelben,  al£  nacfy  bem 
©efd)led)t  ber  Sernenben,  notfjwenbtg  jum  ©runbe  liegen 
muffen;  benn  mau  fmbef,  befonber^  in  2lbftd)t  auf  Softer* 
faulen,  nod)  oft  baß  3Sorurtf)eil,  baß  25ef)uf£  beS  5Slu* 
menjeid;nenö  u.  f.  w.,  eine  folcfye  ©runblage  entbef>rlid) 
fei,  ba  ftd)  bocfy  leicht  jeigett  läßt,  baß  jebeg  S5latt  ober 
SBlümcfyen,  nad)  feiner  verfcfytebenen  SBenbung,  fd)ott  eine 
SSerfürjung  ber  Steile  erleiben  wirb,  bie  notf)Wenbtg  erfl 
an  ben  vereinfachten  glasen  erlernt  werben  muß,  wenn 
fte  Ijemad)  richtig  in  ben  mannigfaltigen  Slbwecfyfeluugen 
bargejlellt  werben  foll,  in  welchen  fte  bie  9}atur  bem  2luge 
fcarbietef.  S)afelbe  gilt  von  bem  %äd)\un  nad)  @pp3* 
fopfen,  wo  ebenfalls  bie  SSerfcfyiebung  unb  3lbrunbung 
ber  einfachen  gebogenen  glädjen  bei  bem  ©djüler  voran* 
gefeit  muß,  ef)e  er  fte  in  ben  mannigfaltigen  Uebergän* 
gen  ber  @eftd)f&f)eile  mit  SRufcett  anwenben  fan«. 


—  11  — 


3cfy  werbe  nun  mit  beut  £ef)rgange  bcr  erftcn  (Stufe 
beginnen/  wo  man  bie  ©d)üler  f)auptfdd)lid)  nur  mit  ber 
SarjMung  be£  geometrifcfyen  2lufriffcö  ber  Sßorberfläcfyen 
einfacher  ^aturf'orper  ju  befd)dftig*n  f>at,  wobei  ftcfy  aber 
bocfy  fcfyon  burcfy  3}ad)btlbung  ber  23orberfldcfyen  paffen* 
ber  ©egenjfdube  auö  ber  Umgebung,  fo  tt>ie  burcfy  fymme* 
trifte  gefcfymacffcoße  SSerbmbungen  ber  Stuien  unb  burcfy 
bergletd;eu  ber  eigenen  (ETfmbungöfraft  ber  ©d)üler  über* 
laffenen  Sufammenfletlungen,  fo  mand)e£  ^ntcve^anU  ein* 
Pesten  laffen  wirb.  &n  ^aupfmittel  jur  Belebung  be£ 
Unterrtd)t£  für  biefe  ©tufe  wirb  aber  bie  23erbinbung 
beffelben  mit  ben  2lnfang3grünbeu  ber  gormeulef)re  fein, 
Weit  mau  fwrburd)  jugletcfy  beu  ©eifl  ber  ©djüler  be< 
fcfydftigen  unb  bilben  fann,  unb  burcfy  beftdnbige  äugen* 
bltdlidje  2lnwenbung  ber  erlangten  gertigfeit  ju  einem 
bejltmmten  Swetf,  tf>re  S^eilna^me  immer  rege  erf)dlf, 
wobei  tcfy  mid)  jebod)  begebt  f)<xU,  hierin  ba£  redete 
S9?a$  ju  galten,  weil  man  oft  barm  ju  weit  gegangen 
t|?,  unb  baruber  ben  Jpauptjwed:,  bie  Hebung  be£  freien 
Jf)anb$etd)nen£,  ju  fef)r  f)infan  gefegt  l;at.  3d?  ^abe  ba* 
&er  nur  fo  ml  t>on  ber  gormeulef)re  ^inju  genommen, 
al£  id)  eben  für  notljig  l;ielt,  um  bie  fonjl  ju  langweilt* 
gen  Sinubungen  ber  einfachen  Stmcu  für  beu  @d)ükv 
bamit  ju  beleben. 

93?an  ^üte  ftd)  aber  wof)l,  ben  ©djüler  auf  biefe» 
©tufe  fcfyon  Körper  mit  perfpeftitufcfyeu  2lnjtd)teu  nad}* 
bilben  ju  laffen,  unb  auf  biefe  2lrt  etwa$  in  ben  £ef)rgang 
ber  erjfen  ©tufe  ju  mifd^en,  waö  bem  Sefjrgang  ber  jwei« 
ten  ©tufe  aufbtfyalttn  bleiben  muß,  ba  ein  folcfye£  blo£ 
mecfyamfd)e£  3Rad)af>men  oft  fehlerhafter  perfpeftfoifcfyer 
SJerfürjungen  gewij*  mef;r  fd)aben,  al$  nü§en  würbe,  mbem 
baburd)  bie  ©etiler  nur  angeleitet  werben,  baö  25tlb  ber 


—    12  — 


©acfyen  in  einer  oberflächlichen  SlefmKcfyfett  barjujMen, 
f>a  fie  nid)t  ben  gehörigen  begriff  mit  ber  SDarfMung 
serbmben  fonneu,  unb  eS  tx^ur&e  fnerburcfy  für  ba$  erjt 
in  ber  jweitett  ©tufe  folgenbe  perfpeftfoifcfye  Seinen 
leicht  bie  23eranlaffung  ju  einem  t>erberblicfyen  Jfrätbtfyun 
gegeben  werben,  fcfyou  abgefef>en  ba&on,  ba$  burefy  ein  fol^ 
d)e$  SSorauönefjmen  notf)tt>enbig  ba£  3nfereflfe  gefcfywäcfyt 
Werben  mußte,  tt>eld)e£  für  ben  ©cfyüler  in  ber  golge  beim 
©elbjfcwffinben  ber  perfpeftimfd)en  SSerfcfytebungen  ber 
Slnftcfyten  ber  Äbrper  fo  ungemein  forbernb  i|t. 


^rjle  (Stuft 


<£(emenfe  be$  Smea^S^nenö,  t>et6tmt>en  mit  t>er 
3ovmenlel?ve. 

§.  1.  2luf  biefer  ©tufe  fott  ber  @d)üler  mit  ben  6le* 
meuten  bei*  gorm  ^^fraut  werben ,  bie  Stntett  in  t>etfd)tebeneu 
9?id)tungen,  S^apfcerbältnijTen  un&  33erbinbungen  richtig  auf* 
fajfen,  itnb  fte  fowol)l  nad)  als  oljne  33orbi(b  barfrellen  lernen. 

S)er  £el)rer  beginnt  mit  ben  (Elementen  ber  Sormenleljre, 
wobei  er  freilid)  für  unfern  S^ec? ,  MJtf  m'ö  bem  @nfad)tfen  ju 
beginnen/  fcon  ber  Sinie,  nid)t  aber  »on  ben  Körpern  ausgeben 
barf,  unb  jeid)net  bie  in  SKebe  ßefyenben  Siguren,  intern  er  fte 
erflärt,  an  ber  SBanbtafel  fcor,  imb  belebt  babet  bie  @ad)e 
burd)  fragen  unb  Siüd'fragen. 

2(lle  sorfornmenben  Sinten  unb  giguren  muffen  moglid)ft 
groß  an  ber  Sßanbtafel  üorgejeid)net  werben,  unb  ber  Se^retr 
beginne  bei  ben  geraben  Sinien  jietS  mit  bem  @e|en  ber  (gnb* 
punfte  berfelben,  wobei  er  bann  ben  @d)ülem  bemerflid)  macfyt, 
wie  ber  gerabe  SBeg  jur  SSerbinbung  biefer  gnbpunfte  baburd) 
am  leid)te(len  ju  fmben  if?,  baß  man  ben  Swjfc&enrautft  burd) 
einen  in  gleidjer  $tid)tung  mit  ben  vorigen  liegenben  Qülfo 
punft  fyalbtrt,  unb  bann  bie  SWume  jwtfcfyen  tiefem  unb  ben 
beiben  (Snbpunften  abermals  burd)  in  gleid)er  $id)tung  mit  ben 
übrigen  liegenbe  fünfte  fljeilt,  womit  man  in  ben  3w'fd)en* 
räumen  fo  lange  fortfährt,  bis  man  bequem  burd)  23erbinbung 
be$  einen  §ü(f$punfte$  mit  bem  anbern  bie  ganje  Sinie  tjer* 
frellen  fann. 


—    14  — 


9D?an  jeige  ben  @d)ülern  wie  tiefe  §ülfSpunfte  möglidjfi 
fein  unb  fo  angegeben  werben  muffen,  bag  jte  gletd)fam  nur 
voraus  gemachte  ©tücfdjen  aus  ber  SRidjtung  ber  ganzen  Stute 
ffnb;  unb  ba  bei  sollen  Staffen  ber  2ef)rer  ntdjt  immer  nad)* 
fel)eti  fann,  ob  ^eber  biefe  JpülfSpunfte  aud)  richtig  gefegt  l)abe, 
fo  tarnt  man  ben  @d)ülem  ben  ©ebraud)  eines  bünnen  gaben* 
QtftatUn,  ben  fte,  frraff  angezogen,  burd)  bie  gefegten  @nb* 
punfte  fjalten,  unb  bann  jufel)en,  ob  bei*  gefegte  ^ülfspunft 
aud>  in  ber  geraben  Stiftung  liegt. 

SBetm  nun  ber  Setter  bie  3*icfynung  in  genanntet*  Sßeife 
feor  beitrugen  ber  <Sd)üler  entjleljen  läpt,  fo  lernen  biefe  me^t 
baburd),  baß  ffe  jeid)nen  fefyen,  als  bafi  ffe  ©ejeidjneteS  fefyen; 
benn  baS  23eobad)ten  beS  SftadjenS  burd)  Qlnbere  ifi  bie  bejle 
Einleitung  jum  ©elbftmacfyen.  2llleS  was  gemalt  wirb,  wirb 
i  beftrodjen,  unb  bie  Slufmerffamf eit  ber  ©dniler  tfets  fyingelenft 
auf  bie  2lrt,  wie  e$  gemadjt  if?.  Siefe  Unterhaltung  beS 
SefyrerS  mit  ben  @d)ülern  wirb  fo  lange  fortgefegt,  bis  bie 
@d)üter  bte  SBorjetcfynung  betreiben  unb  bie  3trt  iljrer  Sollen* 
bttng  angeben  fonnen.  SBenn  nun  ein  einjelner  @d)üler  2eg* 
tereS  tl)tit,  fo  jetdjnet  ber  Sefyrer  basjenige,  was  ber  @d)ület: 
angiebt,  an  bie  Safel,  wobei  bann  ber  @d)üler  jtd)  im  befiimm* 
ten  Sluä&rucf  übt,  ba  jebe  Unbefiimmtl)eit  nid)t  jum  %itk  füfyrt, 
unb  jugleid)  erfennen  lernt,  wie  bte  3^d)nung  ntd)t  gemadjt 
werben  muß,  bamtt  er  bann  um  fo  beffer  wtffe,  wie  fte  ge* 
mad)t  werben  foll. 

Um  alfo  baS  falfd)  3eid)nen  unb  ein  beßä'nbtgeS  2{uSwifd)en 
t>on  (Seiten  ber  @d)üler  ju  oerl)üteny  barf  Anfangs  Don  ben« 
felben  feine  Sinte  ofyne  &orl)erige  (Segung  ber  (Snbpunf'te  unb 
einiger  ba$wifd)en  liegenber  £ülf$punfte  in  oben  befdjriebenetr 
2(rt  gebilbet  werben,  unb  bie  @d)ü(er  jtnb  baju  anjufyalten, 
baß  fte  nidjt  übereilt  unb  nad)läfftg  jeidjnen,  bamit  nid)t  öfteres 
2luSwifd)en  notfyig  werbe;  wie  man  benn  überhaupt  wol)l  am 
beffen  tl)un  wirb,  bte  fd)wäd)|len  <3d)ü!er  juerfl  auf  ber 
<2d)ieferfafel  ju  befd)äftigen,  unb  fte  erft  bann,  wenn  fte  ftcf> 
einige  Uebung  erworben  tyaben,  in  baS  23ud)  jeidjnen  ju  laffen. 


—    15  — 


®a$  SSet'beffern  bei*  mißratenen  Sinien  f)at  übrigen*  fein 
©ute$,  unb  e$  ift  jlrenge  darauf  ju  Ijalfen;  nur  barf  niemals 
biefelbe  Hebung  ju  fange  fortgefe§t  werben,  fonbern  man  muß, 
obwol)l  mit  23erüdftd)tigung  ber  6igentl)ümlid)feit  ber  einjetnen 
<ScI)üIet ,  mit  äl)nlid)en  abwed)feln,  inbem  fonji  leid)t  Uebcr* 
bruß  unb  9?ad)läfftgfeit  eintreten ,  oollige  @id)erl)eit  unb  SKtc^^ 
tigfeit  ber  3e^)nun3  a^er  ^0^)  mt  lu  freuen  Sailen  erreicht 
werben  würbe. 

©er  Selker  gebe  aber  aud)  gleirf)  t?on  Slnfaug  an  }u  geraber 
Haftung  be$  5\örper$,  ber  2lrme  unb  ber  gingetr  Anleitung.  Sie 
barauf  oerwanbte  3cit  ijl  nid)t  fonbern  Seitgewinu. 

©er  Sftaßjlab,  in  weldjem  bie  @d)ü(er  bie  33orjeicf)nung 
verjüngen,  fann  2lnfang$  tl)ren  Gräften  überlaffen  werben; 
nacfyfjer  aber  giebt  man  bie  93er.f)ältnijfe  beffer  nad)  3°öen  an. 
©er  @d)üler  fyat  baju  nur  einen  t (einen  @tab,  Rapier*  ober 
spergamentflreifen  t>on  etwa  jwei  3°tt  Sänge  nötbig/  unb  et 
t?ergleid)t  feine  3tiäßw%,  beren  Verjüngung  gegen  ba$  tu 
größerem  SDlaßfiabe  an  ber  Jßanbtafel  bejinblidje  Vorbilb  Dom 
Sefyrer  nad)  3°ttcn  benimmt  wirb,  mit  ber  gegebenen  Sänge 
an  feinem  $QÜfivdc,  unb  mißt  aud)  wol)l,  nadjbem  er  jiwor 
ben  5ßunft  moglidjfi  genau  nad)  freiem  Augenmaß  gefe|t  l)at, 
auf  feiner  3eid)nung  nad),  ob  er  gehörig  t>erg(id)en  l)at.  2tuf 
biefe  SSeife  wirb  nidjt  nur  ba$  2luge  be$  @d)üler$  fel)r  geübt, 
fonbern  er  erhält  aud)  äugleid)  eine  Sxenntniß  be$  SängenmaßeS, 
unb  bem  Sebrer,  ber  eine  jlarfe  @d)ule  unb  mehrere  2lbfl)ei* 
hingen  in  berfelben  fyat,  bie  er  g(eid)seitig  unterrid)ten  fott,  fommt 
ba$  S&effimmen  ber  Slufgaben  im  35etrag  ber  @röße  nad) 
Sotten  befonberS  511  ftattm. 

©a  hierbei  a(fo  ber  Seljrer  bJe  95orjeid)tumg  immer  felbjt 
mad)t,  fo  ßnbet  aud)  juerji  fein  Sutten  nad)  Vorlegeblättem 
flatt.  ©ajfefbe  f)rit  überhaupt  auf  allen  ©tufen  be$  %tid)m\u 
Unterrid)t$  nur  einen  fel)r  untergeorbneten  Sßertl).  greilid) 
madjen  oft  ju  jal)lreid)e  @d)ulf(affcn  ben  ©ebvaud)  mand;er 
Sel)rmittel  nött)ig,  welche  beffer  nid)t  bm\1$t  würben;  will  man 
baljer  im  2lnfang$*Unterrid)te  Vorlegeblätter  gebrauchen,  fo 


—    16  — 


muffen  biefelben  gang  cinfad)  unb  Don  einet  folgen  @roße  fein, 
baß  jte  ber  (Sdjüler  2lnfangg  unDeränbert  auf  fein  Rapier  ober 
feine  Safel  übertragen  fann.  ©ie  Seidjmtng  be$  93orlegeblatt$ 
muß  bann  aber  auf  j'eben  gall  Dotier  von  bem  Sel)rer  an  bfe 
Safel  gegeicfynet,  gergliebert  tmb  betrieben  Horben  fein. 

23on  bem  fünfte. 

§.  2.  (Sin  fold)e$  Beiden  .  wirb  $tmft  genannt.  @in 
5J)unft  ijl  ba$  3^id)en  föt  eine  ©fette  auf  ber  Safel* 

fläcfye,  unb  Ijat  eigentlich  feine  @röß e  ober  2lu$bel)nung7  nimmt 
alfo  aud)  feinen  SJJaum  ein;  jeboeö  fonnen  wir  ifjn  nur  räum* 
lidj  geidjnen.  9JJad)t  man  gwet  fünfte  in  einiger  ©ntfer* 
mmg  Don  einanber,  fo  fyetßt  ber  9Iaum  gwifdjen  beiben  ober 
bie  Entfernung  be$  einen  oom  anbem:  ber  Sroifdjenraum. 

Siegen  gwei  ober  mehrere  fünfte  fo,  baß  fte  in  gleicher 
SRidjtung  fielen,  fo  bilben  fte  eine  Sfteilje  oon  fünften,  j.  25. 

 Siegt  aber  feiner  Don  aßen  gwifdjen  gweieu  Don  iljnen, 

fo  liegen  fte  ungleich,  b.  I).  fte  bilben  nid)t  eine  9?eitje  tmb 
Ijaben  mehrere  SRidjtungen,  g.  23.     .  #  . 

2)er  erfie  §Punf£  liegt  l)ier  mit  bem  gweifen  in  einer  9Wd)* 
tung,  unb  ber  gweife  wieber  mit  bem  britten-,  aber  ber  britte  f)at 
ttod)  außer  feiner  9itd)tung  nad)  bem  jweiten  l)in  eine  9Jtd)fung 
ttad)  bem  erflen,  fo  baß  alfo  ber  gweife  mit  bem  erflen  unb 
Mttm  in  einer  gleidjen  SRid)tung  liegt. 

Stuf  wie  Diel  2lrfen  fonnen  Dier  fünfte  überhaupt  liegen?  — 
gwifc^en  gwet  fünften  ftnbet  nur  ein  3*Dtfd)enraum  ffaff ; 
wie  Diel  3wifcfyenr5ume  fjaben  aber  brei,  Dier  fünfte? 

Sei  brei  fünften  iff  Dom  erßen  gum  gweiten,  Dom  jweiten 
gum  britten,  aber  aud)  Dom  erjlen  gum  britten  ein  Swifdjetu 
räum;  alfo  fmben  bei  brei  fünften  brei  3wifd)enräume  jlaff. 
—  Sei  Dier  fünften  i|l  Dom  etjlen  gum  gweifen,  Dom  gweiteu 
gum  britten,  Dom  britten  gum  Dierfen  ein  3wifd)enraum;  aber 
aud)  Dom  erjien  gum  britten,  Dom  gleiten  gum  Dierten  unb 
Dom  erjten  gum  Dierfen;  mithin  ftnb  bei  Dier  gleidjliegenfcen 
fünften  fedjS  3wifd)enrÄume  gu  bctxad)kn. 


@6  Wirt)  bieS  beut  <§ä)ükv  anfdjattltd),  wenn  man  bfc 
fünfte  mit  Siffern  bejetdjnet,  unb  baburd^  bie  Swifcfyenräume 
aufffnben  läßt. 

SSon  ber  Stnie- 

§.  3.  ©a$  Seiten  futr  ben  SwtT^enwum  jweier  fünfte 
beißt  eine  Sinie.  9?immt  t>te  Smt'e  ben  nacbflen  SBeg  &on  einem 
fünfte  junt  anbern,  fo  f  eipf  ffe  eine  gerate,  gc^t  jt'e  aber  ntd)t 
ben  näcbfien  SBeg  bott  einem  fünfte  jum  anbern,  fo  t(i  e$  eine 

frumme  Sinie.    ©ie$  —  —  ifl  eine  gerabe  —  biefeS  fyier 

Y — S  eine  frumme  Stute. 

ßine  Sinie  l)at  nur  eine  2lu£bet)nung  in  bie  Sänge,  aber 
feine  breite;  bevfyalb  muffe«  aud)  bei  ben  3eid)nenübungen  bie 
Sinien  möglid)|t  fein  gejetd)net  werben.  SBo  eine  Stufe  anfangt, 
i(l  i()r  -SlnfangSpunft,  unb  wo  ffe  enbet  (aufbort),  ibr  (gnbpunft* 
©tefe  beiben  fünfte,  ber  2lnfang$<  unb  ber  @nbpunft,  be(lim* 
men  bie  Sänge  unb  bie  SKtdjtung  ber  Sinie,  unb  bilben  ifyre 
©ränjen.  33on  einem  fünfte  aus  fann  man  Sinim  nad)  allen 
©eiten  fyn  jtetjen  unb  fo  (ang  man  will;  ein  spunft  benimmt 
alfo  nid)t  bie  9iid)tung  unb  Sänge  einer  geraben  Sinie,  fonbem 
e$  geboren  wenigffenS  jn?et  fünfte  baju. 

Sa  febräge  ober  fdjiefe  Sinien  fcon  red)t$  oben  ttacb  UnH 
unten  am  letdjteffen  ju  jeidjnen  ffnb,  fo  wirb  mit  iU\m  ber 
Anfang  am  beften  gemad)t  werben. 

9)ian  laffe  bie  @d)üler  alfo  juerjl  gerabe  Sinien  in  ber 
febrägeu  9iid)tung  t>on  red)t$  oben  nad)  Knf$  unten  jeidjnen, 
tmb  überlaffe  bie  Sänge,  fo  wie  bie  mebr  ober  minber  fc^tefe 
Neigung  biefer  Sinien,  SlnfangS  nur  ber  $raft  eines  jeben^ 
<3d)üler$,  inbem  man  mir  jlreng  barauf  ftel)t,  baß  fofdje  Sinien 
mog{id)t1  idjmd)  unb  gerabe  gejeid)net  werben,  worauf  matt 
biefelben  nad)  unb  nad)  frört  $unet)menber  Sänge,  unb  immer 
meljr  ber  fenfred)ten  SKtcl^fung  ftd)  näfyernb,  bilben  läßt,  ©er 
©cbüler  beginnt  tjterbei  melleidjt  mit  einer  Sinie  wie  Saf.  L> 
Si9-  1/  ab. 

Steljtilidje  Stuten  laffe  man  nutt  nad)  unb  ttad)  immer  ßeiler 

% 


—    18  — 


\jmi  geneigt  banebeu  seidjnen,  big  man  bie  fenfredjte  %'d)tung 
in  cd  erreicht  bat.  £ter  verweilt  man  nun  befonberS  unb  jeigt, 
wie  nun  jebc  folgend  fdjräge  Sinie,  j.  23.  3/  4  u.  f.  über 
t>ie  fenfred)te  ^tna'uS  in  bie  Neigung  bei?  umgefel)rt  Riefen 
Sinie  wn  'linf*  oben  nad)  red)tt  unten  übergebt,  in  weldjer 
9Üd)tung  man  bie  Stm'e  ftd)  bann  fo  lange  erheben  laßt,  bis 
man  bie  wagereebte  Stiftung  in  ef  erreicht  bat/  wo  man  bann 
wieber  befonbcrS  geweilt,  unb  bie  (2d)ti(er  barauf  aufmerffam 
mad)t,  wie  je§t  abermals  eine  $id)tung  ber  Suite  eingetreten  iff, 
tton  welcher  jebe  (Erhebung  beS  redjts  gelegenen  ßnbeS  einer 
barüber  gelegten  £inte,  eine  mit  ben  wrljerigen  entgegen  gefegte 
SRidjtung  nimmt. 

9ltd)tung  ber  Stniett. 

§.  4.  Sie  gerabe  Stute  cd  alfo,  bie  Don  eben  nad) 
unten  gefjt  ohne  jtd)  mit  einem  ßnbe  webet?  nad)  red)ts  nod) 
nad)  linfs  ju  neigen,  beißt  eine  fenfred)te  ober  (otl)red)te  Stnte, 
t>pn  einem  an  eine  ©djnur  ge!)ängten  @ewtd)t  fo  genannt;  eine 
foldje  Sinie  aber,  bie  gerabe  fcon  ber  SRedjten  jur  Stufen  ober 
umgefefjrt  &dn  ber  Stufen  jttr  9ietf)ten  gel)t,  ol)ne  ftd)  mit  einem 
ßube  nad)  oben  ober  nad)  xmtm  l)tn  ju  neigen,  beißt  eine 
wagered)te  ober  wafferred)te  Stute,  nad)  bem  SBalfen  einer 
g(eid)frel)enben  Sßaage  ober  nad)  ber  gfadje  ejnel  friß  tfehenben 
SBaffct^  fo  gebeißen,  ß$  wirb  hierbei  fcortbeüfyaft  fein,  ba$ 
©efagte  ben  @d)ülern  an  einer  fogenannten  ©runbwage,  an 
welcher  bie  fenfred)te  unb  wagered)te  9ltd)tung  sugletcf)  unb  im 
23erS)ä(tniß  ju  etnanber  gefeben  werben,  anfcbaulid)  ju  macben. 

Sa  man  aber  im  gewöhnlichen  Seben  eigentlich  nur  eine 
fold)e  Sinie  fenfred)t  fjetßt,  bie  gerabe  nad)  bem  SDlittelpunft 
ber  (Si'be  btnab  gebt,  fo  wirb  es  nötl)tg  fein,  bie  (Sd)üler  bar* 
auf  aufmerffam  ju  madjen,  baß  man  beim  tyitynm  unb  in 
ber  ©rößenlehre  fcon  einer  Stute  aud)  fage:  ft'e  fei  4enfred)t  auf 
eine  anbete  gesogen,  wenn  ft'e  fo  auf  berfelben  <lel)t,  baß  ft'e  jtd)  ju 
Mefetr,  wenn  aud)  fd)räg  gelegenen,  ©runblinie  fo  fcerf)ält,  wie 
ftd)  bie  aus  ber  @pi§e  ber  ©rttnbwage  berabgefa'Kte  Sinie  jur 
Srunblinie  berfelben  galten  muf.    Sind)  füt>t*e  man  ben 


—    19  ~ 


<Sd;üler  barauf,  baf  er  eine  fenfred)te  Stute  auf  ber  vorliegen* 
ben  $läd)e  feine«  Rapiers  nur  Itegenb  bartfetfen  föttne,  baj5  er 
ftd)  aber  biefelbe  als  aufregt  (M)enb  benfen  muffe.  • 

Sitte  andere  in  gig.  1  burd)  yunfttrfe  Stuten  angebeutefen 
Söflingen,  bie  weber  fenfredjt  nod)  wagered)t  ftnb,  Reißen 
fdjrage  ober  fdjtefe  Stuten,  (SS  giebt  bemnad)  verfd)tebene  fdjiefe 
Stuten;  einige  nähern  jtd)  met)r  ber  fenf rechten,  anbere  met)r 
ber  wagerecfyten  Stiftung  5  eifere  ftnb  entweber  fd)räg  ober 
fcfytef  von  red)tS  oben  nad)  IhtfS  unten,  wie  1>  2,  ober  von 
linfs  oben  nad)  red)tS  unten,  wie  3,  4  5  letztere  ftnb  fdjräg  ober 
fd)ief  Don  linJS  naefy  red)tS  antfeigenb,  wie  5,  6;  ober  Don  red)t$ 
nad)  linfs  jtd)  l)erab  neigenb,  wie  7 '8. 

SBte  Ijetßen  bte  Sutten,  bie  weber  fenfrecfyt  noefy  wagered)* 
ftnb?  ©iebt  es  verfd)iebene  fdjräge  ober  fcfytefe  Sutten?  SBic 
viel  gerate  Stuten  fönnen  jwtfcfyen  jwei  fünften  gejogen  wer? 
ben,  unb  wie  viel  fünfte  bcflttttmett  bie  3iid)tung  einer  gerabett 
Stute?  Sonnt  il)r  einen  fyunft  fo  ju  einer  Stute  fegen,  baß 
fte  il)n  trifft,  wenn  man  fte  verlängert?  Sßie  liegt  fold)'  ein 
SPunft  mit  ber  Sinie? 

2ttan  befdjaftige  nun  bie  @d)üler  bcfonberS  mit  ben  fenf* 
ttnb  wagered)ten  Stuten  etwas  länger  als  mit  ben  fcfyrägen, 
weil  er|lere  vermöge  tl)rer  eigenen  SRtdjtung  fd)on  fd)werer  ju 
jetd)nen  ftnb,  unb  verlange  btefelben  nun  von  junefymenber 
Sänge,  wobei  man  t»te  (Sattler  jttr  2lbwed)felung  aud)  ber? 
gleichen  Stufgaben  in  punfttvten  Stuten  fyerjMen  (äffen  fann,  ba 
man  fold)e  in  jufammen  gefeiteren  ©ebtlten  oft  als  ^ütfsltuien 
gebrannt. 

S5et  bergletdjen  Uebtmgen  verweile  man  fo  lange,  bis  bte 
@d)üler  eine  gcm'tgenbe  gertigfett  haxin  erreicht  l)aben,  unb  eS 
ijt  aud)  für  §anb 'unb  Sluge  ber  @d)üler  feljr  bilbenb,  wenn 
fold)e  Stuten  von  junel)menber  Sänge  unb  mehrmals  abge* 
fe£t  gejetd)net  werben,  tnbem  man  nadlet  bte  freigelaffenett 
Swtfd)enräume  in  ber  9vtd)ttmg  ber  fiintenfJucfe  mit  fünften 
ausfüllt,  woburd)  icnm  'fefjr  lange  gerabe  Stuten  hervor  ge* 
bracht  werben. 

2* 


—    20  — 


2tud)  ba$  $Utyn  ber  Sinien  nad)  gegebenen  fünften  unb 
burd)  btefelben,  unb  ba$  33effimmen  be$  SPtmfteS,  ben  eine 
gerabe  Stute  bei  beren  93erlängerung  treffen  würbe  (ba$  2tn* 
geben  be$  Sttcfytpunftes),  fann  ftd)  btefen  Hebungen  mit  Saugen 
ausließen. 

Sage  ber  Sinten  gegen  einanber. 

§.  5.  3^ei  ober  mehrere  Sinien  fcnnen  in  gleidjer  SHtd)* 
fung  neben  einanber  liegen,  wie  bie  Sinten  g  h,  ober  in  tut* 
gleicher  9ltd)tung  neben  einanber  wie  bie  Sinten  i  k,  ober  aud) 
in  gleid)er  SKidjtung  nad)  einanber,  wie  1  unb  m  in  Saf.  1 
gig.  2. 

Siegen  gwei  ober  mehrere  Sinten  fo  neben  einanber,  baß 
jte  überalt  in  allen  fünften  gleid)  weit  Don  einanber  entfernt 
ftnb,  unb  nie  gufammen  treffen  würben,  wenn  man  fte  attd)  nod) 
fo  weit  verlängerte;  fo  Reißen  fte  gleicfylaufenbe  ober  parallele 
-Sinten.  (@tel)e  g  unb  h  gig.  2). 

Siegen  jwet  Stuten  fo  neben  einanber,  baß  fte  ftd)  treffen 
würben,  wenn  man  fte  verlängerte,  fo  Reißen  (Te  ungleid)* 
laufenbe  Stuten.  Ungletcfylaufenbe  Stuten  nähern  ftd)  alfo  an 
einem  @nbe  einanber  unb  entfernen  ftd)  am  anbern.  (@iel)e 
§ig,  2,  i  unb  k). 

3wei  ober  mehrere  Stuten,  bie  bei  33erlängeruug  eine  ein* 
gige  gerabe  Stute  btlben  würben,  Reißen  abgefegte,  unterbrod)ene, 
ober  Stuten  in  einer  9vid)tung.   (@iel)e  gig.  2,  in  1  unb  m). 

Swei  nad)  einanber  liegenbe  Stuten  fyaben  ein  ?Paar  gitge* 
feljrte,  ein  ?)aar  abgefefyrte  unb  gwei  $Paar  gleid)gefel)rte  ßnb; 
fünfte.  (©iel)e  gtg.  tu  2,  no,  pq). 

Sugefetjrt  (tnb  bie  gletd)  nad)  einanber  liegeuben  Cntbpunfte 
o  unb  pj  abgefegt  ftnb  bie  btefen  ßnbpnnften  entgegen  gefe§* 
ten,  alfo  n  unb  q,  unb  gleid)gefel)rt  ftnb  bie  nad)  einer  (Seite 
t)tngefe^rten  ßnbpunfte  n  unb  p,  unb  o  unb  q. 

@o  l)aben  aud)  jwei  neben  einanber  liegenbe  Stuten  ein 
spaat  jugefeljrte,  ein  $aar  abgefegte  unb  jwei  ^)aar  gleich* 


—    21  — 


gefegte  (Seifen.  (@ie$e  gtg.  2,  gh).  SugcFeTjrt  ffab  bie  innem, 
abgefegt  bie  äußern,  unb  flleic^gefeljrt  bie  naefy  einer  (Seite 
t)in  gefetjrfen  (Seifen,  alfo  eine  innere  mit  einer  äußeren. 

SBelctyeS  ft'nb  gleicfylaufenbe  unb  welches  ungleidjlaufenbe 
2\mml  SBie  unterfdjeiben  ftd)  beibe  Sitten  Don  einanber? 
SBeldjeä  ftnb  unterbrochene  ober  abgefegte  Sinien? 

9?un  Iaffe  man  gleicfytaufenbe  Sinien  in  ber  fcfyrägen  SHid)* 
fung,  Don  red)t$  oben  nad)  linfs  unten,  einen  falben,  einen  gan* 
jen,  jwei  bxä  3oU  mit  Don  einanber  jeicfjnen,  unb  hierauf 
gleid)(aufenbe  2l\\im  in  ber  fenfred)ten,  unb  bann  in  ber  wage* 
redjfen  $id)tung  einen  falben,  einen  ganjen,  jwei,  brei  3olf  weit 
Don  einanber. 

Shilling  ber  Sinien. 
§.  6.  Sn  einer  Sinie  fönnen  mehrere  fünfte  in  einiger 
Entfernung  Don  einanber  angegeben  werben,  unb  tiefe  feilen 
bie  Sinie  in  mehrere  (Stücfe  (Sinienjlücfe),  welche  Steile  ber 
Sinien  ftnb. 

Siegt  in  einer  Sinie  ein  ?Punff,  fo  fmb  brei  (Sfütfe  gu 
befrachten.    »r  ?  A*    Sßon  a  bis  c  ijl  ein 

(Stü<f,  Don  c  bis  b  ba$  jweite,  unb  Don  a  bis  b  ba$  briffe; 
a  c  ifi  ein  (StücF,  Don  a  b,  c  b  ifi  aud)  ein  (StücJ  Don  a  b, 
unb  a  b  beflehet  aus  a  c  unb  c  b. 

SBie  t>iet  (Stücfe  ftnb  jtt  befragten,  wenn  jwei,  brei  fünfte 
in  einer  Sinie  liegen?  (3m  erffen  gatte  fed)S,  im  jweifen  Satte 
neun  Sinienflücfe). 

9?un  laffe  man  2imm  in  mannigfaltige  befKmmfe  Steife 
bringen,  unb  jwar  juerft  Sinien  in  ber  wagerechten  Züchtung 
Don  brei,  Dier  unb  fünf  3°ß  Sänge,  in  jwei  Dier  unb  ad)f 
gleiche  Steife,  worauf  man  aud)  bergleicfyen  Sinien  in  brei, 
fed)S  unb  neun  gleite  St)eile  bringen  läßt.  9?un  gehe  man  ju 
bem  Steilen  fd)räger  unb  fenfrechfer  Sinien  über,  inbem  man 
bei  einiger  Don  bem  (Sd)üler  erlangten  Hebung  aud)  fünf,  jel)n 
u.  f.  w.  gleiche  Steile  angeben  läßt. 

hierbei  madje  man  bie  (Stüter  auf  einige  25ortt)ei(e  auf* 
merffam,  unb  jeige  ttjnen,  wie  fte,  um  eine  Sinie  in  acht  gleid)e 


—    22  — 


Steile  ju  bringen,  biefelbe  erft  ju  Ijalbiren  (jaben,  tvovauf  ftc 
jefce  §älfte  wieber  in  jwei  unb  jebes  Viertel  aud)  in  &wet 
Sfyetle  gerlegen.  Um  eine  Sinie  in  fed)$  gleite  Steile  ju  brf# 
gen,  tfyetlt  man  fte  erfi  in  jwei,  unb  bann  jebe  btefer  Hälften 
lieber  in  brei  gleite  Steile.  ©oll  eine  Stm'e  in  neun  gleite 
Steife  geseilt  werben,  fo  laffe  man  biefelbe  erft  in  brei,  tinb 
jebeS  ©ritte!  bann  wieber  in  brei  gleite  Steile  bringen. 

Sei  btefeit  Uebungen  Ijalte  man  jireng  auf  richtige  2tu$* 
fül)rung  ber  Aufgaben,  ba  fold)e  jut  23ilbung  eine«  richtigen 
SlugenmaßeS  fet)v  förberltd)  ftnb,  tmb  e$  fann  ben  <3d)ülern  ba* 
bei  gefiattet  werben,  bie  angegebenen  Steife,  nacfybem  fte  biefef- 
ben  borfyer  nad)  beftem  Vermögen  frei  angefegt  l)aben,  mit  bem 
barauf  gehaltenen  (Stift  nadjjumeffen,  um  fo  töre  Angaben  felfcfl 
8erid)tigen  ju  fonnen,  befonberS  wenn  e$  bem  Set)rer  md)t  mog* 
lid)  wäre,  bie  Strbeit  jebeg  ©injelnen  nad)jufel)en. 

^Bereinigung  ber  Sinien. 

§.  7.  3wei  ober  mehrere  Sinien  fonnen  ft'd)  entweber  mit 
einanber  bereinigen  ober  ft'd)  burd)fd)neiben,  unb  ber  SPttnft,  in 
welkem  fte  ft'd)  bereinigen,  fyiüt  t'br  SJetemigtmgSptmft.  Siegt 
biefer  fyunU.in  ben  (Snben  ber  Stute,  wie  r  in  gig.  3,  fo  Ijetßt 
er  ber  (gnböetemigungSpunft,  liegt  er  aber  innerhalb  ber  einen 
Sinie,  wie  gtg.  i  in  s,  fo  nennt  man  tt)n  einen  innern  93er* 
dntgung^unft  ober  aud)  ©nfebnittepunft;  geljt  aber  bie  eine 
Sinie  burd)  bie  anbere,  b.  f).  bttrd)fd)netben  fte  ft'd)  beibe,  fo 
Jjeift  ber  SPttnft,  in  weldjem  fte  ft'd)  burd)fd)tteiben,  ber  ©urefc 
fdjnittspunft,  wie  gig.  5  in  t. 

2ttef)rere  Sinien  in  einer  $ttd)tung  bilben,  wenn  fte  ft'd) 
bereinigen,  nur  eine  gerabe  Sinie.  ©ielje  gig.  2  in  m  unb 
n  o  p  q. 

SBeldje  Stuten  (Stiften  ft'd)  bereinigen,  o&ne  eine  gerabe 
Sinie  ju  bilben? 

©ne  fenfredjte  mit  einer  wagered)fen;  eine  fenfredjte  mit 
einer  fdjrägen;  eine  wagered)te  mit  einer  fd)rägen;  eine  fd)räge 
mit  einer  fdjrägen.  Stelje  gig.  6  u  v  w  x. 


SBBie  Diel'  93ereinigungi?jnmfte  fann  man  mit  jwei  skaten 
Sinien  bilben? 

9?ur  einen  SBereinigungSpunft. 

9JJan  laffe  nun  bie  (Schüler  jct>e  2tnjal)l  Don  Bereinigung^ 
fünften  angeben,  bie  mit  brei,  Dier  Sinien  gebildet  werten  fbm 
nen,  wobei  man  jtnben  wirb,  baf5  ^wei  Sinien  nur  einen  93er« 
einigungSpunft,  wie  w  in  gig.  6,  geben  werben,  mit  ber  tofö 
ten  fann  man  bie  tnwereinigten  ßnben  tiefet  beiben  Sinien  m* 
einigen,  tmb  e$  entfielen  jwei  neue  93ereinigung$punffe,  ftefyc 
gig.  7  y;  a!fo  fann  man  mit  brei  Sinien  l)öd)fien$  brei  95er* 
einigungSpunfte  bilben.  33ier  2inim  geben  Jjröd)jlen$  fecf)$  93et* 
einigungspunfte,  wie  z  in  gig.  7,  unb  man  erljält  alfo  überhaupt 
mit  einer  neuen  Sinie  immer  fo  Diel  93ereinigung$punffe  tnt$tt 
als  Dotier  Sinien  ba  waren,  weil  bie  legte  Sinie  äffe  votier 
gezogenen  burcfyfd)neiben  fann. 

SBie  Diel  fenfred)te  unb  wagererfjfe  Siwkn  fönnen  jtd)  in 
einem  fünfte  Dereinigen? 

9?ur  eine  fenfred)te  mit  einer  wagered)ten,  wie  u  gig.  6. 

SBie  Diel  ®urd)fd)nttf$punffe  fonnen  brei  Sinien  tyäcfyjfen* 
bilben? 

SDrei  ®urd)fd)oift$punfte,  wie  y  gig.  7. 
SSie  Diel  ©urd)fd)nit(<?punfte  fann  man  mit  Dier  Sinien 
bilben? 

§öd)ffen$  fed)S  ©urd)fd)nttt$}nmffe,  wie  z  gig.  7« 

SSon  ben  SÖinfefn. 

§.  8.  ©urd)  93ereiuigung  ber  Sinien  entfielen  SBinfel; 
unb  ber  Staum,  weld)er  Don  ben  beiben  Sinien  b  b  in  8 
an  il)rem  93ereinigung$punft  a  jum  Sljeil  eingefd)lo(Ten  ifr, 
l)eifit  SBinfel.  ©ie  beiben  Dereinigten  2inim  b  b,  weld)e  ben 
SBinfel  bitben,  nennt  man  @d)enfel  beS  SBinfel.  ©er  SBinfel 
nad)  außen  i)i\x  in  c  fyeißt  bie  ©pifK  ober  ßefe  beffelben,  aud) 
wirb  biefer  fhtitft  c,  in  welchem  bie  ©d)enfel  $ufammen  treffen 
ober  ftcfy  Dereinigen,  ber  (2d)eitefytmft  be$  SBitifefä  genannt. 

SBie  Diele  SBinfel  fonnen  jwei  gerabc  Sinien  bilben? 


—    24  — 


SBenn  fle  ffd)  im  (SnbDereinigungSpunft  vereinigen,  fo  bil* 
fcen  fte  nur  einen  SBinfel,  wie  gig.  3;  vereinigen  fte  ftd)  aber 
im  inneren  23eretnigungSpunfte,  fo  entfielen  jwei  SBinfel,  wie 
gtg.  4;  bttrd)fd)neiben  fte  ftd)  tjingegen,  fo  btlben  fte  trier  SBin* 
fei.   @iel)e  gtg.  6. 

SBie  Diele  SBinfel,  Don  ber  f  (einfielt  bis  jur  l)öd)f!en  2lnj#, 
fonnen  mit  brei  Sinien  in  einem  fünfte  gebildet  werben? 

3wei,  brei,  fünf  unb  fed)S  SBinfel,  wie  a  b  c  d.  in  gig.  9. 

SBie  Diele  SBinfel  mit  brei  Sinien  in  jwei  fünften? 

3wei,  brei,  Dier,  fecfyS  unb  ad)t  SBinfel,  wie  ä  b  c  d  e  in 

Sig.  io. 

SBie  Diel  (Sefen  ober  SBinfelfptfjen  fann  man  mit  jwei 
Sinien  bilben,  unb  wie  Diele  ßefen  fonnen  überhaupt  an  einem 
93ereinigungSpunffe  gebildet  werben? 

SBaS  war  alfo  ein  SBinfel,  unb  was  ftnb  bie  ©djenfet 
eines  SBinfelS?  SSaS  l)eipt  ber  ©djeitel  (©djetteljnmft)  eines 
SBinfelS? 

@r6pe  ber  SBinfel. 

§.  9.  Siegen  bie  ©djenfel  eines  SBinfelS  fo  gegen  ein* 
anber,  bap  einer  auf  bem  anberen  fenfrecfyt  ffel)t,  fo  fjeipt  er 
ein  ßuerwinfel,  gewßfynlid)  ein  rechter  SBinfel,  wie  r  gig.  11. 

Siegen  bie  @d)enfel  eines  SBinfelS  fd)räg  ober  fcfyief  gegen 
einanber,  fo  ftnb  fte  entweber  einauber  mel)r  jugeneigt,  ober  Don 
einanber  meljr  abgeneigt  a(S  bie  @d)enfel  eines  rechten  SBin« 
f  eis.  @inb  bie  @d)enf el  eines  SBinfelS  einanber  meljr  juge^ 
neigt,  fo  l)etpt  berfelbeein  fpt|er,  wiergig.  3;  ffnb  bie  @d)en* 
fei  eines  SBinfelS  hingegen  Don  einanber  abgeneigt,  fo  Ijeipt  er 
ein  tfumpfer  SBinfel,  wie  §ig.  12  g. 

©as  Sftap  beS  redjten  SBinfelS  bleibt  jtd)  immer  gleid), 
unb  feine  ©djenfel  bürfen  ftd)  nie  einanber  nafyern  ober  fi'ct>  Don 
einanber  entfernen,  wenn  er  nid)t  ein  flttmpfer  ober  fpi§er  SBin* 
fei  werben  foll.  5)a  ber  rechte  SBinfel  immer  gleid)  groß  bUibtf 
fo  bient  er  attd)  jum  Sftapfiab  für  anbere  SBinfel,  unb  ber  fpiffe 
tft  ffets  fleiner  als  ber  red)te,  fo  wie' ber  flumpfe  immer  gröper  t(f. 


—    25  — 


©ie  (Scfe  an  einem  rechten  SBinfel  ijl  eine  red)te,  an  einem 
flumpfen,  eine  fiumpfe,  an  einem  fyi§en,  eine  fpi|e. 

3n  welchen  Sagen  fann  man  mit  jwet  Sinien  einen  red)* 
fen,  einen  flumpfen,  unb  einen  fpigen  SBinfel  bilben? 

(Seijen  jid)  alle  rechte,  jfumpfe  unb  fyi§e  SB  Inf  el  einanber  gfetd)? 

SBann  gleichet  ein  fpi§er  ober  ein  flumpfer  SBinfel  am 
meiflen  einem  regten? 

SBie  viele  rechte,  fpi§e  unb  jhtmpfe  SBinfel  fann  man  mit 
jwei  Sinien  bitben? 

SBenn  (td)  gwei  Sinien  in  ifyrem  (SnbveretnigungSpunffe 
vereinigen,  fo  fonnen  fte  bilben:  einen  redjten,  wier  gig.  11, 
ober  einen  fpi§en,  n>ie  r  §ig.  3,  ober  einen  Rümpfen  SBinfel, 
toi*  S  $i3-  12;  vereinigen  fte  ftd)  in  einem  inneren  aSeremi^ 
gungspunffe,  fo  fonnen  fte  bilben:  jwei  redjte,  wie  §tg.  4 
ober  einen  fpigen  unb  einen  flumpfen  SBinfel,  wie  gig.  13; 
fcfyneiben  jte  ftd)  hingegen,  fo  bilben  fte  entweber  vierredjte,  ober 
jwei  fpige  unb  jwei  fittmpfe  SBinfel,  wie  gtg.  6,  u  v  u.  f.  n>. 

SBie  viele  red)te  SBinfel  fannman  um  einen  $Pnnft  %tx  büben? 

SBa$  für  SBinfel  fonnen  nod)  mit  etnett,  mit  jwei  ober  bret 
regten  SBinfeln  um  einen  pmtt  fyer  liegen? 

SBie  viele  flumpfe  SBinfel  fonnen  l)öd)fien$  um  einen  SPunft 
Ijerum  gebilbet  werben? 

9?id)t  mefyr  als  brei.  (Sielje  $ig.  14 

SBie  viele  SBinfel  fonnen  red)t,  fpt§  ober  jlumpf  fein,  wenn 
brei  Suiten  in  einem  fünfte  jwei,  brei,  vier  SBinfel  bilben? 

SBenn  brei  Sinien  in  einem  fünfte  jwei  SBinfel  bilben, 
fo  fonnen  gefunben  werben:  ein  rechter  unb  ein  fpt§er,  wie  in 
gig.  9,  unb  jwei  fpi§e  SBinfel,  wie  gig.  15;  bei  brei  SBtn* 
fein  würben  ftd)  jtnben:  ein  redjter  unb  gwei  flumpfe,  ftefye 
gig.  16,  ober  brei  flumpfe  SBinfel,  wie  in  gtg.  14. 

Sei  vier  SBinfeln  fonnen  fein:  jwei  red)te,  ein  fpi§er  unb 
ein  flumpfer,  jtetje  gig.  17  a;  jwei  fpige  unb  jwei  jlumpfe 
SBinfel,  wie  bafelbfl  in  b. 

SBie  viele  SBinfel  fonnen  redjt,  fpt§  ober  flumpf  fein,  wenn 
brei  Sinien  in  jwei  fünften  gwei,  brei,  vier  SBinfel  bilben? 


—    26  — 


SBenn  brei  Sinien  in  jwei  fünften  gn>ei  SBinfel  biiben, 
fö  forme«  gefunben  werben:  1)  jwei  red)fe  SBinfel;  2)  ein 
rechter  unb  ein  fj?f|«t?;  3)  ein  redjter  unb  ein  fhmtpfer;  4)  jwei 
fr>i§e$  5)  jwei  ftumpfe,  tmb.6)  ein  fpi§er  uub  ein  fiumpfer 
SBinfel,  wie  §ig.  18  a  b  c  d  e  f. 

Sei  bret  SBinfeln  würben  ftd)  bilben:  1)  bret  red)fe;  2) 
gwet  rechte  unb  ein  fpiger;  3)  jwei  rechte  unb  ein  fiumpfer; 
4)  ein  rechter,  ein  fpifjet  unb  ein  flumpfer ;  5)  jwei  fpige  unb  ein 
jiumpfer;  6)  jwei  fiumpfe  unb  ein  fpi§er  SBinfel,  wie  gig.  19 
a  b  c  d  e  f . 

23et  vier  SBinfeln  formen  fein:  1)  vier  red)te;  2)  jtvci 
ted)te,  ein  fpiger  unb  ein  fiumpfer;  3)  jwei  fpige  unb  jwei 
ffumpfe  SBinfel,  wie  $af.  IL,  gig.  20  a,  b  unb  c. 

SBie  muffen  t>ter  Sinien  vereinigt  fein,  wenn  jte  jwei  red)fe 
unb  Her  fpi|e  SBinfel  feilten  foKen? 

3wei  bavon  muffen  ftd)  burd)fd)neiben  unb  bie  beiben  a\u 
beten  ftdf>  in  bem  £)urd)fd)mt($punft  vereinigen.  @iel)e  gig.  21. 

(Solche  Hebungen  fßnnte  ber  2el)rev  nacl)  belieben  erwei* 
tern;  bod)  wirb  ftd)  aud)  in  ben  fyier  angegebenen  ©toff  genug 
für  bie  erfien  Hebungen  tiefer  2trt  ftnben. 

Sage  ber  SB  i  n  f  e  l. 
a)  Sfteöenwfnfel. 

§.  10.  SBenn  jwei  vereinigte  Sinien  jwei  SBinfel  Otiten, 
unb  pd)  in  einem  innern  SBereinigungöpunft  vereinigen,  fo  bil* 
ben  jte  ein  ?ßaar  9?ebenwinfel.  @iel)e  Saf.L,  §ig.  4.  Sieben* 
winfel  liegen  alfo  auf  betreiben  @ette  einer  Sinie  neben  einan* 
ber;  fte  fyaben  einen  gemeinfd)aftlid)en  ©djenfel  unb  einen  ge* 
meinfd)aftltc^en  @d)ettefyunff. 

SBie  fann  man  jwei,  wie  vier  $Paar  Sftebenwinfel  bitten, 
unb  wie  viele  Sinien  werben  wenigfienS  baju  erforbert?  33cm 
weld)er  3lrf  fönnen  bie  Sieben wtnfe!  fein?  SBie  viel  9?ebem 
w'infel  entfielen,  wenn  fid)  jwei  Sinien  bwdtfc&neiben? 

gig.  22  £af.  IL,  enjttjälf  mm  $Paar  Sieben  winfel,  neljmlid) 
wz7  yx,  wy  unb  zx* 


—    27  — 


b)  ©ctjeitelwinfeL 

§.  11.  <Bd)dkMt\M  entfielen,  wenn  $wet  Sinien  fiel) 
einander  t>urd)fcl)net&en.  Sie  SSinfef,  weldje  auf  Reiben  (Seiten 
be$  ©d&etfelpunffes  (td)  gegenüber  liegen,  (int)  ?Paave  t>ou 
(Scfceitetotnfeln.   @tel)e  gtg.  22  wx  unb  yz. 

SBte  &iel  ?ßaar  ©cljeitelwinfel  entfielen,  wenn  ftd)  brei 
Sinkt!  in  einem  fünfte  burd&fdjnetben? 

S^ei  Sutten  btlben-  ein  $paar  ©djettelrotnfel,  mit  ber  brif* 
fen  fann  man  ba$  eine  ^3aar  @d)etfefotnfel  Reifen,  tmb  e$ 
entfielt  ttod)  ein  Sßaar  @d)etfeft\unfel;  alfo  geben  brei  Sinien, 
bie  einen  ©urd)fcfjmtt$jnmft  bitten,  brei  Sßaar  ©djettetotnfel. 
@tel)e  Saf.  I.,  gtg.  9  d. 

SBie  tn'el  ^)aar  @c$etteln>tn?et  fantt  man  um  einen  SPunft 
l)er  btlben?  S3on  welket*  2(rt  fonnen  bie  ©cfcettelwtnfel  fein, 
unb  wie  benimmt  einer  ben  anbern? 

SBenn  ber  eine  SStnfel  ein  red)ter  i(l,  fo  ifl  fein  @d&eitefc 
nmtfel  aud)  ein  rechter;  i(i  ber  eine  ein  (lumpfer  SBinfel,  fo  tfl 
fein  @d)eitelwinf'et  aud)  ein  jfitmpfer;  ifi  ber  eine  ein  fpt§er 
SStnfel,  fo  ijt  aud)  fein  ©djettelwtnfel  ein  ft>i§er  SBtnfel. 

2Beld)e$  ftnb  bie  Stfeöenwtnfel  eines  jeben  SBnrfefö? 

3fi  fcer  ©djettelroinfel  ein  fyt£er,  fo  ftnb  feine  Sieben* 
rotnfel  Rumpfe  SBtnfel;  ijt  bei»  ©djeitelnnnfet  ein  ftumpfer,  fo 
ftnb  feine  9?ebenrctnfel  fpige;  unb  ifi  ber  @d)eitetoinf'e(  eitt 
red)ter,  fo  ftnb  feine  SRebenrotnfel  aud)  red)te$  benn  wenn  bei* 
@d)eitefo>mfel  an  einem  fünfte  ein  red)ter  fein  foff,  fo  muffen 
(td)  bie  Sinien  redjfroinfelig  bttrd)fd)neiben,  ttnb  bann  ftnb  a(fe 
SStnfel  um  ben  ©urc&fd)m'ftfyunft  rechte  SBinfel. 

c.  ©egenttHttfel. 

§.  12.  S8ei  ben  ©egenwtnfeln  in  gtg.  23  Reißen  bie 
emanbev  ättgefefyrten  SBtnfel  b  unb  c,  beSgletdjen  f  ttnb  g  $u; 
gefegte  ober  innere  ©egenttunfel.  Sie  fcon  einanber  abge^ 
festen  Stufet  a  unb  d,  ferner  e  unb  h  Ijeißen  abgefegte  ober 
äu(5ere  ©egenwinfel,  im  ©egenfafe  ju  ben  inneren,  ©ie  SBin* 
fei,  bereit  ©djenfel^effnungen  nad)  einer  @eife  Ijingefefjrf,  bie 


—    28  — 


dfoglei^gefe^rtflnb, Reifen  gleid&gcfe^tte  ober  innere  unb 
äußere  ©egenwinfel,  wie  a  unb  c,  b  unb  d,  e  unb  g,  f  unb  h. 

SEBo  liegen  innere  ©egenwinfel,  unb  was  Ijaben  fte  gemein* 
fdjaftlid)?  Söo  liegen  bie  Süßer«  ©egenwtnfel?  2Bo  bie  in* 
tiem  unb  äußern?  SBie  fciel  Hinten  braud)t  man,  um  @egen* 
winfel  jtt  erhalten?  Äann  man  bloß  äußere  ©egenwinfel  bil* 
fcen  ofjne  innere?  23on  weld)er  2(rt  fönnen  ein  Sßaar  ©egen* 
ttinfel  fein? 


§#  13.  giebt  ber  Sage  nad)  brei  Slrten  ton  23ed)fel* 
wfnfeln)  neljmlid) :  innere,  äußere,  unb  innere  unb  äußere,  ©ie 
inhern  Söecfyfelwinfet  liegen  auf  beiben  (Seiten  einer  Sinie  mit 
i>er  <2d)en?el*£>effnung  einanber  jugefeljrt;  bie  äußern  liegen 
auf  Uiben  (®titm  einer  Sinie  fcon  einanber  abgefel)rt;  bie  innertt 
unb  äußern  liegen  auf  beiben  ©eiten  einer  Sinie  gleidjgef'efyrt. 
3>n  §ig.  23  jtnb  bie  Sffiinfel  b  unb  g,  f  unb  c  innere;  bie 
Söinfel  a  unb  h,  e  unb  d  äußere;  unb  bie  SBinfel  a  unb  g, 
b  unb  b,  e  unb  c,  f  unb  d  ftnb  innere  unb  äußere  Sßecfyfel* 
winfel. 

95on  weldjer  2lrt  fonnen  alfo  überhaupt  jwei  3Bed)felwin* 
fei  fein? 

14,  §terfcl)ließtji^nunba6rid)tigeSeid)nenber  t?orl)er 
Uttad)Utcn  Sßinfel  an,  unb  man  lajfe  juerfi  rechte  9?ebenwinfel 
geicfynen,  weil  bei  tiefen  ber  @d)üler  Dergleichen  fann,  ob  bie  ge< 
pißmtin  SBinfel  aud)  gleich  groß  unb  alfo  red)te  SBinfel  ftnb. 
hierbei  wirb  man  erfl(id)  alle  @d)enfel  fettf*  unb  wagerecfyt  legen 
laffen,  wie  gig.  24,  unb  bann  ade  @d)enfel  fd)räg,  wie  in  gig.  25. 

Sie  Sänge  ber  @d)enfel  fann  nad)  3°Wm  benimmt  wer* 
fcen,  unb  biefe  Uebung  wirb  fo  lange  fortgefegt  werben  muffen, 
bi$  alle  SBinfel  mit  gertigfeit  richtig  gejeidjnet  werben.  Spim 
auf  folgt  ba$  geidjnen  einjelner  rechter  SBinfef,  bie,  wie  bie 
Sftebenwinfel,  in  t>erfd)iebenen  Sagen  gejetdinet  werben.  @iel)e 


§ig«  26.  2>iefe  einzelnen  red)ten  SBinfel  ftnb,  befonberS  in  ber 
fdjrägen  £age,  fdjon  etwas  fd)werer  ju  jeidjnen,  unb  beSljalb 


d)  2ßed)felwitt?el. 


—    29  — 


fafie  man  t>tc  ©d)üler  mitunter  einen  @d)enfel  be$  SESinfelS 
mitteljt  einer  punftirten  Stute  über  beu  ©djcttclpunft  l)inau$ 
»erlangern,  woburd)  ein  Sßaar  Sftebcnwtnfel  entfielen,  unb  bie 
@d)ü(cr  werben  balb  fel)en,  ob  il)re  SBtnfel  richtig  gejetdjnet  ftnb. 

9?U«  laffe  man  jur  weiteren  Uebung  nod)  red)te  @d)eitel* 
winfel  unb  rechte  ©egenwtnfel,  fp  wie  gleid)  fpi|e  unb  gleid) 
fhtmpfe  SSinfel  in  mehreren  Sagen  jetdjnen,  woju  bie  Aufgaben 
mit  SBejltmmung  ber  Sage  unb  ©röße  gegeben  werben  mitjfen. 
SBeifptele  jtcJje  in  gtg.  27. 

9fun  füge  man  jur  befonbern  Hebung  im  3eid)nen  ict 
SBtnfel  nod)  einfache  $erbinbungen  berfetben  bei,  bie  burd) 
Stufgaben  beflimmt  ober  an  ber  SBanbtafel  Dorgejeidjnet  werben 
fonnen.   Einige  SSetfptele  l)iert>on  in  §ig.  28. 

9?ad)bem  bie  SBtnfel  mit  gerttgfeit  in  jeber  gönn  unb 
Sage  gejeidjnet  werben  ftnb,  gel)?  man  nun  ju  ben  gtguren  über. 

S  i  3  u  r  e  n. 

A.  Sie  grabtinigen  giguren. 

§.  15.  @in  Don  aßen  (Seiten  burd)  Stuten  umfd)loffener 
SJaum  t)etßt  Stgur,.  9JJan  braucht  roenigjienS  brei  Stnien,  um 
eine  gtguv  ju  bttben;  benn  jwei  Sinien  bilben  nur  einen  SBtnfel 
unb  fd)(ießen  nod)  ntd)t  oollftänbtg  einen  SKaum  ein,  unb  e$ 
muß  a(fo  nod)  eine  britte  Stute  Ijinjit  fommen,  wenn  ber  dlaum 
ganj  eingefd)lcf[en  werben  foll.  (Sine  grabtintge  gigur  erjlrecft 
ftd)  in  bie  Sange  unb  breite  ober  §öt)e,  unb  Ijat  SBinfef, 
ßefen  unb  ©eiteu.  ©te  Stuten,  weld)e  bie  §läd)e  einfließen, 
ftnb  einjeln  genommen,  tl)re  (Seiten,  jufammen  genommen,  ityt 
Umfang  ober  ifyre  83egrä'njung. 

SBte  i?iel  giguren  fann  man  mit  fcier,  fünf  u.  f.  w.  Sutten 
bilben? 

©rei  Stuten  bilben  nur  eine  gigttr,  wenn  man  bie  feierte 
fo  siel)t,  baß  fte  bie  Dorljer  geljenben  Stuten  burd)fd)neibef ,  fo 
befommt  man  nod)  jwei  neue  gtguren  baju;  man  fann  alfo 
mit  tner  Stnien  l)öd)(ien$  brei  giguren  bilben.  ©telje  %ig.  29  a. 
3iet)t  man  bie  fünfte  Stnie  fo,  baß  fte  bie  vorljer  geljenben 


—    30  — 


vier  Sinictt  burchfd)neibet,  fo  entfielen  nod)  brei  neue  giguren, 
unb  man  fann  alfo  mit  fünf  Sinim  fec^^  giguren  bitten,  wie 
gig.  29  b.  Ueberhaupt  befommt  man  bie  meinen  SBinfel  unb  j 
giguren,  wenn  man  mit  ben  nachfolgenden  Sinien  alle  Dorhe*  I 
vigen  burchfd)neibet. 

SBie  Diele  Sinien  braudjt  man  wenig  jienS,  um  jwei,  brei, 
vier,  fünf  Figuren  bitten  jn  fönnen? 

3u  jwei  unb  tvet  giguren  braucht  man  wenigf!en$  tn'er, 
unb  ju  Dier  unb  fünf  giguren,  fünf  Sinien. 

3cbe  §igur  l)<it  eben  fo  Diele  (Seiten  als  jte  SBinfel  unb 
@<fen  l)at.  ©a$  ©reieef  t)nt,  außer  ben  bezeichneten  brei  ©den, 
aud)  brei  SBinfel  unb  brei  (Seiten,  ©a$  SSierec?  l)at  vier  Sötn^ 
fei  unb  vier  (Seiten  ti.  f.  w.$  man  fönnte  alfo  ba$  ©reieef 
auch  ©reiwinfel  ober  ©reifeit  nennen,  aber  gewöhnlid)  werben 
tiefe  2lrt  giguren  nerd)  ihrer  ßcfjahl  benannt. 

SBaS  für  giguren  fanri  man  mit  Dier  unb  fünf  Sinien  bitten? 

Sßenn  man  mit  vier  Sinien  eine  gigur  bittet,  bann  ijl  e$ 
einSSierecf,  ftel)egig.  30  a;  bittet  man  jwet  giguren,  fo  ftnb 
e*  5wei  ©reieefe,  wie  gig.  30  b,  2J?it  fünf  Sinien  fann  man 
ein  ©reiec?  unb  ein  SSiered,  wie  gig.  30  <y  ober  auch  itü 
giguren  bitten,  unb  swar  ein  SStered  unb  jwei  ©reiede,  wie 
gig.  30  d. 

SBie  Diel  93ierede  fann  man  JjBdjflen«  mit  vier,  fünf  unb 
fecfcS  Sinien  bitten? 

SSier  Sinien  geben  nur  ein  SBierecf,  fünf  Sinien  geben  jwei, 
unb  fed)S  Sinien  geben  Dier  SBierecfe.  (Siehe  §ig.  31  a,  b  unb  c. 

SBie  Diel  Sinien  braud)t  man  wenigfien«,  um  brei  ©reieefe 
ju  bitten? 

©ret  Sinien  geben  ein©reiecf,  bie  vierte  unb  fünfte  Sinie 
fann  man  aus  einem  SBinfel  nad)  bet  gegenüber  liegenben  (Seite 
jiehen,  fo  entfielen  brei  ©reied'e,  wie  gig.  32. 

Sage  bet  (Seiten  unb  SBinfel  gegen  tinanbtx. 
§.  16.   Sn  einer  jeben  gigur  fönnen  bie  (Seiten  unb 
SBinfel  einanber  anliegen*,  einanber  gegenüber  liegenb,  unb 


—    31  — 


entgegen  gefegt  fein.  Sn  bem  ©reiecf,  gi£  33,  ftnfc  bem  Sßiiu 
Fei  a  bie  (Seiten  1  unb  3  anliegenb,  fcem  SEBinfet  b  bie  ©eiten 

1  unb  2,  bem  SEBinfet  c  bie  (Seiten  2  tmb  3. 

©er  ©eite  1  (Tab  bt'e  (Seiten  2  unb  3  anliegenb,  ber  ©ette 

2  bie  (Seiten  1  unb  3,  ber  (Seite  3  bie  (Seiten  1  unb  2. 

©er  (Seite  1  fmb  bie  SEBinfet  a  unb  b  anliegenb,  ber 
(Seite  2  bie  SEBinfet  b  c,  ber  (Seite  3  bie  SSSinfel  c  unb  a. 

©et*  SBBinfel  a  tfi  bei*  (Seite  2  entgegen  gefegt,  ber  2Bin> 
fei  b  ber  (Seite  3,  ber  SEBinfet  c  bei*  ©eite  1. 

©ie  SEBinfet  a  unb  b  liegen  auf  einer  (Seite,  bie  SBinfet 
b  unb  c  unb  bie  SBinfet  c  unb  a  ebenfalls. 

2lefyntid)e  Hebungen  fmb  an  Sierecfen  anjujietten. 

Set  roeld)en  gtguren  fmb  bie  Sßinfel  fiel)  entgegen  gefegt, 
unb  bei  welchen  bie  (Seiten? 

Sei  ben  giguren  mit  einer  geraben  Slnja^l  ©eiten  fmb 
SEBinfet  unb  ©eiten  entgegen  gefegt. 

Sei  welchen  giguren  fmb  bie  SBinfet  ben  ©eiten  ent* 
gegen  gefegt? 

Sei  ben  giguren,  mldje  eine  ungerabe  2tnjal)t  ©eiten  tjaben. 

Slrfen  ber  giguten. 

§.  17.  ©ie  erwähnten  giguren  Ratten  lauter  innere 
SBinfet  unb  äußere  ßefen;  e$  giebt  aber  aud)  giguren  mit 
äußern  SHBinfrtn  unb  äußern  ßtfen.  ©iefe  äußern  SBinfel  an 
Siguren  Reißen  einfyringenbe  SEBinfet. 

2tn  einem  ©reieefe  fann  man  feinen  einfpringenben  SBinfel 
bilben.  ßin  Sierecf  fann  einen  einfpringenben  SEBinfet  Ijaben. 
©iel)e  gig.  34,  Saf.  III. 

Sie  gerablinigen  giguren  werben  genauer  nad)  tfjren  ©ei* 
ten  unb  SBinfetn  unterfd)ieben,  unb  e$  giebt  giguren  mit  je 
imi  gteid)laufenben  ©eiten  unb  lauter  gleichen  SEBinfeln,  wie 
§ig.  35;  fceSgleidjen  aud)  giguren  mit  je  swei  gleid)laufenben 
©eiten  unb  jwei  gleichen  gegenüber  liegenben  SBinfetn,  wie  in 
Sig.  3G. 

Gin  ©reiecf  mit  lauter  gleid)en  ©eiten  Ijeißt  ein  gleid)* 


—    32  — 


feitige«  ©retetf,  tmb  l)at  aud)  fcrei  gleiche  fpi#e  SBinfel,  e« 
ijetfit  beätjalb  aud)  ein  gleicbfeitigeö  tmb  fpi^wtnfligce  Sreiecf, 
ftelje  g«g.  33,  Saf.  II. 

(Sinti  aber  in  einem  ©reiecf  nur  jwei  «Seiten  gleid),  fo 
Ijeift  e«  ein  gleid)fd)enflige$  ©reiecf. 

©d)liepen  bie  gleiten  ©djenfct  einen  fpi&en  SBinfel  ein, 
fo  jtnb  tie  anbem  SBinfel  and)  foi|e  SBinfel,  unb  fold)  ein 
Sreiecf  f)ti$t  ein  gleid)fd)enfltg<fpitjtt>inf(igeS  ©med",  fiebe 
Saf.  III.,  gig.  37  b. 

©cljliepen  tie  gleicben  ©djenfel  einen  red)ten  SBinfel  ein, 
fo  t|i  bieS  ein  gleid)fd)enf  (ig  >  red)froinf  ligeö  ©reted,  wie  $ig. 
37  a;  fd)lie£en  hingegen  bie  gleiten  ©d)enfel  einen  fiumpfen 
SBinfel  ein,  fo  beipt  eS  ein  gleidjfcbenflig *  fiumpfroinfligeö 
Sreied,  wie  gig  37  c. 

ein  ©reiecf  mit  lautet  ungleichen  ©eiten  Ijeift  ein  un* 
gleid)feittge$  ©wie*,  <tet)e  gig.  38  a,  unb  t>a  ein  fold)eS  un* 
gleid)feitige§  ©retecf  einen  tedjten  SBinfel  baben  fann,  fo  t)etf t 
es  bann  ein  nngteicl)fettige$  redjtroinfligeS  Sreied,  ftel)e  gig.38b. 

ein  SMered  fann  lautet  ungleid)  laufenbe  «Seiten  ^aben, 
roeldje  aisbann  aud)  nidjt  eon  gleichet  Sänge  fein,  unb  nid)t 
lauter  gleite  SBinfel  einfd)Heßen  fönnen;  ein  fold)e$  SMerecf 
beifst  ein  Srapej.   Siebe  §ig.  39. 

©inb  in  einem  Sierede  jwei  «Seifen  gleid)laufenb,  fo  wirb 
e§  ein  Parallelfrapej  genannt,  fiebe  §ig.  40  a  unb  b;  fom* 
men  aber  im  «Paralleltrapej  red)te  SBinfel  oor,  fo  beißt  eö  ein 
redjtwinfligeS  «paratleltrapej ,  fiebe  §ig.  40  b.  giguren  mit 
lauter  gegenüber  liegenben  gleidjlaufenben  ©eilen  betten  aud) 
Parallelogramme. 

§at  ein  Sierecf  jwei  unb  jwei  gleid)laufenbe  ©etten,  ton 
welchen  baö  eine  «Paar  bem  anbem  Paare  ungleid)  ift,  nnb 
fcbliefien  fie  rier  red)te  SBinfel  ein,  fo  beißt  e«  ein  SKed)tecf 
(Oblongum),  fiebe  §ig.  35.  41 

j^at  ein  S5ierecf  eier  gleid)  lange  ©eiten,  unb  red)te  SBmfel 
unb  ßden,  bann  beißt  e$  ©eoiert  (Öuabrat),  fiebe  $tg.  31  a. 
$dt  ein  23ierecf  tfee  gleid)  lange  ©eiten  unb  je  &wet 


—    33  — 


gleite  jliuwfe  unb  ftiöe  SBinfel,  wie  gig.  41,  bann  jfl  e$ 
eine  Staute  ($f)ombuS).  §at  eS  ferner  je  iwei  gletd)laufenbe 
unb  gleid)  lange  gegenüber  liegenbe  ©eiten  unb  jluftipfe  unb 
fytjp  SSStnfel,  wie  gigur  36,  fo  iji  e$  eine  längliche  SRaute 
($l)omboibeS). 

3BaS  ifl  ein  Parallelogramm?  SBte  Diel  Parallelogramme 
fann  man  mit  Dier,  ad)t  Sinien  fcilben?  [@iel)e  83etfpiele  m 
gtg.  42.]  SSSoburd)  unterfdjeibet  man  bie  gtguren?  2ßaS  iff 
ein  Srapej,  unb  wie  wirb  ein  Srapej  mit  einem  rechten  SBtn* 
fei  genannt?  2Bie  Diele  Sitten  Don  ©reieefen  giebt  eS?  SBie 
unterfd)eiben  ftd)  bie  g(eid)fd)enf'ligen  ©retede  Don  ben  gleidf)* 
fettigen  SDreieÄen,  unb  woran  erfennt  man  ein  g(eid)fd)enfltge$ 
red)twinfligeS  ©reted?  SBie  Diele  Slrtcn  Don  23iereden  lerntet 
l|r  überhaupt  f'ennen?  Sßobttrd)  unterfd)eibet  ftd)  baS  SHed)tec? 
Don  bem  jöitafcrat,  unb  was  l)at  es  mit  il)m  gemein?  SBoran 
erfennt  man  eine  Staute?  SBofcurd)  unferfd)eibet  fte  ftd)  Dott 
ber  länglichen  Staute,  unb  was  l)at  fte  mit  if>r  gemein?  u.  f.  w. 

Stile  biefe  giguren  muffen  in  moglid)fi  mannigfaltigen  95er* 
änberungen,  nad)  Sage  unb  ©rope  berfelbcn,  Don  ben  @d)ü(em 
fo  lange  nad)gejeid)net  ober  nad)  ber  Eingabe  beS  2el)rerS  Don 
i|nen  gebilbet  werben,  bis  fte  fold)e  mit  Sertigf eit  fyerjufiellett 
im  ©tanbe  fmb. 

ipier  wäre  noch  ju  bemerfen,  baß  eine  jebe  ©eite  eines 
©reieds  als  ©runblinie  angenommen  werben  fann,  unb  baf* 
bie  tiefer  ©runblinie  gegenüber  liegenbe  6cfe  bie  @pi|e  beS 
©reieds  l)ei£t. 

6tne  gerabe  Sinie,  bie  in  einem  ©reted!  aus  ber  «Sptffe 
fenfredjt  auf  bie  ©runblinie  gebogen  wirb,  beflimmt  bie  §>öf)e 
beS  ©reieds. 

Sßeld)eS  tfi  bie  @pi§e  unb  weld)eS  bie  ©runblinie  beS 
©reiecfS  in  §ig.  45,  a. 

S3et  ben  33iereden  wäre  $u  bemerfen,  bap  bie  gerabe  Sinie, 
wcfd)e  aus  einem  SBinfel  nad)  bem  gegenüber  ffeljenben  g^ogen 
wirb,  ©dlime  (©iagcnale)  Ijeipt. 

3 


—    34  — 


Sfyeüung  ber  giguren. 

§.  18.  SJBic  Diele  Qdlhmn  fann  man  tu  einem  33ierecfc 
jtefyen?  3Sa6  für  neue  Figuren  entfielen,  wenn  man  in  einem 
9?ed)tede,  einem  ßuabrate  unb  einer  Staute  eine  @d(inie  jieljtV 

Sn  einem  §f{ed)fecfe  entfielen  burd)  eine  (geflime  jwei  un* 
gleid)fd)ennig*red)t wmflige  ©reieefe,  ftelje  gig.  43  a;  in  einem 
Öuabrate  jroet  gleidjf^enfiig^redjtwinfiige  ©reiedfe,  wie  bafelbjt 
in  b;  in  einer  $aute  jwei  g{eid)fd)enf(ig*fyi§'  ober  fhtmpfwin* 
füge  ©reietfe,  wie  in  c. 

5Ba$  für  giguren  f onnen  in  einem  9Jed)tecfe  burd)  eine 
SfyetlungSlinie  entließen? 

SSenn  man  bie  Sinie  aus  einem  SBinfel  nad)  ber  tiefem 
Söinfel  gegenüber  liegenden  ©eife  jiel)t,  fo  entfielet  ein  red)t* 
winf(ige$  ^Paratfe^Srapej  unb  ein  red)twinf(ige$  ©reieef.  ©ielje 
Sig.  44  d. 

Siel)t  man  bie  Sinie  fcon  einer  (Seife  nad)  ber  gegenüber 
liegenben,  gleicfylaufenb  mit  ben  anbern,  fo  entfielen  swei  tyfc 
rattelogramme,  wie  gig.  44  e;  jie^t  man  hingegen  bie  Sinfe 
mx  ber  einen  ©eite  nad)  ber  gegenüber  f?el)enben,  ungtetd)* 
Untfcnb  mit  ben  anbern  Seiten,  fo  entfielen  jwei  ^Parallel* 
Srapeje,  ffefye  gig.  44  f. 

@in  ©reieef  fann  man  fo  tfyeüen,  baß  man  bie  Sbeilungv* 
Knie  aus  ber  @pt|e  beffelben  nad)  ber  ©runblmic  jiefyt,  wo* 
burd)  $wei  ©reieefe  entfielen,  fiefye  c§ig.  45  a;  ober  man  fann 
bie  Sfyetlung^linie  t?on  ber  einen  ©eite  be6  ©reiedS  nad)  ber 
ifyr  gegenüber  liegenben  gieljen,  woburd)  ein  ©reieef  tmb  ein 
aSieretf  gcb<tbet  wirb  tu  f.  w.   ©ielje  gig.  45  b. 

©a$  3cid)nen  Stguren. 
19.  SRun  ffctte  man  ben  ©d)ülern  tterfd)iebene  2luf* 
gaben  foldjer  giguren,  unb  (äffe  gleid)fd)enf(ig^red)twinf'(ige 
S)reiecfe  in  mehreren  Sagen  fo  jeicfynen,  ba£  bie  gleidjen  @d)en* 
fei  erft  einen,  bann  jwet,  bann  brei  3^K  lang  füib.  hierauf 
laffe  man  gleid)fd)enfiig<flumpf>  unb  frifjwinffige  ©reieefe  in 
eben  ber  5lrt  unb  in  oerfdjiebenen  Sagen  getanen. 


—    35  — 

©a  bei  einem  gleid)fd)enflig  *  fpi§winfligen  ©reiecfe  bie 
©pif^e,  in  welcher  bie  gleichen  @d)enfel  vereinigt  jtnb,  fenfred^t 
übet4  ber  SJIttfe  ber  ©runblinie  ift,  fo  farni  baS  Verfahren  füt; 
baS  getanen  berfelben  ben  <3d)ülern  etwa  fo  angegeben  werben: 
SD?ad)t  eine  Sinie  brei  Sott  lang,  tfyeilt  tiefe  in  jwei  gleite 
Sl)et(e  unb  midjkt  auf  bem  SfjetlungSpunfte  eine  fenfrecfyte 
§ülf£linie;  barauf  fcerbinbet  bie  ungereinigten  ßnben  biefet  Sinien 
burd)  gerabe  Sinien,  fo  entfielt  ein  gleic^fc^enflig^f})i|tt)inflige^ 
©reiecS.  £>ber  bilbet  red)te  9?ebenwinfel,  fo,  baß  ber  ©d&enfel, 
welchen  beibe  SBtnf'el  gemeinfdjaftlid)  baben,  eine  punftirfe  Sinie, 
tmb  länget:  iftate  biebeiben  anbern  @d)enfel,  weld)e  gleid)  fein 
muffen;  barauf  üerbinbet  bie  ungereinigten  <Sd)enfel<(§nben  burd) 
gerabe  Sinien,  unb  es  wirb  ein  gleic^fc^enflig^fpilwinflige^ 
©reiec?  fein.  3.  33.  flg.  45  a. 

Sluf  biefe  ober  äfjnlicfye  SBeife  beftimme  man  jebe  Sage  unb 
@roße  ber  ju  jeidjnenben  Sreiecfe,  fo  baß  fte  balb  auf  ber 
einen  (Seite,  balb  auf  einer  (Scfe  flehen,  ©ie  5lufgaben  gu  biefen 
Uebungen  muffen  moglid))?  fcerfd)iebenartig  gefMt  werben,  ba* 
mit  bie  ©d)üler  immer  etwas  3?eue$  ju  l)aben  glauben. 

9Zun  lajje  man  aud)  Öuabrate,  ebenfalls  in  mehreren  Sa« 
gen  unb  fcon  junefjmenber  @röße  jeidjnen,  unb  gel)e  hierauf 
ju  $ed)tecfen  über,  bie  fo  gebilbet  werben,  baß  ifyre  fürje* 
ren  (Seiten  bie  ©runblinien  ft'nb,  wobei  ebenfalls  bie  Aufgaben 
&on  junel)menber  Sänge  gebellt  werben  fonnen.  3>e§t  folgen 
$cd)tecfe,  beren  längere  (Seiten  bie  ©runblinie  bilben,  unb  ifyre 
SSreite  betrage  bie  §älfte  ber  Sänge  u.  f.  w.  9D?an  laffe  nun 
aud)  JKed)terfe  in  fdjräger  3iid)tung  jeidjnen,  unb  jwar  fo,  baß 
jte  ein  beßimmteS  93erl)ä(tniß  ber  Sänge  jtir  ©reite  Jjaben. 
ßben  fo  werben  bann  aud)  $iautm  unb  länglid)e  dxaxttm  nad) 
Aufgaben  gejetdjnet,  unb  man  bebiene  fid)  babei  fenf*  unb  wage* 
red)t  punftirter  §ülf$linien,  äl)n(id)  ben  Sl)eilung$linien  in  gig.  43  & 
3ufammen(iellungen  ber  giguren. 

§.  20.  $lad)  biefen  Vorübungen  werben  nun  gufammen* 
gefeitere  ©ebilbe  mit  geraben  Simm  au£gefül)rt,  bei  weldjen 
biefe  Vorübungen  in  Slnwenbung  fommen  foden. 

3* 


—    36  — 


®ie  <3d)üUt  l)aben  bisher  verfd)icbene  SSBinfel  unb  glädjen 
in  Uebung  gebrad)t,  unb  e$  wirb  tfynen  nid)t  ferner  werben, 
bie  l)ier  in  gig.  46  u.  f.  w.  folgenden  ©ebilbe  bei  einiger  2ln* 
weifung  rid)ttg  ju  getdjnen.  SBorjeidjnungen  biefer  2lrt  f'önnen 
nun  von  bem  2el)ter  an  ber  SBanfctafel  in  größerem  Kftapftab 
gejeidjnet  werben,  ober  aucl)  im  Steinen  vervielfältigt,  ati  93or* 
legeblätter  jum  9?ad)jeid)nen  bienen. 

3n  gtg.  46  werben  bie  brei  gleidjlaufenben  fenfred)ten 
^ulfälimen,  in  ber  bejiimmten  Sänge  unb  Entfernung  von  ein* 
«über,  nad)  $ofkn  angegeben,  worauf  man  bie  mittlere  Sinie 
tn  brei,  bie  beiben  antetu  in  fed)S  Sljeile  tljeilt,  unb  burd) 
SBerbinbung  biefer  fünfte  nad)  Anleitung  ber  gigur  bie  Seity 
nung  vottenbet. 

gig.  47.  93on  ben  biefe  §igur  umfd)lie£enben  beiben  £jua? 
ivaim  werben,  in  bem  innem  berfelben,  bie  obere  unb  untere 
Sinie  in  vier,  bie  beiben  (Seitenlinien  in  jwei  gleidje  Steile  ge* 
tfyeift,  unb  aus  tiefen  fünften,  fo  wie  aus  ben  Sßtnfeln  be$ 
£>uabrat6,  bie  verbinbenbeu  Sinien  gejogen,  wie  bie  3^$nun9 
e$  lefjrt;  bie  Gcfen  ber  inneren  bauten  werben  in  ben  SDiittel* 
fünften  ber  erfferen  in  a  gefunben. 

3n  äljnlidjer  SßSeife  wirb  burd)  Shilling  ber  Sinien,  gig.  48, 
nad)  Stnleitung  ber  geicfymmg  leidet  gebilbet  werben  f'ßnnen. 

gig.  49.  £ier  laffe  man,  nad)  ben  ju  beflimmenbeu 
SRapeii/  juerfi  bie  fenf*  unb  wagered)ten  ^ülfelinien  b,  c,  d,  e 
tilben,  unb  mittelfi  ber  §albirung  ber  vier  rechten  SBinf'el  bie 
fcfyrägen  ipülfölinien  ;f,  g,  h,  i  sieben,  worauf  man  burd)  bie 
Sl)eilung  ber  erfrgenanfiten  Sinien  ad)t  fünfte  in  a  ftnben  wirb, 
von  benen  man  nad)  ben  ßnben  ber  iptUfSlinien  bin,  in  b,  b, 
e,  g,  c,  i,  d,  f,  bie  @pi|en  beö  ©terneS  fyerfMen  fann. 

$?at  nun  ber  @d)üler  ba$  33i$berige  mit  QJufmerffamfeit 
gejeidjnet,  fo  wirb  e$  if)m  feine  (3d)wierigfeit  mad)en,  bie 
nötigen  ^Hilfslinien  unb  £ülf$punfte  aud)  bei  anbern  äfynlidjen 
Figuren  aufjuffnben,  urtb  ber  Seljrer  fann  fold)e  3ufamm*n* 
ffeßungen  nad)  ©efatten  vermehren,  ober  beren  ßrftnbung  ber 
Sraft  ber  @d)ß(er  überlaffen.  hierauf  feite  man  bie  ©ctyüler 


—    37  — 


guin  $lad)b\tim\  gerablintger  93otberflad)en  oon  ©egenfiänben 
aus  fcetr  Umgebung  an,  infam  man  genfler,  Spüren,  83auwerfe 
u.  f.  w.  an  tcr  Safel  t>orjeid)net,  was  bot!  großem  Sntereffe 
für  biefelben  fein  wirb.  (Sin  $Paav  Slnbeutungen  l)ierju  pnb 
£af.  IV.,  in  ben  giguren  50  unb  51  beigefügt. 

B.  JDte  frummlinigen  giguren, 
Der  ftret*. 

§.  21.  Sie  t)ier  folgenden  Figuren  werben  blo$  t>on  bem 
Seljrer  an  ber  ©cfyultafel  üorgejeidjnet'unb  erflärt. 

(Sine  frumme  Stnte,  bie  überaß  gleid)  gefrümmf  unb  über* 
all  gleicl)  weit  t>on  einem  fünfte  entfernt  ijt,  fyeißt  ÄreiSlinie 
(tympimi),  ©er  SPunft,  t>on  weitem  biefe  £inie  ringsherum 
in  gleicher  Entfernung  liegt,  wirb  ber  SRi-ttelptttift  genannt. 

Sie  gerabe  £inie  t)at  einen  Slnfang  unb  ein  @nbe,  bie 
JfreiSlinie  aber  l)at  weber  einen  Slnfang  nod)  ein  (Snbe,  oberraan 
f  Bunte  aud)  fagen:  fte  l)at  überall  Anfang  unb  ßnbe,  ba  jte 
überall  angefangen  werben  fami. 

@ne  gerabe  Suite  fann  feinen  SJaum  einfließen,,  bie 
Kreislinie  bagegen  fcfyließt  einen  Ütaum  ein,  unb  bübet  eine 
§(ad)e,  bie  man  ffveisjladje  nennt. 

35ie  Kreislinie  l)at  eine  eingebogene  (l)o{)le)  unb  eine  aus* 
gebogene  (erhabene)  (Seite,  bie  gerabe  Sinie  ntd)t  u.  f.  w. 

2BeId)eS  if?  bie  ©remje  ber  Kreisfläd)e,  ober  welche  Sink 
benimmt  il)ren  Umfang?  SBie  ijl  bie  SRidjtung  ber  Kreislinie? 

Sage  unb  £>urcf)fcfyttitt$puttf te  ber  greife. 

§.  22.  3wei  ober  mehrere  Steife  f önnen  außer  einanber 
ober  in  einanber  liegen;  liegen  fte  außer  einanber,  fo  fonneit 
<Te  fo  liegen,  baß  fte  ftd)  nid)t  berühren,  unb  bann  Reißen  jte 
getrennte  greife,  ftel)e  gigur  52 ;  ober  fte  berühren  ftcfy,  bann 
Reißen  fte  Serül)nmgSfretfe,  wie  in  gig.  53;  unb  ber  5J)unft  a, 
in  weitem  fte  fiel)  berühren,  fyeißt  ber  SBerüfyrungSpunft.  @ie 
Tonnen  ftd)  aber  aud)  buvd)fd)ueiben,  unb  bann  ftub  es  ©urefc 


—    38  — 


fd)nitt$fr«tfe,  jTet)e  5^9-  54,  unb  fcte  fünfte  a,  in  weldjen  fte 
fiel)  burcfyfcfyneiben ,  feigen  bie  ©urd)fd)nitt$punfte. 

Steife,  bie  in  einander  liegen,  fönnen  überall  Don  gleichet* 
Entfernung  Don  einanber  fein,  unb  bann  Reißen  ft'e  gletd)lattfenbe 
Greife,  ftefye  gtg.  55;  ober  ft'e  fönnen,  ofyne  ftd)  ju  berühren, 
mdjt  immer  in  gleicher  Entfernung  &on  einanber  bleiben,  bann 
Reißen  fi'e  ungleid)laufenbe  Greife,  fiet)e  gig.  56;  ferner  fönnen 
fte  aud)  in  einanber  liegen  unb  ft'd)  berühren,  unb  bann  nennt 
man  ffe  innere  33erül)rung$fretfe,  wie  §tg.  57.  ©er  Spunft  a, 
in  welchem  ffe  jtd)  bann  berühren,  Ijetßt  ein  innerer  S3erü^ 
tungSpunft. 

SBelcfye  greife  Ijeißen  getrennte  Streife,  unb  weldje  SSeru^ 
rung^f reife?  SBo  liegen  bie  tnnern,  wo  bie  äußern  greife? 
SBann  burd)fd)netben  jtd)  jwei  greife  unb  wann  liegen  fte  gleid)* 
lattfenb  mit  einanber?  SBie  fönnen  brei  Streife  mit  einanber 
liegen,  ol)ne  ftd)  ju  burcfyfdjnetben?  Stuf  weldje  2lrt  fönnen 
ftd)  brei  Greife  berühren  ober  ftd)  bttrd)fd)netben?  SBie  Diel 
Sur$fd)nitt$punfte  fönnen  l)öd)jlen$  brei  greife  ^aben? 

@ed)0  Surd)fd)mtt$punfte.  @iel)e  gtg.  58,  a  b  c  d  e  f. 

Eine  gerabe  State,  bie  ivn  einer  (Seite  be$  Greifes  bis 
gut  gegenüber  fiefyenben  gerabe  burd)  ben  Sttittelpunf't  gel)t, 
Ijeißt  ©urcfymeffer  (JDiameter),  jtefje  §ig.  59  a  b.  2>er  ©urd)* 
meffer  tl)eiltben$ret$  injwei  gleid)e  Steile,  QSIfte*  ober  §albf  reife. 

,  Eine  gerabe  Sinie,  bie  fcon  einer  (Seite  be$  Greifes  nur 
bis  jum  SKittelpunft  geljt,  ben  fireis  alfo  nur  bis  jur  §ä(fte 
mißt  ober  tl)eilt,  wirb  ipalbmeffer  ($abtu$)  genannt.  ©tefye 
gig.  59,  c  d. 

SBenn  in  einem  Greife  eine  gerabe  £inie  Don  .einem  ^unft 
ber  Kreislinie  MS  ju  einem  gegenüber  liegenben  ^ttnft  berfelben 
gel)t,  ofyne  ben  Stttttelpunft  ju  berühren,  fo  ijl  bieS  eine  @el)ne 
(6l)orba).  @tel)e  gtg.  59,  e  f. 

Eine  gerabe  Stute,  weld)e  ben  S?retS  berühren  fann,  Ijeißt 
eine  §8erül)rungSliuie  (Sangente),  ©ie  93en"tl)rung^ltnie  muß 
fiet$  außerhalb  beS  SreifeS  fein,  fonji  würbe  fte  tyn  bei  itjrer 
Verlängerung  burd)fd)uetben  fönnen..  @ief)e  gtg.  59,  g  h. 


—    39  — 


©ie  fiinie,  welche  ben  SvciS  burdjfdjneibet,  tyiß  ©cfynei* 
6utig6Hnie  (©efante),  unb  mau  fann  burd)  SBerlängenmg  bie 
©ebne,  ben  Stabiuä  unb  ben  ©urdjmeffer  in  eiije  ©cfjnei« 
bungSlinie  Derwanbelu. 

£)er  Sfyeil  eines  greife*,  bei*  burd)  bte  (Sefyne,  bie  ©urdv 
fd)niff$lime  ober  ben  ©urdjmeffer  Don  ber  ^eripberie  abge> 
fdjnftten  wirb,  fyeift  23ogen,  fo  wie  überhaupt  jebeS  ©tücf 
einer  Kreislinie, 

SBie  unterfdjeibet  ftd)  ber  ©urcfymeffer  Dom  &albmeffer, 
unb  wie  bte  ©cljne  vom  ©urdjmeffer?  Sßie  unterfdjeibet  jTcl) 
bie  ©djneibungSltnie  dou  ber  (Seltne,  Dom  §albmeffer  unb  Dom 
©urdjmeffer?  9Bie  Diele  ©urd)meffer  fann  man  in  einem 
Sreife  jiefyen,  wie  Diele  ^albmeffer  unb@el)nen?  %n  wie  Dielen 
fünften  fann  eine  gerabe  Sinie  ben  Kreis  berühren? 

©a$  3etcbnen  ber  SSogentfücfe  unb  ber  barauS  gebil- 
beten  giguren, 

23#  SWan  fann  nun-  mit  bem  3ei#nen  Don  33ogen* 
{Kiefen  ben  2lnfang  machen,  inbem  man  biefelben  Don  ben 
@d)ü(ern  über  pttnf tivte  gerabe  ^Hilfslinien  fpannen  läßt,  tri 
beten  5D?ttte  man  f leine  fenfred)te  Sinien  fyerauf  punftirt,  um 
fo  bie  §öf)e  beS  33ogenS  511  beffr'mmen.  üDJan  beginnt  babei 
mit  bem  oiertel  ÄreiS,  ben  man  erfi  fenf*  unb  wagered)t,  bann 
fd)räg  unb  Don  junet)menber  ©vBße  getanen  läßt.  SBeifpiele 
mit  Angabe  ber  nötigen  §>ülfslinien,  fmfceti  jtd)  in  gig.  60. 

9?ad)bem  bie  @d)üler  hierin  einige  gertigfeit  erreid)t  Ijaben, 
gelje  mau  ju  ben  jufammen  gefegten  23ogen(lü<fen  unb  ben  ba* 
burd)  gebildeten  Sßinfelu  unb  giguren  über. 

2luf  welche  2lrt  unb  in  wie  Dielen  fünften  fönnen  jtd)  jwei, 
brei,  Dier  2?ogcn  Dereinigen,  unb  wie  Diele  unb  was  für  SSin* 
fei  fönnen  fte  bann  bilben? 

3wei  SBogen  fönnen  (td)  in  einem  ober  in  jwet  fünften 
Deveinigen.  ^Bereinigen  ftd)  jwei  23ogen  in  einem  fhitift,  fo 
fönnen  fte  bilben:  erfienS,  einen  SBinfet  mit  fyoljlen  @d)enfeln 


—    40  — 


o&et?  einen  |o|teti  SBtnfel,  ftelje  gig.  61  a$  jweitenS,  einen 
Söinfef  mit  erhabenen  (Scfyenfoln  ober  einen  aufgebotenen  SBin* 
fei,  wie  $ig,  61  b-,  triftend,  einen  SBtnfel  mit  einem  boblen 
tmb  einem  getx)ö(bten  ©djenfel  ober  einen  gemifcfyteu  SBtnfel, 
wie  §ig.  61  c. 

^Bereinigen  ftd)  jwei  Sogen  in  jwei  fünften  fo,  baß  frie 
fyol)len  ©eiten  etnanber  jugefeljrt  ftnb,  fo  bilben  fte  ein  %mU 
ecf  mit  gewölbten  (Seiten,  wie  gig.  62. 

Sn  wie  mel  fünften  f önnen  fiel)  brei  33ogen  vereinigen, 
tmb  was  für  SBtnfel  unb  gläcfyen  bilben  fie  bann? 

2>rei  Sogen  (äffen  ftcf)  in  einem  fünfte,  and)  in  jroet  unb 
brei  fünften  vereinigen;  im  legten  gaüe  fönnen  fte  bilben:  evfrenS, 
ein  Sretecf  mit  IjoljlenSBtnfeln,  ein  erfyabenfeifigeS  ©reieef,  wie  in 
§tg.  63  a$  gwettenS,  ein  Sreierf  mit  erhabenen  SBinfeln,  ein  l)ol)l* 
feitigeS  55retecf,  wie  gig.  63  b;  brittenS,  ein  Sretec?  mit  ge* 
nufdjten  SBinfeln,  unb  bteS  f'ann  fyaben:  jwet  l)ot)(e  (Seiten 
tmb  eine  erhabene,  wie  §ig.  63  c,  ober  jwet  erljabene  ©etten 
tmb  eine  l)ol)le,  wie  §ig.  63  <J. 

SBaS  für  Figuren  entfielen,  wenn  man  brei,  Dt'er,  fünf, 
fed)S  u.  f,  w.  jtd)  Dereinigenbe  SBerül)rung£ltttten  an  einem 
Greife  $tel)t? 

3tel)t  man  brei  23erüt)rung$linten  an  einem  Greife,  fp  cn{? 
fielet  ein  ©reteef;  bei  vier  Stuten  ein  33ierecf;  bei  fünf  Stuten 
ein  günfeef  tt.  f.  w. 

2tet)nltd)e  Slbtfyeilungen  laffe  man  aurf)  innerhalb  beS 
Greifes  fucfjen. 

%n  was  für  SBinfel  f  ernten  $wei  93erül)rung6lintett  ju» 
fammen  flogen? 

3n  einem  fpifjen,  flumpfen  ober  in  einem  rechten' SSinfel. 

Sie  93Ubuttg  ber  ipalbfreife  unb  ber  greife. 

24.  ©et  §albfreifen  fe£t  ber  (Scl)üfer  einen  ©ttref)* 
meffer  mit  einem  ^albmeffer  fo  jufammen,  baf?  betbe  jwei  rechte 
Sttebenwinfel  mit  gleicf)eu  (Scf)enfelu  bilben,  unb  Hnn  jiefyt  er 
um  bte  tttwereintgten  ©cfyenfelenben  eine  uUxciU  gleicf)gebegene 


—    41  — 


Sinie.  SRm  famt  SfofangS  aud)  bie  Betten  tcd)tcn  SBtttfel 
burcl)  jwei  |metn  punftirte  ^albmeffer  ff)et(en  laffen,  um  fo 
nod)  ein  tyaw  §ülf$i>unffe  ju  gewinnen.  @iel)e  gig.  60.  a. 
*'  3«  bem  3eid)neu  bet  greife  ijl  burd)  ba$  Seltnen  ber 
Sogen  tinb  Spalbfreife  fd)on  eine  Ijmlanglicfye  Vorübung  erwot* 
ben,  unb  ganje  Steife  werben  am  letd^tefcen  um  ved)fe  ©djeitel* 
winfel  mit  gleichen  ©Teufeln  gebilbet,  alfo  um  jwet  ©urd)> 
meffer,  bte  ftd)  in  ber  SÄttte  redjfwtnjlt'g  burd)fd)neiben.  9J?an 
laffe  burd)  Stellung  biefer  SBinfel  mttteffr  jweter  S)urd)mef[er 
nod)  fnilfspunfte  bilben,  unb  bie  überaß  g(eid)gebcgene  Sinie, 
weldje  man  um  bie  @d)enfe(enben  jieljt,  wirb  eine  5?reteltnie 
fein.  (3iel)e  gig.  64.  (£3  werben  nad)  unb  nad)  greife  t>on 
junebmenber  ©röße  gejeiebnet,  unb  wenn  biefe  mit  gertigfeit 
WKenbet  fmb,  f önnen  nod)  gleidjlaufenbe  Steife  in  unb  um  bie* 
felben  geübt  werben. 

£)a$  Steilen  b et?  Sogen  unb  treffe  jur  £evjiellung 
ber  SSieledfe. 

§.  25.  Sogen  in  mehreren  Sagen  unb  betriebener 
©röße  werben  nun  in  jwei,  brei,  mer  u.  f.  w.  Steile  geseilt. 
@iel)e  gig.  65. 

SSBenn  man  mittelf!  ber  in  gig.  64  angegebenen  $äff6(tnten 
einen  S\rei$  jeidjnet,  fo  ijl  biefer  baburd)  fd)on  in  ad)t  gleid)e 
Sfyeile  geseilt;  Derbinbet  man  bie  ßnben  biefer  Sljeile  bttrefj 
getabe  Sinien,  fo  erljält  man  ein  regelmäßiges  2(d)tecf.  @iel)e 
0ig.  66. 

Um  eine  SreteHtt/e  in  fed)6  gleiche  Sljeile  tfyeilen  ju  fön* 
nett,  tfyeilt  man  fte  erjl  in  jwei,  unb  barauf  jebe  §a(fte  in  brei 
gleidje  Steile,  worauf  burd)  SBerbinbung  biefer  fünfte,  mittel)! 
geraber,  Sinien  ein  regelmäßiges  @ed)Secf  entfielt,  bei  bem  jebe 
©eite  fo  lang  als  ber  ^albmejfer  beS  SreifeS  if?,  aus  weitem 
ba$  @ed)öecf  gebilbet  würbe,  jtelje  gig.  67,  unb  in  äl)nlid)er 
SBeife  wirb  man  letd)t  alle  übrigen  3>ielecfe  entfielen  (äffen  f önnen. 

6ine  länglid)runbe  ober  ooale  Sinie  fce(iel)t  aus  mer  23c- 
gen,  von  welchen  bie  einanber  gegenüber  liegenben  Stüde  ftd) 


—    42  — 


gleid)  fem  muffen,  bie  bann  ju  einem  fd)ön  gezwungenen  ©an* 
5en  ju  verbinben  ftnb.   (Sielje  §tg.  68. 

©in  ©runb  fantt  burd)  jwei  greife,  einen  fletneren  unb 
einen  größeren,  gebilbet  »erben.  SDen  Spalbmeffer  beö  oberen 
Äreifeö  a,  b  in  $ig.  69,  %t(e  man  in  brei  fcon  benen 

jwei  ben  £Rat>tu0  beö  Heineren  Greife*  auSmadjen,  worauf  man 
burd)  baö  untere  ©rittel  in  c  ber  genannten  Sinie,  ben  fieine* 
ren  SreiS  jiel)t,  unb  bann  bie  (Seiten  be$  (Sirunbö  in  einer  ge* 
faßigen  (Schwingung  üerbinbet. 

Gine  (Schlangenlinie  befielt  atW  einer  3ufommenfeffitng  glet* 
d)er  ober  -ungleicher  §albbogen.  Gin  SBeifpiel  ftehe  in  §ig.  70. 

Um  bie  SBilbung  ber  @d)necfenlinte  bem  ©chüler  ju  er* 
leid)tern,  laffe  man  ihn  juertf  einen  S?rei$  mit  einem  fenf*  unb 
wagered)ten  S5urd)meffer  in  (leben  gleidje  Steile  Reifen,  worauf 
ffd)  burd)  bie  üerfdjtebenen  £albfretfe  in  a  b  c  u.  f.  w.  bie 
gigttr  leicht  bitten  laffen  wirb,  wie  in  gtg.  71  ju  erfe* 
hen  tft. 

©a$  £eid)nen  folcfyer  gtguren  ijt  für  bie  @d)üler  fel)r  nü§* 
lid),  unb  man  laffe  foldje  Don  juneljmenber  ©röpe  unb  in 
mehreren  Sagen  nachbitben. 

Sufammenflellung  frummliniger  Stgu r ^tt. 

§.  26.  9?un  laffe  man  Don  ben  @d)ü(ern  aud)  manntg* 
faltige  Sufammenjiettungen  ber  gebogenen  Stuten  jeidjnen,  woju 
einige  SSeifttele  in  gig.  72  u.  f.  w.  angegeben  ffnb,  bie  ber 
Sehrer  moglichff  grop  an  ber  ©cbultafel  t?orjeid)nen  unb  burd) 
äl)nlid)e  ©ebtlbe  öermeftren  fann,  wobei  er  bie  §erffetlung  fol* 
d)er  gtguren,  burd)  §ülfsltnten  in  oben  erwähnter  2lrt,  naefy 
SInlettung  ber  gegebenen  geidjnungen  ben  @d)tHern  ju  erleid* 
tern  wtffen  wirb.  2JJan  fann  aber  aud)  bergletchen  Aufgaben 
fcon  ben  @d)ülern  felbfr  au£  paffenben  23orberan(td)ten  ge^ 
fchmacffcoll  ausgewählter  Sftatttrformen,  ober  fcon  Äunjtgegen* 
jiänben  entnehmen  unb  jufammenftelfen  (äffen. 

©a  ^ier  nun  einjelne  gönnen  ju  einem  gefdjmacf&otfen 
©anjen  $u  oerbinbeu  ffnb,  fc  barf  ber  @d)ü(er  ntd)t  meljr  mit 


—    43  — 


Ungeübtheit  ber  §anb  ju  fämpfen  haben,  e$  muß  oielmehr  füu 
£anb  unb  2luge  fchon  eine  hinlänglidje  23t(bung  burd)  bie  Dorheim 
gegangenen  Uebungen  erreicht  werben  fein,  unb  ber  Selker  fanu 
aud)  wol)l  in  größeren  Staffen  bergleid)en  3ßid)nungen  in  33oi:* 
legeblättem  DerDtelfältigt  ausheilen;  nur  muß  er  bann  biefelben 
juerfl  an  ber  großen  SBanbtafel  aufzeichnen  unb  sergtiebern, 
um  jte  bann  burch  bie  ©djüler  in  Deränbertem  Sflaßfiab  nach* 
bilben  ju  laffen.  * 

gür  bie  anjugebenben  ©djattenbruefer  ber  Stufen  in  fol- 
gen giguren  fann  man  im  Slßgemeinen  ben  (Schülern  bie  9(e* 
gel  geben,  baß  alle  nach  red)t$  unb  unten  gelegenen  (Sonturen 
etwas  fräftiger,  bie  nad)  ünH  unb  oben  gelegenen  bagegen  licfyter 
gehalten  werben  muffen.  (Sin  SBettereS  hierüber  bleibt  ber  jwei* 
ten  (Stufe  Dorbehalten. 

§.  27.  2116  Uebergang  jur  feiten  (Stufe  fann  man 
hier  für  fold)e  (Sd)üler,  bie  nod)  feinen  befonbem  Unterricht 
in  ber  Raumlehre  genoffen  Ijaben,  eine  Einleitung  burd)  33e* 
trad)tungen  an  regelmäßigen  Äörpem  Doran  fd)ic!en,  wobei  »Dann 
bie  ^ier^u  nötigen  matl)ematifchen  Körper  Dorgejeigt  unb  erf  (ärt 
werben,  wie  bieS  in  ber  fotgenben  Slnleitung  angegeben  iff,  ba 
biefe  Uebungen  bei  bem  Unterrichte  ber  folgenbeh  <Stufr>,  für 
ba6  nunmehr  notl)ige  2luffud)en  ber  Derbecft  liegenben  CSeiten 
ber  Körper  Don  großem  9?u§en  fein  werben. 

©er  Seljrer  jeigt  einen  SBürfel  Dor,  inbem  er  ba$  ^othige 
iaUi  mit  ben  (Schülern  in  folgenber  Sßeife  befpridjt: 

SBaS  ifi  ba$?  (ben  SBürfel  ^intjattenb.) 

(Sin  ©egenjtanb,  Körper. 

SBie  Diele  (Scfen  l)at  biefer  Körper?  SBo  liegen  'Mefe  Dier 
Crcfen;  wo  biefe?  (Oben,  unten.)  2Bie  Diele  glächew  hat  bie* 
fer  Körper?  SBo  liegen  biefe  glädjen?  (Oben,  unten,  Dorn, 
hinten,  rechts  unb  linfs.) 

§ier,  wo  jwei  §(ad)en  jufammenfioßen,  ifi  eine  Sfanfc, 
unb  an  betfeföen  eine  gerabe  Sinie,  welche  man  Stantenlinie 


—    44  — 


nennt.  ©tefeS  nennt  man  eine  ftante,  uub  biefeS  ift  bie  Äan< 
rfenltnfe.  SBie  Diele  Tanten  fyat  biefer  Äörper,  ttnb  roie  Diele 
Jtantefrfi'nien?  —  23ergletd)et  t»te  Sangen  tiefer  Seitenlinien 
mit  einander. 

Stile  jroölf  ^antenlinien  ftnb  gleid)  lang. 

SBie  Diele  Äantenliuien  ftopen  an  jeber  ßcfe  jufantmen? 
(Srei.) 

Stacke,  bie  Don  Sinien  begranjt  wirb,  l)ei£t  eine  St* 
gut.  Siefe  Figuren  erhalten  nacl)  ber  Slnjal)!  ber  fi'e  begrän* 
jcmben  Sinien  ((Seiten  genannt)  ü)re  Siamen.  ®ie  tiefen  $ör* 
}>i#  jjegränjenben  gigttren  ftnb  alfo  —  ? 
SSierfeitige  giguren.  — 

Sa  roo  jroei  folcfye  (Seiten  jufammen  ftopen,  entfielet  ein 
SBinfel,  unb  jroar,  ba  jebe  biefer  ©etten  auf  ber  anbem  fenf* 
udjt  ftel)t,  ein  rechter  SBinfel.  2Sic  »tele  red)te  SBinfel  ent* 
l)ält  alfo  j'ebe  biefer  Dterfettigen  glad/en?  SBie  Diele  rechte 
SBinfel  liegen  bal)er  an  jeber  @cfe  biefe$  SorperS?  SBie  Diele 
am  ganjen  Körper?  SBie  fann  man  nun  jebe  ber  glädjen,  bie 
tiefen  Körper  begranjen,  nennen. 

9iad)  ber  2lnjal)l  ber  (Seiten,  eine  Dterfeittge  —  nad)  ber 
2fnjal)l  ber  SBinfel,  eine  WemfttfÖge  —  nad)  ber  gegenfetttgen 
©röpe  ber  SBinfel,  eine  gleid)roinf(ige. 

SBie  fyeipt  man  folcfye  Dterfeittge  giguren?  SBaS  ift  bem* 
nad)  ein  £>uabrat?  SDiefer  fißrper  ift  alfo  begränjt  Don? 
((SecfyS  gletdjen  Öuabraten.)  SBie  fteljt  jebeS  Öuabrat  auf 
benen,  mit  roeldjen  e£  jufammenl)ängt?  Wlit  rote  Dielen  fyängt 
jebeS  jufammen?  (9)tit  Dter.)  SRit  rote  Dielen  md)t?  (2)iit 
einem.)   SBeldje  Sage  l)at  eö  gegen  btefeef  £Juabrat? 

(§&  liegt  il)m  gegenüber. 

Sßddje  Sage  l)aben  bie  SvatUenlinien,  roenn  biefer  Körper 
auf  bem  Sifd)e  liegt? 

SÖfe  Dter  untern  liegen  roagered)t;  ebenfo  liegen  bie  Dter 
obern;  bie  Dier  anbern  ftef)en  fenfred)t. 

Siefer  Sorper  l)eipt  SBürfel  (gubuS).  9?ennt  bie  2)?erf< 
male  be#  SBürfefö! 


—    45  — 


Sie  Sd)üfer  befdjreiben  nun  ben  SBürfcf,  tmb  in  2$nt 
l)ftft  ein,  wo  e$  notljtg  tfi,  tljut  erlciuternbe  fragen  u.  f.  w„ 
S3ei  ben  folgenden  fförpern  wollen  wir  uns  fttejev  faffen,  beut 
Server  es  überlaffenb,  bie  nötigen  fragen  unb  ßrlciutentngeu 
beizufügen;  wir  fletfen  tjrcr  mir  bte  @d|e  auf,  bie  gefunden 
werben  muffen. 

Sie  fenfredjte  tuerfeittge  ©aule. 

§.  28.  ©iefe  fenfredjte  merfeitige  ©aule  iff  begranjf  tton 
fec^6  werfeitigen  giguren.  Sfn  berfelben  ftnb  jwölf  Tanten,  jwölf 
Santenlinten  unb  ad)t  (Scfen.  2ln  jeber  ßefe  flößen  bret  $an* 
tenhnten  jufemunen,  tmb  an  jeber  @cfe  liegen  bret  teerte  SBin* 
fe(.  2In  ber  ganjen  (Säule  ftnb  m'er  unb  jwanjtg  red)te 
SfEtnfel.  ®ie  (Saufe  fyat  gwei  ©runbfladjen  unb  t>ier  (Seiten* 
fachen;  auf  ben  ©runbfladjen  jlefyt,  auf  ben  Seitenflächen  li^S* 
fle.  Sie  jwei  ©runbfläcfyen  ftnb  ßuabrate,  einanber  gteid),  unb 
gleicfytaufenb;  bie  m'er  ©ettenfläd)en  ftnb  redjtwinflige  (angliche 
SSierecfe,  einanber  gleid),  tfnb  je  jwei  gegenüberffetjenbe  Seiten 
ftnb  aud)  einanber  gleid).  SBenn  jte  jleljt  ober  (iegt,  fo  fyabeit 
ad)t  Suintenünien  eine  wagerecfyte,  unb  wer  eine  fenfred)te  Sage. 

3ebe  biefer  (Seitenflächen  fyeißt  ein  $ed)tec£.  ßin  $ed)ted! 
ifl  alfo  —  ?  u.  f.  w. 

©iefe  Uebüngen  fann  ber  Sekret  nod)  bttrd)  £m$ufügung 
ber  übrigen  matfyematifdjen  Körper  nad)  ©efatfen  erweitern. 


3^eite  ©tufe. 

(Elemente  t>es  perfpefdt>ifc^en  %tid)Mta  unb  fcer 
©c&atfinmg. 

§.  1.  2fof  btefer  Stufe  foll  ber  (Schüler  t^etC«  bte 
Söeranberungen  ber  ©eftalt,  welche  bre  glasen  burrf)  bte  33er*, 
änberungen  be£  ©eftchtSptmfteS  erleiben,  thetfö  bte  öerfd&iebene 
33eleud)tung  unb  SBefdftattung  ber  Körper  oußufaffm  unb  bar* 
jubelten  lernen. 

Sie  Umriffe  ber  Äorper  werben  l)ierbei  erft  in  geometrt* 
fdjer,  bann  in  perfyefttüifchet\$nftd)t  gejetdjnet,  unb  burd)  2ln* 
beutung  ber  ^Beleuchtung  unb  S3efd)attung  ber  flächen,  burd) 
bte  größere  ober  geringere  (Stärfe  ber  ft'e  umgranjenben  Stuten, 
herausgebeben. 

3)a£  Seinen  ber  grabltnigen  Körper. 

§.  2.  SSBürfel  unb  m'erfe'tige  (Säulen  in  t>erfd)iebener 
3fnftd)t  unb  Sufammenjlettung  geben  ^ier'ben  erjlen  (Stoff  be$ 
Unterricht«,  unb  werben  eine  hinlängliche  Einleitung  für  ba$ 
folgenbe  Seifytmx  ebenbegränjter  einjelner  ©egenftänbe  aus  ber 
Umgebung  abgeben. 

guerft  will  ich  nun  ben  ju  bem  Sehrgang  biefer  (Stufe 
unentbehrlid)en  einfachen  Slpparat  befdjreiben,  weld)er  ftd)  letd)t 
an  einer  pajfenben  (Stelle  an  ber  Sßanb  be$  SehrjtmmerS  an»! 
bringen  läßt,  ohne  ben  SHaum  (ehr  ju  beeinträchtigen,  ober  an*  j 
bem  gwetfen  hinberlid)  ju  fein;  unb  bann  werbe  id)  btird)  eine 
genaue  Angabe  ber  anjuwenbenben  UnterridjtSweife  ben  Selker 


—    47  — 


gleicfyfam  fcon  (Stunbe  ju  (Stunbe  begleiten,  wobei  id)  Wttien 
muß,  ba^  fyier  oft  utwermeiblid)c  Sßieberfyolen  meieret*  @ad)eu 
ju  entfdjulbigen,  um  fo  mel)r,  ba  feber  Server  balb  ftnben  wirb, 
wie  man  bie  §auptfä|e,  bie  hierbei  ju  werfen  fmb,  bem  @d)ü* 
ler  gar  ntd)t  oft  genug  wieberl)olen  unb  beutlid)  mad)en  tarrn, 
ba  e$  felbf?  bei  Sernenben  oon  gereifterem  SBerjianbe  oft  fcfywer 
genug  l)ält,  el)e  i()nen  alles  ju  einer  bier  allein  jum  3wetf  f% 
venben  Slarljeit  gebrad)t  werben  f'ann. 
,  ©er  benötigte  Separat  würbe  nun  in  folgenben  befielen: 
ßtwa  m'er  bis  fünf  $u{5  l)od)  über  bem  §u£boben  wirb,  ber 
SDiitte  ber  <Sd)ulbanf(änge  gegenüber,  an  ber  SBanb  ein  23rett* 
d)en  befejligt,  weldjeS  wenigfienS  4  §up  lang,  14  Sott  breit  unb 
einen  Sott  jfarf  ifl,  ba$  auf  unten  eingefd)obenen  Knaggen  rul)t, 
unb  am  bejien  fd)warj  angefmd)en  wirb.  Stuf  bemfelben  (lef)f, 
Ijinten  bid)t  gegen  bie  SBanb  gelernt,  eine  leidjte,  fd)warje 
füoljtafel  oon  gleid)fallS  4  gttß  Sänge  unb  etwa  2|  §uf  £6tye, 
weld)e  baju  bient,  bie  Umriffe  ber  battorffeljenben  lid)ten  Körper 
beffer  Ijeröorjutjeben.  (üJtan  fann  aud)  an  b^ren  (Stelle  ein 
gleid)  grofks  (StücE  fdjwarjer  Söad)$leinwanb  an  bie  SBanb 
nageln.)  2fuf  ber  fcorberen  Sante  be$  erf?gebad)ten  33rettd)en$ 
wirb,  üon  4  ju  4  Sutten/  burd)  weiße  fenf'redjte  <Strid)e,  eine 
(Scala  angebeuter,  um  baburef)  ben  <Sd)üfern  im  Slnfange  ba$ 
SBtftren  ber  jurüdliegenben  fünfte  ju  erleichtern,  unb  eine  paf* 
fenbe  (Sintl)eilung  be$  Raumes  für  bie  gigur  auf  ber  Rapier* 
fJacfye  anjugeben.  ©ie  auf  bieS  SBrettdjen  aufjufießenben  ^or^ 
per  muffen  oon  üd)tcnx  Solje,  unb  fo  leicht  als  möglid)  aus 
l)ol)l  verleimten  (Stüden  gearbeitet  fein,  ©ie  müffen  mmbejienS 
au$  4  Sott  in*  ©etuert  jlarfen  red)twinf'ligen  (Säulen  bef?el)en, 
bie,  bei  gfeid)er  ©tärfe,  in  folgenbe  Sängenflüde  gerfcfynitten  jTnb: 

1)  in  jwei  halbe  SBurfel; 

2)  jwei  gange  SBürfel; 

3)  brei  (Säulen,  jebe  gu  gwei  SBürfel  §S|e; 

4)  bret  (Säulen,  jebe  gu  brei  SBürfel  §öl)e; 

5)  gwei  (Säulen  gu  ttier,  unb 

6)  eine  gu  fünf  SEBürfel  ipclje; 


—    48  — 


a!fo  im  ©anjen  in  treijefjn  Sicher,  tie  in  einem  $ä|Td)en  gu* 
fammengelegt  werten  fonnen,  wie  tieS  £af.  V.,  gig.  1  ju  er* 
fel)en  ijt. 

3.  Siftitfeljl  tiefer  Körper  I)abe  id)  nun  einen  gebrängten 
Seegang  Don  pajfenten  giguren  sufammengeftetlt,  treibe  bei 
frufenweifem  $ortfd)reiten  im  SBcfentHcfyjien  Sitte*  enthalten  fol* 
fett;  was  bei  irgent  einet*  SBerfürjung  an  gratlinigen  S(äd)en 
oorfonimen  fann. 

SBenn  id)  in  ben  angegebenen  giguren  gerate  tiefe  ©telfun* 
gen  unt  in  tiefer  golge  gewafylt  tjabe,  fo  Ijat  tieS  feinen  ©runt 
tarin,  tap  id)  tabei  fcorjüglid)  tarauf  SRucf  ftcfyt  nafym,  baß  in  jeter 
gi-gur,  unt  jwar  mög(id)fl  für  jete  2(nftd)t  terfelben,  terjenige 
gatt  am  teuflid)flen  Dorfommt,  ten  ter  2el)rer  tabei  fyaupffäd)* 
(id)  ju  erffareri  §at,  fo  tap  nun,  in  einer  naturgemäßen  (Stufen* 
folge,  bei  jeter  neuen  gigur  eine  neue  Söeobadjtung  Ijinjiifommf, 
bis  nad)  unt  nad)  atte  perfpeftioifdjen  £auptfälle  tabei  bur#* 
genommen  ftnt. 

3ete  tiefer  giguren  muß  ron  ten  ©djölern  auf  taS  ©rünb* 
Iid)|}e  oerfranten  unt  auf  ba$  ©auberjle  bargefrellt  werben,  e()e 
er  mit  Sftu§en  ju  ter  folgenben  übergeben  fann;  wobei  e$  aber 
tem  Sefyrer  unbenommen  bleibt,  ter  großem  oter  geringem 
gafyigfeit  feiner  @d)üler  angemeffen,  bei  einer  oter  ter  antern 
Aufgabe  taturd)  langer  ju  Derweilen,  tap  er  f leine,  Uidjt  ju  - 
erjtntente  Slbanterungen  ter  l)ier  fcorgefdmebenen  gtguren  auf* 
jMlt,  tie  im  £Befentlid)en  tod)  immer  ten  in  ter  Hauptfigur 
berücfftd)tigten  gatt  wieber  barbieten,  fo  tap  ftd)  taturd)  ter 
fyier  angegebene  ©tufengang  ter  Figuren  wol)l  teljnen,  aber 
gewiß  nid)t  fürjer  jufammenträngen  laßt,  wenn  nicfyt  Süden 
entfielen  unt  (Sprunge  gemad)t  werten  f offen. 

4.  @$  muß  beim  ßcitfynm  tiefer  Figuren  ein  fcefon* 
UM  ©ewid)t  auf  ta$  fid)  ®urc!)ß'd)figtenfen  ter  Körper,  oter 
ia$  Anbeuten  ter  tterbed't  liegenten  ©ranjen  ter  gläd)en,  gelegt 
werten,  weil  eö  bei  ten  meiflen  Slnfangern  gar  $u  fdjwer  Ijälf, 
baß  jte  tie      jeidjuenten  ©egenftänte,  fo  wie  M  notl)ig  iff;  ! 


—    49  — 


burd)bringen,  unb  fotd)e  tl)rer  räumlichen  %ütto$tymtt$  nad)  er* 
faffen,  ba  fte  bod)  |felbtttc|  aKein  in  ben  (&tcl\\b  gefefjt  wer* 
ben,  fiel)  in  äl)nttd)en  gälte«  unter  fceränbertem  2lugpunfte  eines 
ftd)ern  ©erfahren*  bewußt  ju  fein,  @S  wirb  aber  ein  fofdjeS 
S)urd)bringen  ber  ©egenftänbe  aud)  barum  fd)cn  unentbel)r(id) 
werben,  weil  ftd)  babei  am  beffen  bie  ^Belehrungen  über  bie  per* 
fpeffiiufdjen  @efe§e  anfnüpfen  unb  burd)  2(nwenbung  verbeut« 
liefen  laffen. 

fDian  benfe  ft'd)/  baß  bt'e  ju  jeidjnenben  Körper,  fo  wie  bas 
2tuffMungSbrettd)en  felbfi,  aus  einer  burd)ftd)tigen  SD?affe  bejlän* 
ben,  vermöge  beren  man  aud)  bie  ©ränjen  ber  fcerbeeft  liegenberc 
glasen  fefyen  fönnte,  fo  baß  man  nun  biefelben  aud)  auf  bet 
3eid)nung  burd)  punftirte  Sinien  fo  anjubeuten  t>ermöd)te,  wie 
fte  ftd)  unter  ben  erwähnten  Umtfänben  in  ber  Sftatur  jetgen 
würben,  woburd)  man  nun  jebe  gigur  bis  auf  tl)ren  ©runbriß 
fcarjuftellen  üermödbte.  ©urd)  ein  folefyeS  Verfahren  wirb  mmerfi 
für  bie  @d)üler  ein  ganj  lebenbigeS  ©urdjbringen  beS  ©ar* 
gesellten  mogltd)  werben,  unb  id)  werbe  in  bem  nun  folgenben 
Seegang  bie  Littel  angeben,  burd)  welche  man  für  ben  @d)ü* 
ler  alle  SBortheile  einer  folgen  33orrid)tung  moglichji  errei* 
chen  wirb. 

23ei  einem  in  erwähnter  2Irt  geleiteten  Sehrgange  wirb  tum 
alles,  wa$  an  ben  aufgefüllten  Figuren  erläutert  werben  ifl,  bei* 
@d)üler  fo  gut  Klarheit  beS  ^Begriffs  gefommen  fein,  baß  fte  ba* 
burd)  fähig  werben,  bie  perfpeftttufdjen  SSeränberungen  ber  glädjen 
unter  jebem  anberen  nur  möglichen  ©eftchtSpunft  richtig  angeben 
ju  fönnen;  benn  wenn  man  aud)  burd)  öfteres  2öed)feln  beripiä^ 
es  ju  fceranflaffen  wüßte,  baß  alle  @d)üler  nach  unb  nad)  (Seiten* 
anftd)ten  fcon  red)tS  unb  linfS,  wie  aud)  foldje  2lnftd)ten,  wo  ber 
Slugpunft  bie  Glitte  ber  gtgur  trifft,  ju  jetdjnen  Ratten,  fo  läßt 
ftd)  bod)  barin  in  ben  3Iuf|Mungen  ber  angegebenen  giguren 
nid)ts  änbern,  baß  ftd)  biefelben  immer  über  bem  Slugpunft  ber 
@d)üler  beftnbeu.  Um  ihnen  nun  eine  Anleitung  ju  geben,  wie 
fte  bei  l)äus(id)cn  Uebungen  aud)  bie  unter  bem  Slugpunft  be* 
ftnblidjen  ©egenflänbe  tidjtig  aufjeid)nen  fönnen,  fo  mache  man 

-  4 


—    50  — 


e$  ifynen  juv  2(ufgabe,  t>te  in  ber  Stellung  oben  auf  bem  33rett* 
d)en  gejeid)neten  Dotter  ftd)  nun  als  fenfredjt  barunter  auf  bem 
gußboben  ffefyenb  ju  benfen,  wöbet  bann,  unter  33enu£ung  ber  j 
oben  gefundenen  perfpeftfoifdjen  breiten,  bie  winfelredjt  ^in* 
eingebenden  Sinien  ftd)  nad)  bem  Dornet  auf  bem  Rapiere  j 
angegebenen  Stugptmfte  jieljen  muffen,  ba  bann  bie  Stuten,  ftatt  | 
bap  ft'e  in  bei*  obern  (Stellung  tyeruntergeben,  ftd)  aufwärts  sieben  ! 
werben,  woburd)  ft'd)  bie  ©eitengränjen  ber  nun  entffeljenben  \ 
obern  2lnftd)ten  bilben,  tnbem  jugleid)  tl)re  oerfürjtc  SBreite  im  I 
gufammentreffen  gebauter  Linien  mit  ben  jurüdliegenben  (Set* 
fengränjen  benimmt  wirb,  wie  bteS  nod)  naf)er  in  §.  37,  ber 
jweiten  ©tufe  angebeutet  iff. 

5.  93efonber$  aber  wirb  man  t>on  Dorn  l)eretn  bei  bie*  i 
fer  (Stufe  be$  Unterrid)t$  barauf  ju  feben  fyaben,  baß,  wie  wir 
bereite  in  ben  23orbemerfungen  erwähnt  l)aben,  ber  (Sd)ü(er 
ft'd)  eine  jwifdjen  ifym  unb  bem  51t  jeid)nenben  ©egenjlanb  auf* 
gesellte  ©lastafet  ober  quabrate  Stejjetntfyeilung,  beren  (Stelle 
burd)  fein  DorliegenbeS  Rapier  vertreten  wirb,  lebhaft  benfe, 
bamit  er  fo  ben  5pia|  ju  bejitmmen  wiffe,  auf  weld)em  ft'd)  ein, 
bilMüit  weit  l)inter  ber  Safel  beftnblid)er,  ^3unf't  be$  ObjeftS, 
auf  berfetben  jeigen  würbe,  wenn  man  ft'd)  oon  biefem  <J)unf't  eine 
gerabe  State  ober  einen  (Stral)l  nad)  bem  3luge  gejogen  benft, 
ber  bie  Safel  in  einer  ju  beftimmenben  (Steife  burd)fd)tteibet, 
worüber  id)  in  ben  Junten  beigefügten  „3lnfangSgrünben  ber 
sperfpeftiüe"  bie  ?j)aragrapl)en  1  unb  2  nad)julefen  bitte.  (Sine 
fo(d)e  Safel  ober  9?e£etntl)etlung  wirb  nun  ber  (Sd)ü(er  jwifcfyett 
feinem  2Iuge  unb  bem  ju  jetdjnenben  ©egenflanb  baburd)  btlben 
fotmen;  baß  er  beim  Siftren,  mtttelft  feinet,  in  ber  Entfernung 
be$  auegeflrecften  SlrmeS  gehaltenen  gabenS,  in  ber  £uft  Öuabrate 
bilbet,  burd)  weld)e  er,  inbem  er  baä  eine  Sluge  fdjließt  unb 
ben  Sopf  uiwerrüdt  fefiljält,  baSjenige  bemerfen  fann,  was  t>on 
ben  Steilen  ber  gigur  in  benfelben  gefeljen  wirb,  bamit  er  ft'd) 
baffelbe  in  ben  öerfleinerten  ßuabrafen  feiner  S^i^nwng  wieber 
auffud)en  unb  angeben  fann. 


! 

—    51  — 


§.  6.  Um  aber  tiefe  Öttabrate  beS  9?ef$e$  bequem  biU 
ben  ju  fönnen,  wirb  man  für  mancfye  gälle  auf  bte  SSorber* 
fante  be$  ©rettcfyen*  nod)  eine  fenfrecfyte  (Scala  aufbetten  hiüf* 
fen,  bamit  man  an  berfelben  bte  SSetfimmung  beS  2lbjlanbö« 
Taumel  bei*  wagered)ten  gäben  Don  etnanber  befio  leidster  an* 
jumerfen  Vermag,  unb  man  fann  ben  (Sd)ülem  biefen  23ortl)eit 
babttrd)  gewähren,  bap  man  einen  etwas  fyoljen  Körper,  trieb 
Uid)t  ben  ffinfwürfltgen,  aufregt  fo  auf  eine  @cfe  beS  SBrett* 
d)enS  |Mt,  bap  bejfen  23orberfläd)e,  als  in  ber  Gbene  ber  @la$* 
tafel  ober  beS  9te^eö  liegenb,  burd)  in  SBürfelweite  barauf  ge* 
getestete  @trid)e  gu  einem  ipöbenmeffer  gemad)t  wirb,  an  wel* 
d)em  ber  <Sd)ttter,  bei  etwa  in  ber  gigur  felbfl  mongelnben  paffen* 
ben  fenfred)ten  Sauten,  bie  §5t)enlage  jurüdliegenber  fünfte 
mit  (Std)erl)ett  auffudjen  fönne;  bod)  i(i  bei  ben  folgenbcn  per* 
fpeftiwfd)en  gtguren  immer  gegeigt  worben,  wie  man  folcfye 
ipofycnbefiimmungen,  aud)  ofene  biefeS  ^Hilfsmittel,  an  ben  fenf* 
redten  fiantin  ber  gtguren  felbjt,  aufjtnben  fann. 

7.  SRan  wirb  bem  ©eitler  alfo  bie  93orfMung  ge* 
ben,  bap  er  ftd)  biefe  Safel  ober  9?e|fläd)e  als  eine  auf  bie 
93orberfante  beS  SBrettdjenS  fenfreetyt  aufgehellte  @bcne  benft, 
in  weld;e  er  beim  SBijtren  feine  gäben  balb  fenf  *  balb  wage* 
ved)t  bmeinfpannf,  unb  bamit  auf  ben  an  beiben  (Scalen  ange; 
imUUn  Steilen  balb  ©ange,  balb  23rud)tl)eile  bemerft,  wo  gu* 
rücfliegenbe  fünfte  beS  Objefts  in  ben  beim  SSiftren  burd)  fte 
gelegten  Stuten ,  ber  ^Breite  unb  §öl)e  nad),  liegen  muffen; 
worauf  benn  beim  2tuffud)en  ber  al)nltd)en  Steile  auf  ber  be; 
treffenben  (Scala  beS  Rapiers,  im  3ufanuMntreffen  ber  burd) 
punfttrte  Stuten  angebeuteten  S3t(ber  ber  gaben,  bie  (Stelle  beS 
gefud)ten  fünftes  auf  ber  Setdjnmig  genau  bejltmmt  werben 
fann,  wie  ftd)  bteS  im  SJerfolg  beS  SebrgangeS  weiter  aus* 
geführt  unb  angewenbet  ftnten  wirb«  Sterbet  wirb  bem  (Sdjüler 
nun  fein  Rapier  bte  (Stelle  ber  Safe!  ober  beS  ©itterS  fcertre* 
ten,  inbem  ftd)  auf  ber  ^aptet'fJädje  bte  ©rängen  ber  gurttd* 
liegenben  ©egenjlänbe  fo  neben?  unb  öbereinember  barfletfen  wer« 


—    52  — 

ben,  baß  ein  Slnberer  au$  bem  auf  ber  gläc^e  fetfgeljaltenen 
SBtlfce  ftd)  einen  beutltchen  93egriff  fca&on  mad)en  fann,  wie  bie 
©egenfiänbe  in  ber  9?atur  ftd)  cor  bem  Sluge  be$  3eid)ner$ 
in  tytev  räumlid)en  ^intereinanberfolge  befunben  l)aben. 

gjlan  mad)e  bem  (Schüler  a(f0  flar:  baß  fcbet  ^ctfpef* 
twifch  ju  befttmmenbe  ?PiinFt  in  ber  gigur,  cincö  SheilS  burd) 
bie  Angabe  ber  §Öhe  benimmt  wirb,  in  wekher  ftd)  eine  burd) 
benfelben  wagered)t  gefegt  gebaute  Sinie  über  bei*  ©runbltnie 
beftnbet,  beten  2lbflanb$raum  &on  berfelben  auf  bem  nächffen 
Sffiege,  nehmlid)  an  einet  auf  ber  ©runblime  fiehenben  fen£< 
redjten  (bem  §>öhenmejTer  §.  6),  abgefegt  werben  muß;  an# 
bem  £l)eil$  burd)  bie  Angabe  bet  23  r  e  1 1  e  obet  be$  S^eil^ 
beflimmt  wirb,  in  weldjer  eine  fenfred)t  burd)  ben  ftaglid)en 
?Punft  gebaute  £inie  auf  einet  wagered)ten  (bet  ©runblime), 
einfdjneibet,  ttnb  baß  ba,  wo  ftd)  biefe  beiben  33effimmung$* 
linien,  wenn  fte  auf  bet  3etd)nung  nad)gefud)t  unb  burd)  punf* 
titte  Sinien  fortgeführt  werben,  einanbet  treffen,  nothwenbig 
ber  gefud)te  perfpeftioifche  spunft  auf  bet  glädje  be$  Rapiers 
liegen  muß. 

8.  ©utd)  ein  foldjeS  Verfahren  wirb  nicht  nut  ba$ 
Sluge  ber  @d)üler  fet)r  geübt  werben,  fonbern  es  wirb  firf>  barin 
aud)  ein  SDitttel  ftnben,  woburd)  bei  ihnen  Dielen  9fltßt>erffänb* 
nijfen  unb  gestern  vorgebeugt  werben  fann,  bie  fonji  nid)t  aus* 
bleiben  würben,  wenn  ber  Sehrer  bei  ju  Dollen  Slajfen  unb  be* 
engtem  SJtaum  oft  gar  nid)t  iavaw  benfen  barf,  gu  jebem  @d)ü* 
(er  hinzugehen  unb  nad)fel)en  gu  fönnen,  ob  berfelbe  bie  33er* 
fürjung  ber  glächen  beim  SBiftren,  feinem  ©tanbpunft  gemäß, 
aud)  richtig  abgefragt,  unb  auf  feiner  geidjnung  gleichmäßig 
angegeben  ^abe.  SDfan  läßt  nehmlid)  bie  gefud)te  ipöhe  ober 
breite,  in  ber  ein  gurücfgelegcner  ?Punft  ber  gigur,  Je  ,ta$  ^cm 
@infd)nitt  be$  fenf*  ober  wagerecht  burd)  benfelben  gehaltenen 
gaben*  an  ber  betreffenben  ©cala  be$  23rettd)en$  ftd)  geigt, 
Don  ben  (Schülern  einer  S3anf,  ber  $eil)e  nad),  nach  ben  ge* 
funben*«  £3rud)theilen  ausbrechen,  woburch  ftd)  eine  STleihe  t>on 


—    53  — 


23erl)alfnf#jaf)len  fflr  tue  gefunbenen  Greifen  bilben  wirb,  bie, 
nad)  9tta£gabe  be0  fortrücfenben  SpiafceS  ber  (Sdjüler,  balb  ein 
ffeigenbeS,  balb  ein  abnel)menbeS  23erfyältnif5  ergeben  fann. 
©fetdjfattS  wirb  ftd)  ein  fo!d)eS  S3erij)ältntß  für  bie  gefunbenen 
ipöljen  g»tfc&en  bcr  fcorberjlen  unb  ber  am  weiteren  jurücf« 
|tef)enben  S3anf  bilben  laffen,  tnbem  bie  natyejtffenben  (Schüler 
bie  jttrücfweicfyenben  Stuten  ffärfer  geneigt,  bie  gurudjtgenben 
aber  biefelben  weniger  fletl  fefyen  werben. 

©er  Seljrer  fann  l)ierbet  beurteilen,  ob  Jeber  einzelne 
©cfyüler  beim  93t)Tren  mit  ber  nötigen  ©enauigfett  ju  SSerfe 
gegangen  i%  tnbem  er  bie  gefügte  perfpeftiwfdje  SBeranberung 
ber  Stetten  ttnb  £öl)en  jurütfltegenber  glädjen,  nad)  befiimmt 
ausgeflogenen  23rud)tl)ei[en,  abfd)ä§en  läßt,  wo  jtd)  bann  balb 
bte  etwa  irrige  Angabe  eines  @d)ülerS  burd)  bie  genaueren  23e* 
merfungen  feiner  9?ad)barn  als  falfd)  erweifen  wirb,  wenn  man 
j.  93.  bem  @d)üfer  babei  bemerflid)  mad)t:  wie  er  bie  in  Siebe 
flefyenbe  gladje  unmögltd)  fdjmaler  ober  breiter,  als  anbere 
mel)r  t)tnattf*  ober  tyerunterftgenbe  <3d)üler,  feljen  fonne,  wo* 
burd)  man  eine  foldje  33ejfr'mmung  für  alle  anbern  mit  berid)* 
ttgen  fann;  unb  fo  wirb  ftd)  ber  Seljrer  in  jebem  fcorfommen* 
ben  galt  burd)  paffenbe  fragen  immer  leid)t  ju  überjeugen 
wiffen,  ob  bie  @d)üler  auf  bte  @ad)e  aud)  wirflid)  eingegatu 
gen  ftnb,  ober  ob  fte  bloS  baS,  was  ber  Seljrer  an  ber  Safel 
oorgejeietynet  fyat,  ober  was  fte  bei  geübteren  @d)ü(ern  abgefet)en 
Jjaben,  ol)ne  felbfltl)ättgeS  9?ad)benfen  nacfyjubilben  fudjen. 

©tefeS  93or5eid)tten  ber  gigur,  (Seitens  beS  Selkers  an 
ber  SBanbtafel,  fann  natürlich  immer  nur  als  bie  Stuftet  t>o\x 
einem  gewiffen  ©tanbpunfte  aus  bered)net  fein,  unb  man  muß 
bie  @d)üler  iaiti  gu  ber  (5injtd)t  führen,  baß  jeber  Don  iljnen 
bie  gigur  etwas  Geräubert  erbltcfen  wirb,  unb  baß  folglid)  fcon 
jwei  ganj  gleichen  Setdmungen  eines  tmb  beffelben  SlörperS,  Don 
t)erfd}iebenen  5piä|en  aus  gefeljen,  notljwenbig  bie  eine  fe^lertjaft 
fein  muffe.  2ßas  nun  biefe  t>erfd)iebenen  Sfnftcfyten  betrifft,  welche 
bie  (Sd)üler  in  §olge  il)rer  ©tanbpunfte  oft  fcon  ben  entgegen* 
Seiten  ©eiten  ber  Körper  befommen  werben,  unb  wie  ben 


—    54  — 


fyierburd)  herbeigeführten  Sdjwierigfeifen  für  ben  Unterricht  am 
befien  abjuhelfen  fei,  ba$  werbe  id)  bei  bem  nun  folgenben  Sehr* 
gange  fowoht  in  ber  SBahl  ber  aufjujlelfenben  ^tguren  als  aud) 
in  ben  beigegebenen  grflärungen,  Dorjüglid)  berücfftdjtigen. 

Sftoch  muß  id)  bemerken,  baß  man  burch  ein  mx  Seit  ju 
Seit  wieberholteS  SBechfeln  ber  ^piage  fold)e  ©chüler  Dorjüglid) 
berechtigen  foll,  bie,  an  ben  (gnben  ber  23änfe  jtgenb,  fonft 
immer  nur  bie  2lnftd)t  einer  beleuchteten  ober  bunflen  ©eiten* 
pd)e  ber  Körper  l)a6en,  fo  wie  man  aud}  ben  jenigen  eine 
33eränberung  il)re$  ©tanbpunfteS  gewähren  muß,  bie,  in  ber 
99?itte  ber  S5änfe  jtgenb,  nur  eine  geringe  2Jbwed)felung  in 
ben  2fttß'd)ten  ber  Körper  haben  fönnen. 

§.  9.  SRan  laffe  nun  juerfi  mit  einigen  3«fammenfletfun; 
gen  ber  Körper  beginnen,  &on  welchen  bie  @d)üler  bloS  ben  geos 
metrifd)en  Slufriß  ber  SBorberfladje  jeichnen,  wobei  man  für  bie 
Sinien  baburd)  einige  2lbwed)felung  erhielt,  baß  man  bie  @d)üler 
anleitet,  biejenigen  ©ränjen  ber  §(äd)en,  weld)e  nad)  red)t£  unb 
unten  liegen,  burd)  jlärfere,  bie  nad)  linfö  unb  oben  gelegenen 
aber  burd)  fd)wäd)ere  Sinien  ju  bejeid)nen. 

10.   3n  $ig.  2  iji  eine  folche  SufammenfMung  ge* 
geben,  in  welcher  ftd)  alle  unfere  Äörper  vereinigt  ftnbetu 

§ier  taffe  man  nun  ben  @d)üler  juerft  ben  ?)unft  a  im* 
gefätjr  jwei  S^tt  pon  bem  unteren  unb  eben  fo  weit  t>on  bem 
linfen  Staube  be$  Rapiers  entfernt  fegen.  Sfl  biefer  ?PunPt  be* 
ftimmt,  fo  laffe  man  b  genau  fenfred)t  über  a  fegen,  unb  jwar 
in  einer  Don  bem  Sehrer  nad)  S^theilen  angegebenen  ßntfer* 
mmg ,  nad)  93erl)altniß  ber  @reße  be$  »orliegenben  Rapiers  ber 
@d)ü(er,  ianxit  ffe  aud)  mit  ihrem  Svaum  für  bie  §öl)e  unb 
SJreite  ber  gigur  gehörig  auSfommen.  ©ie  Sinien,  burd)  weldje 
bie  @d)üler  biefe  fünfte  üerbinben,  fo  wie  bie  gefegten  fünfte 
felbjf ,  muffen  äußerjl  fein  ge$eid)iiet  werben ,  was  überhaupt 
für  alle  folgenben  gilt,  unb  e$  i(i  fel)r  barauf  ju  fet)en,  baß 
bie  @d)üler  jeberjeit  burd)  bie  vorher  gefegten  <g-nb« 
pwnt te,  fowof)li)Ucl)tung  aU  SWa'ß  ber  Si nie  auf  jhM 


—    55  — 


©enauetfe  betlimmen;  unb  bei  in  bei*  £olge  Dorfommeubcu 
längeren  Surfen  f>aftc  man  flreng  barauf,  baß  ftd)  bann  bie 
@d)üler  burd)  wieberfyolteS  Steilen  bei*  %wi\ü}tnxävim  nuttelfi 
jwifdjen  ein  gefegter  fwlffpunfte,  ben  @ang  ber  Surfe  erfi 
genau  anbeuten,  el)e  fte  biefelbc  ausführen,  *4amit  alles  falfcf) 
3eid)tten  nnb  2lu3wifd)en  auf  bem  Rapier  möglicfyji  fcermtebeu 
werbe.  SÄan  fahrt  hierbei  ben  @d)ülern  erlauben,  mittel|i  beö 
auf  bie  gefegten  ßnbpunfte  gehaltenen  gabenS  gu  prüfen,  ob 
bie  angebettteten  fntlfSpunfte  aud)  genau  bie  9tid)ttmg  haben, 
unb  e$  wirb  ba$  erwähnte  Sbeilen  längerer  3wifd)cnräume 
nebenbei  nod)  eine  gute  Uebung  für  ba$  Slugenmaß  ber  @d)üler 
abgeben,  wobei  ber  Selker  e6  ftd)  jur  $)flid)t  mad)t,  bei  feiner 
3eid)nung  an  ber  großen  SSanbtafel  ganj  in  berfelben  SBetfe 
ju  verfahren. 

Ser  ©d)ü(er  trage  nun  bie  Sange  ber  Surfe  ab  aus  bem 
<Pttnft  b  wagered)t  nad)  c  fort,  unb  nadjbem  er  fein  33ud)  in 
einiger  Entfernung  fenfred)t  t>or  fiel)  auf  ben  Sifd)  t)tngeßctlt 
hat,  fel)e  er  wcl)l  ju,  ob  ber  tyunU  c  aud)  wirflid)  fo  weit 
uon  b  abliegt  als  a,  unb  ob  er  mit  b  gteid)  l)od)  ffc$t,  wie  er  benn 
überhaupt  aud)  in  biefer  (Steifung  für  jebe  Surfe  am  beflen  be* 
urteilen  fanri,  ob  foldjc  ihrer  9tid)tung  nad)*  aud)  genau 
fenf  *  ober  wagered)t  i(?.  3ff  ^  ?u;nft  c  nun  rtd)tig  gefegt 
fo  laffe  man  bie  Sinie  bc  büben.  ©er  spunft  d  wirb  mm  gen.au 
unter  c  unb  wagered)t  gegenüber  tum  a  gefegt  Ä  worauf  bann  brn^d) 
bie  nod)  fel)(enben  beiben  ©eiten  c,d  unb  a,d  ba$£^uabrat>vganjt 
wirb.  23eim  (Segen  beS  ?J)tmffe^  e  fel)e  man  wohl  gu,  baß 
berfelbe  aud)  gang  wagered)t  mit  bc  unb  in  bemfelben  2lb|tanb 
liege,  unb  laffe  bann  ben  3)imft  f  wie  fcorl)in  d  fegen,  unb  id* 
burd)  ben  halben  SBürfel  in  e,  f  unb  d,  f  ergangen.  %c§t  laßt 
man  bie  @d)üler  dou  e  um  einen  l)alben  SBürfel  l)inauf  uad) 
g  tieigen,  unb  nimmt  nun  g  f  gleid)  a  f  als  eine  ©eite  bes 
nun  ju  bilbenben  ÖuabrateS  an,  unb*läßt  in  berfelben  Gntfer* 
nung  wageredjt  uon  g  ben  tym\U  %  fegen,  worauf  in  i  nad) 
i>orbefd)riebener  SBeife  bie  £juabratfläd)e  ergänzt  wirb,  tteber 
h  fteige  man  nun  fenfredjt  tun  einen  SBürfel  nad)  k  hinauf 


—    56  — 


unb  faffe  bann  1  wagered)t  in  gleicher  Entfernung  fegen,  worauf 
in  m  bie  9^e<J)tecffläc^e  gefdjloffen  wirb,  wobei  e*  ber  ©d)öler 
nad)  unb  nach  mit  immer  längeren  ßimen  ju  f^utt  befommt. 
95on  1  (feige  man  nun  fenfred)t  mittelfi  breier  in  SBürfellangc 
über  einanber  bejtnblicher  §ulf«punfte  nad)  n  hinauf,  laffe  wage* 
recht  in  ber  Entfernung  eines  SBürfelä  erff  o,  bann  f  unb  g 
fegen,  worauf  ber  @d)ü(er  baburd),  ba$  er  k'  fenfredjt  unter 
g  unb  wagered)t  mit  m  fegt,  baß  größere  StecfyteÄ  mngk' 
bilbet,  t>on  beffen  Ecfe  n  man  ben  spunft  q  wagered)t  nach 
linfs  in  ber  Entfernung  eines  2Burfel$  fegt,  unb  bann  in 
gleicher  SSeite  über  q  fenf  recht  ben  9>unft  r  angiebt,  wobei 
man  ben  @d)üler  barauf  aufmerffam  mad)t,  wie  nun  ihkqr 
in  eine  fenfrechte  Sinie  fallen  werben.  95on  r  gehe  man  wage* 
recht  in  SEBürfellänge  nad)  s  unb  in  bemfelben  5lbffanb  fenf  recht 
nad)  t,  wobei  s  t  wieber  fenfrecfyt  über  m  n  trifft,  fege  nun 
b'  in  ber  Entfernung  breier  SBürfellängen  wagerecht  mit  t  unb 
fenf'red)t  überk'g',  bilbeb'c'unb  laffe  bann  burd)  gleichmäßige 
©egung  ber  fünfte  d'  e'  ben  würfellangen  SBorfprung  nad) 
red)t$  jeidjnen.  33on  t  unb  b'  rüde  man  einen  fyalben  Sßürfel 
ein  nad)  u  tjnb  a',  fege  über  legtgenannte  fünfte  fenfrecht  in 
ber  Entfernung  eine?  SSürfelS  v  unb  z,  rüde  t>on  biefen  wieber 
um  einen  falben  SBüvfet  ein  nad)  w  unb  y,  ffeige  tonn  über 
w  um  brei  SBürfel  hinauf  bis  x,  gehe  wagered)t  nad)  x'  unb 
laffe  in  y  ba$  $ied)tecf  fd)ließen,  wobei  man  ben  @d)ülcrn 
wieber  bemerf'(id)  mad)t,  baß  s'owx  unb  i'f  yx'  fenfred)t  über 
einanber  liegen.  9iun  bifbe  man  über  mk'  wagered)t  in  ber 
Entfernung  eines  SSBürfelS  bie  Sinie  ph',  tfyeile  jte  burd)  s'i' 
in  brei  gleidje  Sl)eile,  unb  fcerbinbe  os'  unb  f  i'  burd)  bie  fenf* 
red)ten  Sinien.  93on  h'  jleige  man  um  einen  Söürfel  nad) 
T  hinauf,  fege  wagered)t  in  gleicher  Entfernung  m',  unb  jeige 
nun,  wie  kü'm'  in  ber  gleichen  wagered)teu  liegen.  9?un 
laffe  man  bie  fünfte  n'o'  fegen,  bie  mit  ghph'  in  gleidjer 
§öl)e  liegen,  unb  gehe  um  einen  halben  SBürfel  nad)  p'  herunter, 
fege  wagered)t  einen  Söürfel  ba&on  entfernt  q',  unb  laffe  nun  in 
r'  bie  gigur  fließen,  wobei  man  nod)  bie  übrigen  fünfte  burd) 
2inim  ergänjt. 


—    57  — 


11.  Um  ben  <3d)üfer  in  ben  ©ebraud)  fee$  gfafcett* 
ju  SBiftven  etnjuleiten,  laffe  man  nun  ben  geometrifd)en  2lufriß 
fccr  gtgitten  3,  i,  5  folgen,  wo  man  bei  ben  fd)räg  liegenbeu 
Körpern  feie  Sage  feer  ßefen  ber  33orberjIäd)en,  fd)on  mittel^ 
feeS  burd)  biefelben  fenf  *  ober  wagered)t  gehaltenen  gaben«, 
nad)  beten  (Stellung  auf  bem  Rapier  fudjen  (äffen  fann ,  wie 
in  bei:  23efd}reibung  ber  Figuren  naljer  angegeben  i|l,  woburd) 
ba$  Sluffudjen  ber  jutöi  liegenben  fünfte  für  bie  folgenben 
perfpefttwfd)en  2fnftd)ten  fel)r  erleid)tert  wirb. 

12.  §ig.  3.  §>ier  laffe  man  juerfi  ben  mittleren  fenfred)« 
ten  Körper  nad)  2lrt  ber  vorigen  Sigur  jeid)nen,  unb  beflimme 
bann  bie  SlbtfanbSpunfte  ber  unteren  @cfen  ber  angelegten  Siu 
per,  fo  wie  bie  (Stetten,  wo  fiel)  biefelben  an  ben  fenfredjtett 
Sörper  leljnen,  in  aa'  bb';  man  laffe  bie  genannten  fünfte 
Derbinben  unb  auf  beren  Guben  nun  Sutten  fcott  einem  SBürfel 
£öt)e  red)twinflig  fegen.  Um  nun  bie  oberen  (Snbpunfte  biefer 
Stuten  mtttelft  be$  l)tnburd)  gehaltenen  gabenS  bejlimmen  ju 
fönnett,  wirb  man  eine  fenf*  unb  eine  wagerecfyte  §>ülf$linie 
fud)en  muffen,  in  beren  3ufammenfreffett  fiel)  ber  gefudjte  5punft 
bejtnben  muß,  unb  biefe  §ülf$lüuen  werben  ftd)  baburd)  be* 
jlimmen  laffen,  baß  man  erftlid)  burd)  ben  ju  fud)enben  *Jhtnft 
mit  bem  fenfred)ten  gaben  mft'rt,  wie  fciel  ftd)  berfelbe  t>on 
bem  bereits  gejetd)neten  2(nlel)ttepunft  nad)  red)t£  ober  linfö 
entfernt,  was  ftd)  (eid)t  an  ber  @ca(a  ber  23orberf  ante  be$ 
33rettd)en$  fejljtellen  läßt,  wenn  man  genau  nad)jtel)t,  wo  ber 
mitteljt  be$  fenfred)t  gehaltenen  §aben$  hinunter  verlängerte 
9)unft  bie  ©runbltnie  burd)fd)ttetbet,  worauf  man  benn  auf  ber 
©runblinte  feinet  Rapiers  biefelbe  (Stelle  wieber  attffud)t,  unb 
aus  berfelben  ba$  23ilb  be$  gabenS,  bis  ungefähr  ju  ber  6e* 
nbtl)igten  ^olje,  fenfred)t  Ijinauf  punftirt.  @ne  foldje  33eflim< 
ntung  burd)  bie  fenf'red)te  §>ülf6linte  wollen  wir  tn*  fünftige 
immer,  ber  fürjeren  23ejeid)nuug  wegen,  eine  Söreitenbe* 
ffimmung  nennen,  im  ©egenfa§  ju  nun  nod)  nötigen 
£oI)enbeftimmung,  bie  barin  bejlefyen  wirb,  baß  man  nun 


—    58  — 


oud)  im  gaben  wagered;t  burd)  ben  gefügten  tytmtt  Wtf,  unb 
an  einer  jum  3lbfd)ägen  be$  £öl)enabflanbe$  bequem  gelegeneu  ! 
fenfred)ten  Sinie  mit  bem  gaben  einfd)neibet,  wo  man  ftd)  bann  ben 
£l)eil  wol)l  merft,  in  weld)em  ber  gaben  biefe  Stute  burd)fd)neibet, 
was  j.  33.  aud)  an  obgenanntem  £o()enmeffer  leidjt  gefd)el)en  fann, 
worauf  man  an  berfelben  Stute  auf  feinem  Rapier  bte  gleidje  ©teile 
lieber  auffud)t,  um  l)ter  bttrd)  eine  punftirte  wagered)te  §ü(fslinte 
ba$  33ilb  be$  gabenS  wieber  anjugeben,  worauf  ftd)  bann  in 
t>er  ©teile,  wo  ftd)  §>bl)en*  unb  Bretten  ^eflimmung  auf  bem 
Rapier  einanber  treffen,  ber  gefugte  %\mU  ftnben  muß.  93et 
tiefer  brüten  gigur  j.  95.  fud)e  ber  ©d)ü(er  juerfl,  in  weiter 
3JbjIanb$breite  t>on  bem  fünfte  a  nad)  UnH  $ti  ber  SPunft  c 
gelegen  fei.   @r  Ijalte  ben  gaben  fenfred)t  bttrd)  c,  unb  merf'e 
bie  ©teile  ber  ©runbltnie,  in  weld)er  iann  ber  gaben  btefelbe 
tmrd)fd)neibet  in  d.    Ser  @d)üler  jäl)(e  ftd)  auf  ber  @nmb* 
Knie  feines  Rapiers  biefelben  ©anjen  ober  35rud)tl)eile  wieber 
ab,  errtdjte  auf  ber  bemerf ten  ©teile  eine  fenfred)te,  Ietdjt 
punftirte  Sinie,  unb  fage  ftd)  nun:  3n  biefer  fenfrecfyten  Sinie, 
cber93reitenbeffimmung,  muß  nott)wenbig  irgenbwo  mein  gefttd)ter 
9>unft  liegen;  fotl  id)  aber  bie ©teile  in  berfelben  beßtmmt  angeben 
fonnen,  in  weld)e  er  fällt,  fo  muß  nod)  eine  jwette,  nel)m(id) 
eine  §>öt)enbe|f  immung ,  mtttelf*  beS  wagered)t  burd)  ben  Sfhmft 
c  gehaltenen  gabenS,  fyt'nju  fommen,  wo  bann  ber  gaben  in 
ber  wagered)ten  Verlängerung  bie  fenfred)te  93orberfiäd)e  bes 
mittleren  Körpers,  ober  bie  ©cala  beS  §öl)enmejTer$,  in  g 
turd)fd)neiben  wirb,   ©iefelbe  £öf)e  fud)t  ftd)  ber  ©d)u(er  nun 
auf  ber  betreffenden  Sinie  feiner  3*td)nun8/       flk&t  ^as  93tlb 
teö  gabenS  burd)  eine  leidjt  punftirte  wagered)te  Sinie  an,  bte 
er  fo  weit  verlängert,  bis  fte  bte  fenfred)te,  aus  d  fjerauf  gejo* 
gene  SBreitenbeflimmung  in  c  trifft,  worauf  bann  c  mit  a  Der?  I 
Inmben  wirb,  welche  einen  SSürfel  lange  Sinie,  nun  genau  redjt* 
winflig  auf  a  b  jleljen  muß. 

©er  Spunft  e  wirb  nun  ganj  eben  fo  wie  c  bcfltmmt  wer; 
ben  muffen,  inbem  beffen  93reitenbe(iimmung  burd)  eine  fcnf* 
redete  Sinie  in  f  c,  bie  §>öl)enbeffimmuug  aber  buvd)  eine  wage*  I 


rechte  m  he  fefTgejMt  wirb,  worauf  bann  beim  gufammen* 
treffen  tiefer  beiben  Sinien  in  e,  ftd)  ber  gefudjtc  s})unft  fmbet. 
©ie  (Scfen  be$  anbern  rechts  angelehnten  ÄorperS  werben  in 
biefem  gaffe,  wo  betbe  bei  $leid)er  Sänge  gleich  weit  Dom  mttt* 
leren  Körper  abgehen,  ganj  ttad)  ben  erfl  gefugten  SDiaßen  be* 
tfimmt  werben  fönnen. 

©a  ftd)  aber  für  bie  metjr  feitwärts  ft^enben  @d)üler 
hierin  eine  SSeränberung  jeigen  f'önnte,  fo  fahrt  ber  Selker 
burd)  ein,  an  ber  gtgur  auf  bie  gefugten  fünfte  fenf*  unb 
wagered)t  angehaltenes  fiineal,  bie  (Steffen  anffud)en,  in  benen 
bie  §ülf$linien  für  bie  Spö\)m*  unb  83rettenbeflimmungen  ber 
gebauten  fünfte  liegen  werben,  unb  foldje  für  äffe  gleichmäßig 
beßimmen  laffen.  2lud)  wäre  fyier  noch  anjumerfen,  baß 
bie  @d)ü(er  ftd)  SlnfangS  eines  an  einem  §ifd)beiubogen  ge* 
Rannten  gabenS  ober  $Pferbel)aar$  Don  minbeflenS  ber  Sange 
einer  (Spanne  gum  93iftren  ber  fünfte  bebienen  müffen,  woju 
fte  aber  aud)  im  Verfolg  bie  Sante  ihres  23leif}ifteS  benttfjen 
fönnen. 

3d)  ^be  barum  bei  33efd)retbung  biefeS  einfad)en  23erfa^ 
renS  au$führlid)er  Derweilen  müjfen,  weil  td)  mid)  in  ber 
§olge  bei  ber  S3efd)reiiung  ber  giguren  immer  nur  barauf  p* 
rüc!  bejiefyen  werbe;  benn  baS  25e|limmen  affer  f'ünftig  Dorf'onu 
menben  fünfte,  fte  mögen  nun  in  ber  Dorberen  g(äd)e  gelegen 
fein  wie  l)ier,  ober  perfyefttoifd)  Deränbert  jurücf  liegen  wie  iu 
ben  folgenben  giguren,  wirb  ftd)  immer  hierauf  jurücf  füljreu 
lajfen,  unb  ber  @d)ü(er,  bem  bieS  Verfahren  einmal  geläufig 
geworben  ift,  wirb  ftd)  in  jebem  mim\  gaff  leicht  bamit  aus* 
jul)elfen  wtffen. 

13.  83et  gig.  4  wäre  anjumerf'en,  baß  tywbMtyunft 
i  ftd)  leid)t  burd)  bie  in  ber  Stiftung  pn  bis  ju  ihrem  geo* 
metrifdjen  2)iaß  Don  fünf  Würfeln  Derlängerte  Sinie  pi  ft'nbeu 
läßt,  weldjen  spunft  man  aber  aud)  baburd)  bejlimmen  f'anu, 
baß  man  Don  i  mittel)}  beS  gabenS  eine  fenfred)te  £ülfslinie 
auf  no  5iel)t,  unb  nad)jwl)t#  in  weldjem  £l)etl  berfelben.  an 


—    60  — 


Uni  Körper  ber  gaben  einfd)neibet,  worauf  man  bann,  att$  benu 
felben  Sljeil  ber  Sinie  in  q,  auf  feiner  3eid)nung  fenfred)t  %m  II 
auf  punftirt,  bis  <  man  bic  23erlangerung  ^n  pn  in  i  bamit  ji 
treffen  würbe,   ©er  fgtytant  be$  fünfte*  k  über  i,  würbe  fid), 
aud)  cl)ne  ^öljenmeder,  an  ber  fenfred)t  gefugten  SSreitenbe*  j 
jiimrnung  be$  fünftes  k,  an  kl,  baburd)  fmben  laffen,  baß  j 
man  auö  i  wageredjt  bis  an  biefelbe  fortgebt,  unb  Don  m  aus, 
wo  fiel)  beibetreffen,  bie  §5f)e  mk  burd)  23ergleid)tmg  mit  ber  | 
SBürfeilänge  abfd)äf$t,  wobei  man  alfo  bie  Entfernung  einer  j 
burd)  i  gebacken  wagered)ten  t?on  einer  g(eid)(aufenb  burd}  k  I 
geljenben,  auf  bem  näd)f?en  SEBege  meffen  würbe. 

14.  Söei  ben  nun  folgenben  giguren  5  unb  6  wirb  I 
alles  in  fcorbenannter  2Beife  t?on  bem  Selker  beim  SSorjeidjnen 
an  ber  Sßanbtafel  angegeben  werben  fßnnen,  wobei  man  nur 
barauf  ju  fefyen  Ijat,  baß  ber  @d)üler,  burd)  fcorljerigeS  23erücf* 
ftd)tigen  ber  anr  weiteren  feitwartS  ober  nad)  oben  gelegenen 
Sl)eile  ber  gigur,  bie  95reite  unb  §>6l)e  berfelben  für  eine  gute 
©ntfjeidmg  beS  Raumes  auf  feinem  Rapier  gehörig  berüdftcfytige. 

23eim  3eid)nen  biefer  giguren  wirb  nun  ben  <3d)ülem  ber 
Oebraud)  beS  gabenS  beim  SBijtren  gum  2lbfd)ä£en  ber  gefun* 
benen  breiten  unb  §öl)en,  fdjon  jiemlid)  geläufig  geworben 
fein,  unb  man  fatm  j'e£t  ju  bem  2luffud)en  ber  tterf'ürjten 
©citen  ber  Körper  übergeben,  inbem  man  baju  mit  bem  ein* 
fad)en  SSürfet  ben  SInfang  mad)t. 

15.  gig.  7  a.  iOian  fWle  bie  beiben  SBürfe!  red)t$ 
unb  UnfS  fo  auf  bie  SSorberfante  beS  23rettd)enS,  baß  jte  auf 
jeber  ©eite  »on  ben  (Snben  ber  unteren  ©cala,  ober  ber  ©runb* 
Ii  nie  AB,  wie  wir  fte  je|t  immer  nennen  wollen,  um  einen 
Sßürfel  jurücf  bleibt,  tamit  für  jebe  möglid)e  H\\\id)t  ber  ©d)ü* 
ler  geforgt  tf.  9?ad)bem  nun  bie  geometrifdjen  33orberflctd)en 
beiber  Körper  aufgezeichnet  ftnb,  laffe  man  t>on  ben  ©djüleru 
juertf  bie  t>erfürjte  SSreite  berjenigen  @eitehanfui)t  befiimmen, 
bie  Don  ben  meiften  juglefd)  gefeljen  werben  fann,  j.  23.  A  in 
%\$.  7  a,  inbem  man  fte         anleitet,  if)ren  gaben  in  bem 


—    61  — 


ganj  duSgeflrecften  2(rm  fenfrec&t  fo  jwtfdjen  ba$  3tuge  unb 
ben  ©egenflanb  ju  fyütm,  bau  beim  SBijtren  bie  jurücf  liegende 
fenfredjte  ©renje  ber  Seitenfläche  3,  4  Don  bem  gaben  gebeeft 
wirb,  unb  berfelbe  folglid)  mit  ber  befagten  Sinie  ganj  jufam* 
men  fällt,  was  ober  mir  bann  gefd)ef)en  fann,  wenn  man  ba* 
bei  ein  Sluge  fd)ließt,  »nb  Äopf  tmb  Sogen  in  unöeränbertcr 
Sage  I)ält.  ©iefer  fo  gehaltene  gaben  bilbet  mm  gleid)fam 
eine  SBeriängerung  ber  juruef  Iiegenbcn  fenfrec&ten  ©ränje  ber 
glädje  m  3,  4,  unb  burdjfdjneibet  nad)  unten  bie  Dorberc 
STante  be$  33rettd)en«,  ober  bie  ©runblinie  AB,  in  4  an  einer 
©teile,  bie  nun  ber  ©d)üler  an  ber  gegebenen  ©cala  als  beu 
Sl)eil  eine«  SSBürfelS  feid)t  abfd)ä§en  fann,  inbem  er  fefifieflt, 
um  wie  Diel  nun  bie  an  jtd)  würfelbreite  ©eite  ber  gläd)e  A 
fdjmaler  erfcfyeint,  für  weldje  Derminberte  ©reite  ber  gladje 
wir  j.  23.  Dom  5Punft  2  aus  nad)  UnU  l)in  f  SBürfel  2lbfranb 
gefunben  l)ätten.  ®eu  gleiten  Sfyeil  fucfyt  ftd)  mm  ber  ©d)üler 
an  ber  Derfleinerten  SKafetnttjeilung  ber  ©runblinie  AB  auf 
feinem  <J)apter,  unb*  emdjtet  ()ier  in  4  eine  fenfred)te  fd)^ad) 
punftirte  Stnie,  ungefähr  Don  ber  §öi)e  ber  Dorbereu,  wobttrd) 
er  nun  eine  rid)tige  93reitenbeflimmung  für  ben  juruef 
liegenben  oberen  (Scfpunft  gefunben  tjat,  ju  beffen  geft|Mung 
in  ber  angegebenen  fenf rechten  aber  nod)  bie  ^)öl)enbe|lim* 
mutig  l)inju  fommen  muß,  nel)tnlid)  bie  ©teile,  wo  eine  wage« 
red)t  burd)  biefen  Spunft  $ei>ad)U  Sinie  ftd)  mit  ber  erflgenann* 
ten  treffen  wirb,  in  weld)em  3ufammentreffen  bann  ber  gefugte 
(Stfpimft  liegt,  ©er  @d)üler  Dt'ftrt  l)ier,  mttteljl  beS  wagered)t 
auf  bie  jurütf  liegenbe  obere  ßefe  ber  ©eitenanftd)t  beö  Sßrper* 
in  3  gehaltenen  gaben«,  um  wie  Diel  tiefer  btefe  ©de  gegen 
i  bie  forrefponbirenbe  obere  6de  ber  95orberfldd)e  1,  an  ber  Sinie 
1,  2  fyerab  liegt,  unb  fd)ä§t  ben  £5l)enab|?anb  beS  fünfte«  1 
!  über  3  an  ber  Stnie  1,  2,  nad)  einem  bejltmmten  23rud)tl)eil 
!  ber  SBüffellange  ab,  weldjer  l)ter  j.  23.  i  SBurfel  betragen  würbe, 
|  worauf  er  ben  gleichen  £l)eil  an  ber  betreffenben  (Seite  ber 
jSBorbetf  ädje  beS  SBürfelS  auf  feiner  $tii)n\mfi  fa  5  angiebt, 
unb  baö  SBilb  beS  wageredjten  gaben«  burd)  eine  j'd) wad)  punf* 


62  — 


tirte  Sinie  auf  bem  Rapiere  nad)  Kirfs  l)in  fo  weit  fort  füfyrt,  | 
bis  bie  cvflgefud)te  fenfred)te  25reitenbefiimmung  in  3  getroffen  l| 
wirb,  ba  man  beim  bie  beiben  fünfte  3/  1  burd)  bie  obere j; 
©eitengranje  be£  ÄorperS  verbinbet,  woburd)  tiefe  Sinie  \>ic\ 
richtige  fd)räge  Neigung  erhalten  wirb.  3n  gleicl)er  SBeifej 
werben  nun  and)  von  ben  @d)ütern  bie  ifyrem  ©tanbpuirfte  nad)  j 
etwa  für  fte  ftd)tbar  werbenben  2lnftd)ten  ber  nad)  außen  ge*j 
fefyrten  SBürfelfeiten  befltmmt,  wie  j.  23.  fyier  in  gig.  7  a  an  i 
ber  g.lädje  C. 

16.  %üv  bie  mefyr  red)t$  von  ben  aufgeteilten  S\ör*  I 
pern  jt§enben  @cf)ü[er  wirb  nun  ber  Se^rer  biefe  ßrflärung  an 
Seite  B  gig.  7  b  wieberf)o(en  muffen,  ba  bann  bie  @d)üler  wieber  I 
in  vorgenannter  SBeife  bie  gefunbene  verminberte  ©reite  ber  ©ei* ' 
tenanjtdjt,  nad)  ben  bemerften  33rud)tl)ei(en  eines  SBürfelS,  in 
weld)em  fte  ben  ©urd)fd)nitt  be$  gabenS  an  ber  ©runblinie 
beobachteten,  beffimmt  abfd)ägen  unb  angeben  muffen,  wobei  mau 
if)re  ©enauigfeit  im  SSiftreji  febr  berid)tigen  fann,  wenn  man 
jte  aufmerffam  mad)t,  wie  ftd)  nun,  ber  SHeifyefolge  ber  @i|enben 
nad),  herauf--  ober  IjerunterwärtS,  ber  angegebene  23reitenraum 
entweber  vermehrt,  ober  verminbert,  unb  bap  bies  2lb*  ober 
Suneljmen  ber  perfyeftivifd)en  ^Breiten  at(mäf)Iig  in  einem  ge* 
wiffen  93erl)ältnip  tfatt  jtnbet,  je  nad)bem  ber  ?pia§  ber  @d)ü« 
ler  meljr  ober  weniger  red)t$  unb  (itrfs  von  ber  gigur  ab 
fein  wirb. 

17.  JDie  ber  SDtitte  be$  95rettd)en6  gegenüber  ft|en* 
ben  ©d)t'Uer  werben  nun  2fnjtd)ten  von  ben  beiben  innern  (Seiten 
be$  SBürfelS,  wie  g.  33.  B,  A  in  gig.  7  c  entwerfen ;  unb  aüe  biefe 
<Srfd)einungen  werben  bie  @d)üler  von  felbft  auf  bie  23eob* 
acfytung  füljren,  bap  e$  an  ber  SSanb,  bem  S^ner  gegenüber, 
für  benfetben  einen  gewijfen  $)turft  geben  muffe,  von  weld)em 
aus  bieS  SBermebren  ber  33reitengrßpe  beginnt,  unb  tiefen  ^)unft 
lel)re  man  bie  @d)üler  nun  nafyer  fennen,  inbem  man  il)nen 
jeigt,  bap  berfelbe  in  einer  von  bem  Süige  gerabeauSgeljenben, 
weber  redjts  noef;  linf'S,  weber  nad)  oben  nod)  nad)  xmten  ab* 


—    63  — 


weid)enben  £inie  Hegt,  unb  man  fanft  für  bas  Shtfjtnben  tiefet 
SPunffc^  an  ber  km  Siu^e  gegenüber  liegenben  Sßanb  ben  (Sd)ü* 
lern  baburd)  einen  SBegriff  geben,  baß  man  fte  it)ren  3Mei(Iift 
in  bem  weit  ausgetreten  2trm  fo  feor  bas  2luge  halten  l#ft, 
baß  bie  Sange  beS  (Stiftet  gang  öerfdjroinbet,  unb  nur  bie 
©nfe  beffelben  als  ein  großer  runber  spunft  erfcl)eint. 

18.  3^  fafl*  mrtn  Untencfoieb  ber  gefttn* 

benen  ipöfyen,  burcl)  bte  Slngaben  ber  @d)üler,  nad)  bem  Der* 
fd)iebenen  Slbjlanbe  ber  ^)lät$e  ftd)  fyerattSfiellen,  intern  man  ba* 
bei  ftnben  wirb,  tag  bie  gunad)ll  ftgenben  unb  perfönlid)  flein* 
flen  @d)üler  einen  großem  SlbjlanbSraum  jvctfd)en  1  unb  5 
angeben  werben,  als  bie  entfernt  ftgenben  unb  größeren,  webet 
bie  evfleren  bie  Sinie  1,  3,  nad)  l)inten  jlärfer  l)inabgeneigt  als 
bie  letzteren  erblicfen  muffen,  woburd)  ftd)  für  bie  öerbeefte 
£)berfläd)e  beS  SBürfelS,  burd)  Angabe  beö  einen  (gdpunfteS  in 
3,  eine  tneljr  ober  minber  große  33reite  betfelben  befiimmen 
wirb,  je  nad)bem  biefe  gläcfye  gegen  ben  2tugpunft  ber  (Sd)üler 
mel)r  ober  weniger  l)od)  |?el)t.  Um  bteS  nod)  mefyr  ju  Der* 
teutlidjen,  net)me  ber  £ef)rer  ben  Söürfel  in  bie  ipanb,  unb 
bewege  tl)n  langfam  fcon  feiner  (Stelle  gerabe  aufwärts,  wobei 
er  bte  <Sd)üler  mittel)!  beS  wagered)ten  gabenS  becbad)tm 
läßt,  wie  nun  ber  2Jb|lanbSraum  jwifcfyen  1  unb  5  immer 
größer  wirb,  folglich  bie  üerbedte  £)berj!äd)e  immer  breiter 
werben  würbe,  auf  weld)e  @rfd)einung  man  aud)  bei  ber 
nun  jtdjtbar  werbenben  UnterflhJcfye  beS  SBürfelS  aufmerffam 
madjen  fann.  9hm  bewege  ber  Sefyrer  aud)  ben  SBürfel 
fettwärtS,  unb  geige,  wie  bei  ber  2lnnäl)erung  ber  (Seiten* 
<Jäd)e  an  einen  gereiften  SPunft,  bie  glasen  immer  fdjmäler 
erfdjeinen  werben,  bis  fte  für  baS  2(uge  gang  üerfd)wtnben,  unb 
nun  bei  fortgefegter  ^Bewegung  beS  ÄörperS  bie  glädje  ber  an* 
bem  (Seite  ftcljtbar  gu  werben  anfängt,  beten  breite  bei  immer 
weiterer  Entfernung  t>on  bemerftem  fünfte,  wieber  in  bemfel* 
ben  ©rabe  gunimmt.  Stuf  biefelbe  @rfd)einung  fül)re  man  fte 
aud)  bei  ber  Bewegung  beS  SBürfelS  nad)  unten,  inbem  man 


—    64  — 


tri  biefev  6rfl3rung  t>ic  OberfTa^e  ber  3eid)nenbäd)er  ber  @d)ä< 
ler  gu  £ülfe  nimmt,  wo  bann  jeber  biefe  gläcfye  in  ber  Dom 
Sehrer  angegebenen  SSeife,  fowobl  nad)  red)t$  unb  linfs,  als 
nad)  oben  tmb  unten  t?on  feinem  Singe  aus  .bewegt,  unb  babei 
beobachtet,  wie  aud)  bei  ber  Entfernung  ber  glädje  unter  ben 
Stugpunft  baffelbe  gunehmenbe  33reiten&erhä(tniß  ftd)  ergiebt. 

§>ierburd)  wirb  man  ben  35egriff  be$  Slugpunf  te$  bei 
ben  (Schilfern  fejljMen,  unb  ihnen  ba$  @efe§  einprägen  fönnen, 
baß  i'ebe  Entfernung  einer  gläd)e  t)on  bem  2lug* 
fünfte,  wenn  folche  in  gleicher  SBeite  Dom  2luge 
be$  3etc^ner aufwarte  ober  abwärts,  nad)  ber 
einen  ober  ber  anbern  (Seite  ^in,  .jiatt  finbet,  eine 
SBermefyrung  ber  breite  ber  glasen  bewirft,  fo  wie 
baß  umgefel)rt  bei  Annäherung  ber  §fäd)en  an  befagten  ?Punft, 
eine  Skrminberung  ber  perfpeftwifdjen  23reitenanftcht  berfel* 
ben  erfolgt,  bis  tiefe  Greife  im  Slugpnnft  felbfi  gänglid)  t?er* 
fd)winbet. 

Um  ihnen  atteS  hier  ©efagte  burd)  bie  2lnwenbung  mehr 
jur  ©eutlichfeit  gu  bringen,  jMe  man  nun  gtg.  8  auf,  wo  bie 
gälfe  ber  vorigen  gigur  nod)  anfdjaulidjer  werben. 

§.  19.  §ter  in  gtg.  8  a  wieberhoft  ftd)  bie  vorige  §i* 
gur  mit  bem  3ufa|*  *lne$  i^ei  SBürfel  \)ol)cn  Körpers,  unb 
es  wirb  wieber  bie  geometrifcfye  93orberpd)e  be$  5lörper$  guerjt 
aufgegeidjnet  werben  muffen.  ©ann  laffe  man  biejeluge  nad) 
innen  gefefyrte  (Seite  ber  §(äd)e,  weld)e  Don  ben  meinen  @d)ü* 
lern  gugfeid)  gefel)en  werben  fann,  wie  t)ier  g.  33.  A  unb  D  an 
bem  Körper  red)t£,  perfpeftitnfd)  geidjneu,  unb  jwar  guerjt  bie 
fcerfürgte  gladje  A  auffudjen.  ©er  @d)ü(er  hafte  ben  gaben 
fenfred)t  burd)  ben  SPunft  3  in  $(äd)e  A,  unb  merfe  ben  S^eil, 
wo  ber  gaben  bie  ©cala  ber  ©runblinie  burd)fd)neibet,  g.  33. 
in  4  an,  wo  er  bie  fenfrechte  3,  4  bis  gu  einer  Sptye  erriri)tct, 
bie  mitteffl  be$  burd)  3  gehaltenen  gabenS  an  ber  Sinie  1,  2 
in  5  abgefd)ä§t  wirb.  9?ad)bem  bie  gefunbenen  fünfte  burd) 
£inien  fcerbunben  ftnb,  unb  jeber  ber  ©rijüler,  feinem  @fanb> 


—    65  — 


jninfte  nach,  diejenigen  Steife  eines  SBürfelS  rid)tig  abgefegt 
l)at,  in  benen  bie,  mittelfi  be$  gabenS  gebilbeten,  burd)  tyxmU 
3  gebauten  fenf*  unb  wagered)ten  ^ülf^Ifnien  einfdjneibcn,  gehe 
man  gut  glad)e  D  über,  beten  23reitenbejlimmung  man  lieber 
mittel)!  beS  fenfred)t  auf  7  gehaltenen  gaben*,  bei  beffen 
fdjneiben  in  9,  an  bei*  obem  23orberfante  be6  SBürfelä  in  1,  0 
ldd)t  abfragen  fann.  §ier  (äffe  man  bie  ©d)ü(er  befonberS 
barauf  ad)Un,  welches  SJerljaltnifJ  beS  S3reitenraumeS  ftd)  beim 
93ijtren  für  biefe  gläd)en  ftnben  wirb,  inbem  ftd)  bei  genauem 
23ergleid)en  geigt,  bafS  bie  93veite  ber  gläd)e  D,  im  SSerhaltniß 
gur  g!ad)e  A,  etwas  gugenommen  l)at.  $lm  laffe  man  bie 
§6t)enbe(]immung  beS  fünftes  7  angeben,  tmb  bie  (Sdjüler  ben 
tlnterfd)ieb  beS  2lbf?anbSraumeS  beobad)ten,  ber  ftd)  in  bem 
Sieferliegen  beS  fünftes  7  gegen  6,  im  SSergleid)  mit  bem 
geringeren  2lbfianbe  beS  fünftes  3  unter  1  ergiebt,  wo  bann  bie 
£inie  6,  7  etwas  ffärfer  ^erabgeueigt  erfd)einen  wirb,  als  1,  3. 
Sftan  fann  hierbei  ben  Slnfängern  gu  mehrerer  ©enautgfeit  be* 
l)ülf(id)  fein,  wenn  man  auf  ben  betreffenben  ©enfredjten,  g.  f$d 
1,  2  unb  6/  0,  an  ben  Körpern  burd)  Äreibeflrid)e  ^a!be  imb 
viertel  SBürfel  angiebt,  bamit  befonberS  bie  weiter  entfernt  ft§en* 
ben  rid)tiger  i>ergleid)en  fönnen.  Sur  fo!d)e  @d)ü(er,  bie  am 
weiteren  rechts  fcon  ber  gigur  ft|en,  wirb  ftd)  aud)  wcl)I  ned) 
eine  fd)male  2lnjtd)t  ber  auswärts  gefegten  ©eite  beS  jenfeiti* 
gen  gwei  SSürfel  hohen  Körpers  in  E  ftnben,  bie  nun  gleichfalls 
aufgejeid)net  wirb,  inbem  man  mit  bem  gaben  tnjtrt,  wie  weit 
ber  gurüctliegenbe  3>tmft  11  t>on  bem  fünfte  10  nad)  linfS  unb 
unten  ^in  entfernt  liegt.  9?un  l)o(e  man  baS  Obige  für  bie* 
j'enigen  Stüter  nad),  für  welche  bie  (Seiten  ber  UnU  aufgefrell* 
ten  Körper  gelegener  ftnb,  unb  verfahre  bamit  gang  in  vorher 
angegebener  SBeife,  wobei  man  aud)  bie  ©eite  E,  für  @d)üler, 
benen  fte  ftd)tbar  werben  fann,  gleid)falls  berüefftchfigt,  mt 
j.  85-  in  gig.  8  b. 

9f  un  leite  man  bie  @d)üler  an,  ihren  gaben  nod)  einmal  f& 
feor  baS  2Juge  gu  halten,  baß  berfelbe  bie  Obergrängen  ber  gurücF* 
weid)enben  ©eitenflädjen  A  unb  B  in  1,  3  unb  6,  7  aenau 

5 


—    66  — 


becft,  baß  mau  bereu  Stiftung  nad)  unten  fyerab  mit  bem  gaben 
verlängern  fann,  wo  (Tel)  bann  jtnben  wirb,  baß  bie  Stnicn  1,  3 
unb  6,  7  ftd)  allmälig  einanber  nähern,  unb  in  einer  gewijfen 
©teile  ber  SBanb  äufammentreffen  werben,  ©afielbe  gefd)iel)t 
mit  ben  Stuten  10,  11  für  biejenigen,  benen  Seite  E  ftc^tbar 
wirb.  Siefelbe  @rfd)etnung  wirb  fiel)  auet)  für  foldje  ©dniler 
nad)fud)en  (äffen,  bie  gerabe  mittm  fcor  bem  25rettd)en  ft£enb, 
Don  beiben  (Seiten  innere  2fajtd)ten  fjaben,  wo  ftd)  bie  Stnteti 
ber  £)bergrän$en  von  red)t$  unb  ütlU-,  als  1  unb  3,  6  unb  7 
unb  1',  3',  6',  7',  gleid)fall$  nad)  unten  l)in  vereinigen  werben, 
wie  j.  95.  in  gig.  8  c  angebeutet  tfi.  ©tefen  2Jerfd)wmbung$* 
punft  ber  jurücfgeJjenben  Sinien  fann  man  nun  ben  @d)ü(ern 
mit  treibe  an  ber  ©teile  ber  SBanb  anbeuten,  wo  jeber  bem 
felben  erblicfen  muß/  woburd)  man  tfynen  juglcid)  einen  lebenbi* 
gen  SBegriff  bat)on  giebt,  wie  biefer  2lugpunft  <td)  jeberjett  nad) 
bem  ©tanbpunft  be$  3etd)ner$  rtd)tet,  inbem  bie  Stngabe  biefer 
fünfte  an  ber  SBanb  ftd)  immer  in  jtemlid)  gleichmäßiger  &\U 
fernung  in  jt|bretten  Siaumen  feitwarts  bewegen  wirb,  wäl); 
renb  bie  §of)e  beffelben,  je  nad)  bem  9?af)e*  ober  ßntferntftgen 
ber  (Schüler,  ober  nad)  bereu  perfönltd)en  ©röße,  ftd)  balb  l)öl)er, 
balb  niebriger  ftnbet. 

20.  £ier  mad)e  man  ben  ©djülern  nun  ba$  @e* 
fe§  redjt  einbrücElirf) ,  baß  alle  red)twinflig  auf  bie 
©runblinie  jloßenben,  <*lfo  alle  uon  ber  5afel 
au$  gerabe  l)inetngel)enben  unb  in  einer  wage< 
red)ten  ©bhte  befinbltcfyen  Sinien,  fie  mögen  oben 
ober  unten,  red)t$  ober  linfs  auf  bie  £afelfläd)e 
flößen,  fiefy  jeberjett  in  btefen  2lugpunft  vereint* 
gen  muffen,  woburd)  biefelben  perfpeftiDifd)  paral* 
lel  werben.  (33ergletd)e  bamtt  in  ben  hinten  angel)ängten 
5tnfang$grünben  ber  SPerfreftfoe  §.  4.)  9ttan  wieberl)ole  babei 
nodjmals  biejentgen  Regeln,  auf  weld)e  wir  beim  Slufjeidjnen 
ber  gtguren  7  unb  8  geführt  worben  ftnb,  wo  ftd)  ergab,  baß 
mittelji  eine«  fenf «  tmb  wagered)t  burd)  einen  jurttcfltegenben 


—    67  — 


tyunU  ber  gigur  gehaltenen  gaben«  eine  §btyn*  unb  fSnitm* 
beflimmung  biefe«  fünfte«  gefunben  werben  fann,  bie  auf  bem 
Rapier  be«  $ti$net?  burch  punfttrte  §>filf$luuen  lieber  an* 
QeimUt  wirb,  in  beten  Sufammentreffen  bie  ©teile  gu  befltm^ 
inen  ifr,  in  welcher  jtd)  gebauter  ^3unf't  auf  ber  @bene  ber  ©la«; 
fafel  geigen  müßte,  unb  baß  aud)  tiefe,  beim  SSiftren  gefunbenen, 
balb  größeren,  balb  geringeren  breiten  ber  jurücfweicfjenben 
Stächen,  ftd)  nach*  einem  gewifie»  ^Junf't  betfimmten,  ber  bem 
Sluge  be«  (2d)üler«  gerabe  gegenüber  an  ber  SBanb  angenommen 
würbe,  weld)en  ^unft  wir  ben  Slugpunft  nannten,  in  ben  Ijhu 
ein  alle  red)twinflig  auf  bie  23ilbfläche  tfoßenben  Sinien  Der* 
fchwinben  mußten. 

§.  21.  %t%t  fann  ber  Sehrer  gu  bem  2Iuffud)en  ber  Der* 
beeft  liegenben  ©rangen  ber  Äörper  übergehen,  wogu  er  gig.  7 
(ftel)e  Saf.  VI.,  gig.9)  nodjma!«  aufjMt,  unb  biefe  gigur  Don  ben 
(Schülern  fo  aufjeicfynen  läß t,  baß  feitwärt«  unb  unterhalb  ber 
gigur  ein  hinlänglicher  ^)apierraum  Dorhanben  bleibt,  um  hier  ben 
Slugpunft  ber  §tgur  mit  anbeuten  gu  fonnen.  Sie  Derbecften 
©rängen  werben  burd)  punfttrte  Sinien  Don  bem  Seljrer  auf 
ber  Safe!  nad)gefud)t  unb  erflärenb  mit  ben  ©d)ü(ern  befprechen, 
inbem  für  biefe  nur  iaiuxd)  ein  red)te«  93erjlehen  unb  ßin- 
bringen  in  bie  SSerbältniffe  ber  Slörper  ergielt  werben  fann, 
wobei  ftd)  bann  er(l  ber  große  9?u§en  ber  ^ter  gegebenen  per^ 
fyeftioifd)en  ©efe|e  l)erau$jletten  wirb.  3u9kW)  wirb  biefe« 
ein  treffliche«  SMtttel  fein,  ben  93erf?anb  ber  ®d)üler  auf  eine 
angenehme  unb  nü|(id)r  SBeife  gu  befdjäftigen,  unb  ihre  2(ufc 
merf'famfeit  in  Slnfprud)  gu  nehmen.  SBir  werben  alfo  nun 
hier  in  $ig.  9  guerjl  bie  ©teile  bejKmmen,  wo  fid)  in  bem  gu 
fud)cnben  fy\mH  9  ber  Dierte  fyvmtt  gur  Derbecften  £)bcrfläd)e 
ber  SB'ürfel  ji'nbet,  bereu  übrige  brei  ftd)tbare  ßnbpunfte  wir 
bereit«  in  ben  fünften  3,  1,  8  aufgegetd)net  ijüUih 

22.  ipiergu  muß  man  aber  bie  @d)üler  etfi  bauon  anfd)au* 
lieh  gu  übergeugeu  fuchen,  baß  wagered)te,  mit  berßbene 
ber  Safel  ober  mit  ber  ©mnbltnte  AB  gleid)lau* 

5* 


68  — 


fenbe  Sinien,  aucl)  auf  ber  S^i^nung  jeberjeit  tx>ic* 
ber  als  wageredjt  angegeben  »erben  muffen,  fie 
mögen  fid)  an  einer  ©teile  beS  93ilbeS  befinben 
wo  fie  wollen,  fo  wie,  bap  fenfrecfyte  Sinien  aud) 
immer  als  fenfredjt  auf  ber  3*td)nun3  erfdjeinen 
muffen,  in  weldjer  ©teile  beS  23tlbeS  fie  fid)  aud) 
immer  befinben  mögen. 

SSflan  fann  als  33eleg  l)ter$u  einige  SBeifpiele  aus  ber  Um* 
gebung  waljlen,  inbem  man  bie  ©d)ü!er  iljren  gaben  auf  ber« 
gleid)en  an  fcerfcfyiebenen  ©teilen  bejtnblicfye  Stuten  galten  lapt, 
woju  man  bie  ©ranjlinien  ber  ben  @d)ülern  entgegenjlefyenben 
©tubenwanb,  fo  wie  fömten  fcon  £ifd)en,  $l)ürrafjmen  it.  bgl. 
wäl)len  fann. 

ipiernad)  wirb  nun  ber  ©d)ü(er  leidjt  einfefyen,  baß  aud) 
bie  aus  bem  Sjtonft  3  nad)  red)ts  bin  fortgebadjte  Wintere 
©ränje  ber  fcerbeeften  £>6erftdct)e  beS  SBürfelS,  gleid)  beren  93or* 
bergranje  in  1,  7  wagered)t  bleiben  muß,  tmb  man  (äffe  nun 
aus  3  nad)  9  l)in  eine  pmftivtt  wagered)te  Sinie  btlben,  bie  man 
Dorläujtg  etwa  einen  SBürfel  lang  annehmen  fann.  2et$t  jeige 
man  ben  ©d)ü(ern,  bap  hiermit  jwar  eine  §»ßl)enbe(ltmmung 
für  ben  gefud)ten  vierten  (Scfpunft  ber  £)berfläd)e  gegeben  tfT, 
inbem  ber  SPunft  9  notfywenbtg  in  ber  wageredjten  Verlange* 
tttng  tton  3  aus  liegen  wirb;  baß  tnbeffen  nod)  eine  Bretten* 
beflimmung  für  biefen  tynittt  bttrd)  bie  fenfrecfyte  ©ränje  ber 
red)tS  abgefeilten  ©eitenfläd)e  beS  SBürfelS  fyinjufcmmen  muß, 
bei  beren  £ufammtmttftm  mit  vorgenannter  Sinie  fid)  ber  ge* 
fudjte  (Snbpunft  ftnbet,  nad)  weld)em  l)in  man  nun  von  7  aus 
bie  obere  ©eitengrän^  7,  9  punftirren  fann. 

2luS  bem  ^araffejfetn  ber  Stute  3,  9  mit  1,  7  fd)lo(fen 
wir  t>orf)in  auf  bie  9itcf)tung  ber  l)tnteren  ©ranje  ber  Ober; 
fläd)e>,  jefft  woöen  wir  aud)  aus  bem  SParaßelfetn  ber  beiben  | 
©eitengranjen  ber  £)berjläd)e  auf  bie  9füid)tung  ber  einen  t?er* 
tedt  liegenben  ©eitengränjen  fd)ltefien,  inbem  wir  wiffen,  bafi 
fceibe,  als  red)twinf(ig  auf  bie  Safel  ftogenb,  jtd)  nad)  bem  I 
Stttgpunft  ^injte^en  muffen,  wie  wir  bieß  in  §.  20  fcfyon  nä'ljer  j 


-    69  - 


befrachteten,  wcburd)  nun  tiefe  Sinsen  perfpeftimfd)  parallel 
werben,  unb  wonad)  jtd)  baS  @efe§  feff|Men  laffen  wirb,  baf; 
alle  u nte v  fid)  3 {einlaufende,  in  bi e  Siefe  beS  93ilbeS 
f)  i  n  ei  ngefyenbeS  inten  babur d)  perfpeftiöifd)  parallel 
werben  muffen,  baf  jte  fid)  enbltd)  in  einen  tyuntt 
Dereinigen,  weldjer  fhmft  für  bie  redjtwinflig  auf  bie  Safel 
ftofknben  Sinien  ber  Stugpunft  fein  wirb,  in  welchen  alfo  aud)  fyier 
in  unferer  gigur  bie  in  SJiebe  (lel)enben  ©ränstinien  verfd)Winben 
muffen.  Qiety  man  nun  aus  bem  gßunft  7  in  gig.  9  eine  putittitU 
Sinie  nad)  bem  2(ugpunft  a'  ju,  fo.  wirb  fo!d)ebie  Sinie  ber  £of)en* 
befiitmnung  ber  jurücfliegenben  ©ra.nje  ber  öberpdje  3, 9  in  9 
treffen,  wo  folgltd)  ber  gefudjte  vierte  ßcfpunf  t  liegen  muß.  93on  9 
aus  wirb  man  bie  Derbetft  liegenbe  fenfred)te  S?ante  leid)t  be* 
flimmen1  fönnen,  ba  fettige  ifjrer  $id)tung  nad)  utweranbert 
bleibt  uub  man  punftire  ba^er  aus  9  eine  fenfredjte,  unb  äwar 
fcorerft  nur  bis  auf  bie  ©ruublinie  Ijerab,  weil  jtd)  legt  ftnben 
wirb,  baf5  nod)  bie  SSejh'mmung  ber  Untergrabe  tiefer  $i\id* 
pd)e  beS  2BürfelS  fehlt,  inbem  wir  von  tiefer  nur  bis  eine 
jtd)tbar  werbenbe  ©eitengreinje  in  ber  Sinie  3/  4  feljen  fonnen/ 
wo  inbeffen  4  nidjt  ber  eigentlid)e  ßnbpunft  fein  wirb,  ba  fid) 
l)ier  genannte  Sinie  nur  fd)einbar  mit  ber  ©runblinie  trifft,  il)r 
eigentlid)er  ßnbpunft  aber  nicht  gefel)en  werben  fann,  ba  bie 
gleiche,  auf  welker  ber  SEBürfel  fleht,  l)pl)er  liegt,  als  baS  Slttge 
beS  3^hwrS.  SSir  l)aben  alfo  für  biefeu  $Punft  für  je§t  nod) 
ntd)ts  als  eine  33reitenbefrimmung  gefunben,  inbem  wir  ne^mlid) 
bie  Sinie  3,  4  burd)  eine  punftirte  £inie  um  etwas  herunter* 
wärtS  verlängern  fönnnen,  unb  um  nun  ben  eigentlidjen  (Snbpunft  « 
berfclben  in  10  ju  ftnben,  werben  wir  aus  2  eine  perfpeftwifcfy 
parallele  Sinie  mit  1,  3  nad)  bem  Sfugpunft  jtehen  muffen*  welche 
Sinie,  bei  ihrem  S>urchfd)nitt  mit  ber  unter  4  verlängerten  jVnfred)* 
ten,  in  10  ben  gefliehten  tymxtt  geben  wirb.  25on  10  gehen  wir  wa* 
gered)t  mit  ber  Untergrän&e  ber  $EücffIäd)e  nad)  rechts  fort,  bis 
wir  bie  fenfred)te  9,  8  in  8  treffen,  worauf  wir  tiefen  fymxtt 
mit  11  burd)  eine  punftirte  gerabe  Sinie  »erbmten,  weld)e  bie 
Untergrab  ter  Derbecften  ©citenflädje  redjts  btlbef,  bie  tu  tytit 


—    70  — 


Söerlängerung  aud)  in  ben  2lugpunft  treffen  wirb,  ©ie  fünfte 
2,  10,  8,  11  würben  alfo  ben  ©rttnbriß  be$  SBürfel^  be|tinu 
tuen,  ober  aud)  eine  2fnftd)t  t>on  ber  unteren  gtädje  beffelben 
fein,  wenn  ba$  83rettd)en,  worauf  er  flehet,  burd)|td)tig  wäre, 
ober  ber  SBürfel,  nad)  oben  befeffigt,  frei  in  ber  Suft  fd)webte. 
(Sine  mittlere  ober  entgegengefe§te  2Jnftd)t  ber  gigur,  wie  fte 
bie  @d)üler  nad)  il)ren  i?erfd)iebenen  ©tanbpunften  fyaben  fon* 
nen,  wirb  nun  ber  Sefjrer  aus  bcm  l)ier  ©efagten  wol)I  fdjon 
ju  erläutern  wiffen. 

23.  9?ad)bem  bie  @d)üler  l)ierbei  einen  teutlt^eit 
Segriff  ba^on  erlangt  l)aben,  baß  alle  irgenb  Dorfommenben 
fenf*  unb  wagered)ten  Stuten  aud)  auf  ber  perfpeftit>ifd)en  Seid)* 
nung  tfjrer  9?id)tung  nad)  tuweranbert  bleiben  muffen,  unb  baß 
bie  gerabe  in  ba$  23tlb  l)tnetngel)enben,  ynter  ftd)  parallelen  Stuten 
baburd)  perfpefttmfd)  parallel  werben,  baß  fte  ftd)  einem  ge* 
metnfd)aftlid)en  95erfd)wtnbung^punft  juneigen;  fo  laffe  man  nun 
biefelben  bie  2fuf|iellung  in  gig.  8  (ftel)e  §ig.  10)  wiebertjolen, 
unb  felbige  burd)ftd)tig  seidjnen,  inbem  man  fte  hierbei  eine 
anbere  2trt  be$  Sluffudjcnö  ber  t>erbecft  licgenben  fünfte  le^rt, 
bie  fünftig  in  äljnltdjen  gä'Uen  fcorjüglid)  angewenbet  werben 
foll,  ba  e$  ntd)t  immer  t|unlid)  iff,  ben  S3erfd)winbung$punft 
auf  bem  Rapier  an$ufe|en,  unb  bie  betreffenbeii  Sinien  nad) 
felbtgem  l)tn  $u  äicl)en,  befenberS  ba  wir  in  ber  golge  ben  SD^ap* 
flab  für  bie  giguren  fo  groß,  als  e<?  bem  üorfyanbcnen  Rapier* 
räum  nad)  nur  immer  mögltd)  ijr,  annehmen  werben. 

Sn  biefer  §igur  wirb  ber  SBürfel  A,  feinen  tterbecften 
©ränäen  nad),  juerft  gefud)t,  tnbem  man  nun  bie  @d)ü(er  anleitet, 
an  ifyrer  perfpeftimfd)  rid)tig  gefertigten  3eid)nung  bie  wagered)te 
SMdgränje  ber  fcerbed'ten  £)berffad)e  baburd)  ju  ffnben,  baß  man 
aus  3  parallel  mit  1,  0,  alfo  wagered)t,  eine  Stute  fortjiel)t/ 
biö  biefelbe  ben  ^unft  9  fenfred)t  unter  7  trifft,  pv  bie  2lrt, 
tu  welcher  alle  bergletd)en  ntd)t  ftcfytbare  Stuten  m\  ben  @d)u* 
lern  auf  ber  3^'d)nung  angebeutet  werben  füllen,  fei  hierbei  noef)* 
maB  angemerkt,  baß  foldje  oerbeefte  ©ränjeu  immer  burd)  fein 


—    71  — 


punftirte,  ganj  fdjmdjc  fiinien  6ej*ic&net  werben  muffen,  um 
für  ba$  Sluge  bie  93erwed)felung  berfelben  mit  ben  fidjtbavm 
©ränjlinien  gu  oermeiben,  unb  fo  SSerirrttngen  oorjubeugem 
ge|t  gel)e  man  unter  9  fenfredjt  Ijerab,  unb  laffe  bie  ©cfyüler 
ben  $)unft  8  babttrd)  beffimmen,  baß  man  tl)nen  geigt,  wie 
fenfred)te,  gletd)getl)etlte  Sinien,  notljwenbig  bei 
il)rcm  Sutüdtvttcn  and)  gleid)  große  9Jiaßtfyeile  er* 
galten  werben,  ba  alle  ©tücfe  berfelben  nur  immer 
aH  gleid)  weit  Dom  Sluge  beS  3*td)ner$  entfernt  an; 
genommen  finb,  was  aud)  für  bie  wagered)t  parale* 
len  ber  gtgur  gilt.   @old)e  9ttaßtl)eile  werben  aber,  obwol)l 
unter  ftd)  gleid),  bod)  oon  ben  gleidjen  SKaßen  auf  ber  SSorber* 
pcid)e  oerfd)teben  fein  muffen,  je  nad)bem  fte  ftd)  mef)r  ober 
weniger  von  ber  ©runbtinie  entfernen;  benn  wenn  wir  gefel)en 
Ijaben,  baß  alle  ftd)  in  ba$  SSilb  l)tnein  erffreefenben  Sinien  ba* 
burd)  perfpeftiotfd)  parallel  werben,  baß  fte  ftd)  nad)  hinten  ju 
in  einen  ^Junft  vereinigen,  fo  wirb  Ijierburd)  fd)on  bebingt,  baß 
alle  in  verfdjiebenen  Entfernungen  jwifdjen  jweien  folcfyer  Sinien 
gezogene  gerabe  Sinien  aud)  immer  fürje*  auffallen  muffen,  je 
näl)er  man  bamtt  an  bie  ©pi£e  be$  SBinfelö  (ben  Slugpunft) 
fommt,  jwifdjen  beffen  @d)enfel  man  bie  Stute  gejogen  l)at, 
@o  wirb  aud)  l)ter  j.  33.  bie  fenjfred)te  7/  9  f ürjer  fein  muffen, 
ale  6,  0,  weil  6,  7  unb  0,  9  perfpeftiiufd)  parallel  finb,  unb 
als  red)twinflig  auf  bie  ©vunNinie  fioßenb,  nad)  bem  Slugpunft 
l)in  jufamiwnlaufen  muffen,  weld)er  SPunft  a'  nun  bie  <2pi£e 
eine«  SBinf eis  ifl,  beffen  ©cfyenfel  a'  6  unb  a'  0  ffnb.  mit 
6,  0  gteid)(aufenbe  Stute,  bie  mel)r  nad)  ber  @pt£e  f)in  jwifd)en 
biefen  @d)enfeln  aufgertd)tet  werben  muß,  wirb  alfo  fleiner  erfd)ei* 
neu,  atö  6,  0,  unb  jwar  um  fo  mel)r,  je  weiter  fte  ftd)  von  ber  ge< 
nannten  Stnie  nad)  l)tnten  ju  entfernt  beffnbet.   ©je  Stnie  7,  9 
wirb  alfo  fürjer,  als  6,  0  erfd)einen  muffen,  unb  jwar  um  fo 
viel,  als  fte  e$  oermöge  tl)reS  3uuJ*^c*)cn3  t)0n  $afelffäd)e 
fein  muß,  unb  wir  werben  von  bem  Slbffanb  7,  9  auf  ben  gleid) 
ließen  2lbßanb  von  9,  8  rid)tig  fd)lteßen  f&nnen,  weil  wir 
auffen,  baß  an  ftd)  gleid)  große  Steile  fen?red)ter  Sinien  aud) 


~~    72  — 


bei  ifyrem  perfpeftfoifdjen  Surücfliegen  immer  norf)  unter  {Td)  als 
gleid)  groß  erfdjeinen  muffen.  Reiben  bie  @d)üler  auf  biefe 
SBeife  beit  tywtt  8  bejiimmt,  fo  laffe  man  j?e  nun  ben  ^Junft 
10  angeben,  inbem  ffe  bie  Sinie  3,  4  l)erunterwctrt$  fortfegen, 
bi$  10  wagered)t  mit  8  ju  jfefyen  fommt,  worauf  man  beibe 
fünfte  uerbinbet,  unb  fo  aud)  ofyne  Slugpunft  ben  pttfttUitiU 
fd)en  ©runbriß  be$  SBürfel*  rid)tig  gefunben  fyaben  wirb. 

SDian  Iaffe  nun  ben  @d)üler  üon  7  aus  bie  SRürfgrcinje  ber 
£)berfläd)e  be$  jwei  SBürfel  l)ol)en  ÄörperS  anbeuten,  wobei  man 
bei  23efiimmung  beS  fcerbeeften  ßcfyunfteS  berfelöen  in  13  wieber 
auf  ba$  ©efeg  füljren  fann,  bap  alle  gleid)  weit  jurücfgelegenen 
fenf*unb  wagered)ten  Sinienßüefe  gleicher  ©röge,  aud)  gleiche  93er* 
f'ürjung  erhalten  werben,  inbem  ba$,  wa$  wir  t>orl)tn  bei  ben 
fenfredjten  ©rangen  be$  SBürfelS  fanben,  eben  fö  für  bie  wage« 
redjten  Sinienjh'icfe  gilt;  beim  wenn  man  0/  9  perfpeftimfd) 
parallel  mit  1,  3  nad)  bem  Slugpunft  a'  giefyt,  fo  itf  a'  wieber 
bie  @$i§e  eines  SBinfelö,  bejfen  ©cfyenf  el  a'  1,  a'  0  fein  werben, 
tmb  jebe  mit  1,  0  gleidjlaufenbe,  ber  @pi|e  a'  näfjer  gelegene 
wagered)te,  wirb  fürjer  fein  muffen,  als  genannte  ginie,  je  nad)* 
bem  fte  ftct>  tneljr  ober  weniger  fcon  ber  ©runblinie  entfernt.  Sa 
nun  1,0  gleid)  ijl  ber  Sinie  6,0,  fo  werben  aud)  bie  Sinienjiücfe  9/8 
unb  3, 9  gleid)  lang  gemacht  werben  muffen,  ba  beibe  gleid)  weit 
f)inter  ber  Safel  jurücfliegen.  ©leid)erweife  fdjliepe  mau  mm 
twu  ber  ginie  3,  9  ober  7,  9  auf  bie  Sänge  ber  Sinie  7,  13/ 
unb  t?erbinbe  nun  ben  fo  gefunbenen  ^Junft  13  mit  14,  woburd) 
bie  ©ränjeu  ber  üerbecfteu  £)berpd)e  gegeben  jtnb.  93on  13 
gefye  man  fenfrecfyt  fyerab,  unb  trage  auf  biefe  ßinic  entweber 
ba$  Derfürjte  SSürfelmap  ber  9?üefjiäd)e  jweimal  fyerab,  bis  in 
*J)unf't  15,  ober  man  trage  baffelbe  SOTap  Don  8  wagered)t  Ijerüber 
nad)  15,  worauf  bann,  burd)  bie  SSerfcinbtmg  be$  genannten 
SJhmfteS  mit  16,  ber  ©runbriß  fcerüotljlanbigt  wirb. 

Sn  gleid)er  SBeife  »erfährt  man  mit  ben  Körpern  Kirf« 
(§0  $iß-  10  B)/  wo  bann  bei  biefen,  mit  ben  etfgenannten  gleich 
großen  unb  gleid)  weif  jurücf(]el)enben  ftorpern,  aud)  gleidje 
§6&en  für  bie  tterbetft  liegenben  ©ranjeu  ber  £>ber*  unb  Unter* 


—    73  — 


flSdjen  selten,  unb  wo  man  für  ben  gall,  baß  üon  bet  flußcvu 
(Seite  be6  jwet  SSürfel  l)cl)en  ÄfirperS  etwas  jid)tbar  würbe, 
nur  Den  11  au*  wagcred)t  ein  üerfürjteS  Sßürfelmaß  fort  tragen 
barf,  woburd)  tyuwtt  17  benimmt  wirb,  unter  weld)em  fenüred)t 
l)erab  baffelbe  SDiaß  jweimal  bis  in  ben  9>unft  20  fortgetragen 
wirb,  Don  wo  aus  bie  übrigen  fünfte  jtd)  in  t>orbefd)riebenet 
SBeife  leid)t  be)limmen  laffen  werben. 

24.  SBir  fonnen  atjo  aus  bem  25ivl)erigen  wieber  fo(« 
genbe  Siegeln  feflfMen:  baß  erft(id),  jebe  an  fid)  gleid) 
breite  §läd)e,  inbem  fie  fid)  uon  bem  3 ^ ^ n e r  ent* 
fernt,  fd)mäler  erfcfyeint,  unb  baß  folglid)  jebe  JU* 
vücUiegenbe  fenf*  ober  wagered)te  Sinie  gleichet 
Sange,  fürjer  werben  muß,  unb  jwar  um  fo  mel)r, 
je  weiter  fie  fid)  uon  ber  Safelflädje  entfernt;  unb  baß 
jweiteng,  an  fid)  gleid)  große  2)Zaßtt)eile  aud)  nut 
gleidje  SQerfürjung  erleiben,  wenn  fic  fid)  gleid) 
weit  Don  ber  Ebene  ber  Safel  entfernt  unb  mit  biefer 
gleidjlaufenb  befinben.   (@ielje  in  ^erfpeftioe  $.6,) 

Se|t  gef)e  man  an  biefer  gigur  normal*  alles  bisher  @e* 
fagte  mit  ben  (2d)ü(ern  grünb(id)  burtf),  um  il)re  begriffe  l)ier* 
über  mögficfyji  }u  Dert>olljtänbigen,  unb  iljnen  bie  aufgefunbeneu 
Siegeln  burd)  Stnwenbung  unb  2lnfd)auung  einjupragen. 
ben  l)ier  in  ben  giguren  9  unb  10  angebeuteten  Derbecfteu 
©rängen  ber  $örper,  wirb  ber  2el)rer  ein  Littel  jtnben,  ben 
@d)ü(ern  bie  fcermefyrte  ober  Derminberte  breite  ber  §läd)e,  je 
nad)  il)rer  2Innäl)erung  ober  Entfernung  Dom  2lugpunfte  nad) 
red)t$  ober  linfs,  nad)  oben  ober  unten  l)in,  red)t  bemerflid) 
ju  mad)eu,  unb  fie  bann  bei  23etrad)tung  ber  jurücf  weid)en* 
ben  glädjen  barauf  ju  führen,  baß  jebe  Entfernung  l)inter  bie 
gebadjte  ©lastafel  eine  23erminberung  ber  SSreite  ober  §>ol)c 
ber  gläclje  veranlaßt,  bie  für  gleid)  weit  jurürfliegenbe  glädjen 
gleidjer  ©reße,  aud)  immer  biefelbe  Sßerfürjung  ber  fenf »  unb 
wagcred)ten  ©ranjlinien  betreiben  t)erbei  führen  wirb. 

SltteS  bieS  witb  burd)  fragen  klebt,  bie  ber  £el)rer  fo  an 

■ 


—    74  — 


bte  ©d)üler  richtet,  baß  tiefe  fo  t>tel  als  möglid)  alles  felb|1 
fmben  muffen,  wobei  fte  aud)  fcavauf  wol)l  achten  fallen, 
baß  fte  beim  ©ur^ft^tig^i^iä  bei-  Körper  bie  ©teile  betr  oer« 
bctft  liegenben  fünfte  auf  mel)r  als  eine  2lrt  ftnben  fönnen, 
weburd)  man  il)te  Slufmerffamfeit  ftet*  rege  erhalten  wirb. 

§.  25.    g?ad)bem  bie  ©d)ttler  bie  iljnen  vorgetragenen 
erjien  perfpeftiMfd)en  ©efetje  wol)l  aufgefaßt  tjaben,  ließe  man 
nun  gig.  11  a  unb  b  cfuf,  bamit  bie  redjt'S  jtfjenben  (Schüler 
baffelbc  in  gig.  b  rornefymen  fönnen,  was  bie  KnfiS  jtgenben 
bequemer  in  gtg.-a  Jjaben,  bei  welchen  gtguren  nun  fdjon  ftcfyt« 
bare  Unterflacfyen-  ber  5törper  l)inju  fommen.    Um  nun  ben 
9Raßfrab  für  biefe  gigur  fo  groß  als  möglid)  jit  erhalten,  laffe 
man  bie  ©d)ttler  if)re  3eid)nenbüd)er  fo  fcor  ftd)  nehmen,  baß 
bie  furjere  ©ette  beS  23latte£  unten  liegt,  worauf  mitteilt  ber 
etwa  ein  bis  jwei       t>on  bem  unteren  (Snbe  unb  einen  3^tl  fcon 
jcber  ©eite  entfernt  ju  fegenben  gnbpunfte,  burd)  jwifcfyen  ijimin 
gefegte  ^ülfspunf te  eine  ©runbltnie  gebilbet  wirb,  bie  einen  Sfyeil 
ber  ©cala  an  bem  2lufflellung^brettd)en  t>or(!ellt.         läßt  man 
bie  ©d)ü(er  bie  aufgehellte  §tgur  wol)l  befrachten,  unb  mitteljl 
bc$  fenfred)t  Dor  ba6  Sluge  gehaltenen  gabenS  guerp  bfejenigen 
Linien  auffud)en,  bie  am  metjien  nad)  red)f$  unb  linfS  in  ber 
gigur  gelegen  ft'nb,  um  baburd)  ju  bejHmmen,  wie  ml  SBürfel* 
tljeife  wir  jur  §>er|Mlung  ber  gigur  auf  ber  ©rtmblinte  brau? 
d)en  werben,   ©»  wirb  ftd)  ftnben,  baß  wir  beten  Dier  fyaben 
muffen,  inbem  bie  93orberffäd)e  beS  ÄreujeS  brei,  unb  bie  eine 
@cttenanftd)t  be$  £juerbalfen$  ben  vierten  SBürfel  in  Slnfprud) 
nehmen  wirb.   SRan  laffe  nun  bie  ©runbltnie  AB  burd)  einen  I 
genau  in  bie  glitte  gefegten  $)unft  in  jwei  Hälften  tl)eilen,  I 
bereu  jebe  man  wieber  fyalbtrf,  fo  baß  m'er  gleite  Sfyetle  in  j 
berfelben  ent|lel)en,  weldje  %t)0im$$p\inttt  burd)  f leine,  ganj 
fdjwad)  angegebene  fenfredjte  sOuerjirid)Iem  bejeidjnet  werben. 
3cf>t  wirb  ber  geometrifd)e  Slufrip  be6  Slreujeö  fcon  ben  @d)ü; 
\m\  gejeid)nef,  bei  beffetr  (Stellung  auf  ber  ©runbltnie  aber 
wol)l  ju  berüdftdjtigen  tff,  baß  jeber  ben  feiner  5lnftd)t  nad) 


—    75  — 


erforberlid)en  Sftaum  für  bie  Ivette  ber  @eitenanftd)t  beg  Öuer* 
balfenS  burd)  greilaffung  be$  für  biefelbe  auf  bev  ©runblmie 
betfimmten  SBürfete  benuf (tätige. 

guerfi  wirb  nun  bie  @eitenanftd)t  ber  unteren,  jwei  SBürfel 
l)ol)en  (Säule,  ganj  tu  ber  früher  angegebenen  SBeife,  burd) 
eine  £öt)en*  unb  S3reitenbefHmmung  mitteilt  be$  fenf  -  unb 
wagered)ten  gabenä  in  a  gefud)t,  unb  au6  biefem  fünfte  eine 
fd)wad)e  wagerectjte,  aon  ungefähr  einem  Söürfel  Sange,  nad) 
b  l)üf  fortgetragen,  burd)  we(d)e  jugleid)  bie  perfpeftwifdje 
^Breite  ber  Unt'erjtc|t  benimmt  ift,  worauf  wir  bie  Sänge  biefer 
Sinie  ab  burd)  ben  auf  bd  an  ber  gigur  gehaltenen  fenfred); 
ten  gat>en,  mittelft  beffen  @mf  d)nitt$  in  bie*@cala  beS  33rett* 
d)en6  nad)fud)en  fönnen.  ©ie  @d)ü(er  errichten  nun  bd,  wo* 
bei  bie  £öt)e  be6  fünfte«  d  an  ben  Körpern  baburd)  benimmt 
wirb,  bag  man  mitteilt  be$  wagered)t  burd)  d  gehaltenen  gabenS 
an  ber  Sinie  ce  nad)fud)t,  wie  mel  berfelbe  unter  e  einfd)neibet, 
i.  53.  l)ier  in  z,  worauf  man  bie  @dtenanftd)t  beö  ÖuerbalfenS 
burd)  bie  Sinie  de  erganjt.  ©ie  ©ränge  ber  @eiteuanftd)t  be$ 
oberen  ÄörperS  wirb  fenfred)t  über  a  in  fg  liegen  muffen,  unb 
tt)r  oberer  gnbpunft  in  g  wirb  nad)  feinem  2lb|tanb  unter  i 
Diftrt  werben.  wäre  nod)  ^  anbete  ©tuet  ber  ftdjtbaren 
Unferfladje  be$  ÖuerbalfenS  ju  jeidjnen,  unb  jwar  l)ier  ber 
^)un?t  s  ju  bejtimmcn,  be)Jen  ipohenbeftimmung  imä  bereits 
burd)  eine  gortfetumg  ber  wagered)ten  ba  gegeben  ijt,  unb  eö 
wäre  nun  nod)  mitteilt  be6  fenfredjt  burd)  bie  betreffenbe  @cfe 
be£  Äörper*  gehaltenen  gaben«  bie  ©teile  gtt-  fud)en,  wo  ber? 
felbe  bie  Sinie  tr  in  x  burd)fd)neibet,  wonach  ftd)  ber  $hmft  s 
auf  ber  3eid)nung  (eid)t  befiimnien  laffeu  wirb,  ober  fad«  berfelbe 
für  ben  <3d)üler  üerbedt  läge,  burd)  bie  9\id)tuug  Don  r  aus 
nad)  bem  2lugpunfte  fyn,  fefijielfen  laffen  wirb. 

3^|t  lajfe  man  bie  @d)üler  bie  fcerbedt  liegenben  Seiten 
ber  Körper  anbeuten,  inbem  man  babet  mit  ber  Öberftäcfye  ber 
unteren  ©äule  beginnt,  unb  beim  53eftimmen  beö  fünfte«  v  bie 
8d)üler  aufmerffam  mad)t,  wie  j'e|t  für  bie  ganje  9iüc?ftäd)e 
ber  gigur  baffelbe  üerftirjte  Sßürfelmaß  gelten  wirb,  ba$  wir 


~    76  — 


leveift  in  ber -Sange  ba  unb  ad  gefunden  l)aben,  tteld)e  bcibe 
Sinien  auf  ber  Seidjnung  ffcl>  aud)  gleid)  lang  flirten  muffen, 
wenn  antitp  erjtgenannte  fünfte  rid)tig  mjirt  waren,  3l,gWd) 
wirb  (td)  ergeben,  baß  unter  gleidjer  SSorauSfefnmg  v  aud)  in 
bie  Sftitte  t>on  a,  s  fallen  muß,  inbem  bie  Derfürjte  Sinie  bs 
jtd)  gleichmäßig,  wie  er,  in  brei  gleiche  Sl)eile  jerfällen  wirb. 

3d)  l)offe,  baß  e$  nun  bem  Selker  nid)t  fdjwer  fallen  wirb, 
nad)  Anleitung  ber  Dörfer  gegangenen  giguren,  bie  übrigen  tfer« 
bebten  ©ränjen  t>on  ben  @d)ü[em  beßimmen  ju  lafTen,  unb  e$ 
wirb  jid)  bei  biefem  ©erfahren  für  biefelben  ba?  fo  Ijodjji  notl)ige 
Ginbringen  in  bie  räumlidjen  25erl)ältnijTe  ber  giguren,  unb  big 
barauS  l)er&or  gef)enbe  größere  @id)erl)eit  unb  SKicfytigfeit  beim 
2tuffaffen  unb  ©arftellen  ber  ftd)tbaten  i>erfv>ef ttüifc^en  ©ränjen 
berfelben,  balb  bemerflid)  madjen, 

26.  9?un  laffe  man  bie  @d)üler  aud)  eine  SBejetd)* 
mmg  ber  §läd)en  nad)  <&d)atk\\  unb  2id)t  burd)  eine  größere 
cber  geringere  ©tarfe  ber  fiinien  in  2fnwenbting  bringen,  unb 
jwar  fo,  baß  bie  (Sigenfd)aft  ber  gleite,  tljrer  33eleud)tung  und), 
burd)  bie  fle  umgreinjenben  Linien  auSgebrntft  wirb. 

©a$  2id)t  wirb  l)ierbei  immer  als  Don  linfs  unb  oben  fom* 
menb  angenommen,  fo  baß  alfo  bie  red)t$  unb  unten  beftnb* 
liefen  (Seiten  ber  Körper  beS  Sid)teS  beraubt,  folglid)  im  ©cfyat* 
ten  fein  werben,  unb  fold)e  @d)attenfiqd)en  fönnen  nun  ent* 
weber  fidjtbare  ober  tterbeefte  fein,  je  nad)  ber  (Stellung  be$ 
SeidjnerS  ben  giguren,  ober  ber  $örpev  unter  ftd).  Sie* 
f entgen  fid)t baren  <3d)attenflad)en  nun,  bie  ber  @d)üler 
auf  feinem  Rapier  perfpeftimfd)  richtig  aufgejeidjnet  f)at,  wirb  er 
burd)  ein  bunfleS  9Wnbd)en  umgränjen  müffen,  baö  wir  in$ 
fünftige  immer  burd)  bie  SSenennuncj  einer  »ollen  (Stärfe 
bejeid)nen  wollen,  unb  beffen  breite  jeberjeit  aus  bem  SJiauni 
ber  |td)tbaren  ©djattenffadje  fyeyauS  genommen  wirb,  woburd) 
alfo  bie  ©röße  ber  §läd)en  ganj  mweränbert  bleibt,  inbem  wir 
uns  babei  fcorjiellen,  baß  eigentlid)  bie  ganje  gläd)c  bunfel 
werben  müßte,  baß  wir  aber  Ijier,  um  fdjneller  511m  Siele 


77  — 


gelangen,  oor  ber  £anb  nur  cm  fd)male$  (Streiften  berfelben 
fyerauSnefymen,  unb  auf  tiefem  bie  Betonung  t>er  ganzen  $(ad)c 
ausbrutfen  wollen.  Um  bieg  nod)  mel)r  ju  Derbeutlid)en,  fann 
man  um  eine  $ Brperpcfre  feets  mit  Sireibe  ein  foIcfteS  $änbd)en 
bilben,  weldjeS  bann,  wenn  tiefe  §fäd)e  in  ben  ©Ratten  ge* 
(Mt  tmb  Derfürjt  Don  ben  (£d)ülcrn  gefel)en  wirb,  fd)on  bec 
SinienperfpeftiDe  jufolge  im  $utüä weisen  fcfymäler  werben  müßte. 

27.  Sei  einer  aufmerffamen  33etrad)tung  ber  @egeu* 
jjanbe  ftnben  wir  aber,  baß  jebe  ©djattenfläcfye  ba,  wo  (Te 
unferem  Stuge  am  näd)flen  if?,  aud)  am  bunfelffm  erfdjeinf, 
unb  baß  ffe  hingegen  bei  il)rem  3uriic!wrid)en  immer  etwa$  an 
ber  ©tarfe  tl)rer  JDunfetljeit  verliert,  unb  bie$  um  fo  mefyr, 
je  weiter  ffe  (Td)  Don  bem  2(uge  entfernt.  JDieS  rüfyrt  Don  ber 
tmnfligen  SMcfyaffenfyeit  ber  fiiiftmaffe  l)er,  bie  ftd)  groifcfyeti 
bem  2luge  be$  3^$n^$  ©egenjlanbe  beftnbet,  un& 
bie  bei  ifjrer  93ermet)rung  burd)  mitmt  $\\tüättettn  ber  %W 
d)en,  auf  bereu  (&d)Mmtcn  trübenb  einwirft,  b.  I).  benfelben 
fd)wäd)t;  weld)e  ßrfdjeinung  jtet)  ber  SDBirfung  eines  leisten 
SRebel*  im  freien  Dergleid)en  läßt.  SDian  fud)e  biefeS  nun  an 
ben  @d)attenjTäd)en  ber  3e<4ntfn8  taburd)  augjubrutfen,  baß 
man  bie  umgranjenben  Sinien  berfelben,  ba,  wo  (te  bem  3luge 
am  näcfyffen  liegen,  breiter  unb  bunfler  angiebt,  als  in  tl)rem 
3utmcfweid)en  Don  ber  SafelfJadje;  weldje  3lbnal)me  aber  freilid) 
für  furje  $wifd)ertraume  nur  im  geringen  ©rabe  jlatt  jtnbeu 
fann,  ba  bei  tiefer  Ijinein  gel)enben  giguren,  aud)  bie  am  weu 
fejlen  jurücf  gelegenen  ©ränjen  jtdjtbarer  ©djattenftä'cfyen,  bod) 
immer  nod)  als  Dotle  ©tärfen,  nur  im  Derminberten  @rabe, 
erfd)einen  muffen. 

28.  Siegt  eine  @d)attenjläd)e  fo,  baß  enfweber  bei* 
@d)ü(er  feine  2lnjTd)t  Don  berfelben,  feinem  ©tanbpunfte  nad), 
erhalten  fann,  wie  in  gig. IIb  bie  nad)  red)t$  gelegenen  glädjeu, 
ober  fielen  jwei  Sörper  fo  jufammen,  baß  jte  nur  burd)  eine  Sinie 
getrennt  jtnb,  woburd)  bie  @d)attenfeife  beS  einen  gleid)falls  eine 
Derbecfte  wirb,  wie  in  o,  q.  u.  f.  w.,  fo  ift  fein  SKaum  für  bie  Sßrett* 


—    78  — 


einer  Döllen  ©djattenltnie  sorljanben,  wenn  man  fcte  ©röße 
fcer  glad)en  nid)t  beeinträd)tigen  will,  unb  bie  SBefeidjnung  bev 
®unf'ell)ett  einer  folgen  ©ränje  bev  t> erbeuten  ©chatten« 
flad)e,  wirb  ftd)  anf  eine  mög(td)ft  fdjmale  aber  btinfle  Stute 
befcfyranfen  müffen,  bie  wir  fünftig  immer  als  l)atbe  (Stätte 
benennen  wollen,  unb  eine  fold)e£inie  wirb  ün$  alfo  aud)  ben  beffen 
SDiaßflab  für  bie  23reite  ber  gat^en  ©taife  geben  muffen,  tnbem 
ba$  ©oppelte  ber  erftgenannten  babei  in  ber  ß'd)tbaren  ©djatten* 
fläche  feinen  $pia§  ftnbet.  Steffen  fo!d)e  ©ränjen  jufammen* 
fioßenber  Körper  fo,  baß  fte  in  einer  jttrücfweid)enben  §läd)e 
liegen;  fo  nimmt  bie  fyalbe  ©tärfe  in  bemfelben  23erl)a(tniß  ab, 
wie  bie  ©tärfe  ber  ganjen,  unb  fo  würbe  ftd)  aud)  für  bie 
jurücfliegenbßen  ©teilen  einer  §igur  eine  foldje  Sinie  ju  ber 
Döllen  ©tärfe  immer  nod)  wie  l)a(b  jit  ganj  Debatten  muffen. 

§ür  ben  $all  beS  SufammentreffenS  Don  jwet  ftd)tbaren  ©cfyafr 
tenfläd)en,  wie  j.  33.  bier  in  A  unb  B  gig.  11  a,  wäre  nod) 
anjumerfen,  baß  man  bann  bie  breite  ber  Dollen  ©tärfe  nur 
einmal,  unb  jwar  aus  ber  unten  gelegenen  §lad)e  ß  nimmt, 
woburd)  ein  florenbeS  begegnen  jweter  Dollen  ©tärfen  Dermie* 
ben  wirb. 

29.  ©ie  beleuchteten  ©eiten  ber  giguren  werben  nun 
entweber  fo  liegen,  baß  fte  bie  auf  fte  fallenben  2ic&tfival)len 
auffangen  fonnen,  wie  bie  linfs  unb  oben  gelegenen,  ober  fo, 
baß  bie  2id)tflral)len  an  benfelben  Dorbeijlreifen,  wie  in  ber 
93orber*  unb  SRücf  flache  biefer  giguren  angenommen  wirb,  unb 
fte  werben  ftd)  bal)er  in  93oll(td)t*  unb  @treiflid)ffläd)en  eittl 
tl)eilen  laffen,  Don  benen  bie  lederen  fd)wäd)er  beleuchtet  fein 
werben  als  bie  erfieren.  ©ie  ©ränjen  ber  ©treif lid) U. 
flädjen  nad)  red)t£  unb  unten  bin  ftnb  im  23ovl)ergegangenen \ 
fd)on  enthalten,  aber  U)re  33egränjung  nad)  X\\\U  unb  oben  l)in 
wollen  wir  als  eine  93t er te  1(1  ärf e  bejeietynen,  bereu  Sunfeld 
IjeitSgrab  alfo  fdjon  burefy  tfyre  Benennung  beflimmt  i|l. 

30.  ©ranjen  Dolle  £td)tfläd)en  mit  Dollen,  im 
3«fammentreffen  einer  linfS  gelegeneu  gtaclje  mit  einer  oberen, 


wie  j.  23.  in  Sig.  11  b,  g  unb  i,  fo  bleibt  feie  SBejeicfyming  bev 
Sinie  mö  gltd)  ff  fd)wad),  unb  nur  inbem  fte  jurücf  wetd)t, 
Cattn  fte  üon  ter  ©teile  g  an*,  wo  fte  bie  Sßtertefflatfe  ber 
jurücf  liegenben  ©citengranje  trifft,  mit  biefer  93iertelftärfe  be* 
ginnenb,  nad)  i|rem  fcorberen  ?)unft  jit,  eine  Weine  Slbjiufung 
bis  jtim  bellten  £id)t  ermatten,  wobttrd)  äugleid)  bie  beim 
3urü<fweid)en  eintretenbe  SBermmberung  ber  ©tärfe  be$  Std)ts 
für  eine  fo(d)e  gläd)e  angebeutet  wirb. 

SRan  macbe  l)ier  nod)  bie  ©d)ü(er  barauf  aufmerffam,  bat; 
jte  ba$  Sinienjiücf  a,  y,  e  in  §ig.  11  a,  nid)t  burd)  uoKe  (Stärfe 
bejeid)nen  bürfen,  wo$u  fte  oft  geneigt  jtnb;  fonbern  ba  bierbte 
ftcfytbare©d)attenfläd)e  jurücf  wetd)t,  fo  gehört  biefe  ©ränjlinte  ber 
üorberen  @treiflid)tfläd)e  an,  unb  befommt  alfo  S3iertelftärfe, 
©a  biefer  gall  oft  üorfommt,  fo  war  e$  nötl)ig,  beffelben  l)ier 
nod)  befouberS  jif  gebenden. 

31.  33i$l)et?  bebienten  ftd)  bie  @d)üler  nur  be$  23lei* 
jlifteS  jum  2lufjeid)nen  ber  giguren;  bie  SB'egcidjnung  nad) 
QdjMm  unb  Siebt  wirb  aber  am  beften  mit  febwarjer  treibe 
gegeben,  inbem  burd)  biefe  93ejeid)nung$art  ber  glädjen  ber 
@d)üler  ftd)  ntd)t  allein  burd)  bie  babei  nötige  gefdjicfte  33e< 
Ijanblung  ber  fd)warjen  treibe  im  iperfrellen  fauberer  Sinieti 
übt,  fonbern  bei  il)m  aud)  bierburd)  fd)on  eine  trefflidje  @m* 
(titung  für  ba$  fünftige  2Iu*fd)atttren  ber  g(äd)en  gemad)t 
wirb,  inbem  babei  ber  ©inn  für  Harmonie  unb  2(bfiufimg 
ber  Söne  fi'ct>  bilbet,  unb  für  bie  aufgejeidjnefen  gigureu 
ein  beffereS  §ert)or*  unb  gurücf treten  ber  Steile  ehielt  werben 
fann. 

9?od)  wäre  ju  bemerfen,  baf?  wir  bei  biefer  2(rt  ber  SBe? 
jetd)nung  tjon  ©cbatten  unb  £id)t  auf  bie  Don  ben  Körpern  ge* 
worfenen  ©d)lagfd)atten  nod)  feine  9tücfjtd)t  nel)men  Bnnen, 
fonbern  baß  wir  aud)  bei  foldjen  g(äd)en,  bu?  jwar  nad)  linft? 
unb  oben  liegen,  aber  bod)  burd)  bat>or  jleljenbe  Körper  Qertyttt* 
bert  werben,  ba$  £id)t  aufjufangen,  bie  obigen  Regeln  werben 
geltenb  machen  muffen. 


—    80  — 

32.  9?tm  laffc  man  an  ähnlichen  giguren  bie  @d)ü* 
Icr  jtd)  im  tlntetfd)eibcn  ber  gläd)eu  i()rer  25cleud)tung  naci) 
üben,  unb  fte  JebeSmal  für  bte  fragliche  @rän$e  bie  ba^in  ge* 
hörige  23ejeid)nung  burd)  bte  Sinienftärfe  angeben,  unb  ruhe 
bamit  burd)  grageu  unb  SEieberfragen  nidjt  eher,  als  bis  alle 
hierüber  ftd)  fcollfommen  Aar  geworben  ftnb.  9?ur  bann  erft 
gehe  man  ju  gig.  12  über,  wo  ftd)  bte  babei  fccrfommenben 
gälle  leid)t  aus  bem  23orhergel)enben  erklären  laffen  werben. 

211$  ~gig.  13  gebe  man  bann  bie  SlufjMung  gig.  2  aus  ■ 
Saf.  1.5  nur  lajfe  man  biefelbe  je|t  mit  ben  perfpeftwifdjen 
2lnfid)ten  jeid)nen. 

33.  3n  ben  giguren  14  a  unb  b,  bie  jugleid)  aufgehellt 
werben  müffen,  tamit  bie  @d)ü(er  ftd)  bie  günftigtfe  2Jnftd)t 
wäljlen  fönnen,  würben  bei  ben  fchräg  angelegten  Körpern  bie 
<Sd)ü(er  barauf  aufmerffam  ju  madjen  fein,  baß  bie  jurücfr 
weid)enben  ©ränjen  berfelben  in  1,  2  —  3,  4  u.  f.  w.  als 
red)twinf(ig  auf  bie  (gbene  ber  Safel  ffofknb,  gleichfalls  nad) 
bem  Slugpunft  l)in  tterfd)winben  muffen,  unb  bap  bie  Siniert 
4,  2  —  3,  1  unb  4,  6  —  3,  5,  a(S  in  gleid)laufenben  $läd)en 
liegenb,  auf  ber  S^nung  P^allel  laufen  werben,  was  aud) 
für  bie  in  $igur  15  unb  16  folgenben  5luf|Mungen  gilt,  m 
benen  alle  übrigen  fcorfommenben  gälle  aus  bem  &orl)ergegatu 
genen  leicht  ju  erflaren  fein  werben. 

34.  3n  gig.  17  ijl  ein  ©oppelfrettj  angegeben,  beffen 
oberer  Öuerbalfen  mit  feiner  fcorberen  g(äd)e  A  gleid)fam  aus 
ber  Safel  ^erauS,  bem  $ttd)Mt  entgegen  tritt.  9J?an  laffe 
hier  bie  @d)üler,  nad)bem  fte  ben. unteren  5l)etl  ber  gigur  ge* 
jeidjnet  haben,  aus  n  um  einen  SBürfel  l)erauf  bis  nad)  b  jlet* 
gen,  unb  nun  bie  2lbweid)ting  ber  Sinie  cd,  &on  ber  ertfge* 
nannten  nad)  red)tS  l)in,  burd)  ben  fenfreefet  auf  bie  betreffenbe 
Äante  beS  Körpers  gehaltenen  gaben  an  ber  (Stelle  ber  ©rttnb* 
linie  auffud)en,  in  weld;c  ber  gaben  bann  etnfd)neibet,  was  ^ter 
j.  2$.  in  e  gefdjeben  würbe.  9?ad)bem  auf  ber  <3cid)nung  aus 
bemfelben  $l)eile  ber  ©runbttnie  eine  fenfred)te  herauf  punftirt 


—    81  — 


ij?,  fo  fudje  man  ben  Slbflanb  be«  SPunFtc^  d  übet  bem  fünfte 
a  mittelfl  be«  burd)  d  wagerecht  gehaltenen  gaben«  an  ber 
gfaie  a  b  in  f  gu  beffr'mmen,  wa«  man  auch  für  ben  Sßunft  c 
an  ber  ginte  b  i  in  k  thut,  worauf  man  bann  uollenb«  bie  ^ev* 
fpeftimfdje  Seitenfläche  be«  Äörper«  in  m  ^erflettt,  wo  es  ftd) 
bann  ftnben  wirb,  baß  beten  am  meiflen  fcorgelegene«  (gnbe  tu 
cd  etwa«  großer  als  ber  angenommene  SRaßt&eil  ber  ©runbltnte 
fein  wirb,  inbem  tyter  bie  SJorberfläcfye  be«  Oiterbalfen«  bem 
Sluge  na^er  liegt,  all  bie  83orberfltäd)e  bet  anbern  Körper,  Sa 
aber  biefe  gtädje  A  parallel  mit  bet  ßbene  bet  Safel  i(l,  fo 
wirb  fte  auch  unöeranbert  als  ein  Öuabrat  erfdjeineu  muffen, 
fceffen  eine  (Seite  in  c  d  ünt  bereit«  gegeben  iji. 

§.  35.  Sie  Sufjletfungen  in  0{g,  18  a  unb  b  erfireÄen 
ftd)  nun  red)twinfltg  tiefer  in  ba«  23itt>  hinein,  al*  bie  vorigen 
giguren,  unb  werben  ganj  in  ber  früher  angegebenen  SBeife 
gejeichnet  werben  fönnen. 

§.  36.  ©a  eine  fortwährenbe  Uebung  im  geichnen  für 
bie  <3d)üler  burchau«  unentbehrlich  tff ,  inbem  fonft  ber  Swecf 
be«  Unterricht*  gar  nid)t,  ober  bod)  nur  fehr  utwollflänbtg  er« 
reicht  werben  würbe;  fo  muffen  für  bie  Swifdjenjeit  Ijäu$(id)e 
Ucbungen  aufgegeben  werben,  bei  benen  bie  @d)üler  ©elegen* 
heit  ftnben  folfen,  ba«  in  ber  klaffe  Erlernte  auf  eine  manntg* 
faltigere  SBeife  in  Slnwenbung  ju  bringen,  unb  ^ierju-  wirb  e« 
l)öcl)fi  mißlich  fein,  baß  ftd)  wo  möglich  jeber  @d)üler  ein  Mfu 
chen  mit  ben  tton  mit  oben  angegebenen  breijehn  Äörpern,  bie 
in  üerfleinertem  Sttaf  ftab  etwa  ju  Soll  Sicfe  anzufertigen 
jtnb,  anfchaffen  möge,  wa«  mit  fel)r  geringem  fiojlenaufwanbe  be* 
werfjMigt  werben  fann,  bamit  fte  nun  mittcljt  berfelben  bie  sorljer 
in  ber  klaffe  über  bem  SlugpunFt  frehenb  gejeid)neten  Figuren, 
je|t  aud)  al«  unter  bemfelben  gelegen,  rid)tig  bavfMen 
lernen,  wobei  man  ihnen  jeigt,  wie  jie  ftd)  bie  @ad)e  baburd) 
fel)t  erleichtern  fönnen,  baß  fte  ftd)  au  ber  längflen  Sante  be$ 
©cfyiebbecfete  i$vp  Ääftdjen«,  in  welchem  bie  Sßrper  aufbewahrt 
werben,  ober  aud)  auf  bem  umgefehrten  Safteten  felbjf,  an  bet 

6 


—    82  — 


längten  23obenfette  beffelben,  würfelgroße  Steile,  nad)  2lrt  ber 
©cala  am  großen  2tuffMungSbrettd)en  in  betr  ©cfyule,  ihren 
Derflctncrten  SBürfetn  gemäß,  <mjetd)nen;  wobei  fte  aud)  il)ren 
fünf  SBürfel  l)o()en  Slorper,  in  gleitet:  SBetfe  eingeteilt,  auf 
eine  @cfe  ber  SSorberfante  als  §öt)enmeffer  aufteilen  f önnen,  miti 
telft  weldjer  93orrtd)tung  fte  ftch  nun  bie  in  ber  Älajje  erftärten 
giguren  in  berfelben  2lrt  aufbauen,  unb  fte  aud),  als  unter  bem 
2lugpunft  gefehen,  Ieid)t  werben  aufjeid)nen  fönnen.  £)urd)  ein 
foldjeS  Verfahren  wirb  ftdf)  für  bte  f)äu$lid)en  Sirbetten  balb 
eine  red)t  erfreulid)e  Sicherheit  in  ber  Sluffaffung  funb  geben, 
unb  man  fann  iann  aud)  anbere  Heinere  ©egenftanbe  unb  @e* 
räthfdjaften  mit  93entt|ung  einer  foldjen  fenf*  unb  wagerechten 
©cala  jur  (§r(eid)terung  beS  2lufftnben$  ber  jurüdltegenben  fünfte 
berfelben,  üon  ben  @d)ülern  getanen  (äffen,  bis  fte  Uelnmg  unb 
©i3)erhett  genug  erlangt  fjaben,  bergleichen  ©egenftänbe  auf 
eine  freiere  Sßeife  auffaffen-  &u  fönnen;  wie  benn  überhaupt  für 
ba$  Sluffudjen  ber  £öhen  ein  aufgeteilter  §6l)enmeffer  nur 
bann  angewenbet  werben  muß,  wenn  eö  an  paffenben  Qinim 
jur  §tbfcha§ung  ber  §öhen  an  ber  gtgttr  felbft  fel)lt,  inbem  id) 
nod)  am  ©chluffe  beS  folgenben  Paragraphen  ein  Littel  angeben 
werbe,  aud)  auf  anbere  2lrt  fold)e  §ohenbefftmmung  ju  jtnben. 

§.  37.  Um  ^ierjn  aud)  in  ber  klaffe  fdjon  ben  ©d)ü* 
lern  einige  Einleitung  ju  geben,  laffe  ber  Sehrer  Don  benfelben 
fold)e  giguren,  bie  fte  bereits  auf  bem  33rettd)en  jlefyenb  per*  I 
fpeftwifd)  richtig  aufgejeid)net  fyaben,  unter  Beibehaltung  ber 
oben  gefunbenen  SSrettenbeflimmungen  für  bie  fcerfürjten  ©eiten* 
anflehten  ber  Körper,  nun  aud)  als  unter  ben  2lugpunft  gebellt 
annehmen,  wobei  man  in  folgenber  2trt  verfahren  fann:  SJian 
(äffe  \3on  ben  ©djülern  bie  2iuf|Mlung  Don  gtg.  7,  wie  in  , 
§tg.  19  angebeutet  ttf,  in  recht  fchwacften  Sinten  wieberfjofen, 
bamtt  bas  iatan  Slbjuänbernbe  (eid)t  jü  fcewerffMigen  fet),  unb  j 
nad)bem  jeber  feine  Slnftc^t  perfpeftwifd)  rid)ttg  attfgejeidjnet  i 
hat,  laffe  man  fte  annehmen,  baß  wir  bas  35rettchen  fammt  ben  1 1 
Körpern  an  ber  2Banb  gerabe  h^unfer  (äffen  fönnten,  um  fo  \  i 


—    83  — 


bie  glä'd)en  fo  t>icl  unter  ben  2lugpunft  ju  (Teilen,  als  ftc  M 
t>orl)er  über  bemfelben  befanb.  ®a  nun  fyterburd)  bte  perfpef^ 
tii>ifd)en  Stetten  bet  (Seitenflächen  feine  SBeränbentng  erleiben, 
fo  wirb  bet  Unterfd)ieb  $wifd)en  beiben  2lufflelhtngen  blop  barin 
befreben,  baf5  ftd)  bte  im  erff  engall  mbtät  liegenben  2lufftd)ten 
bet  Sßrper  je§t  bem  2luge  batbieten  werben,  unb  (old?e  ftcf>t* 
bare  Oberflächen  ifyrer  perfpeftwtfd)en  33reite  nad)  beftimmett 
ju  fonnen,  würbe  l)iet  baS  33emerfenSwertl)ef?e  bet  Aufgabe  fein, 
ba  wir  wegen  bet  Dichtung  bet  winfelred)t  auf  bie  Safel  flogen* 
ben  cbeten  unb  unteren  ©ettengtänjen  fcfyon  belefyrt  ftnb,  baß 
felbige  ftd)  aufwärts  nad)  bemSlugpunft  l)in$te{)en  muffen,  ©a 
wir  nun  angenommen  haben,  baß  bte  §läd)en  ftd)  jeft  eben  fo 
tief  unter  bem  2lugpunft  bejtnberi  muffen,  als  jte  ftdE>  Dornet 
über  bemfelben  befanben,  fo  fonnen  wir  aud)  annehmen,  baß 
bann  in  ber  unteren  (Stellung  bie  bettejfenben  fünfte  fo  fciel 
l)ol)et  liegen  würben,  als  jte  ftd)  in  ber  oberen  StuffieUung  unter 
bemfelben  gejetgt  haben.  SieS  würbe  nun  g.  33.  l)ier  in  gig.  19 
ber  $aK  fein,  wo  fe£t  Spunft  3  eben  fo  mel  über  1  liegen  würbe, 
als  er  ftd)  oben  barunter  befanb.  Verlängert  man  nun  btefe 
Stuten  1,  3  unb  5,  8  bis  ju  einem  ?)unft  l)in,  wo  ftd)  biefelben 
in  a'  treffen,  fö  wirb  bieS  ber  Slugpttnft  für  bie  gigur  fein, 
nad)  welchem  l)tn  alle  ^arallellinten  berfelben  ftch  jieljen  werben. 

9?un  jiehe  man  in  gig.  19  b,  t)on  SPunft  6  aus,  bte  je£t 
ftd)tbare  Stücfgränje  bet  £)berflad)e  wagerecht  fort/  bis  an  bte 
©teile,  wo  bie  aus  SPunft  5  nad)  bem  2lugpunft  a'  gezogene 
Stnte  von  berfelben  in  8  getroffen  wirb,  unb  man  laffe  bann 
aus  Sßunft  3  gletd)fal!s  eine  wagerechte  bis  auf  ben  aus  2  nad) 
bem  Slugpunft  gezogenen  ©traljl  in  7  pimftiren,  fo  ifi  Sinte 
3, 7  =  6, 8  =  8/  7  ä  6,  3  baS  eerf ürjte  Sßürfelmaß  ber  Rficfe 
flache,  mtftelfi  beffen  man  nad)  Anleitung  beS  §.  23  jcbe  anbere 
gigur  leicht  wirb  ergäben  fonnen;  5.  23.  gig.  20. 

,  gerner  laffe  man  nocfj  einige  gtguren  in  biefer  2lrt  folgen, 
bis  man  ftd)  überzeugt  h<*t,  baß  bte  ®d)ü(er  übet  bieS  alles  mit 
ftd)  flar  geworben  ftnb,  wotauf  bann  oben  erwähnte  häusliche 
Hebungen  üon  benfelben  angefertigt  werben  fönnen,  bei  weldjen 

6* 


man  fte  nun  lehrt,  an  ihren  fleinen  Sorpern,  bie  fie  beim  Auf* 
jeid)nen  unter  bem  Auc^unft  flehen  haben,  unb  bei  benen  alfo 
eine  Aufjtd)t  ftd)tbar  wirb,  bie  93reite  biefer  juriidfweiebenben 
Oberfläche  fcaburc^  ju  beflimmen,  baß  jte  mitteljl  be$  wagered)t 
auf  bie  betreffenben  SRucfgranjen  gehaltenen  gabenS  an  einer 
bequem  gelegenen  fenfrechten  einfehneiben,  um  fo  ben  £>öhen* 
abftanb  ju  meffen,  in  welchem  fi'd)  eine  foldje  Stucfgranje  über 
ber  SSorbergränje  ber  Oberfläche  bejtnbet;  wie  bieS  hier  j,  95. 
in  gig.  20  b  gefd^en  würbe,  wenn  man  mit  bem  gaben  bie 
SRücFgränje  3,  8  beefte,  wo  bann  ber  gaben  bie  fenfred)te  6, 10 
in  5  fcfynetben  würbe. 

S3ei  bem  SD?angel  einer  paffenben  fenfred)t  I)eraufgel)enben 
Sinie  jutn  Abfdjägen  ber  §6hen,  fann  biefeS  auch  baburd)  ge* 
fche^en,  baj5  man  an  ber  jurüefliegenben  ©ränje  einer  ftdjtbaren 
<3eitenfläd)e  (wie  hier  j.  93.  in  gig.  19  b  an  ber  Sinie  3,  b) 
mittelji  be$  auf  1,  5  gehaltenen.  gabenS,  btird)  beffen  @nfd)mtt 
in  erfigenannter  Sinie  in  0,  ba$  ©tücf  0, 6  als  95rud)tl)eil  eines 
SBürfelS  abfd)ä§t,  unb  baffelbe  nun  auf  ber  Betonung  über  1  in  x 
anträgt,  wo  bann  biefer  tyuntt  bie  §S|e  ber  wageredjten  $ücf< 
granje  ber  OberfIäd)e  geben  wirb,  unb  bieg  Verfahren  für  bie 
^öhenbejlimmung  ber  ftd)tbaren  Oberflächen  muß  man,  burd) 
einige  93eifpiele  an  ber  SBanbtafel,  ben  @d)ületn  red)t  ju  üer* 
beutlidjen  fuchen,  weil  e$  für  bie  Anfertigung  tyäuMtcfyer  Arbei* 
ten  für  fic  unentbehrlich  fein  wirb. 

S5iefe  Aufgaben  muffen  nun  ju  Anfang  jeber  folgenben 
Setchnenjlunbe  bem  Sehrer  abgeliefert  werben,  ber  bann  bie  babei 
Dorfommenben  gehler  ber  einjelnen  benugt,  um  alle  über  ben 
betreffenben  gall  ju  belehren. 

§.  38.  Unfere  bi^^ettgen  Aufteilungen  auf  bem  SBrefti 
d)en  waren  &on  ber  Art,  baß  ber  geometrifd)e  Aufriß  berfelben 
ober  bie  un$  jugefehrte  93orberfTäd)e  ber  Körper  tuweränbert 
blieb,  unb  nach  ben  geometrifd)en  9J?aßtheilen  fcon  allen  @d)ü* 
lern  gleidjmaßig  aufgejeichnet  würbe,  was  aud)  für  biejenigen 
©djüler  galt,  bie  be$  ungünfiigen  9iaume$  wegen  t?on  ben  auf* 


—    85  — 


gesellten  Äorpern  mifa  Uittoätti  ab  (T£en  mußten,  ol$  btee 
eigentlich  für  ein  xmmäitievUö  (§rfd)einen  fold)er  glasen  ber 
galt  fein  burffe,  unb  nur  bie  nad)  bem  Slugpunft  bin  jurücf* 
weid)enben  @eiten(Tä'd)en  waren,  bem  ©fanbpunft  eines  jeben 
nad),  uerfd)ieben;  fegt  wollen  wir  aber  aud)  foldje  giguren  auf» 
jMen,  bie  über  ßcf  gefefjen  werben,  an  benen  folglid)  beibe 
fid)tbare  g(äd)en  in  irgenb  einem  SBinfel  auf  bie  ©runblinie 
ber  Safel  flößen. 

39.  Sie  ©ranjlimen  foldjer  jurucftoeid&enben  %läd)cn 
werben  nun  nid)t  met)r  tn  bem  Stugpunft  Derfdjwinben,  weil  ffe 
nicfjt  redjtwinflig  au^k  Safel  flößen ;  fonbern  e$  werben  ffct>  für 
bie  33erfd)winbiing$punfte  ber  gleidjlaufenben  Sinien  nad)  red)tS 
unb  linf$  l)in  jwei  neue  fünfte  jtnben  muffen,  bie  ber  mannigt 
faltigen  SBinfel  wegen,  bie  foldje  glasen  gegen  bie  (Sbene  ber 
Safet  bilben  fönnen,  aud)  fietö  bem  gemäß  fceränbert  erfdjeinen 
müjfen,  unb  bie  wir  bal)er  jufaüige  SBerfcfywinbungfyunfte  ober. 
Slcctbental* fünfte  nennen  wollen.  @o  lange  jebod)  unfere 
Figuren  auf  bem  23rettd)en  ober  auf  einer  anbern  fyorijontal 
gelegenen  (Sbene  jlefyen,  werben  ftd)  biefe  2lccibental'^)unfte  immer 
in  ber  .porijontlinie,  b.  I).  in  einer  Sinie  beftnben,  bie  wir  wage» 
red)t  burd)  unfern  2lugpunft  gejogen  benfen.  Siefe  2lcciben(aU 
fünfte  fönnen  nun  freilid)  oft  auf  ber  £orijontal(inie  Diel  weiter 
JjinauS  liegen,  al£  wir  fold)e  unferm  Spapierraum  nad)  öetfän* 
gern  fönnen  $  wir  werben  aber,  wie  wir  e$  bei  ben  red)twtnflig 
l)tncingel)enben  glasen  getl)an  Ijaben,  aud)  l)ier  mittelft  be$ 
SBiffrenS  biefe  23er|"d)iebungen  leid)t  fyerjMen  fönnen,  wenn  wir 
babei  nur  immer  ba$  @efe§  fehlten:  baß  jeber  jurüeflie« 
genbe  9>unft  burd)  eine  Jpö&en«  unb  25reirenbe|tim* 
mung  an  ber  fenf*  unb  wagerecfyten  ©cala  benimmt 
werben  fann. 

3e  mel)r  nun  bie  fenfrec&te  95orbetfäd)e  eines  $orper$ 
jid)  mit  il)rem  abftefyenben  (Snbe  ber  £afe[fläd)e  näfyert,  ober 
|e  f (einer  ber  SBinfel  ben  fie  mit  berfetben  bilbet,  um  befto 
weiter  wirb  ber  per|>ef(iüifd)e  93erfd)winbung$punft  il)rer  oberen 
unb  unteren  ©ränjfinien  t>on  bem  Slugpunfte  entfernt  fein;  unb 


—    86  — 


umgef'eljrt:  je  meljr  ftd)  fcie  fenfrecfyte  gbene  mit  einem  (Snbe  Ii 
t?on  ber  Safelfläcfye  entfernt,  alfo  je  größer  bec  SBinfel  wirb, 
um  weld)en  jte  fcon  berfetbcn  abweicht,  unb  ftd)  einem  rechten  | 
juneigt,  um  bejio  näljer  wirb  ber  23erfd)winbungSpunft  ifyrer  j 
(Seitengränjen  an  bem  SBerfdjwinbungSpunft  bei4  redjtwinfligen 
Sinien,  neljmlid)  an  bem  2lugpttnfte  liegen. 

§.  40.  $fer  in  gig.  21  Saf.  VII.  (i'nb  bie  Körper  au«  gig.  8 
über  (gcf  gefefjen  aufgehellt,  unb  nur  bie  Sinien  1,  2  in  A  unb 
unb  1',  2'  in  B  werben  in  ber  @bene  berSafel  liegen,  folgltd) 
ba$  rtd)tige  SBürfelmaß  erhalten,  wctyrenb  alle  übrigen  ©röpen* 
üerfyältniffe  ber  gigur  tteränbert  erfd)einen  muffen.   Sffiir  begüu  i 
nen  mit  bem  SBürfel  A,  ber  in  1,  2  an  bie  93orberebene  ftöpt,  | 
unb  fud)en  nun  bie  fünfte  3  unb  4,  nad)  il)rem  perfpeftfoifdjen  \ 
Slbjlanbe  üon  1,  fowol^l  feitwärfS  als  nad)  unten  J)in,  burd) 
ben  fenf  *  unb  wagered)t  gehaltenen  gaben  jtt  bejlimmen,  wobei  ! 
ftd)  nur  für  bie.,  ber  ßinie  1 ,  2  gerabe  gegenüber  ft|enben  \ 
©d)ülcr,  beibe  fünfte  red)t£  unb  linfs  gleid)  weit  unb  tief  gegen  | 
1  geigen  werben,  wäfyrenb  biefe  S3e|limmungen  für  alle  übrigen  j 
mannigfaltig  i>erfd)ieben  ftnb.  9?un  wirb  e$  barauf  ankommen,  i 
bie  Sp'iijt  üon  3,  5  ju  beflimmen,  ba  biefe  Sinie,  als  Don  ber 
glacfye  jurütf  liegenb,  nid)t  mel)r  ba$  solle  SBürfelmap  fyaben 
fann.   SEBir  wollen  un$  l)ier  ber  SBovberlinie  1',  2'  be£  Svor* 
per$  B  als  £öl)enmejfer  bebienen,  unb  inbem  wir  ben  gaben  j 
wagered)t  burd)  5  galten,  an  berfclben  einfcfynetben,  unb  fel)en,  j 
wie  l)od)  ber  SPunft  5  über  bem  jwifdjen  1  unb  2  angebeteten 
SfyeilungSpunft  ber  Sinie  in  x  gelegen  i(i,  wo  wir  bann  jtnben  | 
werben,  baß  ber  gaben  jwifdjen  x  1  in  z  einfd)neibet.  ©iefer 
SHaum  x  z,  als  83rud)tl)eil  eines  SBürfelS  rid)tig  abgefd)ägt, 
wirb  nun  in  A  ben  &öl)enabflanb  beS  fünftes  5  über  bem  | 
fünfte  1  auf  ber  S^nung  angeben.  33on  5  aus  werben  nun  \ 
bie  fünfte  7,  8  in  befannter  SBeife  leid)t  gefunben  werben  | 
tonnen,  worauf  man  burd)  baS  $Uf)m  ber  betreffenben  Sinien 
bie  gigur  ergänzt.  3tt  gleid)er  2lrt  würbe  bie  ÄörperaufjMung 
tinH  in  B  ju  jeidjnen  fein,  wie  burd)  bie  punftirten  fnilfslinien 


—    87  — 


in  fcct  betreffenben  gtgur  angebeufet  tjf.  9lun  (äffe  man  bte 
<2d)ü(er  an  A  bie  Sinien  1,  3  unb  5,  7,  nach  tinfs  unb  um 
ten  in  ber  angegebenen  Stiftung  verlängern,  fo  werben  biefe 
Sinien  in  einen  ^)tmft  jufammen  treffen,  welker  ber  95er? 
fdjwinbttngSpunf't  für  alle  mit  ben  genannten  parallelen  Sinien 
fein  wirb;  worauf  man  baffelbe  für  bie  Sinien  1,  4  unb  5,  8 
nad)  ber  anbem  (Seite  t)in  wieberholt.  Sie  beiben  fo  ge* 
funbenen  33erfd)winbung$punfte  ber  jurücf  weid)enben  Sinien, 
werben  nun  in  einer  f>ofje,  nehmltd)  in  ber  bem  2luge  be$ 
@d)üler$  gegenüber  Qeiad)tm  wagerechten  Stute,  beren  §6l)e 
mit  bem  Sluge  be$  Büchners  gleich  ifl,  gefunben  werben,  unb 
wir  nennen  biefelben  fünftig  l)in:  Slccibentat^unffe  ober  sufalltge 
33erfd)winbung$punfte  ber  Einten,  hierbei  ifi  noch  anjumerfen, 
t»ap  nur  bie  ©ränjlinien  fofcher  gfädjen,  bie  mit  ber  wagered)* 
ten  ©runbebene  gleid)laufenb  jtnb,  in  bie  ^orijontlinie  Der* 
fd)winben,  währenb  bie  ©ränjen  anberer  gegen  bie  genannte 
gläd)e  herauf  ^  ober  herunterwart  geneigter  ßbenen,  auch  t?er< 
fd)tebene  £6l)en  für  bie  2lccibental*$)unfte  bebingen  werben. 

41.  Sie  vorgenannten  fünfte  werben  tini  nun  um 
entbehrlich  fein,  wenn  wir  bie  über  (£<f  gefefyenen  Körper  g(eid) 
ben  früheren  burd)ftd)tig  mad)en  follen,  unb  nur  mit  §ülfe 
biefer  2lccibental=^)unfte  werben  wir  bie6  nach  ber  in  gig.  21 
angebeuteten  SBetfe  mit  (Sicherheit  bewerffielligen  fönnen.  Sod) 
wirb  fiel)  aud)  hierju  für  mandje  ber  verbeut  liegenben  fünfte 
burd)  bie  gleichbleibende  Rettung  ber  fenfred)ten  Sinien  ein  3J?itte! 
jur  95e|limmung  verbed'ter  ©rängen  ftnben  laffen,  wenn  etwa 
ber  spapierraum  jum  2lnfe|en  ber  Stccibental^unfte  nicht  auö* 
retd)te,  inbem  man  bie  gefunbene  gange  3,  5  fenfred)t  herab 
nad)  m  tragen,  unb  nun  mittel!?  ber  fünfte  2  m  bie  9iid)tung 
ber  perfpeftitufdjen  ihm  be$  ©runbrtffeS  befftmmen  fann. 

§.  42.  §luch  iahmdj  fönnte  man  jtd)  einen  ^altpunft 
gewähren,  baß  man  hier  $.33.  in  B,an  ber  jurücfliegenbflen@ränje 
be$  fletnen  SBürfelS,  in  12,  17,  an  bem  Körper  einen  mitt* 
leren  Shetlttng^punf't  y  mit  treibe  ania\ttUf  unb  biefen  <punft 


—    88  — 


i>on  ben  @d)ü{em  feinet  §>of)enbeffr'mmung  nad)  auffud)en  ließe, 
worauf  man  für  bie  3eid)nung      obgenannter  2lrt  fcfyließen 
fönnte,  baß  notljwenbig  17  jtd)  fo  tief  unter  y  beftnben  muffe, 
als  bie  (Sntfernung  beträgt,  bie  wir  jwifd)en  12  unb  y  ange* 
merf't  Ijaben,  wie  in  ber  betreffenben  gigur  ju  erfefyen  tjh  3n 
äljnlicfyer  SBeife  wirb  man  ftd)  oft  ju  Ijelfen  wiffen  muffen,  wenn, 
bei  geringer  2(bweid)ung  ber  5U>rperf?äd}e  Don  ber  (Sbene  ber  ! 
Safet,  ber  Slccibental^unft  auf  ber  3cid)nung  nidjt  angefe^t 
werben  fann,  unb  bod)  für  ba$  richtige  SSerftefyen  ber  Jiguren,  | 
ba6  Anbeuten  beS  perfpeftiüifd)en  ©runbrijfeS  unentbel)r(id)  wirb ;  I 
man  fann  bann  für  anbere  3>aratte((tnien  auö  ber  Neigung 
jweier  gefunbenen  ipauptlinien  fdion  fo  m'et  entnehmen,  baß  man 
in  bereu  ungefähren  SJiidjtung  nad)  bem  entfernten  2(ccibental*  I 
^)unft  fyn,  \üd)t  gar  große  geiler  madjen  wirb. 

§.  43.  ©ie  33ejeid)mmg  ber  Sinien  nad)  (Statten  unb 
£id)t,  wirb  nun  ganj  nad)  ben  fvüfyer  auSgefprod)enen  ©runb* 
fä£en  gefd)el)en,  inbem  b*  fenfredjten  ©rängen  7,  0  unb  9, 14,  j 
ber  giguren  A  unb  B,  bie  jefjt  jwar  eigentlid)  bie  ©ränje  j 
jweier  bem  2id)te  jugefe^rten  ©eiten,  alfo  Dotter  Sid)tfläd)en 
jmb,  bod)  als  33iertelftärfe  bejei^net  werben  möffen,  ba  fenf* 
red)te  ©ränjen  nie  bie  Teilung  ber  nad)  oben  gefeilten  Ijaben 
fönnen. 

§.  44.  gn  gig.  22  wirb  ftd)  bajfelbe  an  mehreren  $ki*  \ 
djen  wieberljolen,  nur  mit  bem  Unferfc^iebe,  baß  fyier  aud)  eine  | 
ftd)tbare  tlnterfläd)e  Ijinju  fommt.  SRan  fann  babei  wieber,  um 
ben  eigentlidjen  unteren  (gnbpunft  ber  am  metfien  jurütf liegenben  | 
fenfrecfyten  Sinie  für  ben  ©runbriß  ju  frnben,  bie  betreffenbe  } 
Äante  be$  ÄörperS  burd)  einen  5l)ei(ungepuuft  in  x  bezeichnen, 
um  benfetben  gegen  einen  äl)nlid)en,  z,  an  ber  fcotberften  fenfred);  \ 
ten  feiner  §5t)e  nad)  $u  ttergletd)en,  unb  nun  ben  gefunbenen  j 
nerfürjteit  Sf)eil  xo,  unter  %  bi$  auf  ben  ©tunbviß  in  4  tragen,  j 
wie  bieS  in  gig.  21  fdjon  angebeutet  ifr.  9?od)  wäre  anjumerfeu,  j 
baß  biefe  gigur  gleichzeitig  boppelt  auf  bem  23retrd)en  aufjuffeßen 


—    89  — 


fein  würbe,  batnit  moglid)ft  alle  @d)ü(er  bie  hfit$(gen  5lnfld)teu 
baüon  gewinnen  fönnen. 

SD?an  wirb  übrigens  bei  biefer  gigur  bie  @d)ü(er  barauf  red)t 
atifmerffam  ju  machen  Ijaben,  wie  jtd)  l)iev,  burd)  bie  gt'nfd^httW* 
punffc  bev  fenfred)ten  fiinien  in  ber  @ca(a  be$  33rettd)en\?,  bie 
an  ficft  gleid)  breiten  SKäume  in  1,  2,  3,  0  fo  neben  einanber 
(Wien  werben,  baß  immer  ber  fcorltegenbere  Sl)eil  größer  \\it 
als  ber  folgenbe,  baß  folglich  bie  glctd)e  1,  2  bie  breitete,  3,  0 
bie  am  meiften  oerminberte,  unb  2,  3  größer  als  3/  0  unb  flet* 
ner  als  1,  2  werbe  fein  muffen,  gut  bie  fenfrecfyten  ©rängen 
be$  oberßen  Körpers  ftnb  bie  23eßinmumgen  fdjon  in  ben  üu* 
teren  Sinien  gegeben,  ba  fte  mir  fenfred)te  gortfe§unaen  berfel* 
ben  (Tnb.  Sie  gleiche  red)t$  Don  1,7,  als  eine  ftd)tbare  (Statten* 
ßädje,  wirb  in  biefer  Sinie  bem  Sluge  be$  S^d)11^  am  n5d^ 
ßen  fein,  folglid)  fy'er  bie  ftavfjie  SDtmfetyett  !)aben,  wogegen 
bie  auf  bem  SPunft  4  fenfred)t  jlefyenbe  ©rä'nje  ber  ffdjtba/ 
ren  (2d)attenfiäd)e  ber  jurücfliegenbfte  Sl)ei(  berfelben  fein 
wirb,  weldje  Sinie  bafyer  biejenige  iji,  in  weld)er  bie  ttolle 
©tärfe  am  meinen  fcerminbert  erfcfyeint.  Sitte  anbern  @d)atten* 
Itttien  ttjeiten  bie  ©unfelfyett  biefer  beiben,  je  nad)  tfyrem  große* 
ren  93or*  ober  Swücfliegen  von  ber  ßbene  ber  Safel,  unb  ber 
Selker  l)at  woljl  barauf  ju  fel)en,  baß  in  biefen  gtguren  ba$ 
ftarfere  Surutftreten  ber  gläd)en  aud)  burd)  fcerfyältnißmäßig 
ftarf'e  5lbnal)me  ber  ©unfell)eit  ber  ©ränjlinien  &on  ben  @d)ü* 
lern  rid)tig  erwogen  unb  angebeutet  wirb;  was  aud)  für  bie 
©ränjen  ber  2id)tfla'd)en  gelten  muß,  wo  Ijier  am  Söper  red)f$ 
bie  2id)tgränje  6,  1,  fcon  ber  SStertelßärfe  ber  fenfred)ten 
©ränje  in  6  au^,  mit  berfelben  S5unfell)eit  anfangt,  unb  ffd) 
bann  a(Imat)lig  nad)  Dorn  in  7  ju,  in  bie  feinfre  Sinie  verliert. 

®ie  nun  folgenben  gtguren  wirb  ber  £et)rer  aus  bem  93or* 
hergegangenen  (eid)t  erflciren  fönnen,  wobei  er  fortwafyrenb  bie 
@d)ü(er  befonbers  barauf  aufmerffam  ju  machen  fyat,  baß  fte 
aud)  alle  fenfredjten  in  ben  gtguren  Dortommenbeu  Sutten  wie; 
ber  genau  als  fenfred)te  ju  bejeidjnen  Ijaben,  tnbem  e»  ftd)  leicht 


—    90  — 


ftnbet,  baf5  bte  @d)ü(er  gugleid)  mit  ber  flärferen  Neigung  ber 
£)bergrängen  aud)  au*  ber  Stiftung  ber  fenfred)ten  weichen. 

§,  45.  9?un  laffe  ber  Sebrer  aud),  wie  fd)on  beim  3«d)s 
nen  bcr  gevab  gugcfetjrten  giguren  gefd)el)en  ifi,  bergleid)en 
über  6cf  gefel)ene  Sförper  üon  ben  @d)ülern  um  eben  fo  Diel 
unter  ber  Jportgontlhue  jlefyenb  gebad)t  geidmen,  al*  biefe  jJcB 
Dornet  über  berfelben  befanben,  wobei  bann  lieber  bie  oben 
gefunbenen  perfpeftiinfd)en  SBreitenbetfimmungen  gelten  muffen, 
wie  bie*  in  §.  37  fcfyort  näl)er  angegeben  worben  ifi. 

46.  2f ud)  für  bie  t)äu*(id)en  Uebungen  Efttin  man 
nun  als  Aufgabe  waljlen,  baß  bie  @d)üler,  bie  früher  gerabe 
jugefefyrt  gegeid)neten  ©egenfiänbe  nun  über  @cf  gefeljen  geicfynen, 
tmb  fo!d)e  Aufgaben  rann  man  nun  burd)  ba*  Sluffajfen  eingek 
ner  ©ebaube,  Ijalb  geöffneter  Spören  unb  @d)ub(aben  u.  f.  w. 
nod)  vermehren. 

Seidenen  ber  frummluttgen  Körper. 

§.  47.  9?ad)bem  nun  in  ber  vorhergegangenen  ©tufen* 
folge  grabltniger  Körper  von  ben  @d)ü(ern  afle  Aufgaben  rid)tig 
tmb  mit  ganger  Slufmerffamfeit  gegeidjnet  werben  ftnb,  wirb  eS 
benfefben  nid)t  mefyr  fcfjroer  werben,  aud)  bt>  perfpeftwtfcfjen 
SBeranberungen  ber  gebogenen  Sinie  richtig  aufgufaffen,  unb 
fte  mit  ftd)erer  §anb  barfMen  gu  f'onnen. 

^(S*  werben  aber  gu  biefen  Utbungen  neue  Körper  erforber; 
lid)  fein,  bei  benen  al*  ©runbform  für  ade  frummlinigen  Sl9U:S 
ten  ber  SreiS  angenommen  ift,  ber  einmal  al*  §ol)lung  unb 
rinmal  al*  @d)eibe  barin  vorf'ommt.  Um  aber  mefyr  2lbwed)fe* 
lung  in  bie  bamit  gu  fMenben  $tguren  gu  bringen,  i|i  nod)  ein 
falber  Sofylfrei*  unb  eine  l)albe  @d)eibe  fyingugefügt  werben, 
welche  Körper  wieber  in  jwei  Rafften  gerfatten,  wie  in  §ig.  27 
angegeben  ifi. 

®ie  beiben  ^älfteti/  au*  welchen  ber  £ol)Ifrei*  gufammen* 
gefegt  ifi,  ftnb,  eingeht  betrachtet,  einem  Sßrucfenjodje  ätytiid), 


—    91  — 


tmb  wir  wollen  fte  fünftigl)in,  ber  Kürje  wegen,  immer  mit 
§alb  bogen  nennen.  Sie  @d)eiße  würbe  nun  burd)  ü)re 
©röße  ben  füllen,  tmb  aucl)  mit  ben  §albbögeii  von 

gleid)er  ©iefe  fein  muffen,  was  folglid)  aud)  von  ben  beiben 
SSierteln  berfelben  gilt,  ©iefe  Sicfe  würbe  mm,  wie  bei  ben 
vorfyanbenen  Körpern  ber  ertfen  Abteilung,  4  %oü  betragen 
müffen,  unb  bie  Körper  werben  g(eid)faßs  aus  l)ot)l  verleimten 
©tücfen  von  lid)tem  §>olje  ju  verfertigen  fein. 

Söir  werben  fefyen,  wie  ft'cf)  in  ber  'golge  au?  biefen  fteben 
Körpern  2lUeS  jufanunenfMen  laffen  wirb,  was  für  bie  23er« 
fd)iebung  ber  gefrümmten  gläd)e  nur  irgenb  3Bid)tigeS  vorfom* 
men  fann.  @t)e  wir  aber  ju  bem  Sluffrellen  ber  gtguren  übers 
gefyen,  muß  id)  l)ier  nod)  ©nigeS  im  Allgemeinen  über  bie  per? 
fpeftivifd)e  23erfd)iebung  beS  greife»  unb  bie  babei  ju  fegenben 
^ülfSptmfte,  für  ben  Sefyrer  vorauSfd)iden, 

48.  ©ie  Kreislinie  muß  jeberjeit  in  einem  Öuabrate 
eingefd)lo(Ten  Qtiad)t  werben,  wenn  fte  bei  il)rer  23erfd)iebung 
perfpeftivifd)  rid)tig  gejeidjnet  werben  foll.  (Sin  foldjeS  Öua* 
brat,  wie  j.  33.  gig.  28  a,  wirb  burd)  §albirung  ber  ©etten 
beffelben,  mittelft  SBerbinbung  ber  jwifd)en  ben  gegenüber  liegen? 
ben  Sfyeilungspunften  fyergefreüten  ipülfsltnicn,  in  vier  Heinere 
ßuabrate  geseilt,  burd)  weld)e  ber  3J?ittelpimft  beS  KreifeS  in  a 
ju  bejlimmen  if?,  unb  vier  fünfte  in  b,  c,  d,  e  feffgeffellt  werben, 
burd)  bie  ber  Kreis  l)inburd)gel)en  muß.  Um  aber  eine  fold)e 
Kreislinie  aus  freier  £anb  richtig  jeidjnen  ju  fönnen,  müjfen 
wir  nod)  einige  ^ülfSpunfte  me()r  bejtimmen,  bie  je  in  ber 
SERitte  jwifd)en  jweien  ber  erjlgenannten  liegen  follen.  Sftati 
jiel)e  l)ierju  in  bem  Öuabrate  §ig.  28  a  bie  diagonale  bejfek 
ben,  unb  fd)lage  aus  bem  9}iittelptmft  a  ben  Kreis  b,  c,  d,  e. 
Siefe  Kreislinie  wirb  nun  bie  ©iagonalen  beS  öuabratS  in 
f,  g,  h,  i  burd)fd)neiben,  welche  fünfte  man  burefy  gerabe  Sinien, 
parallel  mit  ben  (Seiten  beS  ÖuabratS,  unb  bis  an  biefe  in 
k,  1,  m,  n,  o,  p,  q,  r  jloßenb,  verlängert,  ©urd)  eine  gleid)e  Qhu 
tl)eilung  werben  wir  nun  in  einem  perfpeftivifd)  verengerten 


—    92  — 


Cluabrate  bie  £filf«jnmFte  be«  greife«  wicberjTnben  Wnnen,  j 
wenn  wir  eine,  wie  biefe  be$eid)nete,  £>uabratfJäd)e  unterhalb  be« 
8fugptinf«  gelegt,  wie  gig,  28  b,  nacl)  2fnweifung  be«  23erfal)*  j 
ren«  bei  grafclinigen  glad&eii  >  perfyeftimfd)  rid)tig  aufteidjneri, 
unb  burd)  bie  fo  gefunbenen  ftftjftyimfte  b,  c,  d,  e  tmb  f,  g,  h,  i 
ben  perfpeftfoifdjen  5\rei«  frei  l)ineinjiel)en,  wie  in  genannter  I 
gigur  ju  fel)en  tjl. 

@«  tjl  Ieid)t  ein$ufef)en,  baß  wir  ba«  2fufftnben  ber  rnftttaj 
reu  uier  £ü(f«punfte  f,  g,  h,  i  fel)r  erleid)tern  fönnten,  wenn  j 
wir  bie  ©roßen  ber  üier  in  ben  Gcfen  be«  großen  Öuabrat« 
bef?nb(id)en  Heineren  ßuabrate  auf  ein  befrimmte«  SJerljältmß 
ju  ber  ©roße  .be«  erfreren  fefljufieflen  i>ermöd)ten,  inbem  wir 
fo,  burd)  bie  naef)  innen  gefeilten  (Scfen  ber  fleinen  £}uabrafe, 
bie  fcter  $bü\f$pm\fte  f,  g,  h,  i  bejiimmen  fönnten,  nad)bem  un« 
bie  Stellung  ber  ©eiten  be«  großen  £}uabrat$  fd)on  bie  erflen 
t)ier  £ü(f«punfte  b,  c,  d,  e  gegeben  l)at.  ©in  foldjeS  93erl)ä(t* 
iiiß  laßt  pd)  aber  befanntlid)  nid)t  ganj  genau  fyerfietfen;  e« 
wirb  jebod)  für  unfern  gweef  fd}on  au«retd)enb  fein,  wenn  wir 
bie  (Seitenlänge  biefer  fleinen  Öuabrate  auf  ein  (larfe«  SBiertel 
ber  l)alben  (Seitenlange  be«  großen  Öuabraf«,  ober  nod)  genauer 
auf  ein  ^  berfelben  befummelt,  wa«  un«  in  ber  golge  beim 
getanen  ber  Scheibe  für  ba«  S3e(limmen  ber  £ulf$punf te  wie* 
ber  gu  itaiten  fommen  wirb. 

49.  Sa  wir  aber  bei  bem  Slufjeicfynen  unferer  $igu* 
ren  uorerfl  nur  ein  tnogltd)fi  einfaches  med)anifd)e«  35erfa^ren 
anwenden  bürfen,  um  folfye  £ölf«punftc  anjubeuten,  fo  wirb 
fid)  für  ben  au«  ben  beiben  ipalbbogen  jufammengefe|ten  £ol)l* 
freiö  bel)uf«  ber  SSejlimmung  ber  §ülf$punf  te  beffelben,  nod)  ein 
fel)r  einfad)e«  unb  für  bie  twfommenbcn  Salle  leid)t  anwenb* 
bare«  §>ülf«mittel  angeben  laffeu,  wenn  wir  un«  baju  folgenber 
6intl)eilung  bebienen:  §ier  in  gig.  29  a  ifl  ber  geometrifd)e 
2lufriß  eine«  burd)  jwei  §albbogen  innerhalb  eine«  £}uabvate$ 
gebilbeten  £ol)lf reife«  aufgejeid)net,  ber  fid)  t>on  ben  (Seiten 
biefe«  £}uabrate«,  ba  wo  er  jtc^  bemfelben  am  meinen  nätjert, 


—    93  — 


um  einen  SBürfel,  ober  um  ein  <3ed)$tyeil  ber  (Seitenlange, 
entfernt  l)ält.  ©ie  erjten  t>ier  £ü(f$punfte  biefeö  Greife»,  nefym* 
Iid)  diejenigen,  bie  der  9J?itte  ber  ©eiten  beS  ÖuabrateS  am 
nadjffen  liegen,  werben  baburd)  benimmt,  baf  man  jebe  ipälftc 
ber  mittleren  fettf*  unb  magerecfyten  Sl)ei(ung$(mien  be$  £}ua> 
bratet  je  in  brei  g(eid)e  Sfyetle  tljeilt,  motton  nun  immer  bie 
gmei  bem  9KifteIpunft  junäc^jl  gelegenen,  §albmejfer  be$  ÄreifeS 
fmb.  £aben  mit  fo  bie  fünfte  1  gefunben,  fo  motten  mir  bie 
anbern  m'er  §ülf$punf  te  iaiuvd)  beffr'mmen,  baß  mir  in  ben  mer 
Heineren  ßuabraten,  in  meld)e  mir  ba$  große  £}uabrat  gereift 
l)aben,  bie  ©urd)fd)nitf$punfrc  ber  ©iagonalen  berfelben  in  ben 
fünften  2  angeben.  Sragen  mir  nun  auf  bie  ©iagonalen  be$ 
großen  £}uabrat$  »om  SUiitteljnmfte  aus  ben  ^albmeffer  be$ 
S?retfe$  nad)  ben  fünften  2'  fort;  fo  mirb  ber  2lbftanb$raum 
jmifcfyen  ben  fünften  2  unb  2',  ftd)  ungefähr  auf  einen  2ld)tef> 
SBürfel  befitmmen  laffen,  meld)e  ©ifferenj  bei  jlarfen  23etfd)ie* 
bungen  ber  Sreife  oft  nur  menig  bemerkbar  mirb,  unb  in  fol* 
d)em  $att  mirb  un$  ber,  in  ber  t>erfd)obenen  £>uabrateintl)eilung 
für  ben  ÄreiS  ju  fud)enbe,  ®ur(tfd)nittSjnmft  ber  Meinen  £}ua* 
brate,  bie  perfpeftimfd)e  Sage  ber  anbern  Dier  ^ülfspunfte  be$ 
ÄreifeS  in  2'  leid)t  ftnben  la)Jen,  inbem  bamit  eine  einfache 
Slnleitung  gegeben  mirb,  mie  ftd)  bei  ben  oft  rautenäfynlid)  t>er* 
fd)obenen  ßuabraten  aud)  immer  ber  ÄreiS  nad)  ben  fpi§en 
SEßinfeln  l)in  am  meitfen  l)tneinbrängt,  mäljrenb  er  jtd)  ben 
jiumpfen  SBinfeln  gegenüber  mel)r  flad)  unb  eingebrüeft  jeigt; 
jtel)e  §ig.  29  b.  2Ba$  alfo  bie  nod)  bleibenbe  Sifferenj  smi* 
fcfyen  2,  2'  anbelangt,  fo  merben  mir  beim  Seinen  ber  folgen* 
ben  Figuren  jtnben,  baß  l)ier  ba$  tterfürjte  2td)tel  2,  2'  oft  nur 
!  menig  in  2lnfd)lag  fommt,  unb  baß  bie  fünfte  2  bod)  jeben* 
i  falls  für  bie  @d)üler  einen  ?(d)alt  abgeben  merben,  menn  man 
j  fte  anleitet/  bie  in  ber  perfpeffitnjcfyen  öuabrateintfjeilung  in  ben 
fleinen  Ouabrafen  fo  leid)t  ju  befrimmenben  Surd)fd)nitt$punfte 
ber  ©iagonalen  in  2,  mit  ben  erfrgefud)ten  auf  bem  SljeilungS* 
freuj  in  1,  t>orerjt  burd)  eine  fd)mad)  punftirte  Sinie  ju  fyer* 
binben,  um  bann,  beim  3icf)en  ber  t>erfd;obenen  Ärei^linie  felbfr, 


—    94  — 


Stuge  utift  @efüt)l  für  baSfentge  gu  Statte  jtt  jieljen,  was  matt 
Don  ben  mittleren  t>ter  £ülfspttnften  in  2  etwa  surfte?  bleiben 
fönnte,  batnit  ftd)  ber  üerfcfyobene  Kreis  ju  einer  fd)ön  ge* 
fdjwttngenen  (Slltpfe  gehalten  möge,  wie  bei  §tg.  29  b  netyer 
angebeutet  iff.  33efonberS  wirb  ber  Seljrer  einer  feljr  motten 
Klaffe,  burd)  biefe  einfache  33erid)tigung  ber  anberen  mer  §ülfs* 
fünfte  beS  t)erfd)obenen  KreifeS  mittel^  ber  S)tird)fd)ntttSpunfte 
ber  ©tagonalen  ber  fleinen  Öuabrate  in  2,  ein  Littel  gefutu 
ben  fyaben,  fielen  §el)lern  ber  @cf)üler  beim  Sutten  beS  burd) 
bie  §albbogen  gebilbeten  ipofylfretfeS  in  ttnferen  giguren  t>or* 
jubettgen,  bie  fonji  ntdjt  ausbleiben  würien,  wenn  ber  Sefjrer 
tterfytnbert  ifi  jebem  einjelnen  nad)jufel)en,  ba  ber  gröpere 
Sf)eil  ber  @d)üler  gewöfynlid)  ans  ben  minber  23efäl)tgten  be* 
jtef)t,  bereu  (Sinn  für  ein  freies  Sluffaffen  ttnb  ©arfMen  ber 
perfpeftimfcfyen  Kret'St)erfd)tebungen  ftd)  oft  fet}r  flumpf  un& 
fcfywerfälltg  geigt.  (Sine  fixere  3lrt,  fotd)e  ipülfspunfte  ju  be* 
fiimmen,  bleibt  febocl)  immer  bie,  baß  man  an  ben  Körpern  felbfi 
burd)  angebeutete  fünfte  bie  viertel  Kreisbogen  tl)ei(t,  ttnb  nun 
bie  (Stellung  foldjer  guriicfftegc>:ben  fünfte,  ganj  in  früher  ge* 
nannter  SBeife,  mittelfi  beS  fenf*  ttnb  wagered)t  fyinbttrd)  g^ 
J)altenen  gabenS,  &urd)  baS  3ufarowentreffen  einer  ^pöfyen*  ttnb 
S3rettenbefiimmung  auf  ber  Safelßäcfye  feft|Mt. 

§.  50.  SBir  beginnen  baS  SIttfjeid)nen  btefer  Körper 
mit  ber  SluffMung  ber  ^albbogen  in  tttwerfürjter  2lnftcf)t,  um 
hierbei  Singe  ttnb  ipanb  für  baS  S3t(ben  ber  greife  fcorjuüben. 
3n  gig.  30  wirb  nun  juer|f  ber  redjtecftge  Körper,  in  welchem 
ber  balbe  §>ol)lfreiS  enthalten  t|i,  feiner  SSorber*  ttnb  Seiten* 
anftd)t  nad)  aufgeseidjnet,  unb  bie  tthS  gerate  gugefefyrte  SSorber* 
fläd)e  beffelben,  burd)  eine  fenfrecfyte  ipüifstinie,  in  jwei  Öua* 
brate,  jebeS  t>on  brei  3Bürfeln  Sänge,  geteilt  %zi$t  fe§e  man 
bie  §ülfspunfte  1,  2,  3  auf  ben  betreffenben  Sinien,  um  einen 
SBürfel  fcon  ber  geraben  (Seite  entfernt,  ttnb  fudje  bann  bie 
beiben  mittleren  fmlfspunfte  in  4,  5  baburd)  gu  befltmmen,  baß 
man  in  ben  SurdjfcfynittSpunften  ber  diagonalen  ber  fleinen 


—    95  — 


ßuabrate,  auf  ber  aus  bem  9Jiittelpunf't  t»c6  §>albfreife$  in  6 
nad)  ben  oberen  ßcfpunften  in  7  gesogenen  diagonalen  6,  7/ 
ein  fd)wad)e$  2ld)tel  einer  SEBurfellange  jugiebt,  woburd)  man 
bie  inneren  ^>ülföpunfte  4,  5  in  4',  5'  genauer  bejitmmt,  unb 
fo  bie  Labien  61,  6  4'  u.  f.  w.  gleid)  mad)f.  9?ad)bem  ber 
§albfrei$  burd)  biefe  fünf  $ulf*fmnfte  fauber  gejogen  werben 
ift,  laffe  man  bie  @d)ü(er  bie  für  il)re  3tnftd)t  fidjtbav  werbenbe 
breite  ber  gebogenen  gläcfye  beftimmen,  unb  gwar  fo,  baß  jus 
erft  bie  (Stelle  an  ber  @ca(a  ber  ©runblinie  aufgefud)f  wirb, 
wo  bie  SRücFgränje  in  8  fd)etnbar  bie  ©runbtinie  trifft,  worauf 
bann  in  bem  ttorberen  ipalbbogen  ein  jweiter  ^3tinft  in  9  ange* 
merft  werben  muß,  wo  ftd)  ber  Dorliegenbe  $albfret$  mit  bem 
jurücf  liegenben  ju  fd)neiben  fd)eint.  ^tfyt  wirb  bie  <2>d)xvuu 
gung  8,  9  äbnlid)  ben  viertel  Äret^ogen  1,  2  gebogen,  wo* 
mit  bann  baäjenige  aufgegeictynet  wäre,  was  &on  bem  fyalbett 
§oljlfret$  in  biefer  2lnftd)t  ftdjtbar  wirb.  Um  aber  mefyr  @e* 
nauigfett  in  bie  SBefKmmung  be$  |Td)tbaren  StjeileS  be£  jurüc? 
liegenben  §albf  reifes  git  bringen ,  wollen  wir  un$  wieber  burd) 
punftirte  Sinien  bie  ©rängen  ber  jurücf  liegenben  g(äd)e  be$ 
Körpers  anbeuten,  unb  in  ba$  fo,  uad)  §.  22  biefer  (Stufe,  ge* 
funbene  fcerfleinerte  9ted)tecf  ber  £interfläd)e,  ben  §albfret$  gan$ 
auf  biefelbe  2lrt  hinein  getanen,  wie  tieS  in  ber  fcorberen  gtäd)e 
gegeben  ift. 

©ie$  95erfat)ren  werben  wir  nun  aud)  bei  ben  funfffgett 
gtguren  immer  anjuwenben  baben,  ba  bierbttrd)  nid)t  allein  eine 
richtige  93egetd)nung  be$  jtcfytbaren  Sf)etle$  ber  jurücf  liegenben 
©ränge  ber  gebogenen  glädje  nwglid)  wirb,  fonbern  überhaupt 
nur  fo  ein  red)te$  Einbringen  in  bie  33erl)ä(tniffe  ber  gigur  bei 
jben  (Sd)ü(ern  erhielt  werben  fann,  woburd)  fte  ftd)  bann  bei 
|  anbeten  hätten  biefer  2lrt  fortgul)e(fen  wiffen  werben.  UebrigenS 
!  braucht  e$  wot)l  ntd)t  erfi  erwähnt  gu  werben,  baß  aud)  l)ier 
j wieber,  wie  in  ben  gerablinigen  Figuren,  bie  §Iäd)en  il)rer 
^Beleuchtung  nad)  burd)  bie  umgrängenben  Sinien  gu  begeid)neu 
finb,  wobei  bie  (Stelle  wo^l  gu  bcadjtm  ifl,  wo  bie  gebogene 
Sinie  aufhört,  bie  ©ränge  einer  jtcfytbaren  <Sd;attenfiäd)e  gu 


—    96  — 


fein,  wie  bie$  l)ier  j.  83.  in  2  gefd)iel)t, .wo  mif  ber  üerbecft  f 
werbenben  @d)aftenfläd)e  bie  l)albe  (Stavfe  eintritt,  bie  bann 
Witt*  in  5  jur  93iertelflärfe  übergebt.    §ür  gtgur  31  wirb  I 
feine  weitete  (grflarung  nöfl)ig  fein,  ba  ffd)  in  ber  umgefel^fen  [ 
(Stellung  be$  ipalbbogenS  nur  immer  ba$  Obige  wieberl)o(t. 
fffoef)  wäre  anjumerfen,  baß  jebe  biefer  gigureu  ju  befferer 
2Iu$wat)t  ber  2lnjtd)ten  boppelt,  nefymtid)  auf  jebem  ßnbe  bef 
23rettd)en$  eine,  aufgejMt  werben  fann.   gig.  32  würbe  tum 
ganj  in  äl)nlid)er  2lrt  gu  geidjnen  fein,  unb  e$  ijl  l)inlangUd),  | 
wenn  ber  @d)üfer  son  biefen  2lufjMlungen  nur  immer  ben  | 
einen,  if)m  bie  meifle  @eifenanftd)t  bietenben,  ^albbogen  auf*  j 
jeidjnet,  wobei  nur  nod)  gu  bemerfen  ift,  bap  an  bem  red)t$  i 
fiefyenben  Körper  ber  oberfle  Sfyeil  ber  gebogenen  gtädje  in  i 

1/  2  gange  ©tärfe  iji 

■ 

§.  51.  Sn  gig.  33  Saf.Vm.i|l  nun  ber  ^rei^  au^  ben  bei/ 
ben  §albbogen  jufammen  gejMt,  unb  fyier  wirb  man  ba$  er)}  ju 
errid)fenbe  große  Öuabrat,  anfik  im  §.49  erwähnte  SBetfe,  burd) 
eine  fenf  *  unb  wagered)te  $ulf$linie  in  m'er  fleiner  e  Öttatpat€ ; 
einteilen,  über  beren  SiagonakSurcfyfdjnitte  fyinauS  bie  inneren 
vier  JpüIfSpunfte  burefy  ein  l)injugefe§te$  fd)wad)e$  2ld)fet  ber 
SBürfeKänge  benimmt  werben.   9?ad)bem  ber  Streik  gebübef  ifl,  I 
laffe  man  aud)  ba$  jtd)tbare  @tud  ber  inneren  gebogenen  glad)e 
beflimmen,  inbem  man  Don  bem  fünfte  1  aus  bie  Sage  be$ 
fünftes  2,  feiner  2lbweid)tmg  t>on  bemfelben  ber  £öl)e  unb 
93reite  nad),  mitfelft  be$  gaben*  fetfjMf,  unb  l)ierauf  nod)  im 
©fetten  anmerft,  wo  ftd)  bie  ©pigen  biefer  fyatbmoubförmi'j 
gen  §täd)e  in  ben  fünften  5  unb  6  geigen  werben,  wo  ber 
fcorliegenbe  5?rei$  ftd)  mif  bem  gurüefliegenben  fdjeinbar  fd)iteibet,! 
worauf  bann  ba$  ©tuet  ber  f?d)tbaren  inneren  EreiSgrange,  äfynd 
Iid)  ber  ©djwmgung  be$  üorberen  Äteife*,  gegogen  wirb.  9?tm 
laffe  man  aud)  in  oben  bemerffer  2lrt  ba£  etwas  &erf(einerte 
ßuabraf  ber  9WdfIäd)e  auffudjen,  unb  bie  ©d)ü(er  in  baffelbe 
ben  ftreis  burd)  eine  punftirfe  £inie  hinein  jeidjnen. 


—    97  — 


§.  52.  S3efm  <&d)M\un  ber  Stufen  biefer  gigur  halte 
man  bie  @d)üler  gu  genauer  ^Beobachtung  &et  Slbwechfelungen 
in  ber  (3tärfenbegeid)nung  ber  Kreislinien  an,  fcamtt  jte  aud) 
nun  bie  breite  ber  gangen  ©tärfe  aus  ber  ftd)tbaren  gebogenen 
©chatfenfläche  nehmen  lernen,  unb  biefe  Zink  ba,  wo  bte 
gläd)e  anfängt  für  uns  eine  serbecfte  gu  werben,  fanft  in  hie 
halbe  (Stätte  übergeben  laffen,  worauf  ftcf>  biefe  wieber  all* 
mälig  in  bie  SBierteltfärfe  verliert,  wenn  bie  gebogene  g(äd)e 
fo  gewenbet  fleht,  baß  bie  &on  linfs  unb  oben  fommenben  &id)U 
f?rat)(en  biefelbe  wieber  erleuchten  f'önnen,  unb  man  fann  für 
biefen  SßBechfel  ber  beleuchteten  unb  unbeleuchteten  §ä(fte  beS 
§ohlf  reifes,  fcodäujtg  bie  @d)üler  ben  S)urd)fchnift  ber  x>on 
linfs  unten  nach  rechts  oben  gehenben  ©iagonale  beS  OuabratS 
in  3,  4  annehmen  laffen. 

§.  53.  f&ei  gig.  34  bilbe  man  ben  Slufrip  berfelben  gu* 
erjl  aus  lauter  9Jechtecfpd)en,  in  benen  bie  Dreisbogen  einge* 
fd)lo(fen  jtnb.  Stuf  biefe  Söeife  werben  ftch  unten  guerfl  gwei 
Suabrate,  jebeS  gu  brei  SSBürfellängen,  rechts  unb  linfs  fo  ffellen, 
baß  in  ber  SQiitte  ein  leerer  9laum  fcon  fcier  SBürfeln  bleibt 
2luf  biefe  greife  wirb  nun  baS  Siechtet  ber  93orberf!äche  beS 
Halbbogens  gebellt,  auf  beffen  SRitte  oben  gwei  Ouabrate, 
jebeS  t)on  gwei  SSBürfellängen,  gegeidjnet  werben.  2tuS  bie* 
fen  §Red)tecf flächen  muffen  nun,  mittel)!  ber  früher  angege* 
benen  £ülfslinien,  bie  Dreistbeile  auSgefdjnitten  werben,  wobei 
man  beim  §albbogen  gang  nach  Slnweifung  »on  %i$.  30  m* 
fährt,  gür  bie  in  ben  beiben  unteren  ßuaibrafen  gu  bilbenbeu 
Dreisbogen  wirb  ber  mittlere  ^üffSpunf't  in  eben  ber  2lrt  ge* 
fuebt,  inbem  man  über  bem  §5urd)fd)nitt  ber  Siagonalen  4  ein 
fd)ivad)eS  3td)tel  in  4'  gugiebt,  unb  in  ben  oberen  beiben  Öua* 
ixaten  beute  man  jt'd)  bie  Weinen,  aus  einem  fiarfen  23iertel 
beS  SlabiuS  gebilbeten  §ülfs*£>uabrate  an,  beren  nad)  innen  ge* 
fehrte  gefen  bie  mittleren  §ülfspunfte  beS  §albfreifeS  in  1  an? 
geben  werben,  worüber  §.  48.  fd)on  baS  Nähere  gefagt  ifi. 
2Ba$  bie  ftdjtbar  werbenbe  (SeitenanjTcht  biefer  oben  ffehenben 


—    98  — 


falben  ©djeibe  betrifft,  fo  fudje  man  bie  ©teile,  wo  ber  ittrücf* 
liegenbe  §alb?rei$  bie  obere  $ante  be$  $ed)tecf$  in  2  trifft, 
unb  bann  merfe  man  in  1  bie  @pi|e  an,  in  ber  ffd)  fd)einbar 
bie  beiben  Kreisbogen  fcfyneiben;  l)ier  wäre  nur  nod)  ju  berück 
jtd)tigen,  baß  t?om  fünfte  1  au$,  nad)  einem  gegenüber  gele* 
genen  fünfte  be$  SlücfbogenS  in  5,  ein  Otucf  geraber  Sinie 
ftd)tbar  werben  fann,  welches  btefe  beiben  für  unfere  2lnjtd)t 
eben  nod)  ftdjtbaren  ©teilen  ber  gefrümmten  gläcfye  aetbinbet. 

§.  54.  55ei  §ig.  35  laffe  man  bie  oben  ftefyenbe  @d)eibe 
juerfi  in  ein  Öuabrat  einfdjließen ,  beffen  fenf*  unb  wagered)te 
SfyeilungSlinien  ®urd)meffer  be$  Greife*  fmb.  (©iefje  §.  48.) 
©ie  ©urdjfdjnittspunfte  ber  diagonalen  biefer  wer  fleineren 
£}uabrate  werben  aber  f)ier  nicfjt,  wie  bieä  bei  bem  au$  ben 
beiben  Halbbogen  gufommen  gefegten  §>ofyt reife  gefcfyal),  burd) 
ein  l)inju  gefegte*  2ld)tet  ju  §>ü(f&punften  be$  Greife*  werben, 
fonbem  e$  werben  fid)  l)ierbei,  wie  bei  bem  ^albfreife  ber  t>o* 
rigen  gtgui:  bereit*  gefcfyal),  btefe  §üt$pmtü  am  einfachen 
baburd)  IjerfMen  laffen,  bafTman  in  ben  ßefen  be$  großen 
£>uabrat$  burd)  ^ülfelinien  bie  m'er  f leinen  §ülf$ *£}uabrate 
bilbet,  beren  ©eiten  ein  tfarfeS  Viertel  be$  falben  ©urcfymefferS 
begreife*  betragen,  wo  man  bann,  an  ben  nad)  innen  gefefyr* 
ten  ßefen  berfelben,  bie  fcier  mittleren  £ü(f$punf'te  für  ben  }u 
btlbenben  Ärei$  ftnben  wirb.  2>iefe  3lrt  ber  33efiimmung  jur 
Slugabe  ber  perfpeftifc>ifd)en  95erfd)iebung  be$  UmfreifeS  ber 
©djeibe,  wirb  ffd)  in  ber  golge  bei  2lufjeid)nung  berfelben,  unb 
ber  barauS  gebildeten  Steile,  als  ein  tymxtt  be$  2lnl)alt$  oft 
als  red)t  brauchbar  bewahren. 

©ie  ftd)tbar  werbenbe  perfpeftwifdje  2lnffd)t  ber  (Scheibe 
wirb  nun  baburd)  angegeben,  baß  man  ben  $Punft  beflimmt, 
wo  jtd)  unten  ter  jurütfliegenbe  Kreis  an  ber  fcorliegenben 
©ränje  ber  33iertelfd)eibe  in  5  enbigt,  fo  wie  man  aud)  oben 
in  6  bie  ©pige  ber  fjalbmonbförmigen  3ln(td)t  angiebt,  in 
weld)er  ftd)  beibe  Streife  ju  fdjneiben  fdjeinen;  bod)  i\t  hierbei 
wieber  ni$t  ju  ttergeffen,  baß  man  ben  ©Gütern  bemerflid) 


—    09  — 


mdibtj  baf5  in  ber  oberen  @ranje  bfcfer  5lnj7d)t  ein  (Stücf  d)en 
geratet?  Sinie  ju  berüdftcfytigen  tft #  welche«  bie  23erbinbung  ber 
beiden  greife  in  6,  8  bilbet,  wie  wir  bieg  fcfyon  in  t>er  vorigen 
gigur  gefunden  fyaben. 

gür  ba$  ©djattiren  ber  giguren  wate  nod)  anjumerfen, 
baß  wenn,  wie  j.  SS.  l)ier,  bie  ftd)tbar  werbenbe  ©iefe  ber 
(Sdjeibe  im  (2d)atten  iff,  bie  SinienftMe  jur  33eseid)nung  ber* 
fetten  nur  fo  weit  in  voller  33reite  fortgeführt  werben  muß, 
al$  nad)  oben  !)in  bie  SBreite  eines  auf  bie  gefrümmte  $fad)e 
mit  treibe  gesogenen  SRänbcfjenS  ffdjtbar  fein  würbe,  worauf 
bie  (Scfyattenlinie  jtd)  fanft  in  bie  fyalbe  unb  bdnn  balb  in  bie 
93iertelfldrfe  verlieren  wirb. 

6«  wäre  nun  nod)  anjumerfen,  bap  bie  red)t$  unb  linfs 
ber  @d)eibe  aufgejieflten  Viertel  berfelben  aud)  &u  Quabraten 
erganjt  werben  fonnen,  in  beren  nad)  innen  unb  oben  gefegten 
ßefen  7  man  bie  erwähnten  £ülfg;£juabrate  gur  ^eflfMung  be$ 
mittleren  £ülf$punfte$  anbettten  fann*  gig.  36  wirb  nun  nad) 
bem  bisher  ©efagten  feiner  weiteren  ßrflärung  bebürfen. 

§.  55.  S8eim  2tufjeid)nen  ber  j'egt  fofgenben,  über  @cf 
gefel)enen  Figuren,  wirb  jtd)  nun  erji  red)t  bemerflid)  machen, 
weldjen  9?u§en  bie  angegebene  Slrt  jur  gejlfMung  ber  mittleren 
%>ÜlfipmtU  be$  Greifes  für  eine  DoKe  klaffe  gewahrt,  unb  wir 
werben  nun  in  §tg.  37  einen  auf  obgenannte  SEeife  eingetfyeit* 
ten  Körper  perfyeftiwfd)  aufjeidjnen,  um  bann,  mittelfi  b*r 
in  bemfelben  gefunbenen  fünf  $ülf$punfte,  ben  Derfdjobenen 
§albfrei$  hinein  jeid/nen  ju  fonnen. 

9?ad)bem  bie  gerablinigen  §Iäd)en  in  biefer  $tdjut  per* 
fpeftioifd)  richtig  aufgejeicfynet  finb,  bilbe  man  aus  ber  93or> 
beifäd)e  beö  oberen  STörperS,  burd)  eine  mittelfi  be$  §aben$ 
beflimmte  fenf rechte  §ü(felinie,  in  1,  2  jwei  Öuabrafe,  unb 
tl)ei(e  bie  befagte  Stufe  in  brei  gleiche  Sfyeile,  fcon  tenen  ber 
oberfle  in  3/  bie  (Entfernung  be$  §a(bf reife*  t>om  9ted)tecf,  ein 
fcerfürjter  SBürfel  fein  wirb.  ge|t  fudje  man  burd)  ben  fenfr 
rechten  $aben  in  A  unb  5  aud)  ben  t>erfürjten  Söütfeltfyeil  ju 

7* 


—    100  — 


ftnben,  um  ben  ber  $attfarff  auf  jebct  (Seife  ber  unteren  Stnie 
ber  großen  SRed)tecff[äd)e  öom  @nbe  berfelben  gurüd  bleibt,  wo/ 
burd)  man  bann  bret  fünfte  für  ben  ipalbfretS  in  4,  3,  5  ge* 
funben  l)at.  3>e§t  9«^  man  aud)  bie  2)urd)fd)nittspunfte  ber 
{Diagonalen  ber  f  leinen  Öuabrate  in  6,  7  an,  bie  uns  nun  oI)ne 
weitere  SDTOfye  ben  SDWttelpunft  ber  fletnen  Öuabrate  perfpefti* 
fcifd)  richtig  geigen  werben.  SDZan  t>erbinbe  nun  bie  genannten 
«pülfSpunfte  4,  6,  3,  7,  5  burd)  eine  punffirte  Sinie  gu  bem 
tterfürgten  §>albfreis,  inbem  man  bann  bei  bem  Skl)m  ber 
Sinie  baS,  was  etwa  burd)  bie  fünfte  6  unb  7  nid)t  genau 
genug  bejlimmt  wäre,  nad)  Sluge  unb  ©efüfyl  in  einer  fd)ön 
gezwungenen  Sinie  gu  berichtigen  fucfyt.  33on  bem  ftd)tbar 
werbenben  Steile  beS  £albfreifeS  ber  Slütffläcfye  merft  man  bie 
beiben  fünfte  an,  wo  ftd)  berfelbe  fdjeinbar  in  anbeten  Sinien 
enbet,  wie  j  $3.  f)ier  in  8  unb  9,  unb  bilbet  bann  baS  ©tü<& 
cljen  Kreisbogen,  ät)n(id)  bem  Dorberen.  Sei  bem  ©urd)|td)tigs 
mad)en  ber  gigur  wirb  man  bann  bie  9^id)figfeit  ber  ^Biegung 
beS  angegebenen  (StücfdjenS  Ieid)t  prüfen  fönnen,  wenn  man 
nun  ben  tterfteinerten  §albfreis  ber  iHüdEfJacfje  burd)  eine  punf* 
tirte  Sinie  ergängt. 

95eim  <®d)attim\  biefer  gigur  fefye  man  wol)I  gu,  baß  ber 
©d)üler  aud)  bie  (Stärfenbreite  ber  ben  fcorberen  £albfreis 
umfdjließenben  Sinie  aus  ber  ftdjtbaren  @d)attenflad)e  beS 
großen  9led)tecfS  nefyme,  wie  bieS  in  ber  betreffenben  §igur  gu 
erfetjen  ijf.  S)aS  (Stüddjen  jtdjtbare  ©ränge  beS  gurücf  liegen* 
ben  §>albbogenS  wirb,  wo  l)ier  baS  Sid)t  fd)on  giemlid)  etnwtr* 
fen  fann,  burd)  eine  95ierteltfärfe  begeidjnet  werben  müffen. 

56.  3n  äfjnltdjer  SSeife  wirb  nun  aud)  gig.  38  ge* 
geidjnet,  wo  nur  nod)  gu  bemerfen  ijl,  baß  l)ier  gur  33egeid)* 
nung  ber  fidjtbaren  ©cfyattenjlädje  beS  gurücf  liegenben  SfjeüeS 
ber  gebogenen  §(äd)e  1,  2,  3  bie  breite  ber  Derminberten  motten 
(Starte  für  bie  Sinie  nun  aus  ber  gebogenen  glä'cfye  genommen 
werben  muß,  wobei  jebod)  fdjon  t?on  bem  JDiagonal-Surd^ 


—    101  — 


fcbnitt  3  an,  bie  £id)ttfral)len  wteber  tinpittm  f  innen,  baljer 
wir  l)ier  allmälig  gut;  33iertel|lärfe  übergeben. 

57.  3n  3*3  39  I)aben  wir  bie  §albbogen  aufred)t 
fyingefießt,  unb  nadjbem  juerfi  baS  ©crabltm'ge  an  ben  Äörpern 
befeitigt  ttf,  werben  ftd)  bie  fyalben  §ol)[freife  in  fcorbefdjrtebe* 
ner  21rt  leirf)t  beftimmen  (äffen,  wobei  nod)  anjumerfen  ijl,  baß 
l)ier  bie  23reite  ber  umgränjenben  ©djattenlinien  am  ipalbbogen 
linfs,  aus  ber  geraben  9?ed)tedfTctd)e,  bei  bem  §albbogen  red)tS 
hingegen  aus  ber  gebogenen  gläcfye  felbfi  genommen  wirb. 

58.  ®ie  3llfammen|Mung  beS  fcotten  Greifes  aus 
ben  beiben  £albbogen  in  §tg.  40  bebarf  nun  wofyt  feiner  wet* 
teren  ßrflarung,  ba  ftd)  fyter  nur  baS,  was  wir  an  ben  ein* 
gellten  ^afbbogen  beobad)teten,  unb  was  wir  im  §.  49  angebeutet 
IjaOen,  jufammen()ängenb  wieberfyolt. 

gür  bie  95i(bung  beS  §ol)lfreifeS  innerhalb  beS  fed)S  SBurfet 
großen  ÖuabrateS  (ftefye  §.  51)  wäre  nod)  anjumerfen,  baß  für 
bie  babet  fcorfommenben  fenf*  unb  wagered)ten  SfyeilungSlinien 
eines  foldjen  perfpeftioifd)en  QuabratS  in  tner  bergleidjen  Heinere, 
jur  ^Berichtigung  beS  mittleren  ©urd)fd)nitts  ber  genannten 
Sinien  aud)  bie  ©iagonalen  benutzt  werben  fonnen,  inbem  ber 
©urd)fd)nitt  berfelben,  in  einem  fold)en  perfteftiüifdjen  Öuabrate 
mit  bem  2)urd)fd)nttt  ber  ertfgenannten  fenf*  unb  wagered)ten 
S^eilungSlinien  genau  übereinflimmen  muß,  wenn  bei  bem  2tuf* 
jetcfynen  nid)t  gel)ler  bei  bem  Söiftren  ber  jurüdliegenben  fünfte 
uorgefommen  fmb. 

59.  3n  gtg.  41  wirb  nun  in  bie  jurütfltegenbe  Öua« 
bratßäcfye  ber  perfoeftfoifdje  ÄreiS  ganj  in  al)nlid)er  2Beife  J)in< 
ein  gejeidjnet,  wobei  man,  ju  einem  letzteren  2luffud)en  ber 
t)erfd)iebenen  §öi)en  ber  wagered)ten  Sinien,  ftd)  einen  fenf* 
red)ten  Äörper  als  ^öfyenmejfer  auf  bie  Dorbere  Äante  beS 
23rettd)enS  flellen  f'ann,  wie  in  ber  betreffenben  $igur  iu  cr< 
fefyen  ift.  Sie  untere  ©remje  ber  SÄücfjTädje  1,  2,  wirb  ftd) 
baburd)  ßuben  laffen,  baß  man  bie  angegebenen  Sinien  3,  4 


—   102  — 


unb  5,  6  verlängert,  bis  fTe  ftd)  in  bem  fünfte  i  treffen,  oon 
welchem  aus  man  bann  tue  wagered)te  ginie  1,  2  jieht. 

§.  60.  gig.  42  fann  nun  in  ähnlicher  SBeife  folgen,  nur 
wirb  man  J)ier  fd)on  in  ber  oben  beftnblid)en  Ijalben  (Scheibe, 
bie  gleichfalls  erjf  in  ein  SJtechtecf  eingefchlojfen  wirb,  bie  mitU 
leren  £ülfspunfte  ber  beiben  SBiertelfreife  in  1,  2  mittelft  ber 
in  bie  oberen  (Scfen  hinein  gebauten  perfpeftioifd)en  ipülfs* 
ßuabrate  von  ben  @d)ülern  betfimmen  laffen.  @iel)e  §.  48. 

§.  61.  Um  biefe  £ülfS*£uabrate  bei  Derfürjten  $läd)en 
auf  eine  moglid)ft  leid)te  2trt  anjuwenben,  verfahre  man  bei 
bem  Anbeuten  berfelben  in  folgenber  SBeife:  SJJan  nel)me  aus 
ber  Sinie  3,  4,  von  3  fyerabroärtS,  ein  flarfeS  Viertel  il)rer 
Sange  in  5  an,  tl)eile  auch  bieSinie  3,  6  perfpeftimfd)  in  vier 
gleiche  Steile,  von  benen  jeber  folgenbe  etwas  fleiner  als  ber 
vorhergehenbe  fein  muß,  was  (jier  nur  bem  ©utachten  beS 
3eid)nerS  überladen  bleiben  fann,  ba  ihm  bas  aSerhaltniß  biefer 
beiben  hinter  einanber  liegenben  Quabrate  ^ierju  fd)on  hmläng* 
liehe  Slnleitung  geben  wirb,  inbem  er  bei  biefem  Steilen  baS 
SBerhältniß  ber  Sange  6,  7  ju  3,  6  ins  Sluge  faßt.  Sas  vor* 
bere  SSiertel  etwas  reid)lid)  in  8  angenommen,  wirb  nun  fenf* 
recht  ^erab  bis  an  bie  Sinie  geführt/  bie  aus  5  perfpeftimfd) 
parallel  mit  3,  7  angenommen  wirb,  wo  ftd)  bann  in  bem 
fünfte  2  bie  nach  innen  gefeierte  (§cfe  beS  §ülfs^uabrats  als 
ber  Spunft  jeigt,  burd)  welchen  ber  93iertelf  reisbogen  4,  9,  6 
gejogeu  werben  foll.  ©aS  §tilfs*£>uabrat  ber  anberen  @cfe  wirb 
nun  in  gleicher  SBetfe  gefucht,  moburd)  ftd)  bann  auch  ber  fnilfs* 
yunft  1  beflimmen  läßt.  §>ie  unten  fieftenben  beiben  Sl)eile 
eines  ^albbogenS  ftnb  in  ber  früher  angegebenen  SBeife  aud) 
erfi  ju  öuabraten  ju  ergänzen,  unb  man  fann  beim  Slufjeid)* 
nen  ber  gigur  SlnfangS  einen  ber  oben  (lehenben  2>iertel  ber 
Scheibe  fo  in  ben  fcorberen  3Mertelt)ohlfreiS  hinein  fleflen,  baß 
?Punft  2  auf  2  fallt,  woburd)  ftd)  bann  ein  foldjeS  Ouabrat 
wirflid)  tytfoüt. 


—   103  — 

62.  %n  ^tg.  43  fommt  nun  tue  gan^e  <3d)eibe  l)uu 
ju,  wobei  man  bie  £}uabrat*  Grintfyeilung  für  biefelbe  nad)  bem 
bisher  hierüber  ©efagten,  unter  SBenugung  be6  aufgehellten 
£öl)enmeffer$ ,  wofyl  aufftnben  f  Birnen  wirb,  fo  wie  man  bann 
aud)  bie  m'er  §>ü(f$;£}uabrate  in  ben  (Scfen  in  oben  erwähntet* 
SGBctfe  äüUutttf  wie  in  ber  betreffenden  gigur  511  erfeljen  ift. 

§.  63.  95ei  §tg.  44  fann  man  nun  ben  im  2fuffaffen 
ber  gebogenen  Sinie  fdjon  etwas  geübteren  @d)ü(ern  bas  2ln* 
beuten  bes  D^rbecft  liegenben  SfycileS  ber  §(äd)en  allenfalls  er« 
laffen,  inbem  fte  fyier,  um  ju  große  SBerwirrung  ber  Stuten  ju 
fcermetben,  nur  ben  perfpeffwifd)en  ©runbriß  anjubeuten  nötl)ig 
fyaben. 

64.  23ei  (Srflarung  biefer  fytguren  muß  nun  über* 
(jaupt  wäfyrenb  beS  2lufsetd)nenS  berfelben,  ber  fiefyrer  baS  ju 
23errid)tenbe  mit  ben  (Schülern  tnelfeitig  befpred)en,  wobei  bie 
(enteren  burd)  jfeteS  fragen  angeleitet  werben  muffen,  alle* 
möglich  felbfi  aufsuß'nben,  unb  ftd)  babei  über  bie  2lrt,  wie 
fte  eS  gefunben  l)aben,  ieutlid)  auSättfpred)en,  inbem  gar  nid)t 
genug  barauf  gehalten  werben  fann,  baß  bie  @d)ü(er  ftd)  aud) 
ber  Urfacfye  red)t  bewußt  werben,  warum  ein  ÄSrper  in  biefer 
2lnftd)t  gerabe  fo  unb  nid)t  anberS  erfcfyeint.  ©er  Seljrer  muß 
bafyer  ftrenge  barauf  galten,  baß  ja  fein  gebanfenlofeS  9?acfyal)men 
beffen,  was  fte  an  anberen  3*'d)nungen  gefeljen  fyaben,  bei  ben 
<3d)ü(ern  an  bie  ©teile  beS  fetb|ltl)ättgen  @d)affen$  trete, 
unb  wirb  fte  ber  Sefjrer  fortwäI)ren&  auf  bie  in  ber  erßen 
2tbtl)ei(ung  gegebenen  perfpefttotfd)en  @efe§e  jurürf  ju  führen 
tjaben 

Sei  &erfel)lten  3*id)nungen  ßinjefner  (äffe  man  bon  anbern 
@d)ülem  bie  gemad)ten  gel)fer  auffud)en  unb  laut  nadjweifen, 
wobei  ber  Sefyrer  immer  (Gelegenheit  jtnbet,  über  ben  betreffen* 
ben  §all  alle  red)t  &ut  @td)erl)eit  ju  bringen. 

65.  Um  nun  aber  in  ber  klaffe  fd)on  ben  (2d)ü* 
lern  einige  Anleitung  ju  geben,  wie  bei  IjäuSlidjen  Aufgaben 
frummlinige  ©egenfianbe  aud)  als  unter  bem  Sfugpunff  fceftnb^ 


—   104  — 


lieh  gezeichnet  werben  fetten,  laflfe  matt  einige  ber  in  ben  2Iuf* 
Rettungen  auf  bem  SSrettdjen  Dorgefommeneu  giguren,  nach  ber 
im  §.  34  tiefer  Stufe  angegebenen  SSBeife,  nun  eben  fo  tief 
unter  bem  2lugpunft  ge|Mt  jeichnen,  als  fte  jtd)  vorher  über 
bemfelben  befanden,  woju  man  58.  gig.  30  unb  31  u.  f.  w. 
wäl)(en  fann,  tnbem  babei  für  ba$  Stuffuchen  ber  £ü(f6punfte 
gan$  ba$  oben  angegebene  Verfahren  ju  beobachten  ijt.  (Siehe 
ein  SSetfptet  m  gig.  45. 

§.  66.  Sftun  fann  man  bie  erwähnten  häuSlidjen  Uebun* 
gen  biefer  2lrt  folgen  laffen,  woju  man  runbe  $ifd)e,  gefdjweifte 
Sftßbel,  ©efäfe  unb  anbere  berg(eid)en  ©egenflänbe  mehr  wäf)$ 
len  fann,  wo  jtd)  bann  ber  (Sinn  ber  (Sd)üler  für  ein  rid)tige$ 
freiet  Sluffaffen  ber  95erfd)tebungen  gebogener  gläd)en  immer 
mehr  auSbilben  wirb,  bis  fte  batyn  fommen,  auch  ohne  bie  gc* 
nannten  93orrid)tungen  in  ben  §ü(f^£2uabraten  begleichen  @e* 
genßänbe  richtig  aufjufaffen. 

§.  67,  hiermit  werben  wir  nun  bie  Uebungen  ber  jwei* 
ten  (Stufe  fchliefen,  um  bann  bie  <Sd)üler  in  ber  folgenben 
btittm  jur  fcottfommenen  Ausführung  ber  geraben  unb  gebo* 
genen  gladjen  nad)  (Schatten  unb  2id)t  führen  ju  fonnen;  bod) 
würbe  ftch  atfd)  fd)on  mit  bem  beenbigten  Unterridjte  ber  jwet* 
ten  (Stufe  ba$  erreid)en  (äffen,  was  für  bieS  ©bjef  t  bes  Untere 
richfS  für  bie  (Schule  im  Sittgemeinen  geforbert  werben  fann, 
tnbem  ba$  hierbei  ©rlernte  für  ben  23ebarf  beS  ^äuelidjen  2e* 
benS  auSreidjenb  ift,  unb  auch  fo  ber  3eid)nenunterrid)t  als  att* 
gemeines  33ilbungSmittel  feinem  Swecf  entfprochen  ^aben  wirb. 

§.  68.  ßine  befonbere  Stufmerffamfeit  werben  wir  nod) 
barauf  ju  serwenben  ^aben,  wie  man  (Sdmler,  bie  ihren 
feiten  nach  auf  fcerfchiebenen  (Stufen  beS  3^d)nenunterrichtö 
flehen,  in  berfelben  (Stunbe  fo  neben  einanber  unterrichten  fonne, 
baß  bod)  atte  babei  möglichfi  geforbert  werben,  unb  ber  Unter* 
rieht  ber  einen  Abteilung  ber  ^Belehrung  ber  anbern  fo  wenig 
als  möglid)  in  ben  Sßeg  trete. 


—   105  — 


Sreilid)  wäre  e$  am  wünfd)en$werthef?en,  wenn  bie  Sd)ü* 
(er  in  gefonberte  Stoffen  geseilt  werben  tonnten,  bamit  fo  ber 
Unterricht  jeber  Stufe  für  ftd)  aHein  betrieben  würbe;  ba  bieS 
aber  burd)  räumliche  unb  anbere  93erl)d(tni'(Te,  fo  wie  burd)  ba$ 
öftere  eintreten  neuer  (Schüler  unb  fel)r  ungleid)e$  gortfebreiten 
ber  t)orl)anbenen  in  ben  meinen  Sdjulen  unmöglid)  wirb,  fo 
muß  ber  £el)rer  alte  93ortl)eile  geltenb  ju  machen  wifjen,  um 
bie  wenige  bem  3^d)nenunterrid)te  gewibmete  3C^/  öuf  tos 
S3e(le  ju  benutzen.  23efonber$  wirb  ber  Unterrid)t  in  ber  erfien 
unb  jweiten  Stufe  am  Ijaujtgjfen  ju  öerbinben  fein,  unb  gerabe 
biefe  23erbtnbung  bietet  bem  2el)rer  bie  meifk  Scbwierigfeit 
bar.  3>d)  werbe  nun  hier  einige  ipülfSmittel  anzugeben  fudjen, 
bie  ber  Sefyrer  babei  gewiß  mit  93ortheil  anwenben  wirb. 

%üx§  erfle  wirb  e$  nötbig  fein,  bie  3eid)nenflunben,  bereit 
gewöhnlich  jwei  auf  bie  SBodje  fallen,  nicht  einjeln,  fonbem 
hinter  einanber  ju  legen,  ba  e$  Mi  motten  Staffen  immer  fdjon 
einige  3^'t  fojiet,  ehe  Sllleä  angeorbnet  unb  ben  fcerfchiebenett 
2lbtheilungen  ihre  23efd)äftigung  angewiefen  unb  erflart  worbett 
tff,  wo  bann  in  ber  erften  Stunbe  faum  2llle$  red)t  in  ben  @ang 
gefommen  fein  wirb,  wenn  biefelbe  fd)on  wieber  gefd)Ioffen  wer* 
ben  muß.  93ei  hinter  einanber  fallenben  Stunben  fann  ftd)  ber 
Sebrer  baburd),  baß  er  ben  beiben  ^auptabtheilungen  feiner 
Klaffe,  gewöhnlich  ber  erfien  unb  jweiten  Stufe,  jeber  eine  ber 
Stunben  ttorjüglid)  wibmet,  bie  ©ad)e  fefjr  erleid)tew,  inbem 
er  bie  Sd)üter  ber  anbern  2lbtl)eilung  unterbeffen  ba$,  wa$  er 
ihnen  vorher  angejeigt  unb  erflärt  hatte,  t)erflcüen  läßt,  unb 
bajwifd)en  biejenigen  (Schüler,  bie  ftd)  feine  93erathung  erbitten, 
einjcln  ju  ftd)  hin  ruft/  um  fo  auch  ^n  etwa  Dorhanbenetr 
Sd)ülem  ber  britten  Stufe  baSjenige  anbeuten  ju  fönnen,  wa$ 
nacl)  bem  früher  durchgenommenen  ihnen  leicht  fcerflänblich 
fein  wirb. 

§ter  wäre  noch  wegen  ber  Sd)üler  ber  erfien  Stufe  ju 
bemerken,  baß  ber  Sefyrer  balb  ftnben  wirb,  wie  ein  großer 
Sh^tl  biefer  Schüler,  befonberS  bie  jüngeren  unter  benfelben, 
ungeachtet  aller  feiner  ^Bemühungen,  noch  eine  ganje  fy'ti  fo«8 


—   106  — 


btngeben  werben,  obne  baß  jte  bie  gertngfTe  ©pur  einer  ffd» 
entwiefelnben  $tid)nmtvtft  funb  geben,  unb  ber  Setyrer  wirb 
hierbei  wobl  tbun,  wegen  feiger  baä  gortfdjreiten  anberer 
<Sd)üIer  niebt  aufjubalten,  ba  et  bie  erpgenannten  burd)  ba$ 
9?ad)bilben  gerabeliniger  formen  t>oc^  nü|lieb  befebäfttgen  fann, 
bis  bann,  für  jte  oft  ganj  pltyttd),  ein  Seitpunft  eintritt,  wo 
ber  S3ilbung$trieb  bei  ibnen  ftdjtbar  erwacht,  worauf  man  fte 
bann  balb  ju  ben  Uebungen  ber  ^mitm  Stufe  julaffen  fann. 

Sen  geübteren  ©d)ülern  ber  erfien  ©tufe  geflatte  ber 
Sebrer,  bie  geometrifdjen  33orberfIäcben  fold)er  Figuren  mit  auf* 
jujeiebnen,  bie  für  bie  @d)üler  ber  ^miten  (Stufe  auf  ba$ 
93rettd)en  gejießt  jtnb.  Sollte  aber  ber  größere  Sbeil  ber 
Sdjüler  einer  Älaffe  ffcf>  für  ben  Unterriebt  ber  jweiten  (Stufe 
eignen,  fo  fann  ber  Sebrer  für  foldje  ©d)üler,  beren  3*id)new 
fraft  nod)  febr  unentwicfelt  erfd)eint,  jtd)  als  2luel)ü(fe  foleber 
93orlegeblätter  bebienen,  auf  benen  einfädle  gerabelinige  giguren 
au$  bem  Sebrgang  ber  erften  Stufe  in  vergrößertem  SKaßjJab 
bargefieöt  jtnb,  tnbem  er  baburd)  bie  lederen  angemefien  be* 
fd)äftigen  fann,  wäfyrenb  er  in  feinem  Sebr&ortrage  bie  erjt< 
genannten  befonber*  ju  förbern  fud)t.  2>a  aber  aud)  bei  ben 
Sd)ülern  berfelben  2fbtf)eilung  fd)on  ein  ungleidjeS  gortfebreiten  in 
leid)ter  2luffaffung  unb  fauberer  ©arflellung  ber  erflarten  gt'gu* 
ren  bemerflid)  werben  wirb;  fo  fann  ftd)  ber  2ebrer  befonberS 
für  bie  jweite  Stufe  baburd)  febr  Reifen,  baß  er  bie  geübteren 
3eid)ner,  bie  il)re  gtguren  eber  als  anbere  gut  fcollenbet  bäben, 
etwa*  t)om  Unterriebt  ber  folgenben  itittm  Stufe  voraus  neb* 
men  läßt,  inbem  er  ibnew  erlaubt,  wäl)renb  ber  %t\t,  baß  ibre 
9Jtitfd)üler  berfelben  2lbtt)ei(ung  ibre  giguren  fcolfenben,  ober 
foldje  t^erbefferu  müffen,  ftd)  fd)on  im  2lu$fd)attiren  gaujer 
gladjen  oerjuüben,  wobureb  iljre  2uji  an  ber  Sad)e  immer  rege 
erl)alten  wirb. 

§.  69.  ©n  gutes  §>ü(f$mittel  ju  einer  fpecielleren  33e* 
auffiebtigung  bei*  gortfebntte  einzelner  Sd)üler  wirb  eö  aber 
fein,  wenn  ber  Setyrer  immer  nacb  Verlauf  einiger  Stunben  bie 


—    107  — 


3eid)nenbüd)er  jufammennehmen  lägt,  um  biefelben  gu  £aufe 
genauer  burd;feben  ju  fcnnen,  als  bieg  in  ben  ©tunben  möglich 
ift  inbem  er  bann  an  ben  Sricfymmgen  mit  9iotl)jlein  bie  ge* 
funbenen  geiler  anmerft,  unb  burci)  eine  baruntergefefjte  %ahlf 
etwa  &on  1  bis  6,  ben  SBerth  ber  j^fttötng  fepjufieffen  fud)t, 
worauf  er  bann  bie  93erfe§ung  ber  @d)üler  nad)  ber  ©üte 
ihrer  Arbeit  anorbnen  fann,  woburd)  ein  reger  SBetteifer  bei 
benfelben  erhalten  wirb. 

©ne  folcfje  ?lrt,  ben  3*id)nenunterrid)t  leiten,  nimmt  nun 
frei(td)  3*it  unb  SO?ü^e  beS  SehrerS  ungleich  mehr  in  2lnfpruch, 
als  ber  früher  gebräuchliche  Setrieb  beffelben  burd)  beliebig  aus* 
geseilte  93orlegeblätter;  aber  gewiß  wirb  auch  ber  grfolg  beS 
Unterrichts  bem  auSbauernben  SBejfteben  beS  SebrerS  2lnerfen* 
nung  bringen,  ba  ftd)  jeber  @d)ulfreunb  leicht  überjeugen  wirb, 
baß  nur  auf  biefe  2ßeife  ber  3eid)nenunterrid)t  auf  bie  allge* 
meine  23ilbung  fcortbeilbaft  einwirfen  fann. 

§.  70.  3n  ben  häuslichen  Uebungen  ^aben  nun  bie 
@d)üler  bisher  bie  2Jnftd)ten  einzelner  35auwerfe,  9)?cbel,  @e* 
fäße  u.  f.  w.  ausgeführt;  um  nun  aber  baS  Stufnehmen  ganjer 
2tn(tchten  an  baS  bisher  verfolgte  Verfahren  angufnüpfen,  unb 
jeben  babei  Dorf  ommenben  Saß  auf  baS  früher  ©agewefene 
jurücfführen  gu  fönnen,  will  ich  hw  einige  SDiittel  angeben,  bie 
babei  ben  ©chüler  (td)er  leiten  fonnen.  \ 

@S  foll  j.  33.  ein  3immw  gejeid)net  werben,  an  beffen 
einem  (Snbe  ber  S^ner  feinen  ©tanbpunft  wählt,  bamit  er  fo 

ben  Sheil  beS  3tmmetr^#  ^er  1)011  M*fer  °l)n*  35er* 

anberung  beS  SlugpunfteS,  bequem  uberfeljen  werben  fann,  auf 
fein  Rapier  bringen  fönne.  £iergu  muffen  wir  uns  aber  einen 
fenfred)ten  £)urd)fd)nitt,  ber  mit  ber  §interwanb  parallel  läuft, 
burch  baS  ^immct  gelegt  teufen,  ben  man  ffd)  als  eine  große 
©lastafel  uorßeflen  fann,  unb  ber  fo  weit  oon  bem  3eid)ner 
entfernt  fein  muß,  baß  biefer  ihn,  ohne  23eränberung  feines 
SlugpunfteS,  feiner  gangen  25rcite  unb  §>öl)e  nad),  beutlich  über* 
fcijen  fann,  weldje  Entfernung  minbefienS  fo  viel  als  bie  $älfte 


—   108  — 


ber  griffen  Sänge  beS  ©urd)fd)nitt$  befragen  muß.  SDIan 
Jahn  babei  ben  SInfängern  fcabtirc^  jtt  §ülfe  fommen,  baß  man 
an  Ut  gehörigen  ©teile  beS  gußbobenS  eine  Smfe,  g.  93.  eine 
gtige,  wählt,  ober  biefefbe  burd)  einen  (Strid)  ober  Eingelegte 
(Schnur  bilbet,  wo  bie  Safel  ben  23oben  berühren  foll,  weld)e$ 
bann  unfere  @r  unb  Ii  nie  fein  wirb.  3tn  ber  einen  (Seiten* 
wanb  beS  Simmers  fann  nun  ber  fenfredjte  S)urchfd)nitt  ber 
Safel  an  betreiben,  burd)  einen  aufgehellten  (Stab  ober  auf  eine 
anbere  paffenbe  litt  an  ber  SBanb  t)inauf  bejeidjuet  werben, 
welche  Sinie  nun  unfern  £6fyenmeffer  bilben  foll.  2luf  bei* 
ben  genannten  Sinien  fann  nun  eine  gowiffe  2tnjal)l  t>on  glei* 
d)en  Sfjeilen  burd)  barauf  gefegte  SheilungSpunfte  angegeben, 
tinb  baffelbe  an  ben  betreffenben  Sinien  ber  Seicfynung  fcerflei* 
nert  wieberholt  werben,  worauf  bann  baS  weitere  Verfahren 
Ui  bem  2lufjeid)nen  ber  (Stube  ganj  bem  g(eid)en  wirb,  was 
wir  bereit  früher  bei  bem  getanen  einfad)er  SörperauffMun* 
gen  auf  bem  SSrettchen  fennen  gelernt  haben,  inbem  nun  jeber 
yerfpeftwifd)  ju  beflimmenbe  Sßunft  ber  t)inter  ber  ©laSfafel 
bejtnblichen  öbjefte,  mittelfl  beS  baraufgel)altenen  gabenS,  feiner 
breite  unb  £öl)e  nad),  gefugt  unb  auf  ber  3^id)nung  wiebetf 
angegeben  werben  fann,  wie  bieg  im  Slnfang  ber  imitm  (Stufe 
bereits  ausführlicher  angegeben  worben  ifl. 

9?ad)bem  man  fo  auf  bem  Rapier  ein  $ed)tecf  erhalten 
l)at,  welches  baS  Verhältnis  beS  3'nmwS  im  ©urfchnitt  beffel* 
Jben  nad)  breite  unb  §>öf)*  rid)tig  barflellt,  fud)t  man  bie  m'er 
©den  ber  entgegenftehenben  SBanb  beS  Stornier*  auf  bem  ©urd)* 
fc^nitt  ber  Safel  fefijujießen,  uerbinbet  biefelben  burd)  bie  ge* 
porigen  Sinien,  unb  sieht  t>on  ben  ßefen  biefer  £interwanb  aus, 
je  nad)  ber  betreffenben  @cfe  beS  uorberen  2Durd)fd)nittS  Sinien, 
mittelfl  welcher  man  bann  bie  oberen  unb  unteren  ©ränjlinien 
ber  (Seitenwänbe,  wo  biefe  an  SDede  unb  gußboben  flößen, 
gefunben  haben  wirb.  Surd)  Verlängerung  biefer  wer  in  baS 
S3ilb  t)tnetnaet)enbcn  Sinien  bis  ju  einer  (Stelle  in  ber  hinter* 
wanb,  wo  fte  jufammentreffen,  wirb  ftd)  nun  ber  Slugpunft 


—   109  — 


befltmmen  [äffen,  ttacf)  welchem  tjiti  ftd)  alle  übrigen  red)twinflig 
In  ba$  23ilb  fyineingeljenben  Stnien  jieljen  muffen. 

$ür  ba$  Slufieidjnen  ber  in  bem  gtmmer  bcftnbltc^en  ©e* 
genjtanbe  bebarf  e$  nun  wofyl  feinet*  weiteren  (Srflärung,  inbem 
man  babet  nur  immer  bie  (Stelle  in  ber  Safel  aufjufucfyen  fyaf, 
in  ber  ftd)  bie  ©runblinie  etneS  fold)en  ©egenflanbeS  jeigeti 
wirb,  auf  weld)er  man  bann  bie  betreffenben  (Sadjen,  ganj  in 
ber  früfyer  angegebenen  2lrt,  ausführen  fann. 

§.  71.  6ben  fo  würbe  man  beim  2lufjeid)nen  einer  2In* 
ftd)t  t)on  mehreren  ©ebäuben  u.  f.  w.  Derfafyren,  inbem  man 
fid>  l)ierju  im  freien  burd)  eine  in  bie  @rbe  gefurchte  Stute  eine 
©runblinie  bilben  fann,  bie  mit  bem  einen  6nbe  an  eine  §au$* 
eefe  ober  einen  SSaumffamm  u.  f.  w.  trifft,  n>elc^e  ©egenflänbe 
man  bann  jum  §ß^enmeffer  wäfylt,  ttnb  an  btefen,  fo  wie  att 
ber  ©runblinie  felbf?,  mehrere  gleidje  Steife  anzugeben  fud)f, 
bie  man  bann,  auf  bem  t>orl)abenben  Rapier,  in  gleicher  2Betfe 
antragen  muß. 

Sa  e$  aber  oft  bie  Umffänbe  niefit  geflatten,  baß  man  ftd) 
bergleidjen  (Scalen  in  ber  9?atur  wirfltd)  anbringen  fann,  fo 
fiabe  id)  mid)  bemüht,  ein  Littel  äuäftnbig  $u  mad)en,  burd) 
welcfyeS  man  auf  eine  einfadje  unb  letd)te  2lrt  tiefen  SKanget 
erfegen  fann.  ?DJan  nefyme  ein  fd)male$  Sineal  ober  ein  gera? 
be$  fanttgeS  (Stäbd)en,  etwa  fcon  ber  Sänge  be$  jum  Aufseid)« 
nen  gewöljntid)  gebrausten  Rapiers,  tfjeile  tiefen  Sflaßffab, 
ber  üon  fyeller  garbe  fein  muß,  auf  ber  einen  (Seite  burd) 
fräftige  bunfle  <Strid)e  in  3^11  große  Steile,  unb  befefiige  in 
ber  Sttttte  beffelben  einen  gaben  t)on  gleicher  Sänge  mit  biefem 
(Stab,  inbem  man  ba$  anbere  Ornbe  biefeä  gabenS  mit  einem 
Änoten  Derftefit;  tiefen  faßt  nun  ber  3*id)ner,  nacfytem  er  feine 
2lnftd)t  gewählt  l)at,  mit  ben  9}orberjäf)nen  fetf,  unb  t)ält  ben 
(Stab  fo  weit  ab,  ate  e$  ber  gaben  erlaubt,  in  ber  §öl)e  ber 
©runblinie  t>or  ftd)  fitn,  worauf  er  bann,  ba$  eine  Sluge  fd)lie* 
ßenb,  ftd)  auf  biefer  fo  gebildeten  ©runblinie  letdjt  btejenigen 


—    HO  — 


Sfyefte  wirb  anwerfen  unb  abwählen  tonnen,  in  weldje  bie 
l)auptfäd)lid)fien  95rcttenbe(Hmmnngen  ber  2In|?d)fen  hineinfallen 
werben.  SKan  bre()t  nun  ben  (Stab  in  bevfclben  Gbene  biä  jur 
(entrechten  Stiftung  fyerum,  unb  bemerft  an  bem  fo  gebilbetett 
£Öhenmeffer  bie  f)auptfäcl)Itc^ffen  £öbenbejlimmungen  biefer  2lrt, 
weld)e$  Verfahren  mm  ganj  mit  bem  biötjer  gebrauchten  in 
Uebereinflimmung  gebracht  werben  fann,  inbem  man  bie  (Sd)ü* 
ler  barauf  aufmerffam  mad)t,  wie  ftd)  nun  auf  bem  Rapier  bic 
perfpeftit>ifd)en  fünfte.  leicht  bejlimmen  (äffen  werben ,  wenn 
man  bie  ©runbline  beffelben  in  eben  fo  Meie  gleiche  Steife  tbeilt, 
als  wir  beren  auf  bem  SRapjlab  fyaben,  tbelcbe  (Scala  bann  aud) 
auf  ber  einen  (Scitengränje  be$  Rapier*  {(^aufgetragen  wirb. 
Um  ju  fcerhinbern,  bap  man  beim  23iftren  in  biefetr  SBeife  mit 
bem  (Stabe  nid)t  unbemerft  aus  ber  (Sbene  ber  Safel  weid)e, 
fann  man  eine  SBage  üon  jwei  gleich  langen  §äben,  bie  an  ben 
beiben  ©üben  be$  (Stabes  befejligt  fmb,  bilben,  weld)e  bann  in 
ben  fötoten  beS  erjlgebad)ten  Gabens  jufammentreffen  werben, 
unb  man  wirb  fo  beim  SBift'ren  bittet»  ein  gleichmäßige*  (Straff« 
halten  biefer  ©nbfaben  ein  Littel  ftnben,  feinen  Sftapjlab  immer 
moglid)fi  in  berfelben  ßbene  fenf*  unb  wagerecht  ju  bewegen. 
3n  Saf.  X.  gfg.  20  ift  ein  folcher  (Stab  abgebilbet.  9?od) 
wäre  hierbei  anjumerfen,  bap  man  bie  Sfteffungen  biefer  2frt 
nid)t  ju  weit  son  bem  Stugpunft  entfernt  nehmen  barf,  fnbem 
fonfl  leid)t  Unrichtigfeiten  entfielen  fönnfen,  fo  wie  auch 
9Jfapffab  nur  bann  ganj  juberlafjtg  fein  wirb,  wenn  man  tljn  fo 
halt,  bap  bie  Sttitte  beffelben  gerabe  in  ben  Slugpunft  fällt. 

©nigeä  9?ad)benfen  unb  hinjufortimen&e  Erfahrung  werben 
bem  (Schüler  biefeS  fo  leicht  anweisbare  SRittel  gewip  balb  ge* 
läufig  unb  im  Anfange  ganj  unentbehrlich  machen,  inbem  nur  fo 
bei  einem  flüchtigen  #uffaffen  lanbfd)aftlid)er  ©egenflänbe,  wie 
bieS  j.  23.  auf  SJieifen  gewohnlid)  mit  möglich  iff,  bie  größte 
©enauigfeit  erjielt  werben  fann,  wo  bann  bie  einzelnen  Sheile, 
nach  ben  auf  bem  Rapier  wieber  aufjufudjenben  perfyeftwifd)en 
23eftimmung$punften,  bei  mehrerer  SRupe  aud)  im  §aufe  leicht 
ausgeführt  werben  fönuen. 


—  111  — 


©oflfe  biefe  Arbeit  beifatftg  aufgenommen  werben,  fo  benfe 
idj  in  einem  fclgenben  23änbcfyen  eine  fafilidf)e  Anleitung  jum 
Sanbfcfyaftseidjnen  nad)  ber  9?atur  ju  geben,  wo  id)  befonber* 
ba$  3**^nett  &er  ^ume  to  vereinfachten  unb  für  jeben 
leicht  anwenbbaren  2lrt  betyanbefa  werbe. 


©ritte  ©tttfe. 


2tu&}eful)rfe$  geic^nen  »Ott  Äorpem  tmi>  SRatutr^ 
gegenflän&en. 

§.  1,  9?ad)bem  feer  Schüfet?  auf  fcer  vorigen  (Stufe  bie 
SBirfung  be$  93or*  unb  3urüd!treten$  ber  Körper,  nad)  ben  per* 
fpeftwifdjen  ©efegen  in  23ercmberung  ber  §orm  unb  ©röße  ber 
glasen  fennen  gelernt  hat,  unb  er  biefe  gläd)en  aud)  nad) 
©cljatfen  unb'£id)t  ju  unterfdjeiben  unb  fotrd)  bie  umgränjen* 
icn  Sutten  anjubeuten  weiß;  fott  er  t)teü  ba$  ©eternte  in  fcoK* 
ßänbiger  2(u$fül)rung  Jjerjufteflen  angeleitet  werben. 

Söir  werben  hierbei  wieber  mit  ben  geraben  %läd)tn  be* 
ginnen  muffen,  um  bann  ju  ben  einfad)  gebogenen  in  ber  SBafje, 
unb  enblid)  jur  Äugelftöcfye  übergeben  gu  lohnen. 

2.  £>ierju  wirb  e$  aber  nötfy'g  fein,  bie  ©Etiler  über 
bie  S3eteucf)tung  ber  ©egenjlänbe  etwas  näfyer  ju  unterrichten, 
unb  befonberS  bie  S3ilbung  ber  @d)Iagfd)atten,  bie  hierbei  nid)t 
meljr  umgangen  werben  fönnen,  näfyer  in»  2Cuge  gu  faffen. 

6$  tatin  frei(id)  ni*t  bie  Meinung  fein,  baß  fyier  bie  Seljre 
Don  (&d)attm  unb  Sicfyt  auSfüfyrlid)  abgefyanbeft  werben  fotf,  im 
bem  bieg  für  unferen  3»*cf  ju  weit  führen,  unb  ein  eignet  33ucfy 
erforbern  würbe,  beren  bereite  über  biefen  ©egenffanb  mehrere 
Dorl)anben  jtnb;  id)  muß  mid)  fyier  nur  barauf  befd)ränfen,  bat* 
jenige  anjufüt)ren,  was  für  ben  @djulunterrid)t  jur  fcoHfommenen 
2luefüf)rung  ber  bisher  gebraud)fen  einfad)en  f^aturforper  nad) 
©djatten  unb  2id)t,  wenn  jte  aud)  unter  ben  SUigpunft  ge|Mt 


—   113  — 


gefehlt  werten,  unenfbehrlid)  nothwenbig  wirb,  womit  ftd)  bann 
fd)on  cm  @nmb  legen  lägt,  auf  weldjen  in  bet  golge  bie  wei* 
teren  Belehrungen  hierüber  forfgebaut  werten  fönnen. 

§.  3.  SSBir  werten  un«  babei  tust  ber  einfachen  2Crt  ber 
Beleuchtung  bebtenen,  tnbem  wir  annehmen,  baß  bie  Körper  fo  t>om 
<Sonnenlid)t  getroffen  werben,  baß  bie  (Strahlen  tton  UnU  unb  oben 
auf  biefelben  herabfallen,  wie  wir  bieg  fdjon  bei  bem  Sfnfen* 
fchatten  ber  gtguren  ber  jweiten  (Stufe,  jebocf)  ohne  Berti* 
ftd)tigung  ber  <Sd)lagfd)atten,  gethan  haften.  Sttan  wirb  bie 
(Schüler  barauf  aufmerffam  madjen  muffen,  baß  hier  in  ben  2luf* 
Teilungen  auf  bem  Brettchen  nur  wenig  <Sd)Iagfd)aften  bemerfbatr 
flnb,  aufer  wenn  ber  eine  Körper  etwa  fo  fleht,  ba{5  er  ben 
hinter  ihm  jtehenben  fcerhinberf,  mit  feiner  bem  Sichte  gugefehr* 
ten  (Seite,  bajfelbe  aufjufangen,  woburd)  bann  fotdje  Slächetr 
aud)  aW  im  (Statten  erfdjeinen  werten.  @s  liegt  aber  biefem 
Langel  an  (Schlagfdjatten,  hier  hauptfächlid)  bie  aus  anberit 
Wrfachen  nötige  SluffMung  ber  Körper  über  bem  Slugpunft 
jum  ©runbe,  woburd)  einesteils  bie  meifl  auf  bie  Öberflf äd;en 
ber  ^ot^er  fattenben  @d)lagfd)aften  nid)tgefel)en  werten  fönnen, 
imb  anberntheils  wirb  bie  Beleuchtung  ber  Körper  im  %\m', 
mer  gewöhnlich  nid)t  fo  wirf'lid)  sorhanben  fein,  wie  wir  fte 
annehmen  muffen,  ba  bie  genfer  meijt  weiter  hetabreichen,  als 
an  ber  Sßanb  bie  (Stelle  ift,\  wo  bie  2luffietlung  gemad;t  wer* 
ben  fann,  wo  bann  natürlid)  aud)  Sid)tfirahlen  t>on  unten  her 
auf  ben  Körper  einwirf en  fönnen;  unb  auch  in  bem  gängigeren 
galle,  wenn  baS  Sicht  nur  t)on  oben  einfällt,  wirb  man  bocfy 
feiten  reinem  (Sonnenlicht,  fonbern  gewöhnlich  immer  bie  allge* 
meine  Simmerbeleuchtung  haben,  in  weldjem  §all  bic  &<f)U$* 
fd)atten  in  gorm  unb  ©tätfe  gegen  unfere  Sinnahme  fcerän* 
bert  erfcheinen. 

Siefe  mannigfaltigen  Beränberungen  ber  Beleud)fung  wer* 
ben  wir  hier  nun  fürs  erfie  noch  unberücfftdjtigt  laffen,  unb  bie 
(Schüler  baju  anhalten,  baß  fte  ftd)  mit  ber  richtigen  2lb(lufung 
ber  Körper  nach  ©chatten  unb  £id)t,  unb  ben  »orfornmenben 

8 


—   114  — 


<Sd)lagfcf)aften  in  bem  genannten  einfadjjlen  galt  t»ee  SBeleudj* 
tung  red)t  vertraut  ju  madjen  fud)en,  ba  ftd)  ba6  SBeiterfol* 
genbe  Ijteran  anfnüpfen  laffen  wirb,  woju  id)  am  (Snbe  ber 
©tufe  nod)  einige  2lnbeutungen  geben  werbe. 

4.  SBir  wollen  uns  olfo  nun  in  ben  näd)|len  giguren 
mit  bem  genannten  galt  näfjer  befannt  machen,  unb  Sterbet  mit 
bem  einfachen  (SubuS  anfangen,  beffen  perfpefffoifdje  2lnjtd)t  wir 
fo  wählen,  baß  er  unter  bem  2lugpunft  unb  linH  &on  bemfel* 
ben  tfel)t,  wie  bieS  auf  Saf.  IX.  gig.  1  ju  erfel)en  tff, 

SBenn  ba$  Sidjt  fo  auf  tiefen  SSBürfel  fiele,  bafü  es  ben* 
felben  *>on  Dorn  beleud)tete,  wo  bann  bie  (Sonne  im  Siücfen 
be$  S«^***  tfänbe,  fo  würbe  jtd)  ber  (Scfylagfdjatten  be$  SÖür* 
fete  in  ba$  95il&  fein  ein  erflrecfen  muffen;  flanfcefcie  (Sonne 
aber  hinten  im  SBilbe,  fo,  baß  fte  bem  Seidjner  in$  @eftd)t  fdjeinen 
fönnte,  fo  würbe  ftd)  ber  @cfylagfd)atten  nad)  Dorn  bem  Seid)* 
ner  entgegenfireef en ;  f)ier  aber,  wo  fte  feitwärts  mit  bem  Seidjner 
in  gleicher  $id)tung  angenommen  iji,  werben  bie  fenfrecfyten  ©ran* 
jen  wageredjte  <Sd)Iagfd)atten  auf  ben  23oben  werfen  muffen, 
b.  I).  bie  bem  Sickte  abgefegte  (Seite  be$  Körpers  wirb  iljr 
S3ilb  im  <Sd)lagfd)atten  alö  ein  perfpeftfoifdjeS  Siedjted  jetgen, 
inbem  bie,  wegen  ber  großen  (Sntfernung  ber  (Sonne,  immer 
parallel  fallenben  Sidjtffrafylen,  an  ber  93orber*  unb  SWcffeite 
be$  SBürfetS  fcorbetftretfen,  unb  bie  Silber  ber  Sintert  ab  unb 
de  in  ae  unb  df  auf  bie  ©runbpcfye  werfen,  lieber  bie  red)t* 
wtnflig  Don  ber  ©runbltnie  in  ba$  33tlb  fyineingeljenbe  obere 
©ränje  ber  bc\djatktm  (Seitenfläche  bc,  faden  mm  bie  2id)t* 
jirafylen  l)inweg,  unb  geben  ba$  83ilb  biefer  Sinie  in  ef,  we(d)e 
le|tereSinte  ftc^  aud)  nun,  als  parallel  mttbc,  nad)  bem  2lug* 
punft  hingen  muß. 

5.  ©er  in  bem  @d)attenprföma  abefe  eingefc^foffene 
SStoum  wirb  nun  ber  Std)tjlral)len  beraubt,  alfo  ©unfetyett  fein, 
unb  3llle$,  was  in  tiefen  Staunt  hineinfällt,  würbe  gleid)fall$  I 
t>erl)inbert  werben,  ba$  2td)t  gu  empfangen,  wie  l)ier  j.  33.  in 
§ig.  2  bie  nad)  linf«  unb  oben  gefegten  (Seiten  be$  falben 


—   115  — 

SBürfete.  ©ie  SRid^tuttfl  far  ©d)lagfcf)aften  fut?  ben  ange* 
nommenen  23eleud)tungöfall,  wäre  alfo  feflgetfellt;  nun  feljen 
wir  aber  Uidjt,  baß  |7d)  bie  Sange  beffelben,  je  nad)  bm  %tyw 
ober  niebriger  angenommenen  ©tanbpunft  fcer  ©onne,  fefyr  Der* 
fd)iebeu  jetgen  fann,  intern  wir  j.  95.  gegen  (Sonnenuntergang 
in  ber  Statut  m'el  langete  ©d)lagfd)atten  erMiefen  >  als  jut 
2)?ittag6seit.  6$  wirb  alfo  burd)  einen  gegebenen  ©tral)l  in 
Sbe  aud)  bie  £öl)e  be$  Sid)te$,  unb  fomit  bie  Sänge  ber  ©cfylag* 
fcljatten  gegeben  wetben  muffen,  inbem  wir  nun,  Mit  bem  fenf* 
red)t  unter  ben  ^)unft  S  gelegenen  gußpuitft  be$  Sid)te$  in  F, 
burd)  j'eben  ©nmfcpunft  ber  betreffenben  fenfredjten  Stnien, 
|.  33.  l)ier  in  gig.  1  unb  2,  t>on  a  unb  d  aus,  bie  wagerecfyten 
£tid)tungetinien  ber  ©ct)lagfd)atten  jieljen,  worauf  wir  burd)  bie 
oberen  fünfte  biefer  Sinien  in  b  unb  c,  burd)  $Parallel|lral)len 
mit  bem  für  bie  £ol)e  be£  Sicktes  juerfi  angenommenen  ©traf)l 
in  Sbe,  bie  Sinie  sf  jieljen,  wo  ftd)  bann  in  ben  ©teilen,  wo 
jtd)  2td)t(Iral)l  unb  9?id)tung$linie  in  e  unb  f  treffen,  ba$  33t(b 
ber  fünfte  b  unb  c  in  e  unb  f  fcorfmbet,  worauf  bie  ©ranje 
be$  ©d)lagfd)atten$  leicht  ju  ergänjen  fein  wirb. 

6.  SBir  werben  in  ber  golge  fef)en,  wie  jtd)  auf  bieS 
einfache  93erfal)ren  alle  mitmn  Regeln  für  bie  23efettd)tung 
begrünben  laffen,  inbem  wir  nur  t>ön  bem  §uppunft  be$  Sid)* 
te$  eine  9iid)ttntg$linie  für  ben  ©d)lagfd)atten  burd)  einen 
ber  ©runbpunfte  jieljen,  mit  weldjer  alle  übrtgen  9?id)* 
tungSlinien  ber  ©cf)lagfd)atten  geometrifd)  parallel  bleiben  müf* 
fen,  ,worauf  alfo  nod)  bie  §ol)e  be6  Sid)te$  gu  beflimmen  fein 
wirb,  für  weld)e  wir  fcorerfl  eine  foldje  SRic&tung  bes  ©onnen* 
jiral)l$  annehmen  wollen,  baß  berfelbe  gerabe  fenfred)t  auf  eine 
©iagonale  be$  aufregt  ffetjenben  ÖuabratS  ber  SBorberfläd)e 
be$  SöürfelS  §ig.  1  in  gb  fällt.  SBerben  alfo  über  bie  fcor* 
vagenbften  (gefen  ber  Körper  Sid)t|lral)len  gelegt,  bie  mit  bem 
ertfen  ©traf)l  parallel  fmb,  unb  man  verlängert  biefelben 
fo  weit,  bis  ft'e  bie  aus  ben  gußpunften  ber  betreffenben 
unteren  ©den  gejogenen  9iic&tung$ltnien  in  beren  Verfolg 

8* 


—   116  — 


(reffen;  fo  wirb  burd)  tiefe  fünfte  jeberjeit  bas  SBilb  ber  ge* 
fudjten  ßefe  ttjt  (Sd)lagfd)atten  beflimmt  werten  (Stuten.  Sie 
SSerbinbung  ber  fo  gefunbenen  fünfte  beS  ©d)lagfd)attenS  burd) 
fiinien  wirb  nun  bie  gorm  beffelben  geben,  wobei  bann  jeber* 
gett  bie  in  baS  95i(b  l)ineingel)enben  ©rangen  ffd)  nac()  bem  93er* 
fcfywinbungSpunft  ber  übrigen  perfpeftiDifd)  parallelen  fiinien 
IfngMjen  muffen,  wie  bieS  fyier  g.  93.  in  gtg.  1  unb  2  mit  ben 
fiinien  e  f  ber  ga(l  iff,  bie  gleichfalls  in  i>em  Slugpunft  Der* 
fcfywtnben. 

§.  7.  5*9-  3  haben  wir  bie  Silber  ber  fünfte  e 
ttnb  f  im  @d)lagfd)atten  gu  fud)en,  unb  wir  werben  aus  ben* 
felben  fenf  rechte  fiinien  herab  bis  auf  bie  ©runbfläche  in  gh 
falten  muffen,  worauf  wir  burd)  wagered)te,  aus  tiefen  fünften 
nach  rechts  hin  gezogene  9lid)tungSlinien,  unb  burd)  aus  e 
unb  f  bis  auf  tiefelben  herabgefällte  (Sonnenjlrahlen,  ben@d)lag* 
fd)ätten,  wie  bei  ten  Dorigen  giguren,  leid)t  ftnten  fönnteu, 
wenn  terfelbe  tridjt  bind)  antere  tajwifdjentretenbe  gleichen  auf* 
gefangen  würte,  ehe  er  tie  ©runbfläche  erreichte.  ®ie  aus  a 
ttnb  c  gejogenen  9lid)tungSlimen  werten  nun  bis  an  tie  Ite* 
gente  (Säule  in  g  unt  h  fortgefeftf,  unb  Don  biefen  fünften 
aus  nad)  1  unb  m  fenfred)t  heraufgezogen,  Don  wo  fie  ftd)  wieber 
bis  nad)  n  unb  o  wagered)t  fortfe|en,  unb  Don  ben  genannten 
fünften  an  ber  bahinterfiefyenben  SBanb  abermals  bis  nad)  p  q 
Ijeraufffeigen,  wo  biefelben  Don  ben  burd)  e  unt  f  gelegten  @on; 
nenfirat)ten  in  ten  genannten  fünften  getroffen  werben,  wo* 
burd)  ffd)  in  ber  Suite  pq  bie  äuperffe  ©ränge  beS  ®d)tio>* 
fcfyattenS/  ober  baS  93tlb  ber  fiinie  ef  jtnben  wirb. 

§.  8.  @tel)t  ein  Körper  fo,  bag  er  ffd)  fd)räg  nach  Dorn 
an  einen  anbern  anlehnt,  wie  wir  uns  bei  gig.  4  Dorflelfen 
fönnen,  fo  werben  wir  bie  @d)lagfd)atten  wieber  babttref)  ffn* 
ben,  baß  wir  bie  ju  befft'mmenben  6den  beS  Körpers  erff  burd) 
fenfred)te  Stuten  auf  bie  ©runbebene  herabfallen,  um  bann  Don 
ihrem  ©runbpttnft  aus  bie  ^ichtungSltnten,  unb  burd)  bie  Sicht* 
f^rafylen  über  ben  oberen  Spunft  l)inweg  bie  Sängenbeflimmuncj 


—    117  — 


be*  @d)lagfd)atfen*  ju  ftnbcn.  S>ie  fünfte  cd  tyaben  wir  be* 
reit*  auf  ber  @runbfläd)e,  unb  ba  fcte  übrigen  ju  fucfyenben 
Gefeit  agh  unb  bef  in  gläd&ejt  Hegen,  bie  red)twinflig  auf  tie 
©runbltnie  flopen,  fo  werben  wir  Dom  2lugpunft  au*  burcfy 
c  unb  d  Einten  gießen  muffen,  bi*  wir  bie  au*  a  unb  b,  g  unb 
e,  h  unb  f  fenfred)t  auf  bie  ©runbebene  fjerabgefällten  Stuten 
in  op,  st,  qr  treffen,  fcon  welchen  fünften  au*  wir  bann  wage* 
xcdjt  naäj  red)t*  f)tn  bie  9ltc^(üng*Iin(en  gießen,  bie  wir  bann  burd) 
bie  über  bie  oberen  dcfen  be*  Äorper*  herabgezogenen  2iä)U 
jlral)(en  in  ik Im n  fdjneiben,  welche  genannte  fünfte  wir  burd) 
Sinien  aerbinben,  bie  fcon  i  unb  n  au*  nad)  c  gufammengejogeit 
werben,  woburd)  ftd)  ba*  23i(b  be*  Äörper*  im  @d)Iagfd)atten, 
feinem  ffdjtbaren  Steife  nad)  in  ciklmrxnc,  feinem  Aerbeck 
ten  Steile  nad)  in  cdxnc,  IjerfieKen  würbe. 

9.  5ßtr  fefyen  a(fo  Jjier  wteber,  bap  ffd)  Sitte*  barauf 
gurücffüfyren  läßt,  baß  man  burd)  ben  gefugten  ©runbpunfte  eine 
9ltd)tung*linie,unb  überbieten  felbfi  fyinweg  einen  Sid)t|tral)l  jur 
Scmgenbejlimmung  für  ben  <2d)lagfd)atten  legen  muß,  um  fo, 
im  Sufarcmientreffen  frfefc*  Reiben  Sinien,  ba*  S3ilb  ber  @cfeu 
im  @d)(agfd)atten  ju  ffnben,  worauf  man  biefe  fünfte  burd) 
gerabe  Sinien  ju  SBHbern  ber  betreffenben  SianUn  IjerfMt,  unb 
e*  wirb  ein  3eber  bei  eigenem  9?acfybenfen  bie*  93erfal)ren  auf 
alle  übrige  etwa  üorfommenbe  galle  anwenben  fönnen,  inbem 
l)terbei  nur  nod)  wegen  be*  3tuf(tnben*  ber  ©runbpunfte  für 
bie  ju  befitmmenben  (Scfen  ju  erwähnen  wäre,  baß  biefelben  auf 
ber  @runbffäd)e  immer  auf  eine  State  Ijerabgefäüt  werben  muf» 
fen,  bie  gerabe  unter  ber  (Sbene  liegt,  in  welcher  ftd)  bie  frag* 
lid)en  fünfte  bejtnben,  unb  bie  folglid),  bei  winfelred)t  in  ba* 
S3ilb  I)inetngel)enben  ©eitenflädjen,  ftd)  aud)  nad)  beren  33er* 
fd)winbung*punft,  nad)  bem  Stugpunft,  t)injtefeen  müffen,  wie 
in  unferer  gtgur  gefdieljen  iff.  @inb  bic  giguren  aber 
über  ßtf  gefefyen,  fo  wirb  man  bie  befagte  Sinie  auf  ber  ©runb* 
fläd)e  aud)  nad)  bem  jufäffigen  95erfd)Wtnbung*punft  ber  ßbene, 
in  welcher  bie  gefugten  fünfte  liegen,  fortführen  müffen. 


—   118  — 


§.  10.  $n  5  fyaben  wir  nun  einen  ($ubuS  über 
(gef  t>otr  uns,  unb  sieben  hiebet;  &on  ben  ©runbpunften  ad 
unb  e  aus,  wagered)te  SHtcfytungSlinien,  weld)e  wir  burd)  bie 
über  bie  oberen  (Scfen  b  c  f  hinweggefegten  £id)tflraf)len  fd)nei* 
teti/  unb  fo  bie  SPttnf'te  ghi  ün  @d)fogfcfyatten  befft'mmen,  beffen 
©ränjen  nun  burd)  üerbinbenbe  Stuten  jwifdjen  aghie  Uifyt 
fejijujieKen  ftnb. 

11,  ©affelbe  gefd)tebt  in  gig.  6,  wo  bie  ©ruub* 
fünfte  ber  oberen  ßefen  kbdi  auf  foldje  Stnien  fjerabgefällt 
werben,  bie  auf  ber  ©rttnbflctdje  perfpeftfoifd)  gleichlaufend  mit 
ben  langen  (Seiten  beS  oberen  Körpers  ftnb.  Stuf  biefe  unten 
angebeuteten  Stuten  in  1/  2,  unb  3  4,  werben  nun  bie  fenf* 
redten  aus  kbid  berabgejogen,  unb  mittelß  ber  wageredjt 
hinburchgejogenen  $id)fungslinien,  unb  ber  über  bie  oberen 
@cfen  hinweggefegten  Sid)tf?rablen  wirb  ftd)  nun  immer  bas 
QMlb  ber  gefugten  (Scfe  im  @cl)lagfchatfen  bejltmmen  {äffen.  @S 
wirb  aber  attd)  baS  (Sonnenlicht  an  ber  unteren  ©ränje  ber 
nad)  linfs  gelegenen  (Seitenfläche  beS  oberen  Körpers,  an  ca,  t>or* 
'  beifiretfen,  unb  bas  23itb  btefer  Sinie  in  fcorbenannter  SSetfe  im 

<Sd)lagfd)atfen  gefunben  werben  muffen,  wobttrd)  ftd)  in  ben 
(Stellen,  wo  ftd)  genannte  Sinie  mit  ben  aus  e  unb  g  gejo* 
genen  $id)tungSlinien  in  g'f  trifft/  bie  gorm  beS  (Sdjlagfdjat* 
fenS  erganjeu  wirlx  2)er  burd)  bie  vorgenannte  gläd)e  gewor* 
fene  @d)lagfd)atten  wirb  aber  aud)  auf  ber  23orberfiäd)e  beS 
unteren  Körpers  jum  Sl)etl  ftd)tbar  werben,  unb  feine  33egrän* 
jung  auf  biefer  glad)e  wirb  burd)  einen  burefy  f  gezogenen  £td)t 
jlraljl  in  fy  benimmt. 

12.  gällt  ein  folcher  <Sd)lagfd)atten  nid)t  auf  bie 
@runbfläd)e,  fonbern  wirb  er  t>on  ber  l)ort'5ontalen  £)betfäd)e 
eines  anberen  ÄörperS  aufgefangen/  fo  braud)t  ber  ©runbpunft 
einer  gefe  nid)t  erfl  bis  auf  bie  @runbfläd)e  beS  S3obenS  tyerab* 
geführt  ju  werben,  fonbern  es  wirb  auf  ber  betreffenben  (Sbene 
ganj  nad)  ber  angegebenen  2Beife  verfahren,  woju  hier  ein  SSet* 
fptel  in  §ig.  7  gegeben  ijl*  3n  gtg.  7  A  wirb  bie  (Scfe  a  auf 


—   119  — 


bie  Öberflädfje  be$  jweiwürfligen  ÄorperS  fallen,  wenn  man  von 
beut  fyuntt  b  aus  Ut  M$m$U  SlidjtungSünie  fcc^  (Schlag* 
fd)atten$  ikl)tf  bis  fecr  über  a  gelegte  Sid)tfiral)l  biefelbe  in  c 
trifft,  worauf  bann  in  bc  baS  95ilb  fcet*  Sinie  ba  Ijergeftellt 
wirb.  Sie  @cfe  d  wirb  i^ren  @d)fagfd)atten  aber  nicl)t  mel)r 
auf  biefe  (Sbene  werfen,  fonbern  auf  ber  @runbfTäd)e  in  e  fid) 
jeigen.  Samit  wir  aber  ba$  93ilb  ber  Stufe  ad,  baS  uns  auf 
ber  Oberfläche  ben  ©d)tagfd)atten  begraben  muß,  beflimmen 
Bnnen,  wollen  wir  uns  bie  genannte  glädje  fcergrof  ert  unb  auf 
berfelben  ben  fyixntt  d  in  f  aufgefangen  benfen,  inbem  wir  aus, 
g  eine  wagered)te  9lid)fung$linie  jtel)en,  bie  burd)  einen  über  d 
gelegten  @onnenfrral)l  in  f  getroffen  wirb,  worauf  wir  c  mit 
f  üerbinben,  unb  femit  bie  SRidjtung  für  baS  ftd)tbare  (ptücf* 
d)en  ©ranjtime  beS  ©d)lagfd)attenS  in  ch  gefunben  fyaben, 
worauf  man  oon  ^unft  h  aus  eine  fenfred)te  bi$  auf  bie 
@runbfläd)e  hi  herabfallt,  oon  toat  aus  bie  wagered)te  $lid)* 
tungSlinie  inikjieljt,  unb  bann  über  bem  ^)unft  h  lierab  einen 
@onnenflral)l  legt,  ber  ik  in  kBfd)neibet,  worauf  mau  bann 
tmrd)  SBerbinbttng  ber  fünfte  mnokepl  bie  gorm  beS  tl)ei(S 
ftdjtbar,  tfyeils  oerflecft  liegenben  (2d)iagfd)attenS  fyerfMen  fann. 

©er  t)om  Körper  B  geworfene  @d)lagfcl)atten  fann  nun 
nid)t  ganj  auf  bie  23obenfTäd)e  fallen,  fonbern  wirb  t>on  ber 
fenfred)ten  g(äd)e  ber  Körper  in  A  aufgefangen  werben,  für 
weldjen  galt  ganj  baS  in  gig.  3  bereits  gejefgte  Verfahren  gel* 
ten  wirb,  inbem  bie  aus  qrs  gejogenen  wagered)ten  $ttd)tungS* 
Knien  t)on  t,u,v  fenfvedjt  in  bie  ipöl)e  fleigen,  worauf  jte  burd) 
bie  über  bie  oberen  (Scfen  gezogenen  ti$i$t<ü)U\\  in  xyz  ge* 
troffen  werben,  unb  hier  baS  23ilb  ber  gefliehten  fünfte  jurücf* 
lajjen. 

§.  13.  ©er  <Sd)lagfd)atten  beS  aufred)tftet)enben  ©$n* 
berS  in  gig.  8  wirb  nun  in  äf)nlid)er  SSBeife  Don  einer  fenf* 
red)ten  glad)e  aufgefangen,  nur  baß  fyk?  bie  fünfte  abc  in 
einem  ^albfreife  liegen,  beffen  JBilb  jtd)  aud)  im  @d)lagfd)atten 
in  ben  fünften  a'  b'  c'  ju  einer  gebogenen  Sinie  oereinigt,  unb 


—   120  — 


tun  biefe  Äutöe  ju  öeröotljlanbigen,  fonncn  wir  uns  nocfy  jn>et 
<pülf$punfte  in  c  unb  d  fud)en,  bie  bann  fenfred)t  auf  bie 
©runNtme  Ijerabgefällt,  biefelbe  in  f  unb  g  treffen,  &on  wo  t^te 
SJlid)tungglinien  wagered)t  nad)  hi  fortgefe|t,  unb  t>on  t)tctr 
fenfrecfyt  fyinauf  fo  weit  gejogen  werben,  bis  jte  t>oji  ben  über 
bie  fünfte  d  unb  e  Ijinweggelegten  2icf)tjlraf)len  in  k  unb  1 
getroffen  werben;  welche  fünfte  bann  jur  Vewollffänbigung  be$ 
perfpeftim'fdjen  £al6freife$  be$  @d)lagfd)atten$  bienen  tonnen. 
JDer  6i)ltnber  felbjl  wirb  ftcl)  burd)  bie  Stnten  am  unb  cn,  wo 
bie  £td)tjlral)(en  bie  fenfredjten  (Seiten  beffelben  fireifen,  in  jwei 
^älften  teilen,  &on  benen  bie  ünU  von  biefein  gebauten  SDurd)* 
fdjnitt  gelegene  §älfte  erleud)tet,  bie  red)t$  gelegene  bagegen 
im  <®d)attm  fein  wirb,  unb  bie  genannten  Stnten  am  unb  cn 
würben  nun  bie  <3d)atfengran$en  bilben,  t>on  welchen  aus,  fyier 
j.  83.  &on  am  naefy  red)tS  %\xi,  bie  ftarftfe'  SDunfelfjeit  eintritt, 
welche  Syafetyeit  aber,  auf  bie  Sinie  bx  ju,  burd)  ba$  jurücf* 
geflrafylte  Stcfct  bebeutenb  Derminbert,  folgtid)  fyetter  gemad)t 
werben  wirb,  fo  wie  benn  aud)  ber  (Schatten  ftd)  in  bie  £id)t* 
feite  hinein,  Don  am  nad)  linfS,  in  fanften  Uebergängen  bi$ 
jum  l)öd)tfen  £id)t,  nad)  ber  am  meiflen  Jinf$  gelegenen  Seite 
t>e$  @t)ltnber$  |in,  abrufen  muß, 

§.  14.  3n  gtg.  9  werben  bie  @d)lagfc^aften  be$  lie* 
genben  §albbogen$  an  ber  geraben  (Seitenfläche  red)t$,  nad) 
bem  Vorhergegangenen,  Uid)t  ju  ftnben  fein.  Sur  ben  @d){ag* 
fd)atten,  weldjen  bie  gebogene  glädje  wirft,  lege  man  burd)  bie 
guppunfte  ber  brei  fn'Ufspunfte  be$  ^albf'reifeS,  alfo  burd)  b,  bie 
9vid)tung$lmien,  bie  bann  t>on  ben  fünften  a  aus,  burd)  bie 
barübergelegten  £id)tjlral)len  S,  a  in  c  gefd)nitten  werben,  worauf 
man  bann  bie  ©ränje  beS  @d)lagfd)atten$  in  ber  @d)wingung 
ber  v^ol)(fiäd)e  felbfi  ausführt.  9ttan  würbe  aud),  wenn  e$ 
nötl)ig  wäre,  iwiffym  ben  gefud)ten  §>ülf$punften  in  a  nod) 
anbere  £ülfepunfte  annehmen,  unb  beren  S3ilb  auf  gleidje  SBBetfe 
in  ber  ©ränje  be$  @d)lagfdjatten$  wieber  auffudjen  f onnen. 


—   121  — 


§.  15.  ©er  ©#l«8f^att«i  bev  S?ugel  in  gig.  10  wirb 
tum  in  einem  auf  bei4  @runbfläd)e  (legenden  verfügten  Steife 
beffeljen  muffen,  ber  fcon  einer  freiSrunben  ©urd)fd)nitt*fläd)e, 
bie  wir,  fenfred)t  auf  ben  Sicl)tffral)(,  in  ab  cd  burd)  bie  Äuget 
gelegt  benfen,  gebildet  wirb,  unb  bittet  welchen  ftd)  bie  Äuget 
in  eine  £id)t*  unb  eine  <2d)attenl)älfte  feilen  läßt,  an  bereu 
©ränje  bann  bie  Sid)tffral)len  in  abcd<t>orbeiffreifen,  wo  bantt 
bas  33ilb  ber  betreffenben  fünfte,  ganj  in  ber  früher  angebenen 
SBeife,  in  efgh  auf  bie  @runbfläd)e  getragen  werben  fann, 
burd)  weld)e  fünfte  fid)  bann  bie  ©ränjlinie  beS  perfpeffiüi* 
fd)en  @d)lagfd)attenfreifeS  l)inburd)$iel)en  wirb.  @S  würbe  fyier* 
bei  alfo  fyauptfäcfylid)  barauf  anfommen,  erft  ben  ©urd)fcfynitt 
ber  Äugel  in  ab  cd  rid;tig  ju  ft'nben,  unb  fyierju  würben  wir 
burd)  ben  SJiiftefyunft  o  eine  Sinie  nad)  bem  Stugpunft  tym 
gießen  muffen,  bie  eine  in  baS  3?ilb  I)ineinge{)enbe  2ljre  ber  5?u* 
gel  in  deb  üorjMen  würbe,  welche,  wie  ac,  in  ber  gefügte« 
©urd)fd)nittSebene  liegen  muß.  Um  nun  aber  bie  (Snbpunfte 
biefer  Sinie,  ober  bie  äufkrffen  ©ränjen  ber  Sugel  nad)  &om 
unb  gutücE  in  d  unb  b  beflimmen  ju  f'önnen,  fälle  man  aus  o 
eine  fenf'red)te  Sinie  bis  auf  bie  (Stelle  l)erab,  wo  bie  Äugel  tu 
k  auf  ber  @runbffäd)e  fM)t,  unb  jie^e  burd)  k  gleichfalls  nac& 
bem  ?tugpunft  l)in.  Stuf  biefer  Sinie  beflimme  man  in  1  unb  m 
ben  üerfürjten  ©urcfymeffer  ber  Ättgel,  inbem  man  in  d,  am 
beflen  an  bem  Körper  felbft,  einen  $Punft  mit  Sreibe  aw^kU, 
unb  ben  Slbtfanb  beffelben  nad)  recfyts  l)in  bon  k  auf  ber  @runb* 
linie  üiftrt,  woburd)  man  ben  ^Junft  1  beffimmen  fann,  unb 
tum  bie  Sänge  km  üerl)ältmpmäfig  mit  ber  93erf'ür$ung,  bie 
kl  erlitten  fyat,  angeben  mup.  ©ie  fünfte  1  unb  m  werben 
bann  fenf'red)t  l)erauf  bis  an  bie  burd)  o  nad)  bem  Stugpunft 
gesogene  3t;ce  verlängert,  woburd)  fid)  bie  fünfte  b  unb  d 
bejlimmen  laffen,  beren  93ilt>  im  ©d)lagfd)atten  mm  in  f  unb 
h  angegeben  werben  fann.  Gin  folcfyeS  93erfal)ren  bürfte  für 
unfern  3we&auSreid)enb  fein,  inbem  fid),  bei  einiger  erlangter 
Uebung  (Seitens  beS  <3d)ü(erS,  aud)  fo  fcfyon  bie  gorm  bes 
<Sd)lagfcfyattenS  jiemlicfy  ridjticj  bejtimmen  laffen  wirb,  ba  bas 


—   122  — 


2lttffud)en  mehrerer  §filf$punfte  ftt  fcet*  SurdjfchnittSgränje"  be$ 
SlreifeS,  für  ben  2lnfänger  ju  öerrorrrenb  fein  möd)te. 

§♦  16,  SBir  wollen  ^ter  nod)  einiget  9?otl)wenbige  über 
t>te  ©tärf'e  beö  £id)fe$  fymjufugen,  nad)bem  wir  tm$  au«  bem 
SBteljedgen  nberjeugt  fyaben,  baf  ba$  2id)t  auf  ben  ihm  cnU 
gegen  geführten  (Seiten  tmb  gläd)en  ber  Körper  aufgehalten 
wirb,  imb  gleid)fam  auf  benfelben  Raffen  bleibt,  wie  wir  bie$ 
an  ben  nad)  oben  unb  linfs  gelegenen  ©eiten  unferer  Körper 
ßefefyen  tjaben.  ®te  anberen  (Seiten  aber,  bie  Dom  2id)te  weg* 
gefel)rt  ftnb,  folglid)  üon  ben  ©trafen  bejfelben  gar  nid)t  be> 
tüljrt  werben  formen,  werben  im  (Sdjattcn  fein,  imb  l)ierburc^ 
wirb  jugleid)  auf  ber  erleud)teten  @runbfläd)e  eine  Sunfelbett 
gebübet,  welche  bie  gotm  be£  baüor  jleljenben  @egenf?anbe$  an* 
nimmt,  burd)  weldjen  bie  2id)tflral)len  t)erf)inbert  werben,  auf 
tiefen  Sl)eil  ber  ©runbflädje  ju  fallen,  -wobttrd)  ftd)  bann  bie 
©d)lagfd)atten  beflimmen  werben.  S3ei  ben  mit  bem  Surd)* 
fd)nitt  ber  Safel  parallel  gelegenen  glasen  bemerken  wir  nun 
einen  fd)Wäd)eren  @rab  ber  23etommg,  tnbem  biefe  glasen  jwar 
nicht  fcom  2id)te  gang  abgewanbt  ftnb,  jebod)  aber  fo  flehen, 
baß  bie  2id)tjlral)ten  nicht  fcon  ihnen  aufgefangen  werben  f'önnen, 
weld)en  gall  wir  ©treiflid)t  nannten,  was  bi^er  immer  bei 
ben  SBorber*  unb  SRücf  flachen  ber  im$  gerab  jugef  ehrten  Äörper 
tfatt  fanb.  SRun  wirb  aber  in  ben  t>om  2id)t  getroffenen  fenf* 
regten  gläd)en  ftd)  nod)  ein  merflid)er  Unterfdjteb  in  ber  ©tärfe 
ber  33eleud)tung  fyerauSjietfen,  unb  e$  wirb  bie  ©tärfe  be$ 
£td)t$  juneljmen  muffen,  je  mel)r  ftd)  bie  beleuchtete  gläd)e  bem 
£id)te  gerabe  jugef  el)rt, b.  h-  red)twinf  lig  auf  t>ie  ©rttnbltnte fioß enb, 
jeigt,  hingegen  geringer  unb  gleid)fam  bie  SQiitte  jwtfdjen  fcol* 
lern  £id)t  unb  ©tretflid)t  tjaltenb,  je  mel)r  fte  ftd)  Don  erwähn* 
ter  Stiftung  entfernt,  ober  je  mel)r  ftd)  bie  beleudjtete  (Seiten* 
fläche  ber  Safelflädje  nähert,  wie  bie$  an  ben  gladjen  ber  über 
(Sc?  gefehenen  Körper  bemerft  werben  fann.  2id)t*  tmb  (^djatttn- 
pd)en  ftnb  aber  nun  aud)  nod)  tri  ihrem  Sm'ücf reichen  Don  ber 
Safelfläche  einer  SSeränberung,  fytnftd)t(id)  tf)rer  SSetonung,  im* 
Verworfen,  tnbem  jte  fo  beibe  an  ©tärfe  »erlisten,  woburd) 


—   123  — 


bann  tue  2id)ter  fd)wäd)er,  b.  f).  bunffer,  bie  (Schatten  eben* 
fall*  fd)wäd)er,  b.  I).  l)el(er,  erfdjeinen.  ©en  ©rttnb  tiefer  (&W 
fdjetnung  »erben  wir  in  ber  bunfiigen  Sefcfyaffenfyeit  unferer 
SttmoSpbäre  fttdjen  muffen,  inbem  bie  gwtfd)en  bem  2luge  ttnl 
ben  jtt  jeicfynenben  ©egenflänben  beftnblicfye  Stift,  nebelartig  tmb 
trubenb  auf  bie  ^Betonung  ber  gfädjen  einwirft,  woburd)  ftd) 
bei  fel)r  entfernten  ©egenfiänben  t>on  bunfler  garbe  enblid)  eine 
Doflfommene  2luSgletd)ung  ber  Sinter  tmb  ber  (Schatten  ergiebt, 
fo  baß  ftd)  bie  gorm  be$  ©anjen  bann  nur  burd)  einen  glerd)* 
mäßigen  fd)wad)eu  Son  bemerfbar  mad)t;  bod)  wirb  ftd)  bie 
weiße  garbe  babei  am  längten  tuweränbert  erhalten. 

17.  3d)  muß  -feter  ncd)  etwas  Don  bem  jurücf  ge* 
worfenen  Sickte  (SfajTejc)  erwägen,  inbem  bie  (Sinwirf'ung  bef* 
felben  bei  ^Betrachtung  ber  9?aturforper  bem  @d)üler  oft  fo 
auffallend  fein  wirb,  baß  er  bamit  bie  gegebenen  Regeln  wtber* 
legen  gu  Wimen  glaubt.  ßine  l)ell  erleud)tete  gleiche,  befonberS 
t)on  lid)ter  garbe,  wirft  net)m(id)  eben  fo  wie  jebeS  anbere  2id)t, 
nur  in  mel  fd)wäd)erem  ©rabe,  auf  bie  il)m  entgegen  fiefyenben 
§[äd)en,  woher  e$  benn  aud)  fommt,  baß  ber  @d)lagfd)attetx 
foldjer  Äorper,  bie  auf  einer  lichten  ©runbffäd)e  ffefyen,  im 
©anjen  bunfler  erfdjeiut,  afö  bie  @d)attenfläd)e  beS  Körpers, 
üon  welchem  er  geworfen  wirb-,  benn  ba$  i>on  ber  erleuchteten 
©runbßäd)e  jurucffiraljlenbe  £id)t  wirft  auf  bie  ©djattenfeite 
beö  ÄorperS  erl)ellenb  ein,  was  für  ben  @d)lagfd)atten  felbjl 
nid)t  flatt  ffnbet,  beffen  ©unfetyeit  ol)nebie$  nod)  burd)  ben 
©egenfag  ber  tt)n  umgebenben  großen  £td)tffäd)e  l)eröorgel)oben 
wirb,  ©od)  wirb  aud)  ber  @d)lagfd)atten  in  feinen  jurücf* 
»eiefoenben  Steilen  bem  allgemeinen  @efe§  ber  Slbfiufung  folgen 
unb  lichter  werben  muffen,  weld)c  95eränberung  aud)  für  bie 
©teilen  beffelben  gilt,  bie,  obgleid)  bem  Sluge  beS  geidjnerS 
gleid)  ttafee  #  bod)  t>on  bem  fcfyattenwerfenben  Äßrper  fd)on  ent* 
fernter  liegen,  inbem  nun  ber  @d)lagfd)atten,  be£  gurücf  geffral)!* 
ten  2id)t$  unb  ber  bagwifd)en  tretenben  Stift  wegen,  immer 
meljr  oon  fetner  ©tärfe  unb  23e(limmtl)eit  oerltert,  was  beim 


—   124  — 


überhaupt  fcon  allen  ©rängen  ber  @d)lagfd)atten  »of)l  ju  mer* 
fen  ijt,  inbem  jtch  biefelben  nie  fo  fdjarf  &on  ben  Sid)temj 
(Reiben  bürfen,  als  bie*  an  ben  Tanten  ber  Sförper  gefchieljt, 
fonbern  e$  muß  ^iev  immer  burd)  einen  fdjmalen  SÄittelton  ein 
VUUt$tmg  gefugt  »erben,  einige  SBeifpiele  über  ba$  ^ier  @e* 
faßte  ftnben  ftd)  auf  Saf.  X.  gig.  18  unb  19. 

18.  gür  bie  2lrf,  in  ber  »fr  tum  bie  SBetonung  ber 
<5d)Mm>  unb  £id)tfläd)en  ber  Äorper  auf  ber  3eid)nung  aufr 
brüden  »ollen,  »erben  »ir  biejentge  als  bie  g»edmäßigf?e 
wählen,  »o  man  &erfd)iebene  Sagen  t>on  ©chrafftrjlrichen  mit* 
telji  ber  fd)»arjen  treibe  bilbet,  inbem  man  für  bie  l)öd)jlen 
Sid)tcr  ben  »eifen  ©runbton  be$  ^apiereS  flehen  läßt.  SBir 
f Birnen  bie  betonten  glädjen  h<uiptfäd)lid)  auf  g»ei  Strien  jurutf* 
führen,  nehmltd)  erfreut  auf  ganj  gleichmäßig  betonte,  »ie  j.  33. 
bie  uns  gevabe  jugefehrten  Sßorberfladjen  ber  Körper,  unb  j»ei* 
fen$  auf  abgetfufte,  für  fold)e  fenfredjte  ober  Ijorijontale  glasen, 
bie  ftd)  meljr  ober  »eni^er  t>on  ber  $afe|  aus  in  baS  SBilb 
hinein  erjlrecfen. 

(Sin  folcher  gleid)maßiger  Son  für  eine  uns  jugef'ehrfe 
(Streiflicht*  ober  33orberfIäd)e  ift  l)ier  in  gig.  12  angebeutef, 
unb  »ir  legen  iaUi  bie  ©chrafjtrjiriche  juerji  ber  längflen  Seite 
nad),  unb  gwar  immer  fo,  baß  ber  g»ifd)en  ben  ©trieben 
Weibenbe  »eiße  SJaum  fcon  gleidjer  23reite  mit  ben  (Strichen 
felbfl  ijf.  @S  fommt  hi^  Sittel  barauf  an,  baß  man  Slnfcmg« 
möglid)fl  tyU  unb  gleid)mäßig  folche  g(ad)en  beefe,  unb  befen* 
berS  auf  faubere  ©rängen  halte,  bie  nid)t  burd)  fr^arfe  umgebenbe 
©triebe,  fonbern  burd)  forgfältige*  3lnfe|en  unb  gnben  ber 
@d;rafftrlage  felbft,  herausgehoben  »erben  muffen,  fo  baß  bie 
@d)rafftrtfrid)e  »eber  im  geringen  über  ben  (Sontur  hma«& 
gehen,  noch  auch  von  bemfelben  gurücf bleiben  bürfen. 

®a  auf  eine  gleichmäßige  Sage  beim  ©chattiren  überhaupt 
fo  Diel  anfommt,  unb  es  unbequem  fein  »ürbe,  über  größere 
Stächen  hin»eg  bie  Sage  ber  einzelnen  ®cbrafftrffrtche  ber  gan* 
jen  Sänge  nach  gu  füllen *,  fo  »irb  man  biefelben  nur  immer! 


—   125  — 


erfi  fo  lang  machen  muffen,  als  es  für  ba6  STuflfegen  ber£anb 
bequem  ifi,  etwa  wie  in  gig.  13  a  angebeutet  ffe^t,  bod)  barf 
man  babei  bie  ©tridje  nad)  ber  Sftitte  l)in  nieftt  fd)arf  aus* 
laufen  (äffen,  inbem  fonji  bei  bem  2lnfe§en  einer  imitm  Reifte 
von  ©trieften,  im  3ufammen^reff^^  berfelben,  ein  bunflerer  Son 
pitfle^eh  müßte,  wie  bieS  in  gig.  13  b  ju  fet)en  itf,  wogegen 
man  babureft,  baß  man  bie  ©triefte  nad)  bem  fünftigen  2lnfa§* 
punfte  ju  fd)wäcfter  werben  unb  gleid)fam  in  einen  ftalben  Son 
enben  laßt,  burd)  eine  in  gletefter  23erminberung  wieber  ange* 
fegte  ©tricftlage,  bie  ©teile  beS  Sufammen-flojien*  ganj  unbe* 
merft  mad)en  fann,  wie  in  gig  13  a  angebeutet  ift,  welker 
SBortfteil  von  ben  ©d)ü(ern  woftl  in  2ld)t  genommen  werben 
muß. 

SJtan  barf  babei  natürlid)  mit  ber  erjfen  Sage  bie  geftörige 
Sunfelfteit  ber  gläefte  noeft  nieftt  erreid)en,  inbem  auf  eine 
zweite  Sage  ju  reeftnen  ifi,  bie  wir  etwas  f eftrage,  aber  bod) 
nur  tmmerf lieft  von  ber  ertfen  9Jid)tung  abmidjtnb,  barübet: 
legen  werben,  wie  bieS  in  §ig.  14  ju  feften  i|t,  wobureft  ffeft, 
bei  nad)fter  vorgenommenem  vorfufttigen  Ausfällen  ber  jwifd)en 
ben  ©trieften  gebildeten  rautenaftnlieften  Körper,  ein  feftöner 
©treifliefttton  fterjMen  läßt. 

©oll  bie  gläefte  nod)  bunfler  werben,  fo  muffen  wir  eine 
ititk  Sage  barüber  geben,  bie  aber  wieber  etwas  weniger  fd)räg 
als  bie  vorige  iftf  wie  wir  bieS  in  ber  $ig.  15  angebeutet 
ftnben. 

©ie  SSeftanblung  ber  ©eftattenflaeften  gefd)ieftt  nun  ganj 
in  berfelben  SBeife,  nur  mit  bem  ttnterfeftiebe,  baß  ftier  bie 
erjten  Sagen  ber  ©triefte  fdjon  gleid)  von  vorn  fterein  bunfler 
gemaeftt  werben,  unb  aud)  für  biefelben  bei  notftiger  93ermeft* 
nmg  ber  ©unf  elfteit  noeft  meftrere  Sagen  über  einanber  gegeben 
werben  fonnen,  bod)  immer  fo,  baß  jteft  bie  legte  Sage  mit 
ber  vorfter  geftenben  wieber  um  ein  weniges  freu  je,  wie  in 
gig.  16.  bemerft  iji 

23ei  ber  Slbflufimg  ber  2id)t>  unb  ©eftattenflaeften  tjl  bas 
i^Ui  notftige  SBerfaftren  ber  §auptfad)e  nad)  von  bem  vorge* 


—   126  — 

nannten  wenig  t>erfd)teben,  unb  bie  erfle  Sage  einet  abjuffufen*  i 
ben  <3d)attenpd)e  fann  nod)  in  gleid)er  ©tarfe  angelegt  wer*  ] 
ben ,  wäfyrenb  man  jebod)  bei  ber  jroeiten  fdjon  auf  ba$  SBer-J  { 
minbern  ber  ©ta'rf'e  nad)  ftnten  bebad)t  feyn  muß.  33ei  ben 
Sid)tfläd)en  aber  tfl  befonberS  nötfyig,  baß  fd)on  bei  ber  erßen 
Sage  bie  ©djraffTrtfridje,  inbem  jte  fcer  fcorbetfen  Slante  näfyer 
fommen,  immer  fd)n)äd)er  werben  muffen,  wie  bieg  in  gig.  17; 
angebeutet  ifi.  33ei  ben  @d)attenfläd)eu  fann  man  aud)  bie  alkji 
gemeine  ©unfelfjeit  berfelben  erf}  burd)  bie  erjle  unb  gweite  Sage 
gleid)mäßig  begritnben,  unb  hierauf  bie  SJbffufung  ber  S)unfelt)eit! 
burd)  bie  folgenben  ©tridjlagen,  bie  man  nad)  hinten  gu  fd)wä>j 
d)er  werben  läßt,  fyinein  gu  bringen  fudjen. 

19.  pc  ba6  2lu$fd)attiren  ber  gebogenen  gläd)en  wirb 
ein  gang  ät)nltd)e$  93erfal)ren  angewenbet,  nur  mit  bem  Unter* 
fd)iebe,  baß  l)iet*  ber  ©ang  ber  Sage  mefjr  ber  Krümmung  ber  I 
glad)e  gemäß  angegeben  werben  muß,  wie  bieS  in  ber  5?ugeI,K 
Saf.  IX.  gig.  10,  angebeutet  iji.    pr  bie  einfach  gebogene j  ij 
§(äd)e,  g.  S5.  be$  @i)linber$  in  gig.  8,  fann  mau  bie  erfle  Sage  ^ 
gur  Slbrunbung  burd)  fenfred)te  @trid)e  animtm,  bie  ftd)  fd)on 
tton  ber  l)öd)|len  Sid)tfante  be$  &)(inber$  an,  alfmäüg  immer! | 
bunffer  neben  einanber  reiben  werben,  bis  ft'e  am  ©rängfcfyat* 
ten  am,  t>on  ifjrer  größten  S)unfell)eit  au$,  wteber  nad)  redjtS 
f)in  in  bie  burd)  ba$  gurücfffraljlenbe  fitc^t  jiarf  erhellte  ©ränge 
bx  t"ibergel)t. 

20.  Sei  ber  boppelt  gebogenen  gläd)e  in  ber  5?ugel  i 
$ig.  10  werben  ftd)  fcon  ber  l)öd)f?en  Sid)t(Me  berfelben  nad)  linft 
unb  oben  fyiji  bie  f'retSförmig  uml)er  laufenben'@trid)e  alfmälig  j 
immer  meljr  fcerbunfeln,  bis  ft'e  bid)t  unterhalb  be$  ©rängfdjattetjS 
ade  ifyre  größte  ©tärfe  erreid)t  fyaben,  worauf  ftd)  ber  @d)at* 
ten  nad}  unten  unb  feitwärts  l)in  burd)  bie  bort  eintretenben  I 
Sicfltyt  flarf  erhellt  geigen  wirb.  Siefe  Slbjhtfung  für  ©)linber 
unb  Slugel  wirb  aber  ben  @d)ü(ern  am  befien  an  aufgehellten 
Körpern  gegeigt  werben  fönnen,  bie  gu  mehrerer  55eutltd)feit  ; 
ber  barauf  gu  beobad)tenben  Betonung,  t>on  weißer  $arbe  fein 


—   127  — 

muffen,  woju  auf  Saf.  X.,  gig.  18,  emSBetfpfel  gegeben  iff,  au 
welchem  abjtd)tltd)  Dorerft  bte  <3d)lagfd)atten  weggelaffen  (int), 
um  feie  anfinget?  ntcf)t  ju  fcerwirren. 

gür  baä  §er|Men  ber  @d)lagfd)atten  wirb  ganj  ba$  oben 
Angegebene  33etfal)veit  btchadjtet  werben  fönnen;  aud)  wäre 
fyicr  nod)  anzuwerfen,  baß  man  an  ben  ©teilen,  wo  bte  Sorben 
pd)en  ber  Körper  auf  ber  ©runblinte  aufjiefyen,  btefe  Srennun$ 
burd)  eine  fdjwadje  Sinte  bejeicbnen  muß,  bte  jwtfdjen  bem  Sott 
ber  @tretflid)tfläd)e  unb  ber  ©unfetfeii  ber  @d)attenflä'd)e  etwa 
ba$  Littel  l)ä(t,  tnbem  bte  Äörper  nie  fo  btd)t  auf  einanbet? 
flehen,  baß  ftd)  nid)t  eine  geringe  ©unfelfjeit  bei  bem  gufammen* 
treffen  ber  glasen  bemerflid)  madjen  würbe. 

21.  9?un  wäre  nod)  für  ba$  @d)attiren  im  ©anjeti 
anjumerfen,  baß  bte  @d)üler  anhalten  fmb,  gleich  bei  ben 
erflen  SSerfud^en  hierin  mit  $einl)ett  unb  ^räctjton  ju  arbeiten:, 
batnit  jte  ba$,  was  ifynen  aufgegeben  wirb,  g(eid)  öon  Dorn 
herein  mit  gleiß  unb  Sluöbauer  burd)füf)ren,  unb  nid)t  wieber  * 
fyolt  t)ergeblid)e  23erfud)e  gemacht  werben  muffen.  9Jtan  letoe 
bte  <3d)üler  an,  mit  einer  m'rf>t  ja  folgen  treibe  bte  ©trieft« 
lagen  weicl)  unb  gletd)mcrßtg  über  bte  glädjen  ausbreiten,  wo:» 
bei  man  ft'e  wieberfyolt  barauf  führen  muß,  baß  baS  Sufamm^J 
bringen  etwa  nod)  ungleid)er  glädjen  nid)t  burd)  öfteres  Sar* 
überlegen  anberer  @trtd)(agen,  fonbem  nur  baburd)  erjielt  wer* 
ben  fönne,  baß  man  bte  ju  ltd)t  gebliebenen  (Steifen  burd)  fcor« 
P)tig  hinein  gelegte  ©trt'dje  fo  ausfüllt,  baß  ft'e  als  gleid)mäf% 
punfttrt  erfdietnen,  wobei  benn  natürltd)  bei  ben  gebogenen: 
gläd)en  auf  ben  allmäligen  l)armonifd)en  Uebergang  aus  ben 
@d)atten  in  bte  2td)ter  ein  befonbereS  Slugenmerf  ju  rid)ten  iß . 

22.  SBegen  ber  übrigen  im  93or|Tel)enben  ntd)t  weite  r 
abgebanbelten  83eleud}tttngSfcüle,  will  id)  l)ter  nur  nod)  fürjltd) 
anmerfen,  baß  wir  brei  t>erfd)tebene  33erl)ältntffe  beS  leud)tenbe  n 
Körpers  ju  bem  bunf len  Äörper,  weld)er  erleud)tet  wirb,  feflfMe  rt 
fönnen,  nel)mlid):  ber  leud)tenbe  Körper  fann  fleiner,  gleichgroß 
ober  größer  als  ber  ju  beleucfytenbe  Körper  fein.  Sßir  bleiben  |fet> 


—   128  — 


um,  wie  oben  fcfyon  erwähnt  würbe,  nirf)t  gu  wettWuftig  werben 
ju  muffen,  bei  bem  jweiten  galle  flehen,  wo  nehmlid)  ba*  Sicht 
d*  flleid)  gvop  mit  bem  beleuchteten  Körper  angenommen  n>trb, 
tnbero  wir  bie  Sid)tflral)len,  wie  bie*  bei  ber  ©onnenbeleuchtung 
fiefcf)iel)t,  al*  unter  fld)  parallel  annehmen.  Sßtr  motten  im* 
<tber  ^ier  nod)  etwa*  mit  ben  anberen  Don  ber  ©onne  geworfenen 
«©d)lagfd)atten  befd)äftigen,  unb  bie  brei  2lrten  beffelben,  bie 
jfid)  nad)  bem  ©taube  ber  (Sonne  ridjten,  betrauten;  nehmlid): 
:1)  wenn  bie  ©onne  parallel  mit  ber  Safe!  ifl;  2)  wenn  fle 
hinter  ber  Safel  fielet,  unb  3)  wenn  fte  fld)  t>or  ber  Safet 
fcejtubef. 

23.  ©en  erflen  galt,  wenn  nehmlid)  bie  ©onne  bem 
JJekfyner  jur  ©eite  flehet,  haben  wir  im  SBorfjergetyenben  genug* 
fam  betradjtet;  wir  wollen  baljer  tytt  nur  nod)  furjlid)  eine 
steine  Slnbeutung  für  bie  beiben  anberen  gälle  geben. 

%üt  ben  jweiten  %aU,  wenn  bie  ©onne  hinter  ber  Safet 
fleljet,  fann  ihr  (Stani  willfürlid)  angenommen  werben.  Stuf 
S;af.  X.  gtg.  11  a  fei  H'H"  ber  93erfd)winbung*punft  ber 
Ijortjontalen  ßbene,  unb  in  S  flehe  ba*  23ilb  ber  ©onne;  matt 
foffe  nun  au*  S  eine  fenfrechte  Stute  herab  bt*  auf  ben  §ortjont  in 
F,  fo  ifi  F  ber  gußpunft  ber  ©onne,  au*  weld)em  alle  ©d)at* 
tfen  Don  lotrechten  Körpern  gejogen  werben,  ab  fei  eine  loth* 
sed)te  ©tauge;  man  jiehe  au*  F  burd)  a,  wo  biefe  ©tauge 
<uif  ber  Ijonjontalen  @bene  aufflehet,  eine  Sinie  ac,  unb 
♦au*  S,  bem  SStlbe  ber  ©onne,  jiehe  man  burd)  bie  £of)e  ber 
©tange  bie  Sinie  bc,  fo  ifl  ac  ber  (Bd)Mm  tton  ab.  S)a  bie 
©onne  al*  unenblid)  entfernt  t?on  ber  Safel  angenommen  ifl, 
fo  wirb  au*  S,  bem  23ilbe  ber  ©onne,  bie  fitnte  SF  fenfrecht 
auf  ben  iporijont  tyvab  gebogen,  unb  flellt  eine  Sinie  t>or, 
wdd)e  unenblid)  weit  t>on  un*  entfernt  ifl.  ©er  5ßunft  1?  im 
iporijont  liegt  ebenfall*  in  biefer  Sinie,  folglich  flnb  F  fowohl 
al*  S  fünfte/  bie  unenblid)  entfernt  ft'nb.  2llle  ©d)lagfd)atten 
fetlben  ein  aufredet  flehenbe*  red)twtnflige*  ©retetf,  wie  abc, 
weldje*  bem  ©reietf  FSc  ähnlid)  ifl.  <£*  ft'nb  bemnad)  alle 


Sinien,  welche  aus  bem  93erfd)wfnbungSpunfte  F  gejogen  wer« 
ben,  unter  jtd)  parallel,  fo  wie  aud)  biejenigen,  welche  au* 
bem  Silbe  ber  ©onne  S  gesogen  jtnb. 

3m  britfen  galle,  wenn  bie  (Sonne  im  ber  23ilbfTäcfye, 
ober  l)inter  bem  gufcfyauer  beftnblid)  ifi,  fo  muff  man  ben  $Punft 
annehmen,  welcher  bctr  ©onne  gegenüber  fte|f,  ber  bas  9iabir 
ber  ©onne  genannt  wirb,  unb  e$ite  welchen  bie  ©chatten  nid)t 
gejeidjnet  werben  fonnen.  §ig.  11  b  fei  H'H"  wieber  bec 
^orijont  unb  S  ber  tymtt,  weld)er  ber  ©onne  gegenüber  fM)f; 
mau  jtefje  aus  S  eine  Sinie  fenfredjt  Don  bem  iporijont  in  bie 
§>üfye  bis  F,  fo  i|t  biefer  tyimft  ber  23erfd)winbungSpunft  für 
alle  ©d)Iagfd)atten,  weld)e  Don  lotl)red)ten  Äorpern  geworfen 
werben,  unb  S  (Mit  bie  £>öl)e  ber  ©onne  i>or.  3tf  nun  ab 
eine  lctl)red)te  ©fange ,  fo  jiefye  man  aus  a,  wo  bie  ©tauge 
auf  ber  borijontalen  (Sbene  auffielt,  nad)  F,  unb  aus  b,  ber 
§öl)e  ber  ©tauge,  jiefye  man  nad)  S  unb  fcfyneibe  bie  Stute 
ac  in  c,  fo  i|t  ac  bie  Sänge  beS  ©djattenS.  ©iefe  fyier  bei* 
gefügten  Slnbeutungen  fonnen  nun  wenigflenS  ju  weiterem  9?adj* 
benfen  über  biefen  ©egenflanb  unb  jum  9?ad)fud)en  näherer  23e« 
lef)rungen  hierüber  bie  SSeranlaffung  geben,  unb  aud)  bie  an 
einer  fenfred)ten  SJBanb  berauf  ftllenben  ©d)lagfd)atfen  ber  m 
ben  beiben  eben  betrad)tefen  gigurett  etwas  weiter  red)ts  \)i\x 
ffeljenben  ©täbe  a'b'  werben  in  ber  genannten  Slrf  Ieid)f  ju 
ftnben  fein,  wenn  man  burd)  ben  gußpunft  ber  befreffenbett 
Sinien  in  a'  aus,  SftcfytungSlmien  bis  an  bie  fenfred)te  SBanb 
in  x  jie()t,  Don  wo  bann  biefefben  fenfred)t  Ijinauf  (feigen,  bis 
jie  Don  bem  aus  S  über  b'  hinweg  gezogenen  ©onnenfiraljf  in 
c  getroffen  werben. 


9 


Vierte  ©tttfe. 


SMefe  (Stufe  bilbet  fd)on  ben  Uebergang  ju  ben  Oberen 
jfunßübungen,  inbem  j'eftt  bie  @d)ü(er  ju  einer  jwecfmcißigen 
§3enu§ung  ber  nun  erlangten  ©arffrüungsfraft  angeleitet  wetten 
folten,  unb  wenn  wir  bi$t)er  bauptfäd)lid)  jum  gwedf  Ratten, 
ben  <2d)ü(ern  bie  ga'bigfeit  ju  erwerben,  bie  ©egenjlänbe,  wie 
fte  jtd)  eben  jeigen,  rid)tig  batjlellen  ju  tonnen;  fo  treten  jegt 
fd)ön  anbere  SRücfjid)ten  ein,  inbem  man  e$  nun  auf  eine 
gefd)macfüo(le  93erbinbung  ber  @injetnl)eiten  ju  einem  fyarmoni* 
fd)en  ©anjen  bei  ben  @d)ü(em  anlegen  fann,  woju  fowobl 
eine  jweefmäßige  3tuewaf)l  paffenber  Statur*  unb  Äunflgegen* 
tfänbe,  als  aud)  baS  Slopiren  gut  georbneter  unb  ausgeführter 
93crjeid)nungen  geeignet  fein  wirb. 

SDiit  bem  9?ad)bilben  t>on  in  ©w$  geformten  ard)iteftoni* 
feben  SBerstenrngen  unb  einzelner  Steile  beS  menfd)fid)en  ÄörperS, 
erfi  in  bloßen  Umrlffen,  unb  bann  völlig  auefd)attirt,  wirb  I)ier 
am  jwerfmäpigflen  ju  beginnen  fein,  jwtfcf)en  weld)en  Uebun* 
gen  man  öfters  gut  aufgeführte  3eid)tumgen,  unb  jwar  in  »er* 
anbertem  9fta£(kbe,  fairen  laffen  fann. 

Slnbere  @d)ü(er,  unb  befonberS  @d)ülerinnen,  bie  me()r 
Neigung  jur  £>at'tMIung  üon  SMumen  unb  lanbfd)aftlid)en 
9Jnftd)ten  geigen,  wirb  man  Don  ben  @t)petoer$ierungen,  jum 
SRad)bi(ben  lebenber  *Pflan$en  unb  SMumen  übergeben  lajfen 
fonnen,  wo.bei  gleid)fall$  mit  bem  Äopiren  guter  33orjeid)nungen 
tiefer  2lrt  abgewedelt  werben  fann,  W05U  man  befonberS  für 


gute  58aumfhibien  forgen  fyat,  burcfc  beren  Sfopiren  ftd)  Üi 
@d)ü(er  eine  SDfctnier  anzueignen  fucfyen  foöen,  in  welcher  ftd) 
ber  eigentl)ümlid)e  (Sljarafter  jebetr  ber  t>ctfcf)iebencit  JBaunu 
gattungen  am  befreit  fcttlbißtfen  läßt,  worauf  bann  ©tubien 
nad)  ber  9?atur,  wo  mögtid)  erft  nad)  unbelaubten  Stefhingen, 
unb  bann  mit  ber  Dollen  Saubbefleibung  gemacht  werben  fönnen, 
an  bie  ßd)  bann  ba$  3*id)nen  &m  Spieren  it.  f.  n>.  pajfenb 
anreihen  laßt. 

®a$  Äoptren  gut  aufgeführter  Segnungen  wirb  ijUt  um 
fo  mefjr  notfywenbig  werben,  ba  jetjt  ber  @inn  ber  @d)üler  für 
gefd)macfootfe  Slnorbnung  unb  @d)önl)eit  ber  formen  geweeft 
unb  auggebilbet  werben  foll,  bamit  fte  nun  auf  ber  Statur, 
burd)  gute  2Ju$wal)l  unb  93evbinbttng  einjelner  Steile  ju  einem 
©anjen,  ifyre  Aufgaben  felbjt  entnehmen  fönnen,  um  biefelben 
mit  jartem  (Sinn  für  ©d)5nl)eit  unb  Harmonie  ausführen  ju 
fönnen. 

SJ?an  wirb  batet  mit  Sßergnügen  fel)en,  wie  bie  in  ben 
früheren  ©tufen  erlangte  gertigfeit  für  bie  t)erfd)iebenjte  2fn* 
wenbung  ftd)  fo  trefflid)  eignet,  baß  nun  ieber  ©d)ü(er  auf  ba$ 
SBeitere  mit  Seid)tigfeit  unb  <3id)erl)eit  einjugel)en  wiffen  wirb, 
unb  wie  ftd)  babet  2lße$  auf  bie  in  ben  früheren  itebungen 
bem  @d)üler  fd)on  fyinlänglid)  beftmnt  geworbenen  ©runbjüge 
jurücf  führen ,  unb  mit  biefen  ju  einem  ©anjen  »erbinbeu 
laffen  wirb. 

(Sdjüfer  biefer  (Stufe  wirb  man  in  ben  klaffen,  jiemlid) 
unbel)inbert  für  bie  anbern,  am  bellen  mit  bem  Sfopiren  guter 
Originale  befd)äftigen  fönnen,  wobei  ber  Sefyrer  wofyl  Stit-fint 
bet,  ifynen  beratfyenb  beijufteljen.  Sur  einen  $wecfmäßigen  Unter* 
rid)t  auf  biefer  (Stufe  wirb  e$  abev  twtfyig  werben,  baß  aud> 
ber  Se^rer  felbft  auf  bem  ©ebiete  ber  Äunjl  nid)t  ganj  fremb 
fei,  bamit  er  nun  aud)  bie  (3d)ü(er  auf  bie  l)öf)eren  2lnforberun* 
gen,  bie  man  an  folgen  ©arfleßungen  ju  machen  berechtigt 
tft,  Ijinjuweifcn  vermag,  unb  jte  auefy  nötigenfalls  burd)  eine 
tätige  SRad^ülfe  ju  belehren  wiffe. 


%t%t  wirb  e$  aud)  t>on  größtem  Sftufen  fein,  wenn 
©d)üler,  bie  mi$  Neigung  ober  33eruf  jtd)  etwa«  weiter  im 
gad)e  ber  S?unjf  mt$jubt(ben  gebenfen,  ben  umfajfenberen  Unter* 
xid)t  größerer  Äunjifdjulen  unb  Slfabemien  benutzen  fönnen, 
wo  jte  nun  mit  um  fo  größerem  (Srfofg  fortfd)reiten  werben, 
ba  jte  burd)  ben  t>orbereitenben  Unterricht  ber  früheren  @tufen 
bereite  bie  tecfyntfcfyen  (Scfywierigfeiten  ju  überwinben  gelernt 
tyaben,  unb  ßd)  bei  ifjnen  nun  fcfyen  mel)r  ©mpfanglidjfett  für 
ba$  geigen  wirb,  was  ber  eigentlid)e  3md  tiefer  l)öt)eren  23i(* 
bungSanflalten  für  foldje  fein  muß,  wcld)e  bie  bilbenbe  Äunji 
ttid)t  gum  §ad)  wallen,  unb  bie  bod)  l)ier  nur  bie  öoHjlänbig* 
fien  Littel  ftnben  fönnen,  if)ren  (Sinn  für  ba$  ©d)öne  in  bei* 
Äunfi  auSgubilben  unb  gu  läutern,  ober  für  ben  etwanigen  @e* 
braud)  in  fünftigen  83eruf$gefd)äften  ftd)  einen  guten  ®efd)macf 
unb  $eid)tl)um  ber  Sbeen  gu  erwerben,  wogu  folcfye  2lnjla(ten, 
bei  ben  umfajfenben  SSlitUUx  unb  Gräften,  bie  bort  gu  ©ebote 
flehen,  bie  trefflidjfie  ©elegentjeit  barbieten. 


§.  1.  @ine  ber  etflen  (Srfcfyeinungen,  tt>cld)e  man  beim 
3etd)nen  nad)  ber  Statut  wahrnimmt,  ijl  fcte,  tap  ©egenfTänbe 
t?on  flleid)cr  ©roße  ftd)  immer  mel)r  ju  fcerfteinern  fcfyeinen,  je 
meljr  fie  fcon  bem  2Cuge  entfernt  ftub.  ©o  fefyeri  wir  j.  23. 
auf  einer  langen  (Straße  bie  entfernt  jletjenben  9ftenfd)en  ml 
fleiner  al$  bie  näheren,  unb  jwar  um  fo  mel)r,  je  weiter  (Te 
jtd)  t?on  un$  entfernt  beftnben.  Um  tm$  aber  bes  ©runbeS 
biefer  @rfd)einung  bewußt  ju  werben,  woßen  wir  l)ier  bie  erflett 
petfi>eftfoifd)en  @efe|e  au*  Saf.  XL  gig.  1  ju  erHären  fachen. 

2fuf  einer  Ijorijontafen  ©runbflädje  ab  cd,  bie  wir  un$ 
a!$  eine  Sifdjplatte  uorjleüen  föunen,  an  bereu  @nbe  bd  ber 
geic&ner  jkfyt,  be|Jen  Sluge  ftd)  in  ber  §51)e  öon  A  beffnbet, 
benfen  wir  un$  in  gewiffen  Entfernungen  t>cn  einanber  Äorperr 
23.  ©täbe  ttott  gleidjer  £öl)e  in  i  $  3,  i  aufgerid)tet.  33on 
ben  gnbpunften  biefer  ©egenftänbe  gietjen  ftd)  nun  ©trafen 
nad)  bem  2luge  be$  ^idjnerS  in  A  fyin,  wo  biefe  ©trafen  in 
fpifjen  SBinf  flu  jiifammenlaufen,  bie  für  bie  entfernteren  ©egen* 
fl'änbe  eine  Heinere,  für  bie  näheren  eine  größere  £)effnung 
I)abenf  ©enft  man  fid)  nun  jwifd)en  bem  2luge  unb  bem  Der* 
bertfen  ©egenfianbe  1  eine  burd)ftd)tige  fenfredjte  ßbene  (®Ia£> 
tafel)  aufgerichtet,  bie  l)ier  in  efgh  angebeutet  ijf,  fo  wirb 
biefe  aHe  in  ba$  $uge  gefyenben  ©efyjfrafylen  fd)neiben,  wobei  fid) 
ergeben  wirb,  baß  bie  jwifdjen  ben  ©Teufeln  ber  SSBinfel  tu 
ik  jtcfy  aufrtdjtenben  Stnienflücfe  für  bie  entfernteren  @egen< 


—  134  — 


flaute  ein  fürjereS,  für  bie  nähren  ein  längeres  9Jfaf5  ber 
£>öl)e  geben  »erben,  ©iefe  ©laSfafel  ijl  nun  ein  unentbel)r; 
lidje*  ^ülfSmittel  jur  93erbeut(id)ung  ber  perfpeftft>tfc6en  @e« 
fege,  unb  Stilen  »as  linfs  Don  btefer  Safel  liegt,  wirb  ftd)  auf 
berfefben  Dorjletten  laffen,  wenn  baS  2luge  in  einer  gewiffen 
(Entfernung  batoon  gebaut  wirb;  »a$  aber  red)t$  Don  berfefben 
auf  baS  2luge  ju  liegt,  fann  nid)t  auf  bie  3eid)nung  fommen. 

2.  Um  jebod)  bie  hinter  ber  ©laStafel  befinblidjen 
@egen(länbe  bequem  überbliesen  ju  fönnen,  muß  man  wenig« 
tfenS  fo  »eit  t?on  berfetben  surücPfletjen ,  baß  man  &on  ben 
ßnben  ber  Safel  in  f  unb  g  nad)  bem  2fuge  l)in  j»ei  Stuten 
fA  unb  gA  jiel)en  fann,  bie  als  @d)enfet  einen  rechten  JBinfel 
einfd)lte£en,  weil  eS  für  ben3eid)ner  unmöglid)  ift,  etwas  über 
tiefen  SSSinfel  l)tnau^  gelegenes  beutHd)  überfein  ju  fennen, 
cl)ne  baß  ftd)  baS  Sluge  bewegen  müßte;  in  weldjem  galle  bann 
öitd)  ber  bem  Qluge  beS  $tidjmxi  gerate  gegenüber  gelegene 
2tugpunft  Deranbert  »erben  würbe, 

2Iuge*  unb  gußpunft  beS  Sehers  liegen  fenfred)t  über« 
dnanber,  »as  t)ter  burd)  bie  Sinie  Anl  angebeutet  i(l,  unb 
wir  »erben  alfo  t>on  ber  ©runblinie  ber  Safel  emh  bis  ju 
unferer  ©tanblinie  in  Anl  l)in  einen  fold)en  SIbffanbSraum  an* 
nehmen  müffen,  baß  »ir  in  mn  »enigtfenS  bie  Entfernung 
gleid)  ber  §alfte  ber  ©runblinie  ber  Safel  em  ober  mh  haben, 
unb  »enn  fdjon  biefe  2lbffanbSweite  nid)t  bie  t>ortl)eiU)aftejte 
für  eine  gute  2lnftd)t  ber  @egenf?änbe  ift,  fo  »ollen  »ir  bod), 
um  Verwirrung  ju  aermeiben,  t>pr  ber  v«nb  babei  flehen  tyn> 
ben,  tnbem  baS  SBeitere  hierüber  im  §.  19  fp  \  n 

3.  ©enfen  »ir  uns  nun  biefe  ©lastafel,  §ig.  2  tu 
cfgh,  als  t)or  un0  aufgerichtet  flehen,  fo  »irb  bje  ©tanblinie 
beS  3*id)ner$  in  bte-©pt§e  n  beS  ©reiecfS  enh  fallen,  »enn 
man  bieS  Sreietf  bis  ju  einer  gleich  tyorijontalejt  Sage  mit  ber 
Oberfläche  bei?  $ifd)ptatte,  alfo  bis  jur  gleichende  mit  emh 
herauf  geflapp*  benft,  »o  jtch  bann  ba$  ?tuge  beS  3*«d)nw* 
fenfrecht  über  n  unb  bem  fünfte  A  gerabe  gegenüber  beffnben 


—   135  — 


tmifl,  wie  bie*  $ig.  1  in  A  A'  beutlidjer  ju  erfe^en  tfh  Sftan 
benfe  ftd)  nun  eine  burd)  baS  2luge  be6  Bauers  gelegte  l)ori» 
jontale  3(äd)e,  t>te  ftd)  in  baS  ttnenblidje  ausbreitet,  fo  wirb  bie* 
felbe  irgenb  einen  bie  2lu*jtd)t  I)emmenben  ©egenftanb  burd)* 
fdjneibeu,  unb  l)ier  eine  tjortjoutale  Sinie  bilben,  bie  ber  £öf)e 
be$  2luge$  gleid)  ift,  unb  bie  wir  t)ter  auf  ber  ©lastafel  iu 
gig.  2  burd)  H'H"  bejeidjnet  l)aben.   ©iefe  Sinie  werben  wir 
f ünftig  bie    o  r  i }  o  n  t  *  S  i  n  i  e  nennen,  Surd)  ein  fyorijontal  ges 
Kattenes  35latt  Rapier  läßt  ftd)  am  beflen  ein  33ilb  tiefer  ge* 
iadjtm  %läd)t  geben,  wenn  man  baffelbe  fcor  ben  3lugen  bi$ 
ju  einer  £>öl)e  ergebt,  wo  bie  ganje  Söreite  be$  23(attes  in  bie 
Sicfe  einer  bloßen  Sinie  fcerfdjwtnbet.   ©iefeä  SMatt  läge  bann 
ganj  in  ber  burd)  ba$  2luge  gelegt  gebad)ten  f)orijouta(en  ßbene, 
unb  würbe,  etwas  l)öl)er  cber  tiefer  gehalten,  fogleid)  eine  Unter* 
jtd)t  obev  2Iufftd)t  gewähren,   ©enft  man  ftd)  nun  aud)  fftrf« 
reci)t  burd)  ba$  Sluge  gelegt  eine  äfynlidje  Derttfale  S'lacfye,  bie 
fid)  aud)  in  baä  Unenblid)e  ausbreitet,  unb  bie  in  ber  Sinie  mn 
l>ie  Ijorijontale  @runbfläd)e  treffen  würbe;  fo  wirb  ftd)  biefe 
tterttfale  ^iäd)c  mit  ber  er|]gebad)ten  borijontalen  in  bem  ^)unft 
A  fdjneiben,  ber  bem  2luge  beg  3e*d)ner$  gerabe  gegenüber  liegt, 
weld)en  $)unft  wir  nun  immer  ben^lugpunft  nennen  werben, 
unb  ber  ftd)  l)ier  in  ber  9Jtttte  ber  ^orijont*  Sinie  H'H"  bejinbet. 
®a$  QMlb  tiefer  Wtifalen  glad)e  t>erbeutltd)t  man  ftd)  aud) 
am  beften  burd)  ein  Silatt  Rapier,  ba$  man  fo  oor  bie  2lugen 
l)ä(t,  baß  bie  SSreite  beffelben  ju  einer  Sinie  oerfdjwinbet. 

§.  4.  2lße  Stächen,  bie  mit  üorgeuanuten  borijontalen 
unb  wtifafen  gläd)en  parallel  laufen,  werben  auf  ber  $eid)* 
ining  in  ben  23erfd)winbtingi?!mien  ber  beiben  eiferen  ftd)  $u< 
fammen  neigen  müjfen,  unb  man  wirb  ftd)  bieg  am  anfd)au(id)* 
(ten  madjen  tonnen,  wenn  man  fiel)  mitten  in  eine  lange  mit 
jiem(id)  gleid)  t)0l)en  33äumen  an  ben  Seiten  befegte  Eanbfrraße 
(teilt  (fiet)e  5.  53.  $ig.  3;,  wo  ftd)  bann  in  bem  in  weiter  5*erne 
gebauten  Slugpunft  A,  ober  in  bem  Surd)fd)nitt  ber  burd)  ba$ 
Sluge  gelegten  Ijorijoutalen  unb  HttiMm  glädjen,  alle  ftd)  in 


—   136  — 


ba$  23t(b  t)tnem  erftrecfenben  ßrokn  gufammen  Jtt  neigen  fdjei* 
neu,  fo  baß  bie  lange  SBobenfläc^e  ber  (Straße  eAh  unb  ba$ 
burd)  bie  Sßipfel  fcet*  Saume  begränjte  (Stüd  blauet  £uft  fAg, 
ftd)  erfiered  herauf,  letzteres  fyerab  jtt  neigen  fd)etnt,  wie  benn 
aud)  tie  (Seiten  wänbe  ber  betben  23aumreif)en  eAf  unb  hAg 
ftd)  tfon  rechte  unb  lu\H  nacf)  ber  SJittte  jufammen  neigen 
werben. 

©tauben  alfo  bie  in  gig.  1  angegebenen  fcter  (Stabe  in 
einer  g(eid)en  SReifye  in  ber  SJiitte  be$  §3übe6  (jtelje  1,  2,  3/  4  j 
in  §ig.  3),  fo  würben  jte  in  ber  93ertifat:gläd)e  fteben,  unb  bie  j 
SMlber  biefer  Körper  würben,  als  überetnanberftefyenb,  in  einer  j 
fenfred)ten  Sinie  auf  ber  Safel  erfdjeinen,  wobei  ftd)  bfoS  bie 
t?erfd)iebenen  lpol)en  ber  etnjelnen  Körper  bemerfbar  machen 
fönnten  (»crgleidje  gig.  1  ik);  flehen  fte  aber  fo,  baß  fte  ftd)  j 
jwar  mit  ber  23ertifa(*gläd)e  parallel,  aber  tnel)r  red)tö  ober  linfS  I 
Don  berfelben  beftnbep,  wie  ()ier  bie  (Stäbe  in  abcd,  ober  wie 
bie  S3aumfiamme  an  ben  beibeti  (Seiten,  fo  werben  ß'e  ftd)  aud) 
einzeln  mit  abnehmenden  3wifd)enräumeu  jeigen  m Offen  f  unb 
bie  mefyr  ober  mfnber  pttttttpt  ®roße  fo(d)er  an  ftd)  g(eid)en 
3^ifd)enraume  bei  il)rem  3urucfweid)en,  wirb  ftd)  bann  nad) 
ber  2!bßanbeweite  bes  getdmerS  fon  ber  Safe!  beßimmen  laffen, 
worüber  ba$  9?äl)ere  im  §  9  $u  erfefyeu  ifT. 

(5$  flefft  ftd)  uns  alfo  au$  bem  23u%rigen  fe'fi,  baß  äffe 
tn  bie  Stefe  be$  33i(be$  hinein  ftd)  erßrecfenbett  Sutten,  we(d)e 
unter  ftd)  geometrifd)  parallel  ftnb,  nun  baburd)  aud)  perfpeftt* 
mfd)  parallel  werben,  baß  ße  ß'd)  in  benfelben  33erfd)winbung$*  I 
punft  jufammen^teben,  unb  baß  biefer  Öereintgungepunft  für  j 
fotd)e  ^arallel^tmen,  bie  in  einem  reebten  Fintel  aufbit  ©runb«  I 
linie  flößen,  in  bem  2lugpunfte  jtt  ß'nben  iß. 

§.  5.    9?un  würben  wir  ferner  ju  merfen  l)aben,  baß  ! 
ade  fenf*  unb  wagered)ten  Sinten,  bie  tri  einer  ßbene  liegen,  j 
we(d)e  parallel  mit  ber  ©laetafel  i(l,  aud)  immer  unter  ftd) 
geometrifd)  parallel  bleiben  muffen,  wie  weit  fte  aud)  &on  ber 
Safel  jurücf liegen  mögen,  unb  baß  jte  nur  tyinftdjtlid)  tyrer 


—  137  *+ 


Sänge  (bei  übrigens  flieget?  geomefrtfcfyer  ©röfe)  im  Surücf* 
liegen  eine  SBeränberung  erletben.  Um  aber  t>te  fceranberten 
Sängenmaße  foleber  fiintett  richtig  befiimmen  gu  fönnen,  wollen 
wir  uns  nun  gig.  4  fcetttltd^  ju  machen  fud)en. 

§.  6.  SBenn  parallele  Sinien  t>on  parallelen  Sinten  ge* 
fänittm  werben,  fo  ftnb  bie  abgefdjntttenen  Steife  einanber 
gleid).  @S  fei  in  gtg.  4  Im  parallel  mit  bem  £ort>nte;  jt'eljt 
man  nun  1A  unb  mA,  fo  ftnb  alle  Stuten ,  welche  jwtfc^en 
tiefen  betten  Sinien  liegen  unb  parallel  mit  Im  ftnb,  eimnbez 
gleid) 5  wie  Im  gleid)  no  gletcfy  pq  gleid)  rs.  glimmt  man 
nun  auf  ber  ©runWtme  eh  einen  Sftaßfiab  fcon  4  $uß  in  a4 
an,  unb  man  will  wiffen,  wie  groß  bie  Stute  rf  fei,  fo  gtefte 
man  gu  biefem  @nbe  1,  2,  3,  4  nad)  irgenb  einem  fünfte  in 
bem  £ort>nt,  j.  33.  nad)  x,  verlängere  rf  bis  fte  bas  £)ret* 
ecf  beS  perfpef  tiinfd)en  SWaßfJabe*  ex 4  in  tu  fdjnetbet,  tmb 
meffe  mit  biefem  aud)  4  guß  langen  Sftaßflabe  tu  bie  Stute 
rf,  wo  wir  bann  ftnben  werben,  baß  biefelbe  3  guß  lang  \% 
gS  i(l  alfo  ut  ber  Sflaßjiab  für  bie  Stute  rf,  fo  wie  vw  ber 
$?aßßab  für  no  tt.  f.  w.  iff,  ©er  spunft  x  wirb  ber 
JtmgSptmft  genannt,  weil  fcurd)  benfelben  alle  ^arallel-Sinien  mit 
ber  ©htnbltnte  ch  in  gleite  Steife  geteilt  mv^cn;  tiefer 
Sl)ei(ungSpimft  fann  in  ber  ^orijonfcSinie  angenommen  werben, 
wo  man  es  am  bequemten  ß'nbet. 

§.  7.  ein  gleidjes  $fllffcmffte|  fann  man  aud)  für  We 
mel)r  ober  weniger  tief  in  baS  23i(b  l)inetn  fMjenben  fenfred)ten 
Sinien  anwenben,  wie  bteS  l)ier  bei  ben  §ig.  4  tri  1',  2'  tmb 
3'  aufgertdjteten  (Stäben  ju  erfefen  tfh  füttern  barf  nur,  um 
fold)e  Sinien  ju  meffen,  ben  Sftaßffab  a4  auf  bie  fenfred)te 
Sinte  h  4  antragen,  unb  bann  bie  fünfte  h  1,  2,  3,  4  nad) 
irgenb  einem  fünfte  in  ber  §orijonfc$inft,  g.  83.  nad)  z  l)ttu 
Sieljcn;  fo  fann  man  an  biefem  $}?aßf!ab  alle  £öl)en  fenfred)ter 
Sinien  im  23i(be  meffen,  wenn  man  t>on  beren  gußpunft  aus 
wagered)t  fort  bis  an  ben  @tral)l  Iiz  jiel)t,  unb  l)ter  eine  fenf* 
W(t)te  Stute  aufrichtet,  ©ollen  ftier  tiefe  im  Stäbe,  jebev  in 

10 


—   138  — 


4  gtiß  §ol)e,  in  gewtfien  Entfernungen  fcon  cinauber  atifgeridj* 
*et  werben,  fo  jtefyt  man  aus  ben  gegebenen  gußpunffen  ber* 
felben  1',  2',  3'  nad)  red)t$  Ijtn  wagcredjt  bft  an  bie  Sinie  hz; 
fort,  tinb  errietet  Don  biefer  Sinie  au6  bis  an  ben  ©traljl  Az 
herauf  fenf rechte  Sinten,  welcf)e  bann  ba$  Devfurjte  Sftaß  ber 
(Stäbe  angeben  werben. 

8.  ßl)e  wir  aber  weifer  get)en,  wollen  wir  uns  nod) 
einmal  bie  im  SBorftefyenfcen  enthaltenen  pertpeftttttfefen  Regeln 
gufammenlMen,  wo  wir  fauben,  baß  ber  Slugpunft  A  im* 
mer  bem  Stuge  be$  3tid)ntv$  gerabe  gegenüber,  atfo  in  gleid)er 
$6l)e  mit  bemfetben  liegen  muß  (ftel)e  §fg.  1  A  A'),  unb  baß 
wir  eine  wagered)t  burd)  biefen  fymxU  gefegte  Sinie  bie  §>ort* 
jontsßinie  nannten  (ftel)e  gtg.  2  H'Äft");  baß  ferner  atte 
red)twinflig  fcon  ber  ©runblinie  in  ba$  33i(b  l)inein!icgenbeu 
Stuten  immer  in  biefen  Slugpunft  jufammenlaufen  muffen,  wo* 
fcurd)  bann  fo!d)e  unter  jtd)  geometrifd)  parallelen  Sinien,  per* 
fpcftimfd)  parallel  werben  (jtetye  gtg.  3);  unb  baß  a((e  jwn 
fd)en  jwei  foldjen  fiinien  wageredjt  gefegte  ober  fenfredjt  auf! 
gefMte  £inienfh'icfeK  je  nad)  il)rer  Entfernung  fcon  ber  Safel* 
flache  in  ba»  83ilb  fyineinwärts,  i()rer  vid)tigcn  93erf urjung 
nad)  burd)  biefetben  benimmt  würben,  ol)ne  baburd)  in  il)rer 
fenf*  ober  wagerecfyten  9üid)tung  eine  SBeranberung  ju  erfeiben. 
(@iel)e  gig.  4.) 

§.  9.  Se|t  Wolfen  wir  aud)  Sinten,  bie  in  ben  Sfug* 
}>unFt  A  laufen,  bie  alfo  einen  redjten  SBtnfel  mit  ber  ©runblinie 
fcifben,  meffen  ober  nad)  einem  beftimmfen  SCRaßftabe  abfd)netben 
lernen,  wobei  untf  gig.  5  jur  SBerbeutlidjung  Wenett  folt 

fei  eh  bie  ©runblinie,  unb  H'II"  bie  «ßorijonfsSinie,  in 
bereu  Sftttte  ber  Slugpunft  A  liegt.  ®er  2lbfianb  be$  3cid)tiet$ 
fcon  ber  Safel,  ober  fconber  ©runblinie  berfefben  in  eh,  fei  gleid) 
em,  ber  ipäffte  ber  ©runblinie  eh.  (ftelje  gtg,  1  mn  unb  jurücf  §.  2), 
unb  wir  tragen  biefe  2lbjlanb$weite  fcon  A  nad)  red)t$  unb  linfs 
l)in  auf  ber  §ori$out;2inte  fort,  woburd)  wir  bie  Q)unfte  H'H" 
gewinnen,  bie  wir  nun  tn$  fünftige  bie  Sijianj  fünfte 


4 

—   139  — 


x  nennen  Wolfen,  weil  burd)  fte  bte  5lbf?anbSwette  beS  $tid)\\M 
Don  ber  $afel  angebeutet  wirb, 

Sßenn  l)ier  aA  bie  Sime  tjT,  Don  welcher  mehrere  gupe 
nad)  ifjrer  richtigen  23erfürjung  abgefd)nttten  werben  feilen,  fo 
trage  man  ben  SRaßjiab  auf  bte  ©runblinte  aus  a  nad)  1,  2,  3,  4 
fort,  tmb  jie&e  Don  tiefen  fünften  nad)  bem  ©iffanj^uhf^HV 
fo  wirb  ab  gleid)  al  ein  Derfürjter  gup  fein,  beSgleid)en  bc 
gleid)  1,2  u,  f.  w.  SBenn  alfo  l)ier  ae  gleid)  a4  tff,  fo  ifl 
4e  bie  ©iagonale  eines  £2uabrateS  Don  4  gup,  unb  biefe  S5e* 
jlimmting  ber  Derfürjten  breite  eines  ÖuabratS  burd)  bie  nad) 
bem  Sf|fanj/3punft  gesogene  {Diagonale  wirb  ftd)  in  Dielen 
fällen  mit  23ortl)eil  anwenben  lagen. 

gerner  fort  Don  ber  Stnie  aA  ein  größeres  SDtaß  als  a4 
tjt,  j.  25.  8  gup  abgefd)iütten  werben,  unb  man  fßnnte  ben 
SJJapfiab  auf  ber  ©runblinie  e4  nid)t  gut  weiter  l)inauSfe§en, 
fo  jiel)e  man  bie  wagered)te  Stnte  cf,  bis  fte  in  f  bie  Stute  A4 
fd)neibet,  fo  t(l  ef  aud)  4  gup  lang.  9Zun  jielje  man  mtS  f 
nad)  H'  eine  Sinie,  bis  fte  bie  £inie  aA  in  g  fd)neibet,  fo  ift 
eg  aud)  4  gup,  folglid)  ag  nur  8  $up  lang.  §at  man  meljr 
gupe  abzutragen,  fo  fann  man  biefeS  fo  oft  wieberl)olen ,  bis 
bie  erlangte  2ln$al)l  Don  gupen  erreicht  Ifl.  (@iel)e  ki  u.  f.  w.) 
SDian  fann  aud)  aus  a  nad)  H"  jiefyen  unb  4A  tu  f  fd)nciben; 
beSgleidjen  aus  f  nad)  H'  eine  Stufe  äiefyen,  bis  biefe  aA  tu  g 
fdjneibet  u.  f.  w.  ©fefe  fünfte  H'H"  ftnb  bemnad)  bie  Sl)ei* 
lungSpunfte  für  alle  Stuten,  weld)e  tu  ben  Slugpunft  laufen, 
tmb  werben  aud),  wie  oben  erwähnt,  ©iftanj  fünfte  genannt, 
weil  bie  SRäume  AH'  unb  AH"  gleid)  bem  3lb(Ianbe  beS  Seid)* 
wrS  Don  ber  Safel  ftnb. 

§.  10.  SBir  fmben  alfo  l)ier  ein  Littel,  Öuabrate  Don 
Derfd)iebenen  ©ropen,  bem  angenommenen  SWapjiab  gemcip, 
auf  jeber  beliebigen  ©teile  ber  ©runbjTädje  Don  ber  Safet  in 
baS  23ilb  l)ineinwärtS  ju  befh'mmen,  tmb  würbe  man  ftd)  bie 
ganje  Ijorijontale  ©runbfläcfye  beS  33i(braumeS,  ©amenbrett  afin« 
lid),  in  gup  grope  jQuabrote  perfyefttDifd)  eingeteilt  jetdjnen, 


—   140  — 

r 

fo  fönnfe  man  fcfyott  fo  mannigfaltige  ©egenflanbe,  i^rem  rief)* 
tigen  SlbjlanbSraum  unb  t^rcr  bemgemäpen  33erf(einerung  nad), 
in  ben  perfpeftiw'fdjen  ©runbrif  bringen,  inbem  man  gu  grpße* 
ren  Öuabraten  ober  9ied)tecfen  nur  immer  bie  gehörige  Stn^al)! 
t)on  §u£  großen  Öuabraten  ober  ton  bejftmmten  Steilen  ber* 
felben  tjingu  näfyme. 

§#  11.  fold)e  Öuabrate  wirb  e$  tum  letd)t  werben, 
mtd)  anbere  giguren  hinein  gu  geidjnen,  unb  wollte  man  g.  93. 
in  ein  fold)e$  £}uabrat  ben  ©runbriß  eine«  über  ßcE  gefeljenen 
SBürfelS  perfpeftwifd)  feinem  feften,  fo  braudjt  mau  nur  in 
gtg.  5  bie  ©runblinie  be$  perfpeftfoifdjen  ÖuabrafS  l"o"  in  q 
ju  fljeilen,  tmb  fcon  q  nad)  bem  2lugpunft  A  ffm  gu  gießen, 
weldje  Sinte  bann  t>on  ber  Siagonale  be$  Öuabrats  in  B"  ge* 
fdjniften  würbe,  burd)  weld)en  tyuntt  man  parallel  mit  l"o" 
fct'S  an  bie  aus  1"  unb  o"  nad)  A  gegogenen  (Straelen  in  IV 
gtefyt,  worauf  man  nur  bie  fünfte  q,l',  v,o'  burd)  Sfnten  Der* 
fcinbet,  burd)  weld)e  ftd)  nun  ber  perfpef'th>ifd)e  ©runbrifi  be$ 
in  B'  befi'nbltdjen  geometrifdjen  ©runbriffeS  eines  SBürfete  l)er* 
fetten  laffen  wirb,  wobei  wir  bemerfeu  werben,  baß  bie  parat* 
Wen  (Seiten  beffelben  in  qo  unb  vi  jtd)  oben  bei  B"  nad)  bem 
©i|lang*  ?Punft  linfs  in  H"  jufammennetgen  werben  (ftefye  ba* 
felbjt  ql'  unb  o'v),  was  gleid)fattö  bei  ben  Stuten  qo'  unb 
l'v  nad)  H"  l)in  fiatt  fi'nben  wirb.  Sie  Sijlang^unfte 
werben  alfo  immer  für  bie  93ereintgung$punfte  ber 
<Seitengrängen  über  @cf  gefetjener  Öuabrate  gelten 
fonnen,  wenn  bereu  mittlerer  ®urd)fcfynitt  fcon  (Sc? 
gu  @c?  in  lo,  parallel  mit  ber  ©runbtinte  bleibt. 

12t  3tuf  5t)nlid)e  SBeife  werben  wir  aud)  mit  <pülfe 
be$  ©runbtiffeS  anbere  regelmäßige  SSielecfe  perfpeftwifd)  be* 
flimmen  fönnen,  wie  Jjier  in  bem  33eifpicl  eines  @ed)3ed$  in 
gig.  C  angebeutet  ift,  wo  man  nur  bie  tner  gleid)en  Steile  ber 
©runblinte  rs  in  C"  auf  ber  perfpef ttotfdjen  ©runblinie  rud' 
in  C"  antragen,  unb  bann  im  ttebrigen  nad)  ber  tu  gtg.  B  an* 
gebeuteten  SSeife  fcerfaljren  fann. 


—  141  — 


§,  13.  ©urd)  gleite  $ütftmitU\  werben  wir  nun  aud) 
ben  fcerfürjten  Siveiv  fyerjufMen  fud)eu,  inbem  mit?  uns  ben* 
felben  im  geometrifd)en  @t?unbriffe  in  ein  £}uabrat  efgi  auf 
Saf.  XII.  gig.  6  ctngcfd)Ioflfen  beulen ,  aus  bejfen  mittelfi  be$ 
©urcfyfdjmtt*  ber  ®iagonafen  gefundenen  Stritte,  ber  SIreiS  ge* 
fd)(agen  wirb.  S)a  wo  bie  Kreislinie  ftd)  mit  ben  diagonalen 
in  ben  fünften  1  fcfyneibet,  werben  fenf rechte  Sinien  Ijerauf  bis 
an  bie  Sinie  ef  gejogen,  ttnb  bie  ßinf Teilung  biefer  Sinien  wirb 
nun  auf  bie  fcorbere  Suite  beS  £2uabrat6  im  perfpeftim'fdjen 
©runbrifje  übertragen,  wenn  biefe  nid)t  fdjon,  wie  l)ier  in  ef, 
mit  berfelben  jtufrmmettfSQt,  unb  biefe  (SmtljetfangSpunfte  in 
e,m,  n,o,f  werben  nun  nad)  bem  Sfugpunfte  A  gesogen,  worauf 
benn  bie  nad)  ben  ©ifianj*  fünften  gejogenen  ©iagonafen  fH' 
unb  eH"  bie  letztgenannten  Sinien  burd)fd)neiben,  unb  fo  in 
n,  n'^n'  unb  1',  1,  V,t  bie  fünfte  angegeben  werben,  bttref) 
weldje  man  ben  öetfurjten  5?rei$  befdjreibt. 

§.  14#  SBenn  ein  fo!d)er  ftreis  fettoftrtjj  aufrecht  jleljenb 
gejeidjnet  werben  fott,  fo  bap  bie  glädje  beffefben  paraKel  mit 
ber  SBertifakglacfye  liegt,  unb  jte  alfo  red)twinfiig  auf  bie  Safe! 
floßt  5  fo  trägt  man  nur  bie  fünfte  be$  erften  Quadrats 
emnof  fenfred)t  auf  bie  Sinie  h'H"  in  h'mno  Ijerauf,  unb 
jietjt  biefe  fünfte  nad)  bem  Sfugpunfte  A  fyin,  worauf  man 
bie  Segnung  Ijerumfeljren  fann,  fo  bag  h'H"  bie  ©runbttnie 
unb  xA  bie  £orijonfc2ime  wirb,  in  weld)er  bann  A  ber  2lug* 
jmnft  unb  x  ber  nad)  Kirfs  angefegte  ©ijianj^unft  fein  wirb, 
worauf  man  bann  ganj  wie  bei  bem  vorigen  greife  fcerfäfyrt, 
inbem  man  fcon  k  nad)  x  bie  diagonale  be$  perfpeftioifcfjen 
Öuabratf  jiefyt,  we(d)e  bie  ©trafen  z  A,  m'A,  n'A,  o'A,  kA 
in  In  fdjneibet,  &on  weisen  fünften  aus  man  burd)  wage* 
ted)t  fjinüber  gezogene  £ülf$linien  bie  übrigen  fünfte  beS  greife's 
Ieid)t  ftnben  wirb,  wie  bieS  in  ber  betreffenden  gigur  ange* 
beutet  ijl. 

15.   SEBir  fjaben  nun  in  bem  23iSf)erigcn  ein  Littel 
gefunden  /  bie  in  Duabrate  einjufc&Keßenbeti  giguren  anf  jede 


—   142  — 


beliebige  ©teile  ber  ©runbfläche  perfpef'tMfd)  fymin  gtt  tragen: 
ftnb  ober  reditedige  Körper  fo  übet*  @cf  511  feljen,  ba£  nicht  wie 
hier  in  gig.  5  B  ein  t>on  ßtf  ju  ßc!  öclegfer  S)urd)fd)nitf  1  o 
mit  bet  ©runblinie  parallel  lauft;  fo  werben  wir  für  foldje 
Körper  nad)  beiben  ©eiten  t)in  fünfte  beflimmen  muffen,  in 
weldje  bie  gleid)laufenben  ©ränjlinien  berfelben  Derfd)winben, 
unb  biefe  fünfte  werten  in  ber  §ovi$ont*2ime  ließen  nuiffett; 
wenn  bie  betreffenben  flachen  in  einet?  'horijontalen  gbene  lie* 
gen,  weil  alle  bergleid)en  ßbenen  in  ber  iporijonfcßime  Derfd)win* 
ben,  wie  wir  bieg  fch'on  in  §.  4  befrachteten.  @old)e  fünfte 
werben  nun  jufällige  ober  Slccibentaf^unf te  genannt, 
weil  ftd)  i()rc  (Stellung  nad)  ben  ©raben  ber  2lbweid)ttngS* 
winfel  ber  betreffenden  Sinten  Don  ber  ©runblinie  benimmt; 
ba  aber  il)re  genauere  perfpeftiDifd)e  33eftimmung  nad)  ben 
©raben  biefer  2lbweid)ungSwinfel  Don  ber  ©runblinie  l)ier  nid)t 
gelehrt  werben  f'ann,  inbem  eine  fo(d)e  (Srflärung  bie  ©ranjen 
biefeS  Stuffageö  weit  übesfdjreiten  müßte,  fo  will  id)  byier  bem 
2Infanger  bod)  für  foldje  Salle  etwa*  ^Brauchbare*  an  bie  §änb 
geben,  inbem  id)  ein  Seifpiel  biefer  2Irt  in  §ig.  6  B  nad)  bem 
geometrifd)en  ©runbriß  in  ^PerfpeftiDe  bringen  werbe. 

2Bir  fel)en  hier  ba*  $ted)tecf  ab  cd  im  geometrifdjen  ©runb* 
riß,  unb  wollen  nun  baffelbe  als  Ijeraufgeflappt  unb  in  bie 
@runbfläd)e  beS  93ttbeS  hineingelegt  jeiebnen.  ©er  SPunft  a 
floßt  bereit*  in  ber  gehörigen  ©teile  an  bie  ©runblinie,  unb 
fallt  alfo  mit  a'  jufammen.  Sie  fünfte  b,c  unb  d  aber  muffen 
fenf  recht  herauf  bis  in  bie  fünfte  pqr  verlängert  werben,  Don 
wo  fte  bann  in  bem  2lugpunft  Ä  jufammenlaufen.  ©er  2lb* 
franb  biefer  fünfte  bed  Don  ber  ©runblinie  wirb  nun  perfpcf* 
ttDifd)  nad)  §•  9  beflimmt,  inbem  man  ben  SlbflanbSraum  ber  , 
fünfte  p  b  Don  p  aus  wagered)t  bis  nad)  x  fortträgt,  unb 
burd)  einen  Don  biefen  fünften  aus  nad)  II'  gesogenen  (Strahl 
bie  Sinie  pA  in  b'  fd)neibet,  wo  bann  ber  spunft  b  perfpef* 
tioifd)  befrimmt  i|l.  6ben  fo  wirb  man  bie  SBeite  qc,  Don  q 
nad)  h  forttragen,  unb  Don  hier  nad)  bem  ©ifranj^unft  H'  j 
jiehen,  bis  tiefe  Sinie  qA  in  c'  fdjneibet,  woburch  bann  auch 


—  143  — 


ber  föiinft  c  |>ctrfpef <Ct>ff^>  beflimmt  fein  wirb,  worauf  man  bie 
SBette  rd  fcottr  nad)  y  anfragt,  ttnb  Don  l)ier  lieber  nad)  bem 
©ijianj^unft  H'  siel)enb  bie  Stute  r A  in  d'  fcfynetbet,  worauf 
man  bie  gefundenen  fünfte  ju  bem  perfpeftivtfdjen  SKedjtetf 
a'b'c'd'  verbtnbef. 

Sie  parallelen  (Seiten  a'b'  ttnb  c'd'  würben  nun  in  ben 
SPunft  D'  in  ber  §ortj6ntltnte  jufammenlaufen;  eben  fo  bie 
Sinte  a'd'  ttnb  b'c'  in  D",  tmb  jebe  anbere  irgenbwo  im  Silbe 
beftnblidje  Stute,  bie  in  bemfelben  SBinfel  von  ber  Safel  in 
ba$  SBilb  l)inein  abwetd)t,  wirb  ftd),  als  perfpcftivtfd)  parallel 
mit  ben  eben  genannten,  nad)  bem  gleichen  S3erfd)wtnbung$* 
punft  l)tnjtel)en  muffen. 

§.  16,  Sltm  wirb  ba$  S(ufrtd)fen  fenfred)t  jMjenber 
Körper  auf  bergletd)en  perfpeftivifd)  gejeid)ttete  ©runbriffe  ol)ne 
©Äjwierigfeit  vorgenommen  werben  tonnen,  inbem  man  nur 
bie  verlangten  3J?aj5e  ber  fenfred)tcn  §Öl)en  ber  Körper  (|7el)e 
§.  7)  über  bie  befreffenben  fünfte  Ijeraufträgt,  worauf  man 
bei  ben  über  bem  Slugpunft  gelegenen  gladjen  ganj  fo  wie  bei 
ben  im  ©runbnp  angegebenen  verfährt,  woju  l)ier  in  §ig,  7 
ttnb  8  einige  SSeifptele  folgen. 

SSiu  wollen  tm$  l)ier  in  §tg.  7  emeö  befKmmten  SWapeS 
bebienen,  ttnb  baljer  bie  iporijonkSinie  all' als  5  $uß  I)ocI>  be* 
jctdjnen.  Ser  tcd)f^  flefyenbe  red)tecfige  Äörper  fei  ein  (SubuS 
von  3  guß,  ttnb  frel)e  mit  feinen  beiben  un|  jttgefef)rten  ©et* 
tenflacfyen  fo  geweubet,  baß  jebe  berfelben  von  ber  Safelebenc 
um  bie  §>alfte  eine»  red}ten  SBinfelS  (alfo  =  45°)  juriicfweidjf, 
wo  ftd)  bann  bie  S5erfd)tvtnbttng^ptinfte  ber  paralllelen  Stnien 
nad)  red)tö  unb  linU  tjin  in  ben  ©iffanj«f)unften  H'H"  ju« 
fammen  vereinigen  müffen,  wie  wir  bie$  bereits  in  §.  11  fafyen. 
Um  bie  ©rope  be§  perfpeftivifdjen  ©runbriffeS  genau  ju  be* 
flimmen,  jetd)tte  man  benfelben  erfl  geometn'fd)  unter  bie  ©runb* 
linie,  äl)n(id)  wie  Saf.  XL  in  gig.  5  B  gefd)el)en  fft,  fe£e  bie 
fünfte  1  o  fenfred)t  an  bie  ©runblinte  berauf,  unb  jiefye  nun 
bie  fünfte  1"  q  o"  in  Saf.  XII.  gig.  7  nad;  bem  Slugpuuft  A. 


—  144  - 


Sftan  frage  bie  Sange  l"q  auf  fcte  ©runblfwe  ftnfs  fort,  bott 
1"  nad)  z  Ijin,  unb  jietje  Don  l)ier  nad)  bem  ©ifianj^unft  H", 
wo  bann  bie  Stnte  1"  A  in  r  gefcfynitten  wirb;  Don  r  jiefje 
man  wägetest  t)erüfcer  ütö  an  bte  au$  o"  nad)  A  gezogene 
Sinie  in  t,  worauf  man  Don  t  nad)  H'  unb  Don  r  nad)  H"  l)ttt 
im  ©runbriß  in  u  DerDotfflänbigt.  Iftun  errichte  man  auf  beti 
Dier  fünften  be$  perfpeftiDifd)en  ©runbriffeS  in  qrut,  fenfr 
rechte  Sinien,  beten  Dorberjle  in  qv  3  %u$  l)od)  gemacht  wirb- 1 
S5on  v  jielje  man  red)t$  unb  UnU  nad)  ben  ©iflanj^unften, 
ln'S  man  bie  auf  r  unb  t  errichteten  fenfredjten  Sinteit  in  w 
unb  x  fcfyneibef,  bon  n>eld)en  fünften  au$  man  bann  wieber 
nad)  ben  entgegengehen  ©tjlanj^unften  jief)t,  um  burd)  bett 
(Schnitt  biefer  beiben  Sinien  in  y,  bie  §ol)e  Don  u  y  ju  be* 
Bimmen. 

§.  17.  ©er  ©runbrij?  be$  ImfS  Dom  2Iugpunft  (leljetu 
fcen  (ti)Iinber$  in  gig.  7  wirb  nun  ganj  fo  wie  ber  (iegenbe 
yerfyeftiDifdje  SretS  in  §ig.  6.  gejeicfynet,  unb  aus  bem  SPunft 
n  eine  fenf  rechte  Sinie  errietet,  weldjer  man  in  nn'  bie  erfor* 
fcerlidje  §ol)e  Don  7  $uß  giebt,  worauf  man  burd)  n'  eine 
wagered)te  Don  gleidjer  gange  mit  ber  ©runblime  as  in  ef 
jiel)t,  unb  bie  fünfte  er'n'  s'f  in  ben  Slugpunft  A  jtetjt- 
SBon  f  siebe  man  bie  diagonale  be$  perfpeftfoifc&en  Öuabratö 
nad)  H'  unb  beflimme  burd)  bie  fo  gefunbenen  £ulf$punfte  ba$ 
nmfd)Iießenbe  Öuabrat  e  f  g  h,  unb  in  bemfelben  burd)  bie 
fünfte  T  n'  ben  perftef'ttDifd)en  ÄreiS  ber  £>bevflad)e.  §>ier* 
auf  Derbinbe  man  bie  feitwärts  am  meinen  Dortretenben  fünfte 
fcer  perfpefttDifd)en  greife  burd)  bie  fenfred)ten  Sinien  1  1'  unb 
Ii  n'  ju  ben  ©eitengranjen  be$  (üti)linberg. 

18.  Stg.  8  b  fel)en  wir  im  geometrifdjeu 
©runbrip  eine  2luf|Mung  bon  fed)6  recfytecfigen  (Säulen,  bie 
tun  einen  6i)linber  l)er  |M)en,  auf  welken  wir  eine  Stttgel  flelfen 
wollen.  ©a$  ©anje  i(l  Don  einem  Ouabrat  umgeben,  weldjeS 
jwei  grofe  greife  einfd)lieft,  beren  erflen  wir  nad)  Anleitung 
i>er  Dortjergefyenben  giguren  leicht  in  ben  perfyeftibifdjen  ©runb* 


—  145  — 


fÜ  bringen  fonnen,  wie  wir  benn  aucfy  für  ben  tiefem  junä'cijfl 
gelegenen  SfreiS  bie  ©iagonafen  teö  perfpeftiinfd)en  ßuabrats 
in  8  a  jur  33e|limnumg  ber  übrigen  £ülf£punfte  brausen 
werben,  wenn  wir  Don  ben  betreffenbeu  fünften  im  geometri? 
fd)en  ©runbriß  au«  fenfred)t  bis  an  bie  ©runblinie  fjerauf,  unb 
»on  ba  nad)  bem  2tugpunft  f)injiet)en,  wo  bann  ber  S)urd;fd)nitt 
biefer  Sinien  mit  ben  ©iagonalen  be*  perfpeffwifd)en  Öuabraf* 
bie  rid)tigen  §üff$punfte  angeben  wirb,  wie  t)ier  j.  23.  an  bem 
5Punft  f  in  8  b  ju  erfeljen  iff,  x>c\\  bem  wir  fenfred)*  l)er* 
auf  bis  an  bie  ©runblinie  in  g  gejogen  Ijaben,  tton  wo  wir  bie 
Sinie  nacl)  bem  2Cugpunft  A  fovtfefften  unb  im  perfpef'timfd)en 
ßuabrat  bie  Stagonale  ad'  in  h'  fdjnitten,  wo  ftd)  bann  ber 
!Pimft  f  perfpefttöifd)  jt'nben  wirb,  worauf  man  {jewaefy  äffe 
übrige  ^üffgpunfte  be$  perfpeftfoifdjen  greife*  in  gleitet*  SBeife 
aufjtnben  tonnen  wirb* 

S»  ber  33?it(e  ber  Greife  wäre  nod)  ba$  ffeine  Öuabrat 
c  perfpeftioifd)  hineinjufragen,  inbem  man  bie  (Seiten  bejfefben, 
ik  unb  Im,  fenf'red)t  Ijerauf  bis  an  bie  ©runblinie  in  no  Der? 
längerf,  unb  fcon  f)ier  nad)  bem  Sfugpunft  A  äiel)t,  wo  bann 
ber  ©urd)fd)nitt  biefer  Sinien  mit  ben  oberen  ©iagonalen  in 
i'k'l'm'  baS  perfpeftimfd)e  Öuabrat  bitbet,  we(d)e$  ben  ©runb* 
riß  beS  (£i)Iinber$  einfd)(ießt.  Sftan  fleKe  mm  in  8  b  bie 
fed)S  £juabrafe  gfeidjmäßig  jioifd)en  ben  beiben  greifen  umfyer, 
weld)e  bie  23ret're  ifjreS  ©ruubriffeS  angeben,  unb  jie()e  fcon 
aßen  ßden  berfelben  fenfred)te  Sinien  bis  an  bie  ©runblinie 
ab  Ijerauf,  &on  wo  man  fämmtficfye  fo  gewonnene  fünfte  nad) 
bem  2Cugpun?t  A  t)mjie()t,  worauf  mau  bann  in  ben  Steffen, 
wo  biefe  Sinien  bie  perfpeftitnfcfyen  greife  treffen,  bie  nötigen 
fünfte  nad)fud)t,  in  wefd)e  man  bie  perfpeftimfdjen  ©runbrijfe 
ber  fed)S  <2äufen  fyineinjeidjnen  f'ann. 

Um  beim  2lufrid)ten  biefer  Körper  bas  Sfuffudjen  *  ber  ftci> 
öerminbernben  §öf)eu  ber  fenfred)ten  Sinien  ju  erfeid)tern,  frage 
man  ftd)  jur  ©eite  red)tS  ber  gig.  8  a  bie  ipölje  ber  (Bäiu 
len  in  einen  perfpeftimfd)en  §5l)enmeffer  1  A  2,  nad)  ber  bei 
Sij.  4  7  gegebenen  Slnleifung,  Ijerauf,  unb  jielje  nun  x>on  aßen 

11 


—  146  ~ 


fJunftcn  be*  perfpeftimfd)en  ©runbriffe*,  auf  weld)en  fcnft^d)fc 
Sttu'eti  Don  gleidjer  £öl)e  mit  1,  2  errietet  werten  feilen,  bi* 
an  ben  @trat)l  1  A  wagered)t  fort,  unb  erridjte  in  tiefen 
fünften  fcnfred)te  Sinien  bi'ö  an  ben  ©troljl  2  A,  bie  bann 
ba*  richtig  fcerffirjte  £ö()enmaß  für  jebe  bei4  gefugten  Linien 
geben  werben,  (Siefye  Ijierju  ein  paar  23eifpie(e  in  3,  3,  3, 
4/  4,  4  u.  f.  tt). 

2fuf  äl)nlid)e  SBeife  wirb  man  jtd)  nun  Stufgaben  tiefer  Strf 
fcet  einigem  9?ad)benfen  cl)ne  ^%ßierigfeit  lofen  formen,  woju 
man  jtd)  frei(id)  anfangt  ber  etwas  umftänbtid)en  23orrid)timg 
be*  3lufteid)nen*  mtttelfl  be*  ©runbriffe*  befcienen  muß.  6* 
Wirb  aber  fyierburd)  bem  fo  vorbereiteten  geidjner  ein  weitere* 
®fubtum  ber  3)erfpeftt'De  in  ben  größeren  hierüber  Dcrljanbeneu 
SBerfen  leid)t  juganglid)  werben,  woju  tf)m  befenber*  H$\im$tfi 
freie  $)erfpeftiDe"  große  $tffttijf  an  tie  £anb  geben  wirb. 

§.  19.  9?uu  Worten  wir  un*  aber  nod)  etwa*  über  ben 
Slfejlanb  be*  getaner*  Don  ber  £afel  merfen,  nad)bem  wir  früher 
fdjon  fallen,  baß  hierbei  ber  £auptgrunbfa£  ber  ifl:  baß  man 
nie  met)r  auf  eine  3*icfynung  bringen  barf;  at*  ftd)  auf  einmal 
beutlid)  überfein  laßt,  b.  t).  tu  einem  geraben  SMicf^  oljne 
ben  Äopf  ju  wenben;  beun  brel)t  malt  ba*  ©ejldjt  nad)  einer 
anbereu  Seite  l)in,  fo  entfielen  mehrere  2lugpunfte,  unb  ba* 
SBilb  fann  tüdjt  mefyr  auf  ber  geraben  §(ad)e  Dorgefiellt  wen 
ben,  ba  e*  $u  einem  Panorama  wirb.  SBir  tjaben  in  §.  2 
ßejeigt,  baß  bie  äußerfren  ©ränjen  be*  bcutlidjeu  @el)en*  einen 
SBinfel  Don  90°  cinfd)(ießen;  inbem  man  nefymlid)  au*  bem 
Sluge,  weld)e*  gerabe  ucr  jtd)  Ijtn  fielet,  einen  red)ten  SBin* 
fei  ji*l)f,  beffen  beibe  ©djenfel  bie  Safel  ober  basjenige  ein* 
fd)Iießen,  wa*  gejeidjnet  werben  fett.  SBa*  außer  biefen  bdben 
Sinieu  liegt,  fann  nid)t  mel)r  beutlid)  gefefyen  werben,  ofyne  baß 
ba*  Sluge  nad)  ber  Seite  abgewenbet  wirb.  S)iefe*  angenom* 
men,  mußte  bie  Entfernung  be*  Sluge*  Don  ber  Safel,  ber  §ä(fte 
be*  SSilbe*  g(eid)  fein,  unb  baffelbe  würbe  auch  Don  foId)en 
bern  gelten,  bie  l)ßl)er  al*  breit  (tnb,  inbem  aud)  tjier  bie  äußer* 


—   147  — 


fett  ©ränjen  nad)  oben  tmb  unten,  t*n  SBinfrf  Don  90°  m'cftt 
Ü6e*jleigen  türfen,  unb  e$  würbe  bann  ber  Slbffanb  be$  2luge$ 
üon  ber  $aj|l  gleid)  ber  Raffte  ber  £ol)e  berfelbeu  fein.  S)ie$ 
i\1  aber  bie  fürje|le  SDirtanj,  weldje  nur  im  9?otl)fatte  ange* 
Kommen  werben  fann,  weil  fiel)  t)ier  fdjon  an  ben  gnben  ber 
Safe!  bie  giguren  fcl)r  auSeinanbersieljen,  unb  tmformlid)  wer* 
ben.  Stimmt  man  aber  bie  längfle  Seite  ber  geidjnung  jum 
Slbjianbe,  fo  jeigt  fi'd)  2U(cö  weit  t>ortl}citt>aftcr,  wie  man  bei 
gemad)fen  23erfud)en  biefer  5Irt  balb  [eben  wirb. 

3(1  atfo  bie  fürjefte  ßnffernung  be$  2luge$  fcon  ber  Safel 
gleid)  ber  ipatffe  ber  gropfen  Seife  ber  $tid)nm$,  fo  wirb  bet? 
weitere  Slbfranb  breimal  fo  lang,  als  bie  genannte  Seite  beffel* 
ben  fein  fennen;  ba$  SQfttfelmaß  würbe  e$  bemnad)  fein,  wenn 
man  jum  2lb|lanb  bie  größte  Seite  ber  S^nung  einseinfyalbmal 
annähme.  2lud)  bie  Siagonale  be$  ganjen  Silbe*  fann  jttr 
©iflanj  angefe^t  werben,  woburd)  fid)  eine  gute  2lnfid)t  ict 
©egenjtcmbe  ergiebt. 

20.  $>ir  nehmen  atfo  bei  foldjen  perfpeffwifcfyen  3?i#* 
imngen  bie  ©lastafel  unb  unfer  ttorliegenbeS  Rapier  immer  aW 
gleidjbebeutenb  an,  inbem  wir  ttn$  auf  biefer  fenfred)t  fiefyenfe 
gebauten  ßbene  alle  Sel)|1ral)len,  bie  ftd)  bon  ben  ©ranjen  bei 
bal)iufer  gelegenen  ©egenjlänbe  nad)  bem  2luge  jie^en,  aufge* 
fangen  benfen,  wobei  bann  jeber  Surd)fd;nitt  eines  feieren 
StrafylS  mit  ber  Safe!  ober  ber  ^)apierfläd)e,  nun  aud)  auf  bie* 
fer  ba$  SSilb  beS  betreffenben  fünftes  jurücflaften  muf;  wo?= 
burd)  auf  bem  Rapier  eine  3^id)nuug  ent|lel)t,  wie  biefelbe  auf 
ber  ©la*tafel  erfd)einen  würbe,  wenn  man  mit  unt>errüc!tem 
Singe  alle  ©ranjlinien  ber  hinter  berfelben  liegenben  ©egeu* 
ftanbe  fo  barauf  jeid)nefe,  baß  bie  ßenturen  bie  ©ränjen  bet 
giguren  uollfcmmen  bedten. 

SBir  fönnen  uns  fyierbet  aud)  unfer  tyctylcc  al$  eine  gleid? 
große  Senfleröffnung  in  einer  SBanb  benfen,  burd)  weldje  wir 
benjenigen  Sl)eil  ber  2luSftd)t,  ben  wir  auf  unfere  3c,'^«un9 
bringen  wollen,  bequem  überfein  fönnen,   ®a  man  aber  ton 


—  148  — 


einer  folgen  ©effnung  Mi  tvetfer  jurücf,  Mi  naljer  an  bie* 
felbe  herantreten  f'ann,  fo  würbe  man  aud),  tiefem  2Ibflanbc 
gemäß,  Mi  einen  größeren,  balb  einen  geringeren  £()ei(  ber 
iaüorliegenben  ©egenjlänbe  überfein  fönnen,  intern  bie  2ltt^ 
fid)t  immer  befdjrilnfter  werben  müßte,  je  weiter  man  von  ber* 
felben  ^urücfträte,  wogegen  jte  ftd)  immer  erweitern  würbe,  je 
metjrman  ftd)  beröejfnung  näherte,  ©tänbe  man  nun  enbticf) 
mit  bem  Sluge  nur  fo  weit  von  ber  ©effnung  ab,  als  bie  Iängfre 
<Seite  berfelben  groß  wäre,  fo  würbe  man  in  biefer  (Stellung 
$ltte$,  alebann  von  ber  3lu$ftd)t  fufybar  bliebe,  bequem  auf 
eine  gteid)  große  Safel  ober  9?e|eint()ei(ung  bringen  fonnen, 
worauf  man  bie  3*id)«un8  Hl  «nem  beliebig  öerflemerten  2ttaß* 
jlab  auf  ba$  Rapier  übertragen  tonnte. 


S>  r  u    f  c  f)  ( e  x> 

Sßti  ber  großen  SScctlun^  be$  S)rutfS  ftnb  einige  (Stetten  att^elaiTcn  Worten, 
welche  man  gütigft  nad)3utraQen  Httet. 


Cetfe  5  3etfe  13  fcon  oben  flatt:  erbaut  werben  fönne,  baß  aud)  je.  Iie$:  er« 
baut  werben  fönne,  unb  td)  wünjVfce  nur,  baß  aud)  je. 

€eite  89  3eile  6  fcon  unten  hinter :  in  bie  feinfte  Sinie  verliert,  tfl  nacbjutraöen : 
Sftod)  wäre  anjubeuten,  baß  t)ier,  wie  in  allen  al)nlid)en  fallen,  bie 
.  SSreite  ber  umgränsenben  (Scfyatfenlinien  nur  au$  einer  ber  51äd)en, 
l)ier  3.  23.  au$  ber  jurüdweicfyenbett  Stäche  be3  oberen  brei  2BürfeI 
langen  5?örper$,  genommen  werben  muß,  wo  bann  alfo  bie  23e* 
jeirtmuna,  ber  Dollen  ©tärfe  an  ben  fenfred)ten  (Säulen  unb  an  bem 
oben  flebenben  2Bürfet  beim  Sufammemreffen  mit  ernannter 
Stäche  auebleiben  muß. 


Berlin,  gebrueft  bei  $1.  20.  £at>n. 


Taf.  IL 


Ta£  YJ  . 


7a/:  mr. 


1. 


Tni:  xi. 


<Hl  7  2  3  3   /x
Internet Archive Audio

Featured

Top

Images

Featured

Top

Software

Featured

Top

Books

Featured

Top

Video

Featured

Top

Mobile Apps

Browser Extensions

Archive-It Subscription

Save Page Now

Full text of "Methodische Anleitung für den Unterricht im Zeichnen : zum Gebrauch in Elementarschulen und höheren Bildungsanstalten ; auch zum Gelbstunterricht in den Anfangsgründen des perspektivischen Zeichnens"

See other formats
